JIoni)лярнъге лекции
ПО МАТЕМАТИКЕ
———4О>—
И.П.НАТАНСОН
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
НА МАКСИМУМ
И МИНИМУМ
ФИЗМАТГИЗ-1960
ПОПУЛЯРНЫЕ ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИКЕ
ВЫПУСК 2
И. П. НАТАНСОН
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
НА МАКСИМУМ
И МИНИМУМ
ИЗДАНИЕ
ТРЕТЬЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1960 ЛЕНИНГРАД
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...........................................
Введение .............................................
I.	Основная теорема о квадратных трехчленах..........
II.	Некоторые применения основной теоремы............
111.	Другие теоремы, позволяющие находить наибольшие и наи-
меньшие значения функций.............................. 18
Заключение............................................ 31
со ю о
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой книжке излагаются некоторые элементарные (т. е. не
требующие знания дифференциального исчисления) способы реше-
ния задач на максимум и минимум.
Книжка рассчитана на учеников старших классов средней
школы, желающих получить хотя бы некоторое представление
о характере задач, рассматриваемых в высшей математике. Изла-
гаемый материал может быть использован и в работе школьного
математического кружка.
Однако я думаю, что и студенту втуза, педагогического инсти-
тута или университета, даже и «посвященному» в тайны математи-
ческого анализа, будет полезно прочесть такую книжку. Дело в том,
что мощный аппарат дифференциального исчисления дает общие
и однотипные приемы, позволяющие решать задачи самого разно-
образного характера, лишь бы в них требовалось найти экстремум
конечной комбинации элементарных функций. Используя эти приемы,
вовсе нет надобности обращать внимание на индивидуальное свое-
образие той или иной задачи. А использование этого своеобразия
часто как раз и позволяет решить задачу проще, быстрее и кра-
сивее, чем с помощью общих приемов. Положение дел здесь
таково же, как и с арифметическими задачами: применение, мощ-
ного аппарата алгебраических уравнений позволяет игнорировать
индивидуальные особенности таких задач, но чисто арифмети-
ческое решение часто бывает проще, быстрее и красивее алгеб-
раического.
Ассортимент алгебраических средств, применяемых в этой
книжке, очень ограничен: использованы лишь простейшие свойства
квадратного трехчлена и неравенство, относящееся к арифмети-
ческому и геометрическому средним. Это сделано в интересах
наибольшей простоты изложения. Читателю, желающему ознако-
миться с более сильными, но все еще элементарными приемами
решения задач на максимум и минимум, можно рекомендовать
книги: И. Б. Абельсон, Максимум и минимум, ОНТИ, 1935 и
С. И. Зе те ль, Задачи на максимум и минимум, Гостехиздат,
1948.
Я, Натансон
17/XII 1949 г.
1*
ВВЕДЕНИЕ
В технике и естествознании, на производстве и в быту
встречается особый тип математических задач. Это — так
называемые «задачи на максимум и минимум». Вот примеры
таких задач:
1)	Из круглого бревна выпилить прямоугольную балку
так, чтобы получилось наименьшее количество отходов.
2)	Из имеющихся досок можно построить забор длиной
в 200 метров. Требуется огородить им прямоугольный участок
земли, имеющий наибольшую площадь.
3)	На стене висит картина. На каком расстоянии от стены
она видна под наибольшим углом?
4)	На какой высоте надо повесить лампу, чтобы получить
наибольшую освещенность?
Во всех этих задачах, несмотря на их различие, мы на-
ходим общие черты; всюду речь идет о том, как при разно-
образных возможностях использования наличных средств до-
биться наилучшего эффекта. Нет надобности говорить о том,
насколько важно умение решать такие вопросы. В математике
созданы очень сильные и общие способы для решения подоб-
ных задач; изучаются они в дифференциальном исчислении.
Однако во многих случаях удается решить такого рода
задачу и без привлечения сложного аппарата дифференциаль-
ного исчисления, а пользуясь лишь простыми средствами эле-
ментарной алгебры. В этой книжке как раз и излагается не-
сколько способов решения задач на максимум и минимум без
помощи высшей математики. ♦) Конечно, такие способы при-
менимы лишь в отдельных случаях, но их полезно знать даже
н тем, кто знаком и с дифференциальным исчислением.
*) В частности, решаются и вышеприведенные четыре задачи.
I. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О КВАДРАТНЫХ
ТРЕХЧЛЕНАХ
§ 1. Рассмотрим две величины х и yt связанные равен-
ством
у=2х*+7.	(*)
Если мы положим, что х — 3, то увидим, что j/ = 25. Если
мы дадим х значение х=10, то получим j> = 207. Вообще
мы можем дать величине х любое значение, какое только
нам захочется, но когда х уже примет это выбранное нами
значение, то у примет свое значение, так сказать, «автома-
тически», ибо оно будет определяться равенством (*) и уже
не будет зависеть от нашего произвола. Такое положение
вещей математики характеризуют, говоря, что у является
функцией от х. Сама величина х называется при этом неза-
висимой переменной.
