Расчеты на прочность в машиностроении. Том 1: Теоретические основы и экспериментальные методы. Расчеты стержневых элементов конструкций при статической нагрузке - Феодосьев В.И., Пономарев С.Д., Малинин Н.Н., Бидерман В.Л., Лихарев К.К., Макушин В.М.

Автор: Феодосьев В.И. Пономарев С.Д. Малинин Н.Н. Бидерман В.Л. Лихарев К.К. Макушин В.М.

Теги: машиностроение механика деформируемых тел технология машиностроения прочность

Год: 1956

Похожие

Расчеты на прочность в машиностроении. Том 2. Некоторые задачи прикладной теории упругости. Расчеты за пределами упругости. Расчеты на ползучесть

Прочность и колебания элементов конструкций

Прочность при статическом и повторно-статическом нагружениях

Прочность элементов конструкций из композитных материалов

Текст

С. Д. ПОНОМАРЕВ, В. Л. БИДЕРМАН, К. К- ЛИХАРЕВ-,
В. М. МАКУШИН, Н. Н. МАЛИНИН, В. И. ФЕОДОСЬЕВ
РАСЧЕТЫ
НА ПРОЧНОСТЬ
В МАШИНОСТРОЕНИИ
ТОМ 1
(ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
МЕТОДЫ. РАСЧЕТЫ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ ПРИ СТАТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ)
Под редакцией
д-ра техн, наук проф. С. Д. ПОНОМАРЕВА
МАШГИЗ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1956
В книге излагаются теоретические основы расчетов на
прочность и экспериментальные методы исследования напря-
жений и деформаций, а также расчеты на прочность и жест-
кость стержневых элементов конструкций, при статической
нагрузке.
Освещаются теория напряжений, теория деформаций, за-
висимости между деформациями и напряжениями для упру-
гого тела, экспериментальные методы исследования дефор-
мированного и напряженного состояния, механические свой-
ства материалов.Рассмотрены гипотезы возникновения пластич-
ности, гипотезы прочности, приближенные методы прикладной
теории упругости. Приведены расчеты брусьев, на кручение,
расчеты тонкостенных профилей, инженерные методы расчета
на жесткость, расчеты статически неопределимых машино-
строительных конструкций, основы теории гибких упругих
стержневых систем, а также расчет витых пружин различных
типов и листовых рессор.
Редакция литературы по тяжелому машиностроению
Зав. редакцией инж. С. Я- ГОЛОВИН
ПРЕДИСЛОВИЕ V
Необходимость снижения веса новых машин при улучшении их качества не-
прерывно заставляет уточнять существующие методы расчетов на прочность и
искать решения новых задач, выдвигаемых быстро развивающимся отечествен-
ным машиностроением.
Сложность конструктивных форм деталей машин, большое разнообразие
используемых материалов, специфические условия службы многих элементов
машиностроительных конструкций, воспринимающих, как правило, динамические
нагрузки, часто работающих при высоких температурах, и т. д. предъявляют
к расчетам на прочность, жесткость, устойчивость и вибрацию своеобразные и
повышенные требования.
Широкое внедрение в практику машиностроения тонкостенных элементов
конструкций в форме оболочек, пластин и тонкостенных профилей заставляет
отказаться от привычных стержневых схем и приводит к необходимости значи-
тельного расширения круга рассчитываемых объектов.
В то жег время развитие конструктивных форм деталей неразрывно связано
с необходимостью изучения местных напряжений и разработкой способов сни-
жения опасности концентраторов напряжений различного вида.
Большое значение в практике машиностроения имеют также вопросы иссле-
дования напряжений в местах контакта деталей при их силовом взаимодействии.
В ряде случаев необходимо проводить расчеты с учетом длительности на-
гружения, переменности напряжений во времени, зависимости упругих характе-
ристик материала от температуры и пр.
Элементы проектируемых машин дблжны обладать требуемой долговечно-
стью, что следует предусмотреть в расчете.
При разработке технологических процессов изготовления различного рода
изделий штамповкой, прессованием, прокаткой, волочением и т. п., при опре-
делении мощности оборудования, используемого в этих случаях, при устано-
влении режимов упрочняющей технологии и расчетах деталей по несущей
способности приходится руководствоваться методами прикладной теории пла-
стичности.
Применение конструкций, работающих при высоких температурах, заста-
вляет проводить расчет ряда деталей на ползучесть.
Деформированное состояние многих элементов машиностроительных кон-
струкций следует проверять на устойчивость.
Исключительного внимания заслуживают вопросы вибраций элементов машин*
в процессе их работы.
При проектировании должны широко использоваться методы расчета,, учи-
тывающие динамическое действие сил и опирающиеся на современные предста-
вления об усталостной и ударной прочности материалов.
Таковы требования, предъявляемые практикой к современным расчетам на.*
прочность в машиностроении.
Очевидно, что эффективное решение многих насущных задач в машино-
строении возможно только в том случае, если работники промышленности бу-
дут руководствоваться современными научными методами расчета на прочность,
разработанными применительно к запросам машиностроения > за последние
25—30 лет. '
Г
4
Предисловие
Глубокие знания в области прочности помогут конструкторам новых машин
придавать проектируемым деталям возможно более рациональную форму, опти-
мально облегчать вес элементов конструкций, значительно повышать долговеч-
ность машин в полной мере предупреждать возможность возникновения виб-
раций их частей, полностью устранять опасность потери устойчивости элемен-
тов конструкций, создавать правильную методику расчета агрегатов новой тех-
ники, ускорять процесс проектирования.
Из сказанного видно, какое огромное значение для нашей социалистической
промышленности имеет квалификация инженеров-машиностроителей в области
расчетов на прочность.
В связи с этим авторы книги „Расчеты на прочность в машиностроении"
поставили перед собой задачу изложить в удобной для практического приме-
нения форме современные методы расчета на прочность, жесткость, ползучесть,
устойчивость и вибрацию применительно к все возрастающим запросам отече-
ственного машиностроения.
Этот труд в трех томах составлен на базе предшествующей работы того же
коллектива авторов, опубликованной под названием „Основы современных ме-
тодов расчета на прочность в машиностроении" — I том в 1950 г., II том
в 1952 г. (Машгиз).
Новая книга значительно расширена в сравнении с упомянутыми выше
„Основами". В нее включен ряд новых глав, многие главы полностью перера-
ботаны и пополнены справочным материалом и расчетными примерами из прак-
тики машиностроения.
В книге получили также отражение результаты исследований в области
прочности, проведенные авторами за последнее время.
Первый том включает два раздела: „Теоретические основы расчетов на проч-
ность и экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций" и
„Расчеты на прочность и жесткость стержневых элементов конструкций при
статической нагрузке".
Второй том посвящен расчетам пластин и оболочек, контактным напряже-
ниям, пластичности и ползучести.
В третьем томе рассматриваются расчеты на прочность движущихся элемен-
тов конструкций, теория колебаний элементов конструкций и ее технические
приложения, а также методы расчета на прочность при динамических нагрузках
и методы расчета на устойчивость элементов конструкций.
Рассмотрим более детально содержание первого тома.
Первые три главы „Теория напряжений", „Теория деформаций", „Зависимо-
сти между деформациями и напряжениями для упругого тела и потенциальная
энергия деформаций" составляют тот теоретический фундамент, на котором
базируются основные расчетные приемы, излагаемые далее.
В отличие от традиционного изложения этих вопросов в теории упругости,
в главе I рассмотрены некоторые новые характеристики напряженного состоя-
ния, используемые в современных трактовках гипотез прочности и пластично-
сти. Приведено много примеров аналитического и графического исследования
напряженного состояния.
В главе II дополнительно изложена теория больших деформаций, которая
в настоящее время находит все большее применение при решении ряда прак-
тических задач. Значительное внимание уделяется влиянию температуры на упру-
гие характеристики материала, что важно для расчетов на прочность в машино-
строении.
В главе III, помимо закономерностей для изотропного тела, рассмотрены
также зависимости между напряжениями и деформациями у материалов с раз-
личной анизотропией.
В главе IV „Экспериментальные методы исследования напряжений и дефор-
маций" излагаются современные методы тензометрии, особенности применяемой
аппаратуры и даются указания по правильному выбору ее параметров в прак-
тике.
Предисловие
5
В этой главе рассмотрен также оптический метод исследования, напряжений»
Экспериментальное исследование напряженного состояния деталей является
в настоящее время неотъемлемой частью любого ответственного решения во-
проса в области прочности.
Полное освоение инженерами техники эксперимента в области прочности
является важнейшей задачей.
Глава V „Механические свойства металлов при статических нагрузках" по-
священа проблеме получения действительных механических характеристик, ле-
жащих в основе гипотез прочности, а также необходимых для расчета эле-
ментов конструкций, при наличии пластических деформаций.
Обсуждаются требования, которым должны удовлетворять испытательные
машины и используемые образцы для обеспечения полноценности результатов
испытаний.
Уделяется внимание влиянию температуры и других факторов на прочностные
характеристики материалов.
В главе VI дается критический анализ современных гипотез возникновения
пластичности и гипотез прочности.
Приводятся результаты экспериментальной проверки этих гипотез и сооб-
щаются рекомендации по их применению.
Глава VII знакомит инженеров с приближенными методами прикладной
теории упругости, которые особенно эффективны при расчете сложных эле-
ментов машиностроительных конструкций, не поддающихся точному расчету.
В главе VIII изучается напряженное состояние при кручении брусьев, не-
круглого поперечного сечения.
С этой задачей часто приходится встречаться в практике машиностроения.
Многие из рассматриваемых здесь вопросов решаются приближенными в
численными приемами, опирающимися на вариационные методы теории упругости.
Глава IX посвящена расчету элементов конструкций, составленных из тон-
костенных профилей. Эти расчеты, обладающие большим своеобразием, еще
•относительно мало известны машиностроителям.
Широкое внедрение в инженерную практику тонкостенных конструкций тре-
бует подробного освещения этого вопроса.
При проектировании машиностроительных конструкций всегда большое вни-
мание уделяется вопросам жесткости последних.
В главе X излагаются различные аналитические и графические методы рас-
чета прямых, ломаных и кривых брусьев на жесткость.
Изучаются балки на упругом основании, а также стержни, находящиеся
в условиях продольно-поперечного изгиба.
Как известно, в строительной механике разработано много эффективных ме-
тодов расчета статически неопределимых рамных систем.
При расчете статически неопределимых машиностроительных конструкций осо-
бенно рационально использование так называемого „метода сил", а иногда „ме-
тода деформаций".
В главе XI излагаются основы этих методов и приведены примеры их при-
менения.
В главе XII рассматриваются расчеты гибких упругих деталей при их пло-
ском изгибе в области больших перемещений. Такого рода задачи особенно
часто встречаются в практике приборостроения, и относительно недавно разра-
ботанные эффективные методы их расчета должны быть освоены инженерами.
В главе XIII рассматриваются современные методы расчетов витых пружин
различных конструкций (цилиндрических, призматических, фасонных, много-
жильных). Помимо общетеоретических вопросов напряженного и деформирован-
ного состояния пружин, изложены также и вопросы конструирования пружин
различных видов.
Расчеты пружин с учетом технологии их изготовления приведены во II томе.
Наконец, в последней главе XIV изложен расчет листовых рессор.
Таково краткое содержание первого тома.
6
Предисловие
При рассмотрении таких вопросов, как механические испытания материалов
и, трактовка гипотез возникновения пластичности, при изложении расчетов на
жесткость, расчета на изгиб криволинейных брусьев тонкостенного профиля,
а также расчетов витых пружии, листовых рессор и др. использованы работы
авторов книги, опубликованные в последние годы.
Общее редактирование книги проведено С. Д. Пономаревым, им же напи-
сана глава XIII.
Главы IV, VIII, IX и XIV написаны В. Л. Бидерманом, V и VI — К. К. Ли-
харевым, I, X и XI —В. М. Макушиным, II, III — Н. Н. Малининым, VII и XII —
В. И. Феодосьевым.
Книга построена так, чтобы любую тему можно было изучить самостоятельно,
без необходимости проработки всего труда в целом.
Достаточно только усвоить основные вопросы, изложенные в первом раз-
деле I тома, чтобы потом изучить любую последующую специальную главу как
первого, так и последующих томов.
В конце каждой главы приведена основная литература по излагаемому
вопросу.
Ссылки на литературу в тексте даны в квадратных скобках.
Книга предназначена для инженеров-конструкторов и производственников,
работающих в области машиностроения и связанных с вопросами прочности.
Она также может быть использована студентами, аспирантами и научными ра-
ботниками.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
ГЛАВА I
ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
Задача механики деформируемого твердого тела — это изучение дополни-
тельных внутренних сил (сил упругости), возникающих в телах при их дефор-
мации, и создание на основании этого изучения наиболее рациональных методов
расчета конструкций на прочность.
Первопричина прочности твердого тела — это силы междуатомного сцепле-
ния. Несмотря на весьма крупные успехи физики твердого тела, она еще не
достигла той степени развития, чтобы на основе ее выводов и заключений
можно было производить практические расчеты на прочность реальных мате-
риалов. Действительно, эксперименты показывают, что способность твердых
тел противостоять внешним механическим воздействиям, т. е. их фактическая
прочность,*в десятки и сотни раз меньше теоретического значения сил между-
атомного сцепления. Основная причина столь резкого расхождения теорети-
чески вычисленных значений сил сцепления и практически реализуемой проч-
ности тел — это физико-механическая неоднородность реальных материалов и
неизбежные дефекты их структуры.
В частности, при расчете теоретической прочности предполагается, что кри-
сталлическая решетка имеет идеально правильное строение, между тем как
в действительности кристаллическая структура реальных металлов (поликри-
сталлов) достаточно сильно отклоняется от теоретических схем. Таким образом,
в настоящее время существенным достижением физики твердого тела следует
считать установление только верхнего предела возможной прочности металлов,
главным образом монокристаллов.
В последнее время выдвинута интересная гипотеза о том, что основные эле-
ментарные явления разрушения кристаллов обусловлены потерей упругой устой-
чивости их структуры и могут быть удовлетворительно описаны теорией идеаль-
ной кристаллической решетки [19].
Современная механика деформируемого тела кладет в основу своих иссле-
дований условную рабочую гипотезу о непрерывности или сплошности тел.
Ценность этой гипотезы в том, что она позволяет использовать аппарат ана-
лиза бесконечно малых величин. Рассмотрение сплошной среды, т. е. операции
с непрерывными функциями, значительно проще и практически удобнее, чем
исследование совокупности отдельных дискретных частичек тела. Действитель-
ное прерывное строение тела требует для своего изучения значительно более
сложного математического аппарата.
Эти статистические методы исследования реальных материалов, которые
в будущем, вероятно, приобретут большое значение, в настоящее время нахо-
дятся еще в самой начальной стадии своего развития. Вместе с тем рабочая
гипотеза о непрерывности или сплошности тел, в тесном сочетании с экспери-
ментальными исследованиями, позволяет получать результаты, достаточно хо-
рошо отражающие поведение реальных материалов под действием внешних сил
{нагрузок).
8
Теория напряжений
Рассмотрим деформируемое тело произвольной формы, нагруженное неко-
торой системой внешних сил Р1Ч Р2,... , Рп (фиг. 1). Если на тело наложены
связи, то реакции связей также включены в эту систему сил. Кроме сил, при-
ложенных к поверхности тела, могут существовать еще и силы объемные, т. е.
распределенные по всему объему, занятому телом, например, сила тяжести,
сила магнитного притяжения и т. д.
Отнесем тело к произвольной прямоугольной системе координат xyz. До-
пустим, что под действием рассматриваемой системы сил тело находится в рав-
новесии. В этом случае силы системы удовлетворяют шести условиям равно-
весия:
2Л=0; = ypz = oq
1^=0; %м2 = о, ) (О
ции на координатные оси всех
Р?
Фиг. 1.
положении сил, которые вызываются
Левые части первых трех уравнений равновесия представляют собой проек-
ующих на тело сил; левые части второй
группы уравнений выражают моменты этих
сил относительно координатных осей.
Если тело способно деформироваться у
т. е. изменять свои размеры под дей-
ствием приложенных сил, то уравнения
равновесия (1), строго говоря, должны
быть составлены с учетом изменения рас-
положения сил относительно координат-
ных осей, обусловленного деформацией
тела. Но поскольку в подавляющем боль-
шинстве случаев в связи с деформацией
тела возникают только весьма малые пе-
ремещения отдельных точек тела по срав-
нению с его первоначальными размерами,,
то, как правило, уравнения (1) составля-
ются применительно к размерам недефор-
мированного тела. Другими словами, ПО'
малости перемещений можно пренебрегать
теми изменениями в относительном рас-
деформацией тела.
Под действием внешних поверхностных и объемных сил в теле возникают
внутренние силы упругости, т. е. дополнительные силы взаимодействия между
частичками тела, обусловленные его деформацией.
Рассечем мысленно тело некоторой поверхностью (чаще всего плоскостью)
на две части. Очевидно, что при составлении уравнений равновесия (1) приме-
нительно к рассматриваемой части тела (фиг. 2) в них необходимо включить
также внутренние силы, распределенные по сечению и выражающие действие
.отброшенной части тела на рассматриваемую.
Используя уравнения равновесия (1) для одной из частей тела, можно вы-
числить проекции на координатные оси главного вектора и главного момента
внутренних сил, распределенных по рассматриваемому сечению. Более деталь-
ное исследование внутренних сил, т. е. установление закона их распределения
по сечению, не может быть произведено применением только одних уравнений
равновесия.
В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемое нами тело обладает
свойством сплошности, т. е. способностью заполнять весь объем, занимаемый
материалом тела, без всяких пустот.
Величина, характеризующая интенсивность распределения внутренних сил
по сечению, называется напряжением.
Допустим, что А (х, у, z) — некоторая точка сечения тела (фиг. 3). Выделим
в окрестности точки А элемент AF площади сечения. Пусть — внешняя нор-
Основные понятия и обозначения
9
маль к элементу площади AF. Обозначим направляющие косинусы этой нормали,
т. е. косинусы углов ах, ау, az, образованных нормалью v с координатными
осями х, у, Z, через /, ;п, п. Внутренние силы, распределенные по этому эле-
менту площади, заменим главным вектором Д7\ приложенным в точке Д. Глав-
ным моментом Д£ тех же сил относительно точки Д, по малости рассматривае-
мого элемента площади, можно пренебречь.
Отношение величин Д7 к AF характеризует среднюю интенсивность рас-
пределения внутренних сил по элементарной площадке. При стремлении эле-
ментарной площадки AF к нулю изменяется как направление главного век-
тора Д7\ так и его величина, которая также стремится к нулю. Вместе с тем
из физических соображений можно заключить, что предел отношения ДТ к AF»
при стремлении AF к нулю путем стягивания площадки к точке А. имеет вполне
определенное значение. Этот предел представляет собой истинную интенсивность
внутренних сил или напряжение р? в точке А по площадке с нормалью v:

(2)
AF —>0
Очевидно, что рассматриваемый предельный переход имеет смысл только
при условии непрерывного распределения внутренних сил в окрестности
точки Д. '
Для определенной площадки, проходящей через рассматриваемую точку
тела напряжение есть векторная величина, модуль которой определяется вы-
ражением (2). Направление вектора напряжения совпадает с предельным
положением главного вектора ДГ при стягивании элемента площади LF
к точке Д.
Условимся в дальнейшем выражать силы в кг, а линейные размеры в см\
тогда размерность напряжения будет кг/см2.
Целесообразно ввести в рассмотрение две составляющие полного напря-
жения проекцию вектора р? на нормаль v к площадке, т. е. нормальное
напряжение av, и проекцию вектора р? на плоскость элементарной площадки
AF— касательное напряжение tv.
В дальнейшем, при рассмотрении механизма деформации и разрушения пла-
стических и хрупких тел (см. гл. IV и VI). будет показано, что это разложение
вектора на составляющие av и обосновано физически, а не является только
формальным приемом, облегчающим изучение напряженного состояния.
10
Теория напряжений
§ 2. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА
Рассмотрим произвольную точку внутри деформированного тела. Очевидно,
что через точку можно провести множество различно ориентированных пло-
щадок (связку плоскостей). Каждой из площадок соответствует свой вектор
полного напряжения Совокупность векторов напряжений во всех площадках,
проходящих через рассматриваемую точку, характеризует собой напряженное
состояние в этой точке.
Напряженное состояние в точке тела вполне определяется заданием векторов
напряжений в трех взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через
эту точку. Зная величины и направления нормального и касательного напря-
жений в указанных трех площадках, которые принимаются за координатные
Фиг. 4.
плоскости некоторой прямоугольной си-
стемы координат, образуемой пересече-
нием упомянутых трех площадок, можно
вычислить напряжения в любой площадке,
проходящей через рассматриваемую точку,
если известны направляющие косинусы Z,
/п, п нормали v к этой площадке, по
отношению к выбранным осям. Доказа-
тельство этого положения дано в настоя-
щем параграфе несколько ниже. Поэтому
нормальные и касательные напряжения в
указанных координатных плоскостях на-
зываются составляющими или компонентами
напряженного состояния в данной точке.
Рассмотрим обозначение нормальных
и касательных напряжений в координатных
плоскостях. Например, полное напряже-
ние рх в координатной плоскости yOz,
т. е. в площадке с нормалью х, в общем случае раскладывается на три напра-
вления, параллельные осям координат. Одна из составляющих представляет
собой нормальное напряжение, а две другие — касательные напряжения (фиг. 4).
Обозначение составляющих касательного напряжения имеет два индекса:
первый индекс указывает координатную ось, нормальную к площадке действия
напряжения; второй индекс — координатную ось, которой рассматриваемая
составляющая касательного напряжения параллельна. Следовательно, составляю-
щие касательного напряжения в плоскости yOz получат обозначения хху и тхг
Для нормального напряжения оба эти индекса совпадают и поэтому заменяются
одним, так что нормальное напряжение в плоскости yOz обозначается ах.
Таким образом, в трех координатных плоскостях, проходящих через рас-
сматриваемую точку, в общем случае могут иметь место следующие нормальные
и касательные напряжения:
плоскость yOz .
плоскость zOx .
плоскость хОу .
ат т
• -Г> -z’
• • ау, Туз> ТуХ’
’ * XZy*
(3)
Считая эти девять составляющих напряженного состоянии известными, опре-
делим нормальное и касательное напряжения по некоторой площадке, прохо-
дящей через рассматриваемую точку (начало координат) и определяемой нор-
малью v с направляющими косинусами /, /п, и.
Для этого изучим равновесие элементарной пирамиды ОАВС (фиг. 4),
образованной тремя координатными плоскостями, проходящими через рассмат-
риваемую точку, и четвертой плоскостью, весьма близкой к началу координат
и имеющей нормаль v. Рассматривая напряжения как непрерывные функции
координат точки, можно пренебречь различиями в величине напряжений в пло-
Напряженное состояние в точке тела
11
щадке, проходящей через рассматриваемую точку, и в параллельной площадке,
весьма мало удаленной от этой точки.
Введем следующее правило знаков для составляющих напряжения в коорди-
натных плоскостях, называемое правилом внешней нормали. Для площадок,
у которых внешняя нормаль (нормаль, направленная вне рассматриваемого тела)
совпадает с положительным направлением соответствующей координатной оси,
составляющие напряжения считаются положительными, если их направления
также совпадают с положительными направлениями координатных осей. Анало-
гично для площадок, у которых внешняя нормаль совпадает с отрицательным
направлением координатной оси (например, для трех координатных граней пира-
миды О АВС), составляющие напряжения считаются положительными, если их
направления также совпадают с отрицательными направлениями координатных
осей. Таким образом, все составляющие напряжений в координатных плоско-
стях, изображенные на фиг. 4, положительны.
Заметим, что согласно изложенному правилу знаков положительное нормаль-
ное напряжение представляет собой напряжение растяжения, а отрицательное—
сжатия. В противоположность этому знак составляющих касательного напряже-
ния имеет только формальное значение.
Искомое полное напряжение в наклонной грани АВС пирамиды разложим
на составляющие Zv, параллельные координатным осям. Предположим,
что направления этих составляющих совпадают с положительными направле-
ниями соответствующих координатных осей.
Обозначим площадь наклонной грани АВС рассматриваемой элементарной
пирамиды через AF. Тогда площади трех остальных граней пирамиды с норма-
лями х, у, z будут соответственно равны AF-l, AF-m, AF-n, где, как уже
указывалось, Z, /п, п — направляющие косинусы нормали v к наклонной
грани АВС. *
Если отрезки 04, ОВ, ОС, отсекаемые на координатных осях наклонной
гранью АВС пирамиды, рассматривать как малые величины первого порядка,
то площадь какой-либо грани пирамиды представляет собой величину второго
порядка, а объем пирамиды — величину третьего порядка малости. В уравнения
равновесия пирамиды входят как поверхностные силы, представляющие собой
произведения составляющих напряжений на площади соответствующих граней,
так и объемные силы, например, вес пирамиды и т. д , которые пропорцио-
нальны объему пирамиды. Очевидно, что если поверхностные силы рассматри-
вать как величины второго порядка малости, то объемные силы будут пред-
ставлять собой величины третьего порядка.
При написании условий равновесия элементарной пирамиды существенно
также учесть, что напряжения по малости выделенного элемента объема могут
считаться равномерно распределенными по площади соответствующих граней.
Принимая во внимание сказанное, составим теперь три уравнения равновесия
пирамиды (суммы проекций сил на координатные оси1, при этом объемными
силами как величинами высшего порядка малости можно пренебречь.
Тогда находим, что
XVAF — vxAFl — xyxAFm — ^zxAFn = 0;
FVAF — ^xvAFl — avAFm — tzAFn — 0;
лу у &y
ZAF — t'AFl — TvAFm — azAFn — 0,
' Л4 y% 4 1
откуда получаем выражения для составляющих полного напряжения р, в наклон*
ной грани пирамиды:
X = <зх/ 4- тухт + хгхп;
Y, =
Z, = ixzl + xv,m 4- огп.
(4)
12
Теория напряжений
Существенно, что в выражения (4) не вошли размеры элементарной пирамиды,
в частности, расстояние от рассматриваемой точки тела (начало координат) до
наклонной грани пирамиды. Это обстоятельство позволяет утверждать, что по-
лученные выражения справедливы и в предельном случае неограниченного при-
ближения наклонной грани к началу координат. Другими словами, формулы (4)
можно рассматривать как выражения для составляющих Zv полного
напряжения в площадке, параллельной наклонной грани пирамиды и прохо-
дящей через начало координат.
Из зависимостей (4) следует, что проекции на координатные оси полного
напряжения в произвольной площадке с нормалью v, проходящей через рас-
сматриваемую точку тела, выражаются линейно через девять составляющих на-
пряженного состояния в той же точке. Полученные соотношения (4) являются
одними из основных формул теории
напряжений. •
Величина полного напряжения
в площадке с нормалью v определяется
как диагональ прямоугольного парал-
лелепипеда с ребрами Xv, Fv, Zy.
р, = + . (5>
Нормальное напряжение av в рас-
сматриваемой площадке определяется
как сумма проекций на нормаль v най-
денных выше составляющих Ху, Уу,
Zv полного напряжения:
av = XJ -h 4- Zvn. (6)
Тогда касательное напряжение в
той же площадке с нормалью v равно
= —а*. (7)
Таким образом полученные выражения (5) — (7) позволяют определить на-
пряжение в любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку, если
известны девять компонентов напряженного состояния в трех взаимно перпен-
дикулярных плоскостях, проходящих через эту точку.
Составляя еще три условия равновесия элементарной пирамиды, оставшиеся
ранее неиспользованными, легко показать, что из девяти компонентов напря-
женного состояния независимыми являются только шесть.
С этой целью введем новую координатную систему х', у , z' (фиг. 5),
начало которой О' совпадает с центром тяжести наклонной грани АВС пира-
миды, а оси параллельны соответствующим осям системы х, у. z.
Обозначим длины ребер 04, О^, ОС пирамиды, совпадающие с координат-
ными осями х, у, z, соответственно через Дх, by, Az. Тогда координаты но-
вого начала О' будут
1 а 1А 1а
-З-Ду, -з-Дг.
Заметим, что центры тяжести граней АОВ, ВОС, СОА совпадают с проекциями
на соответствующие координатные плоскости точки О' (центра тяжести грани АВС)-
Поскольку напряжения по малости выделенного элемента объема принима-
ются распределенными по площади соответствующих граней, постольку поверх-
ностные силы, действующие на пирамиду, можно рассматривать приложенными
в центрах тяжести соответствующих граней (фиг. 6).
Таким образом, при составлении сумм моментов относительно осей х', у' z'
силы, распределенные по наклонной грани АВС пирамиды, не войдут в эти
уравнения.
Напряженное состояние в точке тела
13
Дополнительно учтем, что при составлении, например, суммы моментов от-
носительно оси х' силы
ar»AF*Z, т -AF’/n,
х 1 ух 9 АХ
параллельны этой оси, а силы
Txy«AF-Z, txj2«AF-Z, ay-AF-zn, a^-AF«n
пересекают эту ось (фиг. 6). Отсюда следует, что в рассматриваемое условие
равновесия войдут моменты только двух поверхностных сил, а именно:
т -AF«/n и Ty-AF’/z
уъ
(объемными силами, как малыми
высшего порядка, пренебрегаем).
Тогда уравнения моментов от-
носительно осей х', у', z' сил,
действующих на рассматриваемый
элемент объема, имеют следую-
щий вид:
Tv,AFm 4- Дг = 0;
л* О “У О
TZJ.AFn 4- Az — 4 Дх = 0;
** 3 3
tx №1 Дх — т АУ = 0 •
л/ о У'* о
Величины
4-ДГ/Дх/4-Л^"гЛу. 4-Д^лДг
3 о о
Фиг. 6.
У
равны между собой, так как они
объема рассматриваемой пирамиды, и,
представляют собой различные выражения
следовательнр, из написанных выше трех
условий равновесия следует, что
tyz == ^zy» ^Zx ^xz> Хху :== Тух’ (®)
т. е. составляющие касательных напряже-
ний в двух взаимно перпендикулярных
площадках, нормальные к линии пересе-
чения этих плоскостей, равны между
собой. В этом и состоит так называемое
свойство парности или взаимности каса-
тельных напряжений.
Выше было показано, что напряженное
состояние в точке тела вполне опреде-
ляется заданием его компонентов, т. е.
трех нормальных напряжений и шести
составляющих касательных напряжений
(попарно равных между собой) в коорди-
натных плоскостях, проходящих через рассматриваемую точку тела.
Зная девять компонентов напряженного состояния, можно вычислить полное,
нормальное и касательное напряжения в любой площадке, проходящей через
рассматриваемую точку. Поэтому, желая изобразить напряженное состояние
в рассматриваемой точке тела, достаточно показать компоненты напряженного
состояния в трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостях (см. фиг. 4).
Однако в приложениях часто используется и несколько другое представле-
ние компонентов напряженного состояния в точке тела. В окрестности рассмат-
риваемой точки выделяют элемент объема в виде прямоугольного параллеле-
пипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. По граням вы-
деленного элемента изображают составляющие напряжений в соответствующих
14
Теория напряжений
плоскостях (фиг. 7). Так как напряженные состояния в различных точках тела,
вообще говоря, различны, то величины соответствующих составляющих напря-
жения в двух параллельных гранях элемента в общем случае не равны между
собой, и только в том случае, когда размеры ребер элементарного параллеле-
пипеда, при стягивании его в точку, становятся исчезающе малыми величи-
нами, можно пренебречь и различиями в величине этих напряжений. Другими
словами, в этом предельном случае параллельные грани параллелепипеда можно
рассматривать как две стороны одной и той же координатной плоскости.
§3. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРЕ НАПРЯЖЕНИЙ И ЕГО РАЗЛОЖЕНИИ
НА ШАРОВОЙ ТЕНЗОР И ДЕВИАТОР
Обратимся теперь к рассмотрению преобразования компонентов напряжен-
ного состояния в точке тела при изменении положения координатных осей (при
вращении координатной системы).
Примем рассматриваемую точку деформированного тела за начало О прямо-
угольной системы координат х, у, z. Тогда напряженное состояние в рассмат-
риваемой точке тела полностью характеризуется нормальными и касательными
напряжениями в координатных плоскостях:
плоскость yOz .... аг, тху, тх2;
плоскость zOx. . . . сг, тм2, т •
У’ У* Ух
плоскость хОу.... а2, т2г, т2„.
Перечисленные напряжения представляют собой компоненты напряженного
состояния в системе координат х, у, z
Введем в рассмотрение новую систему координат х', у', zr, положение
которой относительно прежней системы х, у, z определяется с помощью следу-
ющих девяти направляющих косинусов, сведенных в таблицу:
• I X у Z
х' 1Х т1 пх
У ^2
z' /3 т3 п3
Теперь напряженное состояние в рассматриваемой точке тела можно охарак-
теризовать нормальными и касательными напряжениями в координатных пло-
скостях новой системы:
плоскость y'Oz' . . . axr, txzyS
плоскость z'Ox’ . . . Qyf, туХ';
плоскость x Оу . . . azr , ^z'x' , ^2гуг •
Естественно, возникает вопрос о взаимной зависимости компонентов напряжен-
ного состояния в координатных системах xyz и x'y'z'.
Начнем с рассмотрения напряжений по площадке, нормаль v к которой сов-
падает с новой осью х'.
Используя формулы (4), легко выразить проекции полного напряжения рхг
в этой площадке на старые оси х, у, z через компоненты напряженного состо-
яния в той же системе координат. Действительно, замечая, что косинусы углов,
образованных нормалью х' с осями х, у, z, обозначены соответственно через.
п19 имеем следующие выражения для искомых проекций:
= °х11 + Хухт1 + ^хп1’
Ух' = Хху11 + «y^l + Tzy«P
Zx' = txzli + + сг«1-
Тензор напряжений и его разложение на шаровой тензор и девиатор
15
Заменяя направляющие косинусы тпА, п-^ соответственно через Z2, /и2» Л2>
можно получить проекции ХуГ, Zy на старые оси полного напряжения
по площадке, нормальной к новой оси у\ при использовании Z3, /п3, п3 можна
получить проекции Xz>, Yz>, Zz> полного напряжения pz< в площадке с нор-
малью z .
Перейдем теперь к нахождению проекций полных напряжений pxt, р<», pz>
в рассматриваемых площадках на новые оси х', у , z'. Предварительно заметим,
что проекция равнодействующей на какую-либо ось равна сумме проекций
ее составляющих. В соответствии с этим, проектируя составляющие Хх>, Yx<,
Zxt полного напряжения рх> на новые оси х', у , z' и используя приведенную
выше таблицу направляющих косинусов, приходим к следующим выражениям для4
трех компонентов напряженного состояния в новой системе координат:
axZ — XxrlY Ух'Щ + £Х'П1\
?х'у' —Хх'12-Ь- Yxrin2-\- ZX'
xx,z, =Хх^-\-Ух.щ-\-7,х>пг
Здесь учтено, что проекция полного напряжения рх> на ось х' представляет
собой нормальное напряжение, а две другие проекции на оси у' и z' — каса-
тельные напряжения.
Аналогично, рассматривая проекции полных напряжений ру> и pzf на новые
оси, получаем выражения для остальных шести компонентов напряженного со-
стояния в новой системе координат.
Внося в выражения для всех девяти компонентов напряженного состояния
полученные выше значения проекций напряжения в новых координатных пло-
скостях на старые оси и используя свойство парности касательных напряжений,
находим, что
Ох' = + а2я? -4- 4- 2тугги1п1 +
+ ауте2 4 «г«2 + 2rxy/2zre2 н- 2ту2/п2/г2 +- 2тгхя2/2;
= ах/з 4- аупг! 4- 4- 2Tzy/3m3 4- 2ту2/и3га3 4- 2тг v/z3/8;
гх,у, = Ty,x, = <зх1х1г 4- ауяг,пг2 4- <згп^ +
4 (4«гг + 4mi) + V + тгпЛ + 4 г («14 + «г4)*
ту'г'== тг'у' == ®х44 4~ ®у«4«4 Ч- °z«2«3 Ч”
4- 4у (4«г3 + 4«гг) + Tyz (тгпз + «Ч«г) + 4x(«2Z3 + «з4);
?г'х' = ^x’z’ = MsZl 4- ^«^«h + °г«3«1 4-
+ (4z«i 4 4Z«3) 4- V (отз«14 z«i«s) 4- Xzx <Jhli 4- «14)-
(9>
Полученные формулы (9) и представляют собой искомые выражения для
компонентов напряженного состояния в системе координат x'y’z' через компо-
ненты в системе координат xyz.
Установленная зависимость между компонентами напряженного состояния,
при переходе путем поворота от одной системы координат к другой, имеет
существенное теоретическое значение, так как позволяет рассматривать напря-
женное состояние в точке тела как особую тензорную величину, являющуюся
обобщением понятия—вектор [7].
Подобно тому, как, например, при движении тела скорость какой-либо его
точки есть вектор, не зависящий от системы координат, в которой он определен,
хотя проекции этого вектора и будут различны в разных координатных систе-
мах, так и напряженное состояние в точке тела есть некоторая величина, не
зависящая от выбора координатных осей. Эта величина называется тензором
напряжений, а напряжения в координатных плоскостях или компоненты напря-
женного состояния—компонентами тензора.
16
Теория напряжений
Если вектор или тензор первого ранга определяется заданием трех скаляр-
ных величин—проекций вектора на координатные оси, то тензор второго ранга
определяется уже заданием девяти величин. Этими девятью величинами для
напряженного состояния в точке тела являются нормальные и касательные на-
пряжения в трех координатных плоскостях, проходящих через рассматриваемую
точку.
Более строгое определение понятия—тензор и общие свойства тензорных
величин—рассматриваются в специальном разделе математики—тензорном исчис-
лении [5]. Тензорное исчисление используется во многих дисциплинах, как,
например, гидродинамика, теория упругости, теория пластичности и т. п.
Как числа и как векторы, тензоры можно складывать, вычитать, умножать.
Так, суммой двух тензоров называется новый тензор, компоненты которого
равны суммам соответствующих компонент слагаемых тензоров. Умножить тен-
зор на скаляр (число)—значит умножить на это число каждый его компонент.
Примем следующее обозначение для тензора напряжений:
^ук ^ZX
Хху Qy ^Zy
Txz Tyz °z
(10)
Каждый вертикальный столбец тензора Та образован составляющими пол-
ного напряжения в одной из координатных плоскостей. Каждая горизонтальная
строка тензора образована напряжениями в координатных плоскостях, парал-
лельными одной из координатных осей.
Заметим, что принятая форма записи тензора, конечно, не должна давать
основание для смешивания тензора с определителем, образованным из компо-
нентов тензора.
Вследствие закона парности касательных напряжений компоненты тензора
напряжений, расположенные симметрично относительно главной диагонали тен-
зора (диагонали, проходящей через нормальные напряжения аЛ, ау, az), равны
между собой.
Это свойство касательных напряжений позволяет назвать тензор напряжений
симметричным тензором второго ранга. Можно сказать, что формулы (9) пред-
ставляют собой преобразование симметричного тензора второго ранга при вра-
щении координатной системы.
В дальнейшем при рассмотрении деформированного состояния в точке тела
(гл. II) будет обоснована целесообразность разложения тензора напряжений на
две составляющие — шаровой тензор Гб0 и девиатор напряжений £)а:
а0 0 0
0 а0 0
0 0 а0
где
ах °0 Тух Tzx
^ху Qy ао TZy
Xxz Tyz Qz °o
°0 = -g" (CTX + °y 4" °z)
(И)
(12)
(12a)
представляет собой среднее значение нормальных напряжений в координатных
плоскостях.
Другими словами, произвольное напряженное состояние в точке тела можно
представить как наложение двух напряженных состояний: одно, характеризуе-
мое одинаковыми нормальными напряжениями в координатных плоскостях
(„равноосное* напряженное состояние), и другое, характеризуемое наличием
в координатных плоскостях нормальных напряжений ах— а0, а — ав, — а0
Главные напряжения и- главный площадки
17
и касательных напряжений = тух, ryz = т2у, xzx = txZ. Существенно, что
для девиатора напряжений алгебраическая сумма нормальных напряжений в ко-
ординатных плоскостях обращается в нуль. Очевидно, что первое напряженное
состояние (шаровой тензор) представляет собой всестороннее равномерное растя-
жение или сжатие, а второе (девиатор напряжений) — характеризует отличие
(уклонение) заданного напряженного состояния от всестороннего равномерного
растяжения или сжатия.
§ 4. ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ГЛАВНЫЕ ПЛОЩАДКИ
Напряженное состояние в какой-либо точке вполне определяется заданием
напряжений в трех координатных плоскостях, проходящих через эту точку.
При произвольном выборе положения координатных плоскостей в каждой из
них, вообще говоря, ймеется и нормальное и касательное напряжения. В этом
общем случае напряжения в произвольно ориентированной площадке (площадка
с нормалью v) выражаются через напряжения в координатных плоскостях от-
носительно сложными формулами (4).
Естественно, возникает вопрос о возможности упрощения этих выражений
с помощью специального выбора положения исходной прямоугольной системы
координат.. Ниже будет показано, что, вообще говоря, в каждой точке тела
существуют три взаимно перпендикулярные плоскости, свободные от касатель-
ных напряжений и носящие название главных площадок. Нормальные напряже-
ния в этих площадках называются главными напряжениями или главными нор-
мальными напряжениями.
Если совместить координатные плоскости с главными площадками, то из
девяти компонентов напряженного состояния шесть обратятся в нуль, и выра-
жения, для напряжений в произвольно ориентированной площадке существенно
упрощаются?
Обратимся к определению положения главных площадок и выяснению вели-
чины главных напряжений. Предположим, что наклонная грань АВС элементар-
ной пирамиды ОАВС (фиг. 4) уже представляет собой одну из главных пло-
щадок. Тогда в этой площадке существует только нормальное напряжение а.
Проекции этого напряжения на координатные оси равны
Х^ — al, Yy, = am, = an, (13)
где I, т, п — направляющие косинусы нормали к искомой главной площадке.
Подстановка выражений (13) в зависимости (4) дает, что
К — °)1 + zyXm + ^ХП = 0;
V/ + (°у — °) т + = °;.
^хг1 + + (вг — в)« = 0-
(14)
Полученные выражения (14) можно рассматривать как систему трех линей-
ных однородных уравнений относительно искомых направляющих косинусов
I, т, п нормали v .главной площадки АВС. Так как ....
Z2 4-zn2я2 = 1,
(15)
то неизвестные 7, т, п не могут все одновременно обращаться в нуль.
Используем известную теорему алгебры: если некоторые неизвестные системы
линейных однородных уравнений отличны от нуля, то определитель, состаблен-
йый из коэффициентов уравнений, равен нулю. Другими словами, равенство
нулю определителя является условием совместности рассматриваемых уравнений.
Определитель, образованный из коэффициентов уравнений (14), имеет сле-
дующий вид:
Хух Qzx
—a Tzy .
2 Пономарев и др. 407
(16)
18
Теория напряжений
Раскрываем определитель Д и приравниваем его нулю. После элементарных
преобразований приходим к следующему кубическому уравнению (так называ-
емому вековому уравнению):
оз_/1О2_/2О_/з = 0> (17)
корни которого дают величины искомых главных напряжений.
Коэффициенты уравнения (17) могут быть представлены в следующем виде:
Л = °Х + °У + °Z’
(18)
2 2 2
= axay°z — axTyz GyTzx azTxy +
Таким образом, коэффициент /2 представляет собой определитель третьего
порядка, образованный из девяти компонентов напряженного состояния в точке
тела.
Коэффициент /2 является суммой алгебраических дополнений или миноров
определителя /3 соответствующих элементам его главной диагонали.
Наконец, коэффициент представляет собой сумму элементов главной диа-
гонали определителя /3.
Как известно из высшей алгебры [29], кубическое уравнение с действи-
тельными коэффициентами, в зависимости от соотношений между величинами
своих коэффициентов, имеет или один действительный и два комплексных со-
пряженных корня или три действительных корня.
В теории квадратичных форм [18], а также при исследовании уравнений
поверхностей второго порядка [3] доказывается, что для рассматриваемого
нами векового уравнения Д — 0 все три корня вещественны. Доказательство
этого положения основывается на симметрии определителя (16) относительно
своей главной диагонали, т. е. на использовании свойства взаимности касатель-
ных напряжений.
Убедимся в справедливости сказанного. Обозначим корни уравнения (17), т. е.
искомые главные напряжения, через а2, аз» а нормали к соответствующим площадкам —
через v2, v3- Вносим значение 0 = ^8 уравнения (14), умножаем каждое из уравне-
ний соответственно на /2, п2 (направляющие косинусы нормали n2) и, складывая все
уравнения, получим
[(ах — aj) + тзхЛ1] ^2 + [тху^1 + (ау а1) т1 тзул1] т2~\-
“Ь [Txz^i + xyzmi + (az — ai) л1] === 9. (19)
Используя аналогичным образом значение корня a = a2, умножая каждое из уравне-
ний (14) на направляющие косинусы нормали vj и опять складывая их, получим
[(СХ —’ сг) h + Tyxm2 + т2Хл21 h + [тху^2 + (ffy — °2) т2 + тзуЯ2] т1 +
* + [Txz^2 + тух^2 + (az — аг) Л21 = 9. (20)
Вычитая уравнения (19) и (20) одно из другого и используя свойство взаимности
касательных напряжений, после ряда элементарных преобразований приходим к следую-
щему результату:
(в1 — °г) mim2 ~Ь = 9.
Исключая случай равенства главных напряжений ах и а2 между собой, имеем
^1^2 “F mjn% + #1^2 ~ 9» (21)
Предположим теперь, что и а2 — сопряженные комплексные величины, т. е.
а1 = а + bi и а2 = а — Ы.

Главные напряжения и главные площадки
19
Тогда, внося поочередно эти комплексные величины о = о-» и а = а2 в систему урав-
нений (14), заключаем, что /7 и /2, и ти2, п1 и пг ‘Должны быть также комплексными
сопряженными величинами. Но произведение двух сспряженных комплексных величин
есть величина положительная, и таким образом левая часть зависимости (21) отлична
от нуля, что противоречит правой части этого выражения.
Таким образом, предположение о том, что два корня кубического уравнения (17)
являются комплексными величинами, не отвечает действительности, и, следовательно,
все три корня этого уравнения вещественны.
Итак, в каждой точке деформированного тела существуют три главных на-
пряжения, соответствующие трем площадкам, свободным от касательных напря-
жений — так называемым главным площадкам.
Условимся в дальнейшем придерживаться следующих обозначений для главных
напряжений:
Qj > а2 > аз-
Таким образом, через о-, обозначено наибольшее и через g3— наименьшее
из главных напряжений, в алгебраическом смысле (с учетом знака).
Поскольку было установлено, что в точке существуют, вообще говоря, три
главных напряжения gp g2, g3, которые являются корнями уравнения (17), по-
стольку очевидно, что эти корни не должны зависеть от выбора координатной
системы, а следовательно, и коэффициенты /,, /2, /3 уравнения (17) также
представляют собой инварианты напряженного состояния, т. е. и они не зависят
от выбора исходной системы координат.
Установление физического смысла инвариантов напряженного состояния тре-
бует предварительного рассмотрения деформаций и знания зависимостей между
деформациями и напряжениями. Это и будет сделано ниже, в гл. III.
Выясним теперь относительное расположение главных площадок. Полученное
выше выражение (21) представляет собой условие взаимной перпендикулярности
нормалей и v2, т. е. нормалей к двум главным площадкам. Совершенно ана-
логично доказывается взаимная перпендикулярность нормалей v2 и v3 и нормалей
v8 и Следовательно, три главные площадки в каждой точке деформирован-
ного тела взаимно перпендикулярны.
Выше рассматривался общий случай, когда величины всех трех главных
напряжений различны.
Если окажется, что какие-либо два главных напряжения, соответствующие,
например, площадкам с нормалями v2 и v3, равны между собой (о2 = а3\ то
можно показать (см. § 5), что все площадки, перпендикулярные к площадке
с нормалью vp являются главными и нормальные напряжения в них равны
между собой. В том частном случае, когда все три главных напряжения равны
между собой, все площадки, проходящие через рассматриваемую точку, сво-
бодны от касательных напряжений и поэтому являются главными.
Расположение главных площадок относительно произвольно выбранной ко-
ординатной системы xyz, т. е. направляющие косинусы нормалей к главным
площадкам, вычисляются из уравнений (14). Для определения, например, на-
правляющих косинусов Zj, т19 нормали вносим в уравнения (14) первый
корень кубического уравнения (17), т. е. полагаем в них а = оР При этом
условии уравнения (14) становятся совместными.
Представим их в следующем виде:
+ V ^7 + ^ = 0;
т^ + V-5- + (°3-°i) = 0-
(22)
2*
20
Теория напряжений
Определим из любых двух уравнений (22) величины отношений
(23)
, Подстановка найденных
приводит к соотношению
значений аг и Ьг в зависимость
4+&1+1 =-V’
nt
откуда искомая величина
(24)
Два других направляющих косинуса определяются как
= а1п1 и т1 = Ь\П{.
Найденные
ние нормали
направляющие косинусы 1}
к площадке действия глав|
, пх вполне определяют положе-
юго напряжения Совершенно ана-
логично определяются направляющие
косинусы нормалей v2 и v3 к двум
другим главным площадкам.
То обстоятельство, что в каждой
точке деформированного тела обна-
ружены три взаимно перпендикуляр-
ные главные площадки, свободные
от касательных напряжений, можно
использовать с целью значительного
облегчения дальнейшего исследова-
у" ния напряженного состояния.
няд-гСовместим координатные плоско-
сти с главными площадками, напри-
’ .. мер, так, чтобы ось х оказалась нор-
мальной к площадке напряжения ах,
/ • q3 ось У — нормальной к площадке
( / напряжения а2 и OGb z — нормальной
к площадке напряжения а3 (фиг. 8).
Фиг. 8. Тогда, согласно зависимости (4), coJ
ставляющие полного напряжения
в площадке, произвольным образом наклоненной к главным площадкам, равны
*^ = аА/, Z^ = o3n. . , (25)
Подстановка значений Yy, Z, по зависимости (25) в формулы (5) — (7)
позволяет выразить • полное pv, нормальное av и касательное tv напряжения
в произвольно ориентированной площадке через главные напряжения а1э а2> а3.‘
Имеем:
Р» = Р (°1/)2 + (°г'«)2 + (С3«)2; (26)
а2/п2 + a3zz2;
(27)
= У(а^)2 + (o2m)2 + (а3л)2 — (а,/2 + a2m2 -f- a3n2)2 . (28)
Таким образом, совмещение координатных плоскостей с главными площад-
ками позволяет получить сравнительно простые выражения для напряжений
в произвольно ориентированной площадке.
Главные напряжения й главные площадки
21
При использовании главных напряжений значительно упрощается и запись
инвариантов напряженного состояния:
Л = а1 + *2 + аз;
12 а1°2 а2а3 °3°1»
'з = а1а2а3*
(29)
Можно сказать, что главные напряжения представляют собой наиболее удоб-
ную характеристику напряженного состояния в точке тела.
С ними тесно связано также и построение ряда геометрических образов
‘напряженного состояния в точке тела. Одним из основных геометрических
представлений напряженного состояния является так называемый эллипсоид на-
пряжений или эллипсоид Ламе.
Определяя из выражений (25) направляющие косинусы нормали у, находим,
и по формуле (15) имеем
В координатной системе Kv, Zv выражение (30) представляет собой
уравнение эллипсоида с полуосями а2, а3, который и называется эллипсоидом
напряжений. Поверхность эллипсоида (30) представляет собой геометрическое
место концов векторов полных напряжений для связки всех плоскостей, про-
ходящих через рассматриваемую точку деформированного тела.
Исследование напряженного состояния различных деталей машин и механиз-
мов показывает большое разнообразие встречающихся на практике напряженных
состояний и делает актуальным их классификацию. Естественно в основу клас-
сификации положить наиболее удобную характеристику напряженного состоя-
ния, т. е. величины главных напряжений.
1. Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное со-
стояние называется объемным или трехосным. Необходимым условием здесь
является отличие от нуля инварианта /3 кубического уравнения (17). Геометри-
ческой моделью объемного напряженного состояния является трехосный эллип-
соид напряжений. Очевидно, что здесь нет ни одной площадки, свободной от
напряжений.
Объемное напряженное состояние имеет место в зоне контакта соприкаса-
ющихся тел (шарики и кольцо подшипника качения, находящиеся в зацеплении
зубья шестерен), в толстостенной трубе с днищами под действием давления,
при волочении проволоки, при ковке в закрытых штампах и т. п. В частном
случае, когда все три главных напряжения равны между собой, эллипсоид на-
пряжений переходит в сферу (равноосное напряженное состояние).
2. Если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю, то
напряженное состояние называется плоским или двухосным. При этом поверх-
ность эллипсоида напряжений переходит в площадь эллипса (эллипс напряже-
ний). Таким образом, при плоском напряженном состоянии все векторы напря-
жений параллельны некоторой плоскости, именно свободной от напряжений
главной площадки.
Необходимым условием для плоского напряженного состояния является обра-
щение в нуль третьего инварианта /3 при втором инварианте /а, отличном от
нуля.
В этом случае кубическое уравнение (17) принимает вид:
а [а2 — Да —/2] =0
и один из корней обращается в нуль.
22
Теория напряжений
Если между компонентами напряженного состояния существуют такие соот-
ношения, что соответствующие элементы двух строк или двух столбцов опре-
делителя, выражающего третий инвариант, пропорциональны, то последний
обращается в нуль. Например если
XZX ax aQx xzx
Хху ау Tzy = Txy axxy xzy = 0
XXZ XyZ °z Xxz axxz az
то рассматриваемое напряженное состояние является плоским или, при наличии
дополнительных соотношений между компонентами напряженного состояния,
линейным (см. ниже).
Плоское напряженное состояние имеет место при поперечном изгибе прямых
брусьев, в стенках различного вида резервуаров при наличии внутреннего давле-
ния, в толстостенных втулках, сопряженных прессовой посадкой, при прокатке
в ручьевых валках, при ковке в штампах, закрытых с двух сторон, и т. д.
В частном случае, когда два главных напряжения, отличных от нуля, равны
между собой по абсолютной величине, но различны по знаку > 0, а2 = 0,
°з < 0)> т0 плоское напряженное состояние носит название чистого сдвига. Здесь
полуоси эллипса равны между собой и эллипс напряжений переходит в круг.
При чистом сдвиге /3 — 0, /2 =/= О, = 0. Примером чистого сдвига может
служить напряженное состояние при кручении прямого бруса.
3. Если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны
нулю, то напряженное состояние называется линейным или одноосным. Здесь
эллипсоид напряжений стягивается в отрезок прямой. Таким образом, при линей-
ном напряженном состоянии все векторы напряжений параллельны некоторой
прямой. Эта прямая является осью пучка площадок, свободных от напряжений
(множества площадок, нормальных к площадке отличного от нуля главного
напряжения).
Необходимым условием наличия линейного напряженного состояния является
одновременное обращение в нуль второго и третьего инвариантов напряжения.
В этом случае уравнение (17) имеет вид;
а2 [а — /х] =0
и два корня обращаются в нуль.
Если между компонентами напряженного состояния существуют такие соот-
ношения, что соответствующие элементы во всех трех столбцах или строках
определителя, выражающего третий инвариант /3, пропорциональны, то обра-
щаются в нуль как третий, так и второй инварианты, например:
ax Xyx XZX 100 200 300
/3 — TXy Txz ay XyZ Xzy °z = 200 300 400 600 600 900 = 0;
^2~ °x Xyx °y Tzy °z
^xy °z Tz. r 3x
100 200 400 600 900 300
200 400 600 900 ~ 300 100
и рассматриваемое напряженное состояние является линейным.
Такое напряженное состояние имеет место при осевом нагружении и чистом
изгибе прямого бруса, при испытании гладких образцов на растяжение (до мо-
мента образования шейки) и при испытании коротких образцов специальной
конструкции (см. главу IV, т. I) на осевое сжатие.
Круговая диаграмма и свойства напряженного состояния в точке тела
23
Необходимо отметить, что при использовании результатов теории напряжений
для практических расчетов на прочность реальных материалов изложенная клас-
сификация напряженных состояний требует дальнейшей детализации, которая
и будет дана в главе VI, т. I.
§ 5. КРУГОВАЯ ДИАГРАММА И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА
При условии совмещения координатных осей х, у, z с направлениями глав-
ных напряжений ах, а2, а3 выше были получены достаточно простые выражения
[см. формулы (27) — (28)] для нормального av и касательного rv напряжений
в произвольно ориентированной площадке с нормалью v(Z, m, п), проходящей
через рассматриваемую точку деформированного тела (фиг. 8). Используя эти
выражения, можно исследовать напряженное состояние графически.
С этой целью введем в рассмотрение вспомогательную координатную пло-
скость а, т. Произвольная площадка, проходящая через рассматриваемую точку
тела, „изображается" на вспомогательной плоскости некоторой точкой v с коор-
динатами av, tv (фиг. 9). При изменении наклона площадки, т. е. направляющих
косинусов Z, tn, п нормали v, меняются и коорди-
наты п изображающей “ точки. Естественно, воз-
никает вопрос о геометрическом месте изображаю-
щих точек на плоскости а, т для связки всех
площадок, проходящих через рассматриваемую
точку тела.
Искомое место и представляет собой геоме-
трический образ напряженного состояния в точке
тела. Существенно, что этот геометрический об-
раз, в отличие от эллипсоида напряжений, является
не пространственным, а плоским.
Обратимся к непосредственному установлению геометрического места изо-
бражающих точек.
Запишем выражения (15), (26) и (27) в следующем виде:
Z2-|-m2 + n2=l;
□1Z2 4- <э2яг2 + аз^2 = °»
a2Z2 -j- a2zn2 -j- а2п2 = a2 -f- T2.
(31)
Здесь, как и в дальнейшем, индекс v у нормального и касательного напря-
жений опущен.
Полученные зависимости можно рассматривать как систему трех уравнений
относительно квадратов направляющих косинусов. Допустим, что <з1>02>а3,
т. е. исключим пока случай равенства главных напряжений между собой. Тогда
решение рассматриваемой системы имеет вид:
/2 = -^; =
^0 ^0
п2 = -^
до
(32)
Определитель, стоящий в знаменателе выражений (32), равен
Определитель получается из определителя До путем замены первого
столбца свободными членами уравнений (31), определитель Д2— путем соответ-
ствующей замены второго столбца и определитель Д3 — заменой третьего столбца.
24
Теория напряжений «
После преобразований приходим к следующим выражениям для искомых
определителей:
Д1 = [(о — <52) (® — °з) 4- "Г2! (®3 — аг);
д2 = [(° — ^з) (° — °1) + т21 (°i — ffs);
Лз = Ка — °1) (° — °2) + т2] (°2 — °1)-
(34)
Теперь квадраты
дующем виде:
направляющих косинусов могут быть представлены в сле-
р _ (о — «г) (® — °з) + 1:2 .
(®i — «г) (®i — °з) ’
тг____ (° — о,) (о — ®1) + *2 . .
~ (02-Оз) (02-о,) ’
я2____ (о — °1) (° — °г) + t2
(®3—01) (03 — Яг)
(35)
Из выражения (35) для Z2 следует, что
(а — а2) (а — о3) + т2 = (аг — о2) (<3j — а3) /2. (36)
Если рассматривать главные напряжения а2, а3 как некоторые заданные
величины, то легко показать, что на плоскости а, т выражение (36) представляет
собой уравнение семейства концентриче-
ских окружностей, где роль параметра
семейства играет величина Z2. Как изве-
стно, уравнение окружности радиуса г,
центр которой лежит в точке с коорди-
натами а и b (фиг. 10), имеет вид:
(x-a)2 + (j/-d)2 = r2. (37)
Преобразование выражения (36) к ви-
ду (37) дает, что
[° ~ °2 2 °8] 2 + t2 = («I — о2) («1 —
-°з)/2+(^3У- <38>
Очевидно, что выражение (38) представляет собой уравнение семейства конг
центрических окружностей с центром в точке, координаты которой равны
а1 — (а2 4" аз)» — О*
Радиус окружности семейства зависит от параметра Z2 > О, а именно:
г2 = + (а, - а2) (а, - °з) Z2- (39)
Величины главных напряжений связаны между собой соотношением > а2 > а3
и, следовательно,
(°1 — °2) (°1 — °з) > °-
Поэтому наименьшая окружность рассматриваемого семейства 1 имеет место
ири 1 = 0 и ее радиус
1 ’
гп = у (02 — °s)- (39a)
Круговая диаграмма и свойства напряженного состояния в точке тела 25
Радиусы всех других окружностей этого семейства
ri > гог
Следовательно, семейство /, определяемое выражением (38), расположено
вне окружности 01 (фиг. 11, а).
Перейдем к исследованию выражения (35) для /п2.
Представим это выражение в виде
[° — °’ ] 2 + т2 = (°2 — °з) (°2 —
(40)
Очевидно, что выражение (40)
представляет собой уравнение семей-
ства окружностей с координатами
центра
«2 = ТГ(«8 + °1). fc2 = 0
и радиусом г2, окружности семей-
ства, зависящим от параметра т2> 0:
г2 = + <°2 — (°2 —
(41)
Выражение (а2— а3) (а2— ®])<0,
и поэтому значению параметра
m = 0 соответствует наибольшая
окружность семейства 2 с радиусом
= (41а)
Радиусы всех других
стей семейства
Г2 < Г02-
окружно-
Следовательно, семейство 2, опре-
деляемое выражением (40), рас-
положено внутри окружности 02
(фиг. 11, б).
Представим, наконец, выражение
б
(35) для п2 в виде
— aj m2.
[° — + т2 = (°з — °1) (°3 — °2) «2 + • (42)
Это уравнение семейства окружностей с координатами центра
а8 = у(о1+«2). &з = 0
и радиусом г3 окружности семейства, зависящим от параметра п2 0:
гз = + (°8 — °1) (бз — °2) «2- (43)
Выражение (а3 — а2) (а3 — а2) >0, и поэтому значению параметра п = О
соответствует наименьшая окружность семейства 3 с радиусом
гоз= "2" (°i—а2)«. .(43а)
26
Теория напряжений
Радиусы всех других окружностей семейства 3
и, следовательно, семейство 3, определяемое выражением (42), расположено
вне окружности 03 (фиг. И,а).
Таким образом, первое семейство окружностей (I2 0) расположено вне
окружности 01, второе семейство (т2>0)— внутри окружности 02 и третье
семейство (п2 >0) — вне окружности 03. Следовательно, искомое геометриче-
ское место изображающих точек, удовлетворяющих одновременно всем трем
уравнениям (35), представится площадью,
01 у 02, 03 (фиг. 12). Эта площадь вместе
с ограничивающими ее окружностями но-
сит название круговой диаграммы напря-
женного состояния в точке тела.
Для построения круговой диаграммы
необходимо предварительно определить
ограниченной тремя окружностями
величины главных напряжений а2, аз в рассматриваемой точке тела (см. § 4).
Найденные значения главных напряжений откладываются по оси а; затем опре-
деляются положения центров и величины радиусов окружностей 01, 02, 03
[см. формулы (39а), (41а), (43а)].
Окружность 01 представляет собой геометрическое место изображающих
точек для площадок, у которых Z2 = 0 (фиг. 13, а). Координаты точек этой
окружности изображают нормальные и касательные напряжения в площадках,
перпендикулярных к плоскости yz (плоскость главного напряжения aj. Анало-
гично окружность 02 изображает площадки, у которых ап2 = 0 (фиг. 13, б),
т. е. площадки, нормальные к плоскости zx (плоскость главного напряжения о2),
и окружность 03 соответствует площадкам, у которых п2 = 0 (фиг. 13, в),
т. е. площадкам, нормальным к плоскости ху (плоскость главного напряжения а3).
Таким образом, окружности 01, 02, 03, ограничивающие круговую диаграмму,
являются геометрическим местом точек, координаты которых дают величины
нормальных и касательных напряжений в площадках, перпендикулярных к глав-
ным плоскостям. Площадь, ограниченная этими окружностями, является геоме-
трическим местом точек, изображающих напряжения в площадках, наклоненных
к главным плоскостям, т. е. в площадках, для которых все направляющие коси-
нусы отличны от нуля (фиг. 13, г).
При использовании круговой диаграммы целесообразно иметь в виду сле-
дующее обстоятельство. В исходные выражения (31) и (35) касательное напря-
жение т. входит в квадрате. Поэтому на круговой диаграмме касательные напря-
жения изображаются только с точностью до знака и, следовательно, достаточно
Круговая диаграмма и свойства напряженного состояния в точке тела
27
рассматривать одну верхнюю половину диаграммы. Для построения на круговой
диаграмме изображающей точки у, определяющей напряжения в конкретной
площадке с нормалью v(Z, /п, п), следует по формулам (39) и (43) вычислить
радиусы гг и г3 соответствующих окружностей, пересечение которых и опре-
деляет искомую точку v (фиг.
вычислить по формуле (41) еще
радиуса (см. штриховую дугу на
фиг. 14) также должна проходить
через установленную точку у.
Координаты точки v предста-
вляют собой нормальное а и
касательное т напряжения в пло-
щадке с нормалью v(z, тп, п).
Возможно и чисто графиче-
ское решение ч рассматриваемой
задачи о построении изображаю-
щей точки V. С этой целью на
круговой диаграмме (фиг. 15)
через точку Аг проводят прямую
14). В качестве контроля построения можно
и радиус г2; окружность семейства 2 этото
под углом ocj к вертикали (cosa1 = Z). Точки пересечения прямой с окружно-
стями 03 и 02 обозначим соответственно В3 и В2. Из центра окружности 01
проводим дугу, проходящую через точки В2 и В3. Повторяем аналогичное по-
строение, начиная его от точки А3. Проводим через нее прямую под углом а3
к вертикали (cosa3 = fl). Точки пересечения прямой с окружностями 01 и 02
обозначим соответственно Су и С2. Из центра окружности 03 проводим дугу,
проходящую ^через точки Сх и С2. Пересечение построенных дуг В2В3 и СуС2
и представляет собой искомую точку v. Для доказательства предложенного
построения необходимо
показать, что коорди-
наты а, т точки v дей-
ствительно выражаются
формулами (27) и (28),
т. е. представляют собой
нормальное и касатель-
ное напряжения в пло-
щадке с нормалью v.
Докажем это. Урав-
нение окружности,
проходящей через точ-
ки В2 и В3,
Фиг. 15
(а-5-Чр)2+?*=4
Уравнение окружности, проходящей через точки Су и С2,
_ ql + ^2
2
з»
где Гу и г3 — соответственно радиусы этих окружностей.
Исключая из написанных уравнений ординату т, приходим к следующему
выражению для абсциссы а точки v:
»=И -л»+- ("-ФО’] •
Выразим радиус гг через главные напряжения a2, а3 и угол Проведем
три параллельные прямые Л3В2, ОгВ и Л2В3, а из точки А2 опустим перпен-
дикуляр на прямую Л3В2.
28
Теория напряжений
Заметим, что основание перпендикуляра А2Вг будет расположено на окруж-
ности 01, поскольку вершина прямого угла у треугольника, гипотенуза кото-
рого совпадает с диаметром круга, всегда лежит на соответствующей окруж-
ности. Из треугольника А^В^А* катет
^2^1 == -^3^2 == (°2 °з)
и, следовательно,
В2Е = у (а2 — а3) sin аг
Из треугольника А1ЕО1 катет
OtE = ~ (а2 а3) | cos аг
Теперь из рассмотрения треугольника В^ЕО1 приходим к следующему выра-
жению для искомого радиуса:
г?=2 о _ /2) + _ zqpy р
Путем аналогичных построений и рассуждений из треугольника Са/<03 имеем
Подстановка найденных значений радиусов в выражение для абсциссы а и ряд
преобразований дают
а = cjj/2 а2т2 -|- а3я2,
что полностью совпадает с формулой (27).
Подстановка найденного значения а в уравнение окружности и ряд преобра-
зований приводят к следующему выражению для ординаты т точки у:
т2 = (а,/)2 + (а2яг)2 + .(<з3га)2 — [С1/2 4- a2m2 + о3Я2]2,
которое совпадает с формулой (28). Итак, координаты точки у, построенной
указанным выше образом, действительно представляют собой нормальное и каса-
тельное напряжения в площадке с нормалью у (Z, т, п).
Рассмотрение круговой диаграммы позволяет наглядно и просто установить
ряд весьма существенных свойств напряженного состояния в точке тела.
Свойство I. Экстремальность крайних главных напряжений и а3.
Из круговой диаграммы непосредственно следует, что наибольшее главное
напряжение является наибольшим не только из трех главных напряжений,
но и из всех нормальных напряжений, существующих в рассматриваемой точке
тела, поскольку все другие точки круговой диаграммы имеют абсциссы, мень-
шие чем аг
Аналогично наименьшее главное напряжение а3 является также наименьшим
из всех нормальных напряжений в рассматриваемой точке.
Свойство II. Экстремальные значения касательных напряжений и пло-
щадки их действия.
Касательные напряжения т изображаются ординатами точек круговой диа-
граммы. Для окружностей 01, 02, 03 (фиг. 12) экстремальные ординаты, т. е.
ординаты точек А, В и С, соответственно равны:
I 1 Z X
Т23 — — "2 '°2 °8' *
т1з — i аз)>
(44)
Ti2 — i 2 аг)-
Круговая диаграмма и свойства напряженного состояния в точке тела
29
Найденные величины т23, т18, т12 представляют собой экстремальные каса-
тельные напряжения соответственно для пучков площадок с осями х, у, z, т. е.
для множеств площадок, соответственно перпендикулярных к главным площад-
кам а2, °з (Фиг- 13, а, б, в).
Наибольшие из всех ординат круговой диаграммы, т. е. ординаты точек В
окружности 02, являются экстремальными касательными напряжениями для связки
всех площадок, проходящих через рассматриваемую точку тела:
Тэкс = т13 = ± у — аз)> <45)
где Oj и о3 — наибольшее и наимень-
шее из главных напря-
жений (с учетом их
знака).
°)
Фиг. 17.
Положение площадок, в которых имеют место экстремальные касательные
напряжения (45), определяется по общим формулам (35). Внося в эти формулы
координаты точек В, т. е.
« = у (°1 + «з)> °з)’
находим величины направляющих косинусов нормалей к искомым площадкам:
7= + —^=-, /тг = О, п=Л-—
— V‘2 ~ V2
(46)
Таким образом, площадки наибольших касательных напряжений перпендику-
лярны площадке промежуточного главного напряжения а2 (плоскость zx) и делят
пополам прямые углы, образованные площадками двух других главных напря-
жений <зх (плоскость yz) и а3 (плоскость ху). Очевидно, таких площадок можно
указать две; нормали к этим площадкам наклонены к осям х и z под углом 45°
(фиг. 16).
Свойство III. Особенности напряженного состояния в случае равенства
главных напряжений между собой.
Допустим, что главное напряжение а3, изменяясь по величине, стремится к ах;
тогда радиус окружности 03 (фиг. 14) будет стремиться к нулю и, следова-
тельно, во всех площадках, перпендикулярных к главной площадке а3, т. е.
плоскости ху (фиг. 13,5), нормальные напряжения стремятся к о2, а касатель-
ные напряжения — к нулю. В пределе при а2 — все эти площадки (л 0)
свободны от касательных напряжений и являются, таким образом, главными
площадками. В рассматриваемом случае на круговой диаграмме окружность 01
сливается с окружностью 02, а окружность 03 стягивается в точку с абсциссой
а = ай (фиг. 17, а).
30
Теория напряжений
Допустим теперь, что, кроме а2, также и а3 стремится к аг тогда все три
окружности 01, 02 и 03 стягиваются к точке с координатами 0 = ^, т=0
(фиг. 17, б'). В пределе при Q8 = a2 = aj во всех площадках касательные напря-
жения исчезают, и все площадки, проходящие через рассматриваемую точку
тела, обращаются в главные. Такое напряженное состояние называется равноос-
ным. В этом случае вся круговая диаграмма превращается в точку.
Итак, плоский геометрический образ напряженного состояния в виде круго-
вой диаграммы делает очевидным ряд весьма существенных свойств напряжен-
ного состояния, а именно: устанавливается экстремальность крайних главных
напряжений, определяются экстремальные значения касательных напряжений и
выясняются особенности напряженного состояния в случаях равенства главных
напряжений между собой.
Положительной стороной круговой диаграммы является также и исключи-
тельная простота построения ее элементов (три окружности).
Вместе с тем круговая диаграмма представляет собой все же несколько
условный геометрический образ напряженного состояния в точке тела, поскольку
последнее является по своему существу объемным, а не плоским.
К сожалению, пространственные геометрические образы напряженного состоя-
ния в виде так называемых поверхностей нормальных и касательных напряжений
являются значительно более сложными для построения и исследования.
А. Поверхность нормальных напряжений
Поверхностью нормальных напряжений в данной точке тела называется поверх-
ность, на которой располагаются концы радиусов-векторов г, направление кото-
рых совпадает с направлением нормалей v к площадкам, проходящим через дан-
ную точку, величина же пропорциональна величине нормального напряжения av,
т. е.
г=4-^ <47>
где k — некоторый коэффициент пропорциональности, определяемый выбором
масштаба при изображении av. Координаты х, у, z конца радиуса-вектора г
x=rl, у = гт, z—rn,
где I, т, п — направляющие косинусы нормали v.
Подстановка значений направляющих косинусов
• kx ky kz
I —---, m = —— , n~-------
av °,
в формулу (27) приводит к следующему выражению:
оз = *2 [О1Х« -f- а2у2 4- О322].
Заменяя нормальное напряжение av через
av — kr = k |/х2 у2 + z2,
приходим к следующему уравнению искомой поверхности нормальных напря-
жений:
(х2 -f- у2 z2)3 = [-у- х2 + -у- у2 + z2] 2. (48)
Исследование этой поверхности показывает, что в общем случае объемного
напряженного состояния она состоит из шести грушевидных полостей, оси
которых совпадают с направлениями нормалей к трем главным площадкам.
В частном случае плоского напряженного состояния число полостей снижается
до четырех, а при линейном напряженнОхМ состоянии — до двух.
Дополнительные характеристики напряженного состояния в точке тела
31
Б. Поверхность касательных напряжений
При геометрической интерпретации распределения нормальных напряжений
в точке тела радиус-вектор г совпадал по направлению с нормалью v к пло-
щадке, т. е. с направлением рассматриваемого напряжения. Если для аналогич-
ной интерпретации распределения касательных напряжений использовать тот же
принцип, т. е. откладывать радиус-вектор г по направлению касательного
напряжения в соответствующей площадке, то это приводит к необходимости
рассмотрения достаточно сложных поверхностей весьма высоких порядков (не
ниже 28—32 степени). Указывая на это обстоятельство, Г. В. Колосов [6]
предложил откладывать радиус-вектор г поверхности касательных напряжений
не по направлению соответствующего напряжения, а по направлению нормали
к соответствующей площадке, т. е. так же, как это делается при построении
поверхности нормальных напряжений. Это предложение позволило значительно
снизить порядок рассматриваемой поверхности.
Таким образом, по Г. В. Колосову, поверхностью касательных напряжений
в данной точке тела называется поверхность, на которой располагаются концы
радиусов-векторов г, направление которых совпадает с направлением нормалей v
к площадкам, проходящим через данную точку, величина же пропорциональна
величине касательного напряжения tv, т. е.
где k — некоторый коэффициент пропорциональности, определяемый выбором
масштаба при изображении напряжения т.,.
По формуле (28), учитывая, что I2т2п2 = 1, можно получить следую-
щее выражение для квадрата касательного напряжения в площадке с нормалью v:
-f“ а^2 + ^2) (/2 4- /и2 + я2) — (cj/2 + а2/п2 + a3n2)2
(предполагается, что координатные оси х, у, z соответственно совпадают с на-
правлениями главных напряжений а2, а3).
Подстановка значений направляющих косинусов
7 х kx у ky z kz
г tv * г * г
и ряд элементарных преобразований приводят к выражению
[(а, — а2)2х2_у2 4- (а2 — o8)2_y2z2 + (а8 — ajVx2].
Заменяя касательное напряжение tv через
= k2r2 = k2 (х2 + у2 4“ z2),
приходим к следующему уравнению искомой поверхности касательных напря-
жений:
(х2 + у 4- z2)8 = (Sl ~ а2)2х2у2 4- ( °27°3)Vz2 + (50>
Эта поверхность шестого порядка состоит из 12 грушевидных полостей,
оси которых совпадают с направлениями нормалей к шести площадкам экстре-
мальных касательных напряжений (44). Каждая пара таких площадок делит
пополам углы, образованные соответствующими двумя главными площадками.
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПРЯЖЕННОГО
СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА
При изложении гипотез пластичности существенную роль играют величины
экстремальных касательных напряжений (рассмотренных выше) и величины
касательных напряжений в октаэдрических площадках, т. е. в восьми площад-
ках, проходящих через рассматриваемую точку и равнонаклоненных к главным
32
Теория? напряжений
площадкам для той же точки. Также представляет интерес определение линии
действия октаэдрических касательных напряжений.
С экстремальными и октаэдрическими касательными напряжениями тесно
связано введенное В. В. Новожиловым [13] понятие о среднем значении каса-
тельных напряжений в точке тела.
В последнее время изложение гипотез пластичности также связывается с
новым понятием о степени уклонения заданного напряженного состояния от
равноосного напряженного состояния, ближайшего к исследуемому [15].
А. Величина и линия действия касательного напряжения
в октаэдрических площадках
Совместим координатные плоскости с главными площадками (см. фиг. 8).
Если октаэдрические площадки условно изображать на некотором расстоянии
от рассматриваемой точки так, чтобы отрезки, отсекаемые площадками на коор-
динатных осях, были одинаковы во всех октантах, то совокупность таких
восьми равнонаклоненных площадок образует правильный восьмигранник или
ы нормали
чм ^о»
площадок
Обозначим направляющие косинус
к октаэдрической площадке через
Очевидно, что для всех восьми
,2 2 2 1
Zq = /По = По = *7Г •
о
Для
октанте
площадки, расположенной
координатной системы,
/e==mo = »o = yg-
Для
все или
малей отличаются от указанных
знаками.
всех других октаэдрических
часть направляющих косинус*
в первом
(51)
площадок
в их нор-
ин только
Фиг. 18. Во* всех восьми равнонаклоненных площад-
ках имеют место одинаковые нормальные и
одинаковые касательные напряжения. Поэтому в дальнейшем ограничимся рас-
смотрением октаэдрической площадки, лежащей в первом октанте. ^Принимая во
внимание, что координатные плоскости совмещены с главными площадками
(см. фиг. 8), имеем, согласно зависимостям (4), следующие выражения.для трех
составляющих полного октаэдрического напряжения:
^о = -т=; Уо = -^=; Zo = -^=. (52)
° о Кз ’ 0 Гз • 7
Полное р0, нормальное а0 и касательное т0 напряжения в октаэдрической
площадке по формулам (26), (27) и (28) равны
(53)
то = 4“ — аа)2 + (°г — °з)2 + (°з — °1)2 •
Применим полученные выражения к двум частным случаям напряженного
состояния в точке тела, именно линейного напряженного состояния и напря-
женного состояния, называемого чистым сдвигом. Произведем также сравнение
величины октаэдрического касательного напряжения с величиной наибольшего
касательного напряжения.
Дополнительные характеристики напряженного состояния в точке тела
33
В случае линейного напряженного состояния (растяжения) > 0, а2 = а3 — 0.
Тогда по формулам (53) полное, нормальное и касательное напряжения в окта-
эдрической площадке
/3 1 у
Po^-g-^ a0 = -g-O1; То = —а1—0,471а!.
Наибольшее касательное напряжение при линейном напряженном состоянии
1
Т'тах 2 01
и, следовательно, -^- = 0,942.
ттах
При чистом сдвиге (частный случай плоского напряженного состояния)
> 0; аа = 0; а3 = — аг
В соответствии с этими значениями главных напряжений"
Pq~^~ аГ» ао = О; т0 =-g—Qj = 0,817ах.
Наибольшее касательное напряжение при чистом сдвиге
т — а,
max 1
и, следовательно, отношение —^-=0,817.
ттах
Можно показать, что для всех напряженных состояний отношение октаэдри-
ческого и наибольшего касательных напряжений заключено в найденных пре-
делах, т. е.
0,817 < < 0,942.
ттах
Обратимся к определению линии действия октаэдрического касательного
напряжения.
Нормальное напряжение а0 направлено по нормали v (Zo, /п0, и0) к октаэдри-
ческой площадке.
Линия действия полного октаэдрического напряжения pQ определяется сле-
дующими направляющими косинусами:
I _ £1.
Р Р° / +
m = — = °2 ;
р Рй + 4 +
П _ ^0 _______стз___
р РО + ’
(54)
где значения XQt Ко, Zo представлены формулой (52), а величина pQ опреде-
ляется первой из формул (53). Напишем уравнение плоскости, проходящей
через линии действия нормального а0 и полного pQ октаэдрических напряжений.
Искомое уравнение имеет вид:
(И1ояр — трпй) х -j- (пй1р — пр1й) у -I- (1йтр — lpm0) z = 0.
Внося в последнее соотношение значения направляющих косинусов по фор-
мулам (51) и (54), получаем
(°8 — а2) -^+ (а1 — °з) У 4- (°2 — °1) Z = 0. (55)
3 Пономарев и др. 407
34
Теория напряжений
Уравнение октаэдрической плоскости, проходящей через начало координат,
10х + тоу яох = О
или
х + у 4*2 = 0,
(56)
Пересечение плоскостей, определяемых уравнениями (55) и (56), дает линию
действия октаэдрического касательного напряжения.
Уравнение искомой линии действия т0 имеет вид:
х __ у ___ z
а b с ’
(57)
где введены обозначения:
а = (о2 — б!) — (aj — а8);
ь = (°з — а2) — (аа — °1):
с = (°i — ®з) — (°в — аг)-
(58)
Направляющие косинусы прямой, определяемой уравнением (57), выражаются
следующим образом:
. а Ъ с
I =' г ; т = —г ; п = —г —=г
у a2 -f- b2 + с2 у a2 -j- b% с2 у а2 -|- Ъ2-\-с2
Подстановка значений a, Ь, с по формулам (58) приводит к следующим
выражениям для направляющих косинусов линии действия октаэдрического
касательного напряжения:
I = ___ (стз — qi) — (gi — <J2)
К 3 [(si — аг)2 4“ (а2 — аз)2 4- (аз — а1)2]
т = — ’ ' (g2 ~ ®з) .. . /59 ч
V 3 [(<?! — а2)2 + (а2 — а3)2 4- (а3 — а2)2] ' )
— °3) — (q3 — gj)
]/ 3 [(aj — а2)2 + (а2 — °з)2 + (°3 — а1)2]
Применим полученные выражения к частному случаю плоского напряженного
состояния, называемому чистым сдвигом. Здесь а2>0, о2 —0, a3 = —aj и,
следовательно
7 1 п 1
Z =-----7^=. т = и, п = —р=.
V2 ’ V2
Таким образом, в случае чистого сдвига линия действия октаэдрического
касательного напряжения нормальна к оси у и делит пополам прямой угол,
образованный осями х и z, т. е, направлениями главных напряжений и а3.
Б. Среднее значение касательных напряжений в точке тела [13]
В каждой из множества площадок, проходящих через рассматриваемую точку
тела, за исключением главных площадок, имеется некоторое касательное напря-
жение, различное для различных площадок. Величина квадрата касательного1
напряжения, в зависимости, от направляющих косинусов /, т, п нормали v
к площадке, дается формулой. (28):
= (а102 + (ог7»)2 + (м)2 — [°1/2 + °2т2 + 'М2!2
Понятие среднего значения касательного напряжения в точке тела форму-
лируется следующим образом.
Опишем вокруг рассматриваемой точки тела сферу радиуса р. Нормаль v
К произвольной площадке, пересекает поверхность сферы в некоторой точке Л4.
Дополнительные характеристики напряженного состояния в точке тела
35'
Выделим в окрестности этой точки элемент dQ поверхности сферы. Произведе-
ние можно рассматривать как элементарную касательную силу, действую-
щую в точке М поверхности сферы. С целью исключения знака касательного
напряжения заменим рассмотрение величины рассмотрением выраже-
ния i?dQ.
Рассмотрим предел суммы (при стремлении dQ к нулю) выражений T2dQ для
всех элементарных площадок dQ поверхности сферы и отнесем полученную
величину к площади Q поверхности сферы.
Полученное выражение и будет представлять собой квадрат среднего зна-
чения касательного напряжения в точке тела:
(60’
2
Введение понятия о среднем значении касательного напряжения представляет
собой интересную попытку дать некоторую интегральную характеристику напря-
женного состояния в точке тела.
Заметим, что выбор сферы в ка-
честве замкнутой поверхности, ок-
ружающей рассматриваемую точку
тела, объясняется тем, что только
на сфере (ввиду ее полной симмет-
рии) будет в равной мере представ-
лено все множество площадок, про-
ходящих через точку. >
Преобразуем выражение для
среднего касательного напряжения.
Для вычисления интеграла по по-
верхности используем сферическую
систему координат, где положение
точки М определяется радиусом р
и двумя углами В и ср (фиг. 19).
Установим зависимость между
прямоугольными и сферическими
Фиг. 19.
координатами:
х = р sin В cos ср, у — р sin В sin©, z = pcosB.
Следовательно, направляющие косинусы луча ОМ, являющегося нормалью v
к площадке, равны
I = — = sin В cos ср;
ш = = sin В sin ср;
Р
п = — — cos В.
Р
Используя полученные формулы для направляющих косинусов, представим
выражение (28) для касательного напряжения в площадке с нормалью- v в сле-
дующем виде:
т2 = a2 (Sin В cos ср)2 -f- (sin В sin ср)2 -|- а| cos2 В —
— [а2 sin2 В cos2 ср а2 sin2 В sin2 ср а3 cos2 B]2.. (61)
Площадь элемента сферической поверхности (фиг. 20)
tZQ = р sin В^ср • р^В = р2 sin Вб/ср^В.
36
Теория напряжений
Площадь всей сферической поверхности
Q _ 4тгр2.
Следовательно, выражение. (60) для т2 можно представить как
2тс тс
т2 = j dy J т2 sin S dft.
о и
(62)
Подстановка, значения т2 по
V
формуле (61) и вычисление квадратур приводит
к следующему выражению для квадрата среднего касательного напряжения:
Фиг. 20.
При чистом сдвиге > 0, а2
В соответствии с этим
[ (а1 — аг)2 + (°2 — °з)2 +
+ («8- (63)
Используем полученное выраже-
ние (63) для вычисления среднего
касательного напряжения в двух
частных случаях напряженного со-
стояния в точке тела, именно линей-
ного напряженного состояния и на-
пряженного состояния, называемого
чистым сдвигом.
7 В случае линейного напряжен-
ного состояния (растяжения) > 0,
а2 = 0, а3 = 0 и среднее касатель-
ное напряжение
Tc = -T?ei = 0>365ar
Наибольшее касательное напря-
1
жение тП1ах==-2-а1и, следовательно,
отношение -^£- = 0,730.
тшах
о, а3=— <31.
V1U
0,632а!, ттах—Oj
и их отношение -^- = 0,632.
тшах
Можно показать [13], что для всех напряженных состояний отношение
среднего и наибольшего касательных напряжений заключено в найденных пре-
делах, т. е.
0,632 < < 0,730.
ттах
В. Среднеквадратичное уклонение рассматриваемого напряженного
состояния от ближайшего равноосного [15]
В современной теории пластичности [4], [12] при рассмотрении условий
наступления и развития пластических деформаций существенную роль играет
положение о невозможности их возникновения при равноосном напряженном
состоянии, т. е. при всестороннем равном растяжении или сжатии (<^ = 02 =
г=а3==а) любой интенсивности. Это положение обосновывается тем, что при
указанном напряженном состоянии касательные напряжения в любой из площа-
док отсутствуют и процесс деформирования материала протекает без образова-
ния сдвигов.
Дополнительные характеристики напряженного состояния в точке тела
37
В таком случае очевидно, что возможность наступления пластического со-
стояния материала должна определяться величиной отклонения рассматриваемого
напряженного состояния от равноосного. Это отклонение можно охарактеризо-
вать квадратами разностей главных напряжений указанных напряженных состоя-
ний [15].
Рассмотрим средний квадрат уклонений главных напряжений ар а2, а3 задан-
ного напряженного состояния от напряжений а некоторого равноосного напря-
женного состояния, т. е. исследуем величину
Д = 4 Uoi-e)2 + (°2-a)2 + (s8-a)2J. (64)
Определим напряжения а равноосного напряженного состояния таким обра-
зом, чтобы рассматриваемое отклонение Д имело минимальное значение. Соот-
ветствующее значение а дает равноосное напряженное состояние, „ближайшее*
к заданному.
Исследуем на экстремум выражение (64). Первая производная
^7 = -у [За — (ai “Г + °з)]
обращается в нуль при
° = -у (О1 + °2 + аз) = °о
[см. формулу (12а) и вторую формулу (53)].
Вторая производная положительна и, следовательно, найденное значение
о = о0 соответствует минимуму выражения (64). Другими словами это значение а
определяет ближайшее равноосное напряженное состояние. Подстановка найден-
ного значения а в формулу (64) приводит к следующей величине минимального
среднеквадратичного уклонения:
Дт1п -= 4" [(*1 - ®2)2 + («2 - °з)2 + («8 - «1)2] • (65)
Эта величина и может быть использована в теории пластичности как кри-
терий возникновения и развития пластического состояния в исследуемой точке
деформированного тела.
Необходимо также отметить, что минимальное значение среднеарифметического’
уклонения Да исследуемого напряженного состояния от ближайшего равноосного про-
порционально величине наибольшего касательного напряжения в рассматриваемой точке.
Действительно, упомянутое уклонение можно выразить зависимостью
= -g- [ | ?! — а | -|- | а2 -- ст | + | аз — ° I ] >
где а—главное напряжение некоторого равноосного напряженного состояния (очевидно^
что а3<а<с1). «Легко показать, что в этом случае уклонение Да имеет минимум при
а = а2. Положим, например, что а2 а << тогда
(а1 — а) > 0, (с2 — с) < 0 и (с3 — о) < О
и, следовательно,
| — а | = — а, |а2 — а | = а — з2 и | — а | = а — а3.
Таким образом, рассматриваемое среднеарифметическое уклонение
1
= з [а1 — а2 — °3 + а]
достигает минимума, в принятых пределах изменения а, при а = а2-
Аналогичным образом можно убедиться, что полученное условие для минимума
остается справедливым и при с»з<С а а2.
38
Теория напряжений
Итак, минимальное значение среднеарифметического уклонения
1 2
mln = з (°1 аз) = з гэкс> (65а)
где Ъкс — (ai “ аз) ~ экстремальное значение касательного напряжения в рассматри-
ваемой точке тела [см. формулу (45)]. Это и требовалось доказать.
Г. Второй инвариант девиатора напряжений
В математической теории пластичности [4| широко используется второй
инвариант девиатора напряжений
Легко показать, что квадрат октаэдрического касательного напряжения т*
квадрат среднего значения касательных напряжений в точке тела и средне-
квадратичное уклонение исследуемого напряженного состояния от ближайшего
равноосного Дт1п пропорциональны второму инварианту девиатора напряжений,
который и может рассматриваться как математическое обобщение уже рассмот-
ренных в этом параграфе характеристик напряженного состояния.
Действительно, подставляя во вторую формулу (18) компоненты девиатора
напряжений [см. формулу (12)|, имеем его второй инвариант:
;2 = - (°х — °о) (°у — °о) — (°У — °о) (°г — °о) — (°г — °о) (°х — °о) +
_|_т2 _J_T2 I Т2
' ху 1 yz I ZX*
Производя преобразование этого выражения с учетом того, что а0 =
ах + °у + Gz
=------х-----, получим
о
+ (66)
В главных осях второй инвариант девиатора напряжений выражается следу-
ющим образом:
1'2 = -g- 101 — °2)2 + (°2 — °з)2 + (°8 — °1)21 • (66а)
Сопоставляя соотношение (66а) с третьей формулой (53) и с зависимостями
(63) и (65), убеждаемся в справедливости высказанного выше соображения о
пропорциональности и Afflln второму инварианту девиатора напряжений.
В частности:
2 2 Г
—----/ •
10 3 2>
А — 2 Г
з *2*
В теории пластичности большое значение имеет величина, которая назы-
вается интенсивностью напряжений й обозначается а/, она пропорциональна
квадратному корню из второго инварианта девиатора напряжений:
= ТУ / [(», - °,)’ + + (»> - + 6 И, + Чг + ’У] <67>
У f
Очевидно, что зависимость (67) в главных напряжениях имеет вид:
V (<31 — а2)2 + («2 — «в)2 + («8 — °1)2- (67а)
Напряженные состояния, типичные для задач инженерной практики
39
Интересно отметить, что понятие второго инварианта девиатора напряжений тёсно
связано с рассмотренной выше круговой диаграммой напряженного состояния в точке
тела [10].
Суммарная площадь трех окружностей, ограничивающих круговую диаграмму
(фиг. 12), равная
S == -j- [(Gj — о2)2 + (а2 — аз)2 + (сз — ai)2]
и характеризующая касательные напряжения в трех множествах площадок, нормальных
к главным, с точностью до постоянного множителя совпадает с выражением (66а) для
второго инварианта девиатора напряжений.
§ 7. НАПРЯЖЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ, ТИПИЧНЫЕ ДЛЯ ЗАДАЧ ИНЖЕНЕРНОЙ
ПРАКТИКИ. И ИХ ОСОБЕННОСТИ
Во многих часто встречающихся при расчетах на прочность случаях вели-
чина одного из главных напряжений и положение соответствующей главной
площадки бывают заранее известными. Это обстоятельство значительно облег-
чает исследование напряженного состояния, т. е. упрощает определение величин
двух других главных напряжений и выяснение положения главных площадок.
Совместим координатную плоскость xz с известной главной площадкой
(фиг. 21). Тогда из девяти составляющих напряженного состояния четыре обра-
щаются в нуль:
тху — Хух — Tyz Tzy 0’
и определитель (16) принимает вид:
Приравнивая определитель нулю, приходим
к следующему уравнению для вычисления глав-
ных напряжений:
(°, - °) 1(®г — °) (°г - °) — 4J = °-
Отсюда а —а? есть заранее известное зна-
чение . одного из трех главных напряжений.
Для определения двух других главных напряжений используем квадратное
уравнение
<°х — °) — о) — 4г = 0 (68)
ИЛИ
°2 — (°х+°г) ° +- (°л — 4J=о.
Решая последнее, приходим к следующему выражению для величин двух
главных напряжений:
° = -у + аг) ± т V — °^2 + 4тЬ • <69)
Обратимся к нахождению положения главных площадок, соответствующих
главным напряжениям, определяемым формулой (69).
В рассматриваемом случае второе из уравнений (14) принимает вид:
(«у — о) /га = 0.
Так как здесь а одно из главных напряжений по выражению (69), то, вообще
говоря, а ¥= и, следовательно, /п = 0, т. е., как и следовало ожидать, иско-
мые главные площадки перпендикулярны координатной плоскости xz (площадка
главного напряжения ау).
40
Теория напряжений
•Первое и третье из уравнений (14) принимают вид:
(«г — о) 1 4- Хгхп = °; I
Xxzl + (oz — °) « = 0, J
(70)
откуда
— = = (71)
л • а “ ах ^XZ
Из формулы (68) следует, что оба полученных выражения, определяющие
/
отношение —, тождественны.
п
Подстановка значений
I = _. п и т — 0
а —
в зависимость
Р-\-т? + п?=\
приводит к следующему выражению для третьего направляющего косинуса:
n = ±-—;...........•. (72)
у (<* —°х)2 + 4г
Полученные формулы (71) и (72) определяют направляющие косинусы нор-
малей площадок главных напряжений (69). Возможен и несколько иной способ
определения положения главных площадок. Заметим, что l—s\na.z и и = 008 0^,
где ос2 — угол между нормалью v к искомым главным площадкам и осью z
(нормаль v перпендикулярна к оси у). Исключая из уравнений (70) величину а,
имеем, что
аг —ах= {-[ Tzx
ИЛИ
ctg а2 — tg а = °z~ax .
^ZX
Замечая, что
4-(ctga2-tga2) = -^L-,
приходим к следующему выражению для искомого угла:
<73>
Эта формула определяет положение двух взаимно перпендикулярных пло-
щадок главных напряжений (69); обе эти площадки перпендикулярны третьей
главной площадке (плоскость xz).
Полученные формулы (69) и (72) позволяют легко осуществить графическое
построение величин главных напряжений и определение положения главных
площадок. Эти построения производят в координатной системе т, а (фиг. 22, а).
Положительные направления осей этой системы соответственно совпадают с по-
ложительными направлениями осей х, z (фиг. 21 и 22, б}. По оси а от начала
координат откладывают отрезки ОА и ОВ, в масштабе соответственно равные
напряжениям ах и az. От точки В вдоль положительного направления оси г
откладывается отрезок ВВг = а от точки А в обратном направлении — от-
розок AAl==tvxz. Заметим, что указанное построение предполагает положитель-
ность всех четырех компонентов напряженного состояния.
Напряженные состояния, типичные для задач инженерной практики
41
В тех случаях, когда какой-либо из компонентов напряженного состояния
отрицателен, соответствующий отрезок откладывается в обратную, по сравне-
нию с указанным, сторону.
Прямая Л1В1 пересекает ось а в точке С, середине отрезка АВ. Из точки Сг
как центра, радиусом СВХ — САХ опишем окружность. Точки пересечения.
окружности с осью а обозначим через Д2 и ^2- Покажем, что величины отрез-
ков ОВ2 и ОА2 изображают в масштабе главные напряжения, даваемые фор-
мулой (69).
Действительно, из треугольника СВВГ радиус окружности
св, -
Абсцисса центра С окружности
ОС = ах 4- -1- (а, — ax) = -i- (аг -f- aj
и, следовательно, величины рассматриваемых отрезков следующие:
ОВ2 = ОС + СВ2 = -i- (аг + + ± ;
ОЛ2 = ОС - СА2 (аг + ах) - ± /(«г - ,
что полностью совпадает с величинами главных напряжений по формуле (69).
Соединим точку В2 с точкой носящей название полюса построенной:
окружности. Тогда прямая АХВ2 будет параллельна нормали к площадке глав-
ного напряжения, величина которого изображается отрезком ОВ2. Действительно,
из треугольника АУАВ2
ов2 - О А
у/(ОВ2-ОЛ)2 + ЛД; ’

что полностью совпадает с выражением (72) для направляющего косинуса п.
Другими словами, прямая /1^2 образует с вертикальной прямой, проведенной
через точку Л19 угол B^fi, равный углу az, образованному нормалью к пло-
щадке главного напряжения ОВ2 с осью z (фиг. 22, б'). Очевидно, что пря-
42
Теория напряжений
.мая AjA2, перпендикулярная к прямой параллельна нормали к площадке
главного напряжения, величина которого изображается отрезком ОА2. Указанное
построение нормалей позволяет нанести на фиг. 22, б следы площадок главных
напряжений ОВ2 и ОА2. Обе эти площадки перпендикулярны плоскости xz —
площадке главного напряжения ау.
Заметим, что при произвольных значениях компонентов напряженного со-
стояния в общем виде не удается оценить относительную величину найденных
по формуле (69) главных напряжений и, следовательно, отпадает возможность
применения введенных выше обозначений а2, а3 для главных напряжений.
Это становится возможным только при решении конкретных задач, когда изве-
стны числовые значения составляющих напряженного состояния.
Когда заданное главное напряжение = 0, имеет место плоское или двух-
осное напряженное состояние. Если, кроме того, обращается в нуль и напряже-
ние <зх (или az), то, независимо от соотношений между компонентами и
<и их знаков, величины главных напряжений следующие:
(74)
При этом всегда, независимо от знаков и > 0 и а3 < 0.
Экстремальные касательные напряжения по формуле (45)
^жс т1з + 2 аз) *
Подстановка величин главных напряжений и а3 по формуле (74) дает\ что
т»кс i 2 j/
+ 4т2 .
• ZX
(75)
Площадки экстремальных касательных напряжений перпендикулярны пло-
скости xz и делят пополам прямые углы, образованные площадками главных
напряжений и а3.
Полученные выражения для главных напряжений (74) и экстремальных каса-
тельных напряжений (75) используются во многих инженерных расчетах с при-
менением гипотез прочности, как, например, в расчете на изгиб и кручение
различных машинных валов и тому подобных деталей.
§ 8. ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
Пример 1. Исследовать напряженное состояние прямого бруса при осевом нагру-
жении (фиг. 23, а) или чистом изгибе (фиг. 23, б),
В рассматриваемой точке бруса расположим прямоугольную систему координат xyz
так, чтобы ось z была параллельна оси бруса, а оси х и у расположены в плоскости
поперечного сечения.
Как при осевом нагружении, так и при чистом изгибе прямого бруса в поперечных
сечениях существуют только нормальные напряжения а все продольные сечения
свободны от напряжений. Другими словами, при осевом нагружении или чистом изгибе
во всех точках бруса имеет место одноосное или линейное напряженное состояние.
Если нормальное напряжение <sz > 0 (растяжение), то главные напряжения соответственно
равны
<*1 = <%> °2 = = °-
Если же нормальное напряжение < 0 (сжатие), то главные напряжения
= 52 = 0, ^3 == £.
Примеры исследования некоторых напряженных состояний
43
Главными площадками являются поперечное сечение и все продольные сечения
(свободные от напряжений). 1аким образом, выбранные выше координатные плоскости
являются главными площадками.
Круговая диаграмма одноосного растяжения (az > 0) изображена на фиг. 24. При
переходе от общего случая объемного напряженного состояния к одноосному растяже-
нию окружность 01 стягивается в начало координат, что соответствует отсутствию нор-
мальных и касательных напряжений в продольных сечениях (в площадках, нормальных
к площадке главного напряжения = а2) и окружность 03 совпадает с окружностью 02.
Круговая диаграмма одноосного сжатия (gz < 0) изображена на фиг. 25. Здесь стя-
гивается в начало координат окружность 03 и окружность 01 совпадает с окружностью 02.
Рассмотрим величины напряжений в площадках, наклоненных произвольным образом
к координатным плоскостям (фиг. 26).
По формулам (4) составляющие
с нормалью
X. = 0, У. = 0, Zv = а2п
и, следовательно, полное напряжение
же площадке:
= Zv = az cos az,
Фиг. 25.
где az — угол, образованный нормалью v с положительным направлением оси z. Таким
образом, полное напряжение, независимо от наклона площадки, параллельно оси бруса
(фиг. 27). На фиг. 27 ось z совмещена с осью бруса.
По формулам (6) и (7) нормальное и касательное напряжения в произвольно ориен-
тированной площадке:
av = Zvn = а2 cos3 az;
=* -% $z sin 2az.
(76)
Итак, величины напряжений в площадке с нормалью зависят только от угла az
образованного этой нормалью с осью бруса. Другими словами, для всех площадок^ про-
ходящих через рассматриваемую точку и образующих одинаковые углы с осью бруса,
напряжения одинаковы.
На фиг. 27, для случая осевого нагружения, штриховыми линиями изображен кру-
говой конус, образованный совокупностью slhx площадок. Ось конуса параллельна оси
бруса, а угол при его вершине равен 180°—
44
Теория напряжений
Зависимости напряжений av и от угла аг, по формулам (76), изображены в поляр-
ной системе координат на фиг. 28. Из графика tv (а2) следует, что наибольшие каса-
тельные напряжения
имеют место во всех площадках, нормали к которым составляют с осью бруса угол
az = 45° и в своей совокупности образуют конус с прямым углом при вершине.
Пример 2. Исследовать напряженное состояние прямого бруса квадратного сечения
при кручении моментами Mz (фиг. 29).
При расчете на прочность наибольший интерес представляет исследование
напряженного состояния в точках Д, В, С и D, расположенных по середине сто-
дов действуют только касательные напряжения
рон квадратного поперечного се-
чения.
Выделим в окрестностях этих
точек бесконечно малые элемен-
ты объема в виде прямоугольных
£ параллелепипедов, грани которых
параллелльны граням поверхно-
сти бруса (см. фиг. 30, на кото-
рой с помощью линий контура
бруса условно показано относи-
тельное расположение рассматри-
ваемых параллелепипедов).
При кручении бруса по гра-
ням выделенных параллелепипе-
(фиг. 30). В точках А, В, С и D
эти напряжения направлены вдоль контура и равны
т 0,208а8
= 4,80^-
а3
(77)
для
Ось
где а — сторона квадрата.
Рассмотрим исследование напряженного состояния
точке начало прямоугольной системы координат xyz.
бруса, а оси х и у — парал-
лельно сторонам квадрата.
Тогда для точки А плбскость xz
свободна от напряжений, а в
двух других координатных пло-
скостях имеют место только
касательные напряжения ъхг —
= т2Х = т (фиг. 30 и 31).
Следовательно, здесь одной
из главных площадок является
плоскость xz, а две другие
главные площадки перпенди-
кулярны этий плоскости, т. е.
параллельны оси у, и их поло-
жение подлежит определению.
Применим полученные вы-
ше, в § 4, общие выражения
для величин главных напряжений и для направляющих косинусов нормалей главных
площадок к рассматриваемому напряженному состоянию.
Для точки А из девяти компонентов напряженного состояния отличны
только два компонента, и, следовательно, определитель (16) принимает вид:
точки А. Расположим в этой
z направим параллельно оси
от нуля
т
0
— а
где а — искомые величины главных напряжений.
Приравнивая определитель Д =* 0, приходим к следующему уравнению для вычисле-
ния главных напряжений:
а (с2 — т2) == 0,
откуда величины главных напряжений следующие:
= + т, а2 = 0, а3 = — т. (78)
Примеры исследования некоторых напряженных состояний
45
Заметим, что эти же результаты получаются и непосредственно по формулам (74),
если положить, что а2 = 0.
Как уже указывалось, рассматриваемый случай плоского напряженного состояния,
у которого главные напряжения и g3 равны по абсолютной величине и обратны по
знаку, а промежуточное главное напряжение g2 обращается в нуль, называется чистым
сдвигом. Это напряженное состояние встречается во многих случаях практики: при кру-
чении прямого бруса, в нейтральном слое при поперечном изгибе, в контурных точках
круговой площадки контакта соприкасаю-
Фиг. 30.
Фиг. 29.
линейных однородных уравнений (14) относи-
В рассматриваемом случае система j
тельно направляющих косинусов /, т, п принимает^следующий вид:
— al ъп = 0;
am = 0;
(79)
zl — an — 0.
При а = gx из второго уравнения (79) следует, что!т==0, т. е. искомая пло-
щадка параллельна оси у, что уже было ^выяснено
Из первого и третьего уравнений (79)
z т k
Л Gj
Учитывая, что /2 -|- /л2 -|- п2 = 1, имеем
л2 = и и = + -4—.
2 /2
Начнем с рассмотрения положительных
чений направляющих косинусов
Г2
и соответствующих им углов
аг = а2 = 45° ИЛИ ах — а2 == 315°.
ранее.
зна-
= a,
Из фиг. 32 следует, что первая пара углов (ах = az = 45°) действительно определяет
направление луча — нормали к площадке главного напряжения gj, а вторая пара углов
не дает определенного направления (луча) на штриховой прямой.
Как известно, соответственные направляющие косинусы двух противоположных
лучей имеют разные знаки. Поэтому отрицательные значения направляющих косинусов
I — п =---соответствуют изменению направления нормали на обратное, что не
отражается на положении главной площадки вр
При а — а2 — 0 из тех же уравнений (79)
/ = 0, /и = + 1, л = 0,
46
Теория напряжений
т. е. площадкой йромежуточного главного напряжения а2» как это и отмечалось выше,
служит координатная плоскость xz.
При а = о3 из второго уравнения (79) /и — О, т. е., как это уже отмечалось, искомая
площадка параллельна оси у. Далее из первого и третьего уравнений (79)
— = — == ]
П Т
ж. следовательно, третий направляющий косинус п == + ——
Начнем с рассмотрения следующих значений направляющих косинусов:
которые соответствуют углам
а* = 135° или 225° и az = 45° гли 315°.
Из фиг. 33 следует, что только
<х2 = 315°,
одна пара значений углов, именно ах = 135° и
действительно определяет направление луча — нормали к площадке главного напря-
жения а3.
Значения направляющих косинусов Z = — и — —соответствуют изменению напра-
V
вления нормали ^3 на обратное, что не отражается на положении главной площадки а3.
Таким образом, для точки А (см. ефиг. 30) площадки главных напряжений и ag
параллельны оси у и делят пополам прямые углы, образованные двумя другими осями х
и 2. Следы этих площадок отштрихованы на фиг. 34.
Напряженное состояние в точке тела хорошо иллюстрируется круговой диаграммой.
Используя найденные значения главных напражений (78), строим для рассматриваемого
напряженного состояния (чистый сдвиг) круговую диаграмму (фиг. 35).
Из сказанного ранее (см. § 5) следует, что окружность 02 изображает нормальные
и касательные напряжения во множестве- площадок/ перпендикулярных к площадке
Примеры исследования некоторых напряженных состояний
47
главного напряжения а2> т- е- плоскости xz. Окружности 01 и 03 изображают напряже-
ния в площадках, перпендикулярных соответственно к площадкам главных напряже-
ний О] и а3.
Обратимся к аналитическому рассмотрению нормальных и касательных напряжений,
в площадках, наклонных к координатным осям и проходящих через точку А (см. фиг. 31).
Из формул (4) имеем следующие выражения для проекций на координатные оси
полного напряжения в площадке с нормалью
X' « тл, « О, Zv = т/.
Квадрат полного напряжения
р? = („2 + /3) = Т2 (1 _ От2)
ИЛИ
рЪ = т2 Sin2 ау,
где ау —угол, образованный нормалью v и осью у.
Таким образом, величина полного напряжения pv в произвольно ориентированной!
площадке зависит только от угла, образованного нормалью v с осью у.
Нормальное напряжение в площадке с нормалью
av = tnl + tin = 2т/п.
Оно определяется произведением направляющих косинусов
I « COS ах и п — COS а2.
Квадрат касательного напряжения в площадке с нормалью \ равен
= т2 (/2 4- И2) _ (2т/й)2 = ?2 [/2 «2 _ 4/2л2].
Перейдем к рассмотрению некоторых частных случаев. Так, для площадок, перпен-
дикулярных к плоскости xz (фиг. 36), нормаль v параллельна этой плоскости, т. е.
ax4-az = 90°; ay = 90° и, следовательно, направляющие косинусы равны
I — cos ах = sin az;
m = cos ay == 0;
n == cos = sin ax.
Тогда полное, нормальное и касательное напряжения в площадках, перпендикуляр-
ных к плоскости xz, принимают значения:
= т = const;
av = т sin 2ax = т sin 2аг;
\ = т cos 2ax =s ъсоя 2а2.
(80>
Графическое изображение полученных зависимостей для нормальных и касатель-
ных напряжений, в полярной системе координат, дано на фиг. 37. Сплошной линией?
изображена зависимость gv от угла и штриховой линией — зависимость от az.
48
Теория напряжений
Для площадок, перпендикулярных к плоскости ху (фиг. 38), 4“ ау = 90°, аг == 90°
и направляющие косинусы равны
I = cos ах — sin ау;
т — cos а.у — sin ах;
п = cos а2 — 0.
Нормальное напряжение в площадках, перпендикулярных к плоскости ху, обращается
в нуль, а касательное напряжение имеет следующее значение:
— т cos ах = т sin ау.
(81)
Из равновесия элементарной призмы,
наклонная грань которой перпендикулярна
плоскости ху, очевидно, что касательные
напряжения параллельны оси z (фиг. 38).
В полярной системе координат графическое изображение зависимости от угла ах
представляет собой две окружности (фиг. 39).
Аналогично легко показать, что нормальные напряжения в площадках, перпендику-
лярных к плоскости yz, обращаются в нуль, а касательные напряжения
= т cos az = т-sin ay (82)
параллельны оси х (фиг. 40).
Пример 3. Исследовать напряженное состояние прямого бруса квадратного сечения
при чистом изгибе и кручении (фиг. 41).
При чистом изгибе прямого бруса моментами Мх в его поперечных сечениях воз-
никают нормальные напряжения
Мху 1“2Мху
Jx ~ ’
где а — сторона квадратного сечения бруса.
Примеры исследования некоторых напряженных состояний
49
Наибольшей величины эти напряжения достигают при у = + -g-*
(наиб) _ бМ-г
°* - а»
Все продольные сечения бруса при чистом изгибе свободны от напряжений.
При кручении прямого бруса моментами Mz в поперечных и продольных сечениях
возникают касательные напряжения. Эти напряжения обращаются в нуль для четырех
угловых точек и в центре сечения. Наибольшей величины они достигают по серединам
сторон квадратного поперечного сечения:
т ” 0,208а8 ~4,80 aS *
Фиг. 42.
Рассмотрим напряженные состояния, возникающие при одновременном чистом из-
гибе и кручении, в ряде характерных точек бруса. Выделим в окрестностях этих точек
бесконечно малые элементы
объема в виде прямоугольных
параллелепипедов, грани которых
параллельны граням поверхности
бруса (см. фиг. 42. на которой с
помощью линий контура бруса
условно показано относительное
расположение рассматриваемых
параллелепипедов).
Для центра поперечного сече-
ния нормальные напряжения от
изгиба и касательные напряжения
от кручения обращаются в нуль.
Таким образом, точки- оси бруса
(ось z) оказываются ненапряжен-
ными - все множество плоско-
стей, проходящих через какую-
либо точку оси бруса, свободно
от напряжений.
В верхних угловых точках А
поперечного сечения имеют место
только нормальные растягиваю-
щие напряжения <sz > 0. Все про-
дольные сечения,
через эти точки, свободны от
напряжений. Таким образом, главными площадками для точки А
сечение и все множество площадок, нормальных к поперечному
имеет место линейное напряженное состояние (одноосное растяжение). Величины глав-
ных напряжений соответственно равны
проходящие
является поперечное
сечению, т. е. здесь
а1 = aZ > °2 = а3 = 0.
Детальное исследование линейного напряженного состояния дано в примере 1.
В нижних угловых точках В поперечного сечения действуют только нормальные
сжимающие напряжения < 0. Главные напряжения равны
<J1 =» = 0, а3 = <sz < 0, ( !
т. е. в точках В имеет место линейное напряженное состояние (одноосное сжатие).
В точках С, расположенных у середин боковых поверхностей бруса, в координат-
ных плоскостях ху (поперечное сечение) и xz (продольное сечение) существуют только
касательные напряжения — zyz. Все остальные компоненты напряженного состояния
отсутствуют. Определитель (16) принимает вид:
о о
— G
о
о
Д =
а zzy
Tyz —с
Раскрывая определитель и приравнивая его нулю, приходим к уравнению для глав-
ных напряжений:
а(°2-Tzy)=°>
откуда главные напряжения следующие:
а1 — Tzy» ®2 — °в — ------------ Tzy
4 Пономарев и др. 407
50
Теория напряжений
Таким образом, в точках С имеет место частный случай плоского напряженного
состояния, называемый чистым сдвигом.
Детальное исследование напряженного состояния чистый сдвиг дано в примере 2.
В точке D, расположенной у верхней поверхности бруса, в координатной плоско-
сти ху (поперечное сечение) имеет место нормальное напряжение <sz > 0 и каса-
тельное напряжение (фиг. 42 и 43). Плоскость хг, т. е. плоскость, проходящая
через точку D и параллельная поверхности бруса, свободна от напряжений и, следова-
тельно, является одной из главных площадок.
Для рассматриваемой точки определитель (16) принимает вид:
0 zzx
— а 0
0 (<зг — а)
Полагая Д — 0, приходим к следующему уравнению для определения главных на-
пряжений:
’’) + =°-
Величины главных напряжений равны
ai = "2~ + j »
а2 = 0;
1
°з— 2
т. е. в точке D имеет место плоское напряжен-
ное состояние, причем >0 и 3 < 0.
Допустим, что изгибающий Л4Г и крутя-
щий моменты равны между собой. Обозна-
чим их величину через Л4:
= М, === М.
Тогда главные напряжения соответственно равны
а1 = 8,66-^3- , о2 = 0, а3 = — 2,66
Направляющие косинусы нормалей к главным площадкам можно определить непо-
средственно из системы уравнений (14) и зависимости (15). Но так как рассматривается
плоское напряженное состояние, несколько удобнее воспользоваться формулами (71) и (72).
Полагая а = и = 0 в формуле (72), имеем, что
п = ± —.. ..- = ± 0,875.
Далее по формуле (71)
и, следовательно, / = ±0,485.
Начнем с рассмотрения положительных значений направляющих косинусов. Значе-
нию / = 0,485 соответствуют углы ах = 61° или 299°, а значению п = 0,875 углы а2 ==
= 29° или 331°. Из фиг. 44 следует, что только пара углов ах == 61° и az = 29° действи-
тельно определяет направление луча, т. е. нормали к площадке главного напряжения
в]. Вторая пара углов (ах = 299° и а2 = 331°) не дает определенного направления (луча)
на штриховой прямой.
Отрицательные значения направляющих косинусов / = — 0,485 и п — — 0,875 соот-
ветствуют изменению направления нормали на обратное, что-не отражается на поло-
жении главной площадки.
Полагая a = a3 и == 0 в формуле (72), имеем, что
п = ±-----5? = ± 0,485.
V4 + т2
Примеры, исследования некоторых напряженных состояний
51
Далее по формуле (71)
1_
п
—--------0,180
а3
и следовательно,
/ = + 0,875.
Начнем с рассмотрения следующих значений направляющих косинусов: / = — 0,875
и я = 0,485. Значению / = — 0,875 соответствуют углы ах = 151° или 209°, а значению
п — 0,485 - углы az = 61° или 299°.
Из фиг. 45 следует, что нормаль \»3 к площадке главного напряжения а3 опреде-
ляется углами ах = 151° и а2 = 299°. Другая пара углов (ах = 209°, а^ = 61°) не дает
определенного направления луча.
Фиг. 44. Фиг. 45. Фиг. 46.
Значения направляющих косинусов / = 0,875 и п = —0.485 соответствуют изменению
направления нормали \»3 на обратное, что не отражается на положении главной площадки.
Таким образом, главными площадками для точки D (см. фиг. 42 и 43) являются;
координатная плоскость xz, проходящая через рассматриваемую точку (площадка глав-
ного напряжения а2 = 0), и две плоскости параллельные оси у, нормали к которым
образуют с положительным направлением оси х углы ах = 61° (нормаль v ) и av== 151°
(нормаль ^з). Нормали vj и ^3 и следы соответствующих главных площадок изображены
на фиг. 46.
Проведенное аналитическое определение величин главных напряжений и положения
главных площадок можно заменить чисто графическим псстроением, изложенным в § 7.
Это построение осуществляется в координатной системе т, а (фиг. 47). Положитель-
ные направления осей этой системы соответственно совпадают с положительными на-
правлениями осей х и z. От начала координат, вдоль положительного направления оси а,
откладываем отрезок ОВ, в масштабе равный sz. Далее от точки В вдоль положитель-
4*
52
Теория напряжений
ного направления оси т откладывается отрезок ВВ{ = clt а от начала координат вдоль
отрицательного направления оси т отрезок ОЛА = т. Прямая А^ВХ пересекает ось а
в точке Q середине отрезка ОВ.
Из точки С, как из центра, радиусом СВ} = СЛ2 описываем окружность, пересека-
ющую ось а в точках В^ и Л2. Величины главных напряжений определяются длинами
отрезков:
ОВ2 = ai > 0 и ОЛ2 = а3 < 0.
Соединяя точку Л! (полюс построенной окружности) с точками В2 и Л2, определяем
направления нормалей к площадкам найденных напряжений.
Прямая Л ВА параллельна нормали к пло-
щадке а прямая Л Л2— нормали к пло-
щадке о3. На фиг. 47 по установленным нор-
малям построены следы главных площадок
с?! и а3. Как и следовало ожидать, результаты
Фиг. 48. Фиг. 49.
аналитического и графического определения величин главных напряжений и положения
главных площадок полностью совпадают.
Найденные величины главных напряжений позволяют построить круговую диаграмму
для рассматриваемого напряженного состояния (фиг. 48).
Величины экстремальных касательных напряжений определяются как радиус окруж-
ности 02 этой диаграммы:
1 М
хэкс — i 2 сз) — — $>66 •
Фиг. 51.
Эти напряжения возникают в двух площадках, перпендикулярных к плоскости xz
и делящих пополам прямые углы, образованные площадками главных напряжений и а3.
Графическое построение площадок экстремальных касательных напряжений произво-
дится следующим образом (фиг. 47). Концы К и Е горизонтального диаметра КЕ соеди-
няем с полюсом А . Прямые А К и Л^' параллельны нормалям к искомым площадкам.
Следы этих площадок, проходящих через точку D, нанесены штриховыми линиями.
В заключение рассмотрим напряженное состояние в точке К» расположенной
у нижней поверхности бруса (фиг. 42). Здесь нормальное напряжение и касательные
напряжения тгг = тх? отрицательны (фиг. 49).
При Мх = М2 = Л4 величины главных напряжений следующие:
aj = 2,66-~j-, а2 = 0, о3 = — 8,66
При переходе от точки D к точке К нормали и v3 меняются местами (фиг. 46 и 50).
Круговая диаграмма для напряженного состояния в точке К изображена на фиг. 51.
Примеры исследования некоторых напряженных состояний
53
Итак, при одновременном чистом изгибе и кручении прямого бруса квадратного
сечения, в большинстве точек имеет место плоское напряженное состояние (а2 = 0).
В угловых точках оно переходит в линейное напряженное состояние.
Пример 4. Исследовать напряженное состояние тонкостенной круговой трубки
е днищами, нагруженной внутренним давлением и крутящими моментами (фиг. 52).
Для тонкостенной трубки можно принять, что нормальные напряжения в попереч-
ных и радиальных сечениях от нагружения внутренним давлением (осевые и окружные
напряжения) и касательные напряжения в тех же сечениях от крутящих моментов рас-
пределены равномерно по толщине стенки трубы, т. е. во всех точках трубы (доста-
точно удаленных от днищ) имеет место однородное напряженное состояние.
У
Фиг. 53.
Фиг. 52.
Нормальными напряжениями, направленными по радиусам трубы (радиальные напря-
жения), можно пренебречь, так как в тонкостенных трубках их величина значительно
меньше окружных и осевых напряжений.
Рассмотрим элементарный параллелепипед, вырезанный из стенок трубы, в окрест-
ности некоторой точки Л, достаточно удаленной от днищ (фиг. 52 и 53)). Грань ху
параллелепипеда совпадает; с поперечным сечением трубы, грань yz —- с радиальным
еечением и грань zx — с касательной плоскостью к цилиндрической поверхности, ось
которой совпадает с осью трубки.
При нагружении трубки по граням
йафаллелепипедов возникает окружное
напряжение <?х, осевое напряжение аг и
касательные напряжения хг v и (фиг.53).
Таким образом, в рассматриваемом слу-
чае из девяти компонентов напряжен-
ного состояния отличны от нуля четыре
компонента (фиг. 54):
pr pr Mz
°2= 2а’ xzx = ^z = <2кгга
Здесь р кг!см2 — величина избыточ-
ного давления, Mz кгсм — величина
крутящего момента, г см и а см — соот-
ветственно средний радиус и толщина
стенки трубы.
В рассматриваемом случае опреде-,
литель (16) принимает вид:
о 0
Д = 0 — а 0
T.rz 0 — а
Приравнивая этот определитель нулю, приходим к следующему уравнению для ве-
личин главных напряжений:
, ® [(’х - <0 (»z - а) — = о.
Предположим, что величина крутящего момента связана с величиной давления сле-
дующим соотношением:
М.г — крг\
54
Теория напряжений
тогда
рг
Чх - - 2а
и величины главных напряжений:
"'"'“ 'г > °'
Л2_4(3-Г5)4 = о.191^>о:
а3 = 0.
Очевидно, что величины главных напряжений одинаковы для любой точки трубки
(достаточно удаленной от ее концов). Таким образом, для всех этих точек трубки имеет
место однородное плоское напряженное состояние, при этом оба главных напряжения
положительны, т. е. являются напряжениями растяжения. Заметим, что по мере воз-
растания крутящего момента (Л/г> лргЗ) одно из главных напряжений уменьшается,
проходит через нулевое значение (в этом случае во всех точках трубки имеет место
линейное напряженное* состояние) и становится отрицательным.
Обратимся к определению положения главных площадок. Для рассматриваемой
точки система однородных уравнений (14) относительно направляющих косинусов нор-
малей к главным площадкам принимает следующий вид:
Ох — ®) I + ЧхП — 0;
ст/и = 0;
zxzl + (az — <0 л = 0.
При а = gj отношение направляющих косинусов
Z т2г 0.5
-^ = ^7=йо9Т7Т=1.618
и, следовательно, искомые косинусы, учитывая зависимость /2т2 4-n2 == 1, равны
/ = + 0,851, т = 0, п = +0,526.
Для положительных значений направляющих косинусов нормаль определяется
следующими углами (см. примеры 2 и 3):
ах = 32°, ау = 90°, а2 = 58°.
Отрицательные значения направляющих косинусов- соответствуют изменению направ-
ления нормали на противоположное, что не отражается на положении площадки глав-
ного напряжения а .
При а = о2 отношение направляющих косинусов
Z тгг 0,5
~п = 02-= 0,191 - 1 = — 0,618
и, следовательно, искомые косинусы
Z = Т 0,526, т = 0, п = + 0,851.
Для значений направляющих косинусов
Z = — 0,526, /п = 0, n = 0,851
нормаль определяется следующими углами:
ах = 122°, = 90, аг = 328°.
При сг = а3 = 0 направляющие косинусы и углы имеют следующие значения:
Z = 0, т = + 1, п = 0;
аЛ = 90°, ау = 0, а2 -= 90°,
т. е. нормаль совпадает с осью у.
Таким образом, главными площадками для рассматриваемой точки являются: коорди-
натная плоскость xz и две плоскости, параллельные оси у, нормали к которым образуют
углы ах = 32° (нормаль vj) и ах = 122и (нормаль n2) с положительным направлением
оси х.
Примеры исследования некоторых напряженных состояний
55
На фиг. 55 изображены нормали и v2 и отштрихованы следы площадок главных
напряжений и а2.
В качестве контроля используем чисто графическое определение величин главных
напряжений и положения главных площадок (см. § 7). Это построение производим
в координатной системе т, а (фиг. 56 а).
От начала координат вдоль положительного направления оси а откладываем отрезки
ОА и ОБ, в масштабе равные соответственно и а2. Далее от точки В вдоль поло-
жительного направления оси т откладывается' отрезок ВВ1 = т, а от точки А вдоль
отрицательного направления оси т — отрезок ДА} = т. Прямая ApSj пересекает ось а в
точке С, в середине отрезка АВ.
Из точки С, как из центра, радиусом СВГ = С А} опи-
сываем окружность, пересекающую ось а в точках В2 и Лг.
Искомые величины главных напряжений определяются
длинами отрезков
ОВ2 = Qi > 0 и ОА2 = <*2 > о*
Соединяем точку Д (полюс) с точками В2 и Л2- Пря-
мая АВ2 параллельна нормали к площадке а1э а прямая
А^Аг — нормали к площадке а2. По найденным нормалям
на фиг. 56 построены следы главных площадок gj и а2.
Результаты аналитического и графического определе-
ния величин главных напряжений и положения главных
площадок, как и следовало ожидать, полностью совпадают.
По найденным величинам главных напряжений, на
фиг. 57 построена круговая диаграмма для рассматриваемого напряженного состояния.
Величины экстремальных касательных напряжений определяются как радиус окружно-
сти 02 этой диаграммы:
хэкс = ± “2“ (а1 — аз) = ± 0,655 •
Эти напряжения имеют место в двух площадках, перпендикулярных к плоскости дей-
ствия промежуточного главного напряжения s2 и делящих пополам прямые углы, кото-
рые образованы площадками главных напряжений ах и 03. Касательные напряжения в пло-
щадках, перпендикулярных к плоскости xz (площадка напряжения а3 = 0) и делящих
пополам прямые углы, образованные площадками главных напряжений и а2 (следы
этих площадок показаны штриховыми линиями на фиг. 56,£). меньше экстремальных.
Пример 5. Исследовать напряженное состояние, представляющее собой наложение
трех чистых сдвигов одинаковой интенсивности, в координатных плоскостях (фиг. 58).
Наличие касательных напряжений = тух соответствует чистому сдвигу в плоско-
сти ху.
Аналогично напряжения xyz = tzy соответствуют сдвигу в плоскости yz и напряже-
ния tzx = тxz — сдвигу в плоскости zx. По условию все перечисленные касательные
напряжения имеют одинаковую величину, которую обозначим через т. Все нормальные
напряжения в координатных плоскостях отсутствуют. Таким образом, от нуля отличны
шесть компонентов напряженного состояния (фиг. 59).
56
Теория напряжений
Для определения главных напряжений обратимся к кубическому уравнению (17).
В рассматриваемом случае коэффициенты уравнения, т. е. инварианты напряженного* *
состояния, соответственно равны
♦ /г== 0, /2 = Зт2, 13 = 2тЗ
и кубическое уравнение принимает следующий вид:
а3 — Зт2а — 2т3 = 0.
Представляя средний член уравнения в виде двух слагаемых т2а и 2т2а, преобразуем
уравнение к виду
(а -]- т) (а2 — та — 2т2) = 0.
Т
°JL
б

— -----
Фиг. 57.
Следовательно, главные напряжения соответственно равны
• aj = 2т, G2 = С8 = — Т.
Для контроля найденных значений корней кубического уравнения можно использо-
вать инвариантность его коэффициентов. С этой целью выразим коэффициенты уравне-
ния через найденные выше главные напряжен ия
7j == aj 4~ а2 ”Ь* =s 2т — т —
1% — — а2а2 — а2°з — °3°1 = 2т2 — т2 2т2 = Зт2;
/3 = ар2а8 = 2т ( — т) ( — т) = 2тЗ.
Полученные значения инвариантов свидетель-
ствуют о правильности найденного решения.
Наложение трех одинаковых чистых сдвигов
во взаимно перендикулярных плоскостях приво-
дит к объемному напряженному состоянию с
разнозначными главными напряжениями.
Обратимся к определению положения глав-
ных. площадок.
В рассматриваемом случае система уравне-
ний (14) относительно направляющих косинусов
нормалей к главным площадкам принимает вид:
— о/ -|- т/л -|- тл = 0;
т/ — znt ъп — 0;
т/ тт — ал = 0.
Из первых двух уравнений находим, что
Z _ /л _ т
Л “ л а — т *
Подстановка установленных значений в зависимость
Z2 4- /л2 4- л2 = 1
дает, что
1
л2
Примеры исследования некоторых напряженных состояний
57
При с = = 2т квадраты направляющих косинусов нормали ур
z2 __ __2 _ _ 1
ч “ т\ — п\ “ у >
т. е. нормаль образует одинаковые углы со всеми координатными осями. Другими
словами, площадка действия главного напряжения gj равно наклонена к координатным
плоскостям.
Из общей теории главных напряжений (см. § 5, третье свойство напряженного
состояния) следует, что при равенстве двух главных напряжений между собой (g2 = g8)
соответствующими главными площадками является множество плоскостей, нормальных
к площадке действия главного напряжения.
Действительно, подстановка а = — т в систему
уравнений для определения направляющих косину-
сов дает, что каждое из уравнений преобразуется
к виду:
1-^тЛ-п — 0.
Замечая, что условие перпендикулярности двух
плоскостей с нормалями и ^2 выражается зависи-
мостью
Zj/2 “Ь П1Л2 == 0,
заключаем, что выражение 1^-т4-п = 0 предста-
вляет собой условие перпендикулярности искомых
плоскостей с нормалями (/, т, п) и плоскости, равнонакло’ненной к координатным
осям, для которой все три направляющих косинуса равны между собой.
Итак, в случае наложения трех чистых сдвигов одинаковой интенсивности главными
площадками являются: площадка, равнонаклоненная к координатным плоскостям (растя-
гивающие главные напряжения), и все площадки, перпендикулярные к равнонаклоненной
(сжимающие главные напряжения).
На фиг. 60 изображена круговая диаграмма для рассматриваемого напряженного
состояния. Окружность 01, изображающая координатами своих точек нормальные и
касательные напряжения в площадках, перпен-
дикулярных к площадке главного напряжения
(площадка, равнонаклоненная к координатным пло-
скостям), стягивается в точку. Окружности 02
и 03 совпадают друг с другом.
Величина экстремальных касательных напря-
жений
1 , ч 3
*экс = ± Y (а1 “ аз) = ± у
где т — заданная величина касательных напряже-
ний в координатных плоскостях.
Призер 6. Определить величины главных
напряжений и положение главных площадок для
напряженного состояния, заданного следующими
девятью компонентами (фиг. 61):
200 кг/см2, Gy.= 300 кг/см*, = 400 кг/см*
тху = тух = 300 кг! см2, хуг = тгу => 200 кг/см2, tzx = zxz == 100 кг!см2.
Для определения величин главных напряжений используем кубическое уравнение (17):
аЗ — /ха2 — /2а — /3 = 0.
По формуле (18) вычисляем коэффициенты уравнения, являющиеся инвариантами
напряженного состояния:
h = °х + °у + az = 900;
h = - «х’у - + + ----12-1СИ;
/3 = <^xeysz — aJcxyz — аУТгх °гхху “Ь 2тХу'Суг'ггх = 11 • 106.
Так как второй и третий инварианты отличны от нуля, то рассматриваемое напря
женное состояние является объемным.
58
Теория напряжений
Из теории кубических уравнений следует, что уравнение (17) подстановкой
приводится к виду
1)3+/”1 + ? = 0.
где новые коэффициенты р и q имеют вид:
р----/2_ _15.104.
2 Q 1
q = - if - у hh - h = -7-io«.
Дискриминант кубического уравнения
4- ps+тqi=- i'451 •1012< 0
и, следовательно, уравнение имеет, как и следовало ожидать, три действительных корня.
Корни уравнения выражаются через вспомогательный угол <р, определяемый из соотно-
шения
„,3т_-214_2^Г_о.з1за5.
2|Р|2
По таблицам тригонометрических функций
3? ъ 71°45';
? « 23°55';
cos ср 0,9141.
Корни приведенного уравнения равны
о т/'T ___
*11 = —з— V'l р | cos <f> = 409;
о
4г = VEpTcos (<р - 120°)-----------47,4;
О
1], = yjTTcos (? +120°) = -361,4.
О
Тогда величины главных напряжений
Gi = iqi —|—/1 = 409 -f- 300 = 709 кг/см2;
и
== "*12 == —47,4 —|— 300 ~ 253 ке]см^\
о
а3==^3 4-1/1= -361,4 + 300 = -61,4 кг/см2-
о
Для контроля найденных величин главных напряжений используем инвариантность
коэффициентов /ь 72, h кубического уравнения (17). По формулам (29):
h = (ц + а2 4- а3 = 709 + 253-61,4 900;
/2 = — «1<*2 — а2а3 — ^3^1 ~ —12-104;
Ц = О1а2а3 = — 709 • 253 • 61,4 « — 11 • 106,
что подтверждает правильность решения.
Примеры исследования ' некоторых напряженных состояний
59
Обратимся к определению положения главных площадок, т. е. к вычислению напра-
вляющих косинусов нормалей к главным площадкам. Представим систему однородных
уравнений (14) в следующем виде:
/ х I ' m 1 л
(ах “ а) — + 1уХ ~—Ь == 0;
I , , ч ш , _
Чу — + (°у - °) — + Чу = 0;
Txz ~ Н~ Tyz ~ ~Ь (°Z — ®) — 0-
Из первых двух уравнений определяем величины отношений:
При а — имеем, что
— = 0,8551 и — = 1,117.
п п
Третье уравнение можно использовать для контроля найденных величин — и —.
п п
Представляя зависимость /2-|-/и2-|-я2 = 1 в виде
определяем величины направляющих косинусов нормали к площадке главного напря-
жения Зр
/ = 0,495, пг = 0,647, п « 0.579
или
/ = —0,495, m = —0,647, п = —0,579.
Заметим, что направляющие косинусы /, /и, п можно рассматривать как координаты
точки Л4, лежащей на нормали »х, на расстоянии, равном единице масштаба от начала
координат.
Три координаты /, т, п вполне определяют положение точки, а следовательно, и
направление нормали (фиг. 62). Поэтому вычисление углов, образованных нормалью
с координатными осями, в рассматриваемом случае не является необходимым.
Наличие двух знаков у каждого направляющего косинуса определяет и два взаимно
противоположных направления нормали. Эти две нормали соответствуют двум сторо-
нам одной и той же площадки главного напряжения и являются продолжением одна
другой.
При о = а2 величины отношений
— = —0,5978 и — = —0,4389
п п
60
Теория напряжений
и, следовательно, направляющие косинусы нормали ^2 к площадке главного напряжения
следующие:
/ = 0,480; т = 0,352; п = —0,803
или
/ == —0,480; т - -0,352; п = 0,803.
При а = а3 величины отношений
— = 5,337 и —--------4,984.
п п
Направляющие косинусы нормали ^3 к площадке главного напряжения а3 следующие
/ = 0,724; т = —0,676; п = 0,136
или
/ = —0,724; т = 0,676; п = —0,136.
В качестве контроля найденных значений направляющих косинусов можно исполь-
зовать три условия взаимной перпендикулярности нормалей к главным площадкам.
Круговая диаграмма для рассматриваемого напряженного состояния изображена на
фиг. 63.
Величины экстремальных касательных напряжений
хэкс — + ту (ai — аз) = + 385 ке}см^
имеют место в двух площадках, нормальных к площадке промежуточного главного
напряжения а2 и делящих пополам прямые углы, образованные площадками двух других
главных напряжений.
ЛИТЕРАТУРА
1. Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, гл. 2. Общие уравнения
механики сплошной среды, А. Теория напряженного состояния, ГИТТЛ, 1954.
2. Бицено К. и Граммель Р., Техническая динамика, т. 1, гл. 1. Основные
законы механики упругих тел, § 1. Напряженное состояние, ГИТТЛ, 1950.
3. Бюш ген с С. С., Аналитическая геометрия, ГОНТИ, 1939.
4. Ильюшин А. А., Пластичность, ч. 1, гл. 1. Основные законы упруго-пласти-
ческих деформаций, ГИТТЛ, 1948.
5. Кильчевский Н. А., Элементы тензорного исчисления и его приложения
к механике, (ГИТТЛ, 1954.
6. Колосов Г. Б., О поверхностях, демонстрирующих распределение срезы-
вающих усилий в точке сплошного деформированного тела, Прикладная математика
и мех шика, т. 1, вып. 1, 1933.
7. К о ч и н Н. Е., Векторцре исчисление, Изд. АН СССР, 1951.
8. Лейбензон Л. С., Курс теории упругости, гл. 2. Анализ напряженного со-
стояния, ГИТТЛ, 1947.
9. Ляв А., Математическая теория упругости, гл. 2. Теория напряжений,
10. М а к у ш и н В. М., Об одном из условий пластичности, Вестник машино-
строения, № 9, 1955.
11. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи теории упругости,
гл. 1. Основные уравнения механики твердого тела. 1. Напряженное состояние. Изд.
АН СССР, 1954.
12. Нада и А., Пластичность и разрушение твердых тел, гл. 9. Напряжение, гл. 10.
Графическое изображение напряженного состояния по способу Мора, ГИИЛ, 1954.
13. Новожилов В. В., О физическом смысле инвариантов напряжения, исполь-
зуемых в теории пластичности. Прикладная математика и механика, т. 16, вып. 5, 1952.
14. Папкович П. Ф., Теория упругости, гл. 1. Теория напряжений, Оборонгиз,
1939.
15. Пономарев С. Д., К вопросу трактовки условий наступления пластического
состояния материала. Научно-методический сборник № 6 Академии имени Н. Е. Жуков-
ского. Труды совещания по методическим вопросам, 1955.
16. Саус вел л Р., Введение в теорию упругости для инженеров и физиков, гл. 8.
Общая теория напряжений, ГИИЛ, 1948.
17. Серен сен С. В., Основы технической теории упругости, гл. 1. Физические
свойства материалов и основные понятия теории упругости, ГНТИ Украины, 1934.
18. Смирнов В. М., Курс высшей математики, т. 3, ч. 1, гл. 2. Линейные пре-
образования и квадратичные формы, ГИТТЛ, 1953.
Литература
61
19. Степанов А. В., Основы физического учения о прочности и пластичности
кристаллов, Известия Академии Наук СССР, Серия физическая, т. 17, № 3, 1953.
20. Тимошенко С. П., Теория ynpyrocin, гл. 6. Исследование напряжений и
деформаций в трех измерениях, ГТТИ, 1934.
21. Трапезин И. И., Теория упругости, гл. 1. Теория напряженного состояния,
Изд. Московского авиационного института, 1951.
22. Т р е ф ф ц Е., Математическая теория упругости, гл. 2. Тензор напряжений,
ГТТИ, 1932.
23. Феодосьев В.И., Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов,
ГИТТЛ, 1953.
24. Феппль А. и Феппль Л., Сила и деформаций, т. 1, гл. 1. Общие прин-
ципы, ГТТИ, 1933.
25. Ф и л о н е н к о-Б о р о д и ч М. М., Теория упругости, гл. 1. Теория напряжений,
ГИТТЛ, 1947.
26. Ф р а н к Ф. и Мизес Р., Дифференциальные и интегральные уравнения ма-
тематической физики, ч. 2, гл. 7. Математические основы теории упругости, § 2. Ана-
лиз напряжений и деформаций, 1937.
27. Френкель Я. И., Введение в теорию металлов, отдел 1. Электронная теория
металлических тел, ГИТТЛ, 1950.
28. Чернышев Н. А., Основы теории напряжений и деформаций, гл. 1. Теория
напряжений, Машгиз, 1951.
29. Шапиро Г. М., Высшая алгебра, Учпедгиз, 1937.
30. С а и с h у A., De la pression ou tension dans un corps solide, Exercices de ma-
thematigues, t. 2, стр. 42—56, Parij, 1927.
31. Mohr O., Abhandlungen aus dem Gebiete der technischen Mechanik, Abhand-
lung 5. Welche UmstSnde bedingen die Elastizitatsgrenzen und den Bruch eines Ma-
terials, s. 192—240, Berlin, 19z8.
ГЛАВА II
ТЕОРИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
§ 1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
Все твердые тела способны деформироваться, т. е. изменять свои размеры
и форму под действием внешних сил.
Допустим, что на некоторое деформируемое тело, нагруженное системой
внешних сил, наложено шесть связей, запрещающих перемещение и
поворот тела как жесткого целого по отношению к
ной системе осей координат х, у, z (фиг. 64). В
щения и, v, 'W являются функциями координат
неподвижной прямоуголь-
этом случае перемещения
точек тела определяются
только его деформацией.
Пути, пройденные от*
дельными точками тела
(например, путь AfAfj
точки 7Й), называются
полными линейными пе*
ремещениями этих точек.
Вектор 1ИА41 перемеще-
ния точки М может быть
разложен по осям коор-
динат х, у, z.
Проекции этого век-
тора на оси координат
х, у, z обозначим соот-
ветственно и, ю и w и
назовем компонентами
перемещения.
Компоненты переме-
точки х, у, z\
U = ll(Xt У, z), V=v(x, у, z), W==W(X, у, z). (1)
Если при деформации тела в материале не возникает разрывов, то функции (1)
являются непрерывными. Кроме этого, предполагается, что непрерывны н
частные производные функций (1).
Проведем в недеформированном теле через точку Л4 прямую линию АВ.
В результате деформации тела точки, лежащие на этой прямой, расположатся
на некоторой кривой AjBp касательная к которой KL в точке М1 будет по-
вернута по отношению к прямой АВ.
Если взять на прямой АВ элементарный отрезок MN, то после деформации
тела этот отрезок будет являться частью кривой А^. Чем меньше
будет отрезок MN, тем с большей степенью точности можно считать кри-
вую M1N1 приближающейся к касательной KL. Поэтому в дальнейшем при
рассмотрении перемещений элементарных отрезков будем считать, что они и
после деформации остаются прямыми.
Перемещения и деформации
63
Угол наклона касательной KL к кривой в точке Л4Х к прямой, парал-
лельной прямой АВ,—угол а (фиг. 64) называется угловым перемещением.
Таким образом, перемещения могут быть линейными и угловыми. В качестве
примера рассмотрим деформацию рамы, изображенной на фиг. 65. В резуль-
тате приложения к раме силы Р рама деформируется так, как показано на
фигуре. Точка Л4 перемещается в положение Л42. Отрезок является ли-
нейным перемещением точки AL Сечение I—/, проходящее через точку 7И,
при деформации рамы поворачивается и занимает положение II—II. Угол а
между линиями I—I и II—II представляет
ния /—I. Отметим, что стержень ВС рамы
не деформируется, но тем не менее переме-
щается в положение В1С1 за счет деформа-
ции стержня АВ. Таким образом, переме-
щающаяся часть тела может быть и неде-
формируемой; отсюда следует, что переме-
щения еще не дают полного представления
о деформации тела.
Чтобы, с геометрической точки зрения,
полностью охарактеризовать деформирован-
ное состояние тела, необходимо ввести спе-
циальные понятия. Последние можно уста-
новить из более подробного рассмотрения
собой угловое перемещение сече-
процесса образования перемещений. Разобьем тело мысленно на бесконечно
малые элементы, имеющие форму прямоугольных параллелепипедов. При на-
гружении тела элементарные параллелепипеды деформируются: ребра каждого
из них меняют свою длину, углы между ребрами также искажаются. Накопле-
ние деформаций параллелепипедов и приводит в конечном счете к перемещению
точек тела друг относительно друга.
В качестве примера рассмотрим деформированное состояние ступенчатого
бруса, заделанного левым торцом и нагруженного силой Р, равномерно распре-
деленной по кольцевому выступу ВВ (фиг. 66).
Фиг. 66.
Очевидно, что тонкая часть бруса (АВ) растягивается. Здесь развиваются
внутренние силы, и элементарные параллелепипеды части АВ меняют свои
размеры. Накопление этих деформаций приводит к тому, что точки бруса
получают перемещения. Чем дальше от заделки расположена точка тела, тем
больший путь вдоль оси бруса она проходит. Это объясняется тем, что в этом
случае перемещение образуется в результате накопления деформаций большого
количества элементарных параллелепипедов от заделки до рассматриваемой
точки. Наибольшее в части АВ перемещение получают точки сечения ВВ. Это
перемещение равно полному удлинению бруса. В части бруса ВС внутренние
силы не развиваются, и элементарные параллелепипеды в этой части бруса не
деформируются, но перемещаются вдоль оси бруса на то же расстояние, что
и сечение ВВ. Вся часть ВС движется, как абсолютно жесткое тело, вместе
с сечением ВВ.
Обозначим начальные размеры какого-либо элементарного параллелепипеда
(например, как на фиг. 66) через Дх, Ду, Дг (фиг. 67). При воздействии на
64
Теория деформаций
тело внешних сил параллелепипед переместится в новое положение. Если эле-
ментарный параллелепипед не находится в напряженном состоянии, то размеры
и форма этого параллелепипеда не изменяются. Он не будет деформироваться,
а перейдет в новое положение, сохраняя свой первоначальный вид. В таких
условиях в рассмотренном выше примере находились параллепипеды в части ВС
бруса (см. фиг. 66).
Если же элементарный параллелепипед находится в напряженном состоянии,
то он не только переместится, но будет деформироваться и получит другие размеры
Дх}, Дур ДгР В таких условиях в рассмот- ______
ренном выше примере находились паралле- у/
лепипеды в части АВ бруса (см. фиг. 66). Г । \
Фиг. 67. Фиг. 68.
Отношения
* __ Д*! — Дх * __ Ду,—Ду * Д^ — Дг
х СР &Х ’ &У ср Ху ’ ср Xz
характеризуют среднюю интенсивность деформирования в окрестности точки,
около которой вырезан элементарный параллелепипед, соответственно направ-
лению его ребер (х, у, z). Пределы этих отношений s*, е*, е* при стремлении
размеров Дх, Ду и Дг к нулю называются относительными удлинениями в точке.
В случае увеличения ребер параллелепипеда относительные удлинения положи-
тельны, в случае уменьшения — отрицательны и могут быть названы относи-
тельными сжатиями. Таким образом, величины е*, е* и е* характеризуют истин-
ную интенсивность линейного деформирования в точке в направлениях х, у и z
соответственно.
В рассмотренном выше примере деформации ступенчатого бруса (фиг. 66)
углы между ребрами элементарного параллелепипеда не изменились. В общем
случае деформации может произойти и изменение углов.
Так, например, при закручивании тонкостенной трубки первоначально пря-
мые углы между образующими ее и следами поперечных сечений на поверхно-
сти трубки изменяются, как представлено на фиг. 68. Элементарный прямо-
угольник ABCD превращается в элементарный параллелограмм
Изменения прямых углов элементарного параллелепипеда при его деформа-
ции 7*^, 7*^, (фиг. 69) называются сдвигами. Сдвиг будем считать положи-
Перемещения и деформации
65
тельным в том случае, когда при деформации прямой угол уменьшается: если
при деформации прямой угол увеличивается, то сдвиг отрицателен.
Для более ясного понимания деформированного состояния в точке тела
рассмотрим деформацию элементарного параллелепипеда, вырезанного из дефор-
мируемого тела в окрестности точки М (фиг. 70). В результате деформации
тела точка М перемещается в положение ребра параллелепипеда изменяют
свою длину, углы между реб-
рами также изменяются. Для
того чтобы определить поло-
жение элементарного паралле-
лепипеда в деформированном
состоянии, недостаточно знать
три компонента смещения точ-
ки /И, три относительных удли-
нения и три сдвига, так как
при переходе параллелепипеда
из недеформированного в де-
формированное состояние он
может еще и повернуться отно-
сительно осей координат х, у, z.
Введем понятие угла пово-
рота элементарного отрезка.
Возьмем элементарный отре-
зок MN (фиг. 71), лежащий
в некоторой плоскости Т, пер-
пендикулярной к оси z. В ре-
зультате деформации тела отрезок MN переместится в новое положение AljNp
Проекцию этого отрезка на плоскость Т обозначим Al'N'. Углом поворота' со*
элементарного отрезка AIN относительно оси z называется угол между отрез-
ками MN и AI'2V', т. е. угол между направлением отрезка до деформации и
направлением проекции
этого отрезка после де-
формации на плоскость,
перпендикулярную к
оси z. Очевидно, что угол
поворота элементарного
отрезка является функ-
7 нией координат точки и
/ направления отрезка A1N.
Л4 / Отметим, что угол по-
/ ворота элементарного от-
' резка относительно неко-
торой оси, вообще говоря,
не совпадает с угловым
перемещением этого от-
Фиг. 71. резка. Это показано на
фиг. 71, где угловое пе-
ремещение отрезка MN равно углу а между отрезком и линией, парал-
лельной отрезку MN. Угол поворота отрезка А1Л/ относительно оси z совпадал
бы с угловым перемещением этого отрезка, если бы отрезок лежал в пло-
скости, перпендикулярной к оси z.
Для определения положения параллелепипеда в деформированном состоянии
необходимо знать три угла поворота одного из его ребер относительно осей
координат со*, (о*, ш*.
На фиг. 72 представлена проекция на плоскость ху элементарного паралле-
лепипеда в недеформированном и деформированном состояниях (см. фиг. 70).
5 Пономарев и др. 407
66
Теория деформаций
Через АГ и Л4' обозначены проекции на плоскость ху точек М и На
фиг. 72 показаны компоненты перемещения и и v и угол поворота ю* ребра
параллелепипеда, параллельного оси х, относительно оси z. Как следует из
фиг. 72, угол поворота ребра параллелепипеда, параллельного оси у, относительно
оси z равен to*—
Аналогично можно было рассмотреть картину деформации элементарного
параллелепипеда в проекции на плоскости yz и zx.
поворота непо-
на деформацию
можно пред-
У
Фиг. 72.
Отметим, что углы
средственно не влияют
параллелепипеда, т. е.
ставить себе перемещение элементар-
ного параллелепипеда в новое поло-
жение с поворотом относительно осей
координат без изменения длин ребер
и углов между ними. Тогда параллеле-
пипед не претерпевает деформаций.
В тех случаях, когда относитель-
ные удлинения и сдвиги во всех точ-
ках тела одни и те же, деформирован-
ное состояние тела называется одно-
родным.
Относительные удлинения и сдвиги
считаются малыми, если величинами их
можно пренебречь по сравнению с единицей. Тогда относительные удлинения
называются также линейными деформациями, а сдвиги — угловыми деформа-
циями. Линейные и угловые деформации будем обозначать теми же буквами ex,
еу, sz> Try» Tyz» Txz'i чт0 и относительные удлинения и сдвиги, но без индекса*.
Точно так же углы поворота считаются малыми, когда
величинами их можно пренебречь по сравнению с едини-
цей. Малые углы поворота будем обозначать теми же
буквами (Dx, (0у, (02, но без индекса *.
Для экспериментального определения относительных
удлинений применяются специальные приборы — тензометры
(см. гл. IV т. I). При помощи этих .приборов измеряется
изменение расстояния между двумя точками на поверхности
тела при его нагружении. На фиг. 73 представлен рычажный
тензометр, при помощи которого измеряется приращение
длины отрезка АВ (базы тензометра). Отношение этого при-
ращения к первоначальной длине (базе тензометра) равняется
среднему относительному удлинению в направлении АВ.
В том случае, когда деформированное состояние тела
неоднородное (т. е. относительные удлинения и сдвиги
различны в различных точках тела), для более точного
определения относительных удлинений следует применять
тензометры с возможно меньшей базой. Это следует,
например, иметь в виду при экспериментальном изучении
деформированного состояния балки, находящейся в усло-
виях поперечного изгиба, поскольку в этом случае отно-
сительные удлинения изменяются по длине балки.
Иногда необходимость применения тензометра с малой базой диктуется формой
поверхности тела. Так, например, при экспериментальном исследовании дефор-
мации на поверхности тонкостенной скрученной трубки (фиг. 68) должны при-
меняться тензометры с малой базой, несмотря на то, что деформированное со-
стояние трубки в этом случае является однородным.
При исследовании однородного деформированного состояния необходимо
стремиться к использованию тензометра с возможно большей базой, так как
Исследование деформаций в точке деформируемого тела
67
точность измерения относительных удлинений в таком случае большая, чем
в случае использования тензометра с малой базой. Так, например, для опреде-
ления относительных удлинений при испытании образцов на растяжение обычно
используется тензометр с относительно большой базой.
Для определения сдвигов применяются приборы, при помощи которых из-
меряется изменение прямого угла между двумя линиями на поверхности детали..
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ В ТОЧКЕ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА
Отнесем некоторое деформируемое тело к прямоугольной системе координат
х, у, z. Рассмотрим две точки М и N тела, лежащие до его деформации на
отрезке прямой г на весьма малом расстоянии dr друг от друга (фиг. 74). До-
пустим, что координаты точки М равны х, у и z*9 тогда координаты точки Н
будут х 4- dx, у 4- dy, z -|- dz.
Очевидно, что проекции
отрезка М/V на оси координат
равны dx, dy и dz, а длина
его
dr=V(dx)2+(dy)2+{dz}2. (2)
Направляющие косинусы
отрезка MN:
, dx dy dz
I —m — , п = -т-.(3)
dr' dr ' dr y '
Предположим, что в ре-
зультате деформации тела от-
резок MN занял положение
Фиг. 74.
(фиг. 74). Обозначим
компоненты перемещения точ-
ки Л4 через u, v и w. Тогда компоненты перемещения точки N будут и -f- du,
а 4^, w-^-dw. Вследствие этого координаты точки равны x-j-u, y-j-v,
z 4 ад, а координаты точки N1 — соответственно х 4- dx 4- и 4- du, у 4- dy -j-
4^4^, z 4- dz-^'W 4" dw. Таким образом, проекции отрезка M1N1 на оси’
координат равныб/х4-</й, dy 4 dv, dz-\-dw, а длина его drx равна
drx == У(dx 4- du)2 4- (dy 4" dv)2 4- (dz 4- dw)2.
(4),
Отношение приращения
к его первоначальной длине
(увеличения или уменьшения) длины
dr
* drA — dr
dr *
отрезка MN
(5)-
как уже отмечалось выше, является относительным удлинением в точке М
в направлении MN (в направлении оси г).
Выразим теперь относительное удлинение е* через компоненты перемещения-
а, ад точки М и направляющие косинусы прямой г.
При этом учтем, что компоненты перемещения точки М являются функци-
ями ее координат х, у, z, т. е.
и = и(х, у, z), v = v(x, у, z), w = w(x, у, z),
а компоненты перемещения точки W—функциями координат х 4 dx, у 4 dy,.
z±dz:
и 4- du — и (х 4- dx, у 4- dy, z + dz)*,
v 4- dv = fl (x 4- dx, у 4- dy, z 4- dz)*,
w 4- d<w = w (x -4 dx, у 4- dy, z 4“ dz).
5*
68
Теория деформаций
Разлагая последние выражения в ряд Тейлора и ограничиваясь малыми пер-
вого порядка относительно бесконечно малых приращений координат dx, dy, dz,
имеем
du — ди dx dx 4- ’ dy dy + ~^ • dz\
dv = dv dx , । dv dx 4—s— 1 dy dy + ^ s ' dz dz\ (6)
dw dx , , dw dx-\--^~ ’ dy , 1 dw d>+ dz- dz.
Подставляя соотношения (6) в формулу (4), после преобразований с исполь-
зованием выражений (2) и (3) получим
dr^drYI ±2 (exl2 -j- еу»г2 4- ezn2 4- ^xylm -f- 1у.тп 4- 1гхпГ), (7)
где обозначено:
dz 2 [ \ dz ) + \ dz ) \ dz ) J ’
du , dv . du du 1 dv dv . dw dw e
~dy + dx 4 dx dy ’ dx dy ' dx -fy’
dv , dw . du du dv dv , dw dw
1y? = ~dT dy dy dz ()y & + dy dz '
dw , du f du dv dw dw
"Tzx = dx + dz - । dz 1 dx । dz 1 dx dz dx
(8)
Выше было принято в случае малых относительных удлинений и сдвигов
(когда величинами их можно пренебречь по сравнению с единицей) называть их
соответственно линейными и угловыми деформациями и обозначать через s и р
Как будет установлено в дальнейшем, при малых относительных удлинениях
и сдвигах правые части первых трех выражений (8) совпадают с линейными
деформациями в направлении осей х, у, z, а правые части вторых трех выра-
жений (8) с угловыми деформациями между осями х, у, z. Поэтому они обоз-
начены через ех, ег ег, lxy, lyz, Ъх.
Выше было принято называть ех, еу, sz линейными, уху, 7у2, ^zx— угловыми
деформациями.
Каждую из величин ех, еу, е2, уХу, jyZ, jzx будем называть также компонен-
том деформированного состояния в точке или для краткости компонентом де-
формации. Следовательно, компоненты деформации связаны нелинейными зави-
симостями с частными производными компонентов перемещения.
Введем обозначения:
__ ди ________ dv , dw
вхх ~ ~дТ ' еУУ ~ ~ду~ ’ — ~дГ ’
7 (9)
_____ ди t dv ________ dv dw ____________ dw du '
€xv dv dx ' e?z dz ' dy * €zx dx ' dz ’ .
1 / dw < dv \ 1 ( du dw\ 1 ( dv ди \ ,.
x ~~ 2 \ dy dz ) ’ 2 \dz ~dx ) ’ 0)2 ~~ ~2 \ dx ~d)T ) '
Геометрический смысл введенных параметров будет установлен позднее.
Исследование деформаций в точке деформируемого тела
69,
Из соотношений (9) и (10) следует, что
ди 1 dv _ 1
ду = — е 2 ХУ дх 2 еху
dv 1 dw 1
~dz 2 ' — Чг» ~ду~ — 2 eyz
dw __ J_ ди 1
дх 2 — со ; У’ ~dz — 2 ezx
(11)
Тогда, подставляя выражения (9) и (И) в соотношения (8), получим
(12)
Таким образом, компоненты деформации связаны нелинейными зависимостями
с введенными параметрами ехх, еууУ eZz, еху> eyZ, eZx и cdz.
Подставим теперь в выражение (5) dr1 по формуле (7). Тогда найдем
S* == 1/1+2 (ехР 4- evm2 + еги2 + lxylm 4- упп + izxtil) — 1. (13)
Формула (13) определяет относи-
тельное удлинение в направлении г
через направляющие косинусы этого
направления /, т, п и шесть компо-
нентов деформаций.
Перейдем к рассмотрению сдви-
гов
Для этого возьмем два элементар-
ных отрезка MN=dr и ML = ds,
расположенных на прямых г и s,
проходящих через точку М под не-
которым углом друг к другу
(фиг. 75). Обозначим направляющие
косинусы прямых г и s через
и /2. т2, п2 соответственно.
В результате деформации тела
ючка М перейдет в новое положение Mlf а точки, лежащие на прямых г и
расположатся на кривых; Обозначим направления касательных к этим кривым
в точке Мт через г1 и а направляющие косинусы этих касательных ,т
л', 1’2, т2, п’2 соответственно. Длг/ны отрезков MN и ML после деформации,
обозначим drx = MrNr и dsx — М^.
70
Теория деформаций
Если проекции отрезка MN на оси координат dx, dy, dz, то проекции
отрезка — dx-\-du, dy-^-dv, dzdw, а направляющие косинусы его
, dx + du t^_dy + dv , __ dz + dw /14х
Zi~ dry ’ 1— dry ’ 1“ dry ’ 1 '
Из соотношения (5) имеем
dr^X+^dr, (15)
где e* — относительное удлинение в точке Л1 в направлении г.
Подставим соотношение (15) в формулы (14), учитывая при этом выраже-
ния (6) и (3).
Тогда получим направляющие косинусы прямой г у.
Аналогично устанавливаем направляющие косинусы прямой
где е* — относительное удлинение в точке 7И в направлении прямой
Косинус угла между прямыми гг и равен
cos (г^) = /14 -|- т'ут'ъ -|- (18)
Подставляя в формулу (18) значения направляющих косинусов по формулам
(16) и (17), после преобразований с учетом соотношений (8) получим
cos (rjSj = , 1 , [IJb + -I- 28^/2 -f-
U + Mli + M
+2егтЛ + 2e2«!H2 + ixy (11Гп2 + l2mx) + iy2 + m2«i) +
4-Ъх(«Л + «2/1)1- (19)
Как уже указывалось, сдвигом называется изменение первоначально прямого
угла. Считая, что прямые г и s первоначально перпендикулярны, и обозначая
изменение угла между ними через находим
откуда
sin 7*5 = cos (rpSj). (20)
Подставим в соотношение (20) выражение (19) учитывая, что в случае
•перпендикулярности прямых г и s '
/14 + ^1^2 + П1Л2 = °-
Исследование деформаций в точке деформируемого тела
71
Тогда получим
sin i*rs = - [Se/j/a -f- 2s + 28^/г, -f-
(1 + £J(1 + eJ
+ Ixy (llm2 + l2ml) + lyz (mln2 + m2«l) + Ъх M + W2Z1)1 • (20
Формула (21) определяет сдвиг между двумя взаимно перпендикулярными
прямыми г и s через относительные удлинения в этих направлениях, направля-
ющие косинусы прямых г и s и шесть компонентов деформации.
Таким образом, формулы (13) и (21) дают возможность подсчитать относи-
тельное удлинение и сдвиг в любых направлениях, если известны шесть ком-
понентов деформации.
Следовательно, шесть компонентов деформации полностью характеризуют
деформированное состояние в точке.
Выясним геометрический смысл компонентов деформации. Для этого пред-
положим вначале, что прямая г совпадает с осью х, и найдем по формуле (13)
относительное удлинение отрезка, первоначально расположенного на оси х.
В этом случае 1=1, ш = п = О, и из формулы (13) имеем
е* ==]/ 1 Ч-2ех—1. (22)
Аналогично можно установить, что
\ 1 4” 2еу — 1; (23)
8:=1/г+К-ь (24)
Предположим теперь, что прямые г и s совпадают с осями х и у соответ-
ственно, и найдем по формуле (21) изменение первоначально прямого угла
между осями хну.
В этом случае lx = 1; = 0; Z2 = /г2 -= 0; -= 1 и из формулы (21)
имеем

Try
(25)
Аналогично можно установить, что
!Л *\/1 t *\ 9
(26)
(27)
Таким образом, относительные удлинения в направлении координатных осей
и сдвиги между ними связаны с компонентами деформаций зависимостями
(22)—(27).
Из формул (22) — (27) следует, что компоненты деформации ех, еу и
характеризуют удлинения в направлении координатных осей, а компоненты
деформации yyzt ^zx— сдвиги между координатными осями.
Предположим теперь, что относительные удлинения и сдвиги малы. В этом
случае соотношения (22) — (27) значительно упрощаются.
Представим выражения (22) — (24) в виде:
е;+1х=ут+2^, e;+i=/r+2^, е;+1=]Лг+2^.
Возведя в квадраты правые и левые части этих равенств, найдем:
(2 + ех) = 2©х, еу (2 ©J = 2еу, ez (2 ег) = 2ez. (28)
п
Теория деформаций
В выражениях (25) — (27) разложим синусы в ряд. Тогда получим
(29)
*
(30)
уравнения, определяющие относительное
Пренебрегая в соотношениях (28) и (29) относительными удлинениями
и сдвигами по сравнению с единицей, найдем
* ♦
7xy=Trv> 7*г = Туг. Ur = 7zx-
Напомним, что ранее через sx, еу, ez, уху, уу2, у2х были обозначены правые
части выражений (8). Из соотношений (30) следует, что, как было отмечено
выше, при малых относительных
удлинениях и сдвигах правые части
выражений (8) равны соответствую-
щим линейным и угловым деформа-
циям. Таким образом, в случае ма-
лых относительных удлинений и
сдвигов они (компоненты деформа-
ции) связаны нелинейными зависимо-
стями (8) с частными производными
компонентов перемещения или не-
. линейными зависимостями (12) с
введенными параметрами еХХУ eyyi ezz,
еху> eyz> <•
Произведя преобразование вы-
ражений (13) и (21) точно так же,
как были преобразованы соотноше-
ния (22) — (27), можно получить
удлинение в направлении оси г и
сдвиг между двумя взаимно перпендикулярными осями г и s через направляю-
щие косинусы и шесть компонентов деформации в случае малых относительных
удлинений и сдвигов:
4 = е, = + evm2 4- ezti2 4- ixylm 4- iyZmn •+• ~(zxnl; (31)
7*« ==7« = 2sxlilz + 2^„mxmz 4- ^znynz 4-
+ 7xV (Л^Ч + 4" 7yz (OTi«2 4- m2«i) 4- 7z.r («Л + «гО- (32)
Выясним теперь геометрический смысл параметров eXXi evy, eZ2, o)x, <dv. coz,
установленный В. В. Новожиловым [7].
Для этого рассмртрим некоторую точку М деформируемого тела (фиг. 76).
Проведем через точку’ М вспомогательные оси, параллельные осям х, у, z. ’
В результате деформации тела точка Л4 перемещается в положение Л43, а точки,
лежащие на вспомогательных осях, расположатся теперь на кривых, пересека-
ющихся в точке Л11.
Обозначим направления касательных к этим кривым через xlf ylt z3 и най-
дем косинусы углов между этими касательными и осями х, у, z.
Для этого воспользуемся выражениями (16).
Исследование деформаций в точке деформируемого тела
7&
Полагая в них Z1 = l, = 0, = 0 и учитывая соотношения (9) и (И)
получим
COS(x1(J/)_ * 1 +®Л- до дх~ 1 2 exy + ш2
’+< ’
сл<г (х — ____1__ dw 1 ~y ezx o>y
tuo J, - * 1 4- сг дх 1 + <
Аналогично легко установить, что
7 X । СПЯ ( JCI — ди 1 "2~ ^xv
uwo 1 У], л; — 14-е„ ду l+< ’
COS(_yi7j0=— 0 + do \ 1 + eyy в?! 1 +e*v ’
cos {yltz)— * 1 4-е„ dw 1 “2" eyz +*
ду ~ l+< ’
с ля (? у4 — 1 du 1 — ezx -+- <OV
tUd Л) * 1 + е? dz 1 +< ’
dv ~2~ eyz
COS {Z}, у) * 1 + dz 1+ег
/ V 1 /1 I dw \ 1 -I- e2Z
^(^.^=^(1+^)=-^.
Полученные величины косинусов сведены в табл. 1.
Таблица Г
*1 У1 zy - >
X , ^Л~ехх i+*: 1 2 exy 1+ i+4
У 2 е*У “h 1 ^~^~eyy 1 . * !4-ev I “У &yz~ '+<
z Ч- —‘ nj 1 + H Ш I , * * •' e 1 “2" eyz -f- cox l+e„ • l+г zz 1+гг •.
74
Теория деформаций
Выясним геометрический смысл введенных ранее параметров ехх, еуу и ezz.
Для этого рассмотрим линейный элемент dx, параллельный до дефор-
мации оси х. Длина этого элемента после деформации будет равна (1 -]~bx)dx,
-а проекция этой длины на ось х—(1 е*) dx cos (хь х).
Используя приведенную в табл. 1 величину cos(x1,x), получаем проекцию
длины деформированного элемента на ось х, равную (1 4~ exx)dx. Следова-
тельно, величина ехх представляет собой относительное удлинение проекции на
ось х линейного элемента,
-лельно этой оси. Аналогичный
& ezz. Геометрический смысл параметров
направление которого до деформации было парал-
геометрический смысл имеют и параметры еуу
е*,. в одном частном случае
•4k yJ *
будет выяснен позднее.
Перейдем теперь к установле-
нию геометрического смысла пара-
метров (Dx, (Dy и (о2. Для этого
рассмотрим элементарный отрезок
MN = dr (фиг. 77), лежащий на
прямой г, расположенной в плоско-
сти ху, и составляющей с осью х
угол 9.
В результате деформации тела
точки М и N перейдут в новые
положения Л1г и точки, лежащие
на прямой г, расположатся на кри-
вой. Обозначим проекции точек Мт
и на плоскость ху через М'г
и N'v а проекцию касательной i\ к
кривой в точке на ту же плоскость — через r'v Углы между касательной г}
и осями х, у, смогут быть найдены по формулам (16) подстановкой в них
Zj — cos 9, /п1 —sin9, nY — 0.
Тогда, учитывая обозначения (9) и (11); получим
cos (rp х) = y-p-i [(1 4- ехх) cos 8 -f- {^еху — ®г) sin б] ;
cos (гп у) = C0S 9 + 0 + еуу>sln9] •
(33)
Проекции отрезка на оси х и у соответственно получаем, используя
соотношения (33):
drlx = dl'icos (''13) =
1
1 + ехх) C°S 9 + sin 9
rfr1, = dr1 cos (г,, у)
Г+7 + ®г)cos9 +(1 + sin9] •
(34)
Вычислим теперь тангенс угла наклона к оси х отрезка /UiM (проекции
Фтрезка на плоскость ху), имея в виду выражения (34).
Тогда
dr1v (-Ч~еху + cos 6 + G + *уу) sin 0
^е1 = ^ = —----------------—п--------------ч---• <35>
lv (1 + <rx) cos 0 + sin 9
.Угол поворота ш* отрезка MN относительно оси z равен
= 91 — 9
Исследование деформаций в точке деформируемого тела
7Ь
и, следовательно,
( tern*—
I g г i + tgBitge*
Подставляя в это выражение tg91 по формуле (35), получим
<*>z + 4- еху cos 26 + -у- (*vy — ехх) sin 26
tg (Оз* =-----?--------------2-------j---------• (36)
1 + exx cos2 0 -+- eyy sin2 0 4“ ~2~ eXV sin 26
Найдем среднее значение тангенса угла поворота для всех отрез^рц, перпен-
дикулярных оси z.
Обозначая это среднее значение через tg имеем
2тс
fg Wz == 4 J tg d9, (37)
Подставляя в интеграл (37) выражение (36), получим
tg === S1 4" (38)
где
2тс
Sj = -g Г------------------------------j---------. (39)
J 1 4“ ехх cos2 6 еуу sin2 0 4- — еху sin 20
1 р exycos 20+(evy —<vx)sin29
*^2 — I i ““ • \4v)
J 1 4 ^xx cos2 0 4 вуу sin2 0 4- -y eXy sin 20
о
Вычисляя интегралы (39) и (40) [7J, имеем
, mz . . 52 = 0.
|/ (1 4- exx)(\ 4> eyy) — у e2xy
Подставим эти величины в формулу (38). Тогда найдем
tg^!= --7==^===. (41)
У (1 + ехх)(1 + ^у)-Ае^
Аналогично можно получить
tg^*= . ........г = ; (42)
у (1 4 вуу) (1 4- #zz) — *4“
Я: OJ W
tg ®у= Г. ....--------- =. (43)
У О +г22)(1 +<?хх)-44
Таким образом, средние значения тангенсов углов поворота всех элементар-
ных отрезков, перпендикулярных осям х, у и z9 пропорциональны введенным
ранее параметрам а)х, <оу и <oz соответственно.
76
Теория деформаций
§ 3. ЗАВИСИМОСТИ КОМПОНЕНТОВ ДЕФОРМАЦИИ ОТ КОМПОНЕНТОВ
ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СЛУЧАЕ МАЛЫХ ДЕФОРМАЦИЙ И УГЛОВ ПОВОРОТА
Выше было установлено, что при малых относительных удлинениях и сдви-
гах величины их, совпадающие с соответствующими компонентами деформации,
связаны с компонентами перемещения или с параметрами ехх, eyyi ezz, еху, eyZ,
ezx, нелинейными зависимостями (8) или (12).
Рассмотрим, как могут быть упрощены зависимости (12) при условии, что
величины относительных удлинений и сдвигов, а также углов поворота малы по
сравнению с единицей. Приводимые ниже анализ и упрощение зависимостей (12)
даны В. В. Новожиловым [7].
Пренебрегая в табл. 1 относительными удлинениями по сравнению с едини-
цей, получаем новую таблицу косинусов углов между осями х19 zy и х, у, z
(табл. 2)
Таблица 2
У1 21
X 1-h ехх 1 2 еху ”2~ егх +
У 1 2 Р'Ху 1 ~h еуу 1 2 eyz шх
Z 1 2 ezx — °v 1 2 еуг^~(Л г 1 +
Отметим, что при малых углах поворота направление хх мало отличается от
направления х, а направления у1 и — от направлений у и z соответственно.
Разложим косинус малого угла между осями х2 и х в ряд и пренебрежем
четвертой и высшими степенями малого угла (хр х) по сравнению с квадра-
том. Тогда, используя табл. 2, получим
cos (х,, х) = 1 + = 1-----(XjTx)2.
Аналогично можно установить, что
cos (_у!, у) = 1 4- еуу = 1 — 4- (_У17у)8;
cos (z^z) = 1 4- егг = 1---(z^z)2-
Учитывая, что
cos(x^y) = sin --------------------------(xpjo] .
а угол между осями х, и у мало отличается от прямого, разложим синус малого
угла ~ (xv у) в ряд и пренебрежем кубом и высшими степенями этого
угла по сравнению с первой степенью. Тогда, используя табл. 2> найдем
cos (хп у) = -g- еху 4- ----(хь у).
Аналогично устанавливаем, что
cos(x,,z)=-^- егх— <оу = -^----(xt>z); •
COS (/?>)•= 4" — “г = -------<У1’ХУ'
Зависимости компонентов деформации от компонентов перемещения
77
cos(j1>z) = -i-eyZ-|-<ox=-^---(У1,гу,
cos (zt,x)= -4- e2x -I- <»y=-^-(z„x);
cos (гъу)=-^-еуг — шх= -------(zt, y).
Следовательно, диагональные члены табл. 2 отличаются от единицы вели-
чинами второго порядка, а остальные члены этой таблицы будут величинами
первого порядка, если считать угол поворота величиной первого порядка
малости.
Рассмотрим теперь упрощение формулы (41) в случае малого угла поворота.
Для этого найдем вначале величину
Подставляя в эту формулу выражение (41), получим
Sin (02 = ___..........--------у ------
у (1 4- ехх) (1 + еуу) — еху 4- (— еху —
Принимая во внимание сказанное ранее о порядке величин, стоящих под
корнем, и учитывая, что при малых углах поворота sin<o* отличается от со*
только величиной третьего порядка, заключаем, что
О)г = (о2.
Аналогично устанавливаем, что
—* —*
0)х=(Ох, (Оу = (Оу.
Таким образом, при малых углах поворота параметры сог, (оу и со2 равны
средним углам поворота всех элементарных отрезков, перпендикулярных осям
X, у и z соответственно.
Для упрощения зависимостей (12) при малых углах поворота представим
эти зависимости в виде:
1 4- 2ех = (1 + ехх)2 + + ^)2+ (~Те™ — юу)2;
1 + 2еу = (1 + еуу)2 -4- (~-еху — ®z)2+ (-L<>yZ + <ох)2;
1 + 2ez = (1 -f- <?2,)2 -j- (—егх 4- юу) 4* (~еуг — шс) >
Тху О 4~ ^хх) ( g вХу °>г ) 4“ (1 4" ^уу) ^ху + ®z) 4“
4“ 2 ^У2 4" ( 2 ^гх Wv) ;
(44)
Ту? G 4” ^уу)( 2 eyz ^х') 4~ О 4“ ^z?) ( 2 ^У2 “Ь” 4*
4” ^~2~ezx 4~ <°у) (^~2~еку ®?) »
Tzx = С1 + ezz) (~Yezx — <°у) 4- (1 4- ехх^ (4"^ + ®у) +
+ (4"^У + ®?) (4- еуг — шх) •
78
Теория деформаций
Сопоставляя выражения (44) с соответствующими величинами, приведенными
в табл. 2, приходим к заключению, что соотношения (44) выражают компонен-
ты деформации через косинусы углов между осями и х, у, z. Учи-
тывая сказанное ранее о порядке величин этих косинусов, убеждаемся в том,
что компоненты деформаций ех, еу, ez, ^xyi yyzt [см. формулы (44)] отли-
чаются соответственно от параметров errt e2Z, erv, ell2, e2r на величины
* a XXJ УУ* Z4’ xy* y#* zx
порядка квадратов углов поворота.
Следовательно, в формулах (12) можно отбросить квадраты и произведения
параметров ехх, еуу, ezz> ехуу eyz, ezx, а также произведения их на углы пово-
рота u)x, (оу, о)и, так как эти величины согласно доказанному выше имеют поря-
док четвертых степеней и кубов углов поворота.
Произведя указанные преобразования, получим приближенные выражения для
компонентов деформаций, справедливые в случае малых относительных удлине-
ний и сдвигов и малых углов поворота:
Тху еху ®х^у>
iyz=eyZ—
(45)
Отметим, что из малости относительных удлинений и сдвигов, а также углов
поворота по сравнению с единицей еще не следует, что они являются величи-
ной одного порядка малости. Поэтому в формулах (45) наряду с величинами
ехх> eyr еху eyz> ezx в первой степени удержаны члены, содержащие углы
поворота в квадрате.
Если квадраты и произведения углов поворота малы по сравнению с отно-
сительными удлинениями и сдвигами, формулы (45) приводятся к виду:
ех ехх* еу еуу> ez ezz>
Ixy ~ exy’ Tyz = eyz> Izx ~ ezx
или, на основании соотношений (9),
ди dv dw
Р ft ----- __ о _________ ___•
x дх ’ У ду ’ 2 dz 9
_______ ди । dv ____________ dv dw ____________dw . du
Чху ~dy dx ’ ^yz dz dy ’ ^zx dx ' dz *.
(46)
(47)
Таким образом, если относительные удлинения, сдвиги и углы поворота
малы по сравнению с единицей, а квадраты и произведения углов поворота
малы по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами, -равными в рас-
сматриваемом случае соответствующим компонентам деформации, последние свя-
заны с компонентами перемещения линейными зависимостями (47).
Из соотношений (46) следует, что при сформулированных выше условиях
параметры ехх, eyyf ezz, еху, eyz,ezx совпадают с соответствующими компонен-
тами деформации.
Изменение компонентов деформации при повороте осей координат
7S
Если размеры тела являются величинами одного порядка, то соблюдение
условия о малости относительных удлинений сдвигов и углов поворота влечет
за собой и соблюдение условия о малости квадратов и произведений углов по-
ворота по сравнению с относительными удлинениями и сдвигами. Если размеры
тела в одном или двух направлениях значительно больше размеров в других
направлениях (брус, оболочка, пластинка), то тогда углы поворота могут быть
значительно больше относительных удлинений и сдвигов и второе условие не
является следствием первого. Таким образом, областью применения линейных
зависимостей (47) является преимущественно деформация массивных тел, а
областью применения нелинейных зависимостей (12) или (45)—деформация брусьев,
пластин и оболочек. Однако линейные зависимости (47) могут быть использо-
ваны также и .в ряде задач расчета брусьев, пластин и оболочек. Так, напри-
мер, в задаче кручения бруса большим по сравнению со сдвигами является
только один угол поворота (если ось z является осью бруса), два других
угла поворота — величины такого же порядка, что и сдвиги. Следовательно„
в формулах для сдвигов
Tyz = eyz — ®y®z> Izx = ezx — ^x
последние величины могут быть отброшены, что приводит к зависимостям (46)..
Как отмечает В. В. Новожилов [7], необходимо отказаться от распространен-
ного наименования компонентов деформации, определяемых формулами (8)<
или (12), „компонентами конечной деформации", что, естественно, влечет за
собой наименование компонентов деформации, определяемых формулами (46)
или (47), „компонентами бесконечно малой деформации".
Как было доказано выше, малость относительных удлинений и сдвигов по
сравнению с единицей не является еще достаточным условием для перехода от
формул (8) и (12) к формулам (45) или (46) и (47). Для этого необходима
еще и малость углов поворота по сравнению с единицей.
§4. ИЗМЕНЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПОВОРОТЕ
ОСЕЙ КООРДИНАТ
Рассмотрим изменение компонентов деформации при повороте осей коорди-
нат. Допустим, что компоненты деформации ех, sy, ez, уху, yyz, ^zx в системе
прямоугольных осей координат х, yf z известны. Введем в рассмотрение новую
систему координат х', у', z', начало которой совпадает с началом старой си-
стемы. Положение новой системы х , у', z' относительно старой х, у, z оп-
ределяется с помощью девяти косинусов согласно табличке, приведенной в гл. I,
т. I (стр. 14).
Как следует из соотношений (22)—(27), относительные удлинения в на-
правлении осей х', у', zr и сдвиги между ними характеризуются компонентами
деформаций ехг, , ег/, Чх'у', Чу'г'* Iz'x' в новой системе осей х', у', z'
следующими зависимостями:
— ]/1 -j- 2 ©7^ — 1,
Qyr = "j/" 1 -|- 2бу/ — 1,
= V1 + 2eZ' — 1,
sin ”[*xryr =
sin^' =
sin i*'X' =
Тх'у'
(1 + С') (1 + Ty'Z' v) ’
(+ V) (1 + Iz'x' 4)’
(! + J
(48)
С другой стороны, эти же величины могут быть выражены через компонен-
ты деформаций в старой системе осей х, у, z, ех, еу, е2, чху, yyzi jzx с по-
80
Теория деформаций
хмощью уравнений (13) и (21), а также таблички косинусов, приведенной в гл. I,
-т. 1 (стр. 14):
ех-= /1 4 2 (е/? 4- ev/K? -4- е2я? 4 -\ху1гтх 4 4yzmini 4 4x4Zi) — 1!
е*, = V1 -4- 2 (sxZ2 4 eyml 4 ег«2 4- -[xyl2m2 4- Tyzw2«2 4 1гхп21г) ~ 1 ’>
ег' = У 1 -4- 2 (егЙ 4- ®у»1з 4 ег«з 4 Уху^зтз “1” 1угтзп3 4 Тгх^з^з) 1>
sin 7* » 1 , [2е Л/2 4- 2s тхт2 4- 2е2Й1я2 4
(1 + 4-) (14*,-)
4 Тху (^г 4 /2«i) + Ъг И1«г 4 m2«i) 4 Ъх (nilz + «2^1)1 > ' (49)
sin Ту-г, = * н , * , (Зе/Л 4 2е т2т3 4- 2s2n2n3 4
П+М (14*,-)
4 Ъу (12т3 4- Z3m2) 4- уу2 (лг2я8 4- т3п2) 4- у2х (п213 4- я3/2)];
sin 72-x- = ; (2ех/з/1 4 2s т3тг 4 2^4^ 4
(!4*J (14 4')
4 7ху (1з>П1 4 Л«з) + 7уг (тзп1 + т1пз) 4 Ъх («3Z1 4 «Л» • J
Сопоставляя выражения (48) и (49), заключаем, что
Sx- = sx/i 4 eyml 4 ezn? 4- чХу1хтх 4 lyzm1n1 4- ^гяп212,
Sy- = ег4 4 4 Stnl 4 ‘(Ху1гт2 4 Ty2m2/l2 4 Ъхпг1з<
*z' = SxZ3 4 Sy«3 4 гг«з 4 ТхуА^з 4 lyzm3n3 + 1гхпз1з'>
Ix'y- = 2sx/jZ2 2&ym1m2 4 2s2«j/z2 4 ?xy (Z,wi2 4
+ z2/ni) + Tyz(wiff2 -1-/K2'’i)4 72X(«iZ24rt2zi);
ъ,г, = 2srZ2Z3 4 2evm2m8 4 2e2/z2n3 4 by(Z2m8 4
4 l2m2} 4 jyz (m2n3 4 m3n2) 4 }гх (n2l3 4 «з^):
Iz'x' = 2sx/3Z, 4 2sy/w3/zij 4 2e2n3n! 4 7xv 4- (
4 Zj»z3) 4 Tyz (wi3«i 4 Wi«8) + Ъх ("зЛ 4 «izs)-
(50)
По формулам (50) определяются компоненты деформаций в новой системе
прямоугольных осей координат х', у 3 z' через компоненты деформации в ста-
рой системе прямоугольных осей х, у, z и направляющие косинусы таблички
ггл. I, т. I (стр. 14).
§ 5. АНАЛОГИЯ МЕЖДУ МАТЕМАТИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ В ТЕОРИИ
ДЕФОРМАЦИЙ И ТЕОРИИ НАПРЯЖЕНИЙ
Сопоставляя формулы (50) этой главы и формулы (9) гл. I, т. I, убеж-
даемся в их полной аналогии. Формулы (50) можно получить из формул (9)
<гл. I, т. 1 заменой компонентов напряжений а и т компонентами деформаций е
л (с соответствующими индексами).
При повороте прямоугольных осей координат компоненты деформации из-
меняются так же, как компоненты напряжения.
Следовательно, все выводы теории напряжений, связанные с поворотом
площадки, можно распространить и на теорию деформаций.
На основе этой аналогии можно сделать следующие заключения.
Аналогия между математик. выражениями в теориях деформаций и напряжений 81
» Тху Туг
Шесть компонентов деформаций ev, еу, — , —, ~ образуют симмет-
ричный тензор второго ранга, так называемый тензор деформаций:
ех Т.гу “Т Izx 2
7ху ~т еу Туг 2
Izx 2 lyz ~2~ ®г
В любой точке деформированного тела всегда существуют три взаимно
перпендикулярные оси, для которых компоненты угловой деформации равны
нулю, и согласно формулам (25) — (27) угол между этими осями при дефор-
мациями не изменяется. Эти оси называются главными осями деформаций. Три
взаимно перпендикулярные плоскости, проходящие через главные оси дефор-
маций, называются главными плоскостями деформаций.
Главные оси будем обозначать цифрами 1, 2, 3. Линейные деформации
в направлении главных осей называются главными линейными деформациями.
Главные линейные деформации будем обозначать е1, е2> 8з-
Если оси координат совпадают с главными осями, то формулы (13) и (21)
для относительного удлинения и сдвига в произвольном направлении значительно
упрощаются и принимают вид:
__ е*=У1 _|_ 2(8^ 4- s2»t24- е3я2) — 1; (51)
* 2
sin = —----------. (eiZjZ2 4- Wh 4- (52)
(1 + Sr) (1 + ej
Если относительные удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей,
из формул (31) и (32) получаем
4 = ег = е^2 + e2/re2 е8п2. (53)
= 2 (e1Z1Z2 4- г2т1т2 4- г3пгпД. (54)
Относительные удлинения в направлении главных осей называются главными
относительными удлинениями. Они связаны с главными линейными деформа-
циями зависимостями
1, е*= уТ+2^- 1Г 83= /Т + 2^— 1, (55)
которые следуют из формул (22) — (24).
Уравнение, определяющее величины главных линейных деформаций, в соот-
ветствии с формулой (16) гл. I, т. I имеет вид:
Ъ* Izx
h Н (О 1
Try Туг Т S ~~8 Т = 0. (56)
ъ* 2^ 8 _8 2 2 z &
Раскрывая определитель (56), так же как i и в гл. I т. I, получаем куби-
ческое уравнение, корни которого являются главными линейными деформациями:
ез _ jie2 _ _ jg = о. (57)
6 Пономарев и др. 407
82
Теория деформаций
Коэффициенты кубического уравнения (57) J2 и J3 представляют собой
инварианты, т. е. они не зависят от выбора координатной системы и опреде-
ляются следующим образом:
Л — гх + еу “F Qz — si + ®2 -г
Г __ z pel Trv I lyz I Тгг ____
A Qx£y £y£z £zsx + 4 + 4 “T 4
— 8^2 — e2e3 e3eJ
(58)
Tzx bz
2 2^
+ — ЪуТу2Т2х) = S1S2S8 • J
Так же как и в гл. I т. I, можно показать, что все три корня кубиче-
ского уравнения (57) действительны.
Положение главных осей деформаций может быть определено с помощью
формул (14) и (15) гл. I т. I заменой в них компонентов напряжения компо-
Фиг. 78.
нентами деформации, как это было
указано выше:
(ex—s) I + т 4- п = 0;
7yz
1^/+(еу_б)т +^й==0; [(59)
^/4-^/п + (е2-е)й = 0;
/2 + ^2_|_п2= J (60)
Внося в уравнения (59) © = ©х
и учитывая уравнение (60), нахо-
дим направляющие косинусы /15
m?, д?! оси 7. Аналогично опре-
деляются направления двух дру-
гих осей.
Проводя далее аналогию между деформированным и напряженным состоя-
ниями, можно заключить, что геометрическое изображение на плоскости соот-
ношений, связывающих компоненты деформаций между собой, совпадает с гео-
метрическими построениями в теории напряжений, т. е. зависимости угловых
деформаций от линейных изображаются при помощи круговой диаграммы
(фиг. 78). В этом случае по оси абсцисс откладываются линейные деформации,
а по оси ординат — половины угловых деформаций. Координаты точек 7, 2, 3
равны линейным деформациям и половинам угловых деформаций по направле-
ниям, лежащим в плоскостях 23, 37, 72 соответственно.
Любая из точек, лежащих внутри области, ограниченной тремя окружно-
стями диаграммы, своими координатами определяет линейную и половину угло-
вой деформации в направлениях, не параллельных главным осям.
Из круговой диаграммы следует, что одна из главных линейных деформаций
является наибольшей, а другая — наименьшей из всех линейных деформаций
в окрестности исследуемой точки.
Аналогия между математик, выражениями в теориях деформаций и напряжений 83
Следовательно, согласно формулам (22)—(24) одно из главных относитель-
ных удлинений является наибольшим, а другое — наименьшим из относительных
удлинений во всех направлениях, проходящих через исследуемую точку. На
основании круговой диаграммы можно также заключить, что наибольшие угло-
вые деформации имеют место для направлений, лежащих в главных плоскостях
и составляющих угол 45° с главными осями.
Эти наибольшие угловые деформации (главные угловые деформации) равны
разности главных линейных деформаций:
Ъ=82 —83, Т2 = е1 —ез> T3=S1— е2- (61)
Отметим, что все сказанное в этом и предыдущем параграфах о компо-
нентах деформации в случае малых относительных удлинений и сдвигов спра-
ведливо и для последних, так как в этом случае относительные удлинения
и сдвиги совпадают с соответствующими компонентами деформации.
Так же как и при исследовании напряженного состояния, деформированное
состояние называется трехосным, если ни одна из главных деформаций не равна
нулю, двухосным — если одна главная деформация равна нулю и одноосным —
если две главные деформации равны нулю.
Отметим, что одноосному напряженному состоянию соответствует трехосное
деформированное состояние. Например, при растяжении бруса постоянного по-
перечного сечения напряженное состояние его является одноосным.
Рассмотрим его деформированное состояние. При растяжении бруса длина
его увеличивается, а размеры поперечного сечения уменьшаются. Если в любой
точке бруса компоненты деформаций одинаковы и’ поэтому деформированное
состояние однородное, то продольная деформация может быть определена как
отношение увеличения длины бруса к его первоначальной длине:
—
гпрод I •
Аналогично и поперечная деформация определяется как отношение любого
размера поперечного сечения к его первоначальной величине:
_______ Да
гпоп —_7"*
Опыты показывают, что при растяжении прямого призматического бруса
плоские сечения бруса, нормальные его оси, остаются плоскими и нормальными
оси. Эти сечения в процессе деформации лишь смещаются друг относительно
друга вдоль прямолинейной оси бруса, при этом деформации гпрод и еЛОЙ могут
быть приняты за главные линейные деформации.
Опытом также установлено, что отношение поперечной деформации епоп
к продольной гПрОд является постоянной величиной для данного материала, пока
напряжение не превосходит определенного предела. Абсолютная величина этого
отношения называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффици-
ентом Пуассона, и обозначается буквой
Таким образом, если обозначить продольную деформацию при растяжении
бруса е, то в этом случае главные линейные деформации выражаются следу-
ющим образом:
= e2 = s3 = ~ Ме-
На фиг. 79 представлена круговая диаграмма для рассматриваемого дефор-
мированного состояния. Одна из окружностей этой диаграммы, соответствующая
направлениям, лежащим в плоскости 23, стянулась в точку, а две других
совпали. f
6*
84
Теория деформаций
Наоборот, если представить себе одноосное деформированное состояние, то
ему будет соответствовать трехосное напряженное состояние. В качестве при-
мера можно привести сжатие кубика, помещенного в абсолютно жесткую обойму
(фиг. 80).
Для более отчетливого представления деформированного состояния в точке
тела рассмотрим деформацию элементарного шарика радиуса р, выделенного
в окрестности какой-либо точки деформируемого тела (фиг. 81). Покажем, что
при деформации, возникающей в результате на-
гружения тела, элементарный шарик принимает
форму эллипсоида. Предположим, что направления
главных осей в рассматриваемой точке известны. Обозначим координаты
некоторой точки на поверхности шарика в системе главных осей через х, у, z.
Очевидно, что
х2 -|- у2 4- z2 = р2. (62)
При деформации тела отрезки, принадлежащие главным осям, изменяют свою
длину, а угол между главными осями не изменяется.
Координаты той же точки после деформации шарика равны
Фиг. 81.
Х1 = ( 1 + е1) Х> Jl = (l + e2),
Zi = ! 1 4- S3) Z, (63)
* *
где si, 82, ©з — относительные удлинения в на-
правлении осей 7, 2, 3,
Определяя х, у, z из выражений (63) и
подставляя их значения в уравнение (62), по-
лучим
х2 у2 z2
(1+4)2р2+(1 + е;)2р2+(1 + е*3)2р2=1- (64)
Уравнение (64) является уравнением эллип-
соида с полуосями
(1 ®l)p> ( 1 Ч"" s2 ) Р > ( 1 + ®з) р-
Следовательно, деформация тела протекает таким образом, что выделенный
в окрестности любой точки тела элементарный шарик превращается в эллип-
соид.
Угол между главными осями не изменяется, т. е. радиусы шарика в на-
правлении главных осей увеличиваются или уменьшаются в длине, не повора-
чиваясь друг относительно друга. Остальные радиусы, например О А или ОВ
(фиг. 81), в результате перехода точек, например А или В, с поверхности
шара на поверхность эллипсоида (Д1? поворачиваются, и угол между двумя
взаимно перпендикулярными радиусами изменяется (сдвиг), при этом также из-
меняются длины радиусов (например, О А или ОВ) (удлинения).
Изменение .объема /гри., деформации
85
§ 6. ИЗМЕНЕНИЕ ОБЪЕМА ПРИ ДЕФОРМАЦИИ
Деформация тела, вообще говоря, связана с, изменением его объема. Под-
считаем изменение элементарного объема, возникающее при деформации тела.
Как было только что показано, элементарный объем в форме шарика радиуса р,
выделенный в окрестности какой-либо точки ненагруж&нного тела, превращается
при его деформации в эллипсоид с полуосями
(1 +«;)р. (1 + .;)р, d+.;)p.
Объем элемента в форме шарика до деформации был равен
Д1/0=--^лр3.
После деформации объем элемента, принявшего форму эллипсоида, равен
Д V = -i- к (1 + е*) (1 4- е2) (1 -4- е3) р3.
Объемной деформацией Д называется относительное изменение объема, т. е
отношение приращения элементарного объема к его первоначальной величине:

Произведя преобразования, получаем
Д = 81 е2 4“ 83 -|- 8182 ©2е3 4” е1®2£3 :=z
— е1 [ 1 е2 (1 + S3)] 4" е2 (1 4“ £з) 4“
(1 4- si). (65)
Формула (65) устанавливает связь относи-
тельного изменения объема с главными отно-
сительными удлинениями. Для того чтобы свя-
зать относительное изменение объема с главными линейными деформациями,
подставим в формулу (65) соотношения (55). Тогда получим
Д = ]/(1-f-2е,)(12е2)(1 + 2е3) - 1, (66)
ИЛИ
Д — -4" (£1 "4" £2 4“ £з) "t 4 (£1£2 4“ £2£3 4“ £3£1) 4" ^£1£2£3 - 1 • (67)
Используя соотношения (58), преобразуем выражение (67) к виду:
А = /14-2A-4J24-8J3 - 1. (68)
Формула (68) устанавливает связь относительного изменения объема с инва.
риантами тензора деформаций, а следовательно, и с компонентами деформаций.
В случае малых относительных удлинений и сдвигов, пренебрегая в выра-
жении (65) главными относительными удлинениями по сравнению с единицей,
получаем
А = £1 4" £2 4~ ез = £i 4~ £2 4" £з
или на основании первого соотношения (58)
А = ®г4-£у4-£г = Л- (69)
Из последней формулы следует, что в случае малых относительных удлине-
ний и сдвигов изменения объема в процессе деформации не происходит, когда-
сумма линейных деформаций в трех взаимно перпендикулярных направлениях
равна нулю.
Теория деформаций
Так, в случае чистого сдвига (фиг. 82) при малых сдвигах линейные дефор-
мации в направлении осей х, у, z равны нулю, а поэтому равна нулю и объем-
ная деформация. Например, при кручении бруса, при малых сдвигах, объем его
не изменяется, поскольку при кручении, в любой точке бруса напряженное
состояние является чистым сдвигом.
§ 7. РАЗЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРА ДЕФОРМАЦИЙ НА ШАРОВОЙ ТЕНЗОР
И ДЕВИАТОР ДЕФОРМАЦИЙ
Предположим, что относительные удлинения и сдвиги малы по сравнению
с единицей. В этом случае относительные удлинения и сдвиги совпадают с ком-
понентами деформаций. Представим себе общий случай деформированного со-
стояния, характеризуемый тензором деформаций (фиг. 83, а):
Фиг. 83.
(70)
Этот общий случай деформированного состояния можно представить как
наложение двух деформированных состояний — первого с одинаковыми линей-
ными деформациями е0 и угловыми деформациями, равными нулю (фиг. 83,d),
и второго — с линейными деформациями ех — е0, еу— е0, е2 — е0 и угловыми
деформациями равными угловым деформациям исходного дефор-
мированного состояния (фиг. 83,в).
Очевидно, что форма элементарного параллелепипеда в первом деформиро-
ванном состоянии не изменяется. Если принять
ех+ £у + ez Д /71ч
®° — g— -g-, ( )
то в этом случае во втором деформированном состоянии сумма трех линейных
деформаций будет равна нулю и согласно формуле (69) изменение его объема
будет равно нулю.
Среднее арифметическое трех линейных деформаций называется средней ли-
нейной деформацией. Она равна одной трети объемной деформации.
Таким образом, в первом деформированном состоянии изменяется только
объем (форма не изменяется), а во втором — только форма (изменение объема
равно нулю). В исходном деформированном состоянии изменяется как объем,
так и форма. Заметим, что круговая диаграмма для первого деформированного
состояния вырождается в точку, и, следовательно, изменение угла между двумя
любыми взаимно перпендикулярными осями равно нулю, т. е. все оси являются
Главными осями.
Произведенное разделение деформированного состояния имеет определен-
ный физический смысл, поскольку возникновение пластических деформаций
Разложение тензора деформаций на шаровой тензор и девиатор
87
в материале связано ,с образованием сдвигов. Как показывают опыты, при все-
сторонних равных растяжениях или сжатиях пластические деформации не роз-
никают.
Возникновение пластических деформаций обусловлено только изменением
формы элементарного объема. Поэтому чем больше деформированное состоя-
ние уклоняется от всестороннего равного растяжения или сжатия с главными
линейными деформациями, равными среднему арифметическому линейных дефор-
маций исходного деформированного состояния, тем в большей степени вероятно
возникновение в нем пластических деформаций.
Первое деформированное состояние характеризуется так называемым шаро-
вым тензором деформаций:
к=
а второе — девиатором деформаций
е0 О О
О е0 О
О 0 е0
(72)
1 Г sx~ 8о Try V Izx 2
De = Try 2 ey — eo Tyz ~2~
Tzx I 2 lyz V 4 —eo
(73)
Сумма соответствующих компонентов шарового тензора и девиатора дефор-
маций равна компонентам деформаций в исходном деформированном состоянии.
Поэтому произведенное разложение исходного деформированного состояния
равносильно ’разложению тензора деформаций на шаровой тензор и девиатор
деформаций: g
Л = Л0+А. (74)
Таким образом, девиатор деформаций показывает, насколько исследуемое
деформированное состояние уклоняется от всесторонного равного растяжения
с главными линейными деформациями, равными среднему арифметическому ли-
нейных деформаций исходного деформированного состояния.
Определим второй инвариант девиатора деформаций J2.
Подставляя во вторую формулу (58) компоненты девиатора деформаций,
получим
Л = — (ех — £о) (®у — 8о)’~ (еу — ео) (ег — ео) — (®г — ®о) (гх — е0) +
2 2 2 •
I ^ху | | Ь-Г
* 4 I 4 “г 4 •
Произведя
найдем, что
преобразование этого выражения с учетом соотношения (71),
h = 4- [(8х - 5)2 + (8у - 8г)2 + (8z - 8х)2+
1 3/2 , 2 . 2
+ ”2“ \ (ху + 4" Tw J •
(75)
В теории пластичности большое значение имеет величина, пропорциональ-
ная квадратному корню из второго инварианта девиатора деформаций, которая
называется интенсивностью деформаций и обозначается ez:
2 1/V—
8,~ 7з 2~
= /<8Х - 8У)2 + (еу - 8г)2 + (®z - 8х)2+ -f- (lly + Туг + Т2х) • (76)
88
Теория деформаций
Очевидно, что зависимость sz от главных линейных деформаций имеет
вид:
тЛГ -------------------------------
е, = V V(«1 - е2)2 + (®2 - ез)2 + (е8 - Sj)2 • (77)
Докажем, что интенсивность деформаций пропорциональна квадратному корню
из минимального среднеквадратичного уклонения рассматриваемого деформиро-
ванного состояния от ближайшего к нему всестороннего равного растяжения
или сжатия. Это аналогично установленному в работе [9] (см. гл. I, т. I) поло-
жению о том, что интенсивность напряжений пропорциональна квадратному корню
из минимального среднеквадратичного уклонения рассматриваемого напряженного
состояния от ближайшего к нему равноосного напряженного состояния.
Как отмечалось выше, возможность и степень развития пластических дефор-
маций определяются величиной уклонения рассматриваемого деформированного
состояния от ближайшего к нему всестороннего равного растяжения или сжатия.
Ближайшее всестороннее равное растяжение или сжатие (ей = е2 = е3 = е)
логично выбрать таким, чтобы средний квадрат отклонений 8 главных линейных
деформаций (ер е2, е3) заданного деформированного состояния от главных ли-
нейных деформаций е ближайшего всестороннего равного растяжения или сжа-
тия был бы минимальным.
Составим выражение 8:
g (£i—е)2 + (£2 — £)2 + (£з —£)2 (78)
Найдем теперь е из условий минимума величины 8:
j£=o ^->0
ds и’ de* и
Дифференцируя выражение (78) по е и приравнивая производную нулю, по-
лучаем
Дифференцируя производную выражения (78) еще раз, имеем при е = е0
Таким образом, если во всестороннем равном растяжении или сжатил глаз-
ные линейные деформации равны среднему арифметическому главных линейных
деформаций исходного деформированного состояния, то оно является ближай-
шим, в установленном выше смысле, к исходному деформированному состоянию.
Подставим соотношение (79) в выражение (78). Тогда получим минимальное
значение величины 8:
8fflIn = + (s2 - 8з)2 + (ез “ 81)2] • (80)
Сопоставляя выражения (77) и (80), заключаем, что
^ = /2/3^. (81)
Докажем теперь, что средняя линейная деформация равна линейной дефор-
мации в направлении п, составляющем равные углы с тремя главными осями,
а интенсивность деформации пропорциональна максимальной угловой деформа-
ции между этим направлением и некоторым направлением, перпендикулярным
к нему.
Разложение тензора деформаций на шаровой тензор и девиатор
89
Направляющие косинусы отрезка прямой линии, равнонаклоненной к трем
главным осям, в первом октанте координатной системы, равны
Zj = пг3 — • (82)
Подставляя этц величины в формулу (53), находим линейную деформацию
в заданном направлении:
„ ____~ :____ei + е2 + £з _ Д
Я 0 3 — 3 •
(83)
Таким образом, линейная деформация в направлении, составляющем равны ё
углы с тремя главными осями, действительно равняется средней линейной де-
формации.
Для определения максимальной угловой деформации в направлениях, указан-
ных выше, обратимся к формуле (54).
Подставляя в нее величины Zn тпъ п19 по формуле (82) получаем
2
1 = -yf + ез«г)»
(84)
где Z2, /п2, п2— направляющие косинусы прямой линии, перпендикулярной к на-
правлению п, составляющему равные углы с тремя главными
осями. Эти направляющие косинусы должны удовлетворять
двум условиям:
Z2 -j- ^2 ^2 = (8^)
и
ZiZ2 -f- 4- п1п2 — 0. (86
Подставляя в уравнение (86) Z1? тпх и по формуле (82) получаем
Z2 + /^2 4- п2 = 0. (87)
Найдем такие величины направляющих косинусов /2, т2, п2, при которых
величина 7, определяемая соотношением (84), достигнет максимума. Для этого
приравниваем первую производную от у по Z2 нулю:
А_ —JLfs 4-s
dl2 ~ V3 V1 + 2 ^2 + 3 <^2 / U’
тогда получим
дт2
д12
0.
(88)
дп2 _
д12 ~
На основании формул (85) и (87) имеем
дт2 г 12 — п2 дп2 п2 -4- 2/2
д12 2я2 + 12 9 д12 2/^2 4- 12
Подставляя эти величины в соотношение (88), после преобразований по-
лучаем
„____£1 4- £2— 2е3 J
2“£2 + £3 - 2е/2
и на основании формулы (87)
(89)
(90)
(91)
Используя уравнения (85), (89) и (90), окончательно имеем
I ________(£з — £i) — (£1 — £г)_
2 - КЗ /(е1-е2)2+(е2-е9)2+(е3-е1)2
90
Теория деформаций
и по формулам (89) и (90)
1 (£1 — £2) — (£2 — £з) .
V3 пУ(£1-----£2)2 + (е2 — ез)2+ (£3 — £1)2
п = + 1 (£2—£3)~(£3 —£1) .
V 3 V(£1 — е2)2+(£2 — ез)2 + (г3-£1)^
(92)
(93)
Теперь, зная величины направляющих косинусов /2, /п2, и2, п0 формуле (84)
определяем величину максимального сдвига:
Тл = -|-1/Г(е1--е2)2 + (е2— ез)2+(8з — 81)2- <94)
Величина, определяемая формулой (94), называется результирующим, или
октаэдрическим сдвигом.
Сопоставляя соотношения (77) и (94), заключаем, что
>.=7=- (95>
§ 8. УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ ДЕФОРМАЦИЙ
В § 2 были выведены зависимости между компонентами деформации и компонен-
тами перемещения [формулы (8)]. Из этих зависимостей следует, что шесть компонентов
деформации выражаются через частные производные от трех компонентов перемещения
по координатам х, у, z.
Следовательно, шесть компонентов деформации не являются независимыми функ-
циями координат х, у, z. Между ними должны существовать зависимости, которые на-
зываются условиями совместности деформаций.
Поясним высказанное положение. Представим себе деформируемое тело как бы со-
стоящим из элементарных параллелепипедов. Если теперь каждый параллелепипед под-
вергнуть произвольной деформации, так что компоненты деформации для различных
параллелепипедов не будут между собой связаны, а затем попытаться сложить дефор-
мированные элементы, то это, вообще говоря, окажется невозможным. Между некото-
рыми элементами образуются зазоры, для других элементов не окажется места, и де-
формированные элементы в этом случае будет невозможно связать в непрерывное тело.
Поскольку деформация тела протекает без разрывов, компоненты деформации, как
уже указывалось выше, должны удовлетворять некоторым зависимостям, называемым
условиями совместности деформаций.
Получим эти зависимости для того частного случая, когда компоненты деформации
линейно связаны с частными производными компонентов перемещения [формулы (47)].
Для этого исключим, из уравнений (47) компоненты перемещения и, v, w.
Дифференцируя два'раза третье уравнение (47) по х и у, имеем
д2уху _ д2и j d2v _____ д2 / ди \ ( д2 f ди \
дх ду д2у дх ' д2хду ду\ дх ) ‘ дх2 \ ду ) 9
откуда на основании первой и второй формул (47) получаем
д2'(ху дчх .
дх ду ду2 • дх2
(96)
Аналогично можно получить
д2Ь'г _^у I .
dydz dz2 * ду2 ’
^Izx | д2гх
dz дх дх2 dz2
(98)
Основы экспериментального изучения деформированного состояния

