УДК 5
У 92

Ташков К.Е., Кутлубердин И., Арслан., Юсупов
Сборник теорем и формул «Учись быстрее»: учеб. пособие/
Ташков К.Е. и др. Магнитогорск, 2022 – 65 с.

Учебный материал расположен по четырём
разделам, в каждом из которых представлены основные
математические, физические и химические законы и
формулы.
Учебное пособие предназначено для студентов СПО 1
курса технических специальностей, изучающих дисциплины
«Математика», «Физика», «Химия».

Оглавление
ГЕОМЕТРИЯ .................................................................................. 5
АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ ............................................................... 5
ТРЕУГОЛЬНИКИ ............................................................................ 7
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ ................................................................... 9
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ ................................................................. 10
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ........................................... 11
ОБЪЁМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ .............................. 11
АЛГЕБРА ...................................................................................... 16
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ ............................. 16
ПАРАБОЛА .................................................................................. 17
СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ И КОРНЕЙ .............................................. 18
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ: .......................................... 18
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ:............. 18
ФОРМУЛЫ С ЛОГАРИФМАМИ .................................................. 19
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ: ........................................................ 19
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ............................................. 20
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ ............................................... 21
ТРИГОНОМЕТРИЯ....................................................................... 21
Тригонометрические уравнения .............................................. 22
ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО УГЛА .................................................... 22
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ .................... 22
ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ. ......................................... 24
2

ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (ПЛАНИМЕТРИЯ) ....................... 27
ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (СТЕРЕОМЕТРИЯ) .................... 33
КООРДИНАТЫ ............................................................................ 35
ФИЗИКА ...................................................................................... 37
ЗАКОНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ ..................... 37
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ .................................. 37
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ ..................................................... 38
СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА ................................... 38
МЕХАНИКА, КИНЕМАТИКА ........................................................ 38
ДИНАМИКА ................................................................................ 39
СТАТИКА ..................................................................................... 39
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. ОСНОВЫ
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ............................... 39
ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ .................................................... 40
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЭЛЕКТРОСТАТИКА ................................ 40
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ..................................................................... 41
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ ............................................ 42
КОЛЕБАНИЯ ВОЛНЫ. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ ВОДЫ ... 42
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ......................... 42
ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ ...................................... 43
ВОЛНОВАЯ ОПТИКА................................................................... 43
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ............................... 44
КВАНТОВАЯ ФИЗИКА ................................................................. 44
3

ХИМИЯ ........................................................................................ 46
ОБЩАЯ ХИМИЯ .......................................................................... 46
ХИМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ .................................................................. 53
ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ОРБИТАЛЕЙ .................................... 55
НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ СВЯЗЕЙ ....................................................... 59
ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССО 59

4

ГЕОМЕТРИЯ
АКСИОМЫ ГЕОМЕТРИИ
Основные свойства принадлежности точек и прямых
А-I1. Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие
ей.
А-I2. Через любые две точки можно провести прямую, и
только одну.
Основные свойства взаимного расположения точек на
прямой и на плоскости
A-Il1, Из трех точек на прямой одна и только одна лежит
между
двумя
другими.
A-Il2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.
Основные свойства измерения отрезков и углов
A-III. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую
нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он
разбивается
любой
его
точкой.
A-IlI2. Каждый угол имеет определенную градусную меру,
большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера
угла равна сумме градусных мер углов, на которые он
разбивается любым лучом, проходящим между его
сторонами.
Основные свойства откладывания отрезков и углов.

5

A-IV. На любой полупрямой от ее начальной точки можно
отложить отрезок заданной длины, и только один.
A-IV2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость
можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей
180°, и только один.
Существование треугольника, равного данному
A-IV3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему
треугольник в заданном расположении относительно данной
полупрямой.
Основное свойство параллельных прямых
A-V1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести на плоскости не более одной прямой,
параллельной данной.
Основные свойства плоскостей в пространстве
С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие
ей.
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то
они пересекаются по прямой.
Сз. Если две различные прямые имеют общую точку, то через
них можно провести плоскость, и притом только одну.