Поставим вопрос 6 том, есть ли среди значений, которые
принимает функция у [определяемая равенством (*)), самое
большое? Легко видеть, что такого самого большого из значе-
ний у не существует. В самом деле, если независимая пере-
менная х будет принимать значения
Х!=1, х2— 10, х3=100, х4= 1000, ...»
то соответствующие значения функции у будут
л = 9, j/2 = 207,	= 20 007, ^ = 2 000 007....
откуда видно, что наибольшего значения у у нет.
Совсем другой ответ мы получим, если спросим себя,
имеется ли среди значений функции у самое меньшее.
В самом деле» как показывает равенство (*), функция у
является суммой двух слагаемых: 2х2 и 7. Второе из них,
т. е. 7, есть некоторое постоянное число, не зависящее от
5
значения х. Что же касается первого слагаемого 2х2, то оно,
очевидно, ни при каком значении х не может оказаться
отрицательным, ♦) т. е. меныиим нуля. Однако равным нулю
это первое слагаемое 2х2 может быть сделано, а именно
при х = 0. Таким образом, первое слагаемое 2х2, а с ним и
вся сумма 2х2-|-7, принимает свое самое меньшее значение
при хо = О. Это наименьшее, или, как говорят, минимальное,
значение, очевидно, есть 7, что записывают так:
у = 7.
-^мин
С помощью таких же соображений легко показать, что
каждая из функций
^ = 5х2 + 3, j = 9x2 + 4, j = 2x2 —5, j/ = 3x2—11
обладает сходными свойствами: наибольшего значения она не
имеет, а наименьшее имеет, причем для всех четырех функ-
ций это наименьшее значение достигается при ха = 0 и равно
соответственно
-У МИН	3» J^MBH 4» Умин 5* -Унии —11.
§ 2. Рассмотренные только что примеры очень просты.
Источником этой простоты служит то обстоятельство, что
функция у представлялась в форме суммы двух слагаемых,
из которых одно было постоянным, а другое, будучи ква-
дратом (с некоторым положительным коэффициентом), не
могло оказаться отрицательным.
Сложнее обстоит дело в примере
j=2x2—12х+93.
Чтобы иметь возможность применить ту же идею, что и
раньше, перепишем у в другой форме:
j/==2(x2 —6х) + 93.
Теперь добавим в скобки такое число, чтобы в скобках ока-
зался полный квадрат:
> = 2(х2 —6х + 9)-Ь93—18,
или
j^ = 2(x —3)2 + 75.
Теперь мы можем применить те же соображения, что и выше.
В самом деле, функция у представлена в форме суммы двух
*) Мы не рассматриваем мнимых чисел.
6
слагаемых, из которых одно, а именно 75, не зависит вовсе
от х, а другое, 2(х— З)2, никогда не делается отрицательным,
но становится равным нулю, когда х = 3. Поэтому наша
функция имеет наименьшее значение = достигаемое
ею при х = 3.
Что касается наибольшего значения нашей функции, то
его не существует, в чем легко убедиться, полагая, например,
Xi =13, х2=103, х3= 1003, . •«
Соответствующие значения функции у будут
ух = 275, у2 = 20 075, у3 = 2 000 075, .. •
Аналогично решается пример
j, = 3x2 + 24х + 50.
Опуская пояснения, которые понятны сами собой, имеем:
y^z 3(х2 + 8х) + 50,
j,= 3(x2+8x4- 16)4-50 — 48,
^ = 3(х4-4)2 4-2.
Стало быть, функция у принимает наименьшее значение при
х0 = —4, причем это наименьшее значение есть
Вот еще один пример:
j = 5x2 —50x4-39.
Здесь
*0=5' Лин = -86
(через х0 мы постоянно будем обозначать то значение неза-
висимой переменной, которому отвечает наименьшее значение
функции).
§ 3. Не следует думать, что всякий квадратный трех-
член (так называется рассматриваемый вид функции) имеет
наименьшее и не имеет наибольшего значения.
/Например, у функции
у = — Зх24-8
очевидным образом имеется именно наибольшее, или, как
говорят, максимальное, значение
у =8,
•'макс •
7
принимаемое ею прихо=0. Напротив, наименьшего значения
у нее нет.
Точно так же у функции
у — — 4х2+40х — 73
нет наименьшего, но есть наибольшее значение, в чем мы
убеждаемся с помощью следующих преобразований:
у = — 4(х2 — 10х) — 73,
у = — 4(х2 — 10x4-25) —73+ 100,
у	— 4 (х —5)2+27,
откуда при х0 = 5 получается
у = 27.
-'мако
§ 4. Итак, некоторые квадратные трехчлены имеют наи-
меньшее, но не имеют наибольшего значения, другие же,
наоборот, имеют наибольшее и не имеют наименьшего зна-
чения. Внимательный читатель, вероятно, уже заметил, что
характер трехчлена определяется знаком его старшего ко-
эффициента. Чтобы установить это с полной строгостью,
рассмотрим вопрос в общем виде.
Пусть имеем квадратный трехчлен
у = ах2 + Ьх + с.
Здесь коэффициенты могут быть любыми вещественными
числами: положительными и отрицательными и даже обра-
щаться в нуль. Однако старший коэффициент а во всяком
случае должен быть отличен от нуля, ибо иначе у не со-
держал бы вовсе члена с х2 и не был бы квадратным трех-
членом.