Далее, дифференцируя первое и последние три уравнения (47), имеем
д2ех _ д^и .
ду dz ~~ дх ду dz 9
__ д2и d2v в
dz ~ ду dz * dzdx 9
^lyz — 1 d2w
дх ~ dz дх 1 дх ду ’
<hzx — I д2и
ду ~ дх ду 1 ду dz
Из трех последних зависимостей находим
foyz , 1 dYxy _е> д2и (100)
дх * ду 1 dz " ду dz
Сопоставляя выражения (99) и (100), имеем окончательно
д2ех _ д ( df2X d.'xy\
ду dz дх \ дх ' ду dz /
Аналогично можно получить
2 д2еу _ д _i_ d'M.
dz дх ’ dy \ дх ду dz / ’
О d^z = д / ^У2 I ^zx ?У \
дх ду dz \ дх ду dz /
(101)
(Ю2)
(ЮЗ)
Выражения (96) — (98) и (101) — (103) и являются условиями совместности дефор-
маций.
§ 9. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Предположим, что относительные удлинения и сдвиги малы. Тогда они
совпадают с соответствующими компонентами деформации. Как указывалось
ранее, удлинения могут быть измерены при помощи специальных приборов—
тензометров. Тензометры дают возможность определить деформации только на
поверхности детали. Деформации внутри детали
при помощи тензометров найдены быть не
могут.
Поверхность детали обычно бывает свободна
от внешних нагрузок или находится под дей-
ствием известного по величине давления.
В этом случае ось, перпендикулярная к по-
верхности детали, является главной осью напря-
жений, а для большинства материалов [так
называемых изотропных материалов (см. гл. III,
т. I)] и главной осью деформации.
Проведем через некоторую точку деформируемого тела оси координат х, у, z
и предположим, что ось z является главной осью (фиг. 84). Далее, проведем
через начало координат две взаимно перпендикулярные оси г и s и обозначим
угол наклона оси г к оси х через а.
Найдем теперь линейную деформацию в направлении оси г и угловую дефор-
мацию между осями г и $.
Для этого используем уравнения (31) и (32).
92
Теорця деформаций
Ввиду того, что в рассматриваемом случае
I = = cos a, m = ml = sin а;
/2 = — sin а, ;п2 = cos а,
п = Пу = п2 = О,
из уравнений (31) и (32) получим
&х + £у . £х ““ £У п , . о
8Г = —-—г- -]-----— cos 2а Н—— sin 2а;
(104)
(Ю5)
= — (®х — ®у)sin 2а 4- Тху cos 2а.
(Ю6)
Если оси х и у являются главными осями 1 и 2 соответственно, то тогда
Ixy = Y12 = 0
и из формул (105) и (106) имеем
ег — 4 Ег + 61 7 e2c0S 2а’ (107>
= — (е, — е2) sin 2а. (108)
Зависимости (107) и (108) являются
параметрическими уравнениями так на-
зываемого круга деформаций, постро-
енного на фиг. 85 в координатах е, .
Абсцисса некоторой точки круга
деформаций, радиус которой составляет
угол 2а с осью е в выбранном масштабе, равна линейной деформации в напра-
влении, составляющем угол а с главной осью /. Ордината этой точки равна
половине угловой деформации между этим направлением и перпендикулярным
к нему [см. формулы (107) и (108)].
Следовательно, при повороте некоторой оси на угол а соответствующая ей
точка на круге деформаций перемещается на угол 2а.
Перейдем к определению двух главных деформаций. Для этого воспользуемся
выражением (56). Заметим, что ось z является главной осью. Поэтому
7yz = Ъх = °
(Ю9)
и, следовательно, определитель (56) принимает вид:
1ху гх
— е > и
X 2
Т-гу = 0
— е 0
0 0 ®z — ®
Раскрывая этот определитель,
линейных деформаций:
(®2 —®) |_(®.
Один из корней этого уравнения
®з = ®г-
Два других корня определяются выражением
т2
(®х — ®)(®у —®)-----------------------------^- = °>
получим уравнение для определения главных
— ®)(®у — 8)
•Л
4
= 0.
Основы экспериментального изучения деформированного состояния 93
которое после преобразований приводится к виду:
е* 2 * * — (еЛ + еу) е + (вхеу — = 0.
Решая это квадратное уравнение, получаем две неизвестные главные линей-
ные деформации:
81,2 = -^^±4К(^ — (ПО)
Положение главных осей находится из уравнений (59). Подставляя в первые
два уравнения (59) соотношения (104) и (109), получим
(ех — e)cosa 4- -^-sina = 0;
—cos ос 4~ (еу — s) sin a = 0.
Исключая из этих уравнений е, находим
2"
откуда, учитывая, что
Ctg a — tg a ___ 1
2 > tg 2a
имеем
tg 2a =
zx zy
(tga — ctga) = 0, ,
e
написать без
вывода, по аналогии
По формуле (111)
деляется положение
главных осей.
Учитывая сказанно
ше об аналогии межд
тематическими выраже
в теории деформаций i
рии напряжений, можно
было выражения (105), (106), (НО) и (111)
с соответствующими формулами гл. I, т. I.
Перейдем теперь к использованию выведенных формул для обработки экспе-
риментальных данных в целях определения положения главных осей и величин
главных деформаций с помощью тензометров.
Предположим, что в некоторой точке А на поверхности деформируемого
тела (фиг. 86) необходимо определить положение главных осей и величины
главных линейных деформаций. Как следует из формул (НО) и (111), для этого
необходимо располагать величинами линейных деформаций в двух взаимно пер-
пендикулярных направлениях и угловой деформацией между этими направле-
ниями.
Ввиду того что для замера угловой деформации необходимы специальные
приборы, более сложные по конструкции, чем для определения линейных дефор-
маций, целесообразно рассмотреть определение положения главных осей и вели-
чин главных линейных деформаций по величинам одних линейных деформаций,
число которых должно быть равно трем.
Линейные деформации обычно измеряются либо в двух взаимно перпендику-
лярных направлениях х, у и третьем направлении и, составляющем угол 45°
94
Теория деформаций
с первыми двумя (фиг. 86, а), либо в трех направлениях х, и и v, составляю-
щих между собой углы 120° (фиг. 86, б').
Рассмотрим вначале определение положения главных осей и величин главных
линейных деформаций по результатам измерения линейных деформаций в напра-
влениях х, у и и (фиг. 86, а).
Полагая в уравнении (105) угол а = 45°, получаем
7xy==^Qa sy (112)
Подставляя величину этой угловой деформации в выражение (111), получим
формулу, определяющую положение главных осей деформации по трем линей-
ным деформациям ех, еу и еи:
tg2a= х у- (113)
еу
Формула (113) определяет два угла 2а2 и 2а2 —2а1-|~'гс и, следовательно,
два взаимно перпендикулярных направления главных деформаций.
Величины главных деформаций могут быть найдены по формуле (110) под-
становкой в нее угловой деформации по формуле (112). После преобразования
получим
£ х ev if 9 г---------------------
+ (114)
Согласно формуле (113)
П _1_ 1 I ~ £у
cos 2а = + —... — = + - -у,- г-__ - .Z .
-ri + tg22a ~ Г2Г(е„-ех)2+(^-М2
Поэтому выражение (114) может быть представлено в виде:
£.г 4~ еу £х £у ..
81>2 =
Сопоставляя формулы (114)
муле (114) определяет главную
которого
2 1 2 cos 2а
и (115), заключаем, что знак плюс в фор-
линейную деформацию в направлении, для
2 cos 2а
а знак минус — в направлении, для которого
8 *- — £«
—____L 0.
2 cos 2а
Приведем изложенный в работе С. В. Бояршинова [2] графический метод
определения положения главных осей и величин главных линейных деформаций
по результатам измерения линейных деформаций в трех направлениях, два из
которых взаимно перпендикулярны, а третье составляет углы 45° с двумя
первыми.
Предположим, что линейные деформации в направлениях х, у, и определены
при помощи тензометров. Для нахождения положения главных осей и величин
главных линейных деформаций отложим на оси е круга деформаций отрезки О А,
ОВ и ОС, равные в выбранном масштабе линейным деформациям ех, еу и еи
(фиг. 87), и проведем через точки Д, В и С вертикали. Учитывая, что при
повороте некоторой оси на угол а соответствующая ей точка на круге дефор-
мации перемещается на угол 2а, заключаем, что точки, соответствующие вза-
имно перпендикулярным осям х и у, должны быть расположены под углом 180°
Основы экспериментального изучения деформированного состояния
95
друг к другу, т. е. лежать на концах диаметра круга. Поэтому для определе-
ния центра круга деформаций достаточно разделить отрезок АВ пополам. Таким
S г “j~
образом, абсцисса центра круга деформаций К равна --g—•
Угловую деформацию между направлением и и перпендикулярным к нему
направлением s легко получить из формулы (106), полагая в ней а = 45°:
= —(8х'-®у)-
Поэтому, отложив от точки С от-
резок СС19 равный в выбранном мас-
— 6 у
штабе------—, получим точку С19 со-
ответствующую направлению и. Соединив
эту точку с центром круга, устанавли-
ваем величину радиуса круга деформа-
ций КСг. Проведя этим радиусом окруж-
ность в пересечении ее с вертикалями,
проведенными через точки А и В, .полу-
чаем точки А} и В19 устанавливающие
направления х и у, а в пересечении
окружности с осью е — точки М и L,
определяющие главные направления 1 и 2.
Величины главных линейных деформаций
в выбранном масштабе равны отрезкам ОМ и OL. Для того чтобы получить
направление главной оси 7, необходимо разделить угол А1КМ пополам. Сое-
диняя точки и L, учитывая при этом, что < AtLM = -~ < А {КМ, получаем
направление главной оси 7. Соединяя точки Вх и L, получаем направление
главной оси 2.
Рассмотрим теперь определение положения главных осей и величин главных линей-
ных деформаций по результатам измерения линейных деформаций в трех направле-
ниях х, и и V, составляющих между собой углы 120° (фиг. 86,6).
Полагая вначале в уравнении (105) угол а = 120°, а затем а == 240°, получаем
__ ех+еу zx~ еу Z3
£« - 2 4 4~Уху’
£*~£* । /з
4 4
Решим эти уравнения относительно и уху.
Тогда найдем
__________________________________2 (ew -|~ е v ф
£у----------3 ’
2 ,
Try----у — (ег> е«)-
(Н6)
Подставляя соотношения (116) в выражение (111), получим формулу, определяющую
положение главных осей деформаций по трем линейным деформациям &х, еа и е^:
fg 2« = УЗ £г'~£м--. (117)
Формула (117) определяет два угла 2ах и 2а2 2а1-|-тс и, следовательно, два взаимно
перпендикулярных направления главных деформаций.
Величины главных деформаций могут быть найдены по формуле (110) подстановкой
в нее соотношений (116).
После преобразований получим
h, 2 = £у + ^ + £р ± /(ех - sa)2 + (е„ - + (t„ - (118)
96
Теория деформаций
Согласно формуле (117)
л 1 1 2е у- £ZZ &V
COS 2а = 2b 'у-...~ ~ = zt —7=“ —у — --- .
/14-tg»2a /2 /(ех-еа)2 + (ев-£^ + (ео-ех)2
Поэтому выражение (118) может быть представлено в виде
__ £хЧ~ £zz ~l~ £v I £zr £у
2 3 3 cos 2а
(И9)
Сопоставляя формулы (118) и (119), заключаем, что знак плюс в формуле (118)
определяет главную линейную деформацию в направлении, для которого
£ц ~~ Q
COS 2а ’
а знак минус — в направлении, для которого
2еу £у Q
COS 2а
В статье М. В. Рубинина [10] рассмотрен графический метод определения положения
главных осей и величин главных линейных деформаций по результатам измерения
линейных деформаций в трех произвольных направлениях.
ЛИТЕРА1УРА
1. Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, ГИТТЛ, 1953.
2. Б о я р ш и н о в С. В., К вопросу определения главных деформаций при помощи
круга деформаций, МВТУ им. Баумана. Расчеты «а прочность, жесткость и ползучесть
элементов машиностроительных конструкций, вып. 26, Машгиз, 1953.
3. К у т и л и н Д. И., Теория конечных деформаций, ОГИЗ ГИТТЛ, 1947.
4. Л е й б е н з о н Л. С., Курс теории упругости, ОГИЗ ГИТТЛ, 1947.
5. Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ НКТП, 1935.
6. Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории
упругости, изд-во АН СССР, 1949.
7. Новожилов В. В., Основы нелинейной теории упругости, ОГИЗ ГИТТЛ,
1948.
8. Папкович П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
9. Пономарев С. Д., К вопросу о трактовке так называемой .теории прочности
энергии формоизменения4*, „Вестник инженеров и техников" № 1, 1953.
10. Рубинин М. В., Круг деформаций и его использование при эксперимен-
тальном определении напряжений, „Инженерный сборник", изд-во АН СССР, т. X, 1951.
11. Ф и л о н е н к о-Б о р о д и ч М. М., Теория упругости, ОГИЗ ГИТТЛ, 1947.
ГЛАВА Hi
ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ
УПРУГОГО ТЕЛА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ
§ 1. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ
ДЛЯ УПРУГОГО ИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
В гл. I, т. I была рассмотрена статическая сторона задачи о равновесии
деформируемого тела под действием внешних сил — теория напряжений. При
помощи методов статики было изучено изменение напряжений в зависимости
от положения площадки, проходящей через некоторую точку деформируемого
тела.
Глава II, т. I была посвящена геометрической стороне задачи — теории
деформаций. В этой главе геометрическими методами были установлены зависи-
мости между деформациями и перемещениями и исследованы изменения дефор-
маций в некоторой точке тела при повороте осей координат. Результаты, полу-
ченные в первых двух главах, являются общими и справедливы для деформи-
руемого тела, обладающего свойством непрерывности.
Для установления зависимостей напряжений и деформаций от внешних сил,
нагружающих тело, необходимо знать связь между напряжениями и деформациями.
Установление зависимостей между напряжениями и деформациями представляет
собой физическую сторону рассматриваемой проблемы и является задачей физики
твердого тела.
В дальнейшем будем предполагать, что деформируемое тело обладает спо-
собностью восстанавливать свои размеры и форму после удаления внешних сил,
нагружающих его. Такое тело будем называть упругим.
Кроме этого, будем предполагать, что деформации малы (см. гл. II т. I).
В настоящем параграфе рассмотрим зависимости между деформациями и
напряжениями для изотропного тела.
Изотропным называется такое тело, упругие свойства которого во всех напра-
влениях одинаковы. Если из изотропного тела вырезать образец для испытания
на растяжение, то упругие свойства этого образца не будут зависеть от того, в
каком направлении из тела вырезан образец. Дерево не является изотропным телом,
так как упругие свойства деревянного образца различны, в зависимости от того,
вырезан ли образец вдоль или поперек волокон. Металлы состоят из большого
числа микроскопических кристаллов, связанных в зерна. Кристалл представляет
собой систему атомов, расположенных в строго геометрическом порядке в узлах
кристаллической решетки. Совершенно понятно, что упругие свойства кристалла
различны по различным направлениям, т. е. кристалл неизотропен, он анизо-
тропен. Однако, поскольку кристаллы в зернах и сами зерна, составляя тело,
ориентированы друг относительно друга самым различным образом, индиви-
дуальные особенности каждого кристалла не проявляются и металлы можно рас-
сматривать как изотропные тела.
Упругие свойства изотропного тела являются как бы осредненными упру-
гими свойствами всех его частиц и определяются экспериментально путем;
испытания образцов сравнительно больших размеров.
7 Пономарев и др. 407
98
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Экспериментально установлено, что
(фиг. 88) для большинства материалов
при одноосном напряженном' состоянии
деформация в направлении напряжения
прямо пропорциональна напряжению
(1>
Это экспериментально установленное положение называется законом Гука
для одноосного напряженного состояния.
Величина Е является постоянной, не зависящей от напряжения и деформации
характеристикой жесткости материала в данной точке. Чем она больше, тем
деформация при одном и том же напряжении меньше. Эта величина называется
модулем упругости первого рода и имеет размерность кг1см2.
Экспериментально установлено, что закон Гука справедлив в начальной
стадии нагружения. Наибольшее напряжение, до которого верен закон Гукаг
называется пределом пропорциональности
материала при растяжении или сжатии
в зависимости от того, каков тип нагру-
жения.
Закон Гука для одноосного напряжен-
ного состояния, строго говоря, является
приближенным законом. Поэтому вели-
чина предела пропорциональности при
растяжении или сжатии зависит от сте-
пени точности измерения деформаций [5],
[22]. С увеличением точности измерений
предел пропорциональности снижается.
В настоящее время предел пропорцио-
нальности материала при растяжении или
сжатии определяется на основании приня-
того допуска остаточной деформации при
разгрузке образца материала [6], [22].
При одноосном напряженном состоянии, кроме деформации & направлении
оси z (фиг. 88) (продольной деформации), возникают деформации и в напра-
влении осей х и у (поперечные^’ деформации), по знаку обратные продольной
деформации.
Для изотропного тела поперечные деформации в различных направлениях
равны, а если напряжение не превосходит предела пропорциональности мате-
риала, то их отношения к продольной деформации являются постоянными для
данного материала. Абсолютная величина этого отношения, как уже было отме-
чено в гл. II, т. I, называется коэффициентом поперечной деформации, или
коэффициентом Пуассона:
= I —I •
I I
Следовательно, поперечные 'деформации при одноосном растяжении равны
кг == — не2- (2)
Отметим, что постоянство коэффициента поперечной деформации в пределах
пропорциональности является приближенным. Экспериментальные исследования,
проведенные с высокой степенью точности, показывают изменение этого коэф-
фициента в зависимости от напряжения [5]. Однако это изменение весьма незна-
чительно, и в расчетах на прочность им можно пренебречь.
В случае чистого сдвига (фиг. 89), как и при одноосном напряженном со-
стоянии, экспериментально установлено, что для большинства материалов угло-
вая деформация прямо пропорциональна касательному напряжению:
Тху “ ~Q • (3)
Это положение называется законом Гука для чистого ствига.
Зависимости для упругого изотропного тела
99
Величина G является постоянной, не зависящей от напряжения и деформации
характеристикой жесткости материала в данной точке. Она называется модулем
упругости второго рода или модулем сдвига и так же, как и модуль упруго-
сти первого рода, имеет разномерность кг/см2.
Так же как и в случае одноосного напряженного состояния, закон Гука при
чистом сдвиге, строго говоря, является приближенным законом и имеет доста-
точную для практики степень точности в начальной стадии нагружения.
Наибольшее касательное напряжение, до которого справедлив закон Гука
в случае чистого сдвига, называется пределом пропорциональности материала
при сдвиге. Эта величина определяется на основании принятого допуска оста-
точной деформации при разгрузке образца материала [6], т. е. в рассматривае-
мом случае используется та же методика, что и в испытаниях при одноосном
напряженном состоянии.
Модуль упругости первого рода Е, модуль
упругости второго рода G и коэффициент
поперечной деформации р характеризуют упру-
гие свойства изотропного тела в данной точке
и являются упругими постоянными изотроп-
ного тела.
Если упругие постоянные одни и те же для
различных точек тела, то оно называется одно-
родным.
Если упругие характеристики являются
функциями координат точки, тело называется
неоднородным. Неоднородность может возник-
нуть в результате неравномерной термической
обработки детали, а также при неравномерном
нагреве тела.
Ввиду того что в процессе деформации тела образование угловых дефор-
маций сопровождается образованием линейных дефораций, очевидно, что усло-
вия неразрывности предопределяют связь между упругими постоянными Е, G и ри
Таким образом, эти три величины не являются независимыми. Ниже, на
стр. 119, будет доказана формула, устанавливающая связь между ними, согласно
которой р
Упругие постоянные Е, G и рь определяются экспериментально, в результате
испытания образцов из однородного материала. В настоящее время имеются
различные методы, определения упругих постоянных [6], [10], [15], [16], [17],.
[22], [23]. Модуль упругости первого рода и коэффициент поперечной дефор-
мации могут быть найдены путем испытания образцов на растяжение и замера
при помощи тензометров продольной и поперечной деформаций [6], [15], [22J.
[23]. Модуль упругости второго рода может быть определен в результате
испытания трубчатых образцов на кручение с замером угла закручивания
образца [6], [15], [22], [23].
Высокую степень точности дает радиотехнический метод определения моду-
лей упругости первого и второго рода [10], [16], [17]. По этому методу
в образце при помощи генератора высокой частоты возбуждаются продольные
или крутильные колебания. Изменяя частоту генератора и регистрируя ампли-
туды колебаний образцов специальными радиотехническими методами, можно
установить частоту генератора, при которой образец находится в условиях резо-
нанса, т. е. найти частоту его свободных колебаний. По этой частоте подсчи-
тываются величины модулей упругости.
Использование радиотехнического метода особенно целесообразно для опре-
деления модулей упругости при повышенных температурах, так как в этом слу-
чае статические методы могут дать большую ошибку за счет сильного влияния
времени испытания на деформацию образца.
7*
100
Зависимости Между деформациями и напряжениями упругого тела
В табл. 3 приведены величины модулей упругости первого и второго рода
и коэффициента поперечной деформации для различных материалов при комнат-
ной температуре [15], [23].
Отметим, что для металлов модули упругости первого и второго рода зави-
сят от вида и режима термической обработки.
В табл. 4 приведены модули упругости первого и второго рода для двух
марок сталей в зависимости от температуры отпуска [23].
Модули упругости первого и второго рода и коэффициент поперечной дефор-
мации в сильной степени зависят от температуры испытания. С увеличением
температуры модули упругости первого и второго рода уменьшаются, а коэф-
фициент поперечной деформации возрастает. На фиг. 90, 91, 92 представлены
графики зависимости от ^температуры мо-
дулей упругости первого и второго рода
и коэффициента поперечной деформации
для трех марок сталей [12].
В табл. 5 приведены величины моду-
лей упругости первого и второго рода
и коэффициента поперечной деформации
для различных сталей при повышенных
температурах [4], [12], [23].
При уменьшении температуры ниже
комнатной модуль упругости первого рода
увеличивается.
В табл. 6 приведены величины модуля
упругости первого рода для некоторых
материалов при пониженных температу-
рах [2], [18].
Перейдем к установлению зависимости деформаций от напряжений в общем
случае трехосного напряженного состояния (фиг. 93, а). Этот общий случай
напряженного состояния может быть представлен как наложение трех одноосных
напряженных состояний и трех чистых сдвигов (фиг. 93,6). На фиг. 93,6 для
каждого составляющего напряженного состояния записаны величины компонен-
тов деформации. Ввиду того что материал предполагается изотропным, модули
упругости первого и второго рода и коэффициенты поперечной деформации
во всех направлениях принимаются одинаковыми. Складывая компоненты дефор-
маций в шести деформированных состояниях, изображенных на фиг. 93, 6, полу-
чаем величины деформаций в исходном трехосном напряженном состоянии
(фиг. 93, а):
Зависимости для упругого изотропного тела
101
ех = ^- [аж — fl + <зг)];
fay—
1 (5i
ez“*^IaZ H (°x “f” ay)I >
' xxy Xyz Tzx !
Тжу G 9 lyz Q~ 9 Izx o~ *
Уравнения (5) устанавливают зависимость напряжений от деформаций в форме,,
принятий в теории сопротивления материалов. Эти зависимости, так же как и
выражения (1) и (3), справедливы только в начальной стадии нагружения.
Фиг. 93.
В гл. Vb т. I будет установлена количественная оценка пределов примени-
мости уравнений (5).
Если оси х, у, z являются главными осями деформаций, т. е.
Тху ==: Туг === Тгх 0*
то по формулам (5) получаем
^ху ’ TyZ ^ZX 0 >
т. е. оси х, у, z являются и главными осями напряжений.
Таким образом, в изотропном теле главные оси деформации совпадают
с главными осями напряжения.
Найдем зависимость объемной деформации от напряжений.
Как было получено в гл. II, т. I, объемная деформация Д при малых дефор-
мациях равна сумме линейных деформаций [формула (69), гл. II, т. I]. Под-
ставляя в эту формулу первые три соотношения (5), находим
д.х+. +. (6)
где величина
называется объемным модулем упругости и имеет размерность кг/см2.
102
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Таблица 3
Модули упругости первого и второго рода Е и G и коэффициенты
поперечной деформации р. для различных материалов при комнатной температуре
Наименование материала £•10-6 кг(см* G-10“5 к г [см* и
Сталь Углеродистые качественные стали марок 08, 10, 15, 20, 25, 35, 40 ♦, 50, 60, 70* 1,9-2,2 с 8,0—8,4 Коэффи- циент по- перечной деформации для угле- родистых и легиро- ванных сталей изменяется в пределах 0.24—0,33 а
Углеродистые качественные стали с повышенным содержанием мар- ганца марок 15Г, 20Г, ЗОГ. 40Г, 50Г, 60Г, 65Г, 30Г2, 35Г2 2,04-2,2 8,16—8,45
Легированные хромистые стали марок 15Х. ЗОХ, 35Х, 40Х, 45Х, 50Х 2,0-2,19 7,95-8,5
Легированные шарикоподшипнико- вые хромистые стали марок ШХ9 и ШХ15 2,1—2,2 —
Легированные хромованадиевые стали марок 20ХФ, 40ХФ, 50ХФА 1,86—2 12 8,22-8,66
Легированные хромомолибденовые стали марок ЗОХМА (27ХМ) **, 35ХМ, 35Х2М 2,2 8,4
Легированные кремнистые стали марок 55С2, 60С2 2,0 7,98—8,50
Легированные никелевые стали марок 25Н, ЗОН. 25НЗ 2,12—2,15 8,15—8,45
Легированные хромоникелевые стали марок 12ХНЗ, 20ХНЗ, ЗОХНЗ, 12Х2Н4А 2,03—2,12 8,3
Легированные хромоникельволь- фрамовые стали марок 18ХНВ (53А1, Э16), 25ХНВ 2,0 —'
Легированные хромоникельмолиб- деновые стали марок 35ХНМ, 35XH3M 2,04—2,11 8,2
Чугун *** Серый чугун 0,8-1,5 — 0,23—0,27
* Интервалы изменения модуля упругости второго рода приведены по дан- ным для марок, подчеркнутых снизу. 1 ** В скобках указаны ведомственные обозначения марок сталей. *** Модули упругости первого и второго рода для чугуна являются величи- нами условными, так как даже при малых напряжениях зависимость между напря- жением и деформацией для чугуна, строго говоря, является нелинейной.
Зависимости для упругого изотропного тела
103
Продолжение табл. 3
Наименование материала Е* ю~ 6 кг\см* G-10“ 5 кг1см? и
Чуруц Я*** Модифицированный серый чугун марок МСЧ 28-48. МСЧ 32-52, МСЧ 35-56. МСЧ 38-60 1,2—1,6 5,2-7,0 —
Белый чугун 1,7 — 0,23-0,27
Ковкий чугун марок КЧ 30-3, КЧ 30-6, КЧ 33-8, КЧ 35-10, КЧ 37-12, ПФКЧ 40-2. ПФКЧ50-3 1,5-1,74 — 0,23-0,28
Медь и медные сплавы Техническая медь 1,08-1,3 4,9 —
Латуни (двойные), обрабатываемые давлением, марок Л62, Л68, Л70, томпак марок Л90, Л96, полу- томпак марок Л80, Л85 0,91-1,14 — 0,32-0,42
Латуни (специальные), обраба- тываемые давлением: латунь алюминиевожелезистая марки ЛАЖ 60-1-1. латунь алюминие- воникелевая марки ЛАН 59-3-2, латунь железистомарганцовистая марки ЛЖМц 59-1-1, латунь мар- ганцовистая марки ЛМц 58-2, латунь марганцовистоалюминие- вая марки ЛМцА 57-3-1, томпак оловянистый марки ЛО 90-1, ла- тунь оловянистая марок ЛО 70-1, Л О 62-1, ЛО 60-1, латунь свин- цовистая марок ЛС74-3, ЛС64-2, ЛС 60-1, ЛС 59-1, ЛС 59-1 В, латунь железистосвинйовистая марки ЛЖС 58-1-1, латунь крем- нистая марки ЛК 80-3 0,93—1,06 — 0,32—0,42
Оловянистые бронзы: оловянистая бронза марки Бр. 040. оловян- ноцинковые бронзы марок Бр. ОЦ 10-2, Бр. ОН 8-4, Бр. ОЦ 4-3, оловянноцинково- свинцовистые бронзы марки Бр. ОЦС 6-6-3, Бр. ОЦС 4-4-2,5, оловяннофосфористые бронзы марок Бр. ОФ 6,5-0,4, Бр. ОФ 10-1, оловянносвинцовистая бронза марки Бр. ОС 5-25 0,74—1,24 — 0,32—0,35
*** Модули упругости первого и второго рода для чугуна являются величи-
нами условными, так как даже при малых напряжениях зависимость между напря-
жением и деформацией для чугуна, строго говоря, является нелинейной.
104
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Продолжение табл. 3-
Наименование материала Г-10“6 KZfCM2 о-ю-5 к г 1см2 и
Медь и медные сплавы Специальные бронзы, не содержа- щие олова: алюминиевые бронзы марок Бр. А5, Бр. А7, алюми- ниев омарганцовиста я бронза марки АМц 9-2, алюминиевоже- лезистая бронза марки Бр. АЖ 9-4, алюминиевожелезистая марган- цовистая бронза марки Бр. АЖМц 10,3-1,5, алюминиевожелезисто- никелевая бронза марки Бр.А ЖН 10-4-4, кремнистомарганцовистая бронза марки Бр. КМц 3-1. мар- ганцовистая бронза марки Бр.Мцб, бериллиевая бронза марки Бр. Б2 0,92—1,32 — 0,32—0,35
Алюминий и алюми- ниевые сплавы Технический алюминий: отожжен- ный AM, нагартованный АН 0,72 — 0,33
Деформируемые алюминиевые сплавы: АМц, АМч, АМч5, АВ (авиаль), АК6 (авиаль 3), АК2 (,У*), АКЧ, 32S (жаро- прочный силумин) 0,72 — 0,33
Сплавы типа дуралюмин: Д18 (дур* алюмин повышенной пластич- ности), ДЗП (дуралюмин для за- клепок), Д1, Д6 (дуралюмин по- вышенной прочности), Д16 (дур- алюмин повышенной прочности), АК8 (супердуралюмин) 0,72 — 0,33
Магниевые сплавы Магниевые сплавы: МА1 (магний- марганцевый сплав), МА2 (ма- гниевый сплав повышенной пла- стичности для штамповки), МАЗ (магниевый сплав средней проч- ности), МА5 (магниевый сплав высокой прочности для штам- повки) 0,40—0,45 — 0,34
Никель и никелевые сплавы Технический никель 2,1 — 0,33
Никелевые и медноникелевые сплавы: копель НМ 56-5, мель- хиор НМ81, сплав ТБ НМ84, нейзильбер НМц 65-20, манганин НММц 85-12, сплав ТП НМ 99,4 Константан НММц 58,5—1,5, монель НМЖ Мц 28-2,5-1,5, нихромы НЖХМц 16-15-1,5, НХ20 0,78—1,27 1,66-2,17 — —
Цинк Технический цинк 0,8-1,0 3,8 —
Свинец Технический свинец 0,15—0,19 — 0,42
Зависимости для упругого изотропного тела
105
Продолжение табл. 3
Наименование материала В-ю- 6 к г/см2 G-10- 5 KZlCM2 р-
Дерево и древесные материалы Дерево: сосна, ель, береза, дуб, липа: бук, лиственница, ясень, пихта кавказская: при растяжении вдоль волокон при растяжении поперек воло- кон 0,09—0,12 0,004- 0,01 0,045-0,065 —
Клееная фанера: березовая, клей бакелитовый или альбуминовый: при растяжении вдоль волокон при растяжении поперек воло- кон 0,116-0,145 0,064—0,100 — —
Пластмассы Композиционные пластики: пресс- материалы К-18-2, К-21-22, К-6, КФ-3, аминопласты, монолит, текстолитовая крошка 0,060—0,13 — —
Слоистые пластики: текстолит марок ПТК, ПТ, ПТЭ, гетинакс марок А, В, Б, Г 0,060-0,18 —• —
Листовые древесные пластики Дельта-древесина сорта А, бали- нит листовой (ДСП-20), марок Б-01, Б-02, сорт А: растяжение вдоль волокон растяжение поперек волокон 0,18-0,22 0,16-0.20 — —
Плиточные древесные пластики: дельта-древесина плиточная (ДСП-10), сорт А 0,28—0,34 — —
Литые смолы, пластики на основе эфиров, целлюлозы и асфальто- пековой массы: органическое стекло литое СО, неолейкорит, целлулоид авиационный, этрол ацетилцеллюлозный 0,014-0,035 — —
Фибры — флак и флак Б: вдоль листа поперек листа 0,070 0,060 — —
Таблица £
Модули упругости первого и второго рода Е и G для сталей,
подвергнутых термической обработке при различных режимах
Группа и марка стали Термическая обработка Л-10“ 6 кг(см2 G-10- 5 кг (см2
Углеродистая качест- венная сталь с повы- шенным содержанием марганца, марки 65Г Нормализация Закалка 950° С, отпуск 400° С . . . Закалка 950° С, отпуск 450° С . . . Закалка 950° С, отпуск 500° С . . . Закалка 950° С, отпуск 550° С . . . 2,11 2,08 2,09 2,09 8,37 8,16 8,30 8,30 8,30
Легированная хроми- стая сталь марки 45Х Закалка 820° С, отпуск 350° С . . . Закалка 820° С, отпуск 425° С . . . Закалка 820° С, отпуск 500° С . . . Закалка 820° С, отпуск 575° С . . . 2,10 2,10 2,11 2,12 7,95 8,02 8,02 8,09
. : Таблица 5
Модули упругости первого и второго рода Е и G и коэффициенты поперечной деформации fi для сталей
при повышенных температурах
Наименование материала Марка стали Показатель Температура в °C
20 100 200 300 400 450 500 550 600 700
Углеродистая каче- ственная сталь 15 25 35 40 50 60 £-10-6 кг/см2 Е -10“ 6 кг [см? £-10“6 кг/см? £•10-* кг)см? О-10-5 кг/см? £-10“б кг/см? £•10“ 6 кг[см2 2,02 2,02 2,01 2,14 8,40 2,20 2,08 1,87 2,00 2,01 2,10 8,15 2,15 2,12 1,70 1,89 1,79 1,98 7,50 2,00 1,93 1,78 1.57 1,52 1,57 1,80 6,40 1,80 — — 1 1 1 1 1 1 1
Углеродистая каче- ственная сталь с повышенным со- держанием мар- ганца 50Г £-10~6 кг/см? G -10"б кг)см2 2,20 8,45 2,17 8,30 — 2,08 8,10 — — 1,91 7,50 — — —
Легированные хро- мистые стали ЗОХ 35Х £•10“ 6 кг/см2 G-10~5 кг/см2 2,19 8,50 2,15 8,30 — 2,01 7,60 — — 1,80 6,60 — — —
Высоколегированная нержавеющая хро- мистая сталь * В скобках указа X13 (Ж1 ЭЖ1) * £-10~6 кг/см? ? 2,21 0,274 2,17 0,283 2,10 0,289 2,02 0,287 1,93 0,300 — 1,83 0,312 — 1,68 0,325 —
2X13 (Ж2, ЭЖ2) £-10~6 кг! см? V 2,23 0,270 2,17 0,275 2,10 0,278 2,02 0,275 1,91 0,283 — 1,82' 0,293 — 1,67 0,309 —
3X13 (ЖЗ, ЭЖЗ) 1ны ведомств Е-10~6 кг1см2 ? енные обозначе! 2,25 0,278 шя марок 219 0,285 сталей. 2,12 0,287 2,06 0,292 1,94 0,297 — 1,84 0,303 — 1,71 0,318 —
Зависимости между деформациями и. напряжениями упругого тела
Продолжение табл. 5
Наименование Марка стали Показатель Температура в °C
материала 20 100 200 300 400 450 500 550 600 700
Высоколегированная хромистая сталь Х6 • (ЭИ156) £-10~6 кг)см2 2,06 — 2,00 1,78 1,66 1,52 1,37 — —
Легированная молиб- деновая сталь зом £-10”6 кг)см2 2,18 2,13 2,06 1,98 1,91 — 1,82 — 1,72 —
Легированная хро- момолибденовая сталь 20ХМА (Х1М) Е-10-6 кг 1см2 2,10 — — 1,99 1,90 — 1,76 — 1,56 —
ЗОХМА 35ХМ 35Х2М Е- 10-в кг{см2 О-10-5 кг] см2 2,20 8,40 2,16 8,30 — 2,05 7,55 — — ’ 1,86 6,60 — — —
Высоколегированная хромомолибдено- вая сталь Х6М (ЭИ151) 60X16М2А £-10“6 кг/см2 2МО-5 кг/см2 2,16 2,27 2,23 2,12 2,17 2,08 1,95 2,02 1,87 1,79 1,88 1,70 1,53 1,76 —
Легированные хро- мокремнистые стали 35ХС (ЗЗХСА) 40ХС (38ХСА) (40ХСА) Z>10~ 6 кг1см2 (7 10-5 кг)см2 2,23 8,70 2,20 8,40 —- 2,11 8,05 — —- 1,93 7,30 — — —
Легированная хромо- молибденованадие- вая сталь 35ХМФ ZM0-6 кг/см2 G-10-б кг/см2 2,17 8,55 2,13 8,35 — 2,04 7,60 — — 1.84 6,80 — — —-
Зависимости для упругого изотропного тела
Продолжение табл. 5
Наименование Марка Показатель Температура в °C
материала стали 20 100 200 300 400 450 500 550 600 700
25Н и ЗОН £-10~6 кг/см2 (j«10_5 KZjCM2 2,15 8,40 2,10 8,25 — 2,02 7,95 — — 1,85 7,25 —— — —
Легированная нике- левая сталь 25НЗ £•10-6 кг/см2 (7*10—5 кг/см2 2,12 8,15 2,10 8,15 — 2,01 7,8 — — 1,84 7,4 — — —
20Н5 £•10-6 кг 1см2 Iх 2,07 0,285 2,02 0,293 1,96 0,303 1,89 0,302 1,79 0,303 — 1,70 0,319 — 1,60 0,362 —
Легированная хромо- зохнз £*10-« кг [см2 Iх 2,10 0,287 2,05 0,286 1,98 0,286 1,92 0,298 1,83 0,303 । 1,74 : . 0.311 — 1,64 0,347 —
никелевая сталь 40ХНЗ (ЭИ10) £-10“6 кг[см2 V 2,17 0,288 2,11 0,293 2,04 0,295 1,98 0,299 1,91 0,305 — 1,80 0,338 — 1,69 0,321 —
Высоколегированная хромоникелевая сталь Х18Н8 ОЯ1) £•10-6 кг/см2 2,06 — 2,00 1,94 1,82 — 1,62 1,84 1,34 —
Легированная хромо- никельмолибдено- вая сталь зохнм Е •. 0“6 кг1см2 2,08 0,268 2,05 0,268 1,97 0,276 1,90 0,278 1,85 0,280 — 1.74 0,289 — 1,62 0,300 —
35XH3M £•10-6 кг)см2 Iх 2,11 8,20 2,07 8,00 — 1,96 7,25 — — 1,76 6,25 — —- —
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Продолжение табл, б
• Наименование материала Марка стали Показатель Температура в °C
20 100 200 300 400 450 500 550 600 700
Высоколегированная хромоникелькрем- нистая сталь (тер- макс) Х20Н14С Е-10-6 кг/см2 2,00 — 1,98 1,92 1,80 — 1,65 — 1,47 —
Высоколегированная хромоникелькрем- нистая сталь Х18Н25С (ЯЗС, ЭЯЗС) Е«10“б кг/см2 1,82 — — 1,75 1,68 — 1,54 — 1,40 —
Высоколегированная хромоникельтита- нистая сталь (тини- дур) Х30Н15Т £•10-6 кг/см2 2,00 — — — — — — — 1,60 1,48
Высоколегированная хромоникельволь- фрамовая сталь Х14Н14В (ЭИ69) £.10~6 кг/см2 2,04 — 1,97 — 1,82 — 1,65 1,52 1,40 1.14
Высоколегированная хромомарганцово- вольфрамовая сталь Х18Г9В £-10“в кг/см2 2,1') — 1,98 — 1,80 — 1,60 1,47 1,36 1,12
Высоколегированная хромомарганцово- ванадиевая сталь (хромадур) Х12Г18Ф £-10“6 кг/см2 2,0) — 1,88 1,80 1,72 — 1,64 1,60 1,55 —
Зависимости для упругого изотропного тела
по
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Таблица 6
Модули упругости первого рода для металлов при пониженных
температурах
Наименование материала Химический состав в °/0 Термическая обработка £•10“ 6 кг!см?
15° С —40° С —80° С —180° с
Углеродистая сталь 0,11 С; 0,35 Мп; 0,016 Р; 0,022 S; 0,14 Сг; 0,39 Ni — 1,98—1,99 2,03-2,12 1,98—2,06 2,11—2,12
Углеродистая сталь 0,39 С; 0,33 Si; 0,78 Мп; 0,041 Р; 0,10 Сг — 2,03-2,06 2,09 2,08 —
Легированная никелевая сталь 0,20 С; 0,12 Si; 0,40 Мп; 0,015 Р; 0,014 S; 0,19 Сг; 4,61 Ni Закалка с 850°С в масле, от- пуск 550° С в течение 2 час., охла- ждение на воздухе 1,98—2’04 1,94-2,00 1,97-1,98 2,10-2,27
Высоколегиро- ванная хро- моникелевая сталь 0,19 С; 0,14 Si; 0,019 Р; 0,013 S; 20,0 Сг; 6,53 Ni Закалка с 1150°С в воде 2,03—2,07 2.14—2,16 2,07—2,20 2,20-2,22
Медь 99,9 Си — 1,15 1,20—1,23 1,21—1,23 1,24—1,26
Латунь 59,1 Си; 39,3 Zn; 1,31 Pb Отжиг при 700° С в тече- ние 1 часа и охлаждение на воздухе 0,93—1,00 0,95—1,00 0,99-1,11 1,12
Алюминиевая бронза 86,5 Си; 9,6 А1; 1,06 Мп; 2.5 Fe — 1,04—1,11 1,06—1,09 1,15—1,25 1,15—1,19
Дуралюмин 4,32 Си; 0,42 Si; 0,50Мп; 0,59 Mg; 1,01 Fe; 92,6 Al Закалка с 500°С в воде и естественное старение 0,68-0,69 0,71 0,69—0,72 0,72—0,73
Отметим, что в случае всестороннего равного сжатия
и по формуле (6)
= °* = — Р
К ‘
(8>
Зависимости для упругого изотропного тела
1П
Закон Гука в форме, выраженной уравнением (8), особенно удобен для
оценки упругих свойств жидкости. Это объясняется тем, что напряженное со-
стояние в любой точке покоящейся жидкости всегда является всесторонним
равным сжатием.
В среднем для воды объемный модуль упругости К =21 000 кг1см2.
При сопоставлении упругих свойств твердых тел и жидкостей следует руко-
водствоваться объемным модулем упругости.
Уравнения (5) дают зависимости компонентов деформаций от компонентов,
напряжений. Часто бывает необходимо иметь зависимости компонентов напря-
жений от компонентов деформаций. Для того чтобы эти зависимости получить,
представим первые три соотношения (5) в следующем виде:
1
ex=-g-11 + м) ах — м (°х + °у + ог)]; еу = 4г 1Й +м)°у — + + (9>
8« = -Jr К1 +м)°г —я(ох + °у+ °z)l- J
(10>
(11>
(12>
(13>
Из соотношений (9), учитывая выражения (6), (7) и (4), получаем
аЛ = 2ОеЛ + ХД = 2О (е^^д);
ау = 2Gey -f- ХД = 2G ( еу -|- Д) ’
аг = 2Ge2ХД = 2G +
где согласно формуле (69) гл. II, т. I
Д = 8д. + еу 4- s2
представляет собой объемную деформацию
X______________________________________
Л — (1 -ь р.) (1 — 2р.) *
Из соотношений (5) имеем
IхХУ ~ ^Тху» Tyz = ^Tyz> Tzx =
Отметим, что в теории упругости упругие постоянные X и Q называются
постоянными Ламе.
В установленных выше зависимостях компонентов деформации от компонен-
тов напряжения не учтены деформации, возникающие в результате нагрева,
тела.
Если элементарный параллелепипед нагревается от температуры до тем-
пературы О, то в нем возникают только линейные деформации 9, одинако-
вые в различных направлениях.
Эти температурные линейные деформации могут быть найдены по формуле
&
6 =
гдеа = а(&) — коэффициент линейного расширения материала, зависящий от~
температуры.
112
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Обозначим среднее значение коэффициента линейного расширения в интер-
вале температур через а^, т. е.
&
Тогда
о = ас, (*-&„).
(14)
Заметим, что среднее значение коэффициента линейного расширения зависит
ют температур д и
В табл. 7 приведены величины средних значений коэффициента линейного
расширения для сталей в различных интервалах изменения температур, от ком-
натной до повышенной [22].
Таким образом, зависимости напряжений от деформаций с учетом нагрева
тела можно получить из уравнений (5), добавляя к первым трем уравнениям
температурные линейные деформации.
В этом случае:
ех = К — я (°у + °г)] + °;
еу = 4* [ау ~ (°* + °х)] +0;
е2 = К — м (°* 4- °у)] +0;
_____ Т*У ___ ТУ2 ____ Т2Х
:у ~Q~ ' Туг ~Q ’ Tzx ~Q~-
(15)
Подставляя в формулу (11) первые три соотношения (15), получаем вели-
чину объемной деформации
А=' ЗК +39’ ' О6)
где объемный модуль упругости К определяется формулой (7).
Разрешая так же, как и раньше, уравнения (15) относительно компонентов
напряжений и используя при этом соотношения (6), (7) и (4), получим:
= 2Gex 4-ХД - тДу-9 = 2G ( 4-Л — 9'J ;
°> = 20-> + ^-r^8=204 + T^2-/-1L?£e); (]7)
= 20., + ХД _ О = 20 + Д - 1±А в) ;
Т*У = ^ТхУ’ Tyz = ^Tyzt TZX —
Отметим, что в общем случае неравномерного нагрева тела температурные
деформации отдельных элементарных параллелепипедов, составляющих тело,
могут привести к тому, что из деформированных параллелепипедов сплошного
целого собрать будет нельзя без появления в теле упругих деформаций, а сле-
довательно, и напряжений.
Эти напряжения, возникающие в результате неравномерного нагрева тела,
называются температурными напряжениями.
Уравнениям совместности деформаций (96)—(98) и (101) — (ЮЗ) гл/II, т. I
должны удовлетворять, конечно, полные деформации, определяемые формулами
(15). При равномерном нагреве тела, на которое не наложено связей, темпера-
турные деформации 0, не зависящие от положения точки в теле, условиям
Зависимости для упругого изотропного тела
113
Таблица 7
Средние значения коэффициента линейного расширения
Группа стали Марка асг> ,-Ю6 при температуре в °C
стали 20-100 20-200 20-300 20-400 20-500 20-600
Углеродистые качественные стали 08, 10 15 20 25 35 40 55 60 65 70 11,6 11,9 11,1 11,1 11,1 12,4 11,0 11,1 11,8 11,5 12,6 12,5 12,1 12,3 11,9 12,6 11,8 11,9 12,6 12,3 13 3 13,0 13,0 13,6 13,4 13,3 13,4 14,5 13,4 13,5 14,0 13,8 14,2 14,6 14,4 14,3 14,4 14,6 14,5 14,6
Углеродистые качественные стали с повы- шенным содер- жанием марганца 15Г, 20Г 50Г 60Г 65Г 12,3 11,6 11,1 11,1 11,9 йэ 13,2 12,9 12,9 13,8 13,5 — 14,9 14,6 14,6
Легированные хро- мистые стали 15Х, 20Х ЗОХ, 35Х и,3 13,4 11,6 13,3 — 13,2 14.8 — 14,2 14,8.
Легированные хро- мованадиевые стали 20ХФ ЗОХФ, 40ХФ 50ХФА 12,0 } 11,0 ’ 12,4 12,5 12,8 12,9 13,0 13,9 , 13,7 . 14,5. 14,5
Легированные хро- момолибденовые стали ЗОХМА, 35ХМ, 35Х2М 12,3 12,5 — 13,9 — 14,4
Легированные хро- мокремнистые стали 35ХС. 40ХС 11,7 12,7 — 14,0 — 14,8
Легированная хро- момолибденова- надиевая . сталь 35ХМФ 11,3 11,7 — 13,9 — 14,3
Легированные ни- келевые стали 25Н, ЗОН 25НЗ 12,2 10,7 12,2 11,7 — 13,8 12,9 — 14,4 13,6
Легированные хро- моникелевые стали 40ХН, 50ХН ЗОХНЗ 12ХН2, 12ХН2А 12ХНЗ, 12ХНЗА } 11.8 11,6 } 12,6 } И,8 12,3 13,2 13,8 13,0 — 13,4 13,4 - 14,8 14,7 14,0 13,5 15,6
Легированная хро- моникельмолиб- деновая сталь 35XH3M 10,8 11,6 — 13,3 — 13,7
8 Пономарев и др. 407
114 Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
совместности деформаций (96) —- (98) и (101) — (ЮЗ) гл. II, т. I удовлетворяют.
Поэтому в этом случае температурных напряжений не возникает.
Следовательно, при определении напряжений, возникающих в теле в резуль-
тате его неравномерного нагрева, под в формуле (14) можно понимать
любую величину и, в частности, нуль. При определении деформаций в фор-
мулу (14) надо подставлять действительное значение
§ 2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ДЕФОРМАЦИИ УПРУГОГО ТЕЛА
Представим себе, что при нагружении деформируемого тела внешние силы
растут от нуля до конечного значения постепенно в течение некоторого про-
межутка времени. Такое нагружение тела называется статическим. При этом
внешние силы совершают работу, и потенциальная энергия положения внешних
сил изменяется. Изменение потенциальной энергии положения внешних сил чис-
ленно равно работе внешних сил.
В результате изменения потенциальной энергии положения внешних сил
деформируемое тело накапливает потенциальную энергию деформации. Последняя
при разгрузке деформируемого тела освобождается и может быть использована.
Стремясь принять первоначальную форму, разгружаемое тело может увлечь
за собой другие тела и совершить работу. Так, например, при заводе часовой
пружины совершается некоторая работа, в результате чего накапливается потен-
циальная энергия деформации пружины. Развертываясь, постепенно восстанавли-
вая свою форму, пружина совершает работу и приводит в движение часовой
механизм.
Допустим, что в естественном, недеформированном состоянии напряжения,
деформации и потенциальная энергия деформации равны нулю.
Будем предполагать, что изменение потенциальной энергии положения внеш-
них сил полностью переходит в потенциальную энергию деформации тела,
которая, в свою очередь, численно равна работе, совершаемой упругим телом
при разрузке.
Такой процесс деформации называется обратимым.
Таким образом в случае обратимого процесса деформации изменение потен-
циальной энергии деформации, возникающее в результате нагружения и полной
разгрузки тела, равно нулю. Следовательно, для обратимых процессов вели-
чина потенциальной энергии не зависит от порядка нагружения тела внешними
силами, а определяется только их конечными значениями.
В дальнейшем будем рассматривать только обратимые процессы дефор-
мации.
При деформации тела внутренние силы упругости совершают работу. По-
следняя по абсолютной величине равна изменению потенциальной энергии дефор-
мации тела. Если внутренние силы совершают положительную работу, то запас
потенциальной энергии уменьшается, т. е. работа внутренних сил равна умень-
шению потенциальной энергии деформации.
Обозначим работу внутренних сил в единице объема через 8L, а изменение
потенциальной энергии деформации объема dV — через Тогда для тела
в целом можно написать
^LdV = -^(dU). (18>
Воспользуемся принципом возможных перемещений. Для системы абсолютно*
жестких тел этот принцип, как известно, может быть высказан следующим
образом: необходимым и достаточным условием равновесия системы является
равенство нулю суммы работ всех внешних сил на возможных для этой системы
перемещениях.
Предполагая, что читатель получил достаточное знакомство с этим принци-
пом из курса теоретической механики, применим этот принцип к определению
условий равновесия упругого тела.
Потенциальная энергия деформации упругого тела
115
Для упругого тела сообщение возможных перемещений связано не только
с изменением положения всего тела как жесткого целого, но и с изменением
формы тела, т. е. с его деформациями. При этом под возможными перемеще-
ниями следует понимать такие, которые допускаются не только внешними
связями — опорами, но и внутренними связями, наложенными на упруго деформи-
руемое тело. Эти внутренние связи трактуются обычно как условия непрерыв-
ности. Иначе говоря, упругое тело при сообщении ему возможных перемеще-
ний должно оставаться непрерывным.
Уравнение, выражающее принцип возможных перемещений для абсолютно
жесткого тела, имеет вид:
п
%Р& = 0, (19)
i=l
где Р. — обобщенные силы;
8$.— обобщенные возможные перемещения.
Для упругого тела, в отличие от жесткого, в число действующих сил необ-
ходимо включить внутренние упругие силы, а в сумму работ следует включить
работу внутренних сил. Таким образом,
для упругого тела выражение (19) может
быть переписано в следующем виде:
У P^Sf + J SLdV = 0 (20)
V
или в соответствии с формулой (18)
У P.&S, = С 8 (Л/). (21)
Ы V
Полученной зависимостью удобно
воспользоваться для подсчета внутренней
потенциальной энергии деформации. Пред-
ставим себе элементарный параллелепипед
с ребрами длиной dx, dy и dz, вырезан-
ный из упругого тела, находящегося в равновесии (фиг. 94). Воздействие
отброшенной части тела заменим внутренними силами, которые для вырезанного
параллелепипеда являются теперь как бы силами внешними.
Если принять такую трактовку этих сил и учесть, что рассматриваемый
элемент подобно всем прочим элементам тела находится в равновесии, то к нему
можно применить выражение принципа возможных перемещений в форме зави-
симости (21), но без интеграла по объему:
1=1
(22)
Дадим рассматриваемому элементу такие возможные перемещения, которые
изменили бы его форму и объем. Эти перемещения могут быть получены за
счет изменения деформаций ех, еу, ег, уху, связанных с компонентами
напряжений ах, ау, а2, тху, туг и х2Х, на величины 8ех, 8еу, 8еи, 8уху, 8уУ2, 8у2х.
Последние шесть величин представляют собой изменения деформаций на
возможных перемещениях. Величины эти не независимы, поскольку они должны
удовлетворять условиям непрерывности упругого тела.
На возможном перемещении bsxdx внешняя сила axdydz совершит работу
axbzxdx dy dz.
Аналогично работа касательной силы xxydydz на перемещении ^xydx равна
dz.
8!
П6
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Отметим, что силы axdydz и zxydydz не совершают работы на перемеще-
ниях в других направлениях, а поэтому написанные выше два выражения пред-
ставляют собой полные величины работы этих сил.
Таким же образом можно написать выражения работы других сил:
aydzdx, azdxdy, xyzdzdx^ xzxdxdy.
Изменение 8 (dU) потенциальной энергии деформации элементарного паралле-
лепипеда на основании формулы (22) будет равно сумме полученных выражений
работы всех сил, приложенных к параллелепипеду, т. е.
8 (dU) = (<зхЫх + ауВеу 4- а>г 4- ^ху^ху 4-
+ + ’Ar) dx dy dz. (23)
Отношение потенциальной энергии деформации элемента dU к его объему
dV = dx dy dz
* = (24>
называется удельной потенциальной энергией деформации.
На основании формулы (23) изменение удельной потенциальной энергии
деформации
S IF = 4" 4" 4“ ^ХУ^ТхУ 4“ 4” XZX^lzx* (25)
Отметим, что для обратимого процесса деформации величина 8IF является
полным дифференциалом. Действительно, как уже отмечалось выше, при замк-
нутом процессе деформации (нагружение и разгрузка до первоначального со-
стояния) изменение потенциальной энергии в случае обратимого процесса равно
нулю:
(£ш-=о. (26)
Из формулы (24) получаем
U = J WdV,
v
где V представляет собой объем тела.
Поэтому
ZU=\bWdV.
v
Подставляя это выражение в соотношение (26), имеем
48W = o.
откуда следует, что 8 IF— полный дифференциал.
Учитывая это обстоятельство, представим величину 8 IF в виде:
дгх х 1 дгу У 1 z 1 (ЦХу У
, dW л г d IF > /971
<4yz 1уг d"tzx ^гх'
Потенциальная энергия деформации упругого тела
117
Сопоставляя выражения (25) и (27) и учитывая независимость величин
Веу. 8е2, 8уу2, 8yzx, заключаем, что
dU7 dW dW
а' = 3 “ 9 х ^ZX °* “ ;
dW ’ У dW dW (28)
о T*x~dlzx'
Таким образом, в случае обратимого процесса упругие сипы имеют потен-
циал, т. е. напряжения равны частным производным некоторой функции компо-
нентов деформации по соответствующим компонентам деформаций.
Этой функцией (упругим потенциалом) является удельная потенциальная энер-
гия деформаций W,
Интегрируя соотношение (25), получим
w = 1(°Лх + 13Ау + + (29)
Соотношение (29) является общим выражением для удельной потенциальной
энергии деформации. В частных случаях при различных зависимостях деформа-
ций от напряжений выражение (29) может быть представлено в более простом
виде.
Рассмотрим преобразование выражения (29) для изотропного тела. В этом
случае компоненты деформаций связаны с компонентами напряжений соотно-
шениями (5),
Из соотношений (5) находим
Ч-/*Ь + Ч)1;
§£у = — м (Ч + &зх)1;
Ч = [8аг — /г (8ох + 8ау)];
®Тгу = — -Q-»
(30)
%Чгх q •
Подставляя выражения (30) в формулу (29), получим
W = (ax4 + °Уг<3У + ОгЧ — М ЧЧ 4" °уЧ +
+ ау8а2 -и az8ay + а26ах -f ax8az)J +
4“ ~Q~ (Txy^xxy Tyz^xyz 4“ Tzx&Tzx)-
Произведем интегрирование, учитывая, что, как допускалось выше при на-
пряжениях, равных нулю (а следовательно, при деформациях, равных нулю),
удельная потенциальная энергия деформации равна нулю. Тогда получим
W = i К + av + °z — 2ju ^аУ + + аА)] +
^(^y + ^ + 'U
(31)
Формула (31) устанавливает зависимость удельной потенциальной энергии
деформации от компонентов напряжений.
Выражение (31) может быть получено иным путем, Найдем вначале потен-
циальную энергию деформации при одноосном растяжении (фиг. 95).
118
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Сила azdx dy является для элементарного параллелепипеда внешней силой.
Как отмечалось выше, изменение потенциальной энергии деформации численно
равно работе внешних сил, и, следовательно, потенциальная энергия деформации,
накапливаемая элементом, изображенным на фиг. 95, численно равна работе
силы azdxdy. Путь этой силы szdz. Ввиду того что согласно формуле (1)
напряжение является линейной функцией деформации, зависимость силы azdxdy
от перемещения szdz является тоже ли-
нейной (фиг. 96) и работа этой силы
в определенном масштабе равна площади
заштрихованного треугольника:
(pzdxdy) (szdz) .
Учитывая, что объем элементарного
параллелепипеда dV — dxdydz, на осно-
вании соотношения (24) получаем
или используя формулу (1), находим
Формула (32) определяет потенциаль-
ную энергию деформации для одно-
осного напряженного состояния.
(фиг. 97) получаем
г = (33)
Перейдем к определению потенциальной энергии деформации в общем слу-
чае неодноосного напряженного состояния (фиг. 93). Выше отмечалось, что
для обратимого процесса деформации величина потенциальной энергии дефор-
мации не зависит от порядка нагружения тела внешними силами. Поэтому для
упрощения вывода можно предположить, что силы при нагружении тела,, воз-
растая, изменяются пропорционально друг другу (такое нагружение называется
простым).
Потенциальная энергия деформации упругого тела
119
Складывая работу всех сил, приложенных к элементарному параллелепипеду
(фиг. 93), получим
dU = (yxdy dzsxdx -j- aydz dxsydy -J- azdx dyszdz -f-
H- xxydy dz-ixydx 4- xyZdz dxlyg dy + xzxdx dy^xydz). (34)
Сложение работ всех сил возможно потому, что касательные силы не совер-
шают работы на перемещениях, вызванных нормальными силами, так же как
нормальные силы не работают на перемещениях, связанных со сдвигами. Работа
одних нормальных сил на перемещениях, вызванных другими нормальными
силами, учитывается тем, что под еу, е2 понимаются линейные деформации
от всех нормальных напряжений.
Подставим в выражение (34) соотношения (5) и используем формулу (24).
Тогда получим найденное ранее выражение (31) удельной потенциальной энер-
гии деформации изотропного тела.
Установим теперь зависимость между упругими постоянными £, G и ц. Для
этого представим выражение (31) в виде:
+ —г<* + Р)(°А + + °Л)1 +
+ «, + " + <> (35)
В том случае, когда оси координат совпадают с главными осями напряже-
ний, выражение для удельной потенциальной энергии деформации принимает вид:
+ «а + «з)2 - 2 (1 + fx) (оЛ + °2°з + °з®1)]• (36)
С другой стороны, в соответствии с формулами (29), гл. I, т. I имеем
^ = ^И4-2(1+Ю^] (37)
^=-^[(°х + ау + 'зг)2 — 2(14-р.)(од.оу4-оуаг-|-
+ (38)
Сопоставляя соотношения (35) и (38), получаем приведенную выше фор-
мулу (4), устанавливающую связь между упругими постоянными Е, G и рь:
г— Е
и— 2(1+|х) •
Выразим теперь удельную потенциальную энергию деформации через ком-
поненты деформации.
Для этого подставим в формулу (38) выражения компонентов напряжения
через компоненты деформации (10) и (13). Тогда, учитывая соотношения (4),
(11) и (12), после преобразований получим
И' = о I (•, + •» + )’ - 2 («А + V- + "Л) +
+ 4(11, + ^+:}.)] (39)
или
«3= О [=1 +•; + •« + + Т (Й, + + it)] • («)
где А == 4" s2 — относительное изменение объема.
120 Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Если оси координат совпадают с главными осями деформаций, выражение
для удельной потенциальной энергии деформации принимает вид:
W=G (е! Н-®2 + ®з)2 — 2 (SjSj-|-S2e3 4-636^ . (41)
Используя соотношения (58) гл. II, т. I, удельную потенциальную энергию
деформации можно выразить через инварианты тензора деформаций:
(42)
Если представить себе элементарный параллелепипед, вырезанный в окрест-
ности некоторой точки деформируемого тела, то при деформации тела изме-
няется как объем, так и форма параллелепипеда. Попытаемся разделить удель-
ную потенциальную энергий) деформации на две части, одна из которых
обусловлена изменением объема, а другая — изменением формы. Это условное
разделение потенциальной Энергии было использовано в одной из гипотез насту-
пления пластического состояния материала, так называемой гипотезе прочности
энергии формоизменения. В настоящее время эта гипотеза получила новые,
более обоснованные и удачные трактовки [9], [13].
Представим себе общий случай напряженного состояния, заданного компо-
нентами напряжений ах, ау, az, тху ,ту2, т2х (фиг. 98, а), как результат наложе-
ния двух напряженных состояний (фиг. 98, б и в). Первое напряженное состоя-
ние (фиг. 98, б) — всестороннее* равное растяжение, в котором изменяется только
объем элемента. Второе напряженное состояние (фиг. 98, в) выберем так, чтобы
в нем изменялась только форма элемента, а изменение объема было равно нулю.
Компоненты напряжений в первом напряженном состоянии обозначим через р,
а во втором У, а;, а', тху, ту2, т2х.
Таким образом.
= Р + = Р 4- = Р +4- (43)
Учитывая, что согласно принятому разделению общего случая напряженного
состояния во втором напряженном состоянии (фиг. 98, в) изменение объема равно
нулю, наложим, согласно формуле (6), на компоненты напряжений У., ау, с/
второго напряженного состояния условие
ax + ay+az==0- (44>
Из выражений (43) и (44) получаем
Следовательно, для того чтобы во втором напряженном состоянии (фиг. 98, в)
изменение объема было равно нулю, необходимо, чтобы величина напряжения
Потенциальная энергия деформации упругого тела
121
в первом напряженном состоянии (фиг. 98, б) была равна среднему арифмети-
ческому нормальных напряжений исходного напряженного состояния (фиг. 98,
Удельная потенциальная энергия деформации W в общем случае напряжен-
ного состояния (фиг. 98, а) может быть представлена как сумма двух величин:
удельной потенциальной энергии изменения объема Wo6 (для первого напряжен-
ного состояния, изображенного на фиг. 98,6) и удельной потенциальной энергии
изменения формы (для второго напряженного состояния, изображенного
на фиг. 98,в): < ,
(46)
Это заключение справедливо потому, что внутренние силы, приложенные
к первому элементу, не совершают работы на перемещениях, вызванных вну-
тренними силами, приложенными ко второму элементу, й наоборот.
Докажем, что внутренние силы, приложенные ко второму элементу, не
совершают работы на перемещениях, вызванных внутренними силами, приложен-
ными к первому элементу.
Очевидно, что работа касательных сил второго напряженного состояния на
линейных перемещениях первого напряженного состояния равна нулю.
Подсчитаем работу нормальных, сил второго напряженного состояния на
перемещениях первого. Для этого отметим, что линейные деформации в первом
напряженном состоянии, согласно формулам (5), равны
и, следовательно, искомая работа
dA = -ЦД*- р {а’х + с/ -f- с/) dx dy dz.
Учитывая соотношение (44), заключаем, что и эта работа равна нулю.
Таким образом, работа сил второго состояния на перемещениях первого
равна нулю. Аналогично можно доказать, что работа сил первого состояния на
перемещениях второго тоже равна нулю.
Удельную потенциальную энергию изменения объема находим, подставляя
в формулу (31) компоненты первого напряженного состояния, т. е. полагая
в ней касательные напряжения равными нулю, а нормальные равными р. Тогда
получим '
Подставляя в это выражение значение р по формуле (45), имеем
= + + (47)
или, согласно первой формуле (29) гл. I, т. I, можно установить, что удельная
потенциальная энергия изменения объема пропорциональна квадрату первого
инварианта тензора напряжений:
W06 = ^lt (48)
Удельную потенциальную энергию изменения формы находим в соответствии
с зависимостью (46), произведя вычитание соотношения (47) из выражения (31).
После преобразований получим
~ V + Г-> — + (’> ~ ’.г)’ +
+б(’:,+'5.+’У1- (49>
122 Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Используя формулы (66) и (67а) гл. I, т. I, заключаем, что удельная потен-
циальная энергия изменения формы пропорциональна второму инварианту девиа-
тора напряжений или квадрату интенсивности напряжений:
= (50)
Таким образом, на основании соотношений (46), (47), (49) получим следую-
щее выражение для удельной потенциальной энергии деформации:
W = И? + °*)2 + - °у)2 + <°У - +
+ (а2 - + 6 (^ + г2г + . (51)
На основании формулы (51) можно указать пределы возможных значений
упругих постоянных Е9 G и /А.
Как было отмечено выше, упруго-деформированное тело в результате раз-
грузки возвращается в естественное недеформированное состояние. Поэтому
потенциальная энергия деформации является положительной:
Г>0.
Из выражения (51) заключаем, что если бы даже одна из величин *
и * была отрицательной, то, выбирая соответствующим образом компоненты
напряжений, можно было бы получить отрицательное значение удельной потен-
циальной энергии деформации.
Поэтому всегда
6Е 6Е
Этим неравенством можно удовлетворить, положив
Е>0, 1—2рь>0, l+ii>0 (52)
или приняв
£<0, 1— 2р. <0, 1-|-р.<0. (53)
Из неравенств (53) получаем противоречивые результаты:
р. > 0,5. р < — 1.
Следовательно, неравенства (53) не могут быть удовлетворены.
Из равенства (52) имеем
Е>0, —1 < р. < 0,5.
(54)
На основании формулы (4) и выражений (54) заключаем,
О>0.
Таким образом, модули упругости первого и второго рода являются поло-
жительными величинами, а теоретические пределы изменения коэффициента попе-
речной деформации — In- 0,5. Однако, как было показано выше, для цсех
известных изотропных материалов коэффициент поперечной деформации является
положительной величиной, лежащей в пределах 0<р.<0,5.
Зависимости для упругого анизотропного тела
123
§ 3. ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ ДЕФОРМАЦИЯМИ И НАПРЯЖЕНИЯМИ
ДЛЯ УПРУГОГО АНИЗОТРОПНОГО ТЕЛА
Анизотропным телом называется такое тело, упругие свойства которого в различ-
ных направлениях различны.
Обобщая линейные зависимости между деформациями и напряжениями, установлен-
ные для изотропного тела, на случай тела анизотропного, получаем
s йи£х + #i2sy + #i3ez + аи1ху + + л1бТгх;
ау = ^21еХ 4“ Л22еу 4" #23ez + ^24Txy 4~ a251yZ 4~ а2бТгХ»
az = a3i£x + Яз2еу 4- Дззе2 + й341ху + ЯзбТуг 4-
zxy = л41ех + «42^ 4" #43sz 4- «44Тху 4“ ^45Tyz 4“ л4бТгх^
Tyz = л51ех 4- л52£у 4- #53 Ч + аы7ху + ^ssTyz 4" flgeTzxJ
TZX == Л61£х -t ^62Sy 4“ ^634 4- ^647xy 4- a^tyz 4" аьъЪх*
Эти уравнения содержат 36 упругих постоянных. Докажем, что за счет существо-
вания потенциала внутренних сил упругости количество упругих постоянных умень-
шается до 21.
Для этого продифференцируем первую зависимость (55) по еу, вторую — по ех.
а затем точно так же первую зависимость (28) по еу и вторую по Тогда получим
дах _ деу _ дзх __ dW дау __ 02 де
0су 0£у 0c.j^0ey д&уО&х
и, следовательно,
Я21 в <^12 •
Аналогично можно доказать существование таких же равенств для упругих постоян-
ных с другими индексами.
Таким образом,
aki ~ aik* (56)
и в уравнении (55) коэффициенты, симметричные относительно диагонали, идущей из
левого верхнего угла в правый нижний, попарно равны между собой. Следовательно,
из 36 упругих постоянных будут различными шесть постоянных, расположенных на
36 - 6
диагонали, и —-------= 15 из остальных постоянных, лежащих по одну сторону диаго-
нали, т. е. всего 21 постоянная.
Таким образом, доказано, что в том случае, когда внутренние силы упругости
имеют потенциал, упругое тедо характеризуется 21 постоянной.
Если строение упругого тела таково, что оно обладает плоскостями симметрии
в отношении упругих свойств, т. е. если в теле обнаруживаются симметричные направ-
ления, для которых упругие свойства одинаковы, то количество упругих постоянных
уменьшается. Наименьшее количество независимых упругих постоянных, равное двум,
имеет место для изотропного тела.
Рассмотрим уменьшение числа упругих постоянных в различных частных случаях
симметрии. Для этого получим вначале выражение удельной потенциальной энергии де-
формации через компоненты деформации для общего случая анизотропного тела.
Подставим в формулу (29) соотношения (55) и используем выражение (56). Затем
проинтегрируем полученный результат, полагая, что при деформациях, равных нулю,
удельная потенциальная энергия деформации также равна нулю. Тогда получим
1 о . . 1 2
IT =S 2 Я11Лх 4- Я12ехе«У 4- 013sZe.r 4“ 4" ^15SxTyZ 4" a16sHzx 4- 2 a22sy 4-
4“ ^23ej/ez 4- #24eyTxy 4" #25ejT yz 4" a^zy\zx 4" “2“ ^33ez + Л34е/Г ry 4“ ^35ezTy2 4“ #36ezTz.r 4"
4“ "2" a447xy 4" a^\xytyz 4" a^lxylzx 4” a^7yz 4" a561yzlzx + ~2 ^667^v (57)
Допустим, что строение упругого тела таково, что в каждой точке тела существует
одна плоскость симметрии в отношении упругих свойств, которую примем за плоскость
ху. Это значит, что любые два направления, симметричные относительно этой, плоско-
сти, являются эквивалентными в отношении упругих свойств. В таком случае выраже-
ние для функции UZ не должно измениться, если изменить направление оси z на об-
ратное. Ввиду того что при изменении направления оси z на обратное компоненты
124 Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
деформаций 7уг и 72Х- изменяют знак, в формуле (57) не должно существовать членов,
содержащих эти компоненты деформаций в первой степени/ Член, содержащий произ-
ведение этих компонентов деформаций, сохраняется.
Из сказанного следует, что
#15 — #16 — #25 — #26 — #35 — #36 — #45 = #46 в О
(58)
Таким образом, если в точке тела имеется одна плоскость симметрии в отношении
упругих свойств, то число упругих постоянных уменьшается до 13.
Для более наглядного представления о свойствах тела с ©дной плоскостью симмет-
рии в отношении упругих свойств рассмотрим пример одноосного растяжения в направ-
лении, перпендикулярном к плоскости упругой симметрии ху (фиг. 99).
В этом случае
ах = Gy = zxy ~ zyz — XZX — 0*
По формулам (55), учитывая условия (56) и (58)
имеем
0 = -J- a12Sy + #13е2 + #14Тхр
0 === #12ех + #22еу + #23е2 + #247ху»
aZ = #13еХ + #23еу + #33SZ + #34lxV ’
О = а14ех + #24sy + #34sz + #44lxy»
Tyz = 0» Izx = 0-
Из этих выражений следует, что углы между направлением, перпендикулярным
к плоскости упругой симметрии, и любым направлением, лежащим в этой плоскости,
не изменяются. Сдвиги имеют место только в плоскости упругой симметрии.
Ось z является главной осью напряжения и деформации, а оси х и у — только глав-
ными осями напряжений.
Предположим, что в точке упругого тела имеется не одна, а три взаимно перпен-
дикулярные плоскости симметрии в отношении упругих свойств. Принимая эти три
плоскости за координатные ху, yz и zx, заключаем, что выражение для функции W не
должно измениться, если не только направление оси z, но также и направления осей х
и у изменяются на обратные. Ввиду того что при изменении направлений осей х, у и z
на обратные компоненты деформации 7_Гу, уу2, изменяют знак, формула (57) не
должна содержать членов, включающих эти компоненты деформаций в первой степени.
Таким образом, добавочно к условиям (58) получаем
#14 = #24 == #34 = #56 = 0.- (59)
Следовательно, если в точке тела имеются три взаимно перпендикулярные плоско-
сти симметрии в отношении упругих свойств, то число упругих постоянных уменьшается
до девяти. Отметим, что девять упругих постоянных характеризуют упругие свойства
кристалла с кристаллической решеткой ромбической системы.
В такой кристаллической решетке атомы расположены в углах прямоугольного
параллелепипеда.
Тело, в каждой точке которого имеются три взаимно перпендикулярные плоскости
упругой симметрии, называется ортотропным.
Зависимости между напряжениями и деформациями для ортотропного тела можно
получить по формулам (55), используя условия (56), (58) и (59). Эти зависимости имеют
вид:
#12еу + #1зе/,
Оу = #12ех 4" #22еу 4" #23eZ>
— #13sx 4" #23еу 4~ #33ez»
тху ~ aii“(xy» Tyz в #55TvZ» ZZX — ^^tzx*
(60)
Если оси х, у, z являются главными осями деформации, т. е.
1ху = lyZ — tzx = 0»
то по формулам (60) получаем
тху = Tyz e xzx — 0»
т. е. оси х, у, z являются и главными осями напряжения.
Зависимости для упругого анизотропного тела
125
Таким образом, в ортотропном теле, также как и в изотропном, главные оси дефор-
мации совпадают с главными осями напряжения.
Примером ортотропного тела является древесина с правильными годичными слоями.
В деревянном бруске, изображенном на фиг. 100, можно различить три плоскости сим-
метрии строения, которые являются также плоскостями упругой симметрии.
Первая из этих плоскостей yz нормальна к древесным волокнам, вторая ху парал-
лельна годичным слоям, а третья zx перпендикулярна первым двум.
Представим себе теперь, что в точке упругого тела имеются три плоскости симмет-
рии в отношении упругих свойств, причем упругие свойства одинаковы по отношению
ко всем трем плоскостям симметрии. Тогда выражение для функции W не изменяется,
если оси х, у и z менять местами. Следовательно, к условиям (58) и (59) можно доба-
вить:
(61)
В этом случае количество упругих постоянных уменьшается до трех, и выражение
удельной потенциальной энергии деформации (57) принимает вид:
(®Х + еу + ez) + a12(eXSy + eySZ + EZ£x) + (txy + Tyz + Tzx) ’ (62)
Отметим, что три упругие постоянные характеризуют упругие свойства кристалла
с кристаллической решеткой кубической системы. В такой кристаллической решетке
атомы расположены в углах куба (фиг. 101).
В случае изотропного тела выражение для удельной потенциальной энергии дефор-
мации не должно зависеть от направления координатных осей, поэтому выражение для
удельной потенциальной энергии деформации не должно измениться, если повернуть
оси х, у, z так, что они станут главными осями (на основании сказанного, для изотропного
тела главные оси напряжения и деформации совпадают).
Выражение удельной потенциальной энергии деформации через главные деформа-
ции, согласно формуле (62), имеет следующий вид:
^7 = _|_ £2 g2) (ei£2 £2е3 ggSi). (63)
Зависимость (63) может быть записана еще в следующей форме:
W — “2“ (ч 4“ ^2 4“ ез)2 4" («12 — «11) (е1®2 4" е2е3 4" еЗе1)’ (64)
С другой стороны, на основании формул (58) гл. II, т. I, имеем
~ "2“ (ех + еу + ez) + «12 (ехеу 4* eyez + ezex)+ П 4 ~ (Тху + 7yz + Tzx)- (65)
Сопоставляя выражения (62) и (65), заключаем, что
«11 — «12 «44
4 “ 2 ’
откуда
«11 = «12 4" 2«44.
(66)
126
Зависимости между деформациями и напряжениями упругого тела
Таким образом, так же как и раньше, устанавливаем, что изотропное тело характе-
ризуется двумя упругими постоянными.
Зависимости между напряжениями и деформациями для изотропного тела можно
получить по формулам (60), используя выражения (61) и (66):
= 2а^гх -Ь «12 (ех + Ч- ez);
ау = 2«44ey + ai2 (ех + еу +
« 2«44е2 -|- «12 еу “Ь ez) ,
= #44Тгу» Tyz в ^44lyz» XZx ~ a44fzX'
Введем обозначения:
«44 = G, «12 = X.
Тогда, используя соотношение (11), получим установленные ранее зависимости на-
пряжений от деформаций для изотропного тела (10).
ЛИТЕРАТУРА
1. Беляев Н. М., Сопротивление материалов, ГИТТЛ, 1954.
2. Б е л я е в С. Е., Механические свойства авиационных металлов при низких тем-
пературах, Оборонгиз, 194).
3. Безухов Н. И., Теория упругости и пластичности, ГИТТЛ, 1953.
4. Борздыка А. М., Зависимость модуля упругости стали от температуры „Ве-
стник машиностроения* № 2, 1948.
5. Г у р ь е в А. В., Теория упругих деформаций поликристаллического сплава.
Журнал технической физики, т. XXIV, вып. 9, 1954.
6. Лапин А. А., Механические испытания как основы расчета на прочность,
ВНИТОМАШ, Заочные курсы усовершенствования инженеров-конструкторов, Машгиз,
1951.
7. Л ей бен зон Л. С., Курс теории упругости, ОГИЗ ГИТТЛ, 1947.
8. Лех ни цк и й С. Г., Теория упругости анизотропного тела, ГИТТЛ, 1950.
9. Новожилов В. В., О физическом смысле инвариантов напряжения, исполь-
зуемых в теории пластичности, Прикладная математика и механика, изд. АН СССР,
т. XVI, вып. 5, 1952.
10. Остроумов В. А., Радиотехника в лаборатории по испытанию металлов,
„Заводская лаборатория* № 9, 1933.
11. Папкович П. Ф., Теория упругости, Оборонгиз, 1939.
12. Писаревский М. М., Определение модуля Юнга и модуля сдвига неко-
торых сталей при 20 — 600е С радиотехническим методом, „Котлотурбостроение* № 3,
1948.
13. П о н о м а р е в С. Д., К вопросу о трактовке так называемой „теории проч-
ности энергии формоизменения*, „Вестник инженеров и техников* № 1, 1953.
14. Работнов Ю. Н., Сопротивление материалов, изд. МГУ, 1950.
15. Справочник машиностроителя, т. 11 и III, Машгиз, 1951.
16. Томилина Л. Н., Радиотехнический метод определения модуля Юнга, .Ве-
стник электротехники“ № 4, 1930.
17. Томилина Л. Н., Радиотехнический метод определения модуля сдвига, .Ве-
стник электротехники* № 5 — 6, 1931.
18. Т у л я к о в А. П., Механические свойства металлов при низких температурах,.
„Химическое машиностроение* № 1 и 2, 1935.
19. Ф и л о н е н к о-Б о р о д и ч М. М., Теория упругости, ОГИЗ ГИТТЛ, 1947.
20. Филоненко Бор одич М. М., Изюмов С. М., Олисов Б. А., Куд-
рявцев И. Н., Мальгин о в Л. И., Курс сопротивления материалов, ч. 1 и II,
ГИТТЛ, 1949.
21. Фридман Я. Б., Механические свойства металлов, Оборонгиз, 1952.
22. Ш а п о ш ни к о в Н. А., Механические испытания металлов, Машгиз, 1951.
23. Энциклопедический справочник „Машиностроение*, т. I, кн. 2-я, т. 3 и 4,
Машгиз, 1947.
ГЛАВА IV
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
Необходимость экспериментального определения деформаций и напряжений
в образцах и деталях машин возникает обычно в следующих случаях:
а) при определении механических характеристик материала;
б) при проверке точности выполненных расчетов;
в) при исследовании распределения деформаций и напряжений в деталях
сложной конфигурации, не поддающихся расчету;
г) при определении нагрузок, воспринимаемых деталями, в тех случах, когда
рассчитать эти нагрузки затруднительно (динамическая нагрузка, нагрузка на
элементы сложных статически неопределимых систем и т. д.).
Для измерения деформаций применяются различные методы и приборы
в зависимости от задач исследования.
Наиболее распространенный метод экспериментального исследования рас-
пределения деформаций заключается в измерении деформаций на поверхности
детали с помощью механических, оптических или электрических тензометров.
Большим преимуществом электрических тензометров, среди которых наибольшее
применение получили проволочные датчики сопротивления, является возможность
измерения с их помощью динамических деформаций и деформаций в трудно
доступных точках деталей.
По замеренным деформациям можно рассчитать и величины напряжений
в соответствующих точках.
Для выявления общего распределения деформаций на поверхности детали,
определения наиболее нагруженных зон и предварительной оценки величины де-
формаций часто применяется метод хрупких лаковых покрытий [4], [13], [28].
Этот метод целесообразно использовать в сочетании с методом тензометриро-
вания; зоны наибольших деформаций и направления главных деформаций опре-
деляются с помощью хрупких покрытий, а уточненное количественное опреде-
ление деформаций выполняется с помощью тензометров.
Поляризационно-оптический метод определения напряжений в моделях из
прозрачных оптически активных материалов позволяет весьма полно исследо-
вать напряженное состояние в деталях сложной конфигурации. Изучение распре-
деления напряжений этим методом позволяет намечать пути усовершенствования
формы детали и проверить эффективность такого усовершенствования.
§ 1. ИЗМЕРЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ТЕНЗОМЕТРОВ
А. Выбор базы тензометра
Почти все получившие распространение типы тензометров измеряют измене-
ние расстояния между двумя какими-либо точками образца. Первоначальное
расстояние между этими точками называется базой тензометра.
Относя измеренное изменение расстояния к базе тензометра, можно найти
среднюю линейную деформацию в направлении установки тензометра.
Если напряженное состояние в пределах базы тензометра является однород-
ным, то средняя деформация -у равна истинной ' . Если напряженное со-
128 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
стояние детали — неоднородное, база тензометра должна быть выбрана доста-
точно малой, с тем чтобы погрешностями, вносимыми изменением деформаций в ее
пределах, можно было пренебречь.
В случае измерения деформаций на гибких деталях база датчика должна
быть также достаточно малой, чтобы исключить влияние изменения кривизны.
Рассмотрим подробнее этот вопрос. Пусть требуется определить деформацию
на поверхности изогнутой полосы или кривой стенки (фиг. 102). Начальный
радиус кривизны полосы jRf, радиус ее кривизны после деформации — R2.
Найдем показание тензометра при изменении
/ кривизны полосы, предполагая, что фактиче-
ская длина I волокна, на котором установлен
. М I gz тензометр, не изменилась.
Это показание тензометра будет соответ-
stTTssssS' ствовать абсолютной ошибке измерения за счет
влияния кривизны.
Расстояние между призмами тензометра до
искривления равно
ai = 2/?i8in
Фиг. 102. К определению погреш-
ности измерения деформации
в связи с изменением кривизны.
после искривления — соответственно
^2 — Sill
Z3
247?| '
Абсолютная ошибка в относительном удлинении, полученная за счет искрив-
ления, составит
а% — а\ № f 1 1 \
Если одновременно с искривлением рассматриваемое волокно претерпевает
и деформацию s, то относительная ошибка измерения этой деформации будет
равна
Де = Z2 /j_________
е — 24е ( д2 ^2
В том случае, если деформация е обусловлена только изгибом полосы или
стенки оболочки (при выполнении гипотезы плоских сечений), величина дефор-
мации в наружных волокнах определяется формулой
__ Д / J_______1\
~ 2 Ui /?2 / ’
где h — толщина полосы.
Тогда
Де
— Г—4-—^
12Л k Ri Я2 '
(1)
е
Из формулы (1) видно, что при измерении деформаций, связанных с изгибом
стенки оболочки, относительная ошибка измерения вследствие влияния кривизны
прямо пропорциональна квадрату базы Z тензометра и кривизне поверхности
и обратно пропорциональна толщине стенки.
Используя уравнение (1) и задаваясь предельно допустимым значением
ошибки за счет влияния кривизны можно в каждом отдельном случае под-
считать наибольшую допустимую базу тензометра.
Измерение деформаций с помощью тензометров
12£
Предположим например, что требуется измерить деформации на поверхно-
сти стенки, имеющей радиус кривизны 50 мм (можно принять и тол-
щину 5 мм, причем ошибка не должна превышать 3°/0. В этом случае наиболь-
шую допустимую величину базы можно определить из уравнения
откуда
, 1 Г 12 5-50.0,03' с „
I < I/ ------g—-----= W мм-
Б. Определение главных деформаций
Если направления главных деформаций заранее известны (как, например, при испы-
тании образцов на растяжение или изгиб), то тензометры устанавливаются непосред-
ственно в этих направлениях (например, вдоль образца). При исследовании
деформированного состояния на поверхности детали сложной конфигурации на-
правления главных деформаций в каждой точке заранее неизвестны. В этом
случае величины главных деформаций и их направления определяются по
результатам замеров линейных деформаций в трех произвольных направлениях.
При этом целесообразно использовать один из двух следующих вариантов уста-
новки тензометров: а) измеряются деформации в двух взаимно перпендикулярных
направлениях и в направлении, составляющем с ними углы по 45°; б) измеряются
деформации в трех направлениях, составляющих друг с другом углы по 120°.
Величины и направления главных деформаций в обоих этих случаях опре-
деляются на основании приведенных в гл. II, т. I соотношений [см. формулы
(113), (114),"(117), (118) гл. II].
В. Типы механических и оптических тензометров
Для измерения деформаций при статическом нагружении было предложено
значительное количество механических и оптико-механических тензометров раз-
нообразных конструкций. Так, в книге [4] описано свыше тридцати вариантов
Фиг. 103. Рычажный тензометр системы МИЛ.
конструкций таких тензометров. Однако лишь несколько типов тензометров полу-
чили широкое распространение в лабораторной практике.
По величине базы эти тензометры можно разделить на три группы: а) тен-
зометры с большой базой (50—200 мм), предназначенные в основном для изме-
9 Пономарев и др. 407
130 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
рения деформаций лабораторных образцов; б) тензометры с базой средней’
величины (10—20 мм), предназначенные для измерений как на образцах, так.
и на деталях, в зонах, где градиент деформации не очень велик; в) тензометры
с малой базой (1—3 мм), допускающие измерение деформаций и при резко*
неравномерном их распределении, например в зонах концентрации напряжений.
Широко распространен механический тензометр с большой базой системы
МИЛ (Морозов, Ильин — Ленинград). Этот прибор изображен на фиг. 103-
Он состоит из двух одинаковых тензометров, установленных с двух сторон
образца. Наличие двух тензометров’при отсчете по сумме их показаний позво-
Фиг. 104. Тензометр конструкции С. В. Бояршинова.
ляет исключить из рас-
смотрения деформации,
связанные с возмож-
ным незначительным
изгибом образца. При-
бор опирается на об-
разец неподвижным но-
жом 1 и подвижным
ножом 2. Последний
является одним из пле-
чей углового рычага,,
закрепленного на оси 3.
Длинное плечо этого*
рычага через планку 4
передает движение
стрелке 5, вращаю-
щейся относительно
оси б. Винт 7, сме-
щающий ось б, служит
для установки стрелки
в начальное положе-
ние перед опытом„
а также и во время
опыта, если деформа-
ции таковы, что стрел-
ка выходит за пределы
шкалы. Увеличение
тензометра, т. е. от-
ношение отсчета по шкале к изменению расстояния между призмами, / = 500.
На фиг. 104 представлен тензометр конструкции С. В. Бояршинова. Пре-
имуществом этого тензометра является широкий диапазон измерения деформа-
ций (до 4°/0), благодаря чему отпадает необходимость переставлять прибор
в процессе опыта. База этого тензометра равна 50 мм, увеличение около 500.
Прибор является сдвоенным. Каждая из половин тензометра состоит из двух
алюминиевых деталей 7 и 2, соединенных между собой двумя плоскими пружи-
нами 3 и 4.
К деталям 7 и 2 привернуты стальные каленые призмы 5, с помощью кото-
рых прибор фиксируется на образце. При деформации образца расстояние
между призмами изменяется и детали 7 и 2 поворачиваются одна относительно
другой, причем центром поворота является точка пересечения осевых линий
пружин 3 и 4, Взаимный поворот деталей 7 и 2 фиксируется стрелочным ин-
дикатором б, показания которого пропорциональны деформации образца. Арре-
тирование прибора производится посредством штифта 7, жестко скрепляющего
между собой детали 7 и 2.
Прибор надежно закрепляется на образце с помощью двух пар винтовых
зажимов б.
Наиболее распространенным типом оптических тензометров с большой базой
является тензометр Мартенса, схема которого представлена на фиг. 105.
Измерение деформаций с помощью тензометров
131
Планка тензометра 1 фиксируется на образце неподвижным ножом 2. Дру-
гой конец планки опирается на образец через подвижную призму 3, с которой
жестко связано зеркальце 4.
На некотором расстоя-
нии от прибора установлена
шкала 5, отражение которой
в зеркальце можно наблю-
дать через визирную трубу 6.
Визирная труба имеет пере-
крестие, которое позволяет
точно фиксировать деление
шкалы.
При деформации образца
подвижная призма и зер-
кальце поворачиваются, и
в визирной трубе видны уже
новые деления шкалы. Раз-
ность отсчетов по шкале
пропорциональна деформа-
ции образца. Прибор при-
Фиг. 105. Схема тензометра Мартенса.
крепляется к образцу с помощью пружинной струбцинки, причем с обеих сторон
образца устанавливаются два одинаковых тензометра. Благодаря этому, так же
Фиг. 106. Тензометр Хугенбергера.
как и при использовании тензометров МИЛ или
С. В. Бояршинова, исключаются ошибки, свя-
занные с изгибом образца.
Тензометр Мартенса снабжается обычно на-
бором планок, позволяющих осуществлять изме-
рения при базах 50, 100, 150, 200 мм.
Увеличение прибора I равно
2Л
z =----,
а ’
где А — расстояние от зеркальца до шкалы;
а — диагональ подвижной призмы.
Обычно тензометры Мартенса устанавлива-
ются так, что увеличение равно 500.
Благодаря использованию принципа оптиче-
скою рычага тензометр Мартенса обладает
большой точностью и успешно используется
для измерений, к результатам' которых предъ-
являются высокие требования (определение
модуля упругости, определение предела про-
порциональности и т. п.).
Из тензометров с базой средней величины,,
которые применяются в лабораторной практике
для замеров как на образцах, так и на деталях,
следует отметить тензометр Хугенбергера
(фиг. 106). По своей схеме этот тензометр не
отличается существенно от рассмотренного
выше тензометра МИЛ. Он имеет базу 20 мм
и увеличение около 1000 (точное увеличение
каждого тензометра определяется тарировкой
и указывается в паспорте).
Из малобазных тензометров следует упомянуть тензометр Лера с базой
2 мм, имеющий увеличение 10 000. Этот тензометр имеет рычажную передачу,
увеличивающую перемещения в 100 раз, а отсчет производится по измеритель-
ному микроскопу.
9*
132
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Следует отметить, что в последнее время при исследовании распределения
деформаций в деталях сложной конфигурации малобазные механические и опти-
ческие тензометры уступают место электротензометрам и прежде всего прово-
лочным датчикам сопротивления.
Г. Тарировка тензометров
Увеличение, даваемое механическими тензометрами, зависит от геометриче-
ских размеров их призм, рычагов и пр.; поскольку эти размеры *йе могут быть
выполнены абсолютно точно, различные экземпляры тензометров имеют некото-
Фиг. 107. Схема устройства тен-
зокалибратора с точностью от-
счета до 1 мк [8]:
1 — корпус; 2 — неподвижная площадка.
3—подвижная площадка; 4—клин; 5 — ре
гулировочный винт; 6—индикатор;
7 — пружины.
рые отклонения в величине чувствительности.
В процессе эксплуатации тензометров их
призмы и шарниры изнашиваются, что также
может привести к изменению чувствительности
тензометра.
Ввиду этого тензометры подлежат периоди-
ческой проверке и тарировке на специальных
приборах — тензокалибраторах.
Тензокалибраторы представляют собой
устройства, позволяющие осуществить точно
известное перемещение опорных призм тензо-
метра. Отсчет этого перемещения с точно-
стью до микрона выполняется оптиметром или
при наличии дополнительной рычажной пере-
дачи — индикатором или микрометрическим
винтом. В некоторых конструкциях тензока-
либраторов для точного задания перемещений
используются мерительные плитки.
Схема простейшего тензокалибратора с ис-
пользованием для отсчета обычного индикатора
приведена на фиг. 107. Существенным в кон-
струкции тензокалибратора является устранение
люфтов. В калибраторе, изображенном на
фиг. 107, для этой цели служат пружины 7.
Для тарировки тензометров при деформациях, лежащих в пределах упруго-
сти стали, можно также использовать стальные тарировочные балочки, широко
применяющиеся для тарировки проволочных тензодатчиков (см. стр. 136).
§ 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ
А. Общие соображения
Электрические методы измерения деформаций являются косвенными: дефор-
мация преобразуется в изменение какого-либо электрического параметра (сопро-
тивления, индуктивности, емкости), а уже это изменение воспринимается реги-
стрирующим устройством.
Таким образом, аппаратура для электрического измерения деформации со-
стоит из двух обязательных частей: датчика, т. е. элемента, воспринимающего
деформации детали, и регистрирующего прибора (стрелочный прибор, осцил-
лограф и т. п.). В большинстве случаев имеется еще и третий элемент — уси-
литель, усиливающий снимаемые с датчика сигналы. Благодаря отделению дат-
чика от регистрирующей аппаратуры имеется возможность сделать датчик доста-
точно легким и малогабаритным, устанавливать его в труднодоступных местах,
а также на движущихся .деталях машин.
Электрические методы позволяют регистрировать не только статические
деформации, но и динамические, как при периодических, так и при неустано-
вившихся процессах (например, при ударе). Одновременно могут быть зафикси-
Электрические методы измерения деформаций
133
рованы показания ряда датчиков, установленных в различных точках детали
или на разных деталях.
В зависимости от того, какой электрический параметр датчика изменяется
при деформации, датчики носят название индукционных, емкостных, магнито-
стрикционных, датчиков сопротивления.
Многочисленные конструкивные варианты датчиков рассмотрены в работах
[6] и [18].
Ниже будут рассмотрены лишь проволочные датчики сопротивления, кото-
рые благодаря своей универсальности, удобству применения и широким воз-
можностям эксперимента получили исключительно широкое распространение
в лабораторной практике.
Проволочные датчики имеют стандартную конструкцию и, в зависимости от
характера исследуемых процессов (статические или динамические деформации),
меняется лишь регистрирующая аппаратура.
Б. Устройство проволочного датчика сопротивления
Проволочный тензодатчик (фиг. 108) представляет собой несколько плоских
петель тонкой (диаметром 15—30 мк) проволоки, наклеенных на полоску бумаги.
Концы проволоки припаиваются или привариваются к выводам, изготовленным
из более толстого проводника.
Датчик наклеивается на исследуемую деталь, деформации которой передаются
проволоке. Изменения омического сопротивления проволоки, соответствующие
этим деформациям, регистрируются с помощью соответствующей аппаратуры.
Базой датчика является длина петли проволоки Z.
Изменение сопротивления датчика при его деформации определяется как из-
менением геометрических размеров (длины и поперечного сечения) проволоки,
так и изменением ее удельного сопротивления.
Экспериментально установлено, что при
растяжении проволоки ее сопротивление ме-
няется линейно в зависимости от деформации
в соответствии с формулой
ДА! = y0Z?s,
где Д/?— изменение сопротивления проволоки;
R — ее начальное сопротивление;
Бумага Проволока Выводы

Фиг. 108. Устройство проволоч-
ного датчика.
е — относительное удлинение;
70 — коэффициент тензочувствцтельности материала.
Значения коэффициента тензочувствительности проволоки из некоторых
материалов, применяемых при изготовлении датчиков, приведены в табл. 8.
В этой же таблице указан состав и некоторые другие свойства этих материалов.
Таблица 8
Свойства сплавов, применяемых для изготовления проволочных датчиков
Сплав Приблизительный состав в °/о Сопротивление проволоки диаметром 0,025 мм в ом)м Температурный коэффициент сопротивления на °C X 10~6 Коэффициент тензочувстви- тельности
Константан ...... Нихром Хромель Элинвар Фехраль 60Cu; 40N1 80N1; 20Сг 64Ni; llCr; 25Fe 36Ni; 8Cr; 56Fe 22,3Cr; 4.8A1 0.35C; остальное Fe 930—980 1750—2000 2100-2200 1600 2700—3200 ± 2 100 180 300 7-20 2,0-2,1 2,1-2,3 2,5 3,2-3,5 2,8-2,9
134
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Сопротивление датчика, наклеенного на деталь, также линейно связано с де-
формациями последней. Эта зависимость может быть выражена формулой
-7г = TSX + Ч- (2)
Здесь AR — изменение сопротивления датчика при деформации;
7? — его начальное сопротивление;
гх и еу — относительные удлинения детали в месте наклейки датчика в на-
правлении его петель (ех) и в поперечном направлении (еу). Коэф-
фициенты у и 8 называются коэффициентами продольной и попе-
речной тензочувствительности датчика.
Фиг. 109. Зависимость чувствитель-
ности проволочного датчика от его
базы.
Ввиду того, что деформация полностью
передается только участкам проволоки, ори-
ентированным в направлении базы, а кри-
волинейные участки петель датчика не явля-
ются активными, коэффициент продольной
тензочувствительности датчика у меньше,
чем коэффициент тензочувствительности про-
волоки у0.
Чем меньше база датчика, тем больше
относительная роль криволинейных участков
проволоки, не участвующих в продольной
деформации, и тем меньше, следовательно,
продольная тензочувствительность датчика.
Примерная зависимость продольной тензо-
чувствительности датчика из константановой
проволоки диаметром 30 мк от базы датчика
представлена на фиг. 109. Поперечная тензочувствительность тензодатчиков,
как правило, невелика и коэффициентом 8 в формуле (2) обычно пренебрегают.
Однако с уменьшением базы датчика чувствительность его к. поперечным
деформациям возрастает.
При малых базах (2,5—5 мм) неучет поперечной чувствительности датчика
может повести к существенным погрешностям измерения. В этих случаях коэф-
фициент 8 поперечной тензочувствительности датчика должен определяться спе-
циальной тарировкой.
Обычно применяются дат-
чики с базой 20, 10, 5 и
2,5 мм. Выбор базы датчика
определяется задачами иссле-
дования. Как правило, следует
выбирать датчики с наиболь-
шей возможной по условиям
опыта базой, исходя лишь из
требования, чтобы на длине
Фиг. 110. Розетки проволочных датчиков:
а — прямоугольная; б — равноугольная.
не может быть снят с нее неповрежденным.
базы датчика деформации де-
тали были в достаточной сте-
пени однородными.
Наклеенный на деталь датчик
Поэтому тарировка каждого датчика невозможна.
Обычно тарировке подвергается несколько датчиков от партии, изготовленной
из одной катушки проволоки на одном и том же приспособлении. Чувствитель-
ность остальных датчиков партии принимается равной средней чувствительности
испытанных. В случае большого разброса в чувствительности датчиков партия
бракуется. Иногда датчики могут быть протарированы непосредственно на де-
тали; в этих случаях разброс в чувствительности датчиков не ведет к ошибкам
при измерениях.
Электрические методы измерения деформаций
135
Наряду с одиночными датчиками применяются также розетки из датчиков
•сопротивления, служащие для определения величины и направления главных
деформаций.
Эти розетки бывают двух типов — прямоугольные (фиг. 110, а) и равноугольные
(фиг. ПО, б'). Каждая из таких розеток состоит из трех одинаковых датчиков,
наклеенных на общей подложке. Розетка датчиков позволяет определить дефор-
мации в трех направлениях. По значениям этих деформаций можно, используя
•формулы (113) и (114) или (117) и (118) гл. II, т. I, подсчитать величину и
направление главных деформаций. В случае необходимости розетки датчиков
могут быть получены и посредством соответствующей наклейки на деталь трех
одинаковых датчиков.
Фиг. 111. Приспособление для
изготовления проволочных
датчиков.
как отсутствует утолщение
на корпус.
В. Изготовление проволочных датчиков
Имеется ряд методов изготовления датчиков, некоторые из которых изложены
в работах [18], [19].
Одно из приспособлений для намотки датчиков изображено на фиг. 111.
Оно представляет собой поворотный столик 7, в вырез которого уклады-
вается рамка 2 с натянутой на ней бумагой. На столике установлены также
две стойки 3 с легко зажатыми в них иглами 4, Один конец проволоки для
датчиков закрепляется в зажиме 5, проволока перекидывается через неподвиж-
ный блочок 6. Опуская поочередно иглы до со-
прикосновения с бумагой и поворачивая каждый
раз столик на полоборота, укладывают петли
датчика. Затем проволоку на прямолинейных уча-
стках смазывают клеем (по возможности ближе
к иглам). После высыхания клея иглы поднимаются
и клеем смазываются криволинейные участки про-
волоки. После этого рамка может быть снята с
приспособления. Следующей операцией является
припайка или приварка выводов.
Выводы изготовляются из латунных ленточек
<(0,04 X 1 мм) или луженой проволоки диаметром
0,3—0,4 мм. При пайке конец проволоки датчика
накладывается на вывод и заливается оловом с
помощью миниатюрного паяльника.
Сварка производится постоянным током,
причем один полюс присоединяется к выводному
проводнику, а другой — к остро заточенному уголь-
ному электроду. Конец провода датчика наклады-
вается на вывод на расстоянии ~0,5 мм от его
конца, к которому прикасаются угольным элек-
тродом. Образующаяся капля жидкого металла
заливает провод датчика.
Пайка выводов предпочтительнее сварки, так
(капля), которое может вызвать замыкание датчика
После пайки или сварки выводы также приклеиваются к бумаге и датчик
вырезается.
Другой вариант приспособления для намотки датчиков отличается тем, что
иглы по одной с помощью пинцета вставляются сквозь бумагу в специальные
отверстия в поворотном столике.
Для того чтобы эти отверстия были видны, под столиком размещена элект-
рическая лампочка. После намотки датчика и приклейки прямолинейных участков
проволоки иглы проталкиваются вниз под столик. Затем проводится приклейка
криволинейных участков проволоки и припайка выводов. Поверх датчика на-
клеивается еще одна бумажка, причем клей выбирается таким, чтобы он не ра-
створял клея, которым первоначально приклеивалась проволока.
136
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Г. Приклейка датчиков
Успешность измерения деформаций с помощью проволочных тензодатчиков,
во многом зависит от качества их приклейки.
Необходимо- тщательно зачистить и обезжирить место приклейки. Слой клея
должен быть тонким и он должен быть хорошо высушен. Обычно используется
довольно густой клей. Клей наносится на деталь, к которой затем прижимается
датчик: при этом удаляются пузырьки воздуха и выжимается лишний клей так,
чтобы между деталью и датчиком оставался лишь тонкий слой.
Для приклейки датчиков могут быть использованы различные типы клея, но*
наибольшее применение получили целлулоидный клей, бакелитовый лак и бут-
варно-фенольные клеи (марки БФ-2 и БФ-4).
Целлулоидный клей представляет собой раствор целлулоида в ацетоне. Пре-
имуществом этого клея является быстрое высыхание. В естественных условиях,
он полностью высыхает примерно в те-
У\ чение часа. Ускорять сушку датчика с
/ с]$—_ /) помощью прогрева теплым воздухом*
/ р j или инфракрасными лучами не рекомен-
/ J дуется. Однако целлулоидный клей
Z-________________________/ обеспечивает достаточную прочность
( / приклейки лишь при хорошем качестве
' целлулоида и чистом растворителе.
Фиг. 112. Переходная колодка для подклю- Целлулоидный клей нетермостоек,,
чения проволочного датчика. при высокой температуре (больше 60°}
он размягчается.
Бутварно-фенольный клей дает очень большую прочность приклейки при
высокой термостойкости.
Для реализации этих качеств он должен быть подвергнут полимеризации —
клей БФ-4 при температуре 60°, а клей БФ-2 при 140° в течение 20—30 мин.
Подогрев производится только после полного высыхания клея.
Можно и не подогревать наклеенные датчики для полимеризации, однако-
в этом случае измерения следует начинать не ранее чем через сутки после при-
клейки датчика. Датчики, приклеенные без полимеризации клея БФ, не при-
годны для работы при температуре свыше 50°. Для защиты датчика от атмос-
ферных влияний рекомендуется после приклейки покрыть его лаком. Для этого*
может быть использован бакелитовый лак или тот же клей БФ, который при-
меняется для приклейки датчика. При работе в условиях повышенной влажно-
сти поверх лака датчики покрываются слоем вазелина.
Для того чтобы предотвратить обрыв выводов от датчика, следует выводные
провода закреплять на детали в непосредственной близости от датчика.
Очень удобны для этой цели переходные колодочки, приклеиваемые на де-
тали рядом с датчиком. Такая колодочка (фиг. 112) может быть изготовлена
из двух листков тонкого (0,5 мм) гетинакса. В отверстия верхнего листка про-
деты латунные полоски (толщиной 0,1 мм). к которым с одной стороны при-
паиваются выводы датчика, а с другой — провода, идущие к измерительной*
аппаратуре. Листки склеиваются между собой и приклеиваются к детали.
Д. Тарировка датчиков
Для тарировки датчиков используются тарировочные балочки — консольные-
или двухопорные.
Консольная тарировочная балочка представлена на фиг. 113. Эта балочка
имеет в плане треугольную форму (балочка ровного сопротивления) и нагру-
жается винтом в точке пересечения боковых сторон балочки.
В этом случае балочка изгибается по цилиндрической поверхности, причем
в пределах клиновидной ее части деформации по длине постоянны. Эта часть
балочки используется для наклейки тарируемых датчиков. Величина деформации
.Электрические методы измерения деформаций
137"
рассчитывается по прогибу f балочки, измеряемому индикатором на расстоянии Г
от заделки.
Этот прогиб равен
где х — кривизна балочки.
С другой стороны, продольная деформация е на поверхности балочки свя-
зана с кривизной формулой
h
где h — толщина балочки.
Из этих формул находим, что
h
I*
Фиг. 113. Консольная тарировочная бал очка-рав-
ного сопротивления.
Для того чтобы указанный способ тарировки давал необходимую точность»
нужно выполнить все приспособление и особенно заделку балочки достаточно»
жесткими. Угол клина а не дол-
жен превышать 6—8°. Чтобы
расширить пределы деформаций,
при которых тарируются датчики,
и избежать пластических дефор-
маций балочки, она должна быть
изготовлена из стали с высоким
пределом те1угчести и термообра-
ботана. После термообработки
плоскости балочки шлифуются.
Другой несколько более слож-
ный вариант тарировочного
устройства—с балочкой, работаю-
щей на чистый изгиб — изобра-
жен на фиг. 114. Балочка 1
лежит на неподвижных опорах 2
и нагружается роликами 3.
Звенья 4 обеспечивают одинако-
вое расстояние роликов от опор.
Равномерное распределение нагрузки на ролики достигается с помошью рычага 5.
Нагружается балочка поворотом маховичка 6, прогиб измеряется индикатором 7.-
При установке индикатора в середине пролета балочки деформация выра-
жается через прогиб / уравнением
4/г .
8 = -72-/.
где I—расстояние между неподвижными опорами балочки;
h — ее толщина.
Для определения как продольной, так и поперечной тензочувствительности*
датчиков используются результаты тарировки двух датчиков, один из которых^
наклеивается вдоль балочки, а другой — поперек (практически в каждом направ-
лении наклеиваются несколько датчиков и учитываются их средние показания).
Допустим, что в первом случае продольной деформации балочки = е и попе-
речной деформации е = —jie, где р — коэффициент Пуассона для материала
балочки, соответствует относительное изменение сопротивления датчика
При той же деформации балочки относительное изменение сопротивление
датчика, наклеенного в поперечном направлении, составит (для этого*
датчика ех= — ре, еу = е).
138 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Запишем уравнение (2) для обоих датчиков:
(4)г(т-^)8;
(-^-)3 = (-НТ + 8)е-
Отсюда находим:
обычио («)_ „ (4)s
имеют различные знаки и второе
слагаемое в формуле для весьма
5 мало по сравнению с первым.
Коэффициент Пуассона р., не-
обходимый для расчета по при-
веденным формулам, рекомен-
дуется определять с помощью
механических тензометров, уста-
навливаемых на тарировочной
балочке.
том случае, когда датчики пред-
деформаций в деталях сложной
<Фиг. 114. Тарировочная балочка, работающая
на чистый изгиб.
Тарировка партии датчиков обязательна в
назначены для исследования распределения
.формы.
В ряде случаев, когда целью эксперимента является установление нагрузок,
воздействующих на деталь (в статически неопределимой конструкции или при
динамической нагрузке), датчики с успехом могут быть протарированы непо-
средственно на детали.
Для этого деталь с наклеенными датчиками подвергается предварительному
нагружению известными силами с помощью грузов или в испытательной ма-
шине и при этом определяется отношение между нагрузкой и изменением со-
противления датчиков.
Используя это отношение, можно в дальнейшем по измеренному изменению
«сопротивления датчика определить воспринимаемую деталью нагрузку.
Е. Включение проволочных датчиков
При измерении деформаций с помощью проволочных датчиков используются
две схемы их включения — мостовая и потенциометрическая.
Простейшая мостовая схема представлена на фиг. 115. Мост составлен из
четырех сопротивлений, из которых R±— датчик, Т?2, R3 и R4 — постоянные
проволочные сопротивления. К одной из диагоналей моста подведено питающее
напряжение, а к другой подключен измерительный прибор.
Ток, проходящий через прибор, сопротивление которого предполагается
малым, равен
г __ Т7 R3R3 — /п\
г + R1R3R4 + R1R2R4 + R1R2R3 *
где V — напряжение источника тока.
Электрические методы измерения деформаций
139
Условием отсутствия тока в измерительном приборе (балансировки моста)
является равенство
R2R4 — ^1^3-
Обычно сопротивления R2 и R3 делают одинаковыми R2 = R3 — R, а в ка-
честве сопротивления R4 используют такой же датчик, как и R{ (R4 = Rx = Rd),
Если теперь вследствие деформации сопротивление наклеенного на деталь
датчика изменится на SR и станет равным Rx = Rd 4- AR, через прибор моста
пойдет ток.
Величину этого тока можно найти по формуле (3), полагая в ней R2 — R3=
~ _ ~ " в знаменателе малой величиной
= = Rd 4~ A/?; R4 = Rd и пренебрегая
AR по сравнению с Rd. /ч
Тогда
/ v &R
г 2(R + Rd) Rd'
Поскольку величина
V -[
• R + Ад д
представляет собой ток, протекающий через
чик, то
I -I
1г — 1д 2Rd '
(4)
дат-
Мостовая схема
по гальванометру.
Фиг. 115.
с отсчетом
пропорционален
Таким образом, ток, протекающий через гальванометр,
изменению сопротивления датчика, а значит и деформации.
Сопротивление датчика изменяется не только в связи с деформациями де-
тали, но и при изменении температуры.
В последнем случае ввиду различия коэффициентов линейного расширения
провода датчика и материала детали, на которую он наклеен, в проводе дат-
чика возникают температурные напряжения, в связи с чем изменяется его сопро-
тивление. Кроме того, с изменением температуры изменяется и удельное сопро-
тивление материала.
Температурные изменения сопротивления датчика довольно велики. Так,
например, при изменении температуры на 1° С сопротивление наклеенного на
константановой
как и при де-
стальную деталь датчика из
проволоки изменяется так же,
формации детали напряжением 7 кг/см2.
При изготовлении датчика из других мате-
риалов влияние температуры еще больше.
Это приводит при измерении статических
деформаций к необходимости температурной
компенсации.
При мостовой схеме включения датчика
температурная компенсация выполняется без за-
труднений. Для этого в качестве сопротивле-
ния R4 применяется компенсационный датчик,
т. е. такой же точно датчик, как измери-
наклеенный на пластинку из того же материала, что и деталь, нахо-
в таких же температурных условиях.
включения датчика.
Фиг. 116. Потенциометрическая
схема
тельный,
дящуюся
Тогда при изменении температуры сопротивления измерительного и компен-
сационного датчиков изменяется одинаково, и балансировка моста не нарушится.
Потенциометрическая схема включения датчика представлена на фиг. 116.
В этом случае источник тока подключается к датчику через добавочное
сопротивление R, а измерительный прибор, сопротивление которого весьма
велико, регистрирует изменение напряжения на датчике.
140 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Если сопротивление датчика изменяется на Д7? вследствие деформации, то
напряжение на нем Vd, которое до деформации было равно
уя=
д R + R& ’
где V — напряжение источника тока, изменится на величину
силовых факторов
Часто кроме деформаций на поверхности детал
наличии различных силовых факторов, необходимо
Фиг. 117. Наклейка и включение датчиков Дг и Д2 Для
измерения в отдельности деформаций растяжения — сжа-
тия (схемы б, в и г) и деформаций изгиба (схемы д и е).
Это изменение напряжения весьма мало по сравнению с Vd. Поэтому потен-
циометрическая схема включения применяется только при использовании для
измерения динамических деформаций усилителей переменного тока, не реаги-
рующих на величину постоянного напряжения Vd, и регистрирует лишь его»
изменения при деформации (см. стр.^49).
При потенциометрической схеме, так же как и при мостовой схеме, может
быть применена температурная компенсация. Компенсационный датчик, идентич-
ный с активным, включается последовательно с ним вместо сопротивления R
(фиг. 116). Если внутреннее сопротивление источника тока мало по сравнению-
с сопротивлением датчика, то при одновременном и одинаковом изменении
сопротивления активного и компенсационного датчиков, в связи с изменением
температуры, напряжение на каждом из датчиков остается постоянным и равным
половине напряжения источника тока.
Ж. Применение проволочных датчиков для измерения внутренних
I, которые имеют место при
определить каждый из этих
факторов (продольную силу,,
изгибающие и крутящие мо-
менты) в отдельности. Эта
задача легко решается с
применением ** нескольких
проволочных датчиков.
Так, например, два про-
волочных датчика, наклеен-
ные, как показано на
фиг. 117, а, позволяют от-
делить сжатие или растя-
жение стержня от его из-
гиба.
При сжатии оба датчика;
получают деформации одного
знака, при изгибе — разных
знаков. Для того чтобы за-
регистрировать только де-
формации растяжения —
сжатия, датчики следует
включать так, как указано на
фиг. 117, б и в при мосто-
вой схеме или на фиг. 117, г
при потенциометрической
схеме. Во всех этих слу-
чаях прибор будет реагиро-
вать лишь на изменение
суммарного сопротивления
обоих датчиков.
При необходимости температурной компенсации компенсационные датчики
включаются в плечи моста, смежные с активными датчиками.
Электрические методы измерения деформаций
141
Включение датчиков для регистрации только деформаций изгиба показано
на фиг. 117, д для мостовой схемы и на фиг. 117, е — для потенциометрической
схемы. В этом случае снимаемое с входной цепи напряжение пропорцио-
нально разности изменений сопротивления обоих датчиков.
Для регистрации деформаций кручения датчики наклеиваются и включаются
так, как показано на фиг. 118.
При измерении деформаций
изгиба и кручения дополнитель-
ных термокомпенсационных дат-
чиков не требуется.
3. Тензометр с проволочными
датчиками для измерения
больших деформаций
Проволочные датчики при не-
посредственном их применении
позволяют измерять деформации
до 1—2°/0 *. Для измерения боль-
ших пластических деформаций,
а также деформаций неметалличе-
ских материалов, достигающих
десятков процентов и более, Фиг. 118. Наклейка и включение датчиков —Д±
можно с успехом применить Для измерения деформаций кручения.
специальные тензометры, исполь-
❖ /
Фиг. 119. Тензометр с проволоч-
ными датчиками для измерения
больших деформаций элементов
пневматической шины.
зующие в * качестве чувствительного элемента проволочные датчики.
В качестве примера на фиг. 119 приведена конструкция тензометра, приме-
няющегося для измерения деформаций резины и корда в покрышке пневмати-
ческой шины.
Тензометр представляет собой скобку 1 из стальной ленты толщиной 0,1 мм.
К боковым сторонам припаяны иглы 2, с помощью которых тензометр уста-
навливается на объекте, деформации которого измеряются.
К иглам привулканизированы резиновые
шайбочки 3, приклеиваемые к поверхности
шины.
При изменении базы тензометра в связи с
деформацией шины скоба тензометра изгибается.
Этот изгиб регистрируется проволочными дат-
чиками 4, включенными в смежные плечи мо-
стовой схемы.
Если пренебречь изгибом вертикальных уча-
стков скобы датчика, то можно установить,
что деформации, испытываемые материалом
27г
полоски и регистрируемые датчиками, в -у- раз меньше, чем относительные
удлинения базы тензометра.
В выполненной конструкции h — ЬмМу 8 = 0,1 мм и, следовательно, коэф-
фициент уменьшения равен 100. При использовании стандартной аппаратуры, рас-
считанной на измерение деформаций с точностью до 10~5, тензометр рассмот-
ренной конструкции дает возможность измерить деформации до ЗО°/о с точно-
стью до О,О5°/о (следует иметь в виду, что активными являются оба датчика
тензометра).
Аналогичный тензометр может быть использован и при измерении больших
пластических деформаций на металлических деталях.
При использовании датчиков от отожженной константановой проволоки.
142
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
§ 3. АППАРАТУРА ДЛЯ РЕГИСТРАЦИИ ПОКАЗАНИЙ ПРОВОЛОЧНЫХ
ДАТЧИКОВ
А. Типы аппаратуры
При деформации детали, на которой наклеен проволочный датчик, сопро-
тивление датчика меняется крайне незначительно. Так, например, при наличии
в стальной детали напряжений растяжения а= 1000 кГ^см2, (одноосное напряжен-
ное состояние) возникает деформация
е = 4-= 0,5-IO-3.
Е
При чувствительности у = 2 сопротивление датчика изменится на Д/? =
= Ys^=10“3R, т. е. всего на одну тысячную первоначальной величины.
Для того чтобы измерить такую малую величину с достаточной точностью,
применяются специальные высокочувствительные схемы.
Требования к этим схемам и соответствующие им типы аппаратуры опреде-
ляются характером исследуемых деформаций.
Аппаратура для измерения статических деформаций может быть выполнена
без усилителей с применением чувствительных электроизмерительных приборов..
Аппаратура для измерения динамических процессов всегда включает в себя
усилитель и осциллограф. Задача создания универсальной аппаратуры, пригод-
ной как для измерения статических, так и для динамических деформаций раз-
личной частоты вплоть до ударных, до сих пор полностью не . решена. Ввиду
этого в практике используются три принципиально различных типа аппаратуры:
Тип 1 — аппаратура для измерения статических деформаций с чувствитель-
ными электроизмерительными приборами без усилителей.
Тип 2 — аппаратура для измерения статических и низкочастотных динами-
ческих деформаций с усилителями на несущей частоте.
Тип 3 — аппаратура для измерения высокочастотных динамических и ударных
деформаций с усилителями постоянного тока.
Ниже рассмотрены основные особенности и принципиальные схемы аппара-
туры ЭТИХ ТИПОВ;
Б. Схемы аппаратуры без усилителей
Особенностью аппаратуры типа 1 является питание датчиков постоянным
током и отсчет деформаций по гальванометру или по шкале балансировочного
устройства.
Мостовая схема с отсчетом по гальванометру, изображенная
на фиг. 115, является наиболее простой схемой для измерения статических
деформаций.
Для того чтобы обеспечить практическую возможность балансировки моста,,
при различающихся в допустимых пределах сопротивлениях датчиков, в схему
обычно вводят переменное сопротивление, как указано на фиг. 120, а
или 120, б.
Переменное сопротивление R6 на фиг. 120, а оформляется в виде реохорда
сопротивлением в несколько ом. В схеме фиг. 120, б сопротивление R% берется
на несколько ом больше сопротивления балансировка достигается большим
переменным сопротивлением, включенным параллельно R2.
Часто два смежные плеча моста, служащие для балансировки, выполняются
в виде датчиков, наклеенных с двух сторон на балочку (фиг. 121). Мост балан-
сируют, деформируя винтом эту балочку. Преимуществом этой конструкции
является отсутствие скользящего контакта.
Определим необходимую чувствительность измерительного прибора в мосто-
вой схеме с проволочными датчиками (см. фиг. 120). Ток, проходящий через
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
14У
гальванометр, при разбалансировке моста в связи с деформацией датчика опре-
деляется формулой
= ~3R~d = 1 > (4а>
где 1д — ток, проходящий через датчик;
7 — коэффициент тензочувствительности датчика;
е — величина деформаций.
Так как величина тока в датчике 1д ограничивается условиями его нагрева'
и не превышает обычно нескольких десятков миллиампер, то ток, проходящий*
через гальванометр, весьма мал.
Фиг. 121. Балочка с накле-
енными датчиками, служа-
щая для балансировки из-
мерительного моста.
Фиг. 120. Схемы балансировки измерительного моста.
Поэтому, чтобы получить по гальванометру достаточно точный отсчет дефор-
маций, необходим гальванометр весьма высокой чувствительности. Так, если
требуется измерить деформацию с точностью до 10-5 (что соответствует для
стали, при одноосном напряженном состоянии, напряжению 20 кг 1см2), то при
токе, проходящем через датчик, в 1д — 20 ма и чувствительности датчика
7=2 цена деления гальванометра должна быть
20>2 *0 5 — 20-10~5 ма = 0,2 мка.
Для замера тока с такой точностью можно применять гальванометр со све-
товым отсчетом, например, гальванометр типа ГЗП-47.
Недостатком рассмотренной схемы является зависимость показаний от на-
пряжения источника питания. Для исключения погрешностей, связанных с изме-
нением этого напряжения, в конструкцию моста вводится тарировочное сопро-
тивление RT (фиг. 122), включаемое параллельно датчику с помощью специ-
альной кнопки. Включение этого большого сопротивления (105 -f- 5-105 ом)
эквивалентно изменению сопротивления датчика на величину
что имеет место при относительной деформации
8
= 1_^
7 Кт ’
где 7 — чувствительность датчика.
144 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Если отклонение гальванометра, соответствующее включению тарировочного
^сопротивления, равно п делений, то масштаб прибора составляет
Rt
„делений на единицу деформации.
Отсчет деформации по нулевому методу является более точным, чем рас-
смотренный метод отсчета деформаций по гальванометру. Сущность нулевого
Фиг. 122. Усовершенствованная
схема балансировки измеритель-
ного моста.
Фиг. 123. Схема моста для отсчета
по нулевому методу.
метода состоит в том, что после разбалансировки, вызванной деформацией, гальвано-
метр, включенный в диагональ мостика, снова устанавливается на ноль, а отсчет
берется по соответствующему положению балансировочного приспособления
(обычно реохорда).
Так как в момент отсчета через гальванометр ток не идет, результат изме-
рения по нулевому методу не зависит от напряжения источника тока.
Схема моста для отсчета по нулевому методу представлена на фиг. 123.
Здесь D — активный, К — компенсационный датчик.
Предварительная балансировка моста (для компенсации разброса в сопротив-
лениях датчиков) осуществляется переменным сопротивлением (сопротивле-
Фиг. 124. Схема с декадным магазином
-сопротивлений для отсчета по нулевому
методу.
ние jR2 на 1—2°/0 больше, чем RJ. От-
счет производится по положению стрелки
реохорда Rp, соответствующему баланси-
ровке моста.
Полное перемещение реохорда из
одного крайнего положения в другое
соответствует относительному изменению
сопротивления датчика
др _2RP
R ~ R '
Изменение чувствительности и предела измерений может быть достигнуто
шунтированием реохорда постоянным сопротивлением. Нуль-гальванометр, явля-
ющийся в этой схеме индикатором тока, также зашунтирован сопротивлением /?4,
которое служит для уменьшения чувствительности гальванометра при грубой
балансировке моста; при точной балансировке это сопротивление выключается.
Чувствительность нуль-индикатора в этой схеме должна быть такой же, как,
чувствительность* гальванометра в схеме с непосредственным отсчетом.
На фиг. 124 представлена схема с отсчетом по нулев-ому
методу, в которой вместо реохорда используется декадный магазин сопротив-
лении М с регулировкой сопротивления через 0,1 ом. Для того чтобы каждая
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
145
десятая ома соответствовала деформации 10~5, магазин должен быть предвари-
тельно установлен на сопротивление —-— ом (например, при чувствитель-
ности датчика 7 = 2 — на 5 тыс. ом). Проволочное сопротивление Rx берется
примерно на 2°/0 больше указанной величины, а сопротивление R2, служащее
для предварительной балансировки моста, — порядка одного мегома.
Известным недостатком этой схемы является относительно высокое напря-
жение питания, необходимое для обеспечения нормального тока через датчик.
В качестве источника питания может быть использована восьмидесятиволь-
товая сухая батарея.
Как измерительная установка с отсчетом по гальванометру, так и установка
для измерения по нулевому методу могут быть сделаны многоточечными. В мно-
готочечных установках для каждого датчика имеется свой мост и приспособ-
ление для предварительной балансировки. Питаются все датчики обычно от
общего источника тока. Поворотом переключателя гальванометр может быть
подключен к тому или иному датчику. В установках с отсчетом по нулевому
методу одновременно с гальванометром переключается и реохорд. При прове-
дении массовых замеров с 'очень большим количеством датчиков применяются
многоточечные установки с автоматическим переключением датчиков и записью
их показаний на бумагу.
В. Схемы с усилителями на несущей частоте
Приведенные выше схемы измерения деформаций проволочными датчиками
без усилителей требуют применения чувствительных гальванометров, что дает
возможность ^использовать эти схемы только в стационарных лабораторных
условиях. Кроме того, вследствие очень низкой частоты собственных колебаний
подвижной системы чувствительного гальванометра показания его устанавли-
ваются медленно. Это дает возможность измерять с помощью описанных уста-
новок только статические деформации, величина которых остается постоянной
в течение значительного про-
межутка времени (~0,5 мин.).
Перечисленные обстоя-
тельства затрудняют практи-
ческое использование изме-
рительных схем без усили-
телей. Ввиду этого при из-
мерении статических дефор-
маций широкое применение
получили приборы с элек-
тронными усилителями, ко-
торые позволяют также ре-
гистрировать с помощью
Фиг. 125. Скелетная схема электронного прибора
на несущей частоте для измерения статических и мед-
ленно изменяющихся деформаций.
шлейфового осциллографа медленно меняющиеся динамические деформации *.
Типовая скелетная схема такого прибора показана на фиг. 125. Входной мост,
состоящий из датчиков Д и К и балансировочного устройства Б, питается
током звуковой частоты около 1000 гц напряжением 3—5 в от генератора Г.
В данном случае может быть применено балансировочное устройство такого
же типа, как и в приборах с гальванометром, т. е. либо в виде балочки
с двумя наклеенными датчиками, либо в виде реохорда (при отсчете по нуле-
вому методу).
1 В некоторых случаях, однако, с приборами рассматриваемого типа целесообразно
также применять катодный осциллограф, несмотря на то, что по частотной характери-
стике достаточно было бы и шлейфового. Так, например, при периодических процессах
катодный осциллограф удобнее, так как позволяет получить на экране неподвижное
изображение процесса. Кроме того, на катодном осциллографе можно получить осцил-
лограммы, где по оси абсцисс отложено не время, а какая-нибудь другая величина
(например,, при измерении деформаций в деталях двигателя — ход поршня).
10 Пономарев и др. 407
146 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Кроме того, балансировочное устройство содержит еще переменное сопро-
тивление и конденсатор, служащие для балансировки входного моста по
емкости, а также тарировочное сопротивление, подключаемое кнопкой парал-
лельно датчику.
Балансировка входного моста по емкости необходима для компенсации раз-
личия в емкости проводов, соединяющих прибор с датчиком. Небаланс входного
моста по емкости приводит к снижению чувствительности прибора и уменьше-
нию стабильности его работы; одновременно снижается амплитуда полезного
сигнала, пропускаемого прибором.
Снятое с диагонали моста напряжение звуковой частоты усиливается затем
усилителем низкой частоты У (обычно трехкаскадным) и выпрямляется фазочув-
ствительным детектором (дискриминатором) Z). Фазочувствительный детектор
необходим для того, чтобы можно было отличать деформации сжатия от дефор-
маций растяжения. В обоих случаях на диагонали входного моста возникает
напряжение звуковой частоты, которое в одном случае совпадает по фазе
с напряжением генератора, а в другом — находится в противофазе с ним.
В фазовом дискриминаторе усиленное напряжение сравнивается по фазе
с напряжением, подаваемым непосредственно с генератора; при совпадении фаз
выпрямленный ток имеет одно направление, при несовпадении — другое.
Выпрямленный ток сглаживается фильтром Ф и подается на стрелочный
прибор П или шлейф Ш осциллографа.
К выходу усилителя может подключаться прибор переменного тока /73,
служащий для предварительной балансировки входного моста по емкости и
сопротивлению* При предварительной балансировке в результате нескольких
регулировок по емкости и по сопротивлению устанавливается такое положение,
при котором прибор П1 показывает минимальный ток.
В качестве прибора П1 при наличии соответствующего переключателя и
купроксного выпрямителя может быть использован основной прибор П. При-
бор П1 может быть также заменен лампой — индикатором типа 6Е5.
Усилитель и генератор питаются от сети переменного тока через общий
выпрямитель. Иногда для возможности полевых измерений предусматривается
также питание прибора от аккумуляторов с помощью вибропреобразователя или
умформера.
При конструировании и изготовлении прибора следует учитывать следующие
требования, предъявляемые к его узлам.
Выпрямитель должен обеспечивать постоянство напряжения питания
усилителя и генератора при колебаниях напряжения в сети. Лучшим вариантом
является установка феррорезонансного стабилизатора на входе выпрямителя и
электронного стабилизатора в цепи питания анода. Можно ограничиться элек-
тронной стабилизацией анодного напряжения.
Высокая стабильность питания необходима в приборах, предназначенных
для измерения деформаций с регистрацией по отклонению стрелки прибора или
для записи их на осциллографе. В приборах, предназначенных для измерения
статических деформаций по нулевому методу, стабилизация питания не обяза-
тельна, но при ее наличии приборы работают более устойчиво.
Генератор звуковой частоты должен давать колебания точно сину-
соидальной формы и обеспечивать стабильность их амплитуды и частоты. Пер-
вое требование обусловлено тем, что балансировка входного моста прибора цо
сопротивлению и емкости позволяет свести к нулю лишь напряжение основной
частоты на измерительной диагонали. Гармоники при этом не балансируются.
При большой амплитуде напряжение гармоник загружает усилитель и вызывает
искажения в его работе.
Выходной трансформатор генератора снабжается двумя вторичными обмот-
ками: обмоткой дискриминатора со средней точкой и обмоткой питания датчи-
ков. Напряжение питания датчиков зависит от типа датчиков, на которые при-
бор рассчитан (6 в для 200-омных датчиков и 2—3 в для датчиков с малой
базой).
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
147
для статических измерений, jo
Тр2
Фиг. 126. „Кольцевая" схема фазо-
вого дискриминатора:
Тр. 1 — выходной трансформатор усилителя,
Тр. 2—выходной трансформатор генератора.
Из соображений универсальности целесообразно иметь напряжение питания1
датчиков порядка 2—3 в, позволяющие работать с датчиками различных типов^
Обмотка питания датчиков во избежание паразитных связей должна быт&
защищена экраном.
м Усилитель — трехкаскадный на сопротивлениях с коэффициентом усиления
порядка 5-105.
Для обеспечения возможности измерения деформаций различной величины
должна быть предусмотрена регулировка усиления (желательно ступенчатая
с 3—4 ступенями). Коэффициент усиления должен оставаться постоянным в пре-
делах частот от fH — /тах до /я + /тах, где fH — несущая частота генератора,
/max — частота высшей гармоники процесса, которую желательно зарегистри-
ровать. В пределах тех же частот усилитель не должен вносить фазовых ^ис-
кажений. Если прибор предназначен тольк
никаких требований к частотной характери-
стике усилителя не предъявляется.
Фазовый дискриминатор выпол-
няется обычно по стандартной „кольцевой
схеме", изображенной на фиг. 126. Схема
составлена из четырех одинаковых последо-
вательно соединенных цепей — вентилей
(например, селеновых шайб или купроксных
выпрямителей) с сопротивлениями. К диаго-
налям образованного таким образом моста
подключены вторичные обмотки выходных
трансформаторов, генератора и усилителя.
Измерительный прибор постоянного тока
включается между средними точками этих
обмоток.
Рассмотрим работу этой схемы при усло-
вии, что напряжение на обмотке генератора
существенно выше, чем напряжение на обмотке выходного трансформатора уси-
лителя. В этом случае открытие вентилей будет целиком определяться направ-
лением электродвижущей силы в обмотке выходного трансформатора генератора.
В первый полупериод, когда левый конец этой обмотки имеет положитель-
ный потенциал, ток идет от этого конца через вентили 7 и 2, а вентили 3 и 4
закрыты. При втором полупериоде вентили 3 и 4 открываются, а вентили 7
и 2 закрыты.
Допустим, что напряжение на генераторе и на выходе усилителя меняется
синфазно, причем первому полупериоду (плюс в точке 73) соответствует поло-
жительный потенциал точки А. В этом случае ток от точки А пойдет через
открытые вентили 7 и 2 на обмотку DF и от средней точки Е этой обмотки
через прибор к средней точке В трансформатора усилителя. Через половину
обмотки ВС ток при этом не течет.
Во втором полупериоде ток от плюсовой теперь точки С пойдет через
вентили 3 и 4 в обмотку DF и от точки Е через прибор в точке В.
Таким образом, ток через прибор идет все время в одном направлении —
от точки Е к точке В.
Легко видеть, что если напряжение на выходе усилителя будет сдвинуто по»
фазе на 180°, что соответствует изменению знака деформации датчика, то и
постоянный ток, проходящий через прибор, изменит свое направление.
В этом случае в первом полупериоде ток пойдет от точки В через прибор*,
обмотку DF, вентили 7 и 2 к точке А.
Во втором полупериоде ток пойдет по тому же пути к обмотке DF и далее
через вентили 3 и 4 к точке С.
В качестве вентилей используются селеновые шайбы небольшого диаметра,
причем надобность в добавочных сопротивлениях отпадает, поскольку внутрен-
нее сопротивление самих шайб достаточно велико. Необходимо лишь, ввести
1(Г
148
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
в конструкцию добавочное переменное сопротивление (5—10 ом) R (фиг. 127),
служащее для компенсации разброса в сопротивлениях шайб. Сопротивление R
при наладке прибора регулируется так, чтобы при отсутствии сигнала на уси-
лителе (сетка первой лампы заземлена) ток через стрелочный прибор не
Фиг. 127. Кольцевая схема фазо-
вого дискриминатора с селено-
выми шайбами.
которая должна реги-
проходил.
Фильтр должен полностью поглощать несу-
щую частоту прибора fH и все высшие ее
гармоники и не должен давать заметного ослаб-
ления на частоте /тах,
стрироваться прибором.
Это обстоятельство
ния на выбор несущей
чрезмерного усложнения
может быть доведено до
зом, несущая частота
в 5—10 раз превышать
накладывает ограниче-
частоты прибора. Без
фильтра отношение^^--
/н
0,1—0,2. Таким обра-
должна не менее чем
максимальную частоту
регистрируемого процесса.
Для расширения частотного диапазона при-
бора следует повышать несущую частоту.
Однако на этом пути встречаются затруднения:
с ростом несущей частоты возрастает влияние емкости и индуктивности датчи-
ков и подводящих проводов, в связи с тем чувствительность аппаратуры падает,
а погрешности ее возрастают.
Работоспособную аппаратуру с несущей частотой выше 50 000 гц (полоса
пропускания до 5—10 тыс. гц) практически создать чрезвычайно трудно.
В большинстве осуществленных приборов несущая частота лежит в преде-
лах 1—2 тыс. гц, вследствие чего эти приборы могут применяться для иссле-
дования процессов с частотой не более 200 гц.
Фиг. 128. Схема однокацальной установки на несущей частоте 800 гц.
На фиг. 128 дана схема одноканального усилителя на несущей частоте
800 гц с отсчетом деформаций по шкале стрелочного прибора или с записью
на шлейфовом осциллографе. Предварительная балансировка входного моста
в этой схеме производится с помощью индикатора 6Е5. Максимальная частота,
пропускаемая прибором с ослаблением 5°/0, —150 гц. На фиг. 129 представлена
разработанная автором схема, предназначенная для регистрации более высоко-
частотных процессов. Несущая частота здесь—10 кгц, полоса пропускания —
«от нуля до 3 кгц.
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
149
Выход прибора высоковольтный, рассчитанный на непосредственное подклю-
чение к отклоняющим пластинам катодного осциллографа. Фазовый дискримина-
тор собран на двух лампах 6X6.
Фиг. 129. Схема установки на несущей частоте 10 кгц (полоса пропускания до 3 кгц).
Выходной трансформатор усилителя и дроссель фильтра тороидальные на
пермаллоевых сердечниках. Стрелочный прибор используется при тарировке
датчиков и измерении статических деформаций. При работе с осциллографом
он выключается.
Г. Схемы с усилителями переменного тока для измерения высокочастотных
деформаций и деформаций при ударной нагрузке
В приборах такого типа датчики питаются постоянным током. Изменение
напряжения на датчике в связи с деформацией усиливается широкополосным
усилителем переменного тока и регистрируется катодным осциллографом.
Высший предел частот, регистрируемых аппаратурой этого типа, может
быть поднят очень высоко. Низкие частоты, однако, эта аппаратура не пропу-
скает, поэтому для измерения статиче-
ских или медленно изменяющихся де-
формаций она непригодна.
Типовая скелетная схема прибора
представлена на . фиг. 130. Датчик
включается по потенциометрической
схеме без температурной компенсации,
которая в данном случае не нужна,
поскольку медленные изменения напря-
жения на датчике не усиливаются уси-
лителем. В параллель датчику может
быть включено тарировочное сопроти-
вление.
Усилитель переменного тока с ко-
эффициентом усиления не менее 10б
имеет обычно полосу пропускания от 20
Расширение полосы, особенно в сторону
Осциллограф
Фиг. 130. Скелетная схема прибора лля
измерения высокочастотных деформаций
и деформаций при ударной нагрузке.
гц до 50 кгц (с ослаблением до 5°/0)_
низких частот, связано со значитель-
ными трудностями, хотя имеются усилители с полосой пропускания от 2 гц.
Выходной каскад усилителя выполняется симметричным и подключается непо-
средственно к отклоняющим пластинам катодного осциллографа.
Наряду с периодической электрической разверткой прибор снабжается
ждущей разверткой, которая спускается или от самого исследуемого сигнала
(при достижении им некоторой заданной величины), или от специального кон-
такта.
150 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Для исследования длительных непериодических процессов наиболее подходя-
щей является механическая развертка, выполняемая в виде вращающегося бара-
бана с кинопленкой.
Д. Требования^ предъявляемые к аппаратуре для изучения динамических
деформаций
Если при исследовании статических деформаций к аппаратуре предъявляются
в основном требования достаточной чувствительности, линейности и стабильно-
сти, то аппаратура для динамических измерений должна, кроме того, удовле-
творять ряду требований в отношении частотной и фазовой характеристик.
Как было показано выше, усилители на несущей частоте не воспроизводят
высокочастотных процессов; усилители переменного тока не пропускают посто-
янной составляющей и низкочастотных процессов. Таким образом, аппаратура
обоих типов вносит в регистрируемый процесс те или иные искажения.
Рассмотрим характер этих искажений, вно-
« симых в процесс аппаратурой за счет несовер-
шенства ее частотной характеристики.
Произведем следующий эксперимент: соеди-
а) ? нив выход прибора с осциллографом, включим
параллельно датчику тарировочное сопротив-
ление.
Фиг. 132. К представлению сигнала произвольной
формы, как суммы единичных сигналов.
Фиг. 131. Воспроизведение единич-
ного сигнала аппаратурой, срезаю-
щей высокие или низкие частоты:
а—сигнал на входе; б —сигнал на выходе
прибора, срезающего высокие частоты;
в — сигнал на выходе прибора, срезающего
низкие частоты.
Сигнал, подаваемый при этом на вход прибора, соответствует мгновенному
изменению деформации, которая в дальнейшем остается постоянной. Этот сиг-
нал изображен на фиг. 131, а. Зарегистрированная осциллографом кривая по
формуле будет отличаться от сигнала, поданного на вход прибора.
При использовании аппаратуры, срезающей высокие частоты, например аппа-
ратуры на несущей частоте (типа 2), выходной сигнал возрастает не мгновенно,
а лишь постепенно достигает своей максимальной величины, как это изображено
на фиг. 131, б.
Для аппаратуры, идеально воспроизводящей высокие частоты, но не пропу-
скающей низких, выходной сигнал изменяется, как показано на фиг. 131, в.
Он мгновенно достигает максимальной величины, но затем постепенно снижает-
ся— „сползает". Отношение ординат полученной таким образом осциллограммы
к величине поданного на вход прибора сигнала определяет важнейшую характе-
ристику прибора, которая может быть названа „реакцией прибора на единич-
ный сигнал" Ф(/).
Зная эту характеристику, можно установить, как будет вести себя прибор
при подаче на его вход сигнала произвольной формы.
Действительно, произвольный сигнал на входе й1(/), где t — время, может
быть представлен как результат сложения множества последовательно подавае-
мых и сохраняющих в дальнейшем свою величину сигналов (фиг. 132),
где т — время подачи данного элементарного сигнала.
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
151
Для линейной аппаратуры (а требование линейности является обязательным
для аппаратуры всех типов) выходной сигнал будет представлять собой также
сумму сигналов, соответствующих каждому из элементарных сигналов на входе.
Если единичному сигналу, поданному на вход прибора в момент / = 0, со-
ответствует на выходе „реакция прибора на единичный сигнал" Ф(/), то сиг-
налу поданному в момент / = т, соответствует выходной сигнал, равный
Суммарный сигнал на выходе, соответствующий сигналу u1(t) на входе,
выразится интегралом
t
“2 = —(5)
О
Уравнение (5) позволяет, зная реакцию прибора на единичный сигнал Ф(^) и
форму сигнала на входе найти сигнал даваемый прибором на вы-
ходе, а следовательно, и определить вносимые искажения.
Большой практический интерес представляет обратная задача — определение
сигнала u-^t) на входе прибора по записанному с его выхода искаженному
сигналу Решение этой задачи, которое эквивалентно решению интеграль-
ного уравнения (5), позволяет, вообще говоря, путем соответствующей обра-
ботки полученной искаженной осциллограммы восстановить истинную форму
процесса.
Рассмотрим, используя полученные выше общие формулы, искажения, вно-
симые аппаратурой, не пропускающей высоких частот (например, усилителями
на несущей частоте). Реакция такой аппаратуры на единичный сигнал может
быть во многих случаях апроксимирована формулой
Ф (Z) = 1 — е 6 * (6)
Эта формула соответствует графику, представленному на фиг. 131, б'. В
начальный момент выходной сигнал равен нулю, а затем он асимптотически при-
ближается к своему установившемуся значению. Скорость установления выход-
ного сигнала характеризуется так называемой постоянной времени 9, представ-
ляющей собой промежуток времени, в течение которого разность между уста-
новившимся значением сигнала и мгновенным его значением уменьшается в е
(2,72) раз.
В формуле (6) установившееся значение выходного сигнала принято равным
единице, т. е. входному сигналу; таким образом, коэффициент усиления при-
бора исключен из рассмотрения.
Подставляя выражение (6) в общую формулу (5), найдем форму сигнала на
выходе прибора при произвольном сигнале на входе:
г / т~ \
«2 (0 = е 6
о
Интегрируя по частям и учитывая, что н1(0)=0, так как нижний предел
интегрирования соответствует моменту начала подачи входного сигнала, получим
t х— t
И2<0 = 4 f “1(Т)е 6 (7>
о
Рассмотрим искажения, вносимые прибором при регистрации процессов раз-
личных видов.
152 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
а) Гармонические колебания. В этом случае
(/) = SIH (D
где io — круговая частота колебаний, соответствующая числу колебаний в се-
кунду;
(О
Подставляя в формулу (7) значение иг и выполняя интегрирование, найдем
а (/) = _-L_. (Sin а/ — о)9 cos ш/ + (d9 e 0 ) •
z 7 1 -4- 0)202 > । /
При установившемся процессе последний член уравнения, стоящий в скобкахх
быстро уменьшается, и выражение для й2(/) принимает вид:
Фиг. 133. Амплитудная и фазовая характери-
стики прибора, срезающего высокие частоты
[при реакции его единичный импульс в соот-
ветствии с уравнением (6)].
й2 (t) = о sin (со/ — ср),
где
представляет собой амплитуду вы-
ходного сигнала, которая при отсут-
ствии искажений должна равняться
единице (поскольку коэффициент
усиления не учитывается).
Сдвиг фазы ср выходного сигнала
по отношению ко входному опре-
деляется по формуле
ср = arctg ш9 (9)
и представляет собой фазовую
ошибку прибора.
Выражения (8) и (9) позволяют
построить амплитудную и фазовую
характеристики прибора. Эти характеристики представлены на фиг. 133.
Из этих характеристик видно, что наибольшая частота, при которой усиление
падает менее чем на 5°/0, равна
. 0,05
/so/о — Q >
однако на этой частоте фазовая погрешность достигает уже 17°.
Если измеряемые деформации изменяются периодически не по гармоническому
закону, они могут быть с помощью разложения в ряд Фурье представлены как
сумма гармоник, изменяющихся с частотами, кратными основной частоте про-
цесса. В этом случае аппаратура будет вносить в каждую из гармоник рас-
сматриваемого процесса амплитудные и фазовые искажения тем большие, чем
выше частота данной гармоники.
Суммарные искажения процесса будут зависеть от его гармонического со-
става. Чем периодический процесс ближе к синусоидальному, тем при меньшей
полосе пропускания прибора он может быть воспроизведен с достаточной точ-
ностью.
Чем больше число гармоник, которые содержит регистрируемый процесс, и
и чем больше относительные величины высших гармоник, тем большие требо-
вания предъявляются к частотной характеристике прибора в области высоких
частот.
Если реакция прибора на единичный сигнал выражается уравнением (6), то
для анализа погрешностей прибора при воспроизведении произвольных перио-
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
153
дических процессов проще использовать не гармонический анализ, а рассмотрен-
ный ниже (см. стр. 155) более общий метод.
Рассмотрим теперь искажения, вносимые аппаратурой при воспроизведении
кратковременных непериодических процессов.
Пусть исследуемый процесс имеет форму П-образного импульса, представ-
ленную на фиг. 134. Такого рода сигнал на входе может быть получен, напри-
мер, при включении тарировочного сопротивления на время Т и последующем
выключении его.
П-образный импульс можно рассматривать как двукратную подачу единич-
ного сигнала на вход прибора: в момент / = 0 подается положительный сигнал,
а в момент t — T — отрицательный. В соответствии с этим сигнал на выходе
представится выражениями:
при t<ZT
и2=- ф(0;
при t>T
а2^Ф(/)-Ф(/_Т).
Для прибора, реакция которого на единичную функцию соответствует фор-
муле (6), получим:
при t<ZT
_ 1
и2 — 1 — е 0;
при t>T
_ IrL - L ( — \ -
i и2~е 0 — е 0 = \ е0 — 1 е 1.
Графики изменения выходного сигнала при различных отношениях -у- приве-
дены на фиг. 135, а. Из этих графиков видно, что форма П-образного сигнала
может быть воспроизведена с удовлетворительной точностью только в том случае,
если постоянная времени прибора 0 не превышает одной сотой продолжительности
сигнала Т. Учитывая, что наибольшая ча-
стота, при которой амплитудное искаже-
°’05
ние не превышает 5°/0, равна — —g—
(см. выше), нетрудно установить, что
удовлетворительное воспроизведение
формы прямоугольного импульса имеет
место в том случае, если частота пропу- ж
скания прибором с 5°/0-ным ослаблением
превышает величину Фиг. 134. П-образный импульс на входе
5 прибора.
Л°/о > — •
В случае, если исследуемый процесс является более плавным, к частотной
характеристике прибора предъявляются меньшие требования. Так, например,
если входной сигнал изменяется по полуволне синусоиды, то для хорошего
воспроизведения его формы достаточно, чтобы постоянная времени прибора 9
была меньше, чем одна пятидесятая продолжительности процесса.
Т
Форма выходного сигнала при различных отношениях -g- для этого случая
приведена на фиг. 135, б.
Если точная форма сигнала не представляет интереса и необходимо лишь
установить максимальное его значение, требования к частотной характеристике
могут быть еще снижены. Так, например, для полусинусоидального сигнала
Т
ошибка к максимальной величине сигнала не превышает 5°/0 уже npH-g->10.
154
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Если реакция прибора на единичный сигнал может быть приближённо выра-
жена формулой (6), то по снятой искаженной осциллограмме можно восстано-
вить истинную форму процесса или во всяком случае оценить порядок допу-
щенной ошибки.
Действительно, если продифференцировать выражение (7)
Фиг. 135. Графики воспроизведения П-образного сигнала (а) и сигнала, изменяющегося
по полуволне синусоиды (б) прибором, срезающим высокие частоты, при различных
соотношениях между продолжительностью сигнала Т и постоянной времени прибора 0.
Реакция прибора на единичный импульс соответствует уравнению (6).
по времени /, то получим формулу
1 zzx
t x—t
— »i(T)e 8 dx.
0
т jy л». du*
Из выражений для u2 и находим:
(Ю)
Формула (10) позволяет по искаженной кривой и2 (/) восстановить истинную
зависимость Однако практически такой способ внесения поправок в ос-
циллограмму нельзя рекомендовать как вследствие того, что формула (6) лишь
приближенно описывает реакцию прибора на единичный сигнал, так и ввиду
„ „ duz
низкой точности определения производной по осциллограмме.
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
155
Поэтому в зависимости от вида регистрируемого процесса аппаратуру сле-
дует выбирать с такой постоянной времени 9, чтобы погрешность измерения
была мала по сравнению с величиной сигнала.
Формулу (10) можно также использовать для оценки допущенной при изме-
рении погрешности Дй2. Отношение этой погрешности к максимальной величине
СИГНала Я2тах Равн0
( ^2 \
а 2 max \ ^2 max /
Эта оценка погрешности может быть использована при исследовании как
периодических, так и непериодических процессов.
Рассмотрим теперь искажения, вносимые- приборами, не воспроизводящими
низких частот. Реакция такого прибора
фиг. 131, в.
Простейшее уравнение, которым
может быть выражена реакция прибора
на единичный сигнал, имеет вид:
___t_
Ф(/) = г °*, (И)
где 8j — постоянная времени прибора,
характеризующая скорость „сползания"
выходного сигнала.
Воспользовавшись общей форму-
лой (5), можно найти выходное напря-
жение при произвольной форме вход-
ного сигнала.
Так, при синусоидальном сигнале
на входе — sin cdZ выходное напря-
жение выражается формулой
на единичный сигнал представлена на
0,2 0,4 -0,6 0,8 1,0 1,2 f0
Фиг. 136. Амплитудная и фазовая характе-
ристики прибора. срезающего низкие
частоты, при реакции его на единичный
сигнал в соответствии с уравнением (11).
t
«2 W Ф (Z “ Т) dX
о
<o2Q2
1 + 0)202
- 4. । 1
Sin О)/ Ч---r-COSU)/
’ (OUj
t
a) cos сит е
о
01 =
1
CO0JL
При установившемся процессе (/ достаточно велико) выражение для й2 можно
представить в форме
иг (f) = a sin (coZ -f- с),
где
а = —_____________; ф = arctg —.
|/ 1 4-0)202
Отклонение величины а от единицы характеризует амплитудные погрешно-
сти прибора, величина ср определяет фазовую погрешность.
Амплитудная и фазовая характеристики прибора представлены на фиг. 136.
Из этих характеристик видно, что рассматриваемая аппаратура пропускает
с ослаблением меньше 5°/0 только частоты более высокие, чем
у' =7= . —
J 5о/о 20! ’
причем фазовая погрешность на этой частоте составляет 17° и уменьшается
с увеличением частоты.
156 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
При воспроизведении П-образного импульса искажения, вносимые аппарату-
рой, зависят от соотношения между продолжительностью импульса Т и посто-
янной времени прибора 9Г
На фиг. 137 представлена форма выходного сигнала при различных отно-
01
шениях -у-.
Из графика видно, что ошибка не превышает 5°/0 максимального значения
сигнала только в том случае, если постоянная времени прибора более чем
в 20 раз превышает продолжительность процесса Т.
Выражая это условие через низшую частоту, пропускаемую прибором с ос-
лаблением 5°/0/'о/о, найдем, что для воспроизведения процесса продолжительно-
стью Т эта частота должна быть
Фиг. 137. Воспроизведение П-образного импульса аппара-
турой, срезающей низкие частоты.
Если реакция на единичный сигнал прибора, не пропускающего постоянной
составляющей, выражается формулой (И), то можно сравнительно точно вос-
становить истинную форму сигнала по искаженной осциллограмме. В этом
случае сигнал на выходе и2 (t) выражается через входной сигнал (t) зави-
симостью
“2 = J f (13>
О о
Вычислим интеграл |* u2dt, для этого используем формулу интегрирования
о
по частям:
Ol dx
dt= — 9^ 11 f e°l dr -f-
1 I dz 1
о
+ j* 9^ 61 e 01 dt = — 9^
о
t_ t _T_
e. f duv 6. , . n
\~dx dT+9i“i(0-
0
Сопоставляя это выражение с формулой (13), найдем выражение истинного
сигнала через искаженный и2(/):
t
«! (0 = «2 (0 + -Щ-J (14)
о
Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков
157
Поскольку численное или графическое интегрирование может быть выпол-
нено с высокой точностью, формула (14) позволяет получить результаты
с такой же точностью, с какой выполняется равенство (11).
Сформулируем краткие выводы из .проведенного выше анализа частотных
погрешностей приборов для регистрации динамических деформаций с помощью
проволочных датчиков.
1. Свойства аппаратуры могут быть (при условии ее линейности) полно-
стью охарактеризованы реакцией ее на единичный сигнал, т. е. осциллограммой,
соответствующей мгновенному изменению сопротивления датчика (при подклю-
чении тарировочного сопротивления).
Зная реакцию системы на единичный сигнал, можно по формуле (5) опреде-
лить даваемые ею искажения при сигнале произвольной формы.
2. Срезание аппаратурой высоких частот приводит к смягчению кривых изме-
нения деформаций во времени, к срезанию острых пиков деформаций, к запазды-
ванию выходного сигнала по отношению к выходному.
3. Срезание аппаратурой низких частот и постоянной составляющей приводит
к постепенному „сползанию" выходного сигнала по отношению к входному.
4. Реакция на единичный сигнал прибора, срезающего высокие частоты
(тип 2), часто может быть представлена в виде зависимости (6)
__t_
Ф (/) == 1 — е 8 .
В этом случае максимальная частота гармонического процесса пропускаемого
прибора с 5°/0-ным ослаблением связана с постоянной времени 0 зависимостью
/б°/0 — 2бТ •
Абсолютная погрешность, даваемая прибором, может быть оценена по форме
полученной осциллограммы как
=-»($).
Эта погрешность возрастает с увеличением постоянной времени прибора
и с увеличением скорости деформации.
Погрешность, отнесенная к максимальному значению сигнала я2гаах, составляет
_^_ = е4(_2з_\
a2max \ tt2max /
Минимальная продолжительность пика деформаций, форма которого может
быть с достаточной точностью зарегистрирована, составляет 1008 или у—.
75о/о
5. Реакцию на единичный сигнал прибора, срезающего низкие частоты, часто
можно представить в виде зависимости (11)
___t_
Ф (/) = е 61.
В этом случае минимальная частота синусоидального процесса, пропускаемого
с 5°/0-ным ослаблением, составляет
f' — —
J5°l0 2th *
Абсолютная погрешность прибора может быть оценена по формуле
t
Дй — м2
1 о
158 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Эта погрешность тем больше, чем меньше постоянная времени прибора, и тем
больше, чем больше время, в течение которого.деформация имеет постоянный знак.
Максимальная продолжительность части процесса, при которой деформация
имеет постоянный знак, не должна превышать 0,0501 или —. Только в этом
4%»/о
случае процесс может быть зарегистрирован с достаточной точностью.
При регистрации более длительных знакопостоянных процессов следует
вводить в осциллограммы поправки по формуле (14).
6. Если полоса пропускания аппаратуры ограничена как со стороны низких,
так и со стороны высоких частот, то необходимые границы ее находят, исходя’
из наибольшего времени, в течение которого деформация сохраняет свой знак
(нижняя граница полосы пропускания), и из времени возрастания деформации
до максимального значения (верхняя граница полосы пропускания).
Рассмотрим два примера определения необходимой полосы пропускания
аппаратуры.
Пример 1. Требуется определить требования к частотной характеристике аппара-
туры, предназначенной для измерения деформаций обода и диска клиноременного шкиваг
вращающегося со скоростью до 1500 об,мин. Аппаратура должна также обеспечивать
возможность измерений при статической нагрузке. Ввиду этого выбирается аппаратура
на несущей частоте.
Основная частота процесса равна числу
1500
оборотов шкива в секунду, т. е. —=
= 25 гц. Следует, однако, иметь в виду,
что поскольку шкив нагружен ремнем с
одной стороны, то усилия в спицах могут
меняться при повороте довольно резко,
и для регистрации этого процесса аппара-
тура должна воспроизводить не только*
основную его частоту, но и гармоники.
Предположим, что в наиболее невы-
годном случае усилия в течение полуобо-
рота (1/50 сек.) остаются постоянными,
а затем изменяются скачком- Как было
установлено выше, для воспроизведения
П-образного импульса продолжительно-
стью Т прибор должен иметь постоянную
времени не более _1_~Т, т. е. в данном случае 0 < L- . -JL = 0,2-10~з сек. Это зна-
чение 0 соответствует частотной характеристике прибора с 5°/0-ным ослаблением на
частоте
0,05
/5% •“ 6 ~~ 250 гц.
Фиг. 138. Ожидаемый график изменения
усилий при продольном ударе (местные
деформации не учитываются).
Таким образом, деформации могут быть с достаточной точностью зарегистрированы
с помощью аппаратуры на несущей частоте, имеющей полосу пропускания от нуля до
250 гц (с ослаблением до 5% на этой частоте).
Пример 2. Определить требования к частотной характеристике аппаратуры для за-
писи динамических деформаций стального стержня длиной I — 50 см и сечением 4 см2
при продольном ударе по нему грузом 5 кг. Теоретическое исследование процесса удара
(см. т. III) позволяет предвидеть, что деформации в зависимости от времени изменяются
примерно так, как показано на фиг. 138, причем полное время удара Т равно прибли-
зительно полупериоду собственных колебаний груза на стержне, т. е. около 1 милли-
секунды.
Продолжительность ДГ одного пика деформаций соответствует примерно времени
распространения по стержню ударной волны, т. е.
/ 0,5
ДГ = Т= 5000 = 0’1-10-3 сек-
(я = 5000 м/сек — скорость ударной волны).
Низшая частота, которую должна пропускать аппаратура с 5°/0-ным ослаблением,
определяется полной продолжительностью процесса:
< "ЗбТ = 40-10-3 = 25 гг<-
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
159*
Высшая частота определяется продолжительностью одного пика:
5 5
fe > = о,1-10“3 =50-103 гц.
Таким образом, для регистрации указанного процесса необходима аппаратура пере-
менного тока (тип 3) с полосой пропускания не менее чем от 25 гц до 50 кгц (с ослаб-
лением до 5°/0 на крайних частотах).
Выше были рассмотрены требования к частотным характеристикам аппаратуры,
служащей для замера динамических деформаций, включая и регистрирующий
прибор — осциллограф. Если с выхода усилителя сигнал подается непосредственно-
на отклоняющие пластины катодного осциллографа, то можно считать, что
осциллограф не вводит дополнительных искажений. При использовании шлейфо-
вого осциллографа, ввиду влияния инерции шлейфа, могут иметь место суще-
ственные искажения в воспроизведении высоких частот.
Величина этих искажений определяется жесткостью и инерцией шлейфа,
а также его демпфированием. Предельная частота, для регистрации которой
пригоден шлейф, тем больше, чем ниже чувствительность шлейфа. Пределы
частот, до которых может быть использован данный шлейф, и характер вноси-
мых им искажений определяются частотой и фазовой характеристикой шлейфа
или реакцией шлейфа на единичный сигнал, которая получается при подаче на
шлейф постоянного напряжения.
§ 4. ПОЛЯРИЗАЦИОННО-ОПТИЧЕСКИЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ
НАПРЯЖЕНИЙ
Оптический метод исследования напряжений наиболее полно разработан для;
плоского напряженного состояния в деталях постоянной толщины.
В этом случае метод позволяет с большой наглядностью определить напря-
жения во всех точках детали посредством относительно простого эксперимента.
Особо важное значение этот метод имеет при изучении местных напряжений.
Исследование с помощью оптического метода объемного напряженного состояния
в деталях сложной конфигурации также позволяет выявить напряжения как на
поверхности, так и во внутренних точках детали, но техника эксперимента
и методы обработки его результатов в этом случае значительно сложнее, чем
при изучении плоского напряженного состояния.
Сущность оптического метода состоит в том, что модель исследуемой детали,
изготовленная из специального оптически активного прозрачного материала,
нагружается заданной нагрузкой и освещается поляризованным светом. Изобра-
жение модели проектируется через соответствующую оптическую систему на
экран или фотопластинку. Это изображение оказывается покрытым системой
темных или цветных полос (в зависимости от того, освещена ли модель моно-
хроматическим или белым светом), расположение которых определяется величиной
и направлением действующих в модели напряжений. Анализ полученной картины
полос позволяет определить напряжения в модели, а опираясь на принципы
подобия — и в детали.
А. Полярископ с монохроматическим светом
Рассмотрим оптические явления, имеющие место в простейшей установке для
исследования плоского напряженного состояния и поляризованном свете.
Схема такой установки представлена на фиг. 139.
Основными деталями установки являются идентичные по своему устройству
поляризатор 3 и анализатор 5. Роль каждого из этих элементов состоит в том,
что он пропускает только составляющую света, поляризованную в направлении
своей оптической оси.
Как известно, естественный свет не имеет преимущественного направления
колебаний. После поляризатора 3 в луче остаются только колебания в одной
плоскости, параллельной оптической оси поляризатора.
160 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Если при отсутствии в полярископе модели 4 установить анализатор 5 так,
чтобы его оптическая ось была перпендикулярна оси поляризатора, то свет,
прошедший через поляризатор, будет полностью задержан анализатором, и экран
полярископа не будет освещен (установка на темноту).
При параллельных осях поляризатора и анализатора экран . полярископа
освещен (установка на свет).
В качестве поляризатора и анализатора используются соответствующим
образом вырезанные и склеенные кристаллы кварца или турмалина или так назы-
ваемые поляроиды.
Поляроиды представляют собой заключенную между двумя стеклами пленку,
на которую нанесен слой определенным образом ориентированных кристаллов.
Преимуществом поляроидов является
возможность придать им значительные
размеры.
Оптически активные материалы, из ко-
торых изготовляются модели, изотропные
в ненапряженном состоянии, при дефор-
мации становятся оптически анизотроп-
ными.
Если через нагруженную в своей пло-
скости пластинку, вырезанную из та-
кого материала, пропустить луч поляризо-
ванного света так, чтобы плоскость поля-
ризации совпадала с направлением одного
из главных напряжений, то скорость рас-
пространения света внутри пластинки
будет различной в зависимости от того,
напряжений совпадает плоскость поляри-
зации луча. Экспериментально установлено, что разность скоростей распростра-
нения лучей, поляризованных в двух главных площадках, пропорциональна
разности соответствующих главных нормальных напряжений. е
Если плоскость поляризации входящего в модель света не совпадает ни
с одной из главных площадок, то падающий луч разлагается на два луча,
поляризованные в плоскостях, параллельных этим площадкам.
Так как эти два луча распространяются в модели с разными скоростями,
то при выходе из модели они имеют различные фазы. Интерференция составляю-
щих этих лучей, пропускаемых анализатором, и обусловливает появление на
изображении модели на экране полярископа картины полос.
При количественном описании оптических явлений в полярископе удобно
характеризовать соответствующие монохроматическому световому лучу электро-
магнитные колебания вектором, лежащим в плоскости поляризации луча и изме-
няющимся по закону
Фиг. 139. Схема полярископа с моно-
хроматическим светом:
«$—источник света; 1 — конденсатор; 2 — свето-
фильтр; 3—поляризатор; 4 — модель; 5—анали-
затор; 6 — объектив; 7—экран.
с какой из двух главных площадок
х = a sin сод t-------
где а — амплитуда;
со — круговая частота колебаний;
z — расстояние, измеряемое вдоль луча;
с — волновая скорость света.
Соответствующим выбором начала отсчета времени второе слагаемое в скобках
можно обратить в нуль для данной перпендикулярной лучу плоскости z = const.
Энергия (интенсивность) луча пропорциональна квадрату амплитуды:
I = ka2,
где k — коэффициент пропорциональности.
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
161
Луч, прошедший сквозь поляризатор и падающий на поверхность модели,
поляризован в вертикальной плоскости; соответствующий вектор определяется
выражением
у — a sin соЛ
Если главные площадки напряжений в модели составляют с вертикальной
плоскостью углы а и ------а, то составляющие светового вектора в этих
плоскостях при входе в модель будут равны
и — a cos a sin wZ;
v = a sin а sin <оЛ
При выходе из модели эти составляющие равны
щ = a cos a sin со
= a sin а sin со
где d— толщина модели;
ci и с2—волновые скорости света, поляризованного в главных площадках,
соответствующих напряжениям и а2.
Сдвиг фазы 8 между составляющими луча и, и Vy равен
8 = o>rf (-----=(U!y£L':z£2. (15)
А X «2 Cl /
Как уже указывалось выше, разность скоростей Су —с2 (малая по сравнению
с с1 или f2) для оптически активных материалов пропорциональна разности
соответствующих главных напряжений ах — а2.
Ввиду этого выражение, определяющее разность фаз составляющих луча иу
и может быть записано в следующем виде:
8 = Кю d(?y — а2), (16)
где К — коэффициент пропорциональности.
Таким образом, разность фаз прямо пропорциональна
напряжений (gj — а2), толщине модели d, круговой частоте
обратно пропорциональна длине волны Х =
Если изменить на величину начало отсчета времени,
разности главных
колебаний ю (или
то выражения для
составляющих светового вектора на выходе из модели примут вид:
Uy = a cos a sin ю/;
Vy — a sin а sin (ю/ — 3).
Световой вектор может быть представлен как составляющими его по главным
осям напряжений и и v, так и составляющими по горизонтальной и вертикальной
осям х и у, Эти составляющие равны
X] = Uy sin а — Vy cos а = a sin a cos a [sin ю/ — sin (ю/ — 8)];
= Uy cos a Vy sin а = a [cos2 a sin mt — sin2 a sin (mt — o)J.
Если анализатор установлен так, чтобы оптическая ось его была горизон-
тальна, т. е. перпендикулярна оптической оси поляризатора (установка на тем-
ноту), то он пропустит только свет, поляризованный в горизонтальной плоскости
(составляющую xj — составляющая будет им задержана.
И Пономарев и др. 407
J 62 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Преобразуя полученное выше выражение для составляющей х19 найдем
— a sin a cos а [sin а>/ (1 — cos В) cos ю/ sin 8] —
= 2а sin а cos а sin ( sin ю/ sin cos ю/ cos =
= а sin 2а sin cos -------•
Интенсивность луча, прошедшего через анализатор, пропорциональна квад-
рату амплитуды х19 т. е.
- ka2 sin2 2а sin2 .
Из полученного выражения видно, что интенсивность луча, прошедшего
через анализатор, зависит от угла а, составляемого плоскостью поляризации
с главными осями напряжений, и от разности фаз 8. В тех точках модели, где
плоскость поляризации совпадает с направлением одного из главных напряжений
^при а = 0 или а = у^, интенсивность луча, прошедшего через анализатор,
будет равна нулю. Интенсивность луча равна нулю также в тех точках, где
фазовый сдвиг 8 равен 0; 2к; 4тс и т. д.
В соответствии с этим на изображении модели на экране будут две системы
темных полос. Одна из этих систем соответствует точкам модели, в которых
направление одного из главных напряжений совпадает с плоскостью поляризации
луча. Эти темные линии называются изоклинами.
Темные полосы другой системы соответствуют тем точкам, где разность
фаз, постоянная вдоль каждой полосы, имеет одно из следующих значений:
8=0; 2т:; 4т:; 2/гтс.
Учитывая соотношение (16), можно утверждать, что в точках этих темных
линий разности главных напряжений также постоянны и имеют следующие
значения:
*1 — = °;
Множитель (1, 2,..., п)
вается порядком полосы.
Величина а0=-^-^ , равная изменению разности Cj—а2 при изменении по-
рядка полосы на единицу, называется ценой полосы. В каждом частном случае
цена полосы определяется на моделях с известным напряженным состоянием
(растяжение, сжатие или чистый изгиб узкой балки).
Если толщина d' модели, использованной при тарировке, отличается от тол-
щины d исследуемой модели, цена полосы может быть определена пересчетом
по формуле
, d'
°0 — °0 d •
где а' — цена полосы, полученная при тарировке.
Величина aod, представляющая собой цену полосы при толщине модели,
равной 1 см, представляет собой важную характеристику оптически активного
материала и называется ценой полосы материала. Чем меньше эта величина, тем
больше оптическая чувствительность материала.
Темные полосы на изображении модели, соответствующие постоянным значе-
ниям разности а, — а2, легко отличить от изоклин, так как при одновременном
и одинаковом повороте поляризатора и анализатора изоклины смещаются
(в связи с изменением угла а), полосы же остаются на прежнем месте.
2* о 2* о 2* „ 2к
K<*d ’ K<*d ' ° K<*d ’ * * * ’ К<мГ
2к „ „
при величине для данной темной полосы назы-
K^d
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
163
Точки, в которых разность —а2 = 0, носят название изотропных точек.
Так как в изотропных точках все площадки главные, то изоклины, получаемые
при разных установках поляризатора и анализатора, проходят через эти точки.
Для получения более четкой картины полос с целью определения разности
О1 — а2 в разных точках модели целесообразно получить картину полос без
изоклин.
С этой целью перед моделью и за нею вводят две так называемые „пластинки
в четверть волны".
Пластинки в четверть волны представляют собой прозрачные пластинки,
обладающие естественной оптической анизотропией и обеспечивающие разность
фаз, равную ~.
Пластинки в четверть волны
изготовляются обычно из слюды,
кварца или целлофана. Они уста-
навливаются в полярископе так,
что оптическая ось первой пла-
стинки составляет угол 45° с осью
поляризатора, а ось второй пла-
стинки — такой же угол с осью
анализатора. Схема кругового
Фиг. 140. Схема кругового полярископа: а — пла-
стинки в четверть волны.
полярископа с пластинками в чет-
верть волны показана на фиг. 140.
Благодаря введению первой
пластинки в четверть волны модель освещается не плоскополяризованным све-
том, а светом, поляризованным по кругу, вследствие чего расположение модели
относительно оптической оси поляризатора становится несущественным.
Рассмотрим более подробно ход лучей в круговом полярископе. v
Плоскополяризованный луч света, выходящий из поляризатора, характери-
зуется вектором
у = a sin <о/.
При входе в пластинку в четверть волны луч разлагается на две составляю-
щие, параллельные главным осям пластинки:
х. = у cos 45° = —sin о)/;
1 К2
у, == у sin 45° = —sin со/,
л у2
Эти два луча распространяются в пластинке с различной скоростью, благо-
даря чему при выходе из пластинки получают разность фаз в > а именно:
а • 4
х9 = —— sin он;
2 У 2
а . / . тс \ а
у2 sin (i)Z---о- ) =----cos co/.
Л21<2 \ 2 ) Vo
Эти выражения определяют луч света, поляризованного по кругу,
вектор в любой данной плоскости, перпендикулярной к направлению
круговой поляризации сохраняет постоянную длину —и вращается
V £
Световой
луча, .при
с угловой
скоростью (О ОТ ОСИ X к оси у.
Если световой вектор поляризованного по кругу луча разложить по напра-
влениям главных осей напряженного состояния (оси и и f), TQ* независимо от
того, какой угол составляет эти оси с осями *х и у* составляющая в" направле-
на
164
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
нии оси v будет отставать по фазе на угол от составляющей в Направле-
нии оси и. При соответствующем выборе начала отсчета времени t проекции
светового вектора на направления главных напряжений при входе в модель
можно определить формулами:
и
а • X
—т=- sin со/;
У2
ю =
а
sin
V2
2
При выходе из модели эти составляющие получат дополнительный сдвиг
фаз 8, пропорциональный разности главных нормальных напряжений — а2-
Соответствующие выражения для проекций светового вектора при выходе из
модели имеют вид:
а ♦ 4.
иЛ = —^= sin idZ;
1 /2
7^sin G°z-4r-8)
(здесь снова изменено начало отсчета времени).
Проекции х3 и у3 светового вектора, при выходе из модели, на главные
оси второй пластинки в четверть волны составят
х3 — ur cos a -f- sin а;
у3 — — sin а 4~ cos а,
где а — угол между направлениями главных напряжений в модели и
рой пластинки в четверть волны.
Подставляя в полученные формулы значения u,Y и найдем
| sin о)/cos а 4- sin ( mt-£-8^ sin а];
3 У2 L 1 \ 2 / J
осями вто-
_ о Г
№ ~ тт L
sin <о/sin a-f-sin -----8^ sin а
Проходя вторую пластинку в четверть волны, составляющая луча, поляри-
зованная в плоскости у3, дополнительно запаздывает на у. При выходе из вто-
рой пластинки в четверть волны составляющие светового вектора получают
значения:
а
Хл Хл ------ -
4 8 V 2
а Г
J4 = -~F=- --sin
V'2. I
sin mt cos a -f- sin ----------------8J sin a
mt — -y) sin a 4“ sin (mt — тс — 8) cos aj .
Анализатор, оптическая ось которого 5 составляет углы 45° с осями х и у
второй пластинки в четверть волны, пропустит часть луча, соответствующего
проекции светового вектора на ось $:
= + _j,4X^- = -j{sina [sin — s) — Sin (ш/ — ^-)] -|-
4 - cos a [sin mt 4- sin (mt — тс — 3)]| =
== у [sin (o)Z -J” a) — sin (mt 4~ a — 8)] = a sin — cos (mt 4- a —
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
165
Интенсивность луча, прошедшего через анализатор, равна в этом случае
/ — ka2 sin2 — .
Она меняется от точки к точке модели только в связи с изменением раз-
ности главных напряжений и не зависит от направления главных площадок.
Получаемая в круговом полярископе картина полос свободна от изоклин. Тем-
ные полосы соответствуют значениям разности главных напряжений — а2 —
где п = 0; 1; 2. . . — порядок полосы, а а0 = — цена полосы.
Следует отметить, что, как видно из приведенных выше формул, при
использовании круговой поляризации взаимное расположение поляризатора и ана-
лизатора становится несущественным.
Важно только, чтобы оптическая ось первой пластинки в четверть' волны
составляла угол 45° с осью поляризатора, а оптическая ось второй пластинки
в четверь волны — такой же угол с осью анализатора.
Б. Полярископ с белым светом
Рассмотренная выше картина чередующихся темных и светлых полос на
изображении нагруженной модели получается при освещении модели монохро-
матическим светом, для чего в полярископе устанавливается светофильтр (обычно
зеленый).
Как было показано выше (см. стр. 162), цена полосы а0 обратно пропорцио-
нальна частоте или прямо пропорциональна длине волны. Ввиду этого, при осве-
щении модели белым светом, каждая из спектральных составляющих погашается
при своем значении разности — а2. При'увеличении разности — а2 цвета
гаснут последовательно, начиная с наиболее коротковолнового фиолетового
к красному. При погасании того или иного цвета на экране виден соответствую-
щий дополнительный цвет.
Если полярископ установлен „на свет", то по мере увеличения разности главных
напряжений дополнительные цвета на экране сменяются в следующей последо-
вательности: сначала вместо белого появляется желтый цвет, который затем
сменяется красным и далее — темноголубым и темнозеленым. После темнозеле-
ного восстанавливается почти белый цвет, и далее цвета повторяются в той же
последовательности.
Более подробно последовательность появления дополнительных цветов на
экране полярископа приведена в табл. 9 [29] как для случая установки поляри-
скопа на темноту, так и для установки на свет.
В обоих случаях по мере увеличения разности главных напряжений и соот-
ветственно разности хода лучей Д = к окраска меняется периодически.
При установке на темноту каждый период (порядок) завершается красным
цветом, при установке на свет — зеленым.
Соответствующие цвета различных порядков по оттенку несколько отли-
чаются друг от друга, так как имеют различный спектральный состав.
При исследовании в белом свете модели с неоднородным напряженным
состоянием на экране вместо темных и светлых полос, наблюдаемых при моно-
хроматическом освещении, видны цветные полосы — изохромы.
При этом каждой изохроме соответствует постоянное значение разности
главных напряжений.
Изохромы, на изображении модели в полярископе с белым цветом, позво-
ляют определить разность главных напряжений так же, как и полосы при
использовании монохроматического света.
Выбор того или иного метода исследования зависит от задач эксперимента.
Преимуществами исследования в монохроматическом свете является легкость
фиксирования картины полос с помощью обычной фотографии и независимость
166
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Таблица 9
Классификация цветов по Ньютону
Разность хода в ммк Интерференционные цвета
Порядок цветов Скрещенные поляризатор и анализатор (установка на темноту) Параллельные поляризатор и анализатор (установка на свет)
0 158 259 275 430 551 1 Черный (темно-серый) Серовато-голубой Почти белый Желтый Оранжево-желтый Темно-красный Белый Желтовато-белый Светлокрасный Буро-красный Серо-голубой Желтоваго-зеленый
565 575 747 910 1101 2 Пурпуровый Фиолетовый Зеленый Желтый Темный фиолетово-красный Светлозеленый Зеленовато-желтый Светлый карминово-красный Индиго Зеленый
1128 1376 1495 1650 3 Светлый голубовато-фиолетовый Ярко-зеленый - Свето-красный Серо-фиолетовый Желтовато-зеленый Фиолетовый Зеленовато-голубой Желтовато-зеленый
1680 1930 2010 4 Серо-голубой Светлый серо-зеленый Беловато-серый Зеленовато-желтый Серовато-красный Голубовато-серый
результатов исследования от субъективного восприятия цветов. Известные труд-
ности заключаются в необходимости, ввиду большого поглощения света филь-
тром, пользоваться сильными источниками света (ртутная лампа высокого давле-
ния или электрическая дуга).
При исследовании в белом свете облегчается определение порядка каждой
из полос (изохром) как в связи с различной окраской изохром разных поряд-
ков, так и потому, что увеличению разности главных напряжений соответствует
определенная последовательность смены цветов. Поскольку при пользовании
белым светом темными остаются только изоклины и изотропные точки модели,
этот свет применяется для определения изоклин.
В. Определение напряжений у ненагруженного контура модели
Поскольку максимальные напряжения в деталях, в том числе и при наличии
концентраторов, возникают обычно у контура, определение контурных напря-
жений представляет главную практическую задачу оптического метода. Эта
задача решается с помощью картины изохром наиболее просто.
< Порядок изохромы (полосы) в любой точке модели определяет разность
главных напряжений в этой точке. У ненагруженного контура модели одно^ из
главных напряжений — нормальное к контуру — равно нулю. Поэтому у контура
величина напряжения равна цене полосы для модели а0, умноженной на порядок
полосы. Цена полосы модели, т. 6. изменение разности главных напряжений,
соответствующее изменению порядка полосы на единицу, определяется тариров-
кой. С этой целью в полярископе испытывается изготовленный из того же мате-
риала, что и модель, образец, распределение напряжений в котором известно,
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
167
например полоска, нагруженная продольной силой, или бал очка, испытываю-
щая чистый изгиб. Цена полосы для модели определяется по формуле
„ e 4
0 п ' *м ’
где а — напряжение в образце, соответствующее полосе порядка п;
t0 — толщина образца;
tM— толщина модели.
При исследовании в белом свете подобным же образом определяется соот-
ветствие между величиной разности главных напряжений и цветом полосы.
При применении оптически активных материалов высокой чувствительности
непосредственный подсчет числа полос с точностью до половины полосы обеспе-
чивает практически достаточную точность определе-
ния напряжений.
Выявление наиболее напряженных точек у кон-
тура модели обычно не представляет затруднений.
В процессе нагружения модели в этих точках воз- /
никают все новые и новые полосы, которые двига-
ются затем в направлении менее нагруженных зон
модели. Изотропные точки на контуре модели,
разделяющие зоны растяжения и сжатия, остаются
во все время процесса нагружения темными.
На фиг. 141 представлена картина полос для
растягиваемой пластины с отверстием. Точки А и
В — точки максимальных напряжений, С — изотроп-
ные точки. *
Наиболее надежным способом определения по-
рядка полосы в той или иной точке является вни-
мательное наблюдение за моделью в процессе ее
постепенного нагружения и подсчет числа прошедших
через точку полос. При этом целесообразно во из-
бежание экстраполяции прекратить нагружение тогда,
когда через рассматриваемую точку пройдет середина
полосы. При этом фиксируется порядок полосы и
Фиг. 141. Картина полос
для растягиваемой пла-
стины с отверстием.
величина нагрузки.
При таком способе отсчета можно также исключить ошибки, связанные
с наличием в модели начальных напряжений и краевого эффекта (см. стр. 168).
Вследствие начальных напряжений (например, связанных с изготовлением модели)
и краевого эффекта на изображении модели имеется картина полос уже при
нулевой нагрузке.
Для того чтобы определить при этом напряжение в той или иной точке
контура, обусловленное нагрузкой, модель сначала немного подгружается, чтобы
через исследуемую точку прошла какая-либо полоса. Затем нагрузка увеличи-
вается и регистрируется ее величина, необходимая для изменения порядка полосы
в исследуемой точке на m (целое число).
В большинстве случаев, если на картине полос имеется полоса нулевого
порядка или изотропные точки, порядок полосы можно определить подсчетом
от нулевой полосы к наиболее напряженной точке по одной фотографии, зная
лишь общий характер роста полос. Особенно просто этот подсчет выполняется
при исследовании в белом свете, так как увеличение порядка полос в этом
случае соответствует определенной последовательности цветов.
Наряду с методом подсчета для определения порядка полос у контура модели
применяется также метод компенсации. Этот метод заключается в том, что
рядом с моделью помещают прозрачную пластинку — компенсатор, разность
хода лучей в которой может регулироваться. Компенсатор регулируют таким
образом, чтобы суммарная разность хода в нем и модели равнялась нулю; при
этом рассматриваемая точка модели на экране полярископа будет темной (иссле-
168 Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
дование проводится в белом свете). Разность хода лучей в модели определяют
по положению регулировочного винта компенсатора в этот момент. Компенсатор
Бабине-Солейля (см. схему на фиг. 142) составлен из двух клиновидных квар-
цевых пластинок 7 и 2, обладающих естественной разностью хода. Взаимное
перемещение клиньев с помощью регулировочного винта позволяет изменять
их суммарную толщину, а следовательно, и разность хода лучей. Плоскопарал-
лельная кварцевая пластинка 3 имеет оптическую ось, перпендикулярную к осям
клиньев. Она служит для того, чтобы при некотором нейтральном положении
клиньев получить суммарную разность хода, даваемую компенсатором, равной
нулю.
В качестве компенсатора может быть
также использована сжимаемая или рас-
тягиваемая пластинка из оптически актив-
ного материала. Компенсация достигается
при установке пластинки рядом с мо-
делью в направлении касательной к кон-
туру последней (при различных знаках
напряжений в модели и компенсаторе) или в направлении нормали к кон-
туру (при одинаковых знаках напряжений).
Если компенсатор и модель изготовлены из одинакового материала, напря-
жение у контура модели определяется по формуле
где ак — напряжение в компенсаторе при компенсации;
tM— толщина модели;
tK — толщина компенсатора.
Определение напряжений с помощью компенсатора является более сложным,
чем при непосредственном отсчете полос. Поэтому метод компенсации приме-
няется обычно тогда, когда порядок полосы должен быть определен с большой
точностью, например при моделях из материала с низкой оптической^ активностью.
Г. Краевой эффект
Определение напряжений у контура модели в значительной степени затруд-
няется благодаря так называемому краевому эффекту. Краевой эффект заклю-
чается в том, что через некоторое время (несколько часов) после изготовления
модели из той или иной синтетической смолы (фенолит, бакелит и т. п.) в узкой
полосе (порядка 1 мм) около контура модели возникают сжимающие напряже-
ния, уравновешиваемые незначительными напряжениями растяжения в остальной
части модели.
Вследствие краевого эффекта у контура ненагруженной модели при иссле-
довании ее в полярископе уже имеются полосы. Благодаря краевому эффекту
картина полос (изохром) нагруженной модели искажается.
Во избежание краевого эффекта исследование модели следует проводить
сразу же после обработки ее контура, пока краевой эффект еще не развился.
В случае, если по каким-либо причинам исследование приходится проводить
на модели с развитым краевым эффектом, связанные с влиянием этого эффекта
ошибки в определении напряжений можно исключить, используя описанный
выше (см. стр. 167) метод подсчета порядка полос.
Д. Переход от модели к детали
Основными положениями, позволяющими по данным поляризационно-оптиче-
ского исследования модели из оптически активного материала определить напря-
жения в реальной детали, являются: пропорциональность напряжений приложен-
ным нагрузкам (при малых перемещениях) и независимость распределения напря-
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
169
жений при плоском напряженном состоянии от величин упругих постоянных
материала. Последнее положение относится к плоским пластинам, ограниченным
односвязным контуром и нагруженным по контуру. Для многосвязных контуров
это положение справедливо в том случае, если главный вектор системы сил,
приложенный к каждому из внутренних контуров, равен нулю. Если это условие
не выполняется, распределение напряжений незначительно зависит от величины
коэффициента Пуассона для материала. Коэффициенты Пуассона для сталей и
других металлов лежат в пределах 0,25—0,35 (см. гл. III, т. I), а для наиболее
употребительных оптических активных материалов (синтетические смолы, целлу-
лоид)— в пределах 0,33—0,41. Можно считать, что изменение коэффициента
Пуассона в указанных пределах1, практически не влияет на распределение
напряжений в деталях, ограниченных многосвязным контуром. Поэтому и
в этом случае при соответствующем нагружении напряженные состояния в детали
и модели можно считать подобными.
При этом напряжения в металлической детали определяются по формуле
<17>
где <зм — напряжение в соответствующей точке модели при нагрузке Рм на модель;
tM— толщина модели;
— отношение линейных размеров модели к размерам детали (масштаб
модели);
Р — нагрузка на деталь;
t — толщина детали.
При наличии в модели начальных напряжений илй краевого эффекта и при
отсчете напряжений по изменению порядка полос в процессе нагружения, в фор-
мулу (17) вместо отношения вводится отношение изменения напряже-
ния в исследуемой точке модели к соответствующему изменению нагрузки.
Е. Получение изоклин и траекторий главных напряжений
Для получения полных данных о напряженном состоянии модели наряду
с картиной полос (изохром) необходимо иметь траектории главных напряжений,
т. е. линии, направление которых в каждой точке совпадает с направлением
главных напряжений. Траектории главных напряжений называются также изоста-
тами.
Для построения траекторий главных напряжений предварительно эксперимен-
тально получают картину изоклин.
Изоклины зарисовываются в плоском (без пластинок в четверть волны)
полярископе при белом источнике света. При скрещенных поляризаторе и ана-
лизаторе темные изоклины отчетливо видны на окрашенном изображении модели.
Для получения изоклин к экрану полярископа прикрепляют лист бумати
(кальки), на котором обводят карандашом изображение контура модели.
Установив оптическую ось поляризатора вертикально, а ось анализатора гори-
зонтально, получают и зарисовывают на экране изоклину, соответствующую
точкам модели, в которых одно из главных напряжений вертикально, а другое
горизонтально (изоклина параметра 0°).
Поворачивая одновременно поляризатор и анализатор на одинаковый угол а
(например, 5°), получают изоклину параметра а, которую также зарисовывают.
Таким образом получают на чертеже семейство изоклин от 0 до 90° (обычно
через каждые 5°).
1 Анализ влияния коэффициента Пуассона на напряжения см. в статье С. Г. Лех-
ницкого (9].
Фиг. 143. Картина изоклин для растягиваемой пла-
стинки с круглым отверстием.
Фиг. 144. Построение траекторий глав-
ных напряжений (изостат).
Фиг. 145. Траектории главных напряжений для
растягиваемой пластинки с круглым отверстием.
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
171
В качестве примера на фиг. 143 приведена полученная подобным образом
картина изоклин для растягиваемой пластинки с круглым отверстием [27].
Изоклины дают направление главных напряжений в каждой точке. Построе-
ние траекторий главных напряжений по картине изоклин не вызывает обычно
затруднений. Один из вариантов такого построения приведен на фиг. 144.
Здесь траектория главных напряжений апроксимируется ломаной, каждый
отрезок которой проводится под углом, равным параметру данной изоклины
до точек, делящих пополам расстояние между соседними изоклинами.
В дальнейшем в ломаную вписывается плавная кривая.
Траектории главных напряжений, соответствующие изоклинам фиг. 143, при-
ведены на фиг. 145.
Ж. Определение главных напряжений внутри контура модели
Картина полос (изохром) позволяет непосредственно определить напряжения
на ненагруженном контуре модели и разность главных напряжений — а2
в любой точке модели. Для определения каждого из главных напряжений
в отдельности предложено несколько принципиально отличающихся друг от
друга методов.
Простейшим по идее методом является определение наряду с разностью и
суммы главных напряжений -|- а2 с помощью измерения поперечной деформа-
ции модели. Действительно, при плоском напряженном состоянии изменение
толщины модели в каждой точке составит
(18)
Измерив изменение толщины в каждой точке модели с помощью специаль-
ных поперечных тензометров или оптическим методом, можно затем найти
сумму Qj а2, а по известным сумме и разности — каждое из главных напря-
жений в отдельности.
Практическое использование этого метода при определении местных напряже-
ний затрудняется, однако, тем, что фактическое напряженное состояние в зонах
концентрации является плоским только в том случае, если толщина модели
весьма мала по сравнению с радиусами кривизны ее контура. В противном слу-
чае поперечная деформация оказывается меньшей, чем по формуле (18). Это
заставляет, при наличии концентрации напряжений, производить замеры попереч-
ных деформаций на очень тонких моделях, что снижает точность измерений.
Другой способ определения суммы главных напряжений (расчетный способ)
основан на том, что эта сумма удовлетворяет уравнению Лапласа [26]:
d2 (ci 4- д2) । д2 (Qi + с2)_п
дх2 ' ду2
Так как на основании картины полос значения + а2 на контуре известны,
задача сводится к интегрированию уравнения Лапласа при заданных граничных
условиях. Эта задача решается обычно применением численного или графиче-
ского метода последовательных приближений [10], [И], [27]. Этот графический
метод совершенно аналогичен методу, применяемому для решения задачи кру-
чения (см. гл. VIII, т. I).
Наконец, третий употребительный способ определения главных напряжений
основан на интегрировании дифференциальных уравнений равновесия элемента
модели При таком интегрировании одновременно используются картины изохром
и изоклин, соответствующих различным углам установки поляризатора.
Рассмотрим равновесие вырезанного из модели элемента, ограниченного
траекториями главных напряжений (фиг. 146).
Проектируя все силы на направление напряжения ols получим
(s.afco) = 0-
v 1 2/ 1 2 1 рз
172
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Учитывая, как это следует из фиг. 146, что

ds-^d Sn
найдем
। qi — gg, n
<*1 ?2
(19)
Аналогично, проектируя силы на
направление напряжения а2, получим
^ст2 । ст2 — СТ1 __ Q
c>s2 pi
(19а)
Уравнения (19) и (19а) связывают изменение напряжений и а2 вдоль соответ-
ствующих траекторий с разностью — а2, которая определена по картине полос.
Фиг. 146. К выводу уравнения равновесия эле-
мента, ограниченного траекториями главных на-
пряжений.
С помощью численного инте-
грирования уравнения (19) или
(19а) можно, двигаясь вдоль тра-
ектории главного напряжения от
свободного контура, где это на-
пряжение равно нулю, найти на-
пряжение в любой точке этой
траектории по формуле
Поскольку графическое опре-
деление радиуса кривизны р2 тра-
ектории напряжений а2 не может
быть выполнено с достаточной
точностью, для определения р2
целесообразно использовать соот-
ношение
1 ___ da ,___ Да
ds2 Да2
где Да— разность параметров двух смежных изоклин (в радианах);
Д$2 — расстояние между этими изоклинами, измеренное по траектории напря-
жения а2.
3. Исследование напряжений в пространственных моделях
Наиболее распространенным методом изучения напряжений в объемных
моделях является так называемый метод замораживания. Этот метод основан
на том, что ряд оптически активных синтетических материалов (фенолит, баке-
лит, стирол-алкидная смола) при повышенной температуре размягчается, оста-
ваясь упругим. Если модель из такого материала нагрузить при высокой темпе-
ратуре, охладить до комнатной температуры, „заморозить" и затем разгрузить,
то деформации, полученные моделью, сохраняются. Сохраняется и соответ-
ствующий оптический эффект. „Замороженную" модель можно разрезать на
пластинки, причем при этом, как показывают эксперименты, оптический эффект
в отдельных ее точках почти не изменяется.
Исследуя в поляризованном свете плоские срезы модели, можно определить
напряжения внутри модели.
Экспериментально установлено, что при просвечивании вырезанной из замо-
роженной модели пластинки в нормальном к ее поверхности луче поляризо-
ванного света разность хода лучей определяется лишь величиной напряжений,
параллельных поверхности пластинки. Эти напряжения являются главными
Поляризационно-оптический метод исследования напряжений
173
только в том случае, если плоскости разреза модели являются поверхностями
главных напряжений (например, если пластинка вырезана по плоскости сим-
метрии, симметрично нагруженной модели).
В противном случае определяемые при нормальном просвечивании пластинки
напряжения являются „квазиглавными" (т. е. максимальным и минимальным из
всех нормальных напряжений в площадках, перпендикулярных к плоскости
среза).
Просвечивание среза наклонным лучом поляризованного света позволяет
определить квази главные напряжения в плоскости, перпендикулярной к лучу.
Методы полного определения напряженного состояния модели с помощью
наклонного просвечивания срезов и измерения деформаций их при „размора-
живании" (т. е. снятие остаточных деформаций срезов посредством повышения
температуры) рассмотрен в работе [16].
Метод замораживания позволяет определять обусловленные инерционной
нагрузкой напряжения в движущихся деталях (например, дисках турбин, махо-
виках и т. п.).
Для этого модель детали приводится в движение в термостате при повы-
шенной температуре. Затем температура понижается до комнатной, причем
полученные моделью деформации „замораживаются".
Затем замороженная модель исследуется в поляризованном свете, как
обычно, из нее могут быть вырезаны срезы и т. д.
Возможности метода замороживания снижаются вследствие того, что для
получения большого числа полос в замороженной модели ей требуется давать
значительные деформации, существенно изменяющие ее форму. Так, например,
для материала ИМ-44 цена полосы при нагревании до 110° уменьшается
в 20 раз, а модуль упругости — в 300 раз (см. ниже табл. 10). Поэтому для
получения тогЬ же числа полос при замораживании модели следует дать
деформации, в = 15 раз больше, чем при исследовании без применения
метода замораживания.
Обычно при пользовании методом замораживания ограничиваются дефор-
мациями, не меняющими существенно геометрии модели.
Для уточненного подсчета порядка полос на срезе при этом целесообразно
использовать компенсаторы.
Наряду с методом замораживания для определения напряжений в объемных
моделях применяется метод исследования в рассеянном свете.
Этот метод состоит в том, что через модель, помещенную для устранения
преломления света в сосуд с иммерсионной жидкостью, пропускается узкий
пучок поляризованного света.
Вследствие рассеивания света материалом модели, при наблюдении модели
в направлении, перпендикулярном к плоскости пучка, виден освещенный срез
модели. На этом срезе видны темные полосы. Расстояние между соседними
полосами при этом обратно пропорционально разности квазиглавных напря-
жений в плоскости пучка света. С помощью рассеянного света могут быть
исследованы либо нагруженные объемные модели, либо объемные модели с „за-
мороженным" оптическим эффектом.
И. Некоторые сведения о материалах, применяемых
при поляризационно-оптическом исследовании напряжений
В табл. 10 приведены основные характеристики ряда материалов, приме-
няемых при поляризационно-оптическом исследовании напряжений.
Применение стекла для изготовления моделей ограничивается трудностью
его обработки и низкой оптической активностью.
Целлулоид широко применяется [7] для изучения напряжений. Низкая опти-
ческая активность целлулоида заставляет при его применении использовать для
определения порядка полос метод компенсации.
174
Экспериментальные методы исследования напряжений и деформаций
Таблица 10
Свойства материалов, применяемых в поляризационно-оптическом методе
исследования напряжений (при комнатной температуре)
Материал Цена полосы при толщине модели 1 см а0 в кг/см? (длина волны све- та равна 546,1 ммк) Предел прочности при растяжении в к г 1см2 Предел Пропор- циональности Ор в кг/см2 Порядковый но- мер полосы при пределе пропор- циональности (толщина модели 1 см) Модуль упругости Е в к?1см2 Коэффициент Пуассона в и
Стекло 160-500 64 000 0,25
Целлулоид 30-60 350—600 280-400 9 14 000- 0,33-0,38
Желатин (13°/0-ный водный раствор без глицерина) 0,02 28 000 0,4
Фенолит 11,0 750 300 27 33 000 —
Бакелит ВТ-61-893 (США) 11,8 1200 500 36 42 000 0,37
Висхомлит 12,2 750 400 33 28 000 0,36
Материал ИМ-44 12,0 1500 500 45 43000 0,36
Материал ИМ-44 при тем- пературе 110° (метод за- мораживания) 0,6 35 10 16 140 0,45
Существенным преимуществом целлулоида является возможность склейки
моделей.
Фенол-формальдегидные пластмассы (бакелит, фенолит, материал ИМ-44)
получили самое широкое применение при оптическом исследовании напряжений
благодаря своей высокой чувствительности, высокой прочности, легкости обра-
ботки и относительно малому изменению свойств материала при небольших изме-
нениях температуры в пределах комнатной.
Существенным недостатком этих материалов является склонность к разви-
тию краевого эффекта, что заставляет производить исследование непосред-
ственно после обработки контура модели.
Фенол-формальдегидные материалы пригодны также для исследования на
объемных моделях с помощью метода замораживания.
Специально для метода замораживания используется стирол-алкидная пласт-
масса, практически не дающая краевого эффекта.
Преимуществом этого материала является также большая оптическая чув-
ствительность, отнесенная к единице деформации при температуре заморажи-
вания. Это дает возможность проводить исследования при меньших деформа-
циях, чем при использовании фенол-формальдегидных материалов. Для иссле-
дования напряжений при комнатной температуре стирол-алкидная пластмасса
мало пригодна вследствие явно выраженной ползучести и низкой оптической
активности в этих условиях.
Особое место среди оптически активных материалов занимает желатин.
Исключительно высокая оптическая активность его дает возможность изучать
на желатиновых моделях распределение напряжений, вызванных собственным
весом конструкции.
ЛИТЕРАТУРА
1. Б а р а н о в С. С., Поляроидные полярископы в исследовании напряжений, Гостех-
издат, М. 1946.
2. Бобров А. А., Глуховский Б. X., Электрические тензометры сопротивле-
ния, «Техника воздушного флота*, № 6, 1945.
3. Б о я р ш и н о в С. В., Тензометрия, как метод экспериментального изучения
напряжений, Оптический метод исследований напряжений, «Прочность в машинострое-
нии*, Машгиз, 1951.
4. Гончаров Н. Р., Определение напряжений в деталях машин посредством тен-
зометров и лаков, Машгиз, 1946.
Литература
175
5. 3 а й ц е в А. К», Оптический метод изучения напряжений, изд. Промбюро ВСНХ,
6. Измерение механических величин электрическими методами, сб. переводов под
ред. Н. И. Пригоровского, Машгиз, 1952.
7. К о к е р Э., Ф а й л о н Л., Оптический метод исследования напряжений, ОНТИ,
1936.
8. Л а п и н А. А., Механические испытания как основа расчета на прочность,
ВНИТОМАШ, Машгиз, 1951.
9. Лехницкий С. Г., О переходе от напряжений в прозрачной модели к напря-
жениям в действительной детали, Труды ЛГУ «Экспериментальные методы изучения
напряжений и деформаций", ОНТИ, 1936.
10. Панов Д. Ю'., Приближенное графическое решение краевых задач уравнения
Лапласа, Труды ЦАГИ, вып. 169, 1934.
П.Панов Д. ГО., Численное решение краевых задач, дополнение к книге Дж. Скар-
боро «Численные методы математического анализа", ГТТИ, 1934.
12. ПоповА. А., Изучение напряжений в поляризованном свете, Трансжелдориздат,
М. 1934.
13. Пригоровский Н. И., Определение напряжений методом линий разрыва
в покрытии, Инженерный сборник Института механики АН СССР, т. 1, вып. 1, 1941.
14. Пригоровский Н. И., Современное развитие поляризационно-оптического
метода, «Заводская лаборатория". № 3, 1949.
15. Пригоровский Н. И., Исследование усилий и напряжений в деталях сель-
скохозяйственных машин, Сб. докладов по динамической прочности деталей машин,
изд. АН СССР, 1946.
16. Пригоровский Н. И., Прейсс А. К., Исследование напряженного состоя-
ния на прозрачных объемных моделях, «Известия АН СССР ОТН" № 5, 1949.
17. Пфлиер П. М., Электрическое измерение механических величин, Машгиз, 1948.
18. Раевский Н. П., Методы экспериментального исследования механических
параметров машин, изд. АН СССР, М. 1952.
19. Р а е в с к и й Н. П., Развитие методов измерения механических параметров дат-
чиками из проволочных сопротивлений, «Заводская лаборатория". № 6, 1954
20. Р у д а ш е в с к и й Г. Е., Измерение крутильных деформаций во вращающихся
валах, «Заводская лаборатория" № 1, 1948.
21. Р у д а ш е в с к и й Г. Е., О токосъеме при тензометрировании, «Известия
АН СССР, ОТН" № 1, 1948.
22. Пригоровский Н. И. иТетельбаум И. М., Экспериментальное опре-
деление деформаций напряжений и усилий,Справочник машиностроителя, т. (II, Машгиз, 1951.
23. Степанов А. В., Новый оптический метод изучения напряжений в поляризо-
ванном свете, «Техническая физика" № 2, 1949.
24. Т е м н и к о в Ф. Е., X а р ч е н к о Р. Р.» Электрические измерения неэлектриче-
ских величин, Госэнергоиздат, 1948.
25. Тури чин А. М., Электрические измерения неэлектрических величин, Госэнер-
годиздат, 1954.
26. Филоненко-Бородич М. М., Теория упругости, Гостехиздат, 1947.
27. Фрохт М., Фотоупругость, Гостехиздат, т. I—1948, т. II—1950.
28. Шнирман Г. Л., Электрические методы исследования динамических процес-
сов в деталях машин, Сб. докладов по динамической прочности деталей машин, изд.
АН СССР, 1946.
29. Энциклопедический справочник «Машиностроение", т. I. кн. 2, Эксперименталь-
ные методы исследования распределения напряжений (автор Н. И. Пригоровский),
т. III, Тензометрирование (авторы Н. И. Пригоровский и А. К. Прейсс), Поляризационно-
оптический метод исследования (автор Н. И. Пригоровский), Машгиз, 1947.
30. В a u m b е г g е t R., Hines F., Practual reduction formulas for use of bonded
wire strain gages in two-dimensional Stress fields, «Proc. Soc. Exp. Stress Analysis",
v. 2, № 1, 1944.
31. D oh r e n w e n d С. С., M e h a f f eу W. R., Measurement of Dynamic Strain.
Journal of Applied Mechanics, Mar.. 1943.
ГЛАВА V
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ ПРИ СТАТИЧЕСКИХ
НАГРУЗКАХ
§ 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СООБРАЖЕНИЯ
В первых двух главах настоящей книги была рассмотрена теория напряжен-
ного и деформированного состояния тел, находящихся в равновесии под дей-
ствием внешних нагрузок. Теория основана на предположении, что материал
тела непрерывен, т. е. сплошь заполняет объем, занимаемый телом.
В гл. III установлен ряд зависимостей между внутренними силами и дефор-
мациями напряженных тел.
Для получения большинства из этих зависимостей были дополнительно
приняты допущения об однородности и изотропности материала, а также
сделано предположение о наличии линейной зависимости между напряжениями
и деформациями.
Приложение теории, построенной для гипотетического тела, к деталям,
изготовленным из реальных материалов, возможно только после эксперимен-
тальной ее проверки — после того, как будет доказана справедливость принятой
расчетной схемы строения и 'свойств твердого тела.
Как будет показано далее, принятые допущения справедливы только в опре-
деленных пределах нагружения реальных тел. *
Установление пределов применимости принятых гипотез и допущений,
а также полученных на их основании теоретических зависимостей может быть
произведено только путем детального изучения механических свойств реальных
материалов.
При рассмотрении различных вопросов в первых главах книги использо-
вались условные модели элементов деформированных тел; так, например, весьма
часто рассматривались условия равновесия и деформированное состояние эле-
ментарных параллелепипедов, пирамид и др.
Совершенно ясно, что осуществить реальное нагружение тела элементарного
объема невозможно.
При попытке получить то или иное напряженное или деформированное
состояние приходится прибегать к нагружению тел простейшей формы и конеч-
ных размеров, приспособленных для закрепления в зажимах соответствующих
машин.
Тела подобного рода, предназначенные для испытаний, носят название
образцов.
Испытание образцов дает возможность установить зависимость между нагруз-
ками, прикладываемыми к образцам, и изменениями их размеров. Зависимость
подобного рода называется характеристикой образца. Вопрос о характеристиках
образцов рассмотрен в § 2 настоящей главы.
Для получения связи между напряжениями и деформациями в различных
точках образцов приходится производить расчеты.
В некоторых случаях эти расчеты весьма просты и беспорно точны; иногда
они сложны и могут быть произведены только после принятия дополнительных’
гипотез, которые также требуют экспериментальной проверки.
Предварительные соображения
177
Нередки случаи, когда переход от зависимостей между нагрузками и отно-
сительными перемещениями сечений образцов к соответствующим соотношениям
между напряжениями и деформациями вообще совершен быть не может.
Таким образом, получение экспериментальных данных, характеризующих
поведение образцов, часто бывает далеко недостаточным для суждения о свой-
ствах материала образцов.
В § 3 этой главы рассмотрены основные методы механических испытаний
образцов, выполненных из реальных материалов, а также указаны пути полу-
чения зависимостей между деформациями и напряжениями в характерных точках
образцов на основании результатов их испытаний.
Свойства материалов определяются величиной напряжений и деформаций,
соответствующих началу физических процессов, которые по ряду причин счи-
таются характерными. Таково, например, начало образования массовых пласти-
ческих деформаций,,или процесс разрушения материала.
Все упомянутые физические явления зависят не только от величины внешних
нагрузок, действующих на образец материала, но и от типа напряженного со-
стояния, в котором он находится, а также и от ряда иных факторов (например,
температуры, при которой производится испытание).
В § 3, 4, 5 описаны способы осуществления различных напряженных со-
стояний. Одни из этих напряженных состояний просты, хорошо изучены и
обычно осуществляются для сопоставления свойств материалов, другие сложны,
менее характерны и могут быть использованы экспериментаторами для проверки
различных теоретических гипотез и допущений, выдвигаемых при разрешении
проблем пластичности и прочности.
Ввиду наличия особого интереса к работе материалов при одноосных растя-
жении и сжатии в § 4 описаны различные способы осуществления этих напря-
женных состояний и получения данных, характеризующих свойства материалов
при растяжении и сжатии.
В § 5 изложены способы изучения свойств материалов при двухосном на-
пряженном состоянии, так называемом „чистом сдвиге".
Далее, в § 6 на основании экспериментального изучения материалов произ-
водится сопоставление их свойств со свойствами широко распространенных и хоро-
шо изученных материалов — малоуглеродистой стали и серого литейного чугуна.
Путем сравнения различных материалов при одноосных растяжении и сжатии
с малоуглеродистой сталью и серым чугуном принято все материалы делить на
три основные группы: хрупкие (подобные чугуну), хрупко-пластичные и пла-
стичные (подобные малоуглеродистой стали).
В том же параграфе уточнен ряд терминов, характеризующих свойства
и состояние материалов, и приводится сводная таблица экспериментальных дан-
ных, определяющих свойства материалов, наиболее часто применяющихся в ма-
шиностроении, в нормальных условиях (при комнатной температуре и статиче-
ском нагружении).
В конце главы (§ 7) рассмотрено влияние различных факторов на механи-
ческие свойства материалов. Приведены таблицы характеристик прочности
и пластичности при высоких и низких температурах.
§ 2. ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗЦА
Механические свойства материалов могут быть оценены в результате изу-
чения данных испытаний образцов, выполненных из исследуемых материалов.
Испытания производятся путем приложения к образцам соответствующих на-
грузок и сопровождаются регистрацией при помощи специальных приборов
и приспособлений величины нагрузок и соответствующих им изменений размеров
образцов — взаимных перемещений их сечений.
Настоящая глава не ставит себе целью описание этих устройств. Интересу-
ющиеся этим вопросом должны обратиться к изучению гл. IV, т. I или соот-
12 Пономарев и др. 407
178
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Испытуемый
образец
Подвижный
нижний захват
,С Неподвижный.
Л ‘ 1 верхний захват
6
Фиг 147. Приспособление для одновременной регистра-
ции усилий и перемещений (диаграммный аппарат
машины для испытания образцов на растяжение).
ветствующим руководствам [14], [28], [36], [38]. Переходим к анализу резуль-
татов, получаемых при испытаниях.
В результате испытания образца, выполненного из исследуемого материала,,
может быть получена зависимость
8 = ^(Ф),
где 8 — взаимное линейное или угловое перемещение каких-либо двух сечений
образца:
Ф — соответствующая нагрузка (сила или момент).
Если установка оснащена регистрирующими приборами, то по окончании
опыта экспериментатор может воспользоваться автоматически записанной кри-
вой, выражающей искомую»
зависимость 8 = Г(Ф).
Так, например, при ис-
пытании на растяжение об-
разца АВ при помощи при-
способления, изображенного
на фиг. 147, на барабане С
может быть получена кривая
8 = ^(Ф),
где & — перемещения крю-
ка D относительно»
блока
Ф — нагрузка на обра-
зец.
Однако чаще всего зави-
симость между нагрузками
и перемещениями устанав-
ливается путем непосред-
ственных замеров и записи нагрузок и соответствующих им относительных
перемещений сечений. В этом случае нагружение образца осуществляется не
непрерывно, а ступенями, причем в результате испытания экспериментатор полу-
чает ряд значений нагрузок и соответствующих им перемещений.
Перемещения в последнем случае измеряются при помощи специального
прибора (тензометра), установленного непосредственно на образце.
На фиг. 148, а и б' изображены пользующиеся большой популярностью
тензометр и угломер Мартенса. Широко используются также тензометры иных
типов. Очень просты и весьма точны тензометр (фиг. 149, а) и угломер
(фиг. 149, б) системы С* В. Бояршинова [3].
Описание тензометров приведено в гл. IV, т. I. Остановимся кратко на
устройстве угломеров.
Угломер Мартенса (фик 148, б') состоит из двух струбцин 7, к которым
прикреплены зеркала 2. Струбцины прикрепляются к образцу. Расстояние АВ
между струбцинами является базой угломера.
При деформировании образца зеркала поворачиваются вокруг его оси.
Наблюдатель делает отсчет при помощи зрительных труб, направленных
на зеркала. В зеркале видно отражение шкалы, установленной на расстоянии L
от образца.
Если разность отсчетов при двух следующих друг за другом замерах
равна а, расстояние от образца до трубы L, то угол поворота зеркала а может
быть подсчитан по формуле
Если поворот одного зеркала а1? а поворот другого зеркала а2, то взаимное
угловое перемещение сечений, ограничивающих базу прибора, равно а2 — а2.
Характеристика образца
179
Все сказанное справедливо для малых перемещений, если угол поворота,
зеркала не превышает 10°.
Угломер С. В. Бояршинова (фиг. 149, б) состоит из двух отдельных'
частей 1 и 2, соединенных винтом 3. К первой части прибора присоединен
обычный индикатор 4, измерительный штифт которого уперт в выступ второй
части прибора.
В таком виде прибор устанавливается на образец и закрепляется винтами 5.
После установки угломера винт 3 вывинчивается. При нагружении образца одна
часть прибора поворачивается по отношению
к другой на угол, равный углу закручива-
ния образца на участке между винтами 5
(база образца). Угол закручивания равен
отношению отсчета по индикатору к рас-
стоянию между осями образца и индикатора..
Изображенный на фиг. 149, б прибор*
имеет базу 70 мм, расстояние от центра1
образца до оси индикатора 50 мм. Диаметр»
испытуемых образцов может изменяться в
пределах от 6
20
мм. При указанных
до
Фиг. 148. Тензометр и угломер Мартенса:
а- тензометр для измерения линейных перемещений; б — прибор для измерения угловых перемещений.
размерах и цене деления индикатора 0,01 мм угломер позволяет отсчитать угол
закручивания с точностью до 1 угловой минуты.
Самопишущие приспособления обладают рядом существенных недостатков [36]'
Например, приспособление, изображеное на фиг. 147, регистрирует не только»
удлинение образца АВ, но и деформацию его головок и зажимов машины. Кроме
того, на замеренной величине 8 сказывается удлинение шнура, соединяющего^
барабан С с крюком D и блоком Е, тогда как при измерении перемещений
тензометром, установленным на самом образце (см. фиг. 148), влияние указанных
выше и других подобных им побочных явлений на результаты замеров устраняется.
Таким образом, для получения более точных данных, характеризующих
свойства материала, следует вести опыт, увеличивая нагрузку ступенями, про-
изводя при этом замеры относительных перемещений двух сечений образца,,
достаточно удаленных от мест его закрепления в захватах (примеры рациональ-
ного размещения измерительных приборов показаны на фиг. 148 и 149).
Рассмотрим характерную диаграмму, полученную при испытании образца
исследуемого материала (фиг. 150). На диаграмме изображена полученная
экспериментально зависимость относительных перемещений двух сечений
образца от величины нагрузки Ф.
12*
180 Механические свойства металлов при статических нагрузках
Подобного рода диаграмма в дальнейшем будет называться характери-
стикой образца.
Характеристика образца может быть разделена на три участка.
Первый участок ОА характерен тем, что с достаточной для инженерных
расчетов точностью можно считать зависимость перемещений от нагрузок ли-
нейной.
Фиг. 149. Тензометр и угломер С. В. Бояршинова:
а — тензометр..для измерения линейных перемещений; б — прибор для измерения угловых перемещений.
«бруса, пластины, оболочки или нити следует закону Гука и деформации и пере-
мещения, возникающие вследствие упругих изменений формы тела, малы, то
большей частью 1 перемещения прямо "пропорциональны нагрузке.
Фиг. 150. Диаграмма, полученная при испы- Фиг. 151. Характеристика, полученная при
тании образца исследуемого материала испытании пружины сжатия:
ОАВС— линия, полученная при первичном обжатии;
CBFOi — линия, разгрузки и повторных нагружений.
Таким образом, чаще всего прямолинейность участка свидетельствует, что
материал образца подчиняется закону Гука.
Отметим, однако, что встречаются случаи, когда прямолинейная зависи-
мость между перемещениями и нагрузками еще не свидетельствует о том, что
материал подчиняется закону Гука, и, наоборот, встречаются случаи, когда об-
разец из материала, подчиняющегося закону Гука, имеет криволинейную харак-
теристику. Рассмотрим, например, характеристику (фиг. 151), полученную при
1 В качестве примера, когда, несмотря на выполнение перечисленных условий, линейная
зависимость между перемещениями и нагрузками не соблюдается, можно привести
случай продольно-поперечного изгиба гибкого прямого бруса. В этом случае переме-
щения не пропорциональны продольной силе.
Характеристика образца
181
испытании винтовой пружины сжатия (фиг. 152), шаг которой практически ни-
когда не может быть выдержан строго постоянным по длине пружины.
Если материал пружины при всех нагрузках следует закону Гука, характе-
ристика пружины изображается линией OADC. При некоторой нагрузке Р*
наиболее близко расположенные витки начинают входить в соприкосновение.
Благодаря постепенному закрытию зазоров между витками пружина становится
жестче. Это значит, что одним и тем же приращениям нагрузки соответствуют
все меньшие перемещения — характеристика пружины загибается вверх. Точка
А соответствует началу закрытия, а точка D — полному закрытию всех зазоров
между витками.
Фиг. 152. Пру-
жина сжатия.
Фиг. 153. Характеристика
образца, жесткость кото-
рого возрастает при боль-
ших нагрузках.
Если при нагрузке Р* в материале проволоки пружины при первичною
нагружении начинают возникать пластические деформации, то жесткость пру-
жины уменьшается. Этому случаю
соответствует линия О А ЕС.
Наконец, возможен случай,
когда при нагрузке Р* материал пру-
жины пластически деформируется и
в то же время витки садятся друг на
друга. Наложение этих двух проти-
воположных факторов может при-
вести к выпрямлению характери-
стики пружины (линия ОАВ).
Далее, при описании опытов по
испытанию образцов на сжатие бу-
дет рассмотрен еще один пример
линейной зависимости между пере-
мещениями и нагрузками, имеющей
место несмотря на то, что в образце уже начали появляться пластические деформации.
Итак, большей частью линейность первого участка характеристики соот-
ветствует работе материала в пределах закона Гука, однако каждый раз сле-
дует выяснить, нет ли причин, подобных закрытию зазора между витками
пружины, которые могли бы компенсировать отклонения от линейного закона,
возникшие благодаря началу пластических деформаций.
Вернемся к изучению характеристики образца, изображенной на фиг. 150.
Второй участок АВ характерен изменением жесткости образца по мере возра-
стания нагрузок. Чаще всего жесткость образца уменьшается вследствие того,
что материал начинает пластически деформироваться; однако можно указать
на ряд примеров, когда жесткость образца, несмотря на уменьшение жесткости
его материала, по мере нагружения увеличивается (фиг. 153). Сюда относятся
случаи сжатия цилиндров из малоуглеродистой стали, отожженной меди, алю-
миния, свинца, сжатие пружины с неодинаковыми зазорами между витками
и т. д.
Третий участок ВС (см. фиг. 150) характеристики имеет место в тех слу-
чаях, когда разрушению предшествует появление в образце изменений, умень-
шающих его прочность, снижающих сопротивляемость внешним нагрузкам.
К числу таких изменений следует отнести появление трещин, разрывов, обра-
зование местного утонения — шейки.
Наибольшая нагрузка, имевшая место при испытании (Фтах на фиг. 150),
является важнейшей характеристикой прочности образца. Разрушающая нагрузка
част0 не является характерной. Ее величина иногда зависит от ряда вто-
ростепенных причин и может в некоторых случаях довольно сильно изменяться
при аналогичных испытаниях серии совершенно одинаковых образцов.
Закон разгрузки и вторичного нагружения. При разгрузке
образца, несущего усилие Ф (точка D на характеристике, см. фиг. 150), в по-
давляющем числе случаев между перемещениями и нагрузками имеет место ли-
нейная зависимость, причем материал сохраняет свои первоначальные упругие
свойства (линия DOy параллельна прямой ОА).
182
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Если материал не подчиняется закону Гука, то линия разгрузки параллельна
касательной, проведенной в начале координат, к линии первичного нагружения.
При повторной нагрузке характеристикой образца будет линия O^DBC
(см. фиг. 150).
Как видно из рассмотрения диаграммы, полное перемещение при первичном
нагружении 8 состоит из двух частей — исчезающего упругого перемещения
и остаточного (пластического) перемещения
Причиной появления остаточных перемещений является пластическая де-
формация наиболее напряженных частей образца. Так, в случае, изображенном
Фиг. 154. Области пластических деформаций
лри нагружении различных образцов за пре-
дел текучести:
Фиг. 155. Характеристики
образцов, изображенных на
фиг. 154:
а —одноосное однородное напряженное состояние;
б, в, г — неоднородное напряженное состояние.
а — растяжение; б—чистый изгиб
призматического бруса; г — попе-
речный изгиб бруса.
на фиг. 154, а, когда напряженное состояние образца однородно, пластические
деформации охватывают одновременно весь объем тела и могут быть легко за-
мечены наблюдателем; в случаях фиг. 154, б и в наиболее напряженными яв-
ляются частицы, удаленные от нейтрального слоя. В случае фиг. 154, б пла-
стические деформации возникают около верхней и нижней поверхностей бруса,
а в случае фиг. 154, в — вблизи образующих А и В. В случае фиг. 154, г
пластические деформации возникают в окрестности точек А и В. Чем одно-
роднее напряженное состояние образца, тем резче отразится на его характе-
ристике наступление пластических деформаций. На фиг. 155, а, д', г приве-
дены характеристки образцов, изображенных на фиг. 154, выполненных из ма-
л оугл ер одисто й стали.
Наиболее резкий переход от первого участка характеристики ко второму
наблюдается у образца а, находящегося в однородном напряженном состоянии,
наиболее плавный — у образца г. В последнем случае появление пластических
деформаций будет замечено наблюдателем только тогда, когда эти деформации
распространяются в пределах достаточно большого объема материала около то-
чек А и В.
На характеристике образца б имеет место более резкий переход от пер-
вого участка ко второму, чем на характеристике образца в (характеристика об-
разца в на фиг. 155 не изображена).
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 183
При разгрузке образца а внутренние силы взаимодействия всех одинаково
напряженных частиц образца уменьшаются до нуля. В процессе разгрузки об-
разцов б, в и г, находившихся в неоднородном напряженном состоянии, между
областью пластически деформированных частиц и зоной, оставшейся в упругом
состоянии, возникают силы взаимодействия, в результате чего при полной раз-
грузке сохраняются так называемые остаточные внутренние силы, взаимно урав-
новешивающие друг друга. При вторичном нагружении остаточные напряжения
суммируются с напряжениями, соответствующими вторичному нагружению. Если
нагрузка при вторичном нагружении достигнет величины наибольшей нагрузки
первичного нагружения, то напряженное состояние, имевшее место при пер-
вичном нагружении, полностью восстанавливается.
Рассмотрим один характерный случай кажущегося отклонения от закона
разгрузки. При разгрузке пружины (см. фиг. 152) зависимость между нагруз-
ками и перемещениями изображается линией BFO1 (см. фиг. 151). Нелинейная
характеристика на участке BF получается вследствие того, что при разгрузке
пружины открываются зазоры между витками. Характеристика становится ли-
нейной после освобождения всех витков (участок FO^. В материале разгру-
женной пружины возникают остаточные напряжения. При повторном нагру-
жении характеристика линейна только на участке O^F, несмотря на то, что
при повторном обжатии пружины пластических деформаций не возникает.
ТакихМ образом, надо всегда иметь в виду, что вторичные факторы могут
исказить и усложнить наблюдаемые явления.
Из всего сказанного следует, что лучше всего изучать свойство мате-
риалов, экспериментируя с образцами простейшей формы, напряженное со-
стояние которых однородно. При исследовании результатов испытаний таких
образцов легче обнаруживается начало массовых пластических деформаций и
исключается возможность получения результатов, способных создать у экспе-
риментатора ложное представление о свойствах материала.
§ 3. ПОЛУЧЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК МАТЕРИАЛА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
Получив характеристику образца, можно приступить к выявлению зависи-
мости между напряжениями и деформациями, возникающими в какой-либо точке
«образца. Зависимость эта носит название характеристики материала. Для
получения ее необходимо установить: а) связь между напряжениями в изучаемой
точке образца и нагрузками, действующими на образец, и б) соотношение между
деформациями в той же точке и замеренными перемещениями сечений образца.
В случае, если материал подчиняется закону Гука, а деформации и пере-
мещения малы, то упомянутые выше соотношения могут быть установлены
по формулам сопротивления материалов.
Если же в материале возникают пластические деформации или переме-
щения велики, приходится в каждом отдельном случае выводить формулы,
связывающие напряжения и внешние нагрузки, с одной стороны, и деформации
и перемещения — с другой.
Разрешение этой задачи значительно упрощается, если напряженное со-
стояние образца однородно. В этом случае чаше всего остаются справедливыми
формулы сопротивления материалов, полученные путем рассмотрения условий
равновесия частей тела, а зависимости между деформациями и перемещениями
весьма просты (однородному напряженному состоянию соответствует и одно-
родное деформированное состояние тела).
Таким образом, для получения характеристики материала необходимо при-
менение образцов, находящихся в однородном напряженном состоянии потому,
что: а) на характеристике образца, как уже отмечалось, легко обнаруживается
возникновение массовых пластических деформаций и б) облегчается установ-
ление зависимостей между нагрузками и перемещениями, с одной стороны, и
напряжениями и деформациями — с другой.
184
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Переходим к рассмотрению ряда примеров осуществления различных на-
пряженных состояний при простом нагружении с целью изучения поведения ма-
териалов как в упругой, так и в пластической стадиях их работы.
Далее будет дан обзор как часто применяющихся, так и новых, еще не
получивших широкого распространения методов испытаний. Будет дан крити-
ческий анализ всех этих методов.
В § 4 подробно описаны испытания материалов при одноосных растяжении
и сжатии, в § 5 — при двухосном напряженном состоянии, именуемом „чистым
сдвигом “.
А. Образцы, находящиеся в однородном напряженном
состоянии
Одноосное однородное напряженное состояние
1. На фиг. 156, а изображен образец для испытания материала при одно'-
осном напряженном состоянии — растяжении. В этом случае изучается зависи-
мость между осевыми растягивающими силами Р и относительными линейными
перемещениями 8 сечений А и В, достаточно удаленных от головок образца-
Напряженное состояние можно считать однородным, одноосным.
При достаточно больших нагрузках цилиндрическая форма образца ста-
новится неустойчивой и на образце образуется местное утонение — шейка. На
фиг. 156, б представлена фотография образца пластичного материала после ис-
пытаний.
<9
Фиг. 156. Нормальный образец для испытания материалов при одноосном
растяжении:
а — образец до нагружения; б — разорванный образец пластичного материала.
Между нормальными напряжениями в поперечных сечениях образца и си-
лами Р при любых нагрузках, ограниченных условием P<,Pms& (Pmax—на~
грузка, соответствующая интенсивному образованию местного утонения образца>
обозначенная на фиг. 150 через ФтаА), справедливо соотношение
az р »
(1)
где F—площадь поперечного сечения образца.
Линейные деформации в направлении оси z образца связаны с относитель-
ными перемещениями сечений А и В соотношением
ег = у-’ (2>
где 8 — изменение расстояния /0 между сечениями А и В.
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 185
Если материал образца подчиняется закону Гука, между линейными сме-
щениями 8 сечений, отстоящих друг от друга на расстоянии /0, и усилиями Р
существует линейная зависимость
8 = -^°
EF0
В этом выражении Е — модуль упругости первого рода, FQ — площадь по-
перечного сечения образца.
Данной зависимостью можно воспользоваться для определения модуля упру-
гости Е. Для этой цели на образце устанавливают тензометр (см., например,
фиг. 148, а). Расстояние /0 в этом случае называется базой образца. Более
Фиг. 157. Тонкостенный трубчатый образец бронзы для испытаний
на растяжение:
а — образец до нагружения; б — разорванный образец; в — чертеж образца.
подробно вопрос определения модуля Е будет освещен в § 4 настоящей главы.
Значения модуля Е для различных материалов приведены в гл. III, т. I.
Указанные зависимости (1) и (2) справедливы только до момента образо-
вания на образце местного утонения — шейки (в § 4 будет описан прибли-
женный способ вычисления и ег и в том случае, когда на образце возникла
шейка).
Устройство и конструкция машин для испытаний на одноосное растяжение
общеизвестны. Их описание см., например, [2], [36].
2. Для того чтобы устранить влияние трехосного напряженного состояния,
возникающего в образце в месте образования шейки, прибегают [39] к испы-
таниям на растяжение тонкостенных трубчатых образцов. На фиг. 157 пред-
ставлен образец такого типа.
При нагрузках, несколько превышающих предел текучести материала об-
разца, цилиндрическая форма становится неустойчивой и на образце появляется
местное сужение (фиг. 158). Напряженное состояние образца из одноосного
186
Механические свойства металлов при статических нагрузках
переходит в двухосное. Для вычисления напряжений и деформаций до образо-
вания сужения следует применять формулы:
®г=-Г (4)
Для определения наибольших напряжений в месте сужения необходимо из-
мерить геометрические параметры сужения образца — наименьший диаметр d,
наименьший радиус кривизны образующей р и толщину стенки в указанном
месте (фиг. 158).
Соотношение между напряжениями определяется из рассмотрения условий
равновесия элемента образца, выделенного в самом узком его месте [2]:
—+^=°
Р Г d/2
чР
гФиг. 158. Местное утонение трубчатого
образца при растяжении в осевом
направлении.
Следовательно, возникающее в месте,
сужения окружное напряжение растяже-
ния а, можно выразить через осевое
следующим образом:
d
Учитывая, что наибольшее осевое на-
пряжение равно
<5)
окружное напряжение может быть опре-
делено по формуле
~ 2*IP|Snilr. ’
Как известно [2], если центр кривизны образующей лежит вне оболочки,
то радиус кривизны в уравнении равновесия элемента оболочки приобретает
отрицательное значение. Формула (6) написана с учетом этого обстоятельства.
Радиальное напряжение можно считать равным нулю:
Для определения наибольших деформаций исходим из предположения
о неизменности объема пластически деформирующегося материала (см. гл. II, т. I)
в месте наибольшего сужения (точка А на фиг. 158):
(l + ej(l-e,)(l -сг) = 1.
В приведенном выражении =sr===“—. Наибольшая ли-
нейная деформация в осевом направлении равна
1_(1-£/)(1-ег)
Z (l-ez)(l-er)
На фиг. 157, а, б представлены фотографии трубчатого образца бронзы
до и после испытания на растяжение.
Опыты, проведенные автором, показали, что даже у весьма пластических
материалов (армко-железо, медь) упомянутое местное сужение трубчатого об-
разца весьма незначительно.
3. Одноосное растяжение может быть также осуществлено путем испы-
тания тонкостенных трубчатых образцов на растяжение в окружном направлении.
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 187
Трубчатый образец (фиг. 159) с сердечником, уплотненным резиновыми
манжетами, подвергается внутреннему давлению р. Осевое усилие воспри-
нимается сердечником. На фиг. 160, а представлена конструкция сердечника,
на фиг 160, б вид образца до испытания.
Окружные напряжения могут быть вычислены по формуле
п -pD
----------------------------------2Г‘
(8
Фиг. 159. Тонкостенный трубчатый образец для испытаний
на растяжение в окружном направлении.
Окружные линейные деформации, при условии сохранения трубкой
формы, вычисляются по формуле
S/— D >
своей
(9)
Фиг. 160. Конструкция сердечника и образца для испытаний на растя-
жение в окружном направлении:
а — сердечник; б — образец; в—трубка для уменьшения объема жидкости.
Замеряя также изменение длины образца в направлении его оси
В
ег — / >
можно с большой точностью определить величину коэффициента Пуассона:
г ч
Заметим, что разрушению образца, который представляет собой тонко-
стенную оболочку, предшествует искажение формы — на образце появляется
местное вздутие. В этом месте и происходит разрыв образца. Величина раз-
рыва зависит от свойств и объема среды, заполняющей трубку. Так, в случае,
188
Механические свойства металлов при статических нагрузках
если опрессование производится воздухом (чего следует избегать), раскрытие
образца будет больше, чем в случае опрессовки жидкостью.
Чем больше объем жидкости внутри трубки, тем раскрытие образца больше.
Для уменьшения объема жид-
кости внутри трубки следует
выполнять сердечник возможно
большего диаметра.
Для уменьшения объема жид-
кости внутри' образца можно
использовать толстостенную труб-
ку (фиг. 160, в), которая наде-
вается на сердечник.
На фиг. 161 представлены
фотографии трубчатых бронзовых
образцов, испытанных при одно-
осном растяжении в окружном
направлении.
На фиг. 161, а представлен
образец до испытаний, на
фиг. 161, б — образец, разрушен-
ный при опрессовке жидкостью
Фиг. 161. Трубчатые образцы для испытаний
на растяжение в окружном направлении:
а — образец до испытаний; б — образец, разрушенный при
заполнении жидкостью; в — образец, разрушенный при
опрессовке воздухом.
(соляровое масло), на фиг. 161, в—
образец, разрушенный при опрес-
совке воздухом. Из рассмотрения
приведенных на фиг. 161 фото-
графий видно влияние упругих
свойств среды, заполняющей трубку, на форму местного вздутия при разрушении.
Опыты показали, что изменение диаметра трубки в местах, удаленных от
места разрушения, и величина разрушающего давления не зависят от того,
опрессована трубка жидкостью или воздухом.
4. На фиг. 162, а представлен образец, находящийся в одноосном напря-
женном состоянии — сжатии. Углы а подобраны так, 4Totga = /, где f—коэф-
фициент трения материала опор по материалу
образца с учетом смазки, если таковая приме-
няется. Образец толстостенный, полый, что исклю-
чает возможность возникновения местных напря-
Фиг. 162. Образцы рациональной формы для испытания материалов при одноосном
сжатии:
а — образец между плитами до опыта; <5—слева образец латуни до опыта; в середине обжатый
образец (е^ = 25°/о); справа — разрушенный образец.
жений, которые могли бы возникнуть в. месте соприкосновения вершин ко-
нусов опорных поверхностей с телом образца [17]. Опыты показали (фиг. 162, б),
что образцы рассматриваемой конструкции при сжатии сохраняют до момента
разрушения свою цилиндрическую форму. В этом случае для вычисления нор-
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 189
мальных напряжений в поперечных сечениях и линейных деформаций в направ-
лении оси образца можно воспользоваться формулами (1) и (2). Длина образцов
должна быть невелика во избежание их искривления (обычно Z= 1 н-1,5£)).
Двухосные однородные напряженные состояния
Рассмотрим несколько случаев осуществления двухосных однородных напря-
женных состояний.
5. На фиг. 163 изображена замкнутая весьма тонкостенная цилиндрическая
трубка, подверженная внутреннему давлению р. Пренебрегая радиальными нор-
мальными напряжениями, которые значительно меньше окружных и осевых
нормальных напряжений, можно считать, что напряженное состояние трубки
Фиг. 163. Тонкостенная трубка, подверженная внутреннему давлению, — обра-
зец для испытания материала при двухосном однородном напряженном состоянии.
является однородным двухосным. Между главными напряжениями и давлением р
существуют зависимости:
PD. = а/ = ; 1 t 2s ’ (10)
pD з z 4s ’ (11)
a3=--ar^0 (12)
(направления осей /, z и г указаны на фиг. 163).
В формулах (10) и (И) D и s— соответственно диаметр и толщина стенки
трубки.
Предполагается, что диаметр значительно больше толщины стенки. Замер
перемещений производится для сечений А и В (фиг. 163), достаточно удаленных
от концов трубки.
Линейная деформация в направлении оси трубки равна
ег = |, (13)
где 8 — изменение расстояния между упомянутыми сечениями А и В.
На фиг. 164, а и 165, а представлены фотографии трубчатых образцов,
подготовленных к испытаниям. На фиг. 164, б, показано приспособление для
нагружения; на фиг. 165, б приведена фотография разрушенного образца. Для
уменьшения объема рабочей жидкости применяется толстостенная трубка, наде-
ваемая на сердечник (фиг. 164, в).
6. Можно себе представить образец в виде весьма тонкостенной сферической
оболочки (фиг. 166), подверженной внутреннему давлению р. В этом случае
материал оболочки находится в однородном двухосном напряженном состоянии.
190
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Главные напряжения могут быть вычислены по формулам:
Фиг. 164. Конструкция сердечника и образца Фиг. 165. Фотографии трубчатого
для испытаний на двухосное растяжение. образца до и после испытаний на
двухосное растяжение. Образец
» (фиг. 165. а) повернут по отношению
к образцу (фиг. 165, б) на 180°.
Замер перемещений производится на базе АВ (в направлении дуги большого
круга); без всякой погрешности замер изменений длины дуги большого круга
может быть заменен замером изменений длины хорды АВ или изменением диа-
метра D оболочки. Линейная деформация в окружном направлении
Фиг. 166. Тонкостенная сферическая оболочка,
подверженная внутреннему давлению, — образец
для испытания материала при двухосном равном
растяжении.
^=4* <16>
где о — изменение расстояния Z
между точкам А и В, или
где AD — изменение диаметра
оболочки.
Нельзя не отметить чрезвы-
чайную сложность изготовления
образцов в виде тонкостенных
сферических оболочек.
Как будет показано далее, двухосное равное растяжение , значительно легче
осуществить, нагружая тонкостенную трубку с сердечником, подверженную
внутреннему давлению, осевой растягивающей силой (см. п.- 7 раздела А на-
стоящего параграфа).
7. На фиг. 167 изображен образец в виде весьма тонкостенной трубки,,
нагруженный одновременно внутренним давлением р и осевой нагрузкой Р.
Главные напряжения соответственно равны
а
_ PD .
2s’’
(17>
а
z 4s — itDs ’
(18)
агж0. (19)-
Комбинируя величину и направление нагрузки Р и величину давления р,.
можно осуществить ряд двухосных напряженных состояний (фиг. 167, а,
и как частный случай — одноосное растяжение (случай когда az = 0),
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 191!
Если нагрузка Р сжимает образец и столь велика, что в направлении оси
возникают напряжения сжатия, то необходимо следить за тем, чтобы форма
равновесия была устойчивой, в противном случае
появиться складки. Напряжения при этом не мо-
гут быть подсчитаны по элементарным формулам
(17) и (18).
на трубке (оболочке) могут*
Фиг. 167. Тонкостенная трубка, подверженная
действию внутреннего давления и осевой
силы, — образец для испытания материала при
двухосных напряженных состояниях.
Линейная деформация в направлении оси трубки равна
sz— i *
(20>
где о — изменение расстояния I между сечениями А и В,
Фиг. 169. Установка для осуществле-
ния двухосного растяжения.
Фиг. 168. Установка для осуществления
растяжения в окружном направлении и
сжатия в осевом направлении.
На фиг. 168 и 169 представлены конструкции для нагружения весьма тонко-
стенных трубок внутренним давлением, действующим на стенки трубки (осевое
давление воспринимается сердечником), и осевой сжимающей (фиг. 168) или.
192
Механические свойства металлов при статических нагрузках
растягивающей (фиг. 169) силой Р. Напряжения в стенках трубок определяются
по формулам:
Линейная деформация «,=^5 (21) ог^0. (23) в направлении оси трубки е2 = |. (24)
где о — изменение расстояния Z между сечениями А и В. Окружная деформация
(25)
где ДО — изменение диаметра О.
Деформация в радиальном направлении ег может быть определена на осно-
вании предположения о постоянстве объема так же, как это было сделано
в предыдущих случаях.
Описанные приспособления дают возможность осуществить одноосное окруж-
ное растяжение (Р=0), а также разнообразные двухосные напряженные состоя-
ния и, в частности, чистый сдвиг. Трубки должны быть точёными и иметь
возможно меныпую толщину стенок.
Трехосные однородные напряженные состояния
Приступим к рассмотрению некоторых случаев осуществления трехосных
однородных напряженных состояний.
8. Во внутреннюю полость изображенного на фиг. 159 образца подводится
жидкость под давлением р19 а снаружи образец погружен в жидкость, находя-
щуюся под давлением р2.
при испытании открытых тонкостенных трубок, нагружаемых
внутренним и внешним давлениями.
Давление рг несколько больше давления р2, причем соотношение между
давлениями поддерживается на протяжении опыта постоянным:
£1- = const.
Р2
Напряженное состояние материала стенок трубки можно считать одно-
родным.
Одноосное окружное растяжение, возникающее в стенках благодаря наличию
разности давлений рг — р2> накладывается на трехосное сжатие с напряжениями р2.
На фиг. 170 изображены схемы различных типов напряженных состояний,
которые могут быть таким образом осуществлены.
Главные напряжения определяются по формулам:
а2 = а3^ — р2. (27)
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 193
В приведенных формулах D и s— диаметр и толщина стенок образца; чем
тоньше стенки трубки, тем однороднее напряженное состояние.
Линейные деформации могут быть подсчитаны по формулам:
ДО
St~ D
<28)
8
(29)
(30)
где AD, 8 и As — изменения
стенки.
диаметра, длины базы образца и толщины его
Фиг. 171. Схема установки для испытания трубчатых образцов, нагружаемых
внутренним и внешним давлениями:
/ — трубчатый образец; ? — камера для испытаний; 3-—дифференциальный мультипликатор; 4—ци-
линдр высокого давления: 5—цилиндр низкого давления; 6 — система рычагов; 7 — манометр;
8—выводы электротензометров; 9 — вспомогательный насос; 10 — распределитель.
Ввиду трудности замера величины As радиальная деформация ег может быть
вычислена на основании предположения о постоянстве объема пластически
деформирующегося материала.
На фиг. 171 представлена схема соответствующей установки [18]. Трубчатый
образец 1 находится в толстостенной камере 2. Источником давлений является
так называемый дифференциальный мультипликатор 3.
Дифференциальный мультипликатор состоит из двух цилиндров 4, 5 и
системы рычагов 6. Принцип работы мультипликатора ясен из рассмотрения
схемы, представленной на фиг. 171.
На фиг. 172 представлена фотография общего вида установки. Мультипли-
катор вмонтирован в 200-тонный пресс.
Описанная установка осуществлена в лаборатории кафедры сопротивления
материалов МВТУ [18].
На фиг. 173, а представлена фотография трубчатого бронзового образца,
подготовленного к испытаниям; на фиг. 173, б фотография разрушенного образца.
Разрушение произошло при давлениях рх 1200 ат и р2 1 000 ат, что
примерно соответствует главным напряжениям
= -J-3000 кг! см2; а2 — —Ю00 кг/см2; а3 = —1000 кг/см2.
9. Описанная выше установка может быть использована также для испыта-
ния замкнутых трубчатых образцов (см. фиг. 164) в камере высокого
давления [18].
13 • Пономарев и др. 407
194
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Двухосное растяжение, возникающее в стенках благодаря наличию разности
давлений рг — р2, накладывается на трехосное сжатие с напряжениями р2.
На фиг. 174 изображены схемы различных типов напряженных состояний,
которые могут быть осуществлены таким образом.
Главные напряжения подсчитывают-
ся по формулам:
П _ „ _ (Pi - Р2) О
□1—а,----------------р2, (31)
аз—аг Ръ- (33)
Линейные деформации определяют-
ся выражениями, приведенными в пре-
дыдущем пункте настоящего пара-
графа.
Замер изменений диаметра и длины
образца производится при помощи элек-
тродатчиков сопротивления, наклеивае-
Фиг. 172. Фотография общего вида установки
для испытания трубчатых образцов:
/ — камера для испытаний; 2 — дифференциальный мультипли-
катор; 3— цилиндр высокого давления; 4— цилиндр низкого
давления; 5~ система рычагов.
Фиг. 173. Трубчатый образец откры-
того типа:
а — до испытаний; б — разрушенный при трех-
осном смешанном напряженном состоянии.
мых на образец перед опытом, для чего в корпусе камеры предусмотрены элек-
тровыводы (см. схему на фиг. 171).
Не исключена возможность и непосредственного обмера образца при нагру-
жении его ступенями.
На фиг. 175, а приведены фотографии замкнутого цилиндрического стального
образца, подготовленного к испытаниям; на фиг. 175, б образца, разрушенного
при давлениях pt= 1200 am и р2= 1000 ат, что примерно соответствует
главным напряжениям
= +3000 кг/см2; а2 = +1000 кг/см2-, а3 = —1000 кг/см2.
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях ' 195л
10. На фиг. 176 представлен сплошной образец для исследования свойств-
материала при трехосном напряженном состоянии. Образец, находящийся внутри
толстостенного сосуда под воздействием гидростатического давления р, подвер-
гается в осевом направлении еще до-
полнительному действию растягивающей
силы Р. Комбинируя величину давления
и силы Р, можно получить разнообраз-
ные трехосные напряженные состояния
(фиг. 177). Главные напряжения в этом
случае определяются по формулам:
°t = °г = — Р’ (34)
4
где d — диаметр образца.
При достаточно большой силе Р
не исключена возможность получения
в осевом направлении положительных
напряжений (растяжений). Часть об-
разца АВ, достаточно удаленная от
Фиг. 175. Трубчатый образец закрытого
типа:
а — до испытаний; б — разрушенный при трехосном
смешанном напряженном состоянии. Образец
(фиг. 175, а) повернут по отношению к образцу
(175, б) на 180°.
головок, свободна от местных напряжений. Главные линейные деформации свя-
заны с перемещениями весьма простыми соотношениями:
применяющийся при испытаниях материалов при
трехосных напряженных состояниях.
s, = s, = ^, (36)
где Ad — изменение диаметра
образца d\
= (37)
где 3 — изменение расстояния I
между сечениями А
и В.
В случае, если цилиндриче-
ская форма становится неустой-
чивой и на образце появляется
местное утонение (шейка), формулы (35).— (37) перестают быть верными.
В лаборатории кафедры сопротивления материалов МВТУ спроектирована
и осуществлена установка для испытания сплошных образцов при разнотипных
трехосных напряженных состояниях [18]. В установке соблюдается одновре-
менное пропорциональное увеличение главных напряжений.
Фиг. 177. Напряженные состояния, которые можно осуществить
при испытании на растяжение образца, сжатого всесторонним
давлением.
На фиг. 178 изображена принципиальная схема машины для испытания,
сплошных образцов.
Образец 1 диаметром d помещен в цилиндре 2, заполненном жидкостью-
(маслом, глицерином). Два плунжера 3 диаметром Д связаны с образцом при?
13*
196
Механические свойства металлов при статических нагрузках
•помощи разрезных головок 4, Плунжеры проходят через уплотнения 5 и вместе
с образцом образуют систему, свободно перемещающуюся вдоль оси z машины.
Для уменьшения сил трения в уплотнениях, препятствующих свободному
осевому перемещению плунжеров, последним сообщается одновременное враща-
тельное или качательное движение вокруг оси z.
Нагружение образца осуществляется путем постепенного увеличения давления
жидкости в цилиндре.
Образец подвержен одновременному воздействию всестороннего сжатия
давлением р и растягивающей силы Р, возникающей благодаря действию плун-
жеров на образец.
Фиг. 178. Принципиальная схема машины для испытаний сплош-
ных образцов при трехосных напряженных состояниях.
Растягивающая сила Р равна
о *Д2
р=р^-
Напряженное состояние образца характеризуется главными напряжениями:
®/ = ’r = — Р’ (38)
(59)
Тип напряженного состояния определяется соотношением диаметров плун-
жеров и образца и может изменяться в широких пределах.
В табл. 11 приведены значения осевого главного напряжения в долях
Д ~
давления р для различных соотношений —. В машине применены плунжеры
диаметром 12 мм, диаметр образцов может изменяться от 6 до 26 мм. Как
видно из таблицы, осуществлены могут быть различные трехосные смешанные
напряженные состояния (d < Д), двухосное сжатие (d = Д) и различные трех-
осные сжатия (d > Д). Форма образцов аналогична форме обычных образцов
Таблица 11
Осевое напряжение в долях давления р
Диаметр образца d в мм 6 8 10 12 14 16 20 24 26
Д2 ^2 4,00 2,25 1,440 1,00 0,735 0,562 0,360 0,250 0,213
~Р +3,03 + 1,25 +0,440 0 -0,265 -0,438 -0,640 —0,750 -0,787
Диаметр плунжеров машины Д= 12 мм.
, Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 197
для испытания на растяжение. От внешнего всестороннего давления напряженное
состояние полностью однородно. От осевого растяжения вблизи головок возникает
незначительная концентрация напряжений тем мень-
шая, чем больше радиус' закругления около головок R ...-длу..
(см. фиг. 176).
На фиг. 179 изображена схема установки, на 4 _ 4 *
фиг. 180 — фотография машины. | II
0m мультипликатора i
или гидро компрессора I
вспомогательный
насос
Фиг. 179. Схема установки для испытаний материалов при трехосных
напряженных состояниях.
Толстостенный цилиндр 7 снабжен головками 2, внутри которых смонтиро-
ваны приспособления для приведения во вращательное или качательное движение
Фиг 180. Фотография машины для испытания сплошных образцов
при трехосных напряженных состояниях:
1 — цилиндр машины; 2—головки машины; 3 — трансмиссионный вал; 4—стойки;
5 — редуктор; 6 — рукоять для переключения редуктора; 7 — штанги; 8—ци-
линдры гидротензометра.
образца и плунжеров. Механизм головок связан с трансмиссионным валом 3
при помощи шестерен, помещенных внутри стоек 4.
I«98
'Механические свойства металлов при статических нагрузках
Переключение механизма редуктора 5 с вращательного движения на кача-
тельное производится с помощью рукоятки 6.
Источником давления в описываемой установке является либо мультипликатор,
либо гидрокомпрессор.
Замер удлинений (или сокращений) образца производится при помощи гидро-
тензометра, устройство которого ясно из рассмотрения схемы и фотографии,
изображенных на фиг. 179 и 180.
Фиг. 181. Фотографии образцов.
Концы плунжеров связаны со штангами 7, в свою очередь, соединенными
с поршнями цилиндров 8 гидротензометра 9. Жидкость, заполняющая систему
гидротензометра, поднимается или опускается в мерной трубке гидротензометра
в зависимости от изменения длины образца.
Диаметры мерных трубок гидротензометра подобраны так, что можно полу-
чать увеличение в 1000, 500 или 100 раз. На случай разрыва образца система
гидротензометра снабжена предохранительными клапанами и расширительными
сосудами 10, емкость которых несколько больше объема жидкости, вытесняемой
поршнями.
Конструкцией машины преду-
смотрена возможность замера де-
формаций образца при помощи
проволочных датчиков сопротив-
ления. В этом случае трансмисси-
онному валу, плунжерам и образцу
сообщается качательное движе-
ние, что позволяет обеспечить
соединение датчиков с электро-
выводами при помощи изолиро-
ванных гибких проводников.
На фиг. 181, а и 182, а
представлены фотографии образца
стали, разрушенного при давлении
р = 5000 am.
Диаметр плунжера Д'= 12 мм,
диаметр образца d = 10 мм.
Для сравнения на фиг 181, б изображен образец до испытаний, а на фиг. 181, в
и 182,6—аналогичный образец, разорванный при испытаниях на одноосное
растяжение. ’
В рассмотренных в пп. 1 —10 случаях общеизвестные формулы сопротивления
материалов дают возможность непосредственно определять главные напряжения.
Траектории главных напряжений, а следовательно, и линии главных дефор-
маций суть либо прямые линии, параллельные оси образца, либо дуги больших
кругов. Указанное обстоятельство облегчает вычисление линейных деформаций
по замеренным взаимным линейным перемещениям точек образца.
Фиг. 182. Фотография мест разрушения образ-
цов, представленных на фиг. 181:
« — образец, разрушенный в машине для испытаний при
трехосных напряженных состояниях; б — образец, разорван-
ный при одноосном растяжении.
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях ] 99
Положение этих точек, т. е. положение базы для замера перемещений
следует намечать на траекториях главных напряжений (на линиях главных
деформаций).
Однако не всегда формулы сопротивления материалов дают непосредственно
главные напряжения, а траектории главных напряжений представляют собой
прямые или плоские линии. Весьма часто траектории главных напряжений явля-
ются пространственными кривыми (например, при кручении круглого образца),
что затрудняет замер перемещений и делает вычисление деформаций менее
точным.
Несоосные напряженные состояния
Рассмотрим несколько примеров осуществления двухосных напряженных со-
стояний, когда направления главных осей двух соседних элементов не совпа-
дают.
11. На фиг. 183 изображена тонкостенная трубка, нагруженная по концам
двумя противоположно направленными моментами действующими в пло-
скостях, перпендикулярных оси трубки. Трубка в этом случае работает на
кручение. Касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях, можно
Фиг. 183. Тонкостенная трубка, работающая на кручение, — образец для испы-
тания материалов при чистом сдвиге.
считать распределенными по толщине трубки равномерно. Эти напряжения могут
быть определены по формуле [2]
где D и s—диаметр и толщина стенок трубки.
Главные напряжения равны
«I =
а2 — 0;
а3 —
Ранее (см. гл. I, т. I) было указано, что подобное напряженное состояние
называется чистым сдвигом.
Траектории главных напряжений представляют собой винтовые линии с углом
подъема, равным 45°. При замере относительного линейного перемещения точек
А и В, расположенных на поверхности трубки так, как это показано на
фиг. 183, следует иметь в виду, что это перемещение лишь приближенно рав-
200
Механические свойства металлов при статических нагрузках
няется произведению главной линейной деформации е, на расстояние I между
точками, и
(41)
Ошибка при исчислении по формуле (41) линейного перемещения тем
меньше, чем меньше база Z; с другой стороны, уменьшение расстояния между
точками А и В (применение тензометра с малой базой) уменьшает точность
отсчетов. В этом отношении данные образцы значительно менее удобны, чем
рассмотренные ранее (см. пункты 1 — 10 раздела А настоящего параграфа).
Для построения характеристики материала при испытании тонкостенных
трубчатых образцов на кручение замеряют величину моментов ЗЯ и относитель-
ных углов ф поворота сечений, отстоящих друг от друга на расстоянии Z.
Фиг. 184 Тонкостенная трубка, работающая на кручение и растяжение, — образец
для испытания материалов при двухосных напряженных состояниях.
Напряжения rzt' подсчитывают по формуле (40), а углы сдвига — по фор-
муле (42):
Ь/= ? 2/“ • * (42)
Эти формулы, выведенные на основании геометрических соображений и усло-
вий равновесия, справедливы в любых пределах нагружения.
12. На фиг. 184 представлен образец в виде тонкостенной трубки, работа-
ющей на растяжение и на кручение. Напряжения в поперечных сечениях могут
быть вычислены по формулам:
— * (44>
2
Главные напряжения равны
<45>
а2 = 0; (46)
<47>
Траектории главных напряжений суть винтовые линии, наклоненные к обра-
зующим цилиндра под углами, определяемыми выражением
tg2a, = tg2a3 = -^-. 8)
az
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 201
При замере главных деформаций следует пользоваться тензометрами с малой
базой, установленными к образующей цилиндра под углом а, или а3 (фиг. 184).
13. На фиг. 185 изображена весьма тонкостенная замкнутая трубка, нахо-
дящаяся под воздействием внутреннего давления р и моментов 5Ш, заставляющих
трубку работать на кручение. Напряжения в поперечных сечениях вычисляются
по формулам:
а
« 4s ’
т __а_
Tt/J2S •
2
Окружные нормальные напряжения равны
а _ PD
(49>
(50>
(51>
Фиг 185. Тонкостенная трубка, подверженная внутреннему давлению
и кручению, — образец для изучения двухосных напряженных состояний.
Главные напряжения определяются по формулам:
а' = аг ~0; (52>
а” - + (53)*
°* /iv: (54)*
Траектории главных напряжений — винтовые линии, наклоненные к образу-
ющим цилиндра под углами, определяемыми формулой
tg2a2 = tg2a8 = -^-. (55)
а/
При замере главных деформаций следует пользоваться тензометрами с малой
базой, установленными под углами а2 или а3 к образующим (фиг. 185).
Все рассмотренные случаи нагружения могут быть разделены на две группы.
К первой группе относятся случаи, когда деформация образца достигается
путем приложения к нему одной нагрузки. Сюда относятся образцы, изобра-
женные на фиг. 156, 157, 159, 162, 163, 166, 173, 175, 178 и 183. Ко второй
группе должны быть причислены образцы, представленные на фиг. 167, 163,
169, 176, 184, 185, нагружаемые двумя независимыми нагрузками.
* Максимальное oj и минимальное главные напряжения выявляются после сопо-
ставления напряжений о/ а", а'".
.202
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Характер напряженного состояния образцов первой группы вполне опреде-
ленный. Главные напряжения в точках образцов второй группы могут изме-
няться по величине и направлению в зависимости от соотношения между на-
грузками, действующими на образцы.
При изучении рассматриваемого напряженного состояния единственно пра-
вильным следует считать только такое проведение опыта, когда в процессе
нагружения между главными напряжениями в любой точке образца сохраняется
пропорциональная зависимость и направления главных напряжений остаются
постоянными.
Данное требование может быть записано следующим образом: если в какой-
.либо стадии нагружения главные напряжения равнялись aj, 02, а3, то в процессе
Фиг. 186. Подобные напряженные состояния разной интенсивности.
испытания при любом другом нагружении напряжения
.соответственно то же направление и должны быть
<?2, <зз должны
связаны с первыми
иметь
напря-
жениями соотношением
°1 °2 аз
W ~ и
°1 а2 а3
(56)
•где £ — величина, характеризующая интенсивность напряженного состояния.
Если соблюдаются указанные условия, то напряженные состояния назы-
ваются подобными, или однотипными. На фиг. 186 изображены схемы подоб-
ных напряженных состояний и их круговые диаграммы.
Подобие напряженного состояния образца, находящегося под воздействием
-одной нагрузки, чаще всего достигается само собой.
Если на образец действуют две независимые нагрузки, подобие может быть
достигнуто только путем синхронного их изменения.
Несоблюдение в процессе испытания образца подобия его напряженного
состояния не дает возможности считать, что проявившееся на данном этапе
-нагружения изменение его состояния характерно для того напряженного состоя-
ния, при котором наблюдатель зафиксировал это изменение. Так, например,
начало текучести (появление массовых пластических деформаций) не возникает
мгновенно во всех частицах тела, а подготовляется постепенно. Сначала начи-
нают пластически деформироваться отдельные наименее выгодно расположенные
частицы. Наблюдатель отметит начало текучести тогда, когда пластические де-
формации охватят значительную часть объема образца, а за это время тип
напряженного состояния материала образца может значительно измениться.
Проблема влияния изменения типа напряженного состояния образца в про-
цессе его нагружения на пластические и прочностные свойства материала пред-
ставляет большой интерес, однако разрешению этой проблемы должно пред-
шествовать изучение свойств материалов при различных напряженных состояниях, из-
меняющихся в процессе нагружения образца с соблюдением условия подобия (56).
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 203
В качестве примера, когда в процессе нагружения образца изменяется не
только интенсивность, но и тип напряженного состояния, приведем случай ис-
пытания на сжатие образца 7, находящегося в камере 2 под воздействием бо-
кового давления р и осевого усилия Р, приложенного к плунжеру 3 (фиг. 187, а):
После приложения осевого, усилия Р в камеру нагнетают жидкость, давле-
ние которой р растет в процессе нагружения.
На фиг. 187, д' представлена схема изменения главных напряжений в про-
цессе нагружения. В интервале времени tx происходило нагружение осевой
силой Р. Главные напряжения при этом равны
°' = ^7
4
где d — диаметр образца.
Фиг. 187.
а—схема установки для испытаний образцов при боковом давлении и осевом сжатии;
б—изменение во времени главных напряжений при нагружении образца. Сначала
приложена осевая нагрузка Р (линии ОА и АВ), а затем боковое давление (линии ОС
После нагружения образца осевой силой Р (точка Д) в интервале времени /а
происходило нагружение его радиальным давлением р. При этом осевое, ради-
альное и окружное главные напряжения а', а" и а'",соответственно равны
а' = -^7- ; а” = а"' = — р.
ltd" г
“V
Заметим, что нагружение может быть продолжено (линия СВ) только до
достижения давлением р предельного значения:
р
п — тах
A'max - •
4
В случае, если р > ^тах, возникает опасность проникновения жидкости
между торцами образца и деталями 2 и 3 (фиг. 187, а), что может повлечь за
собой выбрасывание плунжера.
В качестве примера установки, в которой могут осуществляться различные
двухосные напряженные состояния, может быть приведена универсальная ма-
шина для испытания материалов конструкции Л. Т. Тимошука [33].
В упомянутой машине имеется возможность воздействовать на образец одно-
временно и отдельно следующими нагрузками:
а) осевой нагрузкой (растягивающей или сжимающей силой) до 30 пг;
6j закручивающим моментом до 200 кгмг,
204
Механические свойства металлов при статических нагрузках
в) внутренним гидравлическим давлением до 300 апг (если применяются
трубчатые образцы).
Каждый вид нагружения имеет самостоятельное управление. Этим создается
возможность испытывать образец как при действии одной из перечисленных
нагрузок, так и при любой их комбинации.
Устройства, позволяющего осуществлять одновременное пропорциональное
увеличение нагрузок (синхронизатора), машина не имеет.
На фиг. 188 представлена фотография машины. В основу машины положена
обычная тридцатитонная универсальная машина с гидравлическим силовозбуж-
Фиг. 188. Общий вид
Л. Т. Тимошука для
универсальной машины конструкции
испытания материалов при двухосных
напряженных состояниях.
дением. Для создания закручивающего момента в поперечину 1 включен червяч-
ный привод. Червячный привод приводится в движение гибким валом 2 от мо-
тора с коробкой скоростей, составляющих отдельный агрегат 3.
Для создания давления внутри трубчатых образцов машина снабжена масля-
ным насосом.
Для наблюдения за процессом нагружения установка снабжена самопишу-
щими приборами.
Приспособлений для замера деформаций, кроме обычного прибора, регист-
рирующего изменение длины образца, в установке не имеется.
Все приборы управления сосредоточены на пульте 4.
Для точного замера деформаций образца необходимо применять, как это
обычно делается, механические, оптические тензометры или электротензо-
метры [38].
Б. Образцы, находящиеся в неоднородном напряженном состоянии
1. На фиг. 189 изображен образец, находящийся в неоднородном напря-
женном состоянии. Образец, опертый по концам, работает в условиях попе-
речного изгиба. На той же фигуре представлены эпюры изгибающих моментов
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 205
Мизг и поперечных сил Q. Наиболее напряженные точки А и В находятся
в одноосном напряженном состоянии. При испытании образцов такого рода
обычно измеряется усилие Р и соответствующий прогиб 3 в середине пролета
Характеристика образца представлена на фиг. 190. В случае, если прогибы
малы и материал образца подчиняется закону Гука, наибольшие нормальные
напряжения в опасном сечении могут быть вычислены по формуле
_ ^изгУ
г /
(57)
где — наибольший изгибающий момент;
Jx — момент инерции поперечного сечения относительно нейтраль-
ной оси;
у — расстояние исследуемой точки от нейтрального слоя.
Фиг. 190. Характеристика
образца при поперечном
изгибе.
Между прогибами и нагрузками в этом случае существует линейная зави-
симость [2]
где Е и G — модули упругости первого и второго рода;
k — коэффициент, зависящий от формы поперечного, сечения бруса
(для бруса прямоугольного сечения Л-~1,2).
Второе слагаемое в выражении (58) учитывает влияние поперечных сил.
Если длина I образца более чем в 10 раз превосходит высоту h поперечного
сечения бруса (Z > ЮЛ), то поправка, вносимая вторым слагаемым, незначи-
тельна. Если длина образца относительно невелика (Z < 5Л), то формулы (57)
и (58) становятся неточными.
В случае, если в наиболее напряженных частях образца возникнут пласти-
ческие деформации, характеристика образца перестает быть линейной, однако
отклонение характеристики от прямой (фиг. 190) будет замечено наблюдателем
только тогда, когда пластические деформации уже охватят значительные объемы
материала в окрестности точек А и В, Области пластических деформаций на
фиг. 191 помечены пунктирной штриховкой.
Если образец выполнен из материала, подобного малоуглеродистой стали,
то наблюдать его разрушение при изгибе большей частью не удается. При
достижении достаточно больших значений силы Р перемещения становятся столь
значительными, что образец может соскользнуть с опор (фиг. 192).
Из всего сказанного следует, что использование образцов, работающих на
изгиб, при материалах, подобных малоуглеродистой стали, не может быть
рекомендовано, так как в результате таких испытаний не удается получить
значения разрушающей нагрузки. При исследовании свойств материалов, подоб-
206
Механические свойства металлов при статических нагрузках
ных серому литейному чугуну, часто пользуются испытанием на изгиб в каче-
стве технологической пробы для сравнения свойств аналогичных материалов
разных марок (например, при сравнении качества чугуна различных плавок).
деформаций
Фиг. 191. Упругая и пластические
зоны в наиболее напряженной части
образца при изгибе.
Мцзг.
Образцы и условия проведения таких испы-
таний должны быть совершенно одинако-
выми. В качестве критерия для сравнения
материалов используют нагрузку, ломающую
образец, и наибольший прогиб образца,
возникающий в момент, предшествующий
его разрушению. Существуют методы [19]„
позволяющие по значению разрушающей на-
грузки определять напряжения в опасном
сечении изгибаемого бруса (см. т. II), однако
для применения этих методов требуется
предварительное изучение свойств данно-
го материала при одноосном растяжении и
сжатии.
2. На фиг. 193 представлен цилиндрический сплошной образец, работающий
на кручение. Напряженное состояние образца неоднородное, двухосное (чистый
сдвиг).
Наиболее напряженными являются точки у поверхности. При испытании на
кручение производится регистрация относительных угловых перемещений сече-
ний А и В и моментов
деформирующих образец.
Если перемещения малы
и материал подчиняется за-
кону Гука, наибольшие на-
пряжения могут быть вычис-
лены по формуле
да)
16
где d — диаметр образца.
На фиг. 193 изображена
эпюра изменения касатель-
ных напряжений воз- фиг. 193 Сильно деформированный образец, выпол-
никающих в поперечных ненный из пластичного материала
сечениях образца.
Между угловыми перемещениями с? сечений А и В, отстоящими друг от
друга на расстоянии Z, и моментами Йк существует линейная зависимость:
№1
°-зГ
(60)
В этом выражении G — модуль упругости второго рода.
Данной зависимостью можно воспользоваться для определения значений мо-
дуля упругости второго рода G. Для этой цели на двух достаточно удаленных
от головок образца сечениях устанавливают угломер С. В. Бояршинова (см.
фиг. 149, б) или укрепленные на специальных струбцинах зеркальца угломера
Мартенса (см. фиг. 148,6'). Расстояние между этими сечениями I называется
базой образца (описание угломеров дано в § 2 настоящей главы).
Если образец выполнен из материала, близкого по свойствам к мало-
углеродистой стали, разрушение происходит при весьма больших перемещениях
(в некоторых случаях число полных оборотов сечения А по отношению к се-
чению В достигает нескольких десятков). Вследствие этого установление теоре-
тической зависимости между касательными напряжениями в поперечных сечениях
Получение характеристик материала при различных напряженных состояниях 207”
и моментами 3)?, с одной стороны, и угловыми деформациями (углами сдвига
и угловыми перемещениями <р — с другой, затруднительно. В этом случае по-
строение характеристики материала = F по характеристике образца*
весьма сложно [20], [29].
Если материал образца не подчиняется закону Гука, но перемещения отно-
сительно невелики (поперечные сечения остаются плоскими и радиусы их не
искривляются), можно, располагая зависимостью между моментами и углами*
кручения ср, называемой диаграммой кручения, построить диаграмму сдвига.
В этом случае также могут быть вычислены значения предела текучести
и предела прочности ть.
Рациональный метод построения по диаграмме кручения диаграммы сдвига
и способ определения по разрушающему моменту предела прочности изложен*
в § 5 настоящей главы.
Фиг* 193. Цилиндрический образец при кручении. Распределение
напряжений в поперечном сечении образца в случае, если
Напряженное сосюяние материала — чистый сдвиг.
Несмотря на неприменимость формулы (59) при нагрузках, превышающих,
предел упругости, весьма часто, при анализе результатов испытаний цилиндри-
ческих образцов на кручение, величину наибольшего касательного напряжения^,
возникающего в поперечном сечении образца и соответствующего разрушаю-
щему моменту, все же определяют по формуле (59). Вычисленное таким обра-
зом напряжение называют пределом * прочное i и или временным сопротивлением»
при кручении. Так как материал образца обычно перестает следовать закону*
Гука задолго до разрушения, подобного рода вычисления лишены всякого смысла.
Из изложенного ясно, что определять предел прочности при кручении»
(чистом сдвиге) удобнее, испытывая тонкостенные трубки (см. фиг. 183 или 168).
В заключение отмётим, что иногда свойства материалов характеризуют дан-
ными испытаний образцов, напряженное состояние которых весьма сложно.
Установление в этих случаях аналитической зависимости между действительными»
напряжениями и деформациями в какой-либо точке образца и нагрузками, дейст-
вующими на образец, даже при малых перемещениях и соблюдении закона*
Гука весьма затруднительно. Если же при испытании таких образцов возникают-
пластические деформации и перемещения значительны, то установление упомя-
нутой зависимости столь сложно, что в каждом отдельном случае составляет-
отдельную проблему.
К числу таких испытаний относятся испытания на срез (фиг. 194), на сжа-
тие образцов между плоскими плитами (фиг. 195), на вдавливание в образец
твердого тела, например шарика (проба Бринеля), на растяжение проволоки
с узелком и т. п. Данные этих испытаний могут быть с успехом использованы
для сравнения лишь некоторых свойств материалов (технологические пробы), но*
они не могут служить для получения действительных характеристик материалов.
Явления, происходящие при сжатии сплошных цилиндрических образцов;
с плоскими торцами, будут описаны в § 4 настоящей главы. По этому воп-
росу см. также [17].
208
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Из рассмотрения различных примеров испытаний материалов при разнотип-
ных однородных напряженных состояниях (число таких примеров не является
ограниченным; в настоящей главе описаны лишь наиболее интересные и типич-
ные случаи), а также нескольких примеров испытаний при неоднородных напря-
женных состояниях можно сделать ряд выводов, касающихся общих требова-
ний как к экспериментальным установкам для изучения свойств материалов, так
и к конструкции образцов этих материалов.
Перечислим основные требования, которым должны удовлетворять устрой-
ства, предназначенные для исследования характеристик материалов при различ-
ных напряженных состояниях.
1. Размеры образцов должны быть достаточно большими, что обеспечивает:
а) получение данных, не зависящих от индивидуальных особенностей отдельных
зерен материала, и б) высокую точность замеров перемещений.
Фиг. 194. Установка д~я
испытания на срез.
Фиг. 195. Испытание цилиндрического образца с плоскими
торцами на сжатие; напряженное состояние весьма сильно
отличается от одноосного сжатия:
а — образец резины до и после испытания; А А — торцы образца;
ВВ — следы касания боковой поверхности с плитами пресса при силь-
ном сжатии; б— образец резины при сильном сжатии; в — образец мало-
углеродистой стали после обжатия; светлый кружок — бывший торец.
2. Напряженное состояние образцов должно быть однородным. Местные
напряжения, возникающие в местах закрепления образца, должны" быть мини-
мальными.
3. Нагружение образцов должно быть простым [9], [18]. В случае применения
двухкомпонентного или более сложного нагружения нагрузки должны изме-
няться синхронно, что обеспечивает подобие напряженного состояния материала
образца в любой стадии испытания.
4. На протяжении основной части испытаний (до достижения предела текуче-
сти) форма образца должна быть устойчивой. Возможность искривления оси
образца, сплющивания трубчатого образца или возникновение вмятин или складок
должны быть исключены. Коренные изменения формы образца (появление шейки
у сплошных образцов, местные выпучины на трубчатых образцах и т. п.) могут
<быть терпимы только при достаточно больших пластических деформациях.
5. Диапазон изменения типов напряженных состояний в данной установке
должен быть достаточно широк, что обеспечивает возможность получения меха-
нических характеристик материалов при разнообразных напряженных состояниях.
В качестве примера установок, в которых соблюдаются все перечисленные
условия, можно привести устройства для испытания сплошных и трубчатых
образцов при трехосных напряженных состояниях, описанные в пп. 8, 9 и 10
раздела А настоящего параграфа [18].
§ 4. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ОДНООСНОМ НАПРЯЖЕННОМ
СОСТОЯНИИ
Как будет показано в гл. VI, т. I, для осуществления расчетов деталей,
материал которых находится в произвольном напряженном состоянии, необхо-
димо располагать исчерпывающими данными, характеризующими сопротивление
материала при одноосных напряженных состояниях — растяжении и сжатии.
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии
209
Одноосное напряженное состояние полностью определяется величиной и зна-
ком главного напряжения аи, а соответствующее деформированное состояние —
величиной и знаком главной деформации sz и коэффициентом Пуассона рь.
В § 3 настоящей главы было выяснено, что одноосное однородное напря-
женное состояние проще всего осуществляется путем нагружения прямых брусьев
осевыми силами при их растяжении (см. фиг. 156) и сжатии (см. фиг. 162).
А. Одноосное растяжение
Как было указано ранее, в основном существуют два способа получения
характеристики образца при растяжении. В первом случае зависимость 8 = F(P)
между удлинениями 8 и осевыми нагрузками Р образца, изображенного на
фиг. 196, вычерчивается при помощи специального приспособления (см., напри-
мер, фиг. 147); во втором случае эта зависимость должна быть построена на
основании ряда замеров нагрузок и соответствующих им перемещений.
1 Рассмотрим, как по механически записанной характеристике образца, или
так называемой машинной диаграмме (кривая ОД'В'С' на фиг. 196), построить
характеристику материала при одно-
осном растяжении = f (a)z.
Предположим, что модуль упру-
гости Б материала образца известен
(см., например, п. 1 предыдущего
параграфа).
Проведем из начала координат
прямую линию (линия ON на
фиг. 196), уравнение которой
/о ’
В этом выражении Zo — длина
образца; Ло— площадь поперечного
сечения образца до нагружения;
8 — осевое относительное перемеще-
ние головок образца.
Фиг. 196. Исправление автоматически записан-
ной характеристики образца:
ОА'В'С'— записанная характеристика; ОАВС — испра-
вленная характеристика.
Линия ОМ, являющаяся продолжением начального прямолинейного участка
диаграммы или касательной к кривой ОА'В'С' в начале координат, наклонена
к оси 8 под меньшим углом, чем линия ON, так как, помимо деформаций об-
разца, самопишущий прибор регистрирует упругие деформации некоторых
деталей машины, реверса и т. д.
Проведем ряд горизонталей и перестроим диаграмму, сместив все точки ее
влево на величины, соответствующие горизонтальным отрезкам, заключенным
между лучами ON и ОМ. Полученная диаграмма ОАВС представляет собой
характеристику образца, освобожденную от влияния деформаций * деталей
машины и реверса.
Характеристика образца может быть разделена на три участка: ОА, АВУ и ВАС.
Первый участок ОА характерен работой образца в. пределах упругости.
Пластические деформации в этой стадии нагружения возникают лишь в отдель-
ных частицах материала образца вследствие неблагоприятной ориентировки этих
частиц, их пониженной механической прочности, что способствует появлению
пластических деформаций еще при малых нагрузках. Чем больше таких пласти-
чески деформирующихся частиц в материале образца, тем раньше будет заметно
на характеристике образца отклонение от закона Гука. ' .
С увеличением нагрузки число пластически деформированных частиц воз-
растает.
У некоторых материалов нарушение линейной зависимости при малых напря-
жениях хорошо заметно (серый литейный чугун), однако у ряда материалов
14 Пономарев и др. 407
210
Механические свойства металлов при статических нагрузках
(железо, сталь, медь, латунь) существенное отклонение от закона Гука может
быть заменено только при относительно больших напряжениях.
Второй участок АВХ характеристики часто называют зоной упрочнения. Уп-
ругие деформации в этой области значительно меньше остаточных, и большин-
ство частиц материала деформируются пластически.
Точка А на характеристике, соответствующая нагрузке, при которой пла-
стические деформации образца принимают массовый характер и охватывают
большинство его частиц, является границей между первым и вторым участками.
Из сказанного ранее ясно, что граница эта редко бывает резкой, обычно имеет
место более или менее плавный переход от первого участка ко второму. Однако
в некоторых случаях, например у малоуглеродистых сталей, граница между
первым и вторым участками характеристики хорошо заметна.
Вторая стадия деформации растягиваемого образца характерна довольно
заметными и в то же время равномерными изменениями его размеров (увеличе-
нием длины и уменьшением поперечных сечений).
Третий участок ВУС характеристики отражает появление местного утонения
образца (шейки) (см. фиг. 156, б), причем пластические деформации сосредото-
чиваются около шейки [5], [22].
Границей между вторым и третьим участками обычно считают то место кри-
вой, где нагрузка достигает своего максимума — точка В на диаграмме фиг. 196
(строго говоря, шейка начинает возникать несколько ранее — точка В19 место-
положение которой установить трудно).
Когда цилиндрическая форма равновесия становится неустойчивой, напряжен-
ное состояние образца перестает быть однородным и одноосным. Таким обра-
зом, будем условно принимать, что испытание образцов в условиях однородного
одноосного напряженного состояния заканчивается по достижении нагрузкой
своего наибольшего значения.
Теперь рассмотрим построение по исправленной характеристике образца
(линия ОАВС на фиг. 196) характеристики материала:
= f (°z)-
Условная характеристика материала при растяжении
Если отнести нагрузки, действующие на образец, к начальной площади попе-
речного сечения Fo образца, а удлинения к начальной его длине /0, то по
формулам (1) и (2) получим
о, — ; (1а)
— (2а)
*0
Если на основании этих формул построить зависимость
ег = /(с2)>
тр построенный график представит собой так называемую условную характе-
ристику материала. На фиг. 197 изображена такая характеристика. Условная
характеристика материала по внешнему виду не отличается от характеристики
образца и также может быть разделена на три участка.
Границей между первым и вторым участками характеристики условились
считать ту точку, в которой остаточная деформация равна 0,002 см/см [ 1.1 ].
Допуск 0,002 см1см, определяющий предел текучести, является, вообще
говоря, произвольной, но общепринятой величиной. Изменения этого допуска
в ту или иную сторону могут повлечь за собой недоразумения при использо-
вании новых и уже имеющихся в литературе справочных данных по пределам
текучести.
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии 211
Фиг. 197. Условная характери-
стика материала при растя-
жении.
Напряжение, при котором пластическая деформация достигает значения
0,002 см1см, называется пределом текучести материала при растяжении и
обозначается asz.
Для определения значения asz следует отложить (фиг. 197) от начала коор-
динат отрезок ОА = 0,002 см/см и провести прямую, параллельную линии ON.
Точка А пересечения этой прямой с характеристикой определяет предел теку-
чести и отделяет первый участок диаграммы от второго.
Условное напряжение, соответствующее наибольшей нагрузке, отнесенной
к начальной площади поперечного сечения образца, называется пределом проч-
ности или временным сопротивлением:
°bz = —р---> (bl)
эту величину принято считать основной характе-
ристикой прочности материала.
Отрезок OD называется относительным удли-
нением после разрыва гь. Величину относитель-
ного удлинения после разрыва, выраженную в °/0,
определяют по формуле
Ч = Ю0’/о. (62)
Под длиной понимают длину образца после
разрыва при условии симметричного относительно
головок расположения шейки; Zo— начальная
длина образца. Величина е6, которой принято ха-
рактеризовать пластические свойства материала,
включает в себя местные деформации в районе шейки, зависит от начальной
длины образца Zo (чем образец длиннее, тем 86 получается из расчета меньше).
Поэтому для определения аь и получения сравнимых результатов используют
образцы, .длина которых Zo = 10J. Подобные образцы называются нормальными
десятикратными образцами. В случае невозможности изготовить десятикратный
образец пользуются упрочненным — пятикратным образцом.
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
•Н П111 1-1-1 | Н I > |-Н1 Mill-Mil нм
Т 2 k 6 8 10 12 1k 16 18 20 22 24 26 28 30
а)
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 2 7 29
-м-1 I I
О 2
-I—F-h-d—1 I I II II I I I I I i-l-t l- t I l i-H
18 20 22 24 26 28 30
Фиг. 198. Длинный образец для испытания материалов при растяжении:
а — вид образца до испытания; б — вид образца после испытания.
В случае, если относительное удлинение после разрыва предполагается опре-
делять не по характеристике материала, а непосредственно путем обмера разру-
шенного образца, рационально нанести на образце риски А В (см. фиг. 156, а).
В этом случае Zo — расстояние между рисками — является базой образца. Удлинения
образца измеряются на длине Zo при условии симметричного расположения шейки.
Не следует думать, что при получении характеристики материала следует
обязательно использовать нормальные образцы. Чем больше длина образца Zo,
тем точнее результаты измерения перемещений и тем удобнее проводить испытания.
Только при определении значения еь для получения сравнимых результатов
необходимо применять десятикратные образцы. Поясним это примером. Допу-
стим, что диаметр образца d=10 мм и его длина 300 мм (фиг. 198, а).
14*
212
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Разделим образец на 30 делений ценой по 10 мм каждое. Для построения
характеристики будем измерять удлинения, например, на базе 200 мм. Пред^-
положим, что разрыв произошел на восьмом делении (фиг. 198, б), тогда,
откладывая от места разрыва в обе стороны по пяти делений, примем при
вычислении величины гь за базу образца его часть АВ. начальная длина кото-
рой Zo — 10J.
Форма головок на резуль-
таты испытаний не влияет, если
только переходы от головок
к образцу плавны и база
образца достаточно удалена от
концов образца.
Форма головок определяет-
ся только конструкцией за-
жима машины. *
Весьма часты случаи, когда
выполнение образцов с голов-
ками либо затруднено (испыта-
ние тонких * прутков), либо
невозможно (испытание прово-
локи).
В этих случаях вблизи за-
жимов к напряжениям от рас-
тяжения добавляются местные
напряжения смятия образца
губками зажима, поэтому раз-
рушение чаще всего происходит
в месте закрепления образца.
Вследствие сказанного опреде-
ляемый предел прочности по-
лучается заниженным. Кроме
того, искажается и величина
относительного удлинения
после разрыва. Отсутствие го-
ловок не отражается на харак-
Фиг. 199. Образцы для испытания листовых мате-
риалов:
а—плоский образец для испытания на растяжение листового
материала; б—приспособление для изготовления плоских образ-
цов с головками из листовой каленой стали; А — лента, подле-
жащая испытанию; В —массивные кондукторы; в — разорванный
образец стальной ленты без головок; г — разорванный образец
с головками; д — образец с головками, подготовленный к испы-
таниям.
теристике материала в преде-
лах первого и в начале второго
ее участков.
Пользуясь тем обстоятель-
ством, что изменение напря-
женного состояния образца
вблизи зажимов носит чисто
местный характер, при опре-
делении предела текучести, предела пропорциональности и модуля упругости
возможно пользоваться образцами без головок.
При конструировании зажимов для испытания проволоки следует заботиться
о том, чтобы было исключено перекусывание проволоки. Попытки выполнить
зажимы, обеспечивающие равнопрочность образца в зажимах и вне их, до сего
времени не увенчались успехом.
В случае невозможности изготовить образцы цилиндрической формы (при
исследовании свойств листового материала) приходится прибегать к плоским образцам
(фиг. 199, а). Плоские образцы подобно цилиндрическим следует снабжать голов-
ками с плавными переходами. Чем больше ширина образца В по сравнению с тол-
щиной Н, тем меньше уверенности, что образец равномерно нагружается по всей ши-
рине, поэтому цилиндрические образцы, безусловно, следует предпочесть плоским.
Для получения сравнимых результатов при определении относительного
удлинения после разрыва в результате испытаний плоских и цилиндрических
Изучение свойств Материалов при одноосном напряженном состоянии
213
образцов следует выбирать длину образца или его базы так, чтобы отноше-
ние у плоских образцов было таким же, как у нормальных десятикратных
цилиндрических.
Учитывая, что площадь поперечного
сечения плоского образца
равна Fo = ВН, длина нормального плоского образца может быть вычислена по
формуле ।
/0=h,3|/zb77. С J
Весьма часто возникает необходимость получения харак- — -----г-
тёристики материала тонкой стальной каленой ленты, приме-
няющейся для изготовления плоских и спиральных пружин.
Фиг. 200. Образцы для испытаний на растяжение хрупких материалов:
а —образен твердозакаленной инструментальной стали, разрушившийся около головки;
б — образец для определения предела прочности хрупких материалов.
При доведении до разрушения образца без головок, изготовленного из ленты,
по той же причине, что и у образца проволоки, определяемый предел проч-
ности получается заниженным. Для установления иЛинного значения предела
прочности необходимо из ленты изготовлять образцы с головками.
Может быть рекомендован следующий способ изготовления образцов с го-
ловками из такой ленты. Лента зажимается между двумя массивными стальными
Фиг. 201. Разрушенный образец твердозакаленной инструментальной
стали с предопределенным местом разрушения.
кондукторами (детали В на фиг. 199, б). Выступающие из кондукторов части
ленты А сошлифовываются. Тепло, возникающее при обработке, поглощается
кондукторами, и структура материала ленты не меняется.
На фиг. 199, в представлена фотография образца тонкой стальной лейты,
без головок. Для предотвращения от проскальзывания в зажимах на концах
образца точечной сваркой приварены пластинки той же ленты. На фиг. 199, г
представлена фотография образца с головками, изготовленного описанным выше
методом. Из рассмотрения фотографий видно, что образец без головок разру-
шился около зажимов, а образец с головками — в средней части.
При необходимости определения только модуля упругости, предела пропор-
циональности и предела текучести можно использовать в качестве образца
непосредственно отрезок ленты без головок, так как изменение напряженного
состояния вблизи зажимов носит чисто местный характер, а все измерения про-
изводятся на средней части ленты, удаленной от зажимов.
214
Механические свойства металлов при статических нагрузках
При испытании на растяжение весьма хрупких материалов — чугуна и осо-
бенно твердозакаленных сталей — разрушение происходит почти всегда около
головки образца, и предел прочности получается заниженным (фиг. 200, а).
В этом случае рекомендуется, вдобавок к образцам обычной формы, изготов-
лять образцы с предопределенным местом разрушения. Образец такого типа
Фиг. 202. Дополненная
диаграмма, получен-
ная при испытании
хрупкого материала
на растяжение.
результаты. Так, для
изображен на фиг. 200, б. Опыты с образцами углероди-
стой сталиУЮА, каленой до твердости~ 60, показали
при применении образца обычной формы obz = 16 000 кг/см2;
дополнительное исследование прочности этой стали на образ-
цах специальной формы показало, что a&z = 20 000 кг/см2.
На фиг. 201 представлена фотография разрушенного об-
разца твердозакаленной стали с предопределенным местом
разрушения.
Таким образом, для определения характеристики хруп-
кого материала следует полученную на обычных образцах
характеристику ОА (фиг. 202) дополнить, пользуясь ре-
зультатами испытаний образцов с предопределенным местом
разрушения. Часть характеристики АВ приводится на глаз
до уровня abz. При испытании хрупких материалов, обла-
дающих большей частью нестабильной структурой, необ-
ходимо не ограничиваться испытаниями трех — пяти образ-
цов, а испытывать достаточное их количество, усредняя
получения достоверных данных при испытании на растя-
жение твердозакаленной стали следует испытать не менее 10 обычных образ-
цов и 10 образцов с предопределенным местом разрушения.
Определение модуля упругости и предела пропорциональности должно про-
изводиться, как это будет описано далее, при помощи специальных приспособ-
лений. Пользоваться для этой цели механически записанной характеристикой
образца не рекомендуется.
Действительная характеристика материала
при растяжении [17]
Современная расчетная техника требует более детального изучения механи-
ческих свойств материалов. В частности, теория пластичности опирается на
действительные характеристики материала, отражающие зависимость между
напряжениями, вычисленными с учетом уменьшения размеров поперечного сече-
ния образца, и линейными деформациями (фиг. 203).
Для построения действительной характеристики воспользуемся эксперимен-
тально определенными значениями линейных деформаций в направлении оси z
образца е2:
ez — ezs Qze
(в этом выражении ezs — остаточная, a eze — упругая деформация). Учитывая,
что объем материала при пластических деформациях не меняется, а коэффициент
Пуассона его известен, можно найти поперечную деформацию епоп по формуле
епоп = Q&zs + V-Sze-
. Зная величину поперечной деформации, можно подсчитать измененную пло-
щадь поперечного сечения образца по следующей зависимости:
Г = Р0(1-|елоя|Л
В случае, если пластические деформации значительно больше упругих,
можно на основании принципа неизменности объема вычислять площадь F по
формуле
р = Fo
U + szs)
Действительные напряжения в поперечном сечении образца определяются по
формуле (1). Поправка на изменившуюся площадь становится существенной,
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии
215
только начиная со второго участка — от точки А (в первом участке эту поправку
вводить не имеет смысла), поэтому действительная характеристика отличается
от условной только в пределах второго участка. На фиг. 203 линия OAL
изображает действительную, а линия О АВ — условную характеристику мате-
риала. Точных данных для продолжения характеристики материала в третий
участок, вообще говоря, не имеется, так как напряженное состояние образца
становится сложным, а его форма претерпевает коренное изменение (образец
перестает быть цилиндрическим); однако в качестве весьма грубого приближе-
ния можно считать, что наибольшее напряжение материала при разруше-
нии — его действительный предел прочности равен частному от деления силы Рразр
на площадь поперечного сечения Fmln в самом тонком месте шейки:
те//2
Fmln=—(63)
где б/т1п — наименьший диаметр шейки;
= (64)
Полученное напряжение, по-видимому,
довольно близко к весьма стабильной
характеристике металла, которая назы-
вается его сопротивлением отрыву. На
вероятность существования такой харак-
теристики указывает Г. В. Ужик в одной
из своих работ [34].
В настоящее время имеется стремле-
ние создать физически обоснованную ста-
тистическую теорию, объясняющую законо-
мерности, связанные с разрушением образ-
цов.
Идея о статистической природе явления
Фиг. 203. Построение действительной
характеристики материала при растя-.
жении:
О АВС—условная характеристика, OALK — дей-
ствительная характеристика.
разрушения впервые высказана А. Александровым и С. Журковым [1].
К числу наиболее известных статистических теорий относятся теории Вей-
булла ]41], теория Т. А. Конторовой и Я. И. Френкеля [12] и Б. Б. Чечу-
лина [35].
В основу теорий положена гипотеза, что общее разрушение образца про-
исходит, когда среднее напряжение достигает значения „местной прочности",
т. е. прочности некоторого слабого „дефектного" места.
Таким образом, предположено, что прочность образца определяется прочно-
стью самого слабого места — „дефекта".
Слабые места или „дефекты" в упомянутых теориях мыслятся статистически
распределенными по всему объему образца, в материале которого они всегда
существуют ввиду неоднородности структуры, несовершенства технологии изго-
товления, наличия включений и т. п.
Основная величина, с которой оперирует Вейбулл,— вероятность S (а) разру-
шения материала при напряжении а.
Функциональную зависимость этой величины от напряжения а Вейбулл выби-
рает без физического обоснования. Приближенная расчетная формула, опреде-
ляющая величину напряжения, соответствующего разрушению, имеет вид:
Vn
В эту формулу входит постоянная Л, зависящая от природы материала
и типа напряженного состояния, и постоянная и, учитывающая характер распре-
деления „дефектов". Последняя постоянная называется степенью однородности
вещества. Из приведенной формулы следует, что при увеличении п влияние
объема V образца на величину напряжения, соответствующего разрушению,
216
>' Механические свойства металлов’ при статических нагрузках
ослабевает. У совершенно однородного тела без дефектов и=оо и,, следова-
тельно, прочность не зависит от объема образца.
Теория Вейбулла находит некоторое подтверждение опытами [37].
Физически более обоснованной является теория Т. А. Конторовой и
Я. И. Френкеля. Авторы этой теории нашли значение функции вероятности раз-
рушения образца в зависимости от объема, среднего количества дефектов
в единице объема и закона распределения „дефектов", по их опасности в отно-
шении прочности образца.
Как указано в работе [35], описываемая теория не свободна от недостатков.
Так, например, согласно теории Т. А. Конторовой и Я. И. Френкеля при
уменьшении объема образца прочность его беспредельно возрастает; выбранная
функция „распределения значений местной прочности" допускает отрицательные
значения напряжений, что лишено практического смысла.
Б. Б. Чечулин придал теории Т. А. Конторовой и Я. И. Френкеля большую
строгость, приняв более обоснованную функцию „распределения значений меч
стной прочности", определяемой опасностью единичного дефекта, т. е. прочно-
сти, которую имел бы образец, если бы причиной разрушения его стал бы
данный дефект. Первое самое грубое приближение расчетной формулы Б. Б. Че-
чулина дает приведенную выше расчетную формулу Вейбулла.
Таким образом, формула для определения разрушающего напряжения по Вей-
буллу обосновывается выводом Б. Б. Чечулина как первое приближение более
строгой и физически обоснованной статистической теории Б. Б. Чечулина
в случае, когда количество дефектов в объеме тела велико.
Необходимо отметить, что в настоящее время еще не имеется достаточного
фактического материала, позволяющего определить для применяющихся в маши-
ностроении материалов коэффициенты, входящие в расчетные формулы стати-
стической теории разрушения. Поэтому, несмотря на возникновение упомяну-
того нового направления теории прочности, на сегодняшний день о механических
свойствах материалов приходится судить по данным, полученным в результате
их непосредственных испытаний.
Вернемся к изучению третьего участка действительной характеристики мате-
риала.
Наибольшая деформация в месте разрыва может быть определена из условия,
что объем при пластической деформации не меняется.
Условие неизменности объема в предположении однородности напряженного
состояния наиболее деформированной части образца имеет вид:
(1-|-ez) (1 — еяол)2 = 1.
Наибольшая поперечная деформация возникает в наиболее суженном сечении
образца. В этом сечении диаметр образца может быть легко измерен после его
разрушения. Наибольшая поперечная деформация равна
поп — do
Подставляя значение гпоп в условие неизменности объема, определим наи-
большую остаточную продольную деформацию:
Я2 —/7 2
/ \ __^0 min
(es) действ • (65)
min
Полная линейная деформация в месте разрыва может быть приближенно
оценена как сумма наибольшей пластической и наибольшей упругой дефор-
маций:
//2_ w 2 р
f \ f \ | / \ 0 min I разр /ААЧ
уЬ) действ \&s) действ * \^е) действ л 2 г '
wmln "
В формулах (65) и (66) d0 — начальный диаметр образца.
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии
217
Второе слагаемое выражения (66) обычно значительно меньше первого.
Определив по зависимости (66) (*ь)дЛетв и по формуле (64) дМст„,
можно на диаграмме (см. фиг. 203) нанести точку К, приближенно характери-
зующую состояние материала наиболее напряженной части образца при разрух
шении.
Точку L действительной характеристики можно соединить с точкой К кривой
или даже прямой линией так, чтобы в точке L не получилось резкого излома
характеристики (фиг. 203).
Имеются попытки уточнения вопроса построения действительной характеристики
материала по данным испытания на растяжение [6], [30]. В частности, при
вычислении нормального напряжения, возникающего в наименьшем поперечном
сечении шейки, вводится поправка, учитывающая влияние формы шейки.
Следует считать, что взамен упомянутых уточнений более рационально искать
иные методы осуществления одноосного напряженного состояния, например путем
нагружения замкнутой тонкостенной трубки с сердечником внутренним давле-
нием. Большой интерес представляют испытания весьма тонкостенных трубок
в условиях осевого растяжения. Эти способы описаны в § 3 настоящей главы.
Натуральная характеристика при растяжении
В случае, если деформации весьма велики, они могут быть вычислены
с учетом изменения длины образца. А. Надаи [22] предложил вычисленные
таким образом деформации называть натуральными деформациями.
Натуральная деформация равна
^=(4='“т=2’30'^- <67>
К
В этом выражении /0— начальная длина образца; I—длина, соответствующая
измеряемой деформации.
Из выражения (67) легко установить связь между деформациями в обычном
понимании и натуральными деформациями:
гнат = In (1 + е) = 2,301g (1 + в). (68)
Характеристику материала, построенную в координатах <здейств* QHam> будем
называть натуральной характеристикой в отличие от действительной (коор-
динаты адейств^ е) и условной (координаты a, s).
На фиг. 204 иллюстрировано соотношение между s и енат. Из рассмот-
рения кривых видно, что при е < 0,2 различие между е и е нат незначительно.
При е=1 натуральная деформация составляет примерно 0,7s, поэтому в боль-
шинстве случаев инженерной практики введение понятия натуральных дефор-
маций не имеет смысла; однако при решении задач, когда возникают большие
деформации, использование натуральной характеристики материала может ока-
заться целесообразным.
На фиг. 205 приведены действительная и натуральная характеристики,
полученные путем пересчета условной характеристики образца пластичного мате-
риала. Методика построения действительной характеристики была изложена
ранее.
Натуральная характеристика построена на базе действительной характери-
стики (точка А натуральной характеристики соответствует точке А действи-
тельной).
На фиг. 206 построены условная, действительная и натуральная характери-
стики для совершенно упругого материала, объем которого при деформации
остается неизменным.
Заметим, что линейной условной характеристике в этом случае соответствуют
криволинейные действительная и натуральная характеристики.
218
Механические свойства металлов при статических нагрузках
На фиг. 207 показано, что материал, имеющий криволинейную условную
характеристику, может иметь прямолинейную натуральную характеристику.
Это обстоятельство в некоторых случаях может быть использовано для создания
простых методов расчета при наличии весьма больших деформаций (например,
при расчетах деталей из резины или пластикатов).
Ознакомимся теперь с методикой обработки данных испытания образца
с применением тензометров, установленных на самом образце.
Фиг. 204. Соотношение между дефор-
мациями в обычном понимании
и натуральными деформациями.
и натуральная характеристики пла-
стичного материала.
Как было указано, при таком способе исследования нагрузка на образец
увеличивается ступенями. При помощи тензометров замеряются изменения длины
изучаемого участка образца. Этот участок называется базой образца.
Фиг. 206. Условная, действительная и на-
туральная характеристики совершенно
упругого материала, объем которого при
деформации не изменяется.
Фиг. 207. Условная, действительная и на-
туральная характеристики материала
в случае, когда натуральная характери-
стика линейная.
При обработке результатов испытаний экспериментатор заполняет таблицу,
аналогичную табл. 12.
В графе 1 таблицы указаны значения нагрузок, приложенных к образцу.
Опыт начинается при некоторой начальной нагрузке Ро, а затем нагрузка уве-
личивается с интервалами ДР (удобно выбирать Ро кратным ДР0). Примем,
например, что Ро — 2ДР.
В графе 2 приведены показания тензометра. В графе 3 вычислены измене-
ния длины базы, соответствующие приращениям нагрузки ДР.
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии
219
Таблица 12
Обработка результатов испытания образца с целью определения модуля
упругости Е, предела пропорциональности <?рг и построения начальной части
характеристики образца
Нагрузка Показание тензометра Изменение длины базы Д ^испр или Д* 6 = ЕД испр
1 2 3 4 5
Ро - 2ДР Л1 — — —
Л = Л) + Д^ #2 «2— Д1
Р2-Р0+2ДР «3 а3 — а2 А2 02 = -j— А2
Р3 = Ро + ЗДР Л4 Л4 — «з Aj = ЗА j -j- Аз -|- Ад
Р4 = Р04-4ДР а$ &4 — 3Aj А2 -|- Ад 4- А4
. . . . . • . . . •
В случае применения сдвоенных тензометров их показания усредняются.
В этом случае в графе 3 вместо изменений длины базы (а2 — а}) приводятся
уточненные значения
+ («2 — Д|)
2
где и «2— показания пер-
вого, а «1 и аг — второго
тензометра.
На основании данных
граф 1 и 3 отроится кривая
зависимости приращений
перемещений от нагрузок
(фиг. 208, а). Кривая про-
водится так, что сглажи-
вается разбег точек, возни-
кающий вследствие неизбеж-
ных при производстве опыта
случайных ошибок.
Грубые ошибки (напри-
мер, первый замер на
фиг. 208, а) исключаются и
в расчет, не принимаются.
В результате обработки
данных испытания и no-
fl ДР 2ДР ЗАР ЬДР 5ДР 6ДР 7ДР дДР 9ДР 10ДР
Фиг. 208. Обработка результатов испытания образца
с целью определения модуля упругости Е и предела
строения кривой Д, = ф(Р)
(фиг. 208, а) заполняется
графа 4 табл. 12.
пропорциональности
а — материал подчиняется закону Гука; б—материал не подчиняется
закону "Гука.
В графе 4 приведены исправленные значения приращений перемещений,
соответствующие ординатам кривой Д, = ф(Р).
В графе 5 приведены изменения базы образца — перемещения о в зависимо-
сти от нагрузок Р.
Полученная кривая Д, = ф(Р) используется при построении начальной части
характеристики образца, а также для определения модуля упругости Е и пре-
дела пропорциональности apz [14].
Характеристика образца строится по данным графы 5. Если линия АВ
(фиг. 208, а) горизонтальна (что получается, если равным приращениям нагрузки
соответствуют равные приращения перемещений), то материал образца точно
следует закону Гука. В этом случае легко определить устойчивое приращение
чисто упругих перемещений Де, соответствующее интервалу нагружения ДР
/фиг. 208, а).
220
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Если Де определено, то модуль упругости легко вычисляется по формуле
Е =
ДР-/о
где Zo — длина базы;
Fo — площадь поперечного сечения образца до опыта.
Пределом пропорциональности называют то напряжение в поперечном
сечении образца, при котором материал перестает следовать закону Гука.
Ввиду того что невозможно точно наме-
тить ту нагрузку, при которой начинается от-
клонение от линейной зависимости между силами
Фиг. 209. Приспособление
для устранения перекосов
при закреплении образца,
испытываемого на растя-
жение:
1 — захват испытательной машины;
2—шарниры; 3—сменные разъем-
ные втулки; 4—образец.
Фиг. 210. Образец с установленным
на нем сдвоенным тензометром
С. В. Бояршинова.
и перемещениями, условились считать [11] предел пропорциональности достиг-
нутым, если приращение перемещения становится равным 15О°/о среднего устой-
чивого приращения Д^ в пределах пропорциональности (см. фиг. 208, а).
На фиг. 208, а проведена прямая, параллельная оси Р, отстоящая от нее
на расстоянии 1,5 Де. Точка С определяет нагрузку Рр, соответствующую пределу
пропорциональности.
При выборе интервала нагружения ДР следует учитывать, что для по-
строения кривой Д/ = ф(Р) необходимо иметь на интервале от Р=0 до
Р = Р не менее пяти замеров перемещений. При выборе излишне малого интер-
вала нагружения точность определения перемещений снижается. Обычно ДР
принимают равным 0,1—0,2 ожидаемого значения силы, соответствующей пре-
делу пропорциональности.
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии 221
Предел пропорциональности равен
__
apz ~ р»
(69)
В случае, если участок АВ кривой Д/ = ф(Р) не горизонтален (фиг. 208, б),
следует признать, что данный материал не подчиняется закону Гука и модуль
упругости для него определен быть не может; однако, если уклон линии АВ
невелик (фиг. 208, б), можно в некоторых пределах апроксимировать линию АВ
горизонтальной прямой. В этом случае модуль Е носит название условного
модуля упругости.
В заключение заметим, что весьма часто встречаются материалы, на условной
характеристике которых отсутствует третий участок. Это обстоятельство
указывает на малую пластичность данного материала. Разрушение образца
многих материалов происходит .при линейных остаточных деформациях, мень-
ших 0,002 см/см, В этих случаях предел текучести определен быть не может,
и единственной характеристикой прочности материала является предел прочности.
На фиг. 209 представлено приспособление, применяющееся в лаборатории
кафедры' „Сопротивление материалов" МВТУ при испытаниях на растяжение.
Как видно из чертежа, образец помещается между двумя шарнирными подве-
сками, почти полностью устраняющими влияние перекосов, возникающих при
непосредственном закреплении' головок образца в зажимах машины.
На фиг. 210 представлен образец с установленным на нем сдвоенным тен-
зометром С. В. Бояршинова. Образец закреплен в зажимах машины при помощи
описанного выше приспособления, устраняющего влияние перекосов.
Б. Одноосное сжатие
Обычно для осуществления одноосного напряженного состояния сжатия
пользуются цилиндрическими образцами, сжимаемыми между плоскими плитами
пресса (см. фиг. 195). При этом наблюдается ряд весьма сложных явлений,
влияющих на напряженное состояние образца,
жающими одноосное напряженное состояние, яв-
ляется трение между торцами образца и плитами
пресса, а также изгиб, который появляется
вследствие несовершенства формы образца, его
неоднородности и нецентральности приложения
нагрузки. Для подтверждения сказанного при-
ведем результаты ряда опытов, доказывающих
наличие сильного искажения формы образцов с
плоскими торцами при сжатии. На фиг. 195
иллюстрировано явление „выворачивания", имею-
щее место при сжатии образцов резины и пла-
стических металлов.
При сильном сжатии образцов пластических
материалов силы трения на торцах препятствуют
радиальному смещению материала вблизи опор-
ных поверхностей [17]. Средняя же часть
образца в радиальном направлении расширяется
относительно свободно. Поэтому боковая поверхность АВ образца (см. фиг. 195, а)
выворачивается, прижимаясь к плитам пресса (фиг. 195, б).
На фиг. 195, в хорошо заметен первоначальный торец образца малоугле-
родистой стали. При сильном сжатии образцов резины имеет место такое же
явление, однако после разгрузки первоначальная цилиндрическая форма восста-
навливается и на боковой поверхности образца хорошо заметны линии ВВ
(см. фиг. 195, а), отделяющие боковую поверхность от ее потемневшей части,
которая была прижата к плитам пресса.
На фиг. 211, а представлен недеформированный образец с плоскими тор-
цами и центральным сверлением, на фиг. 211, б показан тот же образец,
Основными причинами, иска-
Фиг 211 Образцы для испытания
на сжатие:
а — образец пластичного материала с пло-
скими торцами и центральным сверле-
нием; б — вид разрезанного деформирован-
ного образца.
222
Механические свойства металлов при статических нагрузках
разрезанный после обжатия. Обращает на себя внимание бочкообразная форма
наружной поверхности образца и искажение формы отверстия в средней части
образца. При более интенсивном сжатии здесь образуется входящая складка.
Наличие указанных причин заставляет расценивать данные, полученные при
сжатии образцов с плоскими торцами, как приближенные.
Как было указано в § 3, для получения действительных характеристик мате-
риалов при сжатии целесообразно применять толстостенные трубчатые образцы,
торцы которых имеют форму кони-
ческих поверхностей. Между пли-
тами пресса и торцами образца
помещаются каленые прокладки,
снабженные соответствующими кони-
ческими выступами (см. фиг. 162).
Угол а подбирается экспериментально
так; чтобы образец при сжатии со-
хранял свою цилиндрическую
форму [17].
Наиболее рациональная форма
образцов соответствует следующим
соотношениям между размерами об-
разца:
Фиг. 212. Приспособление для правильной
установки образцов при сжатии:
а — разрез; б — общий вид.
1= (1 -н 1,5)7);
d = 0,3 7).
(70)
Угол а для металлических шли-
фованных образцов, смазанных пу-
шечным салом, равен 4—6°.
Образцы указанной формы при
испытании на сжатие остаются ци-
линдрическими даже^ при весьма
больших пластических деформациях.
Для обеспечения правильной со-
осной установки образца и нажим-
ных плит применяется приспособле-
ние, представленное на фиг. 212.
Разрезная втулка А центрирует об-
разец В и нажимные плиты С.
Втулка сжата струбциной D, кото-
рая снимается после того, как к
образцу будет приложена небольшая
нагрузка. Обычно эта нагрузка при-
нимается равной 5—Ю°/о ожидае-
мого значения нагрузки, соответствующей пределу текучести.
Для определения модуля упругости и предела пропорциональности при
сжатии таких образцов приходится пользоваться тензометром с малой базой.
Это объясняется тем, что база тензометра ограничена длиной образца, увели-
чение же размера I неизбежно влечет за собой увеличение диаметра (см. сде-
ланное ранее замечание об оптимальном соотношении между длиной образца
и его диаметром), а следовательно, и площади поперечного сечения образца.
Увеличение же последнего требует применения более сильного пресса, на ко-
тором проводятся испытания.
Для определения предела пропорциональности и модуля упругости можно
применять более длинные образцы I < 37). При приближении напряжений к
пределу текучести такие образцы обычно искривляются.
Обработка результатов испытаний на сжатие производится точно так же,
как в случае испытания материалов на растяжение.
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии
223
При желании определить предел текучести и действительную характеристику
материала следует пользоваться механически записанной диаграммой испытания
(см., например, фиг. 213).
Полученная характеристика образца должна быть перестроена с внесением
поправки, исключающей влияние жесткости деталей пресса и подкладных плит.
Исправление характеристики
производится так же, как
это было указано в раз-
деле А „ Одноосное растяже-
ние* настоящего параграфа.
При испытании на сжа-
тие образцов различных ма-
териалов следует различать
два типичных случая. На
фиг. 213, а изображена ха-
рактеристика ОАВ образца
пластичного материала. Об-
разец расплющивается и фиг. 213. Характеристика образца при одноосном
разрушен быть не может. сжатии.
На фиг. 213, б представ-
лена характеристика OADC образца хрупкого материала. При достаточно боль-
шой нагрузке возникают трещины, сопротивление образца падает и образец
разрушается. Можно считать, что началу разрушения образца на характеристике
соответствует точка D.
Условная характеристика материала при сжатии
Пользуясь формулами (1а) и (2а), можно построить условную характери-
стику материала (фиг. 214). На фиг. 214, а представлена характеристика пла-
стичного, а на фиг. 214, б — хрупкого материала.
При построении характеристик материалов ординаты характеристик образцов
ОАВ и OAD (см. фиг. 213) делятся на площадь поперечного сечения недефор-
Фиг. 214. Условная характеристика материала
при сжатии.
мированного образца Fo.
Характеристика образца хруп-
кого материала после того, как
в образце образовались трещины,
не отражает свойств материала и
носит случайный характер, по-
этому строить условную характе-
ристику материала в зоне обра-
зования трещин не следует. В связи
со сказанным, кривая OADC (см.
фиг. 213, б) перенесена на
фиг. 214, б только в части OAD.
Пределом прочности при
сжатии хрупких материалов abd на-
зывают частное от деления наи-
большей нагрузки, предшествующей появлению первых трещин, на площадь
начального поперечного сечения образца:
_ ___ max
(71>
При испытании на сжатие пластичных материалов предел прочности определен,
быть не может. Сильное сжатие (расплющивание) образца между двумя конусо-
образными прокладками приводит к их сближению. Высота образца уменьшается,
и влияние сил трения на торцах даже при наличии смазки и при правильно по-
добранных углах (см. фиг. 162) становится весьма значительным. Это обстоя-
тельство не дает права считать напряженное состояния такого расплющенного-
224
Механические свойства металлов при статических нагрузках
образца одноосным и однородным (подобная же картина наблюдается у обыкно-
венных цилиндрических образцов с плоскими торцами, но при значительно
меньших нагрузках).
Весьма вероятно, что при осуществлении одноосного однородного сжатия
каким-либо иным способом возможно получение разрушения и для пластичных
материалов.
Предел текучести при сжатии определяется так же, как и при растяже-
нии. Для этого от начала координат условной характеристики материала
(фиг. 214) по оси sz откладывается отрезок, равный 0,002 см/см. Затем
проводится прямая, параллельная линейной части характеристики. Пересечение
этой прямой с линией ez = /(a) определяет предел текучести asd (точка Л).
Обычно на машинных диаграммах масштаб по оси перемещений довольно
мелок (на наиболее крупных диаграммах обычно 1 мм соответствует 0,01 мм).
С другой стороны, вследствие небольшой начальной длины образцов величина.
0,002/0 весьма мала (например, при /0= 15 мм О,ОО2/о=ЗО мк). Учитывая
сказанное, определять предел текучести по диаграмме затруднительно.
Для определения предела текучести при сжатии можно рекомендовать метод
последовательных нагружений равными ступенями с разгрузкой и обмером об-
разца при помощи оптического миниметра с ценой деления 1 мк. Предел теку-
чести считается достигнутым, когда сумма остаточных перемещений станет
равна О,ОО2/о.
После определения предела текучести исследование образца может быть
продолжено и, в частности, при его дальнейшем испытании может быть полу-
чена автоматически записанная машинная диаграмма.
Действительная характеристика материала при сжатии
[16], [17]
При более детальном изучении свойств материалов, а также при необхо-
димости выполнения расчетов за пределами применимости закона Гука требуется
построение действительной характеристики материала. При одноосном сжатии
для этой цели используются экспериментально полученные значения линейных
деформаций в направлении оси z образца:
8z = &zs eze>
где, как и раньше, — остаточная, a eze— упругая деформация. Учитывая,
что объем материала при пластических деформациях не меняется, а коэффициент
Пуассона его известен, можно, как и в случае одноосного растяжения, вычис-
лить поперечную деформацию по формуле
е„оП = Q'5szs + V"sze'
Зная величину поперечной деформации, следует подсчитать измененную
площадь поперечного сечения образца:
F=F0(l-Hen(J)2- (72)
В случае, если пластические деформации значительно больше упругих, можно
на основании принципа неизменяемости объема вычислять площадь F по формуле
F___
(l~ezs)
Действительные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле
(1). Поправка на изменение площади существенна только за пределом текучести.
При сильном изменении высоты образца, связанным с его расплющиванием,
влияние сил трения искажает напряженное состояние, поэтому в данном случае
характеристика материала полностью построена быть не может.
Если в процессе испытания образца .выясняется, что он разрушен быть не
может, рекомендуется, не расплющивая его чрезмерно [(s2s)max < 5О°/о], разгру-
зить, обмерить и, пользуясь результатами обмера, проверить последнюю точку
на характеристике.
Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии
225
Допустим, что диаметры разгруженного образца равны Dmax и dmax; тогда,
вычислив по этим диаметрам Fmax, можно определить напряжение, соответствую-
щее последней точке характеристики:
max
max
Наибольшая деформация, соответствующая этой точке,
______________________________। Е тах
4) Fmax Е
где /0 — начальная, а 1г — конечная длина об-
(73)
(74)
В формуле (74) Д/=/о—
разца. Второе слагаемое выражения (74) обычно значительно меньше первого.
Если в образце возникли трещины, испытание следует считать законченным.
Как было указано, участок DC на характеристике образца (фиг. 213, б) для
исследователя интереса не представляет и не должен наноситься на условной
и тем более на действительной характеристике материала.
Весьма часто при продолжении обжатия разрушенного образца удается полу-
чить второй и даже .третий максимумы нагрузки. Указанные нагрузки не харак-
терны ьс точки зрения свойств материала; они отражают процесс разрушения
обломков образца.
При изучении свойств материалов при сжатии путем испытания образцов
с плоскими торцами (см. фиг. 195) следует иметь в виду, что вследствие влия-
ния сил трения, возникающих на торцах образца, напряженное состояние не
является однородным. Образец при обжатии теряет правильную цилиндрическую
форму и становится бочкообразным. Наличие сил трения делает образец более
прочным и более жестким. Влияние сил трения становится особенно заметным
тогда, когда в^материале образца начинаются массовые пластические деформации.
Уменьшение жесткости образца за счет пластических деформаций компенси-
руется увеличением жесткости благодаря влиянию сил трения. Таким образом,
выпрямление характеристики, подробно описанное ранее на примере обжатия
пружины, имеет место и в этом случае.
При испытании на сжатие образцов с плоскими торцами получаются не-
сколько завышенные значения предела текучести asd и предела прочности <sbd.
Предел пропорциональности apd и модуль упругости Е при сжатии следует
определять, используя длинные (/ = 3d) образцы с коническими опорными по-
верхностями.
Натуральная характеристика при сжатии
Так же как и при растяжении, характеристика материала при сжатии
Фиг. 215.
ральная
Условная, действительная и нату-
характеристики образца резины
средней твердости.
^m = -ln(l-e)=-2,301g(l-e).
На фиг. 115 приведены условная,
действительная и натуральная харак-
теристики, полученные при испытании на сжатие образца резины средней твер-
дости [7]. Точки А на характеристиках соответствуют наибольшим напряже-
ниям и деформациям, имевшим место в процессе нагружения.
15 Пономарев и др. 407
226
Механические свойства металлов при статических нагрузках
§ 5. ИЗУЧЕНИЕ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ДВУХОСНОМ НАПРЯЖЕННОМ
СОСТОЯНИИ „ЧИСТЫЙ СДВИГ"
Напряженное состояние „чистый сдвиг" весьма часто встречается в инженер-
ной практике (см. гл. VI, т. I).
На фиг. 216 представлен элементарный объем материала, находящегося
в напряженном состоянии „чистый сдвиг". Элемент а ограничен главными сече-
ниями, элемент б — одним главным сечением и двумя сечениями, наклоненными
к главным под углом 45°.
Главные напряжения ар а2, а3 и наибольшие касательные напряжения т
связаны между собой известными соотношениями (см. гл. I, т. I):
а)
6)
Фиг. 216. Элементарный объем мате-
риала, находящегося в напряженном
состоянии „чистый сдвиг*.
«1 = — сз = | т I; а2 — 0.
Связь между главными деформациями ер
е2, е3 и наибольшими угловыми деформациями
(углами сдвига) у дается уравнениями:
е2 = 0. *
е1 — —е3
Обычно характеристикой материала при
„чистом сдвиге" или диаграммой сдвига
называют зависимость между наибольшими
угловыми деформациями у и наиболь-
шими касательными напряжениями т.
Напряженное состояние „чистый сдвиг" представляет собой частный случай
двухосных напряженных состояний. С этой точки зрения название „чистый
сдвиг" нельзя признать удачным, однако повышенный интерес, который прояв-
ляют экспериментаторы к прочностным и пластическим свойствам материалов
именно при этом напряженном состоянии, объясняется тем, что при „чистом
сдвиге" касательные напряжения достигают наибольшей возможной по сравне-
нию с главными нормаль-
ными напряжениями вели-
чины.
Шаровой тензор напря-
жений (см. гл. I, т. I) в
этом случае равен нулю.
Девиатор напряжений совпа-
дает с ‘тензором напря-
жений.
Круговая диаграмма пре-
дельных напряженных со-
стояний при „чистом сдвиге"
занимает центральное место
на диаграмме предельных
напряженных состояний (см.
фиг. 267, гл. VI, т. I).
Как было показано в
§ 2 настоящей главы, изу-
Фиг. 217. Нагружение бруса с целью осуществле-
ния двухосного смешанного напряженного состояния
„чистый сдвиг*.
чение свойств материалов рациональнее всего производить на образцах, нахо-
дящихся в однородном напряженном состоянии.
Многочисленные попытки нагружения бруса поперечными силами с целью
осуществления однородного напряженного состояния „чистый сдвиг" следует
признать неудачными, так как при подобном нагружении (см., например, фиг. 194)
возникает весьма сложное неоднородное напряженное состояние, весьма далекое
от „чистого сдвига".
Весьма интересен способ осуществления „чистого сдвига", предложенный
Э. Кокером и Л. Файлоном [10] (фиг. 217). Несмотря на то, что в рассмат-
Изучение свойств материалов при двухосном напряженном состоянии
227
риваемом случае элемент бруса, ограниченный близкими сечениями А, В, работает
в условиях „чистого сдвига", изучение свойств материалов путем нагружения
бруса моментом и силой так, как это показано на фиг. 217, нерационально
вследствие неоднородности напряженного состояния по высоте сечения бруса
(см. эпюру касательных напря-
жений). Заметим, что Э. Кокер
и Л. Файлон использовали
предложенный ими способ на-
гружения не для получения
характеристики материала при
чистом сдвиге, а для изучения
оптическим методом распреде-
ления касательных напряжений
при изгибе коротких брусьев.
Как было указано в § 3
настоящей главы, свойства ма-
териалов при „чистом сдвиге"
удобнее всего изучать на круг-
лых образцах при их закручи-
вании. Можно считать, что в
тонкостенных трубчатых образ-
цах достигается однородное
напряженное состояние, по-
Фиг. 218. Тонкостенные трубчатые образцы, дефор-
мированные при испытании на кручение:
а—образец без сердечника; б — образец с сердечником; в—сер-
дечник.
скольку небольшим изменением напряжений по толщине стенок трубки можно
пренебречь.
При испытании пластических материалов трубчатый образец при закручива-
нии до разрушения доведен быть не может, так как разрушению предшествует
потеря устойчивости — трубка сминается.
На фиг. 218, а представлена фотография полого тонкостенного (£> = 22 мм,
$=1 мм) образца, потерявшего правильную цилиндрическую форму при ис-
пытании на кручение.
Фиг. 219. Образцы твердозакаленной стали, разрушенные
при испытании на кручение.
На фиг. 218, д’ изображен такой же образец, но испытанный со вставленным
внутрь его сердечником (фиг. 218, в). Сердечник состоит из стержня с нанизан-
ными на него бронзовыми кольцами (посадка скользящая). Наличие сердечника
отдаляет, но не исключает момент возникновения складок.
15*
228
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Образцы хрупких материалов могут быть доведены до разрушения. На
фиг. 219, б представлена фотография тонкостенного трубчатого образца твердо-
закаленной стали, разрушенного при испытании на кручение. Рядом (фиг. 219, а)
изображена часть сплошного образца из того же материала.
Сплошные образцы могут быть всегда доведены до разрушения вне зави-
симости от свойств материала, из которого
Фиг. 220. Образцы, разрушенные при испытании
на кручение.
они изготовлены.
На фиг. 220, а дана фотогра-
фия образца малоуглеродистой
стали, разрушенного при закру-
чивании. Для образцов пластичных
материалов характерным является
разрушение по плоскости, пер-
пендикулярной к оси образца.
На фиг. 220, б изображен обра-
зец серого литейного чугуна. Как
видно из рассмотрения приведен-
ной фотографии, разрушение.про-
изошло по винтовой поверхности.
Аналогично разрушаются и сплош-
ные образцы твердозакаленной
стали.
В случае использования весьма длинных образцов (Z > 20^0 при достижении
больших нагрузок прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой —
ось образца может принять форму винтовой линии, что искажает результаты ис-
пытаний.
А. Получение характеристики материала при „чистом сдвиге"
Существуют два способа получения характеристики образца при кручении.
В первом случае зависимость между угловыми перемещениями и моментами,
действующими на образец (см. фиг. 183 и 193), вычерчивается специальным
пишущим механизмом; во втором случае эта зависимость строится** на основании
ряда замеров нагрузок и соответствующих им перемещений.
Рассмотрим, как по механически записанной характеристике образца или ма-
шинной диаграмме (кривая О А'В' на фиг. 221) построить характеристику мате-
риала при чистом сдвиге.
Предположим, что модуль упругости G мате-
риала известен.
Проведем из начала координат прямую ли-
нию ON, уравнение которой
*0
В этом выражении /0 — длина, Jp — полярный
момент инерции поперечного сечения образца.
Линия 0714, являющаяся продолжением началь-
ного прямолинейного участка диаграммы или ка-
сательной к кривой ОА'В' в начале координат,
наклонена к оси ср под меньшим углом, чем ли-
ния ON, так как, помимо деформаций образца,
самопишущий прибор регистрирует упругие де-
формации егоголовок, некоторых деталей испытательной
Проведем ряд горизонталей и перестроим диаграмму так
указано в разделе А параграфа 5 настоящей главы.
^Полученная диаграмма О АВ (фиг. 221) представляет собой характеристику
образца.
Так же как и на характеристике образца при растяжении, в рассматри-
ваемом случае на диаграмме могут быть отмечены два основных участка О А и АВ.
Фиг. 221. Характеристика об-
разца, автоматически
ная при
испытании
чение.
записан-
на кру-
машины
же, как это было
и т. д.
Изучение свойств материалов при двухосном напряженном состоянии
229
Участок ОА характеризует деформацию образца в пределах упругости,
а участок АВ соответствует его упруго-пластическим деформациям (зона
упрочнения).
Граница между первым и вторым участками чаще всего не бывает резкой;
однако в некоторых случаях ее можно наблюдать (малоуглеродистая сталь).
В конце второго участка при применении сплошных образцов деформации
перестают быть одинаковыми по длине бруса — наблюдается сосредоточение
пластических деформаций в том месте, где при более высокой нагрузке проис-
ходит разрушение образца. Описанный факт долго оставался незамеченным. На
него обратили внимание М. В. Якутович и Ф. П. Рыбалко [27]. Опыты указан-
ных авторов над образцами сталей ЭЮ и 40ХНМФА при различной термической
обработке последних показали, что при испытании на кручение цилиндрических
сплошных образцов имеет место неравномерное распределение пластических
деформаций по длине образца. Описанное явление иногда остается неза-
метным у высокопрочных материалов, а также при наличии на поверхности
образца дефектов, приводящих к преждевременному разрушению. Наибольшая
локализация пластических деформаций наблюдается у хрупко-пластичных мате-
риалов.
Приступим теперь к выводу зависимости между крутящими моментами и
наибольшими касательными напряжениями, возникающими в поперечных сечениях
сплошного образца.
Все дальнейшие выкладки основаны на обычных в теории кручения пред-
положениях о неискривлении при деформировании образующих, радиусов и
поперечных сечений образца. Перечисленные предположения, особенно первое,
справедливы лишь для небольших перемещений и деформаций (если угол закру-
чивания на Единицу длины бруса -у < 0,2 рад/см или ~ 10 zpadlcjt'j.
Представим себе, например, образец, длина которого /=200 мм, диаметр
d=20 мм. При закручивании этого образца на угол ср = 200° угол сдвига
равен 10°, а угол закручивания на единицу длины образца у = 0,18 рад/см.
Образующие такого образца лишь приближенно могут считаться неискривлен-
ными.
Как известно, крутящий момент представляет сумму моментов внутренних
сил, возникающих в поперечном сечении бруса. Математически это может быть
выражено следующим образом:
Мкр = У x?dF-
На основании упомянутых выше предположений можно написать [2]:
у d , dy d
р — — • ~2 > у ’ "2" ’
илах Imax
где -у — угол сдвига на расстоянии р от центра;
Тшах — наибольший угол сдвига при р = у.
Учитывая, что dF=2icpdp, выражение для крутящего момента принимает
вид:
Ln ах
^imax
п0 Ттах и
Дифференцируем левую и правую части последнего выражения
dM dM.
учитываем, что -^-7 = где ?—Угол кручения, и что внутренний кру-
тящий момент Мкр равен внешнему моменту 2R, действующему на брус. После
элементарных преобразований получим формулу для определения наибольших
230
Механические свойства металлов при статических нагрузках
касательных напряжений в поперечных сечениях круглого сплошного образца
при небольших перемещениях и деформациях:
4 Го Yn .
== —I ЗЙК --------з— ф
2Г twZ3 [ 1 а<р ‘
(76)
Для вычисления углов сдвига по углам закручивания пользуемся обычным
соотношением [формула (42)].
Вычерчивание диаграммы сдвига удобно производить при помощи следую-
щего графического построения (фиг. 222).
Проводим в какой-либо точке К характеристики образца касательную КВ.
Из точки В пересечения касательной с осью 3ft проводим горизонталь ВС.
Фиг. 222. Графическое построение диа-
граммы сдвига по характеристике круглого
сплошного образца при кручении.
Фиг. 223. Характеристика
при „чистом сдвиге" Ийи
сдвига.
материала
диаграмма
Отрезок КС = ВС tga = ср; отрезок KD — W?.
Используя формулы (76) и (42), наносим точку на диаграмме сдвига
(фиг. 223).
После построения характеристики материала может быть определен предел
текучести при чистом сдвиге т5.
Пределом текучести при чистом сдвиге условились считать то напряжение,
при котором остаточная деформация становится равной 0,003 радиана.
Допуск 0,003 радиана, так же как и соответствующий допуск, определяющий
предел текучести при растяжении — сжатии, является, вообще говоря, произ-
вольно выбранной, но общепринятой величиной.
Для определения предела текучести на оси у откладываем величину 0,003,
а затем проводим прямую, параллельную касательной к характеристике в на-
чале координат. Точка А (см. фиг. 223) отделяет зону упругих деформаций от
зоны упрочнения и определяет предел текучести т5.
Напряжение, соответствующее значению разрушающего момента, называется
пределом прочности при чистом сдвиге. Это напряжение обозначается симво-
лом ть (фиг. 223).
) При испытании на кручение образцов весьма хрупких материалов — чугуна
и особенно твердозакаленных сталей — разрушение происходит почти всегда
около головки образца, и предел прочности получается заниженным. Весьма
существенную роль играет также обработка поверхности образца. Следы резца
грубого шлифовального круга могут сильно уменьшить значение предела проч-
ности т^.
Изучение свойств материалов при двухосном напряженном состоянии
231
В случае испытаний образцов весьма хрупких материалов рекомендуется
в дополнение к образцам обычной формы изготовить образцы с предопределен-
ным местом разрушения.
Чертеж таких образцов представлен на
фиг. 224.
При построении характеристики образца
хрупкого материала (фиг. 225) следует харак-
теристику О А, полученную на обычных образ-
цах, дополнить результатами испытаний образ-
цов с предопределенным местом разрушения.
10 d
Фиг. 225. Дополненная диа-
грамма, полученная при испы-
тании хрупкого материала на
кручение:
разрушающий момент при испы-
тании обыкновенного образца;
— разрушающий момент при испы-
тании образца с утонением.

