Ъ.Р.1
епме н
ПРИБЛИЖЕННЫЙ
АНАЛИТИЧЕСКИЙ
МЕТОД
ИССЛЕДОВАНИЯ
ВХОДА TEA
В АТМОСФЕРЫ
ПЛАНЕТ

NATIONAL AERONAUTICS AND SPACE
ADMINISTRATION
D. R. Chapman
AN APPROXIMATE ANALYTICAL
METHOD FOR STUDYING
ENTRY INTO PLANETARY
ATMOSPHERES
TECHNICAL REPORT
R—11
AMES RESEARCH CENTER
MOFFETT FIELD, CALIF.
1959

Д. Р. Чепмен
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
ВХОДА ТЕЛ В АТМОСФЕРЫ
ПЛАНЕТ
Перевод с английского
канд. техн. наук
В. В. Кириллова
Под редакцией
канд. техн. наук
Э. Э. Шпильрайна
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1962

В работе Д. Р. Чепмена система двух уравнений, описывающих
вход тела в атмосферу планеты, после исключения двух сравни¬
тельно малых членов и некоторых математических преобразований
сведена к одному обычному нелинейному дифференциальному урав¬
нению вто] ого порядка. Это уравнение содержит члены, учиты¬
вающие силу тяжести, центробежное ускорение и подъемную силу.
Если некоторыми из этих членов пренебречь, то дифференциальное
уравнение становится линейным и имеет точное решение, получен¬
ное Алленом и Эггерсом, которое можно применять для баллисти¬
ческого входа при сравнительно крутых углах снижения.
Из полного нелинейного дифференциального уравнения полу¬
чен ряд решений для входа планирующих и непланирующих тел
при различных начальных углах входа. Эти решения являются
универсальными в том смысле, что одно решение определяет
движение и нагрев тела произвольного веса, размеров и формы,
входящего в атмосферу произвольной планеты. Для каждого отно¬
шения подъемной силы к сопротивлению требуется одно решение.
Эти решения использованы для изучения замедления, скорости
нагрева и общего количества поглощенного телом тепла при
входе в атмосферу Венеры, Земли, Марса и Юпитера.
Включен также краткий анализ торможения тел в атмосфере,
замедляющихся от второй космической скорости до скорости, близ¬
кой к скорости спутника.
Редакция литературы по вопросам техники

П Р Е Д И С Л О В И Е
С тех пор как начали разрабатываться проблемы кос¬
мических полетов, внимание ученых и конструкторов неиз¬
менно приковано к вопросам посадки космических аппара¬
тов на Землю и другие планеты. Не будет преувеличением
сказать, что проблема посадки космических аппаратов яв¬
ляется одной из самых сложных из всего комплекса проб¬
лем, стоящих перед космонавтикой. Сложность этой проб¬
лемы определяется тем, что при вхождении в атмосферу
планет космические аппараты испытывают огромные пере¬
грузки, определяемые торможением, подвергаются воздей¬
ствию чрезвычайно интенсивного аэродинамического нагрева.
Задача конструкторов космических кораблей и штурманов,
которые будут намечать их траектории, состоит в том, чтобы
осуществить посадку наиболее надежно, точно, с наимень¬
шими затратами веса и при полной безопасности экипажа
корабля.
С тех пор как был осуществлен исторический полет совет¬
ского космонавта Юрия Алексеевича Гагарина, интерес широ¬
ких кругов общественности К космическим полетам сильно
возрос. Читателей интересуют не только обзорные популярные
работы, посвященные этой теме, но и детали, которые ранее,
быть может, могли заинтересовать только специалистов.
В предлагаемой работе Д. Р. Чепмена дается аналити¬
ческое решение задачи входа космических тел в атмосферу
Земли и других планет. В наиболее общей постановке эта
задача может быть решена только численными методами.
Однако эти методы, пригодные для решения частных задач,
имеют тот недостаток, что с их помощью нельзя анализи¬
ровать влияние отдельных факторов, определяющих условия
спуска космических аппаратов. Д. Чепмен идет другим пу¬
тем — он предлагает приближенные методы решения постав¬
5

ленной задачи, которые позволяют осуществить интегриро¬
вание уравнения и получить результаты, удобные для ана¬
лиза и имеющие ясный физический смысл. Точность этих
приближенных методов в каждом отдельном случае прове¬
ряется путем сопоставления результатов с точными числен¬
ными решениями.
Чепмен рассматривает все основные случаи входа кос¬
мических аппаратов в атмосферу планет: при наличии у ап¬
парата подъемной силы и без нее, при пологих и крутых
траекториях, при входе с орбит спутника и при началь¬
ных скоростях, превышающих первую космическую.
Во всех этих случаях рассчитываются параметры траек¬
тории спуска, максимальные замедления, максимальные теп¬
ловые потоки за счет аэродинамического нагрева, суммар¬
ные количества тепла, воспринимаемые аппаратом за время
спуска. Решения получены достаточно простыми и изящными
методами и иллюстрируются большим числом графиков,
с помощью которых легко провести анализ влияния различ¬
ных факторов на параметры спуска. В частности, могут быть
определены условия оптимального входа в атмосферу планет
в отношении формы и параметров аппаратов, выбора траек¬
тории и т. п.
Некоторым недостатком работы Д. Чепмена является то,
что в ней не рассмотрены условия спуска аппаратов с тор¬
можением ракетным двигателем.
Несмотря на это, нам кажется, что работа Д. Чепмена
будет встречена читателями с интересом и окажется полез¬
ной инженерам и конструкторам, занятым разработкой соот¬
ветствующих проблем.
Э. Шпильрайн

ВВЕДЕНИЕ
Одна из многих проблем, связанных с межпланетными
полетами, относится к тому короткому периоду полета,
когда снаряд входит в атмосферу Земли или другой планеты.
Важными аспектами этой проблемы являются: возможное
резкое торможение, опасное для экипажа, интенсивный
аэродинамический нагрев и такой тактический аспект, как
удовлетворительный контроль времени и места посадки.
Проблема оказывается тем более интересной благодаря тес¬
ной связи между этими аспектами, что, как всегда, требует
для нахождения наилучшего компромиссного решения глу¬
бокого понимания предмета. Например, наинизшие тепловые
потоки и наименьшие ускорения получаются при очень поло¬
гом входе, но при таком входе трудней всего решаются
тактические задачи точного места и времени приземления.
Кроме того, общее количество тепла, воспринятое снарядом
во время спуска, при пологом входе будет больше, чем при
крутом. Если спуск под крутым углом вызван отклонением
с орбиты, например тормозной ракетой, то общее количество
подведенного тепла для ламинарного течения при этом су¬
щественно снижается, облегчается и решение тактической
задачи, но замедление и интенсивность нагрева повышаются.
Для того чтобы обеспечить эффективный метод входа для
снаряда заданного назначения, весьма желательно, чтобы
конструктор располагал сравнительно простыми уравнениями
для выяснения влияния каждой переменной на траекторию
входа, замедление и аэродинамический нагрев.
Для некоторых частных случаев входа в атмосферу
имеются теоретические решения, в результате которых
получены простые уравнения, ясно показывающие, как каж¬
дая из переменных влияет на движение и аэродинамический
нагрев. Такое уравнение было получено Алленом и Эггер-
7

сом [1] для случая крутого баллистического входа без
подъемной силы, когда весом и центробежными силами
можно пренебречь. В случае плавного планирующего входа
при нулевом начальном угле и достаточно большом отно¬
шении подъемной силы к сопротивлению можно пренебречь
вертикальным ускорением и вертикальной составляющей сил
сопротивления и использовать решение, впервые полученное
Зенгером [2 и 3]. В случае рикошетирующих ракет, входя¬
щих при достаточно крутых углах и с достаточно большим
отношением подъемной силы к сопротивлению так, что
весом и центробежными силами можно пренебречь, будет
применимо решение Эггерса, Аллена и Найса [4]. Для более
общих типов входа, когда сила тяжести, центробежная сила,
подъемная сила, вертикальное ускорение и вертикальная
составляющая сопротивления — все имеют существенное зна¬
чение, существующие решения неприменимы. Такой случай
будет реализовываться, например, при входе в атмосферу
спутника с небольшим отношением подъемной силы к сопро¬
тивлению или при входе некоторого космического снаряда,
начинающемся с очень маленького начального угла.
Современное представление о сравнительно пологом входе
в атмосферу, который представляет особый интерес для
управляемых межпланетных полетов, основано в первую
очередь на численных расчетах, проделанных с помощью
счетных машин для некоторых определенных типов снаря¬
дов (см., например, [5—7]).
В настоящей работе приводится приближенное аналити¬
ческое решение уравнений движения, которое может
быть полезно для инженерных расчетов и будет применимо
для атмосферы произвольной планеты, для планирующих и
непланирующих снарядов, а также для входа с пологим
или крутым спуском. Такое решение должно быть пригодно
для самых разнообразных типов снарядов, подверженных
торможению в атмосфере; такими снарядами могут быть
рикошетирующие, планирующие и баллистические ракеты,
спутники или космические снаряды. Кроме того, предметом
книги является разработка метода расчета сложных типов
входа, таких, как вход с нулевой подъемной силой с после¬
дующим внезапным изменением подъемной силы (или сопро¬
тивления в некоторых точках во время спуска).
Во время подготовки этой книги было получено инте¬
ресное сообщение Гэзли [8], в котором он рассматривает
вход в атмосферу планеты со снижающейся орбиты спут¬
8

ника, не имеющего подъемной силы. Он получил прибли¬
женное аналитическое решение, задаваясь определенным
соотношением между скоростью и углом снижения. В резуль¬
тате его конечные уравнения для этого частного типа входа
в атмосферу количественно отличаются, хотя качественно и
совпадают с уравнениями, полученными в настоящей работе.
Обозначения
а — результирующее замедление [уравнение (51)];
А — площадь, к которой относятся сопротивление и.
подъемная сила, м2;
С — размерный коэффициент в уравнении (35) для теплового'
потока в передней критической точке;
CD — коэффициент сопротивления, —=——	;
у Р-сУ2 А
CL — коэффициент подъемной силы,	—-	;
ipJPA
D — сила сопротивления, кГ\
и
g—местное значение ускорения силы тяжести,
сек2
gc — обычное (условное) значение ускорения силы тяже¬
сти 9,81	;
сек2
— отношение местного теплового потока к потоку
в передней критической точке, qfqs\
k2 — отношение среднего теплового потока к тепловому
потоку в передней критической точке, / irdS''
I — характерная длина снаряда, м;
L —подъемная сила, кГ\
кГ- сек2
т — масса снаряда, 	—	;
М — средний молекулярный вес атмосферы планетьг
(в единицах, согласующихся с газовой постоянной,
и g):
Рг—число Прандтля;
q — конвективный тепловой поток, Jc“aJl •
м2-час
У

Q—общее количество тепла, подведенного за счет кон¬
векции J J q dt dS, ккал;
q—безразмерная функция, пропорциональная тепловому
потоку (для ламинарного течения q = и'гУZ)>
Q — безразмерная функция, пропорциональная количеству
подведенного тепла (Q = fu1’'3 Z~l/lcos~2<? du);
г — расстояние от центра планеты, м;
R — универсальная газовая постоянная или радиус кри-
. кГм
визны поверхности снаряда (в Kjr гра$ или в м соот*
ветственно);
'Re—число Рейнольдса, р°° Vc° 1 ;
Цоо
s—расстояние, пройденное по окружности, м\
5 — площадь поверхности, занятая пограничным слоем, м1\
t — время, сек;
Т—температура, °К;
и — составляющая окружной скорости, нормальная
к радиус-вектору, м/сек-,
ас — скорость на круговой орбите, ис = Уgr, м/сек-,
и—отношение и/ис-,
Uj — верхний предел интегрирования в уравнении
для дальности полета (28) и уравнении для общего
количества подведенного тепла (396);
v — вертикальная составляющая скорости (вдоль напра¬
вления радиус-вектора), м/сек;
V — результирующая скорость, V — У и2 -4- v2 , м/сек;
V — отношение V/ас;
у — высота, м;
6 — вес снаряда на поверхности Земли, W — mgc, кГ;
Z—безразмерная функция от и, определяемая из урав¬
нения (21) и соответствующих граничных условий;
Р — параметр понижения плотности атмосферы, м~1;
у — отношение удельных теплоемкостей за головной волной;
6 — угол в полярных координатах;
и. — коэффициент вязкости, кГ • сек ■ м~2;
р — плотность, кГ • сек2 • м~4;
■ср — угол траектории полета относительно местного гори¬
зонта (положителен для подъема, отрицателен
для спуска).
10

Индексы
О — уровень моря;
со — свободный поток (окружающая атмосфера);
s—передняя критическая точка;
i — начальные условия;
Ъ — обозначает условие скачкообразного изменения
W
величины	—у-;
D
ф — величина, отнесенная к соответствующей величине
для Земли;
' — производная по и;
" — безразмерная величина.

АНАЛИЗ
Исходные предпосылка а допущения
Анализ проблемы относится к той части спуска снаряда
в атмосфере планеты, где преобладающее значение имеют
замедление и конвективный аэродинамический нагрев. В на¬
чале сделано три исходных предположения:
1. Планета и ее атмосфера имеют сферическую симметрию.
2. Изменение по высоте температуры Т^ и молекулярного
веса М пренебрежимо мало по сравнению с изменением плот¬
ности (т. е. d7'oo/7'ooCdpoo/poo и ЙЖ/ЖСйРоо/Роо).
3. Периферическая скорость планеты пренебрежимо мала
по сравнению со скоростью входящего снаряда.
Поскольку резкий аэродинамический нагрев и замедление
снаряда происходят на участке траектории полета, малом по
сравнению со средним радиусом планеты (для тел, не обла¬
дающих подъемной силой, порядка одной десятой радиуса
планеты), для планет, слабо сплющенных с полюсов (таких,
как Венера, Земля и Марс), предположение 1 будет вполне
приемлемо. Для сильно сплюснутых планет, таких, как Юпи¬
тер и Сатурн, это предположение непригодно. Как отмечается
далее, предположение о сферической симметрии может вно¬
сить некоторую неточность, если спуск происходит вдоль
линии, близкой к меридиану, и если снаряд при этом имеет
большое отношение подъемной силы к сопротивлению. При
большом отношении подъемной силы к сопротивлению уча¬
сток спуска с существенным замедлением и нагревом может
иметь длину, сравнимую с радиусом планеты; в таких слу¬
чаях несферическая природа планеты может иметь суще¬
ственное значение.
Предположение 2 приводит к „экспоненциальной" атмо¬
сфере. Оно дает возможность дифференциал давления окру¬
жающей атмосферы
dP„о ^ rf?co , dTa,	dM
Рл Pcu	M
12

записать в более простой форме:
dP<o ^ d?oi
Рсо	Рсо
(1)
Последнее уравнение можно объеди¬
нить с уравнением гидростатического
равновесия в атмосфере
= —Pooffdy
и уравнением состояния для идеального
газа
р =р RT IM
* СО Г со со/
и получить хорошо известное уравнение
для изменения плотности в атмосфере
планеты с высотой
1 rfPco „ Mg
= ? =	(2)
По имеющимся данным [9—11],
приближенные средние значения неко¬
торых представляющих интерес вели¬
чин для различных планет будут сле¬
дующие (индексом ф обозначены вели¬
чины, отнесенные к соответствующим
величинам для Земли) (см. таблицу).
Здесь следует заметить, что пред¬
положение 2, которое приводит к экс¬
поненциальной атмосфере, допускает
изменение значения (3 по высоте (так,
как это бывает во всякой реальной
атмосфере) и учет этого обстоятельства
в рамках настоящего исследования.
Хотя уравнения, полученные ниже, вы¬
ведены для произвольной атмосферы,
и^юстративные численные расчеты
проделаны для наиболее простых типов
атмосферы. В большинстве численных
примеров предполагалось, что плотность
в атмосфере изменяется по „точной”
экспоненте, а именно: рю=р0е~РУ при
Р = const (для земной атмосферы р0 =
.3
IJB
г*»4
СП.
V
1,0
1,0
0,47
2,0
•’г'4
I
о
Г 5?
7
со.
0,61
0,717
1.83
1.83
270
240
200
170
1
N
О G СО СО
^ см см
0
00 о о ю
o' ~ ~ сГ
Газы
сч ■*
сч еч О X
ZOUU
сч
О СЧ СЧ СЧ
v z: 'z х
©
h- oo co
OO. O. CO (O
o' —~ o' CN
©
к.
h- CO
О о Ю О
o' —Г ©“ ~
Планета
Венера
Земля
Марс
Юпитер

= 0,142 кГ ■ сек2 • м~4; 1/^ = 7170 м и У> = 30). На фиг. 1
представлено сравнение экспоненциального изменения плот¬
ности по высоте с распределением плотности, соответствую¬
щим модели земной атмосферы ARDC1) 1956 г. В несколь¬
ких численных примерах настоящий анализ сравнивался с более
точными расчетами, основанными на модели ARDC. В этих
случаях использовались осредненные по участкам значения
Фиг. 1. Сравнение экспоненциального закона распре¬
деления плотности с распределением плотности по
высоте согласно модели земной атмосферы ARDC.
/ — модель атмосферы ARDC (1956); 2	—=е~.
Ро
параметра У^г. Возможность использования осредненных по
участкам значений У^г обусловлена тем, что область, где
происходит основной нагрев и торможение, для данного сна¬
ряда занимает сравнительно тонкий слой по высоте (очень
грубо, около 20 000 м, на протяжении которых плотность
изменяется примерно в 20 раз). Так как метод анализа, ко¬
торый излагается ниже, позволяет для некоторого заданного
снаряда быстро рассчитать высоту этого наиболее важного
слоя, в расчетах целесообразней использовать значение пара-
■) ARDC — Air Research and Development Command — Научно-
исследовательское авиационное командование. — Прим. ред.
14

метра У$г> среднее для этого слоя, а не для всей атмосферы
в целом. На фиг. 2 представлен график изменения по высоте
осредненного по участкам значения параметра V$r ДЛЯ МО-
дели земной атмосферы ARDC. При определении У $г
осреднение проводилось для слоя воздуха толщиной 20 000 м.
лежащего непосредственно над заданной высотой. На высотах
Фиг. 2. Средние по участкам значения безраз¬
мерного параметра V$r для модели земной атмо¬
сферы ARDC.
/ — среднее значение (для всей атмосферы); 2—модель
атмосферы ARDC.
менее 120 000 м отклонение средних по слою значений У$г для
стандартной атмосферы составляет ±10% от его среднего
значения, равного 30, и обусловлено изменением температуры
по высоте. Поскольку изменение температуры в зависимости
от сезона и широты местности может составлять до ±20%
от стандартных ее значений, параметр У$г — ТУ2 может
отличаться еще на ±10% от значений, представленных на
фиг. 2.
15

Предположение 3 о том, что периферическая скорость
планеты пренебрежимо мала по сравнению со скоростью входа
снаряда, не будет вносить заметных ошибок для большинства
случаев входов в атмосферу планет. Для спусков вдоль ме¬
ридиана ошибки при определении тепловых потоков и замед¬
лений будут вообще ничтожными. Наибольшая ошибка будет
при экваториальном спуске. В качестве меры этой ошибки
мы можем взять отношение экваториальной периферической
скорости ир планеты к круговой скорости спутника ис. Это
отношение для некоторых планет будет иметь следующие
значения:
UplUC
Венера	 0,002	1)
Земля	0,06
Марс	0,07
Юпитер	0,29
Таким образом, в случае экваториального спуска ошибка,
вносимая в связи с предположением, что атмосфера не вра¬
щается, будет ничтожной для Венеры, заметной, но небольшой
для Земли и Марса и, вероятно, значительной для Юпитера.
В дополнение к трем рассмотренным выше физическим
предположениям в процессе последующего анализа было сде¬
лано еще два математических допущения, цель которых —
существенно упростить структуру уравнений движения. Для
удобства упомянем о них здесь:
а) За данный отрезок времени относительное изменение
расстояния от центра планеты dr/r мало по сравнению с отно¬
сительным изменением скорости du/u, т. е. \dr/r\<^\du/u\.
б) Для снарядов, обладающих подъемной силой, угол
траектории полета ср относительно местного горизонта столь
мал, что горизонтальная составляющая подъемной силы мала
по сравнению с составляющей силы сопротивления, т. е.
](/./£>)tg<p| Cl-
Для снарядов без подъемной силы (т. е. для баллистиче-
ско! о входа) допущение (б) удовлетворяется автоматически.
Допущение (а) не накладывает особых ограничений на угол
снижения (для снарядов без подъемной силы анализ может
быть проделан во всем диапазоне изменения угла ср от 0 до 90°),
но оно ограничивает область применения настоящего анализа
(полученного решения) участком траектории, лежащим ниже
‘) Это значение может быть раз в десять выше благодаря
неточности в определении продолжительности суток на Венере.
16

некоторого предела по высоте. Как показано в приложении А,
выше некоторого предела drjr не может быть малым по срав¬
нению с duju. Физически это явствует из закона сохранения
момента количества движения, согласно которому при отсут¬
ствии сопротивления d{mur) — 0, или drjr — — duju. Следо¬
вательно, настоящее решение будет пригодно, по крайней
мере ниже некоторой высоты (на схеме а точка Л), при
достижении которой сопротивление уже несколько замедлит
снаряд так, что в этой точке окажется drjr ^OAduju. В при¬
ложении Б показано, что при достижении этой точки скорость
снаряда под действием сопротивления уменьшится до 0,01
от начальной скорости. Участок траектории выше этой точки
можно рассчитывать методом, применяемым для расчета орбиты.
Сопряжение настоящего решения с эллипсом Кеплера рассмо¬
трено в приложении Б.
Очевидно, для снарядов с подъемной силой (т. е. для
входа рикошетирующего или планирующего типа) допуще¬
ние (б) ограничивает применение анализа малыми углами сни¬
жения. Даже, если планирующий снаряд начинает вход го¬
ризонтально, по мере снижения скорости (и уменьшения
центробежных сил) угол снижения будет увеличиваться, пока
в заключительной дозвуковой фазе планирования отношение
— (Z./D)tgcp не станет равным единице. Хотя, строго говоря,
решение не справедливо при | (Z./D) tg <р |, сравнимом с еди¬
ницей, можно получить приемлемую траекторию всего по¬
лета, применяя настоящее решение вплоть до точки, где
— (Z./D)tgcp=l (точка В на схеме а), а далее учитывая, что
отношение —(L/D) tgcp остается равным единице. Как отме¬
чено на схеме, максимальный нагрев и наибольшее замедле¬
2 Чепмен	/7
dr~n . du
Максимальный,	г ~и>' и
нагрев	/у
Максимальное,.	'■>,	117
торможение	.	:	-дуга	келлеровского
,	-луг	эллипса % s
Схема а.