Преобразуем у следующим образом:
у = а
у = а
№
с — -г~.
4а
Полагая для краткости
с — ~ =
4а
получим окончательно:
у = а
8
Важно заметить, что М есть некоторое постоянное число,
полностью определяемое коэффициентами a, b и с и совер-
шенно не зависящее от значений независимой переменной х.
Различим два случая.
1) Если а>0, то первое слагаемое + никогда
не делается отрицательным, но при
b
Х°~ 2а
обращается в нуль. Поэтому функция у имеет наименьшее
значение, равное М:
Лии = м ’
и не имеет значения наибольшего.
2) Если а<0, то по тем же соображениям оказывается,
что
Лакс = М’
причем это значение достигается при
a не существует.
Заметим, что как наименьшее, так и наибольшее значение
функции называется ее экстремальным («крайним») значе-
нием, Поэтому все сказанное можно резюмировать в виде
следующей теоремы, являющейся для нас основной.
Теорема. Квадратный трехчлен
у = ах2 4- Ьх + с
имеет экстремальное значение, принимаемое им при
Х°— 2а
Это значение оказывается наименьшим, если а>0, и
наибольшим, если а<0. Если существует у^е то _умиа
не существует, и наоборот.
Заметим еще, что, как мы видели выше, это экстре-
мальное значение всегда равно
Лкстр^^’
или, подробнее,
У экстр	с 4а *
9
Однако этого последнего равенства запоминать не нужно,
потому что ведь это есть значение нашего трехчлена при
b
Х==Хо = -27-
Значит, достаточно подставить в трехчлен вместо х число
b
хо— 2а ’
чтобы получить величину .
Примеры.
^ = 3x2-12x4-8. х0 = 2. _уыиа = —4;
У~ — 2х24-8х — 3, х0 = 2, Лаю = 5;
У = 2х2 4-20х+ 17, х0 = —5, Лиа = ~33-
II. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ ОСНОВНОЙ
ТЕОРЕМЫ
§ б. Покажем, что доказанная в § 4 теорема позволяет
решить большое число самых разнообразных конкретных
задач.
Задача 1. Разложить данное положительное число А
на два слагаемых так, чтобы их произведение оказалось
наибольшим.
Решение. Обозначим одно из искомых слагаемых че-
рез х. Тогда второе слагаемое будет равно А — х, а их про-
изведение
у = х(А — х),
или
у ——х2 + Лх.
Таким образом, вопрос привелся к нахождению такого
значения х, при котором этот квадратный трехчлен получит
наибольшее значение. По теореме § 4 такое значение заве-
домо существует (ибо здесь старший коэффициент равен —1,
т. е. отрицателен) и равно
А
— 2 *
В таком случае
А Xq
и, стало быть, оба слагаемых должны быть равны друг другу.
10
Например, число 30 допускает такие разложения:
30= 54-25,
30= 74-23,
30=134-17,
30 = 204-10,
30 = 29 4- 1,
30 = 30 4- 0.
5-25=125
7-23= 161
13- 17 = 221,
20- 10 = 200,
29- 1 = 29,
30 • 0 = О
Все полученные произведения меньше, чем 15* 15 = 225.
§6. Задача 2. Имеется проволока длины I. Тре-
буется согнуть ее так, чтобы получился прямоугольник,
ограничивающий по возможности наи-
большую площадь.
Решение. Обозначим (черт. 1)
одну из сторон прямоугольника через х.
Тогда, очевидно, другая его сторона бу-
/
дет -g—х, а площадь
Черт. 1.
$ = — х* + ^х.
Эта функция принимает свое наибольшее значение при
/
*о=-4 •
что и будет искомым значением одной из сторон прямо-
угольника. Тогда другая его сторона будет
1— — L
2 х0 — 4 <
т. е. наш прямоугольник оказывается квадратом. Получен-
ное решение задачи можно резюмировать в форме следующей
теоремы.
Теорема. Из всех прямоугольников, имеющих один
и тот же периметр, наибольшую площадь имеет квадрат.
Замечания. 1) Нашу задачу легко решить также с по-
мощью результата, полученного при решении задачи 1. В са-
мом деле, мы видим, что площадь интересующего нас прямо-
угольника есть
s=jc(4—'*)•
и
Иначе говоря, S есть произведение двух сомножителе» х
и 2-—х. Но сумма этих сомножителей есть
Х + Х) = У’
т. е. число, не зависящее от выбора х. Значит, дело сво-
дится к разложению числа на два слагаемых так, чтобы
их произведение было наибольшим. Как мы знаем, это про-
изведение будет наибольшим, когда слагаемые равны, т. е.
при х =
2) Если через I обозначить не длину проволоки, а длину
забора, который можно построить из имеющихся досок, то
наша теорема даст решение второй из четырех практи-
ческих задач, о которых говорилось во «Введении» (там было
принято / = 200 м). Не-
I-----------200-21-
сколько измененный вариант
задачи рассматривается в § 7.
