/
Текст
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ]
ВВЕДЕНИЕ 4
r л а в а 1. ПРОБЛЕМА НАДЕЖНОСТИ КАК MATE
МАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА 5
r л а в а 11. НАДЕЖНОСТЬ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 15
r л а в а 111. НАДЕЖНОСТЬ НА ЭТАПЕ ИСПЫТА
НИЙ И ЭКСПЛУАТАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 38
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ 56
ЛИТЕРАТУРА 62
60З
У9 З
у 93
Ушаков И. А.
Построение высоконадежных систем. .
М., «Знание», 1974.
64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «MaTeMa
Тика, кибериетика», 8. Издается ежемесячно с 1967 r).
в брошюре приводятся примеР!>I использования математичес
ких методов теории надежности для решения задач, ВО3НИК(;l.Ю
щИ" прн разработке и эксплуатвции различиых технически"
средств.
Брошюра может Быlьь полезна всем, кто интересуется проб-
лемой надежности и методами решения этой задачи.
30101
603
@ Издательствn «Знание», 1974 r.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проблема надежности является ключевоЙ проблемоЙ вот
уже на протяжении целоrо ряда лет. Особенно роль на-
дежности возросла в последние rоды из-за создания сЛож-
ных технических систем. Создание дороrостоящих систем,
в первую очередь автоматизированных систем управления.
раЗJ1ИЧНЫМИ объектами народноrо хозяЙства, выполняю-
щими ответственнеЙшие. функции, непременно предполаrает
тщательную проработку вопросов надежности на всех эта-
пах, начиная от проектирования и производства и кончая
испытаниями и эксплуатациеЙ. На всех этих этапах нель-
зя переоценить роль теории надежности этоЙ важноЙ при-
кладноЙ математичесКОЙ дисциплины, обеспечивающеЙ
обоснованное принятие решениЙ в процессе обеспече-
ния и повышения надежности. Появление современных
сложных систем привело к необходимости разработки но-
вых и' довольно специфических математйческих методов,
опирающихся уже не тольКо на аппарат классическоЙ
теории вероятностеЙ, но и на дискретныЙ аНаЛИЗ и мате-
матическое проrраммирование. Этоrо потребовало исследо-
вание структур и алrоритмов функционирования таких
систем.
В предлаrаемоЙ брошюре приводится большое число
примеров использования математических методов теории
надежности для решения задач, возникающих при разра-
ботке и использовании различных технических средств.
Брошюра доступна любому инженеру, интересующему-
ся проблемоЙ надежности, поскольку большое внимание
в неЙ уделено содержательному описанию задач, методов
их решения и толкованию полученных результатов.
Академик В. С. СЕМЕНИХИН
ВВЕДЕНИЕ
Несколько десятилетиЙ назад проблема надежности раз-
личных технических систем не волновала инженеров как
проблема первостепенноЙ важности. При проектировании
систем основное внимание уделялось обеспечению необхо-
димых технических параметров вообще, а не ИХ сохранению
и поддержанию в течение длительноrо времrни эксплуа-
тации. Проблема надежности при этом, без.условно, реша-
лась, но, если так можно выразиться, «между прочим».
Подобный подход к проектированию технических си-
стем оставался при€'млемым лишь до тех пор, пока проек-
тируемые системы были несложны сами по себе и выполня-
ли достаточно простые функции.
Современные системы характеризуются чрезвычаЙной
сложностью. Эта сложность систем определяется ответст-
венностью, сложностью и мноroобразием тех функциЙ, не-
обходимость ВЫПОJIнения которых диктуется неуклонным
проrрессом науки и техники. Зачастую это приводит К со-
зданию сверхсистем, отдельные элементы которых сами
по себе предстаВJIЯЮТ весьма сложные объекты.
Можно привести десятки современнеЙших систем, для
которых приемлемое решение проблемы надежности в са-
мом прямом смысле означает, быть или не быть данноЙ
системе. Сюда можно отнести реrиональные и отраслевые
автоматизированные системы управления, включающие в
своЙ состав мноrие электронные вычислительные машины,
системы управления воздушным движением для rраждан-
СI<ОЙ авиации, автоматизированные системы управления
сложнеЙшими технолоrическими процессами, сеть центров
управления и сле {ен я за" функционированием космиче-
ских объектов, различноrо рода специальные системы.
Усложнение, систем идет в 'самых различных направле-
ниях. С одноЙ стороны, технические системы становятся
в прямом смысле больше в их состав входит все большее
количество комплектующих деталеЙ. С друrои стороны,
существеннейшим образом усложняется внутренняя струк-
тура системы, определяющая характер соединения отдель-
ных элементов между собоЙ, и а.тlrоритм цх взаимодействия
в процессе функционирования и поддержания работоспо-
собности.
При прочих раВНЫХ УСJIOВИЯХ система, состоящая из
большоrо числа комплектующих деталеЙ и имеющая более
сложную структуру и более сложныЙ алrоритм функцио-
нирования, является менее надежноЙ по сравнению с си-
стемоЙ более простоЙ. это требует разработки специальных
методов обеспечения, повышения и поддержания надежно-
сти таких систем, включая разработку матемаТJ1ческих ме-
тодов априорных расчетов и экспериментальной оценки.
Инженеры, физики и математики ПРИJlОЖИЛИ немало
совместных усилиЙ для повышения надежности и разра-
бoTKи современноЙ теории. С одноЙ стороны, были пред-
приняты rиrантские усилия для создания более надежных
компонентов, создания более простых и надежных схем
и конструкций, улучшения условиЙ эксплуатации. С дру-
rоЙ стороны, б IЛИ разработаны соответствующие методы,
позволяющие ПрОБОдить анализ и синтез разрабатываемых
техничеСi;{ИХ средств на этапе проектирсвания, ПРОВОДпть
обоснованные оценки показателеЙ надежности этих сред.ств
во время их испытании и эксплуатации и вырабатывать
рациональные методы использования.
Однако проблема надежности продолжает оставаться
одноЙ из центральных проблем современноЙ техники. Де-
ло, видимо, объясняется не столько тем, что достиrнутая
надежность современных технических систем слишком низ-
ка, сколько непрерывным усложнением решаемых задач
и одновременным повышением требованиЙ к надежности
их выполнения.
r л а в а 1. ПРОБЛЕМА НАДЕЖНОСТИ
КАК МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА
Оценка надежности. ОсновноЙ задачей математическоЙ
теории наде}Кности является создание математических мо-
делеЙ, адекватных вероятностным процессам функциони-
рования исследуемых - реальных технических систем. Ис-
следование"этих математических моделеЙ в конечном сче-
те служит разработке методов анализа и синтеза этих си-
стем, назна9ение которых выработка конкретных реко-
мендациЙ по повышению надежности. Чем сложнее систе-
ма, чем более сложным является принцип ее орrанизации
(структура соединения элементов, вза"имосвязь при ФУНК-
ионировании, характер техническоrо обслуживания и ма-
териальноrо обеспечения и т. д.), тем более эффективным
на любом этапе проектирования, разработки и эксплуата
ции является использование математических методов ана-
лиза и синтеза.
Естественно, что та или иная математическая модель
отображает степень нашеrо познания исследуемоЙ техни
ческоЙ системы. К сожалению, опыт показывает, что априор-
ные представления даже о сравнительно общих принципах
функционирования создаваемых сложных систем бывают
иноrда весьма далеки от истины. Однако необходимость
исследования созданноЙ системы в целях устранения раз
личных неполадок, отыскания путеЙ улучше«ия ее, раз
работки методов рациональноЙ эксплуатации и т. д. при
водит к необходимости более rлубокоrо изучения системы.
В этом смысле любая «наилучшая» математическ я мо-
дель процесса функционирования сложноЙ системы явля-
ется лишь наиболее полным возможным приближением к
исследуемому проiIессу. Уточнение математическоЙ модели
возможно лишь при дальнеЙшем изучении реальноro сбъек
та, при сравнении теоретических результатов с опытными
данными: процесс создания адекватноЙ математическоЙ мо-
дели в теории надежности заключается не только в теоре-
тическоЙ разработке какоЙ-либо rипотезы о'реальном по-
ведении объекта, но и в постоянноЙ проверке соответствия
принятоЙ rипотезы имеющимся статистическим данным,
получаемым опытным путем.
Итак, более rлубокое исследование системы позволяет
строить модель, более соответствующую реальноЙ системе.
Но более сложная математическая модель требует, как
правило, "более детальных исходных данных, с одноЙ сто-
роны, и более тонких методов математическоrо исследова
ния с друrоЙ. И хотя, казалось бы, подобное уточнение
математическоЙ модели является }Келательным и да}Ке не-
обходимым для более точноrd изучения исследуемоrо объек-
та, возникает далеко не праздныЙ вопрос: нужно ли CTpe
миться к тому, чтобы математическая модель надежности
системы была абсолютно изоморфна самоЙ реальноЙ си-
стеме? Дело в том, что задачеЙ составления математиче-
скоЙ модели надежности является возможность определе-
ния тех или иных количественных характеристик, отобра-
жающих качественную сторону функционирования реал ь-
ной системы. Однако сама по себе математическая модель
при этом решает далеко не все. Как правило, для получе-
ния количественных результатов мы пользуемся исходны-
ми данными, получаемыми экспериментальным путем на
основании достаточно оrраниченноrо числа опытных данных,
J. е. не являющихся достаточно достоверными. Кроме то-
ro, если математическая модель надежности сложна, нам
приходится прибеrать к различным вычислительным мето-
тодам, приводящим к неизбежным поrрешностям (напри-
мер, численны методы приближенных вычислениЙ, асимп-
тотические методы, статистические вычислительные методы
и пр.). Эти два фактора недостоверность (или неточность)
исходных данных и поrрешности вычислительных методов
MorYT свести на нет все те преимущества, которых мы пы-
таемся добиться, создавая очень точную математическую
модель. Естественно, возникает вопрос о целесообразноЙ
точности математическоЙ модели исследуемоЙ системы. Ины-
ми словами, сама по себе «чистая» модель надежности не
является полностью определяющим средством исследова-
ния реальноЙ системы и точность ее должна определяться
конкретными условиями: требуемоЙ точностью исследова-
ниЙ, достоверностью раЗЛИЧJ-jЫХ исходных данных, вОЗмож-
ноЙ точностью численных расчетов и т. д.
Малая достоверность исходных статистических данных,
неточность математическоЙ модели (невозможность учета
всех факторов, идеализация отдельных. процессов и т. д.)
И как следствие этоrо 'поrрешности в окончательных
результатах MorYT зародить сомнение в полезности расчетов
надежности. I)оэ му крайне важно понять, коrда и для
чеrо нужны расчеты надежности.
Во-первых, безусловно, расчеты надежности функцио-
нирования приносят большую пользу на ращlИХ этапах
проектирования, коrда возникает вопрос о сравнении раз-
личных возможных вариантов построения системы и вы-
боре наилучшеrо из них.
Во-вторых, расчеты надежности на стадии техническо-
ro проектирования, коrда уже более детально известны со-
став системы, ее структура и принципы функционирова-
ния, позволяют проверить правильность принятых реше-
ниЙ, наЙти слабые места и выработать определенные реко-
мендации по повышению надежности и эффективности
функционирования.
В-третьих, расчетные методы часто оказываются неза-
менимыми, а пороЙ и единственно возмО'ЖНыми на этапе
испьrrания сложных систем. Часто очень большие iI слож-
ные системы приходится испытывать либо по частям (при-
чем обычно в течение разноro времени), либо даже не в пол-
ном штатном составе. В обоих этих случаях единственным
способом получить оценку показателеЙ надежности явля-
ется расчетно-эkспериментальныЙ способ.
. Наконец, именно расчетные методы (по обеспечению за-
пасными элементами, по орrанизации контроля исправно-
сти, по проведению профилактическоro обслуживания и
т. п.) моrутобеспечить рациональныЙ режим эксплуатации.
Следует специально подчеркнуть, что чем сложнее ис-
следуемая снстема, тем более" эффективным является ис-
пользование математических расчетных методов на всех
этапах разработки и использования.
Основные пути повышения надежности. Рассмо:трим ос-
новные пути повышения надежносrи функционирования
современных технических' систем. Возможны три основных
пути повышения надежности технических средств, пред-
назначенных для выполнения определенных функциЙ:
повышение надежности комплектующих элементов;
введение различноrо рода избыточности (дополни-
тельные элементы, облеrченные режимы работы и т. п.)
В целях именно повышения надежности;
коренное изменение структуры и принципов функцио-
нирования отдельных частеЙ системы и истемы в целом.
Первые два способа обычные для эволюционноrо раз-
вития технических средств. ПервыЙ из них с позиции кон-
структора системы является наиболее консервативным,
так как предполаrает лишь улучшение исходной элемен-
тарной базы. (Заметим, что для создателя комплектующих
элементов улучшение их параметров мо)Кет носить ради-
кальныЙ и совершенно принципиальныЙ характер). Во вто-
ром способе, хотя в принципе и не предполаrается никако-
ro изменения входящих в систему элементов, заложено
определенное качественное изменение самоЙ структуры си-
стемы, что весьма существенно с точки зрения ее конструк-
тора.
. ПоследниЙ путь является отображением качественноrо
скачка в развитин техники. Обычно он не является пря-
мым продолжением одноrо из двух первых путеЙ (хотя
и подrотавливается ими в определенноЙ степени), а скорее
BыткаетT из невозможности или экономическоЙ нецелесооб-
разности решать требуемую техничеСI\УЮ задачу старыми
средствами. <,
Ясен и не вызывает никакоrо сомнения тот факт, что
создание более надежных и более эффективных техниче-
ских средств желательно и даже необходимо. Однако поч-
ти всеrда все же-приходится иметь дело с таким улучшени-
ем указанных показателеЙ, которое, в свою очередь, со-
пряжено с ростом экономических издержек. В связи с этим
на-практике приходится всеrда соизмерять тот эффект, ко-
торыЙ ожидается от внедрения новоЙ техники, с затратами,
связанными с ее внедрением, то есть возникает необходи-
мость проводить оценку экономическоЙ эффективности тех-
ники.
Вопрос оценки экономическоЙ эффективности не на-
столько, конечно, прост, чтобы сводиться к простому вы-
числению суммы затрат и п6лучаемоrо дохода от внедре-
ния новоЙ техники. Важны и такие различные не поддаю-
щиеся по краЙнеЙ мере пока количественноЙ оцен-
ке факторы, как моральные, эстетические и пр. В настоя-
щее время в теории надежности наиболее распространены
задачи на условную оптимизацию, которые можно сформу.
лировать в двух следующих формах:
1. Необходимо добиться требуемоro уровня определен-
Horo показателя надежности (или оперативноЙ эффектив.
ности) таким образом, чтобы связанные с этим экономиче-
ские издержки были минимально возможными.
2. Необходимо добиться максимально возможноro уров-
ня определенноrо показателя надежности (или оператив-
ноЙ эффективности) таким образом, чтобы связанные с этим
экономические издержки не превышали HeKoToporo допу-
стимоrо уровня.