ние имеют место заведомо на том участке (сплошная линия
на схеме), где применимо настоящее решение.
Балл ист и ческий
вход
Вход при отклонении
с орбить/ с начальны■>
углом
Снижающаяся
орбита
Рикошетирующий
вход
) )
/
А тмоссрерное
торможение
космического
снаряда
Фиг. 3. Схемы типичных траекторий входа
с указанием участков, для которых применим
настоящий анализ.
 траектория;
часть траектории, для которой
можно применять настоящий анализ.
Различные виды входа и те части траектории различных
снарядов (спутника, баллистических, планирующих и рико¬
шетирующих снарядов и тела, покидающего планету), д;н
которых применим настоящий анализ, представлены на фиг. 3.
Вывод дифференциального уравнения
Спуск в симметричной сферической атмосфере, окружак>
шей сферическую планету, будет происходить в меридиональ
ной плоскости при отсутствии боковых сил. Это позволяе'
/S

рассматривать задачу полярных координат (г, б). Соответ¬
ственно обозначим проекции скорости (и, v), как показано
на схеме (б).
Вектор ускорения в полярных координатах будет равен
i / dv и2\ . с. j du . uv \	.„.
а = еЧ^г—(3)
где ег и е9 являются единичными векторами, направленными
соответственно вдоль^радиуса ~ и по ^нормали к нему.
Местный угол траектории полета ср (при спуске отрица¬
тельный) связан с проекциями скорости соотношением
tg со — —.	(4)
f 5 ‘ и
;
Вектор аэродинамической силы
* = I + L cos ср — D sin ср) er — (D cos cp^Z. sin ср) е5 (5)
при отсутствии тяги должен быть равен массе т, умножен¬
ной на вектор ускорения. Таким образом, векторные урав¬
2* /9

нения (3), (4) и (5) дают два уравнения движения в проек¬
циях на оси координат
d2y	dv	и2	L	,	D .
-4n=-~dt=s—r-^rcosc?+^rsin?- (6)
dii . uv	D	(	.	L	.	\
-^-+ —- — —(C°sc?+ ^-sin ?).	(7)
Заметим, что в этих уравнениях g и г выражают местные
значения.
Мы будем решать эту систему уравнений, пренебрегая
членом uv/r в уравнении (7). Это допущение, как будет пока¬
зано ниже, эквивалентно допущению (а) о том, что \drfr 1<С
<^L\du/u\. Это ограничивает решение задач областью, где
| uv/r \<^/\du/dt\, но такое ограничение не является серьез¬
ным для таких сторон явления входа, как аэродинамический
нагрев и торможение. В случае орбитального входа, напри¬
мер, максимальное торможение и нагрев происходят при таких
малых углах, что uv/r составляет около 1 % от du/dt (см.
приложение А).
Как видно ife нижеследующего выражения, принятое здесь
допущение можно представить в иной форме:
UV
dr
dr
г
и
dt
r
du
du |
du
dt
dt 1
и
Следовательно, пренебрежение членом uv/r в точности
эквивалентно допущению (а), упомянутому ранее, а именно:
допущению, что относительное изменение расстояния от центра
планеты мало по сравнению с относительным изменением
скорости. В процессе анализа это допущение мы будем ис¬
пользовать еще несколько раз. Поскольку du/u сравнительно
велико только в том случае, когда сопротивление играет
важную роль, вполне понятно, почему основное допущение
\dr/r\<^/\du/u\ дает приемлемые результаты в области су¬
щественного торможения и аэродинамического нагрева, а не
в иной области пространства, где для описания движения
снаряда необходимы расчеты другого типа (типа расчетов
движения по орбите), в которых не пренебрегают ускоре¬
нием uv/r по сравнению с du/dt. В этих внешних областях
преобладает радиационный нагрев, в то время как конвектив'
ный теплообмен и торможение очень малы.
20

Используя допущение (а) [неравенство (8)], мы будем иметь
-5Г = --ЙГ со**(1 +~D[Zy-	<9>
Далее, приняв допущение (б) [ | (L/D) tg ср |	1	]	и	подставив
коэффициент сопротивления с учетом того, что V — и/coscp,
получим
da	р	и2
—7Т- =	~	-	--	  •	(10)
dt	т	\	cos ?	4	'
(#)
Выберем в качестве независимой переменной
— а	а
и=—=-7=-,	(И)
“с У gr
представляющую собой отношение горизонтальной скорости
к местной круговой скорости спутника. Основное допуще¬
ние (8), взятое совместно с соотношением dg/g —— 2йг/г,
вытекающим из закона тяготения Ньютона, позволяет нам
пренебречь производными g и г по сравнению с производ¬
ными и и и, например:
du _ d{Y~gr-и) _лГ~ da	..0
dt — dt ~~ ¥ g dt •	к	}
Вводя коэффициент сопротивления в уравнение движения (6),
получим
1 dv 	 1	d2y
g dt ~ g dt2 ~~
— pm CnAru2 /	L \
_l_a2+___(sincp--^-COScp).	(13)
Для того чтобы свести систему из двух уравнений дви¬
жения (Ю) и (13) к одному уравнению, мы введем новую
безразмерную зависимую переменную Z, определяемую соот¬
ношением
2
“о
V ¥ а'
(14)
21

и используем в качестве независимой переменной и !). Таким
образом, если взять производную Z'=rfZ/rfu, имея в виду
основное допущение (8) и используя уравнение (2) для изме¬
нения плотности по высоте, то получим:
Z' Z	р	yrfir dy	Z dy dt
Р —-i-г' (is)
!(^)
du	и	dt	du
Из уравнений (10) и (12) мы видим, что
ъ—УъШг	об)
Подстановка	этого	выражения в	уравнение	(15)	с	учетом
того, что dy/dt = v = и Y^gr tg ср, дает
Z' —	=	=	(17)
и ’ g и dt
Приступая теперь к дифференцированию v и используя при
этом выражение для sin ср из уравнения (17), получим
1 dv Г г d	/	asin<p\
g dt ’ g dt	V	cos	cp	/
_	1 du / uZ"	uV$r sin2 <?	d<f	\
VJg dt \ cos <p	cos2	<p	du	/
Член dy/du, представляющий собой кривизну траектории
полета, может быть выражен несколькими способами через
функцию Z; это следует из уравнений (17) и (12), которые
дают ряд различных выражений, представляющих собой кри¬
визну траектории:
— d г Z\	d sin у
dwV	и/	du.	Различные	формы
2	выражения	кри-
= uZ"—Z'	=
и
= uZ" — Vsin <
визны траектории (1®)
полета.
■) Автор не может объяснить априори, почему должна быть
введена именно такая система координат Z (и). К этому пришли
путем подбора после опробования различных других преобразован¬
ных систем координат, которые не позволили свести систему из двух
уравнений движения к одному приемлемо простому уравнению.
22

Следовательно, мы можем подставить первую форму из этих
уравнений совместно с уравнением (16) в уравнение (18) с тем,
чтобы получить
1 dv  	1_ d2у
g dt	g	dt2
uZ f —
COS2 tp
a2"+tg2cp	— j. (18a)
Далее, из уравнений (14) и (17) видно, что уравнение (13)
может быть записано в следующей форме:
1 dv 	 1	d2у
~g ~df ~~ ~~ ~g ~Ш ~
= 1—+	i-	—/F-^coscpV (20)
cos2 cp \	и	D	/
Таким образом, сравнивая это уравнение с уравнением (18а)
и замечая из второй формы уравнения (19), что
Z' — =hzn — tt -j=r (Z' — Щ ,
и	du	\	и)
получим окончательное уравнение для функции Z
— Z\—1^ “. cos4ep -\-У Ъг — cos3 о = 0 (21)
du Vdu и) uZ	D	Y
или
uZ" — (z' — —^	“ cos4cp —У&r —-cos3
V u) uZ Y r D
вертикальное	вертикальная	сила тяжести	подъемная сила
ускорение	составляющая	минус центро-
силы	бежная сила
сопротивления
(Ург sin <f)	(21а)
В этом уравнении cos ср = VI—sin2 ср может быть выражен
через Z и Z’ из уравнения
У pr sin ср = Z' —	.	(17)
и
Таким образом,	благодаря использованию	и	как	независимой
переменной	и	Z	как зависимой переменной	система	из	двух
уравнений движения сведена к одному дифференциальному
23

уравнению второго порядка1). для сп
подъемной силой (L/D = 0), полученнойуЛ°В' Не облада
годно как при больших, так и при малых £лах1П'е будеТ
планирующих снарядов оно применимо при |
Из уравнений (4) и (16) следует, что
dr/r   iw/r  — и sin 9
du/ii	du/dt	YZ
Как отмечено в приложении А, отношение \dr/r\/\du/ii\
не будет превышать 0,1, начиная с высоты, по достижении
которой под действием сопротивления скорость уменьшится
до 1 % от ее начального значения.	^
Нелинейность уравнения (21) обусловлена членом
(1 -—ц2) cos4 cp/uZ, который выражает влияние силы тяжести
и центробежной силы на искривление траектории полета.
Можно заметить, что основное уравнение не зависит от харак¬
теристик снаряда CD, W и А, так же как не зависит от плот¬
ности р0 и ускорения силы тяжести g0 на уровне моря,
а аэродинамическая подъемная сила участвует только в ком¬
плексе У %r L/D. Уравнение имеет особую точку при Z = 0,
которую при численных методах решения следует обойти
аналитическим путем. Метод решения этого уравнения рас¬
смотрен в приложении Г.
Весьма поучительно рассмотреть физический смысл каж¬
дого из членов в дифференциальном уравнении (21). Уравне¬
ния (19) и (20) могут помочь в этом отношении. Понимая
физическое значение различных членов уравнения, можно
судить, например, о том, какие члены следует принимать
в расчет, желая получить то или иное частное приближенное
решение.
Так как основное дифференциальное уравнение является
уравнением второго порядка, нам необходимы два начальных
условия, чтобы замкнуть систему. Мы возьмем эти условия
при некоторой начальной скорости ut и запишем их в общем
виде:
Z(Ht). = Zif z'Yn)=z\.	(23)
■) Очевидно, такое же упрощение должно быть достигнуто,
если в качестве независимой переменной использовать g («), а
в качестве зависимой переменной — Zh{u), где g (и) и h (и) — про¬
извольные функции от и.
24

Если считать, что снаряд начинает движение на очень большой
высоте, где плотность пренебрежимо мала по сравнению
с плотностью вблизи точки максимального нагрева, то
из определения (14)
^ = ( 2 W ^ ]г)мЛ	(24а)
следует, что в этом случае Zt очень мало. Для простоты
будем считать, что при входах, начинающихся на очень
больших высотах, Zl — 0. Уравнение
Z/ = V $r sin срг	(246)
ut
показывает, что Zt должно быть равно У fir sin если
Zt = 0. Например, вход с понижающейся орбиты спутника
(в той фазе спуска, где сколько-нибудь заметный аэродина¬
мический нагрев отсутствует, <р;^0 и ul — 1) будет пред¬
ставлен начальными условиями
Z,(1) = 0,	z;(l) = 0.	(25)
Для каждого значения параметра У$r L/D, входящего в диф¬
ференциальное уравнение (21), можно получить соответствую¬
щую функцию Z.
Принимая для Z; значения, отличные от нуля, а для ut
отличные от единицы, мы можем получить соответствующие
функции Z для входа в атмосферу планеты с очень больших
высот баллистических, планирующих и рикошетирующих сна¬
рядов, а также для снарядов, покидающих планету. Далее,
принимая для Z(- значения, отличные от нуля, можно получить
соответствующие функции Z для входа, начинающегося с вы¬
соты, где плотность соизмерима с плотностью вблизи точки
максимального нагрева. Перед тем как представить некоторые
решения уравнения (21), все-таки полезно показать, что функ¬
ции Z, однажды вычисленные, могут быть легко использо¬
ваны для определения ряда полезных в практических расчетах
величин.
Некоторые полезные величины и их представление
через функцию Z
С помощью функции Z сравнительно просто получить,
например, горизонтальную составляющую ускорения а0,
25

используя уравнения (3), (12) и (16):
„   du   gVfruZ
8 Т dt
Для Земли при малых углах ср
Строго говоря, во внешних слоях атмосферы, где происходит
торможение, ^ и г являются локальными значениями ускоре¬
ния силы тяжести и радиуса. Для Земли локальные згАа-
чения g и г лишь незначительно отличаются от значений
на уровне моря, в то время как для Юпитера и Сатурн!,,
имеющих очень глубокую атмосферу, локальные значения
g и г могут сильно отличаться от значений на их поверхности.
Из уравнения (17) можно получить уравнение для угла
снижения (при спуске ср < 0)
или для Земли
Расстояние по дуге, проходимое между точками, где
скорость равна их и м2 соответственно, может быть выражено
через функцию Z из уравнения (16)
Поскольку настоящий анализ недействителен вблизи Z —0,
где и —ии приобретает силу только после того, как
скорость и благодаря сопротивлению уменьшится на 1 %
(см. приложение Б), для участка входа в качестве верхнего
предела мы будем принимать их — 0,995и, или и = 0,99ut.
В практическом применении для того, чтобы охватить всю
(28)
и,	и,
Для Земли при малых углах ср
«1 _
(29)
26

траекторию спуска, участок входа должен быть сопряжен
с дугой соответствующего эллипса Кеплера.
Время полета между точками со скоростями и: и и2 может
быть получено также с помощью уравнения (16):
,= [И='(Щ€.	(30,
J и V ~ uZ
и,
Для Земли при небольших углах ср и при g~g0
t ~ 27,0 Сё-.
J uZ
и2
Другой полезной величиной является безразмерная плот¬
ность (т. е. плотность, отнесенная к плотности на уровне моря),
которая получается из определения (14) для Z
i= = -l/l (—)!.	ой,
p.	p.	V '\<VV“
Для Земли (принимая г — 6,45- 10б м, получим)
30 р„	_	.	. _6 / W \	Z
: 7,60 • 10
V> Ро ’	\CdAJ и *
где
п 1П_ кГ■сек2	/	W	\	кГ
р0 = 0,125 ——t—, a	выражено	в
Для данной атмосферы левая часть последнего уравнения
является функцией только высоты, так что, если задана
функция Z, это уравнение сразу же дает зависимость между
скоростью и высотой для некоторой модели атмосферы (сред¬
ние по слоям значения рг для модели земной атмо¬
сферы ARDC построены на фиг. 2).
Отношение плотностей, соответствующее распределению
по строго экспоненциальному закону, можно представить
в виде
Ро
о~?У
Ро
2	Г 3	/ т \ Z
-пУт- ‘31б>
27

Для Земли, принимая У§г = 30, р0 —0,142 кГ-сек2-м 4
W	г-	-о
и выражая —j в кГ • м получим
D
е-ру —-^1 — 6,53 • 1(Г6
Ро	\cda) и
Динамический напор равен
Ip V2	(32)
2 Гсо со	СDA	r	cos2 ср	42
Для Земли при малых углах ср
Ip V2 — 30«Z {.
2 г«= <»	\CD )
Число Рейнольдса, отнесенное	к	единице длины, пропор¬
ционально функции Z [см. уравнение (14)]:
2УТР I » \z
1 Н-ос H-ooC0S<f \ о J
Таким образом, при малых углах ср для Земли
^4700(^)2
Чтобы получить постоянную в последнем уравнении, кото¬
рое справедливо только для земной атмосферы, была использо¬
вана вязкость воздуха при средней температуре атмосферы
7-00 = 240° К.
Интересно отметить, что числа Рейнольдса при входе
со снижающейся орбиты спутника будут сравнительно малыми.
Так, например, впоследствии будет показано, что вблизи
точки максимального нагрева, значения функции Z будут
изменяться от 0,17 до 0,015 при изменении отношения L/D
от 0 до 1, так что соответствующие числа Рейнольдса будут
лежать в пределах от 800 (WjCDA) до 70 (WjCВА) на метр.
Эти значения являются достаточно малыми для того, чтобы
с уверенностью считать, что при пологом входе с орбиты
спутника устанавливается ламинарное течение. Для крутых
входов, таких как у баллистических снарядов, функция Z
получается большой, и, следовательно, соответствующие числа
Рейнольдса будут велики. Графики, иллюстрирующие это
положение, представлены ниже.
28

Весьма простые выражения могут быть также получены
для теплового потока q, обусловленного аэродинамическим
нагревом, и общего количества тепла, поглощенного единицей
поверхности Q/S. Следуя решению Лиза [13], мы будем счи¬
тать, что тепловой поток в некоторой точке тела должен
составлять определенную часть
k^Ts (34)
от теплового потока qs в передней критической точке с ра¬
диусом кривизны R. Тепловой поток в передней критической
точке при сверхзвуковом течении может быть выражен как
ккал
м2 • час
(35)
где постоянные С, п и т. зависят от характера течения
в пограничном слое. Для ламинарного течения мы имеем
я = 72, а С и т, по данным некоторых авторов, имеют
следующие значения:
Источник
С-10-6,
ккал
м^-час
m
Примечания
14
90,7
3,1
Теория „определяющей энтальпии*
13; 7
107
3,22
Теория Лиза
15
95,0
3,15
Обобщение результатов опытов в
ударных трубах AVCO ‘)
') AVCO — Aviation Corporation — Авиационная корпорация.—
Прим. ред.
Все наши численные расчеты мы будем проводить для лами¬
нарного пограничного слоя (n — 1j2), и в целях простоты
будем использовать значение т — 3 (это соответствует газу
с вязкостью, пропорциональной Т'!з) и значение С — 92 X
.	ккал
X 10 —г:	>	которое	соответствует	среднему	из	двух	при-
м ,2-час
29