§ 7. Задача 3. Из
имеющихся досок можно
построить забор длиною
в 200 м. Требуется ого-
родить этим забором пря-
моугольный двор наибо ль -
Черт. 2.
Решение. Обозначим
через х. Тогда другая его
а его площадь будет
шей площади, используя
для одной стороны двора
заводскую стену.
(черт. 2) одну из сторон двора
сторона будет равна 200 —2х,
S = x(200 —2х),
или
5 = —2х2+200х.
Согласно теореме § 4 наибольшее значение этой функции
достигается ею при
х0 = 50.
Итак, сторона двора, перпендикулярная к заводской стене,
должна равняться 50 м, откуда для стороны, параллельной
стене, получается значение 100 м, т. е. двор должен иметь
форму половины квадрата.
12
Замечание. Если бы мы и здесь захотели использовать
результат решения задачи 1, то непосредственно это нам бы
не удалось, ибо
5 = х (200 — 2х)
есть произведение двух сомножителей, сумма которых равна
200 — х, т. е. зависит от х. Иначе говоря, мы не нахо-
димся в условиях задачи 1. Однако с помощью небольшого
ухищрения можно все же свести дело к задаче I. В самом
деле, рассмотрим вместо 5 величину z = 25. Так как
z — 2х(200— 2х),
то эта функция есть произведение двух сомножителей, сумма
которых уже не зависит от х, и, стало быть, 2мак0 дости-
гается при
2х = 200 — 2х,
откуда х = 50. Остается заметить, что функции 5 и 2 = 25
достигают своих наибольших значений при одном и том же
значении х.
§8. Задача 4. Дан квадрат ABCD (черт. 3). От его
вершин отложены равные от-
резки Аа. Bb. Сс. Dd и точки
a. Ь, с, d соединены прямыми.
При каком значении Аа площадь
квадрата abed окажется наимень-
шей?
Решение. Если положить
Аа = х,
то. очевидно, окажется
аВ = 1 — х,
где / = ДВ, и, стало быть, по теореме Пифагора будет
at? = х2 + (/ — х)2 = 2х2 — 2/х + В.
Но площадь 5 квадрата abed как раз и равна ab*. Значит,
S = 2x2 — 21х + В.
Поэтому наименьшее значение для 5 получится при
/
— 2 *
13
Таким образом, точки а. Ь, с и d нужно поместить в середи-
нах сторон основного квадрата ABCD.
§9.	Задача 5. Из точек А и В (черт. 4) по ука-
занным стрелками направлениям выходят одновременно
пароход и яхта. Их скорости
соответственно равны
—£-------—	- — д
/	^п==40 км)час.
/	гя== 16 км!час.
Л	Через сколько времени расстоя-
ние между ними окажется наи-
Черт. 4.	меньшим, если
АВ — 145 км?
Решение. Отметим буквами П и Я положение парохода
и яхты через t часов после выхода из точек А и В. Тогда
ЛП — 40/ км. ВЯ = 16/ км.
и поэтому на основании теоремы Пифагора
ПЯ = УВГРН-ВЯ2 = /(145 —W + Cie/)2,
откуда
ПЯ = /1856/2—11 600/4-21 025.
Наименьшее свое значение этот корень примет при том же
самом t. при котором будет иметь наименьшее значение под-
коренное выражение
z = 1856/2 — 11 600/ + 21 025,
т. е. при
.	11600 о 1
Z~"37Т2- ~ 3 8" Часа-
Итак, пароход и яхта окажутся на кратчайшем расстоянии
друг от друга через 3 часа 7 минут 30 секунд после выхода
из точек А и В.
§ 10.	Задача 6. В данный круг вписать прямо уголь*
ник наибольшей площади.
14
Решение. Обозначим через /? радиус круга, а через х
сторону АВ искомого прямоугольника (черт. 5). По теореме
Пифагора окажется
ВС = /4/? —
откуда для интересующей нас площади S получается выра-
жение
5 = хУ4Л»—х2.
Эта функция достигает своего наибольшего значения при том
же самом х, что и функция -y = S2. Но
у = х2 (4/?2 — х2).
Полагая х2 = г, получим:
у = z (4Я2 — z} = — z2 4- 4/?2г.
Значит, достигается при z = 2/?2, т. е. при х = %У2.
Это значение х можно было бы найти и не вводя величины г.
а опираясь на то-, что у есть
произведение двух сомножителей
с постоянной суммой 4/?2, откуда
в силу результата, полученного
при решении задачи 1,
х2 = 2/?2 и х = Я/2.
Замечая, что при АВ = х =
= R У 2 будет
ВС = Я/2,
мы видим, что искомый прямо-
угольник должен быть квадра-
том. Таким образом, нами дока-
зана следующая теорема:
Теорема. Из всех прямоугольников, вписанных в один
и тот же круг. наибольшую площадь имеет квадрат.
Замечание. Если круг, упоминаемый в задаче, пред-
ставляет собой поперечное сечение круглого бревна, а вписан-
ный прямоугольник—такое же сечение балки, которую надо
выпилить из этого бревна, то наша, казалось бы, отвлеченная
{5
геометрическая задача превращается в первую из че-
тырех практических задач, о которых мы говорили во
«Введении».