Иначе rоворя, эти задачи являются обычными задача-
ми математическоrо проrраммирования, сформулированны-
ми в терминах теории надежности.
Подобные формулировки задачи приroдны при анализе
любых технических систем, включая те, которые не про-
изводят никаких материальных ценностеЙ в явном виде.
в этих формулировках заложено лишь естественное стрем-
ление выбрать из множества путеЙ для достижения постав-
ленноЙ цели тот, которыЙ характеризуется наименьшими
затратами средств. Если рассматриваемая техническая си-
стема такова, что непосредственным результатом ее функ-
ционирования является производство материальных цен-
ностеЙ, то можно поста ить задачу о том, чтобы результи-
рующиЙ экономическиЙ эффект (например, разность меж-
ду стоимостью произведенных материальных ценностей
и суммоЙ затрат на создание системы) был максимальным.
Основные термины. Надежность является одним из важ-
неЙших технических параметров устроЙства. В соответст-
вии с общепринятоЙ терминолоrиеЙ надежность техническо-
ro устроЙства есть свойство, обусловленное ero безотказно-
стью, долroвечностью и ремонтоприrодностью и обеспечи-
вающее нормальное выполнение заданных функциЙ устроЙ-
ством. Отличительным признаком этоrо своЙства является
то, что оно характеризуется вероятностными процессами,
протекающими во времени. Дело в том, что надежность
определяется процессом изменения BHYTpeHHero состояния
устроЙства во времени под воздеЙствием внеlllНИХ условиЙ
и внутренних физико-химических процессов, которые са-
ми по себе имеют стохастическую природу .
Событие, состоящее в полноЙ или частичноЙ утрате ра-
ботоспособности устроЙством, называется отказом. В этом
определении обнаруживается некоторая противоречивость
и неоднозначность определения отказа. Во первых, как
только мы rоворим о частичноЙ утрате работоспособности,
сразу же возникает вопрос: rде rpaHb, которая разделяет
допустимыЙ уровень ухудшения характеристик от недо-
пустимоrо. Во-вторых, может быть неясно, что такое пол.
ныЙ отказ. Ведь, CTporo roворя, все процессы, связанные
с отказами, явлЯl<YrСЯ непрерывными во времени, а пото-
му объект, отказывая «полностью», обязательно проходит
все фазы частичноro отказа. Отсюда сразу видно, как ва-
жен для анализа надежности технических систем четко
сформулированныЙ критериЙ отказа.
Скорость протекания процессов, сопутствующих воз-
никновению и проявлению отказов, обусловливает деление
их на внезапные и постепенные. Суть TaKoro разделения от-
казов на два типа состоит в том, что мы не умеем наблю-
дать процесс rюстепенноrо изменения параметров, и поэто-
му мноrие постепенные отказы замечаем лишь тоrда, Kor-
да онн привели к весьма заметным последствиям. Естест.
венно, что, узнавая больше о характере физико-химиче.
ских процессов, производя более ч.астые и более точные
контрольные замеры различных параметров, мы можем все
с большеЙ точностью предсказывать те или иные события.
В теории наде}Кности принято рассматривать YCTPO CT-
ва двух уровнеЙ сложности. Некоторое простеЙшее (в пре-
делах 'данноrо KOHKpeTHoro исследования) устроЙство удоб-
но назвать элементом. Элемент это такоЙ объект, отдель-
ные части Koтoporo не представляют существенноrо инте-
реса в пределах проводимоrо анализа.
СистемоЙ называется определенная СОВОКУПность эле-
ментов, взаимодеЙствующих в процессе выполнения рас-
сматриваемоrо Kpyra задач и взаимосвязанных функцио-
нально. .
Относительность понятий элемент и система понятна.
Подразделение системы на элементы зависит от требуемой
точности проводимоro анализа, от уровня наших представ-
лениЙ о системе, наконец, от квалификации и даже техниче-
ских и научных «вкусов» исследователя. Более Toro, объект,
считавшиЙся системоЙ в одном исследовании, может рас-
сматриваться как элемент, если изучается какая-либо си-
стема большеrо масштаба.
В теории надежности весьма важную роль иrрает под
разделение элементов и систем на восстанавливаемые и не-
восстанавливаемые. Содержательный смысл этих понятий
очевиден. Следует, может быть, остановиться на том, что
часто встречаются устройства, которые в одни определен-
ные периоды времени являются восстанавливаемыми, а
в друrие невосстанавливаемыми. Так, устроЙство может
быть восстанавливаемым в режиме дежурства- или ожида
ния начала выполнения задачи, но в то же время является
невосстанавливаемым при выполнении определенноЙ зада-
чи из-за невозможности каких-либо перерывов caMorb тех-
нолоrическоrо процесса.
Абстрактное описание процеС,са функционирования
устройства. Если отвлечься от KOHKpeTHoro содержания
процесса функционирования техническоrо устройства, то
в простейшем случае может быть предложена следующая
математическая модель процесса функционирования. В лю-
боЙ произвольный момент времени элемент может находить-
ся в одном из двух состояний: отказа и исправности. Обо-
значим неизвестное TeKYLЦe состояние элемента в момент
времени t через s (t), состояние отказа через S и состояние
исправности через S. Весь процесс функционирования
элемента можно представить чередующейся последователь-
I-IOСТЬЮ случайных величин G1, 1)1,- G2' 1)\1"'" Gi, 1)i'"''
rде через G. обозначена длительность i-ro по счету периода
исправности, а через 1)i длительность i-ro по счету пе-
риода отказа в течение этоro времени производится ре-
монт, еСЛИ он в принципе возможен, т. е.
s (1)== { , если tE Si'
S, если tE 1)i'
Рассмотрим теперь систему, состоящую из п элементов. Со-
стояние системы в момент времени t определяется состоя-
нием отдельных ее элементов в этот момент.
Если состояние i ro элемента системы в момент време-
ни t. обозна чить через Si(t) , то состояние системы можно
записать как .
S (t)==(Sl(t)'....8 n (t).
Определенным совокупностям состояний элементов со-
ответствует состояние исправности системы в целом S (на-
пример, состояние (81' S2,...,Sn) всеrда есть состояние исправ-
ности для системы). Друrим совокупностям состояний эле-
ментов соответствует соСтояние отказа системы в целом S
(например, состояние (51, S2,...,Sn) всеrда есть состояние
отказа для системы).
Все множество состоянИй системы принято называть
фазовым пространством состоянии системы. В общем слу-
чае фазовое пространство не обязательно, конечно, явля-
ется Дj1скретным. Вне зависимости от Toro, рассматриваем
JIИ мы дискретное или непрерывНое фазовое пространство
при исследовании надежности, всеrда остается одна су-
ществе.нная сторона этоrо фазовоrо пространства: множе-
ство всеХ состояний четко подразделяется на состояния
двух типов состояния исправности и состояния отказа.
Показатели надежности. Приводимые ниже пока за те-
ли надежности имеют вероятностную трактовку в силу то-
ro, что с ИХ помощью приходится количественно оценивать
различные параметры, являющиеся случайными величи-
нами. Основной такой случайной величиной, как уже от-
мечалось, являетсst время работы до отказа (или между
отказа:.ш). С этой величиной связанЫ все показаtели, ха-
рактеризующие собственно безотказность технических уст-
ройств.
" Если нами рассматриваются восстанавливаемые устрой-
ства, то для них существенными являются также пока за-
тели ремонтопрш'одности. В этом случае важную роль Ha
чинает иrрать, помимо времени безотказной работы, вре-
мя восстановления.
Наиболее простым и показателями безотказности для
невосстанавливаемых являются вероятность безотказней
работы в течение заданноrо времени t o
Р (t{1)== Р{ t{1}
и среднее вреl\'lЯ безотказноЙ работы
Т==lЩ }.
Заметим, что для восстанавливаемых устройств ПрИХо-
дится в общем случае rоворить уже о двух типах указан-
ных показателей безотказности. Дело в том, что если по
реrламенту восстановления в "результате ремонта рассмат-
риваемое техническое устройство отличается по своим па-
раметрам от Hoвoro (например, при отказе заменяется от-
казавшиЙ Э,JIемент на новый, а остальные при этом остают-
ся с определенным образом выработанным ресурсом), то
и ero показатели наДе>кности будут отличаться от показа-
телей надежности HOBoro устройства. В этом случае мож-
но ожидать, что показатели надежности устройства с те-
чением времени постепенно стабилизируются, Коrда про-
изойдет несколько ремонтов и большинство входящих в дан-
ное устройство элементов будет характериsоватьсянеко-
торым случайныll1 расходом ресурса.
Иными словами, для восстанавливаемых Систем пра-
вильнее rоворить о вероятности безотказной работы в те-
чение времени t o , начиная с момента времени t==O, и о ве-
роятности безотказной работы в течение времени t o , начи-
ная с момента окончания k -ro восстановления (обычно
имеет смысл rоворить о случае, коrда k стремится к беско-
нечности), а также о среднем времени работы до первоrо
отказа и среднеl\1 времени работы между отказами.
Математш<у это должно быть понятно из T9ro, что при
решении интеrро дифференциальных уравнений, описы-
вающих процесс функционирования технической системы,
существенную роль иrрают начальные условия (в данном
случае наработки отдельных элементов к моменту начала
очередноrо цикла работы после восстановления).
Кроме упомянутых показателеЙ, для восстанавливае-
мых систем очень важными показателями являются сред-
нее время. восстановления
==iИ{ч}
и коэффициент rотовности, определяемый как вероятность
тoro, что система в момент времени t будет находиться в co-
стоянии исправности
К (t)== P{t Е Si; i==l, 2,...}.
Обычно рассматривается стационарный коэффициент
rотовности, т. е. вероятность застать систему в исправном
состоя ии в «бесконечно удаленный» момент времени. За-
метим, что в этом случае коэффициент rотовности очень
просто выражается через Т и ..:
K limK(t) .
t...oo т + 't
Для восстанавливаемых систем важной характеристи-
кой является вероятность Toro, что система проработает
безотказно в течение времени t o . начиная с произвольноrо
момента времени. Иными СJювами, требуется, чтобы систе-
ма была исправна в некоторый момент времени t и затем
отказ не наступил в интервале длительности t o . И в этом
случае. показатель надежности для стационарноrо режима
определяется как
] 00
R (t o ) == т J Р (t) dt.
t o
(Вывод этой формулы прост, но выходит за рамки данной
работы. )
в последнее время для оценки надежности различных
специальных систем (например, вычислительных комплек-
сов, информационных систем, автоматизированных систем
управления технолоrическими процессами, не допускаю-
щими остановок, и т. п.) стали применять некоторые новые
показатели, которые не нашли пока еще достаточноrо осве-
щения в литературе. Опишем их вкратце, не давая стро-
rих формальных определений.
Некоторые системы оказываются нечувствительными к
кратковременным перерывам в работе. Например, ответ-
ственные вычислительные центры снабжаются автономны-
ми аккумуляторными подстанциями, способными обеспе-
чивать нормальную работу вычислителыюrо центра, если
длительность перебоя в электроснабжении не пр евы сит не-
которой допустимой величины "о' Тоrда важной характе-
.ристикой надежности системы будет вероятность Toro, что"
в интервале времени не появится отказ, на устранение ко-
тoporo потребуется время, большее "о'
Отказы собственно электронной вычислительной ма-
шины приводят к прекращению вычислительных работ,
причем здесь MorYT иметь место последствия двух видов.
В первом случае после каждоrо отказа приходится всю
проrрамму начинать сначала, и Torдa удобным пОказате-
лем надежности вычислительной системы будет йеРОЯТItость
ч'{о за "отведенное на решение Время t o найдется ХОтя бь;
оДИн интервал безотказной работы, который превысит не-
обходимую длительность работы всеЙ проrраммы so.
Во втором случае после устранения очереДНоrо ОТказа
работа проrраммы может быть продолжена начиная с ме-
ста остановки. Тоrда нас будет интересовать вероятность
Toro, что суммарная длительность простоя и работы вы-
числительной системы в отведенном на решение вреМенй t o
окажется меньше, чем время, необходимое для полной ра-
боты проrраммы So'
Можно было бы привести и ряд друrих интересНЫХ по-
казателей наде>кности.
r л а в а 11. НАДЕЖНОСТЬ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Количественные характеристики надежности технических
изделий существенно важны на трех основных этапах разра-
боТlШ системы: задание требований (норм), априорный ра-
счет ожидаемых характеристик при проектировании, экспе-
риментальная оценка характеристик в проuессе испыта-
ний и эксплуатации.
После составления и утверждения техническоrо зада-
ния на проектируемую систему, куда непременной сосТав-
ноЙ частью входят и требования по наде>кности функцио-
нирования, разработчики приступают непосредственно к
проектированию системы. Проектйрование начинается с co
ставления относительно rрубоrо эскиза БУДУLЦей системы,
выяснения возможных принципов ее функционирования и
поисков рационалыюrо пути реализации возникающих
идей на практике.. Естественно, что принятие обоснованно-
ro решения не может опираться лишь на чисто качественные
и совершенно интуитивные сообра>кения конструкторов си-
стемы, хотя опытный конструктор и без проведения коли-
чественных оценок дает, как правило, достаточно хорошие
варианты решений, основываясь на опыте предыдущих раз-
работок. Однако в связи с бурным развитием техники и соз-
данием новых систем, которые не имели прежде аналоrов.
возникает необходимость проведения количественных оие-
нок для сравнения альтернативных вариантов и выбора
среди них в каком-ТО смысле наилучшеrо.
Специфика расчетных работ по надежности, проводи-
мых на этапе проектирования, позволяет использовать до-
вольно разнообразный арсенал аналитических и алrорит
мических средств современной математики, в первую оче-
редь вероятностно-статистцческих методов. Мы попытаем-
ся дать несколько интересных примеров для иллюстрации
этоrо утверждения.
Приближеииая оценка надежности с использованием
экспоненциальной модели. Довольно часто оказывается, что
уже известна структура системы н имеются вполне досто-
верные статистические данные о различных необходимых
характеристиках функционирования, например, о распре-
делении времени безотказной работы, о распределении
времени восстановления отказавших элементов, о сущест-
ВУЮЩИХ возможностях проведения ремонта отказавших
элементов и т. п. Однако математическая модель рассмат-
риваемоrо объекта может оказаться настолько сложной,
что аналитическоrо ее решения нет и оно даже не может
быть получено в строrой форме, а статистическое модели-
рование с использованием электронных вычислительныx
машин требует недопустимо большоrо времени. Более TO
ro, следует специально подчеркнуть, что про ведение тон-
ких и трудоемких матеJ\1атических расчетов на этапе пред-
варительноЙ оценки даже и не является оправданным.
В этом случае приходится прибеrать к двум основным
приемам: либо заменять точную математическую модель
приближенноЙ, в котороЙ например, произвольные функ-
ции распределения являются экспоненциальными (т. е. ма-
тематическая модель объ€кта сводится к марковской мо-
дели, для которой хорошо известны методы решения, или
же имеются rOToBbIe результаты в относительно компакт-
ной замкнутой форме), либо использовать асимптотические
модели, в которых делается предположение об определен-
ных соотношениях между теми или иными параметрами
системы.