веденных выше результатов для воздуха при скоростях,
близких к скорости в точке максимального нагрева (мд^0,8).
Чтобы получить значение С ~ У р0р0 ис Рг_5/з [(-[— 1 )1^]Ч‘ Для
гиперзвукового течения газов, отличных от воздуха, мы исполь¬
зовали теорию Лиза [13]. В последующих расчетах различие
в числах Прандтля и показателях адиабаты f для различных
планет не принималось во внимание.
Исходя из уравнений (35), (34) и (31) при /г = ]/2> т = Ъ
и С = 92-106, плотность конвективного теплового потока
при ламинарном течении может быть записана с помощью
функции Z и относительных констант для планет	.
= ll/lx и т. п.V.
“'“земл.	/
= 0,8 • 106 |РГ —p.V*g-Va/-s/4pV4j Г ^
CdAR.
Г ккал 1
L м*
■ час J
(36)
где q == uliZ'13. [Если поток будет турбулентным, и q■~-u2'2Z0's,
то это приведет к изменению показателей степени в уравне¬
нии (36).] Из уравнения (36) видно, что различные перемен¬
ные влияют на тепловой поток в виде ряда сомножителей;
произведение величин, стоящее в фигурных скобках, выражает
влияние на тепловой поток конкретной планетной атмосферы,
величины в квадратных скобках выражают влияние физических
свойств снаряда, т. е. влияние массы, размеров и формы
последнего, а безразмерная функция q = ul2Z'^ представляет
влияние частного типа траектории, который определяется
отношением подъемной силы к сопротивлению.
Если уравнение (36), дающее величину теплового потока,
полезно при изучении снарядов, предназначенных для работы
при температурах, определяемых лучистым равновесием, то
для снарядов с заметным поглощением тепла больший интерес
представляет уравнение для общего количества тепла, погло¬
щенного во время входа;
Q = f f q dtdS — k2S f qsdt,	(37)
где
‘.-т/мя-Итг**	<38)
30

есть коэффициент, учитывающий изменение теплового потока
по всей поверхности S, занятой пограничным слоем. (Для
полусферы, например, &2 = 0,5). Из уравнений (37), (36)
и (30) можно получить следующее уравнение для количества
тепла, поглощенного снарядом при изменении скорости
от иг до и:
Излучение тепла от поверхности при выводе этих уравнений
не учитывалось. Эти уравнения полезны при изучении снаря¬
дов, которые обладают стоком тепла или абляционным
охлаждением (т. е. охлаждением за счет оплавления и субли¬
мации), в условиях, когда излучаемое вовне тепло будет
мало по сравнению с поглощаемым теплом; Q = Л7'(с/и)погл-
(где с — эффективная теплоемкость поглощающего материала)
пропорционально весу теплопоглотителя. Заметим, что инди¬
видуальные свойства атмосферы планеты (g, г, р) и особенно
характер данной траектории, определяемый Z{u, L/D), влияют
на тепловой поток q иначе, чем на общее количество погло¬
щенного тепла Q. Примеры, иллюстрирующие это положение,
будут приведены в дальнейшем.
Некоторые приближенные аналитические решения
для функций Z, полученные из сокращенного
основного уравнения
Пренебрегая теми или иными членами в основном диффе¬
ренциальном уравнении (21), можно получить три частных
решения, которые дают результаты, идентичные с результа¬
тами ранее полученных приближенных решений. Подробно
это описано в приложении В, а здесь мы приведем только
результаты приближенных решений:
Функция Z[ обеспечивает приближенное решение для
движения и нагрева, идентичное решению Аллена и Эггерса [1]
для баллистического входа. Функция Zn соответствует равно-
Рг ’Vo1gcli
где
(396)
U
31

Решение
Тип снаряда
Какие члены не учитывались
(см. уравнение (21а)]
Zj = Y~$r (sin<p) u4n (40)
ui
‘Mi)
zm=~u\ii- + vW'? ,in^~
L Ul 1 Ui
-4(i)M] <“>
Баллисти¬
ческий
Плани¬
рующий
Рикошети¬
рующий
Сила тяжести, центро¬
бежная и подъемная
силы;
ср = <f = const.
Вертикальное ускоре¬
ние и вертикальная
составляющая, сопро¬
тивления; COScp~l.
Сила тяжести и центро¬
бежная силы;
cos о ~ 1.
весному планирующему полету, впервые рассмотренному
Зенгером [2]. Соответствующие задачи аэродинамического
нагрева для этого типа гиперзвукового полета были рассмо¬
трены Эггерсом, Алленом и Найсом [4], которые, кроме
того, получили решение, эквивалентное функции	для
рикошетирующих снарядов. Как будет показано далее, функ¬
ция Z\ для баллистических снарядов является вполне точной
при углах снижения, превышающих несколько градусов
(приблизительно при V?r [ ср,-1 > 2), а функция Zn, относя¬
щаяся к гиперзвуковым планирующим снарядам, вполне точна,
когда отношение A/D > 1 (приблизительно ]/рг (L/D) > 30),
при условии, что срг~0. Точность функции ZnI для рико¬
шетирующих снарядов зависит как от L/D, так и от началь¬
ного угла ср,-. Условия применимости ее могут быть определены
из приближенного решения, учитывающего как силу тяжести,
так и центробежную силу, которыми пренебрегали при полу¬
чении ZUI.
В приложении В получено следующее приближенное
решение для входа спутника (ul=l, Z,-=:0) при небольших
начальных углах ср,-
Ziv =и Ург | ср;1пи— 2^ [l + 2$г D)\ln2 а }'
32

Сравнивая последнее уравнение с ZIU, мы видим, что
силой тяжести и центробежной силой можно пренебречь
при условии, что 2(3л | срг (L/D) \	1. Интересное следствие
из уравнения для Z\v получено в приложении В: общее
количество тепла, поглощенное рикошетирующим снарядом
на протяжении первого снижения (которое, по-видимому,
является наиболее важным), не зависит сколько-нибудь суще¬
ственно ни от начального угла ср;, ни от скорости в начале
подъема после первого снижения. Поглощенное тепло про¬
порционально 1 /VCL и, следовательно, будет минимальным
для входа при CL (см. приложение В). Для плоских
пластин в ньютоновском потоке это соответствует оптималь¬
ному значению Z./D = 0,7.
Некоторые решения для функций Z, полученные
из полного уравнения
Вход со снижающейся орбиты при различных LjD
(»/=!. <Р/ = 0). Теперь мы перейдем от частных случаев
решения, полученных при различных сокращениях уравне¬
ния (21), к рассмотрению некоторых решений полного не¬
линейного уравнения, применимых для снарядов, входящих
в атмосферу со снижающейся орбиты спутника. Когда апогей
эллиптической орбиты несколько понизится благодаря дей¬
ствию сопротивления (которое начинает проявляться сперва
вблизи перигея), орбита в конечном счете становится почти
круговой, а затем переходит в постепенно понижающуюся
спираль; следовательно, для этого типа входа начальный
угол ср; можно принять равным нулю, а начальную скорость
ui=\. Максимальный нагрев и максимальное замедление
будут при таких малых углах, что costp~l. Тогда диф¬
ференциальное уравнение (21) можно записать в виде
—=	(44)
du\ du и j uZ	r	D	'
а соответствующие граничные условия для снижающихся
орбит будут
Z(1) = 0,	Z'(1) = 0.	(45)
Для каждого значения параметра Y§r {L/D) эту систему не¬
обходимо решить только однажды, и полученные результаты
3 Чепмен
33

будут применимы для различных планет и различных сна¬
рядов с произвольными формой, размерами или массой.
В частности, универсальная функция Z для LjD = 0 пред¬
ставлена на фиг. 4,а (здесь построен график для uZ, так
как это произведение изменяется в более узких пределах,
чем Z). Решение уравнения (44) было получено также для
различных значений У ^r(LjD). Использованный при этом
численный метод описан в приложении Г. На фиг. 4, б пред¬
ставлена функция Z для различных значений Y^^r(LjD),
соответствующих в земных условиях значениям (LjD) = 0,1,
0,25, 0,5 и 1. Система координат выбрана так, чтобы облег¬
чить сравнение с функцией Zn из уравнения (41), являю¬
щейся решением Зенгера для равновесного планирования при
гиперзвуковых скоростях. Для Z./Z) > 1 значения функции Z
не показаны, так как в этом случае в представляющем
интерес диапазоне скоростей может быть использована функ¬
ция Zj]. Это видно из серии кривых, представленных на
фиг. 4,6. Пунктирная кривая соответствует функции Zn,
которая является точным решением при L/D = oo. По зна¬
чениям функций Z из ранее приведенных уравнений (26)—(39)
может быть рассчитан ряд интересных в инженерном отно¬
шении величин, таких, как замедление, угол снижения,
дальность и время полета, соотношение между плотностью
атмосферы и скоростью полета, динамический напор, число
Рейнольдса, тепловой поток и общее количество поглощен¬
ного тепла.
Вход без подъемной силы при различных начальных
углах снижения (иг=1, tpc < 0). Теперь мы рассмотрим
вход, когда начальный угол снижения не является пренебре¬
жимо малым, как это было в случае снижающейся орбиты,
а имеет некоторое конечное значение tpf. Вход с начальным
углом снижения присущ баллистическим снарядам или спут¬
никам с тормозной ракетой для отклонения с орбиты. Для
тел, не обладающих подъемной силой, дифференциальное
уравнение (21), справедливое как для больших, так и для
малых углов снижения, будет иметь вид
— d / dZ	Z\	1 — и2
du \du	и I	uZ
(46)
Начальными условиями являются
Z(m;) = 0, Z' (и(-) = V §r sin <?•
(47)
34

ca
zo
3*
Значения функций Z для входа в атмосферу планеты
со снижающихся орбит,
а —снаряды без подъемной силы; б —снаряды с 1/Х» 0.

В этом случае семейство решений имеет два параметра (ut
и |/р/"срг). Нам необходимы решения нелинейного уравне¬
ния (46) только для весьма малых начальных углов, поскольку
для умеренных и больших углов применимо решение Аллена —
Эггерса [уравнение (40)]. Это видно из фиг. 5, на которой
представлены графики функций Z, соответствующих нелиней¬
ному уравнению для ui — 0,9 (7150 м/сек для Земли), при
Фиг. 5. Сравнение функций Z для входа без подъемной силы
с решением Аллена — Эггерса Uj = 0,9 (для Земли —7150 м/сек).
изменении —срг до 20°. Так как на этом графике ординатой
является Z/V Рг (—sincp(), решение Аллена — Эггерса описы¬
вается функцией uln/uju). Из фиг. 5 видно, что это решение,
которое не учитывает силы тяжести и центробежной силы,
является достаточно точным в области максимального нагрева
(т. е. при 0,7) при углах снижения больше 5°. В обла¬
сти максимального замедления (ц~0,4) при сравнимой точ¬
ности угол должен быть несколько больше. Таким образом,
ясно, что при рассмотрении условий максимального нагрева
и наибольшего замедления семейство решений нелинейного
уравнения необходимо отыскивать только для небольших
начальных углов.
36

Особый практический интерес представляют собой функ¬
ции Z для входа спутника (иг = 1) с небольшим начальным
углом. Такие функции представлены на фиг. 6,а для раз¬
личных значений ]/[}/-ср;, таких, что в земной атмосфере
.— cpt- —0, 1, 2, 3, 4 и 6°. Вместо собственно функции Z
удобней привести графики для функции 30uZ, которая для
Земли представляет собой горизонтальное замедление, отне¬
сенное к ускорению силы тяжести g. Табулированные зна¬
чения этой функции для углов —cpf- = 0, 0,5, 1, 2, 3 и 4°
представлены в таблице в конце книги. Заметим, что приве¬
денные табулированные значения, являющиеся решением
уравнения (46), получены с учетом изменения cos4cp, содер¬
жащегося в этом уравнении, и, следовательно, они будут
пригодны как для области максимального нагрева и наиболь¬
шего ускорения, где угол ср мал, так и для условий в конце
входа, где и мало (например, менее 0,1), а угол ср велик.
При одних и тех же начальных значениях Y §г<Тг функции Z
таблицы применимы для любой планеты. Значения величин
— Тэемл.’ i^slr)земл. и 4емл. в области малых значений ср также
могут применяться и для других планет, но при этом при¬
веденные в таблице значения следует рассматривать как
величины, представляющие собой—(]/[3/-/30)ср, (]/рг/30)X
X (Дs/r) и 27 Y %gt соответственно [см. уравнения (27), (28)
и (30)].
Вход при отличном от нуля начальном угле снижения
и различных значениях LjD (иг=1,	< 0). При рас¬
смотрении снарядов с подъемной силой мы ограничимся
небольшими начальными углами снижения —срг и той частью
траектории, где —ср остается достаточно малым, так что
| (L/D) tg ср |	1	[см. допущение (б)]. Основное дифферен¬
циальное уравнение(21) при coscp=l превращается в уравне¬
ние (44), а начальными условиями теперь будут
Z(l) = 0 и Z'(l) = YJ??i.	(48)
При этих начальных условиях были получены решения урав¬
нения (44) для различных значений У ргср;- и параметра
YP(L/D).
На фиг. 6 представлено несколько кривых для функций Z
при различных значениях —срг для Земли. На фиг. 6, б — д
37

представлены кривые, соответствующие для Земли значениям
LjD = 0,25, 0,5, 0,7 и 1. Как и следовало ожидать, из этих
Фиг. 6. Значения функций Z для входа с ор¬
битальной скоростью (ц, = 1) при различных
значениях начального угла снижения.
а — снаряды без подъемной силы; б — снаряды
с L/Ds= 0,25; б —снаряды с LfD = 0,5; г —снаряды
с LjD = 0,7; д — снаряды с /,/Ь — 1.
графиков видно, что при малых значениях L/D и —ср£ сколько-
нибудь заметных рикошетов не наблюдается, но, как только
LjD превысит определенную величину или начальный угол
38

30 и z
w
3.6
3.2
2,8
2.2
2,0
1.6
1,2
0,8
0,2
0 0,2 0,2 0,6 0,8 1.0
Безразмерная скорость й
Фиг. 6.

О 0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
безразмерная скорость й

снижения станет больше некоторого значения, на траектории
входа появляются многочисленные рикошеты значительной
величины. Из функций Z, приведенных на фиг. 6, получены
и в дальнейшем будут обсуждаться сведения о тепловом
потоке, количестве поглощенного тепла и дальности гори¬
зонтального полета во время входа в атмосферу. Функции Z,
представленные на фиг. 6, можно применять не только для
Земли, но и для других планет, если учесть, что для других
планет соответствующие значения ср(. и Z./D должны быть
в	раз больше, чем для Земли.
Торможение в атмосфере при различных LjD (ui > 1,
< 0). При входе в атмосферу планеты из космического
пространства скорость приближения снаряда к планете может
быть сравнима со второй космической скоростью (мг = У 2).
С точки зрения веса едва ли экономично использовать в кос¬
мическом пространстве химический ракетный двигатель для
существенного снижения скорости сближения, и, вероятно,
столь же нецелесообразно с точки зрения длительности полета
использовать для целей торможения космический двигатель
с малой тягой. Таким образом, значительный интерес пред¬
ставляет процесс торможения во время следующих один за
другим проходов через атмосферу, приводящий к снижению
скорости и уменьшению эксцентриситета орбиты, пока орбита
не станет близкой к круговой (иг = 1).
При анализе процесса атмосферного торможения coscp
вполне может быть заменен единицей, так что основное диф¬
ференциальное уравнение (21) вновь совпадет с уравне¬
нием (44), но начальными условиями теперь будут
Z (иг) = 0 и Z' (И;) = V§г<.рг,
где > 1. Произвольно выбирая различные значения на¬
чального угла входа <рг, можно получить различные реше¬
ния, соответствующие единичному прохождению через атмо¬
сферу на различных высотах от поверхности. При описании
единичного прохождения более удобно выбрать в ка¬
честве независимого параметра скорость выхода из атмо¬
сферы цвых, или 30 (uZ)MaKC; для Земли последний параметр
не зависит от WjCDA и представляет собой максимальное
замедление (выраженное в единицах g), испытываемое сна¬
рядом во время прохождения атмосферы.
41

На фиг. 7 представлены четыре функции Z для снарядов
без подъемной силы, процесс атмосферного торможения для
10
CvJ
t5i
Сь
fo
ч
*
У
/■
\
\
к
”\\
— -D
D и
А
*
\ *
if/
//
V
*
\
*\
7
i
\
\
\
i
и
\\
\
. \
/
\ v
\ \
\
в /
\\
\ \
и
\*
\\
1
\
А
а \
\
•ч.
■\!,
4/1»1
1 * 111
ОЛ 0,4	0,6	0,8	1,0
Безразмерная скорость й
г, г
и
Ф и г. 7. Значения функций Z для атмосферного
торможения снарядов без подъемной силы; иг=1,4.
Вариант	Первый	максимум
входа	функции	30(uZ)
0,46
1,65
4.20
9.20
которых начинается при скорости, равной второй косми¬
ческой скорости (мг = 1,4), но характеризуется различным
значением максимального замедления во время первого про¬
хождения. Пунктирная кривая (а) соответствует максималь¬
42

ному замедлению во время первого прохождения, рав¬
ному 30 (и2)макс. = 0,46. Как видно из графика, если начать
первое прохождение при указанных условиях (и в дальней¬
шем не производить никаких управляемых маневров), потре¬
буется шесть проходов через атмосферу, прежде чем на
седьмом прохождении завершится процесс входа. Кривая б
на фиг. 7 соответствует 30 («Z)MaKC, = 1,65 для первого про¬
хождения. В этом случае будут иметь место только два про¬
хождения перед третьим, завершающим вход. Две другие
кривые в и г на фиг. 7 соответствуют условиям, когда пер¬
вое прохождение является единственным, так как его траек¬
тория проходит настолько близко к поверхности планеты,
что процесс входа заканчивается даже без выхода снаряда
из атмосферы.
При расчете функций Z для очередного прохождения
предполагалось, что начальный угол для него равен углу
выхода в предыдущем прохождении. Угол выхода опреде¬
лялся в точке, где dr[r = du/u. Дальнейшее обсуждение
этих функций Z и результаты, полученные для других
подобных функций, относящихся к случаю атмосферного
торможения, будут представлены ниже.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
С помощью приведенных функций Z сравнительно легко
изучить влияние на характер входа отдельных факторов,
представляющих практический интерес. Например, мы можем
изучить влияние отношения подъемной силы к сопротивле¬
нию на замедление снаряда и аэродинамический нагрев или
влияние небольшой ошибки в определении начального угла
снижения на дальность полета снаряда в процессе входа.
Однако, прежде чем рассматривать такие вопросы, следует
остановиться на двух моментах. Во-первых, мы сравним
некоторые результаты настоящего приближенного анализа
для экспоненциальной атмосферы с более точными расче¬
тами, выполненными на счетных машинах для стандартной
атмосферы. Это будет полезно для того, чтобы получить
представление о точности настоящего анализа, а также чтобы
показать, каким образом некоторые важные результаты при
желании легко могут быть уточнены с учетом изменений
температуры в атмосфере. Во-вторых, мы рассмотрим относи¬
тельное замедление и аэродинамический нагрев в атмосферах
различных планет. При этом мы получим переводные коэф¬
фициенты, которые дают возможность любой из важных
результатов для земной атмосферы быстро привести к усло¬
виям атмосферы другой планеты.
Сравнение результатов настоящего анализа
с другими расчетами
Представление о точности приближения, которую следует
ожидать от настоящего анализа, можно получить, сравнивая
его результаты с результатами расчетов на счетных маши¬
нах для частных типов снарядов. Разница между настоящим
44

анализом и более точными расчетами может возникнуть
вследствие того, что в настоящем анализе сделаны опреде¬
ленные допущения относительно траектории полета (а именно:
| dr/r\ <^\duju\ и |(X/D)tgcp| 1), которых можно не делать
при численных расчетах на машинах. Последующая проверка
этих допущений, приведенная в приложении А, показала,
что, пока речь идет о конвективном нагреве и максимальном
торможении, для снарядов, входящих в атмосферу с орбиты
спутника, можно ожидать разницу всего в несколько про¬
центов. На фиг. 8 сделано сравнение настоящего анализа
с численным решением системы уравнений движения, исполь¬
зующим модель атмосферы ARDC. Численные расчеты были
проделаны М. В. Рубежиным и Г. Гудвином, которые
использовали полные уравнения движения (6) и (7), не пре¬
небрегая какими-либо членами. Кривые на фиг. 8,а показы¬
вают хорошее соответствие зависимости высоты полета и
угла снижения от скорости. Кривые на фиг. 8,6 иллюстри¬
руют такое же хорошее соответствие для расстояния, про¬
ходимого по окружности (Дs/r) и для максимального замедле¬
ния (в последнем случае расхождение составляет 6%). Эта
небольшая разница в значениях максимального замедления,
по-видимому, получилась главным образом благодаря расхо¬
ждению на определенных высотах между атмосферой ARDC
и идеализированной экспоненциальной атмосферой с постоян¬
ным значением (3 (1/7150 м~1).
Как отмечалось ранее, при желании скорректировать
результаты так, чтобы они более соответствовали некоторой
стандартной атмосфере, можно с успехом применять настоя¬
щий аналитический метод, используя средние по участкам
значения У(Зг. Соответствующие поправки могут быть сде¬
ланы и для учета изменений в атмосфере в зависимости от
времени года и географической широты места. Ясно, что
с точки зрения универсальности аналитические результаты
для экспоненциальной атмосферы являются более общими,
чем результаты численного расчета для некоторой конкрет¬
ной стандартной атмосферы.
Рассмотрим максимальное торможение при входе в атмо¬
сферу со снижающейся орбиты. Таковое будет иметь место
при скорости, близкой к и = 0,43, для которой Z~0,64
(фиг. 4,а). Высоту, на которой происходит максимальное
замедление снаряда, приблизительно можно получить, под¬
ставляя эти значения Z и и либо в уравнение (31 а), что
45

Фиг. 8. Сравнение настоящего приближенного
решения с более точными расчетами на вычи¬
слительных машинах для модели атмосферы ARDC.
а. — угол снижения и высота; б —замедление и пройденное
расстояние.
 численное интегрирование для атмосферы ARDC (Рубе-
жин— Гудвин);	результаты настоящего решения.