§ 11.	Задача 7. В данный тар вписать цилиндр
с наибольшей боковой поверхностью.
Решение. Обозначим через R радиус шара, а через г
и h соответственно радиус и высоту искомого цилиндра
(черт. 6). Тогда боковая поверх-
ность цилиндра будет
5 = 2тгг/г.
С другой стороны, как видно из
черт. 6, отрезки /?, г и — Л свя-
заны соотношением
Отсюда
*=2/^2—Г2
и, стало быть,
S = 4кг —г2.
Полагая, как и в предыдущей задаче, y = S2, получаем
у = 16тг2г2 (/?2 — г2).
Если ввести новую независимую переменную х = г2, то у
будет выражаться через нее так:
у= 1б1Т2Х(Я2 — х),
R2
откуда уМако достигается при х0 = -у, т. е. при
/2	2
Зная г, легко находим и Л = /?)Л2. Замечая еще, что для
искомого цилиндра оказывается h — 2rt мы видим, что осе-
вое сечение этого цилиндра есть квадрат.
§ 12. Задача 8. В данный конус вписать цилиндр
с наибольшей боковой поверхностью.
16
Решение. Обозначим через R и Н данные нам радиус
основания и высоту конуса, а через г и h радиус и высоту
Эта функция принимает свое наибольшее значение при
г0=у/?. Отсюда высота искомого цилиндра
А0 = -^(Я —г0)=Ц/У.
§ 13. Задача 9. В треугольнике АВС (черт. 8) про-
вести прямую ab, параллельную основанию АВ, так,
чтобы площадь прямоугольника abed оказалась наибольшей.
Черт. 8.
Решение. Положим
AB = L, ab = l, bc = h
н обозначим через Н высоту CD треугольника АВС, опущен-
ную на сторону АВ. Из подобия треугольников АВС и аЬС
вытекает пропорция
/ _ Я—Л
Д — И \
2 Зак. 990. И. П. Натансон
17
откуда
/ =-А. (/7 — Л).
Так как площадь интересующего нас прямоугольника abed
есть
S = hlt
то
S = ~h(H — h\
откуда Smmc достигается при й0 = Н.
III. ДРУГИЕ ТЕОРЕМЫ, ПОЗВОЛЯЮЩИЕ НАХОДИТЬ
НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
§ 14. Вернемся к задаче 1, решенной нами в § 5. Полу-
ченное там решение этой задачи приводит к следующей
теореме:
Теорема. Среднее геометрическое двух положитель-
ных чисел не больше их среднего арифметического
ы
В самом деле, пусть х и у — два положительных числа.
Обозначим их сумму через А. Числа у А и ~А имеют ту
же сумму. Но так как эти последние два числа равны друг
Другу, то (как было показано в § 5) их произведение больше,
чем произведение любых других двух чисел с той же суммой,
в частности, чисел х и у, т. е.
(знак равенства приходится поставить потому, что ведь не
исключено, что x = y = y^j. Вспоминая, что Д = х-ру»
видим, что
19
а это равносильно неравенству (*), Проведенное доказатель-
ство показывает также, что знак равенства в соотноше-
нии (*) стоит тогда и только тогда* когда х=у.
Эту теорему можно доказать еще по-другому, без ссылки
на результат § 5. Действительно, неравенство (*) можно за-
писать в равносильной форме
О х — 2 ]/ху + у,
а в этой форме оно очевидно, ибо
х — 2 V - V + J = (/х — VУ?> О*
Это доказательство также устанавливает, что в (%) имеет
место равенство тогда и только тогда, когда х = у.
§ 15. Задача 10. Данное положительное число Р
разложить на два положительных сомножителя так,
чтобы их сумма оказалась наименьшей.
Решение. Пусть Р каким-нибудь способом предста-
влено в форме произведения двух положительных сомножи-
телей X и у.
Р = ху (х > 0, у > 0).
Тогда в силу неравенства окажется
Итак, при любом выборе сомножителей их сумма не может
оказаться меныией, чем 2]/Р. Но, выбирая их равными, т. е.
полагая х = ]/7\ j==]/p, мы очевидным образом ^прихо-
дим к сумме, равной %YP. Таким образом, 2|^Р есть наи-
меньшее значение интересующей нас суммы» достигающееся
ею тогда и только тогда, *) когда оба сомножителя равны
друг другу.
СК	Р
Если обратить внимание на то, что у = —, то получен-
ное решение задачи можно высказать в форме следующей
теоремы:
Теорема. Функция
2 =	(Р>0)
♦) Если бы х и у были не равны друг другу, то (в силу ска-
занного в § 14) имело бы место строгое неравенство х 4» у > 2VP.
2*
19
(в которой независимая переменная х принимает только
положительные значения) достигает своего наименьшего
значения 2МИП при = YР и только при этом значении х.
АВ § 16. Задача 11. На вертикаль-
/	ной стене висит плакат АВ. На
/	каком ри/стоянии от стены должен
/	стать наблюдатель, чтобы угол
/	под которым он видит плакат, ока-
/	зался наибольшим?