6

ТРЕУГОЛЬНИКИ

треугольники на прямые, содержащие соответствующие
противоположные стороны а, b, с.
mа. mb. mс - медианы треугольника, соединяющие вершины
треугольника серединами противолежащих сторон а, b, с.
1a. 1b . 1с - биссектрисы треугольника, соединяющие
вершины треугольника точками на противолежащих
сторонах а, в, с.
MN - средняя линия треугольника.
Р - периметр треугольника. р - полупериметр треугольника.
R - радиус окружности, описанной около треугольника.
r - радиус окружности, вписанной в треугольник.
S^авс - площадь треугольника АВС.
Сумма углов треугольника a + b + g = 180°.
Свойства внешних углов треугольника
ay = b+g,
bÿ = a + g, gy=a+ b,
ay > b,
ay>g,
by>a,
by>g,
gy>a,
gy> b,
Неравенство треугольника a < b + C, b <a + c, c <a + b.
Теорема синусов

Теорема косинусов
a2=b2+c2-2bc cos a,
7

b2=a2+c2-2ac cos b,
c2=a2+b2-2ab cos g,
Периметр и полупериметр треугольника

Свойства средней линии треугольника

Площадь треугольника

(формула Герона)
Равнобедренный треугольник
a=c,
Pa=Pg,
hb=mb=lb
Равносторонний треугольник
a=b=c
a=b=g=60*
ha=la=ma hb=lb=mb hc=lc=mc

Прямоугольный треугольник
a =90°, b, с - катеты, а - гипотенуза,
a2=b2+c2 (теорема Пифагора)

8

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
Параллелограмм

a, b - стороны параллелограмма.
hа hb - высоты параллелограмма, опущенные из вершин
параллелограмма на прямые, содержащие стороны
параллелограмма a, b.
d1, d2 - диагонали параллелограмма.
а, g - углы параллелограмма, а + g = 180°
Площадь параллелограмма
S=aha, S=bhb, S=absina.
Связь между сторонами и диагоналями параллелограмма
d12+d22=s(a2+b2)

9

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

R - радиус окружности (круга),
окружности, D=2k - диаметр

длина дуги
10

С=27 R - длина

площадь круга

-площадь кругового сектора

-площадь кругового сегмента

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

ОБЪЁМ И ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ
Наклонная призма
Объем наклонной призмы
где Snc - площадь перпендикулярного сечения наклонной
призмы, а - боковое ребро.
Площадь боковой поверхности наклонной призмы
где Pnc - периметр перпендикулярного сечения наклонной
призмы, а - боковое ребро.
Площадь полной поверхности наклонной призмы.
11

где S6, - площадь боковой поверхности наклонной призмы,
Sосн площадь её основания.
Прямая призма
Объем прямой призмы
где Socн - площадь основания прямой призмы, а - боковое
ребро.
Площадь боковой поверхности прямой призмы
где Росн - периметр основания прямой призмы, а - боковое
ребро.
Площадь полной поверхности прямой призмы.
где S6, - площадь боковой поверхности прямой призмы, осн
площадь основания.
Прямоугольный параллелепипед
Объем прямоугольного параллелепипеда
где а,ь,с - измерения прямоугольного параллелепипеда.
Площадь боковой поверхности параллелепипеда
где а, b - стороны основания, с - боковое ребро
прямоугольного параллелепипеда.
Площадь полной поверхности прямоугольного
параллелепипеда
где а,б,с - измерения прямоугольного параллелепипеда.
12

где а - ребро куба.
Пирамида
Объем пирамиды

где Sосн - площадь основания, Н - высота.
Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме
площадей её боковых граней.
Площадь полной поверхности пирамиды
где S6 - площадь боковой поверхности прямой пирамиды,
Sосн площадь основания.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
где Росн - периметр основания правильной пирамиды, / - её
апофема.
Усеченная пирамида
Объем усеченной пирамиды

где S1, 52 - площади оснований усеченной пирамиды, Н - её
высота.
Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна
сумме площадей ее боковых граней.
Площадь полной поверхности усеченной пирамиды

где S6 - площадь боковой поверхности пирамиды, S1 , S2 площади оснований.