^2d~
Фиг. 224. Образец для испытаний на кручение
с предопределенным местом разрушения.
Фиг. 226. Образец для испытаний на кручение
с установленным на нем угломером С. В. Боярши-
нова.
Часть характеристики АВ проводится на глаз до уровня 2Л6. На фиг. 225
эта часть характеристики проведена пунктиром.
При испытании хрупких материалов, обладающих большей частью нестабиль-
ной структурой, необходимо не ограничиваться испытанием трех — пяти образцов,
а испытывать достаточное их
количество, усредняя резуль-
таты.
Так, для получения досто-
верных данных при испытании
на кручение твердозакаленной
стали следует испытать не
менее 10 обычных и 10 образ-
цов с предопределенным ме-
стом разрушения.
Ознакомимся теперь с ме-
тодикой обработки данных
испытания образца с примене-
нием угломеров, установлен-
ных на самом образце. На
фиг. 226 показан образец с
установленным на нем угло-
мером С. В. Бояршинова.
При таком способе иссле-
дований нагрузка на образец увеличивается ступенями, а при помощи угломера
замеряются соответствующие приращения относительных угловых перемещений
сечений, ограничивающих изучаемый участок образца. Этот участок называется
базой образца.
Методика обработки результатов испытаний сходна с изложенной в § 4
настоящей главы. Заполняется таблица, аналогии! ая табл. 13. Опыт следует
начинать при некоторой начальной нагрузке ЭЛ0, а затем увеличивать нагрузку
равными интервалами ДЭЛ. Удобно выбирать ЭЛ0 кратным ДЭЛ. В табл. 13
принято ЭЛ0 = 2ДЭЛ.
На основании данных табл. 13 строится график, представленный на фиг. 227.
После обработки результатов (см. указания, данные в § 3) может быть вычис-
лен модуль упругости второго рода G и построена характеристика образца.
232
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Таблица /3
Обработка результатов испытания образца с целью определения модуля
упругости G и построения характеристики образца
Нагрузка Показание угломера Угловое пере- мещение Д д ас пр или Дф <₽ = ^испр
1 2 4 5
ад0 = 2ДЭД — — —
Л2 , Й2 — Д1 == ЗА]
ад2 = эд0 + гдэд ад Од — Л2 Д2 <р2 “ -|- А2
®?8 = ЭДо + ЗД'ЗИ а^ Л4 — й3 Д3 Тз = ЗД1 + Дг+ дз
• • • • • • • • • . •
После определения устойчивого приращения упругих перемещений Д^, соответ-
ствующего интервалу нагружения Д2Й, модуль G легко вычисляется по формуле
Фиг. 227. Обработка результатов испытаний образца л „
с целью определения модуля упругости G, Основными свойствами ма-
териалов являются:
1. Прочность — способность материала сопротивляться внешним механиче-
ским воздействиям. Прочность материалов при растяжении и сжатии характери-
зуется величиной пределов прочности abz и abd. Исключение представляют ма-
териалы, которые расплющиваются и не могут быть разрушены при сжатии.
Для этих материалов величина abd теряет смысл.
2. Упругость — способность материалов восстанавливать после разгрузки
свои первоначальные размеры. Как было указано ранее, способность эта ча-
стично сохраняется и за пределами текучести. При разгрузке и вторичном
нагружении материал сохраняет свои первоначальные упругие свойства.
Упругие свойства характеризуются модулями упругости первого и второго
рода, а также коэффициентом Пуассона. Эти величины носят название постоянных
упругости материала. Они связаны между собой определенным соотношением
[формула (4), гл. III]. Коэффициент Пуассона обычно определяется в физиче-
ских лабораториях. Для определения значений коэффициента Пуассона в усло-
виях лабораторий механических испытаний в предположении, что модуль упру-
гости Е материала известен, можно рекомендовать следующий метод.
Длинная тонкостенная замкнутая трубка из испытуемого материала, снабжен-
ная сердечником, подвергается действию внутреннего давления (см. фиг. 160).
На достаточном расстоянии от концов трубки устанавливается вдоль ее оси
прибор Мартенса с возможно большой базой.
При помощи прибора Мартенса измеряется сокращение длины трубки Д/.
Изменение диаметра трубки Д£) может быть замерено при помощи оптического
миниметра с ценой деления 1 мк.
Основные механические свойства
233
Осевая ez и окружная деформации могут быть вычислены по формулам
где /0 и Dq — начальные размеры трубки.
Значение коэффициента Пуассона определяется по формуле
Заметим, что трубчатый образец должен быть изготовлен путем механиче-
ской обработки цилиндрического стержня и должен быть весьма тонкостенным.
Только в этом случае будут получены
ствам материала, не наклепанного
в процессе изготовления трубки
иными способами (цельнотянутые,
сварные или паяные трубки).
точные данные, соответствующие свой’
Фиг. 229. Построение схематизированной
диаграммы с линейным упрочнением.
Фиг. 228. Характеристика образца с ярко
выраженной площадкой текучести.
3. Пластичность — способность материала давать остаточные деформации.
В инженерной практике о пластичности материала принято судить главным
образом по виду его условной характеристики при растяжении и сжатии. Пла-
стическим материалам соответствует растянутая в направлении оси г2 характе-
ристика, наличие шейки на образце при растяжении и сильная осадка (расплю-
щивание) при сжатии. Пластичность материала может быть охарактеризована
величинами пределов текучести asz и относительным удлинением посла
разрыва и величиной относительного поперечного сужения в шейке:
([) := ^mln
Л) ’
где Fq — площадь поперечного сечения образца до испытания;
Fmln — минимальная площадь поперечного сечения шейки после разрушения.
Как уже указывалось, у некоторых материалов пластические (остаточные}
деформации столь малы, что не достигают величины 0,002 cmicm. Для этих,
материалов пределы текучести определены быть не могут.
Свойство материалов пластически деформироваться под действием нагрузок,,
сохраняющих примерно постоянное значение, называется текучестью. Участок
характеристики, соответствующий текучести, почти горизонтален (линия ab на
фиг. 228). Предел текучести asz материалов, имеющих на характеристике пло-
щадку текучести, как это видно на фиг. 228, легко определяется без всякого
построения.
4. Упрочнение — способность оказывать возрастающее сопротивление дефор-
мированию при напряжениях, превосходящих предел текучести. Как было указано
ранее, после нагружения за предел текучести, разгрузки и последующего вто-
ричного нагружения предел текучести материала повышается.
234
Механические свойства металлов при статических .нагрузках
Весьма часто действительная характеристика материала заменяется двумя пере-
секающимися линиями ОС и СВ так, как это сделано на фиг. 229. В этом
случае предел текучести заменяется условным пределом текучести о*, вели-
чина которого определяется по схематизированной диаграмме.
Способность к упрочнению характеризуется разностью — а*) и углом
наклона к оси е2 прямой линии, которой заменен (апроксимирован) второй
участок действительной характеристики (угол р на фиг. 229).
Тангенс угла р называется модулем упрочнения
D = igr^
действ Qs
(£в) действ £з
кг 1см2,
где — деформация, соответствующая напряжению а*.
А. Условное деление материалов на хрупкие и пластичные
Один и тот же материал в зависимости от условий, в которых проводится
его испытание, может быть охарактеризован как хрупкий и как пластичный,
т. е. может находиться в хрупком и в пластическом состоянии [22].
На состояние материала наиболее сильно влияют следующие факторы (см.
§ 7 настоящей главы):
а) температура;
б) тип напряженного состояния;
в) скорость нагружения.
Нормальными статическими испытаниями на растяжение и сжатие называются
такие испытания, при которых исследуются образцы стандартной формы в ус-
ловиях комнатной (4-20° С) температуры и медленном (статическом) нагружении.
Как было указано, пластичными принято называть те материалы, которые
при нормальных испытаниях на растяжение и сжатие ведут себя так же, как
малоуглеродистая сталь, а хрупкими — материалы, подобные (в тех же условиях)
серому литейному чугуну.
В табл. 14 приведен перечень некоторых материалов в порядке их умень-
шающейся пластичности.
Таблица 14
Примерное подразделение некоторых материалов
на хрупкие и пластичные
Характеристика материалов Материал
Весьма пластич- ные Свинец чистый Алюминий литой Me 1ь отожженная
Пластичные Латунь ненагартованная Железо электролитическое Отожженная малоуглеродистая сталь
Хрупко-пластич- ные Закаленная углеродистая сталь (Ст. 50) Пружинная и рессорная сталь Ковкий чугун Металлокерамические материалы
Хрупкие Серый литейный чугун
Весьма хрупкие Инструментальная сильно закаленная углероди- стая сталь (например, У12) Белый или зеркальный чугун
Основные механические свойства материалов
235
Рассмотрим типичные условные характеристики пластичного и хрупкого
материалов — малоуглеродистой стали и серого литейного чугуна.
На фиг. 230 представлены в одинаковом масштабе условные характеристики
упомянутых материалов. Образец а, выполненный из малоуглеродистой стали,
разорвался с образованием шейки. Образец б, выполненный из того же мате-
риала, что и предыдущий,
сплющился, и испытание на
сжатие было прекращено,
когда длина образца сильно
(ez > 5О°/о) уменьшилась (рас-
плющивание). Образец серого
литейного чугуна b разорвался
по поперечному сечению.
Шейки на образце не было.
Чугунный образец г был раз-
давлен и распался на две части.
Вид упомянутых образцов
до и после испытания пред-
ставлен на фиг. 231.
На фиг. 232 приведена ти-
Фиг. 230. Условные характеристики типичных мате-
риалов:
пичная диаграмма, полученная
при испытании на растяжение
весьма пластичного материала а — характеристика малоуглеродистой стали при растяжении;
СВИНЦа. Обращают на себя б— характеристика стали при сжатии; в — характеристика серого
н литейного чугуна при растяжении; г—характеристика серого
внимание большие остаточные литейного чугуна при сжатии.
деформации?
На фиг. 233 представлена характеристика сильно закаленной инструменталь-
ной углеродистой стали при растяжении и сжатии. Данный материал может
быть отнесен к разряду весьма хрупких. Как видно из рассмотрения условных
характеристик, приведенных на фиг. 233, пластичность данной стали столь мала,
Фиг. 231. Нормальные образцы типичных материалов до и после испытания:
а, б—образцы малоуглеродистой стали; в, г — образцы серого литейного чугуна.
1 что образец разрушается до достижения остаточными линейными деформациями
при сжатии значения 0,002 см/см, определяющего предел текучести. Практически
можно считать, что материал образца при сжатии остается совершенно упругим
1 до разрушения. Пределы прочности данного материала abz “ 20 000 кг!см и
<sbd = 40 000 кг/см1 2. Характер разрушения образцов при испытаниях на сжатие
иллюстрируют фотографии, приведенные на фиг. 234.
На фиг. 235 представлен образец баббита. Этот материал может быть оха-
рактеризован как хрупко-пластичный. Разрушение при сжатии наступает при
весьма больших деформациях ez^60°/0.
236
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Фиг. 232. Условная характеристика
весьма пластичного материала при
растяжении — результаты испытания
свинца.
Фиг. 233. Условная характеристика
весьма хрупкого материала при ра-
стяжении и сжатии — результаты ис-
пытания сильно закаленной инстру-
ментальной стали У10А.
Фиг. 234. Вид разрушенных при
сжатии образцов твердозакаленной стали У10А.
Фиг. 235. Образец баббита:
слева — недеформированный образец; в центре и справа—образен
в двух стадиях обжатия.'
Основные механические свойства материалов
737
Б. Сравнение сопротивления материалов при одноосном растяжении
и одноосном сжатии
Заключение о том, одинаково или не одинаково сопротивляется материал
при растяжении и сжатии, следует давать после сопоставления действительных
характеристик при растяжении и сжатии. На фиг. 236 представлены результаты
испытаний сырой стали У10А. Справа показаны эскизы образцов до и после
испытаний; а и б — условные характеристки при растяжении и сжатии; в и
г — действительные характеристики. Из сопоставления действительных характе-
ристик следует, что данный материал почти одинаково сопротивляется растяже-
Фиг. 236. Условные (а, б) и действительные (в, г) характери-
стики сырой стали У10А при растяжении (а, в) и сжатии (б, г).
В гл. VI, т. I будет показано, что для определения коэффициента запаса
весьма важно знать, как данный материал сопротивляется растяжению и сжатию.
В расчетные формулы (см> гл. VI, т. I) входит коэффициент v, характе-
ризующий неодинаковость сопротивления материала одноосному растяжению
и сжатию.
При определении коэффициента запаса по текучести коэффициент v следует
вычислять, исходя из значений пределов текучести. В этом случае
м ---
S~ °sd
(77)
При вычислении коэффициента запаса по разрушению обычно определяют
коэффициент v, сравнивая пределы прочности; тогда
q&z
°bd ’
(78)
Для пластичными .весьма пластичных материалов коэффициент vb определен
быть не может вследствие неопределенности величины предела прочности при
сжатии.
Для хрупких и весьма хрупких материалов вследствие малости пластических
деформаций не может быть определен коэффициент
Для хрупко-пластичных материалов могут быть определены оба коэффи-
циента и
238 Механические свойства металлов при статических нагрузка у
В. Данные, характеризующие механические свойства металлов,
применяющихся в машиностроении
О механических свойствах материалов судят по данным, полученным при
испытании образцов, изготовленных из этих материалов.
Характеристика образцов весьма сильно изменяется в зависимости от способа
их изготовления. Образцы могут быть получены либо путем отливки и после-
дующей механической обработки (обточки, строжки, фрезерования, шлифования
и т. д), либо путем прокатки, ковки, волочения и последующей механической
обработки.
Прокатка, ковка и волочение (горячая или холодная обработка давлением)
оказывает весьма сильное влияние на свойства материала. Так, например, про-
катка в холодном состоянии очень сильно повышает пределы текучести и проч-
ности, но снижает остаточное удлинение после разрыва — материал становится
более упругим, прочным, но менее пластичным.
Влияние обработки давлением (волочение в холодном состоянии) особенно
резко заметно у стальной проволоки и стальных лент, применяющихся для
изготовления различного рода пружин. В табл. 15 приведены данные [4],
характеризующие изменение механических свойств стальной проволоки в зави-
симости от ее диаметра.
Таблица 15
Зависимость предела прочности при растяжении
проволоки от ее диаметра [ГОСТ 1071-41]
Диаметр прово- локи в мм Предел прочности 1 при растяжении в кг/см2 Диаметр прово- локи в мм Предел прочности при растяжении в кг1с w2
1,2 18 000 I 3,6 15 000
1,4 17 500 3,75 14 500
1,8 17 000 4,5 14 000
2,3 16 500 5,0 13 500
3,0 16 000 5,5 13 000
Не меньшую роль играет и термическая обработка материала. Температура
закалки, отпуска, режим термической обработки, отжиг в сильной степени
изменяют свойства материала.
В табл. 16 (стр. 240) приведены некоторые данные, характеризующие наи-
более часто применяющиеся в машиностроении металлы [31], [38]. В таблице
указаны химический состав материалов, метод изготовления образцов, а также
даны основные величины, характеризующие поведение материалов при нормаль-
ных статических испытаниях на растяжение и сжатие. Приведены значения
коэффициентов и v6, характеризующих неодинаковость сопротивления данного
материала при растяжении и сжатии. Значения постоянных упругости Е, G и р.
приведены в табл. 3 гл. III, т. I.
В примечании к табл. 16 имеются ссылки на литературные источники, от-
куда заимствованы приведенные данные. Некоторые характеристики получены
в лаборатории кафедры сопротивления материалов МВТУ.
В таблице приведены сведения только о тех металлах, о которых в литера-
туре имеются достаточно полные и проверенные данные (в частности, сведения
о сопротивлении сжатию), вследствие этого таблица не могла охватить все
применяющиеся металлы. Таблица должна пополняться по мере накопления
опытного материала.
§ 7. ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ФАКТОРОВ НА МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
МАТЕРИАЛОВ ПРИ СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ
Высказанные ранее соображения о прочностных и пластических свойствах
материалов относятся к так называемым нормальным условиям их испытаний.
Как уже было сказано ранее, под нормальными испытаниями обычно пони-
мают опыты, производимые при комнатной температуре (16—20° С) и при ста-
Влияние различных факторов на механические свойства материалов
239
тическом (медленно и плавно нарастающем) нагружении. Диаметр цилиндриче-
ских образцов при нормальных испытаниях обычно выбирается в пределах от
d =6 мм до d = 20 мм при отношении длины к диаметру5 н-10.
В случае, если испытания проводятся в иных условиях (при повышенной
или пониженной температуре, при скоростном нагружении) или если размеры
образцов существенно отличаются от нормальных, то в некоторых случаях
могут иметь место значительные отклонения результатов испытаний от характе-
ристик, получаемых в нормальных условиях.
При исследовании механических свойств материала термически обработанных
деталей образец должен пройти такую термообработку, которая обеспечивала
бы идентичность структуры детали и образца.
Термообработка является фактором, способным коренным образом изменять
механические характеристики материала. В табл. 17 (стр. 248) приведены результаты
сравнительных испытаний сырой и твердозакаленной инструментальной стали У10.
При рассмотрении таблицы видно резкое повышение прочностных характери-
стик и снижение пластических свойств стали вследствие закалки.
В табл. 18 (стр. 248) приведены результаты сравнительных испытаний [40}
конструкционной стали состава С О,37°/о; Мп Si 1,3°/0 при трех режимах
термообработки, которые также подтверждают сказанное ранее.
Не менее сильно сказывается термообработка на механических свойствах
чугунов и цветных металлов.
Особо стоит проблема изучения свойств материала деталей, термообработка
которых приводит к неоднородной по толщине структуре. Сюда относятся
случаи применения цементации с последующей закалкой, азотирования, поверх-
ностной закалки токами высокой частоты и проч.
Вопрос о создании образцов, испытание которых дало бы возможность
судить о прочности подобного рода деталей, является открытым. Недостаточно
разработана и техника расчета такого рода деталей.
При изучении механических свойств материала деталей, подвергавшихся’
холодной обработке давлением (штамповка, волочение, прессование, прокатка),
необходимо вырезать образец из самой детали или из соответствующим образом
выполненной заготовки. Как было указано в § 6 настоящей главы, холодная
обработка давлением материала может очень сильно изменить его механические
свойства. В качестве иллюстрации сошлемся еще раз на данные табл. 15.
Влияние прокатки, прессования и волочения частично отражено также в
табл. 16.
Метод и качество обработки поверхности образца в некоторых случаях
могут существенно влиять на результаты испытаний.
Поверхность образцов должна быть гладкой, без видимых следов резца.
При обработке образцов резцом, во избежание изменения структуры поверхно-
стных слоев материала, не следует снимать большую стружку и работать при
больших скоростях резания; при этом необходимо тщательно охлаждать обраба-
тываемую поверхность. При шлифовании следует придерживаться тех же правил.
Качество поверхностной обработки особенно сказывается при испытании
образцов твердых материалов с мелкозернистой структурой, например образцов
твердозакаленных сталей. Как показали опыты 3. М*?Конюшко [131, наличие
на поверхности твердозакаленных инструментальных сталей (У12А, У10А, Р9,
Р18 и др.) мельчайших следов шлифовального круга может снизить предел
прочности образца на 10—20°/о.
У образцов пластичных материалов влияние этого фактора мало заметно.
Перейдем к рассмотрению факторов, оказывающих влияние на результаты
испытаний, связанных с техникой проведения эксперимента.
Остановимся более подробно на влиянии скорости нагружения, температуры
образца при его испытании и размеров образца (масштабного фактора).
В расчетах на прочность элементов конструкций, работающих в условиях
комнатной температуры, фактор времени обычно не учитывается. Напряжения
240
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Данные, характеризующие материалы, наиболее
Название и марка материала Состав в °/о
Электролитическое железо С < 0,008
Стали 1 Обыкновенного качества Ст. 3 (ГОСТ 380-41) С 0,14-=-0,22
Обыкновенного качества Ст. 5 (ГОСТ 380-41) С 0,28 н-0,37
Качественная углеродистая 20 (ГОСТ В 1050-41) С 0,20; Si 0,22; Мп 0,51
Качественная углеродистая 40 (ГОСТ В 1050-41) С 0Д0; Si 0,31; Мп 0,68
Качественная углеродистая 45 (ГОСТ В 1050-41) С 0,46; Si 0,27; Мп 0,73
Углеродистая 50 00,53; Si 0,28; Мп 0,58
Низколегированная ДС С 0,17; Si 0,30; Мп 0,90; Сг0,50; Си 0,50 -
Конструкционная 40Х (ОСТ 7124) С 0,37; Si 0,27; Мп 0,72; Сг 0,95
Легированная ЗОХГС (ОСТ 7124) 00,30; Si 1,1; Сг 1,0; Мп 1.0
Инструментальная углеродистая У8 С 0,80; Si 0,35; Сг 0,20
Инструментальная углеродистая У12 С 1,20, Si 0,35; Сг 0,20
Инструментальная легированная ХВГ С 1,0; Si 0,2; Сг 1.1; М'п 1,0; W 1,4
Быстрорежущая Р18 С 0,71; Si 0.34; Сг 3,86; Мп 0.28; N10.21; VI ,50 —
Быстрорежущая Р9 С 0,90; Si 0,30; Сг 4,10; Мп 0,28; W 9,50; V 2,20
Инструментальная 9ХС С 0,88; Si 1.35; Сг 0,99; Мп 0,47; Ni 0,23
Инструментальная штамповая ЭИ328 С 0,40; Si 1.2; Мп 1,2; Сг-2,8; W2,1; V0.36
Специальная для мультипликаторов С 0,50; Si 1,0; Мп 0,40; Мо 0,50
Рессорно-пружинная 60С2 (ГОСТ В 2052-43) С 0,60; Si 1,7; Мп 0,75; NiO,24
Рессорно-пружинная углеродистая 65 (ГОСТ В 2052-43) С 0,65; Si 0,2; Мп 0,65
Рессорно-пружинная углеродистая 85 (ГОСТ В 2052-43) С 0,85; Si 0,2; Мп 0,60
Рессорно-пружинная 65Г (ГОСТ В 2052-43) С 0,65; Si 0,2; Мп 0,80
Механические свойства металлов при статических нагрузках
241
Таблица 16
часто применяющиеся в машиностроении
Дополнительные сведения Механические характеристики Примечание
abz в кг!сле Zsz в кг!см* ь V °SZ S °sd £&, В о/о
— 1800— 2500 1000 — 1400 — 1,00 50—40
Сырая 3800— 4700 2 300 — 1,00 24
» 5000— 6200 2 700 — ~0,90 18
0 4 650 2 650 — 1,00 30
0 6 500 3 400 — -1,00 18
6700 3200 — 0,95 14
6100 3500 — 1,00 9,0
» 5000— 6200 3 600 — — 20
Закалка 840°, отпуск 180-200° 15 800 12 800 0,50 — —
Закалка в масле 880°, отпуск в масле 520° 17 200 12 300 0,78 0,88 8
Закалка 800°, отпуск 200° 14 700 — 0,37 — < 0,2 Gsd == 15000
Закалка 760°, отпуск 200° 21000 14000 0,41 — <0,2 <rSd 15000
Закалка 820—850°, от- пуск 160—220° 16000- 18000 12 000 0,42—0,46 — 1,2
Закалка 1280°, отпуск 560° 19 800 15000 0,48 — —
Закалка 1250°, отпуск 560° 21 600 18 600 0,48 — —
Закалка 860°, отпуск 180—200° 21 300 17 000 0,42 — —
Закалка в масле 950°, отпуск 400° 18 300 — — — 11
Закалка в воде 840°, от- пуск 315° 21000 — — — 8 По данным Бриджмена
Закалка в масле 860°, отпуск 400—510° 13000 12 000 — 0,56 5
Закалка в масле 830°, отпуск 380° 10000 8 000 — — 9
Закалка в масле 810°, отпуск 380° 11500 10 000 — — 6
Закалка в воздухе 820° 7 000 3 800 — — 8
16 Пономарев и др. 407
242
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Название и марка материала Состав в °/о
Карболой № 905 (материал для плунжеров и сосу- дов высокого давления) —
Чугуны Рядовой серый литейный Кремнистый Марганцовистый Хромистый Медистый Медистый Ванадиевый Ковкий Конструкционный модифицированный Белый Бористый износоупорный Отбеленный С 2,5 4-3,5 С 2,6 4-3,2; Si 1,2 4-3,2 С 3,5; Si 1,7; Мп 0,15 4-3,9 С 3,5; Сг 0,04 4-2,2 С 3,0; Си 0,13; Мп 0.7 С 3,0; Си 2,16; Мп 1,6 С 3,1; Si 2,0 4-2,5; Va0,20 С 2,2 4-2,7; Si 1,0 С 2,8 4- 3,2; Si 1,0 4- 1,5 С 2,5 4-4,0 С 2,5 4-3,5; В 0,25 С 2,5 4-3,5
Чистые металлы Железо Fe Алюминий А1 Медь Си Свинец РЬ Цинк Zn 1 1 III
Металлоке- рамические (пористые) материалы Металлокерамическое железо, у = 6,5 Компо, 7 == 6,3 Паудайрон 55-1, 7 = 5,5 Паудайрон 51-1, 7 =5,9 Паудайрон 61-1С, т = 6;1 Супер-ойляйт 7 - 6,4 Fe 1,3; Fe2O30,28; С 0,02; Мп 0,35 Си 88,5; Sn 10 Fe95; Си 5,0 Fe 100 Fe 90; Си 10 F 75; Си 25
Непористый металлокерамический материал, 7 - 7,8 Грубодробленая стальная стружка
Технический алюминий AM АН А1>99
Механические свойства металлов при статических нагрузках
243
Продолжение табл. 16
Дополнительные сведения Механические характеристики Примечание
abz в к г/см? °sz в кг)см? ь ам „ взг s °sd
— 7000 — <0,10 — — По данным Бриджмена
1 1 1 1 1 1 1200- 2500 1400— 2700 2600— 4100 1900— 2600 2700 3400 1 1 1 1 1 1 I данным автора в пределах = 1000-т-4500; _ 1600 . гчс — 0008 0. 1 1 1 1 1 1 <1,0
— 2600— 2700 — о С — —
— 3500- 4000 2600— 2400 0,90 — 14-20
— 3000- 4000 — 0,27—0,30 — 14-18
— 1450 — 0,06 —• —
— 2100— 3100 — 0,08-0,12 — —
— 1800— 2200 — 0,13-0,16 — —
В ненаклепанном состоя- нии 2500- 3300 1250 — — 21-55
То же 800— 1100 300-400 — — 40
» 2200 600—800 — — 60
— 130-180 — — — 30—50
— 1100— 1500 900— 1000 — — 5—20
Спекалось при 1200° в течение 2 час. 1800 700 — 0,35 —•
— 760 — 0,17 — —
— 760 — 0,09 — —
— 760 — 0,09 — —
— 1900 — 0,22 •— —
— 1900 — 0,15 — 1,0
— 3800 2600 — — 11
Отожженный Нагартованный 900 1600 300 , 1400 — 1,00 1,00 30 12
16*
244
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Название и марка материала Состав в ofc
Алюминие- вые сплавы АЛ6' (малокремнистый силумин) АЛ2 (эвтектический силумин) АЛ6 А108 АЛ9 RR50 RR53C АЛЗ низколегированный АЛ5 LOW-EX АЛ7 АЛ12 В195 108 122 RR53 АЛ8 (магналий) АС1 Si 5.0 Si 12 Si 5,0; Си 2.5 Si 5,5; Си 4,5 Si 7,0; Mg 030 Си 1,5; Si 2,0; Mg 1,10; N113; Fe 1,0; Ti 0,15 Си 1,5; Si 2,5; Mg 0,50; Ni 1,0; Fe 1,0; Ti0,20 Си 3,0; Si 4,0; Mg 0,30 Си 1,2; Si 5,0; Mg 0,50 Си 1,0; Si 12,0; Mg 1,0; Ni 1,0 Си 4,0 ” Си 8,0 Си 4,5; Si 2,5 Си 4,0; Si 3,0 f Си 10,0; Mg 0,2; Fe 1,2 Си 2,2; Si 1,2; Mg 1,5; Ni 1,5; Fel.l; TiO.lO Mg 10 Си 3,0; Zn 10
Сплавы ти- па дуралю- мина АМц. АМцМ АМцП АМг. АМгМ АМгП АМг5. АМг5М Mn 1,3 Mn 0,30; Mg 2,4 Mn 0,35; Mg 5,0
Механические свойства металлов при статических нагрузках
245
Продолжение табл. 16
Дополнительные сведения Механические характеристики Примечание
*bz в кг[с& °sz в кг!см? Qbd ,—Zs*. S asd еь В °/С
Литой в землю 1300 600 — 1,00 6
Литой в кокиль 1700 600 — 1,00 —
Литой в землю, модифи- цированный 1800 800 — 1,00 6
Литой в землю 1700 1100 — 1,00 3
Литой в кокиль 2000 1100 — 1,00 2
Литой в землю, закален- ный 1900 1100 — 0,88 6
То же, состаренный 2200 1500 — 0,97 4
Литой в землю, соста- ренный 1900 1500 — 1,00 3
То же, литой в кокиль 2200 1600 — 1,00 5
Литой в землю, закален- 2300 1500 — 0,83 2
ный
Литой в кокиль, соста- ренный 3600 3200 — 0,94 1
Литой в землю 1700 1100 — 0,73 2
Литой в землю,’закален- ный, состаренный 2400— 2000 1700- 1600 —• 0,85—0,94 1,5
Литой в кокиль, зака- ленный 2700 2100 — 1,00 1,5
То же, состаренный 2500 2000 — 0,95 0,5
Литой в землю, закален- ный 2200 1100 — 1,00 8
То же, состаренный 2500 1500 — 0,88 5
Литой в землю 1400 1000 0,35 0,83 1
Литой в кокиль 1800 1700 — 1,00 <1
Литой в кокиль, зака- ленный 2800 1550 — 1,00 10
То же, состаренный 3150 2300 — 1,00 5
Литой в землю 1500 1000 — 1,00 2
Литой в землю, терми- чески обработанный 1750 1400 — 1,00 1
Литой в землю, закален- ный, состаренный 3000 2800 — 0,93 0,5
То же, в кокиль 3600 3400 — 0,92 —
Литой в землю, закален- ный 3000 1700 — 0,95 12 1
Литой в землю 2000 1400 — 1,00 2
Отожженный 1300 500 — 1,00 20
Полунагартованный 1600 1300 — 1,00 10
Отожженный 2000 1000 — 1,00 23
Полунагартованный 2500 2100 —— 1,00 6
Отожженный 2700 1500 — — 23
246
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Название и марка материала Состав в °/о
Сплавы типа дуралюмиыа АВ (авиаль) АК6 Дуралюмин Д1; Д1Т; Д1М Д6. дуралюмин повышенной прочности ДбТ Д16, дуралюмин повышенной прочно- сти Д16Т Мп 0,25; Mg 0,70; Si 0,90 Мп 0,60; Mg 0,65; Si 0,90; Си 2,2 Мп 0,60; Mg 0,60; Си 4,3 Мп 0,80; Mg 0,80; Си 4,9 Мп 0,60; Mg 1,5; Си 4,4
Магниевые сплавы МЛ5 МЛ6 млз МЛ4 МЛ2 Электрон А18 5; Zn 0,50; Мп 0,30 А110; Мп 0,30 А13,0; Zn 1,0; Мп 0,30 А16,0; Zn 2,5; Мп 0,30 Мп 1,5 Zn4,5 Zn 4,22; Al 0,2; Si 0,10
Бронза, ла- тунь, крас- ная медь При сплавов* Бронза бериллиевая Бр. Б2 (ГОСТ 1789-42) Свинцовистая бронза Бронза оловянистая Бр. 0,10 Лазунь ЛТ90 ЛМ90 Медь i м е ч а н и е. Данные таблицы заимствов! [31]. Некоторые данные получены 3. М. Си 98; Be 2,0 Pb 10; P0,10 Fb 20; P0,10 Pb 30; P0,10 Pb 20; P 0,10; Sn 4,0 Sb 0,50; Fe 0,20 Си 88 ч- 91; Zn 12 ч-9 Си >99 1ны из справочника „Машинострое- Конюшко [13] и автором [15].
Механические свойства металлов при статических нагрузках
247
Продолжение табл. 16
Дополнительные сведения Механические характеристики Примечание
В KZICM2 asz в кг/см2 ’Ь= — , —*м_ s ’id £ь В °/0
Закаленный 2200 1200 — 1,00 22
Отожженный 1300 600 — 1,00 24
Закаленный, состарен ный 4200 3000 — — 13
То же 4200 2400 0,57 1,00 18
Отожженный 2100 1100 — 1,00 18
Закаленный, состарен- ный 2200 1100 — 1,00 15
То же 4600 3000 — 1,00 15
4700 3300 — 1,00 17
Литой в землю 1500 800 — * 0,23 3
То же, закаленный 2600 800 <—0,80 0,22 5
Литой в землю 1400 800 -0,45 0,22 —
То же, закаленный и со- старенный * 2500 1200 -0,60 0,27 2
Литой в землю 1800 550 0,80 0,20 8
Прессованный 2800 2100 0,50 — 15
Литой в землю 1600 900 0,60 0,26 3
То же, закаленный 2400 900 0,85 0,26 8
Литой в землю 1000 300 — 0,18 3
Литой 1700 1300 — 0,57 4,5
Прокатанный 2600 <-700 0,70 — 15
Литая 5000 2000- 3000 0,27 — 20
Обл а гороженная 7000 <-5000 0,47 — 1,0
— 1200 400 0,28 1,00 10
Литая 990 380 0,33 1,00 10
— 860 380 0,40 1,00 10
— 1990 930 0,34 1,00 20
— 2000— 2500 1800 -0,70 1,00 3—10
— 2700 1300 — — 35
— 4000 2300 — 1,00 <5
Литая 1800— 2200 700 — 1,00 50
Прутковая нагартован- ная 4000 3800 — 1,00 5
ние“ [38], из сборника физических констант и из справочника „Свойства металлов и
248
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Таблица 17
Изменение механических характеристик инструментальной углеродистой
стали У10 в результате термообработки (закалка)
Термообработка °bz в кг/см? °bd в кг /см2 °SZ в кг1см* °sd в кг/см2 Л '
Сырая 7000 — 6 000 6500 10
Твердозакаленная 16 000 30 000 13 000 15000 0,5
Таблица 18
Влияние термообработки на механические свойства конструкционной стали
Термообработка °SZ В К 2/СМ? °bz В KZjCM? ^действ в кг/см2 еь в°/о asd в кг]см2 в кг!см?
Отжиг 0,5 часа при 880° С 3990 6700 11 400 22 4160 2010
Закалка с 880°С в во- де. Отпуск 0,5 ча- са при 600° С 5170 * 7 590 13200 19 5280 2630
Закалка с 880° С в воде. Отпуск 1 час при 320°С 8820 12 900 14 500 6 9460 5260
и деформации предполагаются неизменными во времени и не зависящими от
скорости нагружения.
Если те же детали работают при повышенной температуре, то изменения
во времени напряжений и деформаций, возникших при нагружений, становятся
заметными, а в некоторых случаях и значительными.
Явление изменения во времени деформаций и напряжений, возникших в ре-
зультате нагружения детали, называется ползучестью [21].
Описанию и анализу процесса ползучести посвящена специальная глава во
втором томе настоящей книги.
В данном разделе остановимся лишь на так называемых кратковременных
испытаниях механических свойств материалов. Время проведения опыта и ско-
рость деформирования определяются скоростью движения захватов машины.
При испытаниях на растяжение эта скорость обычно выбирается в пределах от
1 до 100 мм/мин, что при длине образца Z=30 мм соответствует скорости
деформирования 0,03 ч- 3 --- .
При изучении механических свойств при нормальной и пониженной темпера-
туре изменение скорости деформирования в указанных пределах, как было
указано, мало влияет на свойства материалов.
В подтверждение сказанного сошлемся на работу [25], в которой проведены
исследования механических свойств малоуглеродистой стали, конструкционной
стали 40, дуралюмина Д1 и латуни ЛС62 при различных скоростях деформи-
рования. В табл. 19 приведены результаты испытаний на растяжение перечис-
ленных материалов.
Механические характеристики материалов при повышенной и пониженной
температуре в случае так называемых кратковременных испытаний 1 опреде-
1 О механических свойствах материалов при длительном воздействии нагрузки см.
главу, посвященную ползучести, т. II.
Влияние различных факторов на механические свойства материалов
249
Таблица 19
Результаты испытаний на растяжение материалов при различных
скоростях деформирования
Скорость движения захватов в мм!мин 0,2 2 9 60 120
Характеристики пластичности в °/0 Ч ф ег> ф ф е& ф £& ф
Малоуглеродистая сталь 65 68 52 69 51 69 52 70 53 70
Ст. 40 45 47 36 49 33 51 31 54 32 54
Сплав Д1 31 44 27 44 27 44 28 46 27 46
ЛС62 28 48 21 49 22 51 24 51 24 51
ляются обычно при тех же скоростях деформирования, что и при проведении
нормальных статических испытаний.
Закрепленный в зажимах образец помещается внутри специального приспо-
собления (термостата), в котором
Весьма распространены машины
машинную диаграмму образца при
таких испытаниях.
Рассмотрим приведенные в ли-
тературе [32] результаты испы-
таний малоуглеродистой стали
при различных температурах
(фиг. 237).
Изучение зависимостей основ-
ных механических характеристик
стали от температуры убеждает в
том, что примерно до 250° пре-
дел прочности нарастает, а пла-
стические свойства резко снижа-
ются. При температурах свы-
ше 250° предел прочности сни-
жается, но пластичность мате-
риала возрастает. Предел текуче-
сти и модуль упругости при
повышении температуры умень-
шаются (см. гл. III, т. I).
При температуре около 500°
прочность малоуглеродистой ста-
ли становится весьма низкой, что
практически ограничивает исполь-
зование этого материала.
В табл. 20 приведены резуль-
таты испытаний [8] не закаленных
поддерживается необходимая температура,
со специальным прибором, записывающим
Фиг. 237. Зависимость механических характери*
стик малоуглеродистой стали от температуры.
конструкционных, инструменталь-
ных и специальных сталей при нормальной температуре и при температуре 600°.
Из рассмотрения данных таблицы следует, что прочность большинства сталей при
приближении их температуры к 600° заметно снижается. Исключение представ-
ляют стали 18ХНВА и специальные стали Х13Н4Г9 и Х15Н60, однако уже
при 700° и их прочность резко уменьшается.
На фиг. 238—241 приведены результаты испытаний [8] ряда сталей в ин-
тервале температур от 20 до 1000°. В табл. 21 приведены данные о прочностных
250
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Фиг. 238. Зависимость
предела прочности sbz
некоторых конструкцион-
ных сталей от темпера-
туры.
Фиг. 239. Зависимость отно-
сительного удлинения не-
которых конструкционных
сталей при растяжении от
температуры.
Влияние различных факторов на механические свойства материалов
251
Таблица 20
Механические свойства различных сталей при 20 и 600° по данным [8]
Марка стали 20° С 600° с
abz в кг/см* вХ °bz в кг/см* еь В °/о
о 15 4 390 33 1260 68
гЪ 3 S 12ХНЗА 6 400 22 2280 35
£< Я Ч Й = 2 18ХНВА 12 200 13 6440 16
ро ЗОХГСА 7110 24 1860 49
6СС2 10200 17 2750 20
У7 6 370 22 1920 25
3 л s У12 6000 24 1350 47
ч п.>д га ЭИ366 8 230 21 1240 34
н ч н о га о Х12М 7 370 13 2760 29
Я н X Р9 7460 16 3180 23
Х9С2 7 460 8 2890 43
0) 3 1X13 5 380 31 1650 41
я Х17 6 020 20 2290 60
"° я 5 4 Х28 5410 28 1440 62
2 03 я Н 1Х25Ю5 5 670 30 3470 66
а> 1Х18Н9 6450 66 3660 39
5 Х13Н4Г9 8 100 25 4420 26
Х15Н60 6 600 32 4130 23
и пластических свойствах ряда материалов при повышенной, а в
табл. 22 — при пониженной температуре. Табл. 21 и 22 составлены по дан-
ным [31].
В заключение рассмотрим влияние размеров образца на механические
свойства материала. Согласно данным ряда исследователей [23], [34], [37] как
условный, так и действительный
пределы прочности при растяже-
нии не зависят от размеров об-
разца.
Л. М. Певзнер и А. М. Яки-
мова [23] исследовали свойства
стали ЗОХГСА на машине
И. М. Ройтман и Я. Б. Фрид-
мана [26]. Были испытаны образ-
цы трех размеров: d=10 мм,
d = 5 мм, d = 0,8 мм при отно-
/ -
шении —• = 5.
а
Опыты подтвердили стабиль-
ность пределов прочности, однако
установлено, что предел текуче-
сти повышается с уменьшением
Фиг. 241. Зависимость относительного удлине-
ния специальных сталей при растяжении
от температуры.
размеров образца.
В табл. 23 приведены результаты исследований [24] механических свойств
ряда материалов на образцах четырех размеров: d = 5 мм, d=10 мм,
d = 20 мм и d = 40 мм. Данные таблицы подтверждают выводы Л. М. Певзнер
и Я. М. Якимовой.
Влияние масштабного фактора на механические свойства материала тем
менее заметно, чем более однородна и мелкозерниста его структура.
252
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Таблица 21
Свойства металлов и сплавов при высокой температуре
Название материала и хими- ческий состав в % Состояние и обработка Темпера- тура в °C asz В KZlCM2 abz в кг/см2 ф в °/о
Углеродистая сталь: Прутки 0 25 ММ. 30 2400 4 030 68
С 0.15; Мп 0,46; Si 0,28 Отжиг при 845° 400 540 1240 950 3610 2140 71 83
650 500 1 150 92
760 250 600 78
С 0,40; Мп 0,70; Si 0,32 Полосы 180Х25Х 20 2660 5700 35
X 25. Отжиг при 315 1990 5560 25
900° 455 1880 4420 57
580 1120 2550 57
Хромистая сталь: Прутки 0 25 мм. 20 5550 7 100 70
С 0,37; Сг0,91; Мп 0,48; Мо0,24; Si 0,24 Закалка в масле от 845®; отпуск 705° 290 430 4640 3970 7 590 5 550 68 81
С 0,48; Сг 1,20; Мп 0,49; Прутки 0 25 мм. 30 7590 10300 42
Мо0,52; Si 0,62 Нормализация 400 6820 9140 59
940°. Отпуск 640° 540 5680 7 030 74
650 2240 4 420 88
С 0,10; Сг4,83; Мп 0,38; Прутки 0 25 мм. 30 3160 5 770 76
Мо0,51; Si 1,55 Отжиг при 845° 540 1800 3 190 84
595 1420 2 360 90
650 1050 1690 94
СОЛО; Сг5,09; Мп 0,45; Прутки 0 25 мм. Отжиг при 845® 30 1840 4 680 80
Мо0,55; Si 0,18 485 1380 3 400 77
540 1220 3120 74
595 1080 2 420 87
650 790 1 810 91
С 0,17; От 22,9; Ni 12,7; Прутки 0 19 мм. 20 4880 6 910 60
Мп 2,04; Si 0,47 Закалка в воде от 540 2950 5070 54
1150° 650 2880 3 830 42
760 2280 3 030 37
Марганцовистая сталь: Прутки 0 25 мм 20 4020 6 240 68
С 0,23; Мп 1,67; Si 0,12 горячекатанные. 300 3240 6 850 51
Нормализация 810° 400 3150 5 580 66
500 2800 4 330 64
Молибденовая сталь: Прутки 0 25 мм. 30 3600 5 070 72
СО,15; Мо0,25; Мп 1,25; Si 0,19 Нормализация 940°. Отпуск 650® 400 540 2520 2170 5 230 3670 64 82
650 1220 2100 90
С 0,22; Мо 1,06; Мп 0,50; Прутки 0 19 мм. 20 3080 5130 55
Si 0,13 Отжиг при 885° 480 2630 4390 68
Влияние различных факторов на механические свойства материалов
253
Продолжение табл. 21
Название материала и хими- ческий состав в °/о Состояние и обработка Темпера- тура в °C asz в кг1см? °Ь2 В KZjcM2 Ф В ®/о
Никелевая сталь: С 0,36; Ni 1,33; Мп 0,60; Сг0,56; Si 0,25 Прутки 0 19 мм. Закалка в масле от 845®. Отпуск 540° 30 480 540 650 9210 3690 1790 540 9910 6260 4370 2120 62 80 82 81
С 0,42; Ni 3,41; Мп 0,66 Si 0,21 Прутки 0 19 мм. Отжиг при 845° 20 425 540 4420 2730 1760 7010 5490 3260 46 62 78
Кремнистая сталь: С 0,11; Si 1,35; Мо 0,50; Мп 0,19 Прутки 0 25 мм. Отжиг при 840° 30 400 540 650 3340 1790 1640 830 5050 4530 3120 1800 66 70 79 81
Чугун: 3,29; ^связ 1,Ю; Si 1,27; Мп 0,28 Стержни 0 30 мм литые 15 370 450 — 2410 2470 2330 —
^общ 2,24; Сс вяз 0,74; Ni 16,6; Си 7,30; Сг 3,30; Si 1,11; Мп 0,76 & Стержни 0 30 мм литые 18 450 540 1780 1590 1510 —
^общ 2>39; С^вяз 0,08; Si 5,72; Мп 0,67 Стержни 0 30 мм литые 16 370 450 540 — 2240 2140 2240 1380 —
Ковкий чугун: 2,78; ^связ 0,005; Si 0,91; Мп 0,47 Литой 30 315 425 540 2140 1790 1620 1020 2910 2720 2330 1140 8 5 5 11
С0&ч 2,45; Si 1,46 Литой. Нагрев 925® в течение 15 час., охлаждение до 720° в течение 3 час., выдержка 20 час. 25 205 425 — 3670 3380 3130 —
Сплав алюминий — медь: Си 4,25; Мп 0,63; Si 0,25; Mg 0,44; Fe0,52 Прутки 0 16 мм нагартованные 17 150 250 350 2740 2240 1380 330 3930 3400 1650 520 32 34 67 90
Сплав алюминий — маг- ний: Mg 5,96; Ni 1.49; Мп 1,00; Си 0,37; Fe 0,28; Si 0,19 Литой 16 205 1280 1210 1920 1690 —
Сплав алюминий — мар- ганец: Мп 1,2; Fe 0,45; Si 0,22; Си 0,1 Нагартованный 20 100 200 350 2800 2500 800 300 3100 2800 1800 400 45 45 60 80
254
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Продолжение табл. 21
Название материала и хими- ческий состав в ®/0 Состояние и обработка Темпера- тура в °C asz в к г [см? abz в кг1ся? Ф в‘°/о
Сплав алюминий — крем- ний: Si 12,6; Mg 0,96; Ni0,91; Си 0,90; Fe0,78; Mn 0,02 Нагартованный, тер- мически обрабо- танный 16 205 315 3120 2050 430 3720 2470 610 —
Сплав магний — алюми- ний: Al 4,0; Zn 0,3 Прессованный 20 100 200 400 1950 1550 840 150 2800 2460 1260 350 35 55 75 90
Сплав магний — алюми- ний — цинк: А1 6,0; Zn 1,0 Нагартованный 20 100 200 280 2100 1300 840 150 3200 2800 1400 700 30 40 70 97
Al 8,0; Zn 0,5 Литье в землю 20 100 200 280 1600 1400 1000 750 2700 2700 1850 1200 8 10 35 47
Литье под давле- нием 20 100 200 280 1400 1200 1000 800 3000 2900 1900 1000 10 10 18 22
Сплав магний — марга- нец: Мп 2,0 Литье в землю 20 100 200 280 350 340 320 280 1050 950 700 500 10 12 20 22
Нагартованный 20 100 200 280 1640 1100 500 280 2400 1750 770 420 8 22 44 56
Сплав медь — алюминий: А17,68; Fe 0,66; Sn 0,08 Литье под давле- нием 20 205 370 540 1350 1140 1120 710 3930 3390 1890 1080 60 46 18 7
Сплав медь — никель — цинк: N 129,4 Zn 5,67; Мп 0,42 Прутки 0 19 мм на- гартованны э 20 200 400 500 — 6500 5750 4600 3500 68 68 46 28
Сплав медь — олово: Sn 5.0 Нагартованный отожженный при 600° 20 200 400 600 — 3400 3300 2700 . 840 82 80 33 12
Влияние различных факторов на механические свойства материалов
255
Продолжение табл. 21
Название материала и хими- ческий состав в % Состояние и обработка Темпера- тура в °C asz в кг1см2 abz В Кг/СМ? ф в °/о
Сплав медь — цинк: Zn 10,0; Fe 0,02 Отожженный 20 200 400 600 800 — 2500 2250 1400 700 280 82 44 12 15 15
Zn 19,9; Fe 0,02 Нагартованный 20 200 400 600 800 — 5600 4200 1400 280 150 50 5 8 15 23
Zn 37,5; Fe 0,02; Pb 0,04 Нагартованный 20 200 400 600 800 — 4200 4000 ‘ 1400 840 100 70 35 50 30 70
Железо: C < 0,02 — 16 100 150 200 300 400 500 2120 2020 2330 2150 3330 3860 4210 4560 3770 2420 1170 1 1 1 1 1 1 1
Алюминий: Fe 0,53; Si 0,13; Cu 0.1 Отожженный 20 100 200 300 240 240 210 150 880 700 420 210 83 88 92 98
Нагартованный 20 100 200 350 1550 1330 280 100 1720 1550 490 150 60 63 90 98
Магний Прессованный 20 100 200 300 400 840 700 490 150 2000 1500 1200 350 100 30 40 50 100 100
Медь Отожженная _ при 650° . . 20 100 200 280 560 530 420 420 2400 2100 . 1700 1400 ’ 72 72 61 50
Нагартова^ная 20 ' 100 200 280 4000 3500 ' 2800 560 4150 3850 3100 1400 53 54 62 62
256
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Таблица 22
Свойства металлов и сплавов при низкой температуре
Название материала и хими- ческий состав в °/о Состояние и обработка Темпера- тура в °C *sz в кг/см* °Ъ2 в кг1см* ф в °/о
Углеродистая сталь: СО,17; Мп 0,79; Si 0,18 Прутки 0 12,5 мм нагартованные 16 —40 4 810 5 370 5910 6 780 58 56
С 0,28; Мп 0,67 Прутки 0 19 мм нагартованные 16 -40 4 780 5 410 6 260 7170 51 52
С 0,45; Мп 0,77; Si 0,21 Нагартованная 16 -80 6 050 6470 6400 7 450 50 47
Нормализация 870° 16 —80 4430 5 200 7 940 9140 49 44
Закалка в воде от 800°, отпуск 540° 16 —80 8 790 9 560 9490 10 700 54 52
Алюминиевая сталь: С 0,17; А10,85; Мп 0,18; Si 0,10 Охлаждение в печи от 800е 16 —255 — 4720 9 630 66 2
Хромистая сталь: С 0,31; Сг0,69; Мп 0,65; Мо0,22; Si 0,20 Прутки 0 16 мм, закалка в масле от 885е, отпуск 595® 16 —40 8 580 9140 9000 10500 65 64
Прутки 0 16 мм, закалка в масле от 885е, отпуск 345° ' 16 —40 13800 14100 15 400 16000 57 55
С 0,31; Сг2,36; Мп 0,67; Si 0,29; Мо 0,24; V0,19 Закалка в масле от 850°, отпуск 610® 20 —180 8 650 13400 9840 14500 70 45
С 0,11; Сг 12,7; Ni 12,0 Закалка в воде от 1100° 16 -60 -120 —180 2 390 3 790 3050 4440 5820 9 350 12800 16500 77 72 64 50
С 0,07; Сг 18,4; Ni7,88; Мо2,80^Ма 0,73; Si 0,48 Наклепанная 16 —75 8370 9490 9 350 13 100 73 60
С 0,07; Сг 18,6; N18.93; Мо 3,36; Мп 0,93; Si 0,42 Отожженная 16 -75 3660 5130 7170 10800 72 68
Влияние различных факторов на механические свойства материалов 257
Продолжение табл. 22
Название материала и хими- ческий состав в °/о Состояние и обработка Темпера- тура в °C azs в к г 1см? abz в кг{см2 Ф В °/о
Никелевая сталь: Охлаждение в печи
С0,47; Ni 1,08; Crl.04; Мп 0,80; Si 0,29; Мо 0,22 от 790° 16 -75 5 060 6330 6 780 8150 67 62
Закалка в масле от 16 9 910 11000 57
825°, отпуск 635° -75 11 000 12 400 52
С 0,33; Ni2.54; Сг0,67; Закалка в масле от 16 9700 10700 65
Мп 0,64; Мо 0,64; Si 0,16 850®, отпуск 640° —75 10300 11500 62
-95 10 500 12000 61
-180 12900 14 200 63
СО,11; Ni 15,9; Сг 12,3 Закалка в воде от 16 2 280 5 850 78
1100° -60 2 700 7100 77
-120 3 860 8 720 73
-180 5 040 12 400 65
С 0,70; N i 31,4; Мп 0,82 Охлаждение в печи 16 4 720 6 790 46
от 800° -255 15200 18 600 16
Кремнистая сталь: То же 16 8 720 0
С 0,40; Si 4,27; Мп 1,9 —255 — 5 320 0
Вольфрамовая сталь: 16 4 820 6410 60
С 0,26; W1.99; СгО.66; Мп 0,25; Si 0,05 -255 8 720 0
Чугун: Литой 25 2 190
Собщ 3,42; С>граф 2,35; -20 — 2 140
Si 1,24; Мп 0,56; Р 0,33
^общ 3,56; С'гра'Ь 3,06; » 25 1450
Si 1,80; Мп 0,60; Р0,53 -20 — 1530 —
Сплав алюминий — медь: Закалка от 520° в 16 —40 1790 1790 3 360 3 460 34 33
Си 3,46; Ni 1,86; Mg 0,76; кипящей воде, ста- рение 100° -80 1820 3550 31
Fe 0,45; Si 0,30; Мп 0,08 -120 1920 3 890 25
-180 1930 4380 28
Си 3,90; Mg 0,63; Мп 0,63; Плиты 12,5 мм, за-
Si 0,46; Fe0,29 калка в воде от 16 3 370 4 500 22
505°, затем холод- ный прокат —75 3550 4750 19

Си 4,26; Мп 0,82; Si 0,70; Плиты 12,5 мм, за- 16 2 530 3 940 32
Fe0,50; Mg 0,03 калка в воде от 520°, старение 145° —75 2 600 4080 31
17 Пономарев и др. 407
258
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Продолжение табл. 22
Название материала и хими- ческий состав в «/о Состояние и обработка Темпера- тура в °C °sz В KZlCJ# abz в кг!слР Ф В °/о
Сплав алюминий — маг- ний: Mg 2,35; Ст 0,27; Fe 0,14; Si 0,12; Си 0,05 Плиты 12,5 мм, про- катанные 16 —75 1480 1550 2210 2 390 62 65
Mg 10,5; Fe0,13; Si 0,07; Си 0,03 Прутки 19 мм, литье, закалка в масле от 430 до 120® 16 -75 1690 1690 2 460 2 630 10 . 9
Сплав алюминий — мар- ганец: Мп 1,04; Fe0,45; Si 0,14; Си 0.12 Плиты 12,5 мм, про- катанные 16 —75 1090 1 190 1370 1620 64 66
Сплав магний — алюми- ний: А14.0; Мп 0,4 Прессованный 25 —80 1 230 1 420 2 650 3030 33 6
Кованый 25 -80 1430 1460 2410 2 720 6 2
Литье в кокиль тер- мически обрабо- танное 25 -80 4.50 510 1890 1 640 10 5
Сплав магний — марга- нец: Мп 1,6; А10,02; Fe0,01 Прутки 0 12,5 мм, прессованные при 400° 16 —75 1970 2180 2740 3 660 3-10 4-6
Сплав магний — цинк: Zn 4,0; Мп 1,5; А1 0,02; Fe0,02 То же 16 —75 2320 3160 3 090 3 620 30-38 22
Сплав медь — алюминий: А17.31; Zn 1,02; Мп 0,44; Fe0,06; Р0.02 Прутки 0 25 мм, отожженные 16 —40 —80 — 120 -180 1 88и 1890 1 9о0 1940 2050 5 430 5 600 5810 6 190 6 7о0 29 36 30 31 30
Сплав медь — бериллий: Be 2,56; Fe 0,03 Прутки 0 25 мм, закалка в воде от 800°, старение 300° 16 —80 —120 —180 8 790 10 300 9 770 10900 13 200 14 200 13 900 15 000 5 5 4 6
Сплав медь — никель: Ni 5,86; Al 1,73 Прутки 0 25 мм, закалка в воде от 900® 16 —40 —80 —120 —180 800 1 130 1 150 1050 1 600 3 620 3 930 4 030 4 330 4 720 80 80 79 82 82
Ni30,5; Zn 14,3 Прутки 0 25 мм, отожженные 11'1 QO Дх »— ос tc с? о о о 1960 2010 1930 2 020 2000 5290 5 490 5 840 6320 7310 52 52 52 52 55
Влияние различных факторов на механические свойства материалов
259.
Продолжение табл. 22
Название материала и хими- ческий состав в °/8 Состояние и обработка Темпера- тура в °C asz В Я21ГЛ2 аЬг в кг/сМ2 ф, В Ofc
Сплав медь — кремний: Si 2,75; Mil 0,97; Ее 0,15 Прутки 0 12,5 мм, наклепанные 25 -80 — 190 — 5210 5820 7030 75 , 72 72
Сплав медь — олово: Sn3,99; Р0.40 То же 16 -40 5790 5980 6120 6540 70 68
Сплав медь — цинк: Zn 28.4 — 20 -30 —80 670 730 860 2910 3030 3410 76 80 80
Zn30,5; FeO.10 Прутки 0 25 мм, отожженные 16 -40 -80 — 120 -180 1980 1890 1920 1970 2080 3600 3850 4020 4300 5160 77 77 79 78 73
Железо: * С 0,03; Мп 0,02 Прутки 0 25 мм 16 -50 —70 — 100 -120 -180 2960 3050 4020 4700 3210 4180 4330 4700 5420 7870 73 74 72 70 68 0
Алюминий: Fe 0,07; Si 0,05 Прутки 0 25 мм, прокатанные, отожженные 16 -10 —40 -80 -120 —180 310 270 280 300 250 320 690 800 810 840 990 1460
Магний Прессованный 20 —80 840 840 2000 3100 30 10
Медь Прутки 0 25 мм, отожженные 16 —40 -80 —100 -180 600 650 710 760 810 2210 2380 2700 2900 3580 76 77 74 70 77
Цинк: РЬ 1,4 Прессованный 18 —30 —75 — 1920 2430 , 2430 83 10 О5
Свинец технический Прокатанный 16 -20 -40 —75 — 250 510 930 1070 —
17*
260
Механические свойства металлов при статических нагрузках
Таблица 23
Влияние размеров образца на механические свойства материалов
при растяжении
Материал d в мы QSZ 4 в кг 1см3 в кг^м3 ( ° b) действ в кг(см3 ф в е/о
Медь. Отжиг при 600° (выдержка 2 часа) 5 10 20 40 816 653 446 321 2190 2 230 2 260 2190 7 420 7 870 8 150 7 650 82,2
Алюминий. Отжиг пои 360° (выдержка 2 часа) 5 10 20 40 320 305 303 270 800 850 810 820 2 760 2 600 2 800 2 550 79,0
Сталь ЗОХГСА. За- калка и отпуск при 600° 5 10 20 8120 7 480 7540 9330 8 770 9150 16 400 15 600 15 100 62,0
Сталь ЗОХГСНА. За- калка в селитре при 320° 5 10 20 40 8 400 7800 7 360 7180 12 200 12100 11900 И 900 25 200 20 700 19 500 18 600 52,3
Сталь 18ХНВА. За- калка и отпуск при 550° 5 10 20 40 10 300 10 400 9 750 9 500 11 400 11500 11300 11 100 19 500 20000 18 200 17 700 64,6
Сталь 40ХНМА. За- калка и отпуск при 550° 5 10 40 8 810 8 520 8 200 10300 10 300 10000 17100 17100 15 200 55,7
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров А. и Журков С., Явление хрупкого разрыва. Проблемы
новейшей физики, ГНТИ, 1933.
2. Беляев Н. М., Сопротивление материалов, Гостехиздат, 1954.
3. Бояршинов С. В., Тензометр для замера угловых деформаций, „Заводская
лаборатория" № 6, 1950.
4. ГОСТ 1071-41 „Проволока стальная пружинная термически обработанная ответ-
ственного назначения".
5. Г у б к и н С. И., Теория обработки металлов давлением, Металлургиздат, 1947.
6. Давиденков Н. Н. и Спиридонова Н. И., Анализ напряженного состоя-'
ния в шейке растянутого образца, „Заводская лаборатория" № 6, 1945.
7. Заварцев С. М. и Лихарев К. К., Механические характеристики резины
при сжатии, Сб. „Расчеты на прочность в машиностроении" № 11, Машгиз, 1950.
8. Зуев М. И., Култыгин В. С., Виноград М. И., Остапенко А. В.,
Любинская М. А., Дзугутов М. Я., Пластичность стали при высоких темпера-
турах, Металлургиздат, 1954.
9. Ильюшин А. А., Пластичность, ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.
10. Кокер Э., Файлов Л., Оптический метод изучения напряжений, ОНТИ,
1936.
11. „Контроль машин и приборов для механических испытаний металлов", Метал-
лургиздат, 1949.
12. КонтороваТ. А. и Френкель Я. И., „Статистическая теория хрупкой
прочности реальных кристаллов, „Журнал технической физики", т. XI, вып. 3, 1951.
Литература
261
13. К о н ю ш к о 3. М., Исследование прочности термически обработанной инстру-
ментальной стали при растяжении и сжатии, „Вестник машиностроения* № 2, 1955.
14. Л и х а р е в К. К. и Б о я р ш и н о в С. В., Лабораторный практикум по со-
противлению материалов, изд. МВТУ, 1948.
15. Лихарев К. К., Расчет деталей из специальных сталей по теории прочности
предельных напряженных состояний, „Вестник машиностроения* № 3, 1948
16. Л и х а р е в К. К., К практике построения диаграмм истинных напряжений,
„Заводская лаборатория* № 11, 1949.
17. Лихарев К. К., Новый метод испытаний на сжатие, „Вестник машинострое-
ния „ № 3, 1950.
18. Лихарев К. К., Установки для испытания материалов при трехосных напря-
женных состояниях, Сб. „Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть элементов
машиностроительных конструкций* № 26, Машгиз, 1953.
19. Малинин Н. Н. и Лихарев К. К., Рациональная методика испытания
чугуна для деталей в форме тел вращения, Труды кафедры „Сопротивление материалов*
МВТУ, раздел IV, 1947.
20. Малинин Н. Н., Заневоливание цилиндрических и конических пружин. Но-
вые методы расчета пружин, Машгиз, 1946.
21. Малинин Н. Н., Основы расчетов на ползучесть, Машгиз, 1948.
22 Нада и А., Пластичность и разрушение твердых тел, И. Л , 1954.
23. П е в з н е р Л. М. и Якимова А. М.» О влиянии размеров образцов при
растяжении на механические характеристики металлов, „Заводская лаборатория*
№ 5, 1953.
24 Плеханова Н. Г. и Ратнер С. И., Масштабный эффект у пластичных
материалов, „Журнал технической физики*, т. XXIV, вып. 3, 1954.
25 Погодин-Алексеев Г. И. и Журавлев С. В., Влияние скорости дефор-
мирования на величину характеристик пластичности, определяемых при растяжении,
Вопросы прочности и деформации металлов и сплавов, Машгиз, 1954.
26. Р о й т м а н И. М. и Фридман Я. Б., Методика микромеханических испы-
таний, „Заводская лаборатория* № 5, 1950
27. Рыбалко Ф П. и Якутович М. В., Локализация деформации иопределение
пластичности стали при кручении и растяжении, „Журнал технической физики*,
т. XXIII, вып? 5, 1953.
28. С е р е н с е н С. В., Тензометры и тензографы в машиностроении. „Вестник
металлопромышленности* № 10, 1935.
29. С м и р н о в - А л я е в Г. А., Процессы пластического растяжения и кручения
металлов в их взаимном сопоставлении, Экспериментальные методы определения напря-
жений и деформаций в упругой и пластической зонах, ОНТИ НКТП, 1935.
30. Смирнов-Аляев Г. А., Метод построения действительной кривой растяже-
ния по данным испытания металла на прессе Гагарина, Экспериментальные методы
определения напряжений и деформаций в упругой и пластической зонах. ОНТИ НКТП,
1935.
31. Справочник „Свойства металлов и сплавов*, ГНТИ, 1947.
32. Т и м о ш е н к о С. П., Сопротивление материалов, т. 2, ОГИЗ, 1946.
33. 1 и м о ш у к Л. Т.» Машина для испытания материалов в условиях сложного на-
пряженного состояния, „Заводская лаборатория* № 9, 1950.
34. Ужик Г. В., Метод определения сопротивления металлов разрушению от
отрыва, „Известия АН СССР. Отд. техн, наук* № 10, 1948.
35. Чечулин Б. Б., К статической теории хрупкой прочности, Журнал техниче-
ской физики*, т. XXIV, вып. 2, 1954.
36. Ш а п о ш н и к о в Н. А., Механические испытания металлов, Машгиз, 1954.
37. Шевандин Е. М и Маневич Ш. С., Эффект масштаба при хрупком раз-
рушении стали, „Журнал технической физики*, т. XVI, вып. 11, 1946.
38. Энциклопедический справочник „Машиностроение*, тт. 1, 3, 4, ГНТИ, 1947.
39. Aronofsky I., Evaluation of stress distribution in the symmetrical neck of flat
tensile bars. J. of Applied Mechanic^, vol. 18, № 1, 1951.
40 Lots ch K, Der Einflus der Warmebehandlung auf die kritischen Spannungen.
„Maschinenbau und Warmewirtschaft*, Heft 2, 1953.
41. Wei bull W., Proc. Roy. Swedisch Inst. Eng. Res., № 151, 1939.
ГЛАВА VI
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
(гипотезы возникновения текучести.и гипотезы прочности)
§ 1. СТРОЕНИЕ МЕТАЛЛОВ И ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ,
ПЛАСТИЧНОСТИ И ПРОЧНОСТИ
Применяемые в машиностроении металлы и сплавы состоят из отдельных
зерен, имеющих кристаллическую структуру. Эти зерна представляют собой кри-
сталлы с неправильной огранкой, обычно называемые кристаллитами. .
Зерна металла состоят из совокупности атомов, расположенных в строго
определенном для данного металла порядке и образующих так называемую про-
странственную решетку. Форма и размеры элементов пространственной решетки
зависят от сил взаимодействия атомов и определяют характерные свойства данного
вещества.
Наиболее прочными, а потому и наиболее часто применяемыми являются
металлы и металлические сплавы с мелкозернистой структурой.
На границах зерен можно наблюдать особое межкристаллическое вещество,
природа которого еще не вполне выяснена [23], [39J, [40]. Во многих местах
межкристаллическое вещество прерывается и кристаллические .„зерна сопри-
касаются непосредственно.
Межкристаллическая прослойка является местом преимущественной концен-
трации микропустот и посторонних включений. На границах зерен не исклю-
чается также возможность микропористости за счет несовпадения атомных
плоскостей.
Атомы межкристаллического вещества иногда бывают внедрены в атомную
решетку зерен, что увеличивает монолитность вещества.
Упругие, исчезающие при разгрузке, деформации кристаллита связаны в ос-
новном с изменением межатомных расстояний и с небольшими искажениями
атомной решетки.
При больших нагрузках связь между атомами в кристаллических зернах
нарушается по некоторым плоскостям. Плоскости эти обычно называют пло-
скостями скольжения или плоскостями слабины кристаллита. Сдвинутые друг
относительно друга группы атомов уже не образуют единой атомной решетки.
Подобные перемещения атомов носят название сдвигов в кристаллической
решетке. Сдвиги эти могут быть обнаружены при металлографическом анализе.
Важнейшим результатом происшедших сдвигов является упрочнение плоско-
стей скольжения внутри отдельных зерен.
Новые образования оказываются более прочными и для их разрушения
нужны большие силы.
Если бы способность к сдвигу кристаллической решетки была неограни-
ченной и сдвигу не сопутствовали бы иные явления, кроме упрочнения, он был
бы положительным процессом в отношении повышения прочности материала.
Хорошо известно, например, что при холодной протяжке стальной проволоки
и при прокатке тонких стальных лент с большими обжатиями материал зна-
чительно упрочняется (см., например, гл. V, табл. 15).
Строение металлов и допущения теории упругости, пластичности и прочности 263
Однако процесс сдвигов не может протекать без появления зон, где атомные
связи нарушаются, а новые не создаются. Это означает, что в этих зонах возникают
мельчайшие микроскопические трещины, которые являются зародышами разру-
шения материала при дальнейшем его нагружении.
Микротрещины могут возникать не только внутри кристаллических зерен.
Источником возникновения трещин могут служить межкристаллическое вещество,
мельчайшие включения и пустоты, а также дефекты поверхностных слоев мате-
риала (следы резца, коррозия) или особенности формы детали (галтели, свер-
ления, выточки).
Весьма часто сильный рост трещин наблюдается в местах непосредственного
приложения нагрузок (прессовые посадки, места контакта в шариковых и ро-
ликовых опорах и т. д.).
При более высоких напряжениях трещины выходят за пределы одного зерна,
сеть их растет, охватывая все большие объемы материала.
Процессы, происходящие при деформировании и разрушении тел, могут
быть объяснены [20] с точки зрения устойчивости форм равновесия структуры
тела или отдельных ее элементов.
Упругим деформациям, возникающим под действием внешних сил, соответ-
ствуют определенные формы равновесия атомных связей кристаллической
решетки и сил взаимодействия между кристаллическими зернами.
Начало пластической деформации данного зерна является следствием пере-
хода от одной формы устойчивого равновесия в атомной решетке зерна
к другой форме.
Развитие пластической деформации в каком-либо объеме тела или во всем
теле соответствует новым формам равновесия элементов тела.
Процессы* сдвигообразований, двойникований, возникновения микро- и макро-
трещин — явления, тесно связанные с теми или иными формами равновесия как
атомной системы одного зерна, так и совокупности зерен.
С этой точки зрения начало массовой пластической деформации и явления,
сопровождающие начало разрушения, не являются принципиально различными
процессами.
Разрушение подготовляется уже при малых нагрузках, когда в отдельных
зернах и в межкристаллическом веществе наблюдается возникновение зародышей
разрушения.
Таким образом, первая стадия деформации связана с образованием очагов
разрушения (микротрещин, сдвигов и т. п.) и с микроявлениями изменения
форм равновесия. Материал в целом деформируется упруго без видимых пласти-
ческих деформаций.
Вторая стадия деформации связана с дальнейшим развитием и ростом очагов
разрушения, что приводит к видимым (макро) сдвигам, двойникам, а иногда и
трещинам, связанным с явлениями перехода от одной формы равновесия эле-
ментов тела к другой в значительных частях тела, а иногда и во всем его
объеме. Материал в этой стадии находится в состоянии течения или упрочнения.
Переход от первой ко второй стадии может быть резким (фиг. 242, а),
однако чаще всего этот переход совершается постепенно (фиг. 242, б).
Вторая стадия' развития деформаций может в некоторых случаях закончиться
разрушением (см. фиг. 231, г). Часто разрушения наблюдать не удается
(см. фиг. 231, б).
При изучении механических свойств больших объемов металла (образцов
и деталей, размеры которых значительно превышают величину отдельных зерен)
представляется возможным отвлечься от истинной структуры металла, считать
тела состоящими из некоторого условного вещества, непрерывно заполняющего
объем тела. Эту сплошную среду можно наделить рядом свойств, выявленных
на основе испытаний образцов исследуемого металла (гл. V, т. I).
В частном случае упомянутое вещество может быть наделено, помимо
непрерывности, еще рядом свойств Таковы часто принимаемые предположения
об однородности, полной или частичной изотропности.
264
Теория предельных напряженных состояний
Чаще всего свойства материала считаются одинаковыми во всех точках тела
(гипотеза об однородности) и неизменными во всех направлениях (гипотеза об
изотропности).
В отдельных задачах инженерной практики приходится учитывать изменение
свойств материала при переходе от точки к точке (например, при наличии гра-
диента температур). Иногда сплошная среда наделяется свойствами упорядо-
ченной анизотропии (например, резино-кордовые конструкции).
Фиг. 242. Диаграмма зависимости между усилиями и удли-
нениями образцов стали при растяжении:
а — малоуглеродистая сталь; б—легированная сталь; О А — первая стадия —
упругие, деформации; АВ — вторая стадияупруго-пластические деформации
(упрочнение).
Металлы в небольших объемах нельзя считать телами однородными, изо-
тропными и сохраняющими свои свойства при беспредельном делении. В этом
случае становится вероятным проявление свойств отдельных зерен в зависи-
мости от ориентации их кристаллических осей.
Большинство современных методов расчетов на прочность, связанных с рас-
смотрением деформаций больших объемов металла, опирается на гипотезы
о непрерывности, однородности и изотропности материалов.
Поэтому формулы сопротовления материалов, теории упругости и пластич-
ности не применимы к небольшим объемам материала, например по отношению
к кристаллическому зерну или небольшой группе зерен.
Расчеты, выполненные по формулам сопротивления материалов, теории
упругости и пластичности, основанным на упрощенных представлениях о свой-
ствах и структуре материалов, достаточно точны и вполне удовлетворяют
основным запросам практики, но не могут объяснить ряда явлений, сопровож-
дающих процессы деформации и разрушения материалов.
Так, при нагружении деталей, выполненных из пластичных материалов,
уже при небольших нагрузках, когда подсчитанные по формулам сопротивления
материалов напряжения еще значительно меньше предела текучести материала,
в отдельных, невыгодно ориентированных зернах возможно появление не только
весьма больших пластических деформаций, но даже и микротрещин.
Возникновение подобного рода микротрещин большей частью не отражается
на несущей способности детали, поскольку трещина в одном зерне создает
дополнительные напряжения того же порядка, что и напряжения, возникшие бла-
годаря наличию неметаллических включений и пор на границах зерен.
Одной из характерных черт хрупких материалов является плохая сопротив-
ляемость местным перенапряжениям, возникающим в отдельных зернах или
группах зерен благодаря указанным дефектам. В случае хрупких материалов
местные дефекты структуры могут иногда служить причиной непредвиденного
разрушения детали.
Прогнозы о прочности, основанные на упрощенных представлениях о строении
материалов, здесь уже менее точны, так как поведение материала часто зависит
от случайных причин.
Обзор различных напряженных состояний
265
Как следует из всего сказанного, физические явления, которые возникают
при деформации элемента реального тела, вообще говоря, зависят от деформи-
рованного и напряженного состояния соседних элементов и от характера на-
пряженного состояния всего тела в целом.
Однако при выполнении инженерных расчетов и установлении нагрузок, со-
ответствующих началу возникновения массовых пластических деформаций или
началу разрушения деталей, в первом приближении можно не считаться с зако-
ном распределения напряжений по всему объему тела и не учитывать характер
изменения напряженного состояния в процессе нагружения (простое или сложное
нагружение [9]).
Таким образом, для определения коэффициентов запаса существенным является
изучение напряженного состояния наиболее опасно нагруженных элементов рас-
считываемой детали.
Фиг. 243. Трехосное, двухосное и одноосное напряжен-
ные состояния.
§ 2. ОБЗОР РАЗЛИЧНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
В гл. I, т. I, посвященной изучению теории напряженного состояния, уста-
новлено, что напряженное состояние в любой точке исследуемой детали вполне
определяется тремя главными напряжениями. Будем обозначать наибольшее из
них (в алгебраическом смысле) а1э наименьшее а3, промежуточное а2.
Напряженные состояния разделяются (см. гл. I, т. I) на три группы (фиг. 243):
напряженное состояние называется объемным, или трехосным, если все три
главных напряжения не равны нулю (фиг. 243, а);
плоским, или двухосным, если одно из трех главных напряжений равно
нулю (фиг. 243, б);
линейным, или одноосным, если два из трех главных напряжений равны
нулю (фиг. 243. в).
При выполнении расчетов, в соответствии с принятыми выше гипотезами,
необходимо выделять наиболее нагруженные точки детали и оценивать коэффи-
циент запаса в этих точках.
Для этой цели нужно
уметь сравнивать различные
напряженные состояния с
точки зрения их опасности
для материала.
Анализ напряженного со-
стояния деталей машин с
этих позиций убеждает в
необходимости значительно
более подробной оценки ти-
пов напряженных состояний.
Деление напряженных состояний на трехосные, двухосные и одноосные,
вполне удовлетворяющее запросам теории упругости и пластичности, при при-
менении к расчетам деталей, выполненных из реальных материалов, оказывается
недостаточным.
Например, общеизвестно, что большинство материалов по-разному дефор-
мируются и разрушаются под действием растягивающих и сжимающих нагрузок.
С теоретической же точки зрения напряженные состояния растяжение и сжатие
идентичны (одноосные напряженные состояния).
Совершенно различно поведение материалов при всестороннем растяжении
и всестороннем сжатии.
Весьма сильно также влияет на прочность и пластичность материалов соот-
ношение между величинами главных напряжений.
Так, например, при трехосном сжатии материал оказывается значительно бо-
лее прочным, когда все три главных напряжения близки друг к другу по вели-
чине, в отличие от случая, когда одно из них значительно меньше двух
других.
266
Теория предельных напряженных состояний
Иллюстрируем рядом примеров многообразие напряженных состояний, с ко-
торым приходится встречаться при оценке прочности деталей машин, и разделим
напряженные состояния на три группы по принципу влияния напряженного
состояния на механические свойства материалов.
Рассмотрим напряженные состояния, при которых все три главных напря-
жения положительны > о2 > а3 > 0).
В этом случае ни в одном из сечений, проходящих через исследуемую точку,
не возникает сжимающих напряжений.
Напряженные состояния этого типа можно называть трехосными растя-
жениями.
Элемент, находящийся в таком напряженном состоянии, и его круговая
диаграмма изображены на фиг. 244.
Трехосные растяжения могут возникать в точках тел при самых разно-
образных нагружениях последних.
Частными случаями трехосных растяжений являются напряженные состояния,
при которых:
а) Все три главных напряжения равны между собой — трехосное равное растя-
жение (а, = а2 = а3 > 0).
В качестве примера возникнове-
ния трехосного равного растяжения
можно привести напряженное со-
стояние элемента, расположенного
в центре быстро и со всех сторон
в одинаковой степени нагреваемого
шарика (фиг. 245). Напряжения в
материале шарика возникают вслед-
ствие взаимодействия нагретых и
стремящихся расшириться наруж-
Фиг. 244. Трехосное растяжение.
ных слоев материала шарика и его холодной центральной части.
Поскольку в этом случае ни в одном из сечений не возникает касательных
напряжений, такого рода напряженное состояние уместно называть чистым
растяжением.
б) Два главных напряжения равны между собой и отличаются от третьего,
не равного нулю.
Указанное напряженное состояние возникает в точках, лежащих на оси
круглого растянутого бруса вблизи выточки (фиг. 246), а также в центральной
части нагреваемого шарика (см. предыдущий пример — фиг. 245).
в) Одно главное напряжение равно нулю, два других отличны от нуля —
двухосное растяжение (а, > а2 > 0; а3 = 0.)
Двухосное растяжение возникает, например, в быстро вращающихся тонких
дисках постоянной толщины (фиг. 247).
г) Одно главное напряжение равно нулю, два других равны между собой
и отличны от нуля — двухосное равное растяжение (а1=а2>0; а3 = 0).
В качестве примера двухосного равного растяжения можно привести напря-
женное состояние точек около наружной поверхности тонкостенной сферической
оболочки, подверженной внутреннему давлению. В этом случае aj=a2
(фиг. 248). £
д) Два главных напряжения равны нулю, третье отлично от нуля — одно-
осное растяжение (cj >0; а2 = а3 = 0).
Одноосное растяжение можно встретить, например, при растяжении и чистом
изгибе прямых брусьев (фиг. 249).
Перейдем к другой группе часто встречающихся напряженных состояний.
Напряженные состояния, характерные тем, что ни в одном из сечений, прохо-
дящих через изучаемую точку, не возникает растягивающих напряжений
(0 > Cj > о2 > а3), можно называть трехосными сжатиями.
Случаи трехосного сжатия встречаются значительно чаще, чем трехосного
растяжения.
Обзор различных напряженных состояний
267
Фиг. 245. Трехосное равное (чистое) растяжение.
Фиг. ?46. Трехосное растяжение. Случай, когда два главных
напряжения равны друг другу.
Фиг. 247 Двухосное растяжение.
Фиг. 248. Двухосное равное растяжение.
Фиг. 249. Одноосное растяжение.
268
Теория предельных напряженных состояний
Так напряжен, например, материал в точке А толстой плиты, на которую
опирается своей образующей тяжелый короткий цилиндрический каток (фиг. 250).
Перечислим некоторые частные случаи трехосного сжатия.
а) Все три главных напряжения равны между собой — трехосное равное
сжатие (о1 — а2 = а3 < 0).
Трехосное равное сжатие возникает, например, в случае, если монолитное
тело подвергается всестороннему действию постоянного гидростатического
давления (фиг. 251).
Поскольку в этом случае ни в одном сечении не возникает касательных
напряжений, это напряженное состояние можно именовать чистым сжатием.
б) Два главных напряжения равны между собой и отличны от третьего,
не равного нулю.
Такого рода напряженное состояние возникает, например, в точках, ле-
жащих на оси симметрии 3 в случае напряженного соприкосновения шара
с шаром или с плоскостью. При этом = а2 (фиг. 252).
в) Одно из главных напряжений равно нулю, два других отличны от нуля —
двухосное сжатие (а, =0; 0 > а2 > о3).
Двухосное сжатие имеет место, например, в случае, если толстостенное
кольцо сжато радиальными силами, равномерно распределенными по его на-
ружной цилиндрической поверхности (фиг. 253).
г) Одно из главных напряжений равно нулю, два других равны между
собой — двухосное равное сжатие (а, =0; а2 = а3 < 0).
Брус круглого поперечного сечения, проходящий через сосуд с высоким
давлением, находится в состоянии двухосного равного сжатия (фиг. 254).
д) Два главных напряжения равны нулю, третье отлично от нуля (а, =
= а2 = 0; а3 < 0).
Одноосное напряженное состояние сжатия возникает, например, при осевом
сжатии и чистом изгибе прямых брусьев (фиг. 255).
Наконец, рассмотрим напряженные состояния, при которых в одних пло-
щадках, проходящих через исследуемую точку напряженного тела, возникают
растягивающие, а в других — сжимающие нормальные напряжения
Наибольшее а, и наименьшее а3 главные напряжения имеют в этом случае
разные знаки.
Напряженные состояния такого типа можно называть смешанными. Они
весьма часто встречаются в инженерной практике.
Так напряжены, например, стенки толстостенной закрытой трубы, подвер-
женной внутреннему давлению (фиг. 256).
Особенно часто в инженерной практике встречается смешанное двухосное
напряженное состояние (^ > 0; а2 =₽ 0; а3<0). Подобного рода напряженное
состояние приходится исследовать при расчете прямых брусьев, работающих на
кручение и растяжение, на кручение и изгиб и т. д. (см. примеры, изобра-
женные на фиг. 257).
Весьма интересным частным случаем напряженного состояния этого типа
является напряженное состояние, именуемое чистым сдвигом. Это двухосное
напряженное состояние характерно тем, что главные напряжения равны по вели-
чине, но обратны по знаку. В таком напряженном состоянии находится мате-
риал прямых брусьев, работающих на кручение (фиг. 258), за исключением
точек, лежащих на оси бруса.
Итак, в случае трехосного растяжения > а2 > а3 > 0, в случае трехосного
сжатия 0 > а1 > а2 >• а3.
Наконец, в случае смешанного напряженного состояния а, > 0; а3 > 0.
При этом а2 может быть как положительным, так и отрицательным или
равным нулю.
Следует иметь в виду, что приведенные выше примеры возникновения раз-
личных напряженных состояний отнюдь не являются единственными. Число
таких примеров, вообще говоря, неограниченно.
Обзор различных напряженных состояний
269
270
Теория предельных напряженных состояний
Фиг. 255. Одноосное сжатие.
Фиг. 256. Смешанное трехосное напряженное состояние.
Фиг. 257. Двухосное смешанное напряженное состояние.
Фиг. 258. Чистый сдвиг.
Основная задача теории предельных напряженных состояний
271
§ 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ.
КОЭФФИЦИЕНТ ЗАПАСА
Предельным напряженным состоянием будем считать такое напряженное
состояние материала, которое соответствует либо началу его разрушения, либо
началу возникновения физического процесса, который считается по какой-либо
причине недопустимым, нежелательным или опасным.
Например, весьма часто считают предельным напряженное состояние, соот-
ветствующее началу образования массовых остаточных (пластических) дефор-
маций материала.
Для нахождения коэффициента запаса изучаемого элемента данного мате-
риала, находящегося в напряженном состоянии, характеризуемом главными
напряжениями а2, а3, следует поставить опыт по выявлению значений пре-
дельных напряжений а1р а12, о13, подобного1 * * напряженного состояния.
Для этой цели необходимо изготовить образец данного материала, нагрузить
его так, чтобы материал в основной части образца находился в напряженном
состоянии, подобном изучаемому, а затем увеличивать интенсивность напря-
жений до тех пор, пока в образце не начнется физический процесс, который
считается недопустимым.
После определения напряжений а£1, а12, о13, соответствующих предельной
нагрузке, можно определить коэффициент запаса элемента, который равен
„ = (1)
а2 а3 4 '
Отметим, что постановка опытов по определению предельных напряжений,
за исключением некоторых простейших случаев, редко бывает практически осу-
ществима и требует применения весьма сложных машин и измерительных при-
боров.
§ 4. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ
СОСТОЯНИЙ
Современная физика металлов, на основании изучения структурных особен-
ностей материалов, стремится объяснить основные явления, происходящие при
их деформировании.
Прежде всего, обосновываются и объясняются явления, сопровождающие
упругие и пластические деформации, а также процесс разрушения.
1еория ищет объяснение расхождению между расчетными и опытными дан-
ными величин напряжений, соответствующих началу разрушения, намечает пути
определения основных механических характеристик пластичности и прочности
материалов при разных напряженных состояниях.
Физическая теория прочности исследует характерные случаи разрушения,
наблюдаемые при испытаниях материалов, стремится выявить картину явлений,
происходящих в материалах при трехосных растяжениях и сжатиях. Особый
интерес представляет вопрос о возможности возникновения пластических дефор-
маций и разрушении материалов при трехосных чистых растяжении и сжатии.
В отличие от физической теории, техническая или прикладная теория
упругости и пластичности оперирует с гипотетической непрерывной средой, наде-
ленной рядом свойств, выявленных при технических испытаниях образцов ре-
альных материалов.
Основные соотношения прикладной теории упругости и пластичности выво-
дятся из рассмотрения равновесия и деформации бесконечно малых элементов
объема тела в предположении бесконечной делимости и бесструктурности
вещества.
1 Подобными называются такие напряженные состояния, которые могут быть пре-
образованы одно в другое путем одновременного пропорционального изменения всех
главных напряжений. Подробнее об этом см. § 3 гл. V, т. I.
272
Теория предельных напряженных состояний
Очевидно, что эти представления не дают права объяснять ряд наблюдаемых
физических явлений при деформировании и особенно при разрушении реальных
материалов (кристаллитов).
Учитывая все сказанное, необходимо констатировать наличие некоторого
расхождения между физической и технической теориями. На данном этапе
своего развития физическая теория дает качественное объяснение некоторых
явлений, наблюдаемых при деформировании реальных материалов, но не может
пока быть использована в расчетной практике; техническая же теория подходит
с количественной оценкой прочностных и пластических свойств материалов, но
не может в ряде случаев дать объяснения некоторых наблюдаемых явлений
(например, вскрыть причину возникновения того или иного устойчивого типа
разрушения детали или образца).
По-видимому, по мере накопления опытного материала и развития физической
и технической теорий их выводы будут сближаться.
Современные методы прикладной теории упругости и пластичности позво-
ляют анализировать напряженное состояние деталей машин при различных на-
грузках, однако такого рода анализ может быть назван инженерным расчетом
только тогда, когда исследование завершается оценкой опасности изучаемых
напряженных состояний.
Как было уже сказано в § 3, оценка опасности материала, находящегося
в заданном напряженном состоянии, может быть произведена путем сравнения
фактических главных напряжений с предельными напряжениями, определенными
экпериментально [см. формулу (1)].
Необходимость подвергать опытному изучению все случаи напряженных
состояний, встречающиеся на практике, лишает расчет его смысла, так как идея
расчета и состоит именно в том, чтобы предвидеть, при какой интенсивности
данного напряженного состояния конструкция будет иметь избранный коэффи-
циент запаса.
Необходимость сравнения напряженности отдельных точек рассчитываемых
деталей, выявления наиболее опасной точки и определения коэффициента запаса
заставляет искать критерий наступления текучести или критерий прочности,
т. е. фактор, на основании которого можно было бы, не прибегая в каждом
отдельном случае к испытаниям, производить оценку опасности напряженного
состояния и выявлять наиболее напряженные места деталей.
Проблема отыскания таких критериев должна решаться теориями предельных
напряженных состояний. Экспериментальное же определение механических
свойств материалов должно производиться не для всех, а лишь для наиболее
типичных напряженных состояний. В этом случае полученные опытные данные
могут быть использованы либо в качестве параметров, определяющих критерий,
либо для проверки и уточнения принятого критерия.
Итак, основной задачей всякой теории предельных напряженных состоя-
ний является установление критерия, позволяющего сравнивать между собой
опасность различных напряженных состояний материала.
Выбранный критерий должен быть проверен экспериментально путем прове-
дения испытаний, используемых в технике материалов при различных напряжен-
ных состояниях.
Сравнение напряженных состояний удобно производить, если одно наиболее
типичное и легко осуществимое в экспериментальных установках напряженное
состояние выбрать за основу и, пользуясь принятым критерием, сопоставлять
с ним все другие напряженные состояния. Это основное напряженное состояние
называют эквивалентным.
По причинам, подробно рассмотренным далее (см. § 5), в качестве
эквивалентного напряженного состояния обычно выбирают одноосное растя-
жение. >
Механические свойства всех материалов при эквивалентном напряженном
состоянии (например, при одноосном растяжении) должны быть хорошо изучены.
Особенно важно знать величину главных напряжений, определяющих эквивалент-
Основная задача теории предельных напряженных состояний
273
ное напряженное состояние предельной интенсивности (например, предел, теку-
чести или предел прочности при одноосном растяжении).
Когда в результате опытного изучения свойств различных материалов при
эквивалентном напряженном состоянии становится известна величина критерия
прочности, соответствующая предельному напряженному состоянию, тогда
появляется возможность вычислять коэффициент запаса п путем, сравнения кри-
териев прочности [см. формулу (2)]:
к ,
прочности при предельном эквивалентном напря-
при данном
состоянии.
Фиг. 259. Схема определения коэффи-
циента запаса путем сопоставления изу-
чаемого напряженного состояния с пре-
дельным эквивалентным напряженным
состоянием.
где KL — величина критерия
женном состоянии;
К — величина критерия
Иллюстрируем сказанное примером.
> Пусть задан элемент а какой-либо детали, находящийся в произвольном
напряженном состоянии (фиг. 259). Значения предельных напряжений для напря-
женного состояния элемента а неизвестны.
Заданы критерий прочности и значе-
ние предельного напряжения aLz, полу-
ченное при испытании материала детали
при одноосном растяжении, принятом
за эквивалентное (напряженное состоя-
ние в).
Представим себе элемент б, находя-
щийся в состоянии одноосного растяжение,
эквивалентного (равноопасного) напряжен-
ному состоянию элемента а.
Значение аэкв вычисляется из условия
равенства величин принятого критерия
для напряженных состояний а и б.
На фиг. 259 этот перерасчет симво-
лизируется стрелкой /.
После определения эквивалентного
напряжения а9Кв коэффициент запаса
может быть вычислен путем сопоставле-
ния напряжений aLz и а9К8 по формуле
состояния с предельным символи-
Сравнение эквивалентного напряженного
зируется стрелкой II.
При таком подходе к определению коэффициента запаса достаточно, как
это видно из примера (фиг. 259), располагать значением предельного напряжения
только для напряженного состояния, принятого за эквивалентное (а12).
Однако для реализации разработанной методики необходимо установление
достоверного критерия.
Как известно [7]. [9], [13], [15], [19], [25], состояние материала под
нагрузкой зависит от многих факторов, из которых одни являются основными,
а другие второстепенными.
Естественно, что критерий прочности не может отразить в себе все многооб-
разие этих факторов. Отсюда следует, что все расчеты, основанные на приме-
нении выбранного критерия прочности, являются приближенными, как и боль-
шинство инженерных расчетов.
Чрезмерно высокая требовательность к точности и общности инженерного
расчета, а следовательно, к безупречной строгости и универсальности гипотез,
положенных в его основу, может привести к тому, что инженер окажется лишен-
ным простых расчетных формул, без которых практическая работа невозможна.
18 Пономарев и др. 40 7
274
Теория предельных напряженнььх состояний
Замена изучаемого напряженного состояния другим (эквивалентным) неиз-
бежно влечет за собой некоторую ошибку в оценке прочности, поэтому при
выполнении расчетов необходимо строго следить за пределами применимости тех
гипотез, на основании которых такая замена производится.
Необходимо также отдавать себе отчет в том, какую ошибку такая замена
вводит в расчет. Эта ошибка может быть учтена при выборе величины коэф-
фициента запаса.
В тех случаях, когда напряженное состояние и условия работы материала
таковы, что принятые гипотезы неприменимы, не следует пользоваться теориями,
основанными на этих гипотезах, и при отсутствии других надежных расчетных
возможностей необходимо обратиться к экспериментальному изучению соответ-
ствующих свойств материала.
Наметим теперь общий план решения вопроса по определению коэффициента
запаса конструкций:
1. Конструкция расчленяется на детали, выясняются усилия, действующие
на детали, и составляются расчетные схемы.
2. Теоретически или экспериментально выясняется закон распределения на-
пряжений в различных точках деталей и изучается их напряженное состояние.
3. На базе принятого критерия напряженные состояния исследуемых точек
деталей оцениваются соответствующими эквивалентными напряжениями.
4. Путем сопоставления интенсивности эквивалентных напряженных состояний
в различных точках каждой детали конструкции выявляются наиболее нагру-
женные ее элементы, которым соответствуют, наибольшие аэкв и для них опре-
деляются коэффициенты запаса.
5. Путем сопоставления коэффициентов запаса отдельных деталей выявляется
наиболее нагруженная деталь и определяется коэффициент запаса конструкции
(он равен наименьшему коэффициенту запаса всех деталей).
При конструировании следует стремиться к тому, чтобы все основные детали
конструкции были по возможности равнопрочными, т. е. коэффициенты запаса
всех деталей были бы примерно одинаковыми.
§ 5. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ*"
В качестве эквивалентного напряженного состояния может быть, вообще
говоря, выбрано любое напряженное состояние. Как было указано выше, кон-
структор для этого напряженного состояния должен располагать подробными
характеристиками всех материалов (см. гл. V, т. I), поэтому необходимо, чтобы
эквивалентное напряженное состояние удовлетворяло следующим требованиям:
а) нагрузки, вызывающие в образце напряженное состояние, избранное в ка-
честве эквивалентного, должны быть легко осуществимы — создание этого
напряженного состояния не должно требовать сложных машин и приспособ-
лений;
б) образцы для испытаний должны иметь простую форму и должны быть
легко изготовляемы;
в) напряженное состояние расчетной части образцов должно быть однород-
ным и соосным (см. § 3, гл. V, т. I); последнее требование диктуется необхо-
димостью производства точных замеров;
г) возмущение напряженного состояния образца, возникающее в местах при-
ложения внешних сосредоточенных нагрузок, не должно распространяться на ту
его часть, на которой производятся замеры, и по возможности не должно
влиять на величину предельной нагрузки.
Всем перечисленным условиям удовлетворяет одноосное однородное напря-
женное состояние — растяжение.
В литературе [26], [27] накоплено большое количество данных, характери-
зующих поведение различных материалов при одноосных напряженных состоя-
ниях— растяжении и сжатии (см. гл. V, т. I).
Из всего сказанного ясно, что для расчета деталей, материал которых нахо-
дится в одноосном напряженном состоянии, не требуется прибегать к помощи
Расчет при одноосных напряженных состояниях
275
теории предельных напряженных состояний. В качестве критерия в этом случае
можно принять главное напряжение, не равное нулю.
Ишак, эквивалентное напряжение а9Кв представляет собой главное на-
пряжение воображаемого растянутого элемента из того же материала,
что и заданный элемент, причем растянутый элемент находится в столь
же опасном напряженном состоянии, что и исследуемый.
§ 6. РАСЧЕТ ПРИ ОДНООСНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЯХ
Согласно сказанному выше коэффициент запаса при одноосном растяжении
равен
- п = -^- ,
где а—главное напряжение, не равное нулю, в точке, для которой опреде-
ляется коэффициент запаса.
При вычислении коэффициента запаса растянутого элемента принято считать
предельным то напряженное состояние, которое соответствует либо пределу
прочности аб2, либо пределу текучести asz.
Коэффициент запаса, отнесенный к пределу прочности, называется коэффи-
циентом запаса по разрушению:
Коэффициент запаса, отнесенный к пределу текучести, называется коэффи-
циентом запаса по текучести:
(5)
В случае расчета деталей, выполненных из пластичных 1 материалов, следует
вычислять коэффициент запаса по текучести. Если же деталь изготовлена из
хрупкого материала, то — по разрушению.
Для хрупко-пластичных материалов могут быть вычислены оба коэффициента
запаса.
Коэффициент запаса при одноосном сжатии также можно определить, не
прибегая к вычислению эквивалентных напряжений.
Так, коэффициент запаса по разрушению равен
Коэффициент запаса по текучести равен
где |а| — численное значение главного напряжения элемента, находящегося
в одноосном напряженном состоянии — сжатии, коэффициент запаса для кото-
рого подлежит определению.
В формулах (6), (7) и далее пределы текучести и прочности при сжатии
(asJ и abd) представляют собой абсолютные значения соответствующих предель-
ных напряжений.
Однако, ради общности, можно одноосное сжатие рассматривать как част-
ный случай произвольного напряженного состояния, когда aj = a2=0, а
а3 = а<0 (фиг. 260). Тогда можно установить эквивалентное напряженное со-
стояние, т. е. подобрать одноосное растяжение, равноопасное заданному сжатию,
и вычислить коэффициент запаса по формуле (4) или (5).
1 Термины „пластичный", „хрупкий" и „хрупко-пластичный" материал были уточ-
нены в гл. V, т. I.
18*
276
Теория ^предельных напряженных состояний
' Если известен коэффициент v = ^-т-
I aLd I
характеризующий
српротирления материала при растяжении и сжатии (см. § 6,
неодинаковость
гл. V, т. I), то
вычисление <зэкв при одноосном сжатии следует производить по формуле

(8)
где а — главное напряжение (фиг. 260) исследуемого сжатого элемента.
Смысл был выяснен ранее (это либо а^, либо abz), | 1 представляет
собой либо предел текучести (пластичные материалы), ‘ либо предел прочности
Заданное- , , / Эквивалентное
напряженное напряженное
состояние состояние
Фиг. 260. .Сравнение одноосного сжатия
с одноосным4 растяжением.
(хрупкие материалы) при сжатии.
Из сказанного следует, что для вы-
числения оэкв и последующего определе-
. ния коэффициента запаса при сжатии
необходимо, естественно, располагать ха-
рактеристикой работы данного материала
не только при сжатии, но и при растяжении.
Заметим, что при вычислении коэффи-
циента запаса по текучести пользуются
коэффициентом по разрушению чь.
запаса элементов конструкций из пластич-
При определении коэффициента
ных материалов, работающих в условиях одноосного сжатия, следует считать
предельным напряженное состояние, соответствующее началу текучести. Дело
в том, что весьма часто деталь, выполненная из пластичного материала, при
сжатии разрушена вообще быть не может (2], [7], [15]. Подобные примеры
были разобраны в гл. V, т. I.
§ 7. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
, . . ( . [2], [8], [15]
(Критический анализ воззрений, послуживших основой для современных
теорий предельных напряженных состояний) '
Когда в период создания основ науки о прочности (середина XVII в.) воз-
ник вопрос * о необходимости сравнения различных напряженных состояний,
в качестве критерия прочности, без каких-либо обоснований, была предложена
величина наибольшего главного напряжения. Тем самым не учитывалось влияние
на прочность материала типа напряженного состояния (двух других главных на-
пряжений).
Практическая проверка не подтвердила данной гипотезы.
Желание связать характер деформированного состояния в опасной точке со
свойствами материала навело на мысль принять в качестве критерия наступления
текучести наибольшую линейную деформацию.
Эта гипотеза получила довольно широкое распространение, однако более
детальная проверка выявила в ней ряд существенных недостатков.
Анализ физического процесса возникновения пластических деформаций, зави-
сящих в основном от сдвигов в зернах металла (см. § 1 настоящей главы),
натолкнул на мысль принять в качестве критерия наступления текучести наи-
большее касательное напряжение, возникающее в исследуемом элементе напря-
женного тела. Эта теория получила солидное экспериментальное подтверждение,
однако было выяснено, что она дает хорошие результаты только для пластич-
ных, материалов.
Стремление одновременно учесть влияние напряженного и деформированного
состояния материала на его пластичность и прочность привело к попытке при-
нять в качестве критерия возникновения текучести количество удельной потен-
циальной энергии, соответствующей изучаемому напряженному состоянию.
Проверка показала, что данная теория применима только для узкого круга
напряженных состояний и только для пластичных материалов.
Развитие теории предельных напряженных состояний 27Z’
Такова краткая история развития теории предельных напряженных состояний.
Перечисленные четыре теории послужили фундаментом для создания современ-
ных теорий, подробный анализ которых будет дан в следующем параграфе.
Отметим, что лишь в самое последнее время осознана необходимость
четкого разделения вопросов определения начала возникновения текучести
(теории возникновения текучести) и начала разрушения (теории прочности).'
Весьма часто и теперь еще критерий начала текучести без всякого к тому
основания используется в качестве критерия прочности, а критерий прочно-
сти — в качестве критерия начала текучести. Такое произвольное использование
критериев является причиной многочисленных ошибок и недоразумений в расчет-
ной практике. Вопросы определения коэффициента запаса по текучести и раз-
рушению следует также четко разграничивать.
Рассмотрим более детально перечисленные выше теории.
А. Теория наибольших нормальных напряжений
Необходимость решения вопроса о сравнительной опасности простейших
напряженных состояний привела исследователей к мысли использовать в первую
очередь в качестве критерия прочности наибольшее нормальное напряжение
(Галилей, XVII в. [2], [28]).
Впоследствии такого рода воззрение получило название теории прочности
наибольших нормальных напряжений.
Уточним вопрос о выборе критерия, иными словами, выясним, которое из
трех главных напряжений следует считать критерием прочности.
В случае трехосного растяжения критерием прочности является наибольшее
главное напряжение аг В этом случае предельное напряженное состояние счи-
тается достигнутым, когда это напряжение становится равным предельному
напряжению при одноосном растяжении abz.
Условие наступления предельного напряженного состояния имеет вид:
В случае трехосного сжатия в качестве критерия служит наибольшее по
абсолютной величине главное напряжение а3. Предельное напряженное состоя-
ние считается достигнутым в том случае, когда выполняется условие
1°3 |
Если имеет место смешанное напряженное состояние, то при выборе крите-
рия следует считаться со свойствами материала.
Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию1,
критерием прочности является наибольшее по абсолютной величине нормальное
напряжение. •
Предельное напряженное состояние считается достигнутым, если
I ° Imax
В этом равенстве | а |тах — наибольшее по абсолютной величине главное
напряжение.
В случае, когда материал хуже сопротивляется растяжению, чем сжатию
критерием прочности следует считать главное напряжение, более
близкое к соответствующему предельному напряжению.
1 Под материалами, одинаково сопротивляющимися растяжению и сжатию, под-
разумеваются материалы, у которых коэффициент ^ = -^И-=1.
°Ld
Напомним, что у материалов такого рода большей частью предел прочности при
сжатии о щеделен быть не может (образец материала расплющивается, не разрушаясь).
Подробнее об этом см. в гл. V, т. I.
278 v Теория предельных' напряженных состояний
й Так; если >0 и <0, а
аЬг < *bd
’ <h |°з1’
то критерием прочности является аг В этом случае формула эквивалентности
имеет вид:
®ЭКв ai • (9)
Если же Qj > 0 и а3 < 0, а
gfrz \ abd
gi "1°з1’
то критерием прочности является а3.
Пределы применимости теории прочности наибольших нормальных напря-
жений не выяснены. Несомненно, что рассматриваемая теория прочности, безу-
словно, не применима к чистому (трехосному) растяжению и сжатию, а также
в тех случаях, когда все три главные напряжения одинаковы по знаку и близки
друг к другу по величине (напряженные состояния, близкие к чистому растя-
жению и сжатию).
Теория прочности наибольших нормальных напряжений не подтверждается
опытами и в ряде других случаев, поэтому в настоящее время она представляет
только исторический интерес. Указанная теория ввиду своей простоты иногда
применяется при расчете конструкций из весьма хрупких материалов: бетона,
камня, кирпича и им подобных, для которых она дает более или менее удов-
летворительные результаты.
Б. Теория наибольших линейных деформаций 1 *
В качестве критерия возникновения текучести принята наибольшая по абсо-
лютной величине линейная деформация.
Как известно (см. § 1 гл. III, т. I), линейные деформации при трехосном
напряженном состоянии в случае, если материал подчиняется закону Гука,
могут быть вычислены по формулам [формулы (5) гл. III, т. I]: -
ei=4'fai — t* (°а-Ь °з)1;
е2 = ^ [°2 — + (Ю)
S3 = 4" 1°з — Н (°1 + °2)] •
Наибольшая линейная деформация возникает в направлении одного из глав-
ных нормальных напряжений.
Пользуясь одной из формул (10), можно найти наибольшую по абсолютной
величине линейную деформацию. Эта деформация и принимается в качестве
критерия возникновения пластичности.
Итак, критерием является
I 8 Imax == | "4 К— Н (°2Ч-аз)1|- (И)
Индексы главных напряжений в формуле (11) поставлены в предположении,
что наибольшая линейная деформация возникает по линии действия напряже-
ния Qj.
Напряженное состояние считается предельным, когда величина |е|тах рав-
няется наибольшей линейной деформации при предельном одноосном напряжен-
ном состоянии — растяжении, если величина, модуль которой равен |е|тах,
положительна, или сжатии, если она отрицательна.
1 Теория наибольших линейных деформаций выдвинута в 1682 г. известным физи-
ком Мариоттом. Ее создание часто приписывается Сен-Венану [28].
Развитие теории предельных напряженных состояний
279
Вычислим значение принятого критерия для эквивалентного напряженного
состояния — одноосного растяжения.
Положив в формуле (11) о2 = о3 = 0, получим
е — 1 а
max -g- эк в'
(12)
Приравнивая левые части соотношений (11) и (12), получим формулу экви-
валентности
Фиг. 261. Характеристика детали,вы-
полненной из пластичного материала.
(11) и в качестве критерия проч-
аэкв = °1 — И (°2+аз)- (13)
При выводе формулы эквивалентности использованы соотношения (10),
основанные на линейных зависимостях между напряжениями и деформациями.
Поэтому формула (13) не может быть использована для вычислении эквива-
лентных напряжений, превышающих предел текучести материала, а также ее
не следует применять в случае, если материал имеет нелинейную характеристику.
Формула (13) не применима, если наибольшие по абсолютной величине
линейные деформации отрицательны.
В последнем случае, на основании сде-
ланного выше замечания, должна быть состав-
• лена другая формула эквивалентности.
Данная теория, по-видимому, также не
применима для напряженных состояний,
близких к чистому растяжению и сжатию.
Экспериментальная проверка не подтвер-
дила теорию наибольших деформаций, однако
последняя в£е же имеет большое распро-
странение и до сего времени.
В справочной и специальной литературе
часто встречаются расчетные формулы, осно-
ванные на этой теории.
В дальнейшем будет сделан обзор этих
формул.
Имеется попытка использования критерия
ности [6], [25].
Данное предложение основано на том, что при пластическом деформировании
объем материала можно считать неизменным [9], и что коэффициент Пуассона
материалов, не изменяющих свой объем при деформировании, равен 0,5.
Основываясь на перечисленных фактах, предложено формулу (13) использо-
вать для определения эквивалентных напряжений, превышающих предел теку-
чести, положив в ней у. = 0,5.
Подобного рода попытку расширения данной теории нельзя признать удач-
ной, так как факт неизменности объема при пластических деформациях не дает
права полагать коэффициент Пуассона равным 0,5. Вывод же формулы (13)
основан на линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Поэтому
даже в случае, если коэффициент Пуассона равен 0,5, .применять соотношения
(10) и формулу (13) при напряжениях, превышающих предел текучести, недо-
пустимо.
Отметим, что в ряде случаев наибольшая пластическая деформация все же
может служить критерием прочности детали.
Так, например, если е или 7 — фактические наибольшие деформации в опас-
ных точках детали, а характеристика пластичного материала имеет вид, пред-
ставленный на фиг. 261, то судить об опасности нагружения можно, вычислив
коэффициент запаса по наибольшим пластическим деформациям. В этом случае
ZL 1L
п — или п = ,
е 7
где eL или — предельная наибольшая линейная или угловая деформация.
280
• Теория предельных напряженных состояний
В. Теория наибольших касательных напряжений 1
Наблюдение за поведением металлов (кристаллитов), находящихся в напря-
женном состоянии, показывает, что остаточные (пластические) деформации
появляются вследствие возникновения сдвигов в кристаллической решетке от-
дельных кристаллов.
Появление сдвигов хорошо заметно при наблюдении за полированной поверх-
ностью деформируемых образцов. На полированной поверхности эти сдвиги
проявляются в виде линий, называемых полосами скольжения. Когда образцы
работают на растяжение и сжатие, указанные линии ориентированы примерно под
углом 45° к оси образца и совпадают с направлением плоскостей наибольших
касательных напряжений [2], [15].
Последнее обстоятельство и послужило основанием выдвижения в качестве
критерия возникновения текучести величины наибольшего касательнодо напря-
жения:
где Qj и а2— наибольшее и наименьшее главные напряжения (см. гл. I, т. I).
Учитывая, что при одноосном напряженном состоянии—растяжении, приня-
том в качестве эквивалентного, наибольшее касательное напряжение
Snax=V’ <15>
легко получить формулу эквивалентности:
°экв = °1 —о3- (16)
Опытная проверка теории наибольших касательных напряжений была про-
изведена только для двухосных растяжений > а2 > 0 и а3 — 0) и двухос-
ных смешанных напряженных состояний (^>0; а2 = 0; а3 < 0). Проверка
показала, что для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжа-
тию (vs=l), теория хорошо подтверждается опытами. Для материалов, различ-
но сопротивляющихся растяжению и сжатию, теория дает плохие результаты.
Подробнее о пределах применимости данной теории будет сказано далее,
при разборе теории О. Мора.
Г. Теория полной потенциальной энергии 2
В качестве критерия возникновения текучести принята удельная потенци-
альная энергия, нак< пленная деформированным материалом в исследуемой точке
(см. § 2 гл. III, т. I). Удельная потенциальная энергия может быть подсчитана
по формуле (31) гл. III, т. I:
Ь°3 — 2|*(о1о2 + а2°3 + в3°1)1 • (17)
Предельное напряженное состояние считается достигнутым, если количество
удельной потенциальной энергии, накопленное деформированным материалом
в исследуемой точке, достигает некоторой величины, характерной для данного
материала.
Приняв в качестве эквивалентного одноосное напряженное состояние,
а именно растяжение, и положив в формуле (17) = аэкв и а2 = а3 = 0,
получим
W = (18>
1 Предположение считать критерием прочности наибольшие касательные напряже-
ния впервые было высказано известным физиком Кулоном в 1773. г. [2], [28].
2 Теория предложена Бельтрами в 1885 г. [2], [8], [28].
Современные теории предельных напряженных состояний
281
Приравнивая количество удельной потенциальной энергии, накопленной мате-
риалом, находящимся в изучаемом напряженном состоянии, и уаельной энергии*
того же материала в эквивалентном напряженном состоянии, получим формулу
эквивалентности в следующем виде:
+ «2 + О3 — 21* <а1°2 -t- °2а3 -1- О8°1) •
Для двухосного напряженного состояния, если о3 — 0, имеем
= ]/’О1 t- °2 “• 2Н°1°2 •
(19)
(20)
Рассматриваемая теория не подтвердилась опытами при двухосных напряжен-
ных состояниях и может быть рассматриваема лишь как предшественница значи-
тельно более удачной „энергетической теории формоизменения" (см. § 8 насто-
ящей главы).
§ 8. СОВРЕМЕННЫЕ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
А. Теория предельных напряженных состояний О. Мора 1 2
Опыты ряда исследователей [21|, [36] показали, что начало возникновения
текучести и прочность материалов при различных напряженных состояниях
в основном определяются величиной и знаками наибольшего и наименьшего а3
из глав шх напряжений и лишь в малой степени зависят от величины и знака
промежуточного главного напряжения а2.
Фиг. 262. Различные напряженные состояния, осуществленные
при испытании трубок.
Познакомимся, например, с результатами испытаний тонкостенных стальных,
медных и никелевых трубок (см. фиг. 167), нагружаемых внутренним давле-
нием р и осевой нагрузкой Р
Приближенно можно считать (см. гл. V, т. I), что материал стенок трубок
находится в двухосном напряженном состоянии 2.
При соответствующем выборе осевой нагрузки Р и давления р можно осу-
ществить напряженные состояния, изображенные на фиг. 262, а—в.
Нормальные напряжения и az, возникающие в меридиональных и поперечных
сечениях стенок трубой, могут быть подсчитаны по формулам (17) и (18)
гл. V, т. I.
Ратиальные напряжения малы по сравнению с напряжениями at и az, и их
с достаточной степенью Точности можно считать равными нулю.
1 Эта теория предложена О. Мэром в началеХХ в. [36].
2 Содержание опытов излагается здесь сокращенно. Более полное изложение
см. [21].
282
Теория предельных напряженных состояний
Итак, в рассматриваемом случае главные напряжения, определяющие напря-
женное состояние трубок (фиг. 262), равны ^>0; 0 < а2 < а3 = 0.
При проведении опытов трубки нагружались до появления пластических
деформаций, причем сопоставлялись различные напряженные состояния, у кото-
рых напряжение а2 принимало различные значения в пределах от нуля до аг
Результаты опытов приведены на фиг. 263 и 264. По оси абсцисс на диаграммах
.. <?2
отложены отношения главных напряжений —, соответствующих началу воз-
никновения пластических деформаций (во всех опытах а3 = 0).
По оси ординат отложены отношения ——, выраженные в процентах.
Qsz
-Фиг. 263. Результаты испытания стальных Фиг. 264. Результаты испытания медных
трубок. и никелевых трубок.
Если бы состояние материала зависело только от величин hjs3, то начало
текучести при всех напряженных состояниях, имевших место при проведении
данных опытов, наступало бы вне зависимости от величин а2; при одном и том
же значении = asz все экспериментальные точки на диаграмме располагались
бы на оси абсцисс. Заметим, что одноосное напряженное состояние — растяже-
ние является частным случаем исследуемых напряженных состояний (см.
фиг. 262, а}.
На фиг. 263 приведены данные испытаний стальных трубок, на фиг. 264 —
медных (кружочки) и никелевых (крестики). Из рассмотрения кривых следует,
что максимальное отклонение от asz имеет место при напряженных состояниях,
характеризуемых отношением —, близким к 0,5. Наибольшее отклонение до-
стигает 12°/0. ai
Аналогичные опыты, для выяснения влияния промежуточного главного на-
пряжения на прочность хрупких материалов, были проделаны над чугунными
трубками, нагружаемыми внутренним давлением и осевой нагрузкой [21 j. В этих
опытах трубки доводились до разрушения.
Незначительное количество поставленных опытов не дает возможности
уверенно построить кривую отклонений от abz, однако из рассмотрения
результатов этих экспериментов следует, что для представителя хрупких мате-
риалов (чугуна) ошибка от неучета промежуточного главного напряжения
также не превышает 10—15°/0.
Заметим, что опубликованные в литературе опыты, характеризующие роль
промежуточного главного напряжения при трехосных напряженных состояниях,
далеко не носят исчерпывающего характера и весьма желательна дальнейшая
исследовательская работа в этом направлении1.
1 Подробнее об этом см. т. II.
Современные теории предельных напряженных состояний
283
Итак, в качестве первого приближения можно принять, что в основном
пластичность и прочность материала зависят от величины и знака наибольшего
и наименьшего из трех главных напряжений.
Все сказанное дает право положить в основу теории предельных напря-
женных состояний предположение о незначительном влиянии промежуточного
главного напряжения на пластичность и прочность материала.
[v Известно, что на круговой диаграмме напряженное состояние определяется
тремя окружностями и областью, заключенной между ними. Если принять, что
Фиг. 265. Равноопасные напряженные состояния (теория предельных
напряженных состояний О. Мора).
свойства материала не зависят от величины промежуточного главного напряже-
ния, то опасность напряженного состояния может характеризоваться одной
(наибольшей) окружностью.
Так, например, с этой точки зрения каждое из напряженных состояний на
•фиг. 265, а, б, в определяется только большей окружностью соответствующей
круговой диаграммы. Напряженные состояния на
фиг. 265, а, б, в являются равноопасными.
В дальнейшем наибольшая из трех окружностей,
образующих круговую диаграмму напряженного состоя-
ния, будет называться определяющей окружностью.
На фиг. 266 изображена определяющая окружность
напряженных состояний, представленных на фиг. 265.
Поскольку принято, что промежуточное главное
напряжение не оказывает вляния на свойства материала,
то можно считать подобными те напряженные состоя-
ния, у которых отношение главных нормальных напря-
жений
Фиг. 266. Определяющая
окружность для напря-
женных состояний, изо-
браженных на фиг. 265.
*1
(21)
одинаково. Назовем это отношение коэффициентом напряженного состояния и
обозначим его буквой г. Фиг. 267 иллюстрирует введенное понятие.
Интенсивность двух подобных напряженных состояний (а', а^, а^) и (а'', а", аз)
в этом случае будет характеризоваться отношением
г = —= —
Перейдем к определению критерия теории предельных напряженных состоя-
ний О. Мора и покажем, каким образом на базе этого критерия можно нахо-
дить а9Кв и вычислять коэффициент запаса изучаемого напряженного состояния.
Представим себе, что при исследовании механических свойств некоторого
материала удалось достигнуть предельных напряженных состояний при различ-
284
Теория предельных напряженных состояний
ных сочетаниях главных напряжений, но во всех случаях при соблюдении
условия
r = — = const,
т. е. при простом нагружении.
Допустим, что ряд образцов исследуемого материала испытывался при трех-
осных растяжениях, трехосных сжатиях и смешанных напряженных состояниях
Фиг. 267. Определяющие окружности и коэффициенты г для различных
напряженных состояний.
и в результате таких испытаний для напряженного состояния каждого типа
были получены предельные значения а£1 и а£3.
Располагая этими данными, можно на круговой диаграмме (фиг. 268) все
предельные напряженные состояния представить окружностями. *
Изучение полученной диаграммы с нанесенными на ней определяющими
окружностями предельных напряженных состояний показывает, что окружности
Фиг. 268. Огибающая окружностей предельных напряженных состояний.
располагаются на диаграмме, как и следовало ожидать, закономерно. Это поз-
воляет провести плавную кривую, огибающую все окружности предельных
напряженных состояний, характерную для данного материала [8], [36].
Подобным образом могут быть получены огибающие предельных окружно-
стей для различных материалов (в дальнейшем эти огибающие, характеризующие
предельные состояния, будут сокращенно именоваться предельными огиба-
ющими).
Нанесем на диаграмме определяющие окружности напряженных состояний,
в п раз менее интенсивных, чем предельные напряженные состояния, и также
проведем к ним общую огибающую.
Современные теории предельных напряженных состояний
285
Огибающую определяющих окружностей равноопасных напряженных состоя-
ний, соответствующих коэффициенту запаса п, будем называть линией равно-
опасных напряженных состояний. На фиг. 269 нанесены огибающие, соответ-
ствующие значениям коэффициента запаса, равным 1; 1,5; 2; 4.
Опасность данного напряженного состояния характе разуется величиной
и положением определяющей окружности относительно предельной огибающей
на круговой диаграмме.
Фиг. 269. Сгибающие окружностей равноопасных напряженных
состояний.
Итак, критерий установлен. Эквивалентное напряжение и коэффициент запаса
легко найти, если на круговой диаграмме с нанесенной сеткой огибающих рав-
ноопасных напряженных состояний (фиг. 270) начертить окружность, опреде-
ляющую изучаемое напряженное состояние.
Коэффициент запаса выявится, как только будет установлено, какой огиба-
ющей касается окружность, определяющая изучаемое напряженное состояние.
Для нахождения эквивалентного напряжения достаточно провести окружность,
определяющую одноосное растяжение и касающуюся той же огибающей
(фиг. 270).
Из всего сказанного следует, что если для данного материала получена
предельная огибающая, то определение эквивалентного напряжения оэкв и коэф-
фициента запаса п не представляет труда. Если предельная огибающая получена
не для всех напряженных состояний, а только для некоторой их группы (на-
пример, только для двухосных растяжений, сжатий и смешанных напряженных
состояний), то это не исключает возможности пользования теорией предельных
напряженных состояний, но-только в ограниченных пределах [12].
Допустим, например, что для данного материала экспериментально получена
часть предельной огибающей (фиг. 271). Установим границы, в которых
можно определять аэкв и коэффициент запаса п. Назовем напряженные состоя-
ния, соответствующие окружностям, касающимся огибающей в крайних точках
286
Теория предельных напряженных состояний
и В19 граничными. Проведем, как это было указано ранее, ряд огибающих,
соответствующих равноопасным напряженным состояниям при п = 1,5; 2; 4.
Ясно, что эти огибающие должны доходить до определяющих окружностей
напряженных состояний, подобных граничным, но соответственно в 1,5; 2;
4 раза менее интенсивных (точки Л2, Л4 и В2, В4).
О
Фиг. 271. Область применения теории предельных
напряженных состояний.
Нетрудно показать, что
все эти точки лежат на
лучах ОЛ1 и OBV Эти
лучи выделяют область об-
следованных напряженных
состояний.
Если окружность, опре-
деляющая данное напряжен-
ку ное состояние, касается
огибающих равноопасных
напряженных состояний в
пределах угла A1OBli то
коэффициент запаса п и
эквивалентное напряжение о9кв могут быть найдены указанным выше построением.
Получение экспериментальных данных, позволяющих построить предельные
огибающие, связано с постановкой довольно большого числа сложных опытов.
Особенно затруднительно осуществление трехосных растяжений и трехосных
сжатий. Нагружать образцы так, чтобы возникало трехосное однородное напря-
женное состояние растяжения, еще не
удавалось. Осуществление трехосных
сжатий достаточно просто, однако для
доведения интенсивности напряжений
до степени, соответствующей предель-
ному напряженному состоянию, требу-
ются весьма высокие давления, порядка
десятков и даже сотен тысяч атмосфер,
что также создает препятствие к по-
становке опытов.
Напряженные состояния смешанного
типа и двухосные растяжения и сжатия
получить легче. Поэтому в литературе
приведены лишь данные, характеризую-
щие форму предельной огибающей для
напряженных состояний; у которых
и а3 имеют разные знаки или одно из
них равно нулю (г С 0).
Необходимо указать на то обстоя-
тельство, что форма предельной оги-
бающей при трехосных сжатиях (осо-
бенно близких к чистому сжатию) до
сих пор является неизученной, так как
отсутствуют экспериментальные данные
о поведении материалов при сверхвысо- фиг. 272. Формы предельной огибающей
ких всесторонних давлениях. в области трехосных сжатий.
Предположение, что при трехосных
сжатиях, близких к чистому сжатию, предельное состояние не может быть
достигнуто, приводит к тому, что некоторые исследователи считают предель-
ную огибающую в левой части диаграммы уходящей вверх (а на фиг. 272).
Если предельная огибающая в области трехосных сжатий параллельна оси нор-
мальных напряжений (б на фиг. 272), то это значит, что трехосное равное
сжатие любой интенсивности столь же безопасно, как и ненапряженное со-
стояние.
Современные теории предельных напряженных состояний
287
И, наконец, если предположить, что любое напряженное состояние более
опасно, чем ненапряженное состояние, следует признать, что при достаточно
интенсивном всестороннем сжатии может быть достигнуто предельное напря-
женное состояние, и, следовательно, предельная огибающая пересекает в неко-
торой точке А ось нормальных напряжений в области трехосных сжатий
(в на фиг. 272).
Трудно сказать, что происходит с материалами при трехосных сжатиях
весьма большой интенсивности. Наибольшие давления, достигнутые в настоящее
время [3], [4], [5] (50 000—200 000 ат), по-видимому, недостаточны для дости-
жения предельных напряженных состояний при чистом сжатии таких материалов,
как сталь, медь, алюминий.
Вопрос об определении тех
физических явлений, которые
сигнализируют о наступлении пре-
дельного напряженного состояния
при трехосных сжатиях, очень
сложен и не разрешен до настоя-
щего времени.
Достаточно указать, что ха-
рактер предельного состояния
(возникновение текучести или
разрушения) зависит от того,
хрупок или пластичен материал,
а последнее, в свою очередь, за-
висит от типа напряженного со-
стояния, в кдтором он находится.
В частности, установлено, что не-
которые материалы, хрупкие при
одноосном напряженном состоя-
нии, ведут себя как пластичные
при всестороннем сжатии. В под-
Фиг. 273. Сопоставление результатов испытаний
мрамора при одноосном и трехосном сжатиях.
тверждение последнего можно
сослаться на известные опыты по исследованию свойств мрамора при различ-
ных напряженных состояниях [34]. При испытании мраморного кубика при
одноосном сжатии получается характеристика, представленная на фиг. 273, а.
Подобного рода характеристика свойственна хрупким материалам. Если же на
сжимаемый в осевом направлении образец мрамора с боковых сторон действует
также постоянное давление р (трехосное напряженное состояние), то характе-
ристика приобретает иную форму (б и в на фиг. 273). Как следует из рассмот-
рения фиг. 273, в случае трехосного сжатия зависимость между напряжениями
и деформациями имеет вид, характерный для пластичных материалов.
Форма предельной огибающей при трехосных растяжениях более ясна.
Очевидно, что при чистом растяжении, когда касательные напряжения отсут-
ствуют, а нормальные приближаются по величине к интенсивности сил сцепления
частиц вещества, произойдет распадение образца—предельная огибающая пере-
сечет ось нормальных напряжений на круговой диаграмме.
А. Ф. Иоффе [10] была предложена оригинальная методика осуществления
чистого растяжения путем быстрого нагревания предварительно сильно охла-
жденного шарика из испытуемого материала. Расширяющийся материал, распо-
ложенный около поверхности шарика, создает в центральной его части всесто-
стороннее растяжение (в центре шарика — чистое растяжение). Этот случай и
был иллюстрирован на фиг. 245.
Заметим, однако, что напряженное состояние шарика в этом случае является
неоднородным. Чистое растяжение возникает только в центре шарика,
т. е. в ничтожном объеме, поэтому использовать метод А. Ф. Иоффе для изу-
чения свойств материалов при трехосных растяжениях не представляется воз-
можным.
288
Теория предельных напряженных состояний .
Фиг. 274. Апроксимация в интервале -Лц/?! предельной
огибающей отрезком пр/мой.
Трехосное растяжение, близкое к чистому растяжению, возникает также
в центральной части цилиндрического бруска с острой и глубокой выточкой,
нагруженного так, как показано на фиг. 246.
Напряженное состояние в этом случае неоднородное. Трехосное растяжение
переходит в двухосное у краев выточки и в одноосное в местах, достаточно
удаленных от выточки.
Попытки использовать этот случай для изучения свойств материалов при
трехосных растяжениях пока не дали результатов.
Б. Упрощенная теория предельных напряженных состояний О. Мора
Как было указано выше, при определении коэффициента запаса п и эквива-
лентного напряжения <з9К8 используется графическое построение, основанное на
вычерчиаании определяющей данное напряженное состояние окружности на кру-
говой диаграмме с нанесенной сеткой огибающих линий равноопасных напря-
женных состояний (см. фиг. 269 и 270). Линии эти подобны экспериментально
полученной и нанесенной на той же диаграмме предельной огибающей.
Для установления аналитической зависимости между главными напряжениями
и а3, определяющими данное напряженное состояние, и эквивалентным напря-
жением а9кв необходимо экспериментально полученную предельную огибающую
заменить (апроксимировать) аналитической кривой, уравнение которой Tv = cp(av)
известно.
Изучение опытных дан-
ных показывает, что пре-
дельную огибающую кривую
в зоне смешанных напря-
женных состояний, между
окружностями одноосных
напряженных состояний,
можно заменить прямой ли-
нией, наклоненной к оси
нормальных напряжений
(фиг. 274) В этом случае
линии равноопасных напря-
женных состояний (линии постоянных коэффициентов запаса) будут также пря-
мыми, параллельными предельной огибающей. Уверенно пользоваться полученной
упрощенной диаграммой можно только в пределах угла А^ОВ^, где Ат и —
точки на предельной огибающей, намеченные так, чтобы ошибка вследствие
замены кривой на прямую не была слишком велика [12].
При отсутствии специально полученных опытных данных предельную оги-
бающую заменяют прямой линией, в интервале между точками касания с окруж-
ностями предельного растяжения Л, и предельного сжатия Вг
В этом случае для приближенного построения предельной огибаюшей доста-
точно располагать характеристиками работы материала при растяжении и сжатии;
пользоваться упрощенной диаграммой можно только тогда, если > 0 и а3 < 0.
В случае желания определять коэффициент запаса по разрушению необхо-
димо знать пределы прочности материала abz и abd при одноосных растяжении
и сжатии; если необходимо вычислить коэффициент запаса по текучести, то
должны быть известны пределы текучести osz и asd. Допустим, что А В
(фиг. 275) — прямая, заменяющая огибающую окружностей одинаково опасных
напряженных состояний.
Установим аналитическую зависимость между главными напряжениями и о3,
определяющими данное напряженное состояние, и эквивалентным напряже-
нием аЭК8. Построив окружность С, определяющую исследуемое напряженное
состояние, заданное главными напряжениями о3 и а3.
Для удобства изложения окружность, определяющая изучаемое напряженное
состояние, выдвинута вправо. Полученная далее формула остается верна, если
°! и а3 будут иметь разные знаки или одно из них будет равно нулю.
Современные теории предельных напряженных состояний
289
Окружности А и В соответствуют одноосным растяжению az и сжатию |od|,
равноопасным заданному напряженному состоянию.
Напряжение может поэтому рассматриваться как эквивалентное напряже-
Фиг. 275. Графическое построение к выводу формулы эквивалент-
ности упрощенной теории предельных напряженных состояний.
Из сопоставления подобных треугольников АВк и СВ1 следует
_ С1_
Вк
где
о/___ I ad I qi q3
04 ~ 2 2
1__I zd I । qi + q3 .
G4— 2 ’ 2 ’
2 •
Подставим эти выражения в написанную выше пропорцию и обозначим
°Lz „
Ы 1^1 ’
где v — коэффициент, характеризующий неодинаковость сопротивления материала1
растяжению и сжатию.
Тогда получим
— W У (22)
Соотношение (22) в дальнейшем будем именовать формулой эквивалентности
упрощенной теории прочности предельных напряженных состояний.
Коэффициент запаса определяется
ns = —
аэкв
При определении коэффициента
следует подставлять
шению пь используется коэффициент vb =
Укажем еще раз, что если предельная кривая заменена касательной к
растяжения и сжатия, то применение формулы (22) допустимо только к
женным состояниям, характеризуемым коэффициентом г < 0.
19 Пономарев и др. 407
ло одной из формул:
или пь = .
аэкв
запаса по текучести ns в формулу (22)
; при определении коэффициента запаса по
cbz
Qbd*
разру-
кругам
напря-
2 2 >
290
Теория предельных напряженных состояний
Если экспериментально доказано, что предельная огибающая может быть
заменена прямой, касающейся определяющих кругов трехосных растяжения
и сжатия и вне точек и (фиг. 276), то пределы применимости фор-
мулы (22) можно расширить. Предположим, что огибающая задана и что наме-
чены точки К1 и ограничивающие участок, в пределах которого можно,
без большой ошибки, заменить кривую линию прямой. Обозначим коэффициенты г
[см. формулу (21)] граничных напряженных состояний соответственно:
qin _ ,. qin _ ,,
г * i ti ' >
°! Gj
где а' и ajn — главные напряжения, соответствующие крайней правой окруж-
ности, касающейся прямой в точке
°i и ani — соответствующие главные напряжения, определяющие окружность,
касающуюся прямой в точке Lj (фиг. 276).
Фиг. 276. Апроксимированная прямой, огибающая в случае расшире-
ния пределов применимости упрощенной теории предельных напря-
женных состояний О. Мора.
Пределы применимости формулы (22) в этом случае расширяются. Формула
применима, если коэффициент г (см. фиг. 267) для трехосных растяжений
меньше г', для трехосных сжатий больше г"\ для смешанных напряженных
состояний формула (22), безусловно, применима.
Заметим, что приведенная выше формула (8), рекомендованная для вычисле-
ния <зэкв при одноосном сжатии, представляет собой частный случай формулы (22),
если положить в последней =0. Для пластичных материалов, у которых
vs=l, формула (22) обращается в зависимость (16).
Формула эквивалентности упрощенной теории предельных напряженных
состояний О. Мора может быть получена на основании иных соображений [32],
[33].
В качестве критерия, определяющего наступление предельного напряженного
состояния, предлагается [32] величина
а£1--aL3 + (а£1 4” а£з) = (23)
представляющая собой линейную функцию наибольшего предельного касательного
напряжения (т£)тах = — и величины g£1 + , характеризующей тип пре-
дельного напряженного состояния. Как было показано, эта величина определяет
положение центра определяющей окружности на круговой диаграмме.
Критерий включает два постоянных для данного материала параметра X и Д,
которые удобно определять, исходя из механических характеристик при пре-
дельных одноосных растяжении и сжатии.
Так, при одноосном растяжении
qLz + ^Lz = > (24)
Современные теории предельных напряженных состояний
291
при одноосном сжатии
а£Й---^°Ld —
(25^
Приравнивая левые части выражений (24) и (25), определим значение Л для
данного материала:
к = = (26>
Ча + Чг 1 + » ’ v
5г ,
где, как и ранее,
l<W
Сопоставим зависимости (23) и (24), тогда
°Lz U + А.) = а£1 а£3 -J- А (а£3 ®£з)«
Разделив обе части равенства на коэффициент запаса п и учитывая, что*
после элементарных преобразований, принимая во внимание соотношение (26)^
получим
°экв = Ъ — va3.
(27>
Выведенная зависимость является формулой эквивалентности упрощенно»
теории предельных напряженных состояний О. Мора.
В. Критический анализ теории предельных напряженных
состояний О. Мора
Рассмотренная теория основана на детальном изучении свойств материалов
при различных напряженных состояниях. Теория не нуждается в дополнительно»
экспериментальной проверке, так как базируется целиком на опытных данных
(за исключением положения о незначительном влиянии промежуточного главного»
напряжения на прочность и пластичность материала). Однако при всех ее бес-
спорных преимуществах эта теория имеет и недостатки. Рассмотрим основные;
из них:
а) в теории не учитывается влияние промежуточного главного напряжения,
что, как было указано, может дать в некоторых случаях погрешность по-
рядка 12°/0;
б) получение предельной огибающей для каждого материала весьма затруд-
нительно и связано с постановкой весьма сложных опытов, требующих спе-
циальной аппаратуры и приборов; особенно это относится к постановке экспе-
риментов по исследованию трехосных растяжений и трехосных сжатий;
в) существенным неудобством при применении теории является необходимость
графического определения коэффициента запаса и а9кв; аналитическое выражение
уравнения эквивалентности может быть получено только после подбора уравнения',
которому соответствует кривая, достаточно близко совпадающая с предельно»
огибающей, полученной экспериментально;
г) серьезным недостатком теории является невозможность в ряде случаев?
выразить а9Кв одной аналитической зависимостью для всех точек напряженного
тела.
Поясним это более подробно. Представим себе, что выяснен закон изменения
главных напряжений а , а", а"' при переходе от одной точки данной детали»
к другой ее точке. Для определения этих напряжений составлены уравнениям
<s'=F1(x, у, z);
a’ = F2(x, у, г);
a"' = F8(x, у, z),
(27'>
(27”>
(27"')
где х, у, z — координаты той точки тела, в которой исследуется напряженное
состояние. , . г ,
19*
•292
Теория предельных напряженных состояний
Напряжения, изменяясь при переходе от одной точки напряженного тела
к другой, принимают различные значения.
Поскольку а8Кв согласно рассматриваемой теории зависит только от и а3,
в каждом частном случае необходимо провести специальное исследование
и установить, какое из трех главных напряжений является наибольшим, а какое
наименьшим. Допустим, например, что напряжение а' все время наибольшее,
а напряжение о* наименьшее. В этом случае, пользуясь зависимостями (27')
и (27w), легко составить уравнение, выражающее закон изменения эквивалент-
ного напряжения для различных точек детали:
°эКв = °i — U» У, z) — (*, y.z) = F (х, у. z). (28)
Исследуя эту функцию на максимум, можно найти опасную точку рассчиты-
ваемой детали. Однако часто встречаются случаи, когда в некоторой области
Фиг. 277. Эпюры напряжений по высоте тонкостенного резервуара-
детали напряжение а' является наибольшим, а в другой области оно становится
/наименьшим или промежуточным. В этом случае при исследовании напряженного
состояния детали необходимо составлять ряд уравнений аэкв = F (х, у, z) для
каждой из указанных областей отдельно, предварительно установив границы
этих областей. Таким образом, даже в том случае, когда составлены уравнения,
определяющие главные напряжения в рассчитываемой детали, как непрерывные
функции координат, может не существовать единого закона изменения эквива-
лентного напряжения, применимого для всех точек детали.
В качестве простого примера рассмотрим напряженное состояние в средней
по высоте части цилиндрической стенки тонкостенного резервуара, подвешенного
своей верхней кромкой и заполненного жидкостью, вес единицы объема кото-
рой 7 кг/см3 (фиг. 277). В качестве первого приближения воспользуемся без-
моментной теорией расчета симметричных оболочек вращения.
Законы изменения главных напряжений по высоте цилиндрической стенки
резервуара определяются зависимостями:
напряжения в меридиональных сечениях
7D
.напряжения в поперечных сечениях
tD г.
а = Л.
z 4s
В этих уравнениях D — диаметр резервуара; h — его высота; s — толщина
стенок; z — расстояние исследуемого сечения от свободного уровня жидкости.
Современные теории предельных напряженных состояний
293
Напряжения в площадках, перпендикулярных к радиусам резервуара, изме-
няются от р = zy до нуля и практически могут быть приближенно приняты
равными нулю (2J:
аг^0.
Приведенные формулы становятся неточными вблизи дна (при z, близком*
к Л) и около верхней кромки (при z, близком к нулю).
Эпюры изменения давления р жидкости на стенки резервуара и напряжений о,
и о2 по высоте стенки изображены на фиг. 277.
Из рассмотрения эпюр нетрудно заключить, что в пределах от z = 0 до
в пределах от z — до z — h
a’=^=Wz;
а3 во всех точках резервуара примерно равно нулю. Закон изменения а9Кв по
высоте резервуара иллюстрирован соответствующей эпюрой на той же фиг. 277.
При 0<z<-£- эквивалентное напряжение a9fCe = ПРИ у < 2 < Л экви-^
tD
валентное напряжение а9Кв — z.
Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих использование теории О. Мораг.
Пример 1ЛОпределить коэффициент запаса детали из малоуглеродистой стали, если»
главные напряжения наиболее опасной точки равны а1==500 кг/см2; аа = 300 кг/см2*,
о3 = 0.
Материал характеризуется следующими данными:
9bz в 4000 кг/см2; <ssz = asd == 2000 кг/см2; » 1.
В этом случае г = 0.
Применяя формулу (22), получим
аэкв = 500 кг/см*-, ns - ^2- - = 4.
500
Пример 2. Деталь выполнена из серого литейного чугуна.
Главные напряжения в наиболее напряженной точке равны — 0; = —500 кг/см?,
а3 « —1000 кг!см\
Данные испытаний материала на растяжение и сжатие: = 1500 кг/см2*?
<sbd = 4500 кг/см2; «=» 0,33.
Расчетные напряжения: сх «= 0; о3 = —1000; г « —оо.
Применяя формулу (22), найдем
’эк» = 330 кг/см*; пь — -^2. = ^2 « 4,6.
аэкв
Пример 3. Определить коэффициент запаса детали, выполненной из алюминия, в слу-
чае, если ах » 1000 кг/см2; а2 «= 800 кг/см2; а3 — 400 кг/см2, и «2400 кг/см2;
csz — 1200 кг/см2; = 1400 кг!см2; vs =» 0,86.
Данное напряженное состояние является трехосным растяжением. Коэффициент
г = +0,4. Использование формулы (22) недопустимо. Для определения <з9Кв и коэффи-
циента запаса необходимо исследовать свойства алюминия при трехосных растяжениях.
Пример 4. Определить коэффициент запаса детали, выполненной из зеркального
чугуна; ах = —1000 кг/см* а2 = —1500 кг/см2; с3 « —2000 кг!см3; о6г«1500 кг/см2\
<jbd= 15 000 кг!см2; '^ == 0,1. Напряженное состояние опасной точки детали — трехосное
сжатие г = +2.
Формула (22) неприменима. Несмотря на недопустимость использования формулы (22)г
подставим в нее, как это часто ошибочно делают, значения ах и о3; тогда получим
= —1000 + 0,1.2000 = —800 кг/см2.
Получен явно абсурдный результат, поскольку а9Кв по определению представляет
собой существенно положительную величину.
'294
Теория предельных напряженных состояний
Г. Теория „энергия формоизменения" для материалов,
одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию [2], [21], [28]
Как уже указывалось, изучение структуры пластичных материалов, находя-
'Щихся в деформированном состоянии, показало, что остаточные деформации
обязаны своим появлением сдвигам в кристаллической решетке отдельных кристал-
лов, из которых состоит материал (кристаллит).
Деформации сдвига связаны с возникновением касательных сил в сечениях
тела.
Когда напряженное состояние тела таково, что в его сечениях касательные
хилы отсутствуют или они незначительны (см., например, фиг. 278, а , то при
увеличении интенсивности напряженного состояния следует ожидать появления
небольших пластических деформаций; в случае же напряженного состояния, ана-
< , Фиг. 278. Круговые диаграммы для:
а — напряженного состояния с малыми касательными напряжениями; б—напря-
женного состояния с большими касательными напряжениями.
логичного изображенному на фиг. 278, б, значительные пластические деформации
возникнут уже при напряженных состояниях небольшой интенсивности.
Указанное обстоятельство является основной причиной, побудившей принять
в качестве- критерия прочности ту часть потенциальной энергии деформации,
которая соответствует изменению формы тела или, иными словами , девиатору
напряжений (см. § 2 гл. III т. I). Эта энергия может быть подсчитана по фор-
муле (49) гл. III т. I.
Итак, примем в качестве критерия прочности количество удельной потен-
циальной энергии формоизменения, накопленной деформированным материалом
в исследуемой точке:
= ЧЁТ [°1 + °2 + °з ~ (°i°2 + °2°з + °з°1)] • (29)
Избрав, как и ранее, в качестве эквивалентного одноосное напряженное
состояние — растяжение, можно легко получить для него удельную потенциаль-
ную энергию формоизменения из формулы (29), положив в ней aj = о9К6 и
= а3 = 0.
Тогда имеем
,30>
Приравнивая количество удельной потенциальной энергии формоизменения,
накопленной изучаемым элементом, количеству удельной энергии формоизменения
элемента, находящегося в эквивалентном напряженном состоянии, получим выра-
жение, которое может быть названо формулой эквивалентности.
Последняя имеет вид:
°ВКв = )/ + °2 + °3 ~ <а1а2 + а2а3 + °3С1); (31)
Современные теорий предельных напряженных состояний
295
или иначе
4 [(О1— + аз)2 + (а3 — °1)2]- 3Г)
Для двухосного напряженного состояния, когда напряжение а3 = О, имеем
= °? + °2 — °1°2 • (32)
Д. Критический анализ энергетической теории формоизменения
К числу бесспорных достоинств рассмотренной теории следует отнести то
обстоятельство, что в формулу эквивалентности равноправно входят все три
главных нормальных напряжения.
Если известен закон изменения главных напряжений во всех точках данной
детали, составлены уравнения (27')— (27"'), то, пользуясь формулой (31), можно
установить закон изменения аэкв в функции координат точек детали.
Как следует из рассмотрения формулы (29), принятый критерий дает одина-
ковые условия возникновения текучести при растяжении и сжатии, поэтому
в случае материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию
(vs=£ 1), теория „энергии формоизменения“ непригодна. Кроме того, неизученным
и неясным является вопрос о пределах применимости данной теории.
В настоящее время в литературе не приведено экспериментальных данных,
подтверждающих возможность применения рассматриваемой теории при трехосных
напряженных состояниях, близких к чистому растяжению или сжатию. Подобно
упрощенной теории предельных напряженных состояний О. Мора, теория энер-
гии формоизменения, безусловно, применима только для двухосных растяжений,
сжатий и дЖ смешанных напряженных состояний.
При выводе формул (29) и (31) было принято (см. гл. III т. I), что между'
напряжениями и деформациями существует линейная зависимость (справедлив
закон Гука). Отсюда следует, что формулы эквивалентности (31) — (32) в изло-
женной выше трактовке могут применяться лишь в пределах соблюдения линейной
зависимости между деформациями и напряжениями, т. е. формулами (31) — (32)
можно пользоваться только до достижения пластичным материалом предела
текучести (точнее предела пропорциональности). Таким образом, теория, обосно-
ванная как „энергетическая", дает критерий, позволяющий устанавливать только
начало пластических деформаций и определять коэффициент запаса по текучести.
Возникновение массовых пластических деформаций является началом наступ-
ления пластического состояния материала, поэтому условие возникновения
первых пластических деформаций должно быть согласовано с общими законо-
мерностями теории упруго-пластических деформаций1.
Далее будет показано, что установленная зависимость (31) имеет значительно
большую общность, которая сужена изложенной выше трактовкой критерия
возникновения текучести, как величины, связанной с энергией формоизменения
упругого и изотропного тела.
Рассмотрим другие трактовки критерия, выражаемого формулой (29).
С позиций теории упруго-пластических деформаций (см. т. II) возникновение
и развитие пластических деформаций связывается с величиной второго инва-
рианта девиатора тензора напряжений [см. т. I, гл. I].
Как уже отмечалось в гл. III, произвольное напряженное состояние может
быть представлено как результат наложения трехосного равного напряженного
состояния (чистого растяжения или сжатия) и двух чистых сдвигов (фиг. 279).
Напряжения а0, а*, а** могут быть определены из условий:
а1 = °о + °* + °**;
а2 = а0 — о*!
°3 = а0 — о**-
1 Подробно об этом см. т. II.
296
Теория предельных напряженных состояний
Как следует из приведенных соотношений, трехосное равно-напряженное
состояние определяется напряжениями
а1 4* а2 + °3
°0 = ----О---- •
Складывая напряженные состояния, представленные на фиг. 279, б и в,
можно считать, что любое заданное напряженное состояние есть сумма двух
напряженных состояний (фиг. 280). Применяя терминологию, принятую в теории
упругости, можно сказать, что тензор напряжения может быть представлен
Фиг. 279. Разложение напряженного состояния на чистое растяжение
или сжатие и два чистых сдвига.
как сумма шарового тензора — чистого растяжения [напряженное состояние 7\
(фиг. 280, а)] и девиатора напряжений — напряженного состояния, полученного
в результате наложения двух чистых сдвигов [£)3 (фиг. 280, б)].
Связывая процесс сдвигообразований, лежащий в основе пластического дефор-
мирования, с наличием в материале касательных напряжений, можно заключить,
что возникновение текучести зависит от девиатора напряжений и не зависит от
шарового тензора
Фиг. 280. Разложение тензора напряжения на шаровой
тензор и девиатор напряжения Dg,
Выпишем первый и второй инварианты девиатора напряжений [см. фор-
мулу (66а) гл. I т. I]:
Л=0;
= У [в1 + в2 + — (°1°2 + О2°3 + а8°1)] • (33)
Из рассмотрения приведенных выражений следует, что критерий так назы-
ваемой теории „энергии формоизменения" пропорционален второму инварианту
девиатора тензора напряжений.
Стремление дать этой чисто математической трактовке физическое истолко-
вание привело к ряду предложений, связывающих возникновение текучести
с величиной касательных напряжений, возникающих в материале.
Трактовка критерия как величины, зависящей только от напряжений мате-
риала, освобождает рассматриваемую теорию от ограничений, связанных с необ-
ходимостью выполнения расчетов только в пределах применимости закона Гука,
и, как показали опыты [21], дает возможность устанавливать не только условия
возникновения пластических деформаций, но и использовать выражения (31)
и (32) как одно из основных уравнений теории пластичности.
(Заметим, что подобная трактовка критерия не делает рассматриваемую
теорию применимой для хрупких и хрупко-пластичных материалов.)
Современные теории предельных напряженных состояний
297
Желание связать критерий (29) только с величиной касательных напряжений*
в исследуемой точке тела привело некоторых авторов [9], [19], [21], [24], [25]
к трактовке принятого выше критерия (20) как величины, пропорциональной
касательным напряжениям в сечениях, равнонаклоненных к главным осям.
Действительно, касательные напряжения в площадке, нормаль которой равнона-
клонена к главным осям (в так называемой октаэдрической площадке), равны»
[см. формулу (53) гл. I т. I]
= 4“ ^(°1 — °2)2 + («2 — °з)2 + (°3 — °1)2 •
(34>
Согласно этой трактовке пластическое состояние наступает тогда, когда так'
называемое „октаэдрическое" касательное напряжение исследуемого напряжен-
ного состояния достигнет величины
при одноосном растяжении на пре-
деле текучести данного материала.
Данная трактовка весьма не-
удачна, так как существует бесчис-
ленное множество площадок в ис-
следуемой точке напряженного тела,
в которых касательные напряжения
такие же, а нормальные достигают
и больших и меньших значений (см.
прямую ВС на фиг. 281).
Согласно предложению В. М. Ма-
ку шина, критерий возникновения и
развития текучести может быть упо-
доблен площади трех окружностей
круговой диаграммы, определяющей
данное напряженное состояние.
Упомянутая площадь равна
октаэдрического касательного напряжения;
Фиг. 281. Октаэдрическая площадка на кру-
говой диаграмме:
А— точка, соответствующая октаэдрической площадке/
ВС— геометрическое место точек, которым соответ-
ствуют площадки с одинаковыми касательными напряже-
ниями; АС — геометрическое место точек, которыми
соответствуют площадки, в которых нормальные напря-
жения больше нормальных напряжений в октаэдрической'
площадке.
2 = 101 — ®2)2 + (°2 — °з)2 + — °,)2] •
(35 >
Таким образом, площадь Q характеризует „совокупность" касательных напря-
жений в трех множествах площадок, нормальных к главным площадкам. Дей-
ствительно, каждая ордината точек одной из трех окружностей круговой диа-
граммы представляет касательные напряжения во множестве площадок, нормальных
к одной из трех главных площадок. Площадь же всех трех окружностей
представляет „совокупность" касательных напряжений в множестве площадок,
нормальных к трем главным площадкам.
В. В. Новожилов [16] ввел понятие „среднего" касательного напряжения
в исследуемой точке [см. формулу (63), гл. I т. I]:
Ъ = V (°1 — °а)2 + (®2 — аз)2 4- (о3 — °1)2- (36>
В связи с этим критерий [формула (29)] можно понимать как величину,
пропорциональную „среднему" касательному напряжению в исследуемой точке.
Иногда критерий [формула (29)]
У 4 [(°> “ °»)2 + - °’)2 + <°» -°1)2] = / 2 В?2 н-тВз-К-ciij (37>
рассматривают как величину, связанную с главными касательными напряжениями
[гл. 1т. I].
Весьма удачная трактовка так называемой „теории формоизменения" дана
« работах [17], [18].
298
Теория предельных напряженных состояний
Возможность возникновения и степень развития пластических деформаций
материала определяются степенью уклонения рассматриваемого напряженного
состояния материала от трехосного равного напряженного состояния, ближай-
шего к исследуемому напряженному состоянию.
Ближайшее трехосное равное напряженное состояние логично выбрать таким,
чтобы средний квадрат уклонений Д^ главных напряжений ар а2, а3 заданного
напряженного состояния от напряжения а0, определяющего ближайшее трехосное
равное напряженное состояние, был бы минимальным, т. е. чтобы средний ква-
лрат уклонений
* д (<*1 — °о)2 + (°2 — <*о)2 + (а3 “ °о)2
3
достигал бы минимума. В этом случае, как показано в § 6 гл. I т. 1,
_ ________________________________ а1 + а2 4~ ст3
°о— з
и минимальный средний квадрат уклонений равен
(ЛРтш = I К’1 - а2>2 + (®2 - °з)2 + (°з - aj2]. (38)
УИЛИ
(Д«)ш!п = 4 [°1 + °2 + °з — (ajOj -f- а2а3 4- Sg^)]. (38')
Эта величина и служит критерием возникновения и развития пластического
напряженного состояния в исследуемой точке напряженного тела и позволяет
получить формулу эквивалентности (31).
Интересно отметить, что, принимая за ближайшее трехосное равное напряженное
состояние такое, при котором минимальным является среднеарифметическое уклонение
главных напряжений (alt а2» аз) заданного напряженного состояния от трехосного равного
напряженного состояния, определяемого напряжениями а0, получим (ci£. § 6 гл. 1, т. I)
(\ . __ ai ~ сз
'“a'mln--------•
Рассматривая полученную величину, как критерий возникновения пластичности, легко
получить формулу эквивалентности (16), выведенную на основе „теории наибольших каса-
тельных напряжений".
§ 9. НОВЕЙШИЕ ТЕОРИИ
А. Теории предельных напряженных состояний для материалов,
неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию
В качестве критерия предельного напряженного состояния может быть при-
нята функция
u + Av2 + Bv = C, (39)
где
U = (°£1 — О£2)2 + (о£2 — °£3)2 + (°£8 ~ °£1)2
величина, пропорциональная второму инварианту девиатора напряжений, физи-
ческий смысл которого подробно обсуждался в § 8 этой главы;
а£1, <з12, а13— главные напряжения предельного напряженного состояния,
подобного заданному (см. § 3 настоящей главы);
= aL1 4- aL2 -f- aI3 — величина, пропорциональная компоненту шарового тен-
зора напряжения [§ 3 гл. I, т. I];
А, В, С—постоянные параметры, определяемые свойствами данного
материала.
Новейшие теории
299
Постоянные могут быть установлены путем испытания материала при каких- <
либо трех предельных напряженных состояниях, например, при одноосном рас-
тяжении, одноосном сжатии и при чистом сдвиге, осуществление которых прак-
тически наиболее просто.
Теория П. П. Баландина
Критерий, предложенный П. П. Баландиным [1], представляет собой линей-
ную функцию от компонента шарового тензора напряжений
и + Bv = С. (40)
Эта зависимость является частной формой соотношения (39), в которой
принято А — 0.
Постоянные В и С определяются на основании результатов испытаний мате-
риала при предельных одноосном растяжении и одноосном сжатии.
При предельном одноосном растяжении u — 2&lz и v — следовательно,
2aL + 5ai2 = C. (41)
При предельном одноосном сжатии a = 2a2d и v = —aLd, следовательно,
2aL— Ваи = С. (42)
Приравнивая левые части выражений (41) и (42), можно определить значение
постоянной В для данного, материала:
В = 2 (aLd - aLz) = 2 (1 - v) oLd, (43)
a r z
где, как и ранее, .
I QLd I
Подставим значения постоянной В в формулы (40) и (41).
Приравнивая левые части этих выражений, получим
(aLl — aL2)2 + (°L2 °£з)2 + (°£3 a£])2 + 2 (1 V) GLd (a£1 °Lz °£з) =
= 2aL 2 (1 — v) aLdaLz;
после элементарных преобразований найдем
= ~2 KaL] aL2)2 + (aL2 а£з)2 + (aL3 — aLi)2] +
+ (1 — v) (a£) + aL2 + aL3)
Разделим обе части последнего выражения на коэффициент запаса п; при
этом учтем, что
. an _____ . aL2__ _ . CL3_____„
п экв' п р п 2> п 3’
Тогда, решая полученное квадратное уравнение относительно а9кв1 получим
формулу эквивалентности в следующем виде:
° экв — ~2~~ (ai + а2 + °з) +
+ 4 /(1 - (°! + ’2 + Зз)2 + 2v [(31 - а2)2 4- (a2 - -J- (о, - 01)2], (44)
или, что то же самое,
аекв = ~2~ (31 4" 32 + °з) 4~
4" ~2 4“ °2 4“ °з)2 + 4v [ai 4" a2 4“ °з — (о^г 4" °23з 4" 3з31)] • (44')
300
Теория предельных напряженных состояний
Для двухосного напряженного состояния, принимая, например, что а8 = 0,
получим
а9Кв = <°1 -I- + 7 }/ (1 — V2 (о, 4- О2)2 + 4v (а? 4- 02 — а,^). (45)
Для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (vs = 1),
формула (44) приводится к выражению (31). Таким образом, так называемая
теория „энергии формоизменения" для пластичных материалов может рассматри-
ваться как частный случай теории П. П. Баландина.
Критический анализ теории П. П. Баландина
Так как критерий (40) представляет собой величину, зависящую только от
напряжений, выведенные формулы (44), (45) могут применяться как для опре-
деления коэффициента запаса по текучести, так и по разрушению. Опытами
3. М. Конюшко [11], проведенными в лаборатории кафедры сопротивления
материалов МВТУ, установлено, что для твердозакаленных инструментальных
сталей типа У12А, Р18, 9ХС теория П. П. Баландина дает хорошие резуль-
таты, при вычислении предела прочности при чистом сдвиге, по данным испы-
таний на растяжение и сжатие (коэффициент, характеризующий неодинаковость
сопротивления растяжению и сжатию для этих материалов, vft^0,50).
В табл. 24 приведены результаты опытов 3. М. Конюшко.
Таблица 24
Результат испытания закаленных сталей на растяжение, сжатие и чистый сдвиг
Марка стали °bz в кг1слг 3bd . в кг 1см* ’6 - Твердость Я/?С * В кг/см2
Результат эксперимен- тального опре- деления Результат подсчетов по П. П. Балан- дину
Р18 19 800 41000 0,48 62—64 17 200 16500
Р9 21600 45 400 0,48 62—64 18 500 18000
9ХС 21300 51 000 0,42 62-64 18 300 19000
У12 21000 51500 0,41 62—64 17 900 18 900
40Х 15 800 31400 0,50 45 13 750 12 900
* Определялся путем испытания тонкостенных коротких трубчатых образцов
D — 20 мм; s = 1,5 мм; /«50 мм.
Необходимо отметить, что изложенная выше трактовка критерия прочности
несколько отличается от трактовки теории, данной ее автором. П. П. Балан-
дин [1] интерпретирует критерий своей теории как величину, связанную с энер-
гией формоизменения. Такая трактовка суживает пределы применимости теории
до рамок теории начала текучести и не позволяет рассматривать ее как теорию
прочности.
Обобщение „энергетической" теории, хорошо оправдавшей себя для пластичных
(одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию) материалов, на случай мате-
риалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, следует признать
весьма интересным, однако полного экспериментального подтверждения новая
теория еще не получила. Что касается пределов ее применимости, то и в этот
вопрос не внесено должной ясности. Весьма вероятно, что путем постановки
соответствующих опытов удастся показать, что теория с достаточной степенью
точности справедлива и для трехосных растяжений и сжатий, но сейчас для
распространения ее на эту область еще нет достаточных оснований.
Новейшие теории
301
Теория предельных напряженных состояний
И. Н. М иролюбова [14]
Критерий, предложенный И. Н. Миролюбовым, имеет следующий вид:
у —°L2)2 (°12—°£з)2 “Ь (3L3 — °L1)2] + X (°L1 + aL2 + °Ls) = (46)
Если сопоставить выражения (46) и (39), то можно заключить, что в рас-
сматриваемом случае
А= — 2Z2; B = С = 2Х2.
Следовательно, критерий И. Н. Миролюбова представляет собой квадра-
тичную функцию компонента шарового тензора напряжения, причем параметры
А, В, С взаимно связаны. Поэтому для определения трех параметров доста-
точно воспользоваться
состояниях (например,
В этом случае
результатами испытания материала при двух напряженных
при предельных одноосных растяжении и сжатии).
Х °Ld + 3Lz 1 + V ’
(47)
где
м —
I I ’
Таблица 25
\ Сопоставление теорий предельных напряженных состояний между собой
' • ис результатами испытаний
Напряженное состояние |а |Д5а |а р- [Та а'— | а | а \Ja а— \а
Круговая диаграмма Гу Гу fS? f^\^y и5а Л Гу Гу Гу rv -o-Fv
Главные напряжения а1 0 0 4-0,5а +« 4-а 4-а 4-а +а +а
— а —а —а —а — а —а —0,5а 0 0
°2 0 —а 0 —а 0 +« 0 4-а . 0
ттах 0,5а 0,5а 0,75а а а а 0,75а 0,5а 0,5а
в Опыт а — 1,43а — 1,82а — 1,40а 0,96а а
I а а 1,5а 2а 2а 2а 1,5а а а
П, HI, IV а а 1,33а 2а 1,74а 2а 1,33а а а
V а 0,83а 1,38а 2,08а 1,82а 2,08а 1,38а 0,83а а
I SS‘O = * 1 Опыт 0,25а — . — — — — 1,00а 1,10а а
I 0,25а 0,25а 0,75а 1,25а 1,25а 1,25а 1,13а а а
III 0,25а 0,16а 0,51а 0,70а 0,87а 1,45а 0,88а 1,66а (?) а
IV 0,25а -0,13а (?) 0,64а 0,88а 1,08а 1,63а 1,02а 1,38а а
I — теория О. Мора; II — теория «энергии формоизменения"; III — теория
П. П. Баландина; IV — теория И. Н. Миролюбова; V — теория Ю. И. Ягна.
302
Теория предельных напряженные состояний
Формула эквивалентности, соответствующая данной теории, имеет вид:
°вкч — + °2 + °3) +
+ | 101 - °2]2 + («2- °3)2 + («з - °i)2l • (48)
При v=l формула (48), как и следовало ожидать, приводится к фор-
муле (31).
Для двухосного напряженного состояния, когда, например, а3 = 0, формула
эквивалентности принимает вид:
°ЭКЙ = Цр (°1 + аз) + Цр /4 + а1-а,а2 . (49)
Формула эквивалентности теории предельных напряженных состояний, по-ви-
димому, может рассматриваться для пластичных материалов как теория возникно-
вения текучести, а для хрупких — как теория прочности.
Однако из рассмотрения приведенных в табл. 25 данных следует, что теория
И. Н. Миролюбова нуждается в детальной экспериментальной проверке. Пре-
делы применимости этой теории также подлежат уточнению.
Теория предельных напряженных состояний
Ю. И. Я гн а [28], [29]
Критерий Ю. И. Ягна, так же как и критерий И. Н. Миролюбова, предста-
вляет собой квадратичную функцию компонента шарового тензора напряжений,
но в отличие от последней все три параметра являются друг от друга не зави-
симыми. Критерий Ю. И. Ягна в принятых выше обозначениях выражается фор-
мулой, полностью совпадающей с формулой (39). Для определения параметров Л,
В и С необходимо воспользоваться результатами испытания материала при трех
различных предельных напряженных состояниях, например, при одноосном рас-
тяжении, одноосном сжатии и чистом сдвиге. *
В этом случае
"" ^aLzaLd в &6т£ (qLrf — qLz)
qLzqLd ’ QLz<*Ld
Значение С см. в табл. 26.
В этих формулах — предельное значение наибольшего касательного напря-
жения при чистом сдвиге. При определении начала текучести (пластичные мате-
риалы) xL — при определении начала разрушения (хрупкие материалы) *.
После преобразований можно получить формулу эквивалентности теории
Ю. И. Ягна:
_ __ qLrf qLz । / ( QLd aLz\% i aLzaLd _ \2ia- _ \2_i_f— „ \2i i
®экв 2 ’ 1/ \ 2 / ’ “H(a2 аз) । vas ai) Jr
/1 — \ (a, 4- aa 4- o3)2 + (°£d — °l2) (ai + °2 + °3) • (50)
\ л£ /
Для двухосных напряженных состояний, когда, например, а8 — 0, фор-
мула (50) принимает вид:
+ “4^ и+«? - vJT
+ ( 1----°1 + а2^2 Н” t°Ld — qLz) (а1 + а2>« (51)
\ /
* Вопрос определения величин и особенно хь подробно освещен в § 5, V т. I.
Новейшие теории
303
Таблица 26
Сопоставление теорий П. П. Баландина, И. Н. Миролюбова и Ю. И. Ягна
Теория Параметр !
А в с
Для произ- вольного материала Для произ- вольного материала N ИС к и V, со > Н Для произ- вольного материала Со со II II Со/1 a Со <>»
„Энергии формоиз- менения" — 0 — 0 — 2<4
П. П. Ба- ландина 0 0 2(1 —У> v “°Lz 0 Q 17ю 2a2 OZ
И. Н. Ми- ролюбова 9(1-У)2 (l-R)2 0 8(1—м) , (1 -Ь ^)2 0 4 2 i _|_ у Lz 2a2 sz
Ю. И. Ягна -^-2 a£z 0 М. (1 — *) QLz 0 ^Q<sz
Для пластичных материалов в случае, если aLz — aLd — osz и т£ — т5, фор-
мула (50) принимает вид:
К°1 — °г)2 + («2 — °з)2 + (°3 — а1)21 +
1 I (а1 + а2 + аз)
(52 s
Как будет подробно изложено далее, наиболее хорошее совпадение с данными
испытаний пластичных материалов, при чистом сдвиге, дает теория „энергии формо-
изменения*. Подставляя в формулу (32) Cj = +*с5; а2 =—oa/r<?^=asz, получим
соотношение [см. далее формулу (63)]:
asz = V
Если внести в зависимость (52) это значение предела текучести при чистом
сдвиге, то получим формулу (31):
'ни = Vl" — °г)2 + (°2 — °з)2 + («3—«1)21 •
Таким образом, для пластичных материалов теория Ю. И. Ягна совпадает
с теорией „энергии формоизменения*.
Формула эквивалентности теории предельных напряженных состояний Ю. И.
Ягна, по-видимому, может рассматриваться для пластичных материалов как теория
возникновения текучести, а для хрупких материалов как теория прочности.
Теория Ю. И. Ягна нуждается в детальной экспериментальной проверке
(см. данные, приведенные в табл. 25).
Не выяснены также пределы применимости этой теории.
«304
Теория предельных напряженных состояний
Теория предельных сопротивлений сдвигу и отрыву
Я. Б. Фридмана 124], [25]
В развитие учения Н. Н. Давиденкова о механизме сопротивления материалов
отрыву и сдвигу Я. Б. Фридманом предложена теория, объединяющая как теорию
'наибольших линейных деформаций, так и теорию наибольших касательных
-напряжений. Все случаи разрушения материалов автор разделяет на две группы.
К первой группе относится разрушение отрыва, например, разрушение сплош-
ных цилиндрических образцов серого литейного чугуна при испытании на кру-
чение (фиг. 282), разрушение весьма хрупких материалов при сжатии (см. фиг. 234
.и 283) и т. д.; ко второй группе — разрушение
прутка мягкой углеродистой стали при испытании
.па кручение (фиг. 284).
сдвига, например разрушение
Фиг. 283. Образец весьма хруп-
кого материала (гипс), разру-
шенный при одноосном сжатии
Фиг 282. Образец серого литейного чугуна, разру-
шенный при его испытании на кручение.
Величина нормальных напряжений, возникающих на поверхности разрушения,
ъ первом случае и величина касательных напряжений на поверхности разруше-
ния — во втором, названы соответственно сопротивлением отрыву и сопротивле-
нием сдвигу1.
Предполагается, что эти величины являются характерными ддя данного мате-
риала, и поэтому они могут быть определены, вообще говоря, при любом на-
гружении, дающем разрушение соответствующего типа.
Сопротивление отрыву smax автор теории предлагает считать равным [а5Л.в]£,
жоторое вычисляется по теории наибольших линейных деформаций с той только
Фиг. 284. Образец малоуглеродистой стали, разрушенный
при испытании его на кручение.
разницей, что критерием считается наибольшая положительная линейная дефор-
мация (удлинение), возникающая в материале непосредственно перед его разру-
шением 2.
Сопротивление сдвигу £тах является наибольшим касательным напряжением,
соответствующим разрушению (предполагается, что плоскости, в которых раз-
виваются /тах, совпадают с поверхностью разрушения).
При вычислении Smax и Zmax приходится встречаться с рядом затруднений,
так как разрушение материала завершает процесс деформации, почти всегда
1 В оригинале эта величина названа сопротивлением срезу.
2 Некоторые указания по поводу определения величины сопротивления отрыву
можно найти в работах Я. Б. Фридмана [24], [25], Г. В. Ужика [22] и С. И. Ратнер [19].
Новейшие теории
305
протекающий при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями;
кроме того, весьма часто разрушение происходит не только в области больших
перемещений, но и больших деформаций (кручение и изгиб образцов, выпол-
ненных из пластических материалов). Иногда разрушению предшествует фунда-
ментальное изменение формы испытуемого образца (появление шейки на призма-
тическом образце при растяжении).
В качестве примера затруднений, которые встречаются при вычислении ве-
личин smax и Zmax, укажем на то, что формулы (10) не пригодны для опре-
деления $тах, так как в подавляющем большинстве случаев материал разрушается
после нарушения линейной зависимости между напряжениями и деформациями.
Для оценки типа возможного разрушения автор рассматриваемой теории
предлагает диаграмму состояния материала (фиг. 285, а).
Фиг. 285. Диаграмма состояния (а) и диаграмма сдвига (б).
В основу диаграммы состояния положена зависимость, изображенная на
фиг. 285, б', называемая диаграммой сдвига, где ттах и 7тах — наибольшие каса-
тельное напряжение и угол сдвига.
Согласно воззрениям автора теории диаграмма сдвига или „обобщенная кри-
вая течения* характерна для данного материала и не зависит от типа напряжен-
ного состояния, в котором он находится. Диаграмма может быть получена экс-
периментально при произвольном напряженном состоянии, лишь бы разрушение
образца произошло „благодаря сдвигу*.
На диаграмме сдвига должен быть отмечен предел текучести
Диаграмма механического состояния предназначена характеризовать механи-
ческие свойства материала при различных напряженных состояниях. Диаграмма
вычерчена в координатах ттах; $, где 5 — эквивалентное напряжение, соответ-
ствующее наибольшей линейной положительной деформации ег
Каждому напряженному состоянию на диаграмме фиг. 285, а соответствует
точка. В пределах упругости подобные напряженные состояния различной ин-
тенсивности изображаются точками, расположенными на лучах, выходящих из
начала координат.
Так, например, луч, наклоненный к оси s под
равен -у- (р- — коэффициент Пуассона), соответствует одноосному сжатию.
Ось абсцисс является геометрическим местом точек, изображающих трех-
углом, тангенс которого
осное чистое растяжение; ось ординат представляет собой те случаи трехосных
сжатий, когда все линейные деформации отрицательны (трехосное чистое сжа-
тие изображается точкой, совпадающей с началом координат).
За пределом текучести подобные напряженные состояния представлены,
вообще говоря, точками кривых Tfnax = F(s), служащих продолжением упомяну-
тых выше лучей (фиг. 285, а).
20 Пономарев и др.
407
306
Теория предельных напряженных состояний
На диаграмме проведены три характерные прямые линии, определяемые
выражениями:
т ---- / • т ---- Т * С - С
max max’ max max*
Представим себе, что для напряженного состояния изучаемого типа упомя-
нутая зависимость ттах = F(s) представляется линией О А.
В этом случае можно утверждать, что сначала в материале возникнут пла-
стические деформации, а разрушение произойдет вследствие отрыва. Если же
напряженное состояние характеризуется линией ОВ, то после достижения пре-
дела текучести последует разрушение сдвига.
Линия ОС показывает, что при соответствующем напряженном состоянии
произойдет разрушение отрыва без заметных пластических деформаций.
В большинстве случаев линии, характеризующие различные напряженные
состояния за пределом текучести на диаграмме механического состояния, могут
быть построены лишь весьма приближенно.
Автор теории считает линии ОА и ОВ прямыми не только в области упру-
гих деформаций, но и за пределом текучести.
В случае, если напряженное состояние таково, что изображающая его линия
пересекает сначала прямую ттах = т5 (линии ОА и ОВ на фиг. 285, а), проч-
ность характеризуется коэффициентом запаса по текучести. Подобного рода
напряженные состояния предложено называть мягкими. Если напряженное со-
стояние изображается линией, пересекающей сначала прямую s = smax (линия ОС
на фиг. 285, а), то прочность характеризуется коэффициентом запаса по разру-
шению, а напряженное состояние называется жестким.
§ 10. СОПОСТАВЛЕНИЕ ТЕОРИЙ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
МЕЖДУ СОБОЙ И ИХ ОЦЕНКА
Приступая к сравнению гипотез, положенных в основу рассмотренных выше
.теорий и самих теорий, перечислим основные пункты, по ^оторым должна
производиться их оценка и сопоставление.
1. Гипотеза должна быть научно обоснованной. Критерий наступления пре-
дельного состояния должен иметь ясный физический смысл.
2. Формула эквивалентности, выведенная на базе данной теории, должна
быть простой и удобной для практического использования.
3. Теория должна учитывать специфические свойства материалов.
4. Теория по возможности должна быть универсальной (должна быть при-
годной для разнотипных напряженных состояний).
5. Теория должна давать результаты, близкие к опытным данным, полученным
при испытании различных материалов при разнотипных напряженных состояниях.
6. Должно быть установлено, является ли данная теория теорией, опреде-
ляющей возникновение текучести, или теорией прочности.
Физический смысл и научное обоснование критериев рассмотренных теорией
были даны ранее, при их изложении.
Анализ и сопоставление теорий предельных напряженных состояний облег-
чает их графическая интерпретация.
Рассмотрим диаграмму напряженных состояний в координатах ар а2, а3.
Каждой точке на диаграмме соответствует определенное напряженное со-
стояние.
Геометрическое место точек, соответствующих предельным напряженным
состояниям (п=1), представляет собой поверхность предельных напряженных
состояний.
Предельная поверхность делит пространство напряжений на две части. Точ-
кам, лежащим внутри предельной поверхности, соответствуют напряженные
состояния с коэффициентом запаса п > 1. Точкам, лежащим вне предельной по-
верхности, соответствуют напряженные состояния с коэффициентом запаса 1.
Сопоставление теорий предельных напряженных состояний
307
Требованию симметричности условия возникновения предельного напряженного
состояния относительно главных напряжений а2, а3 соответствует поверхность
вращения с осью, равнонаклоненной к осям координат.
Форма предельной поверхности отражает специфику теории предельных на-
пряженных состояний.
Так, например, теории „энергии формоизменения" соответствует поверхность
кругового цилиндра (фиг. 286) с осью, равнонаклоненной к осям а2, а3 радиус
Фиг. 286. Предельная поверхность, соответ- Фиг. 287. Предельная поверхность, со*
ствующая теории „энергии формоизменения*. ответствующая предположению о нали-
> чии предельного чистого растяжения и
о возрастающей прочности материалов
при трехосных сжатиях.
цилиндра г = "J/ — <3szj. Вписанная в этот цилиндр правильная шестигранная
призма отвечает теории наибольших касательных напряжений.
Предположению о наличии предельного чистого растяжения и о возрастающей
прочности материалов при трехосных
открытая со стороны сжатий (фиг. 287).
Гипотезе [12] о том, что при лю-
бом напряженном состоянии (даже чи-
стом сжатии) может быть достигнуто
предельное напряженное состояние,
соответствует замкнутая поверхность
вращения с осью, равнонаклоненной к
осям координат диаграммы напряженных
состояний (фиг. 288).
Классификация предельных поверх-
ностей и ряд примеров приведены в
работе [30].
С точки зрения удобства пользова-
ния расчетной формулой эквивалентно-
сжатиях соответствует поверхность,
Фиг. 288. Предельйая поверхность, соот-
ветствующая предположению о наличии
предельного чистого растяжения и пре-
дельного чистого сжа!ия.
сти теории следует разделить на две
группы.
К первой группе относятся „непре-
рывные" теории. Под этим условным
термином понимаются теории, позво-
ляющие для данного напряженного тела установить единую зависимость
= У* z)- Таким образом, эквивалентное напряжение выражается непре-
рывной функцией координат х, у, z точек тела, справедливой для всего его объема.
Ко второй группе принадлежат „прерывные" теории, которые не удовле-
творяют поставленным выше условиям.
20”
308
Теория предельных напряженных состояний
„Непрерывными* являются теории, критерий которых выражается величиной,
симметричной относительно всех трех главных напряжений. Сюда относятся
„энергетическая теория", а также теории П. П. Баландина, И. Н. Миролюбова и
Ю. И. Ягна; „прерывными* — теории О. Мора, наибольших касательных напря-
жений, наибольших нормальных напряжений и наибольших линейных деформаций.
Все рассмотренные теории, кроме теории предельных напряженных состояний
О. Мора, особенно хорошо отражающей индивидуальные особенности материалов,
дают весьма удобные аналитические выражения для эквивалентных напряжений.
Для определения а9Кв по теории предельных напряженных состояний О. Мора
применяется простое графическое построение. Необходимо отметить, что в слу-
чае, если экспериментально полученная кривая заменена аналитической кривой,
может быть выведена формула, позволяющая вычислять а9Кв, не прибегая к по-
мощи графических построений. Именно таким образом и получена широко
распространенная формула эквивалентности (22) упрощенной теории предельных
напряженных состояний О. Мора.
Специфику материалов учитывают теории предельных напряженных состояний
О. Мора, теории, предложенные П. П. Баландиным, И. Н. Миролюбивым,
Ю. И. Ягном и Я. Б. Фридманом.
К теориям, не учитывающим характерных особенностей материалов и поэтому
применимым только к пластичным материалам, одинаково сопротивляющимся
растяжению и сжатию, следует отнести теорию энергии формоизменения и
теорию наибольших касательных напряжений. Наиболее детально учтены все
свойства материалов в теории предельных напряженных состояний О. Мора
(для получения огибающей окружностей предельных напряженных состояний
необходимо проведение ряда исследований свойств материала при различных
напряженных состояниях).
Необходимо помнить, что при выводе формул эквивалентности теории
„энергии формоизменения* и теории наибольших линейных деформаций принято,
что между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость.
'Таким образом, применение этих формул для определения а9кв за пределом те-
кучести (точнее за пределом пропорциональности) нелогично. Указанные теории
дают условия возникновения текучести и не дают условий разрушения.
Поскольку эксперименты показывают, что величина, принятая в качестве
критерия „энергетической теории,* может служить не только показателем воз-
никновения пластических деформаций, но и одним из условий, обусловливающих
процесс текучести, рядом авторов предложены иные трактовки этой величины,
освобождающие от ограничений, связанных с возможностью вычисления о9КВ
только в пределах применимости закона Гука.
Подобного рода трактовки дают возможность определять не только условия
возникновения, но и развития пластических деформаций.
С точки зрения универсальности теории могут быть разделены также на две
группы. К первой относится теория предельных напряженных состояний О. Мора.
Если предположить, что имеется экспериментально полученная огибающая окруж-
ностей предельных напряженных состояний, то вопрос определения коэффициента
запаса п и эквивалентных напряжений о9Кв для любых напряженных состояний
следует считать решенным. Однако необходимо отметить, что в современной
литературе не имеется указаний, что такая предельная огибающая полностью
получена хотя бы для, одного, какого-либо материала. Данное обстоятельство
резко' суживает, пределы применимости этой, вообще говоря, универсальной
теории прочности.
Ко второй группе следует отнести все прочие теории, применение которых
к напряженным состояниям, близким к чистому растяжению и сжатию, либо явно
недопустимо (сюда относится и упрощенная теория предельных напряженных со-
стояний О. Мора), либо должно быть обосновано специальными опытами (теория
наибольших нормальных напряжений, теория наибольших линейных деформаций,
энергетическая теория формоизменения, теории П. П. Баландина, И. Н. Миро-
любова, Ю. И. Ягна).
Сопоставление теорий предельных напряженных состояний
309
Следует подчеркнуть, что в настоящее время уверенно применять все пере-
численные теории следует только для двухосных растяжений и сжатий и на-
пряженных состояний смешанного типа.
Результаты исследований, опубликованные в литературе, дают более или
менее исчерпывающую характеристику материалов только при упомянутых на-
пряженных состояниях [21].
Как уже отмечалось, теории предельных напряженных состояний П. П. Ба-
ландина, И. Н. Миролюбова и Ю. И. Ягна базируются на критерии предель-
ного напряженного состоя-
ния, представляющем собой
в общем виде' функцию [см.
уравнение (39)]
и + A v* 2 + Bv = С. (39)
В табл. 26 приведены
значения параметров А, В
и С, входящих в выражение
критериев упомянутых тео-
рий.
Из рассмотрения табли-
цы следует, что для пла-
стичного
которого
1
Фиг. 289. Огибающая определяющих окружностей
предельных напряженных состояний в случае, если
материал одинаково сопротивляется растяжению и
сжатию.
материала, у
°Sd = и
, все эти теории
дают тождественный результат, совпадающий с теорией „энергии формоизменения".
Необходимо отметить, что некоторые устаревшие теории могут рассма-
триваться как частные случаи теории предельных напряженных состояний
О. Мора.
Так, в случае, когда материал является хрупким (уь близко к нулю) и
наибольшие нормальные напряжения положительны, формула • эквивалентно-
| ^7
сти (22) принимает вид фор-
мулы, (9), соответствующей
теории прочности наиболь-
ших нормальных напря-
жений.
Как уже указывалось,
теория наибольших каса-
тельных напряжений может
Ф рассматриваться как част-
—X. ный случай теории О. Мора,
если предельная огибающая
представляет собой прямую,
Фиг. 290. Пределы применимости теории начала теку- параллельную оси нормаль-
чести наибольших касательных напряжений. ных напряжений (фиг. 289).
В этом случае условие воз-
никновения пластических деформаций задается только радиусом определяющей
окружности предельного
напряженного состояния:
___ °£1 —
2
При этом формула (22) преобразуется в формулу (16), так как
Все, что было сказано о пределах применимости упрощенной теории пре-
дельных напряженных состояний О. Мора, целиком относится к теории наиболь-
ших касательных напряжений. Это ясно из сопоставления фиг. 274 и 290.
Заметим, что экстраполяция формулы (16), вне указанных на фиг. 290 пределов,
скорее возможна в сторону сжатий, чем в сторону растяжений.
310
Теория предельных напряженных состояний
Важнейшим доказательством правильности выбора критерия служит соответ-
ствие опытных данных результатам расчетов, выполненных на основе иссле-
дуемой теории.
Для сравнения между собой теорий с этой точки зрения, рассмотрим более
детально результаты испытаний стали [21], [37], меди [21], [37], никеля [21],
алюминия [38] и чугуна [21], [31].
Эти опыты1 проводились главным образом путем испытаний тонкостенных
оболочек из исследуемых материалов, нагруженных одним из способов, показан-
ных на фиг. 163, 166, 167, 183—185.
Во всех изображенных на упомянутых фигурах случаях нагружения имело
место двухосное напряженное состояние, представленное схематично нафиг. 291,
а и б.
В поперечных сечениях стенок трубок возникают нор-
мальные аг и касательные xzt напряжения, которые могут
быть вычислены по формулам
__ _ 9ft
4s — nDs ’ nD2s
В меридиональных сечениях, проходящих через ось г,
возникают нормальные напряжения <st и касательные напря-
жения парные напряжениям причем
а - PD
Фиг. 291. Двухос-
ные растяжения и
двухосные сме-
шанные напряжен-
ные состояния в
опытах по провер-
ке теорий предель-
ных напряженных
состояний.
В приведенных выражениях D — диаметр трубки,
$ — толщина стенок трубки.
В сечениях, перпендикулярных к радиусу трубки, возни-
кают незначительные напряжения аг, которые приближенно
можно считать равными нулю (наибольшее по абсолютной
величине значение этих напряжений численно Нравно р).
Главные напряжения могут быть вычислены по формулам
(52)—(54) гл. V, т. 1.
Результаты испытаний удобно сопоставлять, пользуясь диаграммой, постро-
енной в безразмерных координатах:
а"
—; у =—•
(53)
В формулах (53) и далее главные напряжения обозначены символами
ож, aw. Наибольшее главное напряжение, как и ранее, обозначено а*; проме-
жуточное а2; наименьшее as.
Так, например, в случае двухосного растяжения, когда а' >а">0 и а"'=0,
наибольшее напряжение a1=a', наименьшее а3 = 0. В случае двухосного сме-
шанного напряженного состояния, когда а' > 0, а" < 0, aw = 0, наибольшее
напряжение ~ a , наименьшее a3 = а".
Рассмотрим особенности диаграммы в координатах х, у, изображенной
на фиг. 292. Произвольная точка на диаграмме соответствует определенному
двухосному напряженному состоянию заданной интенсивности. Каждый луч
является геометрическим местом точек, изображающих подобные напряженные
состояния. Так, например, луч О А соответствует двухосному равному растя-
жению, луч ОВ— одноосному растяжению, луч ОС — одноосному сжатию. Чем
дальше располагается точка на луче от начала координат О, тем больше интен-
сивность напряженного состояния. Область АО В является областью двухосных
1 Содержание опытов излагается здесь сокращенно. Более полное изложение см. [21],
[31], [37], [38].
Сопоставление теорий предельных напряженных состояний
311
растяжений, область ВОС — областью двухосных смешанных напряженных со-
стояний (чистый сдвиг является частным случаем двухосного смешанного напря-
женного состояния).
Одним из существенных
достоинств списываемой диа-
граммы является то обстоя-
тельство, что на ней могут
сопоставляться результаты
испытания различных мате-
риалов как пластичных, так
и хрупких. Для первых
°L ~ Для вторых aL=vbz.
Преобразуем формулы
эквивалентности рассмотрен-
ных теорий. Представим
условия наступления пре-
дельных напряженных со-
стояний в безразмерных ко-
ординатах х, у и сравним
их с данными опытов.
А. Упрощенная теория
предельных напряженных
состояний О. Мора
&
Формула эквивалентно-
сти имеет вид:
= а1 — ^3- (22)
В случае, когда а'>а">0
и а"'~ О (см. фиг. 291, а),
а , аз — 0. Фиг. 292. Диаграмма напряженных состояний в безраз-
мерных координатах.
Полагая, что аэ/гв = а1г,
получим формулу, справедливую для двухосных растяжений:
х= 1.
(22а)
В том случае, когда рассматривается смешанное двухосное напряженное
состояние (фиг. 291, б)
а, = а', а8 — а*.
Полагая <з9кв = oLzt найдем, что
х — vy = 1.
(226)
На диаграмме фиг. 293 уравнению (22а) соответствует прямая АВ, урав-
нению (22) —пучок прямых. Крайние из этих линий —прямые ВС и BD — со-
ответствуют случаям, когда v = 0 и v=l.
312
Теория предельных напряженных состояний
Б. Теория предельных напряженных состояний П. П. Баландина
Формула эквивалентности рассматриваемой теории для двухосного напря-
женного состояния имеет вид:
= Ц2 (°' + ^)4" 4 /(1 - V)’ (s' + г')* + 4v (а'2 + а’2 - «'а') • (45)
Подставляя в формулу (45) v9Kff = oLz и принимая во внимание равенства (53),
представим формулу (45) в безразмерных координатах:
-Ц2- (х 4- У) + 4 V(i — v)2 (•* + У)2 4* 4v (х2 у — ху) = 1. (45а)
В частном случае для материалов, одинаково сопротивляющихся растя-
жению и сжатию (v = 1), формула (45а) принимает более простой вид:
х2 -f- у2 — ху= 1. (456)
На фиг. 294 формула (45а) иллюстрирована кривыми. В частности, фор-
муле (456) соответствует эллипс с осями, наклоненными к координатным осям х
и у под углом 45°.
В. Теория наибольших нормальных напряжений
В случае, если а' > | а" | (см. фиг. 291), формула эквивалентности (9) может
быть записана следующим образом:
°экв = а'- (9)
Полагая = получим для указанных выше напряженных состояний
формулу эквивалентности в безразмерных координатах:
х— 1. - (9а)
Если о' < | а” | и а" = О, сравнение исследуемого напряженного состояния сле-
дует вести со сжатием. Полагая, что достигнуто предельное напряженное состоя-
ние, можем написать:
— laLdl = 0"-
Разделив левую и правую части последней зависимости на получим
у = -1. (96)
На фиг. 295 уравнение (9а) соответствует прямая ДС, уравнению (96) — пря-
мая CD.
Г. Теория наибольших линейных деформаций
Для напряженных состояний, определяемых условием а' > | o'7) (фиг. 291),
в случае, если материал подчиняется закону Гука,
emax = 4’^'9
причем етах является деформацией удлинения.
Формула эквивалентности (13) в этом случае имеет вид:
°э«в = б' — V^- (13)
Заменяя <з9кв через aLz и разделив все слагаемые на aLz, получим
X — р.у=1. (13а)
Сопоставление теорий предельных напряженных состояний
313
Если а' < | а" | и а" — 0, то наибольшая линейная деформация (укорочение)
будет возникать в направлении о'7.
Тогда наибольшая линейная деформация определяется формулой
emax=-^(3" — I»').
о сталь д никель
э твердая сталь ф алюминий
Фиг. 293. Графическое изображение формулы эквивалентно-
сти упрощенной теории предельных напряженных состояний
О. Мора. Результаты испытания стальных, медных, алюми-
ниевых, никелевых и чугунных трубок.
Сравнение исследуемого напряженного состояния в данном случае следует
вести с одноосным сжатием. Полагая, что достигнуто предельное напряженное
состояние и материал следует закону Гука, можем написать:
е
max £ *
Приравнивая левые части написанных выражений и разделив все слагаемые4
на |oLd|, получим
— У + Р* = 1 • (136)
На фиг. 295 уравнению (13а) соответствует прямая EF, уравнению (136) —
прямая DF.
314
Теория предельных напряженных состояний
Д. Теория полной потенциальной энергии
Формула эквивалентности в рассматриваемом случае имеет вид:
Фиг. 294. Графическое изображение формулы эквивалентности
теории П. П. Баландина. Результаты испытания стальных, мед-
ных, алюминиевых, никелевых и чугунных трубок.
(32)
Полагая, что достигнуто предельное напряженное состояние, и заменяя —
о"
и — соответственно через х и у, получим
хЕ. 2 + У2 — 2?ху = 1. (32а)
Уравнению (32а) на фиг. 295 соответствует дуга эллипса GBD.
Е. Анализ опытных данных
На фиг. 293 и 294 нанесены результаты исследований стали, меди, алюминия,
никеля и чугуна при различных напряженных состояниях.
Сопоставление результатов опытов с теоретическими данными свидетельствует,
что для пластичных материалов теория „энергии формоизменения" и теория
Сопоставление теорий предельных напряженных состояний
315
П. П. Баландина дают весьма хорошие результаты: на фиг. 294 видно, что опыт-
ные точки для пластичных материалов — стали, меди, алюминия и никеля — рас-
полагаются вблизи эллипса, выражающего теорию П. П. Баландина при 1.
Для хрупких материалов совпадение экспериментальных данных (результатов
испытания чугуна) с теоретическими кривыми, соответствующими = 0,25 ч- 0,30,
весьма посредственное. Теория предельных напряженных состояний О. Мора
(фиг. 293) достаточно точна для практического использования применительно ко
всем материалам, однако для пла-
стичных материалов она менее
точна, чем теория „энергии фор-
моизменения".
В заключение сравним между
собой ряд напряженных состояний,
применительно к которым рас-
смотренные теории прочности,
безусловно, применимы. В табл. 25
приведены результаты подсчетов
для одноосного и двухосного сжа-
тий, одноосного и двухосного рас-
тяжений и ряда смешанных на-
пряженных состояний. Расчеты
выполнены для двух материалов:
пластичного (одинаково сопроти-
вляющегося растяжению и сжатию
vs=l) и хрупкого (vft = 0,25).
В некоторых случаях (в скобках)
приведены результаты испытаний
реальных материалов (в качестве
представителей пластичных мате-
риалов были использованы сталь,
медь, никель, алюминий; хруп-
ких — чугун).
Изучение данных, приведенных
в таблице, убеждает в том, что
теории П. П. Баландина и
И. Н. Миролюбова для хрупких
материалов, безусловно, нужда-
ются в проверке. Немногочислен-
Фиг. 295. Графическое изображение формул
эквивалентности теорий наибольших нормальных
напряжений, наибольших линейных деформаций
и полной потенциальной энергии.
ные опытные данные показывают,
что эти теории далеки от совершенства. Теория прочности предельных напря-
женных состояний О. Мора дает вполне удовлетворительные результаты.
Весьма хорошее совпадение теории Ю. И. Ягна с результатами опытов для
пластичных материалов объясняется тем, что в критерий этой теории входят три
параметра, определяемых экспериментально, а не два параметра, как в других
теориях.
При вычислении эквивалентных напряжений, приведенных в табл. 25, в фор-
мулу (50) были подставлены значения <ssa — osz и 3sz- Данное соотно-
шение [см. приведенную далее формулу (66)] между пределами текучести
и gsz было принято как наиболее характерное для пластичных материалов [21],
[37], [38].
Отсутствие экспериментальных данных для предельного чистого сдвига не
позволило вычислить значения ая..а по теории Ю. И. Ягна для хрупкого мате-
риала (v& = 0,25).
Сопоставляя теоретические кривые, соответствующие теориям наибольших
нормальных напряжений (ломаная линия ACD на фиг. 295), наибольших линей-
ных деформаций (ломаная линия EBFD на фиг. 295) и теории полной потен-
316
Теория предельных напряженных состояний
циальной энергии (кривая GBD на фиг. 295) с данными опытов (фиг. 293), за-
ключаем, что теория наибольших нормальных напряжений удовлетворительно
соответствует экспериментальным данным для хрупких материалов (чугун). Тео-
рия наибольших линейных деформаций плохо согласуется с данными опытов.
Теория полной потенциальной энергии значительно уступает теории „энергии
формоизменения®.
Выводы
В настоящее время для практического применения следует рекомендовать
теорию предельных напряженных состояний О. Мора.
При расчете деталей, выполненных из пластичных материалов, можно с успе-
хом пользоваться теорией „энергии формоизменения®.
Следует помнить, что применение указанных теорий подтверждено опытами
только для напряженных состояний, когда наибольшее Oj и наименьшее о3 глав-
ные напряжения имеют разные знаки или одно из них равно нулю. При необхо-
димости расширить пределы применимости теорий необходимо исследовать свойства
материалов при соответствующих напряженных состояниях.
Теории предельных напряженных состояний П. П. Баландина, И. Н. Миро-
любова, Ю. И. Ягна для пластичных материалов ^в случае, если = 1 и
дают результаты, совпадающие с теорией „энергии формоизменения".
В этом случае упомянутые теории следует рассматривать как теории возникно-
вения текучести.
Возможность применения указанных теорий к хрупким материалам должна
быть доказана экспериментально.
Теория предельных сопротивлений отрыву и сдвигу Я. Б. Фридмана может
быть использована в некоторых случаях для оценки вероятного типа разрушения.
Теорию наибольших нормальных напряжений, теории наибольших линейных
деформаций и полной потенциальной энергии следует признать устаревшими,
и в настоящее время в расчетной практике они не должны применяться.
§ 11. ОБЗОР РАСЧЕТНЫХ ФОРМУЛ, СОСТАВЛЕННЫХ НА ОСНОВАНИИ
РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРИЙ ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
Методы сопротивления материалов, прикладной теории упругости и пластич-
ности позволяют определять напряжения в отдельных сечениях рассчитываемых
тел. Так, например, в случае расчета брусьев на растяжение, сжатие, изгиб,
кручение формулы сопротивления материалов дают возможность определять
напряжения в трех ортогональных площадках, из которых одна совпадает
с поперечным сечением бруса, а две другие параллельны его оси (см. фиг 246,
249, 255, 257, 258). В случае расчета толстостенных труб, подверженных вну-
треннему давлению, и быстро вращающихся дисков формулы теории упругости
или пластичности позволяют определять напряжения в поперечном, радиальном
и окружном сечениях (см. фиг. 247, 253, 256).
В табл. 27 изображены модели напряженных элементов, встречающихся
в инженерной практике.
В той же таблице выписаны формулы для определения главных нормальных
напряжений и указаны случаи, когда наибольшее и наименьшее главные напря-
жения могут быть определены непосредственно (случаи 1—5) в отличие, от слу-
чаев, когда для выяснения вопроса об экстремуме главных напряжений прихо-
дится вычислять все три главных напряжения и сопоставлять их между собой
(случаи 6—10).
Все возможные случаи расчета могут быть разделены на три группы.
Первая группа. Расчетные формулы дают возможность сразу определить
напряжения в главных сечениях. Сюда относятся примеры 1, 2, 6, 9 (см. табл. 27).
Обзор расчетных формул, составленных на основании различных теорий 317
Таблица 27
Определение экстремальных главных напряжений в различных случаях,
встречающихся в инженерной практике
о. о о с % Тип на- пряжен- ного со- стояния Исходные площадки Главные напряжения 61» G* Примечание
1 Одноосное напряженное состояние 0*0 О II П II О О i 7 to ь Напряженное состояние, принимаемое за эквивалент- ное
°г