/ А Решение. Обозначим через К
/ s' точку пересечения стены с горизонталь-
s'	ной прямой, проходящей через глаз О
наблюдателя (черт. 9). Тогда искомое
расстояние есть 0/С. Обозначим его
* через х и положим
Черт. 9.	КА = а, КВ = Ь.
Если углы КОА и КОВ обозначить через а и ₽, то оче-
видно, что
6 = £ — а.
Отсюда
«’ = 'е «>-«’=
Но	tga = ^-, tg₽ = j.
Стало быть,	tg 0 =	.
Так как наибольшее значение угла 6 будет достигаться
при наибольшем значении его тангенса, то наша задача
сводится к нахождению такого значения х, при котором дробь
Ь — а
будет наибольшей. Но ее числитель постоянен. Значит, нужно
сделать наименьшим ее знаменатель
. ab
По теореме предыдущего параграфа искомое значение х есть
. x9~Vab.
20
§ 17. Теорема § 14 допускает значительное обобщение,
которое представляет большой теоретический интерес. С его
помощью нам удастся решить еще целый ряд задач на ма-
ксимум и минимум. Это обобщение можно сформулировать
в виде следующей теоремы:
Теорема. Среднее геометрическое любого количества
положительных чисел не болыие их среднего арифмети-
ческого
(*)
Знак равенства здесь имеет место тогда и только
тогда, когда все числа хь х2, • • •» хп ривны друг другу
xi — х2 — • • • — хп*
Доказательство. Приведем остроумное, хотя и не
очень простое, доказательство *) этой теоремы, представляю-
щее собою весьма необычный вариант метода математической
индукции.
Если п = 2, то интересующая нас теорема совпадает
с уже доказанной теоремой из § 14. Пусть п = 4. Тогда по
доказанному
У х{х2х3хА = У У xtx2 • Уx3xt <	х^Хз . +
Х1 ~Ь х2 । Х* + *4
2	2
2
т. е.
1 /*	Xi	х2 —|— х*» Ц— х»
V xtx2x3x4 С	4.
Таким образом, требуемое неравенство доказано для п = 4.
Пусть,теперь п = 8. Тогда по доказанному
Х1Х2 • • • ^8-	хЪХвХ1Хв
-*2 4“	4~ Х4 Х& 4-	4“ Хч + Xg
Г	4	4
♦) Это доказательство принадлежит знаменитому французскому
математику Коши (A. L. Cauchy, 1789—1857).
21
и, стало быть,
4~ *2 4~ *8 ~Ь х4 I х5 4~ ^6 ~4~ Х1 4~ х8
уxtX2 ... х8 <---------------------5------------------
чем неравенство (-Х-) доказано для п = 8.
Аналогично, мы докажем интересующее нас неравенство
для п— 16, п = 32, п = 64 и вообще для л = 2м1. Это де-
лается обычной индукцией по т.
Проведем эту индукцию подробно. Пусть для некото-
рого т уже доказано, что
2*------------ Х>+Х2 + •••
У XjX2 ...	<--------2^--------- (**)
и пусть рассматривается система из 2П1+1 положительных
ЧИСеЛ Х2, ....
Ясно, что
е±1-------------= /2Ш	...... 2т ____________
V Х1 • • • *2»п+1 У У Хк ... Х2т • У Х2т+1 . . • Х2»,+1
Используя неравенство (**) и аналогичное неравенство
---------------------X—7	+ • • • + V+1
У х2*»+1 • • • Х21»+1	--------2^	’
получим
Гх\ + • • • + x2m Х2™ + 1 * ’ ’
у Х1 ... Xgin+l |/	*	2м	’
а по теореме § 14 находим
Итак, неравенство (**) доказано для всех натуральных т.
22
Допустим теперь, что п не есть число вида 2W. Тогда
мы сами выберем столь большое т, чтобы оказалось
2™> п.
Положим
У1 +	• •• 4~ *п  д
п
и присоединим к нашим числам хи х2, хп еще 2W—п
чисел
хп+1 =	Хп-У2'=	• • •»	=
Тогда по доказанному
2"?------------------ Л + ... 4- Хп + Хп+1 + ... + Х2„,
У Х1 ••• ХПХП+1 ••• ^2*"^	~ •
Отсюда
Fxt ... xn42W~"<— :--. + х» + (2"‘-п)л ,
Но так как
«^1 “Н-^2 *”Н ••• ~hxn = ZI^F
то
•^1 ~b xa~b «« 4~ хп 4~ (2Ш — и) Л nA 4- (2Ш — л) Л .
2«»	2W
Поэтому предыдущее неравенство принимает вид
2ш-------------------------------
Vxtx2 ... хпЛ2’"-п<Л,
откуда после возведения в степень 2т
х,х2 ... хпЛ2*”“я<^Л
и, стало быть,
лхх2 ... хп Ап,
т. е.
1/	1 л 4" л*2 4“ • • • 4“ хп
у xtx2 ... хп < А =	? ~п---^—2.
Чтобы закончить доказательство теоремы остается про-
верить, что в неравенстве (*) стоит знак равенства тогда
и только тогда, когда
ХХ = Х2= ... =хп.