ДаеТ ^Р“°/?о)макс. du '(it
ние (316), откуда
= 1,13-10 (W/CdA), либо в уравне
W
^макс. du/dt	7150 (9,96	с А
) 1м].
(49)
Очевидно, эта высота зависит от W/CDA: Так как У фг для
модели атмосферы ARDC слабо зависит от высоты (см. фиг. 2),
**/0
1
I
Й 8
§
§
^ 6
|
С\>
1,
§2
1
!*,
0,050,1
10 100
дЦл’*"**
/ООО 5000
Фиг. 9. Пример применимости настоящего анализа
для стандартной атмосферы и сравнение с более
точными расчетами на вычислительных машинах
(вход без подъемной силы со снижающейся орбиты).
	настоящее	решение при использовании V$r =30;
	настоящее	решение при использовании средних по слою
значений Ург для атмосферы ARDC (фиг. 2); ф —численное
интегрирование для атмосферы ARDC (Рубежин —Гудвин).
максимальное замедление V^rwZ = 0,278 У fir в стандарт¬
ной атмосфере будет также слабо зависеть от высоты, а сле¬
довательно, и от W/CdA. На фиг. 9 сплошной линией пока¬
заны значения — а..
Jge
при
47
изменении
W/CdA от 0,05

до 5000 кГ/м2. Эти значения, полученные при подстановке
средних по слою значений У [Зл, очень хорошо согласуются
с результатами численного интегрирования полных уравне¬
ний для модели атмосферы ARDC (Рубежин и Гудвин), кото¬
рые представлены на графике черными точками.
При желании аналогичные поправки на отклонения пара¬
метров атмосферы могут быть сделаны также и для других
величин, рассчитанных по среднему значению У §г = 30. Так,
пройденное расстояние изменяется как {§г)~'!2 [уравнение (28)],
а конвективный тепловой поток пропорционален (^л)" [урав¬
нение (36)]. Заметим, что изменение У$г по высоте, изобра¬
женное на фиг. 2, очень близко следует изменению Т~^\
что и следовало ожидать, так как $ — Mg/RT. Таким обра¬
зом, любые изменения средней температуры атмосферы, как,
например, изменения в зависимости от времени года или
широты местности, могут быть учтены так же легко, как и
изменения по высоте.
Гэзли [8] разработал приближенную теорию для случая
снижающейся орбиты при LjD — 0, предполагая, что мер
остается постоянным. Это произвольное ограничение для дви¬
жения по снижающейся орбите без подъемной силы дает
результаты, качественно похожие на результаты настоящего
анализа, но количественно от них отличающиеся. Например,
соотношение между скоростью и плотностью вблизи точки
максимальной интенсивности нагрева (и~0,8) отличается,
грубо говоря, в два раза. Для более высоких скоростей
расхождение быстро увеличивается, а для более низких
уменьшается. Максимальное замедление происходит при более
низких скоростях, и поэтому допущение Гэзли влияет на
его величину не так сильно. Для Земли {У §г = 30) Гэзли
получил максимальное замедление 9,Qgc при и = 0,54, в то
время как настоящий анализ, который свободен от каких-
либо допущений относительно зависимости и(<р), дает 8,3^
при и = 0,43.
Относительные значения замедления теплового
потока и числа Рейнольдса при входе
в атмосферу других планет
Для снарядов с заданными размерами и формой число
Рейнольдса, замедление, ламинарный тепловой поток и общее
48

количество поглощенного тепла, исходя из уравнений (26),
(36), (39) и (33), будут изменяться следующим образом:
a-gVfrZ,
q ~Pr'‘l,$g\v,$4tZ'12,
Q ~ Рг-Уз p'l'gr1' p“v,Z-V2, '	(50)
Re~^VVZ-
В случае входа в атмосферу снаряда без подъемной силы
со снижающейся орбиты (нулевой начальный угол сниже¬
ния) характеристика планетной атмосферы (]/рг) не входит
ни в дифференциальное уравнение, ни в начальные условия
(Z; = О, Z,- = О); следовательно, при расчете относительных
значений вышеуказанных величин для различных планет изме¬
нение функции Z можно не учитывать. Функция Z будет
одинаковой для всех планет и в более общем случае входа
с большой высоты (Zi = 0) при фиксированных значениях
У рг(р( и У рг (L/D). Пренебрегая разницами в числе Прандтля
и показателе адиабаты (отношения теплоемкостей), мы полу¬
чим для различных планет следующие относительные значе¬
ния, применимые для входа без подъемной силы со снижаю¬
щихся орбит или для любого другого типа входа при
фиксированных значениях У ргср(. и ]/pr(Z./D).
Планета
Относитель¬
ное замед¬
ление
(4u/d()® =
~(еУТг)ф
Относительный
тепловой поток
=(^VVVA)ffi
Относительное
количество
поглощенного
тепла
<?е =
■(т
Относительное
число Рейнольдса
Цеф =
Венера
0,9
0,7
0,8
1,0
Земля
1,00
1,00
1,00
1,00
Марс
0,2
0,09
0,2
0,4
Юпитер
5,0
50,0
50,0
2,0
В том случае, когда снаряд обладает подъемной силой,
следует иметь в виду, что для того, чтобы на некоторой
планете функция Z была такой же, как и на Земле, значе¬
4 Чепмен
49

ния LjD и ср(- на этой планете должны быть в (]/ |3г) г раз
больше, чем на Земле. Это обстоятельство позволяет, вос¬
пользовавшись приведенной выше таблицей, любой резуль¬
тат, полученный для Земли, привести к условиям для каждой
из других планет.
В частном случае входа при постоянном угле ср в началь¬
ные условия для Z войдут характеристики атмосферы
rsincp;). Далее, из уравнения (40) следует, что для
этого типа входа Z~]/|3r. Вводя это соотношение в урав¬
нения (50), можно получить следующие относительные вели¬
чины, справедливые только для баллистического входа
(LjD = 0) при постоянном ср.
Планета
Относитель¬
ное замед¬
ление
(du/dt) $ =
= &?г)®
Относительный
тепловой поток
Относительное
количество
поглощенного
тепла
Qcn =
Относительное
число Рейнольдса
Re©=
Венера
0,9
0,7
0,7
i
Земля
1,00
1,00
1,00
1,00
Марс
0,09
0,06
0,2
0,2
Юпитер
11
70
20
4
Эти относительные значения для баллистического входа
будут, конечно, точно такими же, какие можно было бы
получить непосредственно из теории [1]. Их можно приме¬
нять для начальных углов больше 5°, в то время как зна¬
чения из предыдущей таблицы справедливы при ср/ = 0. Для
снарядов без подъемной силы при срг порядка нескольких
градусов относительные величины для различных планет будут
иметь значения, лежащие между величинами, приведенными
в этих двух таблицах.
Мы видим, что при входе в атмосферу Венеры замедле¬
ние и нагрев будут только немного меньше, чем для земной
атмосферы, в то время как при входе в атмосферу Марса
эти величины будут значительно меньше, а для атмосферы
Юпитера значительно больше, чем для Земли. Однако числа
Рейнольдса для различных планет будут отличаться не
так уж сильно.
50

Влияние подъемной силы на замедление, тепловой
поток и количество поглощенного тепла при входе
в атмосферу со снижающихся орбит
По относительным значениям замедления и нагрева для
различных планет и приведенным таблицам функции Z уже
сейчас можно рассчитать некоторые величины, имеющие
практический интерес. Ниже будет рассмотрено такое при¬
менение функций Z для различных типов входа. Здесь мы
прежде всего обсудим планирующий вход со снижающихся
орбит («,• — 1, <рг = 0).
Замедление. На фиг. 10 представлен график изменения
горизонтального замедления (du/dt), отнесенного к ускоре¬
нию силы тяжести в земной атмосфере gc, в зависимости от
безразмерной скорости и при различных отношениях подъем¬
ной силы к сопротивлению. Из этой фигуры видно, что изме¬
нение отношения Z./D всего на несколько десятых чрезвы¬
чайно сильно сказывается на замедлении и что максимальное
замедление имеет место при 0,4. Приведенные кривые
не зависят от формы, размеров и массы снаряда.
Полное замедление определяется так:
—/ (£+")''+(■#-■£■+*)*•	<51>
В частных случаях, когда либо движение отсутствует
(u — v — О), либо скорость полета постоянна (dujdt —
= dv/dt = 0) и мала (и Vgr), из этой формулы следует,
что полное замедление будет равно ускорению силы тяжести g
для данной планеты. С другой стороны, в частном случае
вертикального свободного падения в вакууме {dvjdt — — g,
и— 0) из этого уравнения получается, что а = 0 (состояние
невесомости). Аналогично для орбитального полета в вакууме
выражения в каждой из скобок обращаются в нуль и а = 0.
Подставляя уравнения (16) и (20) и используя уравнение (8),
мы получим, что при входе в атмосферу
4*
51
(52)

При небольших углах снижения ^Jcp|<^-^-, cos ср ~ 1 и
tg2'P<^l) это выражение дает
(?)«кс.-^ ("2)макс• Vi+WW- (53)
График этой приближенной зависимости для максималь¬
ного значения результирующего торможения для некоторых
О 0,2	0,4	С,0	0,8	1,0
Безразмерная скорость й- О
ис
Фиг. 10. Влияние отношения подъемной силы
к сопротивлению на замедление снаряда при
входе в атмосферу Земли со снижающихся орбит.
планет показан на фиг. 11. Из этого графика вновь можно
усмотреть сильное влияние на замедление подъемной силы
вблизи LjD = 0. Из графика также видно, что на Марсе
52

замедление будет относительно малым, а на Юпитере —
большим по сравнению с Землей или Венерой.
С точки зрения допустимых для человека динамических
перегрузок следует рассматривать не только максимальное
замедление, но также положение тела при перегрузке, про¬
должительность нагрузки и интенсивность ее нарастания.
Многочисленные опыты на центрифуге показали, что допусти¬
мые для человека перегрузки будут наибольшими при попе¬
речном положении тела, т. е. когда перегрузка направлена
Фиг. 11. Влияние отношения L/D на максимальное
замедление при входе в атмосферу различных планет
со снижающихся орбит.
от грудной клетки к спине либо наоборот. Опыты на цен¬
трифуге (см. [16] и библиографию к ней) также показали,
что величина ускорения играет более важную роль, чем
продолжительность перегрузки; так, если ускорение увели¬
чивается на 10%, допустимая продолжительность перегрузки
должна уменьшиться примерно в 2 раза. Таким образом,
с некоторым запасом эффективную продолжительность дей¬
ствия перегрузки Д/ можно определить, полагая, что макси¬
53

мальное ускорение действует на протяжении всего времени,
пока снаряд не замедлится от орбитальной скорости до пол¬
ной остановки. Кривые зависимости максимального ускорения
от продолжительности его действия, рассчитанной указанным
способом, для атмосферы различных планет и различных
5!
I
I2
I
* J
9 '
I
1
ч
! i;
' *<5
§
I
S
D
Ьч
^Юп,
1ГТ76
Р
S.
<5
йэ
fe
L
'Up,
Uaoc
с UС/
Яб&П
й/(/
й
"///у
121
Ш
£
%
оХт,0<-
Мой
=д
О/У
тЩ/,
0,
г
Зем
ЛЯ
д
и, и \
Венера
/,
0
0,25
Марр
ч
г 5
л)
2Г4 ^
1 1 0,1
\
й
Н
э
'V	L.UU	и и U -TVU UUU OUU IUUU cut
Продолм и тельность максимального
замедления, сек.
Фиг. 12. Сравнение максимальных значений за¬
медления и продолжительности их действия при
входе в атмосферу различных планет со снижаю¬
щихся орбит.
отношений L/D представлены на фиг. 12. На этой же фигуре
показана граница допустимых для человека перегрузок при
работе в наиболее благоприятном положении в условиях
быстрого нарастания ускорения (см. [16] и литературу к ней).
Эта граница также проведена с некоторым запасом в том
отношении, что замедление во время входа в атмосферу
34

нарастает сравнительно медленно, а, согласно опытам на
центрифугах [17], в таких условиях кровообращение человека
церестраивается, причем эффективность такой перестройки
сравнима с действием противоперегрузочного костюма. С дру-
гой стороны, эта граница не является надежной с той точки
зрения, что в опытах перегрузке предшествовало состояние
нормального веса, в то время как входу в атмосферу из
космического пространства будет предшествовать состояние
невесомости. Как видно из фиг. 11 и 12, ускорения при
входе в земную атмосферу с орбиты даже для тел, не
обладающих подъемной силой, вполне укладываются в допу¬
стимые для человека пределы. Выносливость человека позво¬
ляет производить вход в атмосферу Марса даже при значи¬
тельных углах снижения или при использовании средств,
создающих отрицательную подъемную силу. Однако для
управляемого входа в атмосферу Юпитера потребуются
аппараты с положительной подъемной силой или какие-то
другие средства для ограничения замедления в допустимых
для человека пределах.
Тепловой поток. Для исследования влияния подъемной
силы на конвективный аэродинамический нагрев снарядов,
входящих в атмосферу, мы можем использовать те же функ¬
ции Z, что и при изучении замедления. Прежде всего заме¬
тим, что для многих типов снарядов значения числа Рей¬
нольдса в области максимального теплового потока будут
настольки низкими, что можно ожидать значительной протя¬
женности ламинарного течения, и в то же время они будут
столь высокими, что поток можно рассматривать как сплош¬
ной, а не как свободно-молекулярный. График значений Re/Z
в области максимального нагрева как функция параметра
WjCDA для входа в земную атмосферу со снижающейся
орбиты представлен на фиг. 13. Для снаряда на большом
парашюте WjCDA будет порядка 0,5 кГ/м2 и при условии,
что LjD= 0, Re/Z~3 • 102 м~Г В этих условиях максималь¬
ный	нагрев,	имеющий место	при Мсо = 20, будет	происхо¬
дить	вблизи	режима течения	со скольжением (Re/Moo— 1).
Для умеренно притупленного металлического аппарата значе¬
ния	WjCDA	будут порядка от 50 до 500 кГ/м2,	а значе¬
ния	Re/Z от	3 • 103 до 3 • 105	м~1. Такие значения	являются
вполне достаточными для того, чтобы течение было сплош¬
ным, и все же настолько низкими, что поток будет ла¬
минарным. Кривые на фиг. 13 построены для Земли, но
55

применимы и для других планет, если ординату умножить на
значения относительных чисел Рейнольдса, таблицы которых
были приведены выше.
Фиг. 13. Значения числа Рейнольдса в об¬
ласти максимального нагрева при входе со
снижающихся орбит в атмосферу Земли.
Для данной атмосферы ламинарный тепловой поток про¬
порционален
Графики безразмерного теплового потока q как функция и
представлены на фиг. 14 для входа со снижающихся орбит.
Максимальное значение q наблюдается при скорости и
около 0,8 и является функцией только параметра У рг (LjD).
56

Г }Г (I/O)
(i/D)3eMji
‘/макс.
-‘А
''макс.
—15
—0,5
0,375
0,783
—7,5
—0,25
0,302
0,741
—3
—0,1
0,253
0,709
0
0
0,218
0,683
3
0,1
0,184
0,656
7,5
0,25
0,138
0,610
15
0,5
0,098
0,560
30
1,0
0,070
0,514
Для отношений (LD) > 1 можно использовать асимптоти-
J 	 ц%	—
ческое решение Zn = —		, которое дает 9макс =
У fir и (LjD)
2
= —	_	(см.	приложение	В).
3 У 3 V$r (LID)
Мы будем считать, что снаряд обладает определенными
размерами и весом (R, А и W), и будем изучать влияние
формы снаряда (CD и LD). При этих условиях максимальный
тепловой поток пропорционален qaAmJVСD. Влияние отно¬
шения подъемной силы к сопротивлению на максимальный
тепловой поток (который имеет место, грубо говоря, при
и = 0,8) при входе со снижающихся орбит показано на
фиг. 15. Представленные на графике величины отнесены
к значению максимального теплового потока при Z./D = 0 и
так же, как и кривые фиг. 14, могут непосредственно
использоваться для другой планеты, если учитывать, что
заданному отношению L/D для Земли на другой планете
будет соответствовать значение Z./D, в (V	раз большее,
чем для Земли. Если отношение Z./D будет увеличиваться
до бесконечности без изменения коэффициента сопротивления
(как, например, при использовании реактивной подъемной
силы), то максимальный ламинарный тепловой поток будет
изменяться по закону, представленному на фиг. 15 пунктир¬
ной кривой (9макс.), которая с ростом Z./D будет стремиться
к нулю, асимптотически приближаясь к кривой (Z./D)_I/2 при
(LjD) > 0,5. Физически это объясняется тем, что при уве¬
личении подъемной силы уменьшается скорость снижения
57

снаряда так, что нагрев происходит на больших высотах,
где плотность ниже. Однако в реальном аппарате, кото¬
рый использует аэродинамическую подъемную силу, нельзя
Фиг. 14. Влияние отношения Z./Z) на ламинарный
тепловой поток при входе со снижающихся орбит.
намного повысить отношение LjD, не делая снаряд более тон¬
ким и не уменьшая при этом CD; уменьшение CD повышает
тепловой поток (—л/У С ^), поскольку оно приводит к мень¬
шему замедлению, а при этом максимальный тепловой поток
будет иметь место на меньших высотах, где плотность
58

больше. В результате имеется оптимальное отношение LjD,
при котором тепловой поток будет наименьшим. Для трех
типов формы снарядов, указанных на фиг. 15, оптимальное
сопротивлению (L/D)
земл.
Фиг. 15. Влияние отношения Z./D на максималь¬
ный ламинарный тепловой поток в передней крити¬
ческой точке при входе со снижающихся орбит.
значение L/D лежит между 0,5 и 1,0. Для полуконусов и
полупараболоидов отношение LjD варьировалось за счет
изменения толщины профиля при сохранении положения
верхней плоскости параллельно направлению потока. Для
плоской пластины отношение Z./D изменялось за счет изме¬
нения угла атаки. Во всех случаях CD и LjD рассчитывались
для ньютоновского течения. Оптимальное отношение LjD
несколько зависит от конкретной аэродинамической формы,
59