2 3*^ 6, 0*0 о II II II О ‘ь >, о 'о И II FH 03 t> о

3 Двухосное напряженное состояние Ьг а' = — 0 09 II и % %
4 'Z.s Г Q Q II l' и' 1 ± ’ 1 о t $ ь о II n t> o’ Чистый сдвиг
5 ^xz бг -=^- /йЛ’’ ь 5o II II tT b* 4S2: lz X^zy*^zx
6 gz о 1 и N > о t> t> II II II о ‘о Выясняется после сопоста- вления
7 1 9^, I 1 + °’ Q> _L _L 11 II Q II Q Q N Q Ы О Ю 1 * bO I + Q -Г Q 4? x--—> to bfi + + rl r) bO to Выясняются после вы- числения и сопоста- вления
318
Теория предельных напряженных состояний
Продолжение табл. 27
Тип на-
пряжен-
ного со-
стояния
Исходные площадки
Главные напряжения
Примечание
Выясняется
после со-
поставления
Главные напряжения —
корни кубического урав-
нения (17) гл. I, т. I
Выясняются
после вычи-
сления и со-
поставления
Общий случай
напряженного со-
стояния
Ко второй группе относятся случаи, когда в числе исходных сечений
только одно является главным (примеры 3, 4, 5, 7, 8). *г
Третья группа. Расчетные формулы дают напряжения в площадках
общего положения (не главных). Для определения главных напряжений следует
найти корни кубического уравнения [см. формулу (17) гл. I, т. I].
В случаях, отнесенных к первой и третьей группам, при определении коэф-
фициента запаса и эквивалентного напряжения весьма удобно пользоваться при-
веденными выше основными формулами эквивалентности. Формулы эти сведены
в табл. 28.
Для определения эквивалентных напряжений в случаях, отнесенных ко вто-
рой группе, обычно используется ряд вспомогательных формул (они обычно
носят название „расчетных формулw).
Проанализируем наиболее распространенные из них.
А. Расчетные формулы упрощенной теории предельных
напряженных состояний О. Мора
Для определения эквивалентного напряжения в случае 7 (табл. 27) в техни-
ческой литературе иногда приводится формула
= 1 7"* (qz + gy) + —}/~(«г —«у)2+4tzy. (54)
Выражение (54) получено путем подстановки в формулу (22) значений глав-
ных напряжений а" и а'", приведенных в соответствующей графе табл. 27.
Формула (54) верна в случае, когда а" и а"' — экстремальные главные напря-
жения; если же одно из них является промежуточным, то формула (54) неверна.
В этом случае расчет следует вести непосредственно по формуле (22). Прежде
чем пользоваться последней, следует вычислить все три главных напряжения,
Сводка формул эквивалентности
Таблица 28
Формулы эквивалентности для подсчета по главным напряжениям
Теория Формула эквивалентности | | Характеристика теории Пределы применимости
Упрощенная О. Мора V ’эле =• 0! — ™з (22) Теория начала текуче- сти, если у =з vs; тео- рия прочности, если Если <?! и а2 имеют раз- ные знаки или одно из них равно нулю
Энергии формоизмене- ния ’акв = ]/ -у [01 — ’г)2 + 02 — ’з)2+ 0з — °1)21 (31) Теория начала текучести Для материалов, у ко- КОрыХ asz « asd
П. П. Баландина 1 — V аэкв в 2 (а1 + а2 + аз) 4“ Г(1-^201-г’2 + =з)^-Ч01-’Э2+02-’з)2+0з-<)2] (44) Теория начала текуче- сти, если у = у5; тео- рия прочности, если У = У* Не выяснялись
И. Н. Миролюбова 1 — У <?экв = —2— (а1 + а2 + аз) + +-ЦР ]/4 [0i_o2)2+(32_a)2+(’з"°1)г1 (48) Теория начала текуче- сти, если у = у$; тео- рия прочности, если У = УЬ Не выяснялись
Ю. И. Ягна _ °£d — g/.Z I Q9K8 — 2 ‘ Теория начала текуче- сти, если O[Z = asz; °Ld == тео- рия прочности, если QLz — °bz> °Ld = 4 = 4 Не выяснялись
( 2 ) " 6т2 а^2”^(<72 °з)2 + (аз а1)21 4~ 4-/1 2 ) (а1 4- ^2 + з3)2 4- (^Ld °£г) (а1 4- + аз) (50) \ 6~l 1
Наибольших нормаль- ных напряжений ^экв я а1 (0) Теория прочности См. стр. 277
Наибольших линейных деформаций ’э/св = ®1 — Р- 02 + «в) (13) 1еория начала текучести См. стр. 278
Наибольших касатель- ных напряжений а1 3g (16) Теория начала текучести Для материалов, у кото- рых
Полной потенциальной энергии аЭКв=]/ G1 4“ J2 4" 4 “ 2^ + °25з+a3Jl) (19) Теория начала текучести для материалов, сле- дующих закону Гука, у которых = asd
Обзор расчетных формул, составленных на основании различных теорий 319
320
Теория предельных напряженных состояний
сопоставить их, установить, которые из них являются экстремальными (т. е. а,
и а3), и непосредственно использовать формулу (22).
Таким образом следует признать, что формула (54) бесполезна. Расчеты по
этой формуле без ее проверки могут повлечь за собой серьезные ошибки.
Для определения эквивалентных напряжений в случаях 3 — 5 (см. табл. 27)
известна формула
+ r (5S)
Случай 5 может быть сведен, как показано в табл. 27 справа, к случаю 3,
следует лишь в формулу (55) вместо т2у (случай 3) подставить
= ]/~^zy + •
Формула (55) представляет собой частный случай формулы (54) при ау = 0.
Из анализа зависимостей, приведенных в графе 3 табл. 27, следует что в рас-
сматриваемом случае а" и aw при любых значениях а2 и т2у являются экстре-
мальными главными напряжениями, поэтому формула (55) всегда верна и, может
быть рекомендована для определения а9кв.
В случае 4 (чистый сдвиг) формула (55) принимает простой вид:
=G -H)Tzy (56)
Формула (56) может быть использована для установления зависимости между
пределами текучести при чистом сдвиге ,и при одноосном растяжении.
В этом случае
Аналогичная формула может быть составлена для определения предела проч-
ности при чистом сдвиге (хрупкие материалы):
Допускаемое наибольшее касательное напряжение при чистом сдвиге часто
обозначают [т]. Принимая коэффициент запаса по текучести ns и учитывая,
что [т] = — и [а]2 = — , получим известное соотношение между допустимыми
напряжениями [т] и [а]г:
14=^; 1’1,- (59)
Для хрупких материалов, для которых [т] = — и [<з]г = —,
пЬ пь
м—гтт,м.- <6°>
В инженерной практике весьма часто встречаются случаи расчета деталей
из материалов/ одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию. К таким
материалам относится ряд сортов стали, меди, алюминия, латуни, бронзы, никеля.
Преобразуем формулы (55) — (57), подставив в них v$=l.
В результате подстановки получим формулы:
«эко = / + 4rzv > (55а)
аакв (56а)
Ts = 0,5as2. (57а)
Обзор расчетных формул, составленных на основании различных теорий 32 Г
Допускаемое касательное напряжение при чистом сдвиге может быть выра-
жено через допускаемое напряжение при одноосном растяжении по формуле
[т] =0,5 [а] г. (59а)
В случае расчета деталей, выполненных из серого чугуна, у которого
= ^ = 0,30,
9 ’м
формулы (55), (56) и (58) принимают вид:
о9Кв = 0,35а2 + 0,65 /а! + 4т2у ; (556)
1.3тгу; (566)
тд = 0,77а>2. ‘ .. .(586)
Допустимое касательное напряжение при чистом сдвиге равно
[т] = 0,77 [а]г. (606)
В инженерной практике весьма часто приходится встречаться с необходи-
мостью определения коэффициента запаса по текучести стальных (v$ = 1) брусьев
круглого поперечного сечения, работающих на изгиб и кручение (расчет валов
трансмиссий, передач и т. п.). В этом случае имеет место напряженное состоя-
ние, схематически представленное в графе 3 табл. 27. Подставим в формулу (55а)
значения напряжейий и т^,
сопротивления материалов:
которые определяются по известным формулам
___ Мдзг
z~
__^кр
и крутящий моменты в рассчитываемом сечении,
где и A/L— изгибающий
Wc Л р
a IF =2IFx = ^r~ (d — диаметр бруса). Таким образом может быть получена
весьма удобная для практических расчетов формула:
^экв
у м2 4- м2
г iVlU32 » *VlKp
(61)
1Г.
Заметим, что полный вектор момента внутренних сил, возникающих в сече-
нии бруса, работающего на изгиб и кручение, равен М — Мизг + • Числи-
тель правой части формулы (61) также равен Л4, однако это равенство носит
чисто формальный характер.
Выражение, стоящее в числителе формулы (61), не следует истолковывать
как равнодействующую моментов Мизг и МКр.
Формула (61) справедлива только при
Б. Расчетные формулы теории энергии формоизменения
Для определения эквивалентного напряжения в случае 3 табл. 27 применяется
формула 1_____
°aKe = F°* + 3T22y. (62)
Формула (62) получена из выражения (32) при подстановке вместо главных
напряжений значений, приведенных в графе 3 табл. 27. В связи с этим фор-
мула (62) применима только для двухосных напряженных состояний смешанного
типа для материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
21 Пономарев и др. 407
322
Теория предельных напряженных состояний
В случае чистого сдвига (случай 4 в табл. 27) формула (62) принимает вид:
°ЭКв = 1 >73т2у (63>
Используя соотношение (63), легко установить соотношение для вычисления
наибольших касательных напряжений, соответствующих началу пластических
деформаций
^ = 0,58^ (64)
и допускаемых наибольших касательных напряжений при чистом сдвиге для
пластичных материалов
[т] = 0,58 [a]z. (65>
Согласно опытным данным (см. фиг. 293 и табл. 25) при чистом сдвиге для
материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, следует принимать
ж о,55а42. (66)
Таким образом, формула (64) должна быть охарактеризована как весьма
точная (она точнее формулы (57 а)].
В. Расчетные формулы теории наибольших линейных деформаций
Несмотря на то, что данная теория не подтверждена опытами, она все же
получила некоторое распространение в справочной литературе, учебниках сопро-
тивления материалов, деталей машин и в целом ряде специальных руководств.
Рассмотрим расчетные формулы, основанные на данной теории, часто встре-
чающиеся в технической литературе.
Для двухосного напряженного состояния, представленного в графе 3 табл. 27,
формула (13) после подстановки в нее значений главных напряжений примет
вид:
1 — р. 1 + р. Г 2 । л 2” *
— 2 “I” 2 г ”Н ^zy • (67)
Как указано в § 7 настоящей главы, формула (13), а следовательно,
и формула (67) применимы только для материалов, следующих закону Гука,
и в случае, если > | е2 | > 0, что выполняется, если [ о2 | 0. Следова-
тельно, перед использованием формулы (67) необходимо произвести вычисление
и сопоставление главных напряжений. Однако поскольку в рассматриваемом
случае предварительно необходимо вычислять главные напряжения, постольку
использование формулы (67) становится нецелесообразным. Гораздо удобнее
вычислять а9кв непосредственно по простой формуле (13).
Обращает на себя внимание сходство формул эквивалентности упрощенной
теории предельных напряженных состояний О. Мора и теории наибольших ли-
нейных деформаций формулы (55) и (67).
Сходство это чисто внешнее, так как коэффициенты р и у по существу со-
вершенно разнородные величины, и указанные формулы выведены на основании
совершенно различных предположений.
Учитывая, что для большинства материалов коэффициент Пуассона ^=0,30,
формула (67) для всех материалов принимает вид:
°вкв = 0,35аг + 0,65 4г2у. ' (67a)
Все, что сказано о формуле (67), целиком применимо к формуле (67а).
Формула (57а) имеет внешнее, формальное сходство с формулой (556).
Заметим, что принципиально неверно трактовать теорию наибольших линей-
ных деформаций как частный случай теории предельных напряжений О. Мора,
если коэффициент у = 0,30, на одном лишь том основании, что формулы (67)
Обзор расчетных формул, составленных на основании различных теорий 3 23
и (67а) сходны по внешнему виду с формулами (55) и (556). Упомянутые
теории базируются на совершенно различных положениях.
Применяя формулу (67а) для случая чистого сдвига (графа 4 табл. 27),
можно получить соотношение между а9кв и наибольшим касательным напряже-
нием:
а9кв = 1,3т . (68)
Используя формулу (68) для вычисления допустимых наибольших касатель-
ных напряжений при чистом сдвиге, имеем
[т] = 0,77 [а]и или приближенно [т] =0,8 [а]^. (69)
Данное соотношение пользуется незаслуженной популярностью и часто при-
меняется для пластичных материалов, для которых, как было указано ранее,
правильной является зависимость (66).
Г. Расчетные формулы теории наибольших касательных напряжений
Теория наибольших касательных напряжений справедлива для материалов,
одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (vs=l).
Выше было показано, что данная теория может рассматриваться как частный
случай упрощенной теории предельных напряженных состояний О. Мора. Таким
образом, приведенные ранее формулы (55а), (56а), (57а) и (59а) могут быть
рассматриваемы как формулы теории наибольших касательных напряжений.
Все замечания, сделанные при выводе и разборе этих формул, должны
учитываться при их применении. Заметим, что теория наибольших касательных
напряжений н@ может быть использована для определения коэффициента запаса
по разрушению, а пригодна только для вычисления коэффициента запаса по
текучести.
В заключение напомним, что применять расчетные формулы к трехосным
растяжениям и сжатиям, по указанным выше причинам, следует чрезвычайно
осторожно.
Пределы применимости этих формул, несомненно, будут расширяться по
мере накопления соответствующего опытного материала.
Д. Примеры применения расчетных формул теории предельных
напряженных состояний
Рассмотрим несколько заимствованных из практики машиностроения характер-
ных примеров применения расчетных формул теории предельных напряженных
состояний с целью определения коэффициентов запаса.
Пример 1. Дуралюминовый брус (см. фиг. 296) закручивается и растягивается. Опре-
делить коэффициенты запаса по текучести и по разрушению Л4 = 800 кгсм\ Р = 3140 кг\
d = 20 мм.
Материал Д1Т; abz = 4200 кг/см2', = 9,57; <ssz = 2400 кг/см?:, = 1,00.
Все сечения бруса являются равноопасными. Материал бруса наиболее напряжен
около поверхности.
Рассмотрим напряженное состояние одного из наиболее нагруженных элементов
бруса (фиг. 296, б).
Напряжения <sz и возникающие в поперечном сечении бруса, определяем по из-
вестным формулам сопротивления материалов [2]:
sz = А = = 91^2 = 1000 кг/см*
F nd3 3,14
4
^ = ^ = ^=829 = 500 ^.
2 Wp nd3 1,6
16
Используем упрощенную теорию предельных напряженных состояний О. Мора.
21*
324
Теория предельных напряженных состояний
Для определения коэффициента запаса по текучести ns вычисляем эквивалентное
напряжение по формуле (55а), так как коэффициент 1;
сэкв = 02 + 4т| = У10002 + 4-5002 - 1410 кг/см*.
Коэффициент запаса по текучести равен
Фиг. 296.
К примеру 1: а — брус, работающий на
растяжение и кручение; б—напряженное со-
стояние наиболее нагруженного элемента.
Л, = — = *= 1’70’
аэкв 1410
Для вычисления коэффициента запаса по
разрушению пь эквивалентное напряжение сле-
дует подсчитывать по формуле (55), поскольку
= 0,57:
а - 1 - О 4- 1 + , 4 2 _
аэкв — —2— 2— У » ‘ ’
1 ~20,5? 1000 + 1 +20,57 VЮ002 + 4 -5002
— 1320 кг/см2.
Коэффициент запаса по разрушению
пь = = 3,18.
^жв 1320
Пример 2. Плунжер, выполненный из закаленной стали У12А, проходит сквозь
камеру высокого давления. Плунжер передает момент М. Определить коэффициент запаса
по разрушению: М = 800 кгсм; р = 5000 am; d = 10 мм. Сталь У12А; = 21 000 кг/см2;
s 0>41.
Все сечения плунжера являются равноопасными Наиболее напряженным является
материал около поверхности бруса. Рассмотрим напряженное состояние одного из наи-
более нагруженных элементов (фиг. 297).
Осевые напряжения = 0. Г
Радиальные и окружные напряжения
- —р.
Касательные напряжения в попереч-
ном сечении бруса определяются по изве-
стной формуле сопротивления материа-
лов [2]:
= = Д = 800 = 4000 ^.
2 Wp nd* 0,2
16
Главные напряжения следует опреде-
лять по формулам, приведенным в графе 8
табл. 27:
а' = —р = —5000 кг/см2;
Фиг. 297.
К примеру 2: а — плунжер, проходящий через
камеру высокого давления и передающий момент М;
б—напряженное состояние наиболее нагруженного
элемента.
__™0+-]/('»ООу+4Ж„_
« +2220 кг/см2;
°'" = аг + °/ _ _|_ т2 = _2500 _ 4720 = —7220 кг/см*.
Сопоставляя вычисленные главные напряжения, находим:
□i — +2220 кг/см2;
33 = —7220 кг/см2.
Обзор расчетных формул, составленных на основании различных теорий 325
Основываясь на теории О. Мора, приступаем к определению эквивалентного напря-
жения по формуле (22):
аэкв = = 2220 + 0,41 «7220 5180 кг!см2.
Коэффициент запаса по разрушению
= 21^0 =4,05.
^экв 51о0
Пример 3. Определить коэффициент запаса, с которым рассчитан змеевик-ком-
пенсатор (см. фиг. 298), выполненный из толстостенной стальной трубки, передающий
давление р = 2000 ат. Диаметр компенсатора D = 400 мм\ диаметры трубки: наружный
Р
КпримеруЗ: а — змеевик-компенсатор; б—эпюры напряжений, иллюстрирующие
закон распределения напряжений в различных элементах, расположенных по радиусу
трубки; в — напряженное состояние элементов 1 и 2.
4=10 мм\ внутренний Д = 2 мм. Наибольшее усилие, растягивающее компенсатор,
20 кг.
Материал трубки—низколегированная конструкционная сталь; gs2 = 4500 кг/см2*
^“1.
Трубка компенсатора работает на кручение.
Крутящий момент в поперечных сечениях трубки
Наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении трубки равны [2]
Ч я = 2000 кг/см*.
л (44 — Д4) к43 0,2
164 "Тб"
326
Теория предельных напряженных состояний
Касательные напряжения в поперечном сечении около внутренней поверхности трубки
т2 = — = 2000 = 400 кг/см2,
d 10
Благодаря наличию в трубке внутреннего давления, в материале трубки возникают
окружные напряжения растяжения az, осевые напряжения растяжения и радиальные
напряжения сжатия
На фиг. 298, б представлены эпюры указанных напряжений, а также эпюры каса-
тельных напряжений, возникающих в поперечных сечениях трубки от кручения.
Окружные напряжения в точках 1 и 2 равны соответственно [2]
°*=+р rfS*=+2оо° +166 кг/см2'
= +Р д„ = + 2170 кг/см\
d* —
Осевые напряжения в поперечном сечении [2]
= +Р >2 Д2 Л2 = 83 Кг1См2'
d2 — А2
Радиальные напряжения в точках 1 и 2 равны соответственно
аг1 == 0;
°г2 = ~Р — —2000 кг/см2.
Напряженные состояния в точках / и 2 иллюстрированы на фиг. 298, в.
Главные напряжения соответственно равны.
В первом элементе (графа 7 табл. 27):
а' = 0;
= 83-+.168. + ^83- 166 у + 20002 = +2130 кг/смъ *
а'" _ gz + __ ~ + т2 = 125 _ 2000 = _ 1875 Kz/cMi'
Таким образом, экстремальные напряжения равны
ai = +2130 кг/см2',
о3 = —1875 кг/см2.
Во втором элементе (графа 8 табл. 27):
а' = —2000 кг/см2',
°” = + у =
= 83 + 2170 -4- у (83 — 2170у + 4002 = 2250 кг/смг.
= аг±+. + у = ИЗО - 1120 = +ю « 0.
Наибольшее и наименьшее напряжения равны
Qi = 4-2250 кг/см2',
а3 = —2000 кг/см2.
Переходим к определению эквивалентных напряжений и коэффициента запаса по
текучести. Используя теорию «энергии формоизменения", которая для пластичных мате-
риалов дает лучшие результаты, применим формулу (32).
Обзор расчетных формул, составленных на основании различных теорий 327
Эквивалентное напряжение для первого элемента
аэкв e у/"ai + <*з — = У*21302 4- 18802 + 2130-1880 3470 кг/см*.
Для второго элемента
еякв - + «3—’1’3 = V22502 + 20002 + 2250-2000 = 3680 кг!<мг.
Коэффициент запаса по текучести для второго, более напряженного элемента
Вычислим для сравнения эквивалентные напряжения согласно теории О. Мора по
формуле (22).
Эквивалентное напряжение для первого элемента
<зэкв = — v5a3 = 2130 4- 1880 = 4010 кг/см2.
Эквивалентное напряжение для второго элемента
<*экв === — v5a3 = 2250 4- 2000 «= 4250 кг/см2.
Как видно из рассмотрения полученных результатов, согласно обеим теориям, мате-
риал нагружен более опасно у внутренней поверхности трубки.
Коэффициент запаса по текучести по теории О. Мора равен
1229 = 1,об.
4250
ns —
аэкв
Разница между коэффициентами запаса, вычисленными по теории О. Мора и по
^энергетической теории", составляет
1’22~^29..- 100 - 9,80/0.
1,22 °
ЛИТЕРАТУРА
1. Баландин П. П., К вопросу о гипотезах прочности, «Вестник инженеров и
техников" № 1, 1937.
2. Беляев Н. М., Сопротивление материалов, ГИТТЛ, 1955.
3. Бриджмэн П., Физика высоких давлений, ОНГИ, 1935; Новейшие работы
в области высоких давлений, ИЛ, 1948.
4. Бриджмэн П„ О природе металлов при высоких давлениях, «Успехи физиче-
ских наук", т. XX, вып. 4, 1938.
5. Б р и д ж м э н П., Современные исследования в области высоких давлений,
Успехи физических наук", т. XXIX, вып. 3—4, 1946.
6. Волков С. Д., Единая статистическая теория прочности твердых тел, „Журнал
технической физики", т. XXIII, вып. 11, 1953.
7. Губкин С. И., Теория обработки металлов давлением, Металлургиздат, 1947.
8. Дымов А. И., Строительная механика машин, ОНГИ, 1933
9. Ильюшин А. А., Пластичность. ГИТТЛ, 1948.
10. Иоффе А. Ф.» Физика кристаллов, Госиздат, 1929.
11. Конюшко 3. М., Исследование прочности термически обработанных инстру-
ментальных сталей, Юбилейный сборник МВТУ „Расчеты на прочность в машинострое-
нии" № 46, Машгиз, 1955.
12. Лихарев К. К., Пределы применимости теории прочности Мора, Труды ка-
федры сопротивления материалов МВТУ, разд. IV, Машгиз, 1947.
13. Малинин Н. Н., Основы расчетов на ползучесть, Машгиз, 1948.
14. Миро любо в И. Н., К вопросу об обобщении теории прочности октаэдриче-
ских касательных напряжений на хрупкие материалы, Труды Ленинградского технологи-
ческого института, № 25, 1953.
15. На да и А., Пластичность и разрушение твердых тел, ИЛ, 1954.
16. Новожилов В. В., О физическом смысле инвариантов напряжения, используе-
мых в теории пластичности, „Прикладная математика и механика", т. XVI, вып. 5, 1952.
17. Пономарев С. Д., К вопросу о трактовке так называемой „теории прочности
энергии формоизменения", „Вестник инженеров и техников" № 1, 1953.
18. Пономареве. Д., К вопросу трактовки условий наступления пластического
состояния материала, Научно-методический сборник № 6 Академии им. Н. Е. Жуков-
ского, 1954.
19. Ратнер С. И., Прочность и пластичность металлов, Оборонгиз, 1949.
328
Теория предельных напряженных состояний
20. Степанов А. В., Основы физического учения о прочности и пластичности кри-
сталлов, Известия АН СССР, Серия физическая, т. XVII, № 3, 1953.
21. Теория пластичности, Сб. ст. под ред. Ю. Работнова, ГТТИ, 1948.
22. Ужик Г. В., Метод определения сопротивления металлов разрушению от отрыва,.
„Известия АН СССР, Отд. техн, наук" № 10, 1948.
23. Федорченко И. М., К вопросу о межкристаллическом веществе и строении
границ зерен в металлах, „Журнал технической физики", т. XXI, вып. 2, 1951.
24. Фридман Я. Б., Деформация и разрушение металлов при статических и дина-
мических нагрузках, Оборонгиз, 1946.
25. Фридман Я- Б., Единая теория прочности материалов, Оборонгиз, 1943.
26. Энциклопедический справочник „Машиностроение", т. 1, кн. 2-я, Машгиз, 1947.
27. Энциклопедический справочник „Машиностроение", т. 3 и 4, Машгиз, 1947.
28. Ягн ГО. И. и Дружинин С. И., Сопротивление материалов, т. I, 1933.
29. Ягн Ю. И., Новые методы расчета на прочность, „Вестник инженеров и техни-
ков" № 6, 1931.
30. Ф и л о н е н к о-Б о р о ди ч М. М., Об условиях прочности материалов, обладаю-
щих различным сопротивлением растяжению и сжатию. Инженерный сборник, т. XIX„
1954.
31. Go ok G., The plastic distortion of metals under combined stresses, „Proc. Roy.
Soc". 137, 1922.
32. Darling A. S., The strength of metals subject to combined stresses, „Mechanical
World and Engineering record", vol. 130, № 3380, 3381, 1951.
33. G u e s t J. J., On the strength of ductile materials under combined stresses, „Phil-
Mag.", Ser. 5, vol. L, July, 1900.
34. К ar man T., Festigkeitsversuche unter allseitigem Druck, „Mitt. Forschungsarb..
VDJ." H. 118, 1912.
35. Lode W, Der Einfluss der mittleren Hauptspannung auf das Fliessen der Metalle.
„Forschungsarb. VDJ.“, H. 303, 1928.
36. Mohr O., Welche Umstande bedingen bie Elastizitatsgrenze und den Bruch
eines Materiales? „VDJ.“, B. 44, № 45, 46, 1900; Abhandlungen aus dem Gebiete der
technischen Mechanik, Berlin, 1914.
37 ., Quinney H. and Taylor G., The plastic distortion of metals, „Philos. Trans..
Roy. Soc.“, A-230, 1931.
38. S t a n 1 e у R., Destruction of aluminium under combined stresses, „Suppl. Am-
Welding Soc. J.“, February, 1940.
39. Tam man G., Zur Theorie der Rekristallisation, „ZS. f. anorg. u. allg. Chem.4
B. 185, №Ns 1, 2, 1929.
40. Taylor G., The mechanism of plastic deformation of cristals, „Proc. Roy. Soc.\
145, 1934. *
ГЛАВА VII
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
§ 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В большинстве задач прикладной теории упругости решение точным методом
найти не удается. В подобных случаях прибегают обычно к приближенным спо-
собам расчета, дающим достаточную для практических целей точность.
К задачам прикладной теории упругости применимы прежде всего универ-
сальные приближенные методы высшего анализа. Сюда относятся в первую
очередь методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, графи-
ческие методы, метод последовательных приближений, метод разложения по
степеням малого параметра и некоторые другие. На всех этих приемах, однаког
мы в настоящей главе останавливаться не будем. Этому общему вопросу по-
священы специальные работы1. Ниже будут рассмотрены только так называе-
мые вариационные методы, применяемые при решении самых разнообразных-
задач механики, но получившие наибольшее развитие в задачах прикладной
теории упругости.
Сущность вариационных методов заключаются в том, что решение задачи
в виде некоторой функции (большей частью заданной аналитически)2
u = f(av a2t а3, .. ., х, у, z), (1)
где и — искомая функция — зависимость перемещения или напряжения
от независимых переменных х, у, z;
я2, я3, . . . — некоторые произвольные параметры, которые в дальнейшем под-
бираются (изменяются — варьируются) с таким расчетом, чтобы
функция и возможно ближе подходила к точному решению
задачи.
Ниже мы будем рассматривать только одномерную задачу применительно»
к расчету балок. Поэтому примем, что и зависит только от z. Это упрощает"
пояснение и не снижает общности рассматриваемых методов.
Вариационные методы различаются в зависимости от того, каким образом^
подбираются параметры а2, а3.
Существует много различных вариационных методов. В зависимости от
особенностей решаемой задачи приемы подбора параметров часто видоизменя-
ются так, что иногда бывает трудно сказать, к какому из известных классиче-
ских приемов следует отнести то или иное решение.
Первое место среди вариационных методов занимает энергетический метод,
(метод Ритца), в котором параметры av а2, а3,.. . определяются из условий
минимума потенциальной энергии системы. Этом метод наиболее старый и хо-
рошо изученный и им можно пользоваться с большой степенью уверенности
в достаточной точности получаемого результата. Но при решении задач этим
методом необходимо составлять выражение потенциальной энергии системы, что
не всегда удобно.
1 См., например, [3] [4].
2 Функция может быть задана, например, графически, как это сделано в работе [9|
при определении жесткости гофрированных коробок.
330
Приближенные методы прикладной теории упругости
Остальные вариационные методы (метод Галеркина, минимума квадратич-
ного уклонения и пр.) основаны на приближенном решении дифференциальных
уравнений. В ряде случаев эти приемы приводят к более простым операциям,
но нуждаются вместе с тем и в более внимательном и тщательном подходе
X подбору функции (1).
Разбор вариационных методов мы начнем с энергетического, но предвари-
тельно остановимся на теореме о минимуме потенциальной энергии.
§ 2. ТЕОРЕМА О МИНИМУМЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
Воспользуемся принципом возможных перемещений, который для упругого
я’ела может быть сформулирован следующим образом: необходимым и доста-
точным условием равновесия упругого тела является равенство работы внешних
«сил на возможных перемещениях изменению внутренней потенциальной энергии
ха этих перемещениях.
Положим, что для упругой системы существует такая функция 31, измене-
ние которой (вариация) на возможных перемещениях 8sz. равно и обратно по знаку
работе сохраняющих постоянную величину внешних сил Pt на тех же переме-
щениях. Функция 31 называется потенциалом внешних сил. Тогда
п
= (2)
1=1
Согласно формуле (21) гл. III, т. I
8(7 4-8ц = 0
или
8 ((7 + и) - 0, (3)
где U—внутренняя потенциальная энергия упругой системы.
Сумму внутренней потенциальной энергии и потенциала внешних сил обо-
значим через П.
Эта функция называется полной потенциальной энергией системы.
Тогда выражение (3) примет вид:
8П = 0. (4)
Если для тела, находящегося в равновесии, изменение (вариация) функции П
при весьма малом изменении положения и формы тела равно нулю, то это
значит, что функция П в положении равновесия имеет экстремальное значение.
Если функция П имеет максимальное значение, положение равновесия будет
неустойчивым, если же полная потенциальная энергия обращается в минимум,
равновесие будет устойчивым. Последнее положение и известно как теорема
о минимуме потенциальной энергии.
Действительно, если тело, находящееся в устойчивом положении равновесия,
изменит немного свою форму под влиянием какого-то внешнего воздействия,
то после снятия этого воздействия тело снова займет свое прежнее положение.
При возвращении в прежнее положение упругие силы совершат работу, а это
означает, что система освободит некоторое количество потенциальной энергии.
Значит, упругое тело в соседнем положении обладает большей потенциальной
энергией, чем в положении устойчивого равновесия.
Итак, признаком устойчивого равновесия является минимум полной
потенциальной энергии.
Энергетический принцип позволяет решать целый ряд задач о равновесии
упругого тела и обладает при этом весьма большой общностью. Все задачи
курса сопротивления материалов могут быть разрешены из рассмотрения мини-
мума полной потенциальной энергии системы. Это не значит, что полученные
-таким образом решения будут проще обычных. В ряде случаев обычные спо-
собы решения, исходящие из статических условий равновесия, приводят к цели
Теорема о минимуме потенциальной энергии
331
гораздо быстрее, чем энергетический метод. Однако в более сложных задачах
прикладной теории упругости энергетический метод оказывается не только
«более удобным, но иногда даже просто незаменимым.
Для начала применим полученную теорему к исследованию наиболее про-
стых задач, решение которых другими методами хорошо известно из общего
курса сопротивления материалов (см. также гл. IX, т. I),
Составим, например, дифференциальное уравнение упругой линии балки,
находящейся под действием некоторой распределенной нагрузки переменной
интенсивности q кг/см (фиг. 299), энергетическим методом.
Подсчитаем полную потенциальную энергию балки:
Вычислим сначала внутреннюю потенциальную энергию. Удельная потенци-
альная энергия согласно формуле (39а) гл. III, т. I равна
W = G [е* 4- е* + е* + + Tt)] ,
где
д = 4“ £у sz
относительное изменение объема.
Сумма (^у -f- 7yz + Tzx) обращается в нуль, так как согласно общеприня-
той гипотезе плоские сечения в первом приближении остаются плоскими, и углы
сдвига в плоскостях xyz отсутствуют.
Вычислим величины относительных удлинений ех, еу и ez. Выделим для этого
двумя плоскими сечениями, нормальными к оси, элемент балки (фиг. 300)
и найдем относительное удлинение волокна, находящегося на расстоянии у от
нейтральной оси. Растяжение этого волокна происходит за счет взаимного по-
ворота сечений на угол d$ и равно yd$. Тогда относительное удлинение в на-
правлении оси z
У ff /К\
= ’ (5)
где v — текущий прогиб балки (перемещение в направлении оси у).
Относительные удлинения еу и ех выражаются через е2 следующим образом:
£у = гх = MSZ-
Тогда относительное изменение объема
Д=е, (1 - 2М).
Подставляя найденные величины в выражение удельной потенциальной энер-
гии, получим
ir=G82(14-M).
332
Приближенные методы прикладной теории упругости
Учитывая, что
Е
2(1+|л) ’
имеем
w
откуда, заменяя е2 его выражением (5), получим окончательно
W = -^-Ey2v"2.
Внутренняя потенциальная энергия найдется интегрированием удельной энер-
гии по всему объему балки:
и = J WdV = j* Ey^dV.
V V
Элементарный объем
dV = dFdz.
Подставим эту величину в написанное выше выражение и произведем сна-
чала интегрирование по площади F поперечного сечения.
Тогда
U
2v"2dFdz.
I F
Известно, что
где Jx — момент инерции сечения балки относительно центральной оси х, пер-
пендикулярной к плоскости изгиба zy (фиг. 299); тогда выражение потенциаль-
ной энергии внутренних сил принимает вид:
U=-^-^EJxv''2dz.
• ‘ I
Вычислим потенциал внешних сил ц.
По определению (см. стр. 330) функция ц— функция, вариация которой
на возможных перемещениях равна и обратна по знаку работе внешних не
изменяющихся сил на тех же перемещениях.
Работа внешней силы dP = qdz, приложенной к элементу балки dz, на
возможном перемещении (изменении упругой линии балки) (см. фиг. 299)
8v будет
dPov = q dzbv.
Работа всех внешних сил на возможных перемещениях найдется интегриро-
ванием этого выражения по длине:
[ qbv dz.
i
Так как интенсивность q на возможном перемещении остается постоян-
ной, то
8 — f qiv dz = — 8 f qv dz,
i i
Теорема о минимуме потенциальной энергии
333
откуда
Ц = — J dvdz.
Тогда полная потенциальная энергия согласно формуле (3):
П = С7 + и =
EJxv"1 2 — qv
(6)
В зависимости от функции v(z) определенный интеграл П будет принимать
различные значения. Из всего многообразия функций, удовлетворяющих задан-
ным граничным условиям [например, для балки, заделанной левым концом
(см. фиг. 301), при z = 0, v = 0 и v' = 0], следует выбрать такую функцию vy
которая сообщала бы этому интегралу мини-
мальное значение.
Таким образом, здесь должен быть решен
вопрос об экстремуме (минимуме) опреде-
ленного интеграла.
Эта задача может быть вообще сформу-
лирована следующим образом.
Пусть задан определенный интеграл
ь
Ф —J Ф (z, v, v', v") dz (7)
а
по переменному z, причем подинтегральное выражение включает в себя пере-
менное z, функцию v = v(z), а также и ее производные v' и v".
Требуется подобрать функцию v (z) так, чтобы определенный интеграл Ф,
называемый обычно функционалом, принимал экстремальное значение.
Такая задача является основной задачей вариационного исчисления. Не оста-
навливаясь на выводе, укажем только, что функция v, сообщающая функцио-
налу Ф экстремальное значение, должна удовлетворять дифференциальному
уравнению Эйлера, которое имеет следующий вид:
d^dW____/оч
dz* dv" dz dv' ' dv — У' W
Вывод этого выражения может быть найден в любом курсе вариационного
исчисления Ч
Если подинтегральная функция Ф задана, то составление уравнения (8) не
представляет никакого труда.
В нашем случае функция Ф выражается следующим образом:
W* (z, v, v у v") = -i- EJxv"2 — qvy
а ее частные производные
„ dW а dW
dv x dv dv
Вычислим вторую производную:
— — — \EJ v”\”
dz* dv"~[CJ*v J ’
При подстановке найденных производных в уравнение Эйлера получим
[EJxv”V=q. (9)
1 См., например, M. А. Лаврентьев и Л. А. Люстерник, Курс вариацион-
ного исчисления, ГОНТИ, 1938.
334
Приближенные методы прикладной теории упругости
Это выражение и представляет собой дифференциальное уравнение, интегри-
рование которого дает возможность найти форму упругой линии балки.
Заметим, что выражение (9) хорошо известно из общего курса сопротивления
материалов х.
Действительно, учитывая, что
EJxv” = М
и
M' = q,
приходим к тому же уравнению (9)
[EJxvnV^q,
Обычно это выражение получается из условий равновесия элемента бруса.
Здесь тот же результат был получен из минимума потенциальной энергии.
Если жесткость EJX не зависит от z, дифференциальное уравнение балки
принимает вид:
При постоянном значении интенсивности q упругая линия балки представляет собой
кривую четвертого порядка:
v = 24ВJх ^з23 £*2г2 + £°*
Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. Например, для кон-
сольной балки (фиг. 301) постоянные Со, С2 и С3 определяются из условий: при
z = 0, v = 0 и vr 0, при 2 = /, £/' = 0 и v'" = 0. Последние два условия выражают тот
факт, что на конце балки отсутствует изгибающий момент и перерезывающая сила.
Первые два условия называются геометрическими, а два других — силовыми.
Окончательно
ql* / z2 2 z3 z4 \
v = 4EJX “ Т ' /» + 6/</ ’ *
Максимальный прогиб при z = I равен
qp
vmax — 8£Jx ’
Это выражение хорошо известно из курса сопротивления материалов
§ 3. МЕТОД РИТЦА
Прикладные задачи энергетическим способом в том виде, как это была
показано выше на примере консольной балки, обычно не решают. Когда задача
проста и имеется возможность решить ее точно, нет необходимости прибегать-
к энергетическому методу.
Энергетический метод дает ощутимые преимущества лишь постольку, по-
скольку позволяет создать достаточно простые приближенные приемы решения
задач.
Поэтому, когда говорят, что „задача решена энергетическим методом"у
всегда имеется в виду приближенное решение.
Одним из основных приближенных энергетических методов решения задач
прикладной теории упругости является метод Ритца. Этим методом, вообще
говоря, приближенно решается общая задача об экстремуме функционала.
Положим, что задан определенный интеграл
ь
Ф = J ф (z, v, v, v”) dz\ (11)
а •
1 Н. М. Беляев, Сопротивление материалов, ГИТТЛ, 1949.
Метод Ритца
335
требуется подобрать функцию v = v(z), удовлетворяющую заданным граничным,
условиям так, чтобы функционал Ф принимал экстремальное значение.
Метод Ритца заключается в следующем.
Искомой функцией v(z), которая сообщала бы интегралу (11) экстремальное-
значение, задаемся в виде
v = v(au а2, а3, ..., ап, z). (12>
[См. также выражение (1).]
Эта функция должна удовлетворять заданным граничным условиям при любых-
значениях произвольных параметров а2, . . ., ап и по возможности близко*
подходить к истинной функции v (z), пока нам неизвестной, но угадываемой
по физической сущности задачи.
Подставляя значения выбранной функции v(z) и ее производных в выра-
жение функционала Ф (11), получим
ь
Ф = J Ф (ap а2, as, . .. , ап, z) dz,
а
что после интегрирования по z дает
Ф = Ф(ар а2, а3, . .., ап).
Постоянные av a2i а3, . . . , ап подбираем теперь так, чтобы функция Ф
принимала экстремальное значение. Для этого, очевидно, необходимо
^- = 0;
даг
^ = 0;
да%
^=о;
(13>
-=0.
^ап
Таким образом получаем п уравнений с неизвестными аи а2, а3, ..., апг
откуда последние и определяются.
Теперь выбранная функция v согласно зависимости (12) с некоторой сте-
пенью приближения сообщает функционалу Ф экстремальное значение. Степень
приближения определяется при этом числом подбираемых параметров а также
характером выбранной функции v. В пределе при п = оо изложенный метод,
дает точное решение, если только функция v вообще может быть представлена
в виде
v = а2, а3, . .., ап, z).
Если функция v выбрана удачно, то уже в первом приближении, при п = 1Г
можно получить решение высокой степени точности. В частности, если бы
функция v была точно угадана заранее, то было бы получено в точности
и экстремальное значение функционала.
Чтобы наиболее полно осветить метод Ритца, применим его к решению
некоторых конкретных задач.
Пример. Определить наибольший прогиб и максимальные напряжения, возникаю-
щие под действием равномерно распределенной нагрузки интенсивности q в консольной
балке длиной / (фиг. 301).
Для любого бруса, нагруженного распределенной нагрузкой интенсивности <?, полная*
потенциальная энергия выражается формулой (6).
Функция v должна быть подобрана так, чтобы выражение П (6) принимало экстре-
мальное значение. Эта задача об определении экстремума функционала была выше ре-
336
Приближенные методы прикладной теории упругости
йена при помощи дифференциального уравнения Эйлера. Теперь решим ее методом
Ритца.
Нам, конечно, известно, что функция V, взятая в виде кривой четвертого порядка,
«соответствует минимальному значению функционала.
Но будем решать эту задачу приближенно.
Зададимся в первом приближении упругой линией балки (фиг. 301) в виде тригоно-
метрической кривой:
v = а — cos • (14)
При любом значении единственного параметра а эта функция удовлетворяет геоме-
трическим граничным условиям, а именно: при 2 = 0 v = 0 и v' = 0.
Подставим в выражение (6) принятую функцию (14), тогда
z
П = J [т ("27 ) cos2 ~ “ cos ~2Z )] dz =
о
о о
Вычислим интегралы:
С о ^2 , I
J cos2 2Г dz = Т;
С тс2 , 2Z
I cos -qf dz = —;
тогда выражение полной потенциальной энергии примет вид:
П = -уEj^ (-J-) ±-qal (1-v)*
Так как функция П должна иметь минимум, берем, следуя уравнениям (13), произ-
водную по а и приравниваем ее нулю; тогда
ОТ / к V I < (. 2 \
да = \2l) 2 ~ ql V ~ к ) ~ °’
откуда
_2_\
а~ EJX V ~ « )'
Уравнение упругой линии балки принимает следующий вид:
32 ( 2 \ qll / к2\
v ~ я* V ~ я ) EJX V - cos 2/ ) •
Проведем сравнение максимальных прогибов (при 2 = Z), полученных точным мето-
дом 1 и методом Ритца.
По методу Ритца
q№
^max = а = 0’1 Ю37 gj * •
По точному методу
1 qi* qH
vmax == ~8~ ~EJ~X = 0Д2500 •
Таким образом, ошибка составляет 4,5°/0 от точного решения.
1 Под точным решением здесь понимается решение, полученное путем интегриро-
вания обычного уравнения упругой линии балки без применения метода Ритца.
Метод Ритца
337,
Определим еще величину максимального напряжения, полученного при помощи при-
ближенного и точного способов.
По Ритцу
М EJxvu EJ / тс \2 nz
0 = W^a\2l) cos"27
и
s -A/j-J-V^_ 029454^-
где — момент сопротивления изгибу.
Точное решение дает
qp п. я?
°тах — 2 Wx ~ и’° Wx ’
Погрешность 41°/0.
Следовательно, метод Ритца при определении перемещения дает в рассматриваемом
примере лучшие результаты, чем при определении напряжений.
Обобщая полученный результат, можно сказать, что метод Ритца вообще
дает хорошее приближение для функции и меньшую точность для ее производ-
ных (в нашем случае а пропорционально v"). Но этого можно было ожидать
и заранее, так как при выборе функции v обычно руководствуются лишь тем,
насколько хорошо она отражает действительную кривую 1?, а не ее производные.
Более точных результатов при определении как перемещений, так и напря-
жений можно добиться, решая задачу во втором и в дальнейших приближениях.
Представляем функцию v в виде ряда, первым членом которого является принятая
ранее зависимость (14):
v = а* (1 — cos3f) . (15)
А=1
где k = 1, 3, 5, 7 .. тогда
Полная потенциальная энергия выражается следующим образом:

Заметим, что при i ф J (если i и у, как обусловлено, принимают значения нечетных
чисел)
1
§cos§^ = 0; (16)
о
при 1=]
I
fiitz Jnz I
cos ~2l cos ~2l dz = ~2 - U7)
о
Кроме того,
z
f knz 21 kn
J cos —Г dz = sin ~2 ’
0
22 Пономарев и др. 407
338 Приближенные методы прикладной теории упругости
тогда
п п
-*zSo* 0-^sin'?)-
Л=1 Л=1
Согласно условиям (13)
2_С.,,МЯ\4 , /, 2 . яЛ\
дак ~~ 2 EJjcl \2l) аь — <11 у — kn sin 2 J = °’
откуда
qll 32 /, 2 nk\
а/г ~ EJX V — nk sin 2 ) *
Максимальный прогиб согласно (15) будет при z = I:
п
«max = а* 0 ~ C0S ‘Т’) ’
А=1
или, поскольку k принимает значения нечетных чисел, имеем
ql* 32 Г/ 1 1 1 \
«max- EJx |^1 + -34+зг + 7« + •••} —
_2_/ 1 1 1
— я V - Зб+ 5® ~ 7® + • • ’ J ] ’
В первом приближении можно взять’ лишь первый член этого ряда (что дает полу-
ченный ранее результат), во втором — два первых члена и т. д.
Наибольшие напряжения выражаются при этом следующим образом:
п
EJX „ EJX yi f ЬЛ2
°max - Wx «max = Wj[ 2^ ak ,
k=A
или *
В порядке приближений получаем результаты, сведенные в табл. 29.
Таблица 29
Приближение г?тах Погрешность в °/о amax Погрешность в «/о
; • 1 0,11937-^ 4,5 0.29454 Uz х 41,3
Прибли- женное решение 2 3 0,12429-^ ilJ х 0,12475 4-г 0,57 0,20 0,40372 ^4 19,2 13,6
4 0,12490 EJ;c 0,08 0,450® 10,0
5 0,12496 EJX 0,03 0,45936 IF х 8,1
Точное решение 0,1250(4^- EJX — 0,50000 —
Метод Ритца
339
Приведенная таблица показывает, что дальнейшие уточнения заметно улучшают ре-
зультаты первого приближения, но все же точность определения напряжений остаемся
ниже точности определения перемещений.
Рассмотрим второй, более сложный пример.
Воспользуемся методом Ритца для определения перемещений и напряжений в си-
стеме, показанной на фиг. 302.
Квадратная рама, состоящая из переплета 14 балок, опирается в четырех угловых
точках Рама нагружена в центре силой Р. Балки, составляющие раму, имеют одинако-
вую длину Z; их жесткость на изгиб EJ и на кручение — С.
Исследовать поведение такой рамы обычными методами раскрытия статической не-
определимости чрезвычайно трудно, и здесь весьма полезным оказывается метод Ритца.
Поместим начало системы координат xyz в одном из углов рамы (фиг. 302) и зада-
димся уравнением огибающей упругой поверхности переплета в виде
VI ттх ппу . V1 / мх ™V\
Ап sin ”7“ sin BUsin—+ sin —1, (18)
1, 3, 5 . . . 1, 3, 5 . . .
где w — перемещение в направлении оси z.
Для того чтобы определить вид упругой линии одной из четырнадцати балок, необ-
ходимо в этом уравнении зафиксировать соответственно х или у. Например, для упругой
линии балки АА (фиг. 302), полагая у =
I
== -у, получим д
2 ъпх пп У
Ап sin —-j- sin -g- 4- J
J, з, 5...
Bn ^sin — + sin -g- ) . z
, 1,3,5 . . .
Поскольку мы задались законом пере- Фиг. 302.
мешений (18) для огибающей упругой по-
верхности переплета в целом, а не отдельных балок, условия сопряжения между балками
выполняются автоматически. В точках соединения балок плавность перехода упругих
линий уравнением (18) обеспечивается полностью. В углах перемещение w обращается
в нуль.
Определим энергию изгиба балок.
Рассмотрим какую-либо балку, параллельную оси х, расположенную от этой оси на
расстоянии у/.
Тогда для этой балки
V1 кпх iinyt VI Л ( ппх ^пул
w = 2j АП sin —-jT sin —Y~ 4- 2j ВП \Sin-y- 4- sin—y- J .
1,3, 5... i, 3, 5 .,.
Энергия изгиба этой балки будет
I
1 Г { d2w\2
Ut изг e Т J ) dx ’
0
где
d2w тс2 уч ъпх Twiyi я2 VI ъпх
~дх2^—~р~ пАп sin —jr sin -у-- -yr Zj ВЛп2 sin — =
1, 3, 5 . . . 1, 3, 5 . . .
1, 3, 5 . . .
П2
( м кпУ1 ~ \ кпх
\Ап sin—у- + Вп) sin —
Таким образом
I
Учитывая выражения (16) и (17), после интегрирования получим
Ut изг = п4 sin у— 4~ Вп} • (19)
1, 3. 5 . . .
22’
340
Приближенные методы прикладной теории упругости
Для того чтобы вычислить энергию семи балок, параллельных оси х, необходимо
произвести суммирование выражений (19), подставляя вместо соответствующие зна-
чения.
Тогда для балок, параллельных оси х, получим
^изг — EJ 4/3 2 я4 sin~6~ + Вп^ +
1„3, 5 . . .
/ я . 2кп п \2 , / Л . Зк/г \2
4-^Xrtsin —g- 4- Bnj + \Ап sin—g— -|- Bn j +
. f , . 4ятг \2 / 5тсп n \2 «1
+ \ An sin —g~ 4- Bn j 4- An sin 4- Bn J 4- Bn J .
Так как
т.п 5ъп 2тп 4тп
sin -g- = sin • в , sin —g—'= sin —g— ,
то выражение энергии может быть преобразовано к следующему виду:
7С4 VI Го ( ^П \2
UU3i = EJ^i Zj n4 [2Bn + 2 ^4„sin-g- + Bfi) +
1, 3, 5 . . .
+ 2(Л«»^ + В,)’+(Л,.,П^ + В,У|.
(20)
Это выражение по сравнению с предыдущим удвоено с тем, чтобы учесть энергию
изгиба балок, параллельных оси у. Таким образом, выражение (20) дает энергию изгиба
всех четырнадцати балок.
Определим энергию кручения.
Для балки, параллельной оси х, отстоящей от нее на расстоянии yf, угол поворота
dw
сечения относительно оси х будет , т. е.
dw V Л пп тпх nnyi VI ?п ппу}
Zj Ап — sin— cos— 4- 2j Вп—cos—j-
1,3,5... 1,3,5...
Угол закручивания
д'? 7t2 Y» Л 2 ~-nx
6 = -^ = -/Г 2l А"П C0S — COS
1, 3, 5 ...
Энергия кручения для z-ой балки
i
U\ кр = ‘2 (7 j* dx =
о
Ann*
nnyt 7СПХ12
COS —J- COS —J- t
dx,
откуда после интегрирования получаем
Ui кр = S n*A2n cos2
1,3, 5. . .
Для семи балок, параллельных оси х,
С™* VI -9 Г. » „ 2пп .
Ukp = ~413 Zj « Лл[1 + соь ~g“ + cos2 — 4
1,3,5...
, _ Зтп , п 4тп п 5пп
4-cos2-g- + cos2-g- 4 cos2—g—
Метод Ритца
341
После преобразований
икр = -^- 2 «м2 [l+cosS-^ + cos2-^] . (21)
1,3, 5. . .
Это выражение также удвоено и дает энергию кручения всех четырнадцати балок.
Потенциал внешней силы U равен произведению силы Р на перемещение в центре
рамы, взятому с обратным знаком.
Используя уравнение (18), получаем
Г V? X? Tzn 1
U = -P| Ап + 2 2j
1,3,5... 1,3,5...
Таким образом, полная потенциальная эпергия системы согласно зависимостям (20)
и (21) будет
П = 2 п* [2Вл + 2(л sin 4-
1, 3, 5 . . .
/ nn \3 / nn \ 2"|
-|-2^Дл sin-у- + Вл) + sin-g- -\-Bnj J 4"
+ ~1Г Л, «МЦ1 + cos2-g-4-cos2-3-J -
1, 3, 5 . . .
~р (Л« + 2Вл sinir) •
1, 3, 5 . . .
Теперь дифференцируем это выражение по Ап и Вп и приравниваелМ производные
нулю. Тогда получим:
тс4п4 Г ( кп \ тс/г
ej~2f I4 \Лл sin-6"+B«; sin-6" +
EJ ~2[з [4^л + 4 sin £ + Bnj 4-4 \^Лл sin -}-Bnj-}-
4- 2 ^Лл sin + ^л')] — 2Psin-^~=0
или
P____________________________________________
* ^4 »
P I3 Ttn
na2i 4- ^na22 — 2-gj • ^^4 sin-~2~ 9
где
q , 4C.
Ten nn nn
«12 = «21 = 2 sin 4- 2 sin -y- 4~ sin *,
«22 = •
342;
Приближенные методы прикладной теории упругости
Таким образом определяем:
. Р I9 1 Г / л тиг t к/г кп \ кп
Л"== И sm -6" + 4 si*1 T +2sin-2jsin-2-
Р I3 1
“ EJ т&п* sn
Л (п t л С \ кп Л кп Л кп
2 ( 3 + 4 “gj ] sin -~2~ — 2 sin -g- — 2 sin -g- — sin
где
Л , л С \ / кп , Л кп , ки\2
3 —{— 4 J — (2 sin ~g“ —[- 2 sin g + sin 2 j *
Подставляя соответствующие значения
п, получим
sn — 7
Л1= EJ
3 - 2 / 3
14-4/3+28^-
Р /з
В1~ EJ
4 — /3 + 8
14-4 Уз +28-^-
A
л»- EJ
Z3 1
к* 81
9
20 + 28-^ ’
в ___________
°3 — EJ к* 81
-7 — 8-^j
20 + 28 -gj
Ai ~ EJ 625
3 + 2 УЗ
14 + 4/3 +28^-
/з 1
Р Р 1
85 _ Е J к* 625
4+ /З +8 EJ
14 + 4 УЗ+28 -j-
Прогиб в точке \^х==у = -^1 приложения силы будет
«’шах = У (+, + 2Вп Sin) =
1, 3, 5 . . .
11—4 1^3-|r 16~gj । 23 4* 16"gy
— Т' ~81 6^ ~i~
14-4 УЗ+28-£j 20 + 28-gj
, 11+4/3+16-^-
625 7^ С~~ + • • ‘ •'
14 + 4 УЗ +28-gj
_ Р Z3
“ EJ к4
кп
~2
Приемы, основанные на приближен, решении дифференциальных уравнений 343
Изгибающий момент в средней балке при х = у =
| d2w I
Л4щах = | I
2 ’
те2 VI
Литлах = EJ
1, 3, 5 . . .
или
1 16 + 8 EJ
9 С
20 + 28^
/
А1Шах = Р ^2
7-3 ГЗ+8-^-
14-4 УЗ 4-28-^-
1 7 3 У З" + 8-£j-
+ 25 7Z С~
14 + 4 УЗ 4-28 £j-
С
Таким образом, при заданном отношении жесткостей -gj прогиб w и максималь-
ный момент /Итах определяются без труда.
§ 4. ПРИЕМЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ПРИБЛИЖЕННОМ РЕШЕНИИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ряде случаев оказывается более предпочтительным не составлять выра-
жения потенциальной энергии системы, как в рассмотренном выше методе,
а решать приближенно дифференциальное уравнение, которое составляется
обычными приемами (большей частью речь идет об уравнениях равновесия).
Ниже будут рассмотрены некоторые вариационные методы решения дифферен-
циальных уравнений. Не останавливаясь на их доказательстве (последних по сути
дела и не существует), постараемся дать наглядные пояснения к тем соображе-
ниям, на основе которых эти методы построены. Частично при этом будут
использованы некоторые мысли, высказанные Я. А. Пратусевичем [7].
Положим, что решение задачи сводится к какому-либо дифференциальному
уравнению1
L (z, v, vr, v" ...)•= 0. (22)
Примем, что
/у = -у (ар а3, . . . , г), (23)
где а1У а3, . . , — как и в методе Ритца, произвольные параметры.
При любых значениях этих параметров функция v (23) должна удовлетворять
всем граничным условиям или, по крайней мере, главным из них.
Обычно в упругих системах граничные условия разделяют на геометрические
и силовые. Под геометрическими понимаются те условия, которые накладываются
на линейные и угловые перемещения, а под силовыми — те, которые определя-
ются моментами и перерезывающими силами, действующими на концах балки
или на контуре оболочки.
При решении задач методом Ритца обычно нет необходимости удовлетворять
всем граничным условиям. Достаточно бывает удовлетворить только геометри-
ческим условиям.
Например, при выборе функции V (14), кроме геометрических, было удовле-
творено только одно силовое условие:
при z = l
М = 0 («/ = 0).
1 Здесь точно с таким же успехом можно говорить и об интегральном уравнении.
344
Приближенные методы прикладной теории упругости
Второму же условию при z = l Q = 0 (/г/"=0) функция v (14) не удовле-
творяет. Несмотря на это, метод Ритца в рассмотренном примере дал вполне
удовлетворительные результаты.
В других методах, как это будет показано ниже, необходимо удовлетворить
всем граничным условиям как геометрическим, так и силовым. Это менее удобно,
но практически вполне осуществимо.
При выборе функции v (23) следует руководствоваться, конечно, в первую
очередь видом ожидаемого решения. Как и в методе Ритца, функция v (23)
должна возможно ближе подходить к истинному решению, точнее, она должна
допускать возможно большее приближение к точному решению при надлежащем
изменении параметров а2, а3 . . . Искусство подбора подобных функций опре-
деляется в основном навыком решающего.
Наиболее проста для функции v (23) форма ряда:
V = а1?1 (Z) + Я2?2 (Z) + «3?3 («)+•••
где срр ср2, <р3 — некоторые функции z.
В этом случае последующее определение параметров а2, а3 . . . оказывается
наиболее легким. Наряду с указанной формой для функции v принимаются часто
и другие более сложные зависимости.
После того как выбор функции v (23) осуществлен, необходимо подобрать
параметры av а2, а3 . .. так, чтобы принятая функция возможно ближе подхо-
дила к точному решению уравнения (22) *.
Если функцию v (23) подставить в уравнение (22), то последнее тождественно
в нуль не обратится, поскольку v (23) не представляет собой точного решения,
т\ е.
L (z, аг, а2, а3, (z) ф 0.
В зависимости от того, сколь удачно выбрано выражение ^(23), функ-
ция f (z) (функция-ошибка) более или менее сильно отклоняется от нуля.
В частности, если решение угадано точно, то f (z) при любом значении z обра-
щается в нуль. *
Таким образом, функция f (z) может в какой-то мере рассматриваться как
показатель расхождения между точным и приближенным решениями. Задача
заключается теперь в том, чтобы, пользуясь свободой изменения параметров av
а2, а3, ... сделать функцию-ошибку, наименее отклоняющейся от нуля.
Выполнить это можно, как уже говорилось, различными способами, некото-
рые из которых и будут рассмотрены ниже.
§ 5. МЕТОД БУБНОВА — ГАЛЕРКИНА
Одним из наиболее распространенных методов приближенного решения
дифференциальных уравнений прикладной теории упругости является метод
Бубнова — Галеркина. По этому методу решение дифференциального уравне-
ния (22) берется в виде ряда
v == <4?! (z) + а2Ф2 (z) + а3Ф3 (z) Н-, (24)
удовлетворяющего всем граничным условиям задачи.
1 К приближенному решению возможен и другой подход.
Если имеется возможность найти несколько частных решений уравнения (22), можно,
комбинируя их, построить функцию v (23), содержащую несколько свободных параме-
тров а2» и удовлетворяющую уравнению (22), но не удовлетворяющую граничным
условиям. В дальнейшем параметры alt а2, а3 . . . подбираются так, чтобы граничные
условия были удовлетворены возможно полнее.
Этот метод известен как метод Трефца.
При решении практических задач прикладной теории упругости и строительной
механики его применение довольно ограничено, поэтому на нем мы и не останавли-
ваемся.
С методом Трефца можно ознакомиться в работе [5].
Метод Бубнова, — Галеркина
345
Определение постоянных av a2t a3f ... производится следующим образом.
Подс1авляем v (24) в уравнение (22), которое принимает вид:
L(z9 а19 а29 а3 ...) -=/(г).
Далее, выражение f(z) (функцию-ошибку) умножаем поочередно на функ-
ции <р2, cpg, берем от этих произведений интегралы по всей области изме-
нения z, приравниваем каждый из них нулю и получаем таким образом систему
уравнений по числу неизвестных а19 а2, а8 . . .
& '
J/(z)cpidz== 0;
а
b
J/(z)c2dz -=0; (25)
&
J/(z; <p8dz = 0;
а *
Определяя из этой системы постоянные ах\ а2, а8, подставляем их
в принятую функцию (24) и получаем приближенное решение уравнения (22).
Так выглядит чисто внешняя сторона метода.
Этот метод был применен Б. Г. Галеркиным в 1915 г. [2]. Им было пока-
зано, что путем только что изложенного приема можно получить весьма точное
решение многих задач строительной механики и были высказаны некоторые
соображения, оправдывающие этот метод.
В дальнейшем метод Галеркина с неизменным успехом применялся к реше-
нию мно,гих задач прикладной теории упругости и механики.
Нужно сказать, что еще ранее Б. Г. Галеркина (в 1913 г.) И. Г. Бубнов
в отзыве на работу С. П. Тимошенко „Об устойчивости упругих систем" [1]
указал, что решение рассматриваемых С. П. Тимошенко задач можно получить,
не прибегая к рассмотрению потенциальной энергии системы. И. Г. Бубнов
рекомендовал подставлять ряд (24) в дифференциальное уравнение, а затем
при определении коэффициентов поступать описанным выше образом.
Это указание, правда, И. Г. Бубнов сопровождает оговоркой „если сходи-
мость для ряда велика" и „если только функции выбраны так, что
J J <fi^kdxdy — 0 при /=#А", 3
имея в виду не одномерную, а двухмерную задачу (речь идет о расчете пластин).
Напомним, что семейство функций срп ср2, с8, ... , обладающее свойством:
ь
—0 при I =# Л;
“ (26)
J dz #= 0 при i = k
а
называется семейством ортогональных в промежутке b — а функций, а свой-
ство (26) — свойством ортогональности.
Этим свойством обладают, в частности, тригонометрические функции, неко-г
торые полиномы и многие другие.
Если решение уравнения (22) ищется в виде ряда (24), составленного по
ортогональным функциям, например, тригонометрическим
* = «Isin^=^ + a2sin + ««sin + • • , (27)
то условия Бубнова — Галеркина (25) приобретают простой смысл.
346
Приближенные методы прикладной теории упругости
После подстановки ряда (27) в дифференциальное уравнение (22) получаем
функцию-ошибку f(z), которую на интервале изменения z раскладываем в ряд
по тем же ортогональным функциям:
/ (г) = sin 4- А2 sin + As sin + •. •
Взяв первое из уравнений Бубнова — Галеркина (25), получаем
ь ь
J / (г) <Р1 dz = J р! sin *^~а' + sin <-----] sin ~b^a^ dz = °’
a a
С другой стороны, из свойств ортогональности (26) следует, что
V ь ь
J / (г) dz - Аг J sin2 dz == °-
а а
Но так как
ь
fsin2 л(2~а) dz^O,
J b — а ’
а
то, следовательно, Аг = 0.
Второе из условий Бубнова—Галеркина даст Д2 = 0, третье Д3 = 0 и т. д.
Таким образом, выполняя последовательно условия (25), мы последовательно
обращаем в нуль коэффициенты разложения функции-ошибки, уменьшаем ее,
приближаем ее к нулю.
В пределе при числе членов ряда, стремящемся к бесконечности, функция-
ошибка обращается в нуль.
Поэтому условия Бубнова — Галеркина (25) можно рассматривать как тре-
бование, чтобы функция-ошибка была ортогональна к функциям <р2, ф3, ...
Если решение найдено точно, то
/(z) = 0
и условия (25) всегда выполняются, так как функция, тождественно равная на
интервале b — а нулю, ортогональна вообще ко всем функциям.
Решая задачу приближенно, мы не можем потребовать, чтобы f (z) была
ортогональна ко всем функциям, и довольствуемся тем, чтобы она была орто-
гональна по отношению к ограниченному числу функций срр <р2, ср3, . . . Этим
самым мы приближаем к нулю функцию-ошибку не только при ортогональных,
но и вообще при любых функциях ©р ©2, ф3, ...
Метод Бубнова—Галеркина тесно связан с энергетическим методом (см. [7],
[5], [21),
Рассмотрим выражение полной потенциальной энергии системы в виде
интеграла (7):
ь
n = J‘W(z, v, v', v")dz. (28)
а
Решение задачи сводится к отысканию условий экстремума для этого
интеграла.
Пусть функция, сообщающая энергии П экстремальное значение, будет v.
Приближенное выражение для этой функции напишем в виде:
v 4- Si;,
где Ъю — отклонение приближенной функции от точной — вариация функции.
Метод Бубнова,— Галеркина
347
Допустим, что
= ai](z),
i де T](z) — некоторая функция z, a a — малый параметр (постоянная величина).
Вводя функцию iq(z) в выражение (28), получим
ь
П — J W [z, v + ац, v' 4- ат/, ат/'] dz.
а
Отыскивая экстремальное значение П, продифференцируем это выражение
по а и приравняем производную нулю. При этом положим а = 0, поскольку
функционал П принимает экстремальное значение при 8^=0.
Тогда
ь
I dI7 I f Г (Ж > (Ж , . (Ж ,>] , n
-3— — I -3— 7] 4- -Ч—Г ?! + -T“F 71 \dz = 0.
I da I J L dv 11 du 1 1 dv 1 J
a=0 a
Второе и третье слагаемые, содержащие tj' и if, проинтегрируем по частям:.
Ь ь ь
(' <ж , , I (Ж I f d dW ,
.W1» dz=\~d^^ \-)dZ-d^^dz;
a a a
(29)
b b b b
f <Ж I <Ж , I C d dW t , I dW J I d dW
J dv" 11 dz ~~ I dv" 11 I J dz dv" 11 dz ~ | dv" 11 | | dz dv"
a a a
ь b
I - f d2 dW ,
a a
а
Выражение*(29) теперь примет вид:
ь ь
L I — If \ I
a ] I \ dv' dz Ov” ) I
a
Учитывая, что т =~8w, можно окончательно
’ 1 a
b
d dw I , |d¥
dz du" ) | du *
a
а=0
dW
dv'
d dW
dz dv9
написать:
d2 <Ж1 . п
ТГ2-ГТ тшг = 0.
dz2 dv J 1
b
Ж
а
ь
а
ь
d. dW . d2 <ЖК , Л
--T7 + ini ™dZ = 0-
dz dv 1 dz2 du" I
(30)
а
что полученное выражение
сил на возможных перемещениях в одномерной
представляет собой
Нетрудно убедиться в том,
условие равенства работы всех
задаче.
Если считать, что речь идет об условиях равновесия балки, то первое из
слагаемых выражает собой работу сосредоточенных сил (перерезывающих сил Q)
на концах участка при z — a и z — b.
Действительно, согласно выражению (6)
дФ d (Ж п
----— =—Ejvv =—Q,
dv dz dv" x
и тогда
Величина
ь
d dW \ ч I ~ ~ *
rjV I ~ + Qz=a 8«z=a •
a
л- т » м
= EJxv = М.
dv' х
348
Приближенные методы прикладной теории упругости
Следовательно, второе слагаемое выражения (30) дает нам работу моментов,
приложенных по концам участка:
ь
|-^8tf|=7M W —714 81?'
| I 2=о 2=о z=a z=a
а
Третье слагаемое выражения (30), написанное в виде интеграла, дает работу
внутренних сил и распределенной нагрузки q на возможных перемещениях:
ъ ь
П" * « г
J |_ dv dz dv' 1 dz2 dv J J 1
a a
Если решать задачу точно, то в силу произвольности 81? можем написать:
____________________________дчг — л rm
dv dz dvr dz* dv" ’ '
Если это уравнение удовлетворено, то третье слагаемое выражения (30)
обращается в нуль, а первые два слагаемых обратятся в нуль, как только будут
удовлетворены граничные условия.
Но уравнение (31) является уже знакомым нам уравнением Эйлера (см.
формулу 8). Это и есть дифференциальное уравнение в рассматриваемой задаче,
т. е.
L (z, i?, v', v" . . .) = 0.
Теперь положим, что задача решается приближенно. Решение выбирается
в виде ряда (24) с таким расчетом, чтобы все граничные условия были бы удов-
летворены, т. е. принятая функция v на концах участов, при z — а и z — b.
полностью совпадала с точным решением. Следовательно,
8-п = 81? . = 0; ВгГ = 81?' = 0.
z=a z=b 9 z=a z=b
Тогда два первых слагаемых уравнения (30) обращаются в нуль. Третье же
слагаемое приобретает вид
ь
J L(zt v, v , i?")8i?d2—0.
а
После подстановки 1? в выражение L(z, i?, t>', v" ...) имеем
ь
f f(z)lvdz = Q. (32)
a
Ho
81? = -j- 8a2?2 H” ^a3?3 + • • •
и в силу произвольности оар 8а2, ... выражение (32) распадается на
ь
j /(z) ®idz = 0;
а
Ъ
]f(z)<!>2dz = Q9
а
т. е. мы приходим к условиям Бубнова — Галеркина (25).
Таким образом метод Бубнова — Галеркина можно рассматривать не только
как метод решения дифференциального уравнения краевой задачи, но и как
видоизменение энергетического метода.
Метод Бубнова — Галеркина
349
При этом в отличие от метода Ритца в методе Галеркина нет необходимости
составлять выражение потенциальной энергии, но необходимо при подборе
апроксимирующей функции удовлетворять не только геометрическим, но и сило-
вым граничным условиям.
При определении напряжений метод Галеркина, так же как и метод Ритца,
дает результаты, менее точные, чем при определении перемещений. Это, как
говорилось выше, является следствием того, что обычно при выборе апрокси-
мирующей функции при достаточно точном представлении самой функции полу-
чается худшее представление ее производных, которыми определяются напря-
жения.
Вообще говоря, приближенный метод решения задач прикладной теории
упругости при определении перемещений дает, как правило, большую точность,
чем при определении напряжений, так как напряжения зависят исключительно
от особенностей упругого тела вблизи рассматриваемой точки, в то время как
перемещения определяются суммарным эффектом деформации во всем упругом
теле, поэтому даже значительные отклонения деформаций от истинных в узкой
области не могут существенно повлиять на перемещение системы в целом.
Во всяком случае, чем точнее будет апроксимирована функция и ее ближай-
шие производные, тем точнее во всех случаях будет получено решение. Однако
рассмотренные выше методы Ритца и Галеркина обладают различной чувстви-
тельностью к степени апроксимации производных. Это. видно из того, что
в методе Ритца не обязательно выполнять граничные условия в высших произ-
водных, в то время как в методе Галеркина за этим необходимо внимательно
следить, иначе мы рискуем получить большие погрешности.
Это обстоятельство хорошо известно, и на него неоднократно обращалось
внимание (см>, например, [6] [8]).
Иногда выбор функции v в наиболее естественном и на первый взгляд
правильном виде приводит к совершенно неверным результатам,
Рассмотрим тот же самый пример консольной равномерно загруженной балки,
который был решен выше методом Ритца.
Дифференциальное уравнение упругой линии этой балки будет
EJX — ^-q(l-z)z = 0. (33)
Если, как и прежде, принять за функцию v
ю = а 1 — cos (34)
и произвести с уравнением (33)
тате получим
I
\2ij cos ~2l
о
откуда
^пах = « = ----= V.U0/02 ,
что дает более чем двукратную ошибку.
Полученное расхождение объясняется тем, что выбранная функция v со-
гласно выражению (14) хорошо отражает уравнение упругой линии балки и
плохо — его производные (первую и особенно вторую). При решении задачи
методом Ритца вследствие этого получаются расхождения лишь при определении
производных (напряжений), при решении же задачи методом Бубнова — Галер-
кина большая ошибка получается не только в производных, но и в самой
функции.
операцию по соотношениям то в резуль-
— у q(i — ^)2] (1 — cos -jf-= °.
3 u2 к3 л aft
350
Приближенные методы прикладной теории упругости
Это ясно видно из фиг. 303, на которой рядом с истинными эгиорами изги-
бающих моментов (v") и перерезывающих сил (vm) пунктиром показаны эпюры,,
соответствующие принятой функции:
v = а ( 1 —cos .
Разница, как видно, разительная. Мало того, функция v не удовлетворяет
всем граничным условиям консольной балки, именно силовому условию v*=l = 0>
что является основной причиной расхождения.
Итак, функция v должна быть выбрана иначе.
При решении задач методом Бубнова — Галер-
кина подбор апроксимирующей функции практиче-
ски удобнее начинать со старшей производной„
входящей в дифференциальное уравнение.
Примем
v" = a (l-sin-g).
а
Эта функция хорошо отражает вторую произ-
водную.
После интегрирования получим
ь--------/------
Фиг. 303.
Из условий
имеем
Г 22 , / 2/ \2 . 7С2 . . I о]
v = a гг+к—)sin 2г+^+в] •
при z = 0
2/
В = 0 и А = ~ —.
к
Следовательно,
Г z2 . [ 21 \2 . t.z 21 I
v==a[— + ) s,nT-vzJ-
(34>
Подставляя v в уравнение (33), умножаем его на
2 . та 21
S,n 2Г~—г
и интегрируем полученное произведение по z от нуля до Z:
z * ? । ' !
J [EJxa (1 -sin-g)-у q (I--г)2] X [-£ +(-?£)’sin - 4 Я dz = °’
0
Так как
i
С . та , 21
| sin тп- dz = — :
J 21 к ’
о
Z
f . та , (21V
Jzsiny-^=(—) ;
о
Z
f 2 . та , 813 ( . 2 \
I z* sin -оу dz = —о- 1-),
J 2Z it2 \ ти / ’
о
Способ минимума квадратичного уклонения
351
то после интегрирования получим
18 64 1
___ ql2 60 * к3 тс5 6к
а ~ ~2Ej^ ' J_ , 24-.JL —1
6 * 713 К2 К
Согласно зависимости (34)
Тогда
_1 JL„ 64 _ 1
________________ ql* 60 тс3 к5 бтс / 1 . 4 2 \
Vma* ~ 2EJX ' 1 24 6 1 — ’
6 ТС3 7С2 7С
откуда
отах = 0,11598-g-.
Максимальное напряжение
EJ х „ EJX
атах Vmax ."ц^Г а;
1 8 64 1
______ ql2 60 к3 к5 6т:
атах — £ 24 6 J ’
”* 6 ТС3 К2 ТС
%ах = 0,43170-^-.
Точность, как видим, в обоих случаях вполне удовлетворительная (см. табл. 29,
где приведено точное решение).
Дальнейшего уточнения можно было бы добиться принятием вместо v№ сле-
дующего ряда:
1,3,5...
§ 6. СПОСОБ МИНИМУМА КВАДРАТИЧНОГО УКЛОНЕНИЯ
Этот способ приближенного решения задач прикладной теории упругости,
как и метод Бубнова — Галеркина, относится к способам решения дифферен-
циальных уравнений.
Задаваясь решением, удовлетворяющим по крайней мере геометрическим
граничным условиям
v = v (z, alt а2) a3t . . .),
рассматриваем выражение функции-ошибки
L(z, av а3, а3 . . .) = / (z) 0
и подбираем параметры av а3> , . . так, чтобы интеграл от квадрата f (z)
имел бы минимальное значение. Это позволяет сделать функцию-ошибку наиме-
нее отклоняющейся от нуля , в среднем.
Если бы мы не возводили f (z) в квадрат, то операция отыскания минимума
от интеграла
ь
lf(z)dz
а
352
Приближенные методы прикладной теории упругости
не имела бы смысла. Этот интеграл мог бы быть равен’ нулю при функции-
ошибке, сколь угодно отличающейся от нуля.
Квадрат же f (z) имеет постоянно положительный знак. Можно было бы
взять с таким же успехом четвертую или вообще любую четную степень f (г),
но это привело бы к более сложным выкладкам.
Итак, возводя f (z) в квадрат и интегрируя /2 (z) по области изменения z,
определяем постоянные av а3, ... из следующих уравнений:
ь
-^—^p(z)dz = O;
да-! ) J ' 7
а
ь
а
Ь
а
или же
ь
а
b
Р<г)Т5Г*“||: <35>
а
b
Р<2)ТНГЛ = °-
а
В рассматриваемом примере консольной балки опять полагаем, что
v = а ( 1 — cos .
Подставляя эту функцию в уравнение (33), имеем
f (z) = EJxa (-g/cos f (/ - z)*
/JlVcos —
да Jx \ 2Z J C0S 2Z ‘
Тогда, согласно выражению (35),
z
J yEJxa (-A.)2 cos-g- - 1 q (I - z)2] cos %- dz = 0,
0
откуда
a = -#r^r(1 ---) = 0,11937-^-.
7C4 \ я J ’ EJX
Таким образом, опять получено то же самое решение, которое дает в дан-
ном случае метод Ритца.
Изложенный метод чрезвычайно удобен и вместе с тем обеспечивает высо-
кую точность приближенного решения. Однако для нелинейных дифференциаль-
ных уравнений он приводит к сложным выкладкам.
Литература
353
ЛИТЕРАТУРА
1. Белзецкий С. И., Колосов Г. В., Кирпиче в В. А., Бубнов И. Г.,
Отзывы на работу С. П. Тимошенко .Об устойчивости упругих систем* сб. Ин-та инж.
путей сообщения, 1913.
2. Гал ер кин Б. Г., Стержни и пластинки, „Вестник инженеров и техников*
№ 19, 1915.
3. К а н т о р о в и ч Л. В. и Крылов В. И., Приближенные методы высшего ана-
лиза, Гостехиздат, 1949.
4. Карман Т. и Био М., Математические методы в инженерном деле, Гостех-
издат, 1946.
5. Л е й б е н з о н Л. С., Вариационные методы решения задач теории упругости, Гос-
техиздат, 1948.
6. Перельман Я. И., Метод Б. Г. Галеркина в вариационном исчислении и в тео-
рии упругости. .Прикладная математика и механика*, т V, вып 3, 1941.
7. Пратусевич Я. А., Вариационные методы в строительной механике, Гостех-
издат, 1948.
8. Р е п м а н ГО. В., Об определении критических сил по уравнению устойчивости
„Труды лаборатории строительной механики", Стройиздат, 1942.
9. Феодосьев В. И., Упругие элементы точного приборостроения, Оборонгиз,
1949.
23 Пономарев и др. 407
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ СТАТИЧЕСКОЙ
НАГРУЗКЕ
ГЛАВА VIII
КРУЧЕНИЕ БРУСА НЕКРУГЛОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
Способы расчета деталей машин на прочность и жесткость зависит от их
формы и вида нагружения. Чем сложнее форма детали, тем сложнее, как пра-
вило, и методы ее расчета. Поэтому при составлении расчетной схемы инженер
стремится к тому, чтобы, не вводя существенных ошибок, упростить реальные
формы деталей и свести их к простейшим.
Среди таких простейших форм первое место занимает брус \ т. е. тело,
одно из измерений которого (длина) значительно превышает другие, (размеры
поперечного сечения).
Относительная простота расчета деформаций бруса связана с тем, что
в большинстве случаев можно использовать гипотезу плоских сечений (гипотезу
Бернулли), т. е. предположение о том, что плоские поперечные сечения бруса
и после деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси деформи-
рованного бруса,
С помощью этой гипотезы трехмерная, по существу, задача об определении
перемещений 1 2 в каждой точке объема бруса сводится к одномерной задаче, так
как перемещение любой точки бруса определяется изменением формы его оси,
предопределяющей положение поперечных сечений.
Гипотеза плоских сечений позволяет эффективно решить большое количе-
ство практически важных вопросов. К ним относятся рассматриваемые в курсах
„Сопротивление материалов" задачи о растяжении и изгибе прямого или кри-
вого бруса и о кручении бруса круглого сечения.
Имеется, однако, ряд случаев расчета бруса, в которых методы сопротив-
ления материалов, опирающиеся на гипотезу плоских сечений, оказываются
недостаточными,
Неприменимость этих методов может быть обусловлена особенностями гео-
метрии бруса, что имеет, например, место для естественно закрученного бруса 3
или бруса тонкостенного (см. гл. IX), или видом нагружения бруса.
В настоящей главе рассматрйвается наиболее важный вид деформации пря-
мого бруса, который не может быть изучен на основе гипотезы плоских сече-
ний, а именно, кручение бруса некруглого поперечного сечения.
Легко показать, что поперечные сечения скручиваемого некруглого бруса
искажаются.
1 Более сложной в отношении расчета, чем брус, является оболочка, т. е. тело,
один из размеров которого (толщина) мал по сравнению с другими.
Частным случаем оболочки является плоская пластинка. Еще сложнее расчет мас-
сивных тел, все размеры которых одного порядка.
Расчет пластин, оболочек и некоторых массивных тел рассмотрен в т. II книги.
2 Деформации и напряжения выражаются через перемещения по формулам гл. II
и III т. I.
3 Естественно закрученным брусом (или стержнем) называется брус, ограниченный
винтовой поверхностью. Как естественно закрученный брус может рассматриваться, на-
пример, спиральное сверло, воздушный винт и т. п. Расчет естественно закрученного
бруса рассмотрен в работах [12], [13].
Основные зависимости теории чистого кручения бруса
355
Действительно, если бы гипотеза плоских сечений была справедливой, то
распределение напряжений при кручении стержня произвольного сечения было
бы таким’же, как и в случае круглого стержня, т. е. касательные напряжения
в сечении были бы прямо пропорциональны расстоянию рассматриваемой точки
от центра кручения и направлены перпендикулярно соответствующему радиусу-
вектору *. В действительности, однако, полное тангенциальное напряжение
у контура сечения должно быть направлено
по касательной к контуру, а нормальная к
контуру составляющая касательного напря-
жения тл (фиг. 304) должна отсутствовать.
Это следует из закона парности каса-
тельных напряжений, согласно которому
напряжению должна соответствовать
удельная нагрузка т'п = тл, приложенная к
боковой поверхности бруса. Поскольку бо-
ковая поверхность бруса свободна от по-
верхностных сил, то
т' = = 0.
/I я
Таким образом, при кручении бруса некруглого сечения гипотеза плоских
сечений противоречит условиям равновесия элементов тела у боковой поверх-
ности бруса.
Для решения поставленной задачи должны быть применены более точные
методы теории упругости.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ТЕОРИИ ЧИСТОГО КРУЧЕНИЯ БРУСА
Чистым кручением называется кручение бруса постоянного сечения парами,
приложенными по его концам.
При чистом кручении в поперечных сечениях бруса возникают только каса-
тельные напряжений, одинаковые во всех сечениях. Это может быть достигнуто,
строго говоря, лишь при условии, что внешний момент на торцах бруса осу-
ществляется посредством поверхностных сил, распределенных по такому же
закону, как и напряжения в любом сечении. Однако на основании принципа
Сен-Венана закон распределения нагрузки по торцам является несущественным,
так как его изменение влечет за собой изменение напряженного состояния лишь
в непосредственной близости от концов бруса.
Как известно, при чистом кручении круглого бруса любое поперечное сече-
ние его остается плоским и лишь поворачивается относительно оси на, малый
угол
ср = 6z,
где 8 — погонный угол закручивания бруса;
z — расстояние рассматриваемого сечения от сечения, принятого за непод-
вижное.
Проекции смещения произвольной точки сечения А (фиг. 305) при таком
повороте легко найти из геометрических соображений.
Перемещение в направлении оси х
и — — Gzy.
Перемещение в направлений оси у
v = flzx.
1 Гипотеза плоских сечений была первоначально принята при решении задачи о
кручении На ье Неприменимость этой гипотезы была в дальнейшем показана Сен-
Венаном, которой получил точное решение задачи о кручении для ряда практически
важных сечений (прямоугольник, эллипс).
23*
356
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Перемещение точки поперечного сечения круглого бруса вдоль оси бруса w
равно нулю, так как сечение остается плоским и нормальным к оси бруса.
Решение задачи о чистом кручении бруса некруглого сечения можно полу-
чить, если предположить, что смещения точки поперечного сечения и и о
в плоскости сечения определяются такими же формулами, как и при кручении
круглого бруса 1 * *, т. е.
и = — v = Qzx.
Перемещение w, связанное с искажением плоскости поперечного сечения,
в этом случае уже не равно нулю. Оно зависит от формы сечения и координат
рассматриваемой точки.
Таким образом, функция w = w (х, у) подлежит специальному изучению
для каждого частного вида поперечного сечения в отдельности.
Возникновение перемещений и, v и w
связано с образованием сдвигов в плоско-
стях xz и yz [см. формулы (47) гл. II т. I]:
dw , ди f dw
до . dw ь . dw
dz + “ду" ®х +
сдвиг в плоскости поперечного сечения
отсутствует (уху — 0).
Составляющие касательного напряже-
ния тгх и rzy определяются на основании
закона Гука [см. формулу (13) гл. III,
J,-Gi2X = -Gey + G%-;
bv = Gf2y^Gdx + G^.
Дифференцируя второе уравнение по х, а первое по у и вычитая их почленно,
можно исключить перемещение w и получить уравнение, связывающее между
собой т2л. и т2у (уравнение совместности деформаций):
-^—^=209.
дх ду
(2)
Теперь рассмотрим условия равновесия элемента, вырезанного из скручен
ного бруса (фиг. 306).
Проектируя все приложенные к элементу силы на ось z, получим
дт п «а di- Г
-Д-Ч-—- = 0.
ду дх
(3)
Уравнение (2) и (3) вместе с условиями на контуре позволяет определить
напряжения в сечении.
Как уже было упомянуто выше, на контуре сечения полное тангенциальное
напряжение должно быть направлено по касательной к контуру. Это условие
можно записать в виде
= , (4)
zzy / конт X аУ ' конт
1 Предполагается, что поперечное сечение поворачивается на угол ср = 0z относи-
тельно точки (х = 0. у = 0), называемой центром кручения или полюсом, причем про-
екция расстояния между любыми двумя точками поперечного сечения на плоскость,
перпендикулярную к оси бруса, остается неизменной. Положение полюса при чистом
кручении является, вообще - говоря, произвольным и определяется только опорными
закреплениями.
Основные зависимости теории чистого кручения бруса
357
Для совместного решения уравнения (2)—(4) очень удобно воспользоваться
функцией напряжений Ф (х, у).
Положим, что напряжения т2х и тгу выражаются через функцию Ф(х, у) по
формулам
Из формулы (5) следует, в частности, что проекция
напряжения на некоторое направление t пропорциональна
напряжений Ф по нормали к этому
направлению:
полного касательного
производной функции
т'=-°9-^- (5а>
Подстановка выражений (5) в
уравнение (2) показывает, что
функция Ф (х, у) должна удовле-
творять уравнению
д2Ф , д2Ф о
дх2 1 оу2
Уравнение равновесия (3) удовле-
творяется тождественно, а гранич-
ное условие ^4) дает
Zdx\
\ dy J конт
откуда
(^-dy 4- dx\ = d$> = 0.
\ av * ox J контп
\ иУ ил j конт
Таким образом, на контуре сечения функция напряжений Ф(х, у) должна
иметь постоянное значение
ФкОнт = const.
Очевидно, что для односвязного контура величина этой постоянной не
существенна, так как согласно выражению (5) напряжения зависят только от
производных функций Ф, и ее изменение на постоянную величину не изменяет
напряжений, поэтому можно принять, что
Ф = 0
конт
(7)
Крутящий момент, воспринимаемый сечением, определяется интегралом
= П — dX dy'
взятым по всей площади сечения.
Подставляя вместо т2х и т2у их выражения из формул (5), найдем
М = — G6 j* у х dx dy— G 9 JJ ydxdy.
Вычислим первый из интегралов, причем будем интегрировать сначала по х
а затем по у.
358
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Выделяя полоску у = const (фиг. 307), найдем
Х2 X*
С дФ _ с
I х dx — Ф (х2, у) х2 — Ф (хп у) хг — I Ф dx.
Так как точки 7 и 2 лежат на контуре сечения, то
Ф(*2> У) = ^(Хи У)=°
Хч Хч
с дФ , Г , ,
I xdx= — Ф dx.
X, Хх
Интегрируя теперь по у, получим
И х dx(dy = - f J ф dxdy.
Точно так же можно найти, что
Л УахаУ = - f J ф dx *У
и окончательно
М= 20Ъ^Ф dxdy.
(8)
В случае, если сечение ограничено двухсвязным контуром (фиг. 308), изло-
женная выше теория полностью применима; следует лишь иметь в виду, что
функция напряжения на внешнем и внутреннем контурах имеет разные значения
Ф1 и Ф2, разность которых
можно определить из усло-
вия однозначности смещений.
Введем это условие. Из
формул (1) следует:
dw _ п.. . хгх .
дх У G ’
dw
~ду
= — 0х 4
Т*У
G ’
Умножая первое из этих выражений на dx, а второе — на dy и складывая,
найдем полный дифференциал:
d™ = 4г dx -t- dy = 6 (у dx — х dy) + -i- (т2д.</х -f- tZydy). (9)
. Интегрируя выражение (9) вдоль некоторой линии $, можно найти измене-
ние осевых смещений вдоль этой линии,
Множитель при б, как видно из фиг. 309, равен удвоенной площади элемен-
тарного сектора, ограниченного элементом дуги ds и радиусами, соединяющими
его концы с началом координат, причем обход дуги производится по часовой
стрелке (т. е. в сторону, соответствующую положительному направлению кру-
тящего момента в сечении, нормаль к которому имеет направление, противо-
положное оси z).
Действительно, так как dx = dfccosa и dy = ds sin а (фиг. 309), то
ydx — х dy = у ds cos a — x ds sin a = (_y cos a — x sin a) ds — rds = 2df.
Так как, кроме того,
cos a tzy sin a = —
Основные зависимости теории чистого кручения бруса
359
(т,— проекция полного касательного напряжения на напоавление касательной tK
дуге $), то
tzxdx -f - ъ2ус1у = — ttds
и окончательно
dw = 29 df--------tfds.
(10)
Интегрируя выражение (10) вдоль любого
однозначности смещений будем иметь
замкнутого контура $, в силу
(j) dw = 0,
и, следовательно,
^xtds — 2G9/,
(И)
где f—вся площадь, охватываемая замкнутым контуром.
Формула (11) представляет собой выражение теоремы Бредта о циркуляции
касательного напряжения (так называется интеграл фт,^$).
Применяя эту формулу к внутреннему
контуру двухсвязного сечения, найдем,
что
$Kds = 2G9/,
где f—площадь внутренней полости;
т — касательное напряжение у гра-
ниц этой полости.
Выражая т через функцию напряже-
ний, согласно уравнению (5а) получим
^* = -2/. (12)
Значение функции напряжений Ф на
внутреннем контуре двухсвязного сече-
ния должно быть выбрано так, чтобы выполнялось уравнение (12).
Ниже будут рассмотрены некоторые точные й приближенные реше-
ния задачи о кручении бруса некруглого сечения. Во всех случаях необходимые
для практики результаты решения можно по аналогии с кручением бруса
круглого сечения представить в следующей форме:
погонный угол закручивания
9=w; <13)
максимальное касательное напряжение
Хтах у^т • (14)
В этих формулах JT и WT — величины, зависящие от формы и размеров
поперечного сечения и характеризующие: JT — жесткость сечения при чистом
кручении, a WT— прочность.
Размерность: JT [см4} и WT [сж3].
В частном случае круглого сечения JT равно полярному моменту инерции
сечения Jp; для некруглых сечений эти величины между собой не связаны.
Справочные данные по величинам JT и. WT для бруса с различной формой
сечения приведены в табл. 30.
Таблица 30
Геометрические характеристики жесткости и моменты сопротивления при кручении прямых брусьев
Форма поперечного бруса сечения Геометрическая характеристика жесткости при кручении [глс4] Момент сопротивления кручению WT ' Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение,
1. Круглое спло н— о —- шное Jt-Jp-^^oad* WT = IFp = ^SK0,2D хтах возникает во всех точ- ках контура поперечного сечения
2. Круглое О поло Ж' е 1 ^Г“^₽ = -32'(1 — с4) ИЛИ Jp* 0,104 (1 _С4) или Гр?» 0,203(1-с4) ттах возникает во всех точ- ках наружного контура В точках внутреннего контура т яя CTmax
3. KpyroBoi / * d сегмент ши р' 8>$>2 /2//\з,Зэ 'r-V4D<(-") D® /2Я\2.82 ттах возникает в точке А. В углах В напряжение равно нулю
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Продолжение табл. 30
Форма поперечного сечения бруса Геометрическая характеристика жесткости при кручении /у [см4 Момент сопротивления кручению Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение, М , ,
WT [сл8 1

4. Круглое сплс С ЛЫСКОЙ \В . W в 1- 0—^ !>ТЧ5 >шное -J. хтах возникает в точке А. В углах В напряжение равно нулю
5. Круглое noj ской 3: * -/^0 । Ш в > D = 2d Н i Q ° I00 2 ЖЖуШо II 1 р4 Jt~ 18,9 D3 тшах возникает в точке Л. В углах В напряжение равно нулю
6. Круглое с круговым вырезом Jt = KJV R3 ттах возникает в точке А
г ~R 0 0,05 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 1,5
~ к, 1,57 1,56 1,56 1,46 1,22 0,92 0,63 0,38 0,07
К2 0,64 1,25 ' 1,22 1,23 1,31 152 1,91 2,63 7,14
Основные зависимости теории чистого кручения бруса
о
Продолжение табл. 30
Форма поперечного сечения бруса Геометрическая характеристика жесткости при кручении JT [CM4j « Момент сопротивления кручению WT [СЛ£«| Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение, ттах “ w~T
7. Сил чесн £ юшное эл юе - 2а —* <№=л липти- п “ «5 дЗ£3 яЗ ттах возникает в точках Я. В точках В напряжение т = Ттах п
8. П лое эллип тическое пЗ ^7 = 41 ^)„2+1^ rr = it(l — с*)п№ г ттах возникает в точках А. В точках 5 г = 0 .
t «rd т~ а о ~ = п 422^ — 2а - а, ь >4 i ==с
9. Квадратное ./? Ji - 0,141а4 IT/' = 0,208дЗ тшах возникает в середине сторон (в точках А), В угло- вых точках т = 0
А 3
—- 0 *
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Продолжение табл. 30
Форма поперечного сечения бруса Геометрическая характеристика жесткости при кручении JT [см*\ Момент сопротивления кручению WT [гл3] Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение, ’«ИХ—
10. Пря Я моуго гГ| 4- — а — льное Л *»7 а Значения коэффициентов а, р и 7 приведе b НИЯ а V WT — аа2& ны в табл. 31 в зависимости от отноше- хшах возникает в середине длинных сторон (в точках А). В угловых точках т = 0. В точках В V = 7ттах
И. Равнобокая трапе- ция 1 zflwlj С-центр тяжести сечения • Геометрическая характеристика жесткости при кручении бруса трапецеидального поперечного сечения приблизитель* но равна геометрической характеристике прямоугольного сечения (Jr == рй&3), одна сторона которого определяется построением, указанным на чертеже, а другая равна высоте трапеции. В приведенной формуле через b обозна- чена меньшая сторона приведенного прямоугольного сечения
12. Вытянутая трапеция h > 4/2 h>kb h -J JT - 4т £11 — 0,105 (4 + t}) 12 t2-tl н Уточненное значение может быть вычислено по формуле (45) хтах развивается в точках длинных сторон ближе к широкому основанию. В углах := 0
Основные' зависимости теории чистого кручения бруса 363
Продолжение табл. 30
Форма поперечного сечения бруса Геометрическая характеристика жесткости при кручении JТ faw*] Момент сопротивления кручению WT [гл18] Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение, т = кг1см? max WT '
13. Клин к- h при JT « - 0,105/4 при у < 4 JT определяется по формуле (45а) h л при у >4 И/2 WT = ~- — 0,105/3 h Л при напряжения определяются по формуле (456) ттах развивается в точках длинных сторон ближе' к основанию. В углах т — 0
14. 1 epi J 1 ' 12 b — с а тшах возникает в середине длинной стороны (в точке Л). В углах т = 0
Л
15. Равносторонний треугольник 1 А 1 — а — а4 й4 ~ 46J9 “ 25^8 та-тг ттах возникает в середине сторон. В углах т = 0
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Продолжение табл. 30
Форма поперечного сечения бруса Геометрическая характеристика жесткости при кручении Момент сопротивления кручению WT [см91 Положение точки, в которой возникает наибольшее напряжение, М . , 'max wT КгСМ
16. Правильный шести- угольник JT = 0.115&4 V 1Г7 = 0,18963 тгаах возникает в середине сторон, В углах т = 0
17. Правильный восьми- угольник JT = 0,1086» 0,185^ ттах возникает в середине сторон. В углах т = 0
О)
Основные зависимости теории чистого кручения бруса
366
< Кручение бруса некруглого поперечного сечения
§ 2. КРУЧЕНИЕ БРУСА ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО СЕЧЕНИЯ
Кручение бруса эллиптического сечения может быть изучено, если распо-
ложить начало координат в центре эллипса и принять для функции напряже-
ний выражение
ф(х,у) = А^(15)
Эта функция удовлетворяет граничному условию Ф = 0 на контуре эллипса
с полуосями а и Ь\
= 1.
а2 д2
Если положить
А= -а*Ь2-
а?А-Ь2 ’
то функция Ф (х, у) по выражению (15) будет удовлетворять также и уравне-
нию (6).
Таким образом, окончательно функция напряжения для эллипса имеет вид:
ф (X, у) = я (1 --4-— ^1) . (16)
Величина крутящего момента, соответствующего погонному углу закручива-
ния 0, определяется по формуле (8):
Л4 = 2СеП ФЛг*. = 2Св
Интегралы легко вычисляются, они представляют собой площадь эллипса и
моменты инерции этой площади относительно осей z и х:
dxdy = F= nab;
^X^dxdy=Jy=^-,
J J y^dxdy = JX = .
Подставляя эти значения интегралов, получим
A4 = G0
тса3Ь3
а2 Н- b2
(17)
Соответственно величина геометрического фактора JT> определяющего жест-
кость при кручении, равна [см. формулу (13)]
. __ М ___ па3Ь3
т (J) а2 н- Ь2
В частном случае для бруса круглого поперечного сечения, полагая а = & =
= г, получим обычную формулу
JT = ^-=Jp.
Рассмотрим распределение напряжений в сечении. Составляющие касатель-
ного напряжения т2Х и т2у определяются по формулам (5):
хгх = 08 = — 208 — ? у;
zx ду а2 4- b2
t2v = — 08 4^- = 20 е --^.^х.
*v дх а2-4-Ь2
Кручение бруса с сечением в виде равностороннего треугольника
367
Распределение напряжений, соответствующее этим формулам, представлено
на фиг. 310.
Максимальное по абсолютной величине напряжение возникает у концов малой
оси эллипса (точки А и на фиг. 310); оно равно
т =203____—____
Snax а2 +
Выражая 9 через крутящий момент,
в соответствии с уравнением (17) по-
лучим
= 2М
Ттах
и, следовательно, для эллипса
__ хаб2
WT— g—
У концов большой полуоси (в точках В и BJ напряжения равны
_ 2М
ка2Ь
В частном случае для бруса круглого поперечного сечения
. . М
а Ь г, тгаах ,
где
wT = ^-=wp.
§ 3. КРУЧЕНИЕ БРУСА С СЕЧЕНИЕМ В ВИДЕ РАВНОСТОРОННЕГО
ТРЕУГОЛЬНИКА
Точное решение этой задачи можно также найти без затруднений.
Рассматриваемое сечение представлено на фиг. 311. Расположим начало ко-
ординат в середине стороны Л В. Тогда уравнения сторон треугольника таковы:
стороны АВ
У = 0;
стороны ВС
у-|-х]/3— а -^- = 0;
стороны CD
у — х / 3 — а —у— — 0.
Если представить функцию напряжения в форме
Ф (х, у) Ау (у х У' 3 — а j [у — х]/ 3 — а , (18)
то естественно, что на контуре треугольника она обратится в* нуль, и, следо-
вательно, граничные условия будут выполнены.
368
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Подставляя выражение (18) в уравнение (6), можно установить, что послед-
нее удовлетворяется при
А = -4=.
аУ‘6
Вычисляя крутильную жесткость, получаем
JT = = 2П *хУаУ = Тб-ai-
max
Фиг 312.
Для напряжения имеем
= се [зу - 2 VЗау + 4 а2 - Зх2] ;

GO с
--~оху.
a V3 Л
Распределение напряжений по высоте треугольника
Максимальные напряжения возникают в серединах
т =
max
-У^-Gba.
4
представлено на фиг. 312.
сторон. Они равны:
п М
или, заменяя 9 через , получаем
20Л4
Т ----- -----
шах аз
Следовательно, для равностороннего треугольника
/7З
Д. Ю. Панов [10] рассмотрел
стержней
заданным
с контуром поперечного
уравнением
/1 (*, У) ft (*> У) = 0,
степени,
/2 — полиномы второй
где /j и
произведение которых удовлетворяет урав-
нению (6).
Таким образом, получено решение задачи
кручения для сечений, ограниченных двумя
гиперболами, имеющими между асимптотами
углы 45 и 135° (фиг. 313, а и б), сечения,
ограниченного двумя прямыми и гиперболой
с углом 135° между асимптотами (фиг. 313, в),
и сечения, ограниченного гиперболой с углом
60° между асимптотами и прямой (фиг. 313, г). Как
также решения задач о кручении стержней с эллиптическим сечением и с сече-
в)
45 —
Фиг. 313.
частные случаи получаются
нием в виде равностороннего треугольника.
Аналогичная проблема для того случая, когда Д и /2 представляют собой
полиномы третьей степени, рассмотрена Б. О. Солоноуц [15]. Некоторые из изу-
ченных контуров близки по форме к сечениям авиационных профилей.
Кручение бруса прямоугольного сечения
369
§ 4. КРУЧЕНИЕ БРУСА ПРЯМОУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Следует отметить, что для большинства некруглых профилей функция напря-
жений, удовлетворяющая дифференциальному уравнению (6) и условию на
контуре (7), не выражается в замкнутой форме через элементарные функции.
Наиболее важным с точки зрения практики является прямоугольный профиль.
Решение задачи о кручении бруса прямоугольного
сечения в форме рядов впервые было получено Сен-Ве-
наном.
Ниже приводится решение Тимошенко [16], отличаю-
щееся по форме от решения Сен-Венана.
Функцию напряжений для прямоугольника (фиг. 314)
можно задать в форме ряда (начало координат распола-
гаем в центре прямоугольника):
оо
ф(х, у) = 2 Н9)
л=1, 3, 5 ...
Это выражение удовлетворяет, очевидно, граничному условию Ф = 0 на сто-
ронах х=+-~, а функции от у— fn(y) должны быть выбраны так, чтобы
оно удовлетворяло также дифференциальному уравнению (6):
д2Ф , д2Ф _
дх2 ' ду2
и граничным условиям на сторонах
_ । Ь
У=±— •
Подставляя принятое выражение Ф (х, у) по формуле (19) в уравнение (G),
найдем
2 kCy)--5-2/n(j)]cOs-^=-2. (19а)
' л==1, 3, 5...
Фиг. 315.
Левую часть этого выражения можно рассматривать как разложение в ряд
Фурье функции с периодом 2я, которая равна —2, в интервале —
Вне этого интервала функция предпола-
гается продолженной в соответствии с
фиг. 315.
Из формулы (19а) видно, что я-й коэф-
фициент разложения равен
jr2
cn=fn(y)-^fAy)-
С другой стороны, из теории рядов Фурье следует, что этот коэффициент
должен равняться
а
2 л -1
2 С / г>\ пкх , 8 . пк 8 z п 2
=— I (—2) cos---------dx—--------- sin -у- = — —1)
п a J ' ' а пп 2 кп '
а
Г
Приравнивая друг другу эти значения сй, получим дифференциальное урав-
нение, которому должна удовлетворять функция fn (у):
л-1
f„(y)-n2£fn(y) = -~(-i) 2 •
24 Пономарев и др. 407
370
Кручение бруса некоуглого поперечного сечения
Общее решение этого уравнения имеет вид:
/7—1
_ / ч 8а2 z 2 I л . ику . _ , птсу
/»(у) = -ч—1) + ^„ch—--4-B„sh—i-.
jnxj'f ъйпА ' in a 1 n a
Постоянные An и Bn должны быть определены так, чтобы на границах у =
= 4- функция fn (j), а следовательно, и Ф (х, у) обращалась в нуль.
Из этих условий следует:
В„ = 0; Ап = — 1)~-------
Я п тс3л3 ' 7 nnb
ch“o—
2а
Таким образом функция /й (у) имеет вид:
- z ч 8аа ,
fn (у) (
Ch^
а
, лтсЬ
ch ——
2а
а следовательно, функцией Ф (х, у), удовлетворяющей как уравнению (6), так
и условиям на контуре, является функция
(20)
После того как функция напряжений найдена, можно уже без затруднений
определить величины напряжений и крутящего момента, соответствующих дан-
ному значению погонного угла закручивания 6. В частности,
л«1, о, 5. . .
Наибольшее по абсолютной величине напряжение возникает около середины
Вычисление ттах по этой формуле не представляет затруднений, поскольку
ряд в правой части сходится очень быстро.
1 См. И. М. Рыжик и И. С. Градштейн, Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений, ГТТИ, 1951.
Кручение бруса прямоугольного сечения
371
Крутящий момент определяется по формуле (8):
М = 2G9 JJ Ф (х, у) dx dy =
ь
2
п-х Р /
а
2
= G6^
ТС3
Л (— 1)
п3 v 7
«тех ,
cos-----dx.
а
п=1, 3, 5...
ь
2
2а
а
2
Вычисляя интегралы, получим

214 = G9—г
тс
л=1, 3,5...
nnb 2а J
Учитывая, что
«=1,3,5...
_1__ тс4
и4 — 96 9
Л1 = О9^
О
।___192 а
1 ~ ~^'~Ь
S •
/2=1,3,5... J
(22)
Сопоставляя формулы (21) и (22), устанавливаем, что для прямоугольного
сечения при
b
а:
Jr = $а?Ь\
WT =
(23)
(24)
где, в свою
очередь,
>-
192 а у, 1 nnh
ri»' b 21 п* 1П 2а
я=1, 3, 5...
(25)
а —
8
1-4
•jt/
(26)
2 2 u n7zi)
nl ch —-
2а
л=1, б, 5...
коэффициентов а и 3, зависящие только от отношения , пред-
Значения
ставлены в табл. 31. Там же приведены величины коэффициента у, определяю-
щего отношение напряжения в середине короткой стороны прямоугольника
К
т=—
Lmax
(26а)
Для вытянутого прямоугольника >4^ формулы (25) и (26) дают
а
См. И. М. Рыжик и И. С. Градштейн, Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений, ГТТИ, 1951
24s*
372
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Для еще более длинных прямоугольников > 10^ можно считать
Таблица 31
Значения коэффициентов а, р и у к формулам (24), (23) и (26а)
ь а 1 1,5 1,75 2 2,5- 3 4 6 8 10 со
а 0,208 0,231 0,239 0,246 0,258 0,267 0,282 0,299 0,307 0,313 0,333
₽ 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
7 1,0 0,859 0,820 0,795 0,766 0,753 0,745 0,743 0,742 0,742 0,742
§ 5. Мембранная аналогия
Для сечений многих видов, применяющихся в машиностроении, определение
выражения функции напряжений хотя бы в виде рядов является весьма затруд-
нительным.
В этом случае для решения задачи используют либо приближенные энерге-
тические методы (см. § 6), либо метод численного интегрирования уравнения (6)
(см. § 7), либо, наконец, экспериментальный метод аналогий.
, Проще всего распределение напряжений в сечении скручиваемого стержня
можно экспериментально определить с
помощью так называемой мембранной
аналогии.
Если совершенно гибкая мембрана
натянута на плоский контур так, что
натяжение ее Т кг/см постоянно, и под-
вергнута равномерному давлению
р кг/см2, то малые прогибы ее С опре-
деляются уравнением
d2: d2C ______р_
dx2 dy2~ Т '
Это уравнение легко получить,
приравнивая нулю сумму проекций на
вертикаль всех сил, приложенных к
элементу, вырезанному из мембраны
(фиг. 316).
На контуре прогиб мембраны, естественно, равен нулю:
^конт 0*
Сравнивая уравнения, определяющие прогибы мембраны, с уравнениями, опре-
деляющими функцию напряжений, устанавливаем их полное тождество.
Таким образом, если натянуть мембрану на рамку, имеющую форму контура
поперечного сечения бруса, и нагрузить ее равномерным давлением, то прогибы
Т
этой мембраны в каждой точке, умноженные на 2 —, будут равны значениям
функции напряжений Ф (х, у) в той же точке.
В силу равенства (5а) касательное напряжение в каждой точке сечения будет
пропорционально уклону поверхности мембраны, а именно
_ 2G6T
дп р
(27)

Мембранная аналогия
373
Крутящий момент, воспринимаемый сечением,
М = 2G8 Фdx dy = JJ ^dx dy
(28)
пропорционален объему, заключенному между деформированной поверхностью
мембраны и плоскостью контура.
Мембранная аналогия позволяет экспериментально решать вопрос о распре-
делении напряжений при чистом кручении бруса, имеющего любую форму попе-
речного сечения, путем измерения прогибов мембраны, натянутой на рамку такой
же формы и подвергнутой гидростатическому давлению.
В качестве совершенной мембраны, в которой обеспечено постоянство натя-
жения Г, можно применить мыльную пленку, в которой величина Т определяется
силами поверхностного натяжения.
Достаточно хорошие результаты
можно получить и при применении
резиновой мембраны, однако в этом
случае следует обеспечить постоянство
толщины мембраны и достаточно боль-
шое и равномерное первоначальное
натяжение.
На фиг. 317 изображен прибор для
исследования кручения некруглых стер-
жней с помощью мембранной аналогии,
сконструированный С.*В. Бояршиновым
и изготовленный Лабораторией испыта-
ния материалов МВТУ имени Баумана.
На координатном столе помещена
коробка, закрытая кольцом с натяну-
той на него резиновой мембраной. фИГ 317
Для равномерного натяжения мем-
браны на нее предварительно была нанесена прямоугольная сетка и затем натяже-
ние отрегулировано так, чтобы все элементы этой сетки удлинились одинаково.
Сверху мембрана закрывается металлической пластиной с вырезанным на ней
контуром исследуемого сечения.
Давление на мембрану осуществляется находящейся под ней водой, причем
величина давления определяется по уровню в манометрической трубке.
Прогибы мембраны измеряются микрометрическим винтом с острием. Уста-
навливая острие на определенном уровне и подводя к нему посредством пере-
движения координатного стола поверхность мембраны, легко определить коорди-
наты точек мембраны, лежащих на данном уровне. Нанося эти точки на чертеж
сечения и соединяя их, получаем соответствующую горизонталь упругой поверх-
ности.
Поскольку, как видно из выражения (27), касательное напряжение пропор-
ционально уклону мембраны, максимальное касательное напряжение имеет место
в той точке, где уклон поверхности наибольший, т. е. там, где расстояние ме-
жду соседними горизонталями минимально. Так как максимальное напряжение
всегда возникает около контура сечения, то практически для определения опасной
точки достаточно провести только одну горизонталь, близкую к контуру сече-
ния. Наибольший уклон поверхности мембраны (4^ измеряется около той
точки контура, где горизонталь проходит к нему ближе всего.
Максимальное касательное напряжение определяется по формуле
Т
где величина отношения — является пока неизвестной.
Р
374
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Затем определяется объем, заключенный под деформированной поверхностью
мембраны:
V = Jj Zdx dy.
С этой целью отверстие в верхней пластине, имеющее форму исследуемого
контура, закрывается пластинкой толщиной, равной толщине верхней пластины.
При этом поверхность мембраны становится вновь горизонтальной, а величина
выжатого объема жидкости V замеряется по изменению уровня в калиброванной
манометрической трубке (сама трубка при этом опускается так, чтобы давление
оставалось неизменным).
На основании уравнения (28) объем I/ связан с крутящим моментом соотно-
шением
M=4GB-yV. (30)
т
Из уравнений (29) и (30) можно исключить — и таким образом найти связь
между крутящим моментом, приложенным к брусу, и максимальным касательным
напряжением
— JL
Хтах ]^т 9
где
(31)
Таким образом, для определения максимального напряжения необходимо из-
мерить уклон поверхности мембраны и заключенный под этой поверхностью
объем.
Как видно из формулы (30), геометрический фактор крутильной жесткости
исследуемого сечения
Go Р
Т
Р ’
находящийся под поверх-
той же величине давления,
Для того чтобы исключить неизвестную величину —, в прибор ставится
пластинка с круглым вырезом и измеряется объем,
ностью мембраны, V к?. Измерение производится при
что и в первом случае.
Т
Так как в обоих случаях величина — одинакова и так как для круглого
сечения ]T=J=-^-y то для определения геометрического фактора крутильной
1 Р о 2,
жесткости исследуемого профиля справедлива формула
. _W* V
Jt ~ 32 VKp>
где d — диаметр круглого выреза.
Обычно при исследовании с помощью мембранной аналогии контур сечения
выполняется в некотором масштабе. Пересчет выполняется без затруднений, по-
скольку JT пропорционален четвертой степени линейных размеров, a WT—кубу.
В ряде случаев даже без проведения соответствующих экспериментов на осно-
вании мембранной аналогии можно сделать некоторые выводы о распределении
напряжений при чистом кручении некруглых брусьев. В частности, мембранная
аналогия является очень полезной при исследовании чистого кручения тонко-
стенных профилей (см. гл. IX, т. I).
Энергетические методы приближенного решения задачи о кручении бруса 375
§ 6. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
О КРУЧЕНИИ БРУСА НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Потенциальная энергия деформации скручиваемого стержня длиной I равна
t/~ToSS^+t^dx,,y- <з2)
Потенциал внешних сил (моментов, приложенных к торцам стержня) равен
произведению момента на угол закручивания стержня 9/ со знаком минус:
Ц== —тие/.
Таким образом, полный потенциал внешних и внутренних сил системы
П = и + u = I [А УУ (т2ж 4- т’у) dx dy - Afo] .
Выражая напряжения и крутящий момент через функцию напряжений Ф(х,у)
по формулам (5) и (8), получим
Поскольку введена функция напряжений, равная нулю на контуре сечения,
уравнения равновесия и граничные условия на боковой поверхности бруса вы-
полнены. Граничные условия на торцах бруса также выполнены, так как кру-
тящий момент выражен через функцию напряжений.
Необходимо лишь выбрать функцию Ф (х, у) так, чтобы удовлетворялись и
условия неразрывности материала (условия совместности деформаций).
На основании начала наименьшей работы Кастилиано [6] из всех статически
возможных (равновесных) напряженных состояний действительному напряженному
состоянию соответствует минимальная энергия.
Таким образом, условие совместности деформаций может быть заменено усло-
вием минимума энергии П, т. е. условием
8П = zom Jj {4- [ (g)’+ Q-] - 2ф} dx dy _ 0. (34)
.Легко показать, что полученное нами непосредственно уравнение совмест-
ности (6) является следствием вариационного уравнёния (34).
Действительно, из уравнения (34) получаем
8П = ЮР jy S (») + ™ 8 («) - 28ф) dx dy _ 0.
Интегрируя по частям и учитывая, что на контуре вариация оф = 0, найдем
Л 8 аУ = - Я -О8Ф</Х аУ
и аналогично
Таким образом,
ап = - /ее2 JJ + 2] dy = о,
откуда вследствие произвольности 8Ф и следует уравнение (6).
376
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Таким образом, вариационное уравнение (34) вполне эквивалентно дифферен-
циальному уравнению (6). Вместе с тем оно очень удобно для приближенного
определения функции напряжений Ф(х,у).
Задав для функции напряжений Ф (х, у) выражение, удовлетворяющее гранич-
ному условию Фконт = 0 и включающее ряд неопределенных параметров, можно
затем эти параметры определить, исходя из условия минимума интеграла (33).
Полученное приближенное выражение функции напряжений будет наилучшим
возможным при заданной ее форме.
В качестве примера применения изложенного метода рассмотрим задачу о кру-
чении симметричного авиационного профиля, очерченного дугой полукубической
параболы1 (фиг. 318).
Уравнение верхней границы профиля
/1 U, У) = У — а у -у (1 — у-) = 0.
Уравнение нижней границы
Максимальная толщина профиля
h = а - 0,77а
ь
имеет место при х = -^—
Функцию напряжений, обращающуюся в нуль на контуре, можно приближенно
задать в форме
Ф (х, у) = С/г (х, y)f2 (х, у) = С [у2 — а2 -у- (1 - -£)*] ,
причем параметр С подлежит определению из условия минимума выражения (33).
Подставляя в выражение (33) принятое выражение Ф(х,у), получим
-2с[х2 -а^ (\_^]}dxdy.
Интегрируя сначала по у от у = — a |/"у ^1 — у) до у — a j/~y (1 — у)
и затем по х от нуля до 6, найдем
n-'°’!3^sta,[441+nv)+c]-
Приравнивая нулю производную
ЭП
дС
= 0,
найдем
1
11 а1
1.3 ’ Ь*
1 Впервые задача о кручении этого профиля была рассмотрена Л. С. Лейбензоном
(см. „Труды ЦАГИ“ № 8, 1924, а также [6J).
Энергетические методы приближенного решения задачи о кручении бруса 377
Таким образом, приближенное выражение функции напряжений имеет вид:
Вычисляя величину крутящего момента по формуле (8), получим
м = 2°«П Ф<<^ = 5& 06 ,
Геометрический фактор крутильной жесткости сечения равен
r М 256 а3Ь
~ Gb~3465‘ Н а2 ’
^13* Ь2
или, вводя вместо параметра а толщину профиля А,
Максимальные напряжения возникают на контуре в самом широком месте
( b । h \
сечения ( х = — , у = + — }:
, . ™ I дФ I
Xmax — lTzxlmax — 09 |х = -1 ~ й2 ’
* 7 3 й 1 + М3 -р-
v = x^-
или, выражая 6 через момент,
_ м
ттах ОДб^Л2 *
Следовательно, для исследуемого профиля
U7r = 0,162M2.
Полученное по данному методу значение крутильной жесткости JT (35)
является несколько преуменьшенным по сравнению с точным.
Зто обстоятельство легко показать с помощью мембранной аналогии. Как
следует из мембранной аналогии, определение функции напряжений эквивалентно
определению формы поверхности мембраны. Поскольку мы отказываемся от
точного выполнения уравнения равновесия мембраны и приближенно задаем
форму ее поверхности [вид функции Ф (х, у)], мы накладываем дополнитель-
ные связи на ее деформации, поэтому прогибы мембраны [значения функции
Ф (х, у)] будут преуменьшенными; преуменьшенным будет и объем, заключенный
под деформированной поверхностью мембраны, и пропорциональный этому
объему крутящий момент.
Таким образом, при приближенном решении задачи кручения с помощью
вариационного уравнения Кастилиано величина крутящего момента, соответствую-
щая данному погонному углу закручивания, а следовательно, и жесткость сече-
ния получаются преуменьшенными.
Имеются приближенные методы, дающие всегда преувеличенное значение
жесткости. Одним из таких методов является метод Ритца, основанный на при-
ближенном определении функции осевых смещений w (х, у).
Представляя -w (х, у) в форме
ш(х, _у) = 9ср(х, у)
378
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
и подставляя это выражение в формулы (1), найдем
(36)
(37)
(38)
Потенциальная энергия деформации скручиваемого стержня
и = 13 П dxdy = ^ GMI,
где
+ СзН*/] “’“‘У-
При изменении осевых смещений концевые моменты не производят работы.
Таким образом, потенциал внешних сил не зависит от w и войдет в выраже-
ние полного потенциала системы как постоянное слагаемое, которое при иссле-
довании на минимум можно не учитывать.
Задаваясь для ср (х, у) выражением, включающим ряд параметров, можно
затем определить эти параметры из условий минимума потенциальной энергии,
т. е. интеграла (38).
В данном случае, поскольку рассматриваются перемещения w, условия
совместности деформаций выполняются автоматически, и вариационное урав-
нение
8/ = 0 (39)
заменяет уравнения равновесия и граничные условия Ч
После того как приближенное выражение функции ср(х, у) найдено, напря-
жения определяются по формулам (36), а крутящий момент — по формуле
Л4 = С0/. (40)
Формулу (40) проще всего можно получить, приравнивая потенциальную
энергию деформации (37) работе внешних сил
Крутильная жесткость, полученная по методу Ритца, всегда является несколько
завышенной, так как, задавая вид функции w (х, у), мы ограничиваем под-
вижность стержня и увеличиваем его жесткость.
Для рассмотренного уже авиационного профиля, ограниченного дугой полу-
кубической параболы, функцию осевых смещений ср (х, у) можно задать
в форме [6]
<р = Ах у -f - Су.
Подставляя принятое. выражение ср (х, у) в интеграл (38) и приравнивая
нулю производные
^=о; ^=о,
дА ’ дС ’
получаем значения параметров А и С:
л _ 7«i 2 — 11&2 .
Л~ 7а2 + 1162 ’
7а2 + ПЬ2‘
i Уравнение равновесия (3) и граничное условие (4) могут быть получены как след-
ствие вариационного уравнения (39), см. [6].
Энергетические методы приближенного решения задачи о кручении бруса 379
Внося эти значения А и С в интеграл /, находим геометрический фактор
крутильной жесткости:
, _ М t 256 а3Ь
т ~ G6 ~ ~ 3466 _7 а2 ’
+ 11 д2
или, вводя толщину профиля Л,
г _ 0Д62&Л3
JT — Z2-
1 + 1,07^
Сравнивая эту формулу, дающую верхнюю оценку жесткости, с форму-
лой (35), дающей нижнюю ее оценку, легко установить, что расхождение между
ними невелико и, например, при = 3 составляет около 3°/0.
Для тонких профилей обе формулы дают одинаковые результаты. Это
позволяет сделать вывод, что для таких профилей формула
Jr = 0,162W3
является точной.
Таким образом, решив задачу прибли-
женно двумя методами, можно установить
пределы возможной ошибки при определе-
нии жесткости. К сожалению, установить
двустороннюю оценку для напряжений не
представляется возможным.
В ряде случаев применение изложенных
приближенных методов расчета осложняется
тем, что трудно достаточно обоснованно
задать форму функции напряжений Ф (х, у) или функции осевых смещений © (х, у).
Очень полезным в этих случаях оказывается применение так называемого
смешанного метода. Отличием смешанного метода является то, что в выражение
искомой функции Ф (х, у) или ср (х, у) включаются не неопределенные пара-
метры, а неопределенная функция одной из координат, подлежащая определе-
нию из условия минимума энергии.
Таким образом, смешанный метод может быть использован при решении
задачи как с помощью вариационного уравнения Кастилиано, так и с помощью
уравнения Ритца.
Рассмотрим применение смешанного метода к решению задачи о кручении
бруса с сечением в виде равнобедренной трапеции (фиг. 319).
Будем основываться на вариационном уравнении Кастилиано (34). Функцию
напряжений зададим в форме
Ф (х, у) = (у — kx) (у + kx) f (х),
(41)
где
k — tga.
Очевидно, что выражение (41) удовлетворяет граничным условиям на боко-
вых сторонах трапеции у = + kx.
Для того чтобы удовлетворялись условия на границах х = а и х = Ь,
функция f (х) должна обращаться в нуль при этих значениях х.
Вид функции / (х) должен быть определен из условий минимума выраже-
ния (33).
Подставляя выражение (41) в формулу (33), получим
П = /СО2 JJ {-i-[4 (У2 + fe4*2) (*> + (У — *2х2)2/'2 (X) —
— 4й2х (у2 — k2x2) f (х) /' (х)] — 2 (у2 — k2x2)/(х)} dx dy.
380
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Интегрирование по у в пределах от у = — kx до у == kx можно выполнить,
тогда
ь
П = 2/G82 J (1 [4 + kW) Р (х) + А. ^х3/'2 (х) +
а
+ у й5х«/ (х) /' (х)] + у йЗх3/ (х)j dx.
Таким образом, потенциальная энергия системы представлена в виде функ-
ционала
о
П = 2/ое2 $F(f, f',x)dx,
а
причем функция f (х) должна быть выбрана так, чтобы этот функционал имел
минимум.
Из вариационного исчисления известно, что для этого функция f х) должна
удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера
Вычисление частных производных функции F(f, f',x) дает
= 4^ + kW) f (х) + 1 kWf (х) + A fe3x3;
(x) 4- 4 k6x*f (x).
Подстановка этих значений в уравнение (42) приводит к дифференциальному
уравнению второго порядка относительно функции f (х):
+ ' (43)
Частным решением этого неоднородного уравнения является, очевидно,
f------------------------------------1__
1 - k2 ’
а решение соответствующего однородного уравнения может быть представлено
в виде
/ (х) = ха .
Подставляя это выражение в однородное уравнение, получим для а квадрат-
ное уравнение
о , Л 5 (1 - k2) ~
а24а--------2А,2 —' = 0
и соответственно два значения:
04 = — 2 + т
и
a2 = — 2 — т,
где обозначено
1 / 5 + ЗА*2
т ~ V 2k2 •
Таким образом, общее решение уравнения (43) имеет вид:
f W = -/р + (сгхт + •
'Энергетические методы приближенного решения задачи о кручении бруса 381
Постоянные и С2 определяются
х = b f (х) = 0, тогда
из того условия, что при х = а и при
где обозначено
1
1 -k*
1__
1 к т.
1- и
. 2-|-/и 7 2/и
Л -Л £2+т,
c — _____________
~ 1 — k* 1 —
л=4=-т-
О 12
Вычислим крутящий момент, воспринимаемый сечением
b kx
M = 2Gb^<bdxdy=2Gb$ f (/ — fe2x2) f (x) dx dy =
a —kx
b
= — 2G9 J ksx9f (x) dx.
a
Подставляя сюда найденное значение f (х) и i
находим
(44)
производя интегрирование,
и
М ~ 09 3 ' 1 — k2
Учитывая^ что
1 — Х« (1 — Х2+т)2
4 (т + 2) (1 — Х»“)
X* (1 _хт~2)2 1
(т — 2) (1 — '№) ’
2kb = t2
к ' h
получим окончательно для геометрического фактора
жесткости сечения:
где
г 1 |1->«
т GO 3 2 (1 — k2) (1 — X) 4
X* (1 _ )m-2)2
(zn — 2) (1 — X2"‘)
k =-= tg а = ;
& 2h ’
k = A;
Г2
т
5 + 3£2
2k*
(1 — x2+m)2
(m + 2) (1 - K*m)
(45)
Напряжения вычисляются по формулам
r2x = G9-^ = G92y/(x);
т2у = - G9 = G9 [2k*xf (X) + (k2x2 - /) f (x)J.
На боковых сторонах трапеции полное напряжение равно
т = —= G9 xf (х).
COS а
COS а
382
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
В серединах оснований напряжения равны
=09^-/' («);
у=0
/2
(тгу)^=G9
v=0
Определение максимальных напряжений не представляет затруднений.
Полученные формулы являются неприменимыми при k=\, т. е. при угле
а — 45°. Для этого значения угла уравнение (43) принимает форму
Решением этого уравнения, удовлетворяющим граничным условиям, является
выражение
Подставляя это выражение в формулу (44) и интегрируя, находим, что при
а = 45°
J 44 - 5 м Г1 16Х41п2Х1
JT~ GV~ 48 ° L 1-Х4 J ’
Частным случаем рассмотренной задачи является задача о кручении стержня
сечением в виде равнобедренного треугольника. К соответствующим формулам
можно перейти, положив X = 0. В этом случае
JT = t3h'^ * (45а)
где
в =____________________=______________5_______________
р 12 (т + 2) (1 - А2) 12 [/5 +Зй2 + 2'Кгй2]2’
Коэффициент р зависит только от угла 2а при вершине треугольника.
На боковых сторонах треугольника максимальное напряжение возникает
в точках, имеющих абсциссу:
(т — 1) /7г~2
Оно равно
Tj = \45б)
где
__ **-2
— 1 _ £ 2 ’
(m- 1)т~2
Напряжение в середине основания составляет
т2 —
где
_ (т — 2) k
~~ 2(1 — £2) *
Численный и графич. методы определения функции напряжений Ф (х, у) 383
Если угол при вершине треугольника составляет 2а = 60°, то
k = tg а = ;
й 1 . Кз.
г — 40 > Т1 — Ъ — 4 >
W-r = — = —
WT 20 •
Эти величины совпадают с точными значениями, полученными выше. Легко
видеть, что в данном случае функция напряжений, полученная приближенным
методом, совпадает с точной (18).
Для очень тонких трапецоидальных сечений
(фиг. 320)
Фиг. 320.
k -> 0; tn co;
Л — t4
, I-*4 1 и
Jt — и — 12 h h-h'
Максимальное напряжение приблизительно равно
Тшах уут •
где
U7L =
т t2 '
Это напряжение имеет место на боковых сторонах трапеции, вблизи боль-
шого основания.
§ 7. ЧИСЛЕННЫЙ И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ФУНКЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ Ф (х, у)
Преимуществом рассмотренных в настоящем параграфе приближенных мето-
дов является то, что они могут быть применены при любой форме контура
поперечного сечения, когда применение аналитических методов затруднено.
Задача сводится к отысканию решения уравнения (6)
д2Ф д2Ф ______9
дх2 ду2 ’
равного нулю на контуре сечения.
Для числового решения дифференциальное уравнение (6) заменяется уравне-
нием в конечных разностях.
Если известно значение функции Ф (х, у) и ее производных в некоторой
точке О (фиг. 321), то значения этой функции в четырех точках А, В, С и D,
отстоящих от данной на расстояниях Д по оси х и у, можно определить, раз-
лагая функцию в ряд Тейлора.
384
Кручение бруса, некруглого поперечного сечения
Удерживая в разложении вторые степени Д, получим:
фд=фо + ^Д+ 1 Д2.
А 0 1 дх ’ 2 дх2 ’
фй = фп_£Ф Д Ц.±.^ФД2.
в 0 дх * 2 дх2 9
Фс = ф -|-—Д 1.^!5д2.
С Т ду Т 2 ду2 ’
Фо=ф0_^Д+ 1 .^Фд2.
и и ду 1 2 ду*
О
Из этих уравнений находим приближенные выражения вторых производных
функций Ф (х, у) в
через значения этой функции в четырех соседних
точках:
точке
^~^(Фд + Фв-2Фо);
^?^(Фс + Фп-2Фо)-
(46)
Эти выражения стремятся к точным значениям
при уменьшении интервала Д.
Заменяя вторые производные в уравнении (6)
выражениями (46), получим
Фа + Фв + Фс + Фо - 4Фо = - 2Д2.
Таким образом, величина функции напряжений в точке О определяется через
значения этой функции в четырех соседних точках по формуле
Фо = I (Фа + Фв + Фс + Фр) +1 д2‘ . <47)
Уравнение (47) является основным при численном определении функции
напряжений,
Практически задача решается методом последовательных приближений.
Рассматриваемое сечение разбивается на элементарные квадраты Д у Д сеткой,
идущей параллельно осям координат. Контур сечения заменяется достаточно
близким к нему контуром, проходящим по узлам сетки. Затем задаются значе-
ния функции напряжений в каждом из узлов сетки, причем в точках на контуре
эти значения должны быть равны нулю. Строго говоря, безразлично, какими
значениями Ф| (х, у) задаться первоначально, так как в процессе дальнейших
приближений мы все равно приблизимся к точным значениям Ф (х, у). Однако
практически процесс последовательных приближений тем быстрее сойдется, чем
ближе заданные значения Ф (х, у) к точным.
После того как первое приближение функции напряжений задано, опреде-
ляется второе приближение. Новые значения функции в каждой точке опреде-
ляются по формуле (47) как среднее арифметическое ее значений в четырех
Д2
соседних точках плюс постоянная величина Значения функций в точках бе-
рутся из Первого приближения или новые, если они уже найдены.
После второго приближения таким же образом находится третье и т. д. до
тех пор, пока разница между двумя последовательными приближениями не будет
лежать в пределах ошибок вычислений.
Доказательство сходимости этого метода и некоторые практические указания
к его применению см. [8].
Результат решения будет тем точнее, чем меньше шаг сетки Д и чем ближе
контур, очерченный по линиям сетки, к действительному контуру сечения.
Численный и графич. методы определения функции напряжений Ф (х, у) 385
Нельзя, однако, сделать шаг Д очень малым, так. как в этом случае объем
вычислительной работы резко возрастает как ввиду увеличения количества
точек, для которых надо производить вычисления, так и вследствие ухуд-
шения сходимости процесса последовательных приближений.
Иногда можно достигнуть очень хорошего приближения к форме контура
сечения без излишнего дробления сетки, применяя вместо квадратной сетки сетки
других видов — треугольную или параллелограммную. Методика расчета с исполь-
зованием этих сеток проиводится в работе Д. Ю. Панова [8] \
Пользование численным методом расчета по изложенной схеме является все же
довольно затруднительным вследствие большого объема необходимых вычислений,
хотя сами эти вычисления очень просты.
Значительно быстрее ведет к цели
графический метод определения последо-
вательных приближений, разработанный
Д. Ю. Пановым, работам которого [9]
и 111 ] мы и следуем в дальнейшем изло-
жении.
Функцию Ф (х, у) графически можно
представить как поверхность, построен-
ную над плоскостью сечения, причем зна-
чение функции в каждой точке сечения
изображается длиной перпендикуляра над
данной точкой.
Построив сечение в аксонометрии, мы
получаем возможность графически интер- фиг’ 322
претировать уравнение (47).
Соответствующие построения показаны на фиг. 322. Отрезки AAlf ВВ1У
ССХ и DD} изображают значения функции напряжений в четырех точках, со-
седних с точкой О: Фд, Фв> Фс, Фо.
Из построения видно, что отрезки ОЕ и OF равны соответственно
✓-)р АЛ^ -4- ВВ. Фд 4- Фд .
— 2 — 2
, . ПР____ CCi 4- DDi _Фс + Фр
U “2 2
Деля отрезок EF пополам, получаем точку S, причем отрезок OS равен
OS = 0E' + 0F' = ^-(Фл + Фв + фс + фо).
Добавляя к этому отрезку отрезок SO,, изображающий в соответствующем
,у2
масштабе постоянную величину ~, получаем отрезок ООХ, который на осно-
вании уравнений (47) изображает величину функции напряжений в точке О,
Таким образом, определение значения функции напряжений в точке О по
заданным ее значениям в четырех соседних точках легко выполняется графи-
чески.
Графический процесс нахождения последовательных приближений произво-
дится так же, как и числовой, а именно: сначала задаются какие-нибудь значения
функции напряжений в каждой точке, затем с помощью описанного графиче-
ского приема для каждой точки находится уточненное значение функции по ее
значениям в соседних точках. После того как значения функций во всех точках
таким образом улучшены (получено второе приближение), процесс повторяется
1 В этой работе рассматривается решение уравнения Лапласа, отличающегося от
уравнения. (6) отсуствием правой части.
25 Пономарев и др. 407
386
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
вновь и т. д. до тех пор, пока повторение операции исправления перестанет
изменять значения функции.
В заключение приводим практические указания по приведению построений,
заимствованные из работ [9] и [11].
1. Соотношения размеров контура сечения при построении аксонометриче-
ского чертежа менять не следует. Это позволяет впоследствии, когда поверх-
ность уже построена, легко получать линии уровня и т. п.
2. Направление оси z [т. е. оси, по направлению которой откладываются
значения функции Ф (х, J)] следует выбирать по диагонали квадратной сетки,
что позволяет значительно упростить чертеж.
3. Не следует проводить прямые и С19 Dy (фиг. 322). Так как
каждую точку приходится исправлять много раз, то эти прямые загромождают
чертеж. Необходимо лишь тонкой черточкой отмечать
места пересечения этих прямых с 00,.
4, Деление отрезка EF пополам следует проводить
на глаз, что при малых размерах этого отрезка обес-
печивает большую точность, чем деление
инструментов.
Д2
5. Отрезок SO, = -у- откладывается
измерителя, установленного на постоянный
6. Точки О] (т. е. точки, соответствующие значе-
нию функции Фо) целесообразно накалывать, в то
время как остальные точки (Et F, S) следует намечать
очень легко и после нанесения точки Ot стирать.
Уже ненужные, использованные точки Ох (например,
точки третьего приближения, когда уже найдено чет-
вертое) можно перечеркивать тонкой черточкой.
Выбор начальных значений функции Ф (х, у) для
начала процесса последовательных приближений в зна-
чительной мере определяет количество необходимых
приближений.
Часто бывает целесообразно начинать процесс с крупной сеткой (боль-
шим Л) и, найдя приближенные значения функции напряжений, затем исполь-
зовать их в качестве первого приближения для уточненного построения с более
мелкой сеткой.
После того как поверхность, изображающая функцию напряжений, построена,
вычисляется объем холма, образованного этой поверхностью.
Вычисление производится методом численного или графического интегриро-
вания: сначала определяются площади сечений, параллельных одной из осей,
затем эти площади наносятся на график и вновь интегрируются
оси.
Геометрический фактор жесткости сечения, как следует из
и (13), равен удвоенному объему холма напряжений:
Jr = 2 JJ Ф dx dy
С помощью
с помощью
раствор.
уже по другой
уравнений (8)
(заметим, что с учетом масштабов объем холма напряжений имеет размер-
ность см\ так как сама функция напряжений имеет размерность см2).
Момент сопротивления сечения кручению определяется по формуле
WT
Jt
J max
(дФ\
где\<мтах
— максимальный
Чтобы определить этот
поверхности напряжений на
уклон поверхности напряжений.
уклон, следует провести горизонтальное сечение
небольшом расстоянии h от плоскости сечения.
Численный и графин, методы определения функции напряжений Ф (х, у) 387
Нанося соответствующую горизонталь на сечении, получим
/дФ\ _______________________________ h
\ дп / щах Лл1п
где /т1п— минимальное расстояние между горизонталью и контуром сечения;
h выражено с учетом масштаба в см2.
В качестве примера применения графического метода на фиг. 323 и 324 при-
веден расчет крутильной жесткости сечения пружины, навитой из круглого
прутка, а затем обточенной снаружи и внутри. Полученное в результате сече-
ние представляет собой срезанный круг шириной, составляющий 0,7 диаметра.
На сечение нанесена квадратная сетка с шагом Д = 0,07d. Для расчета сечение
заменено восьмиугольником, проходящим через узлы сетки. Как видно из
фиг. 323, этот восьмиугольник очень близок к рассматриваемому сечению.
В качестве первого приближения было принято, что функция напряжений
изменяется в направлениях обеих осей координат по параболическому закону;
значение функции в начале координат было принято равным 0,М2.
Так как сечение является симметричным, то процесс последовательных приближе-
ний достаточно было вести для одного квадранта. Всего пришлось проделать восемь
приближений, после чего процесс приближения можно было считать законченным.
' / Результаты расчета — сечения поверхности функции напряжений плоскостями,
параллельными осям х и у, представлены на фиг. 324.
25*
388
Кручение бруса некруглого поперечного сечения
Объем холма напряжений вычисляется по формуле трапеций. Сначала с по-
мощью этой формулы определялись площади сечений, параллельных оси у,
а затем площади всех таких сечений складывались и умножались на А.
В результате получено
Пфб/хб/у = 0,031 rfs
и соответственно геометрический фактор крутильной жесткости
JT = 2JJ Ф dx dy = 0,062d«.
Для определения максимального напряжения построено сечение холма на-
пряжений плоскостью, параллельной основанию и отстоящей от него на рас-
стоянии 0,0122zZ2 (с учетом соответствующего масштаба). Проекция линии се-
чения на основание дает горизонталь (пунктир на фиг. 324).
Горизонталь ближе всего подходит к контуру около точки А, где расстоя-
ние между контуром и горизонталью составляет 0,02d. Точка Л и является опасной.
Соответствующий уклон поверхности равен
(дФ\ _ h _ 0,0122rf2
/max “ *min “ W2rf ~
Теперь можно вычислить величину WT:
w = —~ o, Id3.
z (дФ\
\ dn / raax
Общая затрата времени на проведение такого рода расчета составляет при-
мерно 8—12 час.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамян Б. Л., Кручение призматических стержней с крестообразным попереч-
ным сечением, .Прикладная математика и механика", т. XIII, вып 5, 1949.
2. А р у т ю н я н Н. X., О кручении эллиптического кольцевого сектора, .Приклад-
ная математика и механика", т. XI, № 5, стр. 543— 546, 1947.
3. Арутюнян Н. X., Решение задачи о кручении стержня полигонального попе-
речного сечения, .Прикладная математика и механика, т. XIII, вып. 1,' 1949.
4. Б ы ч к о в Д. В. и Мр о щи н с к ий А. К., Кручение металлических балок,
Строииздат, 1945.
5. Дин ни к А. Н.. Кручение (теория и приложения), ОНТИ, 1938.
б. Лейбензон Л. С.» Вариационные методы решения задач теории упругости,
Гост^хиздат, 1943.
7. Мительман Л. М., Решение задачи кручения методом последовательного при-
ближения к контуру, Труды МАИ, Оборонгиз, 1955.
8. Панов Д. К)., Численное решение краевых задач, дополнение 2 к книге
Л ж. Скарборо .Численные методы математического анализа", ГТТИ, 1934.
9. П а н о в Д. Ю., Приближенное графическое решение краевых задач уравнения
Лапласа. Труды ЦАГИ, вып. 169, 1934.
10. Панов Д. Ю., О кручении стержней, поперечное сечение которых ограничено
двумя коническими сечениями, Труды ЦАГИ, вып. 209, 1935.
11. Панов Д. Ю., Попов С. Г., Хохлов А. И., Приближенное решение гра-
фическим методом задачи о кручении для винтового профиля, Труды ЦАГИ. вып.
169, 1934.
12. Папкович П. Ф., Теория упругости, ОНТИ, 1939.
13. Риз П, М.. Деформации стержней, закрученных и слабо прогнутых в ненапря-
женном состоянии, М„ ЦАГИ, 1940 (Труды ЦАГИ, вып. 471).
14. Рухадзе А. К., О деформации естественно закрученных стержней, .Приклад-
ная математика и механика", т. XI, № 5, стр. 533—42, 1947.
15. С о л о н о у ц Б. О., О некоторых случаях точного решения задачи кручения
для несимметричных областей, Доклады АН СССР, т. XXII, № 4. 1939.
16. Т и м о ш е н к о С П., Теория упругости, ГТТИ, 1934.
17. Т о п о л я н с к и й Д. Б., О кручении некоторых трапецеидальных стержней,
.Вестник инженеров и техников", IX, № 9, стр. 529—531, 1936.
,18 . У ф л я н д Я. С., Кручение призматического стержня с профилем, ограниченным,
дугами двух пересекающихся окружностей. Доклады Акад, наук СССР, т. XVIII, № 1
стр. 17—20, 1949.
19. Феппль А. и Феппль Л., Сила и деформация, т. II, 1936.
20. Roark R. J., Formulas for torsional stress and deflection .Product Eng." IV, v. 8
№ 4, 1937.
ГЛАВА IX
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ
НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ
В настоящее время, главным образом в связи со значительным развитием
сварочной техники, в машиностроении все больше и больше используются
тонкостенные конструкции, составленные из прокатных профилей и листов.
Именно таким образом выполняются станины многих станков и машин, рамы
автомобилей, тележки вагонов и пр.
В некоторых специальных отраслях
машиностроения, и прежде всего в авиа-
строении, тонкостенные конструкции
применяются особенно широко.
Основными элементами большинства
тонкостенных машиностроительных кон-
струкций явЛ^ются тонкостенные про-
фили.
Тонкостенным профилем называется
брус, имеющий стенки, тонкие по срав-
нению с габаритными размерами попе-
Фиг. 325.
речного сечения.
Примером тонкостенных профилей являются прокатные профили — уголок,
швеллер, двутавр и т. п.
По форме сечения тонкостенные профили разделяются на открытые и замкну-
тые. К открытым профилям (фиг. 325, а) можно отнести упомянутые выше про-
катные профили; а к замкнутым — трубы с различной формой контура
(фиг. 325, б.)
Расчет тонкостенных профилей на прочность и жесткость имеет ряд осо-
бенностей по сравнению с расчетом сплошного бруса. Эти особенности отно-
сятся прежде всего к расчету на кручение и изгиб.
Открытые тонкостенные профили имеют весьма малую жесткость при кру-
чении, причем их кручение сопровождается, вообще говоря, искажением плоскости
поперечного сечения. Если искажение плоскости сечения чем-либо затруднено,
то в поперечных сечениях профиля возникают нормальные напряжения, связан-
ные с изгибом отдельных элементов профиля.
Кручение, сопровождающееся появлением нормальных напряжений в попе-
речных сечениях, носит название стесненного кручения.
Нормальные напряжения, возникающие в поперечном сечении бруса при
стесненном кручении, образуют статически уравновешенную систему сил. Такие
самоуравновешенные системы сил возникают, вообще говоря, и при стесненном
кручении сплошного бруса некруглого сечения, однако в этом случае они
обычно мало влияют на работу бруса и не учитываются при расчете. Дело в
том, что, как следует из принципа Сен-Венана, деформации сплошного бруса,
вызванные статически уравновешенной системой сил, приложенных к какому-
либо сечению, быстро затухают с удалением от этого сечения и становятся
пренебрежимо малыми на расстоянии порядка габаритных размеров сечения.
390 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Для открытого тонкостенного профиля деформации, вызванные приложенной
в сечении уравновешенной системой нормальных сил, затухают относительно
медленно и должны учитываться при расчете.
Таким образом, особенности расчета открытых тонкостенных профилей
обусловливаются неприложимостью принципа Сен-Венана и необходимостью
рассматривать не только суммарные силовые факторы в сечении (крутящий и из-
гибающий моменты, продольная и поперечная силы), но и факторы, определяю-
щие распределение самоурарновешенных напряжений (бимомент).
Поведение замкнутых тонкостенных профилей при стесненном кручении
существенно зависит от того, может ли искажаться форма контура поперечного
сечения. Если профиль усилен поперечными диафрагмами, расположенными
достаточно близко друг к другу, то форма контура сечения практически не
искажается.
В этом случае при стесненном кручении возникают значительные вторичные
нормальные и касательные напряжения, которые, однако, быстро затухают
с удалением от места стеснения и становятся весьма малыми на расстоя-
ниях порядка габаритных размеров сечения.
Если диафрагмы отсутствуют, то форма контура поперечного сечения про-
филя при стесненном кручении искажается. Величина возникающих при этом
вторичных напряжений меньше, чем при неискажающемся контуре сечения, но
эти напряжения медленнее затухают с удалением от места стеснения.
Теория открытых тонкостенных профилей, форма контура сечения которых
не изменяется в процессе деформации, разработана в весьма общей форме
советскими исследователями В. 3. Власовым [7], А. А. Уманским [17] и др.
Эта инженерная теория основана на некоторых гипотезах относительно законе
изменения осевых перемещений по сечению.
Метод более точного решения задачи, основанного на меньшем числе гипо-
тез, предложен Р. А. Ададуровым [1], [2]. Этот метод в ряде случаев по-
зволяет оценить погрешность инженерного решения.
Общая теория тонкостенных профилей изложена также в книге Г. Ю. Джа-
нелидзе и Я. Г. Пановко [12], где приведена и подробная библиография.
В работе А. Л. Гольденвейзера [9] тонкостенный открытый профиль рас-
сматривается как длинная цилиндрическая оболочка без использования гипотезы
о неизменности формы контура сечения.
Искажение формы контура поперечного сечения, при стесненном кручении
закрытых тонкостенных профилей, можно учесть, если рассматривать профиль
как цилиндрическую складчатую систему и воспользоваться уравнениями
В. 3. Власова [6], [7].
Если деформации контура сечения запрещены наличием достаточно большого
количества поперечных, жестких в своей плоскости диафрагм, расчет замкну-
того тонкостенного профиля может быть выполнен на основе гипотезы
о недеформируемости контура сечения. Методы такого расчета разработаны
А. А. Уманским [16].
В настоящей главе для частного случая замкнутого профиля прямоугольного
сечения разработан приближенный метод расчета с учетом деформации контура
сечения. На основе этого метода удалось, в частности, оценить пределы при-
менимости теории А. А. Уманского.
При изгибе тонкостенных профилей с криволинейной осью обычная гипо-
теза о недоформируемости контура сечения является неприложимой. Благодаря
изменению формы сечения при изгибе профиля жесткость его значительно по-
нижается, а распределение напряжений отличается от линейного.
Изложение вопроса об изгибе кривых тонкостенных профилей в настоящем
разделе основано на работе автора [4]. Для профилей эллиптического сечения
приводятся результаты, полученные В. И. Феодосьевым [20].
Чистое кручение тонкостенных открытых профилей
391
§ 1. ЧИСТОЕ КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ОТКРЫТЫХ ПРОФИЛЕЙ
А. Основные положения
При кручении тонкой полосы (Ь»8), сечение которой представлено на
фиг. 326, крутящий момент М и максимальное напряжение ттах выражается
через угол закручивания на единицу длины (погонный угол закручивания)
6 по формулам
M — MGO^-b*3; (1)
См. формулы (22)
т = 095.
max
и (21) гл. VIII при а —5 и при у-> 0.
(2)
Функция напряжений Ф (х, у) почти на всем сечении изображается параболи-
ческим цилиндром и лишь около коротких сторон сечения спадает до нуля
в соответствии с граничны-
ми условиями (фиг. 327).
На фиг. 326 представлено
распределение напряжений
по сечению скручиваемой
полосы.
Мембранная аналогия по-
Фиг. 326
казывает, что при чистом
кручении тонкостенных открытых профилей, состоящих из отдельных полос
(см., например, фиг. 328), в средней части каждой полосы функция напряжения
имеет тот gee вид, что и при кручении изолированной полосы. Взаимное
влияние полос приводит к искажению формы функции напряжений лишь в не-
посредственной близости от точек сопряжения полос.
Если ширина полос достаточно велика
по сравнению с их толщиной (т. е. про-
филь тонкостенный), то этим искажением
можно пренебречь и считать, что отдель-
ные полоски, составляющие профиль, работают независимо одна от другой,
закручиваясь на одинаковый угол 8.
Так как согласно формуле (1) момент, воспринимаемый каждой /-ой полоской,
связан с погонным углом ее закручивания зависимостью
M^Gbjb^t3,
то полный момент, воспринимаемый всем сечением, равен
О
(la)
где суммирование распространяется на все полоски.
Если обозначить

(3)
392 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
где JT—геометрический фактор жесткости при чистом кручении, то формулу
для крутящего момента можно записать в обычном виде:
М ~ GjtG. (4)
Максимальное касательное напряжение возникает у длинных сторон самой
толстой из полосок, составляющих сечение. Оно равно
Tmax=G08max
(здесь не рассматривается вопрос о концентрации напряжений во входящих
углах сечения).
Выражая 0 через крутящий момент, получим
М
Хтах ц/ > (5)
где
WT = -p- . (5а)
Gmax
Приведенные выше формулы относятся к сечениям, для которых каждая из
полосок имеет постоянную по длине толщину. Если некоторые полоски имеют
трапецоидальную форму (как, например, полки прокатных профилей), то гео-
метрический фактор жесткости JT для всего сечения вычисляется как сумма JTf
для каждой из полосок:
Фиг. 329
При этом для /-ой полоски ширины bf
JTi =
а для /-ой трапецоидальной полоски (фиг. 329), в соответствии с формулой (45а)
гл. VIII,
> bt ~~
•'7; — 12 ь2/ - • *
Обычно в сортаменте проката дается средняя толщина полки *Ср t и
уклон ее
а, в 2/ — ^1/
Подставляя в приведенную формулу значения
^1/ ^ср i ki и ^2/ ~ ^ср 1 ~2~ ’
приведем ее к более удобному виду:
Учитывая это выражение, можно геометрический фактор жесткости для всего
сечения представить в форме
где суммирование проводится по всем полоскам, составляющим сечение, а для
полосок постоянной ширины принимается ЪСр f — и kt — 0. Значения геомет-
рического фактора жесткости для прокатных швеллеров и двутавров приведены
в табл. 32 и 33, где, кроме уклона полок, учтены также незначительные по-
правки на влияние закруглений и на ужесточение за счет соединения отдельных
полосок между собой.
Чистое кручейие тонкостенных открытых профилей 393
Б. Искажение плоскости поперечного сечения при чистом кручении
тонкостенных открытых профилей
Рассмотрим осевые смещения w точек поперечного сечения скручиваемого
тонкостенного бруса.
Формула (10) гл. VIII
dw = 2hdf —xtds (6)
определяет приращение осевого перемещения w на участке дуги ds.
В этой формуле 6 — погонный угол закручивания, df—элементарная пло-
щадка, ограниченная элементом дуги ds и радиусами, проведенными в ее концы
из центра кручения Р (фиг. 330); — составляющая касательного напряжения,
по касательной t к дуге.
Фиг. 331
Интегрируя выражение (6) вдоль какой-либо линии, можно найти изменение
осевых смещений вдоль этой же линии.
Особенно простым получается выражение w для точек средней линии се-
чения открытого тонкостенного профиля, вдоль которой напряжение т, = 0.
Для элемента средней линии
dw — 2Mf.
Обозначим величину удвоенной элементарной площади через dw:
2df = rds = dw,
,где г — длина перпендикуляра, опущенного из полюса Р на касательную к дуге
(фиг. 330).
Тогда получим dw = $dw. (7)
Введем понятие секториальной площади
5
d)(5)=J г ds, (8)
о
равной удвоенной площади сектора, ограниченного частью дуги средней линии
сечения и радиусами, проведенными из полюса Р в ее концы (фиг. 331).
Секториальная, площадь возрастает при вращении радиуса-вектора р по ча-
совой стрелке.
Поскольку, согласно фиг. 331,
г = у cos а — х sin а,
где а—угол, составляемый касательной к средней линии профиля с осью х, то
в декартовой системе координат секториальная площадь может быть выра-
жена также интегралом
5 5 5
(d(s) —j rds= J(у cos a — xsin a) ds = J (ydx— xdy). (8a)
и и *o
394 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Определение величины секториальной площади, соответствующей любой
точке средней линии стенки, не представляет затруднений, если положение
плюса Р и начала отсчета дуги О заданы.
В дальнейшем величина секториальной площади будет графически изобра-
жаться в виде эпюр, где отрезки, пропорциональные ш, будут откладываться
по нормали к средней линии сечения.
Если средняя линия сечения представляет собой ломаную линию, то вдоль
каждого прямолинейного отрезка этой ломаной уклон эпюры секториальной
площади, равный расстоянию от полюса до данной стенки, является постоянным
Фиг. 332.
— = г = const
ds
и, следовательно, эпюра ш($) на рассма-
триваемом отрезке является прямолиней-
ной. Для профилей с криволинейным кон-
туром сечения и эпюра секториальной
площади является криволинейной.
Рассмотрим построение эпюры секториаль-
ной площади для сечения, средняя линия ко-
торого представлена на фиг. 332, при полюсе
в точке Р и при начале отсчета в точке О.
В точке 1 величина секториальной пло-
щади равна удвоенной площади треугольника
РО1, причем поскольку при переходе от
точки О к точке 1 радиус-вектор вращается
против часовой стрелки, эта величина в соот-
ветствии с принятым правилом знаков должна
быть взята с минусом:
<dj = —5-5 == — 25 см*.
При движении от точки 1 к точке 2 радиус-вектор вращается по часовой стрелке
и соответственно секториальная площадь возрастает на величину удвоенной площади
треугольника Р12.
ц>2 = —25 Ч- 5-10 = 25 см*.
При переходе от точки 2 к точке 3 радиус-вектор вновь вращается против часовой
стрелки, в связи с чем секториальная площадь уменьшается на величину удвоенной
площади треугольника Р23, т. е. на 15-5 = 75 см2.
1аким образом, в точке 3
= 25 — 75 = —50 см*.
Подобным же образом определяются ординаты эпюры секториальной площади
и в нижней части сечения. Для симметричного профиля эпюра секториальной площади
является кососимметричной.
При определении секториальной площади о>($) по формуле (8) должно быть
задано положение начала координат (полюса Р), а также той точки на контуре
(точка О), от которой начинается отсчет дуги.
Таким образом, величина секториальной площади зависит от трех произволь-
ных параметров: двух координат полюса и начальной точки отсчета дуги.
Посмотрим, как изменяется величина <о при переносе полюса.
Допустим, что в первоначальной системе координат х у' точке S средней
линии сечения соответствует величина секториальной площади
со ($) = j (у dx— х dy).
и
При переносе полюса в точку Р” с координатами а и b (фиг. 333) величина
секториальной площади <о"($) будет определяться равенством
со" (s) = j (у" dx — х” dy).
Касательные напряжения при изгибе профилей поперечной нагрузкой
395
Поскольку
х" = х — а\
у’ = /-Ь,
то
<9 5 <S
ю" ($) = [ (у1 dx — х dy) — b \ dx а \ dy
6 оо
и окончательно
(о* (s) = со (s) — b (х — xQ) + а (у — j/0),
(9)
где через х, у и х0, у0 обозначены координаты точек S и О.
Следовательно, при переносе полюса к величине секториальной площади доба-
вляются слагаемые, линейно зависящие от координат (х, у) точки S средней
линии.
При изменении начальной точки отсчета
дуги О (х0, уь) к величине со ($) добавляется
постоянное слагаемое, так как изменение на-
чала отсчета равносильно изменению нижнего
предела интеграла (8).
Интегрируя уравнение (7) и полагая, что
в начальной точке отсчета дуги О продоль-
ное смещение w = 0, получим
w— 6о). (10)
Таким образом, величина осевого сме-
щения точек средней линии сечения равна
произведению погонного угла закручива-
ния на величину секториальной площади, соответствующей данной точке.
Так как величина to зависит от выбора полюса и начала отсчета дуги, то
и величина смещений, вычисленных по формуле (10), также зависит от этих
• параметров.
Некоторая неопределенность смещений, получаемых по формуле (10), свя-
занная с произвольностью выбора полюса и начала отсчета при вычислении со($),
объясняется тем, что при изменении этих параметров к выражению для w доба-
вляется одинаковое для всех поперечных сечений слагаемое, линейно зависящее
от координат х и у [см. формулу (9)] и соответствующее перемещениям всего
бруса как жесткого тела.
Для того чтобы внести определенность в величину смещений, можно задать
какие-нибудь три условия, например смещения трех точек сечения, определяю-
щих положение бруса как жесткого целого (величины секториальной площади
в этих точках).
§ 2. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ ОТКРЫТЫХ
ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ ПОПЕРЕЧНОЙ НАГРУЗКОЙ
Нормальные напряжения при изгибе тонкостенных профилей поперечной
нагрузкой определяются по обычной формуле сопротивления материалов, осно-
ванной на гипотезе плоских сечений, т. е. по формуле
где Мх и Му — изгибающие моменты относительно главных центральных осей
сечения х и у;
Jx и Jy — моменты инерции площади сечения относительно тех же осей;
х и у — координаты той точки сечения, в которой определяются
напряжения.
396 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
В случае плоского изгиба относительно оси х (если Л4у = 0)
а = —
Касательные напряжения, возникающие при поперечном изгибе тонкостенных
профилей, определяются на основании следующих гипотез:
а) предполагается, что касательное напряжение в каждой точке поперечного
сечения направлено параллельно средней линии контура;
б) не учитывается изменение величины касательного напряжения по ширине
полосок, составляющих сечение.
Первое из этих предположений оправдывается тем, что в силу закона
парности напряжения у контура сечения направлены по касательной к кон-
Составим сумму проекций на ось бруса всех сил,
ный элемент.
В поперечном сечении, определяемом координатой
туру.
Второе предположе-
ние достаточно справед-
ливо для тонкостенных
профилей, если кручение
отсутствует.
Для определения ве-
личины касательного на-
пряжения на линии А А,
перпендикулярной к сред-
ней линии сечения
(фиг. 334, а), рассмотрим
равновесие элемента, вы-
резанного из бруса двумя
смежными поперечными
сечениями, отстоящими
на dz друг от друга,
и продольным сечением
(фиг. 334, б)<
действующих на выделен-
z, действуют нормальные
напряжения
а в сечении z -f- dz нормальные напряжения равны
а + dz = (Мх 4- dz\ у.
1 dz Jx \ х 1 dz )
Результирующая сила, определяемая этими напряжениями, равна
, С дс 1 dMx , С
dz 1 -г- dF = -7--dz | у dF,
J dz JK dz J J 9
F* F*
причем интеграл берется по части площади поперечного сечения бруса F*,
соответствующей выделенному элементу (площадь F* на фиг. 259, а заштри-
хована).
Подсчитанная сила уравновешивается равнодействующей касательных напря-
жений т, действующих по площади %dz продольного, сечения элемента.
Таким образом, условие равновесия дает
da 1
-ч- dF = —
dz Jx
dMx , С
ifdz]ydF-
F*
(П)
Касательные напряжения при изгибе профилей поперечной нагрузкой
397
d/Vl С *
Так как производная равна поперечной силе Qy, а интеграл lj/dF = Sx
F*
представляет собой статический момент относительно нейтральной оси х части F*
площади поперечного сечения, выделенной линией АА, то окончательно
В качестве примера применения полученной формулы рассмотрим распределение
касательных напряжений в профиле швеллерного типа (фиг. 335).
Фиг. 335.
При определении напряжений в полке на расстоянии £ от ее конца следует в фор-
мулу (12) подставлять статический момент части полки от края до рассматриваемого
сечения:
s* = А,
Соответственно касательное напряжение в полке составляет
Qy
Jx
3*
Qv hr
77 “2
Оно изменяется вдоль полки по линейному закону.
Касательное напряжение в стенке на расстоянии tq от нейтральной оси
Jx В Jx 6
Таким образом, напряжение по высоте стенки изменяется по параболическому
закону.
Эпюра распределения касательных напряжений по сечению представлена на фиг. 335,а.
Стрелки указывают направление напряжений.
Равнодействующая касательных сил в сечении направлена по вертикали и предста-
вляет собой поперечную силу Qv. Действительно,, суммируя вертикальные напряжения
в стенке, получим
А Л.
2 2
398 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Так как момент инерции сечения относительно оси х1^
то окончательно получим
Q = Qy
Для того чтобы найти линию действия равнодействующей касательных сил (попе-
речной силы), рассмотрим момент, создаваемый этой силой относительно точки А
(фиг. 335, б).
Касательные силы в стенке не дают момента относительно точки Д, а момент каса-
тельных сил в полках
ь ь
Л<д = .
J Лг 2 J Jx 4
О о
Но сумма моментов составляющих сил равна моменту их равнодействующей.
Это обстоятельство позволяет определить расстояние Хр линии дейавия поперечной
силы Qy от точки А:
Qy h2b2
& ’“J-- = QyxD’
Отсюда находим
Л2Я
Xd~ 4Jr
Таким образом, при изгибе корытндго профиля поперечная сила проходит не через
центр тяжести сечения, а через некоторую точку D (фиг. 335, б), называемую центром
изгиба.
Центр изгиба определяется как точка, относительно которой касательные
напряжения изгиба не дают момента.
Для того чтобы распределение напряжений в сечении соответствовало полу-
ченным выше формулам, внешняя нагрузка, приложенная к балке, также должна
проходить через ось, соединяющую центры изгиба поперечных сечений.
В случае, если внешняя нагрузка, действующая на балк^Г, не проходит
через центр изгиба, то она, помимо изгиба балки, вызовет также и ее закру-
чивание.
Выведем общие формулы, определяющие положение центра изгиба тонко-
стенного открытого профиля.
Касательные напряжения при косом изгибе тонкостенного профиля определя-
ются формулой:
т = + ^-S*) , (12а)
о \ Jx * “ Jy у) 9 ' '
где Qy и Qx — проекции поперечной силы на главные оси сечения;
S* и S* — статические моменты части сечения относительно осей х и у:
S* = SydF-,
Х F*
S* = f X dF.
У F*
i) Момент инерции для тонкостенных профилей вычисляется без учета моментов
инерции полок относительно собственных осей.
Вносимая этим неточность того же порядка, что и погрешности, связанные с вве-
денными выше гипотезами о законах распределения касательных напряжений в тонко-
стенных профилях.
В рассматриваемом случае бол-ее точное значение момента инерции
/ bh2 Гг* \ Л ДО
jx - * * * 6 * В ( 2 + 12 ) + 2 12 •
Последний член в этом выражении имеет относительно очень малую величину, и им
всегда можно пренебречь.
Касательные напряжения при изгибе профилей поперечной нагрузкой
399
Эти интегралы распространяются на часть контура сечения между его краем
и той точкой, где вычисляются напряжения.
Момент касательных напряжений относительно некоторой точки Р (полюса >
определяется формулой
Мр = JrxSflfs,
i
где г—плечо элементарной силы zbds (фиг. 336), а интеграл распространяется
на всю длину средней линии профиля /.
Так как rds = d& представляет собой дифференциал секториальной площади, то

Подставляя сюда значение т, получим
лл
MD= -r~
xdF rf(o.
Вычисляя интегралы по частям и учитывая, что
оси х и у являются главными центральными осями
и что, следовательно, распространенные на всю
площадь сечения интегралы J xdF и J у dF равны
нулю, найдем
М
'r- I <s>xdF,
у %
площадь сечения.
где интегралы распространяются на всю
Если в качестве полюса при построении эпюры <о выбрать центр изгиба, то
момент Л4Р касательных сил относительно полюса будет равен нулю при любых
значениях сил Qx и Qy.
Таким образом, положение центра изгиба опре-
деляется равенствами:
Фиг. 337.
(13)
0.
(14)
Уравнения (13) и (14) позволяют легко прак-
тически определить положение центра изгиба. Для
этого надо построить эпюру секториальных пло-
щадей ю' при произвольно выбранном полюсе Р'
(см., например, фиг. 337). Теперь, если предполо-
жить, что центр изгиба D отстоит от полюса Р'
на расстояниях xD и yD (отмеренных вдоль главных центральных осей сечения
с учетом знаков), то величина секториальной площади <о при выборе в качестве
полюса точки D будет равна [см. формулу (9)]
<•» = <0 — yD (х — х0) 4- xD (у — _у0),
Подставляя эту величину в формулу (13), найдем
j аь'у dF —yD j ху dF -f- yDxQ j у dF -|-
F F F
+ y*dF ~ хоУо [у dF = °-
400 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Так оси х и у—главные центральные, то
= JxydF = 0; ^y2dF=Jx.
F F F
Уравнение (13) дает
J toy dF + xdK — °*
F
Точно так же из уравнения (14) следует, что
J to х dF — yDJy = 0.
F
Таким образом, расстояния xD и yD определяются по формулам
1 f '
xD = ------------------------------------------j— 1 io у dF\
J X J
(15)
№ = 7-
Выбор начальной точки отсчета дуги при по-
строении эпюры to' не играет роли, так как изме-
нение положения этой точки равносильно доба,-
влению к to' постоянной величины, что не влияет
на величину интегралов в формулах (15).
Рассмотрим некоторые примеры определения поло-
жения центра изгиба по формулам (15).
Прежде всего найдем по этим формулам положе-
ние центра изгиба для уже рассмотренного ранее ко-
рытного профиля (фиг. 338).
В качестве первоначального полюса выбираем точ-
ку А, лежащую в середине стенки. Эту же точку счи-
таем начальной для отсчета дуги. Соответствующая эпюра секториальной площади
изображена на фиг. 338. Ввиду того что эпюра <*>' является обратно симметричной отно-
сительно оси х, р
| w'x dF 0.
Следовательно, и ур = 0, т. е. центр изгиба лежит на оси симметрии, что ясно
и непосредственно
При вычислении jw' ydF надо иметь в виду, что для верхней части эпюры у = JL-*
а для нижней части у = — -А-, поэтому
Г л h 1 bh b2h2b
] ш'у dF = 2 — -у- — W---------—
Подставляя эту величину в первую формулу (15) для хр. получим
Ь№Ъ
что совпадает со значением, полученным ранее элементарным способом.
В качестве второго примера рассмотрим профиль, сечение которого изображено на
фиг. 339. Толщину профиля считаем постоянной и равной 0,3 см. На той же фигуре
вычерчена эпюра секториальной площади (полюс и начало отсчета дуги совмещены
в точке Л).
При вычислении интеграла <л'у dF, который, в сущности, представляет собой
F
статический момент относительно оси х эпюры <»*, умноженной на 5, участки эпюры,
имеющие форму трапеции, расслаиваем на прямоугольник и треугольник; тогда
J dF - 2-0,3 25-5.5 + 25-5.3,54--^-15.3.3] = 385 еле5.
F
Стесненное кручение открытых профилей
401
Вычисляем момент инерции сечения относительно оси х:
Jx - 2-0,3 + -]-5-521 = 123,4 ел!
L о \ о о / J
Расстояние
муле (15):
от точки А до центра изгиба
D определяется по первой фор-
385 __
123,4 3,12 см
=
§ 3. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ
ОТКРЫТЫХ ПРОФИЛЕЙ
Как показано выше, кручение тонко-
стенных открытых профилей связано —
с искажением плоскости сечения — де-
планацией. Если величина крутящего мо-
мента постоянна по всей длине скручивае-
мого бруса, а концы его свободны, то все
поперечные сечения депланируют одина-
ково, и эта депланация не связана с по-
явлением нормальных напряжений в сече-
ниях.
Если продольные смещения точек бруса
стеснены вследствие того, что торцы его
заделаны, или потому, что крутящий момент не постоянен по длине бруса, то
депланации различных сечений различны, возникают продольные деформации и
соответствующие нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.
При этом отдельные элементы профиля (например, полки двутавра, фиг. 340)
работают на изгиб,
-312см
25 см2
'ЬОсм2
5см-
Фиг. 339.
Фиг. 340.
и часть полного крутящего момента воспринимается каса-
тельными напряжениями, свезанными с этим вторичным
изгибом.
Кручение при стесненных продольных смещениях носит
название стесненного кручения.
Достаточно точное решение задачи о стесненном кру-
чении открытых профилей можно получить, если предпо-
ложить, что продольные смещения точек профиля w свя-
заны с погонным углом закручивания 6 такой же зависи-
мостью, как и при чистом кручении [см. формулу (10)]:
W = 0 (D.
Здесь 9 0 (z) в отличие от чистого кручения, где
угол 0 был постоянным по всей длине бруса.
Положение точки, относительно которой поворачивается
сечение (т. е. положение центра кручения), остается пока
неизвестным.
и неопределенность положения полюса при вычислении
си в формуле (16). Этот вопрос будет выяснен
С этим связана
секториальной площади
несколько ниже.
Принимая формулу (16), легко подсчитать величину продольной деформа-
ции ег в каждой точке сечения:
dw dft
2 dz dz
Нормальные напряжения в поперечном сечении связаны с деформацией ez
законом Гука:
аг = Е*г = Е^Ш. (17)
26 Пономарев и др 407
402 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Так как в сечениях бруса внутренние силы приводятся к крутящему моменту,
то напряжения а2 образуют статически уравновешенную систему, т. е. равно-
действующая внутренних нормальных сил и их моменты относительно любых
осей х и у должны равняться нулю:
J a2dF = 0;
, р
^а2о dF = 0;
р
dF = 0.
р
Подставляя в эти выражения значение напряжения из зависимости (17),
получим
J«>tZF = O; (18)
р
$vydF=0-, <19)
р
j<oxdF — 0. (20)
р
Формулы (19) и (20) полностью совпадают с формулами (13) и (14), опре-
деляющими положение центра изгиба. Из тождества этих формул следует, что
центр кручения совпадает с центром изгиба и его положение может непосред-
ственно определяться по формулам (15).
Таким образом, в отличие от чистого кручения, при стесненном кручении
положение центра кручения—вполне определенное. Это объясняется тем, что
при чистом кручении все образующие остаются прямолинейными (при малых
перемещениях), и любая из них может быть принята за ось кручения. При
стесненном кручении, напротив, образующие искривляются, и только продольная
ось, представляющая собой геометрическое место центров кручения поперечных
сечений, остается прямолинейной. *
Формула (18) дает еще одно условие, позволяющее определить положение
начальной точки отсчета секториальной площади.
Если профиль имеет ось симметрии, то условие (18) выполняется автомати-
чески, если начало отсчета расположить на этой оси.
В противном случае, учитывая, что при изменении начала отсчета к секто-
риальной площади добавляется постоянное слагаемое, полагаем
(О = (D0 -J- С,
где ю0 — величина секториальной площади при произвольном выборе начала
отсчета;
со — секториальная площадь, удовлетворяющая уравнению (18);
С — постоянная.
Подставляя значение со в формулу (18), получим
j(<o0 +-С) dF = 0>
откуда
С= —f«>odF.
р
Добавляя теперь к ординатам эпюры о)0, построенной при произвольном
выборе начала отсчета, постоянную С, получим окончательную эпюру ш.
Эпюра со, построенная при полюсе, совпадающем с центром кручения, и при
соответствующем выборе начала отсчета, называется эпюрой главной секториаль-
ной площади.
Стесненное кручение- открытых профилей •
403
Таким образом, в формуле (17), определяющей нормальные напряжения
в поперечном сечении бруса при стесненном кручении, под w следует понимать
главную секториальную площадь.
Определим вторичные касательные напряжения, связанные с изгибом элементов
профиля при стесненном кручении. Для этого, так же как и для определения
касательных напряжений при изгибе, рассмотрим равновесие части профиля,
изображенной на фиг. 334, б.
Проектируя все силы на ось z\ найдем [см. уравнение (11)|
то dz =
-dF,
Г ’
где интеграл распространяется на
площади сечения между его краем
сматриваемой точкой.
Сокращая в этом уравнении dz
его значением согласно форму-
получим
* с dW С
то = F I (О dF.
dz2 J
меняя az
ле (17),
по себе вторичные касательные
и за-
(21)
часть
и рас-
Фиг. 341
Сами
напряжения очень невелики по сравнению
с касательными напряжениями чистого
кручения, но момент этих напряжений
имеет тот жег порядок, что и момент напряжений
Это объясняется тем, что, как видно из фиг. 341,
бражено распределение напряжений обоих видов при стесненном кручении
двутавра, плечо напряжений чистого кручения (фиг. 341, а) составляет 2/3 тол-
щины стенки, плечо же вторичных напряжений (фиг. 341, б) сравнимо с габа-
ритными размерами сечения.
Чтобы вычислить величину момента Мс вторичных касательных напряжений,
возникающих вследствие стеснения, нужно напряжение т умножить на элементар-
ную площадку bds и на плечо г, затем проинтегрировать по всей площади сечения;
Мс = J rBrds.
чистого кручения.
а и б, на которых изо-
Так как rds = dw— дифференциал секториальной площади, то
Подставляя значение т8 из формулы (21), получим
М=Е
udF.
Интеграл можно вычислить по частям:
J dw J wdF = of wdF
Так как на основании формулы (18) JwdF = 0, то окончательно

26*
404 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Величина (isPdF = Л [сл/6] представляет собой геометрическую характери-
F
стику сечения, которую можно назвать геометрическим фактором жесткости при
стесненном кручении1.
Воспользовавшись введенным обозначением величину момента вторичных
касательных напряжений можно выразить как
= (22)
При стесненном кручении в сечениях возникают как касательные напряжения,
соответствующие чистому кручению и дающие моменты [см. формулу (4)]
Мч = GJr9,
так и вторичные касательные напряжения с моментом, определяемым форму-
лой (22).
Полный крутящий момент в сечении Мкр равен сумме этих моментов:
Мч-}-Мс—Мкр.
Заменяя Мц и Мс их значениями, получим дифференциальное уравнение, опре-
деляющее погонный угол закручивания 9:
Q)Tb-EJ^==MKp.
Обозначим
тогда
__а28==_а (23)
Поскольку крутящий момент в каждом сечении равен сумме внесших моментов,
приложенных по одну сторону от сечения, то величину Мкр ~ M*(z) можно счи-
тать известной.
Общее решение дифференциального уравнения (23) можно записать в следую-
щей форме:
9 = ch az -г С2 sh az + Ф (z), (24)
где
г
Ф(г) = —^J/M(C)sha(2: —СХ (25)
а С — переменная интегрирования.
Первые два слагаемых в выражении (24) дают общее решение однородного
дифференциального уравнения.
Ф (z) представляет собой частное решение уравнения (23) с правой частью,
соответствующее нулевым начальным условиям Ф(0) —Ои ф (0) = 0.
Произвольные постоянные С1 и С2 определяются из граничных условий. Эти
условия могут быть следующими:
а) торец бруса жестко заделан: в этом случае продольные смещения w запре-
щены; вследствие равенства (16) на этом конце выполняется условие
9 = 0;
б) торец бруса может свободно депланировать; в этом случае на нем отсут-
ствуют нормальные напряжения а2 и вследствие равенства (17)
1 В. 3. Власов называет эту величину секториальным моментом инерции сечения
Стесненное кручение открытых профилей
405
Рассмотрим значение функции ф’ (2), даваемой формулой (25) для того случая,
когда профиль нагружен сосредоточенными внешними моментами (фиг. 342).
На первом участке (0 < z < z^)
М (z) =
соответственно
2
Ф (z)----<577 У'30’*»sh “ <2 — £) <£ = 777 С1 ~ch “г>-
о
На втором участке (zj < z < z2)
(z) = % + ЯЬ
и
Ф(2)------7^Jsha(2-C)dC- -^-Jsha(z ——
и 2,
= (1 — Ch аг) 4- [1 — ch а (г — zj). (26a)
Точно так же на третьем участке z2 < z < z3 получим
Ф(г) = ^ (1 — chaz)4-^[l —cha(z —ZJ14-[1 —ch a (z —z2)] (266)
и т. д.
После того как величина 9 по формуле (24) определена, легко вычислить и
все другие необходимые величины по следующим формулам.
Момент, создаваемый напряжениями
чистого кручения,
Мч = GJTh,
Момент вторичных напряжений (22)
Мс — ЕJ ш 2»
ИЛИ
Фиг. 342.
МКр Мч.
Касательные напряжения чистого
кручения
т = ^8.
JT
Вторичные касательные напряжения (21)
(odF,
или

(27)
F*
Интеграл в этих выражениях берется от края сечения до рассматриваемой точки.
Нормальные напряжения, связанные с кручением, в соответствии с форму-
лой (17) равны
(28)
''(О
где введено обозначение
B = EJa£. (29)
Эту величину принято называть бимоментом1.
Смысл этого термина будет выяснен далее — см. § 4.
406 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Угол поворота сечений профиля ср связанно погонным углом закручивания 0
соотношением
^1=0
dz
и может быть определен по формуле
Z
ф = ф0 j 0dz,
о
где ср0 — угол поворота начального сечения.
Для того чтобы полученные выше формулы давали правильные знаки напря-
жений (что особенно важно для а), необходимо соответствующим образом выбрать
систему координат. Направление отсчета секториальной площади должно совпадать
с направлением положительного кру-
тящего момента, а это последнее свя-
зано с направлением оси z правилом
правого винта (фиг. 343).
Фиг. 344.
Рассмотрим некоторые примеры применения изложенной теории. Допустим, что
профиль (фиг. 344) закручивается парой, приложенной на свободном конце (z = 0), в то
время как второй конец (z « /) заделан (т. е. ему запрещен не только поворот, но и
продольные смещения).
Располагая начало координат на свободном конце, можно на основании зависимо-
стей (24) и (26) записать общее выражение для погонного угла закручивания 0 в сле-
дующем виде:
ЭД *
О = Cl chaz 4- С2 sh az 4- QJ^ (1 — ch aZ)-
Произвольные постоянные Ci и C2 определяются из условий на концах профиля.
На свободном конце профиля (z = 0) отсутствуют нормальные напряжения а2,
поэтому
/ dO \
\ dz) 2=0 = °*
На заделанном конце, при z = Z, отсутствуют продольные смещения w, поэтому
02=, = 0.
Из первого условия следует, что
67 2 = 0,
а из второго
ЭД
Cl ch al 4“ QJ~ (1 — ch a/) = 0.
Подставляя полученное отсюда значение Ci в общее выражение для 0, нахозим
Л ЭД / ch az \
0= GJr\1_ ch а/ / ’ (30)
Величина момента, воспринимаемого напряжениями чистого кручения,
Величина момента, воспринимаемого вторичными напряжениями,
ch az
Ме = м - Мч = W
Стесненное кручение открытых профилей
407
Бимомент (29) изменяется по длине профиля по закону
dh a sh az _ 9ft
= dz = ~ GJr Ch al а
sh az
ch al
Нормальные напряжения стесненного кручения определяются по формуле (28):
В
Угол поворота любого сечения относи-
тельно заделанного конца вычисляется инте-
грированием
i
С У511 1 г
z
sh al — sh az
Ch al
Угол поворота свободного конца
= QJr
th al \
^T~ )
Для того чтобы пояснить порядок практических вычислений, рассмотрим числовой
пример.
Требуется рассчитать профиль, изображенный на фиг. 345, один конец которого
заделан, а другой, свободный, нагружен моментом Толщина стенок профиля
Ь = 0,3 см.
Прежде всего определяем геометрические характеристики поперечного сечения.
Фиг. 346
Геометрический фактор жесткости профиля при чистом кручении
1 vt 0,33
JT = — аЬЗ - ПГ (10 + 2*5 + 2*3) = °’234 см*-
Положение центра кручения D, совпадающего с центром изгиба, для рассматривае-
мого сечения определено выше (см. фиг. 339).
Располагая полюс в центре кручения и направляя начальный радиус-вектор по оси
симметрии сечения, строим эпюру главной секториальной площади (фиг. 346, а).
На фиг. 346, б представлена эпюра изменения интеграла ^dF, который необходим
для вычисления вторичных касательных напряжений.
Для вычисления геометрического фактора жесткости сечения при стесненном кручении
<МР
F
408 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
заменим
тогда
dF = Zds,
или, ввиду постоянства толщины,
J^ «= о J <o2ds.
= J <o2Ws,
В случае, если эпюра о> линейна,
с помощью правила Верещагина (см. гл.
Фиг. 347.
На свободном конце профиля (z =
мается момент
интеграл по контуру удобнее всего вычислять
т. I), умножая площадь каждого участка эпюры
на ординату ее под центром тяжести.
Таким образом получим
+ 3.9,4 ^4-3^^3(3376-9,4)^^
4-у- (33,76—9,4)] ] = 1355 ел®.
Е
Принимая отношение ~~q~ = 2,6, вычи-
сляем коэффициент а:
/~ GJr 1 f 0,234
а = V = V 2,6-1355 =
= 8,15-10-3 см-i'
На фиг. 347 представлены эпюры Мч, Мс,
В и <р по длине профиля, соответствующие
полученному значению а.
0) напряжениями чистого кручения восприни-
= С1 — ch 0,815 ) = О,269!К:
соответственно
(Мс) .=0 = Мкр -Мч = 0,749ft.
На заделанном конце весь крутящий момент воспринимается напряжениями стес-
ненного кручения.
Нормальные напряжения стесненного кручения достигают максимума на заделан-
ном конце, где бимомент наибольший:
qft ЯТ?
Втах= ~~ th а/= —• 0,67 —.
Угол закручивания профиля
Т2=о.^(1-»вО> 175
GJt \ а.1 / GJt
Из последнего соотношения видно, что поскольку один торец профиля заделан, угол
его закручивания составляет всего лишь 17,5% того угла, на который закрутился бы
профиль при чистом кручении.
Исследуем напряженное состояние профиля, принимая УЛ =» 1000 кгсм.
В сечении профиля у нагруженного его конца имеют место только касательные
напряжения чистого и стесненного кручения; нормальные напряжения отсутствуют.
Напряжения чистого крученйя определяются по формуле (5):
г, = - °’26gRS = Р.’26‘|222о,3 = 330 кг!см\
Jt Jt 0,234
Стесненное кручение открытых профилей
409
Так как толщина всех элементов профиля одинакова, это напряжение практически
постоянно вдоль всего контура и спадает только около его концов.
Вторичные касательные напряжения хс находим по формуле
= [<*dF,
F*
используя построенную на фиг. 346, б эпюру [ <&dF
F*
Максимальное напряжение хс в сечении при z — 0 равно
-^“> 22.1 -40
О'**» I J I V,O«1ODD
IF* J max
Распределение напряжений
Наиболее опасными явля-
ются точки А н В (фиг. 348, б),
где напряжения хч и хс скла-
дываются. Суммарное касатель-
ное напряжение в этих точках
составляет
т = 330 + 40 = 370 кг/см2.
Эквивалентное напряжение
по теории прочности Мора (см.
гл. VI, т. I), если принять
= 1, равно
asd
®жв “ 2т = 740 кг/см*.
Теперь рассмотрим распре-
деление напряжений в сечении
у заделки (г === /). В этом сече -
нии возникают только касатель-
ные и нормальные напряжения
стесненного кручения (хч = 0).
Напряжения хс определя-
ются по формуле (27), причем,
так как момент Мс в этом се-
чении равен полному момен-
ту Я?, эпюра распределения
напряжений по сечению может
на величину
хч и хс показано на фиг. 348.
в
SJ
Фиг. 348.
яг
быть получена умножением эпюры fcorfF (фиг. 346, б)
F*
- 100-°----2,46 кгсм~\
0,3-1355
Эпюра напряжений хс приведена на фиг. 349, а.
Эпюра нормальных напряжений <sz получается на основании формулы (28) путем
умножения эпюры <о (фиг. 346, а) на величину
А = —0,67 _®L = -0,67________1222______
4 \dz)z=l ad” 3,15-1О~»-1355
—60 кгсм—*.
Полученная эпюра (a2)2=z представлена на фиг. 349, б.
Наиболее опасными точками заделанного сечения являются крайние точки контура,
в которых нормальные напряжения достигают 2040 кг/см2,
В качестве второго примера рассмотрим скручивание профиля, оба конца которого
закреплены так, что не могут поворачиваться, но могут свободно депланировать. Внеш-
няя пара приложена внутри пролета (фиг. 350). На фигуре действие опор заменено реак-
тивными моментами (Ягд и Я^в).
Отбрасывая левую опору й заменяя ее действие моментом Я£д, можем написать
общее выражение для погонного’угла закручивания:
при 0 < z < а
О = Ci ch az -h С2 sh az 4- (1 — ch az)\
GJ r
4Ю Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
6 « С\ ch az 4- С2 sh az + (1 — chaz) — [1 — ch a (z — a)].
GJr GJt
В эти выражения входят три неизвес
определены из следующих условий: плос
искажаться, и нормальные напряжения в
Ci sh aZ - Sh
GJt
Третье условие дает
Cl Sh al + ^4 (al - sh a
GJ?
г постоянные Clt C2 и УЛд. Они могут быть
л сечений при z = О и z = / могут свободно
с сечениях отсутствуют, следовательно,
=0;
\dz /г=о
\ dz
угол закручивания всего профиля также
равен нулю:
i
<р = J 0rfz = 0.
о
Из первого условия следует
С2 = 0;
из второго условия
/+-5Lsh a6 = 0.
— lab — Sh ab) = 0.
G Jt
Отсюда находим
5Ш f 6 __sh ab\
GJr \ I sh al J *
Таким образом, окончательно погонный угол закручивания определяется уравне-
ниями:
при 0
0= JLfl-^chazV
GJT \ I &hal )•
Стесненное кручение открытых профилей
411
при а < z < I
е = J3L ГА _ sh-a&- ch az + ch a (z—a) — 1
a JT L l Sh al
Соответствующие этим уравнениям
эпюры M4t Мс, В и ср изображены на
фиг. 351.
В частном случае, если а = b =
I
2
продольные смещения w в среднем се-
чении профиля вследствие - симметрии
отсутствуют, следовательно, равен нулю
и погонный угол закручивания 0 [см.
формулу (16)], а также пропорциональ-
ный этому углу момент чистого круче-
ния. Весь внутренний крутящий момент
в этом сечении
ными касательными
создается вторич-
на пряжениями.
Практический интерес предста-
вляет вопрос, как ведут себя при
стесненном кручении стандартные
прокатные профили.
Прежде всего надо выделить
профили типа уголка и тавра. В этих
профилях центр кручения D распо-
лагается на пересечении средних ли-
ний полок (фиг. 352), и секториаль-
ная площад^ для любой точки сред-
ней линии сечения равна нулю.
Следовательно, плоскость сече-
ния таких профилей при кручении
не искажается.
При закручивании в таких про-
филях возникают только напряже-
Фиг. 351.
ния чистого кручения.
Корытный профиль
дится на оси симметрии
(фиг. 353, а). Центр- кручения такого
Ь2Н2Ъ
на расстоянии —— от средней линии
профиля нахо-
стенки. Эпюра
секториальной площади ш предста-
влена на фиг. 353, б.
Зетовый профиль (фиг. 354, а).
Центр кручения совпадает с центром
тяжести сечения; эпюра (о предста-
влена на фиг. 354, б.
Фиг. 352.
Фиг. 353.
Двутавровый профиль (фиг. 355, а). Центр кручения совпадает с центром
тяжести сечения. Эпюра секториальной площади дана на фиг. 355, б.
Геометрический фактор жесткости сечения двутаврового профиля при чистом
кручении

412 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Геометрический фактор жесткости сечения при стесненном кручении
Приведенные выше формулы секториальных геометрических характеристик
для прокатных профилей являются приближенными. Они не учитывают уклона
полок профилей и влияния за-
круглений.
Учет этих факторов может
привести к изменению результа-
тов расчета на 10—15°/0. Под-
робные формулы для расчета
секториальных геометрических ха-
рактеристик прокатных профи-
лей с учетом уклонов полок и
закруглений приведены в ра-
боте [5].
В табл. 32 и 33 указаны зна-
чения секториальных геометриче-
ских характеристик, рассчитанных
по уточненным формулам для про-
филей, предусмотренных ГОСТ.
Фиг. 357.
Для того чтобы установить относительное влияние вторичных напряжений при кру-
чении тонкостенных профилей, рассмотрим числовой пример
Двутавровая балка длиной 2 м, концы которой закреплены от поворота, но могут
депланировать, нагружена моментом = 10000 кгсм, приложенным в середине пролета
(фиг. 356). Сечение двутавра изображено на фиг. 357 (размеры в см), где также пред-
ставлена и эпюра секториальной площади.
Геометрический фактор Жесткости сечения при чистом круче*нии
, = 2.10-l,14»+L8W =
Стесненное кручение открытых профилей
413
Таблица 32

Геометрические характеристики
двутавровых балок (по ОСТ 10016-39)

Примечание. При вычислении а при-
Р
НЯТО, ЧТО = 2,63.
G
ЛЬ профиля Размеры в ми Площадь сече- ния F в см'2 Справочные данные
h ь s, б г Jx в см? Wx в см? 2У в см? в см? JT в см* . ^0) в см? В см* В см~^
10 12 14 16 18 20 * 22 * 24 аь 97 а 11 Ь а 30 b с а 33 b с а 36 b с а 40 b с а 45 b с а 50 b с а 55 b с а 60 b с - 100 120 140 160 180 200 200 220 220 240 240 270 270 300 300 300 330 330 330 360 360 360 400 400 400 450 450 450 500 500 500 550 550 550 600 600 600 68 74 80 88 94 100 102 ПО 112 118 122 124 126 128 130 130 132 134 136 138 140 142 144 146 150 152 154 158 160 162 166 168 170 176 178 180 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 9,0 *7,5 9,5 8,0 10,0 8,5 10,5 9,0 11,0 13,0 9,5 11,5 13,5 10,0 12,0 14,0 10,5 .12,5 14,5 11,5 13,5 15,5 12,0 14,0 16,0 12,5 14,5 16,5 13,0 15,0 17,0 7,6 8,4 9,1 9,9 10,7 11,4 11,4 12,3 12,3 13,0 13,0 13,7 13,7 14,4 14,4 14,4 15,0 15,0 15,0 15,8 15,8 15,8 16,5 16,5 16,5 18,0 18,0 18,0 20,0 20,0 20,0 21,0 21,0 21,0 22,0 22,0 22,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,0 9,5 9,5 10,0 10,0 10,5 10,5 11,0 11,0 11,0 11,5 11,5 11,5 12,0 12,0 12,0 12,5 12,5 12,5 13,5 13,5 13,5 14,0 14,0 14,0 14,5 14,5 14,5 15,0 15,0 15,0 14,3 17,8 21,5 26,1 30,6 35,5 39,5 42,0 46,4 47,7 52,6 54,6 60,0 61,2 67,2 73,4 68,1 74,7 81,3 76,3 83,5 90,7 86,1 94,1 102,0 102,0 111,0 120,0 119,0 129,0 139,0 134,0 145,0 156,0 151,0 163,0 175,0 245 436 712 ИЗО 1660 2370 2 500 3400 3 570 4570 4 800 6 550 6 870 8950 9 400 9 850 11 900 12500 13 100 15 760 16 530 17 310 21720 22 780 23 850 32240 33 760 35 280 46 470 48 560 50640 62 870 65 640 68 410 ’83 860 87 460 91060 49,0 72,7 102 141 185 237 250 309 325 381 400 485 509 597 627 657 721 757 794 875 919 962 1090 1140 1190 1430 1500 1570 I860 1940 2080 2290 2390 2490 2800 2920 3040 33,0 46,9 64,4 93,1 122 158 169 225 239 280 297 345 366 400 422 445 460 484 510 552 582 612 660 692 727 855 894 938 1120 1170 1220 1370 1420 1480 1700 1770 1840 9,72 12,7 16,1 21,2 26,0 31,5 33,1 40,9 42,7 48,4 50,4 56,6 58,9 63,5 65,9 68,5 70,7 73,4 76,1 81,2 84,3 87,4 93,2 96,2 99,6 114,0 118,0 122,0 142 146 151 164 170 175 193 199 205 2,87 4,24 5,91 8,41 11,37 14,85 17,85 20,32 24,08 25,57 30,12 31,93 37,60 38,83 45,78 55,23 46,19 54,49 65,74 56,85 66,72 79,99 68,75 80,68 96,55 95,3 111,3 131,8 131,2 150,3 174,9 159,9 182,7 211,5 195,5 221,9 255,3 644 1353 2560 4 879 8 219 13121 13 857 22773 23930 33800 35 426 52987 55 414 76 704 80114 83 612 107 160 111 780 116520 154820 161 210 167 760 228 900 237 950 247 210 376 630 390 770 405 220 611990 633 900 656 270 906 350 937220 968 720 1349 900 1393 200 1437 300 15,2 20,1 25,5 32,3 38,9 46,1 47,1 55,9 56,9 64,5 65,6 76,7 77,9 88,4 89,8 91,1 100,7 102,2 103,7 115,2 116,8 118,5 134,13 136,00 137,85 159,7 161,9 164,0 187,1 189,4 191,8 216,8 219,4 221,9 251,2 254,0 256,9 0,0412 0,0346 0,0297 0,0256 0,0230 0,0207 0,0221 0,0184 0,0196 0,0170 0,0180 0,0151 0,0161 0,0139 0,0147 0,0159 0,0128 0,0136 0,0147 0,0118 0,0126 0,0135 0,0107 0,0114 0,0122 0,0098 0,0104 0,0111 0,0090 0,0095 0,0101 0.0082 0,0086 0,0091 0,0074 0,0078 0,0082
414 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
^Таблица 33
Геометрические характеристики швеллеров
(по ОСТ 10017-39)
Примечания:
1. Координата центра изгиба xD отсчиты-
вается от наружного края стенки.
2. При вычислении а принято, что
Е
4 = 2,63.
№ профиля Размеры в ми Площадь сече- ния F сн* Справочные данные
h ь б яс в см XD в см Jx в см4 Jv в ем4 JT В tfJW4 в см& «о; В см* <о4 В см* а = 1/ Г В
5 50 37 4,5 7,0 6,93 1,35 1,08 26 8,3 1,35 24,9 2,70 4,26 6,1437
6,5 65 40 4,8 7,5 8,54 1,38 1,146 55,2 12,0 1,50 64,9 3,86 6,36 * 0,0937
8 80 43 5,0 8,0 10,24 1,43 1,22 101,3 16,6 1,94 141,8 5,15 8,75 0,0722
10 100 48 5,3 8,5 12,74 1,52 1,34 198,3 25,6 2,73 354,8 7,19 12,71 0,0541
12 120 53 5,5 9,0 15,36 1,62 1,48 346,3 37,4 3,63 768,3 9,54 17,31 0,0425
14 а 140 58 6,0 9,5 18,51 1,71 1,58 563,7 53,2 4,82 1512 12,03 22,63 0,0348
14 ъ 140 60 8,0 9,5 21,31 1,67 1,39 609,4 61,1 6,25 1711 11,46 23,85 0,0373
1А & 160 63 6,5 10,0 21,95 1,80 1,68 866,2 73,3 6,31 2 760 14,74 28,63 0,0295
16 ь 160 65 8,5 10,0 25,15 1,75 1,48 934,5 83,4 8,23 3100 14,03 30,09 0,0318
1 О а 180 68 7,0 10,5 25,69 1,88 1,83 1273 98,6 8,13 4 744 17,68 35,22 0,0255
18 ь 180 70 . 9,0 10,5 29,29 1,84 1,57 1370 111,0 10,50 5292 16,83 37,02 0,0275
9Л а 200 73 7,0 11,0 28,83 2,01 1,87 1780 128,0 10,33 7773 20,83 42,70 0,0225
20 ь 200 75 9,0 11,0 32,83 1,95 1,66 1913 143,6 13,30 8616 19,85 44,64 0,0242
29 а 220 77 7,6 11,6 31,84 2,10 1,93 2394 157,8 12,83 11819 23,85 50,15 0,0203
22 Ъ 220 79 9,0 11,5 36,24 2,03 1,72 2571 176,4 16,46 13038 22,73 52,32 0,0219
а 240 78 7,0 12,0 34,21 2,10 2,13 3052 173,8 12,69 15 183 27,52 55,45 0,0178
24 Ъ 240 80 9,0 12,0 39,00 2,03 1,95 3283 194,1 15,59 16873 26,63 57,47 0,0187
с 240 82 11,0 12,0 43,81 2,00 1,74 3513 213,4 20.00 18 541 25,38 59,87 0,0203
а 270 82 7,5 12,5 39,27 2,13 2,21 4 362 215,6 15,56 24 075 32,52 66,07 0,0157
27 Ъ 270 84 9,5 12,5 44,67 2,06 1,98 4690 239 2 19,23 26676 30,83 69,07 0,0166
с 270 86 11,5 12,5 50,07 2,03 1.76 5018 261,4 24,72 29195 29,37 71,83 0,0180
а 300 85 7,5 13,5 43,89 2,17 2,26 6048 259,5 20,39 36 645 37,21 76,54 0,0146
30 b 300 87 9,5 13,5 42,59 2,13 2,03 6498 289,2 25,01 40436 35,23 79,97 0,0153
с 300 89 11,5 13,5 55,89 2,09 1,80 6948 315,8 31,75 44104 33,59 83,06 0,0166
а 330 88 8,0 14,0 49,50 2,21 2,25 8077 307,5 24,29 52630 41,39 88,54 0,0133
33 b 330 90 10,0 14,0 55,90 2,14 2,02 8676 338,4 29,92 57 844 39,26 92,26 0,0140
с ззо 92 12,0 14,0 62,50 2,10 1,80 9 274 367,9 38,04 62 890 37,44 95,69 0,0152
а 360 96 9,0 16,0 60,89 2,44 2,46 11874 455,0 38,9 92189 49,50 104,55 0,0127
36 b 360 98 11,0 16,0 68,09 2,37 2.23 12652 496,7 46,6 100 430 47,30 108,51 0,0133
с 360 100 13,0 16,0 75,29 2,34 2,02 13 429 536,4 57,2 108420 45,36 112,18 0,0142
а 400 100 10,5 18,0 58,91 2,49 2,43 17 578 592,0 59,7 148 100 55.78 121,67 0,0124
40 Ъ 400 102 12;5 18,0 65,19 2,44 2,21 18644 640,0 70,8 160100 53,51 125,86 0,0130
с 400 104 14,5 18,0 71,47 2,42 2,00 19 711 687,8 85,7 171 870 51,51 129,80 0,0138
Стесненное кручение открытых профилей
415
Геометрический фактор жесткости сечения при стесненном кручении
= 10М8:Э2-Ч4 = 16,9-Юз CJ*.
24
р
Принимая, что отношение ЕЕ. = 2,6, вычисляем коэффициент а:
G
а =
_____2;0______16,6 IO-8 CM-i
2.6-16,9-Юз
Подставляя подсчитанную величину а в полученные выше формулы, получаем эпюры,
................................. “ закручивания в середине пролета равен
35 к г/см*
изображенные на фиг. 356. Наибольший угол
0,023, т. е. 1°20'.
В концевых сечениях балки нормальные
напряжения отсутствуют и возникают лишь
касательные напряжения чистого и стеснен-
ного кручения.
Используя величины моментов, указанные
на фиг. 356, имеем
X, . М* 6 = 3160 J 14 = 300 кг/ем».
Jt 12,0
ffriniliiillifl
G
т
1840
1,14-16,9-103
°* См Jmax
1,14-47,2-5 . 2
= 13 кг/см2.
Фиг 358.
770кг/см*
zc max —
2
В серединах полок (точки А на фиг. 357)
напряжение в Л*их точках т = 313 кг/см2\
соответственно
эти напряжения складываются; суммарное
° же = 2-313 = 626 кг/см2.
В среднем поперечном сечении балки присутствуют касательные и нормальные
напряжения стесненного кручения.
Максимальные касательные напряжения возникают у середины полок. Для их вычи-
сления воспользуемся числовыми данными, указанными на фиг. 356:
5000
1,14-16,9-103
max
Ы кг/см*.
Максимальные нормальные напряжения возникают у концов полок:
°тах = -Лах = 16.3-47,1 = 770 кЦсм*.
Эпюры распределения а и т по среднему сечению балки представлены на фиг. 358.
Наиболее опасной точкой является конец полки, где
^экв == о = 770 кг/см2.
Для того чтобы оценить влияние стеснения, произведем расчет без его учета.
В этом случае
т ЭД 10000-1,14 „
т = г 6 = —J— = 475 кг/см&\
2JT
2-12,0
а9Кв = 2т = 950 кг) см*.
Угол поворота среднего сечения можно было бы найти по формуле
ЭД £
» = 2-12 = 10000-200 = 0,052,
У GJT 4-8-106.12,0
т. е. примерно 3°.
Таким образом, благодаря’ стеснению угол закручивания балки уменьшается
0,052 о nr А ’
в = 2,25 раза, а наибольшее эквивалентное напряжение снижается на
0,023
950 — 770
950
•100= 19%.
2
416 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Интересно отметить, что в обоих рассмотренных нами числовых примерах наиболь-
шими оказались не касательные напряжения в поперечных сечениях, а нормальные
напряжения, связанные со стесненным кручением.
Вообще при расчете на прочность профилей, испытывающих стесненное кру-
чение, следует учитывать касательные напряжения чистого кручения хц и нор-
мальные напряжения стесненного кручения а; вторичные касательные напряже-
ния тс оказываются, как правило, незначительными.
§ 4. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ НАГРУЖЕНИЯ ОТКРЫТОГО
ТОНКОСТЕННОГО ПРОФИЛЯ
В общем случае при наличии продольных, изгибных и изгибо-крутильных
деформаций осевые перемещения точек любого поперечного сечения открытого
тонкостенного профиля в соответствии с принятыми гипотезами можно предста-
вить в виде:
w = ie»0 -|- *хУ + 4- 8®.
Первые три слагаемые формулы (31) характеризуют перемещения сечения
в соответствии с гипотезой плоских сечений, четвертое слагаемое — его депла-
нацию, происходящую по закону секториальных площадей.
Величины срх, ф , 9
с перемещениями точек,
формулами:
(31)
и со0 являются функциями от z, причем они. связаны
лежащих на оси стержня и углом его закручивания у
ср =--------:
>х dz 9
duQ
со — — —1’;
' у dz ’
0 dz ’
(32)
на оси хну перемещений точек, лежащий на оси, про-
где ы0 и — проекции
ходящей через центры кручения поперечных сечений. Величина w0 соответствует
поступательному перемещению сечения в связи с растяжением профиля.
Множители при w0, срх, сру и 9 в формуле (31), равные соответственно 1, у,
х и (о, являются функциями дуги $, определяющей положение точки в сечении.
Принятые гипотезы относительно осевых перемещений w предопределяют и
закон изменения в сечении нормальных напряжений, определяемых [см. формулы
(16) и (17)1 как
с dw , , , .
Oz = Е = °о + аУ + Ьх 4- с<0,
(33)
где а0, а, b и с пропорциональны производным по z функций w0, и 9:
°0-* dz ’
п__р d<fx__р d*v<,.
dz ~ dz* ’
b~Edz~ Е dz* ’
-46 - d*v
с = Е — Е -тт-.
dz dz2
(34)
Эти величины зависят только от г.
Формула (33), основанная на гипотезе о том, что осевые перемещения скла-
дываются из перемещений, определяемых законом плоских сечений и законом
секториальных площадей, является приближенной.
Общий случай нагружения открытого тонкостенного профиля 417
В действительности распределение нормальных напряжений по сечению может
определяться более сложной зависимостью
(например, в торцевых сечениях).
В этом случае формулу (33) можно рассматривать как разложение функции
а($) по ортогональным функциям дуги:
1, _у(Б> х($), <*> Об-
условил ортогональности этих функций выполняются благодаря специальному
выбору осей х и у (главные центральные оси инерции), а также полюса и начала
отсчета секториальной площади, вследствие чего обращаются в нули интегралы:
= \xdF = 0; $<s>dF=O;
F F F
Jxy dF = 0; \wxdF = 0.
F F F
Для того чтобы разложение действительного напряжения по указанным функ-
циям было точным, следовало бы систему 1, х ($), у (s), ю ($) дополнить до
полной системы бесконечным числом функций ю2 ($), w3(s) и т. д., ортогональ-
ных к данным и друг к другу.
Функции ю2 ($), ю3 ($)... соответствовали бы различным возможным законам
распределения по сечению самоуравновешенных нормальных напряжений.
Однако, как показал А. Л. Гольденвейзер [9], напряжения, распределенные
пропорционально секториальной площади ш ($), отличаются от других систем само-
уравновешенных напряжений тем, что они значительно медленнее затухают по
длине профиля. Поэтому удержание в формуле (33) только первых четырех
членов разложения является оправданным.
Для определения каждого из коэффициентов ряда, представляющего действи-
тельное напряжение а ($),
а ($) = а0 -f- ау 4- дх 4- сш 4- с2о>2 4- cs<o3 4- ... (33a)
следует левую и правую части уравнения (33а) умножить на dF — 8 ds и на со-
ответствующую функцию, а затем проинтегрировать результат по всей длине
средней- линии контура сечения.
Таким образом, чтобы найти а0, надо умножить обе части уравнения (33а)
на 1-dF и проинтегрировать:
^<3dF=a^ dF-\-a\ у dF-\-b\ х dFс f ® dF 4- cj ^dF 4* ...
F F F F F F
На основании соотношений ортогональности все интегралы, кроме первого,
в правой части этого выражения равны нулю, первый же интеграл равен пло-
щади F поперечного сечения.
Таким образом,
\<sdF — <з0Р.
F
Точно так же для определения коэффициента а умножим обе части уравнения
(33а) на ydF и интегрируем:
j <зу dF = а0 J у dF 4~ a f у* dF 4~ b J ху dF 4- с j шу dF 4- с2 J ш2у dF .
F F F F F F
Теперь в правой части отличен от нуля только второй интеграл, который
равен моменту инерции площади сечения относительно оси х.
Итак,
^aydF— aJx.
¥1 Пономарев и др. 407
,418 Особенности. расчета тонкостенных профилей на прочности и жесткость
Аналогично находятся и другие коэффициенты разложения. В результате для
первых четырех коэффициентов, сохраненных в выражении (33), получаем:
(35)
Интегралы в выражениях первых трех коэффициентов имеют простой меха-
нический смысл: это суммарные силовые факторы в сечении — продольная сила N
и изгибающие моменты Мх и Му. Эти факторы можно рассматривать как вир-
туальную работу нормальных напряжений, действующих в сечении на единичных
перемещениях этого сечения — поступательном и поворотном относительно осей
X и у.
Точно также интеграл \o<ndF можно рассматривать как некоторый суммар-
ный силовой фактор — бимомент, соответствующий виртуальной работе нор-
мальных напряжений на единичном искажении плоскости сечения <о:.
В — J асо dF. (36)
Этот силовой фактор принципиально отличается от обычных силовых фак-
торов тем, что он является самоуравновешенным и поэтому не может быть опре-
делен из условий равновесия части тонкостенного бруса. с
Выражая нормальные напряжения через суммарные силовые факторы, получим
N , Мх Му t В
в==-р- + -ГУ-Ь-т-х + -J~w- (37>
Г JX ''У J<O
Касательные напряжения в поперечном сечении складываются из напряжений
чистого кручения, изменяющихся по линейному закону по толщине стенки и опре-
деляемых по формуле (2), напряжений стесненного кручения, распределенных
равномерно по толщине стенки и определяемых по формуле (21), и напряжений,
связанных с изгибом, определяемых по формуле (12а).
Перемещения любого сечения профиля определены, если известны проекции
смещения центра кручения сечения на оси х и у (соответственно й0 и v0), по-
ворот сечения относительного центра кручения ср и погонный угол закручивания
0 = -—-, через который выражаются депланации точек сечения.
Перемещения связаны с внутренними силовыми факторами в сечении — изги-
бающими моментами Мх и и крутящим моментом Мкр — уравнениями:
42g0_____ Му .
dz2 EJy9
d2vQ Мх
(38)
(39)
rf2O «О 9 Мкр
— — a20 = — a2 (40)
dz2 (jJt ’ v '
где
. 2==^r
Общий,' случай нагружения ’ открытого.> тонкостенного f профиля * 4,19
Кроме того> бимомент связан с;погонным углом закручивания уравнением (29):
B = EJ<»
db
dz
Уравнения (38) и (39) представляют собой обычные дифференциальные урав-
нения изогнутой оси при изгибе; отличие состоит лишь в том, что рассматри-
вается ось, проходящая через центры кручения сечений, а не центральная ось.
Уравнение (40) является уравнением стесненного кручения. Из структуры
этого уравнения видно, однако, что наличие крутящего момента Мкр не является
необходимым условием возникновения закрутки профиля.
В частности, тонкостенный профиль
закручивается и под действием про-
дольной нагрузки, если она приложена
в точках сечения, для которых главная
секториальйая площадь не равна нулю.
Пример такого нагружения представлен
на фиг. 359, а.
Силы Р вызывают не только растяже-
ние и изгиб, стержня относительно осей х
и у, но и его закручивание.
Вследствие того, что крутящий момент
в любом сечении стержня равен нулю, урав-
нение (40), определяющее закрутку, являет-
ся однородным и имеет решение:
0 — Ci ch az 4- С8 sh аг, (41)
Постоянны^ Ci и С2 определяются из
того условия, что на концах стержня z =
0 и z ~ I задано распределение поверх-
ностных сил (сосредоточенные силы Р),
а следовательно, заданы и величины бимо-
ментов
Во = J acorfp == Р^а*
Фиг. 359.
где <од — величина главной секториальной площади в точке приложения силы Р
(фиг. 359, б).
Так как бимомент связан с производной — уравнением (29), то значения этой про-
dz
изводной на концах стержня равны
Zd0\ =s ZdO\ _ Bp
\dz)z=Q \dz)z=i *
Ci
Отсюда находим постоянные и C2:
__ BQ ch al — 1
aEJ sh al
Cj — B<l-
*EJm •
Подставляя эти значения в уравнение (41) и производя упрощения, получим
0 = —---------J— [ch az — ch a (I — z)J.
а£/ш Sh al 1
Угол поворота произвольного сечения относительно сечения : = 0 равен
Z
? = (* bdz = -5^-[sh az - sh «Z + sh а (/ - z)|.
J аsh al
0
Эпюры изменения углов поворота погонных углов закручивания 0 и бимоментов
В == EJ^ — представлены на фиг. 359, в, г и д.
dz
2T
420 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Нагружение бимоментом можно осуществить не только путем приложения продоль-
ной силы, но и другими способами.
Так, нагрузка бруса двумя одинаковыми противоположно направленными скручиваю-
щими моментами (фиг. 360) может рассматриваться как нагрузка сосредоточенной бипа-
рой, если расстояние между моментами е стремится к нулю при постоянстве произведе-
ния Эде.
Решая уравнение стесненного кручения (35) для случая нагрузки двумя парами и
переходя к пределу при неограниченном их сближении, получим в этом случае
0 = _ . ch a (Z - z)
EJ* а sh а/
Вычисляя бимомент, найдем
в = ej — = gjh ?h tt (/ — г)
dz sh а/
Фиг. 360
В сечении при 2 = 0, где приложена бипара, бимомент равен так. называемому мо-
менту бипары
£г=0 = ЭДе,
т. е. произведению моментов 3R на расстояние между плоскостями их действия (при
—► оо и е 0). *
Нагружение тонкостенного бруса двумя равными, но противоположно направленными
изгибающими парами (фиг. 361) также приводит к его закручиванию. В этом случае
однако, бимомент, вообще говоря, не равен произведению момента на расстояние между
парами и должен вычисляться по формуле
В = JacoiZF
F
в зависимости от действительного распределения нормальной нагрузки, с помощью кото-
рой осуществляются моменты.
§ 5. РАСЧЕТ ПРОФИЛЕЙ С ВЕСЬМА МАЛОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ
ЧИСТОГО КРУЧЕНИЯ
Для профиля, стенки которого настолько тонки, что жесткость его при чистом
кручении GJT, пропорциональная кубу толщины стенок, весьма мала по срав-
нению с величиной
I2 ’
где I — длина профиля, вторым слагаемым в уравнении стесненного кручения (40)
d2b GJT q _ М*р
dz* EJ* — EJ* ’
* можно пренебречь.
В этом случае весь крутящий момент в сечении воспринимается только каса-
, тельными напряжениями стесненного кручения, напряжения же чистого кручения
/ не могут обеспечить восприятия этого момента при малых перемещениях.
Чистое кручение замкнутых тонкостенных. профилей
421
Таким образом, тонкостенный профиль с весьма малой жесткостью чистого
кручения является, в сущности, внутренне геометрически изменяемым и способен
воспринимать нагрузку только при соответствующем устройстве опорных заире-
плений.
Деформация, которой такой профиль не оказывает заметного сопротивления, —-
это чистое кручение, связанное с депланацией поперечных сечений (фиг. 362).
Следовательно, для того чтобы сделать стержень геометрически неизменяе-
мым, необходимо дополнительное опорное закрепление сверх шести, требуемых
условиями статики. Это дополнительное закрепление должно либо 'запрещать
сечений (фиг. 363, а), либо
поворот
двух
депланацию одного из
запрещать взаимный
(фиг. 363 ,d).
Фиг. 363.
сечений
Фиг. 362.
Дифференциальное уравнение кручения (40) для профиля с весьма малой
жесткостью чистого кручения принимает вид:
d29 _ Мкр
dz*~ EJW'
который вполне подобен виду дифференциального уравнения упругой линии при
изгибе.
Решение этого уравнения в каждом отдельном случае не представляет за-
труднений.
Пренебрежение жесткостью чистого кручения значительно облегчает расчет
тонкостенных профилей и позволяет с большой простотой решать даже очень
сложные задачи, в том числе и задачу о расчете кривых профилей на стеснен-
ное кручение [18].
§ 6. ЧИСТОЕ КРУЧЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТОНКОСТЕННЫХ ПРОФИЛЕЙ
Расчет замкнутых тонкостенных профилей на чистое кручение основан на
следующих гипотезах:
а) касательные напряжения по всей толщине стенки направлены параллельно
средней линии сечения;
б) касательные напряжения постоянны по толщине стенки.
Первая из этих гипотез является очевидной ввиду тонкостенности профиля.
Величину ошибки, которая связана с принятием второй гипотезы, легко оце-
нить, рассматривая кручение полого круглого цилиндра, для которого известно
точное решение. Из фиг. 364 видно, что при замене действительных напряжений
&
их средней величиной допускается ошибка порядка -р-.
Составляя сумму проекций на ось профиля z всех сил, приложенных к эле-
менту, вырезанному из профиля (фиг. 365), и учитывая, что при чистом кручении
нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют, легко установить,
что
• тВ = 1,8!,
т. е. поток касательных напряжений вдоль контура сечения постоянен:
тЗ = const.
4Ш? Особенной® фЪсЧёта1 ЯонкЬегейЯЪис? профилей НО^про^ноС^ъ и жесткость
f 1 OttioSkbWjfZ йа этбм положений, -можно связать> величину напряжений, воз-
никающих в Се^еПйй, с величиной воспринимаемого им момента*.
' Взяв момент силы tBtfs, воспринимаемой элементом ДО (фиг. 366), относи-
тельно произвольной точки Pt получим
dM — iZrds.
Так как произведение rds представляет собой удвоенную площадь элемен-
тарного сектора, то
rds — d<&
и
dM — tWg).
Интегрируя это выражение по всему контуру, получим полную величину кру-
тящего момента.
Учитывая, что тЗ = const, найдем
М = тЗф*,
Где <&к — удвоенная площадь, охватываемая средней линией тонкостенного сечения.
Для напряжения т получим1
М_ _1_
&
(42)
Максимальное напряжение возникает там, где стенка профиля является самой
тонкой:
М \
Исследуем теперь продольные перемещения w при кручении замкнутых про-
филей, используя для этой цели формулу (6), имеющую вид:
dw — 2$df-----Ttds.
Рассмотрим изменение w вдоль средней линии сечения $. В этом случае в
первом слагаемом формулы можно заменить:
2df = dw,
где d® — дифференциал секториальной площади.
1 Заметим, что при выводе формулы (42) использовались одни лишь уравнения ста-
тики, в связи с чем формула (42) в равной мере справедлива как в упругой, так и в
упруго-пластической стадии деформации замкнутого тонкостенного профиля.
^Чистве^учен^^ тонкостенных профилей ; ’ 423-
Так как полное напряжение т направлено йдоль средней' линии/ТО
i£ ^ = т. ’<>
Таким образом, получим
dw = 0d(o-------------------------------(43)
или, подставляя полученное выше-значение т [см. формулу (42)], имеем
, Л , М ds
dw — 0б/<О — г?---г- •
Осевое смещение некоторой точки, определяемой дугой $, можно получить
интегрированием
а ч М С ds
^=e®(S)-G^J V-
О
При обходе всего контура, в силу его замкнутости,
должно быть получено исходное значение w.
Отсюда
(44)
(45)
Фиг. 367.
М г ds Л
Go>KT в -°-
Это уравнение позволяет определить погонный угол
закручивания замкнутого профиля1
А М
& U
GJt
*
0а>.
где
(46)
при чистом кручении.
z£ dS
геометрический фактор жесткости замкнутого профиля
В формуле (46) представляет собой удвоенную площадь, охватываемую
средней линией сечения, а интеграл ф — берется по всему контуру.
Уравнения (42) и (45) полностью исчерпывают задачу о чистом кручении
замкнутых профилей. Первое из них дает напряжения в поперечном сечении, а
второе — погонный угол закручивания. Полный угол закручивания профиля, име-
ющего длину I и нагруженного моментом 7И, определяется по формуле
Ml
<р — QJT'
где JT имеет значение по формуле (46).
В качестве примера использования этих формул рассмотрим следующую задачу.
Требуется определить напряжения и угол закручивания профиля (фиг. ,367), имею-
щего длину 1 м и нагруженного моментом W2 = 10000 кгсм.
Вычисляем геометрические характеристики сечения.
Удвоенная площадь, охватываемая средней линией сечения,
= 2-5.10= 100 см2.
Интеграл по замкнутому контуру
Г ds _ 2-5 + 2- Ю = 133
У 8 0.3 0.2
1 Формула (45) (формула Бредта) выводится обычно из энергетических соображений
[см., например, курс „Сопротивление материалов41 г С. П. Тимошенко, т. II, Гостехиздат,
1946).
424 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и Жесткость
Геометрический фактор жесткости
к
133
Максимальное касательное напряжение возникает в наиболее тонких стенках (2 мм)
и равно
“^mln 100-0,2
Местные напряжения во входящих углах сечения нами не рассматриваются.
Погонный угол закручивания
в = = J0000 =0,167-10-8 CJK-1.
GJT 8-106-75
Угол закручивания профиля
т = в/ = 0,167-10— з. ЮО = 0,0167.
Продольные смещения при чи-
стом кручении w можно найти
по формуле (44), выразив в ней
крутящий момент Л4 через погон-
ный угол закручивания 9У тогда
ds
г ds J & - ’
УТ 0
СОд.
w = 9 (о (s)
Величину искажения, соответствующего
через w,. тогда
единичной крутке 9=1, обозначим
w = 9w,
(47)
причем
•W = w(s)----
V-
о
(48)
Так же как и при чистом кручении открытого профиля, величина искажения
содержит три произвольных параметра* (координаты центра кручения и началь-
ную Точку отсчета дуги), изменение которых соответствует смещениям профиля
как жесткого тела. ' .........~
Интересно отметить, что сечения профилей со стенкой постоянной толщины,
контур которых представляет многоугольник, описанный около круга, вовсе не
искажаются при кручении.
Действительно, если поместить полюс в центре вписанного круга, то расстоя-
ние г от полюса до касательной к контуру постоянно для всего контура (фиг.
Зб8, а) и, следовательно, для таких профилей
(o(s) = J rds — rs\ <oK — rsK,
о
где sK— периметр контура, и в силу постоянства толщины В
а
, ds_____ s
1*Т” —т
Стесненное кручение замкнутых профилей
425
Таким образом, для таких профилей w [см. формулу (48)] обращается
тождественно в нуль.
Другим примером профилей, не дающих депланации при кручении, являются
профили с толщинами элементов, обратно пропорциональными их расстояниям
от центра кручения (см., например, фиг. 368, б).
§ 7. СТЕСНЕННОЕ КРУЧЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ПРОФИЛЕЙ
Решение задачи о стесненном кручении замкнутых профилей, основанное на
гипотезе неизменности формы контура, поперечного сечения, предложено
А. А. Уманским [16]. Эта гипотеза выполняется только в том случае, если имеется
достаточное количество поперечных диафрагм (нервюр), запрещающих деформации
контура сечения. Если это условие не соблюдено, то искажение формы контуру
сечения существенно влияет на распределение напряжений и деформации профиля г.
Деформации контура поперечного сечения можно учесть, если рассматривать
профиль как цилиндрическую складчатую систему и воспользоваться уравнениями
В. 3. Власова [6], [7]. Представляется также возможным использовать прибли,-
женный метод расчета, развитый ниже (см. раздел Б) для частного случая тонко-
стенного стержня прямоугольного поперечного сечения.
А. Стесненное кручение тонкостенных замкнутых профилей
с недеформируемым контуром сечения
Приближенное решение этой задачи может быть получено на основе пред-
положения, что в этом случае, так же как и при чистом кручении, осевые пере-
мещения пропорциональны ординатам эпюры единичных искажений w:
* w = f(zyw. (49)
В формуле (49) / (z)— некоторая функция, зависящая от положения данного
сечения по длине бруса и характеризующая интенсивность его депланации.
В случае стесненного кручения замкнутых профилей нельзя полагать депла-
нации пропорциональными погонному углу закручивания, как это делается при
рассмотрении стесненного кручения открытых профилей. Объясняется это тем,
что вторичные касательные напряжения при стесненном кручении замкнутых про-
филей не являются малыми по сравнению с напряжениями чистого кручения и
оказывают значительное влияние на величину деформаций.
Функция f (z), называемая функцией депланации, может быть определена при
помощи метода Ритца (см. гл. VII, т. I).
Нормальные напряжения в поперечном сечении определяются по формуле
a = = /'(*)• (50)
Из условий отсутствия в сечении продольной силы ^odF и изгибающих мо-
ментов \oxdF9 $cydF можно получить три уравнения, позволяющие опреде-
F F
лить положение центра кручения и начальной точки отсчета дуги:
dF = 0; (51)
J *wx dF — 0;
S- (52)
J wy dF — 0.
F
1 Это было, в частности, показано в работе В. В. Новожилова и И. А. Лашмановой,
а также в экспериментальной работе Ю. И. Ягна и К. Ф. Ковалова, доложенных на
Всесоюзном совещании по теории упругости, теории пластичности и теоретическим во-
просам строительной механикив 1У54 г.
426 Особенности расчета Тонкостенных профилей на{прочность и жесткость
-Касательное; напряжение т поперечном сечении ^определяется 4. помощью
формулы (43), из которой следует, что
г' / ; . ' Г dto 6^1 г к
- : . • . . . T==G|9^~
Если подставить сюда принятое значение w из выражения (49), получим
.г^оГв-g-
I as
Так как
dw_ 1
ds~r J4S’
t==G 1[0 —/(z)] г +/(z)
ds Ъ
Т"
Формула (53) соответствует заданному закону осевых перемещений, но вы-
численное по этой формуле касательное напряжение не удовлетворяет условиям
равновесия. Ввиду этого А. А. Уманский предлагает наряду с формулой (53)
использовать для вычисления касательных напряжений формулу, основанную на
уравнениях равновесия элемента стержня. По-видимому, однако, такой способ не
дает существенного уточнения.
. Чтобы определить функцию депланации /(z), следует воспользоваться мето-
дом Ритца. Для этого надо прежде всего составить выражение полного потен-
циала системы.
Это выражение состоит из двух слагаемых: потенциала внутренних упругих
сил (потенциальной энергии деформации) и потенциала внешних нагрузок.
Потенциальную энергию деформации вычислим по формуле с
Подставляя сюда значения а по формуле (50) и т по формуле (53), получим
и = ( 4 //2<z) J ^dF + ~т I0 — / f >*dF +•
OF F
F
dz.
Вычисляя интегралы по площади и вводя обозначения
Jw; | -21- = JT,
" * К
получим
I
u = J {4 f'2 <z> J«'+ 4 l0 - f U)P >c + O [6 - f (z)l f (z)JT +
0
+4 jr}.dz’.
- . г Стесненно#' ^ручеииезам/тутыхпр'офил^й q *'r’M ';v>v^ 42?
-или после приведения подобных членов . ' ' г л У:
’> 5- — Г ' ' ’ ‘ " ” - ‘
и= J {4 /,2(z) J„ + 4> (2) (4-Л) - GO/ (*) (Л -4) + 4 e*4 dz-
О —
>/5
Величина Jw по своей структуре аналогична геометрическому фактору жест-
кости открытых профилей при стесненном кручении Л,, размерность ее также см*.
Величина Jc, называемая иногда направленным полярным моментом инерции, от-
личается от обычного полярного момента инерции сечения тем,, что г (см. фиг. 366)
представляет* собой не полное расстояние от элемента площади до центра кру7
чения, а проекцию этого расстояния на нормаль к средней линии сечения.
Теперь определим потенциал внешней нагрузки, полагая, что профиль нагру-
жен распределенными моментами интенсивностью m(z) кгсм]см.
•Потенциал этой нагрузки ц равен
i
U = dz, (54)
где ср (г) — углы поворота сечений.
Произведение срт (г) dz взято в формуле (54) со знаком плюс, так как поло-
жительные направления момента m (z) dz и угла поворота ср противоположны и
работа vm(z)dz отрицательна; потенциал же силы имеет знак, противополож-
ный знаку работы (см. гл. VII, т. I).
Формула (54) для потенциала внешних сил может быть использована и тогда,
когда среди нагрузок имеются сосредоточенные моменты (в том числе и реак-
тивные).
В этом случае следует полагать, что в сечении, соответствующем месту при-
ложения сосредоточенного момента 2R, интенсивность m (z) -+ 00’ при условии,
однако, что
lim J m(z}dz==4Bl,
е->0 z—е
где z — координата сечения, в котором приложен момент 90?.
Преобразуем выражение (54) с помощью интегрирования по частям, учиты-
вая, что
= 0 и f m (z) dz — М,
dz о
где /И — крутящий момент, тогда
1 . . 1 i
U = ^i^m(z) dz — ^Mf)dz.
Так как сумма всех приложенных к профилю внешних моментов равна нулю
(из условий равновесия), то
j m(z)dz — О
и окончательно
U = —J МО dz. (54а)
Полный потенциал системы
O = G-hu = jF(/'. /, 9, г), (55)
0
где , . с ,
' F={4 /,2 <*) 4 + 4 (2> (4 - 4) - G9/ (г) (4 - JT) + 4 6Ч - п •
428 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Так как полный потенциал системы должен быть в случае равновесия мини-
мальным, то функции /(z) и S(z), входящие в выражение (55), должны удо-
влетворять дифференциальным уравнениям Эйлера1:
dF JL _ п-
df dz df ~ U;
^. = 0
00 U-
Вычисляя частные производные фунции F и подставляя их в эти уравнения,
получим следующую систему дифференциальных уравнений:
Gf(z) (J, — JT) - G9 (Jc - Jr) - Ef (z) = 0; (56)
— Gf(z)(Je — Jr)-f-G9Jc — M=0. (57)
Выражая из уравнения (57) b через и /(z) и подставляя в уравнение (56),
получим независимое дифференциальноё уравнение 2 для функции депланации f (z):
Если обозначить
\ J Г /
то это уравнение принимает вид:
4)-a7(z) = -a2 Д. (58)
Интегрирование уравнения (58), которое по форме не отличается от урав-
нения стесненного кручения открытых профилей (23), не представляет затруд-
нений.
Общий интеграл его можно записать в следующей форме:
« *
f (z) — Сг ch az + sh az — J M (C) sh a (z — C) dC (59)
о
Постоянные Сг и C2 определяются из граничных условий. На заделанном
конце профиля отсутствуют депланации; в этом случае /(z) = 0.
На свободном конце отсутствуют нормальные напряжения; в этом случае
/'(*) = о.
После того как функция депланаций f (z) определена, погонный угол закру-
чивания находится из уравнения (57):
Рассмотрим в качестве примера стесненное кручение прямоугольного замкнутого
профиля.
Вначале определим геометрические характеристики, необходимые для расчета на
стесненное кручение профиля, сечение которого представлено на фиг. 369, а.
Величина представляет собой удвоенную площадь, охватываемую средней линией
сечения:
<0^ = 2аЬ.
Интеграл по замкнутому контуру
Ф4-2(-г + -г')'
J о \ Од 0fc /
1 См. курсы по вариационному исчислению.
2 Выведенное уравнение полностью совпадает с уравнением стесненного кручения,
полученным А. А. Уманским [16] другим методом.
Стесненное кручение замкнутых профилей
42®
Геометрический фактор жесткости сечения при чистом кручении
"к
JT~
2а2 62
± +±
г ds
Т 5
Направленный полярный момент инерции
Jc = J r2dF - 2а8а (Ay + 2666
F
(fy-4 (А+»».>-
Так как сечение имеет две оси симметрии, то центр кручения совпадает с центром
тяжести.
Если совместить полюс с этой точкой, то уравнения (52) будут удовлетворены;
уравнение (51) также будет удовлетворяться, если начало отсчета дуги расположить на
одной из осей симметрии.
Фиг. 369.
Принимая за начало отсчета дуг точку О (фиг. 369, а), получим для угловой
то'чки 1:
5
<ок р ds ab 2аЬ а аЬ а^ъ —
2(Л+1.у*а- 4аЧ + ЬЪа-
0
Для точки 2, лежащей в середине короткой стороны,
£
шА Р ds Л
w = ш----------------------------------— 1 -г- = О
е
и т. д.
Таким образом получаем эпюру единичных искажений те/, изображенную на фиг. 369, б".
В угловых точках ординаты эпюры w равны по абсолютной величине:
~ ab abh — ЬЪа
0 4 аЪь + ЬЪа'
Интеграл
J-W = f w2dF
вычислим с помощью правила Верещагина:
, . 2 ~ . «>ой8ь 2 Л 2 Л2 z , । «.» ч
= 4-°4 а — w0 4- 4 4 у =-3- w0 («5а + *М =
aW (аЪь - 68а)2 (а8а + ЬЪЬ)
24 (аЪь + Z>8a)2
430 Особенности расчета тонкостенных профилей на> прочность и жесткость
Коэффициент дифференциального уравнения (58) аа. равен . ,
2 _ GJT (. _ Jj_\ _______ 48G___________
Jj ₽ h
L \ ub ”а J
Рассмотрим числовой пример (фиг. 370). Прямоугольный профиль 5 X 10 см со стенкой
толщиной 2 мм и длиной 2 м> концы которого закреплены от поворота, но могут иметь
продольные смещения, нагружен моментом 2 9ft, приложенным к середине (на чертеже
закрепления концов профиля замерены реактивными моментами, каждый из которых по
симметрии равен 9ft). Профиль ,иь£еет поперечные диафрагмы, запрещающие искажение
формы контура поперечных сечений.
Решение уравнения стесненного кручения для
этого случая можно записать, используя аналогию
между уравнениями (58) и (23), в следующем виде:
t (z) — Ci ch az 4- C* sh az 4 7^т~ (1 •— ch az);
UJt
21
f (z) e Cl Ch az 4- C2 sh a z 4 Ж- (Г — ch aZ)—
UJj'

Постоянные Ci и С2 определяются из условий отсутствия нормальных напряжений
на торцах, что выражается зависимостями:
/Х’о <г)-0; —0.
Из этих условий следует:
С2 = 0;
Таким образом окончательно при 0<z</
ч 9ft /i chaz\
Погонный угол закручивания б определяется по формуле (60). Так как на участке
0<z</ крутящий момент At w Зй» то при 0<z</
« М 9ft Гл f JT\ ch az 1
6 “ ~gTcV -f) ~ GTr I1 - V - -J7) та-J •
Производя вычисления для рассматриваемого профиля, получим
, 2л2*2 2а2й26 2.102-52-0,3 1ПЛ „
Jr ------г- =• —тт = —in , к— = 100 см ; ,
а , b а + b 10 + 5 •’
jc - 4(c5ft + ЬЪа) “ т-6 (а + 6) “ ¥0,3 (1° +5) =" 112>5сЛ‘;
ab аЪь— ЬЪа aba—b 10-5 10 — 5 .2
w’- — 10+5“4,17 ем -
Эпюра w представлена на фиг. 371. Коэффициент аа определяется по формуле
48G 48G
L Xs* / J
Принимая — 0,4, получим
2 48-0,4 48*0,4 пЛо«Я1,-
“ “ (а + 6)2 “ (10 + 5)2 “ 0,0853 ’
откуда a » 0,292 см 1.
Стесненное кручение. замкнутых, профилей .
433
Эпюры изменения f (z), Or /' (z) и f9 (z) по длине . профиля представлены на
фиг. 372.
Из этих эпюр видно, что вторичные напряжения при стесненном кручении замкнутых
профилей с неискажающимся сечением носят явно выраженный местный характер, быстро
затухая с удалением от места стеснения (в данном случае от середины профиля). Влияние
стеснения на величину угла закручивания <р незначительно.
Рассмотрим распределение напряжений в среднем сечении профиля, полагая
ВД = 5000 кгсм.
В этом сечении:
М == = 5000 кгсм;
/U)==0;
Фиг. 372.
Фиг. 371.
Нормальные напряжения можно получить, умножая эпюру w на величину Ef' (z)
Эпюра нормальных напряжений изображена на фиг. 373, а.
Касательные напряжения находим
по формуле (53).
Поскольку в рассматриваемом се-
чении J (z) == 0, то
т =. Gbr = г.
* с
Соответствующая эпюра напряже-
ний т приведена на фиг. 373, б\ наиболь-
шие напряжения достигают 220 кг1см2.
Для сравнения укажем, что в сече-
ниях, удаленных от места стеснения, ка-
сательные напряжения везде одинаковы,
и равны
М 5000 ,
’ ~ ШКЪ = 100-0.3 167 К&,СМ '
Фиг. 373.
Таким образом, благодаря стеснению
220
росли в — = 1,32 раза.
максимальные касательные напряжения воз-
432 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Б. Стесненное кручение замкнутого прямоугольного профиля
с деформируемым контуром сечения
Изложенная выше теория стесненного кручения замкнутых профилей является
приближенной. Она основана на гипотезе о недеформируемости контура попе-
речного сечения профиля. Эта гипотеза выполняется достаточно строго, если
имеется необходимое количество поперечных диафрагм (нервюр), запрещающих
деформации контура сечения.. Если это условие не соблюдено, то благодаря де-
формации контура сечения распределение напряжений существенно изменяется.
Рассмотрим причины, вызывающие искажение формы сечения при стесненном
кручении замкнутых профилей.
Выделим из профиля двумя близкими поперечными сечениями элементарную
рамку (фиг. 374).
Так как действующие в этих сечениях касательные напряжения не равны
друг другу, то рамка оказывается нагруженной действующей вдоль контура
Фиг. 375.