13

Площадь боковой поверхности правильной усеченной
пирамиды

где Р1. Р2 - периметры оснований, а / - ее апофема.
Цилиндр
Объем цилиндра
где R - радиус основания цилиндра, а Н - его высота.
Площадь боковой поверхности цилиндра
где R - радиус основания цилиндра, а Н - его высота.
Площадь полной поверхности цилиндра
где R - радиус основания цилиндра, а Н - его высота.
Конус
Объем конуса

где R - радиус основания конуса, а Н - его высота.
Площадь боковой поверхности конуса.
где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.
Площадь полной поверхности конуса
где R - радиус основания конуса, а L - его образующая.

14

Объем усеченного конуса

где R, г - радиусы оснований усеченного конуса, Н - его
высота.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса
где R, г - радиусы оснований усеченного конуса, L - его
образующая.
Площадь полной поверхности усеченного конуса
где R, г - радиусы оснований усеченного конуса, L - его
образующая.
Сфера и шар
Объем шара

где R - радиус шара.
Площадь сферы (площадь поверхности шара)
где R - радиус сферы.
Объем шарового сегмента

где Н - высота шарового сегмента, R - радиус шара
объём шарового сектора

15

АЛГЕБРА
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ
Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность кубов:
Сумма кубов:
Куб суммы:
Куб разности:
Последние две формулы также часто удобно использовать в
виде:

Пусть квадратное уравнение имеет вид:
Тогда дискриминант находят по формуле:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня,
которые находят по формуле:

16

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его
кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В
случае когда квадратное уравнение имеет два корня,
соответствующий квадратный трехчлен
может
быть
разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень,
то разложение соответствующего квадратного трехчлена на
множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня
(т.е.
дискриминант
строго
больше
ноля)
выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма
корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть
вычислено по формуле:

ПАРАБОЛА
График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть
вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
17

Игрек вершины параболы:

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ И КОРНЕЙ
Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль
можно возводить только в положительную степень.
Свойства степеней и корней.

Основные свойства математических корней:

18

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a;
если же n – четное, то только при a больше либо равном
нолю. Для корня нечетной степени выполняется также
следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

ФОРМУЛЫ С ЛОГАРИФМАМИ
Определение логарифма:
Определение логарифма можно записать и другим
способом:

Свойства логарифмов:

19

Логарифм произведения:
Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение
между
тремя
арифметической прогрессии:

соседними

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

20

членами

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ
Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение
между
тремя
геометрической прогрессии:

соседними

членами

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

ТРИГОНОМЕТРИЯ
Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

21

Определение котангенса:

Тригонометрические уравнения
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического
тождества:

Формулы двойного угла
Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения
Синус суммы:

22

Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в
произведение
Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

23

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования
произведения в сумму
Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени.
Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

24

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла.
Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность.
По тригонометрической
окружности легко
определять
табличные значения тригонометрических функций:

25

Формулы
решений
простейших
тригонометрических
уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы
записи решения:

Для остальных тригонометрических
однозначна. Для косинуса:

функций

запись

Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических
частных случаях:

26

уравнений

в

некоторых

ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ (ПЛАНИМЕТРИЯ)
Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между
ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на
неё:

Полупериметр
формуле:

треугольника

находится

по

следующей

Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:
27

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:
Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности,
треугольника:
28

описанной

около

правильного

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c гипотенуза, a и b - катеты):
Радиус
окружности,
треугольник:

вписанной

в

прямоугольный

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного
треугольника:
Площадь прямоугольного
опущенная на гипотенузу):

треугольника

(h -

высота

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного
треугольника:

Длина средней линии трапеции:

29

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма
опущенную на неё:

через

сторону

и

высоту

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между
ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула - через две диагонали,
вторая - через длину стороны и угол между сторонами):
лощадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь
произвольного
выпуклого
четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и
радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула
выполняется только для фигур в которые можно вписать
окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

30

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина
центрального угла в два раза больше величины вписанного
угла, если они опираются на общую дугу):

31

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся
на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать
окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать
окружность вокруг четырёхугольника:

сумма углов n-угольника:
32

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:
Длина дуги окружности:

Площадь круга:
Площадь сектора:

Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:

ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ (СТЕРЕОМЕТРИЯ)
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:

33

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту
формулу также можно назвать: "трёхмерная Теорема
Пифагора"):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P –
периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае
равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P –
периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:

34

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь
сферы):

КООРДИНАТЫ
Длина отрезка на координатной оси:
Длина отрезка на координатной плоскости:
Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
Координаты середины отрезка (для координатной оси
используется только первая формула, для координатной
плоскости - первые две формулы, для трехмерной системы
координат - все три формулы):

Таблица умножения.

