Теги: общая механика   механика твердых и жидких тел  

Похожие

Прикладная механика сплошных сред. Том 3. Численные методы в задачах физики быстропротекающих процессов

Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров

Разностные методы решения задач газовой динамики

Численные методы. Учебник и практикум

Текст 
                    ИЗДАТЕЛЬ СТВО
«МИР»


METHODS IN COMPUTATIONAL PHYSICS
ADVANCES IN RESEARCH AND APPLICATIONS
Edited by
B. ALDER
Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, California
S. FERNBACH
Lawrence Radiation Laboratory, Livermore, California
M. ROTENBERG
University of California La Jolla, California
Volume 3
FUNDAMENTAL METHODS
IN HYDRODYNAMICS
ACADEMIC PRESS, NEW YORK AND LONDON
1964


ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ
МЕТОДЫ
В ГИДРОДИНАМИКЕ
Редакторы
Б. ОЛДЕР, С. ФЕРНБАХ
и М. РОТЕНБЕРГ
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
В. П. Коробейникова и П. И. Чушкина
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
С. С. Григоряна и Ю. Д. Шмыглевского
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1967


УДК 531 + 681
Коллективная монография известных американ-
американских специалистов посвящена современным методам
численного решения задач о неустановившихся дви-
движениях сплошной среды. В книге освещен 15-лет-
15-летний опыт, накопленный в области численного реше-
решения задач гидродинамики. Многие результаты ранее
не публиковались.
В первых четырех статьях рассматриваются ко-
иечно-разностные методы, в которых используются
переменные Эйлера или Лагранжа, а также одно-
одновременно оба типа переменных. Две статьи отно-
относятся к расчету движения упруго-пластических
сред. Излагается численный метод характеристик
для решения нестационарных одно- и двумерных
задач. В работе Харлоу описывается развитый им
метод частиц в ячейках. В последней статье изу-
изучается застойная зона в плоском потоке вязкой не-
несжимаемой жидкости.
Книга, несомненно, вызовет интерес как у спе-
специалистов по вычислительной математике, так и
у физиков, гидромехаников и инженеров, занимаю-
занимающихся исследованиями течений сплошной среды.
Редакция литературы по математическим наукам
Инц. 2-4-3.


ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Аналитические и численные методы четко разделили области господства
в нелинейной механике сплошных сред. Первые закрепили свои позиции
в исследовании и расчете особых точек, линий и поверхностей, вторые позво-
позволяют получать надежные результаты при расчете уравнений с частными про-
производными в областях, не содержащих особенностей. Умелое совместное
использование аналитических и численных методов определяет успех совре-
современного исследования.
С аналитическими методами, и по существу только с ними, знакомят
классические курсы механики сплошных сред. Численным методам все еще
редко посвящаются целые книги.
Предлагаемая читателю книга на самом деле является сборником неза-
независимых работ, но подбор этих работ сделан таким образом, что позволяет
достаточно полно охватить численные методы расчета неустановившихся
движений сжимаемой среды, зависящих от двух пространственных перемен-
переменных. Основная часть статей посвящена конечно-разностным методам в пере-
переменных Эйлера и Лагранжа или же методам, использующим комбинацию
этих переменных. Часть статей касается метода характеристик. Две послед-
последние главы посвящены соответственно методу частиц в ячейках и конечно-
разностному методу расчета нестационарных плоских течений вязкой несжи-
несжимаемой жидкости.
Иногда авторы проводят анализ устойчивости предлагаемых конечно-раз-
конечно-разностных схем. В некоторых случаях дается описание особенностей структуры
программ для электронных вычислительных машин.
Необходимо отметить, что многие из приведенных примеров расчетов
представляют самостоятельный интерес. Этот интерес объясняется как спе-
спецификой рассмотренных задач, так и их подробным решением.
Особо следует отметить содержание статей Дж. Майнчена, С. Сака и
М. Уилкинса, в которых демонстрируются возможности современных вычисли-
вычислительных методов при решении задач механики твердого деформируемого тела
с учетом многочисленных эффектов (упругость, пластичность, сжимаемость,
хрупкое разрушение и т. д.), сопровождающих деформирование и движение
таких сред при воздействии на них интенсивных нагрузок.
В то время как эффективность этих методов и фактически добытые с их
помощью в гидрогазодинамике результаты уже получили достаточно широ-
широкую известность и прочно вошли в практику исследовательских работ, при-
применительно к механике твердого деформируемого тела эти методы пока


Предисловие к русскому изданию
находятся в начальной стадии развития. Ознакомление с отмеченными выше
статьями настоящего сборника позволяет ощутить возможности вычислитель-
вычислительных методов и в этой весьма трудной области.
Большая часть статей написана специалистами из Лосаламосской науч-
научной лаборатории и Калифорнийского университета. Использование мощных
электронных вычислительных машин позволило авторам с самого начала
разрабатывать методы, опирающиеся на большую скорость вычислений и зна-
значительный объем машинной памяти. Многие из публикуемых результатов
ранее не были доступны широкому кругу читателей. Они, безусловно, будут
полезны для специалистов, работающих в области физики, гидромеханики,
механики твердого деформируемого тела и вычислительной математики.
Сборник не лишен некоторых недостатков. Статьи резко различаются
как по логической стройности предлагаемых схем, так и по четкости изложе-
изложения. В процессе подготовки русского издания пришлось устранить большое
количество неточностей и опечаток.
При переводе и редактировании работа была распределена следующим
образом: статьи со второй по шестую перевел В. П. Коробейников, осталь-
остальные — П. И. Чушкин. Статьи пятую и шестую редактировал С. С. Григорян,
остальные — Ю. Д. Шмыглевский.
С. С. ГРИГОРЯН
Ю. Д. ШМЫГЛЕВСКИЙ


ПРЕДИСЛОВИЕ
Современные технические данные больших электронных цифровых вы-
вычислительных машин делают возможным численное решение таких систем
дифференциальных уравнений в частных производных, которых никогда ра-
ранее не пытались решать. Даже простейшая одномерная зависящая от вре-
времени система уравнений, которая ныне на обычных электронных вычисли-
вычислительных машинах решается по стандартным программам, потребовала бы
несколько лет назад настолько большого количества человеко-часов работы,
что к ее решению не стали бы и приступать.
В настоящем томе из серии, посвященной вычислительным аспектам
физических проблем, рассматриваются современные методы численного реше-
решения задач, главным образом задач о движении невязкой сжимаемой жид-
жидкости. Эти методы были разработаны для расчетов на электронных вычисли-
вычислительных машинах в течение последних 15 лет. Некоторые из описанных здесь
методов более эффективны, чем другие. Методы с ограниченным применением
также включены в книгу, поскольку нам кажется, что в эти первые годы
развития электронных вычислительных машин как математического инстру-
инструмента должны быть широко представлены для обсуждений даже менее
успешные эвристические методы.
Первые четыре главы этой книги содержат численные методы, в кото-
которых используются лагранжевы или эйлеровы переменные или же комбинация
двух этих переменных в случае нескольких пространственных измерений. Две
следующие главы иллюстрируют применение некоторых из этих методов
для случая упруго-пластической среды, что связано с дополнительными
усложнениями. В двух дальнейших главах рассматривается метод характе-
характеристик для решения задач как с одной, так и с двумя пространственными
переменными. Следующая глава посвящена хорошо известному теперь методу
частиц в ячейках. Последняя глава относится к течению вязкой несжимаемой
жидкости и включена потому, что в ней обсуждается новый метод для ре-
решения таких задач.
Четвертый том данной серии также будет посвящен рассмотрению гидро-
гидродинамических вопросов, но с более прикладной точки зрения.
Б. ОЛДЕР,
С. ФЕРНБАХ,
М. РОТЕНБЕРГ
Июнь, 1964 г.


Двумерные конечно-разностные
гидродинамические уравнения
в переменных Лагранжа
У. Д. Ш У Л Ь Ц
Калифорнийский университет, Лоуренсовская
лаборатория радиации, Ливермор, Калифорния
1. Введение 9
2. Определения, обозначения и формулы преобразования 11
3. Уравнения сохранения .... . 13
4. Тензорная искусственная вязкость 16
5. Устойчивость дифференциальных уравнений 23
6. Гидродинамические конечно-разностные уравнения 29
7. Выбор величины Dt 40
8. Рассмотрение границ 47
9. Пример численного решения задачи 48
Литература 54
/• Введение
Первые гидродинамические задачи с начальными значениями,
которые решались на электронных вычислительных машинах,
были одномерными задачами (они содержат одну пространствен-
пространственную переменную, а в качестве другой переменной здесь мы
всегда будем подразумевать время). При решении одномерных
задач доводы в пользу применения представления Лагранжа
почти полностью перевешивают соображения в пользу примене-
применения представления Эйлера. После того как Рихтмайер и фон
Нейман ввели искусственную вязкость в теорию численных
методов, создание относительно точных и устойчивых ра-
расчетных схем в переменных Лагранжа стало совсем простым
делом.
Численные же схемы в переменных Эйлера, вообще говоря,
не столь точны и вызывают ряд дополнительных затруднений.
Когда в рассматриваемой задаче имеется несколько различных
сред, то при использовании представления Эйлера возникает
тенденция к диффузии через поверхности раздела с физически
нереальными скоростями. Вторая трудность здесь заключается
в том, что если рассматриваемая физическая система сжимается,
то ее математическое определение ухудшается из-за того, что в
численных схемах в представлении Эйлера координаты отвечают
фиксированным точкам в пространстве в отличие от численных
схем в представлении Лагранжа, где координаты отвечают


10 У. Д. Шульц
фиксированным точкам в среде. Вообще говоря, структура за-
задачи лучше определяется в переменных Лагранжа. Все эти
соображения относятся к внутренней области физической систе-
системы. Граничные же условия иногда бывают такими, что стано-
становится предпочтительнее пользоваться переменными Эйлера,
однако это случается редко.
Поскольку в одномерных численных схемах в основном при-
применялись переменные Лагранжа, то первоначально в двумерных
численных схемах, естественно, также брались переменные Ла-
Лагранжа. Все приведенные доводы о предпочтительности представ-
представления Лагранжа остаются справедливыми и в двумерном слу-
случае, но один из них должен быть пересмотрен. В двумерном
случае появляется некоторый новый процесс, а именно турбу-
турбулентность. В одномерном случае, если выбраны подходящие
переменные Лагранжа, т. е. переменные, которые хорошо опре-
определяют данную физическую систему, то с течением времени они,
как правило, также будут хорошо определять эту систему.
В двумерных же задачах положение несколько иное. Здесь
координаты Лагранжа, которые первоначально хорошо опреде-
определяли систему повсюду, часто с течением времени превращаются
в координаты, имеющие области плохого определения. Обычно
это затрудняющее обстоятельство можно отнести на счет турбу-
турбулентности. Численные схемы в переменных Лагранжа дают до-
достоверные результаты, когда такие области плохого определения
не имеют значительного влияния на общее поведение физической
системы. В последнем разделе данной статьи содержатся еще
несколько замечаний по этому вопросу, которые непосредственно
относятся к небольшой задаче, приведенной там для иллюстра-
иллюстрации.
В двумерных численных схемах искусственная вязкость Рихт-
майера — Неймана обобщается здесь на тензорную искусствен-
искусственную вязкость. Это сделано отчасти для того, чтобы облегчить
проблему турбулентности, и отчасти для того, чтобы получить
лучшее представление для ударных волн. Это нововведение дало
некоторый интересный дополнительный эффект. При использо-
использовании тензорной искусственной вязкости в одномерном цилин-
цилиндрическом и сферическом случаях имеют место уравнения, ко-
которые отличаются от уравнений, встречающихся при обычном
способе введения скалярной искусственной вязкости Рихтмайе-
ра — Неймана. На практике для физических систем с большим
числом ударных волн эти уравнения с тензорной вязкостью
дают отличающиеся результаты, но для систем с одной ударной
волной они находятся в хорошем соответствии с результатами,
полученными при использовании уравнений со скалярной искус-
искусственной вязкостью.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 11
k-t,l
R——
Рис. 1. Лагранжева координатная
сетка для расчетов конечно-разност-
конечно-разностным методом.
2. Определения, обозначения и формулы
преобразования
Для удобства мы сначала рассмотрим несколько соотноше-
соотношений, связывающих координаты Эйлера с координатами Лагран-
Лагранжа. Координаты Эйлера наиболее распространены в физике.
Кроме того, выражения в пе-
переменных Эйлера служат для
сокращения записи более сло-
сложных эквивалентных выраже-
выражений в переменных Лагранжа. |
Перед представлением любых 2
выражений в конечно-разно-
конечно-разностном виде они, конечно, бу-
будут сначала записываться в
переменных Лагранжа (рис. 1),
где приняты следующие обоз-
обозначения: R(k, I, t)—коорди-
t)—координата Эйлера (она может быть
либо декартовой, либо ци-
цилиндрической координатой);
Z(k,l,t)—координата Эйлера (всегда является декартовой ко-
координатой) ; R — вектор (R, Z); k — координата Лагранжа;
/ — координата Лагранжа; / — якобиан преобразования.
Если Rk = dR/dk, R^dR/dl и т. д., то тогда j=RkZi—RiZh
представляет собой якобиан, выражающий отношение площадей
в рассматриваемых переменных.
Пусть
R для цилиндрических координат,
1 для декартовых координат,
тогда «объемный якобиан» можно определить так:
Рассмотрим преобразование производной в переменных Эй-
Эйлера в производную в переменных Лагранжа
д _ ( dk \ д . / dl \ д
OR ~\dR) dk^XdR) dl э
JL — t^L\ A. _L (J!L\ JL
dZ ~\dZ] dk~t~\dZ) dl '
Выражение для dk/dR, ..., dl/dZ через производные Rk, ..., Zx
можно найти следующим образом. Для произвольного g имеем
dk
dR


12 У. Д. Шульц
Пусть g — k, тогда эти уравнения можно разрешить относительно
dk/dR и dk/dZ. Аналогично, полагая g" = /, найдем dl/dR и dl/dZ.
В результате получим
что дает
Определим вектор R, повернутый относительно вектора R на
90° против часовой стрелки, как «нормальный вектор» к R, т. е.
R= (Z, —R) — нормальный вектор к R.
Заметим, что
Ri • R2== Ri • R2» Ri • R2= —Ri • R2«
Можно определить также следующий полезный векторный опе-
оператор:
D=j[^llk~^kw]==j['dF^ ••¦) — -37- (R* ••
Тогда
dR j
dk
lz ~~
w=
д
R{
~T
~T
dR
Ж
Ri
j
dl
lz~
T
д ,
dk "г"
j
Rk
j
'Ж
j
»
•
d
dl '
Производные по времени в переменных Лагранжа, т. е. частные
производные при фиксированных k и /, записываются следую-
следующим образом:
u(k, U t) —~-fl- = Rt = R—скорость по направлению R,
v(k, /, /) =-^- = Z/ = Z — скорость по направлению Z,
u = u(#, v) — вектор скорости.
Теперь введем некоторые соотношения, котбрые будут ис-
использоваться в дальнейшем:
у = R* • R/»
it — Rkt • R/ + R* • R//= R/ • R** — R^ • R//>
л = R/ • uft - Rk • u^ =y d • u. (l)


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 13
В цилиндрических координатах
Подставляя сюда Du из выражения A), получаем
т " — R ^ i — Rj '
Следовательно,
V.U = 4- B)
Поскольку J = j для декартовой системы координат, то
формула B) сводится к A) и, таким образом, действительна
для обеих (декартовой и цилиндрической) систем координат.
Заканчивая рассмотрение формул преобразования, выведем
связь между производными по времени в переменных Эйлера
и Лагранжа.
Пусть g — произвольная функция, тогда
Следовательно,
dg dg
~оТ~~дГ
4=41 +(it.v).
Перечислим еще некоторые обозначения и определения:
р — давление; р — плотность; т = р~1 — удельный объем; е —
удельная внутренняя энергия; S —энтропия; М = р°/°—массо-
р°/°—массовая константа (верхний индекс «О» означает, что / = 0); e(s) —
удельная внутренняя энергия, вносимая внешним источником;
Е = Мг.
3. Уравнения сохранения
В этом разделе приводится система дифференциальных урав-
уравнений гидродинамики. Здесь даются замечания к различным
дифференциальным уравнениям и проводится сопоставление их
между собой, но без фундаментального обсуждения их смысла.
Таким образом, будем считать, что дифференциальные уравне-
уравнения известны (исключая лишь вопросы, связанные с введением
искусственной вязкости), и будем исходить из этого предполо-
предположения. Следовательно, уравнения C) —F) будем рассматривать
как определяющие, а уравнения G) —(9) выводятся из этих
определяющих уравнений.
Уравнение массы
C)


14 У. Д. Шульц
Это уравнение непосредственно следует из уравнения сохране-
сохранения массы, которое обычно записывается в виде
и, следовательно,
р/
Дифференциальное уравнение количества движения
=0. D)
В уравнениях гидродинамики для сглаживания разрывов,
обусловленных ударными волнами, будет применяться тензорная
искусственная вязкость. В уравнении D) величина qA должна
интерпретироваться как «одномерная» вязкость, связанная с на-
направлением R/, тогда как величина qB является «одномерной»
вязкостью, связанной с направлением Rh *).
Уравнение внутренней энергии
дг de(s) дх qA(*r*k) ?в(-УМ_о /сч
Уравнение сохранения полной энергии G) показывает, что
в уравнениях количества движения и внутренней энергии члены,
содержащие qA и qBy являются взаимосогласованными.
Уравнение состояния. Величина р, которая входит в уравне-
уравнения сохранения, вычисляется как известная функция от е и т.
Таким образом, должны быть заданы уравнения (или таблицы)
в форме
р = /?(е,т). F)
Уравнение сохранения полной энергии. Из уравнения коли-
количества движения и уравнения внутренней энергии имеем
Преобразуя это выражение и используя равенство
') Подробное обсуждение тензорной искуственной вязкости проводится
§ 4,


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 16
получаем
u, + e, —e(s),] = —u-Vp —/>V.u —
Применяя соотношение
и объединяя члены, находим
Ж
Проинтегрируем последнее выражение по объему, ограничен-
ограниченному поверхностями k = K\, k — Къ l=Li и / = L2, беря в цилин-
цилиндрических координатах угол раствора соответствующего сектора
равным одному радиану и беря в декартовых координатах вы-
высоту соответствующего параллелепипеда равной единице. Тогда
получим
К, L2
. G)
Это и есть уравнение сохранения полной энергии. Отметим,
что величины qA и qB входят в интегралы только на границах
физической системы, как это и должно быть для хорошей искус-
искусственной вязкости.
Уравнение количества движения в интегральной форме
-к \ Ми dk dl = J J9ut dkdt = — j JVpdk dl —
— J Ж №?л) dkdl+\ 4 (RRkqB) dk dl. (8)
J L/tv J Lit
Как видно, величины qA и qB здесь также будут входить
чиько в интегралы на границах физической системы. Однако


16 У. Д. Шульц
для скалярной вязкости q в случае цилиндрических координат
такое положение не имеет места 1).
Уравнение момента количества движения
= - J RXJVpdkdl - | ± (R X RtRqA)dkdl +
+ I Ж (R X *^b) dkdl+\RkX RiR(qA - Я в) dk dl. (9)
Для уравнения момента количества движения ситуация ока-
оказывается не столь хорошей. Здесь появляется член, который
содержит величину (qA—qB) и интегрируется по объему системы.
Это обстоятельство будет обсуждаться в следующем разделе.
4. Тензорная искусственная вязкость
Чтобы интегрировать гидродинамические уравнения путем
замены их конечно-разностными уравнениями, надо вводить
некоторый механизм для сглаживания разрывов, которые имеют
место, когда возникают ударные волны. Фон Нейман и Рихт-
майер [1, 2] первыми разрешили эту проблему для одномерных
задач путем введения искусственной вязкости, которая размазы-
размазывает разрывы, обусловленные скачками, на определенное число
расчетных ячеек.
В сущности они построили некоторую искусственную среду,
конечное поведение которой после сглаживания ударных волн
было достаточно похожим на поведение действительной среды.
Таким образом, в физических уравнениях эту искусственную
среду можно было рассматривать вместо действительной среды.
Эта искусственная среда определяется следующим образом.
Рассмотрим некоторый плоский скачок, который движется только
в направлении R и не перемещается в направлении Z. При этих
условиях можно выбрать ортогональные координаты Лагранжа
k и /, возрастающие в направлениях R и Z соответственно, т. е.
Ri = Zjl = O.
Предположим также, что газ имеет уравнение состояния с по-
постоянным отношением удельных теплоемкостей у, т. е.
х) В цилиндрических координатах мы проводим интегрирование для
объема с углом раствора сектора, равным одному радиану. Если интегриро-
интегрировать по всему объему системы, то тогда скалярная вязкость q также вхо-
входила бы только в интегралы по поверхности.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 17
Затем как в уравнении количества движения, так и в уравнении
энергии величину р заменим на (p + qN), где qN определяется
следующим образом. Пусть
. о]. *-Z
тогда
Величина Ny входящая в выражение для cOi представляет собой
расстояние, на которое будет размазываться скачок в простран-
пространстве k в декартовой системе (hk = N — толщина размазанного
скачка).
Ниже перечисляются некоторые физические свойства, кото-
которым желательно удовлетворить при введении искусственной вяз-
вязкости: #
а) Считается, что равномерное расширение или сжатие всей
среды соответствует некоторому обратимому процессу (беско-
(бесконечно малые объемы сжимаются бесконечно медленно). Искус-
Искусственная вязкость должна быть независимой от такого движе-
движения *).
б) Составляющая скорости (среды), параллельная фронту
скачка, должна быть непрерывной.
в) Должно выполняться уравнение для момента количества
движения.
г) Искусственная вязкость должна отсутствовать для поля
скоростей, соответствующего вращению физической системы как
жесткого целого.
Одномерная вязкость Рихтмайера — Неймана не удовлетво-
удовлетворяет условию а). Это имеет место в случае, где
ди п д2и _ п дх п
тогда
Вместо этой основной искусственной вязкости мы будем приме-
применять новую искусственную вязкость, определенную следующим
образом:
ди
д (ди
) Вопрос о том, обращается ли в нуль второй коэффициент вязкости
сжим1167' «остается' очевидно, еще открытым Следовательно, в равномерно
обсто 6М0И системе' веРоятно, происходит изменение энтропии. Однако это
ственнп"ЛЬСТВ° пРеДставляет собой отдельный вопрос При введении искус-
искусной вязкости пытаются учесть только нагревание в скачке.
Зак, 647


18 У. Д. Шульц
В случае равномерных ячеек величина q будет обращаться в
нуль, как это требуется в соответствии с условием а) ]).
На практике выбирают с\ = 2. Для искусственной вязкости
qN в этом случае простой скачок размазывается на три-четыре
ячейки, т. е, (du/dk)- не обращается в нуль только на протяже-
протяжении трех-четырех ячеек. Хотя величина (д/dk) (du/dk). может
быть несколько меньше величины (du/dk)-, но они должны иметь
одинаковый порядок. Таким образом, можно надеяться, что
искусственная вязкость q при том же значении с\ будет также
размазывать простой скачок на три-четыре ячейки. Оказывается,
что такое положение имеет место на практике. Форма ударного
фронта, конечно, отклоняется от простой синусоидальной волны
для искусственной вязкости Рихтмайера — Неймана qN. Тензор-
Тензорная искусственная вязкость, которая разрабатывается в этой
статье, будет строиться на основе новой скалярной вязкости.
Рассмотрим теперь некоторую область в общем простран-
пространстве k, l. Пусть Rfc и R/ представляют собой векторы, направлен-
направленные вдоль линий /=const и k = const соответственно. Более су-
существенными направлениями, однако, являются направления,
которые определяются нормальными векторами,
Rh=(Zk,—Rh) — нормальный вектор к Rky
R/= (Zi,—Ri)—нормальный вектор к Rj.
Эти нормальные векторы содержатся в операторе D. Скаляр-
Скалярная вязкость вводится в уравнение количества движения, кото-
которое через этот оператор записывается так:
" j "* dk ^ ] ^ dl '
Однако условие б) требует свойств направленности искусствен-
искусственной вязкости. В качестве первой попытки для выполнения этих
требований можно записать такое тензорное уравнение:
ди . _ —1=ддя1--дао
1) Для неравномерных ячеек величина q уже не будет обращаться
в нуль, как это было бы желательно. Чтобы учесть это условие, мы сначала
пытались применять следующую пробную вязкость:
да \ . Г ди
2 / ди \ д (_ди\ I / dR \2
— соР[W)_ dk \ dR j_ I \Ж) '
Такая вязкость q оказалась неудовлетворительной. В этом случае скачки
распространялись через большую ячейку, окруженную малыми ячейками, не-
некоторым физически нереальным образом.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 19
где qA —- «одномерная» вязкость, связанная со скачками, дви-
движущимися в направлении Rz; величина qB имеет аналогичный
смысл. Уравнение для внутренней энергии можно вывести из
требования сохранения полной энергии, т. е. потребовав, чтобы
выполнялось равенство G). Тогда получим
дг дг (s) дх qA д qR д ~—
dt dt dt M dk ' ^ Ai dl
Это уравнение энергии оказывается неудовлетворительным, по-
поскольку оно не является галилеевым инвариантом. Чтобы это
уравнение не зависело от преобразования, связанного с наложе-
наложением постоянной скорости, надо вынести величины RRi и RRh из-
под производных по k и / соответственно. Тогда
дг дг (s)
dt dt
Обратившись еще раз к уравнению сохранения полной энергии,
получим в результате
Таким образом, выводим уравнения D) и E).
Теперь остается только определить подходящие выражения
для qA и qB. Для скачка, движущегося в направлении R/, ука-
указанную одномерную вязкость можно обобщить следующим пу-
путем. Определим
а также
и далее положим
Аналогично
fdu\B
ди\В д (ди\в


20 У. Д. Шульц
Определение qA и qB согласно A0) и (И) завершает определе-
определение тензорной искусственной вязкости *). Уравнения C) — F),
A0) и A1) вместе с заданными граничными и начальными усло-
условиями определяют состояние физической системы в течение
всего времени.
Почти очевидно, что в численных расчетах всегда можно
найти такую ситуацию, для которой данный численный метод
будет непригодным. Рассмотрим перечисленные ранее физические
условия в) иг). Мы их выбрали потому, что им не удовлетво-
удовлетворяет введенная тензорная искусственная вязкость. В конце этого
раздела устанавливается, что при такой тензорной вязкости,
вообще говоря, не будет выполняться уравнение момента коли-
количества движения. Не вникая в детали, заметим, что эта труд-
трудность, как оказалось, заключается в том, что в большинстве
интересных задач появляется очень много длинных узких ячеек.
Применяемая искусственная вязкость должна обладать свой-
свойством размазывания ударных волн на малое расстояние в
том направлении, по которому ячейка оказывается узкой, и на
большое расстояние в том направлении, по которому ячейка
оказывается длинной, т. е. искусственная вязкость должна быть
величиной, зависящей от вида ячейки. Это обстоятельство, ока-
оказывается, приводит к невыполнению уравнения момента количе-
количества движения.
Однако на практике такое положение не представляет собой
проблемы, потому что численные схемы в переменных Лагранжа
не пригодны для задач с турбулентным течением. Для этих за-
задач следует применять численные схемы в переменных Эйлера,
а здесь не возникает проблемы при обеспечении выполнения
уравнения момента количества движения. Приближенно в этом
можно убедиться, замечая, что для ортогональной сетки векторы
R/i и R/ будут параллельны, и, значит, нежелательный член в
уравнении (9) исчезнет.
Условие г) относится к полю скорости типа
для которого (dujdk)A и (ди/д1)в, вообще говоря, не обращают-
обращаются в нуль. Такую трудность можно было бы устранить, однако
мы не пытались этого сделать, поскольку данная трудность, по-
видимому, связана с проблемой выполнения уравнения момен-
момента количества движения. Здесь нет уверенности в том, что, ра-
работая над одной проблемой и не будучи при этом в состоянии
как-то разрешить другую (связанную) проблему, можно до-
добиться общего улучшения численной схемы.
*) Пока обоснование для названия этой вязкости «тензорная» следует
из свойств ее направленности. Ее связь с формальным тензором в простран-
пространстве Эйлера будет показана в конце этого раздела.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 21
Тензорная искусственная вязкость представляет собой новую
величину в численной гидродинамике, и мы теперь рассмотрим
ее с точки зрения представления Эйлера. Это позволит показать
явным образом тензорные свойства введенной выше искусствен-
искусственной вязкости и осветить другие вопросы, представляющие
общий интерес.
В эйлеровом пространстве уравнение количества движения
можно записать в форме
Как и в случае лагранжевого представления, требование со-
сохранения полной энергии определит тогда форму уравнения
внутренней энергии
+р?+±о.
dt ^F dt ^ p dxJ
Из этих уравнений в трехмерном декартовом пространстве
получим теперь одномерные уравнения в декартовой, цилиндри-
цилиндрической и сферической системах координат.
Используя аппарат тензорного исчисления, запишем уравне-
уравнения с тензорной искусственной вязкостью в ковариантной форме.
Пусть tab"* представляет собой некоторый контравариантный
тензор и пусть g'(/=l, 2, 3)—-некоторая произвольная система
координат. Ковариантная производная тензора tabt" равна
где
l\ = ±-g*(g. b+eb
Л2 = gtl d\l dll — инвариантная длина.
Пусть также
dta
b'~
dt
?о — фиксированное значение.
Уравнения с тензорной искусственной вязкостью в кова-
ковариантной форме имеют следующий вид:
да1
дг
A5)


22 У. Д. Шульц
Для цилиндрических координат
#11 = #22 = 1, #33 = /?, #*'
#//=#" = О, если /
Для сферических координат
Теперь можно получить искомые одномерные уравнения,
вводя обозначение
f 0 — для декартовых координат,
6 = j 1—для цилиндрических координат,
[2—для сферических координат.
Одномерные уравнения с тензорной искусственной вязко-
вязкостью имеют следующий вид:
r dt dR R6 dR
de_ dx_ QRR duR
dt " dt p dR
Здесь величина QRR представляет собой все, что остается от
тензора Q'1'. Эта величина в данной системе координат должна
быть взята такой же, что и величина скалярной вязкости q,
определенной ранее.
Интегрируя уравнение количества движения A6), можно
увидеть, что даже в одномерном случае тензорная искусствен-
искусственная вязкость имеет преимущества
#2 г> ^2
Если QRR обращается в нуль в граничных точках /?4 и /?2, то
тогда искусственная вязкость полностью исчезает из уравнения.
Короче говоря, мы имеем здесь надлежащее выражение для
суммы «радиального количества движения» в цилиндрическом
и сферическом случаях. При скалярной же вязкости соответ-
соответствующее выражение получается лишь в плоском случае.
Второе преимущество тензорной искусственной вязкости про-
проявляется в уравнении энергии. Изменение энтропии физической


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 23
системы определяется здесь произведением QRR на duR/dR вме-
вместо dxfdt. Величина duR/dR является функцией, зависящей только
от деформации физической системы в радиальном направлении.
Величина же dx/dt, вообще говоря, включает также вклады от
общего радиального схождения или расхождения системы, когда
она двигается вовнутрь или вовне.
Двумерные эйлеровы уравнения для декартовой и цилиндри-
цилиндрической систем, т. е. эйлеровы уравнения, соответствующие урав-
уравнениям D) и E), также можно вывести из общих ковариантных
уравнений. Они имеют такой вид:
ди _ др 1_ д ZR
9
Tt~ ~dR R dR КНЦ ] dZ '
dv _ dp Id FQRZ\ dQzz
dt dx 1 (nRR du , ^zr du , nRz dv . nzz dv
Преобразуя эти уравнения к лагранжеву пространству k, l и
сравнивая с уравнениями D) и E), получаем следующие выра-
выражения для элементов тензора:
nRR I rdR dZ „ dR dZ ,
,ZR 1 \dZ dZ ,
rz_ l TdR dR (
zz _ 1 Г dR dZ dR dZ
~j[~dk~TqB—W "dF
Из этих выражений явно виден тензорный характер рассма-
рассматриваемой искусственной вязкости. Можно заметить, что данный
тензор не обладает симметрией. Этот факт подтверждает ранее
отмеченное нарушение уравнения момента количества движения.
S. Устойчивость дифференциальных уравнений
Практический интерес представляет устойчивость конечно-
разностных уравнений, а не исходных дифференциальных урав-
уравнений. Идеальный подход при исследовании устойчивости за-
заключался бы в том, чтобы взять конечно-разностные уравнения
и определить их поведение при малых возмущениях. Однако этот
идеальный подход, как оказалось, не приводит к каким-либо
полезным результатам для конечно-разностных уравнений гидро-
гидродинамики. Ряд авторов пытался осуществить такой подход, не
получив, однако, каких-либо четких результатов.


24 У. Д. Шульц
В этой статье мы будем следовать методике Рихтмайера и
фон Неймана и сначала исследуем поведение исходных диффе-
дифференциальных уравнений при малых возмущениях. Такое иссле-
исследование проводится в настоящем разделе. Упрощенные диффе-
дифференциальные выражения, которые получаются в результате этого
процесса, представляются далее в конечно-разностной форме.
Требования устойчивости этих упрощенных конечно-разностных
уравнений будут применяться затем для получения требований
устойчивости полной системы конечно-разностных уравнений.
Такая «эвристическая» методика оправдывается на практике.
Требования устойчивости, полученные таким образом, оказы-
оказываются достаточными для того, чтобы гарантировать устойчи-
устойчивость полной системы конечно-разностных уравнений.
Основное поведение системы при коротковолновых возмуще-
возмущениях исследуется для двух случаев. Сначала рассмотрим только
гидродинамические уравнения при отсутствии скачков, а затем
изучим гидродинамические уравнения при наличии скачков.
Введение скачков приводит к такому основному поведению, ко-
которое отличается от первого простейшего случая и определяется
величинами более высокого порядка. Поскольку в процессе ре-
решения задачи, вообще говоря,- встречаются оба случая, то тре-
требование устойчивого поведения в этих случаях является очевид-
очевидной необходимостью.
Возможно, но не вполне очевидно, что одновременное удо-
удовлетворение требований устойчивого поведения в обоих этих
случаях, будет также достаточным для обеспечения устойчивости
полной системы уравнений. Как оказалось, на практике дело
обстоит именно так.
В следующем анализе мы будем пренебрегать величиной
е (s), поскольку ее вариация обращается в нуль и, таким обра-
образом, не может входить в окончательные результаты.
Случай 1. Гидродинамика при отсутствии скачков. Из-за
отсутствия искусственной вязкости здесь имеют место следую-
следующие дифференциальные уравнения:
Уравнение для внутренней энергии эквивалентно условию
постоянства энтропии во времени
Поэтому, как это обычно делается, возьмем уравнение состоя-
состояния в виде
p = p(S, р)


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 25
и определим квадрат скорости звука
Ф s
Теперь уравнение количества движения можно записать так:
Используя равенство
р ^ т
и выражение для оператора
находим
R« = -jj-^f- [R>* - R»t,l - T(^)lp [R A - ВД]. A8)
Кд • К/Т К# • К/
где ^ .
^R,). A9)
Уравнения A8) и A9) дают три уравнения относительно трех
неизвестных, а именно R (две составляющие Z и /?) и т. Вели-
Величины М и S представляют собой известные функции от k и /, а
величины с2 и dp/dS\p являются известными функциями от
т и 5.
При численном интегрировании этих уравнений основной тип
ошибки, которая будет проявляться в решении, соответствует
малому возмущению, локализованному в малой области про-
пространства. Следуя фон Нейману и Рихтмайеру, выведем урав-
уравнения, описывающие дальнейшее поведение этого возмущения,
рассматривая первую вариацию. Пусть
т —> т -f- бт.
Предполагается, что величины R, т, М, S, с2 и dpjdS\, входящие
в получаемые уравнения, изменяются медленно в области возму-
возмущения, поэтому их можно считать постоянными. Тогда полу-
получаются линейные уравнения и нам необходимо исследовать
только поведение различных членов ряда Фурье для возмуще-
возмущения. В частности, предположим, что решение имеет вид
6R = 6R0 exp (imxk + im2l + ctf), 6т = 6т0 exp [imxk + im2l -f at).
Кроме того, из-за локализации в малой области короткие волны
бУДут составлять основную форму колебаний, что позволяет
считать ащ и пг2 большими величинами.


26 У. Д. Шульц
Рассмотрим теперь только цилиндрические координаты. Тогда
из A9) найдем
Мы сохраним только члены высшего порядка по тА и т2.
Всякое дифференцирование по k и / будет повышать на единицу
степень т^ или га2. Следовательно, величина 8R выпадает из
приведенного уравнения, поскольку она имеет нулевой порядок,
в то время как 6R* и 6R/ являются величинами первого порядка.
Таким образом, получим
6t=tD.6R. B0)
Отметим теперь, что уравнение B0) имеет место как для декар-
декартовых, так и для цилиндрических координат, поскольку основное
различие между ними проявляется в членах более низкого по-
порядка, которые выпадают при выводе этого уравнения.
Из уравнения B0) видно, что порядок величины бт должен
быть на единицу выше, чем порядок 6R; поэтому теперь можно
варьировать уравнение A8) таким же образом. В результате
получим
6Rw = ?d6t. B1)
Комбинируя B0) и B1), получаем следующее эффективное вол-
волновое 1) уравнение для нашей системы:
B2)
Подставляя в уравнение B2) предполагаемое решение для бт,
находим
Таким образом, а является мнимой величиной, как это сле-
следовало ожидать из вида волнового уравнения. Поскольку воз-
возмущения представляют собой просто синусоидальные колебания
и не растут во времени, то дифференциальные уравнения в рас-
рассматриваемом случае будут устойчивыми для этого типа возму-
возмущения, если сделанные в этом исследовании различные предпо-
предположения будут достаточно справедливыми, что обычно и имеет
место на практике2).
Случай 2. Гидродинамика при наличии скачков. Здесь рас-
рассматривается случай, когда вводится искусственная вязкость.
[) Название «волновое» здесь является условным. В дальнейшем оно
получит некоторое оправдание. — Прим. ред.
2) Если только %t ^> 0; если же т*<0, то члены более низкого порядка
вызовут неустойчивость,


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 27
Сначала мы проведем исследование для случая простой скаляр-
скалярной искусственной вязкости, а затем обсудим вкратце более
сложный случай тензорной искусственной вязкости. В первона-
первоначальных вариантах численной схемы применялись именно урав-
уравнения со скалярной вязкостью, а требование устойчивости для
них обладало также тем свойством, что оно являлось критерием
достаточно точного интегрирования этих уравнений. Поэтому
представляется целесообразным сохранить и здесь этот крите-
критерий, если он даже был выведен для иной системы уравнений.
Обозначим
Rru*), 0],
L = mIn[(-Rik-ul), 0],
тогда первую из рассматриваемых систем уравнений можно за-
записать следующим образом.
А. Гидродинамические уравнения со скалярной искусствен-
искусственной вязкостью. t
Они имеют следующий вид:
= 0, ut =
q = »
и?
-]•
Дальнейший шаг состоит в том, чтобы провести варьирова-
варьирование, отбрасывая все члены, кроме членов наивысшего порядка.
Рассмотрим относительные порядки величины bq и 6р.
Примем 6R за характерную величину, имеющую нулевой по-
порядок. Тогда
Так как
то, очевидно, bq имеет по крайней мере первый порядок по ть
Щ и первый порядок по а.
Далее,
Подставляя сюда
бе =


28 У. Д. Шульц
получаем
Следовательно, Ьр имеет тот же порядок, что и бт. В первом
случае мы видели, что бт имеет первый порядок по ти т2, но
нулевой порядок по а. Таким образом, порядок б/? по а на еди-
единицу меньше порядка 8q, и величиной 8р можно пренебречь при
сравнении.
После преобразований *) придем к следующим выражениям:
6u* — BRk . би,,
где
Комбинируя написанные выше уравнения, найдем
Используя определение для оператора D (из § 2), получаем
bqt = -^[A^f>qkk-(A + B)Rk • R,tyw + BR|tyB]. B3)
Пусть
б^ = б^0 exp (imxk + imj, + otf),
тогда, подставляя величины А и В, находим
В некоторых случаях значение а может быть положительным.
Поэтому рассматриваемые дифференциальные уравнения не
всегда устойчивы относительно коротковолновых возмущений.
Однако в дальнейшем будет показано, что конечно-разностные
уравнения условно устойчивы во всех случаях. Отметим еще, что
1) Здесь предполагается, что а имеет порядок вдвое больший, чем по-
порядок mi или т2. Если в окончательном уравнении а получится как квадра-
квадратичная функция гп\ и т2, то это предположение будет самосогласованным
и оправданным.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 29
когда эта система уравнений представляется в конечно-разност-
конечно-разностной форме и решается на электронной вычислительной машине,
она образует довольно удобную численную схему.
Б. Гидродинамические уравнения с тензорной искусственной
вязкостью
Для этого случая исследование не разработано настолько
хорошо, как в предыдущем случае. Положение осложняется в
действительности не из-за тензорных свойств вязкости, а из-за
того, что мы применили новую «одномерную» вязкость для qA
и qB вместо обобщения старого выражения Рихтмайера и фон
Неймана. Трудности здесь вызваны наличием множителя вида
dk \dkj_
который мешает провести полностью параллельное исследование
в тензорном случае. В этом случае был выведен новый критерий,
но он сложен в применении, и поэтому в численную схему вво-
вводился первоначальный критерий устойчивости для скалярной
искусственной вяз«ости. Этот критерий дает более сильное огра-
ограничение на шаг по времени, чем новый критерий, являясь допол-
дополнительно критерием достаточной точности. Отметим, что новый
неприменяемый критерий мог оказаться неудовлетворительным
просто из соображений программирования, так как он вычис-
вычисляется по величинам на двух предыдущих шагах по времени, а
не на одном предыдущем шаге.
6. Гидродинамические конечно-разностные
уравнения
До настоящего момента индексы k и / у какой-либо функции
ставились лишь для обозначения частных производных по соот-
соответствующей переменной. Теперь же индекс &, / с запятой ме-
между буквами k и / будет относиться к дискретным переменным
k, l Следовательно, например,
тогда как
R2fl = R(?f /, t% k, /, я = 0, 1, 2, ...,
где п— дискретная переменная времени
tn = tn~l + Dtn'1/2 = 2 Dts~v\
l


30
У. Д% Шульц
Типичная расчетная ячейка в дискретном k, /-пространстве
изображена на рис. 2. Непосредственная запись в конечно-раз-
конечно-разностной форме соответствующих уравнений позволяет определить
и вычислить такие термоди-
термодинамические величины, как/?,
Qa и qB в центре четырех-
угольной ячейки. Однако
при использовании такого
типа конечно-разностного
представления гидродина-
гидродинамическое движение среды не
всегда устойчиво, как это
хотелось бы иметь. Рассмот-
Рассмотрим длинную тонкую ячей-
R *" ку, сжимаемую с одной сто-
Рис. 2. Типичная четырехугольная Роны (Рис- 3>а)- Поскольку
ячейка в дискретном &, /-пространстве, левая сторона от центра
ячейки сжимается, то долж-
должна быть введена величина q, чтобы оказать сопротивление этому
движению и повысить энтропию. Однако величина q, вычислен-
вычисленная в центре ячейки, будет смещать также узловые точки по
правую сторону от центра ячейки. Этот эффект совершенно
k-J,
я
p
I
4
X
L-l
1
\
i
и
Рис. 3. а—длинная узкая ячейка, сжимаемая с одной сто-
стороны; б — нерегулярная, или «патологическая», ячейка.
2—сжатие; 2—отрицательный объем.
неверен и приводит к нежелательному сдвигу узловых точек в
существенно холодные области в данной задаче.
Указанная трудность встречается даже в случаях гладкого
гидродинамического движения. Для такого типа задач более
подходят конечно-разностные лагранжевы уравнения. Однако
наличие даже самой небольшой турбулентности будет приводить


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 81
к образованию нерегулярных или так называемых «патологиче-
«патологических» ячеек типа, показанного на рис. 3, б. Появление ячеек та-
такого типа ранее наблюдалось в пробных расчетах. При исполь-
использовавшихся тогда конечно-разностных уравнениях движение
среды происходило ненадлежащим образом, когда появлялись
такие ячейки. Это обстоятельство вызвало разработку в гидро-
гидродинамике численных схем с треугольными ячейками.
В простейших схемах с треугольными ячейками просто строит-
строится одна из диагоналей в четырехугольной ячейке, а условие
сохранения массы рассматривается от-
отдельно внутри двух полученных треуголь-
треугольных ячеек (рис. 4). Далее определяются
величины е, р и q в центрах треуголь-
треугольных ячеек. Эти ячейки не могут вывора-
выворачиваться наизнанку без обращения з
нуль их удельного объема. В таком слу-
случае давление проходило бы через беско-
бесконечность и, следовательно, патологиче-
J^^^оТраясво.
ские ячейки не могли бы иметь места. ДИтся к треугольным
Применение треугольных ячеек решает ячейкам,
также проблему сдвига узловых точек,
вызванного распространением возмущения величины д. Для
решения гидродинамических задач было предложено несколь-
несколько хороших численных схем с треугольными ячейками, и те-
теперь они широко применяются.
Треугольные ячейки налагают некоторые ограничивающие
условия на рассматриваемую физическую систему. Эти условия
в сущности являются нефизическими. Требуется, чтобы элемент
жидкости, первоначально имевший форму треугольника, сохра-
сохранял свою треугольную форму на протяжении всего времени.
В численных схемах с четырехугольными ячейками требуется,
чтобы рассматриваемый элемент жидкости оставался четырех-
четырехсторонним. Таким образом, здесь тоже вводятся некоторые огра-
ограничения для среды, но более слабые, чем для трехсторонних
ячеек. В настоящей работе сделана попытка, пользуясь четырех-
четырехугольными ячейками, записать конечно-разностные уравнения
таким образом, чтобы они были достаточно корректными в слу-
случае «патологических» ячеек, и тем самым устранить необходи-
необходимость в дополнительных ограничивающих условиях.
В этой статье конечно-разностные уравнения строятся с при-
применением четырехугольной ячейки (рис. 5,а), причем значения р
и е определяются в ее центре, а четыре значения ^определяют-
Ся вдоль сторон ячейки1). Эти четыре значенияgобеспечивают
) Индексы 1, 2, 3, 4 у какой-либо переменной всегда соответствуют по*
Жению внутри четырехугольника, показанному на рис. 5, а.


32
У. Д. Ш у льц
стабилизацию формы ячейки. Например, в случае регулярной
ячейки, сжимаемой с одной стороны, четыре величины q в ячей-
ячейке рассчитываются так, чтобы создать эффект, показанный на
рис. 5,6, т. е. устранить распространение возмущения q.
Введем теперь некоторые
обозначения. Разности по пе-
переменной k обозначим симво-
символом Л, например:
K-l,
/с-/, l-l
и
*
f
\
— i9a—^
a
f
л,
G
+/, , ,
Аналогично будем использо-
использовать обозначение
Точно так же в случае раз-
разностей непосредственно сле-
следует, что
2, / =
, U —
Рис. 5. a — четырехугольная ячейка,
используемая для конечно-разност-
конечно-разностных уравнений в этой статье; б — ра-
расчет величин q в случае, когда ре- —п
гулярная ячейка сжимается с одной 6R^}/+i/2 =
= \pZ,kf /+1/2? Vt\k, 1+1/2)'
Разности по переменной п, соответствующей времени, обо-
обозначим символом D, например:
гч /1 + 1/2 П + 1 П
Для основных величин, таких, как R или т, простое осред-
осреднение отмечается соответствующими индексами, например
AR/L
/Li/2, /—1/2 =
—1/2, /-l
В настоящей статье не обсуждаются подробности программи-
программирования рассматриваемой двумерной численной гидродинамиче-
гидродинамической схемы. Мы будем предполагать, что в момент времени tn
для всех k и / известны следующие величины, определяющие
физическую систему и образующие Т-массив памяти:
М
nn~l
k, V
уП .П П П П
**k,V h-1/2, 1-1/2* Xk-l/2, 1-1/2* l4k-1/2, 1-1/2* 24k-1/2, 1-1/2*
Конечно-разностные уравнения, приведенные в этом разделе,
позволят, отправляясь от момента времени п, определить эти


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 33
величины в момент п+\. Кроме того, будем предполагать, что
значения этих величин в момент времени п будут в нашем рас-
распоряжении в течение всего процесса расчета данного шага по
времени. Не все указанные величины независимы, как это можно
увидеть из конечно-разностных уравнений, которые будут выпи-
выписаны ниже. Очевидно, перечисленные величины составляют си-
систему, удобную при проведении расчетов.
Дополнительно необходимы следующие величины:
Dtn~ll\ Dt\
Они связаны между собой формулой
Вычисление величины Dtn+3/2 будет рассмотрено в следую-
следующем разделе.
Первая величина, содержащаяся в Г-массиве памяти,
Mk-i/2, /-1/2» представляет собой массу ячейки. Эта величина, по-
постоянная во времени, рассчитывается в начальный момент и в
дальнейшем не изменяется. Поэтому
Вычисление объема ячейки Jk-1/2, /-1/2 описано ниже.
По заданной функции или по таблице определяется вели-
величина
Pk-l
'?-1/2, /-1/2 — У \ ?-1/2, J-l/2» "fc-1/2, 1-1/2J'
Для использования в уравнении количества движения величи-
величину рп экстраполируют или интерполируют на «центрированное
время п» по формуле
^Г-1/2, /-1/2 === ^-1/2, /-1/2 +
Iй* — У* W ^-1/2,/-1/2"— Рк-1/2,1-1ф
"II ^ /1 »*ч,П —I/O
Это «центрированное время п» представляет собой среднее зна-
значение между п—г/2 и п + г/2 (рис. 6). Такое «центрированное
время п» рассматривается лишь тогда, когда приращение вре-
времени Dtn+l1 отличается от соответствующего приращения для
предыдущего цикла по времени. Совсем не очевидно, что при-
применение этого центрирующего процесса даст существенный эф-
эффект. Такой процесс введен только потому, что это несложно
сделать. Мы не проводили каких-либо исследований относи-
относительно того, насколько при этом улучшится (если вообще улуч*
Шится) решение рассматриваемой задачи.
3 Зак( 647


34
У. Д. Шульц
Положим
+ 1/2 -f-ARfr + 1/2, /-I/2) ¦
Г 1 /АОл , хо/г \2]1/2
,/ + 1/2= l~ VOK^ + 1/2, /-Ы/2-Г OKft-1/2, /H/2J I »
,, = 2(O 2u)
Tl —— ——
+ w*-l/2, I ' *f/ ю*
?M = max{0,2, tiling, 1,8]},
t| . = max @,2, ттГп' „ 1,81],
причем здесь l и ц — две весовые функции. Они используются
в уравнении количества движения для осреднения величин на
Центрированное время п
,Wmnn—A~-ntn/i
/7-7/2
п+1
*n*i/z
Рис. 6. Иллюстрация к определению «центрирован-
«центрированного времени п».
основании их расположения в пространстве R, Z. Было установ-
установлено, что введение таких весовых функций позволяет лучше
,+/ выполнять условие сохранения энер-
энергии по сравнению со случаем примене-
применения простого осреднения в простран-
пространстве k, l. Для этой цели идеальным
было бы использовать функции g7 и г\\
однако при определенных обстоятель-
обстоятельствах это могло бы приводить к отно-
относительно неподвижным элементам
жидкости. Применение ограниченных
весовых функций g и rj смягчает та-
такое положение и все же дает удовлет-
удовлетворительное выполнение условия со-
сохранения энергии.
После таких подготовительных за-
замечаний можно приступить к пред-
? П
1 Г1
1 °
-2
>
<:
(
оЗ
4
I
к-1 к к+1
Рис. 7. Пространственные
разности, соответствующие
четырем выражениям в квад-
квадратных скобках уравне-
уравнения B6).
ставлению в конечно-разностной форме уравнения количества
движения. Идя от общего к частному, т. е. в обратном порядке


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 35
по сравнению с фактическим ходом расчета, будем иметь
- B6)
Заметим, что в последнем уравнении проводится различие ме-
между величинами ±qA и 3<7а, а также между 2Qb и 49в- Четыре
выражения в квадратных скобках приблизительно соответствуют
четырем пространственным разностям, как это показано на
рис. 7.
Продолжая выкладки, получаем
[W Ж + 2М Ж ^
_ ГАГ
4-
-V2, / "Г мЛ-1у2 /+1/2 + Af
и аналогичные выражения находим для величин, содержа-
содержащих 3?л и 4<7д. Входящие сюда разности запишем в виде
? ft+ 1/2, /-1/2 ® ft+1/2, /-1/2 l^ft + 1/2, /—1/2
"ft-1/2, /-1/2 "Rft-1/2, /—1/2 1^Л? —1/2, /-1/2'
W"*2^)ft-.i/2l/== А /г-1/2,


36
У. Д. Шульц
Два следующих выражения представляются в конечных раз-
разностях не так просто, как это было сделано в случае двух
предшествующих выражений
, 1-1/2
Г Л-1/2, /-1/2 , -/2 + 1/2, /-1/2 "]
L ТЛг-1/2, /—1/2 Т* + 1/2, г—1/2 J
-1/2, /+1/2
[Л-1/2, 1-
%Tk -1/2,/-
-1/2 ¦ Jk-1/2, /+1/2
1/2 Xk-1,
Отрицательнь ш
объем
I
R
>0
Применение указанного конечно-разностного представления
для величин R*/2p/ и R*/2p/ в предыдущих уравнениях осно-
основано на ранее полученном опыте. Здесь большее значение при-
придано якобиану /. Точнее, в со-
соотношениях между величиной
/ и производными Rft, R/ пред-
предпочтение отдается /. Величи-
Величина / является якобианом пре-
преобразования переменных Эйле-
Эйлера в переменные Лангранжа и
наиболее просто определяется
в центре ячейки. Производные
Rk и R* должны находиться в
соответствии с якобианом j,
поэтому их также надо опре-
определять в центре ячейки. Следо-
Следовательно, если в данном ко-
конечно-разностном уравнении
как величину R* (или R/), так
и величину / требуется иметь
вдоль стороны ячейки и при
этом / рассчитывается осред-
осреднением центрированных значений / на каждой стороне, то тогда
величину R* также нужно рассчитывать путем осреднения цент-
центрированных значений Rz на каждой стороне. Поэтому вместо
формулы
J
Рис. 8. а — «патологическая» ячей-
ячейка тийа, для которого обеспечи-
обеспечивается приемлемое поведение уравне-
уравнения количества движения; б — «пато-
«патологическая» ячейка с положитель-
положительным объемом и нулевой площадью
(ситуация не имеет смысла).
1-1/2 vsyk, 1-1/2
при конечно-разностном представлении уравнения количества
движения мы используем формулу
1 Г — г,


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных с 1агранжа 37
Это обеспечивает, например, приемлемое поведение уравнения
количества движения в случае, показанном на рис. 8, а. Если же
применять простую конечно-разностную фор"мулу, то поверх-
поверхность раздела между двумя ячейками двигалась бы в направле-
направлении к ячейке с высоким давлением вместо того, чтобы двигаться
от нее, как это будет происходить с рассматриваемой системой.
Используя величину и*,+//2 из уравнения B6), найдем R?,+/
по формуле
Rrt + l т\п . п/Л + 1/2 л + 1/2
k,l =KklX LJt Ukl
На этом заканчивается запись уравнения количества движения
в конечно-разностном виде.
Перейдем теперь к расчету остальных величин в Г-массиве
памяти. Найдем значение якобиана
;я+1 \Qn+l h7n+l M?n+l \7n+l
У*-1/2,1-1/2 ^A?-l/2, Z-l/2 uz^-l/2, /-1/2 UA?-l/2, /—1/2 ^?-1/2, /-1/2*
При определении объема ячейки принимается, что в цилин-
цилиндрических координатах она имеет угол раствора сектора, рав-
равный одному радиану, а в декартовых координатах она имеет
единичную высоту. Поэтому объемный якобиан соответственно
равен
J Л-1/2, /-1/2 ^Л-1/2, /-1/2Л-1/2, /-1/2*
Поскольку
Rk-1/2, i-i/2 = -]? [Ru, i-\-Rk-it i-\- Rk, i-i-^-Rk-i, z-i]»
то в цилиндрическом случае вычисленная величина объемного
якобиана не равна истинному объему ячейки. Здесь
^-1/2, Z • 6Rfc, /-1/2 (/?*-!, l-\~Rk,l-\- Rk, /-l
+ -g-AR*-i/2,/-1 • 6R/^_i,/-1/2(^-1, i-\rRk-\,i-\-\-Rk, /-1).
Величины /истинн и / не обязательно стремятся к нулю одновре-
одновременно. Это, в частности, справедливо вдоль оси цилиндра, где
«патологические» ячейки вполне могли бы иметь положительный
объем наряду с отрицательной площадью (см. рис. 8,6). По-
Поскольку мы пытаемся получить конечно-разностные уравнения,
которые были бы достаточно удовлетворительными даже при
появлении отрицательных объемов, мы не можем допустить ука-
указанного положения.
Формула, примененная для /, согласуется с нашим общим
подходом, состоящим в придании большей роли величине / —
якобиану преобразования эйлерова пространства в лагранжево.


38 У. Д. Шульц
В уравнении количества движения величины AR и 6R осредня-
лись специальным способом в зависимости от того, как осредня-
лась величина /. Теперь же аналогичным образом вычисляется Jb
причем отдается предпочтение якобиану /.
Далее, легко находится удельный объем
Tfc-l/2, /-1/2 =«/2-1/2, 1-1/21 Mk-i/2, /-1/2- B9)
Следующий этап заключается в определении четырех значе-
значений q в момент времени п+\. Беря за основу соотношения A0)
и A1), получаем такие формулы:
{
*-1/2, 7-1/2'^-1/2, 7-1/2
| 0К?-1/2, 7-1/2 |
k-1/2, 1-1/2-^-1/2, 1-1/2
I АР* I
| АК?-1/2, 7-1/2 I
I Д
~ \м. 1-1/2 = | (Д^-), + 1/2, 7-1/2 - (Л А-1/2, 7-1/2 |-
I б 6«- Ll/2, 7 = | F*А-1/2, 7+1/2 - (btl-)k_l/% t_l/2 |.
^ U, ,.^ И-1А А^1 |^ь ^1/2),
JA) — min { 6g2-l/2, 7-1/2'^2-1/2, 7
-h — mm \
{
|ДКй-1/2, 7-1/2
Г
+/
к-1/2, 7-1
{дпя + 1/2 Л«я+1/2
|АКЛ-1/2, 7-1/2 1
(б^I6 6й^ I»
^_1/2 - L.A .-1
Л —1/2, 1—1
ttf >¦'6 6й- 1*-«л i-v.- C0)


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 39
Заметим, что при определении величин qn в момент времени
п+1 были использованы значения Rn, Rn+1/a, un~1/a, un+l/a и тп+1/2.
Такая схема не выглядит очень точной. В действительности же
это не так, если учесть, что здесь мы представляем в конечно-
разностной форме лишь соотношения A0) и A1). Что же ка-
касается уравнений сохранения, то для всех них, как мы помним,
необходима такая искусственная вязкость, которая достаточно
быстро обращается в нуль впереди и позади ударной волны.
Приведенные выражения для q обладают таким свойством. Мо-
Можно считать, что эти q являются точным представлением некото-
некоторой искусственной вязкости, несколько отличной от qA и qB, для
которой мы не стали находить дифференциальные выражения.
Причина, по которой используются значения R, u и т в ука-
указанные различные моменты времени, отчасти определяется про-
просто удобством, связанным с деталями программирования. Рас-
Рассматриваемая тензорная искусственная вязкость была введена
в уже имевшуюся программу расчета. Однако в этой программе
нельзя было бы получать величины qA и qB в момент времени
п+1, поскольку здесь значение ип+1/з было самым последним
хранившимся в памяти значением скорости1).
На практике значения q вычисляются обычно в момент вре-
времени п+1/2- Что касается уравнения количества движения, то
здесь не играет роли момент времени, для которого берется зна-
значение q, надо только пользоваться одним и тем же значением.
Однако в уравнении энергии это обстоятельство проявляется со-
совсем по-другому, как видно из следующих выражений:
FR • Д<_+1/2 = min Щ1?& ,_I/2 • Aujllft ,-ift, О}.
(- AR ¦ 6u)n_+1/2 = min {-ЛЩ±$, ,_1/a • bu1t\% ,_1/2) 0}.
У A === T G^ft-1/2, /-1/2 ' 1^2-1/2, /—1/2 ' З^Л —1/2, /—1/2 • 3^?—1/2, /-1/г)'
У В == "J" G^u-IA Z—
1/2
- к-)'Хш'2 [ <7Г V2 (*R • Д <+1/2 + «"в'2 (~ ДЙ' ви)/1.
Jk-l/2,l-lf2
1) Одно изменение, которое могло бы внести улучшение в схему расчета,
заключается в том, чтобы вычислить \ААиБ\ и |бб^|в точках 1, 3 и 2, 4 со-
соответственно вместо использования общей, центрированной относительно
ячейки величины в каждом случае,


40 У. Д. Ш ульц
-1Л 1-1/2 ЛЙ& 1-1/2 + D? (^1А 1-1/2
Л + 1 — ел nrt + 1/2 Г)гп + 1/2 I
?-1/2, /—1/2 °?-1/2, /—1/2 ^-1/2, /-1/2 ^ lfc-l/2, /-1/2 •
Ясно, что при определении искомой величины q в момент
времени д+1 в уравнении энергии надо проводить осреднение в
предыдущий момент времени, чтобы получить необходимое для
этой цели значение q при п + 112. Указанная система уравнений
имеет второй порядок точности по времени для искусственной
вязкости, а также для давления.
Таким образом, все величины, входящие в Г-массив памяти,
мы пересчитали с момента времени п на момент времени я+1,
и, следовательно, вся физическая система оказалась продвину*
той на один шаг по времени. Повторяя описанную процедуру,
можно продвигать эту систему во времени так далеко, как это
желательно или возможно.
7. Выбор величины Dt
Крайняя верхняя граница величины Dtn определяется тре-
требованиями устойчивости волнового уравнения B2) и уравнения
B3), характеризующего устойчивость q. Эти уравнения будут
представлены в конечно-разностной форме прямым явным спо-
способом, который довольно близко соответствует способу записи
гидродинамических уравнений в конечно-разностной форме.
Рассматриваемые дифференциальные уравнения являются лишь
аппроксимациями для гидродинамических дифференциальных
уравнений. Поэтому прямое представление в конечно-разностной
форме должно давать результаты, имеющие порядок аппрокси-
аппроксимаций дифференциальных уравнений.
Исследование устойчивости мы будем проводить в матричной
форме. Вкратце этот метод состоит в следующем. Пусть
r \• • • /k, /-1» /k, v Ik, i+v • • • )•
Тогда конечно-разностное уравнение запишется в форме
Fn+l = L/F(n) F^n) = UnF{0\
где U — матрица. Поэтому последовательное применение матри-
матрицы U позволит сделать шаг по времени для данной системы. Это
справедливо также для любых ошибок, которые могут появлять-
появляться, т. е. пусть


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 41
Тогда
т
Разложим /*i0) по собственным векторам матрицы U
В результате получим
откуда видно, что если
то пг-я компонента ошибки не будет расти экспоненциально.
Следовательно, для устойчивости необходимо применять матри-
матрицы ?/, собственные значения которых удовлетворяют указанному
условию.
Рассмотрим оператор вида
+ ^
где а1э а2, az — постоянные величины, причем ах>0, аг>0.
Пусть f — некоторая произвольная функция, тогда
Wl*. i = <h If *+i. i - 2/*, i + /*.lf /1 +
+ #2 [fk + l, 1+1 + f*-1, /-1 — ^-1, /+1 ~ f* + l, /-l] +
И" «a [f *. ?+1 — 2/*., + f *. i-J.
Определим теперь матрицу Я, полагая
Собственные векторы матрицы Н имеют вид
F (щщ) = (.../*, i(mxm2) ...),
h, i (ЩЩ) = /о exp (lmxk + /m2/).
Чтобы найти собственные значения Н' матрицы //, применим
эту матрицу Н к F{mxm^, тогда получим
{HF(тхщ))k%х = axfkt t{тхщ) [eim> ~
+ <hf k, i {ЩЩ) [exp (imx + гщ) + exp (— /^ — 1щ) —
— exp (— imx + //П2) — exp (imx — im2)] +
k% 1 (mxm2) [e1^ -


42 У. Д. Шульц
Первую скобку здесь можно переписать так:
(exP(/m1/2)-exp(--/m1/2)) (expjtm,^) — exp (—imxl2))
2/ 2/
Аналогично третья скобка примет вид
Вторая скобка запишется так:
At2 - g/ §/ = — 4 sin mj sin m2-
Таким образом, собственные значения матрицы Н даются
формулой
//' (тхщ) = — 41 a! sin2-^- + а3 sin2 -^- + а2 sin mx sin
Верхний предел для интервала значений, которые могут иметь
величины mi и т2, определяется дискретными переменными k
и /. Самая короткая волна, которую может описать конечно-раз-
конечно-разностная сетка, имеет пилообразное поведение. Это соответствует
/71},/7^2 = i Я
и представляет собой основную форму колебаний, имеющую ме-
место при наибольшей неустойчивости. Нижний предел величин гаА
и т2 определяется тем фактом, что дифференциальные уравне-
уравнения, которые мы здесь используем, были выведены при условии,
что произведение т^гпч значительно больше каждого из сомно-
сомножителей т\ и т2. В таком случае диапазон будет не слишком
широким, поскольку я не является очень большим числом. Мо-
Может показаться, что данное исследование в лучшем случае при-
применимо только для форм колебаний при
я, ±я), (±я, ±-*), (±?, ±я)
и, вероятнее всего, только для первой, или основной, формы ко-
колебаний1). Однако для всех этих трех форм колебаний конечно-
разностный член, соответствующий смешанной производной в Sfffw
обращается в нуль. Это позволяет нам считать, что #' имеет
следующие свойства:
Я'<0, /Йип = —4(
1) В целом весь этот подход является «эвристическим», т. е. выведенные
условия достаточны для обеспечения практической устойчивости.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 43
Следовательно, обращение в нуль конечно-разностного члена,
соответствующего смешанной производной, обеспечивает устой-
устойчивость системы конечно-разностных уравнений при скалярной
искусственной вязкости q. В случае же дифференциальных урав-
уравнений член со смешанной производной вносил бы неопределен-
неопределенный вклад, что в некоторых ситуациях могло бы привести к не-
неустойчивости дифференциальных уравнений.
Теперь мы найдем критерии устойчивости при явном конечно-
разностном представлении следующих двух уравнений:
•^- = е%?/, случай 1,
-3r = JS/f, случай 2.
Первое из этих уравнений соответствует волновому уравнению,
а второе — уравнению, характеризующему устойчивость q.
Случай 1. Проводя конечно-разностное представление по k
и /, получаем
L
dt2
Далее, используя конечные разности по времени, находим
или
[U —
Далее мы будем обозначать собственные значения оператор
ров при помощи штриха у соответствующей величины.
Для 6/2>1, очевидно, может быть l^^l, что неудовлетво-
неудовлетворительно. Если потребовать, чтобы
то тогда
U' = — b'±iVl—b'*,
Отсюда видно, что конечно-разностное представление будет
устойчивым, если выполняется условие


44 У. Д. Illульц
Поскольку И' отрицательно, то неравенство, стоящее слева, удо-
удовлетворяется. Неравенство, стоящее справа, дает условие
Следовательно, для явного конечно-разностного представления
уравнения
дЦ _ d2f . , d2f . d2f
W — ^Tf + ^WT + ^W
получим следующее общее условие (при I
Dt2 < \ах sin2 -~- + а2 sin mx sin щ -\- а3 sin2 -^-
которое в нашем случае сведется к условию
Dt2<[ax-{-a^\ случай 1. C2)
Случай 2. В этом случае имеем
Условие устойчивости требует, чтобы
Принимая //'<0, видим, что правое неравенство удовлетворяет-
удовлетворяется. Левое неравенство дает
Следовательно, для явного конечно-разностного представления
уравнения
df d*f дН а2/
получим следующее общее условие (при
Dt < [2 (a! sin2 ^ + ^2 sin mx sin /тг2 + а3 sin2
которое в нашем случае сведется к условию
Dt^[2(ax-\-(h)]~\ случай 2. C3)
Волновое уравнение B2) можно записать в виде
Таким образом, здесь


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 45
что дает следующее условие устойчивости Куранта (случай 1):
Ul° ^ с2 FR2 + AR2) *
Для совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей у
имеем
так что
с2 = (-^Н = урх (совершенный газ).
В общем случае применяемые уравнения состояния не всегда
являются уравнениями состояния для совершенного газа с по-
постоянным у. Однако, чтобы получить простое выражение для с2,
можно вычислять некоторое эффективное значение у, предпола-
предполагая, что газ является совершенным, и используя затем приведен-
приведенное уравнение. Таким образом, разрешая уравнение
(эфф
р= г
найдем эффективную величину
Тогда для каждой ячейки в рассматриваемой задаче можно рас-
рассчитать величину DtCt входящую в условие устойчивости Ку-
Куранта:
С Pk-\li /-1/2ТЛ-1/2, /—1/2 П Г
е
Г)/2 _ ^ УЬ-У*. 1-VV
я+1
+ 1 \
-1/2,1-1/2)
где К — квадрат числа Куранта — представляет собой некоторый
коэффициент запаса, достаточный для обеспечения устойчивости
при любых возможных обстоятельствах в расчете. Удовлетвори-
Удовлетворительной величиной для К оказывается значение
/С=0,2б,
что соответствует числу Куранта, равному 0,5. Из всех рассчи-
рассчитанных значений Dtl выбирают минимальное значение и, извле-
извлекая из него квадратный корень, получают единственное значе-
значение Dtfn.
Из уравнения B3), характеризующего устойчивость q9 сле-
следует


46 У. Д. Шульц
Тогда
ИЛИ
DtQ = =zJ±±ed=^ , / C5)
q 10[FR.Au)_+(—AR-6u)J V ;
где
FR • Au)_ = min [Au2U? / • 6R2l!A /-i/2, Au2±$. ,-i • 6RJ1U /-1/2, Oj.
(—AR.6u) =
= min [- bxxtl% • ARJIU /-1/2 - 611^-1/2 • AR2t}A /-1/2, 0].
и принята оценка
4c2 + 2=10.
Дополнительная величина 2, прибавленная к величине 4с?, га-
гарантирует, что величина Dtq будет всегда удовлетворять тре-
требуемому неравенству.
Рассмотрим выражение для Dtq. Пусть величина Dt в дан-
данной задаче равна величине Dtq в некоторой ячейке, и пусть эта
ячейка сжимается в обоих направлениях. Тогда
-кг—FR.Au) +(— AR-6u) ;
uzq
откуда после подстановки в C5) получаем такой результат:
-?>У=у/1О.
Как видно, это условие ограничивает до 10% величину площади
любой ячейки, на которую она может уменьшиться на протяже-
протяжении одного шага по времени. (Такая оценка приблизительна,
поскольку эта величина Dtq используется на следующем шаге
по времени.) Интуитивно можно ожидать, что это условие по-
похоже на условие достаточной точности и так же, как достаточ-
достаточный критерий устойчивости, не зависит от типа искусственной
вязкости, применяемой в расчете.
Из рассчитанных значений Dtq выбирают минимальное зна-
значение и затем вычисляют
Величина Dtn+m берется в качестве Dtn+l/2 на следующем цикле
по времени, что гарантирует устойчивость конечно-разностных
уравнений. Оказывается, что рассмотренные требования устой-
устойчивости обеспечивают также достаточное условие для точности
интегрирования.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа 47
8. Рассмотрение границ
Применение специальных программ, необходимых для рас-
расчета уравнения количества движения вдоль границ физической
системы, можно свести к минимуму, если распространить среду
еще на пол-ячейки с внешней стороны границ и определять
внешнее давление в этой точке. Тогда для граничных точек, так
же как для внутренних, можно использовать общее уравнение
количества движения B6). Этот прием имеет тот недостаток,
что при решении задачи в методе расчета допускается наличие
среды вне конечно-разностной сетки, расположенной в данной
физической системе. Однако если ячейки берутся достаточно
малыми, чтобы хорошо интегрировать систему уравнений, то
тогда наличие среды снаружи физической системы обычно не
будет вносить существенных ошибок.
Вычисляя работу, проделанную на границе физической си-
системы, можно ввести в метод расчета контроль по энергии. Из
уравнения G) можно получить соответствующее выражение
для этой работы:
Суммируя величины DWn~l/2 вдоль границы и складывая с ве-
величиной Wn~\ найдем значение Wn, т. е. величину работы, про-
проделанной над физической системой с момента начала числен-
численного расчета задачи.
Внутреннюю и кинетическую энергии можно вычислить по
формулам
(I. Е.)Л = 2 Mk-lfo 1-1/24-1/2, /-1/2.
(К. Е.)п+1/2 =
= S т Л*-1д 1-1/» 1К+//2J+(«ОТ8+(«ОТ+(«Г!?*-,J]-
k, I
Кинетическая энергия в момент времени tn равна
(к п,„_ (К. Е.)п-1
Далее определим
. E.)n-Wn,


48 У. Д. Шульц
Величина Се в момент времени tn представляет собой при-
приближенное значение полной энергии, которой обладала физиче-
физическая система в момент времени / = 0. Если бы интегрирование
системы конечно-разностных уравнений проводилось точно, то
полная энергия оставалась бы постоянной. Величина DCe~1/2
оценивает изменение полной энергии за один шаг по времени,
обусловленное неточностью интегрирования конечно-разностных
уравнений. Большое изменение величины ВСе~Ш указывает на
возможную машинную (или иную) ошибку в расчетах.
9. Пример численного решения задачи
Чтобы проиллюстрировать поведение применяемых здесь ко-
конечно-разностных уравнений, была рассмотрена следующая не-
небольшая задача. Пусть в начальный момент времени физиче-
физическая система представляет собой объем газа в виде сплющен-
сплющенного сфероида при температуре, равной абсолютному нулю.
В момент времени t = 0 на внешнюю поверхность этого сфероида
начинает равномерно действовать
$v -м давление, закон изменения кото-
I /\ рого показан на рис. 9. (Едини-
Рвнешн / \ цы измерения, которые прини-
у? I маются в этом примере, могут
0 5 быть произвольными. Здесь мо-
*""*" жно выбрать любую самосогласо-
Рис. 9. Закон изменения внеш- ванную систему единиц.)
него давления, приложенного в Качественное поведение физи-
рассматриваемом примере к сплю- ческой системы с течением вре-
щиваемому газовому сфероиду. мени видно из приведенных гра-
графиков, на которых изображена
лагранжева расчетная сетка, рассматриваемая в данной физи-
физической системе (рис. 10). Эти графики были выведены на элек-
электронную лучевую трубку с помощью дополнительной обслужи-
обслуживающей программы, которая обрабатывала данные, получаемые
по основной программе расчета. Обычно выдаваемая подробная
количественная информация содержит серию чисел, представ-
представляющих собой значения величин, хранимых в Г-массиве памяти
для различных моментов времени. Однако рассматриваемая за-
задача не столь интересна, чтобы проводить такое детальное ее
изучение. Кроме того, мы применяли сравнительно грубые рас-
расчетные ячейки. Это позволяло свести к минимуму машинное
время, необходимое для решения задачи. Если бы кого-нибудь
действительно заинтересовали подробности поведения рассмат-
рассматриваемой физической системы, то для этой задачи следовало бы
провести другой расчет с более мелкими ячейками. Что же


:&ША
t=0
U8,0
U9,l
t*W,0
t*17,0
Рис. 10а. Графики, выведенные на электронную лучевую трубку, по-
показывают для различных моментов времени лагранжеву расчетную сетку,
рассматриваемую в физической системе в данной задаче. На следующих
страницах эти графики изображены в увеличенном масштабе.
4 Зак. 647


t=Z,1
turn
Щ
Рис. 10 0.


t=/0,0
t=13t0
= 14,0
Рис. 10 в.


t=!7,0
t=2OfO
Рис. 10 г.


Двумерные конечно-разностные уравнения в переменных Лагранжа Ьд
касается масштабов интересных деталей решения и общей до-
достоверности данной численной модели, то они должны соответ-
соответствовать друг другу, чтобы получаемые результаты были надеж-
надежными.
Лагранжева расчетная сетка рассматривается здесь в одном
квадранте поперечного сечения, проходящего через ось физиче-
физической системы. Ось Z является в этом случае осью вращения,
а ось R направлена перпендикулярно к ней. Из-за условий сим-
симметрии решение, полученное в такой области, будет описывать
поведение всей физической системы.
Численная схема в переменных Лагранжа наиболее пригодна
для «гладких» гидродинамических течений, таких, как течение
в данной задаче на ранней стадии, когда происходит сжатие
сфероида. Вообще говоря, понятие «гладкого» течения можно
связать с требованиями, накладываемыми на систему и состоя-
состоящими в том, чтобы элементарные ячейки газа сохраняли четы-
четырехугольную форму. При наличии турбулентности, например,
элементарная ячейка газа, которая в начальный момент времени
была четырехсторонней, может в действительности принимать
спиральную нитеобразную форму. Однако в численной схеме
в переменных Лагранжа требуется, чтобы эта ячейка представ-
представляла собой четырехстороннюю фигуру. Следовательно, числен-
численная схема в переменных Лагранжа будет не подходящей для
«негладких» течений такого типа.
Демпфирование движений, меньших по масштабу, чем раз-
размер ячейки конечно-разностной сетки, все еще остается пробле-
проблемой, если даже пользоваться конечно-разностными уравнениями
в переменных Эйлера, хотя здесь эта трудность не столь оче-
очевидна. Искусственная вязкость была построена таким образом,
чтобы в случае ударных волн преобразовывать кинетическую
энергию во внутреннюю энергию. При этом возникает вопрос,
будет ли правильным преобразование кинетической энергии
маломасштабной турбулентности во внутреннюю энергию?
Для момента времени /=10 ячейки лагранжевой сетки вбли-
вблизи центра сфероида начинают несколько «налезать» друг на
друга. К детальным расчетным данным, полученным в этой об-
области с помощью применяемого численного метода, следует от-
относиться скептически. Хотя с течением времени картина в этой
области все более ухудшается, тем не менее отмеченная труд-
трудность возникает только в относительно малой части всей области
течения, и поэтому нет причин сомневаться в правильности по-
полученного общего поведения физической системы. Это обстоя-
обстоятельство показывает достоинство применяемых конечно-разно-
конечно-разностных уравнений, которые достаточно устойчивы даже тогда,
когда лагранжева расчетная сетка становится нерегулярной в
некоторых областях.


54 У. Д Шульц
Закон изменения внешнего давления, приложенного к рас-
рассматриваемой физической системе, соответствует сжатию сфе-
сфероида газом с нулевой плотностью. Следовательно, поверхность
этой системы будет неустойчивой по Тейлору. Данная физиче-
физическая система в конечном состоянии будет представлять собой
одну большую струю, текущую вдоль оси системы. Точнее го-
говоря, если рассматривать всю систему, здесь будут две струи —
по одной с каждой стороны отражающей плоскости.
Литература
1. Von Neumann J., Richtmyer R. D., У. AppL Phys., 21 A950), 232.
Имеется сокращенный русский перевод: Нейман Дж., Рихтмай-ер Р.,
Метод численного расчета гидродинамических скачков, сб. Механика, № 1
A951), 27.
2. Рихтмайер Р. Д., Разностные методы решения краевых задач, ИЛ,
М., 1960.


Смешанный метод, использующий
переменные Эйлера и Лагранжа
Р. М. Ф Р А Н К, Р. Б. Л А 3 А Р У С
Калифорнийский университет, Лос-аламосская научная
лаборатория, Лос-Аламос, Нью-Мексико
1. Введение 55
2. Уравнения для элемента объема 56
3. Эйлерово-лагранжева сетка 57
4. Выбор переменных 58
5. Пространственное дифференцирование 58
6. Дифференцирование по времени 62
7. Искусственные силы 63
8. Условие устойчивости по Куранту 64
9. О пробных расчетах 65
10. Подробности проведения вычислений на машинах 66
11. Поток тепла 75
/. Введение
Для решения методами конечных разностей задач о неста-
нестационарных двумерных течениях сжимаемых жидкостей требует-
требуется выбрать переменные величины и разностные уравнения, кото-
которые учитывают особенности изучаемых задач. Рассмотрим неко-
некоторые ограничения, присущие методам Эйлера и Лагранжа при
описании движения жидкости.
По методу Эйлера движения жидкостей описываются с по-
помощью сетки, фиксированной в лабораторной системе коорди-
координат. При использовании этого метода возникают трудности в за-
задачах, где имеет место движение тонких слоев жидкости при
прохождении ими расстояния, в несколько раз большего их тол-
толщины. Очень сложно следить за границами раздела сред при их
движении через эйлерову сетку. Более того, может потребо-
потребоваться недопустимо большое число ячеек для проведения хоро-
хорошего расчета тонких слоев, хотя при решении задачи они могут
лишь эпизодически появляться в некоторой области.
С другой стороны, при использовании метода Лагранжа, ко-
когда движение описывается при помощи сетки, связанной с жид-
жидкостью, возникают значительные трудности, если имеются по-
поверхности скольжения или другие причины, приводящие к силь-
сильному искажению первоначальной сетки.
В этой статье сообщается о некоторых исследованиях по при-
применению смешанной эйлерово-лагранжевой сетки, позволяющей
в некоторых задачах избежать недостатков как лагранжевой,
так и эйлеровой сетки.


56 Р. М. Франк, Р. Б. Лазару с
2. Уравнения для элемента объема
Рассмотрим сжимаемую жидкость, локально описываемую
плотностью р, скоростью и в лабораторной системе координат
и удельной внутренней энергией е. Запишем законы сохранения
для произвольного объема т, поверхность которого S(r) дви-
движется с произвольной скоростью w(r) в той же системе коор-
координат.
Пусть М(х, t), р(т, t) и ?/(т, /)—общая масса, количество
движения и энергия, которые содержатся внутри S в момент t.
Предположим, что х — трехмерный вектор с составляющими р,
ри, (ре+!/2ри2). Тогда можно считать Му р и U тремя состав-
составляющими вектора X, определенного формулой
A)
х
Для скорости изменения вектора X имеем
S-wx- B)
j
S
Уравнения сохранения массы, изменения количества движения
и сохранения энергии запишем в виде
*L + V.up = O, C)
^ -V/>, D)
-V.Ai, E)
где Р = Р(е, р) —давление. Если использовать эти уравнения,
то из B) получим соотношения
S.(tt-w)p, F)
= — J dS • Р— J dS • (u —w)pu, G)
= _ J tfS -Pu- J dS(u-w)(pe+± ря2). (8)
s
J J
s s
Уравнение (8) иногда удобнее заменить уравнением (не
имеющим вида закона сохранения) для общей внутренней
энергии \E(xJ)= J pedx\
X
?§¦ = — JflftPV-u— JrfS(u-w)p<?. (9)
t s


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 57
3. Эйлерово-лагранжева сетка
Рассмотрим двумерное течение в декартовых координатах.
Пусть плоскость х, у разделена на ячейки t<j двумя семействами
линий (рис. 1). Пусть первое семейство задано системой фикси-
фиксированных вертикальных линий x=xiy i=l, 2, ..., а второе се-
семейство не пересекающихся между собой линий дается соотно-
соотношением у=Уз(х, t), причем уз+\(х, t)>yj(x, t) для любого х и t
Y,(x.t)
Рис. 1. Сетка Эйлера—Лагранжа.
Границы ячеек Si}j состоят из четырех сторон: левой, правой,
верхней и нижней. На левой и правой сторонах принимаем w = 0,
т. е. здесь движение отсутствует. На верхней и нижней сторонах
принимаем dS* (u—w)=0, т. е. нормальная составляющая ско-
скорости w поверхности равна нормальной составляющей скорости
жидкости и. Таким образом, жидкость не протекает через у-ли«
нии, а может втекать и вытекать в ячейку через #-линии.
Интегралы переноса вида I dS -(u — w)f, входящие в урав-
уравнения F) — (9), приводятся, таким образом, к виду
J dS • (и — w) / = Г (— dy) uf Н- | (dy) uf, A0)
5 Si S2
где и — составляющая и» (к, и), a Si и S2 относятся соответ-
соответственно к левой и правой сторонам.
Были проведены экспериментальные вычисления в предполо-
предположении, что каждая линия у^(х, t)—непрерывная ломаная ли-
линия, состоящая из отрезков прямых с угловыми точками x=Xi.