д'с
сечения распределенной нагрузкой интенсивности qdz — b-^dz (фиг. 375). Эта
нагрузка вызывает изгиб рамы и, следовательно, искажение формы сечения про-
филя.
Используя для определения т формулу (53), найдем <
Заменяя согласно уравнению (60)
получим
q ==^ = ^dz-$--\-Gf (z)' Г- г8 + .
ч dz dz Jc ' J с J? ds
Если на рассматриваемом участке длины стержня внешняя нагрузка отсут-
dM Л х г
ствует, то — = 0 и, с учетом обозначения 7-^ — Jt»
(61)
\ Jc /
Из этой формулы видно, в частности, что при чистом кручении, когда де-
планации во всех сечениях одинаковы и fr (z) = 0, нагрузка q отсутствует и
сечения стержня не искажаются.
Для данного сечения z стержня множитель перед скобкой в формуле (61)
является величиной постоянной и распределение нагрузки по сечению опреде-
ляется лишь выражением внутри скобок.
Стесненное кручение замкнутых профилей
433
В частности, для стержня прямоугольного контура (см. фиг. 376, а)
где и — толщины соответствующих стенок профиля,

Таким образом, в этом
нагруженными одинаковой по
?~7 Для стенок длинЬй я;
+ Ьъа
__
аЪ^ + ЬЪа
для стенок длиной Ь.
как показано на фиг/ 376, а.
Посколы^г интенсивности на-
грузки одинаковы, то сйлы, на-
гружающие стороны рамы, про-
порциональны их длинам.
Если пренебречь деформацией
растяжения — сжатия полосок,
образующих раму, то силы можно
перенести в узлы, как показано на
фиг. 376, б. Следовательно, нагру-
случае стенки элементарной рамки оказываются
интенсивности, но различной по знаку нагрузкой,
Фиг. 377с
жение выделенной рамы эквивалентно растяжению ее вдоль одной из диагоналей.
Под действием этой нагрузки в раме возникнет изгибающий момент, эпюра
которого изображена на фиг. 377, а, и рама деформируется, как показано на
фиг. 377Д. “
Таким же образом искажается и сечение тонкостенного профиля.
При рассмотрении профиля с ис-
кажающимся сечением понятие круче-
ния должно быть уточнено. Оче-
видно, что если контур сёчеййя мо-
жет искажаться, деформации стержня
будут зависеть от того, каким обра-
° зом осуществлен нагружающий его
крутящий момент. Так, например,
при нагрузке стержня прямоуголь-
ного сечения моментом, осуще-
ствленным с помощью пары сил, дей-
сторон сечения (фиг. 378, а), деформации будут дру-
b
m
а
b
а)
6)
Фиг. 378.
m
а
длинных
ствующих вдоль
гими, чем при действии сил вдоль коротких сторон сечения (фиг. 378, б).
В дальнейшем будем предполагать, что в тех сечениях, где приложены
внешние моменты, имеются жесткие в своей плоскости поперечные диафрагмы,
вследствие чего эти сечения не искажаются.
В этом случае деформации стержня не будут зависеть от способа осущест-
вления крутящего момента и, в частности, схемы фиг. 378, а и 378, б будут
эквивалентными.
28 Пономарев и др. 407
434 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
1
Решение задачи будем проводить тем же методом, что и выше для стержня
с неискажающимся контуром сечения, однако к функциям, определяющим пере-
мещения точек стержня, добавим также функцию, отражающую изменение формы
контура сечения.
При стесненном кручении стержня с неискажающимся сечением осевые пере-
мещения w произвольной точки средней линии сечения определялись формулой
л
w =
где f(z)— функция, устанавливающая интенсивность депланаций сечения;
w(s)— функция, определяющая распределение депланации по сечению при
чистом кручении.
Одновременно предполагалось, что форма контура не изменяется и что,
следовательно, смещения и и v произвольной точки в направлении касательной
к контуру и нормали к не-
му определяются зависимо-
стями
и = — ф (z) г\
® = <р(2г)Г1,
где <р (г) — угол поворота
сечения, а г и — проек-
ции расстояния от оси по-
ворота до рассматриваемой
точки соответственно на
нормаль к контуру и на касательную к нему (фиг. 379, а).
Выбранные положительные направления смещений ut v и w показаны на
фиг. 379, б. *
Предположим, что характер искажения формы профиля для всех сечений
стержня одинаков и лишь величина этих искажений для разных сечеций различна.
Тогда перемещения точек средней линии сечения, связанные с искажением
формы сечения, можно записать в виде:
«1 = Ф(г)а;

где функции и и v соответствуют принятому закону искажения формы сечения,
а функция ty(z) характеризует изменение интенсивности искажений по длине
профиля.
Суммарные перемещения, учитывающие поворот, искажение формы сечения
и депланацию, определяются зависимостями:
и = — ф (г) г -|~ ф (z) и;
v = ? (*) Гу + Ф (z) V,
w = f (z) w.
(62)
Дальнейший путь решения состоит в том, чтобы выразить потенциальную
энергию деформации стержня и потенциал внешних сил через перемещения и,
и w, а следовательно, через функции <p(z), ф(г) и /(z) и затем найти эти
функции из условий минимума полной энергии системы.
Рассмотрим задачу применительно к частному случаю профиля прямоуголь-
ного сечения со Стенками постоянной толщины.
Потенциальная энергия деформации такого профиля складывается из энергии
деформации каждой из стенок его в своей плоскости и энергии изгиба стенок.
Стесненное кручение замкнутых профилей
435
Энергия деформации стенки в своей плоскости выражается формулой
= 2 (1^ ц2) JJ (s* + е< + 2’Хе*е<) dS dZ + "Г JJ dS dZ’ (63)
где ег из, — линейные деформации срединной поверхности стенки в направлениях
оси z и касательной t к контуру поперечного сечения соответ-
ственно;
у2,— сдвиг в тех же направлениях. г Интеграл берется по всей поверх-
ности стенок.
Считая, что удлинение средней линии сечеция связано только с поперечным
эффектом, т. е. пренебрегая нормальными напряжениями а, в срединной поверх-
ности, найдем
Подставляя это значение в, в формулу (63) и учитывая, что G =
получим
= I2(1 + Н)+ dsdz.
I S
Е
2(1+^)
Выразим теперь деформации через перемещения:
8, = -^- = /
s Т« = ^| + ^- = —? <Z)'' + 'P (z)« + /(z)w‘ (64)
где штрихом обозначены производные по длине стержня, а точкой — производ-
ная по дуге средней линии сечения.
Отметим, что вычисленному значению сдвига ^zt соответствуют касательные
напряжения, направленные против положительного отсчета дуги
Поэтому касательные напряжения, направленные вдоль дуги $, определяются
формулой
т = — G-[zt = G [ср (z) г — <|>' (z),# — / (z) w]. (64а)
Подставляя значения е2 и ^zt в выражение потенциальной энергии ипл>
найдем
fП *<< + »> ш+ (£ +£У] -
I S
ЕЪ
4(1+p0
2(1 -f-р) f'2$w2 ds + <p'2(|)r2 ds -|-фл2 <§)ti2ds -f-
— 2<р'ф'(|) ruds — 2<p'f (j)rwds 4~ 2ф' f (£uw ds
dz.
(65)
Энергия изгиба стенок определяется по формуле для энергии изгиба пласти-
нок (см. гл. II, т. II), а именно:
т1 _ £*3 CflV^V । f^v\2 । о i
иизг — 2-12.(l —J J ’T'U*2/
+ 2(1-^(ет)2Н5^- (66>
В этом выражении не все слагаемые играют одинаковую роль. Если дефор-
мации медленно затухают по длине стержня, а именно эти деформации и пред-
28*
436 Ocot ценности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
ставляют и] сравнению лтерес, то производные по г, входящие в* выражение (66), малы по с производными по s1 . Тогда приближенно можно принять <67> 1 «У
Так как
то ^изг— 2.12-(1—p.2)$G ) ds ^Ф dz-
Поскольку внешние силы, воздействующие на стержень, сводятся к скручи-
вающим моментам, приложенным к усиленным диафрагмами недеформируемым
сечениям, потенциал внешних сил выражается так же, как и для стержня с не-
искажающимся профилем, формулой (54а):
ц = —. J М0 dz = — J dz.
Полный потенциал системы равен
П = 4- ииаг + ц = f F Ф. Ф') dz,
I
где
{2(1 + ds+ ds-\-ty'2$u2ds-\-
4-/2<j>(w’) ds — 2<f'f^>rw ds — 2з'ф' <£> ru ds -}-
4-2ф7^аад ds+ ф2 ё(1Г^у (®“Г ds — Afy'}.
Условиями экстремальности полного потенциала системы являются три диф-
ференциальных уравнения (соответственно числу функций /, <р, ф):
df dz df'~ U;
g=o;
df
dF_____d_dF__
' dip dz dtp' *
Раскрывая эти уравнения, получим
f ) ds— 2(1 + jx) f (^mPds — ф'ds -f- ф' ds = 0;
— f § rw ds + §r2ds — <|>’ jtruds — ^- = 0; (68)
f (j) ww ds — <?*(§) ru ds -f- ф' <j) «2 ds — ф 6 f ) ds ~
' сто предположение эквивалентно гипотезам, принимаемым в так называемой полу-
безмоментной теории цилиндрических оболочек (см. например, В. В. Новожилов
„Теория тонких оболочек*, Судпромгиз, 1951).
Стесненное кручение замкнутых профилей
437
Фиг. 380
перемещение должно быть
Если в первых двух уравнениях этой системы опустить слагаемые, в которые
входит функция ф и ее производные, то эти уравнения совпадут с полученными
выше зависимостями (56) и (57) для профиля с неискажающимся контуром.
Чтобы вычислить коэффициенты уравнения (68), нужно задать форму иска-
жения сечения. Естественно предположить, что поскольку сечение искажается
под действием сил, пропорциональных 8 распределенных, как показано на
фиг. 376, а, то и его искажение будет соответствовать форме, представленной
на фиг. 377, б.
Кривизна пропорциональная изгибающему моменту, изменяется согласно
эпюре фиг. 377, а. Приняв значения v" в углах сечения за единицу (фиг. 380).
найдем изменение <v' вдоль сторон сечения:
х.. __ 2
va = 4- — х (вдоль верхней и нижней сто-
рон сечения);
2
+ у* (для левой и правой сторон се-
ченйя).
Интегрируя выражение для верхней сто-
роны сечения, найдем
—4-х’+с^
----4-4- + СХ + О.
По симме'фии, в середине стороны (х = 0),
равно нулю(с!д = о) и, следовательно, D = 0.
Для левой стороны сечения имеем аналогично:
2
Из условия. сопряжения сторон должно соблюдаться равенство:
или
откуда _ а + Ъ
Таким образом,
Перемещение vb для верхнего края левой стенки равно одновременно пере-
мещению и для верхней стенки со знаком минус, т. е.
р \ Ь* Ь ab b2 b2 ab b
24 “*"С 2 8 8 — 12 8 2 в
438 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
I
Перемещение va для левого края верхней стенки равно перемещению и для
левой стенки, т. е.
А= 24 — С ~2~ аь-
Эпюра перемещений и представлена на фиг. 381.
Постоянная С соответствует повороту всего сечения как жесткого. Ей можно
приписать произвольное зна-
чение.
Выберем постоянную С та-
ким образом, чтобы равнялся
нулю интеграл
= (69)
Этот интеграл равен
(£ иг ds = 2 иа ^-а
+ 2“» -у* —“<'(“«+“•)•
Фиг. 382.
илишшпш
Фиг. 381
Таким образом, уравнение (69) выполняется при иа иь »0 или при усло-
вии что
— > аЬ г Ь . а2
12 ’ 8 — С Т “Г 24
— С -у = о;
откуда
аа + 262 + 3дд _а + 2Ь
12 (а-|-6) — 12
При этом значении С получаем
~_________________________Ь2 1 ab_ п 6_____аб
иа — 12 Т 8 G 2 ~ 12 ’
~ ___ а2 ~ а _____ ab
U»~~1A С 2 ~ ’12 ’
Форма Искаженного сечения, соответствующая принятым функциям и и v, и
эпюра функции и представлены на фиг. 382. На этой же фигуре приведены
эпюры г. w, w и tT, необходимые для вычисления коэффициентов дифферен-
циальных уравнений (68).
Стесненное кручение замкнутых профилей
. 439
Перемножая эпюры по правилу Верещагина, находим:
^(wj2ds = 8^-^;
(j)w2ds = -y wo(a + b)\
rw ds — 2w0 (a — b);
(j) ww ds =---1- w^ab',
§r2ds — -^-ab(a-\- b);
ф ruds=0;
^u2ds = -^ a2b2 (a -j- b);
j) ) ds = (a 4- b).
Подстановка этих значений в уравнения (68) дает:
A-(aat~ - /X -t(l 4- Н) (« + ») - ?'2 (а - &) - Ф' 4 = 0;
а —/w02(a —а6(а + &) = -&*’
(70>
Из второго уравнения системы (70) находим
, 2М . 4 (a — b) Z-1V
? ~ ОЪаЬ(а + Ь) + ab (а + b) ’
Подставляя эту величину в первое уравнение системы (70), приходим к двум
дифференциальным уравнениям относительно функций f (z) и ф(г):
- т (1 + «<“ + 6> +/"• - Д» - ♦' таЬ = '•
,?2>
Исключая далее функцию ф, приходим к Уравнению четвертого порядка
относительно функции f (z):
(y.v _ 4„.r + V) i, = 4„.м _ M-, (73)
где n« = 262 .
a**» (1 — (0 ’
4 48S2
m ~ (1 - fi2) (a + 6)2 a262 *
Функция <|)(z) выражается через функцию f(z) по формуле
<74>
где
2_ 24
“ ~ (1 н-ц)(« + *)’•
440 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравне-
нию (73), имеет вид:
х* — 4п$х2 Н- 4m4 = 0,
откуда ______
х = ± m (± i •
Так как отношение
1 1/ / 8 . 8\
m*~ 2 V 3(1 -и) V а b )
имеет порядок отношения толщины стенки к размерам сечения, то этой величи-
ной можно пренебречь по сравнению с единицей и принять, что
х= ± m (1 ± /),
где
_ 4/~ 3 / 8
m z V 1 - fl2 V ab (a + b)'
В соответствии с полученными корнями характеристического уравнения
решение однородного уравнения, соответствующего уравнению (73), выражается
через известные функции Крылова для балок на упругом основании (см. прило-
жение к т. I).
Эти функции следующие:
(mz) = ch mz cos mz;
V2 (mz) = -y (ch mz sin mz -J- sh mz cos mz);
(mz) ~ -i- sh mz sin mz;
V4 (mz) = (ch mz sin mz — sh mz cos mz).
(75)
Между функциями У, — У4 выполняются следующие дифференциальные
соотношения:
Vy(mz) =—4mVt(mz);
-^V*(mz) — mV ^(mz);
a (75a)
V3 (mz) = mVt (mz);
4(mz)=mVs (mz).
Соотношения между постоянными интегрирования, входящими в выражения
для функций f (z) и ф(г), легко определяются из уравнения (74),
Так, если выражение функции f (z) принять в форме
f (*) = f0 (z) + [С,V, (mz) + С2У2 (mz) + C3V3 (mz) + CtV4 (mz)], (76)
w0
где /о С2) — частное решение уравнения (73) с правой частью, то для ф' (z)
в соответствии с уравнением (74) получим
Г w - й + [с. О'- +4 + с. t1'. +4 5- +
+ C.(v,-£vi)+C.(V.-2rV',)]. (77)
Стесненное кручение замкнутых профилей
441
В этой формуле фо представляет собой рещение неоднородного дифферен-
циального уравнения, равное
., 48w0 / ,______1_
”0 ab(a-\-b)\J0 a* J0
б(а~Ь)
GW4>*(a + b)
(78>
а аргумент mz в функциях — V4 для сокращения записи опущен.
Интегрируя выражение для фх с учетом соотношений (75а), находим
+ С» (V4- У2) + С4 (- 4- V, —£ Из)] . (79>
Если крутящий момент М постоянен по длине рассматриваемого отсека»
профиля, то частным решением неоднородного уравнения (73) является выражение
/ __ 1 M(a — b) _M(a + b)
/о —op — • SabQb — 2GaW 9
Wq
(80>
соответствующее депланации при свободном кручении профиля. Из уравнения (78^
находим, что при этом фо = 0.
Если профиль достаточно длинный, так- что величина ml велика, то на его»
длине эффекты, вызываемые стеснением, успевают полностью затухнуть.
В этом случае выгоднее использовать решение уравнения (73), выраженное
не через гиперболические, а через показательные и тригонометрические функ-
ции, причем в этом решении следует удержать лишь слагаемые, убывающие
с удалением от места стеснения.
Так, если принять для функции f(z) выражение
f (z) ®/0 (z) 4- -х- e~mz (Ci cos sin mz), (81>
wa
то для. ф(я) найдем
Ф (Z) = Фо (z) + abi~+ b}m [(14- sin /П2- (1 - ^-) cos mz] -
-r-Cge-»2 +^-)cosmz+(1 —^-)sinmz]|. (82>
Решим с помощью изложенной теории ту же задачу о стесненном кручении про-
филя (см. фиг. 370), которая рассматривалась выше без учета искажения формы контуре
сечения.
Предположим, что жесткие в своей плоскости диафрагмы имеются только по торцам
профиля и в среднем его сечении, где приложены внешние моменты.
Для данного профиля коэффициент m равен
m « 2
3
Т^Г2
В
ab (а + Ь)
0,3
5.10(5+10]
^0,054
см-1
и множитель, характеризующий затухание вторичных силовых факторов на длине от
середины до конца профиля,
£-0.054.100 в ^-5»4 0,0056
Таким образом, на этой длине имеет место почти полное затухание.
Ввиду этого, рассматривая по симметрии половину длины профиля и располагал
начало координат в среднем сечении, можем принять для функций f(z) и ф (z) выра-
жения (81) и (82). ' ,
Граничные условия при 2 = 0 таковы:
п ф (0) = 0, так как в этом сочении имеется диафрагма.
2) f (0) 0, так как по симметрии депланации отсутствуют.
442 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Граничные условия на конце профиля [ф (/) = 0 и 0] выполняется автомати-
чески, поскольку множитель e~ml пренебрежимо мал. В связи с постоянством момента
шо длине профиля ф0 «= 0 и в соответствии с формулой (80)
Из граничных условий 1) и 2) находим
С;----/,we; С2 = •
Подставляя эти значения постоянных в уравнения (81) и (82), получаем
1 —(cos mz — sin mz) —--2 2^2- e~mz sin mz j ;
1+44
ф (z) = — ftWQ . 7~ 48 r--e~mz sin mz.
т \ / /0 (a H- b) m 0 m2
Уравнение (71) позволяет определить погонный угол закручивания профиля в:
, Л4(л + *)(\ (a — b\* ( . 4m2 3 \1
е (cos^-sin’”2;+^+2^-sin’«2)J-
Интегрируя это выражение по длине профиля, определяем суммарный угол его
накручивания от среднего сечения до торца*
_ М {а 4- b) Z L f а — Ь \аГ e~ml sin ml
<р_ 2а*ЬЮЪ V \а4-Ь/[ ml
+ -iy . (1 — e~mi cos ml — e~mi sin mZ)l I.
ml a2 4- 2m2 J J
Слагаемыми, содержащими множитель e~~mL, можно пренебречь, и тогда
М(а + &)Г / а — b\2 2т 1
Т" 2в»Яй Г \а + b ) а» + 2т2]’*
Сопоставляя это выражение с углом закручивания профиля при чистом кручения
Ml М (а 4- Ь) ,
*° “ GJT “ G 2в2&26 ’ '
увидим, что стеснение приводит к уменьшению эффективной длины профиля на
(а—Ь\* 2т
\а^Ь ) а24-2m2 ’
-г. е. в данном случае на
f 5 V 2-0,054 Л1л
1 \ 15 ) 0,0853 +2-0,0542- ’ М'
«что составляет всего лишь О,14®/о от длины I.
Таким образом, при деформируемом контуре сечения влияние стеснения на угол
.закручивания ничтожно, оно еще меньше, чем при недеформируемом контуре сечения
4см. стр. 431).
Графики изменения f (z), Г (z) и 0 по длине профиля приведены на фиг. 383. Для
сопоставления на той же фигуре показаны кривые, представляющие функции /(g),
/'(г) и 0, полученные выше для профиля с неискажающимся сечением.
Рассмотрим теперь распределение напряжений в профиле.
Нормальные напряжения стесненного кручения определяются уравнением
’ Q=Ef(z)tw.
Они максимальны в угловых точках среднего сечения профиля, где w=w0
м
f (0) = /о (2от — ва + 2та) ’
Стесненное кручение замкнутых профилей
443
или, пренебрегая вторым слагаемым, которое мало, имеем
Г(О)-2и/о.
Таким образом,
„ п ~ М(а — b) Е
«max = ^ • Wo^o == ^ьъ q т.
В рассматриваемом примере
’max = 4.59H:'6J-2-6-0-054 = 57 KS/CMt'
что в 2,7 раза меньше, чем было получено выше для профиля с недеформируемым
сечением.
Касательные напряжения определяются в соответствии с формулой (64а}.
Подставляя в эту формулу полученные выше значения функций f' = 0, <p(z)
и f(z), найдем
г — w
12 (а - b)
(а + Ь)* U W
(83)
если пренебречь отношением
т2_________ 1 / 1 4~ р- Ь (а 4- Ь)
1? ~ V 3(1—р.) 4ab ,
по сравнению с единицей, то можно
положить, чт5
ф (z) = (cos mz — sin mz) e~mz.
Для верхней и нижней сторон се-
чения имеем:
b аЬ
г— 2 ; U —12 ;
2w(
а
а -- Ь
При этом выражение
скобках в формуле (83) равно нулю и
Т а н- b ~ 2аЬЪ *
в квадратных
Для вертикальных стенок сечения,
для которых
а *
2 » и~
т
w
Ъ
2
ab .
~12’
формула (83) дает то же самое значение касательного напряжения.
Таким образом, для данного профиля с деформируемым сечением стеснение
не приводит к изменению распределения касательных напряжений, которые
остаются постоянными по длине профиля и такими же по величине, как при
чистом кручении. Более точное исследование этого вопроса без пренебрежения
/х2 ч
отношением при решении уравнения (73) показывает, что медленно затухаю-
щие по длине профиля вторичные касательные напряжения стесненного круче-
ния все же имеют место, но их величина мала (порядка отношения толщины
стенки к размерам сечения) по сравнению с напряжениями чистого кручения-
444 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Если толщина стенки профиля весьма мала, так что мала по сравнению
с единицей и величина
ml = 2 V т---о I/ —т-z——тг,
г 1— pi2 Г ab (а + Ь) 9
то можно пренебречь последним слагаемым второго уравнения системы (72).
В этом случае система уравнений принимает вид:
-/X у (1 + /*) (а 4- Ъ) 4-/®0 - ф' ^ab = О54 *а(/(ГЛ)Л1;
- 2 . . ,, а«1>« (а + 6) _ <84)
— fno^ab + ф --------------- — °-
Исключая из этих уравнений функцию f (Z) и считая крутящий момент М
постоянным для данного отсека, найдем
<|Pv = 0,
откуда
ф = Az\+ Bz2 + Cz + D, (85)
где Л, В, С и D — постоянные интегрирования.
Определяя теперь из уравнений (84) функцию f (2), получаем
+ 2Вг + С+ oX-V+S)} <86>
и из выражения (71)
* = = + 1 4-2В24-С). (87)
U 14 1 L * J I
Постоянные интегрирования Л, 8, С и D определяются из граничных усло-
вий.
Так, например, если профиль заделан на одном конце (z — Q) и нагружен
моментом Л4 на другом z = Z, имеющем жесткую в своей плоскости диафрагму,
граничные условия таковы:
фг_о = ф2=г = О;
/(z)z-o = O; / (z)z=z = 0.
Из этих условий находим:
А _________________ЗМ(а-Ь)_____________.
G8a2b2 (а + Ь) j/2 4-g- (1 4- р) (а + &)2] ’
В= — ЗА1;
С=2АР;
D = Q.
Функции <]>(z), f (z) л 9 определяются уравнениями:
1 / ч ЗЛ4 (а — Ь) /
ф(х) -------------------- 1 ------------'-т г (
G8a2J2 (а + Ь) [1 + (1 + ц) (а + *)2J '
/ (Z) =----------- + -------------------у
4G8a2h2 11 + ур (1 + ц) (а + />)21
ь(;л=М<а+ь)
2G8a2b2
2 3 / Z \2 1
. (а — 6)2 1 — 3 Т + 2" V7/ + 8/5 О +
1 (а + Ь}2 1
И-8/5(1 ТРО (« + *)а
Стесненное кручение замкнутых профилей
445
В выражении для 8 (z) первое слагаемое в скобках дает величину крутки
при чистом кручении, а второе отражает влияние стеснения.
Полный угол закручивания стержня равен
Ml (а 4- Ь)
а — Ь\2
&+ b )
1
- др
1 + (1 4-^) (« + »)»
С увеличением длины профиля / угол его закручивания быстро прибли-
жается к’величине
„ _ Ml (a -fr b)
соответствующей чистому его кручению.
Рассмотрим распределение касательных напряжений в произвольном попе-
речном сечении профиля.
Подстановка в формулу (64а) значений функций ср', <p(z) и f(z) приводит
к выражению
М (а+Ь) ( 4аЬ 12 (л — £>,
1(в + 6)« г + (а + Ь)» (1 4-х) “
1 а — b 3 , , । v* » < о * 3 ,
-14-х(а4-1р[» ( + ?(а~
где обозначено
(1 -Ил) (а 4- by
х~ 8Р ’
»
Далее, учитывая значения г, и и w 9 для горизонтальных и вертикальных
стенок сечения находим значение
М a-b 1
2аЬЪ 1 + а 4- b 8/а
1+(l+tO(«4-6)s
(88)
здесь знак минус относится к горизонтальным стенкам сечения (шириной а), а
знак плюс — к вертикальным. Касательное напряжение не зависит от z и, следо-
вательно, постоянно по длине профиля. Отклонения от распределения напряже-
ний при чистом кручении, даваемые вторым слагаемым в квадратных скобках
формулы (88), быстро уменьшаются по мере увеличения длины I профиля.
Нормальные напряжения стесненного кручения, которые в угловых точках
сечения равны
a = Ef (z)we = -|-
М (а - b) (1 4- и)
... Г1 + а+ (« + *)* I
изменяются вдоль профиля по линейному закону. Нормальные напряжения
в заделке зависят от длины профиля. Они максимальны в том случае, когда
2 V —— •
Тогда

Таким образом, максимально возможное нормальное напряжение стесненного
М
кручения равно касательному напряжению чистого кручения,умноженному
на 2,42 7ТУ (при М = 0,3).
446 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
i
В* Пределы применимости теории стесненного кручения замкнутых
профилей с недеформируемым сечением
Существенный интерес представляет использование полученного решения
задачи о стесненном кручении црофиля с деформируемым контуром сечения для
определения пределов применимости теории А. А. Уманского для профиля с не-
деформируемым контуром сечения.
Рассмотрим задачу о стесненном кручении профиля прямоугольного сечения,
с расположенными на равных друг от друга расстояниях жесткими в своей
плоскости, поперечными диафрагмами (фиг. 384).
При чистом кручении такого профиля все его сечения депланируют одина-
ково. Если в действительности какое-либо сечение заделано, то в этом сечении
возникает бимомент, вызывающий де-
бимоментом. Считаем,
планацию такой же величины, как от
чистого кручения, но обратного знака;
таким образом, суммарная депланация
в этом сечении оказывается равной
нулю.
Присутствие поперечных диафрагм
не оказывает влияния на деформации
чистого кручения; поэтому необходимо
лишь исследовать влияние диафрагм на
деформации, вызываемые бимоментом.
Итак, приходим к задаче, предста-
вленной на фиг. 384: профиль с распо-
ложенными на равных расстояниях
друг от друга поперечными диафраг-
мами нагружается на торце 2 = 0
что профиль является достаточно длинным, так что
второго, его торца можно пренебречь (предполагается, что профиль
влиянием
является полубесконечным).
Допустим, что на торце профиля (2 = 0) заданы нормальные напряжения
ao = E/'(O)w,
а соответствующая им депланация равна
w(t = f(Q)w.
Взаимодействие первого отсека стержня (между торцом и ближайшей к нему
диафрагмой) со вторым определяется нормальными напряжениями
az = Ef (Z)w.
Депланация в сечении 2 = Z, где расположена диафрагма, равна
wz = f
Ввиду того что полная длина стержня велика, очевидно, что жесткость
в отношении депланаций всего стержня такова же, как и части стержня, начи-
ная со второго отсека, т. е. что
A. = 2L
w0 wt
или
f (0) _ Г (Z)
Z(0) ~ f(l) •
Стесненное кручение замкнутых профилей
44Г
Обозначая это отношение через k, получим следующие уравнения гранич-
ных условий задачи для первого отсека:
/ (0)-Л/(0) = 0;
ГМ -kf (0 = 0; (89>
ф(0) = 0;
Ф(0 = о.
(Последние два условия являются следствием наличия диафрагм в сечениях-
2 = 0 и z = L)
Так как дифференциальные уравнения, определяющие функции f(z) и
при отсутствии крутящего момента однородны, то уравнения (89) однородные
относительно четырех постоянных интегрирования.
Эти уравнения могут иметь отличные от нуля решения только в том случае.,
если их определитель равен нулю.
У словце равенства нулю определителя системы уравнений (89) позволяет:
найти коэффициент k, а следовательно, и жесткость усиленного диафрагмами?
профиля в отношении бимомента.
Сопоставляя эту величину с величиной, даваемой теорией А. А. Уманского,
можно найти пределы применимости последней.
Подставим общие выражения (76) и (79) функций /(z) и tp(z) в уравнениям
(89), положив при этом /о = (ро = О.
Тогда получим следующую систему уравнений:
тС2 — kCx = 0;
С. [ --зАтl/4 — kVJ + С2 [mV, — + С3 [tnV2 - kV8] +
* + C4[mV3 — kV4] =0;
— ^Сг- 4-С4 = °;
a2 z 4 * ’ -
Су [^2-м£2у4] ч-с2 [у8-+ сг [у4- -JyJ -
[1 "1
| И + -5-v8J — o,
где аргумент ml в выражениях функций V, — V4 опущен.
Исключая из этих уравнений постоянные С2 и С4, приходим к двум уравне-
ниям относительно С, и С8:
С, [- 4/лУ4 - У, - У8 + У4] + С3 [mV 2 - kVa\ = 0;
сх [v2 + 4 -g-2 У4 + A vs + 4 У8] + С3 [У4 - У2] = 0.
Из условия равенства нулю определителя этих уравнений находим
^2 ___________________~. (goy
т*\ Уг(т1)У ,{ml)
1 + \ та + 4 а2 ) (ml) + 4у2
Далее, пренебрегая в знаменателе величиной по сравнению с —-2 и за-
меняя функции А. Н. Крылова их выражениями (75), приведем формулу (90f
к виду:
Г/' (0)12 _ 2 _ __________«2____________
1/(0) J — Л — g2 ch 2ml + cos 2ml - 2 e k J
1 4/и2 ch 2ml — cos 2ml
-448 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Отметим, что по теории А. А. Уманского при нагружении бимомёнТОм про-
филя с недеформируемым контуром сечения функция депланацйи имеет вид:
Соответственно по этой теории коэффициент, характеризующий жесткость
«профиля при действии бимомента, равен
Г Г (0)
1/(0)
1_в_у (91)
Отношение жесткости профиля с недеформируемым сечением к жесткости
шрофиля с сечением, могущим искажаться:
ct /\ , a2 ch 2ml -|- cos 2ml — 2
k ~ V 1 4m2 ch 2ml — cos 2ml ’
Это отношение зависит как от геометрических параметров сеченйя, опреде-
ляющих коэффициенты а и т, так и от расстояния I между поперечными диа-
фрагмами, усиливающими профиль.
Предположим, что диафрагмы расположены до-
статочно близко одна к другой, так что величина
ml мала.
В этом случае, используя разложения гиперболи-
ческих и тригонометрических функций в ряды, най-
дем приближенное выражение
ch 2ml + cos 2ml — 2 _m2Z2
ch 2ml — cos 2ml 3 *
дающее ошибку, не превышающую 3°/0 при ml < 2.
Тогда
1/1 _|_^£
k V 12 »
ИЛИ С
tt — Л,Г II 2/а ~
k V 1 Т (1 + + 6)’ •
На фиг. 385 приведен график изменения этой величины в зависимости от
отношения расстояния
-л Ь.
Из графика видно,
ванная на гипотезе о
превышающую 5°/0. С
-быстро возрастает.
между диафрагмами Z к полупериметру контура сечения
что только при ууу, меньшем 0,25, теория, осно-
недеформируемости контура сечения, дает ошибку, не
увеличением расстояния между диафрагмами ошибка
Хотя мы и ограничились случаем, когда I мало, полученная оценка пределов
применимости теории, не учитывающей искажений контура сечения, справедлива
«о всех случаях, так как при
^-г <^0,25 произведение ml во всяком случае
меньше единицы.
§ 8. ПЛОСКИЙ ИЗГИБ ТОНКОСТЕННЫХ КРИВЫХ ПРОФИЛЕЙ
С конструкциями, включающими кривые тонкостенные профили, приходится
часто встречаться в инженерной практике (компенсаторы трубопроводов, змее-
вики, сварные узлы вагонных тележек, элементы грузоподъемных устройств,
лиры прожекторов и звукоулавливателей и т. д.).
Обычная теория изгиба кривого бруса не пригодна для бруса тонкостенного,
'так как в этом случае существенную роль играют деформации контура попе-
речного сечения.
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
449
Впервые задача об изгибе тонкостенного кривого бруса возникла в связи
с расчетом кривых труб (компенсаторы трубопроводов) в начале нашего сто-
летия, когда было экспериментально установлено, что деформации этих труб
иногда в несколько раз превышают вычисленные в соответствии с обычной
теорией изгиба.
Изгиб кривых труб круглого сечения рассматривался Карманом [23], кото-
рый дал приближенную формулу для оценки их жесткости. Приближенное
решение задачи для труб эллиптического сечения получил В. И. Феодосьев [20]
с помощью метода Ритца.
Для бруса, составленного из цилиндрических и плоских стенок (см. фиг. 386,
390, З96‘и 401), точное решение задачи получено В. Л. Бидерманом [4].
Ниже приводится решение задачи о чистом изгибе только для бруса малой
кривизны, однако это решение можно без труда распространить и на брус
большой кривизны. В этом последнем случае следует учитывать то, что цилин-
дрические стенки имеют различные радиусы кривизны, а плоские стенки сле-
дует рассматривать как симметрично нагруженные круглые пластины.
Основной гипотезой, которая используется нами, является гипотеза плоских
сечений. Эту гипотезу можно считать справедливой вследствие осевой симметрии
задачи о чистом изгибе.
А. Работа цилиндрических стенок профиля
Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный элемент, вырезанный из цилин-
дрической стенки профиля (фиг. 386, а, б). Радиус кривизны срединной поверх-
ности стенки /?, расстояние сре-
динной поверхности от нейтраль-
ной оси профиля iq. При изгибе
профиля центральный угол, соот-
ветствующий данному элементу,
изменится, он станет равным
60 4- Д60. Кроме того, стенка по-
теряет цилиндрическую форму,
кольцевые волокна ее получат ра-
диальные смещения w.
Кольцевое волокно ЛВ, лежа-
щее на расстоянии z от средин-
ной поверхности, после деформа-
ции будет иметь длину (фиг. 386, в)
А'В' = (R' 4- z) (сП 4- Д60),
где R' — новый радиус кривизны
срединной поверхности элемента.
Удлинение этого волокна
А'В' — AB=(R' 4-z)(60 4~A60).
Длина нейтрального волокна
CD при изгибе бруса не изме-
няется, следовательно,
Цилиндрическая Выделенный
Фиг. 386.
(/? — iq) 60 = [R' — (tj — W)] (60 + Д60).
Определяя отсюда R' и подставляя в предыдущее уравнение, получим
А В' —AB^^+z) Д60 — w (69 4- Д69).
Пренебрегая в этом выражении малой величиной wA60 и деля на первоначаль-
ную длину волокна (/?4“2) найдем относительное удлинение кольцевого волокна:
__ т) 4- z ArfO w
8f~/? + 2 “50 ЛТг’’
29 Пономарев и др. 407
(93)
450 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
'г Л h 1
Так как величина z меняется в пределах--------g- < z < -у* и так как тол-
щина стенки h мала по сравнению с 7] и /?, в выражении для можно пре-
небречь z. Тогда получим
AdO w
Zt = ~R~db S’*
Кроме деформации ер в цилиндрических элементах возникают и поперечные
деформации ех, связанные с искажением их формы („изгибом* цилиндрической
оболочки).
Принимая обычную гипотезу о неизменности нормали и
нение волокна KL (фиг. 387), параллельного оси цилиндра
стоянии z от срединной поверхности, получим
K'L' — К_ d^w
KL ~ 2 dx2 $0’
рассматривая удли-
и лежащего на рас-
е
(94)
где е0 — относительное удлинение волокна, лежащего на срединной поверх-
ности.
Нормальные напряжения в сечениях цилиндрического элемента определяются
по формулам
Е . . ч Е Г
Zjc ~ 1 — (8х + Не/) — j _ р [2 dx2
ео
Ad0
w \ 1
тг) I;

Е Е Г Т) Arf0 w , . ~ d*w 1
1 — р.2^ +/хех)— 1 —И2[ R К +l*e0 + rfx2 ] ’
Найдем усилия и моменты, отнесенные к единице длины средней линии
сечения (фиг. 388):
h
2
-г С j Eh Г . / тп Arf0 w \ 1 и
Тх ~ J 9х<12 ~~ 1 — р.21_8° + 11 \ К di) R )] ’ (95)
h
h
2
f , Eh Г -я AdO w . 1 ч
rt = J °tdz = rzpl-J-“За----------7Г + Ы ; (95а)
h
~ 2
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
451
к
* 2
ЛА (* , ЕЮ dfiw
Мх— J °xz dz — 12 (1 _ ,12) dx* ’ (95б>
— Л
2
h
2
лл f , Eh3 d*w
J p. 12(1 _p,2) ~3^- <95b>
h
~ 2
Рассмотрим равновесие элемента, изображенного на фиг. 388.
Сумма проекций всех сил на ось х дает
dTxds — 0. (96)
Сумма проекций на ось z
dQds-Ttdx-^- = 0,
откуда
^-=4-7> <97>
Сумма моментов относительно оси t
dMxds — Qds dx — О,
откуда
Из уравнения (96) следует, что
dx
= о,
т. е. усилие Тх является постоянным по всей ширине цилиндрической стенки,
В случае, если профиль является открытым, усилие Тх равно, очевидно, нулю-
(так как оно равно нулю у края сечения). Можно показать, что и в случае
замкнутого контура сечения усилие Тх пренебрежимо мало, поэтому примем
7\ = 0.
Следовательно [см. формулу (95)],
от
Подставляя эту величину в формулу (95а) для Тр получим
<100>

г.
Используя полученное значение е0, определим напряжения, возникающие
в сечениях цилиндрического элемента:
Е dton 12Afx
1 — р.2 dx* ~ Ю Z>
, Tt 12^
' h "г Ю
Таким образом, напряжения а* изменяются по толщине цилиндрической обо-
лочки по линейному закону;, в срединной поверхности они отсутствуют, а у внеш-
ней и внутренней поверхности 2= + -тр достигают максимума, равного
_______, 6/Ид.
max — /^2 *
29!
452 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Напряжения а, складываются из напряжений в срединной поверхности
(°f)z=O = "^ '
л напряжений „изгиба* оболочки.
Напряжения у внешней и внутренней поверхности оболочки равны
<4-tA=-lF±V'
Исключим из уравнений равновесия (97) и (98) поперечную силу Q:
1
dx* ~ R *'
Заменяя Мх и Tt их выражениями через деформации [см. формулы (956)
и (100)], получим
Eh? d4w _____ 1 Fh( w \
12(1—p.2) d^~ — ’R£:n\CR^ Rj
Полученное уравнение можно записать в следующем виде:
+ = (101)
где
4k4 =
12(1 — р2)
да
Дифференциальное уравнение (101) совпадает по форме с уравнением цилин-
дрической оболочки, нагруженной равномерно распределенным радиальным
давлением.
Следуя А. Н. Крылову [41], общее решение уравнения моз^но представить
в следующей форме:
W + C*V2 {kX>> + С«У» + № * <102>
Здесь
4ЛЗ(1-^)
V R2№ . 9
(103)
а функции1 Ур Vg, V3 и V4 определяются формулами (75).
Конечно, решение уравнения (101) можно представить и непосредственно
в виде произведений показательных функций на круговые, однако введение
функций Vj — У4 позволяет значительно упростить определение постоянных
интегрирования.
Последовательные производные этих функций определяются формулами (75а).
Произвольные постоянные в общем интеграле (102) определяются из усло-
вий закрепления краев цилиндрической оболочки.
Граничные условия обычно связывают между собой величины w,
Мх и Q. Момент Мх и поперечная сила Q выражаются через w по формулам,
которые легко получит из уравнений (956) и (98):

(Ю4)
1 См. приложение к т. I.
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
453
где введено обозначение для цилиндрической жесткости
D
12(1—р*) ’
Для того Чтобы в дальнейшем не возвращаться к этому вопросу, найдем
1 ч dw d^w d^w
с помощью формул (75а) производные и :
= k [ - 4С, l/4 (kx) + C2V, (kx) 4- С3 V2 (kx) + C4V8 (Лх)] 5
gL = *2 { _ 4CjV8 (kx) - 4C2V4 (kx) + C9V x (kx) + C4V2 (kx)};
S' = * I - 4CiV2 (M - 4C2 V3 ^x> ~ 4C3V'< (kx) + C<Vi (Ml •
(Ю5)
Благодаря тому, что при аргументе, равном нулю, функции V2, V3 и 1/4
равны нулю, a Vr = 1, значения прогиба w и его производных при х = 0 очень
просто выражаются через постоянные интегрирования:
х=о — + Ч’
(106)
Б. Работа плоских стенок профиля
Искажение формы контура речения не отражается на кольцевых деформа-:
циях срединной поверхности плоской стенки.
Эту деформацию можно таким образом вычислять по формуле
(Ю7)
где у — расстояние данного волокна от нейтраль-
ного слоя;
R— радиус кривизны данного волокна.
Так как рассматривается брус малой кривизны,
то под R можно понимать некоторый фиксирован-
ный радиус, например радиус кривизны централь-
ной оси бруса (фиг. 389).
При определении искажения формы плоских
стенок (их изгиба) их следует рассматривать как круглые симметрично нагру-
женные пластинки.
Для пластинок
гл. I, т. II):
справедливы, как известно, следующие соотношения (см.
1 dw
г dr
ЛЛ ГЛ ( 1 dw I
М f = D (--------f
f \ г dr ’
dtw \
~dr^ ) ’
где Л4Г и Mt — изгибающий моменты, отнесенные к единице длины кольцевого
и радиального сечений;
w — прогиб пластинки; . • - . :
D — цилиндрическая жесткость*
__ у ДдЮ
е'— "к" ’
лл r\( d*w

454 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Прогиб *w удовлетворяет дифференциальному уравнению
d*w f 1 d*w 1 dw Q
dr* ' ~ dr* 7^ dr ~D~'
где Q — поперечная сила, отнесенная к единице длины кольцового сечения.
Для бруса малой кривизны радиус г значительно больше ширины плоских
стенок, входящих в конструкцию, поэтому в приведенных выше формулах
можно пренебречь членами, содержащими г в знаменателе1.
Таким образом мы получим
r dr*
Q=D^-
dr*
(108)
Уравнение (108) тождественно с уравнениями изгиба балки, жесткость кото-
рой на изгиб равна D.
Мг и Q соответствуют изгибающему моменту и поперечной силе в сечениях
балки.
Этой аналогией мы и будем в дальнейшем пользоваться при исследовании
деформаций плоских стенок тонкостенного кривого бруса.
В. Изгиб тонкостенных кривых профилей с сечениями различных типов
а) Тавровое сечение (фиг. 390, а). Располагая начало координат у края
цилиндрической стенки (точка О на фиг. 390, б), будем иметь следующие гра-
ничные условия, которые должны удовлетворяться при х=0:
(Л1х)х==о=О;
(Q)x~o = 0;
при х = а:
wx=a = 0; *
(4^) =о.
\ dx / х—а
На основании соотношений (104) условия при х = 0 можно записать в сле-
дующей форме:
/ d*w\ _____/ d*w \ _
\ dx* )х=о ~ \ dx* ) r=o —
Отсюда следует, что постоянные С3 и С4 в общем выражении (102) для w
обращаются в нуль [см. равенства (106)].
Выражение для смещений в рассматриваемом случае будет следующим:
w = -П 4- C1V1 (kx) 4- C2V2 (kx).
Граничные условия при х=а дают
(w)x-« = Т) V, (ka) + C2V2 (ka) = 0;'
(1?)™ == * I” 4(?iV4 <M + Wi (Ml ~ °,
(Ю9)
, d'W 1
здесь использована формула (105) для -j— .
b*
, 1 Допускаемая при этом ошибка имеет порядок —, где b — ширина плоской
стенки, a R — средний радиус ее кривизны.
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
455
Из системы уравнений (109) находим постоянные С} и С2;
с =______________' Vi (М___________ ЛО6 .
1 Vl(ka) + 4И4 (йа)У.2 (йа) 4 м ’
с =______________4V4 (ka)__________
2 Vl (ka) + 4V4 (ka) V2(ka) ’
Общее выражение для радиального смещения выглядит, следовательно, так:
w = _ Arf9 Г1 _ (М v' (kx> +4 У< (М У* (kx> 1 л i 0)
4 I V\(ka) + 4V4(ka)y2(ka) J‘ ' 7
GJ
горма искривлен-
ной срединной
поверхности
0
а
Теперь можно по формуле (100) найти кольцевое усилие, приходящееся на
единйцу ширины полки:
Т =Е Ш h V1 (ka) Vl ^kx) + 4V4(fea) V*
*. £ PrfO 11 V\(ka)-4 4V4(ka)Vi(ka)
Нормальное напряжение at в срединной поверхности полки (^ = 0) равно
п _ Tt _F^ V^ka)VAkx) + W^ka)V2(kx) ,m
f h V^(ka)+ 4V4(ka)V2(ka) ’ 1 '
Полное кольцевое усилие Pt, воспринимаемое полкой, найдем, интегрируя Т
по ширине полки:
Pt = 2 f Tt dx.
Производя интегрирование с помощью соотношений (75а), получим
Pt = E^^haK^ (И2)
где
к 1 У] (fea) V.г (ka) + 4Vt (ka) V3 (fea)
’. yj( ka) + 4V4 (ka) V2 (ka)
Заменяя функции V их выражениями (75) через гиперболические и тригоно-
метрические функции и производя упрощения, найдем
__ 1 sh 2ka + sin 2 ka П1Ч\
Л1— ka 2 + ch2fca4-cOs2fca * t116'
456 Особенности расчёта тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Плоская форма стенки по симметрии не искажается: В ней возникают дефор-
мации е', определяемые по формуле (107):
~ Rdb У’
где у — расстояние от рассматриваемого волокна до нейтральной оси. Соответ-
ствующее напряжение
<114>
Полное кольцевое усилие, воспринимаемое стенкой,
pt—J E rm J mo \2 V'
Так как при чистом изгибе нормальная сила в сечении бруса отсутствует,
сумма кольцевых усилий в полках и стенке должна равняться нулю:
Это условие позволяет определить положение нейтральной оси:
Pt + Р\ - Е [^haK, - bhx (4 -ч)] = 0,
откуда
4
7) = о - J, . (1 15)
bh\ -1~
Зная можно определить величину изгибающего момента, воспринимаемого
брусом:
‘П е
М = Р# + ИХ J a'tydy = E-^J'. (116>
— (b—f])
где обозначено
Г = 2haKrf + 4 [*8 +(«>-#]• (117)
Заметим, что величина представляет собой изменение кривизны бруса
при изгибе.
В случае изгиба кривого бруса малой кривизны с недеформируемым сече-
нием изменение кривизны связано с изгибающим моментом уравнением
. <|18>
где J — 1Ж)мент инерции площади поперечного сечения бруса.
Сравнивая выражения (116) и (118), видим, что жесткость тонкостенного
бруса такова же, как жесткость бруса с недеформируемым сечением, имеющего
момент инерции /.
Легко непосредственно проверить, что тавровое сечение с шириной полок Кга
(фиг. 390, в) имеет момент инерции, равный по величине J' [см. выраже-
ние (117)], а величина ц согласно формуле (115) определяет положение центра
тяжести такого сечения.
Сечение, показанное на фиг. 390, а, будем называть в дальнейшем эквивалент-
ным недеформируемым сечением. Таким образом, жесткость тонкостенного кри-
вого профиля (фиг. 390, а) при изгибе равна вычисленной по обычным формулам
жесткости бруса с эквивалентным недеформируемым сечением.
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
457
Напряжения в плоской стенке профиля а' распределены по линейному закону.
Максимальные напряжения растяжения и сжатия возникают в точках А и В
(фиг. 391) при у = ц и при у — Ь— iq. Величины этих напряжений можно
найти по формуле (114), выразив изменение, кривизны через изгибающий
момент согласно
формуле (116):
M
ir;
M
аВ-1Гд’
(119>
Г
W'B = ~-------моменты сопротивления эквивалентного сечения,
в срединной поверхности цилиндрических полок, которые
где W'— — и
А
Напряжения
в точке А равны напряжению в стенке к концам полок падают, как это пред-
ставлено на фиг. 391.
Рассмотрим напряжения, возникающие в полках профиля в связи с их изги-
бом. Эти напряжения максимальны около точек сопряжения полок со стенкой
(х=а), где имеют место наибольшие моменты
Мх и
(Mx)x=a = D (^)х=а =
= D k2 4Vi (М У8(М + 16У1(М
V j (ka) 4- 4 Vt (ka) P2 (ka)
Учитывая, что
Е НсП'ч~ °А
Фиг. 391.
представляет собой напряжение в срединной поверхности полки в месте сопря-
жения ее со стенкой, и преобразуя выражение для (Мх)х=а, получим
(Мх)х==а = -g- Ко,
где
3 ch 2ka — cos 2ka
— pi2 2 + ch2fca + cos 2ka
Напряжения у наружной и внутренней поверхности полки (точки С и D
на фиг. 392) равны соответственно
QXC fib — ^°аА»
6Л4Х „
ЯгЬ = = ^А*
Изгибающий момент (Mt)x=a равен
Соответственно напряжения at в точках С и D равны
azc = _/f" = Р^°°а = ад (1
°tD = = °А + Р^о°А = аА U +
458 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Напряженное состояние в точках А, В, С и D показано на фиг. 392.
Наиболее опасной по прочности является либо точка В, либо точка С»
в которой эквивалентное напряжение (при = osd) равно
°аквс = °а [1 -г С1 — Н)
Расчет тонкостенного кривого профиля на жесткость можно производить по обыч-
ным формулам сопротивления материалов, заменив действительное сечение экви-
Фиг. 392.
валентным недеформируемым.
Переход от действительно-
го к эквивалентному сечению
осуществляется путем умноже-
ния ширины цилиндрической
стенки на коэффициент Kv
Коэффициент К, можно назвать
коэффициентом использования
цилиндрических стенок про-
филя.
На фиг. 393 приведена за-
висимость коэффициента К.
а^
(113) от отношения-^ (приня-
то, что коэффициент р = 0,3).
На этой же фигуре дан также график коэффициента /<о, необходимого для
определения напряжений в полке.
Теми же коэффициентами К, и Ко можно пользоваться и при расчете бруса
таврового сечения, расположенного так, как указано на фиг 394.
Если произведение ka велико, то в числителе и знаменателе формулы (113)
можно пренебречь всеми членами, кроме sh ka и ch ka, и положить sh ka = ch ka.
Этом случае
к— 1 1
й 1 ha 4 а •
по формуле
аэф = К уа
Практически эта формула дает достаточную точность уже при ka > 3, т. е.
яри > 5. Эффективную ширину полки профиля можно при этом определить
V~Rh
4
/3(1 - р.2)
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
459
Эта величина не зависит от действительной ширины полки а.
Таким образом, увеличение ширины полки более
а = У
«е влияет практически на жесткость профиля
На фиг. 395 изображена эпюра распределения
напряжений в срединной поверхности полки
а2 -
при-^ = 1. Ив эпюры видно, что напряжение
у краев полок значительно ниже, чем в средней
части.
б) Швеллерное сечение с полками» лежа-
щими в плоскости кривизны (фиг. 396, а и б).
Располагая начало координат в середине цилин-
дрического элемента (точка О на фиг. 396, в),
будем иметь следующие граничные условия
для w:
при х = 0 по симметрии
(120)
(121)
при х = а (^)х=д = 0; |
э (Мх)х=а — ®> J
Последнее условие является следствием того, что можно пренебречь сопро-
тивлением плоских стенок повороту вследствие малой кривизны бруса.
Эквивалентное сечение
г)
Фиг. 396.
Действительно, так как один из краев плоской стенки свободен, очевидно,
что поперечная сила Q в плоской стенке равна нулю. Но из уравнений (108)
следует, что в этом случае «~~ = 0, т. е. что Mr = const, а так как на сво-
бодном крае Л4г=0, то и вообще Л4г=0, момент же в цилиндрической стенке
в месте ее сопряжения с плоской равен моменту Мг в плоской стенке.
Из условий (120) следует, что постоянные С2 и С4 в общем выражении
для w равны нулю.
460 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Условия (121) дают:
n + СхVx (ka) + CaVs (ka) = 0;
— 4С, V3 (ka) + C3VX (ka) = 0.
Находя отсюда постоянные Cj и C8 и подставляя в выражение (102) для w,
получим
™ f 1 — (*а) (*х) + 4V*(fea) (*х) 1
db
(122)
Vj(ka)+4Vl(ka)
Интенсивность кольцевого усилия по формуле (100)
Полное кольцевое усилие, воспринимаемое цилиндрической стежкой,
а
Pt = 2^Ttdx = E^-n-2AaKi, (123)
о
где
к 1 Уг (ka) V2 (feg) + 4 V3 (ka) Vt (ka)
8 Vf (ka) + 4V| (ka) *
или после упрощения
„ 1 sh 2 ka + sin 2ka
2 2ka ch 2ka 4- cos 2ka *
Из формулы (123) следует, что цилиндрическая стенка воспринимает
такое же кольцевое усилие, какое воспринимала бы неискривляющаяся стенка
шириной 2К2а.
Таким образом, и в этом случае мы приходим к понятию эквивалентного
недеформируемого сечения (фиг. 396, г).
Кривой тонкостенный профиль швеллерного сечения можно рассчитывать на жест-
кость при изгибе по обычным формулам сопротивления материалов, заменив действи-
тельное сечение эквивалентным с уменьшенной шириной цилиндрической части.
График зависимости коэффициента К2 от отношения приведен на фиг. 397,
На фиг. 398 изображена эпюра распределения напряжения (at)z=o по ширине
а^
цилиндрической стенки бруса при -^ = 1. Из эпюры видно, что средняя часть
стенки почти не участвует в работе бруса на изгиб; при больших значениях
(-от;> 1,5 ) в средней части бруса даже возникают напряжения обратного знака.
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
461
Около полок, где напряжения (<^)z=o достигают максимума, напряжения, свя-
занные с изгибом цилиндрической оболочки, отсутствуют, так как
(Л1хЫа = 0.
Опасной точкой сечения является точка А (фиг. 398), напряжения в которой
Л4
определяются по формуле аА = ^ , где W —момент сопротивления эквивалент-
ного жесткого сечения (фиг. 396).
в) Швеллерное сечение со стенкой, лежащей в плоскости кривизны
(фиг. 399). Так как предполагается, что рассматриваемый брус имеет малую
Фиг.
кривизну, можно пренебречь различием в кривизне наружной и внутренней
полок и считать деформации контура сечения симметричными (фиг. 399, б).
Рассмотрим сначала деформации плоской стенки швеллера. С полок на
стенку передаются изгибающие моменты интенсивности Ма (фиг. 399, з).
Используя отмеченную выше аналогию между изгибом плоской стенки бруса
Eh^
малой кривизны и изгибом обычной балки жесткостью D, = 12(1 2. > найдем
связь между моментом Ма и вызываемым им углом поворота ср (фиг. 399, в):
<? = ^- (124)
Переходя к рассмотрению деформаций полки швеллера, представляющей
собой цилиндрическую оболочку, и располагая начало координат на ее краю
в точке О (фиг. 399, б), будем иметь следующие граничные условия:
=0; \ dx‘ Jx=o (125)
'dsw\ ( dx* h=o — °’ (126)
(w)x=a = 0; • (127)
dw\ dx)x=a У9 (128)
(Mx)x=a == (129)
462 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Первые два условия следуют^ из равенства нулю изгибающего момента Л4Х
и поперечной силы на свободном краю полки, третье — из геометрических
соображений, и два последние — из условий сопряжения полки со стенкой
(фиг. 399, в).
Условия (128) и (129) с учетом соотношений (104) и (124) дают
(?¥ = . (130>
\dx ) х=а h\ \dx ) х—а
Из условий (125) и (126) следует, что в общем выражении для смеще-
ний (102) обращаются в нуль константы С3 и С4.
Условия (127) и (130) дают
ь + C1V1 + с2^а (М = 0;
l/4 (ka) -f- kaV 3 (ka) 1 -f- C.
ah\
-4С,
’2 f (ka) — 4 kaVt (ka) ] = 0
I J
(по симметрии расстояние от нейтральной оси т| = ^).
Находя из решения этой системы С, и С2 и подставляя в общее выражение
для смещении, получим
. Mb
X Ij _ Vi (kx> + 4 V4 (ka) V2 (kx) + 4Xfeo [V3 (ka) V2 (kx)—Vj (ka) V, (fex)] ] (131)
( Vj (ka) + 4Vt (ka) V2 (ka) + 4X*a [У3 (ka) V2 (ka) - V4 (ka) Vi (ka) J ’ '
где

Пользуясь полученным выражением для w, можно по формуле (100) найти
интенсивность усилия Tt> а затем, интегрируя по х в пределах от нуля до а,
определить полное кольцевое усилие в полке Pt,
Полученное таким образом усилие равно
Pt = E^ Ь/гаК3, (132)
где
1 V, (ka) V2 (ka) 4; 4 Vt (ka) Vs (ka) + 4lka (ka) - Vt (ka) V2 (ka) j
8 ~ v2 (ka) 4- 4V« (ka) V2 (ka) + 4\ka [ V3 (ka) V2 (ka) — (ka) Vj (ka)] ’
или после простых преобразований
„ 1 sh 2ka 4- sin 2ka 4- \ka (ch 2ka cos 2ka — 2)
3 ka 2 4- ch 2ka 4- cos 2ka 4- 2\ka (sh.2£a — sin 2ka)
В случае изгиба бруса с недеформируемым сечением (например, прямой
брус при изменении кривизны усилие в полке составляло бы
Pt — E bha.
Сравнивая эту формулу с формулой (97), видим, что в этом случае эквива-
лентное недефордоируемое сечение должно иметь полки шириной К3а (фиг. 399, г).
Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей
463
Швеллерный профиль (фиг. 399, а) можно рассчитывать на изгиб в его
плоскости по обычным формулам сопротивления материалов, заменив дей-
ствительное сечение эквивалентным (фиг. 399, г).
Графики зависимости коэффициента
,, а2 bh3
К* от и Л = —5 приведены на
Rh ah\
фиг. 400.
г) Тонкостенное прямоугольное
сечение (фиг. 401, а). Так же как и
в предыдущем случае, считая дефор-
мации контура сечения симметричными
и рассматривая изгиб плоских стенок,
можно найти связь между углом пово-
рота касательной ср (фиг.-401, 6) и
изгибающими моментами в углах кон-
тура Ма:
= (133)
где 1
Г) ________1
1 — 12(1— (Г2) •
Рассматривая деформации цилиндрической стенки и располагая начало коор-
динат в ее середине (фиг. 401, б), будем иметь следующие граничные
условия для w:
виде:
Фиг. 401.
(SU=»= оз*»
(SU-o; «зэ>
(4=^=0; (136)
— Г. (137>
(Мх)х=а=Ма. (138}
Условия (137) и (138)
с учетом соотношения (133)
можно записать также в
bh3 / cPw \
h\ К dx2 Jx=a
. (139)
Из условий (134) и (135) следует, что в общем выражении для w обра-
щаются в нуль константы С2 и С4.
Условия (101) и (104) дают
b -% + С, V, (ka) + C3V3 (ka) - 0;
— 4С, [V4(ka) + ХЛаГв (ka)] -f- C3 ]V2 (ka) -|- XkaVi (Ml = 0.
где
464 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
(140)
где
Из этой системы уравнений можно найти константы Сл и С3 и затем, так же
как и в рассмотренных выше случаях, вычислить полное кольцевое усилие
в цилиндрическом моменте:
Pt = E b-2haK^ -
1 Vl (ka) 4- 4Vj (ka) + Ma [1Л (ka) V2 (ka) + 4 Vs (ka) Vt (ka)]
*~ka' Vj (ka) V2 (ka) + 4(ka) (ka) + fka [y| (ka) + 4Vf (ka)] ’
Фиг. 403.
или после упрощения
г, 1 ch 2ka — cos 2ka -|- Xka (sh 2ka 4- sin 2ka)
4 ka ’ sh 2ka -f- sin 2ka -|- 2\ka (ch 2ka 4- co*2£a) *
Из формулы (140) видно, что К± представляет собой коэффициент исполь-
зования ширины цилиндрических стенок. Эквивалентное недеформируемое сечение
(фиг. 401, в) имеет ширину цилиндрических
элементов 2аК4. Графики зависимости коэф-
. а2 к Ь№
фициента К4 от 57- и л = —х приведены на
Кп ah\
фиг. 402.
а2
При >1,2 коэффициент К4 можно
определять по формуле
________________ 1 1 -н > ka
4 ka 1-1- 2kka
Таблица 34
Значения коэффициентов
а b е
1 0,833 0,750
1,5 0,662 0,60>
2 0,584 0,530
3 0,499 0,454
4 0,459 0,415
5 0,439 • 0,392
д) Чистый изгиб кривых труб эллипти-
ческого поперечного сечения (фиг. 403).
Для этого случая В. И. Феодосьев [20],
пользуясь методом Ритца, установил следующую связь между изменением кри-
Мв * ЛЛ
визны и изгибающим моментом в сечении М:
Д40 _ м
Reft tyEJ •
В этой формуле J — момент инерции поперечного сечения трубы, а ф— коэф-
фициент, учитывающий влияние искажения формы сечения на изгиб. Он равен
ф=1________3____
' Л4
где в свою очередь т| и Е — коэффициенты, зависящие от отношения полуосей
эллипса у (табл. 34).
Расчет манометрических трубок
465
В частном случае изгиба трубы круглого поперечного сечения (а — Ь)
Ф 1 7?2Л2 *
104-12
что совпадает с формулой, которую ранее получил Карман.
§ 9 РАСЧЕТ МАНОМЕТРИЧЕСКИХ ТРУБОК
Манометрическая трубка (пружина Бурдона) представляет собой тонкостенную
трубку сплюснутого (овального или эллиптического) сечения, изогнутую по дуге
круга (фиг. 404).
При подаче давления во внутреннюю полость трубки она несколько рас-
прямляется и с помощью тяги и зубчатой передачи приводит в движение стрелку
манометра.
Конструктивными вариантами манометрических трубок являются так назы-
ваемые геликоидальные пружины (фиг. 405, а и б), концы которых получают
вследствие большой длины трубки настолько значительные угловые смещения,
что стрелку можно непосредственно связывать с концом трубки.
Изменение кривизны манометрических трубок при воздействии внутреннего
давления обусловливается искажением формы контура их сечения.
‘ Для того чтобы уяснить принцип действия манометрических трубок, рассмо-
трим трубку с неподвижно закрепленным концом (фиг. 406), причем предпо-
ложим, что заделка концов не препятствует искажению формы- сечения.. -
Очевидно, что при действии внутреннего давления форма сечения трубки
исказится, как показано на фиг. 406 пунктиром. При этом внутренние кольце-
вые волокна А приблизятся к центру кривизны трубки, длина их уменьшится,
и в, них возникнут напряжения сжатия. Наружные волокна В удалятся от центра
кривизны, соответственно в них возникнут напряжения растяжения. Напряжения
сжатия во внутренних волокнах и растяжения — в, наружных сводятся к изги-
бающему моменту Л40 в сечении. Такой же реактивный момент возникает
и в заделке.
Таким образом для того, чтобы удержать конец трубки цри нагружении ее
давлением, необходимо приложить к нему момент Л4в.
Естественно, что если этого момента не прикладывать, т. е. если конец
трубки свободен, то трубка будет распрямляться..
30 Пономарев и др 407
466 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Исследуем работу манометрической трубки с вытянутым овальном сечением
(фиг. 407).
Будем считать, что толщина стенки h мала по сравнению с радиусом кри-
визны трубки /?, и будем пренебрегать деформациями тороидальных участков
сечения.
В этом случае трубку можно рассматривать как две связанные между собой
тонкостенные цилиндрические оболочки.
Для расчета можно почти без изменения применить изложенную выше тео-
рию изгиба тонкостенных кривых профилей. Придется лишь иметь в виду,
что толщина h стенки трубки не является малой по сравнению с полуосью
сечения bt и учесть наличие внутреннего да-
Фиг. 406. Фиг. 407.
Так как толщина h мала по сравнению с радиусом кривизны трубки, но не
мала по сравнению с размерами ее сечения, то в формуле (93) для относитель-
ного удлинения кольцевых волокон
Т|-z ArfO w
Sf~R + z М R + z *
можно пренебречь величиной' z по сравнению с R, но нельзя пренебречь ею по
сравнению с расстоянием до нейтральной поверхности ц — Ь. Тогда
et— R dtt к' К u '
Последний член в этом выражении является дополнительным по сравнению
с формулой (93а), которая использовалась при расчете профилей с малой тол-
щиной стенки.
Для деформации ех будет попрежнему справедлива формула (94).
Вычисляя теперь интенсивности внутренних силовых факторов в кольцевом
и радиальном сечениях цилиндрической оболочки и принимая, как и ранее,
Тх — 0, получим
т, Afifb_ w \
— R )
ЛА n (&W _L \.
ЛА ~ Г\(^ I
Т,
(142)
Рассмотрим условия равновесия элемента оболочки (фиг. 408).
Составим сумму проекций сил на нормаль к элементу (ось z):
’ ‘ z/e
dQds — Ttdx~ + pdxds — Q
tx
Расчет лланометрическцх трубок.
4§7
(р—внутреннее давление), откуда
(ИЗ)
Сумма моментов относительно оси t дает
dMxds — Qdsdx = 0,
откуда
dx
(144)
Исключая из уравнений (143) и (144) поперечную силу Q, получим
dx2
1 т
— RTt Р-
Подставляя сюда значения Л4Х и Tt из
выражений (142), получим дифференциаль-
ное уравнение, определяющее радиальные
перемещения W'.
diw Eh / т> Д/Й w \
D-d^=-R\-R-~M--R)-p’
или после замены цилиндрической жест-
кости D ее значением
d^W t А гл ala/ pR*\ /1ДГ-К
где
3(1 -И
RW
Это уравнение отличается от полученного выше уравнения (101) только
членом, содержащим давление р. Общее решение уравнения (145) имеет вид:
W = г, + С,V, (kx) + CaV2 (kx) + C3V3 (kx) 4- C4V4 (kx),
tt v Cfl
причем функции1 V, — V4 определяются формулами (75).
Рассмотрим сначала ‘ внешнюю стенку трубки. Так
как размер b мал по сравнению с /?, можно с до-
статочной точностью считать, что нейтральная по-
верхность совпадает с осью симметрии сечения труб-
ки. Расстояние срединной поверхности наружной
стенки от нейтрали = Под радиусом R можно
понимать не радиус кривизны оболочки, а мало от
него отличающийся средний радиус трубки. Тогда
наружной стенки получим выражение
Фиг. 409.
для
радиальных смещений
=ь -pS-+(kx)+(kx)+CiVi (146>
Располагая начало
учитывая симметрию,
координат в средней точке стенки (точка О на фиг. 409),
будем иметь следующие-граничные условия при х = 0:
(147)
1 См приложение к т. I.
30*
468 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Если пренебречь искажением тороидальной части сечения, то в тЬчке х — а
= 0;
(148)
Из условий (147) следует, что постоянные и С4 равны нулю, а из усло-
вий (148) получаем
Ъ - Р W + ‘(Ла) + C’V» (fea) == °’
— 4Су4 (ka) 4- С3У2 (ka) = 0.
Определяя отсюда постоянные С, и С3 и подставляя в формулу (146), найдем
™ „ h^\ fl - + 4 V4 (ka) V3 (kx) ]
\Р Eh Д1 V2(ka) V^ka) +4V*(ka) И3(^)Г U 7
Радиальные смещения
стенки, но отличаются от
Фиг. 410.
внутренней стенки равны смещениям внешней
них направлением (так как давление р на внешнюю
стенку действует от оси кривизны, а на наруж-
ную — к оси):
— — wH.
Интенсивности внутренних силовых факто-
ров в радиальном сечении наружной стенки
определяются по формулам
г-<150>
= О(151)
Для внутренней стенки расстояние от нейтральной поверхности i%=—b
(знак минус поставлен потому, что стенка лежит ближе к оси одлиндра, чем
нейтральная поверхность):
тв = Eh JL •
1 [ Я ’ de Яр
Mt — D | (Л
1.^.1
1 Я<й]-
Так как wt= — wH, то
T*t = - 7?;
(152)
Определим изгибающий момент в поперечном сечении трубки (если конец
трубки свободен, то величина этого момента равняется нулю).
Момент внутренних сил, приложенных на участке dx (фиг. 410), равен
dM = (Т*• 2b М“ -f- Mt) dx
Подставляя сюда значения по. формулам (150) — (152), найдем
Полный изгибающий момент в сечении получим интегрированием
а а
лл п f dAf , AEhb*a Ad6 А Ehb С , A~ Д dO
41 = 2J w„dx + 4DaW- .
0 0
Расчет манометрических трубок
469'
Вычисление интеграла дает ?
, f _ (pR* . Д«й\ Г 1 +4Vf(fez) I
ywHax— {Eh О rfti j а[1 £a (ka) V2 (ka, + 4V3(ta) V^ka) J ’
0
Обозначая
1 V^ka) + 4Vf(fea) _______ 1 ch 2 *a — cos 2ka , *
Z — ~ka * Vr (ka) V2 (ka) + 4 V3 (ka) V4 (ka) ~ ka * sh 2ka + sin 2ka ’
получим
(154).
0
Таким образом окончательно
^ = ^[w(EAft2x + o)+^26(1“X)]- (>55)
Это уравнение позволяет определять момент, изгибающий трубку при задан-
ном внутреннем давлении р и
ДдЮ,
ного угла -—.
J аи
В частности, если непо-
движно закрепить (заделать)
конец трубки, то, как видно
из формулы (155), в сече-
ниях ее возникает момент
M^di=o==4PabR(1 -X)-
Если конец трубки сво-
боден, а именно в таких
условиях и находятся мано-
метрические трубки, так.
при заданном относительном изменении централь-
ная силами сопротивления механизма можно обычно пренебречь, то изгибающий
момент в любом поперечном сечении равен нулю.
При этом условии с помощью формулы ‘(155) можно найти относительное
изменение центрального угла, соответствующее данному давлению:
Д^О _ __ /?К2&(1 — х)
dti Ehb2x -j- D
Заменяя
Eh3
12(1 -Р)’
приведем эту формулу к виду
ДлГО__ R* 1 —х
z М ~ Р ЕМ ’ Л2
' • Х + 12 (1 — р2) 62
(156)
Формула (156) является основной при расчете перемещений манометрических
трубок с вытянутым овальным сечением.^
Трубка с постоянным радиусом кривизны /?, имеющая до деформации цен-
тральный угол 7, после деформации несколько распрямляется, причем централь-
ный угол ее уменьшается до величины у' (фиг. 411).
Так как все сечения трубки находятся в одинаковых условиях, можно
заменить
Д ___Ду __у' — у
—
470 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Воспользовавшись этой зависимостью, получим'
________
у thb й2
х + 12 (1 - р.2) 62
(157)
Коэффициент х по формуле (153) зависит только от произведения
ka == /3 (1- у2) .. (158)
Значения X приведены ниже.
ka . . ,;.... 0.7 0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1.6
* X. . . 0,9794 0,9655 0,9462 0,9212 0,854 0,770 0,686
ka . . 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
X. . . 0,599 0,528 0 473 0,424 0,387 0,357 0,333
При ka ; >3
1 , / ka 4 г ’Яй“ а2 (153а)
У3(1-^)
Линейное перемещение конца трубки AS и его проекции Дх и Ау (фиг. 411, б)
легко найти из геометрических соображений.
Из фиг. 325, а видно, что координаты конца трубки выражаются через
угол 7 по формулам
х — — 1
у = R (1 — cosy). )
Выражая радиус через длину оси трубки I
получим
т
. 1 — cos у
y==Z---------L
- Т
(159)
(160)
Изменение этих координат при малом изменении угла можно с достаточной
точностью определить
по формулам дифференцирования:
А А
Дх = —- Ду;
dy 1
Считая, что длина оси трубки I неизменна, получим
А , у COS у— sin у А А s YSiny— 1 4- COS V А
Дх = — / -i----L-----Д-р, Ду = / -1-----1 ~-----1- Д-р
Заменяя теперь l—Ry и Д-]г = т'—у, найдем окончательно:
Дх = R cos 7 — sln l) >
т-т' (161)
&у =г R 1 ? 1 (1 — cos у — 7 sin у).
Полное смещение конца трубки
AS = / (Дх)2-f-(Ду)2,=R /2 — 2cosy — 2у sin? + у2 . (162)
Расчет манометрических трубок
471
При наиболее распространенном на практике центральном, угле 270°:
Дх = /?1^£;
Ду = 5,71/? 2^- ;
AS = 5,807?
7
Рассмотрим распределение напряжений в сечениях манометрической трубки.
Внутренние силовые факторы
определяются по формулам (142).
ния w (149) и (156) получим
в сечениях цилиндрических стенок трубки
После подстановки в эти формулы выраже-
(163)
М
V2 (ka) Vi (kx) + 4V« (ka) V, (kx) 1 .
Vi (ka) V2 (ka) + 41Л, (ka) V4 (ka) j ’
pRk v
12 (1 - fi2) Л
V I + .41V* vi(kx> — V* <ka> V», h 1-x)
P )x + c Vt(ka) V2(ka) +4У3(М Vt(ka) ’ X + c| ’ U '
M _ PRh у
* 12 (1 — jx2) Л
У I + <1 1/3/1 — 1 + c 4 <fea> (kx) - V2 <fea> — i. (1651
Xpl’M1 + v1(ka)V2(ka) + 4V9(ka)Vl(ka) t> ' x + c] > (lbD>
где обозначено
Л2
с ~ 12 (1 — fi«) b*'
Верхние знаки в этих формулах относятся, к Наружной стенке трубки
а нижние — к внутренней. - ,
Для трубок с тонкими стенками h-^b формулы (163) — (165) значительно
упрощаются и принимают вид:
т — + „р Г1 _ 1 (*?) + 4V« (fea> v> I .
f ~ ~ pA [ x ’ Vt (ka) V2 (ka) + 41Z3 (ka) Vt (ka) J ’
M pR,t 1 Г V* <*д) Vi (fex) ~ ^2 <fea> (fex> 'l - Л64Я1
x ~ ~ П(1-Д’г) ’ X IVi (ka) V2 (ka) + 4V8 (ka) V* (ka) J ’ u
A4t = pAlx. (165a)
(163а)
Напряжения в любой точке сечения могут быть найдены по формулам
Tt . 12Л4/
( • /r=-^ + Vz;
12Л4,
(166)
(167)
Эпюры распределения усилия Tt и момента Л1Х для трубки с тонкими стен-
*----------------------
ками при £а = уЗ(Г — H2)V -нт = 2 представлены на фиг. 412.
г к\Л
Опасной точкой в сечении' трубки является обычно точка А, где имеют место
растягивающие напряжении at и сжимающие напряжения ах.
Если материал имеет одинаковые пределы прочности при растяжении и сжатии,
эквивалентное напряжение в этой точке равно аэкв — vt — ах.
i72 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
Эту величину можно представить в виде
= (168)
Если толщина стенок трубки Л мала по сравнению с Ь, то коэффициент К
можно считать зависящим только от величины ka [см формулу (158)].
Значения коэффициента К при р. — 0,3 в зависимости от величины ka при-
ведены ниже.
ka...........................0,8 0,9 1,0 1,2 1,4 1,6
К ........ .................... 0,574 0,738 0,911 1,336 1,833 2,36
ka........................... 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
К............................ 3,46 3,96 4,46 4,94 5,40 5,84
При конструировании некоторых приборов, в частности манометрических
термометров, важно знать изменение объема 93 полости трубки.
Фиг. 412.
Так как длина оси трубки при деформации не меняется, то изменение объема
ее полости ДЭЗ равно произведению длины на изменение площади, охваты-
ваемой контуром сечения А/:
Д93 = /?тД/.
Изменение площади Д/ в свою очередь определяется формулой
а
Д/= — 4§wdx.
Подставляя величину интеграла из выражения (119), получим
Выражая из формулы (121) через о > найдем
' AB = -4R^^[1+ 12(1ГИ.)У]- <169>
Так как
4&[ab = 91
представляет собой первоначальный объем трубки, то
® ~ ав 11+ 12 (1 - |Л») d2 J • , '170'
Пренебрегая величиной
й2
12 (1 - р2) Ь2 ,
Расчет манометрических трубок
473
по сравнению с ёдиницей, получим
__ ДдГО _ у — 7'
$ “ 7
(17,0а)
т. е. относительное изменение объема трубки равно относительному изменению
ее центрального угла.
Интересно сравнить величины деформации трубок овального сечения, вычи-
сленные J по формуле (157), с экспериментальными данными.
Для этой цели воспользуемся приведен-
ными в работе В. И. Феодосьева [20] резуль-
татами испытаний двух трубок овального
сечения.; ; •
Размеры этих трубок даны в табл. 35.
Первая из трубок при давлении 20 ати
дала изменение центрального угла на 5,12°,
вторая при давлении 60 ати — 2,38е.
Для трубки № 1, принимая р. = 0,3, имеем
*а=УЗ(Г-р) 1/ =
находим изменение централь-
= 1,75
, *= 1,285
Этому значению kd соответствует £ = 0,621.
По формуле (157), принимая £==10® кг1см\
ного угла: *
, pR*
==? ыь
,-г 12 (1 - р«) b2
1-Х _ 970 20-5.2Р
Z/U
1 —0,621
10в.0Д.0Д85 ____ 0,1* _
и,021+ 12 о 91. ц8.
= 4,65°
Расхождение между вычисленным и измеренным распрямлением трубки
составляет
4,65—5,12
4,65
100= — 10°/о.
Для трубки № 2 вычисление дает £а=1,05, £=0,904 и изменение цен-
трального угла у — у'= 2,58°.
5 Таблица 35
Размеры манометрических трубок, подвергавшихся испытаниям [20]
№ R в см а в см Ь В см Л в см т°
1 5,21 0,986 0,185 0,100 270
2 6,90 0,905 0,155 0,180 270
Расхождение между вычислением и экспериментом
100— 8%.
Для манометрических трубок эллиптического сечения В. И. Феодосьев [20]
получил приближенную формулу, определяющую изменение центрального угла
трубки:
Т~ Y _ Р (1 — р2) R* / т Ь* \ а
7 Е bh \l и* J и t ’
474 Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность и жесткость
где R — радиус оси трубки;
h — толщина стенки;
а и b — полуоси эллипса (фит. 413);
а и р — коэффициенты, зависящие от соотношения полуосей эллипса.
Значения этих коэффициентов приведены в табл. 36.
Таблица 36
Значения коэффициентов а и р
a b . a p a b a
'1 0,083 0,750 6 0.042 0,416
1,5 . 0,062 0,636 7 0,042 0,406
2 0,053 0,566 8 0,042 0,400
3 0,045 0,493 9 0,042 0,395
4 0,044 0,452 10 0,042 0,390
5 0,043 0,430 do 0.042 0,368
ЛИТЕРАТУРА
L Ад а Дуров Р. А., Определение касательных напряжений в тонкостенных кон-
струкциях вблизи заделки, Труды ЦАГИ № 614, 1947.
2. А да Дуров Р. А., Напряжения и деформации в цилиндрической оболочке
с жесткими поперечными сечениями, ДАН СССР 62, № 2, 1948.
3. Б а л а б у х Л. И., Расчет на прочность конических кессонов. Труды ЦАГИ,
№ 640, 1947.
4 БидерманВ. Л., Чистый изгиб тонкостенного кривого бруса» состоящего из
цилиндрических и плоских элементов, Труды кафедры «Сопротивление материалов*1
МВТУ, изд. МВТУ, 1948.
5. Бычков Д. В., Мр о щи нс к ий А. К., Кручение металлических балок,
Стройиздат, 1944.
6. Власов В. 3.» Строительная механика оболочек, ОНТИ, 1936. .
.7. Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, Стройиздат, 1940.
8. В л а с о в В. 3., Общая теория оболочек и ее приложение в технике, ГИТТЛ, 1949.
9. Гольденвейзер А. Л., О теории тонкостенных стержней, «Прикладная мате-
матика и механика*, т. XIII, вып. 6, 1949. е
10. Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, ГТТИ, 1953.
11. Го рбу н о в Б. И., С тр'е л ь б и ц к а я А. И., Теория рам из тонкостенных
стержней, ГТИ, 1948.
12. Джане лид зе Г. Ю. и Па нов ко Я. Г.. Статика упругих тонкостенных
стержней, Гостехиздат, 1948.
13. Джанелидзе Г. ГО., К теории тонких и тонкостенных стержней, «Приклад-
ная математика и механика*, т. XIII, вып. 6, 1949.
14. К р ы л о в А. Н., О расчете балок, лежащих на упругом основании, изд. АН СССР
(изд. 3-е), 1931.
15 .1 Р ж а и и ц ы н А. Р., Расчет тонкостенных упругих стержней ступенчатого пере-
менного сечения, сб. «Исследования но теории сооружений*, 1951.
16. Сборник задач по расчету тонкостенных конструкций, под ред. А. А. Уманского,
Оборонгцз, 1941.
17. Уманский А. А., Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций, Оборон-
гиз, 1939.
18. Уманский А. А., Расчет тонкостенных криволинейных балок, Труды Научно-
технической конференций ВВА имени Жуковского, вып. 2, Т944.
19. У манский А. А., Вольмир А. С., Хода не в А. И., Курс сопротивления
материалов, ч. II, гл. 3, ВВИА имени Жуковского, 1953.
20. Ф е о д о с ь е в В. И., Расчет тонкостенных трубок Бурдона эллиптического сече-
ния энергетическим методом, Оборонгиз, 1940.
21. Фео дось ев В. И., Упругие элементы точного приборостроения, Оборонгиз,
1949.
22. Я г н Ю. И., Изгибно-крутйльные деформации тонкостенных стержней. ГИТТЛ, 1952.
23. Karman Т., Ober die Formanderung diinnwandiger Rohre. insbesondere federn-
der Ausgleichrohre, VDI, Bd. 55, № 45, 1911.
24. M й 11 e r P., Torsion von Kastentragern mit elastisch verformbarem symmetrischem
Querschnitt, Schweiz. Bauzeitung.71, № 46, 1953.
25. Timoschenko S., Theory of bending, torsion and buckling of thin-walled
members of open cross-section, J. FrancUn Inst, № 3, 4, 5, 1945.
ГЛАВА X
МЕТОДЫ РАСЧЕТА НА ЖЕСТКОСТЬ В ОБЛАСТИ МАЛЫХ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
1. ЗНАЧЕНИЕ РАСЧЕТОВ НА ЖЕСТКОСТЬ
Для многих машиностроительных конструкций существенную роль играет
так называемый расчет на жесткость. Задача этого расчета — обеспечить кон-
струкции необходимую жесткость, т. е. ограничить упругие перемещения де-
талей, обусловленные их деформацией, определенными пределами, зависящими
от назначения и условий работы конструкции. Повседневная практика и анализ
работы многих выполненных конструкций показывают безусловную необходи-
мость подобного рода расчетов.
Характерным примером здесь может служить работа различных машинных
валов. Так, если прогиб вала зубчатой или червячной передачи превышает до-
пускаемые значения, то условия зацепления резко ухудшаются. Кроме того,
при изгибе в#ла имеет место перекос цапф в опорах, что влечет за сббой не-
равномерный износ вкладышей в подшипниках скольжения или заклинивание
шариков и роликов в подшипниках качения. Таким образом, необходимо огра-
ничивать не только величины линейных перемещений (прогибов) вала, но и ве-
личины его угловых перемещений.-
В литературе по станкостроению [1] подчеркивается, что неизбежные во
время работы станка деформации его валов, при достаточно большой величине,
отрицательно отражаются как на работе зубчатых, червячных и цепных пе-
редач, так и на работе опор валов — подшипников качения и скольжения.
Если линейные или угловые перемещения соответствующих сечений вала
достаточно велики, то результатом их может явиться преждевременный износ
или даже разрушение указанных деталей. В частности, уменьшение толщины
масляного слоя в подшипниках, скольжения ниже известной величины приводит
к чрезмерному нагреванию и повреждению поверхностей шейки и вкладыша,
в лучшем случае — к быстрому износу, следовательно, к недопустимой ра-
диальной игре вала в опорах.
Деформация изгиба шпинделей существенно влияет на точность работы
станка [70]. Поэтому главным критерием, определяющим размеры шпинделей,
является величина допустимых перемещений и, следовательно, основным рас-
четом в этом случае является расчет на жесткость.
В литературе по автомобилестроению [99] отмечается, что для валов ко-
робок передач расчет на жесткость также является более необходимым, чем
расчет на прочность. При недостаточной жесткости валы коробок передач по-
лучают значительные прогибы, что отрицательно отзывается на работе шестерен
как в отношении их прочности и износостойкости, так и в отношении бес-
шумности.
Расчет на жесткость является основным для ряда упругих элементов машин
и приборов, в частности, для многих винтовых, спиральных и пластинчатых
пружин (см. гл. ХШ). Подобного рода детали весьма часто приходится рас-
считывать исходя из заранее заданных перемещений.
При механической обработке деталей для получения необходимых размеров
с надлежащей точностью существенное значение имеет жесткость системы „из-
476
Методы расчета иа жесткость в области малых перемещений
делие— инструмент — станок*, поскольку, в связи с упругими перемещениями
обрабатываемого изделия, упругой податливостью используемого инструмента
и частей станка, требуемые размеры детали могут быть заметным образом ис-
кажены. Например, ширина шпоночной канавки, прорезанноГ у втулки, за-
крепленной на оправке, изменится после снятия ее с оправки ’за счет упругих
деформаций втулки.
При обработке (расточке) колец и втулок последние обычно закрепляются
в кулачковом патроне. Под действием усилий зажима при закреплении деталь
деформируется, и после обработки и снятия со станка форма расточенного от-
верстия искажается [103]. Поэтому целесообразно путем предварительного рас-
чета на жесткость установить величины перемещений, возникающих в обраба-
тываемой детали от приложения усилий при закреплении.
Рациональные методы нахождения упругих перемещений необходимы не только
для расчета конструкций на жесткость в узком смысле этого слова.
Определение упругих перемещений имеет решающее значение при расчете
статически неопределимых конструкций. Здесь исследованию внутренних, си-
ловых факторов, необходимых для расчета на прочность, предшествует состав-
ление и решение так называемых уравнений перемещений (см. гл. XI).
Балки на упругом основании, балки, находящиеся в условиях продольно-
поперечного изгиба, — это все примеры элементов конструкций, расчет которых
на прочность невозможен без предварительного определения перемещений.
Динамические расчеты, имеющие особенно важное значение в машино-
строении (они изложены в третьем томе настоящей работы), также немыслимы
без полного анализа упругих перемещений рассчитываемой конструкции.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ
И РАЦИОНАЛЬНЫЙ МЕТОД ЕГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Машиностроительные конструкции достаточно часто можно расчленить
на отдельные брусья, т. е. детали, длина которых значительно больше раз-
меров их поперечного сечения. Ось бруса может быть как п^мой линией
(прямые брусья), так и некоторой плоской или пространственной кривой (пло-
ские и пространственные кривые брусья). Размеры и формы поперечного се-
чения могут или оставаться постоянными по длине бруса, или изменяться, как
непрерывно, так и скачкообразно.
Примерами прямого бруса могут служить различные машинные валы — валы
зубчатых и червячных передач, валы паровых и гидравлических турбин, шпин-
дели станков и т. п.
Виток цилиндрической винтовой пружины в случае достаточно малого угла
подъема можно рассматривать как плоский кривой брус. При достаточно
большом значении угла подъема винтовой линии виток пружины представляет
собой пространственный кривой брус.
В настоящей главе основное внимание уделяется вопросам нахождения ли-
нейных и угловых перемещений, что. особенно необходимо для оценки упругой
податливости конструкций под действием приложенных нагрузок.
При чистом изгибе прямого бруса в плоскости главной жесткости [7], [98]
кривизна -i- изогнутой оси балки, называемой упругой линией, связана с из-
гибающим моментом соотношением
• EJ — = + М , • (1)
₽ ~ L 1
где Е — модуль упругости первого рода и J — момент инерции площади попе-*
речного сечения относительно главной центральной оси сечения, перпендику-
лярной к плоскости действия изгибающего момента.
Выражение (1) справедливо, когда плоскость действия изгибающего момента
пересекает сечение по одной из главных осей. При этом предполагается, чтц
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
477
напряжения в изогнутом брусе не превосходят предела пропорциональности,
т. е. между напряжениями и деформациями имеет место линейная зависимость
(закон Гука).
Изгибающий момент М считается положительным, независимо от выбора
координатной системы, если изогнутая ось горизонтально расположенной балки
обращена выпуклостью вниз, и отрицательным — в обратном случае.
- и у изгибающего момента Л1 в соответствии с
1ков совпадают, и в правой части выражения (1)
плюс. Другими словами, в этом случае момент
вертикальном расположении балок (в этих слу-
При выборе положительного направления координатной оси у вверх
(фиг. 414) знаки у кривизны -
принятым для него правилом 31
следует воспользоваться знакол
вносится в выражение (1) со
.своим знаком*
При выборе положительно-
го направления оси у вниз
<фиг. 415) знаки величин -у-
и 'М противоположны, что и
заставляет в правой части вы-
ражения (1) выбирать минус.
Таким образом, здесь для со-
гласования знаков приходится
изменять знак, изгибающего мо-
мента М на обратный.
Не представляет затрудне-
ний применение указанного пра-
вила знаков при наклонном и
ча^х можно пользоваться правилами чтения чертежей, рекомендованными в курсе
машиностроительного черчения).
Если, как это обычно делается, пренебречь влиянием поперечных сил на ве-
личины упругих перемещений оси балки, то дифференциальное уравнение (1)
упругой линии будет справедливо и при поперечном изгибе, т. е. при изгибе
балки силами, перпендикулярными ее недеформированной оси (фиг. 416).
При изгибе балки точки ее оси перемещаются не только вдоль оси у, но
и вдоль оси z (фиг. 416).
Проекцию полного перемещения AAt какой-либо точки А на ось, перпенди-
кулярную к неизогнутой оси балки (ось у), будем называть прогибом v, а проек-
цию на ось z — смещением w. Угол наклона касательной к упругой линии,
равный углу поворота поперечного сечения балки, называется угловым пере-
мещением или девиацией {к
Как известно, ось балки при изгибе не изменяет своей длины. Другими
словами, в процессе деформаций балки длина дуги BiCl между какими-либо
двумя точками оси балки остается неизменной и равной расстоянию ВС между
этими тбчкамй дб'деформации балки.
478 Методы расчета , на жесткость в области малых перемещений
. Таким образом, при определении перемещений какой-либо точки оси бруса А
всегда известна соответствующая длина дуги изогнутой оси s = AtO = АО.
В общем случае сколь-угодно больших перемещений кривизна упругой
линии (плоской кривой)
Р [1 + (</)2Р2 ’ * 7
где 5 — длина дуги;
v и v” — соответственно первая и вторая производные от уравнения упругой
линии v(z) по абсциссе z.
Изгибающий момент М в некотором сечении А} деформированной балки
(фиг. 416) выразится как
М= — Р(/г —
где z — абсцисса сечения балки в точке —проекция упругой линии балки
на ось z.
Таким образом, величина изгибающего момента в каком-либо сечении балки
зависит от смещения как этого сечения, так и сечения, в котором приложена
нагрузка Р.
Вычисление сколь-угодно больших перемещений (прогибов смещений w,
девиаций 9) сильно осложняется как нелинейностью дифференциального урав-
нения упругой линии, так и отмеченной зависимостью величины изгибающего
момента от искомых перемещений. Исследование больших перемещений пред-
ставляет существенный интерес для расчета гибких упругих деталей, встре-
чающихся в виде ленточных пружин в амортизаторах, в различного рода авто-
матах, регуляторах, клапанах, упругих муфтах и тому подобных устройствах.
Общая теория расчета больших перемещений как для прямых, так и для
кривых брусьев и ряд технических приложений даны в гл. XII.
Однако в большинстве практически встречающихся случаев расчета балок
линейные перемещения весьма малы по сравнению с первоначальной длиной
балки, а угловые перемещения, выраженные в радианах, также малы по срав-
нению с единицей. с
В этом случае при определении изгибающего момента М можно воспользо-
ваться принципом начальных размеров, т. е. пренебречь влиянием деформации
оси балки и считать, что изгибающий момент вычисляется для недеформиро-
ванной балки. Кроме того, по малости угловых перемещений можно заменить
через $ и представить зависимость между линейными и угловыми переме-
щениями в виде
£=«/=&• (3)
Тогда, пренебрегая квадратом & по сравнению с единицей в формуле (2),
приходим к следующему выражению для кривизны:
Итак, при вычислении достаточно малых линейных (прогиб V) и угловых
(девиация &) перемещений при изгибе прямого бруса можно в основу расчета
положить следующее упрощенное дифференциальное уравнение упругой линии:
EJv” — ± [Л4], (4)
где величина изгибающего момента М вычисляется для недеформированной балки.
Основное затруднение при практическом применении дифференциального
уравнения (4) заключается не в его интегрировании (оно элементарно), а в тех-
нике определения произвольных постоянных интегрирования из краевых условий
балки и граничных условий ее участков. Действительно, благодаря прерывному
характеру поперечных нагрузок, действующих на балку (сосредоточенные силы
Дифференциальное уравнение изогнутей оси балки
479
и моменты, распределенные нагрузки на части длины балки), уравнения изги-
бающих моментов, а следовательно, дифференциальные уравнения упругой линии
балки для каждого из участков различны. Интегрирование этих дифферент
циальных уравнений (4) дает при п участков для всей балки 2л произвольных
постоянных. Для их определения используются условия на опорах балки и ус-
ловия плавного и непрерывного сопряжения участков упругой линии балки
друг с другом. Опорные и граничные условия дают возможность составить
уравнений для определения 2п произвольных постоянных интегрирования.
Желая избежать большой вычислительной работы, связанной с определением
произвольных постоянных интегрирования, в настоящее время при интегриро-
вании дифференциального уравнения упругой линии применяют ряд приемов,
позволяющих резко сократить количество вычислений и свести дело при любом
числе участков, к определению только двух произвольных постоянных интегри-
рования.
Можно сказать, что вся история развития технических приемов вычисления
перемещений путем использования упрощенного дифференциального уравнения
упругой линии — это история борьбы с произвольными постоянными интегри-
рования, борьбы за облегчение их вычислений.
В течение последних трех десятилетий целый ряд ученых успешно рабртал
в области развития рациональных методов интегрирования дифференциального
уравнения упругой линии. Благодаря этим работам в настоящий момент почти
все основные вопросы этой проблемы получили исчерпывающее решение.
Один из первых исследователей в этом направлении Г. С. Глушков
в 1926 г. начал применять моменты высоких порядков при изучении упругой
линии балок Д14Д, [15]. Предложенный им метод заключается в своеобразной
трактовке интегрирования дифференциального уравнения упругой кривой, как
повышение степени моментов от нагрузки. Полное изложение теории Г. С. Глуш-
кова дано в его монографии [16].
В 1930 г. С. Н. Соколов предложил весьма удачное обобщение метода
Клебша на все встречающиеся в практике случаи нагружения балок (так назы-
ваемое общее уравнение упругой линии). В 1931 г. И. В. Урбан, независимо от
С. Н. Соколова, получил аналогичное уравнение [90]. Подробное изложение
общего уравнения упругой линии дано в работе И. С. Подольского [57].
П. Г. Куликовскому [44] и Н. К. Снитко [78] принадлежит идея применить
к исследованию упругой линии разложение функций в ряды Тейлора и Мак-
лорена.
Оригинальный способ определения деформаций прямого бруса был пред-
ложен А. А. Поповым [62]. Дальнейшие развитие этого способа известно под
названием метода трех перемещений [63].
В 1934 г. Н. М. Герсеванов опубликовал разработанный им метод функ-
циональных прерывателей [13]. Этот метод основан на введении понятия об ус-
ловной или формальной производной, благодаря чему с прерывными функциями
при вычислениях можно обращаться таким же образом, как и с непрерывными.
Дальнейшее развитие метода принадлежит К. С. Завриеву [31].
В работе С. Д. Пономарева и Н. А. Чернышева [61], опубликованной
в 1936 г., рассмотрен вопрос о практически удобном методе определения пе-
ремещений путем использования таблиц и номограмм. Этот метод весьма целе-
сообразен для применения в повседневной практике проектных организаций.
Общая теория расчета балок постоянного и переменного сечения, на основе
метода начальных параметров, изложена в фундаментальной работе А. А. Уман-
ского [88]. Здесь, наряду с действием нагрузки, учитывается и наличие наперед
заданных деформаций; это позволяет охватить одной системой уравнений расчет
при неподвижной нагрузке, неравномерном нагреве и построение линий влияния.
А. А. Уманскому принадлежит также справочное пособие по применению метода
начальных параметров [89], снабженное обширной библиографией вопроса.
, Обратимся к рассмотрению рационального метода интегрирования дифферен-
циального уравнения упругой линии в области ма^ых перемещений.
480
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Один из наиболее последовательных и удобных приемов интегрирования
дифференциального уравнения (4), обеспечивающий при любом числе участков
упругой линии получение только двух произвольных постоянных интегриро-
вания, был предложен в 1934 г. М. Э. Берманом [7]. Этот прием представ-
ляет собой оригинальное применение общего метода интегрирования линейных
дифференциальных уравнений, разработанного акад. А, Н. Крыловым для рас-
чета балок, лежащих на упругом основании (см. ниже § 6).
Прежде чем переходить к непосредственному рассмотрению интегрирования
дифференциального уравнения (4), сделаем одно замечание, связанное с при-
меняемыми в дальнейшем обозначениями.
Допустим, что необходимо проинтегрировать некоторую функцию f(z) в
пределах, которые сами являются функциями независимой переменной г. В этом
случае целесообразно в выражении функции, подлежащей интегрированию, за-
менить букву z какой-либо другой буквой, например t, и записать операцию
интегрирования в следующем виде:
/«(Z)
ft(2)
Условимся в дальнейшем совмещать начало координат с левым концом
балки и принимать положительное направление оси у вверх. Тогда дифферен-
циальное уравнение упругой линии (4) принимает вид:
EJ^=Mg или EJ^ = MZ.
Индекс z здесь указывает, что линейное перемещение v, угловое пере-
мещение $ и изгибающий момент М рассматриваются как функции независимой
переменной z. ~~
Интегрируя обе части равенства
EJdbz = M2dz
в пределах от нуля до z, получаем
EJ^-bJ^M'dt,
О
где {Уо — значение углового перемещения при z = 0, т. е. поворот левого
торца балки.
Введем следующие два обозначения:
C = £-J»o и
о
и перепишем результат первого интегрирования в таком виде:
EJ = [С + Ф (z)] dz.
Вторично интегрируя обе части в пределах от нуля до z, находим
Е] (vz — vj = Cz -Н pF (0 dt,
О
где Vf> — значение линейного перемещения при z=Q, т. е. прогиб левого торца
балки.
Введем еще два обозначения:
D = EJv* и . Ф (z) = J Ф (0 dt,
' Найденные выражения для угловых и линейных перемещений
............................ EJb, = C + W(zy, |
EJv2^D + Cz4~<$>(z) J. . . 7
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
481
полностью решают задачу нахождения упругих перемещений (прогибов и углов
поворота сечений) при поперечном изгибе балок.
Две постоянные интегрирования С и D выражаются через угол поворота 0-®
и прогиб в начале координат, который выбран на левом конце балки,
а именно
С=£Л0 и Р = £Л>0. (6)
Величины -% и носят название начальных параметров упругой линии
балки.
а) &
Q г)
& Фиг. 417.
Функции ЧТ (z) и Ф (z) представляют собой соответственно первую и вто-
рую квадратуры от уравнения изгибающих моментов Л4 (t), т. е.
2 Z
W(z)—jM(t)dt и Ф(г)==/ф(О^. (7)
Рассмотрим вычисление функций ЧГ (z) и Ф (z) для основных видов нагрузок.
Заметим, что в выражениях (7) для этих функций z означает абсциссу
точки оси балки, в которой определяется перемещение, a t — переменная инте-
грирования, принимающая любые значения в пределах от нуля до z.
1. Сосредоточенный момент Ш?, приложенный к балке на расстоянии а от
левого конца (фиг. 417, а). Во всех сечениях первого участка балки, т. е.-
в интервале 0 < z < я, изгибающий момент 214^ = 0, а следовательно, и обе
искомые функции в этом интервале тождественно равны нулю.
В сечениях второго участка, т. е. при z > а, изгибающий момент
и, следовательно, искомые функции выражаются следующим образом:
«(.?)= \M(dt= fMfdt-b = = — а); .
0 0 а а
0 0 а
z
= jw — a)dt = ±-^(z-a)*.
а
Итак, если в сечении, z = a к балке приложен сосредоточенный момент W?
(фиг. 417,а), то в интервале 0><z<a
W(z)-=0 и Ф(г)=0,
31 Пономарев и др. 407
482
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
а в интервале z > a i
Ш = и Ф(г) = 1-Щг(2-а)3.
Полученный результат удобно представить в виде следующей условной
записи:
T(z) = ®(z-a)| и Ф(г) = 4а»(г-а)2| . (8)
\2>а 2 \z>a
При использовании подобной записи существенно представлять, что при
z < а
У (z) = 0 и Ф (г) — О,
а при z > а обе функции имеют указанные выше выражения.
2. Сосредоточенная сила Р, приложенная к балке на расстоянии а от левого
конца (фиг. 417, tf).
В интервале 0 < z < а изгибающий момент = 0, и поэтому обе искомые
функции также обращаются в нуль:
Ф (z) = О и Ф (z) = 0.
Если же z>a, то изгибающий момент Mt = P(t—а) и, следовательно,
* г г
W (z) = J MJ,t = J Р (t — a) dt — ± Р (z — а)2;
о о
2 2
Ф (z) = J У (t) dt = J -i- Р(t — a)2 dt = Р (z — а)3.
а
Итак, если в сечении z — а к балке приложена сосредоточенная сила Р
(фиг. 417,(7), то в интервале 0 < z < л
Ф(г)=0 и ф(г) = 0,
а в интервале z > а *
Т(г) = 1р(2-а)2 и Ф (z) ==-^-Р(г — а)3.
Полученный результат условимся записывать в виде
T(z)=4-p(*-a)2k и , (9)
показывающем, что написанные выражения для искомых функций справедливы
только при z > а, а при z < а обе функции тождественно равны нулю.
3. Равномерно распределенная нагрузка интенсивности q приложена к балке
на участке от z = a до z — b (фиг. 417, в).
Так как в интервале 0<z<a изгибающий момент Mf = 0, то обе иско-
мые функции обращаются в нуль. В интервале а < z &, т. е. за пределами участка, занятого равномерно рас-
пределенной нагрузкой, вычисление искомых функций удобно произвести сле-
дующим образом.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
483
Заданную распределенную нагрузку мысленно продолжаем до рассматривае-
мого сечения z > b и компенсируем это дополнение приложением соответствую-
щей противоположно направленной нагрузки (фиг. 417, г). Тогда, используя*
полученные выше выражения для искомых функций, получаем, что при z > Ъ~
V (z)= ±-q(z — a)3-~q(z - b)3;
ф = ^4 4 (z — a)* — (z — b)\
Полученные выражения для искомых функций удобно условно записать сле-
дующим образом:
Первые слагаемые в выражениях для Ф (z) и Ф (z) справедливы при z > я,
а вторые слагаемые — при z > &. При z<a обе искомые функции обращаются
в нуль.
Существенно отметить, что изображенные на фиг. 417, а, б и а направления
сил и моментов приняты за положительные.
По принципу независимости и сложения действия сил, при приложении к балке
ряда нагрузок, функции У (z) и Ф (z) составляются из полученных выше выра-
жений для основных нагрузок путем простого алгебраического суммирования!
в соответствующих интервалах. При этом все связи, наложенные на балку, должны
быть отброшены и заменены реактивными факторами (силами и моментами).
На фиг. 418 изображена балка, нагруженная в сечении z = at сосредото-
ченным моментом W, в сечении z а2 сосредоточенной силой Р и на участке*
от z — a3 до z = а* равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q-
Изображенные направления внешних моментов и сил, совпадающие с соответ-
ствующими направлениями на фиг. 417, а, б и а, считаются положительными.
Допустим, что указанные на фиг. 418 нагрузки уравновешиваются силами де
моментами, приложенными к балке правее некоторого сечения z = а6 и не
изображенными на чертеже.
Тогда, согласно сказанному, искомые функции Ф (z) и Ф(г) могут быть
представлены в виде:
Г и - М <2 - а,) ± Р (г - ».).|ж>>1 +
+т»<г - “•>’ L4«<2 - “<>' к •
Ф (г)(.г-<>,)> | +4Р(г-«,)1| +
+ - — -(12)
31
484
Методы расчета ча жесткость в области малых перемещений
Заметим, как и выше, что первые слагаемые в выражениях для У,(2)иФ(г)
справедливы только при z> вторые—при z > а2 и т. д.
. Выражения (11) и (12) можно рассматривать как общие выражения искомых
функций,для комбинаций основных нагрузок на балку: сосредоточенный мо-
мент 2ft, сосредоточенная сила Р и равномерно распределенная нагрузка q.
Обратимся теперь' к рассмотрению постоянных интегрирования С и D
в выражениях (5) для линейных и угловых перемещений. Величины С и D,
связанные с начальными параметрами &0 и выражениями (6), определяются
из рассмотрения связей, наложенных на балку ее опорными закреплениями.
Фиг 419.
Здесь имеют место два основных случая.
1. Для балки с заделкой, расположенной в сечении z = /r равны нулю
прогиб и угол поворота этого сечения, т. е. В- (/^ = 0 и гг(/1) = О, что при-
водит к следующим выражениям для постоянных интегрирования:
С=-У(/); ]
о= /1.^(/1)-Ф(/1).} В * * * * (13)
В частном случае при — 0, т. е. при совмещении заделки с левым концом
балки, начальные параметры упругой линии Оо = О, vQ = 0 и, следовательно,
из выражений (6) следует, что ♦
С = 0, D = 0, (14)
т. е. обе постоянные интегрирования обращаются в нуль.
2. Для балки на двух опорах, расположенных в сечениях z = lx и z = Z2,
прогибы в этих сечениях обращаются в нуль, т. е. v (ZJ = 0 и v (12) = 0.
Используя вторую из формул (5), приходим к следующей системе уравнений
для определения постоянных интегрирования:
О + С/1 + Ф(/1) = 0;
о+аа4-Ф(/3)=о.
В частном случае при Z1 = 0, т. е. при совмещении опоры с левым концом
балки, начальный прогиб o0 = 0, вторая постоянная £> = 0 и, следовательно,
первая постоянная
С=--^Ф(/2). (16)
*2
В машиностроении встречаются опорные закрепления весьма разнообразных
видов. Ряд примеров изображен на фиг. 419, а — в. Систематическое рассмотре-
ние и классификация опорных закреплений даны в интересной работе [45].
Достаточно часто в качестве опор используются различного рода подшип-
ники скольжения й качения. В этих случаях для упрощения расчетов опоры
чаще всего рассматриваются как шарнирные (каток или неподвижная шарнир-
ная опора). Это упрощение оправдывается только в том случае, если подшип-
ники самоустанавливающиеся, т. е., например, сферические шарикоподшипники.
В ряде других случаев подобного рода упрощения могут привести к резкому
преувеличению значений перемещений (прогибов и углов поворота сечений).
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
485
Покажем это на примере шпинделя токарного станка, лежащего в двух подшипни-
ках скольжения и нагруженного силой Р —500 кг, приложенной в переднем центре
(фиг.,420). При соотношении между длиной подшипника и диаметром А > 1,5 и приня-
той для станков величине зазоров фактическая изогнутая ось шпинделя (кривая С) лежит
между теоретическими упругими линиями, построенными в предположении, что шпиндель
закреплен на шарнирных опорах (кривая А) и шпиндель жестко заделан в среднем сече-
нии правого подшипника (кривая В). Величины прогибов на фиг. 420 даны в микронах.
Прогиб переднего центра в предположении шарнирности опор равен 194 мк, в то время
как измеренная его величина достигает только 132 мк. Еще оолее резко расходятся зна-
чения наибольшего прогиба для части шпинделя между опорами. При жесткой заделке
вала в опорах вертикальное перемещение центра равно 68 мк. Как показывают опыты,
при малых усилиях резания (чистовое точение) изогнутая ось шпинделя приближается
к упругой линии, соответствующей шарнирным опорам.
Можно отметить следующие причины расхождения измеренных и вычислен-
ных прогибов валов, шпинделей и других подобных им деталей. На величины
прогибов и углов поворота
сечений влияют жесткость
корпусов, в которых сидят
подшипники, зазоры в опо-
рах, деформации самих опор,
особенности конструкции
подшипников, погрешности
изготовления и сборки и т. д.
Поэтому в ряде особо ответ-
ственных случаев расчета на
жесткость целесообразна
экспериментальная проверка
вычисленных величин путем
замеров на стенде деформа-
ций изготовленного узла под
рабочими нагрузками.
Вычисленные или изме-
Фиг. 420.
ренные величины перемеще-
ний необходимо сравнить
с их допускаемыми значениями, устанавливаемыми практикой в зависимости от
конкретных особенностей и назначения рассчитываемых конструкций. Другими
словами, при расчетах на жесткость нормы допускаемых линейных и угловых
перемещений должны отражать специфические особенности отдельных отраслей
машиностроения.
Так, в литературе по станкостроению [70] отмечается, что допустимые про-
гибы шпинделя в направлении, непосредственно влияющем на точность обра-
ботки, выбираются при обточке под шлифование в зависимости от припуска
под шлифование, при чистовой обточке — в зависимости от допуска соответ-
ственного класса точности, при фрезеровании — в зависимости от припуска под
шлифование или допуска на соответственный линейный размер изделия и т. д.
Единые нормативы, определяющие- значения допускаемых деформаций шпин-
делей и валов станков, еще не разработаны. Станкостроительные заводы руко-
водствуются в этом отношении взятыми из опыта цифрами, которые при прак-
тическом применении не .приводили к неполадкам в работе станка. Широко
распространены следующие практические нормативы: прогиб шпинделя или вала
не должен превышать 0,0002 расстояния между опорами; наибольшее допускае-
мое значение угла наклона в опоре 0,001 радиана. Некоторые заводы прини-
мают для допускаемого прогиба значение, равное 0,01 наименьшего модуля
зубчатых колес, сидящих.на Зтом валу.
Проверочные расчеты валов коробок скоростей ряда токарных, фрезерных
и сверлильных станков, выполненные в ЭНИМС [1], показали приемлемость
в качестве средних норм приведенных выше допускаемых значений прогибов
и углов наклона.
486
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
При расчете валов коробок передач автомобилей отечественного производ-
ства установлено, что.
полный прогиб вала (вторичного или промежуточного) не превышает 0,2 мм;
прогиб в плоскости валов не превышает 0.1 мм;
угол перекоса шестерен не превосходит 0,002 радиана.
В литературе [991 указывается, что приведенные значения перемещений
Следует рассматривать как максимально допустимые; в целях же обеспечения
лучших условий для работы . шестерен надо добиваться большей жесткости
валов коробок передач.
Приведем теперь ряд примеров, иллюстрирующих изложенный выше метод
рационального интегрирования дифференциального уравнения упругой линии.
Пример 1. Двухопорная балка
нагружена сосредоточенным момен-
том ЭД, приложенным в некотором
промежуточном сечении (фиг. 421).
Подобное нагружение имеет ме-
сто в валах зубчатых и червячных
передач при действии осевых усилий
(усилий, параллельных оси вала и
приложенных на расстоянии ра-
диуса зубчатого или червячного
•колеса)^
Требуется составить уравнение
упругой линии и вычислить величины
линейных и угловых перемещений характерных сечений балки.
Решение. Рассматриваемая балка находится под воздействием сосредоточенного
ЭД
момента ЭД и двух реактивных сил у
Уравнения угловых и линейных перемещений
ЕЛ (z)==C+T(z);
EJv (z) = D + Cz 4- Ф (2),
где, согласно формулам (8) и (9),
* I \z>a
Ф(г)--±^гз+ 1 9R(z-a)*| .
0/2 \г>а
Текущая координата z, как всегда, отсчитывается от левого конца балки.
Отрицательный знак первых слагаемых в выражениях для (z) и Ф (z) обусловлен
тем, что левая опорная реакция у. направлена вниз Вторые слагаемые в выражениях
для ЧГ(z) и Ф <z) используются только при z>a
Учитывая наличие опоры на левом конце балки, заключаем, что вторая постоянная
интегрирования
D = EJvq = 0
Для определения первой постоянной С используем наличие опоры на правом конце
балки при z = Z:
(/) = С/- 2.2L/3 4- 1 = °
О I 2
и, следовательно,
С= Л — (I2 — 362).
6 /
Итак, уравнения угловых и линейных перемещений рассматриваемой балки приобре-
тают следующий вид:
£J&(z)=l^.(/2-3&2)-±^z2 + 5!R(z —а)| • (17)
о / 2 1 \z>a
£Jv(z)-l^(/2-3&2)z-|^z’4-±9R(z-a)2l . (18)
о I о I 2 |z>A
Характер упругой линий балки v(z) существенно зависит от месторасположения
сечения, к которому приложен внешний момент ЭД.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
487
1. При а = 0, т. е. в случае приложения момента W к левому торцу балки,
EJv (2) = - 4- [г3 - 3/z2 -I- 2Pz\.
6 I
Исследуя полученное выражение на экстремум, находим, что наибольший прогиэ
имеет место в сечении
z == fl—221)/-0,423/.
Величина наибольшего прогиба
"наиб- -0,0642^
cj
При я = 0 все ординаты упругой линии отрицательны, т. е. все точки оси балки при
изгибе перемещаются вниз.
Используя выражение (17), находим углы поворота опорных сечений z => 0 и z — 1л
» (0) = - -1и & (/) - 4- _L
3 EJ 6 EJ'
Положительное значение углового перемещения соответствует повороту сечения
против часовой стрелки и отрицательное — по часовой стрелке.
2. При а«b = А /, т. е. в случае приложения момента ЭЛ к среднем}' сечению
балки, уравнение упругой линии следующее:
EJv 'z)=l^ [-42» + /2г] + 2- ЭД
'zi4
Упругая линия пересекает ось z в трех точках:«= 0, и /.
Исследуя на экстремум уравнение упругой линии первого участка
EJv (z) = 1 (—4z3 + Pz}>
z =
находим, что наибольший прогиб имеет место в сечении
t±/-0,289/
6
Величина наибольшего прогиба
у наиб- 0,00801^.
CJ
Все ординаты упругой линии первого участка положительны, т. е. все точки левой
половины балки при изгибе перемещаются вверх.
Исследуя на экстремум уравнение упругой линии второго участка ^А < z <
EJv (2) - ‘ [—42» + /»2] -1 ЭД (г -1У
или
EJv (2)----1-2!- [42» - 12/Z2 11/22 - З/2].
находим, что наибольший прогиб имеет место в сечении при
z = (1 — 2Т)/ = 0,711/
к 6 /
и величина наибольшего прогиба
0.00801^.
LJ
Все ординаты упругой линии второго участка отрицательны, т. е. все точки правой
половины балки при изгибе перемещаются вниз.
488 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
I
Используя выражение (17), находим углы поворота характерных сечений:
HO) = 1®LZ; = =
24 EJ \2 ) 12 EJ v ’ 21 EJ'
Таким образом, оба опорных сечения поворачиваются против часовой стрелки,
а среднее сечение — по часовой стрелке, т. е. по направлению приложенного внешнего
момента.
3. При а = lt т. е. в
случае приложения момента
к правому торцу балки,
EJv (z) - Д- — [Z2z— z»].
6 Z
Наибольший прогиб
имеет место в сечении при
z = 1 = 0,577/
3
и его величина
= 0,0642^..
Все ординаты упругой линии положительны, т. е. все точки оси балки при изгибе
перемещаются вверх.
Используя выражение (17), находим углы поворота опорных сечений
& (0) = и & (Z) =
3EJ ’
На фиг. 422 изображены упругие линии балки для
кривая 1 соответствует а = 0, b = Z;
кривая 2 соответствует а = b = — Z;
рассмотренных трех случаев:
кривая 3 соответствует а = Z, b = 0.
Пример 2. Вычислить прогиб вала, установленного
Оценка жесткости деталей при их обработке имеет
для обработки в центрах станка,
существенное значение для мно-
гих технологических расчетов и
прежде всего для расчетов жест-
кости системы „станок —приспо-
собление — деталь — инструмент*.
Решение. Крепление вала
в центрах станка, вообще говоря,
представляет собой упругое заще-
мление его концов, так как в ме-
стах крепления, помимо реактив-
ных сил, возникают и реактивные
моменты или моменты защемле-
ния. Поэтому расчетную схему
вала с упруго защемленными кон-
цами можно представить в виде
балки на двух опорах, нагруженной сосредоточенной силой Р (радиальная составляющая
усилия резания) и двумя моментами защемления, приложенными по концам балки. При
обработке вала место приложения силы Р перемещается вдоль вала. Наибольший про-
гиб вала соответствует приложению этой силы посередине пролета. В этом случае наи-
больший прогиб имеет место в точке приложения силы Р (середина пролета). Полагая/
что размеры и качество опорных поверхностей .центровых гнезд одинаковы, можно
считать, что и моменты защемления концов вала, в случае приложения силы Р в сере-
дине вала, равны между собой (фиг. 423).
Упругая линия вала выражается следующим уравнением: •
EJv (х) = EJ^z - _l^22 + zs - 2-Р
(19)
Последнее слагаемое правой части учитывается только для сечений z > J- , т е
для второго участка балки. Уравнение углов поворота сечений определяется дифферен-
цированием уравнения упругой линии:
£/& (z) = £Л0 +
(20)
^7
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
489'
Для определения угла поворота в начале координат используем отсутствие прогиба»
на правом конце балки
v (/) == О
или
EJ^ - W + Р - 1 Р = О,
откуда
Используя найденное значение $0, определяем прогиб по середине пролета (наиболь-
ший прогиб):
EJv^}—i^+i^p.
\ Z / 4о о
Таким образом, искомый прогиб определяется как разность прогиба от силы Р и от*
моментов Sffl.
Рассмотрим два предельных случая. Первый случай ЭД = 0, т. е. вал, установлен-
ный в центрах станка, рассматривается как двухопорная балка со свободно поворачи
вающимися торцами. Здесь прогиб посередине пролета
£А(4)-~
Второй случай &0 = 0, т. е. обрабатываемый вал рассматривается как балка с жестко’
заделанными концами. Приравнивая нулю полученное выше выражение для %, находим,
что в рассматриваемом случае моменты защемления *311 -L Р1 и, следовательно, иско-
8
мый прогиб
* EJv(-L\ =-----Lp/»,
\ 2 / 192
т. е. в 4 раза меньше, чем для первого случая.
При оценке жесткости вала, установленного в центрах, естественно возникает вопрос*
о фактической величине моментов защемления, а следовательно, и о рекомендуемой фор-
.муле для вычисления наибольшего прогиба.
В специальной литературе можно встретить мало обоснованное выражение
ejv (РР’
\ 2 / 120 (
где коэффициент 120 представляет собой среднеарифметическое значение чисел 48“
и 192. По другим источникам рекомендуемая формула имеет вид
Очевидно, что вопрос о степени защемления вала, установленного в центрах, может
быть разрешен только на базе систематических экспериментов с валами различных длин-
и диаметров, с различными размерами центровых гнезд, углов их зенковок и различными7
величинами осевых усилий зажатия центров.
Основными факторами, влияющими на степень жесткости защемления детали в цен-
трах станка, являются величина угла и длина опорного конуса (зенковка) центрового
гнезда, качество его поверхности и степень затяжки заднего центра, т. е. величина осе-
вого усилия центров. Подобного рода эксперименты были поставлены в лаборатории'
технологии машиностроения Ленинградского политехнического института [58].
Первая серия опытов была проведена непосредственно на токарных станках и иссле-
дованию подвергались двенадцать валов средних размеров (rf = 60— 120 мм, / = 10(0—
— 2000 мм). У шести валов центровые гнезда были изготовлены с углом зенковки 60°
и у шести валов — с углом 90°. В обоих случаях центровка гнезда имела различные раз-
меры, начиная от нормально принятых (диаметр зенковки 10 мм) до заведомо завышен-
ных (диаметр зенковки 50 мм).
Последние изготовлялись с целью лучшего выяснения влияния величины гнезда на*
степень жесткости крепления детали при ее установке в центрах.
Зенковки центровых гнезд были весьма тщательно расточены и затем до проведение
опытов приработаны по центрам, для чего валы некоторое время специально вращались
на станке, при этом задний центр постепенно поджимался. При проведении исследований
осевое усилие менялось в пределах от 10 до 600 кг.
Вторая серия опытов была проведена на специальной установке. Испытанию были
подвергнуты семь гладких шлифованных валиков d = 25 мм, I = 700 мм. Валики имели
490
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
различные центровые гнезда, которые тщательно пригонялись но окраске по двум зака-
ленным и прошлифованным центрам. Наружный диаметр центровых гнезд изменялся
в пределах от 4 до 15 мм.
Поперечная нагрузка Р прикладывалась в середине каждого валика и изменялась
в пределах от 20 до 150 кг. Осевые усилия менялись в пределах от 18,5 до 450 кг.
Заметим, что указанные величины осевых усилий достаточно малы по сравнению
«с эйлеровой критической силой
р ______2 __п 07 2,1 • 10®• 1,92 _долл
Р*р 71 "р" 9*87*-------4550-----в 8200 кг
их влиянием на прогиб вала (продольно-поперечный изгиб) можно пренебречь
Обе серии опытов позволяют сделать следующие

выводы:
1. С совершенно доста-
точной степенью точности'
обрабатываемые гладкие
валы, при установке в цен-
трах станков, могут рассма-
триваться как балки, свобо-
дно опертые своими концами
и нагруженные сосредото
ченной силой Р (усилие ре-
зания), приложенной посе-
редине пролета, т. е. их наи-
больший прогиб опреде-
ляется как
_ 1 Р13
2. Защемление обрабатываемых деталей в центрах может иметь место лишь при
таких чрезмерно больших центровых гнездах и осевых усилиях, какие на практике не
применяются.
Влияние прогиба на искажение формы и размеров обтачиваемой детали рассмотрено,
например, во второй из работ [58].
Пример 3. Вычислить вертикальное перемещение точки А обода колеса гидравли-
ческой турбины (фиг. 424), вызванное деформацией вала. Знание величины этого пере-
мещения необходимо для установления допустимого зазора между колесом и корпусом
турбины. Вес колеса Р « 100 кг. Центр тяжести колеса лежит на расстоянии а = 80 мм
от середины В втулки колеса. Расстояние между точками Л и В по горизонтали
b — 100 мм. Диаметр вала d = 60 мм. Длина Zr = 800 мм и Z2 = 200 мм. Модуль упру-
гости материала вала Е = 2-106 кг /см2.
Решение. Точка А обода опускается как за счет прогиба вала в точке В, так и
за счет поворота этого сечения, что вызывает поворот на тот же угол всего колеса,
а следовательно, и добавочное опускание точки А. Итак, искомое вертикальное переме-
щение точки
Ьа = v# + ЪВЬ.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
491
Вал турбины нагружен в сечении В сосредоточенной силой Р = 100 кг (вес колеса)
й моментом 9ft = Ра = 800 кгсм. Подшипники вала условимся рассматривать как шар-
нирные опоры. Будем предполагать, что втулка не стесняет деформацию вала. Расчетная
схема вала изображена на фиг. 425.
Уравнение упругой лийии вала
EJv(z) = D-\-Cz + L + гз —
-4- P(Z-ZX)»| - 1 9R (2 - /1)’ I
Оба последних слагаемых используются только, при z
Постоянные интегрирования в уравнении упругой линии
D - EJv (0) и С == EJS (0),
где &(0) и v (0) — соответственно угловое и линейное перемещения левого конца балки
(* = 0).
Так как упругая линия вала пересекает ось z в точках z = 0 и z = I (опоры вала), то
о (0) « 0 и v (Z) = 0.
Используем условие о (Z) = 0 для определения угла поворота & (0) в начале координат.
Имеем
£J»(O)Z + ± ^-1 =°>
О [ I I J О 2
или после преобразований
£J&(0) = С = - ~ - те ~
о/ О/
Внося найденное значение С в уравнение упругой линии и полагая z =1Ь найдем
прогиб в точкам В:
EJv (Zx) = - _ Ш (/] _ 4)
01 01
Знак минус в правой части полученного выражения показывает, что точка В пере-
мещается в отрицательном направлении оси у (фиг. 425), т. е. вниз.
Дифференцируя уравнение упругой линии, получаем уравнение углов поворота
сечений
£У»(г) = £Л(0)+ ’ [р/1 z*-±Р(2-Zx?l —те(г —Zx)
21 / 1 J 2
Внося г =1Ъ найдем угол поворота сечения В:
EJb (Zx) = (/, —Z2) + > ( Z‘f - ZXZ2 + Z|).
Ol Ol '
Подстановка числовых значений дает, что
== — 8,533-105 — 2,560.10* = —1,109-10® кгсм^
EJ*B = 3,200-10< +1,387. IO4 = 4,587-104 кгсм\
Осевой момент инерции сечения вала
J — — = Д .6* = 63,43 см*
64 64
Жесткость изгиба вала
EJ = 2 • Ю6 • 63,43 = 126,9 • 10® кгсм\
Следовательно искомое опускание нижней точки А обода колеса
ЬА = vB + М = 8,739.10-з + 3,615-10 “4.ю = 12,35-10-3 см = 0,123 мм.
Пример 4 Для вала конической зубчатой передачи (фиг. 426, а) требуется опреде-
лить величины линейного перемещения сечения В (место насадки малой шестерни) и
угловые перемещения опорных сечений Л и С.
Величина линейного йеремещения (прогиба) сечения В необходима для проверки
условий зацепления передачи, а величины углов поворота опорных сечений — для выбора
типа подшипников.
492 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
_+
Диаметр вала d = 60 мм. Длины участков вала = 150 мм, 12 = 350 мм, 19 = 800 мм.
Диаметр начальной окружности малой шестерни D = 170 мм, диаметр шкива Di — 300 мм.
Натяжение ремней Si = 269 кг и S2 = НО кг.
Составляющие силы давления между зубьями шестерен: Р = 281 кг, /? = 97 кг,
Q = 32 кг. На фиг. 426 показаны силы, действующие на малую шестерню со стороны
большой.
Решение. Расчетная схема вала изображена на фиг. 426, б.
В месте насадки шкива на вал передается вертикальная сила
« S == Si —{•“ S2 == 379 кг
и момент, закручивающий вал
Di
М^р = (Si — S2) = 2385 кгсм •
В месте насадки малой шестерни (сечение В) на вал передается вертикальная сила
R = 97 кг, горизонтальная сила Р = 281 кг, момент, действующий в вертикальной пло-
скости, проходящей через ось вала,
D
= Q ~2 = 272 кгсм.
и момент, действующий в плоскости, перпендикулярной к оси вала
D
Мкр = Р = 2385 кгсм .
Очевидно, что оба крутящих момента, приложенных к валу, должны быть равны по
величине и направлены в обратные стороны.
Рассматривая подшипники как шарнирные опоры, определяем из условий равновесия
вала реакции в вертикальной плоскости
Та = 359 кг, Tq = — 77 кг
и в горизонтальной плоскости
На = 195,5 кг, Hq = 85,5 кг.
В соответствии с условиями нагружения вала будем рассматривать отдельно проек-
ции упругой линии вала (пространственной кривой) на вертикальную плоскость yz и на
горизонтальную плоскость xz.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
493
Начнем с рассмотрения проекций упругой линии на вертикальную плоскость.
Уравнение упругой линии
EJv (2) « Ejv (0) + EJ* (0) 2 - Sz* +
+4_.^(2-а)3 +4-я(2-*)3 | + 4*-*)21 •
/ z^a z^b z^b
Для определения начальных параметров упругой линии v (0) и & (0), т. е. прогиба и
угла поворота в начале координат, воспользуемся тем, что упругая линия пересекает
ось z в точках z = а и z = с (опоры вала). Следовательно,
Ejv (а) = EJv (0) + ЕЛ (0) а — -у Sa’ = 0;
EJv (с) = EJv (0) 4- ЕЛ (0) & - Sc8 + 4" ТАР + 4" ₽/з+ 4" Ж - 0 •
Решая полученную систему двух уравнений и используя приведенные выше число-
вые данные, находим, что
EJv (0) = — 47,99-10® кгсм3\
EJ*(Q) «3,341- IO® кгСм\
Внося найденные значения начальных параметров и подставляя значение z = Ь
в уравнение упругой линии, получим
EJv (b) — 65,8* 10б кгсм3.
Осевой момент инерции сечения вала
nd*
& J = -gj- = 63,62 см*.
Жесткость изгиба вала EJ « 2- 10е.63,62 = 127,2-10® к гем?
Прогиб точки В в вертикальной плоскости
65,8-10®
Vb = v(&) = ’127 2.10® = 2 см s 0»517 мм.
Дифференцируя уравнение упругой линии, находим уравнение угловых перемещений
EJ* (z) = EJ* (0) - -у- Sz2 +
+ -^-TA(z-ay | +4-/?(z-h)8 | +2R(z-6) | .
z>& z>b
Подстановка z == а дает
EJ* (a) = 2,915-10® кгсм2,
и, следовательно, угол поворота сечения А относительно оси х равен
= 2,29-10-3 радиан.
Подстановка z = с дает
EJ* (с) = — 1,63-10® кгсм2,
- и поворот: сечения С относительно оси х равен
» — 1,28-10-3 радиан.
Перейдем к рассмотрению проекции упругой линии вала на горизонтальную пло-
скость.
Уравнение упругой линии ' N
'EJu (z) = EJu (0) + EJ* (0) z—
— ^-HA(z-ay | +4-P(2-&)3 I •
z>a z>b
494
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Начальные параметры а (0) и 0(0) представляют собой прогиб в направлении оси х
и угол поворота относительно оси у сечения в начале координат.
Для их определения воспользуемся двумя уравнениями:
EJu (а) = EJu (0) + EJ* (0) а « 0;
1 1 о
EJu (с) « EJu (0) + EJ* (0) с — - g- HAl3 + “g- Pll = 0,
откуда
EJu (0) « — 33,38-IO6 кгсм3',
FJO (0) = 2,225-106 кгсм*.
Подставляя найденные значения начальных параметров в уравнение упругой линии,
определяем, аналогично изложенному выше, прогиб точки В в горизонтальной плоскости
Фиг. 427.
ив = и (Ь) = 5,03-10-2 см = 0,503 мм
и углы поворота опорных сечений А
и С относительно оси у
&<*' = & (а) = 1,75.10-»;
- & (с) = _ 1,34-10-“
Полное линейное перемещение
места насадки малой шестерни (сече-
ние В) равно
= У^в + и2в= V0,517»+0,503»==
= 0,721 мм
Пример 5. При установке на
опоры эталонов длины, прецизионных
оптических приборов и т. п. возни-
кает необходимость соответствующе-
го выбора точек оЙоры так, чтобы
упругая линия обладала некоторыми
специальными свойствами.
Составить и исследовать уравне-
ние упругой линии балки с двумя
одинаковыми консолями, нагруженной
собственным весом (фиг. 427). Рас-
смотреть величины угловых и линей-
ных перемещений в характерных се-
чениях балки (концы консолей, се-
чения над опорами, среднее сечение)
в зависимости от соотношения между
длиной консоли а и длиной всей балки L
Решение. Рассматриваемая
балка находится под воздействием
равномерно распределенной нагрузки
(собственный вес) и двух сосредото-
ченных сил (реакций опор).
Уравнения угловых и линейных перемещений следующие:
£Л(г)= С--5-?28 + 4"'Г<2-а>2 | +4'Т"<2-^а | ; (21>
EJv(z)~D+Cz—+ (2-a)s | + 4"'f <2-6)* | * <22>
Заметим, что в рассматриваемом примере распределенная нагрузка направлена вниз
и соответствующие слагаемые в выражениях (21) и (22) отрицательны.
Слагаемое, учитывающее левую опорную реакцию, используется только при z^a>
а слагаемое, учитывающее правую реакцию, — при z > b.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
495
Для определения постоянных интегрирования С и. D используем отсутствие прогибов
у балки в надопорных сечениях z «• а и z — b:
EJv (а) = D + Са — qcfl « 0;
1 1 ql
EJv(b) = D + Cb — -eft qb* + -q - (b —a)» = 0t
откуда
ql
C=14 [*a+«2—2(Z> —a)2];
qla 1 (23)»
D= “ 24 [^2 + «2 — 2 (b — a)2] + qa*
Характер упругой линии, в частности наличие точек перегиба, т. е. точек, где кри-.
визна упругой линии обращается в нуль, существенно зависит от соотношения между-
длиной консоли а и полной длиной балки I,
Как известно, кривизна упругой линии пропорциональна изгибающему моменту
1 _M(z)
Р ~ EJ ’
где
1 ql I ql |
M(z) = - — qz* + ^(z—a) J J .
2>O
(24>
Для участка балки между опорами изгибаю ний момент
1 ql
M(z) = — -<2- qz* -f *2“ (2 — а)
&
обращается в нуль при
Очевидно, что при а < -j- полученная формула дает два действительных значения г
а при а > -j- — два комплексных значения. На фиг. 427 изображены эпюры изгибающих,
моментов по формуле (24) при различных соотношениях между размерами а и .
Таким образом, если то упругая линия имеет две точки перегиба. В этом«
случае средняя часть упругой линии, ограниченная точками перегиба, обращена вогну-
тостью кверху. Крайние части упругой линии обращены вогнутостью вниз.
При изменении длины консоли от а = 0 до а -» -j- точки перегиба на упругой линии-
перемещаются от опор к 'середине пролета. В предельном случае, когда a — , обе-
точки перегиба сливаются в одну и образуют так называемую точку сплющенности,
(z = -2~ 1^ , для которой
dv d2v сРу
dz = dz2 я dz3 я *
При дальнейшем изменении длины консоли от a = до а = у точки перегиба от-
сутствуют и вся упругая линия обращена вогнутостью вниз.
Перейдем к рассмотрению величин линейных и угловых перемещений в характерных,
сечениях при некоторых специальных соотношениях между длиной консоли а и длиной
всей балки /. ' •
1. а = 0 и b = I.
В этом случае, т. е. для однопролетной балки с опорами по концам, точки перегиба*
совпадают с концами балки и вся упругая линия обращена вогнутостью кверху.
-496
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Углы поворота опорных сечений «'
al3 1 ql3
»Х0) — — и &(/)= + тд- -gj.
т. е. сечение z = 0 поворачивается по часовой стрелке и сечение z = 1 — против часо-
вой стрелки.
А I
Наибольший прогиб имеет место прмгз = -у и его величина
( 1\ 5 ql* ql*
v\2) = —384 —0,013020-gj,
т. е. среднее сечение балки (как и все другие сечения) перемещаются вниз.
2. а - 0,2113/ и Ь = 0,7887/.
Оба конца балки остаются расположенными горизонтально:
И(0)==^(/)==0.
3. а = 0,2142/ и 6=0,7858/.
Оба конца балки лежат на высоте опор:
v (0) = v (/) = 0.
4. а = 0,2232/ и 6 = 0,7768/.
Середина и концы балки лежат на одной горизонтальной прямой:
v (0) - v =v 0,000270 ^J.
5. а = 0,2247/ и Ъ = 0,7753/.
Оба опорных сечения не поворачиваются, и балка над опорами остается горизон-
тальной:
& (а) = & (6) = 0.
В этом случае прогибы концов балки
v (0) = v (/) = - 0,000318
*и прогиб середины балки
, 0 ) = — 9,000240
6. а = 0,2386/ и b = 0,7614/.
Середина балки лежит на высоте опор:
7. а = 0,25/ и 6=0,75/.
Углы поворота характерных сечений:
\ ql3 1 ql3 1
8 (0) “° 24EJ Т и а (®) = 24ЁТ Тб *
Прогибы характерных сечений:
я/4 7 ql*
v(0) = — 24£J 256 ~ 0,001141 gy;
( l\ ql* \ ql*
v\T) = + 24EJ 256 = °’000163 £j-
Пример 6. Двухопорная балка нагружена распределенной нагрузкой, интенсивность
которой изменяется вдоль длины пролета по линейному закону
Z
q(z) = q — = kz
<от q (0) = 0 до q (/) = q (фиг. 428).
В машиностроении необходимость рассмотрения подобного рода нагрузки возникает,
например, при расчете шатуна на действие инерционных сил.
Для вертикально расположенных балок аналогичная нагрузка может быть обуслов-
лена односторонним гидростатическим давлением жидкости, пропорциональным глубине
логружения.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 497
' Требуется составить уравнение упругой линии и рассмотреть изменение угловых и
линейных перемещений по длине, пролета; ..
Р е ш.ен ц е.. В общем, случае поперечного изгиба балки уравнения угловых и линей*
ных перемещений имеют вид:
• , ЯЛ (z) = С4- Т (2); . ,
EJv (z) = D±Cz + Ф (z),
где ЧТ (z) и Ф (z) — соответственно первая и вторая квадратуры от уравнения изгибаю*
щих моментов
Z Z
и Ф (z) =
Для рассматриваемой балки
и, следовательно; первая и вторая квадратуры
следующие:
z
dt =
О L
__ ql Z* k &
6 2 — 6 T;
nql & 1 qi k
V —24 ф = г3-тто
Постоянные С и D определяются из краевых
условий (опоры по концам балки)
7
С = 360 D ”
Уравнение упругой линии (уравнение проги-
бов) следующее:
7 1 1
EJv = +
Фиг. 428.
Исследуя v (z) на экстремум, приходим к биквадратному уравнению
15г4 — ЗО/2^2 + 7/4 = 0,
откуда
Место наибольшего прогиба
z = 0,5193/
и его величина
<?/*
vnau6 в — 0,006522 ~gj •
Уравнение угловых перемещений, т. е. углов поворота сечений,
7 1 1
(«) = — 360 ql3 + "12 - 24 6г*.
Полагая- z — 0 и z = I, находим углы поворота опорных сечений:
7 аР 8 аР
» (0) = — 36Q-£j и 8 (Z) = +збо7?у-
32 Пономарев и др. 407
498
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
1
На фиг. 428 изображены эпюры поперечных сил Q(z), изгибающих моментов M(z).
угловых ft (z) и линейных v (z) перемещений. Как известно, угловые перемещения пред-
ставляют собой первую производную от уравнения линейных перемещений, изгибающие
моменты пропорциональны второй производной от уравнения прогибов и поперечные
силы — третьей производной. Метвертая производная от уравнения линейных переме-
щений пропорциональна интенсивности распределенной нагрузки.
§ 3. УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ СТУПЕНЧАТОЙ БАЛКИ
Если балку постоянного сечения с моментом инерции Jl заменить балкой с момен-
том инерции Jo — kJi и изменить при этом все нагрузки и реакции в
k = -ф- раз,
•ч
Фиг. 429.
то упругие линии этих балок
полностью совпадают.
Используем это обстоя-
тельство для преобразова-
ния ступенчатой балки (часть
которой изображена на
фиг. 429, а) в эквивалентную
балку постоянного сечения.
Разрежем заданную сту-
пенчатую балку на отдель-
ные части с постоянными
моментами инерции J19 J2>
... К граням разреза
приложим поперечные си-
лы Q и изгибающие мо-
менты М (фиг. 429, б). Пре-
образуем каждый кусок сту-
пенчатой балки вместе с при-
ложенными к нему внешни-
ми нагрузками и внутренни-
ми силовыми факторами в бал-
ку с некоторым постоянным
по длине моментом инер-
ции Jo. Тогда коэффициен-
ты приведения будут равны
А. ~ ъ — ь
J! 19 2’
А. = k3 и т. д.
Умножим все силы и моменты, приложенные к каждой f-ой части ступенча-
той балки, на соответствующий этой части коэффициент kt и одновременно
принимаем при этом, что момент инерции этой части равен Jo (фиг. 429, в).
Тогда можно утверждать, что упругая линия каждой части балки с моментом
инерции Jo тождественна с упругой линией соответствующего участка заданной
ступенчатой балки. Соединяя (до деформации) отдельные разрезанные части
друг с другом, получаем балку постоянного сечения, упругая линия которой
полностью совпадает с упругой линией заданной ступенчатой балки.
Необходимо отметить, что в соответствии с проведенным преобразованием
всех сил и моментов, приложенных к отдельным /-ым частям ступенчатой
балки, на эквивалентную балку постоянного сечения будут действовать не только
заданные нагрузкйг (измененные в k раз), но и дополнительные внешние силы
и моменты, приложенные в местах сопряжения участков и равные по величине
разности AQZ и A2I4Z преобразованных силовых факторов Qz и Mif возникающих
при изгибе в местах разреза. На фиг. 429, г изображена схема эквивалентной
балки постоянного сечения вместе со всеми приложенными к ней силами и мо-
Уравнение изогнутой оси ступенчатой балки
499
ментами. Определение линейных и угловых перемещений в эквивалентной балке
не представляет каких-либо затруднений и производится, согласно изложенному
выше, в § 2.
Идея изложенного метода определения перемещений в ступенчатых балках
предложена В. Н. Жемочкиным в 1932 г. [23].
В работе Г. С. Глушкова [16] рассматривается обобщение предложенного
им метода моментов высоких порядков к расчету балок переменной жесткости.
Применение метода Глушкова к расчетам в станкостроении дано в работе
В. П. Копыленко [36], где рассматриваются вопросы жесткости фрезерных
станков, и в работе В. А. Синдеева [77] по расчету на жесткость шпинделя
передней бабки универсального круглошлифовального станка.
Определение перемещений в балках ступенчатого сечения служит основой
расчета лопатки направляющего аппарата гидравлической турбины, рассмотрен-
ного в работе [21].
Перейдем к рассмотрению конкретных примеров применения изложенного
выше метода определения перемещений в ступенчатых балках.
Пример 1. Определить углы поворота опорных сечений и прогибы в местах прило-
жения сил для трехступенчатой балки, лежащей на двух опорах (фиг. 430, а). Между
моментами инерций сечений участков имеет место следующая зависимость:
J\ * J2 • *^з ив 1: 2:3.
Решение. Разрезаем балку на три части в местах перехода сечений. На фиг. 430, б
изображена каждая из частей под действием внешних сил и внутренних силовых фак-
торов Qt и Mg в местах разреза.
Примем, что момент инерции Jo эквивалентной балки равен моменту инерции Л
сечения ее средней части, тогда коэффициенты приведения равны
&
JL _ о. ь Jp ,. . 4
kl “ л “ 2> *2 - л - 1’ - л “ з •
На фиг. 430, в изображены три части эквивалентной балки с приложенными к ним
преобразованными силами и моментами. Фиг. 430, г изображает эквивалентную балку
с приложенными к ней нагрузками, отнесенную к системе координат yz.
Уравнение упругой линии эквивалентной балки
EJov (z) = EJ& (0) -+- £J0» (0) z + - j- (ЗР) г» - (2Р) (z - /)« | —
г>1
— 4-^Qi(z-2lf I -4дЛМг-2/)2 | -|р(2—3/)з| +
z>2l z>2l z>3l
1 11 I 1 9P 1
4--g-AQ2(z-4Z)3 I ^ТДЛ12(2_4/)2 J ^-g-‘T(2-5/)3 I .
z>4Z z>4l z>5l
Каждое из слагаемых, отмеченных вертикальной чертой, используется только для
значений z, равных или больших величине, указанной внизу черты
Прогиб на левом конце балки, т. е. в начале координат,
»(0) = 0.
Для определения угла поворота &(0) в начале координат используем то обстоятель-
ство, что на правом конце балки прогиб также обращается в нуль (опора).
Прогиб правого конца балки (z 6/)
с , .. ,сп о, Л ,Л. в, , ЗР (6Z)S 2Р (5Z)» Шг : (4Z)2
(6/) == EJqv (0) 6Z+ Q Q 2 *
9
— PZ3
AQi (4Z)3 ' Р (3Z)3 ДЛ^ (2Z)2 Д(?2 (2Z)3 3
~ 6 "" '6 ~ 2 + 6 ~ 6’ -°’
откуда
707
EJJb (0) « - уде PZ2 = - 6.55PZ2.
32*
500 Методы'расчетй па жесткость Ъ области малых перемещений
Уравнение изогнутой оси ступенчатой балки
501
Для определения угла поворота правого конца балки: поступим следующим образом.
Продифференцируем уравнение упругой линии, и в уравнение, полученное в результате
дифференцирования, подставим z =« 6/, тогда
ЗР (6Z)2 2Р (5Z)2
£J0&.(6/) - EJtft (0) 4---^-2- ------^-2- - ДЛ1Г4/ -
— PZ2
AQx(4/)2 Р(3/)2 , AQ2(2Z)2 3™
2 — 2 — &M£,l + 2 — 2 *
или после преобразований
499
EJfi (6/) == ^ PZ2 = 4,62Р/2.
Определим прогибы в местах приложения внешних нагрузок
Прогиб при z = Z:
ЗР/3
< EJ<p (/) = EJ£ (0) I + —g—;
653
£Jov(Z) = - jgg P/s = —6,05PZ3.
Прогиб при z « 31:
ЗР (3Z)S 2P (2Z)3
EJQv (31) = EJfi (0)3/ +---g-2- ------g-2- -
AMjZ2 AQiP 960 Л
------I08PP = -8,89P/3
*
Прогиб при z = 51:
гшт s/ 3P(5Z)3 2p<4f)8 A*b(3Q*
EJqV (51) = EJq9 (0)«5Z-J- 6 ~~ 6 — 2
_AQxW £(20! —___________
3 — 6 2 + 6------------108Pl —
Определение линейных и угловых перемещений любых других сечений балки также
не представляет каких-либо затруднений.
Пример 2. Для определения частот собственных поперечных колебаний (расчет на
критическое число-оборотов) валов паровых турбин, быстроходных электрических гене-
раторов, моторов и тому подобных машин необходимо предварительное нахождение их
прогибов от заданных нагрузцк.
Валы, как правило, изготовляются ступенчатыми и несут ряд сосредоточенных
нагрузок по длине. В специальной литературе, например [54], для определения прогибов
ступенчатого вала обычно рекомендуют графическое построение его упругой линии по
методу веревочного многоугольника.
В фундаментальной работе М. И. Яновского [102] о расчете деталей паровых турбин
по этому вопросу сказано следующее:
„Если зависимость нагрузки q и экваториального момента инерции J от z дана ана-
литически, то определение уравнения упругой кривой v = f(z) может быть произведено
последовательным вычислением двукратных интегралов. При расчете же роторов паровых
турбин обычно не имеется аналитического выражения этой зависимости, и поэтому
нахождение интегралов может быть в таком случае выполнено графическим путем*.
Для выполнения графического' расчета рекомендуется разбить общую длину ротора
между центрами подшипников на ряд участков таким образом, чтобы моменты инерции
сечений ротора на протяжении их имели приблизительно постоянную величину. Другими
словами, предлагается замена ротора ступенчатой балкой. Но в этом случае задача
определения прогибов разрешается сравнительно просто и аналитически. При этом легко
использовать все преимущества аналитического решения по сравнению с решением
графическим,
В качестве примера рассмотрим определение прогибов многоступенчатого двухопор-
ного вала (фиг.-431, а).
Величины нагрузок: Рг 1800 кг и Р% ==.2600 кг.
Примем за момент инерции эквивалентного вала Jo момент5. инерций сечения диаме-
тром 20 см. Диаметры отдельных участков; вала, их осевые моменты инерции и соответ-
ствующие коэффициенты приведения сведены в табл. 37.
502 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Далее определяем величины поперечных сил ф и изгибающих моментов в местах
перехода, сечений, преобразуем их в соответствии с коэффициентами приведения^
и определяем их разности AQ/ и &М& соответствующие величины сведены в табл. 38.
Приведенные значения внешних нагрузок на вал следующие:
Р{ _ 1800’0,4097 = 807,5 кг\
Р'2 - 2600.0,4097 = 1065 кг.
Оперные реакции Гд = 2255 кг и Тв = 2145 кг приложены к участкам вала, для
которых коэффициент приведения k = 1 и, следовательно, они остаются без изменения.
Таблица 37
Диаметры отдельных участков вала по фиг. 431, их осевые моменты инерции
и соответствующие коэффициенты приведения
d в см 20 21 24 25 30
J в см4 7854 9550 16 290 19170 39 760
k = ^- к J 1 0,8224 0,4822 0,4097 0,1975
Таблица 38
Величины поперечных сил Qz и изгибающих моментов Mt в местах перехода
сечений и разности AQZ и &Mt их приведенных величин для ступенчатого вала
по фиг. 431
i 1 2 3 4 5 6
Qi в кг 2 255 2 255 455 455 2145 2145
Mi в кгсм 78 930 169100 236 900 241400 182300 75080
A Qi в кг 400,5 930,6 96,55 96,55 155,5 1111
^Mt в кгсм 14080 69790 50270 51230 13220 38880
Энергетический метод нахождения линейны^ и угловых перемещений
503
На фиг. 431, б изображена эквивалентная балка с приложенными к ней силами
и моментами. Отнесем эквивалентную балку к системе координат yz.
Для определения угла поворота & (0) в начале координат используем то обстоятель-
ство, что прогиб на правом конце балки равен нулю:
r _ 2255 • 290» 14 080 - 2552 400,5 - 255» 69 970 - 215*
EJovB = EJfifQ) - 290 +--g----- ---------- -------------------------
6
2
2
50 270465»
2
96,55.1653
51 230.1552
2
930,6-215» 807,5-190»
6 “ 6
96,55455» 1065420» 13220-852 155,5.85?» 38880-352 1111-352
6 “ 6 + 6 “ 6 + 2 ~ 6 °’
6
откуда
EJ^ (0) = —1,083-107 кгсм*.
6
Прогиб в сечении С (г = 100 см)
2255400» 14 080.652 400,5-653
EJqvc — — 1,083-107400 +---------g--—---------g_
69790-252 930,6-253
—-------2----—------§-----= ~ 7,795-108 кгсм*.
Жесткость изгиба сечения эквивалентной балки
тс.204 * *
£Jo=2,24Oe-—g^— =1,728.10ю кгсм*,
и, следовательно, искомый прогиб
& vc = — 0,0451 см.
Аналогично прогиб в сечении D (z = 170 см)
. 2255470» 140804352 400,54353
EJQvD == — 1,083 4 О7470 -f--g---------£-----—----^g-----
2
6
69 790-95» 930,6-95» 807,5-703 50 270-452 96,55-45»
2 . — 6 " 6 *“ 2 “6
51 230-352 ( 96,55-35» о
-------------------g-----= — 8,330-108 кгсм9,
2
и, следовательно,
vo = — 0,0482 см.
§ 4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
И УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СЕЧЕНИЙ БАЛОК
Как известно, потенциальная энергия деформированного тела может быть
выражена двумя различными способами — или как работа сил внешних, или как
работа сил внутренних. Рассмотрим эти два способа выражения потенциальной
энергии на примере прямого поперечного изгиба балки. При этом примем, что:
1) материал балки работает в пределах пропорциональности, т. е. напряже-
ния и деформации связаны между собой линейным законом Гука;
2) линейные и угловые перемещения, т. е. прогибы и повороты сечений,
достаточно малы;
3) как для внутренних силовых факторов, так и для перемещений спра-
ведлив принцип независимости действия и сложения.
В этом случае в поперечном сечении балки возникают нормальные и каса-
тельные напряжения, определяемые по известным формулам сопротивления
материалов:
Мху
(&>)
т — QyS*
у W
504 Методы р'асчета на* жёсткость в области Малых перемещений
Заметим, что нейтральная (нулевая) линия совпадает с главной Нейтральной
осью х поперечного сечения. ' ,1 j
Вообще говоря, в поперечном сечении балки могут иметь место ^и каса-
тельные напряжения т*, параллельные нейтральной оси х. По малости тх, срав-
нительно с т^, ими будем пренебрегать, однако в случае необходимости они
могут быть также учтены.
Потенциальная энергия элемента объема dV балки, выраженная . через нор-
мальные и касательные напряжения, имеет, следующий вид:
ATT °2dV -I
MV
2G ‘
(26)
Представим объем dV в виде произведения dF-dz, где dF—элемент пло-
щади поперечного сечения и dz — элемент длины балки L.
Потенциальная энергия деформации всей балки
п ___ С 0 ( Мху ydF-dz , С С / dF-dz
— It Jx ‘ 20 ’ ’ ”
или после преобразований
Заметим,
что
Qfa Р
J2
J V I
-i/ dF.
U = 1
L
-VW + J 2GF
1
и обозначим
безразмерную величину
F f
\~hTdF-
Jt J b2
X F
(27)
Величина безразмерного коэффициента k зависит от формы сечения. Так,
для прямоугольного сечения Л=-|-=1,2. Для двутавровых балок коэффи-
циент k меняется от /г = 3,3(№ 10) до &=1,8(№ 60).
Итак, приходим к следующему выражению потенциальной энергии балки
через внутренние силовые факторы Мх и Qy:
f . . f ,
J 2£JX J 2GF •
L L
(28)
Выразим теперь потенциальную энергию деформации через внешние силовые
факторы — сосредоточенные силы Pt и сосредоточенные моменты Предпо-
лагая, что прогибы и повороты сечений, где приложены внешние силы и мо-
менты, линейно. зависят от величины действующих нагрузок, легко показать,
что потенциальная энергия равна
+ . (29>
здесь — прогиб сечения, в месте приложения силы Pf от всех, действую-
щих на балку нагрузок (сил и моментов);
— поворот сечения в месте приложения момента от всех на-
грузок.
Используем полученные выражения (28) и (29) для построения общего метода
определения линейных и угловых перемещений стержневых систем.
Энергетический метод нахождения линейных и угловых перемещений
505
Рассмотрим определение прогиба v в некоторой точке А балки, нагружен-
ной внешними силами и моментами (фиг. 432 а). Снимем с балки заданную
нагрузку и приложим к разгруженной балке в сечении А вспомогательную
силу Ро в направлении искомого перемещения (фиг. 432, б). Обозначим прогиб
точки А от вспомогательной силы Ро через vQ. Тогда потенциальная энергия
от нагружения балки вспомогательной силой может быть выражена следующими
двумя формулами:
f f Q&z
= J 2EJX + k J 2QF ’
Здесь Л40 (z) и Qo (z) — соответственно уравнения изгибающих
моментов
и поперечных сил от нагружения балки вспомогательной силой, приложенной
в сечении А.
Дополнительно при-
ложим к балке, уже на-
груженной вспомогатель-
ной силой, заданную си-
стему внешних сил и мо-
ментов (нагрузок). По
малости рассматриваемых
перемещений можно
утверждать, ч$о получае-
мые при этом приращения
перемещений равны пере?-
мещениям, имеющим место
при действии заданной си-
стемы сил на ненагружен- - ф ..........
ную балку. Другими ело- фиг 432
вами, можно утверждать,
что действие заданной, системы сил на ненагруженную. балку и на балку, пред-
варительно нагруженную вспомогательной силой, вызывает одинаковые переме-
щения (применение принципа независимости действия сил к перемещениям).
Потенциальная энергия деформации балки, нагруженной вспомогательной
силой и заданной системой сил, может быть выражена через работу внешних
сил следующим образом:
с/=4- + pov + 2 4 + 24- • (з о
Первое слагаемое правой части представляет особой работу, совершаемую
вспомогательной силой при нарастании последней от нуля до конечного значе-
ния (равного Ро); второе слагаемое — это работа конечного значения вспомо-
гательной силы на перемещении ее точки приложения от действия заданной
системы сил и последние два слагаемых — работа заданной системы сил (при
нарастании последних от нуля до конечного значения) на перемещениях от этой
же системы сил. Так как второе слагаемое представляет собой работу силы
постоянной величины (конечное значение Ро вспомогательной силы), то мно-
1
житель -g- у этого слагаемого отсутствует.
Обозначим соответственно через М и Q — изгйбающий момент и поперечную
силу от заданной нагрузки, тогда от совместного действия . вспомогательной
силы и заданной системы, сил; ' ...
; / ;........... Л4*=Ж0 + уИ; <?* = Qe4-Q. . ;
506
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Потенциальная энергия деформации балки, нагруженной вспомогательной
силой и заданной системой сил, следующим образом выражается через внутрен-
ние силовые факторы:.
П_ f (Мь + М)*аг , . С (Qo+Q)2^
J 2EJX ' ] 2GF
L L
«ли после преобразований:
Ч. f Mldz , ь f , f MoMdt , h {QoQdz ,
U~ J 2£У7“гЛ J 2GF T-J-ЁГХ •R J GF
। C M2dz । h (* Q%dz /qo\
+ + * \-2gF' (32)
Очевидно, что первые два слагаемых правой части представляют собой
потенциальную энергию при нагружении балки только вспомогательной силой,
вторые два слагаемых — работу внутренних силовых факторов от вспомога-
тельной силы на перемещениях от заданной нагрузки и последние два слагае-
мых — потенциальную энергию при нагружении балки только заданной системой
сил. Сравнивая выражения (31) и (32) для потенциальной энергии, заключаем,
что второе слагаемое правой части формулы (31) и вторые два слагаемых пра-
вой части формулы (32) представляют собой различные выражения одной и той
же величины, а именно работы, совершаемой вспомогательной нагрузкой (или
внутренними силовыми факторами от вспомогательной нагрузки) на перемеще-
ниях от заданной системы сил и, следовательно,
р Ф « f-^У- + k f. (зз)
L L
Для определения искомого прогиба v поделим обе части подученного выра-
жения на величину вспомогательной силы Ро. Для отношений и введем
соответственно обозначения и Qv Тогда для искомого прогиба приходим
к следующему выражению:
V = f 4- k . (34)
L L
Полученное интегральное выражение (34) и представляет собой формулу
О. Мора для нахождения линейных перемещений при изгибе. Здесь М и Q —
соответственно уравнения изгибающих моментов и поперечных сил от заданной
системы сил; Л4. — и Q. = тоже от вспомогательной силы, равной без-
размерной единице и соответствующей искомому перемещению, т. е. прило-
женной в том сечении балки, где ищется прогиб V, и по направлению искомого
прогиба.
При нахождении углового перемещения ft к балке прикладывается не вспо-
могательная сила Ро, а вспомогательный момент Ш?о. Путем аналогичных рас,-
суждений, как и при выводе формулы (34), приходим к следующему выраже-
нию для искомого углового перемещения:
0 = f 4- k f (34a)
I CtJx J yj*
Здесь M. = и Q, = — соответственно уравнения изгибающих момен-
яло wto
тон и поперечных сил от нагружения балки единичным вспомогательным момен-
Энергетический метод нахождения линейных и угловых перемещений
507
том, приложенным в том сечении, где ищется угловое перемещение, и ио напра-
влению искомого перемещения.
При определении перемещений путем интегрирования дифференциального
уравнения упругой линии знаки перемещений определяются выбранной системой
координат. В отличие от этого при нахождении перемещений энергетическим
методом система координат отсутствует, и правило знаков перемещений здесь
следующее: перемещение (линейное или угловое) получается положительным,
если его действительное направление совпадает с направлением единичного
силового фактора (единичной силы или единичного момента). В противном
случае, т. е. при обратном направлении единичной силы и прогиба или еди-
ничного момента и угла поворота сечения,
отрицательным.
В выражениях (34) и (34а) линейные и
угловые перемещения представлены в виде
суммы двух слагаемых: первое слагаемое
представляет собой перемещение, обусло-
вленное наличием изгибающих моментов, а
второе слагаемое — наличием поперечных сил.
На примере консольной балки квадрат-
ного сеченйя, нагруженной равномерно рас-
пределенной нагрузкой интенсивности q
(фиг. 433, а), выясним относительную вели-
чину каждого из этих слагаемых. Уравне-
ние изгибающих моментов и поперечных сил
от заданной нагрузки
Л4=-----и Q = ^.
искомое перемещение получается
Для определения прогиба свободного конца консоли А прикладываем в сече-
нии А единичную силу (фиг. 433, б). Тогда
Мх = — 1 • z и Qj = 1
и, согласно выражению (34), искомый прогиб сечения А:
z I
(— 1-z) dz+-~p^qzA-dz\
Заметим, что поскольку выбранное нами направление единичной силы (сверху
внизу совпадает' с действительным направлением искомого перемещения (точка А
под действием заданной нагрузки опускается), то формула (34) дает значение
для прогиба со знаком плюс vA > 0.
Рассмотрим величину отношения
• Л Va (Q) ь. 9 (1 -4- цЛ — • —
_ vA(M) + W F /а *
поскольку (см. т. I, гл. III)
4 = 2(1 +р).
Если поперечное сечение балки имеет форму квадрата, то
.______________________6_e. J _ а?
. * — 5 * F ~ 12 ‘
Положив коэффициент Пуассона материала балки |л=0,28, имеем
д»<’±±)(4у,о,1г8(4У.
vA(M) 12 \ I J \ I j
508
Методы расчета на 'жесткость в области милых перемещений
Таким образом, в рассматриваемом примере отношение прогиба от попереч-
ной силы к прогибу от изгибающего момента пропорционально квадрату отно-
шения стороны сечения к длине балки. Следовательно, как правило, прогиб от
поперечной силы значительно меньше прогиба от изгибающего момента, поэтому
в большинстве практических расчетов перемещениями от поперечной силы по
сравнению с перемещениями от изгибающего момента пренебрегают.
Для определения угла поворота А прикладываем к балке в этом сечении еди-
ничный момент (фиг. 433, в), тогда
44, = — 1, Q,=0
и, следовательно, искомое угловое перемещение по формуле (34а)
i
§А~~ЁГХ\( 2"{~r>dz==$ETx'
о
Таким образом, в рассматриваемом примере поворот сечения связан только
с наличием изгибающих моментов. Так как направление поворота сечения от за-
данной нагрузки (по часовой стрелке) совпадает с выбранным нами направле-
нием единичного момента, то угловое перемещение получено со знаком плюс.
Для некоторых приложений целесообразно получить интеграл Мора в несколько
более общей форме, чем это сделано выше, путем следующих рассуждений, осно-
ванных на использовании принципа возможных перемещений. Существенно, что
это позволит снять первое из сделанных нами выше ограничений, т. е. предпо-
ложение о том, что материал балки работает в пределах пропорциональности и,
следовательно, напряжения и деформации связаны между собой линейным зако-
ном Гука.
Как, известно, возможными, или виртуальными, перемещениями называются
перемещения, которые не противоречат связям, наложенным на систему. Наи-
более общий критерий равновесия, или принцип возможных перемещений, заклю-
чается в утверждении, что работа всех внешних и внутренних сил ^истемы, нахо-
дящейся в равновесии, на любых возможных перемещениях равна нулю (см.
гл. VII, т. I).
* Рассмотрим, как и раньше, нагружение балки вспомогательной силой Ро, при-
ложенной в той точке, где определяется перемещение. При этом в балке возникают
внутренние силовые факторы в виде изгибающего момента 440 и поперечной
силы Qo. В дальнейшем для простоты рассуждений будем пренебрегать попе-
речной силой Qo и будем учитывать только изгибающий момент 440. Допол-
нительно приложим к балке заданную систему внешних сил и моментов, от дей-
ствия которой и подлежат определению перемещения. Будем предполагать, что эти
перемещения (линейные и угловые) достаточно малы. Используя принцип воз-
можных перемещений, будем рассматривать работу внешних и внутренних сил
вспомогательного состояния, т. е. Ро и 440 на дополнительных перемещениях от
заданной системы внешних сил и моментов. Другими словами, искомые переме-
щения от заданных сил будут приняты за возможные перемещения для вешних и
внутренних сил вспомогательного состояния. Тогда, согласно принципу возмож-
ных перемещений (см. гл. VII, т. I),
V
Выразим изменение 8 (dU) потенциальной энергии деформации элемента объема
dV балки через соответствующую, работу внутренних моментов 440, приложен-
ных к элементу балки, т. е. Г /
8(d£7) = 410^,
где d$ = —dz— взаимный угол поворота граней элемента dz балки и р — ра-
диус кривизны упругой линии от заданной системы сил.
Энергетический метод нахождения линейных tt угловых перемещений 509
Следовательно,
•Ро®—f —^ = 0,
1 Р
где *и — прогиб в месте приложения вспомогательной силы 7% от заданной системы
сил и L — длина балки.
Замечая, что = Л11 — изгибающий момент от единичной вспомогательной
силы, имеем для искомого прогиба v следующее выражение:
(35)
Если принять, что материал балки
следует закону Гука, то радиус кривизны
упругой линии можно представить в виде
1 М
Р — EJ9
где М — изгибающий момент от заданной
нагрузки и, следовательно, выражение (35)
переходит в первый член выражения (34).
Применение энергетического метода
к обоснованию общего уравнения упру-
гой линии балки дано в интересных рабо-
тах Н. И. Безухова [4], [5]. Во второй
из указанных* работ дается развитие общего уравнения на случай ступенчатых
балок, учитывается влияние сдвигов и рассматривается определение перемещений
при наличии упруго-пластического состояния материала.
Непосредственное вычисление интегралов (34) и (34а) в весьма большом числе
случаев целесообразно заменить их графо-аналитическим истолкованием, широко
известным в настоящее время под названием правила Верещагина. Различные
варианты этого истолкования предложены Г. Мюллер-Бреслау [55], А. Н. Вере-
щагиным [И], С. С. Волковым [12] и рядом других.
Дальнейшее оригинальное развитие графо-аналитических методов вычисления
перемещений принадлежит А. А. Попову [64], [65]. Оно основано на введении
понятия о специальных точках эпюры изгибающих моментов — ортогональных
фокусов.
Распространение графо-аналитического метода на область упруго-пластических
деформаций дано в работах Г. Г. Баловнева [2], [3].
Ограничимся рассмотрением перемещений только от действия изгибающих
моментов, т. е. графо-аналитическим истолкованием интегралов вида
h
| MMtdz,
где М — уравнение изгибающих моментов от заданной системы сил (нагрузок);
TWj — уравнение изгибающих моментов от единичной силы или единичного
момента.
Рассмотрим участок балки, на длине (/2 — которого один из изгибающих
моментов, например Л4Г, изменяется по монотонному линейному закону, т. е.
может быть выражен в виде линейной функции = az -4~ b, а другой изгиба-
ющий момент представляет собой некоторую произвольную функцию M = f(z)
(фиг. 434). Тогда рассматриваемый интеграл для этого участка может быть пред-
ставлен в следующем виде: *
/2 ^2 ^2
Г MM^dz = а \ zf (z) dz -f- bf f (z) dz. (36)
510
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
1
Второй интеграл правой части полученного выражения представляет собой
площадь Q эпюры М = f (z) на рассматриваемом участке, а первый интеграл —
статический момент этой площади относительно вертикальной оси, проходящей
через начало координат, и может быть выражен как произведение Qzc, где zc —
абсцисса центра тяжести площади SL Следовательно, искомый интеграл
MM'dz = Q (azc + b) =
(37)
где Лф = azc + b представляет собой ординату, взятую из эпюры при z = zc.
Полученное выражение (37) представляет собой правило Верещагина и фор-
мулируется следующим образом: интеграл Мора для участка балки, на протя-
жении которого одна из эпюр изменяется по монотонному линейному закону, вы-
ражается как произведение ординаты линейной эпюры, взятой под центром
тяжести С другой эпюры на площадь Q этой другой эпюры. При практическом
С
Фиг. 435.
применении удобно так назначать длину участ-
ка, чтобы эпюра М была однозначной.
Для успешного применения правила Вереща-
гина необходимо иметь выражения для коорди-
нат центра тяжести и площадей эпюр изгибаю-
щих моментов. Для подавляющего большинства
практически . встречающихся нагружений балок
уравнения изгибающих моментов представляют
собой полиномы л-й степени вида
М = а0 + ayz + a2z2 + a8z3, (38)
поэтому, рассматривая отдельно графическое изображение каждого из членов
полинома (38), т. е. оперируя с так называемыми расслоенными эпюрами, совер-
шенно достаточно иметь в распоряжении формулы для величины и абсциссы
центра тяжести площади, ограниченной параболой /i-степени. с
Величина площади, ограниченной осью г, вертикальной прямой z — a и па-
раболой л-й степени (фиг. 435),
а
Q = § anzndz —, (39)
о
где h — ордината параболы при z = a.
Статический момент этой площади относительно вертикальной прямой z = a
а
5 = J anzndz (a — z)= + + 2)
о
и, следовательно, расстояние с центра тяжести рассматриваемой площади от пря-
мой z = a равно
При использовании формул (38) и (40) необходимо помнить, что вершина
параболы (z = 0), т. е. точка, в которой касательная к параболе совпадает с
осью абсцисс, должна принадлежать рассматриваемой площади.
Рассмотрим применение правила Верещагина к нахождению перемещений в при-
мерах, разобранных выше, в § 2.
Пример 1. Вал гидравлической турбины (см. фиг. 424) рассматривается как двух-
опорная балка CD, нагруженная в сечении В (фиг. 436, а) сосредоточенной силой Р
и моментом ВД. На фиг. 436, б изображена эпюра изгибающих моментов от силы Р,
а на фиг. 436, в — от момента Ж.
Энергетический, метод нахождения линейных и угловых перемещений
511
Для определения прогиба сечения В, совпадающего с серединой втулки колеса,
прикладываем к балке в этом сечении единичную силу и строим соответствующую
эпюру изгибающих моментов (фиг. 437).
Правило Верещагина применяем отдельно к каждому из участков СВ и BD балки,
для которых эпюры изменяются по монотонному линейному закону. Тогда искомый
прогиб сечения В балки определяется следующим образом:
EJvB = —— li j +
, (lPl,l2 \
Д2 l 1г) 3 I +
1 ЯЙ h \ 2 / 1 Ф? /2 \ 2 hh
2 I 11J 3 I ~ \2 I li) 3 I •
Подстановка числовых значений дает
' Pl^ . 'f /X
Ejvq = 3/ + 3/ (4 — 4)e
== 1,109* 10е кгсм*.
Для определения угла поворота сечения В
прикладываем к балке в этом сечении единич-
ный момент и строим соответствующую эпюру
изгибающих моментов (фиг. 438).
Искомый угол поворота сечения В:
Фиг. 436.
p/ft _ (\ 2 h /1 Phh,\ 2 Z, L
* EJ*B- I 11) 3 I ~ \ 2 I li) T I +
, ( 1 3R h , \ 2 h . ( 1 3R Z2 , \ 2 Z2
+ \2 I ll) 3 I I l2)~3~r
или, после преобразований,
EJ^b = (4 — 4) + 37* (Z? ~ /Л + zf)-
1
Подстановка числовых значений дает
EJ^b 4,587• 104 кгсм*.
Фиг. 438.
Фиг. 437.
Как и следовало ожидать,, результаты определения перемещений по правилу Вере-
щагина с точностью до знака совпадают с результатами, полученными выше, в § 2,
путем интегрирования дифференциального уравнения упругой линии.
В способе Верещагина сохраняется то же правило знаков, что и в энергетическом
методе: перемещение получается положительным, если его действительное направление
совпадает с направлением единичного силового фактора. Так, в рассматриваемом при-
мере прогиб и угол поворота сечения В получились положительными, следовательно,
сечение В опускается вниз и поворачивается против часовой стрелки (фиг. 437 и 438).
Пример 2. Расчетная схема вала конической зубчатой передачи • (фиг. 426) для опре-
деления перемещений в вертикальной плоскости представляет собой двухопорную балку
с консолью, нагруженную сосредоточенными силами S и R и моментом ЗЙ. Соответ-
ствующие эпюры изгибающих моментов изображены на фиг. £39, а.
512
Методы расчета на жесткость о области малых перемещений
Для определения прогиба сечения В (место насадки малой шестерни) прикладываем
-к балке в этом сечении единичную силу и строим соответствующую эпюру изгибающих
моментов (фиг. 439, 6). , .
Искомый прогиб сечения В*.
Fl„ (±^в.\Ц 1 , . / Л .( 1 1*1»Л 2 ,
£Jvb=^2 — <s) + /j+\2 Т 1з) Т 1г~Т +
Фиг. 439.
+ (-ТТ'.)4®-7--
- (4 4".) 4*4+
+(4'4,'-)т«т +
t ( 1 \ D ^2^3
+ \ 2 I 1*)’ 3 R I
или, после преобразований и под-
становки числовых значений,
EJvr = ^2 3 (h 4- 2/3) +
Я'2'3
3Z
EJvв == 66,03-105 кгсм*.
Для определения угла пово-
рота сечения А вокруг оси х
прикладываем в этом сечении еди-
ничный момент (фиг. 439, в). Иско-
мый прворот сечения
/ 1 \ 2
+ 4SR-j-(-у h +
+ 4)7 — (у ЭД "7 Z»)"iT 1з ~[ +
+ (4 R 1*} ("з +z») 7 +
+ \ 2 K I 13) 3 '« I
После преобразований и подстановки числовых'значений имеем
EJ^ = S-j" +7? (/4- /3) — -qi (3Z|— Z2);
=2,923-10* кгсм2.
Для определения угла поворота сечения С вокруг оси х поступаем аналогичным
образом (фиг. 439, г):
= Slxl^ _1_ + (4 2R-T1з) "Г~Т -(4'3R‘Tz») (4"1з + 4 7 +
1 ч 1
3 h + h J i >
2^3 . \
l ч J 3 h I
Графические методы, определения перемещений
513
или, после преобразований,
S + R (/ + /г) _ ( /2 _ 3/2 ).
EJ^ = 1,643 -10® кгсм*.
Расчетная схема рассматриваемого вала для определения перемещения в горизон-
тальной плоскости представляет собой двухопорную балку, нагруженную силой Р
(фиг. 440, а).
В С
Фиг.
Для определения прогиба сечения В прикладываем к балке в этом сечении единич-
ную силу (фиг. 440, б). Искомое перемещение:
_ (4 я4 +(4 ₽ 4'4;
Z2/2
EJuB = Р ^3- = 63,86* 10s кгсм*.
Аналогично для определения углов поворота сечений А и Q вокруг оси у прикла-
дываем в этих сечениях единичные моменты (фиг. 440, в и г):
EJ9^ = р (1 _|_ /3) =. 2,223-10® кгсм*;
- Р (Z + /2) = 1,710-10® кгсм».
Значения перемещения, определенные по правилу Верещагина, совпадают со значе-
ниями, полученными выше, в § 2. путем интегрирования дифференциального уравнения
упругой линии.
§ 5. ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
Наиболее распространенным графическим методом определения перемещений
ири изгибе является построение изогнутой оси балки как веревочной кривой. При
его применении, как известно, эпюру изгибающих моментов разбивают на доста-
точно большое количество элементарных полосок, находят площадь и центр
тяжести каждой из них, изображают найденные площади в масштабе в виде фик-
тивных сил (нормальных оси недеформированной балки) и строят силовой и ве-
ревочный многоугольники. Отрезки Прймых нормальных оси недеформированной
33 Пономарев и др. 407
514
Методы расчета на жесткость, в области малых перемещений
балки, заключенные между веревочной кривой и замыкающей прямЬй, в неко-
тором масштабе пропорциональны прогибам [68].
Рассмотрим два новых графических способа вычисления перемещений, осно-
ванных на использовании интеграла Мора.
А. Способ С. Д. Пономарева {60]
Рассмотрим графическое определение прогиба в некоторой фиксированной^
точке С двухопорной балки АВ длиной I (фиг. 441, а). Искомый прогиб vc
(фиг. 441,6, в),
а
EJvc = J] J MM^dz = J M^-dz.+
(41)
где а и b — расстояния точки С от кон-
цов балки А п В.
Рассматривая произвольную точку п
контура эпюры изгибающих моментов М
от заданных нагрузок (фиг. 442), из по-
добия треугольников АпчС и An S на-
ходим, что
Mzy = М'а.
Фиг. 442.
Фиг. 441.
Отрезок М' легко найти графически, для этого надо снести ординату ns/
в масштабе равную 7И, на перпендикуляр, восстановленный в точке С, соединить
полученную таким образом точку с опорой А и опустись из точки п перпен-
дикуляр ns на ось балки. Последний, пересекаясь с лучом Ап19 и дает нам
точку п . Отрезок ns 6 масштабе равен М\ Такое построение можно проделать
для каждой ординаты эпюры на участке АС. Совершенно так же выполняется
построение и для участка ВС, , ног здесь лучи проводятся из правой опоры В и,
следовательно, * ’
Mz^Mb.
А
- j M'dz2
о, ..
— ~ ЫАВ-
(42)
а
Используя полученные соотношения, имеем
„ 7 аЬ
EJVC — —
Величина, стоящая в скобках, представляет собой полную площадь QAB пере-
строенной эпюры моментов, которую легко-получить, проделав описанные выше
Графические методы л определения перемещений
515
геометрические построения для ряда ординат эпюры моментов и соединив между
собой найденные таким образом точки k', Г, m , п и т. д. (фиг. 443). Если на
рассматриваемом участке основная эпюра и единичная — одного знака,, то полу-
ченная на этом участке в результате построений площадь, входящая в &АВ
имеет знак плюс, в противном случае — знак минус.
При выполнении чертежа на миллиметровке горизонтальные и вертикальные
прямые можно не проводить, и построение еще больше упрощается. Прикла-
дывая линейку по направлению Апу (фиг. 443) и заменяя ею луч, мы, руковод-
ствуясь сеткой миллиметровки, намечаем сперва точку п, а затем на грани линейки
фиксируем интересующую нас точку п . Таким образом, удается найти и все
остальные точки k', I , m и т. д. без проведения каких-либо вспомогательных линий.
Фиг. 443.
Вычисление угла поворот сечения С может быть выполнено одновременно
с определением прогиба vc. Необходимо лишь знать отдельно площади левой
и правой частей перестроенной эпюры моментов; тогда (фиг. 441, в)
• - .а о
E^c = ^M^dz.-^M^dZz=QAC-^--QBC-^-. <42а)
. ' * ..
Техника построений при решении конкретной задачи достаточно проста и
заключается в следующем (фиг. 443): /
1. Строим балку в масштабе а см/мм.
2. Строим эпюру моментов в масштабе р кгсм/мм. ,
3. В исследуемом сечении С восставляем к оси балки перпендикуляр Сг.
4. Проводим ряд горизонтальных прямых рр, оо, ..., kk. <
5. Точки пересечения ръ оь п19 . .., этих прямых с вертикалью Сг
единяем лучами с опорами балки.Л и В. . , , .
6. Из точек р, о, и, ..., k проводим прямые, перпендикулярные косцбалки^
до пересечения с проведенными лучами в точках р , of, п.k'. ; ,
7. Соединяем найденные точки р', о', и',..., k' и получаем перестроенную
эпюру изгибающих моментов. . ;
8. Определяем площадь перестроенной эпюры в мм2:
Q мм2 = QACQgC.
9. Искомые прогиб и угол поворота в сечении С
1 ab xv л •
Ve=EJ~T^a^’’ ...
= 1^ДС а@зс1
В обе формулы длины а, b и I вносятся в см и площади 2, 2лс, 2ВС
в мм2. ‘ ' 4 г - ’
, При определении прогиба на консоли (фиг. 444) излом: единичной эпюры
происходит на внутренней опоре В. Поэтому основной перпендикуляр прихо-
33*
516 Методы расчета на жесткость о области малых перемещений
дится восставлять в точке В и на него выносить ординаты этносы моментов.
Лучи проводятся из опоры А и исследуемого сечения С консоли.
Все остальное построение ведется, как было изложено выше. Искомый прогиб
vc = f^CAr ““ °Ф-
Обобщение изложенного способа С. Д. Пономарева на балки переменной
жесткости не представляет затруднений [28]. Действительно, рассмотрим опре-
деление прогиба посередине пролета двухопорной балки переменного сечения
(фиг. 445, а). Описанным выше способом перестраиваем эпюру изгибающих
моментов от заданных нагрузок (фиг. 445, fr). Далее разбиваем площадь пере-
строенной эпюры на ряд частей, применительно к характеру изменения сечений
бруса. Основания частей эпюры обозначим через АК, KG, GE и т. д. Обозначим
соответственно площади частей Qp й2, 28,.. . и т. д., а моменты инерции
сечений балки в местах приблизительного положения центра тяжести этих пло-
щадей через Jp J2, J3,... и т. д.
Тогда искомое перемещение, т. е. прогиб в середине пролета (фиг. 445, в)
’ = 4 [Д+-&; + > + •]* «За>
где а см/мм — масштаб длины балки и £ кгсм 1мм — масштаб ординат эпюры
моментов.
Изложенный способ может быть перенесен и на случай упруго-пластического
изгиба [59].
Б. Способ Д. А. Попова [64], [65]
Второй графический метод определения перемещений при изгибе, основанный
на использовании интеграла Мора, принадлежит А. А. Попову. Он базируется
на введении понятия об ортогональных фокусах эпюры М от заданной нагрузки
и позволяет исключительно просто и удобно графически построить упругую
линию балки. *
Рассмотрим участок балки АВ, на протяжении которого эпюра изгибающих
моментов Mt от единичной нагрузки имеет вид треугольника с нулевой ордина-
той в точке В, а другая эпюра — эпюра изгибающих моментов М от заданной
нагрузки — ограничена некоторой кривой линией AiBl (фиг. 446). Перестроим
эпюру Afj, откладывая ее ординаты вверх от соответствующих точек, лежащих
на кривой АУВУ, ограничивающей эпюру 7И. Полученную фигуру, ограниченную
двумя кривыми АуВу и А'Ва и вертикально заштрихованную на чертеже^ разрежем
на элементарные полоски шириной dz. Площадь такой полоски равна ^2 =
— N[xdz. Заменим каждую элементарную полоску вектором (с модулем dS) и
расположим все эти векторы перпендикулярно плоскости чертежа вдоль кри-
вой AtBx, ограничивающей эпюру Л4. Центр полученной системы параллельных
векторов обозначим через Флв. и назовем эту точку левым фокусом эпюры М.
Так как для всех элементарных площадок dQ их абсциссы z при перестроении
и повороте остались без изменения, то очевидно, что абсцисса фокуса Флв
совпадает с абсциссой центра тяжести первоначальной эпюры М19 т. е.. она
равна -g-Z, где I — длина рассматриваемого участка балки. Ординату фокуса Фдв
обозначим через fAB и назовем ее левой фокальной ординатой. Тогда интеграл
Мора можно представить в следуюшем виде:
jMA^dz = jMdQ = QfAB
Здесь 2 = уЛ4дв/—площадь треугольной эпюры Mt;
QfAB — статический момент этой площади относительно гори-
зонтальной оси эпюры Л4.
Графические- методы определения перемещений
517
518
Методы расчета, на жесткость в области 'малых перемещений
Итак, интеграл Мора в рассматриваемом случае
MMxdZ = (± M'ABi)fAR,
I
J
(44)
где fAB— левая фокальная ордината.
Если эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки имеет вид тре-
угольника АВВ с нулевой ординатой в точке Л, то аналогично
J MM^dz = MABl} f ВА, (44а)
где /вл — правая фокальная орди-
ната, т. е. ордината правого фокуса
Фвл, определяемого аналогично ле-
вому фокусу ФАВ с помощью пере-
строения единичной эпюры АВВ'.
В общем случае, когда единичная
эпюра на участке АВ имеет вид тра-
пеции с концевыми ординатами МА^
и МВА, ее всегда можно представить
в виде двух треугольников А А'В и
ВВ'А, и, следовательно, интеграл
Мора в этом общем случае
J MM^dz = [MABfAB
+ M'BAfBA]. (45)
С
Заметим, что полученное выраже-
ние представляет собой своеобразное
графо-аналитическое истолкование
интеграла Мора аналогично извест-
ному правилу Верещагина. Для прак-
тического применения формулы (45)
необходимо иметь возможность про-
стого и удобного определения фо-
кальных ординат fAB и fBA. Общий
метод определения фокальных орди-
нат будет рассмотрен несколько
ниже.
Если точки Фдд и Фвд соединить прямой, то можно показать [64], что
сумма квадратов разностей ординат эпюры М и указанной прямой имеет мини-
мальное значение (по сравнению с каким-либо иными прямыми). Другими сло-
вами, прямая шп (фиг. 446), проходящая через левый й правый фокусы, наи-
лучшим образом апроксимирует кривую АгВ19 ограничивающую эпюру Л4. Этр
обстоятельство позволяет назвать рассматриваемую прямую спрямляющей линией
эпюры Л4. Если эпюра М ограничена не кривой АгВ19 а некоторой прямой, то
оба фокуса Фдв и ФВА расположены на этой линии, и спрямляющая прямая гпп
совпадает с ней.
Последнее обстоятельство очевидно, так как в рассматриваемом частном
случае все элементарные векторы d& = Mxdz, расположенные перпендикулярно
чертежу, находятся в одной плоскости.
Понятие о спрямляющей линии является одним из основных понятий в методе
графического построения упругой линии по А. А. Попову.
Графические методы определения перемещений
519
Подстановка в выражение (44) значения
М^Мав^-,
т. е. уравнения прямой А’В, дает
I
(46)
Аналогично легко получить выражение и для правой фокальной ординаты:
fBA = ^?- (46а)
В формулах (46) и (46а)
2 — площадь эпюры М и р —
абсцисса центра тяжести этой
площади.
Полученные выражения (46)
и (46а) для • фокальных орди-
нат дают возможность опреде-
лить положение спрямляющей
линии тп в любом конкрет-
ном случае. В качестве при-
мера рассмотрим построение
спрямляющей линии в том слу-
чае, когда HcL отрезке АВ = I
эпюра изгибающих моментов
ограничена ломаной линией АСС^В с разрывом в середине (фиг. 447).
Статические моменты площади эпюры М относительно вертикальных осей,
проходящих через точки А и В,

и, следовательно, фокальные ординаты равны
+ и /ва = у (^св+ у ^са) •
Теперь легко построить левый и правый фокусы и провести через них спрям-
ляющую линию тп. Концевые ординаты Нт и Нп спрямляющей линии можно
определить из рассмотрения соответствующих треугольников, образованных
линиями тп, тхе и nxk (фиг. 447):
= 2/ав /ba ~ "2 ^са И Нп = 2f ВА f АВ=— Мсв.
Эти соотношения еще более облегчают построение спрямляющей линии.
Существенно отметить, что заштрихованные площади, расположенные сверху и снизу
от спрямляющей прямой тп, равны между собой (это замечание справедливо не только
для случая, представленного на фиг. 447, но и в самом общем случае).
На фиг. 448 приведен ряд характерных примеров (а, б, в, г) расположения спрям-
ляющей линии тп для эпюр, изгибающих моментов различных очертаний. Для каждого
из примеров построение спрямляющей линий легко уяснить из непосредственного рас-
смотрения соответствующей фигуры.
Если на участке I (фиг. 44)) эпюра М изображается кривой произвольного вида,
то в этом общем случае приближенное построение спрямляющей линии производится
следующим образом. В зависимости, от требуемой точности разбиваем длину участка на
равные части, например, на четыре, и в пределах каждой части приближенно заменяем
кривую спрямляющей прямой — отрезки 12, 34, 56 и 78 на* фиг. 449. При проведении
520
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
этих спрямляющих линий весьма полезным оказывается сделанное вып1е замечание
о равенстве заштрихованных площадей, расположенных по обе стороны от спрямляющей
прямой. Далее проводим попарное «сложение" полученных спрямляющих линий, т. е.
спрямляем ломаную 1234 прямой и ломаную 5678 прямой т2п2. Про этом полностью
используется построение спрямляющей прямой, указанное на фиг 447. Наконец, с по-
мощью того же самого построения заменяем ломаную обще# спрямляющей
линией тп всего участка I.
На общей спрямляющей линии тп всего участка АВ = / наносим фокусы ФЛВ
и Фдд» т. е. точки с абсциссами -у и и определяем их ординаты fBA и fBA
(фокальные ординаты).
Рассмотренное построение спрямляющей линии тп и фокальных ординат fAB
nfBA позволяет легко вычислить интеграл Мора для участка АВ по формуле (45).
Графические методы определения перемещений
521
Вернемся к рассмотрению участка АВ = I (см. фиг. 446) некоторой балки,
перемещения которой подлежат определению. Заменяя действие смежных участков
изгибающими моментами МАВ и МВА, можно выделенный участок рассматри-
вать как самостоятельную двухопорную балку (фиг. 450, а). Определим верти-
кальный отрезок ВВ1, отсекаемый касательной, проведенной в точке А упругой
линии. Учитывая малость рассматриваемых перемещений, из треугольника АВВ*
найдем, что
ВВ} = V-
Для вычисления угла поворо-
та приложим в сечении А еди-
ничный момент и построим соот-
ветствующую эпюру изгибающих
моментов (фиг. 450, 6).
Учитывая выражение (44), имеем
If Z2
^^\dz — 2gjfAB
i
и, следовательно, искомый отрезок
Z2
= ав — Ав* (47)
где
Z2
2EJ'
Аналогичным образом напи-
шем выражение и для отрезка AAlf
отсекаемого касательной, прове-
денной в точке В:
= 2£j f ва = frlBа- (48)
Полученные отрезки ААг и ВВ} носят название фокальных отрезков. Они
определяют направления двух касательных, проведенных к упругой линии бруса
в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии Z. Фокальные отрезки, если
принять для некоторое числовое значение (например, 2, 1, х/2 и т. д.), позво-
ляют с исключительной простотой и достаточной точностью построить графи-
чески упругую линию.
Пример 1. Построить графически упругую линию двухопорной балки АВ, нагружен-
ной в середине пролета моментом W (фиг 451).
Строим эпюру изгибающих моментов М, Разбиваем пролет балки на некоторое число
равных частей; например, четыре. В рассматриваемом примере спрямляющая линия
в пределах каждого деления совпадает с эпюрой М. Для каждой части отмечаем левый
ц правый фокусы (для первого деления это точки 12 и 21) и измеряем соответствующие
фокальные ординаты.
Вычерчивание упругой линии начинается с проведения прямой 12' произвольно вы-
бранного направления, удобного для выполнения построений. Эта прямая будет первой
касательной к упругой линии в точке 7. Откладываем от точки 1 вниз отрезок 1Г,
равный Tq/2i» а от точки 2' вверх отрезок 2'2, равный iq/12 Здесь /21 и /12 — соответственно
правая и левая фокальные ординаты участка /2. При выполнении построения принимаем,
например, что Tt = 1 Соединяя точки Г и 2, получаем вторую касательную к упругой
линии в точке 2. Итак, упругая линия участка 12 балки проходит через точки 7 и 2 и
касательна к прямым 12' и 7'2. Переходим к построению упругой линии следующего
участка 23. Продолжаем линию 7'2 до пересечения в точке 3' с вертикалью. Отклады-
ваем отрезки 22" = /82 (вниз/, 3'3 = fa (вверх) и проводим прямую 2”3. Упругая линия
участка 23 балки проходит через точки 2 и 3 и касательна к прямым 23' и 2"3.
На участке 34 эпюра изгибающих моментов и, следовательно, и фокальные орди-
наты /34 и /43 отрицательны, поэтому продолжаем линию 2"3 до точки 4* и откладываем
отрезки 33” = /43 (вверх) и 4'4= /34 (вниз). Упругая линия этого участка определяется
точками 3 и 4 и касательными 34' и 3*4. Для построения упругой линии последнего
участка 45 продолжаем линию 3'4 до точки 5' и откладываем отрезки 44” = /в4 :(нверх>
522
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
I
и 5'5 /46 (вниз). Упругая линия определяется точками 4 и 5 и касательными 45' и 4”5.
Итак при положительных фокальных ординатах fik и fki левый фокальный отрезок
откладываем вниз, а правый фокальный отрезок —вверх; при отрицательных фокаль-
ных отрезках откладывается вверх, a t\fik — вниз.
Построенная указанным способом упругая линия изображена на фиг. 451 пунктиром.
Замыкающая упругой линии (ось отсчета) проводится через точки 1 и 5, так как
в этих точках прогибы равны нулю (опоры А и В балки). Ординаты v* упругой линии
в масштабе эпюры изгибающих моментов (?] = 1) измеряются вертикальными отрезками,
заключенными между осью отсчета 15 й построенной кривой 12345. При определении
действительных значений прогибов у ординаты V*., выраженные в кгсм, необходимо умно-
жить на действительное значение коэффициента выраженное в —, т. е.
/С 2
Z2
w = v*2Z7' (49)
* 1
Так. для точки 2 упругой линии по чертежу ордината v2 и, следовательно,
действительное значение прогиба балки в этом месте
Ж Z2 W2
v*~ 4 2EJ ~ »£J ‘
Замыкающая 15 проходит через точку 3, и, как и следовало ожидать, прогиб
va в °.
Пример 2. Построить графически упругую линию двухопорной балки с консолью*
несущей равномерно распределенную нагрузку q кг!см (фип 452).
Графические методы определения перемещений
523
Строим эпюру изгибающих моментов Л4 и разбиваем всю длину АВ балки на три
равные части. Заменяем эпюру изгибающих моментов для каждой части балки спрямляю-
щей линией (линии т2п3 тАп^). На спрямляющих линиях наносим левые и правые
фокусы — точки 12 и 21, 23 и 32, 34 и 43 — и измеряем соответствующие фокальные
ординаты.
Дальнейшее построение упругой линии аналогично рассмотренному выше в примере 1,
за исключением того, что здесь взято значение == 2.
Некоторую особенность представляет построение упругой линии на участке 23, где
эпюра изгибающих моментов проходит через нуль и, следовательно, упругая линия имеет
точку перегиба. На Этом участке левая фокальная ордината /2з > 0 и правая /з2<0*
Следовательно, левый фокальный отрезок 22" = y]/32 откладывается от точки 2 вверх и
правый отрезок 3'3=r\f23 откладывается от точки 3' также вверх Упругая линия этого
участка проходит через точки 2 и 3 и касательна к прямым 23' и 2"3. При ее построении
полезно снести нулевую точку эпюры М и определить тем самым положение по гори-
зонтали точки перегиба упругой линии
Замыкающая упругой линии проводится через точки 1 и 3 (опоры балки). Действи-
тельные значения прогибов v выражаются через ординаты о* -упругой линии соотно-
шением
1 Z2
- '• с==Т°*2ёУ (50)
Коэффициент перед правой частью объясняется тем, что при построении фокаль-
ных отрезков было принято значение 7] = 2.
524 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
§ 6. ИЗГИБ БАЛОК, ЛЕЖАЩИХ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ'
Проблема расчета балок, лежащих>на упругом основании, возникла впервые
при проектировании верхнего строения железнодорожного пути. Дальнейшая
разработка этой проблемы проводилась в связи с расчетом железобетонных фун-
даментов мостов и зданий, днищ доков и ряда других инженерных и, в част-
ности, гидротехнических сооружений.
Выдающийся инженер В. Г. Шухов в двух своих работах 1902 и 1903 гг.,
используя теорию балок на упругом основании, дал основы расчета на прочность
нефтеналивных судов [100], 1101]. В весьма интересном исследовании, выпол-
ненном в 1904 г., Н. Е. Жуковский [26] продолжил и развил работы В. Г. Шу-
хова. В частности, им были рассмотрены расчеты на прочность вертикального
цилиндрического резервуара при действии гидростатического давления и цилин-
дрической огневой трубы парового котла. В этом исследовании Н. Е. Жуков-
ский близко подходит к фундаментальным функциям Н. П. Пузыревского и
А. Н. Крылова, получившим исключительное значение при дальнейшем развитии
теории расчета балок на упругом основании.
Pf \Рг
Фиг. 453.
В фундаментальной работе И. Г. Бубнова [10], опубликованной в 1914 г.,
теория балок на упругом основании была применена к расчету судовы!х кон-
струкций, а именно подкрепляющих балок для плоских перекрытий.
В общем машиностроении теория балок на упругом основании в настоящее время
используется для расчета на изгиб машинных валов, лежащих в длинных под-
шипниках, и ряда других элементов различных конструкций, взаимодействующих
с упругим основанием. <
Интересное применение теории упругого основания к расчету шпинделей
станков, с учетом их взаимодействия с опорами, изложено в работе Д. Н. Реше-
това [69]. Расчет на изгиб машинных валов, как балок на упругом основании,
произведен в работе С. И. Блинника [8]. Справочный материал по аналогичному
расчету коленчатых валов кузнечно-прессовых машин дан А. Ф. Нистратовым
[105].
Использование теории упругого основания для исследования напряжений и
перемещений в гильзе авиамотора произведено Н. Д. Тарабасовым [85]. Иссле-
дование прочности коллекторов с бандажными кольцами, применяемых в быстро-
ходных электрических машинах постоянного тока, выполнено Б. Н. Красов-
ским [41]. В его работе дан числовой пример расчета коллектора турбовозбудителя
с тремя бандажными кольцами.
Применение теории балок, лежащих на упругом основании, к расчету бара-
банов грузоподъемных машин дано Б. Л. Давыдовым [22].
Представим себе, что рассматриваемая балка лежит на сплошном основании
(например, бетонном), способном деформироваться и притом обладающим свой-
ством упругости (фиг. 453).
Примем гипотезу о том, что реакция основания на балку в произвольном
поперечном сечении пропорциональна ее упругой осадки, т. е. прогибу в том же
сечении (фиг. 454). Также будем предполагать, что связи, имеющие место
между основанием и балкой, двухсторонние. Другими словами, будем предпо-
лагать, что основание связано с балкой таким образом, что силы их взаимодей-
ствия могут быть как „сжимающими" (балка давит на основание), так и „растя-
гивающими" (балка приподнимает основание).
Согласно введенной гипотезе реакция на единицу площади подошвы балки
принимается равной где kQ — коэффициент пропорциональности, называв-
Изгиб балок, лежащих на упругом основании
525
мый коэффициентом упругой податливости основания, и v — прогиб в рассматри-
ваемом сечении балки.
Выраженная в кг/см3 величина kQ показывает число килограммов нагрузки
на один квадратный сантиметр основания, при котором осадка достигает вели-
чины одного сантиметра.
В табл. 39 приведены ориентировочные значения коэффициента kQ для неко-
торых типов оснований [38].
Перейдем к рассмотрению изгиба балок, лежащих на упругом основании
в предположении, что одна из главных центральных осей поперечного сечения
перпендикулярна плоскости изгиба балки.
Фиг. 454.
Используем известные зависимости между изгибающим моментом Л4, попереч-
ной силой Q и интенсивностью р кг/см внешних распределенных сил, действую-
щих на балку:
сРМ dQ ( ч
Таблица 39
Ориентировочные значения коэффициентов упругой податливости оснований [38]
Материал основания ко В KtjCM3
Песок свеженасыпанный Глина мокрая, размягченная 0,1— 0,5
Песок слежавшийся Гравий насыпной Глина влажная 0,5—5
Песок и гравий плотно слежавшийся Щебе 1ь Глина малой влажности 5—10
Грунт песчано-глинистый, искусственно уплотненный Глина твердая 10—20
Известняк, песчаник, мерзлота 20—100
Твердая скала Кирпич Бутовая кладка Бетон и железобетон 100 1500 400— 500 500- 600 800—1500
526
Методы расчета на жесткость ’ в области малых перемещений
Представим дифференциальное уравнение упругой линии балки
(положительное направление оси у взято вниз) в следующем виде:
SOS) <51>
Для балок, лежащих на упругом основании, величина p(z) складывается из
интенсивности заданной распределенной нагрузки q(z) и интенсивности реактив-
ных сил со стороны упругого основания kQvb, где b — ширина подошвы балки,
т. е. размер подошвы, перпендикулярный к плоскости изгиба. Таким образом,
p(z) = q(z)-~ kQvb. (52)
Подставляя значение p(z) в зависимость (51), приходим к следующему диф-
ференциальному уравнению упругой линии для балок, лежащих на упругом осно-
вании:
+ = (53)
где k = kQb — коэффициент постели, представляющий собой реактивную силу на
единицу длины балки при прогибе, равном единице.
В общем случае величины EJ и k*могут изменяться по длине балки, и урав-
нение (53) ‘ представляет собой дифференциальное уравнение ' с переменными
коэффициентами.
В дальнейшем будем предполагать, что упругое основание по всей длине
балки однородно, а ширина постели b и жесткость EJ балки постоянны. В этом
случае дифференциальное уравнение упругой линии (53) обращается в уравнение
с постоянными коэффициентами
+ = * (54)
и его интегрирование принципиально не представляет каких-либо затруднений.
Однако практическое решение уравнения (54) в инженерной практике сильно}
осложняется тем, что прерывность поперечной нагрузки, наличие сосредоточен-
ных сил и сосредоточенных моментов приводит к необходимости определения!
весьма большого числа постоянных интегрирования (число постоянных интегри-i
рования в 4 раза превышает количество участков упругой линии).
Рациональный метод интегрирования дифференциального уравнения (54), путем
введения так называемых повторяющихся или фундаментальных функций, был
предложен в 1923 г. Н. П. Пузыревским [67]. В 1929 г. П. Ф. Папкович дал
оригинальное изложение этого метода и широко использовал его для расчетов!
.перекрестных связей в судостроении 156].
В 1930 г. появилась классическая работа акад. А. Н. Крылова о расчете
балок как постоянного, так и переменного сечения, лежащих на упругом осно-
вании [42]. Используя общий метод Коши для интегрирования линейных диф-;
ференциальцых уравнений с постоянными коэффициентами, А. Н. Крылов совер-
шенно устранил трудности, связанные с определением постоянных интегрирования,
и сделал расчет балок постоянного сечения на упругом основании практически
выполнимым даже при весьма сложном сочетании нагрузок. 1
Значительный интерес представляют также предложенные А. Н. Крыловым
два метода расчета балок переменного сечения: метод последовательных прибли-
жений для балки переменного профиля, но постоянной ширины опорной панели^
и метод численного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии,’
при переменном профиле и переменной ширине опорной панели. (
В качестве приложения предложенных методов был рассмотрен расчет пере-*
крестных связей и набора судового днища.
Изгиб балок, лежащих на упругом основании
527
Для популяризации основного метода А. Н. Крылова (для балок постоянного
оечения) большое значение имела работа М. М. Филоненко-Бородича [95], имею-
щая цель довести этот метод до инженера-конструктора путем некоторого изме-
нения изложения вопроса.
Дальнейшее развитие практических методов расчета балок на упругом осно-
вании, основанных на гипотезе о линейной зависимости между интенсивностью
реактивных сил основания и величиной прогиба, дано в работах А. А. Уманского
[88], [89], В. А. Киселева [34] и ряда других исследователей.
Обратимся к изложению основного метода А. Н. Крылова.
Введем обозначение
АГ k
т = 1/ тку
V 4EJ
(55)
и заменим независимую переменную z безразмерной или относительной абсциссой
С = mz. (56)
Тогда, замечая, что
приведен дифференциальное уравнение (54) к виду
^ + 4® = /(Q, (57)
где
, /(0 = 4?^ (57а)
Как известно, общее решение линейного дифференциального уравнения
с. правой частью образуется из общего решения соответствующего однородного
уравнения и частного решения уравнения с правой частью.
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
-§- + 4^ = 0. (58)
Характеристическое уравнение вида
гА+4 = 0
имеет четыре корня:
/*1=1 +Z; 1 — Z;
гз= — 1 Z; г4 = — 1 — I,
которым соответствуют следующие четыре частных решения уравнения (58)
ег^ == ес • , ег^ = 1
; erj. = г-с. ‘ ег& = е~^
Заменим ^показательные функции с мнимыми показателями круговыми (триго-
нометрическими) функциями
,t , . ек = cos С -4 i:sjn С;
e~iz = cos С — i sin С,
а показательные функции ,с ’ вещественными показателями — гиперболическими
функциями г '
ec = chC4-shC;
e~c = chC — shС. л । j , ;
528
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
I
Это позволяет представить частные решения в виде попарных произведений
круговых и гиперболических функций:
ch С cos С, ch С sin С, shCcosC, sh С sin С (60)
Частные решения Vv l/2, I/3, V4 однородного уравнения целесообразно
выбирать таким образом, чтобы они обладали единичной матрицей, т. е. удо-
влетворяли следующим начальным условиям (так называемые условия Коши):
1/Д0)—1; 1/1(0) = 0; l/J(0) = 0; 1/Г(0) = 0;
У2(0) = 0; 1/2(0)= 1; У<2(0) = 0; 1/^0)=0;
1/3(0) = 0; Уз(0) = 0; Кз(0) = 1; УГ (0) = 0;
1/4(0) = 0; 1/4(0) = 0; 1/4(6) = 0; 1/7(0) = 1.
Непосредственно решения (60) не удовлетворяют начальным условиям (61),
поэтому используем их линейные комбинации, обладающие необходимыми
свойствами:
и, (0 « ch С cos С; у2(0 = 4" lch ^sin С +sh tcos Cl; V8(C) = 4-shCSinC; (62)
V4 (C) [ch C sin C — sh C cos C].
Полученные четыре функции носят название повторяющихся функций Пузы-
ревского или фундаментальных функций Крылова. Действительно, непосред-
ственным вычислением легко убедиться, что при дифференцировании этих функ-
ций получаются функции того же вида, записанные лишь в другом порядке (см.
табл. 40). Свойство повторяемости функций (62) при дифференцировании делает
их весьма удобными в приложениях1. *
Таблица 40
Фундаментальные функции для балки на упругом основании
и их последовательные производные
u V» и‘‘ v1»" yiv v *
1 vt -414 -4Va -4Vt -4Vt
2 V2 Vi -4V4 -4V9 -4Vt
3 V2 Vx —4V4 -4V3
4 V9 V* Vi —4V 4
При их использовании общий интеграл уравнения (58) может быть пред-
ставлен в виде
(0 + c2t/2(C) + с31/8 (С) + C4V4 (0, (63)
где С,, С2, £3, С4 — постоянные интегрирования.
1 Значения фундаментальных функций в зависимости от безразмерной координаты С
приведены в приложении к т. I. , ... ~ .
Изгиб балок, лежащих на упругом основании
529
Перейдем теперь к отысканию частного решения неоднородного уравне-
ния (57). Покажем, что частное решение полного (с правой частью) уравне-
ния (57) может быть представлено в виде
= (64)
где/(/)—правая часть уравнения (57) с соответствующей заменой С через
вспомогательное переменное t, а VЛ(С— t) — одна из фундаментальных функ-
ций (62), также с заменой переменного С на новое переменное (С — Z). Выясним,
каким условиям должна удовлетворять введенная в рассмотрение фундамен-
тальная функция Ул(С).
Составим выражение для четвертой производной от V(C) по С. При диффе-
ренцировании V (С) необходимо учесть, что переменная С, с одной стороны,
является верхним пределом интеграла, а с другой — входит в качестве пара-
метра в подинтегральное выражение.
Как известно,, производная по у от определенного интеграла
j ? (у, X}dx>
в котором и подинтегральная функция и пределы интегрирования зависят от у,
выражается следующим образом:
x)dx = ^(y, Xj-^--(65)
Четырехкратное последовательное применение формулы дифференцирования
определенного интеграла по параметру к зависимости (64) приводит к следую-
щему выражению для искомой производной: , ,
v,v(C) vn (0) Г (С) 4- v'n (0) Г (С) 4- v’n (0) У' (С) +
+ V* (0) / (С) + jViv (С - о f (t) dt.
Подстановка значений V (С) и yIV (С) в уравнение (57) и группировка членов
дают
[и; (0) + v; (0)] f (С) + [vn (0) 4- V„ (0)] f (0 + v'n f" (C) +
4- vn (0) Г-(C) 4- J [Viv (C -1) 4- 4va (C - o] f(t)dt=f (C).
о
Последний член левой части тождественно равен нулю, так как по усло-
вию Vл(С) есть один из частных интегралов однородного уравнения (58). Для
того чтобы совокупность остальных членов левой части тождественно обраща-
лась в /(С), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
Уя(0) + У«(0)=1;
V\(0)4-l<(0) = 0;
1<(0) = 0;
V„(0) = 0.
Таким образом, УЯ(С) есть частное решение однородного уравнения (58),
удовлетворяющее начальным условиям:
1/л(0) = 0; 1<(0) = 0; У;(0) = 0; УГ(0) = 1. (66)
34 Пономарев и др. 407
530
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Но эти условия полностью совпадают с четвертой строкой условий ^Кощи (61),
поэтому . f
Ve(C) = V4(Q = -1-IchCsinC —shCcosC],
и частное решение (64) неоднородного уравнения (57) принимает вид
с
V (С) = J V4 (С — /)/(/) dt. (67)
, Опираясь на зависимость (67), обратимся к составлению конкретных частных
решений, соответствующих наиболее распространенным видам поперечной на-
грузки на балку.
* Случай 1. Сплошная.равномерная нагрузка интенсивности q по всей длине
балки /. ; .
В этом случае правая часть уравнения (57) имеет вид:
/(C)=-|’^ = const
и искомое частное решение выражается следующим образом:
' ’ с , ’ ’
Q
Используя табл. 40, имеем, что
с .
И(С) = 4-1/,(С-0 =^-[l/,(0)-V.(C)]
I)
и окончательно
v(C) = -f- [1- VMQ1- (68)
Таким образом, изогнутая ось балки, лежащей на упругом основании и не-
сущей равномерно распределенную нагрузку q кг1см, выражается следующим
уравнением:
V (С) = CjV, (Q +'С21/2 (0 4- С8И3 (С) + C4V4 (С) + f (1 - V, (Q),
где безразмерная абсцисса С изменяется в интерваде
0 < С < к = nil*
Величины постоянных интегрирования С2, С3, С4 определяются в зави-
симости от характера крепления концов балки (см. ниже).
Случай 2. Сплошная равномерная нагрузка интенсивности q icejcM на
участке от z=ax до г —я2 (фиг. 455) йли в безразмерных координатах от
С = тах до С ==т аа — та^ < >
Изги& балок, Лежащих на упругом основании
531
Указанная нагрузка разделяет балку на три участка, для которых .правая
часть дифференциального уравнения упругой линии имеет следующие значения:
/ (Q = 0 при 0 < С < (Xj;
f (С) = q = const при <Xj < £ < а2;
/(С) = 0 при а2 < Z < X, где k = ml.
Используя интегральное выражение (67) для искомого частного решения
неоднородного уравнения (57), получаем для первого участка, т. е. в интер-
вале 0<£< а,, • и .
с
’ ....> >. ) ; i . . . . . х
. ( Ji'. '
Для второго участку, т. е. в интервале at < С < а2,
V<&=^V4(l-t)f(t)dt
£ — t)f(f)dt.
В нервом интеграле / (t) = 0, а во втором / (/) — — const, следовательно:
, . ' . j . с - • — ’-i
V(O = ^-(,V4(C-/)^ = -f-n-V1(C-ai)]. J
t) .A t

Для третьего участка, т. е. в интервале а2 < С < X,
v (0 = ?V4 (С -t) f (/) dt + ]V4 (С -t) f (t) dt + f V4AC -1) f (t)dt.
, Q k ’ a. a.a
В первом и третьем интегралах /(/) = 0, а во втором
4
’ * f(t) = — q= const,
поэтому
Og
v -“? J v*K -Z) dt==~r[V- « - «i)i
( a,
или
v (0 = -f- [1 - и. (C-a,)][1 - v, (C-a,)].
Таким образом, для случая сплошной равномерной нагрузки на участке от
Ь = =; та^ да Ст=^2 = та2 частное решение V (С) имеет следующий вид:
0<C<ai . . . V (С) = 0;
, а, < С.< аа • • • V (Ч) = [1 - I/, (С - а,)];
аа<С<Х. . . И(0=-|-[1 -И,(С-а,)]--2-Ц-l/f(C-a2)].
(69)
Полученные выражения для > частного интеграла V (С) удовлетворяют усло-
виям сопряжения трёх отдельных участков балки, иа которые она разделяется
прерывностью поперечной нагрузки. Эти условия сопряжения заключаются
в требовании, чтобы: ‘ .
а) линейные перемещения tr,
34*
532
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
6) угловые перемещения
dz
в) изгибающие моменты АЛ С 1
г) поперечные силы Q = —EJ d<tV 4 CJ dz»
в смежных сечениях, до и после места сопряжения участков балки, были оди-
наковы.
В удовлетворении указанных условий легко убедиться, сравнивая значения
функции V (С) и ее первых трех производных до и после места сопряжения
участков.
Итак, изогнутая ось бал-
ки в рассматриваемом слу-
чае может быть выражена
следующим уравнением:
^(O=[C1VI(C> +
4 (Ок>о +
-4И-И,(С-а)к>^.
Первые четыре слагае-
мых, объединенные квадрат-
ной скобкой, используются
при С > 0, т. е. для всех
трех участков. Пятое сла-
гаемое включается при С >ап т. е. для второго и третьего участков. Шестое сла-
гаемое относится только к третьему участку (С > а2).
Весьма существенно, что постоянные интегрирования С2, С8, С4 одина-
ковы для всех трех участков и, следовательно, при расчете балки подлежат
определению всего только четыре постоянных. При использовании метода
А. Н. Крылова это обстоятельство остается в силе, независимо от числа участи
ков, на которые разделяет балку прерывность поперечной нагрузки.
Случай 3. Сосредоточенная сила Р (фиг. 456,00, приложенная в точке
z = a или а = та (безразмерная или относительная абсцисса).
Будем рассматривать сосредоточенную силу Р как предел распределенной
нагрузки интенсивности q на участке от z — а до ^ = а-рДа при условии,
что q^a — P и ДаО (фиг. 456, £).
Обратимся к преобразованию частного решения V (С), даваемого форму-
лами (69) для рассматриваемого случая. Для первого участка, т. е. в интер-
вале 0<С<а, частное решение 1/(С) = 0. Второй участок, соответствующий
интервалу а<С<а-|-Да, в пределе при Да = 0 исчезает.
Для третьего участка а + Да < С < к частное решение V (С) можно пред-
ставить в виде
V(C) = -^--^-[V1(C-a-Aa)-V1(C-a)]>
при этом, переходя к пределу (Да->0) и замечая, что
q la = qmAa = mPt
Изгиб балок, лежащих на упругом основании
533
получим
= ^i(C-a) = ^V4(C-a).
Таким образом, в случае сосредоточенной силы Р, приложенной в сечении
С = а= та (фиг. 456, а), частное решение V (Q имеет следующий вид:
0<С<а.
V (С) = 0;
а<С<Х • . . 1/(С) = ^^У4(С —а).
(70)
Полученные выражения для
виям сопряжения двух участков
частного интеграла V (С) удовлетворяют усло-
балки, на которые она разделяется в месте
приложения сосредоточен*
ной силы. Эти условия со-
пряжения заключаются в
Требовании, чтобы линейные
перемещения, угловые йерё-
мещения и изгибающие мо-
менты до и после места со-
пряжения были одинаковы.
В удовлетворении указан-
ных условий легко убедить-
ся, сравнивая значения V (С)
и ее первых двух производ-
ных до и после места со-
пряжения участков.
Поперечная сила Q, в
отличие от случая 2, вместе
сопряжения претерпевает
скачок, равный приложен-
ной силе Р.
Действительно, скачок в величине поперечной силы определяется выражением
Р1 cFV I Р г 4тР d3 1Z
£J-d^\^a=EJ~k-^V*
[т (z — a)]
Используя табл. 40, легко показать, что искомый скачок равен приложен-
ной силе Р:
S L = EJ^m3V1 - а)]г=а = Р. . (71)
Итак, уравнение изогнутой оси балки, лежащей на упругом основании и
несущей сосредоточенную силу Р, приложенную в сечении С = а (или z = a),
имеет следующий вид:
v (С) = [CxVl 0) + C2V2 (С) + C3V3 (С) + (C)k>0 +
+ ^V4(C-a)| ' ‘
Первые четыре слагаемых, объединенные общей квадратной скобкой, исполь-
зуются для всей балки, а пятое слагаемое включается только при £ > а, т. е.
для второго участка.
Случай 4. Сосредоточенный момент Ж (фиг. 457, а), приложенный в
сечении z — a или С=^а=.та. Будем рассматривать сосредоточенный момент Ж
как момент пары сил Р с плечом Да (фиг. 457, б}.
Используем частное решение I/ (С), даваемое формулами (70). Для первого
участка 0 < С < а частное решение V (С) = 0. Второй участок, т. е. интервал
a < С < a + Да в пределе при Да = т• Да = 0 исчезает.
534
Методы расчета на жесткость в области малый перемещений
Для третьего участка, т. е. для интервала a Да < С < А, частное решение
можно представить в виде ,
V Q = —v4(t —а)-----------jpViC: — а — Да)
ИЛИ
v (С) = - 4г IЪ (С - а - Да) - V4 (С - а) ].
Переходя к пределу (Да-> 0) и замечая, что
РДа = PmAa = mW?,
ем
1, /г ч 4m2$R ч
V(Q--------57^(С-а) = -1-Уз(С-а).
Итак, в случае сосредоточенного момента
С = а= та (фиг. 457, а), частное решение V (С)
W?, приложенного в сечении
имеет следующий вид:
0<С<а ... V (С) = 0;
. а<С<Х ... у(С) = 1^ V8(C-a).
(72)
Полученные выражения для частного интеграла V (С) удовлетворяют усло-
виям сопряжения двух участков балки, на которые она разделяется в месте
приложения сосредоточенного момента. В рассматриваемом случае условия
сопряжения заключаются в требовании, чтобы линейные перемещения, угловые
перемещения и поперечные силы до и после точки сопряжения были одинаковы.
В удовлетворении указанных условий можно убедиться, сравнивая значения V (С),
первой и третьей производных до и после места сопряжения участков.
Изгибающий момент М в отличие от случаев 2 и 3 в точке сопряжения
претерпевает скачок, равный приложенному моменту W?.
Действительно, скачок в величине изгибающего момента определяется выра-
жением
Ej dzi\sl=a~EJ k B)1b=a* ,
Используя табл. 40, легко показать, что искомый скачок равен приложен-
ному моменту W?:
ei S L.=" '’Т- »)| L,73)
Изогнутая ось балки, лежащей на упругом основании и несущей сосредото-
ченный момент W?, приложенный в сечении С = а (или z = а), может быть
выражена следующим уравнением:
v(C)=|C,i/1(C) + cIv,(O + c.i's(O+CiV’i(QH>o +
+ ^Vs(C-a)|(>..
Первые четыре слагаемых, объединенные общей квадратной скобкой, исполь-
зуются для всей балки, а пятое слагаемое включается при С>а, т. е. только
для второго участка балки.
То обстоятельство, что дифференциальное уравнение изогнутой оси балки,
лежащей на упругом основании, является линейным, позволяет использовать
принцип наложения или независимости действия сил. Поэтому рассмотренные
выше четыре случая и различные их комбинации практически: почти исчерпы-
вают возможные варианты нагружения/
Изгиб балок, лежащих на упругом Основании
*535
Действительно представим себе, что балка, лежащая на упругом основании,
нагружена в сечении £ = (%, (или сосредоточенной силой Р, а в сечении
С = а2>а1 (или z = a2>a1) сосредоточенным моментом 2R (фиг. 458).
Тогда уравнение упругой линии рассматриваемой балки представится в сле-
дующем виде:
V (9 = К.и, (С) 4- с2 уг (0 4- c,v, (С) + с4и4 (9к>0 4-
. 4тР tr J . 4/wW J
4—V4 (С — at) 4---j- V3 (C — aa) .
K |4>ai ’ к h>ag
Слагаемое, учитывающее силу P, используется только при C>av а слагае-
мое, учитывающее момент SJJJ, — при С > а2.
Обратимся к рассмотрению определения постоянных интегрирования Ср С2,
<?з, С4 из краевых условий, т. е. условий крепления концов балки. Для балок,
лежащих на упругом основании, дифференциальное уравнение изогнутой оси
является дифференциальным уравнением четвертого порядка, и поэтому в каче-
стве краевых условий возможно использование не только линейных и угловых
перемещений, но также изгибающих моментов и* поперечных сил.
Для первого участка упругой линии, т. е. участка,. ближайшего к началу
координат, общее решение дифференциального уравнения
5? 4-4® = T?-const
и первые три производных от общего решения, т. е. выражения для линейных
перемещений, угловых перемещений, изгибающих моментов и поперечных сил,
имеют следующий вид:
V(0 = c.v, (9 4-С2V2(9 4-c3v3(9 4-c4i/4(9 4- -f- [1 - F.(9b
<0+(9 4-
+ c3v9^+ctvaQ + ^-v,^)]i . . . . . .
--------
= -EJm* [- 4CtV3 (Q - 4С2И4 (9 4- C3Vt (9 4" C4Va (9 4- V3 (9]
----EJm9 [- 4C.F, (9 - 4C2l/8 (9 - 4C8l/4(9 4- CtVt (9 4- Va (9] .
536
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Учитывая, что. фундаментальные функции А. Н. Крылова удовлетворяют
начальным условиям (61), получаем следующие выражения для рассматриваемых
геометрических и силовых величин в начале координат, т. е. при £ = 0:
; : ^(0)=^; &(0)=.mC2; |
М (0) = —EJmzC3; Q (0) = —£Vm3C4. J (74)
Рассмотрим следующие четыре варианта крепления левого конца балки:
1) свободный конец — краевыми условиями является обращение в нуль
изгибающего момента и поперечной силы, что дает
С3=0, С4 = 0; (75)
2) наложение угловой связи (подвижная втулка) — краевыми условиями
является обращение в нуль углового перемещения и поперечной силы, что дает
С2 = 0; С4 = 0; (76)
3) наложение линейной связи (шарнирная опора) — краевыми условиями
является обращение в нуль линейного перемещения и изгибающего момента,
т. е.
С1 = 0, С3 = 0; . (77)
4) наложение комбинированной линейно-угловой связи (неподвижная втулка
или заделка) — краевыми условиями является обращение в нуль линейного и
углового перемещений, т. е.
С1 = 0, С2 = 0. (78)
Таким образом, вне зависимости от вида связей, наложенных на балку в
начале координат (С = 0), определению подлежат только две постоянные инте-
грирования. Для этого используются условия крепления правого конца балки
(£=Х= mi), дающие еще два краевых условия. Таким образом* применение
метода А. Н. Крылова исключительно эффективно и сильно снижает затрату
труда по определению достоянных интегрирования.
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих изложенный выше способ
расчета балок постоянного сечения, лежащих на упругом основании. При рас-
смотрении примеров используем таблицу функций А. Н. Крылова, помещенную
в виде приложения в конце первого тома книги.
Пример 1. Деревянная балка длиной 1 = 4 м, лежащая на упругом основании и
имеющая по концам шарнирные опоры, нагружена в сечении а = 3 м сосредоточенной
силой Р — 4000 кг (фиг. 459). Сечение балки квадратное, со стороной b — 20 см. Модуль
упругости дерева Е = 10б кг/см2. Основание — плотно слежавшийся песок.
Решение. Пр табл. 39 коэффициент упругой податливости указанного основания
^о = 5 K'zjcM3. коэффициент постели k — kQb = 5-20 = 100кг]см\
Жесткость балки
Ь* 4 4
t EJ = Е = 10б 104 = у 10» кгсм*. .
Величина m по формуле (55)
V 4 / iqq 4 __ ।
4S-J/ /30-0.0117 3-
3
Безразмерная или относительная длина балки
X = ml = 0,0117 -400 = 4,68.
Относительная абсцисса места приложения силы Р
. . ; ... а 0,0117-300 = 3,51. ' -
Изгиб балок, лежащих на упругом основании
537
Относительная абсцисса текущего сечения С — mz. Используя формулу (70), заклю-
чаем, что упругая линия балки выражается следующим уравнением:
4тР |
* (0 = [G Vi (С) + С2У2 (С) + C3V3 (С) + С4У4 (С)]с>0 + — V, (С - а) |с>а- (79)
Как было показано выше, при наличии шарнирной опоры на левом конце балки
(С = 0) две постоянные интегрирования
С± = 0 и С?з == 0.
Для определения двух других постоянных С2 и С4 используем наличие шарнирной
опоры на правом конце балки, где обращаются в нуль прогиб и изгибающий момент.
Изгибающий момент М связан с уравнением упругой линии соотношением
v (к) = О и М (к) = 0
приводят к следующим двум уравнениям относительно постоянных С2 и С4:
* с, V2 (X) + С4 Vt (X) 4- + (X - а),.=и 0;
Са-4У4 (X) + CtVa (X) + + V» (X - а) = 0.
Коэффициент
4тР 4-0,0117.4000 ^АОО ,
По таблицам фундаментальных функций А. Н Крылова (см. приложение к т. I), за-
мечая, что К = 4,68 и к — а = 1,17, имеем
V2 (к) = -27,8032; V4 (к) = —13,0293;
у2 (к — а) == 1,0971; V4 (к — а) = 0,2646,
и система уравнений принимает вид:
—27,8032С2 — 13,0293С4 + 0,49533 = 0;
52,1172С2 — 27,8032С4 + 2,05377 = 0;
откуда
С2 = —0,008945 и С4 = 0,05710 .
Определим прогиб под силой Р, т. е. при С = а = 3,51.
По таблицам фундаментальных функций
(а) -10,8081 и V4 (а) = 2,3900,
и искомый прогиб (линейное перемещение)
v(a) = C2V2(«) + C4V4(7);
v (а) = -0,008945 (—10,8081) +0,05710-2,3900 = 0,09667 + 0,1365 « 0,23 ем.
Этот прогиб не является наибольшим, но достаточно к нему близок.
Наибольший изгибающий момент и^еет место при С = а = 3,51
М (а) = [—C2-4V< (а) + C4V2 (а)].
Коэффициент '
EJm2 = 10«.4 Ю4-0.01172= 1,825-10» кг. .........
О
538
Методы расчета fia жесткость в области малых Перемещений
i
Искомый изгибающий момент
М (а) = -1,825*105 [0,008945.4^2,390 + 0,05710.(—10,81)];
М (а) = 92 500 кгсм
и величина соответствующего напряжения
М(а) 92500 ' 2
а = - = -j-----« 69 кг/см*.
-L.9O3
Пример 2. Прямой деревянный брус прямоугольного сечения, нагруженный силой Р,
плавает на поверхности воды (фиг. 460). Рассмотреть изменение прогибов и изгибающих
моментов по длине бруса. Определить величину расчетного напряжения.
Размеры бруса: длина / «== 10 м, ширина b = 20 см, высота h = 10 см. Дерево — сосна
с удельным весом 0,6-10“3 кг/смг и модулем упругости £= 10б кг/см*. Нагрузка Р =
= 50 кг приложена к центру верхней плоскости бруса.
Решение. При отсутствии нагрузки Р плавающий брус находится под воздействием
двух противоположно направленных сил, равномерно распределенных по его длине,
р именно: собственного веса и сил гидро-
г статического давления жидкости
Фиг. 460.
на погруженное тело.
Так как удельный вес дерева со-
ставляет 0,6 удельного веса воды, то
для взаимного уравновешивания этих
сил брус должен быть погружен, в
воду на 0,6й = 6 сж.
В этом случае вес бруса уравно-
вешивается весом вытесненной жид-
кости. При этом брус не испытываем
изгиба и его ось остается прямоли-
нейной.
В отличие от сказанного, при действии нагрузки Р брус изгибается и дополнительные
силы гидростатического давления, уравновешивающие силу Р, распределяются подлине
бруса неравномерно. Интенсивность дополнительных реактивных сил со стороны жид-
кости в каком-либо сечении балки пропорциональна прогибу в этом сечении, т. е.
р кг/см = — ^bv,
_ *
где То = 10 3 кг/см3 — удельный вес воды. Другими словами, величина р представляет
собой вес жидкости, вытесняемой единицей длины бруса на перемещении, равном
прогибу
1 Существенно отметить, что если для бал кВ, лежащей на грунте, аналогичное выра-
жение для интенсивности реактивных сил
р кг/см — — kQbv
является гипотетическим, то для плавающего бруса соответствующее выражение р =
= — не связано с введением каких-либо гипотез и является следствием основных
законов гидростатики.
Указанное выражение для интенсивности реактивных сил справедливо только в том
случае, если на всей длине бруса его верхняя плоскость будет выступать над поверх-
ностью воды.
Дифференциальное уравнение изогнутой оси плавающего бруса
cPv
(80)
Вводя обозначения
k — у0& и m =
и переходя гк Относительной абсциссе С«- mz, преобразуем дифференциальное уравнение
к виду
^- + 4^ = 0.
Обший интеграл этого уравнения в интервале 0<С<а, где а = та, выражается
следующим образом: .
= С1У1 (С) + С2У8 (С) + C3V3 G) + (С)
Изгиб балок, лежащих на упругом основании
539
При С = 0, т. е. на левом конце бруса, изгибающий момент и поперечная сила обра-
щаются в нуль (свободный конец бруса) и, следовательно, = 0 и С4 == 0. Постоянные
интегрирования G и С2 определяются из условий на правом конце балки, т. е. при
С = X — ml.
Прогибы v, углы поворота сечений ft, изгибающие моменты М и поперечные силы Q
в интервале а < С < X определяются следующими выражениями:
АтР
V (С) = CiVi (С) + GK (С) + — (С - а),
Г АтР ]
»(С) = т [-C>4V4 (0 4- С2УХ (С) 4- — V3 (С - о) j ;
М (С)----EJm* [ — 4CW3 (С) - 4C2IZ4 (С) 4-^И2 (С - а)] ;
Q (С) - —EJmz [-4(^2 (С) - 4С2 У8 (С) + — (С— а) j .
Ha правом конце балки, т. е. при С = Х = ml, изгибающий момент и поперечная сила
обращаются в нуль, что и дает два уравнения для определения постоянных интегриро-
вания Ci и С2:
тР
Ct V9 (X) + C2Vt (X) - V2 (X - a) = 0;
mP
CtV2 (X) 4- C2 V3 (X) - -J- Vt (X - a) = 0.
Величины коэффициентов
'VlJ _4/ 10-8.20-6 ,Л 1
m~ V 4EJ ~ V 4-10M0* -2,34‘10 CM »
* , mP mP 2,34-IO-3-50
' 1 — г” — r, —— 5,85.
. £ ft* 10“3-20
Безразмерная или относительная длина балки
X = ml = 2,34.
Относительная абсцисса места приложения силы Р
a = та= 1,17.
Руководствуясь таблицами, приведенными в приложении к т. I, имеем:
V2 (X) « 0,0935; У3 (X) = 1,8473; V4 (X) « 1,8352;
Vi (X - a) = 0,6891; V2 (X - a) = 1,0971
и уравнения для определения постоянных интегрирования Ci и С2 принимают вид:
1,8473g + 1,8352С2 - 5,85.1,0971 = 0;
0,0935G + 1,8473Са — 5,85-0,6891 == 0,
откуда искомые постоянные
С1== 1,375 и С2« 2,114.
Прогибы v, углы поворота сечений ft, изгибающие моменты М и поперечные силы Q
в интервале 0 < С < а определяются следующими выражениями:
ft (0 = т [—C^AV^ К)+ С2ИХ(С)];
Л4(С) = —EJm? [-Cr4V3(C) - C2.4V4(C)];
Q (C) « -EJm* [-Cr4V2 (C) - C2-4VS <C)],
где Ci и C2 имеют найденные выше значения.
Используем полученные выражения для определения значений, рассматриваемых
величин в сечении С = а= 1,17, т;. е. в месте приложения силы Р.
По таблицам функций (см. приложение к т. 1)
V1 (а) = 0,6891; V2 (а) = 1,0971;
f ^V3 (а) 0,6702; У4 (а) = 0,2646 <
540
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
и искомые величины равны: прогиб v (а) = 3,27 см; угол поворота & (а) =4= 0; изгибающий
момент М (а) » 5410 кгсм; поперечная сила Q (а) = 25 кг
Задаваясь различными значениями С, в пределах от нуля до X = ml, и используя
соответствующие выражения для прогибов, углов, изгибающих моментов и поперечных
сил, не представляет затруднений
построить эпюры рассматриваемых
величин по длине бруса (фиг. 461).
Из эпюры изгибающих момен-
тов следует, что наибольшие на-
пряжения возникают в сечении
С = а и их величина
Л! (а) 6-5410
° ” Wjf 20-100 — 16 кг,см
В рассматриваемом примере
плавающий брус под действием
собственного веса погрузился на
6 см (без изгиба) и дополнитель-
но под действием сосредоточен-
ной силы его максимальный про-
гиб составил 3,27 см. Таким обра-
зом, наибольшее погружение рав-
няется 9.27 см, т. е. меньше, чем
высота бруса Л = 10 см, и, следо-
вательно# верхняя плоскость бруса
по всей его длине выступает над
водой.
Изложенная выше теория
расчета балок, лежащих на
упругом основании, построена
на гипотезе о линейной зави-
симости между интенсивностью
реактивных сил упругого осно-
вания в любой точке подошвы
балки и величинной прогиба в
той же точке. .
Другими словами, эта гипо-
теза равносильна замене реаль-
ного основания под балкой ее
опиранием 'на систему не свя-
занных между собой упругих
пружин.
Применительно к расчету
оснований и фундаментов
строительных сооружений эта
гипотеза может использоваться
только как первое приближение. Действительно, прогиб в какой-либо точке
балки зависит не только от интенсивности реактивных сил в той же точке, но
и от совокупности всех реактивных сил, от характера их распределения по
подошве балки. Также* очевидно, что основание (грунт) претерпевает осадку не
только в пределах нагруженного участка (как это следует из указанной выше
гипотезы), но и вне его.
Основоположником нового направления в теории расчета балок, лежащих
на сплошном упругом Основании, следует считать Г. Э.‘ Проктора (1919 г.).
Он предложил рассматривать грунт как сплошное однородное теЛо, неограни-
ченно простирающееся вниз и в стороны от балки и лишь сверху, ограничен;
ное плоскость^.. .Такое тело принято называть упругим полупространством.
Здесь методами теории упругости можно -установить зависимость между нагрузи
кой на полупространство и перемещениями точек плоскости, его ограничи-
вающей.
Эта зависимость и кладется .в рснову расчета балок, лежащих на упругом
Эпюра линейных перемещений (см)
&
§7

d
Эпюра угловых
перемещений (радианы)
Эпюра изгибающих
моментов (кгсм)
Эпюра поперечных
сил (кг)
Фиг. 461.
Продольно-поперечный изгиб балок
541
основании в виде полупространства. Необходимо отметить, что математическая
сторона исследования при этом значительно сложнее, чем в изложенных выше
расчетах.
Дальнейшая успешная разработка этого нового направления в расчете балок,
лежащих на упругом основании, принадлежит Б. Н. Жемочкину {24], [25],
М. И. Горбунову-Посадову [18], [19], В. И. Кузнецову [43] и ряду других
исследователей.
Интересное исследование по приближенным теориям упругого основания
и его моделям дано М. М. Филоненко-Бородич [96], [97].
История вопроса и очерк развития различных методов, расчета даны в рабо-
тах М. И. Горбунова-Посадова [18] и И. В. Урбана [43]. Необходимо отме-
тить, что новый подход к проблеме расчета балок, лежащих на упругом осно-
вании, представляет весьма существенный прогресс в деле расчета ряда строи-
тельных конструкций, где основанием служит грунт. Вместе с тем для конструкций
типа перекрестных связей в судостроении, симметрично нагруженных тонкостен-
ных цилиндрических оболочек и т. д., остаются в силе предпосылки рассмо-
тренной выше теории упругого основания (гипотеза линейной зависимости).
§ 7. ПРОДОЛЬНО-ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК
В инженерной практике достаточно часто встречается необходимость расчета
балок, нагруженных, помимо сил, перпендикулярных к оси (поперечный изгиб),
также продольными сжимаю-
щими или растягивающими
силами. В самолетостроении
примером подобных элемен- —
тов конструкций могут слу- $
жить лонжероны [74], в
транспортном машинострое- у
нии — хребтовые балки ва-
гонов [48] и т. д. фиг- 462-
Существенной особен-
ностью расчета сжато-изогнутых* и растянуто-изогнутых балок является то обстоя-
тельство, что при составлении уравнений равновесия между внешними и вну-
тренними силами (дифференциального уравнения упругой линии) здесь, в отли-
чие от большинства задач сопротивления материалов, уже нельзя пренебрегать
перемещениями оси деформированного бруса, так как только благодаря учету
этих перемещений становится возможным определение изгибающего действия
продольных сил.
Это обстоятельство делает любую задачу, связанную с расчетом балок на
продольно-поперечный изгиб, статически неопределимой. Так, для нахождения
величины изгибающего момента в каком-либо сечении балки необходимо знать
величину линейного перемещения этого сечения. Поэтому при расчете балок на
продольно-поперечный изгиб вопросы нахождения линейных и угловых переме-
щений, т. е. вопросы, связанные с интегрированием дифференциального урав-
нения упругой линии, приобретают еще большее значение, чем при одном только
поперечном изгибе.
Первые систематические исследования продольно-поперечного изгиба при-
надлежат А. П. Фан-дер-Флиту [93]. Им была рассмотрена упругая .линия
сжато-изогнутых и растянуто-изогнутых балок с шарнирно опертыми концами
и простейшей поперечной нагрузкой.
Особенности расчета на прочность при продольно-поперечном изгибе рас-
смотрены в работах К. С. Завриева [29], [30].
- Обратимся к решению ,поставленной задачи. Рассмотрим однопролетную
балку с произвольными краевыми условиями. В качестве примера на фиг. 462
изображена балка на двух опорах. В общем случае интенсивность поперечной
нагрузки fq (z) является некоторой прерывной функцией абсциссы z. Продольная
542
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
сжимающая (или растягивающая) сила S приложена к торцу балки, ^редпола-1
гается, что одна иа главных центральных осей поперечного сечения перпенди^
кулярна плоскости действия внешних сил.
Используем три условия равновесия элемента оси балки (фиг. 463). Обозна-
чим через М изгибающий момент в произвольном поперечном сечении, а через
Q и N — поперечную и нормальную силы (применительно к неизогнутой балке)
в том же сечении.
Составим сумму проекций на ось z всех сил, действующих на рассматривае-
мый элемент
откуда следует, что нормальная сила /V постоянна
по длине пролета и равна
сжимающей силе S:
ДГ = const = S. (81)
Составляя 1 сумму проек-:
ций на ось j/, имеем
Z^ = (Q + ^Q)-Q +
-|- qdz = О,
откуда получаем
(82)
У „ Q+dQ, Наконец, используя урав-
Фиг. 463. , нение моментов и пренебре-
гая моментом элементарной
силы qdz как малой величиной высшего порядка, находим
Ъ»ом.В — Qdz 4- Ndv — dM = О,
откуда с
^=Q + N-g, (83)
где v (z) — перемещение (прогиб) вдоль оси у.
Дифференцируя обе части зависимости (83) по z и принимая во внимание
выражения (81) и (82), имеем
d2M _ ) с
da» — q d dz2’
Учитывая, что

приходим к следующему дифференциальному уравнению упругой
изогнутой балки постоянного сечения:
& dz!1 S dz2 ~ q
линии сжато-
(84)
Если продольная сила S растягивает балку, то из третьего условия равно-
весия следует, что *
dz 4 dz *
(85)'
и дифференциальное уравнение упругой линии растянуто-изогнутой балки полу-
чает следующий вид:

(86);
Продольно-поперечный изгиб балок 543
Таким образом, уцругая линия балки при продольно-поперечном изгибе
определяется линейным дифференциальным уравнением четвертого порядка?
с постоянными коэффициентами.
Обычный метод интегрирования подобных уравнений общеизвестен и сам
по себе не представляет каких-либо трудностей. Однако при наличии сосредо-
точенных сил и моментов или при прерывном изменении распределенной нагрузки
упругая линия балки подразделяется на отдельные участки. При решении
задачи для каждого из участков приходится составлять самостоятельное диф-
ференциальное уравнение. Каждое из них в результате интегрирования дает по
четыре произвольных постоянных, что в целом при п участках составляет 4/?
произвольных постоянных.
Для их определения используются условия сопряжения отдельных участков
и условия по концам балки. Связанные с этим трудоемкие вычисления делают
эту операцию, даже при небольшом числе участков, практически трудно
выполнимой. '•
Однако метод Коши, успешно примененный А. Н Крыловым к балкам на
упругом основании, позволяет получить [51] общий интеграл уравнений (84)
или (86), включающий в себя при произвольном числе участков только четыре
постоянных. Более того, было показано, что в этом случае при бпределении
произвольных постоянных из краевых условий две постоянные интегрирования
всегда обращаются в нуль.
Другими приемами аналогичные результаты были получены Н. К. Снитко [79)
и В. А. Киселевым [35]. .
Преобразуем полученное выше дифференциальное уравнение упругой ;
линии (84).
Обозначим .
т~ 1/4 ЁТ
и введем новую независимую переменную
C = (88> ।
которая является безразмерной величиной и может быть названа приведенной
или относительной абсциссой текущего сечения.
Учитывая, что
d2v ' о d2v d*v » d*v
dz2 d<? dz*
имеем
Л d*v . Ad2v
или
dt*' 7 V4’
(89)
где

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение •
' <90>
Характеристическое уравнение
' \ г4 + г2 = 0
имеет четыре корня:
Г1 = г2 — О, гз == 44 ri = — I-
544
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Учитывая равенство корней и г2, общий интеграл однородного уравне-
ния (90) можно записать следующим образом:
Д1 -^2’ 4“ ^3?с 4" ^4^
где А13 Д2, А3, А4 — постоянные интегрирования.
Заменим
= cos 4- I sin С и = cos С — Z sin С.
Теперь общий интеграл можно представить в виде
4~ ^2^ 4~ вз cos £ 4- sin С.
Из полученных частных интегралов
1, С, cos£, sin С (91)
только два первых удовлетворяют начальным условиям Коши (61).
Два других частных решения, удовлетворяющих условиям Коши, могут
быть представлены некоторыми линейными комбинациями частных интегралов (91),
а именно: 1 — cost и Z — sin С. Тогда искомые четыре частных интеграла можно
записать следующим образом:
Vi(C)=l; 1/2(С) = С; 1/3(С) = 1 — cost; l/4(C) = C — sinC (92)
и общий интеграл однородного уравнения (90) имеет вид:
(0 + с2и2 (С) 4- cav3 (С) 4- CtVt (9
или
С1 + С2; + С3 (1 — cos С) 4- С4 (С — sin С).
(93)
Частное решение полного (с правой частью) уравнения (89) может быть
представлено в форме
= (94/
о
где t — вспомогательная переменная (так же как и в балках на упругом осно-
вании).
Итак, для балки, сжатой постоянной продольной силой S и несущей произ-
вольную поперечную нагрузку #(С), общее уравнение упругой линии имеет вид:
v G) = 4- С2С + С3 (1 - COS С) 4- С4 (С — sin С) 4-
Л
+ 1(С - 0 - sin (С - 01 <7 (0 dt, (95)
Здесь С — безразмерная или относительная абсцисса текущего сечения балки,
связанная с действительной абсциссой z соотношением
С = mzr
где коэффициент m определяется выражением (87).
Три последовательных производных от общего уравнения упругой линии
следующие:
с
= С2 4- с8 sin С 4- С4 (1 - cos С) 4- J [1 - cos (С - 01 «7 (0 dt;
^==C8cosC4-C4sinC4-^j J sin (С — 0 Я (0 dt;
о
с
^ = — с8 sin С 4-С4 cos С 4- J cos (С — t)q(t)dt.
о
(96)
Продольно-поперечный изгиб балок
545
Фиг. 464.
Полагая в выражениях (95) и (96) С = 0, легко показать, что
Cj = v (0); С2 = v (0); С3 = v" (0); С4 = ъ'" (0). (97)
Заметим, что такое простое и наглядное истолкование постоянных интегри-
рования есть результат того, что частные решения (92), из которых составлен
общий интеграл (93) одно-
родного уравнения, удовлет-
воряют условиям Коши (61).
Для определения началь-
ных параметров v (О), v (0),
у" (0), v'" (0) необходимо
обратиться к рассмотрению
краевых условий.
Разберем наиболее ха-
рактерные из могущих встре-
титься здесь вариантов.
1. Балка на двух опорах
(фиг. 464, а).
На левой опоре v (0) = 0
и М (0) = 0. Но
2И = — EJm2vn^)
и, следовательно, при
М (0) = 0 и v"(0) = 0.
Обозначим через \ = ml
безразмерную или относительную длину балки.
Тогда на правей опоре сг (X) = 0 и ?/(Х) = 0. Эти условия позволяют опреде-
лить оставшихся два начальных параметра v' (0) и v"' (0).
Если на одной из опор,
например, правой, приложен
сосредоточенный момент 9R
(фиг. 464, б), то Л4(Х) =
= и
v EJm* ~ S '
На правом свободном конце
что и следует положить в
основу определения началь-
ных параметров.
2. Консольная балка
(фиг. 465, а). На левом
конце (заделка) v (0) — 0 и
&(0) = 0.
Но &= mv' (С) и, следо-
вательно, при, {Ц0) = 0 и
>у'(0) = 0.
0*(Х) = О и Q(X) = O.
Согласно уравнениям (81) и (83)
— — О 4-9 —
Учитывая, что
^ = - EJmW (С) и £ = mv (С),
имеем v' (С) 4- s/" (С) J- = 0.
35 Пономарев и др. 407
(98)
546
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Итак, на правом конце балки
v"(X) = 0 и v' (X) + v'" (X) = 0.
Эти два условия и позволяют определить начальные параметры
и v" (0).
Если на свободном конце приложена сосредоточенная сила Р (фиг. 465,6), то
Q(X)- Р и v (X) + v'" (X) = ,
Фиг. 466.
Фиг. 467.
что и следует положить в основу определения начальных параметров я* ((Р
и vm (0).
3. Балка с одним заделанным и другим опертым концами (фиг. 466).
На левом конце (заделка) t?(0) = 0 и v (0) = 0. На правом конце (опора)
v (X) = 0 и v” (X) = 0, что
и позволяет определить V* (0)
и У" (0).
4. Балка с заделанными
концами (фиг. 467). На ле-
вом конце v (0) = 0 и
tf(O) = 0. На правом конце
v (X) = 0 и v (X) = 0, что
и служит основанием для
определения v” (0) и v'" (0).
Таким образом, при использовании общего уравнения упругой линии (95)
во всех рассмотренных вариантах краевых условий из четырех начальных пара-
метров два всегда обращаются в нуль, и задача сводится к определению остав-
шихся двух параметров, независимо от числа участков, на которые подразделяет
балку прерывность попереч-
ной нагрузки.
Заметим, что, используя
полученные резуЛ ьтаты,
можно общее уравнение
упругой линии (95) пред-
ставить и в несколько ином
виде. Допустим, что 9N0 и
Pq — сосредоточенный мо-
мент и сосредоточенная сила,
приложенные в начале координат (на левом конце балки). Тогда
= и t/"(0) = -^- — v'(0). (99)
Подстановка полученных значений начальных параметров в уравнение (95)
дает
v (С) = v (0) + V’ (0) sin С — (1 — cos t) — (С — Sin С) + '
С
+ (100)
о
Обратимся к рассмотрению преобразований частного решения (94) для
отдельных видов нагружения.
Случай 1. Сплошная равномерная нагрузка интенсивности q по всей длине
балки Z или в безразмерных величинах по длине X — ml.
В этом случае q = const и искомое частное решение
с с
V(C) = J V4(C—/)/(/) ^ = 7^5 J [(<;— о — sin (С — f}\dt
о о
Продольно-поперечный изгиб балок 547
или после преобразований
v(0 = (,01>
Случай 2. Сплошная равномерная нагрузка интенсивности q на участке
от z = аг до z — а2 (фиг. 468) или в безразмерных величинах от С = а, = та^
до С = а2 = та2.
Указанная нагрузка разделяет балку на три участка, для которых правая
часть дифференциального уравнения упругой линии имеет следующие значения:
0<C<ar--/(Q = 0;
«1 < С < а2 • • f (С) = ?'= const;
аа<С<Х---/(С)=О.
(J кг/см
О._____________'LL1 'L_' '!___________—
а2-------
---------/
Фиг. 468.
Для первого участка, т. е. при 0 < С < ах>
v/(C) = jv4(C-o/(0^=o.
Для второго участка, т. е. при а1<С<а2,
а» .. * С
V (С) - J и4 (С -1) f (i) dt+f v4 (C -1) f (f) dt.
0 а»
В первом интеграле f (t) = 0, а во втором
/(0=^9 = const
и, следовательно,
или, после преобразований,
• V ® = А ~Г [2 cos (С - «1) - 2 + (С - «1)81
Для третьего участка, т. е. при ot2 < С < Л,
H(C) = |V4(C-O/(O^+
+ ?v4(c-o/(O^ + Jv4(C^o/W^ >
04 O.J
В первом и третьем интегралах f (t) = Qr а вд КтдромГ м
/(0='^’<7 —co«st .
35*
548
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
i
и, следовательно,
ИС)« 4 12 toMC - «1) - 2cos (С - а2) + (С - а,)2 - (С - «2)2J.
Таким образом, для случая сплошной равномерной нагрузки на участке
от — a2 — may ло С = а2 — та2 частное решение V (С) имеет следующий вид:
О < С < а, • • - V (С) = 0;
а, < С < • -V (С) = [2 cos(С -аг) — 2 + (С -а,)2);
«2 < С < X • - - V (С) = -JL 4 |2 cos (С - аг) - 2 cos (С - а2) +
(102)
+ (C-at)*-(C-a8)2).
Рассматривая полученные выражения для функции V (С), легко убедиться в
автоматическом выполнении условий сопряжения смежных участков, т. е. в ра-
венстве выражений для V (С) и трех после-
довательных ее производных на границе
участков.
Также легко подметить имеющие место
закономерности в изменении выражения
V (£) при переходе от одного участка
к другому. Это дает возможность непо-
средственного составления выражений У (С)
и для более общего случая, когда распре-
деленная нагрузка занимает несколько раз-
деленных участков балки.
Случай 3. Сосредоточенная сила Р
(фиг. 469, а), приложенная в сечении z — а
или С = а — та (безразмерная или отно-
сительная абсцисса). *
Будем рассматривать сосредоточенную силу Р как предел распределенной
нагрузки интенсивности q на участке от z=a до = пр!и условии, что
_ Р тР
У Да Да
и отрезок Да—>0 (фиг. 469, б}.
Тогда для первого участка, т. е. при 0 < С < а, искомое частное решение
V Q = 0. Второй участок, т. е. интервал a < С < a -f- Да, в пределе, при Да = 0,
исчезает. Для третьего участка, т. е. .для интервала a + Да < С < X, где К =
~ml—приведенная или относительная длина балки, частное решение V (С),
согласно выражению (102), можно представить в виде
v ® i 4 [2 cos — a) — 2 cos a~ Aa) + - G-“ — Да)21-
Перепишем это выражение следующим образом:
V (Г\ - р 1 Г о cos (С — — Ag) — cos А ~~ tt> .
w mS 2 [ Да
Да)2 _(^а)2-| 1
Да I
Тогда в пределе-, при Да->0, искомое частное решение
* ,!l -
= «13 4-1"-2 sin к,—•) s — »)1-
Продольно-поперечный изгиб балок
549
Итак, при действии сосредоточенной силы Р,, приложенной в сечении С==
= а=ота (фиг. 469, а), частное решение И (;) имеет следующий вид:
О < С < а ... V (Q = 0;
а<С<Х ... V(Q = [(С-а) — sin(C — а)].
(103)
Рассмотрение полученных выражений показывает, что на границе участков
как функция V (С), так и две последовательные производные от V (С) непре-
рывны; что же касается третьей производной, то, как и следовало ожидать, она
претерпевает разрыв.
Случай 4, Сосредоточенный мо-
мент ЭЛ (фиг. 470, а), приложенный в
сечении z — а • или С = а = та.
Представим сосредоточенный мо-
мент 2D? в виде пары сил с плечом Да
(фиг. 470, б). Величина каждой из сил
этой пары
9ft _ mW
йа Да
Составим соответствующее выраже-
ние для V (С) и затем перейдем к пределу
Да -> 0. Выражение для И (С) в интер-
вале a -f- Да < С < X (где X = ml —
относительная длина балки) согласно
формуле (103^ имеет следующий вид:
ПС) = ^^[(С-
а) — sin (С — а)] —
К"—а—Да) —sin (С —а —Да)].
Перепишем это выражение следующим образом:
\7(Г\— Г (С — а —Да) - (С -7 а) Sin (С —а —Да) - sin (С - а)
— S [ Да Да
В пределе, при Да -> 0, искомое частное решение
V'(C) = --- fa — 4- d Sin^~] = -^ [1 - COS (С - а)]
О I и« Шл J О
Итак, при действии сосредоточенного момента ЯДО, приложенного в сечении
£ = а = та (фиг. 470, а), частное решение V(С) имеет следующий вид:
0<С<а ... И(0 = 0;
здг П04)
а<С<Х ... У(0=2И[1— coefc — а)1.
о
Исследование полученного выражения (104) показывает, что на границе уча-
стков как функция V (С), так и первая и третья ее производные непрерывны.
Что же касается второй производной, то, как и следовало ожидать, она претер-
певает разрыв, соответствующий скачку в эпюре моментов, при загружении балки
сосредоточенным моментом.
Рассмотрим теперь сжато-изогнутую балку с произвольными краевыми усло-
виями, нагруженную сосредоточенным моментом 20?, приложенным в сечении
г = аг или С = ат, сосредоточенной силой Р^ приложенной в сечении z=^a2 или
С = а2, и равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q кг!см в интер-
вале а3 < z < а4 или а3<С<а4 (фиг. 471).
550
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Тогда уравнение упругой линии, согласно изложенному выше, м*ожет быть
представлено в виде;
v (С) = [v (0) + v' (0) С + е (0) (1 — cos С) + vr" (0) (С — sin С)к>о +
+ [1 - cos (С - а1)к>«, + КС - «г) - s«n (С - +
ь ^3 4-12 cos (С - “з) + а»>* - 2к>«. -
~ As 4 12 cos (С “ “4) +(С - a*>2 - 2Ь«..
(105)
Следует отметить, что первые четыре слагаемых (начальные параметры) спра-
ведливы при С>0, т. е. входят в уравнение упругой линии для всех участков
балки; пятое слагаемое,
учитывающее сосредото-
ченный момент вклю-
чается только при С >ар
шестое слагаемое, учиты-
вающее сосредоточенную
силу Р, входит в урав-
нение при С > аа и т. д.
Полученное выражение
(105) представляет собой
применение общего урав-
нения упругой линии (95) к наиболее часто встречающимся нагрузкам.
В расчетной практике большое применение находит также и приближенный
метод исследования сжато-изогнутых балок.
Сущность приближенного метода состоит в том, что вместо отыскания дей-
ствительного уравнения упругой линии
ного уравнения) задаются подходящим
приближенным уравнением, удовлетво-
ряющим краевым условиям рассматри-
ваемой балки и содержащим один или
несколько неизвестных параметров.
Для определения этих параметров
используются условия экстремума пол-
ной потенциальной энергии рассматри-
ваемой балки.
Область практического применения
приближенного метода — это главным
образом однопролетные балки с упру-
гой линией достаточно простой формы,
(путем интегрирования дифференциаль-
Фиг. 472.
что, естественно, накладывает ограничения на характер их поперечных нагрузок.
Так, для однопролетной балки со свободно опертыми концами (одна опора —
каток, другая — неподвижная шарнирная опора), нагруженной произвольной
системой сил, направленных все в одну сторону, и сжатой силами S, приложен-
ными по концам балки (фиг. 472), упругую линию можно приближенно принять
за полуволну синусоиды
. t>=i/sin-y-, (106)
где амплитудное значение прогиба / и представляет собой неизвестный параметр,
определяемый из условий экстремума полной потенциальной энергии. Существенно,
что принятое выражение (1.06) удовлетворяет геометрическим краевым условиям
v (0)• = 0 и уф — 0,
т. е. отсутствию прогиба по концам балки.
Продольно-поперечный изгиб балок
551
Полная потенциальная энергия балки (см. гл. VII, т. I)
П = £7 + и,
где U — внутренняя потенциальная энергия и U — потенциал внешних сил.
При вычислении потенциальной энергии U будем пренебрегать энергией, свя-
занной с наличием поперечных Q и нормальных N сил по сравнению с энергией,
обусловленной наличием изгибающих моментов М (энергия изгиба).
Тогда для балки постоянного сечения
M2dz==~T J (v’^dz.
L L
Подстановка значения
•р’(г) = — ^sin 'Г
дает, что
u—^f2(-ry\sitttZrdz==^fi- <107)
\ * / с/ • ТГ*
о
Потенциал U можно вычислить как взятую с обратным знаком работу по-
стоянных пр величине внешних сил, действующих на балку, на перемещениях,
обусловленных изгибом балки. Потенциал внешних __________ _______ ।
сил Pz, перпендикулярных к оси балки и приложен-
ных в сечениях z = a., ”
где п — число внешних сил. фиг 473
Для выражения потенциала внешней силы S, сжи-
мающей балку, необходимо выразить сближение X концов балки, обусловленное
ее изгибом (фиг. 472). Элемент dz длины балки при изгибе последней повора-
чивается на малый угол & и проекция элемента на горизонталь (неизогнутая ось
балки) запишется как dzcosft (фиг. 473). Из геометрических соображений
dk = (1 —cos&)dz.
Используя разложение cos в- в ряд по степеням Я, имеем
и, ограничиваясь двумя первыми членами разложения, получим
Л = -i- ft2 dz « -i- (v')2 dz
и, следовательно, искомое сближение
x=4-f . d°9)
т-r , те те£
Подстановка значения v = — f cos — , дает что
^ИУ^82^^/2-
552
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Заметим, что искомое сближение К пропорционально квадрату параметра f
и является малой величиной второго порядка (если f величина первого порядка).
Потенциал внешней силы 5, направленной вдоль оси балки,
Us=—sx==-s-Ja ' ЧИО)
Итак, полная потенциальная энергия рассматриваемой сжато-изогнутой балки
п
j=l
Условие экстремума полной потенциальной энергии, рассматриваемой как
функция параметра /,
откуда
п '
/- • (112>
2/3 “ 21
Значение искомого параметра при 5 = 0, т. е. при поперечном изгибе, равно
/.«.-ГО 2 Л <113)
/Я=1
Обозначим эйлерово 1 значение продольной силы S через
°* /2 ’
где J — момент инерции сечения балки относительно главной центральной оси,
перпендикулярной к плоскости действия поперечных сил (плоскость изгиба балки).
Тогда выражение (112) для искомого параметра f можно представить в виде
/=..../яо" •- (114)
1 5Г
Следовательно, для любого сечения рассматриваемой балки имеет место сле-
дующая зависимость, между прогибом v при продольно-поперечном изгибе и про-
гибом vnon только при поперечном изгибе:
v(z) = JlnonV) (115)
>~у-
где
Vnon И = [-^"£7 S Pisin ^г] sin -Т
представляет собой приближеннее выражение для упругой линии при поперечном
изгибе (5 = 0).
При практическом применении формулы (115) целесообразно для вычисления
vnon использовать не приведенное приближенное выражение, а точные методы
вычисления прогибов при поперечном изгибе, изложенные в параграфах 2 и 4.
1 Эйлерово значение силы 5 можно рассматривать как критическое значение сжима-
ющей силы (см. т. Ш), соответствующей потери устойчивости стержня в плоскости рас-
положения поперечных нагрузок.
Продольно-поперечный изгиб балок
553
Можно показать, что выражение (115) справедливо не только для двухопорной
балки. Так, в случае консольной балки (один конец заделан и другой свободен), сжатой
силой S и нагруженной системой сил, перпендикулярных к оси балки и направленных
все в одну сторону, в качестве приближенного уравнения упругой линии можно исполь-
зовать выражение
€/(z) == /11 — cos —j , (116)
удовлетворяющее краевым условиям
v (0) « 0 и vf (0) « 0,
т. е. отсутствию прогиба и угла поворота для заделанного конца балки (z — 0). Исполь-
зование указанного выражения приводит, как и выше, к зависимости (115). В этом
случае эйлерово значение продольной силы
Для аналогично нагруженной балки с заделанными концами можно принять
v (z) =» / р — cos ^j ,
что удовлетворяет краевым условиям:
г (0)^0; о' (0) « 0;
v (/) « о; v' (/) = 0
и также приводит к зависимости *115). Здесь эйлерово значение критической силы
EJ
* (1191
Рассмотрение выражения (115) показывает, что прогибы при продольно-
поперечном изгибе пропорциональны прогибам от поперечных нагрузок, т. е-
линейно зависят от величины этих нагрузок. В отличие от сказанного зависи-
мость прогиба от величины продольной силы нелинейная. Так при возрастании
силы S от значения ~ S9 до у S9, т. е. в два раза, все ординаты упругой ли-
4
нии возрастают от у vnon до 2 vnon, т. е. меньше чем в два раза.
Следовательно, при продольно-поперечном изгибе принцип независимости
или сложения действия сил справедлив только по отношению к поперечным
нагрузкам при одной и той же величине продольных сил.
Существенно, что сделанные на основании приближенного выражения (115)
выводы о характере зависимости прогиба v(z) от поперечных и продольных сил
полностью подтверждаются рассмотрением полученных выше точных (в области
малых перемещений) выражений для прогибов при продольно-поперечном изгибе.
Из рассмотрения выражения (115) следует, что, формально говоря, при
стремлении значения продольной сжимающей силы S к ее эйлерову значению
прогиб v(z) неограниченно возрастает. В действительности это' выражение для
прогиба при продольно-поперечном изгибе справедливо только в области малых
перемещений, т. е. при продольных силах, достаточно далеких от их эйлерова
значения. Ориентировочно в качестве границы применения выражения (115) можно
назвать значения продольной силы
S^0,75S9.
Также необходимо отметить, что все полученные выше точные и приближен-
ные выражения для перемещений в сжато-изогнутых балках справедливы при
наличии закона Гука, т. е. при напряжениях, не превышающих предела про-
порциональности. Таким образом, в случае продольно-поперечного изгиба,
несмотря на наличие линейной зависимости между напряжениями и деформациями,
прогибы рее же нелинейно зависят от величины продольных сил..
554
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Существенной особенностью продольно-поперечного изгиба является также
отсутствие линейной зависимости между величиной расчетного напряжения и
величинами поперечных и продольных нагрузок.
Так, для двухопорной балки, нагруженной поперечными силами и продольной
сжимающей силой S, величина расчетного напряжения может быть выражена как
S Мпоп Мпр
° — Т wx + «7 •
где Мпоп — изгибающий момент в опасном сечении от поперечных нагрузок;
Mnp—Sv — дополнительный изгибающий момент в том же сечении от продоль-
ной сжимающей силы S;
V— прогиб в опасном сечении с учетом изгибающего действия силы S.
Необходимо, отметить, что изгибающие моменты Мпоп и Мпр от поперечных
и продольных сил достигают своих наибольших значений, вообще говоря, в раз-
личных сечениях. Поэтому нахождение опасного сечения, т. е. сечения, где сумма
этих моментов
М = МЯО' + М„Р
достигает своей наибольшей величины, требует ряда просчетов. Если попереч-
ная нагрузка на двухопорную балку симметрична относительно середины про-
лета, то это сечение и является опасным.
При поперечных нагрузках, направленных все в одну сторону, для вычисле-
ния прогиба в опасном сечении целесообразно использовать приближенное
выражение (115), и тогда величина расчетного сжимающего напряжения
_ 5 I 1 Глл
° F Wx
Г | S^non
[поп ~Т~ 5
(120)
При отсутствии продольных сил, т. е. при поперечном изгибе, величина
напряжения линейно зависит от нагрузки. Другими словами, при возрастании
нагрузок в п раз величина расчетного напряжения также возрастает в п раз.
При продольно-поперечном изгибе зависимость между напряжением и нагруз-
кой нелинейная. Рост напряжений за счет последнего слагаемого формулы (120)
интенсивнее роста нагрузок. Действительно, при возрастании продольной силы S
и всех поперечных нагрузок в п раз первые два слагаемых возрастают также
в п раз, а третье слагаемое — больше чем в п2 раз. Таким образом, при возра-
стании всех нагрузок в п раз величина расчетного напряжения возрастает
несколько больше, чем в п раз.
Поэтому при расчете сжато-изогнутых балок представляет существенный
интерес выяснение той нагрузки, при которой расчетное напряжение достигает
своего предельного значения, т. е. предела пропорциональности. При дальней-
шем возрастании нагрузки нарушается закон Гука и, следовательно, отпадает
«возможность использования полученных выражений для перемещений и напря-
жений.
При практическом проведении этого расчета часто заменяют предел пропор-
циональности близкой к нему величиной предела текучести и используют при-
ближенную формулу (120) для расчетного напряжения. Тогда искомый запас
прочности п определяется из выражения
QT ~~ р Ч" уу* П^поп
nS
(121)
г. е. путем решения квадратного уравнения
„2 ГI S I МПОП \ SVnOn 1 „ Г £ ! Мпоп | „ S 1 | _ _ Л /1 ПГ>\
п + + +аг-0. (122)
Продольно-поперечный изгиб балок
555
Итак, при возрастании всех поперечных и продольных нагрузок в п раз (так
называемое простое нагружение) расчетное напряжение возрастает от значения,
определяемого формулой (120), до предела текучести аг. Величина п носит
* <5т
название запаса прочности по нагрузкам, а величина отношения у — запаса
прочности по напряжениям.
Очевидно, что
а
это существенная особенность сжато-изогнутых балок. При расчетах на проч-
ность практический интерес представляет, конечно, не запас прочности по напря-
жениям, а запас прочности по нагрузкам.
При рассмотрении ряда реальных расчетов на прочность при продольно-поперечном
изгибе возникает и несколько иная постановка задачи — так называемое сложное нагру-
жение.
Допустим, что возрастание расчетного напряжения, соответствующего рабочим зна-
чениям поперечных и продольных нагрузок, до предела текучести обусловлено только
изменением продольной силы при постоянной величине поперечных нагрузок.
Тогда выражение (121) заменяется следующим:
nS 1
«Г = р + Wx
,, , n^vnon
Мкм + 1 _
«э
и искомый запас прочности, п по продольным нагрузкам определяется из
уравнения
П Г 5 Г д М*Оп\ 3 , Svnon 1 Мпоп 0
п Т S, F + Wx ) s3 + Wx J + °r- Wx -°-
(123)
квадратного
(124)
Возможен и целый ряд других вариантов сложного нагружения, как-то изменение
продольной силы и части поперечных нагрузок при постоянной величине другой части
попе[ечных нагрузок (например, собственный вес балки) и т. д.
Обратимся теперь к рассмотрению упругой линии растянуто-изогнутых балок
При обозначениях (87) и (88) дифференциальное уравнение (86) преобразуется
к виду
d*v дРу /г х
d& dtp — W ’
(125)
где