поскольку CD и L/D для различных форм связаны между
собой несколько по-разному.
Из фиг. 15 видно, что чистой выгодой от использования
аэродинамической подъемной силы является уменьшение
максимальной интенсивности аэродинамического нагрева в пе¬
редней критической точке примерно вдвое.
^Итак, оптимальные отношения L/D, обеспечивающие наи-
меньшие" значения максимального~~теплового потока^ окаЗЪь
"ваются оольше ”0; 5. трйГ таких значениях L/D для снижаю¬
щихся" орбит" хорошим приближением в области максималь¬
ного нагрева является функция Z (см. фиг. 4,6). Из уравнений
(36) и (41) мы видим, что для данной планеты и данного
радиуса кривизны снаряда в передней критической точке
l/—•
V CdA V CdA V u (L/D)
а так как L/D — Cl/Cd,
^макс.-У^	(54)
Таким образом, мы видим, что каждый минимум на фиг. 15
соответствует вхождению в атмосферу при CL — ^iMaKC •
Максимальный тепловой поток всегда имеет место при без¬
размерной скорости и = V2j3 — 0,82. Для плоских пластин
в ньютоновском потоке С, =0,77 при угле атаки 55°,
^макс.	г	J
для которого £/D = 0,71. Как отмечается в приложении В,
эти условия также являются оптимальными для общего
количества поглощенного тепла при входе рикошетирующего
типа, поскольку в этом случае как q, так и Q изменяются
пропорционально (L/D)~'1г-
Адиабатная температура поверхности. Температуру
поверхности в области критической точки, которую будет
иметь при входе в атмосферу конструкция, обладающая
малой теплоемкостью (т. е. тонкая обшивка), можно рассчи¬
тать, приравняв лучистый и конвективный потоки тепла. Для
входа со снижающихся орбит мы можем положить costp= 1,
поскольку в области максимального нагрева угол ср изме¬
няется от —2,6 до —0,2° при изменении L/D от 0 до 1.
При этом мы получаем
еоTl —q= 0,8 • 106 л/~-r^q	,	(55)
ws 4s	V CqAR4 м2-час	4	'
60

где е — степень черноты поверхности, R — радиус кривизны
поверхности и а = 4,9-10 8 /скал ■ м~2 ■ час~1 • град~4 — по¬
стоянная Стефана — Больцмана. Подставляя значение gc для
Земли, в результате получим (для Tw — в °К, R — в м и
\1Z/CdA — в кГ/м2):
TWs^R^=l5lQ(^jlaq'/<,	(56)
где q для ламинарного течения равно
Максимальные значения д'^якс для входа со снижающихся
орбит приведены в предыдущей таблице. Для других типов
входа нужно будет использовать другие функции Z, но
уравнение (56) останется неизменным. Для какой-либо другой
планеты равновесную температуру поверхности снаряда можно
рассчитать из приведенного выше уравнения для Земли,
умножив	полученное значение, на	корень	четвертой	степени
из	относительного	теплового потока ош	для	этой	планеты;
 .	Ф
таблица значений qбыла приведена ранее. Относительная
равновесная температура Tw =q'h будет равна;
Венера	0,91
Земля 	1,00
Марс	0,55
Юпитер	2,7
График параметра максимальной температуры Tw е'^ R'1’
для входа со снижающихся орбит представлен на фиг. 16
как функция W/CdA (W — вес снаряда на Земле). Заметим,
что численные расчеты для спутников без подъемной силы,
снижающихся в земной атмосфере, проведенные Кэмпом и
Ридделлом [6] и Гэзли и Массоном [5], хорошо согласуются
с нашей аналитической зависимостью.
Кривые для Tw на фиг. 16 должны быть применимы и
для других планет при любых заданных значениях У §r (L/D),
если ординату умножить на величину Twq, таблица значений
которой приведена выше. Однако, так как (L/D) является
более удобной переменной, чем У $r(L/D), на фиг. 17 пред¬
ставлены отдельные графики параметра
V7 WIAR{CD)LjD^f
61

5 *
ч 5
So
пС
О
X
а
' х
а
' с
х s
н a
2 °
й н
а,.
о
<эЯ
' н
' X
в 4)
з-
«з я
а н
>> я „
н аю
2 !tf а:
О. о ‘
в* к :
i S 5
О
5 5 | j
0.3 s s
м ТО
£ 4
5\о
я о
к и
4) 5
% *
Эо-
S 5
2
2 £
<0
. Я
с£> Я
^ S
03
и 4
я а
6- с

.(выражающего собой максимальную адиабатную температуру
поверхности в области критической точки с кривизной ради¬
усом R, которая будет наблюдаться во время входа в атмо¬
сферу) как функции LjD для некоторых планет. Связь
сопротивлению L /О
Фиг. 17. Максимальная температура поверх¬
ности при входе в атмосферу различных пла¬
нет со снижающихся орбит («; = 1, <рi = 0).
между CD и LjD взята для поверхностей в виде полупара-
болоида. Как видно из кривых фиг. 15, эта зависимость
будет примерно такой же и для других типов поверхностей.
Из фиг. 17 мы можем заключить, например, что тело, не обла¬
дающее подъемной силой, при е — 0,9 и WjCDAR = \ЬкГ-м~г
(например, при /? = 0,6 м и WjCDA = 9 кГ/м2 или при
R—2, м и WjCDA — Ab кГ/м2) во время входа со снижаю¬
щей орбиты будет иметь в критической точке максимальную
63

температуру приблизительно 550° С для Марса, 1050 для
Венеры, 1180 для Земли и 3600° С для Юпитера.
Общее количество поглощенного тепла. Следует под¬
черкнуть, что влияние отношения подъемной силы к сопро¬
тивлению на общее количество поглощаемого тепла Q совер¬
шенно иное, чем только что рассмотренное влияние на тепло¬
вой поток q. Применение подъемной силы предохраняет
снаряд с заданным коэффициентом сопротивления от столь
быстрого снижения, какое бы он имел без подъемной силы,
и тем самым приводит к более низким тепловым потокам
(поскольку торможение снаряда будет происходить на боль¬
ших высотах). Но в то же время подъемная сила заметно
увеличивает продолжительность спуска, причем увеличение
продолжительности преобладает над уменьшением теплового
потока. В результате увеличение L/D приводит к увеличению
общего количества поглощенного тепла. То обстоятельство,
что общее количество поглощенного тепла должно увеличи¬
ваться при увеличении Z./D, ясно видно из общего уравнения
«=:%(4)(тя'Л)'	<57>
полученного Алленом	и Эггерсом [1].	Для	заданного CD
увеличение L/D не изменяет потерь кинетической энергии,
но оно увеличивает эффективный коэффициент ламинарного
трения, поскольку торможение происходит на больших высо¬
тах, т. е. при более низких числах Рейнольдса, когда Ср выше.
Увеличение Q при увеличении L/D в количественном
отношении можно получить из уравнения (39) для Q, в кото¬
ром пренебрегается излучением тепла с поверхности. Для
заданной	атмосферы (даны	Pr,	p., g, г,	Р) и	заданных раз¬
меров и	веса снаряда	{A,	R,	W) при	ламинарном течении
(и cos ср = 1) Q пропорционально
_	“1 _ _
Q 	 1	Г	du
CD J z'h
а
где Q является функцией L/D и практически нечувствительна
к изменению нижнего предела и, до которого проводится
интегрирование (при условии, что и мало). Для удобства
64

при оценке Q по функциям Z мы выбрали произвольно
в качестве верхнего предела интегрирования и{ = 0,99 и полу¬
чили для входа со снижающихся орбит следующие значения Q:
Vflr(L/D)
ДДОземл.
для «1 = 0,99
—30
—1,0
0,75
—15
—0,5
0,93
—7,5
—0,25
1,09
—3
—0,1
1,23
0
0
1,36
3
0,1
1,54
7,5
0,25
1,90
15
0,5
2,53
30
1,0
3,54
Для отношений LjD больше 1 можно использовать асимп¬
тотическую функцию Zn. и тогда для тепла, поглощен¬
ного при торможении от и1 = 0,99 до и = 0, получим
QII = 0,62(pr)‘/<- V^LjD (Более общее выражение для Qn
см. в приложении В).
Влияние отношения подъемной силы к сопротивлению на
общее количество тепла, поглощенного за счет конвекции
(без учета излучения с поверхности) во время входа в зем¬
ную атмосферу со снижающихся орбит, показано на фиг. 18.
Значения Q здесь отнесены к соответствующим величинам
при L/D — 0. В противоположность влиянию, оказываемому
на q, увеличение L/D само по себе вызывает повышение Q,
а следовательно, и Q, что и следовало ожидать из уравне¬
ния (57). Если учесть связь между LjD и Со, то оказы¬
вается, что имеется оптимум при отрицательных значениях
L/D, близких к —0,5 —;	0,7.	Ввиду того что такие отри¬
цательные значения L/D соответствуют высоким перегруз¬
кам (см. фиг. 11), они окажутся недопустимыми для входа
в земную атмосферу аппаратов с людьми. Реальный оптимум
для теплопоглощающих снарядов будет лежать около L/D = 0.
На фиг. 19 представлены кривые для общего количества
тепла, поглощенного единицей поверхности за время входа
в атмосферу различных планет со снижающихся орбит. При
расчете этих кривых излучение тепла с поверхности не учи¬
тывалось. Кривые построены для поверхностей полупарабо-
лоидного типа, но и для других типов поверхности они
5 Чепмен
65

4.0
«а
I
8
<a
1
C:
§
s
a-
•S3
I
3,0
2.0
1,0
0
! 1 1
Полу конусы
Q/VC.о
Чe/Vc,
ljb=L
У
Плоски
повеох)
е
чосг
ии^.
у
Л
Пс
тупараболс
iudt
/ И
1
//
*
/
//
£ й
"Гй
т
lkD
= 0
/ /
А
/у
/
7
q)i
= О
V'
1/
7
1
//
/
/
/
'Общ
ее
о\в
°\
W
Q
тюличесп/о
Ъоглощенн
ЪА
-/	-0,5	0	0,5	I	1,5
Отношение подъемной силы■ н
сопротивлению (^/д)зел)Л^
Фиг. 18. Влияние отношения подъемной силы к сопроти¬
влению на общее количество тепла, поглощенного при
входе в атмосферу Земли со снижающихся орбит.

будут примерно такими же. Как и следовало ожидать, для
каждой планеты минимум наблюдается при отрицательных
значениях L/D. Для Марса при I/D = —0,5 замедления не
будут слишком большими (см. фиг. 11), но уменьшение
сопротивлению L/D
Фиг. 19. Общее количество тепла, поглощен¬
ного при входе в атмосферу различных планет
со снижающихся орбит ^Гг=1, <рг = 0).
общего количества поглощенного тепла по сравнению со
снарядом без подъемной силы будет составлять всего 10%.
Вход снарядов без подъемной силы при отклонении
с орбит
До сих пор мы рассматривали только траектории,
соответствующие снижающимся орбитам, когда начальный
угол снижения равен нулю. Такой тип входа приводит к срав¬
5*
67

нительно пологим углам снижениия при сравнительно низ¬
ких тепловых потоках, но затрудняет управление продолжи¬
тельностью входа и расположением точки приземления.
Одним из методов, который обычно выбирается для обеспе¬
чения фиксации продолжительности снижения и значительного
повышения [точности приземления, является вход с некото¬
рым вынужденным отклонением от орбиты, так чтобы сни¬
жение начиналось при некотором начальном угле срг. Начало
такому входу может быть положено, например, действием
тормозной ракеты или силой ракетного двигателя, направ¬
ленной к центру планеты. Вынужденный вход такого типа,
однако, приводит к большим замедлениям, а на величину
аэродинамического нагрева может влиять как положительно,
так и отрицательно.
Кривая, представленная на фиг. 20, а, показывает влияние
начального угла <рг на максимальное замедление, наблюдаемое
во время входа снаряда без подъемной силы в земную атмо¬
сферу. Для сравнения там же показан допустимый для чело¬
века предел (для быстрого нарастания нагрузки при попе¬
речном расположении тела). На фиг. 20, а, кроме того,
нанесена пунктирная кривая, соответствующая теории Аллена—
Эггерса для ср — const = <рг. Эта теория при #г= 1 может
быть использована только для углов снижения больше 4—5°.
Но из фиг. 20, а видно, что при углах выше — ср; = 3° уско¬
рения переходят границы человеческой выносливости, так
что [для аппаратов с людьми, входящих в атмосферу при
больших углах снижения, нужно будет применять некоторые
меры для ослабления замедления, например применить подъ¬
емную силу или увеличить значение W/CpA. Кривая для
ускорения | du[dt\KiKC,, выраженного в единицах земного
тяготения gc, может применяться для любых планет, если
принять, что на оси абсцисс отложены значения —(Уfir) cpj,
а ординаты умножить на
Влияние начального угла на максимальный ламинарный
тепловой поток и на общее количество поглощенного тепла
показано на фиг. 20, б. Как и следовало ожидать, чем круче
спуск, тем больше тепловой поток. Однако общее количе¬
ство поглощенного тепла при более крутых спусках будет
меньше, так как сокращение продолжительности спуска пре¬
обладает над увеличением теплового потока. Уравнение (57)
показывает, что это должно быть именно так, поскольку
вход при больших углах приводит к поглощению тепла на.
68

Пройденное васстсяние за время входа.
18
IS
14
ь,
v
0	/2
to
§
1	/о
to
I 8
/■
2
У
/
/
/
с
С<1
Л\\\\\\\''
}
WWWWVX
/
/
/
’ J
/
/
/
/
/
/
/
/
А к,
гД-
i
/
,'У ■»
/
/
/
С—
а
'Л
cj-
§ *
5 /,«•& 0,4
6 I
I
| !.г%0,3
§ |
I
6 0,8% 0,2
to	4
S	5
t |
I 0.K 0,!
& I
a §
\
\
\
\
ч
/
/V
//
/ /
V
Л
\
\
ч
/
//
/''Ч
/
Г
. \
\ \
//
/
/ /
/
/
Ч
\ Ч
\ ч
V й
г
/
/
а
/
1
/
1
1
Ui
=/
б
Начальный угол снижения -y>t, град. t<5 Начальный угол снижения -у>{, град.
ZOOO
то
W00
S00
\
%
\
\
\
' \
\ V/
\\
\ V
\ \
\
ч
ч\.
ч \
4
ч,
7
	0
О /	2	3	4	5	S
Начальный угол снижения - j»., грае.
Фиг. 20. Влияние начального угла входа на замедление, лами¬
нарный, аэродинамический нагрев и дальность полета для снарядов
без подъемной силы.
а —максимальное замедление; б—максимальный ламинарный тепловой поток
и общее количество поглощенного тепла; в — расстояние, пройденное по гори¬
зонтали, и ошибка в определении этого расстояния.
Г —ориентировочный предел человеческой выносливости при быстром нараста¬
нии £■; 2 —настоящее решение; 3—^Т ^ (Аллен — Эггерс); 4 — начало входа,
п;=8000 л/гек; б —й;=0,995, й = 0; 6-^=0,99, й~= 0; 7 — величина ошибки
в точке приземления при ошибке в определении у. в 0,5°.

меньших высотах, где при ламинарном течении коэффициенты
трения малы. Если бы поток был турбулентным, соответ¬
ствующее уменьшение Ср, а следовательно, и Q при увели¬
чении угла спуска оказалось бы меньше. Кривые на фиг. 20, б
приближаются к кривым, построенным по функции Z\, соот¬
ветствующей решению Аллена и Эггерса [см. уравн ния (В.З)
и (В.4) из приложения В]. Для того чтобы результат
Аллена — Эггерса был сопоставим с результатами настоя¬
щего расчета, дающими значение поглощенного тепла Q при
торможении снаряда от и1 — 0,99 до и = 0, в уравнение
(В.4), которое выражает тепло, поглощенное при измене¬
нии и от 1 до 0, был введен коэффициент 0,84, определен¬
ный расчетным путем. Из фиг. 20, б видно, что в этом случае
для углов снижения больше 2° решение Аллена — Эггерса
оказывается достаточно точным. Кривые на фиг. 20, б можно
применять и для других планет, считая, что по оси абсцисс
отложена величина — W$r) 9 г
На фиг. 20, в представлены кривые (для Земли), пока¬
зывающие сильное влияние начального угла снижения на
дальность полета в течение входа в атмосферу. Сплошная
линия 5 соответствует расстоянию между точкой, где и = 0,995,
и точкой падения {и — 0), а пунктирная кривая — между
w = 0,99 и и-0. По наклону сплошной кривой построена
нижняя кривая, которая показывает среднюю величину откло¬
нения места приземления при ошибке для ср( в 0,5°. Следует
иметь в виду, что эта последняя кривая не учитывает той
части траектории, где движение происходит практически без
сопротивления, т. е. между точкой отклонения от орбиты
и точкой, где и — 0,995. Таким образом, эта кривая является
показательной лишь для части траектории, соответствующей
входу в атмосферу, что является только одной из сторон
общей проблемы определения точности приземления. Однако
кривая наглядно показывает преимущество применения неболь¬
ших начальных углов снижения для того, чтобы значительно
улучшить возможность точного приземления.
Дополнительная ошибка в определении пройденного рас¬
стояния, которую можно учесть с помощью приведенных
уравнений, возникает благодаря изменению температуры атмо¬
сферы в зависимости от сезона и географической широты.
Уравнение (28) показывает, что As—W^r) '• так чт0 сезон¬
70

ному изменению температуры в + 159-6 будет соответство¬
вать изменение в + 7% для Y §г и &s. Для небольших
начальных углов, например = —1°, дальность полета за
время входа от м—0,995 до падения, согласно фиг. 20, в,
Фиг. 21. Число Рейнольдса в области макси¬
мального нагрева при входе в атмосферу Земли
с отклонением от орбиты снарядов без подъем¬
ной силы.
будет составлять около 1600 км, и, следовательно, положе¬
ние точки приземления может изменяться на +100 км.
Летом дальность полета при входе будет больше, чем зимой.
График чисел Рейнольдса, отнесенных к единице длины,
в области максимального нагрева для баллистического входа
в земную атмосферу при V;=l представлен на фиг. 21
для —срг = 0, 5, 10, 20, 40 и 90°. Кривая для —'?/ = 0
построена по значениям функции Z, взятым с фиг. 4, а. Все
остальные графики основаны на функции Z\, соответствую¬
71

щей решению Аллена — Эггерса. Вход при других значе¬
ниях Vt, согласно этому решению, дает значения Re, про¬
порциональные Vt.
Вход аппаратов с подъемной силой при отклонении
с орбиты
Если снаряд с L/D > 0 входит в атмосферу с отклонен¬
ной орбиты при достаточно большом начальном угле сни¬
жения, то траектория входа будет иметь один или несколько
рикошетов. Это следует как из физических соображений,
так и из графиков функции Z, представленных ранее на
фиг. 6. Во время первой фазы спуска аппарат, претерпеваю¬
щий значительный рикошет, будет тормозиться и поглощать
тепло в нижней части траектории рикошета, на меньших
высотах, чем снаряд с такой же скоростью, который плавно
планирует со снижающейся орбиты (ср(=0). В таком случае
мы можем ожидать, что для рикошетирующего снаряда, вхо¬
дящего в атмосферу при отклонении с орбиты, замедления
и тепловые потоки будут больше, а дальность полета будет
меньше, чем у планирующего снаряда, входящего в атмо¬
сферу со снижающейся орбиты. С другой стороны, поскольку
рикошетирующий снаряд большую часть тепла поглощает
на меньших высотах (где коэффициент сопротивления ниже),
на основании уравнения (57) мы можем ожидать, что рико¬
шетирующий снаряд во время входа будет поглощать в целом
меньше тепла, чем снаряд, снижающийся с орбиты. Расчеты
с помощью функций Z, графики которых приведены на фиг. 6,
показали, что эти ожидания справедливы при начальных
углах снижения — ((Рг)земл больше 1°. Это показано на
фиг. 22, а для максимальных значений ламинарного тепло¬
вого потока, на фиг. 22, б для общего количества погло¬
щенного тепла и на фиг. 22, в для дальности полета. Повы¬
шение замедления иллюстрировалось уже графиками фиг. 6,
по оси ординат которых отложено 30 uZ — dajdt.
Если снаряд с A/D>0 входит в атмосферу с отклоненной
орбиты при очень малом начальном угле снижения, так что
траектория может быть скорее названа „волнистой", а не
рикошетирующей, максимальное замедление и максимальный
тепловой поток могут оказаться несколько меньше, чем для
того же снаряда, планирующего со снижающейся орбиты.
72