58 Р. М Ф р анк, Р. Б. Л азар у с
Главная трудность в этом случае, конечно, связана с выполне-
выполнением условия dS(u—w)=0.
Проводились также расчеты в цилиндрических координатах
с линиями z = Zi и r = rj(z, t).
4. Выбор переменных
Имеется большое количество вариантов выбора основных
исходных переменных. Можно, очевидно, принять за переменные
массу М и координаты q (т. е. у или г) узлов ячеек. Горизон-
Горизонтальная составляющая количества движения р оказывается бо-
более подходящей, чем горизонтальная составляющая и скорости
жидкости. Внутренняя энергия Е оказывается несколько пред-
предпочтительней, чем общая энергия ячейки U, хотя при этом при-
приходится использовать уравнение (9) вместо уравнения сохране-
сохранения (8).
В декартовых координатах за остающуюся основную пере-
переменную, может быть, лучше выбрать ^-составляющую количе-
количества движения. Авторов, однако, главным образом интересуют
цилиндрические задачи, и поэтому была выбрана «вертикаль-
«вертикальная» (т. е. по у или по г) скорость узлов ячеек w = dq/dt.
Вертикальная скорость жидкости v определяется по и, w и
наклону лагранжевой линии с помощью условия dS(u—w)=0.
Объем ячейки т вычисляется непосредственно с помощью ко-
координат q. Плотность находится из соотношения р=М/т, удель-
удельная внутренняя энергия равна е=Е/М. Давление в ячейке
Р = Р(е, р) дается уравнением состояния для жидкости, находя-
находящейся в ячейке. Горизонтальная скорость жидкости и находится
из соответствующего отношения количества движения к массе,
которое зависит от принятого центрирования1).
5. Пространственное дифференцирование
А. Обозначения
На рис. 2 показана типичная ячейка (i, /); ее было бы удоб-
удобнее обозначить как (/+V2, /+V2). Обозначения некоторых из пе-
переменных, используемь1х здесь, соответствуют обозначениям при
обычном центрировании.
Б. Уравнение массы
Для расчета массы М в зависимости от времени применяется
уравнение F). Используя уравнение A0), для Af = Af/+1/j< /+I/j
1) Под центрированием подразумевается выбор точки, относительно ко-
которой производится осреднение величин. — Прим. перев.


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 59
имеем
dM
dt•== AiUiPi — A+i#/+iP/+i> A1)
где A{ — «площадь» при х = х{ между /-й и (/+1)-й лагранже-
выми поверхностями1). Индекс j+ll2 нигде не используется,
щ дается формулой
где Мг — масса, которая была бы заключена между */-i/2 и
, если бы каждая ячейка имела однородную плотность.
А
и*
1*1-1/4
+ 1-1/4
i+l
Рис. 2. Типичная ячейка с использованием обычных
центральных разностей.
Величина рг- берется так, чтобы р, = р/в1/2 при щ положи-
положительном и Р/=Р/+1/2 при щ отрицательном, т. е. величина р бе-
берется как плотность ячейки, из которой притекает жидкость.
Если уравнение A1) просуммировать по всей сетке, то оста-
останутся только члены, соответствующие границе; это показывает,
что записан в разностной форме закон сохранения масс.
В. Горизонтальная составляющая количества движения
Для расчета по времени горизонтальной составляющей коли-
количества движения ячейки р используется проекция уравнения G)
*) Лагранжевыми поверхностями и лагранжевыми линиями авторы назы-
называют жидкие поверхности и линии, составленные из одних и тех же ча-
частиц. — Прим. nepeet


60 P. M Франк, Р. Б. Лазарус
на ось х или z. Поверхностный интеграл от давления равен сум-
сумме четырех членов, каждый из которых есть произведение по-
поверхностного давления и проекции площади на ось х или г. По-
Поверхностное давление берется в виде среднего арифметического
давления в двух соседних ячейках. Например,
Pi, /+1/2 = ~2 {Pi -1/2, /+1/2 + Я* + 1/2, У+1/2). A3)
Так, проекция верхней поверхности на ось х записывается сле-
следующим образом:
Sxul/2t y+1 = qti y+1 - gMt J+1 (декартовы координаты).
= Я\ /+i — #?+i у+1 (цилиндрические координаты).
Члены, характеризующие перенос, записываются подобно
уравнению A1) с заменой р на /?/т, т. е. на количество движе-
движения в единице объема. Величиньг р и т опять берутся из ячеек,
из которых притекает жидкость.
Если это разностное уравнение просуммировать по всей сет-
сетке, то останутся только граничные члены.
В уравнении G) опущен член, обусловленный вязкостью.
Если такой член желательно учесть при переходе через лагран-
жевы линии, то мы должны добавить к правой части уравнения
для dp/dt для ячейки (i, j) два члена вида r\S(du/dq)y один при
индексе /, второй при индексе /+1, где г) — коэффициент каса-
касательной вязкости, S — площадь лагранжевой «линии».
Г. Уравнение энергии
Если общая энергия является основной переменной, то ис-
используется уравнение (8). Первый интеграл записывается как
сумма четырех членов, по одному для каждой части поверхности
ячейки. Для каждого члена среднее поверхностное давление
умножается на величину | dS • и. В интеграле, соответствую-
соответствующем переносу, величина U/x принимается за энергию в единице
объема и берется из ячейки «вверх по потоку». Для вычисления
давления следует вычислить кинетическую энергию и вычесть
ее из общей энергии, получив тем самым внутреннюю энергию.
Если за основную переменную принимается внутренняя энер-
энергия, то мы должны аппроксимировать уравнение (9), которое
содержит объемный интеграл .от PV«u. Оказалось, что доста-
достаточно заменить Р средней величиной Р/+1/2, y+i/2 и вынести ее за
знак интеграла. Тогда остается поверхностный интеграл от
dS'U. Кинетическая энергия не входит ни в одно из этих урав-
уравнений.
С первого взгляда кажется, что могут быть трудности со ско-
скоростью жидкости на лагранжевых поверхностях, так как допу-


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 61
скается разрыв при переходе через эти поверхности. Но такой
разрыв претерпевает только касательная составляющая; в про-
противном случае могла иметь место кавитация. В действительно-
действительности же интегралы от rfS-u по лагранжевым поверхностям L со-
содержат только w9 т. е. вертикальную скорость узлов ячейки.
Интегралы, вычисленные в предположении, что w изменяется
линейно по а: в интервале от тг до o^+i, можно записать в виде
-2~(<wi~{-fWL+i) (декартовы координаты),
Z== f dS • u = | Ал: A5)
L о
(цилиндрические координаты).
Заметим, что имеет место соотношение
Д. Уравнение для вертикального движения
Если скорость узлов ячейки w удобна для характеристики
системы и поэтому рассматривается как основная переменная,
то вертикальная составляющая скорости v является физической
величиной. Из условий, налагаемых на переменные Лагранжа,
следует связь между w, и и v, задаваемая соотношением
, w = v—tttgO, A7)
где 0 — угол между лагранжевой линией и горизонталью. Для
скорости изменения по времени вертикальной составляющей ско-
скорости жидкости в некотором узле ячейки следует использовать
оператор d/dt=d/dt+w(d/dy), так как узел ячейки имеет вер-
вертикальную скорость w. Не учитывая пока разрыв величины 0,
используя в качестве лагранжевых кривых ломаные лийии и вы-
вычитая уравнение C), умноженное на v, из проекции на верти-
вертикаль уравнения D) с учетом A7) находим
Предполагая, что между точками (/, /) и (i+Uj) величина v
изменяется линейно по х и у, найдем соотношение *)
При проведении расчета в случае ломаной, состоящей из
прямых отрезков, используется следующая методика. Для узла
(I, ]) вводятся две величины v, а именно Vi- и Vi+, как это пока-
показано на рис. 2. Каждая из этих величин изменяется с течением
времени в соответствии с уравнениями A8) — A9). В уравнении
) Через Д^г + у, обозначен половинный интервал. — Прим. ред.


62 Р. МФранк, Р. Б.Лазарус
A9) для vi+ мы используем (vi+i__—vi+) /Axi+i/2y для vx_ исполь-
используем (V{-—Vi-t+)/&Xi-i/2. В уравнении A8) для и используем ве-
величины uif j-i/2 [см. уравнение A2)].
Член уравнения, содержащий градиент давления, исполь-
используется в виде SAP/M, где АР берется при значении /+1/2 в урав-
уравнении для vi+ и при значении i—1/2 в уравнении для v^\
S — «площадь» лагранжевой линии между i± 1/2 и /; М — масса,
заключенная между /±1/2, i и между /+1/2, /—1/2 (плотность
ячейки предполагается постоянной).
После того как для v делается шаг по времени, уравнение
A7) дает две (несовпадающих) величины а>, одну при исполь-
использовании v и 0 слева, а другую при использовании t> и 9 справа.
Выбирается одна из величин w, а другая отбрасывается в соот-
соответствии со следующим правилом.
Если лагранжева линия вогнута вниз в точке (/,/), то выби-
выбирается алгебраически меньшая величина из w. Если же лагран-
лагранжева линия вогнута вверх, то выбирается алгебраически боль-
большая величина. Это правило позволяет контролировать втекание
жидкости в узле, что становится ясным из следующей перефра-
перефразировки указанного правила. Пусть левый и правый отрезки
движутся каждый со своей собственной величиной w и эти от-
отрезки при необходимости затем удлиняются до пересечения.
Тогда, если точка пересечения движется вправо, мы выбираем
величину w, определенную по левому (т. е. для ^_) уравнению;
если точка пересечения движется влево, мы выберем значение
w, определенное по правому (т. е. для V{+) уравнению. Эквива-
Эквивалентность этих двух формулировок правила выбора, вероятно,
можно увидеть лишь при изучении различных возможных слу-
случаев.
Как только величина w выбрана, можно использовать урав-
уравнение A7) со значениями н*,^+1/2 и иг\ .м/2 для нахождения под-
подходящей величины v для жидкости непосредственно выше и ниже
узла. Эти значения необходимы для вычисления кинетической
энергии (используется только для проверки энергии, если за
основную переменную взята внутренняя энергия). Они также
необходимы при определении псевдовязкого давления, которое
используется для размазывания ударных волн (см. § 7, А).
6. Дифференцирование по времени
На начальной стадии разработки этого метода использова-
использовалась полностью явная схема. Выражение dF/dt = f(t) просто за-
заменялось на [F(t + At)— F(t)]/At = f(t). Предполагалось братьД/
настолько малой величиной, чтобы не заботиться об ошибках
порядка (AtJ. Однако в действительности оказывается, что эти
ошибки затрудняют сравнение между различными вариантами


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 63
переменных и схем пространственного дифференцирования. В на-
настоящее время мы перешли к полностью неявной схеме, исполь-
используя сходящиеся итерации там, где нелинейности их позволяют
получить прямое решение методом обращения трехдиагональной
матрицы. Эта полностью неявная схема возможно слишком мед-
медленна для проведения расчетов, но оказывается, что она дает
хороший, безопасный метод для экспериментальных вычислений.
Ошибки порядка At2 исключаются в этой неявной схеме про-
просто путем использования вместо f(t) значения l/2[f(t + At) +f(t)].
7. Искусственные силы
А. Размазывание ударных волн
Во всех расчетах, проведенных этим методом, были области,
в которых имело место почти звуковое или сверхзвуковое тече-
течение. Для размазывания ударных волн всегда использовалось
псевдовязкое давление Q такого типа, который применялся
Рихтмайером и фон Нейманом. Эти дополнительные члены
обычно считаются нулями в области течения разрежения (V «и
положительна) и берутся положительными в области сжатия
(V *п отрицательна).
В первоначальных пробных вычислениях течений в коорди-
координатах Эйлера (случай v = 0) величина Q принималась пропор-
пропорциональной рДл;2( V -иJ. Оказалось, что давление неестественно
колеблется в застойной области за отраженной ударной волной,
если только константа пропорциональности бралась не настолько
большой, ^чтобы слишком сильно размазать ударную волну. Ре-
Результаты значительно улучшались, когда один из множителей
вида Ал:| V -и| заменялся местной скоростью звука.
В начальной стадии работы над двумерными задачами вели-
величина Ах просто заменялась на 1/2(Дл: + Д^). Это приводило
к трудностям, когда отношение Aq к Да: значительно отличалось
от единицы. Оказалось, что в случае отражения удобно ди/дх
умножить на Дх, a dv/dq на Aq.
В настоящее время была принята, в частности, формула
Q = CpcD, B0)
где С — числовая постоянная величина порядка единицы, с —
местная скорость звука, причем
г»
(декартовы координаты),
(цилиндрические координаты).


64 P. M. Франк, Р. Б. Л азару с
Таким образом, если в одном направлении жидкость сжимается,
а в другом расширяется, то мы учитываем частичное влияние
процесса сжатия даже в том случае, если ячейка в целом нахо-
находится в стадии расширения. Оказывается, что этот вид величи-
величины Q дает удовлетворительные результаты.
Б. Демпфирование линий
Было обнаружено, что в некоторых задачах, в особенности
в задачах со сходящимися сферическими ударными волнами,
при значениях х, где и почти равно нулю, происходит сгущение
соседних лагранжевых поверхностей. Несмотря на то, что вве-
введенный выше член Q способствовал бы увеличению давления,
давление будет снижаться потоком в направлении а: и не будет
препятствий для сближения лагранжевых линий. Это обстоя-
обстоятельство приводит к уменьшению шага по времени для обеспе-
обеспечения критерия устойчивости, и решение задачи становится не-
невозможным. Для того чтобы предотвратить это, мы вводим искус-
искусственное ускорение вдоль вертикальных линий х=const. Счи-
Считается, что для некоторого заданного малого е это ускорение
равно нулю, если Д<7>е, и оно пропорционально (е—Aq)/At2
в других случаях. Такое ускорение включается непосредственно
в уравнение движения в вертикальном направлении, но не вклю-
включается в уравнение для давления или уравнение энергии. Заме-
Заметим, что система введенных «пружин» может произвести допол-
дополнительную работу и поэтому следует проводить подходящий
контроль по энергии, чтобы сделать ошибки пренебрежимо ма-
малыми.
Так как мы уже имеем некоторый произвол, допускаемый в
вертикальных движениях узлов, то может оказаться, что введе-
введение дополнительного искусственного ускорения не будет иметь
серьезного значения. Указанное изменение расчетной схемы
обеспечило успешное решение задач, которые до этого не ре-
решались, а полученные результаты оказались приемлемыми.
8. Условие устойчивости по Куранту
Условие устойчивости по Куранту означает, что никакому
возмущению не разрешается проходить через ячейку за время,
меньшее, чем Д*. С точностью до множителя, равного примерно
двум, такое условие можно применять как к неявным, так и
к явным схемам. Это значит, что для ячейки с местной ско-
скоростью с должны выполняться следующие неравенства:
с < Д<?/Д/ в направлении лагранжевой координаты
| < Д*/Д< в направлении эйлеровой координаты. ^


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 65
9. О пробных расчетах
На основе расчетов одномерных уравнений в эйлеровых пе-
переменных различными способами выбирались переменные вели-
величины и разностные уравнения. Расчеты проводились для
стационарных течений, стационарных ударных волн, распростра-
распространяющихся и отраженных ударных волн, а также для течений
при разрыве диафрагмы. Вычисления проводились как для
равномерной, так и для неравномерной пространственной раз-
разностной сетки.
Выбор уравнений для вертикального движения был сделан
главным образом на основе двумерных расчетов стационарных
течений, которые в переменных Эйлера являются одномерными,
при использовании сетки с одной или больше чем с одной ла-
гранжевой линией, имеющей излом. Задача заключалась в
сглаживании этих изломов в местах вниз по потоку таким обра-
образом, чтобы не было послано серьезных возмущений вверх по
потоку.
Выполненные расчеты существенно двумерных задач разде-
разделяются на два класса. К первому классу относятся расчеты
течений в трубах переменного поперечного сечения при движении
в направлении эйлеровой координаты. Сюда включаются задачи
о течении в сопле и задачи о падении плоских ударных волн на
конус. Второй класс задач включает взрывы и фокусировки газа
(сходящиеся течения газа). Эти задачи можно проверять путем
сравнения с обычными одномерными расчетами, т. е. для задач
с цилиндрической симметрией применять при расчетах декар-
декартовы координаты, а для задач со сферической симметрией
использовать при расчетах цилиндрические координаты.
Оказалось, что расчеты с применением явной разностной
схемы по времени дают достаточно удовлетворительные резуль-
результаты в большинстве случаев. В задаче о сопле с дозвуковой
входной частью использовалось граничное условие на входе
Р = const—Ки, где К — полное сопротивление, а и — вычислен-
вычисленная скорость жидкости. В этом случае было очень точно вычис-
вычислено течение Пуазейля с касательной вязкостью и с условием
и = 0 вдоль стенок.
При использовании явной схемы в расчетах взрыва и фоку-
фокусировки газа было установлено, что скорости ударных волн
равны во всех направлениях с точностью до нескольких про-
процентов.
Однако явной разностной схеме по времени присущи различ-
различные случайные трудности и неточности. Это привело к примене-
применению полностью неявной схемы, которая описана в § 10.
Сферически симметричные сходящиеся течения, возникающие
при движении в полусфере с условием отражения при * = 0,
5 Зак. 647


Я. М. Франк, Р. Б. Л аза р у с
показали, что имеются некоторые трудности с выполнением
условия отражения. В частности, соседние /-линии при значении
/ = 0 близко подходят друг к другу. Для того чтобы изучить эту
задачу при отсутствии границы, была рассчитана фокусировка
полной сферы. Трудности имелись в случае, когда плоскость
симметрии была при х = хи и их не было, когда она соответ-
соответствовала координате *=**+1/2Дх*+1/2. Это привело к введению
искусственного ускорения, о чем указывалось в § 7, Б.
10. Подробности проведения вычислений
на машинах
А. Переменные величины и распределение памяти
Переменные величины разностных ячеек приведены в табл. 1.
Поскольку используется процесс итераций, то значения первых
пяти переменных величин должны храниться в памяти одновре-
одновременно для двух различных моментов времени.
Таблица 1
Основные (*) и вспомогательные переменные величины
и их обычное центрирование
Перемен-
Переменная
*q
*w
A
tge
X
*M
M
и
P
*?
Центрирование
^
J
- *
'+T
i
j
j
J+i
j
Опреде-
Определяющее
уравнение
B7)
E1)
B8)
B9)
C0)
C2)
C3)
D6)
C5)
C7)
Перемен-
Переменная
Ё
Р
Q
F
*р
Р
а
V
V
Центрирование
1
i
'¦+4
1
/
/±
/±
/±
J + \
j-
Опреде-
Определяющее
уравнение
C8)
C9)
B0)
D3)
D4)
D5)
D8)
D9), E2)
E0)


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 67
Практически использовались тридцать ячеек памяти для каждой
разностной ячейки. Некоторые из этих ячеек памяти содержат
различные переменные на разных стадиях цикла вычислений.
Такой выбор сделан как компромисс между ограниченностью
памяти, с одной стороны, и быстротой и удобствами вычисле-
вычислений— с другой.
Метод решения, описанный в следующем параграфе, позво-
позволяет эффективно управлять задачами, в которых требуется
использовать внешнюю память (особенно магнитные барабаны
или диски) для переменных разностной ячейки. Это действи-
действительно так, потому что для фиксированного значения / можно
совершить полный расчет по всем уравнениям. Никаких дан-
данных не потребуется с других /-линий, кроме линий /±1. Для
использования этой особенности все переменные величины дан-
данной /-линии должны храниться в памяти в одном месте.
В добавок к переменным величинам разностной ячейки
имеется ряд или колонка величин с одним индексом (например,
Дяш/г). Для этих величин не требуется расходования значи-
значительного количества памяти.
Б. Последовательность вычислений
Задача основного цикла программы вычислений заключается
в том, чтобы при изменении времени на At найти соответствую-
соответствующее изменение величин q, М, Е, р и w (см. § 10,В). Не обращая
внимания на некоторые специальные особенности, присущие
величине w, можно написать неявные центрированные по вре-
времени уравнения для указанных выше переменных. Каждое урав-
уравнение в свою очередь решается затем для фиксированных / и
всех i путем итераций или способом обращения матрицы. Во
время такого решения значения других переменных для рассчи-
рассчитываемого момента времени принимаются постоянными, причем
берутся наиболее подходящие значения для этих величин.
После того как все уравнения решены, будут известны более
подходящие значения искомых переменных и весь процесс по-
повторяется снова.
Как уже отмечалось в § 5, Д, переменная w вычисляется по
времени с помощью неявного центрированного по времени раз-
разностного уравнения для v.
При практических вычислениях оказывается достаточным
решить с высокой точностью отдельно каждое уравнение и за-
затем, используя новые величины, решить аккуратно каждое урав-
уравнение еще один раз. Следует, однако, убедиться, не имеется ли
какой-либо другой, лучшей схемы. Например, можно было бы
решить систему уравнений с низкой точностью два раза и затем
решить ее в третий раз с высокой точностью.
5*


P. M. Франк, Р. Б. Л аза ру с
Следует заметить, что в общем случае не было найдено
схемы решения, которая бы позволяла определить, что значит
«высокая точность» для решения методом итераций. Авторы
использовали требование, чтобы последовательные итерации со-
согласовались между собой с расхождением, величина которого
составляет некоторую малую долю от величины переменных.
Однако при этом подходе терялось время в том случае, когда
такие переменные, как количество движения и давление, стано-
становились почти нулями и вычислялись до пренебрежимо малых
значений. Для вычислительной машины, использующей в основ-
основном арифметические операции, возможно, лучше было бы потре-
потребовать сходимости некоторой доли значащих цифр. Для спе-
специальных видов метода эту трудность можно обойти, используя
допустимые размерные отклонения вместе с допустимыми откло-
отклонениями долей величин. Например, рассматривая /?, будем счи-
считать, что имеет место сходимость, когда последовательные вели-
величины согласуются с расхождением в несколько процентов от р
или с расхождением, составляющим некоторую долю от количе-
количества движения, которой можно пренебречь в рассматриваемой
задаче.
В каждом из конечно-разностных по времени уравнений для
основных искомых переменных правая часть содержит среди
других членов сумму старого значения переменного и членов,
содержащих только величины, которые соответствуют старому
моменту времени. В начале каждого цикла для экономии вре-
времени и памяти старые значения основных переменных заменя-
заменялись этими суммами. Однако ради ясности уравнения, приведен-
приведенные в следующем разделе, не будут записываться в этой форме.
В. Уравнения в цилиндрических координатах
Будет подразумеваться, что переменные, написанные без
нижних индексов, снабжены этими индексами на основе стан-
стандартного способа центрирования переменных в соответствии
с табл. 1. Переменные, записанные без верхних индексов, отно-
относятся к (я+1)-му шагу по времени.
Черта над переменными величинами или над некоторыми
выражениями означает, что соответствующие выражения осред-
нены по времени, так, например:
7=4(Г+Г+1). B3)
В дальнейшем запись уравнения в виде
F = Fn+jM B4)
означает следующее: в начале временного цикла Fn заменяется
на Fn+l/2/nA/, а затем итерациями или обращением матрицы


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 69
решается уравнение
F = Fn + ±fa+lM. B5)
Переменные с волнистой чертой над ними определяются сле-
следующим образом (здесь запрещается индекс /+1/2):
f ^-1/2' если ^>0 (течение вправо),
- f если ut<0 (течение влево). '
Примечание: множитель я исключен из всех выражений для
объемов ячейки и площадей.
В начале цикла предполагается, что все искомые величины
известны для момента времени tn. Всякий раз, когда в течение
цикла необходимо использовать переменную для момента tn+\
используется последнее значение, которое уже было вычислено.
Первый шаг в вычислениях цикла заключается в том, чтобы
найти значения q при помощи соотношения
q = qn + wAt. B7)
С этими новыми значениями q находятся следующие гео-
геометрические величины:
A = qlJ+1~qlJt B8)
B9)
C0)
/+1/2 = 1ГТ + J Д
Т/-1/2, У ~+~ "8"
Затем для каждого значения j решается уравнение
М = Мп + М {Mt - Ml+ J^, C2)
где
Mt = uAMfa. C3)
Это делается для всех значений / [см. уравнение F)]. Заметим,
что Мг пропорционально или M;_i/2, или Мш/2 и, таким обра-
образом, уравнение C2) имеет трехдиагональный вид
C4)
что позволяет непосредственно использовать простые, хорошо
известные методы.


70 P. M. Франк, Р. Б. Л аз а рус
Уравнение C3) решается снова с использованием оконча-
окончательных значений М, так как величина Мг- будет использоваться
в дальнейшем.
Далее находится
9 = Mix C5)
и
Мг ± 1/4> у+1/2 = (р, ± 1/2t/ ± 1/4)у+]/2. C6)
Здесь учтено предположение о том, что р постоянно в раз-
разностной ячейке.
Уравнение энергии имеет вид
/+1/2-Я (т-тЛ), C7)
где
Ё C8)
что можно сравнить с уравнением (9). Давление Р находится
как сумма величины Р(Е/М9 р), определяемой по уравнению
состояния среды для индекса /+1/2, и числа Q, соответствую-
соответствующего псевдовязкости,
P = P(E/My9)+Q. C9)
Входящий в уравнение C7) член с давлением получен из
интеграла PV • ш/т в предположении, что Р постоянно в ячейке.
В член Р(х—хп) входят как величины, соответствующие зна-
значению п, так и величины, соответствующие /г+1, и, таким обра-
образом, требуется запас памяти для величин Рп и тп. Поскольку
уравнение A5) включает в себя два случая, то это приводит
к дополнительному расходу времени.
Псевдовязкое давление определяется по формулам B0), B1).
Местная скорость звука находится по формуле YyP(EjM, p)/p,
где у выбирается в соответствии с принятым уравнением состоя-
состояния. При вычислении первого члена в выражении для D [фор-
[формула B1)] используется соотношение
^/^x^iu^-udj+vr D0)
Для вычисления второго члена в D нужно аппроксимировать
производную от v no q, причем необходимо использовать только
величины внутри данной ячейки, так как v не обязательно
должна быть непрерывной при переходе через лагранжеву по-
поверхность. Так как v для четырех узлов ячейки определяется по
условию v = w + utgQ, то для второго члена, входящего в D,


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 71
можно написать
где
(vq)J+ = 2-[т;/+ + ^ч-1-];+ уО?/ + <7m)y> D2)
7 К
Уравнение C7) нелинейно по ?, вообще говоря, из-за урав-
уравнения состояния, а также из-за члена, содержащего Q. Его
необходимо решать итерациями. В заданной форме, однако, это
уравнение можно решать итерациями для всех i и для каждого /,
используя такое количество итераций, которое будет необходимо
для данного значения /. Это было бы не так, если в качестве
основной переменной использовать общую энергию, ибо тогда
нужны были бы значения Pj-ip и Яу+з/2.
Далее вычисляется составляющая х общей силы, действую-
действующей на ячейку, а именно составляющая для \ PdS:
s
V
Примечание: хотя величина Pt+i/г, j+i/г и может быть сокра-
сокращена в уравнении D3), указанная форма удобна при вычисле-
вычислениях.
Затем для каждой величины / находится решение (для всех
значений /) уравнения
p = p» + M(l-}w + Fl+1/2)j+i/2, D4)
где
p = MpjMt D5)
[см. уравнение G)]. Уравнение D4) имеет трехдиагональный вид
[см. обсуждение уравнения C2)].
После того как найдены значения р, вычисляются новые ве-
величины переменной и, согласно формуле
D6)
+ 1/2


72 Р. М. Ф ранк, Р. Б. Л азарус
Заметим, что формулу D6) можно было бы, используя C3),
подставить в D5). Однако тогда уравнение D4) было бы нели-
нелинейно.
Теперь остается определить радиальную (вертикальную) ско-
скорость w. Рассмотрим узел (i, /) и семь скоростей щ, j±i/2,^i, j и
Vi±, j±. Два значения для величины и были уже определены.
Лагранжево условие для скоростей v — w + u tg0 дает четыре
уравнения по одному в каждой ячейке, так что остается лишь
одна независимая скорость. Однако в § 5, Д было отмечено, что
скорости vi±y j_ определяются независимо по уравнению движе-
движения. Лагр'анжево условие для скоростей дает два (вообще го-
говоря, несовместных) значения wiy jt из которых выбирается одно
значение. Затем с помощью выбранной величины w и упомяну-
упомянутого выше лагранжева условия определяются все четыре зна-
значения величины v.
Разностное уравнение движения выводится из A8), где у за-
заменяется на q. Записывая в разностях первый член и используя
соотношение
dm = pdxqdqdQ, * D7)
получаем соотношение
±. У = TTZ — ; \pi-w-pi+w\i± 1/2
которое используется для всех ячеек.
Затем для каждого / и для всех / делается следующее. Два
независимо определяемых значения v вычисляются по формуле
^±=^±1/4,у + Д^[^±+а/±]., D9)
где
]
№-.|-,+ь E0)
vi-,j== — ui,i-vr
Далее выбираем w по соотношению
используя знак « + » или «—» в соответствии с указанием в §5, Д.
Выполнив это для каждого /, вычисляем затем соответствующие
значения
Vi±, 2 = Wh ) + Ui, i-l/2 tg 0Ш/2. j E2)


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 73
как для знака « + », так и для знака «—». Расчет по уравнениям
D9) — E2) повторяется снова до тех пор, пока не достигается
удовлетворительная сходимость.
Теперь мы получили значения всех основных переменных в
момент времени, соответствующий значению п+\. Это представ-
представляет собой один «проход» по всем уравнениям. У нас имеются в
запасе все необходимые комбинации величин для времени п, что
дает возможность провести полный процесс итерации. После до-
достаточного числа итераций, или «проходов», находятся величины
для следующего момента времени и начинается новый цикл.
Г. Выдача результатов
Вопрос о представлении результатов расчетов двумерных
гидродинамических задач является достаточно серьезным. Если
через какой-либо приемлемый интервал времени печатать даже
ограниченное число переменных для всех ячеек, то с напечатан-
напечатанной бумагой трудно будет обращаться и в ней невозможно будет
Рис. 3. Схема расположения сетки, полученная
с помощью устройства «Стромберг Карлсон 4020».
разобраться. По этой причине мы используем устройство для
вычерчивания графиков как наше основное средство выдачи ре-
результатов. Графики делаются с помощью записи полученных дан-
данных на магнитную ленту, с которой они могут считываться не-
непосредственно специальным устройством «Стромберг Карлсон
4020». Мы получаем графики двух видов. Во-первых, это графики
расположения величин qit j на прямоугольной сетке, причем i-e
точки для каждого / соединяются прямолинейными отрезками.
Это дает схему расположения сетки (см. рис. 3). Во-вторых, по-
показываются контуры фиксированных значений переменных. Для
каждой выдаваемой переменной устанавливается ряд значений,
контуры которых желательно видеть. Одному значению соответ-
соответствует кадр пленки. Очертание границы сетки изображается


74
P. M. Франк, Р. Б. Л аза р у с
прямолинейными отрезками, соединяющими граничные значения
qifj. Внутренние значения q не печатаются. На графике специ-
специальными значками отмечаются точки {x,q), в которых перемен-
переменная принимает величину, заданную для данного контура. Эти
значки не соединяются линиями, но форма линии, образованной
ими, легко угадывается визуально (рис. 4). Для того чтобы
найти точки (x,q), для которых нарисованы значки, осуществ-
осуществляется поиск в матрице переменных памяти как вдоль рядов
при постоянных /, так и вдоль столбцов при постоянных L Если
Рис. 4. Контурный график, полученный с помощью
устройства «Стромберг Карлсон 4020».
находятся два соседних значения, между которыми заключены
рассматриваемые контурные значения, то величины х и q, со-
соответствующие этому контуру, определяются путем интерполя-
интерполяции. Когда идет поиск при постоянном i, то предполагается, что
берется среднее значение между х{ и хш.
Д. Контроль по законам сохранения
1. Масса и количество движения. Как уже упоминалось в
§ 5, Б и В, разностные уравнения для массы и для горизонталь-
горизонтальной составляющей количества движения представляют собой
законы сохранения. Это означает, что в процессе всех вычисле-
вычислений общая масса и количество движения (без интеграла дей-
действующих сил) в системе должны равняться их начальным зна-
значениям плюс изменения за счет граничных условий. Проверка
этих условий полезна для определения ошибок.
2. Энергия. Кинетическая энергия ячейки берется в виде
-]- E3)
Вместо использования среднего значения v2 можно использовать
квадрат среднего значения v. Изучение случая, когда прини-
принимается Vj+=— f;+i-> показывает, что использование первого зна-


Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа 75
чения дает слишком большую кинетическую энергию, а исполь-
использование второго — слишком маленькую.
Если за основную переменную принимается общая энергия,
то значения давления, используемые в уравнениях движения,
непосредственно зависят от неточностей вычисления кинетиче-
кинетической энергии. Хотя общая энергия и будет сохраняться по по-
построению схемы, мы не будем иметь гарантии достаточной точ-
точности расчета движения.
С другой стороны, при использовании в качестве основной
переменной внутренней энергии удается избежать этой трудно-
трудности, а проводить контроль по общей энергии теперь уже не
имеет смысла.
//. Поток тепла
В 1960 г. совместно с Партером было выяснено, что расчет
теплопроводности (а также, вероятно, радиационной диффузии)
можно с успехом сочетать с рассмотренным методом расчета
задач гидродинамики. В частности, было выяснено, что распро-
распространение тепла можно аккуратно рассчитать при использовании
статической, но сильно искаженной сетки рассмотренного выше
типа.
К уравнениям (8), (9) следует добавить поверхностный ин-
интеграл от нормальной составляющей потока энергии. Единствен-
Единственный серьезный вопрос, который здесь возникает, заключается в
аппроксимации нормальной производной от температуры. Ока-
Оказалось, что необходимо использовать квадратичную интерполя-
интерполяцию, т. е. для нахождения значения при i+l/2 брать темпера-
температуры в точках /—1/2, /+1/2 и / + 3/2. Предполагалось, что в
направлении х между точками i—1/2 и i+l/2 температура
меняется линейно. Была использована неявная разностная схема.
Уравнения решались путем обращения матрицы вдоль каждого
ряда ячеек (для фиксированного /) в сочетании с итерациями.
Благодарности. Авторы с удовольствием и благодарностью отмечают
помощь У. М. Тейлора при программировании и вычислительной работе, а
также благодарят многих коллег из Лос-Аламоса за полезные обсуждения.
Авторы хотят также поблагодарить группу сотрудников Лос-Аламоса, рабо-
работающих на вычислительных машинах Maniac II, IBM-704 и IBM-7030
(Stretch).


Метод полос и течение газа
между пластинами1)
ДЖ. Т Р У Л И О -
Фирма «Northrop», Ньюбари Парк, Калифорния
1. Введение 76
2. Простая теория течения струи газа между двумя пластинами ... 78
3. Метод полос , 82
4. Замечания о сходимости численных методов в гидродинамике ... 95
5. Приложение метода полос к задаче о струйном течении газа .... 100
6. Заключение . 109
7. Приложения 112
Литература 127
/• Введение
Главная цель этой статьи состоит в описании метода реше-
решения двумерных гидродинамических задач, который назван
«методом полос», а также в обсуждении некоторых вопросов,
связанных с выводом конечно-разностных уравнений для тече-
течения сжимаемой жидкости. В качестве иллюстрации дается при-
приложение этого метода к специальной задаче о движении газовой
струи между двумя сталкивающимися пластинами. Эта задача
имеет и самостоятельный интерес.
Такая струйная задача возникает при экспериментах со
столкновением пластин, которые часто проводятся в газообраз-
газообразной среде, с целью изучения поведения металлов при высоких
давлениях. В большинстве этих экспериментов предполагается,
что две плоские пластинки сталкиваются параллельными сторо-
сторонами. Конечно, поверхности пластин никогда не бывают точно
параллельными. Естественно ожидать, что влияние пластин на
какой-либо газ, находящийся между ними, и влияние этого газа
на движение пластин можно рассчитать, предполагая, что при
достаточно малых углах между пластинками процесс можно
считать линейным и одномерным. Однако не вполне очевидно,
что такое «достаточно малый» угол. Даже когда влияние газа
на пластинки пренебрежимо мало, обратное утверждение, ко-
конечно, не верно. Представляется интересным (из-за необычности
явления) узнать, что же в действительности происходит с газом.
*) Методом полос автор условно называет совместный эйлерово-лагран-
жев конечно-разностный метод. — Прим. ред%


Метод полос и течение газа между пластинами 77
Пусть имеются две пластины, образующие между собой не-
некоторый малый угол и двигающиеся навстречу друг другу, а в
пространстве между ними имеется газ. Масса газа составляет
малую долю от массы любой пластины. Для простоты пусть обе
пластины сделаны из одинакового материала и имеют одинако-
одинаковую толщину. Предположим также, что плоскость, делящая по-
пополам угол между пластинами, является плоскостью симметрии
для рассматриваемой системы. Если угол между пластинами
равен нулю, то газ между пластинами будет равномерно сжи-
сжиматься. Градиент давления в направлениях, параллельных к
пластинам, не возникает, и поэтому будет отсутствовать движе-
движение газа в этих направлениях. (При этом, конечно, предпола-
предполагается, что можно пренебречь краевыми эффектами или считать
пластинки бесконечными.)
Однако если угол между пластинами отличен от нуля, то по-
появляется возможность выталкивания газа в боковых направле-
направлениях от точки наиболее тесного подхода пластин друг к другу.
Ясно, что такое движение должно действительно иметь место,
так как давление не будет одинаковым в точках плоскости, ко-
которая делит пополам угол между пластинами. В конце концов,
если угол между пластинами увеличивается до 180°, то все дви-
движение будет направлено параллельно плоскости, делящей попо-
пополам этот угол. Газ будет выталкиваться пластинами со скоро-
скоростью их движения.
Возможность возникновения больших скоростей газа появ-
появляется в том случае, когда угол между пластинами мал и когда
точка наиболее тесного сближения пластин движется с фазовой
скоростью пластины, а не со скоростью движения материала
пластины. Фазовая скорость равна скорости пластины, поде-
поделенной на синус половины угла между пластинами. Газ, вы-
выталкиваемый из пространства между пластинами, должен дви-
двигаться в стороны по крайней мере с этой фазовой скоростью.
Однако так как газ совсем не будет двигаться в стороны, ко-
когда угол между пластинами станет достаточно малым, то неко-
некоторая часть газа (скажем, 75% от первоначального количе-
количества) будет оставаться за точкой наиболее тесного сближения
пластин. Изучение этой струйной задачи позволило выяснить
следующие вопросы: ,
1. Узнать, как совершается переход от предельного состоя-
состояния, при котором газ движется в стороны с фазовой скоростью
пластин, к предельному состоянию, в котором газ не движется
совсем в стороны.
2. Определить, как состояние газа связано с углом между
пластинами.
В начале исследования предполагалось, что наиболее пря-
прямой путь решения задачи заключается в численном решении


78 Дж. Трулио
уравнений движения для специальных случаев с использованием
численного метода полос. Этот метод удобно применять к зада-
задачам такого вида, так как в нем используется одна лагранжева
и одна эйлерова пространственная координата. Вследствие это-
этого в рассматриваемой задаче было всегда удобно определять по-
поверхности раздела между газом и пластиной и между пластиной
и пустотой. Боковое движение газа изучалось в эйлеровых пере-
переменных, для которых нет необходимости учитывать кратковре-
кратковременные искажения лагранжевых элементов массы, свойствен-
свойственные движению газа в этом направлении.
Более полное описание метода расчета дано в § 3 и особенное
внимание уделено тем сторонам метода, которые важны для
рассмотренной выше задачи, а именно описанию поверхностей
раздела и расчету свойств течения в направлении эйлеровой ко-
координаты. Однако прежде чем проводить значительную вычис-
вычислительную работу для описания явления струйного течения газа,
была разработана простая аналитическая теория. В пределах
разумных приближений эта теория позволяет провести количе-
количественный расчет основных характеристик течения. Результаты
последующего детального численного решения хорошо согласу-
согласуются с данными этой теории. Перед изложением результатов
расчетов развита элементарная струйная теория и описан чис-
численный метод полос.
2. Простая теория течения струи газа между
двумя пластинами
Движение газа между пластинами представляет собой задачу
о двумерном плоском течении. Как обычно, в качестве незави-
независимых переменных берутся декартовы координаты х, у и время t.
Пусть ось х параллельна плоскости симметрии системы, а ось у
перпендикулярна этой плоскости, как показано на рис. 1.
Фазовая скорость пластины U равна скорости изменения по
времени координаты х точки наиболее тесного сближения двух
пластин. (Здесь U считается постоянной величиной.)
Основная идея элементарной теории заключается в прене-
пренебрежении движением газа в направлении оси х при расчете дав-
давления газа и его плотности. В действительности это не означает,
что движение отсутствует в направлении оси л;, а лишь означает,
что это движение не сильно влияет на изменение давления и
плотности. Сделанное предположение точно выполняется при
нулевом угле между пластинами. Следует ожидать поэтому, что
эта простая теория будет приложима к случаю, когда угол ме-
между пластинами мал.
Если движение газа в направлении оси х отсутствует, то газ
будет подвергаться одномерному сжатию в направлении оси у


Метод полос и течение газа между пластинами
79
до тех пор, пока силы давления газа не изменят движения пла-
пластины. Давление газа и его плотность затем начнут убывать при
рассматриваемом значении х. Изменение со временем давления
и плотности будет одинаковым для всех значений х с точностью
до изменения в отсчете нулевого момента времени, соответствую-
соответствующего конечной фазовой скорости пластин. Но этот сдвиг по
времени означает, что в любой данный момент давление будет
меняться в направлении х, вызывая боковое ускорение газа.
Этим путем в теории учитывается образование газовой струи.
В итоге основные предположе-
предположения теории сводятся к следую-
следующим:
1. Давление и плотность га-
газа при любых х и / такие же,
как если бы угол между пла-
пластинами был равен нулю, а
движение осуществлялось лишь
в направлении оси у. Практи-
Практически давление и плотность
могут быть найдены методами
одномерной гидродинамики.
2. Для любого значения х
и для любого момента време-
времени / давление и плотность газа
не зависят от у. Фактически
просто осредненные по про-
пространству одномерные давле-
Рис. 1. Поперечное сечение систе-
системы «пластина — газ», которая приво-
приводит к двумерному плоскому струй-
струйному течению; струя движется в на-
направлении оси х.
7 —пластина; 2 — газ; 3 — фазовая точка;
4 —вектор скорости пластины; 5—плоскость
симметрии.
ние и плотность вычисляются
как функции времени.
Метод полос (и большинство других гидродинамических чис-
численных методов общего назначения) разработан в основном для
решения задач с начальными данными, а не для стационарных
задач. Для того чтобы иметь дело с задачей с начальными дан-
данными, представим себе, что пластины вначале были параллель-
параллельны, а газ между ними находился в однородном состоянии. С ро-
ростом времени скорость, перпендикулярная оси ху приобретается
материалом пластины при все более возрастающих значениях
координаты х. Возникающая скачкообразно скорость пластины
не зависит от х, а время прихода этого скачка зависит линейно
от л:,#так что фазовая скорость пластины постоянна.
Пусть P = f(t) и p = g(t) —зависящие от времени осредненные
одномерные давление и плотность для движения в направлении,
перпендикулярном оси х. Тогда поля давления и плотности та-
таковы:


80 Дж. Тру л ио
где U—постоянная фазовая скорость пластин. Для траектории
частицы в этом движении имеем уравнение
d2x _ -(dP/dx)t m
~W~ р • I1'
Если мы положим l = t — x/U, x = (t —|)?/, то получим
Интегрирование этого уравнения дает
Обозначив через u[=dx/dt] скорость частицы газа, имеем
Далее, так как и = 0 при ? = 0, получаем
и2 — 2Uu-{-F(l) = 0,
где
F(l) = 2 f d^t^-\ B)
о
отсюда находим
Пусть Fmax — максимальное значение F(Q. Тогда, посколь-
поскольку и возрастает монотонно с ростом F(Q, максимальная ско-
скорость частицы газа атах определяется формулой
Отсюда видно, что критическое значение величины фазовой ско-
скорости U дается равенством
^крит = -«max»
При этой фазовой скорости
т. е. наиболее быстрая частица газовой струи движется с фазо-
фазовой скоростью. Если ?/>?ЛфИТ, то umax<U. Фактически скорость
газовой струи монотонно уменьшается с ростом U. Тот резуль-
результат, что wmax = 0 в предельном случае бесконечно большой фазо-


Метод полос и течение газа между пластинами 81
вой скорости, является правильным и объясняется соответствую-
соответствующей причиной: в этом случае градиент давления в направлении
оси х равен нулю для всех х и t. Если ?/<?/крит, то выражение
для wmax не имеет физического смысла. Причина этого состоит
в том, что когда ?/<?/крит, скорости частиц становятся больше
фазовой скорости. Согласно этой теории, получается, что для
рассматриваемой системы покоящиеся частицы газа обгоняются
струей, и, таким образом, поле скоростей перестает быть одно-
однозначной функцией координат.
Если уравнение C) записать в виде
то можно получить, что timuJU = ~2 . когда UKmT/U = 0,866. Когда
?/»?/крит> то величина um3LX/U более чувствительна к измене-
изменению U. Таким образом, если имеются большие перемещения ча-
частиц при ?/=?/крит, то эти перемещения весьма быстро умень-
уменьшаются с убыванием U. По этой причине, несмотря на ошибки,
сделанные при упрощенном определении полей давления и плот-
плотности, значение ?/крит можно все же определять достаточно точно
для очень больших фазовых скоростей, которые может иметь
газ. Однако точно это или нет, но по этой теории получается, что
газ будет двигаться с фазовой скоростью, если она равна /7крит.
Далее, U2Kpm = Fmu1i = F(lmul)> где ?тах есть величина ?, для
которой dF/dl = 0. Следовательно, согласно уравнению B), имеем
ПБтах)=0.
Таким образом, |тах равно времени т, при котором давление
P = f(t) достигает своей наибольшей величины. Имеем также ра-
равенство
о
Заметим, что для данной системы величины f(t), g(t), х и
находятся только по одномерной теории.
Отметим интересный специальный случай, когда газ ведет
себя при постоянной энтропии как газ с постоянным показате-
показателем адиабаты у. В этом случае Р = арУ или f(t) =#[g'(/)]Y, а также
240 =_У d (P\= dc*/dt
g(t) Y-1 dt \9 ) y-1 '
где с — скорость звука.
В результате находим
г _2с*(т)
6 Зак* 647


82 ' Дж. Трулио
Скорость звука с увеличивается монотонно с ростом Р, причем
^()Рх. ПОЭТОМУ с(т)=Стах И
Эта особая скорость является наибольшей из возможных скоро-
скоростей частиц вдоль линии тока для стационарного течения, в ко-
котором Сщах равно скорости звука в точке торможения. Из этой
теории получается, что если фазовые скорости больше, чем эта
«предельная скорость», то скорость газа должна быть меньше
фазовой скорости, что является приемлемым.
Рассмотренную теорию можно легко распространить на слу-
случай переменной фазовой скорости. Можно также показать, что
по мере того, как угол между движущимися пластинами прибли-
приближается к нулю (т. е. f/->oo), не только абсолютная, но и относи-
относительная ошибка при вычислении скорости газа стремится к нулю.
Наконец, заметим, что можно несколько улучшить результаты
теории, проведя вычисления поправочных членов более высокого
порядка путем разложения точного решения по степеням 1/1/.
3. Метод полос
А. Определение переменных величин и уравнения движения
в системе координат, принятой для метода полос
Метод полос предназначен для описания гидродинамических
явлений при двумерных осесимметричных течениях; его можно
применять для задач, содержащих несколько областей. Исполь-
Используемая исходная система координат является сферической, при-
причем сферический угол ф, определяющий поворот вокруг оси
симметрии не учитывается. В качестве одной из двух простран-
пространственных координат, которые используются в методе, берется
сферический угол 0, образованный данным радиусом-вектором и
осью симметрии. Угол 8 является эйлеровой координатой. В на-
начале решения любой задачи выбирается система лучей, соответ-
соответствующая различным углам 0 и эти лучи остаются фиксиро-
фиксированными в процессе решения задачи.
Вторая пространственная координата, используемая в методе
полос, эквивалентна сферической радиальной координате г, но
скорее является лагранжевой, чем эйлеровой. Эта координата
обозначается буквой а. Поверхности а=const топологически
эквивалентны сферическим поверхностям. Однако движущаяся
среда не может протекать сквозь поверхность а = const. Поэтому
поверхности, на которых величина а остается постоянной, де-
деформируются так, что перемещаются вместе со средой. Свобод-
Свободные поверхности и поверхности раздела определяются таким об-
образом, чтобы они были поверхностями постоянных значений а.


Метод полос и течение газа между пластинами
83
Следовательно, граница каждой области, занятой средой, ав-
автоматически учитывается в этой системе координат, что явилось
одной из главных причин первоочередного выбора данной си-
системы координат для метода полос. Основные свойства этой си-
системы иллюстрируются на рис. 2.
Рис. 2. Типичные координатные линии системы
координат метода полос.
Показано поперечное сечение в плоскости ф = 0 для си-
системы, состоящей из двух областей.
1 — свободная поверхность; 2—поверхность раздела; 3 — на-
начало координат; 4 — ось симметрии. линии постоянного
значения а\ -—- линии постоянного значения 6.
Уравнения для преобразования, связывающего сферические
координаты г, 8, ф и время t с координатами метода полос а, 9',
ф', имеют вид
r=R(a, 0', Г), 6 = 0', Ф = ф', t=f. E)
Удобное и простое обобщение этого преобразования получается
путем замены 9' на переменную х\ причем
e'=f(*'). F)
Это позволяет распределить радиальные линии с различной гу-
густотой в различных областях 8', используя соответствующую
функцию f. Штрихи, которые мы применяли для избежания пу-
путаницы в уравнениях преобразований E) и F), в дальнейшем
будут опускаться.
* В уравнения движения, записанные для системы координат
метода полос, входит переменная величина Q — поделенный на
2я момент количества движения, рассчитанный на единицу объ-
объема пространства а, х, ф и взятый в точке а, #, ф относительно
начала координат, перпендикулярно к плоскости ф. В части про-
пространства а, х, ф, где величины а, х изменяются на единицу, а
ф изменяется на бесконечно малую величину йф, величина Q
6*


84 Дж. Тру ли о
равна полному моменту количества движения, поделенному на
2я dy. При переходе к дискретной сетке переменная а изменяет-
изменяется (по определению) на единицу между соседними а-линиями
х также изменяется на единицу между соседними х-линиями;
значение Q считается постоянным в той части пространства, ко-
которая соответствует ячейке дискретной сетки, используемой в со-
соответствующем месте плоскости а, х. Можно сказать, что вели-
величина Q равна моменту количества движения вещества ячейки,
поделенному на 2я dy.
Кроме Q, в уравнения движения входят следующие перемен-
переменные величины: -ф — поделенная на 2я масса единицы объема
пространства а, х, ф (благодаря осевой симметрии эта величина
не зависит от ф); р — плотность; Р — давление; Q — искусствен-
искусственная вязкость, полученная обобщением искусственной вязкрсти
Рихтмайера и фон Неймана; R — радиальная скорость (R не
зависит от ф); х — скорость изменения х при изменении х для
движущейся частицы; ц — сжатие (ц равно р/р0, где р0 — неко-
некоторая постоянная, называемая характерной плотностью); V —
относительный объем, определяемый величиной 1/т); jli — величи-
величина, равная г\—1; е — внутренняя энергия на единицу массы,
умноженная на характерную плотность р0.
В этой работе всюду используются следующие единицы из-
измерения: сантиметр (см), грамм (г), микросекунда (мксек,
1 мксек=10~6 сек). Скорость измеряется в сантиметрах за ми-
микросекунду (см/мксек), плотность — в граммах на кубический
сантиметр (г/смг). Мегабар (Мбар> 1 Мбар—Ю12 дин/см2) слу-
служит единицей измерения давления и искусственной вязкости, а
Аля измерения энергии служит Мбар • смг.
При образовании дискретного аналога жидкой сплошной сре-
среды пространство непрерывных переменных х, a, t заменяется
дискретными узловыми точками сетки, каждая из которых отме-
отмечается целыми числами /, k, п. Эти целые числа являются неза-
независимыми переменными разностной сетки, причем / заменяет
переменную х, k — переменную а, а п — время /. В точках сет-
ни / может принимать любое положительное целое значение,
k — только нечетные целые положительные значения, а п — лю-
любые четные положительные целые значения. Полуцелые значе-
значения / (или четные значения k, или нечетные значения п), возни-
возникающие в конечно-разностных уравнениях, можно интерпрети-
интерпретировать как значения, соответствующие координате х (или я,
или /) в среднем положении для двух соседних целых значений /
(или k, или п).
Как показано на рис. 3, логические места зависимых пере-
переменных потока обычно соответствуют узловым точкам, которые
отличаются от узловых точек исходной разностной сетки.» Если
требуется знать значение гидродинамической функции в точке,


Метод полос и течение газа между пластинами 85
которая не совпадает с точкой ее определения, то берется осред-
ненное значение по соответствующим точкам.
В системе координат, используемой для метода полос, урав-
уравнения осесимметричных движений запишутся следующим обра-
образом.
Уравнение для момента количества движения
(8)
где f' =
Уравнение для радиальной скорости
Уравнение сохранения массы
= 0- (9)
Эта система дополняется следующими уравнениями.
Уравнение для радиальной координаты
= R . A0)
Определение искусственной вязкости
! 0, если
\Ki2l8Vt если г<0,
где (П)
I V/V, если /?>0,
Z ~ \ V\V — 2RIR, если R < 0.
Уравнение для относительного объема V и относительного
сжатия т):
V = 1/т, = (ро/3ф) (R\ Г sin 0. A2)
Уравнение состояния
Я = г(и) + еА(|х)э A3)
где
ао> пи а2, а3; b0J bx, b2— постоянные величины.
Первый закон термодинамики
A4)


86 Дж. Трулио
В конечно-разностных аналогах этих уравнений величина е
исключается с помощью первого закона термодинамики и урав-
уравнения состояния, так что получается явное уравнение для дав-
давления; не возникает никаких особенностей и при комбинирова-
комбинировании уравнения состояния с первым законом в дифференциальной
форме.
В уравнениях G)—A0) оператор точки (•) дает скорость
изменения некоторой величины с течением времени в лагранже-
вой системе координат, т. е. для некоторого отдельного элемента
среды. Его связь с оператором d/dt, который дает скорость из-
изменения со временем некоторой величины в системе координат
метода полос, т. е. когда а и х предполагаются фиксированными,
имеет вид
Б. Центрирование переменных на разностной сетке
Метод полос, предназначенный для численного решения урав-
уравнений G) — A4), вероятно, является первым вычислительным
методом решения двумерных гидродинамических задач в сме-
смешанной (эйлеровой и лагранжевой) системе координат. В § 7, А
приведены конечно-разностные уравнения для уравнений G) —
A4), которые использовались в настоящем методе при решении
задачи о движении газовой струи. Эти конечно-разностные урав-
уравнения применялись внутри одной области.
На рис. 3 показана логика центрирования гидродинамиче-
гидродинамических переменных относительно дискретной сетки линий 0 = const
(/-линии) и линий tf = const (&-линии) для внутренней области,
занятой одной средой. Как следует из рис. 3, для фиксирован-
фиксированного значения k вычисляются две различные системы значений
величин давлений, плотностей, внутренних энергий и искусствен-
искусственных вязкостей. Одна из систем располагается в центрах ячеек,
т, е. при полуцелых значениях /, а другая соответствует грани-
границам ячейки, т. е. предназначена для целых значений /. Первона-
Первоначально метод записывался с расположением давлений, плотно-
плотностей и т. д. только в центрах ячеек, что, возможно, вполне есте-
естественно для термодинамических функций. Однако если
использовать центрирование давления, плотности и т. д. только
в ячейках, то возможно, что две соседние й-линии будут при-
примыкать тесно друг к другу и даже пересекаться при заданном
значении / без появления большой противодействующей силы,
даже в том случае, когда имеется лишь слабое движение в на-
направлении /-линий.
Для лучшего уяснения этого факта предположим, что ячейка
ограничена двумя /-линиями, а именно /=/0 и /=1+/0. Сторона


Метод полос и течение газа между пластинами
87
ячейки, соответствующая /0, может стать очень короткой, тогда
как сторона при 1+/0 увеличит свою длину так, что будет от-
отсутствовать общее изменение объема или давления в центре
ячейки. Оказалось, что это явление имеет место в некоторых
задачах, особенно для течений, в которых лагранжевы ячейки
будут сильно искажаться. Для того чтобы стабилизировать ме-
метод относительно таких движений узловых точек сетки, были
,k,n)
.k,n)
.k,n)
,k,n)
ik,n)
fl( j, k+1, n*l)
ft(J, k+J, x]*l)
R(j, k+1, h)
— J
к-К
Q(j,k,n)
P(J,K,n)
e(j,K,n)
a-- const
t 1
{Линии t
^ (j-линии)
Рис. З. Логическое размещение гидродинамических функций
внутри области.
Показано пространственное расположение. Время соответствует моментам /
и / , j, как это указано в обозначениях функциональной зависимости.
введены давления, плотности и т. д. для целых значений /. Ради-
Радиальные ускорения вычисляются по давлению и искусственной
вязкости при целых значениях k, которые соответствуют грани-
границам ячеек, а угловые ускорения вычисляются с помощью давле-
давления и искусственной вязкости при полуцелых значениях /.
В действительности сопоставляются две системы термодина-
термодинамических величин, так как обе они вычисляются с помощью од-
одной совокупности координатных точек, которые определяют
сетку. Совместность между собой двух термодинамических по-
полей дает нам в любом частном случае грубую проверку досто-
достоверности решения. Однако количество вычислений, необходимых
для расчета решения на одном шаге по времени, заметно увели-
увеличивается при использовании этой процедуры (хотя и не удваи-


88 Дж. Трулио
вается), а это представляет собой серьезный практический недо-
недостаток при использовании конечно-разностных уравнений.
Стоит заметить, что в уравнения B3) — B5) переменная G
в явном виде не входит. Например, радиальную скорость в урав-
уравнении B4) невозможно найти, зная /?(/, k+l, n+1/2) и не зная
радиальных скоростей при значениях /+1 и /—1 на линии k+\
в расчетный момент времени /г+1/2. Следовательно, эти урав-
уравнения нужно решать одновременно для всех неизвестных ра-
радиальных скоростей, связанных с данной /г-линией или полосой.
Граничное условие о том, что плотность момента количества
движения равна нулю на оси симметрии, дает столько неизвест-
неизвестных радиальных скоростей, сколько имеется уравнений для
любой данной полосы. Поэтому становится возможным одно-
однозначное определение радиальных скоростей.
Использование того же граничного условия (Q/ip = O) позво-
позволяет найти решение неявных конечно-разностных уравнений для
определения радиальной координаты и момента количества дви-
движения. Так как любая рассматриваемая система уравнений
включает только узлы, соответствующие значениям /+1, / и /—1,
то одновременное определение радиальных скоростей для задан-
заданной полосы сводится к решению системы линейных уравнений,
матрица которых содержит нулевые элементы всюду, кроме
главной диагонали и двух соседних с ней диагоналей, т. е. яв-
является трехдиагональной хматрицей1).
В. Члены переноса
Члены (xQ)x, xRx и т. д., которые приводят к неявной форме
уравнений B3) — B5), характеризуют собой быстроту измене-
изменения свойств, обусловленных течением материала через границу
ячейки, и называются «членами переноса». При решении задач
о газовых струях было обнаружено, что можно написать устой-
устойчивую явную схему для членов переноса, которая имела бы та-
такую же точность, как и неявная схема, приведенная в § 7, А.
Неявный характер этих конечно-разностных уравнений остался
от более раннего варианта метода полос. Первые изменения в
методе в направлении явного описания членов переноса появи-
появились в уравнении B6). Используемый при этом способ основан
на вычислении траекторий частиц среды, о чем будет идти речь
ниже.
Пусть х — известная функция только от х вида х(х). Далее,
пусть частица с координатой х0 в момент времени t0 подходит
1) Используемый в методе полос способ решения систем линейных урав-
уравнений этого вида был предложен Р. Хольдтом. Программа для метода полос
была составлена У. Гильмором, Д. Холда и Ф. Петерсеном для машины
IBM-7090,


Метод полос и течение газа между пластинами 89
к координате х за время / = /о + Д*> где
Если х зависит от х линейно, т. е.
х (х) = А}с-{-В^(х — xj),
где Xj — одно из фиксированных значений х, то получаем
-5.Л/)-1}. A6)
Это уравнение дает систему характеристических кривых, опре-
определяющих пути частиц в плоскости х, L Оно используется в ко-
конечно-разностном уравнении B6) следующим образом. Предпо-
Предположим, что нас интересует изменение свойства S частицы среды,
которая находится в положении х в момент времени t. В некото-
некоторый более ранний момент t0 координата частицы х0 определяет-
определяется приближенно по уравнению A6). Теперь, если S известно
при t0 для ряда дискретных значений х, то значение S при t0 в
точке х0, а именно S(xOy t0) можно найти путем интерполяции.
Тогда лагранжева производная по времени 5 приближенно рав-
равна отношению [S (x, t)—S(x0, to)]/At. Например, в конечно-раз-
конечно-разностном уравнении B8), которое служит для определения ис-
искусственной вязкости в некоторой точке /-линии, считается, что
функция V изменяется линейно по х вблизи точки Xj в момент
времени /п, а значение Уо(/, К п) находится с помощью
интерполяции в этом линейном V-поле. Величина 1/0(/, А, п)
представляет собой относительный объем частицы в момент tny
которая расположена в точке Xj в момент tn + At; для конечно-
разностной аппроксимации V используется отношение
[V(]\ К n + 2) — V0(j, К п)]/2М.
Разлагая по степеням At показательную функцию
ехр(—Bxkt), входящую в уравнение A6), и ограничиваясь чле-
членом первого порядка по Д/, получаем
Xo-*j = {x-Xj)Q ~BiAt)~ A-At. A7)
Практически оказалось, что уравнение A7) дает такие же хо-
хорошие результаты, как и уравнение A6), так что нет особой
необходимости в «точном» интегрировании, которое приводит к
члену с экспонентой. Причины этой возможности рассматрива-
рассматриваются в § 4.
Обсудим теперь наиболее важную сторону вопроса о членах
переноса, используемых в методе полос. Чтобы характеризовать
эту особенность уравнений, рассмотрим, например, уравнение


90 Дж. Трулио
B3), которое содержит совокупность выражений, различно ис-
используемых при определении свойства среды (в рассматривае-
рассматриваемом случае момента количества движения), которая переносит-
переносится через границу данной области или линию 9 = const. Обосно-
Обоснованием для выбора конечно-разностного уравнения B3) яви-
явилось изучение вопроса о переносе для одномерной задачи, ко-
которое было недавно закончено, но еще не опубликовано. Это
исследование приводит к следующим выводам:
1. Схемы, содержащие «левые» разности (или разности
«назад»), могут приводить к сильному затуханию, или размазы-
размазыванию, возмущения. Например, скорость переноса массы через
поверхность можно было бы вычислить как произведение площа-
площади поверхности на нормальную составляющую (к этой поверхно-
поверхности) скорости чаогиц и на плотность среды внутри ячейки, из
которой среда вытекает через эту поверхность. Пусть этот спо-
способ используется для описания течения среды через эйлеровы
ячейки в случае движения с постоянной скоростью столбика
среды переменной плотности. Предположим, что плотность стол-
столбика меняется по его длине по синусоидальному закону. Если
использовать восемь ячеек для описания полной синусоидальной
волны по плотности, то тогда амплитуда волны, которая должна
бы быть постоянной, уменьшится в двадцать раз за время, не-
необходимое для перемещения столбика на расстояние в две
длины волны.
2. Схема с центральными разностями может привести к силь-
сильным, физически нереальным колебаниям. Например, в случае
переноса массы, можно использовать осреднение плотности в
ячейках, соседних с данной поверхностью, вместо того чтобы брать
плотность слева при расчете переноса массы через поверхность.
Это можно осуществить или по неявной схеме, применяя цен-
центральные разности по времени для членов переноса и также
проводя центрирование и для других членов, входящих в урав-
уравнение сохранения массы [см. уравнение (9)], или можно взять
явную схему с небольшим поправочным членом для обеспечения
устойчивости. В любом случае при прохождении с постоянной
скоростью через эйлеровы ячейки столбика вещества, имеющего
постоянную плотность, колебания плотности быстро нарастают
за передней частью столбика. К тому времени, когда жидкий
столбик пройдет 25 ячеек, амплитуда основного колебания до-
достигнет одной четверти плотности столбика.
3. Способ левых разностей и центрирования можно использо-
использовать таким образом, чтобы избежать в основном физически не-
нереального размазывания действительных колебаний, что имеет
место при применении только способа левых разностей, и физи-
физически нереального роста колебаний в спокойном поле, связан-
связанного с процедурой центрирования. Ключ к созданию этой схемы


Метод полос и течение газа между пластинами 91
переноса с использованием «иногда центральных, иногда левых»
разностей лежит в возможности допущения лишь волн или ко-
колебаний такой короткой длины, с которой они не могут суще-
существенно развиваться для применяемой разностной сетки. Затем
для выборочного демпфирования этих волн применяется модель
переноса с левыми разностями. Первоначальные шаги в созда-
создании этой схемы переноса отражены в конечно-разностном урав-
уравнении B3) § 7, хотя эта схема и претерпела с тех пор ряд изме-
изменений в деталях. В случае уравнения B3) для переноса исполь-
используется величина момента количества движения, а именно
Q(/+1/2, k+l, п), при отыскании которой определяются сле-
следующие параметры:
а) направление течения среды в точке (/+1/2, &+1, п)\ это
позволяет установить знак #(/+1/2, k+l, ri)\
б) гладкость функции (Q/f'sinB); это — тест, помогающий
установить, будет ли скорость изменения функции (Q/f sin6)
относительно х больше ее кривизны, т. е. будет ли иметь место
соотношение
l, П)
>2
QG+l,*
/'(У+1)81пеС/+1) /'(у_1)8!пв(У-1)
1, Л)
Г (у) sine (y) i-/'(y_i) sine <7-i
Таким образом, в зависимости от гладкости функции (Q/f'sinG)
для определения Q(/+l/2, k+\, n) будут использоваться или
центральные разности, или левые разности.
Г. Поверхности раздела и свободные поверхности
Уравнения для расчета поверхностей раздела или свободных
поверхностей приведены в § 7, Б. В этих уравнениях использует-
используется условие непрерывности нормальных к поверхности раздела
составляющих сил, рассчитанных на единицу площади. По этой
причине поверхности раздела размещаются на дискретной сетке
при тех же значениях &, как и давление, т. е. поверхность раз-
раздела будет обычно располагаться в середине полосы. Это пока-
показано на рис. 4. Здесь же показан способ центрирования на сетке
всех переменных величин, относящихся к поверхности раздела.
Путь использования условия непрерывности нормальной состав-
составляющей силы при определении закона движения поверхности
раздела будет описан ниже для случая одномерного движения
с одной лагранжевой пространственной координатой. В этом об-
обсуждении мы будем следовать работе Трулио и Триггера [4].
В одномерном случае поверхность раздела делит некоторую
лагранжеву ячейку на две части. Сила на единицу площади,
действующая по нормали к поверхности раздела, равна сумме


92
Д ж. Т р у ли о
давления Р и искусственной вязкости Q. Пусть задано положе-
положение всех границ ячеек или узлов сетки в момент /п. Тогда с по-
помощью системы нормальных напряжений P + Q, используя, на-
например, уравнения Рихтмайера и фон Неймана [3], можно рас-
рассчитать положение всех границ ячеек, не совпадающих с
поверхностью раздела в более позднее время
Рис. 4. Логическое размещение гидродинамических
функций у поверхности раздела между двумя областями.
Показано пространственное расположение. Время соответствует
моментам tn и / , ^ как это указано в обозначениях функциональной
зависимости.
7 —поверхность раздела.
Таким образом, имеется возможность прямого расчета пере-
перемещения границ ячеек, содержащих поверхности раздела, за
время одного шага. Так как все узлы сетки являются лагранже-
выми, то массы двух частей ячеек («полуячеек»), расположен-
расположенных около поверхности раздела, не меняются с течением вре-
времени. В результате движения границ ячеек, расположенных по
соседству с поверхностью раздела, изменяется средняя плотность
в полуячейках, примыкающих к границе раздела. Если поверх-
поверхность раздела не перемещается нужным образом, то в полуячей-
полуячейках около поверхности раздела не будет равенства напряжений.
Поэтому для определения координат поверхности раздела при-
применяется процесс последовательных приближений. Цель этого
процесса состоит в установлении равенства нормальных напря-
напряжений в полуячейках, примыкающих к поверхности раздела.


Метод полос и течение газа между пластинами 93
При каждой итерации используется обычная последовательность
вычислений.
1. На основании результатов последнего приближения при
расчете расположения поверхности раздела вычисляется плот-
плотность в каждой полуячейке.
2. На основании нового значения плотности вычисляется но-
новое значение искусственной вязкости.
3. С помощью уравнения состояния и первого закона термо-
термодинамики для каждой полуячейки рассчитываются новые значе-
значения давления и внутренней энергии.
После выполнения ряда приближений систематическое изме-
изменение поверхности раздела приведет к уменьшению разности
нормальных напряжений в двух соответствующих полуячейках
до некоторой подходящей малой величины. В способе приближе-
приближений, используемом в методе полос, для сходимости обычно тре-
требовалось не более пяти итераций, но в отдельных случаях число
итераций может возрастать до двадцати.
В случае свободной поверхности методика расчета аналогич-
аналогична изложенной для поверхности раздела двух сред, за исклю-
исключением того, что здесь используется только одна полуячейка,
находящаяся в области жидкости. Положение свободной поверх-
поверхности варьируется до тех пор, пока нормальное напряжение,
действующее в этой полуячейке, не станет равным напряжению,
приложенному к этой поверхности. При использовании нелаг-
ранжевой системы координат (как этск имеет место в методе
полос) массы полуячеек будут изменяться со временем. В этом
случае новые массы рассчитываются до проведения процесса
итераций и не изменяются вплоть до перехода к новому шагу
по времени. (Способы расчета поверхностей раздела и другие
вопросы, затронутые в этой главе, рассматривались Рихтмай-
ером [2].)
Д. Замечания о методе полос
Метод полос успешно применялся к решению задач о дву-
двумерном осесимметричном течении газа. В принципе и практи-
практически он ограничен из-за того, что радиальная координата каж-
каждой /г-линии должна быть однозначной функцией 0. Добавим
также, что по причинам, которые не вполне ясны, численные
решения, полученные методом полос, обладают меньшей точно-
точностью в окрестности оси симметрии, чем в остальных местах. На-
Наконец, по-видимому, имеется тенденция к появлению «эффекта
тюбика зубной пасты», при котором одна из полос со средой
становится очень тонкой в некоторой области малого изменения
угла. Этот эффект не всегда очевиден, хотя в некоторых случаях"
(при методе, устойчивом относительно колебаний радиальной
координаты) он может быть замаскирован. Так, задачи о течении


94 Д ж. Т р у л и о
струи газа между пластинами (и аналогичные им) рассчиты-
рассчитываются устойчиво, если ширина полосы определяется с точ-
точностью только в две или три значащие цифры. С другой стороны,
кроме задач о струях газа, метод можно успешно применять к
более сложным течениям. Например, расчеты неустойчивых по
Тейлору движений жидкости в слое конечной толщины можно
продолжить и после наступления стадии экспоненциального
роста возмущений до момента, когда большая часть массы
жидкости перейдет в острые «пики».
С теоретической точки зрения полученные здесь конечно-раз-
конечно-разностные уравнения слишком сложны и произвольны, чтобы их
можно было рассмотреть удовлетворительным образом. Это от-
отчасти результат того, что метод находился в состоянии постоян-
постоянной эволюции, так что некоторые упрощения, которые можно
было бы сделать весьма легко, умышленно не принимались во
внимание для того, чтобы испытать более важные изменения
в конечно-разностных уравнениях.
Сложность метода обусловлена также серьезными недостат-
недостатками в подходе к построению конечно-разностных уравнений.
Примененный способ по существу является способом проб и
ошибок и основывается на «осмысленных» предположениях. Для
этого метода также характерно то, что результаты расчетов
проверялись с помощью известных решений для некоторых про-
простых случаев или с помощью надежных экспериментальных дан-
данных. Проверочные задачи обычно относились к течениям в пре-
предельном одномерном случае, а также к стационарным ударным
волнам и простым волнам разрежения, распространяющимся
наклонно по отношению к двумерной разностной сетке. Если
результаты были недостаточно точны или если развивалась
физически нереальная неустойчивость движений, то предприни-
предпринимались попытки обнаружить те члены конечно-разностных урав-
уравнений, которые сильно влияли на появление этих ошибок в ре-
результатах. Далее, в основном по интуитивным соображениям эти
члены пересматривались с тем, чтобы можно было добиться
исправления недостатков. Процесс оценки величин затем прово-
проводился с новыми конечно-разностными уравнениями; эти урав-
уравнения также изучались в свою очередь и т. д. Стремление учесть
при помощи этой процедуры специальные случаи составляет
главную причину сложности уравнений метода полос.
Ценность любого метода определяется в конце концов теми
численными результатами, которые он позволяет получить при
его применении. По-видимому, верно также и то, что почти все
численные методы гидродинамики развивались путями, близ-
близкими к описанному выше. Тем не менее имеется очевидное упу-
упущение в этом способе получения конечно-разностных уравнений,
сильно опирающемся на численные результаты, полученные


Метод полос и течение газа между пластинами 95
только для некоторых задач. Хотя эти задачи могут быть и
очень важными, нельзя быть уверенным в том, что хорошие ре-
результаты будут получены в других задачах. Особенно это отно-
относится к более сложным течениям.
4. Замечания о сходимости численных методов
в гидродинамике
Усложнения такого типа, как появление экспоненциальных
функций в уравнении B6), являются следствием попыток полу-
получить правильные результаты при рассмотрении специальных за-
задач и исправить недостатки конечно-разностных уравнений (по-
(поскольку возникают трудности при решении этих специальных
задач). Возможно, что наиболее очевидный способ, который по-
позволил бы надеяться на улучшение точности конечно-разност-
конечно-разностных уравнений, заключается в использовании разностных отно-
отношений более высокого порядка. Можно было бы ожидать, что
получатся более точные конечно-разностные уравнения, если за-
заменить производные, например для dy/dx, разностным выраже-
выражением
п У к+ 1/2 ~~ У к-1/2 * #fe+3/2 ~~ ЗУц + 1/2 + ^Ук-1/2 — Ук-3/2
Uz— А* 24 Д*
а не разностным отношением вида
~l dx
В смысле разложения в ряд Тейлора в окрестности точки л:0 =
= \l2(xh+i/z+xh-i/2) использование D3 дает более точную аппрок-
аппроксимацию для dy/dxy чем использование Dt. Действительно, из
соответствующего разложения в ряд Тейлора находим, что
dy_\
плюс члены более высокого порядка, а для D3 имеем
плюс члены более высокого порядка.
Таким образом, конечно-разностный аналог уравнения нераз-
неразрывности, полученный Рихтмайером и фон Нейманом, а именно
At Ax


96 Дж. Трулио
можно было бы заменить на уравнение
п (Vn + l Vn \
P V )
с целью увеличения скорости сходимости решения конечно-раз-
конечно-разностных уравнений к искомому решению дифференциальных
уравнений (здесь введено обозначение V= 1/р вместо 1/ = ро/р).
Однако для того чтобы реализовать возможность получения бо-
более высокой точности, следовало бы ожидать, что производные
высокого порядка, скажем dzU/dx3, будут непрерывными функ-
функциями в некоторой области изменения независимой перемен-
переменной х. Это условие почти никогда не выполняется в гидродина-
гидродинамических задачах, имеющих практический интерес. Как правило,
функции, характеризующие течение, имеют разрывы производ-
производных низкого порядка.
Причина появления разрывов в производных от гидродина-
гидродинамических функций заключается в том, что скорость звука имеет
конечное значение. Это приводит к такой ситуации, что в одной
части области, занятой жидкостью, имеется однородное, невоз-
невозмущенное состояние, тогда как в другой части жидкости распро-
распространяются возмущения. Если бы не было разрывов у производ-
производных от гидродинамических функций, то можно было бы их
разложить в ряд Тейлора с конечным радиусом сходимости в
окрестности некоторой точки невозмущенной части области,
исключая окрестности изолированных особых точек на веще-
вещественной оси. В результате на основании принципа аналитиче-
аналитического продолжения мы должны были бы сделать заключение не
только о том, что вся область жидкости находится в невозму-
невозмущенном однородном состоянии, но и о том, что это состояние
никогда не может измениться. (Здесь не учитывается возмож-
возможный, но маловероятный случай, когда имеется решение гидроди-
гидродинамических уравнений с непрерывными производными всех по-
порядков, но обладающее существенными особенностями на
вещественной оси.)
Таким образом, из-за конечности скорости звука все произ-
производные (выше некоторого порядка) по пространственным коор-
координатам и времени от гидродинамических функций имеют
разрывы в различных точках пространственно-временного конти-
континуума во всех задачах, кроме некоторых тривиальных гидроди-
гидродинамических задач. В случае простой волны разрежения, возни-
возникающей при мгновенном удалении границы равномерно сжатой
области, первые производные от скорости среды как по коорди-
координатам, так и по времени терпят разрыв на головной части волны.


Метод полос и течение газа между пластинами 97
Вообще говоря, в одномерном движении точки разрыва про-
производных гидродинамических переменных располагаются на ли-
линиях, пересекающих плоскость *, t\ при двух или трех про-
пространственных координатах эти линии превращаются соответ-
соответственно в поверхности или объемы в пространственно-временных
областях. Эти линии, поверхности и объемы являются специаль-
специальными «характеристиками», которые, как правило, возникают при
решении гиперболических уравнений в частных производных.
Так как основная причина их появления состоит в конечном зна-
значении скорости звука, они всегда существенны при исследовании
движения сжимаемой жидкости.
Влияние этих разрывов на точность численных решений гид-
гидродинамических задач можно в общих чертах продемонстриро-
продемонстрировать на примере простой квадратуры. С этой целью рассмотрим
определенный интеграл от функции одной переменной. Числен-
Численное значение этого интеграла можно получить различными мето-
методами, которые будут давать результаты разной точности. Пред-
Предположим, что производная подинтегрального выражения раз-
разрывна в некоторой точке области интегрирования, как это имело
место в упомянутом выше случае головной части волны разре-
разрежения. В частности, пусть подинтегральная функция имеет вид
f 1— (х — 0,1я), 1>л:>0,1я,
/ (X) = | I /Г) 1 тг *Л 1 <?
Вычислим интеграл
/= J f(x)dx = (\—0,
-1
используя правило трапеции и правило Симпсона. Можно найти,
что приближенные значения для /, а именно /г и Is, имеют сле-
следующий вид:
/г=/ -}-@,1л — f/2nJ — @,1л — j*/2n)l2n (правило трапеции),
( / + @,1л — /72лJ — @,1л — fl2n)/3n, /—четные (правило
| Симпсона),
(
|
(
Здесь область интегрирования разделена на An одинаковых ча-
частей, а /* — целое число, такое, что
/*/2л<0,1я<(/*
7 Зак. 647


98 Д ж. Т р у л и о
Таким образом, этот интеграл можно вычислить с произволь-
произвольной точностью, используя любое правило. Однако в каждом слу-
случае ошибка в численном значении интеграла будет стремиться
к нулю вместе с квадратом шага интегрирования. Согласно
обычным оценкам, ошибка в приближенном значении интеграла,
полученная с помощью правила трапеции, также стремится к
нулю, как квадрат шага интегрирования. Если же используется
правило Симпсона, то ошибка стремится к нулю вместе с четвер-
четвертой степенью шага интегрирования.
Только что упомянутые стандартные оценки ошибки осно-
основаны на применении рядов Тейлора для подинтегральной функ-
функции и справедливы для функций, имеющих непрерывные во всей
области интегрирования производные до третьего и пятого по-
порядка соответственно. Казалось бы, что стандартная формула
для ошибки справедлива для интеграла / в случае использова-
использования правила трапеции. Это очевидное заключение неточно в том
смысле, что стандартная оценка ошибки пропорциональна также
производной третьего порядка от f(x) в некоторой точке внутри
интервала интегрирования. Так как производная d3f/dx3 равна
нулю при х=т^0,1 я и не существует при х = 0,1 я, то никто не мо-
может точно сказать, что же нам может дать стандартная формула
для ошибки. В случае правила Симпсона ясно, что стандартная
формула для ошибки не применима к интегралу /.
Поэтому мы приходим к выводу, что вообще нельзя оцени-
оценивать скорость сходимости конечно-разностных методов расчета
течения сжимаемой жидкости, основываясь на рядах Тейлора.
Более важен вывод о том, что скорость сходимости решения ко-
конечно-разностных уравнений для случая течения сжимаемой
Жидкости не может увеличиться при использовании разностей
более высокого порядка. Аргументы, на которых мы основываем
эти заключения, конечно, не являются строгими. Построение об-
общей строгой теории этого вопроса не представляется нам воз-
возможным при современном состоянии исследований нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных. Однако
более убедительный пример можно привести, если удастся найти
(в некоторых специальных случаях) точное решение уравнений
Рихтмайера и фон Неймана и их модификаций. Такие решения
были найдены, и результаты будут скоро опубликованы. Они по
существу приводят к только что полученным результатам.
Рассмотрим далее интеграл
+i
J=\g(x)dx,
где fir(x) = 1—|a:L i,v|<1.