35

Таблица квадратов двухзначных чисел

36

ФИЗИКА
ЗАКОНЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ И ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ
Вычисление перемещения АВ2 = АС2 + ВС2
Проекция вектора перемещения Sx = x2 – x1
Формула расчета скорости движения тела v = s/t
Уравнение движения x = x0 + vxt
Формула вычисления ускорения a = v - v0⃗/t
Уравнение скорости
v = v0⃗+ at
Уравнение Галилея S = v0t + at2/2
Закон изменения координаты тела при прямолинейном
равноускоренном движении x = x0 + v0t + at2/2
Второй закон Ньютона a = F ⃗/m
Третий закон Ньютона |F1 ⃗ |=|F2 ⃗|
Формула для вычисления высоты H=gt2/2
Формула закона F = Gm1m2/r2
Формула центростремительного ускорения а=υ2/r
Формула импульса тела p = mv
Формула импульса силы P = Ft
Формула механической работы A = Fs
Формула расчета мощности N = A/t
Формула силы трения Fтр = μmg

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Формула расчета плотности тела ρ=m/V
Формула давления жидкости p = ρgh
Формула силы Архимеда FA = ρgV

37

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Формула расчета силы Ампера FA = BIL sinα
Формула расчета силы Лоренца Fл = q B υ sinα
Формула радиуса движения в МП r = mυ/qB
Формула для вычисления М потока Ф = B S cosα
Формула для вычисления величины заряда q = It
Закон Ома для участка цепи I=U/R
Формула для вычисления удельного сопротивления
проводника R = ρ * L/S ρ = R * S/L
Формула для вычисления величины заряда q = It
Формула для нахождения работы электрического тока
A = Uq A = UIt
Формула закона Джоуля-Ленца Q = I2Rt
Формула абсолютного преломления n = c/v
Формула оптической силы линзы D = 1/F
Формула тонкой линзы 1/F = 1/d + 1/f

СТРОЕНИЕ АТОМА И АТОМНОГО ЯДРА
Массовое число M = Z + N
Формула массы ядра Мя = МА – Zme
Формула дефекта масс ∆m = Zmp+ Nmn – МЯ
Формула энергии связи Е = ∆mc2

МЕХАНИКА, КИНЕМАТИКА
Формула потенциальной энергии Eп = mgh
Формула кинетической энергии Ek= mv2/2
Формула Эйнштейна E = mc2

38

ДИНАМИКА
Сила, масса, ускорение
Закон всемирного тяготения

Сила упругости
Кин. энергия вращающегося тела

СТАТИКА
Момент силы, рычаг
Момент инерции тела вращения
Давление
Условие равновесия F1+F2+F3…=0

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.
ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
Количество вещества
Давление идеального газа
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
идеального газа
Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа
39

Средняя кинетическая энергия молекулы одноатомного газа
Закон Бойля-Мариотта
Закон Шарля
Закон Гей-Люссака
Уравнение Менделеева-Клапейрона
Объединенный закон газового состояния (уравнение
Клапейрона)
Закон Дальтона

ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа
Элементарная работа, совершаемая газом
Первый закон термодинамики
Теплоемкость идеального газа

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Закон Кулона F = kq1q1/r2
Напряженность поля E = F/q E = kQ/r2
Потенциал электростатического поля φ = W/q
Потенциальная энергия заряда W = qφ
40

Работа силы электростатического поля A = qU
Разность потенциалов в однородном поле U = Ed
Электроемкость уединенного проводника C = Q/φ
Электроемкость конденсатора C = Q/U
Энергия ЭСП W = CU2/2