Как обстоит дело в таких случаях, можно понять, например,
из фиг. 6,8, сравнивая кривые для —срг=1° и ■—ср; = 0.
Волнистый вход (— срг=1°) имеет по одному максимуму
Фиг. 22. Влияние начального угла входа на ла¬
минарный аэродинамический нагрев и длитель¬
ность полета снарядов с подъемной силой.
а — максимальный ламинарный тепловой поток; б —общее
количество поглощенного тепла в интервале изменения
скорости от wj = 0,99 до « = 0; в —дальность полета
от и 1= 0,99 до и~ 0.
с каждой стороны от максимума на кривой для —<р, = О,
представляющей вход со снижающейся орбиты. Эти два
максимума замедления для — ср/=1° несколько меньше, чем
единственный максимум для — срг = 0. Такое же положение
73

может быть и для максимального теплового потока. В резуль¬
тате кривые на фиг. 22, а для безразмерного максимального
теплового потока qM3KC. для снарядов с подъемной силой,
входящих в атмосферу с отклоненных орбит, при начальных
углах входа меньше 0.5—1° оказываются слегка волнистыми
Фиг. 22.
и проходят несколько ниже значений для —cpi = 0. Следо¬
вательно, мы можем сказать, что при волнистом типе сни¬
жения с отклоненной орбиты в принципе можно иметь более
низкие максимальные тепловые потоки, чем при планирую¬
щем снижении, однако с практической точки зрения значи¬
тельной разницы между ними нет.
74

Комбинированный mutt входа
Иногда может оказаться желательным скомбинировать
планирующий и баллистический вход, чтобы использовать
преимущества обоих типов входа. Для маневренности при
Фиг. 22.
приземлении, очевидно, выгодно использовать снаряд
с подъемной силой. Однако общее количество поглощенного
тепла для таких снарядов много больше, чем для снарядов
без подъемной силы (см. фиг. 18). Использование аэродина¬
мической подъемной силы позволяет в лучшем случае сни-
75

бить максимальный тепловой поток примерно наполовину
по сравнению со снарядами с тем же отношением W/A, но
без подъемной силы. В то же время у снарядов без подъем¬
ной силы легко может быть обеспечено значительно меньшее
отношение W/A. Для этой цели могут быть использованы,
например, большие и легкие тормозные устройства (напри¬
мер, парашюты из металлических лент). Чем больше устрой¬
ство, тем меньше тепловой поток (q—1 /УА1 — 1~*1г), тем
меньше числа Рейнольдса при входе [Re ~ (W/CpA) I—/-1]
и тем больше возможностей для сохранения ламинарного
потока. Снаряды без подъемной силы с флюгерной устойчи¬
востью выгодны также с точки зрения минимальных потреб¬
ностей в управлении во время входа. Таким образом, оче¬
видно, что комбинированный вход, который объединяет
в себе некоторые полезные черты траекторий с подъемной
силой и без нее, должен начинаться без подъемной силы,
но при малом W/CpA, обеспечиваемом тормозным устрой¬
ством; затем, когда скорость снизится до определенного
значения иь, это устройство сбрасывается или убирается
внутрь снаряда, и спуск продолжает снаряд, обладающий
подъемной силой и большим значением W/CdA.
При выборе иь требуется отыскать компромиссное реше¬
ние, так как с точки зрения обеспечения максимальной даль¬
ности маневренного полета тормозное устройство должно
быть сброшено как можно раньше, а с точки зрения воз¬
можно большего снижения теплового потока оно должно
быть сброшено как можно позже. Обозначим для начальной
фазы снижения без подъемной силы значение параметра
W/CdA, как (W/CdA)0, а функцию Z как Z0, и соответственно
для последующей фазы —• как (WjCoA)l и Zv Так как высота у
и угол снижения <р при скорости иь не должны иметь раз¬
рыва, из уравнения (14) и (17) мы можем записать два
условия
для определения начальных значений ZXj = ZXb и Zi =Zj
для второй фазы снижения. Исходя из этого, функция Zx
приближенно может быть определена из уравнения (В. 13)
76

приложения В при подстановке u( = ub, Zi = Zlb, sin =
^sincpft и cos ср = 1. Максимальный тепловой поток будет
иметь место сразу же после отделения тормозного устройства
и может быть получен из уравнения (В.24) приложения В
при той же самой подстановке. Общее количество тепла,
поглощенного в первой части спуска, может быть получено
из уравнения (В.25).
Фиг. 23. Безразмерные максимальный тепловой
поток и количество поглощенного тепла при ком¬
бинированном типе входа (Z./D = 0 при и > иь,
L/D = 0,7 при и < иь).
В качестве примера рассмотрим такой случай, когда при
входе со снижающейся орбиты используется тормозное
устройство с большим сопротивлением [(WjCDA\'^>
{WjCdA\], отделяемое от снаряда при скорости иь. Для
того чтобы по возможности снизить и максимальный тепло¬
вой поток после отделения и количество тепла, поглощен¬
ного в первой части полета, выбрано значение L/D~ 0,7.
77

Кривые, показывающие значения максимального теплового
потока после отделения и общего количества тепла, погло¬
щенного на протяжении первой части траектории, пред¬
ставлены на фиг. 23 в зависимости от скорости иь. Мы
видим, что снаряд, оборудованный тормозным устройством,
сохраняемым, например, ао иь — 0,А, будет иметь макси¬
мальный тепловой поток в четыре раза меньше, чем анало¬
гичный снаряд без такого устройства.
Сравнение некоторых типов входа при ut= 1
Интересно сравнить относительные значения аэродина¬
мического нагрева для некоторых из рассмотренных типов
входа. При таком сравнении будут использованы безразмер¬
ный максимальный тепловой поток qm и безразмерное коли¬
чество поглощенного тепла Q. Эти величины будут пропор¬
циональны действительным значениям теплового потока
и количества поглощенного тепла для снарядов с одинако¬
выми размерами и одинаковым WjCDA. В следующей таб¬
лице приведены эти величины для семи различных типов
входа, начинающегося при ui= 1.
Тип входа в атмосферу
L/D
Макси¬
мальный
тепловой
поток
^макс.
Общее коли¬
чество погло¬
щенного
тепла Q,
начиная от
и 1 = 0,99
Близкий к оптимальному, обеспе¬
чивающему минимальное ^макс.,
планирующий вход (у = 0) . .
0,7
0,084
3,0
Близкий- к оптимальному, обеспе¬
чивающему минимальное ^макс.,
„волнистый" вход (— tp = 0,5°)
0,7
0,083
2,9
Близкий к оптимальному, обеспе¬
чивающему минимальное Q,
планирующий вход (ср; = 0) . .
—0,5
0,78
0,93
Близкий к оптимальному, обеспе¬
чивающему минимальное Q,
рикошетирующий вход
(-¥/ = 2°;
0,7
0,15
0,90
7д

Продолжение таблицы
Тип входа в атмосферу
L/D
Макси¬
мальный
тепловой
поток
^макс.
Обшее коли¬
чество погло-
щеиного
тепла Q,
начиная от
их =0,99
Вход без подъемной силы (<р; = 0)
0
0,22
1,4
Вход без подъемной силы при
отклонении от орбиты
(-^ = 2°)
0
0,27
0,93
Комбинированный тип входа; тор¬
мозное устройство сбрасы¬
0 (и > 0,4)
вается при иь = 0,4
0,7 (и < 0,4)
0,02
0,16
При сравнении этих значений следует иметь в виду, что
действительными величинами, представляющими интерес при
заданном W/A, являются <7макс./УСд и QjYCD. Кроме того,
следует учесть, что снаряды без подъемной силы, данные
для которых также приведены в .таблице, находятся в не¬
сколько невыгодном положении, так как они, по-видимому,
могут быть спроектированы с несколько большими значе¬
ниями CD, чем планирующие снаряды. Заметим, что коли¬
чество поглощенного тепла в случае рикошетирующих сна¬
рядов относится только к первому рикошету. По-видимому,
достаточно учитывать только это количество, предполагая,
как утверждает Фэрри [7], что к концу каждого рикошета
снаряд путем излучения отдает практически все тепло, по¬
глощенное на протяжении рикошета.
Атмосферное торможение
При входе в атмосферу планеты из межпланетного про¬
странства со скоростью, близкой ко второй космической,
могут, вероятно, возникнуть проблемы, связанные с резким
замедлением и нагревом во время прохождения через внеш¬
ний сегмент атмосферы. Чем ближе к поверхности планеты
проходит траектория, тем больше тормозящее действие
атмосферы, тем больше замедление и тем больше интен¬
сивность аэродинамического нагрева. На фиг. 7 уже были пред¬
ставлены функции Z для четырех различных случаев входа
79

снарядов без подъемной силы, причем в каждом из рас¬
смотренных случаев вход начинался со второй космической
скорости (м;=1,4). Эти функции применимы для любой
планеты. В основе их лежит допущение, что после началь¬
ной фазы никакого управления снарядом не производится.
Вход типа а на фиг. 7 характеризуется величиной
30 Г“2)макс. = 0,46 для первого прохождения (т. е. максималь¬
ное замедление для Земли будет 0,46^); соответствующий
ему максимальный безразмерный тепловой поток <7макс.=
= 0,24 при ц = 1,38. Последующие пики <7макс. будут по¬
степенно уменьшаться до значения ^макс = 0,20, соответ¬
ствующего седьмому прохождению, которое начинается при
ц=1,08 и завершает вход. Как и следовало ожидать, эти
значения достаточно близки к значению 0,22, соответствую¬
щему снижению с орбиты при ut = 1 и L/D = 0. Так как
<7макс. является мерой максимальной температуры, которую
будет иметь снаряд, охлаждаемый путем излучения, то из
этого следует, что вход такого снаряда может быть закон¬
чен на седьмом прохождении без того, чтобы температура
(во время любого из прохождений) существенно превысила
температуру при входе со снижающейся орбиты.
Для входа б на фиг. 7 принято условие, что при пер¬
вом прохождении 30 (мД)макс. = 1,65; при этом количество
тепла, поглощенное во время первого прохождения, будет
соответствовать Q=l,5. Это тепло будет излучено в про¬
странство, перед тем как начнется второе прохождение, во
время которого поглощается новая порция тепла, соответ¬
ствующая Q— 1,4. Третье прохождение начинается при и —
= 1,09 и завершает вход при Q— 1,7. Эти значения близки
к значению Q = 1,4, соответствующему орбитальному сни¬
жению при LjD = 0. Так как Q является мерой общего ко¬
личества тепла, воспринимаемого теплопоглощающим сна¬
рядом, то отсюда следует, что такой снаряд может закон¬
чить вход на третьем прохождении, причем количество
тепла, поглощенное на протяжении каждого из двух про¬
хождений с торможением в атмосфере, будет лишь немно¬
гим больше по сравнению с теплом, поглощенным при
входе со снижающейся орбиты.
Вход в атмосферу в случаях в и г на фиг. 7 заканчи¬
вается во время единственного прохождения, и в обоих

случаях потери кинетической энергии будут равны
(7г) т {\AVgrf = mgr. При входе снаряды будут погло¬
щать количество тепла, определяемое Q = 2,9 и Q = 2,l со¬
ответственно, и воспринимать максимальный тепловой поток,
отвечающий <7макс. = 0,58 и <7макс, — 0,73. Общее поглощен¬
ное тепло при ламинарном течении в случае г меньше, чем
в случае в, хотя максимальный тепловой поток в случае г
получается даже больше. Это объясняется тем, что вход г
соответствует более близкому прохождению к поверхности
планеты, при котором тепло будет поглощаться в среднем
на меньших высотах, где коэффициенты сопротивления будут
меньше [см. уравнение (57)].
Кроме уже рассмотренных четырех функций Z, было
рассчитано большое число функций Z (которые не приве¬
дены) для снарядов с подъемной силой, совершающих еди¬
ничное прохождение через атмосферу, при котором скорость
входа равна ut, а скорость выхода — «Вых.- На фиг. 24 пред¬
ставлены результаты для иг=1,4, а на фиг. 25—для
Uj= 1,2. На каждой фигуре приведены кривые для макси¬
мальных значений горизонтального замедления 30 (wZ)M3KC,
для максимального безразмерного ламинарного теплового
потока <7макс. и для безразмерного количества тепла Q, по¬
глощенного во время единичного прохождения чере) атмо¬
сферу. В качестве параметра при построении кривых исполь¬
зовалось отношение LjD, соответствующее земным условиям.
Но эти кривые могут применяться и для других планет,
если учесть, что указанное для Земли значение LjD эквива¬
лентно в фгу'1* раз большему значению LjD на другой
планете :).
Эти результаты позволяют отметить характерную осо¬
бенность, которая заключается в том, что при заданных по¬
терях кинетической энергии (задано ивых.) изменение приве¬
денных параметров в зависимости от LjD имеет обратное
направление по сравнению с тем, что имеет место для сни¬
жающейся орбиты. Так, увеличение LjD уменьшает макси¬
мальное замедление при входе со снижающейся орбиты, но
увеличивает его для процесса атмосферного торможения;
') То есть приведенные на графиках значения LjD для Земли
следует рассматривать как значения параметра ([зф^ (Z./D).—
Прим. перев.
б Чепмен
81

Ф и г. 24. Процесс атмосферного торможения при единичном про¬
хождении, начинающемся при ц(-=1,4.
а — максимальное горизонтальное замедление; б —максимальный тепловой поток;
б —количество тепла, поглощенное во время единичного прохождения.

Фиг. 25. Процесс атмо¬
сферного торможения при
единичном торможении, на¬
чинающемся при W; = 1,2.
а, 6 — максимальное горизонталь¬
ное замедление и максимальный
тепловой поток; в —тепло, погло¬
щенное во время единичного про¬
хождения.

снижает тепловой поток <7макс. в первом случае, но увели¬
чивает его во втором и, наконец, повышает количество
поглощенного тепла Q при входе со снижающейся орбиты,
но уменьшает его при атмосферном торможении. С матема¬
тической точки зрения причина такого противоположного
Фиг. 26. Максимальная температура при тор¬
можении в атмосфере во время единичного про¬
хождения, начинающегося при ыг=1,4.
поведения заключена в том, что в основном дифференциаль¬
ном уравнении член (1 —■u2)/uZ, учитывающий силу тяжести
и центробежную силу, меняет знак при и = 1. С физической
точки зрения влияние LjD на атмосферное торможение
можно понять, если учесть, что для того, чтобы рассеять
одно и то же количество кинетической энергии, снаряд,
обладающий подъемной силой, должен пройти ближе к по¬
верхности планеты, чем снаряд без подъемной силы. Таким
образом, на меньшей высоте замедление и интенсивность
нагрева снаряда с подъемной силой будут больше, в то
84

время как коэффициенты сопротивления трения будут
меньше, и, следовательно, поглощение тепла при заданных
потерях кинетической энергии будет меньше [см. урав¬
нение (57)].
Фиг. 27. Тепло, поглощенное при атмосферном
торможении во время единичного прохождения,
начинающегося при «,= 1,4.
График параметра ^^^/(W/CpAR)'*’, характеризующего
температуру поверхности снаряда, в зависимости от макси¬
мального замедления, отнесенного к ускорению силы тя¬
жести gc на Земле, представлен на фиг. 26 для торможения
в атмосфере различных планет при LjD = 0. Эти кривые
построены для единичного прохождения через атмосферу,
начинающегося при w,-=l,4. Из графика, например, видно,
что в земных условиях для того, чтобы при единичном про¬
7 Чепмен
85

хождении снаряд мог выйти из атмосферы, т. е. имел бы
скорость ивых. > 1, максимальное замедление, испытываемое
снарядом, не должно превышать 3,5^. Если благодаря про¬
хождению ближе к поверхности планеты замедление снаряда,
не обладающего подъемной силой, окажется больше этого
значения, то прежде, чем снаряд сможет выйти из атмо¬
сферы, скорость его в атмосфере понизится до ul— 1,
и снаряд закончит вход за одно прохождение. Предельное
значение максимального замедления при атмосферном тор¬
можении, позволяющее выйти из атмосферы Марса, будет
намного меньше (0,7^), а для Юпитера намного больше,
чем для Земли.
На фиг. 27 представлен график, дающий количество
тепла, поглощенное (при ламинарном течении) единицей по¬
верхности во время единичного прохождения. Кривые на
этом графике построены также для Z./D — 0 и иг = 1,4.
В этом случае благодаря дополнительным потерям кинети¬
ческой энергии поглощение тепла при непрерывном повы¬
шении максимального замедления (от 3,5^ до 7,2g для
Земли) непрерывно возрастает. Однако при некотором про¬
хождении еще ближе к поверхности планеты ламинарное
поглощение тепла будет уже уменьшаться. Такое уменьше¬
ние будет иметь место потому, что при данных потерях
кинетической энергии поглощение тепла произойдет на мень¬
ших высотах, где коэффициенты ламинарного трения меньше,
а это [согласно уравнению (57)] приводит к уменьшению
общего количества поглощенного тепла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящей работе получено приближенное аналити-
ческое решение для движения и аэродинамического нагрева
снарадов, входящих в атмосферу планеты. Решение удалось
получить, пренебрегая двум~я сравнительно малыми членами
в полных уравнениях движения, а затем производя матема¬
тические преобразования, с помощью которых система из
двух уравнений сводится к одному обыкновенному нелиней¬
ному дифференциальному уравнению. Сравнительно неболь¬
шое число решений этого дифференциального уравнения
обеспечило получение вполне общих результатов, так как
основное уравнение не зависит ни от физических характе¬
ристик снаряда, ни от свойств атмосферы планеты.
В результате сокращения различных комбинаций членов
в основном нелинейном дифференциальном уравнении полу¬
чены некоторые асимптотические решения в замкнутой ана¬
литической форме. В исходном уравнении присутствуют
члены, выражающие вертикальное ускорение, вертикальную
составляющую силы сопротивления, силу тяжести, центро¬
бежную силу и аэродинамическую подъемную силу. В ре¬
зультате сокращения некоторых из них получено асимптоти¬
ческое решение для баллистических снарядов, входящих
в атмосферу при сравнйтёльНо оольших углах^снижения (это
решение идентично-решению" "Аллена и Эггерса), асимптоти-
ческое решение для планирующих снарядов при сравни¬
тельно больших отношенйях—подъемной силы к сопротивле-
шШ'ТГ'рёшение для рикошетирующих снарядов.
Сравнение настоящего приближенного решения для
движения при входе в атмосферу с более точными резуль¬
татами расчета на вычислительных машинах для стандартной
атмосферы обнаружило довольно близкое согласование
между ними. Настоящий аналитический метод может быть
7*
87

применен для любой атмосферы, поскольку он учитывает
влияние изменения температуры атмосферы по высоте
(а стало быть, и в зависимости от времени года или гео¬
графической широты).
При входе со снижающейся орбиты в атмосферу
с экспоненциальным распредёлениекПглоТностТГмТксимальное
замедление не зависит от веса, формы или размеров сна-
]5яда; оно имеет место при скорости, составляющей около 0,4
от орбитальной скорости. Если отношение подъемной силы
к сопротивлению составляет несколько десятых, величина
замедления оказывается значительно меньшей, чем в случае,
когда это отношениё~равно нулю. Однако даже для снаря¬
дов^ без подъемной силы замедления в атмосфере Земли
и Венеры будут находиться в допустимых для человека
пределах; для Марса они будут даже значительно ниже,
в то время как для входа аппарата с человеком в атмо¬
сферу Юпитера потребуется снаряд с подъемной силой.
Для снарядов с аэродинамической подъемной силой, вхо¬
дящих в атмосферу со снижающихся орбит, максимальный
тепловой поток сильно зависит от веса, формы и размеров
снаряда, которые влияют через параметр W/CDA-, максималь¬
ный нагрев имеет место примерно при скорости в 0,8 от
орбитальной и для некоторой заданной аэродинамической
нагрузки WjA будет минимальным при входе с СL=Cс_.
Для обычных (аэродинамических) форм это соответствует
оптимальным значениям отношения LjD, лежащим между 0,5
и 1. Так как для любого аэродинамического профиля суще¬
ствует связь между CD и LjD, применяя близкие к опти¬
мальному значения LjD, можно уменьшить максимальный
тепловой поток, однако не более чем в 2 раза по сравнению
с тепловым потоком для снарядов без подъемной силы.
Ламинарный тепловой поток изменяется прямо пропорцио¬
нально 1fWjCDA; следовательно, применяя для заметного
повышения СВА аэродинамический тормоз, например парашют
или тормозные щитки, теоретически можно снизить тепловой
поток в значительно большей степени.
Для снарядов с положительной подъемной силой общее
количество тепла, поглощенного во время входа в атмосферу
со снижающейся орбиты, быстро повышается с ростом отно¬
шения подъемной силы к сопротивлению. Оно является мини¬
мальным для значений LjD, близких к —0,5, но такие отри¬
цательные значения подъемной силы приводят к недопустимо
большим для человека замедлениям при входе в земную
88