Метод полос и течение газа между пластинами 99
В этом случае интеграл / равен единице. Этот точный резуль-
результат получается как по правилу Симпсона, так и по правилу
трапеций, если интервал —l^Jt-^1 разделить на An равных ча-
частей. По стандартной формуле для оценки ошибок, также полу-
получается, что оба способа вычисления оказываются точными в этом
случае, так как d3g/dx3 = 0 внутри всех промежутков разбиения,
a d5g/dx5 = 0 в интервалах j/2n<x<(j + 2)/2n, где / = — 2я,
—2д + 2, ..., 2п—2.
Аналогично скорость сходимости конечно-разностных уравне-
уравнений для течений сжимаемой жидкости ограничена наличием раз-
разрывов в производных от гидродинамических функций, если эти
разрывы появляются внутри ячеек, но эти разрывы не сказыва-
сказываются, если они имеют место на границах ячеек. В последнем слу-
случае применимы обычные оценки ошибок с помощью рядов Тей-
Тейлора, а разности более высокого порядка можно использовать
для увеличения скорости сходимости численных методов.
Разрывы в производных от гидродинамических функций рас-
распространяются вдоль характеристических линий, поверхностей
или объемов. Поэтому следует ожидать увеличения скорости
сходимости численных решений с помощью применения разно-
разностей высокого порядка при условии, что уравнения записаны в
характеристических переменных. Это заключение сделано на ос-
основе расчетов с применением уравнений течения в характеристи-
характеристической форме, которая используется вместо интегрирования
уравнений движения шагами по времени (см., например, [1]).
Заметим, наконец, что введение искусственной вязкости типа
вязкости Рихтмайера — Неймана приводит к непрерывности пер-
первых производных от гидродинамических функций. Поэтому мож-
можно ожидать более быстрой сходимости решений этих модифици-
модифицированных уравнений, чем в случае уравнений, для которых пер-
первые производные терпят разрыв. Можно простым путем сделать
непрерывными более высокие производные от гидродинамических
функций, а именно модифицировать подходящим образом искус-
искусственную вязкость. Затем можно записать конечно-разностные
уравнения, которые будут иметь соответственно более высокую
скорость сходимости.
Однако эта сходимость будет означать сходимость к реше-
решению модифицированных уравнений, а не обязательно к решению
исходных уравнений гидродинамики. Если мы признаем, что раз-
разрывы производных от гидродинамических функций основаны на
физических свойствах, таких, как конечность скорости звука, то
при допущении искусственной непрерывности все более и более
высокого порядка имеется, очевидно, опасность того, что реше-
решения модифицированных уравнений будут заметно отличаться от
решений исходных уравнений гидродинамики. Если использо-
использовать искусственную вязкость, зависящую линейно от дивергенции


100 Дж. Трулио
(«линейное Q»), то можно сделать непрерывными все произ-
производные.
Можно было бы задать вопрос: как в этом случае добиться
наилучшего приближения к решению уравнений гидродинамики?
На это, вероятно, можно было бы ответить, что хотя точки раз-
разрыва производных от гидродинамических функций и исключены,
но будут встречаться точки, где производные от этих функций
очень велики, и если в этом смысле ответить более точно, то эти
производные должны быть почти разрывны. Если бы кто-нибудь
решил уравнения движения, содержащие линейное Q, выбрав
постоянную в Q так, чтобы все производные до некоторого высо-
высокого порядка изменялись примерно в одинаковых пределах в ин-
интересующей нас области изменения времени и пространственных
координат, то следовало бы ожидать, что решения принятых
уравнений движения будут значительно отличаться от решений
исходных уравнений гидродинамики.
Когда уравнения движения записываются с линейной вязко-
вязкостью Q, то в принципе было бы правильно проводить анализ
ошибок конечно-разностного аналога этих уравнений с помощью
рядов Тейлора. При этом конечно-разностные уравнения можно
записать так, что ошибка будет иметь порядок некоторой высо-
высокой степени шага разностной сетки. Однако эта ошибка будет
также пропорциональна величине производной (или производ-
производных) высокого порядка. Если только что описанная картина
справедлива, то значения этих производных должны быть велики
в некоторых частях области течения; иначе говоря, уравнения
движения с линейной вязкостью Q не дадут решений, которые
хорошо аппроксимируют решения исходных гидродинамических
уравнений. Для более полного понимания и уточнения конечно-
разностных методов решения уравнений гидродинамики сле-
следует провести количественное изучение этих вопросов.
б. Приложение метода полос к задаче
о струйном течении газа
А. Описание исходных данных для расчета трех струйных
задач
Задача о струйном течении газа, описанная в § 2, представ-
представляет собой задачу о плоском двумерном течении, тогда как рас-
рассматриваемый метод предназначен для двумерных осесиммет-
ричных задач. Этот метод применялся к некоторым задачам, ко-
которые не были двумерными и плоскими, но были близки к
плоской задаче того типа, которая рассматривалась в § 2.
Плоскость симметрии и одна из плоских пластин в плоской
двумерной задаче при использовании метода полос заменялись


Метод полос и течение газа между пластинами 101
поверхностями вращения. Максимальное расстояние, разделяю*
щее эти поверхности, было мало по сравнению с радиалььыми
координатами. Плоская поверхность, эквивалентная плоскости
симметрии, была образована вращением около оси симметрии
отрезка прямой линии, перпендикулярного к оси симметрии. Эта
линия (внутренняя &-линия рассматриваемой задачи) считалась
фиксированной в рассматриваемой задаче; она образовывала
нечто вроде наковальни, при встрече с которой газ сжимался.
Поверхности плоских пластин заменялись кусками сферических
поверхностей, образованных вращением соответствующих дуг
окружностей G? = const) около оси симметрии.
Угловая область, содержащая эти три поверхности, была рас-
расположена между двумя фиксированными конусами, определяем
мыми сферическими углами 0О и 20О. Угловая скорость среды
принималась равной нулю на поверхностях этих конусов. Таким
образом, в плоскости, проходящей через ось симметрии (ось г),
все движение происходило между двумя радиусами, образую-
образующими углы 0о и 20о с осью симметрии. Пластине была придана
начальная скорость, равная 1 см/мксеку направленная по ради-
радиусу к началу координат. Скорость частиц газа в начальный мо-
момент считалась равной нулю. В данной задаче фазовая скорость
пластины относительно препятствия (наковальни) увеличивалась
от значения 1/sin 290 до значения 1/sin Go (см/мксек). Это соот-
соответствует уменьшению угла между пластинами и плоскостью
симметрии от 20О до 0О. Этот угол мы будем называть «углом
соударения».
Пространство между пластиной и препятствием было запол-
заполнено газом. Сама пластина была сделана из свинца.
Для получения разностной сетки для метода полос угловая
область 0о<0-<20о делилась на 18 равных частей по углу 0, гра-
границами которых были /-линии рассматриваемой задачи. Гра*
ницы ячеек по радиусу получались путем деления каждой /-ли*
нии на десять радиальных отрезков равной длины для каждой
среды. В соответствии с уравнениями метода полос с внутрен-
внутренней и внешней сторон границы газа и пластины располагались
два полуотрезка. Вместо того чтобы тратить машинное время
на расчет сжатия газа, начиная с большого начального объема
при низ,кой плотности (неинтересная часть течения) принима-
принималось, что начальная плотность газа всегда имеет величину
0,0142 г/см3. Начальная толщина пластины принималась равной
0,5 см. Уравнение состояния газа задавалось в табличной форме.
Были решены три задачи, обозначаемые следующим образом:
№ 101, №102 и № 100 А. Они соответствуют значениям 6, 12 и
18° для угла 20о, который представляет собой начальный угол
соударения между пластиной и препятствием. В табл. 1 даются
наиболее важные (геометрические) данные о конфигурациях для


102
Д ж. Т р у л и о
Таблица 1
Геометрические параметры струйных задач
Задача
№ Ю1
№ 102
№ 100А
в0,
град
3
6
9
Угол
соударе-
соударения,
град
6
12
18
Поверхность препятствия
Я (во),
см
21,6703
10,7589
7,0875
/?Bв0),
см
21,7590
10,9386
7,3605
Граница
раздела между
газом и
пластиной
/?, см
22,64
11,7
8,0
Свободная
поверхность
пластины
R, см
23,14
12,2
8,5
_ I 1 Г Г I Г I I Till
I I I I I I I I I I I I I P f Г Г
/ г 3 4 6 6 7 8 9 1011 1Z 13 14 15 161718
Рис. 5. Распределение массы струи газа в задаче № 100А
для метода полос.
Струя движется справа налево относительно рисунка. Начальный угол
соударения равен 18°. Распределение массы в начале расчета дается линией,
обозначенной на рисунке через t = 0. На другой кривой, соответствующей
более поздней стадии движения, показаны значения j, при которых ско-
скорость газа и давление имеют наибольшие значения, а слой газа имеет наи-
наименьшую толщину. Сферический угол в изменяется от 9 до 18° с ростом j
от 0 до 18.
По оси ординат: масса (г), рассчитанная на одну ячейку и деленная
на 2я • 10*~4. По оси абсцисс: значения j.
/ — максимальная скорость 4,46 см/мкеек', 2 — максимальное давление
56,1 Мбар; 3 — минимальная толщина газа 0,0023 ?Л*.
этих случаев задачи, а именно задаются радиальные координаты
препятствия, граница раздела между газом и пластиной, а так-
также задается свободная поверхность пластины. Для этих кон-
конфигураций соответствующие ячейки (в рассматриваемых трех
задачах) имеют почти одинаковые размеры и формы,


Метод полос и течение газа между пластинами
103
Б. Результаты расчетов
С целью сравнения трех течений было построено несколько
графиков, которые показывают изменение основных гидродина-
гидродинамических функций для точек, расположенных вдоль средней ли-
линии между препятствием и пластиной. Для этих графиков пара-
параметры газа осреднялись вдоль /-линий по всем полоскам газа.
3,6
3,2
2,8
2,4
2,0
1,6
12
0,8
0,4
о,
0
J I I I I \ i I
i \ \
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718
Рис. 6. Распределение массы струи газа в задаче № 102
для метода полос.
Струя движется справа налево относительно рисунка. Начальный
угол соударения равен 12°. Распределение массы в начале задачи дается
линией, обозначенной на рисунке через t = 0. На другой кривой, соответ-
соответствующей более поздней стадии движения, показаны значения /, при кото-
которых скорость газа и давление имеют максимальные значения, и слой газа
имеет наименьшую толщину. Сферический угол 0 изменяется от 6 до 12°
с ростом У от 0 до 18.
По оси ординат: масса (г), рассчитанная на одну ячейку и деленная на
на 2я ¦ 10~4. По оси абсцисс: значения /.
i — максимальная скорость 5,15 см/мксек; 2 — максимальное давление
42 Мбар; 3 — минимальная толщина газа 0,0021 см.
На рис. 5—7 показаны графики зависимости массы газа (рас-
(рассчитанной на одну ячейку, т. е. на единицу приращения вели-
величин / и k) от величины /, относящиеся к началу решения задачи,
^ также к конечной стадии движения, когда фазовая точка пере-
пересечет несколько или большинство /-линий. Для поздней стадии
Движения отмечены также точки, в которых давление и скорость
газа достигли наибольших значений. Кроме того, отмечено по-
положение фазовой точки, т. е. точки, в которой толщина слоя газа
имеет наименьшее значение. Для задач № 102 и № 100 А графики


104
Д ж. Тру лио
соответствуют движению фазовой точки от линии /= 18 до /=11,
тогда как для случая № 101 фазовая точка дошла до линии/= 4.
При /=11 угол соударения уменьшился в варианте № 102 до 10°,
в варианте № 100А — до 15°, а в варианте № 101 —с 6 до 3,5°.
4,0
3,6
3,1
2,8
I I \ 1 I Г
п<С
1
оГ ? > I I
t I t I I I I 1 I I I 1 I
u0 1 I 3 4 5 6 7 8 9 1011 П 13 14 15 161718
j —
Рис. 7. Распределение массы струи газа в задаче № 101 для
метода полос.
Струя движется справа налево относительно рисунка. Начальный угол
соударения равен 6°. Распределение массы в начале задачи дается линией, обо-
обозначенной на рисунке через * = 0. На другой кривой, соответствующей более
поздней стадии движения, показаны значения у, при которых скорость газа
и давление имеют максимальные значения и слой газа имеет наименьшую
толщину. Сферический угол 8 изменяется от 3 до 6° с ростом у от 0 до 18.
По оси ординат: масса (г), рассчитанная на одну ячейку и деленная на
2л • 10~"«. По оси абсцисс: значения j.
1—максимальная скорость 2,84 см/мксек; 2—максимальное давление 71 Мбар;
3 —минимальная толщина газа 0,0040 см.
Из графиков видно, что начальная масса газа, рассчитанная
на одну ячейку, монотонно увеличивается с ростом /. Это про-
происходит из-за того, что равному увеличению угла 6 соответст-
соответствует увеличение объемов при движении по радиусу от оси сим-
симметрии. По той же причине наблюдаются эффекты цилиндриче-
цилиндрически сходящегося течения по мере приближения струи газа к оси.
Таким образом, рассматриваемые задачи имеют некоторое отли-
отличие от соответствующих плоских задач. Эти отличия, однако, не
столь велики, чтобы повлиять на основные черты течения, осо-
особенно на существование критического угла соударения струи и
на его приближенное значение.


Метод полос и течение газа между пластинами
105
Из рис. 5 и 6 следует, что при изменении начального угла
соударения от 18 до 12° происходит заметное увеличение макси-
максимальной скорости струи газа и незначительное увеличение той
доли газа, которая остается за фазовой точкой. Возможно, уди-
удивительным является тот факт, что пиковое давление на 25%
больше в том случае, когда пиковая скорость (задача № 100А)
.Ill I I I I I I I I I I T I I \.
I I I I I I I I I I I I [ 1 1 i 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 61 10 11 11 13 14 15 16 17 18
Рис. 8. Скорость частиц струи газа; струя дви-
движется справа налево относительно рисунка.
является более низкой. Это может быть частично обусловлено
увеличением количества газа в струе, если учесть, что давление
очень чувствительно к процессам сжатия в той области изме-
изменения плотностей и температур, которая здесь имеется.
Можно также заметить, что точка максимального давления
и фазовая точка сближаются между собой при уменьшении на-
начального угла соударения от 18 до 12°. Как это и следовало бы
ожидать из элементарной теории движения струи газа, при
уменьшении угла соударения происходит большее увеличение
скорости фазовой точки, чем увеличение скорости струи. При
этом с уменьшением угла соударения точка максимума давления
приближается все теснее к фазовой точке. Из графиков на рис. 7
видно, что дальнейшее уменьшение угла соударения до 6° при-
приводит к той ситуации, которая была описана при рассмотрении


106
Д ж. Т р у л ио
элементарной теории струйного течения, а именно фазовая точ-
точка движется с такой большой скоростью, что газ не успевает
следовать за ней. Поэтому для задачи № 101 точка максимума
скорости газа расположена за фазовой точкой, т. е. при боль-
больших значениях /. Таким образом, газ, расположенный за фазо-
фазовой точкой, движется в область, занятую более сжатым газом
и0 1
Рис. 9. Температура газа как функция номера
ячейки.
в окрестности фазовой точки, так что координата пикового дав-
давления расположена между точкой максимальной скорости и фа-
фазовой точкой. Так как газ не поступает в область, где при схло-
пывании пластин образуется струя, то пиковое давление будет
несколько большим, чем в других двух случаях образования
струй (№ 100А, № 102), а пиковая скорость значительно ниже.
Газ задерживается между пластиной и препятствием.
На рис. 8—10 показаны в зависимости от / значения скорости
частиц, температуры и давления для тех же моментов времени,
что и на рис. 5—7. Острый пик на графике температуры, соот-
соответствующем задаче № 100А (рис. 9), по-видимому, является не


Метод полос и течение газа между пластинами
107
вполне достоверным, так же как и некоторые колебания при
переходе от одной ячейки к другой в небольшой области вблизи
значения / = 0, которые имеются на этой кривой и на кривой дав-
давления, представленной на рис. 10.
На рис. 11 сплошными линиями показаны графики измене-
изменений со временем максимальных скоростей газа; штриховыми ли-
линиями обозначено изменение величины фазовой скорости (т. е.
100
80
60
40
го
w
8
б
4
I
2
;
0,6
0,4
ОЛ
м
6,06
0,04
0,01
0,01
•А
Iе"
•
' 1
р/—
у
—/
/
н
II \; II
Ц
V
?
^ №102
/V-°;
90
=
/о /л
1
2 4 6 8 10 12 14 16 1$
Рис. 10. Давление газа как функция j.
1/sin в) с течением времени для координаты, соответствующей
расположению фазовой точки. Следует сделать некоторые заме-
замечания относительно кривых для задачи № 102. Оказывается, что
здесь фазовая точка всегда движется быстрее струи и струя не
должна бы возникать. Однако следует помнить, что струя уже
образовалась и движется впереди фазовой точки, тогда как эта
точка все еще имеет угловое значение 26о. Таким образом, фа-
фазовая точка должна пройти некоторое расстояние, прежде чем
она достигнет струи. Из того факта, что струя образуется со
скоростью большей, чем 5 см/мксек, становится ясным, что мог-
могла бы образоваться стационарная струя, если бы угол соударе-
соударения не менял своего начального значения, равного 12°, которое
соответствует фазовой скорости 4,7 см/мксек. ~


108
Дж. Трулио
В соответствии с результатами § 2 были проведены гидроди-
гидродинамические расчеты одномерного линейного случая с использо-
использованием численного метода, основанного на уравнениях Рихтмай-
ера — Неймана. Начальное расположение выбиралось так, чтобы
отношение объема газа к объему металла было таким же, как и
I
0,35
1 ' ¦ ¦ ¦ 1 ' ' г
чч ^ № юг
№-100А
0,30
0,85
0,80
0.75
0.70
0,65
Рис. 11. Максимальная скорость частиц газа как функция времени.
Скорость фазовой точки также представлена как функция времени, за исключе-
исключением случая М 101, для которого скорость фазовой точки слишком велика для приня-
принятого масштаба.
скорость частиц; скорость фазовой точки.
в задаче № 102. По результатам этих расчетов было вычислено
значение интеграла для /^тах = ?/Крит, определенного форму-
формулой D). Величина, найденная для ?/Крит, соответствует углу
между пластиной и плоскостью симметрии, равному 8,2°. Ре-
Результаты расчетов по методу полос дали значение критического
угла между б и 12°, что согласуется с результатами упрощенной
теории.
Для того чтобы учесть влияние уравнения состояния на те-
течение, были проведены исследования одномерных задач. В этих
задачах предполагалось, что газ подчиняется уравнению состоя-
состояния Р=(у—1)г)б, а уравнение состояния пластины было полу-
получено путем обработки кривой Гюгонио для свинца на основе


Метод полос и течение газа между пластинами 109
данных Мак-Кина и Марша [5]; оно имеет следующий вид:
р = 0,5
На основании расчета величины Fm8iX для у=М» U2; 1,4; 5/3
и 2 получены соответственно следующие критические углы: 31,8;
20,2; 12,5; 8,7 и 5,6°. Таким образом, величина критического угла
между пластиной и плоскостью симметрии очень чувствительна
к изменению уравнения состояния газа. Критический угол для
у = 5/3 наиболее близок к значению этого угла, найденному при
расчетах с более усложненным уравнением состояния.
6. Заключение
Метод полос позволяет получить полезную количественную
информацию в задачах о струйном течении и в более общих слу-
случаях для некоторого класса задач о сильно неустойчивых тече-
течениях. Когда начиналась работа над этим методом, других чис-
численных методов решения задач о двумерных осесимметричных
течениях было весьма мало. Этих методов и теперь не так уж
много, но их число возросло значительно. Можно считать, что
увеличение количества численных методов гидродинамики неиз-
неизбежно из-за разнообразия и сложности явлений при движении
сжимаемой жидкости, особенно в многомерных случаях.
Таким образом, возможный путь в этой области мог бы за-
заключаться в создании наборов вычислительных методов, каждый
из которых предназначен для некоторого специального класса
задач о течении сжимаемой жидкости. Конечно, этот путь не
является наилучшим, хотя он и может оказаться удовлетвори-
удовлетворительным из соображений экономии.
С практической точки зрения число подходящих на первый
взгляд путей записи конечно-разностных уравнений для каждого
метода из набора такого рода весьма велико. В результате этого
выбор удовлетворительных конечно-разностных уравнений мо-
может оказаться делом дорогостоящим и занимающим много вре-
времени. Нелинейные дифференциальные уравнения в частных про-
производных изучены так мало, что в настоящее время кажется
преждевременным оставить идею об отыскании единой числен-
численной схемы или весьма небольшого количества численных схем,
пригодных к описанию всех явлений при движении сжимаемой
жидкости.
Продолжающееся развитие численных методов гидродина-
гидродинамики путем численного эксперимента является в настоящее время
намного менее важным делом, чем развитие теории, с помощью
которой можно было бы понять природу существующих мето-
методов. Такая теория определила бы направления исследований,
которые привели бы к улучшению разностных схем, благодаря


110 Дж. Трулио
чему уменьшился бы диапазон возможностей построения схем.
Не обязательное, а, возможно, лишь желательное условие со-
состоит в том, что исследования в этом направлении не должны
основываться на численных результатах. Хотя развитие строгой
математической теории нелинейных конечно-разностных урав-
уравнений и не представляется возможным в ближайшем будущем,
однако можно добиться некоторых успехов в направлении умень-
уменьшения эмпиризма.
Можно вспомнить, между прочим, о принципе действия при
квантовании. В свое время стало известно, что этот принцип не
сможет послужить основой для создания общей теории движе-
движения (и был в конечном итоге заменен квантовой механикой), но
он был очень полезен, так как помогал при анализе эмпири-
эмпирических данных и служил вспомогательным средством при со-
создании более ценной и приемлемой теории, В частности, можно
было бы надеяться на развитие некоторого общего критерия
построения конечно-разностных уравнений гидродинамики на
правдоподобной, если не на точной, теоретической или полуэм-
полуэмпирической основе. Кроме того, можно бы разработать способы
получения грубых оценок скоростей сходимости различных раз-
разностных схем.
Была проведена работа в направлении достижения этих от-
относительно ограниченных целей. Примером исследования в этом
направлении может служить попытка [4] использовать некоторые
свойства преобразований дифференциальных уравнений движе-
движения сжимаемой жидкости как главный способ проверки любого
предложенного конечно-разностного аналога для этих уравне-
уравнений. Например, дифференциальное уравнение сохранения массы
и уравнение количества движения, скомбинированные вместе
с первым законом термодинамики, дают уравнение сохранения
общей энергии. Поэтому имеется строгое требование, заклю-
заключающееся в том, чтобы из конечно-разностных аналогов урав-
уравнений для массы, количества движения и первого закона тер-
термодинамики получился конечно-разностный аналог уравнения
сохранения общей энергии, обладающий точными свойствами
уравнения сохранения.
Для проверки этого требования на одномерных течениях в
цитированной выше работе были исследованы некоторые конеч-
конечно-разностные уравнения. Вскоре после этого были найдены воз-
возможности обобщения этих уравнений на пространство двух и
трех измерений при применении произвольной, зависящей от
времени системы координат (не опубликовано). Недавно было
сделано обобщение на случай, когда напряжения и деформации
представляются тензорами. Например, для двумерного плоского
течения дифференциальные уравнения, выражающие законы со-
сохранения массы и изменения количества движения и первый за-


Метод полос и течение газа между пластинами 111
кон термодинамики, в лагранжевых координатах запишутся в
следующем виде:
0, A8)
0, A9)
O. B0)
Здесь плоскость х, у — плоскость движения, / — якобиан преоб*
разования при переходе от декартовых координат (х, у) к лаг-
ранжевым координатам (а, Ь)\ V — векторный оператор с со-
составляющими д/дх, д/ду. Отметим также тождество
Jt=JV-U. B1)
Система разностных аналогов уравнений A8)—B1) приведена
в § 7, В. В этих уравнениях пространство переменных (a, b, t)
заменяется сеткой дискретных точек (/, ky n), где /', k, n — лю-
любые положительные целые числа (как четные, так и нечетные).
Уравнения, приведенные в § 7, В, совместны со следующим
уравнением сохранения для количественного аналога полной
энергии, рассчитанной на единицу объема пространства х, у, z
(z — ось, перпендикулярная плоскости течения):
ft, n)+w(j\ k, /г + у)лЛ+1/2* = 0. B2)
Здесь введены следующие обозначения:
, k, п) = \м{]> A)U (у, А, п + \) . U(у, k, n-~) +
А
(у—*., А —
W(j\ k, п + ±) = ±[и(/+1, k,
(у, А,
A +


112 Д ж. Т р у л ио
у) —F34(y-|, А- у,
где М, U, Me/po, F — соответственно масса, скорость, внутренняя
энергия и сила (более полное определение этих величин дается
в § 7, В). Если (/, k) не есть граничная точка, то каждый член
в выражении для W(j, k, м+1/2) встречается только один раз.
Для точки, соседней с (/, k), эти члены имеют знак, противопо-
противоположный знаку в уравнении B2). В результате получается, что
уравнение B2) представляет собой точный консервативный ана-
аналог дифференциального уравнения сохранения для общей энер-
энергии, а именно
[р (у U2 + е/рь)]^ + JV • [(Я + Q) U] = 0.
Это уравнение следует из уравнений A8) — B1). Особенно бла-
благоприятно то, что силы, которые должны обеспечить сохранение
энергии, оказывается, имеют простой и точный физический
смысл напряжений, действующих на определенных площадках,
и что одна и та же основная система сил и площадок возникает
во всех конечно-разностных уравнениях. Приведет ли рассматри-
рассматриваемый путь исследований к полезной теории разностных схем
или этого не случится, в любом случае поиски такой теории яв-
являются полезным направлением, которому можно следовать в
настоящее время в области численных методов решения гидро-
гидродинамических задач.
7. Приложения
А. Уравнения метода полос для внутренних точек жидкости
Уравнение момента количества движения
О(У. * + 1. л—1) —
. л) —хО(у—у, А+1, л)] —
—4 И'-Т'
4
(у - j , А, я) + ф (у + i , *, л)] (А^/рГ)- B3)


Метод полос и течение газа между пластинами
113
Вспомогательные уравнения и определения
-i-,
у +
_ 32 Лг К (у, й + 2. я) У (I *. я)
~ Ро Уи,
Q(y,
— 2
Y, A, *
, я)] X
, я) —
au+i,k + i,n)
l,n)
, А, я)],
1.Я-1)]
и так далее.
й(У — l, fe + i, n)
"f (y_l)sin9(y-i;
1, n)
Г(У+1)зш9(У+1)
8 Зак. 647
, а(У
"Г /' (y -
, я)
/' (у) sin 6 (у) "Г /' (y - 1) sin 9 (У - 1)


114
Дж. Трулио
Если *(/ + у> k-\-\, «]>0, то
О/; , 1 и I 1 „\_1Г О(У + 1,*+1,В) I QG.*+l.«)
1У+2 ' Я' reJ~2 Lf (;+l)sin9(/+l) "Г" Г (у) sin в (у)
(y + |)sin8(y + i), Г (у, А + 1, я)>0;
V/ Г(y+7)s»ne(y+^),
Г (У, Л + 1, «)<0.
Если х(у + у, *+1. я)<0, то
Уравнение для радиальной скорости
1, я) =
1, я) =
,л) = 0. B4)
Вспомогательные уравнения
6(У, А + 1,я), если ? (у, *+1, я)>0,
О, если |(у, & + 1, я)<0,
1 + К/. Л + 1, я), если |(у, Л +1, я)>О,
1—Ш. * + 1. я), если |(у, А + 1, я)<0,
О, если |(У, ft + 1, я)>0,
|(У, ?+1»я), если |(/, Л-h 1, /t) < О,
О (у, ft + 1, я)+ 6 (У, * + 1, я)Х
») =
если |(у, ife+1, я)>0,
, я)Х
если |(у,Н1,»)<0,


Метод полос и течение газа между пластинами 115
и, наконец,
I, Л+1) = 4О(У, Л-И, л+1)Х
X
-¦1, ft. л)+г|> (У—j •
У+-5- *' я)+ф(У+4 * + 2 )]"'
* + 2, л)]"'
) J
1. n)V
4
4A*[PQ(y, ? + 2, n) — PQ(l k, /i)] [/?G, ife + 1, /i)]g
+ г / 1 \ . / i
7Г» Л» Л
'--J-.*.»I
+ /-(y-i)—(у—i
Уравнение для радиальной координаты
1, я+2) —/?(у,
— 2ю (У,
X
/?(У, *+1, я+ 2L-У?(У, Л + 1, Я) —
— /?(у-1, А + 1, я + 2)-/?(у -1, А+1, я),
если ©(у, k-\-\, я+1)>0,
B5)
I, n-\-2) — R(j, Л + 1, /г),
если со (у, Л -f-1, /г -f-1) < 0.
Это уравнение линеаризуется и решается итерациями для
неизвестных величин
/?(/, *+1» Л+ 2), y = ,/min, Уш1п+1. •••» Углах-
8^


116
Дж. Трулио
Уравнение сохранения массы
у, ft,
у, ft, я)
, я + 1)-
Ь B6)
Вспомогательные уравнения и определения
У, ft.
'f'U)\RU.
(у, ft,
—х(у—1, k,
• 1, ft, я+1) — x(j, А, я+1);
у* ( f f? #7 1 1 ^ ^"* О
I /j /Сj /4> I II ^^ V/j
6(У, А, л+1) =
= {ехр[—#;.(/'» ^, Л+1)Д/]—1}^(У, ^» n-\-\)IB-x(j, k,
A(У, ?> л+1) = — л:(у, *, /г+1)А^, если B-X(j, k> /г + 1) = 0).
Если x(j\ k> /г+1)>-0, то
/. 1 \
Ф I У "Т""9~ ' ' Л )
п)
Г (У) sin0 (у), r(y-i-,ft, я)>0,
(У. А. я) =
¦Ф(У —-о". *. л)
' n Y U) sin 6 (у),


Метод полос- и течение газа между пластинами
117
где
(у+ -*-,
—-| . *. я
!) /'(/-4) slne(y—f)
— 2
Если л:(у, k, д+1)<0, то
Г (у) sine (у), 7-(у+-5-.А, я)>о,
( + 4)
Л (У, *. ») = / п / п Г (Лsin e (А
Г (У+ |) sin 9 (у+ 1)
^(У+^.Л, я)<0,
Я*(У, Л, ») = Ф (/+ y . *. я)—Ф (/—i . *. я).
¦ С/, А, я+2)={ехр[—^(/, А, «+1)Л']}Х
ХИФ(У. *. ») + ^(У. *. n)l(J, k, я+1)]-
Уравнение для относительного объема (полуцелые значения у)
/ 1 \
У У+y- *• «+2 =
Г —Г
j.k, л + 2)
—/?»(У, А- 1, я + 2)-/?3(У т-1, А-1, «+2)], B7)


118 Дж. Трулио
где R3(j, ft+1, я + 2) = [/?(у\ ft+1, я + 2)]3 и так далее.
Формулы для вычисления Q (полуцелые значения у)
0;
B8)
Вспомогательные уравнения и определения (здесь К—по-
К—постоянная)
.k,n) — K(y, ft, «)]; б(у +
1, ft, )
( i , ft, л)б(у+-у, ft,
, ft-1, я) +
/?(У+1. ft+L я) + ^(у+1, ft —1, я)],
+ /?(У, ft-1,») — /?(У+1, ft+1, «) — #(У+1. ft — 1, я)],
+ Y' *' я) = Лл(у + -2-, Л, я) +
й(у + у, ft, я)б(у + ^-, ft,
, ft-1, )
+ /?(у + 1, ft-1, я+1).


Метод полос и течение газа между пластинами 119
0; если U (y+-j. k> «"+ l) > 0,
в других случаях,
* У + у. *. «4 1 =-) г— Т f +
Расчет давления и внутренней энергии (полуцелые значе-
значения у)
' ^ '
+ т, А,
+ -2, А, я
+ А я + 2) К(у +
у , А, я)]. C0)
Вспомогательные уравнения и определения
== «о + а\Ч + «2ЙI М-1 + «зИ-3.
+ у . А, я
/ + Т» *• л) —е(У. А. я)]; б(У + у, А,
2[е(У+1,А, Л)-е(; + |, А, я)]; |(/ + 1, к, я + l) > О,


120
Дж. Трулио
j + \ , k, n)l(j + j, k,
Mo = Wo (У + y ,*,*)- 1,
Уравнение для относительного объема (целые значения у)
У. *.
-я»ц *-1, я+ 2I
Af/г2(У, А, л+2)
Вспомогательные уравнения и определения:
C1)
\
,. , ,_ VQ\ k,O)MR>(lk,O)
Ui «> Ф; — [^з yt k +1, 0) — R* (y, k — 1, 0)] *
Вычисление Q (целые значения j)
Q(j\ k, n-\-\) =
i 0, если Z(j\ k, ^+l)>0,
= - KlzU,k,n+\)IMY _f если Z(y,ft,/t + l)<0.
ф(у-1,А, О)
C2)
I [V(y, ^,« + 2)+К0(/^/г)]
Вспомогательные уравнения и определения
By(j\ ky ri) =
_f [V(j, k,n)-V(j-\, k, n)], если x(j\ k, /г+1)>0,
11^G+1» *» ^) — V(y, ^, /г)], если x(j\ k, лг-f-1) < 0,
AR(j, k, n) = j[R(j\ ft+1, /г) + /?(Л A —1, л)],
B*[j~~2 ' *• Л) J еСЛИ ^^"' *' Л+1)>0,
, если


Метод полос и течение газа между пластинами
121
/> k, n) = AR{j, k, n) + BR(jt k, я)|(у, k, Я + 1),
U(j, k, я+l) = R(j, A+l, я+1) + ?(у, Л—1, я+1),
AR(j, к, n + 2) = j[R(j, ft + 1, я + 2)Н-^(у, А—1, я + 2)],
/л(У. *. «+!) =
10, если U(j, k, n-L 1)>O,
T^A^a^)]' если ^. *•»+!)<о.
Расчет давления и внутренней энергии (целые значения у).
(Уравнения совпадают с уравнениями B9) и C0), но значение
/+1/2 заменяется на /.)
Б. Уравнения метода полос для поверхности раздела
Уравнение сохранения массы
-J- {[Ф(У. ** ± 1, я + 2) + Лф(у, А« ± 1, /г)]х"(у, *• ± 1, я+1) —
— МУ-1, Г±1, я + 2) + ^(у-1, k*±\, я)]Х
Xi(y— I, A'±l, « + 1I- C3)
Вспомогательные уравнения и определения
А*+1 Я+П-
h k*±\,n)Y '
если x(j, k*±l, /г+1)>0,
*(/+ 1, A*±l, n4- 1)—Jc(y, &*± 1? /г+ 1),
если Jc(y\ A*± 1, /г+1)<0,
—x(j, k*±l, п-\-\)Ы, если 5^(у, А'±1, я+1) = 0,
в других случаях.


122
Дж. Трулио
Величины Др(у, k"~ ± 1, п) и B^(j, k*±l, n) вычисляются
согласно уравнениям B6), где значение k заменяется на
А*±1.
Уравнение для относительного объема (целые значения у)
V±(j, А*, я + 2) = да±(/, k\ O)[R*(J, k\
+ 2)][/?3(Л А', я + 2)-/?з(у, k*±3, n
{, k*±2, n + 2)[AU?(j, k*±\, n + 2)f}-\ C4)
Вспомогательные уравнения и определения
л)
А
1. п)
«±(У, А*, 0) =
V± (У, ft», 0) К (У, к* ± 2, 0) [МЛ* (у, k* ± 1, О)]
•X
ЧУ. k\O) — R*(j\ k*±l, 0)]
V Г/?3 A k* O\ №( j и* + Q с\\у1
Вычисление Q (целые j)
0, если Z±(y, k*, /г+1)>0,
:±(y, ^*, Аг + 1)/Д/]2
Г7ГЖЖ' C5)
Q±(j, k\n + 2) =
[К±(У,Л*,/1 + 2
если Z±(y, k\ лг +1) < 0.
j,k*, n) =
Вспомогательные уравнения и определения
[V±(j,k\n)-V±(j-hk*,n)l
если x(j, k* ± 1, /г+1)>0,
, А*, п) — V±(j\ k*, /г)],
если x(j\ k*± 1, /г+1)<0,
(у, k*, n) = V±(j\ k*, n)-\-Bv± (y. #\ n)l(j\ k* ± 1, лг—J-1),
/?(y\ ^*, az) — 7?(y — 1, А*, /г),
если *(у\ Л*±1, л+1)>0,
/?(y+l, k\ n) — R(j, k\ n),
если л: (у, k* ± 1, az+1)<0,
0±(y, k\ л) =-/?(/, A*, n) + BR±{j, k\ /i)fc(y\ ^±1,


Метод полос и течение газа между пластинами
123
О, если /?(у,Л*,я + 2)—/?0±(у\ ft*, я)>0,
- Vo (у, k\ n)
3z
в других случаях,
Расчет давления и внутренней энергии (целые у). (Те же
уравнения, как и B9), C0), но в них y-f 1/2 заменяется на у,
а вместо А берется А*.)
Уравнения для относительного объема (полуцелые значе-
значения у)
V± (у- j , А*, л+2) = | {[/^(У, А*, /г+2)-/?3(у, k* ± 1, я+2)] X
X
Вычисление Q (полуцелые значения у)
0, если Z± (у — у, k*, n-\- lj>0,
X [/?3(У- 1, k\ «
± 3, «
Q±(y-j,A*,
если Z±(y—J-, ft*, я+1)<0.
C7)
Вспомогательные уравнения и определения
[i(y ?*±1
+)]
2[l/±(y-|, ft», «)_l/±(y_i, k\ я)].
если |(у— j, А*± 1,я4- l)<0,
2[l/±(y, ft*, ri)-V±{j-\,k\ я)].
если


124 Дж. Трулио
Vo± (y-y, ft*, rt) = V±(y-i, ft*, й)
j-\, к\ п) = 1 [R(j, k\ n) + R{j-\, k\ n)\,
BR± [j-\, k\ n) = R(j, k\ n)-R(j-\, k\ n),
/?o±(y—j, k\ n} = AR±(j— 1, k\ «) +
A*
-l, А*, я+2) —2^0;t(y--5-, ft*, «).
О, если ?/±(у —-j.**. « + l)>0.
_lt k*> n + 2) + 2R0 fy — -I» **. nW
±\ * /J
в других случаях,
?± у 2 '
±[j-\,k\ n+l)
Расчет давления и внутренней энергии (полуцелые значе-
значения у). (Уравнения совпадают с B9) и C0), но в них k заме-
заменяется на k*.)
В. Конечно-разностные уравнения сохранения для двумерно-
двумерного плоского течения
Плоскостью течения является обычная плоскость х, у. Для
определения положения частицы в этой плоскости используются
лагранжевы координаты (а, 6). Непрерывные значения пере-
переменных (а, 6, t) заменяются системой положительных целых чи-
чисел (/, &, п). Ячейки представляют собой четырехугольники с ко-
координатами вершин (/,^+1), (/,&), (/+!,&), (/-И,?+1). В за-


Метод полос и течение газа между пластинами 125
писанных ниже конечно-разностных уравнениях U — вектор
скорости, г — декартов радиус-вектор (I) и г лежат в плоскости
х,у); М обозначает массу; PQ==:P + Q; v — объем, охватывае-
охватываемый движущейся ячейкой и единичными нормалями к плоско-
плоскости х, у и численно равный площади ячейки. Остальные вели-
величины или были определены в § 3 или определяются в следую-
следующих уравнениях.
Сначала запишем разностный аналог уравнения изменения
количества движения A8)
M(j, ft, л)U(Л k, n) — M(j, k, я—l)U(y, k, n—\) =
= f(/, k, n-\)bn-x>% C8)
где
, k, Л) = |
у + 1, k-\, я)].
Ниже даются различные определения скорости, координат,
площади и объема:
U (у, *, « + y) = 2U(y, k, л)-U(у, А, « — I),
г (у, ft, я+1) = г(у, ^, л) + и(у, ft, «+|)
г (У, k, « + !) = ! [г (у, ft, я+1) + г(у, к, я)],
= |[г(у, ft+l,
«¦5"[r(y+l,ft+l.« + j) — г (у, k, я+у)]хк.


126 Д ж. Т р у л и о
где к — единичный вектор нормали к плоскости х, у,
* +
—U (у,
у) —U(y, А, л + ^)
^9n + jy C9)
Уравнение C9) является конечно-разностным аналогом урав-
уравнения B1)
Объем ячейки с вершинами в точках г(у + 1/2 + 1/2, А + 1/2 + 1/2,
л+1/2) в точности равен г;.
Запишем, наконец, конечно-разностный аналог уравнения
первого закона термодинамики
= 0. D0)
Четырехугольную ячейку можно разделить на четыре части,
прилегающие к углам (угловые области), посредством прямых
линий, соединяющих середины сторон с некоторой точкой
г(/+1/2, А+1/2, л+1/2). Эту точку всегда можно выбрать так,
что части, прилегающие к углам, будут иметь равные площади;
это будет внутренняя точка для любого выпуклого четырех-
четырехугольника и для многих невыпуклых четырехугольников. Индек-
Индексы 1, 2, 3, 4 используются для обозначения четырех угловых то-
точек (/,?), G+1, й), (/+1, Л+1), (/, k+\)y относящихся к ячейке,
центрированной в точке (/+1/2, fe+1/2), а также для обозначе-
обозначения четырех угловых областей, связанных с этими точками.
Если провести единичные нормали к плоскости течения че-
черев четыре линии, которые делят ячейку на угловые области, то
получаются четыре плоскости, составляющие прямой угол с пло-
плоскостью х, у. Сила, действующая на плоскость, которая делит
пополам линию, соединяющую угловые точки A, 2), равна


Метод полос и течение газа между пластинами 127
F12(/+l/2, &+1/2,/г+1/2) и т. д. Уравнение D0) можно запи-
записать теперь в виде суммы четырех уравнений, каждое из кото-
которых соответствует одной из четырех частей ячейки с центром в
точке (/+1/2, ?+1/2). Так, для угла номер 1 этой ячейки найдем
D1)
где Af (/+1/2, ?+l/2)ei(/+1/2, ?+1/2,/г)/4р0 —внутренняя энер-
энергия в угловой области 1 в момент времени tn, a
и т. д. (Заметим, что Ai2 — A4i = Ap.) Имеются аналогичные ура-
уравнения и для других угловых областей, а сумма четырех урав-
уравнений для этих областей дает уравнение D0).
Литература
1. Фридрихе К. О., Курант Р., Сверхзвуковые течения и ударные вол-
волны, ИЛ, М., 1950.
2. Рихтмайер Р. Д., Разностные методы решения краевых задач, ИЛ, М.,
1960.
3. Rich tin у er R. D., yon Neumann J., У. Appl. Phys., 21, 232 (J950).
(Имеется сокращенный русский перевод: сб. Механика, 1 A951), 27.)
4. Trulio J., Trigger К., Univ. of Calif Rad. Lab. Repts. UCRL 6267 and
UCRL 6522, 1961.
5. McQueen R, G., Marsh S, Р„ /. Appl. Phys., 31, 1253 A960).


СЭЛ — совместный эйлерово-лагранжев
метод для расчета нестационарных
двумерных задач
В. Ф. Н О X
Калифорнийский университет, Лоуренсовская
лаборатория радиации, Ливермор, Калифорния
1. Введение 128
2. Общие вопросы численных методов гидродинамики 132
3. Описание метода СЭЛ 137
4. Обобщение конечно-разностных аппроксимаций частных производных
в произвольной области . ... 142
5. Эйлеровы конечно-разностные уравнения для внутренних ячеек сетки 148
6. Гидродинамические уравнения сохранения при произвольной скорости
системы координат относительно жидкости . 153
7. Общие вопросы расчета граничных ячеек 155
8. Граничные ячейки и граничные последовательности 157
9. Граничные конечно-разностные уравнения для переменных (р, е
и др.), которые центрируются в граничных ячейках Cn(kJ) ... 161
10. Конечно-разностные уравнения для составляющих количества движе-
движения (Af=pw, N=pv), которые центрируются в граничных ячейках
вида Cn(k+42, 1+Ч2) 164
11. Конечно-разностные уравнения в лагранжевых переменных .... 166
12. Обсуждение графических результатов некоторых расчетов .... 169
Литература 184
/. Введение
Эта статья первоначально посвящалась развитию способа
численного решения нестационарных двумерных гидродина-
гидродинамических задач в переменных Эйлера для областей, которые
аппроксимируются произвольной многоугольной сеткой и имеют
общую движущуюся (нестационарно) жидкую границу. Этот
новый способ составляет основу численного метода СЭЛ (со-
(совместного эйлерово-лагранжева метода).
Метод СЭЛ представляет собой метод расчета нестационар-
нестационарных, двумерных гидродинамических задач для сжимаемого не-
невязкого нетеплопроводного газа. Он позволяет сочетать аппрок-
аппроксимацию в переменных Эйлера в некоторых областях жидкости
с аппроксимацией в переменных Лагранжа для соседних обла-
областей жидкости.
Главная задача при развитии метода СЭЛ заключается в по-
построении удобной схемы расчета в переменных Эйлера. В ме-
методе СЭЛ эйлерова граница (т. е. граница в переменных Эй-
Эйлера) определяется одной или несколькими лагранжевыми ли-
линиями и поэтому является ломаной линией, составленной из
отрезков прямых. Движущаяся ломаная линия, пересекая фик-


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 129
сированную эйлерову сетку, образует нерегулярные зависящие
от времени ячейки, и в общем случае эти граничные ячейки мо-
можно определять как совокупность замкнутых многоугольников.
Для расчета в эйлеровых координатах возникает задача аппрок-
аппроксимации дифференциальных уравнений в зависящей от времени
многоугольной области таким путем, чтобы имелось согласо-
согласование с уравнениями для внутренней части области. Кроме того,
желательно иметь всюду согласованность конечно-разностных
аппроксимаций в лагранжевых и эйлеровых областях. Этот во-
вопрос занимает центральное место в настоящей статье.
В § 2 подробно обсуждаются преимущества и ограничения
метода расчета в эйлеровых переменных и отдельно в лагран-
лагранжевых переменных. Устанавливается, что для многих задач на-
наиболее естественно использовать для части области аппрокси-
аппроксимации в переменных Эйлера, а для остальной части аппрокси-
аппроксимации в переменных Лагранжа. Метод СЭЛ наиболее полезен
для задач такого типа.
В § 3 дается описание метода СЭЛ и рассматриваются во-
вопросы проведения вычислений. Отмечается, что имеются неко-
некоторые преимущества, присущие методу СЭЛ, которые позволяют
аппроксимировать весьма сложные области течения жидкости
и, таким образом, преодолевать серьезные ограничения, прису-
присущие большинству численных методов. В качестве дополнитель-
дополнительного результата, полученного при построении численной схемы
СЭЛ, отмечается возможность расчета различных областей жид-
жидкости с шагами по времени Д?, которые являются характерными
для рассматриваемых областей, и обсуждаются подробности
этих вычислений.
В § 4 развиваются общие вопросы конечно-разностной ап-
аппроксимации частных производных в произвольной области R.
При этом дается по крайней мере приближенное представление
частной производной через некоторый линейный интеграл по
границе области dR. При аппроксимации для эйлеровой сетки
(включая граничные ячейки) вычисления сводятся к вопросу об
оценке линейного интеграла по произвольному многоугольнику
/?, когда значения функции заданы только в узлах сетки (вер-
(вершины dR). Следовательно, необходимо определять значения
функции на dR по значениям в этих узлах сетки.
При простейшем предположении о линейном изменении
функции между узлами сетки линейный интеграл сводится к ко-
конечной сумме произведений средних значений функций в узлах
сетки на соответствующие длины отрезков. Показывается, что
получающаяся аппроксимация частных производных является
естественной аппроксимацией, так как она, в частности, сво-
сводится к обычной аппроксимации, когда R представляет собой
треугольник или прямоугольник. Далее доказывается, что
9 Зак. 647


130 В. Ф. И ох
уравнение сохранения /< + V-/U = 01) приводится к конечно-раз-
конечно-разностному уравнению с теми же свойствами сохранения. (Это
утверждается в теоремах 2 и 3.)
Эмпирически было найдено, что разностные уравнения дол-
должны обладать свойствами законов сохранения гидродинамиче-
гидродинамических дифференциальных уравнений в переменных Эйлера. По-
Поэтому необходимое условие заключается в том, чтобы любая ко-
конечно-разностная аппроксимация частных производных приво-
приводила к конечно-разностным уравнениям, обладающим свойства-
свойствами уравнений сохранения. Таким образом устанавливается, что
обобщение конечно-разностной аппроксимации, которое мы ис-
используем, является вполне удовлетворительным.
В § 5 определяется аппроксимирующая сетка, а также про-
пространственные и временные центральные разности зависимых
переменных величин. Вводится определение искусственной вяз-
вязкости q (фон Нейман и Рихтмайер [1]), которая позволяет авто-
автоматически учитывать появление ударных волн в потоке. Далее
находится конечно-разностная форма для дивергенции по ре-
результатам § 4, дается эвристическое описание физического смыс-
смысла выражения для дивергенции и рассматриваются вопросы
устойчивости конечно-разностных уравнений. Затем приводится
полная система конечно-разностных уравнений для внутренних
точек сетки и указываются возможные варианты.
В § 6 выводятся гидродинамические уравнения в форме урав-
уравнений сохранения для случая, когда система координат про-
пространственных переменных х и у может иметь некоторую ско-
скорость относительно жидкости. Основные уравнения для эйлеро-
эйлеровых нестационарных граничных ячеек являются частным слу-
случаем этих более общих уравнений. Показывается, что эти ура-
уравнения содержат в себе эйлеровы уравнения для внутренних то-
точек, когда пространственные переменные не зависят от времени,
и содержат в себе лагранжевы уравнения, когда пространствен-
пространственные переменные движутся вместе с жидкостью.
В § 7 исследуются конечно-разностные уравнения, получен-
полученные в § 6, для случая лагранжевых переменных и вводятся цен-
центральные разности по времени от якобиана преобразования
(т. е. преобразования лагранжевых переменных к эйлеровым
пространственным переменным). В теореме 5 устанавливается
конечно-разностная аппроксимация для якобианов в области R
и вводится интерпретация якобиана как площади области R.
Эта интрепретация якобиана как площади применяется при ап-
аппроксимации более общих уравнений, которые используются в
граничных ячейках.
*) В работах советских авторов уравнения такого типа часто называются
также уравнениями в дивергентном виде или уравнениями в форме законов
сохранения, — Прим. перев.


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 13L
В § 8 подробно рассматривается граничная ячейка и опреде-
определяются некоторые граничные последовательности, которые свя-
связываются с граничной ячейкой. Эти граничные последователь-
последовательности необходимы для определения конечно-разностных урав-
уравнений на границах. Указан путь построения этих последова-
последовательностей и дано несколько примеров.
Далее конечно-разностные уравнения определяются на сту-
ступенчатой сетке, т. е. составляющие количества движения и ско-
скорости определяются в узлах сетки, а остальные зависимые
переменные (плотность, энергия и др.) определяются в центре
каждой ячейки сетки. Для этой новой сетки появляется необхо-
необходимость в определении граничных ячеек и соответствующих гра-
граничных последовательностей. При построении этой новой сетки
за новые узлы берутся средние точки ячеек исходной сетки. Гра-
Граничные ячейки для ступенчатой сетки определяются, конечно,
точно так же, как граничные ячейки для исходной сетки. По-
Поэтому их подробное описание не приводится.
После определения граничных ячеек и связанных с ними по-
последовательностей мы имеем необходимые данные для того, что-
чтобы получить разностные уравнения для граничных ячеек.
В § 9 предполагается, что соответствующие граничные по-
последовательности, рассмотренные в § 8, уже построены, и для
дивергенции используются обобщенные конечно-разностные ап-
аппроксимации, полученные в § 6. На основании результатов изу-
изучения якобианов в § 7 формулируются конечно-разностные ура-
уравнения для некоторых обобщенных дифференциальных уравне-
уравнений § 6, и в частности для тех уравнений, которые записывают-
записываются в обычных центральных разностях при использовании сред-
средних точек граничных ячеек первоначальной сетки (т. е. уравне-
уравнений для р, е и др.). Необходимо обращать особое внимание на
случай, когда площадь граничной ячейки стремится к нулю;
этот случай здесь обсуждается.
В § 10 получены конечно-разностные уравнения для состав-
составляющих количества движения М = ри и N=pv, которые обычным
образом центрируются в узлах исходной сетки или в средних
точках граничных ячеек ступенчатой сетки.
Далее рассматривается определение давления на границе
областей в переменных Эйлера и Лагранжа. Если это гранич-
граничное давление найдено, то можно полностью провести расчет в
зоне использования лагранжевых переменных.
В § И находится система лагранжевых конечно-разностных
Уравнений путем применения общих конечно-разностных ап-
аппроксимаций § 4. Указывается, что получающаяся система ла-
лагранжевых конечно-разностных уравнений (для прямоугольной
аппроксимирующей сетки) является обычной системой, которая
получается при переходе от прострацстзенных производных ц
8* ' '


132 В. Ф. Нох
производным по лагранжевым координатам. Таким образом, по-
показано, что рассматриваемый подход включает в себя обычные
конечно-разностные уравнения и в то же самое время позволяет
использовать совместно лагранжевы и эйлеровы конечно-раз-
конечно-разностные уравнения.
В § 12 приводятся графики результатов решения задач, ти-
типичных для метода СЭЛ.
2. Общие вопросы численных методов
гидродинамики
Прежде чем приступить к описанию метода СЭЛ, рассмо-
рассмотрим в общих чертах класс интересующих нас задач и обсудим
как преимущества, так и ограничения чисто лагранжевой и чи-
чисто эйлеровой аппроксимаций.
Мы будем решать гидродинамические задачи с начальными
данными при заданных граничных условиях. Для этого мы за-
задаем начальное состояние жидкости (при ^=0) в некоторой об-
области R° = R(x, у, 0) в плоскости х,уи внешние силы, действую-
действующие на границу (dR) жидкости для моментов времени О^СйСГ.
Определяются состояние жидкости и изменение области R =
= R(x, y,t), занятой жидкостью в последующие моменты вре-
времени O^CtKT. В общем случае мы имеем дело с несколькими
жидкостями, и тогда R=\JiRiy где Ri = Ri(x, y,t), — область, за-
занятая /-й жидкостью. Если мы обозначим через Di = Di(x,y,t)
ту часть границы Ru которая лежит внутри R (т. е. Di = dRi(]
П (R — dR))y то тогда линии D* дают расположение границ раз-
раздела между жидкостями (так называемых контактных поверх-
поверхностей). При этом границы j)* движутся вместе с жидкостью та-
таким образом, что давление и нормальная к D{ составляющая
скорости остаются непрерывными. Таким образом, мы имеем до-
дополнительную задачу об определении линий разрыва Df для мо-
моментов времени (ХйСГ.
При расчете в лагранжевых переменных мы аппроксимируем
область R0 разностной сеткой таким образом, чтобы граница
dR° и кривые D°i = Di(x, у, 0) соответствовали собственно ла-
лагранжевым линиям. Так как касательная составляющая скоро-
скорости может терпеть разрыв при переходе через контактную по-
поверхность, то в общем случае необходимо предусмотреть спе-
специальный расчет «поверхностей скольжения» для тех лагранже-
лагранжевых линий, которые определяются кривыми D{.
При расчетах в лагранжевых переменных узлы разностной
сетки соответствуют элементам массы жидкости и перемещают-
перемещаются по траекториям жидких частиц. Одна из особенностей, кото-
которая делает полезным лагранжево описание, заключается в том,


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задан 133
что положения границы dR и кривых Dx при расчете опреде-
определяются автоматически.
Другая важная особенность (она снова обусловлена тем
фактом, что аппроксимирующая сетка движется с жидкостью)
заключается в том, что область R всегда аппроксимируется тем
же самым количеством узлов сетки, и, таким образом, началь-
начальная точность аппроксимации является таковой и в полном рас-
расчете. Лагранжевы расчеты обладают высокой точностью до тех
пор, пока аппроксимирующая сетка остается правильной; чи-
число узлов сетки, необходимых для хорошей аппроксимации об-
области, является, вообще говоря, весьма небольшим. Оказалось,
что расчеты в переменных Лагранжа идеально подходят для
большого числа задач. В частности, из-за требований точности
и экономии числа необходимых узлов сетки приходится обра-
обращаться практически к использованию лагранжевых аппрокси-
аппроксимаций при изучении движений тонких пленок или тонких жид-
жидких слоев, которые перемещаются на расстояния, в несколько
раз превышающие их первоначальную толщину.
К сожалению, те же характерные черты метода Лагранжа,
которые делают его полезным в указанных случаях, являются
также чертами, из-за которых он становится вообще непригод-
непригодным для расчета течения в случае развивающейся турбулентно-
турбулентности или в случае появления контактных разрывов в местах по-
потока, где их раньше не было. Если появляется контактный раз-
разрыв (на лагранжевой линии, которая не соответствует ни одной
из кривых Di) или возникает турбулентность, то узлы разност-
разностной сетки будут следовать движению жидкости, и частицы жид-
жидкости, которые первоначально находились близко друг от друга
в /?°, больше не будут оставаться близкими друг к другу в фи-
физическом смысле. В соответствии с этим аппроксимирующая
сетка будет сильно искажаться и вычисления становятся весьма
неточными, если вообще мы их можем продолжить. В большин-
большинстве случаев, связанных с возникновением турбулентности, шаг
по времени (At), который применяется по соображениям устой-
устойчивости, стремится к нулю. Это обусловлено тем, что шаг по
времени, необходимый для устойчивости, пропорционален крат-
кратчайшему расстоянию между линиями лагранжевой сетки, а это
минимальное расстояние между соседними линиями сетки бу-
будет, вообще говоря, стремиться к нулю, когда сетка искажается.
Были потрачены значительные усилия для развития способа
автоматической перестройки расчетной схемы, цель которой со-
состоит в замене искаженной сетки некоторой регулярной сеткой.
Эта перестройка делается периодически (или даже на каждом
шаге по времени) и является полезным способом, который по-
позволяет дополнить или увеличить полное значение времени t при
вычислениях с применением лагранжевых переменных. Если


134 В. Ф. И ох
перестройка лагранжевой сетки становится неизбежной, то это
по существу означает, что более подходящей для расчета яв-
является фиксированная эйлерова сетка.
Не всегда понимается тот факт, что класс задач, решаемых
с применением упомянутого выше способа перестройки схемы
для лагранжевой сетки, только лишь немного шире класса за-
задач, решаемых без применения этой перестройки. Причина не-
невозможности существенного увеличения класса задач, решаемых
с применением способа перестройки, заключается в том, что мо-
можно перестраивать схему расчета только для внутренних узлов
подобластей Riy тогда как узлы сетки, определяющие границу
dR, и точки, лежащие на поверхностях раздела сред Dh не дол-
должны меняться. Таким образом, естественное требование, нала-
налагаемое на узлы лагранжевой разностной сетки, соответствую-
соответствующие границе dR и кривым Diy является слишком сильным огра-
ограничением на допустимые формы, которые могут принимать под-
подобласти Ri и область R.
Имеется и другая трудность (она не обязательно обуслов-
обусловлена наличием турбулентности), которая заключается в том, что
первоначально односвязная область R может со временем пре-
превратиться в многосвязную область. В действительности серьез-
серьезная трудность возникает даже тогда, когда образуется шейка в
некотором месте области R. При этом расстояние между отдель-
отдельными линиями аппроксимирующей лагранжевой сетки будет
стремиться к нулю (в узкой области шейки), и тогда в соответ-
соответствии с требованием устойчивости будет стремиться к нулю шаг
At. В качестве примера приведем результат процесса сжатия
центральной части тюбика с зубной пастой.
Ясно, что никакая перестройка лагранжевой аппроксими-
аппроксимирующей сетки (для которой общее число сеточных линий фикси-
фиксировано) не позволит распространить расчет на тот случай, когда
область R стремится стать многосвязной. Вообще говоря, если
при вычислениях в переменных Лагранжа становится необходи-
необходимым переразбиение сетки, то определяющая dR линия при пере-
пересечении во время движения линий аппроксимирующей сетки дол-
должна оставлять нужное число узлов сетки во всех частях обла-
области /?. В этом случае мы можем автоматически учесть появле-
появление многосвязности.
Средством преодоления трудностей, с которыми мы сталки-
сталкиваемся при применении лагранжевых переменных, является ис-
использование многожидкостного приближения в эйлеровых пере-
переменных (аппроксимирующая сетка фиксирована, а линии, ап-
аппроксимирующие границу dR и поверхности раздела сред Du
движутся относительно этой фиксированной сетки). В принципе
по крайней мере все гидродинамические расчеты можно прово-
проводить, применяя многожидооетяую эйлерову аппроксимацию, щ


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 135
с точки зрения практического использования имеются ограни-
ограничения для класса задач, к которым ее удобно применять.
Рассмотрим эти практические выводы. Процесс расчета в пе-
переменных Эйлера (скажем, с прямоугольной аппроксимирующей
сеткой) состоит, во-первых, в определении прямоугольной обла-
области М в плоскости х, уу которая достаточно велика, чтобы за-
заключать внутри себя область R для моментов времени O^Ct^CT.
Далее мы аппроксимируем эту прямоугольную область правиль-
правильной сеткой и, наконец, вводя некоторые вспомогательные линии,
аппроксимируем границу OR и жидкие поверхности D{.
Кривые, которые аппроксимируют dR и D2-, будут двигаться
вместе с жидкостью и, следовательно, в фиксированной эйлеро-
эйлеровой сетке будут-образовываться нерегулярные, зависящие от
времени, граничные ячейки. Было бы неразумным ожидать, что
мы сможем аппроксимировать дифференциальное уравнение в
этих нерегулярных граничных ячейках с той же степенью точ-
точности, с которой мы могли аппроксимировать дифференциаль-
дифференциальные уравнения во внутренних ячейках разностной сетки. Таким
образом, с точки зрения точности вычислений в любой момент
времени t (O^Ct^CT) отношение числа внутренних ячеек в каждой
подобласти Ri к числу граничных ячеек в каждой подобласти
Ri, которое мы обозначим через Ai(t) и которое является гру-
грубой мерой точности эйлеровых расчетов для подобласти Ri, дол-
должно быть сделано таким большим, насколько это возможно. Ве-
Величины Ai(t) в общем случае можно сделать большими (при
аппроксимирующей сетке практически приемлемых размеров),
если длина dRi мала по сравнению с площадью Ri. Если, с дру-
другой стороны, любая подобласть Ri области R такова, что длина
dRi велика по сравнению с площадью Ri (как в случае подоб-
подобласти, которая является длинной тонкой лентой и т. п.), то для
того чтобы сделать отношение Ai(t) большим, мы должны по-
покрыть область R мелкой аппроксимирующей сеткой, а это обыч-
обычно практически не допустимо. Таким образом, при расчетах в
чисто эйлеровых переменных в соответствии с требованием точ-
точности мы ограничимся только такими областями R, для которых
все величины Ai(t) будут большими для любого t при 0<^йС7\
Другой вопрос, который важно рассмотреть, касается числа
узлов сетки при сеточной аппроксимации большого прямоуголь-
прямоугольника М, которые в любой рассматриваемый момент времени t,
0<С^Г, лежат вне области R (т. е. числа узлов сетки, которые
являются внешними узлами для области R). Эти внешние узлы
являются пассивными узлами при вычислениях, и, хотя можно
исключить вычисления в этих внешних точках при применении
эйлеровых координат, они тем не менее входят в общее число
узлов сетки для произвольной задачи. Следовательно, для фик-
фиксированного общего числа узлов сетки величины Ai(t) будут


136 В. Ф. Я ох
уменьшаться (и, следовательно, точность вычислений будет
уменьшаться) при увеличении числа внешних точек. Если мы
обозначим через е(^) отношение числа узлов сетки, которые яв-
являются внутренними (или лежат на границе /?), к общему числу
узлов сетки, которая аппроксимирует область М> то для точно-
точности и экономичности вычислений в эйлеровых переменных сле-
следует иметь е(^) по возможности близким к единице. Отношение
е(/) можно считать за меру эффективности расчета в методе
Эйлера с точки зрения точности и экономичности.
Вообще говоря, мы видим, что задачи, для расчетов которых
наиболее удобны эйлеровы координаты, являются задачами, в
которых'(для O^t^T) площадь области R по возможности близ-
близка к площади большой прямоугольной области М и для которых
площадь каждой подобласти Ri велика по сравнению с длиной
границы этой подобласти dR{.
Ясно, что для многих задач не подходят идеально ни чисто
лагранжев, ни чисто эйлеров метод расчета, а наилучшим спо-
способом расчета может оказаться некоторая комбинация аппрок-
аппроксимаций в координатах Эйлера и Лагранжа. Опыт показывает,
что в большинстве задач область /?, занятую жидкостями, мож-
можно разделить естественным путем на подобласти Ri (Riy как
правило, соответствуют подобластям, которые содержат различ-
различные жидкости) так, чтобы для больших интервалов времени (/)
каждая подобласть Ri наилучшим образом аппроксимирова-
аппроксимировалась или чисто лагранжевой, или чисто эйлеровой расчетными
сетками. Таким образом, мы находим эмпирически, что при про-
проведении многих расчетов большинство жидкостей имеют «есте-
«естественные» лагранжевы подобласти и «естественные» эйлеровы
подобласти.
В частности, нередко случается, что область R можно доста-
достаточно хорошо аппроксимировать лагранжевой сеткой от момен-
момента / = 0 до некоторого момента t{ ((X/t<T), а для моментов вре-
времени t>ti вычисления становятся недостаточно точными (или не
могут продолжаться по условиям устойчивости). Если начиная
с момента времени /i мы будем использовать эйлерову аппрок-
аппроксимацию в тех подобластях Ri области /?, где нарушается точ-
точность расчета, а в остальных подобластях будем, как и раньше,
использовать их лагранжеву аппроксимацию, то, вообще говоря,
может оказаться, что нам удастся закончить расчет.
Имеются классы задач, для которых или сначала, или не-
несколько позднее может оказаться полезным аппроксимировать
некоторые подобласти эйлеровыми сетками, а остальные подоб-
подобласти аппроксимировать лагранжевыми сетками, которые пред-
предложены в методе СЭЛ. Оказалось, что эта возможность объеди-
объединения эйлеровой и лагранжевой аппроксимаций при разработке
численного метода гидродинамики наиболее плодотворна и в


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 137
действительности для многих задач практически необходима.
Например, оказывается, что в задачах, в которых тонкие пла-
пластинки толкают газ, тонкая пластинка является естественной
лагранжевой областью. Для области же, занятой газом, тре-
требуется применить эйлерову аппроксимацию, для того чтобы
было возможным рассматривать турбулентное движение. Анало-
Аналогично этому, если нам нужно рассчитать движение воздушного
шара, когда его надувают, или мыльного пузыря в процессе его
возникновения, то мы обнаружим, что оболочка шара или мыль-
мыльная пленка являются естественными лагранжевыми областями,
в то время как раздувающий их газ является естественной об-
областью для применения способа Эйлера.
3. Описание метода СЭЛ
Основная идея метода СЭЛ состоит в том, что граница dR
(области R = UiRu которую мы аппроксимируем) и кривые Di
(которые отделяют подобласти Ri) аппроксимируются лагран-
лагранжевыми линиями. Таким образом, движущимся границам (dR и
Di) ставятся в соответствие лагранжевы линии лагранжевых ап-
аппроксимирующих сеток.
Подобласть Ri, которая аппроксимируется эйлеровой сеткой,
будет соответственно иметь своей границей линию dRh получен-
полученную при вычислениях с применением метода Лагранжа. Таким
образом, расчет в эйлеровых переменных сводится к вычисле-
вычислениям при фиксированной разностной сетке, имеющей опреде-
определенную подвижную границу, и поэтому представляет собой один
из главных моментов при расчетах по методу СЭЛ.
В методе СЭЛ применяется большая1) прямоугольная эйле-
эйлерова сетка, обозначаемая далее через Е, и, в зависимости от ре-
решаемой задачи, от одной до шести отдельных лагранжевых се-
сеток, обозначаемых далее через ?*@> '= 1 »2, ..., 6 (EnLi(t) —
множества узловых точек, которые определяются эйлеровой и
лагранжевой сетками соответственно; кроме того, лагранжевы
сетки обозначены как функции времени, так как узловые точки
этих сеток движутся вместе с жидкостями, которые они аппрок-
аппроксимируют).
Расчеты, выполняемые в рассматриваемом методе на ка-
каждом шаге по времени, состоят из трех основных частей: рас-
расчеты в переменных Лагранжа, расчеты в переменных Эйлера и
расчеты, необходимые для объединения эйлеровых и лагранже-
лагранжевых областей путем определения той части эйлеровой сетки ?,
1) Можно использовать до 7000 узлов в варианте метода СЭЛ для ма-
машины IBM-7094 и до 20 000 узлов в варианте этого метода для вычислитель-
вычислительной машины IBM-7030 (Stretch).


138 В. Ф. Нох
которая требуется для проведения расчетов, и путем определе-
определения давления в эйлеровой области, влияющей на лагранжевы
границы.
Предположим, что мы находимся на п-м шаге по времени
(tn = SyA/y) при расчете по методу СЭЛ и нам нужно вычислить
все величины на следующем шаге по времени, т. е. для момента
времени tn+l. Будем считать, что в момент tn известно состоя-
состояние жидкостей (плотность, энергия и т. д.) и расположение ла-
гранжевых сеток (т. е. мы определили L" = Li(tn)). Кроме того,
предположим, что определена та часть эйлеровой сетки ?, ко-
которая является внутренней или примыкает к границе тех под-
подобластей Ri, в которых применяется аппроксимация в эйлеровых
переменных. Обозначим эту часть Е в момент времени t = tn че-
через En = E(tn). Вычисление для следующего шага по времени
проводится следующим образом.
В начале вычислений используется известное при t = tn
состояние жидкостей лагранжевых областей и давлений, дей-
действующих на лагранжевы границы для того, чтобы решить ла-
лагранжевы конечно-разностные уравнения для каждой из сеток
Z?. Решение конечно-разностных уравнений дает нам при / =
= tn+l состояние жидкостей в лагранжевых областях и новые
расположения сеток L?+1. Далее необходимо определить си-
систему ?n+1; это выполняется с помощью первой фазы смешанных
вычислений, в которых используется новое положение сеток
Z,?4. Теперь мы имеем возможность решать эйлеровы конечно-
разностные аппроксимирующие уравнения для определения со-
состояния жидкости в момент tn+l в области Еп+{. Это выполняет-
выполняется в фазе эйлеровых вычислений метода СЭЛ.
Определив состояние эйлеровой области в момент tn+ly во
второй фазе смешанных вычислений находим давления при
tn+\ которые влияют на границы лагранжевых сеток Z,?+1. Та-
Таким образом, мы нашли все параметры течения жидкости и по-
положения разностных сеток в момент времени t=tn+l; на этом
заканчивается один основной цикл вычислений (или один основ-
основной шаг вычислений по времени).
Описание вычислений по методу СЭЛ следует дополнить, оп-
определив «начало расчета» или начальное (при ^=0) состояние
жидкостей и начальные положения узлов сеток Li, 1=1, 2, ...
..., Е и подсистемы Е°. Для того чтобы рассуждать более кон-
конкретно, рассмотрим простую задачу с несколькими жидкостями
и опишем способ аппроксимаций этой задачи, применяя метод
СЭЛ.
Рассмотрим область R (рис. 1а), состоящую из пяти подоб-
подобластей (т. е. R = U[ZiRi), каждая из которых первоначально


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 139
покоилась и имела постоянное давление Ро. Причем каждая под*
область R°i соответствует некоторой жидкости (имеется в виду,
что начальные параметры (кроме давлений) или уравнения со-
состояния для различных подобластей /?? являются различными).
@,Ь)
@,0)
/ I / / I
(a,0) x
Рис. 1а. Простая задача с областями, занятыми
различными жидкостями в начальный момент
0 0)
о={(лг, у)
Начальные плотности для областей Щ, ..., /?g соответ-
0 0
ственно равны Рр ..., pg*, начальные скорости равны нулю; на-
начальные давления таковы: pj = р?} = Р% = р\ = р\ = PQ. При
t > 0 задано следующее граничное условие: Р, ^ const на /,
причем Р, > Ро. Остальная граница области # является
твердой стенкой. Если через и и v обозначить составляю-
составляющие скорости, то имеем
и {а, у, t) = v (х, 0, t) — v (дг, b, t) = 0.
Пусть R в начальный момент представляет собой прямоуголь-
прямоугольную область 1)
Ro = {{x, у)\0<х<аЛ0<у<Ь}.
Для моментов времени />0 задаются следующие граничные ус-
условия. Считаем, что область R имеет границей твердую стенку,
за исключением части границы слева, которую обозначим через
^4t) (первоначально это была линия 1° = {{ху у)\х = 0Л0^С
У}) и где приложено постоянное давление Р\>Р0. Таким
образом, если и и v — соответственно составляющие скорости
1) Здесь и далее иногда используются логические обозна ie-ния, аналогич-
аналогичные тем, которые приняты в алгоритмических языках. — Прим перев.


140
В. Ф. И ох
вдоль осей х и у, то заданные граничные условия записываются
в следующем виде:
t>0, v(x, 0, t)=u(a, у, t)=v{x, 6, 0=0,
Pi=const на /=/(#, у, t).
Для того чтобы аппроксимировать эту задачу по методу
СЭЛ, мы должны аппроксимировать движущуюся границу и
(a,b)
@,0)
@,0)
Рис. 16. Одна из возможных аппроксимаций
области течения при использовании метода СЭЛ
для задачи, указанной на рис. 1а.
#<>=;# (лг, yH)={(j»r, у) |0<лг<а, 0<у<&}.
Кроме того, предполагается, что# = /?°. Аппроксимация осу-
осуществляется следующим образом:
Z.j аппроксимирует R^\ Е аппроксимирует 7? = /?°;
аппроксимирует
; Е
аппроксимирует
/?g |J ^gj
аппроксимирует
/?4.
контактные кривые Db ..., D4 (рис. 16) с помощью лагранже-
вых линий, используя лагранжевы сетки. Можно принять, что
сетка /,? аппроксимирует /??, сетка 1% аппроксимирует Rl, a
Ьг аппроксимирует или /$, или $ и 7?5- Подобласть Rl или
подобласти /?2 и Rs можно было бы аппроксимировать эйлеро-
эйлеровой сеткой Е°. Примем для определенности, что 1% аппрокси-
аппроксимирует /$i а для /?2 и /?5 применяется эйлерова разностная
сетка Е°. Для того чтобы определить сетку ?, мы должны сна-
сначала определить прямоугольную область <$*, которая должна
быть достаточно большой, чтобы содержать внутри себя под-


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 141
области R2 и /?5 во все моменты времени />0. Так как давление
на границе Pi больше начального давления Ро в /?, то, следова-
следовательно, можно полагать, что граница / будет всегда лежать
справа от оси у. При этом предположении относительно / мы
выберем М =/?° и будем аппроксимировать М эйлеровой сет-
сеткой Е. Число сеточных узлов для Е и для систем Z,?, L®, ?3 бу«
дет зависеть от точности, которую мы хотим задать, учитывая
максимальные возможности метода.
Только что рассмотренная задача с несколькими областями
является простым примером задачи, которую было бы весьма
трудно аппроксимировать (естественным путем), применяя чи-
чисто лагранжевы координаты. Причина этого заключается в том,
что различные подобласти не могут быть аппроксимированы од-
одной сеткой, для которой контактные разрывы (кривые Di, ..,
..., D4 на рис. 1а) соответствуют лагранжевым линиям.
Эта трудность в представлении даже немного усложненной
геометрической картины представляет собой серьезный недоста-
недостаток большинства методов расчета в лагранжевых переменных
и является трудностью, которая имеет место во многих числен-
численных методах гидродинамики. Оказалось, что рассматриваемый
метод совмещения нескольких отдельных лагранжевых сеток
с эйлеровой сеткой обладает большой гибкостью в вопросах
аппроксимации наиболее естественным путем задач с многими
областями. В действительности это одна из важнейших сторон
метода СЭЛ.
Имеется еще другая важная черта метода СЭЛ, которая воз-
возникает косвенным образом. Дело в том, что в основном вычис-
вычислительном цикле лагранжевы вычисления для каждой лагран-
жевой сетки Li и эйлеровы вычисления проводятся независимо.
Раздельные вычисления позволяют использовать свой времен-
временной интервал (Ait) для каждой лагранжевой сетки ?г*@> при-
причем эти интервалы могут отличаться от временного интервала
At для эйлеровой сетки E(t). Это делается следующим образом.
В каждом основном цикле вычислений определяется допу-
допустимый максимальный шаг А^ (из условий устойчивости) для
каждой из лагранжевых сеток Li и для эйлеровой сетки E(t).
Для того чтобы быть уверенным в устойчивости расчета в це«
лом, стандартный прием заключался бы в выборе минимального
из этих допустимых шагов At и использовании его как для ла-
лагранжевой, так и для эйлеровой частей расчета в последующем
основном вычислительном цикле. Практически, однако, оказы-
оказывается, что шаги At, допустимые для различных Li(t) и для
E(t), могут совершенно отличаться и в общем случае At для
эйлеровой сетки E(t) будет наибольшим из них.
Следовательно, в методе СЭЛ интервал At, который выби«
рается по условию устойчивости в эйлеровой области E(t) (при


142 В. Ф. Нох
t=tn), принимается за основной временной интервал для
(п+1)-го цикла вычислений. Для того чтобы быть уверенным в
устойчивости расчета лагранжевых областей при (п+1)-м цик-
цикле, шаг по времени для каждой сетки Ьг(г) подбирается из ус-
условия устойчивости для этой сетки и так, чтобы он был некото-
некоторой частью от основного эйлерового интервала Д^ (или равен
ему).
Для каждой лагранжевой сетки проводится расчет на неко-
некоторое число шагов по времени с тем, чтобы к концу основного
вычислительного цикла все сетки были рассчитаны до одного об-
общего момента времени.
Эту возможность использования различных интервалов по
времени для лагранжевых и эйлеровых сеток следует считать
важной характерной чертой метода СЭЛ, благодаря которой
экономится много вычислительного времени. Совершенно ясно,
что это так и должно быть, потому что условие устойчивости,
налагаемое на допустимый интервал времени в некоторой точке
жидкости, является функцией местной скорости звука и разме-
размера ячейки расчетной сетки в этой точке (а также скорости жид-
жидкости в точке для случая эйлеровой сетки).
Далее физически ясно, что местная скорость звука и ско-
скорость жидкости могут значительно изменяться в различных точ-
точках жидкости. Кроме того, размер ячейки сетки (по соображе-
соображениям точности), вообще говоря, тоже будет зависеть от аппрок-
аппроксимируемой области. Поэтому следует ожидать, что для различ-
различных подобластей будут иметь место разные требования из-за
условия устойчивости. Таким образом, установлено, что при вы-
выполнении гидродинамических расчетов желательно использовать
для различных областей свой «характерный» шаг по времени.
4. Обобщение конечно-разностных
аппроксимаций частных производных
в произвольной области
Мы ограничимся плоским случаем в декартовых координа-
координатах, так как результаты без затруднений непосредственно рас-
распространяются на задачи с осевой симметрией. Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения, которые мы рассмотрим, будут аппроксимиро-
аппроксимироваться конечно-разностными уравнениями в предположении, что
область течения жидкости в плоскости ху у покрыта прямоуголь-
прямоугольной сеткой. Конечно-разностные уравнения для прямоугольной
сетки или многоугольной сетки легко получаются из общих со-
соотношений, причем необходимые изменения (а также изменения,
которые требуются для осесимметричного случая) будут ука-
указаны в соответствующих местах текста.


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 143
Имеется много эквивалентных форм систем дифференциаль-
дифференциальных уравнений, которые характеризуют течение невязкой и не-
нетеплопроводной жидкости в эйлеровых координатах, но некото-
некоторые из них приводят к значительно более точным аппроксима-
аппроксимациям, чем другие. Дифференциальные уравнения, рассматривае-
рассматриваемые ниже, записаны в форме уравнений сохранения, а это при-
приводит к естественной системе конечно-разностных уравнений.
Как было показано эмпирически, эти конечно-разностные ап-
аппроксимации будут достаточно точны и вообще наиболее подхо-
подходящи для широкого круга двумерных задач. В настоящем ис-
исследовании основной зависимой переменной считается количе-
количество движения, а скорость является определяемой величиной.
Очень важно учесть это различие в конечно-разностных уравне-
уравнениях. Дифференциальные уравнения сохранения записываются
в следующем виде:
= — Рх, A)
-Py, B)
pU =0, C)
eU = — PV-U, D)
Р = Р(г, р), E)
где M = puy N = pv — составляющие вдоль х, у количества дви-
движения, рассчитанного на единицу объема, U==ui + vj — ско-
скорость, р — плотность, е — внутренняя энергия на единицу объ-
объема, Р — давление.
Заметим, что если Р положить равным нулю в этих уравне-
уравнениях, то A), B) и D) будут иметь вид уравнения C); это вы-
выражает факт сохранения соответствующих величин при отсут-
отсутствии поля сил.
Было обнаружено при экспериментальных вычислениях, что
конечно-разностный аналог этих выражений должен также со-
сохранять в алгебраической форме характер изменения этих ве-
величин. (Это утверждение уточняется теоремами 2 и 3.) В сле-
следующих теоремах мы еще встретимся с этим требованием и в
то же время получим естественное обобщение конечно-разност-
конечно-разностных аппроксимаций частных производных (а также выражение
дивергенции) для произвольно построенной сетки.
Теорема 1. Пусть дана область R с границей dR в пло-
плоскости ху у, и пусть /, иу v — достаточное число раз дифферен-
дифференцируемые функции в R; тогда в R существует точка (х0, */о),
для которой имеет место следующее неравенство:
fxС*о. Уо)=


144 В. Ф. И ох
Аналогично этому существуют точки (х1У уг), (jc2, {/2)>
такие, что
fy (*i. y\)= — §f dx/1 х dy, G)
dR
1
dR
] /1 (8)
#?? контурные интегралы обходятся против часовой
стрелки.
Доказательство. Доказательство следует из теоремы
о среднем значении и теоремы Грина. Согласно теореме Грина,
J J fxdxdy=§fdy, J jfydxdy = - §fdx
/? dR R dR
И
J | [(f^ + (M,]^^= J f«<fc -fvdx.
J
OR
Далее, согласно теореме о среднем значении в R, существуют
значения х и у, такие, что имеют место следующие соотноше-
соотношения:
fx§ xdy = J J fxdxdyy fy §xdy= J J fydxdy,
OR R OR R
§j ju)x + (fv)y]dxdy.
dR
Здесь мы использовали равенство \ dxdy= wxdy. Комби-
R dR
нируя эти соотношения и разрешая их относительно /*, fy и
(fu)x+(fv)y, получим соотношения F) — (8).
Заметим, что равенство (8) можно было бы доказать, ис-
используя теорему о среднем значении и теорему о дивергенции;
отметим также, что имеется возможность применить теорему о
дивергенции к аппроксимации дивергенции в осесимметричных
задачах.
Рассматриваемые выше области R являются, конечно, от-
отдельными ячейками сетки или частично граничными зонами,
образованными пересечением движущейся лагранжевой грани-
границы с фиксированной эйлеровой сеткой. Теорема 1 позволяет для
различных форм областей полностью автоматически аппрокси-
аппроксимировать Рх, Ру и дивергентные члены в уравнениях A) — D).
Ясно, что необходимо знать значения функции на границах
ячеек сетки для того, чтобы вычислить контурные интегралы.


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 145
С этой целью сделаем следующие предположения. Наши ко-
конечно-разностные уравнения дают возможность найти значения
зависимых переменных в узлах разностной сетки. Функции, оп-
определенные в этих точках, доопределим в точках границы, ис-
используя линейную интерполяцию между узлами сетки, т. е. зна-
значения функций в узлах соединим прямыми линиями. Это по-
позволяет свести используемые в теореме контурные интегралы к
сумме произведений средних значений, получаемых по значе-
значениям функций в узлах, на соответ-
соответствующие длины сетки вдоль гра-
границы ячейки !).
Таким образом, соотношения у
F) — (8) сводятся к следующим
(рис. 2):
N
. О)
N
/»1
•-(Ю)
Ж
Г A (ftp . А (МП
i~& h Ay J/
Рис. 2. Показана j-я ячейка
общей многоугольной сетки.
N вершин с координатами (х^ у;)
занумерованы в порядке движения
против часовой стрелки, / = 1,2 N.
S
N
2
(И)
Здесь N вершин углов /-й ячейки сетки пронумерованы в напра-
направлении против часовой стрелки /=1, 2, ..., N, а /лг+1 = /ь *jv+i=*i
и т. д.
Теперь посмотрим, как полученные (естественные) аппрокси-
аппроксимации (9), A0) позволяют исследовать случаи при п = 3, 4, т. е.
случаи треугольных и прямоугольных ячеек.
В случае п = 3 стандартная аппроксимация частных произ-
производных df/dx и df/dy получится путем построения плоскости,
проходящей через три вершины, и определения величин А//Д
1) Очевидно, чтд если доопределить функции между узлами интерполя-
интерполяцией более высокого порядка (или другого типа), то можно получить различ-
различные аппроксимации производных.
10 Зак. 647


146
В. Ф. Нох
Af/Ay по значениям df/dx, df/ду, вычисленным для некоторой
точки этой плоскости. Пусть плоскость, проходящая через точки
(х, У, f)u i'=l, 2, 3, имеет вид f=Ax+By + C, где Л, В, С —по-
—постоянные. Тогда fx=A, fy=B и легко убедиться в том, что А сов-
совпадает со значением, полученным из (9), а В совпадает со
значением из A0).
В случае я = 4 непосредственная аппроксимация получается
путем замены переменных х = х(а, Ь), у=у(а, Ь)у так что четы-
четырехугольник (х, у)и /=1, 2, 3, 4, отображается в прямоугольник
Ь
>У)з
(а,ЬL
(а,Ь)
(а,Ь)
Рис. 3. На четырехугольник в плоскости (х, у)
с вершинами (х, у),, /=1, 2, 3, 4, отображается
(посредством преобразования х = х (я, Ь)у
у = у (а, Ь)) прямоугольник в плоскости (а, Ь).
Взят прямоугольник со сторонами, параллельными осям а и
Ь, и с вершинами (a, &)j, / = 1, 2, 3, 4. Точки (лг, у)^ являются
образами точек а^ Ь^ т. е. х^ = х (а^ Ь.у у^ — у^а^ Ь^.
(a, b)u t=l, 2, 3, 4, в плоскости (а, Ь) со сторонами, параллели
ными осям а и b (рис. 3). Далее можно вычислить fx и /у че-
через производные по а и Ь, а именно
/ Jf ~~~"* / V/ пУЪ I ЬУл/' /^ "~~" Л V/ л Ъ I b а))
j j
где / — якобиан преобразования, 1 = хауь—ХъУа. Используем
естественную аппроксимацию производных по а и по b для пря-
прямоугольника в плоскости (а, 6), т. е.
f _
la
f
2(a2-al) ' ">— 2(b3-b2)
Теперь легко убедиться в том, что результирующая аппроксима-
аппроксимация fx и fy дает то же самое, что (9) и A0).
Теперь мы установим другое свойство наших конечно-разно-
конечно-разностных аппроксимаций, рассмотрев уравнение сохранения
= 0 A2)
и соответствующее ему конечно-разностное уравнение сохране-
сохранения, полученное с помощью соотношения A1).