Корни характеристического уравнения г4 — г2 = 0 следующие:
Г1 = г2 = 0, r3=l, г4= —1.
Общий интеграл однородного уравнения
^4j Л2ч + A3ez + А^е~г".
Заменим показательные функции через гиперболические:
= ch С + sh С и = ch С — sh С
Используя частные интегралы, удовлетворяющие начальным условиям Коши (61)
ИГО = 1: 1
И,(С)=сЬ<;-1; И. ГО = sb с-с, I
представим общий интеграл однородного уравнения в виде
Ci + С& + С3 (ch С — 1) + С4 (sh С - Q. (127)
556
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Частное решение полного уравнения (125) может быть представлена в виде
V (O = JH4(C-O/(O^. (128)
О
Таким образом, для балки растянутой постоянной продольной силой S и
несущей произвольную поперечную нагрузку, общее уравнение упругой линии
имеет вид:
V (С) = Ct + С2С + Ca (ch С - 1) + С4 (sh С - С) +
с
+ -^Spsh(;-/)-(C-/)W(/)dt (129
о
Здесь, как и раньше, С — безразмерная или относительная абсцисса текущего
сечения балки, связанная с действительной абсциссой z соотношением С—mz,
где коэффициент ш определяется выражением (87).
Так же как и для сжато-изогнутых балок, легко показать, что постоянные
интегрирования представляют собой начальные параметры, т. е.
С,==^(0); C2 = i/(0); С8 = гЛ(0); С4 = ^"(0). (130)
Использование краевых условий для определения начальных параметров про-
изводится, как и для сжато-изогнутых балок. Исключением является /олько выра-
жение (98). Согласно уравнениям (81) и (85) для растянуто-изогнутых балок
dM п Qdv
dz ~ W 6 dz
и, следовательно,
(О + </" (О + •’ 0, (131)
е
что отличается от выражения (98) знаком минус перед первой производной.
Используя выражения (130) и (131), представим общее уравнение упругой
линии (129) в несколько ином виде.
Допустим, что Жо и Ро — момент и сила, приложенные в начале координат
(на левом конце балки). Тогда
®'(0) = - ^2 и V'” (0) = «' (0) -
и уравнение (129) принимает следующий вид:
(С)-v(0) -j- v (O)shC — ^2(chC— 1)- ^(shC — Q +
с
+ [sh^-O-G-OHUM'- (132)
и
Приведем результаты преобразования частного решения неоднородного урав-
нения для некоторых наиболее часто встречающихся в приложении нагрузок.
Случай 1. Сплошная равномерная нагрузка интенсивности q по всей длине
балки I (в относительной абсциссе по длине k = m/).
В этом случае q — const и искомое частное решение
*
v ® = Js f[sh dt
и . .
Продольно-поперечный изгиб балок
557
или после преобразований
l/(C)=S?STl2cl>C-C«-21.
(133)
Случай, 2. Сплошная равномерная нагрузка интенсивности q на участке от
z = а, до гг = а2 (фиг. 468) (в относительной абсциссе от С = аЛ = та1 до
С = а2 = /гаа2).
Указанная нагрузка разделяет балку на три участка, для каждого из кото-
рых V (С) имеет свое значение, а именно:
яри 0 < С < а, .
V (9 = 0;
при а, < С < а2
• И(С) = ^54[2сЬ(г;-а1)-(С-а1)2-2];
при а2 < С <1
v ® = тЬ т[2ch - а1) - - а1)2 -21 -
(134^
| [2ch (С — а2) — (С — а2)2 - 2].
Случай 3. Сосредоточенная сила Р (фиг. 469, а), приложенная в сечении
z = a (или С = а= та).
Рассматривая сосредоточенную силу Р как предел распределенной нагрузки
интенсивности q на участке от z = a до z — a-\-La (фиг. 469, 6) при усло-
вии, что f
__ Р тР
У La Да
и отрезок Да —> 0, имеем:
при 0 < С < а
V(C)=O,
при а < С < к
(135)
Случай 4. Сосредоточенный момент 2)? (фиг. 470, а), приложенный в сече-
нии z = a (или С = а~/иа).
Представляя сосредоточенный момент 2R в виде пары сил с плечом Да
(фиг. 470, б) так, что каждая из сил этой пары
р_ ______тУЛ
La Да * -
а отрезок Да 0, имеем:
при 0 < С < а, имеем:
при а < ч < X
И (9 = 0;
(136)
И(С) = §-[сЬ(С-а)-1).
Рассмотрим теперь растянуто-изогнутую балку с произвольными краевыми
условиями, нагруженную моментом 2R, приложенным в сечении £ = а, или С=ар
силой Р, йриложенной в сечении z = a2> илиЛ = а2, и равномерно-распределенной
558
Методы расчета На жесткость в области малых перемещений
нагрузкой интенсивности q в интервале а3 < z < (или а3 < С < а4) (фиг. 471^.
Тогда уравнение упругой линии может быть представлено в виде
0 (С) = (0) + v (0) С + v” (0) (ch С 1) + ^(0) (sh С - С)к>о + ‘
+ [ch (С - а,) -1 ](>«.+ [sh (С - а2) - (С - аг)к>в, +
+ [2ch (С - а8) - (С - а3)2 - 21;>в,-
- | [2ch (С - а4) - (С - а4)а - 2]с>«4. (137)
Первые четыре слагаемых, заключенные в общую квадратную скобку, вхо-
дят в уравнение упругой линии для всех участков; пятое слагаемое включаемся
при £ > ар шестое слагаемое — при С>а2 и т. д. Выражение (137) предста-
вляет собой применение общего уравнения упругой линии (129) к нагрузкам,
наиболее часто встречающимся в практике.
Полученное выше, при рассмотрениии сжато-изогнутых балок, приближен-
ное выражение (115) для прогибов при продольно-поперечном изгибе справед-
ливо и для растянуто-изогнутых балок при условии изменения знака у продоль-
ной силы
(138)
1 I
где 8Э — эйлерово значение сжимающей силы, как и выше.
При вычислении величины расчетного напряжения существенно, что для
растянуто-изогнутых балок в отличие от сжато-изогнутых изгибающие моменты
от поперечных и продольных нагрузок обратны по направлению. Поэтому вели-
чина расчетного растягивающего напряжения
где
При простом нагружении запас прочности п по нагрузкам определяется из
выражения
_ । пМпоП fl2Svnon I /1 oqv
°т-~р+-уг—(l39>
' + s7
т. е. путем решения квадратного уравнения
„2 f / I Мпоп \ Sv поп 1 I и Г I МПпп _ S 1 _л z 1
+ + г$7] т 0 (140)
Для растянуто-изогнутых балок
т. е. рост напряжений отстает от роста нагрузок.
Не представляет затруднений получение соответствующего уравнения и опре-
деление запаса прочности и для различных вариантов сложного нагружения.
В случаях продольно-поперечного изгиба, когда отпадает возможность
применения приближенных выражений для прогибов (115) и (138), величины
линейных перемещений определяются, как это рассмотрено выше, путем инте-
грирования дифференциального уравнения упругой линии. При этом вычисление
Запаса адресности фо нагрузкам несколько осложняется тем обстоятельством,
Продольно-поперечный изгиб балок
559
что искомая величина п входит в аргументы круговых и. гиперболических
функций. Это обстоятельство делает возможным определение з^даса прочности
только путем ряда пробных расчетов и построения графика зависимости расчет-
ного напряжения от интенсивности нагрузки.
Перейдем к рассмотрению ряда примеров конкретных расчетов балок на
продольно-поперечный изгиб.
дополни-
величины
Сравнить
Пример 1. Двухопорная балка, находящаяся в условиях чисюго изгиба,
тельно нагружается продольной сжимающей силой S (фиг. 474, а).
Исследовать влияние, оказываемое этой дополнительной нагрузкой, на
прогибов, углов поворота сечений, изгибающих моментов и поперечных сил.
с влиянием продольной растягивающей силы S. При вычислении прогибов использовать
как точный, так и приближенный методы.
Решение. При наличии продольной сжимающей силы S из общего уравнения
упругой линии (100), учитывал» отсутствие поперечной нагрузки в виде сил и соответ-
ствующих реакций, имеем, что
v (С) = v (0) + v' (0) sin ; —
ЭД ,1
— -у- (I — cos С),
т
где относительная абсцисса С - mz
Начало координат (С = 0) сов-
мещено с левой опорой, и, следо-
вательно, v (0) == 0. Величина дру-
гого начального параметра v' (0)
определяется из условия, что
v (X) = 0, где & = (относитель-
ная длина балки):
Подстановка найденных значений начальных параметров приводит к следующему
уравнению упругой линии:
ЭД Г1 — cos X *1
у(О = ~у[ sinA.— sint + cosC-1J . (141>
В рассматриваемом примере очевидно, что наибольший прогиб имеет место при
С=4Х==а- '
Подстановка в уравнение упругой линии значений X » 2а и С = и после ряда пре-
образований дает
ЭД 1 - cos и
Г,тах = 5 cos и *
Чтобы^ оценить увеличение наибольшего прогиба за счет изгибающего действия
продольной силы S, выразим ошах через прогиб только от одной поперечной нагрузки
(моменты ЭД). Как известно,
ЭД/2
vnon — 8£j »
и наибольший прогиб от совместного действия моментов ЭД и'продольной силы S можно
представить в виде
ЭД/2
Vmax==-8£j-<M«)< (U2)
где
, Ф100
2(1 — cos и)
“ «2 cos и
Коэффициент Ф1 (в) характеризуем* влияние изгибающего действия продольной силы S
на величину наибольшего прогиба.
560
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Коэффициент (и) неограниченно возрастает при cos и = 0, т. е. когда
• 1 тс
и = ml = -J" •
Соответствующее значение продольной сжимающей силы называется эйлеровым
значением: 4
**EJ
Легко показать, что коэффициент Ф1 (а) зависит только от отношения фактической
величины продольной силы S к ее эйлерову значению.
Действительно, ____
(14Э>
Допустим, что
*$ — "4“
тогда
и = -j- == 0,7854, cos и = 0,7071.
В этом случае величина коэффициента
2(1 —0,7071)
(«) = 0,6168-0,7071 “ 1*343, -
т. е. изгибающее действие продольной силы S = увеличивает прогиб по сравне-
нию с прогибом только от поперечной нагрузки на 34,3°/0.
В рассматриваемом примере для вычисления наибольшего прогиба весьма удобно
воспользоваться приближенным выражением (115):
‘Упоп 4 WP
„ vmax —_____S 3 8£J »
«7
что почти совпадает с результатами точного решения.
Уравнение углов поворота сечений
о dv dv
*= dz dt*
и, следовательно,
9ОД 11 — cos X 1
» = f «* HtaT- cos c - sln c J • (144)
Угол поворота на левой опоре (С = 0)
a ZZV4 ЭД 1 ~ COS X
или, выражая его через угол поворота того же сечения, но только от поперечных
нагрузок, имеем
8(°)“^7ф2 (я),
где
. Фг («) ~ "7 tg «•
,Угол поворота
на правой опоре (С — X)
%Л1
При
дольной
чениями
= -4- коэффициент ф2 \7£j s "те” в т- е* изгибающее действие про-
силы увеличивает углы, поворота на опорах по , сравнению с их зна-
только от поперечной нагрузки на 27;3°/в.
Продольно-поперечный изгиб балки
561
Уравнение изгибающих моментов
дРо (Ev cPv
М = £J ~ EJm2 -^ = — S ^2“
или
Г1 — cos X
М « ЭД I ” agx— sin С + cos
(145)
Подстановка значений v" и v'" дает, что Q = 0, как и при отсутствии продольной силы.
Обратимся к рассмотрению прогибов, углов поворота сечений, изгибающих момен-
тов и поперечных сил при продольной растягивающей силе S (фиг. 475, а).
Из общего уравнения упругой линии (132), учитывая отсутствие поперечной нагрузки
в виде сил и соответствующих реакций, имеем
v(C) = v(0)-|-v' (O)shC- (chC-1).
Учитывая, что
v (0) « 0 и v (X) == 0,
находим значение
и уравнение упругой линии принимает вид , . , -
V (С) = [ с1\ь л 1 sh С — ch С + 1 j . . (146)
Наибольший прогиб соответствует середине пролета, т. е. С«=-^-Х=»а:
ЭД ch и — 1
^шах— 5 cha ’•
Выражая ^тах через прогиб только от одной поперечной нагрузки (моменты ЭД)
имеем ' ‘
ЭД/2
Цпах ~ ?1 (и)> ' 1 (147)
где
2 (ch а — 1)
. Т1 (И) ~ U2 ch и •
Допустим, что величина продольной силы S составляет
$ = 4 —
1 r^EJ
4
36 Пономарев и др. 407
562 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Тогда __ *
тс 1 Г S тс
“ = 1гУ S7=T = 0’7854'
ch ^- = 1,325 и Т1(У) - 0.795, .
т. е. изгибающее действие продольной растягивающей силы 8 уменьшает прогиб
на 20,5%.
В условиях рассматриваемого примера приближенная формула (138) для прогиба дает
результаты, весьма близкие к точному решению.
Действительно,
Ум 4 WP
v™* — S - 5 ‘8£J •
1 + «7.
Уравнение углов поворота сечений
или
W Г chX —1
a°°w~s~[~ chX chC —shC
Угол поворота на левой опоре (С = 0)
ЯР/2
* = 227 ?2 '
где
Т2 («) - — th в.
Угол поворота на правой опоре (С = А)
(X) » - f 2 (я).
(148)
(149)
При
8 1 тс / тс \
$7 “ Т ’ “ = Т ’ th \Т ) = 0,6558
И
<р2 ^~4~) s 0,8350»
Таким образом наличие растягивающей силы 8 уменьшает углы поворота опорных
сечений на 16,5°/0.
Уравнение изгибающих моментов
d2v
М = — EJ — EJm2 = — 8 -^2
или
M = 9R [^7* she-ch:] • (150)
На фиг. 475, б дан общий вид эпюры изгибающих моментов.
При С = и = X изгибающий момент имеет, в отличие от сжато-изогнутой балки,
минимальное значение
Mmln = SR (а),
где
При
8 1 ТС / тс \
а = т и <р3 ^-4- ) = 0,755.
Продольно-поперечный изгиб балки
563
Наибольшую величину изгибающий момент имеет по концам балки (£ = О и ^ = ^):
Мнаиб e 2R*
Поперечная сила
Л dM Л dv
Q = ~dz+S ~di'
как и для сжато-изогнутой балки, обращается в нуль во всех сечениях.
Пример 2. Для двухопорной сжато-изогнутой швеллерной балки № 33 а (фиг. 476)
требуется:
1) определить величину расчетных напряжений и прогиб под силой Р без учета
изгибающего действия продольной силы S;
2) определить те же величины с учетом изгибающего действия продольной силы S;
сравнить величины, полученные в пп. 1 и 2, между собой;
3) выяснить, при каком увеличении
нагрузок расчетное напряжение дости-
гает предела текучести материала балки.
Поперечная нагрузка Р = 150 кг,
продольная нагрузка § = 9000 кг. Длина
пролета I = 4 м. По ОСТ 10017-39
для профиля 33а имеем
q = 38,7 кг/м*, F = 49,5 см2-,
Jy — 307,5 см*, wy = 46,65 см3.
Фиг. 476.
Предел текучести = 2'400 кг /см2.
Решение. 1. Определение напря-
жений и прогиба без учета изгибающего
действия продольной силы.
Изгибающий момент в опасном се-
чении балки (середина пролета) от поперечных нагрузок (от силы Р и собственного
веса балки) равен
М„оп = = i’5*10* + 0,774-10» = 22740 кгсм.
Наибольшее напряжение в опасном сечении
а = -|г + ^5=182 + 488 = 670 кг/см*. ,
В рассматриваемом примере наибольший прогиб совпадает с местом приложения
силы Р и равен (см. § 2 и 4)
1 Р13 5 ql*
Опоп = 48£jr; + 384ЕТу = 0,325 + 0,210 = 0,535 см-
2. Определение напряжений и прогиба с учетом изгибающего действия продольной
силы.
По формулам (100) и (105) уравнение упругой линии
V (9 = «(0) + V'(0) С - § (С - sin О +
q 1 Р
I f2cos — 2] + Г(С — «) — sin (С — «)]с>в,
где
С «= mz,
и т =
т/Т
V EJ
Реактивная сила, приложенная в начале координат (С 0),
Ро = 4"Р + “Г ql == 75 + 77,4 = 152’4 кг'
В рассматриваемом примере .при С = 0 балка оперта и v (0) = 0. Второй начальный
параметр v' (0) определяется из условия, что v' (и) = 0 и, следовательно^
, — Pq * ~ cos и q g ~ sin а
v / ' mS cos и m2S cos и *
36!
564
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
-Тогда искомый прогиб посередине пролета (С «= и) 1
»шах = ®' (0) sin а — (а — sin а) 4- [2 cos и4- а2 — 2].
Коэффициент
5
m2 = -gjr- = 0,1463-10-4 и т = 0,3825-10“2 1/елс.
Безразмерная абсцисса середины пролета
и = ml = 0,7650.
По таблицам тригонометрических функций [76]
sin и = 0,6925 и cos и — 0,7214.
Вспомогательные коэффициенты, входящие в уравнение упругой линии,
а
== 4,427 см и -^25 ®= 2,938 см.
Тогда начальный параметр v' (0), пропорциональный углу поворота, при Ся 0
$авен
, ,ЛЧ 0,7214 0,7650—0,6925
v (0) — 4,427 0,7214 — 2,938 0,7214 — 1,414 см.
Прогиб посередине пролета (С и)
vmax я 1,414-0,6925—4,427 (0,7650—0,6925) +
4- 2.938--J- [2-0,7214 4-0,5852 — 2] - 0,700 см. .
Таким образом, величина прогиба, определенного без учета изгибающего действия
силы 5, составляет от действительной величины прогиба
0,535
0,700 = 76,5%).
Определим величину наибольшего прогиба и по приближенной формуле (115).
Эйлерово значение продольной силы
EJV 2-106-307,5
= ж2 —2. = 9,87---—-----я 38 000 кг.
Тогда величина наибольшего прогиба
0,535
^шахв о — 0,700 см,
1—38
т. е. имеет место полное совпадение с результатами точного решения.
Уравнение изгибающих моментов
d?v „ d?v п d2v
М = — EJ-jTp = — EJm s “ 5^2
и, следовательно,
At (С) = S к' (0) sinC4-^ sinC - (1 - cos С) - sin « “ “)
Мнааб
C>«J
Наибольший изгибающий момент имеет место в середине пролета (С — и):
[»' (0) sin «4- sin и — (1 — cos а)] ;
^наиб = 9000-3,227 = 29 040 кгсм.
Искомый изгибающий момент может быть вычислен и несколько иначе:
^наиб = МпОп 4“ *$^тах’
Мнаиб = 22 740 4- 9000 - 0,700 _ 29 040 кгсм.
продольно-поперечный изгиб балки
565
Наибольшее напряжение в опасном сечении (середина пролета)
а - = 182 + 624 = 806 кг/см*.
Таким образом, величина расчетного напряжения, определенного без учета изгибаю*
щего действия силы 5, составляет от действительной величины напряжения
670
800 100 = 840/е.
3. Определение величины нагрузок (Р и S), при которых расчетное напряжение'
достигает предела текучести материала балки.
Для сжато-изогнутых балок зависимость между напряжением и продольными нагруз-
ками нелинейная. Действительно, при вычислении перемещений и изгибающих моментов
величина продольной силы входит в аргументы тригонометрических функций.
Указанная зависимость величины расчетного напряжения от продольной силы делает
возможным определение запаса прочности только путем ряда попыток или путем исполь-
зования приближенного метода расчета.
В условиях рассматриваемого примера выше было показано, что приближенное
определение прогибов и изгибающих моментов дает результаты, совпадающие с резуль-
татами ^рчного решения. На этом основании и для определения запаса прочности целе-
сообразно^использовать приближенный метод расчета.
Запас прочности п для рассматриваемого примера определится из выражения
nS 1
9т = р +
"МпОп Мпоп + (nVnon “Ь ®поп) •
(151)
Здесь
Мпоп — 4 я vnon — 48 pjy
величина изгибающего момента и прогиба в опасном сечении от нагружения балки
силой Р, а
1 * 5 ql*
мпоп = §" и vnon =384£/у
соответствующие величины в том же сечении от собственного веса балки, рассматри-
ваемого как неизменная величина (в отличие от сил Р и S).
Преобразование выражения (151) приводит к квадратному уравнению для определе-
ния запаса прдчности:
S
F S9 + W), \Мпоп S9 — SVnon
или
, „ ^поп П
+ ОГ— =0
56,6ла - 1070л + 2230 = 0.
(152)
Искомый запас прочности п = 2,4.
Таким образом, при возрастании поперечных и продольных нагрузок в п = 2,4 раза
(собственный вес балки остается без изменения) расчетное напряжение возрастает от
величины а » 806 кг/см2 до предела текучести — 2400 кг/см2, т. е. в 3 раза;
Пример 3. Составить уравнение упругой линии сжато-изогнутой ступенчатой балки
переменного сечения (фиг. 477, а).. Левый конец балки оперт, правый заделан. Моменты,
инерции поперечных сечений: X на длине первого участка и /2 на длине Z2 второго
участка.
Поперечная нагрузка — сила Р, приложенная на расстоянии а от места сопряжения
участков балки. Продольная нагрузка осуществлена в виде двух сил: одна из них
приложена к левому торцу балки, а другая $0 —внутри пролета, на расстоянии 1± и
от концов балки.
Решение. По формулам (95) и (97) уравнение первого участка упругой линии
(момент инерции Л и продольная.сила 51) в системе координат yiOiZi (фиг. 477,6):
»i (Cl) = V1 (0) + »; (0К'1 + < (0) (1 - cos С1)+< (0) G1 - sinCx), ’ (153)
где ___
С, = и 1Я1 = 1/Л1. -С (153)
г JCJl
обб Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
t
Из условий на левом конце балки (опора)
(0) « 0 и v\ (0) = 0.
При переходе от первого участка балки ко второму меняется сечение бруса и момент
инерции скачкообразно переходит от значения к значению /2. Здесь же происходит
и скачкообразное изменение продольной силы от значения St к значению S2 = + So.
При отсутствии продольных сил для подобного рода ступенчатых балок возможно
построение общего уравнения упругой линии (см. § 3).
При продольно-поперечном изгибе момент инерции сечения и величина продольной
силы входят в аргументы круговых и гиперболических функций, используемых в качестве
частных интегралов дифференциального уравнения упругой линии. Это обстоятельство
не позволяет построить общее уравнение упругой линии всей балки, включающее в себя
только четыре начальных параметра. Упругая линия каждого участка балки (часть
Фиг. 477.
балки, на протяжении которой момент инерции и продольная сила постоянны) опреде-
ляется своим дифференциальным уравнением и его интеграл выражается через начальные
параметры рассматриваемого участка. Возможно, но не обязательно, применение для
каждого участка балки отдельной системы координат.
Итак, уравнение второго участка упругой линии (момент инерции J2 и продольная
сила S2) в системе координат y2O2z2:
(М - v2 (0) 4- v2 (0g2 + v2 (0) (1 - cos Ca) + v2 (0) (C2 - sin Ca) +
(,54)
где
C2 «= maza; a « m2a;
mc>‘ “ 1/ и $2 e 5i4~S0.
V CJ
Вследствие соответствующего выбора начала координат v2 (0) 0.
Используя условия сопряжения первого и второго участков, выразим начальные
параметры v2 (0), v2 (0) и v2 (0) второго участка через начальные параметры (0) и Vj (0)
первого участка.
Первое условие сопряжения:
ММ “МО)
или
'т-^ (Ai) — m2v2 (0),
где kt == Wi/i — безразмерная длина первого участка.
Используя уравнение (153), представим условие сопряжения в виде
mi [vj (0) + о” (0) (1 ~ cos kt)] = m2v2 (0). (155)
Второе условие сопряжения:
Aft (kt) = М2 (0)
Продольно-поперечный изгиб балки
567
или
(Хх) » EJ2mfyu2 (0)-
Заменяя
EJrm\ = $i и EJ2m^ = S2
и используя уравнение (153), имеем
SiVj' (0) sin Xi = S2v"2 (0). (156)
Третье условие сопряжения: о
Qi (M-Q2 (0)
или
«i$i Н (*1) + «Г (М] = m2S8 [»; (0) + v” (0)].
Подстановка значений v[ (Хх) и v™ (Хх) по уравнению (153) и замена v2 (0) через его
выражение по зависимости (155) дает
[vj (0) + v" (0)] - ^S, [t»i (0) + t»i (0) (1 - cos = m2S2V2 (0). (157)
Внесение полученных значений v2 (0), v2 (0) и v2 (0) в выражение (154) приводит
к следующему уравнению для упругой линии второго участка:
«2 (Сг) = [t»i (0) + of (0) (1 — cos Хг)] С2 + V* (0) sin Ах (1 — cos С2) -|-
+"S’ [°i<°>+v"‘ <°>] — v’i <°> - < (°) О " cos Л1> } ~ sln « +
+ -^§7[(’2-“)-sin(C2-«)]. (158)
Для определения оставшихся двух начальных параметров v[ (0) и v* (0) первого
участка используем краевые условия на правом конце балки (заделка):
V2 (*г) — — «I (Хх) И »2 0-г) = 0.
где Ха = т2^2 — безразмерная длина второго участка.
Используя первое краевое условие и сгруппировав слагаемые, содержащие (0)
«»
и Vj (0), имеем
Л1< (0) + A3Vi (0) + А = 0, (159)
где введены обозначения:
/их Г 5Х 1
Лх == Хх -f- I sin Х2 4* (Х2 — sin Х2) ;
L J
z»i Si
Аз — (Хх —sin Хх) + — (1 — cos Хх) sin Х2 -f- -q— (1 — cos X2) sib Xx -f-
TU2 o2
+ “m7 s? —slnM;
A<> = [(X* “ a) “s,n (X* ~ a)1 •
Аналогично используя второе краевое условие, имеем
ад(0) 4-В8<'(0)4-Во = 0. С160)
568 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
1
где также введены обозначения:
В9 = — (1 — cosk.)cos k2 + -$! sin k. sin k2
— cosX2>;
-cos(k2-a)].
Решение полученной системы уравнений (159) и (160) приводит к следующим
значениям начальных параметров:
, А0В3 — В0Л ,
ЯМз-АВз’
Подстановка найденных значений начальных параметров в зависимости (153)
и (158) приводит к окончательным выражениям для уравнений упругой линии
на первом и втором участках рассматриваемой ступенчатой балки переменного
сечения.,
Помимо рассмотренных выше методов расчета при продольно-поперечном
изгибе, существенный интерес представляет предложенное Н. В. Корноуховым
применение энергетического метода (интеграла Мора) для вычисления переме-
щений в сжато-изогнутых и растянуто-изогнутых балках. Обобщение ориги-
нальных исследований Н. В. Корноухова и их применение к уточненному рас-
чету плоских рам изложено в его фундаментальной монографии [39].
Наиболее распространенным графическим методом расчета сжато-изогнутых
балок являются так называемые круги Н. Г. Ченцова [20]. Дальнейшее разви-
тие метода векторных диаграмм дано М. Л. Лурье [46], [47] и И. И. Трапе-
зиным [87]. Метод определения изгибающих моментов в сжато-изогнутых балках
путем использования эквивалентного кривого бруса предложен А. Р. Ржаницы-
ным [72].
Продольно-поперечный изгиб балок, лежащих на упругом основании, в пре-
делах гипотезы линейной зависимости между интенсивностью реактивных сил и
величиной прогиба рассмотрен в работах [27], [33], [50], [73], [91] и др.
Необходимо также отметить работу И. В. Урбана [92] об общем методе
решения задач строительной механики, описываемых линейными дифференциаль-
ными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Нелинейная зависимость между перемещениями оси балки и продольными
силами исключает возможность использования прй продольно-поперечном изгибе,
по отношению к продольным нагрузкам, так называемого принципа сложения
или принципа независимости действия сил. Вследствие этого расчеты сжато-
изогнутых или растянуто-изогнутых балок при сосредоточенных продольных силах
и при продольных силах, распределенных по длине бруса, резко отличаются друг
от друга. В первом случае нахождение перемещений (линейных и угловых)
и внутренних силовых факторов сводится к интегрированию линейных диффе-
ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а во втором случае,
т. е. при распределенных продольных силах, приходится интегрировать линейные
дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами (типа Бесселя).
Расчет ряда типовых схем сжато-изогнутых и растянуто-изогнутых балок с при-
менением функций Бесселя дан в работе [52].
Обоснование математического аппарата общей теории упругой линии, т. е.
изучение разрывных решений линейных дифференциальных уравнений и ряда
смежных вопросов, дано в монографиии Ш. Е. Микеладзе [53].
Дифференциальные уравнения упругой линии плоского кривого бруса 569
§ 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ УПРУГОЙ ЛИНИИ ПЛОСКОГО
КРИВОГО БРУСА И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В прямом брусе длины всех волокон одинаковы.
В кривом брусе длины различных волокон, вообще говоря, различны. Если
это различие в длине незначительно и им можно пренебречь, то мы имеем
дело с кривым брусом малой кривизны. В тех же случаях, когда это различие
в длине волокон достаточно велико, брус носит название кривого бруса боль-
шой кривизны.
При определении линейных и угловых перемещений большинство стержне-
вых элементов инженерных конструкций, осью которых являются различные
плоские кривые, чаще всего дуги окружностей, можно рассматривать как кри-
вые брусья малой кривизны. Так, при расчете на жесткость плоского кривого
бруса с прямоугольным поперечным сечением границей между кривым брусом
малой кривизны и кривым брусом большой кривизны можно считать отноше-
ние -£-=3, где р — радиус кривизны оси бруса и h — сторона сечения, рас-
положенная в плоскости кривизны бруса.
Таким образом при > 3 кривой брус имеет малую кривизну, а при
< 3 — большую кривизну.
Обратимся к рассмотрению перемещений, возникающих в плоском кривом
брусе малой кривизны при действии сил, лежащих в плоскости бруса. Пред-
полагается, что одна из главных центральных осей инерции всех поперечных
сечений бруса также лежит в плоскости бруса.
При соблюдении перечисленных условий деформированная ось бруса или
так называемая упругая линия также является плоской кривой. Другими словами,
точки оси бруса не получают перемещений, перпендикулярных к плоскости
бруса.
Случай плоского кривого бруса, нагруженного силами, перпендикулярными
к плоскости бруса, и общий случай пространственного кривого бруса малой
кривизны будут рассмотрены ниже (см. § 9).
Выберем произвольным образом в плоскости кривизны бруса прямоугольную
систему координат ху (фиг. 478). Примем на оси бруса АВ некоторую точку О
за начало отсчета дуг s и зададимся положительным направлением отсчета,
например, в направлении от О к В. Возьмем на оси недеформированного бруса
произвольную точку С (х, у) и будем фиксировать ее положение также и ду-
гой OC = s. ,
После изгиба ось бруса занимает положение XjBj, начало отсчета дуг О
переходит в точку С\ и точка С займет положение Сх (х я, у -|- v), где и =CL
и v = CrL представляют собой приращения координат точки С, обусловленные
деформацией бруса. Будем пренебрегать продольными деформациями (растяже-
ние или сжатие) оси бруса и примем, что ОС — OiC1=s.
Обозначим через Д вектор полного перемещения точки С в результате из-
гиба бруса. Проекциями вектора Д являются приращения и и v координат х
и у точки С. ‘ v .
Угол наклона касательной ТТ к оси недеформированного бруса в точке С
обозначим через ф. Угол наклона касательной ТгТг к оси деформированного
бруса в точке Сг будет уже иным. Обозначим его через фх = ф + О. Таким
образом, при изгибе бруса прямая ТТ смещается поступательно на величину Д
и, кроме того, поворачивается на угол О-.
Возьмем на недеформированной оси бруса вторую точку D, определяемую
дугой s 4- Д$, т. е. смежную ,с точкой С.
Дифференциал dst соответствующий приращению Д$ дуги s, определится
как
ds = ]/(dx)2 + (^)2,
570
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений.
где dx и dy — дифференциалы приращений координат х и у при переходе от
точки С к точке D.
Рассмотрим теперь точку Н с координатами х + dx, у -|- dy, лежащую . на
касательной ТТ. Как известно из анализа, расстояние между точками D и Н
представляет собой при Д$ 0, малую величину высшего порядка по сравнению
с дифференциалом дуги ds. Это обстоятельство позволяет не делать различия
между перемещениями этих точек и заменить рассмотрение перемещения точки D
перемещением точки Н.
Вектор перемещения Дн точки Н можно представить в виде геометрической
суммы переносного перемещения Д вместе с точкой С и относительного пере-
мещения 6 за счет поворота касательной на угол ft и, следовательно,
Дя-Д~8. (161)
Если проекции вектора Д на координатные оси суть и и v, то проекциями
вектора Дя являются величины и 4- du и v dv.
Учитывая, что биссектрисса j/B//1C1H2 = ft образует с осью х угол ф +
+ -yft, замечаем, что вектор 8, перпендикулярный к указанной биссектриссе,
образует тот же угол <p-|--g-ft с осью у. Тогда, проектируя обе части век-
торного равенства (161) на координатные оси, получаем следующие выражения
для дифференциалов перемещений и и v точки С:
du = — 8 sin ^9 + -у- ft ) ;
dv = 8 cos 0) 4- -у ft ) .
Дифференциальные уравнения упругой линии плоского кривого бруса
571
Замечая, что
САН2 — СН ds,
имеем для величины относительного перемещения 8 из треугольника СХНХН2
следующее выражение:
8 = 2ds sin ~^-
и, следовательно,
О- г О’ 0 1
du — — 2ds sin -н- sin ф cos -f- cos ф sin I ;
a ; L 2 2 J . <162)
dv = 2ds cos -ту- cos ф cos -sin ф sin 1 w
л l ~ J
Ограничиваясь рассмотрением в дальнейшем только малых перемещений
можно положить в выражениях (162)
. 0 0 0 1 / о Y2 -
Sin —; COS^-^1; (-g-) ^0
и, замечая, что (из треугольника СКН)
ds sin ф = dy, ds cos ф = dx,
имеем следующие дифференциальные зависимости между искомыми линейными
и угловыми перемещениями:
> = <163)
Величина изгибающего момента M(s) пропорциональна изменению кривизны
оси бруса, т. е.
J_____М_
Р Ро EJ *
где р0 и р — соответственно радиусы кривизны оси бруса до и после деформа-
ции. Подстановка значений кривизн
JL=*L и 1 ^<*№ + *0
р0 ds р ds
приводит к следующему соотношению:
db _ М
ds EJ *
(164)
Выражения (163) и (164) представляют собой дифференциальные уравнения
упругой линии плоского кривого бруса малой кривизны при изгибе в плоскости
бруса.
При выводе дифференциальных уравнений упругой линии были приняты
следующие правила знаков для входящих в уравнения величин:
1) изгибающий момент 7И считается положительным, если при изгибе кри-
* ' 1 1
вого бруса его кривизна увеличивается, т. е. — > —;
2) угловое перемещение О- считается положительным, если при деформации
бруса касательная к его оси поворачивается в направлении перехода от оси х
к оси у; , '
3) линейные перемещения и и v считаются положительными, если они совпа-
дают с положительными направлениями соответствующих координатных осей.
При интегрировании дифференциальных уравнений (163) и (164) необходимо
выразит^ все входящие в них величины dx, dy, ds и Л4 в функции какого-либо
572 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
одного параметра (жесткость EJ предполагается постоянной). Для брусьев
с круговой осью в качестве такого параметра удобно принять центральный
угол ср, фиксирующий положение произвольного поперечного сечения.
Тогда искомая величина углового перемещения &(<р) определится квадрату-
рой уравнения изгибающих моментов М (ср):
<₽
6(?) = ^о + ^)г Jm(?)<M?), (165)
<Ро
а величины искомых линейных перемещений и (ср) и V (ср) — квадратурой най-
денного уравнения угловых перемещений:
<р
«(?)=««—J &(?) dy (<р); (166)
сро
v (?) = «о + J * (?) dx (<р). (167)
«Ро
Здесь <р0 — значение угла ср» соответствующее началу оси бруса, а 80.
а0, — начальные параметры упругой линии, т. е. значения углового и линейных
перемещений в начале оси бруса.
После определения линейных перемещений и и и, по направлениям осей х
и у, не представляет затруднений вычисление проекции полного перемеще-
ния Д на какое-либо другое направление.
Обозначим через С и ц проекции вектора Д на касательную и нормаль к
недеформированной оси бруса в рассматриваемой точке С (фиг. 478). За поло-
жительное .значение С примем перемещение в направлении возрастания дуги 5,
а за положительное значение т] — перемещение в направлении к центру кри-
визны.
Проектируя перемещения и и v на касательную и нормаль, приходим к еле-,
дующим выражениям для искомых перемещений:
С = йсозФЧ- wsin<b; 1
Т (168)
ц =— и sin ф-f-w cos<|), J
где ф — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси х.
Заметим, что оси С и iq в отличие от осей х и у являются подвижными
осями, т. е. при движении точки по оси бруса их направление непрерывно
изменяется.
Для брусьев с круговой осью между тангенциальными Z и радиальными
перемещениями существует весьма простая дифференциальная зависимость. Дей-
ствительно, рассмотрим элемент оси ds—rdy кругового бруса (фиг. 479). Если
перемещения одного конца элемента £ и ц, то перемещения другого конца
С + dZ и т| -|~ diq. Длина рассматриваемого элемента до деформации ds = rd<p,
а после деформации
dsA = (г — iq) dy
Пренебрегая деформациями растяжения (или сжатия) оси бруса и приравни-
вая ds1 = ds, имеем, что
= (169)
После опрёделения перемещений С и iq по формулам (168) дифференциаль-
ное соотношение (169) целесообразно использовать для контроля найденных
значений перемещений.
Пример 1. Исследовать упругую линию разрезанного кругового кольца радиуса г
(фиг. 480). Одна из граней разреза заделана, а к другой приложены две взаимно пер-
пендикулярные силы и Р2, лежащие в плоскости оси кольца.
Дифференциальные уравнения упругой линии плоского кривого бруса
573
Решение. Рассмотрим произвольное поперечное сечение кольца, определяемое
тс
центральным углом ?. При обе силы Рг и Ра, деформируя кольцо, уменьшают
его кривизну и, следовательно, изгибающий момент в указанном интервале изменения
угла ? отрицателен:
М (<?) = — Рхг sin ? — P2r (1 — cos f). (170)
При<р>-2" знак изгибающего момента определяется выражением (170) путем подста-
новки соответствующего значения угла <?.
Замечая, что элемент дуги ds == rdy, представим уравнение угловых перемеще-
ний (165) в виде
(1 — cos <?) dy
Подстановка значения изгибающего момента М (f) по выражению (170) дает, что
ф <р
&(?)-» (0) — С sin <р df —
CJ J CJ
0
или
&(?) = & (0) —-gj-(1 — cos ?)—-gj-(? —sin ?). (171)
Учитывая, что сечение при ср = 2л заделано (фиг. 480), используем в качестве усло-
вия для определения начального параметра 0 (0) зависимость $ (2л) = 0. Тогда искомое
начальное значение углового перемещения
Р2г2
& (0) = 2л -Jy- > 0,
т. е. начальное сечение (<? — 0) при изгибе бруса поворачивается по направлению от
оси х к оси у.
Теперь уравнение (171) угловых перемещений, т. е. углов поворота поперечных
(радиальных) сечений кольца при его изгибе силами Pi и Ра, принимает вид
Р Г2 Р
»(?) = # “1 (?)+~h «2 (?)• (172>
где коэффициенты угловых перемещений:
«1 (?) — — (1 — cos ?)
и
’ «2 (?) = 2л — f -j- sin ?.
Замечая, что (фиг. 480)
dx = rdy sin ?. rfy = - г rff cos
574
Методы расчета на жесткость в области МйЛЫХ Перемещений
и используя зависимости (166) и (167), приходим к следующим выражения^ для линей-
ных перемещений и (?) и v (?) по направлениям осей л и у:
?
и (?) «* а (0) + г J & (?) cos ? о??;
v (?) — v (0) -f- г J & (?) sin ? rf?,
где я(0) и v(0) — значения перемещений при ? = 0.
Подстановка найденного выше значения & (?) и выполнение квадратур дают, что
Аг» Г 1 1 1
и (?) «= и (0) +-gy |^-2“ ? - sin?+ -4- sin 2?j +
4- [ 1 + (2* - ?) sin ? - cos ? + 4“ si°2 ?] »
V (?) = V (0) — - cos ? — -y sina ?] 4-
р2гз Г i 1 i
+ “gjT I 2k — sin ? — (2k — ?) cos ? + -y ? --j-sin 2 ?J .
Для определения начальных значений и (0) и v (0) используем краевые условия,
и (2л) =» 0 и v (2к) = 0,
откуда
и (0) = — к ^gy и v (0) = — Зк ^gj-.
Подстановка найденных начальных значений приводит к следующим выражениям
для искомых линейных перемещений:
перемещение вдоль оси х
РчГ& РяГ&
и W = ~£Т" (?) + ~ЁГ °2 <?)’ <173)
где
Pi (?) == — £4* (2^ — ?) + sin ? — 4 sin ? cos ?]
р2 (?) == 1 4- (2л — ?) sin ? — cos ? 4- 4 sin2 ?5
перемещение вдоль оси у
v (?)= ^ЁГ 71 (?) + ^ЁГ 72 (?)’ (174)
где
71 (?) =в — [1 — cos ? — 4 sin2 ? ]
И
72 (?) “• — [4 № ~ ?) + (2* — ?) cos ? 4- sin ? + 4 sin ? cos ?] •
Величины коэффициентов угловых и линейных перемещений а, р и 7 в зависимости
от угла ? сведены в табл. 41. По данным этой таблицы на фиг. 481 изображена упругая
линия разрезанного конца под действием горизонтальной силы Ръ а на фиг. 482 — под
действием вертикальной силы Ра. Данные табл. 41 позволяют легко выполнять построе-
ние упругой линии кольца и при совместном действии указанных сил при условии, что
задано отношение их величин.
Переход от перемещений щ и в неподвижной системе координат к перемешениям С»
т] в подвижной или естественной системе (фиг. 483) осуществляем по формулам (168).
Подстановка ? = — — ? ^ в эти формулы дает, что
£ (?) = и (?) sin ? — v (?) cos ?;
г, (?) = и (?) cos ? 4- v (?) sin ?.
Дифференциальные уравнения упругой линии плоскогб кривого бруса
575-
Используя выражения (173) и (174), имеем:
перемещение по касательной или тангенциальное перемещение
Рлг*-
С(?)-+м?)++-0,(?). (175>
где Г 1 1
01(?) —— |1 — со8? + у(2л — <f>)sin?J
0, (?) — (2я — ?) + у (2л — <р) cos ? 4- у sin ?;
перемещение по нормали или радиальное перемещение
р1Гз ~ р^гз
Yi <*) = ~ЁТ + ~ЁГ °
где * 1 f 1
Ti (?) - - У [(2« — ?) COS ? -ь sin <р
и Г 1 1
78 (?) — — 11 — COS <г + у (2л — ?) sin ? I .
Таблица 4t
Значения коэффициентов угловых и линейных перемещений кривого бруса
по фиг. 480
т 0 Л “4 л 2" Зк 4 Л 5л т • Зл Т 7л т 2л
а1 0 • -0,293 — 1 -1,707 —2 —1,707 -1 —0,293 0
а2 6,283 6,205 5,712 4,634 3,142 1,649 0,571 0,078 0
01 -3,142 —3,206 —3,356 -2,921 —1,571 —0,221 . +0,215 0,064 0
02 0 4,430 6,212 4,733 2 +0,291 —0,071 -0,012 0
71 0 -0,043 . -.0.5 -1457 —2 -1,457 -0,5 —0,043 0
72 -9,425 -7.594 -3,356 +0,3562 1,571 —0,9451 0,2146 0,0090 0
57b
x Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
кого для обработки в трехкулачковом патроне
сК 1
Непосредственное вычисление производной показывает, что последняя совпадает,
как это и следует по формуле (169), С выражением т) (<р).
Пример 2. Исследовать упругую линию замкнутого кругового кольца, закреплен
(фиг 484).
Р е ,ш е н и е. Закрепление ко-
лец в, ' трехкулачковом патроне
широко применяется при растачи-
вании, обтачивании, шлифовании
и других операциях механической
обработки. Под воздействием уси-
лий зажима (три симметрично рас-
положенные радиальные силы) не-
избежна деформация заготовки
при ее закреплении. При обра-
ботке заготовки в закрепленном
состоянии получают правильную
форму внутренней поверхности.
После снятия детали со станка и
освобождения от усилий закре-
пления форма обработанной по-
верхности, в силу упругих свойств
материала, искажается.
При недостаточной жесткости
кольца эти искажения формы обра-
ботанной поверхности могут до-
стигать значительных размеров.
Поэтому при проектировании тех-
нологических процессов механи-
ческой обработки указанных дета-
лей необходимо знать величины
усилий зажима [40], [103].
силовых факторов, возникающих
упругих перемещений в зависимости от прилагаемых
Вначале обратимся к рассмотрению внутренних
в кольце под влиянием усилий зажима Р. По соображениям симметрии следует, что
в сечениях А и С (фиг. 485) поперечные силы Qo == 0, а нормальные силы No и изгибаю-
щие моменты Л1о одинаковы. Тогда, рассматривая равновесие части кольца АВС и проек-
тируя все силы на ось симметрии этой части, имеем, что
-Р + 2ЛГоХД = О,
откуда искомая нормальная сила
Уз
Изгибающий момент Мо в тех же сечениях кольца является статически неопреде-
лимой величиной, и его вычисление будет сделано ниже при рассмотрении деформаций
кольца.
Дифференциальные уравнения упругой линии плоского кривого бруса 577
Уравнение изгибающих моментов для части АВ кольца, т. е. в интервале 0 < ср >
имеет вид
Уз
Af (f) = /Wt——трР-г (1 — cos ср).
Уравнение угловых перемещений в том же интервале по формуле (165)
ф __
»(<Р) = & (0) -I- J [м0 — Рг (1 — cos <р) j df
О
или после преобразований
MQr 1/3 Рг3
♦(?) — » (0) + -£7 ?---3“ £7 (? — Sin ?).
Замечая, что по соображениям симметрии (фиг. 484) & (0) = 0, так же как и
& определяем из последнего условия неизвестный момент & именно
Подстановка найденного значения А40 в уравнение угловых перемещений дает, что
Рг2Г 3 Уз ]
в<?)“ £JL_2^'p+ ~sinq- , <177>
Замечая, что
dy = rrfcp sin ср,
получаем до формуле (166) следующее выражение для линейных перемещений вдоль
оси х: *
ф _
Рг3 П 3 Уз 1
и (f) « и (О) — J [^— -27 <Р + sin ср ] sin cprfcp.
и
Очевидно, что сечение А не перемещается вдоль оси х, начальное перемещение
и, (0) = 0 и, следовательно,
Рг3 Г 3 1/3 1
«(?) = — "£7 [27 (f cos <? — sin у) + "|2" (2ср — sin2ср)|. (178)
В частности, горизонтальное перемещение сечения В
( п \ Рг3 Г 1 3 У“Г я Уз 1
а \ 3 ) EJ [ 8 ““ 4л + 18 J*
Используя соотношение
dx « г d? cos ср,
получаем по формуле (167) следующее выражение для линейных перемещений вдоль
беи у:
Рг3 С Г 3 Уз ]
« (?) = » (°) +-£7 j [—2Г ? + “ sin ?j cos <? d<f>
о
иля после преобразований
Рг»Г 3 Уз I
V (?) — v (0) + £7| 2^(1 — cos? — ? sin ?) + -у2~(1 — cos2<f>)j .
В частности, вертикальное перемещение сечения В
/ я \ ,ЛЧ Рг’Гз /Л
Ц—Н<0) + £т[^г-—J- . .
Для определения начального вертикального перемещения v (0) используем то обстоя-
/ л \
тельство, что сечение п0 условию симметрии (см> фиг. 484) не яереме-
37 Пономарев и др. 407
578
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
1
щаетс# по касательной. Проектируя горизонтальное и вертикальное перемещения этого
сечения на направление касательной к окружности в точке В, имеем, что
/ тс \ ( тс \ к / тс \ ТС
с \~) = и \t)cos“3"-v k“3"/sin-3" = 0-
Подстановка найденных ранее значений и и v \"3 / пРив°лзт к следующей
величине искомого начального перемещения (вертикальное перемещение сечения А):
Рг3[ п 3 КЗ 1 Рг3
v (°) = £7 [тг “ 2Г-—J------------°’01426 £7
и, следовательно, уравнение вертикальных
перемещений
Рг3Г тс 3
v = £7 ["ПТ “ *2к (cos ? + <Р sin<f) +
т/’Т “|
+ (3 - cos 2?) I ♦ (179)
Проектируя величины горизонтальных и
вертикальных перемещений на подвижные
оси С и Т|, имеем (фиг. 486)
С == и cos f + v sin f;
t] = — и sin + v cos .
Подстановка найденных значений и (у) и
о (<р) приводит к следующим выражениям для
тангенциальных и радиальных перемещений:
Рг3Г
С(т)-£7[-
з /л УзЛ
2тс f + 18 + 3 )
(180)
, „ Рг* Г з / * , Уз \ V з
4(f)- £7 [_^ + ^ + "^/с03'«> + ~6_?8'п'Р
(181)
Для контроля правильности найден- •
ных выражений (180) и (181) может
служить соотношение (169).
Все полученные выражения для пе-
ремещений и, v и ц справедливы в
тс
интервале 0 < < -д- •
Так, для точек А и В кольца вели-
чины радиальных перемещений
Рг3
Чд“>|(0)-- 0,01426. £7?
( тс X Рг3
71В = ^\Т) = + 0,01594-gy.
(182)
Следовательно, при, деформации
кольца усилиями зажима (фиг. 484) точ-
ка А перемещается в направлении от
центра кольца, а точка В — к центру
кольца.
Тангенциальные перемещения для
этих точек отсутствуют
С = = О,
A D
На фиг. 487 изображены эпюры ра- >
диальных (сплошная линия) и танген- Фиг- 487.
циальных (пунктирная линия) перемет
щений, при построенйи которых использованы выражения (180) и (181) и учтена сим-
метрия упругой линии кольца. При построении/эпюр положительные значения переме-
щений откладывались внутрь кольца. Заметим, что, как йо следует из соотношения
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 579
(169), экстремальные значения на эпюре радиальных перемещений совпадают с нулевыми
точками на эпюре тангенциальных перемещений.
Экспериментальное определение перемещений производилось для кольца из стали 45
прямоугольного поперечного сечения [40]. Внешний и внутренний диаметры кольца
равнялись 95 и 89 мм, ширина Ъ — 20 мм. Зажимное усилие принималось равным
Р = 100 кг. При этой нагрузке остаточные деформации в кольце не возникали. [Заме-
тим, что зависимость зажимного усилия (на кулачке) от усилия на рукоятке ключа
рассмотрена в работе [71]}.
Измерения перемещений точек А и D, произведенные 5 раз, дали в среднем следую-
щие величины:
= 0,14 см и » 0,15 см.
Сравним найденные величины перемещений с вычисленными по формулам (182).
Радиус средней линии и толщина кольца
1 9,54-8,9 1
г = ~2----2---в 4»6 см и h — ~2~ (9,5 —- 8,9) = 0,3 см.
Момент инерции сечения кольца
J = Ь№ = 0,0045 см*.
Принимая модуль упругости Е — 2,1 • 106 кг/см2 по приведенным выше формулам,
получаем
ЮО-4,68
»]д =» 0,01426 2,1-10е-0,0045 = 0,146 см'
100-4,6»
^ = Чв = 0,01594 2,1-10*-0,0045 = 0,163 см~
что достаточно хорошо согласуется с экспериментальна найденными значениями.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СЕЧЕНИЙ ПЛОСКОГО
И ПРОСТРАНСТВЕННОГО КРИВОГО БРУСА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Рассмотрим определение перемещений в кривом брусе, ось которого —
некоторая пространственная кривая, т. е. кривая двоякой кривизны. В частном
случае эта кривая может быть и плоской, т. е. лежащей в одной плоскости.
Ограничимся рассмотрением нахождения перемещений в кривом брусе малой
кривизны, что практически охватывает большинство встречающихся случаев.
Предположим, что нагрузки, приложенные к кривому брусу, представляют
собой силы и пары сил, как угодно ориентированные в пространстве. Мысленно
разрежем брус по некоторому поперечному сечению. Оси х и у направим по
главным центральным осям сечения и ось z — по касательной к оси бруса в
месте разреза. Рассматривая равновесие отсеченной части бруса, определим из
шести уравнений равновесия внутренние силовые факторы: нормальную силу
поперечные силы Qx и Qyt крутящий момент Mz и изгибающие моменты Мх
и Му, Эти силовые факторы зависят от внешних нагрузок, приложенных к
отсеченной части бруса, и от положения места разреза, определяемого дугой $,
отсчитываемой от некоторой фиксированной точки оси бруса (начало отсчета
ЛУО-
Обратимся к выражению потенциальной энергии деформированного бруса
через внутренние силовые факторы. При этом будем предполагать соблюдение
следующих условий:
1) материал балки работает в пределах закона Гука;
2) линейные и угловые перемещения сечений бруса достаточно малы;
3) как для внутренних силовых факторов, так и для перемещений справед-
лив принцип независимости действия и сложения.
Нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях кривого
бруса малой кривизны определяются по известным формулам сопротивления
материалов для прямого бруса (особенности расчета брусьев из тонкостенных
профиле^ рассмотрены в Гл. IX, т. I). Так, нормальные напряжения а связаны
37*
580
Методы расчета на оюесткасть а области малых перемещений -
с тремя внутренними Шиловыми факторами, изгибающими моментами Мх и Му
и нормальной силой Ng следующим выражением:
0=^ + ^ + ^;
• J х J у
Тогда потенциальная энергия деформированного бруса, обусловленная нали-
чием нормальных напряжений а, выражается следующим образом:
где dF — элемент площади поперечного сечения, a ds — длина элемента оси
бруса L. Учитывая, что для главных центральных осей статические моменты и
центробежный момент обращаются в нуль, имеем

Г N^ds С M*ds С M^ds
J 2EF + J 2EJX "Ь J 2EJy ’
L L L
(183)
1 Аналогично выражается и потенциальная энергия деформированного бруса,
обусловленная наличием касательных напряжений, связанных с другими тремя
внутренними силовыми факторами, поперечными силами.
моментом Л4г, а именно
. f (Ads f Г
U (и) = kx j 2GF ky ] 2GF + }
v V «/
L L L
Qx и Qy и крутящими
Mfys
(184)
здесь Jr — геометрический фактор крутильной жесткости сечения (см. гл. VIII,
т. I).
В случае круглого сечения этот фактор совпадает с полярным моментом
инерции сечения
г / 71 rf* е
Jr— J р—
Коэффициенты kx и ky отражают неравномерность распределения касатель-
ных напряжений от срезывающих сил и Qy по площади F поперечного
сечения бруса. Оба эти коэффициента определяются совершенно так же, как
и при поперечном изгибе балок (см. § 4).
Полная потенциальная энергия деформированного кривого бруса, выражен-
ная через внутренние силовые факторы, определяется как сумма выражений
(183) и (184):
Z7=£/(a)+Щт)
или в развернутом виде : • '
.. Г f Af’rfs f M\ds
J 2EF T J J 2EJy
L L L У
J (Ads C (Ads C—M^ds ’
2GF ky J 2GF J 2GJT*
Выразим ^теперь потенциальную энергию деформации через внешние силовые
факторы — силы Pt и моменты ЦК,, приложенные к кривому брусу. Предпола-
гая, что перемещения сечений, где приложены внешние силы и моменты, ли-
нейно зависят от величины действующих нагрузок, имеем следующее выражение
для потенциальной энергии (работы деформаций):
use)
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 581
Здесь 8, — проекция полного линейного перемещения сечения в месте при-
ложения силы Pf на линию действия этой силы и — поворот сечения в месте
приложения момента 2)^ относительно. оси, перпендикулярной к плоскости
действия этого момента (проекция вектора углового перемещения сечения, на
указанную ось). Существенно, что величины перемещений 8, и 0, обусловлены
действием всех нагрузок (сил и моментов), приложенных к рассматриваемому
брусу.
После получения выражений (185)
и (186) для потенциальной энергии
деформированного кривого бруса
обратимся к основной задаче иссле-
дования линейных и угловых пере-
мещений его сечений.
Определим полное линейное пе-
ремещение АВ некоторой точки А
оси бруса (фиг. 488, а). Так как на-
правление полного перемещения не-
известно, то целесообразно начать
с отыскания проекции полного пере-
мещения на некоторое произвольно
выбранное направление 7.
Обозначим эту проекцию АВг
полного перемещения АВ через 8V
Для нахождения величины иско-
мой проекции 83 поступаем следую-
щим образом.^
Снимем с бруса заданную нагрузку
и приложим в сечении А по напра-
влению 1 вспомогательную силу Ро
(фиг. 488, б). От этой вспомогатель-
ной силы в текущем сечении бруса
возникают внутренние силовые фак-
торы,
Q,,Qy, Мх, Му, M2.
Все эти шесть факторов (три силы и три момента) являются функциями
дуги s, отсчитываемой от некоторой фиксированной, точки оси бруса и опре-
деляющей положение текущего сечения.
При нагружении бруса силой 7% точка А получает полное перемещение АС,
вообще говоря, не совпадающее с направлением этой силы.
Обозначим проекцию AClt перемещения АС на направление 7 через 80.
Тогда потенциальная энергия от нагружения бруса вспомогательной силой
может быть выражена следующими двумя формулами:
через внутренние силовые факторы
__ Г N2zds С M^ds С M^ds
= J 2EF + J J +
+ Л f + ne7)
T«rJ 2GF yJ 2GF M 2GJ *
L' L L T
через внешние силовые факторы
t/o=4po8o- <188)
582 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Теперь дополнительно приложим к брусу, уже нагруженному вспомогатель-
ной силой, заданную систему внешних сил и моментов (нагрузок). Внутренние
силовые факторы от совместного действия вспомогательной силы и заданной
системы сил определяются как

м*х=мх+мх, м* = мУ + му, м; = + м„
что и представляет собой применение принципа независимости действия и сло-
жения к силовым факторам.
Потенциальная энергия деформации бруса, нагруженного вспомогательной
силой и заданной системой сил, следующим образом выражается через внутрен-
ние силовые факторы:
_ f \NZ + N^ds , f (мх+м)а8 , f + f
J 2EF J 2EJX J 2EJy “+*
Mz + Mz
2EJ^
или, после преобразований и использования формул (185) и (187),
(189)
Обратимся к выражению потенциальной энергии деформации через внешние
силовые факторы. По малости рассматриваемых перемещений можно утверждать,
что действие заданной системы сил на ненагруженный брус и на брус, предва-
рительной нагруженный вспомогательной силой, вызывает одинаковые переме-
щения (применение принципа независимости действия сил к перемещениям).
Так, полное перемещение CD точки С (фиг. 488,6*) совпадает по величине
и направлению с перемещением АВ точки А (фиг. 488, а).
Тогда потенциальная энергия деформации бруса, нагруженного вспомогатель-
ной силой Ро и заданной системой сил Pt и моментов может быть выра-
жена через внешние силовые факторы следующим образом:
£/*=4 +2 4- +24 +po8i <19°)
или, после использования формул (186) и (188),
t/* = + U -J- Р08г (190 а)
Первое слагаемое С70 правой части зависимости (190), согласно выраже-
жению (188), представляет собой работу вспомогательной силы при нарастании
последней от. нуля до конечного значения, равного Ро; второе и третье сла-
гаемые, согласно выражению (186), выражают работу заданной системы сил
и моментов при нарастании последних от нуля до конечных значений; наконец,
четвертое слагаемое — это работа конечного значения вспомогательной силы Ро
на перемещении ее точки приложения от действия заданной системы сил
и моментов.
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 583
Приравнивая друг другу правые части выражений (189) и (190), имеем, что
Ро81 =
NzNzds
ЕР
MxM^ds
EJX
MvMyds
EJ^~
Г QxQxds . ъ Г QyQyds I MzMzds
J GF + J GF + J GJT 9
(191)
Поделим обе части выражения (191)
и введем следующие обозначения:
на величину вспомогательной
силы Ро
^- = N' ^=М'
Ро Рй *'
М„
(192)

^0 у
^- = М'
РЛ
Тогда для искомого перемещения 8) приходим к следующему шестичленному
выражению:
г' С мхм'х
' J EJX
L
ММ'
~ij7ds +
f QxQL Г Qy<?v
L L
GJT
(193)
Здесь Qx, Qy, Nz, A4X, Afy, M2—уравнения внутренних силовых факторов
от заданной системы внешних сил и моментов;
Qy, N'z, М'х, Myt M'z— уравнения внутренних силовых факторов от
вспомогательной силы, равной безразмерной единице и соответствующей иско-
мому перемещению 8р т. е. приложенной в том сечении балки, где ищется
перемещение, и по направлению искомого перемещения (направление 7).
Существенно, что знак каждого из шести слагаемых формулы (193) опре-
деляется следующим образом: соответствующее слагаемое положительно, если
внутренний силовой фактор от заданной нагрузки (например, Nz) совпадает по
направлению с соответствующим внутренним силовым фактором (например, N'z)
от единичной силы.
По своей относительной величине шесть слагаемых правой части выражения
(193) делятся на две группы: первая группа слагаемых включает в себя члены,
содержащие изгибающие моменты Мх, Му и крутящий момент Afz, вторая
группа — это слагаемые, зависящие от поперечных сил Qx, Qy и нормальной
силы Вообще говоря, слагаемые второй группы значительно меньше сла-
гаемых первой группы и ими, как правило, часто пренебрегают по сравнению
со слагаемыми, зависящими от Мх, Му и Mz. Ниже, в одном частном случае,
вычислены относительные величины отдельных слагаемых формулы (193).
Таким образом шестичленная формула (193) дает возможность вычислить
проекцию Bj полного линейного перемещения 8 рассматриваемой точки А оси
бруса на некоторое фиксированное направление 7.
Для нахождения величины полного перемещения 8 точки А выбирают три
взаимно перпендикулярных направления 7, 2 и 3. Целесообразно за одно из
этих направлений принять касательную к оси бруса в точке Л и за два
других — главные центральные оси сечения Л. Указанным выше способом на-
ходим проекции полного перемещения 8 на выбранные три направления, т. е.
бр В2 и 83.
584 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Тогда величина полного перемещения
Линия действия полного перемещения определяется тремя направляющими
косинусами:
Ol So до
cosa, = -у ; cosa2 = -у ; cosa3 = .
Для определения угловых перемещений,
сительно взаимно перпендикулярных осей
т. е. поворотов, сечения А отнр-
/, 2 и 3, прикладываем к брусу.
в точке Л, в соответствующих плоскостях, безразмерные единичные моменты.
Так, для определения поворота сечения вокруг оси 7, касательной к оси бруса
в точке А, прикладываем единичный момент
в плоскости сечения А (плоскость 23).
С целью выяснения относительной величины
отдельных слагаемых в формуле (193) рассмотрим
плоский кривой брус малой кривизны в виде раз-
резного кольца, один конец которого заделан, а
к другому приложены три взаимно перпендику-
лярные и одинаковые по величине силы (фиг. 4S9).
Сила Pj направлена по касательной к оси
бруса, сила Р2 — по радиусу, сила Р3 перпенди-
кулярна к плоскости кольца и направлена на чи-
тателя (н£ фиг. 489 она изображена точкой). Се-
чение бруса квадратное, со стороной а.
Рассмотрим внутренние силовые факторы,
возникающие в произвольном поперечном сече-
нии бруса, определяемом центральным углом
В указанном сечении расположим подвижную си-
стему координат xyz так, что оси х и у лежат
в плоскости поперечного сечения бруса (ось х направлена по радиусу, ось у — перпен
дикулярна плоскости оси бруса) и ось z направлена по касательной к оси бруса.
При нагружении кольца силой Р± в сечении возникает нормальная сила Nz> попе-
речная сила Qx и изгибающий момент Му. Из условий равновесия .отселенной части
кольца (фиг. 490, а)
Nz — — Pi cos f= P\ sin <p, My — P^r (1 — cos <p).
Изображенные на фиг. 490, а направления поперечной силы Qx и изгибающего
момента Му считаем положительными. Сжимающая нормальная сила Nz считается отри-
цательной.
Аналогично при нагружении кольца силой Р2 (фиг. 490, б)
Nz — ^2 Sin ч>, Qx = Р2 cos , My — P2r sin f.
Растягивающая нормальная сила считается положительной.
При нагружении кольца силой Р3, перпендикулярной к плоскости кольца, в сече-
-нии ? возникает поперечная сила Qy, изгибающий момент Мх и крутящий момент М2.
Из условий равновесия отсеченной части кольца (фиг. 490, в)
Qy = Мх = P3r sin Mz — P8r (1 — cos <р).
Поперечная сила Qy, приложенная к отсеченной части кольца, направлена от чита-
теля и на фиг. 490, в изображена крестиком. Направления Qyt Мх и Mz, соответствую-
щие фиг. 490, в, считаем положительными.
Обратимся к вычислению1 искомых перемещений.
С целью нахождения перемещения точки А по направлению 7, совпадающему с
касательной к оси бруса, приложим в точке А, единичную силу ио направлению иско-
мого перемещения (фиг. 491, а). Внутренние силовые факторы от единичной силы,
соответствующей искомому перемещению по направлению /:
= — cos <р, Q'x — sin ср и М’ = г (1 — cos <р).
Соответствующие силовые факторы от заданной нагрузки:
Nz « — Pi cos ? + Рг sin f — Р (— cos у -|- sin <р);
Qx == Pi sin -f- P2 cos ? «= P (sin ? + cos <p);
My «• Pir (1 — cos <f>) 4- P2r sin f « Pr (1 — cos f + sin ).
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 585
Подстановка найденных силовых факторов от единичной* силы и от заданной на-
грузки в формулу (193) дает, что
2к
Рг3 С Рг3
(Му) — -gj \ (1 — cos 4- sin f) (1 — cos f) dy = Зк
Для стали p. ==»O,28 и, следовательно,
Е Е
^(l-t-и) “2^6 = °’391£•
Коэффициент формы для прямоугольного еечения
, .““у-
586
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
После преобразований величина искомого перемещения может быть представлена
в следующем виде:
*1= [з.14(-^)а+9,64(-^)2+11з]^.
Таким образом, относительная величина отдельных слагаемых в выражении для
зависит от отношения стороны сечения к радиусу оси кольца. Для кривого бруса малой
а 1
кривизны предельная величина -у- «=-у •
В этом случае
ргз ргз
В, = [0,35 + 1,07 ч- 1131 - 114 £54
и, следовательно, слагаемые
Si (Мг) = 6,35 g и (Qx) = 1,07
в сумме составляют величину порядка 1°/0 от полной величины
При отношении — <“3" роль этих слагаемых становится еще меньше.
Для нахождения перемещения точки А по направлению 2 (радиальное направление)
приложим в указанной точке единичную силу по направлению искомого перемещения
(фиг. 491,6).
Внутренние силовые факторы от единичной силы, соответствующей искомому пере-
мещению по направлению 2:
Nz = sin f, Qx — cos Aly = r sin f.
Используя силовые факторы от единичной силы и от заданной нагрузки (см. выше),
ИМРРМ птл
8, = 32 (Nz) + 62 (Q*) + 62 (Л4у),
где
2к
Рг р Рг
82 (Nz) = £р j (— cos <? + sin <?) sin = я -рр *.
о
2л
Рг 0 Рг
82 (Qx) = kx qf I (sin <f> + cos <?) cos = *kx pp \
0
*2(Л1У)=
cos 4- sin f) sin f dy
Pr*
После преобразований величина искомого перемещения может быть представлена
в виде
[з.1«+)’+в.и(“)‘ + 37.7]гг--
/ а 1 \
В предельном случае кривого бруса малой кривизны I — = -g- )
Рг3 Рг3
Ь2 = [0,35 + 1,07 + 37,7] = 39,1 ,
и, следовательно, слагаемые, обусловленные наличием нормальной и поперечной сил,
в сумме составляют величину порядка 4°/0 от полной величины
С целью нахождения перемещения точки А по направлению 5, перпендикулярному
к плоскости кольца, приложим в указанной точке единичную силу по направлению
искомого перемещения (фиг. 491, в).
Внутренние силовые факторы от единичной силы, соответствующей искомому пере-
мещению по направлению 3:
(?'=1, Al^ = rsinf, M'z = г (1 — cos <р).
Соответствующие силовые факторы от заданной нагрузки
<?у = Р, Мх =*Р г sin <р, Мг = Pr{\~ cos <f>).
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 587
Величина искомого перемещения
&з = &з (Qy) + &з (Мх) + &8 (Л4Д
где
2«
Рг С Рг
^3 (Qy) = Qp 1 “ 2izky QP 9
о
2ic
ргз Р ргз
®з (мх) = gjj I sin2 <fd<f = я ;
О
2тс
Рг* С « Рг3
«з (Мг) = -pj^ I (1 — cos <f>)2d<f> = ЗП(Щ-
о
Для квадратного сечения геометрический фактор жесткости при кручении
JT = 0,141а4, •
поэтому искомое перемещение может быть представлено в виде
[/ а \2 1 Рг9
ш\—) + 37>7 + 171
а 1
В предельном случае — = -у
ргз ргз
&з = (2,14 + 37,7 + 171) = 211
и, следовательно, слагаемое, обусловленное наличием поперечной силы Qy, составляет
величину порядка 1°/0 от полной величины Ь3.
Таким образом, полученные результаты подтверждают сделанное выше за-
мечание о возможности пренебрежения слагаемыми перемещений от нормальных
и поперечных сил по сравнению со слагаемыми, обусловленными наличием
изгибающих и крутящих моментов.
Вместе с этим эти результаты, конечно, не исключают необходимости вы-
числения всех шести слагаемых каждой из составляющих 8^, 82, 83 полного
линейного перемещения в ряде специальных случаев.
В частности, заметим, что при вычислении перемещений (удлинений) у брусьев,
работающих только на растяжение — сжатие, интеграл перемещений выражается
одним слагаемым, включающим фактор Естественно, что это слагаемое
нельзя опустить, так как это равноценно предположений), что брус является
абсолютно жестким.
При вычислении угловых и линейных перемещений в круговых кривых
брусьях (ось бруса дуга окружности) удобно пользоваться таблицами интегралов,
часто встречающихся при подобного рода расчетах (табл. 42). Также можно
рекомендовать использование фундаментального математического справочника [75].
Интересное исследование линейных и угловых перемещений в кривом брусе
энергетическим методом выполнено А. А. Поповым [66]. В его работе приве-
дены таблицы выражений для перемещений при типовых нагружениях кругового
кривого бруса, в ряде случаев значительно облегчающие выполнение расчетов.
Рассмотрим ряд примеров применения энергетического метода для вычисления
перемещений в кривых брусьях малой кривизны.
Пример 1. Ленточная пружина упругой муфты {фиг. 492) нагружена двумя силами Р.
Определить сближение точек А приложения сил Р.
Решение. Разрежем пружину по сечению D и заменим действие отброшенной
нижней части силой Р (фиг. 493, а). С
Условимся изгибающий момент в плоском кривом брусе считать положительным,
если при деформации бруса его кривизна увеличивается. Тогда уравнения изгибающих
моментов для криволинейных частей АВ и CD пружины соответственно следующие:
i М — — Рг sin и М = 4- Рг sin
588 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Для прямолинейной части ВС изгибающий момент постоянен:
Л4 = Pr = const.
Приложим в точках А и D единичные силы, совпадающие по направлению с си-
лами Р (фиг. 493, б). Изгибающие моменты от единичных сил соответственно равны
Мг « ± 1 -г sin и Mj — 1 -г — const.
Искомое сближение точек А — А (фиг. 492)
= 2ZAD
Фиг, 493.
или в развернутом виде (ds = rdy)

2
_ Pr3a Pr3 C
sin2 «pd? + -£j 4- £j- j siri24>d<p
После преобразований выражение для искомого перемещения принимает вид
2
Зла = Ргг (*r + л),
где J — момент инерции сечения пружины относительно
таг'д главной центральной оси, перпендикулярной к плоско-
ТЖ ' сти пружины. 7
j 1Щ/7 Пример 2. Для кругового разрезанного кольца ра-
диуса г, расположенного в вертикальной плоскости и
нагруженного собственным весом (фиг 494), требуется:
III 1) построить эпюру изгибающих моментов;
г! 2) определить величины линейных и углового п$ре-
Ж мещений сечения А
г Вес единицы длины кольца q кг/см.
Решение. Изгибающий момент в произвольном
поперечном сечении кольца, определяемом углом <?, от
элементарной силы qrdty, приложенной в сечении ф,
равен
dM — qrdfy • г (cos ф — cos f).
Элементарный момент положителен, поскольку при деформации бруса его кривизна
в сечении возрастает.
Полный изгибающий момент в сечении от нагрузки, распределенной во дуге АВУ
равен ‘ \
<₽ /
М = qr3 | (cos ф — cos <р) z/ф
..... о z :
или после преобразований
М = qr* (sin ? cos ?).
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 589
Таблица 42
Значения интегралов, встречающихся при определении перемещений
! в: круговых кривых брусьях
Подинтегральное выражение Значение неопределенного интеграла Значение определенного интеграла в пределах от 0 до a
Sin <pdcp cos <pdd cos 2cpdcp <p sin 2<pd<p <? cos 2cprfcp sin (a — cp) d<? COS (a — <p)d<P sin (a — cp) sin cprfcp cos (a — cp) sin yd? sin (« — ф) cos ydy cos (a — cp) cos ^rfcp — cos <p 4~ С sin ср 4- С — sin 2<р + -J- <f + С -j- sin 2<р + <е + С 1 „ 3 "12 cos Зср — у cos ср 4- С 1 3 Sin 3? + — sin <f + С sin Ср — ср cos ср + С cos ср 4- <р sin <р 4- С 2cpsin<p — (ср2 — 2) cos ср 4~ С 2<р cos ср 4- (<р2 — 2) sin ср -J- С у ?2— у 9sin2cp —у cos 2ср 4- С -~?Sin2cp4--j cos2f 4- С “у sin2 ср 4" 0 -у COS3 ср 4= С у sin3 <р + С 4 V~l£'sta4f + C — — cos 2<р 4~ С ‘ -у sin.2cp 4-С 1 Л 1 rt 'у sin 2<р — -у ср cos 2<р 4- С у cos 2ср 4 "у 9 sin 2? 4“ £ cos (a — 9) 4- С — sin (а — ср) 4- С ~2 sin ср cos (a — ср) — у <р cos a 4- С —Sin ср sin (а—ср) 4- -у ср sin a 4-С у sin ср sin (a — ср) 4- у 9 sin a 4- С * , 1 1 ~2 sin cp cos (a — cp) 4- у 9 COS a 4- C 1— COS a Sin a 1 o 1 — у sin 2a 4- — a 1 Л 1 у Sin 2a 4- -y a 1 n 3 2 -|2* cos 3a — y* COS a 4- -y * . 3 -jy Sin 3a 4- у sin a sin a — a cos a COS a 4“ a Sin a — 1 2a sin a — (a2 —2) COS a —2 2a cos a 4- (a2 —2) sin a 11 1 Л 1 — a2 — — a Sin 2a— у COS 2a 4- у 1 n 1 1 1 у a24. — a sin2a+ у cos 2a — -y -y sin2 a у (1 — cos3 a) у sin3 a 1 1 у a — sin 4a 11 ту ~ ~ 008 1 -y sin 2a 1.1 у Sin 2a — -y a cos 2a 1 1 1 у cos 2a 4- — a sin 2a— y 1— cos a sin a 1 1 ~y sin a — у a cos a 1 -y a sin a 1 “y a sin a 1 1 — sin a 4“ "y a cosa
Полученное уравнение изгибающих моментов справедливо для всего кольца, т. е.
при 0 < < 2л.
Изгибающий момент, М (%) обращается в нуль при значениях <р, определяемых из
уравнения
sin <р — f cos ? == 0 или tg ср « cp.
В пределах от 0 до 2л это уравнение имеет два корня: «
<р —О и f =4,49 или f = 4,49 — =257“.
590
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Для построения эпюры изгибающих моментов даем углу ряд значений и вычи-
сляем соответствующую величину изгибающего момента
0 1 2 ” тс . 3 2 ’ 2к
м qr* 0 —1 —тс + 1 ’ —}~2тс
Эпюра изгибающих моментов дана на фиг. 495.
Для расчета на прочность используется наибольший изгибающий момент
или после преобразований (см-, табл. 42)
М (2к) = 2тсдг2.
Переходим к нахождению линейных и
угловых перемещений сечения Л.
Изгибающий момент от единичной силы
(фиг. 496, а), соответствующий горизонталь-
ному перемещению точки Л, равен
Mi = 1 «г sin f.
Искомое перемещение |
2тс 2те :
1 С аг4 С
ъар “ Z7 J MAIird,f = ej J <sln v — ‘
—<p cos «p) sin f |
Зтс qr4
Направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной си^ы
(к центру кольца).
Изгибающий момент от единичной силы (фиг. 496,6) соответствующей вертикаль-
ному перемещению точки Л, равен
Mj = 1 -г (1 — cos ?).
Искомое перемещение
» tffiepm) == j (sin <р _ <р cos ср) 0 _ cos ср-) rf«p
О
или после преобразований

и направлено вниз.
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 591
Изгибаюший момент от единичного момента (фиг. 496, а), соответствующего угло-
вому перемещению сечения А,
Alj = 1 = const
Искомое угловое перемещение
2те
= gy J (sin ? — ? cos <р)• 1 -dcp = 0.
о
<т. е. в результате деформации кольца от нагрузки собственным весом сечение А не
поворачивается.
Пример 3. Круговой кривой брус переменного сечения одним концом заделан, а на
свободном конце нагружен силой Р' (фиг. 497).
Ось бруса — полуокружность Развертка бруса
имеет вид треугольника (фиг. 498).
Найти вертикальное перемещение свободного
конца бруса, т. е. определить проекцию полного
перемещения точки А на направление силы Р.
Решение. Искомое перемещение находится
по формуле
Фиг. 497.
Г Af (у)Л41(у)
J EJW rd*>
о
где —момент инерции поперечного сечения бруса, определяемого углом <f>
(фиъ 498):
.. ч Ха* K-lSlL bcP^_
12 — V п ) 12 — 12 « ~J X •
Изгибающие моменты в сечении <р соответственно от заданной нагрузки Р и от
единичной силы, соответствующей искомому перемещению,
Л4 (<р) » — Pr sin ,и Mi (<р) = — 1 -г sin
Выражение для искомого перемещения принимает вид
кРг3 С sin2 f
8 = “£Г]
Полученный интеграл не вычисляется в замкнутом виде. Для его вычисления ис-
пользуем разложение в ряд подинтегрального выражения.
Как известно,
2 23 2б 27 2°
sin2 ? =-2Г <?2 - 4Г Т4 + "бГ f" ^-8Г ?8 + Joi
и, следовательно,
Гsin2<p л2 Г 22-к2 26-тс4 2’-к®
J “V d'f=‘~T\}~ 2-4! + ЗТбГ “ Т8! + "
592 Методы расчета на жесткость в области малых-перемещений
Ограничиваясь вычислением семи членов ряда, имеем, что .
к
sin2 ф к2 •
—= — [1 __ 1,64494 + 1.44310 - 0,763009 +
о
7С2
+ 0,267754 - Q.0667331 + 0,0124074] = -£-• 0,2486
и искомое перемещение
ргз ргз
Ъ = 0,1243*8 -р-г = 3,85 -?гг 9
EJ EJ
где J =* -уу ba3 представляет собой момент инерции относительно оси х сечения бруса
в заделке.
Пример 4 [94]. Пружина баланса ручных часов представляет собой плоскую спи-
ральную ленту (архимедову спираль}, внешний конец которой защемлен, а внутренний —
жестко связан с колодкой, сидящей на оси баланса (фиг. 499).
Фиг. 499. Фиг. 500.
В общем случае взаимодействие повернутой колодки и ленты пружины осущест-
вляется не только моментом, но и силой. Для работы часового механизма наличие этой
силы нежелательно — возникает перекос' осй баланса, увеличивается трение в опорах и
точность хода снижается.
i Требуется выяснить, каким геометрическим условиям должна удовлетворять пру-
жина, чтобы ее изгиб при малом повороте колодки был чистым изгибом, т е. взаимо-
действие колодки и ленты осуществлялось только моментом.
Решение. В общем, случае действие повернутой колодки на пружину осущест-
вляется моментом Мо и двумя силами Q9 и N9 (фиг. 500). Тогда в произвольной точке В
оси пружины, с координатами х и у изгибающий момент
М — Мо -h Qoy + Ао (г ~ *)»
где г — радиус колодки. Таким образом, изгиб пружины баланса в общем случае не
является чистым изгибом, когда
М — А40 — const
Условие осуществления чистого изгиба — это отсутствие реактивных сил Qo и
Перейдем к установлению тех геометрических условий, при соблюдении которых
Qo «= 0 и No — 0.
При повороте колодки на малый угол у против часовой стрелки сечение А по-
вернется также на угол <р. Кроме того, оно переместится по оси у на величину
Смещение же пЪ оси х при малом угле будет величиной высшего порядка
малости.
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 593
Выражая эти же перемещения с помощью интеграла Мора через изгибающие^ мо-
менты, имеем
1. j MMi ds = v;
. *
2. MMrlNJds^rr,
L .
3. Л4Д41 (Qo) == 0»
L
где интегрирование распространяется на всю длину пружины L.
Здесь Л41 (Л40), Afx (TVo) и (Qo) — изгибающие моменты от единичных силовых
факторов, соответствующих моменту Л40 и силам N9 и Qo, т. е.
Л4Х(Л4О) — 1, M^NJ-r-x, MUQo^y.
Подстановка значений изгибающих моментов от заданных нагрузок и единичных
силовых факторов приводит к следующим выражениям для рассматриваемых переме-
щений:
1. f [^о + Q»y + N« (r — —EJ^
1 2. f + Qoy + Ne(r — x)] (r —x)ds = £Jr?;
3. J [Afe-f-Qoy-f-/Ve(r —x)]yds =0
или после интегрирования
1. M0£4-Qo$r4-Wo(r£-Sy)«£JT;
2. Л1о (/*£— dy) *4- Qo (rSx — JXy ) 4" (r2L— 2rSy Jy) » EJry\
3. + QoA-+ (r$x — Jjry)sss0<
здесь
Sx = J yds, Sy « f xds;
Jx = $y2ds, Jy^^x2ds, JXy~^xyds,
некоторые геометрические характеристики контура пружины (не »смешивать с соответ-
ствующими характеристиками поперечных сечений) и £ —длина ленты (развернутая
длина оси пружины).
Полагая в полученных уравнениях
> Qo = 0 и Ne = 0, - ‘ •
устанавливаем условия, при которых имеет место чистый изгиб пружины
M$L~EJy, Sv=*Oh Sy = 0. —
Первое условие представляет собой зависимость между углом поворота <р колодки,
укрепленной на оси баланса, и величиной момента Л40, передаваемого от колодки к
пружине.
Два последних условия, т. е. обращение в нуль статических моментов Sx и Sy,
означают, что оси ху должны проходить через центр тяжести койтура пружины.
Поскольку центр тяжести архимедовой спирали, каковой является контур пружины, не
совпадает с центром вращения колодки, в часовом производстве для обеспечения тре-
буемого условия практикуется установка пружины баланса с* отогнутым внешним кон-
цом. Типичные примеры подобных пружин показаны на фиг. 501.
Пример 5. Для кругового разрезанного кольца радиуса г, расположенного в гори-
зонтальной плоскости и нагруженного собственным весом (фиг. 502), требуется:
1) построить эпюры изгибающих и крутящих моментов;.
2) определить величины линейных и угловых перемещений сечения А
38 Пономарев и др. 407
594
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Вес единицы длины кольца q кг/см. Кольцо выполнено из проволоки1 круглого се-
чения.
Решение. Плечо изгибающего момента, образованного элементарной силой qrdfy
относительно сечения С, определяемого углом у,
ВК — г sin (<р — ф),
а плечо крутящего момента
КС — г [1 — cos (у — ф)].
Изгибающий момент от всех элементарных сил, распределенных по дуге АС,
Фиг. 501.
<₽
Мх ~ \ qrdty г sin (ф — ф) «
— COS f).
Аналогично крутящий .момент
ф
Mt == Г qrdty'T fl — cos (ip—ф)] == qr* (? — sin <p).
Эпюры изгибающих и крутящих моментов построены на развертке оси кольца
(фиг. 50о).
Для плоских кривых брусьев, нагруженных силами, перпендикулярными к плоскости
их кривизны, целесообразно ввести векторное изображение изгибающих и крутящих
моментов.
Условимся, как и в теоретической ме-
ханике. изображать момент вектором, пер-
пендикулярным к плоскости действия мо-
мента и направленным гак, чтобы, смотря
с конца вектора, видеть момент направлен-
ным обратно вращению часовой стрелки.
В соответствии с этим на фиг. 502
показаны векторы изгибающего Мх и кру-
тящего моментов в сечении С. Оба
вектора изображают моменты, которыми
часть бруса АС действует на часть CD,
т. е. моменты, приложенные к торцу С
части CD.
Определим линейное перемещение точки А по направлению, перпендикулярному
к плоскости кривизны бруса (ось 1). Приложим в точке А единичную силу по напра-
влению искомого перемещения (фиг. 504, а).
Уравнения изгибающих и крутящих моментов от единичной силы
Мх « 1 -гsin и М2 — 1 -г (1 — cos f).
Сравнение фиг, 502 и 504, а показывает, что векторы изгибающих моментов от
заданной нагрузки и от единичной силы совпадают по направлению. Также совпадают
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 595
по направлению и векторы крутящих моментов. Следовательно, оба слагаемых в инте-
гральном выражении для искомого перемещения положительны:
2тс 2«
дт4 f* qr* (*
&i — I (1 — cos?) sin f 4- -Qj- I (f — sin f) (1 — cos
о 0
Непосредственное вычисление показывает, что первый из интегралов обращается
в нуль и искомое перемещение („прогиб" точки А) обусловлено только наличием кру-
тящих моментов, а именно
8* -2’2Й7
где G — модуль упругости при сдвиге и Jp — полярный момент инерции поперечного
сечения проволоки кольца.
Кроме изгибающих и крутящих моментов, в сечениях проволоки кольца имеют место
поперечные силы
Qy — чгч-
Слагаемым перемещения от поперечных сил Qy, по сравнению со слагаемым от
крутящих моментов, пренебрегаем.
По направлениям двух других осей 2 и 3 (фиг. 504, бив) точка А не перемещается.
Действительно, при приложении единичных сил по направлениям этих осей возникают
только силовые факторы (поперечные силы QXt нормальные силы Ng, изгибающие
моменты Л4Д лежащие в плоскости кольца, а от заданных нагрузок имеют место сило-
вые факторы (поперечные силы Qy, изгибающие моменты Мх, крутящие моменты Мг)9
лежащие в плоскостях, перпендикулярных к плоскости кольца. Таким образом, все сла-
гаемые в интегральных выражениях для искомых линейных перемещений &2 и обра-
щаются в нуль.
Перейдем к рассмотрению угловых перемещений сечения А. Для определения пово-
рота сечения А относительно оси 2, в сечении А следует приложить единичный момент»
вектор которого направлен вдоль оси 2 (фиг. 504, б). При этом в текущем сечении С,
определяемом углом у, возникают изгибающий и крутящий моменты
Мх *= 1 • sin? и М'г «в 1 • cos <f>.
Направления этих моментов изображены векторами на фиг. 504, б.
Искомое угловое перемещение выражается следующим образом:
2к 2«
ft qi"9 С яг3 С
^2 — — -gj I (1 — cos f) sin f dy 4- -Qj- I (f — sin <p) cos ydy = 0.
о 0
Первое слагаемое отрицательно, так как направление векторов изгибающих момен-
тов от заданной нагрузки и от единичного момента взаимно противоположно.
Вычисление, показывает, что оба интеграла обращаются в нуль и, следовательно»
сечение А не поворачивается вокруг оси 2.
Для определения поворота сечения А относительно оси 3, в сечении А должен быть
приложен единичный момент, вектор которого направлен вдоль оси 3 (фиг. 504, в). При
38*
596 2 ^ewdu расчёта на жесткость в области Малых перемещений
^том в текущем сечении, определяемом углом? <р, возникают изгибающий и крутящий
моменты . i
М'х « 1 • cos <р и Mz «• 1 • sin ф,
Направления этих моментов изображены векторами на фиг. 504, а.
Искомое угловое перемещение
2л
qr3 (* qr3 Г
&3 ** Ц1 — COS <f>) COS 4* ~QT I ““ S*n s*n
о 0
или после преобразований
«£/-гЗя QJ"..
Отрицательный знак искомого йеремещения показывает, что поворот сечения А
вокруг оси 3 от заданных нагрузок (вес кольца) в действительности происходит в на-
правлении, обратном направлению приложенного (фиг. 504. в) единичного момента.
Фиг. 505.
* / / у
Поворот сечения А вокруг оси 1 (ось, перпендикулярная к плоскости кольца) отсут-
ствует. Действительно, единичный момент, вектор которого направлен вдоль оси 7, соот-
ветствует изгибу бруса в его плоскости и слагаемые в интегральном выражении иско-
мого перемещения обращаются в нуль.
Итак, свободный торец А .разрезного кольца, расположенного в горизонтальной пло-
скости и нагруженного собственным весом, перемешается только вдоль оси 1 перпен-
дикулярной к плоскости кривизны кольца, и поворачивается вокруг главной центральной
оси 3 сечения Я, лежащей в плоскости кривизны.
Пример 6. Произвести расчет контактного рычага с пружиной (фиг. 505, а). Опре-
делить то значение силы Р, при котором происходит замыкание контакта, т. е. верти-
кальное перемещение конца рычага А достигает величины первоначального зазора Д
между контактными поверхностями.
-Решение. Из условий равновесия рычага АВС реакция Т в точке. С со стороны
пружины СК равна (фиг. 505, б)
h
Эпюра изгибающих моментов для рычага АВС дана на фиг. 505, а.
Определение перемещений сечений плоского и пространственного кривого бруса 397,
Цилиндрическая витая пружина растяжения СК изготовляется, как правило, с, весьма
малым углом подъема витков. Это обстоятельство дает возможность рассматривать пру-
жину как совокупность плоских разрезных колец, а следовательно, заключить, что осе-
вая сила Т, действующая на пружину, вызывает в поперечных сечениях проволоки кру-,
тящие моменты
D 1г D
Мкр=т -2 - Р 2 •
где D — диаметр витков пружины.
Для определения вертикального перемещения точки А, вызванного деформацией'
плеч АВ и ВС рычага и, пружины СК, приложим в точке А единичную силу по напра-
влению искомого перемещения. Реакция Т в точке С равна
и соответствующая эпюра изгибающих моментов для плеч рычага изображена на
фиг. 505, г.
Крутящий момент для витков пружины
При определении вертикального перемещения точки А будем учитывать деформацию
плеч рычага от изгибающих моментов и деформацию витков пружины от крутящих
моментов.
Тогда искомое перемещение
(* ММ' Г ММ' f МКРМ'
*А~ J EJ, dz+ ] EJ, dz + J GJp ds>
АВ ic СК
4»
где EJ± и — соответственно жесткости изгиба сечений плеч АВ и ВС рычага и
GJp — жесткость кручения круглого сечения проволоки пружины.
Первые два интеграла вдоль прямолинейных участков АВ и ВС наиболее удобно
вычислить ио правилу Верещагина, используя эпюры изгибающих моментов на фиг. 505, &
и 505, г. Вычисление дает следующие значения этих интегралов:
f мм' Р11 С мм' т$ I,
J EJi dz “ £/1 : J EJi dz “ ZEJi li “ ЗЕ J.
AB ЬС
Подстановка значений крутящих моментов Мкр и М'кр и элемента дуги витка ds —
«= у dy, где dy — центральный угол элемента ds, в третий из интегралов, дает
С Мкрм'кр 8PD4 / 11 \*
J GJ„ ds= Gd* \li) ’
СК
nd4
где i — число витков пружины и Jp — — полярный момент инерции поперечного'
сечения проволоки пружины.
Таким образом, искомое вертикальное перемещение точки А рычага f
8д = (AV + 8ррз/ (AV
А ZEJr 3£J2 \ h ) Gd* \ /2 J ’
Приравнивая это перемещение зазору Д между контактными поверхностями (фиг. 505, а),
определяют соответствующее значение Ро силы Р:
° 4 , Ziz2 , 8ZW //А»
3EJ, 3EJ2 Gd* \/J
Здесь Р9 — то значение силы Р, при котором происходит соприкосновение контакт-
ных поверхностей, т. е. замыкание контакта.
598
Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
Соответствующее применение изложенных выше аналитических, графо-ана-
литических и графических методов в том или ином случае расчетной практики
позволяет достаточно просто и точно получить величины искомых перемещений.
Наряду с применением различных расчетных методов целесообразно исполь-
зовать и готовый справочный материал по расчетным схемам тех или иных
конструкций.
Фундаментальным справочным пособием подобного рода может служить
раздел „Инженерные расчеты в машиностроении* энциклопедического справочника
„Машиностроение* [104] и раздел „Расчет на прочность, жесткость и колеба-
ния элементов машин и конструкций* из „Справочника машиностроителя* [82].
Большое количество готовых формул и таблиц, значительно облегчающих
работу расчетчика, приведено в „Справочнике для проектировщиков про-
мышленных сооружений* [84], „Справочнике авиаконструктора* [81], „Спра-
вочной книге по расчету самолета на прочность* [80]“ и в ряде других.
Необходимо отметить справочные таблицы по определению перемещений в одно-
пролетных балках постоянного сечения при типовых нагрузках, приведенные
в курсе Е. Н. Тихомирова [86].
Достаточно полным и тщательно составленным является краткий справочник
по технической механике под редакцией А. Н. Динника [83].
ЛИТЕРАТУРА
1. А черкан Н. С., Расчет и конструирование металлорежущих станков, Машгиз.
1952.
2. Баловнев Г. Г., Графо-аналитический способ определения напряжений и
деформаций при пластическом изгибе. „Вестник машиностроения* № 7, 1952.
3. Баловнев Г. Г., Графо-аналитический способ расчета на поперечный пласти-
ческий изгиб, „Вестник машиностроения* № 7, 1954.
4. Безухов Н. И., Общий метод нахождения элементов упругой кривой, Труды
Московского автомобильно-дорожного института, Сб. 1, Гострансиздат, 1934.
5. Безухов Н. И., Универсальная формула для определения перемещений, в бал-
ках, Труды Московского автомобильно-дорожного института, Сб. 3, Гостфансиздат, 1936.
6. Безухов Н. И., Метод начальных параметров в теории изгиба, изд. Артилле-
рийской академии, 1940.
7. Берман М. Э.. Сопротивление материалов (статика), изд. Военной академии
химической защиты, 1945.
8. Б л и н н и к С. И., К вопросу о расчете на изгиб валов, лежащих на длинных
подшипниках, „Вестник металлопромышленности* № 6, 1936.
9. Б л и н н и к С. И., Современные методы определения перемещений в упругих
системах, Сб. „Прочность в машиностроении*, Машгиз, 1951.
10. Бубнов И. Г., Строительная механика корабля, часть 2, § 17. Случай боль-
шого числа балок главного направления при одной перекрестной балке, 1914.
11. Верещагин А. Н., Новые методы расчета статически неопределимых систем,
„Строительная промышленность* '№ 9, 1925.
12. Волков С. С., Вычисление деформации на основании общей формулы решения
CMMXj о
интеграла вида I ds, Труды Московского института инженеров транспорта, вып. 3,
1927.
13. Герсеванов Н. М., Функциональные прерыватели и их применение в строи
тельной л1еханике, Труды Всесоюзного научно-исследовательского института по изучению
оснований и фундаментов инженерных сооружений, Сб. 2, Госстройиздат, 1934.
14. Глушков Г. С., Применение высоких степеней в теории изгиба, „Строительная
промышленность* № 8, 1926.
15. Глушков Г. С., Применение моментов высоких степеней в теории изгиба,
Труды Московского института инженеров транспорта, вып. 3, 1927.
16. Г л у ш ков Г. О, Инженерные методы расчетов на прочность и жесткость,
Машгиз, 1949.
17. Г л у ш к о в Г. С. и С а в е л ь е в Н. Г., О расчете сжато-изогнутых балок на
упругом основании. Сб. „Расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и колебания*,
Московский станкоинструментальный институт, Машгиз, 1955.
18. Горбунов-Посадов М. И., Балки и плиты на упругом основании, Маш-
стройиздат, 1949.
19. Горбунов-Посадов М. И., Расчет конструкций на упругом основании,
Стройиздат, 1953.
Литература
599
20. Горяйнов А. А., Графический расчет сжато-изогнутых балок (метод кругов
Н. Г. Ченцова), „Техника воздушного флота" № I, 1928.
21. Г р а н о в с к и й С. А., О pro В. М., С мол яров Л. Г., Конструкции гидро-
турбин и расчет их деталей, гл. 6. Направляющий аппарат, Машгиз, 1953.
22. Д а в ы д о в Б. Л., Применение теории балок, лежащих на упругом основании,
к расчету барабанов грузоподъемных машин, „Вестник инженеров и техников"
Ife 10, 1940.
23. Ж е м о ч и н Б. Н., К вопросу о выводе общего уравнения упругой кривой,
Труды Московского института инженеров транспорта, вып. 24, 1932.
24. Же мо ч к ин Б. Н., Расчет упругой заделки стержня (изгиб стержня в упругом
полупространстве), Стройиздат, 1948.
25. Ж е м о ч к и н Б. Н. и Синицын А. П., Практические методы расчета фунда-
ментных балок и плит на упругом основании без гипотезы Винклера, Стройиздат, 1937.
26. Жуковский Н. Е., О приложении в строительной механике уравнения yIV «
4а*у (1904), Собр. соч., т. 3, Гостехиздат, 1949.
27. 3 а в а р ц е в С. М., Продольно-поперечный изгиб брусьев малой жесткости,
лежащих на жестких опорах и упругом основании, Труды кафедры «Сопротивление
материалов* Московского высшего технического училища имени Баумана, раздел 2, 1947
28. Заварцев С. М., Расчеты на жесткость в машиностроении. Машгиз, 1952.
29. 3 а в р и е в К. С., Расчеты стержней, подвергающихся одновременному действию
изгиба и сжатия, „Вестник общества технологов", 1913.
30. Завриев К. С., Расчетные формулы прочности в особых случаях, ОНТИ, 1935.
31. Завриев К. С., Основы теории функциональных прерывателей в применении,
к строительной механике. Труды Тбилисского института инженеров железнодорожного
транспорта, вып. 6, 1958.
32. Ильенко Ю. Е., Определение перемещений при изгибе плоского кривого бруса
малой кривизны, Сборник студенческих научно-исследовательских работ по вопросам проч-
ности, издание Московского авиационного института, 1950.
33. Калинин Н. Г., Продольно-поперечный изгиб стержней на упругом основа-
нии, Труды Военно-воздушной академии имени Н. Е. Жуковского, вып. 190, 1947.
34. Киселев В. А., Балки и рамы на упругом основании, ОНТИ, 1936.
35. Киселев В. А., Уравнение упругой линии продольно-поперечного изгиба,
Научные записки Московского гидромелиоративного института, т. 7, вып. 14, 1939.
36. Копыленко В. П., Определение прогибов в статически неопределимых бал-
ках переменной жесткости (исследование деформаций оправки совместно со шпинде-
лем горизонтально-фрезерного станка), Труды Московского станкоинструментального
института, Сб5 3, 1939.
37. Копыленко В. П„ О продольно-поперечном изгибе балок, лежащих на упру-
гом основании, Сб „Расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и колебания" Мо-
сковского станкоинструментального института, Машгиз, 1955.
38. К о р н е в и ц Э. Ф. и Эндер Г. В., Формулы для расчета балок на упругом
основании. Стройиздат, 1932.
39 Корноухов Н. В., Прочность и устойчивость стержневых систем, Стройиздат, 1949.
40. Корсаков В. С., Деформации тонкостенных колец и гильз, закрепленных
в трехкулачковом патроне, Сб., „Чистота и макрогеометрия поверхностей вращения",
Машгиз, 1949.
41. Красовский Б. Н., Вопросы прочности электрических машин, изд. Академии
наук СССР, 1951.
42. Крылов А. Н., О расчете балок, лежащих на упругом основании, изд. Акаде-
мии наук СССР, 1930.
43. Ку з не цо в В. И., Упругое основание (расчеты балок, плит и рам), гл. 1
написана И. В. Урбаном, Стройиздат, 1952
44. Куликовский П. Г., Основы метода упругой линии, „Известия Киевского
политехнического института" № 1, 1926.
45. Л и х а р е в К. К., К вопросу классификации способов закрепления бруса
(система условных обозначений опор), Труды кафедры „Сопротивление материалов"
Московского высшего технического училища имени Баумана, разд. 3, 1947.
46. Лурье М. Л., Построение эпюры моментов сжато-изогнутых балок постоянного
сечения с помощью векторных диаграмм, „Техника воздушного флота" Xs 5, 1930.
47. Лурье М. Л., К расчету балок, нагруженных изгибающими и растягивающими
силами, „Техника воздушного флота" № 11, 1931.
48. Львов А. А., О расчете хребтовой балки вагона при совместном действии про-
дольных и поперечных сил, Труды Днепропетровского института инженеров ж.-д. транс-
порта, вып. 21, 1951.
49 Макушин В. М., К расчету сжато-изогнутых балок в случае приложения
продольных сил внутри пролета, Труды Московского механико-машиностроительного
института, вып. 2/lt 1936.
50. М а к у ш и н В. М.» К расчету сжато-изогнутых балок, лежащих на упругом
основании, Труды Московского механико-машиностроительного института, вып. 2/1, 1936.
51. Макушин В. М.. Теория упругой линии при продольно-поперечном изгибе»
Труды Московского механико-машиностроительного института, вып. 56/3, 1939.
600 Методы расчета на жесткость в области малых перемещений
52. Мак утл ин В. М. и Малинин Н. Н., Применение функций Бесселя к за-
дачам продольно-поперечного изгиба. Труды Московского института инженеров граж-
данского воздушного флота, изд. Аэрофлота, вып. 5, 1940.
53. М и к е л а д з е Ш. Е., Некоторые задачи строительной механики, Гостехиздат,
1948.
54. Моисеев А. А., Конструктивные расчеты корабельных турбоагрегатов
Судпромгиз, 1948.
55. Мюллер-Бреслау Г., Графическая статика сооружений* т. 2, ч. 2, 1913.
56. П а п к о в и ч П. Ф., Строительная механика корабля, изд. Ленинградского поли-
технического института, ч. I, 1929.
57. Подольский И. С., Универсальная формула упругой линии балки, ОНТИ, 1936.
58. Под порки н В. Г., Изгиб вала, установленного в центрах, Труды Ленин-
градского политехнического института* № 1,1950, см. также № 4, 1951.
59. Пономарев С. Д.» Графический способ определения, прогибов при упруго-
пластическом изгибе, Сб. «Расчеты на прочность, жесткость, устойчивость и колебания*
Московского станкоинструментального института, Машгиз, 1955.
60. Пономарев С. Д., Графический способ вычисления интеграла Мора, «Вестник
инженеров и техников* № 4, 1935.
61. Пономарев С. Д. и Чернышев Н. А., Определение деформации
балок с помощью таблиц и номограммы, „Вестник металлопромышленности* № 3, 1936.
62. Попов А. А., Элементы упругой линии, определяемые определенным интег-
рированием, Труды ^Московского института инженеров траспорта, вып. 25, 1932.
63. Попов А. А., Метод трех перемещений, Научно-исследовательский институт
тяги НКПС, сб. 14, 1933.
64. Попов А. А., Новый метод интегрирования с помощью ортогональных фоку-
сов, Гостехиздат, 1947.
65. П о п о в А. А., Метод ортогональных фокусов в строительной механике, Строй-
издат, 1953.
66. Попов А. А., Новые таблицы для перемножения эпюр в брусе большой
кривизны «Вестник инженеров и техников* № 3, 1953.
67. Пузыревский Н. П., Расчеты фундаментов, вып. 3, 1923. 6
68. Р а б и н о в и ч И. М., Курс строительной механики стержневых систем, ч. L
Статически определимые системы, 1950, ч. 2. Статически неопределимые системы,
Стройиздат, 1954.
69. Решетов Д. Н., Расчет валов (шпинделей) с учетом упругого взаимодействия
с опорами, Машгиз, 1939.
70. Решетов Д. Н., Расчет деталей станков, гл. 4„ Валы и шпиндели, Машгиз, 1945.
71. Решетов Д. Н., Расчет и конструирование кулачковых патронов, «Станки и
инструмент* № 4— 6, 1942. *
72. Ржаниццн А. Р., Графо-аналитический способ определения деформаций
сжато-изогнутых стержней, Труды Московского инженерно-строительйого института,
Сб. № 2. Строительная механика, 1939.
73. Риппенбейн Я. М., Исследование сжатых и растянутых стержней на упру-
гом основании, сб. «Исследования по теории сооружений*, вып. 4, Стройиздат, 1949.
74. Р о с т о в ц о в Г. Г., Строительная механика самолета, ч. I, гл. 5. Расчет лонже-
ронов биплана, ОНТИ, 1936.
75. Р ы ж и к И. М: и Г р а д ш т е й н И. С., Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений, Гостехиздат, 1951.
76. С е г а л Б. И. и Семендяев К. А., Пятизначные математические таб-
лицы, изд. Академии наук СССР, 1948.
77. Синдеев В. А., Применение моментов высоких порядков к расчету на
жесткость шпинделя передней бабки универсального круглошлифовального станка.
Труды Московского станкоинструментального института, сб. 10, 1941.
78. Снитко Н. К., Новый метод нахождения уравнения упругой линии бруса при
помощи ряда Маклорена, Труды Московского института инженеров транспорта, вып. 15,
1930; см. также вып. 24, 1932.
79. Снитко Н. К., Расчет сжато-изогнутых стержней при применении общего
уравнения упругой линии, „Проект и стандарт* № 2, 1938.
80. Справочная книга по расчету самолета на прочность, Оборонгиз, 1954.
81. Справочник авиаконструктора, т. 3, Прочность самолета, изд. ЦАГИ имени
Н. Е. Жуковского, 1939.
82. Справочник машиностроителя, т. 3, Машгиз, 1951; см. также т. 3, 1955.
83. Справочник по технической механике, Гостехиздат, 1949.
84. Справочник проектировщика промышленных сооружений, т. 2. Расчетно-теоре-
тический материал, ОНТИ, 1937.
85. Т а р а б а с о в Н. Д. Исследование напряжений и деформаций в гильзе авиамо-
тора, Труды Московского авиационно-технологического института, вып. 9, 1950.
86. Тихомиров Е. Н., Курс сопротивления материалов, ОНТИ, 1934.
'87 . Трапезин И. И., Изгибающий момент в пролете сжато-изогнутой многопро-
летной балки с равномерно распределенной нагрузкой, Труды Московского авиацион-
ного института, 1935
Литература
60)
88. У м а н с к и й А. А., Специальный курс строительной механики, ч. I, ОНТИ.
1935,
89. Уманский А. А., Расчет брусьев по методу начальных параметров, изд.
Военно-воздушной инженерной академии имени Н. Е. Жуковского, 1952.
90. Урбан И. В., Общее уравнение упругой линии, изд. Московского инженерно-
строительного института, 1931.
91. Урбан И. В., Общая теория продольно-поперечного изгиба в упругой среде
Сборник научно-исследовательских трудов кафедр Московского электромеханического
института инженеров транспорта, вып. 25, 1945.
92. У р б а н И. В., Общий метод решения линейных задач строительной механики.
Сб. научно-исследовательских трудов кафедр Московского электромеханического инсти-
тута инженеров транспорта, вып. 58, 1949.
93. Фан-дер-Флит А., Об одной задаче строительной механики, Известия
собрания инженеров путей сообщения, № 10, 11, 12, 1903.
94. Феодосьев В. И., Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материа-
лов, Гостехиздат, "1953.
95. Филоненко-Бородич М. М., Метод А. Н. Крылова в прилбЖении к бал-
кам на жестких опорах и на упругом основании, Сборник статей по металлическим
конструкциям. ОНТИ, 1934.
96. Филоненко-Бородич М. М., Некоторые приближенные теории упругого
основания, Ученые записки Московского государственного университета, , вып. 46.
Механика, 1940.
97. Филоненкб-Б ородичМ. М.,Простейшая модель упругого основания, спо-
собная распределять нагрузку, Труды Московского электромеханического института
инженеров транспорта, вып. 53, 1945.
98. Филоненко-Бородич М. М., Изюмов С. М., Олисов Б. А., Куд-
рявцев И. Н., Мальгинов Л. И., Курс сопротивления материалов, ч. 1 и 2.
Гостехиздат, 1949.
99. Чудаков Е. А., Расчет автомобиля, гл. 3. Коробка передач, Машгиз, 1947.
100. Шухов В. Г., По поводу уравнения EJy™ = —ky. Бюллетени Политехнического
общества № 8, 1902.
101. Шухов В. Г., Теория изгиба бруса на упругой опоре. Бюллетени Политех-
нического общества, 1903.
,102. Яновский М. И., Конструирование и расчет на прочность деталей паровых
турбин, изд. Академии наук СССР, 1947. ъ
103. Яхин А. Б., Анализ и расчет точности технологических процессов, Сб. „Про
грессивная технология приборостроения" № 3, Машгиз, 1951.
104. Энциклопедический справочник „Машиностроение", раздел „Инженерные расчеты
в машиностроении", т. I, кн. 2, Машгиз, 1947.
105. Энциклопедический справочник „Машиностроение", т. 8, гл. 13, Типовые узлы
и детали приводных кривошипных машин (прессы). Машгиз.
ГЛАВА XI
ТЕОРИЯ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
§ 1. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА СИЛ
Отдельные элементы (прямолинейные или криволинейные брусья) могут быть
соединены между собой для образования той или иной конструкции самыми
разнообразными способами. Достаточно часто такое скрепление брусьев можно
рассматривать как абсолютно жесткое, т. е. считать, что торцы соединяемых
брусьев не перемещаются поступательно и не поворачиваются друг относительно
друга. В противоположность жесткому соединению брусьев встречается шар-
нирное соединение их концов. Здесь торцы соединяемых брусьев свободно по-
ворачиваются друг относительно друга.
В соответствии с этим взаимодействие соединяемых брусьев при жесткой
связи, вообще говоря, осуществляется с помощью некоторой силы и некоторого
момента. Другими словами, это взаимодействие можно свести в общем случае
к следующим шести силовым факторам — двум изгибающим моментам, крутя-
щему моменту, двум поперечным силам и нормальной силе. При шарнирной
связи (шаровой шарнир) в соединении возникают только три силовых фактора —
две поперечные силы и нормальная сила.
Если внешние силы и моменты (нагрузки), приложенные к конструкции, не
уравновешены, то необходимо осуществить соответствующее крепление кон-
струкции к неподвижному телу, т. е. наложить на конструкцию связи (опорные
закрепления), обеспечивающие ее неподвижность.
В различного рода машиностроительных конструкциях встречаются самые
разнообразные варианты соединения отдельных элементов между собой и их
крепление к опорам. Схематически любое опорное крепление можно предста-
вить в виде некоторой комбинации линейных и угловых связей, т. е. связей,
препятствующих линейным перемещениям и перемещениям угловым (поворотам)
какого-либо сечения элемента конструкции. При наличии трех линейных связей
по взаимно перпендикулярным направлениям и трех угловых связей во взаимно,
перпендикулярных плоскостях рассматриваемое сечение полностью неподвижно
(жесткая заделка сечения).
Систематическое рассмотрение и классификация соединений отдельных эле-
ментов между собой и наложенных на них опорных закреплений даны в ра-
боте [32].
В зависимости от характера соединения отдельных элементов (брусьев) между
собой и их нагружения различают конструкции, выполненные в виде ферм, и
конструкции, выполненные в виде рам. В первом случае (фермы) отдельные
прямолинейные элементы соединены между собой шарнирами и нагружены только
силами, приложенными в узлах фермы, а во втором случае (рамы) имеет место
жесткое соединение прямолинейных и криволинейных элементов, и нагрузки
представляют собой, вообще говоря, силы и пары, как угодно ориентированные
в пространстве и произвольным образом приложенные к элементам рамы. При
наличии в одной и той же конструкции и жестких, и шарнирных соединений
ее так же относят к типу рам.
Канонические уравнения метода сил
603
Примерами рам из различных областей машиностроительной практики могут
служить станины прокатных станов (фиг. 506), литые боковины вагонной те-
Фиг. 506.
Фиг. 507.
Фиг. 508.
лежки (фиг. 507), шкивы ременных передач (фиг 508), регулировочное кольцо
направляющего аппарата гидравлической турбины (фиг. 509), змеевидные пружины
упругих .муфт (фиг. 510) и т. д.
Фиг. 509.
Фиг. 510.
Система брусьев, образующих ферму или раму, должна быть геометрически
неизменяемой, т. е. при условии абсолютной жесткости самих элементов (брусьев)
их перемещения друг относительно друга или относительно опорных закрепле-
604 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
I
ний не должны иметь места. Если же элементы системы, рассматриваемые как
абсолютно жесткие, могут перемещаться друг относительно друга или относи-,
тельно опорных закреплений, то подобная система обладает геометрической
изменяемостью и является кинематической цепью. Когда движение всех звеньев
а)
вполне определяется заданным движением какого-либо одного (ведущего) звена,
кинематическая цепь представляет собой механизм.
Перемещения отдельных элементов ферм и рам
возможны только за счет деформаций или рассма-
триваемого элемента, или других элементов.
Простейшим примером неизменяемой системы
типа ферм является шарнирный треугольник
(фиг. 511, а), а примером изменяемой системы —
шарнирный четырехугольник (фиг. 511,6).
В дальнейшем будет рассматриваться главным
образом расчет конструкций типа рам. Рама назы-
вается статически определимой, если внутренние си-
ловые факторы (изгибающие и крутящие моменты,
поперечные и нормальные силы) во всех элементах
рамы определяются из условий равновесия. Если
же внутренние силовые факторы во всех элемен-
тах рамы или в части их не могут быть опре-
делены из условий равновесия, то рама носит на-
звание статически неопределимой.
Весьма существенно то обстоятельство, что все связи, наложенные на стати-
чески определимую раму, необходимы для обеспечения ее геометрической, неиз-
меняемости. Покажем это на примере плоской рамы (фиг. 512).
Рама называется плоской, когда оси всех элементов (контур рамы) и прило-
женные к раме нагрузки расположены в одной плоскости. Предполагается также,
что одна из главных центральных осей поперечного сечения каждого элемента
рамы расположена в этой плоскости и что центр изгиба сечения совпадает с его
центром тяжести. При соблюдении указанных ограничений
можно утверждать, что упругие перемещения любой точки
поперечного сечения каждого элемента рамы параллельны
плоскости рамы.
Рассматриваемая плоская рама при наличии трех линей-
ных связей (фиг. 512) статически определима и геометри-
чески неизменяема.
Действительно, все три реактивные силы, соответ-
ствующие опорным стерженькам, определяются из трех
условий равновесия плоской системы сил, , приложенных
к раме. После нахождения опорных реакций не предста-
вляет затруднений, используя метод сечений, определить фиг> 512.
внутренние силовые факторы в любом сечении рамы. Вместе
с тем, откидывая любую из линейных связей, мы превращаем раму в геометри-
чески изменяемую систему (механизм). Следовательно, все три связи, наложен-
ные на рассматриваемую раму, необходимы для обеспечения ее геометрической
неизменяемости.
Добавим к трем линейным связям, уже наложенным на раму, еще несколько
связей, например, угловую связь на сечение А и горизонтальную линейную связь
на сечение В (фиг. 513). Добавленные две связи хотя и увеличивают жесткость
рамы, но они не необходимы, так как и без них рама геометрически неиз-
меняема.
В этом смысле добавленные две связи могут быть названы лишними связями
в отличие от первых трех связей, существенно необходимых для обеспечения
геометрической неизменяемости рамы. Необходимо отметить, что так как геометри-
ческая неизменяемость рассматриваемой рамы может быть обеспечена _ и другой
комбинацией опорных закреплений, например двумя, линейными связями и угловой
Канонические уравнения метода сил
605
связью, наложенными на сечение А, то можно и эти три связи рассматривать как
необходимые, а две линейные связи, наложенные на сечение В. как лишние и т. д.
- -Благодаря наложению тех или иных дополнительных связей число реактивных
факторов возрастает, и рама становится статически неопределимой. Действи-
тельно, в рассматриваемом примере для определения пяти реактивных факторов
{четыре реактивные силы по числу линейных связей и реактивный момент от
угловой связи) имеются только три условия равновесия плоской системы сил.
От рассмотрения внешних связей, т. е. опорных закреплений, перейдем
к рассмотрению внутренних связей, т. е. связей, с помощью которых осуще-
ствляется соединение между собой элементов рамы. В нашем примере рама
образована из трех элементов AC, CD и DB, жестко соединенных между собой.
Если изъять из рамы один из этих элементов, например CD, то рама потеряет
кинематическую неизменяемость и обратится в механизм. Следовательно, в смысле
обеспечения геометрической неизменяемости эти три элемента являются необхо-
димыми. Добавим еще один элемент, например KL (фиг. 514), жестко при-
крепив его к вертикальным стойкам рамы. Введение этого элемента увеличивает
жесткость рамы, но с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости
этот элемент можно рассматривать как лишний (аналогично лишним опорным
закреплениям).
Вместе с тем дополнительное введение этого элемента, так же как и нало-
жение дополнительных опорных закреплений, делает раму статически неопре-
делимой. Действительно, разрежем присоединенный элемент KL в каком-либо
месте. В сечении имеют место, вообще говоря, три внутренних силовых фактора
(рама плоская) — изгибающий момент Л4, поперечная сила Q и нормальная
сила N (фиг. 515). Эти внутренние силовые факторы не могут быть определены
из условий равновесия, что и делает раму после введения элемента KL статически
неопределимой.
Итак, статическая неопределимость рамы может быть обусловлена или нало-
жением дополнительных внешних связей (опорных закреплений), или введением
лишних элементов, образующих в составе рамы замкнутые контуры (контур KCDL
в нашем примере). Вместе с тем наличие таких связей или элементов накладывает
некоторые ограничения на перемещения тех сечений рамы, к которым присоединены
эти связи или элементы. Это ограничение перемещений (линейных и угловых)
и.используется для составления, уравнений перемещений, которые вместе с
уравнениями равновесия и позволяют определить все реактивные факторы, при-
ложенные к раме извне, и все внутренние силовые факторы, возникающие в се-
чениях элементов рамы.
Рассмотрим составление уравнений перемещений на примере плоской рамы,
изображенной на фиг. 516.
Рассматриваемая рама образована из двух элементов, жестко соединенных
между, собой. На раму, наложены четыре линейные связи (четыре опорных
стерженька). Одна из этих четырех связей лишняя. Отбрасывая эту связь, мы
преобразуем заданную статически. неопределимую раму в основную ста- -
606
Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкция
тически определимую систему. Естественно, прежде всего возникает вопрос
о том, какую из четырех связей принять за лишнюю. Как правило, выбор
лишней связи зависит от желания расчетчика. При этом, конечно, надо сле-
чтобы основная система была геометрически неизменяемой,
за лишние связи нельзя принимать связи, реакции
определены непосредственно из уравнений статики, на-
пример вертикальные линейные связи рамы
(фиг. 517), расположенные на одном уровне. Дей-
ствительно, составляя сумму моментов всех сил,
приложенных к раме относительно опоры Л, опре-
деляем величину вертикальной реакции опоры В
и обратно.
В рассматриваемой раме (фиг. 516) за лишнюю
связь можно принять любую из четырех связей,
наложенных на сечения Л и С. Выберем за лишнюю
связь горизонтальный опорный стержень в сече-
нии Л. Отбрасывая эту связь и снимая с рамы
заданную нагрузку Р, получим соответствующую
основную систему (фиг. 518). Основная система
отличается от заданной как с точки зрения кине-
матической — в ней возможно перемещение точки Л
по горизонтальному направлению (т. е. по напра-
так и с точки зрения силовой — в сечении Л отсут-
7/л, имеющая место в заданной системе, при ее
устранения этих отличий приложим в сечении А
дить за
Другими
которых
тем,
словами,
могут быть
р

8
-—I
Й
с н,
Фиг. 516.
влению
ствует
нагружении силой Р. Для
основной системы неизвестную горизонтальную силу Хх (фиг. 519) и так подберем
ее величину, чтобы было
возникающее от действия
отброшенной связи),
горизонтальная сила
устранено горизонтальное
заданной нагрузки Р
перемещение сечения Л,
этом условии рама на фиг. 519 тождественна (эквивалентна) заданной (фиг. 516).
Итак, искомое уравнение перемещений имеет вид
^1=0. (1)
Найденное из уравнения перемещений значение Xt обеспечивает отсутствие
горизонтального перемещения сечения Л и, следовательно, представляет собой
искомую реакцию НА. После определения реакции НА из уравнения перемещений
остальные три реактивных фактора ТА, Нс и Тс определяются из условий рав-
новесия рассматриваемой рамы.
Рассмотрим составление уравнения перемещений (1) в удобном для вычисле-
ния виде — в так называемой канонической форме. Обозначим через 810 (фиг. 520, а)
перемещение по направлению отброшенной связи (направление 7) при действии
на основную систему заданных нагрузок и через 8П (фиг. 520, б) — перемещение
по направлению 1 от силы, равной единице (единичной силы), приложенной по
тому же направлению. При этих обозначениях уравнение перемещений (1) при-
нимает следующий вид:
+ &1Л = 0
(2)
Канонические уравнения метода сил
607
вычисления вели-
»и согласно ска-
построим эпюры
моментов в
(каноническая форма уравнения перемещений для систем с одной лишней
связью). Левая часть канонического уравнения в целом представляет собой
перемещение рассматриваемой точки А основной системы по направлению отбро-
шенной связи.
При вычислении перемещений 8™ и 8П ограничимся учетом только изгибаю-
щих моментов и будем пренебрегать влиянием нормальных и поперечных сил
на величины искомых пере-
мещений.
Для
чин 810 и 8,
занному
изгибающих
основной системе от задан-
ной силы Р (фиг. 521, а) и
от единичной силы X. =±? 1
(фиг. 521, б). Тогда по
правилу Верещагина
ЕЛ10 = — ±РР и
Фиг. 520-
2?л„-Ля
Следовательно, действительное значение искомой величины Хт следующее:
Основная система, нагруженная заданной силой Р и силой ХА=^Р, носит
название эквивалентной системы (фиг. 522). В эквивалентной системе переме-
Фиг. 521.
щение точки А по направ-
лению отброшенной гори-
зонтальной связи равно нулю
благодаря наличию силы Хг =
3
=/у — Р; тем самым экви-
л 32
валентная система полностью
тождественна заданной (см.
фиг. 516). Используя три усло-
вия равновесия плоской систе-
мы сил, можно определить ре-
активные факторы Тл, Нс и Тс
в эквивалентной системе, ко-
торые и представляют собой
реакции заданной рамы (см.
фиг. 516):
= = ТЛ-$Р. Тс~'£р.
Суммарную эпюру изгибающих моментов можно получить или непосредствен-
ным построением в эквивалентной системе (после определения всех реактивных
факторов), или путем наложения эпюр от заданной силы Р (см. фиг. 521, а)
и от силы Х^—^Р в основной системе. Искомая эпюра изображена на фиг. 523.
Из суммарной эпюры следует, что величина наибольшего, т. е. расчетного мо-
мента
I, _____13
^рисч — 32
608 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
В разобранном выше варианте основной системы за лишнюю свйзь был при-
нят горизонтальный стерженек в опоре А. Рассмотрим еще один вариант основ-
ной системы, принимая, например, за лишнюю связь вертикальный стерженек
в опоре С. Существенно отметить, что такое параллельное решение рамы двумя
вариантами основной системы весьма целесообразно для взаимного контроля
основная система второго варианта, нагруженная
представлена соответствующая эпюра изгибающих
Фиг. 524.
всех вычислений и построений, так как очевидно, что величины всех реактив-
ных факторов заданной системы и все размеры суммарной эпюры изгибающих
моментов не зависят от выбора лишней связи и должны быть одинаковы при
использовании любого варианта основной системы. На фиг. 524, а изображена
заданной силой Р (там же
моментов). На фиг. 524, б
представлена основная си-
, . стема, - нагруженная еди-
ничной силой в напра-
влении отброшенной свя-
зи (вертикальный стер-
жень опоры С), и соот-
ветствующая эпюра изги-
бающих моментов.
Уравнение перемеще-
ний имеет вид '
Sc7”” xj=0,i
или в канонической форме
&ю + 8.Л = 0.
здесь &1в — перемещение точки С в основной системе, но направлению отбро-
шенной связи (направление /);
81г—перемещение той же точки по тому же направлению от единичной
силы Л] == 1.
Вычисляя эти перемещения по правилу Верещагина, ймеем
= — И ЕЛи = ™Р,
следовательно, действительное значение искомой величины следующее:
’ в ю_13 р
’ &ц —32
что соответствует значению вертикальной опорной реакции Тс о«оры С, найден-
ной выше прй использовании основной системы первого варианта. Суммарная
Канонические уравнения Metoda сил
609
эпюра изгибающих моментов, получаемая путем наложения эпюр -от заданной
13
силы Р и от силы ggP в основной системе второго варианта, полностью
совпадает с суммарной эпюрой, полученной при использовании первого варианта
основной системы (см. фиг. 523). Это совпадение суммарных эпюр изгибающих
моментов, полученных путем использования совершенно различных основных
систем, служит ценным способом контроля правильности решения.
После раскрытия статической неопределимости, т. е. нахождения всех реак-
тивных факторов и построения суммарной эпюры изгибающих моментов, не
представляет затруднений определить величины линейного и углового перемеще-
ния любого сечения рамы. При этом необходимо только сделать одно суще-
ственное замечание. Если единичный силрвой фактор, соответствующий искомому
перемещению, приклады-
вать непосредственно
к заданной системе, то
реакции опор, вызванные
единичным силовым фак-
тором, статически неопре-
делимы, и для их нахо-
ждения необходимо обра-
титься к каноническим
уравнениям перемещений.
Это обстоятельство зна-
чительно осложняет на-
хождение искомых пере-,
мещений и умеете с тем
не является необходимым.
Действительно, так как заданная система, нагруженная силой Р, и основная
система, нагруженная силой Р и действительным значением силы Хг, совершенно
тождественны по условиям своей работы, то для определения каких-либо пере-
мещений целесообразно соответствующий единичный силовой фактор приклады-
вать не к заданной статйчески неопределимой системе, а к основной статически
определимой. Так, например, для определения углового перемещения сечения В
прикладываем единичный момент или к основной системе первого варианта, или
к основной системе второго варианта (соответствующие эпюры изгибающих мо-
ментов изображены на фиг. 525, а и б). Перемножая, по Верещагину, получен-
ные эпюры на суммарную эпюру изгибающих моментов (фиг. 523), и в том*, и
в другом случае имеем
В качестве второго, более сложного примера составления уравнений переме-
щений рассмотрим замкнутую прямоугольную раму с двумя опорами (каток и
шарнирная опора), нагруженную сосредоточенным моментом ЭД? (фиг. 52ь). Опор-
ные реакции такой рамы легко определяются из условий равновесия, их значе-
ния даны на фиг. 526. Несмотря на статическую определимость опорных реакций,
внутренние силовые факторы в рассматриваемой раме не могут быть найдены
из условий равновесия, потому что элементы рамы образуют замкнутый контур. Для
преобразования заданной статически неопределимой системы в основную стати-
чески определимую систему необходимо разрезать контур рамы в каком-либо
месте. Контур рамы (до разреза) обладает двумя осями симметрии АВ и CD.
Целесообразно совместить место разреза с одной из осей симметрии так, чтобы
контур основной системы та^кже обладал симметрией. Эта симметрия основной
системы значительно облегчает вычисление коэффициентов и решение канониче-
ских уравнений перемещений. Имея это в виду, разрежем контур рамы, напри-
мер, в сечении А. Обозначим внутренние силовые факторы в месте разреза
следующим образом: Xt— поперечные силы, Х2 — нормальные силы и Х^ — из-
39 Пономарев и др. 407
610 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
тибающие. моменты (фиг. 527). Для определения неизвестных величин Xv Х2> Х3
используем то обстоятельство, что относительные перемещения граней разреза А
по вертикальному и горизонтальному направлениям (направления 7 и 2) и отно-
сительный поворот граней разреза вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
чертежа (направление 3), должны отсутствовать» Только при соблюдении этих
трех условий основная система, нагруженная заданным моментом 2ft и силовыми
факторами Х19 Х2, Х8 (фиг. 527), тождественна заданной системе, нагруженной
только моментом 2ft (фиг. 526). Итак, уравнения перемещений имеют следую-
щий вид:
ьотн. верт [ак хз\ в 0;
ът1'** [2ft, xv х2, -¥81=о;
[2», *Р *з]“0-
(3)
Условимся обозначать через 8/Л перемещение по направлению I от единич-
ного силового фактора, имеющего направление fe, а через 8/0 — перемещение по
направлению / от заданных нагрузок (в нашем примере от момента 2ft). Тогда
уравнения перемещений (3) в канонической форме записи примут следующий вид:
+ 312*2 Н” ^13^8 =
820 + 821*i + 822*2 + 823*8 = о;
830 + 831Af1 832 Х2 + 833^3 = 0.
(4)
' Итак, для определения неизвестных силовых факторов Х19 Х2, Х3 получена
система трех линейных алгебраических уравнений. Прежде чем переходить к не-
посредственному вычислению коэффициентов полученных уравнений, сделаем
несколько общих замечаний.
Как уже было указано выше, i — направление перемещения и fe — направле-
ние силового фактора.
При l — k направление силового фактора совпадает с направлением переме-
щения; эти коэффициенты носят название главных перемещений и представляют
собой положительные величины, отличные от нуля. При Z =£ fe направление си-
лового фактора не совпадает с направлением перемещения, соответствующие
коэффициенты называются побочными перемещениями. Побочные перемещения
могут быть как/положительными, так и отрицательными и, в частности, могут
обращаться в нуль.
При перестановке индексов местами величина побочного перемещения остается
без изменения: 8М = 8Л/ — свойство взаимности побочных перемещений. Другими
словами, перемещение по направлению I от единичного силового фактора k
численно равно перемещению по направлению fe от. единичного силового фак-
тора Z, что очевидно из способа вычисления побочных перемещений.
Коэффициенты, для которых fe = 0, представляют собой свободные члены
канонических уравнений, т. е. перемещения в основной системе от заданных на-
грузок по направлениям отброшенных связей.
Канонические уравнения метода сил
611
Объем вычислительной работы, связанной с решением системы канонических
уравнений, резко возрастает с увеличением их числа, т. е. порядка статической
неопределимости рамы.
Кроме резкого возрастания количества вычислительной работы, необходимо
иметь в виду еще одну особенность решения системы алгебраических уравне-
ний— весьма малые погрешности в вычислении коэффициентов уравнений спо-
собны дать исключительно большие ошибки в значениях неизвестных.
С. А. Бернштейн [2] приводит следующий пример—систему двух уравнений с двумя
неизвестными:
* ’ 45х + 69у = 20;
69х + 106у = 30.
Корни этой системы
х = -у- =• 5,556; у = — -у = —3,333.
Пусть коэффициенты и свободные члены этой системы вычислены- с точностью
± -i %; тогда рассматриваемая система уравнений принимает следующий вид:
о
(45 ± -10,45 ) х + (б9 ± у 0,69 ) у - 20 ± у 0,20;
(б9 ± у 0,69) х + (106 ± у 1,0б) у = 30 ± у 0,30.
Выясним, как данная достаточно малая погрешность в величине коэффициентов отра-
зится на величинах корней рассматриваемой системы. Разберем два крайних случая.
Пусть погрешность при вычислении всех членов уравнений взята со знаком плюс,
тогда х» 1,925, Пусть все погрешности взяты со знаком минус, тогда х =—0,0505.
На этом примере очень отчетливо видно резкое влияние малых погрешностей в коэф-
фициентах системы уравнений на значения корней системы. Конечно, такое резкое влия-
ние имеет место не в любой системе уравнений; разобранный пример представляет
собой пересечение двух прямых с достаточно близкими угловыми коэффициентами.
Наиболее радикальным методом облегчения вычислительной работы и увели-
чения ее точности является рациональный выбор основной системы, обеспечи-
вающей обращение в нуль наибольшего числа побочных перемещений.
В наиболее благоприятном случае, когда все побочные перемещения обра-
щаются в нуль, система канонических уравнений распадается на отдельные уравнения,
каждое из которых содержит по одному неизвестному. В курсах строительной
механики излагается целый ряд специальных приемов, главным образом для сим-
метричных плоских рам, обеспечивающих это распадение системы канонических
уравнений на ряд отдельных уравнений или систем менее высокого порядка.
После этих общих замечаний продолжим рассмотрение примера расчета пло-
ской замкнутой рамы- (см. фиг. 526). Для вычисления коэффициентов канони-
ческих уравнений (4) построим эпюры изгибающих моментов в основной системе
(рама с разрезом) от заданной нагрузки в виде момента Эй (фиг. 528, а) и от
единичных силовых факторов Л\ = 1, Af2=l и 2^=1 (фиг. 528, б, в и г).
Существенно, что благодаря симметрии основной системы эпюры II и III сим-
метричны относительно оси АВ и эпюра I обратно симметрична (кососимметрична,
т. е. симметрична по абсолютной величине и обратна по знаку). Очевидно, при
перемножении по Верещагину симметричной эпюры на обратно симметричную
результат равен нулю, и, следовательно, в рассматриваемом примере четыре
побочных перемещения обращаются в нуль:
&12 = §21 ~ ^13 = ^31 ~ 0*
Благодаря этому полная система трех уравнений (4) распадается на одно
уравнение с одним неизвестным и на систему двух уравнений с двумя неиз-
вестными Л2 и Х3:
Sio + = 0;
^20 + ^22^2 + .^23^3 — 0;
8зо 4“ 832<¥2 833^3 = 0,
(5)
39*
612 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Благодаря этому объем вычислительной работы резко сокращается. Так, при
решении полной системы трех уравнений с помощью определителей необходимо
проделать 71 арифметическое действие (сложений,, умножений и делений двух
чисел), а при решении системы двух уравнений — только 11 действий.
Вычисленные по правилу Верещагина значения всех коэффициентов канони-
ческих уравнений перемещений для рассматриваемой рамы сведены в табл. 43.
Таблица 43
Значения коэффициентов канонических уравнений
для плоской замкнутой рамы (фиг. 526); общий
множитель для всех коэффициентов в таблице опущен
k 1
1 2 3
0 - -у 2ab4Sl Wb
1 4 — &з4-4а&2 0 0
2 0 16 у а3 + 8а26 4а2 + 4а6
3 ’ 0 4а2 + 4аЬ 4а 4-46
После решения канонических уравнений (5) и определения действительных
значений Х2 и Х3 построение суммарной эпюры изгибающих моментов удоб-
нее всего выполнить сложением эпюр в основной системе от заданной нагрузки Ж
Канонические уравнения метода сил
613
и от найденных значений Xv Х2 и Х3. В качестве контроля правильности реше-
ния целесообразно использовать второй вариант основной системы (разрез кон-
тура рамы в сечениях С или D, см. фиг. 526) и после определения неизвестных Х19
Х2 и Х3 второго варианта сравнить суммарные эпюры изгибающих моментов,
построенные для первого и второго вариантов решения. При отсутствии каких-
либо округлений коэффициентов уравнений и значений Хг, Х2, Х3 для каждого
из вариантов обе суммарные эпюры должны быть тождественными.
Кроме параллельного решения второго варианта основной системы, в качестве
контроля может быть использован следующий прием: после построения суммар-
ной эпюры изгибающих моментов производят ее перемножение по Верещагину
последовательно на каждую из единичных эпюр (фиг. 528, б, в и г), результат
каждого из этих перемножений должен в отдельности равняться нулю. Действи-
тельно, при этом как бы вторично вычисляются левые части канонических урав-
нений перемещений, заведомо равные нулю.
Для большего удобства вычислений при этом можно суммарную эпюру изги-
бающих моментов заменять ее составляющими, т. е. эпюрами в основной системе
от заданной нагрузки и найденных значений Xlt Х2, Х3. Некоторый недостаток
этого способа проверки состоит в том, что он не контролирует правильности
построения исходных эпюр, т. е. эпюр в основной системе от заданной нагрузки
и от единичных силовых факторов. Для устранения этого недостатка можно
суммарную эпюру, умножать на единичные эпюры в каком-либо другом варианте
основной системы.
В рассмотренном выше случае нагружения рамы моментом Ш? эпюра изги-
бающих моментов в основной системе от заданной нагрузки (фиг. 528, а) не
имеет о и симметрии. Если же заданная нагрузка на раму такова, что соответ-
ствующая эпюра в основной системе симметрична или обратно симметрична, то
возможно дальнейшее упрощение канонических уравнений и облегчение их ре-
шения.
Действительно, пусть нагрузка на рассматриваемую раму осуществлена,
например, двумя моментами ЯЙ, направленными в разные стороны (фиг. 529).
В этом случае эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки в основной
системе симметрична относительно оси АВ, свободный член 810 первого из ка-
нонических уравнений (5) обращается в нуль, и, следовательно, ^ = 0.
Итак, если место разреза совмещено с осью симметрии не только самой
рамы, но и эпюры моментов от заданной нагрузки в основной системе, то об-
ратно симметричный (кососимметричный) силовой фактор, т. е. поперечная сила
в месте разреза, заведомо отсутствует.
Пусть нагрузка на рассматриваемую раму осуществлена, например, двумя
изгибающими моментами Ш?, направленными в одну и ту же сторону (фиг. 530).
Тогда эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки в основной системе
обратно симметрична относительно оси АВ и свободные члены 820 и 8ЗО второго
и третьего канонических уравнений (5) обращаются в нуль.
614 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Определитель Д, образованный из коэффициентов этих двух уравнений, от-
личен от нуля, т. е.
что может быть доказано в самом общем виде (см, [45]), и, следовательно,
|$20 $23 I I $22 $20 I
__ $зо $зз I _ Q. у ^82 ^80 — О
Д ’ $ Д
Таким образом, если место разреза совмещено с осью симметрии не только
контура рамы, но и с осью обратной симметрии Эпюры моментов от заданной
нагрузки в основной системе, то оба симметричных силовых фактора, т. е. нор-
мальная сила и изгибающий момент в месте разреза, отсутствуют.
Итак, для расчета рам весьма большое значение имеет выбор основной си-'
стемьц т. е. выбор тех или иных лишних связей. Целесообразно выбранная
основная система значительно облегчает и упрощает все вычисления, связанные
с нахождением лишних неизвестных из канонических уравнений перемещений.
Можно сказать, что правильный выбор основной системы занимает центральное
место в рационализации расчета статически неопределимых рам,;
Сформулируем требования, предъявляемые к правильно выбранной оснорной
системе. Прежде всего основная система должна быть геометрически неизме-
няема и статически определима. Оба эти требования обязательны. Кроме того,
рационально выбранная система должна удовлетворять еще двум требованиям:
во-первых, она должна обеспечивать обращение в нуль наибольшего числа по-
бочных перемещений и, во-вторых, обеспечивать простоту построения всех эпюр
в основной системе как от заданной нагрузки, так и от единичных силовых
факторов. В тех случаях, когда контур рамы обладает симметрией и возможно
образование основной системы путем разреза, место разреза целесообразно сов-
мещать с осью симметрии, как это было показано выше на примере прямо-
угольной замкнутой рамы.
На ряде специальных приемов преобразования заданной системы в основную,
излагаемых в курсах строительной механики, мы здесь за недостатком места
останавливаться не будем.
В авиационных конструкциях встречаются плоские замкнутые рамы с диаго-
нальными расчалками. Интересное исследование работы расчалочной (гибкой)
диагонали в прямоугольной замкнутой раме дано в работе [Ц..
§ 2. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ПЛОСКО-ПРОСТРАНСТВЕННЫХ РАМ
В практике расчета машиностроительных конструкций достаточно часто при-
ходится иметь дело с расчетом плоских рам, нагруженных внешними силами и
моментами, лежащими не только в плоскости рамы, но и расположенными пер-
пендикулярно плоскости рамы. Используя принцип независимости действия сил;
можно рассматривать каждую из систем сил в отдельности, т. е. отдельно изу-
чить действие на раму сил, лежащих в плоскости рамы, как это сделано выше,
и отдельно, сил, перпендикулярных к плоскости рамы, что образует так назы-
ваемую плоско-пространственную систему.
Как и прц расчете плоских рам, предполагается, что одна из главных цен-
тральных осей инерции поперечного сечения каждого элемента рамы также
расположена в плоскости рамы.
Рассмотрим расчет плоско-пространственных рам на примере рамы (фиг. 531),
образованной из двух взаимно перпендикулярных элементов АВ и ВС, жестко
соединенных между собой и нагруженных в углу В силой Р, нормальной
к плоскости рамы. Оба конца рамы Л и С предполагаются жестко заделанными,
т. е. на каждое из сечений Л и С наложено по три линейные и по три угловые
связи. Каждой линейной связи соответствует, вообще говоря, реактивная сила
и каждой угловой связи — реактивный момент.
'Особенности расчета плоско-пространственных рам
615
Итак, в рассматриваемой раме имеют место 12 реактивных факторов. Для
их определения имеем только шесть уравнений равновесия пространственной
системы сил. Следовательно, для определения всех реактивных факторов в до?
полнение к шести условиям равновесия необходимо составить шесть уравнений
перемещений. Для преобразования заданной системы в основную естественнее
всего отбросить одну из * заделок, например А. Действие шести отброшенных
связей , (трёх линейных и трех угловых) заменяем тремя реактивными силами Х19
Х2, Х3 и тремя реактивными моментами Х&9 Х5, Х3
(фиг. 532)..
Величины этих реактивных факторов необходимо *
подобрать таким-образом, чтобы в основной системе
под действием заданной нагрузки Р, сил Х19 X2i Х3
и моментов Х&9 Х3, Х3 линейные перемещения сече-
ния А по направлению координатных осей х, у, z и
угловые перемещения сечения А в координатных
плоскостях yz9 zx9 ху обратились в нуль, т. е.
^л) = о, 8^=.о, ^.= 0;
8<Г = 0/ 8(F = 0, 8^ = 0.
(6)
перемещений
г Для вычислений удобно представить шесть уравнений
нической форме:.
в кано-
6 6
^20 4“ S
4=1 4=1
6 6
&8(> + 2 = + 2 = 0;
4—1 _ 4=1
6 6
^бо+2 &5*^=о, 8во+2
4=1 4=1
(7)
х3
*5
Фиг. 532.

коэффициентов шести уравнений (7) построим эпюры изгибаю-
моментов в основной системе от заданной нагрузки (с:ила Р)
и от единичных силовых факторов, соответствующих
искомым величинам Х19 Х2, Х39 Х^ Х3 и Х3 (фиг. 533).
Эпюры изгибающих моментов заштрихованы сплошными
линиями, а эпюры крутящих моментовпунктирными.
Пусть сечение каждого элемента рамы круглое,
тогда жесткость изгиба и жесткрсть кручения связаны
между собой следующим соотношением (при р = 0,25):
1 _ 2(1 +р.) 1 1 +р._ 5 1
GJpl Е 2J EJ 4 EJ *
1ЦИХ
Для подсчета
и крутящих
С
х
Положим также, что между длинами элементов рамы
существует соотношение b == 2а. , • 1
рассмотрим вычисление некоторых коэффициентов кано-
1 а2‘ 1 &2 _ За2,
2 — EJ>
В
качестве примера
нических уравнений (7):
835 — §58 = — gj “2 -QJ-p
^45 = 854 = 0, так как эпюре изгибающих моментов соответствует эпюра жруте-
щих моментов и обратно; §23 = 832 = 0, так как эпюре изгибающих моментов
в горизонтальной плоскости соответствует эпюра изгибающих моментов в вер-
тикальной плоскости или эпюра крутящих моментов.
Вычисленные значения всех 42 коэффициентов шести канонических уравне-
ний (7) сведены в табл, 44* f ; г }
616 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
i
Рассмотрение таблицы показывает, что система шести канонических уравнений
распадается на две. системы. Одна система образована первым, вторым и шестым
уравнением и содержит только неизвестные Xlf Х2 и Х6, лежащйе в плоскости
Фиг. 533.
рамы. Эту систему можно привести
к виду:
4^ — 3^ — 3^ = 0;
4аХт — 7аХ2 — 5<Ye = 0;
4aXi — ЬаХ2 — 6Х6 = 0. .
Определитель, образованный из
коэффициентов системы, отличен от
нуля, и, следовательно, решениями
этой однородной системы уравнений
являются значения
Х1=Х2=^Х3^0.
Итак» при действии на плоскую
раму нагрузок, перпендикулярных
к плоскости рамы, реактивные фак-
торы, лежащие в плоскости рамы,
обращаются в нуль.:Это обстоятель-
ство * значительно облегчает расчет
плоско-пространственных рам.
Другая система образована
третьим, четвертым и пятым урав-
нениями и содержит неизвестные си-
ловые факторы Х3, Х± и Х$, не
лежащие в плоскости рамы.
Эту систему легко привести
к виду <
16 Az — ЗЗаЛз — 1+ 18х¥5 = 0;
8Az — 8^3 — 13Х4 = 0;
6аХ3 — 7Хб = 0.
Корни этой системы следующие:
<V3=0,85P; X4 = 0,09Az; ^б = 0,73Ра.
Суммарные эпюры изгибающих и крутящих моментов изображены на фиг. 534.
Проверочный расчет на проч-
ность опасного сечения Л, где
Aftt3, = 0,73Az и Л4А.р —0,09Ра,
не представляет каких-либо за-
труднений.
Перейдем теперь к рассмотре-
нию криволинейных рам.
В машиностроении весьма рас-
пространенной конструктивной
формой рамы является круговое
кольцо.
Можно указать на применение
Фиг. 534.
колец в опорно-поворотных
устройствах различных подъемных кранов, в опорных устройствах резервуаров и
цистерн, в подмоторных рамах самолетов и т. д. При этом внешние нагрузки
(силы и пары) могут быть расположены как в плоскости кольца, так й перпен-
Особенности' расчета плоско-пространственных рам
617
Таблица 44
Значения коэффициентов канонических уравнений для плоско-пространственной
\ 15 1
рамы (фиг. 531) в предположении, что -gj—==~~£j к b = 2a
1 k
0 1 2 3 4' 5 6
1 0 8 а* 3« EJ EJ : 0 0 0 2а2 ~ EJ
2 0 2аЗ EJ 7 а* 2 EJ 0 0 0 5 а2 2 EJ
3 8 Pa3 “ 3 EJ 0 0 11 аз 2 EJ 2д2 EJ За2 — EJ 0
4 ЪРа* ~ EJ 0 0 2а2 EJ 13 а 4 EJ 0 0
5 0 0 0 За3 “ EJ 0 7 а 2 EJ 0
6 0 2а2 “ EJ 5 «2 2 EJ 0 0 0 За EJ
кратко, чем расчет рам, образованных из прямых
Фиг. 535.
дикулярно его плоскости. Главные центральные оси поперечного сечения кольца
могут и не совпадать с геометрическими осями кольца (фиг. 535).
Так как в курсах строительной механики расчет подобного рода кольцевых
рам обычно освещается более
стержней г то целесообразно
дать общую теорию расчета
замкнутого кругового коль-
ца при воздействии уравно-
вешенной системы сил, ле-
жащих как в плоскости
кольца, так и вне его пло-
скости [41b
, Пусть вспомогательные
центральные оси х и у се-
чения кольца ориентированы
следующим образом: ось х
лежит в плоскости и ось у
перпендикулярна плоскости
кольца. Моменты инерции сечения кольца относительно осей х и у выражаются
через главные центральные моменты инерции и Ja (фиг. 535) следующим
образом:
гу = Jv cos2 а0 Ju sin2 а0;
= Jv sin2 а0 + Ju cos2 а0.
(8>
Центробежный момент инерции относительно вспомогательных осей
= sin 2а0. (9>
Величину геометрического фактора крутильной жесткости сечения обозначим
через Jr. .
<518 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
1
Для сечения, профиль которого может быть расчленен на отдельные тонкие
прямоугольники, JT приближенно может быть, выражен следующей формулой:
0 о)
где at — длина короткой стороны;
Ь, — длина длинной стороны каждого из прямоугольников.
’ Введем*еще обозначения для следующих коэффициентов:
| Jy ^ху & JiJv
(И)
где Е и
G — соответственно модули упругости
Фиг. 536.
О)
первого и второго рода.
Известная приближён-
; ность выражения JT для се-
чения более или, менее слож-
ного профиля делает целесо-
' образным также отождест-
* ! вление центра изгиба сече*
| ния с егр центром тяжести.
Рассматривая кольцо как
замкнутую пространствен-
ную раму, заключаем, что
1 в общем! случае оно стати-
чески неопределимо 6 раз.
ДейсТвите л ьно, в каждом
поперечном сечении кольца
внутренние силы приводятся
к нормальной силе N, попе-
речной силе, ^определяемой
Qy, крутящему моменту Мг и изгибающему
и Му. Все эти
двумя составляющими Qx и
моменту, также определяемому двумя компонентами М
шесть внутренних силовых факторов не определяются из условий равно-
весия, и для их нахождения должны быть составлены уравнения пере-
мещений. •
Разрезая в каком-либо сечении кольцо, Находящееся под действием заданных
нагрузок, и Прикладывая к граням разреза шесть внутренних силовых факто-
ров— именно три в плоскости кольца (фиг. 536, а): изгибающий момент Х19
нормальную силу Х39 поперечную силу Х3 и три в плоскостях, перпендикулярных
к осевой плоскости кольца (фиг. 536, б): изгибающий момент Х±9 крутящйй
момент Х5 и поперечную силу Х39 получим так называемую эквивалентную
систему.
В соответствии с указанным разложением внутренних силовых факторов
внешние нагрузки также разбиваются на две группы:
1) нагрузки, лежащие в плоскости кольца — в основной системе, т. е.
в кольце с разрезом; они вызывают образование только изгибающих момен-
тов которые легко вычисляются (поперечными и нормальными силами пре-
небрегаем);
2) нагрузки,, действующие в плоскостях, перпендикулярных к осевой пло-
скости кольца, приведут к возникновению в основной системе изгибающих
моментов Мд и крутящих моментов М?9 вычисление которых также не пред-
ставляет затруднений (поперечными силами пренебрегаем),
Грани разреза под действием заданной нагрузКй и внутренних силовых фак-
торов Х19 Х29 Х39 Х±9 Хб и Х3 не должны испытывать линейных и угловых
перемещений относительно друг друга. Это обстоятельство и позволяет соста-
вить шесть уравнений перемещений для определения шести неизвестных величин
Особенности расчета плоско-пространственных рам
619
Х2, Х3, Х±> Х5 и Х3. Применяя каноническую форму записи для уравнений
перемещений, представим их в следующем виде:
6 6 6
^ю+2 — 0; &20 + 2 = ^зо+ 2 8з^й = 0;
Л=1 Л=1 А=1
6 6 6
4-S ^5о 4-S 8вЛ=0; &eo + S &«Л=о*
Л=1 А=1 Л=1
(12)
Коэффициенты blk канонических уравнений выражаются по формуле Мора
(см. гл. 10) следующим образом:
п 4 у - ’ '
f + + (13)
« V L и „ (jjt j ' <
' - - г
где Л4Д и Л4Ф — изгибающие моменты относительно главных центральных осей
сечения;
Л4Г—крутящий момент при действии на основную систему заданных
нагрузок; -
Ми, Mv, Мр — соответствующие величины при действии на основную систему
единичных сил и моментов;
п — число участков, определяемое характером внешней нагрузки на
кольцо. Влиянием нормальных и поперечных сил на величины
перемещений bik по малости пренебрегаем.
В целях ^облегчения дальнейших расчетов выразим перемещения 8М через
«слагающие изгибающих моментов относительно вспомогательных. центральных
осей х и у. Принимая направления моментов Мх и Му, изображенные на фиг. 535,
за положительные, легко получить следующие соотношения:
Ма = Мх cos а0 -|- Му sin а0; |
М^ —— 2l4xsina0 -h Му cosa0. j
Эти соотношения справедливы для изгибающих моментов как от заданных
нагрузок, так и от единичных сйл и моментов. Подставляя эти зависимости
в формулу для и замечая, что ds — Rdv, где R — радиус кольца и <р — цен-
тральный угол, имеем *
п - *
8«=w;S) (Л1Х+MyM’j +
+^гМгМт] dtp. (15)
Обратимся к непосредственному рассмотрению действия нагрузок первой
группы, т. е. нагрузок, лежащих в осевой плоскости кольца. Нагружая после-
довательно основную систему этой группой сил и единичными силами и момен-
тами, соответствующими неизвестным Х19 Х2, Х3, Х&, Х5, Хв, имеем семь схем
нагружения. Шесть схем нагружения основной системы единичными силами
и моментами изображены на фиг. 537.
Величины соответствующих внутренних силовых факторов — изгибающих
Моментов Мх и Му и крутящих моментов Мт— сведены в табл. 45.
Используя данные табл. 45, вычисляем коэффициенты, входящие в систему
канонических уравнений перемещений. Результаты вычислений главных и по-
бочных перемещений сведены в табл. 46.
Нагружение основной системы заданными силами и моментами, лежащими
в плоскости кольца, как уже отмечалось, приводит в основной системе только
к возникновению изгибающих моментов М^. 1
620
Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Введем некоторые обозначения, которые целесообразно использовать при
записи результатов вычислений свободных членов канонических уравнений. Эти
(RJ
общий множитель '
и** V
опускаем^:
810 = 2 H^lydM$sin<}>rf<p==i|xySy; 8e0=f]^/? 2 jMySincpds = TkyflSy.
Ф cp
Благодаря обращению в нуль целого ряда побочных перемещений (табл. 46)
система шести уравнений перемещений распадается на две независимые системы.
Результаты решения этих систем следующие:
v . А су . v _______ Су • v _ Sy .
А —’ **~—R> А —(17)
ЛГ4 = О; ^5 = 0; Хв = 0.
Обращение в нуль величин Х4, X5f XQ позволяет сделать следующее суще-
ственное заключение: внешние силы и пары, лежащие в плоскости кольца, не
вызывают внутренних силовых факторов в плоскостях, перпендикулярных
к осевой плоскости кольца.
Таблица 45
Изгибающие и крутящие моменты Мх, М'г от нагружения основной системы
единичными силами и моментами (фиг. 537)
м xi
xt = \ X3 = l X3 = 1 X4 = 1 Xs = i xe=l
м’х 0 0 0 cos )
Особенности расчета плоско-пространственных рам
621
Таблица 46
Значения коэффициентов канонических уравнений для главных
й побочных перемещений;
i — номер уравнения и k — номер члена уравнения (фиг. 537)
i k
1 2 3 4 5 6
1 2k 0 0 0 0
2 2k/? . Зк/?2 0 - ЧхуЯЛ 0 0
3 0 0 к/?2 0 Чху’'# Чху”Я2
4 0 — Чху*# 0 (Чу + Чт)* 0 0
5 0 0 Чху^Л 0 (Чу + Чг)71 (Чу + Чг)*
6 0 0 Чху71#2 6 (Чу + Чг) 77 (Чу+Зчт)1^2
Перейдем теперь к рассмотрению действия нагрузок второй группы, т. е.
нагрузок, действующих в плоскостях, перпендикулярных к осевой плоскости
кольца. Нагружая последовательно основную систему этой группой сил и еди-
ничными силами и моментами, опять имеем семь схем нагружения. Из них шесть
схем, соответствующих единичным силам и моментам, полностью совпадают
с шестью схемами фиг. 537. Следовательно, и главные, и побочные коэффи-
циенты системы канонических уравнений перемещений в этом случае полностью
совпадут с коэффициентами, приведенными в табл. 46. Нагружение основной
системы заданными силами и моментами, лежащими в плоскостях, перпендику-
лярных к осевой плоскости кольца, как уже отмечалось, приводит в основной
системе только к возникновению изгибающих моментов М® и крутящих момен-
тов AfO (поперечными силами пренебрегаем). В этом случае Допуская опять общий
\ л. а.
множитель -gj j ) свободные члены канонических уравнений могут быть пред-
ставлены в следующем виде:
J = TjXyAXf
<р
8 20 = ЪуЯ [Z1 — 2 J cos ср dcp] = [Ах — Су];
L <Р <Р J
8зо = 4xyR 2 f м°х sin cpdcp = tiXyRSx;
<p
&40 = Чу 2I cos cpdcp + 7jr S J sin <fd<o = щуСх + -цт5г;
Ф cp
(18)
8eo = Чу 2 I Mx sin cprf<p — Чг 2 У Mrcos cpdcp — rjySx — HjCT;
<P <P
8eo — 4y« 2 f Mx sin <pdcp -f- r^TR [5 $Мт*1<р — 2 S cos <pfifo] =
Ф L ? cp J
= TlyR$x + ^tR C^r Ct)-
Значения введенных коэффициентов Ax, Sx, Cx и AT, ST, Ст очевидны.
622 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Система канонических уравнений (12) здесь также распадается на
висимые системы. Решая эти системы уравнений, находим следующие
неизвестных:
Х2= — ^~ ’-WT 2 <Sr —
** Чу-Мт-Ч^
1 W*lr

тел!Чу + Чт —Чху
I Чг$г+(чу ~ Чху) Сх
Л4 = —z--------------------'
W
две неза-
величины
(19)
Чу + ЧГ,~ Чху
1 Ч7<7-—(Чу~ Чху) .
U Чу + Чг~Чху
= ~~2^RA^
xfQ
Итак, внешние нагрузки, действующие в плоскостях, перпендикулярных
к осевой плоскости кольца, вызывают, вообще говоря, как внутренние силовые
факторы в плоскостях, перпендикулярных к осе-
вой плоскости кольца (Л4, Х$, Х'в\, так и си-
ловые факторы, лежащие в осевой плоскости
кольца (Xi, Хъ, Лз).
Остановимся на рассмотрении тех частных
случаев, когда силовые факторы, расположен-
ные в плоскости кольца, все же отсутствуют,
т. е. когда
Х[ = Х2=Хз = 0.*
Это прежде всего имеет место в том слу-
чае, когда главные оси сечения совпадают со
вспомогательными центральными осями х и у.
Подобного рода системы носят название плоско-
пространственных (геометрически плоская си-
стема нагружена силами и парами, действующими в плоскостях, перпендикуляр-
ных к плоскости системы). Поскольку Jxy = 0, то и коэффициент =
и из формул (19) сразу следует, что Л'', Х’2> Х^ также обращаются в нули.
Второй случай обращения в нуль, этих неизвестных связан с наличием неко-
торых ограничений относительно внешней нагрузки, действующей на кольцо.
Предположим, что среди внёшних нагрузок отсутствуют моменты, действующие
в плоскостях, перпендикулярных к оси кольца. Тогда, рассматривая условия
равновесия элемента кольца ds = Rdy (фиг. 538), из уравнения моментов всех
сил относительно касательной tt к Оси элемента получим

(20)
Интегрируя это равенство по длине всего кольца, имеем
2п
(Л4$-)?=2я — (Л#)^ = £ j
0 <р
но из условия равновесия кольца в целом
('^г)<р=2к= (^т)<р=О
Особенности расчета плоско-пространственных рам
623
следовательно,
2п
= = (21)
О <р
Умножая обе части равенства (20) один раз на sin®, другой раз на cos о
и интегрируя в тех же пределах (левая часть при этом интегрируется по частям),
легко показать, что
Sx = — Ст и ST = Сх. (22)
Используя соотношения (21) и (22), на основании формул (19) можно заклю-
чить, что в этом случае X'v X'v X’z обращаются в нули.
Итак, внешние нагрузки, действующие в плоскостях, перпендикулярных
к осевой плоскости кольца, только тогда вызывают внутренние силовые факторы,
действующие в осевой плоскости кольца, когда главные оси сечения кольца
наклонены к вспомогательным осям х, у и среди внешних нагрузок имеются
моменты, приложенные как скручивающие, т. е. действующие в плоскостях,
нормальных к оси кольца. В противном случае, т. е. при отсутствии среди
внешних нагрузок моментов, действующих в плоскостях, нормальных к оси
кольца, . или при совпадении главных осей со вспомогательными внутренние
силовые факторы в плоскости кольца отсутствуют.
Работами весьма большого числа отечественных и иностранных ученых создан
целый ряд методов расчета плоских и пространственных рам. Их изложение
можно найти в систематических курсах строительной механики. На первом месте
здесь необходимо поставить классический двухтомный курс строительной меха-
ники И. М. Рабиновича [45].
Интересное и оригинальное изложение вопроса дано С. А. Бернштейном [2]
и И. В. Урбаном [57]. Особенности расчета криволинейных рам изложены
в фундаментальном курсе П. Ф. Папковича [38].
Приближенные методы расчета рам даны в работах А. А. Кравцова [26],
С. А. Рогинского [47], П. М. Сосиса [49] и ряда других.
Значительно менее разработана теория расчета пространственных рам. Здесь
необходимо указать работы Е. Н. Тихомирова [52], Б. Н. Горбунова и Ю. В. Кро-
това [10], А. А. Уманского [55] и других.
Оригинальными исследованиями, излагающими особенности расчета рам из
тонкостенных стержней, являются работы А. А. Уманского [54], Б. Н. Горбу-
нова и А. И. Стрельбицкой [12], Д. В. Бычкова [7] и др.
Интересный обзор и библиография вопроса даны И. М. Рабиновичем [44].
Применение современных методов расчета статически неопределимых рам
к машиностроительным конструкциям освещено в литературе сравнительно мало.
Интересными и ценными исследованиями в этом направлении являются работы
И. И. Трапезина [53] и М. Я. Кушуль [29] по расчету коленчатых валов дви-
гателей. В области станкостроения применение этих методов намечено в работах
Д. Н, Рещетова [46]. Отдельные примеры расчетов разобраны в работах
А. И. Целикова [59]—станины прокатных станов, Р. С. Кинасошвили [19] —
кривошипная головка шатуна авиационных двигателей, С. А* Коган [21]—раз-
резная щека разъемного коленчатого вала двигателя, С. Д. Пономарева [40] —
расчет прицепов пружин растяжения/ А. Г. Сулькина [50], А. С. Зильбер-
ман [15]—змеевидная пружина упругих муфт, Г. Н. Ионина [17]—опорная
рама поворотных кранов, Л. Н. Никольского [36] — боковина вагонной тележки,
Б. Н. Горбунова и А. И. Стрельбицкой [11]—вагонная рама из тонкостенных
стержней и ряда других исследователей (см. библиографию).
Необходимо отметить весьма интересное и детально проведенное исследование
С. Д. Пономарева и В. Л. Бидерман [41] по расчету на прочность регулиро-
вочного кольца направляющего аппарата гидравлической турбины (см. фиг. 509).
624 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
§ 3. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ДЕФОРМАЦИЙ
Для расчета статически неопределимых конструкций, наряду с рассмот-
ренным выше методом сил, используется и так называемый метод деформаций
(точнее метод перемещений).
Если при расчете по методу сил в качестве неизвестных принимались те
или иные силовые факторы (силы и моменты сил), то в методе деформаций
а)
S)
г)
д)
искомыми неизвестными
являются кинематические ве-
личины — упругие переме- '
щения, вызываемые дей-
ствием заданной нагрузки на
рассматриваемую конструк-
цию. В ряде случаев такая
постановка задачи сущест-
венно облегчает ее решение.
После определения иско-
мых кинематических вели-
чин (чаще всего угловых
перемещений узлов рамы)
вычисление силовых факто-
ров, необходимых для про*-
ведения расчета на проч-
ность, выполняется без за-
труднений.
В методе сил составле-
ние канонических уравнений,
для определения искомых
силовых факторов, произво-
дится путем сопоставления
величин упругих перемеще-
ний в заданной конструкции
(заданной системе) и в не-
которой вспомогательной
. (основной системе). Основ-
ная система метода сил обра-
зуется из заданной системы
путем снятия так называе-
мых «лишних" связей. В за-

висимости от того, какие связи принимаются за лишние, возникают различные
варианты основных систем метода сил, но все эти варианты обладают, как
правило, одной общей особенностью — они являются статически определимыми
системами.
Аналогично jb методе деформаций составление соответствующих канониче-
ских уравнений, для определения искомых кинематических факторов . произ-
водится путем сопоставления величин некоторых реактивных силовых факторов
в заданной и основной системах. Но в отличие от метода сил основная си-
стема метода деформаций образуется из заданной системы не снятием, а нало-
жением дополнительных связей.
Наиболее употребительным элементом основной системы здесь служит одно-
пролетная балка, у которой один конец защемлен, а другой или хйарнирно
оперт или также защемпен. Для такой балки предварительное определение всех
необходимых кинематических и силовых факторов не представляет затруднений.
С этой целью рассмотрим произвольным образом нагруженную однопролетную
балку АВ с опертыми концами (фиг. 539, а). По концам балки приложены со-
средоточенные моменты МА и Мв, оба направленные по движению часовой
стрелки. Эти моменты можно рассматривать как реактивные моменты, возни-
кающие от упругого защемления концов балки.
Канонические уравнения метода деформаций
625
Угловые перемещения торцевых сечений балки, обусловленные действием
заданной нагрузки и опорных моментов МА и Л4В, обозначим соответственно
через <р4 и срв. Будем считать эти перемещения положительными, если их на-
правления совпадают с направлением движения часовой стрелки. Далее пред^
ставим себе, что правая опора балки сместилась вниз на малую величину
так что первоначально горизонтальная ось балки АВ повернулась также по на-
правлению часовой стрелки на угол ф (фиг. 539, б).
Тогда углы поворота опорных сечений, по отношению к повернутой оси
балки АВ^ будут соответственно
= — Ф « = —<]>.
Установим зависимости между углами поворота Фд и нагрузкой и опор-
ными моментами Л4л и Мв. На фиг. 539, в изображены эпюры изгибающих
моментов от заданной нагрузки и от опорных моментов МА и Мв. Обозначим
площадь эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок через 2 и рас-
стояния центра тяжести этой эпюры от концов балки через а и Ь.
Для определения угла поворота сечения А приложим в этом сечении (по на-
правлению часовой стрелки) единичный момент. Соответствующая эпюра изги-
бающих моментов дана на фиг. 539, г.
Используя правило Верещагина, имеем
EJbA = Q±-\-±MAl^--±-MBl±-. ф)
Поступаем аналогичным образом и для определения угла поворота сечения Д.
Тогда получим
= - а — 4-^4-+4 мв1~т' - (24)
Совместное решение уравнений (23) и (24) относительно опорных моментов
дает, что
= 2?в-Зф] + ^-(За-/).
(25)
Условимся опорные реакции, направленные снизу вверх, считать положи-
тельными. Тогда искомые реакции
Ла=-^г-^г +Яа« «3 = 4^ + ^ ’
где Ra и Rb— опорные реакции от нагрузок, приложенных, внутри пролета
балки.
Подстановка значений опорных моментов по выражению (25) дает, что
Яа=-^|?а + Фв-2ф]

КВ==^-[<Рд + <РВ-2ф] +*в •
(26)
Полученные общие выражения (25) и (26) для опорных моментов и опорных
реакций позволяют весьма просто и удобно исследовать влияние отдельных
кинематических и силовых воздействий на однопролетные балки (табл. 47 и 48).
При расчете рам по методу деформаций существенное значение имеет уста-
новление линейной и угловой подвижности узлов рамы, обусловленное подат-
ливостью (деформацией) конструкции.
40 Пономарев и др. 407
626 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
1 Таблица 47
Некоторые кинематические и силовые воздействия на однопролетную балку
с защемленными концами
Вид кинематических
и силовых воздействий
Схема балки, эпюра изгибающих моментов и величины
реактивных сил и моментов
Поворот правого
конца балки на угол
чв = 1; Л
Ф = 0; <рд = 0;
S =0
Смещение правого
конца балки на
величину
Ь «1;
б
Ф = ?д = 0;
2 = 0
Сосредоточенная \ j*
сила Р кг\ л
S = -±- I
Ф = 0; Та = 0; |j
Чв = 0 ||
S
и
Кя-(1+2а)РгР,Ра-(1+2?)агР МЙ-ар,2Р1 , Ma-a2fiPi
Равномерно распре-
деленная нагрузка
интенсивности
q кг[см*, :
<Р = °; ?А = 0;
<Рв = 0
Примечание. В таблице даны абсолютные величины реактивных сил
и моментов, а на схемах показаны их действительные направления.
Канонические уравнения метода деформаций
627
Таблица 48
Некоторые кинематические и силовые воздействия на однопролетную балку
с одним опертым и другим защемленным концами
Вид кинематических
и силовых воздействий
Схема балки, эпюра изгибающих моментов и величины
реактивных сил и моментов
Поворот правого
конца балки на угол
ф=Л? Мл = 0-,
а=.о
Смещение правого
конца балки на
величину
& *
-ф = т;Л1д = О;
а = о
Сосредоточенная
сила Р кг;
Я - 4"
Ф = °; ?в = 0;
Жд = 0
Ъ^(3-р)ргР: ЯвЛ(^)аР
MB-^afi(1+a)Pl
Равномерно распре-
деленная нагрузка
интенсивности
q кг /см;
й----qP;
Ф = 0; =® 0;
Примечание, В таблице даны абсолютные величины реактивных сил
и моментов, а на схемах показаны их действительные направления.
40*
<628 Теория и Примеры расчетов статически неопределимых конструкций
При рассмотрении подвижности узлов рамы условимся о следующем:
* 1) будем пренебрегать продольными деформациями, стержней (деформациями
от нормальной силы N) и влиянием сдвигов (деформациями от поперечной
силы <2), а будем принимать во внимание только деформации, обусловленные
изгибающими моментами;
2) ограничиваясь рассмо-
трением малых перемещений,
будем пренебрегать сближе-
нием концов прямого стержня
при erq изгибе.
Учитывая сказанное, доста-
точно легко в каждом кон-
кретном случае ответить на
вопрос о возможности или не-
возможности линейных пере-
мещений узлов рамы.
Так, например, геометриче-
ский центр узла А рамы по
фиг. 540 остается неподвиж-
ным, независимо от характера нагружения рамы. Действительно, при дефор-
мации рассматриваемой рамы происходит только поворот узла А, т. е. имеет
место угловая подвижность узла. Углом поворота узла <рл называется угол,
на который поворачиваются касательные, проведенные к упругим линиям стерж-
ней, сходящихся в этом узле.
Остановимся несколько более под-
робно на вопросе о степени линейной
подвижности узлов рамы. Определим
это понятие как количество независи-
мых геометрических параметров, харак-
теризующих возможные линейные пере-
мещения всех уздов рамы.
Так, например, узлы А и В рамы
по фиг. 541, а не обладают подвиж-
ностью в вертикальном направлении.
5)
Вместе с тем оба эти узла смещаются
в горизонтальном направлении на одну
и ту же величину, т. е. их горизон-
тальная подвижность одинакова. Та-
ким образом, степень линейной подвиж-
ности узлов рамы по фиг. 541, а равна
единице.
Отметим, что замена заделок кон-
цов рамы (фиг. 541, а) неподвижными
шарнирными -опорами не изменит степени
Все\четьфе узла рамы по фиг, 541,tf
кальном направлении. Для узлов А \\ В
Фиг. 541.
линейной подвижности узлов рамы,
не обладают подвижностью в верти-
этой рамы подвижность в горизон-
тальном направлении одинакова, также одинакова и горизонтальная подвижность
узлов С и D, Но в общем случае нагружения подвижность узлов А и С раз-
лична. Следовательно, степень линейной подвижности узлов рассматриваемой
рамы равна двум. _
В раме по фиг. 541, в узлы А и D лишены подвижности, все верхние узлы
Др Bn Cv обладают одинаковой подвижностью в горизонтальном направ-
лении, вертикальная подвижность узлов Дх и Dj отсутствует, а вертикальная
подвижность узлов и Сх в общем случае нагружения различна. Таким образом,
линейная подвижность узлов рамы по фиг. 541, в вполне определяется тремя
независимыми геометрическими параметрами и степень подвижности равна трем.
Все узлы этой рамы обладают угловой подвижностью.
Канонические уравнения метода деформаций
629
Дальнейшее ознакомление с методом деформаций целесообразно произвести
на конкретном примере расчета Г-образной рамы с заделанными концами, на-
груженной сидой Р (фиг. 542, а).
Единственный узел 1 рамы не обладает линейной подвижностью. Поэтому
для преобразования заданной системы в основную достаточно устранить поворот
узла, т. е. наложить на узел дополнительную угловую связь (фиг. 542, б).
Наличие этой угловой связи в рассматриваемой раме обеспечивает полную не-
подвижность (защемление) узла 7. Таким образом, полученная основная система
представляет собой совокупность двух отдельных балок 12 и 13 с защемлен-
ными концами.
Эпюра изгибающих
моментов и упругая
линия для балки /2,
от заданной нагруз-
ки Р, изображена на
фиг. 542, в. Для по-
строения эпюры
использованы данные
табл. 47. Очевидно,
что от заданной на-
грузки балка 13 в
основной системе не
изгибается.
Реактивный мо-
мент, передаваемый от
угловой свйзи 1 на
левый конец балки 72
основной системы,
обозначим через г10.
По табл. 47 (строка 3),
учитывая, что сосредо-
точенная сила Р при-
ложена в середине
пролета (а = р —1 /2),
имеем
/•10=-----------<27>
Входящий в формулу (27) знак минус указывает, что реактивный момент,
приложенный к левому концу балки 72, направлен против движения часовой
стрелки. Очевидно, что реактивный момент, действующий на угловую связь,,
направлен по движению часовой стрелки. Этот момент также рассматривается
как отрицательный. В обозначении г10 для указанных моментов первый индекс 1
является номером рассматриваемого узла, а второй индекс 0 представляет собой
условное указание на причину, вызвавшую образование этого момента (заданная
нагрузка). В действительности в заданной системе (фиг. 542, а) угловая связь
отсутствует и узел 7 от действия силы Р поворачивается по часовой стрелке
на некоторый угол Zr
С целью перехода от основной системы — рама с неподвижным узлом 7 — к
заданной системе — рама с узлом 7, способным поворачиваться, поступаем сле-
дующим образом. Представим себе, что введенная угловая связь повернулась
по направлению движения часовой стрелки на единичный угол и увлекла за
собой узел 7 (фиг. 542, г). При этом заданная нагрузка Р предполагается
снятой с рамы.
Внешний момент, который необходимо приложить к связи для осуществ-
ления поворота узла на единичный угол, обозначим через гп. Здесь, как
630
Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
и ъыше, первый индекс является номером узла 7, а второй индекс указывает
причину, которая вызвала возникновение этого момента — поворот узла 1: на
единичный угол.
Эпюры изгибающих моментов для балок 12 и 13, обусловленные поворотом
узла 1 на единичный угол, изображены на фиг. 542, г. Для построения этих
эпюр также использована табл. 47. По данным этой таблицы (строка 1) вели-
чины изгибающих моментов в сечениях 1 балок 12 и 13 соответственно
4 и 4-Д^-,
42 43
где 712 и 713 — моменты инерций поперечных сечений балок 12 и 13 относи-
тельно главных центральных осей, перпендикулярных к плоскости рамы. Из ус-
ловия равновесия узла 1 следует, что внешний момент гп уравновешивается
суммой двух указанных изгибающих моментов
/V (фиг. 543):
V r 45 [4^+7*4 • (28)
Действительный угол поворота узлЯ 1 в за-
—s данной системе, от действия силы Р, был обо-
значен через Zv Очевидно, что для поворота
защемленного узла 1 в основной системе на тот
v же угол к угловой связи необходимо приложить
I 1 4^2- момент rnZv
Ч__/ *13 Сравним условия работы основной системы,
Фиг. 543. нагруженной силой Р, в которой узел 1 защем-
лен и путем приложения момента rxlZr повернут
на угол Zx, с условиями работы заданной системы, тоже нагруженной силой Р.
Единственное отличие этих систем друг от друга следующее: в основной си-
стеме существует дополнительная угловая связь, к которой приложены моменты
rnZj и г10, а в заданной системе угловой связи и этих моментов нет. Таким
образом, желая поставить основную систему (рама с защемлением узла 7) в та-
кие же условия работы, что и заданная система (рама без защемления узла 7),
необходимо потребовать, чтобы алгебраическая сумма указанных моментов
обращалась в нуль:
Gi^ + '-io = O- (29)
Уравнение (29) также можно рассматривать как условие равновесия угловой
связи, находящейся под воздействием двух моментов г10 и rnZt.
Подстановка значений гп и г10 по формулам (27) и (28) дает^ что искомый
угол поворота узла 7
В частном случае при
712 = /2з=/ и 712 = 71з = 7
угол поворота
^=^-^7- (30а)
После определения угла поворота Zx узла 7 эпюра изгибающих моментов
в заданной системе определяется путем алгебраического суммирования соот-
ветствующих ординат эпюры Л40 (фиг. 542, а) и эпюры (фиг. 542, г),
предварительно увеличенной в Zx раз:
M = + (31)
Канонические уравнения метода деформаций " ' ' б31
Искомая эпюра изгибающих моментов при Zp определяемом формулой (30а),
изображена на фиг. 544 (ординаты эпюры отложены со стороны сжатых во-
локон).
Из эпюры изгибающих моментов очевидны величины и направления реак-
тивных моментов, приложенных к заделанным сечениям 2 и 3 рамы. Также
не представляет затруднений и определение реактивных сил, приложенных
к тем же сечениям (см. табл. 47).
Действительно, вертикальные составляющие реактивных сил в сечениях 2
и 3 определяются из рассмотрения горизонтальной балки 12 в основной си-
стеме, находящейся под воздействием силы Р (фиг. 542, б) и реактивного мо-
мента, обусловленного поворотом
узла 1 на угол Z1 (фиг. 542, г):
ra=-l-/>+64^zi;
г,=-1-р-б-^-г,.
За положительное направление
вертикальных реакций принято на-
правление снизу вверх.
При значении угла Zr подфор-
муле (30а)
у _ 1 р । 3 р__ 19 р .
2— 2 “ 32 32 ’
т __ 1 р _ з р_ 13 р
3— 2 32 32
Обе вертикальные реакции направлены вверх. Аналогично горизонтальные
составляющие реактивных сил в сечениях 2 и 3 определяются из рассмотрения
вертикальной балки 23 в основной системе, находящейся под воздействием
реактивного момента, обусловленного поворотом узла 1 на угол Zx (фиг. 542, г).
Примем за положительное направление горизонтальных реакций направление
слева направо, тогда
И3_+бй«21=+^р.
Найденные величины реактивных сил и моментов изображены на фиг. 545.
Таким образом, в расчете по методу деформаций для определения искомой
кинематической величины — угла поворота узла рассматриваемой рамы —доста-
точно составить и решить одно каноническое уравнение. Поэтому говорят, что
данная рама кинематически неопределима один раз. Определение искомого угла
поворота равносильно определению всех реактивных сил и моментов.
Произведем сравнение проделанного решения рассматриваемой рамы по ме-
тоду деформаций с решением по методу сил. Связи, наложенные на раму (за-
делки сечений 2 и 3), соответствуют наличию шести реактивных факторов.
Следовательно, заданная система трижды статически неопределима и для ее
расчета по методу сил необходимо составить и решить, вообще говоря, три
канонических уравнения.
На фиг. 546 изображен один из возможных вариантов основной системы
метода сил — рама с разрезом по сечению 7. Искомыми неизвестными являются
силовые факторы Xv Х2, Х3 в месте разреза. Потребуем обращения в нуль
относительных смещений (расхождений) граней разреза по горизонтальному и
вертикальному направлениям и относительного поворота этих граней в основной
системе.
632 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Соответствующие значения силовые факторов Хъ Х2, X3i обеспечивающие
выполнение указанных требований, определяются из канонических уравнений
метода сил:
810 + 8ц*! + 812*2 + а13*з = 0;
^20 ^21^1 ^22^2 + ^23^3 = 0;
^30 + + 832^2 4- 833^3 ==• 0.
(32>
После построения эпюр изгибающих моментов от заданной нагрузки и еди-
ничных силовых факторов в основной системе, вычислений коэффициентов урав-
нений и решения их системы величины искомых силовых факторов окажутся:
следующими:
x> = i-p’ х- = -£-р. х^4гр‘-
Полученные значения силовых факторов в сечении 1 полностью совпадают,
как и следовало ожидать, с соответствующими значениями, полученными при
5 расчете по методу деформаций.
Р 12^ Итак, если для решения рассма-
триваемой рамы по методу деформа-
ций, т. е. для определения угла поворота узла достаточно одного канонического
уравнения, то расчет той же рамы по методу сил-, т. е. непосредственное опре-
деление силовых факторов Х-^ Х2у Х%, в месте разреза требует составления и
решения системы трех канонических уравнений. Это значительное преимущество
метода деформаций, по сравнению с методом сил, объясняется отсутствием
в данной раме линейной подвижности узла. По своей структуре (узел рамы об-
ладает только угловой подвижностью) рассматриваемая рама ближе к основной
системе метода деформаций (совокупность балок с защемленными концами),
чем к любой основной системе метода сил. Поэтому переход от основной си-
стемы к заданной в методе деформаций осуществляется (для данной рамы)
проще, чем в методе сил.
Произведем сопоставление существа содержания канонических уравнений ме-
тода сил и метода деформаций.
В методе сил канонические уравнения выражают эквивалентность основной
и заданной систем с точки зрения имеющих место линейных и угловых пере-
мещений; по своему существу это кинематические уравнения. В методе дефор-
маций канонические уравнения представляют собой условия статической экви-
валентности тех же систем и по своему существу являются уравнениями
статики.
Если в методе сил коэффициентами при неизвестных являются перемещения^
возникающие в основной системе под действием единичных усилий, то в ме-
тоде деформаций коэффициентами уравнений служат усилия, возникающие в ос-
новной системе под влиянием единичных перемещений. Точно так же обстоит
дело и в отношении неизвестных — в методе сил это те или иные силовые
факторы, а в методе деформаций — угловые или линейные перемещения узлов.
Канонические уравнения метода деформаций
633
Обратимся теперь к рассмотрению более сложных рам, для расчета которых
необходимо Составление и решение нескольких канонических уравнений метода
деформаций. Так, в раме по фиг. 547, а линейное смещение узлов 1 и 2 не-
возможно (фиг. 547, б) и для перехода от заданной системы к основной до-
статочно устранить угловую подвижность этих узлов путем наложения соответ-
Фиг. 547.
ствующих связей (фиг. 547, а). Таким образом, рассматриваемая рама кинема-
тически неопределима 2 раза. Основная система состоит из балок 72, 14, 25
с защемленными концами и балки 23, у которой один конец защемлен и другой
оперт.
На фиг. 547, в изображено нагружение основной системы заданной силой Р.
При этом реформируется только балка 23 и изгибающие моменты 7И0 возни-
кают только в сечениях этой балки (фиг. 547, г).
634 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Для построения эпюры Л40 использованы данные табл. 48. Величины мо-
ментов, передающихся в основной системе, при нагружении силой Р на угловые
связи 7 и 2 равны соответственно
3
Go — 0 и г20= (33)
Знак минус в выражении для г20 объясняется тем, что момент, приложенный
со стороны связи 2 к балке 23, направлен против часовой стрелки (фиг. 547, г).
Обозначим через гп момент, который необходимо приложить к узлу 1 ос-
новной системы для его поворота на единичный угол (фиг. 547, д). Из условия
равновесия узла 1 (фиг. 548, а) и при использовании данных строки 1 табл. 47
имеем
г Л. 12 I Л ___________о
r» = 4_^ + 4l^ = 8Т- <34>
Одновременно в угловой связи, наложенной на узел 2, возникает реактивный
момент s *
г».-2Т^’ = 2Т- (35>
При повороте узла 1 в основной системе, т. е. при неподвижном узле 2,
деформируются только балки 72 и 14. Эпюра изгибающих моментов 7Иг, соот-
ветствующая повороту узла 1 на единичный угол, изображена на фиг. 547, е.
Аналогично обозначим через г22 момент, который необходимо приложить
к узлу 2 для его поворота на единичный угол (фиг. 547, ж). Используя данные
табл. 47 и 48 и условие равновесия узла 2 (фиг. 548, б), имеем, что
Г22 = 4^. + 4-^- + 3^. = 11^-. (36)
*12 *25 *23 *
Приложение момента г22 к узлу 2 вызывает возникновение в угловой связи,
(наложенной на узел 7, реактивного момента
г12 = 2^- = 2^-. (37)
При повороте узла 2 в основной системе, когда узел 7 является непо-
.движным, деформируются только балки 12, 25 и 23. Эпюра изгибающих мо-
ментов Л42, соответствующая повороту узла 2 на единичный угол, изображена
на фиг 547, з.
Обозначим углы поворота узлов 1 и 2 заданной системы (узлы свободны
ют угловых связей) при нагружении силой Р соответственно через Zx и Z2.
В основной системе при повороте на углы Z2 и Z2 в связях, наложенных
«а узлы, возникают реактивные моменты
"F Г12^2 И r21^1 “F Г22^2*
Канонические уравнения метода деформаций
635
Кроме того, на связи действуют моменты г10 и г20, обусловленные нагру-
жением основной системы силой Р. Таким образом, в результате поворота
узлов 7 и 2 на углы Zx и Z2 и наличия силы Р угловые связи находятся
под воздействием моментов
G = Go 4~ Gr^i 4" ri2^2>
G == Go 4" Gl^l 4“ G2^2*
Эти моменты гх и г2 представляют собой единственное различие между ос-
новной системой, где на узлы 7 и 2 наложены угловые связи, и заданной си-
стемой, где узлы свободны от угловых связей. Найдем те значения углов Z,
и Z2, при которых оба момента гх и г2 обращаются в нуль, т. е. имеют место
уравнения
Go 4“ г 11^1 + г 12^2 =
Г20 + + Г22^2 = °-
(38)
Эта система двух уравнений и представляет собой канонические уравнения
метода деформаций для рассматриваемой 2 раза кинематически неопределимой
рамы.
Используя вычисленные выше значения коэффициентов и свободных членов
канонических уравнений, в результате совместного их решения получим
' Z -________и z______________(3<Ъ
224 EJ и ^2— 56 EJ • '
Полученные знаки для углов Zx и Z2 показывают, что при нагружении за-
данной системы силой Р (фиг. 547, б) узел 7 поворачивается против движения
часовой стрелки, а узел 2 — по направлению движения часовой стрелки.
Эпюра изгибающих моментов М в заданной системе получается суммирова-
нием следующих эпюр моментов в основной системе: эпюры Л40 от заданной
нагрузки (фиг. 547, г), увеличенной в Zx раз, эпюры Мх (фиг. 547, е) и уве-
личенной в Z2 раз эпюрьь М2 (фиг. 547, з). При этом необходимо учитывать
также и знаки углов Z* и Z2.
Искомая эпюра моментов М изображена на фиг. 549.
Величины вертикальных реакций в заделках 4У. 5 и опоре 3 определяются
из рассмотрения равновесия балок 72 и 23. Примем за положительные направ-
636 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
ления вертикальных реакций направления снизу вверх. Тогда величины искомых
реакций:
1\2Р~‘ ТГ2 Р = ^~lViP’
т‘^-П2р + 1Т2р+т&р+т-р=-тр-'
'г 15 р I 1 р 41 р
3 112 2 112 ‘
Величины горизонтальных реакций определяются из рассмотрения равновесия
балок 14 и 25. Примем за положительные направления горизонтальных реакций
направления слева направо. Тогда величины искомых реакций:
112 112 Р 112 Р 112 Р~ 112 Р’’
= 1Л2 Р "I" 712 Р ~ 712 Р’
В заделках 4 и 5, кроме реактивных сил,
моменты. Величины и направления реактивных
имеют место и реактивные
моментов определяются из
9
Н2
У-Р
112
Фиг. 550.
эпюры изгибающих моментов
(фиг. 549).
Найденные величины
реактивных сил и реактив-
ных моментов изображены
на фиг. 550. *
Сравним проделанное
решение по методу дефор-
маций с расчетом по методу
сил. Связи, наложенные на
раму (опора 3 и заделки 4
и 5), соответствуют нали-
чию восьми реактивных
факторов. Следовательно,
рассматриваемая рама стати-
чески неопределима 5 раз и для ее расчета по методу сил было бы необходимо
составить и решить систему из пяти канонических уравнений. Таким образом,
расчет данной рамы по методу сил значительно более сложен и трудоемок, чем
расчет по методу деформаций. Это значительное преимущество метода деформа-
ций перед методом сил объясняется тем, что узлы рассматриваемой рамы ли-
шены линейной подвижности и обладают только угловой подвижностью.
Для рам с линейной подвижностью узлов (фиг. 541, а, б, в) переход от за-
данной системы к основной требует введения не только угловых, но и ли-
нейных связей. Это обстоятельство увеличивает число канонических уравнений
и снижает преимущество метода деформаций. Так, рама по фиг 541, б кине-
матически неопределима 6 раз и для ее преобразования в основную систему
метода деформаций необходимо наложение на узлы четырех угловых и двух ли-
нейных связей, а следовательно, составление и решение системы из шести
канонических уравнений. Статически неопределима эта рама также 6 раз (наличие
замкнутого контура и двух заделок) и ее расчет по методу сил тоже требует,
в общем, случае, составления и решения системы шести канонических уравнений.
Таким образом, для рам с линейной подвижностью узлов метод деформаций
не представляет каких-либо, существенных преимуществ перед методом сил.
Наоборот, для рам с линейно.-неподвижными узлами применение метода дефор-
маций существенно облегчает расчет.
Примеры применения канонических уравнений к расчетам , в машиностроении 637
§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
К РАСЧЕТАМ В МАШИНОСТРОЕНИИ
Пример 1. Расчет станины холоднопрокатного стана кварто [59]. Общий вид ста-
нины закрытого типа изображен на фиг. 551. Материал станины — стальное литье
с содержанием 0,25—О,35°/о углерода. Вследствие малой величины боковых усилий
в станах кварто ограничимся расчетом станины на усилия, возникающие при простом
процессе прокатки, когда равнодействующая давления металла на валки направлена
вертикально. В этом случае на станину будут действовать две силы Р — 1750 тп, напра-
вленные по ее вертикальной оси в прЪтивоположные стороны.
Ввиду незначительных размеров криволинейных частей станины (закруглений между
стойками станины и поперечинами) примем расчетную схему станины в виде прямо-
угольной рамы, состоящей из двух одинаковых поперечин и двух сгоек (фиг.. 552).
Замена действительного достаточно сложного очертания верхней части рамы поперечиной
прямоугольного сечения является основным приближением выбранной расчетной схемы.
Обозначим площади и моменты инерции сечений поперечины и стойки соответ-
ственно через Ръ и F3, J2.
В нашем примере
Fx = 81 • 122 = 9900 см*. F2 = 81 -79 = 6400 см*;
J1=t ТТ 81 1228 = 12,3 10* CM*’ •z2 = -jj81.79s = 3,33-ioe см*.
Длины осей поперечины и стойки соответственно /1 = 237 см и /2=• 657 см.
Рассматриваемая станина образует замкнутый контур, нагруженный силами, лежа-
щими в плоскости станины, и, следовательно, вообще говоря, трижды статически_неоп,ре-.
делима. При произвольной нагрузке, лежащей в плоскости контура изгибающие моменты,
поперечные и нормальные силы в любом сечении контура, не могут быть найдены из
условий равновесия и требуют для своего определения рассмотрения деформаций рамы.
В рассматриваемом случае симметрия выбранной расчетной схемы и действующих на
нее сил позволяет значительно упростить задачу. Для этого преобразуем заданную
систему (фиг. 552) в основную путем разреза по сечению А (фиг. 553). В общем случае
в месте разреза возникают изгибающие моменты Хъ поперечные силы Х2 и нормальные
силы А3. Симметрия рамы и нагрузки относительно оси АЛ позволяет утверждать,
что A2 = 0 как антисимметричный силовой фактор. Благодаря наличию второй оси
симметрии ВВ нормальная сила Х3 статически, определима. Действительно, из условий
равновесия верхней или нижней частей рамы следует, что
Итак, благодаря наличию Двух осей симметрии АА и ВВ статически неопределимым
остается только один фактор т. е. изгибающий момент в сечении А. Для составле-
ния уравнений перемещений используем то обстоятельство, что грани разреза не должны
поворачиваться друг относительно друга. Это уравнение перемещений в канонической
форме имеет вид
&io + Wi = 0. (40)
638 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Здесь 510 — относительное угловое перемещение граней разреза при нагружении
основной системы заданными силами (фиг. 554, а). К заданным силам необходимо отнести
также и найденные ранее силы Через &ц обозначено относительное угловое
перемещение граней разреза от действия единичных моментов Хх =* 1 (фиг. 554, б).
Для вычисления величин и В1Х удобно использовать правило Верещагина, тогда
1 / Pll \ Pll + 2k.
EJr+EJ*
Изгибающий момент в сечении В
мв = -1 Pit = _ 1
где
(42>

Суммарная эпюра изгибающих моментов от заданных нагрузок и от найденного»
выше значения Хх изображена на фиг. 555.
Для рассматриваемой станины
МА - 1)л = 104-10»-0,0446 - 4,64-10» кгсм-,
М„ = -2k •,)„ = 104-10»-0,955 = 99,3-10» кгсм.
При раскрытии статической неопределимости нормальные и поперечные силы не
получили отражения в расчете потому, что они не влияют на величину углового рас-
крытия граней разреза в сечении.
Напряжение в любом сечении стойки
ад - = 55 + 136 = 191 кг/см2. -
W 2 Г2
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 639
Здесь модуль сопротивления изгибу сечения стойки
Wa = -g- 81 • 79» = 84,2 • 10» см»,
площадь сечения стойки Fa = 6400 см2 и нормальная сила в стойке N& = 875«108ке
Напряжение в среднем сечении поперечины (сечение В)
ав = 4^ = 494 кг!см»,
И'1
где модуль сопротивления изгибу сечения поперечины
(Ti - 81-1222 = 201-10» см».
Полученные величины напряжений для стального литья следует признать допустимыми».
Фиг. 558.
Фиг. 556.
Фиг. 557.
Перейдем теперь к расчету станин на жесткость, т. е. к определению деформаций
окна станины.
Для’ спределения деформации окна станины в вертикальном направлении, т. е. рас-
хождения точек В по’ вертикальному направлению, приложим к основной системе в этих
точках единичные силы и построим соответствующую эпюру изгибающих моментов
(фиг. 556). Перемножая по правилу Верещагина эпюру изгибающих моментов от еди-
ничных сил, приложенных в точках В, на суммарную эпюру изгибающих моментов (или
на все ее составляющие), имеем
PZ? AiZ? XiZiZq
^W—48^+^- + ^T
или после преобразований
pfl 1 + 4 -у1-
,Г, A Z]' <«>
L + 'i j, J
Выражение (43) представляет собой расхождение точек В по вёртикальному напра-
влению в связи с изгибом элементов станины.
Однако искомая деформация окна станины определяется не только действием изги-
бающих моментов, но и наличием в поперечинах срезывающих сил Q (эпюра Q показана
на фиг. 557 пунктиром) и в стойках — нормальных сил N (эпюра N показана на фиг. 557
сплошными линиями). Перемножая эпюру поперечных сил Q' от единичных сил, прило-
женных в точках В основной системы [(фиг. 558), на суммарную эпюру поперечных
сил Q (фиг. 557), имеем
ъ Pl,
Ьвв(О) = -^--ф-, (44>
4)40 ' ' Теория и Примеры расчётов статически неопределимых конструкций
где коэффициент k для прямоугольного сечейия k » 1,2. Аналогично не представляет
затруднений учесть и действие нормальных сил:
- <45>
тогда полученная величина искомой деформации окна станины в вертикальном направле-
нии равна
bBB = b(M)4-b(Q) + b(W). (46)
Принимая для материала станины (стальное литье) модуль упругости первого рода
£ = 2,2-10е кг/см* и модуль упругости второго рода Сгй=8,5-106 кг!см\ находим по
полученным выше формулам, что
Ъвв = 0,033 + 0,030 + 0,041-0,104 см.
Интересно отметить, что все три составляющие
искомой деформации (от изгибающих моментов Л4, по-
перечных сил Q и нормальных сил N) — величины
одного и того же порядка. Это обстоятельство заста-
вляет критически отнестись к часто встречающимся
/ в литературе рекомендациям о возможности всегда
пренебрегать влиянием поперечных и нормальных сил
по сравнению с влиянием изгибающих моментов.
Для определения деформации окна станины в го-
ризонтальном направлении, т. е. расхождения точек Л
по горизонтальному направлению, приложим к основ-
ной системе (рама с разрезом) в Этих точках единич-
ные силы и построим соответствующую эпюру изгибаю-
щих моментов (фиг. 559); тогда искомое перемещение
Р/^2 1
16£J2 . I
\В
8аа
(47)
1

IlliillllUII
Фиг. 559.
Полученный знак минус показывает, что при деформации окна станины точки А
не расходятся, а сближаются, т. е. перемещения обратны направлению единичных сил.
Поперечные и нормальные силы не оказывают влияния на расхождение точек А.
Подстановка числовых значений дает для искомой деформации окна станины в гори-
зонтальном направлении
Ъда = —0,068 см.
Оценка допустимости полученных величин деформаций окна станины должна быть
предметом специального обсуждения конструкторов и технологов.
Пример 2. Произвести расчет на прочность крестовины крепления (фиг. 560, а).
Крестовина образована из двух взаимно перпендикулярных балок, жестко скрепленных
между собой. Один конец каждой балки заделан, а другой помешен в неподвижную
втулку. Со стороны крепления на крестовину передается момент ЭД, расположенный
в плоскости крестовины и приложенный в ее центре (узел /).
Решение. Крестовина находится под воздействием заданного момента и десяти
реактивных факторов — четырех моментов и шести сил (фиг. 560, б). Эти десять реак-
тивных факторов связаны между собой тремя уравнениями равновесия плоской системы
сил. Таким образом, крестовина статически неопределима 7 раз и для ее расчета по
методу сил необходимо составление и решение семи канонических уравнений.
Значительно более эффективным является расчет крестовины по методу деформаций.
Действительно, единственной узел рамы (узел /) лишен линейной подвижности, кресто-
вина кинематически неопределима один раз и ее расчет по методу деформаций сводится
к составлению только одного канонического уравнения.
Для преобразования заданной системы в основную систему метода деформаций
наложим на узел 1 угловую связь (фиг. 561,а).
Основная система представляет собой совокупность четырех балок 12, 13, 14 и 15
с защемленными концами.
Существенно отметить, что вследствие неподвижности узла / приложенный к узлу
момент ЭД целиком пере дается на угловую связь, а не на балки крестовины. При пово-
роте узла 1 на единичный угол все балки крестовины деформируются и соответствую-
щая эпюра изгибающих моментов изображена на фиг. 561, б. При построении этой
эпюры использованы данные табл. 47 (первая строка).
Каноническое уравнение метода деформаций имеет вид
гю + r 11^ 1 — 0. (48)
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 641
Левая часть канонического уравнения представляет собой сумму моментов, действую-
щих на угловую связь. Приравнивание нулю этой суммы моментов полностью устраняет
различие мелГду заданной (фиг. 560, а) и.основной (фиг. 561, а) системами.
Фиг. 560.
В рассматриваемом случае свободный член канонического уравнения
Гад в — 9R*
Знак минус показывает, что заданный момент 3R направлен по движению часовой
стрелки. >
Коэффициент rn представляет собой сумму реактивных моментов, действующих
на угловую связь, со стороны балок 12, 13, 14 и 15, при повороте узла 1 по направле-
нию движения часовой стрелки на единичный угол. Используя эпюру изгибающих
моментов по фиг. 561, б, имеем
г «Л.Р Г Лг , Лз । Ла , Лб
Гц «4/1 ---h ~7--Г ~7--г "7—
L *12 *18 *14 *15
Ла । Лз . Ла । Ле 1
4s ^1з Lu hi
Тогда из канонического, уравнения искомая величина угла поворота узла 1
в заданной системе (фиг. 560, а) ‘
Их--------------------------------
4£
г
41 Пономарев и де. 407
642
Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Полагая все четыре балки крестовины одинакового сечения и замечая, что по
фиг. 560, а
/12 “ в 25 И /18 в /14 в 5,
имеем, что
Z 1 <50>
Т2ПЁГ- (50)
Умножая все ординаты эпюры моментов по фиг. 561, б на найденную величину Zb
получаем искомую эпюру изгибающих моментов (фиг. 562).
Величины реактивных моментов (фиг. 560, б)
ЭД, - - А. и % - - у SR.
Направления всех реактивных моментов совпадают с направлением заданного
момента 2R (по направлению движения часовой стрелки). Из рассмотрения равновесна
балок 12 и 14 находим величины вертикальных реакций
т 1 Ж т 3 ЗЯ 1 Ж
2aes 8 5 ’ зв8 b 9 2 b '
Аналогично из рассмотрения балок 13 и 15’определяются величины горизонтальных
реакций
н 1
Нь s 8 b '
л/ 1
И 3
На фиг. 560, б изображены действительные направления реактивных сил и моментов.
После определения всех реактивных факторов и построения эпюры изгибающих
моментов расчет крестовины на прочность не представляет затруднений.
Пример 3. При обработке (расточке) колец и втулок последние обычно закрепля-
ются в кулачковом патроне. Деформация детали под дейс1вием усилий зажима при
закреплении в патроне влечет за собой искажения формы обрабатываемого отверстия,
поэтому целесообразно путем предварительного расчета установить величины переме-
щений, возникающих в обрабатываемой детали от приложения зажимных усилий [4],
[24], [63], [64]. -
Предположим, что стальное кольцо закреплено для обработки в трехкулачковой
самоцентрирующем патроне, т. е. находится под воздействием трех радиальных сил Р,
образующих между собой углы по 120® (фиг. 563). Замкнутое кольцо представляет
собой статически неопределимую систему в. том смысле, что для нахождения внутренних
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 643
силовых факторов (изгибающих моментов, нормальных и поперечных сил), возникавши*
в сечениях кольца под действием приложенных внешних сил, необходимо рассмотрение
его упругих деформаций. ' ......
Для преобразования заданной статически неопределимой системы (замкнутое колику
нагруженное тремя радиальными силами, лежащими в плоскости кольцу в основною»,
статически определимую, -целесообразно со- г . / ; Л ji
вместить место разреза с осью симметрии
системы. В качестве основной системы рас- “
смотрим кольцо с разрезом «по . сечен^р < А
Фиг. 563. Фиг. 564.
* »
(фиг. 564). Симметрия кольца и нагрузки относительно вертикальной оси, проходящей
через сечение 4, позволяет заключить, что поперечная сила Х8 «• 0.
Аналогичная симметрия относительно осей, проходящих через направления двух
других сил Р, позволяет утверждать, что внутренние силовые факторы в сечении О
(сечение А) тождественны с соответствующими факторами в сечении ? =*120°. Это
обстоятельство дает возможность определить нормаль-
ную силу Х2 из условий равновесия части кольца, огра-
ниченной сечениями ? = 0 и ? = 120° (фиг. 565). Дей-
ствительно, рассматривая сумму проекций всех сил,
приложенных к этой части кольца, на направление
силы Р, легко показать, что ,
i/’з
Xa«-V-P« 0,5774р.
о
(51)
Изгибающий момент Xi в сечении А статически
неопределим. Для составления уравнения перемещений
с целью определения Хг используем взаимную непод-
вижность граней разреза при нагружении основной си-
стемы заданными силами Р, найденными силами Х8 =
/3 п
«=-Ч5—Р, приложенными к граням разреза, и изги-
и
бающими моментами Хь также приложенными к гра-
ням разреза. Действительно, под действием перечи-
сленных силовых факторов грани разреза не должны
поворачиваться друг относительно друга, т. е. '
ъотн. угл = q (52)
или в канонической форме
в сечении <р =»120°. Это
X»
60°
Xi
Фиг. 565^
(53)
Свободный член &10 представляет собой взаимный угол поворота граней разреза
от нагружения основной системы заданными силами Р и найденными нормальными
1^3
силами Х2 =—Р (фйг. 566, а). Коэффициент ^ — аналогичное угловое перемещение
от единичных моментов Х± — 1 (фиг. 566,6).
Условимся изгибающие моменты, соответствующие уменьшению кривизны при
деформации, считать положительными, а изгибающие моменты^ ,соответствующие увели-
чению кривизны, — отрицательными. ’ ‘
41*
4J44 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
При нагружении основной системы только единичными моментами Xi 1 '(фиг. 566, б)
уравнение изгибающих моментов имеет следующий вид:
All (?) — 1 — const (54)
лри 0 < ? < 2гс и, следовательно, главное перемещение канонического уравнения
2те
С ,,2
J
о
(55)
где г — рыму*, кривизны оси кольца.
При нагружении основной системы радиальными силами Р и нормальными силами
т/З"
Л2 = Р (фиг. 566, а) урав-
о
нения изгибающих моментов
следующие:
У'о’
Л10 (?) = О Рг (1 — COS <f>)
о
свободный член
в интервале 0 < ? < и
о
Af0(?) = ^-Pr(l-cos<?)-
те
— Prsin

Следовательно,
системы):
канонического
уравнения (учитывая симметрию
®10
-gj J MoMtrd’f + J ЛГ0Л4хГ</?;
0 ic
3
Ь10_Г_^_31,Р±. ’
L Кз I ej •.
(56)
Подстановка найденных значений 8ц и 810 в каноническое уравнение перемеще-
ний (53) дает возможность определить изгибающий момент в сечении А:
Хх----Рг----------------0.0999РГ. (57)
Уравнение изгибающих моментов от всех силовых факторов
ЛЦ<р) = Л40 (?) + *i, (58)
или в развернутом виде _
М Рг —Pr cos V
л интервале и
6 г . п (59)
ч Г я 1Г я 11 '
А*(?)~ Х + X^cosy-isin? Рг
L zrc о z j
при — < ? < те.
Исследуя уравнение изгибающих моментов (59), приходим к заключению, что наи-
больший изгибающий момент
. Л4яаиб-0,1888Рг (60)
X п
ммеет место при =« , т. е. в сечениях, совпадающих с местами приложения сил г.
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 645
Эпюра изгибающих моментов изображена на фиг. 567.
Обратимся к определению перемещений точек приложения радиальных сил Р. По
соображениям симметрии очевидно, что каждая ‘из этих точек перемещается вдоль
соответствующего радиуса кольца на одну и ту же величину. Для определения искомых
перемещений приложим в рассматриваемых точках кольца три единичные радиальные
силы. Эта группа ' единичных сил может быть приложена или к заданной статически
неопределимой системе (замкнутое кольцо, фиг. 568, а), или к любой основной стати-
чески определимой [кольцо с разрезом, например, в сечении А (фиг. 568,6*/].
В случае приложения единичных сил к замкнутому кольцу, учитывая симметрию*
заданной системы, искомое групповое перемещение (фиг. 568, а)
где уравнение изгибающих
моментов от заданных нагрузок
( 3 Уз \
и от единичных сил
Л1' =^--3-c°Sf
После подстановки и вычислений квадратур групповое
трех одинаковых перемещений точек приложения сил Р,
перемещение,
т. е. сумм»
Г з л УзТрг»
5 = 6 L- 4к + 18 + 24 J EJ ’
и, следовательно, искомое радиальное перемещение каждой из точек приложения сил Р
1 Г л 3 Уз] Рг3 РгЗ
= -3-& = — 2ж + “йГJ "ЁГ =* °»01592 EJ •
(62>
В случае приложения единичных сил к кольцу с разрезом в сечении А (фиг. 568,
вычисления несколько изменяются. Однако в конечном счете получится тот же резуль-
тат [см. формулу (62)].
Определим величины перемещений точек оси кольца, равноостоящих от точек при-
ложения соседних сил Р. По симметрии нагрузки очевидно, что каждая из этих точек
перемещается вдоль соответствующего радиуса кольца на одну и ту же величину. Для
определения искомых перемещений приложим в рассматриваемых точках кольца три.
единичные радиальные силы. Здесь целесообразно использовать какую-либо из основных
646 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
систем, например кольцо с разрезом по сечению А (фиг. 569). В этом случае искомое
групповое перемещение
. 2
0 = EJ
« ' 2х
3 3 х '
1 MM'rdcp -f I ЛШ'гЖр I ММ'rd у
(63)
Уравнения изгибающих моментов от радиальных сил Р, приложенных к заданной
системе (замкнутое кольцо):
= Apr_j£lprcos<? при 0<т< ” •
ZTC о о
Г з Кз 1 1 «
Л4 -• — ~g“ cosf — ~2~ sin ср Рг при -д-<Ф<тс.
Уравнения изгибающих моментов от единичных сил, приложенных к основной
системе (кольцо с разрезом по сечению 4):
... 1 ’ 2тс
М ® — "2~ г sin ср при 0 < ср < —;
2тс
При < ср < тс.
Кз
-*2“г cost
Искомое групповое перемещение, т. е. сумма
трех одинаковых перемещений рассматриваемых
точек,
9 тс
2тс 6
Рг*
EJ
(64)
в, следовательно, радиальное перемещение каждой из рассматриваемых ^Точек
3 п /3] Рг3 .
2л — 18 ~ 6 J EJ ’
РгЗ
0,01428 £j-.
(65) ’
Знак минус показывает, что искомое перемещение происходит в действительности
против принятого направления единичных сил, т. е. от центра кольца.
Числовой пример (20]. Кольцо из стали 45 зажато для обработки в трехку-
лачковый самоцентрирующий патрон. Усилие зажатия Р — 300 кг Размеры кольца:
внутренний диаметр d 100 лис, наружный диаметр D » 120 мм% ширина b « 20 мм.
Радиус оси кольца
d D—d е
. г «з -g- -|- —— = 55 мм.
Высота сечения кольца
D — d
h — —g— = Ю мм*
з
з
М' - — -j г sin <р
=4*6 и ~
§ = -
Момент инерции сечения кольца
1 2-1 1
J-l2 6А’ = ПТ“‘6" сМ
Величина радиального перемещения каждой из точек приложения усилий зажима
300-5,53
~ 0,01592 —----- 2,37 - 10~3 см
2.106-g-
(тс центру тсольца). -
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 647
Величина радиального перемещения точек оси кольца, равноотстоящих от мест
приложения соседних сил,
300*5 58
Sд - 0,01428-----Ч- «= 2,13* 10~8 см
2.106.^-
(от центра кольца).
Допустимость полученных перемещений зависит от требуемой точности обработки
кольца.
Пример 4. Расчет разъемной кривошипной головки шатуна авиационного двигателя
(фиг. 570).
Будем рассматривать крышку как одно целое с осталь-
ной частью головки, т. е. примем, что благодаря сильной
затяжки болтов раскрытие стыка не имеет места. Устано-
вление действительного закона распределения давления
между шейкой вала и вкладышем представляет доста-
точно большие затруднения. Исследование подобного рода
вопросов применительно к расчёту разрезной щеки колен-
чатого вала дано в работе [21].
Примем, как это предложено в работе Р. С. Кинасо-
швили [19], что нижний вкладыш головки нагружен давле-
косинусоидаль-
нием, распределенным по дуге согласно
ному закону (фиг. 571):
Др — Ро cos ср
(66)
Тогда из условия равновесия крышки
что величина наибольшей интенсивности
нагрузки
легко показать,
распределенной
4 Р 2Р
Ре в тс 2г “ иг 9
(67)
Фиг. 570.
где Р—сила, действующая на крышку перпендикулярно
к линии разъема, а 2г — расстояние между болтами, принимаемое равным среднему диа-
метру головки. Сила Р складывается из сил инерции поступательно движущихся масс
в цилиндре и вращательно движущихся масс
Поскольку жесткость частей головки,
непосредственно прилегающих к шатуну,
шатуна, лежащих выше разъема крышки.
Ро
фиг. 571.
Фиг. 572.
значительно превышает жесткость остальных частей головки, то можно представить,
что сечения головки в тех местах, где начинаются бобышки под болты, жестко заде-
ланы. Обозначим угол, образованный этими сечениями с горизонтальной линией разъема
крышки, через р. Увеличением . жесткости боковых частей головки за счет бобышек
будем,пренебрегать и условимся, для упрощения расчета, рассматривать головку как
кривой брус постоянного сечения [19]. Соответствующая расчетная схема изображена
на фиг. 571. ’ -
Так как заданная система вместе с нагрузкой обладает вертикальной осью сим-
метрии, тр для преобразования ее в основную систему (фиг. 572) целесообразно совме-
648
Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
стить место разреза с этой осью (сечение Л). Тогда поперечная сила Х3 в месте раз-
реза заведомо отсутствует. Два оставшихся силовых фактора — изгибающий момент Xi '
и нормальная сила Х2 — определяются из канонических уравнений метода сил:
&io + + $12-^2 в 0; 1
(68)
&20 + ^21^1 -h &22Л2 = 0. J
Левая часть первого из этих уравнений представляет собой относительный угол
поворота граней разреза в основной системе от заданных сил (нагрузка, распределен-
ная по косинусоидальному закону) и от искомых величин Хг и Х2. Аналогично левая
часть второго из уравнений (68) представляет собой относительное расхождение граней
разреза по горизонтальному направлению (направление сил Х2).
Уравнение изгибающих моментов в основной системе от заданных сил для сечений
7Г
на первом участке, т. е. в интервале 0 < < — (фиг. 572),
ф
М» - J (Рф r sin (f — ф).
Внося в последнюю зависимость величину давления
соответствующего углу ф, имеем
' Л40 РоГ2 J cos ф sin (ф — ф) йГф.
После преобразований, с использованием зависимости (67), получим
Мо = Рг -%- sin <f.
Изгибающий момент в сечении В (<р = -g-)
«.(-г)-4-^-
Нормальная и поперечная силы в сечении В основной системы от заданных сил
к
Т
^0(“2") = Урф^Фсо8ф = ^-Р;
о
> л
2
q, (4г) “ |Ф=4" Р'
Следовательно, действие части АВ на часть ВС, которые разделены сечением при
К Л-
f — у» можно заменить следующими силовыми факторами:
r Мо — Pr, No = -у Р и Qo = -i- Р.
Тогда уравнение изгибающих моментов в основной системе от заданных сил г.а
втором участке, т. е. в интервале а, следующее:
•Мо = Рг+4гРг sln (? — 4г) — 4гРг [l — cos (т — 4г)]
или после преобразований
„ л Г 1 1 1 1
Л40 в Рг I у sin f — — COS <р I «
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 649
Уравнения изгибающих моментов от единичных моментов — 1
Л11 = 1 = const
и от единичных сил = 1
Л4? — —1 «г (1 — cos <р)
справедливы и для первого и для второго участков (0 < ? < а).
Для вычисления коэффициентов канонических уравнений (68) воспользуемся интег-
ралом Мора. Вследствие полной симметрии основной системы и приложенных к ней
сил относительно вертикальной оси достаточно ограничиться вычислением всех интег-
ралов перемещений для половины системы, т. е. в интервале 0 < f < а.
Главные перемещения и 822 равны
а
811 “ J Mlra,f = “ gj »
а
В22 « -gj J а — 2slna 4- -J- sin 2a -gj .
Побочные перемещения
4 a
If r-2
®12 = ®21 = j MiM2rd<? = (a — Sin a) £J-
o
Основные перемещения, т. e. свободные члены канонических уравнений (68)г
следующие:
1С
Т a
1 > If г 2 1 11 Ргl 2
110 e EJ ) WWinty + "gj | MoA^rdy = — — -j- cos a — — sinaj -gy ;
о \
2 \
2 a
1 f If Г 1 2 a
^20 = ~EJ ) M)At2rrf<p 4" “gj j M^M2rd^ я — 4 + 4 —
0
2
1 1 1 Л 1 1 Pr3
— ~2~ COS a — — sin a 4- -g- cos 2a 4 sin 2a | -gy.
Внося вычисленные значения перемещений в систему канонических уравнений (68)
и решая их относительно неизвестных величин Хг и Х2, можно последние представить
в следующем виде:
Ах = Pr/i (₽) и Х2 - Pf2 (0), (69>
где угол
₽ = а—-у.
Точные выражения для функций j\ (3) и /2 (3) достаточно громоздки и мало удобны
для практических расчетов. В работе [19] предложены приближенные выражения этих
функций, имеющие следующий вид:
А (3) = 0,0127 4- 0,000833°, /2 (?) = 0,522 - 0,003?°. (70)
Значения угла 3 в эти выражения вносятся в градусах.
Так как вкладыши всегда сидят в головке с натягом, то можно принять, что вкла-
дыши и головка деформируются как одно целое [19]. Следовательно, изгибающие мо-
менты распределяются между крышкой и головкой пропорционально моментам инер-
ции JKp и Jem их поперечных сечений, а нормальные силы — пропорционально пло-
щадям FKp и Fem поперечных сечений.
Таким образом, изгибающий момент и нормальная сила в сечении А крышки
N =

1 + ^
J кр
l + jr22
г КР
<650
Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Нормальное напряжение в сечении А крышки
М N
° — П7 + F *
w кр г кр
Если принять, что угол р — 40°, как это обычно и имеет место, то выражение для
.напряжения в сечении А крышки может быть представлено в следующей форме:
Для оценки жесткости головки принято вычислять изменение (уменьшение) ее го-
ризонтального диаметра ВВ. Дл# определения искомого относительного перемещения
точек В прикладываем к основной
системе, по концам горизонтального
диаметра ВВ, единичные силы
(фиг. 573).
Уравнение изгибающих моментов
от единичных сил в интервале
2И1=»
«Г COS Ср.
Уравнение изгибающих моментов
в основной системе от заданных сил
и от найденных выше силовых фак-
торов и X (в том же интервале
те
7
— Х2г (1 — cos ср) —
Искомое изменение величины горизонтального диаметра
2 С
ъвв='ё] ) х
тс
Т
После вычисления интегралов и преобразований получим
2 Г 7 те а 1 \
%ВВ = [•Xi''2 С1 — sin“) + Х^г3 — — + — — sin а + -J- sin 2а J —
/ 1 а 1 „ 1
- Рг3 - "2гё - Т cos 2“ - 4^ sin 2о
Подстановка найденных выше значений Xi и Х2 позволяет привести выражение для
искомого перемещения к следующему виду:
2Рг3
+ 1721
По предложению Р. С. Кинасошвили [19] функция /(Р) приближенно может быть
представлена следующим весьма простым выражением:
/(₽)== б-106 (р°)2 (73)
При р = 40® окончательное выражение для уменьшения величины горизонтального
диаметра головки имеет вид
0.0192РГ3
®вв = E(Jtm + JKp) • (74)
Величины напряжений и деформаций кривошипных головок некоторых авиационных
моторов, вычисленные по формулам (71) и (74), приведены в работе [19]. Действитель-
т —
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 651
ные деформации кривошипных головок несколько меньше вычисленных, так как в ра-
счете не учитывалось увеличение жесткости головок благодаря наличию бобышек под
болты и за средний диаметр условно принималось расстояние между осями болтов.
Пример 5. Пространственный трубопровод для перегретого пара состоит из трех
взаимно перпендикулярных участков (фиг. 574). Оба конца трубопровода предполага-
ются жестко закрепленными как от линейных, так и от угловых перемещений; Размеры
трубопровода следующие: длины прямолинейных участков « 12 м, L2 == 10 м, L3~ 15 м
и радиусы колен 7? 158 см. Наружный и внутренний диаметры труб соответственно
d2« 267 мм и d\ — 245 см. Эти размеры соответствуют трубе с условным диаметром
d = 250 мм для рабочего давления перегретого пара 40 атм
Материал — литая углеродистая сталь.
Путем расчета необходимо установить величины внутренних силовых факторов,
возникающих в сечениях трубопровода, если разность температур пара и окружающей
среды (во время монтажа) составляет Д/ = 400°С. - >
То обстоятельство, что радиусы колен трубопровода значительно меньше длин его
прямолинейных участков, делает возможным принятие в качестве расчетной схемы про-
странственной рамы с прямыми углами, образованной
из трех прямолинейных участков следующих длин:
/i == -f- Z? 1358 см, l2 4“ 27? 1316 см,
4 в # в 1658 см-
Подобная расчетная схема значительно облегчает
вычисления и дает результаты, достаточно близкие
к расчетам, учитывающим наличие в трубопроводе
криволинейных участков {ЗУ].
Заделка (жесткое крепление) концевых сечений
приводит при нагревании трубопровода к возникнове-
нию в каждом из закреплений шести реактивных фак-
торов— трех сид и трех моментов. Эти 12 реактивных
факторов связаны между собой шестью уравнениями
равновесия пространственной системы сил. Дополни- _______ ____________
тельные шесть уравнений дают рассмотрение тех
ограничений в упругих перемещениях рассматриваемой
рамы, которые обусловлены наличием связей, наложен- Фиг- 574-
ных на торцы трубопровода. Для их составления пре-
образуем заданную статически неопределимую систему в основную статически опреде-
лимую путем снятия шести связей (трех линейных ц трех угловых), наложенных на один
из торцов трубопровод, и замены их действия шестью неизвестными силовыми факто-
рами— тремя силами Х2, Х3 и тремя моментами Х±, Х$, Xq (фиг. 575). Уравнения пе-
ремещений в канонической форме имеют следующий вид:
6 6 6
+ 2 = °; + 2 w* - °; + 2 - о;
/?=1 fe=l А=1
6 г- - . 6 . • 6
&4о 4- S — 0; $50 4- 2 ЪыЛь = 0; 8бо + 2 == °-
Л=1 . *=1
(75)
Геометрический смысл левых частей первых трех уравнений — линейные переме-
щения центра тяжести освобожденного торца трубопровода по направлениям осей 1, 2,
3, вторых трех уравнений — угловые перемещения (повороты) торца относительно тех
же осей.. . ...
Свободный член каждого из канонических уравнений — соответствующее линейное
или угловое перемещение освобожденного сечения от температурного воздействия на
основную систему. При этом линейные перемещения, очевидно, выражаются следующим
образом:
Зю e 820 = <xZgA/, (76)
а угловые перемещения отсутствуют, т. е.
&40 = ^50 в W (77)
Для вычисления главных, и^ побочных перемещений, являющихся коэффициентами
шести канонических уравнений <(75), построим эпюры изгибающих и крутящих моментов
в основной системе от единичных силовых факторов, соответствующих искомым трем
силам Хъ Х2, Х3 и трем моментам Х4, Х$, Х$ (фиг. 575). Эпюры изгибающих моментов
заштрихованы сплошными, линиями, а эпюры крутящих моментов — пунктирными ли-
ниями. !
652 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
В качестве примера рассмотрим вычисление главного перемещения &ц:
“gj [~3~ 4" “з“ 4“ gjFJ
При р. = 0,25 жесткость кручения GJ0 сечения трубопровода выражается через
жесткость изгиба EJ следующим образом:
4
GJp = -^EJ.
Фиг. 575.
Учитывая также, что
/2 = 0,96914 и /8 = 1,221/ь
приходим к следующему выражению для искомого перемещения:
/3
&и в 5,146 -gj •
Вычисленные аналогичным образом все коэффициенты канонических уравнений (75)
сведены в табл. 49.
Выражая из вторых трех уравнений (75) величины *4, *б, *6 через *х, *а, Х&
находим:
Х4 = — 1,0044*2 + 0,48874*ь; '
Хь = - 1,0044*1 + 0,14574*3;
= - 0,4117/Л — 0,1431/Л
(78)
Внося найденные значения *4, *5, *в в первые три уравнения (75), приходим для
определения Хь *а, *8 к следующей системе трех уравнений:
1,094*! - 0,2787*2 - 0,1085*3 = - *;
0,2787*! - 0,7080*а + 0,3650*3 = 0,9691*;
0,1085*) + О,365О*2 - 0,9170*з = 1,221*,
(79)
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении ’ 653
Таблица 49
Значения коэффициентов Zik канонических уравнений, умноженных
на жесткость изгиба EJ сечения трубопровода (фиг. 575)
k 1 /
1 2 3 4 5 6
0 abtEJli , 0,9691 a AtEJli l^laA/fJ/j 0 0 0
1 5,146/? -0,4846/? —0,6105/? 0 3,446/? —1,439/?
2 -0,4846/? 4,249/? ' —2,053/? 3,455/? 0 0,5000/?
3 —0,6105/? —2,053/? 1,811/? —1,681/? -0,5000/? 0
4 0 3,4.55/? -1,681/? 3,440/1 0 0
5 3,446/? 0 -0,5000/? 0 3,432/i 0
6 —1,439/? 0,5000/? 0 0 0 3,495/1
ШЕТ
/?
где введено обозначение
К-
(80)
Из уравнений (79) искомые величины
д , Л3== д
(81)
Здесь Д — определитель, образованный из коэффициентов рассматриваемой системы
уравнений
1,094 —0,2787
0,2787 —0,7080
0,1085 0,3650
-0,1085
0,3650
-0,9170
- 0,4629.
Определители Ах,. Д2, Д3 образуются из определителя Д путем замены соответствую-
щего столбца свободными членами системы:
Д1 в
Д2 =
-лг
0,9691 К
1,221К
—0,2787
-0,7080
0,3650
—0,1085
0,3650
—0,9170
= — 1.020К:
1,094
0,2787
0,1085
0,9691 К
1,221/С
-0,1085
0,3650
—0,9170
= - 1.780К;

Д «
1,094
0,2787
ОД 085
—0,2787 —К
—0,7080 0,9691 К
0,3650 1,221 К
- - 3,134К.
Осевой момент инерции сечения трубопровода

654 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
Полагая А* = 400°С, а= 12-10“в и £ = 1,6.10е кг/см2 (при температуре 'пара 425°С),
имеем, что вспомогательная величина . .. . 4
12- 10-е.400-1,6-106-7257
* 13582
= 30,22 кг
и величины реактивных сил по формулам (81)
Хг = -66,6 кг, Х3 = —115 кг. ~ Х3 94,7 кг.
Величины реактивных моментов по выражениям (78)
Хь = 95 300 кгсм, Хь = 72 100 кгсм, Х§ = 14 700 кгсм.
Таким образом, из шести искомых факторов только два реактивных момента X и
Jfg совпадают х направлениями, изображенными на фиг. 575. Четыре остальных реактив
ных фактора в действительности имеют направления, обратные принятым при составле-
нии канонических уравнений.
Используя найденные величины реактивных факторов, (с учетом полученных знаков)
и вспомогательные эпюры изгибающих и крутящих моментов, данные на фиг. 575, можно
легко построить суммарную эпюру, как ‘ >
6
i—l
Суммарная эпюра изгибающих и крутящих моментов изображена на фиг. 576. Эпюры
изгибающих моментов заштрихованы сплошными линиями, а эпюры крутящих момен-
тов — пунктирными.
Величины изгибающих, крутящих и эквивалентных моментов (по теории прочности
наибольших касательных напряжений) для наиболее характерных сечений сведены
в табл. 50. После вычисления эквивалентных моментов расчет на прочность не пред-
ставляет затруднений.
Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машиностроении 655’
Таблица 56*
Значения изгибающих, крутящих и эквивалентных (по теории прочности
наибольших касательных напряжений) моментов для трубопровода (фиг. 576)
Стержень АВ
Сечение А Сечение В
Мх2 = 4/ = 72 100 кгсм 95 300 , Мху = А1 = —14700 „ М9Кв ~ 120 000 кгсм МХ2 = ВЗ — —34 900 кгсм МУ2 = В4 — —90 700 , s Мху = ВЛ--14 700 , MaKt — 98 300 кгсм
Стержень ВС
Сечение В Сечение С
Мх2 = В1П = —34 900 кгсм = В6 = -90 700 = - 14700 , М9Кв — 98 300 кгсм М t2 — CIV — —34 900 кгсм Муг = С8 - 34 300 Мху~С7 = 72900 ' — 87 800 кгсм
Стержень CD А
Сечение С Сечение D
Мхг « СЮ = —34 900 кгсм My2 = CV = 34300 Af'y«C9₽=72900 М9Кв — 87 800 кгсм Мх. — D12 — 94 100 кгсм Л4 — D V7 — 34 300 , Мху - DU = -85 100 . — 132 000 кгсм
ЛИТЕРАТУРА
1. Байков В. Т., Исследование работы расчалочной (гибкой) диагонали в прямо-
угольной замкнутой раме, Труды кафедры „Сопротивление материалов* Московского
авиационного института, 1935.
2. Бернштейн С. А., Основы расчета статически неопределимых систем,
ОНТИ, 1936.
3. Бицено К. и Граммель Р., Техническая динамика, т. I, гл. 5. Пру-
жины ж кольца, ГИТТЛ, 1950.
4. Блинник'С. И., Определение деформаций, кольца, закрепленного в трехку-
лачковом патроне, „Точная индустрия* № 8—9, 1936.
5. Блинник С. И., Расчет на прочность колонн гидравлического пресса, Сб.
„Расчеты на прочность элементов машиностроительных конструкций*, Машгиз, 1955.
6. Бул да С. А., Теоретическое исследование статической работы брусковой рамы*
тележки типа „Даймонд", Днепропетровский институт инженеров транспорта, вып. 6,1937.
7. Бычков Д. В.» Расчет балочных и рамных систем из тонкостенных стержней,.
Стройиздат, 1949.
8. В и н о к у р с к и й X. А., Расчет колонн гидравлических прессов, Машгиз, 1950.
9. Волошин А. А., Расчет паропроводов на тепловые расширения, Судпром-
гиз, 1953.
10. Горбунов Б. Н. и Кротов Ю. В., Основы расчета пространственных,
рам, ОНТИ, 1936.
11. Горбунов Б. Н. и Стрельб и цкая А. И., Приближенные методы
расчета вагонных рам из тонкостенных стержней, Машгиз, 194’6.
12. Горбунов Б. Н. и Стрельбицкая А. И., Расчет рам из тонкостен-
ных стержней 1948.
13. Грановский С. А., О pro В. М., Смол яров Л. Г., Конструкции гид-
ротурбин и расчет их деталей, гл. 6. Направляющий аппарат, § 59. Расчет лопатки*
направляющего аппарата, Машгиз, 1953.
-656 Теория и примеры расчетов статически неопределимых конструкций
14. Же мо ч кин Б. Н., О решении системы уравнений, изд. Военно-инженерной
.академии, 1941.
15. Зильберман Ar С., К расчёту муфт Бибби, применяемых в паровых турби-
нах, .Советское котлотурбостроение* № 8, 1936.
16. Иванов В. Н., Прочность и динамика паровозного движущего механизма,
гл. 13. Методика расчета головок дышел. Машгиз, 1954.
17. Ионин Г. Н., Расчет опорных рам поворотных кранов, сб. „Новая подъемно-
транспортная техника* № 4, Машгиз, 1946.
18. Кап А. М., О распределении напряжений в спицах и ободе шкивов и зубчатых
«колес „Труды Ленинградского индустриального института* № 6, Раздел физико-матема-
тических наук, вып. 3, 1937.
19. К и н а с о ш в и л и Р. С., Расчет прочности шатунов авиационных двигателей,
.Труды Центрального научно-исследовательского института авиационного моторострое-
ния* № 66, 1945.
20. К о в а н В. М. и Корсаков В. С., Сборник задач и упражнений по тех-
нологии машиностроения, Машгиз, 1947.
21. Коган С. А., Расчет разрезной щеки разъемного коленчатого вала звездооб-
разного двигателя, „Труды Центрального научно-исследовательского института авиаци-
онного моторостроения* № 46, 1943.
22. Коробов А. П., Расчет колес с большим числом спиц, Известия Новочер-
касского индустриального института, т. 4 (18), 1938; см. также Ученые записки Ростов-
-ского-на-Дону государственного университета, т. 4, 1938.
23. Коробов А. П., Расчет колес с небольшим числом спиц, под действием сил, ле-
дка щи х в их плоскости, Известия Новочеркасского индустриального института, т. 9 (23), 1941.
24. Корсаков^ В. С., Деформации тонкостенных колец и гильз, закрепленных в
трех кулачковом патроне, Сб. „Чистота и макрогеометрия поверхностей . вращения*,
Машгиз, 1949.
25. Котляр С. М., Экспериментальное исследование модели автомобильных рам
три статических нагрузках. Сб. „Исследование кузовов и рам автомобилей*, Машгиз, 1950.
26. Кравцов А. А., Метод уравновешивания узловых реактивных моментов,
1Бел Госиздат, 1947.
27 Кузнецов Л. А. иРудомино Б. В., Конструирование и расчет трубо-
проводов теплосиловых установок. Машгиз, 1949.
28. Курзон А. Г., Муфты Бибби в судовых турбинных установках, „Судостроение*
№ 6, 1941*
29. К у ш у л ь М. Я., Прочность коленчатых валов звездообразных двигателей,
„Труды Центрального научно-исследовательского института авиационного моторострое-
ния* № 143, 1948.
30. Лазарян В., Гаркави Я., Воскобойник Э., Дорошенко Е., Иссле-
дование нтряжений в рамах паровозов ФД, „Железнодорожный транспорт* № 3, 1952.
31. Лазарян В., Воскобойник Э., Гаркави Я., Тех» ©логические и рабочие
^напряжения в раме паровоза ФД, „Труды Днепропетровского института инженеров ж.-д.
транспорта* № 24, 1954.
32. Лихарев К. К., К вопросу классификации способов закрепления бруса
«(система условных обозначений опор), Труды кафедры „Сопротивление материалов*
Московского высшего технического у чилища имени Баумана, 1947.
33. Никитин С. П., К вопросу о силе включения фрикционных муфт с кольцевой
пружин »й, „Вестник инженеров и техников* № 6, 1933 и № 6, 1934,
34. Николаев Г. А. и Николаев В. П., Исследование напряжений в велоси-
ледноЧ раме. Сборник трудов лаборатории исследования машин и деталей Научно-иссле-
довательского института тяжелого машиностроения, 1939.
35. Николаева М. В., О релаксационном методе Саусвелла, Труды математи-
ческого и нститута имени Стеклова, т. 28, 1949.
36. Никольский Л. Н., Теория и расчет вагонов, гл. 5. Расчет тележек, Маш-
гиз, 1947.
37. Обухов А. А., Расчет обода и спиц зубчатых колес, „Труды Ростовского-на-Дону
института инженеров транспорта* № 17, 1953.
38. Папкович П. Ф., Строительная механика корабля, ч. 1, т. 2, гл. 4, Криволи-
нейные рамы, 1947.
39. Петелин Г. И., Трубопроводы электростанций (компенсация термических рас-
ширений), ОНТИ, 1935.
40. Пономареве. Д., Расчет и конструкция витых пружин, ОНТИ, 1938.
41. Пономарев С. Д. и Бидерман В. Л., Расчет на прочность регулировоч-
ного кольца направляющего аппарата гидравлической турбины, Труды кафедры „Сопро-
тивление материалов* Московского высшего технического училища имени Баумана, 1948.
42. Попов А. А., Исследования напряжений в головке шатуна локомотива, Труды
Московского института инженеров транспорта, 1938.
43. П о п о в А. А. Новые таблицы для перемножения эпюр в брусе большой кри-
визны, „Вестник инженеров и техников* № 3, 1953.
44. Рабинович И. М., Достижения строительной механики стержневых систем
«в СССР, изд. Академии архитектуры СССР, 1949.
Литература
657
45. Рабинович И. М., Курс строительной механики стержневых систем, ч. 2.
Статически неопределимые системы, Госстройиздат, 1954.
46. Р е ш е т о в Д. Н., Расчет деталей станков, гл. 2. Станины и направляющие,
Машгиз, 1945.
47. Рогинский С. А., Расчет рам, Машгиз. 1948.
48 Сегаль А. И., Расчет замкнутого кольца как статически определимой системы,
Сборник «Исследования по теории сооружений. № 3, Госстройиздат, 1939.
49. С ос и с П. М., Расчет рам способом перераспределения начальных значений
неизвестных, Гостехиздат Украинской ССР, 1952.
50. С у л ь к и н А. Г., К расчету упругой муфты со змеевидными пружинами,
«Вестник машиностроения* № 11, 1948.
51. Тер-Газарян Г. Н. и Хуберян К. М., Усилия от тяжения полюсов
в клиньях крепления активной стали в гидрогенераторах, «Электричество* № 3, 1955.
52. Тихомиров Е. Н., О пространственных системах, «Вестник инженеров и
техников* № 3, 1935.
53. Трапезин И. И., Расчет неразрезного многоколенчатого вала, ОНТИ, 1937.
54. У манский А. А.» Пространственные системы, Стройиздат, 1948.
55 Уманский А. А.» Специальный курс строительной механики, часть 1, ОНТИ,
1935. ч. 2, Госстройиздат, 1940.
56. Урбан И. Вм Развитие приема Гаусса для решения канонических уравнений
Труды Московского института инженеров транспорта, вып. 49, 1936.
57. Урбан И. В., Теория расчета статически неопределимых конструкций, Транс-
желдориздат, 1937.
58. Урусов И. Д., Напряжения и деформации в станинах электрических машин,
«Вестник электропромышленности* № 11, 1937.
59. Целиков А. И., Прокатные станы, ч. 3. Детали и механизмы рабочей клети,
Металлургиздат, 1946.
60. Шмульский М. Д., Решение системы канонических уравнений методом
степенного полинома, Сборник научных трудов Киевского инженерно-строительного
инстит)та, 1951.
61. Штаерман И. Я., К расчету кругового опорного кольца, Известия Киевского
политехнического института, 1923.
62. Штаерман И. Я., Оценка погрешности при расчете опорного кольца по ги-
потезе Бернулли. Труды Киевского авиационного института, вып. 10, 1938.
63 Яхин А. Б. и др., Технология точного приборостроения, Оборонгиз, 1949.
64. Яхин А Б., Анализ и расчет точности технологических процессов, G6. «Про-
грессивная технология приборостроения* № 3, Проектирование технологическихпроцес-
сов. Машгиз, 1951.
42 Пономарев и др. 4W
1
ГЛАВА ЛП
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИБКИХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§ Е ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Во всех рассматривавшихся выше задачах предполагалось, что перемещения,
возникающие в деформированной системе, невелики и что размеры и форма
упругого тела при' нагружении меняются незначительно. Такое предположение
Фиг. 577. Фиг. 578. Фиг. 579.
।
е
дает возможность применять принцип неизменности начальных размеров, т. е.
при составлении уравнений равновесия имеется возможность считать, что си-
стема остается недеформированной.
Малость перемещений обусловливает также применимость принципа незави-
симости действия сил, т. е. принципа суперпозиции — наложения действия, на
котором, в частности, базируются рассмотренные выше приемы раскрытия ста-
тической неопределимости. ' •
В практике расчета элементов инженерных конструкций приходится, однако,
встречаться и с такими системами, в которых перемещенияЛ являются сущест-
венными, т. е. меняют геометрию системы настолько, что становится недопу-
стимым пользоваться как принципом неизменности начальных размеров, так и
принципом независимости действия сил. В таких случаях говорят, что система
работает в области больших перемещений. При этом, когда говорят о больших
и малых перемещениях, имеют в виду не абсолютные значения этих переме-
щений, а то, насколько существенно влияют они на геометрию и характер на-
гружения системы. Если перемещения по абсолютной величине малы, но ме-
няют систему настолько, что не допускают применения указанных двух принципов,
то такие перемещения считаются большими.
Большие перемещения могут сопровождаться как большими, так и* малыми,
как упругими, так и неупругими деформациями.
Так, например, полоса, прокатываемая между вальцами (фиг. 577), имеет и
большие перемещения и большие пластические деформации.
В процессе изготовления витой пружины проволока, навиваемая на оп-
равку (фиг. 578), имеет большие перемещения, но малые деформации, причем—
пластические.
Общие замечания
659
Максимальное удлинение, возникающее в витке при навивке, равно
_____________________________________ау
emax— 2R ’
где d — диаметр проволоки, a R—: средний радиус витка проволоки на оправке.
Но величина тгв мала по сравнению с единицей. Следовательно, деформации,
возникающие при навивке, являются малыми. Вместе с тем в значительной
части они должны быть пластическими, иначе при снятии с оправки проволока
полностью бы выпрямилась и желаемая форма пружины не была бы получена.
Пружина защелки механизма (фиг. 579) работает в области больших пере-
мещений, но малых упругих деформаций. Здесь, очевидно, величина
?тах 2R
настолько мала (вследствие малости Л), что деформации остаются целиком
упругими.
Из этого примера видно, что тонкий стержень (балка) способен при доста-
точно малой • толщине давать большие упругие перемещения. Такие стержни
и вообще системы называются гибкими.
Определение больших перемещений расчетным путем связано со значитель-
ными трудностями. Эти трудности определяются в основном тем, что уравнения
больших перемещений являются, как правило, нелинейными и не всегда под-
даются точному решению. Если же система в дополнение к большим переме-
щениям получает еще и большие пластические деформации, то трудности ис-
следования такой системы возрастают во много раз.
В настоящей главе мы остановимся только на поведении гибких систем,
большие перемещения в которых связаны с малыми упругими деформациями.
Вопросы больших перемещений при пластических (больших и малых) дефор-
мациях здесь затрагиваться не будут.
' Вопросами больших перемещений упругих стержневых систем занимался
ряд исследователей. Первые шаги в решении подобных задач были сделаны
уже в 1744 г. Леонардом Эйлером {16] еще до того, как была создана общая
приближенная теория упругой линии балки в малых перемещениях.
Основы общей теории больших перемещений упругого тонкого- стержня были
заложены Кирхгофом [18] (1850), который дал дифференциальные уравнения
упругой линии изогнутого и закрученного стержня. Им же было указано, что
в случае нагружения стержня только по концам дифференциальное уравнения
равновесия аналогичны уравнениям движения тела с одной неподвижной точкой.
Теория тонких стержней Кирхгофа в современном изложении дана в работах
А. Лява [7], И. Геккелера [3], Е. Л. Николай [8], A;7 Hi Лурье и* А. М.
Каца [6]. Наконец, подробно вопросы кинетических аналогий рассмотрены
Е. П. Поповым [10], [11].
В инженерном приложении некоторые частные задачи больших перемещений
стержневых систем ^ашли свое освещение прежде всего в классических работах
А. Н. Крылова [5] и П. Ф. Папковича [9]. Ряд задач был решен Е. Н. Ти-
хомировым [14], Б. Г. Гадеркиным [2], В. П. Ветчинкиным [1] и др.
В многочисленных работах Е. J“J. Попова, суммированных им в моногра-
фиях [10], [11], развит метод общего решения целого класса задач, связанных
с определением больших прогибов тонкой упругой балки при плоском изгибе.
Ниже этому методу будет уделено особое внимание.
Вообще же для решения задач в области больших перемещений не сущест-
вует единого общего метода. Обычно эти задачи решаются по-разному, точно
или приближенно, в соответствии с тем, сколь велики перемещения, насколько
высока требуемая точность решения и,, вообще, в зависимости от особенностей
системы. J
42*
660
Основы теории гибких стержневых систем
Ввиду отсутствия общего подхода к решению задач остановимся сначала
на некоторых простейших примерах, в которых имеется возможность получить
точное решение. На этих примерах можно хорошо видеть характер поведения
упругих систем в области больших перемещений и достаточно полно предста-
вить себе особенности нелинейных задач в их простейшем виде. Затем будут
рассмотрены приближенные методы решения некоторых задач о больших пере-
мещениях. Основная часть настоящей главы будет посвящена изложению теории
гибких стержней Е. П. Попова.
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ УПРУГИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
Рассмотрим несколько простейших примеров, в которых задача определения
больших перемещений может быть решена прямыми методами.
Пример 1. Два упругих шарнирно закрепленных стержня (фиг. 580) расположены
по одной прямой. В среднем шарнире стержни нагружены поперечной силой Р. Тре-
буется определить перемещение точки приложения силы и усилия, возникающие
в стержнях.
Фиг. 580. Фиг. 581.
Фиг. 582.
Рассматриваемая система является простейшей типовой системой, к которой непри-
менимы ни принцип неизменности начальных размеров, ни принцип независимости дей-
ствия сил.
Действительно, если попытаться составить условия равновесия для среднего узла
системы, пренебрегая ее перемещениями (фиг. 581), то получаемый результат
2N sin 0 — Р; N « оо ,
не будет иметь физического смысла.
Следовательно, при составлении уравнения
равновесия необходимо учитывать угол ср, на кото-
рый поворачиваются стержни (фиг. 582).
В этом случае получим
2N sin ср «= Р.
Положим, что система обладает тем свойством,
что удлинения стержней малы.
При малых удлинениях стержней и угол ср бу-
дет малым. Поэтому можно записать:
2Мр == Р. (1)
Абсолютное удлинение каждого стержня
Z
Тогда
6 s cos <р
или, за малостью
8~ 2 ‘
Но так как
N
EF 9
Простейшие упругие нелинейные системы.
661
Возвращаясь к уравнению равновесия (1), получим
N-^fyp*EF
График зависимости между силой Р и перемещением w показан на фиг. 583.
Существенно отметить, что рассмотренная система, несмотря на малость абсолютных
значений угла остается нелинейной, поскольку с углом существенно меняется гео-
метрия силовых связей в узле.
Пример 2*. Стержневая система (фиг. 584), состоящая из трех равных шарнирно
скрепленных стержней, нагружена в общем узле О силой Р.
Требуется определить зависимость
перемещения w в точке О от силы Р
в предположении, что материал следует
закону Гука.
Для рассматриваемой пространст-
венной системы существенным является
то, что перемещение, среднего узла при
малом сжатии стержней оказывается
соизмеримым с высотой Н и, таким
образом, геометрия системы существен-
но меняется.
Обозначим через угол, который
составляет стержень с плоскостью опор
(фиг. 585).
Высота расположения точки О над
Тогда
горизонтом будет Н — w.
Н—w
I
<F =
Если через N обозначить сжимающее усилие в стержнях, то из условия равновесия
очевидно, что *
Н — w
Р = ЗЛГ? = 3N-----j—
(2)
С другой стороны, сила ТУ определяется величиной укорочения каждого стержня
EFM
См. [J5].
(3)
662
Основы теории гибких стержневых систем
Из фиг. 585 видно, что
COS f
За малостью ? и ?0
А/ у I — <р2).
Так как
Н
?о-—;
Н — w
<р——
то
и из уравнения (3) определяется сила N:
N = W
Уравнение равновесия (2) дает
3EF
PL3
3EFH3
Фиг. 586.
Полеченную зависимость удобно пере-
писать в безразмерной форме
РР w ( _w \ / 1 w \
3EFEP ~ Я V ~ Н
и представить в виде кривой (фиг. 586).
Эта кривая имеет две экстремальные
точки Л и В. На первом участке ОА про-
исходит одноврменное возрастание нагруз-
ки Р и прогиба w. Когда сила Р достигает
значения, соответствующего первому
экстремуму, происходит «^скачкообразное
изменение прогиба (АС, как это показано
стрелками). При дальнейшем росте нагруз-
ки перемещение w продолжает увеличи-
ваться. Если теперь систему разгрузить, то
стержни останутся в свободном состоянии
окажется на величину Н ниже неподвижной

и третью — промежуточную —
соответствует расположению
отклонении от этого
W Л
при =» 2, т. е. узловая точка стержней
горизонтальной плоскости. Прикладывая нагрузку обратного знака, можно вызвать обрат-
ное прощелкивание системы (BD) и после полной разгрузки вернуть ее в начальное
положение.
Участок АВ кривой соответствует неустойчивым формам равновесия.
Таким образом, при значениях силы Р, лежащих между двумя экстремумами
(фиг. 586)
1 EFFF 1 EF№
~ УЗ Р <Р<+ уд-
еистема имеет три формы равновесия: две устойчивые
неустойчивую.
В частности, при Р ~ 0 эта неустойчивая форма
/ w \ -
стержней в горизонтальной плоскости (-^-=.11. При малейшем
положения стержневая система займет либо верхнее, либо нижнее положение.
В приведенном примере, таким образом4, выявляется еще одна характерная особен-
ность нелинейных систем — это неоднозначность решения.
Пример 3*. Рассмотррм задачу определения осадки тарельчатой пружины (фиг. 587).
Будем рассматривать пружину как круговой брус с псщеречным сечением в виде прямо-
угольника с размерами h (на Ь—а). В соответствии с этим напряженное состояние пру-
жины предполагается одноосным.
Угол подъема пружины а мал и поэтому прогиб w существенно сказывается на форме
пружины, что и приводит к нелинейной зависимости между силой и прогибом.
* Впервые решение этой задачи без вывода дано в работе [20].
Простейшие упругие нелинейные системы
663
Примем, что поперечное сечение пружины не деформируется и поворачивается на
|гол <р вокруг некоторой точки О, находящейся на расстоянии с от оси симметрии
Рассмотрим в сечении пружины точку А с координатами х и у. После поворота
сечения эта точка примет положение А' и приблизится к оси симметрии на расстояние
А = [х COS (а — <р) — у sin (а — <р)] — [х COS а — у sin а].
За малостью углов а и
А = хф ( а — 4г ) + У«Р•
Окружное относительное удлинение, соответствующее перемещению А, будет
А А

С — х COS а 4- у Sin а
или
*f
+ УТ
<st = Ezt.
Окружное напряжение
равно
Фиг. 587.
Теперь определим нормальную силу N в осевом сечении пружины:
с—а ‘ 2
ДО — J J atdxdy,
г—& — А
2
подставляя сюда полученное выше выражение а/, имеем

с — х
У?
2
Из рассмотрения условий равновесия половины кольца (фиг. 589) убеждаемся, что
ДО — 0. Это позволяет найти
b — а
С~~Т'
in —
а
Теперь вычислим момент Л1:
с—а 2
М == J J at [х sin (а — f) 4- у cos (а — ?)] dx.dy\
с—Ъ Л
2
г—а 2 / <р \
М=Е
г—b h
е — х
[х (а — f) + у] dx dy\
M~Eh
а2 b\ h2 Ы
2- + 2ea-2C6 + ^ln-)+12?ln-j
664
Основы теории гибких стержневых систем
С другой стороны, из условий равновесия полукольца (фиг. 589) следует, что
2М = I b* sin 8 dfr —
Г Р,
1 " sin ®
J 2па
о
dd
Н
Фиг. 589.
или
M = i (*-«)•
Таким образом получаем
ат
у — у + 2сл — 26с+
Исключаем отсюда с, а вместо
Н w
но и а » гДе w — осадка пружины.
Тогда
ЪкЕН
а и (см. фиг.
588
и 589) подставляем соответствен-
W ч/1 Ь+ а
1 \ Л2
~~Г + 12
1П7 /
. И
In —
а
Непосредственной числовой п
ведливо соотношение
1 b + а 1 1.6
и 12 а
а
2 Ь — а
In —
Поэтому
л nEh
Р =
&{b-^a)*wXa
Полученная зависимость между
силой Р и осадкой пружины w являет-
ся нелинейной и в зависимости от от-
ся нелинейной и в
ношения-^- может
характер.
На фиг. 590
зависимости
носить различный
показаны кривые
ъ
кЕ№ In —
а
w Н
от -у при различных -g
т.
е.
графики функции
Л> =
1 w
2 V
Проследим, как меняется вид характеристики пружины Ро
в зависимости
от отношения -у •
Кривая, соответствующая величине -у = 0, представляет собой
характеристику
плоской дисковой пружины. Возрастание высоты Н вызывает прежде всего повышение
Простейшие упругие нелинейные системы
665'
начальной жесткости пружины, g затем нарушение монотонности хода кривой. При зна-
чении -д- = V2 (это легко найти из анализа полученного выражения) на характе-
ристике пружины появляется участок с отрицательной производной, расположенный
между двумя экстремальными точками. Характеристика принимает вид кривой, получен-
ной в предыдущем примере.
Здесь также, после достижения усилием первого экстремума, пружина скачком
меняет свой прогиб. Дальнейшая работа происходит на второй устойчивой возрастаю-
щей части характеристики. Разгрузка вызывает обратное скачкообразное изменение
прогиба, соответствующее
второй экстремальной точке.
Дальнейшее увеличение
высоты пружины Н дает,
как видно из фиг. 590, еще
большее искривление ха-
рактеристики, и при значе-
ниях -у > 2 V"2 послед-
няя начинает пересекать
ось абсцисс. В этом случае
пружина при силе Ро — 0
имеет, как и рассмотренная
выше стержневая система,
три формы равновесия (см.
фиг. 590), из которых две
устойчивы, а третья — про-
межуточная — неустойчива.
Такая пружина после выщел-
кивания и разгрузки в на-
чальное положение не воз-
вращается и сохраняет упру-
гий остаточный прогиб, со-
ответствующий крайней
правой точке пересечения
кривой с осью абсцисс.
Таким образом, и в этом
примере проявляется не-
однозначность решения системы, работающей в области больших перемещений. Но еще
более четко проявляется это свойство нелинейных систем в следующем примере.
Пример 4. Рассмотрим простейшую систему, состоящую из двух упругих элементов
допускающих большие перемещения (фиг. 591).
Трубка в нижней части закреплена шарнирно и связана со спиральной пружиной,
дающей при повороте трубки на угол момент су кгсм. В трубку вставлена вторая
пружина и поршенек, имеющий возможность перемещаться в трубке без трения. Вторая
пружина цмеет жесткость сг кг/см.
Рассмотрим условие равновесия трубки в отклоненном состоянии (фиг. 592). Если
обозначить через Н расстояние от верхнего края поршенька до шарнира в начале нагру-
жения, то тогда, очевидно,
„ ( Р COS Ф \
Р\Н —--------------------------------------) sin <Р = C<f,
откуда, решая квадратное уравнение, имеем
Р 1 Г * "| X* 4с 1
~Нс^ = 2 cos с? L1 * Г 1 — т ctg tl *
Обозначим безразмерные отношения:
Р 4с
7fci=p'> с^Р=Х- (5)
Тогда получим
Р = 2 сот? Г1 ± С1«Т].
При различных Л зависимость р от <р носит различный характер. На фиг. 593 показана
эта зависимость для значений X = 0,5; 1,0 и 1,2 при 0^? Полученные кривые со-
ответствуют формам равновесия системы в отклоненном от вертикали положении. Кроме
того, существует форма равновесия для вертикально расположенного стержня [уравне-
ние (4) удовлетворяется при f =0]. На фиг. 593 эта форма равновесия отображается
точками, лежащими на оси ординат. При = 0,5 и вообще для всех значений X, лежащих
666
Основы теории гибких стержневых ' систем
в пределах от нуля до единицы, кривые р = р (у) пересекают ось ординат в двух точках.
При X = 1 эти две точки сливаются в одну. Эти точки Отображают переход системы от
вертикального к наклонному положению:
Р1,2 = ~2 О ± V1 — М* е
Теперь возникает вопрос об устойчивости полученных форм равновесия.
Критерием устойчивого положения равновесия, как мы знаем из гл. VII, т. I, являет-
ся минимум полной потенциальной энергии
су2 £1Д2
П = —2” -р —2— + “г д) cos У»
где А — перемещение поршенька в трубке.
Первые два слагаемых этого выражения
представляют собой энергию деформации двух
пружин, а последнее — потенциал внешней
силы Р. z
Так как
Р cos у
то
получаем
су2
П = —+ PH cos у
Р2 cos2 у
Условие
dll ~
d<f “°
является условием равновесия (условием
экстремума энергии) и приводит нас, как и
следовал® ожидать, к уравнению (4), полу-
ченному ранее.
Условие минимума энергии запишется как
й^П л е
dV>0
А =-

или
с — PH cos у 4" “7~ cos 2?
b'l
Согласно обозначениям (5) имеем
4 — Р cos у + р* cos 2у > 0.
Исследуя кривые, представленные на фиг. 593, замечаем, что для некоторых участкор
этих кривых условие устойчивости выполняется, а для некоторых — нет. На фиг. 593
участки, соответствующие неустойчивому равновесию, проведены пунктирными линиями.
Для оси ординат условие устойчивости записывается в виде
7—р+р2>о.
откуда получаем
Д<|(|-Г1-Х) и р>у(1+ V1-X).
Для X = 0,5, например, вертикальное положение трубки будет неустойчивым при
0,853 >р> 0,147.
На фиг. 593 стрелками показан рост угла у в функции силы Р для К = 0,5. Вначале
угол у остается равным нулю. При р =*= 0,147 трубка отклоняется от вертикали, а шалее
по мере возрастания силы Р угол у асимптотически приближается к значению у == я.
При этом в случае у > -% поршенек будет силой Р из трубки вытягиваться. В реаль-
Некоторые задачи с малой нелинейностью
667
йой системе перемещение поршенька, а вместе с ним и возрастание силы, ограничены
длиной трубки.
Построенные кривые показывают, что угол ? может также асимптотически прибли-
- я
жаться к значению » например, для случая А.» 0,5 при р > 0,853. Это означает, что
при достаточно большой силе осадка пружины, находящейся в трубке, возрастает
настолько сильно, а вместе с тем настолько быстро убывает плечо силы Р, что последняя
не в состоянии перекинуть трубку ниже горизонтали. В пределе, при ? = '2'» осадка
пружины
Pcos ..— _
как это следует из уравнения (4), равна //, т. е. поршенек в пределе доходит до шар-
, нира. Эти формы равновесия являются неустойчивыми.
При Х>1, т. е. при достаточно большой жесткости спиральной пружины или при
достаточно малой высоте или малой жесткости второй пружины, вертикальное положение
трубки при любых значениях силы Р остается всегда устойчивым, хотя и существуют
формы равновесия трубки в отклоненном положении. Для того чтобы трубка заняла
такое положение равновесия, необходимо дать ей, при помощи внешней силы, большое
боковое отклонение.
На фиг. 593 изображены также ветви кривых Р = Р (?) для отрицательных значе- •
ний р. Эти кривые показывают, что при ту < < я трубка может находиться в равно-
весии при силе другого знака.
Этот вид равновесия легко себе представить, если учесть, что теоретически поршенек
может смещаться в трубке на величины, большие Н. При Д > Н сила Р, имея другой
знак, будет удерживать трубку в указанном положении равновесия.
Таким образом, мы рассмотрели формы равновесия в пределах 0<?<я. Этим,
однако, не исчерпывается все многообразие возможных форм равновесия. Анализ этого
вопроса мождо было продолжить, расширив область изменения угла за пределы я
вправо и за пределы нуля — влево.
Рассмотренная задача является примером простейшей нелинейности, обусловленной
большими перемещениями. Здесь, как видим, элементарными средствами удается полу-
чить полное решение и наглядно показать его многозначность. В общем же случае ре-
шение нелинейных задач представляет собой одну из наиболее сложных задач современ-
ной математики и механики.
§ 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ С МАЛОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Когда говорят о малой нелинейности, имеют в виду зависимости, незначительно от-
личающиеся от линейных.
Для упругих систем малая нелинейность обычно связывается со сравнительно неболь-
шими перемещениями. Так, например» кривизна упругой линии балки (фиг 594)
2
Если перемещения не малы, но вместе с тем Фиг. 594.
и не слишком велики, т. е. если речь идет о ма-
лой нелинейности, то выражение (6) может быть разложено по степеням о'. Тогда, удер-
живая первые члены разложения, получим
Задачи изгиба с малой нелинейностью могут рассматриваться на основании этой
формулы.
Из выражения (7), кстати говоря, не следует, что зависимость между внешней силой
и перемещением будет также мало отличаться от линейной. Это определяется особенно-
стями системы. Ниже на некоторых примерах будет показано, что . даже при не очень
больших (в указанном смысле) перемещениях зависимость между прогибами и силами
может существенно отличаться от линейной.
Рассмотрим некоторые простейшие системы с малой нелинейностью.
668
Основы теории гибких стержневых систем
Пример 1. Пружина баланса часового механизма имеет вид прямой балки, шарнирно
закрепленной по концам (фиг. 595). В средней точке пружины закрепляется баланс,
совершающий колебательное движение. Для оценки хода часов необходимо определить,
в какой степени зависимость между моментом М и углом поворота пружины в точке О
отличается от линейной.
Поскольку пружина работает в упругой зоне, искомая нелинейность определяется
только тем, что геометрия пружины при изгибе не остается неизменной. Вследствие
малых углов поворота баланса система может рассматриваться при малой нелинейности.
Удобнее всего эту задачу решать Энергетически. Выражение полной потенциальной
энергии напишется в следующем виде:
п = -!.£./J — мч,
I
где — — изменение кривизны бруса;
Р
— потенциал внешнего момента;
? — угол поворота сечения пружины в точке Of.
Допустим, что v — поперечное перемещение балки; тогда
-7 е”'(1-4
Длина изогнутой балки при нагрузке не остается неизменной. Она увеличивается
вследствие того, что свободные концы балки вытягиваются через шарнирные опоры.
Интегрирование выражения внутренней энергии удобнее поэтому вести не по длине пру-
жинной ленты s, а по оси z
ds = dz V1 -f- v'2 » dz (14- v'2) •
п
Таким образом
z
v,2^dz—Л1ф.
0
Здесь указаны пределы интегрирования по z от нуля до / и интеграл удвоен, по-
скольку интегралы для правой и левой частей балки равны.
Раскрывая скобки под знаком интеграла и отбрасывая члены с высшими степенями,
получим
I
П = EJ J V-2. dz _ M<f
О
Теперь зададимся функцией v в следующем виде:
A(z3 — 3lz2 + 2Pz)t
где А — некоторый произвольный параметр.
Тогда после интегрирования получим
Г/3 5 44 ]
П = £/36Л2 I J - у Jos
Далее
tg?-<=o-^2/2; (8)
В этом случае
П = 36EJA2 |д - - МА 2Z2 (1 - уЛ2 4Z4) .
Дифференцируем это' выражение по Я и приравниваем производную нулю, что дает
36EJ I А — <= М 2/2 (1 — 4/* Л2).
Но из соотношения (8), разлагая tg в ряд, имеем
А2Е «>
Некоторые задачи с ' малой * нелинейностью
669
Подставляем в последнее-выражение значение параметра А и, удерживая первые
степени . получаем
185J 9 — jj?») - Ml (1 - f«),
откуда
Первое слагаемое этого выражения представляет собой обычное линейное решение
для рассматриваемой задачи. Второе слагаемое выражает искомое отклонение от линей-
ной зависимости.
Рассмотрим еще пример.
Пример 2. Определить отклонение от линейной зависимости для пружины динамо-
метра» показанной на фиг. 596.
Рассмотрим одно кольцо динамометра (фиг. 597). Оно, очевидно, будет изгибаться
так, что сечения С и D не будут поворачиваться. Центральный угол кольца примем
равным 2те.
Рассмотрим элемент кольца АВ (фиг. 597).
Точки А и В при деформации кольца займут
положение А'В' (фиг. 598). Перемещение по
нормали к контуру кольца обозначим через w, по касательной — через и.
Полученный многоугольник АА’В’В спроектируем поочередно на направление w
и и. Так как сумма проекций сторон замкнутого многоугольника равна нулю, получим
w -h Rdy sin & 4- (а 4- du) d<? — w — dw == 0;
и -4- Rdy cos & — и — du — (w + dw) d<? — Rd<? = 0.
Отбросим величины высшего порядка и примем, что поскольку
угол # мал, то
sin &
cos & « 1 — •
Тогда
w* — и
и' 4- R у = 0, (10)
где знак ( )' означает производную по
Изменение кривизны бруса
Фиг. 598.
или
^2 (&' — «О-
(U)
Выражение полной потенциальной энергии системы может быть написана в виде
, 2я
' (12)
! о
670
Основы теории гибких стержневых систем
где и0 — перемещение и в точке приложения силы Р. Энергией растяжения кольца мы
пренебрегаем.
Задаемся теперь функцией а. Примем ее в том же виде, что и для случая малых
перемещений.
Для этого рассмотрим кольцо как статически неопределимую раму (фиг. 599)
(см. гл. XI, т. I).
Определяем момент Хг из канонического уравнения
= 0;
МР = PR (1 — cos f);
Af!— — 1;.
2nR * PR*
_“Z72*’
откуда
X^PR.
Изгибающий момент в сечении ср будет
М = Мр — Хг = — PR cos ср.
Для определения перемещения и в
ную силу по направлению касательной
точке А (фиг. 599) прикладываем в ней единич-
к j ”
дуге круга. Полярный угол ф, определяющий
откуда '
я = —
Примем
sin ср t
а
Фиг 599.
сечение А, считаем неиз-
менным. Находим изгибаю-
щий момент в текущем се-
чении ср:
Мг — R [1 — cos (ср — ф)].
Перемещение и в точ-
ке А равно (см. гл. X, т. 1)
2п
PR3
cos (ф
EJ J
Ф
— ф)] COS ср^ф,
(13)