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
Магнитная сила между параллельными проводниками
Магнитная постоянная
Напряжённость магнитного поля
Индукция магнитного поля
Момент однородного магнитного поля
Магнитная индукция соленоида
Магнитный поток и угол
Магнитный поток
Сила Ампера
Сила Лоренца
Сила Лоренца и сила Ампера

41

Электромагнитная индукция
Индуктивная электродвижущая сила (ЭДС)
Магнитный поток и индуктивность

Индуктивность соленоида
Энергия магнитного поля соленоида
Объемная плотность электромагнитной энергии

КОЛЕБАНИЯ ВОЛНЫ. МЕХАНИЧЕСКИЕ
КОЛЕБАНИЯ ВОДЫ
Скорость распространения волны
Переход волны в другую окружающую среду

Максимум интерференции и разность хода

Электромагнитные колебания и волны
Колебательный контур: заряд
Период колебательного контура
Циклическая частота колебательного контура

42

Частота колебательного контура

ЗАКОНЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ
Вогнутое сферическое зеркало
Выпуклое сферическое зеркало
Закон преломления света
Абсолютный показатель преломления
Относительный показатель преломления

Полное отражение
Формула тонкой линзы
Преломляющая способность линзы
Линейное увеличение линзы

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
Разность хода двух когерентных волн
Радиусы колец Ньютона
Дифракция света

43

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Относительность промежутков времени
Релятивистская масса

Полная энергия тела
Изменение энергии и массы
Лоренцево преобразование

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА
Электронная орбита

Квантование электронных орбит

Радиус боровской орбиты

Боровский радиус орбиты электрона

44

Скорость электрона на боровской орбите

45

ХИМИЯ
ОБЩАЯ ХИМИЯ
Химия — наука о составе,
превращениях веществ.

строении,

свойствах

и

Атомно-молекулярное учение. Вещества состоят из
химических частиц (молекул, атомов, ионов), которые имеют
сложное строение и состоят из элементарных частиц
(протонов, нейтронов, электронов).
Атом — нейтральная частица, состоящая из положительного
ядра и электронов.
Молекула — устойчивая
химическими связями.

группа

атомов,

связанных

Химический элемент — вид атомов с одинаковым зарядом
ядра. Элемент обозначают

где X — символ элемента, Z — порядковый номер элемента в
Периодической системе элементов Д.И. Менделеева, A —
массовое число. Порядковый номер Z равен заряду ядра
атома, числу протонов в ядре атома и числу электронов в
атоме. Массовое число A равно сумме чисел протонов и
нейтронов в атоме. Число нейтронов равно разности A — Z.
Изотопы — атомы одного элемента, имеющие разные
массовые числа.
Относительная атомная
масса (Ar) — отношение средней массы атома элемента
46

естественного изотопического состава к 1/12 массы атома
изотопа углерода 12С.
Относительная молекулярная масса (Mr) — отношение
средней массы молекулы вещества естественного
изотопического состава к 1/12 части массы атома изотопа
углерода 12С.
Атомная единица массы (а.е.м) — 1/12 часть массы атома
изотопа углерода 12С. 1 а.е. м = 1,66 × 10-24 г.
Моль — количество вещества, содержащее столько
структурных единиц (атомов, молекул, ионов), сколько
содержится атомов в 0,012 кг изотопа углерода 12С. Моль —
количество вещества, содержащее 6,02 • 1023 структурных
единиц (атомов, молекул, ионов).
n = N/NA, где n — количество вещества (моль), N — число
частиц, a
NA — постоянная Авогадро. Количество
вещества может обозначаться
также и символом v.
Постоянная Авогадро NA = 6,02 • 1023 частиц/моль.
Молярная масса M (г/моль) — отношение массы вещества
m(г) к количеству вещества n (моль):
М = m/n, откуда: m = М • n и n = m/М.
Молярный объем газа VM (л/моль) — отношение объема
газа V (л) к количеству вещества этого газа n (моль). При
нормальных условиях
VM = 22,4 л/моль.
Нормальные условия: температура t = 0°C, или Т = 273 К,
давление
р = 1 атм = 760 мм. рт. ст. = 101 325 Па =
47

101,325 кПа.
V = VM • n и n = V/VM.