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 147
Заметим, что уравнение сохранения A2) обладает следую-
следующим свойством.
Теорема 2. Если f = 0 на границе dD области D в плоско-
плоскости {х, у) и ft+(fu)x+(fv)y = O в D, то J j fdxdy = const.
D
Доказательство. Оно вытекает немедленно из нашего
предположения, что [ = 0 на dD и теоремы о дивергенции. Дей-
Действительно, имеют место следующие равенства:
D
= - §[(fu)dy-{fv)dx] = 0.
dD
Соответствующая конечно-разностная формулировка дается
ниже в теореме 3. Пусть /у означает среднее значение f в у'-й
ячейке на п-м шаге по времени, и пусть мы аппроксимируем ft
формулой
+1
Тогда, используя A1), найдем, что наша конечно-разностная
аппроксимация уравнения A2) имеет вид
Докажем теперь теорему.
Теорема 3. Пусть Т означает систему линий, составляю-
составляющих разностную сетку. Если f) = 0 на границе дТ сетки Т., то
имеет место равенство
{как функция п), где А) — площадь ]-й ячейки, а суммирование
производится по всем ячейкам области Т.
Доказательство. Наше утверждение будет доказано,
если мы покажем, что
Таким образом, согласно A3), нам нужно показать, что
л -о
10*
[ Ax ^ Ay
J


148 В. Ф. Нох
Используя A1), мы видим, что это уравнение эквивалентно
следующему:
N
¦«!)}= О A4)
(здесь следует учесть, что знаменатель
N
в соотношении A1) есть не что иное, как 2Aj).
Далее, уравнение A4) действительно выполняется, ибо при
суммировании по всем ячейкам каждая сторона внутренней ячей-
ячейки проходится дважды в противоположных направлениях и, та-
таким образом, члены суммы попарно сокращаются. Итак, оста-
остаются только члены на границе области дТ> но они обращаются
в нуль, так как по предположению /у равно нулю на границе.
Убедившись, что соотношения (9) — (И) приемлемы, перейдем
теперь к частному случаю прямоугольной сетки и к конечно-
разностной аппроксимации уравнений A) — E). При этом мы
должны различать регулярные внутренние ячейки и нерегуляр-
нерегулярные граничные ячейки, образованные пересечением границы
жидкости с линиями сетки.
5. Эйлеровы конечно-разностные уравнения
для внутренних ячеек сетки
Наша прямоугольная сетка образуется линиями Xk (k =
= 0, 1, 2, ...) и yi A=0, 1, 2, ...); их пересечение дает узловые
точки x = xk, У = Уи К /=0, 1, 2, ... (рис. 4).
Некоторые из зависимых переменных (составляющие количе-
количества движения и скорости) наиболее естественно определяются
-в узловых точках сетки и в точках (n+l/2)At по времени. Ос-
Остальные величины (р, е, Р) определяются в средних точках сетки
2 ' 2
и в целых точках пЫ по времени. Обозначим
через ПТ> а
через gt+lflil+vr


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 149
Теперь мы выпишем, в частности, выражения для величин
пП+1/2 п\ПЛ-1/2 пп on
"k,l > uk, I » Пг + 1/2,/+1/2' °Л
,/ + 1/2
Dn
,/+1/2"
Кроме того, мы определим выражения для смешанной пере-
переменной Я1Х\%, /+1/2' которая является искусственной вязкостью
(фон Нейман и Рихтмайер [1]) и необходима в конечно-разно-
конечно-разностных уравнениях для правильного представления ударных волн
Уь
Уь-1
Рис. 4. Прямоугольная сетка, образованная пря-
прямыми х% = const (k — 0, 1, 2, ...), у/ = const
(/=0, 1,2, ...)•
Узловыми точками сетки являются точки пересечения ли-
линий у — У^, * = *?» *» ^ = °» J» 2 ••• Стрелкой показана (Л, /)
узловая точка.
(если только не используется непосредственный расчет ударных
волн или другие способы). Искусственная вязкость (q) разма-
размазывает ударную волну на фиксированное число ячеек таким
способом, что значения функций меняются непрерывно при пе-
переходе через скачок и удовлетворяют условиям сохранения
Рэнкина — Гюгонио. Мы возьмем следующее выражение для ис-
искусственной вязкости:
0,
если
если
V.U<0,
V.U>0,
A5)
где Со—постоянная, слабо зависящая от уравнения состояния
среды (Co«l), L — характерная длина ячейки, в которой вычис-
вычисляется q(L2~{&xJ+{&yJ).


150 В. Ф. И ох
Для функций, вычисляемых в средних точках ячейки, мы
введем следующие определения, основанные на формуле A1):
Определение 1.
B)
т. е. среднее значение
между известными
величинами,
{У — #) еСЛИ U
{У 1+1 — #/)> еСЛИ Uk + 1, Z+1/2 <
> о,
-^> если «11;2,/+1)<0,
Прежде чем переходить к конечно-разностным уравнениям,
сделаем замечание об определении дивергенции
ги . П]]п+1/2
С физической точки зрения дивергенция имеет следующий ин*
туитивный смысл. Если f рассматривается как ступенчатая функ-
функция (постоянная в ячейке), то условия, налагаемые на состав-
составляющую скорости в направлении нормали к сторонам ячейки*
вызывают ограничения на входящее и выходящее из ячейки зна«
чение / в течение шага по времени. (Может показаться более
естественным, чтобы через сторону ячейки передавалось некото-
некоторое среднее значение /, но это условие привело бы к слегка
неустойчивым конечно-разностным уравнениям.) Вопросы устой-
устойчивости конечно-разностной схемы приводят к некоторым услож-
усложненным алгебраическим уравнениям и не будут здесь рассматри-
рассматриваться. Однако для двух предельных случаев U«U^>C2 и
C2^U-U (где С — местная скорость звука), снова не обсуждая
детали, можно легко показать, что для каждой ячейки сетки
должны иметь место следующие неравенства:
А . . Ajc Aw
Д^ <^ *
М < mi


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач
151
В общем случае было найдено, что практически удовлетвори-
удовлетворительным является следующее ограничение:
Л, . Дл:Д*/
max
Из определения 1 были получены следующие конечно-разност-
конечно-разностные уравнения, соответствующие уравнениям C) — E) и A5):
пп + 1 пп Л/1Л Л1Пл + 1/2
Р?+ 1/2,
, Л-1/2
X
([Д-иг1/2
ft+ 1/2, / + 1/2.
о,
,J,
+
А+ 1/2, / + 1/2
—с
~Г V A+ 1/2, /+1/2 ' ^
, / + 1/2
1/1 + 1/2
!, М-1/2"
п + 1/2
!, 1+112) ^
если [V.UK:1J>i+1/s-
если [V • U]
A7)
, /+1/2'
Jft + l/2, /+1/2'
, /+1/2,
A9)
-i-r
k-l к k+J
Значение величины Я2+1/2, /+i/2,
(
входящее в A8), обычно по-
получается с помощью одной
итерации путем использования
Рп линией с узлами i, z, о, % соотв<
ft+ 1/2, /+1/2 Как ПерВОГО ПриблИ- ячейке для количества движения.
жения и последующего осредне-
осреднения результата первого приближения с найденным значением
Рис. 5. Обозначения, используе-
используемые в определении 2.
Область, ограниченная штриховой
линией с узлами 1, 2, 3, 4, соответствует
'2, /+1/2*
Теперь рассмотрим переменные М = ри и N = pv, центриро-
центрированные в узловых точках (**, уг). Как и выше, мы введем неко-
некоторые определения, основанные на соотношениях (9) — A1) с
учетом обозначений, указанных на рис. 5. Определим величины
и т. д., а также величины
я 1 = 4"(«a, i-i +
Ух =-2 (Уi-i +Уд
1, r-1 -f- uk+h х


152 В. Ф. И ох
Введем обозначение Pn = i
Определение 2
(ЬР\п 1
У2 — У1
2> если
= (*-*,) г [ft-*; если «-1/Ч<-1/2)<0)
п -1/2
(„Г1/Ч,г./2){/Г1/2. если (х»Г1/2+<-1/2)>0,
—= 2 \f»-W, если A/2
E)
Тогда конечно-разностные уравнения для A) и B) запи-
запишутся так:
T}* {1/2(^ ] B0)
Значения и и v определяются по формулам
fiti+1/2 — R> l 7}n + l/2 — *» *
Рл, / Рл, /
где
\
r\tl \г)П 1 Г)Л I г)« i лЯ 1
"ft, I 4 L"/f + l/2, /H-l/2 Г ^й-1/2, /+1/2 1^ Пг-1/2, /-1/2 «^ "Л + 1/2, / —1/2J*
Ясно, что соотношения (9) — A1) были необходимы при по-
получении наших конечно-разностных уравнений для внутренних
ячеек, причем регулярность прямоугольной сетки обусловила
переход к этим уравнениям наиболее естественным- путем. Таким
образом, наша цель состояла в том, чтобы показать «естествен-
1) Можно использовать (ui-\-u2)l2 вместо (и5+и6I2.
2) Можно использовать (v2+vq)/2 вместо (v$+v7)/2.


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 153
ность» соотношений (9) — A1) и найти способ, необходимый для
получения конечно-разностных уравнений в случае произвольной
аппроксимирующей сетки (т. е. не обязательно прямоугольной).
Здесь интересно также заметить, что конечно-разностные урав-
уравнения для внутренней части области представляют собой част-
частный случай более общих уравнений для граничных точек, кото-
которые мы изучаем в следующем параграфе.
6. Гидродинамические уравнения сохранения
при произвольной скорости системы координат
относительно жидкости
Прежде чем перейти к конечно-разностным уравнениям для
граничных ячеек, мы рассмотрим более общую систему диффе-
дифференциальных уравнений, характеризующих движение жидкости
в пространстве переменных х и у, которые не являются ни эйле-
эйлеровыми, ни лагранжевыми координатами, а относятся к произ-
произвольно движущейся относительно жидкости системе координат.
В нашем частном случае граница жидкости является лагранже-
вой линией (в том смысле, что она движется вместе с жидко-
жидкостью), и эта граница движется относительно стационарной эй-
эйлеровой сетки, следовательно, в граничной области мы имеем
смешанную систему переменных. Будем считать х и у функция-
функциями независимых переменных a, b, t и введем величины o) = w—xu
G==v—yu Q = G)i + oj. Можно показать, что полная производная
по времени записывается так:
F = Ft + ®Fx + oFy = Ft + Q . VF. B2)
Заметим, что в случае xt=yt = 0 это соотношение дает производ-
производную по времени в переменных Эйлера, а при xt = u, yt = v оно
дает предельный случай лагранжевой производной Ft.
Обычные гидродинамические уравнения имеют вид
B3)
где е — внутренняя энергия на единицу массы.
Система B3) не имеет формы уравнений сохранения, анало-
аналогичной системе A) — D), которая использовалась для внутрен-
внутренних узлов сетки. Мы будем использовать тождество B6) приво-
приводимой ниже теоремы 4 для того, чтобы привести уравнения к
нужному виду.


154 В. Ф. Нох
Теорема 4. Если J=((x, у)/(а, Ъ))—якобиан из произ-
производных функций х, у по a, b и если р удовлетворяет уравнению
p + pV«U = 0, то имеем1)
V.Ue=V.Q + :?, B4)
^ B6)
где f — любая достаточно дифференцируемая функция, a Q =
i j
Доказательство. Имеет место соотношение
V-Q= (u—?)x+ (v—y)v=V- U—[(Xi)x+ (yt)v).
Воспользовавшись теперь формулами неявного дифференци-
дифференцирования
получим равенства
Следовательно, имеет место B4), т. е.
V.Q = V .и —-4.
Далее, соотношение B5) следует непосредственно из B4) и
уравнения B2); таким образом, получаем выражение
которое равно нулю по условию теоремы.
Аналогично, выписывая правую часть B6) и используя B2),
B4), B5), получаем
Теперь получим уравнения сохранения. Умножая первое, вто-
второе и четвертое уравнения системы B3) на р и используя то-
1) Основное тождество, соответствующее B4) в осесимметричном случае,
запишется так:


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 155
ждество B6), получаем следующую систему (уравнение B5)
уже имеет нужную форму):
^ x = 0, B7)
y = 09 B8)
Q = O> B9)
Я = Я(р, е). C1)
В частности, видно, что если х и у не зависят от времени, то
/* = 0, Q = U и получаются уравнения в переменных Эйлера A) —
E). Если же х и у движутся вместе с жидкостью (xt = u, yt = v,
тогда й = 0), то из B7) — C1) получаются уравнения в пере-
переменных Лагранжа, записанные в форме уравнений сохранения.
Конечно-разностные уравнения для граничной ячейки полу-
получаются из уравнений B7) — C1) при простых частных предполо-
предположениях, а именно надо положить й равным U на сторонах гра-
граничной ячейки, которые принадлежат к эйлеровой сетке, и поло-
положить! Q равным нулю на подвижной лагранжевой границе. Имея
это в виду, мы будем определять конечно-разностные аппрокси-
аппроксимации уравнений B7) — C1) только для этого упомянутого ча-
частного случая. Прежде чем обратиться к полным уравнениям,
рассмотрим сначала конечно-разностные аналоги двух первых
членов в уравнениях B7)—C0).
7. Общие вопросы расчета граничных ячеек
Рассмотрим специальный предельный случай уравнения со-
сохранения массы B9) для лагранжевых переменных (т. е. при
О = 0)
Т=0
Записывая C2) в конечных разностях, для некоторой точки
(*<» У%) из области R получаем
I Tfl + 1 гП\ тП
(ii^)^ C3)
или р"+ Jn.+ =pn.Jnn что представляет собой закон сохранения
(т, е. условие, цто редичлна р/ не заэисит от времени) F


156 В. Ф. Нох
сформулированный в лагранжевых переменных. Это соотноше-*
ние показывает, что с ростом времени при вычислении знамена*
теля дроби Jt/J следует брать величину /n+1 вместо центрирован*
ного значения /п+1/2. Такое положение остается верным для лю-
любого из уравнений B7) — C0), поэтому мы хотим теперь дать
конечно-разностную интерпретацию якобиана /п.
В следующей теореме якобиан интерпретируется как пло-
площадь граничной ячейки1).
Теорема 5. Если область г плоскости а, Ь отображается
на область R плоскости х,у с помощью преобразования х=
~л:(а, 6, /), y=y(a,byt) и если существует положительный всю-
всюду в области R якобиан преобразования J(x, у) = (л:, у)/(а, 6), то
найдется точка (g, г\) в R, такая, что
J (?, п) = J J dx dy/j J da db. C4)
R r
Доказательство. По предположению |/|=/, и поэто-
поэтому J j dxdy = J \ J dadb. По теореме о среднем значении
R г
существует точка (g, r\) в /?, такая, что У(|, л)) dadb =
т
= J \ J dadb. Отсюда следует C4).
т
Следствие. Для уравнений гидродинамики всегда можно
так выбрать лагранжевы переменные (а, Ь), что якобиан J (я, у)
будет положительным.
Доказательство. Справедливость следствия устанавли-
устанавливается в предположении, что за лагранжеву координату прини-
принимается начальное положение жидкого элемента [х(а, 6, 0) =а,
у(а,6,0)=6]. Тогда /°(х, у) =/[х(а, Ь, 0), г/(а, 6, 0)] = /(а, 6) = 1,
и из закона сохранения масс имеем р/ = р°/° = р0, где р° — на-
начальная плотность р(а, 6, 0). Поскольку плотность всегда поло-
положительна, то отсюда следует, что /(л:,у)>0.
Из C3) видно, что в конечно-разностных уравнениях встре-
встречается только отношение якобианов. Следовательно, рассма-
рассматриваемое пространство a, b и начальное значение /° якобиана
можно выбрать произвольно. В конечно-разностных уравнениях
мы будем отождествлять якобиан /п с площадью граничной
!) Для осесимметричного случая J заменяется произведением RJ и этот
член RJ интерпретируется как объем вращения граничной ячейки, причем
/?=(*2+?2I/s,


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 157
ячейки на /г-м шаге по времени. Для расчета граничных ячеек
должны быть определены некоторые последовательности; они
определяются в следующем параграфе.
8. Граничные ячейки и граничные последовательности
Граничные ячейки образуются при пересечении ломаной ли-
линии лагранжевой границы (т. е. мы предполагаем, что граница
определяется ломаной линией, которая движется вместе с жид-
жидкостью) с фиксированной эйлеровой сеткой. Возникающие гра-
граничные ячейки будут очень часто оказываться односвязными
многоугольниками, стороны которых образуются частично перво-
первоначальной фиксированной сеткой и частично ломаной лагранже-
лагранжевой линией. Возможно, что лагранжева граница будет разби-
разбивать эйлерову сетку на несколько отдельных кусков, и эту воз-
возможность следует предусмотреть в конечно-разностных уравне-
уравнениях. Для того чтобы сделать описание граничных ячеек более
точным, мы введем следующие определения.
Предположим, что лагранжева ломаная линия параметри-
параметризуется величиной 5@<5<1) таким образом, что с ростом 5 лаг-
лагранжева линия пересекает эйлерову сетку, оставляя область
слева. Обозначим лагранжеву линию на п-ы шаге по времени
через Ln{s), причем
L"(s)=[<X"(s), yn(s)>\0<S<l\\. C5)
Рассмотрим множество точек Л, состоящее из угловых точек (а)
линии Ln(s) и точек (Ь) пересечения Ln(s) с линиями разбие-
разбиения эйлеровой сетки. Пусть члены множества А расположены в
порядке возрастания 5 и составляют последовательность, кото-
которую обозначим через {??}.
Так как эйлерова область, занятая жидкостью в плоскости
х, у (с границей Ln(s)) берется такой, что она остается слева,
когда Ln(s) обходится в направлении возрастания s, то эту эй-
эйлерову область (включая границу Ln(s)) мы обозначим че-
через Еп.
Пусть Gk, i — узловые точки с координатами (xk, yk). Рас-
Рассмотрим прямоугольную ячейку сетки с узлами GhJy Gk+ith
Gk+hl+u Gh,i+v Обозначим через Cn(k,l) ту часть этой ячейки,
которая является частью Еп. Эта часть ячейки Cn(k,l) будет
граничной ячейкой, если часть ее границы dCn(k,l) содержится
в Ln(s) (т. е. dCn(k, I) (Mn{s)f0). Так как Ln{s) —ломаная
линия, то граничные ячейки состоят из одного или большего ко-
количества многоугольников и для построения конечно-разностных
Уравнений нам необходимо упорядочить их вершины (угловые
точки границы этих многоугольных областей), расположиэ их


158
В. Ф. Нох
в порядке обхода против часовой стрелки. Полученные после-
последовательности (для каждой ломаной) называются граничными
последовательностями и обозначаются следующим образом:
/-1,2,..., jy
где индекс / указывает на /-й многоугольник, ограниченный ли-
линией dCn(k, /); /у—1—число вершин /-о многоугольника; для
к-1 к к+!
Рис. 6. Эйлерова область с лагранжевой границей.
Ломаная линия, соединяющая точки Lq, 1%, Lq, Lq, L^ L^, Lyj и /,"9, является ла-
лагранжевой границей Ln (s) для л-го шага по времени.
Заштрихованная область, включая границу Ln (s), представляет собой часть области,
занятой жидкостью, где используются эйлеровы переменные (область Еп)\ стрелкой по-
показана лагранжева линия L (s) для л-го шага во времени.
построения контурных интегралов, очевидно, последние и пер-
первые вершины должны совпадать, т. е. V"(A, U j) = VnIn(k, /, у).
Обозначим, координаты этих вершин таким образом:
Мы не будем заниматься деталями построения граничных по-
последовательностей C6), а только отметим, что точки V?(A, /, у)
вместе с некоторыми из узловых точек GhiU Gk+i>li Gk+itl+lj
Gk, i+i представляют собой точки последовательности {/,?}. Они
легко определяются, если начать с первого пересечения Л" с ли-
линией дСп{К I) й проходят^ вдоль tn(s) 9 направлении npowp


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 159
часовой стрелки (т. е. в направлении увеличения s) до тех пор,
пока Ln(s) не выйдет из Cn(k,t), а затем двигаться вдоль
dCn(k,l) в направлении против часовой стрелки. Граничная по-
последовательность включает все узловые точки и точки Ь", ко«
торые встречаются при обходе до тех пор, пока не достигается
1-1 '
Рис. 7. Показана увеличенная центральная часть рис. 6. дС(?, /) — лома-
ломаная с вершинами L?, Щу L%, Gkt t. Граничная последовательность, связанная
с линией дСп (к, /), имеет следующий вид:
B) Z,
п
jq, L
дСп (k — 1, I) состоит из трех ломаных со следующими вершинами: A) ?" ?" Qk д
— l t+V ^меются ТРИ граничные последовательности,
п
^13*
связанные с дСп (k — 1, /), а именно:
dCn(k — 1, / — 1)-ломаная с вершинами ?g, Lg, L"Q, Qk_l v °k-l l-V °k /-1
; имеется одна граничная последовательность, связанная с ней, а именно ' ' ^
начало Z?. Эти точки I? и узловые точки образуют первую
(/=1) граничную последовательность, и этот процесс следует
повторить для других (или любых) Lnt вместе с дС"(к,1), Част-
Частные случаи показаны на рис. 6 и 7.


160 В. Ф. И ох
Для записи дивергентных выражений в граничных конечно-
разностных уравнениях необходимо определить относительную
скорость Q = coi + aj в каждой вершине последовательности
VI (k, I, у) или среднее значение О между значениями в точках
Vnt(k, /, у) и Vni+\(k, /, у). Если мы обозначим это среднее зна-
значение скорости через Q/+1/2 (k, I, у), то тогда последовательности
составляющих со, а векторов Q/+1/2 (&, /, у) можно назвать гра-
граничными последовательностями или просто последовательностя-
последовательностями и обозначить следующим образом:
Как отмечалось ранее, если отрезок линии, соединяющей вер-
вершины Vnt(k, /, у) и V?+i(k, /, у), является частью лагранжевой
линии In(s), то (uftlflik, l, У) = ^^(*» *¦ У) = °- Если же от-
отрезок линии представляет собой часть эйлеровой сетки, то отно-
относительная скорость совпадает со скоростью жидкости, т. е.
При обсуждении граничных ячеек мы ввели в рассмотрение
ячейки Cn(k,l), в которых определяются переменные р, q, 5, Р,
т. е. те переменные, для которых предполагается, что они имеют
постоянное значение во всей области Cn(k,l). Составляющие ко-
количества движения считаются постоянными в ячейках сдвину-
сдвинутой сетки, образуемой пересечением линий
Хк + 1/2 = " (** ~Ь Xk+l)> У'/+1/2 = " (#/ + ^/+0"
Если мы обозначим узловые точки этой сетки через
°*+i/2, i+i/2 = (^+1/2' У/+1/2)» а через C*(ft+l/2, /+1/2)— общую
часть прямоугольника Gk+1/2, /+1/2» Gk-1/2, /+1/2, Gk-i/2,1-1/21 Gk+1/2,1-1/2
и области ?п, то величины М и N определяются (как постоян-
постоянные) в ячейках Сп(&+1/2, /+1/2). Следовательно, мы имеем
граничные ячейки для количества движения (т. е. ячейки
Сп(&+1/2, /+1/2), часть границы которых дО(&+1/2, /+1/2)
совпадает с Ln(s)). Теперь необходимо построить граничные по-
последовательности для количества движения, которые мы обо-
обозначим через
2, ..., /*
C9)


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 161
и граничные последовательности для скоростей, которые обо-
обозначаются следующим образом:
/-О, 2, ..., lnj{k | 1/2, /4-1/2)- 1
0, 2, ..., ^
Эти последовательности определяются для ячеек О(?+1/2,
/-Н/2), так же как определялись последовательности C7) и
C8) для ячеек Сп(&,/). Помимо последовательностей C9) и
D0), уравнения количества движения включают градиент да-
давления, и поэтому необходимо построить последовательность для
суммарного давления P=P + q, обозначаемую через
n . D1)
1, 2, ..., if (k+ 1/2,
где Я?(&+1/2, /+1/2)—сумма давления и искусственной вяз-
вязкости в области Еп в точках V" (&+1/2, /+1/2) *).
Р. Граничные конечно-разностные уравнения
для переменных (р, е к др.)> которые
центрируются в граничных ячейках Cn(k, t)
Сначала рассмотрим конечно-разностные уравнения в гра-
граничных ячейках для переменных р, q, e, P, которые центрируют-
центрируются в ячейках Cn(k,l) (т. е. для тех переменных, которые пред-
предполагаются постоянными в ячейках Cn(k, l) на каждом шаге
по времени). Предположим, что граничные последовательности
C6) и C8) определены и нам нужно получить конечно-разност-
конечно-разностную аппроксимацию для якобиана / (который по C4) равен
площади Cn(kJ)) и для дивергенции произведения любой сту-
ступенчатой функции, постоянной в Cn(k,lI на относительную ско-
скорость й (т. е. для выражения вида V«/Q). Заметим, что тогда
величина V • U определяется из основного тождества B4).
Будем считать, что мы имеем дело с некоторой граничной
ячейкой Cn(kJ), которая образована jn{kj) многоугольными
1) В действительности для тех точек V" (k -\-1/2, / + 1/2), которые яв-
являются вершинами И\ лагранжевой линии Ln(s)y мы должны брать гранич-
граничное давление в соответствии с условием неразрывности давления при пере-
переходе через контактный разрыв, но практически это сделать трудно; было
показано, что приемлемо использовать давление, взятое из эйлеровой
области.
11 Зак, 647


162
В. Ф. И ох
областями, и предположим, что переменные V, ху у, со, а и т. д.
относятся к ячейке Cn(kJ) (т. е. для x1(k, /, j) будем писать
xnt(j) и т. д.). Соответственно с этим можем записать
,(уL
(У)-Уп1 (У)). D2)
7=1 /-1
где индекс fe+1/2, /H-1/2 используется для получения соответ-
соответствия с обозначениями, принятыми в уравнениях для внутрен-
внутренней части (имеются в виду зависимые переменные, которые
для неграничных ячеек центрированы по пространству с по-
помощью средних точек &+1/2, /+1/2 для эйлеровых ячеек).
Для аппроксимации величины V-/Q заметим, что, согласно
A1), рассматриваемая величина состоит из суммы членов вида
Так как величины со/+1/2, oi+l/2 были уже определены, то следует
определить величину fi+1/2- Как уже указывалось ранее, относи-
относительные скорости со и а равны нулю на лагранжевых линиях
Ln(s) и равны и или v для других отрезков ломаной линии, об-
образующих границу Cn(k,l). Эти отрезки линий состоят из ча-
частей сторон исходной прямоугольной эйлеровой сетки и, следо-
следовательно, являются или горизонтальными, или вертикальными
отрезками. Вдоль горизонтальных отрезков t/i+i — уг = 0, а вдоль
вертикальных отрезков Xi+i — л:г = 0. Таким образом, величину
fi+i/2 нужно определять только в тех случаях, когда ыАуФО и
оАхфО. Имеются четыре возможности для каждого из этих не-
неравных нулю членов.
Пусть
i+i — yt) ФО, И/+1/2(У/+1 —
тогда Xi = Xk или Х\-
Обозначая через
получаем
?_! v если xt = xk, и
xk+i.
fnkl значение функции / в ячейке Cn(kJ)y
D3)


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 163
Аналогично, если окхФО, иАхФО, тогда #* = {/* или */г=У/+ь и
поэтому
Гк§1, если У1 = ур v4
Из соотношений D2) — D4) (используя индексы ?+1/2 и /+1/2,
как и в выражении для якобиана) находим выражение для ди-
дивергенции
ги fQf+1/2
• D5)
f 1+1/2
Подставляя f^l и учитывая B4), получаем
1V * UWl/2, / + 1/2 — lV ' "Ь + 1/2, /+1/2 ~1
Теперь мы можем получить конечно-разностную аппрокси-
аппроксимацию для уравнений B9), C0) и для # (величина ^ для гра-
граничных ячеек по-прежнему задается формулой A5)). Учитывая
замечания по поводу формулы C2), находим
1+1/2 тп+l
•'/г+ 1/2, /+1/2
D8)
где P=zP-\-qy а величина Рп+ ' находится путем итерации с ис-
использованием Рп в качестве первого приближения
гс + 1 _ п/^п + 1 пп+1 \


164 В. Ф. И ох
Особый случай возникает тогда, когда площадь Jk+i/2, 1+1/2
ячейки Cn(k,l) становится малой по сравнению с площадью ис-
исходной эйлеровой ячейки. Если бы при расчете граничных ячеек
получилось, что У2+1/2, /+i/2->0, то тогда оказалось бы в силу
условия устойчивости, что интервал времени должен тоже стре-
стремиться к нулю. Чтобы избежать этого, граничная ячейка Cn(kyt)
объединяется с соседней ячейкой, т. е. Cn(k,l) и одна из ее со-
соседних ячеек комбинируются и образуют одну новую граничную
ячейку.
Этот процесс мы называем объединением-, из-за него тече-
течение жидкости возмущается лишь в незначительной степени. Мо-
Можно было бы поступить более неточно, а именно объявить, что
ячейка Cn(kJ) является пустой при малых Л+ip, z+i/2, и пере-
передать ее массу, внутреннюю энергию и работу PdV (в предполо-
предположении, что Л+i/2t i+i/2 стремится к нулю) соседней ячейке. Этот
способ вполне успешно использовался в методе СЭЛ и приводил
к изменениям параметров течения на несколько процентов.
10. Конечно-разностные уравнения для составляющих
количества движения (Ж = ри, N=pv),
которые центрируются в граничных ячейках
вида С" (?+1/2, /Н- 1/2)
Как и ранее, мы должны получить выражения для якобиана,
дивергенции и, кроме того, при помощи уравнений (9) и A0)
мы должны получить аппроксимацию градиента давления в
ячейках Сп(&+1/2, /+1/2), где определяется количество дви-
движения. Так как якобиан и дивергенция определяются относи-
относительно сетки для количества движения по тем же самым форму-
формулам, что и для основной сетки (составленной из ячеек
Cn(k, /)), то мы просто записываем
jn(k+ 1/2, 1+1/2) In(J)
а также для любого /, определенного в ячейке Cn(k-\-\/2,
/+1/2),
jn(k+ 1/2, 1+1/2) In(j)
iv • mv,r=jr 2 1 [(K+^te1/2(/)-^r1/2(y))-
)]. F2)


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 165
где величина fl+m также определяется относительно ячеек
Cn(?+l/2, /+1/2), как определялась величина /*+1/2 относи-
относительно ячеек Cn(k,l) в формулах D3) и D4).
Составляющие градиента давления аппроксимируются путем
использования (9), A0) и D2) и вычисления среднего взве-
взвешенного по площади от производных для каждой из jn(k+l/21
/+1/2) многоугольных областей Cn(k+\/2, 1+1/2), Заметим,
что знаменатель в соотношениях (9) и A0) равен удвоенной пло-
площади рассматриваемой многоугольной области, а якобиан Jkj
равен сумме площадей этих многоугольников. Следовательно,
1 + 1/2) InJJ)
E4)
Теперь мы можем аппроксимировать уравнения количества
движения B7) и B8) для граничных ячеек Сл(&+1/2, /+1/2)
М17Г(Л? 14.,)-a/{[v.лю]-^+Щ;г}, F5)
Для нахождения скорости нам нужно определить среднюю
плотность в ячейке Cn(k+l/2y /+1/2). Она определяется как
среднее взвешенное по площади от соседних плотностей. Таким
образом, имеем
^"/?у"' (б7)
где (рУ)" — масса i-й (непустой) ячейки Cn{kJ), соседней с
ячейкой О (?+1/2, Л-1/2). Тогда
мП+1/2 ктП + 1/2
ЧТ = -?-> КТ—~~- E8)
Специальный случай имеет место тогда, когда узел сетки
(xk,i, yk,i) попадает в лагранжеву область, т. е. когда [х^и
Ук,1) не лежит в Еп. Тогда соотношения E5) и E6) используют-
используются для определения касательной составляющей количества дви-
движения, а нормальная составляющая находится по движению ла-
гранжевой границы Ln(s).


166
В. Ф. И ох
Ln(s)
На этом заканчивается обсуждение расчетов в эйлеровых ко-
координатах; далее мы кратко обсудим расчеты в лагранжевых
координатах.
Картина здесь совершенно ясная, так как нужно уточнить
только вопрос об определении давления на линии стыка ла-
гранжевой и эйлеровой об-
областей Ln(s), для того что-
чтобы полностью определить
расчет величин в лагранже-
вой области. В методе СЭЛ
граничное давление вычис-
вычисляется как среднее взве-
взвешенное по площади от дав-
давлений во всех эйлеровых
граничных ячейках, часть
границы которых принадле-
принадлежит прямолинейному отрез-
отрезку линии Ln(s) (рис. 8).
Это граничное давление, хо-
хотя и не является совершенно
точным1), представляет со-
•I
-1-г
к-1
Рис. 8. К определению давления на
эйлерово-лагранжевой границе раздела
по эйлеровой сетке.
Отрезки лагранжевой линии, соединяющие
точки j и j 4-1, образуют часть границ ячеек 1,
2, 3 и 4. Следовательно, имеем
бой величину, удовлетво-
удовлетворяющую требованиям прак-
практики. Теперь мы перейдем
к описанию расчетов в ла-
лагранжевых переменных.
//. Конечно-разностные уравнения
в лагранжевых переменных
Полученные ниже уравнения дают простую и довольно точ-
точную систему лагранжевых конечно-разностных уравнений. Наша
аппроксимирующая сетка является прямоугольной в простран-
пространстве переменных х=х(а, b, t), y = y(a,b,t) (где а и Ь — лагран-
жевы координаты), а пространственные и временные цент-
центральные разности для и, v, p и т. д. точно такие же, как и для
уравнений в переменных Эйлера. Будем снова использовать
аппроксимации в соответствии с теоремами 1—5 и, таким обра-
образом, будем иметь полное соответствие конечно-разностных урав-
уравнений метода СЭЛ. Интересно также отметить, что получающиеся
1) Линия Ln(s) представляет собой, вообще говоря, контактный разрыв,
при переходе через который остаются непрерывными давление и нормальная
составляющая скорости. Это означает, что давление, действующее на Ln(s),
равно среднему взвешенному по массе от давлений э эйлеровой и лангранже-
вой областях.


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 167
лагранжевы конечно-разностные уравнения идентичны обыч-
обычной конечно-разностной системе, при получении которой част-
частные производные по х и у выражаются через частные производ-
производные по лагранжевым координатам а и 6, а эти производные за-
затем аппроксимируются на прямоугольной сетке в плоскости а, Ъ
(см. рис. 3). Это еще раз указывает на «естественность» аппрок-
аппроксимаций, определяемых в соответствии с теоремой 1. Данные
аппроксимации удовлетворительны также и в том отношении,
к-1
Рис. 9. Обозначения, используемые в определении 3.
что не делается никаких ограничений относительно вспомога-
вспомогательного пространства а, Ь. Следовательно, можно было бы лег-
легко аппроксимировать лагранжевы уравнения относительно про-
произвольной (вместо прямоугольной) сетки в пространстве х, у.
Дифференциальные уравнения в лагранжевых координатах
имеют следующий вид:
py=const, et = -^-pt, P =
E9)
где / — якобиан ((x, y)/(ay 6)), e — внутренняя энергия еди-
единицы массы.
В следующем определении используется нумерация, указан-
указанная на рис. 9; оно основано на уравнениях (9) —A1) и теореме 5
(которая аппроксимирует якобиан через площадь),


168 В. Ф. Нох
Определение 3.
A) Л {(* *) (У </)
B) [Р, x\nkl = ~ \{Рп - />,з) (х4 -f л5 4- *б
— (Лз - Ло) (-«2 + -«з Н- *4 — -«
где P = P-\-q,
C)
( з
Лагранжева конечно-разностная система имеет вид
i. F0)
( '
k + 1/2,
( \(tlx — Vy)l^.y2, / + 1/2J ' ^Сли
X 0, если ' ' -*Я+1Я - -^ F4)
,я+1 п , рЯ+1/2 (рд+1— Р'Оа+ 1/2,1 + 1/2
Л + 1/2, /+1/2 ек-{-1/2, /+1/2 I ^/5 + 1/2, /+1/2 (o/I+1o/lk . i/о » , « '
, 1 + 1/2 (9n+'9")k + l/2,1 + 1/2


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 169
'Л+ 1/2, /+1/2'
/+1/2,
F6)
¦yi + 1/2
Здесь величина Pk+i/2,1+1/2 в F5) получается путем использова-
использования величины Р%+1/2,1+1/2 как первого приближения для F5)
и осреднения результата, найденного из F6) по величине
Pk+i/2, i+i/2 для определения окончательного значения.
Уравнения для скорости F0) и F1) нужно изменить для
точек узлов, которые определяют границы лагранжевой области,
остальные же уравнения верны для всех точек сетки. Модифи-
Модификация формул F0) и F1) делается несложно; для этого просто
требуется соответствующим образом применить формулы (9) и
A0) к определению величин Ру и Рх (причем давление, дей-
действующее на границы, находится из эйлеровой области или за-
задается граничным значением). Пример этого показан на рис. 10.
Рис. 10. К расчету скорости на лагранже-
лагранжевой границе k = 0.
Предполагается, что давление известно вдоль лагран-
лагранжевой линии k=0. Тогда, согласно (9) и A0), имеем
(± р у =1
\р ¦*/(),/
/-4
/»4
(Ip)" -i=2 —
vp у/а/ i (py,?-i-(p-/Kn
На этом заканчивается описание схемы расчета для типич-
типичной лагранжевой области метода СЭЛ. Следует указать, что
выполнение расчетов в лагранжевой области при желании мо-
можно скомбинировать с расчетами в эйлеровой области и, ко-
конечно (как это имеет место в методе СЭЛ), можно использо-
использовать несколько независимых лагранжевых областей, чтобы об-
облегчить расчет при более сложной геометрической картине.
12. Обсуждение графических результатов
некоторых расчетов
Следующие примеры предназначены для того, чтобы проде-
продемонстрировать основы метода СЭЛ, а не для иллюстрации осо-
особенно трудных и важных задач.


170 В. Ф. Нох
Было найдено, что для описания картины течения жидкости
наиболее целесообразно показать на графиках векторы скоро-
скорости в каждом узле эйлеровой сетки. Для лагранжевых обла-
областей мы указываем положение узлов лагранжевой сетки и ли-
линий, соединяющих эти точки. Графики строились автоматиче-
автоматически, как часть печати результатов, с помощью электронно-луче-
электронно-лучевой трубки, которая была связана с вычислительной машиной.
В первой задаче (рис. 11) рассматривается обтекание иде-
идеальным газом (y=1,4) твердого диска при числе Маха набе-
набегающего потока, равном бесконечности. Начальная температура
газа равна нулю (и, следовательно, равна нулю скорость зву-
звука), начальная плотность постоянна, а скорость набегающего
потока параллельна оси симметрии (ось Z). Течение газа опи-
описывается с помощью переменных Эйлера, а твердый диск пред-
представлен стационарной лагранжевой ячейкой (обозначена LY
на рисунке). На рис. Па показано течение газа вскоре после
начала процесса. За диском имеется область разрежения, и
сжатый раз начинает расширяться в эту область. Впереди дис-
диска газ по существу покоится. Возникает и начинает двигаться
в левую сторону головная ударная волна.
Рис. 116—lie соответствуют последовательным моментам
времени; на них видно возникновение циркуляции в области за
диском и установление стационарной головной ударной волны.
На рис. Не приведена по существу стационарная картина об-
обтекания диска.
Вторая задача, рассчитанная методом СЭЛ, — это задача об
обтекании плотного (но сжимаемого) металлического шара по-
потоком совершенного газа снова при бесконечно большом числе
Маха. Здесь образуется головная волна и ударная волна, рас-
распространяющаяся внутрь шара.
В этой задаче область газа снова аппроксимировалась с по-
помощью эйлеровой сетки. Однако, чтобы иметь пример задачи
с двумя эйлеровыми областями, аппроксимирующими различные
жидкости, шар был умышленно разделен на центральную сфе-
сферическую область и внешнюю сферическую оболочку. Внешняя
сферическая оболочка аппроксимировалась лагранжевой сет-
сеткой, а центральная сферическая область аппроксимировалась
эйлеровой сеткой. Это паказано на рис. 12а.
На рис. 126 приведена картина течения вскоре после начала
течения. На остальных рисунках (рис. 12в—12ж) показано те-
течение газа и распространение ударной волны внутрь сферы. Мы
видим, что в результате деформации сферы на головной части
быстро возникают острая вмятина и выпуклость, характеризую-
характеризующие тейлоровскую неустойчивость течения.
Этот тип неустойчивости возникает в случае, когда ме-
менее плотная жидкость ускоряет более плотную жидкость


Рис. Па. График для задачи об обтекании твердого диска
совершенным газом при бесконечном значении числа Маха,
выполненный с помощью электронно-лучевой трубки.
Для диска используется фиксированная лагранжева ячейка Lx. Вскоре
после начального момента t — О сжатый газ начинает расширяться в область
разрежения за диском. Возникает головная ударная волна, которая начи-
начинает отходить от диска.
Рис. 116. Головная ударная волна продолжает отходить от
диска.


i j j jУПi ijh"**
i J)))))i))lri^*''
(ftt^in^A*
4Z
Рис. Ив. Течение за диском начинает тормо-
тормозиться на оси.
Рис. 11г. Застойная область за диском расши-
расширяется.


Рис. Нд. В застойной области возникает медленная цир-
циркуляция.
Рис. lie. Получена по существу уже стационарная картина
течения. Видно, что за диском установилась медленная цир-
циркуляция.


f ¦• fffffH'f'* t fi-ft+
4- 44.44*44
7 ,7 7 7 7 .77 > Т Т * • t • *
* 4.4:tif4444A44 ¦•¦•••<¦
44 4.4 4 4. t'f f 1*?* f* T't't't
> 44-44
к 4. 4- 4 4
4 ¦¦ 4-4
»4 4 4 4
• 4-4. 4 4
4-44
ff t
4 4-4
4. 44
4- 4-4
4-4 4
4 44
• 4- 4- 4
••¦••
4- 4--4
4.4 4-
4-4-4
4 4.4
4-4-4
4-4-4
4-4.4.
t • .
4* 4-4 4
4.4.44
4-4-4-4
4.4.4-4
4- 4-4« 4
4.4.4.4
4-f 4-4
4.4-4-4.
4-4-44
4.4-4- 44.4- 44- 4- 44»4-f.4'4..
Рис. 12а. Показана начальная конфигурация расчетной
сетки, выполненная с помощью электронно-лучевой трубки,
для задачи обтекания совершенным газом плотного (но сжи-
сжимаемого) металлического шара при бесконечном числе Маха.
Шар аппроксимируется как лагранжевой сеткой, так и эйлеровой
сеткой (центральная часть шара). Для аппроксимации области газа вне шара
используется эйлерова сетка.
Рис. 126. Течение газа около шара вскоре после началь-
начального момента.
В начальный момент газ имеет нулевую температуру (и, следова-
следовательно, нулевую скорость звука), скорость газа постоянная и направлена
по оси z. Сжимаемый шар вначале покоится и имеет нулевую темпера-
температуру. Скорости газа обозначены только для каждой второй вертикальной
11шии эйлеровой сетки.


Рис. 12в.
Возникает головная ударная волна и происходит сжатие шара по
мере прохождения по нему ударной волны. Скорости газа обозначены здесь
для каждой второй узловой точки эйлеровой сетки. Можно заметить по-
появление скоростей в эйлеровой области внутри шара.
3=«=
-R
> > }
» » ¦» »
» » » л
II TITTTTlMinJ-
m
Рис. 12г.
а начальной стадии решения задачи образуется небольшой выступ
на передней части сферы. Поскольку течение обладает тейлоровской не-
неустойчивостью, то это возмущение растет со временем. Видно образова-
образование вмятины и выпуклости.


Рис. 12д.
Ударная волна, распространяющаяся внутри шара, проходит более половины пути.
Неустойчивость на передней части сферы становится более заметной.
тшштш
шш^ш^тшш^^
Рис. 12е.
Здесь скорости газа печатались в каждом узле эйлеровой сетки.


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задач 177
I \ I UK??,
Рис. 12ж.
Видно, что возмущения распространились на часть шара, кото-
которая лежит за эйлеровой областью внутри шара. Решение задачи на
этом этапе было прекращено.
(в рассматриваемом случае газ ускоряет более плотную сферу).
Природа этой неустойчивости заключается в том, что любые
возмущения поверхности раздела двух жидкостей увеличи-
увеличиваются со временем с амплитудами более коротковолновых
компонент возмущения, которые растут наиболее быстро.
Вследствие начальных условий задачи в первых двух ла-
гранжевых ячейках, соответствующих передней части сферы,
образуется небольшой выступ. Этот выступ соответствует неко-
некоторой короткой длине волны; далее образуются острая вмятина
и выпуклость.
Проведенный расчет указывает на одну из трудностей, воз-
возникающих в двумерных задачах. А именно, если течение физи-
физически неустойчиво, то любое возмущение поверхности, разде-
разделяющей две жидкости, может быстро нарастать и в итоге сде-
сделать задачу бессмысленной.
Так как в расчетах по методу СЭЛ поток может локально
возмущаться на несколько процентов в неполных граничных
ячейках (см. § 9), то это может привести к осложнениям в за-
задачах, в которых течение может быть неустойчивым. Влияние
таких возмущений в маленьких граничных ячейках можно
уменьшить, используя при расчете процесс «объединения» (см,
12 Зак. 647


178
В. Ф. И ох
§ 9) вместо более грубых вычислений с «подчисткой», а также
путем использования более мелкой эйлеровой сетки по сравне-
сравнению с лагранжевой сеткой. При использовании более мелкой
эйлеровой сетки лагранжева граница «чувствует» проинтегри-
проинтегрированное поле давления и по существу любые возмущения сгла-
сглаживаются. Опыт показывает, что достаточная точность дости-
достигается в случае, когда ячейки эйлеровой сетки, грубо говоря, со-
составляют по площади одну третью часть от ячеек лагранжевой
Р = const Pj
т
Рис. 13а. Показаны области, занятые тремя различными
жидкостями (область I, II и III, IV); для областей II и III
имеют место одинаковые уравнения состояния, но жидкости,
содержащиеся в них, находятся в различных условиях.
сетки. Метод СЭЛ допускает также введение в уравнения чле-
члена, который соответствует искусственному поверхностному на-
натяжению1) и может действовать по выбору на любую эйлерово-
лагранжеву границу раздела. Его влияние приводит к затуха-
затуханию коротковолновых нерегулярностей лагранжевых поверхно-
поверхностей раздела (в случае, когда длины волн равны двум-трем дли-
длинам размера лагранжевой ячейки), но не приводит к затуханию
в случае более длинных волн. Поверхностное натяжение такого
рода не использовалось во втором примере, так же как и эйле-
эйлерова сетка не бралась более мелкой по сравнению с применяв-
применявшейся лагранжевой сеткой (см. рис. 12а).
В третьем примере (рис.- 13а) рассматривается простран-
пространство, занятое тремя различными жидкостями (области I, II, Ш
1) Полезность введения члена искусственного поверхностного натяжения
(в том смысле, как используется искусственная вязкость) впервые заметил и
проиллюстрировал Р. Ле-Левьер для изучения неустойчивых по Тейлору
течений.


s
s.
I
о m
n
s
12*


? 4 W
О) Ю <D
со к2
SI&
si.1


j, *Л\ > > >> ^ЛУ"™*************"*
h
sg
si
г ?
I


Совместный эйлерово-лагранжев метод для нестационарных задан 183
и IV). Предположим, что сначала образуется плоская ударная
волна, вызванная движением поршня вправо (область 1),ичто
при / = 0 для нашей задачи фронт ударной волны только что
достиг штриховой линии, разделяющей области II и III. Здесь
области II и III имеют одно и то же уравнение состояния, но
в Области II газ сжат ударной волной, а в области III газ не
возмущен. Область IV представляет собой тонкий, но плотный
поршень, который может свободно передвигаться, когда его
достигает фронт распространяющейся ударной волны.
Граничные условия для этой задачи состоят в следующем.
На поверхности поршня Z)i поддерживается постоянное давле-
давление, а на свободной поверхности Ь4 давление равно нулю. Ос-
Остальные границы в рассматриваемой задаче являются тверды-
твердыми стенками (заштрихованные области). На этих границах нор-
нормальная к поверхности составляющая скорости равна нулю.
Если мы обозначим через р? начальную плотность области I,
через р? — начальную плотность области II и т. д., то начальные
условия можно записать так:
сР^> п° "> п° <^ п° Р — Р° — Р° Р° — Р° — О
На рис. 136 показаны исходные эйлерова и лагранжева сет-
сетки. Рис. 13в соответствует моменту времени вскоре после ^=0;
видно, что ударная волна начинает распространяться в область
III и что она отражается от твердой стенки в верхней половине
области II.
На рис. 13г можно видеть, как из-за наличия высокого да-
давления за отраженной ударной волной образуется течение около
угла твердой стенки, а также видно, что ударная волна, рас-
распространяющаяся в область III, перестает быть плоской. На
рис. 13д отраженная ударная волна достигла поршня (область
I) и начала его медленно двигать назад.
На рис. 13е отраженная ударная волна выгнула верхнюю
часть области I, и здесь началось расширение влево. Криво-
Криволинейная ударная волна также достигла области IV и распро-
распространяется по верхней половине этой области.
На рис. 13е ударная волна прошла через верхнюю часть об-
области IV и поверхность D4 (см. рис. 13а) стала двигаться в ва-
вакуум. На рис. 13ж—13и представлено дальнейшее течение. Вид-
Видно, что газ, обтекающий угол, достиг оси X и происходит отра-
отражение потока. Возникает ударная волна, которая препятствует
движению вперед нижней половины области I. На этом этапе
решение задачи было прервано,


184 В. Ф. Нол
Благодарности. Автор особенно хочет отметить большую работу В. Кро-
ули, который помогал в начальной стадии разработки метода СЭЛ, а также
разрабатывал вопросы проведения вычислительной работы (многие из них
совершенно новые, как, например, графическое представление полей течения
и т. п.), что было необходимо для превращения схемы расчета в полезный
рабочий метод. Специальной благодарности заслуживает Ш. М. Кэмпбелл
за ее блестящую работу по программированию для этого весьма трудного
метода. Реальное осуществление расчетов по методу СЭЛ обязано, конечно,
ей, и благодаря ясному пониманию всей проблемы она смогла работать пол-
полностью самостоятельно и вносить много полезных предложений. И наконец,
автор благодарит проф. М. Г. Проттера из Калифорнийского университета
в Беркли за его многочисленные полезные советы при подготовке этой статьи.
Литература
1. von Neumann J., Richtmyer R. D., /. Appl. Phys., 21, 232 A950)
(имеется сокращенный русский перевод: сб. Механика, № 1 A951).


Метод расчета «Тензор»
Дж. МАЙНЧЕН, ССАК
Калифорнийский университет, Лоуренсовская
лаборатория радиации, Ливермор, Калифорния
Ь Введение 185
2. Определения и обозначения 187
3. Уравнение количества движения 190
4. Граничные условия . . . 193
5. Объем и скорость деформации 195
6. Пластическая текучесть 199
7. Разрушение 200
8. Демпфирование 204
9. Уравнение энергии и контроль устойчивости 207
10. Примеры 208
Литература 211
/. Введение
Для предсказания явлений, сопровождающих подземный
взрыв, без привлечения простого пересчета масштабов по ре-
результатам, полученным после проведения взрывов, требуется
развить метод расчета движения упругих, пластических и жид-
жидких сред. Такой расчет включает решение системы уравнений
в частных производных, выведенных на основании законов со-
сохранения массы, количества движения и энергии, а также ра-
разумной математической модели, описывающей реакцию рас-
рассматриваемых материалов под действием деформирования1).
Аналитические решения для нетривиальных случаев получить
трудно и часто невозможно. В Лоуренсовской лаборатории ра-
радиации было разработано два метода, при помощи которых чис-
численно интегрируются эти уравнения на быстродействующих
вычислительных машинах. Вычисления были упрощены путем
использования той или иной степени симметрии задачи. Более
ранний метод «Юник» [4] был разработан применительно к опи-
описанию сферически симметричного движения, т. е. одномерного
движения с единственным (радиальным) допустимым направле-
направлением движения.
В настоящей работе описан метод расчета двумерных дви-
движений (метод «Тензор»), который был разработан для изучения
х) В непосредственной близости от очага сильного взрыва задачу можно
упростить за счет г ренебрежения эффектами упругости и пластичности. Рас-
Расчеты взрывов в такой жидкой среде описаны в работе [2].


186
Д ж. М аи н ч е н, С. Сак
so
задач с осевой симметрией (например, задача о кратерах), где
существенны две пространственные координаты.
Уравнения метода «Тензор» описывают движение материала
под действием тензора напряжений (в отличие от обычного ска-
скалярного давления в гидродина-
гидродинамических расчетах). В «Тензоре»
дифференциальные уравнения
движения заменяются системой
конечно-разностных уравнений:
непрерывные пространственные
распределения напряжений, ско-
скоростей и т. д. аппроксимируются
системой величин, определенных
в дискретных местах среды (ячей-
(ячейках). Так как используется метод
Лагранжа, то эти ячейки соот-
соответствуют элементам движущейся
среды и движутся вместе с
ней. Пример такой сетки ячеек
показан на рис. 1. Непрерывные
по времени изменения напряже-
напряжений, скоростей и т. д. также ап-
аппроксимируются величинами, оп-
определенными для дискретных
моментов времени.
Интегрирование уравнений
движения производится путем
последовательного расчета для
малых шагов по времени. В не-
некоторый момент t поле напряже-
напряжений известно, так как известны
напряжения в каждой ячейке и
расположение этих ячеек. Урав-
Уравнение количества движения ис-
используется для вычисления уско-
ускорения в каждом узле расчетной
сетки. Эти ускорения, действую-
действующие в течение малого шага по
времени А/, изменяют предыду-
предыдущие значения скорости, и для
момента t + At находятся новые
значения скоростей и новые положения узлов сетки. Затем ис-
используется обобщенный закон Гука или какое-либо другое ура-
уравнение состояния и вычисляются напряжения в момент t + At.
На этом этапе проявляется различие между упругим, хрупким,
пластичным или жидким материалами вследствие выбора со-
Рис. 1. Задача А для метода
«Тензор».
Скорость звука С = 5 м[мсек\
(р~2г/см*; К = 2ц = 250 кбар.


Метод расчета «Тензор» 187
ответствующего ограничения на тензор напряжений. Определив
новые напряжения в каждой ячейке, мы можем теперь повто-
повторить полный цикл вычислений. В типичной задаче об образо-
образовании кратера на поверхности материала используется сетка,
содержащая примерно 1000 ячеек и 1000 шагов по времени; весь
расчет занимает около 4 час на машине IBM-7090. Здесь сле-
следует отметить, что движение поверхности материала таково, что
искажение ячеек сетки становится существенным и приводит
к неприемлемому уменьшению шага по времени At.
Попыток строгого обоснования расчетных уравнений не
имеется. В некоторых случаях (например, когда задается и ис-
используется в расчетах искусственная вязкость) выбор расчет-
расчетной схемы основывался на интуиции и опыте работы с другими
схемами в сочетании с последующей экспериментальной кор-
коррекцией.-Однако формулировка уравнений количества движе-
движения и энергии (в конечно-разностном виде) в переменных Ла-
гранжа вместе с такими элементами, как весовые множители,
успешно применялась во многих других методах и позволяет
построить очень удобную и «гибкую» расчетную схему. В рам-
рамках этой расчетной схемы можно использовать множество воз-
возможных видов уравнений состояния (моделей среды). В методе
«Тензор» уравнения такого типа используются при расчете на-
напряжений с учетом различных поправок, связанных с пластиче-
пластическим течением и процессом образования трещин. Общий метод
должен был бы учитывать и многие другие эффекты, такие, как
теплопроводность, химические реакции, вызванные прохожде-
прохождением ударных волн, включая детонационные волны, и т. д.
Наконец, следует упомянуть о двух основных ограничениях
на расчетную схему. Рассмотрение устойчивости приводит к тре-
требованию, чтобы используемый при расчете шаг по времени At
был меньше отношения размера счетной ячейки к скорости
звука. Это ограничивает практическое применение расчетной
схемы изучением таких нестационарных явлений, в которых
масштаб времени имеет порядок нескольких времен пробега
звуковой волны через область, занятую рассматриваемой сре-
средой. Второе ограничение состоит в том, что лагранжева ячейка,
будучи деформируемой, не может искажаться беспредельно.
Такая ячейка не может, например, следовать за веществом в
турбулентном потоке (хотя с умеренными искажениями можно
справиться путем «перестройки» ячеек).
2. Определения и обозначения
Широко распространенные формы уравнения движения,
определения скорости деформаций и т. д. обычно выражаются
в элейровых координатах. Конечно-разностные уравнения,


188
Д ж. М айнч е н, С. Сак
использованные в методе «Тензор», записываются в лагранже-
вых координатах. Поэтому производные в переменных Эйлера
должны быть преобразованы к переменным Лагранжа.
Обозначим лагранжевы координаты через k} /, а эйлеровы
координаты следующим образом: R(k,t,t)—радиальная коор-
координата 1) узла сетки, заданного числами k, l в момент /;
Z(k, /, t) —осевая координата.
Для любой функции F можем написать
/с + 7
а-;
и и
в
4 1
А
3 2
С
8
D
9
dF _dF dR . dF dZ
dF
dl
dF dR
dR dl
dF dZ
dZ dl
1-1
l+t
Отсюда находим лагранжево выра-
выражение производных в эйлеровых
координатах
dF _ 1 (dF dZ dF dZ\
dR ~~ J [dk dl dl dk)'
dF _ —1 / dF dR dF dR \
dZ ~ J [dk dl dl dkI
где J—якобиан преобразования
f_ dR dZ dR dZ
J~ dk dl dl dk •
В данном методе лагранжевы переменные k n t принимают
дискретные значения @, 1, 2, ...). Они используются как ин-
индексы, отмечающие узел сетки, в котором определяется какая-
либо переменная величина, например R. Дискретная времен-
временная переменная п используется как верхний индекс
Рис. 2.
Таким образом,R(ky /, t) = Ri,i — радиальная координата узла,
заданного числами k и / в момент времени tn.
Для того чтобы сделать разностную схему менее громозд-
громоздкой, в дальнейшем, где это возможно, используются следующие
сокращенные индексы:
и т. д. (рис. 2).
!) Этот метод можно использовать для расчетов двумерных случаев в де-
декартовых координатах, при этом R следует рассматривать как декартову
координату,


Метод расчета «Тензор» 189
Будем также обозначать
A-k l I l
В — k-\-~ I— —
В узловых точках сетки определяются следующие переменные:
R\ =Rk,i— радиальная координата;
Z1 — осевая координата;
uf}-1^ = JR1—радиальная компонента скорости;
v%-l/2 = Z1 — осевая компонента скорости;
Щ, v* — радиальная и осевая компоненты ускорения;
ь AZ" компоненты смещения.
Остальные переменные определяются для ячеек расчетной сетки:
Ja —Jk-1/2,1-1/2—якобиан, площадь ячейки;
Va — объем ячейки (на радиан);
Ул— начальный (при / = 0) объем ячейки;
bVnA = VnA-V°A;
МА — масса ячейки;
pj — плотность;
Еа—внутренняя энергия на единицу начального
объема;
Ра — давление;
(т^)д—компоненты девиатора тензора напряжений
(/ = /?, Z, RZ);
Q^~1/2 — скалярная форма искусственной вязкости;
1/2 — компоненты девиатора тензора искусствен-
искусственной вязкости {i = R} Z, RZ)\
^ л1/2 — дополнительные демпфирующие члены;
1А — обозначение для материала в ячейке А;
Фд — угол ориентации трещины;
{EifA — ширина трещины разрушения (/=1, 2, 3).
Верхний индекс, обозначающий время, часто будет опускаться.


190 Дж. Майнчен, С. Сак
3. Уравнение количества движения
В задачах с осевой симметрией / (т. е. когда все производ-
производные по азимутальной координате Э равны нулю) 1) тензор на*
пряжений имеет только четыре ненулевых элемента
= ( 0 тее
0
Здесь тдд — растягивающая сила, действующая в направлении
R на элемент единичной площади, ориентированный перпенди-
перпендикулярно направлению R [5]. Касательное напряжение xRz пред-
представляет собой силу в направлении R, действующую на элемент,
расположенный перпендикулярно оси Z (согласно симметрии
)
Чтобы облегчить расчет пластически деформируемой среды,
напряжения представляются в виде суммы изотропной и де-
виаторной частей [3], ибо условие пластичности накладывает
ограничения только на эффективные касательные напряжения,
а не на среднее давление, т. е.
:r 0 xRZ \
О те 0 ),
rz 0 xz I
где
— р
0
0
0
—р
0
0
0
р
Введенные обозначения, обычные в расчетах пластических
течений, противоречивы в смысле знаков; величина Р положи-
положительна для сжатого материала, тогда как %ц и тг- положительны
при растяжении.
В этих переменных уравнение количества движения запи-
запишется так:
1) В случае декартовых координат 0 — третья (симметричная) координата.


Метод расчета «Тензор» 191
Последние члены в этих формулах представляют собой массо-
массовую силу и используются для учета силы тяжести (обычно сетка
ориентируется так, чтобы Gz=g или Gz = —g, GR = 0). Для
предотвращения возникновения колебаний оказалось необходи-
необходимым ввести некоторое демпфирование, аналогичное искусствен-
искусственной вязкости, впервые предложенной для численного расчета
гидродинамических течений со скачками фон Нейманом и Рихт-
майером [6]. В рассматриваемом случае вязкость такого типа
обобщается путем введения тензора и разделяется на изотроп-
изотропную и девиаторную части. Таким образом, величина Р заменяет-
заменяется на P + Q, xr — на rR + QR и т. д.
Теперь нужно выразить ускорение в узле k, l лагранжевой
сетки через напряжения в соседних четырех ячейках. Изменения,
которые следует ввести на краях лагранжевой сетки, будут рас-
рассмотрены отдельно. Заметим, что в формулы для ускорения вхо-
входят как члены с производными (которые определяются на гра-
границах ячеек), так и члены без производных, которые определены
в ячейках.
Рассмотрим сначала члены без производных1). Определим
средний радиус в ячейке как JRa = VaIJa, такчто l/pR=VJ/MV~
= J/M. Таким образом, вклад членов без производных в уско-
ускорение ячейки равен
Члены, содержащие производные, вычисляются отдельно для
каждой границы между соседними ячейками. Рассмотрим гра-
границу между ячейками С и D. Здесь мы имеем только производ-
производные по k от напряжений, так что радиальное ускорение, обусло-
обусловленное градиентами поперек этой границы (от k, l до k,l+\),
выражается следующим образом (для границы 81):
Здесь необходимо сделать выбор среди различных возможных
способов введения конечных разностей. Так как напряжения
определены внутри ячеек, то мы будем использовать простейший
вид
VOR W ., 1/2
\ ОЛ-1/2,
J/?, /+1/2
*) Эти члены соответствуют ускорениям, вызываемым напряжениями, обу-
обусловленными криволинейностыо. Они равны нулю в случае декартовых коор-
координат.


192 ДжМайнчен, С. Сак
что сокращенно будем обозначать как Sc-d- Здесь через 5 обо-
обозначено напряжение. Для записи в конечных разностях произ-
производных от координат сначала было использовано простейшее
соотношение
Хотя это представление и приемлемо для сетки с прямоуголь-
прямоугольными ячейками, но для сеток, имеющих трапециевидные ячейки,
оно приводит к ошибкам, потому что вели-
величина A/7) (dZ/dl) по существу эквивалентна
обратной величине эффективного расстояния
между центрами ячеек A/AR). Таким обра-
образом, это простое представление конечной раз-
разности для координаты приводит к сколь угод-
0 6+/ но малым ускорениям, когда общая граница
Рис. 3. между зонами становится исчезающе малой
(рис. 3).
В соответствии с этим будем использовать следующие сред-
средние конечно-разностные представления для координат (здесь
через х обозначено R или Z):
хол=(*?\ ==l[2(xs —
Для произведения плотности на площадь используем простое
среднее
Используя введенные средние разности, получаем
^ — tR — Qr)c-d Zn 4- (*** + Qrz)c-d ^8i
~ Xz ~ Qz)c~D ^81 + {Xrz + Q™)c- \
«6! = -Щ^ [{P+Q-iR- Qr)c-D
Q - tz - Qz)c-D ^6i 4- (тЛ2 4- Qrz)c-
Последний «9-член» соответствует дополнительному демпфиро-
демпфированию и будет описан позднее. Аналогичные выражения можно
было бы написать для сторон 12 и 14. Однако эти выражения


Метод расчета «Тензор» 193
нет необходимости выписывать явно, так как соответствующие
им величины можно найти из расчета предыдущих узлов (а
именно Ли предварительно можно вычислить так же, как u8i для
узла k, I—1, a ui2 можно вычислить так же, как u6i для узла
fe-U).
Полученные формулы теперь следует
скомбинировать, чтобы найти ускорение
в точке к, I. Будем использовать такие
взвешенные средние, для которых наи-
больший вес соответствует наименьшим
(
ячейкам (так как их центры ближе кточ- Рис. 4.
ке k, l). Таким образом, в случае, подоб-
подобном приведенному на рис. 4, наибольший вес соответствует u8i,
а наименьший вес соответствует йи. Весовые множители опре-
определим формулами
= ( + + (?8l)
81 (#
61 (#
где Л61 и т. д. — средние разности для координат, введенные
ранее. Теперь будем использовать WSi как вес для им и A—Wsi)
как вес для usi. Те же весовые множители будем использовать
для членов, не содержащих производных; так, например,
l^8i^6i будет весом ячейки Л, A—W%i) (W6i)—весом ячейки D
и т. д. Комбинируя все члены, находим, наконец, ускорение
в узле k, I:
к, i = ^61 ^8i К — «* + "с — "d) + w*\ (^н — «si + ив — «с) +
+ ^61 («12 — «61 + «D — «с) 4 «81 4- «61 + «С + G/?
и аналогичное выражение для й&, /. В этих формулах все вели-
величины (напряжение, координаты, объемы и т. д.) берутся для
шага по времени п (хотя члены, соответствующие Q, берутся
при п—1/2). Следовательно, и соответствует шагу /г.
Наконец получаем приращения для скоростей и координат
по следующим формулам:
ць+ъ/2 = и"~}/2-\- (Д^)Л «л (формула для v аналогична),
Rfc+i = 7$ + (Д^)л+1/2 ^л+1/2 (формула для Z аналогична).
4. Граничные условия
Уравнения движения, описанные выше, соотвествуют вну*
тренней точке лагранжевой сетки. На границах сетки некоторые
13 Зак. 647


194
Дж. М айнчен, С. Сак
(В)
(А)
из написанных формул (для р/, й и др.) должны быть изменены.
На каждой из четырех границ (& = 0, k = kmSa, / = 0, / = /тах) мо-
может иметь место одно из двух возможных граничных условий, а
именно условия на твердой (гладкой) стенке или на свободной
поверхности.
На твердой стенке среда может скользить вдоль поверхности
стенки, но не может двигаться перпендикулярно к этой поверх-
поверхности. Граничное условие для твердой
стенки используется на оси симметрии
(R = 0) в задачах, обладающих осевой
симметрией. Влияние гладкой стенки эк-
эквивалентно влиянию отраженной вообра-
воображаемой ячейки за стенкой, где смещение
среды в воображаемой ячейке является
зеркальным отображением смещения в
реальной ячейке (рис. 5). Рассмотрим си-
систему осей t, /, расположенных парал-
параллельно и перпендикулярно к стенке, то-
тогда компоненты «нормальных» напряже-
напряжений %ц и Xjj будут отражаться симмет-
симметрично, а касательная компонента хц —
антисимметрично. Для того чтобы найти
значение единственного градиентного члена у стенки, необхо-
необходимо знать разность х.. — х\. = 2т^? где
Xij= (sin р cos Р) (xz—xr) + (sin 2 р—cos 2 P)tj?z.
Аналогичное соотношение имеет место для тензора демпфирова-
демпфирования Q.
Формула для части ускорения на стенке, обусловленной нор-
нормальным градиентом касательного напряжения, выводится сле-
следующим образом. Обозначим
от/
/7
Ь'-О
I = /
Рис. 5.
+ (cos2 p - sin2 p) (xRZ + QRZ)],
где все величины, определенные в ячейках (М, V, J, xR и т. д.),
относятся к реальной ячейке, а через р обозначен угол между
твердой стенкой и осью. Тогда получим
#R1 =J
где «реальной ячейкой» является ячейка С. Аналогичные фор-
формулы будут иметь место при / = /тах и k = km8iX. Эти компоненты
ускорения следует скомбинировать с членами, соответствующими
ускорениям во внутренних точках, а результирующий вектор
ускорения спроектируется на твердую стенку. При / = 0, напри-


Метод расчета «Тензор» 195
мер, U81, йс ud вычисляются, как для любой внутренней точки
сетки, тогда как u6i и величина ui2 находятся с помощью приве-
приведенных выше формул для твердой стенки. Так как величина ui4
(которая соответствует точке за стенкой) не учитывается, то
суммарное ускорение вычисляется при W&u положенном равным
нулю. Остается единственная компонента ускорения, параллель-
параллельная твердой стенке. Таким образом, имеем
Дv = (it sin p -f v cos p) Ып,
an + \J2 = ип-1/2 + (Д V) sin pf
vn+m _ vn-i/2_j_ (дv) cos р#
Для свободной поверхности вычисления проводятся так, как
если бы за границей имелась воображаемая ячейка, не обла-
обладающая массой. Если это необходимо, то можно учитывать в
этой воображаемой ячейке зависящее от времени давление. Все
другие составляющие напряжения равны нулю, так что вообра-
воображаемая ячейка не влияет на члены ускорения, не содержащие
производных (например, на). Ускорение вычисляется так же,
как для внутренней точки сетки, за исключением того, что изме-
изменяется один из весовых множителей. При / = 0, например, WS\
полагается равным нулю, так как не может быть ускорения,
обусловленного градиентами через поверхность раздела двух
воображаемых ячеек.
5. Объем и скорость деформации
В предыдущих разделах рассматривался расчет движения
среды под действием заданного поля напряжений. Теперь мы
должны найти, как это движение в
свою очередь влияет на напряжения.
Так как мы допускаем пластические
деформации, то соотношения между
напряжением и деформацией будут ис-
использоваться в форме приращений.
Это обусловлено тем, что невозможно 1-1 I
дать определения, имеющего смысл аб-
абсолютных деформаций (через коорди-
координаты в момент / = 0) в среде, которая в предыдущие моменты
времени вела себя неупруго.
Объем (на радиан) 1) ячейки k—1/2, /—1/2 равен (рис. 6)
х) Приведенные выражения весьма просто видоизменить в случае декар-
декартовых координат.
13*


196
Д ж. М айнче н, С. Сак
Вычисление по этой формуле проводится явно только в начале
решения задачи (используются R и Z при /=0). После этого мы
вычисляем изменение объема (и изменение деформации) от
цикла шага по времени п к циклу д+1 при помощи центриро-
центрированных по времени координат при я+1/2,
аналогично для Z.
Пусть
X
Y
123
(Х1-Х2)(Х1-Х3)
и пусть аналогичные формулы имеют место для треуголь-
треугольника 134. (Здесь X, Y могут быть равны /?, Z, и или v.) Тогда
(^12з)
R
Z
123
+ (#134)
R
Z
134
а изменение объема от цикла п к циклу /г+1 таково:
д,в+1/2
6
(«го)
+ (#134)
и
Z
134
R
Z
123
+<
+ (/
?12з)
«134)
R
123
R
Z
134
+ (#134)
/?ш)
R
V
134
а
Z
123
+
и
V
123
434
134
Если bVn = Vn-V\ то 61/л+1 = 61/<| + Д1/я+1/2> а сжатие (т1)л+1
определяется следующей формулой:
\л+1
В рассматриваемом методе каждая ячейка снабжена знач-
значком, который указывает тип среды, содержащейся в ячейке, и,
следовательно, как должны рассчитываться напряжения. Про-
Простейшим случаем является гидродинамический. В этом случае
весь расчет скоростей деформаций опускается. Элементы девиа-
тора напряжений тг- равны нулю, а давление вычисляется по
простой аналитической зависимости
P=A(i\)+B(i\)E.


Метод расчета «Тензор»
197
Во всех других случаях (упругой, пластичной, разрушенной сре-
среды) сначала вычисляют, какие изменения в напряжениях произо-
произошли бы для идеально упругого материала в соответствии с
деформациями, которые имели место в предыдущем цикле At.
Результирующие напряжения затем могут быть изменены так,
чтобы учесть различного рода неупругие процессы (пластическое
течение или разрушение).
Для расчета скоростей деформаций будут нужны следую-
следующие формулы:
к к
R
да
dR
да
dv
dZ
dv
2/
J_
2/
i
R
z
123
Г
L
a
Z
123
l
R
Z
134
и
Z
134
—
1
2/
V
123
R
V
134
Скорости деформаций определим следующим образом:
ди
dv
dv
), ^e
где в—скорость дилатации (объемного расширения). Если
выразить скорости деформаций в девиаторной форме
*r = eRR—1-6= з" B Ж~Ш~i) •
то закон Гука запишется в следующем виде:
?, Z,
( )
где & — модуль объемного сжатия, \х — модуль жесткости (мо-
(модуль сдвига).


198 Дж. Майнчен, С. Сак
При расчете на вычислительной машине эти уравнения для
Р и %{ слегка изменяются. Соотношение между давлением и сжа-
сжатием берется в виде Р = Р(ц—1). Эта зависимость может быть
линейной, что соответствует постоянному модулю объемного
сжатия или, если это окажется необходимо, может учитывать
переменную сжимаемость.
Выражения для х{ видоизменяются путем включения малых
корректирующих членов, учитывающих поворот элемента среды
R как твердой частицы. Если в течение пре-
Яп к дыдущего шага по времени ячейка по-
вернулась на малый угол (рис. 7)
N
\
\
\
\
>z
п Дф = Д^го1и = ДЛз^-—
то напряжения повернулись вместе со
й Д
р ру
средой. Для получения компонент на-
напряжения в фиксированной системе коор-
координат R, Z следует найти компоненты
вдоль R, Z этого слегка повернутого тензора напряжений. Сде-
Сделав поворот на угол —Дф, получим
xRR = xnRR cos2 Аф + xnzz sin2 Аф + 2xnRZ sin Дф cos Дф,
tzz = xnRR sin2 Дф + xnzz cos2 Дф — 2xnRZ sin Дф cos Дф,
xRZ = (xzz — tj^) sin Дф cos Дф+xnRZ (cos2 Дф — sin2 Дф),
Это приводит к следующим изменениям элементов девиатора
напряжений:
ДГ0Ч^ = (tz — т") sin2 Дф + 2xnRZ sin Дф cos Дф,
ДГ°Чг = (Tz — xr) sin ДФ cos ДФ - 2t*z sin2 ЛФ-
Здесь ДГ0Ч — поправка, равная т*—тп(т* — исправленное зна-
значение т). Предполагается, что для малых Д/ этот поворот не за-
зависит от тех искажений, которые вызываются изменением дефор-
деформаций за время At. Таким образом, изменения напряжений на
расчетной сетке можно представить как сумму изменений, об-
обусловленных деформациями формоизменения, и изменений,
обусловленных поворотом,
x?+1 = т? + 2м (Л/)"+1/2 ёГ112 + ЛгоЧь i = R, Z, RZ.
Эти величины вместе с вычисленным давлением определяют на-
напряжения в момент tn+\ если деформация была идеально упру-


Метод расчета «Тензор» 199
гой. Если, однако, сопротивление среды сдвигу или растяжению
было превзойдено, то тензор напряжений должен быть соответ-
соответственно видоизменен. В следующих двух параграфах обсу-
обсуждаются способы проверки и видоизменения напряжений,
используемые в рассматриваемом методе и предназначенные для
описания такого рода неупругого поведения материалов.
6. Пластическая текучесть
*
Пластическая текучесть характеризует неспособность реаль-
реальных материалов выдерживать произвольно большие касательные
напряжения. В расчетной схе-
схеме такое неупругое поведение
среды можно учесть путем
пробной проверки и подходя-
подходящей модификации напряжений
на каждом шаге по времени.
Хотя в литературе имеется не-
сколько критериев текучести,
различие между ними обычно Рис. 8.
много меньше, чем неопреде-
неопределенности в используемых постоянных для материала. Простой
и удобной формой является обобщенная форма критерия теку-
текучести Мизеса
Здесь /2 — инвариант девиатора напряжений
а величина К соответствует сопротивлению сдвигу, которое
можно сделать функцией давления, а также работы, совершен-
совершенной над материалом в течение предшествующей пластической
деформации (упрочнение). Если f<0, то материал ведет себя
упруго, но если f>0, то превзойден предел сопротивления сдвигу
и напряжения должны быть видоизменены так, чтобы сделать /
равным нулю (рис. 8).
Случай f = 0 соответствует поверхности, определяющей в про-
пространстве напряжений пределы текучести. Используемый способ
корректировки напряжений (закон текучести) перемещает точку,
соответствующую напряженному состоянию, назад к поверхности
вдоль нормали к ней. Таким образом, если на предыдущем шаге
напряжения изменились от %п (обозначено точкой А на рис. 8)
До значения тп+1 (некорректированного), соответствующего
точке В, то скорректированное напряжение для хп+г будет
соответствовать точке С. В терминах некорректированного


200 Дж. Майнчен, С. Сак
напряжения т и /2 это правило приводит к соотношениям
т; = )/-^-т., / = /?, Z, RZ,
где т*—скорректированные (приведенные) напряжения. «Пла-
«Пластическая деформация» есть разность между полной деформа-
деформацией, которая возникает под влиянием «избыточного» напряже-
напряжения в точке В, и деформацией, которая возникла бы под дей-
действием приведенного напряжения, соответствующего точке С.
Работа, совершенная на этих пластических деформациях, рав-
равна предельному напряжению, умноженному на пластическую
деформацию. Она увеличивается от цикла к циклу в соответ-
соответствии с соотношением
Япласт — ^пласт"f —
Так как сдвиговое разрушение может изменить свойства мате-
материала, то в численном методе предусмотрена возможность пере-
переобозначения материала ячейки в момент, когда в ней впервые
возникает текучесть.-Таким образом, можно построить грубую
модель хрупкого, но первоначально прочного материала, припи-
приписывая ему очень большую постоянную К, но требуя изменения
его свойств, когда впервые возникает текучесть. Образующийся
новый материал может иметь свойства раздробленной горной
породы, например, сопротивление сдвигу просто пропорцио-
пропорционально давлению и отсутствует сопротивление растяжению.
Можно сделать очевидные обобщения условий текучести;
величину К можно считать функцией давления (обобщенное ус-
условие пластичности Мизеса — Кулона), величины ?Пласт (один
из законов упрочнения), внутренней энергии Е (тепловой эф-
эффект) или скорости деформации. Условия текучести могут нала-
налагаться на «упругие» напряжения или на вязкие напряжения, а
также на те и другие вместе. Условие Треска ткасат<^С можно
учесть путем того же самого метода умножения девиаторных
напряжений на некоторые величины, переводящего систему при-
приведенных напряжений в состояние, соответствующее поверхно-
поверхности текучести. Следует заметить, что такая трактовка текучести
допускает свободное перемещение напряженного состояния по
поверхности текучести, т. е. главные оси напряжения и деформа-
деформации могут свободно изменяться с течением времени.
7. Разрушение
Когда растягивающее напряжение в некотором элементе
материала превышает сопротивление материала растяжению,
образуется трещина, перпендикулярная направлению этого на-
напряжения. Это направление, вообще говоря, не будет парал-
параллельно какой-нибудь из координатных осей /?, Z, используемых


Метод расчета «Тензор» 201
в данном методе. Можно показать, что для любой локальной
системы напряжений существует такая система координат, в ко-
которой тензор напряжений приводится к диагональному виду.
Элементы этого преобразованного тензора соответствуют наи-
наибольшему (и наименьшему) нормальному напряжению, испыты-
испытываемому материалом. Это и есть то наибольшее напряжение, ко-
которое вызовет образование первой трещины, причем ориентация
преобразованной системы координат будет соответствовать на-
направлению трещины. В рассматривае- р
мом методе поведение разрушенного
трещиной материала имитируется пу- 2
тем приведения напряжений в ячейке ^
к такому состоянию, чтобы отсутство- \
вали нормальные напряжения поперек \
трещины. \
Следовательно, в то время как ла- \
гранжева ячейка, соответствующая \
разрушенному материалу, в действи-
действительности не делится на несколько ку- рис g
сков, напряжения в ячейке приводятся
к значениям, соответствующим материалу, разрушенному таким
образом. В методе также вычисляется изменение деформации,
связанное с указанным приведением. Это изменение деформации
пропорцинально ширине трещины. Таким способом можно сле-
следить за изменением ширины трещины и продолжать приведение
тензора напряжений к состоянию с нормальной к трещине со-
составляющей, равной нулю до тех пор, пока трещина снова не
сомкнётся в более позднее время.
Преобразование тензора напряжений при переходе от при-
принятой системы координат 9, /?, Z к повернутой системе коорди-
координат /, 2, 3 (ось / параллельна оси 6 (рис. 9)) дается равен-
равенствами
Тш =3 — Р + 1r cos2 ф ¦+ xz sin2 ф — 2xRZ sin ф cos ф,
Г33 = — Р+1r sin2 Ф + xz cos2 ф -f- 2xRZ sin ф cos ф,
Г23 = (тд — %z) sin ф cos ф + xRZ (cos2 ф — sin2 ф).
Здесь ф — угол между осью 3 и осью Z, Tij — элементы полного
(а не девиаторного) тензора напряжений. Если выбрать ф так,
чтобы было 712з = 0, то получим
7**3
Xf


202 Дж. Майнчен, С. Сак
Эти («главные») напряжения являются наибольшим и наимень-
наименьшим напряжениями в материале, а соответствующая им специ-
специальная система координат называется главной системой коорди-
координат. При численном подходе к вопросам разрушения главные
напряжения (в неразрушенном материале) сравниваются с со-
сопротивлением материала растяжению. Если один из них превы-
превышает предельное растягивающее напряжение, следует изменить
величины Я, тд, xz и xRZ таким образом, чтобы эти приведенные
величины соответствовали напряжениям в разрушенном мате-
материале. Выбор характера этого приведения основан на следую-
следующих предположениях:
а) Главные напряжения могут быть связаны с системой
главных деформаций посредством постоянных Ляме
ih где в = ?
Таким образом, предполагается, что связь между напряжениями
и деформациями линейна в области, граничащей с разрушенным
материалом.
б) Мы пренебрегаем возможностью заполнения трещин га-
газом, поэтому требуем, чтобы напряжения, нормальные к поверх-
поверхности трещины, были равны нулю.
в) Предполагаем, что при внезапном раскрытии трещины
(или растяжении, сужении старой трещины) возникающее дви-
движение среды происходит нормально к поверхности трещины.
Если, например, главное напряжение Г3з превзошло сопротивле-
сопротивление растяжению, то главная деформация ?3з должна быть скор-
скорректирована, т. е. приведена к виду ?"зз + Л?зз, а другие главные
деформации оставлены неизменными. Приведенные главные на*
пряжения тогда будут такими:
rr\t rp
1 22= 1
f
где
33
г) Предполагаем, что трещина поворачивается вместе с ма-
материалом (величина поворота элемента как твердого тела за
цикл равна Аф) и что при образовании щели или ее расширении
не происходит поворота главных осей координат. Теперь, сделав
поворот на угол —ф, можно преобразовать приведенный тензор
G"п, Т'<п, Гзз) обратно к системе координат R, Z. Так как Ггз


Метод расчета «Тензор» 203
равен нулю, то имеем
x'R = Pf + Т'п cos2 ф + Г33 sin
Г22
'z = />' + Г22 sin2 Ф + Г33 cos2 <
Величина поправки (Л?зз) является мерой изменения шири-
ширины трещины в течение цикла (т. е. шага по времени). Расчетная
схема следует за системой переменных (Еи ?2, Ез), которые
соответствуют суммам таких поправочных величин по предыду-
предыдущим циклам. Поэтому на каждом последующем цикле можно
узнать, есть ли старая трещина типа 3, путем проверки условия
Е3ф0. Если оказывается, что ?з<0, тогда Т33 должно быть
скорректировано и приведено к нулю, а новая величина Е3 будет
равна ?3старое+Л?зз. Если же окажется, что ?3 положительна,
то это говорит о том, что трещина захлопнулась и должна быть
сделана корректировка по формуле АЕ33=—?«аР°е ^^ этом
Г3з не становится равным нулю). Конечно, возможно, что две
взаимно перпендикулярные трещины могут возникнуть одно-
одновременно в одном и том же элементе среды. Поэтому, осуществ-
осуществляя приведение, описанное выше, нужно получающиеся (приве-
(приведенные) главные напряжения сравнить с пределом прочности на
растяжение. Если образовалась вторая трещина, то процесс при-
приведения напряжений по существу остается таким же, как и
прежде. Например, если обе величины Ei и Е2 отрицательны,
следует привести Гц и Г22 к нулю по формулам
где
\F _ №22 — {к+2\к)Ти
а затем, как и прежде, преобразовать формулы обратно к коор-
координатам R, Z. После этого приведения оставшееся ненулевое
главное напряжение проверяется на разрушение. Если обра-
образуется третья трещина, то все элементы тензора напряжения
должны обратиться в нуль (физически это соответствует чему-то
похожему на несжатый гравий). Когда это случается, то все
компоненты тензора (Р,Тг) и ширина трещин Е{ полагаются
равными нулю и производится переобозначение материала
ячейки. В последующих циклах материал описывается анало-
аналогично «песку» (нулевая прочность на растяжение и пропорцио*


204 Дж. Майнчен, С. С а к
нальная давлению прочность на сдвиг). В этой модели разруше-
разрушения возникает одна потенциальная ошибка, связанная с тем, что
в расчетной схеме не учитывается анизотропия, вызванная нали-
наличием ранее возникших трещин. Когда трещины захлопываются,
считается, что прочность на растяжение не меняется (т. е. пред-
предполагается, что захлопнувшаяся трещина «залечивается»). При
расчетах подземного взрыва этот вопрос не так важен, потому
что горные породы для больших масштабов, фигурирующих в
явлении, имеют почти нулевую прочность на растяжение (т. е.
мы полагаем, что имеется много случайных, ранее существовав-
существовавших, сомкнутых трещин). Можно, однако, переобозначить ячей-
ячейку, когда в ней впервые возникает трещина, и впоследствии рас-
рассматривать ее как материал с нулевой прочностью, как при
описании хрупкого скалывающего разрушения, рассмотренного
в предыдущем параграфе.
Нужно отметить одно обстоятельство, связанное с расчетом
нормального давления. Когда давление рассчитывается как
функция от степени сжатия, то имеется в виду сжатие вещества
рассматриваемой среды. Это — сжатие лагранжевой ячейки,
исправленное с учетом размеров раскрытых трещин, которые
могут существовать в рассматриваемой ячейке. Поэтому давле-
давление вычисляется по формуле
где
(ц—1)эфф= (Л—1) ячейки—El—?2—Е3.
8. Демпфирование
Для демпфирования лишних колебаний используется искус-
искусственная вязкость, аналогичная искусственной вязкости, введен-
введенной впервые фон Нейманом и Рихтмайером [6] для расчета
гидродинамических ударных волн путем замены скачка давления
в ударной волне быстрым, но непрерывным изменением. В ги-
гидродинамике демпфирующий член, соответствующий искусствен-
искусственной вязкости, берется в виде
<7=Лр(Д«J,
где Аи — разность скоростей на границах ячейки, А — безраз-
безразмерная постоянная, равная примерно 1/2. Эта форма вязкости,
являясь удовлетворительной для сильных ударных волн в совер-
совершенном газе, дает недостаточно хорошее демпфирование звуко-
звуковых сигналов в упругих твердых телах (если только постоянная
А не выбирается очень большой). Эффективное демпфирование
в звуковой области получается в том случае, когда используют-
используются вязкие члены, линейные по отношению к разности скоростей,
вместо квадратичного соотношения, указанного выше.