Рассмотрим для примера первый случаЙ. Пусть имеет-
ся система, состоящая из п элементов. Из э-тих элементов-
n 1 являются основными, т. е. отказ каждоro из них при-
водит к отказу системы, n 2 элементов находятся в режиме
':lаrруженнOl'О резерва, т. е. при прочих равных условиях
они имеют характеристики надежности, эквивалентные со-
ответствующим характеристикам основных элементов, а
п з элементов находятся в режиме облеrченноrо резерва,
т. е., находясь в резервном состоянии, они в меньшеЙ сте-
пени подвержены отказам, чем OCHO Hыe элементы или ре-
зервные, находящиеся под наrpузкои.
Предполаrается, что система построена так, что при
отказе любоrо OCHoBHoro элемента на ero место может встать
любоЙ элемент из наrруженноrо резерва, а место послед-
Hero" занимает сразу же один из элементов, находящийся
в облеrченном. резерве. Аналоrичным образом и при отка-
зе наrру>кенноrо резервноrо элемента на ero место встает
элемент из облеrченноrо резерва. Любой из отказавших
элементов поступает Щ:l ремонт, который продолжается в те-
чение случайноrо времени, зависящеrо от конкретных фак-
торов (длительность непрерывной работы, после которой
наступил отказ, режим работы, в котором находился эле-
мент в момент отказа, и т. п). Предположим, что одновре-
менно мо>кет ремонтироваться не более двух отказавших
элементов, т. е. при большем числе отказов наблюдается
очередь на ремонт.
Заметим, что если нам даже известны функции распре-
деления времени безотказноЙ работы в наrруженном ре-
жиме (т. е. для основных и наrруженных резервных эле-
ментов) F (t) и функции распределения времени безот-
казноЙ работы облеrченных элементов F*(t), то в об-
щем случае этоrо недостаточно. ДеЙствительно, в общем
случае условное распределение времени безотказной рабо-
ты элемента, перешедшеrо из облеrченноrо режима в H a-
rруженный, мо>кет существенно зависеть от Toro, сколько
времени до этоrо элемент у>ке проработал в облеrченном
режиме. Это связано с возможной выработкоЙ ресурса и
старением элементов в облеrченном режиме. Как правило,
подобной информации об изменении надежности элементов
у нас не имеется, поэтому построение какой-либо «точной»
rипотетической модели мо>кет вообще не иметь смысла.
Обычно так>ке нам неизвестно и то, в какой степени облеr-
ченный режим леrче наrруженноrо и даже то, что распре-
деления F (l) и р*и) относятся к одному и тому же классу.
В этих условиях разумно сделать слеДУЮlЦие предпо-
ложения. На основании известных распределений вычисля-
ем-средние значения и дисперсии:
т == S xdF (х),
о
0'2 == S (Т x}2dF ( ),
о
со со
Т*== S xdF*(x), а*2== S o(T* x)2dF*(x).
о о
Если при этом оказывается, что коэффициенты вариации
этих распределений сравнительно близки к единице, т. е.
aЦT2 1 и a*2/(T*)2 1, то можно считать, что замена этих
распределений соответству {Цими экспоненциальными рас-
пределениями, у которых л==-1fТ и л* ==-l/Т*, является до-
статочно правдоподобной. (Напомним, что экспоненциаль-
ное распределение характеризуется коэффициентом вариа-
ции, равным единице.)
Далее, для экспоненциальноrо распределения, характер-
но ьтсутствие последейсrвия, т. е., сделав допущение о
приемлемости этоrо распределения, мы тем самым снимаем
вопрос о виде ус.тюВНоrо распределения времени раБотыI
для элемента, проработавшеrо некоторое время в облеr-
ченном режиме перед переходом в наrруженный режим.
Осталось лишь замеТить, что интенсивность отказов для
облеrченноrо режима меньше; чем для наrруженноrо, по
нашим предположениям. Чтобы зафиксировать этот факт,
обозначим л*==-vл, rде v коэффициент наrрузки, прини-
мающий значения: O:os:;v:os:;l.
Теперь нетрудно cTporo сформулировать марковскую
модель для рассматриваемой восстанавливаемой системы,
решение которой не представляет трудностей, а полученные
результаты, как можно ожидать, будут достаточно прием-
лемыми для ориен'(ировочных оценок. "
Рассмотрим произвольное состояние, например (N, k),
rде N==-n 1 +п 2 и O:os:;k:os:;n3, и запишем для Hero следующее
урщшение, описывающее полную rруппу событиЙ
Р (N, k; t + м)==-р (N, k; t) р (N, k I N, .k; М)+Р (N, k+
+1; t)p (N, k I N, k+l; L\t)+P (N, k l; t)p (N, k I N, k .
I; М), (1)
rде Р (Х, у; Z) вероятность Toro, что система находится
в СОСТОянии (Х, у) в момент времени Z, а р (Х, У I Х*,
У*; L\Z) условная вероятность перехода из состояния
(Х*, У*) в состояние (Х, у) за время L\Z.
Нетрудно записат ,>выражения для условных вероят
ностей перехода:
р (N, k I N, k; M)==-I [211+(N+kv)л]L\t.
р (N, k I N, k+l; М)==- [N +(k+l}v ]ЛМ, (2)
р (N, k I N, k l; м)==- [N+(k I),,]лМ.
ПодС'rавив (2) в (1), после элементарных преобраЗ0ваний
и пределыюrо перехода при /1t О получаем дифферен-
циальное уравнение вида
P'rv. к(t)==л [N + (k+ 1) 'V ]Р N, к+l и) [2/1+Л (N +
+k'V) ]P N . к (t)+л [N+(k I)'V ]P N , A l(t).
Полностью система диффереНllиальных уравнений, опи-
сывающая функционирование рассматриваемоЙ системы,
имеет вид
P'rv. n. (t) == л (N + 'Vns)P N . n. (t) + /1PN, . I (t),
P'rv. k(t)==л[N+(k+ 1)'V]PN.k+1 (t) [2/1+Л(N +k'V)] PN. k(t)+
. +Л[N+(k I)'V]РN.k I(t) (для k O),
Р-т. о (t) ' 'л (т'+" 1) P ;I"O(t) (2 + im) Рт. о (t) +
+ Л(т 1) Pт I, o(t) (для O<.m<N),
. . .. . .. .. . . .. . .. .. .. . .. .. ..
P , o(t) == лР I . о (t) 2/1Po, о (t).
При начальных условиях, например PN.n.(O)==I, т. е. при
t==O, в системе нет ни одноrо отказавшеrо элемента (воз-
можны и друrие начальные условия). Эта система ypaBHe
ний известна под названием CX MЫ rибели и размножения.
Нас MoryT интересовать самые разные показатели на-
деЖI-IOСТИ рассматриваемой системы: вероятность безотказ-
ной работы P(t) в интервале времени (О. t), среднее время
работы до первоrо отказа или между отказами в стационар-
ном (установившемся) режиме, коэффициент rотовности
в стационарном режиме и др. Остановимся на нахождении
одноrо из простейших показателей коэффициента rOTOB-
ности, т. е. вероятности Toro, что в произвольныЙ «доста-
точно удаленныЙ» момент времени наша система будет на-
ходиться в состоянии работоспособности, т. е. в ремонте
одновременно будет находиться не более n 2 +пз элементов.
При вычислении коэффициента rотовности мь! рассмат-
риваем стационарный режим, а это означает, что система
дифференциальных урав:нений переходит в систему линей-
ных алrебраических уравнений (стоящие в левых частях
уравнений производные обращаются в нуль, а все Ffj(t)
обращаются в. константы с теми же индексами Р Н ).
Решение полученной линейной системЫ алrебраических
уравнений, соответствующей схеме rибели и размножения,
хорошо известно в теории маССОБоrо обслуживания If в тео-
рии надежностИ [3], [4].
Введем
обозначения
k 1
лn. k n [N+'V(nз i)]
{ O
n. k 2n. k 1
при k> О,
°N,A
N m I
('VЛ)N т n .(т + i)
От. O 0N,O
I O
N m2N m
при т N
и, далее,
n. N
О 0N, А + От. О.
k I т O
Тоrда для вероятностей состояниЙ. мо>кно записать:
р == e N , А Р вт, о
"N,A в' т,o .
. В нашей системе состояниями работоспособности явля-
ются состояния
(N, пз), (N, n:J l),...,(N, 0),...,(пl+1, О), (n 1 , О).
Следовате./IЬНО, коэффициент rотовности равняется сумме
вероятностей пребывания во всех этих состояниях, т. е.
n. N
K P N . 1 ,+ Р т . о '
k I т n,
Заметим, что при довольно общих предположениях ряд
показателей надежности, вычисленных в предположении
об экспоненциальности распределений, совпадает с показа-
телями, вычисленными для общеrо случая, а некоторые
MorYT быть использованы как приемлемые для практиче-
ских целей оценки. .
Оценка надежности по малоЙ информации (на примере
«стареющих» распределений)., Иноrда специалисту по на-.
де>кности, которому предстоит рассчитать вероятностные
характеристики проектируемой системы, бывает известна.
лишь оrраниченная статистика о наде}!).ности используе-
мых элементов. (Напомним, что под элементом в широком
смысле слова понимается любая часть системы, включая
и очень большие IIодсистемы.) Малая статистика позволЯ"-
ет rоворить более или менее достоверно лишь об. оценках
среднеrо времени безотказноЙ работы и в лучшем случае
об оценках для дисперсии распределения времени беЗотказ-
ноЙ работы элемента. Если мы знаем лишь среднее время
безотказноЙ работы, то, как известно, из этоrо факта не.
возможно получить никакоЙ нетривиальноЙ информации
о самом виде распределения времени безотказноЙ работы.
Если нам известна дополнительно еще дисперсия распре-
деления, то мы можем для произвольноrо распределения
записать известную оценку Чебышева:
. (12
Р{ls М I в}:;:;;;;В2'
(3)
rде S рассматриваемая случаЙная величина;
М S среднее ЗIjачение этоЙ величины;
02 дисперсия этоЙ случаЙноЙ величины;
в произвольная положительная величина.
Эта оценка, как видно из выражения (3), означает, что
случаЙная величина S, имеющая произвольную функцию
распределения, отклоняется от cBoero математическоrо
ожидания на значение, большее ko, с вероятностью, не
большеЙ l/k 2 . Заметим, что эта оценка, 'являясь универ-
сальноЙ, имеет весьма оrраниченное применение на прак-
тике, так как определяет rраницы слишком rрубо, причем
при k<l эта rр.аница тривиальна. Естественно ожидать
сужения этих rраниц для оценки неизвестноЙ функции
распределения, если нам известна какая-либо дополни-
тельная информация.
Оказывается, что очень существенное улучшение оце-
нок удается получить, если случаЙная величина явля т.
ся «стареющеЙ». Старение является достаточно понятным
и естественным своЙством. Оно означает, что вероятностные
характеристики надежности HeKoтoporo изделия ухудша-
ются с течением времени. Например, старение HeKoтoporo
изделия может означать возрастание с течением времени
интенсивности отказов либо убывание ср днеrо значения
остаточноrо времени жv.зни в зависимости от длительности
"уже «прожитоЙ жизни». (Справедливости ради следует за-
метить, что эта совершенно качественная -на первый взrляд
информация приводит к появлению впо не строrих мате-
матических условиЙ. Так, для «стареющих» случаЙных ве-
личин MorYT быть определены соответствующие оrраниче-
ния на все моменты распределения.)
Зачастую суждение о том, является ли данное распре-
деление стареющим или нет, можно сделать и без каких-ли-
бо конкретных статистических данных просто на осно-
вании априорных и' достаточно общих соображениЙ. На-
пример, если отказ элемента возникает в результате опре-
Ae.heHHoro накопления дефектов до HeKoToporo критическо-
ro уровня, то предположение о старении является вполне
естественным: чем больше проходит времени с момента на-
чала работы, тем с большей вероятностью возникновение
очередноrо дефекта может пр'ивести к превышению этоrо
критическоrо уровня.
Вообще rоворя, различыые типы старения, о которых
rоворилось ранее, отличаются по своим своЙствам. Поэто-
му для определенности будем roворить ЛИIllЬ о старении,
характеризуемом возрастанием интенсивности отказов.
Напомним, что. интенсивность отказов есть функция,
определяемая как условная плотность распределения вида
f(t) d
'л (/) "P(t) dt ln Р (/).
Это позволяет записать вероятность базотказноЙ работы
в виде
t
Р (/)==exp( S _(/)dl).
о
Нетрудно доказать, что функция Р еи), соответствую-
щая стареющей случаЙноЙ величине, пересекает произволь-
ную экспоненту самое большее один раз, причем сверху,
если такое пересечение имеет место. Из определения сред-
Hero времени безотказноЙ работы
со
Т== S P(t)dt
о
следует, что если стареющ е и экспоненциальное распре-
деления (Реи) И Рэ(t) соответственно) имеют одно и то же
среднее значение, то такое пересечение имеет место, при-
чем, KaI< можно показать, точка пересечения ле:Н«iТ пр а-
вее t==T.
В свою очередь, этот факт позволяет, далее, получить
целую серию интереснеЙших результатов. Так, удается
показать, что для стареющих распределениЙ коэффициент
вариации, т. е. отношение дисперсии к квадрату средне-
ro значения, не превышает единицы. Друrими сло,вами,
накладывается cTporoe условие на дисперсию.
Далее, ДЛЯ стареющеro распределения, _у Koтoporo из-
вестно лишь среднее значение, удается получить достаточ-
но содержательные двусторонние rраницы для неизвестноЙ
функции вероятности безотказноЙ работы:
aи) P си) Aи),
rде
а (/) == { е + при 1 Т, (4)
О при 1;;::' Т, (5)
{ 1 при 1 Т, (6)
А (/) . t
e (j)t для 1 Т, (7)
rде, в свою очередь, (f)t зависит от t и определяется И3
условия
t
S e (j)tt dt==T
о
записать после интеrрирования,
1 Т (j) t
(J)t е t.
И (6) тривиальны и поэтому не
или, если ero
- требуют
Оценки (5)
объяснения.
Оценку (7) можно истолковать следующим образом.
Рассмотрим произвольныЙ момент времени t* и построим
усеченную справа в этой точке экспоненту
{ (j)tt 1 t *
Р. (t) е при .
s О при 1 > t*
такую, что
t.
S e (j)tt dl == Т,
о .
т. е. ее среднее значе
ние P*(t) равно сред-
нему значению нашеrо
стареющеrо распредел -
ния. При таком постро-
ении в точке 1* имеет
место неравенство .
РШ
1
t
Рис. 1.
P:(t*»P си*),
(8)
так как в противном случае нарушалось БыI условие ра-
венства средних значениЙ рассilштриваемоrо стареюrnеrо
распределения и усеченноrо экспоненциальноro распреде-
ления (рис. 1). Неравенство (8) и приводит к оценке (7).