VM = V/n, откуда:

В результате получается общая формула: n = m/M = V/VM =
N/NA.
Эквивалент — реальная или условная частица,
взаимодействующая с одним атомом водорода, или
замещающая его, или эквивалентная ему каким-либо другим
способом.
Молярная масса эквивалентов Мэ — отношение массы
вещества к количеству эквивалентов этого вещества: Мэ =
m/n(экв).
В реакциях обмена зарядов молярная масса эквивалентов
вещества

с молярной массой М равна: Мэ = М/(n × m).
В окислительно-восстановительных реакциях молярная
масса эквивалентов вещества с молярной массой М равна:
Мэ = М/n(ē), где n(ē) — число переданных электронов.
Закон эквивалентов — массы реагирующих веществ 1 и 2
пропорциональны молярным массам их эквивалентов.
m1/m2 = МЭ1/МЭ2, или m1/МЭ1 = m2/МЭ2, или n1 = n2, где
m1 и m2 — массы двух веществ, МЭ1 и МЭ2 — молярные
массы эквивалентов, n1 и n2 — количества эквивалентов этих
веществ.
Для растворов
закон эквивалентов может быть записан в следующем виде:
cЭ1 • V1 = cЭ2 • V2, где сЭ1, сЭ2, V1 и V2 — молярные
48

концентрации эквивалентов и объемы растворов этих двух
веществ.
Объединенный газовый закон: pV = nRT, где p — давление
(Па, кПа), V — объем (м3, л), n — количество вещества газа
(моль), T — температура (К), T (К) = t (°C) + 273, R —
константа, R = 8,314 Дж/(К × моль), при этом Дж = Па • м3 =
кПа • л.

СТРОЕНИЕ АТОМА И ПЕРИОДИЧЕСКИЙ ЗАКОН
Корпускулярно-волновой дуализм материи —
представление о том, что каждый объект может иметь и
волновые, и корпускулярные свойства. Луи де Бройль
предложил формулу, связывающую волновые и
корпускулярные свойства объектов: λ = h/(mV), где h —
постоянная Планка, λ — длина волны, которая соответствует
каждому телу с массой m и скоростью V. Хотя волновые
свойства существуют для всех объектов, но наблюдаться они
могут лишь для микрообъектов, имеющих массы порядка
массы атома и электрона.
Принцип неопределенности Гейзенберга: Δ(mVx) • Δх > h/2n
или ΔVx • Δx > h/(2πm), где m — масса частицы, x — ее
координата, Vx — скорость в направлении x, Δ —
неопределенность, погрешность определения. Принцип
неопределенности означает, что нельзя одновременно сколь
угодно точно указать положение (координату x) и скорость
(Vx) частицы.
Частицы с маленькими массами (атомы, ядра, электроны,
молекулы) не являются частицами в понимании этого
механикой Ньютона и не могут изучаться классической
49

физикой. Они изучаются квантовой физикой.
Главное квантовое число n принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6
и 7, соответствующие электронным уровням (слоям) К, L, M,
N, О, Р и Q.
Уровень — пространство, где расположены электроны с
одинаковым числом n. Электроны разных уровней
пространственно и энергетически отделены друг от друга,
поскольку число n определяет энергию электронов Е (чем
больше n, тем больше Е) и расстояние R между электронами
и
ядром
(чем
больше
n,
тем
больше
R).
Орбитальное (побочное, азимутальное) квантовое число l
принимает значения в зависимости от числа n: l = 0, 1,…(n —
1). Например, если n = 2, то l = 0, 1; если n = 3, то l = 0, 1, 2.
Число l характеризует подуровень (подслой).
Подуровень — пространство, где расположены электроны с
определенными n и l. Подуровни данного уровня
обозначаются
в
зависимости
от
числа
l:
s — если l = 0, p — если l = 1, d — если l = 2, f — если l = 3.
Подуровни данного атома обозначаются в зависимости от
чисел n и l, например: 2s (п = 2, l = 0), 3d (n = 3, l = 2) и т. д.
Подуровни данного уровня имеют разную энергию (чем
больше l, тем больше Е): Es< E < ЕА <… и разную форму
орбиталей, составляющих эти подуровни: s-орбиталь имеет
форму шара, p-орбиталь имеет форму гантели и т. д.
Магнитное квантовое число m1 характеризует ориентацию
орбитального магнитного момента, равного l, в пространстве
относительно внешнего магнитного поля и принимает
значения:
l,…-1, 0, 1,…l, т. е. всего (2l + 1) значение.
Например, если l = 2, то m1 = -2, — 1, 0, 1, 2.
50