Метод расчета «Тензор»
205
Квадратичная вязкость q размазывает разрыв давления и
скорости на ударном фронте на ограниченное число ячеек (как
правило, на три), и это число остается постоянным по мере про-
прохождения волны через сетку. Использование же линейных вяз-
вязких членов, к несчастью, приводит к неограниченному размазы-
размазыванию первоначально резкого сигнала. Этот эффект, вероятно,
вызывал бы трудности при расчетах, связанных с распростране-
распространением очень резких волновых фронтов через очень большое число
ячеек. Однако в большинстве проведенных расчетов это обстоя-
обстоятельство не представляло серьезной проблемы. Сигнал диффун-
диффундировал очень медленно, и волны напряжения сохраняли свою
форму достаточно хорошо.
Подобно тензору напряжений, демпфирующие члены выра-
выражаются как сумма скалярного члена Q и тензора-девиатора
с элементами QRi Qz, Qrz- В расчетах можно использовать не-
несколько видов Q, хотя не все они могут
использоваться одновременно. Скалярная
часть вычисляется так:
где
-.
/ А
Рис. 10.
Здесь Qi — обычная (квадратичная) вязкость Неймана, Q2 —
линейная форма типа Qu которая эффективна только при низких
скоростях, Q3 — объемная вязкость, которая вместе с девиатор-
ными членами Q2- соответствует тензору напряжений в вязком
потоке, Си С2, С3 — безразмерные постоянные (^1/2), С — ско-
скорость звука, р — плотность, АХ — минимальный поперечный раз-
размер ячейки, V—объем ячейки, AU — средняя разность скоро-
скоростей в ячейке, вычисляемая только тогда, когда ячейка сжи-
сжимается; она полагается равной нулю, когда ячейка расширяется.
Члены тензора-девиатора имеют вид
Qi = C4Cp№, *=/?, Z, RZ,
где ёг — три девиаторные скорости деформаций, о которых шла
речь раньше.
Тензор искусственной вязкости гасит эффективно только те
колебания скоростей, которые приводили бы к изменениям на-
напряжения. Однако при некоторых расчетах встречаются распре-
распределения скоростей вида, указанного на рис. 10. Показанные
скорости являются отклонениями от ожидаемого гладкого поля


206
Д ж. М айнчен, С. Сак
скоростей. Эта картина была впервые замечена при расчете за-
задачи о распространении сферической упругой волны, когда
использовалась прямоугольная сетка. Та же самая картина, но
с более мелкими амплитудами, обнаружилась в случае, когда
среда рассматривалась как жидкость. Характерно, что этот ско-
скоростной «шум» имеет равные скорости в противоположных
углах ячеек (ui = u3 и u2 = ti±) и не гасится при использовании
\
\
4
в»
1
1
1
Рис. 11.
зависящего от скоростей деформаций тензора Q, описанного вы-
выше1). Эти возмущения, однако, легко гасятся Q-членом, завися-
зависящим от относительной скорости поворота противоположных сто-
сторон ячейки.
Скорость поворота стороны ячейки (например, 1, 4 рис. 11)
дается выражением
0*1 — и4) (Zx — Z4) — (vx — vA) (Rx — t
Пусть
Qt = - (C5Cp AJf) % = (C5Cp AX) @43 - co12),
причем знаки выбираются так, чтобы Q действовало как поло-
положительное давление, если смотреть от точки 3, и как растяже-
растяжение, если смотреть от противоположного угла ячейки. Возни-
Возникающие ускорения (обозначенные «^-членами» в § 3) записы-
*) Скорости деформаций, вычисляемые в каждой ячейке, можно опреде-
определить полностью через скорости изменений скалярного и векторного произве-
произведений векторов, соединяющих диагонально противоположные углы ячеек.
Скоростной шум, который здесь рассматривается, соответствует относитель-
относительному перемещению этих диагональных векторов и поэтому не порождает
скоростей деформаций,


Метод расчета «Тензор» 207
ваются так:
Если смотреть с другого конца ребра ячейки, то знаки
меняются на обратные, так что
и т. д.
9. У равнение энергии и контроль устойчивости
Изменение внутренней энергии каждой ячейки вычисляется
в течение каждого цикла. Для упруго-пластического материала,
когда напряжения не зависят от внутренней энергии, эти вычис-
вычисления не обязательны. Однако сохранение полной энергии за-
задачи в целом дает полезное указание на то, что численный ме-
метод работает нужным образом.
В упруго-пластическом материале внутренняя энергия (на
единицу первоначального объема) возрастает от цикла к циклу
в соответствии с формулой
где центрированные по времени компоненты напряжения содер-
содержат тензор демпфирования, а именно
^* = T(t? + t*bl) ±Qr+V2 и т- л-
Здесь величины Дед, Aez, AeRZ — изменения деформаций на по-
последнем цикле, ЛУ — изменение объема ячейки. Работа сил Qk
и Qi (которые были введены в предыдущем параграфе) не
учитывается.
В жидкой среде тензор-девиатор равен нулю, а давление вы-
вычисляется по простой полиномиальной формуле
/>
где


208 Дж. Майнчен, С. С а к
а сжатие ячейки вычисляется по формуле
Внутренняя энергия Еп+1 =En — P AVn+1/2IV° выражается через
рп и цп+i следующим образом:
Для того чтобы быть уверенным в устойчивости конечно-раз-
конечно-разностных уравнений, следует ограничить величину шага по вре-
времени At. В случае жидкости без искусственной вязкости можно
показать, что возмущения не будут ни расти, ни убывать, если
At<AL/C,
где AL — ширина ячейки, а С — скорость звука (т. е. At должно
быть меньше времени, которое требуется звуковому сигналу для
прохождения ячейки). Наличие демпфирующих членов приводит
к несколько более строгому условию устойчивости. Мы не про-
проводили анализа условия устойчивости в рассматриваемом случае
наличия тензорных сил и таких усложняющих явлений, как раз-
разрушение и пластическое течение. Удовлетворительная устойчи-
устойчивость наблюдается в случае, когда At ограничивается величиной,
вдвое меньшей вышеуказанной.
В упруго-пластическом материале используется продольная
скорость звука
l
В ячейке, содержащей жидкость, имеем
Г2_ 1 г&Л(т1-1) , FdB(r)-l) PB(r\—iy-\
и — р° L а<т| —1) "^ д(т| —1)  л* Г
Для каждой ячейки вычисляется максимально допустимый шаг
по времени
М = К0^- (Ко «4).
а затем наименьшее значение принимается за At для всей сетки
в течение следующего цикла.
10. Примеры
Для иллюстрации возможностей и пределов применимости
метода в этом параграфе даны два примера расчетов. Это одно-
одномерные проверочные задачи, допускающие сравнение с анали-
аналитическими решениями.


Метод расчета «Тензор»
209
А. Сферическая упругая волна
В качестве первого примера мы рассмотрим задачу о волне
напряжения, порождаемой в бесконечной упругой среде под
действием экспоненциально убывающего давления в сфериче-
сферической каверне. Аналитическое решение этой задачи было дано
Блэйком [1]. Было проведено несколько расчетов по методу
«Тензор» с применением различных размеров ячеек разных
констант демпфирования и т. д., а затем производилось срав-
сравнение с решением Блэйка.
Расчетная сетка для одной из этих задач показана на рис. 1.
Сферическая поверхность аппроксимируется «многогранником
t, мсек
Рис. 12. Скорость внутренней
поверхности и и смещение Д#.
задача А (размер ячейки 50 см);
задача А — 1 (размер ячейки 25 см);
ф аналитическое решение.
Рис. 13. Распределение по ра-
радиусу скоростей и смещений при
t = 2 мсек.
задача А (размер ячейки 50 см);
задача Л—1 (размер ячейки 25 см);
ф аналитическое решение.
вращения». «Угловая ширина» ячеек (в приведенном случае 3°)
почти не влияет на результирующее движение. Сравнение реше-
решения с ячейками 10° дает скорости, напряжения и т. д., отличаю-
отличающиеся меньше чем на один процент от результатов расчета при
сетке с ячейками 3°.
Были использованы граничные условия на твердой стенке
при 1=0 и /тах=3, а изменение давления на внутренней гра-
границе (К = 0) бралось в виде Р — е~х кбар (t—время в мсек).
Внешняя граница (/Стах = 40) была свободной поверхностью. Это
условие, конечно, ограничивало время, в течение которого задачу
можно рассматривать как задачу для безграничной среды. Зна-
Значения упругих констант указаны на рис. 1. Были использованы
следующие константы в формуле вязкости: С3 = 0,1333, С4 = 0,1
(это эквивалентно величине демпфирования для продольных
14 Зак. 647


210 Дж. Майнчен, С. Сак
волн, равной 0,2). Влияние размеров ячеек показано на втором
решении (А—1), в котором использовались те же самые кон-
константы, но было удвоено число радиальных ячеек (/(тах = 80).
Вычисленные скорости и смещения показаны на рис. 12 и 13
вместе с аналогичными величинами, найденными из решения
Блэйка. Согласие с аналитическим решением в общем весьма
удовлетворительно.
Единственное существенное расхождение можно заметить
в начальном «выборе» и колебаниях внутренней границы
(К = 0) на рис. 12 и в размывании фронта волны при R = 20m на
рис. 13. Начальный выброс можно, конечно, погасить путем
использования больших значений констант в Q, но это приведет
к соответственно большему размыванию фронта волны в более
поздние времена. Использование более мелкой сетки в решении
А—1 приводит лишь к небольшому количественному изменению
результатов. Это до некоторой степени обнадеживает, потому
что при расчете двумерных задач соображения, связанные с рас-
расходом машинного времени, требуют, чтобы использовалась бо-
более грубая сетка. Вместе с тем видно, что в то время как общая
картина движения рассчитывается довольно хорошо, метод не
позволяет воспроизводить пики скорости и напряжения, сосредо-
сосредоточенные на небольшом числе ячеек. Плохое описание коротких
(в терминах размеров ячеек) волн является характерным для
разностных схем такого типа и имеет место даже для звуковых
возмущений в одномерных задачах о движении жидкости.
Б. Пластичная сферическая оболочка
Для сравнения результатов расчета пластичности по данному
методу с аналитическим решением было необходимо рассмотреть
систему, находящуюся в статическом рав-
Р = 0 новесии. Хотя метод предназначен для ис-
# 2# следования нестационарных динамических
эффектов, не существует точного аналити-
аналитического решения, описывающего динамиче-
динамические пластические деформации1). Поэтому
проверочные расчеты были проведены для
существенно более простого случая толстой
сферической оболочки, нагруженной внут-
внутренним давлением, достаточным, чтобы
вывести напряжения во внутренних частях в точку текучести
[3]. Геометрия задачи показана на рис. 14. Было использовано
разбиение на ячейки, подобное случаю задачи А.
1) Это утверждение не соответствует действительности. Точное решение
можно получить, например, для этой же задачи в предположении несжимае-
несжимаемости среды (в этом случае задача сводится к интегрированию обыкновенных
дифференциальных уравнений). — Прим. ред.


Метод расчета «Тензор»
211
I2'0
При предельном напряжении на сдвиг, равном 0,5 кбар, ма-
материал должен был перейти в пластическое состояние в области
между внутренней поверхностью и сферой радиуса 14,49 лс, а
вне этой области оболочка должна остаться упругой. Для того
чтобы подавить инерцион-
инерционные внутренние эффекты,
могущие привести к необра-
необратимому выбросу за равно-
равновесное состояние, использо-
использовался метод «релаксации».
Через частые промежутки
времени A или 2 мсек) все
скорости полагались равны-
равными нулю. Таким образом, по-
после ряда слабых движений
оболочка должна была по-
постепенно приблизиться к
равновесной конфигурации.
Распределения напряже-
напряжений и смещений в оболочке
при / = 20 мсек показаны на
рис. 15. Так как вычислен-
вычисленные смещения превышают
равновесные значения, то,
очевидно, следовало бы ско-
Р и с. 15. Задача В для метода «Тензор».
nxr\ f\r\naa палтл Ппиот/л результаты по методу «Тензор» (время
ЛЮ ООЛее ЧаСТО. ч^ДНаКО 20 мсек); # аналитическое решение (равновесие).
рости полагать равными ну-
нулю более 1
рассчитанные напряжения
г _ —внутренняя поверхность, 2 —равновесная
весьма близки к ожидае- граница' 5~внешняя повеехность-
мым равновесным величинам и, вероятно, еще лучше совпали
бы с ними, если бы процесс релаксации был продолжен даль-
дальше. Этот процесс не был продолжен дальше, так как прибли-
приближение к равновесию становится крайне медленным (напряже-
(напряжения изменились только на несколько процентов в течение по-
последних 5 мсек).
Литература
1. В 1 a k e F. G., Jr., /. Acoust. Soc. Am., 24, 211 A952).
2. В г о d e H. L., В j о г к R. L., RAND Rept. RM-2600, 1960.
3. Хилл Р., Математическая теория пластичности, «Физматгиз», Мм 1957.
4. Nuckolls J. H., Lawrence Radiation Laboratory (Livermore), Re-
Report UCRL 5657, Part I, pp. 120—134, 1959.
5. Sokolnikoff I. S., Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-Hill,
New York, 1946.
6. von Neumann J., Richtmyer R. D., J. Appl Phys., 21, 232 A950)
(имеется сокращенный русский перевод: сб. Механика, № 1 A951), 27),
14*


Расчет упруго-пластических течений
М. Л. УИЛКИНС
Калифорнийский университет, Лоуренсовская
лаборатория радиации, Ливермор, Калифорния
1. Введение 212
2. Уравнения состояния 213
3. Одномерные упруго-пластические течения 225
4. Двумерные упруго-пластические течения 228
Приложение I. Конечно-разностные уравнения для задач § 3 ... 243
Приложение II. Конечно-разностные уравнения для задач § 4 ... 246
Литература 263
/. Введение
Первое, что требуется для расчета упруго-пластических те-
течений, это задание уравнения состояния. Уравнение состояния
должно описывать упругую, упруго-пластическую и гидродина-
гидродинамическую стадии движения. Для последних двух режимов дви-
движения должны быть сформулированы соответствующие критерии
текучести. В литературе имеется много усложненных форм урав-
уравнений состояния, некоторые из которых были разработаны для
облегчения математического исследования при аналитическом
решении уравнений движения. Однако поскольку ниже рассматри-
рассматриваются численные методы, можно не связывать уравения движе-
движения с каким-либо конкретным видом реологического уравнения
состояния и брать его в любой форме. Уравнение состояния дол-
должно обеспечить теоретическое описание явлений, пригодное для
широкого класса практических задач, и основываться на про-
простых идеализациях существенных свойств реальных процессов.
Задачи, представляющие наибольший интерес в настоящее
время, относятся к теории пластичности металлов, однако про-
процессы, на которые влияет скорость деформирования, например,
все еще недостаточно хорошо изучены экспериментально. Вслед-
Вследствие этого пластическое состояние будет описываться путем
непрерывной корректировки напряжений, так чтобы не был пре-
превышен предел текучести материала. Можно будет использовать
и более усложненные описания, если в этом возникнет необхо-
необходимость, продиктованная экспериментом.
Настоящая работа разбита на три части: уравнения состоя-
состояния (§ 2); одномерные упруго-пластические течения (§ 3) и
двумерные упруго-пластические течения (§ 4).


Расчет упруго-пластических течений 213
2. Уравнения состояния
А. Упругая область
Мы будем рассматривать только среды, свойства которых
одинаковы во всех направлениях (изотропные среды).
В координатах х, уу z напряженное состояние сплошной среды
в данной точке определяется шестью компонентами напряже-
напряжений ах, оу, аг, Туг, tzx и хху [8]. Известно [12], что всегда можно
так выбрать оси координат, что касательные напряжения обра-
обратятся в нуль в данной точке, т е. t2/z = tzx=tX2/ = O. Любые три
взаимно перпендикулярные оси, для которых выполнено это ус-
условие, называются главными осями для рассматриваемой точки.
Напряжения в направлениях главных осей на площадках, пер-
перпендикулярных этим осям, называются главными напряжениями
и обозначаются си сг2, аз.
Совершенно упругий материал характеризуется линейной за-
зависимостью между напряжениями и деформациями. Для нахо-
нахождения напряжений в точке, обусловленных деформациями в
этой точке, применяется закон Гука. Сами же деформации за-
зависят от сил, вызывающих смещение частиц среды. Закон Гука
в терминах приращений деформаций и порождаемых ими при-
приращений напряжений можно записать в следующем виде:
°i=b^ + 2\**v а2 ==*<-?-+ 2^2, a3 = ^-^ + 2[X63. A)
Здесь X и \х постоянные Ляме; е^ е2, е3—скорости деформа-
деформаций в направлениях, указанных индексами; V — объем. Точка
означает производную по времени вдоль траектории частицы.
Необходимо заметить, что использование производной по
времени позволяет записать в удобном виде дифференциальные
соотношения между напряжениями и деформациями, но это не
означает, что вводится соотношение между деформациями и на-
напряжениями, зависящее от скоростей их изменения [6]. Приме-
Применение закона Гука в таком виде позволяет определить есте-
естественную деформацию, т. е. деформацию элемента, отнесенную
к текущей конфигурации, а не к первоначальной.
Напряжения в среде можно мыслить состоящими из напря-
напряжений, связанных с равномерным гидростатическим давлением
(все три нормальных напряжения равны), плюс напряжения,
характеризующие сопротивляемость материала деформациям
сдвига. При описании текучести и пластического течения мы хо-
хотим ограничить лишь ту часть напряжений, которая обусловлена
деформациями сдвига. Поэтому мы разложим каждое напряже-
напряжение сгь <т2, ^з на гидростатическую составляющую Р и девиаторную
часть 5, где —Р — среднее арифметическое трех напряжений,


214 М. Л. Уилкинб
т. е. будем иметь соотношения
Здесь используются обычные обозначения, так что напряжения
положительны при растяжении и отрицательны при сжатии, а
знак их противоположен давлению; следовательно, перед давле-
давлением нужно поставить знак минус. Определим среднюю нор-
нормальную деформацию и ее скорость следующим образом [8]:
(8 + 8 + е) б (ё+ё + е)- C)
Нормальные компоненты девиатора деформаций равны
01 = ^ — 9, е2 = е2-е, е3 = е3-е, D)
е1 = б1 —ё, ё2 = е2 — е, е3=ё3—е.
Из уравнения неразрывности имеем
^ + k+k=VIV. E)
Отсюда следует, что Gj-f-J ±
Используя введенные обозначения, можно теперь записать
закон Гука A) в виде
F)
где К—модуль объемного сжатия. Из E) и F) следует, что
^1 + 52-Мз = 0> G)
Si + s2 + s3 = 0, (8)
т. е. условие того, что компоненты девиатора напряжений
не дают вклада в среднее давление.
Б. Область пластического течения
Будем использовать условие текучести Мизеса для описания
предела упругости [13]. Если главные напряжения известны, то
условие текучести записывается так:
(а!-а2J+ (а2-
где К0 —предел текучести для простого растяжения.


Расчет упруго-пластических течений 215
Левая часть этого выражения пропорциональна упругой энер-
энергии сдвига, рассчитанной на единицу объема, или энергии, ко-
которая требуется для изменения формы, а не для изменения объ-
объема [7]. Поэтому соотношение (9) означает, что пластическое те-
течение начинается тогда, когда энергия упругого сдвига достигает
предельной величины [(У°J/6|х], и что эта энергия остается по-
постоянной в процессе пластического течения. Таким образом, тер-
термин «упруго-пластический» означает состояние, при котором
сдвиговые компоненты (характеризующие изменение формы)
деформированного материала, подверженного действию нагру-
нагрузок, подчиняются закону Гука до такого состояния, при котором
вещество не может больше накапливать упругую энергию. Все
последующие сдвиговые деформации вызовут пластическое те-
течение, и будет совершаться работа пластического деформирова-
деформирования. Выражение в левой части равенства (9) можно интерпрети-
интерпретировать также через предел сопротивления сдвигу. Уравнение (9)
можно истолковать разными способами, для нас же здесь важ-
важно лишь то, что на пределе упругости выражение в левой части
становится равным постоянной величине.
Мы изберем интерпретацию этой постоянной как предела те-
текучести У0 при простом растяжении. Если производится растя-
растяжение в направлении аь а боковые напряжения а2 и а3 равны
нулю, то из уравнения (9) находим Oi = Y°. При простом растя-
растяжении возникает двумерное течение, так как для обращения
в нуль боковых напряжений должны иметь место деформации
в боковых направлениях. Фактически величина г^х Для этого
случая есть отношение Пуассона. Заметим также, что уравнение
(9) предполагает равенство пределов текучести при растяжении
и сжатии (отсутствие эффекта Баушингера).
В пространстве аи ог2, аз уравнение (9) описывает поверх-
поверхность прямого кругового цилиндра. Ось этого цилиндра имеет
одинаковый наклон к осям системы координат аь_а2, а3, как это
указано на рис. 1,а. Радиус цилиндра равен |//3 Г°. Восполь-
Воспользуемся дальше девиаторами главных напряжений, удовлетво-
удовлетворяющими условию 5i + 52 + 53 = 0 [см. уравнение (8)]. Это — урав-
уравнение плоскости, проходящей через начало осей главных напря-
напряжений. Пересечение этой плоскости с цилиндром (9) дает круг
(рис. 1,а). Если девиатор напряжений sb s2, s3 дает точку вну-
внутри круга, то материал находится в области упругости.
Когда материал нагружается за пределом упругости и затем
разгружается, то восстанавливается только энергия упругого
сдвига. Работа, совершенная над материалом в пластическом
состоянии, не восстанавливается. Другая форма этого утвержде-
утверждения сводится к тому, что пути нагрузки и разгрузки неодина-
неодинаковы, когда материал нагружается За пределом упругости (на
рис. 2, а линия ОАВ — путь нагружения, а ВС — путь разгрузки).


216
М. Л. У илкинс
Друккер [2] показал, что работа, проделанная над материалом
в течение цикла нагрузки и разгрузки, должна быть положи-
положительной или равной нулю; эта работа равна нулю, если имели
место только чисто упругие деформации. Далее, приращение
а
Круг текучести
Рис. 1. Условие текучести Мизеса.
пластической деформации должно быть ортогонально к поверх*
ности текучести, отделяющей упругие и упруго-пластические со-
состояния.
Пластическое течение мы будем описывать путем сохранения
девиатора напряжений (sb s2, s3) на пределе упругости. На


Расчет упруго-пластических течений
217
рис. 1,6 показаны напряжения в состоянии п. Будем считать,
что после приращения деформаций напряжения изменились и
находятся в состоянии п+1. Однако состояние п+\ находится
за кругом текучести, и, по нашему предположению, это состоя*
ние не может достигаться. Вместо этого мы будем считать, что
в материале происходит пластическое течение, а напряжения
остаются на пределе упругости, т. е. на круге текучести.
Растяжение
Сжатие
л ш я
X VA _
Наклон j
г
е3=0
2
*2
P(V)
Наклон К-(К
Рис. 2. Одномерная деформация идеально пла-
пластического материала.
Пластическая часть деформаций перпендикулярна к кривой
текучести, и мы хотим ограничить именно те напряжения, кото-
которые связаны с этой частью деформаций. Поэтому новое напря-
напряженное состояние вместо состояния п+1 будет соответствовать
точке, которая находится на перпендикуляре к предельной
окружности, проведенном из точки, соответствующей состоянию
п+1. Одномерный аналог показан на рис. 2,а, где напряжение
—S\ принимает максимальное значение для всех деформаций,
превышающих предел упругости, соответствующий точке А. Та-
Таким образом, суммируя предположения о текучести, мы можем
написать
A0)


218 М. Л. У илкинс
ИЛИ
5? + ^ + 4<|-(П2. (И)
Если избыточное изменение напряжений в некотором элемен-
элементе приведет к нарушению этого неравенства, то главные напря-
напряжения девиатора (si, s2, S3) должны быть скорректированы, что-
чтобы неравенство A1) снова выполнялось. Для вычисления девиа-
девиатора напряжений [уравнение F)] воспользуемся законом Гука.
Если некоторая точка попала в область вне круга текучести
(рис. 1,6), то она переносится на окружность вдоль радиуса-
вектора точки, т. е. перпендикулярно к окружности. Этот пере-
перенос осуществляется умножением каждого из элементов девиа-
девиатора напряжений (sb s2, s3) на множитель
/!
?+3+4
Такое приведение напряжений (перпендикулярно к кругу те-
текучести) влияет только на пластическую часть напряжений. На-
Наблюдаемая в опытах «несжимаемость пластического состояния»
здесь неявно подразумевается. Заметим, что как для упругого,
так и для упруго-пластического состояний всегда имеется основ-
основная «гидростатическая» часть напряжений (давление), и эта
часть не зависит от пластического течения. Это находится в со-
согласии с наблюдаемым поведением «мягких» металлов.
Сказанное выше относится к идеально пластической среде,
т. е. среде, в которой пластическое течение происходит при
постоянном напряжении, среде, не обладающей упрочнением
(рис. 2). Для материалов с упрочнением напряжение (—Si) бу-
будет увеличиваться монотонно вместе с деформацией (еО для
значений деформаций за точкой Л, а не будет оставаться посто-
постоянным, как это было для идеально пластического материала.
Упрочнение можно учесть при вычислениях, считая, например,
постоянную У0, входящую в уравнение (9), функцией энергии
деформации. В том случае, когда затраченная работа достаточна
для расплавления материала, величину У0 можно положить рав-
равной нулю. При этом получится чисто гидродинамическое описа-
описание, так как в соответствии с описанной выше процедурой де-
виатор напряжений автоматически обратится в нуль, а остав-
оставшиеся напряжения сведутся к давлению Р. Зависимость от
времени предельного условия текучести макроскопически можно
учесть посредством задания повышенного значения константы
текучести У0 для условий, когда скорости деформаций (е^ е2, е3)
превышают некоторую заданную величину.
В области отрицательных давлений величина давления огра-
ограничена значением Р = — -j Y°, соответствующим испытанию на
простое растяжение. Окончательно полная система уравнений


Расчет упруго-пластических течений
219
состояния примет следующий вид1):
B)
D) Sj + s2 + s3 = O, E)Я = Р(У), F) />„,,„ = -!:
A2)
!) Описанная здесь процедура исправления напряжений siy вычисляемых
по соотношениям A2), требует пояснений. Уравнения, связывающие девиатор
напряжений со скоростями деформаций при возникновении пластического те-
течения, в рассматриваемом случае имеют вид, отличный от соответствующих
формул в A2), а именно они таковы:
2^-!-?)= 5,
здесь X определяется с использованием условия текучести формулой«
A»)
2,(e,_j|)=H,
запишется в виде
Если обозначить
т. е. разность между приращениями напряжений, вычисленными по закону
Гука ks*^ s* At, и приращениями истинных напряжений, Asi = SiAt, оказы-
оказывается вектором (в пространстве S\, s2, s3), направленным по нормали к кругу
текучести. С другой стороны, поскольку sl~\rs2-{-s^ =2/3(Y°J=const,
то SfAsi=O, т. е. вектор As* лежит на касательной к кругу текучести. От-
Отсюда непосредственно следуют операции исправления напряжений, т. е. пере-
перехода от 5 к 5г в момент t+At, описанные в тексте работы. Эта процедура
исправления сводится к формулам
? ч
vw+w+w'
которые можно получить из соотношения B*), если записать его в виде
\ — si==si 9 ^0^2 ^ sj VJ — 5у)» подставить сюда st = qs\ и учесть, что
У
Таким образом, эта процедура приведения напряжений, вычисляемых по
формулам A2), к кругу текучести эквивалентна полным соотношениям A*)
закона пластического течения. — Прим ред.


220
М. Л. Уилкинс
В. Экспериментальное уравнение состояния
Рассмотрим одномерную ударную волну, распространяю-
распространяющуюся в среде так, что в направлении х материал деформи-
деформируется, а в направлении у и z деформации равны нулю. Такая
геометрическая картина имеет место при экспериментальном
получении данных для уравнения состояния Гюгонио (ударной
адиабаты). Существуют ударные волны, которые переводят мате-
материал из упругого состояния в упруго-пластическое состояние [3].
Для одномерного движения коор-
координаты х, уу г дают главные направ-
направления, так что в соответствии с урав-
уравнениями F) для трех компонент де-
виатора напряжений sx, sy, sz можем
написать
ijr = 2|x(eJC— 1/3 уIV).
i, = 2|i @ — 1/3 VIV).
sz = 2[i @-1/3 VjV). A3)
Полное напряжение в направлении х
равно
A4)
1
о.
Рис. 3. Адиабата Гюгонио
для упруго-пластического
материала.
Будем считать, что напряжение ох получено посредством из-
измерений при прохождении ударной волны для построения соот-
соотношения Гюгонио (рис. 3).
Для одномерного течения уравнение неразрывности дает
ix = S/\V. Полная система уравнений состояния в одномерном
случае имеет следующий вид:
B)
D) sx-\-2sy =
E) P = P{V),
F)Рш,а = —g
A5)
Ниже предела упругости, т. е. до точки А, имеем
= 2n\ V/V — j
— KlnV, ox =
. или
sx = -o (A In V = — 2sr
A6)


Расчет упруго-пластических течений
221
В точке А имеем
или
B4/9) ((i In VAf = -3 (V°f, V° = 2fi I In VA I = ¦
• A7)
Отсюда можно получить максимальное значение предела те-
текучести У0, если известны константы Ляме и предел упругости
для адиабаты Гюгонио.
Для точек выше А имеем
Это соотношение с помощью
четвертого уравнения из
формул A5) приводит к
виду
— - з Г '
A8)
1
1
a
0
B/3) Y°^
1 z?
7L
O/O) yO
Рис. 4. Кривые нагрузки и разгрузки
для упруго-пластического материала.
(Если материал течет, то
при растяжении sx>0, а при
сжатии 5х<0, причем У°>0 всегда.) Таким образом, общее на-
напряжение, получающееся при переходе скачком от ох=0 до зна-
значения ах, выше точки А можно представить так:
A9)
B0).
причем P(V) можно записать в виде
Р(т|) =a(Ti-
V
Здесь T] = Tj-f Vo — начальный объем, а, Ь, с — такие постоян-
постоянно
ные, что Р(ц) +2/3(У°) дает кривую Гюгонио для ударных волн
с напряжениями выше предела упругости. Для давлений ниже
предела упругости имеем Р(ц)=—K\nV. Если использовать
уравнения состояния, заданные соотношениями A5), то получим
кривую нагрузки О, Л, В (рис. 4) и кривую разгрузки ?, С, D.
Эксперименты, проведенные с металлами в области низких дав-
давлений (от 0 до 50 кбар), показали разницу между гидростати-
гидростатической кривой Р(ц) и кривой Гюгонио (ох(ц)).
При высоких давлениях (сотни килобар) для некоторых ме-
металлов измеренная скорость звука за ударной волной оказалась
на 20% больше скорости звука, полученной теоретически с ис-
использованием гидродинамической модели. Это служит основа-


222 М. Л. Уилкинс
нием для распространения модели, применяемой при низких
давлениях, на случай высоких давлений. При разгрузке от 'вы-
'высоких давлений материал сначала разгружается упруго вдоль
отрезка ВС. Наклон этого отрезка характеризует скорость уп-
упругой разгрузки. Следовательно, разрежение распространяется
быстрее, чем это было бы в случае, если материал разгружать
только по кривой Р(ц). Эксперименты, в которых были измере-
измерены высокие скорости звука за ударной волной в металлах,
проводились в Советском Союзе [1], в Стэнфордском исследова-
исследовательском институте и в Лоуренсовской лаборатории радиации.
Используя данные для адиабат Гюгонио [15] и упругие кон-
константы, приведенные в [4], найдем для алюминия следующие
константы, входящие в уравнения A2):
Y0 = 0,002976 Мбар (из уравнения A7) при (ох)А=:
= 0,0063 Мбар и VA = 0,994),
[i = 0,248 Мбар,
На рис. 5 и 6 показаны результаты расчета методом конеч-
конечных разностей задачи об ударе летящей алюминиевой пластинки
об алюминиевую пластину-мишень. Расчеты показывают, что,
несмотря на малость величины У0 по сравнению с полным на-
напряжением оХу имеется весьма заметное влияние на волну отме-
отмеченных выше особенностей упруго-пластического течения.
В принципе такого рода расчеты в соединении с эксперимен-
экспериментами можно было бы использовать при определении свойств ма-
материалов при высоких давлениях в рамках модели, заданной
уравнениями A2). Путем измерения скорости передней поверх-
поверхности мишени для различных толщин пластины-мишени можно
было бы определить, когда упругая волна догонит ударный
фронт (рис. 6), и можно было бы найти наклон участка ВС на
рис. 4. Величина «ступеньки» за ударной волной на рис. 6 соот-
соответствовала бы точке С диаграммы на рис. 4.
Если среда ведет себя полностью гидродинамически, то сту-
ступенька за фронтом ударной волны отсутствует. Из рис. 5 видно,
что разрежение при гидродинамической разгрузке распростра-
распространяется много медленнее, чем упругая волна разгрузки. Однако
можно заметить, что гидродинамическая волна разрежения с те-
течением времени догоняет ударный фронт из-за уменьшения на-
наклона хвостовой части волны.
Следует отметить, что для объяснения высоких скоростей
звука за ударной волной необходимо только постулировать, что
материал разгружается сначала упруго, а затем пластически.
Этот же результат имеет место и тогда, когда при высоких дав-


0,50
0,50
0,00
-0,05
,'"'*
Z,5
t-4,0 мкоен
1,5
t *3,0мнсец
16
t = 5,0 мксек
Рис. 5. Напряжения (в сотнях килобар) при ударе летящей пластинки
о плоскую преграду.
/ — налетающая алюминиевая пластинка, скорэсгь удара равна 0,08 см/мксек;
2 — отраженная ударная волна; 3 — проходящая ударная волна; 4 —алюминиевая пре-
преграда; 5— разрежение; ? —ударная волна,


2,00
1,00
0.00
-6,10
грог
1
1
1
1
2,5
t-2,0 мнсеп
5,0
-0,10
1,00
0,00
-0,10
2,5
t *3,0мксек
1
1
1
1
1
1
:
1
!
1,5
5,0
Рис. 6. Напряжения (в сотнях килобар)при ударе летящей пластинки
о плоскую преграду.
/ — налетающая алюминиевая пластинка, скорость удара равна 0.2 см1мксек\
*—алюминиевая преграда.


Расчет упруго-пластических течений
225
лениях кривая — ах сливается с кривой Р(г\). В наших расчетах
величины У0 и \х мы приняли постоянными, так как детали про-
процесса упругой разгрузки от высоких давлений пока не известны.
3. Одномерные упруго-пластические течения
Для нестационарных течений с одной пространственной пе-
переменной (г) в плоском (d=l), цилиндрическом (d = 2) и сфе-
сферическом (d = 3) случаях основные уравнения имеют следующий
вид:
уравнение движения
уравнение неразрывности
V __ 1 d(rd-lU)
V r
,d-l
dr
уравнение энергии
искусственная вязкость (линейная)
*lf B1)
B2)
B3)
B4)
где Cl — постоянная, а — скорость звука,
уравнение состояния
девиатор напряжений1) .
ei=dU[dr,
B5)
скорости деформации •
ё3 =
2 При Я? = 3,
при я? = 2,
, = 0 при d = \t
l) Здесь введены три компоненты напряжения, хотя не все они требуются
Для рассмотрения задач. Это сделано с целью установления аналогии с дву-
двумерными случаями, которые рассматриваются в следующем параграфе.
15 Зак. 647


226 М. Л. Уилкинс
гидростатическое давление
Я-а(л-1)+*(л-1J
условие текучести Мизеса:
где К0 — предел текучести среды.
Здесь были использованы следующие обозначения: г — про-
пространственная координата; U — скорость в направлении г;
2Г, 2е — полные напряжения; Si, s2, s3 — компоненты девиатора
напряжений; еь е2, ез — деформации; Р — гидростатическое дав-
давление; V — относительный объем; р° — начальная (характерная)
плотность; р — плотность; Е — внутренняя энергия на единицу
начального объема.
Точка над величинами, входящими в уравнение, означает
производную по времени вдоль траектории частицы.
Применяемые в расчетах конечно-разностные уравнения для
написанной выше системы уравнений в частных производных
приведены в приложении I.
На рис. 5 показаны результаты расчета плоского течения,
возникающего при ударе пластинки, налетающей слева со ско-
скоростью (/=0,08 см/мксек на покоящуюся преграду. Пластинка и
преграда изготовлены из алюминия, константы для которого
указаны в § 2. При данной скорости удара упругий сигнал рас-
распространяется быстрее, чем ударная волна, причем ударная вол-
волна распадается на две компоненты. На рис. 6 показаны резуль-
результаты расчета той же задачи при более высокой скорости удара,
равной 0,2 см/мксек. В этом случае скорость ударной волны
больше скорости упругого сигнала и ударная волна распростра-
распространяется так же, как если бы для поведения материала было при-
пригодно чисто гидродинамическое описание. Однако можно заме-
заметить, что упругая волна разгрузки, зарождающаяся на задней
стороне налетающей пластинки, .догоняет фронт ударной волны.
На рис. 7 показаны волны напряжения, возникающие при
взрыве сферического заряда взрывчатого вещества (состав В)
радиусом 1 см, инициированного в центре [17]. В области от 1
до 5 см от центра среда предполагается упругой, причем
Р = /С(п—1), /(=1,39 Мбар, р° = 8,9,^ = 0,46Мба/7,У°=оо. Волны
напряжения распространяются со скоростью С=[(/С+4/3|д,)/р°]1/2
см/мксек. Из графиков видно, что возникает вторая ударная
волна, распространяющаяся из взрывной полости [16].
Возникновение второй ударной волны обусловлено гидроди-
гидродинамическими эффектами, а не связано с упругими свойствами
материала. Как видно из рисунка, наряду с радиальным сжа-
сжатием имеется «хвост» растягивающих напряжений с величинами


ffir
0,00
'100
р
\
4
J—^
150
16
см »>
t - 4,0мнсеп
0,00
5,0
: \
Ю,00
тп
150
2,5 5,0
t -7,0мксек
0,00
-1,00
IT
t =5,0мксек
1,5
t = 9,0 мк сек
5,0
5,0
150
0,00
2,5
t = 10,5мксек
1,50
5,0
0,00
-1,00
1,5
t-12MKcef<
Рис. 7. Сферические расходящиеся волны напряжения.
С
5,0
1 — граница раздела; 2 — свободная поверхность; 3 — упругий материал; 4 — взрыа-
чатое вещество (состав В).
По оси ординат отложены напряжения в сотнях килоЗар.
15*


228 М. Л. Уилкинс
порядка 10 кбар. Эти растяжения целиком обусловлены упру-
упругими свойствами материала. Если бы среда описывалась чисто
гидродинамически, то не было бы участка с растяжением в
возмущенной области за распространяющейся вперед волной
сжатия.
4. Двумерные упруго-пластические течения
Ниже приводятся уравнения, использованные в численном
методе «ХЕМП» — программе для решения этих уравнений спо-
способом конечных разностей на электронной машине IBM-7030.
Вывод уравнений можно найти в работе Рейнера [10]. Задача
рассматривается в переменных Лагранжа, причем допускается
скольжение вдоль поверхности раздела между упругой (твер-
(твердой) и гидродинамической (жидкой) частями среды и не допу-
допускается скольжение между двумя упругими частями среды.
Упругая область, однако, может скользить вдоль некоторой фик-
фиксированной границы. Уравнения состояния используются анало-
аналогично тому, как это было в предыдущих параграфах. Здесь воз-
возникает дополнительное усложнение из-за того, что соотношения
между напряжениями и деформациями не должны зависеть от
движения элемента среды как абсолютно твердого тела так
что соотношения между приращениями напряжений и деформа-
деформаций необходимо исправить с учетом поворота системы коорди-
координат ху у (см. [5]). Когда элемент среды смещается из начального
напряженного состояния, то, помимо деформации, может про-
произойти его поворот на некоторый угол со. Вращение не будет
влиять на рост напряжений, но первоначальное напряженное
состояние (six, Syy, Txy) этого элемента поворачивается на
угол со. Так как уравнения движения записаны для определен-
определенной системы координат х, у, то повернутые напряжения должны
быть пересчитаны и приведены к этой системе координат. Урав-
Уравнения преобразования [7] приводят к поправке б, которая при-
прибавляется к напряжениям. Напряжения могут затем получать
приращения из-за деформаций, которые возникают между мо-
моментами времени tn и /n+1, формируя напряжения в момент tn+l.
Угол поворота определяется формулой
Практически неудобно следить за изменением напряжений
в системе координат, связанной с главными осями тензора на-
напряжений, так как главные направления определяются неодно-
неоднозначно и могут происходить большие изменения этих направле-
направлений при изменении времени на один шаг по времени. Поэтому
операция преобразования к главным осям напряжений и обрат-


Расчет упруго-пластических течений 229
ный переход к системе координат х, у для каждого шага по вре-
времени стал бы сложным и не точным. Несмотря на то что в рас-
рассматриваемом ниже методе фактически выполняются преобразо-
преобразования к главным осям напряжений для проверки условия
пластичности, знания направлений главных осей напряжений
при проведении расчетов не требуется, и поэтому осложнения,
связанные с использованием этих направлений, отпадают. Ус-
Условие текучести Мизеса можно применять и не переходя к глав-
главным осям напряжений (см. приложение II, Г, 2, ж), однако гео-
геометрическая интерпретация этого условия упрощается при
использовании девиатора напряжений в главных осях.
А. Основные уравнения метода «ХЕМП»
Основные уравнения в системе цилиндрических координат х9
у (х — ось симметрии) приведены ниже [формулы B6) — C3)].
(Эти уравнения превращаются в уравнения для плоской декар-
декартовой системы координат х, у, если члены, отмеченные в них
знаком |*, положить равными нулю.)
Уравнения движения
дТ „„ д2„„
Ту г у
УУ
дх ^ ду г у
2„ = sxx - (Р + q), Ъуу = syy — (P + q), 2ee = see - (Р-f q)\ B6)
уравнение неразрывности
V__dx_ ду_ , у_\* B~
уравнение энергии
E = — {P + q)V + V (sxxkxx -Ь Syyzyy + seeeee ¦+- Тхугху), B8)
искусственная вязкость (квадратичная)
V B9)
уравнения состояния
а) компоненты напряжений
sxx = 2ц (гхх —i VjV) + Ьхх,
, C0)
где {х — модуль сдвига, 6 —поправка на поворот (см. текст
выше),


230 М. Л. Уилкинс
б) скорости деформаций
dx
гидростатическое давление
Р = а(ц—\) f*(r]-lJ 4c(^
Т1=1/К = р/рР> * C2)
условие текучести Мизеса
| C3)
где У0 — предел текучести материала; si, s2, «з — главные девиа-
торные напряжения.
Здесь использованы следующие обозначения: х, у — простран-
пространственные координаты; х — скорость в направлении х\ у — ско-
скорость в направлении у; %xjn 2^, 2е9 — полные напряжения;
Тху — касательное напряжение; sxx, syy, sQQ— компоненты де-
виатора напряжений; ехх, гуу,ев&еху — деформации; Р — гидро-
гидростатическое давление; V — относительный объем; Е — внутрен-
внутренняя энергия на единицу начального объема; р — плотность:
Со — постоянная; А — площадь ячейки.
Точка над параметрами означает производную по времени
для фиксированной частицы.
Б. Конечно-разностная
схема
Воспользуемся следующим*
частных производных [9]:
dF
дх
dF
ду
где С — граница области А.
lim
л-»о
lim
Л->0
i интегральными
J F (п • Т) ds
с
А
[F(n-f)ds
Ь
А
длина дуги, п —
определениями
C4)
C5)
вектор нормали,
t — вектор касательной (рис. 8),
Применяя эти формулы к четырехугольнику 1, 2, 3, 4, пло-
площадь которого равна А (рис. 9), получаем для функции F,


Расчет упруго-пластических течений
231
определенной в точках 1, 2, 3, 4:
JF(n, l)dS = + JF-l§-dS =
= - [^23 (f/2 - Уъ) + ^34 (f/3 - </4) + ^41
где F^ = {F2 + Fz)l2 и т. д.
Таким образом,
? = — -j 1^23 С%- Уг) 4-^34 (f/з- У4) Н
= + 2а[(^2 — Ра)(Уз-У}
Аналогично находим
ХУа-Ух)
h ^4i (г/4—
)-{У2~
+ Л2|
У*)(Ъ
[у\ - У2)Ъ
Рп(У\-У
,-Л)]-
C7)
C8)
C9)
^ЕГ^)]. D0)
Введенные таким образом величины дают производные dF/Ox
и dF/cty в центре четырехугольника.
Используя введенные конечно-разностные формулы для про-
производных, можно написать теперь выражения для дх/дху ду/ду
Рис. 8.
Рис. 9.
в заданной точке пространства в данный момент времени. В ис-
используемой ниже разностной схеме определяются значения ско-
скоростей (х и у) при приращении времени на полшага и значения
пространственных координат при изменении времени на полный
шаг.
Введем следующие обозначения:
у(л:я+1-|-л:л) и т. д.,
где Ап и Ап+1 — площади четырехугольников во времена tn
и /л+1соответственно. Тогда конечно-разностные соотношения
приводят к точному равенству
дх , ду А
dT +" Ту " ~А *
D1)


232
М. Л. У илк ин с
которое равносильно уравнению неразрывности в плоском слу-
случае, где А/А ФУ/V.
Очевидно, весьма желательно, чтобы конечно-разностная
схема обладала этим свойством, так как это сводит к нулю
ошибку аппроксимации при численном интегрировании каждого
из членов уравнения D1).
у ш
-е-
Ось симметрии
Рис. 10.
-*- л
Рис. 11.
Рассмотрим теперь уравнение неразрывности в цилиндриче-
цилиндрических координатах х, у для случая осевой симметрии относитель-
относительно оси х
W
ду
у
V '
D2)
где V— объем, образующийся при вращении площади А во-
вокруг оси х,
'4 +И).
D3)
где Аа и Ab — площади треугольников а и Ь (рис. 10).
Очень хорошая аппроксимация третьего члена уравнения D2)
дается выражением
у
у
D4)
Важно подчеркнуть, что конечно-разностное представление
для членов в квадратных скобках в уравнении D2) такое же,
как и для левой части уравнения D1), т. е. не зависит от си-
системы координат. Так как имеет место нулевая погрешность
аппроксимации при интегрировании этих членов, то можно вы-


Расчет упруго-пластических течений 233
числить величину V/V через координаты и выразить у/у по фор-
формуле
у V [дх^ду]' I40'
Для вычисления ускорения параметр F из уравнений C4),
C5) определяется в центре прямоугольника. Площадью инте-
интегрирования теперь будет служить площадь I, II, III, IV, указан-
указанная на рис. 11.
Соответствующие конечно-разностные уравнения для /-й и
/-й компонент ускорения примут вид
F (п • Г) dS = — [Fo (уи — уш) 4- F® (Ут —
+ ^0) {Уiv - У\) + F® (У\ — Уп)Ь D6)
F(n-J)dS=P — [Рф (хи — хт) + F* (х\п — xw) +
4-^ф (*iv — ^) + ^ф (хг — хц)]. D7)
В качестве площади I, II, III, IV берется среднее из площа-
площадей четырехугольников ЛФЛ©ЛФЛФ. Как показано в прило-
приложении II, эти четырехугольники вводятся с соответствующими
четырьмя весами.
В. Применения
Полная система конечно-разностных уравнений, включая ус-
условия на границах и на контактных поверхностях скольжения,
дана в приложении II. На приведенных ниже рисунках показаны
результаты применения рассматриваемого метода для расчета
некоторых конкретных задач. Графики были выведены непосред-
непосредственно из вычислительной машины электронно-лучевой трубкой
и затем сфотографированы. Интенсивность затемнения ячеек
(элементов среды) соответствует скорости сжатия ячеек. Сле-
Следовательно, на сеточной картине можно увидеть ударные волны
или фронты детонационных волн.
На рис. 12 показано развитие во времени процессов, происхо-
происходящих при взрыве заряда В на поверхности медной пластинки
(мгновенная детонация заряда в постоянном объеме). Горизон-
Горизонтальная прямая, проходящая через середину сетки, является
осью симметрии задачи. Уравнение состояния для меди получено
способом, рассмотренным выше для алюминия. Предел теку-
текучести принимался равным У°== 10 кбар, а модуль сдвига \i —
=460 кбар.
На рис. 13 показаны направления максимальных главных
напряжений для рассматриваемой задачи. Максимальное глав-
главное напряжение, взятое с соответствующим знаком, является
растягивающей компонентой тензора напряжений. Поэтому


т
4CW
i
t=0
t= Ъмксек
t= ЪОмксек
t= ЬОмксек
Рис. 12. Мгновенная детонация ВВ при постоянном объеме на кон-
контакте с медной пластиной.
i — медь, предел текучести К°=10 кбар; 2 —взрывчатое вешество (состав В);
Л—ударная волна.


t * 8,0мксек
t» \Омксен
Рис. 13. Направления максимального главного напряжения (см. рис. 12).
/ — медь; 2 — взрывчатое вещество (состав В),


t = 4,омксек
t= 20 мксеп
t= ЪОшсек
рис. 14. Картина взрыва при начальных данных, как на рис. 12, но без
касательных напряжений в меднол пластине.
7 —медь (как жидкость); 2 — взрывчатое вещество (состав j3); 3—откол.


Расчет упруго-пластических течений 237
отрезки линий ориентированы здесь по нормали к направлению
распространения ударной волны. Изучая графики, можно про-
проследить за развитием волны разрежения, распространяющейся
от свободной поверхности, так как наклон линий соответствует
направлению растяжений.
Рис. 14 соответствует той же задаче, но медь описывается
уравнением состояния жидкости без учета прочностных свойств
материала. Как видно, воронка в этом случае значительно глуб-
глубже, чем в предыдущем случае. Высота края воронки растет с те-
течением времени. При гидродинамическом описании отсутствуют
восстанавливающие силы в процессе деформации при постоян-
постоянном объеме. Упруго-пластическое описание приводит к возник-
возникновению восстанавливающих сил, которые препятствуют изме-
изменению формы даже в случае деформации при постоянном объ-
объеме, поэтому в задаче, иллюстрируемой рис. 12, не образуется
резко выраженного края воронки. Однако в расчетах для значе-
значений предела текучести У0 от 1 кбар до 2 кбар у воронки обра-
образуется резкий край.
На рис. 15 и 16 показано развитие напряжений во времени,
возникающих в медной пластинке при воздействии на нее взаи-
взаимодействующих детонационных волн, распространяющихся во
взрывчатом веществе (РВХ 9404). Расчет был проведен для слу-
случая плоского движения; центры детонации располагались на
прямых, перпендикулярных плоскости рисунка, в его правом и
левом нижних углах. Левая и правая границы являются плоско-
плоскостями симметрии. Предел текучести У0 для меди принимался в
этом расчете равным 10 кбар.
Взаимодействие двух детонационных волн приводит к воз-
возникновению хвостовых ударных волн с зоной высоких давлений
в окрестности точки пересечения. Видно, что детонационный
фронт порождает в меди ударную волну и отраженную ударную
волну в продуктах детонации взрывчатого вещества. Хвостовые
ударные волны индуцируют круговую ударную волну, которая
идет вправо и влево от линии столкновения. Как видно из ри-
рисунков, эта ударная волна выпучивает медную пластинку в ее
центре. На последних рисунках видно отражение хвостовой удар-
ударной волны от неподвижных границ. Темные пятна соответствуют
местам высоких давлений, где отраженная от меди ударная вол-
волна встречает хвостовые ударные волны.
На рис. 17 показаны направления максимальных главных на-
напряжений для рассмотренной задачи. Здесь видна расширяю-
расширяющаяся круговая ударная волна, порожденная хвостовыми удар-
ударными волнами и распространяющаяся по сжатой меди.
На рис. 18 показано сравнение результатов рассмотренной
выше задачи с результатами расчета задачи без учета прочности


г см
\,омксек
Рис. 15. Напряжения, индуцированные в медной пластине детонационными
волнами.
/—медь, предел текучести К°=10 кбар\ 2 —взрывчатое вещество; 3 — фронты детонации;
4— хвостовые ударные волны.


У
uimii нь tttttrittti iiITilrlojITi
Ц]\\\\ : B± ВвШшШшШ
ИМИ ЗЁ йттттдИйяДШ
!|§§ 11111
Dp
•4-
т
1
Ш
щ
т
Ш
Шш ШИЗ
'titffllij I iff I f Г
с:: i: ::т:
g:t:|::::
t = ъ.ъъмксен
Рис. 16. Продолжение рис. 15.
/ — преломленная ударная волна; .2—отраженная от меди ударная волна; <?—хвостовые
ударные волны; 4 — отражения хвостовых ударных волн от границ.


t= 2>1Ьмксек
сссттттт
\NN\W \ I
Ш
t = Ъ,ЬОмксек
4 1««
X -
1= 4 ;0 7'мксеп
Рис. 17. Направления максимального главного напряжения (см. рис. 15 и 16).
1 — невозмущенная медь; 2 —преломленная ударная волна; 3 —вторая ударная волна, вы-
вызванная хвостовой ударной волной.


16 Зак. «47


242
М. Л. Уилкинс
меди. Этот расчет дает области низкой плотности вдоль внешней
поверхности пластинки, а также в большом круговом секторе
около середины.
На рис. 19 показаны результаты расчета действия взрыва
заряда РВХ 9404, расположенного внутри железного цилиндра
МП ИНН 111 I II II Г Г1П1 H
ll 1.11 till ПН
1111йШШ1
щтштш
Рис. 19. Детонация взрывчатого вещества внутри железного цилиндра.
Слева: железо считается жидкостью; справа: железо считается упруго-пластическим ма-
материалом с пределом текучести У0 =10 кбар>
/-неподвижная граница; 2 -железо; 3 - поверхность детонации ВВ; 4-ось симметрии;
5—фронт детонации; 6 — отраженная ударная волна. М11П10
Вверху-начальный момент времени / = 49, 99999, в центре-момент времени / = 52,11049,
внизу —момент времени / = 52,14899.
при инициировании детонации заряда на правом конце. Левая
часть рисунка соответствует расчету движения железного ци-
цилиндра без учета сопротивления материала, а справа приведены
результаты расчета движения при пределе текучести Y° = 10 кбар.
Сравнение результатов этих расчетов показывает, что при упру-
упруго-пластической трактовке толщина стенок железного цилиндра
изменяется незначительно. Кроме того, конец цилиндра в боль-
большей степени сохраняет первоначальную форму, чем в гидроди-
гидродинамической модели.


Расчет у пру го-пластических течений
243
Приложение I
Конечно-разностные уравнения для задач § 3
Среда делится на следующие ячейки по массе:
где d=l, 2, 3 для плоского, цилиндрического и сферического
случаев соответственно, /=1,2, ..., N [11].
А. Уравнение движения
a)
где
У+1/2"
Jy+1/2»
W = -h\
,
'"/-1/2 — v^e/y-i/2 f^i I
тИ+^-0 l^-^j
На внешней границе области У имеем
На внутренней границе области У имеем
Рис. 20.
/—внешняя гра-
граница; 2 — вну-
внутренняя граница;
3 — направление
возрастания j.
16*


244 М. Л. Уилкинс
Для свободной поверхности при / = / напряжения полагаются
равными нулю при /+1/2 для внешней свободной границы или
при /—1/2 для внутренней свободной границы (рис. 20). В
ячейках, соседних с упругой областью, используется гидроди-
гидродинамическая модель.
б) г?1 =
Б. Уравнение неразрывности
а) 1^+1/2 = V/+1/2 + A* I—
\ т /
/+1/2
где
^^^Й+^О ит-
Здесь поправочный член, отмеченный звездочкой, вводится
только для случая d = 3.
В. Напряжения
Скорости деформаций:
тгП + 1/2 ттП + 1/2
/' уД+1/2_ ^У + 1 —UJ р —С) ^ 1
r+/2 i
Девиатор напряжений:


Расчет упруго-пластических течений 245
Г. Искусственная вязкость
Линейная
Квадратичная
„1 + 1/2 р2 л + 1/2/ггЛ + 1/2 ,гя + 1/2\2
Эти величины вычисляются только тогда, когда W^i2 < U"+1!2
и (VjtU— Vnj+V2)<0. Здесь Ci = const«y, C0 = const«2,
a—местная скорость звука.
Д. Уравнение энергии
a)
б)
" — {-i- [A (r,n+1) + Pn] + q^+^X . [Vn+1 - V] + dEx + dE2
E. Гидростатическое давление
pnjlU=а (пй W+^
Ж. Условие текучести Мизеса
Если /Сл+1<;0, то элемент материала находится в упругой
области. Если /Сл+1 > 0, то элемент материала находится
в состоянии за пределом упругости и нужно изменить напря-
напряжения по формулам
Х=*?+1 V2/3
= ^л+1 /2/3
где через ( )# обозначены исправленные напряжения.


246
М. Л. Уилкинс
3. Устойчивость
Дгл+1 _ гп+1
(mln no /)
Если Д/я+3/2>1,1Д*||+1у2, то полагаем
Здесь а —скорость звука, 6 = 2С0Дгл+1(К/К)л+1/2F = 0, если
Приведенное условие устойчивости представляет собой видо-
видоизмененную форму условия фон Неймана и Рихтмайера [14], ко-
которые ввели метод искусственной вязкости для расчета ударных
волн.
Пприложение II
Конечно-разностные уравнения для задач § 4
А. Ячейки по массе в случае симметрии
относительно оси х
Область, занятая средой, делится на четырехугольники сет-
сеткой /—&, которая движется вместе со средой. На рис. 21 пока-
показаны центры и вершины четырех-
у угольников, которые обозначаются
следующим образом:
1 i
= У + |, ft—J-. 4 = y, ft+1.
Рис. 21.
Масса, соответствующая каждому четырехугольнику в на-
начальный момент, определяется путем умножения начальной
плотности на объем тела, полученного вращением четырехуголь-
четырехугольника вокруг оси х. Например, масса в начальный момент для
четырехугольника ф вычисляется по формуле
а) Мф = -
где Аа — площадь треугольника а, Аъ — площадь треугольни-
треугольника 6. Массы М®, Мф и Мф вычисляются аналогично,


Расчет упруго-пластаческих течений
247
Для Аа и Аь имеем соотношения
б) (АХ-^
Б. Сохранение массы
В. Уравнения движения
Эти уравнения центрируются в точке /, k\ соответствующие
обозначения даны на рис. 22, где I=/, k—1; 11=/ +1, &, Ш = /,
/С "Т 1 , IV — / 1, /С.
г/ Ш
Г-П k
k-l
Рис. 22.
Рис. 23.
a) *)T = x'Vlft ~
); (tfv - У1)


248 М. Л. Уилкинс
¦>
(д) Величина Кф1 вычисляется по уравнению (Б) (сохранение
массы).
(е) Величина Яп^112 вычисляется по формулам, указанным ниже,
при рассмотрении уравнений состояния.
Г. Уравнения состояния
1. Дефор м а ции
Ad = (A*H НЛ)Ф>
дп + 1/2 1 (дп + 1 | дп\
^ ^ - уО - (у2 - yt) (х3 -
\(У2 — У*) (Хз — xj — (л2 - х4) (Уз —
D) foff w - (i + f);" - фт Шк-ш) (у, - у,) -
E) (


Расчет упруго-пластических течений 249
где
2. Напряжения
а. Упругость
A) («„С1 = (*,,)
B) ^С1=(^)
C) (%С - ('*
D) (^С1 = {ТхвЪ \ ф
Формулы для расчета 6ХХ, 6УУ и б^у даны ниже, в п. «е». По-
После того как вычислены напряжения для момента tn+\ можно
вычислить условие текучести (см. ниже п. «ж»).
б. Гидродинамика
• Епф+\
где /?ф+1 вычисляется по уравнению для полной внутренней
энергии (см. ниже п. «д»), A(V) и B(V) —заданные функции
от V.
в. Искусственная вязкость
A) Квадратичная
где Со ==4, величина q вычисляется только для значений 1//1/<0.
B) Линейная
^Ф ^ 1/Л + 1/2
Величина q вычисляется только для значений V/V<0; CL — по-
постоянная, а — скорость звука.
C) Вязкость по Навье — Стоксу
, CA = const.


260 М Л. У ил к и не
Если использовать эти соотношения вместо девиатора на-
напряжений sxx и т. д., то получатся уравнения Навье-Стокса. Эту
величину q бывает полезно использовать для задач, в которых
ударная волна распространяется перпендикулярно свободной
поверхности, что имеет место при рассмотрении двумерных за-
задач об ударе тел. Однако для обычных задач применение ква-
квадратичной вязкости q дает очень хорошие результаты, и имен-
именно это выражение q принято в приведенных уравнениях.
г. Полные напряжения
m [? Г + 1 — k ]n+l \Pn+1
г \ \p , n
—15Ыф —I/ "г Я V
— l5eeJ(D — 1^ф ~г Я V
д. Уравнения энергии
A) Полная внутренняя энергия
\+±.[B(vn+l)\(Vn+1 -Vn)
B) Энергия сдвиговых деформаций
{О «С I О _ О 1 Олл м (У/\г\ ¦ / О
ЬХХ # С/ДГЛ- П^ Ьуу Оуу —J— 506 C/QQ -f- / Jf^/C/Jf
e. Поправка на поворот напряжений за время Д^п+1/2. Если
масса элемента повернулась в плоскости х, у на угол со за вре-
время Д/п+1/2 = ?п+1 — tn, то напряжения должны быть пересчитаны
так, чтобы они относились к системе координат х, у в их новом
положении.
Приведенные ниже формулы преобразования можно найти в
работе [12]:
sxx = sxx cos2 (о + Syy sin2 со + 27%, sin 0 cos 0,
A) Syy = sxx sin2 со + Syy cos2 со — 2Txy sin со cos со,
Т'ху = 7^ [cos2 со — sin2 со] — [sxx — snyy\ cos со sin со.
Угол со определяется по соотношениям
B) V.
Ып+1/2 (ду дх\


Расчет упруго-пластических течений 251
Уравнения A) можно переписать в виде
§п -(- 5Л Sn Sn
s'xx = хх 2 уу + -хх 2 уу cos 2со + Т% sin 2о,
C) 5^-= ** 2 ^^ ХХ 2 ^^ cos ^0 — ^ s'n ^со'
Тху = Гху cos 20 - ***-*Яуу sin 20.
В соотношениях между приращениями напряжений и
деформаций
г I тП+1/2
D) s^1 = sxx + 2м< [Ае^ — ~ (Al^/1/)J и т. д.
напряжения 5^, syy и Тху должны быть заменены на s^, syy
и Тху. Для того чтобы сохранить форму уравнений D), удобно
ввести дополнительный член б к напряжениям так, чтобы
имели место соотношения
•t г 1 пя+1/2
sTx1 =sS»+2n[Дехх—J-(AV/Ю] +Ьпхх и т. д.
E) Ьпхх == sL — «"ж = ( ^ 9 уу ) (cos 2@ — 1) + Тху sin 2ю,
Ьху = Т'ху - П» = П» (cos 2@ - 1) - E*75"У) sin 2ft>>
sin 2(o « 2 sin со = (^L _ ^.j
ж. Расчеты текучести
1. Главные напряжения [7].
2
2
сЛ + 1
1 2
1
2
C) &
В плоской (х, г/) и цилиндрической системах координат, кото-
которые здесь используются, напряжение see уже является глав-
главным.


252
М. Л. Уилкинс
2. Условие текучести Мизеса. Вычисляются величины
4ГТ
B) 2Jn+l— _
Если /Сл+1 > 0, тогда каждое из напряжений sit1, snyyl, see"
р yy
Tnxf умножается на y^V0/V2Jn+1. Если же /Г+1 <0,
ТО
для следующего шага по времени используются напряжения
в неизменной форме.
з. Граничные условия
1. Фиксированная граница по оси х. Вводим воображаемые
ячейки посредством зеркального отображения через границу,
как это указано на рис. 24.
Y
i,
Ш
Ш
Z7r~-
Л
ш
¦** х
Рис. 24. / — отраженные ячейки.
Рис. 25.
Точке /, k можно поставить в соответствие ускорение, соглас-
согласно уравнению движения для обычной точки [уравнения (В)], но
с учетом следующих условий:
</;,* = О,
^ ' (тп \ (тп \ (тп \ (тп \
К1 ху)@) — V7 ху)ф> У1 ху)® — \* ху)®*
Эта процедура обеспечивает нужные ускорения вдоль гра-
границы, но она обладает нежелательным свойством, что препят-
препятствует ее использованию в случае, когда точка /, k лежит на
свободной поверхности, так как в этом случае рассматриваемая
точка будет иметь лишнюю массу соответствующих воображае-
воображаемых ячеек. Более удобно иметь правильную массу, приписывае-
приписываемую каждой точке, определенную раз и навсегда при построе-
построении разностной сетки, но использовать другую методику рас-


Расчет упруго-пластических течений
253
чета ускорения для случая, когда граница является фиксиро-
фиксированной. Поэтому, учитывая рис. 24, мы будем вычислять q>j)h
следующим образом:
B) Фу*=-
Тогда уравнение для ускорения точки у, k, дающее те же
результаты, что и уравнение движения обычной точки с усло-
условием A), запишется так:
(Тху)ф [хпп - лй,] - (Пу)* Ыи - *iv]}.
2. Фиксированная граница на оси у (рис. 25).
Как и выше при рассмотрении оси х, учет влияния отра-
отражения относительно оси у, приводящего к условиям A), можно
ш
Ш
[
\п
Рис. 26. / — свободная поверхность;
2 — неподвижная граница.
*- х
Рис. 27. / — свободная по-
поверхность.
провести путем использования следующих уравнений для
ускорения в точке J, k:
П х = Т
B)
C) [*L\ «.


254
М. Л. У и л к и нс
3. Угловая ячейка, расположенная на оси х (рис. 26).
0) </,-,* = О,
У^хх)® = \2>хх)ф = 0, \%хх)® = \%хх)ф*
(Т*!/)® = — \Тху)ф> Vxy)® = G^)ф = О,
B)
4. Угловая ячейка, расположенная на оси у (рис. 27).
уу)® == B^^)ф = О,
A)
B)
/q\ I dy\ 1
5. Свободные поверхности. Для свободной поверхности в
точке /, k, отмеченной на рис. 28, все величины, относящиеся
ш
©
©
ш
7
1
Р и с. 28. / — свободная по-
поверхность.
Ш
Р и с. 29. / — свободная по-
поверхность.
к воображаемым ячейкам фиф, принимаются равными нулю.
Далее можно использовать уравнения движения для обычной


Расчет упруго-пластических течений
255
точки, только вычисление величин а^, $nJk нужно проводить
по формулам
Для угловой точки свободной поверхности воображаемыми
ячейками на рис. 28 и 29 будут ячейки ф, ® и ф, и
anJt k = (ГХУАЯ1М)9. РЗ. * = [{Ку ~ 2Ь) (AnlM)U.
и. Поверхности скольжения
Когда два материала скользят один по другому, то происхо-
происходит «раздвоение» точек сетки, находящихся на границе кон-
контакта, иначе говоря, возникают большие деформации сетки.
Если принимать во внимание все силы, действующие на поверх-
поверхности контакта, то уравнения движения чрезвычайно усложняют-
усложняются. Для большого класса задач простое раздвоение точек сетки
п+г
n+t
Рис. 30.
дает весьма удовлетворительные результаты. В рассматривае-
рассматриваемом здесь упрощенном варианте метода одна из поверхностей
считается фиксированной границей в течение заданного шага по
времени At. Уравнения движения для скользящего материала
такие же, как и соответствующие уравнения для случая движе-
движения вдоль фиксированной границы. Затем эта фиксированная
граница смещается с течением времени, для чего используется
поле сил, которое имеется в прилегающем к ней скользящем
материале. Новое положение фиксированной границы дает но-
новую границу для скользящего материала. Важным моментом


256 М. Л. Уилкинс
в такого рода вычислениях является то, что параметры на гра-
границе скользящего материала связываются только с этим сколь-
скользящим материалом и что материал, образующий фиксирован-
фиксированную границу, рассматривается так, чтобы эта граница для
него была бы внешней поверхностью с действующими на ней
силами давления. Существенно, что никакие силы не должны
определяться на границе скольжения путем осреднения с ис-
использованием данных по обе стороны границы контакта. Обра-
Обращаясь к рис. 30, заметим следующее:
A) Точка / перемещается вдоль (ks)n так, как если бы
(ks)n была фиксированной границей. Масса точки / соответ-
соответствует массе материала, лежащего ниже линии ks.
B) Точки а, Ь и т. д., расположенные на линии {ks)n, пере-
перемещаются при переходе от момента времени (п) к моменту вре-
времени (п+1). Эти точки связаны с массой сетки выше ks. Линия
(ks)n рассматривается как сеточная граница для верхней части
материала, и предполагается, что ее ускорение обусловлено си-
силами, возникающими от части сетки, лежащей ниже этой гра-'
ницы.
C)" Точки для линии (ks—1)п перемещаются обычным об-
образом.
D) Точка fn+l находится при помощи линии, проходящей че-
через Pn+l и точку */.
Вычисления для поверхности скольжения
(а) Вычисление объемов, соответствующих массовым точ-
точкам на линии k'— 1/2.
1. Дана точка Р на линии k— 1 и наклон тр линии, прохо-
проходящей через Р. Мы хотим найти на линии k точки а и 6, рас-
a i
\
i
i
Р
—«««
Р
X
и с.
1
и
G
31
— —
— к
к - линий
скольжения
—/с-/
положенные по обе стороны от этой линии (рис. 31). Как толь*
ко эти точки найдены-, можно определить точку / пересечения
линии, соединяющей точки а, 6, с линией, проходящей через Р.
Для каждой точки /, k вычисляем
(tg 8)и А= (пгр — mjt /0/A +mp . mjf k),


Расчет упруго-пластических течений
257
где ™>j,h=(yjth—yp)/(x3,k—Xp), причем (хр> ур) и mv за-
задаются.
A) Если |mp|>104, to (tge)jfft=l/mjffc.
B) Если |mJ|ft|>104, то (tg e)jf k = — l/mp.
C) Если |тр|>104и |т,-,Л|>104, то (tge)i>fc=.O.
Проверяем последовательно ряд значений (tg 0) j, h до тех
пор, пока не придем к изменению в знаке. Точки (xjfk, у^и) и
(Xj+i, h, yj+i,h), для которых это будет иметь место, принимаем
за точки (ха, уа) и (хъ, Уь)' (Этот метод становится непригод-
непригодным, если |6|>90°. Однако в практических вычислениях при пе-
переходе от цикла к циклу мы получаем сведения о соседних точ-
точках. Эти то5ки проверяются первыми. Если сразу не получается,
то поочередно испытываются с каждой стороны ближайшие со-
соседние точки. При первом поиске проверяются все точки линии
k на изменение знака arctg 8.)
2. Находим координаты точки / на линии ab:
Xf = (Уа ~Ур + ШрХР - таЬ*ЖтР - т*ь)>
=
К [Уа
Ш
аЬ
(Ха ~ Хр)] ~
3. Повторяем шаги 1 и 2 для точки G, лежащей на линии
k—l.
4. Вычисляем объем, ограниченный точками Р, f, b, f и G
(рис. 32).
Здесь Ai — площадь треугольника 1 и т. д.
/ j k
2А1==
О
х!~хр у{-Ур °
= (хь-хР)(У,-Ур)-(Уь-Ур)(хГ
l j k
xf,—xp yr—yp 0
Хь Хр Уь У р О
= (xf. - хр) (у„ - ур) — (yf, - ур) (х„ -.
/ j к
о р Уо У р ^
хг-хр уг—ур О
\ О р) \У f' У п) \УQ i/ р] у f' р]'
17 Зак. 647


258
М. Л. Уилкинс
5. Вычисляем координаты центра ячейки (рис. 33)
7+1/2, *-1
-1/2
Заметим, что этими формулами, вообще говоря, не опреде-
определяется центр ячейки, но удобно принимать эти величины за ко-
координаты центра.
у
p
i
V
p
n
и
h
с.
f

G
32.
/
к
-A
Л
к
-линия
скольжени*
—ч
J
J
X
/
Рис. 33.
(б) Вычисление перемещения точки f на линии скольжения
k при изменении времени (рис. 34).
sinab =
cos ab = / , xb
\У(Хь-ХаУ
2.
Ф» = |
Здесь Л® — площадь ячейки ® в момент времени п и т. д.
Заметим, что точка / в момент п— 1/2 задается скоростью
точки (у, k— 1), и не принимается во внимание тот факт, что /
может переместиться к новому отрезку линии в течение шага по
времени.
о уп+\ я , "л+1/2
О. Л^ = Xf -+- ^


Расчет упруго-пластических течений
259
(в) Вычисление перемещения точки j, k на линии скольже-
скольжения k при изменении времени.
/ х
/ 3
J ;
' f
1
-J>—
J
p
X
4
и с.
7
34.
^*^>—к
к - линия
скольжения
. —к-1
^, у
fc д
1. Дана точка 2 (рис. 35) и наклон пг2 линии, проходящей
через 2 и перпендикулярной ab. Мы хотим найти точки г и 5 на
к-линия
скольжения
m2.
k-\/2
Рис. 35.
линии k— 1/2, которые лежат по обе стороны от указанной ли-
линии. Для каждой точки (/+1/2), (k—1/2) вычисляем
(tg 8)y+1A k_y2 = (m2 - mj+l/2t ,_
mj+l/2, k-l/2z==={yj+l, Л —1/2 y2)
Щ = — {*а— ХьI(Уа —
A) Если |"гу+1/2,,_1/2|>Ю4, т0 (tg
B) Если \гп2\ > 10*. то (tg6) J
C) Если |m2|>105 и \mJ+1/2tk_l/2\>\0^ то (tg6)y+1/2,,_1/2 = 0.
Последовательно испытываем значения (tg 6)y+i/2, л-1/2 до
тех пор, пока не придем к изменению в знаке. Точки (Xy_i/2, a-1/2,
У1-1/2, k-1/2) и (Х/+1/2, л-1/2, yj+i/2, k-ip) будут точками (хг,уг) и
(-^s, ys) (подробности см. в тексте, § 2).
17*


260 М. Л. Уилкинс
2. Вычисляем точку пересечения {ха,Уа) линии, проходящей
через точку 2, с линией, проходящей через точки (хг,уг) и
(**, У в)
= {^2 [Уг — mrs (xr — х2)\ — тТ8у2I{щ — mrs),
Если |/иГ5|<10~4 и |т2|>104, то xd = x2 и yd — ys.
3. Вычисляем давление в точке d.
-r\l\r- s\y
-ysy и т. д.
4. Повторяем действия 1—3 для получения Ре.
5. Смещаем точку (у, k).
, * - А *
(г) Вычисление смещения остальных точек сетки. Осталь-
Остальная часть разностной сетки подвергается смещению по обычным
уравнениям. Наклон тр, введенный в п. (а), находится по точ-
точке (*/,#/) [см. п. (б)] и новому положению точки Р. Теперь мы
можем повторить шаги (а) и (б). Начальная величина наклона
rtip определяется делением пополам угла, образованного точкой
Р и соседними с ней точками на линии (ks— 1).
(д) Обсуждение. Из описанной процедуры видно, что сколь-
скользящему материалу предписывается следовать движению огра-
ограничивающей линии скольжения. При этом вносится ошибка по
времени и положению, так как, даже несмотря на сохранение
массы, половина массы скользящего материала не учитывается
при расчете ускорения в направлении движения границы. Эта
ошибка уменьшается, когда скользящий материал имеет мень-
меньшую плотность, чем материал, примыкающий к границе, или
когда используется мелкая расчетная сетка. При подходящей
сетке ошибка становится заметной только после того, как ра-
разовьются значительные смещения. Ошибка может быть эффек-
эффективно уменьшена путем увеличения ф^л для материала грани-
границы, чтобы компенсировалась половина массы скользящего мате-
материала, игнорированная в уравнениях для ускорения.


Расчет упруго-пластических течений 261
к. Расчет зоны горения В В
Химическая энергия, выделяющаяся посредством гидродина-
гидродинамического уравнения состояния, запоминается в каждой ячейке
взрывчатого вещества в виде начальной энергии Е°. Время, за
которое фронт детонации достигает определенной ячейки, мож-
можно вычислить заранее по известной скорости детонации D и рас-
расстоянию от точки начала детонации до центра ячейки. Эта вели-
величина также запоминается для каждой ячейки.
При проведении расчета степени превращения F в процессе
горения фронт горения «размазывается» на несколько ячеек
аналогично тому, как путем введения искусственной вязкости q
мы размазываем ударную волну на несколько ячеек. Зона го-
горения интегрируется с использованием уравнения энергии, од-
однако ту явную формулу, которая была дана в разд. Г, 2, д, не-
невозможно применять для расчета энергии. Вместо этого для
расчета энергии следует использовать метод итераций. Описы-
Описываемую ниже процедуру можно также применить вместо спо-
способа вычислений, указанного в разд. Г, 2, д, если требуется ис-
использовать более сложное уравнение состояния.
Для одномерного случая степень превращения F при горе-
горении можно определить формулой [17]
F=(\-V)l(\-VCj)
и начинать расчет горения, полагая jF=1 в ячейке, которая соот-
соответствует точке начала детонации. Расчет горения продол-
продолжается в ячейках, число которых в три-четыре раза больше ко-
количества ячеек, на которых происходит размазывание за счет
использования искусственной вязкости, пока будет достигнуто
четкое установление фронта детонации. В одномерном случае
число этих ячеек достигает 16.
При расчете двумерных задач, для которых число ячеек
практически ограничено, обычно бывает необходимо иметь пра-
правильное значение скорости детонации, установившейся на мень-
меньшем числе ячеек. Удобный способ добиться этого заключается
в том, чтобы начать расчет горения в то время, когда детонация
достигнет данной ячейки описанным выше образом. Для того
чтобы допустить возможность пересжатой детонации, которая
может возникнуть в процессе расчета, и привести к скорости
детонации выше нормальной, можно в дополнение к расчету го-
горения по известной скорости детонации определять еще степень
превращения F при горении по формуле F=(\— V)/(\ — VCj)
и при расчетах выбирать большую из этих двух величин.
A) Степень превращения F\+l равна
/Т1 = (tn+l


262 М. Л. Уилкинс
для tn+1-4.tb имеем /г"+1 = 0,
Fn+1 равно максимуму из F\+l и
Если Fn+1>l, то полагаем /Гп+1 = 1.
Здесь использованы следующие обозначения: t—текущее
время, tb — время начала горения в ячейке, Да: — шаг по про-
пространству, D — скорость детонации, г«2,5 — постоянная, VCj —
относительный объем Чепмена — Жуге.
B) Ёп+1 = Еп- (Рп + qn+l/2) • (Vn+l — V%
C) Рп+1 = Р(Ёп+\ Vn+l).Fn+\
где Р(?, V) —уравнение состояния продуктов детонации,
D) Еп+г = Ёп+1 -1 (Ял+1 - Рп) • (Vn+l - V%
E) Pn+l = Р (Еп+\ Vn+l) • Fn+\
л. Устойчивость
Выбор А^ делается так же, как и в одномерной задаче (см.
приложение I). Характерная толщина ячейки принимается рав-
равной площади соответствующей ячейки, деленной на длину наи-
наибольшей диагонали.
м. Случай плоской геометрии
Для случая плоской геометрии в пространстве (х,у), со-
согласно уравнению, приведенному в начале этого приложения
[разд. А, уравнение (а)], формула для расчета массы примет
следующий вид:
Условие сохранения массы (разд. Б) запишется так:
В уравнениях движения (разд. В) члены аир полагаются
равными нулю. Величины q^, и становятся постоянными и вы-
вычисляются только один раз для каждой точки /, k. Логика опре-
определения величин q>jtk на границе разностной сетки та же, что и
для случая осевой симметрии, только
-жф и т. д.
Член 80е, встречающийся в разделе об уравнении состояния,
следует положить равным нулю.