Таким образом, на раннеЙ тадии оценки надежности,
коrда мы не располаrаем никакими достоверными данными
о функции распределения времени безотказноЙ работы,
кроме среднеrо значения и общих соображениЙ о возмож-
ном характере старения, мы можем все же получить до-
статочно хорошие двусторонние оценки значений вероят-
ности безотказной работы для заданных интервалов вре-
мени.
Заметим, что если нам дополнительно известна диспер-
сия неизвестноrо стареющеro распределения, то MoryT быть
ПОJIучены rораздо более точные двусторонние оценки. (Под-
робнее об этом можно прочитать в книrе [2 ].)
Симметризация структуры в математической модели
(на примере ветвящихея систем). Иноrда на ранних эта
пах проектирования бывает известен лишь общиЙ прин-
цип построения системы и основные показатели ее выход-
HOro эффекта. Например, может БОЗНИКНУТЬ,задача спроек
тироватъ централизованную систему управления некото-
рыми исполнительными (или . выходными) элементами. Уп-
равление предполаrается в соответствии со строrоЙ иерар-
хиеЙ подчиненности, причем исполнительныЙ элемент си-
стёмы считается функционирующим нормально, если он
не только сам исправен, но и имеет связь с основным (цент-
ральным) управляющим ЭJIементом (рис. 2)
Точная конфиrурация системы на раннем этапе прое -
тирования может бы!ь неизвестна, а известно лишь, что
элемент каждоrо ран-
ra может управлять
определенным числом
элементов последнеrо, n-
ro paHra, и что Bcero в
системе может быть не
более HeKoToporo задан-
Horo числа исполни
тельных элементов. Тре-
буе'I'СЯ оценить эффек-
тивность функциониро-
Рис. 2.
вания,такоЙ Cf\CTeMbI, если ее выходноЙ эффект Е (z) зави-
сит от числа нормально функционирующих выхОдных ис-
полнительных элементов z как
. Е (z)== z+O,OOI Z2.
При такоЙ постановке задачи заниматься прямым пере-
бором всех возможных вариантов построения системы, а за-
тем пытаться анализировать различные достаточнd слож.
ные частные структуры вряд ли преДС1'авляется целесооб-
разным. Более естественным будет изучить аналитически
несколько типовых структур, симметризованных в целях
получения компактноro аналитическоrо результата.
Рассмотрим симметричную иерархическую структуру
общеro вида, для ко:rороЙ введем следующие определени :
число элементов, подчиненных одному элементу ближай-
шеrо i-ro управляющеro paHra, назовем ero коэффициентом
разветвления a i , череЗРi обозначим вероятность рабо-.
ТОСl10собноrо состояния _ элемента i-ro paHra, через Ni
полное число элементов i-ro paHra. Всю структуру будем
предполаrать симметричноЙ и изотропноЙ по ранrЩvl.
Для конкретности положим, что Bcero исполнительных
элементов в системе может быть не более 400 (при оценке
мы будем- брать именно это максимально возможное зна-
чение). Пусть тю{же известно, что коэффициент разветвле-
ния на любом paHre можеТ быть равен толыф 4 или 5. Все
элементы системы предполаrаются равнонадежными с
Pi ==0,9.
" К указанноЙ постановке остается еще сформулировать,
что же имеет смысл понимать под эффективностью функцио-
нирования. В соответствии с [11] назовем эффективностью
функционирования системы математическое ожидание ее
выходноrо эффекта. Итак, в нашем случае эффективность
может быть определена как
N n
Е == Pn(z)E(z),
z o
rДе Р n(z) вероятность тoro, TO в системе работает ров-
но z исполнительных элементов из общеrо числа N m или
в друroм виде:
E==ME(z)==M (z+0.00Iz2)==M':+0,00IM ,
rде М оператор математическоrо ожидания, а M на-
чальныЙ момент i-ro порядка распределения случаЙноЙ ве-
личины z.
Итак, нам нужно для оценки эффективности симметри-
зованноЙ структуры в нашем случае найти первые два на-
чальных момента распределения величины z. Мы будем
исследовать только две стр'уктуры:
. l
1) а 1 ==аl ==5, а з ==а 4 ==4, 2)аl ==а 2 ==4, аз==а 4 ==5.
(Понятно, что они в определенном. смысле являются rpa-
ничными. )
Однако сначала вкратце покажем принцип исследова-
ния подобноrо рода иерархических структур.
Запишем моментную произ-водящую функцию для рас-
пределения P.n(z):
N n
ЧJп (S) Р п (z) e SZ .
z o
(Напомним, что i-я производная моментноЙ производящеЙ
функции в точке S==O дает i-й начальныЙ момент ра(пре-
деления Р n (z).) .
Обозначим через Nn l полное число элементов на
(n 1)-M paHre. Torдa для Toro, чтобы на последнем n-м
paHre нормально функционировало z элементов, необхо-
димо, чтобы на (n 1)-M paHre нормально функционирова-
ло не менее ] z/a n [ элементов. (Здесь через ]х[ обозначе-
на целая часть от х.) Нормальное функционирование та-
KOro числа элементов (n 1 )-ro paHra может обеспечить,
в свою, очередь, нормальное функционирование не ровно
z исполнитеЛЬНЫl\l. элементам. а а п х элементам. Следова-
тельно. нужно учесть еще вероятность тoro, что из апх
исполнительных элементов у aпX z элементов наступит
отказ.
В результате по формуле полноЙ вероятности можно за-
писать следующее' рекуррентное выражение для вероятно-
стеЙ
Nn 1
Р п (z) Р п l (х) C пX p q:nX z,
X ] :J
а затем для моментной производящеЙ функции имеем
N n
ЧJп(S)== Pn l(X)C nxq nX Z (pneS)z.
Z o ] z [
X
й п .
После перемены -порядка суммирования и ряда неслож-
ных преобразованиЙ получаем окончательно рекуррентную
формулу
'Рn (S):=, 'Pn 1 «pneS + qn)a n ) ,
которая позволяет записать затем следующие рекуррент-
ные выражения для двух первых начальных моментов
M == M lanpn,
M == M I(anpn)2 + M lpnqnan
или окончательно в замкнутоЙ форме
n
M ро П аЕРЕ,
i 1
(9)
M == POi l iPI ( laIPi+ i 1 qik 1 a k P k )'
Теперь переЙдем к анализу наших структур.
Из формулы (9) видно, что характер структуры не влия-
ет на величину первоrо момента. Для обоих случаев он
чfiсленно равен .
M ==O,gs .400 236.
Для BTORbIX начальных моментов распределения слу-
чаЙноЙ величины z получаем в первом случае значение
M 147.103,
а во втором случае
" 2
Mn 142.103.
Окончательно эффективность системы при первом типе
структуры будет равна 383, а. при втором 378.
Таким образом, можно сд лать вывод, что при подоб-
Horo рода критеРИ{:i эффективности желательно строить
структуру системы т'зк, чтобы на верхних paHrax управле-
ния коэффициенты разветвления были больше. (Конечно,
этот вывод может оказаться принципиально неверным для
ДР)'fоЙ ситуации,. коrда большоЙ коэффициент разветвле-
ния' на высших paHrax может быть вредным из--за появле-
ния нежелательных последстВИЙ децентрализации.)
Построение rрубых моделей для оценки сверху и снизу
(на примере метода минимальных путей и минимальных
сечений). Одним из важных приемов при ориентировочноЙ
оценке вероятностных характеристик сложных систем,
точные математические модели которых неоправданно rpo-
моздки, является построение cYIЦecTBeHHo более простых
приближенных моделеЙ, позволяющих оценивать истинную
модель сверху и снизу. Мы приведем пример, которыЙ xo
рошо иллюстрирует применение этоrо приема к одной из
интересных и важных в практическом отношении задач.
Большинство реальных сетеЙ связи, обеспечивающих
информационный обмен между большим числом территори-
ально разнесенных пунктов, имеет очень сложную структу-
ру. Связь между отдельными пунктами информационной
сети может осуществляться по мноrим возможным путям,
включая транзит по целому ряду пунктов. Несколько
идеализируя характер работы сети связи, будем считать,
что возможны любые транзиты информации. (Как будет
показано позже, это не очень сильно искажает реальную
картину, так как вносимые за счет такоЙ идеализации
«длинные» пути слабо влияют на основные показатели на-
дежности. )
Строrий анализ сети связи с ПРОИЗЕОЛЬНОЙ структуроЙ,
по существу, возможен лишь методом прямоrо перебора.
Каждое состояние анализируется в соответствии с выбран-
ным критерием работоспособности, 'что само по себе доста-
точно сложно. К тому же даже относительно простые pe
альные системы с числом элементов (каналов связи и пунк-
тов) порядка 3 40 приводят к необходимости перебора
миллионов состояниЙ.
Рассмотрим проиввольную сложную сеть связи и оце-
ним одну из важных характеристик вероятность связи
двух фиксированных пунктов.
Введем в рассмотрение таи называемую структурную
функцию
ЧJ ( Х ) == { 1, если выбранные пункты связаны,
О в противном случае, '
rде X==(Xi, ..., Х n ) вектор, компонентами KOToporo
являются индикаторы работоспособности отдельных кана-
лов связи: .
{ l, если i-Й канал связи работоспособен...
Xi О в противном случае. .
(Для упрощения будем считать, что надежность пунктов в
информационноЙ сети идеальна.)
Можно показать, что любая структурная функция для
сети выражается эквивалентным образом через так называе-
мые минимальные пути и минимальные сечения [2].
Путем в сети естественно назвать последовательность
каналов связи, которые позволяют передать некоторую
информацию из начальноrо пункта в конечныЙ, а сече
нием такую совокупность каналов связи, удаление ко-
торых из сети приводит к нарушению такоЙ передачи ин
формации. (Здесь и далее мы предполаrаем, что при нашеЙ
постановке задачи передача информации из одноrо пунк-
та в друrоЙ наша сеть связи может рассматриваться как
некоторыЙ двухполюсник.)
Минимальным путем будем называть такоЙ путь, ис-
ключение из Koтoporo любоro канала связи ПрИБОдит к
отказу сети, т. е. к нарушению нормальной передачи ин-
формации между нашими пунктами. С каждым минималь-
ным путем A j сети свяжем лоrическую функцию *
aj(X) n X i , .
i € Aj
которая принимает значение 1, если все элементы (каналы
связи) минимальноrо пути нормально функционируют,
т. е. для всех i Е A j одновременно выполняется xi==l.
Минимальным сечением назовем такое сечение, .В кото-
ром восстановление работоспособности хотя бы одноrо лю-
боrо элемента "приводит к восстановлению работоспособ,
ности всеЙ сети. Каждому минимальному сечению Bk мы
также поставим в соответствие лоrическую функцию
k (Х) n X k ,
i € Bk
которая пр"инимает значение О, если все элементы, принад-
лежащие минимальному сечению, неиспраВНЫ, и 1 в про-
тивном случае, т. е. если хотя бы один из этих эл"ементов
функционирует нормально.
. Понятно, что сеть об
щеrо вида может иметь
несколько минимальных
путей. Так, для простеЙ-
шеЙ сети, структура ко-
тороЙ не мОжет быть прf'Д-
ставлена в виде чисто
параллельноrо или чис-
. то последовательноrо со-
* Здесь n знак лоrи-
ческоrо умножения.
Рис. 3.
единения (рис. 3), минимальными путями бу дут следующие
подмножества элементов: (1, 4), (1, 3, 5), (2, 5), (2, 3, 4), а
минимальными сечениями подмножества: (1, 2), (4, 5), (1,
3, 5), (4, 3, 2).
ЕдинственныЙ минимальныЙ путь имеет лишь так назы-
BaeMa последовательная система, который состоит из всех
n элементов системы. В то же время параллельная система
имеет n минимальных путеЙ, каждыЙ из которых состоит
Bcero из одноro Элемента.
Нет"рyiдно убедиться, что структурная функuия QJ(X)
произвольной сети может быть выражена либо через CTPYK
турные функции всех r своих минимальных путеЙ, либо
через' структурные функции всех s своих минимальных
сечениЙ: .
QJ (Х) n CGj (Х) == n n Xi == 1 n (l n X i ) (10)
1 <E;j<E;r l<E;j<E;r i Е, Aj 1 <E;j<E;r i Е,А j
или
rp(X) n k(X) f ' пХ; n (I n(l xi».(]l)
l<E;k<E; s 1 <E;k<E;s 1 <E;k<E;S i 6 Bk
Оба эти выражения имеют простоЙ содержательныЙ
смысл. Первое из них означает, что в сети для связи
входа с выходом должен существовать хотя бы один из пу
тей; а второе означает, что- для связи входа с выходом
в сети каждое из минимальных сечений должно содержать
хотя бы один работоспособныЙ элемент, т. е. в сети не долж-
но существовать ни одноrо размыкающеrо ее сечения.
Иными словами, люGую структуру можно представить
в виде параллельноrо' соединения минимальных путеЙ
либо в виде последовательноrо соединения минимальных
сечений.
Представимость структурноЙ функции системы в таком
виде поясним на примере мостиковоЙ схемы, приведенноЙ
ранее:
QJ(X)==1 (l XiX4) (1 x2x5) (1 Х1ХЗХ5) (l x2xsX4)
ИЛИ
QJ(X)==(I (l xl) (1 x2» (1 (I x4) O X5)) Х
X(l (l xl)(l xJ( 1 x5» (1 (l Х2)(l хз)(l Х4»'
I1редставление произвольноЙ структуры в виде парал-
лельноrо или последовательноro соединений некоторых
цепочек является в большоЙ степени условным. ДеЙстви-
тельно, нетрудно заметить, что в произвольной структуре
(например, в мостиковоЙ cxe 1e) одни и те же элементы мо-
rYT ВХОДИТЬ В различные минимальные пути и сечения..Ина-
че rоворя, некоторые из пар ллельно соединенных минима-
льных путеЙ (или некоторые 1l0следовательно соединенные
минимальные сечения) оказываются зависимыми, что не поз-
воляет использовать хорошо разработанныЙ математичес-
киЙ аппарат для оценк1'I надежности таких соедиНениЙ, по-
строенный в предложении неЗаВисимости отдельных элемен-
тов системы. Например. известно, что для последовательноrо
соединения п Независимых элементов вероятность безотказ-
ной работы по формуле
n
Р ( п X i 1) n РЕ,
1 <E;i<E;n l 1
а для параллельйоrо соеДинения по формуле
n
Р( п Xi I) I n (I Pf)'
1 <Е;! <E;n i -= 1
rде Р i -== P(X i -== 1 ) вероятность безотказной работы l-ro эле-
мента соответствующей системы.