где А — произвольный параметр.
Теперь из выражений (10) и (9) найдем w.
Сначала из,зависимости (10), полагая $ = 0, найдем
W = — а' — A (it— -Ff cp^-sln ср; ?
Затем, подставляя и и w в выражение (9), находим
Л w' — и А
»-----J--------^Sin?.
Возвращаясь опять к выражению (10), вновь определяем w:
/ 1 \ А*
w = А ( X — у Ф ) sin ср — 2^ Sin2 ср.
' >. ...h -И ' 1 ,
(14)
Воспользуемся теперь формулами (13) и (14) для определения изменения кривизны х
по зависимости (11):
А* «
—A cos <р — cos 2ср
1
%=Я2
Некоторые задачи с малой нелинейностью
671
Полная потенциальная энергия (12)
2те
С Г А2 I2
П — еда J IA cos + -д- cos 2<р J d? + РАк
о
или после интегрирования
П — 2/?3 4“ я] 4" Р
Дифференцируя П по А и приравнивая производную нулю, получаем
EJ Г * Л3 I
2д3 12Ап 4 х I 4° Pit = О,
откуда
EJ Г ОЛ3
~ R3 [Л + 2 Д2
Тогда
Перемещение точки приложения силы Р
Д = — «0 == — Лтс.
EJ ( Д2 \
= ®A8 А V+21^)’
Первое слагаемое этого выражения дает обычную линейную зависимость, а второе ~
искомое малое нелинейное отклонение от линейной зависимости.
Пример 3. Пологая арка (фиг. 600), шарнирно закрепленная по концам, нагружена
равномерно распределенной нагрузкой интенсивности £ Требуется установить зависимость
прогиба арки от действующей нагрузки.
Высота Н в функции х задается в виде
Н~^х(21-х).
Эту задачу, как и предыдущие, будем решать энергетическим методом.
Рассмотрим элемент дуги арки до нагружения (ЛВ) и — после нагружения (Л'В')
(фиг. 601). • ....... •
Так как арка пологая, то текущий угол наклона 0 (фиг. 601) мал настолько, что
sin 0 « tg 0 « 0.
Вследствие этого
ds = dx.
Вертикальное перемещение обозначим через w, а горизонтальное — через и. Угол
поворота элемента дуги — Все эти величины показаны на фиг. 601.
Элемент АВ получает удлинение е. Поэтому длина отрезка А'В’ будет rfs(l 4- е).
Замкнутый многоугольник АА’В'В проектируем на ось х. Приравнивая нулю сумму
проекции отрезков, получаем
и 4- ds (1 + е) cos (0 4- 4k) — а du — ds cos 8^0,
откуда, полагая 6 л. ^ малыми, находим '
,£ = и' + &(0 + 4). ‘ - (15)
где
, du, du
-и
672
Основы теории гибких стержневых систем
Точно так же проектируем замкнутый многоугольник на ось z. Тогда <
w + ds (1 + е) sin (6 + ft) — w — dw — ds sin в = О,
откуда
' = (16)
Изменение кривизны
% = = wn. (17)
Составим выражение полной потенциальной энергии i
i i i
П -» EJ Jх2дГл J+ ? У wdx.
о о 4 о
Первое слагаемое этого выражения представляет собой энергию изгиба, второе —
энергию растяжения, а третье — потенциал внешних сил.
Задаемся теперь функциями перемещений w и и.
Примем, что
w «в Ах (21 — х), (18)
где А — произвольный параметр.
Согласно выражению (16)
& = А (21 — 2а?). (19)
Подбор функции а следует провести в соответствии с выражением (15). Функция и
должна иметь члены, содержащие зависимость типа
•М).
Угол 0 будет, очевидно, равен
Тогда
+ 2") А4 — *)а. е
Примем, что
и' « —В+ С(1 — х)2
где В н С — постоянные;
С
и = В (I — х) — -$-(1 —-х)\
Теперь надо потребовать, чтобы при х«0 перемещение а, так же как и при х=1>
обращалось бы в нуль.
Для этого, очевидно, необходимо, чтобы
В
3 “ /з *
Окончательно
« = в[(/-х) —j, (/-*)«]. (20)
Нужно заметить, что при решении подобных задач энергетическим методом выбор
перемещения и (или и и V, как в оболочках) требует более внимательного подхода,
чем выбор перемещения w. Это обстоятельство мало кому известно. Именно вследствие
недостаточно правильного подбора этой функции могут быть получены, в нелинейных
членах существенные ошибки.
Теперь согласно зависимостям (18) и (20) получаем
х == - — 2Л; (21)
* - - В-Ь [4Л + 24» + в] (/ - х)». ' (22)
Йекоторые задачи с малой нелинейностью
673
Вычислим интегралы:
I
rfdx = 4Л2/;
/
У ^dx = В2/ — -д- /ЗВ Г4Д "ут" 4~ 2Л2 + "js в! -f~ |*4Д 4- 2Д2 4~ ^1 >
и J L J
1
Г 2
j Wdx = Д -д- /2.
О
Полная потенциальная энергия
П = EJ2A4 + -^EF [в2/ - у ГВ (1А^ + 2л2 + ^-В^4-
+ (4^7?+2Л2 + -^вУу] +<]А^К
Дифференцируем это выражение по В. Приравнивая производную нулю, получаем
ЗВ 4- 4AHq 4- 2Д2/ “0.
Дифференцируем далее по Д. Тогда
4EJAI + 2EP(J^ + л) [ - у /ЗВ + 4 /* (4Л + 2Л2 + 4 В) + 4 ?/8 = °‘
Подставляем сюда В:
» -qP_ SEJA + 4 ЕР^А (^ + ^) (^ + 4 Л) ’ (23)
Прогиб в середине арки, взятый с положительным знаком по направлению q, согласно
зависимости (18) будет
. / = - Л/2.
Подставим А в выражение (23) и получаем искомую зависимость между q и про-
гибом /:
а/4 8 F f 1 \
gj“ 6/+ у-/(//„-/)(я0- 2>)
или в безразмерной форме
h h\h h)\h 2 h )•
где h — толщина арки.
f /у
Зависимость q от для нескольких значений отношения представлена на фиг. 602.
Полученные кривые не требуют пояснения, поскольку подобные зависимости уже
рассматривались в предыдущем параграфе (пример 3).
Пример 4. Рассмотрим биметаллическую пологую арку (фиг. 603), подверженную
температурному воздействию.
Такая арка применяется как чувствительный элемент температурного реле. Когда
температура достигает заданного значения, арка, состоящая из двух пластинок 1 и 2
с различными коэффициентами линейного расширения, скачкообразно меняет свой прогиб
и замыкает контакт К (фиг. 603).
Определим, как зависит прогиб арки от температуры.
Выделим из биметаллической полоски элементарный участок длиной dx (фиг. 604).
Относительное удлинение волокна, отстоящего на расстоянии z от поверхности спая,
будет складываться из двух величин: из удлинения в спае е0 и удлинения, обусловлен-
ного искривлением полоски.
Таким образом,
, ' £ = е0 —
Вычитая отсюда температурное удлинение и умножая полученную разность на мо-
дуль упругости В, находим напряжение, действующее в волокне, расположенном на
расстоянии z от поверхности спая.
43 Пономарев и др. 407
674
Основы теории гибких стержневых систем
Для первой пластинки напряжение равно
сх — [е0 — zb' — ах£]; (— hx Z 0);
для второй пластинки напряжение
о2 « £2 [ео — — а2?1; (0 < * < Л2),
Ег и Е2 — модули упругости первой и второй
пластинок.
Если биметаллическая пластинка нагру-
жена внешними силами, создающими в попе-
речном сечении изгибающий момент и нор-
мальную силу, то
о
J G-ibdz + J <s2bdz — N;
-hi ' о
о h2
f axbzdz-}- J <s2bzdz = — М.
о
Фиг. 603.
Подставляя сюда значения напряжений сгх и а2 и интегрируя по z, получим
ео (Ejhi “4~ E%h%) 4- “2~ О7 ^E-Ji^ — E^h^j — (^iai^i4~ £,2a2^JsVe *
~2" ео (— Ethl 4- E2ty — -J- Я' + E2h^ -|- -у- t [Ех^х — ^2^2) = “' •
Обычно биметаллические элементы проек-
тируются таким образом, что
= E2h% (25)
(при таком соотношении биметаллический
элемент при температурном воздействии дает
наибольшее изменение кривизны) (см. [15]).
Если принять соотношение (25), то вы-
ражения (24) значительно упростятся и при-
мут вид:
£0 = NCt + tC* )
&'= Л4С3 +/С4, j
где
Cl== b (Eih! + EM ’
„ Л1 + Л2 #
2 = J_ 1 ’
Л2
c _A_1________L_•
3~ * e^i Л1+Л2 ’
r____3 g,—a2
C(l — 2 hi + '
(27)
Теперь обратимся к биметаллической арке. Допустим, что реакция опоры равна R
(фиг. 605).
Некоторые задачи с малой нелинейностью
675
Тогда выражения (26) примут вид:
е® == RCi 4- tC2\ ) фзу
&' = w” - R (Н -|- w) С3 + tC4. | * Л
Определим величину R из следующих соображений.
Проекция упругой линии изогнутой арки на горизонтальную ось остается неизмен-
ной и равной 2Z. Пользуясь обозначениями предыдущего примера, получим
l 1
С (1 s0) cos (0 4- ft) dx = I « f cos bdx.
Так как при не очень больших прогибах пологой арки
Допустим, что арка имеет, как и в предыдущем примере, параболическую форму
Н = х (2/ — х);
0 = /7'=^2(Z-x), (30)
где Hq — начальная стрелка арки.
Задачу будем решать методом Галеркина.
Примем
/-^(2/ —х),
где / — максимальный прогиб арки.
Далее
2
& = w = — / -р- (I - х).
Подставляем & и 0 по зависимости (30) в уравнение (29) и находим
2 f \
<31>
Теперь из первого уравнения (28) определяется
2 f \ 1 Л
R = — — fj -Q— t (32)
Подставляем w во второе уравнение (28), умножаем согласно методу Галеркина все
члены этого уравнения на х (21 — х) и интегрируем от 0 до Z. Тогда получим
2/ = R (Но - /) 4" + tCiP.
Подставляем сюда R по формуле (32), тогда
3tPC, f +
2^2 -Но 5 CiC«
4 С2С3Я0 1+Н0
Температурный параметр,, стоящий в левой части, обозначим, через
43
676
Основы теории гибких стержневых систем
Введем безразмерные параметры:
___15 Сх 1____5 ЛхЛ2
4 Сз//2= 4 .
5 CiC1 1 5 otj — а3
Р= 4 СаС3 Н9 =8Я0 «1_ а^‘
Л1 1ц
Тогда окончательно получим
т_ . «+0 —/о) (2 ~/о)
/о ₽- 1+/о
(33)
(34)
где /о = ^-
Теперь проследим зависимость между температурным параметром Т и относитель-
ным прогибом /0. При этом будем рассматривать Т как функцию /0.
Параметр Т обращается в нуль при
/о = 0 и, кроме того, при значениях/0,
удовлетворяющих уравнению
« 4- (1 —Л) (2-/о)=О,
т. е. при
/о ~ ± "4“ —“•
Таким образом, если а > , то
температуре = 0 соответствует только
значение /0 - 0. Если же а < -j- , то
температуре, равной нулю, могут соот-
ветствовать еще два значения прогиба/0,
определяемые последняя выражением.
Это значит, что при a <qp биметалли-
ческая арка защелкивается, т. е в ре-
зультате нагрева, хлопка и последую-
щего охлаждения она в исходное поло-
жение не возвращается.
Такие свойства упругого элемента не удовлетворяют требованиям, предъявляемым
к терморегулятору, поскольку по условиям работы прибора необходимо, чтобы после
охлаждения прощелкнувшая полоска обязательно возвращалась в исходное положение
Следовательно, значение параметра а должно быть больше -j-, т. е. должны соблю-
даться неравенства
5 М2 1 . 1ЛПГТ-
4 тг2 > 4 » < v
Примем, например, что а — 0,5, и проследим, как выглядит характеристика биметал-
лической арки, определяемая уравнением (34) при различных значениях р.
Зависимость Т от /0 представлена кривыми на фиг. 606. Из этих графиков прежде
(dT \
всего видно, что при р<1 нагрев арки вызывает ее дальнейшее искривление
т. е. при р < 1 арка 4не приближается к контакту, а удаляется от него. Это легко по-
нять, если учесть, что перемещение /0 определяется действием двух факторов: во-пер-
вых, в связи с разностью коэффициентов температурного расширения -х — а2 свободная
арка распрямляется; во-вторых, при нагревании происходит удлинение средней линии
арки, вследствие чего жестко закрепленная по концам арка должна увеличивать свою
кривизну. Если «х — а2 — величина малая (т. е. р — мало), то второй фактор преобладает,
и арка при нагревании получает прогиб не к контакту, а от него.
В остальном полученные кривые подобны кривым, показанным на фиг. 590 и 602.
Здесь аналогично имеет место хлопок арки каждый раз, когда температурный фактор Т
достигает максимума соответствующей кривой.
Большие перемещения при плоском изгибе тонких стержней по Е. П. Попову 677
Из рассмотренных примеров видно, что к решению задач в больших пере-
мещениях нет единого подхода. Обычно здесь используются приближенные ва-
риационные методы — такие, как метод Ритца или Галеркина, смотря по тому,
какой способ решения представляется более удобным.
Вместе с тем для весьма широкого класса задач статики гибких стержней
существует общий метод решения, развитый в работах Е. П. Попова. К изло-
жению этого вопроса и переходим.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ БОЛЬШИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПРИ ПЛОСКОМ
ИЗГИБЕ ТОНКИХ СТЕРЖНЕЙ ПО МЕТОДУ Е. П. ПОПОВА
Фиг. 607
Под тонкими или гибкими стержнями понимаются такие прямые или кривые
стержни, размеры поперечного сечения которых весьма малы по сравнению
с длиной и радиусом кривизны оси
стержня.
В этом параграфе будут рассмо-
трены стержни, ось у которых является
прямой линией или плоской кривой.
Предполагается, что под действием
внешних сил упругая линия тонкого
стержня, т? е. ось деформированного
стержня, оставаясь плоской, может при-
нимать очертания, весьма сильно отли-
чающиеся от первоначальной формы.
При этом в силу малой толщины стержня изгибные деформации
в нем оказы-
ваются малыми, и напряжения не превосходят предела пропорциональности.
Примером такого тонкого стержня является пружина, показанная на фиг. 579.
В теории тонких стержней перемещения предполагаются сколь угодно боль-
шими и на них не накладывается никаких количественных ограничений.
В этих условиях, как уже указывалось, обычные зависимости линейной ста-
тики становятся неприменимыми. В частности, условия равновесия стержня
должны записываться с учетом перемещений, т. е. теряет силу принцип неиз-
менности начальных размеров. Точно так же неприменим и принцип независи-
мости действия сил
Весьма важно, что при решении задач в области больших перемещений обя-
зательно должно обусловливаться поведение внешних сил и закон изменения
связей в процессе деформирования стержня. Ясно, например, что два способа
нагружения стержня, показанные на фиг. 607 (см. схемы нагружения представ-
ленные пунктиром), при малых перемещениях являются равноценными, в та
время как при больших перемещениях стержня они приводят к совершенно
различным результатам. Точно так же связи (фиг. 608), наложенные на стер-
жень^ равноценные при малых перемещениях, оказываются различными в об-
ласти больших перемещений.
Вопросы теории больших перемещений гибкого стержня при произвольных
нагрузках, вызывающих его плоский изгиб, оказываются достаточно сложными,
поэтому ниже остановимся только на задачах, сводящихся к основному классу
(по терминологии Е. П. Попова).
, В число этих задач включаются все случаи плоского изгиба, при котором
упругую линию можно разбить на конечное число участков, а в пределах каж-
Основы теории гибких стержневых систем
<678
дого из них: а) жесткость на изгиб остается постоянной, б) начальная кривизна
стержня равна нулю или постоянна, в) внешние нагрузки в виде сил или мо-
ментов действуют только по концам участка. (
Упругие системы, показанные на фиг. 607 и 608, как раз и относятся
ж числу задач этого класса. Однако если в приведенных схемах в число
•внешних сил включить, например, собственней вес тонких стержней, то по-
ставленная таким образом задача уже не может быть отнесена к основному
классу, поскольку не удовлетворяется условие яв“.
Сравнительная простота задач основного класса заключается в том, что
дифференциальное уравнение упругой линии балки может быть в этом случае
решено в эллиптических интегралах, для которых имеются подробные таблицы.
Для задач, не сводящихся к основному классу, такой возможности не представ-
ляется.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОГО ИЗГИБА
ТОНКОГО СТЕРЖНЯ
х Рассмотрим у4^сток сильно изогнутого тонкого стержня постоянной жест-
кости, загруженного по концам сосредоточенными силами и моментами (фиг. 609),
остается неизменной. Это бесспорно
Силы на концах О и L из условия
равновесия должны быть, очевидно,
равны по величине, противоположны
по знаку и направлены параллельно
друг другу.
Пунктирная кривая OGL0 на фиг. 609
изображает тот же стержень в неде-
формированном состоянии. Предпола-
гается, что эта кривая представляет
собой дугу окружности радиуса R.
Стержень в недеформированном со-
стоянии может быть и*пр$йлым. Тогда/?
следует положить равным бесконеч-
ности.
За независимое переменное для опре-
деления формы упругой линии примем
дугу контура 5, отсчитываемую от точ-
ки О к точке L, и будем считать, что
в процессе изгиба контура длина $
может быть принято, поскольку изгибные
перемещения системы неизмеримо больше тех, которые возникают вследствие
♦сжатия и растяжения дуги контура.
Введем две системы координат ху и х'у с общим началом в произвольной
точке О . Система ху неподвижна, система же х' у' ориентирована по направ-
лению сил Р и повернута на угол 8 относительно системы ху. В процессе из-
гиба стержня угол 6 не остается, вообще говоря, постоянным и меняется, по-
скольку может изменяться направление сил Р.
Возьмем теперь на упругой линии произвольную точку Г. До изгиба стержня
эта точка находилась в положении TQ (фиг. 609).
Угол наклона касательной к оси х в точке TQ обозначим через 0.
Угол, который составляет касательная в точке Т с осями х и V, соответ-
ственно обозначим через ft и С
Связь между координатами х*, у', х, у и углами ft,C и 8 будет, очевидно,
следующей:
&=С —8;
х= х cos 8 у' sin 8;
у = у' cos 8 — х sin 8.
(35)
Дифференциальное уравнение плоского изгиба тонкого стержня
679
d§
-Z- или
ds
Кривизна упругой линии в произвольной точке Т будет
аС
ds ’
а изгибающий момент в той же точке
М=гР(У’1. — y')+ML-
(36)
В этом выражении уже сказывается удобство введения системы координат
с осями, параллельными силам Р. Плечо силы Р выражается в этой системе
просто как разность координат точек L и Т.
Изменение кривизны связано с изгибающим моментом обычным соотношением
1_____1 _ М
р R ~ E'J *
(37)
Следует отметить, что часто тонкий стержень представляет собой ленту
с прямоугольным поперечным сечением, ширина которой во много раз больше
толщины h. В таких случаях вместо обычной жесткости на изгиб EJ правильнее
вводить так называемую цилиндрическую жесткость
EJ
1-|л2’
где [л — коэффициент Пуассона.
Поэтому в дальнейшем жесткость всюду будет обозначаться Е' J. Это не
позволит nfft числовых подсчетах забывать, что для сечений, представляющих
собой сильно вытянутый прямоугольник, в выражение модуля упругости Е
должна вводиться поправка (1—ji2), т. е. приниматься значение
Подставляем в выражение (37) кривизну
1 _ а:
Р ds *
а вместо М — его выражение (36), тогда
ас _ Р / , , ч . । I
ds ~’ E'J У ) + E'J R ’
Дифференцируем обе части этого уравнения по s и получаем
а2: Р dy'
ds2 ~ E'J ‘ ds e
’ Но
dx'
ds
= cos С;
= sin C.
ds
(38)
Поэтому дифференциальное уравнение упругой линии сильно изогнутого
тонкого стержня принимает следующий окончательный вид:
Й = — -7=77 sin С. (39)
ds2 E'J 4 7
i
680
Основы теории гибких стержневых систем^
В дальнейшем удобно пользоваться вместо сил и моментов безразмерными
параметрами, связанными с силой Р и моментамиЛЛ40 и ,ML следующими соот-
ношениями:
' 14[»
м0 + ^- +
w0 = - -_JS ; ш,= .______(41)
0 У РЕ'J L у РЕ'J 9
где I — длина стержня OL.
Из этих выражений и зависимости (37) следует, что
<42>
Теперь дифференциальное уравнение упругой линии стержня (39) прини-
мает вид
Z2g=-P2sinc- (43>
Искомой функцией в этом уравнении является угол С — угол наклона каса-
тельной к оси х'.
§ 6. ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ И КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ФОРМ РАВНОВЕСИЯ
Уравнение (43) легко интегрируется. Для этого представим его в виде
pd d)= — 2 ₽2 sin Т cos Т ds'
Умножаем обе части равенства на . Тогда
<*(£)=-2?’
После интегрирования получаем
/2 (т&У=4₽2 \С* - sln2 т) • <44>
На основании этого соотношения уже можно дать некоторый качественный
анализ форм упругого равновесия тонкого стержня. Основную роль в этом
анализе играет величина постоянной интегрирования Сг.
Введем в рассмотрение некоторые характерные точки упругой линии тонкого
стержня. Такими точками являются:
1) Точка сжатия (т. с.). В этой точке нормальная сила в поперечном сечении
является сжимающей и равной.Р; перерезывающая сила равна нулю (фиг. 610,а).
В точке сжатия касательная к упругой линии направлена параллельно оси х',
причем положительное направление касательной, которой приписывается знак
в соответствии с направлением отсчета длины дуги совпадает всегда с поло-
жительным направлением оси х', поскольку последняя ориентирована по силе Р
в точке О.
Таким образом, в точке сжатия
С = 2кп,
где п — любое целое число или нуль.
Возвращаясь к выражению (44), видим, что для точек сжатия
sin2y = 0
Первый интеграл и качественное исследование форм равновесия
68$
и, следовательно, кривизна— в точке сжатия достигает максимального значения.
поскольку вычитаемое в правой части обращается в нуль, и правая часть имеет'
наибольшее значение из всех возможных:
('£)L=*’C- <45>
2) Точки растяжения (т. р.). Здесь нормальная сила в поперечном сечении*
является чисто растягивающей, равной Р; перерезывающая сила, как и в точке-
сжатия, равна нулю (фиг. 610, б).
В точке растяжения, как и в точке сжатия, касательная к упруюй линии^
параллельна оси х', но противоположна ей по направлению.
Здесь
С = к(2п + 1)
и
sin2 у = 1.
Следовательно, для точки растяжения в правой части уравнения (44) вычи-
таемое принимает наибольшее значение из всех возможных. Значит, кривизна
в точке растяжения имеет минимум
(46)
3) Точки перегиба (т. п.). Здесь в нуль обращается кривизна упругой линии
(фиг. 610, в)
(£) -»
\as fm. п.
Из уравнения (44) следует, что в этом случае
, sin2 = С,. (47)
682
Основы теории гибких стержневых систем
Ст п
Очевидно, sin2 ’ не может быть больше величины Сг. Иначе, как это
"следует из зависимости (44), квадрат кривизны — был бы отрицательным. Зна-
чит, соотношение (47) характеризует предельный случай; когда имеет место
^равенство величин sin2 у и Сь т. е. наибольшее значение С. Следовательно,
в точке перегиба угол С по абсолютной величине имеет максимум.
Теперь, для того чтобы оценить возможность существования перечисленных
типов точек, следует обратиться к исследованию величины Сг.
Из уравнения (44) следует, что Сг обязательно должно быть положительным.
При этом надо различать случаи, когда Сг будет больше или меньше
•единицы.
Если Сг окажется больше единицы, то равенство (47) не может иметь места
и на упругой линии точки перегиба будут отсутствовать. Такая форма упругой
линии носит название бесперегибной.
Константа Сг может быть и меньше единицы, но в этом случае она/должна
г
оставаться больше наибольшего значения sin2 -у:
(sin* 4) - <<?!< 1. (48)
' х / наиб
Если соблюдаются условия (48), форма равновесия называется перегибной.
Не следует, однако, полагать, что в перегибной форме на участке упругой
линии обязательно должны существовать точки перегиба. Они могут на упругой
линии быть, а могут и отсутствовать.
Точки перегиба имеют место только в том случае, когда
(sin21) - =(sin24) =Cj.
\ 2 наиб \ ZJm.n. 1
При С\ > 1, т. е. для бесперегибных форм, точки перегибу на упругой
линии всегда отсутствуют.
Обращаясь к условию (45), видим, что существование точек сжатия на
упругой линии возможно при всех значениях Съ т. е. как для перегибных,
так и для бесперегибных форм равновесия.
Что же касается точек растяжения, то условие (46) показывает, что в пере-
гибных формах равновесия (при < 1) эти точки не имеют места. В частности,
на одном и том же участке гибкого стержня невозможно одновременно суще-
ствование точки перегиба и точки растяжения.
В случае Сг == 1 имеет место переход от бесперегибных к перегибным фор-
мам равновесия.
Тогда уравнение (44) принимает вид
Если его проинтегрировать, то будет найдено выражение параметра р при
переходе бесперегибной формы к перегибной:
где Со и CL— углы наклона упругой линии в начале и конце участка.
Наконец, заканчивая качественный анализ, следует указать на свойства сим-
метрии упругой линии тонкого стержня.
Нормаль, проведенная к упругой линии в точке сжатия или растяжения,
является осью симметрии для прилежащих участков кривой. Это проще всего уста-
новить, если рассмотреть форму упругой линии и величину изгибающего момента
Второй интеграл и вывод основных формул
683
около точки сжатия или растяжения (фиг. 611). В точках А и В, находящихся на оди-
наковом расстоянии от оси х', изгибающие моменты будут одинаковы. Следова-
тельно, одинаковы будут и кривизны. Это будет иметь место для каждой пары
точек, имеющих общую координату у'. Из равенства кривизн справа и слева
от точки сжатия (или растяжения) неминуемо вытекает симметрия формы упругой
линии.
Аналогично можно показать, что точка перегиба является центром симметрии
упругой линии для прилежащих участков кривой.
На фиг. 612 показан закон изменения изгибающего момента вдоль оси у'.
На равных расстояниях (по оси у') от точки перегиба моменты, а следовательно
и кривизны, будут одинаковы по величине и противоположны по знаку. Отсюда
и следует указанное свойство упругой линии.
§ 7. ВТОРОЙ ИНТЕГРАЛ И ВЫВОД ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ
Для дальнейшего интегрирования уравнения (44) обозначим через k2
и введем новую переменную ф, связанную с С следующим соотношением:
г
sin у = k sin ф.
Из этого выражения
dt
Уравнение (44) принимает
— 2k t -C^S1- d<j>.
К 1 — л2 sin2 <|>
вид
I £ = 2₽Л cos <|».
Подставляем сюда dC и получаем
Ф
JLS= f d4>
J V1 — A2 sin2 ф *
Фо
где ф0 — значение переменной ф в точке О начала отсчета дуги 5.
Полученный интеграл носит название эллиптического интеграла первого рода
и не берется в элементарных функциях.
Кроме эллиптического, интеграла первого рода в практике часто встречается
так называемый эллиптический интеграл второго рода:
— Д>2 Sjn2(|)
684
Основы теории гибких стержневых систем
Величина эллиптического интеграла зависит от переменной с|1, стоящей
в верхнем пределе, а также от параметра k, называемого модулем эллиптиче-
ского интеграла.
Часто вместо модуля k в расчеты вводят модульный угол а, связанный с k
простым соотношением: . \
k — sin а. (49)
При этом предполагается, что Л<1.
Эллиптические интегралы, взятые в пределах от нуля до-J,
Г
Г_______dty____
J /1 — Л2 sin2 ф
о
и
*
J — fe2 sin2 ср dcp
носят название полных эллиптических интегралов первого и второго рода. Эти
величины зависят только от модуля k.
Существуют весьма йодробные таблицы эллиптических интегралов; состав-
ленные для различных k в функции верхнего предела ср при нижнем пределе,
равном нулю/В имеющихся таблицах ср меняется от нуля до
Иначе говоря, в таблицах даются интегралы
<₽
F(cp) = J
о
dty
F 1 — Л2 sin2 ф
<₽ _______________
fc2sin2cpdcp
при
(50)
Угол ср будем называть, следуя Е. П. Попову, табличной амплитудой эллип-
тического интеграла в отличие от эллиптической амплитуды ср, которая может
принимать значения, далеко выходящие за пределы
Из свойств периодичности подинтегральных выражений легко установить,
что для того, чтобы найти F (ср) или F(cp) при <р>-^-, нужно прежде всего
представить угол ср в виде
ф = тсп±ср, (51)
где п—целое число, а <р -у табличная амплитуда, меньшая
Тогда
F(1») = 2«F(-J-)±F(T);
,,; (52)
Е®) = 2пЕ(^-)± £(<?).
Знак 4“ или — берется в зависимости от того, какой знак получился в выра-
жении (51),
Второй интеграл и вывод основных формул
685
Эллиптические интегралы будут вещественными для всех значений ср лишь
в том случае, если k < 1.
Все существующие таблицы составлены только для этого случая, т. е. для
При решении же задач об упругом равновесии тонкого стержня величина
Л2 = СЬ как следует из произведенного выше качественного анализа, может
быть и больше и меньше единицы.
Для перегибных форм равновесия = k2 < 1. Поэтому сделанное выше
приведение уравнения (44) к эллиптическому интегралу в этом случае нас вполне
удовлетворяет.
Если же форма будет бесперегибной, то Cj > 1. Тогда полученный эллип-
тический интеграл не имеет табличных данных, и решение уравнения (44) необ-
ходимо проводить иным способом.
Таким образом, задача о равновесии тонкого стержня решается по-разному
в зависимости от того, перегибной или бесперегибной будет форма равновесия.
Проделаем вывод основных расчетных формул параллельно для перегиб-
ных (I) и бесперегибных (II) форм.
Примем:
I) Ci = &2; sin = k sin ф;
П) = sin-у = sin ф.
(53)
При таком преобразовании уже в обоих случаях величина k оказывается
меньше единицы.
Функция <|> — эллиптическая амплитуда — будет, как и С, изменяться вдоль
оси изогнутого стержня от <р0 (в начале отсчета $) до (в конце стержня).
Величина выбирается в зависимости от знака кривизны и знака Со так,
чтобы угол изменялся в пределах
--у <ф<4-со.
Для этого Е. П. Поповым предложена табл. 51 определения интервала
изменения <|>0.
Таблица 51
Интервалы изменения значений ф0
Знак кривизны упругой линии Интервал изменения угла Q, Интервал, внутри которого содержится значение ф0
— >0 Ро — ’ < >0 < 0 у<Фо<О
0 Со < + к
— <0 Ро 4~ > 0 -у < Фо < *
я < Фо < -у
Проделаем некоторые примеры определения интервала для <р0.
На фиг. 613 показаны четыре упругие линии тонкого стержня. В каждом
из примеров необходимо прежде всего установить направление (хотя бы ориен-
тировочное) силы Р в начале отсчета дуги (точка О). Затем по силе Р устана-
вливается направление оси х'. Ось у' направляется так, чтобы система х'у'
была бы правой.
686
Основы теории гибких стержневых систем
Когда оси х' и у' показаны, можно определить знак кривизны и угла Со
в точке О, а затем по таблице определить интервал для ф0.
Так, например, для стержня по фиг. 613, а кривизна в точке О больше
нуля:
— >0
Ро
(здесь угол Со возрастает с увеличением независимого переменного $)•
Угол Со в точке О больше нуля, но меньше +Таким образом, из второй
строки таблицы находим
Для упругого стержня по фиг. 613, б
. . Зте
Для гибкого бруса по фиг. 613, в
Наконец, для кривой по фиг. 613, г
~ < Фо О-
Вернемся теперь к уравнению (44). После того, как введены обозначения (53),
оно принимает вид:
I. I = 2₽Л cos ф; п. / А = 4 /1—fe2sin2<|>. (54)
Если же исключить отсюда согласно зависимостям (53) С, то получим
!./§ = ₽ ]/1—Л2вт2ф; II. I g- = 4 Vl-*2sin«<|>, (55)
Второй интеграл и вывод основных формул
687
откуда после интегрирования
I- И- Р-7-= (<Р) — (Фо), (56)
где согласно обозначению (50) F (ф) — эллиптический интеграл первого род$
при текущем значении угла ф;
F (Фо) — тот же интеграл при начальном значении ф ф0.
Если в последних выражениях вместо s подставить Z, т. е. взять параметры
в последней точке (L) участка упругой линии, то, очевидно, получим:
I. f> = m)-FG>0); II. P=feF(<|>£)-*F(0). (57),
Эти выражения устанавливают связь между начальной и концевой амплитуд
дами ф и параметром силы р.
Теперь составим выражения, определяющие форму упругой линии в системе-
координат х'у'.
Согласно выражениям (38)
dx' — cos Zds = ^2 cos2 -у — 1) ds;
r r
dy' = sin t>ds — 2 sin sin ds.
r
Теперь подставим сюда из зависимости (53) sin , а из формул (55) — ds^
Тогда получим
* I. ^==-|-yi_/j2sin2^^ —
k sin <[>
dy' _ 2 k2 sin ф cos ф dty
Z у i—Sjn2 *
Производя интегрирование
текущей точки, наводим
от точки О (начала отсчета дуги $) до некоторой^
П.
х' — 2 2
-rl = |[£(|)_£(Wl-^;
z У° = у- (cos d0 — cos <J>).
= [/!—fe2Sjn2^o_ |<i_^sin2-}>].
(58).
Здесь под Е(ф) понимается эллиптический интеграл второго рода.
Изгибающий момент в тонком стержне выражается через эллиптические
параметры согласно формулам (37), (40) и (55) следующим образом:
/. М = 2--^ Pl — ^-; II. = fe2sin24> (59),
I р К «р ,s /у 4
<688
Основы теории гибких стержневых систем
Если изгибающий момент известен, легко определяются и напряжения, дей-
ствующие в поперечном сечении тонкого стержня.
Теперь кратко обсудим полученные результаты.
Если значение силы Р задано, то тем самым определён параметр р [см. фор-
мулу (40)].
Форма упругой линии тонкого стержня определяется уравнениями (58).
В них, кроме параметра р, входит в явном и неявном видах модуль k и началь-
ная амплитуда ф0, которые должны быть найдены из граничных условий. Пере-
менной является дуга s и текущая амплитуда ф, связанная с s соотношением (56).
Может случиться так, что сила Р не будет задана, тогда параметр р должен
*быть определен из уравнения (57). При этом нужно будет найти амплитуду ф£
-на конце участка в зависимости от наложенных геометрических и силовых
связей. Таким образом, может возникнуть необходимость определения момент-
ного параметра w [см. формулы (4)] не только в начале, но и на конце
^участка.
Из выражений (42) и (55) получим
I. (d0 = 2/? cos ф0; <oL — 2k cos ф£;
II. о)о = -j- V 1 — *2 sifl2 Фо J V 1 — sin2 Фг •
Определение параметров ф0 и ф£ сводится, как правило, к решению системы
-’Трансцендентных уравнений, в которых искомые величины входят обычно под
.знак эллиптических интегралов Р(ф0), р ("?”)’ (Фо) и ПР- Эти уравнения ре-
шаются подбором, при помощи таблиц эллиптических интегралов. При этом
жажно знать интервал возможных значений для искомых величин.
Модуль k„ как уже указывалось, изменяется в пределах от нуля до единицы.
Интервал изменения ф0 устанавливается по табл. 51.
Что же касается параметра ф£, то для него интервал изменения определяется
яислом m характерных точек, имеющихся на упругой линии — точек сжатия,
растяжения и перегиба. При этом начальная точка, если она является характер-
ной, в расчет не принимается. После того как найден интервал для ф0, к его
’Верхней и нижней границам следует прибавить по тп -у , чем и определяется
интервал изменения для ф£.
Указанное правило является следствием того, что в характерных точках
эллиптическая амплитуда ф кратна . Это непосредственно вытекает из рас-
смотренных выше свойств характерных точек и из соотношений (53) и (55).
Рассмотрим теперь простейшие примеры расчета тонких стержней по
Е. П. Попову.
§8. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПРИ ПОМОЩИ ТОЧНОЙ ТЕОРИИ
ГИБКИХ СТЕРЖНЕЙ
Пример 1. Определить силу Р, которую следует приложить к прямому гибкому
стержню с тем, чтобы концы его соприкоснулись (фиг. 614). Длина стержня 2/, жесткость
на изгиб E'J
Рассмотрим половину дуги изогнутого стержня (фиг. 615). Вторая половийа будет
•симметрична первой.
Прежде всего устанавливаем, что форма упругой линии будет перегибной. Точка
шере гиба расположена в точке приложения силы Р. Здесь изгибающий момент равен
«нулю. Следовательно, в дальнейшем предстоит пользоваться формулами, которые были
©ыше снабжены знаком I.
За начало отсчета дуги s примем середину стержня (точка О).
Примеры решения некоторых задач
689
Ось х' направим по линии действия силы Р в топке О. Ось у' направим так, чтобы
система координат была правой (фиг. 615).
Легко установить, что кривизна в начале координат отрицательна
Ро
а угол Со = 0.
Из последней строки табл. 51 находим, что
Фо «к.
тс
При переходе от точки О к точке L угол ф изменится точно на » поскольку и
точка О и точка L — характер-
ные (точка О — точка сжа-
тия, а точка L — точка пере-
гиба).
Следовательно.
Зк
Значит, по дуге упругой
линии ф будет меняться в пре-
делах
Зтс
Фиг. 614
Теперь обратимся к усло-
виям (51) и (52) и перейдем к табличной амплитуде.
Очевидно, ^поскольку п=1, то
ф = л <р;
F (ф) « 2F
(61)
Е (ф) « 2£
+ £(?).
где ? меняется в пределах от нуля до -gr.
Теперь остается определить модуль эллиптических интегралов k и параметр р, а по
нему и силу Р.
Прежде всего используем условие соприкосновения концов стержня. Из фиг. 615
видно, что
xl — x'q = 0.
Тогда, полагая в уравнении (58), I $ «• Z, а ф » ф^, получим;
у [£ (фх) - Е (ф0)] -1
или же
тИтРж'т')]-1:
т. е.
2£
Далее из уравнения (57), I получим
Следовательно,
, 2£Ш~р(-т)- <62)
44 Пономарев и др. 407
690
Основы теории гибких стержневых систем
Это и есть трансцендентное уравнение для определения модуля ft, входящего в не-
явном виде в полные эллиптические интегралы F и Е (“j") •
Теперь необходимо обратиться к таблицам эллиптических интегралов. В качестве
таковых могу г быть использованы таблицы, приведенные в работах [13], [12] и [17].
Весьма подробные таблицы см. в [19].
Сопоставляя данные таблиц полных эллиптических интегралов, находим, что уравне-
ние (62) удовлетворяется при модульном угле а « 65,4°. Тогда
й = sin а = 0,908; 0 = F = 2,323.
Следовательно,
5,396g'J
Фиг. 617<
Легко построить и форму упругой линии. Для этого
ниям (56), 1 и (*г8), I.
В рассматриваемом случае они принимают вид
р — =« F (?);
х' 2 $ .
I = 0 Е (?) — I 9
У' .
“ в — у (1 — cos ср).
надо .обратиться к уравне-
Здесь построение упругой линии следует вести следующим образом.
Задаемся параметром — . Далее по таблицам эллиптических интегралов из первого
s
уравнения находим f (при известном k). Далее по — и определяем координаты упру-
гой линии х' и у'.
На фиг. 616 показана построенная таким образом упругая линия тонкого стержня.
Пример 2. В предохранительной упругой муфте с автоматическим выключением
имеется несколько плоских пружин, одна из которых показана на фиг. 617.
Тормозная колодка при вращении прижимается к наружному барабану. Со стороны
же пружины на регулировочный винт действует сила, стремящаяся оторвать колодку
от барабана. При падении числа оборотов ниже определенной величины пружины выклю-
чают муфту.
Из расчета муфты известно, что сила со стороны пружины при работе муфты должна
быть равна 0,120 кг. Размер 2/0 задан из конструктивных соображений
2/0 — 60 мм.
Пружина может быть изготовлена из стального листа толщиной h — 0,15 мм. Напря-
жение изгиба желательно выдержать в пределах 40 кг/мм2.
Требуется подобрать ширину ленты пружины Ь, определить ее прогиб в рабочем
положении и подобрать длину ленты так, чтобы при сильном изгибе ее концы не со-
скочили с опор А и В.
Поскольку пружина в процессе работы получает большие перемещения, ее расчет
не может быть произведен при помощи обычных формул из курса сопротивления мате-
риалов. Здесь необходимо обратиться к теории тонких стержней.
Примеры решения некоторых задач
691
Поместим начало отсчета дуги s в середине пружины и рассмотрим только ее пра-
вую половину (фиг. 613).
Со стороны опоры В на эту половину пружины действует сила Р, которая (если
пренебречь трением) будет направлена по нормали к дуге упругой линии в точке L.
Длина участка CL является величиной переменной. По мере роста прогиба пружина на
опорах частично проскальзывает и ее рабочая длина I увеличивается.
Введем систему координат ху с началом в точке О. Ось х параллельна прямой,
соединяющей опоры Л и В. Вторая система координат х'у' ориентирована по силе Р.
Как уже указывалось, при решении задачи необходимо прежде всего установить, будет
ли форма упругой линии перегибной или бесперегибкой. Очевидно, здесь точка L
является точкой перегиба, поскольку в ней равен нулю изгибающий момент, т. е. форма
будет перегибной. Следовательно, нужно пользоваться формулами, выведенными выше
под рубрикой I.
Установим теперь интервал изменения эллиптической амплитуды ф0 в точке О.
Рассматривая кривую (фиг. 618), видим, что
4- > О и О < Со < +
ГО
Из второй строки табл. 51 получаем
0 -С Фо < ~2" •
dl
В точке L ~т~ = 0. Следовательно, из зависимо-
as
сти (54), I вытекает, что
cos ф£ = 0.
Поскольку между точками 0 и L характерных
точек нет,
ТС
4,1---2'
Кроме того, из чертежа фиг. 42 видно; что
Если вернуться к выражению (53), I, то для
Q = 90°.
точки L получим
/*2
sin —ст = k sin 90°, k = -77-,
а модульный угол эллиптических интегралов будет
К2
а « arcsin —= 45°.
Если же уравнение (53), I отнести к точке О, то получим
В /2
sin -у = -у sin<|>0. (63)
Уравнение (57), I в рассматриваемом случае принимает вид
(64)
. /2
при модуле k » —g—.
Теперь из выражений (58), 1 найдем
координаты точки L в системе х'у':
2 Г / тс \ 1
. . Уь 2 V2
I ~ £ 2 cos
Координаты той же точки в системе ху будут, согласно формулам (35),
xr Zo ( 2 Г. / тс \ 1 ) VJ
— = ~ J Б (Фо)] — 1| cos & 4- —р— cos ф0 sin 8; (65)
у г Zo V2 I Ч Г „ ( л \ 1 1
---р-cosФ,cos»—(-у [£(-у)-£(ф,)] —IjsinB. (66)
692
Основы теории гибких стержневых систем
Координата *£, в соответствии с условиями задачи, есть величина постоянная, рав-
ная половине расстояния между опорами.
Во втором из полученных уравнений представляет собой прогиб пружины. Для
удобства он отнесен не к рабочей длине изогнутой пружины /, а к начальной длине /0.
Теперь уравнения (63) — (66) уже позволяют построить зависимость прогиба пру-
жины от действующей нагрузки.
Проще всего избрать следующий путь подсчетов.
Сначала нужно задаться величиной b и из уравнения (63) найти ф0, а из фор-
мулы (64) —- р. Затем из зависимости (65) определяется у- и из зависимости (66) —
у»
yS т. е. безразмерный прогиб. Найденный же выше параметр 0 связан с силой Р сле-
дующим образом:
ft

откуда
Pll
E'J
(67)
e. по реакции опоры, легко найти и силу, приложенную
в середине пружины (фиг. 619):
Q 2Р sin 5,
или в безразмерной форме
Q$ р%
E'J “ 2 E'J s,n 5’ t68)
Таким образом, проводя последовательно подсчеты по формулам (63) — (68), легко
составить следующую таблицу (см. табл. 52).
В последней графе таблицы приведено в безразмерной форме напряжение в точке О.
Таблица 52
Вспомогательная таблица к примеру 2
г Фо P A? I VL «О ^0 E'J E'J E’tl
90° 90° 0 1,0000 0 0 0 0
8(У> 65°20' 0,592 0,992 0,116 0,345 0,680 0,1735
7(F 54°10' 0,838 0,968 0,236 0,658 1,237 0,336
60° 45®00' 1,028 0,928 0,363 0,911 1,578 0,478
50° 36°40' 1,193 0,874 0,501 1,087 1,665 0,590
40° 28°55' 1,339 0,809 0,654 1,172 1,507 0,670
30° 21°30' 1,474 0,731 0,832 1,162 1,162 0,710
20° 14°15' 1,604 0,644 1,042 1,066 0,729 0,708
10° 7°05' 1,732 0,553 1,312 0,917 0,318 0,672
0° 0 1,854 0,457 1,669 0,718 0 0,599
Поскольку начальная кривизна пружины =* 0, выражение (59) дает изгибающий
момент в виде
2&cos<|>0 2£cos*(|>0 I E'J
p p E'j •
Напряжение
W •
Далее
J= 12 ’ *
где b — ширина, a A — толщина пружины.
Примеры решения некоторых задач
693
Таким образом находим
а/0 УТ cos ф0 I
= 2 Р /0 ’
(
и по данным предыдущих граф таблицы составляется последняя из них.
Теперь по полученным числовым значениям можно представить в виде кривой за-
висимость прогиба уд от силы Q (фиг. 620).
Здесь, как и во многих ранее рассмотренных нелинейных задачах, можно на-
блюдать наличие максимума в кривой О=/(уд). г
Если пружину нагружать силой в виде
подвешенного груза Q (фиг. 621, а), то при
gv»1’65
пружина проскочит между опорами.
Кстати, если'пружину нагружать не под-
вешенным грузом, а с помощью винта
(фиг. 621,6), т. е. если задавать не силу, а
перемещение, то проскакивание пружины
между опорами произойдет не при макси-
мальном значении силы (точка А фиг. 620),
а при значении силы, равном нулю, соответ-
ственно очень большому прогибу (точка В
фиг. 620).
Обращаемся теперь к условию прочности
[о] = 40 кг/мм*
и подсчитываем величину
«'о* 40.30-0,91
E'h~ 2-104-0,15 ==и’^у-
Здесь, поскольку предполагается, что ширина пружины будет много больше ее
толщины, в величину Е вводится поправка на цилиндрическую жесткость и в числовом
Е
подсчете вместо Е' берется (см- стр. 679).
По полученной величине из составленной таблицы находим путем интерполирования
6 = 62,5°; -р = 0,938;
у, Q%
0,330; -g^-1,52.
Из этих данных определяем
30
Фиг. 621. - 1 в одев = 32,0 мм.
Значит, длина пружины должна быть больше величины
2/ == 64,0 мм.
Рабочий прогиб:*
Уд = 0,330-30 = 9,9 мм.
Остается определить ширину пружины Ь. Так как
E'J
1,52;
bh*
12 ’
то, снова вводя поправку на цилиндрическую
жесткость, получаем
12QZ* (1 — |х«) 12-0,12- 302-0,91
ЕЛ«-1,52 = 2-104-0,153-1,52 ^11>5
694
Основы теории гибких стержневых систем
Таким образом, задача полностью решена. Заметим в заключение, что если бы мы
пользовались обычной теорией малых перемещений, то получили бы для прогиба вели-
чину
Q(2/0)3
у1-= 48E'J »
или
Уь 1 , Qzo
4 ~ 6 E'J *
При
E'J
= 1,52
у г
величина -т— оказалась бы равной 0,253 вместо Значения 0,290, найденного точным
способом.
Пример 3. Основной деталью центробежного регулятора патефонного типа является
плоская пружина, защемленная '*
по концам
(фиг. 622). Таких пружин на регуляторе
устанавливается обычно три.
Одним концом пружина прикре-
плена к колодке А, неподвижно сое-
диненной с вращающимся валиком.
Вторым концом она соединена с тор-
___ мозным диском В, имеющим возмож-
ность перемещаться вдоль валика.
В средней точке пружины укреплен
грузик С.
При вращении валика пружина
изгибается и тормозной диск В по-
лучает осевое перемещение и при-
жимается к неподвижному упору D. В результате возникает тормозящий момент тем
больший, чем больше скорость вращения валика.
Для регулировки числа оборотов упор D перемещается вдоль оси. Если его, на-
пример, передвинуть влево, регулятор будет настроен соответственно на большее число
D
Фиг. 622.

в
и
оборотов.
Требуется определить, как сила, с кото-
рой тормозной диск В прижимается к упору D,
зависит от числа оборотов валика и от вели-
чины 4с (фиг. 622), т. е, от параметра на-
стройки регулятора.
Поставленная задача является типичной
задачей расчета стержня в области больших
перемещений. Если пользоваться обычными
формулами сопротивления материалов, выведен-
ными в предположений малости перемещений,
то здесь не удастся получить даже прибли-
женного решения, поскольку осевые смеще-
ния при изгибе в обычных формулах сопро-
тивления материалов не учитываются.
Длину всей пружины обозначим через 4Z
и рассмотрим участок длиной I от заделки А
до первой точки перегиба (фиг. 623). Осталь-
ные участки по условиям симметрии совпа-
дают с ним по форме, но отличаются по рас-
положению.
Полную силу в поперечном сечении пружины будем по-прежнему обозначать через Р.
Если ее разложить на вертикальную и горизонтальную составляющие, то получим
силы Pi и Р2 (фиг. 623).
Первая из них Р± возникает вследствие инерционного воздействия груза и равна
г. 1 G
Л~уу(Я + 2П)Ц
2 1 G
где — половина массы груза;
со — угловая скорость вращения валика;
Н + 2у£ — радиус вращения груза (фиг. 622);
у£ — прогиб пружины в точке L.
Примеры решения некоторых задач
695
Приведем это выражение к безразмерной форме, умножив правую и левую части
/2 „
«а отношение • Тогда
Л/2 G<M9 / И 2у г \
E’J “ 2g Е' J \ I + I Г
Обозначим
Pj/2
E'J

G<02/3
2^7
= Q2
(69)
Первую из этих величин можно рассматривать как параметр силы вторую —
как параметр угловой скорости.
Таким образом, окончательно
(70)
Сила Р2 представляет собой искомую силу нажатия тормозного диска на упор D.
Обозначим
о2
E'J ==я ?2 •
(71)
Между силами Р, Рт и Р2 существует очевидная связь:
Рх = Р cos (5 — 90°) = Р sin &,
. Р2 == Р sin — 90°) = —Р cos S
или согласно принятым обазначениям:
P| = 02sin8; 1
_ _р2 cos 8. |
(72)
В начале отсчета дуги $, т. е. в точке О, кривизна положительная
а угол
0<Со<180°.
Следовательно, согласно табл. 51,
те
о < Фо < ~ •
В точке L. как в точке перегиба, фд — .
Поскольку в рассматриваемом случае имеет место перегибная форма, следует вос-
пользоваться, как и в предыдущих примерах, формулами, выведенными выше под руб-
рикой I.
Применяя формулу (53), I к начальной точке О, получим
’ 6
sin — = k sin ф0. (73)
Далее из зависимости (57), I
(^-)-77(Фо). (74)
Из формул (58), I получаем
xt 2 Г / те \ 1
— “Т [Цт)-£М -1;
1 * Р
(75)

696
Основы теории гибких стержневых систем
'Таблица 53
Первая вспомогательная таблица к примеру 3 при k — 0,76604 (а = 50°)
*0 sin б cos 6 3 XL I I c I I я2 ₽1 я2 ₽2 22
70 75 80 85 90 0,99934 0,99549 0,99033 0,98635 0,98481 —0,03634 —0,09502 -0,13824 —0,16470 —0,17364 0,52881 0,40103 0,26961 0,13552 0 —o;i28O8 —0,14750 —0,16183 —0,17020 —0,17364 0,99091 0,98878 0,98678 0,98536 0,98481 0,00509 0,00166 0,00039 0,00006 0 0,09199 0,05288 0,02385 0,00559 0 0,27946 0,16010 0,07199 0,01811 0 0,01016 0,01528 0,01005 0,00302 0 0,57742 0,39457 0,20704 0,05820 0
Таблица 54
Вторая вспомогательная таблица к примеру 3 при k ~ 0,86603 (а = 60е)
♦o sin 6 cos 6 3 XL I 4 I c I I ₽2
55 0,99998 —0,00652 1,07173 —0,34262 0,92698 0,07081 0,33657 1,1486 0,00749 1,1803
60 0,99216 —0,12500 0,94398 —0,37992 0,91742 0,04228 0,26226 0,88411 0,11139 1,0747
65 0,97270 —0,23210 0,80759 -_0,41359 0,90640 0,02235 0,19192 0,63439 0,15138. 0,92769
70 0,94588 —0,32454 0,66211 —0,44293 0,89471 0,00996 0,12859 0,41466 0,14228 0,74421
75 0,91671 —0,39954 0,50734 —0,46703 0,88361 0,00339 0,07509 0,23595 0,10284 0,52412
80 0,89059 —0,45482 0,34399 —0,48504 0,87436 0,00070 0,03430 0,10538 0,05382 0,28589
85 0,87251 —0,48860 0,17388 —0,49621 0,86822 0,00002 0,00874 0,02638 0,01477 0,08309
90 0,86603 —0,50000 0 —0,50000 0,96603 0 0 0 0 0
Таблица 55
Третья вспомогательная таблица к примеру 3 при k » 0,93969 (а = 70°)
*0 sin g cos 5 0 XL I 4 I C 1 i A i R2 . ’I fi2
50 0,99934 —0,03634 1,51692 —0,55395 0,79638 0,18402 0,52464 2,2995 0,08362 1,706
55 0,98272 —0,18504 1,38590 —0,59570 0,77781 0,12540 0,44148 1,8875 0,35541 1,590
60 0,94588 —0,32454 1,24269 —0,63476 0,75617 0,07875 0,35500 1,4607 0,50119 1,448
65 0,89272 —0,45062 1,08461 —0,67043 0,73230 0,04415 0,26852 1,0502 0,53011 1,253
70 0,82889 —0,55944 0,90864 —0,70197 0,70741 0,02092 0,18610 0,6844 0,46189 1,019
75 0,76188 -0,64772 0,71186 —0,72843 0,68332 0,00757 0,11238 0,3861 0,32822 0,736
80 0,70138 —0,71280 0,49262 —0,74869 0,66249 0,00168 0,05289 0,1702 0,17298 0,419
85 0,65841 —0,75260 0,25277 —0,76160 0,64(804 0,00014 0,01373 0,0421 0,04808 0,129
90 0,64279 —0,76604 0 —0,76604 0,64279 0 0 0 0 0
Таблица 56
Четвертая вспомогательная таблица к примеру 3 при k =» 0,98481 (а — 80°)
♦o sin 6 cos 6 XL I i c i 21 i ₽1 ₽2 2»
50 0,98924 —0,14024 2,14895 —0,74834 0,58914 0,31225 0,65767 4,568 0,6476 2,83
55 0,95345 —0,30156 2,00897 —0,78502 O,J56235 0,22710 0,57890 3,848 1,2171 2,64
60 0,89059 —0,45480 1,85204 —0,81928 0,53174 0,15383 0,48781 3,055 1,5600 2,39
65 0,80502 —0,59326 1,67241 —0,85066 0,49773 0,09465 0,38952 2,252 1,6593 2,09
70 0,70138 —0,71280 1,46158 —0,87867 0,46090 0,05042 0,28775 1,498 1,523 1,712
75 0,58672 -0,80980 1,20657 —0,90270 0,42250 0,02111 0,17749 0,854 1,179 1,303
80 0,47272 —0,88122 0,88812 —0,92190 0,38511 0,00555 0,09643 0,373 0,695 0,756
85 0,38006 —0,92496 0,48404 -0,93492 0,35466 0,00044 0,02729 0,089 0,217 0,251
90 0,34202 —0,93968 0 —0,93968 0,34202 0 0 0 0 0
Примеры решения некоторых задач
697
Наконец, координаты точки L в системе координат ху согласно (35) будут
Xj l Уь
— = — cos Ь -j- — sin В;
yL Уь * XL
—г = “7” cos & — “г“ sin S.
4*4 4
(76>.
Но горизонтальное смещение точки L задано. Оно равно с. Поэтому
xL — I — с
и, следовательно,
с xl Уь
— = 1 — — cos & — — sin S. (77)
Теперь можно обсудить последовательность решения задачи и построения искомых
зависимостей.
Нам нужно установить зависимость силы Р2 от двух параметров — от угловой ско-
с
рости (2) и от -у-. Поэтому при расчете придется задаваться двумя независимыми ве-
личинами сразу.
Расчет можно провести следующим образом.
Задаемся величинами k и ф0 и по формуле (73) находим причем k и ф0 берутся
с таким расчетом, чтобы угол о был больше 90° (см. фиг. 623).
XL
Далее при тех же k и ф0 из зависимости (74) находим р, а из формул (75) — -у-
у с уь
и -у—. Далее из соотношения (77) находим — , а из (76) —•. Наконец, по форму-
ле (72) определяем и , а по формуле (70) — 22
Такие подсчеты нужно провести многократно. Для каждого параметра k должен
быть выбран ряд значений ф0. Полученные результаты сводятся в табл. 53, 54, 55 и 56, со-
ставленные для некоторых значений k для случая — ==0,3.
В каждой из этих таблиц угол ф0 изменяется в таких пределах, чтобы угол 3 (73)
'оставался бы больше 90°.
Теперь по данным этих таблиц построим графики следующих трех величин:
^2. 0/30)2 с
Р2 - Е'J ’ “ я 2g£'J ’ /
в зависимости от фв при четырех принятых выше значениях k (а) (фиг. 624, 625, 626).
После этого остается построить график искомой зависимости осевой силы Р2 от
угловой скорости о> при различных значениях параметра настройки регулятора с. Если
же придерживаться безразмерных величин, то следует построить зависимость от
с
при искомых значениях —.
с
Задаваясь некоторым значением —, находим по кривым фиг. 626 несколько точек
(а, ф0). Затем обращаемся к кривым фиг. 624 и 625 и по а и ф0 находим $ и 22. Таким
образом строится искомая зависимость, которая и представлена на фиг. 627.
Пока угловая скорость мала, сила Р2, как видно из этих кривых, равна нулю.
Она возникает лишь тогда, когда тормозной диск подойдет к ynopv. При меньшей ве-
личине установочного расстояния с сила Р2 будет больше. Как видно из кривых, сила Ра
зависит от квадрата угловой скорости <о2 почти линейно.
Пример 4. При включении фрикционной муфты колодки А прижимаются к бара-
бану В ленточными пружинами С.
В ненапряженном состоянии (пунктирная линия на фиг. 628) пружина имеет форму
дуги окружности радиуса R. .
Требуется определить рабочее усилие одной пружины, т. е. то усилие, с которым
пружина прижимает колодку ж барабану в рабочем положении. Кроме того, требуется
определить наибольшую силу, которую следует приложить к кольцу D для включения
муфты, и найти усилие, удерживающее кольцо D во включенном положении.
Материал пружин: никелекремнистая пружинная сталь С0С2Н2А кг/мм*
а 160 ^г/мм2).
698
Основы теории гибких стержневых систем
Примеры решения некоторых задач
699
Размеры пружины и муфты: R 160 мм, b = 30 мм, h » 0,8 мм, / = 130 мм, dl «
«= 48 мм, d2 = 12 мм.
В этой задаче, как и в предыдущей, существенно необходимым является учет про-
дольных перемещений пружины. Поэтому поставленную задачу следует рассматривать
как нелинейную. Решение ее обычными методами сопротивления материалов не может
быть получено.
Длину пружины обозначим через 21.
Очевидно,
I
— arcsin
/
2R *
Подставляя числовые значения, без
труда находим
-4- = 0,41835; I — 66,936.
/\
Полную силу в поперечном сечении
обозначим, как обычно, через Р (фиг. 629).
Ее проекция на горизонтальную ось (Pi)
представляет собой силу включения Вер-
тикальная же составляющая Р2 является
рабочей силой, поджимающей колодку
к барабану.
Начало отсчета дуги s возьмем в средней точке и, воспользовавшись симметрией
пружины, рассмотрим только одну ее половину (фиг. 630).
Пока сила Р мала, упругая линия является бесперегибной. Точка L в отличие от
того, что имело место в предыдущих примерах, не является точкой перегиба. Здесь
кривизна равна не нулю, а начальной кривизне . . .. .
Таким образом, нам необходимо будет пользоваться при малых силах Р формулами,
выведенным# выше под рубрикой 11.
Дальше будет выяснено, что при увеличении силы Р форма равновесия становится
перегибной. Тогда придется пользоваться формулами под рубрикой 1.
В
но, из
что в
точке О — угол Со = 0. Следователь-
выражений (53) и табл. 51 вытекает,
обоих случаях
Фо=О.
Фиг. 629. Фиг. 630.
dt 1
В точке L кривизна . Поэтому из зависимостей (54) находим
/ I 23 г_______________
I. = 2$k cos ф£; II. —& Sin2 .
Выражения (57) нам дают
. • п.
Координата xL точки L (фиг. 630) согласно зависимостям (58) будет
Хт 2 xl 2 2
! !• —1; И- ~ +1-
(78)
(79)
(80)
700
Основы теории гибких стержневых систем
Выписанных соотношений вполне достаточно,, чтобы произвести основные предва-
XL
рительные расчеты и найти зависимость между параметром силы 0 и величиной —.
Пока сила Р мала, имеет место бесперегибная форма равновесия и пользоваться
следует уравнениями (78) — (80), II. В эти зависимости входят переменные величины
x'l
Фь k, ? и —.
Теперь из уравнений (78), II и (79), II исключим 0.
Тогда
2F (ф£) |/1--£2$1П2ф1
или же
F (Фх)/ 1—sin2<bL = 0,20917.
Сюда входит только k и ф£. Пользуясь таблицами эллиптических интегралов, про- изведем для нескольких значений k подбор фх с таким расчетом, чтобы это уравнение было бы удовлетворено. В результате получаем следующую та- 1 аолица о1,о блицу (табл. 57, а). Окончание вспомогательной таблицы к примеру 4
Таблица 67,а Начало вспомогательной таблицы I/ nnuuonv А а (к) Ч ₽ ч 1
п. да * 90° { 60° { 30° | 25* | 22° | 12,2° 86,6° 14,2° 82,7° 26,6° 71,4° 34,0° 65,0° 44,0° < 56,0° 0,2145 3,528 0,2491 1,9037 0,4678 1,3134 0,5994 1,1737 0,7777 0,9963 0,9708 —0,4267 0,9695 0,2048 0,9654 0,8045. 0,9606е 0,8746 . 0,9503 0,9249
а (А) ч XL 1
0° 30° 60° 90° 12,0° 12,0° 12,0° 12,2° 0 0,1049 0,1824 0,2145 0,9711 0,9711 0,9710 0,9708
Величиной входящей в таблицу, следует задаться. Угол ф£ подбирается из таблиц
эллиптических интегралов путем проб. После того как значение угла ф£ найдено, можно
XL
из формул (79), II определить параметр 0, а из зависимости (80), II — отношение —.
Из данных таблицы видно, что во всем интервале изменения k от нуля до единицы
XL
величина —, характеризующая собой изгиб пружины, меняется весьма незначительно.
Очевидно, судя по числам, дальнейшее уменьшение -у-, т. е. увеличение прогибов,
связано с увеличением модуля k за пределы единицы. Однако известно, что переход
через значение k = 1 связан с переходом к другой форме равновесия, в данном случае
от бесперегибной — к перегибной.
По существу в упругой линии при таком переходе не меняется ничего. В упругой
линии даже не появляется точки перегиба. Однако параметр k становится больше
единицы. Таблиц эллиптических интегралов для k > 1 нет. Следовательно, все преоб-
разования и все формулы перестраиваются так, чтобы модуль k был бы по-прежнему
меньше единицы (см. стр. 685) и можно было бы пользоваться существующими таблицами.
Из рассмотренного примера таким образом видно, что деление форм на перегибные
и бесперегибные необходимо не по существу, а вследствие особенностей нашего вы-
числительного аппарата.
Воспользуемся соотношениями (78), I и (79), I. Тогда
6F (ф£) cos ф£ =» 0,20917. (81)
Теперь продолжим построение начатой таблицы (см. табл. 57,а) в область увеличен-
ных прогибов (см. табл. 57,6).
Снова задаемся k, подбираем ф£ и находим из зависимости (79), I 0, а из- фор-
мул (80), I — „
Примеры решения некоторых задач
701
В табл. 57,6 при подборе угла приходится учитывать два решения уравнения (81).
После того как предварительные числовые данные получены, можно перейти
к рассмотрению геометрических связей, наложенных на пружину.
Из треугольников ABL и ACL (фиг. 629) легко получить
(2х2)2— 22-/2—
ИЛИ
(г\2 о
ХЬ] л Й1
/ / - /2 + /2 ’
(82)
где под z понимается координата нижнего конца пружины. При включении муфты эта
величина меняется. Когда муфта не включена, координата z = когда включена,
z == — d2. .
Теперь из двух предыдущих таблиц выписываем числовые данные в порядке воз-
z
растания параметра ₽ силы Р и по формуле (82) производим подсчет отношения —.
Эта величина имеет знаки что и понятно. Сила Р (параметр £) будет одним и тем
же как при правом, так и левом расположении нижнего конца пружины (см. фиг. 629).
Таблица 58
Заключительная таблица к примеру 4
3 x’l ~Т Z 1 Z мм ₽* РуР E'J
0 0,1049 0,1824 , 0,2145 0,2491 , 0,4678 0,5994 0,7777 . 0,9963 1,05 1,10 1,1737 1,3134 1,9037 3,528 0,9711 0,9711 * 0,9710 0,9708 0,9695 0,9654 0,9606 0,9503 0,9249 0,912 0,902 0,8746 0,8045 0,2048 —0,4267 ±0,7173 ±0,7173 ±0,7167 ±0,7156 ±0,7091 ±0,6858 ±0,6583 ±0,5955 ±0,4051 ±0,263 0 ±48,00 ±48,00 ±47,97 ±47,90 ±47,46 ±45,90 ±44,06 ±39,86 ±27,12 ±17,60 0 0 0,0110 0,0330 0,0460 0,0621 0,2188 0,3593 0,6048 0,9926 1,102 1»21 0 ±0,0041 ±0,0123 ±0,0170 ±0,0227 ±0,0777 ±0,1231 ±0,1895 ±0,2174 ±0,159 0
z XL
Последние две строки отношений — и соответствующие им значения 3 и — по-
лучены интерполированием данных предыдущей таблицы.
При — > 0,902 величина -у- становится мнимой. Это означает, что если точка В
(фиг. 629) движется по горизонтали, то расстояние между точками А и L не может
(XL \
в данном случае — = 0,902]. Теперь устано-
вим значение включающей силы Рх.
Из фиг. 629 видно, что
откуда
РгР
E'J,
Z
рр I
B'J X'L
2Т
z
f—.
Таким образом, по данным таблицы легко вычисляется включающая сила Рх.
702
Основы теории гибких стержневых систем
На фиг. 631 представлена зависимость полной силы Р и включающей сйлы Рх от z.
Из этих кривых легко определяется наибольшая включающая сила
наиб
0,226.
Подставляя сюда I= 66,936 и вводя поправку на цилиндрическую жесткость, т. е.
заменяя E'J величиной
EJ ЕЫР
1 — р.2 = 12 (I — |х2) *
находим, что
Pi = 1,42 кг
для одной пружины. Сила включения муфты определяется умножением этой силы на
число пружин.
Удерживающая сила находится из
той же кривой при z ~ — d2 = —12 мм.
„ Л/'
Так как кривая для левой по-
ловины графйка будет такой же как и
для правой, но другого знака, находим
при z = 12 мм
fPrP\
= —0,11;
j /удерж.
%е/,ж.“-°‘692 кг-
Остается найти рабочее усилие пру-
жины Р2 во включенном положении.
Сначала найдем силу Р в рабочем^
положении (при z -в — 12 мм).
РР
, ттг = 1Д5 и Р = 7,24 кг.
Тогда
5 * = 7.21 кг.
удерж
В заключение определим наибольшее напряжение, возникающее в пружине при
включении муфты. Это наибольшее напряжение будет иметь место в середине пружины
(точка О), когда 2=0
Согласно формуле (59), I в точке О
РА Л
РР
Но фо я 0» а "pj “ ?2> поэтому
Тогда
6М Eh (2k$ 1 \
bh» = 2(1 -(л2) \ I ~ R )'
XL
Согласно табл. 58, при — = 0,902 k sin 23°, a f - 1,1
/2-0,391-1.1 1 \ 2-104.0,8 _ , о
а—\ 6о,9 ~1Ь0/ 2-0,91 58 кг/мм-
Таким образом, задача решена полностью.
Из рассмотренных примеров видно, что решение задач о больших прогибах
упругой балки требует, в некоторых случаях, довольно значительной вычисли-
тельной работы, связанной главным образом с подбором эллиптических пара-
метров. ,
Литература
703
Для облегчения этой работы Е. П. Поповым предложены вспомогательные
таблицы и диаграммы, с которыми можно ознакомиться в книгах [10] и [11].
В ряде случаев, когда, например, » стержень имеет переменную по длине
жесткость или когда, что особенно важно, изгиб стержня сопровождается воз-
никновением пластических деформаций, решение задачи в больших перемещениях
наиболее просто может быть получено графическим методом.
Некоторые приемы графического интегрирования кривой изгиба упруго-
пластически изогнутого стержня приведены в работе [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Ветчинкин В. П. и Ченцов Н? Г., О продольном изгибе стоек при сжи-
мающих силах выше критической, .Техника воздушного флота“ № 3, 1930.
2. Г а л е р к и н Б. Г., Теория продольного изгиба, Известия СПБ политехнического
института, т. XII, вып. 1 и 2, 1909.
3. Г е к к е л е р И. В., Статика упругого тела. гл. IV и X, ГТТИ, 1934.
4. Заседателев С. М., Графический метод решения некоторых задач упруго-
пластического изгиба стержней в больших перемещениях. Сборник трудов МВТУ № 26.
Расчеты на прочность, жесткость и ползучесть элементов машиностроительных конструк-
5. Крылов А. Н., О формах равновесия сжатых стоек, „Известия АН СССР*
№ 7, 1931.
6. Лурье А. И. и Кац А. М., Теория упругости, Изд. Ленинградского политехни-
ческого института, 1938.
7. Ляв А. Математическая теория упругости, гл. XVIII и XIX, ГТТИ, 1935.
8. Николаи Е. Л., К задаче об упругой линии двоякой кривизны, 1916.
9. Ц а пкович П. Ф., Строительная механика корабля, ч. 11, Судпромгиз, 1941.
10. Попов Е. П., Теория расчета гибких.упругих деталей, изд. ЛКВВА, 1947.
1Е Попов Е. П., Нелинейные задачи статики тонких стержней, Гостехиздат, 1948.,
12. Сам о41 лов а-Я х о н т о в а Н. С., Таблицы эллиптических интегралов, ОНТИ,
1935.
13. С и.к о р с к и й Ю. , С., Элементы теории эллиптических функций с приложе-
ниями к механике, ОНТИ, 1936.
14. Тихомиров Е. Н., Статьи в .Вестнике инженеров и техников" № 3, 1936,
№ 6, 1934, № 10, 1936, в „Трудах МММИ имени Баумана", вып. 21—22, 1936 и сб. 1-
1941, в Трудах МАИ, 1935 и 1945.
15. Фео досье в В. И., Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материа-
лов, Гостехиздат. 1952.
16. Эйлер Л., Метод нахождения кривых линий, приложение 1 об упругих кривых,
ГТТИ, 1934.
(Euler L., Methodus inveiendi lineas curves, 1744).
17. Я н к е Е. и Эмде Ф., Таблицы функций с формулами и кривыми, Гостехиз-
дат, 1948.
18. К 1г ch h of G.,.Vorlesungen uber mathematische Physik, Bd. 1, 1897.
19. Potin L., Formules et tables numeriques, Paris, 1925.
20. Rateau, Formule practique pour le calcul des rondelles Belleville, Comptes
Rendus hebdomadaries des Seances de L’Academie des Sciences, 1887, tom CIV, 1690.
ГЛАВА XIII
РАСЧЕТ ВИТЫХ ПРУЖИН
В механизмах современных машин, аппаратов и приборов большую роль
«грают различные упругие элементы и прежде всего пружины разнообразных
конструкций.
Обеспечивая своей упругостью необходимое натяжение или нажатие, акку-
мулируя энергию или действуя как амортизатор, пружина, занимая обычно не-
большое место в конструкции, всегда является ответственным ее звеном.
Особенно широко используются витые пружины различных конструкций [5],
методы расчета которых и излагаются в этой главе.
Пружина, свитая из проволоки (прутка), представляет собой пространствен-
ный брус, т. е. брус, ось которого является пространственной кривой.
При расчете таких пружин на прочность необходимо, в большинстве случаев,
учитывать кривизну витков.
При определении перемещений это обстоятельство можно во внимание не
принимать и рассматривать витую пружину как пространственный брус малой
кривизны.
§ 1. КОНСТРУКТИВНЫЕ РАЗНОВИДНОСТИ И НАЗНАЧЕНИЕ ВИТЫК ПРУЖИН
Витые пружины применяются во всех отраслях машиностроения. По своему
назначению, виду и размерам они очень разнообразны, однако наиболее часто
встречаются цилиндрические винтовые пружины, свитые из проволоки (прутков)
круглого поперечного сечения.
Витые пружины можно классифицировать в зависимости от вида восприни-
маемой ими нагрузки или по конструктивным особенностям и форме.
По виду нагружения встречаются:
1. Пружины растяжения, воспринимающие продольно-осевую нагрузку, растя-
гивающую пружину (фиг. 632).
2. Пружины сжатия, воспринимающие продольно-осевую нагрузку, сжимаю-
щую пружину (фиг. 633).
3. Пружины кручения, воспринимающие нагрузки, сводящиеся к парам сил,
действующим в плоскостях, перпендикулярных к оси пружины (фиг. 634).
При больших нагрузках часто используются составные пружины сжатия
и кручения, состоящие из двух-трех, а иногда даже четырех обычных цилиндри-
ческих пружин, концентрически размещенных одна в другой.
4. Пружины, воспринимающие комбинированную нагрузку.
Вид и величина нагрузки предопределяют способ крепления пружин.
Пружины растяжения и кручения снабжаются по концам специальными при-
цепами.
Пружины сжатия обычно изготовляются с наложенными (т. е. поджатыми)
концевыми витками, причем торцы пружины обрабатываются так, _чтобы обра-
зовалась опорная плоскость, строго перпендикулярная к оси пружины.
Во избежание искривления при нагружении, длинные пружины сжатия уста-
навливаются на оправках или в гильзах.
Конструктивные разновидности и назначение витых пружин
Пружины, воспринимающие комбинированную нагрузку, необходимо укре-
плять при помощи специальных пробок.
По внешнему виду и конструктивным особенностям различаются:
1. Цилиндрические пружины, навитые на оправке круглого поперечного сечения.
Фиг. 632. Конструкции пружин растяжения. Фиг. 633. Конструкции пружин сжатия.
Обычно ось витков представляет собой винтовую линию постоянного шага.
2. Призматические пружины, навитые на оправке специальной призматиче-
ской формы (фиг. 635). (Призматические пружины следует применять только
в случае острой необходимости, обусловленной габаритом или другими кон-
структивными соображениями, так как
пружины этого вида значительно менее
рациональны, чем обычные цилиндри-
ческие пружины).
3. Фасонные /рружины (фиг. 636):
Фиг 634. Конструкции пружин кручения. Фиг. 635. Призматическая пружина.
а) конические пружины с постоянным шагом или с постоянным углом подъема
витков;
б) параболоидные пружины, у которых ось витков располагается на поверх-
ности параболоида и имеет постоянный угол подъема;
в) специальные фа-
сонные пружины (двой-
ные— конические, боч-
кообразные и др.).
Перечисленные вы-
ше витые пружины
могут быть свиты из
прутков (проволоки)
круглого, квадратного
и прямоугольного ПО-
Фиг. 636. Конструк-
ции фасонных пружин.
Фиг. 637. Многожильная пружина.
перечного сечения.
Своеобразной конструкцией витых пружин являются: многожильные пружины
(фиг. 637), которые изготовляются из тросрв, в свою очередь, сбитых из не-
большого числа (двух-пяти) тонких проволок (жил) диаметром 0,8—2,5 мм (см. § 7).
Как известно, тонкая проволока имеет Значительно более высокие механи-
ческие свойства, чем проволока большего диаметра (см. табл. 68).
В основном именно это обстоятельство и привело к-созданию витых пружин
^.данного вида [6]. . ' ......
45 Пономарев и др. 407
706.
Расчет витых пружин
Фиг. 638. Геометрия оси витков цилиндрической
винтовой пружины.
§ 2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ
ПРУЖИН
А. Основные геометрические соотношения
Цилиндрическая винтовая пружина представляет собой брус, ось которого
располагается на поверхности образующего цилиндра по винтовой линии. В даль-
нейшем будем называть такого рода брус винтовым брусом.
Ось этого бруса вполне опре-
деляется тремя независимыми па-
раметрами, за которые удобно
принять:
1) диаметр D образующего
цилиндра (средний диаметр пру-
жины);
2) угол подъема а оси винто-
вого бруса (применяются пружи-
ны как левого, так и правого
подъема);
3) длину I оси рабочей части
винтового бруса (т. е. его основ-
ной части образующей рабочие
витки пружины).
Назовем величины D, а и /
основными параметрами пружины.
Все другие геометрические харак-
теристики оси бруса, предста-
вляющего Цилиндрическую винто-
вую пружину, могут быть выраже-
ны через эти основные параметры.
Уравнение оси бруса в цилиндрических координатах (фиг. 638):
D
х= -у cos ©;
- <
D .
у — s,n <?;
Df ,
2 = -^-tga.
(1)
Ось z направлена по оси пружины. Ось х проходит через точку А, являю-
щуюся началом отсчета длины / (для правой винтовой линии будем пользоваться
правой системой координат xyz, для левой винтовой линии — левой системой
координат).
ср — полярный угол, отсчитываемый от оси х.
Обозначим наибольшее значение этого угла <pz, тогда ф/= 2rcz, где /— число
рабочих витков пружины.
С другой стороны, поскольку icDi = 4^-%. = I cos ас (фиг. 638), то
Используя зависимость (2), можно число рабочих витков I выразить через
основные параметры следующим образом:
Шаг h оси винтового бруса равен
h = tcD tg a. (4)
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин
707
Длина Н рабочей части пружины равна
H~hi (5)
или
Н—1 sin а. (5а)
При изучении пространственных кривых удобно пользоваться подвижной
ортогональной системой (естественных) координат, начало которой расЙЪйагается
в исследуемой точке кривой, а оси направляются: по касательной к кривой
в сторону возрастания дуги (единичный вектор оси — орт /), по главной нормали
в направлении к центру кривизны (орт п) и по бинормали кривой (орт Ь).
Для правой винтовой линии будем использовать правую систему координат
(фиг. 638), для левой винтовой линии — левую.
Как известно1, главная нормаль в данной точке кривой лежит в соприка-
сающейся плоскости. Эта плоскость определяется касательной к кривой в дан-
ной точке и соседней точкой кривой в предельном приближении ее к данной
точке. Если пренебречь малыми третьего порядка и выше, то можно считать,
что всякая пространственная кривая, в окрестности данной точки, является пло-
ской и лежит в соприкасающейся плоскости.
Бинормаль перпендикулярна соприкасающейся плоскости.
При переходе от данной точки кривой к соседней предельно близкой точке
этой кривой естественная система координат (/, и, Ь) изменяет свою ориентацию
в пространстве и поворачивается как твердое тело вокруг мгновенной оси вра-
щения с некоторой угловой скоростью о>, причем скорость берется по отноше-
нию к проходимому по кривой пути S.
Таким образом, путь s при вычислении ф играет как бы роль времени.
Аналитически мгновенная угловая скорость <о выражается следующим образом1:
(о = £?4-х£. (6)
Из этой зависимости следует, что вращение около мгновенной оси можно
разложить на вращения вокруг касательной и бинормали с угловыми скоро-
стями k и х соответственно, где k — кручение кривой в рассматриваемой точке;
х—кривизна кривой в этой же точке.
Таким образом, кривизна кривой в данной точке представляет собой ско-
рость вращения (по отношению к пути, проходимому по кривой) системы коор-
динат (Z, п, Ь) вокруг бинормали b (от t к п).
Радиус кривизны р равен
Р = 4-‘ (7)
Центр кривизны лежит в соприкасающейся плоскости на главной нормали.
Для винтовой линии (см. сноску)
Другой важнейшей геометрической характеристикой пространственной кри-
вой в рассматриваемой точке является кручение кривой k.
Кручение кривой в данной точке представляет собой скорость вращения (пр
отношению к пути, проходимому по кривой) системы координат (/, п, Ь) вокруг
касательной.
Для винтовой линии кручение определяется по формуле (см. сноску)
1 См., например, Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, изд. 4-е
Гостехиздау 1956.
45*
708
Расчет витых пружин
Поскольку в рассматриваемом случае а и D — .величины постоянные, то
кручение и кривизна также не меняются при переходе от одной точки винто-
вой линии к другой.
; Поперечные сечения витков пружины, совпадающие с плоскостями, опреде-
ляемыми соответствующими ортами п и Ь, обычно имеют круглую или прямо-
угольную (квадратную) форму, причем в последнем случае оси симметрии сече-
ний направлены по нормали и по бинормали оси витков.
fe Технических расчетах кривизну витков характеризуют отношением
где а — размер поперечного сечения, в направлении нормали (при круглом попе-
D\
речном сечейии витков f J.
; v Это отношение с называется индексом пружины.
По ряду соображений (сложность навивки, резкое повышение напряжений
на внутреннем волокне витков вследствие их значительной кривизны) пружины
с индексом, меньшим 4, применяются весьма редко.
Б. Анализ внутренних силовых факторов в поперечных сечениях
витков цилиндрической пружины
В большинстве практически встречающихся случаев винтовые пружины бывают
нагружены по концам, причем нагрузка сводится к силам Р, направленным по
оси z пружины, и парам WI, действующим в торцевых плоскостях, перпенди-
кулярных к оси z.
Силу Р, растягивающую пружину ? и пару 2R, закручивающую пружину по
году навивки (т. е. увеличивающую кривизну витка), будем считать положитель-
ными.
Сжимающую силу и момент, раскручивающий пружину, с^бдуёт вносить
> формулы этого параграфа со знаком минус..
4 Если пружина подвергается действию указанных нагрузок, то по условиям
круговой симметрии все поперечные сечения витков равноправны, и для иссле-
дования внутренних сил достаточно рассмотреть одно из сечений.
Воспользуемся методом сечений (фиг. 639).
Приложим в избранном сечёййи А нагруженной пружины внутренние силы
ж напишем условия равновесия нижней части ОА пружины относительно системы
'Шординат tA> пА, ЬА, в точке А оси витков.
Заметим, что орт tA совпадает с внешней нормалью поперечного сечения
ядеска. Таким образом, само.сечение лежит в плоскости пАЬА.
Если ось витков нагруженной пружины составляет с горизонтальной плоско-
стью угол а, то плоскость поперечного сечения витка образует с вертикаль-
ной плоскостью V, проходящей через ось z и точку А, такой же угол а
(фиг. 639).
4 Указанная плоскость V содержит в себе вектор Р осевой силы и вектор L
1йешней пары, закручивающей пружину.
Внутренние силы в: сечении, уравновешивающие эту нагрузку, приводятся
к равнодействующей силе : Р, приложенной к точке А и .направленной снизу
- - - -a pD
вверх, и к паре LA = L -f- Lp, где вектор Lp, равный по модулю , напра-
влен перпендикулярно плоскости И (фиг. 639).
Внутренняя сила Р может быть , разложена в направлении осей и ЬА
'фиг. 639).
Составляющая в направлении оси tA f
N^Psina. (11)
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин
709
Сила N, называемая нормальной силой, представляет собой равнодействую.
щую нормальных сил в поперечном сечении витка площадью F, т. е.
N = ^ttdF,
где а^ — нормальное напряжение в поперечном сечении витка.
Составляющая в направлении оси ЬА
Q=Pcosa. (12)
Фиг. 639. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении витка пру-
жины при ее -нагружении по торцам растягивающими силами и закручиваю-
щими моментами.
Сила Q, называемая поперечной силой, представляет собой равнодействующую-
касательных* сил в поперечном сечении. Она направлена по оси ЬА.
Q = \ttbdF,
F
xtb — составляющая касательного напряжения в поперечном сечении витка;
параллельная оси ЬА. ’ .
Вектор La полного момента внутренних сил в поперечном сечении также мо-
жет быть разложен в направлении осей tA и ЬА (фиг. ’639):
LA = Lt + Lb.
Вектор Lt представляет собой вектор крутящего момента
£f=4
F
В векторном произведении, стоящем под интегралом, г — текущий радиус-
вектор, определяющий положение элемента dF в поперечном сечении витка
относительно его центра тяжести, а вектор т — полное касательное напряжение
в точке поперечного сечения, определяемой вектором г.
В рассматриваемом случае
,г 4 = •
'710 Расчет витых пружин
где
Af, = 2Rsina -|-~?cosa. (13)
Крутящий момент Mt считается положительным, когда он „вращает* систему
координат /, п, b относительно оси t так, что ось п переходит в ось Ь, при
повороте на 90°.
Вектор Lb представляет собой вектор изгибающего момента
МЪ = ^sttnxdF
(пх— текущая координата по оси пА, определяющая положение элемента dF
в поперечном сечении витка относительно оси ЬА).
Таким образом,
В рассматриваемом случае (фиг. 639)
Mb = Wlcosa sin a. (14)
Момент Мь считается положительным, когда он „вращает* систему коорди-
нат n, b относительно оси b так, что ось. t переходит в ось п при повороте
на 90°. При Мь > 0 кривизна витков увеличивается.
Индекс b при М показывает положение нейтральной оси в сечении (в рас-
сматриваемом случае она совпадает с бинормалью оси в точке А, где взято
сечение).
Силы N и Q в вопросах расчета пружин имеют второстепенное значение по
сравнению с крутящим и изгибающим моментами Mt и Мь.
В. Малые упругие перемещения винтовых цилиндрических пружин
При нагружении пружины осевыми силами Р и закручивающими парами Яй,
приложенными по концам пружины, последняя, изменяя в процессе ^деформации
свои размеры, по условию равноправности всех поперечных сечений витков
продолжает оставаться винтовым брусом.
При этом поперечные сечения витков пружины оказываются как бы жестко
связанными с естественными осями координат, определяемыми ортами п и д,
меняющими в процессе деформации свою ориентацию в пространстве, но по-
прежнему остающимися ортами оси витков деформированной пружины.
Поэтому, поскольку эта ось является винтовой линией и нормаль в каждой
ее точке, как известно, перпендикулярна оси образующего цилиндра, постольку,
при рассматриваемом характере деформирования пружины, все сечения витков
движутся поступательно, что может быть отчетливо подтверждено эксперимен-
тально (фиг. 640).
На фиг. 640, а представлена пружина в недеформированном состоянии.
К ее виткам припаяны указательные стрелки, которые перпендикулярны
оси пружины.
На фиг. 640,6 пружина представлена в сжатом состоянии. Мы видим, что
стрелки сблизились, но по-прежнему остались строго параллельными друг другу
и перпендикулярными оси пружины, т. е. стрелки, в процессе деформации пру-
жины, переместились поступательно, что и свидетельствует об отсутствии отно-
сительного поворота сечений пружины.
Ось деформированной пружины определяется новыми основными парамет-
рами О, a, Z, которые связаны с начальными параметрами Do, a0, /о следующими
соотношениями:
D = Db -|— Д£);
a — а0 4“ Да;
/=/0-ЬДЛ
(15)
Теоретические основы, расчета винтовых цилиндрических пружин
711
Особенно существенное значение имеет изменение угла подъема витков пру-
жины, что неразрывно связано с изменением их кривизны и кручения [см. фор-
мулы (8) и (9)], т. е. с изгибом и кручением витков.
Величину Д/ ввиду ее малости практически можно во внимание не принимать
и считать ось винтового бруса нерастяжимой.
Включение Д/ в расчетные зависимости только осложняет последние, не
придавая решению сколько-нибудь заметного уточнения, поэтому положим
А/=0.
Величины ДР и Да являются функ-
циями нагрузки и начальных размеров
пружины, а также зависят от упругих
свойств материала.
Фиг. 640. Экспериментальное подтверждение отсутствия относительного поворота попе-
речных сечений витков пружины при ее нагружении по торцам осевыми силами:
а —пружина сжатия до нагружения; б—пружина сжатия под нагрузкой.
Для установления этих важных в расчетном отношении функциональных
зависимостей целесообразно вначале из чисто геометрических соображений уста-
новить связь между ДР, Да и изменениями кривизны Дх и кручения Д/г оси
винтового бруса.
При решении этого вопроса примем, что любое из перемещений является
малой величиной по сравнению с соответствующим ему. начальным размером
пружины. Тогда, учитывая, что оси симметрии любого поперечного сечения
витков деформированной пружины продолжают совпадать с ортами п и b оси
нагруженного винтового бруса, имеем [см. формулы (8) и (9)]
. 4 cos a A (cos а) 2 cos2 а .
Дх =----------------------— ДО; (16)
А . 2 cos а A (sin а) . 2 sin а A (cos а) 2 sin а cos а А ~
д* =---------------- -I---------------------рз----ДО. (17)
Учитывая дополнительно, что sin2 а -f- cos2 а = 1, можно составить еще одно
соотношение: - sin а Д (sin а) -J- cos а Д (cos а) = 0. (18)
Решая совместно уравнения (16) — (18) относительно» Д (sin а), Д(соэа) и ДР
окончательно получим
л, . к DsinaA , Dcosa А ,
Д(81па) =--------—Дх-]------—Д£; (19)
£
к / v Р sin2 а А D sin а А.
Д (C0S= Ж Д*-------------— Д*: (20>
! Д£> = — Дх — P*sin<? дй. (21)
2 cos2 a cos а ' 7
712 Расчет витых пружин
Известно, что изменение кривизны и кручения бруса связано с внутренними
силовыми факторами, развивающимися в его поперечных сечениях.
Поскольку предполагается, что напряжения не превосходят предела пропор-
циональности, а винто»вой брус, образующий пружину, можно при отыскании
перемещений считать брусом малой кривизны, общая длина которого остается
неизменной (Д/ = 0), имеем
...... (22)
ДЙ = Й —Ло = ^; ........... (23)
В — жесткость бруса при изгибе; 1
B = EJb,
где ]ь — момент инерции сечения относительно бинормали;
С — жесткость при кручении.
Значения величин В и С приведены в табл. 59. (В случае прямоугольного
сечения необходимый для вычисления жесткости С вспомогательный коэффи-
циент представлен графиком
на фиг. 641). :
В случае круглого попереч-
ного сечения
В= 64 Д ’ С== 32 в.
Фиг. 641. Зависимость вспомогательных коэффи-
циентов С и от отношения длины большей сто-
роны прямоугольного поперечного сечения витка
к длине меньшей его стороны (к табл. 59).
Учитывая, что рассматри-
ваемые перемещения пружины
малы по сравнению с ее со-
- ответствующими размерами»
можно при вычислении вну-
тренних силовых* факторов в
сечениях витков деформиро-
ванной пружины [см. форму-
лы (13) и (14)] воспользовать-
ся Цринципом начальных разме-
ров, т. е. положить
D = D0;
а = а0.
(24)
(25)
Соотношения (24) и (25) можно использовать и при вычислении A(sfria),
A(cosa) и ДО по формулам (19) — (21), в которых Дх и Д& в свою очередь,
могут быть выражены через Мь и Mt зависимостями (22) и (23).
Связав таким образом изменение основных параметров с нагрузкой, уже
легко определить изменение и всех прочих геометрических характеристик пру-
жины в связи с ее нагружением.
Следует лишь учесть, что осевое перемещение X торцов пружины равно
1см. формулу (5а)]
Х = Д//=/0 Д (sina). (26)
Угловое перемещение торцов пружины [см. формулу (2)] равно
а л о 1 Г A (cos a) cos a »
6=Дф/==2/0 ~"n----------Б2~Д£> ‘
I 0 I
(27)
, Изменение числа рабочих витков за' счет углового перемещения торцов при
неизменной длине /в
.А.‘. Д/ = ^-. (27а)
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин
713
Таблица 59
Значения вспомогательных характеристик, необходимых для расчета витых
пружин на прочность и жесткость
Примечание. Значения коэффициентов S) й С представлены графиками на фиг. 641
в зависимости от отношения длины большей стороны прямоугольника к длине его мень-
шей стороны.
Таким образом, полагая ось винтового бруса нерастяжимой и опираясь на
принцип начальных размеров, можно по формулам (26), (27) используя соотно-
шения (19) — (23), получить следующие основные линейные зависимости малых
перемещений X, 0 и Д£> от нагрузки.
Осевое перемещение торцов пружины
5 _лРРо Zo / C0S2 sin2 ак
4cosa0A- с т в )
i0 f i
2 Д О
-§-)sina0.
(28>
Примечание. Если,дополнительно учесть внутренние силовые факторы W
и Q. то перемещение X по абсолютной величине возрастает на
"POqZq /sin2 Op cos2g0\
cos Op \ EP GF ' a'
где F—площддь поперечного сечения витка [5].
Это уточнение практически маЕло существенно.
Относительный угол поворота торцов пружины
_ kPDI i0 sin ap / i 1 \ xOTDpZp / sin2 я» , cos2 яр\ ,„л.
’ 2 В/ + cos Яр к~С 1 В~)’ , (<5°'
Изменение диаметра пружины
ДП_______pn34ina fJ________1 cos2flp\ ЯКДр / sin2 Яр со5 2я0\ ,
W— P£>0stno0 4В cos2я0?) 2со8яр\2 С В~) ‘
Рассмотрим ряд типичных случаев нагружения.
Формулы для вычисления перемещений пружин растяжения — сжатия, воспри-
нимающих только продольную силу (Р =^=0; = 0), приведены в табл. 60 (пред-
полагается, что торцы пружины могут свободно поворачиваться вокруг ее оси).
714
Расчет витых пружин
I
Таблица 60
Формулы для расчета винтовых цилиндрических пружин растяжения—сжатия
Общий случай
Пружина из проволоки круглого поперечного
сечения диаметром d
r-nd* Kd*E 1
IB 64 ’ C 32 ° 64 (1 -H p.) I
»- -И» ««иД
4 cos a0 у С ‘ В )
(±—L) (»>
AD - (31.)
IGPDqIq (1 4- p. COS2 a0)
£d4 cos a0 (286)
32fiPDfosina0
0----------Ml--------
16PDq sin a0 ( 1 । '
n£d* у cos2 a0
(316)
Сила P, растягивающая пружину, считается положительной. Сила, сжимаю-
щая пружину, считается отрицательной.
В формулах (286), (306) и (316) р— коэффициент Пуассона, вошедший
в формулы при замене модуля сдвига G модулем упругости первого рода Е.
[То же в формулах (28е), (30г) и (31г) — табл. 61].
При растяжении пружины (Х>0), свитой из проволоки круглого сечения,
она закручивается (0 > 0) (т. е. торцы пружины поворачиваются друг относи-
тельно друга по ходу навивки), и диаметр ее несколько уменьшается (Д£) < 0).
Чтобы не дать возможности торцам пружины, нагружаемой осевой силой, пово-
рачиваться друг относительно друга к ним необходимо приложить момент.
огп PQp (С В) sin 2% t 7
0 4 (В sin2a0 4- С cos2 a0) * ' '
Действительно, в этом случае относительный угол поворота 6*торцов пру-
жины [см. формулу (30)1 будет равен нулю.
Для определения осевого перемещения Хо пружины с неповорачивающимися
торцами достаточно в формуле (28) положить =
Тогда
kPDqZ0
4 cos a0 (В sin2 a0 4- C cos2 a0) *
Если витки имеют круглое поперечное сечение, то
qn __________________________ pPPo s^n 2%
и
16PDU(l+f0
0 — Ed* cos a0 (1+ fi sin2 <x0) *
В практических расчетах цилиндрических пружин растяжения — сжатия
с малым углом подъема (ао<8ч-1О°) можно приближенно положить sinao^0,
а cosa0^l. В этом случае относительный угол поворота торцов пружины во
внимание не принимается (9 ~ 0), а осевое перемещение по формулам (26)
и (19) равно
Х = ^ДЛ (26а)
или
itPD®Z0
К~~ 4С
(28в)
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин
715
(28г)
Если витки имеют круглое поперечное сечение, то
8PD*Z0
— Orf4 •
Формулы для вычисления перемещений пружин кручения, нагруженных по
торцам только парами (Эй ¥= 0; Р = 0), приведены в табл. 61 (предполагается,
что торцы пружины могут свободно перемещаться в осевом направлении).
Таблица 61
Формулы для расчета винтовых цилиндрических пружин кручения
Общий случай Пружина из проволоки круглого поперечного сечения диаметром d (о _ F. с — nd* G — Kd*E \ ~ЫЕ'С-&а 64(H|x)j
9 _ тс SD? DqZ. /sin2 «в cos2a0\ e cos a0 \ С В ) /1 1 \ к — g 1 £- ) sin«e (28д) Л \ О х5 J ЭЛ Da / sin2 a0 cos 2a0\ 2—й~ ) <3,B> 4 COS a.Q \ G d J e = 64 gR DqZq (1 +fxsin2a0) Erf4 cos a0 ' ' 32 ft Ж Dosina. *• Edi (28e) 32 gRDo (1+2И«Ч "" те Erf4 cos a0
Пара ЭЙ, закручивающая пружину по ходу навивки, считается положитель-
ной, пара противоположного направления — отрицательной.
При закручивании пружины, свитой из проволоки круглого сечения, по ходу
навивки (6 > 0) она удлиняется (X > 0) и диаметр ее уменьшается (ДИ < 0).
В этом случае осевые линейные перемещения торцов пружины очень малы.
Чтобы торцы пружины, нагружаемой моментами Эй, не могли перемещаться в осе-
вом направлении необходимо приложить силу
р__________9R sin 2ст0 (В — Q
0 Dq (С sin2 а0 4- В cos2 ав) ’
(34)
Легко проверить [см. формулу (28)J, что при силе Р = Р* относительное
осевое перемещение X торцов пружины будет равно нулю.
В этом случае угловое перемещение 0о торцов пружины можно вычислить
по формуле (30), положив в ней Р = Р0:
д ___ ________.
9 (С sin2 а0 + В cos2 а0) cos а0 ’
Если пружина свита из проволоки круглого сечения, то
Р — sln 2ао
0 D0(l -h p>cos2 а0)
И
А _ 64 5ШРо/0(1 +fi)
0 Erf4 cos а0 (1 cos2 ао) *
(35)
(34a)
(35a)
В практических расчетах цилиндрических пружин кручения с малым углом
подъема (<хо<8-т-10% можно приближенно положить sinao^0, a cosa0^l.
В этом случае осевое перемещение торцов пружин кручения во внимание не
принимается (ХжО), а относительный угол поворота торцов
я _ (ЗОд)
! В '
716
Расчет витых пружин
Если витки имеют круглое поперечное сечение, то
64 9PD0z0
0 = ----FT77--
Ed*
(ЗОе)
В инженерной практике формулы, приведенные в табл. 60 и 61, а также
формулы (28г) и (ЗОе) используются особенно часто.
Г. Большие упругие перемещения винтовых цилиндрических пружин
Если большие упругие перемещения пружины возникают при ее, нагружении
осевыми силами Р и парами Ж, приложенными в плоскости торцов пружины,
тс последняя, так же как и в случае малых упругих перемещений, продолжает'
оставаться винтовым брусом..
Однако предполагая, что в рассматриваемом случае в процессе деформации
основные параметры пружины претерпевают значительные изменения, необходимо
Строго разграничивать начальные и конечные значения основных параметров.
В частности, при вычислении внутренних силовых факторов следует исходить
из тех размеров пружины (£>, а), которые она имеет в конце процесса нагру-'
жения. . ’ ' ' ?
Руководствуясь формулами (22), (23)', а также (8), (9), (13) и (14), можно
составить следующие зависимости, справедливые для пружин в области больших,
перемещений: > >
2в(^_^.)=__™2!25 + Щсо5«; <22а>
(23а)
\ D LJq / Z *
Осевое перемещение концов пружины Л равно
X = (Н — Но) lQ (sin а — sin Oq). (36)
Угловое перемещение торцов б равно е
е = ?/-ср/о = 2/о(^-^). - (37)
Общая теория больших перемещений цилиндрических винтовых пружин раз-
работана Н. А. Чернышевым [15].
Рассмотрим случай растяжения (Р>,0) или сжатия (Р < 0) пружины со сво-
бодно поворачивающимися торцами, когда 93? = 0 (первый случай).
Тогда, исключая из формул (22а) и (23а) диаметр D деформированной пру-
жины, представляется возможным выразить осевую силу Р в функции угла
подъема а:
} D 4ВС , ч cos2 а0 (Вcos acos а0 Ч-. Csinasina0)
P=="D|’S,n(а~<Х°) cosa (BcU^a + CsTn^r-----• (38>
Выражения (38) й (36) устанавливают параметрическую зависимость между
усилием Р и осадкой пружины X, причем параметром здесь является угол подъема а,
постепенно изменяющийся в процессе нагружения' пружины.
При малых перемещениях, когда угол а не сильно отличается от а0, можнр
положить, что
sin (а — а0) ~ Да;
ажа0; cos Да ^1.
При этих предположениях из формул (36) и (38) может быть выведена
полученная ранее линейная зависимость между осевой силой и осевым переме-
щением торцов пружины [см. табл. 60, формула (28а)].
В области больших перемещений зависимость между X и Р, установленная
выше в параметрической форме, не является линейной.
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин 717
Задаваясь последовательными значениями угла подъема а, можно по форму-
лам (38) и (36) подсчитать силу Р и соответствующее ей осевое перемещение
концов пружины X и построить нелинейную характеристику последней в коор-
динатах (Х,Р) (фиг. 642). '
Рассмотрим случай растяжения или сжатия пружины с неповорачивающимися
горцами, когда 6 = 0 (второй случай).
Из соотношения (37) следует, что
COS л COS Gig
или
(39а)
Исключая из уравнений (22а) и (23а) момент 2D? и заменяя диаметр D
деформированной пружины его значением по формуле (39а), получим
о 4 cos2 а0 [ .
Р —-------—2 С (sin а — sin а0) —
Do I
— Ssinafl — . (40)-
\ COS a J J 7
Зависимость* (40) совместно с соотно-
шением (36) выражает в параметрической
форме характеристику пружины в обла-
сти больших перемещений во втором слу-
чае закрепления (0 = 0).
Исследования полученных результатов
показывают (фиг. 642), что при больших
перемещениях жесткость пружин сжатия
Фиг. 642. Уточненные и приближенная
характеристики винтовых пружин.
в процессе деформации убывает, а жесткость пружин растяжения при нагруже-
нии несколько увеличивается. Однако пружины растяжения, навиваемые обычно
закрытой навивкой (т. е. так/ что витки плотно прилегают друг к другу) из
проволоки круглого сечения, имеют очень малый начальный угол подъема, и
поэтому, в этом случае, при любых практически встречающихся перемещениях
можно удовлетвориться результатами, даваемыми приближенными формулами,
полученными в предположёнии, что перемещения малы [см. формулы (28а) и (33)].
Для пружин сжатия нарушение линейной зависимости между силами и пере-
мещениями проявляется более сильно.
Приближенные формулы дают заметную (более 5°/0) погрешность при началь-
ных углах подъема а0 > 10°, особенно в тех случаях, когда 20? = 0 (первый
случай), а также когда сечение витка имеет вид вытянутого прямоугольника
с длинной стороной, перпендикулярной к оси пружины (а > Ь).
Теория больших перемещений разработала и для пружин кручёния [15],
однако этот вопрос имеет малое практическое значение. Интересно лишь отме-
тить, что для пружин кручения, торцы которых в осевом направлении не могут
перемещаться, результаты точной и приближенной теорий полностью совпадают.
Действительная характеристика пружин кручения, работающих в таких
условиях, линейна при любых перемещениях (пока напряжения не превышают
предела пропорциональности материала).
Д. Напряженное состояние витков цилиндрических пружин
.При нагружении цилиндрической пружины по торцам осевыми силами и парами,
приложенными в плоскостях торцов, витки пружины работают одновременно на
кручение, изгиб и растяжение — сжатие.
Если не принимать во внимание кривизну витков пружины, то, используя
вычисленные в разд. Б значения внутренних силовых факторов и удовлетворяясь
718
Pacnei витых пружин
точностью формул, полученных методами сопротивления материалов, легко
определить напряжения в поперечных сечениях витков [5].
При таком приближенном подходе к решению вопроса нормальные напря-
жения в поперечных сечениях витков на их внутреннем „волокне* равны
,___________ь . N
F'
(41)
(Положительные значения нормальных напряжений соответствуют растяжению,
отрицательные — сжатию.)
Касательные напряжения в поперечном сечении витков на их внутреннем
„волокне* вычисляются по формуле
= (42)
где р — коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения витка.
При круглом поперечном сечении ^1,3.
Моменты Mt и Мь подсчитываются по формулам (13) и (14) соответственно,
с учетом установленных правил для знаков.
Wb — осевой момент сопротивления поперечного сечения витка относительно
бинормали (см. табл. 59).
Значения Wt также приведены в табл. 59. В случае прямоугольного сечения
необходимый для вычисления величины вспомогательный коэффициент С
представлен графиком на фиг. 641.
Однако витки цилиндрической пружины обычно имеют значительную кри-
визну. Это обстоятельство оказывает влияние на закон распределения внутрен-
них сил в поперечных сечениях витков и приводит к значительному повышению
напряжений в точках винтового бруса, ближайших к оси пружины <т. е. на
внутреннем „волокне* витков), в сравнении с напряжениями, вычисленными по
формулам (41) и (42).
Влияние кривизны бруса на закон распределения нормальные напряжений
в его поперечных сечениях, при изгибе, хорошо известно (см. [10]).
Рассмотрим подробнее влияние кривизны на закон распределения касательных
напряжений в поперечных сечениях витков пружин растяжения — сжатия.
Моделируем работу витка малого угла подъема пружины растяжения —
сжатия следующим образом.
Рассмотрим незамкнутый торообразный брус (фиг. 643), нагруженный двумя
силами, приложенными в центре тора и направленными в противоположные
стороны по оси 2, перпендикулярной серединной плоскости торообразного
бруса.
Брус нагружается указанными силами с помощью двух абсолютно жестких
рычагов I и //, каждый из которых жестко связан с одним из свободных торцов
бруса по горизонтальному его диаметру.
В процессе деформации круговые волокна торообразного бруса обращаются
в винтовые волокна. Примем, что их угол подъема будет малым.
Горизонтальные диаметры радиальных сечений (фиг. 643, а) торообразного
бруса выходят из своей плоскости, но как уже отмечалось выше, они остаются
горизонтальными и совпадают по направлению с нормалями соосных винтовых
волокон, образовавшихся из круговых волокон срединной плоскости торообраз-
ного бруса.
Учитывая сказанное, заключаем, что все винтовые волокна имеют одинаковый
шаг, но разные углы подъема.
В частности, круговое волокно, имеющее радиус я, обращается в винтовое
волокно, угол подъема которого равен
__h_
а“~ 2пи~ .. .
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин 719
(Наименьшее значение радиуса = R — г\ наибольшее значение ятах =
= R-\-r9 где R—радиус оси торообразного бруса, а г—радиус его круг-
лого поперечного сечения.)
Исследуем теперь напряженное состояние материала витков.
Для этого воспользуемся гипотезой сохранения плоских поперечных сечений
бруса и, ввиду малости углов ад, будем опираться на гипотезу начальных раз-
меров.
Примем, что любое сечение • торообразного бруса в процессе деформации
поворачивается около горизонтального диаметра как жесткое целое на некоторый
зависящий от нагрузки Р малый угол ав, оставаясь, таким образом, нормальным
деформированного состояния.
9
Углы между поперечным сечением и всеми другими волокнами перестают
быть прямыми, а вследствие образовавшихся угловых деформаций во всех точках
поперечного сечения, кроме центральной, возникают касательные напряжения.
Для того чтобы установить величину этих напряжений, надо выяснить, какимг
образом любое из поперечных сечений торообразного бруса обращается в одна
из поперечных сечений винтового бруса. Необходимо также установить, какая
часть пути, проходимого при этом любым из элементов торообразного бруса>
связана с перемещением элемента как абсолютно жесткого тела и какая часть
пути определена деформацией этого элемента.
Рассмотрим сектор тора, выделенного двумя радиальными сечениями (Л и В)9
составляющими друг относительно друга двугранный угол б/О (фиг. 643,6).
Внутренние силы в радиальном сечении В приводятся к равнодействующей>
направленной по оси z и равной силе Р9 которую можно считать приложенной
в центре тора О.
Повернем этот секториалыгый элемент тора относительно диаметра аа сече-
ния А (фиг. 643,6) на угол а0.
(Диаметр аа совпадает и жестко связан с рычагом / — /, который служит
как бы осью вращения.)
I
720
Расчет витых пружин,.
В результате этого перемещения каждое волокно длиной ш/9, являющееся
частью рассматриваемого секториального элемента тора, повернется на угол а0.
Центр сечения В опустится на высоту (ВВ) = а горизонтальный
его диаметр bb наклонится к горизонту на угол д0^9 и примет положение Осс
(фиг. 643,6).
Доказательством того, что рассматриваемое перемещение элемента не связано
с его деформацией, служит отсутствие работы деформации, поскольку точки
приложения сил Р при указанном перемещении элемента остаются непо-
движными.
Чтобы получить из элемента торообразного бруса, перемещенного как жесткое
целое, элемент винтового бруса того вида, который в действительности обра-
зуется в процессе деформации тора, нагруженного указанным выше образом,
перемещенный элемент должен быть дополнительно деформирован путем пово-
рота радиального сечения В относительно торца А на угол aod6 (фиг. 643,б)
так, чтобы диаметр bb, занявший положение сс, стал опять горизонтальным.
При этом на волокне длиной udft секториального элемента АВ угол сдвига у
будет равен
_ paod6 _ ра0 z. .
где р — длина радиуса-вектора, определяющего положение следа волокна в ра-
диальном сечении" бруса.
Касательное напряжение в соответствующей точке радиального сечения бруса
по закону Гука равно
т = ТО = а0б£. (44)
(Предполагается, как обычно, что внешняя нагрузка приложена к свободным
торцам бруса в виде системы тангенциальных сил, распределенных по их пло-
щади точно по тому же закону, что и внутренние силы в любом из радиальных
сечений бруса.)
В результате такого закручивания диаметр bb сечения Ве(фиг. 643,6),
наклонившийся в связи с перемещением элемента как жесткого целого на угол
aod9 и принявший положение сс, станет опять горизонтальным (займет положе-
ние Ь'Ъ'), а продольные волокна элемента получат одинаковый шаг ДЛ =/?aodfl,
но разные углы наклона, как это и имеет место в действительности.
Процесс деформирования первого элемента сопровождается работой сил Р
на относительном осевом перемещении 00', равном ДХ = ДЛ = 7?aod9.
Поскольку все секториальные элементы торообразного бруса находятся
в равноправном положении, то деформация каждого из них аналогична дефор-
мации первого элемента. К перемещению же любого элемента, в связи с его
поворотом как жесткого целого добавляется еще переносное поступательное
перемещение параллельно оси z на величину, определяемую деформированным
состоянием всех предшествующих элементов, начиная с первого.
В , результате рассматриваемый торообразный виток обратится в винтовой
брус, причем жесткие рычаги 1 — I и II —,11 останутся горизонтальными, а сле-
довательно, параллельными друг другу, а точки приложения сил Р, оставаясь
по-прежнему на оси z, разойдутся на расстояние ООХ (фиг. 643, в), равное
2тс
X, = £ДХ — j /?aorf9 == 2теао/?.
Приравнивая работу, совершаемую силами Р при деформации витка, его
внутренней потенциальной энергии кручения, имеем
Mlp2*R .
2 2GJP ’
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин
721
откуда, учитывая, что MKp = PR> получим
(46).
Сопоставляя зависимости (45) и (46), устанавливаем, что
0». = ^
Jp
Подставляя полученное выражение в формулу (44), окончательно получаем
РР2Р___AlyppP
Jvu ~ Jp и*
(47)
Выведенная формула отличается от известной формулы для расчета каса-
тельных напряжений при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
р
множителем — в правой части полученной зависимости (47).
Наибольшее напряжение развивается на внутреннем волокне витка при
“га1п=Я — г и Р = г.
Таким образом,
______МкРг R
’max-' Jp R_

(47а)
где
W = —
р 16»

с
а
к — г С— 1
= - индекс пружины^ .
При с = 4 k = 1,33. Это означает, что касательные напряжения в поперечном
сечении витка на его внутреннем волокне в рассматриваемом случае возрастают,
за счет кривизны витка на 33а/о по сравнению с напряжениями в прямом
брусе круглого поперечного сечения, имеющем диаметр проволоки витка и закру-
чиваемом моментом Л4‘ = PR.
кр
Чтобы оценить, в какой степени различаются напряжения на внешнем
и тв№ на внутреннем волокнах витка, составим отношение [см. формулу (47а)]
хвн _ г = £ + 1
^вш R Г 1
Это отношение при с — 4 равно 1,66 вместо единицы для прямого бруса
круглого поперечного сечения, у которого, при его закручивании, касательные
напряжения во всех точках у периферии поперечного сечения равны между
собой.
Чтобы более отчетливо представить себе процесс деформирования витка
пружины растяжения — сжатия, без чего нельзя в полной мере поцять только
что изложенный анализ напряженного состояния витка, рассмотрим следующую
модель, хорошо иллюстрирующую изучаемый вопрос.
Наденем на разрезанное по радиусу плоское кольцо из стальной проволоки
резиновую трубку. Будем нагружать полученный таким образом двухслойный
торообразный брус так, как это представлено на фиг. 643, причем жесткие
рычаги свяжем только с проволокой.
В рассматриваемом случае стальная основа торообразного бруса будет дефор-
мироваться как виток обычной винтовой пружины; трубка же, могущая при
отсутствии сил трения совершенно свободно поворачиваться относительно про-
волоки, образует пустотелый винтовой брус, без деформации в связи с закру-
46 Пономарев и др. 407
722
Расчет витых пружин
чиванием своих секториальных элементов, в отличие от аналогичных элементов
проволоки. В результате первоначально горизонтальные диаметры радиальных
сечений трубчатого торообразного бруса не будут более оставаться нормальными
оси образующего цилиндра винтовых линий, а будут наклоняться к горизонту.
Их угол поворота на длине одного витка равен 2ка0.
Секториальные элементы торообразной трубки размещаются вдоль проволоки,
получившей вследствие деформации форму винтового бруса, в основном за счет
перемещения как жесткого целого, в связи с их поворотом на угол а0 отно-
сительно диаметров радиальных се-
Фиг. 644. Установка для экспериментального
исследования деформированного состояния
витков пружины и трубчатого чехла, надетого
на витки:
а — пружина растяжения, частично покрытая чехлом
до нагружения; б—та же пружина под нагрузкой.
На часть витков пружины растяжения
новой трубки или трубки, сплетенной из
чений тора, бывших до деформации
горизонтальными.
Таким образом, на этой модели
удается раздельно видеть как дефор-
мируется торообразный брус при на-
личии и отсутствии „физического"
закручивания-
Резиновая трубка получает за
счет перемещения только геометри-
ческую крутку, в то время как
стальная проволока получает как
геометрическую, так и физическую
крутку, которые равны по величине
и имеют противоположные по знаку
направления. В результате попереч-
ные сечения проволоки в процессе
перемещения и деформации друг
относительно друга не поворачи-
ваются, а касательные напряжения
в ее поперечных сечениях возникают
в связи с кручением без видимого
угла закручивания. <
Вид винтовой резиновой трубки,
образовавшейся из торообразной
трубки без возникновения в резине
касательных .напряжений, можно
отчетливо наблюдать на описанной
модели.
Легко поставить следующий опыт,
или сжатия надо надеть чехол из рези-
проволоки. Чехол должен прилегать
к пружине без какого-либо натяга. В одной из радиальных плоскостей на каждом
витке свободной части пружины и на витках чехла друг над другом следует
установить металлические стрелки-указатели, нормальные к оси пружины
(фиг, 644, а). При нагружении пружины стрелки, установленные на свободных
витках, останутся строго параллельными и будут по-прежнему перпендикулярны
оси пружины. 1
Стрелки, установленные на чехле, получат значительный наклон, что ярко
иллюстрирует все изложенное выше (фиг. 644, б).
Чехол, в основном свободный от напряжений, получает только геометриче-
скую крутку. ’
Витки пружины деформируются так, что геометрическая крутка „нейтрали-
зуется" круткой физической, в результате чего витки пружины видимого угла
закручивания не получают (фиг. 644, б).
Проведенные рассуждения полностью раскрывают геометрию перемещений
и деформации элементов торообразного бруса, моделирующего процесс деформиро-
вания витка пружины растяжения — сжатия. Однако изложенное выше решение
не является точным, так как гипотеза плоских сечений в рассматриваемом
Теоретические основы расчета винтовых Цилиндрических пружин 723
случае в полной мере не оправдывается и сечения несколько искривляются. Не
строго и принятое допущение, что поперечные сечения винтового бруса оста-
ются нормальными центральной (осевой) винтовой линии (в действительности
&)•
Допущенные неточности проявляются в некотором нарушении интегральных
условий равновесия.
Внутренние силы при их приведении к центру поперечного сечения бруса
дают почти точное значение для крутящего момента
i D_
мкр = J
= PR2 Г pW7 _
Jp J и
F
(при с = 4 ошибка соста-
вляет примерно всего 2°/0).
Поперечная же сила
равна /»
Q=J xzdF =
Jp J “
Фиг. 645. Сопоставление эпюр касательных напряже-
ний в поперечном Сечении Витка пружины растяже-
ния — сжатия малого индекса при а « 0.
откуда видно, что поперечная сила Q значительно отличается от величины Р,
которой она должна быть равна в действительности.
Заметим, что можно освободиться от
.сделанного предположения о значении
{ uQ (и0 = R) и определить величину uQ из
условий равновесия.
Однако в этом случае при использо-
вании гипотезы плоских сечений не будут
| удовлетворяться граничные условия на
контуре сечения. Тангенциальные напря-
жения не будут касательными к наруж-
S ному контуру и решение, сильно ослож-
няясь, по существу заметного уточнения
не получает, несмотря на то, что уравне-
ния равновесия будут теперь удовлетво-
рены.
Эпюра касательных напряжений в по-
перечном сечении витка, построенная по
у приближенной зависимости (47) для точек
горизонтального диаметра, представлена
на фиг. 645 штрих-пунктиром. г
Фиг. 646. Элемент витка и компоненты Сплошной линией показана эпюра рас-
напряжения в опасной точке. пределения касательных напряжений, по-
лученная методами теории упругости.
Чтобы оценить точность приближенного решения, укажем, что при наиболь-
шей практически допускаемой кривизне витка, определяемой индексом с — 4,
коэффициент k в формуле (47а) равен:
при точном решении km04H= 1,37; *
при приближенном решении knpu6=\,33.
46*
724
Расчет витых пружин
Таким образом, ошибка составляет 3°/0.
Из изложенного следует, что кривизна витка сильно сказывается на законе
распределения напряжений в его поперечных сечениях и может привести к повы-
шению напряжения на внутреннем волокне витка, по сравнению с прямым
брусом, почти на 4О°/о. Это обстоятельство и заставило изучить рассматриваемый
вопрос более подробно.
Фундаментальное исследование напряженного состояния витков с круглым
поперечным сечением проведено в 1946 г. Н. А. Чернышевым [17].
Методами теории упругости им были получены, в частности, и формулы
(48) — (51) для вычисления напряжений в опасных точках на внутреннем волокне
витков круглого поперечного сечения (в точке К на фиг. 646).
напряжений
и t, равны
Для пружин растяжения \Р > 0) и сжатия (Р < 0) при ж = О
в площадках, проходящих через точку К и нормальных осям Ь
(фиг. 646)
Qtt —
Xtb — Xbt —
_ . PD.
аьь — ^ьр wb»
PD
'tP^b\
PD
р
(48)
где kbP, ktp, kp — коэффициенты, зависящие от угла подъема и отношения
При коэффициенте Пуассона /а = 0,3
kbP = Slna-C— Jo,077 4- (0,036 + 0,171 cos8 a) у] ;
fezp = sina Jo,5 4-(0,1250,436cos2a) —--f-
+ (0,037 4- 0,305 cos8 a) ‘ (49)
kp = cos a Jo,5 4- (0,308 4-0,318 cos8 a) -J- 4-
4- (0,356 4- 0,082 cos8 a) -^2] .
Буква P в индексе при коэффициентах k указывает, что напряжения по
формулам (48) вычисляются в витках пружины, нагруженной только осевой силой А
Значение a > 0 соответствует напряжению растяжения, о < 0 — напряжению сжатия.
Значения коэффициентов kbP, ktp> kp приведены в табл. 62
Таблица- 62
Значения коэффициентов kbP, ktP и kp
О]-* II kbP *tp kp
a a a
0° 15° 30° 0® 15° 30° 0° 15° 3G°
3 0,000 0,012 0,017 0,000 0,183 0,328 0.757 0,719 0,620
4 0,000 0,008 0,011 0,000 0,168 0,312 0,683 0,652 0,567
6 0,000 0,005 0,007 0,000 0,154 0,290 0,616 0,590 0,518
8 0,000 0,003 0,005 0,000 0,147 0,279 0.584 0,560 0,496
10 0,000 0,002 0,004 0,000 0,144 0,273 0.567 0.544 0483
Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин
725
Для пружин кручения (при условии, что Р = 0) в площадках, проходящих
через точку К и нормальных осям b и t (фиг. 646), напряжения равны
п — Ь
Qbb Rbm >
— Ь
°tt — Rtm '»
t
4b bt Km Wt •
(50)
При коэффициенте Пуассона p. = 0,3
^bm— —c°s * [0,154+ (0,246cos2a — 0,096 sin2a) -ij ;
ktm= — cos a £1-f-0,871 + (0,032 4-0,612 cos2 a) ;
fe„ = sina [1 + 0,635 ^-? +0,163^^1 .
m [ 1 C (r J
Буква m в индексе при коэффициентах k указывает, что напряжения по
формулам (50) вычисляются в витках пружины, нагруженной только моментом.
. Значения коэффициентов kbm, ktm> km приведены в табл. 63.
Таблица 63
Значения коэффициентов kbm, ktm, km
Ql-* II *bm ktm
a a a
0° 15° 30° 0° 15° 30° 0° 15° 30°
3 —0,078 —0,068 —0,045 -1,361 -1,285 -1,088 0,000 0,313 0,584 '
4 —0,053 —0,047 —0,031 -1,257 -1,192 -1,026 0,000 0,298 0,561 ;
6 —0,032 -0,028 -0,019 -1,162 -1,110 -0,968 0,000 0,284 0,540
8 —0,023 -0,020 -0,015 -1,118 —1,070 -0,940 0,000 0,278 0,530
ю • —0,018 -0,016. -0,011 -1,093 -1,045 -0,926 0,000 0,260 0,524
При закручивании пружины по ходу навивки следует полагать Ш? > 0, при
закручивании в обратном направлении Ш? < 0.
Располагая значениями составляющих напряжений, легко вычислить, руко-
водствуясь теорией прочности Мора (см. гл. VI, т. I), эквивалентное напряжение.
В рассматриваемом случае этой теорией следует воспользоваться потому,
что пружинные стали, вообще говоря, различно сопротивляются растяжению и
сжатию.
Чтобы установить коэффициент запаса пружины, достаточно сопоставить
эквивалентное напряжение с пределом текучести материала прй растяжении.
Полное исследование напряженного состояния витков может быть проведено
лишь при проверочных расчетах пружин.
При конструировании пружин с малым углом подъема витков, встречаю-
щихся обычно на практике, второстепенные компоненты напряжения опускают
и ведут расчет упрощенно (см. § 3):
1) пружины растяжения — сжатия рассчитывают по наибольшим касательным
напряжениям ztb в поперечных сечениях витков, полагая а = 0;
2) пружины кручения рассчитывают по наибольшим нормальным напряже-
ниям о//(в поперечных сечениях витков, также принимая а = 0.
726
Расчет витых пружин
Жесткие винтовые пружины сжатия и кручения, рассчитанные на большие
нагрузки, выполняются с витками прямоугольного сечения.
Обозначим, как было принято ранее (см. табл. 59), длину стороны прямо-
угольного сечения, параллельную бинормали, через а длину стороны, перпен-
дикулярную к оси (параллельную нормали), через а. -
Законы распределения внутренних сил в поперечном сечении витков прямо-
угольного поперечного сечения зависят от угла подъема а, соотношения длин
D
сторон сечения и отношения с = — .
К настоящему времени точное решение вопроса о напряженном состоянии
витков прямоугольного поперечного сечения удалось получить [1] только для
случая, когда угол подъема витков равен
нулю.
Однако, учитывая, что у жестких пружин,
как правило, угол подъема витков невелик,
полученные результаты могут быть широко
использованы в инженерных расчетах таких
пружин,.
Как известно, для пружин растяжения (Р>0)
и сжатия (Р < 0) при а^0 в поперечных се-
чениях витков развиваются в. основном одни
касательные напряжения.
Для рассматриваемого случая (фиг. 647) в середине внутренней стороны
сечения (в точке К) **
(52)
Фиг. 647. Прямоугольное попереч-
ное сечение витка пружины.
Значения коэффициента k'p, подсчитанные в предположении, что коэффициент
Пуассона ju = 0,3, приведены в табл. 64 в зависимости от отношения длин
сторон сечения и кривизны витков.
Таблица 64
Значения, коэффициентов k'p
D / а / / __Ь_ / а 1 3 1 2 0,8 1,0 1,25 1,5 2,0 з.о
А ' 6,16 4,53 3,47 3,16 2,93 2,78 2,58 2,35
5 5,80 4,28 3,29 3,01 2,80 2,67 2,48 2,25
6 5,55 4,10 3.18 2,90 2,70 2,58 2,40 2,19
7 5,37 3,98 3,09 2,84 2,65 2,52 2,35 2,15
8 5,24 3,83 3,03 2,78 2,60 2,48 2,31 2,10
10 5,06 3,76 2,94 2,70 2,53 2,41 2,76 2,06 ,
Для точек N (фиг. 647) в середине
XN ~
где коэффициенты k"p в зависимости от
равны:
верхней или нижней стороны сечения
<52а)
отношения длин сторон, при р. = 0,3,
ъ
при —
k"p
1
3
5,73
1
2
4,06
0,8
2,83
(От кривизны витков коэффициент kp не зависит.)
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
727
Заметим, что в табличке приведены лишь те значения коэффициентов k"p>
которые представляют интерес для расчета пружин на прочность, поскольку
определяемые ими касательные напряжения в точке N, при некоторых соотно-
шениях размеров'сечения и кривизны витка, могут превысить величину напря-
жения в точке К.
Однако, сопоставляя значения коэффициентов k'p и k’pi можно заключить,
что в большинстве случаев опасной точкой является все же точка К, лежащая
в середине внутренней стороны прямоугольного поперечного сечения.
Лишь при малой кривизне витка (при с = — > 6) и малых значениях отно-
• я
шения — (при — < 0,8) для пружин растяжения—сжатия принятой конструк-
ции это правило нарушается и напряжения в точке N оказываются большими,
чем в точке К.
Для пружин кручения с витками малого угла подъема (при а^О) в попе-
речных сечениях витков развиваются в основном одни нормальные напряжения.
Наибольшие нормальные напряжения возникают в середине внутренней сто-
роны сечения (в точке К нд фиг, 647)
1’1*=*^’ <53>
Для внутренних угловых точек В (фиг. 647) сечения витка
(53а>
где Wb = ~g— см3 — момент сопротивления изгибу относительно бинормали
(см. табл. 59).
* Значения коэффициентов k'm и k"m Таблица 65
D с = а ь _ 1 а - 3 ь __ 1 а ~~ 2 — =0,8 а -L--1 а — = 1,25 a — =1,5 a — = 2,0 | a -±- = 3 a
tn п km m ft Ь m k' m ft k m k m п m km k tn m । m k tn n ь tn
4 1,085 1,082 1,086 1,080 1,089 1,075 1,092 1,071 1,096 1,064 1,103 1,055 1,114 1,озз| 1,145 0,971
5 1,068 1,066 1,069 1,064 1,072 1,060 1,074 1,057 1,077 1,051 1,083 1,044 1,090 1,027 1,115 0,977
6 1,056 1,055 1,057 1,054 1,059 1,050 1,061 1,047 1,064 1,043 1,067 1,037 1,075 1,022 1,096 0,981
8 1,043 1,041 1,043 1,040 1,044 1,038 1,046 1,035 1,048 l,032| 1,051 1,028 1,056 1,017 1,072 0,986
Значения коэффициентов k'm и k” подсчитанные в предположе-
нии, что коэффициент Пауссона рь = 0,3, приведены в табл. 65 в зависимости
Ъ D
от отношения длин сторон — и кривизны витков С — — .
§ 3. ПРИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ РАСЧЕТА И КОНСТРУИРОВАНИЯ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН РАСТЯЖЕНИЯ,
СЖАТИЯ И КРУЧЕНИЯ1
А. Материалы для пружин
К материалу для пружин предъявляют высокие требования: после соответ-
ствующей термообработки он должен обладать устойчивыми во времени упру-
гими свойствами, значительной прочностью и выносливостью, большим сопро-
тивлением ударным нагрузкам, а также достаточной пластичностью.
---------- *
1 Все расчеты проводятся исходя из принципа начальных размеров, поэтому в этом
параграфе принимается, что D = Do, i = Iq и а = а0.
/
728
Расчеч витых пружин
При приемке материала для пружин образцы его должны быть подвергнуты
осмотру и испытаниям в соответствии с техническими условиями. Серьезного
внимания заслуживает состояние поверхности заготовок для пружин (проволоки).
Она должна быть гладкой, без плен, закатов, раковин, штрихов и других де-
фектов, видимых глазом.
Недопустимо повреждение поверхности заготовок в процессе изготовления
пружин. Обезуглероживание их поверхностного слоя отрицательно сказывается
на механических свойствах и особенно на выносливости пружин (допустимая
глубина и степень обезуглероживания заготовок устанавливаются техническими
условйями). •
При термообработке в процессе изготовления пружин, которая должна
вестись в строгом соответствии с установленным оптимальным режимом, нельзя
допускать заметного обезуглероживания поверхностного слоя витков пружины.
Технические условия на качественную рессорную пружинную горячекатанную
сортовую сталь приведены в ГОСТ 2052-53.
Химический состав и механические свойства термически обработанных образ-
цов пружинных сталей по ГОСТ 2052-53 указаны в табл. 66 и 67.
В табл. 66 стали даны примерно в порядке их стоимости от более дешевых
и распространенных к более дорогим.
Содержание С, Мп, Si, Сг, Ni, V и W в количествах, предусмотренных
ГОСТ 2052-53,' определяет эффективность процессов термообработки и свя-
занное с этим повышение упругих свойств и прочности пружинной стали. Леги-
рующие присадки повышают Предел упругоёти пружинной стали, приближая
его к временному сопротивлению. Ванадий и вольфрам включаются в материал
для пружин особо ответственного назначения, а также для пружин, работающих
при повышенных температурах.
Выбор пружинной стали [14] следует вести с учетом условий эксплуатации
пружин, их назначения и ответственности. При этом необходимо принимать во
внимание интенсивность й продолжительность нагружения, способ приложения
нагрузки и ее цикличность во времени, состояние окружающей среды, темпера-
туру и пр.
Установив предполагаемые размеры и форму сечения заготовкой приступая
к выбору марки стали, следует учесть технологические свойства намечаемого
материала в отношении возможности изготовления пружины и ее термообработки
(закалки), которая должна оказывать влияние на материал по всей его толщине
(полноценная прокаливаемость) [14].
Соображения экономии и дефицитности легирующих присадок заставляют
обращаться к возможно более дешевым сортам стали.
Наиболее часто для самых разнообразных пружин применяются углеродистые
пружинные стали.
Марганцовистые стали дешевы и также широко используются для изготовле-
ния пружин. По окончании горячей механической обработки поверхность заго-
товки обладает большей чистотой. Эта сталь отличается хорошей прокаливае-
мостью и в малой степени подвержена поверхностному обезуглероживанию.
Недостатками ее являются повышенная чувствительность к перегревам и к обра-
зованию закалочных трещин, а также склонность к тепловой хрупкости.
Кремнистые стали — наименее дефицитные пружинные стали. В то же время
они хорошо поддаются термообработке и отличаются высокой степенью прока-
ливаемости.
Наилучшеё сочетание механических свойств имеет место для кремнистой и
вольфрамокремнистой стали при содержании углерода 0,55—0,60°/0 и кремния
около 2°/0.
Однако при горячей механической обработке такой стали могут получаться
дефекты поверхности.
Кремнистые стали имеют также склонность к повышенному обезуглероживанию
поверхности и к.графитизации. Введение в сталь Мп, Сг и W снижает опасность
выделения свободного углерода.
Химический состав качественной рессорно-пружинной горячекатанной стали (по ГОСТ 2052-53)
Таблица 66
Группа стали Марка стали Содержание элементов в °/0
С S1 Мп * ч Сг NI Прочие легирующие элементы s 1 р
не б олее
Углеродистая 65 0,60—0,70 0,17-0,37 0,50—0,80 -<одо - <0,30 _. 0,045 0,04
» 70 . 0,65—0,75 0,17—0,37 0,50-0,80 <0,30 < 0,30 — 0,045 0,04
» 75 0,72-0,80 0,17-0,37 0,50—0,80 <0,30 <0,30 — 0,045 0,04
» 85 0,82—0,90 0,17—0,37 0,50—0,80 < 0,30 - - <0,30 0,045 0,04
Марганцовистая 55ГС 0,52-0,60 0,50-0,80 0,60—0,90 <0,30 , <0,40 0,045 0,04
65Г 0,60-0,70 0,17-0,37 0,90-1,20 < 0,30 • <0,30 — 0,04 0,04
Кремнистая 50С2 0,47-0,55 1,50-2,00 0,60—0,90 . <0,30.. _ ... <040 — 0,04 0,04
55С2 0,52-0,60 1,50-2,00 0,60-0,90 <0,30 <0,40 — 0,04 0,04
* •••••••« 60С2 0,57-^0,65 1,50-2,00 0,60-0,90 <0,30- ' <0,40 — 0,04 0,04 .
60С2А 0,56-0,64 1,60-2,00 0,60-0,90 <0,30 <0,40 — 0,03 0,03
70ЙЗА 0,66-0,74 2,40—2,80 0,60—0,90 <0,30 <0,40 — 0,03 0,035
63С2А 0,60-0,65 1,80—2,20 0,60-0,90 <0,30 <0,40 — 0,03 0,03
Хромомарганцовистая . . . 50ХГ 0,46-0,54 0,17-0,37 0,70-1,00 0,90-1,20 < 0,40 — 0,04 0,04
» • < 50ХГА 0,46-0,54 0,17—0,37 0,80—1,00 0,95-1,20 < 0,40 — 0,03 0,03
Хромованадиевая 50ХФА 0,46-0,54 0,17-0,37 0,50-0,80 0,80-1,10 <0,40 V - 0,10-0,20 0,03 0,035
X ромома рганцевованадие- вая 50ХГФА 0,48-0,55 0,17-0,37 0,80-1,00 0,95-1,20 <0,40- V 0,15-0,25 0,03 0,03
Хромокремниеванадиевая 60С2ХФА 0,56-0,64 1,40—1,80 0.40—0,70 .А90-1,20 <0,40 V 0,10-0,20 0,03 0,035
Хромокремнистая 60С2ХА 0,56-0,64 1,40-1,80 0,40—0,70 0,70—1,00 <0,40 — 0,03 0,035
Вольфрамокремнистая . . 65С2ВА 0,61-0,69 1,50-2,00 0,70—1,00 <0,30 <0,40 W 0,80—1,20 0,03 0,035
Никелькремнистая .... 60С2Н2А 0,56-0,64 1,40—1,80 0,40-0.70 ' <0,30 1.40-1,70 — ’ 0,03 0,035
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
730
Расчет витых пружин
i Таблица 67
Механические свойства термически-обработанной качественной ;
рессорно-пружинной горячекатанной стали при испытаниях на растяжение
(по ГОСТ 2052-53)
Марка стали Режим термической обработки (рекомендуемый) Нормы механических свойств'
Темпера- тура закалки Закалочная среда Температура отпуска asz в кг!мм'' в кг/мм^ ^5 В °/0 в °ю
не менее •
65 840 Масло 480 80 100 9 i I 35
70 830 480 85 105 8 30
75 820 480 90 ПО 7- i 30
85 820 480 100 115 6 1 30
55ГС 820 480 80 100 8 । 30
65Г 830 480 80 100 8 30
50С2 870 Масло или 460 ПО 120 6 30
вода
55С2 870 То же 460 120 130 6 30
60С2 870 . Масло 460 120 130 5 25
60С2А 870 460 140 160 5 20
63С2А . 860 460 140 160 v 5 20
70СЗА г ’ 860 460 160 180 5 25
50ХГ 840 490 ПО 130 5 35
50ХГА 840 490 120 130 6 35
50ХГФА 850 520 120 130 6 35
50ХФА 850 520 110 130 10 45
60С2ХА 870 420 160 180 5 20
60С2ХФА 850 410 170 190 5 20
65С2ВА 850 420 170 190 5 20
60С2Н2А 850 » 420 160 175 5 20
Чем выше содержание в стали углерода и кремния, тем в большей степени
происходит обезуглероживание поверхностного слоя.
Применение несколько более дорогих хромомарганцовистых пружинных ста-
лей позволяет увеличивать толщину заготовок до предельных для витых пружин
размеров (25—30 мм и более). Эти стали обладают глубокой прокаливаемостью
и высокими характеристиками прочности. Недостатком их является склонность
к отпускной хрупкости.
Хромованадиевая пружинная сталь отличается высокими механическими свой-
ствами вообще и высоким пределом выносливости в особенности. Она обладает
пониженной склонностью к поверхностному обезуглероживанию и отличается
устойчивостью по отношению к температурам до 300°. Эта сталь по своим ка-
чествам занимает среди других пружинных материалов одно из первых мест
(клапанные пружины двигателей), однако высокая стоимость ограничивает ее
применение (холоднокатанная проволока из хромованадиевой стали может изго-
товляться диаметром до 10 мм).
Исследования пружинных сталей в отношении их способности воспринимать
различные виды нагрузок показывают, что с увеличением содержания кремния
в стали (Si > 2°/0) повышается ее сопротивление многоповторным ударам. Хо-
рошо противостоят ударным нагрузкам кремневольфрамовая и хромованадиевая
стали; марганцовистые и хромомарганцовистые стали имеют в этом отношении
наименее благоприятные характеристики.
_ Усталостная прочность пружинной стали в большей степени зависит от со-
стояния ее поверхности, чем от химического состава. Однако, вообще говоря,
более высокий предел выносливости имеют углеродистые и особенно хромова-
надиевые стали.
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
731
Таблица 68
Проволока стальная углеродистая пружинная по ГОСТ 5047-49*
Диаметр проволоки . d в мм Проволока нормальной прочности (Н) Проволока повышенной прочности (П) Проволока высокой прочности (В)
Временное сопротивление при растяже- нии аьг в к г 1мм* в кг Временное сопротивление при растяже- нии в кг(мм* 8 кг Временное сопротивление при растяже- нии аьг в KZiMM2 d*°bz в кг
0,2 170 6,8 220 8,8 265 10,6
0,22 170 8,2 220 10,6 265 12,8
0,25 170 10,6 220 13,8 265 16,6
0,28 170 13,3 220 17,2 265 20,8
0,3 . 170 15,3 220 19,8 265 23,8
0,35 170 20,5 220 27,0 265 32,5
0,4 170 27,2 220 35,2 265 42,4
0,45 170 34,4 220 44,6 265 53,7
0,5 170 42,5 220 55,0 265 66,2
0,55 170 51,4 220 66,6 265 80,2
0,6 170 61,2 210 75,6 265 95,4
0,7 160 78,4 210 103 260 127
0,8 160 102 200 128 260 166
0,9 155 126 200 162 255 206
1 155 155 195 195 250 250
1,1 150 182 195 236 240 290
1,2 150 216 190 274 240 346
1,3 150 254 190 321 230 389
1,4 * 145 284 190 372 230 451
1,5 : 140 315 190 428 220 495
1,6 . 140 358 185 474 220 563
1,8 140 454 180 583 210 680
2 130 520 175 700 200 800
2,2 130 629 170 823 190 920
2,5 130 812 165 1031 180 1125
•2,8 120 941 160 1254 175 1372
3 120 1080 155 1395 170 1530
3,5 120 1470 150 1838 165 2021
4 НО 1760 145 2320 160 2560
4,5 . 110 2228 140 2835 150 3038
5 100 2500 130 3250 150 3750
5,5 100 3025 125 3781 140 4235
6 100 3600 120 4320 140 .5040
7 95 4655 120 5880 —
8 95 6080 120 7680 — —
* Значения для d2abz, нужные для расчета пружин на прочность, внесены в таблицу дополнительно и ГОСТ не предусмотрены.
Для изготовления пружин, работающих в условиях переменной влажности,
соприкасающихся с водой, паром или кислотами, и при наличии других усло-
вий, способствующих коррозии, применяются сплавы цветных металлов, а именно:
кремнемарганцовистые бронзы марки Бр. КМц 3-1 по ГОСТ 493-54, оловянно-
цинковые бронзы марки Бр. ОЦ 4-3 по ГОСТ 5017-49, бериллиевые бронзы
марок Бр. Б2 и Бр. Б 2,5 (см. ГОСТ 1789-50) и др.
Полуфабрикатами для, изготовления витых пружин служат полосовая сталь
и проволока.
Для холодновитых пружин с последующей термообработкой (закалка—отпуск)
применяется мягкий, хорошо отожженный материал (Нв =• 15 -4-20), легко под-
732
Расчет витых пружин
дающийся свиванию. Для пружин горячей навивки предварительная Термическая
обработка заготовок практического значения не имеет. После навивки такие
пружины подвергаются тщательной термообработке [14|.
Для пружин холодной навивки, изготовляемых из предварительно подгото-
вленного материала и подвергающихся после навивки только отпуску, обычно
используется углеродистая проволока по ГОСТ 5047-49 „Проволока стальная
углеродистая пружинная*. По этому стандарту проволока диаметром от 0,2 до
8 мм изготовляется трех классов: нормальной прочности (Н)> повышенной
прочности (П) и высокой прочности (В).
Механические свойства этой проволоки приведены в табл. 68.
Необходимо отметить, что с уменьшением диаметра проволоки ее временное
сопротивление сильно возрастает. Одновременно число перекручиваний и пере-
гибов, которое выдерживает проволока до излома, сокращается.
Для пружин ответственного назначения используется углеродистая проволока
по ГОСТ 1071-41.
Для клапанных пружин ответственного назначения — проволока по ГОСТ
1070*40. ;
В табл. 69 приведены показатели механических и пластических свойств про-
волоки из цветных сплавов.
j Таблица 69
Механические свойства проволоки из сплавов цветных металлов
Проволока мз оловянистонинко- вой бррнзы Бр. ОЦ 4-3 по ГОСТ |>221-50 для пружин Проволока из кремнемарганцо- вистрй бронзы Бр. КМи 3-1 по ГОСТ 5222-50 для пружин { Проволока из бериллиевой бронзы Бр. Б2 по станд - НКОП ст-1542-к 1939, г
Диаметр в мм °bz в к г)мм* б на 100 .о В ’/о Диаметр в мм °bZ в кг)мм* 8 на 100 мм в % Диаметр в' JMJM °bz в кг1мм* 6 на 100 мм в %
0,1—2,5 2,8—4,0 4,5—8,0 8,5-12 Пр ветстве! под пер 90 85 83 78 и м е ч а н 1ных случ; еменными 0,5 1,0 1,0 2,0 и е. Пру}1 аях для р; нагрузка! 0,1—2,6 2»8-4,2 4,5—8: 8,5—10 кины из С аботы в к ли. 90 85 83 78 >ериллиев< оррозионя 0,5 1,0 1,5 2,0 эй бронзы юй среде 0,1-1,0 Г-10 применя! ПрИ ВЫСО1 100. 80. с ОТСЯ В ОС( кой темпе 0,5 1,0 )бо от- фатуре

Режимы отпуска, рекомендуемые нормалью Министерства судостроительной
промышленности С1-332-52» для пружин, навитых холодным способом из про-
волоки некоторых распространенных марок, приведены в табл. 70.
Таблица 70
Режим отпуска для сйятия напряжений у пружин, навитых холодным способом,
по нормали Министерства судостроительной промышленности С1 -332-52
Марка металла или класс проволоки Температура нагрева °C Выдержка при заданной температуре в час. Охлаждение
п в Бр. ОЦ 4*3 Бр. КМц 3*1 Примечание от диаметра провол | 200—300 | 100-150 е. Температура и вре ОКИ. 1—2 1—2 !мя выдержки выбира! На воздухе V » отся в зависимости
Как уже отмечалось, рациональный выбор материала для пружин, с учетом
различных условий их работы, представляет достаточно сложную задачу.
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
733
Таблица 71
Назначение марок материала и классов проволоки для изготовления
витых пружин по нормали С1-332-52 Министерства судостроительной
промышленности
Марка материала или класс проволоки Пределы температур, при которых могут работать пружины Примеры применения
П От —40 до 4-120° Защелки, запорные клапаны, амортизаторы, бу- феры, масленки, двери, матрацы и т. п-
В От —40 до 4-120- Предохранительные клапаны, автоматы, при- боры и т. п. с тарированием или регулиро- ванием нагрузки
60С2 От —40 до 4-250° Маневровые, предохранительные и редукцион- ные клапаны, регуляторы скорости, перепуск- ные и быстрозапорные клапаны, тяжелые крышки с пружинами сечением d < 20 мм
60С2Н2А От —40 до 4-250° Применение то же, что и для марки 60С2, а также тяжелые крышки р пружинами сечением rf>20 мм
50ХФА От —40 до 4-400° Применяется для пружин, работающих ври ви- брационных нагрузках и высоких температу- рах, например, маневровые и предохранитель- ные клапаны паровых машин, всасывающие и выхлопные клапаны дизелей и т. п.
4X13 От —40 до 4-400° Быстрозапорные клапаны, регуляторы и т. п. Пружины могут работать без покрытий: во влажной атмосфере, в пресной воде, в паре, а также под действием слабых растворов кислот, солей, щелочей и т. п.
Бр. КМц 3-1 От —40 до 4-200° ’Запорные и нагнетательные клапаны, уравнове- шивающие механизмы крышек люков в спе- циальных помещениях, приборы, работающие в магнитном поле, и т. п. Пружины могут ра- ботать без покрытий во влажной атмосфере, в пресной воде и в паре
Бр. ОЦ 4-3 От -40 до 4-200° Применение то же, что и для марки Бр. КМц 3-1. Пружины могут работать без покрытий во влажной атмосфере, в пресной и морской воде и в паре
Приме а также из в атмосфере 1 * чание. Пружины, изготовленные из проволоки классов П и В, стали марок 60С2, 60С2Н2А и 50ХФА, могут работать без покрытий с нормальной влажностью.
734
Расчет витых пружин
Для облегчения ее решения приведем таблицу (табл. 71), иллюстрирующую
назначение некоторых наиболее распространенных марок пружинных сталей и
классов проволоки для витых пружин.
Б. Основные соображения о выборе допускаемых напряжений
Одновременно с выбором материала приходится решать вопрос о допускаемых
напряжениях, что является одним из ответственнейших моментов расчета пружин.
При выборе допускаемого напряжения необходимо учитывать: ‘
а) качество материала и вид термообработки (состояние поверхности витков,
обезуглероживание поверхностного слоя и т. д.);
б) характер нагружения пружин (статический, динамический);
в) условия работы пружины (характер окружающей среды, ее коррозионную
активность и температуру, истирание и повреждение' поверхности витков в про-
цессе работы и т. д.);
г) степень ответственности пружины (последствия от ее поломки, возмож-
ность быстрой замены поврежденной пружины и т. д.)>
Пружины как упругие элементы конструкций могут быть разбиты на сле-
дующие группы:
1. Пружины статического действия (пружины предохранительных
устройств). В этом случае расчет ведут по максимальной нагрузке, восприни-
маемой пружиной, исходя из установленных опытом допускаемых напряжений
в зависимости от механических характеристик (а5, т5) материала пружины и
других отмеченных выше обстоятельств.
2. Пружины ограниченно кратного динамического дей-
ствия (пружины оружия, операционные пружины в машинах-орудиях и т. п.):
а) при переменной плавно прилагаемой или импульсивной нагрузке с крат-
ностью 50 000— 100 С00 циклов (и менее) и
6) при резко выраженных ударных нагрузках.
В первом случае расчет обычно ведут по статическим формулам, исходя из
наибольшего усилия или деформации пружины с несколько пониженным допу-
скаемым напряжением, в зависимости от степени динамичности приложения на-
грузки, ее пульсации, желаемой долговечности пружины и т. д.
Во втором случае основное внимание должно быть обращено на выбор мате-
риала,. лучше всего выдерживающего ударную нагрузку (кремнистая сталь).
Расчет ведут исходя из энергии, которая должна быть накоплена пружиной
при деформации ударом (см. т. III). Коэффициент запаса выбирают в соответ-
ствии с условиями удара и желаемой, долговечностью пружины.
Долговечность пружин устанавливается опытом в условиях, близких к реаль-
ным условиям работы пружины.
Во многих случаях пружины статического и ограниченно кратного динамиче-
ского действия целесообразно „заневоливать* (см. т. II).
Заневоливанием пружины называется предельное ее нагружение на длитель-
ное время (12—48 час.), при непременном условии, что в результате этой заклю-
чительной технологической операции пружина получает заметные пластические
деформации.
В результате пластического заневоливания в пружине возникают остаточные
напряжения.
Остаточные напряжения в опасных зонах сечения противоположны рабочим
напряжениям и снижают последние. Это повышает несущую способность пружин
в пределах упругости и позволяет проектировать их более компактными и
легкими.
Степень развития пластических деформаций и продолжительность заневоли-
вания должны быть определены заранее на основе действительных механических
свойств материала и требований, предъявляемых к пружийе. Эффективность
выбранного режима заневоливания следует по возможности проверить опытным
путем непосредственно в условиях нормальной работы пружины.
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин 735
Пружины, предназначенные для работы под нагрузкой в течение длительного
времени и пластически сильно деформируемые в процессе заневоливания, должны
во избежание релаксации находиться „в неволе" значительное время (36—
48 час.).
Под релаксацией здесь понимается снижение несущей способности пружин,
что иногда наблюдается у упругих элементов, длительное время находящихся
в деформированном состоянии.
Остаточные деформации и искажения характеристик пружин в условиях
длительного нагружения делают их со временем не пригодными к действию и
приводят к нарушению нормальной работы тех механизмов, которые пружины
призваны обслуживать. Особенно значительная релаксация наблюдается у пружин,
находящихся по условиям эксплуатации длительное, время в деформированном
состоянии, будучи сильно нагретыми (150—450° С).
В последнем случае вместо пластического заневоливания следует применять
термо-механическую обработку, т. е. подвергать пружины-заготовки, нагретые
до температуры предполагаемого рабочего режима, длительному деформирова-
нию при напряжениях, не превышающих номинального предела упругости. Это
позволяет предварительно выбрать возможные остаточные деформации в связи
с релаксацией и снизить тем самым интенсивность дальнейшего снижения несу-
щей способности пружины в эксплуатационных условиях.
При установлении необходимой длины пружин-заготовок, подвергающихся
заневоливанию или термо-механической обработке, следует учитывать величину
пластических деформаций, которые получают эти заготовки, при указанных
технологических операциях.
Пружины, предназначенные для работы в коррозионной среде, не следует
заневоливать, ^поскольку в этом случае поле остаточных напряжений нельзя
считать устойчивым и заневоливание как операция упрочнения перестает быть
эффективной.
3. Пружины многократного, и неограниченно кратйого
действия (клапанные пружины и т. п.) должны рассчитываться на выносли-
вость (см. т. III) <
Выбор материала для таких пружин должен производиться с учетом его
усталостной прочности в тех условиях (температурных, коррозионных и др.),
в которых предстоит работать пружине.
Пружины, работающие при напряжениях, циклически изменяющихся во вре-
мени, целесообразно подвергать дробеструйной обработке, с помощью которой
упрочняется материал поверхностных слоев витков, что резко повышает вынос-
ливость пружин (см. т. III).
В табл. 72 приведены допускаемые касательные напряжения [т] для пружин
растяжения — сжатия, рекомендуемые нормалью Министерства судостроительной
промышленности С1 -332-52.
Как уже указывалось (см. раздел Д § 2), расчет пружин растяжения — сжа-
тия практически ведется по наибольшим касательным напряжениям, так чтобы
Snax 1^1 *
Согласно этой нормали при расчете на прочность пружины разбиваются на
четыре группы. ,
К первой группе относятся пружины, подвергакйциеся динамическим
нагрузкам; при работе этих пружин следует учитывать возможность разрушения
от усталостной трещины, ’причем замена пружины затруднена, а ее поломка
может вызвать аварию механизма в целом.
Ко второй группе относятся пружины, несущая способность которых
в пределах упругости по конструктивным соображениям (ограниченность габа-
рита, необходимость уменьшения веса) должна быть повышена заневоливанием.
[Их расчет см. т. II. Нормаль предлагает их рассчитывать по условным (завы-
шенным) напряжениям.]
К этой группе могут быть отнесены главным образом пружины со статиче-
ской характеристикой нагрузки, замена которых легко осуществима.
736
Расчет витых пружин
1‘
Таблица 72
Допускаемые напряжения при кручении для цилиндрических винтовых пружин
растяжения — сжатия из стали круглого сечения (рекомендуемые нормалью
Министерства судостроительной промышленности С1-332-52)
Марка материала или класс проволоки Диаметр проволоки или проката в мм Наибольшее допускаемое напряжение при кручении [т] в кг)см*
1 группа П группа III группа IV группа
П В 60С2 60С2Н2А 50ХФА 4X13 Бр. КМц 3-1 Бр. ОЦ 4-3 . 0,3-8 0,3—8 5-42 8-42 5—42 1—42 0,3-10 0,3-10 0,3g$z 0,3о^г 40 40 40 30 0,За^ 0,2а&г ©©2л© 8©©© Си© ©*© Q Q Q Q 0,5аЬ2 0,5’бг 75 75 75 45 0и5ойг 0.4а6г 0,6aw 75
Примечания: 1. Указанные наибольшие допускаемые напряжения для второй группы пружин условны, поскольку пружины этой группы подвергаются заневоливанию (расчет таких пружин приведен в т. II книги). 2. Значения abg см. табл. 68 и 69. 3. Для марок сталей 60С2, 60С2Н2А, 50ХФА и 4X13 значение [х] выбирается независимо от диаметра прутка. 4. Для пружин растяжения с прицепами в виде отогнутых витков табличные значения [т] снижаются на 25е/0.
К третьей
группе относятся
пружины, работающие при статической
или плавно прилагаемой, переменной
О 5 Ю 15 20 25 30 d мм
Фиг. 648. Графики допускаемых напряже-
ний при кручении [т] для проволоки и прут-
ков в зависимости от их диаметра.
по величине нагрузке.
К четвертой группе относятся
все пружины неответственного назначе-
ния (дверные, мебельные)*
Поскольку механические характери-
стики проволоки (временное сопроти-
вление, предел текучести) сильно за-
висят от ее диаметра, постольку при
выборе допускаемых напряжений сле-
дует учитывать размеры сечений, ко-
торые можно получить в результате
расчета.
На фиг. 648 представлены графики
допускаемых напряжений [т] для про-
волоки и прутков из различных мате-
риалов, в зависимости от диаметра за-
готовок.
Графики на фиг. 649 показывают
значения [т] при высоких температу-
рах для проволоки диаметром 2,5 мм из различных материалов.
Приведенные на фиг. 648 и 649 допускаемые напряжения могут быть исполь-
зованы при расчете пружин статического действия.
При наличии некоторой динамичности в приложении нагрузки допускаемые
напряжения должны быть снижены в 1,25—1,5 раза.
Как уже отмечалось (см. раздел Д § 2), пружины кручения рассчитываются
по наибольшим нормальным напряжениям атах в поперечном сечении их витков.
В этом случае необходимо, чтобы ашах < [а]. х
Допускаемые напряжения [а] выбираются по следующей примерной зависи-
мости:
[а] ж 1,25 [т],
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
737
где [т] — допускаемое напряжение для пружин растяжения — сжатия, выполнен-
ных из того же материала и работающих в аналогичных условиях.
Если пружина в соответствии с назначением и сроком службы механизма,
частью которого она является, подвергается определенному ограниченному числу
нагружений, то расчет пружины на прочность должен быть проведен по допу-
скаемым напряжениям, пониженным с учетом асимметрии рабочего цикла пру-
жины, желаемой ее долговечности и пр.
20
Вольфрамовая^ромобанадиебая термообра-
60
U0
[rb
пг/мм2
во
Нержавеющая
олоднотя-
запаленная 0 nache
Углеродистая
100
~Из бронзы
Фосфористой
О 100 200 300 600 °C
Фиг. 649. Графики допускаемых напряжений при
кручении [т] для проволоки диаметром 2,5 мм
в зависимости от температуры. ‘
Измонель-
метаяпа^
Фиг. 650. Графики значений коэффи-
циентов снижения допускаемого на-
пряжения [т] в зависимости от коэф-
фициента асимметрии цикла
г « —и числа циклов
тшах
На фиг. 650 приведены, в зависимости от коэффициента асимметрии цикла
г = -Ttn1" и заданного числа рабочих циклов перемен напряжений у пружины
ттах
(ттт ттах), ориентировочные значения коэффициента ср снижения допускаемого
напряжения [т], избираемого для таких же пружин при статическом их нагру-
жении.
Дополнительные сведения по выбору допускаемых напряжений см. (9].
В. Расчет и конструирование цилиндрических винтовых пружин
растяжения — сжатия
Общие соображения
Винтовые цилиндрические пружины растяжения — сжатия имеют в технике
наибольшее применение и используются для самых разнообразных целей как
пружины упорные, оттяжные, ‘ регуляторные, буферные, рессорные, клапан-
ные и *Т. д.
При нагружении цилиндрических пружин осевой силой Р в любом из попе-
речных сечений витков внутренние силы в соответствии с формулами (13), (14),
(12) и (11) приводятся: . .. . PD 1 Мкр 1 == cos а; (13a)
к крутящему моменту
к изгибающему моменту I4J = ~ sin а; (14a)
к поперечной силе | Q| = Pcosa; (12a)
к нормальной силе 1 |A/| = Psma. (Ha>
47 Пономарев и др, 407
738
Расчет витых пружин
У практически встречающихся пружин с малым углом подъёма витков
(а <8 -ь 10°) изгибающий момент и нормальная сила по величине несущественны,
и решающим внутренним силовым фактором является крутящий момент
ал PD .
^кр ~ 2 ’
Заметим также, что возникающими в опорах моментами, препятствующими
повороту торцов, и дополнительным изгибом пружины, вследствие практически
несколько эксцентричного приложения силы Р и несоосности витков, в типовых
расчетах пренебрегают как малыми и не поддающимися точному учету факторами.
Как уже отмечалось выше (см. разд. Д § 2), распределение касательных
напряжений в поперечном сечении витка малого угла подъёма тем сильнее отли-
чается от распределения напряжений в поперечном сечении прямого бруса, чем
больше кривизна витка, причем внутреннее волокно последнего сильно пере-
гружается.
Р1ндекс пружины должен быть не менее 4. Обычно индекс с находится
в пределах 12 и лишь в редких случаях достигает 20.
В опасной точке сечения
Ттах = ЙТ0. (54)
где
____Мкр
т°— ~w7
(54а)
наибольшее касательное напряжение прямого бруса с таким же поперечным
• р&
сечением, что и у витка при закручивании его парой Мкр = ;
Wt см3 — геометрический фактор, определяемый размерами и видом сечения
(см. табл. 59).
Как уже указывалось (см. разд. Д § 2), коэффициент k больше единицы и
зависит от формы сечения, кривизны витка, а также его угла подъема а.
Принимаемые в практических расчетах значения коэффициента k уточнены
ниже раздельно для круглого, квадратного и прямоугольного сечения.
В первом приближении можно принимать <
1,2 ч-1,4.
Осевое перемещение торцов пружин при а < 8 ч- 106 практически с доста-
точной степенью точности можно вычислить по формуле
^=4’ (55>
где Z — жесткость пружины [см формулу (28, в)]; <
/ — число рабочих витков.
Значения жесткости Z пружин растяжения — сжатия с витками различного
профиля приведены в табл. 73.
Вспомогательные коэффициенты, необходимые для вычисления жесткости
пружин с витками прямоугольного поперечного сечения, см. в табл. 74.
Уточнение формулы (56) в связи с кривизной витков, их изгибом и влиянием
поперечной и нормальной сил, при малых углах подъема, практически нецеле-
сообразно, так как принятые допуски на размеры пружин, на число витков,
а также неточное знание величины модуля сдвига G все равно могут привести
к значительному отклонению (достигающему ±10°/^) действительного осевого
перемещения от расчетного.
Для того чтобы сила упругости пружины при заданной осадке достигала
в пределах допусков нужной величины, необходимо установить жесткую систему
допусков на все размеры пружины и при навивке стремиться нейтрализовать
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
739
Таблица 73
Формулы для расчета винтовых цилиндрических пружин
растяжения — сжатия
Форма поперечного сечения витка То в к г 1см1 в кг max X в см Z 1£_ кт в кг/см ^=4 в кгсм
9PD Х°— x<Zs t0-2,55^ 8D 1 J Ртах ” - 0,392 £ [г] 1 а к /к 4s- 8 2 " " Х 8D3/ 0,25x2 V <Г v
— л —d 1 • 5» — PD Т° 0,4160s Ч « 2.4-^ р = 'max = 0,41б£ [г] 1-5,567^= “2,32^-" 7 Z ~ 5.567D8/ 0 = =0,154-^ V
а - или b>a =s Приме1 1. У-ое 2.,т0 — на в связи с их 3. s — дл] 4. Значен » чани >ъем, иболь закру ина н< ия ко я: занимаемый шее касател! чиванием, бе шменьшей ci эффициентов Ртах = = Л м е d 1 J рабочими ви1 >ное напряж з учета крив ’ОрОНЫ прямс Мм npi 4 ОТтр ” Е Os гками пружины ение в попере изны витков, ^угольника. введены в табл. 7__ Gs< ~~ LD4 чных сечение 74. V ЙХ витков
влияние на жесткость пружины отклонений одних размеров соответствующими
допускаемыми отклонениями других размеров (например, при допускаемом откло-
нении размеров проволоки в плюс надо стремиться навить пружины с диаметром, отклоняющимся от номинала в пределах допусков, тоже в плюс). Полная потенциальная энергия, нако- пляемая пружиной, 17 = -^. (57) Таблица 74 Вспомогательные коэффициенты к формулам для расчета пружин растяжения — сжатия с витками прямоугольного сечения
а b — или b а & д <р
Расчетные формулы для т0, к и U приведены в табл. 73. Пружины, предназначенные для акку- мулирования некоторой заданной энер- гии UQ> целесообразно монтировать, со- здавая предварительное нагружение Рш1п. Тогда £70 = ^max+_£mln х (58) 1,0 1,5 1,75 2,0 2,5 3,0 4,0 6,0 10,0 2,404 1,442 1,195 1,016 0,775 0,625 0,442 0,278 0,160 5,567 2,670 2,086 1,713 1,256 0,995 0,698 0,439 0,252 0,154 0,136 0,132 0,131 0,133 0,135 0,142 0,151 0,157
где рабочий ход г ^max Pi х Z Bln V (58а>
а Ртах — наибольшая нагрузка, воспринимаемая пружиной.
47*
740.
Расчет витых пружин
Расчет цилиндрических винтовых пружин
растяжения — сж.атия с витками круглого сечения
Результаты теоретических исследований напряженного состояния витков
круглого поперечного сечения приведены в § 2. Однако, как уже указывалось,
при обычно имеющих место малых углах подъема витков расчет на прочность
можно проводить по формуле (54). В этом случае можно пользоваться значе-
ниями коэффициента k, представленными графиком на фиг. 651 в зависимости
О
от индекса пружины с = — :
при с = 4 5 6 8 10 12
k= 1,37 1,29 1,24 1J7 1,14 1,11
Приближенно
/г==1£-±_|. (59)
4с — 3 v '
При расчете пружин на прочность следует руководствоваться формулами
Фиг. 651. График значений коэффициента &
в зависимости от индекса с пружины.
, pmaxD 8kPmaxD
— Ь - - Шал
max — к 21Г/ Я4Р
= (60)
где [т] — допускаемое напряжение. По-
следнее следует выбирать, руковод-
ствуясь указанными выше соображе-
ниями (см. разд. Б § 3).,
Допускаемая нагрузка
Лпах— ' (61)
Осевое
(55)]
перемещение ^см. формулу
max Qrfi
(62)
ч Осевое перемещение, приходящееся на один рабочий виток пружины, при
нагрузке в 1 кг
X1==g. (62а)
Диаметр проволоки |см. формулу (60)]
'................... d =1,0 ~ "• (63)
Средний диаметр пружины ,
D = cd. (64)
Длина рабочей части пружины,когда витки соприкасаются,
‘ ' ' ' = J <65)
Используя формулы (60) — (65), расчет удобно вести, задаваясь допускаемым
. , D
напряжением [т] и индексом пружины с =
Обычно допускаемое напряжение ]т] для пружин, свитых из проволоки, за-
дается в зависимости от ее временного сопротивления abz (см. табл. 72), т. е.
принимается, что
(66)
М =
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин 741
В этом случае
соотношением [см.
при расчете вместо формулы (63) следует воспользоваться
формулу (60)’]
= - (67)
Тогда диаметр проволоки d можно определить, например,.. по табл. 68,
в которой приведены значения произведений d2zbz в зависимости от диаметра
для проволоки по ГОСТ 5047-49 (см. ниже пример расчета пружины).
Конструкция пружин растяжения с витками круглого сечения
Пружины растяжения обычно навиваются закрытой навивкой, т. е. витки
укладываются впритык друг к другу; при этом навиваемая проволока предва-
рительно закручивается или отгибается, в результате чего создается межвитковое
давление.
При таком способе навивки
пружина оказывается предвари-
тельно растянутой некоторой си-
лой Ро [2].
Связь между нагрузкой и осевым
перемещением, т. е. характеристика
пружины, навитой с постоянным по
длине межвитковым давлением, пред-
ставлена на фиг. 652.
Вначале при приложении растя-
гивающей силы длина пружины не
изменяется, Уменьшается лишь меж-
витковое давление.
Прй достижении растягивающей
силой величины Р = PQ межвитко-
вое давление исчезает. При дальней-
шем увеличении нагрузки пружина
начинает деформироваться, причем
Фиг. 652. Характеристика пружины
растяжения.
такой же пружины, навитой без межвиткового давления.
ее жесткость совпадает с жесткостью
Пружины с межвитковым давлением находят широкое применение в тех слу-
чаях, когда в пределах рабочего хода тяговая сила пружины не должна значи-
тельно изменяться. При этом пружина, навитая с межвитковым давлением, будет
иметь в нагруженном состоянии меньшую длину, чем обычная пружина. Это
может благоприятно отразиться на габарите конструкции в целом.
Заметим, что вследствие невозможности технологически обеспечить идеально
точное постоянство межвиткового давления по длине пружины, начальный уча-
сток ее характеристики при нагрузках, близких к может оказаться нелиней-
ным (см. пунктир на фиг. 652).
В случае необходимости, при навивке пружины можно получить такой закон
распределения межвиткового давления по длине пружины, при котором послед-
няя будет иметь нелинейную характеристику нужного вида при условии моно-
тонно уменьшающейся жесткости пружины при ее растяжении.
Такие пружины растяжения находят применение в прйборах с целью испра-
вления нелинейности шкал и пр.
На фиг. 652 Ртах является наибольшей рабочей нагрузкой, пр которой про-
водится расчет пружины на прочность;
Нкон — Длина пружины при нагрузке Ртах;
Pfflin — наименьшая нагрузка (установочная — выбирается в зависимости от
назначения пружины);
— длина пружины при нагрузке ;
Рпред — предельная нагрузка [Рлр^~(1,05-н 1,2)Ртах], при которой напря-
жения почти достигают предела упругости: дальнейшему растяжению
, > пружины должны препятствовать Специальные упоры;
742
Расчет витых пружин
i
finped — предельная длина пружины, допускаемая при ее регулировании и
установке;
х — рабочий ход;
s— регулировочный ход;
PQ — сила предварительного натяжения.
Практически при навивке можно рассчитывать получить максимально:
HQ —длина разгруженной пру-
жины (Но = id Ч- z, где
z — длина прицепов по оси
пружины);
Hd — длина, занятая витками
(Hd = id\
Длина проволоки, идущей на
изготовление пружины,
Фиг. 653. Разновидности прицепов у пружин рас-
тяжения, полученных посредством отгиба край-
них витков пружины.
где /3 — длина заготовки для при-
цепов.
Необходимое число рабочих
витков
<68)
где X, — осевое перемещение, создаваемое
определяется по формуле (62а).
Число витков, полученных расчетом,
/>20, или до полувитка, если i < 20.
Способы крепления пружин растяжения
одним витком, при нагрузке в 1 кг,
округляют до целого числа, если
весьма разнообразны.
Фиг. 654. Прицеп с коническим
переходом
На фиг. 653 показаны наиболее распро-
страненные типы прицепов с отогнутыми
крайними витками. По фиг. 653, а прицеп
выполнен в виде полукольца, образованного
из полувитка, отогнутого на 90° в пло-
скость, проходящую через ось пружины.
Фиг. 655. Крепление пружин растяже-
ния при помощи закладных прицепов
с конической заделкой.
На фиг. 653, б прицеп имеет вид почти полного кольца, образованного от-
гибом крайнего витка на 60° так. что точка приложения силы располагается на
оси пружины.
Прицеп по фиг. 653, в имеет вид полного кольца, образованного целым вит-
ком, заведенным в центр пружины.
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
743
Лучшим является вариант, приведенный на фиг. 653, а, наиболее простым
в изготовлении — вариант на фиг. 653, 6.
Все прицепы, полученные отгибом крайних витков, при нагружении пружины
сильно деформируются, а в их опасных сечениях развиваются значительные
напряжения изгиба, что является слабым местом этих конструкций.
С этой точки зрения более совершенным является прицеп с коническим пере-
ходом (фиг. 654).
Прицепы, выполненные в виде отогнутых витков, рекомендуются Для прово-
локи диаметром до 3 мм.
На фиг. 655 показаны закладные прицепы с конической .заделкой.
Фиг. 656. Крепление пружин рас-
тяжения при помощи металличе-
ских пластин.
Фиг. 657. Крепление пружин рас-
тяжения при помощи ввертных
пробок.
Крепления с помощью металлических пластинок (фиг. 656) применяются для
пружин из проволоки диаметром до 4,0 мм.
Крепление на винтовых (ввертных) пробках с крючками показано на фиг. 657.
Эта конструкция наиболее надежна и должна применяться при диаметре прово-
локи более 4—5 мм (винтовая пробка захватывает 1,5—
2,5 витка).
Иногда взамен пружин растяжения используются пружины
сжатия, снабженные специальными реверсами (фиг. 658).
Рабочие чертежи пружин растяжения составляются по
ГОСТ'4444-48 „Чертежи в машиностроении*.
Рассмотрим пример расчета пружины растяжения.
Пример. Рассчитать оттяжную цилиндрическую пружину растя-
жения по рабочей характеристике, заданной наибольшей рабочей на-
грузкой Ртах = 50 кг, начальной (установочной) нагрузкой PmllI =20 кг
и рабочим ходом х = 40 мм.
Примечание. Пружина работает в нормальных усло-
виях, при статической нагрузке. Смена пружины в случае по-
ломки затруднена.
1. Выбираем в качестве материала для пружины проволоку мар-
ки (П) (повышенной крепости) по ГОСТ 5047-49.
2. По табл. 72 для указанной проволоки и пружины III гр.
предельно большое допускаемое напряжение [т]л-ед 0,5ой2 (т. е.
Xя 0,5).
3. Задаемся индексом пружины с = 6, тогда коэффициент, учиты-
вающий кривизну витков, k = 1,24 (см. фиг. 651).
Руководствуясь формулой (67), имеем
Фиг. 658. Пру-
жины сжатия,
снабженные
специальными
реверсами.
8’1,24*50«6 iqaa
-----— - 3|14.-о;5--------1900 кг.
Подбираем диаметр проволоки по ГОСТ 5047-49. Для этого воспользуемся табл. 68.
При d = 3,5 мм abz = 150 кг/мм2*, d2abz = 1838 кг.
При d = 4,0 мм <sbz = 145 кг/мм2', cP^bz = 2320 кг
Избираем d = 4,0 мм (abz = 145 кг/мм2).
Тогда D = cd 6*4 = 24 мм.
4. Проведем поверочный расчет пружины на прочность.
Наибольшее напряжение в сечении витков при Ртах = 50 кг по формуле (60)
84,24.50.2,4
‘tmax= — 344.0,43
5925 кг!см2.
5. Устанавливаем по формулам (68) и (62а) необходимее число рабочих витков
пружины, принимая модуль упругости G = 8-105 кг/см2*.
xGd 4.8-106’0,4
8с3 (Ртах ~ Pmin) “ 8-63 (50-20) “ 25 ВИТК°В.
744
Расчет витых пружин
6. Длина, занятая витками,
Hd id = 25-4 - 100 мм.
Наружный диаметр пружины Dm — D -f- d = 24 -h 4 ==28 мм.
Внутренний диаметр пружины Ьв = D — d = 24—4 = 20 мм. .
Конструкция пружины в целом определяется видом ее крепления.
В рассматриваемом случае, учитывая принятые высокие допускаемые напряжения,
крепление пружины целесообразно осуществить при помощи металлических пластинок
или винтовых пробок, в крайнем случае можно осуществить прицеп с коническим пере-
ходом (см. фиг. 654).
Пружина должна быть свита холодным способом с предварительным натягом.
Если конструкция рассчитанной пружины окажется по каким-либо соображениям
не совсем удачной, расчет следует повторить, исходя из другого индекса с.
7. Полная характеристика рассчитанной пружины представлена на фиг. 659.
Предварительный натяг Ро, достигаемый путем закрытой навивки, целесообразно
сделать несколько меньшим, чем ~
гмыи путем закрытой навивки, целесообразно
Pfflin "• 20 кг (например, принять PQ = 15 кг), так как
начальный участок характеристики может ока-
заться нелинейным; необходимо также сохранить
возможность регулировки, путем которой только
и можно добиться точного значения заданного
начального натяжения Pmin.
Регулировочный ход $ устанавливается,
исходя из предельного допускаемого напряжения
[х]пред = °,= 03-14 500 = 7250 кг/см*.
Тогда по формуле (61)
О Г 1 3,14-0,43 о
Рпред = %kD e 84,24.2,4 7250 “ 61,2 Кг
Фиг. 659. Характеристика рассчитан- Отсюда наибольший регулировочный ход по
ной пружины растяжения. формулам (68) й (62а) равен
5шах пред ^шах) — 8« 10б *0,4 2^ ^0) в 1,5 СМ.
9. Полная вытяжка пружины при увеличении нагрузки от Ре = 15 кг
До Р„ред ~ 61,2 кг « 4) :
'пред ~ i (Рпред - =s. 1^0,4 25 <61'2“15) “ 6-2 см-
Дальнейшее растяжение пружины должно быть предотвращено специальными
упорами.
Конструкция пружин сжатия с витками круглого сечения
Пружины сжатия навиваются с просветами 80 между витками, что позволяет
пружине давать требуемую осадку*
Зависимость между нагрузкой и осадкой (характеристика пружины) пред-
ставлена на фиг. 660.
Практически вследствие неравномерности шага витков конечный участок
характеристики при нагрузках, близких к Рпред, может оказаться нелинейным.
На фиг. 660:
Ршах— наибольшая рабочая расчетная нагрузка; при этой нагрузке длина пру-
жины нко№-,
Ра1п—наименьшая рабочая нагрузка (установочная), выбираемая в зависимости
от назначения пружины; при этой нагрузке установочная длина Ннач\
Рпред— нагрузка, сжимающая пружину до соприкосновения витков (в предпо-
ложении, что характеристика сохраняет линейность);
х — рабочий ход. *
В связи с неравномерностью шага, в пределах допусков, для обеспечения
работы пружины по линейной характеристике Ршах не должно превышать
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
745
(0,8—0,9) Pnpfd Это требование предопределяет зазор 8р между витками при
максимальной рабочей нагрузке
8р= ± ==(0,1 -=—0,2)
где [см. формулу (55)]
л _____________________________________ Рпред
пред •
Учитывая допуск на диаметр проволоки, зазор 8р во избежание соприкос-
новения витков должен быть больше 0,ld.
Для создания надежной опоры торцевые витки пружины — заготовки поджи-
маются к соседним виткам и шлифуются так, чтобы на длине 3/4 витка от кон-
цов образовалась опорная плоскость,
перпендикулярная к оси пружины.
Фиг. 660. Характеристика пружины
сжатия.
Фиг. 661. Конструкция опорных
витков у винтовых пружин сжа-
тия из прутков круглого попереч-
ного сечения для ж.-д. транспорта
по ГОСТ 1452-53.
По ГОСТ 1452-53 для мощных пружин, железнодорожного транспорта (фиг. 661)
зазор между концами опорных витков и рабочими витками не должен превы-
шать х/480.
Поджатые витки практически не деформируются и иногда называются „мерт-
выми*. Обычно пружины имеют по 3/4 мертвых витка на каждом торце. Для
длинных пружин с семью и более витками можно рекомендовать делать 1—1114
мертвых витка с каждой стороны.
Длина пружины, сжатой до соприкосновения витков,
0,5) d,
где /п — полное число витков (рабочих и мертвых), выбираемое кратным 0,5.
Рабочее число витков /=/п— (1,5 ч- 2,5).
Длина ненагруженной прукины
’ HQ + — d)t
где шаг
Шаг Л обычно находится в пределах -у- ч- -у-.
Угол подъема витков ненагруженной пружины а = 6ч-9°.
746
Расчет витых пружин
Длина проволоки, используемой для изготовления пружины,
I — nDin .
п COS а
Рабочие чертежи на пружины сжатия составляются по ГОСТ 4444-48 „Чер-
тежи в машиностроении*.
Пружины сжатия относительно большой длины ^значительной гибкости > 3^
в процессе нагружения могут терять устойчивость (выпучиваться) [16] (см. т. III).
Поэтому такие пружины необходимо устанавливать на оправках или монтиро-
уу
вать в гильзах. При общей гибкости > 5 пружину целесообразно состав-
лять из отдельных секций с незначительной гибкостью < 3^ , поочередно
правого и Левого угла подъема. Составляющие пружины соединяются центри-
рующими кольцами. При этом образуются промежуточные опоры, которые обес-
печивают устойчивость пружины и в то же время устраняют нежелательное
трение витков о направляющие.
Заметим, что для пружин с малой гибкостью < з) сокращение длины в
процессе сжатия сказывается относительно столь сильно, что такие пружины
совсем не способны терять устойчивость [16], [5].
Рассмотрим пример расчета пружины сжатия.
Рассчитать цилиндрическую пружину сжатия по следующим данным:
Рmax ~ 300 Рmin в 160 кг.
Рабочий ход х = 24 мм.
Примечание. Пружина ответственного назначения статического действия
в процессе работы нагревается до 200° С.
1. Руководствуясь табл. 67, выбираем^ сталь марки 60С2 (после термообработки
аа 13000 кг/см2\ as2 - 12000 кг/см*).
Учитывая, что в эксплуатационных условиях пружина будет в нагрЛом состоянии
длительно находиться под нагрузкой, ее во избежание релаксации заневоливать нецелесо-
образно.
2. По табл. 72 для стали 60С2 и пружин 111 группы предельно большое допускаемое
напряжение (при полном сжатии витков)
• I'c1/zp^=ss7500 кг!см2.
Задаемся допускаемым рабочим напряжением
М == 0,8 [х\пред = 6000 кг/слс2.
3. Для расчета пружины воспользуемся формулой (63). Задаемся индексом пру-
жины с « 5.
В этом случае k = 1,29 (см. фиг. 651).
По формуле (63)
. , . П / ~kPmvxc 1,29-800-5
_max_.l,by = 1,48
Примем d — 15 мм, тогда D ~ cd » 5*15 = 75 мм.
4. Проведем проверочный расчет пружины.
Наибольшее напряжение в сечении витков при Ртах«800 кг по формуле (60)
равно
ЫРыкР 8.1,29-800.7,5 “ , 2
-----------------3344^5-------5830 кг/см*.
5. Устанавливаем по формулам (68) и (62а) необходимое число рабочих витков
пружины, принимая модуль упругости G=8-105 кг/см**.
xGd 2,4.8.10s.1,5
1 “ «с3 (Лпах~ Лшп) ” 8:5» (800-160) =4,5 ВИТКа
Вопросы расчета и конструирования 'цилиндрических винтовых пружин 747
Для образования надежной опорной поверхности на' каждом конце пружины доба-
вляется по 0,75 опорных витка, частично сошлифовываемых на плоскость, перпендику-
лярную к оСи пружины.
Полное число витков in =* t и- 1,5 6 витков.
6. Длина пружины, сжатой до соприкосновения витков,
Н - (in — 0,5) d = (6—0,5) 15 = 82,5 мм.
Зазор между витками пружины, нагруженной максимальным рабочим грузом Ртах,
1,8 мм, что больше 0,ld. Сокращение длины пружины kmax при
выбираем равным Sp
нагрузке Ртах
. *Лпах 24-800 __
таХ " ^тах-Лп.п ~ 80U-160 “ 30 "“*•
Шаг ненагруженной пружины
h = d4-J^x e 15 + ™4. lf8 e 23,5 нм.
i
Фиг 662 Характери-
стика рассчитанной пру-
жины сжатия
Ход Пружины, соответствующий ее полному сжатию.
^пред *** ^тах “Ь = 30 4 4,5-1,8 =» 38 мм.
Сила, сжимающая пружину до соприкосновения витков
в предположении, что характеристика сохраняет линейность
Рпред “ /’шах = 800-Ц = 1014 кг.
При нагрузке Рпреэ наибольшее касательное напряжение
в поперечных сечениях витков [по формуле (60)]
♦ ЫРпредО 8-1,29-1014-7,5 .
vnped= = 3,14.1,53 кг/см .
Полученное значение для наибольшего напряжения укладывается в пределы, ука-
занные в табл. 72.
Длина ненагруженной пружины
Щ = Н + i {h — d) = 82,5 4- 4,5 (23,5—15) = 120,5 мм
( Но 120,5
1 «2^-а & 1Д поэтому опасность выпучивания пружины при ее сжатии отсут-
ствует .
Наружный диаметр пружины « D 4- d — 75 4 15 « 90 мм.
Внутренний диаметр пружины D# =» D — 75—15 60 мм.
Угол подъема оси витков
h
23,5 л , АО
ЗДГ75 es0,1:ate®"
Длина заготовки
nDin

3,14-75-6 1лол
±------за— =» 1420 мм.
cos a cos 6
Полная характеристика пружины представлена на фиг 662.
Если конструкция рассчитанной пружины окажется, по каким-либо соображениям,
не совсем удачной, расчет следует повторить, исходя из другого вновь избранного
индекса пружины.
Расчет пружин растяжения — сжатия с витками квадратного
и прямоугольного сечения
Мощные и жесткие пружины конструируются с витками прямоугольного
(квадратного) сечения.
При необходимости отразить в расчете на прочность влияние кривизны
витка прямоугольного поперечного сечения необходимо не только принять во
внимание соотношение длин сторон сечения, но, в отличие от приближенного
расчета, etue учесть и расположение сечения относительно оси пружины.
748
Расчет витых пружин -
Обозначим, как и ранее, длину стороны прямоугольного сечёния, параллель-
ную оси пружины, через Ь, а длину стороны, нормальную оси, — через а
(фиг. 663) _ _
Пружины с отношением ~-> 4 и у < 4 применять не рекомендуется ввиду
трудности их изготовления и перенапряжения внутренних волокон витков вслед-
ствие большой. кривизны последних. . , .
Как уже указывалось (см. раздел Д § 2), наибольшее касательное напряже-
ние, как правило, развивается в середине внутренней стороны b сечений
(в точке К фиг. 663) независимо от соотношения длин сторон, в то время
Фиг. 663. Графики значений коэффициента ф для расчета пружины с вит-
ками прямоугольного сечения.
как при кручении прямого бруса того же профиля, наибольшие напряжения раз-
виваются всегда в точках сечения, лежащих на середине длинных сторон.
Лишь в небольшом числе случаев, когда а > b и кривизна витка незначи-
тельна, можно ожидать, что максимальные напряжения возникнут в некоторой
точке сечения на участках BN сторон а (фиг. 663).
Вероятность последнего предположения тем больше, чем больше отноше-
D а
ния — и -г-.
а b
Уточненные формулы (52) и (52а), выведенные методами теории упругости,
для вычисления наибольших касательных напряжений в витках прямоугольного
поперечного сечения, не могут быть представлены в замкнутом виде и поэтому
приведены к форме, включающей цифровые коэффициенты.
Последние сведены в табл. 74.
Однако в инженерных расчетах более удобно пользоваться формулой (69):
' (69>
Коэффициенты ф для всех практически встречающихся случаев представлены
вспомогательными графиками (фиг. 663).
Средняя вертикальная линия дает коэффициенты ф для квадратного сечения,
и D
Нижние наклонные прямые, соответствующие отношению — =оо, дают значе-
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
749
ния- ф для прямого бруса. : Левая часть диаграммы относится к. прямоугольным
сечениям, расположенным длинной стороной параллельно оси пружины; правая
сторона дает значения ф для прямоугольных сечений, расположенных длинной
стороной перпендикулярно оси пружины. В последнем случае при определенном
отношении длин а и b наибольшие напряжения развиваются на участке BN сто-
рон а. Это. обстоятельство отражается в правой части диаграммы изломом
кривых (точки излома выделены).
Для всех прочих случаев опасная точка сечения лежит на середине стороны ft,
ближайшей к оси пружины (точка К).
Осевое (линейное) перемещение торцов для цилиндрических винтовых
пружин с прямоугольным (квадратным) сечением витков практически доста-
точно точно можно вычислить пр соответствующим формулам табл. 73.
Пружины с прямоугольным сечением витка исполь-
зуются главным образом как пружины сжатия.
Основные конструктивные соображения, изложен-
ные выше для пружин сжатия с витками круглого се-
чения, относятся и к рассматриваемому случаю. Допол-
нительно отметим, что длина предельно сжатой пружины
Н^(/п-0,5)д,
гДе /п — полное число витков.
Длина прутка в заготовке не должна превышать
10—12 м.
Концы заготовки подрезают или оттягивают для
облегчения образования и шлифования мертвых витков,
концы которых должны иметь высоту Конструкцию
концевых витков, рекомендуемую для пружин железно-
дорожного транспорта по ГОСТ 1452-53, можно видеть
Фиг. 664. Конструкция
опорных витков у винто-
вых пружин из заготовок
на фиг. 664.
Шаг

прямоугольного попереч-
ного сечения для ж.-д.
транспорта по ГОСТ
1452-53.
где I = Zn — 1,5 — число рабочих витков.
При выборе минимально допустимого зазора 8Р между витками нагруженной
пружины, кроме соображений^ высказанных применительно к пружинам сжатия
с витками круглого поперечного сечения, следует еще иметь ввиду, что при
а > ft практически трудно получить витки со строго прямоугольным (квадратным)
поперечным сечением.
При навивке сечение заготовки обычно несколько искажается и размер внут-
ренней стороны ft возрастает. Это заставляет при проектировании предусмотри-
тельно увеличивать зазор 8р.
Все соображения, высказанные выше по вопросу устойчивости пружин сжа-
тия с витками круглого поперечного сечения, полностью могут быть отнесены
и к пружинам сжатия с витками прямоугольного сечения.
Г. Расчет составных (концентрических) пружин сжатия
При больших нагрузках применяются составные пружины из нескольких
концентрически расположенных Пружин сжатия, воспринимающих нагрузку Р
одновременно (фиг. 665).
. Для" устранения сильного закручивания торцевых опор и перекоса, концентри-
ческие пружины, размещенные одна в другой, делаются последовательно то
правого, то левого подъема.., - ,
Между пружинами должен быть сохранен достаточный радиальный зазор 8Г.
Опоры следует выполнять так, чтобы обеспечивалась взаимная центровка
пружин. ।
750
Расчет витых пружин
Полная нагрузка Р равна сумме усилий, воспринимаемых составляющими
пружинами:
Р = Р|+^ + .,.+Ря. (а)
(Чаще всего п = 2,редко я>3, где п — число концентрически размещенных пружин.)
Обычно пружины устанавливаются так, чтобы осадка у всех пружин была
одинакова:
= л2 = ... = Хл. (б)
Желательно также, чтобы наибольшие напряжения у всех пружин были
равны допускаемому напряжению:
t, =т2 = ... =тл= [т]. (в)
Предполагается, что все пружины достигают
предельного сжатия почти одновременно, т. е. что
~ ~ ~ indn. (г)
(Для пружин с витками прямоугольного сечения
диаметр d заменяется размером Ь.)
Это — наивыгоднейший случай с точки •зрения
компактности концентрической пружины.
Фиг. 666. Теоретически наивыгоднейшее отно-
сительное расположение пружин с« витками
круглого поперечного сечения, составляющих
концентрическую пружину сжатия.
Фиг 665. Конструкция со-
ставной (концентрической)
пружины сжатия.
Из приведенных соотношений можно определить усилия, воспринимаемые
каждой пружиной в отдельности, и по этим усилиям рассчитать пружины.
Для пружин с витками круглого поперечного сечения перечисленные выше
условия (а), (б), (в) и (г) будут выполнены при равных индексах у всех соосных
пружин.
Действительно, по формуле (65)
ч _________________________ [*иГ
kG 9
откуда
<70>
Следовательно, при равных Hd, [т] и X индекс с у всех пружин должен
быть одинаковым.
Из формулы (70) также следует, что все поставленные требования (а), (б),
(в) и (г) будут удовлетворены в том случае, если сечения витков соосных пружин
расположить относительно прямых, образующих угол 20, так, как это по-
казано на фиг. 666 при условии, что _______
®e=F=/^Jr' <70’>
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
751
Такое размещение пружин и следует признать наиболее рациональным.
При выборе радиального зазора 8Г (фиг. 665 и 666) необходимо учитывать
допуски как на диаметры пружин, так и на размеры сечений витков, а также
принимать во внимание изменение диаметров пружин в процессе деформации.
Количество п пружин в комплекте выясняется из уравнения (а), которое
можно представить в следующем виде [см. формулу (71)]:
~ k [d, + £>2 Т • • • + Dn
(71)
Особенно часто применяются комплекты, состоящие из двух пружин.
Если в этом случае витки имеют круглое поперечное сечение, то, принимая
радиальный зазор Sr =? -2 (фиг. 666), получим
^2 __ ^2 __ И. _ £ __ ~\f Р?. (70\
аг~ D1 ~ ~ с-2~ V Р, ’
где — сила, воспринимаемая внутренней пружиной, а Р2 — сила, приходя-
щаяся на внешнюю пружину.
Полная сила
Р=Р,+Р8.
Соотношения (72) вытекают из условий (б), (в), (г) и формулы (61).
Весьма рационально вместо обычных концентрических пружин сжатия исполь-
зовать многожильные пружины сжатия (см. разд. В § 7).
Д. Расчет и конструирование цилиндрических винтовых пружин
кручения
Пружины кручения имеют в технике широкое применение (например, в сель-
скохозяйственных машинах, в стартерах автомобилей и т. д.) как пружины при*
жимные и аккумулирующие (для возвратного поворота деталей), как упругие
звенья силовых передач и т. д.
При статическом нагружении пружины закручивающей парой 2k в попереч-
ных сечениях витков возникают [см. формулы (14) и (13)]:
а) изгибающий момент | Мазг | = 2k cos а (146) (нейтральная линия идет по
бинормали b винтовой оси) и
б) крутящий момент | Мкр | = 2k sin а (136)
При малых углах подъема (а<8-т-10°), которые обычно и встречаются на
практике, Мкр существенного значения не имеет и решающим является
Л1озг»ж. -
Возникающими в опорах силами, препятствующими торцам получить осевое
перемещение., и дополнительным изгибом оси пружины при обычном способе
нагружения последней (см. ниже) в типовых расчетах пренебрегают как малыми
и не поддающимися точному учету факторами.
Распределение нормальных напряжений в поперечном сечении витка малого
угла подъема тем сильнее отличается от распределения напряжений в попереч-
ном сечении (тех же размеров, что и у витка) прямого бруса, изгибаемого
парой 2k, чем больше кривизна витка, причем внутреннее волокно последнего
сильно перегружается (см; раздел Д § 2).
Поэтому необходимо, чтобы индекс пружины с удовлетворял требованию
с > 4 (лишь в редких случаях допускают 4 > с > 3).
В опасной (ближайшей К оси пружины) точке сечения
= (73)
где [а] — допускаемое напряжение.
752
Расчет витых пружин
Последнее следует выбирать, руководствуясь указанными выше 1 соображе-
ниями (см. разд. Б § 3).
Коэффициент k0 зависит от формы сечения и кривизны витка (kQ > 1).
Значения коэффициента kQ для пружин кручения с витками круглого и пря-
моугольного поперечного сечения
при малом угле подъема а представлены гра-
фиками на фиг. 667 в зависимости от индек-
са пружины с.
Для пружин с витками круглого сечения
при с 4 6 8 10
kQ 1,26 1,16 1,12 1,1
Приближенно для этого случая
k V (74)
° 4с — 4 ' '
Фиг. 667. Графики значений коэффи-
циентов kQ в зависимости от индек-
са с пружины:
/— для пружин кручения с витками круглого
поперечного сечения. 2 — для пружин круче-
ния с витками прямоугольного поперечного
сечения.
записать так;
Для витков прямоугольного сечения
‘.“fer- <75»
Угловое перемещение 9 торцов пружины
при а С 10° практически с достаточной сте-
пенью точности может быть вычислено по формуле (ЗОд), которую можно еще
9 =
(76)
где жесткость пружины кручения
Z° vDi
(76а)
Кривизна витков и их закручивание при малых углах подъема а в вопросах
жесткости пружин кручения практического значения не имеют. Допуски на все
размеры и на число витков, неточное
знание величины модуля упругости Е все
равно могут привести к значительному
отклонению (достигающему +1О°/о) фак-
тического углового перемещения торцов
от расчетного.
Длинные пружины кручения при на-
гружении могут терять устойчивость.
При коэффициенте запаса устойчиво-
сти, равном 2, предельно Допустимый угол
закручивания всей пружины в градусах
равен
9° = 123,1 (77)
Фиг. 668. Характеристика пружины
кручения.
где i — число витков.
Полная потенциальная энергия, накопляемая пружиной кручения при дефор-
мации,
= (78)
Основные расчетные величины для пружин кручения приведены в табл. 75.
Зависимость между закручивающим моментом Uli и углом поворота торцов 9
(характеристика пружины) представлена на фиг. 668.
йИтах — наибольшая рабочая расчетная нагрузка;
—Угол закручивания при 1Штах;
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин
753
Таблица 76
Формулы для расчета винтовых цилиндрических* пружин кручения
Форма
поперечного
сечения
в СМ3
ь л
в см4
Максимально
допускаемый
момент
М W'h
^tnax< Z
V "О
в кгсм
Жесткость
£А
_______о
в кгсм
Угол поворота в°
одного торца
пружины относи-
тельно другого
при нагрузке
^шах
ш — момент
в кгсм,
дающий угол
закручивания,
равный 1° на
1 виток при
£=2,1-КУ1 кг1см*
Ось пружины-
32
дЗ
6
icd4
64
12
[g]
Wimax- 32Л()
™ «8 М
ЭДюах- 6*0
7 Edi
° ~ MDi
Еа*
VlnDi
0° = 114,5 4^1
ktflE
е<>=114,5-^4
«=572-^-
m « 969 -д-
аЧ>
6
С$Ь
12
эд
•Wmax 6*о
Ecflb
Z° = 12rcDZ
114,5 4Д
kQaE
m =» 969 —
Примечание,
!, I « itDi.
20?Ш1п — наименьшая рабочая нагрузка (установочная), выбираемая в зависи-
мости от назначения пружины;
Ьнач— УГ9Л закручивания при
— предельная нагрузка почти на пределе упругости; дальнейшему закру-
чиванию должны препятствовать специальные упоры;
— предельный угол закручивания, соответствующий *$1пред.
Соотношение между 6пред и 9А.0Я
в зависимости от выбранного допускаемого напряжения (например, для
кручения сельскохозяйственных машин по ОСТ 4211 8пред — 1,59ЛОЯ).
В пружинах, предварительно закрученных при установке,- энергия,
ляемая в процессе нагружения,
_________________________________ ^niax ~Ь ^min q
устанавливается техническими условиями
пружин
накоп-
(78а)
неболь-
пружин
где угол рабочего хода 0 = QKOfl — внач.
Пружины кручения обычно навиваются с малым углом подъема и с
шими просветами между витками (8о = О,5 мм). Они отличаются от
растяжения — сжатия видом своих прицепов (фиг. 669, а—в). Концы прутка, об-
разующего пружину, отгибаются в сторону, причем получаются прицепы, необ-
ходимые для передачи пружине закручивающего момента. Эти прицепы приходят
во взаимодействие со специальными штырями, с помощью которых пружина и
нагружается. ‘Сами пружины обычно устанавливаются на оправках. При закручи-
вании пружины по ходу навивки ее длина несколько увеличивается; однако
начальные зазоры 80 необходимы, так как от взаимодействия прицепов со шты-
рями ось пружины несколько искривляется; при этом витки, получив перекос,
могут придти в соприкосновение, что нежелательно. Возникающее при этом тре-
ние между витками и между витками и оправкой искажает характеристику пру-
жины (см. пунктир на фиг. 668) и сокращает срок службы пружины вследствие износа.
48 Пономарев и др. 407
754
Расчет витых пружин
Пружины кручения желательно смазывать. * i
Длина пружины
Hq = (d + 60) I -f- z0,
где z0 — длина по оси пружины, занимаемая прицепами (для пружин с виткам»
прямоугольного сечения в последнюю формулу вместо d подставляется 6).
Длина заготовки 9
I — 4- / •
cos а +
Здесь Zz— длина заготовки для прицепов.
Рассмотрим пример расчета пружины кручения.
Фиг. 669. Виды креплений пружин кручения.
Рассчитываемая пружина должна накоплять потенциальную энергию С70 — 0,4 кам
На рабочем угле поворота 0 = 60°.
Наибольший рабочий момент 5Штах =» 0,6 кам.
Примечание. Пружина неответственного назначения работает в нормаль-
ных условиях при статической нагрузке.
Заневоливание производить не предполагается.
Установим основные параметры характеристики пружины. По условию [см. фор-
мулу (78а)J
t/0 = Ятах+JRmln. е = щ кгсм
И
fl я до д‘6° - *
“ 180 180 3 ’ ♦ •
откуда
m 2£7О 2-40-3 „ 1й_
= —jp- — ®max------------60 = 16.5 кгсм.
(%л1п1” — 0,275 < 1, поэтому пружина, удовлетворяющая поставленным условиям, может
«^шах
быть, осуществлена^.
Полный угол закручиванияг 0ЛОЯ, соответствующий моменту *Шшах, определится из
зависимости
^пип 1 в°
^тах §кон ’
откуда
о 0°' 60°
кон ~ 1 Wfflln 1—0,275
^шах
Сч = Сн-0^83-6О° = 23°.
Переходим к расчету на прочность.
1. Выбираем в качестве материала для пружины проволоку марки (И) (нормальной
прочности) по ГОСТ 5047-49.
2. Для указанной проволоки и пружин неответственного назначения предельно допу-
скаемое нормальное напряжение может быть принято примерно равным
И пред == (°,6 °»65) °bz
Предварительно выбираем допускаемое рабочее напряжение
[а] = 5000 кг/см*.
Вопросы расчета и конструирования цилиндрических винтовых пружин 755
3. Определяем размеры пружины.
Задаемся индексом пружины с — 8.
По формуле (73)
л___~l/' ^max
V од-[с]
Тогда kQ = 1,12.
1,12-60
0,1-5000
0,51 см.
Принимаем диаметр проволоки d -в 5 мм.
Тогда средний диаметр пружины D = crf = 8-5 = 40 мм.
По табл. 68 проволока при d 5 мм марки (Н) имеет = 10 000 кг/см2.
Следовательно, допустимое рабочее напряжение [а] = 5000 кг/см? выбрано правильно.
Предельно допустимое нормальное напряжение в рассматриваемом случае равно
Млр«> = 6500 кг/см2.
4. Проведем уточненный поперечный расчет пружины на прочность, если d = 5 мм
и D = 40 мм (с = 8, k0 — 1,12).
Наибольшее нормальное напряжение в сечении витка равно
_ _ ^шах______ 1,12-60 _5380 кг! см2
’max— 01ds “ ОД.0,53 “ 5380 7
5. Устанавливаем
пружины, принимая
= 2-10е кг/см2:
I__ К^КОН
по формулам (76) и (76а) необходимое число рабочих витков
модуль упругости Е =
*23°—
3,14-83-2-106.0,54
180-64 D>JJtmax 180-64-4-60
= 11,8 12 витков.
6. Длина, занятая рабочими витками Н
при зазоре между ними &0 = 0,5 мм,
H=(d + %) / = (5 + 0,5) 12 == 66 мм.
Наружный* диаметр пружины
Dff = D-f"^ = 40 + 5=s45 мм.
Внутренний диаметр пружины Dq = D — d == 40 — 5 = 35 мм.
Конструкция пружины в целом определяется видом ее крепления.
Пружина должна быть свита холодным способом с последующим отпуском.
Предельный угол, на который может закручиваться пружина,
1^-а-83 й§5-100°.
Ed*
_ п< _________
"пред и кон |(У|
Предельный момент
^пред
У^пред ^тах Ькон
60е-
I-----------100 °—
Фиг. 670. Характеристика рассчитанной
пружины кручения.
100
60 -= 72,5 кгсм
Дальнейшее закручивание пружины должно быть предотвращено специальными
упорами.
В соответствии с формулой (77) наибольший угол 0^ах, при котором обеспечен
коэффициент.запаса устойчивости 2, равен
4 _ 4
етах = 123.1 yi = 123,1 ]/12 - 230°.
Таким образом, для сконструированной пружины при закручивании ее на 100° потеря
устойчивости исключена.
Полная характеристика спроектированной пружины представлена на фиг. 670.
Если конструкция рассчитанной пружины окажется по каким-либо соображениям не
совсем удачной, расчет следует повторить исходя из другого индекса пружины.
Е. Расчет составных (концентрических) пружин кручения
При больших крутящих моментах целесообразно использовать не одну,
а комплекс соосных пружин кручения, входящих друг в друга, связанных по
торцам и воспринимающих общую нагрузку
Все составляющие пружины должны быть только левого или только правого
подъема, ч?тобы они одновременно все закручивались или раскручивались.
48”
756
Расчет витых пружин
Конструкция опор должна обеспечивать отсутствие относительного1 смещения
пружин и сохранение необходимых радиальных зазоров между ними.
Полный момент 5JR, воспринимаемый концентрической пружиной, равен сумме
моментов, приходящихся на каждую из составляющих пружин:
2^ = ^ + ^ + .. (а)
(п редко бывает больше 2).
При расчете следует учитывать:
условие совместности перемещений торцов
е1 = 92 = ..._Оя; (б)
условие равнопрочности пружин
а1=а2 = ... = аи== [aj; (в)
условие наивыгоднейшего использования габарита
/]б/1 ~ ~ ^п^п* (г)
Из приведенных соотношений можно определить долю внешнего момента,
приходящуюся на каждую из пружин в отдельности, и произвести их расчет.
Весьма рационально вместо обычных концентрических пружин кручения
использовать многожильные пружины кручения (см. разд. В § 7).
Фиг. 671. Схема нагружения
пружины при изгибе.
§ 4. ИЗГИБ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВИНТОВЫХ ПРУЖИН
В машиностроении сравнительно редко приходится встречаться с винтовыми
пружинами, специально поставленными в такие условия работы, чтобы они
изгибались. Однако изгиб (искривление оси) пру-
жин возможен вследствие эксцентриситета осевой
нагрузки, а также при наличии моментов, дей-
ствующих в плоскостях, проходящих через ось
пружины, и сил, перпендикулярных к оси пру-
жины, вызванных условиями закрепления. На
фиг. 671 представлена пружина, изгиб которой
явился следствием смещения верхней опорной пло-
скости В пружины относительно нижней опорной
плоскости А.
А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ВИТКАХ
ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ ПРУЖИНЫ
Рассмотрим пружину (фиг. 672), которая изги-
бается в плоскости xz моментом Ж, приложен-
ным к торцу пружины.
В плане момент изображен вектором L.
пружины ее витки закручиваются и изгибаются.
Раскладывая вектор L по направлению радиуса и по направлению касатель-
ной образующего цилиндра оси витков в произвольно взятом сечении С (под
углом ф к оси х), получим векторы N и Т.
Вектор N представляет момент 2ИЙ, изгибающий виток в касательной пло-
скости и поворачивающий сечение около оси п, совпадающей с нормалью оси
винтового бруса в рассматриваемом сечении:
Л1я = ШЫпф. (79)
При искривлении оси zz
Изгиб цилиндрических винтовых пружин
757
Вектор Т представляет момент 2И, действующий в радиальной плоскости,
т. е. в плоскости, проходящей через ось zz пружины:
Л4 — 5Ш cos ф.
Учитывая угол подъема а витков, раскладываем вектор Т на
К и S.
Вектор К перпендикулярен плоскости по-
перечного сечения витка и представляет
крутящий момент М$
Mt = SSJl cos ф cos а. (80)
Вектор S лежит в плоскости попереч-
ного сечения витка и представляет изгибаю-
щий момент Мь:
= — ЗЛсозф81па. (81)
Вследствие этого изгиба сечение пово-
рачивается относительно бинормали b оси
винтового бруса; при этом кривизна витка
уменьшается.
Определение напряжений в витках
круглого* поперечного сечения
Как уже указывалось, при изгибе пру-
жины ее витки закручиваются и изгибаются.
Полный изгибающий момент в сечении
витка, взятом под углом ф к оси х, равен
Мяаг=У Ы* + м1 =
= 2R sin2 ф -f- cos2 ф sin2 а.
Полный изгибающий момент, представлен-
ный вектором /?, возникает в плоскости, на-
клоненной к оси п под углом Р (фиг. 672):
составляющие
Фиг. 672. Внутренние силовые фак-
торы в поперечном сечении витка
пружины при чистом изгибе.
teB=JAL =
S Р I X I Sin а
Наибольшие напряжения у витков из круглой проволоки развиваются
в точках а у контура поперечного сечения витка в плоскости изгибающего
момента.
, Эквивалентное напряжение в этих точках по „теории наибольших касатель-
ных напряжений* (влиянием кривизны витка пренебрегаем) равно
Vc°s2 Ф cos2 « + sin2 Ф -h c°s2 Ф sin2 « = оДЗз. (82>
где d — диаметр проволоки..
Полученные результаты^ показывают, что в первом приближении все сечения
витков можно считать равноопасными.
Более подробное исследование напряженного состояния витков пружины при
ее чистом изгибе показало, что наиболее опасными являются точки на внутрен-
нем волокйе винтового бруса (ближайшем к оси zz пружины) в сечениях,
758
Расчет витых пружин
I
центры которых находятся в плоскости пар, изгибающих пружину (т. е. в пло-
скости xz, когда где т— целое число).
Hill lll'llllllН11Г1П11 п I-
^Плоскость изгиба
где
<S
Ось битка пружины
——•' • —t—- • —
JL
2
Фиг. 673. Элемент витка круглого по-
перечного сечения и компоненты на-
пряжения в опасной точке при чистом
изгибе пружины.
В этих точках К в площадках, пер-
пендикулярных к осям b и t (фиг.
напряжения равны
°ьь — kb ’
_ , 9ft # ,
Qtt— “t Wb*
Ztb — Xbt — kfb деГ"
TV7 _ тту _____ тсдР
^6=32’ а ^ = Т6-
При коэффициенте Пуассона
Я =0,3
673),
(83)
kb = sinap21 [о, 15 + 0,43 ;
kt = sin а[1 + 0,87 0,39 ;
ktb = cos а [1 4-0,63 ^^—1- (0,18 4-0,17 cos2 а) .
(84)
Эти зависимости были получены Н. А. Чернышевым методами теории упру-
гости [17].
Значения коэффициентов kbi kt и ktb приведены в табл. 76.
Таблица 76
Значения коэффициентов kb> kf и ktb
D С~~ kb kt ktb
а а а.
0е 15° 30° 0° . . 15° 30° 0° 15° 30°
3 4 6 8 10 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,024 0,015 0,009 0,006 0,005 0,032 0,021 0,012 0,009 0,007 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,339 0,317 0,297 0,286 0,281 0,621 0,588 0,557 0,537 0,533 1,250 1,180 1,115 1,085 1,067 1,210^ 1,130 1,070 1,050 1,027 1,030 0,982 0,940 0,920 0,910
Формулами (83) и (84) следует руководствоваться при выполнении повероч-
ных расчетов пружин на прочность при их изгибе.
В этом случае для обеспечения большей точности эквивалентные напряжения
следует вычислять по теории прочности Мора (см. гл. VI, т. 1), поскольку
пружинные стали различно сопротивляются растяжению и сжатию.
Определение напряжений в витках прямоугольного
поперечного сечения
При определении напряжений в витках прямоугольного поперечного сечения
следует иметь в виду, что витки, вообще говоря, находятся в условиях косого
изгиба и закручиваются.
Изгиб цилиндрических винтовых пружин
759

В рассматриваемом случае можно провести лишь поверочный расчет пружины.
При этом в каждом из проверяемых сечений витков необходимо вычислять
напряжения в одной из внутренних угловых
внутренней стороны b сечения (в точке
ках N).
Для определения напряжений в упомя-
нутых точках воспользуемся формулами,
учитывающими кривизну витка.
Они выведены методами теории упру-
гости С. П. Демидовым [1] для плоского
кривого бруса большой кривизны прямо-
угольного поперечного сечения, но в пер-
вом приближении могут быть применены
и для определения напряжений в витках
малого угла подъема.
В точках В имеет место одноосное
напряженное состояние
о-- Ъ 4- b" ^Ъ_
9—RB Wb'
точек В (фиг. 674), в середине
и в середине сторон а (в точ-
(85)
где
1ГЯ = ^ см3 и = см3.
п 6 ° о
Значения коэффициента kB (при коэффициенте Пуассона р = 0,3) приведены
в табл. 77 в*зависимости от индекса пружины с = -^- и отношения длин
сторон прямоугольного поперечного сечения. Значения коэффициента k"m см.
в табл. 65.
Таблица 77
Значения коэффициента kB
D а ь а
1 3 1 2 0,8 1,0 1,25 1,5 2,0 3,0
4 1,214 1,223 1,280 1,340 1,395 1,425 1,454 1,466
5 1,171 1,178 1,224 1,272 1,316 1,340 1,367 1,373
6 1,143 1,149 1,187 1,227 1,264 1,283 1,306 1,311
7 1,122 1,128 1,160 1,194 1,226 1,243 1,262 1,266
8 1,107 1,112 1,140 1,170 1,197 1,212 1,229 1,233
В точке К имеет место двухосное напряженное состояние.
В этой точке в поперечном сечении витка
о =
и
x-k
(86)
где величина вспомогательного коэффициента v зависит от отношения длин
а
сторон прямоугольного поперечного сечения:
при -^— = 0,33 0,5 0,8 1,0 1,25 1.5 2,0 3,0
»= 0,107 0,155 0,193 0,208 0,221 0 231 0,246 0,267
760
Расчет витых пружин
Значения коэффициента kK (при jx = Q,3) приведены в табл. 78 в зависи-
D b
мости от индекса пружины с = — и отношения —.
Значения коэффициента k'm см. в табл. 65.
Таблица 78
Значение коэффициента
D а ь а
1 3 1 2 0,8 1,0 1,25 1,5 2,0 3,0
4 1,275 1,232 . 1,162 1,135 1,114 1,098 1,079 1,048
5 1,220 1,186 1,129 1,109 1,091 1,079 1,063 1,039
6 1,183 1,155 1,108 1,090 1,076 1,066 1,053 1,032
7 1,157 1,133 1,093 1,077 1,065 1,056 1,045 1,028
8 1,137 1,116 1,081 1,068 1,057 1,049 1,040 1,024
Наконец, в точках N также имеет место двухосное напряженное состояние.
В этой точке в поперечном сечении витка

и
x=k Mt
N va26
(87)
Величина коэффициента kN зависит от отношения длин — сторон прямо-
а *
угольного поперечного сечения:
при -|-=»0,33 0,5 0,8 1,0 1,25 1,5 2,0 3,0
*№=1,322 1,258 1,092 1,0 0,916 0,859 0,795 0,753
Для сопоставления интенсивности напряженных состояний в рассмотренных
точках В, К и N следует вычислить* соответствующий этим напряженным со-
стояниям эквивалентные напряжения (см. гл. VI, т. I).
При этом, как уже указывалось, надо воспользоваться теорией прочности
Мора, поскольку пружинные стали различно сопротивляются растяжению и
сжатию.
Опасной является та из рассмотренных точек, в которой эквивалентное
напряжение имеет наибольшее значение.
При поверочном расчете следует, в первую очередь, исследовать напряже-
ния в поперечных сечениях витков, центры тяжести которых находятся в пло-
скости изгиба xz (при = Л4л = 0; |Л4&| = 2Rsina; | = SOJcosa), а
также в сечениях, центры тяжести которых лежат в плоскости, перпендикуляр-
ной плоскости изгиба (при <|> = + лиг, | Мп | = 9ft; Мь = 0; = о) .
Б. Определение напряжений при поперечном изгибе пружин с витками
малого угла подъема
Рассмотрим пружину, представленную на фиг. 675, которая заделана одним
концом и нагружена на свободном конце поперечной силой Р, параллельной
оси х.
Изгиб цилиндрических винтовых пружин
761
Относительно плоскости нормальной оси z пружины, отстоящей от ее сво-
бодного торца на расстоянии С, в которую примерно укладывается ось неко-
торого витка, изгибающий момент равен
М = PC,
а поперечная сила, параллельная оси х,
Q = P.
Внутренние силовые факторы в некотором поперечном сечении рассматри-
ваемого почти плоского витка (ажО) соответственно равны (фиг. 675):
Л4й = Л4 sin
Мь = — sin ф;
Л1, = Л4 cos ф,
где ф — угол, который составляет сечение витка
с плоскостью xz, a D — средний диаметр пружины.
В частности, в сечении при ф = тс виток только
закручивается моментом М, а в сечении при ф =
он изгибается в двух плоскостях моментами
/И„ = Л1 и^=-------
В соответствии с вычисленными внутренними си-
ловыми факторами проволока пружины и должна быть
рассчитана на прочность так, как было указано
в разд. А этого параграфа, применительно к круг-
лой и прямоугольной форме поперечного сечения
витка.
Например, в рассматриваемом нами случае
(фиг. 675) для пружины, свитой из проволоки круг-
лого поперечного сечения, у заделки (С—Н), в се-
чении при ф = 0 нормальное напряжение а = 0, а ка-
сательное напряжение в точке этого сечения, бли-
жайшей к оси 2,
_ , —ъ рн
Ttb “tb Rtb ода *
Фиг. 675. Внутренние сило-
вое факторы в поперечное
сечении витка пружины прк
поперечном изгибе, когда
угол подъема витков оченьг
мал (а^О).
Значения коэффициента ktb приведены в табл. 76.
В сечении при ф = -|-
т = 0.
Полный изгибающий момент в этом сечении
\
мазг=/ м% + м2„ = + (РЯ)2.
Нормальное* напряжение в точке у периферии сечения, в плоскости изгибаю-
щего момента, без учета кривизны витка равно
3_ Мазг _ +
№изг 0,2«Р - *
Влияние кривизны витка может быть учтено по работе (17).
762
Расчет витых пружин
1
В* Определение перемещений при изгибе пружин
Для определения перемещений при изгибе пружины воспользуемся интег-
ралом Мора, который применим, однако, лишь при относительно небольших
перемещениях.
Предположим также, что при искривлении оси пружины ее витки в сопри-
косновение не приходят.
Для рассматриваемого случая интеграл Мора выражается следующим обра-
зом:
/ i i
MnMnlds . С MbMblds MtM^ds
8_J ~В„ - + J в„ -+J —с—’ С89)
ООО
где Л4П, Мь и Mt — внутренние силовые факторы в поперечных сечениях вит-
ков от заданной нагрузки;
2ИЛ1, и — внутренние силовые факторы от единичной нагрузки, при-
ложенной в направлении искомого перемещения;
= EJn и Bb = EJb
экесткости витка при его изгибе относительно осей п и b соответственно (см.
фиг. 674 и табл. 59);
С — жесткость витка при кручении;
I — длина проволоки пружины;
I —----- Где i — число витков );
. \ cos а ’ ] ’
. Шф
л$=о—1-------длина элемента оси витка.
2 cos а
Решение задачи проводится обычными методами, принятыми для кривого
бруса малой кривизны (см. гл. X, т. I).
Определение перемещений при чистом изгибе пружины
Рассмотрим пружину, закрепленную одним концом на винтовой пробке (см.,
например, фиг. 672) и нагруженную на свободном торце моментом 2R, изги-
бающим пружину в плоскости xz.
Внутренние силовые факторы 7ИЙ, Мь и в поперечных сечениях витков
пружины определяются формулами (79), (81) и (80) соответственно.
Определим угол поворота & верхнего торца пружины относительно нижнего,
который предполагается заделанным (см. фиг. 672).
Приложим к верхнему, торцу пружины вместо заданного момента Ж единич-
ный момент.
Тогда в поперечных сечениях винтового бруса в соответствии с формулами
Х79), (81) и (80), в которых следует положить Ш1—1, единичные внутренние
силовые факторы будут равны:
2ИП1 = 1 - sin <р;
Mb j = — 1 • cos ф sin а;
Mtl = 1 • cos ф cos а.
’Теперь, руководствуясь формулой (89), имеем
2ml 2те/ 2ml
Ф С Ж sin2 фРдГф . С W cos2 ф sin2 аШф , Г Ж cosa ф cos2 аШф
J 2Вп cos а • J 2Bb cos а J 2С cos а
и о и
Z 5"“ +1) + (£ si"! « + % “s’ —1) <89«>
Второе слагаемое в квадратных скобках, вообще говоря, очень мало по
сравнению с первым слагаемым и обращается в нуль, когда 4/ — целое число.
Изгиб цилиндрических винтовых пружин
763
Опуская второе слагаемое в квадратных скобках зависимости (89а),. имеем
&==^|Ч 4-^sinaa+^-cos2aj =
ЖН (l+^sin2*+%cos»a)xDZ
Вп 2Н cos a
где Н — высота пружины.
В частном случае для пружин с витками
круглого поперечного сечения
Вп — Bb = EJ> а C = GJp .
и
А___ЯЛН (2 + р. cos2 a) nDi fQQ
v— EJ 2/7 cos a * ‘
Для пружин с витками малого угла подъе-
ма (а^О)
CJ I Ati \ C* / j
(91а)
Если при этом витки имеют круглое попе-
речное сечение, то
ft-=?rl^,2+'4 <92а>
>
В случае необходимости определить гори-
зонтальное перемещение (в направлении оси х)
Верхнего конца пружины относительно нижнего
конца следует к первому из них в направлении
оси х приложить силу, равную единице.
Определим внутренние силовые факторы L и V
от единичной нагрузки (фиг. 676) в поперечном
сечении С проволоки пружины, отстоящем от
верхнего ее торца на расстоянии C = -2Ltga
[ср — полярный угол (см. фиг. 638); ф =
= ср — 2iu/J и от плоскости изгиба xz на рас-
стоянии
sin ф = -~ sin (<р — 2тс/с) = -у- sin ср
Ос — число полных витков пружины, от верх-
него ее торца до рассматриваемого сечения С).
£ = Л7+ T==N + K + S; V =W+U.
Модуль вектора N (фиг. 676)
Л4И| = К sin ф — -у- tg a sin <р.
(91)
по стрелке Д
Модуль вектора S 4- W (см. фиг. 676 и
672)
Фиг. 676. Внутренние силовые
факторы в поперечном сечении
витка пружины при поперечном
изгибе, когда угол подъема вит'
ков значителен.
Mb j = — I • С cos ф sin a — 1 ~ sin ф cos.a = — tg a cos ср sin a — sin <p cos a.
Модуль вектора К—U (см. фиг. 676 и 672)
= 1 -С cos ф cos a — 1 • 4^- sin ф sin a = tgacoscp cos a — -y Sin <p sin a.
764
Расчет витых пррЯсин
Так как угол ф = <р—2ш*с, то в соответствии с формулами (79)—(81) внутрен-
ние силовые факторы от заданной нагрузки ЗЙ могут быть выражены следующим
образом:
Мп = 2Й sin ф = 2й sin ф;
Мь = — Wcostp sina= — 2Rcos<psina;
Mt = 9Й cos ф cos a — ЗЙ cos 2 tg a Sin2 a COS2
J 4Bb COS a
0
2icZ 2iu 2iw
Г D2 sin 2a sin 2f dy . f Z>2 tg a cos2 a у cos2 о dy _______________________ Г 5Ш D2 sin 2a sin 2y dy
J 16Bft COS a ’J 4C COS a J 16C COS a
0 0 0
Выполняя интегрирование, подставляя пределы и округляя количество вит-
ков до целого числа, имеем
ШМ2 Sin a ( л , Вп . 2 I Вп 9 \
8- = - 4В„ - I1 + В? S,n a + ~Г cos2a) =
ЫН* (l + ^-sin’a + ^cos*»)^
~ 2Вп 277 COS a *
где Н = Z sin a — высота пружины.
В частном случае для пружин с витками круглого поперечного сечения,
когда Вп = Въ — EJ и C=GJp,
* S81H2 (24-jxcos2a)nDi *
°x~ 2EJ 2H cos a ’
Для пружин с витками малого угла подъема (а^О)
+ 4»•))• <93»
Если при этом витки имеют круглое поперечное сечение, то
. W72 Г *Di „ , Л /Q, ч
2EJ [ 2Н & м J * (94а)
Сравним полученные значения угла поворота ft и прогиба 8Х с соответствую-
щими перемещениями ft* и 3* прямого бруса, заделанного одним концом, при
чистом изгибе.
Примем, что длина бруса равна высоте пружины W.
Тогда
= (95)
.. ЫН*
— 2 А ’
где А — жесткость „приведенного бруса" при изгибе.
Сопоставляя формулы (95) и (91), а также (96) и (93), легко установить,
что прямой брус, называемый „приведенным", будет иметь одинаковые с пружи-
ной перемещения, если его жесткость
Л =------------. (97)
теР/ sin2 a н- cos4 aj
Изгиб цилиндрических винтовых пружин
765
Если при этом витки имеют круглое сечение, то
д — 2EJH cos а (97а\
0 nDi (2 + р cos2 а) '
Таким образом, перемещения пружины при чистом изгибе равны соответ-
ствующим перемещениям аналогичным образом закрепленного и нагруженного
прямого бруса, имеющего длину, равную высоте пружины И, и. жесткость изгиба,
равную А.
Если изгибаемая пружина дополнительно растягивается или сжимается, то
под величиной /У следует понимать высоту деформированной пружины.
Определение перемещений при поперечном изгибе пружин
с витками малого угла подъема
При определении прогибов или углов поворота у пружин в случае попе-
речного изгиба следует, строго говоря, опять воспользоваться интегралом Мора
[см. формулу (89)].
Вычислив внутренние силовые факторы от заданных сил и от единичной
нагрузки, приложенной в том сечении» перемещение которого определяется,
всегда можно в результате интегрирования выражений, входящих в зависимость
(89), определить искомое перемещение.
Однако для пружин малого угла подъема задачу можно свести, как и при
чистом изгибе, к изгибу некоторого прямого приведенного бруса, что значи-
тельно упрощает решение.
Рассмотрим этот способ определения перемещений более подробно.
При поперечном изгибе пружины (см., например, фиг. 675) в любом из по-
перечных сечений почти плоского витка (ажО) внутренние силовые факторы
от заданной нагрузки (Мп, Мь и Mt) могут быть определены по формулам (88).
В этом случае изгибающий момент М и поперечная сила Q, входящие в эти
формулы, вычисляются относительно плоскости нормальной оси zz пружины,
в которую примерно укладывается ось рассматриваемого витка, обычным ме-
тодом, применяемым при расчете балок.
В разбираемом примере (см. фиг. 675) 7И=РС и Q = P.
Эти силовые факторы для всех поперечных сечений почти плоского витка
можно считать величинами постоянными.
Аналогично внутренние силовые факторы от единичной силы, приложенной
в направлении искомого перемещения (например, к торцу пружины по оси х),
в соответствии с формулами (88) равны
Л1л1 = Л1, sin ф = С sin ф;
=-----sin ф ==------2" sin ф;
cos ф = С cos ф,
поскольку = 1 -С и Q= 1.
Прогиб в направлении единичной силы в связи с деформацией рассматри-
ваемого витка по формуле (89)
2п 2п 2п л» f Dd* f МЬМЬ1 Dd* , С В„ 2 । J Вь 2 1 J 0 и 0 2ж 2тс 2; Г Л1Л11 sin2 ф Ddty . Г (?(?11)281п2ф Ddfy . Г J Вп 2 1 J 2 +J 0 0 0 = ’2DG„+ с)Л,'И'+2.« MtMa Ddty С 2 ’ MMi cosa<|> Ddty C 2 ~ Qi- (98)
766
Расчет витых пружин
Определим теперь соответствующий прогиб Д8* элемента эквивалентного
бруса, занимающего по оси z ту же длину я, что и виток ( п = —, где Н —
высота пружины, a i—число витков).
Полагая, что на длине рассматриваемого элемента бруса изгибающий мо-
мент М и поперечная сила Q постоянны, имеем
_ ММ±Н QQrH
— Ai "Г Si ’
(99)
где А — жесткость эквивалентного бруса при изгибе,
a S — жесткость эквивалентного бруса, соответствующая сдвиговой дефор->
мации при изгибе. •
Сопоставляя зависимости (98) и (99), устанавливаем, что элемент бруса,
имеющий одинаковую с витком пружины протяженность по оси z и в полной
мере эквивалентный витку, в смысле образования перемещений в связи с изгибом,
должен иметь жесткость изгиба
Д =
2ВЛ/У
T.DI
(100)
и жесткость при сдвиге

(101)
Для пружин с витками круглого поперечного сечения, у которых Ва = Вь =
— EJ и C = GJp; [Jp = 2J; £' = 2(l + p.)G]
= # <100a>
M
c —%EJH
So — • (101a)
Заметим, что формулы (100) и (100а) совпадают с зависимостями (97) и
(97а) соответственно, если в последних положить а = 0.
Соотношения (100) и (101) справедливы для любого из витков, поэтому дляw
определения перемещений при поперечном изгибе пружины с витками малого
угла подъема ее можно заменить прямым брусом, длина которого равна высоте
пружины Н, а жесткости при изгибе и сдвиге равны соответственно А и S
[см. формулы (100) и (101)].
Перемещения такого бруса при изгибе должны определяться из зависимости
р MMydz р QQrdz
J Я НJ
о о
(102)
где силовые факторы устанавливаются известными приемами, разработанными
применительно к прямым балкам.
При чистом изгибе второе слагаемое в зависимости (102) отпадает.
Изложенный способ не применим для пружин со значительным углом подъ-
ема витков, так как в этом случае изгибающий момент нельзя считать для
всех сечений одного витка постоянным, как это предполагалось при установле-
нии параметров эквивалентного бруса, заменяющего пружину с витками малого
угла подъема.
Расчет призматических пружин сжатия
767
§ 5. РАСЧЕТ ПРИЗМАТИЧЕСКИХ ПРУЖИН СЖАТИЯ
Призматические витые пружины (см. фиг. 635) отличаются от обычных
цилиндрических винтовых пружин формой витков.
В плане витки призматических пружин чаще всего имеют вид прямоуголь-
ника со скругленными углами; встречаются, однако, пружины с витками другого
очертания (трапециевидные, овальные и пр.).
Призматические пружины навиваются из проволоки круглого поперечного
сечения.
Способ их изготовления см. [18].
В пружинах с витками некруглой формы материал находится в значительна
более тяжелых условиях работы, чем в винтовых цилиндрических пружинах.
Фиг. 677. Внутренние силовые факторы в поперечном сечении витка
призматической пружины сжатия.