Расчет упруго-пластических течений 263
Литература
1. Альтшулер Л. В., Кормер С. Б., Бражник М. И., Владими-
Владимиров Л. А., Сперанская М, П., Фунтиков А. И., ЖЭТФ% 38, № 4,
1061 A960).
2. Drucker D. С, /. Appl. Mech., 26, 101—106 A959) (имеется русский пе-
перевод: сб. Механика, № 2 F0) A960), 55—70).
3. D u v а 11 G., Appl. Mech. Rev., 15, 849—854 A962).
4. Lundergan С. D., The Hugoniot equation of state of 6061-T6 aluminum
at low pressures, SC-4637 (RR), 1961.
5. Ma en с hen G., Nuckolls J., Paper J. UCRL-6438, Part II, 1961.
6. Мог land L. W., Phil. Trans. Roy. Soc.t A251, 341—383 A959).
7. H а д а и А., Пластичность и разрушение твердых тел, ИЛ, М., 1954.
8. Прагер В., Ход ж Ф., Теория идеально пластических тел, ИЛ, М.,
. 1956.
9. R e d d i с k H. W., Miller F. H., Advanced Mathematics for Engineers,
3rd ed. Wiley. New York, 1955.
10. Рей не p M., Двенадцать лекций по теоретической реологии, ИЛ, М,
1950.
11. Рихтмайер Р. Д., Разностные методы решения краевых задач, ИЛ,
М., 1960.
12. Тимошенко С. П., Теория упругости, ОНТИ, М., 1937.
13. М i s e s R., Z. Angew. Math, und Mech., 8 A928).
14. Von Neumann J., Richtmyer R. D, /. Appl. Phys., 21, 232 A950)
(имеется сокращенный русский перевод: Нейман Дж., Р и х т
м а й е р Р., Метод численного расчета гидродинамических скачков, сб.
Механика, № 1 A951)).
15. Walsh J. M., Rice M. H., McQueen R. G., Yarger F. L, Phy*.
Rev., 108, № 2 A957).
16. Week en F., Muecke L., Detonation d'une charge spherique, Lab. Rech.
Tech. Saint-Louis Rappt. Nos. 8/50 and 1/53, 1950.
17. W i 1 k i n s M. L., Calcul de Detonations Mono et Bidimensionnelles, in
«Les Ondes de Detonation», pp. 165—175 (Proc. Colloq. held at Gif-sur-
Yvette, France, Aug. 28—Sept. 2, 1961). Editions du Centre National de
la Recherche Scientifique, Paris, 1962.


Метод характеристик для решения уравнений
одномерного неустановившегося течения
н.э.хоскин
Институт исследований по атомному вооружению,
Олдермастон, Англия
1. Введение ' 264
2. Уравнения движения 266
3. Структура программы для вычислительной машины 272
4. Расчет методом характеристик с фиксированными шагами по времени 286
5. Заключение 291
Литература 291
/. Введение
А. Методы решения
Течения сжимаемой жидкости описываются дифференциаль-
дифференциальными уравнениями в частных производных, которые выражают
законы сохранения массы, изменения количества движения и
сохранения энергии и к которым присоединяется еще уравнение
состояния, связывающее термодинамические переменные. Эти
уравнения вместе с необходимыми начальными значениями и
граничными условиями определяют решение и в принципе могут
быть проинтегрированы, что позволит построить течение в по-
последующие моменты времени. Из-за нелинейности этих уравне-
уравнений могут возникать разрывы (т. е. ударные волны) в перво-
первоначально непрерывном решении, или же ударные волны могут
иметь место уже в начальный момент времени. Определение
движения этих ударных волн существенно, чтобы в последую-
последующие моменты времени решение было правильным.
Один из подходов состоит во введении в исходные уравнения
искусственных диссипативных членов либо в явной форме (см.,
например, работу фон Неймана и Рихтмайера [6]), либо путем
выбора подходящего конечно-разностного представления урав-
уравнений, описывающих течение (см., например, работу Лакса [5]).
В результате этого разрывы размажутся на узкие области, по-
поперек которых параметры течения будут изменяться быстро, но
непрерывно. Тогда здесь не будет возникать каких-либо допол-
дополнительных трудностей из-за наличия или появления скачков.
Однако вследствие размазывания скачков в этом случае ухуд-
ухудшится определение решения, поэтому дальнейшее развитие та-
такого метода связано с рассмотрением скачков в форме разрывов
и с одновременным расчетом всех остальных точек области по


Метод характеристик для неустановившегося течения 265
стандартным конечно-разностным схемам (Стейн [7]; Келлер и
др. [3]). Мы здесь будем использовать уравнения газовой дина-'
мики в характеристических переменных, при этом скачки будут
рассматриваться точным образом.
Б. Характеристические переменные
Если пренебрегать диссипативными процессами, такими, как
вязкость и теплопроводность, то дифференциальные уравнения
в частных производных, описывающие данную задачу, будут
принадлежать к гиперболическому типу и, следовательно, будут
обладать действительными характеристиками. Из этих уравне-
уравнений можно составить такие комбинации, которые будут содер-
содержать производные только по одному направлению (см., напри-
например, Курант и Фридрихе [1]). Эти направления определяют
однопараметрические семейства характеристических кривых
(которые обычно называют просто характеристиками). Сперва,
мы рассмотрим определение решения в точках, образованных
пересечением характеристик, принадлежащих различным се-
семействам. В дальнейшем кратко изложим решение характери-
характеристических уравнений при использовании специальной расчетной
сетки, образованной линиями постоянных значений времени и
пространственной координаты.
В. Относительные преимущества метода характеристик
Сначала остановимся на преимуществах метода характери-
характеристик по сравнению с другими конечно-разностными методами,
упоминавшимися в § 1,А. Основной недостаток обычных ко-
конечно-разностных схем состоит в том, что применение конечного
шага разностной сетки не позволяет точно рассматривать та-
такие особенности, как центрированные волны разрежения, а из-за
введения искусственной вязкости приходится уменьшать воз-
возможную величину шага при интегрировании по времени по
сравнению со значением, которое дает критерий Куранта. Хотя
при точном рассмотрении скачков второе ограничение устра-
устраняется, однако первый недостаток такой расчетной конечно-раз-
конечно-разностной схемы все еще будет оставаться.
При решении уравнений газовой динамики численным мето-
методом характеристик устойчивость не накладывает ограничений
на размер шага расчетной сетки, хотя очевидно, что ошибки
аппроксимации будут возрастать с увеличением шага сетки.
Уравнения газовой динамики в характеристической форме со-
содержат производные только вдоль характеристических направ-
направлений. Поэтому, если в начальный момент времени в некоторой
точке начальные данные имеют разрыв какой-либо произ-
производной, то такой разрыв будет распространяться безо всякой
диффузии вдоль характеристической кривой, проходящей через


266 Н. Э. Xо скин
эту точку. Отсюда следует, что области с различными типами
непрерывного течения (например, волны сжатия, волны разре-
разрежения и области равномерного течения) должны быть ограни-
ограничены и отделены друг от друга характеристическими кривы-
кривыми. Таким образом, в решении, полученном в точках характери-
характеристической сетки, все отдельные волны будут построены точно.
В решении же, полученном с помощью конечно-разностного ме-
метода, такие границы будут, вообще говоря, размазываться, и
здесь для достижения такой же точности, как в методе харак-
характеристик, придется, вероятно, брать более мелкую сетку. По-
Поэтому следует ожидать, что метод характеристик будет давать
результаты с желаемой точностью при меньшей затрате труда,
чем в случае применения конечно-разностного метода.
С другой стороны, сложность логики метода характеристик
быстро возрастает с увеличением числа рассматриваемых раз-
разрывов, в то время как в конечно-разностных методах при ис-
использовании искусственной вязкости иметь дело со сложными
системами не труднее, чем с простыми задачами. Ограничения
метода характеристик станут более очевидны позже, когда мы
будем обсуждать различные конкретные задачи.
Г. Терминология и обозначения
Если диссипативные процессы не учитываются, то энтропия ка-
каждого элемента жидкости будет оставаться постоянной до тех пор,
пока элемент не пересечет какая-либо ударная волна. Следуя Ку-
Куранту и Фридрихсу [1], соответствующие течения будем называть
адиабатическими. Если же энтропия всех элементов имеет одну и
ту же величину, то такое течение будет называться изэнтропиче-
ским. Мы будем рассматривать течения, которые являются ади-
адиабатическими, но не обязательно изэнтропическими.
Переменные величины, которые входят в уравнения в после-
последующих параграфах, обозначаются следующим образом: R —
эйлерова пространственная координата, г — лагранжева про-
пространственная координата, t — время, и — скорость жидкости,
U — скорость ударной волны, р — давление, р — плотность,
ро — начальная плотность, а = ро/р — относительный объем, с —
скорость звука, Г —температура, S —энтропия, Е — внутренняя
энергия, а = 0, 1, 2 для плоского, цилиндрического и сфериче-
сферического течений соответственно.
2. Уравнения движения
А. Обычная форма уравнений
Сначала рассмотрим уравнения движения в лагранжевых
переменных, поскольку в плоскости (г, t) траектории частиц (и,
следовательно,, поверхности раздела двух различных сред) пред-


Метод характеристик для неустановившегося течения 267
ставляются просто уравнением r = const. Тогда из законов со-
сохранения массы, изменения количества движения и сохранения
энергии можно вывести следующие уравнения:
dv (R\a ди auv m
~di \T) -5F — {l)
Кроме того, имеем
— = и D)
dt u W
и уравнение состояния, которое можно записать в форме
p = p(v, Е). E)
Б. Характеристическая форма
Уравнение C) имеет нужную характеристическую форму,
поскольку в него входят производные только по одному напра-
направлению. Преобразуем теперь к характеристической форме ура-
уравнения A) и B). Скорость звука определяется равенством
Тогда, умножая уравнение A) на c\v и используя формулу F),
находим
1 др , с (R\a ди аис ,7ч
Складывая уравнения B) и G), найдем
1 Г др , с ( R \а др 1 , Г ди с ( R \а ди  аис ,«,
а вычитая уравнение B) из уравнения G), аналогично получим
I \др с (R\a др] \ди с (R\a ди]_ аис ,Q,
pc[dt ~~Т\Т) W\~['dF~ir\T) -dF\ — ~1T' w
pc
Таким образом, уравнения (8) и (9) имеют характеристическую
форму, и их можно переписать в следующем виде:
±.dp + du + -Hg-dt = O A0)
вдоль
±dp-du + ^-dt = 0 A2)


268 Н. Э. Xо скин
вдоль
Уравнение C) в характеристической форме можно записать так:
dE + pdv = 0 или dS = 0 A4)
вдоль
dr=0. A5)
Кривые, определяемые уравнением A1), обычно называют
характеристиками первого семейства, а кривые, определяемые
уравнением A3), — характеристиками второго семейства. Мо-
Можно показать, что в эйлеровых переменных характеристические
кривые определяются следующими дифференциальными соотно-
соотношениями:
dR=(u±c)dt, A6)
где знак плюс относится к характеристикам первого семейства,
а знак минус к характеристикам второго семейства.
В изэнтропических течениях третье характеристическое со-
соотношение [уравнение A4) или A5)] не требуется, поскольку
здесь энтропия не является переменной величиной. Однако в об-
общем случае при решении задач необходимо использовать харак-
характеристические соотношения вдоль трех различных характери-
характеристических кривых.
В. Разрывы
Существуют два типа разрывов. Простейшим типом являют-
являются контактные поверхности (т. е. поверхности раздела двух сред
и свободные поверхности), при переходе через которые давление
и скорость остаются непрерывными, а плотность, энергия и эн-
энтропия терпят разрыв. Закон движения этих поверхностей дает-
дается уравнением
dR = udt, dr=0. A7)
Ко второму типу разрывов относятся ударные волны, диффе-
дифференциальное уравнение которых имеет вид
dR=Udt. A8)
Все зависимые переменные при переходе через ударную волну
претерпевают разрыв. Так как скорость ударной волны U яв-
является функцией других параметров течения, то закон дви-
движения ударных волн должен определяться одновременно с рас-
расчетом всей остальной области течения. Величины разрыва этих
параметров течения находятся решением соотношений Рэнки-
на — Гюгонио, которые выражают условия сохранения массы,
изменения количества движения и сохранения энергии при пере-


Метод характеристик для неустановившегося течения 269
ходе через ударную волну. Если индексами 0 и 1 обозначить
соответственно условия впереди и позади скачка, то эти соотно-
соотношения можно записать в следующем виде:
Ро («I — и оJ = (А — Л)) (*><> — v 1)' (! 9)
— vx), B0)
y «i). B1)
Эти соотношения вместе с уравнением состояния образуют
четыре уравнения для определения пяти неизвестных функций
Hi, pu U> vu E\- Здесь имеется в виду, что условия впереди
скачка (т. е. величины, обозначенные индексом 0) известны.
Таким образом, если одна переменная, скажем ии известна, то
можно найти все остальные неизвестные. Наиболее целесообраз-
целесообразный метод решения указанных уравнений состоит в следующем.
Уравнение B1) переписывается в виде
0 = 6 = 2?! — 2?0+ (Pt + Po) {vi — v0), B2)
где б представляет собой невязку, которая обратится в нуль,
когда будет определено истинное решение. Далее расчеты ве-
ведутся следующим образом.
а) Задается некоторое исходное приближенное значение о4.
б) По уравнению A9) рассчитывают р4.
в) По уравнению состояния вычисляется Еи и, следователь-
следовательно, теперь можно определить величину б, которая должна обра-
обращаться в нуль, если уравнение B1) удовлетворяется.
г) Если же уравнение B2) не удовлетворяется, то, чтобы
найти уточненное значение vu надо сначала вычислить произ-
производную б по Vi при фиксированном и4. Эту производную можно
определить точно.
д) Далее можно найти уточненное значение vu которое бе-
берется таким, чтобы свести к нулю величину б. Затем процесс
вычислений повторяется, начиная с п. «б» до тех пор, пока ве-
величина б не станет достаточно малой.
При расчете условий за скачком определяются также ско-
скорость скачка, энтропия, скорость звука и т. д. Если условия пе-
перед скачком не фиксированы, а зависят от того, как набегает
поток на скачок, то эти условия необходимо рассчитывать путем
итераций. При сведении величины б к нулю предполагается, что
зависимость б от изменения условий перед скачком, когда его
положение уточняется, не нарушает сходимости процесса ите-
итераций. Когда в расчетах наблюдалась расходимость итераций,
то она была обусловлена только плохим выбором исходного
приближенного значения Vi.


270 И. Э. Xо скин
Г. Конечно-разностная форма уравнений
Приведенные уравнения во всех случаях представляются в
конечно-разностной форме заменой производных разделенными
разностями на некотором интервале и заменой других величин
средними арифметическими значениями на этом интервале.
Например, для интервала, заключенного между точками Л и В
на контактной поверхности, уравнение
dR
ЧГ = и
заменяется на уравнение
{Rb ~ RaWb - *л) = т («в + «д). B3)
В такой разностной схеме ошибки, обусловленные конечным
размером ячейки, имеют порядок квадрата шага сетки.
Д. Определение решения в точках характеристической сетки
Пусть решение известно в двух точках А к В (рис. 1), тогда
определение решения в новой точке проводится сравнительно
просто, если при этом не возникают ударные волны.
Новая точка D находится пересечением характеристики (на-
(например, первого семейства), проходящей через точку Л, с ха-
характеристикой второго семейства, проходящей через точку В.
Тогда вдоль линии AD будут выполняться уравнения A0) и
A1), а вдоль линии BD — уравнения A2) и A3). Если через
МА обозначить значение некоторой переменной величины М в
точке Л, а через МАв — среднее значение этой величины по точ-
точкам Л и В, то тогда необходимые уравнения можно записать
следующим образом:
Шло (Р°-Р^ + »о-иА+ Вг]д>-'л) = 0, B4)
{tD-tA)^, B5)
Шва ь* -Рв) - (и° ~ Ub)+№L {t° ~ h)=0> B6)
tB) = 0, B7)
Rd - ^ a ~ [u + c\AD (tD - tA) = 0, B8)
/?o —Яд-[« — *L»d &> — <i>) = 0. B9)
Кроме того, имеем
(p\p){vvF) = 0, C0)


Метод характеристик для неустановившегося течения
271
где F — некоторая точка на линии тока, проходящей через точ-
точку D, т. е. на линии r=rD=const, а параметры в точке F можно
найти интерполяцией по их значениям в точках А и В.
Решение этих уравнений проводится методом итераций в со-
совсем простой форме. Предположим, что средние значения вели-
величин, заключенных в квадратные скобки, вначале известны. То-
Тогда расчеты можно вести сле-
следующим образом.
а) Из уравнений B5) и
B7) находится rD и tD.
б) Подставляя найденное
значение tD в уравнения B4)
и B6), вычисляем pD и uD.
в) Подставляя pD в урав-
уравнение C0) и решая его вместе
с уравнением состояния, опре-
определяем ED и Vd-
г) Вычисляя скорость зву-
звука с, можно найти Rd либо из
уравнения B8), либо из урав-
Рис. 1. Расчет обыкновенной точки
в методе характеристик; AD, DB^-
характеристики различных семейств,
DF — линия тока.
нения B9). Два эти значения
RD должны совпадать, а разли-
различие в них указывает на ошиб-
ошибки, обусловленные размером
ячейки.
д) Теперь можно пересчитать функции, входящие в выра-
выражения в квадратных скобках. Далее процесс расчета повторяют,
начиная с п. «а» до тех пор, пока не сойдутся все функции.
Изложенный метод расчета можно видоизменить так, чтобы
рассчитывать другие типы точек. Например, если D представ-
представляет собой точку на свободной поверхности и если В — преды-
предыдущая точка на свободной поверхности, то уравнения B6), B7)
и B9) надо заменить следующими:
А> = 0, C1)
rD = rB, C2)
Rd~Rb-\ (tiD + ив) (tD - tB) = 0. C3)
Систему уравнений в этом случае можно решить способом, ана-
аналогичным описанному.
Рассматриваемая схема итерационного метода работает удо-
удовлетворительно; такой вычислительный процесс можно продол-
продолжить* для других точек, как это показано на рис. 2. Заметим,
что при отсутствии иной информации, кроме решения, первона-
первоначально известного в точках Аи А2, А$ и Л4> расчеты будут огра-
ограничены областью, содержащей точки Ви ?2, ^з, Си С2, Dit и


272
Н. Э. Xо скин
t
их нельзя продолжить для точек, расположенных по времени
дальше, чем точка D\. Эта область называется областью влия-
влияния точки D\ [1]. Условия в
любой точке этой области бу-
будут влиять на решение в точ-
точке jDi.
Однако при решении воз-
возникает много трудностей, когда
в области течения появляют-
появляются разрывы. Поскольку поло-
положение разрывов заранее не-
неизвестно, то их расчет должен
проводиться вместе с расчетом
всей остальной части области
течения. Как и в случае обра-
образования скачка из волны сжа-
сжатия путем увеличения ее кру-
крутизны, разрывы здесь возни-
возникают в области, в которой ре-
решение ранее было непрерыв-
Р и^с. 2. Характеристическая сетка,
показывающая область влияния точ-
точки Dx.
ным. Поэтому необходимо принимать меры, позволяющие кон-
контролировать появление таких разрывов.
3. Структура программы для вычислительной машины
А. Введение
Рассмотрим теперь типичную программу для расчетов на
вычислительной машине по методу характеристик. Для просто-
простоты и ясности будем рассматривать только частный вид програм-
программы, не стремясь к слишком большим обобщениям. Вначале по-
построенная программа применялась на вычислительной машине
с ограниченным объемом быстродействующей памяти. Это об-
обстоятельство до некоторой степени определило структуру про-
программы, хотя для метода характеристик, вообще говоря, значи-
значительное увеличение объема быстродействующей памяти не при-
приносит большой пользы. Увеличение быстродействующей памяти
наиболее полезно в задачах с образованием ударных волн из
волн сжатия. Этот вопрос более полно обсуждается в § 3, Ж.
Б. Хранение решения
1. Общее описание. Даже относительно большая внутренняя
память современных вычислительных машин не позволяет хра-
хранить в ней все точки рассчитываемого решения. Хранятся только
те точки, которые требуются для построения решения. Но по-
поскольку все результаты расчетов записываются на магнитную


Метод характеристик для неустановившегося течения 273
ленту сразу же, как только они получены, то полное решение
будет доступно для исследования и в любой последующий мо-
момент времени. Как только точка больше не нужна для продол-
продолжения решения, она выбрасывается из памяти. Построенное
решение представляет собой совокупность обыкновенных точек,
точек на ударных волнах, поверхностях раздела и свободных
поверхностях, связанных характеристической сеткой. Эти точки
образуют цепь, заполняющую область решения.
Для каждой точки этой цепи отводятся 16 слов машинной
памяти, попросту называемых вектором. Из этих 16 слов 14 слов
используются для представления следующих переменных в ука-
указанном здесь порядке:
р, v, S, ?, с, г, /?, и, U, 1/рс, uc/Ry (/?//•)«, ф, t
(см. § 1,Г). Слово, соответствующее величине ?, обычно ис-
используется для записи контрольной суммы вектора, когда точка
хранится во внутренней или во внешней памяти. Величина Е
хранится, вообще говоря, лишь во время расчетов скачков, по-
поверхностей раздела и т. п. Пятнадцатое и шестнадцатое слова
вектора выполняют логические функции; в них хранятся числа,
характеризующие материал рассчитываемой среды и тип рас-
расчетной точки (точка на скачке, на свободной поверхности и т. д.),
а также адреса первого слова левой и правой соседних точек в
цепи. Эти последние данные дают возможность программе ана-
анализировать расположение точек в окрестности скачков и т. п.
Числа, показывающие тип расчетной точки: 0 — обыкновен-
обыкновенная точка, 1 — точка на скачке общего вида, 2 — точка на по-
поверхности раздела, 3 — точка на простом скачке, 4 — точка на
свободной поверхности, 5 — точка на граничной характеристике.
Все эти точки будут более полно определены в последующих
пунктах этого параграфа.
Возможны два состояния цепи рассчитываемых точек, при
которых г либо увеличивается, либо уменьшается при движе-
движении вдоль цепи слева направо. Эти возможные состояния сим-
символически фиксируются в некоторой ячейке, называемой «зна-
«знаком», в которую соответственно заносятся положительный или
отрицательный знаки. Эта схема введена для того, чтобы, на-
например, скачки, движущиеся вперед или назад, можно было
рассчитывать при одном и том же расположении ячеек памяти.
В принятом расположении памяти точки решения впереди скач-
скачка всегда размещаются справа. Если это не имеет места, то
тогда эти точки надо расположить соответствующим образом,
что достигается обращением связок перед проведением расчета
так, чтобы при расчетах скачок всегда был направлен вправо.
Взаимодействие скачка с характеристиками описывается ана-
аналогичным образом в терминах левого и правого расположений.
18 Зак. 647


274 Н. Э. Xо скин
Пусть, например, скачок движется вправо более медленно,
чем бегущая вправо характеристика, расположенная левее скач-
скачка. Принадлежность этой характеристики в физической плоскости
к первому или второму семейству логика программы не опре-
определяет. Но когда для решения привлекаются дифференциаль-
дифференциальные соотношения вдоль характеристик, правильный выбор ко-
коэффициентов в этих соотношениях осуществляется с помощью
анализа признака, содержащего в ячейке «знак». Если признак
в ячейке «знак» положителен, то бегущая вправо характери-
характеристика будет характеристикой первого семейства, а бегущая вле-
влево характеристика будет характеристикой второго семейства.
Если же признак в ячейке «знак» отрицателен, то имеет место
обратное положение.
2. Специальные векторы. В памяти машины строится таб-
таблица, в которой хранятся точки на скачке, на свободной поверх-
поверхности и точки на граничной характеристике (точки на поверх-
поверхности раздела в эту таблицу не заносятся). Эта таблица спе-
специальных векторов содержит адреса таких специальных точек
и числа, характеризующие тип точки.
3. Свободные векторы. Для хранения векторов отводится оп-
определенное количество блоков из 16 слов; некоторые из них мо-
могут заполняться в процессе решения. Те векторы, которые ос-
остаются незаполненными, называются свободными векторами; их
адреса и номера заносятся в таблицу свободных векторов. Если
в процессе решения число точек увеличивается, то используются
свободные векторы. Если же число точек уменьшается, то тогда
адреса соответствующих векторов выводятся и добавляются в
таблицу свободных векторов.
Состояние решения представляется: а) векторами, описы-
описывающими решение; б) таблицей специальных векторов; в) таб-
таблицей свободных векторов; г) ячейкой «знак». Для целей
временного хранения решения (например, на картах) векторы,
описывающие решение, имеют свои связки, которые в случае
необходимости можно регулировать так, чтобы в ячейке «знак»
был положительный признак. При стандартном выводе решения
выдается информация, перечисленная выше в пп. «а», «б», «в».
Это стандартное решение можно также печатать.
В. Порядок вычислений
Программа для расчета решения работает, согласно следую-
следующим правилам:
а) Обходится таблица специальных векторов, и адреса этих
векторов используются для нахождения значений времени для
специальных точек. Выбирается точка с наименьшим значением
времени.


Метод характеристик для неустановившегося течения
275
б) Исследуется тип этой специальной точки с минимальным
значением времени. Это может быть скачок, движущийся в по-
покоящейся среде (простой скачок), точка такого типа обозна-
обозначается номером 3, или скачок общего вида (скачок, перед кото-
которым имеет место неустановившийся поток), точка такого типа
обозначается номером 1, или, наконец, точка на граничной ха-
характеристике, или точка на свободной поверхности (типы то-
точек 5 и 4).
в) Перед проведением рас- t
чета следующей точки на гра-
границе, определенной в п. «б»,
программа проверяет, не при-
принадлежит ли эта точка скачку
или свободной поверхности, ко-
которые достигли поверхности
раздела двух сред. Если это
имеет место, то переходят к
расчету скачка, преломленно-
преломленного при переходе через поверх-
поверхность раздела, и к расчету вол-
волны, отраженной от поверхно-
поверхности раздела. Такой процесс
расчета будет описан в даль-
нрЙшрм
нсишсм.
Г) Затем Программа рас-
считывает новую граничную
точку вместе с обыкновенными точками и точками на поверхно-
поверхности раздела, попадающими в область влияния новой точки.
Точки на граничной характеристике рассматриваются отдельно
от остальных специальных точек.
Далее процесс расчета повторяется, начиная с п. «а».
Приведенные здесь правила оказывают существенное влия-
влияние на структуру рассчитываемого решения по двум причинам.
Во-первых, эти правила гарантируют, что специальные границы
всегда будут строиться приблизительно равномерно во времени,
а во-вторых, в этом случае остальные точки решения будут от-
отставать. Грубо говоря, остальные точки решения будут распола-
располагаться вдоль границ области влияния специальных точек.
На рис. 3 в плоскости лагранжевых координат (г, t) пока-
показана картина типичного решения в том виде, как оно хранится
в памяти машины.
Г. Расчет обыкновенных точек и точек
на поверхности раздела
1. Обыкновенные точки. Предположим, что решение извест-
известно на кривых, показанных сплошной линией на рис, 3. Пусть
Рис. 3. Диаграмма, иллюстрирую-
иллюстрирующая решение, хранимое в памяти
машины.
А, В — специальные точки; # точки хра-
хранимого решения; О точки, вычисленные для
получения решения в точке Вг.
18*


276 Я. Э. Хоскин
необходимо рассчитать следующую характеристику первого се-
семейства, изображенную на этом рисунке пунктиром. Этот про-
процесс расчета мы рассмотрим несколько подробнее, поскольку он
дает хороший пример того, как программа использует связки
для выбора своего пути вдоль цепи точек. Следует напомнить,
что программа для вычислительной машины не может быть со-
составлена таким образом, чтобы она, подобно мозгу человека,
воспринимала целиком все решение, изображенное на рис. 3.
Программа ограничивается ис-
t следованием только весьма
малой части решения.
С точки зрения машины
рассматриваемая задача со-
состоит в следующем. Задана
"N точка Б, и требуется рассчи-
рассчитать точки на характеристике
первого семейства вплоть до
точки В\ которая является
следующей точкой на харак-
1 теристике второго семейства,
Рис. 4. Схема расчета обыкновен- исходящей из точки В.
ной точки. Поскольку соседние точки в
цепи связаны характеристикой
(по определению), то в конечном результате точка В' будет
левой соседней точкой по отношению к точке В. В процессе рас-
расчета точки будут либо добавляться, либо выкидываться из ре-
решения. По этой причине единственно возможным локальным
расположением точек при расчете некоторой обыкновенной точ-
точки будет расположение, показанное на рис. 4. Здесь значение
времени в точке М меньше, чем значение времени в точках L и
N. Точка Р будет занимать в памяти машины место, которое
раньше занимала точка М.
Расчетный цикл состоит из следующих операций:
а) Двигаются влево от точки В. Если значение времени в
точке В будет меньше, чем значение времени в ее соседней ле-
левой точке, то процесс расчета заканчивается.
б) Двигаются дальше влево до тех пор, пока не будет най-
найдена пара смежных точек, из которых левая точка будет иметь
значение времени большее, чем другая точка пары. Такие точ-
точки изображены на рис. 4 как точки L и М9 а точка N является
правой соседней точкой для точки М.
в) Точки L, M, N выводятся из цепи в рабочие ячейки про-
программы, а одна из этих точек используется в качестве первого
приближения для точки Р.
г) Рассчитывают точку Р, решая методом итераций соответ-
соответствующие характеристические соотношения вдоль LP и NP. Эн-


Метод характеристик для неустановившегося течения
277
М N
тропию в этой точке находят квадратичной интерполяцией, ис-
используя значения S и г в точка* L, М, N. На каждой итерации
проводятся также расчеты по уравнению состояния. После до-
достижения сходимости точка Р заносится в цепь точек на место
точки М.
Указанный процесс расчета описан здесь для характеристики
первого семейства. Аналогичный процесс расчета применяется и
для характеристики второго семейства, только в этом случае
надо предварительно изменить признаки в ячейке «знак» и по-
поменять ролями левые и пра-
правые связки. Признак в ячейке
«знак» служит для определе-
определения того, какие коэффициенты
при расчете на этапе «г» дол-
должны использоваться в харак-
характеристических соотношениях
вдоль LP и NP.
2. Точки на поверхности
раздела. Точки на поверхности
раздела (отмечаемые номе-
номером 2) в цепи точек представ-
представляют собой пару смежных то-
точек с одинаковым значением
времени.
Во время поиска при движении влево, проводимом на опи-
описанном выше этапе б), точки на поверхности раздела будут про-
пропущены. Это не вызывает затруднений, если только точка на
поверхности раздела не окажется точкой М. В последнем случае
в этой точке будет такое же значение времени, что и в сосед-
соседней с ней точке N. Это условие проверяется на этапе «б», и если
такая проверка покажет, что точка находится на поверхности
раздела, то мы будем иметь расположение точек, изображенное
на рис. 5. Здесь точки М и JV находятся на поверхности раз-
раздела, а в точках L и О значение времени выше, чем в точках
М и N.
Возможны два способа расчета новой точки на поверхности
раздела, поскольку эту точку можно рассматривать как пересе-
пересечение элемента поверхности раздела с характеристикой, про-
проходящей либо через точку L, либо через точку О. Обычно
останавливаются на таком выборе, когда характеристика, пере-
пересекающая поверхность раздела, является характеристикой пер-
первого семейства.
Продолжим описание действий, которые выполняет програм-
программа. Предположим, что признак в ячейке «знак» положителен,
так что ML — характеристика второго семейства, а N0 —
характеристика первого семейства. Точки на поверхности раз-
Рис. 5. Схема расчета поверхности
раздела двух сред.


278 И. Э. Хоскин
дела, которые должны быть рассчитаны, обозначим через ЛГ,»ЛГ.
Положение точек М\ N' в плоскости (г, t) определяется как ре-
результат пересечения характеристики первого семейства LM' и
элемента поверхности раздела ММ'. Характеристика второго се-
семейства N'Q проходит через точки N' и Q, причем параметры в
последней точке определяются интерполяцией вдоль линии N0.
Если точка Q попадает за пределы участка N0, то тогда на ха-
характеристике N0 должна быть рассчитана следующая точка
вместо точки О, причем последняя выбрасывается.
Вдоль характеристики N'Q вычисляется разностное выраже-
выражение
—du + (l/pc)dp+ (auc/R)dt.
Эта величина рассматривается как функция скорости частиц
в точке (М', W), которая должна быть подобрана такой, чтобы
указанное разностное выражение равнялось нулю. Давление в
точке (М', N') в каждой итерации вычисляют как функцию ско-
скорости частиц в ЛГ, используя характеристическое соотношение
вдоль LM'. Затем полученная величина давления подставляется
в уравнение состояния.
После этого расчет обыкновенных точек продолжается по
описанной схеме.
Д. Расчет специальных точек
1. Точки на граничной характеристике (точки типа 5). Точки
на граничной характеристике представляют собой точки, нахо-
находящиеся на внешней характеристике, ограничивающей решение.
Новая точка на граничной характеристике рассчитывается пу-
путем продолжения этой характеристики. Такая новая точка вво-
вводится в решение, а старая точка выбрасывается.
2. Точки на свободной поверхности (точки типа 4). Подоб-
Подобно скачкам и поверхностям раздела, свободная поверхность
представляется парой точек, которые в этом случае являются
идентичными. Возможно (хотя, вообще говоря, и необязательно)
использовать широкую аналогию, имеющую место при расчетах
свободной поверхности и скачка. Например, как скачок, так и
свободная поверхность взаимодействуют с решениями, имеющи-
имеющимися позади них. Кроме того, условия на свободной поверхно-
поверхности можно рассматривать как вырожденную форму соотноше-
соотношений Рэнкина — Гюгонио для скачка.
Обратимся к рис. 6, на котором для удобства сравнения с
расчетом простого скачка в качестве переменных взяты эйлеро-
эйлерова пространственная координата и время. На этом рисунке
(L,Lf) изображает точку на свободной поверхности, М — сле-
следующая точка на характеристике, идущей от свободной поверх-


Метод характеристик для неустановившегося течения
279
ности, N — базовая точка, фиксирующая значение R, при кото-
котором должна рассчитываться новая точка свободной поверхно-
поверхности, а линия O'Q представляет собой характеристику другого
семейства по сравнению с характеристикой L'M. Задав некото-
некоторое значение скорости частиц в @,0'), рассчитывают положе-
положение точки @,0') в плоскости (R,t). Затем находится точка Q
на L'M по вычисленному значению времени в ней, а путем ин-
интерполяции находятся все другие переменные величины в этой
точке. Вдоль QO' определяет-
определяется величина разностного выра-
выражения, которое рассматрива-
рассматривалось выше при расчете точки
на поверхности раздела, а ско-
скорость частиц в точке (О, О')
подбирается такой, чтобы ука-
указанное разностное выражение
обратилось в нуль.
Мы предполагали, что точ-
точка Q всегда лежит между точ-
точками М и Z/. Если это не
имеет места, то тогда свобод-
свободную поверхность рассчитыва-
рассчитывают, рассматривая взаимодей-
взаимодействие элемента свободной по- CK0CTIii где в качестве переменных
верхности характеристики, про- взяты эйлерова координата и время,
ходящей через точку М. В этом
случае базовая точка N не участвует в расчете. Оба эти спо-
способа расчета позволяют построить свободную поверхность в
результате пересечения ее с характеристической сеткой. Но при
этом свободную поверхность рассчитывают так, что она всюду
будет проходить через точки пространства, фиксированные ба-
базовыми точками. Перед началом расчета свободной поверхности
должно быть обеспечено стандартное расположение точек, по-
показанное на рис. 6. Точку М здесь надо рассчитывать как обык-
обыкновенную точку, а решение должно быть ориентировано «впра-
«вправо» в смысле, принятом в программе.
3. Точки на нагруженной поверхности. Когда давление на
поверхности не равно нулю (свободная поверхность), но подчи-
подчиняется некоторому закону, то при расчете применяют описан-
описанную выше схему, однако при этом давление на поверхности
должно вычисляться в каждой итерации.
4. Точки на простом скачке (точки типа 3). Схема расчета
в этом случае очень похожа на схему расчета точек на свобод-
свободной поверхности. Отличие состоит в расчете элемента LO (где
теперь dR/dt=U вместо и) и в граничных условиях, которые
удовлетворяются при переходе через скачок в точке (О,О')?


280
Н. Э. Xо скин
Как и раньше, в точке О' задается некоторое значение скоро-
скорости частиц, но вместо условия нулевого давления на свободной
поверхности здесь применяются условия Рэнкина — Гюгонио.
Порядок работы программы остается прежним, за исключением
того случая, когда точка Q попадает за пределы участка UM.
В этом случае необходимо рассчитать следующую точку на ха-
характеристике UM и выбросить точку М точно так, как это уже
было описано при расчете поверхности раздела. Скачок рассчи-
Р и с. 7. Схема расчета скачка общего вида (а) и расчет
точки О со стороны низкого давления на скачке (б).
тывается так, что он проходит через точки пространства, зара-
заранее определенные базовыми точками, которые аналогичны точке
N на рис. 6.
5. Точки на скачке общего вида (точки типа 1). Перед тем
как программа будет рассчитывать скачок общего вида, распо-
расположение точек решения должно быть приведено к виду, пока-
показанному на рис. 7. Скачок, как обычно, движется вправо в смыс-
смысле, принятом в программе. Точки на скачке обозначены через L
и Z/, а остальная часть исходного расположения точек образо-
образована характеристикой Z/M, находящейся со стороны высокого
давления, и характеристиками LA и ЛВ, находящимися со сто-
стороны низкого давления. Новые точки на скачке О, О' получают-
получаются при пересечении скачка с характеристикой ОВ, проходящей
со стороны низкого давления. Как и в случае других рассмо-
рассмотренных границ, здесь задается некоторое значение скорости
частиц в точке О'', а положение точки О находится по скорости
скачка и решению перед скачком. Но теперь необходимо рас-
рассчитать решение перед скачком, определяя обыкновенную точ-
точку С, находя значение времени для точки О и интерполируя пе-
переменные величины на характеристике ВС. Поскольку в этом
случае скорость скачка зависит от условий в точке О, то в ите-


Метод характеристик для неустановившегося течения 281
рационный процесс при расчете условий на скачке надо вклю-
включить определение условий в точке О.
Переменные величины в точках О и О' являются, таким об-
образом, функциями скорости частиц в точке О'. Расчет же (по-
(подобно случаю простого скачка) проводится так, чтобы вдоль
характеристики O'Q обращалось в нуль соответствующее раз-
разностное выражение. Может оказаться,* что точка О будет ле-
лежать вне участка ВС. В этом случае точку В надо выбросить и
заменить ее точкой D, находящейся рядом с точкой В справа от
нее (см. рис. 7). Точка Е получается приближенно с помощью
экстраполяции по четырехугольнику ABDE. Хотя точка Е ранее
была рассчитана соответствующим образом, но восстановить
вычисленные в ней величины не просто и, во всяком случае, в
этом нет необходимости. В точке Е требуется знать только зна-
значение времени, причем лишь приближенно, поскольку точка Е
не используется при решении дифференциальных соотношений,
а нужна только для рассмотрения последовательности точек.
Аналогии, имеющие место при расчете точек типа 1, 2, 3 и 4,
были использованы при составлении программы.
Помимо учета такой аналогии, было установлено, что если
при определении условий перехода через скачок задавать в точ-
точке О' не скорость частиц, а любую другую зависимую перемен-
переменную (за исключением, может быть, давления), то такая расчет-
расчетная схема не всегда будет сходиться. Например, относительный
объем Vi стремится для сильных скачков к предельному значе-
значению. Таким образом, относительный объем оказался бы вели-
величиной, не подходящей для применения в таком расчете, посколь-
поскольку он не определял бы изменения других переменных.
Е. Расчет взаимодействий
Если некоторый скачок или свободная поверхность достиг
гают поверхности раздела двух сред, то возникает взаимодей-
взаимодействие. В этом случае скачок преломляется при переходе через
эту поверхность и от нее отражается волна, которая в зависи-
зависимости от свойств среды может быть либо скачком, либо волной
разрежения. В этом случае необходимо проводить два типа рас-
расчетов: расчет решения нулевого порядка и расчет решения пер-
первого порядка.
В расчете решения нулевого порядка определяются условия
в обеих средах в момент непосредственно после взаимодей-
взаимодействия— до того как изменяется интенсивность преломленного
скачка и отраженной волны. В решении первого порядка (назы-
(называемом так потому, что оно в действительности точно до вели-
величин второго порядка) рассчитываются первые точки на прелом-
преломленном скачке и отраженной волне и на поверхности раздела
между средами.


282
Н. Э. Xо скин
/. Решение нулевого порядка. Расчет здесь зависит только
от условий на приходящей свободной поверхности или от усло-
условий позади падающего скачка, а также от условий в среде, че-
через которую будет проходить преломленный скачок.
Сначала предполагается, что отраженные возмущения имеют
нулевую интенсивность и, следовательно, скорость частиц на по-
поверхности раздела равна скорости потока за падающей волной.
По этой величине скорости можно рассчитать преломленный
скачок, поскольку условия перед ним известны. В частности,
будет известно давление позади этого скачка. Далее эта вели-
величина давления сравнивается с
давлением за падающей волной.
Если первая величина окажется
больше, то тогда отраженная вол-
волна будет скачком, а в противо-
противоположном случае — волной раз-
разрежения.
В случае отраженного скачка
затем рассчитывают давление на
поверхности раздела, используя
условия на отраженном скачке.
Теперь имеются две величины
г давления, вычисленные по усло-
Рис. 8. Расчет решения первого виям на обоих скачках при за-
порядка при взаимодействии. даНии на поверхности, раздела
некоторого значения скорости,
общего для обоих скачков. Далее значение этой скорости
подбирается таким образом, чтобы были согласованы между
собой величины давления со стороны высокого давления на
обоих скачках, что даст окончательное положение этих скач-
скачков.
В случае отраженной волны разрежения, двигаясь малыми
шагами, определяют скорость частиц на поверхности раздела
путем интегрирования дифференциального соотношения для и и
р поперек волны разрежения до тех пор, пока давление и ско-
скорость частиц, вычисленные для преломленного скачка, не будут
согласованы с этими величинами, вычисленными при развороте
волны разрежения.
2. Решение первого порядка. Обратимся к рис. 8, где пока-
показано, как это решение рассчитывается с помощью итераций.
Сначала предполагается, что вдоль поверхности раздела 01 да-
давление и скорость постоянны, а затем рассчитываются точка Т
на преломленном скачке и точка R на отраженном скачке (или
на задней границе отраженной волны • разрежения). Теперь
можно рассчитать точку /' на поверхности раздела и ею заме-
заменить точку /, первоначально рассчитанную на поверхности раз-


Метод характеристик для неустановившегося течения 283
дела в предположении постоянных условий. Этот цикл вычисле-
вычислений повторяется до получения сходимости.
Расчеты для скачков здесь несколько отличаются от нор-
нормального случая, а именно: решение позади скачка задается
здесь на линии тока, а не на характеристике. Но это обстоя-
обстоятельство не требует каких-либо специальных действий, посколь-
поскольку ранее не делалось предположений, что такая линия должна
быть характеристикой, а просто требовалось, чтобы была воз-
возможна интерполяция вдоль некоторой линии.
3. Взаимодействие скачка общего вида и поверхности раз-
раздела. Когда скачок общего вида близок к моменту падения на
поверхность раздела, то поверхность раздела будет расположе-
расположена со стороны низкого давления на скачке. Эта поверхность раз-
раздела находится при меньших значениях времени, чем скачок
(поскольку точка на поверхности раздела, не будучи специаль-
специальной точкой, отстает). Расчет взаимодействия в этом случае по-
почти идентичен расчету скачка общего вида, отличаясь только
способом расчета течения перед скачком.
Сначала определяется новая точка на поверхности раздела
в результате пересечения поверхности раздела и характеристи-
характеристики, выходящей из точки на скачке, расположенной со стороны
низкого давления. Здесь в процессе расчета надо хранить не
только эту новую точку на поверхности раздела, но и предыду-
предыдущую точку на поверхности раздела, которая в обычном расчете
поверхности раздела была бы выброшена. Эти две точки на по-
поверхности раздела используются для интерполяции в точке пе-
пересечения скачка на стороне с низким давлением и поверхности
раздела. Дальнейший расчет скачка проводится так, как -это
было описано выше. Наконец, условия с другой стороны поверх-
поверхности раздела получаются с помощью интерполяции по двум
точкам на этой стороне поверхности раздела.
Расчет преломленного скачка и отраженной волны проводит-
проводится дальше так же, как в случае взаимодействия скачка и по-
поверхности раздела в покоящемся состоянии.
Ж. Образование скачка в волне сжатия
В этом случае в момент образования скачка пересекаются
две характеристики одного и того же семейства. Если скачок
образуется в момент времени более поздний, чем tL (рис. 9), и
если мы попытаемся рассчитать точку Р как нормальную точ-
точку, то мы придем к положению, изображенному на рис. 9, где
значение времени в точке Р меньше, чем tN. Время, соответст-
соответствующее пересечению характеристик одного и того же семейства,
определяется пересечением линий LP и NM. Далее находятся
параметры в двух точках D и Е с помощью интерполяции на
это значение времени, проведенной соответственно по точкам L


284
Я. Э. Xо скин
и Р и по точкам М и N. В обеих точках D и Е берется среднее
значение 7? и г по двум значениям, а скорость скачка опреде-
определяется как среднее значение по двум значениям и + ус (где ф
равно +1 или —1 в зависимости от направления волны сжатия,
т. е. равно признаку, содержащемуся в ячейке «знак»). Прово-
Проводится обращение к таблице специальных векторов, и затем рас-
расчет продолжается дальше.
Однако здесь могут возникнуть трудности, если решение ра-
ранее было получено вдоль характеристики MN правее точки N,
т. е. для больших значений
t А. времени, чем t^. Эта часть
решения будет неправильна,
поскольку при получении
его не учитывался скачок.
Для учета скачка в этой ча-
части решения потребуются
точки, расположенные в об-
области, по которой будет пе-
перемещаться скачок, а эти
точки уже были уничтожены
(или по меньшей мере они
имеются в виде, затрудняю-
затрудняющем восстановление реше-
решения). Для преодоления этой
трудности можно было бы
потребовать, чтобы точки,
в которых наиболее вероят-
вероятно появление скачка, имели
бы большие значения времени, чем соседние с ними точки. Сле-
Следовательно, в этом случае характеристическая сетка будет
иметь зубчатую форму, причем ее точки будут соответствовать
примерно равным значениям времени.
Если, однако, машина обладает достаточным объемом бы-
быстродействующей памяти, то образование скачка можно, вероят-
вероятно, предвидеть заранее ( например, волну сжатия, как таковую,
можно выявить еще на ее ранней стадии). Тогда можно хранить
все решение, которое связано с волной сжатия, или хранить по
крайней мере часть решения, соответствующую большим значе-
значениям времени, чем tM. Когда точка М заменяется другой точкой
с большим значением времени, то хранимое решение можно об-
обрезать, поскольку скачок (если он образуется) должен иметь
место при больших значениях времени, чем tM-
Одна из трудностей, встречающихся при образовании скач-
скачка, состоит в том, что скачок должен начинаться, очевидно, с
нулевой интенсивностью, а затем интенсивность его должна
увеличиваться с ростом времени. Следовательно, в первый мо-
Рис. 9. Образование скачка в волне
сжатия.
PZ — предполагаемый закон движения скач-
скачка; ? точки, выброшенные из решения до того,
как было определено образование ударной волны.


Метод характеристик для неустановившегося течения
285
мент, когда пересекаются характеристики одного семейства,
угол их пересечения будет очень мал. Если при этом ввести в
решение скачок, то он будет почти совпадать с характеристи-
характеристикой. Если обратиться к рис. 6 и рассмотреть решение уравне-
уравнений скачка для следующей точки О', то точка Q будет располо-
расположена очень близко к точке Z/, и поэтому в решении будут по-
появляться большие погрешности.
Такие погрешности можно устранить, если вместо введения
скачка в решение непосредственно после первого пересечения
характеристик дать возможность характеристикам пересекаться
и дальше на протяжении нескольких шагов, выбрасывая при
этом точки N, но сохраняя точки Р (см. рис. 9), до тех пор,
пока угол пересечения характеристик станет не слишком ма-
малым. Такой прием не приводит к большим ошибкам, так как в
слабых скачках приращение энтропии очень мало, а уравнения,
определяющие изменение параметров при переходе через ска-
скачок и в волне сжатия, совпадают между собой до второго по-
порядка величины интенсивности скачка.
3. Взаимодействие скачка со скачком
1. Скачки, движущиеся в противоположных направлениях.
Задача о взаимодействии двух скачков, движущихся в противо-
противоположных направлениях, решается распространением метода,
t
м
Рис. 10. Взаимодействие двух скачков, движущихся
в противоположных направлениях.
а —расположение скачков непосредственно перед столкновением;
б —расчет решения первого порядка после столкновения.
применявшегося для расчета одного скачка общего вида (см.
§ 3, Д, 5). Расположение скачков непосредственно перед их
встречей показано на рис. 10,а. В этом случае сначала рассчи-
рассчитывают обыкновенную точку С со стороны низкого давления
для обоих скачков. Затем оба скачка Si и 52 продолжаются
через расчетную сетку до точек Р и О таким образом, как если
бы из этих скачков существовал только один. Точка пересечения


286 Н. Э. X о скин
W представляет собой место взаимодействия скачков. Далее
необходимо построить решение для больших значений времени,
чем tw. Это можно сделать, рассчитывая взаимодействие скач-
скачка Si с поверхностью, разделяющей области высокого давления
за скачками Si и S2 (эта схема расчета обсуждалась в § 3, Е, 1
и 2). В результате будут получены три точки X, Y и Z и рас-
расчет решения можно продолжить.
2. Скачки, движущиеся в одном направлении. Когда два
скачка движутся в одном и том же направлении, проведение
расчета становится значительно более сложным. Практически
было установлено, что здесь во многих случаях будут полу-
получаться результаты одинаковой точности, если при проведении
расчетов передний скачок удалить, а интенсивность заднего
скачка соответственно регулировать.
Тогда, как можно видеть, трудности, связанные с организа-
организацией расчета, будут преодолены. Однако этот прием ставит
практические ограничения для метода расчета, хотя в принципе
его можно распространять на решение любых задач.
4. Расчет методом характеристик с фиксированными
шагами по времени
Одним из недостатков решения с помощью характеристи-
характеристической сетки является то обстоятельство, что вычислитель не
может контролировать положение точек, в которых определяет-
определяется решение. Если же требуется иметь решение в виде распреде-
распределения по пространству в заданные моменты времени, как это
часто случается, то возникает трудная проблема интерполиро-
интерполирования на характеристической сетке по двум переменным. В схе-
схеме, которую предложил Хартри [2], эта трудность обходится
посредством рассмотрения узловых точек сетки, заранее задан-
заданных как в пространстве, так и во времени, и проведения интер-
интерполяций в процессе расчета. Эта схема имеет то преимуще-
преимущество, что необходимое здесь интерполирование ведется всегда
по одной переменной.
А. Расчет обыкновенных точек
На рис. 11 построена типичная расчетная сетка, в которой в
качестве переменных применяются лагранжева координата и
время. Чтобы определить параметры в точке Р, требуются зна-
значения параметров течения в точках L и М, которые являются
точками пересечения двух характеристик, проведенных из Р, с
базовой линией ABC. Эти значения можно определить с по-
помощью линейной или квадратичной интерполяций по величинам
в точках Л, В и С, т. е. в точках, которые выбираются без слож-
сложного поиска. Так как мы рассматриваем лагранжево простран-


Метод характеристик для неустановившегося течения
287
ство, то линия РВ представляет собой линию тока и, следова-
следовательно, при расчете изменения энергии вдоль нее не потребует-
потребуется проведение интерполяций. Уравнения, которые требуется ре-
решать в этой схеме, можно записать в следующем виде:
iL{Pp -Рм) -(ир - «
"-0. C5)
ttL At=Oi C6)
At=0' C7)
vB) = 0. C8)
г в*
0,
0.
C9)
D0)
D1)
Кроме того, имеем
Как и в § 2, Д, если приближенно задать значения величин,
стоящих в квадратных скобках, то расчет можно проводить
следующим образом:
а) Из уравнения C5) на-
ходится rL, а по уравнению
C7) вычисляется гм.
б) Определяются парамет-
ры течения uL, pL, uMy pM при
помощи интерполяции по их
значениям в точках Л, В и С.
в) Уравнения C4) и C6)
разрешаются относительно рР
м с
Рис. 11. Расчет обыкновенной точки
в методе с фиксированными шагами
п0 времени; PL, МР - характери-
стики.
И Up.
г) Из уравнения C8) с уче-
учетом уравнения состояния на-
находятся ЕР и vP.
д) Пересчитывают^ функции, стоящие в квадратных скоб-
скобках, и процесс расчета повторяется, начиная с п. «а», до тех
пор пока не будет достигнута сходимость.
Описанная схема, как оказалось, всегда является эффек-
эффективной.
Б. Расчет точек на скачке
Точки на скачке рассматриваются отдельно от заданных
узловых точек на стандартной сетке, и скачки перемещаются не-
независимо через эту сетку, не попадая, вообще говоря, в узловые


288
Н. Э. Xо скин
точки. Обратимся к рис. 12, где ударная волна в момент време-
времени t0 изображается дополнительной парой точек S, которая в
последующий момент времени /0 + Д^ перемещается в положе-
положение S'. Как и в § 3, Д, оказалось, что наиболее целесообразный
способ расчета точки S' состоит в следующем:
а) Определяют приближенное положение S', задавая вдоль
SS' величину скорости скачка, равную ее значению в точке 5.
б) С помощью метода, описанного в предыдущем параграфе,
рассчитывается решение со стороны низкого давления на скач-
скачке S'. При этом параметры течения в точке Z на линии тока
ZS' должны быть определены интерполяцией, но это не вызы-
вызывает каких-либо затруднений.
М
Рис. 12. Расчет точки на скачке в методе с фиксирован-
фиксированными шагами по времени: SS' — закон движения скачка.
в) Задается приближенное значение скорости частиц позади
скачка в точке S\ и из соотношений на скачке определяются
скорость скачка и все переменные величины со стороны высо-
высокого давления на скачке.
г) Используя характеристическое соотношение вдоль KS',
уточняют заданное приближенное значение для скорости ча-
частиц.
д) Имея скорость скачка в S', находят уточненное положе-
положение точки S', а затем, начиная с п. «б», повторяют вычисления
до тех пор, пока весь процесс расчета не сойдется.
Выяснилось, что описанная расчетная схема всегда сходится.
Можно думать, что, задав приближенное значение скорости
скачка в п. «а», возможно определить в п. «в» параметры те-
течения со стороны высокого давления на скачке S\ не задавая
при этом величину скорости частиц. Однако такая схема может
приводить к некоторым осложнениям, и поэтому ее нельзя ре-
рекомендовать для расчетов.
Когда точка S' определена, можно рассчитать точку F (или
Еу если она лежит направо от характеристики второго семей-
семейства, проходящей через 5). Эту точку нельзя было рассчитать
ранее, так как в этом случае точка М, используемая в уравне-
уравнениях C6) и C7), будет лежать на скачке, а не на линии t=t0.


Метод характеристик для неустановившегося течения
289
Применение условия Куранта, ограничивающего шаг по вре-
времени At и обеспечивающего устойчивость, гарантирует также,
что за один шаг по времени скачок будет пересекать не более
чем две соседние ячейки расчетной сетки.
В. Расчет поверхности раздела
Так как характеристические соотношения не содержат сме-
смешанных производных, то с вычислительной точки зрения хра-
хранение расчетной сетки в виде характеристических квадратов не
дает преимуществ. Это обстоятельство можно также использо-
использовать при расчете точек в схеме с фиксированными шагами по
\9г
м.
Рис. 13. Расчет точек на поверхности раздела в методе с фик-
фиксированными шагами по времени в случае, когда шаг интегри-
интегрирования по времени не одинаков в двух областях.
времени, если здесь по каким-либо причинам требуется изме-
изменять шаг по пространству. Необходимость в этом может воз-
возникнуть на поверхности раздела между двумя различными сре-
средами или даже в одной и той же среде, когда из соображений
более точного определения параметров нужен мелкий шаг по
пространству на некотором небольшом участке, но при этом не-
нецелесообразно распространять этот мелкий шаг на всю область.
Обратимся вновь к уравнениям C4) — D1). Мы предпола-
предполагали, что точки L и М имеют одно и то же значение времени. Од-
Однако мы видели, что при расчете точек позади скачка интерпо-
интерполяция для точек L и М может проводиться различными спосо-
способами, а тогда точка М не будет иметь то же значение времени,
что точка L. Рассмотрим рис. 13 и предположим, что поверх-
поверхность раздела разграничивает область в одной и той же среде,
но с различными размерами шага Аг4 и Дг2. Соображения устой-
устойчивости, вообще говоря, будут ограничивать общий размер ша-
шага по времени, который будет определяться областью с меньшей
величиной Аг (скажем, A/*i). Тем не менее можно рассчитывать
точки в этих двух областях, используя различные шаги по
19 Зак. 647


290 Н. Э. Xо скин
времени, каждый из которых будет определяться условием ус-
устойчивости в своей собственной области.
Точки внутри этих областей можно рассчитывать обычным
образом, а единственной точкой, в которой могли бы встретить-
встретиться некоторые трудности, является точка на поверхности, разде-
разделяющей две области. На рис. 13 видно, что решение в точке В2
получается обычным способом, если точка Li находится линей-
линейной интерполяцией по точкам Л4 и Ви а точка Mi аналогично
находится по точкам 5А и CV Решение далее можно продолжить
до точки В3, при этом точка L2 получается интерполяцией по
точкам А2 и В2, в то время как точка М2 все еще определяется
по точкам Bi и С\.
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока полное
время интегрирования, отсчитываемое от ?0» будет только немно-
немного меньше, чем шаг интегрирования, определяемый условием
устойчивости для правой области (т. е. точка М3 должна ле-
лежать внутри BiCi). Затем рассчитываются остальные точки в
правой области С2, ?J; таким образом, все решение будет опре-
определено при одном общем значении времени, и процесс расчета
можно повторять дальше. Однако здесь необходимо принять
меры, чтобы величины шагов по времени в двух областях не от-
отличались бы слишком сильно. Практически было установлено,
что отношение этих шагов не должно превышать 5; при этом
всегда будет получаться разумное решение.
Описанную схему можно распространить на серию областей,
размер шага в каждой из которых приблизительно одинаков, но
отличается от шага в соседних областях в несколько раз. Шаг
интегрирования по времени в каждой области вычисляется из
условий устойчивости в данной области, при этом определяется
область с наименьшим значением шага по времени. Расчеты на-
начинаются в этой области, и решение строится с использованием
меньшего из шагов, которые требуются в двух смежных обла-
областях. Таким образом, можно рассчитать решение в этой обла-
области и продолжить процесс вычислений дальше, строя на каждом
этапе решение в области с ближайшим большим значением ша-
шага по времени до тех пор, пока в конце концов не будет полу-
получено все решение при одном общем значении времени. Описан-
Описанный процесс может дать большую экономию машинного вре-
времени.
Г. Образование скачка в волне сжатия
В § 3, Ж обсуждался метод расчета скачка, когда он обра-
образуется в области непрерывного течения. Там упоминалось, что
перед телг как вводить скачок для представления разрыва, надо
дать возможность скачку в течение некоторого времени увели-
увеличить свою интенсивность. В методе определения решения при


Метод характеристик для неустановившегося течения 291
постоянном значении времени вводятся диссипативные члены,
форма которых зависит от используемого метода интерполяции
[4]. В этом случае слабые скачки могут распространяться удо-
удовлетворительным образом и, в частности, ударная волна без ка-
каких-либо затруднений может формироваться в волне сжатия.
Когда скачок станет достаточно сильным, его положение и ин-
интенсивность можно найти точно. Тогда непрерывное изменение
параметров течения можно будет заменить на точный разрыв,
который затем можно рассчитать с помощью метода, изложен-
изложенного в § 4, Б. Оказывается, что по причинам, указанным в§3,Ж,
такая схема дает более правильные результаты, чем схема, в
которой настоящий скачок вводится на начальной стадии.
5. Заключение
Оба изложенных здесь метода расчета оправдывают себя в
не слишком сложных задачах. Но когда число конечных разры-
разрывов возрастает или когда усложняются взаимодействия, тогда
преимущества характеристической сетки (связанные с ее на-
наглядностью и физическим смыслом) утрачиваются из-за труд-
трудностей детального учета всех специальных случаев, которые
здесь могут возникать. В этих случаях более целесообразно ре-
решение уравнений при помощи конечно-разностных схем с вве-
введением искусственной вязкости.
Литература
1. Курант Р., Фридрихе К., Сверхзвуковое течение и ударные волны,
ИЛ, М., 1950.
2. Н а г t г е е D. R., AECU-2713, 1953.
3. Keller H. В., Levin e D. A., Whitham G. В., /. Fluid Mech., 7
A960), 302.
4. L a n d s h о f f R., Los Alamos Sci. Lab. Rept. LA-1930, 1955.
5. La x P. D., Commun. Pure Appl. Math., 7 A954), 195.
6. Von Neumann J., Richtmyer R. D., /. Appl. Phys. 21 A950), 232
(имеется сокращенный русский перевод: Нейман Дж., Рихтмайер Р.,
Метод численного расчета гидродинамических скачков, сб. Механика, № 1
A951), 27).
7. S t e i п L. R., Los Alamos Sci. Lab. Rept. LA-2277, 1959.


Метод характеристик для решения
уравнений гидродинамики двумерных
неустановившихся течений
Д. Дж. РИЧАРДСОН
Научно-исследовательский институт Австралийской
комиссии по атомной энергии, Сатерленд, Австралия
1. Введение • 292
2. Гидродинамические уравнения 293
3. Характеристические поверхности и бихарактеристические кривые . . 293
4. Соотношения, выполняющиеся вдоль бихарактеристик 295
5. Общий метод бихарактеристик 297
6. Ударные волны 299
7. Вычислительные особенности метода характеристик для расчета дву-
двумерных неустановившихся течений 300
8. Топологические особенности программы для вычислительной машины 304
9. Дополнения 308
Литература 315
/. Введение
При решении методом характеристик системы п дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных, содержащих п
зависимых и две независимые переменные, ищутся такие комби-
комбинации из этих п дифференциальных уравнений в частных про-
производных, чтобы в каждой точке на плоскости независимых
переменных для каждой комбинации имело место дифференци-
дифференцирование только по одному направлению. Если существует п
таких различных между собой направлений, то данные уравне-
уравнения называются гиперболическими. Полученные в результате
таких комбинаций дифференциальные уравнения можно вдоль
каждого из п направлений заменять конечно-разностными урав-
уравнениями. Таким образом, эти уравнения можно решать числен-
численными методами. Указанные п направлений в каждой точке на-
называются характеристическими направлениями.
Если же п дифференциальных уравнений содержат три неза-
независимые переменные, то положение будет не такое простое.
Здесь можно искать такие комбинации из п данных уравнений,
чтобы в пространстве трех независимых переменных для ка-
каждой комбинации имело место дифференцирование только вдоль
определенных поверхностей, проходящих через рассматривае-
рассматриваемую точку. Такие поверхности можно назвать характеристиче-
характеристическими поверхностями. Однако в этом случае в каждой точке
остаются по существу два направления дифференцирования. По-


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 293
этому одномерные конечно-разностные методы решения здесь
неприменимы.
Батлер [1, 2] показал, что для широкого класса случаев, охва-
охватывающих также системы уравнений гидродинамического типа,
такие характеристические поверхности в свою очередь содер-
содержат кривые, называемые бихарактеристическими кривыми, для
которых можно вывести точные характеристические соотноше-*
ния.
В настоящей статье излагается работа, выполненная автором
и Л. А. Эллиотом в течение 1958—1959 гг., по решению задачи
о расчете неустановившегося течения с осевой симметрией. •
2. Гидродинамические уравнения
Рассмотрим гидродинамические уравнения, зависящие от
цилиндрических координат (z, r) и времени /. Эти уравнения
можно записать в следующем виде:
ди , ди . ди , dp ~ /Л.
dv , dv , dv . dp
(уравнения количества движения) и
о ди . о dv . dp , dp . dp 9 и /оч
(уравнение неразрывности, записанное с использованием опре-
определения для скорости звука), где и, v — составляющие скорости
по направлениям г, г соответственно; р — плотность жидкости;
р — давление жидкости; а — скорость звука.
Эти уравнения вместе с условием, что энтропия S постоянна
вдоль линии тока, выполняются при отсутствии сильных разры-
разрывов.
3. Характеристические поверхности
и бихарактеристические кривые
Сначала будем искать характеристические поверхности, т.е.
будем искать такое преобразование координат
*; = *;(/•, г, /), / = 1, 2, 3,
чтобы исходные уравнения на поверхности
л?(г, г, tf) — const


294
Д. Д ж. Ричардсон
не содержали производных по х'г. Это будет иметь место тогда,
когда обратится в нуль следующий определитель:
дх'з
дх'3
дх3
о
~~дГ
0
dxi
дг '
dx3
dx3
~dt~
dr
dx3
dx3
V~dz
ux3 ux3 ux3 ux3 ^
т. е. если
дхг> dxi dxi
^r+«-ir+^
A v- A v I '
D)
где
X2:
a2
—
и
a2
K3 = Z,
V
uv
V
vz — az
причем суммирование проводится по /, у=1, 2, 3.
Уравнение
*-%%,-» (8)
показывает, что нормаль к поверхности х3 = const в произволь-
произвольной точке пространства (г, г, t) можно описать уравнением ко-
конической поверхности второго порядка.
Из уравнения E) видно, что через каждую точку в простран-
пространстве (г, г, t) может проходить однопараметрическое семейство
характеристических поверхностей, которые можно определить
некоторым параметром <р. Такое однопараметрическое семейство
поверхностей, проходящих через некоторую точку, имеет своей
огибающей коноид, уравнение которого будет (см. § 9, А)
(б)
Л-1 ~2
Ац =а2
Aij dxidxj-
а2 — и2 — v2
и
V
и
—1
0
V
0
—1
l-l
причем Aij представляет собой обратную матрицу
ние F) сводится к следующему:
Уравне-
УравнеG)


Метод характеристик, для двумерных неустановившихся течений 295
Этот коноид, являющийся некоторой поверхностью в про-
пространстве (r,z/t), можно определить заданием координат ка-
каждой точки поверхности с помощью двух параметров — пара-
параметра ф и некоторого другого параметра, скажем т. Каждая
характеристическая поверхность, проходящая через вершину
этого коноида, касается коноида вдоль некоторой кривой, кото-
которую будем называть бихарактеристической кривой. Параметр ф
вдоль каждой бихарактеристической кривой остается постоян-
постоянным, и его можно связать с направлением выхода рассматривае-
рассматриваемой бихарактеристики из вершины коноида. Следовательно, ф
можно выбрать в интервале 0^Сф<2я; тогда параметр т будет
представлять собой меру расстояния вдоль бихарактеристики.
Рассмотрим уравнения
dr = {a -f- a cos 6) dx,
dz = (v-\-asinQ)dx, (8)
dt=dx.
Этим уравнениям удовлетворяет коноид G) при произволь-
произвольном 6. Но dr, dz, dty удовлетворяющие уравнениям (8), опреде-
определяют направление некоторой кривой, выходящей из вершины
коноида и лежащей на его поверхности. Как показано в § 9, А,
требование, чтобы эта кривая была бихарактеристикой, приво-
приводит к условию
Бихарактеристики, проходящие через данную точку (г0, г0, /0),
определяются уравнениями (8) и (9) и начальными усло-
условиями
r = rOt z=z0, t = tOy 8 = ф.
Приближенное решение этих уравнений бихарактеристик
дано в § 9, А.
4. Соотношения, выполняющиеся вдоль
бихарактеристик
Бихарактеристики являются кривыми хг(ф, т), причем
Ф = const, xx = t, x2 = r1 x3 = z.
Для произвольной функции / имеем
дт ~ dt дх ~Т" дг дх~т~ dz дх '
что с учетом уравнений (8) дает
n0)


296 Д. Дж. Ричардсон
Тогда уравнения движения примут вид
= 0, A2)
^ -acos of -aeine?) = 0. A3)
Составляя следующую комбинацию этих уравнений:
A1) • acosO -|—A2)
получаем вдоль бихарактеристики
j ^+f]. A4)
Вдоль линии тока имеем
др , <у/ди , dv , и\ ~ ,л гч
Уравнения A4) и A5) можно записать в дифференциальной
форме. Полагая
получаем
dp-\- pa cos 0 du-\- pa sin Qdv = — раЮ dx, A6)
В уравнениях A6) и A7) все еще остаются производные от
и и v по г и 2. Если бы таких производных не было, то эти диф-
дифференциальные соотношения позволили бы при решении гидро-
гидродинамических уравнений A) — C) применить метод характери-
характеристик посредством расчета шагами по времени.
Излагаемый метод расчета основан на том, что указанные
производные можно исключить из уравнения A7) и однопара-
метрического множества уравнений A6), рассматриваемых в
вершине коноида, если брать с некоторым весом значения функ-
функций на бихарактеристиках из соответствующего однопараметри-
ческого семейства.


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 297
На практике достаточно использовать четыре бихаракте-
бихарактеристики, причем у соседних бихарактеристик значения парамет-
параметра ф берутся отличающимися на я/2. Тогда, вообще говоря, ну-
нужно будет решать пять уравнений для пяти неизвестных и, v, /?,
ди/дг и dv/dz. Выбор значений параметра ф с интервалом л/2
обеспечивает обращение в нуль членов, содержащих ди/dz и
dv/dr.
Расчет точек, находящихся на оси (г=0), на' поверхности
раздела двух сред или на скачке, также основан на использова-
использовании характеристического коноида.
5. Общий метод бихарактеристик
Вдоль бихарактеристики имеем
dp+pa cos 0 dti -f- pa sin 9 dv =» — pa2G dx,
где
Вдоль линии тока имеем
Рассмотрим две поверхности:
/(г, z, 0 = 0, g(r, z, /) = 0,
которые соответственно назовем поверхностью, расположенной
ниже по времени, и поверхностью, расположенной выше по вре-
времени.
Рассмотрим некоторую линию тока, которая пересекает по-
поверхность, расположенную ниже по времени, в точке (r5, z5, ^5),
а поверхность, расположенную выше по времени, — в точке
(Ль Zo, /0). Предположим, что значения всех искомых функций
известны всюду на поверхности f(r, г, /)=0 и ниже ее; точка
(>*о, го, to) лежит выше этой поверхности.
Рассмотрим бихарактеристики, проходящие через точку
(г0, г0, ^0) и определяемые параметром ф@<^р<2я). Пусть би-
бихарактеристики, соответствующие ряду отдельных значений
ф=фП) пересекают поверхность, расположенную ниже по вре-
времени, в точках (гп, гп, tn)\ параметр ф будет отсчитываться по
часовой стрелке от отрицательного направления г для умень-
уменьшающихся т.
Тогда


298 Д. Дж. Ричардсон
где
= Y (р°а°cos Фя + р"ап cos
(раsin Фл + р«а" sin
= sin2 Фя (^-)о - sin Ф„ cos Фй
Кроме того,
Если г = 0, то отношение и/г надо заменить величиной ди/дг.
Как будет показано в § 9, Б, вдоль бихарактеристики
cos ЭЛ = cos ф„ — 69Л sin фя,
sin 0Л = sin фЛ + 60Л cos <ря,
где
4Л Л Г . да да i { . ди ди \ ,
№п = вя —<P,r=-[sin ф -^~C0S Ф dT+COS ф ^Sin ф -^ COS ф ¦gj-J-f
+ sin ф (sin ф -^— cos ф -^-jJ (t0 — tn).
Положим теперь
Зл;
где а — некоторая фиксированная величина. Обозначим
Рп = Рп + VnK + Vmvm + \ тЛа»О.. «=1,2,3,4,
^5=Рь + j Vs^i l(-ar)B+Ы5+тт.! •
Xn=J5' Т5 = 'в-<о. ^ = ^в —<0, «=1,2,3,4.


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 299
Тогда найдем соотношения вдоль каждой из четырех бихарак-
бихарактеристик
W^+VV A9)
№=1, 2, 3, 4,
соотношение вдоль линии тока
Приращения гп — г0, zn — z0 определяются выражениями
*п — 2о = тгт* (vo + vn + #o sin Фл + ал sin 8Я), B1)
л=1, 2, 3, 4.
В процессе расчета может встретиться ряд случаев.
При расчете обыкновенных точек (не лежащих на границе
или на оси) величину а можно брать произвольной, но обычно
ее принимают равной нулю. Тогда уравнения A9) и B0) дают
- h) Ро = Я'Л —
- Я4?/4) ^о + (^2^2 — ^4^4) ^0 + (^2 - *ч) А = ^2^2 —
+ ^2 + ^з + *4-2) д, = Я,^ + ^2 + ^з^з + V>4-2/>6. B2)
Если известны значения искомых функций на поверхности^
расположенной ниже по времени, /(г, г, t)=0, и ниже ее, то
уравнений B2) будет достаточно для того, чтобы получить ре-
решение гидродинамических уравнений A) — C) в обыкновенной
точке (г0, Zo, t0) для достаточно малого приращения t0—15.
Расчет точек на оси и на границе обсуждается в § 9, В.
6. Ударные волны
Рассмотрим скачок общего вида, впереди и позади которого
имеет место неустановившийся поток.
Зададим сначала скорость скачка, т. е. ее величину и на-
направление. Гидродинамические параметры впереди и позади
скачка связаны между собой посредством четырех соотношений
Рэнкина — Гюгонио. Поскольку скачок движется со сверхзвуко-
сверхзвуковой скоростью относительно среды, находящейся перед ним, то


300 Д. Дж. Ричардсон
перед скачком пять величин р, и, v, ди/дг и dv/dz можно полу*
чить с помощью обычного метода характеристических коноидов.
Энтропия S здесь также известна, поскольку она постоянна
вдоль линии тока вплоть до скачка. Тогда, зная скорость скач*
ка, можно по соотношениям Рэнкина — Гюгонио найти значения
р, S, и, v позади скачка.
Теперь необходимо проверить правильность заданной скоро-
скорости скачка. Заметим, что позади скачка характеристический ко*-
ноид срезается поверхностью скачка. Возьмем в плоскости t=
= const такие локальные координаты х, у, чтобы ось х была
нормальна к направлению движения скачка, а ось у образовы-
образовывала с осью х правую координатную систему. Одно соотноше-
соотношение, связывающее /7, u, v и dv/ду, можно получить из соотноше-
соотношений на бихарактеристическом коноиде (здесь и и v — состав-
составляющие скорости жидкости вдоль осей х и у). Производную
dv/dy можно исключить из этого соотношения с помощью уело*
вия, что касательная составляющая скорости жидкости остается
непрерывной при переходе через скачок. В это условие входит
величина кривизны поверхности скачка.
Окончательное соотношение, содержащее теперь только р, и
и v, используется для контроля и последующего уточнения вели-
величины нормальной составляющей скорости скачка; направление
же этой нормали к поверхности скачка пока сохраняется неиз-
неизменным. Такая процедура проводится вдоль всего скачка, а
вновь построенные точки скачка определяют затем новую по-
поверхность скачка и, следовательно, новое направление нормали
скачка в каждой рассматриваемой точке. Весь этот процесс
повторяется до тех пор, пока не будет достигнута достаточная
точность.
Изложенный способ расчета скачка общего вида предложил
Эллиот [3] (см. § 9, Г).
7. Вычислительные особенности метода
характеристик для расчета двумерных
неустановившихся течений
Изложенный выше метод характеристик был применен к ре-
решению задачи о детонации вещества при наличии цилиндриче-
цилиндрической симметрии. Программа для этих расчетов первоначально
была составлена для вычислительной машины IBM-704, а затем
переделана для вычислительной машины IBM-709.
Потребный объем быстродействующей памяти составлял
приблизительно 30 000 слов, из них 12 000 слов для программы
и 18 000 слов для хранения числовых данных. В качестве внеш-
внешнего запоминающего устройства использовались две магнитные
ленты.


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 301
Основным элементом в этой программе является вектор, со-
состоящий из 22 слов памяти. Этот вектор связан с каждой точ-
точкой, которая рассматривается в пространстве (r,z,t). Точки
определяются заданием адреса (обычно в двоичном дополни-
дополнительном коде) первого слова вектора, связанного с этой точкой.
Каждая обыкновенная точка области, точка на поверхности
раздела двух сред или на границе связана с отдельной части-
частицей жидкости. Поэтому при использовании переменных Ла-
гранжа каждая частица жидкости будет единственным образом
определяться заданием связанного с ней вектора. Однако в рас-
расчетах более предпочтительны переменные Эйлера, поэтому здесь
должна быть введена некоторая метрика. Таким образом, ка-
каждый вектор, связанный с точкой, должен нести информацию
об эйлеровых координатах своей точки, а также информацию
о своих ближайших соседних точках. В таком случае будут со-
сохранены преимущества как представления Лагранжа, так и
представления Эйлера.
Точки на скачке или на фронте детонации не связаны с ча-
частицами жидкости, но каждая точка на скачке или на фронте
детонации имеет свежую информацию о ближайшей соседней
обыкновенной точке и точке на поверхности раздела или на гра-
границе.
Вычислительный процесс проводится шагами по времени.
Предполагается, что решение известно во всех точках до неко-
некоторой плоскости с постоянным значением времени и на самой
этой плоскости. Сначала, пользуясь условием устойчивости Ку-
Куранта— Леви, определяют шаг по времени, общий для всех то-
точек на границе, на поверхности раздела и на скачке. Затем эти
точки продвигаются на новый слой по времени. Для каждой ис-
исключительной поверхности сохраняются все точки как на пре-
предыдущем, так и на новом слое по времени до тех пор, пока не
будет закончен весь расчет нового слоя по времени; после этого
точки на предыдущем слое по времени отбрасываются. Затем
обыкновенные точки, примыкающие к поверхности скачка, про-
продвигаются к поверхности скачка или через нее на новый слой
по времени, при этом они продвигаются настолько далеко, на-
насколько позволяет условие устойчивости. Наконец, вся основная
масса обыкновенных точек продвигается в направлении к но-
новому слою по времени настолько, насколько это возможно.
Вначале мы пытались применять схему решения, в которой
все новые рассчитанные значения в каждой обыкновенной точке
использовались сразу же для замены соответствующих старых
значений. Однако эта схема приводила к неустойчивости после
нескольких шагов по времени, а вычисления здесь зависели от
того порядка, в каком основная масса обыкновенных точек про-
продвигалась на новый слой по времени, Поэтому было решено


Рис. 1. Детонация, идущая на вершине сферического заряда; показано
изменение во времени давления на фронте детонации в точке, лежа-
лежащей на оси течения.
Через/?* обозначено значение давления в точке Чэпмена —Жуге на фронте детона-
детонации; кружками показаны результаты для сферически сходящейся детонационной волны.
12
0,8
0,4
0
0,4
0,8
" ^
fjP*
\
-
J
У
Рис. 2. Детонация, идущая на вер-
вершине сферического заряда; показана
форма изобар в момент времени
/ = 0,328.
/ — свободная поверхность; 2 — фронт
детонации.
-Ц8-
Рис. 3. Детонация, идущая на вер-
вершине сферического заряда; пока-
показана форма изобар в момент времени
* = 0,532.


Метод характеристик для двумерпбсх неустановившихся течений 303
р/р
0
*=4z\
1,1 -
0,8-
0,4--
0-
-0,4-
Щ8-
Рис. 4. Детонация, идущая
на вершине сферического за-
заряда; показана форма изобар
в момент времени t = 0,860.
12
0,8
Ц4
0
¦0,4
-0,8
\
\
" P/P* =0,2
-
Рис. 5. Детонация, идущая
на вершине сферического за-
заряда; показана форма изобар
в момент времени t=. 1,156.
хранить на магнитной ленте результаты расчета каждой новой
точки вместе с адресом связанного с ней вектора. После того
как заканчивается каждое перемещение точек (не обязательно
на нужный новый слой по времени), все эти векторы стираются
с магнитной ленты. Те точки, которые не оказались на нужном
новом слое по времени, продвигаются второй раз. Этот процесс
продолжается до тех пор, пока все точки не окажутся на новом
слое по времени. Стирание векторов ; проводится в конце ка-
каждого перемещения.
Интерполяция в процессе расчетов проводится по соседним
точкам по методу наименьших квадратов с весами. Наибольший
вес дается точкам, расположенным от интерполяционной точки
на расстоянии, равйом половине среднего расстояния всех то-
точек от интерполяционной точки. Преимущество этого способа
состоит в простом определении особых компланарных случаев
с помощью исследования диагональных членов результирующей
симметричной матрицы в методе наименьших квадратов.
Рис. 1—5 иллюстрируют применение описанной программы
к расчету детонации, идущей на вершине сферического заряда
взрывчатого вещества. Эти рисунки воспроизводятся из статьи
Эллиота [3] с его согласия,


304 Д. Дж. Ричардсон
8. Топологические особенности программы
для вычислительной машины
На любой стадии расчета некоторого решения встретится ряд
различных областей, отделенных друг от друга границей, по-
поверхностью раздела двух сред, фронтом скачка (или детона-
детонации). Как форма, так и число этих областей будут меняться по
мере развития решения.
Внутри любой отдельной области решение можно соответ-
соответственно определить путем расчета достаточного числа парамет-
параметров в достаточном числе дискретных точек этой области. То же
самое имеет место и для каждой поверхности.
В процессе решения, описанном в § 7, рассматривается по-
последовательность плоскостей с постоянными значениями вре-
времени, на которых находятся все требуемые параметры решения.
Проведение расчетов значительно упростится, если боль-
большую часть соотношений, связывающих расчетные точки, рассма-
рассматривать только на этих плоскостях с постоянными значениями
времени. Такой подход и был осуществлен в расчетах.
Предположим, что все решение задано в некоторый началь-
начальный момент времени. Чтобы представить данное решение в этот
момент времени, выберем внутри любой отдельной области до-
достаточное число точек. Эти точки будем называть обыкновен-
обыкновенными точками.
Чтобы ввести понятие окрестности расчетной точки, необхо-
необходимо иметь некоторую метрику или меру расстояния. Сначала
мы брали метрику по модулю
dl2=ki—/2| + |*i — Z2|.
Эту метрику легко вычислять, но для нее возникают трудности
вблизи поверхностей раздела двух сред, когда необходимо рас-
распределять точки по отдельным областям. По этой причине в
дальнейшем применялась квадратичная метрика
Для определения окрестности точки нет необходимости извле-
извлекать квадратный корень из этого выражения.
С каждой точкой свяжем вектор, состоящий из 22 слов, по-
последовательно расположенных в машинной памяти. Точка и век-
вектор будут определяться заданием в двоичном дополнительном
коде адреса первого слова этого вектора.
Каждая обыкновенная точка будет иметь информацию о не-
нескольких (максимально четырех) соседних точках, упорядочен-
упорядоченных по направлению. Для такого упорядочения по направлению
необходимо иметь некоторую угловую меру.