Однако учитывая известный из теории вероятностеЙ факт,
что для положительно коррелированных случайных собы-
тий X 1 ,. ., Х n ' принимающих значения 1 и О, справедливо
условие
n
Р ( п xд n Р i (Хд,
1 <Е; i<E;n i 1
можно записать
, ,
Р ( п (1.} (Х» ;;;; n Р «(1.Ах» == n (1 ПР,)
и 1 <E;i<E;r i-=I i==1 lеА}
В В
Р ( п k (Х» n Р ( k (Х» == n (1 n (1 Р,».
1 <E;k<E;s k 1 k== 1 i е Bk
Используя эти неравенства и полученные ранее выражения
для структурных функций, после несложных преобразова-
ний получаем. веrхнюю и нижнюю оценку для вероятности
безотказной работы системы с ПРОИЗБОЛЬНОЙ стру туроЙ
r
1 n(l n Pi) P(cp(X)==I)
i 1 [еА}
В
. n [1 - n (1 РЕ)]'
k... 1 1 е Bk .
Таким образом, для приближенной оценки надежности
системы со сложноЙ сrруктуроЙ достаточно выявить ми-
нимальные пути и минимальные сечения. К тому же за-
метим, что практически оказывается необходимо находить
из минималы ых путей ЛЩlJЬ самые «короткие», а из ми-
нимальных сечениЙ лишь самые «тонкие», так как именно
они оказывают наиболее cyrцecTBeHHoe влияние на окон-
чательныЙ результат.
Итак, на раннеЙ стадии проектирования сложной систе-
мы можно с успехом применять метод пос'троения rpанич-
ных моделей, оценки для которых являются rарантийны-
ми относительно трудноисследуемоЙ реальноЙ системы.
Задачи оптимизации структуры (на примере оптималь-
Horo резервирования). Итак, система спроектирована, она
может выполнять требуемые функции. Однако зачастую
возникае1; вопрос о том, насколько надежно' будут эти
функции выполняться.
Имеется большое число методов повышения надежности,
но одним из самых важных является резервUРQ6анuе.
Обычно предполаrается, что резервирование не затраrива-
T принципиальных решениЙ: ни способа функционирова-
ния, ни структуры системы, ни характера ее составных час-
теЙ. Задача сводится к введению Toro или иноro вида избы-
точности, основные типы котороЙ мы рассмотрим ниже.
Прежде вcero приведем очень краткую (а поэтому и да-
леко не полную) классификацию основных видов и способов
резервирования.
При таком делении различают наrруженное и ненаrружен
ное резервирование. В первом случае резервные элемен-
ты находйтся в таких же режимах, что и основные рабочие
элементы (этот' тип резерва часто в инженерноЙ практике
называют «roрячим» резервом). во втором случае резерв-
ные элементы вступают в работу только лишь при отка-
зе основных элементов, а до этоro момента отказ их не мо-
жет возникать ни по каким причинам (заметим, что этот
Тип резерва называется иноrда «холодным»).
Если рассмотреть некий элемент и п параллельно вклю-
ченных ему резервных элементов в наrpуженном режиме,
то случаЙное время жизни такоЙ резервноЙ системы будет
равно -
== тах i'
о <E;i <Е;n
rде случаЙное время работы до отказа OCHoBHoro
рабочеrо элемента, 6i случаЙное время работы до отка-
за i-ro резервноro элемента (i===l; . .., n).
Если все элементы отказывают независимо друr от дру-
ra, то для вероятности безотказной работы такой системы
P(t) с наrруженным резервом можно записать выражение
n
Р i (t) 1 n F t (t),
_ i O
rде F i (t) распределение времени безотказной работы
i-ro элемента системы (i===O, 1, . . ., п).
ИНТУИТJ-!ВНО понятно, что наrруженное резервирование
дает тем большиЙ выиrрыш, чем больше значение дисперсии
раСПрЕ'деления. времени работы до отказа. ДеЙствительно,
если каждый элемент имеет вырожденное распределение
времени работы до отказа (т. е. время рабо'ты до отказа яв-
ля тся постоянной величиноЙ), то никакое увеличение крат-
ности резервирования не может привести к выиrрышу в
"надежности по сравнению с обычным одиночным элементом.
В случае коrда все элементы одинаковы и имеют экспонен-
циальное распределение времени работы до отказа; то леr-
ко вычисляется среднее время работы до отказа и всеЙ
системы: со n+ 1
т == S[l (l e M)n]dt==+ I+.
О k 1
Если же рассматривается элемент с параллельно ВКЛЮ-
ченными ненаrруженными элементами, то случайное вре-
мя работы таКОfl: системы до отказа будет определяться как
n
6 l: 61. .
1==10
так как первый резервный элемент вступит в работу лишь
после отказа OCHoBHoro рабочеrо элемента, второй резерв-
ныЙ элемент лишь после отказа первоrо резервноrо и
т. д.
rипотеза о независимости отказов отдельных элемен-
тов в данном случае является более оправданноЙ (хотя
можно привести и противоположные примеры). Тоrда ве-
роятность безотказной работы системы, состоящеЙ из п
идентичНЫХ элементов, записывается в виде
р}; (t) == 1:------ р*п и),
rде р*n n-кратная CB pTKa р?спределения F*п(t}, т. е.
t t
F*п(t) == S F*(п l) (t у) dF (у) == S F (t у) dF*(п l) (у).
о о.
(Выражение для случая различных элементов записывает
ся аналоrично, но оно лишь более rромоздко.)
Среднее время работы системы до отказа находится в
данном случае элементарно даже для случая разных и
даже зависимых элементов:
T M{ o l} o Т"
rде TIj среднее время безотказноЙ работы i-ro элемента.
Далее, можио rоворить об общем и раздельном ре-
зервировании. В первом случае целая цепочка последова-
1 2 ... п
1
2
'8.
... ...
m
2
n -
"о
l;;J
2
...
а}
)
Рис. 4.
тельно соединенных элементов резервируется аналоrичны-
ми цепочками. Во втором случае про изводится индивиду-
альное резервирование каждоrо из элементов (см. соответ-
ственно рис. 4, а и б). Выражения для вероятности безот
казноЙ работы системы в первом и во втором случаях равны
соответственно
n
Р(l) (t) == 1 [l n Р i (t)]m,
i 1
n
P(2)(t)== n {l [I p (t)]m}.
1"", I
(ОбозначщlИЯ соответствуют рис. 4.)
Из приведенных формул видно, что в принципе раздель-
ное резервирование всеrда дает больший выиrрыш по срав-
нению с общим. (Заметим ради справедливости, что при
этих рассуждениях мы не учитывали тот факт, что для подк
лючения резервных элементов нужны те или иные переклю-
чающие устройства, ненадежность которых в реальноЙ си-
туации может оказать решающее влияние на характеристи-
ки надежности всеЙ системы и свести на нет все преиму-
щества раздеJJЬНОro резервирования.)
Тот факт, что раздельное резервирование является более
эффективным по сравнению с общим является достаточно
очевидным и давно известным. Однако интересно отметить,
что прямым образом доказать это утверждение на основа-
нии формул для верqятностей безотказноЙ работы не прос-
по, так как приходится иметь дело с очень rpомоздкими
тромежуточными преобразованиями. Действительно, тре-
буется доказать справедливость неравенства
п
n
n
n [I (1 Рд (l p )] :> 1 (l n Pi) (1 Пр;),
i 1 . { I { I
rде Pi' Р; некоторые вероятности, причем Pi;:/= р;.
в то же время преимущество раздельноro резервирова-
ния, по сравнению с общим, можно леrко доказать следую-
щим образом. Пусть 6и случайное время безотка::ноЙ
работы i-ro по счету элемента j-ro участка системы. Torдa,
учитывая, что время безотказной работы системы парал-
лельно включенных элементов определяется максимумом
из нараБОТОI< отдельных элементов, а время безотказноЙ
работы системы последовательных элементов определяется
минимумом соответствующих величин, можно записать
для .случаЙноrо времени безотказноЙ работы рассматривае-
мых резервных систем: >
бщ === тах min 6и,
1 <E;i<E;m 1 <E;i <Е;n
6Раэд === min тах 60'
1 <E;j <Е;п I <Е;; <Е;т
откупа сразу следует и то, что вероятность безотказноЙ
работы системы с общим резервированием меньше соответ-
ствующей вероятности системы с раздельным резервирова-
нием
- р общ (t) == Р {60БЩ? t} РРаэд(t) === Р {6Равд ? t}
и то, что для средних времен безртказноЙ работы также
выполняется условие
т общ == 'МS общ Т РаВД === М6Раэд.
Наконец, резервирование бывает с восстановлением
отказавших элементов и без. восстановления. Системы без
восстановления уже были нами описрны фактически при
рассмртрении типов резерва по характеру наrрузки. При
мер резервноЙ системы с восстановл, нием был рассмотрен
нами ранее в разделе, посвященном анализу системы, опи
сываемоЙ марковским процессом rибели и размножения.
Теперь после KpaTKoro изложения основных принципов
резервирования перейдем к .изложению так называемой
задачи оптимальноrо резервирования с учетом тех или
иных технических или экономических оrраничений.
Будем рассматривать систему, предсТ1'\ВЛЯЮЩУЮ собоЙ
последовательное соединение п элементов. ДJ]Я повышения
надежности системы применяются резервные элементы.
Конечно, предполаrается, что нам известно, какоЙ надеж-
ности i-ro участка системы мы можем достиrнуть, если при-
ДаДИМ ему X i избыточных элементов, т. е. нам известна
функция Ri(x i ). Применение одноrо резервноro элемента
i ro -типа сопряжено с затратами средств C i . (Вообще rоворя,
затраты MorYT измеряться не только в стоимостных едини
цах, но и в еДиницах веса, объема. и т. п. Более TOro, мо-
жет существовать одновременно несколько типов' затрат,
однако дЛЯ ПРОСТQТЫ мы не будем рассматривать такие
относительно сложные ситуации.)
Итак, если в системе имеется Х==(х 1 , ..., Х п ) резервных
элементов, то показатель надежности ее ""(например, вероят-
ность беЗQтказноЙ работы или коэффициент rотовности)
может быть записан в виде
п
R (Х) == n R i (x i ).
i 1
При этом затраты на орrанизацию TaKoro резерва для
систеl\U>I составят
п
с (Х) == l: CiX i .
i 1
Простейшие и самые известные оптимальные задачи
надежности связаны, по-видимому, именно с задачами ре-
зервирования. Можно сформулировать следующие прямую
и обратную задачи условной оптимизации:
1) найти .
n
тах R (Х) == тах n R i (Хд
Х . Х ' I
при оrраничении n
С(Х) == CiXt CO
; I
2) наЙти
11.
minC(X)==min CiXf
Х Х ;=1
n
при оrpаничении R(х)==ПRi(хд;зR .
; I
Существует несколько различных и в достаточноЙ сте-
пени эффективных методов математичесiюrо решения рас-
сматриваемых задач оптимальноro резервирования (см.,
например, [10]).
Одним из простейших методов решения, дающих практи-
чески достаточно точное решение, а в ряде случаев и абсо-
лютно точное решение, является метод покоординаТ,liIоrо
наискорейшеro спуска, который заключается в следующем.
Для каждоro участка системы вычисляются значения
относительных приращений лоrарифма функции, характе-
ризующеЙ надежность, на единиuу затрат при добавлении
"Xi-ro резерВНОro элемента:
1
'\'i ё€[1п R i (x i ) lп R i (Xi 1)].
В [2] показано, что коrда функция Ri(хд лоrарифми-
чески выпукла (а она действительно лоrарифмически
выпукла для большинства непатолоrических практических
случаев), ПрOIlедура оптимаJiьноrо наращивания резервных
элементов в системе состоит в том, чтобы на очередном шаrе
процесса прибавлять тот элемент, для которor'о величина
'\'i(X j ) является наибольшеЙ. В результате такой процеду-
ры может быть построен rрафик зависимости показателя
надежности системы R от затраченных средств С.
Следует заметить, что подобная пропедура не дает воз-
можности получить всеrда cTporoe решение, однако нуж-
да в чрезмерной строruсти на практикс и не возникает,
так как статистические данные по надежности, используе-
мые в расчетах, к сожалению, далеки от желаемоЙ ДOC'ТOBep
насти, Да и задаваемые оrраничения не являются столь
катеrоричными на практике, как они выrJJЯДЯТ в условиях
математической задачи. Это позволяет считать что получен-
ное при помощи TaKoro алrоритма решение является впол-
не удовлетворительным для практических прщюжений.
Более строrие решения MorYT быть получены, например,
при помоlЦИ метода динамическоro проrраммирования или
путем использования какоro либо алrоритма uелочислен
HOro нелинейноrо проrраммирования (вопрос о выборе
алroритма также выходит за рамки нашеro рассмотрения)
r л а в а 111. НАДЕЖНОСТЬ НА ЭТАПЕ
ИСПЫТАНИЙ И ЭКСПЛУАТАЦИИ
ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
На этапах испытаний и эксплуатации возникает множество
самых разнообразных задач, интересных в математическом
плане. Сюда можно отнести и задачи по статистическоЙ
оценке различных параметров и показателей надежности по
результатам испытаний, и задачи по оптимизации различ
ных процессов эксплуатации.
Приводимые ниже примеры не претендуют на полноту, а
лишь и,ллюстрируют разнообразие постановок задач и
характер используемоrо математическоro аппарата.
Оценка надежности системы по результатам испытания ее
компонент. В orpoMHoM большинстве случаев при создании
сложных систем не. удается провести таких их испытаний
на надежность, которые позволили бы получить достаточно
достоверяые результаты. Это щiоисходит по мноrим при
чинам, к числу которых можно отнести большие экономи-
ческие затраты, связанные с проведением таких испытаний,
а также недопустимо большое время испытаний, еС.1JИ ис
пытывается достаточно надежная система (при этом в си
стемах с избыточностью MorYT да>ке наблюдаться во Bpe
мя испытаний отдельные отказы. которые не приводят к
отказу всеЙ системы, а' по этой причине не ФИКСИРУЮТСЯ).
Однако возможны случаи, коrда проведение испытаний
системы в принципе невозможно, если сама система нахо-
дится, например, в постоянном развитии. К таким систе-
мам можно отнести общеrосударственную систему связи,
сеть вычислительных центров, различные информационно-
вычислительные системы реrиональноrо и отраслевоrо xa
рактера и т. п. Во всех этих случаях приходится оценивать
надежность систем по результатам испытаний отдельных ее
компонент.
В качестве простейшеrо примера рассмотрим систему,
с остояшую из n последовательно соединенных элементов.
Вероятность безотказной работы такой системы за HeKOТO
рое фиксированное время мо}Кнозаписать в виде
n
Р==ПР"
i 1
rде РЕ соответствующая вероятность для i-ro элемента
системы.
. На испытания поставлено по тЕ элементов i-ro ТИПа,
которые испытываются в течение требуемоro времени.
Оказывается, что для случая вьiсоконадежных элементов,
коrда в результате испытаниЙ не появляется ни одноro OT
каза испытуемых элементов, удается получить очень про-
стую и неожидаЩlУЮ на первыЙ взrляд оценку (6 J.
Если при испытаниях не было зафиксировано ни одноro
отказа, то вероятность TaKoro события должна удовлетво."