23
Первое из этих утверждений очевидно. Действительно, если
xi = х2 = . .. =хп = а, то обе части неравенства (*) как
раз и будут равны а. Труднее доказать второе утвер-
ждение: если в соотношении (#) стоит знак равенства, то
Мы докажем этот факт от противного. Итак, пусть
VXlX2...Xn =	+
но не все числа х{,	..., хп равны между собой. Так
как нумерация этих чисел зависит от нас, то можно допу-
стить, что
Х[ =7^= Х2*
Рассмотрим другой набор чисел
^2’ хз» *4........*п
в котором все числа, начиная с третьего, те же, что и в пер-
воначальном наборе хр х2, х3.....хп, а
Ясно, что у{ 4- у2 = xt + х2, и потому
yt + Уз+'-Х’зЧ- --- 4~ xn  Л + *2 4“ Х3 4“ ...^Хп
п	п
Стало быть, и
V...хп = yt + >,l-+-<3+_:-. + -yn.
Но в силу уже доказанного неравенства О)
V V V X Г	+ • • • +
V Ws • • • хп	~
что в соединении с предшествующим равенством дает
V Ух Уг*з • • • хп < У ... х„
и тем самым
Последнее же соотношение противоречит теореме § 14,
ибо по этой теореме произведение равных сомножителей
yLy2 должно быть строго больше произведения неравных
сомножителей х{х2, имеющих ту же сумму (у/х 4- Уъ — xv «Ц- хг)*
Теорема полностью доказана.
24
§ 18.	Из доказанной теоремы вытекает возможность ре-
шения двух задач, рассматриваемых в настоящем параграфе.
Задача 12. Данное положительное число А разло-
жить на п положительных слагаемых так, чтобы их
произведение оказалось наибольшим.
Решение. Допустим, что числа xv х2.......хп поло-
жительны и
+	••• Ч“ХП = Д.
Тогда по теореме § 17
xixa ...	(4)"•
Итак, никакой выбор слагаемых не приводит к произве-
дению, большему. чем . С другой стороны, при хх = х2=
А
= ... =хп = —, очевидно, получается произведение, рае*
/ А\п „
ное I —) . Таким образом, все искомые слагаемые должны
быть равны друг другу.
По теореме § 17 это решение задачи является един-
ственно возможным.
Задача 13. Данное положительное число Р разло-
жить на п положительных сомножителей так, чтобы
сумма их оказалась наименьшей.
Решение аналогично решению задачи 12. Именно, если
ххх2 ... хп = Р,
то по теореме из § 17 будет
+	••• + xn>nVP.
Значит, никакой выбор сомножителей не приводит к сумме,
п
меньшей, чем пуР, а так как при
п______________________________________
xY — x2— ... = хп = уР
п
получается сумма, равная пуР, то все искомые сомножители
должны быть равны друг другу.
И здесь найденное решение также оказывается един-
ственным.
§ 19.	Пользуясь результатами § 18, можно решить еще
целый ряд конкретных задач. Приведем несколько примеров.
25
Получаемые ниже решения задач, рассматриваемых во всех
этих примерах, оказываются единственно возможными. Это
обстоятельство без труда вытекает из сказанного выше и мы
больше не будем к нему возвращаться.
Задача 14. В данный шар вписать цилиндр наиб о ль*
шего объема.
Решение. Сохраняя обозначения § 11, имеем выражение
интересующего нас объема в виде
V = itr2h.
Но, как мы видели в § И,
й = 2//?2 —г2.
Значит,
V=2w2/fl2 —А
Полагая z = -~^V2t получаем:
2 = Г*(/?2 —r2)t
причем z принимает свое наибольшее значение при том же
самом г, что и V. Так как
1	гз
то ^z есть произведение трех сомножителей, сумма которых
равна /?2. Стало быть, наибольшим будет значение z, отве-
чающее такому г, что
— = =
2	2 Л
Отсюда
§ 20.	Задача 15. В данный конус вписать цилиндр
наибольшего объема.
Решение. Сохраняя обозначения § 12, имеем выражение
интересующего нас объема в виде
Но, как мы видели в § 12,
Л=-£(/?—г).
Значит,
У = к^г2(/? —г).
А
26
D
Наибольшее значение V достигается при том же г, что
и наибольшее значение функции
2=14(«-г).
являющейся произведением трех сомножителей, сумма которых
постоянна. Значит, 2макс дости-
гается при
2 п
т. е. при г = -$ R.
§ 21. Задача 16. В данный
шар вписать конус наибольшего
объема.
Решение. Обозначим че-
рез R радиус шара и через г и h
соответственно радиус основания
и высоту конуса. Из черт. 10
ясно, что г = АВ есть средняя
отрезками BD и ВС. Но
BC—2R — h.
Значит,
г2 = А(2/? —А).
А так как интересующий нас объем есть
V — ^^h,
О
то
V = 4*2(2/? —Л).
Вводя вместо V функцию
2 = 4 *4(2/? —А).
принимающую одновременно с V свое наибольшее значение,
видим, что £макс достигается при
4=4=2/?—а>
т. е. при
а=4₽.
о
С
Черт. 10.