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 305
В качестве такой меры была выбрана величина 612:
6l2= ( | Z2—Zi | ) /( | Г2—Г11 + | 22—Zt I )
для r2— rx^0 и z2 — zx >0,
ДЛЯ Г2 ~ Гх < 0 И 22 — 2j > 0,
г2-г1|)
для г2 — гх < 0 и ^2 — ^i < О»
для г2 — гх > 0 и г2 — ^i < О,
Эта мера легко вычисляется и, будучи по модулю равна 4, удоб-
удобна для нахождения главных значений.
Следует отметить, что окрестность точки не является обра-
тимым понятием. Если, например, В — соседняя точка для точки
Л, то обратное положение не обязательно будет справедливым.
Начало координат выбирается специальным образом, и именно
оно не имеет соседних точек.
Когда строится любое решение, нужно быть уверенным, что
охвачены все точки. С этой целью все обыкновенные точки вну-
внутри одной области упорядочиваются и связываются в некоторую
развертку, причем начальная точка каждой развертки запоми-
запоминается.
Каждая точка в некоторой области, за исключением послед-
последней точки, имеет информацию о последующей точке в развертке.
Кроме того, каждая точка в некоторой области, за исключе-
исключением первой точки, имеет информацию о предшествующей точ-
точке. Такая двухсторонняя связь не обязательна, но она оказалась
наиболее удобной. Начало координат используется в качестве
последней точки развертки. Указанная связь не обязательно не-
несет какую-либо информацию об окрестности точек.
Рассмотрим теперь границы областей. Эти границы предста-
представляются связанной цепочкой точек. В этом случае окрестность
развертки уже имеет существенное значение.
Каждая область включает в себя свои граничные точки, а
каждая граничная точка имеет информацию об одной ближай-
ближайшей внутренней точке. Внутренние тачки в качестве своих со-
соседних точек могут иметь также граничные точки.
Информация, связанная с каждой граничной точкой, пред-
представляет собой данные о нормали к граничной кривой и о кри-
кривизне этой кривой в данной точке. Эти данные получаются в
результате аппроксимации этой кривой окружностью, проведен-
проведенной через три граничные точки. Нормаль берется внешней для
20 Зак. 647


306 Д. Д ж. Ричардсон
каждой области и располагается справа при обходе кривой в
направлении развертки. Кривизна считается положительной,
если центр кривизны располагается влево от этой кривой, когда
эта кривая обходится в направлении развертки.
Каждая смежная область имеет свою систему граничных то-
точек, свою развертку, хотя и не обязательно противоположную
в смысле направления обхода. В этом случае на границе рас-
рассматриваются дублированные точки, по одной точке в каждой
области; каждая из дублированных точек имеет информацию
о своем партнере. Это удобно при возможном разделении обла-
областей.
Кривые, представляющие собой скачок или фронт детонации,
также охватываются этой схемой, как кривые, которые ограни-
ограничивают некоторые изменяющиеся во времени области.
Возникает вопрос об определении принадлежности точек к
некоторой области.
Рассмотрим кривую, которая представляется связанной по-
последовательностью точек в плоскости (г, г). Далее возьмем в
этой плоскости произвольную точку (го, г0), не являющуюся од-
одной из точек этой кривой. Пусть (rn, zn) — точка, принадлежа-
принадлежащая данной кривой и ближайшая к точке (г0, г0). Пусть (/, т)
представляют собой направляющие косинусы нормали к рас-
рассматриваемой кривой, а К — кривизна кривой в точке (гп, гп);
пусть также через (/', т') обозначены направляющие косинусы
вектора, идущего из точки (г0, г0) в точку (гп, zn). Тогда точка
(г0, го) будет расположена слева от данной кривой, если, во-
первых, угол (п—1, /?, /г+1) превышает прямой угол и если,
во-вторых, tl'-\-mm'+l/2Kd>0y где
Для определения области служит одно слово у каждого век-
вектора, связанного с точкой. Каждый двоичный разряд этого сло-
слова относится к отдельной кривой.
Единица в двоичном разряде означает, что точка лежит сле-
слева от данной кривой. Таким образом, каждую точку можно от-
отнести к одной-единственной области, а точки в одной и той же
области имеют одинаковые признаки, определяющие принад-
принадлежность к некоторой области.
Перед решением любой задачи задается начальная система
точек, включая точки на границе и на скачке; задаются также
развертки, соседние точки, параметры кривых и области.
В процессе решения относительное расположение точек бу-
будет изменяться, и при этом, вероятно, появится необходимость
ввести в рассмотрение дополнительные точки или отбросить не-
некоторые ненужные точки. Поэтому на некоторых подходящих
слоях по времени пересматривают рею совокупность соседних


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 307
точек, анализируя соседние точки и точки, соседние по отно-
отношению к этим соседним точкам. Рассмотрим сначала, как вво-
вводятся дополнительные точки.
Новые дополнительные точки могут стать .необходимы как
из геометрических соображений, так и для более точного опре-
определения какой-либо переменной физической величины. Рассмо-
Рассмотрим обыкновенную точку с четырьмя соседними точками. Из
этих четырех точек возьмем две точки, соседние по направле-
направлению. Допустим, что различие в угловой мере, большее, чем в
1,5 раза относительно заранее заданной угловой меры, будет
указывать на возможность появления «дыры» в сетке точек. Та-
Такие «дыры» устраняются следующим образом.
Сначала из исходной точки проведем луч, делящий пополам
угол между двумя рассматриваемыми соседними точками. От-
Отправляясь от центральной точки, возьмем соседнюю точку сле-
слева от этого луча. Пусть эта точка будет точкой А. Отправляясь
от точки Л, возьмем ту соседнюю к А точку, которая является
к ней ближайшей при движении против часовой стрелки от лу-
луча, идущего в точку Л. Если эта новая точка не будет располо-
расположена справа от первоначально взятого луча, то весь этот про-
процесс повторяем до тех пор, пока не будет найдена некоторая
точка справа от этого луча. Относительное расположение этой
последней найденной точки и исходной точки определит, будет
ли приемлема новая точка, расположенная посредине между
этими двумя точками. Если эта новая точка приемлема, то она
вводится в развертку непосредственно за исходной точкой.
Иногда появляются сгущения точек; в этом случае описан-
описанный выше процесс может привести к местному зацикливанию.
Это можно устранить, если запоминать ранее пройденные пути
и возвращаться обратно, когда это нужно.
Когда разности угловых мер, характеризующих направле-
направления каждой из четырех соседних точек, не выходят из заданного
максимального предела, но при этом из физических соображе-
соображений желательна интерполяция на промежуточные точки, тогда
интерполяционные точки выбираются посредине между каждой
из четырех соседних точек. Каждая точка из каждой пары со-
соседних точек, возникшей в результате такой интерполяции, по-
получает информацию о другой точке этой пары.
В случае точек на кривой интерполяция является неслож-
несложным делом; здесь учитываются нормали и кривизны в сосед-
соседних точках.
При выбрасывании обыкновенных точек, когда это необхо-*
димо, такие точки просто удаляются из развертки, а слово, оп«
ределяющее принадлежность их к некоторой области, перепи*
сывается таким образом, чтобы эти точки больше не использо*
вались при выборе соседних точек.
20*


308 Д. Дж. Ричардсон
Точки на кривой выбрасываются, когда это желательно, ана-
аналогичным способом; при этом надо помнить о необходимости
пересчета нормалей и кривизн кривой. Точка на кривой должна
выбрасываться в тех случаях, когда угол, образуемый ею и дву-
двумя соседними точками развертки, становится равным или мень-
меньше прямого угла; при этом, если необходимо, интерполяцией
можно получить новые точки.
Векторы, связанные с точками, сначала выбираются из ос-
основного объема памяти машины. Затем строится таблица ис-
используемых векторов, и векторы заносятся в эту таблицу один
за другим. Если на некоторой стадии расчета эта таблица ста-
становится пустой, то в нее вносятся новые векторы из основного
объема памяти машины.
В начальный момент времени в любой области, где пара-
параметры равномерны, нужно задавать только одну обыкновенную
точку; для границ областей и скачков также нужно задавать
минимальную информацию. Программа затем сама распределит
точки, необходимые для проведения расчетов.
Тип представления данных, описанный в этом параграфе,
оказался целесообразным для случаев, когда величины, меняю-
меняющиеся в процессе решения, имеют локальные области влияния.
Именно такими являются величины, рассматриваемые при ре-
решении гиперболических уравнений гидродинамики.
Р. Дополнения
А. Вывод уравнений бихарактеристических кривых
Рассмотрим характеристические поверхности Хъ{х\> x<i, л:з) =
= const, удовлетворяющие уравнению
Величины dxfsjdxi пропорциональны составляющим нормали
к поверхности х'г = const в точке Р.
Уравнение (А1) можно заменить следующим:
Л/,/:у=о, (А2)
где L{ — направляющие косинусы нормалей к поверхностям
х'= const в точке Р. Следовательно, эти нормали лежат на ко-
конической поверхности второго порядка и могут быть определены
некоторым параметром ф@-<ф<2я); параметр ср будет опреде-
определять также отдельную поверхность х'3 = const.
Все поверхности х'г = const, удовлетворяющие уравнению
(А1), будут обладать огибающей — коноидом. Точки на этом


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 309
коноиде можно определять заданием двух параметров, одним
из которых может быть ф. Следовательно, для определения это-
этого коноида можно взять уравнение
причем здесь т и ф — независимые параметры.
Таким образом, кривые ф = сопб1 лежат как на коноиде, так
и на поверхностях, которым он служит огибающей. Эти кривые
называются бихарактеристиками.
Плоскость с направляющими косинусами нормали L*, про*
ходящая через точку Р, удовлетворяет уравнению
LidXi = 0, (A3)
причем дифференциалы dx% берутся от точки Р. Эти направле-
направления dxi будут также лежать на характеристической поверхно-
поверхности, соответствующей L{ в точке Р.
Поверхность #*=*х*(ф, т), будучи огибающей поверхностей
x'v определяемых параметром ф, будет удовлетворять уравне-
уравнениям (А2), (A3) и
^dxt = 0. (A4)
Кроме того,
и, следовательно, величины
для каждого ф образуют три взаимно ортогональных вектора,
а направления dx\ лежат на поверхности коноида.
Поэтому вектор A^Lj можно выразить через Lh dLJdcp и
dxi следующим образом:
Но
AijLiLi = AijLj -g^~ = 0*
Поэтому
AijL j = с uXi)
откуда
Lj = cATjdxt.
Таким образом, уравнение поверхности характеристического
коноида в точке Р имеет вид
Xj = 0. (A5)


310 Д. Дж. Ричардсон
Для некоторой точки Q=?P на поверхности этого коноида
можно записать
Пусть dxi= (Xi + \ii cos 0 + Vi sin Q)dx представляют собой
приращения, удовлетворяющие уравнению коноида в его вер-
вершине. При подходящих Ки \и и Vi это соотношение будет иметь
место для всех 6.
Направление, определяемое выражением (А6), будет при-
принадлежать коноиду, проходящему через точку Р, только при ус-
условии, что в точке Q
(\ + ц, cos 0 + v, sin в) A;} (%¦ dx + ^L d<f) = 0.
Но в точке Q
(X. + |х/ cos 0 -f vi sin 9) A;} ^f = 0,
поэтому
Поскольку два коноида (один, проходящий через точку Р и
другой, проходящий через точку Q) касаются друг друга по
бихарактеристике, то уравнение любой бихарактеристики, про-
проходящей через Р, имеет вид
dxt = (ki -f \it cos Э + V/ sin 8) dx,
(A,, + ix, cos 6 + V/ sin 6) A;} ^f = 0, (A7)
причем 0 = ф при т = 0.
В рассматриваемом гидродинамическом случае уравнения
(А7) примут вид
dt = d%, dr = (и + a cos 9) dx,
dz = (v + a sin 9) dx,
причем 9 = ф при т = 0. (А8)
Б. Приближенное решение уравнений бихарактеристических
кривых
Пусть уравнение характеристического коноида имеет вид
г=г(ф, т), г=г(ф, х), *=/(ф, т).


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 311
Кривые (p = const являются бихарактеристиками. Уравнения
этих бихарактеристик (см. § 9, А) имеют вид
< = т + const,
^cp, T) = -sin8|(9, t)
при начальных условиях
r — r0, z = z0, t = tQ при 0 = ф, т —0.
Пусть вдоль некоторой данной бихарактеристики, опреде-
определяемой параметром ф, с точностью до величин первого по-
порядка по т имеем
а = ао-\- а(ф)т,
(Б2)
Величины и0, vQ, а0 являются значениями функций #, V, а
в вершине коноида, т. е. они не зависят от ф.
Тогда
= и0 + а0 cos Ф + [и (ф) + а (ф) cos <р — ао8 (ф) sin ф] t + О (т2). (БЗ)
Интегрируя последнее выражение по т и помня, что г = г0
при т = 0, получаем
г(ф, т) = ^[
-а0е(ф)8Шф]т2 + О(тЗ) (Б4)
и аналогично
г(ф, t) = 2ro + (^o + ^oSin9)T +
+ y [v (Ф) + а (ф) sin ф + ао9 (Ф) cos Ф] т2 + О (т3). (Б5}


312 Д. Д ж. Ричардсон
Отсюда, обозначая штрихом производные по ф, будем иметь
JL (ф, т) = — а0 sin фт + -2 [и' (ф) + а' (<р) cos ф — а (ф) sin ф —
— а0 cos ф9 (ф) — а0 sin ф9' (ф)] т2 + О (т3), (Б6)
||(Ф, т) = а0со8фт + уК(ф)Ч-а/(ф)8тф + а(ф)со8ф —
— а0 sin фв (ф) + a0 cos ф9' (ф)] т2 + О (т3). (Б7)
Но
cos 9 * (Ф, т) = -sin 9 *L (Ф, т) (Б8)
и с точностью до величин первого порядка по т имеем
cos 6 =зв cos [ф + 9 (ф) т] = cos ф — sin ф9 (ф) т,
sin 9 = sin [ф + 9 (ф) т] = sin ф + cos ф9 (ф) т.
Приравнивая коэффициенты при х в уравнении (Б8) и исполь-
используя при этом выражения (Бб), (Б7) и (Б9), получаем
ао9 (ф) = — и/ (ф) cos ф — v7 (ф) sin ф — а7 (ф). (Б 10)
Следовательно, с помощью равенств (Б2) найдем
Но
д{ , . df дг , df dz
Таким образом,
ди , . о dv
+ 81П2ф
0 ди dv да . ^, ч
— COS2 ф -gj — COS ф Sin ф -gp — COS ф -gj + О (t).
Итак,
в — ф = 9 (ф) т = (cos ф sin ф |^- + sin2 ф |^ + sin ф -^ —
о ди . dv да\ t /л / о\ /г? 11 \
— cos2 ф -gp — cos ф sin ф ^j — cos ф -gH т -|- О (т2). (Б 11}
Из равенства (Б4) имеем (переменные без индекса относятся
к моменту времени т)
и аналогично из равенства (Б5)
z z


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 313
В. Точки на оси и на границе
1. Точки на оси, не являющейся границей. На характеристи-
характеристическом коноиде можно получить три независимых бихарактери-
стических соотношения. Этих соотношений вместе с соотноше-
соотношениями вдоль линии тока достаточно для того, чтобы определить
vy /?, ди/дг и dv/dz, поскольку на оси ы = 0.
Будем пользоваться обозначениями § 5, причем в данном
случае ио=О. Выберем а = 0 и возьмем бихарактеристики п = 2,
3 и 4. Тогда уравнения A9) и B0) дают
- К) Ро = № - Я4
- 4) A =
2. Точки на границе, не являющейся осью. На каждой сто-
стороне поверхности раздела двух сред коноид, относящийся к дан-
данной стороне, срезается этой поверхностью. По каждую сторону
от поверхности раздела выполняются три бихарактеристических
соотношения и одно соотношение вдоль линии тока. Этих соот-
соотношений вместе с условием непрерывности давления и нормаль-
нормальной составляющей вектора скорости при переходе через поверх-
поверхность раздела достаточно для того, чтобы определить пять ве-
величин и, v, р, ди/дг и dv/dz с каждой стороны этой поверхности.
Свободная поверхность является частным случаем поверхно-
поверхности раздела двух сред. Здесь давление на свободной стороне
должно быть принято равным либо нулю, либо некоторой по-
постоянной конечной величине.
Используя обозначения § 5, в случае свободной поверхности
выберем а так, чтобы cosa=/, sina = m, где (/, m)—направ-
m)—направляющие косинусы той составляющей внешней нормали к сво-
свободной поверхности в точке (г0, г0, ^о), которая лежит в плоско-
плоскости с постоянным значением времени. Бихарактеристики 1, 2 и
4 берутся внутри движущейся среды. Тогда уравнения A9) и
B0) дают
= Х2Р2 — %АРА — (А* — А,4
+x2v2
= B^Л + Х2Р2 + V>4 - 2Я5) - B^ + h + ^ - 2) а,.
3. Граничные осевые точки. Здесь можно получить два неза-
независимых бихарактеристических соотношения. Этот случай подо-
подобен случаю точки на границе, не являющейся осью, но с усло-
условием Wo=O, заменяющим третье бихарактеристическое соотноше-
соотношение. Направляющие косинусы (/, пг) в этом случае принимают


314 Д. Дж. Ричардсон
значения (О, —1) или (О, +1). Уравнения A9) и B0) в случае
свободной поверхности дают соответственно
(%У j + 21AVA) v0 = КхРг + 2к4Р4 - 2Я5 - (Хх - 21, - 2) р0
или
(кгУг + 2X2V2) v0 = V>i + 212Р2 - 2Я5 - (Хг - 2Х2 - 2) р0.
Г. Точки на скачке
Позади скачка общего вида характеристический коноид для
некоторой точки (г0, г0, t0) на фронте скачка срезается поверх-
поверхностью скачка. Вдоль оставшейся части коноида можно полу-
получить одно бихарактеристическое соотношение.
Удобно ввести местные оси х и у в точке (r0, z0, ^о) на пло-
плоскости t=const так, чтобы ось х была направлена вдоль нор-
нормали по движению скачка, а ось у образовывала с ней правую
систему координат. Пусть (/0, т0) — направляющие косинусы
этой оси х относительно первоначальных осей г, z.
Пользуясь обозначениями § 5, выберем а таким, чтобы
cosa = /o и sina = m0. Обозначим через u, v составляющие ско-
скорости вдоль осей х и у и заменим 6 на 6 +а. Тогда из уравне-
уравнения A9) получим соотношение, выполняющееся вдоль бихарак-
бихарактеристики 1(ф = 0) с точностью до величин второго порядка по
(to-U)
Ро — Р\ + A1(u0—u1) + Bl (v0 —Ух) =
где
А == Y (Ро^о+Pi#i cos i
?! == 1 i- Sin2 вх.
Соотношения Рэнкина — Гюгонио на скачке имеют вид
р* (и0 - и,J = (а, - А) <Уа - Vo), (Г2)
^/ = (^,ио+Кои,)/(^ —Ко), (ГЗ)
- Ко), (Г4)
(Гб)


Метод характеристик для двумерных неустановившихся течений 315
где индексом s обозначаются величины в рассматриваемой точ-
точке непосредственно перед скачком; У=р*/р — удельный объем
(р* — плотность окружающей среды); Е — внутренняя энергия
на единицу массы* которая выражается через р и V по уравне-
уравнению состояния среды; U — скорость скачка.
Поскольку соотношение (Г5) выполняется во всех точках на
кривой, по которой скачок пересекает плоскость с постоянным
значением времени /0, то это соотношение можно дифференци-
дифференцировать вдоль этой кривой. Тогда получим
(&-**-(?).-*¦«* <Г6>
где Ко— кривизна скачка в рассматриваемой точке. С помощью
последнего равенства можно исключить неизвестную производ-
производную скорости (д\/дуH.
Подставляя соотношения (Г5) и (Г6) в (П), получаем
(Г7)
где k{ и k2 выражаются через известные величины перед скач-
скачком и на исходной плоскости t = tiy
()(у)о (Г8)
К = А 4- Aui + 5lVl - i (f0 - /,) 9oa\G, -
- k Co - '0 Po«? Ш1 - Km.] - [*i —* Co - '0 nrt j;h- <r9)
В случае точки, расположенной на оси г = 0, формулы (Г8)
и (Г9) примут вид
k2 = Pl + Агих -i(t0- tx) 9 АО, ~ {to ~ ',) 9А [(%\ - Kons].
(П1)
Литература
1. Butler D. S., неопубликованное сообщение, 1958.
2. В u 11 e г D. S.f Proc. Roy, Soc. (London) A255, 232, 1960.
3. Elliott L. A., Proc. Roy. Soc. (London) A267, 558, 1962.


Численный метод частиц в ячейках
для задач гидродинамики
Ф. X. X А Р Л О У
Калифорнийский университет,
Научно-исследовательская лаборатория
в Лос-Аламосе, Нью-Мексико
1. Введение 316
2. Основной метод расчета 320
3. Видоизмененные формы метода 329
4. Свойства метода частиц в ячейках 331
5. Область применения и ограниченность метода частиц в ячейках . . 338
6. Приложение метода к одной специальной задаче 339
Литература 342
/. Введение
Метод частиц в ячейках 1) был развит в Лос-Аламосе в 1955 г.
специально для решения сложных задач гидродинамики. Этот
метод предназначен для использования на быстродействующих
электронных вычислительных машинах и, как таковой, приме-
применялся к широкому кругу задач в годы, прошедшие с момента
возникновения метода. Первоначально этот метод был разра-
разработан для одномерных задач, т. е. для задач, в которых все па-
параметры течения являются функциями только одной простран-
пространственной переменной. Однако в первоначальный период приме-
применения этого метода выяснилось, что он едва ли может конкури-
конкурировать с уже существовавшими одномерными численными мето-
методами. Поэтому основной целью в то время было создание рас-
расчетной схемы, пригодной для задач с двумя и тремя простран-
пространственными переменными, в которых встречаются сильные де-
деформации жидкости, большие относительные перемещения и
столкновения поверхностей раздела, т. е. для таких задач, для
решения которых существовавшие численные методы были не-*
достаточными.
Последующее развитие доказало, что эта первоначальная
цель могла быть, по крайней мере частично, достигнута. Исто-
История дальнейшего развития метода частиц в ячейках показала,
что идеи и схема применения этого метода претерпели значи-
значительные изменения. В настоящем обзоре обсуждается современ-
современный вид этого метода. Полное же изложение всей предыдущей
работы можно найти в отчете Харлоу и др. [9]. Последнее обсу-
1) Этот метод по-английски сокращенно называют PIC method (от
Particle-in-cell method).


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 31?
ждение этого метода с несколько иной точки зрения дано в ра-
работах Биорка и др. [1] и Харлоу [8].
Конечно, существуют еще другие методы для решения на
быстродействующих вычислительных машинах гидродинамиче-
гидродинамических задач, зависящих от нескольких пространственных пере-
переменных. В других статьях этой книги излагаются некоторые бо-
более эффективные методы. Среди этих методов имеются два ме-
метода, наиболее различающиеся между собой. Мы кратко опишем
их здесь для того, чтобы показать, чем они отличаются от ме-
метода частиц в ячейках.
В первом из этих методов, который называют идеальным ме-
методом Лагранжа, жидкость рассматривается разделенной на
большое число конечных зон, каждая из которых представляет
некоторый элемент жидкости. Эта сетка ячеек связывается с
движением жидкости таким способом, какой определяется при-
применяемым приближенным методом решения дифференциальных
уравнений гидродинамики. Идеализированный метод Лагранжа
успешно использовался во многих приложениях. Однако в то же
время этот метод страдает некоторыми недостатками. Наиболее
серьезным недостатком является непригодность этого метода в
случаях, когда в жидкой среде встречаются сильные деформа-
деформации и большие относительные перемещения. Трудности возни-
возникают также в задачах, в которых имеет место кавитация или
в которых поверхности раздела между различными средами
сталкиваются между собой.
Другим методом, который также успешно применяется, яв-
является идеальный метод Эйлера. В этом методе жидкость раз-
разбивается на большое число конечно-разностных ячеек, но в этом
случае сетка ячеек фиксирована в системе координат относи-
относительно неподвижного наблюдателя, а жидкость течет через эти
ячейки. Важное преимущество метода Эйлера состоит в том, что
в нем расчеты проводятся без каких-либо затруднений и при
наличии в жидкости сильных деформаций или больших относи-^
тельных перемещений. Однако метод Эйлера имеет и некоторые
недостатки. Этот метод не инвариантен относительно преобра-
преобразований переноса и поворота, в нем очень трудно определять
малые изменения параметров, когда течение жидкости происхо-
происходит в большой области, наконец, здесь непросто рассчитывать
поверхности раздела сред.
Можно считать, что в некотором отношении метод частиц в
ячейках соединяет в себе лучшие качества как лагранжева, так
и эйлерова подхода. Например, при расчетах по методу частиц
в ячейках жидкость разбивается на большое число эйлеровых
ячеек, которые остаются в покое. Однако, кроме того, здесь рас-
рассматривается лагранжева сетка частиц, представляющих собой
элементы жидкости, которые движутся чбрез эйлерову сетку


318 Ф. X. Харлоу
ячеек. Эйлерова сетка используется для целей определения пе-
переменных поля, в то время как частицы служат для определения
параметров самой жидкости. Типы задач, к которым может быть
применен метод частиц в ячейках, включают, например, следую-
следующие задачи.
Рассмотрим задачу взаимодействия скачка со сферическим
пузырем. Всю задачу можно рассматривать как двумерную не-
неустановившуюся задачу с симметрией относительно цилиндри-
цилиндрической оси. Тогда скачок будет двигаться в направлении оси z
и взаимодействовать с пузырем на этой оси. Конечно, при этом
будут иметь место большие относительные перемещения и де-
деформации жидкости. Пузырь будет сжиматься, принимая пло-
плоскую дискообразную форму с кольцевым вихрем на его границе,
в то время как жидкость вне пузыря будет обтекать его. Расчет
такой задачи был проведен с помощью метода частиц в ячейках.
Результаты этого исследования представлены в работе Эванс
и др. [6].
Другой пример задачи, для которой идеально подходит ме-
метод частиц в ячейках, представляет собой задача о нормальном
ударе шарика, движущегося с высокой скоростью, о массивную
плиту. Было проведено большое число таких расчетов, а резуль-
результаты их сравнивались с экспериментами и с отдельными тео-
теориями. Здесь опять характерной особенностью, которая затруд-
затрудняет расчеты по другим методам, является наличие больших
относительных перемещений и деформаций. Кроме того, в этой
задаче имеет место столкновение двух поверхностей раздела,
которое без труда рассчитывается по методу частиц в ячейках.
В каждом из этих примеров и по существу во всех примерах
применения метода частиц в ячейках можно увидеть очень близ-
близкую аналогию между расчетом и реальным экспериментом.
В обоих случаях налагаются только начальные и граничные ус-
условия, а оператор затем становится просто наблюдателем, кото-
который следит за получаемыми результатами. В эксперименте все-
всегда имеется возможность ошибки, большой или малой, и то же
самое обнаруживается в расчетах по методу частиц в ячейках.
Большие ошибки будут рассмотрены в этой статье как ката-
катастрофические неувязки на границах и неустойчивость. Малые
ошибки связаны с ошибками округления или ошибками аппрок-
аппроксимации; некоторые из них изучены, а некоторые даже в на-
настоящее время известны только по их появлению в расчетах.
Следует подчеркнуть, что применение метода частиц в ячей-
ячейках стало возможным только после создания больших и скорост-
скоростных электронных вычислительных машин. Проведение полного
расчета по методу частиц в ячейках требует миллиардов опера-
операций. На современных вычислительных машинах эти расчеты
доожнр выполнить в течение нескольких минут или часов, в то


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 319
время как без таких машин на это потребовались бы многие
десятки или сотни лет человеческого труда.
Расчеты по методу частиц в ячейках требуют как большой
памяти, так и высокого быстродействия вычислительных машин.
Например, возьмем эйлерову сетку ячеек с размерами в А ячеек
по длине и в В ячеек по ширине и будем рассматривать в ка-
каждой ячейке в среднем по N частиц. Тогда общий необходимый
объем машинной памяти составит приблизительно (9 + 3N)AB
слов.
В типичных расчетах используется 3000 ячеек и берется
около 14 000 частиц. В этом случае объем памяти машины вме-
вместе с требуемой памятью для хранения команд программы бу-
будет исчисляться примерно в 100 000 слов. Вычислительная ма-
машина IBM Стретч удовлетворяет этим требованиям и в настоя-
настоящее время является нашей основной машиной для проведения
расчетов по методу частиц в ячейках. Однако имеется много
случаев, когда полезные и значительные результаты можно бы-
было получить на меньших по размеру и менее скоростных вычис-
вычислительных машинах. В лучших из имеющихся решений пол-
полные расчеты на машине Стретч занимают время от 20 мин до
1,5 час.
Приведенные соображения показывают также, почему наши
расчеты почти всегда ограничивались задачами, которые описы-
описываются двумя пространственными переменными. (Мы имеем в
виду задачи с плоской и осевой симметрией, где отсутствует за-
зависимость от одной из трех пространственных переменных.) Од-
Однако мы пытались решать также одну задачу в трехмерных де-
декартовых координатах, причем здесь использовалась сетка ячеек
размером 20x20x20. При решении такой трехмерной задачи не
возникало каких-либо специальных трудностей в применении
метода частиц в ячейках. В этом случае главной трудностью
(помимо трудностей, связанных с объемом машинной памяти и
ограниченностью времени для расчетов) оказалась выдача ре-
результатов. В настоящее время очень трудно представить себе
эффективный и легко обозримый способ выдачи результатов
трехмерных расчетов.
Более того, метод частиц в ячейках, вероятно, вообще никог-
никогда не будет широко применяться для решения трехмерных за-
задач. Причина этого заключается в следующем. С течением вре-
времени будут созданы достаточно большие и достаточно скорост-
скоростные вычислительные машины для проведения численных иссле-
исследований проблем такого типа. Однако весьма вероятно, что к
тому времени уже будут созданы новые численные методы, зна-
значительно превосходящие современный метод частиц в ячейках.
Почему желательны такие мощные методы (в действительности
они уже сейчас находятся в процессе развития), станет ясно при


320
Ф. К. X а р л о у
обсуждении, которое проводится в этой статье. Кроме того, ста-
станет также ясным, почему именно метод частиц в ячейках так
интенсивно применялся во время этого переходного периода,
2. Основной метод расчета
А. Общие соображения
Чтобы проиллюстрировать схему расчета по методу частиц
в ячейках, покажем приложение этого метода к относительно
простому примеру, исходя из которого в дальнейшем несложно
будет сделать обобщения. Пример, который здесь детально бу-
будет описан, представляет собой расчет неустановившегося пло-
плоского движения двух сред, находя-
находящихся в сосуде с прямоугольными
стенками. Общая схема такой за-
задачи показана на рис. 1. Здесь точ-
точками и крестиками отмечены два
различных вида частиц; в дальней-
дальнейшем мы будем называть их части-
частицами среды, отмеченной точками, и
частицами среды, отмеченной кре-
крестиками. Заметим, что не все ячей-
ячейки эйлеровой сетки обязательно за-
заполнены частицами. Некоторые
ячейки остаются пустыми, некото-
некоторые заполнены частицами только
одной или только другой среды, а
в некоторых частицы перемешаны.
Все эти особенности создают свои
характерные трудности при прове-
проведении расчетов.
Расчет изменения картин дви-
движения жидкости проводится шага-
шагами по времени, или циклами. Каж-
Каждый цикл составляет промежуток 6^,
время которого мало по сравнению с общим временем, проте-
протекающим в данной задаче. Каждый цикл, кроме того, разбивается
на два этапа. Один этап связан с расчетами течения жидкости
в представлении Эйлера, а другой —с расчетами движения ча-
частиц. Оба эти этапа расчета мы рассмотрим отдельно.
Б. Расчет в представлении Эйлера
Каждая ячейка характеризуется системой переменных, вы-
выражающих средние значения скорости, внутренней энергии,
плотности и давления в этой ячейке. Обозначения для типичной
• •
•
• •
•
•
•
• •
• •
• •
•
• •
• •
•Л
X х
X
х х
X х
X * х
х х *
• • •
• • •
• • •
• •
• :
• •
•
.V
• •
• • •
х •
X X X
X
X X
х *
Х X
•
• •
• •
•
•
• •
X Х
X X
•
*
X X
* х х
Рис. 1. Пример расположе-
расположения ячеек и частиц.


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 321
ячейки приведены ниже. С помощью индексов /, / отсчитывается
число ячеек в направлениях х и у соответственно.
Обозначения величин для ячейки /, /
и/, j— составляющая скорости по направлению х\
Vi, j— составляющая скорости по направлению у\
Mti j— масса среды, отмеченной точками;
Mt, j—масса среды, отмеченной крестиками;
J.itj— удельная внутренняя энергия среды, отмеченной точками;
^х/, j—УДельная внутренняя энергия среды, отмеченной крестиками;
Plt j — давление;
Ql, ]— полная внутренняя энергия;
E.itj— полная энергия среды, отмеченной точками;
^х/, J— п°лная энергия среды, отмеченной крестиками;
Xi% j—полное количество движения с импульсом сил в направлении х\
Yl, j— полное количество движения с импульсом сил в направлении у\
г^— показывает, что результат получен после первого этапа расче-
расчетов;
'— показывает, что результат получен после второго этапа расче-
расчетов.
На эйлеровом этапе расчета положение всех частиц рассма-
рассматривается полностью фиксированным. Следовательно, на этом
этапе расчета мы будем пренебрегать всяким движением жидко-
жидкости и всеми эффектами, обусловленными перемещением частиц.
Первый шаг расчета состоит в определении давления. С этой
целью рассчитывают плотность в ячейке, определяя ее как отно-
отношение полной массы в этой ячейке к ее объему. Вычисленная
таким образом плотность будет изменяться скачкообразно в со-
соответствии с тем количеством частиц, которое находится в ячей-
ячейке; в дальнейшем будет рассмотрено влияние такого характера
изменения плотности.
Для чистой ячейки, т. е. для ячейки, заполненной частицами
только одной среды, давление рассчитывается с помощью урав-
уравнения состояния для данного вида среды, которое дает давле-
давление как функцию плотности и удельной внутренней энергии. Для
смешанной ячейки, т. е. для ячейки, заполненной частицами
обеих сред, имеются несколько способов, по которым можно оп-
определить давление. В случае когда оба уравнения состояния та-
таковы, что давление увеличивается с ростом плотности, величину
давления в смешанной ячейке можно получить простым сложе-
сложением парциальных давлений. В более сложных случаях, когда
одно или оба уравнения состояния зависят иным образом от
плотности, иногда возможно, что сложение парциальных дав-
давлений будет все-таки^ давать удовлетворительные результаты.
21 Зак, 647


322 Ф. X. Харлоу
Однако более вероятно, что сложение парциальных давлений
даст полное давление, которое будет сильно отличаться от
истинной величины.
Когда в ячейке находятся две среды, давление можно вычис-
вычислить, например, исходя из предположения его непрерывности на
границе раздела этих двух сред. Предположим, что каждая
среда занимает некоторую неизвестную часть ячейки. Далее
допустим, что давление в каждой среде одинаково. Это даст си-
систему уравнений, из которой можно получить полное давление
в ячейке. Практически было установлено, что в случае смешан-
смешанной ячейки, заполненной частицами трех сред, пользоваться та-
такой схемой расчета нецелесообразно. Для таких ячеек обычно
давление определялось как среднее значение давления в со-
соседних ячейках, не содержащих частиц трех сред.
В типовых программах для вычислительной машины при
проведении расчетов по методу частиц в ячейках значения да-
давления определяются во всех ячейках и затем размещаются в
оперативной памяти для использования в дальнейших вычис-
вычислениях. Такая схема особенно целесообразна в тех случаях, ког-
когда программа должна быть гибкой в отношении уравнения со-
состояния и видоизменения граничных условий.
Следующий шаг на эйлеровом этапе расчета состоит в вы-
вычислении предварительных новых значений скорости и удельной
внутренней энергии для ячейки в целом. Эти значения (они от-
отмечаются тильдой) будут предварительными потому, что на эй-
эйлеровом этапе расчета эффекты, обусловленные перемещением
среды, не учитываются. Из полной системы дифференциальных
уравнений в частных производных, изучаемых в гидродинамике,
можно исключить при дальнейшем рассмотрении уравнение, вы-
выражающее закон сохранения массы. Это возможно сделать по-
потому, что частицы имеют постоянную массу, они не возникают и
не исчезают (за исключением лишь тех случаев, когда они по-
покидают систему или входят в нее). Тогда необходимыми диф-
дифференциальными уравнениями будут уравнения количества дви-
движения и энергии
ди д
Оператор D выражает эффект, обусловленный перемеще-
перемещением среды, поэтому на эйлеровом этапе расчета члены с та-


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 323
ким оператором опускаются. В конечно-разностной форме рас-
рассматриваемые уравнения примут вид
"l, У -1/2/ — и> Уг1)
ЬхЬу
+ 1L
Эти уравнения имеют некоторые особенности, требующие
пояснения. Во-первых, величины с полуцелыми значениями ниж-
нижнего индекса получены как средние величины по двум смеж-
смежным ячейкам. Во-вторых, величина полной внутренней энергии
Q используется вместо Ml для того, чтобы учесть также случай
смешанных ячеек. В-третьих, индекс п, который относится к цик-
циклу по времени, введен, чтобы для каждой величины показать в
явном виде зависимость от времени. В-четвертых, 6х и Ьу пред-
представляют собой размеры ячейки. Наконец, в уравнении энергии
скорости отмечены черточкой, которая означает, что берется
среднее значение между старой и предварительной новой вели-
величинами, т. е.
Следует отметить, что применение величин с черточками в
уравнении энергии обусловливает определенную последователь-
последовательность при проведении расчетов. Сначала необходимо вычислить
составляющие скорости, отмеченные тильдой. Затем эти вели-
величины подставляются в уравнение энергии через и и v, т. е. в
форме комбинации со старыми значениями составляющих ско-
скорости. Существуют две причины для представления уравнения
энергии в такой специальной форме. Первая и наиболее важная
причина состоит в том, что это уравнение, очевидно, дает воз-
возможность воздействовать на устойчивость расчетов, а также оп-
определяет получение хорошей точности при вычислении энтро-
энтропии жидкости. Эти вопросы будут детально обсуждаться в § 4.
Другая причина состоит в том, что в этом случае точно обеспе-
обеспечивается сохранение энергии системы даже при использовании
конечно-разностного метода расчета.
Если иметь в виду только условие сохранения энергии, то
тогда можно было бы пользоваться несколькими различными
21»


324 Ф. X. Харлоу
расчетными схемами. Например, можно было бы рассчитать
значение полной энергии в любой ячейке и вычесть из него
величину кинетической энергии, чтобы получить изменение внут-
внутренней энергии. Такая схема фактически применялась во многих
расчетах, проведенных по методу частиц в ячейках. Но лишь
последний опыт показал, что этот новый подход является значи-
значительно более удовлетворительным.
Другой вопрос, который пока остается еще не разрешенным
при рассмотрении уравнения энергии, заключается в том, каким
образом должна распределяться энергия между несколькими
жидкостями в смешанной ячейке. Здесь имеются различные
возможности. Обычно для данной конкретной задачи или для
приложения выбирают такую схему, которая наилучшим обра-
образом учитывает перенос энергии через поверхность раздела двух
сред и в то же время удобна с точки зрения программирования.
Вероятно, наиболее удовлетворительной схемой с теоретической
точки зрения здесь была бы схема, в которой принимается, что
нагревание или охлаждение в каждой среде протекает адиаба-
адиабатически. Однако расчетная схема в этом случае получается до-
довольно сложной даже для газа с простым уравнением состоя-
состояния. В связи с этим можно рассматривать две другие схемы,
в которых каждая жидкость внутри ячейки получает одно и то
же приращение либо полной внутренней энергии, либо удельной
внутренней энергии. Однако в некоторых случаях последняя
схема оказалась менее точной, чем две первые схемы, и вслед-
вследствие этого она редко используется.
Численную схему, применяемую на эйлеровом этапе, надо
анализировать с точки зрения выполнения законов сохранения
по двум причинам. Первая причина связана с точностью числен-
численного метода. Оказывается, здесь имеет место такой общий прин-
принцип, что расчетная схема дает наиболее точные результаты в
случае, когда она точно сохраняет те величины, которые дей-
действительно сохраняются в рассматриваемом физическом про-
процессе. Следовательно, с этой точки зрения целесообразно обе-
обеспечить строгое сохранение энергии, количества движения с им-
импульсами сил и массы. Вторая причина, по которой желательно
выполнение условий сохранения, состоит в том, что при записи
уравнений в консервативной форме появляется полезный и эф-
эффективный способ контроля правильности работы программы и
вычислительной машины в процессе решения задачи. Мы утвер-
утверждаем, например что при расчете на машине, которая дает
точность в восемь знаков, условие сохранения энергии должно
выполняться с точностью до шести знаков. Обеспечение кон-
консервативных свойств конечно-разностных уравнений нетрудно
эыполнить с помощью следующих действий,


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 325
Рассмотрим сначала вопрос об изменении количества дви-
движения по направлению х. Чтобы обеспечить при этом условие
сохранения, необходимо просуммировать уравнение A) по всем
ячейкам системы. Величина MifjUitj представляет собой коли-
количество движения. Следовательно, первый член уравнения A)
дает для расчетного цикла разность полного количества движе-
движения в моменты времени, отмеченные тильдой и индексом п. Сум-
Суммирование второй части уравнения A) приводит к попарному
уничтожению всех соответствующих членов. Действительно, да-
давление на левой границе некоторой ячейки равно давлению на
правой границе соседней ячейки, находящейся слева от рас-
рассматриваемой ячейки, и поэтому две эти величины давления
взаимно уничтожаются. В результае такого суммирования ура-
уравнений в них останутся только величины давления в ячейках,
смежных с пустыми ячейками или смежных с границами рас-
рассчитываемой системы. Именно на основании оставшихся чле-
членов просуммированных уравнений фактически могут быть вы-
выявлены необходимые граничные условия.
Например, в ячейке, смежной с пустой ячейкой, давление
должно обращаться в нуль, чтобы пустая ячейка (давление рав-
равно нулю) не давала результирующей силы на систему. В ячей-
ячейке, смежной с отражающей стенкой, градиент давления должен
обращаться в нуль, чтобы в фиктивной ячейке, расположенной
непосредственно за стенкой, давление точно равнялось давле-
давлению в ячейке, расположенной непосредственно перед стенкой.
Следовательно, давление на стенке будет таким же, как давле-
давление непосредственно изнутри перед стенкой.
Другой тип граничных условий имеет место в случае внеш-
внешнего давления, приложенного к системе. Здесь суммирование
количества движения показывает необходимость того, чтобы на
границе, смежной с областью приложенного давления, это при-
приложенное давление задавалось как некоторая функция времени
и пространства. Если жидкость вытекает из системы через не-
некоторую границу с условиями непрерывности на ней, то тогда
обратно внутрь системы не должны проникать сколько-нибудь
заметные возмущения, идущие от этой границы. Если течение
сверхзвуковое, то характер граничного условия не создает при
этом никаких осложнений. Если же течение дозвуковое, то тогда
надо позаботиться о том, чтобы влияние границы было неболь-
небольшим. Выяснилось, что в этом случае давление в фиктивной ячей-
ячейке, расположенной непосредственно за границей, наиболее целе-
целесообразно брать равным давлению в последней ячейке перед
границей.
Уравнение энергии дает дополнительную информацию отно-
относительно граничных условий. Чтобы показать, как выполнить
точные условия сохранения, зозьмем комбинацию уравнения


326 Ф. X. Харлоу
энергии C) вместе с двумя уравнениями количества движения
A) и B). Полученное в результате уравнение запишем в такой
форме, чтобы первый его член представлял собой разность пол-
полной энергии в данной ячейке в моменты времени, отмеченные
индексом п и тильдой. Тогда остальные члены можно записать
как разности величин, которые при суммировании по всей сетке
ячеек опять попарно уничтожаются. Выражение для потока
энергии F в этом случае имеет довольно специфический вид
Комбинация ранее выведенных Граничных условий для дав*
ления вместе с этим выражением для потока энергии дает гра-
граничные условия для определения скорости на границах ячейки.
Например, видно, что значения составляющих скорости в пустой
ячейке должны быть взяты такими же, как соответствующие ве-
величины в рассчитываемой ячейке, смежной с пустой ячейкой.
(Это означает, что если пустая ячейка окружена четырьмя ячей-
ячейками, заполненными жидкостью, то при расчете каждой из че-
четырех этих ячеек пустая ячейка будет получать различные вели-
величины составляющих скорости, вводимых в нее для выполнения
граничных условий.) Для отражающей стенки средняя скорость
просто должна равняться нулю.
Что же касается внешнего приложенного давления, то здесь
имеется несколько больший произвол в отношении граничных
условий. Обычно в ячейках с приложенным давлением оказы-
оказывается достаточным брать составляющие скорости такими же,
как составляющие скорости в смежных ячейках. Кроме того, вы-
выяснилось, что в некоторых случаях можно более точно опреде-
определять движение скачка при наличии приложенного давления, ес-
если на границе брать известную скорость скачка. Для границы
с условиями непрерывности составляющие скорости снаружи
границы берутся такими же, как составляющие скорости вну-
внутри, — именно этим свойством граница с условиями непрерывно-
непрерывности отличается от твердой стенки.
Здесь всюду мы пренебрегали влиянием вязкости и тепло-
теплопроводности. Если же в уравнения включить члены, описываю-
описывающие эти эффекты, то тогда нужно было бы ввести дополнитель-
ные граничные условия в форме, аналогичной применявшейся
выше.
В. Движение частиц
На эйлеровом этапе расчетов изменялись только величины,
относящиеся к ячейке в целом, а жидкость предполагалась мо-
моментально заторможенной. Чтобы провести расчет движения ча-
частиц, удобно в качестве первого шага подготовить для частиц


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 327
возможность перемещения через границы ячейки. С этой целью
от различных удельных величин в каждой ячейке переходят к
рассмотрению полных величин для этой ячейки. Таким образом,
по величинам и, v и Т сначала для каждой ячейки рассчиты-
рассчитываются полное количество движения по каждому из двух на-
направлений и полная энергия. Этот шаг расчета вместе с после-
последующими шагами иллюстрируется в табл. 1. Проведенная под-
подготовка позволяет проводить простое сложение и вычитание
энергии, количества движения и массы, когда некоторая части-
частица перемещается через границу ячейки.
Перемещение самих частиц осуществляется с составляющие
ми скорости, отмеченными тильдой. Это придает большую устой-
устойчивость расчетам, чем если бы частицы передвигались со ско-
скоростями и и v. При движении каждой частицы ее эффективная
скорость вычисляется линейной интерполяцией по значениям
скорости в центрах каждой из рассматриваемых четырех ячеек,
ближайших по своему расположению к данной частице. Этот
способ расчета эквивалентен взвешиванию скорости пропорцио-
пропорционально площади, которую вновь построенная ячейка с центром
в рассматриваемой частице перекрывает в каждой из четырех
смежных ячеек. Выяснилось, что такая схема линейной интер-
интерполяции скорости значительно увеличивает точность расчетов
метода частиц в ячейках почти во всех его приложениях.
Таблица 1
Последовательность изменения хранимых величин для ячейки во время
Шаг
Шаг
Шаг
Шаг
1
2
3
4
>
>
>
М.
м.
м'
м'
к
второго
мх
мх
м'
<
м'х
этапа расчета
л
Ё.
В'
Е'
'х
ёх
е'
1'х
Г.
т.
I
7
Т
'х
'х
L
К
Гх
и
X
X'
г
и
г
и
V
Y
Y'
V
V
и
и
и
и
и
V
V
V
V
V
Это увеличение точности фактически оказывается значитель-
значительно большим, чем увеличение точности, которое можно было бы
получить за счет уменьшения размеров ячеек сетки при затрате
равного количества машинного времени. При применении этой
интерполяционной схемы к расчету движения частиц возникают,
конечно, определенные проблемы, связанные с граничными усло-
условиями. Например, при расчете окрестности пустой ячейки скорость
в центре этой пустой ячейки берется такой же, как скорость в
ячейке, где находится данная частица. При рассмотрении


328 Ф. X. Харлоу
движения частиц вблизи отражающей стенки вводятся фиктив-
фиктивные внешние ячейки, в которых скорости берутся равными от-
отраженным скоростям в соответствующих смежных ячейках.
Если в своем новом положении частица остается в той же
самой ячейке, в которой она находилась перед перемещением,
то тогда эйлеровы величины, относящиеся к ячейке в целом, не
получают изменений. Если же частица перемещается через гра-
границы ячеек, то такие изменения определяются простым сложе-
сложением или вычитанием масс, энергий и количеств движения с
импульсом сил соответствующих частиц. Эти величины рассчиты-
рассчитываются с учетом пропорциональной доли, которую частица вно-
вносила в данную величину в старой ячейке. Когда все частицы
системы будут перемещены, наступает последний шаг расчета.
Теперь для всех величин, относящихся к ячейке в целом, надо
возвратиться к первоначально рассмотренным функциям — со-
составляющим скорости и удельной внутренней энергии. Это мо-
можно сделать путем деления полученных последних значений
составляющих количества движения на последние значения
массы, что дает окончательные значения составляющих скоро-
скорости. Вычитая же из последних значений полной энергии рассчи-
рассчитанные последние значения кинетической энергии, найдем окон-
окончательные значения внутренней энергии. В табл. 1 подробно по-
показано, в каком порядке проводятся эти вычисления.
Г. Вспомогательные операции
После проведения двух основных этапов, описанных выше,
будет завершена главная часть расчетного цикла в методе ча-
частиц в ячейках. Однако, помимо описанных расчетов, обычно
проводят еще некоторые очень полезные вспомогательные опе-
операции. Сюда относятся различные операции, связанные с выво-
выводом рассчитанных данных, например передача информации, из
памяти машины на ленты или на перфокарты, печать интере-
интересующей информации либо в полной форме, либо в виде только
основных, необходимых для анализа результатов. Очевидно, что
при печати информации почти невозможно вывести все резуль-
результаты, полученные в каждом цикле вычислений. Фактически мы
ограничивались печатью только основных данных через каждые
несколько циклов. Выдавать же полную печать всей памяти ма-
шины требуется в редких случаях.
Очень большую информацию для анализа можно получить
путем вывода на печать основных данных, содержащих значе-
значения энергии, количества движения, положение центра масс и
различные другие параметры движения. Однако более ценным,
чем печать таких данных, является вывод графиков, который
можно проводить с помощью устройства записи на микрофильм
«Стромберг Карлсон 4020». Вывод графиков позволяет полу-


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 329
чать на микрофильме картины движения, показывающие поло-
положение всех частиц в системе. Обычно частицы различных сред
изображаются на графиках точками разной величины, поэтому
можно сразу же иметь полную наглядную интерпретацию рас-
рассматриваемой картины движения. Оказывается, что такой вы-
вывод картин движения часто содержит почти всю информацию,
которую желательно получить из расчетов. Несколько примеров
картин движения будет дано в § 6, где представлены резуль-
результаты расчетов, показывающие образование кратера при взрыве
в атмосфере над плотным веществом.
3. Видоизмененные формы метода *
А. Учет дополнительных эффектов
При расчетах по методу частиц в ячейках можно учесть мно-
многие дополнительные эффекты. Некоторые из них мы обсудим
здесь, а другие при необходимости также могут быть включены
в расчет. Простейшим обобщением метода является, вероятно,
учет влияния теплопроводности и вязкости. Опыт показал, что
удовлетворительные результаты можно получить с помощью са-
самого непосредственного введения в расчет этих эффектов. Со-
Соответствующее рассл^отрение этого вопроса имеется в работе
Харлоу и др. [9], поэтому здесь будет уместно сделать только
несколько замечаний.
Что касается учета теплопроводности, то для этого в урав-
уравнение энергии надо добавить член, дающий еще один поток вну-
внутренней энергии. Однако следует заметить, что когда в уравне-
уравнение энергии включается такой член, то при этом несколько
меняются свойства устойчивости расчетов. Если через а обозна-
обозначить коэффициент теплопроводности, то тогда здесь ставится
дополнительное ограничение, согласно которому величина
o8t/6x2 должна быть меньше 0,5. По существу это представляет
собой новое ограничение на величину 6^, помимо того ограниче-
ограничения, которое ставится гидродинамикой. Другой особенностью,
которая возникает при введении теплопроводности, является
требование видоизменить граничные условия. Наличие изоли-
изолированной или теплопроводной стенки нетрудно выразить в со-
соответствующих граничных условиях для градиента внутренней
энергии на такой стенке.
Включение вязких эффектов в самом полном виде также
можно провести непосредственным образом, однако это приводит
к исключительно большой и сложной системе уравнений. Часто
в специальных приложениях эти уравнения упрощают, делая
определенные допущения относительно характера вязкости.
В качестве примера может служить допущение Стокса, в ко-
котором простым выражением связываются первый и второй


330 Ф. X. Харлоу
коэффициенты вязкости. Однако в принципе коэффициенты вяз-
вязкости могут быть любыми сложными функциями температуры
или других переменных. В этом случае не возникает никаких
трудностей, за исключением дополнительного увеличения ма-
машинного времени, необходимого для вычисления заданных
сложных выражений.
Нам часто задают вопросы относительно дополнительного
учета прочностных эффектов при проведении расчетов по ме-
методу частиц в ячейках. Мы не делали соответствующих опытов,
но можно предвидеть, что точный учет таких эффектов был бы
весьма затруднительным. Однако следует упомянуть, что Риней
[11] из компании «Дженерал электрик» в настоящее время раз-
разрабатывает приближенный способ учета таких эффектов. Сле-
Следует заметить, что в связи с учетом любого из перечисленных
эффектов нужно уделять очень большое внимание соответствую-
соответствующей записи уравнения энергии. Как было показано в предыду-
предыдущем параграфе, запись уравнения энергии в конечно-разностной
форме должна учитывать несколько довольно специальных тре-
требований. Если необходимо включить, например, вязкие напря-
напряжения, то в уравнении энергии соответствующие члены, входя-
входящие в полное напряжение, должны быть записаны как разность
между потоками полной работы и кинетической энергии, а не в
форме, принятой в уравнении C).
Б. Цилиндрические координаты
Многие весьма полезные и интересные приложения метода
частиц в ячейках относились к задачам, которые обладают осью
симметрии и являются двумерными в цилиндрической системе
координат. Для таких задач нужна новая интерпретация расчет-
расчетной сетки, применяемой в методе частиц в ячейках. Действи-
Действительно, теперь эйлеровы ячейки будут тороидами прямоуголь-
прямоугольного поперечного сечения, а частицы будут представлять собой
кольца с осью, на которой располагаются центры масс торои-
тороидальных элементов жидкости. В этом случае возникают опреде-
определенные условия, которые надо учитывать как на эйлеровом
этапе расчета, так и на этапе расчета движения частиц. На эй-
эйлеровом этапе расчета, конечно, необходимо видоизменить при-
применяемые уравнения с учетом вида дивергенции в цилиндри-
цилиндрических координатах. Основное изменение претерпевает уравне-
уравнение энергии, которое в отличие от уравнения C) будет теперь
иметь такой вид
(
(*?+1/2, J - W?-l/2, J , Vl 7+1/2 - *?, у-1/2
Tfir Г bz


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 331
Граничные условия, которые следуют из требования сохранения
энергии, здесь очень похожи на граничные условия, которые
получались в плоском случае, но отличаются наличием множи-
множителя г. В осесимметричном случае также требуется, чтобы в
конечно-разностных уравнениях строго выполнялись как закон
изменения количества движения вдоль оси, так и закон сохра-
сохранения энергии системы. Это требование позволяет вести такой
же контроль точности программы и ошибок вычислительной ма-
машины, какой был столь полезен в плоском случае.
Применение цилиндрических координат в практических рас-
расчетах вносит осложнение, связанное с выбором надлежащего
способа взвешивания скоростей при определении движения ча-
частиц. Мы пытались проводить здесь взвешивание соответственно
объему, который тороидальная ячейка с центром в рассматри-
рассматриваемой частице перекрывает в каждой из четырех смежных то-
тороидальных ячеек. Однако оказалось, что такое взвешивание
неудовлетворительно. Поэтому здесь также применялась соот-
соответствующая схема с линейными интерполяциями (т. е. со взве-
взвешиванием по площади) по значениям скорости в четырех смеж-
смежных ячейках. Никаких других трудностей при проведении рас-
расчетов в цилиндрических координатах не возникает. Результаты
расчетов, приведенные в § 6, относятся к типичному примеру
осесимметричной задачи, для решения которой метод частиц в
ячейках прекрасно подходит.
В. Произвольные системы координат
В принципе расчеты по методу частиц в ячейках можно ве-
вести в произвольной ортогональной криволинейной системе ко-
координат. Мы провели лишь предварительные исследования отно-
относительно возможности расчетов в полярных координатах; фак-
фактически же такие расчеты полностью никогда не делались. Тем
не менее здесь совершенно ясна одна сторона вопроса, а имен-
именно: фиктивные ускорения, которые вводятся в произвольной
криволинейной системе координат, должны рассматриваться
при расчете движения частиц, а не на эйлеровом этапе расчета.
4. Свойства метода частиц в ячейках
А. Влияние «квантованной» плотности и давления
Когда среднее число частиц в ячейке невелико, например по-
порядка четырех или пяти, тогда флуктуации, вызванные передви-
передвижением частиц через границы ячеек, будут очень большими.
Следует ожидать, что такие флуктуации окажут сильное влия-
влияние на мгновенные значения локальных величин поля течения.
Такие ожидания действительно оправдываются, Однако метод


332
Ф. X. Xарлоу
частиц в ячейках справляется с такой трудностью и позволяет
получать полезные расчетные данные благодаря тому факту,
что эти флуктуации имеют стремление очень быстро осред-
няться. Но это означает, что результаты расчетов по методу ча-
частиц в ячейках едва ли можно рассматривать с микроскопиче-
микроскопической точки зрения. Здесь интересы должны ограничиваться глав-
главным образом общими функциона-
функционалами движения.
Имеется еще одно обстоятель-
обстоятельство, которое связано с флуктуа-
циям и приводит к последова-
последовательному отклонению от ожидае-
ожидаемого среднего значения давления.
Это происходит в случаях, когда
уравнение состояния, дающее
давление как функцию плотно-
плотности, оказывается более сложным,
чем простое политропическое
уравнение состояния газа, в ча-
частности, когда давление изменя-
изменяется нелинейно в зависимости от
плотности. Если, например, кри-
кривая, изображающая давление
как функцию плотности, имеет
вогнутость вверх, то тогда в не-
некоторой области с флуктуацией
плотности среднее значение дав-
давления будет завышено. Как это
происходит, показано на рис. 2.
Заметим, что распределение плот-
плотности, симметричное относитель-
относительно своего среднего значения, при
отображении на ось давления приводит к несимметричному рас-
распределению давления. Среднее значение давления не будет уже
соответствовать положению пика давления, а будет распола-
располагаться несколько выше его. Для многих целей этот эффект не
играет большой роли, но в некоторых случаях, когда стремятся
получить большую точность, здесь желательно провести неко-
некоторую корректировку.
Если функция распределения для плотности известна, то тог-
тогда ее можно отобразить при помощи уравнения состояния и
найти функцию распределения для давления. Это позволит по-
получить представление о том, насколько завышено давление. Тог-
Тогда можно провести корректировку уравнения состояния таким
образом, чтобы распределение плотности отображалось теперь
на такое распределение давления, у которого максимальное зна-
Р и с. 2. Иллюстрация асимметрич-
асимметричного отображения на ось давле-
давления симметричного распределения
плотности.
7 —среднее давление; 2—пик давле-
давления; 3 — средняя плотность.


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 333
чение будет несколько ниже желательного, но среднее значение
давления будет иметь нужную величину. Очевидно, что прове-
проведение такой корректировки зависит от знания функции распре-
распределения плотности, которая, вероятно, меняется от задачи к за-
задаче. Однако мы установили экспериментально, что функция
распределения плотности остается почти одной и той же в раз-
различных условиях. Пусть Р(р)ф представляет собой вероятность
найти величину плотности р в некоторой области со средним
значением плотности р0. Для типичных встречающихся условий
достаточная точность получается, когда функция распределения
имеет следующий вид:
Оказалось, что в большинстве случаев необходимая корректи-
корректировка давления невелика. Поэтому погрешность в корректи-
корректировке, которая является величиной еще более высокого порядка,
вероятно, будет очень малой и в большинстве случаев прене-
брежимой. Опыт показал, что такое предположение выполняется
и корректировка давления в ряде случаев была действительно
целесообразной.
Б. Эффективная искусственная вязкость и теплопроводность
Применяемые в методе частиц в ячейках конечно-разностные
уравнения точно не совпадают с дифференциальными уравне-
уравнениями течения, которые они представляют. Уравнения в част-
частных производных можно разложить в ряды Тейлора около неко-
некоторого центра в пространстве и времени. Тогда в результате
получим уравнения, которые по виду от исходных дифферен-
дифференциальных уравнений будут отличаться на дополнительные чле-
члены, пропорциональные размерам ячейки Ьх и by и приращению
времени Ы. Некоторые из этих членов по своему виду похожи
на члены, описывающие реальную вязкость и теплопроводность;
другие же члены не связаны с какими-либо известными физиче-
физическими свойствами жидкости. Подробный вывод соответствую-
соответствующих уравнений для случая одномерного неустановившегося те-
течения дан в работе Эванс и Харлоу [3]. Исследование показы-
показывает, что в расчеты по методу частиц в ячейках входят коэффи-
коэффициенты эффективной вязкости и теплопроводности
1 ,
где {и) — среднее значение местной скорости жидкости. Проис-
Происхождение этих эффектов можно выяснить при рассмотрении
расчета движения частиц. Из описания этого этапа расчета вид-
видно, что когда частица пересекает границу ячейки, то она несет


334 Ф. X. Харлоу
определенные доли количества движения и энергии, которые до-
добавляются к соответствующим величинам в новой ячейке. По-
Последующее вычисление новых удельных величин приводит к
уменьшению кинетической энергии жидкости в этой ячейке и
увеличению ее внутренней энергии.
Пусть известны выражения для теплопроводности и вязко-
вязкости, фактически возникающие в расчетах по методу частиц в
ячейках. Тогда на эйлеровом этапе расчета можно провести не-
некоторую операцию вычитания, посредством которой влияние
этих факторов будет устранено. Выяснилось, что в расчетах не-
некоторых специальных случаев такую операцию действительно
желательно проводить. Одним из таких случаев является дви-
движение газа в сторону от жесткой стенки. Оказалось, что возни-
возникающая в расчетах вязкость вызывает появление кавитации на
стенке, где она не должна иметь место. Операция вычитания
эффективной вязкости полностью исправляет это положение.
С другой стороны, хорошо известно, что для расчетов скач-
скачков с помощью конечно-разностных численных методов требует-
требуется введение некоторого диссипативного механизма. Для этой це-
цели подходит искусственная вязкость. Поэтому в одной из наших
расчетных схем проводится вычитание искусственной вязкости в
областях разрежения и сохранение ее лишь в областях сжатия.
Однако надо заметить, что эффективная искусственная вязкость
пропорциональна скорости жидкости относительно расчетной
сетки. В этом проявляется один из недостатков, который имеет-
имеется в любой расчетной схеме в представлении Эйлера и о кото-
котором ранее упоминалось в связи с вопросом об инвариантности
относительно преобразования переноса. Отсюда следует, что в
областях полного торможения вязкость становится пренебрежи-
мой. По этой причине иногда полезно вводить в уравнении неко-
некоторую дополнительную искусственную вязкость, которая может
быть взята в любой из ее многочисленных форм. Для наших це-
целей наиболее подходящей была несколько видоизмененная вяз-
вязкость Ландсхофа [10], хотя в некоторых случаях целесообразнее
было брать вязкость фон Неймана и Рихтмайера [12].
В. Устойчивость
Может показаться, что форма уравнений, которые приме-
применяются на эйлеровом этапе расчета, является безусловно неус-
неустойчивой. Однако многочисленные расчеты, выполненные по ме-
методу частиц в ячейках, показывают, что эта схема вполне ра-
рациональна и приемлема и расчеты по ней могут проводиться
вполне устойчиво. Этот парадокс разрешается с помощью тща-
тщательного исследования устойчивости и, в частности, с помощью
рассмотрения эффективной вязкости или другой искусственной
вязкости, которая может входить в расчеты.


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 335
Харлоу [7] показал, что нелинейные эффекты, создаваемые
определенными членами в уравнениях, могут приводить к огра-
ограничению бесконечно малой неустойчивости и этого может быть
достаточно для того, чтобы расчеты шли без затруднений. Влия-
Влияние бесконечно малой неустойчивости становится важным только
для течений с малыми дозвуковыми скоростями. По этой при-
причине течения, в которых встречаются области полного тормо-
торможения скорости относительно эйлеровой расчетной сетки, ока-
оказывается затруднительно рассчитывать по методу частиц в
ячейках. Конечно, такие трудности не возникают в тех случаях,
когда вся жидкость покоилась в начальный момент времени и
при этом отсутствовали какие-либо возмущения. Трудности воз-
возникают только при расчете возмущенных областей полного тор-
торможения. Дэлай [2] провел дальнейшее исследование этого во-
вопроса.
Г. Энтропия
В методе частиц в ячейках имеется несколько различных вы-
вычислительных операций, которые приводят к добавлению или к
потере энтропии. Главным источником добавления энтропии слу-
служит процесс пересечения частицами различных ячеек, что, как
было показано, вызывает появление эффективной искусствен-
искусственной вязкости. Введение дополнительных членов с искусствен-
искусственной вязкостью создает такой же эффект. Оба эти фактора могут
быть полезны при расчетах сжимаемых течений, в которых важ-
важную роль играют скачки уплотнения.
Основным источником потери энтропии служит неустойчи-
неустойчивость расчетов на эйлеровом этапе. Потеря энтропии прояв-
проявляется главным образом в увеличении нерегулярностей у про-
профиля скорости. Фактически это связано с переходом тепловой
энергии в кинетическую. Чем сильнее эффекты неустойчивости,
тем больше нерегулярности в профиле скорости и, следователь-
следовательно, тем больше потеря энтропии. Одна из основных причин, по
которой уравнение для внутренней энергии записывается в фор-
форме C), состоит в том, что эта форма записи в противополож-
противоположность другим возможным формам, оказывается, менее всего
способствует потере энтропии. Действительно, с помощью соот-
соответствующего разложения уравнений в ряды Тейлора можно
показать, что первый член уравнения энергии в такой форме
записи обеспечивает сохранение энтропии при отсутствии дис-
сипативных членов.
Д. Отрицательная внутренняя энергия
Как флуктуации, так и неустойчивость стремятся уменьшить
внутреннюю энергию ячейки. В первых вариантах метода частиц
В ячейках это могло даже приводить к появлению отрицательных


336 Ф. X. X ар л о у
значений / в некоторых ячейках. Одно из достоинств применяе-
применяемой нами в настоящее время формы уравнения энергии состоит
в том, что здесь ослабевает тенденция к появлению отрицатель-
отрицательных величин /. Для некоторых условий возможно вывести
критерий, который обеспечивает отсутствие отрицательных зна-
значений внутренней энергии. Для политропического уравнения со-
состояния P=(y— 1)р^ этот критерий можно получить из уравне-
уравнения C) в следующем виде:
If-/*
где ит — наибольшая величина составляющих скорости в рас-
рассчитываемой области. Критерий отсутствия отрицательных
значений внутренней энергии накладывает ограничение на при-
приращение времени б/, которое должно выбираться так, чтобы
правая часть указанного неравенства была меньше единицы.
Хотя этот критерий строго справедлив лишь для политропи-
политропического газа, он будет давать также приближенные соображе*
ния и для некоторых других уравнений, состояния. Тем не менее
оказывается, что для некоторых типов уравнения состояния воз-
возникают неизбежные обстоятельства, при которых внутренняя
энергия иногда может стать отрицательной. В связи с этим во
всех расчетах по методу частиц в ячейках, в которых рассма-
рассматривается уравнение состояния более сложное, чем уравнение
состояния для политропического газа, надо принимать специаль-
специальные меры для вычисления давления при появлении отрицатель*
ной внутренней энергии. Эти меры должны быть организованы
таким образом, чтобы их суммарный эффект взаимно уничто*
жался.
Е. Точность
Пока еще не проведено аналитического исследования, кото-
которое бы детально показало существо ошибок, возникающих в рас-
расчетах по методу частиц в ячейках. Некоторые представления о
точности и применимости метода частиц в ячейках были полу-
получены только в результате проведения серии пробных расчетов.
Многие вопросы, относящиеся к точности расчетов, уже обсу-
обсуждались выше; здесь мы остановимся на ряде других сторон
этого вопроса.
Самый главный источник неточностей расчета связан с от-
отсутствием инвариантности расчетной схемы относительно преоб*
разований поворота и переноса. Например, при расширении сфе-
сферической массы вещества, когда этот процесс рассчитывается в
цилиндрических координатах, оказалось, что сферичность явле«
ния может сохраняться с довольно хорошей степенью точности.


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 337
Однако при расчетах подобного процесса сжатия могут иметь
место значительные отклонения от сферичности. Отсутствие ин-
инвариантности относительно преобразования переноса прояв-
проявляется в неустойчивости, которая возникает в области полного
торможения и уже обсуждалась выше.
Самый сложный вопрос, который наиболее часто возникает
на практике, касается оптимального числа частиц в ячейке при
проведении данного расчета. Здесь определенные ограничения
ставятся типом вычислительной машины, которая применяется
для расчетов. Пусть, например, вычислительная машина имеет
относительно малую память, но скорость ее работы достаточно
велика, так что соображения о необходимом машинном времени
не играют большой роли. Тогда число частиц на одну ячейку
будет ограничиваться величиной имеющегося объема памяти
для хранения функций, относящихся к частице и ячейке
в целом.
Типичные двумерные расчеты требуют, чтобы в памяти ма«
шины хранилось примерно девять величин, относящихся к ка-
каждой ячейке в целом, и три величины, относящиеся к каждой
частице. Если общее число расчетных ячеек в системе очень ве-
велико, то в памяти останется мало места для хранения величин,
относящихся к частицам, и поэтому число частиц на одну ячей-
ячейку системы будет небольшим. Это позволяет получить хорошее
решение на эйлеровом этапе расчета движения жидкости, но
при этом будут появляться значительные флуктуации величин
плотности и давления, относящихся к ячейке в целом. В другом
крайнем случае, когда берется большое число частиц на каждую
ячейку, основная часть памяти машины отводится на хранение
величин, относящихся к частицам. Тогда при получении решения
на эйлеровом этапе расчета общее число ячеек придется брать
небольшим. Таким образом, в каждом случае должен быть най-
найден разумный компромисс между двумя такими крайними поло-
положениями. Однако дать какие-либо универсальные рекомендации
здесь невозможно.
Вообще говоря, при выборе числа частиц на ячейку можно
руководствоваться следующими соображениями. Для сред, ко-
которые будут сильно сжиматься, расчеты, как правило, можно
начинать с малым числом частиц на ячейку — порядка четырех
или несколько больше. (Целесообразно, чтобы число частиц на
ячейку представляло собой точный квадрат. Это позволяет удоб-
удобно размещать частицы внутри ячейки.) Напротив, для сред, ко-
которые будут расширяться в процессе расчета, надо брать число
частиц на ячейку значительно большим, чем четыре, девять или
даже шестнадцать. В некоторых случаях (см. пример в § 6) не-
необходимо было начинать расчеты с числом частиц на ячейку,
равным ста или иногда даже четыремстам.
22 Зак. 647


338 Ф. X. Харлоу
Это последнее число частиц на ячейку применялось в одном
примере, где очень маленькая область, в начальный момент
Бремени очень сильно нагретая, должна была расширяться во
много раз по сравнению со своим первоначальным объемом.
Выбор начального числа частиц на ячейку для таких расширяю-
расширяющихся областей обычно основывается на требовании, чтобы в
рассчитанном конечном положении приходилось бы в среднем
приблизительно четыре частицы на ячейку. Другой случай, в ко-
котором требуется большое число частиц на ячейку, имеет место
тогда, когда скачок уплотнения возникает при очень малом
возрастании плотности. Здесь необходимо иметь возможность
брать очень малые шаги по плотности, а это требует большого
числа частиц на ячейку.
Другой вопрос, связанный с выбором частиц и влияющий
на точность расчетов, относится к размещению частиц внутри
ячейки. Выяснилось, что можно получать значительно лучшие
результаты, если частицы несколько смещать относительно
некоторого регулярного их расположения. Если, например, бе-
берется девять частиц на ячейку, то каждую частицу можно раз-
разместить в центре каждой из девяти отдельных частей, на кото-
которые разбивается ячейка. Однако лучшие результаты получаются
в случае, когда каждая частица внутри своей части ячейки бу-
будет смещена на некоторое либо заданное, либо случайное рас-
расстояние. Вообще говоря, мы рекомендуем смещение на некото-
некоторую регулярно заданную величину. Это смещение надо прово-
проводить таким образом, чтобы действие волны, идущей вдоль оси
ячейки, не создавало искажений из-за небольших нерегулярно-
стей,
5. Область применения и ограниченность
метода частиц в ячейках
Успешное проведение многочисленных расчетов неоднократно
показало, что метод частиц в ячейках целесообразен для реше-
решения гидродинамических задач, в которых встречаются большие
деформации жидкости, большие относительные перемещения и
происходит столкновение поверхностей раздела. Этот метод ока-
оказался приемлемым для ряда задач, которые не поддавались ре-
решению другими численными методами. Несмотря на это, ясно,
что метод частиц в ячейках имеет определенные ограничения, и
в конце концов этот метод будет заменен каким-либо другим
численным методом, который будет свободен от некоторых или
ото всех встречающихся здесь трудностей. Наиболее серьезные
из этих трудностей уже упоминались, и они ограничивают при-
применимость метода следующими условиями: в рассматриваемой
задаче не должно быть областей течения с малыми дозвуковы-


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 339
ми скоростями; внутри больших областей течения не должны
встречаться малые области, в которых необходимо детально
знать решение; нельзя требовать выдачи детальных результа-
результатов расчета для отдельных точек в любой заданный момент
времени.
Чтобы проиллюстрировать приложения метода частиц в ячей-
ячейках, упомянем несколько задач, которые были решены этим ме-
методом. Эванс и Харлоу [4, 5] подробно исследовали сверхзвуко-
сверхзвуковое течение газа около цилиндра, поставленного как поперек,
так и вдоль направления течения. В отчете Харлоу и др. [9] при-
приводится ряд рассчитанных примеров — отражение ударной вол-
волны от наклонной поверхности раздела в газе, прохождение удар-
ударной волны через канал с внезапно расширяющимися стенками,
взаимодействие скачка с различными деформируемыми объек-
объектами прямоугольной формы, гиперзвуковое слоистое течение при
наличии возмущенной поверхности раздела, неустойчивость, об-
обусловленная ускорением поверхности раздела. В работе Эванс
и др. [6] был рассмотрен расчет взаимодействия ударной волны
и волны разрежения с пузырем. Кроме того, были выполнены
многочисленные исследования для специальных целей, которые
не публиковались.
6. Приложение метода к одной специальной задаче
Как иллюстрацию специфического приложения метода ча-
частиц в ячейках мы приводим здесь результаты расчетов, относя-
относящихся к образованию кратера при взрыве в атмосфере над
плотным веществом. Эти расчеты были выполнены в Лос-Ала-
Лос-Аламосе на вычислительной машине IBM Стретч с помощью про-
программы «Дукс». Соответствующие результаты нам любезно пре-
предоставил Т. Д. Батлер, который проводил расчеты. На рис. 3
дана последовательность картин движения, возникающих в этой
задаче.
В начальный момент времени ^=0 на рисунке показана хо-
холодная земля, над которой в холодной атмосфере расположена
небольшая сильно нагретая сфера. Вторая картина движения
относится к моменту, отвечающему двум единицам времени.
Здесь видна значительная скученность частиц в первоначально
нагретой сфере. На первой картине изображены не все частицы,
потому что их слишком много. Уже в момент времени, к кото-
которому относится вторая картина движения, в земле возникает
небольшое углубление под местом взрыва. На третьей кар-
картине движения, соответствующей 30 единицам времени, видно
образование сильной ударной волны в окружающей атмо-
атмосфере и значительное увеличение кратера в земле. Последняя
картина движения относится к моменту времени в 60 единиц
22*


v'v
Vv
•!¦'••
ч'
>:•
.4
* ч*
*?•
'L /Л-2
!•'*!•"•!•'•!'
•>:'•
•Л'
г'/
1
•\У
I
1
ЭЙ
яг
:-i '**''?¦'•• I'-*'*'1
:-:-л<У •:•:•:•>:•:
!•••!•¦
!'•*!*•
г*
*.*Ч'
.'••л
•« .*.
гЛг<
•ф1%
'•,
\
**%
'•*!'•*
>;•;.
*^ V
v>
ft
*,ч*.
•* V
•ч*
•*!*••
*Ч*'
•v*
?v
*,ч*.
iv
•*!*•*!
у»*.
'$
rVV
**ч*' **'
•*!*•' •*!
ГГ
4' •>
у Л-
^к
г
i
т&ВЗа
¦л
1
*ч*>
i
%
¦•V
р
4
IS
•я
^.
г
'rf
1
i
V
V
*"
4,*
•'•••>!•*•*•!
Ik
i
I •» 4
.1
If*
4 ,
« e
•
•>
i
•i
Л
Jf
д
*• -
f
f
*V**i
•!•'•:
'•**"i
'vl'i
v:;
V:i
iii
*v"*i
V*
"v"*i
x
.,
r
5v
чп
'"«•**i
V,
'.4
4*4'
V*
ft
4#V
V-i
V'!
*.*4
•Л
*•*.**'
•:V
•.* •/
•.* •.*
Si
v'i
>;.ч;
J$
>v
>ji
w
>
v'
:;
>
V
•,•
>$
ft
$•
\ч*.
ft
>!*••
>S
>'V44##4'
%r#:
•>ч
W
•^:
•>ч
ч^ч
4*
ч"
4'
•4
4'
4'
4'
'Vs
ft
4
4
ч'
ч"
*ч
ч'
ч*
%•
>;
ч*
ч'
ч'
ч'
;•:
щ
ч«Ч(
id
*?<
•A'
¦:
4*4
^s
<s
в


Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики 341
ш
Щ
5?у
' **У
4V
щ
г.»
у*у
•*!*••
•'$
I
m
w
!*y
* •
::•••[¦¦
Ш
1
•* V
Л/
'*>
.1
.4;
•4)
&
'•
4. -
**•/¦
.• у
.¦¦
л-'"
$?
и V /
й-^
J>> ?
лУ I;
-^ л
v >:•
•' '.4%,
Ч TI
!
! Л?
^^
• 1
• .
Ж
*.'^У
!• и v
? >!•
лу t'
•; ;л<
^^
** * •
ч . w
г
'Л
'. %
*. ".*•*.'
:й
.>.
1Л'
и'у
.•У
;s::
'г
Г-
tK .
/«1
f
•
•
щ
V
*
ч1
•
эр
Щ
Ё
-+*
1
i
, -•
щ
yV
У:
».
г
! ¦¦
S
Г?
'-.
*/
t
**/
i
Is
••v»
+1
*,*
•
Л.
1
У,*,
si
*^
*
1
V
•3
и,.
ш?-
Щ
'г
* ,
1 >
•;
•;»
V'
^
.у.*
•¦' %'
Vs
s*,s
Л*."'
*ys'i
?
f.
*•'!*•
У*
?•*?'
V,
г'****' "*
m
• i
'•: \
ili
Щ
4**% *'*
1 ?v
Г t*
^7
s •:'•!
*.* ?••?
*. У*,
••*
1
vr
i
ji
•Л:
У*!
Й '••*'••
f
Ш
й ¦¦•¦¦
::>-;-v-;
^•^
y"\ *.|V
P и с. З. Задача об образовании кратера; расположение частиц для четырех
моментов времени: (а) г = 0; (б) * = 2; (в) ^ = 30; (г) ^ = 60. Линии сетки
изображают границы отдельных ячеек.
непосредственно перед тем, как частицы начнут покидать рас-
рассчитываемую область.
В действительности расчеты продолжались гораздо дальше,
при этом использовались также условия непрерывности на гра-
границе, чтобы частицы покидали рассчитываемую область, не по^
сылая какого-либо обратного возмущения. Таким образом, име-
имелась возможность детально до очень продолжительных момен-
моментов времени проследить образование кратера в земле.
Благодарности. Список всех сотрудников, внесших свой вклад в развитие
и приложения метода частиц в ячейках, был бы столь велик, что его


342 Ф. X. Харлоу
невозможно было бы здесь привести. Однако мне хочется выразить большую
признательность нескольким коллегам, чьи усилия были особенно важными.
К ним относятся Марта Эванс, Билли Д. Мейкснер, Даниэль Батлер, Барт
Дэлай, Доналд Дикман, Дэвид Э. Харрис, Роберт Э. Мартин и Элизер Бром-
берг. Многие другие сотрудники из групп Т-3 и Т-1 в Лос-Аламосе вместе
с многочисленными консультантами и приезжими учеными также внесли важ-
важный вклад. Вся работа по методу частиц в ячейках, включая подготовку
этой статьи, была выполнена при поддержке Комиссии по атомной энергии
США.
Литература
1. В j о г k R., Brooks N., P a p e 11 i R., A numerical technique for solution
of multidimension hydrodynamic problems, Rand Corporation № RM-2628PR,
1963.
2. D a 1 у B. J., Math, of Computation, 84 A963), 346.
3. Evans M. W., H a r 1 о w F. H., The particle-in-cell method for hydrody-
hydrodynamic calculations, Los Alamos Scientific Lab. Rep. № LA-2139, 1957.
4. E v a n s M. W., H а г 1 о w F. H., /. Aero. ScL, 25 A958), 269.
5. Evans M. W., Harlow F. H., ARS J., 29 A959), 46.
6. Evans M. W., Harlow F. H., Meixner B. D., Phys. Fluids, 5 A962),
651.
7. Harlow F. H., Stability of difference equations; selected topics, Los
Alamos Scientific Laboratory Rep. № LAMS-2452, 1960.
8. Harlow F. H., Experimental arithmetic, high speed computing and mathe-
mathematics (Proc. of Symp. in Appl. Math.) (N. C. Metropolis, A. H. Taub,
John Todd, С. В. Tompkins, eds.), vol. 15, p. 269. American Math. Soc,
Providence, Rhode Island, 1963.
9. Harlow F. H., D i с к m a n D. O., Harris D. E., Jr., Martin R. E.,
Two-dimensional hydrodynamic calculations, Los Alamoj Scientific Labo-
Laboratory Rep. № LA-2301, 1959.
10. L a n d s h о f f R., A numerical method for treating fluid flow in the pre-
presence of shocks, Los Alamos Scientific Laboratory Rep. № LA-1930, 1955.
11. Riney T. D., Solution of visco-plastic equations for axisymmetric hyper-
velocity impact, General Electric Space Sciences Laboratory Rep. № R62SD95,
1962.
12. Von Neuman J., Richtmyer R., /. Appl. Phys., 21 A950), 232
(имеется сокращенный русский перевод: сб. Механика, № 1 A951), 27).