рять неравенству
n
N т.-
Р i · or.,
iz:::: 1
(10)
rде or. заданныЙ коэффициент довери.я. (Это!!' результат
получается известными методами для полиномиальноrо
распределения, с которым мы имеем дело в нашем случае.)
Наша задача состоит в нахождении rарантированноЙ
оценки
n
Р" == min n p7 1 (11)
Р; i 1
при условии (10).
Найдем среди чис"ел т, наименьшее
mk ==min тЕ
1 -< l<Е;n
И для вероятности с тем же индексом запишем из (11) yc
.ловие
1 \n
. Pk or. mk n
[ I
i+k
Подставив это выражение в формулу (10) для вероятности
безотказноЙ работы последовательной систе ы, получаем
.:::!...
Р тk.
1
1 п l
P min or. тk П Р т k
. 1
P l 1 1
l:f=k
Понятно, что минимум правой части неравенства (14)
Из-за Toro, что mi>m k при i=l= k, будет достиrаться при
P i :-"'" l, для i =1= k.
Таким образом, получен интере ный вывод: если в ре-
зультате испытаний элементов системы не было зафикси
рОБа НО ни одноro отказа, то нижняя оценка вероятности
безотказноЙ работы системы, состоящей из последовательно
соединенных элементов, СOlщадает с соответствующеЙ oцeH
коЙ для элементов, объем испытаний KOTOpOro был наимень-
ший. На первый взrляд моrло показаться, что нижняя
доверительная оценка надежности ДЛЯ системы ниже,
чем полученная нами оценка.
"" Имеются интересные результаты и для более сложных
случаев, но рассматривать здесь мы их не будем из-за orpa-
ниченности места.
УСКОРЩIНые испытания на надежность. Одной из очень
важных и до конца еще не решенных. проблем надежности
технических систем и изделиЙ является проблема ускорен-
ных испытаниЙ. Понятно, что чем надежнее становится
разрабатываемое устроЙство, тем больше требуется затрат
на проведение специальных испытаниЙ, целью которых
является _ установление или подтверждение уровня надеж-
ности этоrо устройства. У инженеров давно возникла
идея создать такие методы испытаниЙ, 'чтобы информация
о надежности с необходимоЙ достоверностью моrла быть
получена за счет сравнительно небольших по объему испы
таний. (Под объемом испытаний понимается обычно произ-
ведение числа испытуемых устройств на время их испыта-
ния, т. е. суммарное время испытаний.)
Мы не будем останавливаться подробно на ряде интерес-
ных математических моделей, разработанных в этой об-
ласти, - а попытаемся вкратце сформулировать основные
трудности проблемы ускоренных испытнийй и основные
используемые на практике приемы решения этоЙ проблемы.
Сокращения cYMMapHoro времени испытаний, вообще
rоворя, можно добиться двумя основными путями: ужесто-
чением режимов испытаниЙ, приводящих к более раннему
появлению отказов, И'ужесточением критериев отказа, при-
водящих к тому, ЧТО события, ранее не клаССI:'фицируемые
как отказы, начинают считать условно отказами.
в основе первоrо способа леЖИ1 'преДПОложение с том
что в пределах определенноrо изменения наrрузки (элек:
трическоЙ, механическрЙ, температурноЙ или друrоЙ) прин
ципиально не изменяются физико-химические процессы,
являющиеся причиноЙ возникновения отказов. В этом слу-
чае, если нам известна некоторая интересующая нас харак-
теристика надежности R(8), полученная в реЗУЛЫате ис-
пытаний техническоrо устроЙства в некоторых режимах
81<82<' . . <8n , то можно экстраполировать значение
этоЙ характеристики для. более слабоrо режима 80, т. е.
получить значение R(8 0 )'
Таким образом, M rYT быть получены fприближенно и,
вообще rоворя, без хорошеЙ оценки достоверности резуль-
тата) такие значения HeKoToporO показателя надежности,
которые при нормальных ИСпытаниях получить практиче-
ски невозможно из-за чрезмерноrо объема испытаниЙ.
- Несколько лет назад [9] было сформулировано утверж
дение о том, что надежность изделиЙ в некоторых условиях
8 зависит от величины выработанноrо ими в прошлом ре-
сурса, под которым понимается величина
t
r(t)==Jл(t, 8дdt,
о
rде л(t, 8,) интенсивность отказов в момент времени t
при наrрузке 8" и не зависит от .Toro, как этот ресурс вь\-
работан. Первоначально это утверждение было сформули
ровано без должных oroвopoK, хотя совершенно очевидно,
что сфера ero приложения достаточно оrраничена: необхо-
димо сохранение характера основных протекающих физико-
химических процессов. Это утверждение позволяет давать
проrноз, как будут себя. вести технические устроЙства в
реальных условиях, при более тяжелых режимах работы.
Иными словами, это утверждение позволя( т записать
равенство
P(t, 8/"["*, 8*)== P(t, 8/"[", 8),
rде 8 нормальные условия эксплуатацilИ, 8* условия
ускоренных испытан ив, а время "[" и "["* выбирается таким
образом, чтобы выполнялось условие
't* 't
S л(/, 8 )dl S л(/, 8,) d(
'0 0_
ВтороЙ способ орrанизации ускоренных испытаниЙ за
счет введения более жесткоro критерия отказа также имеет
оrраниченное применение. Действительно, пусть некоторое
устройство характеризуется основным параметром а, ко-
торыЙ меняется во времени под действием случаЙных воз-
деЙствиЙ. Пусть изменение процесса a(t) во времени хоро-
шо описывается нормальным случаЙным процессом (при-
мем это допущение только из удобства получаемоЙ мате-
матичеСКQЙ модели), математическое ожидание KOтoporo
есть а о , а дисперсия 02. Пусть В процессе реальноrо
функционирования рассматр иваемоrо устроЙства в качест-
ве отказа принимается событие, заключающееся в пересе-
чении функциеЙ HeKoToporo «BbICOK()f'O» уj:ювня А (т. е.
А ао»о).
из математическоЙ теории пересечениЙ 18] известно, что
моменты пересечения BbIcoKoro уровня А для случаЙных
процессов достаточно общеЙ структуры образу с хоро-
шим приближением пуассоновскиЙ (простеЙший) поток.
Для случая стационарноrо нормальноrо процесса интенсив-
ность пересечения определяется как
<Jv (A ao).
Л А 2па е 2п. ,
. .
rде 0v дисперсия скорости изменения ординаты случаЙ-
ноЙ функции a(t), определяемая через автокорреляционную
функцию процесса K( как
o :t\ K(t)lt o.
Ужесточение критерия отказа соответствует уменьше-
нию величины А, т. е. снижению «BbIcoKOrO») уровня. Однако
следуеТ заметить, что по мере уменьшения уровня А про-
исходит изменение характера пересечения процессом a(t)
HOBoro уровня. Так, если в качестве TaKoro более жест-
коп? критерия отказа принять А==а о (хотя неестественность
подобноrо критерия почти очевидна), то нам следует занять-
ся изучением пересечения процессом аи) cвoero среднеrо
значения, т. е. встает задача определения функции распре-
деления длительности выброса, решению котороЙ Посвя-
щено MHoro специальных работ. Во всяком случае, распре-
деление длительности выброса существеннеЙшим образом
зависит от спектральных характеристик случаЙноrо про..
цесса.
Таким образом, видно, что изменение критерия отказа
может привести к существенному изменению вида распреде-
ления времени безотказноЙ работы даже без какоrо-либо
изменения характера этоrо критери,я и совсем без KaKoro-
либо изменения физико-химических процессов, пор ждаю.
щих отказ.
Проrнозирование надежности при устранении KOHCTPYK
тор ких недоработок во время испытаний. Обычные
статистические оценки надежности применимы, вообще"
rоворя, для исходных данных, полученных на основании
I1спытаниЙ однородных изделиЙ. Однако во время испыта-
ний по мере выявления причин отказов осуществляются те
или иные мероприятия по их устранению и, по существу,
к концу достаточно продолжительных испытаниЙ мы будем
уже испытывать техническую систему, существенно отли-
'чающуюся от тоЙ, которую мы начали испытывать. Следует
ожидать, что по мере дораБQТКИ системы она будет стано-
виться все более надежноЙ, т. е. усреднение какоЙ-либо
характеристики надежности по всему периоду испытаниЙ
приведет к заНИfКению истинноЙ надежности системы, ки-,
торуюона будет иметь к моменту окончания испытаниЙ [2],
Рассмотрим испытания системы, состоящие из k этапов,
причем на каждом этапе испытаниям подверrаются идентич-
ные образцы (иными словами, доработки и устранение при
чин отказов производятся одновременно во всех системах).
На каждом i-M этапе испытаниЙ фиксируются количества
чисто случаЙных отказов (ад, устранимых конструктивных
отказов (Ь,), а также количество образцов, прошедших
данныЙ этап без отказов (сд. При этом предполаrается, что
вероятность возникновения случаЙноrо отказа a i постоян
на на всем периоде испытаниЙ, а вероятнрсть появления
устранимоrо отказа падает или, по краЙнеЙ мере не ВОЗIJас
тает от этапа к 9тапу. Вероятность проведения успешноrо.
испытания на i-M этапе испытаН IЙ определяется как
r i === l qo qi'
Нетрудно наЙти обычным образом оценки максимальноr,О
правдоподобия для вероятностеЙ qo и qi используя функцию
правдоподобия L для рассматриваемоЙ намИ полиномиаль-
ноЙ схемы испытаниЙ
L(ai' b i , Ci, qi, qo; i (' 1, ..., k) ==
k
п
(щ+ bi+ сй! ь
щl bi l Ci l qoa i qi i (1 % qд Сi .
i 1
Эти оценки ЧО и qt равны соответственно
k k _
Чо == atl (ai + bt+c t ) ,
i 1 i 1
-(1 ....,... qo) .
Ч; bi+ C i Ь;, t ,l. ...,k.
Как уже было отмечено выше, ЩIС интересует -сл"учаЙ,
коrда Ч; образуют невозрастающую последовательность.
В связи с этим, если для HeKoToporo этапа i оказывается, что
bi < b i +,.
bi + ci b i + 1 + ti+l '
то эти два этапа объединяются в один новыЙ условный
этап (дадим ему индекс «*») и с вновь полученноЙ последо
вательностью величин про изводится дальнеЙшиЙ анализ
с использованием Toro же правила. CTporo rоворя, qt для
новоrО.условноrо этапа находитс по формуле
s
Ь;
i r
S
(bi+Cj)
i f
. ( ) тах min
qi == 1 qo S"?:i r i
Такая процедура продолжается до тех пор, пока не будет
образована последовательность невозрастающих величин.
(Справедливость такоЙ процедуры может быть доказана.)
Таким образом, оценка максимальноrо правдоподобия
для показателя надежности системы r i на i M 9тапе испыта-
ний равняется
rt==l qo qi'
Следует только иметь ввиду, что полученный результат
существенным образом зависит от правильности классифи-
кации отказов на случаЙные и устранимые. (Обычно разра
ботчики склонны все отказы считать устранимыми и убеж
дают заказчика, что ими каждый раз принимаются самые
деЙственные мерЫ по устранению причин отказов, а заказ-
чи и, со своеЙ стороны, с большим сопротивлением призна-
ют эффективность проведенных доработок.)
Проверка «старения» по результатам испытаний. Мы
уже отмечали выще, что информация о том, является ли
распределение времени работы изделия до отказа «старею
ЩИМ») или нет, оказывается веСЬма ВЮI1НQИ при построении
различных практических опенок.
В математическоЙ статистике имеется MHoro классиче
ских методов оценки принадлежности распределениЙ к TO
му ИЛИ иному классу. Для данноrо KOHKpeтHoro случая
можно предположить один интересныЙ специальныЙ прием,
позволяющиЙ применить для решения нашеЙ задачи из
вестные методы.
Пусть на испытания поставлено n элементов,..которые
испытываются до отказа без замены. Испытания прекраща
ются, коrда откажет последниЙ испытывающиЙся элемент.
Обозначим через t h момент появления k -ro по счету отказа
в процессе испытаниЙ, а через п интервалы между MO
ментами появления соседних отказов, т. е.
i==t1' 2==t2 tl' . . ., n==tn tn l'
Нетрудно представить, что для мноrих ИСХОДНЫХ распреде
лениЙ времени работы элементов до отказа величины
малыми индексами будут в среднем меньше, чем те же вели-
чины с бо.'1ьшими индексами (если n велико, то это совер-
шенно очевидно). Но если случаЙные величины п нор-
мировать определенным образом (каждую из них умножить
на число элементов, исправных к началу данноrо интерва
ла), то полученные нормированные величины
;==(n k+ 1) п
будут обладать интересными своЙствами: в случае если ис
следуемое распределение времени работы элементов До ОТ-
каза относится к классу «стар('ющих», то будет выполняться
следующее условие для математических ожиданиЙ:
* * .. )
м k::""M 2:;::O, . . :;::оМ n' (12
Однако по результатам испытаниЙ мы получаем все таки
случаЙные величины 5;. а не их математические ожидания,
поэтому нужно придумать достаточно простые процедуры
. обработки именно их. Сразу же заметим, что если исходное
распределение 1Зремени работы элементов до отказа было
экспоненциальным с параметром Л, то и распределение слу-
чаЙных величин s: также будет экшшiенциальным с тем же
параметром. В этом случае можно одним из известных спо-
. *
собов проверять совокупность случаЙных веллчин 51,
* *
2, . .., nна принадлежность к классу экепоненпиально
распределенных величин.
В то же время, так как величины являются взаимно не-
зависимыми Dдинаково распределенными (по экспоненци-'
альному закону) случаЙными вепичинами, ТО можно сказать,
что после упорядочения их в порядке возрастания любой
порядок первоначальных индексов будf'Т равновероятньJМ.
Если же исходное распределение было «стареющим»,
то в соответствии с условием (12) в среднем будут чаще вна-
чале попадаться случаЙные величины с большими п рво'на-
чальными номерами, а под конец чаще попадаться велИчины
с малыми номерами. Например, понятно, что для «сильно
стареющеrо» распределения «перепутывания» номеров в
упорядоченноЙ последовательности почти не будет.
Это соображение может быть положено ДЛS'I использова-
ния непараметрическоrо критерия Вилкоксона при оценке
Toro, относится ли данное исходное распределение к классу
«стареющих» или нет. КритериЙ Вилкоксона основан на
подсчете числа инверсиЙ (инверсиеЙ называется ситуация,
коrда объекты i и i+ 1 занимают места i+ 1 и i). Так, для
«стареющеrо» распределения наиболее вероятными являют-
ся ситуации, Коrда чИ:сло инверсиЙ равно нулю (все вели-
..
чины ! образуют невозрастающую последовательность)
, ..
либо равно небольшому числу (среди величин i р среднем
наблюдается порядок при незначительных отклонениях).