Поэтому призматические пружины, используемые как пружины сжатия, приме-
няются только в случае острой необходимости, обусловленной габаритными
размерами места установки и другими конструктивными соображениями.
Призматические пружины во избежание искажения их формы в процессе
деформации необходимо монтировать в направляющих стаканах или на оправках.
Рассмотрим расчет призматических пружин сжатия на прочность и жесткость.
В любом, поперечном сечении А витка (фиг. 677) внутренние силы приво-
дятся к равнодействующей Р и внутреннему моменту M—PRA, где Р—осе-
вая нагрузка, воспринимаемая пружиной, a RA — радиус-вектор, определяющий
положение центра сечения А*
Вектор La полного момента М может быть разложен по касательной ТА
к контуру витка в плане и по нормали пА оси витка в рассматриваемом сече-
нии.
Составляющий момент по нормали, имеющей орт пА>
/ t ^п~ МпПА>
где /
/ Mtt = PRAcosiA.
Составляющий' момент по касательной, орт которой ТА,
* < z j= —
где
, Afr = PflAsin8A.
768
Расчет витых пружин
Здесь Вл— угол, образуемый радиусом-вектором 7?*л в точке А с' касатель-
ной ТА в этой точке к контуру витка пружины в плане (фиг. 677).,
Момент Мп изгибает виток в вертикальной плоскости Т касательной к оси
витка в точке А.
Момент Мт действует в вертикальной плоскости W, проходящей через нор-
тмаль пА.
Поперечное сечение витка (плоскость N, также проходящая через нор-
маль пА) составляет с плоскостью W действия момента Л4Г угол а.
Разложим вектор £г, как и в случае обычных цилиндрических пружин (см.
2), по осям tA и ЬА и определим крутящий момент Lt и момент Lb, изгибаю-
щий виток в соприкасающейся плоскости:
- ' cos gc — —
где
Mt = PRA sin Вл cos a
и
Lb = LTsina = MbbA,
где
Mb — PRA sin 8Л sin a.
Таким образом, в любом поперечном сечении призматической пружины, сжа-
тия внутренние силы приводятся к равнодействующей Р, которая в расчетах
пружин на прочность и жесткость во внимание не принимается, и к моменту,
.дающему при разложении:
изгибающий момент в касательной плоскости (нейтральная ось п)
Мп = PR cos В,
(ЮЗ)
изгибающий момент в соприкасающейся плоскости (нейтральная ось Ь)
Mb = PR sin Bsin a e (103а)
ш крутящий момент
Mt = PR sin 8 cos a, (1036)
где угол 8 определяется контуром витка в плане, а а является углом подъема
витков.
Обращаемся к расчету призматических пружин на прочность.
Поскольку эти пружины навиваются из проволоки круглого поперечного се-
чения, легко установить расчетный момент.
Руководствуясь, например, теорией наибольших касательных напряжений
(см. гл. VI т. I), имеем
+ (104)
где
мазг = а Мкр = Mt.
При расчете на прочность предварительно необходимо установить положе-
ние опасного сечения, т. е. найти сечение, в котором Мрасч является наиболь-
ший м, и подсчитать величину последнего.
Расчетная формула имеет вид
где [о] — допускаемое напряжение.
Расчет призматических пружин сжатия
769
Для определения осевого перемещения к торцов
при ее сжатии, воспользуемся интегралом Мора [см.
\ С MnMnlds t f । f
K ~ J — fX,— + J + J
где
Jp nd*
'n = Jb=~2 =="бГ
см4,
призматической пружины
формулу (89)]:
M/M^ds
аГр ’
a L — длина проволоки пружины:
L=-™~
cos a
П — периметр контура витка в плане;
a — угол подъема витков;
I — число рабочих4 витков.
Выражения для внутренних силовых
факторов от единичной нагрузки легко
получить из зависимостей (103), (103а) и
(1036), полагая в них Р»1.
Тогда получим:
Л4Й] = R cos В;
Л4Ь1 —/?sin8sina;
Л4П = /?sin8cosa.
(Ю6)
После соответствующих подстановок и ряда преобразований осевое переме-
щение к торцов пружины может быть выражено в общем виде следующим
образам: ,
х = [-?2PJ°s2g 4- sin2 8ds + fa2COS*8ds. (107)
0 о
При вычислении интегралов, входящих в зависимость (107), следует иметь
в виду, что радиус-вектор R и угол 8 от сечения к сечению меняются.
В качестве примера определим осевое перемещение X торцов у призматической
пружины с < контуром витка в плане в виде прямоугольника со скругленными углами
(фиг. 678).
Этот контур определяется тремя линейными размерами a, b и г.
В этом случае:
На прямолинейных участках а контура
R cos 8 «в х\(х меняется от 0 до а);
R sin 8 = b г.
На прямолинейных участках Ь контура
R cos & == z\ (z меняется от 0 до Ь)\
R sin & = а + г.
На закруглениях радиуса г
R cos 8 = я sin ф — & cos ф;
R sin 8 = г 4- b sin ф 4- a cos ф,
где полярный угол ф меняется от 0 до •
Используя указанные соотношения и выполняя интегрирование, окончательно получим
г 64Р i cos a 128 Р /sin a tg a 256 Pi v
X*“5‘ G& + ’1 ErfS + fid4 cos a ’ (Ю7з)
где коэффициенты и £2 соответственно равны
6 6 . 10 2 2
fcj = 4- “ ar2 4- — br2 4- 0,5 a2r 4- 0,5 b2r 4- y abr 4- — a?b + — ab*\ (108)
_ a2r abr . b2r , a3 d3
l es=“~4-----T+“T + 35i+3i- (109)
49 Пономарев и др. 407
770
Расчет витых пружин
При а = 0 зависимость (107а) заметно упрощается. В этом виде она может быть
использована для определения осадки пружин рассматриваемого вида при малом угле
подъема витков, что обычно и имеет место.
Из выведенных формул легко получить также выражения для осадки пружин с вит-
ками других очертаний, встречающихся в практике.
В частности, положив в зависимостях (108) и (109) г -0, можно получить формулы
для вычисления осадки пружины с витками прямоугольного очертания.
Полагая в зависимостях (108) и (109) о = 0, получаем значения коэффициентов
и £2 Для пружины с .овальным" витком.
Наконец, если принять, что а = b 0, то из соотношений (107а), (108а) и (109) при
условии а « 0 можно получить общеизвестную формулу (28г) для вычисления осадки,
обычной цилиндрической винтовой пружины.
Формулы для вычисления осевых перемещений торнов у встречающихся
в инженерной практике призматических пружин сжатия с витками малого угла
подъема приведены в табл. 79.
Таблица 79
Формулы для расчета призматических пружин
Форма витка Осевое перемещение *
OCJ п С
[а2 (Ь 4- с) 4- h2 (m + л)]
X - -jgj- \2b2 + 1,5k2R (2? - sin 2р)] +
4Pi
+ -^4 [Л2 (РЯ — 2k sin Р) + а2Ь + 0,5й2Д (р 4-0,5 sin 2р)]
С*
Примечание. Сила Р перпендикулярна к плоскости чертежа в точке О и
направлена по оси пружины.
§ 6. РАСЧЕТ ФАСОННЫХ ВИТЫХ ПРУЖИН
Конструктивные соображения, стремление сократить габаритные размеры,
необходимость обеспечить требуемую частоту собственных колебаний упругой
системы, желание получить пружины с нелинейной характеристикой приводят
к применению так называемых фасонных пружин, работающих преимущественно
как пружины сжатия.
Цилиндрические, конические, параболоидные и другие витые пружины по-
лучили свое название в зависимости от вида поверхности вращения, на которой
располагается ось их витков.
Однако форма пружины не определяется полностью видом образующей
поверхности, так как на этой поверхности ось витков в различных своих
частях может располагаться под разными углами к плоскости, перпендикулярной
оси пружины, что необходимо уточнять дополнительно.
Расчет фасонных витых пружин
771
Например, форма цилиндрической винтовой пружины задается обычно диа-
метром образующего цилиндра и условием постоянства угла подъема.
Однако в целях получения пружины с нелинейной характеристикой иногда
конструируются специальные цилиндрические пружины с углом подъема, изме-
няющимся по длине оси витков (см. ниже).
В указанном случае необходимо задавать закон изме-
нения угла подъема по длине витков.
Для фасонных пружин в качестве дополнительного
условия, определяющего их форму, удобно принять
проекцию оси витков на опорную плоскость пружины.
Из числа фасонных пружин наиболее часто встре-
чаются конические и параболоидные пружины, проек-
ции которых в плане имеют вид архимедовой (реже
логарифмической) спирали.
Пружины, свитые по архимедовой спирали, сохра-
няют в плане между проекциями витков, вне зависимо-
сти от их радиуса, равные просветы. Такие конструк-
ции пружин отличаются большей компактностью.
Уравнение образующей и уравнение проекции оси вит-
ков в плане полностью определяют геометрию оси витков.
Чтобы окончательно охарактеризовать пружину,
Фиг. 679. „Телескопиче-
ская “ пружина.
надо еще задать форму и размеры поперечного сечения витков.
Обычно витки имеют круглое поперечное сечение.
Телескопические пружины (фиг. 679), воспринимающие большие нагрузки
(буферные пружины), навиваются из полосовой стали прямоугольного сечения
с большим отношением сторон.
Характерной особенностью фасонных пружин (фиг. 680, а) является следую-
щее обстоятельство: при их нагружении наибольшие деформации, а следова-
тельно, и изменение угла подъема имеют место у витков наибольшего радиуса.
Фиг. 680. Посадка витков фасонной пружины:
а — недеформированная фасонная пружина; б — деформированная фасонная пружина с .посаженными" друг
на друга витками; в — характеристика фасонной пружины, отражающая наличие посадки витков.
Это может привести последние в соприкосновение с опорной поверхностью
или друг с другом (к посадке витков), вследствие чего они фактически выклю-
чаются из работы, поскольку их дальнейшее деформирование сильно стеснено,
в то время как остальные витки продолжают деформироваться и перемещаться
свободно (фиг. 680, б).
В некоторых случаях при специально подобранных, в соответствии с видом
спирали в плане, углах подъёма можно получить посадку, начиная с витков
малого диаметра.
При наличии посадки витков жесткость пружины в процессе деформации
постепенно возрастает, и ее характеристика получает вид, представленный на
фиг. 680, а.’
49
772
Расчет витых пружин
А. Основные разновидности фасонных пружин
Конические пружиньг
У пружин этого вида образующей поверхностью является коническая по-
верхность.
Различают два основных типа конических пружин: пружины с постоян-
ным углом подъема (фиг. 681, а) и пружины с постоянным шагом (фиг. 682, а).
Конические пружины с постоянным углом подъема (фиг. 681)
Развертка оси витков пружины представляет сббой прямую линию
(фиг. 681,6).
Принимая за начало координат вершину В конуса с углом раскрытия ф и
направляя ось z по оси пружины вниз, устанавливаем, что центр произволь-
ного сечения витка, координата которого равна г, отстоит от оси пружины на
расстоянии

Расчет фасонных витых пружин
773
С другой стороны,
z = s tg а,
где s — длина дуги спирали (фиг. 681, а), отсчитываемая от начала координат
до рассматриваемого сечения.
Тогда
Ф
r^stgatg^-
или
$ = Аг и ds — Adr,
где
A = ctgactg|-.
В полярной системе координат длина элемента дуги спирали
ds = ]/(rdtp)2 -j- (dr)2 ,
откуда
и после интегрирования
г = У А* — I .
r dy *
'р
где С — произвольная постоянная.
Таким образом, у конической пружины с постоянным углом подъема проекция
оси витков » плане имеет вид логарифмической спирали.
Условимся полярный угол ф отсчитывать от наименьшего радиуса пружины
тогда постоянная интегрирования С определится из условия, что при ф = 0
r = rv откуда С = г}.
При cp = 2tcZ, где I—число витков, радиус г достигает значения г2; тогда
Г2 =
откуда
и уравнение спирали в плане примет вид r = rxem:i. Величина А2 во много
раз больше единицы, поэтому можно принять, что т»-^-,т. е.
А
Свободная высота пружины
Ho = (r2 — rt)ctg^.
Шаг пружины h меняется в зависимости от угла ср:
. и == rxem<* (e2nm — 1) ctg y
Полная длина дуги спирали S в плане на участке от ср = 0 до ср = (т. е.
от гх до г2) равна
2iti ---------------------------------------
5= j ]А2 + — г,)-
О ,
774
Расчет витых пружин
Длина проволоки, образующей рабочие витки пружины» f
Z==-^—.
CDS а
Конические пружины с постоянным шагом (фиг. 682)
У пружин этой конструкции радиус спирали при увеличении полярного угла ср
на возрастает на постоянную величину h tg ~ , i де ф — угол раскрытия обра-
зующего конуса, следовательно
Примем, что при ср = О г = г1, тогда C = rv
При
ср = 2тс/ г — г2.
Это условие позволяет написать, что
2к 2п1
и
Г = Г, + Лр.
Таким образом, в плане проекция конической пружины с постоянным шагом
представляет собой архимедову спираль.
Легко показать [5], что развертка конической пружины с постоянным шагом,
при условии малости угла подъема, приближенно представляет собой квадратную
параболу (фиг. 682, б).
Наименьший угол подъема имеет место при г=г2, наибольший — приг = г1.
Обычно наибольший угол подъема не превышает 6—8°.
Полная длина дуги архимедовой спирали в плане на участк? от ср = О до
ср =. 2ni (т. е. от г1 до г2) равна
S ж (г2 4-
Длина проволоки, образующей рабочие витки пружины,
cos аСр
t
Параболоидные пружины
Широко распространены фасонные пружины, проекция оси витков которых
в цлане имеет вид архимедовой спирали:
где
а угол подъема а витков постоянен (фиг. 683).
Легко показать, что образующей поверхностью таких пружин является пара-
болоид вращения.
Действительно, длина дуги архимедовой спирали на участке изменения
полярного угла от 0 до ср (т. е. от гх до г) равна
где, как и раньше, радиус г, соответствует углу ср » 0.
Расчет фасонных витых пружин
775
Координата z (фиг. 683,#) центра поперечного сечения
равна
витка при угле ф
Z = tg а =----------2------“•
Исключая из зависимостей, выражающих и х, угол <р, имеем
z
й—tga.
Таким образом, уравнение, связывающее координаты z и г, есть уравнение
параболы, вершина которой лежит при
ri
гв = —2Ftga,
т. е. выше витка с радиусом гх (фиг. 683, а).
Шаг h исследуемой пружины переменный:
h ~ 2тс (г -j- ~t) tg а,
он увеличивается с возрастанием радиуса г.
Полная длина дуги архимедовой спирали S в плане определяется так же,
как для конической пружины с постоянным шагом. Длина проволоки, образую-
щей рабочие витки пружины,
COS а
Б. Расчет фасонных пружин на прочность
Фасонные пружины сжатия рассчитываются на прочность по формулам (60)
или (69) для витых цилиндрических пружин растяжения — сжатия, в которые
вместо диаметра D следует вносить 2грасч < Грасч <
776
Расчет витых пружин
Грасч — радиус наибольшего свободного витка, т. е. радиус наибольшего витка
из числа тех, которые при расчетной нагрузке еще не сели на опорную поверх-
ность или на соседние витки.
Если посадка витков еще не имеет места, что соответствует значению нагрузки
Р Рн. ТО грасч = Г2*
Если посадка началась, то Р^>Рн.п и
грасч = гпос ~ f ,
Рн.п— осевая нагрузка, при которой начинается посадка витков;
гпос — РаДиУс элемента витка, который садится при рассматриваемой нагрузке Р;
таким образом, этот радиус зависит от величины нагрузки Р.
Методика определения гпое изложена в разд. Г этого параграфа.
Входящие в формулы (60) и (69) коэффициенты k и ф определяются в рас-
сматриваемом случае кривизной витка в расчетном сечении при граСч •
В ряде случаев следует дополнительно проверить напряжения в севших вит-
ках по нагрузке, соответствующей моменту их посадки.
При проверочном расчете на прочность следует, помимо вычисления напря-
жения витков наибольшего радиуса, проверить напряжения и у витков с наи-
большей кривизной, используя те же формулы (60) и (69).
В этом случае в эти формулы вместо диаметра D вносится значение 2гр
. , , . 2гг ( 2ri\
а коэффициенты k и ф определяются индексом с — --± (или
Во избежание перенапряжения внутренних волокон витков меньшего диаметра
их индекс с не должен быть менее трех.
При желании более рационально использовать материал, фасонные пружины
можно навивать из заготовок переменного сечения, меняющегося в соответствии
с радиусом витка.
Практически в этом случае удобно использовать полосовую сталь переменной
ширины b .
В. Жесткость фасонных пружин основных типов *
Поскольку угол подъема витков фасонных пружин обычных конструкций
незначителен, можно принять, что при нагружении пружины осевой силой Р
внутренние силы в сечениях витков в основном приводятся к поперечной силе,
которая во внимание не принимается, и к крутящему моменту
Mt^Pr.
Для отыскания осевого перемещения удобно воспользоваться интегралом
Мора (89).
Прикладывая единичную осевую силу, находим
тогда в соответствии с формулой (89) имеем
где С — жесткость витков при кручении (для проволоки круглого сечения
C=GJp).
Принимаем, что ds —rd®.
Легко заметить, что в рассматриваемом приближенном решении осевое пере-
мещение торцов пружины не зависит от угла а подъема витков и в основном
определяется проекцией оси витков на плоскость, перпендикулярную к оси пру-
жины, т. е. функцией г = /(<р).
Расчет фасонных витых пружин
111
Для пружин, проекция которых имеет вид архимедовой спирали
4-
получаем
, dr
</<₽ =—•»
где
^2—
Тогда, предполагая, что посадка витков еще не началась (т. е. Р^РН п),
имеем
^арх —• J
о
f MfMtlds _ f Pr3dr
tC
4tC
(111)
или, заменяя t его значением,
^арх
получаем
кР/ (г2 4- П) (г| + Л}
2С
(П1а)
с
Г = Г}ет(?,
dr dr
тгге^ '
1 1 г2
т = — In — .
Для пружин, проекция которых в плане имеет вид логарифмической спирали
получаем
*
где
откуда, при условии что Р < Рл п,
I Гч
. _ С MtMnds _ С РгЫг
лог — J с J тС ~~ ЗтС
и г.
Сопоставим осадку фасонных пружин с осадкой к цилиндрической пру-
жины диаметром D =• 2г2, рабочие витки которой свиты из заготовки такой же
длины и того же профиля, что и у фасонных пружин, тогда получим
f1 + 1 (ИЗ)
Крх~^ [i -н (?;)]» О14)
откуда следует, что
Кюг < ^арх < \ил'
Таким образом, фасонные пружины обладают большей жесткостью, чем сопо-
ставляемая с ними цилиндрическая пружина. Из числа рассмотренных пружин
наибольшей жесткостью обладают те из них, проекция которых в плане имеет
вид логарифмической спирали.
Фасонные пружины при нагрузках Р < Рн п, т. е. до посадки витков, имеют
прямолинейную характеристику, поэтому потенциальная энергия U, накопляемая
этими пружинами в процессе деформации, при нагрузках Р^РН п равна
= (115)
I 1
Формулы для расчета конических и параболоидных пружин при Р^Рн.п
Таблица 80
Форма поперечного сечения витка то в кг1сл& Жесткость параболоидных пружин и конических пружин с постоянным шагом (Л « const) р 2= -у в кг)см Жесткость конических пружин с постоянным углом наклона витков (а -» const) р Z= у в кг)см Потенциальная энергия параболоидных и конических пружин с постоянным шагом (Л = const) U в кгсм Потенциальная энергия конических пружин с постоянным углом наклона ВИТКОВ (a ss const) U в кгсм
т 16^2 4 Ж<*8 т с j ^2 т° 5,1 д3 z . Grf4 16Z(r2 + ri)(^ + rJ) v 0,294 Gmd 4 „ |ПЧ т~ 2к1 и оо *— С) ОЬЭ + 1 u-l-i a v* 4ЧМЯУ]
— а — 1 * <3 1 , Рг3 0 0,208а3 л о Ргг т0«4,8-^- z Ga* ~11,131 (M-nX'i + 'l) и - 0,077 -^-х и -0,0513-^- V X
«а е» 1 Ось пружины * т “ Са26 „ f 2Pr3 z Ga* 2Az (r2+ А'1)(/'2 + Г1) „ Зт\Ота^Ь " ('f-'П X <77; <v> о ^[5 » Г X и JL , у у и 3 G Л
Примечания: L V - объем, занимаемый рабочими витками пружины г2 — наибольший, г} — наименьший радиус рабочей части витков пружины. 2. т0 — наибольшее касательное напряжение в поперечном сечении витка при г = г%, без учета его кривизны. 3. Значения коэффициентов Ми? приведены в табл. 74 в зависимости от отношения , коэффициенты С и т| даны графиками на фиг. 641.
Расчет витых пружин
Расчет фасонных витых пружин
779
Формулы для расчета конических и параболоидных пружин с витками раз-
личного поперечного сечения при нагрузках Р < Рн п приведены в табл. 80.
При Р > Рн п все рассматриваемые пружины имеют криволинейную характе-
ристику с монотонно увеличивающейся жесткостью (см. фиг. 680), и выведенные
выше формулы (111а) и (112), а также формулы табл. 80 не могут быть исполь-
зованы.
Г. Теория посадки витков витых пружин
Посадка витков цилиндрической пружины сжатия с точно выполненным посто-
янным углом подъема а происходит при полном сжатии пружины одновременно
во всех витках. Характеристика такой пру-
жины— линейная. Моменту полного сжатия
пружины соответствует резкий излом харак-
теристики (фиг. 684).
Фиг. 684. Цилиндрическая винтовая
пружина сжатия и ее характеристика.
Витки фасонных пружин, как
Фиг. 685. Коническая пружина и ее харак-
теристика
уже указывалось, садятся, вообще говоря,
постепенно, и характеристика такой пружины с момента посадки витков стано-
вится нелинейной.
На фиг. 685 приведена кониче-
ская пружина и ее характеристика.
На фиг. 686 представлена фасон-
ная пружина, состоящая из цилин-
дрической и конической частей.
На характеристике этой пружины
первый ее излом в точке А соответ-
ствует полной посадке _витков_ ди-
линдрической части пружины. После
этого характеристика остается еще
линейной (участок АВ), но пружина
имеет уже большую жесткость.
Точка В соответствует началу
посадки витков в конической части
Фиг. 686. Фасонная пружина, состоящая
из конической и цилиндрической частей,
пружины, когда характеристика ста- и ее характеристика
новится криволинейной. При завер-
шении посадки всех витков криволинейный участок ВС характеристики пере-
ходит в прямую, параллельную оси Р (фиг. 686).
В зависимости от шага цилиндрической и конической частей пружины точка А
излома характеристики может, сместиться на диаграмме в ту или другую
сторону.
Общая теория расчета пружин с учетом посадки витков была разработана
Е. П. Поповым [12].
Изложим кратко основные положения этой теории.
Ограничимся рассмотрением витых пружин малого угла подъема.
780
Расчет витых пружин
В этом случае можно принять полярный радиус спирали в планё равным
радиусу кривизны витков и считать, что при сжатии пружины радиальными пере-
мещениями точек оси витков можно пренебречь, т. е. что элементы пружины
получают только перемещения вдоль оси пружины.-
Эти допущения равноценны предположению, что форма спирали в плане
в процессе сжатия пружины не изменяется.
Примем также, что витки, севшие на опорную поверхность или на прилежа-
щие витки пружины, полностью теряют при дальнейшем нагружении способность
деформироваться. Таким образом, процесс деформирования витков заканчивается
в момент их посадки.
Вид спирали в плане задается уравнением
справедливым для любого момента процесса нагру-
жения, причем
Р
Фиг. 687. Фасонная пружи-
на. отнесенная к цилиндри-
ческой системе координат.
Координата z0 может
Уравнение меридионального сечения образующей
поверхности нагруженной фасонной пружины опре-
деляется функцией
z = z(r),
зависящей от величины осевой нагрузки.
В частности, форма ненагруженной пружины за-
дается уравнением
•?0 = Z0(r).
Координату z в цилиндрической системе коор-
динат удобно отсчитывать от плоскости опорного
витка меньшего радиуса гх (фиг. 687).
Полярный угол ср также отсчитываемся от этого
радиуса.
Пределы его изменения 0 < <р С 2г/.
вменяться от нуля до свободной высоты пружины
Щ (0 4 20 < «о)-
Обозначим осадку пружины, соответствующую началу посадки при на-
грузке через
Нагрузку и осадку при полной посадке всех витков обозначим соответ-
ственно Рк п и п. ~
Радиус витка гпос, где в данный момент^ процесса нагружения происходит
посадка, зависит от величины нагрузки
rnoc = fW-
Встречаются следующие основные случаи посадок витков:
1. Прямой монотонный процесс, когда витки начинают садиться с наиболь-
шего радиуса, а затем постепенно происходит посадка всех витков, вплоть до
наименьшего (при Р = РН. „ гпос = г2, при Р — Ркrnoc = rt).
2. Обратный монотонный процесс, когда посадка витков начинается с наи-
меньшего радиуса и процесс посадки также монотонно охватывает все витки
вплоть до наибольшего (при Р = РЧ п гпос — гх, при Р = Рк п гпос = г2).
Оба эти процесса в равной степени вероятны, однако первый из них пред-
ставляется более естественным и действительно имеет место в подавляющем
большинстве практически встречающихся случаев.
В частности, прямой монотонный процесс посадки наблюдается у пружин
конических и параболоидных, проекция которых в плане имеет форму архиме-
довой спирали.
Расчет фасонных витых пружин
781
При г2 — rx^>dl (или г2—1\ > al) витки, начиная с большего, монотонно
садятся на опорную плоскость, а при г2 — r}<Zdl (или г2 — < al) — друг
на друга.
Возникновение обратного процесса посадки возможно лишь в случае, когда
витки малого радиуса имеют особенно малый угол подъема; только в этом
случае эти витки садятся в первую очередь.
Возможны также случаи возникновения и немонотонных процессов посадки,
например когда сначала садятся промежуточные витки, а затем крайние. Так,
например, ведут себя некоторые конструкции конических пружин с постоянным
углом подъема витков, проекция которых в плане имеет форму логарифмиче-
Фиг. 688. К теории посадки витков фасон-
ных пружин по Е. П. Попову.
ской спирали (см. фиг. 681).
Подробное исследование этих вопро-
сов приведено в работе [11].
Обратимся к исследованию прямого
монотонного процесса посадки.
Фиг. 689. Предельно сжатая
фасонная пружина.
Если шаг t спирали в плане во всех сечениях больше диаметра d проволоки,
т. е. если
/ = г(<р 2к) — г (<р) > d,
то возможна посадка витков на опорную поверхность в форме любой поверх-
ности вращения, соосной с пружиной. При этом опорная поверхность назы-
вается посадочной поверхностью.
В том случае, когда t < d, витки садятся друг на друга.
Образующую ЛпВп (фиг. 68&) посадочной поверхности фасонной пружины
удобно представить уравнением
(И. U16)
приняв, при прямом процессе посадки, за начало отсчета ординат точку О,
(фиг. 688).
Тогда справедливы соотношения
Ч(г1)=0;
к) (гг) = Нк>
где Нк — высота полностью сжатой фасонной пружины.
При посадке витков. друг на друга за кривую (г) следует принять обра-
зующую предельно сжатой фасонной пружины, т. е. кривую АпВп на фиг. 689.
В этом случае аналитическое выражение функции i;(r) можно установить
из следующих соображений.
782
Расчет витых пружин
При возрастании полярного угла ф на бесконечно малую величину Дф ось
витка, севшего на соседний виток, продвинется вдоль по образующей посадоч-
ной поверхности на расстояние (фиг. 689)
Д8 = -А Дф,
где d — диаметр проволоки.
Приращению дуги Д8 соответствует смещение вдоль оси ц, равное
Дт! = /(Д8)2-(М8 = V(4)2 (£) ~ 1 • АЛ
тогда
rt
Производная , входящая в уравнение (116а), определяется формой \ спи-
рали в плане.
Для цилиндрической пружины с неравномерной навивкой функция ц должна
быть представлена в зависимости от полярного угла ср и шага полностью сжатой
пружины, равного диаметру проволоки.
В этом случае
4 = ^?- (1166)
Наконец, для фасонной пружины при
t>d возможен случай посадки витков на
опорную плоскость, тогда
ц — 0.
Рассмотрим некоторый элемент ds витка
фасонной пружины.
Учитывая малость угла подъема витков
и медленность возрастания радиуса спирали
в проекции пружины, можно принять, что
ds = rd®.
При нагружении пружины некоторой силой Р начальный угол подъема а0
элемента ds витка уменьшается на величину Да:
Фиг. 690. К выводу уравнения тд = т)(г)
образующей посадочной поверхности,
в случае посадки витков фасонной
пружины друг на друга.
где d\ — часть осевого перемещения к торцов пружины, связанная с деформа-
цией рассматриваемого элемента витка.
Согласно формулам (26 а) и (23).
откуда
Да = ^. (117)
В соответствии с предложением Е. П. Попова введем в рассмотрение вспо-
могательную функцию
ins.
Расчет фасонных витых пружин
783
тогда осадку dk можно выразить следующим образом:
dk = Pt(r)dr.
(И9)
Чем больше величина при заданном значении г, тем меньше осадка dk,
определяемая участком ds витка. Таким образом, отношение g•— характери-
зует жесткость участка витка ds, расположенного на радиусе г.
Начальный угол подъема витков а0 может быть выражен из уравнения
дионального сечения образующей поверхности ненагруженной пружины
следующим образом:
мери-
ло (г)
__dzQ dzn 1 dr
°0 ds dr r dy
(120)
Исключая из соотношений (118) и (120) производную , имеем
____ 1г2 dzb
a°~T(r)~C~dr'
(121)
Угол подъема того
поверхностью равен
же элемента витка при его совпадении с посадочной
____d-ц___ dr d-ц_ 1 г2 d-ц
(Х'п ds rdy dr k(r)C dr
(122)
С другой стороны,
при посадке
ал = ао — да.
(123)
тогда, согласно выражениям
следующее соотношение:
[ 1
L £ (И dr
(117), (121) и (122), при г=гпос имеет
<*(?<>-
пос
место
(124)
справедливое при Рн п < j
Введем в рассмотрение
к. л*
функцию
C(r) = Z0(r) —1)(г),
(125)
посадочной функцией".
названную Е. П. Поповым
[Функция С (г) меняется в пределах от С(г1)==О до Z(r2) = HQ— Нк}.
При использовании этой функции выражение (124) принимает вид
Р==_!_ (£\
%(ГПОс) \dr)r Гпос
(126)
Уравнение (126) является основным уравнением теории посадки витков. Оно
устанавливает зависимость между усилием Р и радиусом гпос, на котором в дан-
ный момент происходит посадка витков.
Из определения прямого монотонного процесса посадки следует, что
Рн п = Р (г2), а Рк п=Р (rj, где функция Р (г) представлена зависимостью (126).
При постепенном увеличении нагрузки (dP > 0) расстояние от оси пружины
до места посадки (радиус посадки) убывает, поэтому монотонность прямого
процесса посадки определяется условием
dP_ _ d Г 1 rfC
dr dr [ £ (r) dr
(127)
Кроме того (фиг. 688),
0.
(128)
784
Расчет витых пружин
Только при соблюдении условий (127) и (128), установленных из чисто
геометрических соображений, возможен прямой монотонный процесс посадки.
Почти у всех практически применяемых конструкций фасонных пружин наблю-
дается прямой процесс посадки, так как большей частью принятые наиболее
конструктивные геометрические параметры этих пружин удовлетворяют условиям
(127) и (128).
Поскольку для цилиндрических пружин с переменным углом подъема витков
за независимое переменное принимают полярный угол ф, то все аналитические
зависимости, определяющие процесс посадки, принимают другой вид, а именно:
PD3 .
" 8С
PD1
(И7а)
а0==^ = ^» 2 ; ' (121а)
u ds dy D 9 ' 7
(122а)
В момент посадки, как и в случае фасонных пружин, соблюдается условие
(123), откуда
/ dzo\ _______ d___ PD3
W = 2k“~ 8C
(124a)
Это и есть условие посадки для цилиндрических пружин, устанавливающее
связь между силой Р и координатой упос точки, в которой происходит посадка
витков при рассматриваемой нагрузке.
Угол ф отсчитывается от радиуса, в котором заканчивается посадка.
Поэтому по формуле (124а) сила в начале посадки равна
р __ 8£ [ / ____
= 2т.
(1246)
Сила при полном сжатии пружины
= 8С(/^\ _£1
D3\\dy)* = o 2kJ ’
(124в)
Для обеспечения монотонного процесса посадки на геометрические параметры
цилиндрической пружины переменного шага должны быть наложены следующие
два ограничения: ., .
1. Наименьший угол подъема а0 у крайнего витка, где начинается посадка
(при ф = 2rcZ), должен быть больше ал, откуда следует, что
(128а)
\dy 2те v 7
2. Угол подъема проволоки пружины от сечения, в
посадка (при ф = 0), должен монотонно уменьшаться, т.
котором заканчивается
е. необходимо соблю-
дение условия
< Q
dy
Д. Построение характеристики фасонной пружины
а
Как известно, под характеристикой фасонной пружины понимается зависи-
мость ее осадки К от осевой силы Р.
Осадка пружины может быть определена путем интегрирования выражения
(119) по радиусу г в пределах рабочих витков.
Расчет фасонных витых пружин
785
До наступления посадки витков (Р < Рц.п> осаДка пружины
k = Pp(r)rfr, (129)
при этом ее жесткость
Z = 7-—!---- (130)
fc(r)dr
Г1
величина постоянная.
В начале посадки
*«.» = -%*. ' (131)
где Рн п определяется из уравнения посадки (126). [При прямом процессе
посадки Рн л = Р(га).]
При дальнейшем увеличении нагрузки и наличии посадки рабочими витками
являются лишь те витки, радиус которых при прямом процессе лежит в пре-
делах от г, до гпос.
Для получения полного осевого перемещения необходимо учесть еще осадку
уже посаженных витков.
Тогда для прямого процесса при Рн п<.Р < Рк. п (см. фиг. 688) имеем
X = Р 'ft(г) dr + [Яв - z0 (гпос)] - [Нк - 71 (Гяос)1, 0 32)
где
* *0 (^посУ Ч (гпос) ~ (гпос)
и
А tf0-//K^C(r2);
поэтому
X = Р J Т« dr 4- с (г8) - С (гпое). <132а>
Г1
Выражение (132а) совместно ^уравнением посадки (126) дает в параметри-
ческой форме характеристику пружины на нелинейном участке.
Если исключить из зависимостей (126) и (132 а) радиус посадки гпос, играю-
щий роль параметра, то полученное таким образом уравнение в явном виде
определит криволинейный участок характеристики фасонной пружины.
„. Жесткость Z пружины, работающей в условиях посадки витков, определится
из уравнения (132а) как
Дифференцируя уравнение (132а), имеем \
J (183)
Заметим, что первое слагаемое правой части уравнения (132а) продифферен-
ГПОС
цировано как произведение двух функций Р и J i(r)dr, причем .последняя из
л
них является сложной функцией и поэтому она продифференцирована сперва
по верхнему пределу гпос, а затем уже по силе Р. .
Второе слагаемое в правой части уравнения (132а) — величина постоянная.
50 Порбмарев и др. 407
786
Расчет витых пружин
Теперь из зависимости (133), учитывая основное уравнение посаДки (126),
получим
z==^-=-r-1----------• <134)
ак гпос
$t(r)dr .
Таким образом, в начале посадки, при rnoc = r2t жесткость совпадает с жест-
костью свободно сжимаемой пружины, и поэтому характеристика в момент
начала посадки витков не имеет излома.
В конце посадки, когда rnoc = rp Z == оо и характеристика пружины касается
прямой, параллельной оси, со шкалой нагрузок Р (см. фиг. 685 и 686).
Для цилиндрической пружины с неравномерной навивкой до начала посадки
витков (0 < Р < Рп п) согласно формуле (28в) осевое перемещение выражается
соотношением
х nPDzi
После начала посадки, идущей при прямом процессе, осевое перемещение Л
по аналогии с формулой (132) [см. также зависимость (118)]
* = 7^<РЯ0С + [«о-г0(?лос)-^-^)ф (135)
где (i— "57s)— количество севших витков.
Напомним, что угол <р отсчитывается от торцевого витка, у которого закан-
чивается посадка.
Выражение (135) совместно с (124а) дает уравнение характеристики цилин-
дрической пружины при наличии посадки витков.
Пример. Выведем уравнение характеристики параболоидной пружины (см. фиг. 683)
при посадке витков на опорную плоскость.
Это возможно при условии, что г2 — гг > di.
Для рассматриваемой пружины уравнение спирали в плане е
Г « Г1 +
где
Г2 —
1 я 2л/ •
Уравнение образующей
г2 —г?
e 2Z а°*
До начала посадки (0 < Р Рн п) осевое перемещение связано с нагрузкой уравне-
нием (111а).
Перейдем к исследованию процесса посадки.
Составим вспомогательные функции [см формулы (118) и (125)]:
z г8 ( 2izi \ г3
6(г) “ С\r2 — ri ) “ сГ
и
Г2 — 7*1
—2t~^a^
[Tj(r) = O, так как пружина садится на опорную плоскость].
Исследуем эти соотношения.
Имеем
dZ г
^ = 7tgao>0
и
/ r_L^l _ _2С^
dr U (И <fr]--г»
i
Расчет фасонных витых пружин
787
Знаки неравенств, справедливые при любых значениях радиуса г, показывают, что
имеет место прямой монотонный процесс посадки витков [см. зависимости (128) и (127)
Уравнение посадки (126) в рассматриваемом случае принимает вид , _
Kif3n0C <г» + Гд
(126а))
Посадка витков начинается при нагрузке
и заканчивается при нагрузке
о СН*
к"~ Klr^ + rj - * ’
где
В процессе посадки расчетный радиус из формулы (126а)
г _ 1 Z = r *
гРасч-гпос- у niPffi + rJ * V Р
Осадка X по формуле (132а) равна
— 1г4
4Ct \гпос
2 гпос
г2 Ч
Подставляй в последнюю зависимость значение гпос после преобразований, полу-
чим уравнение характеристики пружины при РНа п<^Р^ Рк. л:
Х= 2(1 — и2) [2 — “
Зависимости (111а) и (136) позволяют построить характеристику пружины от начала
нагружения до полной посадки витков.
Подобным же образом задача может быть решена как при посадке витков на любую
поверхность вращения (г), так и друг на друга (при условии, что г2 — Ч < di)-
Все необходимые данные для расчета конических и параболоидных пружин*
с учетом посадки их витков приведены в табл. 81.
Е. Проектирование витых пружин по заданной характеристике
При проектировании пружин приборов и некоторых автоматических устройств
иногда бывает необходимо создать пружину, упругая характеристика которой
удовлетворяла бы определенному заданному уравнению
Р = Р(к). (137>
Естественно,, что подобного рода задача не имеет единственного'решения;
Руководствуясь конструктивными и технологическими соображениями, можно;
например, произвольно выбрать форму посадочной поверхности и вид проекции*
пружины в плане или величину угла подъема витков, чтобы затем- определить
форму образующей у оправки
при которой в установленных условиях пружина будет иметь нужную характе-
ристику.
[Предполагается, что заданная уравнение.м (137) характеристика определяется
монотонно возрастающей функцией.!
Подробное рассмотрение различных вариантов подобной- задачи приведена
в работах’Е. П. Попова [12].
5Г
788
Расчет витых пружин
।
формулы для расчета конических и параболоидных
Виды пружин Величины определяемыеX по формулам X таблицы X Параболоидная пружина Коническая
(Га — /•*)> (A-rtXM (Г1 — Га) > W
Сила, при ко- торой начи- нается посадка < витков р СН* н’п я/fa + П) d Р -С ( Но нт\ яп 2rJ р сн* *-* 2^
• Сила, при ко- торой вся пружина сжимается до предела р е= Р”*п п*= п2~ Р С f "о к‘п lUrfU + ri 2гJ Р BSS Рп* п к-п п*
Осадка пру-, жины под действием силы Р(О<Р<Р«.Я) Рк.1 (ri + ri) ta + n) 2С
Осадка, соот- ветствующая началу посадки витков (при р=/>«.») ^я = О.5(1.+ п2)Яо ^н. п яя* Рн. niti ('2+г1) (га+п) я —0.25.(1 +«2)Х X (1 + л) Но *
2С
.. Осадка под действием силы Р (Рн.п<Р<РК.п) 1 —. °*5Я0 (о Рн. п 1-/Д~ Р~ -Л*) Для малых п X 's 5^-7; 11 1 । С eclQ' °' 1 Й V 5 н й W о Ь 1 . N3 1 СД ч’# л> г
Наибольший крутящий мо- мент при Р». П^Р^Рк. П (для подсчета напряжений) и значение гпос Мкр « г2У PlP Гпос « ъУ 3
Рн. пР Г - 1/^Рн. п гпос — г2 у рГ" Мпр^ггУРп.пР» г = г \/~Н‘п гпос г2 у р
Вид пружины в плане Архимедова спираль г « + —Гг9 f
Примечание. HQ — свободная высота пружины; г2 — наибольший радиус ра- бочей части витков пружины при Р < Рн. и — наименьший радиус рабочей части витков пружины; 1 — число рабочих витков;’ d — диаметр проволоки.
Расчет фасонных витых пружин
789
пружин с витками круглого сечения
Таблица 81
нружина h =*= const Коническая пружина % м const
(K — rt) < id r'>rm r'<rm
(Г2—Г1) < id
p C(H0-Hm) СНдГП *Н.П J" / ^(Г2 —П) • P ess Г П О I ^2 [/г — rl - У г \ ZTcm.T2/ I
P —- ^H'n ^K-n n* Р _ п “ ~^Г Р =«= F _ 1 / / d \2 * " L 2~”Г1 \2nmrJ

Лж.„-.0,25(1 +n*)X ха + лняо-я,») 1 (1-Л3) И к*'п~ 3 (1-/1)'"°
1 —П \ -31/^ P_ J V p Рк.п ! 3 я°/о А - 1 _ „ V*- 2Vpp‘ Z,”1) — x“ ’z? x где p Ст(Н9—Нт) 1 гЦгг—Fj) 1
3 М^-ггУР«.иР2 - -& Гр » _ П/ *н»п гпос “ у р~ ^pef2 К РнлР ». 1/ п гпос г2 у р — MKO*r2V7\P 1/7? i Гпос ^r2 у -p-
Логарифмическая спираль j
. Нм-.... .. ; . toAr./i rf _ < £1. л= r2 rm“ 2^(1+™») 2wZ
/ } i -> \ > — ’
790
Расчет витых пружин
посАдка проис-
(138)
Рассмотрим в качестве примера часто встречающийся случай, когда
>ходит на опорную плоскость т| (г) = 0 и пружина имеет постоянный шаг.
В этом случае (см. фиг. 682)
....
2x1 '
Для прямого процесса посадки в соответствии с формулами (132а) и (134)
h — Р == £ (г2) С (гпосУ' (139)
Эта зависимость при условии посадки на опорную плоскость и h — const [см. формулу
XI38)] принимает вид
Х-р-^-Но-Н^' <139а>
Руководствуясь заданным уравнением (137) характеристики, осадку Л и -jp в левой
части соотношения (139а) можно выразить через соответствующую им нагрузку Р. Это
дозволит связать нагрузку с полярным углом упос, координирующим точку посадки.
Решая уравнение (139а) относительно Р, получим
Р=Р(<?поЛ (140)
•С, Другой стороны, согласно формулам (124), (118) и (138), имеем
р___________________________яос
5 (глос) \dr )r “rtioc t^toc J^ = ,fnoc 2ягга„
«ли
я М>£
пос — 2niP 9
(141)
(141а)
еде Р = Р (чпос)* что устанавливается соотношением (140).
Выражение (141а), представляющее собой, уравнение спирали в плане, совместно
е уравнением (138) дает в параметрическом виде (при параметре ? « пос) зависимость
•г0 = Ш , . _
Таким образом форма фасонной пружины определена. <
Аналогичным способом могут быть решены и другие подобные задачи [12].
Рассмотрим конкретный пример из области приборостроения.
Требуется спроектировать пружину равнрчастотного амортизатора^ В этом случае
частота собственных колебаний нагруженной пружины не должна зависеть от присоеди-
ненной массы/
Теория равночастотных амортизаторов подробно разработана Ю. И. Иориш [3].
Изложим основные моменты этого расчета.
Как известно, круговая частота со собственных колебаний системы с одной степенью
свободы, равна ' ’ _
' . —/s. . . ............О®
.где Z — жесткость упругого основания; -
m—масса колеблющегося груза Р. '
Требование равночастотности при малых амплитудах можно выразить соотношением
о Z
1 <Оа = — = const,
откуда
и
_ dP <л*Р
Z= Ок “ g
ХоЯ
Р =• Ае~ё~.
При присоединении к пружине амортизатора наименьшей
массы IM, — —
(143)
где Xj — осадка пружины при нагрузке Р,.
Расчет фасонных витых пружин
791
В интервале нагрузок 0 < Р < Рг характеристика пружины остается линейной. Ее
жесткость при этом определится как
тогда, поскольку
2 И Z1 g
<02 = — — ----- = Т---.
ТП 9
имеем
Теперь можно определить постоянную интегрирования Л:
Х,ш2
Pi = Ае 8 = Ае,
откуда
поэтому
А~Рге \
Р~Р,е
(144)
Переходим к определению формы пружины zQ = z$ (г), предполагая, что посадка
витков происходит на опорную плоскость, при этом характеристика пружины должна
удовлетворять уравнению (144)
Допустим, что по технологическим соображениям шаг пружины избран постоянным
h = const;
тогда, по выражениям (139а) и (144), учитывая, что
__________________________________________g
dP________________________________________(——й *
е '
имеем
1 \ \ Р I_r У пос
(145)
1 (и
HQC
По формулам (138), (145) и (141)
г» Т Г» S 1 Т1 S ,
г« = Л/° 2й |пР^ =” ^0 — -^2 2п1гзрг »
но при г — Г1 z0 = 0, откуда по формуле (146)
и Х1п
"° <*2 2^Р:
(146)
(147)
Подставляя в зависимость (146) вместо первого слагаемого в правой его части вы-
ражение (147), получаем уравнение образующей
*0=з51п
(148)
Экспериментальное изучение колебаний пружин, навитых с постоянным шагом на
оправку, построенную в соответствии с уравнением (148), подтвердило правильность
полученного решения.
Ж. Графический метод проектирования пружин по заданной
характеристике
В тех случаях, когда характеристика пружины задана графически или
таблично, удобно воспользоваться графическим методом проектирования оправки,
также разработанным Е. П. Поповым [13].
Допустим, что характеристика пружины представлена графически в виде
кривой 0J2 (фиг. 691).
792
Расчет витых пружин
Заметим, что может быть задана любая криволинейная характеристика, под-
чиняющаяся следующим требованиям:
Предполагается, что значения усилий Рн п и Рк п, а также соответствую-
щие им осадки п и \к п заданы. Из требования а) вытекает, что жесткость
пружины должна удовлетворять
Фиг. 691. Графические Построения при проектировании фасонных
пружин с монотонно возрастающей жесткостью, по заданной нели-
нейной характеристике.
Вопросы связанные с проектированием систем пружин, у которых < О»
подлежат специальному рассмотрению [9]*
Примем, что вид спирали в плане
г = г(ф).
а также начальный г, и конечный л2 радиусы выбраны из конструктивных
соображений.
Диаметр проволоки d определяется из условий прочности.
Построим теперь графически образующую оправки для навивки требуемой
пружины.
Порядок построения. Если в произвольной точке (фиг. 691, а) заданной
характеристики 012 провести касательную DE к кривой 012, а затем восста-
вить перпендикуляр EF к оси К, то отрезок (DF) = Р •
Кроме того, отрезок
(LF) = (K£)-(/<D) + (DF),
т. е.
Расчет фасонных витых пружин
79$
так как по уравнению (139)
С (г>) = я.
Таким образом, отрезок (LF) выражает величину С в зависимости от силы Р„
Повторяя указанные построения для ряда точек D. произвольно взятых на*
заданной характеристике 012, и получая последовательно указанным выше спо-
собом точки F, можно построить кривую ГР2, абсциссы которой в коорди-
натах (С, Р) (начало координат — О') выражают в масштабе длин значения так
называемой посадочной функции С=С(Р).
Установим теперь функциональную зависимость С = С(г).
Для решения поставленной задачи предварительно строится вспомогательная1
функция у=у(г) (кривая АВ на фиг. 691, б) по формуле
y = p(r)dfr,
где 6 определяется уравнением (118).
При вычислении интеграла следует исходить из выбранного вида спирали
в плане пружины.
Из уравнений (133) и (126) следует, что
* y = jE(r)dr = ^.
п
С другой стороны, из фиг. 691, а видно, что
dk________________________________ и
dP~ Р ’
Значения и в масштабе длин определяются горизонтальными отрезками (FD),
заключенными между кривой С = С(Р) (кривая ГР2) и заданной характеристи-
кой (кривая 012).
Отложив в соответствующем масштабе найденные отношения по оси у
(фиг. 691,6), находим по кривой АВ величину радиусов г, соответствующих
исходным значениям и, а следовательно, и С.
Отложив теперь вниз от оси г (фиг. 691,6) соответствующие значения
замеренные на фиг. 691, а, получим кривую ЛС, представляющую функцию С (г).
Учитывая, что
г»(г) —т|(г) = С(г),
уже легко построить функцию 2ге(г), если известно ^(г).
В частности, при посадке на опорную плоскость ц (г) = 0, и кривая АС
непосредственно выражает z0 = ze(r), т- е- сразу определяет вид пружины с нуж-
ной нам характеристикой.
Построив огибающую к сечениям витков и учитывая упругую отдачу при
навивке, строим образующую ab оправки (фиг. 691,6).
Еще проще спроектировать по заданной характеристике, удовлетворяющей
указанным выше условиям, специальную цилиндрическую пружину переменного-
угла подъема.
Дифференцируя уравнение (135) и учитывая соотношение (126а), нахо-
дим, что •
... . _8С dX , .
I Упос D*dP'*
794
Расчёт витых пружин
Используя посадочную функцию
С=С(Р),
«которая устанавливается графически так, как это было указано выше (см*
-фиг. 691, а), находим ряд значений и, позволяющих вычислить по фор-
муле
______8С и
Чпос__р •
Учитывая, что посадочная поверхность для цилиндрической пружины пред-
ставляется уравнением (1166), в соответствии с формулой (125) имеем
^о(Фпос)=С(Р) + ^й.
Последнее уравнение позволяет построить развертку оси витков проектируе-
мой цилиндрической пружины. Все необходимые величины Z (Р), Рви опреде-
ляются графиком фиг. 691, а. Диаметр пружины и диаметр проволоки выбираются
из конструктивных соображений и условий прочности.
§ 7. РАСЧЕТ МНОГОЖИЛЬНЫХ ПРУЖИН
Многожильные пружины — одна из самых новых конструкций среди большого
количества пружин других видов, применяемых в технике.
Фиг. 692. Конструкции тросов без цен-
тральной жилы для многожильных
Фиг. 693. Конструкция тросов
с центральной жилой для мно-
гожильных пружин
пружин.
Многожильные пружины (фиг. 637) изготовляются из тросов, свитых из
небольшого числа (п = 2 -ь 6) тонких проволок (жил). Этот новый тип пружин
представляет собой разновидность винтовых концентрических пружин весьма
рациональной конструкции.
Для изготовления пружин в настоящее время используются главным образом
тросы простой свивки, без центральной жилы, состоящие из двух, трех и четы-
рех жил (фиг. 692, а, б и в соответственно) с углами свивки 3=20-4-30°
(см. разд. А § 7). Однако находят применение и тросы другой, более сложной
конструкции, в частности' тросы с центральной жилой (фиг. 693) (см. разд. Б § 7).
Тросы обычно свиваются из высокосортной патентированной углеродистой
проволоки (С 0,75 — 0,85%) диаметром б/ = 0,8-ь2,0 мм.
Процессы свивания троса и навивки пружины влияют на характеристику
последней и должны приниматься во внимание конструктором.
Pacvei многожильных пружин
795
Л naeff
£
Фиг. 694. Характеристика многожильной
пружины.
При снятии троса с навивального станка происходит упругая отдача, и жилы
^перестают повсеместно плотно прилегать друг к другу или к центральной жиле,
между ними сохраняется только точечный контакт. При последующих нагруже-
ниях троса растягивающей силой или парой, закручивающей трос по ходу
свивки, плотность контакта между жилами, нарушенная упругой отдачей, вос-
станавливается лишь при определенной нагрузке. Начиная с этого момента,
трос делается более жестким. В частности, это сказывается и на характери-
стике многожильной пружины (фиг. 694), получающей излом при некоторой
нагрузке Рк.
Конструкция и технология свивки определяют ряд специфических особенно-
стей многожильных пружин, которые необходимо иметь в виду при их проек-
тировании и применении.
I. Многожильные пружины изготовляются из тросов, свитых из относительно
тонкой проволоки, которая имеет более высокие механические свойства, чем
проволока той же марки ббльшего диа-
мётра (см. табл. 68).
II. Пружины имеют пологую харак-
теристику (k, Р), что позволяет полу-
чать нужную мягкость пружины при
малом ее габарите (т. е. без увеличе-
ния числа витков и внешнего диаметра
пружины).
Работая с большим установочным
поджатием или натяжением, можно на
заданном рабочем ходе получить значи-
тельно меньшее изменение усилия, чем
-у обычных более жесткий пружин, что
Необходимо во многих случаях.
III. Взаимодействие жил обеспечи-
вает пружине большую статическую
прочность. Дополнительное возникаю-
щее при этом трение способствует быстрейшему затуханию вибрации витков,
что, однако, связано с истиранием поверхности составляющих жил.
IV. Пружины имеют характеристику с изломом (фиг. 694). Пружины с такой
характеристикой могут оказаться необходимыми в ряде специальных случаев.
• \jV. Изменяя угол свивши троса, можно заметно менять характеристику и
свойства пружины, что является ценной возможностью.
По виду нагружения могут быть:
1. ) многожильные пружины растяжения;
2) многожильные пружины сжатия (наиболее мощные существующие кон-
струкции, предельно воспринимают нагрузку 100—150 кг)\
3) многожильные пружины кручения.
Вид нагружения определяет конструкцию пружины и способ крепления.
По характеру работы могут быть:
1) многожильные пружины статического действия (пружины предохрани-
тельных устройств);
2) пружины ограниченно кратного действия, работающие примерно 5-104—
—106 циклов.
В этих случаях, при замене обычных мягких пружин многожильными, можно
получать значительно более компактные конструкции.
Применение многожильных пружин при неограниченно кратном нагружении
в качестве клапанных пружин, по-видимому, не является целесообразным вслед-
ствие износа (истирания) жил.
В такие условия работы .многожильные пружины следует ставить только при
необходимости получить большое внутреннее заглушение вибраций витков при
жестких требованиях по сокращению габарита и веса пружины и при наличии
условий, j легко допускающих их замену.
796
Расчет витых пружин
Есть основания полагать, что в ближайшее время многожильные1 пружины
будут применяться во многих отраслях машиностроения:
1) как амортизаторы, воспринимающие толчки и удары;
2) как аккумуляторы энергии, Предназначенные для приведения в движение
механизмов и отдельных деталей;
3) как оттяжные и возвратные пружины с пологой характеристикой;
4) как пружины специального назначения, если необходимо* чтобы последние
в различных диапазонах нагрузки имели различные жесткости (точные приборы,
специальные тормозные устройства);
5) как антирезонансные пружины с большим внутренним заглушением.
Режим работы и назначение предопределяют конструкцию и технологию
изготовления как многожильных пружин, так и троса, используемого для навивки
пружины.
А. Расчет многожильных пружин, свитых из тросов без центральной
жилы
Геометрия многожильных тросов, не имеющих центральной
жилы
Прежде чем обратиться к подробному анализу работы тросов, образующих
многожильные пружины, исследовать силы взаимодействия жил, развивающиеся
при нагружении пружин, и строить теорию расчета пружин на прочность и
жесткость, следует изучить геометрические свойства многожильных тросов.
Рассмотрим тросы простой свивки, не имеющие центральной жилы.
Обозначим /?0— радиус образующего цилиндра оси винтовой жилы (фиг. 695);
&—угол свивки, т. е. угол, образуемый разверткой оси винтовой жилы с осью я
троса (угол свивки является дополнительным углом к,углу подъема а оси вин-
товой жилы); t — шаг оси жилы.
Радиус /?е можно определить из рассмотрения наикратчайшего расстояния
между осями соседних взаимокасающихся жил, которое равно диаметру прово-
локи d. *
Расстояние (АВ) между произвольно взятыми на осях соседних жил [(v—1)-й
и v-й] точками А и В (фиг. 695), полярные радиусы которых в плане соста-
вляют угол ф, равно
(ЛВ) = (Дг)2+ (2«.Sin-t)a. (Н9)
Здесь расстояние (АВ) выражено через длины своих проекций на вертикаль-
ную ось (Аз) и на горизонтальную плоскость [(Л,/^) = 2Я> sin ~-1 , причем
(150)
где п — число жил, образующих трос.
Как уже указывалось,
(AB)min^=d.
(151)
Руководствуясь этим, определим пблярный угол фв, который соответствует
точке Во оси v-й жилы, ближайшей к точке А, лежащей на оси (у — 1)-й жилы.
Воспользуемся условиями
дф |при <р=фп ’ (151а)
при . ' . i L. ? <?Фа |при , (1516)
Расче-t многожильных пружин
797
798
Расчет витых пружин
1
Из условия (151а) имеем
9 /2
2₽0 81Пфо+^фо=—,
откуда, учитывая, что для винтовой линии справедливо соотношение 2к/?0 =
= /tgB [см. формулу (4)], можно окончательно получить тригонометрическое
уравнение
Фо + tg28sin% = ^, (152)
корнем которого является угол ф0.
Легко проверить, что неравенство
числа жил л.
(1516) при этом удовлетворяется.
На фиг. 696 приведены графики зна-
чений угла фо в градусах в зависимости
от угла свивки 8° и числа жил п.
Теперь можно определить радиус Ro
образующего цилиндра оси винтовой линии.
Действительно, из зависимости (149)
следует, что
^ = (Д2о)2+ (27?osinAy.
По уравнениям (150) и (152)
Фиг. 697. Графики, представляющие зна-
о Rn v
чения отношении —и , опреде-
ляющих размеры троса, в зависимости
от угла свивки S и числа жил п.
Дг0 = ^-^ — Фо) = ^tgassin!po = ^otg8sin4>0, (150а)
откуда
__ d____________________________ d_____________
4 sin - -у- -f- tg2 5 sin2 ф0 2 sin j/" 1 -j- tg2 в cos2
(153)
Соотношения (152) и (153) дают возможность, зная диаметр проволоки,
число жил и величину угла свивки, определить радиус образующего цилиндра
осей жил.
р
Величина отношения ~~ представлена в зависимости от угла свивки и числа
жил на графике фиг. 697.
Длина винтовой жилы L связана с длиной троса I соотношением (фиг. 698, а)
А = —(154)
COS & ' 7
Расчет многожильных пружин
799
Из фигуры следует также, что
7?0<p = £sin8
или
Я^ = £‘-Я
где <р — угол, который обходят жилы длиной L вокруг оси троса.
Шаг t оси жилы равен
Z=2«-= 2^4(157)
Ф L sin Ь ’
Исследуем, как изменяется для
жилы определенной длины L угол ср
в зависимости от угла свивки 8.
Из формулы (155) следует, что
Зависимость ср от 8 при — — 1
представлена на фиг. 698,б, для
двух-, трех- и четырехжильного
троса.
Графики показывают, что при
определенном значении угла свивки
(8 = $кр) угоет ср достигает макси-
мума. Это означает, что при обра-
зовании троса путем упруго-пласти-
ческого закручивания пучка парал-
лельных проволок вокруг оси этого
пучка угол свивки, превосходящий
Ъкр, не может быть получен. Таким
образом, проведенное чисто геоме-
трическое исследование позволяет
(155)
(156)
Фиг. 698. К исследованию критического угла^
свивки троса без центральной жильг
а — развертка оси жилы; 6 — графики зависимости угла,
свивки 6 от полярного угла <₽ и числа жил п прцс
предвидеть, что при достижении в
процессе свивки угла Ъкр жилы заклиниваются и, если пренебречь их растяже-.
нием, попадают в условия, делающие их как бы абсолютно жесткими.
Ниже это будет подтверждено анализом внутренних силовых факторов в сече-
ниях жил закручиваемого троса, имеющего угол свивки &кр.
Чтобы изготовить тросы с углами свивки большими, чем &кр, необходимо
изменить способ навивки; следует воспользоваться оправкой, начиная таким
образом с самого начала навивку с углом 8, большим Ькр. Указанное обстоя-
тельство свидетельствует о том, что трос в обычном его понимании не может
иметь угол свивки 8, больший 8лр. Проволока, завитая на оправке с углом
образует пружину.
Найдем теперь критический угол свивки, являющийся предельным для троса
и определяющий совершенно своеобразную конструкцию.
Опираясь на зависимости (155а), (153) и (152), имеем
<р2 = (4 sin2 -у- 4- tg28 sin2 sin2 8 =
= (т)2 [4 sin2 Т + ctg2 S (v — )2]sin2 8-
Критический угол 8* находится из условия - = 0. После преобразо-
ваний при выполнении которых следует учесть, что образовавшийся в ре-~
300
* Расчет витых пружин
^ультате дифференцирования множитель при на основании соотношений (153)
фавен нулю, получим
Ctg23^ = cos - (158)
При этом условии уравнение (152) принимает вид
<«., + 2 >I"(4)W-V- <152а>
Из зависимостей (152а) и (158) находим, что: при п = 2 В* — 50°36', при
л = 3 В^ = 47°08', при /7 — 4 ^р = 46°12'.
Дополнительные соображения о геометрии тросов, имеющих критические
углы свивки, будут приведены ниже.
С конструктивной точки зрения практический интерес представляют такие
тросы, наружный диаметр которых О по возможности ограничен. Естественно
-также, что как только внутренняя незаполненная область между жилами, соста-
вляющими трос, достигнет заметных размеров, позволяющих разместить в ней
.достаточно массивную центральную жилу, этим следует воспользоваться.
В частности, при свивке пяти жил в образующейся между ними полости
^целесообразно разместить шестую центральную жилу того же диаметра (см.
гразд. Б § 7).
_ О'
Отношение —-=и, называемое индексом троса, характеризует его габарит
л является существенной расчетной величиной.
На графике фиг. 697 приведены значения и в зависимости от угла свивки и
•числа жил.
При конструировании важным критерием для выбора угла свивки является
также отношение радиуса кривизны оси жилы р к ее диаметру d:
С увеличением угла свивки величина С резко уменьшается.
Как известно, значительная кривизна бруса приводит к перенапряжению
«внутренних волокон при его нагружении. Это обстоятельство и является основ-
ным соображением, заставляющим обычно выбирать углы свивки, не превосхо-
дящие 30°.
Определим теперь в поперечном сечении жилы положение точек ее касания
Т и Т” с соседними жилами (фиг. 699)
Из геометрических соображений очевидно, что проекции Т точек касания
ла плоскость, нормальную оси троса, отстоят от оси троса на расстоянии
j(07’) = /?q, где
cos(160)
Радиус жилы г=(В0Тж), лежащий в поперечном сечении >й жилы (т. е.
нв плоскости (фиг. 699) и соединяющий точку касания жил Т” с осью
v-й жилы, наклонен к нормали оси в точке В* под углом 90.
Представляет интерес нахождение этого угла, поскольку, как это будет
показано ниже, направление отрезка В^Т” совпадает с направлением нормали п\
ж поверхности жилы (поверхности каналов) в точке касания жил Т*.
Из треугольника ОТВ^ на фиг. 699 видно, что
(ОТ)cos 4т- = (ОС) = (ОВ0) - (В0С) = (ОВ0) - (ВвГ) cos 0О,
•ж. е.
/?' cos -- — Ro — г cos 0О,
Расчет многожильных пружин
801
или, учитывая зависимость (160), имеем
/?osin2
cos 0О =--------------
Из фиг. 699 следует также, что
_(СТ") _ (СТ)
“ (В0Г') г cos 8’
sin 0О
Фиг. 699. К исследованию линий касания жил троса.
но
(СТ) = R'U sin
Следовательно,
Ro sin
sin 60 = — »
и г cos о
(161)
(162)
#о Sin
d cos Ь *
Угол у, составляемый радиусом В^Т" или В^Т, с плоскостью поперечного
сечения троса, легко получить из рассмотрения соотношений сторон треуголь-
ника ТВ^Т (фиг. 699):
(Во7) (ОВо) Sin 2° R°sin 2° cos 60
C0ST—(В0Г)— (Bon — r — sin^>?
(163)
Можно себе представить, что трос образован винтовым движением его по-
перечного сечения, тогда становится очевидным, что линии соприкосновения
жил друг с другом представляют собой винтовые линии, радиус образующего
цилиндра которых равен R'Q, а шаг равен шагу оси винтовой жилы t.
51 Пономарев и др. 407
802
Расчет витых пружин
Обозначим угол, образуемый разверткой винтовой линии касания с осью
троса 8', тогда [см. формулу (4)]
i-/?octg8 = ^ctg8' , (164)
и [см. формулы (157) и (154)]
= 5 cos 8 = s' cos 8' = s” cos 8*, (164a)
где s' =s” — длины линий касания на поверхности элемента жилы, выделен-
ного двумя нормальными сечениями так, что длина оси элемента равна $.
Используя соотношения (160) и (164), придадим формуле (153) следующий
вид:
----------- 1-------------------------------- J-— = CosS, . (165)
2 sin-у-у/ 1 + cos2tg2 8 2sin^-V 1 + tg2 8- 2sin-y-
Соотношение (165) с учетом формул (160) и (164), в свою очередь, позво-
ляют иначе представить зависимости (161), (162) и (163), а именно:
cos 90 = sin-у-cos 6'; (161а)
••-ат: <162.)
cos т = cos 8', (163а)
откуда следует, что у = 8'.
Это показывает, что радиусы В9Т и В^Т” направлены по бинормалям вин-
товых линий соприкосновения жил в точках Т и 7”. Таким образом, радиусы
В0Т и В(}Т" перпендикулярны как касательным кругового поперечного сёчения,
так и касательным винтовых линий соприкосновения жил в тех же точках Т
и Т”. Это позволяет сделать заключение, что радиусы В^Т' и В^Т* направлены
соответственно по нормалям T'N' и T"N” к поверхности жилы в точках Т
и Т” (см. фиг. 699).
Необходимо отметить, что для тросов с критическим углом свивки [см.
формулы (158), (160) и (163)]
1 /
ctg2Кр = cos(^)кр =\-щ] = tgКр ctgКр,
т. е.
ctg%, = tg8Kp
или
\р + — “У •
Геометрические соотношения малых изменений основных
параметров оси винтовой жилы
Как уже указывалось выше (см. § 2), ось витков цилиндрической пружины
геометрически определяется тремя независимыми параметрами.
В рассматриваемом, случае целесообразно принять за основные параметры
длину оси троса Z, длину жилы L и полярный угол ср, тогда угол свивки
определяется через избранные параметры своим косинусом по формуле (154).
Радиус образующего цилиндра Ro может быть выражен через основные
параметры из соотношения (156). Шаг оси винтовой жилы t определяется фор-
мулой (157) и т. д. Давая избранным основным параметрам Z, L и <р малые
приращения, можно из чисто геометрических соображений выразить через эти
приращения малые изменения любых других, параметров оси винтовой жилы.
Расчет многожильных пружин
803*
Изменение угла свивки определяется через изменение его косинуса.
Используя зависимость (154), получаем
Д (cos 8) = — sin 8Д8 = ,
откуда
Изменение радиуса образующего цилиндра /?, равно [см. формулы (155)
и (166)]
ЛЕ) _ R, &L Р0соз8Д/ «о Ат (167)
at<0— sinas L Sin28 L Sine L '
Изменение шага t [см. формулу (157)] можно определить по зависимости
. ?<pAZ—/Д<р\ / Ы Rq I Д<р \
Д/= ? - 2к -г}. (168)
Полезно составить еще соотношение:
Ш Ы «gcosH д?
(2л)2 sin2 8 L sin» 8 L ’
Для винтовой жилы приращения Д/, Д£ и Дер легко выразить через внутрен-
ние силовые факторы в поперечных сечениях витков. Затем, используя полу-
ченные соотношения, представляется возможным определить изменения угла
свивки Д8, радиуса образующего цилиндра Д/?о, шага Д/ и т. д. в функции
внутренних силовых факторов, что необходимо для решения целого ряда во-
просов.
Расчет многожильных пружин сжатия, свитых из тросов,
не имеющих центральной жилы
Витки винтовых пружин сжатия с небольшим углом подъема в основном
PD
закручиваются моментом SD?= где Р — осевая сила, a D—средний диаметр
витков пружины. '
Приступая к разработке теории расчета многожильных пружин сжатия, необ-
ходимо прежде всего разработать теорию кручения многожильных тросов.
Во избежание расслаивания троса на отдельные составляющие его жиль»
необходимо, чтобы внешняя пара закручивающая трос, затягивала послед*
ний, т. е. действовала в направлении хода свивки.
Для этой цели ход навивки пружины сжатия умышленно делается противо-
положным ходу свивки троса (пружина левой навивки — трос правой свивки,,
и наоборот), что и обеспечивает при нагружении пружины сжатия прямое, за-
кручивание (затягивание) троса.
При изготовлении тросов и пружин в момент их снятия с навивального»
станка плотное прилегание жил друг к другу вследствие отдачи нарушается,,
поэтому на первом этапе последующего прямого закручивания тросов, в усло^
виях их работы в пружинах, составляющие жилы практически деформируются*
независимо друг от друга. На этом этапе нагружения каждая жила ведет себя<
как самостоятельная винтовая пружина кручения.
Лишь при определенной нагрузке Рк жилы вновь стягиваются в один плот-
ный жгут и вступают во взаимодействие, вследствие чего жесткость пружины
резко возрастает, и характеристика пружины получает излом (см. фиг. 694); •
51*
В04
Расчет витых пружин
' I
Таким образом, при изучении многожильных пружин предстоит рассмо-
треть:
а) расчет многожильных пружин сжатия до возникновения плотного кон-
такта между жилами; ч -
б) исследование вопроса о вступлении жил в плотное взаимодействие;
в) расчет многожильных пружин сжатия после возникновения плотного кон-
такта между жилами.
Расчет многожильных пружин сжатия до возникновения плотного
контакта между жилами
На исследуемом этапе нагружения в любом поперечном сечении каждой из
и жил, которая при закручивании троса может рассматриваться как обыкновен-
Фиг. 700. Графики значений коэффи-
циента жесткости троса 6' и его
обратной величины -р-, в функции
угла свивки В, при независимой
работе жил.
ная пружина кручения, возникают внутрен-
ние силы упругости, приводящиеся к изги-
бающему моменту относительно бинор-
мали оси жилы и к крутящему моменту
[см. формулы (13) и (14)]:
= sin8= sinB; (170)
Мх = — cos В = cos 8.
п 2п
(171)
Для вычисления осадки пружины вос-
пользуемся интегралом (89).
Внутренние силовые факторы от единич-
ной силы, сжимающей пружину, равны
ЛЛ 1*0 . *
М₽1 = ^-sinB;*
Mt! = cos 8.
Тогда осадка пружины малого угла подъема (а^О) по формуле (89)
L L
Г Г MxMxlds
J ~ЁТЬ Ь "J GJP
о о '
PD2/
bnGJpz ’
(172)
где I—длина рабочей части троса [см. формулу (154)[, а коэффициент жест-
кости троса £, при независимой работе жил, равен
__(1 + р) cos В
1 + (1 cos2 8
(173)
Значения коэффициента К для тросов с различными углами свивки при
р,= 0,3 приведены на графике фиг. 700.
Для пружины, имеющей Z рабочих витков, длина рабочей части троса
I» nDi, откуда, принимая во внимание, что Jp = ^2 9 окончательно получаем
SPW
nGd^' *
(172а)
Вопрос о напряжениях, развивающихся в сечениях жил, будет рассмотрен
ниже.
Расчет многожильных пружин
805
Исследование вопроса о вступлении жил в плотное взаимодействие
Тщательное изучение деформации тросов в начальной стадии их нагружения
позволило установить, что жилы, составляющие трос, в ненагруженном состоя-
нии не находятся в плотном прилегании друг к другу. Они касаются лишь
в отдельных точках. Это объясняется тем, что при снятии троса с навивального*
станка вследствие упругой отдачи жилы стремятся получить несколько больший
радиус, чем /?0. Поэтому при последующем прямом скручивании троса, обра-
зующего витки пружины, он ведет себя вначале как совокупность параллельно
включенных пружин кручения. По мере возрастания нагрузки радиус этих со-
ставляющих трос пружин (винтовых жил) опять уменьшается, и, наконец, жилы
вновь приходят в соприкосновение, что сопровождается резким возрастанием
жесткости троса на кручение и соответственно изломом характеристики пру-
жины, о чем уже упоминалось выше.
Варьируя угол свивки, изменяя технологию процесса изготовления тросов
и пружин, можно получать различные характеристики.
Общая нестационарность режима свивки троса во всех его деталях нарушает
стройную закономерность в отдаче жил. Неравномерность шага навивки, допуск
на диаметр проволоки, периодические колебания силы натяжения троса и т. д.
приводят к искажению винтообразной формы жил, что накладывает на жилы
добавочные связи; последние стесняют их отдачу, вследствие чего сохраняются
в большем количестве точечные контакты между жилами.
Обращаясь к многожильным пружинам, следует признать, что в этом случае
вопрос об отдаче жил осложняется в еще большей степени.
Это объясняется тем, что трос, преобразуясь в пружину, получает при
навивке на оправку большие пластические деформации изгиба. Перед выпуском
продукции йз цеха пружины подвергаются длительному обжатию, которое
обычно сопровождается образованием остаточной осадки у пружин и т. д.
При указанных операциях относительное расположение жил, составляющих
трос, несколько изменяется, что приводит к весьма неопределенному распреде-
лению точек взаимного контакта жил по их длине.
Наличие большого числа различных факторов, влияющих на плотность троса,
образующего витки многожильной пружины, в сильной степени осложняет вопрос
определения места положения точки излома на характеристике пружины.
Установлено, что при малом угле свивки плотность троса меньше и точка
излома удаляется от начала координат.
У тросов, свитых из более тонкой проволоки, излом характеристики также
располагается несколько дальше от начала координат, чем у более толстой
проволоки.
Если обозначить осевую нагрузку на пружину, при которой жилы троса,
образующего витки, стягиваются в один плотный жгут, через Рю то можно записать
по формуле (172а) соответствующую этой нагрузке осадку \к пружины:
При нагрузке Р^>РК жесткость пружины заметно больше, чем при Р<^РК
(примерный вид характеристики пружины представлен на фиг. 694).
Навивка тросов и процесс изготовления многожильных пружин представляет
собой столь сложный комплекс различных операций, что для получения много-
жильных пружин с нужной по заданию характеристикой необходимо налаживать
технологический процесс их изготовления на месте, систематически контролиро-
вать отдельные операции и проверять образцы готовой продукции в лаборатории.
Расчет многожильных пружин сжатия после возникновения
плотного контакта между жилами
Учитывая, что при нагружении трос ведет себя до вступления жил во взаимо-
действие и после возникновения контактных сил совершенно различно, необхо-
димо строго разграничивать указанные два этапа нагружения.
«06
Расчет витых пружин
Отсюда следует, что полный момент = закручивающий трос, дол-
жен быть расчленен на две части:
и 2R - = ЯПд = -(^Л)£> .
к другу, при этом в
Фиг. 701. Элемент v-й жилы, вы-
деленный двумя поперечными се-
чениями и нагруженный контакт-
ными силами взаимодействия жил.
Момент приводит жилы в соприкосновение и плотно прижимает их друг
~ с сечениях каждой из жил возникает момент
внутренних сил Мк, который можно разложить
на изгибающий момент
Al₽K = ^*.Sin8 (170а)
и крутящий момент
. AU = ^cos8. (171а)
Затем трос дополнительно нагружается как
единое целое моментом Его величина опре-
деляет дальнейшую деформацию жил, силы их
взаимодействия и дополнительно возникающие
внутренние силовые факторы Мд и Рд в попе-
речных сечениях каждой из жил.
Руководствуясь принципом независимости
действия и сложения сил, можно заключить,
что суммарно внутренние силы в поперечных
сечениях жил приводятся к моменту
и к силе Рд.
Обращаемся к выяснению вопросов, связан-
ных с приложением дополнительного мо-
мента *
Допустим, что трос правой свивки, жилы
которого уже находятся в плотном контакте,
нагружен дополнительным моментом, создаю-
щим прямое закручивание (т. е. затягивающим
трос). Рассечем мысленно трос плоскостями,
каждая из которых нормальна оси одной из
составляющих жил. Все эти сечения проведем
при каком-либо значении параметра s (длина
жил $ отсчитывается от торцевого сечения, принятого за нулевое).
Подлежащие определению внутренние силы возникающие в указанных сече-
ниях, приводятся в каждом из них к главному вектору Р&> и главному моменту
М&, где v — номер жилы (фиг. 701).
Особо отмечаем, что из условий равноправности как жил, так и поперечных
сечений троса следует, что проекции главного вектора внутренних сил Pt, Рп
и Рь и проекции главного момента Mt, Мп и Мь, на направления естественных
осей координат оси жилы, не зависят ни от величины параметра $, ни
от номера жилы v.
Внешний момент, закручивающий трос совершенно одинаковым образом,
воспринимается каждой из п жил, симметрично расположенных относительно
оси троса, вне зависимости от места вдоль оси троса, т. е. вне зависимости
от параметра
Контактные силы равномерно распределены по всей длине линии контакта.
° Вырёжем теперь из v-й жилы сечениями, нормальными ее оси, элемент, ось
которого имёёт длйну ds. Приложим к нему силы, действующие как со сто-
роны отсеченных частей жилы (внутренние силы), так и со стороны смежных
Расчет многожильных пружин
807
жил (контактные силы) (фиг 702), и составим уравнение равновесия выделен-
ного элемента жилы. Пользуясь условием равноправности, номер жилы v можно
во внимание не принимать; составляемые уравнения будут справедливы для
любого элемента любой из жил.
Для определенности предположим, что рассматривается элемент первой
жилы.
Интенсивность сил взаимодействия по линии контакта первой и второй жилы
= — qN’,
а по линии контакта первой и n-й жилы
Здесь N' и N" — орты внешних нор-
малей поверхности первой жилы в точках
касания Г и Г (см. фиг. 699 и 702).
Силами трения, возникающими между
жилами пренебрегаем. Более подробные
исследования [6] показали, что они ока-
зывают малое влияние на жесткость и
прочность тросов.
Из фиг. 702 следует, что ЛГ = —Ь',
a N” = -f- Ь\ где Ь' и Ь* — орты бинор-
малей в соответствующих точках линий
касания первой жилы с соседними; тогда
Фиг. 702. Элемент жилы, выделенный
двумя бесконечно близкими сечениями.
q' —qb' и (f = — qbn
Составим уравнения равновесия выде-
ленного элемента жилы.
На фиг. 703 показан вырезанный элемент жилы в проекциях на плоскости ху
и xz.
В проекции на плоскость ху ось выделенного элемента образует дугу поляр-
ного угла Д<р, причем
/?еД<р = ds sin 8.
Из уравнения проекций на ось х следует, что Рп = 0. Из уравнения момен-
тов относительно оси х легко установить также, что Мп = 0 (фиг. 703).
Проектируя все силы на ось у, имеем
— 2Р. sin 8 sin Ат 4“ cos 8 sin А? 4“ cos sin -fe — 0»
* z ' v 1 sino
откуда, используя зависимость (164), получаем
sin2 Ь о sin 5 cos & п п _ фв
Pt----------------------------------— Рь = cos 8 sin . (175)
Сумма моментов всех сил, действующих на выделенный элемент относи-
тельно оси у, дает
— 2Mt sin 8 sin А7 4» 2Mb cos 8 sin 4> Pb cos = 0*
откуда
sin2 & ЛА sin & cos & .. п
Мь=РЬ. (176)
Уравнения равновесия (175) и (176) элемента жилы могут быть получены и другим
путем с помощью основных положений дифференциальной геометрии, пространственных
кривых в векторном представлении.
808
Расчет витых пружин
Рассмотрим элемент жилы (фиг. 704), выделенный двумя поперечными сечениями,
отстоящими друг от друга на расстоянии ds.
При нагружении троса, жилы которого уже находятся в плотном контакте, допол-
нительным моментом закручивающим трос, в поперечных сечениях каждой из жил
возникают внутренние силы, приводящиеся к главному
Фиг. 703. Проекции элемента жилы, выделенного двумя
бесконечно-близкими сечениями:
а — проекция элемента на плоскость, параллельную оси г троса;
б — проекция элемента на плоскость, нормальную оси z троса.
вектору и главному моменту,
представленным на фиг. 704.
При этом обозначим глав-
ный вектор и главный момент
внутренних сил в поперечном
сечении, относящемся к части
бруса, содержащей начало
отсчета дуги $, соответственно
через P# и Mq.
' Тогда главный вектор и
главный момент в том же се-
чении, но не принадлежащем
к части бруса, содержащей на-
чало отсчета дуги $, будем обо*
значать — Рд и — соответ-
ственно.
По винтовым линиям ка-
сания жил возникают контакт-
ные силы взаимодействия
(фиг. 704)
q* =>qb' и 7* = — qb\
где Ь' и Ь" — орты бинормалей
винтовых линий касания в точ-
ках Т и Т", относящихся
к рассматриваемому сечению
жилы.
Составим уравнение равно-
весия выделенного элемента
жилы.
Уравнение сил имеет вид
(Л? + + q'ds’ -|-
4- q”ds" - 0. (177)
где ds' и ds" — длины винтов
вых линий касания на поверх-
ности элемента ds жилы
ds' — ds?.
В соответствии с форму-
лой (164а)
cos о
ds' = ds" = ds.
Уравнение моментов относительно точки Во (фиг. 704) с точностью до малых выс-
шего порядка в векторной форме
<Мд + dMd) - М6 + [- tds. - Рд] = 0. (178)
В результате преобразований зависимостей (177) и (178) получаем
- -7(5-' - <179>
И
# _ |рвЛ <181»
Расчет многожильных пружин
80»
Производные от вектор-функции по длине дуги ds могут быть представлены1 в виде
dPd
ds
(181>
dMg d Мд [— — ।
(182>
d' Р$ d’M^
где и ds —локальные
подвижных осей tf п, b (будем
производные вектор - функций Рд и Мд относительно
всюду пользоваться правой системой координат), а*
собой
[см. формулу (6)] представляет
ных осей координат.
Значения кривизны х и крутки k
для оси винтовой жилы представлены
формулами (8) и (9).
Как уже указывалось, вследствие
равноправности всех поперечных се-
чений жилы, расположение векторов
Р$ и Л4д во всех сечениях относи-
тельно соответствующих этим сече-
ниям систем естественных координат
не зависит от положения сечений,
т. е. от длины дуги $.
Следовательно, локальные произ-
водные в зависимостях (181)
равны нулю, т. е.
"Л--011 ^Г = о
со = kt -(-
вектор мгновенной скорости вращения естествен-
и (182)
д г- -5 у
(181а)
(182а)
Фиг. 704. Элемент жилы, выделенный двумя бес-
конечно близкими сечениями (к составлению?
уравнений равновесия элемента жилы, в вектор-
ной форме).
Из фиг. 704 замечаем также, что
входящая в зависимость (179) раз-
ность
Ъ" —»» 2n cos 0О, (183)
и
где п — орт нормали оси винтовой жилы в рассматриваемом сечении, а значение cos 0о
подсчитывается по формуле (161а).
Теперь, учитывая соотношения (181а), (182а) и (183), можно уравнения (179) и (180)
представить в следующем виде:
[<о, P<J = + 2?л cos в0 * 2qn sin у cos 6, (179а>
d- (180a>
Развернем векторные уравнения (179а) и (180а) в скалярные, учитывая, что
а
70^== ЛМ4 Mnh^Mbb.
где Pf, Pnt Рь и Mnt Мь представляют собой силовые факторы в поперечных сече-
ниях жил (см разд. А § 2).
[Разложение вектора <о по осям t, nt b дано формулой (6).]
Тогда получим:
1)Рлх»0: 4)Л4лх==0:
2) хР/ — kPh — 2q cos 6 sin y-J 5) iMt — kMb — Pb;
3) Pttk =. 0: 6) Mnk - — Pn.
1 Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, изд. 4-е, Гостехиздат, 1956,
^810
Расчет витых пружин
Из скалярных уравнений 1), 3), 4) и 6) следует, что
Рп = 0 и Мп = 0.
Выражение 2) представляет собой зависимость (175) [см. формулы (8) и (9)], а уравне-
ние 5) совпадает с соотношением (176), что и предполагалось показать.
Составим теперь уравнение равновесия нижней части троса (фиг. 705), отсеченной
урядом плоскостей, каждая из которых. соответственно нормальна к оси пересекаемой
-жилы, при выбранном значении $.
Развертка цилиндрической *
поверхности радиуса Ry
Фиг. 705. Нижняя часть троса, отсеченная поперечными сечениями
составляющих жил.
Помимо внешней нагрузки—(Л — орт оси z троса) и внутренних силовых фак-
торов в поперечных сечениях п жил (Рд, МД в уравнения равновесия войдут еще
контактные силы на участках длиной е, освободившихся при отбрасывании верхней
части троса в областях, прилегающих к проведенным сечениям.
Из геометрических соображений следует (фиг. 705, а и б), что
е sin S' = Ro — I,) . (184)
Составим сумму проекций всех сил на ось троса ч (705, в):
п (Pt cos 8 + Pb sin 8 — qe sin &') = 0,
откуда
Pt cos 8 + sin 8 = qe sin 8'.
(185)
Расчет многожильных пружин
811
Из фиг. 705, а непосредственно следует, что сумма моментов всех сил отно-
сительно оси троса равна
п \Mf cos 8 + Mb sin 8 -J- (Pt sin 8 — Pb cos 8) RQ + qeR'Q cos S'] = (186)
Уравнения (175), (176), (185) и (186) позволяют выразить неизвестные вну-
тренние силовые факторы Pt, Pb> Mt и Мь через интенсивность контактных
сил q. Решая совместно указанные уравнения и используя выведенные выше
геометрические соотношения (165) и (184), получаем:
<187>
(188)
М, = cos 8 — ^.S-2 S-Si."2-^ (Pq. (189)
П 2 sin В sin
sin 8 — (si"a s> ~ cos 2S2 C0S 5 d*q, ‘ ' (190)
n 2 sin* 5 sin у
где d— диаметр жилы.
В целях упрощения выведенных зависимостей воспользуемся подстановкой
(1*)
тогда
<|87а|
<188а>
Mt = cos 8-------sin(S-t-p)----р 89а)
П 2 sin sin ^sin £
М„ = sin 8 +-----------------------d»q, (190a)
2 sin Ь sin -y sin p
Для определения последней неизвестной q воспользуемся условием, что
в направлении q относительные перемещения жил, составляющих трос, отсут-
ствуют.
В этом случае мы пренебрегаем обмятием проволоки по линиям контакта
и уменьшением ее диаметра вследствие растяжения, что практически не является
существенным.
Воспользуемся соотношениями (150а) и (153), тогда
<192>
При закручивании троса его угол свивки 8, а следовательно, радиус шаг
свивки t и определяющий полярный угол <|>0 изменяются, расстояние же между
жилами, равное диаметру проволоки d, остается неизменным.
Поэтому
4-d(rf2)A/4-<’<da)A<b -0
Jio из условия (151а) следует, что = 0.
812
Расчет витых пружин
Тогда, руководствуясь зависимостью (192), имеем
(193)
Воспользуемся формулами (167) и (169), выражающими приращение Д/?о
Ш Г 1 о
через изменения параметров L, I и <р, принятых за основные. В этом
соответствующих подстановок и преобразований соотношение (193)
И (2тс)2
случае после
примет вид
ДА Д/ /1 sin2 S sin2 &' \ * Д® 7?0 sin & ___
L L V — cosa8cos2B' } cos° Т cos2В' ~
(193а)
Выразим теперь приращения основных параметров через внутренние силовые
факторы, для чего воспользуемся интегралом Мора.
При этом единичные внутренние силовые факторы могут быть вычислены от
единичной нагрузки, приложенной к изолированной жиле, без учета ее контакта
с соседними жилами.
Действительно, в рассматриваемом случае при • разрешении поставленной
статически неопределимой задачи, в которой неизвестной величиной является
интенсивность контактного давления q9 совокупность изолированных жил пред-
ставляет собой основную систему.
Для определения осевого перемещения Д/ к жиле должна быть приложена
осевая единичная сила Р= 1. В этом случае единичные внутренние силовые
факторы в поперечных сечениях жилы подсчитываются как для пружины растя-
жения [см. формулы (13а) и (14а)] (Д/=Х):
714 п = 1 • Ro sin 8;
Л4Ь1 = — 1 */?0cos8.
Тогда
Д/ _ Al/floSinS M&Z?0cos& <
L ~ GJP EJb ’ (194)
Для определения угла закручивания (Дф = 6) к жиле должен быть приложен
единичный закручивающий момент 1.
В этом случае единичные внутренние силовые факторы в поперечных сече-
ниях жил подсчитываются как для пружины кручения [см. формулы (136)
и (146)]:
714п = cos 8;
Л4Л1 = 0;
7И&1 = sin 8.
Тогда
Дер M/COSB M^sind
L ~ GJP + EJb ‘
При расчете предполагалось, что жилы можно рассматривать как брусья
малой кривизны.
При вычислении перемещений Д/ и Д<р растягивающая и поперечные силы
во внимание не принимались. В соответствии с этим удлинением жил Д/ также
можно пренебречь.
Более точные исследования [6] показали, что при углах свивки 8 < 35° эти
предположения вполне допустимы.
Д/ Дф
Подставим значения -j- и из формул (194) и (195) в основное соотно-
шение (193а). Тогда после преобразований получим
= + tg(& + ₽). (196)
Расчет многожильных пружин
813
Заменяя в зависимости (196) значения Mt и Мь по формулам (189а) и (190а),
можно выразить интенсивность контактных сил в следующем виде:
«« 2 sin S sin sin р [sin Р + р. cos sin (& 4- Р)]
’ = Э-----------ГТ7₽<МТ)-------------• “97>
Фиг. 706. Графики значений коэффициентов
и для троса без центральной жилы, в зави-
симости от угла сцивки & и числа жил 4.
Фиг. 707. Графики значений коэффициен-
тов сь и Cf для троса без центральной
жилы, в зависимости от угла свивки Ь
и числа жил п.
Теперь подставим найденное значение q в формулы (189а) и (190а) и окон-
чательно получим
М _4SRa cos р cos (8-|- Р) /iqo.
п 1 + р.sin2 (8 + 3)
м _ cos Р sin (8 + р) (1 + р)
6 — п 1 + р sin2 (6 + р) — » Т'
(199)
Значения коэффициентов vf и представлены графиками на фиг. 706 в зави-
симости от угла свивки и числа жил.
Таким же образом, используя зависимость (197), можно преобразовать
и формулы (187а) и (188а) и придать им следующий вид:
Pr=ct^> (200)
<201>
где коэффициенты ct и сь также зависят от угла свивки и числа жил. Значения
этих коэффициентов приведены на фиг. 707.
Интересно отметить, что для троса с критическим углом свивки, когда
cos ЪХр — sin Ъ'кр, по формуле (191)
□ ___
Гкр 2 •
В этом случае из формул (198), (199) и (188) следует, что внутренние
силовые факторы Mt, Mb и Рь равны нулю. Это означает» что жилы, состав-
814
Расчет витых пружин
дяющие трос с критическим углом свивки, при закручивании троса попадают
в такие условия, что подвергаются в первом приближении только растяжению.
Естественно, что жесткость многожильных пружин, свитых из тросов, име-
ющих критический угол свивки, должна быть очень большой.
Этот тип многожильных пружин представляет особый интерес и подлежит
в будущем специальному изучению.
Для вычисления осадки пружины от нагрузки (Р — Рк) воспользуемся инте-
гралом Мора [см. формулу (89)]. Тогда осадка многожильной пружины малого
Фиг. 708. Графики значений коэффициента
жесткости и коэффициента е для троса
без центральной жилы в зависимости от угла
свивки & и числа жил п с учетом взаимодей-
ствия последних.
угла подъема (ажО) равна
L
+ »С (202)
J ujp
о
Единичные внутренние силовые
факторы и могут быть вы-
числены по формулам (170) и (171),
полагая в них Р= 1. (Зависимости
(170) и (171) выведены в прёдполо-
жении отсутствия контактных сил
между жилами. Их использование
означает, что для простоты расчета
0,50 единичная нагрузка предполагается
приложенной не к заданной, а
к основной системе).
Силовые факторы Mt и вхо-
дящие в . зависимость (202),' выра-
жаются формулами (198) и (199).
Таким образом, используя соот-
ношения (170), (171), (198) и (199)
и учитывая формулу (154), оконча-
тельно получаем
X _________ '202а)
4nGJp? ’
Коэффициент жесткости 5" троса при
наличии контакта между жилами
(§ + ₽)].
(203)
Значения коэффициента жесткости %" представлены на фиг. 708 в зависимо-
сти от угла свивки и числа жил.
При 8==8жр 6"==оо. Этот результат является следствием допущений,
сделанных при выводе формул (193) (растяжение жил и изменение их диаметра
не принимались во внимание). Однако он все же подтверждает высказанные
выше соображения о большой жесткости многожильных пружин, свитых из
троса с критическим углом свивки.
Как уже отмечалось, формулы (198)—(203) являются приближенными и могут
быть использованы для расчета многожильных пружин с углом свивки
8 <35°, поэтому значения коэффициентов v,, eft съ и 5", подсчитанные по
этим формулам, представлены на фиг. 706, 707, 708, при углах 8 > 35°,
пунктирными линиями.
При углах свивки 8 < 30°, которые обычно и осуществляются, можно до-
вольствоваться еще более простыми зависимостями [6], опустив в знаменателе
формулы (191) величину sin2 8' в сравнении с cos2 8. (При 8 —30° cos28 = 0,75,
Расчет многожильных пружин
815»
в то время как в самом неблагоприятном случае при л = 4 sin28' = 0,16^
при п =2 sin2 8 = 0.).
В этом случае рж8
и
м _____ cos в cos 25,
* п (1 -J- pi sin2 5) *
м cos 5 sin 25 (1 4- р.) в
ь л (1 4- р. sin2 5) 9
t/7__1 4- р. sin2 25
cos 5
(198а/
(199а/
(203а/
Практическая ценность этих формул заключается в том, что они выражают
основные расчетные величины в простой зависимости от числа жил п и угла
свивки 8. [Заметим, что при п — 2 формулы (198а), (199а) и (203а) совпадают
с формулами (198), (199) и (203) соответственно, так как в этом случае 8'= О
и Р = 8].
Учитывая, что многожильные пружины основных типов в настоящее время
выполняются и, вероятно, в будущем будут выполняться с углами свивки»
8 <30°, формулы (198а), (199а) и (203а) вследствие их простоты и достаточ-
ной при 8'< 30° точности имеют особенно важное практическое значение.
Перейдем теперь к выяснению полных внутренних силовых факторов, воз-
никающих в поперечных сечениях жил при нагружении пружины силой Р>
(яя=™)-
По принципу сложения действия сил окончательно получаем крутящий-
момент *
Mr = MXK + Mt = yr~, (204>
где [см. формулы (171а) и (198)]
vr = J-^cos8 -j-v, (1 —;
изгибающий момент
МВ = М?К +мь = УВ
(205).
где [см. формулы (170а) и (199)]
= (1 — -$*-)];
нормальная сила
поперечная сила
Рт — Pt — Cf
Р В Pb------съ
(Р-РК)Р.
2nd ’
(206>
(207).
2nd ’
полная осадка пружины
1 _1_> — — 8Рт
«“га- 4nGJp^ ~~ nGd^ •
где
1 _ I рк , 1 (1 Рк \
6 ~ Г Р f Г V Р Г
(208).
(209>
Значение 5' и 5" представлены формулами (173) и (203) соответственно^
В16
Расчет витых пружин
Для определения расчетных коэффициентов vr, и ё, зависящих от на-
грузки, приводящей жилы во взаимодействие, можно рекомендовать следующий
графический способ, показанный на фиг. 709, на примере вычисления коэффи-
циента жесткости 5. -
Представим формулу (209) в виде
Т-->(-г—г)+4- <209а>
На графике фиг. 709 построены кривые -р- и-р-.
Вертикальные отрезки,
разность (-р----р-).
заключенные между ними, дают
Фиг. 709. Номограмма для определе-
ния обратной величины коэффициента
жесткости троса -р-, по заданному
Pk
углу свивки о и отношению —ту-,
Эту разность легко графически Умно-
ву
жить на нужное отношение —Это пока-
зано на графике стрелками ВС, AD и MN
р
на примере-^- =0,2 и о = 30°. Затем
определяется и величина—• (см. стрелку NK).
Фиг. 710.?* Характеристика многожильной
пружины, построенная с учетом сил трения
определяющему положение точки
излома характеристики.
между жилами.
Искомое значение р определяется в масштабе отрезком ОК.
Характеристика пружины представлена на фиг. 710 отрезками прямых О А
п АВ. Предположим для общности, что при нагружении трение между жилами
имеет место [6] (ранее силы трения нами во внимание не принимались).
Рассмотрим разгрузку пружины.
В начале этого процесса (первый этап) силы трения будут постепенно умен*
шаться и менять свое направление.
На этом этапе разгрузки жилы не проскальзывают друг относительно друга
а следовательно, трос в целом не деформируется и осадка пружины не меняется,
несмотря на то, что внешняя нагрузка уменьшается от величины Ршах (точка В)
до некоторого значения Ро (точка С).
Этот этап разгрузки (Ртах > Р > Ро) представлен на фиг. 710 отрезком
прямой ВС.
При дальнейшем уменьшении нагрузки (Ро > Р > Рк} наступает второй этап
процесса разгрузки. Жилы стремятся вернуться в исходное друг относительно
друга положение.
Расчел многожильных пружин
847
Скольжение опять будет иметь место, но уже в обратном направлении
тому, что имело место при нагружении.
При Р~РК осадка пружины достигает величины и характеристика пру-
жины при дальнейшей разгрузке на участке (ДО) сливается с ее характеристи-
кой при нагружении (ОД).
Если процесс разгрузки приостановить при некотором значении Р{>РК и
перейти к повторному нагружению, то силы трения вновь изменят знак, при
этом проскальзывание приостанавливается, пока нагрузка не возрастет (ab) до
некоторого значения Р2, после чего характеристика повторного нагружения (ЬВ)
совпадает с характеристикой предшествующего нагружения (АВ).
Площадь образовавшейся петли (ЬВСаЬу выражает работу Г, затраченную
при осуществлении цикла нагружение — разгрузка.
При полной разгрузке (или при Р} = Рх)
Т ^о) (\max ky)
1 max 2
(210)
Подсчитанная работа представляет собой работу сил трения.
С энергетической точки зрения полный цикл „нагружение — разгрузка" пру-
жины можно охарактеризовать коэффициентом отдачи энергии riTf представляю-
щим собой отношение энергии, возвращаемой пружиной при ее разгрузке
((/разг)» к полной работе, затрачиваемой при нагружении (UHazp)-
Т|г —
Рк . Р$ (1 \
Рразг _ PfP'K Н~ (*>0 ~Н Рк) 0 max — ^к) __ ^max^тах X \пах /
U наг р Рк^к Н" (Рщах Н” Pte) (^тах ^к) Р*с । ( j \
^тах X , ^щах /
. (211)
Обозначим ° = е. Значения коэффициентов е при коэффициенте трения
Ртах Л
скольжения f = 0,1 приведены на фиг. 708. (При вычислении коэффициента в
предполагалось, что витки пружины нагружаются чистой парой, закручивающей
трос, кривизна витков во внимание не принималась, все размеры троса во всех
его частях считались строго выдержанными.)
Примем для примера, что
^шах
= 0,3.
'max
В этом случае при я = 3, 8 = 35°, когда е^0,9,
^ = 0,3 4-0,7 0,9 = 0,93.
Коэффициент уменьшается с увеличением угла свивки.
Силы трения мало сказываются на величине внутренних силовых факторов
и на статической характеристике пружины. В вопросах, связанных с затуханием
колебаний, трение между витками имеет существенное значение.
Дополнительно необходимо отметить, что из-за неточности свивки троса
трение между жилами практически может оказаться несколько большим, чем
в рассмотренном идеализированном случае.
Следует учитывать также, что при нагружении пружины трос не только
закручивается, но и несколько изгибается. Это приводит к резкому увеличению
относительного проскальзывания жил и заметно увеличивает работу сил трения
между жилами.
Сопоставляя изложенную теорию многожильных пружин с уточненной тео-
рией [6], учитывающей силы трения, все внутренние силовые фактора и рас-
сматривающей жилы как брусья большой кривизны, можно установить, что,
при практически осуществляемых углах свивки 8 ж 25 ч-30°, приближенная
теория, отличаясь простотой, обладает достаточной точностью.
52 Пономарев и др. 407
818
Расчет витых пружин
Прочность многожильных пружин сжатия •
Поскольку вычисление напряжений целесообразно проводить при значи-
тельных нагрузках, следует принять, что жилы при расчетной нагрузке уже
стянуты в один плотный жгут и силы взаимодействия между ними имеют место.
Проведенный выше анализ позволил установить величины изгибающего и
крутящего моментов, а также нормальной и поперечной сил, возникающих в по-
перечных сечениях жил, при нагружении пружины осевой силой Р, которая
PD
создает момент 3D? = , закручивающий витки, свитые из троса.
Дополнительными напряжениями, связанными с возникновением в сечении
витков поперечной силы, пренебрегаем.
Н. А. Чернышевым методами теории упругости установлено [17], что со-
ставляющие напряжения в опасной точке винтового бруса на его внутреннем
волокне могут быть выражены через внутренние силовые факторы в сечении
следующим образом (см. фиг. 646):
ай6 = —-^-[°,154Л4В (у) +(0,246Л1в —О,О967Игс^8—0,07рРг)(уУ] ; (212)
= - "Г Ри* + (0>871Л1л -0,250рРг) (у) +
w b L ' “ /
+ (0,642Л1в 4- 0,032Afr ctg8 — 0,074рРг) (у)*; (213)
Т«- = К + (0.635Л4г+0,615рРв)(Г.) +
(О,346Л4Г — 0,183/Ив ctg 8 4- 0,529рРв) (у)*] , (214)
где г—радиус поперечного сечения жилы;
’р— радиус кривизны жилы [см. формулу (159)];
тут _ Л/*® уту __ 7U7*3
wb = — > а — ‘
(Коэффициенты в формулах (212), (213) и (214) подсчитаны в предположении,
что р = 0,3.)
Главные напряжения в опасной точке
4 = V + 4 +
4 = °: (215)
4 = - 1 / (d«-»w)a + 44.
Учитывая, что в рассматриваемом случае напряжение <зьь значительно меньше
a xbt— весьма большая величина, можно с полной уверенностью утверждать,
что < > а'' > от т. е.
°i = 4;
а, = 0;
3 гл’
тогда, руководствуясь теорией наибольших касательных напряжений, эквива-
лентое напряжение, характеризующее опасность напряженного состояния,
можно выразить как
= °1 — сз = &« — <’»)* +Чс (2,6>
Используя формулы (212)—(214), можно по зависимости (216) выразить экви-
валентное напряжение непосредственно через внутренние силовые факторы,
з затем и через внешнюю нагрузку.
Расчет многожильных пружин
819
Однако это приведет к исключительно громоздкой зависимости, поэтому
формулой (216) следует пользоваться только при проверочном расчете, подстав-
ляя в нее предварительно подсчитанные цифровые значения напряжений о^, аьь
и ХЪГ
Дополнительно следует заметить, что при исследовании напряженного со-
стояния в опасных точках жил (т. е. на внутреннем их волокне) не принима-
лось во внимание наличие зон контактных напряжений по линиям касания жил. •
Это допущение оправдывается тем, что линии касания заметно удалены от внут-
реннего волокна, а контактные напряжения, как известно, быстро затухают.
Необходимо также учесть, что многожильные пружины, как правило, под-
вергаются заневоливанию, и поэтому эти пружины приходится рассчитывать не
по допускаемым напряжениям, а по предельным нагрузкам [8], определяемым
величиной пластических деформаций, допущенных при заневоливании.
При конструировании пружин надо задаваться числом жил п = 2 ч- 4.
Угол свивки 8, в зависимости от назначения пружины, следует выбирать:
а) в обычных случаях 8^25ч-30°;
б) для получения * пружин повышенной жесткости 8 ж 42 ч-45°;
в) для получения значительного заглушения колебаний 8 ж 30 ч-40°;
г) для получения пружин с примерно линейной характеристикой 8 « 22ч-25°.
Отношение , определяющее положение излома характеристики, можно
max 1 1
ориентировочно принимать равным -g- — .
Индекс пружины , где 0 — диаметр окружности, описанной вокруг
поперечного сечения троса, a D — средний диаметр пружины, обычно укла-
дывается в интервале 3,5—5.
Диаметр <t проволоки для пружин, воспринимающих нагрузку 80—120 кг,
следует выбирать равным 1,2—1,6 мм.
Б. Расчет многожильных пружин, свитых из тросов с центральной жилой
Геометрия многожильных тросов, имеющих центральную
жилу
Фиг. 711. Графики, представляю-
щие значения отношения вну-
треннего диаметра $0 полости,
образующейся между жилами,
к диаметру d последних.
Для повышения жесткости и прочности тросов без заметного увеличения их
наружного диаметра & в центральную полость, образующуюся между винтовыми
(периферийными) жилами, вводят дополнитель-
ную прямолинейную (центральную) жилу (см.
фиг. 693) Такое изменение конструкции троса
целесообразно, если число (п) винтовых пери-
ферийных жил больше четырех (п > 4), так как
в этом случае диаметр внутренней полости д0 уже
столь значителен, что в ней может быть разме-
щена достаточно массивная центральная жила.
^Значения отношения , где d — диаметр пе-
риферийных жил, приведены на фиг. 711
Поскольку к пружинам, свитым из тросов
с центральной жилой, обращаются при относи-
тельно больших нагрузках, диаметр исполь-
зуемой проволоки достигает в этом случае
1,5—2,0 и даже 2,5 мм.
Учитывая наличие допусков на диаметр навиваемой проволоки и неизбежные
неточности, возникающие в процессе свивки, можно с уверенностью сказать,
что практически, при изготовлении троса, нельзя достигнуть плотного сопри-
косновения каждой из жил одновременно со всеми соседними жилами (цент-
ральной и периферийными). Поэтому, чтобы заранее застраховать себя от вся-
52*
820
Расчет витых пружин
ких случайностей, приводящих к браку, необходимо так подбирать'размеры,
чтобы заведомо обеспечить практически осуществимую жесткость конструкцию
троса. Для этого диаметр центральной жилы dQ выбирается обычно несколько
большим, чем диаметр полости &0 {dQ > &0)- Тогда периферийные жилы заве-
домо приходят в соприкосновение только с центральной, жилой, касаясь ее
по винтовым линиям. Между собой периферийные жилы не соприкасаются
(фиг. 712).
Концы всех жил (как периферийных, гак и центральной) свариваются друг
с другом
Осуществляемые в настоящее время конструкции многожильных тросов с цен-
тральной жилой имеют обычно пять периферийных жил (п = 5) того же диаметра,
Фиг. 712. Поперечное сечение троса с цен-
тральной жилой.
что и центральная жила (d = d0).
В этом случае при обычно осуще-
ствляемых углах свивки 8 = 25-г-30°,
^ = 0.84-5-0,9.
а
Радиус Rq образующего цилиндра
осей периферийных жил равен
Й0 = -£>-±А. (217)
Угол свивки 8 определяется своим
тангенсом через шаг t оси винтовой
жилы:
tgSz=^fi-= . (218)
Предельный угол свивки 8л^д опре-
деляется минимально возможным шагом
^П11П (Фиг- 713)’
= (218а)
*П!И1
или
nd
«s nd
cos *пред ~ — к (d0 -г d)
(219)
При d—dQ и я = 5 Ъпред = 37°20'.
Диаметр окружности, описанной вокруг поперечного сечения троса &
(фиг. 712), характеризующий габарит сечения, равен
d = d0-r-2c? (220)
(при d — d^ D = 3rf).
Длина периферийной жилы
£=_£_. (221)
COS о * V '
где I—длина троса 4(т. е. длина центральной жилы).
Линии касания периферийных жил с центральной представляют собой вин-
товые линии.
Радиус образующего цилиндра этих линий = 8'—угол, составля-
емый разверткой винтовой линии соприкосновения жил с осью троса.
Расчет многожильных пружин
821
Поскольку шаг оси периферийной (винтовой) жилы и шаг винтовой линии
касания периферийной жилы с центральной равны друг другу, имеем
ctgB = T^ctgS'. (222)
Последняя зависимость позво-
ляет вычислить угол
Фиг. 713. К определению критического угла
свивки троса с центральной жилой:
а — изолированная периферийная жила; б — положение пе-
риферийных жил на развернутом образующем цилиндре,
при заданном угле свивки; в — положение периферийных
жил на развернутом образующем цйлиндре при критическом
угле сривки.
Расчет многожильных
пружин сжатия, свитых
/из тросов, имеющих
центральную жилу
Когда нагрузка, воспринимае-
мая многожильной пружйной, пре-
восходит 100—150 кг, тросы
простой свивки из трех-четырех
жил предельного диаметра (d —
— 1,5 ч-2,0 мм) уже не удовле-
творяют требованиям прочности.
Приходится увеличивать число жил
до пяти и более. В этом случае,
в целях уменьшения габарита
троса, целесообразно использовать
внутреннюю область, образую-
щуюся между* сплетаемыми жи-
лами. В этом смысл новой разно-
видности многожильных пружин,
свитых из тросов с центральной
жилой. Учитывая, что механиче-
ские свойства проволоки заметно
возрастают с уменьшением ее диаметра, представляется, что такие пружины це-
лесообразно конструировать и при меньших нагрузках, избирая при этом трос
с большим числом жил малого диаметра.
Витки винтовых пружин сжатия с небольшим углом подъема работают в
основном, на чистое кручение. Поэтому прежде всего необходимо разработать
теорию кручения многожильных тросов/ имеющих центральную жилу.
Во избежание расслаивания такого троса на отдельные составляющие его
жилы внешняя пара, закручивающая трос, должна затягивать последний, т. е.
действовать в направлении хода свивки периферийных жил.
Для этой цели ход навивки пружин сжатия умышленно делается всегда про-
тивоположным ходу свивки троса (пружина левой навивки — трос правой свивки,
и наоборот). Это обеспечивает при нагружении пружины сжатия прямое закру-
чивание (затягивание) троса. При изготовлении тросов и пружин в момент их
снятия с навивального станка плотное прилегание периферийных жил к цент-
ральной, вследствие отдачи, нарушается. Поэтому на первом этапе последую-
щего прямого закручивания троса, образующего пружину, жилы, составляющие
трос, практически деформируются независимо друг от друга. На этом этапе
нагружения каждая жила ведет себя как самостоятельная винтовая пружина кру-
чения. Лишь при определенной нагрузке Рк жилы вновь стягиваются в один
плотный жгут и вступают во взаимодействие, вследствие чего жесткость пружины
резко возрастает и характеристика пружины получает излом (см. фиг. 694).
Таким образом, при изучении многожильных пружин, свитых из тросов
с центральной жилой, как и ранее предстоит рассмотреть: ч .
1) расчет многожильных пружин сжатия до момента возникновения плот-
ного контакта между жилами Р < Рк и
2) расчет многожильных пружин сжатия после возникновения плотного
контакта между жилами (Р>/\).
822
Расчет витых, пружин
Значение силы Рх, приводящей жилы во взаимодействие, ввиду сложности
процесса свивки и неопределенности многих факторов, влияющих на плотность
тросов, строго говоря (см. разд. А этого параграфа), может быть определено
только экспериментально путем испытания опытных образцов конструируемой
пружины.
Расчет многожильных пружин сжатия до момента возникновения
плотного контакта между жилами (Р<РК)
Учитывая сказанное выше, в основу расчета пружин рассматриваемой нами
конструкции можно положить теорию кручения тросов с центральной жилой.
Приступая к решению поставленной задачи, необходимо прежде всего уста-
новить, какая доля нагрузки при закручивании троса приходится на перифе-
рийные жилы и какая часть ее воспринимается центральной жилой. При этом
необходимо учесть, что по концам троса жилы сварены'между собой, поэтому
угловые и линейные перемещения центральной и периферийных жил одинаковы.
На данном этапе нагружения контактные силы между центральной и пери-
ферийными жилами практически не проявляются.
Все периферийные жилы находятся в одинаковых условиях нагружения и
поэтому полностью равноправны.
Допустим, что центральная жила нагружается закручивающим моментом Жо
и продольной силой Ро, а каждая из периферийных жил, которую можно рас-
сматривать как обыкновенную пружину кручения, закручивается моментом Wtn
и нагружается продольной силой Рп.
Тогда внешняя пара 2R, закручивающая трос, равна
(223)
где- п — число периферийных жил.
Силы связаны между собой соотношением
Ро + пРп==0. е (224)
Практически отдача периферийных жил в различных сечениях троса неодина-
кова. Поэтому в отдельных местах по длине троса сохраняются 'контактные
силы между центральной и периферийной жилами. В то же время это может
привести к искривлению центральной жилы в полости, образовавшейся при
отдаче. В этом случае при закручивании троса периферийные жилы, несколько
удлиняясь, будут встречать лишь слабое сопротивление расправляющейся цент-
ральной жилы. Таким’образом, практически Ро^О. Если предположить, что
центральная жила строго прямолинейна, то периферийные жилы будут растя-
гивать центральную жилу- В этом случае сила будет относительно велика, но
ее влйяние на жесткость пружины по-прежнему останется мало заметным. По-
этому примем,-что Ро = О. откуда следует [см. формулу (224)], что Рп = 0.
Тогда внутренние силы в любом сечении центральной жилы приводятся'
только к крутящему моменту /Ио:
уИ0 = Шг0. ♦ (225)
Внутренние силы в любом сечении каждой из периферийных жил, которые1
можно рассматривать как пружины кручения, приводятся [см. формулы (136) и
(146)] к крутящему моменту
Ah = 2Rncos8 (226)
и к изгибающемому моменту
= (227)
(поперечные сечения при изгибе поворачиваются около бинормали оси жилы).
Принимая, что каждую из периферийных жил можно рассматривать как.
кривой брус :малой кривизны, найдем угол закручивания жильц пользуясь ме-
тодом Мора.
Расчет многожильных пружин
823
Приложим к периферийной жиле в направлении действия единичный
момент.
Тогда единичные внутренние силовые факторы равны
/Ит1 = cos8;
= sin 8,
(226а)
(227а)
а угол закручивания периферийной жилы
__ Г р МхЛ4х1 ds
J EJb GJP
о 0
9)^(1+pi cos2 8)
EJb
(228);
где Jb и Jp~~ осевой и полярный моменты инерции поперечного сечения пери:
ферийной жилы.
Угол закручивания центральной
жилы
% = (229)
GJo
где J°p — полярный момент инерции
поперечного сечения центральной жилы.
Учитывая, что вследствие сварки
концов угол закручивания всех жил,
включая и центральную, одинаков
(6 = 6О), им^ем
Я101 _ Wn£ (1+ и cos2 8)
' GJp ~EJb 9
откуда
огп __ (1 + И cos2 8) / d0 \ 4_ ™
------(1-TPi) cos 8-\~Т) —
(230)
где
l + p.cos28 (d0\*
X (1 -|- pi) cos 8 \ d ) * ' '
Фиг. 714. Графики значений коэффициентов
жесткости троса с центральной жилой £0
и и вспомогательного коэффициента х
при d = d0 и п — 5. з зависимости от угла
свивки 8.
Значения коэффициента / Для типовой конструкции троса п = 5 и с? —d0
при р — 0,3 приведены на графике (фиг. 714) в зависимости от угла сцивки 8.
Используя уравнение равновесия (223), имеем
а» = 2»п(п + х). (223а)
Тогда
= <232>
и
яр —
(233)
Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях периферийных жил
в соответствии с формулами (226) и (227) выражаются следующим образом.
Крутящий момент
Л1^Шгпсо88 = -^^ = *Ж • (234)
Изгибающий момент
M? = 2Rnsin8 = -^11 = ^. (235)
824
Расчет витых пружин
Для нейтральной жилы крутящий момент равен
Afe = Wo = ^- = «-
(236)
Значения коэффициентов /гт, k$ и kQ для случая, когда d = dQ и п — 5, при
ji=0,3 приведены на графике фиг. 715.
Вопросы, связанные с напряженным состоянием жил, будут рассмотрены
ниже.
Для многожильной пружины сжатия с витками малого угла подъема (а^О),
свитой из троса, имеющего центральную жилу, осадка X может быть подсчи-
тана методом Мора, причем для простоты выкладок достаточно рассмотреть
из жил, составляющих трос, свитый
в пружину (например центральной).
При нагружении пружины сжатия
осевой силой Р трос, образующий
витки малого угла подъема, закручи-
PD
вается моментом 90? — . где D —
средний диаметр пружины. (Влиянием
поперечной силы пренебрегаем.)
Тогда в поперечном сечении, напри-
мер, центральной жилы по формулам
(225) и (236) крутящий момент
'И" = Й«™=-5^Г- <237>
осевое перемещение какой-либо одной
жилой при d« dQ и п = 5, в зависимости
от угла свивки Ь.
Прикладывая к пружине, в соответ-
ствии с методом Мора, вместо нагруз-
ки Р единичную силу и относя закру-
чивающий момент 90?, "= только
к центральной жиле, получим
И4в1----. (237а)
Теперь по формуле (172)
.) GJ°p 4(п + х)^;
, (238)
где J°p — полярный момент инерции поперечного сечения центральной жилы
/ го __________ \ е
\ JP~ 32 / ’
I — длина центральной жилы троса, образующего рабочие витки / пру-
жины (Z«kDZ).
Значения коэффициента / представлены формулой (231).
Выражение (238) можно еще записать и в другой форме:
xPD2Z_______8РРЭ/
4(n + x)<^ nGd*^
(238а)
где коэффициент жесткости троса t'Q при независимой работе жил равен
1'—( 1 _1_ 1 W 4Л4(1 + и)со5& 1 (dQ\*
Значения коэффициента жесткости для случая, когда d = dQ и п = 5 при
|л = 0,3, представлены графиком (см. фиг. 714).
Расчет многожильных пружин
825
Расчет многожильных пружин сжатия после возникновения плотного
контакта между жилами (Р > Рк)
Учитывая, что при нагружении трос ведет себя до вступления жил во вза-
имодействие и после возникновения контактных сил совершенно различно,
необходимо, как уже указывалось выше, строго разграничивать указанные два
этапа нагружения.
Отсюда следует, что полный момент 2R= — ,
закручивающий трос, должен быть расчленен на
две части:
да __PkD
— 2
и
(ps^p-pk).
Первый из них приводит жилы во взаимодей-
ствие и плотно прижимает их друг к другу.
Внутренние силовые факторы, развивающиеся
при этом в поперечных сечениях жил, могут быть
вычислены по формулам (234), (235) и (236).
Затем трос дополнительно закручивается как еди-
ное целое моментом Его величина и опреде-
ляет дальнейшую деформацию жил, силы взаимо-
действия периферийных жил с центральной и до-
полнительно возникающие внутренние силовые
факторы.
Обращаемся к выяснению вопросов, связанных
с приложением дополнительного момента
Допустим, что трос правой свивки, жилы ко-
торого уже находятся в плотном контакте, на-
гружен дополнительным моментом создаю-
щим прямое закручивание.
Рассечем мысленно трос плоскостями, каждая
из которых нормальна оси одной из составляю-
щих жйл (периферийной или центральной)
(фиг. 716).
Фиг 716. Нижняя часть троса
с центральной жилой, отсечен-
ная поперечными сечениями
составляющих жил.
Положим, что выбранное
сечение каждой из периферийных жил пересекает
ее ось на расстоянии 5, измеряемом по оси жилы ($ отсчитывается от торцевого
сечения, для которого принято, что $=0).
Сечение центральной жилы предполагается взятым при
s0 — s cos 8.
В центральной жиле развиваются внутренняя сила Pod(sb) и крутящий мо-
мент Mqo(Sq).
Внутренние силы, возникающие в сечениях периферийных жил, приводятся
у каждой из них к главному вектору Р?д($) и главному моменту Afvd(s)> где
v — номер жилы:
Р>д = Pt ($) + Рп + Pb (s) (240)
= Mt (s) 1, + Mn (s) n„ Mb (s) \ (241)
(?v, bv — орты оси v-й жилы в сечении при параметре $).
Учитывая равноправность всех периферийных жил, можно считать, что для
каждой из них в поперечном сечении, соответствующем определенному избран-
ному значению 5, проекции главного вектора внутренних сил Pt (s)t Рп (s}>
826
Расчет витых пружин
1
Pb(s\n проекции главного момента Mb (s), не зависят от поло-
жения жилы относительно центра троса (т. е. от номера жилы v).
Составим Уравнение равновесия отсеченной нижней, части троса (фиг 716).
Сумма проекций всех сил на ось троса z равна
Рйд <so) + lpt (s)cos 8 + pb ($) Sin S] n = 0,
откуда вытекает, что
(s) cos 3(s) sin 8 = (242)
Из уравнения моментов относительно оси троса следует, что
(s) cos 8 -j- Mb (s) sin В +
+ #0 [Pf(s)sin6 — P6(s)coso]. (243)
Наличие центральной жилы не позволяет нам a priori утверждать, что все
сечения по длине троса равноправны, т. е. что Pf(s), Pn(s), Pb(s) и POd(5o)>
а также Л4Д$), Мп (s), Mb(s) и Л40д($0) не зависят от параметра $.
Предполагая, например, отсутствие деформаций у центральной жилы (т. е.
считая ее абсолютно жесткой), мы наложим на периферийные жилы дополни-
тельные связи, обусловленные их трением о центральную жилу. Это приведет
к изменению внутренних сил в поперечных сечениях периферийных жил, в за-
висимости от положения последних вдоль оси троса.
Проанализируем этот вопрос применительно к конструкции многожильных
пружин, осуществляемых в настоящее время.
Концы жил, составляющих трос, как уже указывалось, сварены между собой,
поэтому можно утверждать, что угловое и линейное перемещения концов всех
периферийных жил и центральной жилы одинаковы; кроме того, все указанные
перемещения пропорциональны длине троса (они пропорциональна возрастают
с ее величиной).
Отсюда можно прийти к заключению, что Pd(s), Md(s)t MQd (sQ) и Pod (s0)
не зависят от параметра
В этом случае контактные силы могут быть направлены только по нормалям
к поверхностям центральной и периферийных жил в точках контакта.
Интенсивность сил давления q не зависит по условиям равноправности от
номера жилы v и не .меняется по длине s линии контакта.
Таким образом, в рассматриваемом случае при закручивании прямого троса
проскальзывание периферийных жил относительно центральной не имеет места.
Это является следствием принятого условия о независимости внутренних сило-
вых факторов от местоположения сечения вдоль оси жилы, что, в свою очередь,
оправдывается тем, что все жилы сварены по концам троса, образующего мно-
гожильную пружину.
Совершенно к другим результатам мы пришли бы при рассмотрении круче-
ния троса, у которого концы центральной жилы не были бы связаны с кон-
цами периферийных жил. В этом случае обязательно имело бы место проскаль-
зывание винтовых периферийных жил относительно прямой центральной жилы,
что привело бы к развитию значительных сил трения и к другим связанным
с этим явлениям. Это обстоятельство должно быть учтено при проектировании
пружин с повышенной амортизирующей способностью и подлежит еще подроб-
ному теоретическому и экспериментальному исследованию в дальнейшем.
Л Составим теперь уравнение равновесия для элемента периферийной жилы,
принимаемой нами за первую. Примем, что элемент выделяется двумя сечениями,
нормальными, к оси жилы, при значениях параметра s и s-j-tZs (фиг. 717).
На фиг. 718 вырезанный элемент периферийной жилы показан в проекциях
на плоскости ху и xz.
Расчет многожильных пружин
827
В проекции на плоскости ху ось выделенного элемента является дугой по-
лярного угла Дф, причем
/?0Дср — ds sin 8.
Из уравнения проекций на ось х следует, что Рл = 0.
Из уравнения моментов относительно оси х следует также, что и Мп = 0.
Проектируя все силы на ось у, имеем
qds — 2Pt sin 8 sin -j- 2Pb cos 8 sin = 0.
Но [см. формулу (222)]
sinb Sin b COS b
Фиг. 717. Элементы
центральной и пери-
ферийной жил, нахо-
дящихся в контакте.
откуда окончательно
Фиг. 718. Проекции элемента периферийной жилы,
выделенного бесконечно близкими сечениями:
а — проекция элемента на плоскость, параллельную оси z
троса; б — проекция элемента на плоскость, нормальную
оси z троса.
sin b cos b o cos Ь
R„ — Я cosу •
(244)
Составляя уравнение моментов относительно оси у, получаем
Pb cos — 2Mt sin 8 sin ~ 2Mb cos 8 sin ^- = 0,
МП о £
откуда окончательно
sin88 .. sin8cos8.. _
-----^~^ = Pb-
(245)

sin3 8 D
~RTP*

828
Расчет витых пружин
4-
Уравнения (242), (243), (244) и (245) позволяют выразить неизвестные вну-
тренние силовые факторы Pt, Pbt Mt и Мь в сечениях периферийных жил
через q, PQd и а именно:
Р'= ? од п , COS & cos 6 4 ry ' cos S' (246)
рь= . ? од п . cos2 S sin 8 zy cos S' sinS 4' $47)
п cos 8 — P^Ro sin s n _ p cos2 S cos S' Pl sin S <7; (248)
п sin 8 PodRp cos в j n T" cos 6 cos 2S cos S' ' p2 sin2 S (249)
Для окончательного решения задачи обратимся к изучению перемещений
жил у целого троса при его закручивании
Из формулы (167), учитывая, что на данном этапе нагружения изменение
радиуса Ro практически равно нулю (Д/?о = 0), так же как и относительное
удлинение периферийных жил, которым можно пренебречь, имеем
Д/= — /?otg8Acp. (250)
Поэтому при закручивании троса, когда Ас? = 6 > 0, осевое перемещение
конца периферийной жилы, рассматриваемой как цилиндрическая пружина,
меньше нуля (Д/ = X < 0).
Наконец, по формуле (166), с учетом сказанного выше, изменение угла
свивки 8 равно
откуда следует, что в данном случае при закручивании троса
Д8>0.
Таким образом, при закручивании троса, жилы которого находятся в плот-
ном прилегании друг к другу, угол свивки 8 растет, а шаг периферийных жил
уменьшается, что полностью подтверждается опытом. Но, с другой стороны,
из условий сопряжения на концах троса периферийных жил с центральной
следует, что на рассматриваемом этапе закручивания троса центральная жила
сжимается и Роа < 0. При этом, несмотря на поддерживающее действие пери-
ферийных жил, центральная жила быстро теряет устойчивость' и не оказывает
заметного сопротивления периферийным жилам, стремящимся в связи с умень-
шением шага t несколько сократить свою протяженность по длине троса,. Это
было замечено при испытании образцов троса с центральной жилой на круче-
ние, когда уже при небольших крутящих моментах центральная жила теряла
прямолинейную форму упругого равновесия и, увлекая за собой периферийные
жилы, вызывала общее искривление образца. Учитывая сказанное, можно прийти
к заключению, что влияние продольной силы Род на процесс деформации троса,
образующего винтовую пружину, незначительно.
В рассматриваемом исключительно сложном случае не представляется воз-
можным точно Оценить влияние продольной силы Род, но, по-видимому, замет-
ной ошибки не будет допущено, если принять, что Р0д~0.
Возможность такого предположения полностью подтвердилась эксперимен-
тально.
Тогда
<246а>
Расчет многожильных пружин
829
p _ cos.2.^ (947a}
cos S' sin S '
л(«^со58_2^^?: (248а)
. _ й cos 6 cos 26 Ra „ (249а>
Обратимся опять к формуле (250).
Выразим теперь в этой формуле малые изменения геометрических размеров
троса (Дф = 6 и Д/ = Х) через внутренние силовые факторы. При этом про-
дольную и поперечную силы в сечениях периферийных жил не будем принимать
во внимание, как это обычно и делается во всех инженерных расчетах.
По аналогии с выводом зависимости (228) воспользуемся интегралом Мора
и вычислим Дф = 9:
L L
С MbMblds , С MtM^ds Л4Д,со$ о
° - J -Ё7Г~ J ~QTp~~ ~ Е7Г~ 4-------------0J7~' (251)
и и
Определим методом Мора также и осевое перемещение Д/ = X периферий-
ной жилы, рассматривая ее как пружину сжатия.
Тогда
L L
. С MbMblds f MfMftds _ MbRQL cosb Afz/?0£sin& o-
K~ J EJb GJP — EJb + GJP ‘ (2O2>
oo
Внесем полученные значения в формулу (250), тогда
д 7d^s6 ЛЦ^пбХ 7 sin 6 _ ^R0cos6 \ ct g = 0
\ Шр CJb / \ UJ р EJb ) °
или
^cosS- ^.£^. = 0.
GJ p EJb sin о
(253)
Принимая во внимание, что GJp = (\ и подставляя в соотношение
(253) значения внутренних силовых факторов по формулам (248а) и (249а),
выразим в конечном счете интенсивность контактных сил q через разность
_ cos 6' sin2 6(1 + 2р. cos2 6) СВДр— Мпд) „54. cos S (1 4- p. sin2 2S) n
Заменяя в формулах (246а) — (249а) интенсивность q ее значением по фор-
муле <254), получаем
j Pt - (2466) f Rd \l+p-sin22o/ n 9 v 7 _ sin2 6 COS 6 /1 + 2p cos2 8\ (ЭД?Э — Mod) . Z947A4 Иь— \ 1 -|_р. sin2 26 ) п ' 1 4/0) Mt = (^1СО5Д?) ; (2486) f \ 1 4- р. sin2 2bJ п 9 v 7 44 = 2sinScos28(l-|-p.) {<SRd - Л40Д) (2496) b 1 p. sin2 2o n v 7
Воспользуемся теперь тем условием, что угол закручивания любой из пери-
ферийных жил равен углу, закручивания центральной жилы, т. е. [см. фор-
мулы (251) и (229)]
9 _ (^ь sin5 [ cos о\ _ MQdl . (255)
\ EJb ’ GJP ) qj*
830
Расчет витых пружин
Тогда из зависимостей (255), (2486) и (2496) следует, что i
__________ВДа__________
п п л. cos 5 (V
1 +jxsin22G \ d J
(256)
Таким образом, окончательно имеем
Фиг. 720. Графики значений коэффициен-
тов ct и сь для троса с центральной жилой
при d =• dQ и п = 5, в зависимости от угла
свивки Ь.
Фиг. 719. Графики значений коэффициен-
тов Jfeod, fy и kb для троса с центральной
жилой, при d — d0 и п = 5, в зависимости
от угла свивки б.
И далее:

ь
sin8^ (1 4~ 2fx cos2 6) Wd______
cos 6 4- n (1 4- p- sin2 26) j Ro
sin* ft cos 6 (1 4- 2р. cos2 5)

cos 5 cos 2ВТ?э________
cos б -f n (1 + p. sin2 26)

2sin В cos2 ft (1 4- p.)
Л \ 4
M cos & 4- n (1 4-p.sin2 26)
о
-с ‘ Ro * (258)
с С» Ro (259)
9 (260)
= &Ж>- (261)
Для основного случая, когда я = 5 и d0 = d = RQi значения коэффициен-
тов kQd, kt и kb при /1=0,3 представлены графиками на фиг. 719, а коэффи-
циенты ct и сь — на фиг. 720.
Осадка \д многожильной пружины сжатия с витками малого угла подъема
(а^О), свитой из троса, имеющего центральную жилу, при ее нагружении
силой Рд = Р — Pk = (Р — РЛ) может быть, как и на первом этапе
нагружения (см. выше), подсчитана методом Мора, путем рассмотрения осевого
перемещения любой из жил троса, образующего рабочие витки пружины.
Расчет многожильных пружин
831
По аналогии с выводом формулы (238) имеем
i
^od^odi as___________________________cos S___________________
gj°p 4nGJp + (1 + ? sin» 25)]
(262)
1 -D
см. формулу (257); Л40д1=—у см. формулу (237а); l^nDi
Выражение (262) можно еще записать в другой форме:
х 8(Р-РЛ)Рз/
д nGd*^
(262а)
где коэффициент жесткости троса при наличии плотного контакта перифе-
рийных жил с центральной, равен
Г 1 Г 1 1 -bHsin22b]
° [ п \ d ) ' cos б J
(263)
Значения коэффициентов жесткости для случая d — dQ, п=5 и у. — 0,3
Представлены графиком на фиг. 714.
Теперь представляется возможным выразить полные внутренние силовые
факторы в поперечных сечениях жил и полную осадку многожильной пружины
сжатия при нагружении последней силой Р > Рк (Р = Рк -f- Рд).
В этом случае витки пружины закручиваются моментом
где D — средний диаметр пружины»
а) Полный крутящий момент для центральной жилы
M = M0 + M0d = kP-£, (264)
где
k = k0^- 4-
б) полный крутящий момент для периферийной жилы
Л4Г = М« + Mt = kTP-±, (265)
где
kT = k^
в) полный изгибающий момент для периферийной жилы.
MB = M^+Mb = kB^-t (266)
где
г) нормальная сила в сечении периферийной жилы
р~р_с (267)
рТ~И< — ct »
832
Расчет витых пружин
д) поперечная сила в сечении периферийной жилы
где
— Рь — сь
(Р ~ PJ D
2*0
е) полная осадка пружины
1 —X -U — р£)2/ — 8Р/)3/
* д ““ 4GJ^0 — nGd% 9
(268)
(269)
(270)
Любой из приведенных коэффициентов k, kT, kB и £0 может быть легко
получен при помощи номограммы, конструкция которой была объяснена в разд. А
на примере определения коэффициента жесткости £ для многожильных пружин,
свитых из троса без центральной жилы (см. фиг. 709).
Характеристика многожильной пружины, свитой из троса, имеющего цен-
тральную жилу, имеет, вообще говоря, такой же вид, как и характеристика
пружины, свитой из троса без центральной жилы (см. фиг. 694).
В идеализированном случае характеристики пружины при нагружении и раз-
грузке совпадают, так как трение между жилами при закручивании прямого
троса теоретически отсутствует. Однако из-за неточности свивки троса и нару-
шения симметричного расположения периферийных жил относительно централь-
ной, при навивке из троса пружины трение между жилами практически может
иметь место, и процесс нагружения и разгрузки представляется на диаграмме
различными линиями, образующими петлю „гистерезиса" (см. фиг. 710).
Располагая формулами (238 а) и (269), не представляет труда подсчитать
и потенциальную энергию U, накопляемую пружиной при деформации (см.
фиг. 694):
= <Лг + П (*-*») г (271)
где Р>РК— рабочая нагрузка пружины, а Л > — соответствующая ей
осадка.
Прочность многожильных пружин* свитых из тросов с центральной жилой
Расчет на прочность проводится по максимальной осевой нагрузке Р, которая,
естественно, больше Рк, так что в практических условиях работы пружины жилы
уже стянуты в один плотный жгут и силы взаимодействия периферийных жил
с центральной имеют место.
Проведенный выше анализ позволил установить величину крутящего и изги-
бающего моментов [(см. формулы (264), (265) и (266)] и нормальной и попе-
речной силы (см. формулы (267) и (268)], возникающих в поперечных сечениях
жил при закручивании троса, образующего витки пружины, моментом =
(Дополнительно внутренние силы в поперечных сечениях витков пружины
приводятся еще к поперечной силе Q; однако последнюю в практических рас-
четах можно не учитывать.)
Руководствуясь гипотезой наибольших касательных напряжений [см. гл. VI,
т. I) и не принимая, как обычно, во внимание нормальную и поперечную силы
(Pt и Рь), имеющих второстепенное значение, можно вычислить наибольшее
эквивалентное напряжение.
Для центральной жилы оно равно
°в«» max =---• (272)
акв шах Од
Расчет многожильных пружин
83$
Для периферийных жил \
- у 1Пт^»в
°9Кв max 0,1 d3 d* V ? ~ В
(273>
В формуле , (273) не отражено влияние кривизны жил.
Не представляет трудности учесть это обстоятельство и уточнить формулу
<273),, используя результаты, полученные Н. А. Чернышевым [17].
Однако в рассматриваемом здесь случае это не имеет существенного, зна-
чения, во-первых, потому, что кривизна периферийных жил при наличии цен-
тральной жилы относительно невелика,-а во-вторых, потому, что расчет по
формулам (272) и (273) носит, вообще говоря, условный характер и может
быть использован скорее для сравнительных расчетов, чем для оценки действи-
тельного напряженного состояния в опасных точках жил, расположенных на
внутреннем волокне периферийных жил.
Это объсняется тем, что в исследуемой конструкции
пружин опасные точки являются одновременно и точ-
ками контакта и, следовательно, на изученное нами поле
напряжений накладывается дополнительное поле напря-
жений большой интенсивности, возникающих в резуль-
тате контакта периферийных жил с центральной.
Современные методы теории упругости недостаточно
совершенны, чтобы исследовать это дополнительное
поле контактных напряжений.
Эта сложная задача еще ждет своего разрешения.
Выходом из создавшегося положения служит то
обстоятельство, что многожильные пружины, как пра-
вило, подвергаются заневоливанию, и поэтому расчет на
прочность по номинальным напряжениям вообще утра-
Фиг. 721. Многожильная
пружина кручения.
чивает свое значение.
Расчет на прочность многожильных пружин, свитых из троса с центральной
жилой, как правило, приходится проводить не по допускаемым напряжениям,
а по предельным нагрузкам [8], определяемым величиной пластических дефор-
маций, допущенных при пластическом заневоливании.
В. Расчет многожильных пружин кручения
К- пружинам кручения относятся пружины, нагружаемые парами сил, которые
действуют в плоскостях, перпендикулярных к оси пружины (фиг, 721).
При закручивании пружины торцевые витки поворачиваются один относи-
тельно другого; это угловое перемещение и представляет наибольший интерес,
так как пружины кручения в инженерной практике служат для поворота раз-
личных деталей на некоторый угол.
Применяются такие пружины и как аккумуляторы энергии.
Накопляя потенциальную энергию на одном этапе работы, они отдают ее на
следующем этапе.
При нагружении пружины закручивающим моментом W витки, имеющие
малый угол подъема (обычно а^5-н8о), работают в основном в условиях
чистого изгиба.
При изгибе троса жилы смещаются одна относительно другой; в этом слу-
чае они не стремятся стянуться в один плотный жгут, а наоборот, несколько
расходятся, располагаясь в сечении несимметрично относительно оси троса.
Таким образом, жилы практически работают независимо друг от друга; они
соприкасаются между собой лишь в ряде изолированных точек, расположенных
вдоль жилы с интервалами.'
Это подтверждается экспериментально.
В етличие от многожильных пружин сжатия у многожильных пружин кру-
чения характеристика — прямая линия, и излом характеристики, свидетельствую-
53 Пономарев и др. 407
334
Расчет витых пружин
щий о возникновении в процессе нагружения пружины плотного контакта между
жилами, отсутствует.
Учитывая сказанное, легко оценить жесткость многожильной пружины кру-
чения, рассматривая работу каждой жилы, составляющей трос, отдельно.
Жила представляет собой обыкновенную винтовую пружину, и поэтому
в рассматриваемом случае следует обратиться к теории чистого изгиба цилин-
дрических пружин (см. § 4).
Тогда угол закручивания 0 многожильной пружины, свитой из троса без
центральной жилы, в соответствии с формулой (92) равен:
А — ЭР* (2 + s1n2b) nDi
“~nEJb 2 sin & ’
где Jb — осевой момент инерции поперечного сечения жилы относительно бинор-
мали.
Формула (274) является основной при расчете пружин кручения, так как при
проектировании обычно ставится условие, чтобы заданному моменту W соответ-
ствовал определенный угол закручивания 0.
Энергия U9 накопляемая пружиной при ее закручивании, равна
= (275>
Для оценки напряжений, возникающих при нагружении многожильной пру-
жины кручения, следует, руководствуясь сказанным выше (см. § 4), исследовать
изгиб каждой жилы, составляющей трос, отдельно, рассматривая ее как изоли-
рованную цилиндрическую винтовую пружину с углом подъема а =90—В, нагру-
женную моментом — •
В этом случае в первом приближении наибольшее эквивалентное напряжение
для жил можно определить по формуле (82). При желании получить уточненное
решение вопроса следует учесть влияние кривизны жилы [см. зависимости ^83)
и (84)]. <
ЛИТЕРАТУРА
1. Д е м и д о в С. П., Расчет на прочность плоского кривого бруса прямоугольного
поперечного сечения, нагруженного силами, перпендикулярными к плоскости кривизны,
Труды МВТУ, вып. 31. „Расчеты на прочность элементов машиностроительных кон-
струкций*. Машгиз, 1955.
2. Заседателев С. М., О навивке пружин с межвитковым давлением, Труды
МВТУ, вып. 16. „Расчеты упругих элементов машин и приборов*, Машгиз, 1952.
3. И ори ш Ю. И., Равночастотные амортизаторы вибраций для самолетного
оборудования, „Труды НИСО* № 7, 1945.
4. М а л и н и н Н. Н., Заневоливание цилиндрических и конических пружин, Сб.
„Новые методы расчета пружин*, Машгиз, 1946.
5. П о н о м а р е в С. Д., Расчет и конструкция витых пружин, ОНТИ, 1938.
6. Пономарев С. Д., Жесткость и прочность многожильных пружин сжатия,
Сб. „Динамика и прочность пружин*, изд. АН СССР, 1950.
7. П о н о м а р е в С. Д., Расчет многожильных пружин, свитых из тросов с цен-
тральной жилой, Труды МВТУ, вып. 11., „Расчеты на прочность в машиностроении41,
Машгиз, 1950. -
8. Пономарев С. Д., Расчет заневоленных многожильных пружин, свитых из
тросов с центральной жилой, Труды МВТУ, вып. 26., „Расчеты на прочность, жесткость
и ползучесть элементов машиностроительных конструкций*, Машгиз, 1953.
9. Пономарев С. Д., „Пружины*, Детали машин, книга 11, под ред. Н. С. Ачер-
кана, Машгиз, 1953.
10. Пономарев С. Д., Пружины, их расчет и конструирование, ВНИТОМАШ,
Машгиз, 1954.
11. Попов Е. П., К вопросу о расчете на деформацию конических и параболо-
идных пружин, Труды кафедры „Сопротивление материалов*, МММИ имени Баумана»
Литература
835
12. Попов Е. П., О расчете осадки нецилиндрических спиральных пружин,
.Прикладная математика и механика*, АН СССР, Новая серия, т. IV, вып. 1 и 4, 1940,
а также т. 1, вып. 2, 1941.
13. Попов Е. П., Графические методы проектирования специальных пружин,
.Вестник инженеров и техников*, № 5, 1941.
14. С м и р н о в В. И., Термическая обработка стальных рессор и пружин, Метал-
лургиздат, 1944.
15. Чернышев Н. А., Сжатие и кручение пружин малой жесткости, Сб. .Новые
методы расчета пружин*, Машгиз, 1946.
16. Ч е р н ы ш е в Н. А., Устойчивость пружин сжатия, Сб. .Новые методы рас-
чета пружин*, Машгиз, 1946.
17. Чернышев Н. А., Напряженное состояние и деформация цилиндрических
пружин, свитых из круглого прутка, Сб. .Динамика и прочность пружин*, изд. АН СССР,
18. Шалин В. Н., Расчет и изготовление призматических пружин, Сб. .Динамика
и прочность пружин*, изд. АН СССР, 1950.
19. Gross S., Berechnung und Gestaltung der Federn, J. Springer, Berlin, 1939.
20. Wahl A., Mechanical Springs, Penton Publishing Co, 1944.
53*
ГЛАВА XIV
РАСЧЕТ ЛИСТОВЫХ РЕССОР
б)
6)
Фиг. 722. Типы
рессор:
полуэллиптическая; б — кантилевер-
ная; в — четвертная.
Листовые рессоры являются наиболее распространенным упругим элементом,
используемым в подвеске автомобилей, вагонов, тепловозов и т. п.
Относительно простая технология изготовления, удобство крепления, возмож-
не только вертикальных, но и горизонтальных
нагрузок, наличие значительного трения между
листами, способствующего затуханию колебаний
подвески, — вот те свойства листовых рессор,
которые определили широкое их применение
в качестве упругого элемента подвески.
Рессоры состоят из нескольких наложенных
друг на друга листов различной длины. Благо-
даря тому, что толщина каждого из листов до-
статочно мала, рессора может давать значитель-
ные прогибы без пластических деформаций
материала.
Применяются различные типы^ рессор, отли-
чающиеся друг от друга по конфигурации и
способу передачи нагрузки. Наиболее распро-
страненным типом рессор являются полуэллип-
тические рессоры (фиг. 722, а), которые по
концам крепятся с помощью шарниров и серег
к кузову экипажа, а . в средней части с по-
мощью стремянок — к его оси. Применяются
также так называемые кантилеверные рессоры
(фиг. 722, б), отличающиеся тем, что нагрузка
с оси передается на один конец рессоры,
а середина рессоры и второй ее конец закрепляются на кузове.
Реже используются четвертные рессоры (фиг. 722, в), один конец которых
зажимается, а нагрузка прикладывается к другому концу.
Примеры установки рессор трех типов на автомобилях показаны на фиг. 723—
725.
С точки зрения расчета за основную конструкцию можно принять четвертную
рессору, так как каждая половина полуэллиптической или кантилевер ной рес-
соры при составлении расчетной схемы может рассматриваться как четвертная
рессора.
Наряду с рессорами, для которых связь между нагрузкой и прогибом является
приблизительно линейной, иногда используются также рессоры с нелинейной
характеристикой, жесткость которых увеличивается по мере осадки (так назы-
ваемые прогрессивные рессоры).
Применение этих рессор позволяет получить одинаковую комфортабельность
движения автомобиля при различной его нагрузке, так как одновременно с из-
менением массы подрессоренных частей меняется соответствующим образом
и жесткость подвески.
Теоретические основы расчета рессор
837,
Изменение жесткости прогрессивных рессор достигается либо тем, что между
некоторыми листами рессоры предусматриваются зазоры, которые перекрываются
при деформации рессоры (фиг. 726, а), либо с помощью особой конструкции
крепления концов рессоры
(фиг. 726,6), приводящей
к изменению рабочей длины
рессоры при ее деформации.
Фиг. 723. Задняя подвеска с полуэллиптическими
рессорами на качающихся серьгах.
Фиг. 724. Задняя подвеска автомо-
биля ГАЗ-MM с кантилеверной
рессорой.
Той же цели изменения жесткости подвески с изменением нагрузки служат
дополнительные рессоры или так называемые подрессорники (фиг. 727).
Фиг. 725. Передняя подвеска автомобиля ГАЗ-67Б
на четвертных рессорах.
Фиг. 726. Рессоры с нелинейной
характеристикой (прогрессивные).
В этом случае при движении порожнего или малонагруженного автомобиля
работает лишь основная, относительно мягкая, рессора. При большой нагрузке
на автомобиль в действие вступает также подрессорник, вследствие чего жест-
кость подвески увеличивается и прогибы ограничиваются.
§ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТА РЕССОР
Рассмотрим деформации балки равного сопротивления постоянной по длине
толщины, которая в плане представляет собой треугольник (фиг. 728, а).
Под действием силы Р в каждом сечении балки возникает изгибающий
момент, прямо пропорциональный расстоянию этого сечения от конца балки.
Так как ширина сечения, а следовательно, момент инерции и момент сопроти-
вления его также пропорциональны этому расстоянию, то напряжения во всех
сечениях оказываются одинаковыми, и балка изгибается по цилиндрической
поверхности.
Чтобы перейти от треугольной балки к рессоре, треугольник (фиг. 728, а)
можно представить себе разрезанным на несколько частей, которые, будучи
наложены друг на друга (фиг. 728,6), и образуют „идеальную" рессору.
Условия работы такой рессоры не отличаются от условий работы треуголь-
ной (в плане) балки по фйг. 728, а; усилия на нижележащие листы рессоры
передаются по концам (фиг. 728, в), и каждый из листов изгибается по цилин-
дрической поверхности.
838
Расчет листовых рессор
Прогиб такой рессоры определяется по формуле
Р/З
' ~ 2EmJ ’
(1)
где I — длина рессоры;
m — число листов;
J—момент инерции каждого из листов в корневом" сечении (у места заделки).
Во всех листах возникают одинаковые наиболь-
Фиг. 728. Треугольная
в плане балка и «идеальная*
рессора.
Фиг. 727. Задняя подвеска автомобиля ГАЗ-51 с до-
полнительной рессорой (подрессорником).
В действительности рессоры по размерам и форме листов бол^е или менее
отличаются от рассмотренной выше „идеальной* рессоры. Кроме того, листы
рессоры, как правило, имеют в свободном состоянии различную кривизну и при
сборке стягиваются центральным болтом. Вследствие этого в листах еще до на-
гружения рессоры возникают напряжения (сборочные напряжения).
Затяжка рессоры при сборке производится с тем, чтобы воспрепятствовать
образованию зазоров между листами при полной разгрузке рессоры (когда
экипаж подпрыгивает), что может вызвать стук при возобновлении нагрузки,
а также с целью перераспределения напряжений между листами.
Сборочные напряжения в коротких листах рессоры складываются с напря-
жениями, вызванными нагрузкой, а в длинных листах вычитаются из них. Благо-
даря этому удается снизить суммарные напряжения в тех листах, которые, помимо
вертикальных сил, воспринимают толкающие и тормозные усилия (коренной
лист или коренной и второй листы).
Таким образом, наиболее вероятна поломка малых листов, выход которых
из строя не так опасен.
Основным вопросом, определяющим расчет реальной рессоры, является вопрос
о распределении нагрузки между ее листами.
Установим прежде всего, что силы взаимодействия смежных листов не могут
быть распределенными; эти силы сосредоточены в отдельных изолированных
точках.
Рассмотрим рессору, состоящую из нескольких прямолинейных листов,
собранных без предварительной затяжки; и предположим, что на некотором
участке между двумя смежными листами имеется распределенная контактная
нагрузка q(x). В этом случае прогибы обоих листов на этом участке должны
быть одинаковы:
Vi(x) « v2(x).
Теоретические основы расчета рессор
83»
С другой стороны, дифференциальные уравнения изогнутых осей для этих
листов на рассматриваемом участке имеют вид (см. гл. X, т. I.)
EJv[v = q
EJv'? = —q (х).
Вычитая эти выражения почленно и
вая, что находим
?(х) = 0.
Фиг. 729. Трехлистовая рессора
с одинаковыми уступами.
Итак, контактные силы между листами могут быть только сосредоточенными
в отдельных точках.
На первый взгляд естественным является
мые силы в реальной рессоре действуют так же
Фиг. 730. К определению прогибов листов
трехлистовой рессоры.
предположение о том, что контакт-
как в яидеальной*, только
по концам листов.
Рассчитаем исходя из этого предпо-
ложения трехлистовую рессору с обрублен-
ными концами листов и с равными усту-
пами между листами (фиг. 729).
Силы взаимодействия Р2—между верх-
ним и средним листом в точке А и Р3 —
между средним и нижним листом в точке В
можно найти из условий равенства про-
гибов соответствующих листов в этих
точках. Прогибы вычислим, перемножая
эпюры по правилу Верещагина (фиг. 730).
Прогиб верхнего листа в точке А равен
^ = 4/2/» />Z—|p2/) =
Прогиб среднего листа в той же точке
равен
/»
Удя “ 6EJ О^Р2 — 5Р3).
Прогиб среднего листа в точке В
равен
/з
e “ggy (5Р* — 2Р3).
Прогиб нижнего листа равен
PJ3
VBa *“ 3EJ •
Приравнивая прогибы оЛ1 => од2 и
Ова -• находим
32Р2 - 5Р3 = 28Р;
5Р2 —4Р3«0,
откуда
п 112 п Л 140 л
Р2 “ 103 Р* “ 103 р-
Найденные значения сил позволяют построить эпюры изгибающих моментов для
каждого из листов. Такие эпюры приведены на фиг. 731.
Из этих эпюр видно, что около заделки изгибающий момент, а следовательно, и
изменение кривизны у верхнего листа больше чем изгибающий момент и изменение
кривизны среднего листа. Отсюда следует, что вблизи заделки прогибы верхнего листа
больше, чем прогибы среднего листа.
Легко видеть, что подобное распределение усилий может иметь место только в том
случае, если на концах листов имеются специальные вставки в соответствии с фиг. 732-
<840
Расчет листовых рессор
Если же первоначально листы плотно прилегают друг к другу, то прогибы верхнего
листа не могут превышать прогибы среднего листа.
Остается, предположить, что в этом случае наряду с передачей усилия по концам*
листов имеется еще одна точка контакта между верхним’ и средним листами, располо-
женная на некотором расстоянии х от заделки (фиг. 733).* Теперь для решения задачи
потребуется определить уже четыре неизпест-
Р ных: усилия взаимодействия между листами
в точках Л, В и С и величину х, определяю-
тТ/Л______________________щую положение точки С.
Четыре уравнения для определения этих1
/ . неизвестных выражают равенства прогибов
"/Ar*- L *1* * 4 ”*1 смежных листов в точках А, В и С и равен-
0,825PL-"
ство углов поворота верхнего и среднего
листов в точке их контакта С.
0J815PL
Фиг. 733. Трехлистовая рессора:
С — дополнительная точка контакта между
первым и вторым листами.
1,36 PL"
Фиг. 731. Эпюры изгибающих мо-
ментов для трехлистовой рессоры,
полученные на основе гипотезы
концевых сил.
Фиг. 732. Рессора со вставками
по концам листов.
77А , ..—
ЛуЯ-Г?----
h
7/Л
777*----Г"
ь
7777
Фиг. 734. Схема нагружения
листов рессоры.
Схема нагружения листов рессоры в предположении х < I приведена на фиг. 734.
Перемножением эпюр находим следующие значения прогибов листов:
^Л1 = ‘£т[‘з“’р/3 з’Ра/3“’;
- ~ЕТ [4 р^ + 1) -4^)];
vCi = (*—£) + pc~3 ~ рв~2^--3)] '»
= ~ЁТ [4Рл/2 + Рс з}~Рв т] ’
1 D P J
EJ рв 3 •
Углы поворота первого и второго листа в точке С равны соответственно
®ci = gj [jpx(з/ ~2~х Pq 2 >
®са.=. "2")х + Рс~Т ~ РЛ1~ If)] ' - ...
Теоретические основы расчета рессор
841.
Приравнивая
VA1 = ^Л2, VC1 ==* VC2» VB2 = VB3 И 0С1 — 6С2,
приходим к следующей системе уравнений:
28Р - 32РА - Рс-2£2 (6 - 0+5Рв = 0;
Р62 (9 - 6) - РА-2? (6 — g) — Рс-4е + Рв-? (3 - 6) = 0;
5Рл + ^с-52 (3-?)-4Рв-0;
Ре (6 - $) - Рд.26 (4 - 5) - рс.2?2 + Рве (2 — ?) = О,
(3)
где обозначено £ = у.
Полученная система уравнений (3) является однородной относительно усилий Рг
Рд, Рс и Рв; она может иметь отличные от нуля решения только при равенстве нулю
определителя
28 —32 —2g2 (6 — g) 5
9-е _2(6—е) -4е з-е
о 5 е2(з—е> -4
б-е -2(4-е) -2е 2-е
Упрощая этот определитель, приходим к куби-
ческому уравнению относительно
зез—ise2 ч- 19е — 1 = о.
Действительный корень этого уравнения равен
е « 0,054993.
Таким обр^ом, точка касания первого и второго
листов расположена на расстоянии х0,055/ от
заделки.
Подставляя полученное значение х в уравне-
ния (3), находим значения сил взаимодействия
листов:
Рд « 1,0873Р;
Рв - 1,3593Р;
0,820
0,830РС
Фиг. 735. Эпюры изгибающих мо-
ментов в листах рессоры, полу-
ченные с учетом контакта между
первым и вторым листами
в точке С.
Рс - 0,09237Р.
Эпюры изгибающих моментов для листов рес-
соры представлены на фиг. 735.
Из этих эпюр видно, что благодаря возникнове-
нию контакта между листами изгибающие моменты
(а следовательно, и кривизна) первого и второго
листов рессоры вблизи заделки выравниваются.
Вместе с тем результат точного (с учетом контакта между листами)
решения задачи свидетельствуют о том, что гипотеза о передаче нагрузки
только по концам листов (см. фиг. 731) дает близкие к действительности ре-
зультаты.
Ввиду того что расчет рессоры с учетом промежуточных точек контакта
между листами является чрезвычайно сложным, в практике используются раз-
личные приближенные методы.
Среди них следует указать на уже рассмотренный метод расчета, опираю-
щийся на гипотезу о передаче усилий только по концам листов и на метод,,
основанный на гипотезе равной кривизны листов.
Согласно этому методу предполагается, что кривизна всех листов в данное
сечении рессоры изменяется одинаково и, следовательно, изгибающий момент
от внешней нагрузки делится между листами пропорционально их момента**
инерции.
Первый из этих методов, давая близкие к точным результаты, является?
довольно громоздким, второй же при большой простоте расчета приводит
к значительным ошибкам в определении напряжений, особенно в коротких
листах рессоры. . >
Ниже будет рассмотрен каждый из.этих методов в отдельности.
342
Расчет листовых рессор
I
§ 2. РАСЧЕТ РЕССОР НА ОСНОВЕ ГИПОТЕЗЫ КОНЦЕВЫХ СИЛ
А. Расчет на внешнюю нагрузку
Расчетная схема рессоры, соответствующая этому методу, представлена на
«фиг. 736.
Каждый из листов рассматривается как прямолинейная балка, заделанная
одним концом и нагруженная двумя силами —силой взаимодействия с выше-
лежащим листом Рп и силой взаимодействия с нижележащим листом
Перемещения точек 1 и 2 и-го листа можно представить в виде
*Риг. 736. Схема расчета рессоры на
основе гипотезы концевых сил.
Перемещения 8
гл. XI, т. I). Если
фициенты определяются формулами:
где 8^ — перемещение точки / л-го листа,
вызванное единичной силой, приложенной
в той же точке;
8^ — перемещение той же точки 7,
вызванное единичной силой, приложенной
в точке 2 (согласно теореме о взаимно-
сти перемещений 8<{р равно перемещению
точки 2, вызванному единичной силой,
приложенной в точке 7);
8^} — перемещение точки 2, вызванное
единичной силой, приложенной в той же
точке. .
от единичных сил вычисляются обычными методами (см.
конец листа не оттянут и обрублен по прямой, то эти коэф-
/3
= ЗЁГ„»
/3 7
(4)
где Jn — момент инерции сечения n-го листа.
В случае, если конец листа оттянут или срезан, должно быть учтено соот-
ветствующее увеличение прогибов. При этом 8W и 8^) по-прежнему определя-
ется формулами (4), а для 8J*9 справедлива формула
+ <5>
где К — коэффициент, дающий увеличение прогиба за счет оттяжки или среза
асонца листа.
Коэффициент К определяется по формуле
где f — прогиб консольной балки длиной 1п — 1п+ъ имеющей такую же конфи-
гурацию, как конец рессорного листа, и нагруженной единичной силой на конце.
Величина К изменяется от нуля для концов/ обрубленных по прямой, до 0,5
лля концов, жесткость которых соответствует жесткости балки равного сопро-
тивления. Графики и формулы для коэффициента К при некоторых конфигура-
циях концов листа приведены в табл. 82.
Расчет рессор на основе гипотезы концевых сил
843
Таблица 82
Значения коэффициента К при различной конфигурации концов рессорных листов
Основным уравнением рассматриваемого расчетного метода является уравне-
ние, выражающее равенство перемещений конца (точка 7) л-го листа и соответ-
ствующей точки вышележащего (л—1)-го листа:
Р„Щ> - Р„+1^> = (6)
где и — коэффициенты перемещений для (л — 1)-го листа.
Обозначив
/ ^ = Сл_ь ..... (7)
из формулы (6) получаем
Ся-1— ЧГ0 с« чг1)’
(8>
позволяет найти отношение сил -g—, если известно
Формула (8)
Рп
ние р .
рп-^\
При числе m листов в рессоре для последнего /л-го и предпоследнего
отноше-
(т — 1)-го листов
г _ Рт-1 _ ЦГ> + 8Й’-1)
в”1— Рт ~ ц™-1'
(9>
в этом случае равен нулю, так как — =
ст
= 0 (поскольку /и-й лист является последним и сила Pm±i отсутствует)»
Второй член уравнения (8)
Рт
«44
Расчет листовых рессор
Зная ст_ 1 и поднимаясь последовательно по листам рессоры вверх, йолучаем:
„ ____________________ ^-1
€”-1- Рт - S(m-D ’ .
^_2_ 1' ЦГ1’
р> ~
„ Рт-3
£/п—3 = “р-—----------------
/п—1
Цт-2)
1 * ЦГ2).
(10)
с\
1
Р* ~ 8$ «2 8<» *
8<”> + ау»-1’
2 —

Так как сила Р1 = Р, действующая на ушко рессоры, известна, то, опреде-
лив при расчете по формулам (10) коэффициенты .., ст_х, можно после-
довательно найти все силы, действующие между листами рессоры:
р2=—> = р =-^=1
2 С1 8 «2 т ст_-1
(И)
Каждый из листов находится под действием двух сил. Для него легко может
быть построена эпюра изгибающих моментов, определено опасное сечение,,
в котором действует максимальный момент, и найдено наибольшее напряжение.
Уравнение эпюры моментов для и-го листа можно записать в следующем виде:
при
о
-- Pfl Un Х) РЛ-Н (^л-Н ХУ
(12)
4
при
4-fi
Мп = Рп(1и — х),
1п и —длины я-го и (n-f-l)-ro листов, а х— расстояние от места
(13)
где
заделки до рассматриваемого сечения.
Напряжение в любом сечении листа определяется делением изгибающего
момента М на момент сопротивления сечения листа Wz
М
а— IT-
(14)
Прогиб рессоры равен прогибу ее первого листа -
/ = Р18Г1)-Ра8(112).
или
(15)
Как видно из сказанного выше, основное значение в рассматриваемом методе
расчета имеют коэффициенты с, представляющие собой. отношение силы, дей-
ствующей на конец данного листа, к силе, действующей на конец нижележащего
листа.
Практически наибольший интерес для расчета1 представляют коэффи-
циенты ст^\ и которые можно определить из общих формул:
+ Х31
ст-1 = 2
3_Z^zL_i
(16)
1 См. ниже § 4.
Расчет рессор на основе гипотезы концевых сил
845
и
И
(16а)
Формулы (16) получаются из формул (10) путем подстановки в них зна-
чений 8.
В распространенном случае, когда три последние листа имеют одинаковую
толщину и длины уступов одинаковы, т. е. когда
— ^от—1 i== hm—2
Ап—2 Ли—1 — An—1 Ifnt
формулы (16) сильно упрощаются и принимают следующий вид:
(17)
где £ я» ————-------отношение длины последнего листа к разности длин смеж-
‘от—1 ””
ных листов.
" Трафики зависимости коэффициентов и а также ст_3 от
---——т— и от коэффициента К, определяемого конфигурацией концов листов,
‘от—1 — ‘от
приведены на фиг. 737.
В табл. 83 приведены значения коэффициентов с для рессор с листами оди-
наковой толщины и с одинаковой разницей между длинами смежных листов,
вычисленные по формулам (17) для следующих четырех случаев:
а) длина последнего листа равна разности длин смежных листов и концы листов
обрублены по прямой (К = 0);
б) при той же длине последнего листа [см. случай а)] концы листов оттянуты
так, что /С=0,5;
в) длина последнего листа вдвое больше разности длин смежных листов и
концы обрублены по прямой (К « 0);
г) при той же длине последнего листа [см случай в)] концы листов оття-
нуты (К = 0,5).
Второй из перечисленных выше случаев соответствует „идеальной* рессоре.
Из табл. 83 видно, что только коэффициенты cm~i, и ст__з заметно
отличаются от единицы, остальные же коэффициенты практически равны еди-
нице. Эта особенность имеет место и для рессор с листами различной толщины,
если длины листов выбраны правильно, т. е. если разность длин п-ro (п 1)-го
листов прямо пропорциональна третьей степени толщины и-го листа, т. е. если
1п ^я-|-2 _ _ ^от—1 ~~~ lm g.
^3 г 1,3 • • • ьЗ • ' '
пп пл-|-1 "от-1
Соблюдение уравнения (18) нужно для того, чтобы рессора была возможно
ближе к балке равного сопротивления, так как в этом случае суммарный момент
846
Расчет листовых рессор
инерции листов рессоры меняется приблизительно линейно по ее длине, так же
как изменяется изгибающий момент.
Практически для выбора длин
яием (18) пользуются графическим
Фиг. 737. Графики коэффициентов
СТП— 1» СЯ1— 2 И ст— 8.
листов рессоры в соответствии с уравне-
построением, представленным на фиг. 738.
По вертикали откладывают (в соот-
ветствующем масштабе) Л® — кубы тол-
щин листов, начиная с первого листа
(п=1) и кончая последним (л = ти). На
верхней линии откладывают расстояние I
от центрового болта до оси ушка или до
середины лапы, а на второй линии снизу —
расстояние 1т от центрового болта до
конца малого листа. Соединяя эти две
точки прямой (сплошные линии на фиг. 738),
определяем по ней длины листов. Штри-
ховой линией на фиг. 738, образующей
внутри трапеции треугольник, представле-
Фиг. 738. Графическое определение длины
листов рессоры.
/ю построение длин листов „идеальной* рессоры в предположении, что у ниж-
него листа скос (оттяжка) начинается у места его заделки. Для „идеальной*
рессоры, на концы всех листов которой действуют одинаковые силы, длина
самого короткого листа должна равняться длине уступа (разности длин смеж-
ных листов).
Таблица 83
Значения ксэффициентсв ст_ъ ..., ст_6 для рессор с разной длиной
последнего листа и с различной фермой концов листов
Разновидности рессор (по длине последнего листа и величине коэффициента К) т 7 g со 1 Т ю 1 В <0 1
a) = К = 0 0,800 0,920 0,957 0,975 0,983 0,988
б) = К = 0,5 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000
в) Zm-2(Z„-Zn+1);K-0 1,142 1,031 1,008 1,001 0,999 0,998
г) «m=2(Zn-Z„+1);K = 0,5 1,179 1,052 1,023 1,012 1,007 1,005
Практически последний лист обычно делается длиннее; однако если учесть,
что рессора затягивается стремянками, то эффективная длина малого листа за
осью стремянок (вертикальные линии п на схеме фиг. 738) не очень сильно
отличается от теоретической.
Уступы, как видно из схемы (фиг. 738), получаются тем меньше, чем меньше
толщина листов.
Расчет рессор на основе гипотезы концевых сил
847
Влияние длины листов рессоры и форму их концов на распределение на-
грузки можно проследить по эпюрам, представленным на фиг. 739. На фиг. 739, а
приведены эпюры изгибающих моментов, вызываемых в листах четырехлистовой
рессоры внешней нагрузкой, когда все ее
листы имеют одинаковую толщину, концы их
обрублены по прямой (К = 0), а длина по-
следнего листа равна длине уступа. На
фиг. 739, б приведены эпюры моментов
в листах аналогичной рессоры, последний
лист которой в 1,5 раза длиннее, чем длина
уступа.
Из этих эпюр следует, что изменение
длины листов значительно влияет на распре-
деление напряжений в них.
На фиг. 739, в изображена рессора, по-
добная рессоре фиг. 739, а, но с оттянуты-
ми концами листов. Форма оттяжки вы-
брана такая, чтобы коэффициент К был равен
0,5 (табл. 82).
Как видно из эпюр, у этой рессоры
имеет место такое же распределение изги-
бающих моментов, как и у „идеальной"
рессоры, и все ее листы равнопрочны.
Следует отметить, что применять оттяж-
ку концов листов, соответствующую значе-
ниям коэффициента К > 0,5, нецелесообраз-
но, так как в ^том случае гипотеза о пере-
даче нагрузки по концам листов не выпол-
няется и снижение напряжений в коротких
листах не достигается.
Той же цели, что оттяжка концов листов,
служит и уменьшение толщины нижних ли-
стов рессоры.
При уменьшении толщины нижних листов
рессоры или при увеличении длины оттяжки
малые листы разгружаются.
Б. Расчет на затяжку
Выше была рассмотрена работа рессоры
под действием внешних сил. Пользуясь тем
же методом, можно определить перемещения
и силы взаимодействия между листами рес-
соры, возникающие при ее затяжке во время
сборки. При этом следует рассмотреть два
различных случая — поверочный расчет и
проектный расчет.
При поверочном расчете формы свобод
ных листов рессоры заданы, и требуется
определить сборочные напряжения, возни-
кающие в листах при затяжке рессоры, и
стрелку собранной рессоры. При проектном
расчете сборочными напряжениями в листах
Фиг. 739. Влияние длины листов if
формы их концов на распределение
нагрузки.
задаются и определяют необходимую конфигурацию свободных листов.
Проверочный расчет проводится исходя из предположения, что сборка?
рессоры производится последовательно.
Так, например, для пятилистовой рессоры, между свободными листами кото-
рой имеются зазоры s2, s3 и (фиг. 740, а), предполагается, что сначала
«48
Расчет листовых рессор
пятый (нижний) лист стягивается с четвертым, затем эта группа * Стягивается
с третьим листом и т. д. (фиг. 740, б—д).
Обозначив через Q с соответствующим индексом силу взаимодействия между
верхним листом частично собранной рессоры и стягиваемой с ним нижней груп-
пой листов, можно последовательно определить значения Q, зная указанные выше
величины s (зазоров). Очевидно, что эти силы не являются полными силами
затяжки, так как прибавление каждого нового листа при последовательной
-сборке вызывает не только появление соответствующих сил на концах верхнего
д)
’Фиг. 740. К определению напря-
жений затяжки в рессоре.
деформации (пг — 2)-го листа и
листа собираемой с ним группы, но й изменяет
все силы, действующие между листами уже со-
бранной группы. Это изменение усилий и прогиб
собранной ранее группы листов можно найти,
рассматривая последнюю как самостоятельную
рессору и применяя изложенную выше теорию.
Зазор между последним /n-м и пред-
последним (тп — 1)-м листами при сборке этих
листов ликвидируется за счет их деформации:
(19)
И
Qm = в(1Г) + <-1) ' (20)
[Величины 8 по-прежнему представляют со-
бой значения перемещений от единичных сил,
см. формулы (4) и (5)].
Зазор между (т — 2)-м листом и уже со-
бранной группой листов равен (фиг. 740, б)
s;_2 = sw_2-f-Qei8^-1). ' (21)
Этот зазор при сборке поЛедних трех ли-
стов (фиг. 740, в) будет перекрываться за счет
собранных /n-го и (т — 1)-го листов:
Sm-2 = As, -J- As2.
Прогиб (т — 2)-го листа будет равен
As, = Qm_№~2\
(22)
Рассматривая группу двух последних листов как самостоятельную рессору,
можно по формуле (15) вычислить ее прогиб:
As, = Qm_, ЫГ1’-—(23)
I cm—1 J
{[Gn-i определяется по формуле (9)]w
Используя затем зависимости (10)
и (21)—(23), можно определить значение
^-2 +
Qm—1
(24)
Аналогично находятся величины всех сил, возникающих при сборке рессоры:
Qm— 2
~Ь Q/n-i 2)
С
с/п—3°12
Расчет рессор на основе гипотезы концевых сил
849
. __ $2 + ОаЩ)
8== ;
4- Оз^12^
* 'ЙГ-'
Величина Qj равна нулю, так как усилия на концах первого листа при
сборке отсутствуют.
Из всех величин Q только Q2 представляет собой действительное усилие,
действующее на конец второго листа в собранной рессоре; все остальные уси-
лия, как уже указывалось, возникают только при накладывании соответствую-
щего листа и изменяются при дальнейшей сборке рессоры.
Величины полных сил затяжки, действующих на концы листов собранной
рессоры, определяются по формулам:
ft=Q2;
р'ч
Ps^Qs + y--,
с2 г
Pt^Qt + Y-;
<*3
(26)
Зная величины сил Р^, действующих на каждый из листов рессоры, можно
найти прогибы этих листов при сборке рессоры.
Изменение (увеличение) стрелки первого листа рессоры при сборке опреде-
ляется по формуле
/' = /$>> . (27)
Изгибающие моменты и напряжения в листах рессоры, вызванные силами
затяжки Р', определяются по формулам (12)—(14).
Полные напряжения определяются суммированием (с учетом знаков) напря-
жений затяжки с напряжениями, возникающими при действии внешних сил.
При проектном расчете рессоры заранее задаются определенными
значениями напряжений затяжки в листах (в корневом сечении рессоры).'
Напряжение в коренном листе задается отрицательным (т. е. направленным
противоположно напряжениям от внешней нагрузки), а в коротком листе —
положительным. В остальных листах назначаются промежуточные значения напря-
жений. Выбранные напряжения должны удовлетворять уравнению
m ,
= (28)
где Wn — момент сопротивления n-го листа. При листах прямоугольной формы
уравнение (28) может быть заменено зависимостью
5^ = 0. (28а)
Уравнение (28) по существу является условием равенства нулю суммы изги-
бающих моментов во всех листах, что вытекает из отсутствия внешней нагрузки.
54 Прномарев и др, 407
850
Расчет листовых рессор
После того как напряжения затяжки, удовлетворяющие уравнению (28), заданы,
находятся силы взаимодействия между листами рессоры по формулам:
(29)
Стрелки свободных листов определяются по формуле
f„ = f'n 4- Р^п - Р'п+№, (30)
где / — стрелка л-го листа в свободном состоянии;
fn — стрелка того же листа в собранной рессоре (см. фиг. 741, на которой
средняя линия листа в собранной рессоре
Фиг. 741. Определение конфигурации
листов, рессоры в . свободном
г ’ соСтоянйи?
изображена сплошной линией, а средняя ли-
ния свободного листа — штриховой линией);
коэффициенты 8 вычисляются по формулам (4)
и (5).
Конфигурацию свободного л-го листа
рессоры получают, откладывая от средней
линии листа в собранной рессоре прогибы
его под действием сил Р'п и Эти про-
гибы могут быть найдены графически или
аналитически. При аналитическом расчете
щем сечении, определяемом координатой х, при х < 1п-у\
используются следующие формулы: в теку-
- бА; t3 (р« i« - х2 - (р« - р»+»)• <31)
при х^>
® = ~^j~ | PiJn+\ (3/я — 614-1) — 2Ря-|_1/^4-1 + 3 (х — /„4-1) [/61614-1 (2/„ — 614-1)—
' + J rfx. (32)
> «< > ', 1 Л-|-1
; .Обозначения в формулах (30) и (31) соответствуют фиг. 741. В формуле (32)
Jn — момент инерции поперечного сечения л-го листа на расстоянии х от заделки.
Для листа с обрубленным концом Jn = = const, и формула (32) при
может быть заменена формулой
== бЕГ [3 (P"Z« - p»+i6»+i)** - (P'n - P'n+i) *3 - Рп+1 (X - 614-1)3]. (32а)
Как видно из формул (31), (32) и (32а), если в собранной рессоре листы
имеют круговое рчертание, то форма свободных листов должна отличаться от
круговой.
Расчет рессор на основе гипотезы равной кривизны
851
§ 3. РАСЧЕТ РЕССОР НА ОСНОВЕ ГИПОТЕЗЫ РАВНОЙ КРИВИЗНЫ
Расчет рессоры на основе гипотезы равной кривизны не отличается от рас-
чета балки переменного сечения, момент инерции которой в каждом сечении
равен сумме моментов инерции листов.
Рассмотрим четвертную рессору (фиг. 742). Изгибающий момент, вызываемый
внешней силой Р в сечении с координатой х, равен Рх. Для определения про-
где Y — переменный по длине суммарный момент инерции рессоры.
Подставляя значения М и АГ, получим
Z г я ч ч ч ч
е Р С X*dx _ Р I 4 , «3 - 4 , «4 - «3 , ,
Е J Y ~ ЗЕ [ + У8 • У3 -+-•••-Ь
. о
, , р-4]_ р v 4+1-4
ж Ym^ Ym ~ЗЕ^, Yn ’
(33)
где Yn—сумма моментов инерции листов от верхнего до л-ного:
к.=Л; ка = у1ч-Л;...г/в = л + Л4-... + 4.
Расстояния ап указаны на фиг. 742:
Полученная формула всегда дает заниженные значения прогиба. Основной
причиной ошибки является принятое в расчете предположение, Мто концы
листов изгибаются также как и вышележащие листы, тогда как в действитель-
ности момент на конце листа равен нулю.
Верхнюю границу для прогиба рессоры можно получить, если совсем пре-
небречь работой концов листов. В этом случае получим
_рГ4 , 4“«1, , l3-am 1 р Гу|' 4+2-41-1 . 4
— ЗЕ L Л *“ -I- • • • -Г Ym^ Гм Ь Y„ -Гу,
Lfl=i
Действительный прогиб рессоры лежит между величинами, определяемыми
формулами (33) и (34), и может быть принят равным их полусумме. В работе
[7] рекомендуется формула (33) с введенным в нее поправочным коэффициен-
том. Эта формула может быть записана в виде
Ш Ч q
_ Р v ««+!-««
ЗЕ Zj Yn
п—1
(35)
где принимается а = 1,15-н 1,21.
Поскольку, согласно рассматриваемому методу, изгибающий момент делится
между листами рессоры пропорционально их моментам инерции, то напряжения
в каждом из листов определяются по формуле
<36>
Уп
54* 407
852
Расчет листовых рессор
где М — изгибающий момент в рассматриваемом сечении; - *
Ут-сумма моментов инерции всех листов в данном сечении;
Jn ^—момент инерции рассчитываемого листа;
Wn — его момент сопротивления. Максимальное напряжение возникает в самом
толстом листе рессоры.
При листах прямоугольной формы
а =
(Л — толщина листа) и
м hn
Y 2 ’
(37)
Зависимость напряжений от длины листов и формы их концов при этом
методе расчета не выявляется.
Не представляет существенных затруднений применение гипотезы равной,
кривизны к расчету^ рессоры на затяжку.
Этот метод дает удовлетворительные результаты при расчете стрелы со-
бранной рессоры и напряжений затяжки в длинных ее листах, но дает преумень-
шенные значения напряжений в коротких листах рессоры.
Предположим, что свободные листы рессоры имеют круговую форму с ра-
диусами кривизны R2, ..Rm, причем индекс соответствует номеру листа,
начиная с коренного. Введем понятие радиусов кривизны листов, приведенных
к первому листу:
‘ ^2 ^2 »
я3=я8-(л +*2);
- — + h2 + Л3) И Т. Д.,
где Л2, Л8 и т. д. — толщины листов.
Ясно, что если приведенные радиусы всех листов в свободном состоянии
одинаковы, то при сборке листы плотно прилегают друг к другу и сборочные
напряжения отсутствуют.
Согласно гипотезе равной кривизны, после сборки кривизна веек листов на
каждом участке рессоры становится одинаковой. Обозначим радиус кривизны
первого листа на данном участке собранной рессоры через (эта величина
переменна по длине листа). Тогда изменение кривизны на данном участке пер-
вого листа при сборке рессоры составит
1 1
Яа Ri*
i изгибающий момент в нем
= (р7~ "r?)-
Изгибающий момент во втором листе на том же участке будет равен
УИ2
Аналогично можно определить и моменты в остальных листах.
Величину радиуса /?0 наймем из условия равенства нулю суммы моментов
во всех листах рессоры в данном ее сечении:
Данные по распределению нагрузок между листами рессор
853
где суммирование проводится по всем листам рессоры, проходящим через дан-
ное ее сечение. .
Подставив полученное значение в формулы, связывающие изменение
кривизны с изгибающим моментом, легко н^йти изгибающие моменты в сечениях
каждого из листов рессорьь
Стрелку собранной рессоры можно определить, исходя из следующих сооб^
ражений.
Допустим, что на участке АВ (фиг. 743) рессоры радиус кривизны корен-
ного листа изменяется в результате сборки от величины Rx до величины R\n,
определяемой на каждом участке в соответствии с формулой (38). За счет
изменения радиуса на одном этом участке стрелка коренного листа рессоры
изменится на величину
. = (“ЙГ ~ "йг) (ал+‘ — ~ = 7 (й? — йг) ("«+1 — а«)• ;
Суммарное изменение стрелки первого
листа Но — Hi найдем, суммируя вели-
чины ДН, обусловленные изменением кри- А м
визны на каждом из участков: ->
WO_W= 5 Г 1---ап—\
I-—а пн—---
т—1 . 9 9.
_ 1 VI f 1 1 \ (%.х— ал).(39) Фиг. 743. К расчету стрелки собранной*
~ 2 2Д ЯОя Ri) рессоры.
л—1
Если в свободном состоянии коренной лист изогнут по дуге круга, то ве-
личина постоянна для всех участков, и стрелка собранной рессоры опре-
деляется формулой
«.=".-<+45^. <39а*
где Н1 — стрелка свободного коренного листа;
I — его длина;
Rx — радиус кривизны;
Ron— радиус кривизны участка собранной рессоры, начало и конец кото-
рого находятся на расстояниях ап и ап^.\ от ушка.
Величина Ro определяется по формуле (38).
Формула (39) выведена для четвертной рессоры. Для несимметричной полу-
эллиптической рессоры или для кантилеверной рессоры расчет по формуле (39)
проводится отдельно для каждой половины рессоры, а общая ее стрелка нахо-
дится затем из простых геометрических соотношений.
§ 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ПО РАСПРЕДЕЛЕНИЮ НАГРУЗОК
МЕЖДУ ЛИСТАМИ РЕССОРЫ. РЕКОМЕНДУЕМЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА
Напряжения в листах рессор определялись экспериментально рядом авторов
[3], [15], [16]. Измерения проводйлись в большинстве случаев с помощью
механических тензометров, устанавливаемых на кромки листов рессоры (рессора
собиралась таким образом, что исследуемый лист несколько смещался в сторону)'..
Полученные разными авторами результаты в основном совпадают.
В качестве примера на фиг. 744 приведены полученные экспериментально*
значения напряжений в листах 11-листовой рессоры, размеры которой приве-
дены в табл. 84. Сплошными линиями показаны расчетные напряжения по ги-
потезе равной кривизны, пунктиром — по гипотезе концевых сил. Как видно из
графика, для длинных листов хорошие результаты дает гипотеза равной кри-
визны, а для двух последних листов — гипотеза концевых сил.
Это и понятно. Выше, на примере расчета трехлистовой рессоры, было
показано, что, благодаря возникающему контакту между листами в промежу-
854
Расчет листовых рессор
i
точных точках, кривизна их выравнивается. В многолистовой рессоре должно
иметься большое количество точек контакта между листами, приводящее к тому,
что практически листы работают в соответствии с. гипотезой равной кривизны.
Только для двух последних коротких листов промежуточные контакты от-
гипотеза концевых сил.
сутствуют, и поэтому справедлива
Сказанное позволяет рекомендовать
для расчета напряжений, вызываемых
в листах рессоры внешней нагрузкой»
метод, основанный на предположении, что
на два нижних листа рессоры нагрузка
передается по концам, а кривизна всех
остальных листов изменяется одинаково.
Изгибающие моменты в корневых се-
чениях трех последних листов выражаются
через действующие по их концам силы
в соответствии с формулами:
Mm = Pmlm',
Мщ- 1 s==' Рm—l^m—1 Рщ^т9
— 2 = Pm—2 1щ— 2 Pm—l Im, —1 •
(40)
Изгибающий момент в корневом сече-
нии любого n-го листа, лежащего выше
третьего снизу, можно определить, считая,
что кривизна его меняется так же, как и
кривизна этого (т — 2)-го листа.
В этом случае

•Фиг. 744. распределение напряжений от
внешней нагрузки в листах рессоры,
размеры которой даны в табл. 84.
Сплошные линии — расчет по методу общей кри-
визны, пунктир — расчет по методу концевых сил,
точки — экспериментальные данные [15].
где — 2.
Таблица 84
Размеры листов экспериментальной рессоры
(напряжения в листах см. фиг. 744)
Суммируя теперь изгибающие моменты во всех листах рессоры, найдем
суммарный изгибающий момент в корневом ее сечении:
ш—2
М№8г=Рт_11т_1 + Мт_2 2 -3s-. (41)
fl—t
Выразим теперь произведение через Л4/я__2:
2—Рт—2^т—2 Р—Pm-Jm-l (р > ;
' * т—**т—1
Данные по распределению нагрузок между листами рессор
855
или, заменяя
~ — cm__z, имеем
Мт_2 = Рт^1т_, (ст_г - 1) ,
откуда
Р / ==
т—rm-1
^4/72—2
т—2
677—2
1т—1
1
Подставляя эту величину в
^изг == ^т—2
формулу (41), получим
т—2
I
ст—2
1т-1 п=1
Это выражение позволяет определить изгибающий момент в третьем снизу
листе рессоры, через суммарный изгибающий момент в ее корневом сечении:
=--------------~изг -„т2--------• (42)
______lm-i_______|_ VI
2 ^т—1__________Jm—2
В произвольном (n-ном) вышележащем листе изгибающий момент равен
ЛЛ -- ЛЛ
тп— тт~Ъ j л
Jm—2
моменты же во втором снизу и нижнем листах определяются по формулам:
[ _______.
w“2 Cm—i (С/и—гбя— 2 6и-1) ’

(45)
М = Л4 „__________________________
Vim—2 Г (r / __/ \
cm—1 \cm— 2* lm—2
Формулы (44) и (45) получаются из формул (40), если заменить в них
отношения сил коэффициентами с.
По изгибающим моментам легко определяются напряжения в листах.
Для предварительной оценки напряжений можно также использовать и фор-
мулы (36) или (37), основанные на гипотезе равной кривизны листов.
Прогибы рессоры от внешней нагрузки с достаточной для практических
целей точностью можно определить по формулам, основанным на гипотезе рав-
ной кривизны листов. Формулы (33) и (34) дают двустороннюю оценку про-
гибов. Расчетный прогиб определяется как среднее арифметическое из величин,
полученных по этим формулам, либо по формуле (35) с поправочным коэф-
фициентом.
При предварительном расчете для определения прогиба рессоры можно
также пользоваться приближенной формулой
р/з
3EY 9
где Y — сумма моментов инерции всех листов рессоры;
ц — коэффициент, зависящий от типа рессоры.
Принимаемые значения этого коэффициента, в зависимости от конструкции
рессоры, приведены в табл. 85.
Формула (46) позволяет определить прогиб рессоры с точностью порядка
10— 15°/0; уточненный расчет, как было указано, проводится по формулам (33)
и (34) или (35).
856
Расчёт листовых рессор
I
Таблица 85
Значения коэффициента деформации т)
Типы рессор Коэффициент деформации i)
Балка равного сопротивления („идеальная" рессора) Рессоры с оттянутыми концами листов, близкие к балке равного сопро- тивления (рессоры легковых автомобилей) Рессоры с концами листов, обрубленными по прямой, у которых второй лист равен по длине коренному, и имеющие не более одного надко- ренного листа Рессоры с концами листов, обрубленными по прямой, имеющие 2—3 листа, равных по длине коренному, и несколько надкоренных листов Особо тяжелые рессоры с большим количеством листов одинаковой длины 1,5 1,4—1,45 1,35 1.3 1,25
Все приведенные выше расчетные формулы относятся к четвертной рессоре.
Они могут быть,использованы и для расчета полуэллиптической или канти-
леверной рессор, каждая из половин крторых рассматривается как четвертная
4>иг. 745 К определению прогибов и
напряжений в листах полуэллиптиче-
ской {а) и кантилеверной (б) рессор.
рессора.
Так, например, для несимметричной по-
луэллиптической рессоры (фиг. 745, а) на-
грузка на каждое из ушкбв рессоры опре-
деляется через суммарную нагрузку на рес-
сору Р по формулам:
Ра=Р-т\
р^.р^г-
Напряжения в листах каждой из частей
рессоры определяются так же, как и для
четвертных рессор; соответственно от сил Рл
и Точно так же находятся и прогибы
каждой из частей рессоры fA и fB.
Суммарный прогиб f рессоры равен
Для кантилеверной рессоры (фиг. 745,б)
нагрузка, воспринимаемая закрепленным на
шасси ушком, равна
Рв=рПГ-
Напряжения и прогибы частей рессоры определяются соответственно от
хил Р и Рд.
Суммарный прогиб рессоры равен
/=/д+/в-г,
тде/л я /д — прогибы соответственно правой и левой частей рессоры, рас-
сматриваемых как четвертные,
Проектный расчет напряжений затяжки и формы листов в свободном состоя-
нии проще всего производить в соответствии с гипотезой концевых сил по
формулам (28) —(32). При этом практически листы рессоры можно изготов-
лять и круговыми со стрелкой, соответствующей расчетной величине по фор-
Влияние сил трения на характеристику рессоры
857
муле (30) или по формулам (32) и (32а), в которых следует положить х = 1п.
Однако в этом случае в собранной рессоре могут иметь место незначительные
зазоры между листами, а напряжения затяжки будут отличаться от расчетных
в пределах 10—15°/0.
При расчете напряжений затяжки и стрелы собранной рессоры по заданной
форме свободных листов (поверочный расчет) следует пользоваться форму-
лами (20), (24)—(27), основанными на гипотезе концевых сил. Можно также
использовать и упрощенный метод расчета, основанный на гипотезе равной
кривизны листов в соответствии с формулами (38) и (39).
Следует лишь иметь в виду, что этот метод дает заниженные значения для
напряжений затяжки в коротких листах.
в рессорах увеличивается зату-
j___________
j----Д . —
§ 5. ВЛИЯНИЕ СИЛ ТРЕНИЯ НА ХАРАКТЕРИСТИКУ РЕССОРЫ
В расчетных зависимостях, приведенных выше, силы трения не учитывались,
так как их влияние на распределение усилий между листами рессоры и на на-
пряжения невелико. Однако благодаря трению
хание колебаний подрессоренного экипажа,
способствующее его спокойному движению.
В то же время слишком большое трение, уве-
личивая жесткость рессоры ухудшает качество
подвески. 9
Ниже (на примере четвертной рессоры) рас-
сматривается влияние, оказываемое силами тре-
ния на характеристику рессоры.
Будем считать, что в соответствии с гипо-
тезой концевых сил, которая, как мы видели
выше, является достаточно точной, силы взаимо-
действия между листами приложены к их
концам.
В этих точках возникают и соответствующие силы трения, равные произ-
ведению контактной силы на коэффициент трения р (фиг. 746).
Подсчитаем работу сил трения, действующих между и-ным и (п—1)-ным ли-
стами рессоры при малом изменении ее прогиба на Д/, причем предположим,
' что рессора близка к „идеальной* и поэтому изменение кривизны ее Д
постоянно по длине.
В этом случае прогиб связан с изменением кривизны уравнением
Фиг. 746. Силы трения между
листами рессоры.
где I — длина рессоры.
Продольная деформация
угольного сечения, равна
у поверхности я-го листа, при листах прямо-
ел

2 ’
где hn — толщина листа.
Относительное продольное
листов (фиг. 746) ал составит
ал = п “Ь
перемещение точек А и В (п — 1)-го и я-го
®п—1) = д
In (hn Ч~ 1)
2
Выражая Д через прогиб Д/, получим
п _______________________ к-f (hn + Лл-1)
858
Расчет листовых рессор
Соответственно работа сил трения между и-ным и (п—1)-м листами будет
равна
^Тп ~ Р^п^п ~ Р П?п (&п 4“' 1) • (47)
Суммарную работу, сил трения во всем наборе рессоры найдем суммированием
m
/1=2
(48)
Если бы трения между листами не было, то для деформации рессоры на
величину f нужно было бы приложить силу Ро:
= (49)
где с — коэффициент жесткости рессоры, определяемый с помощью того или
иного метода расчета [например, по формулам (35) или (46)].
Вследствие трения фактическая нагрузка Р на рессору при прогибе / будет
больше, чем Ро (при нагружении), или меньше, чем Ро (при разгрузке рессоры).
Разница между работой действительной силы Р и силы Ро при изменении
прогиба рессоры на Д/ равна работе сил трения ДТ:
РД/ —Р0Д/=+ДТ,
где верхний знак относится к наг^гжению, а нижний — к разгрузке рессоры.
Подставляя в полученное уравнение значение ДТ и сокращая на Д/, найдем
m
р = Ро ± 2 РЛ <hn + • (50)
л=2
Сила Рй, действующая на конец и-го листа, состоит из двух частей —
силы затяжки Р„ и силы, возникающей при действии на рессору внешней на-
грузки. *
Для правильно спроектированной рессоры, не имеющей листов одинаковой
длины, усилия от внешней нагрузки, действующие на концы всех листов, при-
мерно одинаковы и равны Ро. Отступления от этой величины имеют место
только для нескольких нижних листов (см. табл. 83), но для расчета сил тре-
ния этими отступлениями можно пренебречь. Таким образом, можно принять,
что
РП=Р'П+РО.
Подставляя это выражение в формулу (50), получим
Учитывая, что выражения под знаками сумм являются для данной рессоры
постоянными, и заменяя Ро ее выражением через прогиб (49;, найдем уравне-
ние характеристики обжатия рессоры:
‘ Р=с/(1 ± Д)±рф, (51)
где
m
л=2
И
m
л=2
Влияние сил трения на характеристику рессоры
859*
В выражении (51) верхний знак относится к процессу нагружения рессоры,,
нижний — к разгрузке.
Для данной рессоры коэффициент а может быть вычислен по известным!
ее размерам. Коэффициент Ъ также легко определяется, если произведен расчет*
рессоры на затяжку.
Коэффициент а может быть истолкован геометрически как удвоенное отно-
шение заштрихованной на фиг. 747 площади к Z2.
Для рессоры, очертание которой близко к треугольнику,
В
Z
I
где В — сумма толщин всех листов рессоры;
I — ее длина от центрового болта.
В том случае, если в рессоре имеется не-
сколько листов, одинаковых по длине с корен-
I
зэ ______
f
Фиг. 747, Определение коэф-
фициента а.

ным, усилия от внешней нагрузки, действующие
на концы этих листов, уже не равны Ро, а меньше этой величины. Если в рессоре*
имеется всего п' листов, имеющих одинаковую длину (включая коренной), при-
чем все эти листы имеют одинаковое сечение, то можно считать, что усилие, прило-
женное к ушку рессоры, равномерно делится между этими листами. Тогда,
силы взаимодействия между листами равной длины будут равны (начиная снизу)
р р _1 г
, 2 ~7-, ... , ——Ро (Есего п — 1 сил). Работа соответствующих сил тре-
ния [см. формулу (48)]
О Прогиб рессоры / мм
Фиг. 748. Характеристи-
ка рессоры с учетом сил
трения.
составит
Я^.2л(> + 2-^ + ...+^Р0) =
= М7г^(я' — 1)Р0.
Если считать, что силы взаимодействия между всеми'
этими листами равны Ро, как это предполагалось при выводе
формулы (51), то для-работы сил трения между листами оди-
наковой длины была бы получена вдвое большая величина.
Повторяя выкладки, которые делались выше при
выводе формулы (51), можно установить, что для рес-
соры с листами одинаковой длины формула (51) по*
структуре также справедлива; коэффициент а в этом
случае определяется равенством
ш
а = ^2 Z« (А« + “ ~S>t Г ° ’ (52)’
л=2
где п' — число листов одинаковой длины;
h' — толщина каждого из них.
Характеристика рессоры в соответствии с уравнением (51) изображается:
графиком, представленным на фиг. 748 (сплошные линии). Средняя прямая,
линия соответствует характеристике рессоры без учета сил трения. Пунктир-
ными линиями на той же фигуре показана форма характеристики, получаемая,
экспериментально. Небольшое различие между расчетной и экспериментальной
характеристиками объясняется тем, что относительное проскальзывание листов
рессоры начинается не одновременно.
Входящую в формулы величину коэффициента трения р можно принимать
в среднем равной 0,2 — 0,3 (при графитовой смазке).
§ 6. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОСАДКА РЕССОР
Собранные рессоры, как правило, подвергаются на заводе предварительной:
пластической осадке. Эта операция производится с целью предупреждения оста-
точных деформаций рессоры в работе (провисание).
<«860
Расчет листовых рессор •
При предварительной осадке рессора деформируется так, чтобы напряжения
в ее листах превысили предел упругости.
Тогда после разгружения в листах рессоры возникают остаточные напряже-
ния, имеющие у поверхности листов знак, обратней рабочим напряжениям.
В результате максимальные суммарные напряжения у поверхности листов при
работе рессоры уменьшаются, что приводит к исключению остаточных дефор-
маций рессоры в работе, т. е. к повышению ее несущей способности в пре-
делах упругости.
Процесс предварительной пластической осадки рессор вполне аналогичен
итак называемому заневоливанию пружин (см. гл. XIII, т. I).
При предварительной осадке нагрузка к рессоре прикладывается обычно
так же, как и в работе. Иногда, однако, с целью более равномерного по
длине рессоры пластического деформирования применяются так называемые
уравнительные рессоры. Нагружение
рессоры при предварительной осадке
с помощью уравнительной л рессоры
представлено на фиг. 749.
Уравнительная рессора начинает
распределять нагрузку, когда обжи-
маемая рессора, деформируясь, вы-
гибается в противоположную сто-
рону.
Величина прогиба, который надо
дать рессоре при предварительной
осадке> зависит от типа, размеров рес-
соры и от материала, из которого изго-
товлены ее листы. Обычно этот прогиб выбирают таким образом, чтобы полу-
пить определенную величину деформации наиболее толстого листа рессоры.
Если считать, что рессора изгибается по дуге круга (как идеальная рессора),
до изменение кривизны коренного листа («4— связано с деформацией ма-
\ A Pi/
териала е у его поверхности (при листах прямоугольного сечения) формулой
J____1_\
Р Pi) 2 ’
тде h — толщина листа.
С другой стороны, прогиб четвертной рессоры связан с изменением кри-
визны формулой
где Z — длина коренного листа.
Исключая из полученных выражений изменение кривизны, найдем
Задаваясь допустимой величиной е, по формуле (53) можно найти необхо-
димый прогиб четвертной рессоры при предварительной ее осадке.
Часто величину предварительной осадки назначают, принимая величину де-
формации
е = 0,005,
что соответствует условному напряжению оусл = Ег = 10 000 кг/см2. В част-
ности, такая величина е принимается при определении величины прогиба при
предварительной осадке рессор железнодорожного подвижного состава (см.
ГОСТ 3396-46).
Конструктивные особенности листовых рессор
861
Для несимметричной полуэллиптической рессоры, рассчитывая каждую ее
половину как четвертную и применяя формулу (53), можно установить необхо-
димый прогиб при предварительной осадке по следующей зависимости:
х till 2
где и Z2 — расстояния от центрового болта до каждого из ушков рессоры.
После предварительной осадки рессора получает остаточный прогиб, кото-
рый составляет обычно 5 — 7°/0 величины полного прогиба ее при осадке /0.
§ 7, КОНСТРУКТИВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИСТОВЫХ РЕССОР
А. Форма сечения листа рессоры
Чаще всего листы рессоры изготовляются из полосы прямоугольного сече-
ния. Практически согласно ГОСТ 4555-48 прокатанный профиль рессорной
стали прямоугольного сечения
делах 0,1 —0,2 мм (фиг. 750).
Основной причиной выхода
строя в эксплуатации является
ное разрушение листов.
Это разрушение начинается
имеет скругленные кромки и вогнутость в пре-
рессор из
усталост-
обычно на
стороне листа, испытывающей растяжение
вблизи углов сечения.
Фиг. 751. Профиль рессорного листа
с параболическими кромками (а) и
с одной канавкой (б).
Фиг. 750. Профиль рессорного листа
прямоугольного сечения.
Появление усталостной трещины именно в этом месте объясняется тем, что
предел усталости рессорной стали при растяжении ниже, чем при сжатии,
а также и тем, что вследствие искажения формы сечения при изгибе напряже-
ния в этих точках несколько увеличиваются. Исследования 1 показывают, что
это увеличение напряжений может достигать 15°/0.
Некоторое повышение усталостной прочности рессоры или снижение ее веса
при сохранении прочности может быть достигнуто за счет применения листов
с несимметричным поперечным сечением, в которых нейтральная ось смещена
в сторону растянутых волокон.
Применение листов такого несимметричного сечения позволяет снизить на-
пряжения растяжения за счет некоторого увеличения напряжений сжатия. Ши-
рокое распространение в автомобильной практике (автомобили „Победа" и ЗИМ)
получил профиль листа с параболическими кромками, форма которого
показана на фиг. 751, а. Для получения такого же момента инерции сечения,
как у листа прямоугольного сечения ширины Ь, толщина листа с параболи-
ческими кромками должна быть увеличена на 7,5°/0. Часто применяется также
сечение листа с одной канавкой (фиг. 751,6).
1 В. Л. Бидерман, Чистый изгиб тонкой полосы. Труды Кафедры сопротивления
материалов МВТУ, разд. III, 1947.
862
Расчет листовых рессор
Б. Форма концов листа
Как было показано выше (см. стр. 847), форма концов рессорного листа
в значительной мере влияет на распределение нагрузки между листами рессоры.
С этой точки зрения наиболее выгодны листы с оттянутыми концами, жесткость
которых соответствует жесткости треугольной в плане балки равного сопротив-
ления. Различные применяемые в практике конфигурации концов листа пред-
ставлены на фиг. 752. Чаще всего
Фиг. 752. Применяемые конфигура-
ции концов рессорных листов.
выполняются варианты фиг. 752, а (обруб-
ленные по прямой концы) или фиг. 752, г.
В легковых автомобилях распространена
также форма концов листов по фиг. 752, к.
Срез концов листа по дуге окружности
мало влияет на их податливость. Поэтому
для концов типов фиг. 752, в в г можно,
так же как и для концов, обрубленных по
прямой, принимать К=0. Для концов,
имеющих конфигурацию по фиг. 752, б и д,
коэффициент К определяется по данным
табл. 82, эскиз /, для конфигураций по
фиг. 752, е, з, и — по данным табл 82,
эскиз, II.
Для концов типов фиг. 752, ж и к
можно с известным приближением использо-
вать данные табл. 82, эскиз II или эскиз III.
В. Способы крепления рессор
Рессоры крепятся в средней своей части
и по концам. Крепление рессоры в средней
части выполняется обычно U-образными бол-
тами (стремянками) с помощью накладок и
подкладок. Обычно имеется та^сже центро-
вой болт, служащий для стяжки рессоры при сборке и предупреждающий про-
дольные смещения листов. Железнодорожные и тяжелые автомобильные рессоры
часто выполняются без центровых болтов. В этом случае в середине каждого
листа имеются выштампованные выступы, входящие в углубление смежного листа
и фиксирующие листы в продольном
направлении. Стягиваются листы
кованой обоймой, надетой на сред-
нюю часть рессоры.
Крепление средней части рессоры
существенно влияет на ее жесткость,
уменьшая эффективную длину ли-
стов. Грубо можно считать, что
эффективная длина рессоры сокра-
щается за счет крепления на поло-
вину расстояния между стремянками.
Проведенные эксперименты [7]
позволяют оценить увеличение жест-
кости рессоры в зависимости от
отношения длины d заделанного участка рессоры к
Результаты этих экспериментов приведены на фиг. 753.
Расчет жесткости рессоры можно проводить, не учитывая ее заделки, а в
полученный результат вносить поправку в соответствии с графиком, представ-
ленным на фиг. 753.
Крепление концов рессор отличается большим разнообразием.
В автомобильной практике наиболее распространенным является крепление
Фиг. 753. Влияние
на ее
длины заделки рессоры
жесткость.
полной ее длине £.
концов рессор с помощью ушек и серег-.
Конструктивные особенности листовых рессор
863
фигуре показаны и дополнительные ушки,
аварии в случае поломки основного ушка.
м? з) и)
Фиг. 754. Виды ушков рессоры:
а — в —‘ основные ушки; г — и — дополнительные (аварийные)
ушки.
Фиг. 755. Влияние наклона серьги на жесткость
рессоры.
Ушки рессор изображены на фиг. 754. В верхнем ряду представлены основ-
ные ушки — ушки коренного листа. У легких рессор эти ушки являются
обычно единственными. На той же
служащие для предохранения от
Ушки рессоры рассчитываются на
изгиб и растяжение от действия
продольных сил, возникающих за
счет наклона серег, а также при
передаче тяговой и тормозной
нагрузки.
Расположение серег влияет на
величину и направление усилий,
действующих на ушки рессоры,
а следовательно, и на изгибаю-
щие моменты в рессоре и ее жест-
кость. Формулы для расчета про-
гибов рессоры и ее жесткости,
рассмотренные выше, относятся
к тому случаю, когда рессора под
нагрузкой распрямлена или серьги
направлены вертикально.
Изменение угла установки
серег приводит к некоторому
изменению жесткости рессоры. Так например, жесткость рессоры, закрепленной
в соответствии с фиг. 755,6, будет больше, а в соответствии с фиг. 755, в —
меньше, чем жесткость рессоры фиг. 755, а с вертикально установленной серьгой.
В первом случае распорная
сила Ptgcp уменьшает прогиб
рессоры, обусловленный верти-
кальной реакцией Р, а во вто-
ром—увеличивает его. При при-
нятых в настоящее время мало
изогнутых рессорах влияние
установки серьги на жесткость
рессоры большей частью неве-
лико. В случае необходимости
оно может быть учтено с по-
мощью расчетных графиков,
приведенных в книге [7].
Можно также приближенно
считать, что жесткость рессо-
ры изменяется с изменением
угла установки серьги в том
же отношении, как и изгибаю-
щий момент в корневом ее се-
чении.
При вычислении прогиба
подвески в целом следует учи-
тывать, кроме прогиба самой
с наклоном серьги.
Наряду с креплением концов рессор с помощью ушков применяются и дру-
гие виды крепления. На фиг. 756, а, бив представлено выполнение концов
рессор в виде лап. При такой конструкции рессора не может передавать тол-
кающие усилия, и для этой цели должны быть предусмотрены специальные
толкающие штанги.
На фиг, 756, г — е показана накладная стальная подушка с отверстием,
заменяющая ушко. Эта конструкция применяется в тех случаях, когда толка-
и изменение ее положения в связи
864
Расчет листовых рессор
ющие усилия очень велики и существует опасность * отрыва ушков. На
фиг. 756, ж и з показано крепление в резине, иногда применяемое в автобусах
и тяжелых грузовиках. В железнодорожной практике применяется много других
вариантов крепления рессор без ушков
Фиг. 756. Крепление концов рессоры без ушков
через отверстия в концах коренных
листов, через подушки и ножи и т. д.
Особенно много типов крепления
концов рессор существует для слож-
ных комбинированных систем подве-
сок тележек многоосных вагонов ,и
паровозов.
§ 8. ПРИМЕР РАСЧЕТА ЛИСТОВОЙ
РЕССОРЫ
Требуется спроектировать симме-
тричную полуэллиптическую рессору на
рабочую нагрузку 1200 кг. Расстояние
между ушками распрямленной рессоры
1170 мм, необходимый прогиб под ра-
бочей нагрузкой 75 мм.
Расчет проводим, не учитывая влия-
ния затяжки стремянками на жесткость
рессоры. По симметрии каждая полови-
на рессоры представляет собой четверт-
ную рессору длиной 585 мм (в распрям-
ленном состоянии), работающую при
половинной нагрузке Р = 600 кг.
По формуле (46) находим ориенти-
ровочную величину необходимого сум-
марного момента инерции сечения рес-
соры:
РР
Y~^ ЗЕf
Принимаем — 1,35; Е — 2,1.10е кг!см*.
Тогда
600- 58,53
Г — 1,35 з.2Д.юе.7,5 3,43
По формуле (37), задаваясь допустимым напряжением в коренном листе а
•«4800 кг/см2, находим наибольшую допустимую толщину листа:
2а Y
М
2-4800.3,43
35000
0,94 см*
где М = PZ = 600-58,5 == 35 000 кгсм — изгибающий момент в среднем сечении рессоры.
Принимаем сечение листа 9,6X60 мм.
Момент инерции сечения одного листа
т bh9 6-0.963
J ~~ 0,44 см^.
В случае одинаковой толщины всех листов рессоры потребное число листов равно
У 3>43 ™
0,44 — 7,8‘
m =
Принимаем m == 8.
Выбираем длину второго листа равной длине коренного, а длину малого листа от
центрового болта принимаем равной 105 мм (полная длина листа 210 мм). Так как все
листы имеют одинаковую толщину, то и уступы должны быть одинаковыми — по
585—105 _
----g---= 80 мм.
Таким образом, листы имеют следующие длины (от центрового болта) в лмс
4 . 585 (до ушка): /2 == 585; Z3 = 505; Z4 = 425; Z5 — 345; Z6 = 265; Z7 = 185; Z8 =• 105.
Проверяем прогиб рессоры под рабочей нагрузкой по формуле (33).
Расчет сведен в табл. 86.
По формуле (33) находим прогиб
ш з з
Д=1
Пример расчета листовой рессоры
865
Таблица 86>
Определение статического прогиба рессоры (к примеру расчета, первый вариант)
п а в см п Jn в см4 У в см? п о СГП в см9 3 3 а7?4-2 ~ ал+1
Уп в см~^ Уп В CW"’1
1 0 0,44 0,44 0 0 1 160
2 0 0,44 0,88 0 582 4080
3 8 0,44 - 1,32 512 2720 . 7 340
4 16 0,44 1,76 4100 5 500 10 800
5 24 0,44 2,20 13 800 г 8650 14 200
6 32 0,44 2,64 32 800 11800 17 200
7 40 0,44 3,08 64000 14 700 28 900
8 48 0,44 3,52 110600 25 350 —
Z =х 58,5 Z3 = 200000 69300 83680
Полученная цифра представляет собой наименьшее возможное значение прогиба.
Верхнюю его границу определяем по формуле (34), расчет по которой проведен
в последней графе табл. 86. Эта формула дает
m—1 я я я
Р V «л+2 - , «2
3£ Yn Т?
L Л=1
“ З^ГГПо- 83 680 “ 8,0 с*' \
Таким образом, прогиб рессоры лежит между 66 и 80 мм. Если принять среднее
арифметическое этих цифр, то / — 73 мм, и возможная ошибка этой величины будет-
менее 10°,о. *
По формуле (35) с поправочным коэффициентом а = 1,18 мы получили бы
/ = 1,18-6,6 = 7.8 см.
Обе цифры (73 и 78 мм) достаточно близки к заданному прогибу 75 мм.
Проверяем напряжения в малых листах, считая, что концы листов обрублены па,
прямой.
По графикам фиг. 737 или по формулам (17) для К = 0 и отношения
__________________125_____13)
/т_х-/т “ 165- 105 -
находим коэффициенты i и ст__2:
0,932; с6 = 0,957.
По формуле (42) определяем изгибающий момент в третьем снизу (шестом) листер
ЛЛ Мазг 35000
—-----------------------^2---------=------------------------= 4030 кгсм.
----- ^-1 -------+ у V- 0,957-26,5 - 18,5 +6
2*т—2 'т-1 Jm—ъ
я=1
Таковы же и изгибающие
так как все эти листы имеют
восьмом листах находим по формулам (44)-— (45):
™ лл c7Z7 —Z8 0,932 18,5— 10,5
м, — Мо — 4030 0(932 (0 957.26,5 _ 18,5) = 4200 *ггсж:
4 ЮЛ
моменты во всех вышележащих листах (первом — пятом),.,
одинаковую толщину. Изгибающие моменты в седьмом m
Л,« с, (се/в—/7) —4030 0,932(0,957-26,5—18,5) =6б0° кгсм'
Напряжения в листах получаются путем деления изгибающего момента на момени
сопротивления листа:
_ bh2 6-0,962
W = g— —---------g---- = 0,92 см2;
, 01-6 = 4350 кг /см2; а7 — 4560 кг/см2; а8 в 7200 кг/см2.
55 Пономарев и др. 407
«66
Расчет листовых рессор
В связи с тем, что все листы имеют одинаковую толщину и концы листов обруб-
лены по прямоугольнику, в последнем листе имеют место значительные перенапряжения.
Лучшие результаты Шожно получить, если заменить нижний лист несколькими более
.тонкими листами, имеющими тот же суммарный момент инерции.
Проведем расчет для варианта рессоры с короткими листами сечения 6 X 60 мм.
Момент инерции каждого из таких листов равен
-Фиг. 757. Определение длин
листов (к примеру расчета).
—« 0,108 см*.
Приняв для рессоры семь листов толщиной 9,6 мм и три
листа толщиной 6мм. получим суммарный момент инерции
Y = 7-0,44 4- 3-0,108 - 3,40 см\
достаточно близкий к необходимому.
Задаваясь длиной короткого листа 210 мм (105 мм от
центрового болта), находим длины листов графически
(фиг. 757). В табл. 87 приведены данные к расчету про-
гиба рессоры. По формулам (33) и (34) находим пределы
возможного прогиба \
6,5 CM<f <7,4 см.
Среднее арифметическое этих значений дает / = 7 см.
Определяем напряжения в листах. В данном случае
отношение -у-------г— равно
— *т
10,5
12,3—10,5 “ 5’83-
По формулам (17) находим при К — 0:
Сд 1,60 с8=1,24.
Изгибающий момент в третьем снизу (восьмом) листе равен в соответствии с фор-
мулой (42)
Мизг 35000
Л18 — 8 = 12,3 / 0,96 \3 а кгсм'
---+ уА 1,24-14,1 - 12.3 + 7 +1
Изгибающие моменты в вышележащих листах равны
М !-7 = Ms -ц = 1090 j -» 4480 сгсм ,
В девятом и десятом листах изгибающие моменты равны
М8 Z9c9-Z10 1090 12,3-1,60-10,5
М» ~ с9 ’ Z8c8- I. = 1,60’ 14,1-1,24—12,3 -1200 кгсл;
,, М6 1Ы 1090 10,5
~ «9 ’ zeCe — h ~ 1>60’ 14,1-1,24— 12,3 “ 1380 кгсм-
Таблица 87
Определение статического прогиба рессоры (к примеру расчета, второй вариант)
л ап в см Jn в см' Yn в см' О ац в см9 ал-Н “ а л л3 „з
Yx в см 1 Yn в см~1
1 0 0,44 0,44 0 0 920
2 0 0,44 0,88 0 460 3 24^
3 7,4 0,44 1,32 405 2150 5 800
4 14,8 0,44 1,76 3 250 4 350 8 500
5 22,2 0,44 2,20 10 900 6 800 11200
6 29,6 0,44 2,64 25900 9 300 13 800
7 37,0 0,44 3,08 50 500 11800 3 740
8 44,4 0,108 3,19 87000 3 600 3 800
9 46,2 0,108 3,30 98 500 3670 27 000
10 48,0 0,108 3,40 110 600 26 300 —
1 = 58,5 С /3=200000 68 430 78000
Пример расчета листовой рессоры
867
. Напряжения в листах определяются делением изгибающих моментов на моменты
сопротивления (0,92 см3 для верхних листов и 0,36 см3 — для нижних):
= 4880 кг/см?‘, а8 = 3030 кг/см?\ а9 == 3330 кг [см?, а10 = 3840 кг [см?.
В этом случае, благодаря уменьшенной толщине нижних листов, удалось значительно
«низить напряжения в них.
Прогиб /0 рессоры при предварительной осадке находим по формуле (53), задаваясь
деформацией листа а 0,005:
14 58,52.0,005
/0« h •— 0,96 — 17,8 см.
Фиг. 758. Эскиз собранной рессоры (к примеру
расчета).
Остаточный прогиб при предварительной осадке Д/ оцениваем в 12 мм, что соста-
вляет 6,7°/0 от /0.
Принимая, что при полной на-
грузке стрела //рессоры равна 40 мм,
найдем стрелу ненагруженной’ рес-
соры (фабричную стрелу)
Нг ~ Н+f == 40 + 70 = 110 мм
и стрелу рессоры до предваритель-
ной осадки
+ 110 + 12 = 122 мм.
Внутренний диаметр ушка рес-
соры принимаем d «« 20 мм. Тогда
радиус кривизны коренного листа в
собранной рессоре определяется по
формуле
г» /2 58,52
R~ = 2-12,2 — 2 “152’4 см-
Полухорд#собранной рессоры (от центрового болта до центра ушка) определяется
выражением
£ - (> - 4) /'-(«.-4)'-57да “•
По этим данным изображен эскиз собранной рессоры на фиг. 758.
Задаемся сборочными напряжениями а'п в листах рессоры так, чтобы удо-
влетворялось уравнение (28а). Эти напряжения приведены во второй графе табл. 88. Таблица 88 Затем по формулам (29) определяем усилия Расчет усилий затяжки затяжки Р‘ на концах листов. Эти усилия
п <зп в кг1см2 a' h2 п п р,п в кг приведены в четвертой графе таол. оо. По формуле (30) находим прогибы — f'n листов рессоры от сил затяжки, приведен- ные в седьмой графе табл. 89. При изгибе листов по дуге круга соот- ветствующие радиусы кривизны находятся по формуле 5^ • <54> 1 + -^(А-Л) 1п где Rn— радиус свободного листа; R'n — радиус того же листа в собранной рессоре;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2000 -1420 —840 -260 +320 +900 +-1400 +1520 + 1620 + 1720 -1840 -1310 —775 —240 +-295 +-829 +-1290 +547 +584 +620 Лв0 31 61 90 115 131 141 124 98 59
/л — длина листа от центрового болта.
Подсчитанные по формуле ,(54) радиусы приведены в 10-й графе табл. 89.
Если листы изготовляются некруговыми, то их форма определяется в соот-
ветствии с фиг. 741, причем величина перемещений вычисляется по формулам (31)
и (32а). Сравнение формы листов рассмотренной рессоры, очерченных по дуге
868
Расчет листовых рессор
Таблица 89
Определение формы свободных Листов
n In в CM 10* в см\кг 6^). 10* в см/к г в см Pn+l6i? в см в см Рп В СМ в см

1 58,5 72,0 72,0 2,24 —2,24 152,40 -0,199 190,2
2 58,5 72,0 58,6 2,24 3,58 -1,34 153,36 —0,120 174,3
3 51,1 - 48,4 37,8 2,95 3,40 —0,45 154,32 —0,053 162,9
4 43,7 30,1 22,4 2,71 2,58 +0,13 155,28 4-0,021 152,1
5 36,3 ’ 17,3 12,1 1,99 1,62 +0,37 156,24 4-0,088 143,6
6 28,9 8,70 5,44 1,17 0,76 +0,31 157,20 +0,116 140,9
7 '21,5 3,60 1,84 0,51 0,23 +0,28 158,16 +0,192 132,7
8 14,1 4,12 3,34 0,51 0,33 4-0,18 159,12 +0,288 123,5
9 12,3 2,74 2,13 0,27 0,13 +0,14 159,72 +0,295 123,4
10 10,5 1,72 — 0,10 — +0,10 160,32 +0,291 124,3
круга и в соответствии с формулами (31) и (32а), показывает, что максималь-
ные расхождения между ними не превышают 1,5 мм.
ЛИТЕРАТУРА
1. Би дерм ан В. Л., Рессоры, сб. „Детали машин®, книга II, Машгиз, 1953.
2. Глух Б. А., Бидерм ан В. Л., Рессоры листовые, Энциклопедический
справочник „Машиностроение®, т. 2, Машгиз, 1948.
3. Г л у х Б. А. Экспериментальное исследование напряжений затяжки в рессорах,
Исследования в области машиноведения, АН СССР, 1944.
4. Глух Б. А., К рассчету автомобильных рессор, „Труды НАТИ®, вып. 40,
Машгиз, 1941.
5. К а р а с е в Н. А., О выносливости рессорной стали 55С2 при действии воды,
„Вестник машиностроения® № 5, 1952.
6. Л и с т г а р т е н Д. С., Влияние состояния поверхности и термообработки на
усталостную прочность рессорной стали, Сб. „Повышение усталостной прочности деталей
машин поверхностной обработкой®, Машгиз, 1952.
7. Пархиловский И. Г., Автомобильные листовые рессоры, Машгиз, 1954.
8. ПархиловскийИ. Г., Опыт проектирования, испытания и эксплуатации
листовых рессор автомобилей Горьковского автозавода им. Молотова, сб. „Исследования
в области конструирования автомобиля®, Машгиз, 1953.
9. С а м к о А. С.» О причинах поломок рессор самосвалов, „Автомобильная и трак-
торная промышленность® № 1, 1953.
10. Сандерс Т., Производство рессор, ОНТИ, 1953.
11. Сел енский И. А., Об испытании листовых рессор для железнодорожных
вагонов, Вестник машиностроения® № 10, 1952.
12. Смирнов В. И., Термическая обработка стальных рессор и пружин, Метал-
лургиздат, 1944.
13. Т а р у т и н А. А., Приближенный метод проектирования рессор прогрессивно
переменной жесткости, „Труды НАТИ®, вып. 46, Машгиз, 1947.
14. Тарутин А. А., Упрочнение листовых рессор методом предварительной пла-
стической осадки, „Автомобильная и тракторная промышленность® № 8, 1951.
1938^ Gross S., Lehr Е., Die Federn, ihre Gestaltung und Berechnung, VDJ-Verlag,
Bd 8в’19^ЬГ E” Wei8and A., Spannungsverteilung in Federn, „Forsch. Ing. Wes®.
17. Manuel on design and application of Leaf Springs, SAE War Engenering Board of
the Society Automotive Engineers, New lork, 1945.
18. S t a r k H , Ueber die Ermittelung der statischen Biegespannungen in geschichteten
Federn ATZ, Bd, 34, 1931.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЗНАЧЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ АКАД. А. Н. КРЫЛОВА i [98J
V1($) = ch$cos 5;
V2 (5) — -у [ch 6 sin 6 + sh 5 cos g];
Уз(5) = -у shSsinS; '
y4 (?) = -L [ch 5 sin 5 — sh ? cos ?].
5 Vi Vi V3 V4
0 * 1 0 0 0
0,001 1,0000 0,00100 0,00000 0,00000
0,002 1,0000 0,00200 0,00000 0,00000
0,003 1,0000 0,00300 0,00001 0,00000
0,004 1,0000 0,00400 0,00001 0,00000
0,005 . 1J)OOO 0,00500 0,00002 0,00000
0,006 1,9000 0,00600 0,00002 0,00000
0,007 , 1,0000 0,00700 0,00003 0,00000
0,008 1,0000 0,00800 0,00003 0,00000
0.009 1,0000 0,00900 0,00004 0,00000
0,010 1,0000 0,01000 0,00005 0,00000
о.ои 1,0000 0,01100 0,00006 0,00000
0,012 1,0000 0,01200 0,00007 0,00000
0,013 1,0000 0,01300 0,00009 0,00000
0,014 1,0000 0,01400 0,00010 0,00000
0 015 1,0000 0,01500 0,00012 0,00000
0,016 1,0000 0,01600 0,00013 0,00000
0,017 1,0000 0,01700 0,00015 0,00000
0,018 1,0000 0,01800 0,00016 0,00000
0,019 1,0000 0,01900 0,00018 0,00000
0,020 1,0000 0,02000 0,00020 0,00000
0,4)30 1,0000 0,03000 0,00045 0,00001
0Л40 1,0000 0,04000 0,00080 0,00001
0,05 1,0000 0,0500 0,0013 0,00002
0,06 1,0000 0,0600 0,0018 0,0001
0,07 1,0000 0^0700 0,0025 0,0001
0,08 1,0000 0,0800 0,0032 0,0001
0,09 1,0000 0,0900 0,0041 0,0001
0,10 1,0000 0,1000 0,0050 0,0002
0,11 1,0000 0,1100 0,0061 0,0002
1 Свойства функций A. H. Крылова см. табл. 40,глава X.
’ “ ' 407 -J ' - -
870
. Приложение
i
Продолжение
£ V1 V, V» V*
0,12 1,0000 0,1200 0,0072 0,0003
0,13 0,9999 0,1300 0,0085 0,0004
0,14 0,9999 0,1400 0,0098 0,0005
0,15 0,9999 0,1500 о,онз 0,0006
0,16 0,9999 0,1600 0,0128 0,0007
0,17 0,9999 0,1700 0,0145 0,0008
0,18 0,9998 0,1800 0,0162 0,0010
0,19 0,9998 0,1900 0,0181 0,0012
0,20 0,9997 0,2000 0,0200 0,0014
0,21 0,9997 0,2100 0,0221 0,0016
0,22 0,9996 0,2200 0,0242 0,0018
0,23 0,9995 02300 0,0265 0,0020
0,24 0,9995 02400 0,0288 0,0023
0,25 0,9993 0,2500 0,0313 0,0026
0,26 0,9992 0,2600 0,0338 0,0029
0,27 . 0,9991 0,2700 0,0365 0,0033
0,28 0,9990 0,2800 0,0392 0,0037
0,29 0,9988 0,2900 0,0421 0,0041
0,30 0,9987 0,2999 0,0450 0,0045
0,31 0,9985 0,3099 0,0481 0,0050
0,32 0,9983 0,3199 0,0512 0,0055
0,33 0,9980 0,3299 0,0545 0,0060
0,34 0,9978 0,3399 0,0578 0,0066
0,35 0,9975 0,3498 0,0613 0,0072
0,36 0,9972 0,3598 0,0648 0,0078
0,37 0,9969 0,3698 0,0685 0,0085
0,38 0,9965 0,3797 0,0722 0,0092
0,39 0,9961 0,3897 0,0761 < 0,0099
0,40 0,9957 0,3997 0,0800 ' 0,0107
0,41 0,9953 0,4096 0,0840 0,0115
0,42 0,9948 0,4196 0,0882 0,0124
0,43 0,9943 0,4295 0,0924 0,0133
0,44 0,9938 0,4395 0,0968 0,0142
0,45 0,9932 0,4494 0,1012 0,0152
0,46 0,9925 0,4594 0,1058 0,0162 _
0,47 0,9919 0,4693 0,1104 0,0173
0,48 0,9911 0,4792 0,1152 0,0184
0,49 0,9904 0,4891 0,1200 0,0196
0,50 0,9895 0,4990 0,1249 0,0208г/
0,51 0,9887 0,5089 0,1300 0,0221
0,52 0,9878 0,5188 0,1351 0,0234 1
0,53 0,9869 0,5286 0,1404 0,0248
0,54 0,9858 0,5385 0,1457 0,0262
0,55 0,9847 0,5484 0,1511 0,0277
0,56 0,9836 0,5582 0,1567 0,0293
0,57 0,9824 0,5680 0,1623 0,0309
0,58 0,9811 0,5778 0,1680 0,0325
0,59 0,9798 0,5876 0,1738 0,0342
0,60 0,9784 0,5974 0,1798 0,0360
0,61 0,9769 0,6072 0,1858 0,0378
0,62 ' 0,9754 0,6170 . 0,1919 0,0397
0,63 0,9733 0,6267 , 0,1981 0,0417
0»64 0,9721 0,6364 0,2044 0,0437
0,65 0,9703 0,6462 0,2109 0,0457
0,66 0,9684 0,6559 0,2174 1 0,0479
Приложение
871
Продолжение
£ v, 1Z2 Ия
0,67 0,9664 0,6655 0,2240 0,0501
0,68 0,9644 0,6752 0,2307 0,0524
0,69 0,9623 0,6848 0,2375 0,0547
0,70 0,9600 0,6944 0,2444 0,0571
0,71 0,9577 0,7040 0,2514 0,0596
0,72 0,9552 0,7136 0,2584 0,0621
0,73 0,9527 0,7231 0,2656 0,0648
0,74 0,9501 0,7326 0,2729 0,0675
0,75 0,9473 0,7421 0,2803 0,0702
0,76 0,9444 0,7516 0,2878 0,0730
0,77 0,9415 0,7610 0,2953 0,0760
0,78 0,9384 0,7704 0,3030 0,0790
0,79 0,9351 0,7798 0,3107 0,0820
0,80 0,9318 0,7891 0,3186 0,0852
0,81 0,9283 0,7984 0,3265 0,0884
0,82 0,9247 0,8077 0,3345 0,0917
0,83 0,9210 0,8169 0,3427 0,0951
0,84 0,9171 0,8261 0,3509 0,0986
0,85 0,9131 0,8352 0,3592 0,1021
0,86 0,9090 0,8443 0,3676 0,1057
0,87 0,9047 0,8534 0,3761 0,1095
0,88 0,9002 0,8624 0,3846 0,1133
0,89 * 0,8956 0,8714 0,3933 0,1172
0,90 0,8931 0,8804 0,4021 0,1211
0,91 0,8859 0,8893 0,4109 0,1252
0,92 0,8808 0,8981 0,4199 0,1293
0,93 0,8753 0,9069 0,4289 0,1336
0,94 0,8701 0,9156 0,4380 0Л 379
0,95 0,8645 *0,9242 0,4472 0,1424
0,96 0,8587 0,9329 0,4565 0,1469
0,97 0,8528 0,9415 0.4659 0,1515
0,98 0,8466 0,9499 0,4753 0,1562
0,99 0,8339 0,9586 0,4849 0,1611
1,00- 0,8337 0,9668 0,4945 0,1659
1,01 0,8270 0,9750 0,5042 0,1709
1,02 0,8201 0,9833 0,5140 0,1760
1,03 0,8129 0,9914 0,5238 0,1812
1,04 0,8056 0,9995 0,5338 0,1865
1,05 0,7980 1,0076 0,5438 0,1918
1,06 0,7902 1,0155 0,5540 0,1973
1,07 0,7822 1,0233 0,5641 0,2029
1,08 0,7740 1,0311 0,5744 0,2086
1,09 0,7655 1,0388 0,5848 0,2144
1,10 0,7568 1,0465 0,5952 0,2203
1,11 0,7479 1,0540 0,6057 0,2263 .
1,12 0,7387 1,0613 0,6163 0,2324 ‘
1,13 0,7293 1,0687 0,6269 0,2386
1,14 0,7196 1,0760 0,6376 0,2449
1,15 0,7097 1,0831 0,6484 0,2514
1,16 0,6995 1,0902 0,6593 0,2579
1,17 0,6891 1,0971 0,6702 0,2646
1,18 0,6784 1,1040 0.6813 0,2713
1,19 0,6674 1,1107 0,6923 0,2782
1,20 0,6561 1Л173 0,7035 .0,2852
1,21 0,6446 1,1238 0,7147 0,2923
872
Приложение
Продолжение
* V, 1 ^4
1,22 0,6330 1,1306 0,7259 0,2997
1,23 ’ 0,6206 1,1365 0,7373 0,3068
1,24 0,6082 1,1426 0,7487 0,3142
1,25 0,5955 1,1486 0,7601 0,3218
1,26 0,5824 1,1545 0,7716 0,3294
1.27 0,5691 1,1602 0,7832 0,3372
1,28 0,5555 1,1659 0,7948 0,3451
1,29 0,5415 1,1714 0,8065 0,3531
1,30 0.5272 1,1767 0,8183 0,3612
1,31 0,5126 1,1819 0,8301 0,3695
1,32 0,4977 1,1870 0,8419 0,3778
1,33 0,4824 1,1919 0,8538 0,3863
1,34 0,4668 1,1966 0,8657 0,3949
1,35 0,4508 1,2012 0,8777 0,4036
1,36 0,4345 1,2057 0,8898 0,4124
1,37 0,4178 1,2099 0,9018 0,4214
1,38 0,4008 1,2140 0,9140 0,4305
1,39 0,3833 1,2179 0,9261 0,4397
1,40 0,3656 1,2217 0,9383 0,4490
1,41 0,3474 1,2252 0,9506 0,4585
1,42 0,3289 1,2286 0,9628 0,4680
1,43 0,3100 1,2318 0,9751 0,4777
1,44 0,2907 1,2348 0,9865 0,4875
1,45 0,2710 1,2376 0,9998 0,4974
1,46 0,2509 1,2402 1,0122 0,5075
1,47 0,2304 1,2426 1,0246 0,5177
1,48 0,2095 1,2448 1,0371 0,5280
1,49 0,1882 1,2468 1,0495 ♦ 0,5384
1,50 0,1664 1,2486 1,0620 0,5490
1,51 0,1442 1,2501 1,0745 0,5597
1,52 0,1216 1,2515 1,0870 0,5705
1,53 0,0986 1,2526 1,0995 0,5814
1,54 0,0746 1,2534 1,1121 0,5925
1,55 0,0512 1,2541 1,1246 0,6036
1,56 0,0268 1,2545 1,1371 - 0,6149
1,57 0,0020 1,2546 1,1497 0,6264
?/2 0, 1,2546 1,1507 0,6273
1,58 —0,0233 1,2545 1,1622 0,6380
1,59 —0,0490 1,2542 1,1748 0,6496
1,60 -0,0753 1,2535 1,1873 0,6615
1,61 - 0,1019 1,2526 1,1998 0,6734
1,62 -0,1291 1,2515 1,2124 0,6854
! 1,63 —0,1568 1,2501 1,2249 0,6976
1,64 -0,1849 1,2484 1,2374 0,7099
* 1,65 -0,2136 1,2464 1,2498 0,7224
1,66 —0,2427 1,2441 1,2623 0,7349
1,67 -0,2724 1,2415 1,2747 0,7476
1,68 -0,3026 1,2386 1,2871 0,7604
1,69 —0,3332 1,2354 1,2995 0,7734
1,70 —0,3644 1,2322 1,3118 0,7863
‘ 1,71 -0,3961 1,2282 1,3241 0,7996
5 1,72 —0,4284 1,2240 1,3364 0,8129
1 1,73 —0,4612 1,2196 1,3486 0,8263
‘ 1,74 -0,4945 1,2148 1,3608 0,8399
5 1,75 —0,52,84 1,2097 1,3729 0,8535
Приложение
873
Продолжение
е У, V, Уз У4
1,76 -0,5628 1,2042 1,3850 0,8673
1,77 —0,5977 1,1984 1,3970 0,8812
1,78 -0,6333 1,1923 1,4089 0,8953
1,79 -0,6694 1,1857 1,4208 0,9094
1,80 -0,7060 1,1789 1,4326 0,9237
1,81 -0,7433 1,1716 1,4444 0,9381
1,82 -0,7811 1,1640 1,4561 0,9526
1,83 —0,8195 1,1560 1,4677 0,9672
1,84 —0,8584 1,1476 1,4792 0,9819
1,85 —0,8980 1,1389 1,4906 0,9968
1,86 —0,9382 1,1297 1,5020 1,0117
1,87 -0,9790 1,1201 1,5132 1,0268
1,88 -1,0203 1,1101 1,5244 1,0420
1,89 -1,0623 1,0997 1,5354 1,0573
1,90 -1,1049 1,0888 1,5464 1,0727
1,91 -1,1481 1,0776 1,5572 1,0882
1,92 -1,1920 1,0659 1,5679 1,1038
1,93 -1,2364 1,0538 1,5785 1,1196
1,94 -1,2815 1,0411 1,5890 1,1354
1,95 —1,3273 1,0281 1,5993 1,1514
1,96 -1,3736 1,0146 1,6095 1,1674
1,97 -1,4207 1,0007 1,6196 1,1835
1,98 * -1,4683 0,9862 1,6296 1,1998
1,99 —1,5166 0,9713 1,6393 1,2161
2,00 —1,5656 0,9558 1,6490 1,2325
2,01 -1,6153 0,9399 1,6584 1,2491
2,02 -1,6656 0,9235 1,6678 1,2658
2,03 -1,7165 0,9066 1,6769 1,2825
2,04 -1,7682 0,8892 1,6859 1,2993
2,05 -1,8205 0,8713 1,6947 1,3162
2,06 -1,8734 0,8528 1,7033 1,3332
2,07 —1,9271 0,8338 1,7117 1,3502
2,08 —1,9815 0,8142 1,7200 1,3674
2,09 —2,0365 0,7939 1,7280 1,3845
2,10 —2,0923 0,7735 1,7359 1,4020
2,11 -2,1487 0,7523 1,7435 1,4194
2,12 -2,2058 0,7306 1,7509 1,4368
2,13 —2,2636 0,7082 1,7581 1,4544
2,14 -2,3221 0,6853 1,7651 1,4720
2,15 -2,3814 0,6618 1,7718 2,4897
2,16 -2,4413 0,6376 1,7783 1.5074
2,17 —2,5020 0,6129 1,7846 1,5253
2,18 —2,5633 0,5876 1,7906 1,5431
2,19 —2,6254 0,5616 1,7963 1,5611
2,20 -2,6882 0,5351 1,8018 1,5791
2,21 -2,7518 0,5079 1,8070 1,5971
2,22 -2,8160 0,4801 1,8120 1,6152
2,23 —2,8810 0,4516 1,8166 1,6333
2,24 —2,9466 0,4224 1,8210 1,6515
2,25 -3,0131 0,3926 1,8251 1,6698
2,26 —3,0802 0,3621 1,8288 1,6880
2,27 —3,1481 0,3310 1,8323 1,7063
2,28 -3,2167 0,2992 1,8355 1,7247
2,29 —3,2861 0,2667 1,8383 1,7430
2,30 —3,3562 0,2335 1,8408 1,7614
874
Приложение
Продолжение
£ v, и.
2,31 -3,4270 0,1996 1,8430 1,7798
2,32 —3,4986 0,1649 1,8448 1,7983
2,33 -3,5708 0,1296 1,8462 1,8167
2,34 *—3,6439 0,0935 1,8473 1,8352
2,35 —3,7177 0,0567 1,8481 1,8537
2,36 —3,7922 0,0191 1,8485 1,8722
2,37 —3,8675 —0,0192 1,8485 1,8906
2.38 —3,9435 —0,0583 1,8481 1,9091
2.39 —4,0202 —0,0981 1,8473 1,9276
2,40 -4,0976 —0,1386 1,8461 1,9461
2,41 -4,1759 —0,1800 1,8446 1,9645
2,42 —4,2548 -0,2221 1,8425 1,9830
2,43 ^•4,3345 —0,2651 1,8401 2,0014
2,44 -4,4150 —0.3089 1,8373 . 2,0198
2,45 —4,4961 —0,3534 1,8339 2,0381,
2,46 —4,5780 —0,3988 1,8302 2,0564
2,47 -4,6606 —0,4450 1,8259 2,0747
2,48 -4,7439 —0,4920 1,8213 2,0930
2,49 ^-4,8280 —0,5399 1,8161 2,1111
2,50 —4,9128 -0,5885 1,8105 2,1293
2,51 -4.9984 —0,6381 1,8043 2,1474
2,52 —5,0846 —0,6885 1,7977 2,1654
2,53 -5,1716 —0,7398 1,7906 2,1833
2,54 -5,2593 —0,7920 1,7829 2,2012
2,55 —5,3477 —0,8450 1,7747 2,2190
2,56 —5,4368 —0,8989 1,7660 2,2367
2,57 —5,5266 —0,9538 1,7567 2,2543
2,58 —5,6172 —1,0095 1,7469 <2,2718
2,59 —5,7084 —1,0661 1,736’5 2,2892
2,60 —5,8003 -1,1236 1,7256 2,3065
2,61 —5,8929 -1,1821 1,7141 2,3237
2,62 —5,9862 -1,2415 1,7019 2,3408
2,63 —6,0802 —1,3018 1,6892 2,3578
2,64 —6,1748 —1,3631 1,6759 2,3746
2,65 -6,2701 -1,4253 1,6620 2,3913
2,66 —6,3661 — 1,4885 1,6474 2,4078
2,67 —6,4628 —1,5527 1,6322 2,4242
2,68 —6,5600 --1,6177 1,6163 2,4405
2,69 —6,6580 —1,6838 1,6327 2,4566
2,70 -6,7565 -1,7509 1.5827 2,4725
2,71 —6,8558 — 1,8190 1,5648 2,4882
2,72 -6,9556 -1,8881 1,5463 2,5037
2,73 —7,0560 —1,9581 1,5271 2,5191
2.74 —7,1571 —2,0292 1,5071 2,5343
2,75 -7,2588 —2,1012 1,4865 2,5493
2,76 —7,3611 —2,1743 1,4651 2,5640
2,77 —7,4639 —2,2484 1.4430 2,5786
2,78 • —7,5673 —2,3236 1,4201 2,5929
2,79 -7,6714 —2,3998 1.3965 2,6070 '
2,80 -7,7759 -^-2,4770 1,3721 2,6208' ~
2,81 —7,8810 —2,5553 1,3470 2,6344
। 2,82 —7,9866 —2,6347 1,3210 2.6477
2,83 -8,0929 —2,7151 1,2943 2,6608
2,84 -8,1995 —2,7965 1,2667 . 2,6736
2,85 , -8.3067 —2,8790 1,2383 2.6862 !
Приложение
875
Продолжение
е v, V2 V* V,
2,86 —8,4144 —2,9627 1,2091 2,6984
2,87 -8,5225 ^3,0473 1,1791 2,7103.
2,88 8,6312 —3,1331 1,1482 2,7220
2,89 —8,7404 —3,2200 > 1,1164 2,7333 .
2,90 .—8,8471 —3,3079 1,0838 2,7443
2,91 —8,9598 -3,3969 . 1,0503 2,7550
2,92 —9,0703 —3,4872 1,0158 2,7653 .
2,93 -9,1811 -3,5784 0,9805 2,7753
2,94 -9,2923 —3,6707 0,9443 2,7849
2,95, —9,4039 .—3,6642 * 0,9071 2,7942
2,96 ’—9,5158 —3,8588 0,8690 2,8031
2,97 -9,6281 —3,9545 0,8299 2,8115
2,98 —9,7407 —4,0514 t 0,7899 2,8196
2,99 - —9,8536 —4,1493 0,7489 ' 2,8273
3,00 :—9,9669 —4,2485 0,7069 2,8346
3,01 4-10,0804 —4,3487 0,6639 2,8414
3,02 10,1943 —4,4501 0,6199 2,8479
3,03 —10,3083 —4,5526 0,5749 2,8538
3,04 -10,4225 -4,6562 0,5289 2,8594.
3,05 -10,5317 -4,7611 0,4817 2,8644
3,06 —10,6516 —4,8670 0,4336 2,8690
3,07 —10,7665 -4,9741 0,3844 2,8731
3,08 * —10,8815 —5,0823 0,3341 2,8767
3,09 -10,9966 —5,1917 0,2828 2,8798
3J0 -11,1119 —5,3023 0,2303 23823
3,11 —11,2272 —5,4139 0,1767 2,8844
3,12 —11,3427 —5,5268 0,1220 2,8859 .
3,13 —11,4580 —5,6408 0,0662 2,8868
3,14 —11,5736 —5,7560 0,0092 ’ 2,8872
тс -г—11,5919 -5,7744 0 2,8872
3,15 —11,6890 —5,8722 —0,0490 2,8870
3,16 -г-11,8045 -5,9898 —0,1083 2,8862
3,17 —11,9200 -6,1084 —0,1688 2,8848
3,18 -,-12,0353 —6,2281 —0,2305 2,8828
3,19 —12,1506 -6,3491 —0,2934 2,8802
3,20 -12,2656 -6,4711 —0,3574 23769
3,21 —12,3807 —6,5943 —0,4227 2,8731 .
3,22 т-12,49.56 —6,7188 —0,4894 2,8685
3,23 -12,6101 -6,8442 —0,5571 2,8633
3,24 -12,7373 . —6,9710 —0,6262 2,8573
3,25 —12,8388 —7,0988 —0,6966 2,8507
3,26 , , —12,9527 —тзхп —0,7682 2,8434
3,27 -13,0662 —7,3578 —0,8411 2,8354
3,28 , -13,1795 —7,4891 —0,9154 2,8266
3,29 , -13,2934 —7,6214 —0,9909 2,8171
3,30 -13,4048 ' —7,7549 —1,0678 2,8068
. 3,31 —13,5168 —7,8895 —1,1460 2,7957
3,32 —13,6285 —8,0252 —1,2256 2,7839
3,33 —13,7395 —8,1620 —1,3065 2,7712
3,34 ; -13,8501 —8,3000 —1,3888 2,7577
3,35 -13.9601 —8,4390 —1,4725 2,7434
3,36 —14,0695 —8,5792 —1,5577 2,7282
3.37 ’ -14,1784 —8,7205 —1,6441 2,7122
3,38 —14,2866 —8,8627 -1,7321 2,6953
3,39 -14,3941 —9,0062 —1,8214 2,6776 —*
376
Приложение
Продолжение
* и2 V9
3,40 —14,5008 —9,1507 —1,9121 2,6589
3,41 —14,6066 —9,2962 —2,0044 2,6393
3,42 —14,7118 —9,4427 —2,0980 2,6189
3,43 —14,8162 —9,5905 —2,1933 2,5974
3,44 —14,9197 —9,7392 —2,2899 2,5750
3,45 -15,0222 —9,8888 —2,3880 - 2,5516
3,46 —15,1238 —10,0396 —2,4876 2,5272
3,47 —15,2244 -10,1913 —2,5889 2,5018
3,48 —15,3238 —10,3441 —2,6915 2,4754
3,49 —15,4224 —10,4978 -2,7957 2,4480
3,50 —15,5198 —10,6525 —2,9014 - 2,4195
3,51 —15,6159 —10,8081 —3,0088 2,3900
3,52 —15,7108 —10,9647 —3,1176 2,3593
3,53 —15,8046 —11,1223 —3,2280 2,3276
3,54 —15,8971 —11,2809 —3,3401 2,2948
3,5.5 —15,9881 —11,4403 —3,4537 2,2608
3,56 —16,0780 —11,6007 —3,5689 2,2257
3,57 —16,1663 —11,7619 —3,6857 2,1894
3,58 —16,2531 —11,9240 —3,8041 2,1520
3,59 -16,3384 -12,0870 —3,9242 2,1133
3,60 —16,4218 —12,2508 —4,0459 2,0735
3,61 —16,5043 -12,4154 —4,1692 2,0324
3,62 —16,5847 —12,5808 —4,2942 1,9901
3,63 —16,6634 —12,7470 - - -4,4208 1,9465
3,64 —16,7405 —12,9142 —4,5491 1,9017
3,65 —16,8155 -13,0819 —4,6791 *1,8555
3,66 —16,8889 —13,2504 —4,8108 *1,8081
3,67 —16,9602 —13,4196 —4,9441 1,7593
3,68 —17,0296 —13,5896 —5,0792 1,7092
3,69 —17,0970 —13,7603 —5,2159 1,6577
3,70 —17,1622 —13,9315 —5,3544 1,6049
3,71 —17,2253 —14,1035 —5,4945 1,5506
3,72 —17.2861 —14,2759 —5,6364 1,4950
3,73 -17,3449 —14,4492 —5,7801 1,4379
3,74 —17,4022 - —14,6229 —5,9254 1,3793
3,75 —17,4552 —14,7972 —6,0725 1,3194
3,76 —17,5067 —14,9720 —6,2214 1,2579 -
3,77 -17,5557 —15,1473 —6,3720 1,1949
3,78 —17,6024 -15,3232 —6,5243 1,1305
3,79 —17,6463 -15,4994 —6,6784 1,0645
3,80 —17,6875 —15,6761 -6,8343 0,9969
3,81 —17,7259 -15,8531 —6,9920 0,9278
3,82 —17,7616 -16,0304 -7,1513 0,8571
3,83 —17,7945 —16,2083 —7,3126 0,7847
3,84 —17,8245 -16,3864 —7,4755 0,7108
3,85 —17,8513 —16,5649 —7,6403 0,6352
3,86 —17,8751 —16,7434 —7,8069 0,5579
3,87 —17,8960 —16,9223 —7,9751 0,4791
3,88 —17,9135 ' —17,1013 —8,1453 0,3985
3,89 —17,9277 ^17,2805 -8,3171 0,3161
3,90 —17,9387 - —17,4599 —8,4909 0,2321
3,91 —17,9464 -17,6393 —8,6664 0,1464
3,92 —17,9504 —17,8188 —8,8437 0,0587
3,93 —17,9511 —17,9983 —9,0227 —0,0305
3,94 -17,9480 —18,1779 -9,2037 —0,1217
Приложение
877
Продолжение^
5 Их Иг Из И4
3,95 —17,9412 —18,3572 —9,3863 —0,2147
3,96 —17,9307 - —18,5366 —9,5708 —0,3095
3,97 —17,9165 —18,7159 —9,7571 —0,4061
3,98 —17,8983 —18,8949 —9,9451 —0,5046
3,99 —17,8761 —19,0738 —10,1350 -0,6050
4,00 —17,8498 —19,2524 -10,3265 —0,7073
4,01 —17,8172 -19.4307 —10,5200 —0,8115
4,02 —17,7850 —19,6088 -10,7151 —0,9176
4,03 —17,7461 —19,7865 —10,9122 —1,0258
4,04 —17,7029 —19,9638 -11,1110 -1,1359
4,05 -17,6551 —20,1406 -11,3115 -1,2481
4,06 —17,6030 —20,3169 -^11,5138 —1,3622
4,07 —17,5461 —20,4926 -11,7178 -1,4783
4,08 —17,4846 —20,6677 -11,9236 —1,5966
4,09 —17,4185 —20,8423 -12,1311 -1,7168
4,10 -17,3472 —21,0160 -12,3404 -1,8392
4,11 —17,2712 —21,1891 - —12,5514 —1,9636
4,12 —17,1900 —21,3614 —12,7642 —2,0902
4,13 —17,1040 —21,5329 -12,9779 —2,2189
4,14 —17,0126 —21,7035 -13,1948 -2,3498
4,15 —16,9160 —21,8731 -13,4127 —2,4828
4,16 . —16,8139 -22,0417 -13,6322 —2,6180
4,17 -16,7064 -22,2094 -13,8536 —2,7555
4,18 —16,5934 -22,3759 -14,0765 -2,8952
4,19 —16,4748 -22,5413 —14,3011 -3,0370
4,20 -16,3505 —22,7055 -14,5274 —3,1812
4,21 —16,2203 -22,8682 —14,7551 —3,3275
4,22 -16,0842 -23,0299 —14,9847 —3,4763
4,23 —15,9423 —23,1900 —15,2158 -3,6272
4,24 -15,7939 —23,3485 —15,4484 —3,7806
4,25 —15,6398 -23,5059 —15,6827 —3,9362
4,26 -15,4793 —23,6616 —15,9187 —4,0942
4,27 —15,3122 —23,8153 —16,1559 —4,2546
4,28 —15,1387 -23,9677 —16,3949 —4,4174
4,29 —14,9587 -24,1181 -16,6353 -4,5825
4,30 —14,7722 -24,2669 —16,8773 -4,7501
4,31 —14,5788 —24,4136 —17,1207 -4,9200
4,32 —14,3786 —24,5574 —17 3655 —5,0925
4,33 —14,1714 —24,7012 —17,6119 —5,2674
4,34 —13,9570 —24,8417 -17,8595 —5,4447
4,35 —13,7357 —24,9802 —18,1086 —5,6245
4,36 —13,5070 -25,1164 —18,3591 —5,8069
4,37 —13,2712 —26,2500 -18,6110 —5,9916
4,38 —13,0276 —25,3819 —18,8642 —6,1792
4,39 —12,7766 —25,5108 —19,1185 —6,3690
4,40 —12,5180 —25,6373 —19,3743 —6,5615
4,41 —12,2517 -25,7612 -19,6313 -6,7566
4,42 —11,9776 -25,8824 -19,8875 —6,9541
4,43 —11,6625 . -26,0007 —20,1489 —7,1543
4,44 -11,4051 -26,1161 —20,4095 -7,3571
4,45 —11,1069 —26,2074 —20,6712 , —7,5517
4,46 —10,8003 —26,3884 —20,9341 —7,7705
4,47 —10,4851 —26,4448 -21,1981 —7,9812
4,48 —10,1615 —26,5480 —21,4630 —8,1945
4,49 - 9,8295 —26,6479 —21,7289 —8,4104
378
Приложение
Продолжение
i 5 V, Vs V4
4,50 -9,4890 -26,7447 -21,9959 —8,6290
4,51 -9,1392 —26,8377 —22,2639 —8,8504
4,52 —8,7805 -26,9272 -22,5327 -9,0744
; 4,53 —8,4133 —27,0132 —22,8023 -9,3010
4,54 —8,0368 -27,0957 —23,0730 —9,5304
• 4,55 -7,6509 —27,1740 -23,3442 —9,7624
4,56 —7,2556 -27,2485 . ' —23,6164 —9,9973
4,57 —6,8510 . —27,3192 —23,8892 —10,2348
4,58 —6,4366 —27,3855 —24,1628 —10,4751
? 4,59 —6,0127 —27,4477 —24,4369 —10,7181
: 4,60 —5,5791 -27,5057 —24,7117 —10,9638
4,61 —5,1358 —27,5593 —24,9870 . -11,2123
i 4,62 —4,8237 —27,6086 —25,2630 —11,4636
1 4,63 -4,2189 -27,6531 -25,5392 —11,7175
4,64 —3,7450 -27,6928 -25,8159 . -11,9743
4,65 —3,2607 —27,7277 -26,0929 —12,2338
; 4,66 —2,7663 -27,7581 —26,3705 —12,4962
i 4,67 —2,2611 —27,7831 —26,6481 —12,7612
f 4,68 —1,7449 —27,8032 —26,9262 —13,0293
4,69 —1,2187 -27,8181 -27,2042 —13,2998
i 4,70 -0,6812 —27,8274 —27,4823 —13,5732
p 4,71 —0,1327 —27,8317 -27,7608 —13,8495
0 —27,8317 —27,8272 —13,9159
i 4,72 0,4268 —27,8301 —28,0390 —14,1284
' 4,73 0,9976 -27,8228 -28,3172 —14,4102
>; 4,74 1,5799 —27,8101 —28,5955 —14,6948
4,75 2,1731 —27,7913 —28,8734 —14,9821
- 4,76 2,7782 —27,7668 —29,1514 *—15,2723
4,77 3,3951 —29,4288 -15,5652
< 4,78 4,0236 -27,6988 —29,7061 -15,8609
< 4,79 4,6638 -27,6553 -29,9828 -16,1593
4,80 5,3164 —27,6052 —30,2589 —16,4604
* 4,81 5,9811 -27,5488 —30,5348 —16,7645
4,82 6,6574 —27,4859 —30,8102 —17,0712
. 4,83 7,3466 —27,4156 —31,0845 —17,3806
! 4,84 8,0477 —27,3389 -31,3584 —17,6928
4,85 8,7623 —27,2547 ч —31,6314 —18,0079
i 4,86 9,4890 —27,1634 —31,9035 —18,3257
: 4,87 10,2282 —27,0650 -32,1747 —18,6460
: 4,88 10,9806 —26,9589 —32,4448 -18,9691
S 4,89 11,7458 -26,8452 -32,7137 -19,2948
: 4,90 12,5239 —26,7239 —32,9814 —19,6232
4,91 13,3158 —26,5946 —33,2482 —19,9545
4,92 14,1202 —26,4578 —33,5135 —20,2882
4,93 14,9388 -26,3123 —33,7774 —20,6248
4,94 15,7704 -26,1588 —34,0397 —20,9638
4,95 16,6157 —25,9967 -34,3003 —21,3054
4,96 17,4750 —25,8262 —34,5595 —21,6498
4,97 18,3478 -25,6472 —34,8165 —21,9966
4,98 19,2348 —25,4594 —35,0726 —22,3462
4,99 20,1356 —25,2623 —35,3259 -22,6981
c 5,00 21,0504 —25,0565 —35,5775 -23,0525
5,01 21,9800 -24,8413 —35,8272 —23,4097
5,02 22,8474 —24,6170 -36,0745 —23,7691
< 5,03 23,8815 -24,3827 -36,3193 —24,1311

Приложение
879
Продолжение
6 У1 Уг И, у>
5,04 24,8537 -24,1392 —36,5619 —24,4954
5,05 25,8407 —23,8860 —36,8023 —24,8623
5,06 26,8427 —23,6225 —37,0398 -25,2315
5,07 27,8598 —23,3489 —37,2748 —25,6033
5,08 28,8914 -23,0651 -37,5068 -25,9771
5,09 29,9377 —22,7711 —37,7360 —26,3533
5Д0 30,9997 -22,4661 -37,9619 -26,7317
5,11 32,0766 —22,1509 -38,1852 —27,1126
5,12 33,1687 —21,8246 —38,4051 -27,4955
5,13 34,2762 -21,4874 —38,6216 —27,8806
5,14 35,3991 -21,1391 -38,8348 —28,2679
5,15 36,5377 —20,7795 —39,0445 —28,6574
5,16 37,6913 -20,4084 —39,2502 —29,0486-
5,17 38,8617 —20,0254 -39,4525 —29,4423
5.18 40,0474 -19,6310 —39,6509 —29,8379
5,19 41,2485 -19,2248 —39,8453 —30,2354
5,20 42,4661 —18,8057 —40,0350 —30,6346
5,21 43,6994 —18,3754 —40,2214 —31,0361
5,22 44,9486 —17,9322 —40,4028 -31,4391
5,23 46,2148 -17,4758 —40,5796 —31,8440
5,24 47,4958 -17,0073 —40,7521 —32,2504
5,25 48,7949 -16,5258 —40,9197 —32,6590
5,26 * 50,1091 —16,0317 —41,0826 —33,0690
5,27 51,4399 —15,5240 —41,2404 —33,4806
5,28 52,7876 —15,0030 -41,3932 —33,8939
5,29 54,1511 —14,4684 —41,5405 —34,3084
5,30 55,5317 —13,9201 —41,6826 —34,7246
5,31 56,6296 -13,3574 —41,8187 —35,1421
5,32 58,3438 -12,7808 —41,9493 —35,5609
5,33 59,7745 —12,1903 -42,0742 —35,9810
5,34 61,2218 -11,5856 —42,1932 —36,4023
5,35 62,6869 —10,9660 —42,3061 —36,8250
5,36 64,1678 -10,3321 —42,4127 -37,2485
5,37 65,6657 —9,6823 —42,5124 —37,6731
5,38 67,1818 —9,0184 -42,6060 —38,0986
5,39 68,7140 —8,3390 -42,6928 —38,5251
5,40 70,2637 —7,6440 —42,7727 —38,9524
5,41 71,8308 —6,9336 -42,8459 —39,3808
5,42 73,4144 —6,2076 —42,9117 —39,8096
5,43 75,0158 —5,4652 —42,9700 -40,2390
5,44 76,6338 —4,7072 -43,0210 -40,6691
5,45 ' 78,2687 —3,9328 -43,0642 -41,0993
5,46 79,9216 —3,1418 —43,0997 -41,5303
5,47 81,5916 —2,3340 —43,1268 -41,9613
5,48 83,2786 —1,5095 -43,1459 ’ -42,3926
5,49 84,9829 —0,6683 —43,1568 —42,8241
5,50 86,7044 0,1901 —43,1593 —43,2557
5,51 88,4432 1,0656 —43,1531 -43,6874
5,52 90,1996 1,9589 —43,1381 -44,1189
5,53 91,9722 2,8693 —43,1141 —44,5500
5,54 93,7637 3,7984 -43,0807 -44,9812
5,55 95,5716 4,7453 —43,0378 -45,4117
5,56 97,3960 ' 5,7095 —42,9858 -45,8418
5,57 99,2383 6,6927 —42,9238 -46,2714
5,58 ♦ 101.0984 7,6950 —42,8516 -46,7003
880
Приложение
Продолжение
е Vi v3 v4
5,59 102,9739 8,7148 —42,7695 —47,1281
5,60 104,8687 9,7544 —42,6775 —47,5558
5,61 106,7790 10,8125 —42,5744 —47,9818
5,62 108,7074 11,8903 —42,4609 —48,4071
5,63 110,6512 12,9865 —42,3366 —48,8309
5,64 112,6133 14,1029 —42,2013 —49,2538
5,65 114,5922 15,2390 —42,0547 —49,6752
5,66 116,5866 16,3950 -41,8959 —50,0944
5,67 118,5994 17,5706 -41,7277 —50,5130
5,68 120,6277 18,7666 —41,5449 —50,9292
' 5,69 122,6730 19,9835 -41,3507 —51,3434
5,70 124,7352 21,2199 -41,1454 —51,7563
5,71 126,8144 22,4785 -40,9265 —52,1666
5,72 128,9091 23,7571 -40,6952 —52,5746
5,73 131,0207 25,0568 -40,4514 —52,9806
5,74 133,1478 26,2810 -40,1365 —53,3359
5,75 135,2903 27,7192 -39,9238 -53,7842
5,76 137,4497 29,0832 -39,6396 -54,1819
5,77 139,6260 30,4693 -39,3416 —54,5770
5,78 141,8144 31,8755 -39,0304 -54,9689
5,79 144,0228 33,3053 -38,7041 —55,3574
5,80 146,2448 34,7564 -38,3640 —55,7429
5,81 148,4819 36,2301 -38,0089 —56,1246
5,82 150,7340 37,7256 -37,6395 —56,5029
5,83 153,0028 39,2449 -37,2545 —56,8776
5,84 155,2847 40,7859 -36,8546 —57,2481
5,85 157,5988 42,3504 -36,4385 57,6143
5,86 159,8947 43,9378 —36,0077 , —57,9772
5,87 162,2208 45,5484 -35,5601 -58,3349
5,88 164,5613 47,1825 -35,0964 -58,6882
5,89 166,9145 48.8394 -34,6161 —59,0363
5,90 169,2837 50,5203 —34,1198 —59,3805
5,91 171,6653 52,2255 -33,6055^ -59,7187
5,92 174,0609 53,9542 -33,0746 -60,0521
5,93 176,0704 55,7067 —32,5268 —60,3806
5,94 178,8917 57,4833 —31,9609 —60,7030
5,95 181,3266 59,2852 * —31,3764 —61,0195
5,96 183,7730 61,7303 —30,7751 -61,0201
5,97 186,2326 63,3087 —30,1546 - —61,4608
5,98 188,7034 64,8347 —29,5155 —61,9332
5,99 191,1870 66,7344 —28,8575 -62,2251
6,00 193,6813 68,6578 -28,2116 —62,5106
6,01 196,1881 70,6079 -27,4846 —62,7889
6,02 198,7051 72,5822 —26,7689 -63,0603
6,03 201,2322 74,5817 , -26,0330 —63,3241
6,04 203,7710 76,6067 —25,2774 —63,5810
6,05 206,3194 78,6574 —24,5009 —63,8299
6,06 208,8770 80,7331 —23,7041 —64,0708
6,07 211,4435 82,8350 —22,8855 —64,3032
6,08 214,0209 84,9622 —22,0469 -64,5282
6,09 216,6066 87,1150 -21,1870 -64,7447
6,10 219,2004 89,2947 -20,3043 —64,9518
6,11 221,8019 91,4992 —19,4005 —65,1503
6,12 224,4109 93,7300 —18,4743 —65,3394
6,13 227,0292 95,9871 -17,5263 * -65,5200
Приложение
881
Окончание
5 Vi v8 vt
6,14 229,6542 98,2709 —16,5551 -65,6906
6,15 232,2833 100,5538 —15,5602 -65,8372
6,16 234,9208 102,9168 -14,5425 —66,0010
6,17 237,5639 105;2793 —13,5016 —66,1413
6,18 240,2122 107,6680 —12,4370 -66,2711
6,19 242,8654 110,0832 —11,3485 -66,3901
6,20 245,5231 112,5249 —10,2356 —66,4981
6,21 248,1847 114,9934 — 9,0980 —66,5947
6,22 250,8499 117,4888 — 7,9352 —66,6796
6,23 253,5208 120,0113 — 6,7481 —66,7538
6,24 256,1917 122,5599 — 5,5350 —66,8150
6,25 258,8649 125,1350 — 4,2969 —66,8640
6,26 261,5398 127,7369 - 3,0321 —66,9005
6,27 264,2159 130,3657 — 1,7414 —66,9242
6,28 266,8926 133,0195 — 0,4257 —66,9354
2те 267,7468 133,8725 0 -66,9362
6,30 272,2487 138,4120 2,2886 -66,9175
6,40 298,8909 166,9722 17,5362 —65,9486
6,50 324,7861 198,1637 35,7713 —63,3105
6,60 349,2554 231,8801 57,2528 -58,6870
6,70 371,4244 267,9374 82,2255 -51,7430
6,80 390,2947 306,0558 110,9087 —42,1190
6,90 404,7145 347,3499 143,4927 —30,1819
7,00 * 413,3762 386,8072 180,1191 —13,2842
7,10 414,8263 428,2849 220,8718 6,7296
7,20 407,4216 469,4772 265,7664 31,0281
7,30 389,3783 509,4157 314,7265 60,0189
7,40 358,7306 546,9343 367,5688 94,1019
7,50 313,3700 580,6710 423,9858 133,6506
7,60 251,0334 609,0402 483,5233 179,0035
7,70 169,3472 630,2295 545,5557 230,4412
7,80 65,8475 642,1835 । 609,2596 288,1681
5/2к 0 643,9927 643,9926 321,9964
7,90 — 62,0375 642,5872 673,6057 352,3123
8,00 —216,8647 628,8779 737,3101 422,8713
8,10 —401,1674 598,2344 798,8179 499,7008
8,2J —617,4142 547,5808 856,2878 582,4975
8,30 —867,9091 473,5998 907,5542 670,7544
8,40 —1154,6587 372,7866 950,1158 763,7226
8,50 —1479,3701 241,4136 981,0984 860,3917
8,60 -1843,2880 75,6088 997,2527 959,4484
8,70 —2247,0402 —128,5824 994,9377 1059,2289
8,80 ! —2690,4845 —375,1167 970,1255 1157,6839
8,90 —3172,6917 —667,9794 918,3664 1252,3561
9,00 —3691,4815 —1010,8800 834,8607 1340,3007
9,10 -4243,5551 -1407,3690 714,4085 1418,0930
9,20 -4824,0587 —1860,5365 551,4928 1481,7611
9,30 —5426,5154 —2372,9486 340,3091 1526,7834
9,40 —6042,3167 —2946,2708 74,8875 1548,0229
Зтс —6195,8239 —3097,9120 0 1548,9560
9,50 —6660,9594 -3581,4756 — 250,9959 1539,7419
9,60 —7269,3664 —4278,1693 — 643,4861 1495,5985
9,70 —7851,7063 -5034,4714 —1108,6183 1408,6174
9,80 —8389,5687 —5847,0360 —1652,2517 1271,2663
9,90 -8860,9431 —6710,2070 -2279,7354 1075,3680
10,0 —9240,8733 -7616,1462 —2995,7095 812,3636
56 .Пономарев и др. 407
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................................................ 3
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ
Глава I. Теория напряжений................................................ 7
§ 1. Основные понятия и обозначения................................... 7
§ 2. Напряженное состояние в точке тела............................... Ю
§ 3. Понятие о тензоре напряжений и его разложении на шаровой тензор
и девиатор.......................................................... 14
§ 4. Главные напряжения и главные площадки.......................... 17
§ 5. Круговая диаграмма и основные свойства напряженного состояния
в точке тела....................................................... 23
§ 6. Некоторые дополнительные характеристики напряженного состояния
в точке тела........................................................ 31
§ 7. Напряженные состояния; типичные для задач инженерной практики, '
и их особенности................................................ 39
§ 8. Примеры исследования некоторых напряженных состояний ...... 42
Литера тура....................................................... 60
Глава II. Теория деформаций........................................... 62
§ 1. Перемещения и деформации ...................................... 62
§ 2. Исследование деформаций в точке деформируемого тела.........; 67
§ 3. Зависимости компонентов деформации от компонентов перемещения
в случае малых деформаций и углов поворота.......................... 76
§ 4. Изменение компонентов деформации при повороте осей координат . . 79
§ 5. Аналогия между математическими выражениями в теории деформаций
и теории напряжений................................................. 80
§ 6. Изменение объема при деформаций................................ 85
§ 7. Разложение тензора деформаций на шаровой тензор и девиатор
деформаций...........................•............................ 86
§ 8. Условия совместности деформаций................................ 90
§ 9. Теоретические основы экспериментального изучения деформированного
состояния........................................................... 91
Литература........................................................ 96
Глава Ш. Зависимости между деформациями и напряжениями упругого
тела и потенциальная энергия деформации......................... 97
§ 1. Зависимости между деформациями и напряжениями для упругого изо-
тропного тела................................................. 97
§ 2. Потенциальная энергия деформации упругого тела.............. 114
§ 3. Зависимости между деформациями и напряжениями для упругого ани-
зотропного тела................................................ 123
Литература....................................................... 126
Глава IV Экспериментальные- методы исследования напряжений и дефор-
маций ..................................,........................ 127
§ 1. Измерение деформаций с помощью тензометров...................... 127
§ 2. Электрические методы измерения деформаций....................... 132
§ 3. Аппаратура для регистрации показаний проволочных датчиков .... 142
§ 4. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений......... 159
Литература........................................................... 174
Глава V. Механические свойства металлов при статических нагрузках . . 176
§ 1. Предварительные соображения...............'..................... 176
§ 2. Характеристика образца.......................................... 177
§ 3. Получение характеристик материала при различных напряженных со-
стояниях ...........i............................................... 183
Оглавление «3-
§ 4. Изучение свойств материалов при одноосном напряженном состоянии 208*
§ 5. Изучение свойств материалов при двухосном напряженном состоянии
„чистый сдвиг".............• ................................. 226-
§ 6. Основные механические свойства материалов.................. 232"
§ 7. Влияние различных факторов на механические свойства материалов
при статическом нагружении...................................... 238
Литература....................................................... 260
Глава VI. Теория предельных напряженных состояний (гипотезы возник*
новения текучести и гипотезы прочности)...................... 262’
§ 1. Строение металлов и основные допущения теории упругости, пластич-
ности и прочности........................*..................... 262"
§ 2. Обзор различных напряженных состояний............*......... 265*
§ 3. Предельное напряженное состояние. Коэффициент запаса........ 27/
§ 4. Основная задача теории предельных напряженных состояний..... 271
§ 5. Эквивалентное напряженное состояние........................ 274-
§ 6. Расчет при одноосных напряженных состояниях................ 275'
§ 7. Развитие теории предельных напряженных состояний............ 276
§ 8. Современные теории предельных напряженных состояний......... 281
§ 9. Новейшие теории..................................\......... 298*
§10. Сопоставление теорий предельных напряженных состояний между
собой и jix оценка............................................. 306*
§ 11. Обзор расчетных формул, составленных на основании различных тео-
рий предельных напряженных состояний........................... 316-
Литература....................................................... 327
Глава VII. Приближенные методы прикладной теории упругости........... 329*
§ 1. Общие замечания........................... • . •.......... 329
§ 2. Теорема о минимуме потенциальной энергии-.................. 330“
§ 3. Метод Ритца................................................ 334
§ 4.. Приемы, основанные на приближенном решении дифференциальных
уравнений....................................................... 343-
§5. М|тод Бубнова — Галеркина........................... 344-
§ 6. Способ минимума квадратичного уклонения.................... 351
Литература.......................................................... 353-
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ ПРИ СТАТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКЕ
ГлаваJTIIL Кручение бруса некруглого поперечного сечения............... 354
§ 1. Основные зависимости теории чистого кручения бруса........... 355
§ 2. Кручение бруса эллиптического сечения........................ 366
§ 3. Кручение бруса с сечением в виде равностороннего треугольника . . 367
§ 4. Кручение'бруса прямоугольного сечения.................... 369’
§ 5. Мембранная аналогия......................................... 372
§ 6. Энергетические методы приближенного решения задачи о кручении
бруса некруглого сечения......................................... 375'
§ 7. Численный и графический методы определения функции напряжений
Ф (х, у)........................................................ 388
Литер атура . . . Л........................................... 388
Глава IX. Особенности расчета тонкостенных профилей на прочность
и жесткость......................................................... 389
§ 1. Чистое кручение тонкостенных открытых профилей............... 391
§ 2. Касательные напряжения при изгибе открытых тонкостенных профи-
лей поперечной нагрузкой ......................................... 395
§ 3. Стесненное кручение открытых профилей....................... 401
§ 4. Общий случай нагружения открытого тонкостенного профиля . . . 416
§ 5. Расчет профилей с весьма малой жесткостью чистого кручения . . . 420
§ 6. Чистое кручение замкнутых тонкостенных профилей.............. 421
§ 7. Стесненное кручение замкнутых профилей....................... 425
§ 8. Плоский изгиб тонкостенных кривых профилей.............."... 440х
§ 9. Расчет манометрических трубок................................ 465
Литер атура.....................................•............. 474
Глава X. Методы расчета на жесткость в области малых перемещений . . 4’75-
§ 1. Значение расчетов на жесткость............................. 475
§ 2. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки и рациональный
метод его интегрирования................................•........ 476-
J884
Оглавление
§ 3. Уравнение изогнутой оси ступенчатой балки..................... 498
§ 4. Энергетический метод нахождения линейных и угловых перемещений
сечений балок ...................,............................... 503
§ 5. Графические методы определения перемещений................... 513
§ 6. Изгиб балок, лежащих на упругом основании '................... 524
§ 7. Продольно-поперечный изгиб балок ............................ 541
§ 8. Дифференциальные уравнения упругой линии плоского кривого бруса
и их интегрирование ............................................ 569
§ 9. Определение перемещений сечений у плоского и пространственного
кривого бруса энергетическим методом ............................ 579
Литература......................................................... 598
/Глава XI. Теория и примеры расчетов статически неопределимых машино-
строительных конструкций............................................ 602
§ 1. Канонические уравнения метода сил............................ 602
§ 2. Особенности расчета плоско-пространственных рам............... 614
§ 3. Канонические уравнения метода деформаций...................... 624
§ 4. Примеры применения канонических уравнений к расчетам в машино-
строении ....................................................... 637
Литература......................................................... 655
/Глава XII. Основы теории гибких стержневых систем....................... 658
§ 1. Общие замечания .............................................. 658
§ 2. Простейшие упругие нелинейные системы......................... 660
§ 3. Некоторые’задачи с малой нелинейностью........................ 667
§ 4. Исследование больших перемещений при плоском изгибе тонких стерж-
ней по методу Е. П. Попова..................................... ; . 677
§ 5. Дифференциальное уравнение плоского изгиба тонкого стержня . . . 678
§ 6. Первый интеграл и качественное исследование форм равновесия . . . 680
§ 7. Второй интеграл и вывод основных формул....................... 683
§ 8. Примеры решения некоторых задач при помощи точной теории гиб-
ких стержней................................................... 688
Литер атура............................. . . ................. 703
.Глава XIII. Расчет витых пружин..................................... 704
§ 1. Конструктивные разновидности й назначение витых пружин........ 704
§ 2. Теоретические основы расчета винтовых цилиндрических пружин . . 706
§ 3. Прикладные вопросы расчета и конструирования цилиндрических вин-
товых пружин растяжения, сжатия и кручения....................... 727
§ 4. Изгиб цилиндрических винтовых пружин . . . . •.....f . . . . 756
§ 5. Расчет призматических пружцн сжатия........................... 767
§ 6. Расчет фасонных витых пружин................................ 770
§ 7. Расчет многожильных пружин.....................................794
Литература......................................................7 834
/Глава XIV. Расчет листовых рессор................................ . 836
§ 1. Теоретические основы расчета рессор................ i . . . . 837
§ 2. Расчет рессор на основе гипотезы концевых сил . . ......... 842
§ 3. Расчет рессор на основе гипотезы равной кривизны.............. 851
§ 4. Экспериментальные данные по распределению нагрузок между листами
рессоры. Рекомендуемый метод расчета.............................. 853
§ 5. Влияние сил трения на характеристику рессоры.................. 857
§6. Предварительная осадка рессор............................. 859
§ 7.' Конструктивные особенности листовых рессор................... 861
§ 8. Пример расчета листовой рессоры.............................. 864
Литер атура .................................................... 868
Приложение............................................................... 869
С. Д. Пономаревидр.
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ В МАШИНОСТРОЕНИИ
Технические редакторы С. /И. Попова и Е. Н. Матвеева Корректор Е. А. Давидкина
Обложка художника А. В. Бельского
««Сдано в производство 28/Ш 1956 г. Подписано к печати 30/XI 1956 г. Т-09882. Тираж 15000 э^з.
Печ. л. 76,04. Уч.-изд. л. 78.^ Бум. л. 27,75. Формат 70 X108716. Зак. 407.
1-я типография Машгиза, Ленинград, ул. Моисеенко, 10
ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
Стра- ница Строка Напечатано Должно быть
25 Формула (41а) 1 , Г<л = -J- (33 — ’1) 1 Г X Г02 = 2” I’3
143 Формула (4а) , , ДЯ 1 г 1г~1дЗКд 2 r r &R 1 г ll~Id2Rd~T 1д^
150 19—18-я снизу по формуле по форме
159 17-я сверху частотой частотной
333 2-я сверху — | dvitz — | qvdz
401 15-я снизу „ ' 1 tt? = 6(0 W = 6(0 (16) j
487 17-я сверху а = 0. и / 2 = °’~2“ и 1
493 3-я сверху -Г52* Ts“ .
521 Формула (48) f^BA VfBA
575 Табл. 41,7-я графа, -0 9451 0,9451
1-я снизу
700 5-я сверху Р
794 9-я сверху Zo(tynoc) го(Т пос)
Пономарев и др. Зак. 407.