Неустановившееся течение
несжимаемой вязкой жидкости
Дж. ФРОММ
Калифорнийский университет,
Научно-исследовательская лаборатория
в Лос-Аламосе, Нью-Мексико
1. Введение 343
2. Численный метод 346
3. Начальные и граничные условия 353
4. Видоизменение уравнения вихря 360
5. Функционалы движения. Проверка метода 369
6. Приложения 375
Литература 381
/. Введение
А. Роль вычислительных машин
Исследование математических свойств уравнений, описываю-
описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости, является одной из
наиболее остро стоящих теоретических проблем. Существенная
нелинейность этих дифференциальных уравнений в частных про-
производных делает недоступным их аналитическое решение, за ис-
исключением специальных случаев. Но в то же время именно не-
нелинейностью должны объясняться многие интересные физиче-
физические свойства, наблюдаемые в гидродинамических процессах.
Появление быстродействующих электронных вычислитель-
вычислительных машин в последнее время дало начало применению нового
подхода к изучению таких процессов. Этот подход дополняет, с
одной стороны, результаты экспериментов, а с другой — резуль-
результаты аналитических исследований. В продолжение ряда лет чис-
численные методы с большим успехом использовались, например,
в задачах о течениях сжимаемой жидкости как с целью помочь
планировать и интерпретировать эксперименты, так и с целью
дать теоретикам средство для исследований. В этой статье бу-
будет изложен один недавно развитый численный метод, с по-
помощью которого можно решать задачи о течениях несжимаемой
вязкой жидкости. Этот метод уже успешно использовался в при-
приложениях.
Ряд авторов ранее применял численные методы для расчета
установившихся вязких течений. Особый интерес здесь предста-
представляет метод, который был предложен Томом [9] и применялся
им для изучения установившейся застойной зоны позади круго-
кругового цилиндра. Результаты Тома для чисел Рейнольдса, равных


344 Д ж. Ф р о ч м
10 и 20, достойны особого восхищения, потому что они были по-
получены с помощью всего лишь настольных клавишных счетных
машин. Гораздо позже Пейн [6] развил численный метод для
неустановившихся течений, используя электронную вычисли-
вычислительную машину Манчестерского университета «Марк I». Пейн
[7] также изучал с помощью своего метода структуру застойной
зоны позади кругового цилиндра. В этих приложениях «началь-
«начальные» течения брались при числах Рейнольдса, равных 40 и 100.
Пейн не рассматривал несимметричных случаев.
Метод, который будет здесь детально описан, заимствует кое-
что из работ обоих упомянутых авторов. Надежность этого ме-
метода иллюстрируется результатами расчетов, показывающих
развитие вихревых дорожек Кармана.
Б. Предлагаемый конечно-разностный метод
В предлагаемом методе основные расчеты проводятся для
двух искомых переменных — функции тока и функции вихря.
Расчет шагами по времени проводится для уравнения, представ-
представляющего собой конечно-разностную аппроксимацию уравнения
Гельмгольца для вихря. Используя таким образом полученные
новые значения вихря, определяют новое значение функции тока
при помощи конечно-разностной аппроксимации уравнения Пу-
Пуассона. Вычисление функции тока требует применения метода
последовательных приближений, который известен как метод
Либмана. Сходимость проверяется с помощью эмпирически
установленных критериев.
В дополнительных расчетах можно определить составляю-
составляющие скорости, которые очень интересны и поэтому вычисляются
в процессе всего расчета. С помощью определенного метода
можно также рассчитать давление.
Начальное решение получается обычно численным путем и
представляет собой решение для безвихревого течения при за-
заданной форме границ и препятствий. Мы ограничиваемся рас-
рассмотрением задач в плоской прямоугольной системе координат.
Будем рассчитывать течение жидкости между параллельными
стенками с периодическими границами на концах области. Ус-
Условия на стенке получаются из рассмотрения одномерной диф-
диффузии вихря у стенки, движущейся в своей плоскости. Обобщая
это рассмотрение, можно построить метод для определения пе-
переменных параметров течения на препятствиях, расположенных
в потоке.
В программе расчетов в существующей ее форме поле тече-
течения представляется совокупностью 1425 узловых точек расчет-
расчетной сетки. Поскольку в большинстве случаев решение никогда
не выходит на установившийся режим, то окончание решения
задачи зависит от того, как далеко по времени нужно ее иссле-


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 345
довать. Максимальное машинное время расчета одной отдель-
отдельной задачи составляет четыре часа. Сюда входит проведение
примерно 1000 шагов по времени с выполнением на каждом
шаге порядка 30 итераций в методе последовательных прибли-
приближений. Для расчетов использовалась электронная вычислитель-
вычислительная машина IBM-7090.
В. История развития метода
Развитие метода началось с рассмотрения простых задач
о потенциальном невязком течении, чтобы проверить сходимость
используемого метода последовательных приближений. Во
время контроля сходимости этого метода, когда он был рас-
распространен на уравнение Пуассона, искусственно вводились
вихри. В этих первоначальных исследованиях применялся це-
целый ряд вариантов метода, имевших целью достижение опти-
оптимальной эффективности и точности. Следующий шаг был свя-
связан с включением вязкости в расчеты, которые теперь зависели
от времени. На этой стадии основное внимание уделялось устой-
устойчивости уравнения вихря. Выяснилось, например, что при неко-
некоторых из возможных форм уравнения вихря условная устой-
устойчивость затрудняла изучение течений с числами Рейнольдса,
большими, чем примерно 100. Подробное обсуждение проблемы
устойчивости дано в § 4, где показано, что применение схемы
второго порядка точности для представления изменений по вре-
времени может быть согласовано с требованиями достаточной
устойчивости.
При разработке любого численного метода решения слож-
сложных задач необходимо иметь некоторое известное решение в
качестве базы для проверки точности этого метода. С этой целью
мы применяли теоретическое решение задачи о диффузии вих-
вихря от поверхности, движущейся в своей плоскости. В более
сложных приложениях не имелось соответствующих аналитиче-
аналитических решений и здесь главный контроль возлагался на сравне*
ние с экспериментальными результатами. Как удобный пример
для проведения таких сравнений была выбрана задача о тече-
течении с вихревыми дорожками. Мы считали, что если в расчете
и эксперименте будет достигнуто хорошее совпадение всех ха-
характерных свойств неустановившегося течения вязкой жидко-
жидкости около препятствия, то это будет указывать на примени-
применимость развитого численного метода в общих случаях.
Оказалось, что с помощью данного численного метода не-
неустановившуюся задачу о вихревых дорожках можно было ре-
решить даже лучше, чем предполагалось первоначально. В каче«
стве сопутствующего результата проведенного исследования
была получена важная информация о свойствах неустойчивости
в вязкой застойной зоне. Опыт показывает, что с помощью этого


346 Дж. Фромм
метода, вероятно, можно решать даже сложную задачу о тур-
турбулентном переходе.
В настоящее время идут дополнительные испытания, относя-
относящиеся к общей применимости данного метода. Мы опробовали
ряд контрольных задач, в том числе несколько вариантов иссле-
исследования устойчивости плоско-параллельного течения. Кроме то-
того, сейчас проводится обобщение метода, включающее рассмо-
рассмотрение свободных поверхностей и теплопроводности. Однако
предварительные результаты этих обобщений пока еще недоста-
недостаточно хорошо обработаны, чтобы ими можно было воспользо-^
ваться в настоящее время.
Г. Особенности выдачи расчетных данных
Одоновременно с развитием основного метода расчета
разрабатывалась техника построения графиков с помощью вы-
вычислительной машины. Программа для построения графиков,
представляющих собой картины движения жидкости, является
составной частью всей программы расчета. Информация для по-
построения графиков помещается на магнитную ленту, а затем
воспроизводится с помощью устройства записи на микро-
микрофильм «Стромберг Карлсон 4020». Графики, на которых пока-
показаны линии постоянного значения функции тока, вихря и давле-
давления, получаются линейной интерполяцией по значениям величин
в узловых точках сетки, причем каждая линия постоянного зна-
значения строится отдельно в поле течения. «Дымовые» картины
движения, т. е. линии отмеченных частиц, получаются введением
в поток контрольных частиц, движение которых рассчитывается
интерполяцией по значениям скорости в окрестных точках.
Полная печать всех переменных величин проводится редко;
чаще делается печать основных данных, в которой выдаются не-
некоторые функционалы движения, представляющие интерес. Ма-
Машинное время, которое расходуется на вывод результатов, со-
составляет примерно 10% от всего машинного времени, затрачи-
затрачиваемого в среднем на проведение расчета. В этой статье будут
представлены графики, на которых построены линии постоянных
значений некоторых функций и картины течения с линиями от-
отмеченных частиц. Соответствующие рисунки приводятся без ка-
каких-либо исправлений или ретуши точно в таком виде, как их
выдает машина. Машинное время, требуемое для выдачи типич-
типичного графика, составляет менее десяти секунд.
2. Численный метод
А. Применяемые дифференциальные уравнения
Уравнения, описывающие течение вязкой несжимаемой жид-
жидкости, называются уравнениями Навье —Стокса. В плоской


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 347
прямоугольной системе координат они могут быть записаны так
ди . ди , ди 1 дР
aw , а» , а^ _ _L_^p_. /a2w , _a*w\ ,9.
dt ~т~и'д1~гг0 ду~ p ду~т~У[дх2 ~*~ ду*)Ф W
Переменными величинами, характеризующими движение,
здесь являются составляющие скорости и и v по направлениям
х и у соответственно и давление Р. Кинематический коэффи-
коэффициент вязкости v принимается постоянным. Поскольку рассма-
рассматривается несжимаемая жидкость, т. е. р = const, то замыкаю-
замыкающим уравнением системы будет уравнение неразрывности в сле-
следующем виде:
Чтобы получить систему уравнений, которую будем прибли-
приближенно представлять в конечно-разностной форме, приведен-
приведенные выше уравнения выразим через функцию вихря со и функ-
функцию тока г|).
Таким образом, положим
ди . dv
CD = -a^+aJ-
Тогда в результате будем иметь уравнение для вихря
а2© . а2оз
Заметим, что уравнение F) можно записать через ф в виде
Уравнение G) можно преобразовать так, что оно будет содер-
содержать только функции яр и со, т. е. движение будет описываться
двумя, а не тремя переменными. Однако мы предпочитаем со-
сохранить структуру уравнения G), поскольку составляющие ско-
скорости, определяемые равенствами D) и E), представляют ин-
интерес, а уравнение G) в этом случае остается более простым.
Знание давления полезно как для определения функциона-
функционалов течения, так и для исследования свойств течения. Чтобы
вывести удобное уравнение для давления, возьмем частную


348 Дж. Фромм
производную по х от уравнения A) и частную производную по у
от уравнения B). Складывая их, получаем уравнение
где Q выражается следующим образом:
? 00)
Б. Конечно-разностные уравнения
1. Уравнение для вихря. Основная система уравнений, кото-
которую предстоит решать, состоит из уравнений D), E), G) и (8).
Рассмотрим в жидкости сетку узловых точек, в которых будем
определять переменные со, г|>, и и v. Соответствующая схема
представлена на рис. 1. Предположим, что в некоторый момент
времени t известна вся совокупность значений этих переменных.
Тогда функцию со можно приближенно определить в следую-
следующий близкий момент времени t+6t (где 6t — малое прираще-
приращение) с помощью конечно-разностной аппроксимации уравне-
уравнения G)
®Г/= al J + Ш
где а — расстояние между узловыми точками в направлении х
(переменный индекс i) и в направлении у (переменный ин-
индекс /). Индекс п определяет номер шага по времени. В урав-
уравнении A1) в первой скобке находятся члены, относящиеся к пе-
переносу, а во второй скобке — члены, относящиеся к диффузии.
Заметим, что уравнение A1) записано здесь в предваритель-
предварительной форме, которая потребует некоторой модификации перед
использованием в расчетах (сводка окончательных уравнений
дана в § 4, В).
2. Функция тока; уравнение Пуассона. Допустим, что зна-
значения функции со в момент времени t заменены на соответствую-
соответствующие значения, рассчитанные для момента времени ^+6^ по ура-
уравнению (И). Пересчитаем теперь поле функции тока г|) для но-
нового момента времени, пользуясь конечно-разностным аналогом
уравнения (8), который возьмем в виде
(Ф + Ф + Ф+1-|-Флу-1 + л2О/§у). A2)
Отметим, что выражение A2) не содержит индекса времени. От-
Отсюда следует, что здесь все переменные рассматриваются в
один и тот же момент времени. Это обстоятельство связано с
тем, что мы имеем дело с несжимаемой жидкостью. Таким об*


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 349
разом, если в одной части жидкости возникает возмущение, то
оно воздействует на все остальные части жидкости. Следова-
Следовательно, величина г|з в любой точке поля оказывает влияние на
величину г|э в каждой другой точке. Одновременный расчет все-
всего поля значений г|э становится затруднительным, когда рассма-
рассматривается большое число узловых точек сетки. Поэтому для рас-
расчета уравнения A2) надо применять итерационный процесс до
тех пор, пока значения \|> не сойдутся с некоторой заданной
точностью к решению, от-
вечающему граничным ус-
ловиям и завихренности, су- J | | | I I t
ществующей в поле. Схема U и и и и а
такого итерационного про- , __ ^_v__ 4—v— •—v—•—v— •-*•
цесса будет обсуждаться в |« I I Т I
конце этого параграфа. Ука- У V ? У 1
жем, что поле -ф, известное j-i — •—v— •—v—•—v—•—v—•—
в некоторый момент време- I I I I '
ни, можно использовать в *-2 i*1 * *+1
качестве исходного прибли-
приближения для решения в еле- %-\btco
дующий момент времени.
Если за рассматриваемый У - и
промежуток времени завих- v - v
ренность меняется не силь; Рис L Положение на расчетной сетке
но, то тогда итерационный точек, в которых определяются раз-
процесс должен быстро схо- личные переменные,
диться.
Заметим, что уравнение A2) будет удовлетворяться по-преж-
по-прежнему, если ко всем значениям -ф добавить некоторую постоян-
постоянную величину. Имея это в виду, зададим в некоторой точке по-
поля значение i|) = i|)r, от которого будем отсчитывать функцию то-
тока. Это значение i|v должно иметь порядок величины а2 \ со Дожи-
Дожидаемый в расчетах. Если величина а2со мала по сравнению со
значением \р в правой части равенства A2), то тогда влияние
завихренности на поле г|э может оказаться утраченным.
3. Промежуточная сетка; физическая интерпретация опреде-
определения скорости. Предположим, что с помощью описанного выше
метода получено поле гр в момент времени ^+6^. Перейдем те-
теперь к расчету новых значений скорости, пользуясь конечно-
разностными аналогами уравнений D) и E). Возьмем эти ко-
конечно-разностные уравнения в форме
*Л1=*± A3)
A4)


350 Дж. Фромм
Полуцелые индексы введены таким образом, что квадратная
ячейка с центром, отвечающим, например, точке с индексами
1 + ~2> /+2% представляет собой элементарную площадку, через
которую течет жидкость. Следовательно, скорость, которую дает
уравнение A3), определяется средним расходом жидкости, про-
протекающей через вертикальные стороны квадратной ячейки. В то
же время скорость, которую дает уравнение A4), определяется
средним расходом жидкости, протекающей через горизонталь-
горизонтальные стороны этой ячейки.
Уравнение неразрывности C) можно выразить в конечно-
разностной форме следующим образош
, у+ 1/2 #/,/ + 1/2 +"^/ + 1/2,/ + 1 1*1 + 1/2, / = 0. A5)
Очевидно, что уравнение A5) с учетом уравнений A3) и
A4) превращается в тождество. Это обстоятельство играет
очень важную роль в методе расчета, поскольку если уравнение
A5) не будет удовлетворяться тождественно, то возможно воз-
возникновение источников и стоков, которые могут нарушать истин-
истинный характер течения.
В связи с формой записи уравнений A3) и A4) для расчетов
по уравнению A1) потребуется введение некоторого процесса
осреднения, который позволит получить скорости в точках с це-
целыми индексами. Таким образом, будем иметь
'-'-"8. A6)
'-'*'. A7)
С помощью надлежащего изменения индексов в формулах A6)
и A7) можно найти значения скорости в других нужных узло-
узловых точках.
4. Порядок вычислений. После определения новых значений
скорости в момент времени t+bt все будет подготовлено к тому,
чтобы возобновить процесс расчета, который опять начинается
с уравнения вихря. Описанный порядок вычислений использует-
используется во всех циклах, за исключением первого цикла, в котором
строится начальное решение. В большинстве приложений поря-
порядок расчета начального решения был таким: сначала вычисля-
вычислялась функция тока гр, затем скорости и в последнюю очередь
вихрь. Порядок, в котором строится начальное решение, не
имеет особого значения. Однако важно, чтобы поля соответство-
соответствовали решению, которое они представляют. Дальнейшее обсужде-
обсуждение начального решения читатель найдет в § 3, А,


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 351
5. Расчет давления. Поскольку плотность не меняется при
движении, то ее не приходится вычислять. В расчетах удобно
рассматривать отношение давления к плотности.
Чтобы рассчитать давление, применим тот же метод последо-
последовательных приближений, который использовался для уравнения
A2). Аналогичное уравнение для нахождения давления имеет
вид
(т\ ,=
A8)
где a2Qi}j определяется выражением
a'Q,, у = («?+i. у + 4-i, у - 2«1 у + vl /+i + Ч У-1 - 2*?, у) +
-1. у
A9)
Здесь для осреднения скоростей снова служат формулы A6) и
A7).
Надо заметить, что метод расчета давления не очень эффек-
эффективен, поскольку здесь вторично приходится итерировать все
поле. Если пытаться итерировать давление только через боль-
большие интервалы времени, то это не даст никакой выгоды, по-
потому что в этом случае изменения, происшедшие в поле, сделают
сходимость очень медленной. Полное время, которое требуется
здесь для получения сходимости, будет несколько меньше, чем
время, которое требуется в том случае, когда поле давления
рассчитывается каждый раз одновременно с основными пере-
переменными. С другой стороны, проведенные опыты по расчету да-
давления непосредственно с помощью конечно-разностной формы
уравнений A) и B) не имели успеха. Поэтому можно рекомен-
рекомендовать опускать расчет давления во многих задачах, проводя
его лишь тогда, когда давление представллет особый интерес,
В. Итерационная схема
1. Метод Либмана. Схема решения, которая основана на ис-
использовании уравнения A2), известна как метод Либмана. Эта
схема является одной из ряда различных схем, которые предло-
предложили Том и Эйплт [10]. Выбор схемы, основанной на использо-
использовании уравнения A2), среди других возможных схем Тома и
Эйплта базируется на ее простоте и на том факте, что после
перехода к скоростям это уравнение получит вид
©/, У = ^(Я/, У-1/2 —И/, У+ 1/2+^ + 1/2, У — 0/-1/2, j), B0)
который, очевидно, является конечно-разностным аналогом ура-
уравнения F).


352 Дж. Фромм
Допустим, что исходное приближение для расчета поля функ-
функции г|) либо берется в виде некоторых числовых данных, которые
вводятся в расчет, либо просто представляет собой решение,
найденное в предыдущий момент времени. Тогда величины я|?
рассчитывают на основе уравнения A2), обходя систематиче-
систематическим образом все поле. При этом всегда используют в соседних
точках значения -ф, уже полученные в новой итерации. Пусть об-
обход поля проводится в таком порядке, как читают текст на пе-
печатной странице, и пусть через h обозначается номер итерации.
Если рассчитывается некоторое значение г|э внутри поля, то
уравнение A2) берут в форме
Здесь индексом h+\ отмечается новое значение величины, по-
полученное в процессе сходимости итераций; не следует путать
этот индекс с индексом, который относится к шагам по времени.
Имеются некоторые соображения о том, что использование
формулы B1) будет приводить к асимметрии поля величин. Од-
Однако такая асимметрия, если она существует, будет пренебре-
жимой при соблюдении строгого критерия сходимости. Опыт
применения метода показал, что если такая асимметрия появ-
появляется, то она всегда связана с плохо определенными гранич-
граничными условиями. Обычно ошибки в корректном определении
граничных условий или иные ошибки приводят к тому, что не
удается получить сходимость. В некоторых приложениях полез-
полезной, однако, может оказаться произвольность обхода поля, ко-
которую нетрудно ввести в систему (см. § 3, Б).
2. Критерий сходимости. Для контроля сходимости интера-
ционного процесса применялись два следующих критерия эм-
эмпирического характера:
1V*+1-^L < 0H002j B2)
< 0,0002. B3)
Уравнение B2) устанавливает, что отношение модуля мак-
максимальной разности между последовательными значениями t|) к
характерному значению \|эг, от которого отсчитывается функция
тока, должно быть меньше, чем некоторое заданное число. При-
Принятое здесь число 0,0002 было получено экспериментально в ре-
результате наблюдения, что более жесткий критерий не приводил
к существенному различию при решении контрольных задач.
Уравнение B3) требует, чтобы в процессе нахождения реше*
ния учитывалась сумма имеющихся вихрей. В основе этого кри*


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 353
терия лежит соображение, что когда величина а2|со| мала по
сравнению с величинами i|?, то тогда может быть утрачено влия-
влияние завихренности на течение. Здесь прежде всего важно, чтобы
используемая в расчетах характерная величина г|?, от которой
отсчитывается функция тока, была величиной, сравнимой со
средним значением а2|со|, ожидаемым в решении. Если это ус-
условие выполняется, то сумма всех вихрей, входящая в критерий
B3), должна оказать свое влияние на поле г|) до получения схо-
сходимости итераций. В суммы в формуле B3) не обязательно на-
надо включать каждую расчетную точку, потому что фактически
величина со в некоторых точках может равняться нулю или быть
пренебрежимо малой, однако в эти суммы должны входить одни
и те же точки. На практике в этих суммах брались такие точки,
в которых вихрь составлял больше, чем 0,01 от максимального
значения, имеющего место в поле.
В начальном решении условие B3) не применяется (см. § 3,
п. А), а здесь используется только условие B2). Во всех других
случаях должны удовлетворяться оба критерия. В большинстве
приложений поле г|э проверяется на сходимость после первых
двадцати итераций, а затем через каждые следующие десять
итераций. Определяющим обстоятельством здесь является со-
соотношение машинного времени, потребного для обхода расчет-
расчетной сетки, и машинного времени, потребного для проведения та-
такого контроля.
Итерационный процесс потребляет значительную часть ма-
машинного времени, затрачиваемого в расчетах. Вообще говоря,
скорость сходимости этого процесса тем меньше, чем больше
вязкость. Это обусловлено более быстрой диффузией имеющих-
имеющихся в поле вихрей за данный интервал времени. Такой эффект
должен увеличивать различие между решением в новый момент
времени и ранее полученным решением, которое всегда берется
в качестве первого приближения.
3. Начальные и граничные условия
А. Начальное решение. Ввод числовых данных
Чтобы проиллюстрировать порядок проведения расчета, рас-
рассмотрим течение жидкости между параллельными стенками (от-
(относящиеся к этому течению фотографии будут обсуждаться в
§ 6). Стенки образуют верхнюю и нижнюю границы; правая и
левая границы соответствуют концам одного периода бесконеч-
бесконечной периодической картины течения; таким образом, границы
представляют собой одну и ту же часть жидкости в процессе
расчета. Все границы и поверхности препятствий проводятся че-
через узловые точки сетки, в которых определяются -фиш. Мы не
23 Зак. 647


354 Дж. Фромм
рассматривали препятствий, границы которых проходят между
узловыми точками сетки. Лишь в нескольких первоначальных
вариантах расчета горизонтальные границы проводились через
точки, где вычислялись составляющие скорости и, а вертикаль-
вертикальные границы — через точки, где вычислялись составляющие ско-
скорости v. Эти варианты имели недостатки в отношении правиль-
правильного представления поверхностей тока течения. В методе, кото-
который применяется в настоящее время, горизонтальные граничные
поверхности проводятся через точки расчета v, а вертикальные
граничные поверхности — через точки расчета и.
Коэффициент вязкости, скорости движения стенок и харак-
характерное значение функции тока г|) = г|)г входят в числовые данные,
которые вводятся в машину перед расчетом. Здесь будут рас-
рассматриваться только случаи, в которых обе стенки движутся в
своих плоскостях со скоростью и = щ. Если жидкость в началь-
начальный момент времени неподвижна, то начальное решение для г|)
будет г|) = г|)Г в любой точке, и тогда не нужно проводить итера-
итераций. Если, же жидкость приходит мгновенно в движение, а в по-
потоке помещено некоторое тело, тогда начальное решение надо
получать с помощью итераций.
В этом случае, чтобы ускорить сходимость, надо задать для
•ф некоторое приближенное решение. Мы будем считать, что
препятствие симметрично относительно центральной горизон-
горизонтальной линии расчетной сетки. Тогда вдоль всей этой линии и
на препятствии можно задать значение г|з = г|)г. Далее положим
и = и0 вдоль некоторой вертикальной линии расчетной сетки, не
пересекающей препятствия. Теперь с помощью уравнения A3)
можно определить значения г|) вдоль этой вертикальной линии,
отправляясь от горизонтальной линии, на которой i|) = i|)r. На-
Наконец, все значения -ф на каждой горизонтальной линии (за ис-
исключением значений г|) на препятствии) будем считать постоян-
постоянными. Сохраняя значение \|) на стенках и на препятствии фик-
фиксированными, будем теперь проводить итерации для поля if), как
это было описано выше, удовлетворяя уравнению Лапласа для
ф во всех внутренних точках области.
Когда критерий сходимости B2) будет удовлетворен, реше-
решение для ф считается законченным. Это решение для функции
тока представляет собой решение для простого потенциального
течения при относительном движении жидкости и при задан-
заданной форме препятствия и стенок. Заметим, что это справедливо
также и в тривиальном случае, когда движутся только стенки.
Некоторые формы препятствий требуют большой изобретатель-
изобретательности при определении начального решения, но вообще это ре-
решение должно быть решением для безвихревого течения.
Перед началом расчета нового шага по времени надо полу-
получить начальное решение также для скоростей и вихрей. Скоро-


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 355
сти вычисляются с помощью уравнений A3) и A4), а вихри —
с помощью уравнения B0). Сначала вихри будут появляться
только у стенок, если жидкость неподвижна, и только у препят-
препятствия, если жидкость движется со скоростью стенки. Метод
расчета вихрей на стенках и препятствиях с помощью уравне-
уравнения B0) будет описан в § 3, В.
Заметим, что с учетом равенств A3) иA4) уравнения A2)
и B0) будут эквивалентны. Следовательно, если уравнение B0)
применять для расчета вихрей на стенках и на препятствиях, то
тогда при новом использовании уравнения A2), в котором бе-
берутся эти вихри и нефиксированные значения г|), решение не бу-
будет меняться. В этом смысле начальное решение является само-
самосогласованным.
Б. Периодические границы
Простейший способ задания граничных условий на левой и
правой границах состоит в использовании свойств периодично-
периодичности. В применяемом здесь конечно-разностном методе просто
принимается, что правая граница повторяет левую границу.
Подчеркнем, что при таком задании в качестве переменных на
границе нужно рассматривать только со и г|). Хотя величина и
определена на этих границах, применение уравнения A3) не
требует специального рассмотрения.
Левые граничные значения рассчитывают сначала, исполь-
используя, когда это нужно, внутренние точки, расположенные у пра-
правой границы. Если в методе последовательных приближений
применяется произвольный обход конечно-разностной сетки, то
тогда правые и левые граничные точки можно рассчитывать не-
независимо. Это позволяет последовательные обходы проводить
любым желательным способом. При использовании такого спо-
способа не встречалось никаких трудностей, связанных с получе-
получением сходимости.
В. Рассмотрение стенок и препятствий
Чтобы определить граничные условия на стенке; рассмотрим
жидкость, занимающую полубесконечную область над плоско-
плоскостью у = 0 и находящуюся в начальный момент времени в покое.
Пусть плоскость у = 6 является стенкой, которая в момент вре-
времени ^=0 приходит мгновенно в движение со скоростью и = и0
и продолжает двигаться дальше с той же скоростью. Диффе-
Дифференциальное уравнение G) в этом случае обратится в уравне-
уравнение для одномерной диффузии. Вихрь будет удовлетворять ура-
уравнению
%-=--v^. B4)
23*


356 Д ж. Фромм
Уравнение F) примет вид
о = — -^. B5)
ду '
а уравнение A) запишется в виде
ди д2и
Уравнение B5) в применяемой конечно-разностной форме
можно записать так:
0)о=
где и_1/2 — фиктивное значение и непосредственно снаружи об-
области, занятой жидкостью. Мы рассматривали два довольно
очевидных способа получения значений u-i/2. В первом способе
#-1/2 = 2#о — # + 1/2»
и в этом случае
2(Hq-i*+1/2)
«о— ~а •
Во втором способе
Я-1/2 = #о, B7)
и в этом случае
(л 0 +1/2
соо = 5 .
Излагаемая ниже схема расчета пригодна для обоих случаев;
однако при попытке применения первого способа нарушалась
сходимость процесса последовательных приближений.
Заметим, что при условии B7) начальное значение вихря на
стенке равно
«*> = ¦?" B8)
Определим еще значение г|э в точке, расположенной ниже оси
х на расстоянии, равном одному шагу ячейки. Это значение
можно найти по уравнению A3), и оно равно
гр_1 = гр0 — Ща. B9)
Поскольку стенка должна представлять собой линию тока (if =
= const), то равенство A2) примет вид
или с помощью уравнения B9)
. C0)


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 357
Сравнивая это выражение с формулой B8), видим, что в на-
начальный момент времени \|5o=i|j+i. Этот результат находится в
соответствии с тем, что в начальном решении всюду \р = const.
Обращаясь к уравнению B4), рассмотрим интеграл
оо оо
да)
с да) 1 г д © »
j dt J ду2
о о
оо
d С , Г да) V° / да) \
— j 0) у v L^J0 \~57/|
или
V ду Jo
о
поскольку в любой момент времени t вихрь со = 0 для любой
точки, достаточно удаленной от плоскости у = 0. Далее с по-
помощью уравнения B5) можно записать
d 7 . (д2и
о
или, используя уравнение B6),
Если скорость стенки остается постоянной во времени, то имеем
оо
J ©rfy = 0, C1)
со
d
dt
о
т. е. интеграл от вихря сохраняется. Кроме того, поскольку на-
начальный вихрь определяется выражением B8), то, очевидно,
оо
J <*dy = u0. C2)
о
Возьмем теперь сумму всех вихрей в точках вдоль положи*
тельной оси у; в любой момент времени t имеем
при условии со;+1 = 0. Применяя уравнение A2) в форме
используя уравнение A3) и тот факт, что i|)j = ipj+i, придем опять
к равенству и-ц2 = Щ. Этот результат в свою очередь делает


358 Дж. Фромм
уравнения B9) и C0) справедливыми для любого момента вре-
времени.
Чтобы обобщить полученные результаты на полные уравне-
уравнения, применяемые в методе, заметим, что сохранение вихрей
требует, чтобы диффузия происходила только внутри рассчиты-
рассчитываемой области течения. С этой целью вводят значение вихря
в точке, расположенной снаружи стенки на расстоянии, равном
одному шагу ячейки. Это значение задается равным значению
на стенке. Тогда между двумя точками с одинаковыми значе-
значениями переменной не будет иметь место диффузия.
Что касается переноса, то, согласно уравнению B9), значе-
значение г|), заданное снаружи стенки, будет всюду отличаться на
постоянную величину от значения -ф на стенке. Отсюда следует,
что соответствующая линия тока будет параллельна стенке и,
следовательно, скорость u_i = 0. Таким образом, в уравнении
A1) член, относящийся к переносу и содержащий значение ско-
скорости снаружи стенки, должен быть взят равным нулю. При
обычном порядке расчета вихрь на стенке на следующем шаге
по времени определяется по уравнению
+ ^ (°»?+i. о + °>?-1. о + ®Z +i - Зй>?, о)- C3)
Это уравнение записано для жидкости, расположенной над
стенкой. Аналогичное уравнение применяется и для жидкости,
находящейся ниже стенки.
Для определения функции тока на стенке используется ура-
уравнение C0), которое видоизменяется, чтобы обеспечить выпол-
выполнение условия, что стенка есть линия тока. В применяемой здесь
схеме значения г|), полученные по формуле C0), осредняют по
всей длине стенки и задают это среднее значение как значение
г|) на стенке. Такое значение г|? определяют на каждой итерации
перед каждым обходом внутренних точек. Таким образом, зна-
значения г|) на стенке сводятся к одному и тому же значению на
всей длине стенки, но при этом они могут регулироваться соот-
соответственно условиям течения внутри области. Аналогичная схе-
схема применяется и к определению г|) на верхней стенке.
Отметим, что функция тока г|) на стенке будет постоянна и
будет соответствовать вихрю лишь в среднем. Чтобы получить
локальное соответствие между г|э и со и в любой точке, надо об-
обратить уравнение C0) и найти из него величину со на стенке
по полученному решению для if. Этот пересчет со на движущей-
движущейся стенке имеет результатом индуцирование вихря там, где по-
поток не параллелен стенке. В этой связи надо рассмотреть над-
надлежащим образом препятствие,


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 359
Рассмотрим неподвижное препятствие в потоке жидкости.
Граница препятствия, как известно, должна быть связана с не-
некоторой линией тока, т. е. на препятствии г|э должно иметь по-
постоянное значение. Задание условий u = v = 0 на границе пре-
препятствия находится в соответствии с указанным требованием*
как это видно из уравнений A3) и A4). Положим, что на пре-
препятствии г|э равно характерному значению i|v. После этого необ-
необходимо выяснить, как надо поступить с вихрем. Уравнение
вихря дает только скорость изменения вихря во времени, обус-
обусловленную лишь диффузией или переносом в некоторой точке.
Следовательно, возникновение вихря вследствие относительного
движения твердого тела и примыкающей к нему жидкости не
должно зависеть от уравнения вихря. Поэтому при рассмотре-
рассмотрении препятствия здесь применяют такой же способ расчета, как
при определении начального решения.
Пусть итерации проводятся при значении г|) = г|?г на препят-
препятствии. После того как достигнута сходимость и рассчитаны ско-
скорости, для определения о> на препятствии служит уравнение
B0). Этот способ расчета, как и при определении начального
решения, дает окончательный результат для этой переменной,
который не будет изменяться, если г|э будет снова итерироваться.
Это справедливо и без требования i|)=ifr на препятствии.
Определение вихря со на препятствии требует дополнитель-
дополнительного этапа в обычном порядке проведения расчета. Поскольку
определение со на препятствии аналогично локальным поправ-
поправкам, проводимым на движущихся стенках, то эти вычисления
выполняются в одной и той же части программы расчета.
Вихрям, развивающимся на препятствии, дают возможность
диффундировать на следующем шаге по времени, применяя
обычным образом уравнение A1) в смежных точках. На пре-
препятствии уравнение B0) используется без какого-либо спе-
специального рассмотрения, если надлежащим образом заданы ско-
скорости в точках расчетной сетки внутри препятствия. Однако для
этого необходимо, чтобы препятствие имело толщину по край-
крайней мере в размер одной ячейки сетки.
Г. Граничные условия для давления
На ограничивающих стенках величина Q находится при рас-
расчете скоростей, как это было описано выше. При определении
давления с помощью итераций принимается, что давление в точ-
точке снаружи стенки равно величине давления на стенке. Следо-
Следовательно, по существу здесь предполагается, что градиент да-
давления по нормали к стенке равен нулю.
Характерное значение Р/р, от которого ведется отсчет давле*
ния, задается только в исходном приближении для начального
решения, которое принимается постоянным во всем поле течения.


360 Д ж. Фромм
Характерное значение нельзя применять в итерационном про-
процессе при рассмотренных здесь граничных условиях. Если бы
Р/р задавалось как постоянная величина в некоторой точке по-
поля, то тогда в этой точке не принималась бы во внимание функ-
функция источника Q. Поскольку линии постоянного давления не
связаны с препятствием или стенкой, то их положение нельзя
задавать заранее. Из-за этого нельзя игнорировать функцию Q
в какой-либо точке поля. Расчет г|) отличается в этом отношении,
поскольку для него существенно, что препятствие должно быть
в первую очередь линией тока независимо от имеющихся здесь
вихрей.
Когда скорости заданы в точках на препятствии и внутри
него, вычисление величины Q становится простым делом. Здесь
применяется такая же схема расчета, как для точек внутри
жидкости. Однако условие нулевого градиента давления по нор-
нормали к поверхности препятствия усложняет процесс итераций.
Этот процесс можно проводить успешно, если проявлять осто-
осторожность и не делать выводов только на основании давления в
рассматриваемой точке. В точке, где поверхность препятствия
имеет излом под прямым углом, нельзя задавать условие нуле-
нулевого градиента давления. В применяемом нами методе такие
точки просто рассматриваются как точки внутри жидкости.
4. Видоизменение уравнения вихря
А. Исследование устойчивости уравнения вихря
Уравнение A1), являющееся конечно-разностным аналогом
уравнения вихря, целесообразно рассмотреть в двух укорочен-
укороченных формах. Сначала для этого уравнения будут исследованы
свойства устойчивости при отсутствии членов, относящихся к пе-
переносу, а затем при отсутствии членов, относящихся к вязкости.
Тогда исследование устойчивости полного уравнения даст воз-
возможность выяснить взаимодействие свойств устойчивости, об-
обусловленных каждым из этих факторов. Мы будем рассматри-
рассматривать только устойчивость, связанную с малыми возмущениями,
так что эффекты второго порядка будут считаться пренебре-
пренебрежимо малыми. Предполагается, что возмущения относительно
фактического решения обычно достаточно малы по величине,
чтобы при использовании надлежащего критерия устойчивости
имело место затухание. Кроме того, допустим, что если встре-
встретятся большие возмущения, то они будут влиять на полученные
свойства устойчивости только в том смысле, что их действие в
непосредственной близости к области неустойчивости может
фактически вызвать неустойчивость. Это обстоятельство можно
учесть, если в расчетах строго соблюдать ограничения, указан-
указанные критерием устойчивости.


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 361
1. Исследование устойчивости при отсутствии переноса. Рас-
Рассмотрим уравнение
°°?, у = ^Ki. у + ®?-i. / + «?. y+i + ®7. у-1 ~ 4сду, /)
Предположим, что член ряда Фурье для решения уравнения
C4) имеет форму
со?, y==cDo/V<V+V). C5)
Здесь величина / перед скобками есть мнимая единица i=Y—1,
Волновое число
относится к составляющей колебаний в направлении л:, где Х\ —
длина волны, измеряемая в единицах индекса /. Аналогично k2
представляет собой волновое число для составляющей колеба-
колебаний в направлении у. Характерная амплитуда умножена здесь
на величину гп, где г — множитель, характеризующий скорость
роста амплитуды, а п — индекс, относящийся к шагу по времени.
Чтобы колебательная часть решения оставалась ограничен-
ограниченной, когда п становится большим, должно быть
М<1. C6)
Подстановка выражения C5) в уравнение C4) дает
г = 1 + 2^L (cos kx + cos k2 - 2). C7)
Из уравнения C7) видно, что условие г^1 удовлетворяется
всегда, поскольку 2vdt/a2>0. Рассмотрим случай г>—1, т. е
или
¦^B — cos kx — cos ?2)< 1. C8)
Максимум левой части неравенства C8) получается при ki —
= &2 = jt. в этом случае для устойчивости должно выполняться
условие
^<Т' C9)
2. Исследование устойчивости при нулевой вязкости. Если
вязкость положить равной нулю, то уравнение A1) примет вид
) - «Л j=? [(«7-1. /-./2+«7-1. /+i/2) «7-1. -
.-(«
7+1./-1


362 Дж. Фромм
Уравнение D0) нелинейное, но поскольку рассматриваются
только очень малые возмущения, то для исследования свойств
устойчивости законно линеаризовать это уравнение. Итак, если
для скоростей рассматривать возмущения первого порядка в
форме
то тогда с помощью уравнения B0) и после некоторых преобра-
преобразований уравнение D0) примет вид
Рассмотрим теперь член решения C5) применительно к ли-
линеаризованному уравнению D1). Это приводит к следующему
выражению:
г — 1 (и0 sin kx + v0 sin k2). D2)
Таким образом, условие ограниченности этого члена решения
требует, чтобы _
|г|2 = гг<1, D3)
т. е. г должно быть ограничено единичной окружностью в ком-
комплексной плоскости. Итак, для устойчивости должно выпол-
выполняться неравенство
~Кя0 sin ?j + ^о sin feJ < 0.
Однако это неравенство не может быть удовлетворено для всех
требуемых ki и k2. Отсюда следует вывод, что при отсутствии
вязкости уравнение вихря является безусловно неустойчивым.
3. Исследование устойчивости полного уравнения. Для пол-
полного уравнения A1) можно сразу же записать равенство, ана-
аналогичное равенству D2). Оно будет иметь вид
г = 1 + ^(cos kx + cos k2 — 2) - i^- (u0 sin kx + v0 sin k2). D4)
Предварительно для упрощения уравнения D4) можно поло-
положить ki = k2==k. Полученный при этом критерий может быть ме-
менее строгим, чем истинный критерий. В дальнейшем будет по-
показано, что такое упрощенное исследование достаточно для на-
наших целей.
Запишем
1— cos2?), D5)


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 363
где
« = ^. D6)
В формуле D7) берутся абсолютные значения для того, чтобы
величина р не обращалась в нуль при ио=—v0. Можно дока-
доказать, что в таком случае следовало бы полагать &i = —k2.
Будем искать максимум функции г? в зависимости от cos k.
Тогда
d(zosky
Очевидно, что максимум имеет место только в том случае, если
Р>4а.
Максимум или минимум достигается при
cosjb_4a(l-4a)
LUbtf —
и равен
(г?
\гг) рг __ 16а2
Условие D3) требует, чтобы
(р2-4аJ<0
при р>4а. Это условие не может быть выполнено. Отсюда мы
заключаем, что в первую очередь следует иметь
Р<4а. D8)
Хотя максимум не достигается, если неравенство D8) удовле-
удовлетворяется, надо рассмотреть еще крайние значения cos k. Если
cos&=l, то тогда гг=1 и устойчивость имеет место. Если же
cos& = — 1, то придем к условию устойчивости C9), получен-
полученному при отсутствии переноса. Таким образом, мы имеем двой-
двойное условие устойчивости, определяемое выражениями C9) и
D8).
Исследуем теперь критерии устойчивости в отношении огра-
ограничений, которые они могут наложить на применимость уравне-
уравнения A1). С этой целью рассмотрим течение около препятствия,
находящегося в потоке жидкости. Число Рейнольдса для пре-
препятствия определяется так:
Re—L.


364 Д ж. Фромм
где d — размер препятствия в направлении, перпендикулярном
к направлению набегающего потока со скоростью щ. Величину
щ можно взять как максимальную скорость, которая входит
в условие D8). Тогда условие D8) примет вид
Re<4|. D9)
Мы интересуемся здесь числами Рейнольдса, большими, чем
40, поскольку при Re<40 решение, вообще говоря, достигает
установившегося состояния и может быть изучено более про-
простыми средствами. Условие D9) показывает, что если рассматри-
рассматриваются большие числа Рейнольдса, то размер d должен быть
большим по сравнению с величиной шага сетки а. Простые рас-
расчеты показывают, что это требование приводит к ограничению на
объем памяти машины, необходимый для хранения переменных.
Б. Уравнение вихря с центральными разностями
по времени-
Критерии устойчивости C9) для уравнения A1) при отсут-
отсутствии переноса не накладывает каких-либо ограничений на ма-
малость значений v; следовательно, в stqm случае величина Ы мо-
может быть взята большой. Если же учитывать члены, относящие-
относящиеся к переносу, то в соответствии с условием D8) должно быть
Отсюда видно, что плохая устойчивость полного уравнения яв-
является следствием применяемой конечно-разностной формы
D0). Поэтому рассмотрим конечно-разностное уравнение, ана-
аналогичное уравнению D0), но с центральными разностями по
времени, а именно
°Гу - "V; = ? [К-1, у-* + UU /+i/2) «7-1, / -
(«7+1. /-1/2 + *?+1. /+1/2И+1,У + К-1/2, ,-! + *?+1/2, У-
+1) со?, /+1]. E0)
Повторяя исследование, проведенное для уравнения D0),
можно записать уравнение, которое аналогично уравнению D2)
и получается для линеаризованной формы уравнения E0),
r2~\ (u0smkl-\-v0sink2)r— 1 =0
или
r = — iy± ]Л — т5,
где
у — — {uQ sin kx -f- ^0 sin k2)*


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 365
Если у2 < 1, то
kl2 = Y2+l-Y2 = l,
и условие ограниченности решения будет удовлетворяться всег-
всегда. Поскольку имеем |г| = 1 независимо от ki и &2, то при у2^1
малые возмущения не будут ни возрастать, ни затухать. Если
же, например, у>1> тогда надо потребовать, чтобы
а это приводит к противоречию
и, следовательно, для устойчивости должно быть
Y2<1.
Такой же вывод получается и в случае, когда у<— 1.
Итак, видно, что форма уравнения E0) с центральными раз-
разностями в противоположность уравнению D0) обязательно
имеет область устойчивости. Здесь может возникнуть идея до-
добавить в уравнение E0) такие же диффузионные члены, какие
входят в уравнение A1). Однако мы должны отослать читате-
читателя к книге Рихтмайера [8], где на стр. 108, в примере 7, указы-
указывается, что диффузионное уравнение в форме с центральными
разностями, которая предлагается здесь, является безусловно
неустойчивым. Следовательно, добавление диффузионных чле-
членов к уравнению с нейтральной устойчивостью может только
привести к полному уравнению, которое также будет безуслов-
безусловно неустойчивым.
Другая форма диффузионных членов применяется в методе
Дюфорта и Френкеля [1] и также обсуждается в книге Рихт-
Рихтмайера. Согласно этому методу, уравнение диффузии можно
записать в такой конечно-разностной форме
4-ю»у.1-2©у-;-2о«+;]. E1)
Это уравнение, подобно соответствующему одномерному уравне-
уравнению, безусловно устойчиво к малым возмущениям, что нетрудно
проверить с помощью метода, описанного в § 4, А, 1.
Итак, можно построить полное уравнение, с помощью кото-
которого явным образом можно вычислять значения вихря на новом
шаге по времени. Детальное исследование этого уравнения не
проводилось, но опыт его применения показывает, что это урав-
уравнение будет устойчиво при условии y2^!-
Мы рассматривали три различные формы уравнения вихря
с центральными разностями по времени. Они отличались только
членами, относящимися к переносу. Первая форма представ-


366 Д ж. Фромм
ляет собой просто комбинацию уравнений E0) и E1), т. е.
- *+
E2)
где средние значения скоростей в определенных точках вычис-
вычисляются, как и раньше, по формулам A6) и A7).
Во второй форме уравнения вихря члены, относящиеся к пе-
переносу, имеют неконсервативный вид
*?, УК у-1 - < у+0] +Т Ki,
E3)
Это уравнение получено из дифференциального уравнения
которое отличается от уравнения G) тем, что в нем использо-
использовано уравнение C) для представления в новой форме членов,
относящихся к переносу. Характерной особенностью консерва-
консервативного уравнения является то обстоятельство, что при сумми-
суммировании его по всей расчетной сетке величины, относящиеся к
внутренним точкам, попарно уничтожаются. Уравнение E2) об-
обладает этим свойством в отношении членов, соответствующих
переносу, а уравнение E3) не обладает. Мы рассматривали ура-
уравнение E3) потому, что оно придает расчетам простоту и по-
поэтому им удобно пользоваться. Однако имеющийся опыт пока-
показывает, что при этом возникают ошибки, которые обусловлены
остаточными членами, появляющимися при суммировании ура-
уравнения во внутернних точках расчетной сетки [2]. Хотя и не бы-
было доказано, что такие ошибки будут иметь существенное зна-
значение, тем не менее при использовании уравнения E3) следует
проявлять осторожность.
Последняя, третья форма уравнения вихря такова:


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 367
Здесь
tit -1/2, j = -J (Ul-l, y+i/2 + Я/-1, /-1/2 + #*, /+1/2 + tit, y-1/2), E5)
j 2, y-l), E6)
co/,1/2, у = ^ • E7)
Остальные величины, входящие в уравнение E4), получаются
соответствующей перестановкой индексов в выражениях E5) —
E7).
Именно в форме E4) уравнение для вихря применялось в
приложениях, которые будут рассмотрены в § 6. При вычисле-
вычислении вихря на стенке, когда жидкость расположена ниже стенки,
можно, согласно § 3, В, записать
E8)
где /о — индекс в направлении у, соответствующий верхней стен-
стенке. Тогда уравнение E5), выраженное через скорость на стенке
щ, примет вид
Ut-l/2, уо=4гB#о + #/-1, Уо-1/2 + #/, Уо-1/2).
В соответствии с рекомендацией, данной в § 3, В, в диффу-
диффузионной части уравнения E8) значение со?, y+i заменено на соот-
соответствующее значение на стенке в момент времени, отмеченный
индексом п.
Мы показали, что при отсутствии вязкости, когда для рас-
расчета вихря берется уравнение с центральными разностями по
времени, должно быть наложено некоторое ограничение на ве-
величину 6^. Однако если рассматривается только диффузия, то
устойчивая конечно-разностная форма уравнения не ставит ог-
ограничений относительно величины 6? Опыт показывает, что ус-
условия, определяющие точность решения устойчивых уравнений,
очень близки к условиям, которые дает критерий устойчивости
для соответствующих неустойчивых уравнений [5]. Поэтому мы
ставим два условия:
' + "'Ы<1, ^<1. E9)
Если всегда брать наибольшее из возможных значений б/,
которые получаются по условиям E9), то оказывается, что в


368 Д ж. Фромм
рассматриваемых приложениях это дает незначительную выгоду.
Ранее отмечалось, что определяющую роль в отношении бы-
быстроты проведения расчетов играет итерационный процесс. Бы-
Было замечено, что уменьшение величины 6t наполовину обычно
почти удваивает быстроту сходимости данного решения. При-
Причина этого состоит в том, что величина, на которую изменяется
решение за один шаг по времени, определяет, насколько хорошо
можно задать исходное приближение для решения на следую-
следующем шаге. Таким образом, в приложениях без значительного
увеличения машинного времени можно применять критерии в
два раза более строгие, чем критерии E9).
В. Краткая сводка применяемых в расчете уравнений
Предположим, что начальное решение задано в ,виде функ-
функций со, г|>, и и v. Проведем вычисление вихрей в новый момент
времени t=6ty применяя уравнение
, J-H2
Величины скоростей и вихрей, которые нужны для этого рас-
расчета, получаются осреднением по значениям, определяемым в
ближайших точках в соответствии с выражениями E5) — E7).
Вихри на препятствии не изменяются на этом этапе вычисле-
вычислений. Однако граничным значениям, в частности на ограничиваю-
ограничивающих стенках [см. уравнение E8)], должно быть уделено спе-
специальное внимание. Для первого шага по времени принимается
соп-1 = о)п.
После окончания расчета новой системы значений для поля
вихрей рассчитывается поле г|) на новом шаге по времени с по-
помощью итерационного процесса, основанного на применении
уравнения
Здесь значения со берутся на новом шаге по времени. Значение
г|) на препятствии задается равным постоянному характерному
значению if> = i|v Значения if> на стенке получаются осреднением
отдельных значений, определенных с помощью видоизмененных
форм указанного уравнения. Например, для жидкости, нахо^
дящейся сверху стенки, применяется уравнение в форме C0).
Значения \|) на стенках вычисляются перед каждым обходом
внутренних точек.


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 369
Когда итерируемые значения \р в поле сходятся настолько,
что критерии B2) и B3) удовлетворяются, тогда можно найти
новые величины скоростей по формулам
til, У-1/2=
Теперь можно определить значения вихря на препятствии
для нового момента времени с помощью уравнения
й>= — (lit, j-l/2—Ui, y+i/2+^/ + i/2, J—Vi-i/2, j).
Значения вихря на стенке надо пересчитать, чтобы они соот-
соответствовали полю г|) в локальном смысле. Например, для ниж*
ней стенки это делается разрешением уравнения C0) относи-
относительно 0).
После окончания этого этапа описанный процесс расчета по-
повторяется для нового шага по времени.
5. Функционалы движения. Проверка метода
А. Расчет количества движения
Рассмотрим в качестве элемента жидкости квадратную ячей-
ячейку, длина стороны которой равна а. Тогда для этого элемента
изменение количества движения в направлении х выражается
так:
Ml од2
где ди — изменение скорости элемента жидкости за промежуток
времени dt. Предполагается, что в направлении оси z элемент
имеет единичную длину.
В соответствии с уравнением вихря с центральными разно-
разностями по времени запишем изменением суммарного количества
движения жидкости в направлении х за один цикл по времени,
отмеченный индексом я,
1 / ЬМЛп
Р I 6/ jcl
/о-1 Уо-1
2j
2
2 2 *? U
сумм ~ 2 6* Li jU r^+1/2, У+1/2
у /-о у-о
Входящие сюда скорости берутся как средние значения на вер*
тикальных сторонах квадратной ячейки. Верхние пределы у
сумм в равенстве F0) показывают, что эти суммы охватывают
24 Зак. 647


370 Дж. Фромм
все ячейки. С помощью уравнения A3) и соображений относи*
тельно периодичности можно записать уравнение F0) в виде
/о-1
1 / Шх \п а VI /.я+1 .л+1 .л-1 , ,я-1\ /С1Ч
71"~ИсУмм = 2йГ Ъ W. /."¦'.о -*/. /. + **. о) • F1)
71"~ИсУмм
Б. Расчет сил на стенке
Коэффициент вязкости жидкости \х можно определить экспе-
экспериментально, используя выражение
Ft = v^A, F2)
где Ft — тангенциальная сила, с которой движущаяся стенка
воздействует на жидкость, прилегающую, например, к стенке
снизу; А — площадь соприкосновения стенки с жидкостью;
du/dy — градиент скорости тангенциального течения у стенки.
Нашей целью является вычисление с помощью уравнения
F2) силы, действующей на жидкость. Взяв единичное расстоя-
расстояние в направлении оси г, можем записать
где L — длина канала, v = ji/p — кинематический коэффициент
вязкости жидкости. Используя уравнение B5), можем далее за-
записать
^1 = —vcoZ. F3)
Рассмотрим пример, в котором жидкость неподвижна, но
нижняя стенка внезапно в момент времени t=0 приходит в дви-
движение со скоростью и = и0. Возьмем сумму сил, действующих по
всей длине расчетной сетки. Тогда полная сила, действующая
на жидкость, определится по формуле
-L = Va]?] CD; +1/2,0- F4)
J-0
Здесь средние значения со можно брать в соответствии с уравне-
уравнением E7).
В. Аналитическое решение
Аналитическое решение упомянутого выше примера было да-
дано Стоксом [11]. В этом случае профиль скорости в жидкости
имеет вид
/ у ft ^ \
—.v-h J


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 371
где щ — скорость стенки. Вихрь в этой задаче одномерной диф-
диффузии равен
со = — — = -^ e-y'W. F5)
dy УШ v '
Напомним, что такая же задача рассматривалась в § 3, В
при определении граничных условий на стенке. Там брались
значения скорости в точках, расположенных ниже стенки на рас-
расстоянии, равном половине размера ячейки, причем эти значения
задавались как и-.и2 = Щ. Фактически это означает, что в расче-
расчетах конечно-разностным методом стенка рассматривается рас-
расположенной на расстоянии а/2 ниже плоскости у = 0. Имея это
в виду, получим значение вихря на стенке
F6)
Мы преобразовали аналитическое решение таким образом, что-
чтобы стенка соответствовала эффективному положению, которое
она занимает в расчетах конечно-разностным методом. Приме-
Применяя выражение F3), можно получить теперь аналитическое вы-
выражение для силы, создаваемой стенкой,
F7)
Г. Сравнение аналитического и численного решений
Сравнение аналитического решения с численным расчетом
можно проводить вплоть до того времен^, когда скажется влия-
влияние верхней стенки. Это сравнение представлено на рис. 2. В на-
начальный период времени величина силы, полученная численным
расчетом, оказывается неточной, потому что для применимости
уравнения F4) необходимо, чтобы пограничный слой на стенке
был большим по сравнению с размером ячейки. Однако после
примерно 20 шагов по времени достигается хорошее соответ-
соответствие аналитического и численного результатов. Если шаг Ы со-
сохранять постоянным, а величину v увеличивать, то хорошее со-
соответствие будет достигаться при меньшем числе шагов по вре-
времени при условии, что не нарушается критерий
у 6* 2,
а2 ^ 4 '
Такое же важное значение имеет соответствие между изме-
изменением количества движения и силой, рассчитанной численным
методом (рис. 2). Это соответствие, имеющее место уже в на-
начальные моменты времени, указывает, что сила со стороны
стенки приводит жидкость в движение надлежащим образом.
24*


372
Дж. Фромм
Полученное здесь хорошее соответствие важно с точки зрения
расчета силы сопротивления препятствия, расположенного в по-
потоке жидкости.
Профили вихря, полученные численным методом, также сра-
сравнивались с аналитическим решением F5) [4]. Здесь имело ме-
место прекрасное соответствие.
8 /2 16 10 14 18 31 36 40 44 48
t/dt
Рис. 2. Изменение тангенциальной силы, которая действует на
первоначально неподвижную жидкость со стороны стенки, мгно-
мгновенно приведенной в движение.
Вязкость жидкости v=0,1333, скорость стенки Uq = 4, длина канала равна
14 единицам, шаг расчетной сетки а=0,125.
аналитическое решение для силы; численное решение для
силы — •—•— изменение количества движения.
Д. Определение коэффициентов сопротивления и подъемной
силы из баланса сил
Коэффициент сопротивления препятствия, находящегося в
потоке жидкости, выражается формулой
D
F8)
где Fd — сила, действующая на препятствие в направлении по-
потока, d — вертикальный размер препятствия, щ — скорость не-
невозмущенного потока.


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 373
Рассмотрим канал, стенки которого движутся с постоянной
скоростью н0. Пусть граничные условия на концах канала пе-
периодические, а жидкость вначале всюду движется со скоростью
движения стенок. Если в такое течение поместить препятствие,
то на жидкость будет действовать сила FD в направлении, про-
противоположном потоку, а количество движения жидкости при
этом будет уменьшаться. Так как средняя скорость жидкости
упадет, то стенки будут воздействовать на жидкость с танген-
тангенциальной силой в направлении их движения. Из баланса дей-
действующих сил и изменения количества движения можно рассчи-
рассчитать силу, приложенную к препятствию,
'" <69>
причем сюда надо подставить выражение F1) и уравнение F4)
в соответствующей форме.
Скорость невозмущенного потока щ, входящая в формулу
F8), в задачах рассматриваемого здесь типа не является точно
определенной величиной. Она относится к течению в бесконеч-
бесконечной области и представляет собой скорость на большом рас-
расстоянии от препятствия. Брать в качестве величины щ скорость
движения стенки и0 было бы неправильно из-за уменьшения ско-
скорости во всей жидкости. В то время как скорость движения
стенки постоянна, скорость течения уменьшается — особенно в
центральной части канала. Обычно мы рассматриваем один из
ряда периодических участков течения в канале, причем внутри
каждого участка находится препятствие. Как только жидкость
пройдет приблизительно расстояние одного участка, централь-
центральная часть жидкости начнет замедляться из-за наличия препят-
препятствия на участке, расположенном впереди. Для учета этого эф-
эффекта при применении формулы F8) мы полагаем uf=uory где
г — отношение скорости в некоторой характерной точке для ре-
решения в данный момент времени к соответствующей скорости
для начального решения. Эта характерная точка выбирается
так, чтобы она находилась непосредственно перед препятствием.
Рассмотренная поправка является эмпирической, но она при-
приводит к хорошему соответствию численных результатов с экс-
экспериментами.
Подъемную силу можно также вычислить из рассмотрения
баланса сил, если известно давление на стенке. Поскольку здесь
изменения суммарного количества движения не происходит, то
приложенные силы должны сами находиться в равновесии. Си-
Силы, приложенные к стенкам, можно вычислить как сумму давле-
давлений, действующих на стенку на длине в одну ячейку. Следова-
Следовательно, силы, с которыми жидкость воздействует на нижнюю и


374 Дж. Фромм
верхнюю стенки, соответственно равны
Тогда подъемная сила, действующая на препятствие, выразится
так:
Fy=-FB-FB.
Коэффициент подъемной силы можно определить по формуле
Если застойная кормовая зона имеет некоторую асимметрию,
то из-за влияния этой зоны на течение симметричное препят-
препятствие будет испытывать подъемную силу. Периодическая асим-
асимметрия течения возникает в том случае, когда в застойной зоне
развиваются вихревые дорожки. Таким образом, течение в не-
некоторый момент времени может, например, в области выше пре-
препятствия иметь более высокую скорость, чем в области ниже
препятствия. В таком случае давление выше препятствия будет
меньше, чем ниже препятствия. В результате этого на препят-
препятствие будет действовать суммарная сила, направленная вверх.
Е. Определение сопротивления и подъемной силы
непосредственным вычислением их на препятствии
Знания вихрей и давления на самом препятствии, вообще
говоря, должно быть достаточно, чтобы рассчитать силу сопро*
тивления и подъемную силу. Однако опыт применения такого
способа расчета оказался безуспешным. Очевидно, что для по-
получения более детальной информации о быстро изменяющихся
параметрах вблизи препятствия здесь требуется брать более
мелкую расчетную сетку. В примерах, которые приводятся в § 6,
препятствие имеет размер по высоте, равный только четырем
ячейкам. В углах на передней кромке препятствия имеются точ-
точки с низким давлением, в то время как в центре передней кром-
кромки существует высокое давление. Вероятно, область высокого
давления подходит очень близко к угловым точкам, однако рас-
расчеты конечно-разностным методом не могли дать такой картины.
Метод, в котором рассматривается баланс сил, дает хорошее
совпадение с экспериментом. Это указывает на то, что в конеч-
конечно-разностном методе, несмотря на трудности расчета вблизи
препятствия, правильно определяются суммарные характеристи-
характеристики течения [3]. К сожалению, метод, в котором рассматривается
баланс сил, не позволяет получить такую детальную информа-*
цию, которую могли бы дать прямые расчеты относительно от^
рыва в результате действия трения и давления.


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 375
6. Приложения
А. Застойная зона позади препятствия
Основное применение предложенного численного метода со-
состоит пока в исследовании образования вихревых дорожек в за-
застойной зоне за препятствием [3]. Начальная стадия этого ис-
исследования заключается главным образом в проверке возмож-
возможности рассчитать с помощью данного метода структуру простой
симметричной застойной зоны. Первые результаты расчетов дей-
действительно дали соответствующую структуру застойной зоны
для малых чисел Рейнольдса, которая характеризуется нали-
наличием пары вихрей на задней стенке препятствия. Когда мы
перешли к более высоким числам Рейнольдса, было замечено
вытягивание застойной зоны, однако в этих первоначальных
расчетах картина течения оставалась симметричной. Асимме-
Асимметрия, вероятно, могла бы развиться, если бы расчеты продолжа-
продолжались в течение очень длительного периода времени.
Более практичный способ состоял в искусственном внесении
асимметрии, чтобы создать колебания в застойной зоне. К сча-
счастью, для реализации этого не требовалось принимать спе-
специальные меры. Асимметрия вводилась простым увеличением
имевшихся значений вихря в трех точках на центральной линии
перед препятствием. К этим значениям прибавлялся положи-
положительный вихрь, составлявший примерно одну десятую часть
средней величины вихря в поле течения. На протяжении всего
расчета такое изменение проводилось только один раз. Введен-
Введенное возмущение вызывало очень слабую асимметрию впереди
препятствия, которая быстро исчезала при малых числах Re.
При больших числах Рейнольдса такое возмущение соответ-»
ственно создавало вихревую дорожку. Она возникала спустя
значительное время после внесения возмущения, которое сна-
сначала проявлялось в разбалансировании пары вихрей. Колебания
застойной зоны обнаруживались в первый раз примерно при
числе Рейнольдса Re = 50, что находится в согласии с экспери-
экспериментом. Серия последовательных графиков развития вихревой
дорожки представлена на рис. 3. Число Рейнольдса в начале
этой серии последовательных картин течения равнялось 200.
Графики выводились гораздо чаще, чем они приведены на
рис. 3, но большинство из существенных особенностей течения
отражено на представленных графиках. Первый график из этой
серии (наверху слева на рис. 3) относится к моменту времени,
непосредственно следующему за внесением возмущения в поток.
На этой картине течения видна небольшая асимметрия впереди
препятствия. На второй картине течения (в середине слева) вид-
видна пара вихрей при появившейся уже асимметрии позади пре-


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 377
пятствия. Третья картина (внизу слева) показывает начальную
фазу срыва вихрей. На картинах течения в правой части рис. 3
изображено последовательное появление третьего, четвертого
и пятого вихрей.
Первый вихрь, который движется вниз по течению, значи-
значительно слабее по своей интенсивности, чем последующие вихри.
Это ослабление интенсивности, очевидно, происходит из-за пе-
передачи количества движения другому вихрю пары. После срыва
четвертого вихря интенсивность опять ослабевает из-за влияния
периодического движения, уменьшающего скорость жидкости.
Это обстоятельство ясно видно на рис. 4, а, который представ-
представляет собой график линий тока для случая, когда препятствие
движется, а стенки покоятся; этот график получен в тот же мо-
момент времени, что и последний график из серии, показанной на
рис. 3. График на рис. 4, а получен в результате преобразова-
преобразования значений г|) с помощью соотношения ij/ = \|)—мо#. Представ-
Представление течения в такой форме часто встречается в литературе.
На рис. 4,6 построены «дымовые» картины движения, т. е.
картины линий отмеченных частиц. Эти картины относятся к
тому же моменту времени, что и последний график на рис. 3.
В этом случае можно провести сравнение с результатами, на-
наблюдаемыми в экспериментальных лабораториях, где приме-
применяется такого типа техника визуализации течения. Контроль-
Контрольные частицы вводятся в левой части потока со скоростью, про-
пропорциональной средней скорости течения. Частицы перемещают-
перемещаются на каждом шаге по времени, при этом для них берется ско-
скорость, полученная линейной интерполяцией скоростей и и v со-
соответственно по четырем ближайшим точкам. Чтобы ограничить
объем машинной памяти, требующейся для хранения координат
частиц, частицы, которые были введены в более ранние моменты
времени, исключаются из рассмотрения, если весь имеющийся
объем памяти исчерпан. Если некоторая частица выходит из рас-
рассматриваемого поля течения, то соответствующий ей объем памя-
памяти также освобождается для новых вводимых частиц.
Наконец, на рис. 4, в показаны линии постоянного давления,
также относящиеся к тому же моменту времени, что и послед-»
ний график на рис. 3. Сравнение с последним графиком на
рис. 3 позволяет выявить области низкого и высокого давле-
давлений. Области высокого давления приблизительно совпадают с
областями, где жидкость тормозится, т. е. где линии тока наи-
наименее уплотнены: Напротив, области низкого давления пример-
примерно соответствуют областям, где линии тока наиболее уплотне-
уплотнены, т. е. областям, где скорости велики. Препятствие на рис. 4, в
несколько затемнено линиями постоянного давления, соответ-
соответствующими двум очень низким значениям давления в углах на
передней кромке препятствия.


378
Дж. Фромм
Рис. 4.
а — картина линий тока (график перестроен для случая, когда
стенки неподвижны); б — картина линий отмеченных частиц; в — линий
постоянного тока давления. Расчет тот же, что на рис. 3, t = 2,988.
На графиках давления интересно наблюдать развитие пар-
парных областей низкого и высокого давлений, соответствующих
каждому сорвавшемуся вихрю.
Расчеты проводились до значений чисел Рейнольдса, равных
6000. Сходимость решения здесь достигалась так же просто,
как при малых числах Рейнольдса. Однако сомнительно, чтобы
в случае больших чисел Рейнольдса изменение параметров мог-
могло быть правильно представлено с помощью применявшейся
грубой расчетной сетки. Кроме того, здесь в области передней
кромки препятствия развивалась видимая неустойчивость вто-


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 379
рого порядка в дифференциальных уравнениях. Эта неустойчи-
неустойчивость нарастает медленно, однако из-за периодических гранич-
граничных условий возмущенная область влияет обратно, вглубь за-
застойной зоны. Такое возмущение заметно даже при числе Рей-
нольдса Re = 200, как это можно видеть на показанных здесь ри-
рисунках. Однако это возмущение будет менее сильным, если пре-
препятствие взять более крупным по сравнению с размером ячейки.
Делались некоторые" попытки устранить неустойчивость рас-
расчетов в протяженных застойных зонах. Для этого на левой гра-
границе ставилось условие равномерного набегающего потока, а на
правой границе условие непрерывности решения. В отношении
сходимости здесь был достигнут успех, а условия на правой гра-
границе не оказывали влияния на течение вверх по потоку от этой
границы. Однако в настоящее время в нашем распоряжении не
имеется еще достаточного количества материалов по таким рас-
расчетам, чтобы было целесообразно обсуждать их здесь.
В применяемой сейчас расчетной схеме препятствие ограни^
чивается вертикальными и горизонтальными линиями, проходя-
проходящими через точки расчетной сетки для г|). Вряд ли встретятся
какие-либо трудности, если эту схему распространить на пре-
пятствия, которые ограничиваются диагональными линиями,
проходящими через расчетные точки \|э. Однако из-за необходи-
необходимости удовлетворять уравнению неразрывности возможное при-
применение таких интерполированных границ представляется в дан-
данное время проблематичным. Более предпочтителен здесь под-
подход, состоящий в увеличении числа узловых точек, что позволит
улучшить аппроксимацию поверхностей.
Б. Программа текущих и будущих исследований
Хотя описанный метод в настоящей его форме был успешно
применен к изучению развития вихревых дорожек, это, однако,
не составляло главной цели программы исследований. Наша
цель состояла в разработке метода, который можно было бы
легко модифицировать для приложений к широкому классу за-
задач. На данной стадии развития метода полная область его
применимости довольно неопределенна, и дальнейшее продви-
продвижение здесь должно происходить на основе опыта.
В этом параграфе уже отмечалось, что расчеты проводились
при удивительно малом числе расчетных ячеек, использовав-
использовавшихся для представления препятствия в потоке жидкости. При-
Применение в несколько раз большего числа ячеек может также не
позволить определять тонкие детали течения, которые интерес-
интересны в некоторых приложениях. Однако возможность получать ре-
результаты при относительно малом числе ячеек имеет огромное
значение в практических приложениях метода. Если бы требо-
требовалось значительно большее число узловых точек, то ни одна из


380 Дж. Фромм
современных вычислительных машин не была бы в состоянии
выдать решение за время, приемлемое для большинства спе-
специалистов, пользующихся машинами.
Может возникнуть вопрос: какую же ценность имеют резуль-
результаты, полученные при столь грубом представлении препятствия?
Здесь следует дать такой ответ: основные свойства течения не
должны существенно зависеть от точного описания малых дета-
деталей течения. Этот факт сам по себе должен быть полезным при
теоретическом исследовании течений, которые, таким образом,
можно успешно рассчитывать, и он представляет большой ин-
интерес с точки зрения более широких приложений метода.
Таким образом, дальнейшие исследования будут вестись в
направлении продолжающегося поиска таких задач, которые
были бы пригодны для расчетов по программе в настоящей ее
форме и в то же время имели бы аналитические и эксперимен-
экспериментальные обоснования. Можно назвать несколько типичных за-
задач, пригодных для решения по имеющейся программе.
1. Неустойчивость линии скольжения. Хорошо известно, что
при наличии таких стабилизирующих факторов, как вязкость
или поверхностное натяжение, поверхность, на которой каса-
касательная составляющая скорости имеет разрыв, будет неустой-
неустойчивой в отношении бесконечно малых возмущений. Такие эф-
эффекты очень трудно исследовать аналитически. Численный ме-
метод, напротив, хорошо подходит к изучению вязких эффектов
и возмущений с конечной амплитудой. В этой связи уже были
проведены расчеты и планируется осуществить полное иссле-
исследование.
2. Неустойчивость плоского течения Пуазейля и плоского
течения Куэтта. Изучение неустойчивости плоского течения Пуа-
Пуазейля явится полезной проверкой численного метода, поскольку
эта задача уже решена аналитически. Приложенная к телу си-
сила, которая необходима для невозмущенного движения, может
быть без труда включена в программу расчетов. Однако здесь
возникают две трудности. Одна из них связана с большим ма-
машинным временем, требующимся для исследования возраста-
возрастания возмущений. Другая трудность состоит в необходимом ви-
видоизменении имеющейся программы таким образом, чтобы в
ней было увеличено отношение длины канала к его ширине.
Неустойчивость плоского течения Куэтта исследована менее
полно, но, вероятно, здесь проведение расчетов может пролить не-
некоторый свет на устойчивость возмущений с конечной амплитудой.
3,- Инжекция плоской струи. Метод в настоящей его форме
кажется идеально подходящим для расчетов проникновения
.плоской струи в жидкость такого же вида, что струя. При таком
исследовании надо учитывать вязкие эффекты в несколько видо-
видоизмененной форме. Здесь можно применять граничные условия


Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости 381
для равномерного набегающего потока и условия для непрерыв-
непрерывного вытекания жидкости, упоминавшиеся выше.
Другие вопросы, которые требуют более серьезной передел-
переделки программы и рассматриваются в настоящее время, состоят
в следующем:
1) Переход к цилиндрическим координатам для исследова-
исследования течения Куэтта между вращающимися цилиндрами.
2) Разработка метода4решения задач с двумя средами.
3) Рассмотрение свободных граничных поверхностей.
4) Учет теплопроводности.
В. Заключение
Информация, полученная уже при изучении застойных кор-
кормовых зон, позволяет думать, что разработанный метод в его
настоящем виде можно с успехом применять для инженерных
исследований. Применение этого метода в соединении с экспери-
экспериментами позволит, в частности, глубоко вникнуть в сущность ме-
механизма подъемной силы, действующей на тело. Вероятно, са-
самым важным здесь является то обстоятельство, что полезная
информация относительно неустановившихся течений несжимае-
несжимаемой жидкости была получена при помощи такого конечно-раз-
ностого метода, который может быть реализован на современ-
современных вычислительных машинах.
Благодарности. Я признателен д-ру Ф. X. Харлоу за советы и руко-
руководство, оказанные им во время разработки изложенного численного метода,
а также при подготовке этой рукописи. Я хочу также поблагодарить Эмму
Лоу Янг за помощь при внесении изменений в расчетную программу и при
получении окончательных результатов. Настоящая работа была выполнена
при поддержке Комиссии по атомной энергии США.
Литература
1. Dufort Е. С, Frankel S. P., Math. Tables and Other Aids to Сотри-
tation, 7 A953), 135.
2. Fromm J. E., Lagrangian difference approximations for fluid dynamics,
Los Alamos Scientific Laboratory. Rep. LA-2535, 1961.
3. Fromm J. E., Harlow F. H., Phys. of Fluids, 6 A963), 975.
4. Fromm J. E., A method for computing nonsteady incompressible, viscous
fluid flows, Los Alamos Scientific Laboratory. Rep. № 2910, 1963.
5. H a r 1 о w F. H., Stability of difference equations; selected topics. Los
Alamos Scientific Lab. Rep. № LAMS-2452, 1960.
6. Payne R. В., Aero. Res. Council (London) Rept. and Mem. № 3047, 1956.
7. Payne R. В., /. Fluid Mech., 4 A958), 81.
8. P и x т м а й е р Р. Д., Разностные методы решения краевых задач, ИЛ,
М., 1960.
9. Thorn A., Proc. Roy. Soc, A141 A933), 651.
10. Т о м А., Э й п л т К. Д., Числовые расчеты полей в технике и физике,
изд-во «Энергия», М., 1964.
11. Stokes G. G., Cambridge Phil. Trans., 9 A851), 8;' Math, and Phys,
Papers, 3 A901).


ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабата Гюгонио 108, 220
Адиабатическое течение 266
Бихарактеристические кривые 293, 295
Волна напряжения 226
— сжатия 283, 290
Выдача результатов расчетов на
электронную лучевую трубку 49,
171, 234
— с помощью устройства
«СК 4020» 73, 340, 346
Вязкость искусственная 17, 63, 85,
225, 245, 249, 334
Граничные последовательности 158
— условия 39, 193, 252, 355
для давления 359
— ячейки 157
Девиатор напряжений 225, 244
Демпфирование колебаний 204
Дифференцирование по времени 62
— — пространственным переменным
58
Задача с начальными данными 79
Закон Гука 186, 197, 213, 219
Застойная зона позади препятствия
172, 375
Изэнтропическое течение 266
Итерационная схема 351
Конечно-разностные двумерные урав-
уравнения в переменных Лагранжа 9
гидродинамики 29
Константы Ляме 202, 213, 221
Координаты декартовы 57, 78
— Лагранжа 9, 188, 317
— сферические 82
— цилиндрические 68, 295, 330
— Эйлера 9, 82, 188, 320
Коэффициент подъемной силы 372
— сопротивления 372
Метод бихарактеристик 297
— Либмана 351
Метод полос 82
— расчета для течения вязкой жид-
жидкости 343
— СЭЛ 128, 137
— «Тензор» 185
— характеристик 264, 292
структура программы 272
с фиксированными шагами по
времени 286
— «Юник» 185
— частиц в ячейках 316, 339
Неустойчивость по Тейлору 54, 170
Окрестность точки 306
Первый закон термодинамики 85
Периодические границы 355
Пластическая текучесть 199, 215
Поверхности свободные 91, 254
— скольжения 231, 255, 320
Поверхностное натяжение 170
Поверхность раздела 91, 277, 291
— разрыва 121, 270
Предел текучести 215
Примеры расчета течений двумерных
48, 100, 169, 208, 303, 320, 339
одномерных 208, 371
Разрушение 200
Разрыв в газах 157
упругом материале 218, 232
Рассмотрение границ 47
Расчет движения частицы 80, 326
— напряжений 182, 207
— упруго-пластических течений 212
двумерных 228
одномерных 225
Результаты расчетов 49, 73, 103, 169,
208, 303, 339
Скорость деформаций 214, 225, 244
Соотношения Рэнкина — Гюгонио 149,
299
Струйное течение газа 78
Сходимость численных методов 95,
352
Тензор напряжений 190, 201
Тензорная искусственная вязкость
16, 20, 27, 191
Теплопроводность 75, 333
Точность расчетов 74, 129, 336
Турбулентность 10, 133
Ударные волны 299
Уравнение для вихря 348, 360
— количества движения 14, 190
в интегральной форме 15
— массы 13, 58
— момента количества движения 16
Уравнение неразрывности 91, 229, 244
— Пуассона 348
— состояния экспериментальное 219
— энергии 14, 207, 229, 245
Уравнения движения 58, 85, 229, 266
— для элемента объема 56
— Навье — Стокса 346
— состояния 14, 85, 213, 229, 248
— сохранения 13, 56, 85, 143, 153
Условие текучести Мизеса 215, 216,
226, 245
Условие устойчивости Куранта 45, 64,
301
Устойчивости контроль 141, 187, 207,
246, 361
Устойчивость 32, 334, 362
— дифференциальных уравнений 23
Функционалы движения 369
Функция тока 348
Центрирование переменных 66, 86
Центрированное время 33, 34
Число Куранта 45


Именной указатель
383
Число Маха 170
— Рейнольдса 343
Эйлерово-лагранжева сетка 57
Энергия 74
Энтропия 335
Якобиан 11, 154, 188
Ячейки треугольные 30
— четырехугольные 30, 146, 246
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альтшулер Л. В. 263
Батлер (Butler D. С.) 293, 315, 342
Биорк (Bjork R. L.) 211, 317, 342
Блэйк (Blake F. G., Jr.) 209, 211
Бражник М. И. 263.
Броуд (Brode H. L.) 211
Брукс (Brooks N.) 342
Владимиров Л. А. 263
Гартри (Hartree D. R.) 291
Григорян С. С. 6
Дикман (Dickman D. О.) 342
Друккер (Drucker D. С.) 263
Дувал (Duvall G.) 263
Дэлай (Daly В. Z.) 342
Дюфорт (Dufort E. С.) 365, 382
Келлер (Keller H. В.) 265, 291
Кормер С. Б. 263
Коробейников В. П. 6
Курант (Courant R.) 127, 264, 291
Лазарус (Lazarus R. В.) 55
Лаке (Lax P. D.) 264, 291
Ландерган (Lundergan С. D.) 263
Ландсхоф (Lundshoff R.) 291, 334,
342
Левин (Levin D. А.) 291
Майнчен (Maenchen G.) 5, 185, 263
Маккуин (Me Queen R. G.) 127, 263
Мартин (Martin R. Е.) 342
Марш (Marsh S. Р.) 127
Мейкснер (Meixner В. D.) 342
Мизес (Mises R.) 263
Миллер (Miller F. Н.) 263
Надаи (Nadai A.) 263
Нейман фон (von Neumann J.) 9, 54,
127, 211, 263, 264, 291, 342
Нох (Noh N. F.) 128
Нукольс (Nuckolls J. H.) 211, 263
Олдер (Alder B.) 7
Пейн (Payne R. B.) 344, 381
Прагер (Prager W.) 263
Райни (Riney T. D.) 342
Реддик (Reddick H. W.) 263
Рейнер (Reiner M.) 228, 263
Рихтмайер (Richtmyer R. D.) 9, 54,
127, 211, 263, 264, 291, 342, 365,
381
Ричардсон (Richardson D. J.) 292
Ротенберг (Rotenberg M.) 7
Сак (Sack S.) 5, 185
Сокольников (Sokolnikoff I. S.) 211
Сперанская М. П. 263
Стейн (Stein L. R.) 265, 291
Стоке (Stockes G. G.) 381
Тимошенко С. П. 263
Том (Thorn A.) 343, 351, 381
Триггер (Trigger К.) 127
Трулио (Trulio J.) 76, 127
Уилкинс (Wilkins M. L.) 5, 212, 263
Уолш (Walsh J. M.) 263
Уитэм (Whitham G. В.) 291
Фернбах (Fernbuch S.) 7
Франк (Frank R. М.) 55
Френкель (Frankel S. Р.) 365, 381
Фридрихе (Friedrichs К. О.) 127, 264,
291
Фромм (Fromm J. E.) 343, 381
Фунтиков А. И. 263
Харлоу (Harlow F. Н.) 316, 317, 329,
333, 335, 339, 342, 381
Харрис (Harris D. E., Jr.) 342
Хилл (Hill R.) 211
Ходж (Hodge P. G.) 263
Хоскин (Hoskin N. Е.) 264
Пушкин П. И. 6
Шмыглевский Ю. Д. 6
Шульц (Schulz W. D.) 9
Эванс (Evans M. W.) 333, 339, 342
Эйплт (Appelt С. J.) 351, 381
Эллиот (Elliott L. А.) 293, 300, 303,
305


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию 5
Предисловие ... 7
Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в перемен-
переменных Лагранжа. У. Д. Шульц . .9
Смешанный метод, использующий переменные Эйлера и Лагранжа.
Р. М. Франк, Р. Б. Лазарус . 55
Метод полос и течение газа между пластинами. Дж. Трулио ... 76
СЭЛ — совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационар-
нестационарных двумерных задач. В. Ф. Нох 128
Метод расчета «Тензор». Дж. Майнчен, С. Сак 185
Расчет упруго-пластических течений. М. Л. Уилкинс 212
Метод характеристик для решения уравнений одномерного неустановив-
неустановившегося течения. Н. Э. Хоскин 264
Метод характеристик для решения уравнений гидродинамики двумер-
двумерных неустановившихся течений. Д. Дж. Ричардсон 292
Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. Ф. X. Хар-
лоу . . . . . 316
Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости. Дж. Фромм 343
Предметный указатель 382
Именной указатель 383
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ
Редактор А. С. Попов
Художник К. П. Сиротов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Ф. X. Третьякова
Корректор В. С. Соколов
Сдано в производство 4/IV 1967 г. Подписано к печати 11/VIII 1967 г.
Бумага типографская, № 2. Формат 60x907i6=12 бум. л., 24 печ. л. Уч.-изд. л. 23,28.
Изд. № 1/3665. Цена 1 р. 79 к. Зак. 647.
Темплан 1967 г. Издательство «Мир», № 32.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «М И Р». Москва, 1 й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2 имени' Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР. Измайловский проспект, 29