В то же время для случая экспоненциа.'1ьноrо распределе-
ния число инверсий будет очень велико, так как любое
размещение случаЙных величин ;; в упорядоченноЙ по-
следовательности является равновероятным. Соответствую-
щая rипотеза о «старению) может быть принята с достовер-
ностью 1 , если число инверсий не превосходит заданную
rраницу. n! (Максимальное число инверсиЙ равно n!).
Так, если испытывать, например, пять элементов и мы
хотим с достоверностью не ниже 90 % оценить, является ли
исследуемое распределение «стареющим», то из полноro чис-
ла 1:;20 воЗможных перестановок лишь 12 с наименьшим
числом возможных инверсиЙ являются для нас удовлетво-
рительными: из них одна без инверсиЙ, пять с одноЙ инвер
сиеЙ и шесть фиксированных заранее реали-зациЙ с двумя
инверсиями (Bcero таких реализациЙ с двумя инверсиями в
нашем случае C == 10).
Профилактические замены по информации о нараб тке.
Как правило, с течением времени у различных технических
систем и устроЙств ухудщаются характеристики функцио-
Jlирования в связи с естественно проrека.ющими процесса-
ми старения. При эксплуатации обычно ИЗносившиеся
устроЙства и детали заменяют на новые во время специаль
но про водимых профилактических работ. Эrо связано с
тем, что отказ устроЙства непосредственно во время рабо
ты может повлечь за собоЙ определенные Дополнитель
HbIe расходы экономическоrо характера либо привести к
каким-нибудь опашым последствиям и даже катастрофам.
. Подобноrо рода предупредительные замены имеют смысл
для всех устроЙств, имеющих «стареющее» распределение
времени работы до отказа. Экспоненциальное распределе-
ние, являющееся rраничным раLпределением в классе
«стареющих», не требует таких замен, что совершенно по-
нятно и из общих соображениЙ, так как при экспоненци.
альном распределении новое устроЙство ничем по своим
вероятностным характеристикам не отличается от уже про.
работавшеrо определенное время. .
Заметим также, что если замена (или ремонт) отказав-"
шеrо устроЙства при авариЙном отказе, т. е. непосред
ственно во время работы, требует тех же затрат, что и во
время профилактическоrо ремонта, и не ПрИБОДИТ при
этом ни- к каким дополнительным неприятностям, то, ко-
нечно, профилактические замены проводить не имеет ни-
KaKoro смысла.
Если известен вид распределения времени работы уст.
роЙства до отказа, то возможна постановка задачи о назна-
чении периода предупредительных замен из условия мини-
мизации суммарных затрат. ПОЩlжем это на следующем
простом пр имере [1].
Обозначим неизвестныЙ период предупредительных за
мен через 8. Пусть авариЙныЙ отказ устройства приводит
к экономическим потерш.1 величины С 1, а предупредитель-
ная замена во время проведения профилактики обходится
в С 2 стоимостных единиц. Тоrда в течение интервала Bpe
мени [О, t] средние суммарные затраты будут равны
C(t, 8)==C 1 M{N 1 (t, 8)}+C 2 M{N 2 (t,8)},
rде N 1и, 8) количество аварийных отказов устроЙства
за это время, N 2(t, 8) количество замен, сделанных после
безотказноЙ работы устроЙства в течение период.::! времени
8, а М{. . .} означает оператор математическоrо ожида-
ния.
Если рассматривается достаточно больШdЙ период вре-
мени [О, t], то можно переЙти к рассмотрению задачи о ми
нимизации средних потерь в единицу времени на бесконеч-
ном интервале, т. е. минимизировать
с (О) == н:п
t --+ 00
с (t, 8)
t
(Кстати, последняя задача существенно проще с точки зре-
ния математическоrо решения, чем первоначальная.)
Заметим, что вместо рассмотрения удельных затрат на
бесконечном интервале времени можно рассмотреть сред-
ние удельные затраты на одном цикле работы нашеrо уст-
роЙства от замены до замены. Можно леrко показать, что
средние удельные затраты на таком цикле С (О) равны
отношению средних затрат на цикле С(М 5) к среднеЙ про-
должительности TaKoro цикла М S.
Средние затраты на цикле равны
. с(о)==с lР(О)+С 2Р(0),
rде Р(О) вероятность Toro, что замена произоЙдет в ре-
зультате предупредительноЙ замены (вероятность Toro, что
время работы устроЙства до отказа окажется больше, чем
О), Р(О)== l P(O) вероятност.ь Toro, что замена будет
произведена после' авариЙноrо отказа, ,(вероятность Toro,
что время работы устроЙства до отказа окажется меньше.
чем О). Средняя длительность цикла равна
е
М 5 S. Р (/) dl.
о
Используя стандартную технику нахождения экстре-
мума, находим, что значение О, минимизирующее средние
удельные затраты на бесконечном интервале, определяется
из следующеrо уравнения:
( С1Р (8) + С 2 Р (8) ) О
d8 е .
S P(t)dt
о /
Это же уравнение моЖно переписать в более удобном для
данноro случая виде:
е
[Сl! (e) C2! (O)]S f(t)dt
о
[с 1 Р(0)+с 2 Р(0) ТР(О)==О.
Отсюда
л. (8) == С(Р (6) +вС2Р (6) .
(C( C2) S P(t)dt
о
или
6
'1/' (8) == А,(8) S Р (/) d/ F (8) == С 2
С( С 2 '
О
rде л.(8) интенсивность отказов.
Рассмотрим для иллюстрации случаЙ [1], коrда A.(t)==
==О,оооБt. В этом случае
,
Р == ехр ( S л(t)d/)==е о,ООО25tl .
о
со
а Т=== S P(t)dt==56,05 ч.
о
Можно построить rрафик функции '1/'( 8), на основании
KOToporo отыскивается оптимальное значение 8 для любых
значениЙ С 1 И С 2 (точнее, для любоro соотношения величин
С 1 и С 2 , так как именно оно является определяющим при
назначении оптимальноrо периода профилактических за-
мен, как это видно из вида функции '1/'(8».
Так, например, для отношения С 1 : С 2 ==6 значение 8===29 ч.
Конечно, MoryT быть и иные критерии оптимизации пе-
риода предупредительных замен. Так, MorYT быть заданы не
стоимости проведения предупредительноЙ и авариЙноЙ за-
мены, а их длительности, что приведет к необходимости
минимизировать коэффициен простоя устроЙства (хотя,
заметим, математическая постановка в данном случае со-
хранится с точностью до обозначениЙ) или же может оптими-
зироваться вероятность выполнения задачи заданноЙ дли-
тельности. MoryT быть сформулированы и задачи на ус-
ловную оптимизацию: например, добиться заданных экс-
плуатационных характеристик при минимальных экономи-
ческих затратах (или добиться максимально возможных
эксплуатационных характеристик при заданных экономи-
ческих затратах).
Постановки задач оптимальных профилактических за-
мен с матемаТliческой точки зрения существенно разнятся
также и от Toro, какая исходная информация известна ис-
следователю. Например, если возможны проверки во вре-
мя работы, дающие возможность получить некоторые сведе-
ния о текущем состоянии контролируемоro устройства, то
полити!{а проведения профилаК1'ических мероприятиЙ мо-
жет быть сильно изменена по сравнению со случаем, коrда
у нас нет никакоЙ информации, кроме априорноЙ, получен-
ноЙ в момент последнеЙ замены.
Вопрос о проведении проверок работоспособности, кста-
ти, имеет смысл уже и в случае, если контролируемое уст-
роЙство характеризуется экспоненциальным распределе-
нием времени работы до отказа. ПодобныЙ пример мы рас-
смотрим в следующем пункте.
Проведение проверок работоспособности. В результате
предварительных испытаниЙ или на основании предыдущеЙ
эксплуатации об устроЙстве нам известно; что распределе-
ние времени наработки между отказами достаточно близко
к экспоненпиальному с параметром л.
Представим, что устроЙство функционирует таким об-
разом, что во время работы мы не можем, не нарушая нор-
мальноrо процесса ero эксплуатапии, удостовериться в том,
исправно оно или нет. В то же время нахождение устроЙст-
ва в соС'юянии необнаруженноrо отказа это ero простоЙ
в самом обычном смысле слова.
Нам уже известно, что в подобных случаях проведение
предупредительных профилактических замен не имеет смыс-
ла, так как по своим вероятностным характеристикам
новое устройство ничем не лучше Toro, которое проработало
уже в течение произвольноrо времени.
Однако СQвершенно понятно, что имеет смысл время от
времени проводить проверку работоспособности этоrо уст-
роЙства, чтобы сокращать возможное время пребывания ero
в состоянии необнаруженноrо отказа. Если бы такие про-
верки не отнимали времени, то их желательно было бы про-
водить как можно чаще. (Допустим, что сами по себе пре-
рыванйя работы из-за проверок не иrрают серьезноЙ роли,
а rлавное именно потери времени на проведение прове-
рок.) С учетом .!1.лительности проведения проверок tпможно
rоворИТЬ о выборе оптимальноrо периода проверок е с тем,
чтобы к(е, t ri , л) коэффициент использования устроЙства
(т. е. доля полезноrо рабочеrо времени) был максимальным.
Рассмотрим цикл работы устроЙства между провеQками.
С вероятностью p(e)==e дe за ВI}емя е отказ не произоидет,
а с вероятностью F(e)==1 e -i8\ отказ произойдет До мо.
мента проверки, причем распределение случайноrо значе-
ния наработки s в таком интервале будет име:rь плотность
де 'Лt .
fe(t) 'Ле .
l e
Таким образом, среднее значение" случайной веЛичины
S, как нетрудно получить после простых преобразований,
равно
е
Ms:= 8е 'Ле + S tле 'Лt dt:= + (l e M).
. о
Теперь наша задача заключается в том, чтобы наЙти
значение 8, обеспечивающее максимум функции
Ms ] е 'Ле
К (8, t п , л) 8+t == Л(8 + t ).
П П
Отыскивая экстремум обычным способом, получаем транс-
цендентное уравнение
еМ:: 1 + лВ + М П '
Итак, зная конкретное значение длительности провер-
ки, можно наЙти, используя безразмерную величину Лt ц ,
значение периода между проверками 8, максимизирующее
коэффициент использования устройства.
Заметим, что если лt п мало (например, лtп<О, 1), то
можно записать с хорошей степенью приближения:
" д 2 8 2
е'Ле 1 ЛВ
2 ·
откуда из (16)
В I
R:J V ...........!L..
д .
Оптимизация процедур поиска неисправных элементов.
С ростом сложности технических систем все острее встает
проблема их реМ(j .ТОСПОt:обности и сокращения времени
простая в процессе эксплуатации. В ЭТОЙ связи одноЙ из важ-
ных задач является задача орrанизации оптимальных
проц дур поиска неисправных элементов.
Конечно, эта задача должна решать(" А и реально ре-
шается с учетом конкретных особеННОС1сЙ тоЙ ИЛlI иноЙ
технической системы, ее структуры, IЮНСТРУI{тивноrо
оформления, характера эксплуатации, степени обучен-
ности эксплуатирующеrо данную систему техническоrо
персонала и друrих факторов. Однако и в этом Случае бы-
вает важно иметь достаточно общие математические модели,
описывающие процедуры поиска неисправных элементов
в сложных системах, так как такие модели MorYT помочь
сформулировать важные для практики инженерные реко-
мендации.
Рассмотрим следующую ситуацию [7]. На ремонтную
базу поступило некоторое устроЙство, состоящее из n
элементов. (Повторим, что под элементом может понимать-
ся любая часть рассматриваемоrо устройства, разделять
которую На составные части не имеет смысла в рамках дан-
HOro исследования.) Требуется путем проведения проверок
отдельных элементов выявить все неисправные элементы
системы, заменив их в проце се проверки на исправные.
При проверке допускаются тесты лишь двух видов: rло-
бальныЙ тест, на ОCf!овании успешноrо проведения KOТOporo
можно сделать заключение об исправности Bcero устроЙства
в целом, и локальныЙ тест каждоrо отдельноrо элемента,
на основании KOToporo можно сделать заключение об ис-
правности лишь данноrо проверяемоrо элемента.
Задача состоит в том, чтобы на основании имеющеЙся
информации о затратах на проведение rлобальноrо теста
(со), ка:ждоro k-ro локальноrо теста, используемоrо для
проверки k-ro элемента (С,,), вероятности тоrо,ЧТО k-й
элемент системы является исправным к моменту начала
проверки (р,,), найти порядок проведения проверок отдель-
ных элементов, обеспечивающий выявление .всех имеющих-
ся неисправностей при минимальных в среднем затратах.
(Затраты в данном случае MorYT измеряться в различных
единицах человеко-часах, необходимых для проведения
проверок, времени простоя, стоимостных единицах и т. п.)
В наших условиях процедура проверки будет протекать
следующим образом. Элементы нумеруются некоторым
образом и 11> соответствии с этими номерамп поочередно
проверяются. Как только обнаруживается неисправныЙ
элемеI-:Т, он заменяется на исправныи, и сразу же проводит-
ся rлобальный тест, чтобы удостовериться в том, имеются ли
в устройстве еще неисправные элементы. Если rлобальный
тест не проходит успешно, то продолжается поэлемент
ная проверка. \
Затраты, связанные с проверкой HeKoToporo k-ro эле-
мента, MorYT принимать следующие значения:' Ch, Ch+ C ()
и О. Первая возможность реализуется 5 случае, если сам
k-й элемент исправеf, но подверrается проверке из-за Toro,
что один из элементов с номерами k+1, k+2, -. . ., n яв-
ляется неисправным и поэтому ПРОIiерка еще не закончи-
лась. Вероятность этоrо события равна
Ph ( 1 n Pi ) '
i k+1
Вторая возможность реализуется, если сам k й элемент
неисправен (тоrда он подверrается проверке, а после заме-
ны ero на исправный проводится дополнительно еще rло-
бальный тест). Заметим, что состояние остальных еще не
проверенных элементов системы в данном случае несу-
щественно. Вероятность этоrо события равна l Ph'
Наконец, третья возможность соответствует тому слу-
чаю, коrда сам k Й элемент исправен и все остальные эл -
менты также исправны, т. е. проверка устройства ОКОНЧj1-
лась до проверки k-ro элемента. Вероятность этоrо события'
не нужна при дальнейших расчетах.
Средние затраты, связанные с проверкой k ro элемента,
леrко нахо.lI.ятся как
Ch CkPh(l i Р, )+ (ch+C o ) (1 Ph)
Ch ( l .П Pi ) +CO(1 Pk)'
t k
Таким образом, средние затраты, необхо.цимые для пол-
ноЙ проверки устроЙства, можно вычислить, просуммиро-
вав средн ие затраты по всем элементам:
СЕ == I [ C h ( l n Pi ) +СО (1 Ph) ] ==1:+ c h fI Pi,
k I l k k 1 t k
rде 1: затраты, не зависящие от нумерации элементов.