атмосферу; таким образом, для снаряда с человеком на борту
оптимальным (с точки зрения сведения к минимуму общего
количества тепла, поглощенного при входе со снижающейся
орбиты) практически является отношение LjD, близкое к нулю.
Количество тепла, поглощенное при ламинарном течении,
так же как и ламинарный тепловой поток, изменяется прямо
пропорционально 1fWjCDA.
Организуя вход с достаточно большим начальным углом
снижения, можно существенно уменьшить общее количество
поглощаемого тепла. При входе в земную атмосферу снаря¬
дов без подъемной силы с начальным углом снижения около 3°
перегрузки, обусловленные замедлением, приближаются к пре¬
делу человеческой выносливости. В этих условиях общее
количество поглощенного тепла составляет 0,6 от тепла,
поглощенного при входе со снижающейся орбиты с нулевым
начальным углом снижения; замедление и максимальный тепло¬
вой поток при этом будут соответственно выше. Если с малым
начальным углом в атмосферу входит снаряд, обладающий
небольшой аэродинамической подъемной силой (например,
LjD ^ 0,7), траектория представляет собой волнистый спуск,
при котором можно получить несколько меньшие значения
максимального теплового потока и количества поглощенного
тепла, чем при гладком входе со снижающейся орбиты.
Для снаряда с подъемной силой, входящего в атмосферу
с достаточно большим начальным углом снижения, общее
количество тепла, поглощенного на участке первого рикошета,
существенно не зависит ни от угла снижения, ни от скорости
выхода из рикошета. Оно будет минимальным для входа
при Ci = CiM3KC. (при этом отношения LjD близки к 0,7).
Для данного WjCDA это минимальное количество тепла,
поглощенное во время первого рикошета, грубо говоря,
будет таким же, как и тепло, поглощенное во время входа
снаряда без подъемной силы при начальном угле снижения
около 2°.
В процессе атмосферного торможения (скорость в начале
входа превышает скорость движения по круговой орбите)
влияние LjD на максимальный тепловой поток, максимальное
замедление и общее количество поглощенного тепла будет
обратным тому, которое имеет место в процессе входа
со снижающейся орбиты. Например, при заданном CD повы¬
шение LjD увеличивает максимальный тепловой поток при
скорости больше скорости на круговой орбите (и > 1),
89

но уменьшает его, когда скорость меньше указанной вели¬
чины (и < 1); увеличивает замедление при и > 1, но уменьшает
его, когда ц< 1, и, наконец, уменьшает количество погло¬
щенного тепла при ц> 1, но увеличивает его при ц< 1.
Для снарядов без подъемной силы, начинающих вход при
второй космической скорости и использующих атмосферное
торможение, вход вплоть до поверхности планеты может быть
полностью закончен на третьем прохождении через атмо¬
сферу, если поставить условие, что общее количество тепла,
поглощенное во время любого прохождения, не должно пре¬
вышать количества тепла, поглощенного при входе в атмосферу
со снижающейся орбиты. Если вместо этого условия потре¬
бовать, чтобы максимальный тепловой поток не превышал
поток при входе с орбиты, то вход может быть закончен
только на седьмом прохождении. И наконец, если ограни¬
читься условием, чтобы замедление не превышало замедления
при снижении с орбиты, то вход можно завершить при пер¬
вом же прохождении через атмосферу.

ПРИЛОЖЕНИЕ А
ПРОВЕРКА ДОПУЩЕНИЙ, СДЕЛАННЫХ
В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ
Основное допущение (а) настоящего решения, представлен¬
ное уравнением (8), можно весьма просто выразить, используя
преобразованную переменную Z и угол снижения:
I drjr 1 __ | и (dy/dt) | _ iTsin <? f
| duju |	|	r	(dujdt)	|	Z
Поскольку Z\u ■—-p , то отсюда видно, что допущение (а)
не может иметь силы на очень больших высотах, которые
характеризуются значениями переменных, весьма близкими
к и = ut и Z = 0. На фиг. 28, а и 28,6 показаны графики
отношения (dr/r)/(du/u) при входе в земную атмосферу аппа¬
ратов с подъемной силой со снижающихся орбит и при
баллистическом входе с отклонением от орбит при различных
начальных углах ср.. Из графиков видно, что в области макси¬
мального нагрева (w; = 0,8) и вблизи максимального замедле¬
ния {и-г = 0,3 —г- 0,5) основное допущение будет вносить
ошибки, не превышающие 1%. Однако, когда снаряд только
начинает входить в атмосферу, замедления будут малыми, и,
следовательно, точность расчета окажется ниже. В общем
можно сказать, что для инженерных расчетов допущение (а)
применимо с того момента, когда сопротивление воздуха умень¬
шило скорость снаряда приблизительно на 0,5% (см. при¬
ложение Б).
Допущение (б) о том, что |(L/D) tg ср|	1, имеет силу
при расчете теплообмена и замедления для снарядов с ну¬
левой или положительной подъемной силой, входящих
в атмосферу со снижающихся орбит. Как показывает
91

фиг. 28, в, для снарядов с отрицательной подъемной силой
вблизи максимального замедления допущение (б) может при-
Ф и г. 28. Проверка допущений, сделанных при
анализе.
а —допущение (а) для различных L/C; б —допущение (а) для
различных (fy; е —допущение (б).
вести к существенным ошибкам, но даже для таких снаря¬
дов в области максимального нагрева ошибки будут доста¬
точно малыми.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
СОПРЯЖЕНИЕ ТРАЕКТОРИИ НАСТОЯЩЕГО РЕШЕНИЯ
С ЭЛЛИПСОМ КЕПЛЕРА
Допустим, что сила тормозной ракеты или какая-либо
другая сила отклонила двигающийся по орбите снаряд на новый
кеплеровский эллипс, который при отсутствии сил сопро¬
тивления пересекает поверхность планеты под некоторым
углом <р0. Используем этот угол в настоящем решении как
нулевое приближение для начального угла входа ср,-. Такое
приближение будет достаточно точным при углах снижения
в несколько градусов и больше, но для очень малых углов
снижения желательно иметь более точное сопряжение настоя¬
щего решения с кеплеровским эллипсом.
Поскольку настоящее решение предполагает, что \dr/r |
<^\du/u\, в то время как закон сохранения момента коли¬
чества движения требует, чтобы вне атмосферы dr/r — — йм/м,
представляется разумным выбрать точку сопряжения там, где
отношение (drlf)f(dufu) имеет некоторое значение меньше
единицы. Пусть в точке сопряжения угол снижения будет <рт,
а скорость ит. Рассмотрим небольшую область вблизи точки
сопряжения, где плотность очень низка, аэродинамические
силы очень малы, а траектория полета только слегка искри¬
влена. Функцию Z для этой области мы представим функ¬
цией Z] из уравнения (40) для постоянного угла снижения,
а именно
Zm ~ У?Г Um Sin 1П (ujuj.
Так как ит только немного меньше мы апроксими-
руем \n(ujut) как (ит —	Таким	образом, из уравне¬
ния (22) следует, что в точке сопряжения отношение членов,
которыми пренебрегают, к оставшимся членам будет равно
~ __ 4Г1Г __ __ Ц/л sin cpm	^	j	ч
~~ du/u	Y¥Zm	~~	(W(«i	—	“m)	'
93

Для Земли рг = 900, так что rm— 1 при цш = 0,999и;,
гт= 0,2 при ит — 0,995и( и гт = 0,1 при мт = 0,99мг.
Таким образом, настоящее решение целесообразно сопрягать
с эллипсом Кеплера при некоторой скорости в диапазоне
изменения ит, скажем, от Mm = 0,995u; до ит = 0,99и1.
Плотность рт на высоте сопряжения [из определения функ¬
ции Z (14) и уравнения (Б.1)] может быть найдена из соот¬
ношений
Цт/С^А) =Zm —	V¥r	(й, — йт) (— sin %),	(Б.2)
Р ™ =	^б-3)
По	значению рт мы можем	определить высоту ут и,	следо¬
вательно, соответствующее значение срт для эллипса Кеплера
на	этой высоте. Значение	срш,	определенное таким	путем,
следует принять как значение ср;, которое хорошо увязывает
настоящее решение для движения при входе в атмосферу
с движением по эллипсу Кеплера.
Другой равноценный способ сопряжения заключается
в следующем: вначале выбираются различные произвольные
значения высоты у2, у3, ... и соответствующие им значения
плотности рр р2, р3, ... Затем по эллипсу Кеплера могут быть
определены соответствующие, несколько изменяющиеся углы
?i>	?2> Ъ< • • • Подставляя	эти	значения в уравнение (Б.З)
вместо ср0, можно рассчитать соответствующие значения
(mlCDA\, (mjCDA)2, ..., которые будут давать надлежащее
сопряжение для данного значения гт (скажем, 0,1). Наконец,
путем интерполяции определяются угол срш и высота ут при
сопряжении для некоторого заданного значения (m/CDA).

ПРИЛОЖЕНИЕ В
ПОЛУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ
Первым приближенным решением является решение для
входа снаряда без подъемной силы вдоль спиральной траек¬
тории, которая имеет постоянный угол ср относительно местного
горизонта. Для этого первого частного случая мы обозначим
функцию Z через Z] и выразим правую часть уравнения (19)
в виде
-=т- (sin <р) = 0 = uZ"— Y§r s*n СР>
du
или, после интегрирования,
Z' = sin ср In и -[-const.	(В.1)
Постоянную интегрирования можно выразить через началь¬
ную скорость ut и угол ср и после еще одного интегрирования
получить для входа с больших высот (Zi = 0)
Zr	и-	С г\-А.о „
1	—	in	^	=	D , _ ■	(В.2)
uYVr sin 9	ui	2m$	sin	9
Отсюда следует, что безразмерный ламинарный тепловой поток
— usi,Z'{2 имеет максимальное значение
Ь макс. = 0>247U1 (Р7-)7* ^Sitl (— ?)•	(В‘3)
Безразмерное количество тепла, поглощенного на участке
от и — ut до и — 0, определяется из уравнения (396) с уче¬
том того, что интеграл в этом уравнении пропорционален
г О/г) = }/" у =
Q. = (—^=-)2 	;Г^—•	(В.4)
\ cos ср / (fir) и у sin (— 9)
95

Решение для Zt соответствует предположению, что левля
часть уравнения (21а) равна нулю. Для этого правая часть
уравнения (21а) также должна быть равной нулю. Таким
образом, частное решение Zj, выраженное уравнением (В.2),
может быть реализовано в двух случаях: 1) при установлении
подлинно спиральной траектории посредством изменения
подъемной силы в зависимости от скорости, которое должно
производиться таким специфическим способом, чтобы в каждой
точке траектории
или 2) при вхождении в атмосферу снаряда без подъемной
силы вдоль настолько крутой траектории, что разностью
между силой тяжести и центробежной силой можно пренебречь
по сравнению с вертикальной составляющей силы сопротивле¬
ния (это дает практически прямолинейную траекторию). Слу¬
чай (1) спиральных траекторий с изменением подъемной силы
трудно осуществить на практике, но случай (2) в точности
соответствует той физической картине, которая была рас¬
смотрена Алленом и Эггерсом [1] при решении проблемы
баллистического входа. Таким образом, не должно являться
неожиданностью, что уравнение (В.2) идентично их решению.
Для снарядов без подъемной силы при постоянном ср это
решение не дает значительных отклонений от полного реше¬
ния ни в области максимального нагрева (u/ui ~0,8), ни вблизи
максимального замедления {ujul ~ 0,4-ь- 0,6); исключение
составляют случаи входа при начальных углах снижения
меньше нескольких градусов.
Как второй частный случай мы рассмотрим планирующий
гиперзвуковой полет (и близко к 1) при большом отноше¬
нии Z./D и достаточно малых углах снижения, так что coscpc^ 1,
a sin ср ~ ср <<^ L/D. При этих условиях членами левой части
уравнения (21а), включающими нормальную компоненту
замедления и вертикальную составляющую силы сопротивления,
можно пренебречь. Члены правой части, выражающие равно¬
весие гравитационной, центробежной и подъемной сил, дают
для соответствующей функции Zц следующее выражение:
D
(1 	 U2)	COS	ср
(В.5)
и2 (fir) sin ср In (и/И/)
uV$rL/D ‘
(В.6)
96

\
Угол наклона траектории можно получить из уравне¬
ния (17), подставляя в него Zu из (В.6):
— ср =	==	.	(В.7)
Y $r)u*(LID)
Это частное решение совпадает с решением для плани¬
рующего полета, которое впервые было получено Зенге-
ром [2, 3] и для которого проблемы аэродинамического
нагрева были изучены Эггерсом, Алленом и Найсом [4]. Оно
является вполне справедливым для отношений L/D больше
единицы (для Земли) и, следовательно, является достаточным
для анализа входа большинства планирующих снарядов.
Однако оно не будет применимо для входов с начальным
углом, отличным от нуля, поскольку даже исключительно
малые начальные углы снижения будут давать рикошети¬
рующую траекторию, для которой вертикальное замедление
не будет малым по сравнению с подъемной силой. Для реше¬
ния Zj] максимальный тепловой поток, пропорциональный
Ямакс.= (я^'^макс.* будет иметь место при и = /2/3. При этом
- 2
Яи макс. — з/з $r)'UV~L/D '	<'В‘8')
Безразмерная функция, пропорциональная общему коли¬
честву поглощенного тепла, выразится следующим образом:
» У
= \Г ( (arc Sin Ut — а. [/ I — afj, (B. 9)
а функция, определяющая дальность полета,
ut — —
As,, L f и du L	1
—- = — Г 	^ =	-In-;—=r-	(B.10)
r D J 1 — a2 2D 1 —	7
о
Эти уравнения совпадают с полученными в [4].
Как третий частный случай мы рассмотрим вход с подъем¬
ной силой вдоль траектории, на которой разность между
силой тяжести и центробежной силой сравнительно мала
[см. уравнение (21а)]. К этой категории, например, будет
относиться вход рикошетирующего снаряда. В этом случае
97

траектория полета определяется в первую очередь балансом
между членами, учитывающими нормальную компоненту уско¬
рения uZ", подъемную силу 'j/pr (L/D)cos3cp и вертикальную
составляющую силы сопротивления. Предполагается, что член
(1 — м2) cos4 cp/(MZ), представляющий собой силу тяжести за
вычетом центробежной силы, оказывает на траекторию полета
только второстепенное влияние; следовательно, мы можем
превратить основное дифференциальное уравнение в линейное,
предполагая, что Z в знаменателе этого нелинейного члена
заранее можно апроксимировать некоторой функцией Z,
которую можно получить, либо пренебрегая этим нелинейным
членом, либо некоторым другим способом, как, например,
путем разложения функции Z в ряд в окрестности и{. Обо¬
значая cos ср среднее значение coscp для траектории полета,
определенное согласно теореме о среднем, после однократного
интегрирования мы получим
dZ
~ = (coscp)4 Г -2—— du —
и	J	u2	—	Z
du
 (cos ср)3 Y— In const.	(B.	11)
D ui
Постоянная интегрирования определяется из начальных
условий при u = ut. Уравнение (17) показывает, что
(dZ/du) - (Z/й) = Vfr sin ср; следовательно, угол снижения
определяется уравнением
l/flr (sin ср—sin cpf) = (cos cp)4 J —
1 — и1
du ■
u2Z
ui_
— (costf3 — l^Brln^-,	(B.12)
D	Ui
а функция Z получается при решении дифференциального
уравнения первого порядка (В.11), интегрирующим множи¬
телем для которого будет 1/и:
J. = iL+(T5^j4 fJ- f —~ “2> d“ +
и и,	r	j	и	j u2Z
“i _	"/
/pT-sincpfln-^-— ^-со*у)	V	$г	\п2.	(В.	13)
98

ПЬенебрегая разностью между силой тяжести и центро¬
бежной силой [т. е. пренебрегая интегралом в уравне¬
нии (В. 13)], мы получим функцию Zni, которая учитывает
нормальное ускорение, вертикальную компоненту силы сопро¬
тивления и подъемную силу:
(В. 14)
-in
£i + Vfr
ui	.	u>i	2	\	D	J	ui
ui	*	\	L>	}	щ _
и
sin cp = sin cp, -— (cos cp)3 ^ In .	(B.15)
V D ) щ
Последние два уравнения при LjD — 0 переходят в урав¬
нение (В.2). При желании мы можем подставить Zm (или
некоторую другую заранее определенную функцию Z) в зна¬
менательный член, учитывающий силу тяжести и центро¬
бежную силу. Успех такого метода будет зависеть от точ¬
ности и простоты первого приближения для функции Z.
Чтобы проиллюстрировать применение частного реше¬
ния Zjjj, заданного уравнением (В. 14), мы рассмотрим только
первый рикошет снаряда с подъемной силой, входящего
в атмосферу при малом угле ср; (coscp;~l) и орбитальной
скорости (и;=1). Вообще, первый рикошет является наи¬
более тяжелым с точки зрения аэродинамического нагрева.
Для Z; = 0 мы имеем
: У$г (срг In и — ~ In2 и ) .	(В.	16)
Это значение Zm можно подставить в интеграл уравне¬
ния (В. 16) с тем, чтобы получить выражение для члена,
учитывающего разность между силой тяжести и центро¬
бежной силой, но мы прежде всего отметим, что по опре¬
делению (Z|n/a)-~p и возвращается к его небольшому
начальному значению Z;, когда снаряд возвращается На на¬
чальную высоту, где рсо = рсоГ В конце первого рикошета
скорость уменьшается до некоторого значения иШе, так что
в соответствии с результатами [4]
2<р.
In (^ш)е LjD '
Это скорость в конце выхода из рикошета. Так как мы
рассматриваем только малые углы снижения, —2tp(/(Z./D) ~
-ui
99

~1—Щ\\е, мы можем подставить в уравнение (ljl.16)
In и ~ 1—иШе с целью оценки двойного интеграла в урав¬
нении (В. 13), представляющего собой силу тяжести уинус
центробежную силу. Это дает новую функцию Z:	j
_	I
Ziv _	(1 —ц2) I Zm ^
й 4 Ург (— <ft) й
^Zl + VFr[b\nu—(^- +	(В-17)
Тогда скорость в конце выхода из рикошета определяется как
1п“«= (LjD) + (‘/2Р^) *	(В-18)
Поскольку для Земли $г = 900, поправочным членом
l/(4prtpI-) часто можно пренебречь. Угол траектории полу¬
чается из уравнения (В.15)
<Р = Ъ — (-^-) 1п “•	(В. 19)
так что мы видим, что
L -	2 WD) рлр
Ч'=Ъ--о^и' = — Ъ— i -■	(в-2°)
1
Если 2 {LjD) $r<fi 1, эти уравнения сводятся к результа¬
там, ранее полученным Эггерсом, Алленом и Найсом [4].
В частности, как отмечается в [4], при сравнительно боль¬
ших значениях LjD угол выхода из рикошета равен, но про¬
тивоположен по знаку начальному углу входа срг. После
рикошета следует период невесомости при постоянной ско¬
рости ие в условиях, когда вертикальное ускорение
(dvjdt)-g— (ul/r) постоянно; следовательно, продолжи¬
тельность состояния невесомости At = 2vej{dvjdt) будет
At = - 2“е (<f4- =	.	(В.21)
После этого периода начинается второй вход с прибли¬
зительно таким же углом, как и первый, но при пониженной
скорости ие. Максимальный ламинарный тепловой поток
будет иметь место вблизи нижней точки рикошета (ср = 0),
100