пропорциональная между
27
§ 22. Задача 17. Над центром круглого стола на
блоке висит лампа. На какой высоте следует поместить
эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую
освещенность^
Решение. Введем обозначения черт. 11. Из курса физики
известно, что сила света / в точке А выражается формулой
где k— некоторый постоянный коэффициент пропорциональ-
ности. Замечая, что
cos ср =-у,
получаем
, Л .
/ = -^sincp • cos2 ср.
Рассмотрим вместо / величину
Черт. 11.	Л
Ясно, что гмаВс и /иак0 достигаются одновременно. Но
z — sin2 <р • cos4 <р,
откуда
1	ч cos»? cos»?
— 2 = (1 — cos2 <р) —2-----— .
и наибольшее значение z достигается,
если
,	о COS2 ср COS2 <р
1 — cos2 <р = —=---------------
2
т. е. при
cos ср =
При таком ср будет
tg<P = ^T
2
3
а так как
Л = г tg ср,
то искомая высота есть
йо = г^«О.7г.
28
§ 23. Задача 18. Дан прямоугольный лист жести
размерами 80 см X 50 см. Требуется вырезать около всех
его углов одинаковые квадратики так. чтобы после заги-
бания остающихся кромок получилась открытая сверху
коробка наибольшей вместимости.
Решение. Обозначим через х сторону вырезаемого ква-
дратика (черт. 12). Нетрудно видеть, что объем V получаемой
коробки будет
V = х (80 — 2х) (50 — 2х).
Ясно, что попытка отыска-
ния Умакс заменой V на
z = 4х (80 — 2х) (50 — 2х)
с последующим приравнива-
нием всех трех сомножите-
лей друг другу обречена на
неудачу, ибо уравнение
Черт. 12.
80 — 2х = 50 — 2х
неразрешимо.
Мы поступим иначе, введя в последний сомножитель
некоторый постоянный множитель k. выбор которого уточним
позже. Таким образом, мы будем вместо V рассматривать
величину
kV = х (80 — 2х) (50* — 2*х).
Здесь сумма сомножителей не будет величиной постоянной,
поэтому мы еще дополнительно умножим первый сомножитель
на 2*4-2. Итак, вместо V мы будем изучать функцию
z = 1(2*4- 2) х] |80 — 2х] [50* — 2*х].
При любом выборе * сумма сомножителей здесь постоянна
и равна 804-50*. Значит, наибольшее значение функция z
(а с ней и V) примет тогда, когда
(2* 4- 2) х = 80 — 2х = 50* — 2*х.
Таким образом, для отыскания х мы имеем два уравнения:
(2*4-2)х = 80 — 2х,
(2*4-2)х = 50* —2*х.
Эги уравнения имеют следующие решения:
_ 40	_ 25*
Х~ Л + 2’ Х~ 2ЛЧ-1*
29
Для того чтобы задача была разрешима, нужно» чтобы эти
значения х совпадали, т. е. чтобы было
k + 2	2*4-1’
Здесь и приходит на помощь то обстоятельство, что мы
можем распорядиться выбором числа k по своему желанию.
Именно, подберем k таким, чтобы выполнялось условие (*),
для чего нужно на (*) взглянуть как на уравнение, опре-
деляющее k. Решая это уравнение, находим для k два зна-
чения:
£1 = 2, k2 = — 4-.
1	£	5
Однако отрицательное значение для k непригодно. Дей-
ствительно, по смыслу задачи множитель 50 — 2х, входящий
в состав V, должен быть положителен. С другой стороны,
чтобы можно было применить для нахождения змак0 «способ
приравнивания сомножителей», нужно быть уверенным, что
все сомножители положительны. В частности, должен быть
положителен сомножитель
50Л — 2fcx = fc(50 — 2х).
Но выражения
fc(50 —2х) и (50 —2х)
могут быть одновременно положительны лишь тогда, когда k
положительно.
Итак, для k необходимо выбрать значение
k = 2.
При таком выборе k для х получается значение
х = 10.
Таково решение задачи.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Как мы видели выше, можно с помощью элементарных
алгебраических средств решить любую задачу, приводящую
к отысканию экстремального значения квадратного трехчлена
у = ах2 -}- Ьх + с.
В тех же случаях, когда вопрос приводится к нахожде-
нию наибольшего или наименьшего значения функции более
сложной природы, нам удавалось довести решение до конца
лишь с помощью того или иного искусственного приема,
специально выбираемого для каждой отдельной задачи.
Естественно спросить, существуют ли общие способы для
отыскания экстремальных значений функций любой природы,
а не только квадратных трехчленов. Оказывается, что такие
способы есть, но, как уже было сказано во «Введении»,
для их изучения необходимо привлечь аппарат высшей мате-
матики.
Натансон Исидор Павлович
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
Редактор Г. П. Акилов.	Техн, редактор А Г. Польская
Корректор Я. Розенгауз
Подписано к печати 15/Ш 1960 г. Бумага 84x108/».	0,5 бум. л. 1,64 печ. л.
1>26 уч.-изд. л.	Т-01046. Тираж 50 000 вкз.
Цена книгя40коп. Заказ М 990.
Типография Mb 2 им. Евг. Соколовой УПП Левсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
40 к.