Из полученноrо выражения видн.о, что средние затраты
на проверку Bcero устроЙства зависят от Toro, в каком по-
рядке мы будем проверять элементк Это совершенно ясно,
если взять крайний случаЙ: С ИС'l'ем у , состоящую из двух
элементов одноrо очень надежноrо, но требующеrо боль-
ших затрат на проверку, и BTopora малонадежноrо, требую-
щеrо очень малых затрат на проверку. Проведение провер
ки, начиная со второто элемента, совершенно очевидно.
Однако в более сложных ситуациях выбор порядка
проверки элементов далеко не очевиден.
Решение этоЙ задачи леrко осуществить следующим об-
разом. Поменяем местами две соседние проверки, например,
с номерами k и k+I, и посмотрим, при каких условиях
такая перемеНа приводит к сокращению средних суммар-
ных затрат. Выражение средних суммарных затрат в этом
случае будет равно:
k I ппп
C; 't+ СjП Pi+ C Hl n Р,+Сп П Pi+
. i 1 l i i k . i k+1
n n
+ С} П Pi'
i k+2 i i
Естественно, что подобная перестаНОВRа порядка про-
верки соседних элементов целесообразна, если выполняет ,
ся условие
c c;>o.
(13)
Проведя элементарные преобразования, находим, что
условие (17) выполняется, если
СМl РМl < СпРп
1 Рп+1 1 Рп .
Поскольку при конечном числе перестановок соседних
элементов может быть получеlJО любое наперед заданное их
размещение, становится ясным, что при нумерации элемен
тов в порядке возрастания величин
СпРп
1 pп
никакая перестановка не может привести к уменьшению
средних суммарных затрат.
Интересно заметить, что затраты, связанные непосред-
ственно с устранением отказа, никак не влияют на нумера-
цию элементов с точки зрения минимизации суммарных
средних затрат. Это леriю объяснить, исходя из Toro, что
заrраТЫ на ремонт элемента не зависят от порядка проверки
элемента.
В БОЛЕ'е сложных случаях, коrда, "Например, проверки
охватывают не один, а несколько элементов, решение за
дачи существенно усло няется.
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ
Приведенные примеры с очевидностью щ>казывают п )Лез-
ность применения математических меТОДОЕ при априор
ных расчетах и эксперш;!ентальных оценках надежности.
Однако зачастую изящность математических моделеЙ
порождает обманчивое впечатление, что при помощи ис-
пользования математическоrо аппарата можно получить
буквально все необходимые качественные результаты.
Следует заметить, что неоправданная переоценка воз
можностеЙ математических методов может привести к
серьезным заблуждениям, хотя, как правило, больший
вред приносит пренебрежение этими методами. Можно,
однако, привести ряд примеров, коrда математика сама
по себе оказывается беССИЛQНОЙ, коrда задача не может
быть практически корректно сформулирована или коrда
математические модели опираются ТQЛЬКО лишь на умо-
зрительные (и пороЙ сомнительные) заключения, не под-
твержденные опытом.
В качестве подобноrо примера рассмотрим процеду-
ру задания требований по надежности.
КолlJчественное задание требований или предвари
тельное определение норм надежности как для изделий
вновь создаваемых, так и для изделиЙ уже выпускаемых
промышленностью составляет одну из важнейших частей
при выработке технических требований.
LLостаточное обоснование требован Й по надежности
является одним из самых сложных (и до сих пор удов-
летворительно нерешенных) вопросов в теории надежно-
сти. До настоящеrо времени попытки математически
формализовать эту задачу приводили лишь к тому, что
nроизвол-в назначении количественных требованиЙ более
или менее правдоподобно камуфлировался, создавалась
определенная иллюзия обоснованности решения.
Прежде Bcero, что такое обоснованное задание требо
ваний по надежности? Видимо, норму надежности можно
считать обоснованноЙ, если она це:!lесообразна, т. е. в
определенном смысле оптимальна. Повышение надежно
сти систем, как и улучшение прочих технических xapaK
теристик, связано тем или иным образом с увеличением
затрат на производство этих систем. Таким образом, обо-
снованное задание требований по надежности подразуме
вает оптимальное (или хотя бы рациональное) распреде
ление средств между компонентами.
С точки зрения обоснования требованиЙ по цaдe>КHO
сти, как нам представляется, технические системы можно
разбить на два основных класса [5].
. к первому классу (к сожалению, весьма HeMHoro
численному) можно отнести все системы, у которых и по-
лезныЙ эффект, и убытки из-за отказов MorYT быть непо-
средственно измерены в стоимостных единицах. Для Ta
ких систем более или менее c)'poro обоснованное задание
требований по надежности возможно. .
Ко второму классу следует отнести системы, использо
вание которых не приводит непосредственно или даже
косвенно к получению материальных выиrрышей (напри
мер, системы безопасности движения пассажирскоrо
транспорта, системы воору>кения, медицинская аппарату-
ра и пр.) или во всяком случае отказ которых приводит
не к материальным убыткам, а ущербу иной природы.
Для этих систем, как нам представляется, формальноrо
задания требований по надежности осуществить нельзя.
Поясним это утверждение более подробно. Рассмотрим
сначала краЙне упрощенную модель системы первоrо
класса, которая характеризует я средним BpeMeH M безот-
казной работы Т и средниМ временем восстановления (ре-
монт, замена частей, подналадка и пр.) 'т. ПреДПОJl0ЖИМ,
что за единицу полезноrо времени система приносит до-
ход Ст, а единица времени простоя обходится в С... ПУСТh
система предназначена для работы в течение периода вре-
мени е (такие оrраничения всеrда существуют в силу фи-
зическоrо или моральноrо старения техники, хотя точное
задание величины е определить нелеrко). Тоrда в тече-
ние времени использования системы е доход от нее COCTa
вит величину:
е
С T+'t (CTT c't't),
rде 8/ (Т +'t) среднее число циклов «работа простой»
в течение Bcero периода эксплуатации изделия, а Bыpa
жение в скобках средниЙ доход от системы минус
затраты на ремонт в течение одноrо nикла.
Предположим теперь, что нам известны функции Т(с)
и 'т(С), показывающие, как увеличивается среднее время
безотказной работы и как уменьшается среднее время
простоя системы в зависимости от средств, вкладываемых
на повышение надежности. Тоrда, очевидно, для системы
следует задать такие значения Т и '{", которые максими
зировали бы результирующий доход от ее эксплуатации,
т. е.
тах { Т(с):т(с) [СТТ(Сl) C't't(C2)] Cl C2- } '
с, +с.<Е;со ! 2
rде СI затраты на увеличение Т,
С2 затраты на уменьшение 'т,
Со допустимые затраты.
Это одна из возМожных упрощенных постановок вопро
са. Однако в действительности ПЩlOжение rораздо слож-
нее и, как правило, 'имеются весьма оrраниченные cpeДCT
Ба на изделия различных типов. В этом случае возникает
задача оптимальноrо распределения средств на все эти
изделия одновременно, решение которой сводится к на-
хождению условноrо оптимума вида
N
так { Ti (Cli; i (с 2 д [СтJi (Си) C..i't i (С 2 д] CH C 2i }
l I
при оrраничении
n
n i (Сн + C 2i ) co'
...
i 1
rде ni количество изделий i-ro типа;
N общее количество типов изделиЙ.
Вычислительная сложность решения этоЙ задачи
обусловливается тем, что N велико. К тому же трудно
получить более или менее достоверные зависимости
T i (Cli) и 't"i(C2i).
Как следовало бы решать задачу о задании требова-
ний по надежности во втором случае? Мы не ставим сво-
ей целью дать рецепт решения этой задачи, которая в
cTporoM виде, по-видимому, даже не может быть практи-
чески решена. При наличии неоrраниченных средств бес-
смысленно rоворить о нормах надежности: чем надежнее
будет изделие, тем лучше, независимо от произведенных
затрат. На практике же задача задания требований по
надежности должна обязательно сводиться к задаче опти-
мальноrо распределения средств. \
Если мы располаrаем каКИМИ-.fшбо оrраниченными
средствами, которые можем израсходовать на повышение
надежности HeKoToporo изделия, то вопрос о достижимом
при этом уровне надежности этоrо изделия является ре-
шенным. Действительно, несколько идеализируя реаль
ную картину, можно сказать, что, располаrая средствами
с мы можем достичь HeKoToporo показателя надежности
r(c). Если эти же средства нам отпущены на n изделиЙ,
то, очевидно, достиrаемый уровень надежности будет за.
висеть еще и от n, т. е. r(c/n). Однако задача резко ус-
ложняется, коrда .речь идет о том, что сумма средств С
выделена на повышение надежности N изделий р'азлич-
Horo типа и различноrо целевоrо назначения. Здесь уже
необходимо, помимо Bcero прочеrо, знать такую rлобаль
ную целевую функцию Р, которая позволила бы опреде-
лить, как целесообразнее распределить имеющиеся
средства на повышение надежности изделий различноrо
рода. Иначе rоворя, возникает следующая задача: требу
ется найти такое распределение средств cI, С2, ..., CN, что-
бы обеспечить
тах F {r 1 (с 1 /n 1 ) , n 1 ;...; rN (CN/nN) , nN}
при оrраничении на суммарные затраты
N
Ci Co.
i 1
'"
Однако не только показатели надежности характери-
зуют качество функционирования или эффективность ис-
пользования Toro или иноrо изделия для мноrих' типов
изделий показатели надежности и не являются перво
степенными. Во всяком случае имеющуюся сумму средств
необходимо разумно распределить и на достижение опре
.lI.еленных показателей и у друrих характеристик изделия,
причем в ряде случаев характеристики изделия противо-
речивы и взаимозависимы. Иноrда бывает трудно даже
сказать, какая часть средств идет на улучшение одних
свойств изделия, а какая часть на улучшение друrих.
Но даже если это и было бы известно, то все равно вряд
ли удалось бы записать сколько-нибудь правдоподобно
объективную rлобальную целевую функцию, отражаю
щую целесообразность распределения средств между
различными изделиями. Если бы и это удалось, то мы
были бы поставлены перед исключительной сложностью
численноrо решения задачи.
.На самом деле, при корректной формулировке зада
чи (ес.тIИ бы она и была возможна) было бы необходимо
учитывать совершенно необозримую номенклатуру изде
лиЙ rражданскоrо и BoeHHoro назначения. Численное pe
шение оптимизационных задач с таким количеством ap
rYMeHTOB не ;\южет быть осуществлено на ЭВМ сущест-
вующеrо или предвидимоrо быстродействия и объема
памяти даже при наличии всех необходимых исходных
данных.
Может показаться, что столь пессимистическая оценка
возможности обоснованноrо задания норм на показатели
надежности должна послужить поводом для отказа от
задания количественных показателей надежности. Одна-
ко на практике требования по надежно ти задавать целе-
сообразно, и наличие таких требований является фактом
проrрессивным.
Как и во всех друrих областях техники, rде возника-
ют неформализуеrvIЫе или еще неформализованные зада
чи, решение в этом случае принимается на основании
интуиции специалистов, подкрепленной анализом сущест-
ВУlOщеrо уровня качественных характеристик изделий.
Конечно, здесь имеют место ошибки (например, чрезмер
ное завышение уровня надежности, достиrаемоrо за счет
непомерных затрат при проектировании и производстве,
или неоправданно низкие требования к надежности, при-
водящие в результате к серьезным убыткам в процессе
эксплуатации изделий), однако в общем процессе разви-
тия техники происходит своеобразный «естественныЙ от-
бор», в результате KOToporo слишком неправилЬНО спроек-
тированные изделия «вымирают». Таким образом, осу-
ществляется формирование целесообразных норм мноrих
характеристик и в том числе характеристик надежно
сти множество субъективных мнений формирует в оп
ределенном смысле объективное представление о крите-
риях целесообразности.
Можно привести также примеры поистине непреодоли-
мых трудностей, возникающих при априорной оценке на-
дежности различных уникальных образцов, которые
практически не имели никаких прототипов. Такие ситуа-
ции в век бурноrо развития технолоrии, использования
новых принципов конструирования,применения совер-
шенно новых, ранее не существовавших элементов возни-
кают при создании современных технических ИЗДЕ:ЛИЙ
различноrо назначения не так уж peДl<O. .
Ра<;четы надежности в подобных ситуациях MorYT OKa
зать большую помощь инженерам при выборе вариантов,
при сравнительном анализе, коrда можно обойтись OTHO '
сительными, а не абсолютными величинами. Однако вряд
ли стоит ожидать от подобных расчетов сколько-нибудь'
достоверных "абсолютных показателей надежности. .
Аналоrичная проблема возникает при планировании
испытаний технических издеJIИЙ, коrда требуются хотя бы
ориентировочные сведения о предполаrаемых характери
стиках надежности (средняя наработка на отказ, вероят-
ность отказа за заданное время испытаний и пр.). В по-
добных случаях не остается ничеrо лучшеrо, ка1{ поло-
житься на интуицию разработчИ!<а, опирающуюся на
предшествующиЙ опыт.
Представляется, что этот предостереrающий и даже
HeMHoro минорный аккорд вполне уместен после своеоб-
разиоrо rимна математическим методам в теории надеж-
ности этоrо мошноrо и очень конструктивноrо аппара-
та в руках инженера-разработчика.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б а р з и л о в и ч Е. Ю., 1( а ш т а н о в В А. Некоторые ма-
тематические вопросы теории обслуживания сложных систем. М.,
«Советское радио», 1971.
2. Б а р л о у Р., Про ш а н Ф. Математическая теория надеж
иости. М., «Советское радио», 1969.
3. f н е Д е н к о Б. В., Б е л я е в Ю. 1(., С о л о в ь е в А. д.
Математические методы в теории надежности. М., «Наука»), 1965.
4. f н е Д е н к о Б. В., 1( о в а л е н к о И. Н. Введение в теорию
MaccoBoro обслуживания. М., «Наука», 1966.
5. [неденко Б.В., I(озлов Б.А., Ушаков И.А. Opo
ли и месте теории надежности в процессе создания сложных сис
тем. B сб.: «Теория надежности и массовое обслуживание». М.,
«Наука», 1969.
6. М и Р н ы й Р. А., С о л о в ь е в А. Д. Оценка надежности
системы по результатам испытаний ее компонент. В сб.: «I(и-
бернетику на службу коммунизмУ1>, т. 2. М., «Энерrия», 1964.
7. Оптимальные задачи надежности. [Сб. перев. статей]. М., «Стан-
дарты», 1968.
8. С в е ш н и к о в А. А. Прикладные методы теории случайных
функций. М., «Наукз», 1968.
9. С е д я к и н Н. М. Об одном физическом принципе надежности.
Изв. АН СССР. «Техническая кибернетикз», 1966, N 3.
10. У ш а к о в И. А. Методы решения простейших задач оптималь-
Horo резервирования при наличии оrраничений. М., «Советское
радио», 1969.
11. У ш а к о в И. А., 1( о н е н к о в Ю. 1(. Оценка эффективности
фуикционирования сложных ветвящихея систем с учетом надеж
ности. В сб.: «l(ибернетику на службу коммунизму», т. 2. М.,
«Энерrия», 1964.