хотя и не^ в ней самой. Скорость в этой точке ит задается
соотношением In ит =	Подставим	это значение
в уравнение (В. 16), а затем определим приближенное зна¬
чение максимального ламинарного теплового потока, выра¬
женное через
Интересный результат получен для общего количества
тепла, поглощенного во время единичного рикошета, начи¬
нающегося со скорости, равной первой космической (иг= 1).
Общее количество поглощенного тепла определяется из урав¬
нения (39) совместно с (В. 16):
Этот интеграл можно оценить, используя то же самое при
ближение In и ~—и-\-\. Тогда
Так как для многих рикошетирующих снарядов сfJ(LjD)
будет мало, то для них количество поглощенного тепла
не зависит от начального угла ср4-. Действительно, при
Хотя максимальный тепловой поток во время рикошета
пропорционален начальному углу снижения ср;, количество
поглощенного тепла практически не зависит ни от началь¬
ного угла ср., ни от скорости выхода из рикошета ие. Так
как Q~Q/V^Cd, мы видим, что Q—\/VCL, откуда сле¬
дует, что наименьшее количество тепла будет поглощаться
при Cl . Для плоской пластины с углом атаки 55°, для
8 Чепмен	Ю1
(В.23)

которого LjD — 0,71, в гиперзвуковом потоке простая ньвд.
тоновская теория дает С г =0,77. Следовательно,
г	макс.
Qmhh. q = V 2 ъ/фг)и VoTn = 0,96.
Это значение уже сравнивалось с соответствующими зна¬
чениями Q для других типов входа.
Если рикошетирующий снаряд начинает вход не с первой
космической скорости, а при некотором другом значении и.,
то соответствующие уравнения (в которых пренебрегают
гравитационной и центробежной силами) показывают, что
в нижней точке рикошета скорость ит будет определяться
соотношением In (um/uL) = срJ{LjD). В этой точке тепловой
поток выражается через
Чт = (Р'-)'Л e^D	.	(В.24)
Выход из рикошета происходит при скорости ие, опреде¬
ляемой из соотношения
1п («„/«/) = 2сfJiL/D).
Безразмерное количество поглощенного тепла равно

ПРИЛОЖЕНИЕ Г
!|нтегрирование основного нелинейного уравнения
Для того чтобы рассчитать последовательным приближе-
ием функцию Z из нелинейного уравнения
>  2
uZ"— Z' -|-	и-cos4 ш — ]/Вг — соз3ш, (Г. 1а)
и uZ	D
(■Д е
Z' —	=	"J^Br	sin	ш,
и
Могут быть использованы многие численные методы. Поисков
наилучшего пути для интегрирования такого уравнения сде¬
лано не было, так же как не было исследовано, имеет ли
преимущество в целях интегрирования другая форма этого
уравнения, такая как
где
F = Z/u и uF'— Y§r sin ср.
Частный метод, который использовался в настоящем
анализе, хотя и не вполне точен, но зато достаточно прост
в том смысле, что он включает просто повторение большого
числа идентичных операций. Предположим, что нам известны
в некоторой начальной точке ип значения Zn и Z„. Тогда
из дифференциального уравнения мы можем получить сле¬
дующие выражения для второй и третьей производной (в целях
8*
103

простоты при иллюстрации метода будем полагать coscp=jy
(Г.2)
1 / ,
7 —	 7	я.
^ п — — \	—
и„ \	ип
7
и
и \	и
L п \
1 — ui
1+«л
<Zn
(Г.З)
Отсюда разложение в ряд Тэйлора функций Z и Z'
в следующей точке ип+1 дает
z„+1 = z„ + Z'n д« +■ z'n +■ z"
Z„ +1 — Zn -)- Z„ Дм -)- zn
в то время как из приведенных выше уравнений (Г.2) и
гг	гг
(Г.З) получаются Zn +1 и Zn + h если в этих формулах п
заменить на л+1. Таким образом, процесс может быть
продолжен.
Для большинства случаев функции Z будут совершенно
гладкими, и, если использовать достаточно малые Ди, в третьем
приближении Z'" нет необходимости. В настоящих расчетах Z'"
было опущено; при этом использовались Дм = 0,001 для
ul= 1 и Дм = 0,002 для ц(. = 1,4 и иг=1,2. Для рикоше¬
тирующих снарядов функция Z может изменяться достаточно
быстро, и включение Z'", по-видимому, будет давать воз¬
можность использовать ббльшие приращения Ди.
Этот способ интегрирования уравнения требует, чтобы
в некоторой начальной точке иа известные значения Z и Z'
были отличны от нуля. Следовательно, первый шаг должен
быть сделан аналитически. Для снижающихся орбит анали¬
тическое представление для Z и Z' вблизи	1, где
(1—ц2)/м ~ 2(1—и), будет
Z0 = 2|/~ |(1-ц0)3/2.
Zo = —/6(1 —«о)7*.
(Г .4)
(Г .5)
откуда Zo = 2(l—а0) Z0, причем Z0 и ZJu0 будут малыми
по сравнению с Zq [см. уравнение (Г.!_)]. Уравнения (Г.4) и
104

^Г.5) можно применять для планирующего снаряда при
условии, что (1 — и0) выбрано настолько малым, что
V?r
D
Если отношение LjD велико,
можем использовать функцию Zn, чтобы получить
1 — и\
Y$r {LID) и0 ’
V$r{L/D)ul
МЫ
(Г.6)
(Г.7)
При повторном входе (при рикошетах) с начальным
углом ср; и начальной скорости и1 для первого участка мы
можем использовать функцию ZnI.
Z0 = V$ru0
sin ср In —-
Тогда
cos3cp, / L
D
!n2^-
z'0 = V$r sin ср,. + Ъ-.
(Г-8)
(Г.9)

Таблица
Значения функций Z и относительных величин
для LjD = О и uL— 1
а
Z
^земл.’
град.
Q
(—)
' г 'земл.
*земл.’
сек.
(-<р) =0»
' 1/земл.
0,995
0,00058
0,33
0
0
0
0,99
0,00165
0,48
0,156
0,169
140
0,98
0,00467
0,68
0,338
0,288
238
0,96
0,01315
0,96
0,550
0,372
309
0,94
0,0241
1,19
0,688
0,409
341
0,92
0,0369
1,39
0,792
0,431
360
0,90
0,0515
1,57
0,875
0,446
374
0,85
0,0939
1,98
1,030
0,470
396
0,8
0,1435
2,36
1,140
0,485
411
0,75
0,1991
2,73
1,223
0,494
421
0,7
0,260
3,11
1,288
0,502
429
0,65
0,324
3,50
1,340
0,507
436
0,6
0,392
3,91
1,381
0,512
442
0,55
0,463
4,36
1,415
0,516
448
0,5
0,536
4,86
1,442
0,519
453
0,45
0,610
5,43
1,464
0,522 .
458
0,4
0,684
6,09
1,481
0,525
463
0,35
0,757
6,89
1,495
0,527
468
0,3
0,827
7,89
1,505
0,529
473
0,25
0,892
9,21
1,513
0,531
479
0,2
0,949
11,09
1,519
0,533
486
0,15
0,992
14,04
1,523
0,535
493
0,1
1,009
19,52
1,525
0,536
504
0,05
0,958
33,3
1,527
0,538
521
0,025
0,825
50,7
1,527
0,538
537
(
-?,) =0,5»
^земл.
0,995
0,00131
0,50
0
0
0
0,99
0,00270
0,57
0,113
0,088
72
0,98
0,00603
0,71
0,265
0,169
140
0,96
0,01457
0,95
0,460
0,240
.199
0,94
0,0253
1,16
0,593
0,274
229
0,92
0,0378
1,36
0,695
0,296
248
106

Продолжение
z
^земл.’
град.
Q
V г земл.
*земл.’
сек.
(-
— ср.) = 0,5
(/земл.
0
0,90
0,0519
1,53
0,777
0,311
262
0,85
0,0934
1,94
0,932
0,335
284
0,8
0,1421
2,33
1,042
0,349
298
0,75
0,1970
2,70
1,126
0,359
309
0,7
0,257
3,08
1,191
0,366
317
0,65
0,321
3,48
1,243
0,372
324
. 0,6
0,389
3,89
1,285
0,377
330
0,55
0,460
4,35
1,318
0,381
336
0,5
0,533
4,85
1,346
0,384
341
; 0,45
0,607
5,42
1,367
0,387
346
0,4
0,681
6,08
1,385
0,390
351
0,35
0,754
6,89
1,399
0,392
356
0,3
0,824
7,89
1,409
0,394
361
0,25
0,890
9,22
1,417
0,396
367
0,2
0,947
11,10
1,423
0,398
374
0,15
0,991
14,05
1,427
0,399
382
0,1
1,009
19,53
1,429
0,401
392
0,05
0,958
33,3
1,431
0,402
409
0,025
0,825
50,7
1,431
0,403
425
( - ?:) =
4 "земл.
о
0,995
0,0026
1,00
0
0
0
0,99
0,0053
1,04
0,080
0,044
37
0,98
0,0108
1,11
0,191
0,088
73
0,96
0,0229
1,26
0,342
0,129
108
0,94
0,0361
1,40
0,451
0,152
128
0,92
0,0505
1,53
0,537
0,168
141
0,90
0,0660
1,67
0,609
0,180
152
0,85
0,1092
2,01
0,750
0,199
170
0,8
0,1580
2,34
0,853
0,212
183
0,75
0,212
2,69
0,933
0,221
192
0,7
0,270
3,05
0,996
0,228
200
0,65
0,333
3,42
1,047
0,233
207
0,6
0,398
3,83
1,088
0,238
213
0,55
0,466
4,28
1,122
0,242
218
107

Продолжение
а
Z
^земл.’
град.
Q
(■т)
земл.
^земл.’
сек.
(-?;) =1
' "земл.
0
0,5
0,537
4,77
1,149
0,245
223
0,45
0,608
5,34
1,170
0,248
228
0,4
0,680
6,00
1,188
0,251
233
0,35
0,752
6,81
1,202
0,253
238
0,3
0,821
7,82
1,212
0,255
244
0,25
0,885
9,15
1,220
0,257
249
0,2
0,942
11,04
1,226
0,259
256
0,15
0,986
14,01
1,230
0,260
264
0,1
1,005
19,52
1,232
0,262
275
0,05
0,956
33,3
1,234
0,263
292
0,025
0,824
50,8
1,234
0,264
307
(-•?,) =2
' "земл.
0,995
0,0052
2,00
0
0
0
0,99
0,0105
2,02
0,057
0,0222
18
0,98
0,0210
2,06
0,136
0,0443
37
0,96
0,0422
2,13
0,246
0,0663
55
0,94
0,0638
2,21
0,327
0,0790
66
0,92
0,0858
2,29
0,393
0,0880
74
0,90
0,1080
2,37
0,449
0,0949
80
0,85
0,1651
2,59
0,560
0,1073
92
0,8
0,224
2,82
0,646
0,1159
100
0,75
0,284
3,07
0,714
0,1225
107
0,7
0,346
3,34
0,769
0,1278
113
0,65
0,409
3,64
0,815
0,1322
119
0,6
0,474
3,97
0,852
0,1360
124
0,55
0,538
4,35
0,883
0,1393
128
0,5
0,603
4,79
0,908
0,1422
133
0,45
0,668
5,30
0,929
0,1448
137
0,4
0,732
5,91
0,946
0,1472
142
0,35
0,794
6,67
0,959
0,1493
147
0,3
0,853
7,63
0,969
0,1513
152
0,25
0,907
8,93
0,977
0,1532
157
0,2
0,954
10,79
0,983
0,1550
164
№

Продолжение
IL
z
^земл.'
град.
Q
(-)
г земл.
^земл.’
сек.
-9.) =2
(/земл.
0
0,15
0,989
13,75
0,987
0,1567
172
ОД
1,002
19,28
0,989
0,1583
182
0,05
0,952
33,2
0,991
0,1598
200
0,025
0,822
50,8
0,991
0,1605
215
(—Vi) =3
v *'земл.
0
0,995
0,0078
3,00
0
0
0
0,99
0,0157
3,02
0,047
0,0148
12
0,98
0,0313
3,04
0,111
0,0295
24
0,96
0,0624
3,09
0,201
0,0443
37
0,94
0,0934
3,15
0,268
0,0529
44
0,92
0,1243
3,20
0,323
0,0591
50
0,90
0,1550
3,26
0,370
0,0639
54
0,85
0,231
3,41
0,463
0,0726
62
0,8
0,306
3,57
0,536
0,0788
68
0,75
0,380
3,76
0,595
0,0837
74
0,7
0,452
3,96
0,643
0,0877
78
0,65
0,523
4,20
0,683
0,0911
82
0,6
0,591
4,46
0,717
0,0941
86
0,55
0,657
4,77
0,744
0,0968
90
0,5
0,721
5,13
0,767
0,0992
94
0,45
0,781
5,56
0,787
0,1014
98
0,4
0,838
6,09
0,802
0,1035
102
0,35
0,890
6,76
0,815
0,1054
106
0,3
0,936
7,63
0,824
0,1072
110
0,25
0,975
8,82
0,832
0,1089
115
0,2
1,005
10,57
0,838
0,1106
121
0.15
1,021
13,42
0,841
0,1122
129
ОД
1,016
18,87
0,844
0,1137
139
0,05
0,952
32,8
0,845
0,1153
157
0,025
0,820
50,6
0,845
0,1160
172
109

Продолжение
и
Z
^земл.’
град.
<5
(“)
земл.
*3(1 мл ’
ос? к.
' *'земл.
0
0,995
0,0105
4,00
0
0
0
0,99
0,0209
4,01
0,040
0,0111
9
0,98
0,0416
4,03
0,097
0,0222
18
0,96
0,0827
4,07
0,175
0,0333
28
0,94
0,1233
4,11
0,233
0,0398
33
0,92
0,1633
4,15
0,281
0,0445
38
0,90
0,203
4,19
0,322
0,0481
41
0,85
0,300
4,31
0,404
0,0548
47
0,8
0,393
4,44
0,469
0,0596
52
0,75
0,482
4,58
0,521
0,0634
56
0,7
0,568
4,74
0,564
- 0,0666
59
0,65
0,649
4,93
0,599
0,0693
63
0,6
0,726
5,14
0,630
0,0718
66
0,55
0,797
5,39
0,655
0,0739
69
0,5
0,863
5,69
0,676
0,0759
72
0,45
0,922
6,06
0,693
0,0778
75
0,4
0,974
6,51
0,708
0,0795
79
0,35
1,018
7,08
0,719
0,0812
82
0,3
1,052
7,85
0,729
0,0828
86
0,25
1,076
8,92
0,736
0,0843
91
0,2
1,086
10,52
0,741
0,0859
97
0,15
1,079
13,20
0,745
0,0874
104
0,1
1,048
18,45
0,747
0,0889
114
0,05
0,960
32,3
0,748
0,0904
131
0,025
0,821
50,3
0,749
0,0911
146

ЛИТЕРАТУРА
1. Allen Н., Eggers A. J., Jr., A Study of the Motion and
Aerodynamic Heating of Missiles Entering the Earth’s Atmos¬
phere at High Supersonic Speeds, NACA TN 4047, 1957.
2.	Sanger	E., Raketen-Flugtechnik, R. Oldenbourg,	Berlin, 1933.
3.	Sanger	E., Bredt J., A	Rocket Drive for Long	Range Bom¬
bers, Deutsche Luftfahrtforschung UM 3538 (1944), Translation
COD-32,	Tech. Information	Branch, BUAER, Navy	Department.
4.	E g g e r s	A. J., Jr., Allen	H., a. N e I с e S. E., A	Comparative
Analysis of the Performance of Long-Range Hypervelocity Vehic¬
les, NACA TN 4046, 1957 (Supersedes NACA RM A54L10).
5. О a z 1 e у С., Jr., Masson D. J., A Recoverable Scientific
Satellite, Rand Rep. RM-1844, 1956.
6. Kemp М. H., Riddell F. R., Heat Transfer to Satellite
Vehicles Re-entering the Atmosphere, Jet Propulsion, 27, 2, Feb.
1957, p. 142—137.
7. Ferri A., Feldman L., Daskin W., The Use of Lift for
Re-entry From Satellite Trajectories, Jet Propulsion 27, 11, Nov.
1957, p. 1184—1191.
8. О a z 1 e у С., Jr., Deceleration and Heating of a Body Entering
a Planetary Atmosphere From Space, Rand Rep. P-955, 1957.
9. deVaucouIeursG., Physics of the Planet Mars, Macmillan
Co., New York, 1954.
10. Kuiper 0. P., The Atmospheres of the Earth and Planets,
Univ. of Chicago Press, 1949.
11. Struve O., The Atmospheres of Jupiter and Saturn. Sky and
Telescope, vol. XIII, № 10, Aug. 1954, p. 336—338.
12. Good у R. М., The Physics of the Stratosphere. Cambridge
Univ. Press, 1954.
13. Lees L., Laminar Heat Transfer Over Blunt-Nosed Bodies at
Hypersonic Flight Speeds, Jet Propulsion, 26, 4, Apr. 1956, p.
259-269.
Ill

14.	Romig M.	F., Stagnation Point	Heat Transfer for	Hypersonic
Flow, Jet Propulsion, 26, № 12, Dec. 1956, p. 1098—1101.
15.	D e t	r a	R.	W., Kemp N. H., Riddell F. R., Addendum t0
Heat	Transfer to Satellite Vehicles	Re-entering the Atmosphere
Jet Propulsion, 12, Dec. 1957, p. 1256—1257.
16.	Duane	T.	D., Beckman Edw.	L., Ziegler J. E., Hu n-
ter	H.	N„	Some Observations on	Human Tolerance to Accele¬
rative Stress,	III Human Studies of	Fifteen Transverse	G., J. Avia¬
tion Medicine, 28, 4, Aug. 1955, p.	298—303.
17.	Ed el berg	R., Henry J. P.,	Maciolek Jh.	A., S a I z-
m a n E. W., Zuidema G. D., Comparison of Human Tolerance
to Accelerations of Slow and Rapid Onset., J. Aviation Medicine,
27, № 6, Dec. 1956, p. 482—489.

СОДЕРЖАНИЕ
редисловие 	 5
1едение	 7
нализ	 12
Исходные предпосылки и	допущения	 12
Вывод дифференциального	уравнения	 18
Некоторые полезные величины и их представление через
функцию Z	 25
Некоторые приближенные аналитические решения для
функций Z, полученные из сокращенного основного урав¬
нения 	 31
Некоторые решения для функций Z, полученные из полного
уравнения	 33
’езультаты и их обсуждение	'	 44
Сравнение результатов настоящего анализа с другими
расчетами 	 44
Относительные значения замедления теплового потока и
числа Рейнольдса при входе	в	атмосферу	других планет 48
Влияние подъемной силы на замедление. Тепловой поток и
количество поглощенного тепла при входе в атмосферу
со снижающихся орбит	 51
Вход снарядов без подъемной	силы	при	отклонении с орбит 67
Вход аппаратов с подъемной силой при отклонении
с орбиты	•	 72
Комбинированный тип входа	 75
Сравнение некоторых типов входа	при	«, =	1	 78
Атмосферное торможение	 79
Заключение	 87
Приложение А. Проверка допущений, сделанных в процессе
j решения	 91
113

Приложение Б. Сопряжение настоящего решения с эллипсом
Кеплера
Приложение	В.	Получение некоторых приближенных решений 95
Приложение Г. Интегрирование основного нелинейного урав¬
нения 	Юз
Таблица. Значения функций Z и относительных величин для
LjD =0 и	Ц;	= 1	ю6
Литература	1ц

Д. Р. Чепмен
ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИТИЧЕСКИЙ
МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВХОДА ТЕЛ
В АТМОСФЕРЫ ПЛАНЕТ
Редактор А, А. Шелягина
Художник В. Заикин
Художественный редактор И. Зотова
Технический редактор Л. Харьковская
Корректор Л. Финогснова
Сдано в производство 26/IX 1961 г.
Подписано к печати 18/1V 1962 г.
Бумага 84х1081/3.> = 1,8 бум. л.
5,9 печ. л.
Уч.-изл. л. 5,2. Изд. № 20/0672
Цена 36 к. Зак. 2852
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Типография № 2 нм. Евг. Соколовой
УПП Ленсовиархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29