Орбиталь (часть подуровня) — пространство, где
расположены электроны (не более двух) с определенными
n, l, m1. Подуровень содержит 2l+1 орбиталь. Например, d —
подуровень
содержит
пять
d-орбиталей.
Орбитали одного подуровня, имеющие разные числа m1,
имеют
одинаковую
энергию.
Магнитное спиновое число ms характеризует ориентацию
собственного магнитного момента электрона s, равного ½,
относительно внешнего магнитного поля и принимает два
значению:
+½
и
_½.
Электроны в атоме занимают уровни, подуровни и орбитали
Правило Паули: в одном атоме два электрона не могут иметь
четыре одинаковых квантовых числа. Они должны
отличаться по меньшей мере одним квантовым числом.
Из правила Паули следует, что на орбитали могут
располагаться не более двух электронов, на подуровне
может содержаться не более 2(2l + 1) электронов, на уровне
содержится не более 2n2 электронов.
Правило
Клечковского:
заполнение
электронных
подуровней осуществляется в порядке возрастания суммы (n
+ l), а в случае одинаковой суммы (n + l) — в порядке
возрастания числа n. Графическая форма правила
Клечковского.

51

Согласно правилу Клечковского, заполнение подуровней
осуществляется в следующем порядке: 1s, 2s, 2р, 3s, Зр, 4s,
3d, 4р, 5s, 4d, 5р, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, 7p, 8s,…
Хотя заполнение подуровней происходит по правилу
Клечковского,
в
электронной
формуле
подуровни
записываются последовательно по уровням: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p,
3d, 4s, 4р, 4d, 4f и т. д. Таким образом, электронная формула
атома брома записывается следующим образом: Br(35ē)
1s22s22p63s23p63d104s24p5.
Электронные конфигурации ряда атомов отличаются от
предсказанных по правилу Клечковского. Так, для Сr и Cu:
Сr(24ē)
1s22s22p63s23p63d54s1
и
Cu(29ē)
1s22s22p63s23p63d104s1.
Правило Хунда (Гунда): заполнение орбиталей данного
подуровня осуществляется так, чтобы суммарный спин был
максимален. Орбитали данного подуровня заполняются
сначала по одному электрону.
Электронные
конфигурации атомов можно записать по уровням,
подуровням, орбиталям.
52

Например, электронная формула Р(15ē) может быть
записана:
по уровням)2)8)5;
б) по подуровням 1s22s22p63s23p3;
в) по орбиталям

а)

Примеры электронных формул некоторых атомов и ионов:
V(23ē) 1s22s22p63s23p63d34s2;
V3+(20ē) 1s22s22p63s23p63d24s0.

ХИМИЧЕСКАЯ СВЯЗЬ
(Метод валентных связей)
Согласно методу валентных связей, связь между атомами А и
В образуется с помощью общей пары электронов.

Ковалентная связь.

Донорно-акцепторная связь.
Валентность характеризует способность атомов
образовывать химические связи и равна числу химических
связей, образованных атомом. Согласно методу валентных
связей, валентность равна числу общих пар электронов, а в
случае ковалентной связи валентность равна числу
53

неспаренных электронов на внешнем уровне атома в его
основном или возбужденных состояниях.
Валентность атомов
Например, для углерода и серы:

Насыщаемость ковалентной связи: атомы образуют
ограниченное число связей, равное их валентности.
Гибридизация атомных орбиталей — смешение атомных
орбиталей (АО) разных подуровней атома, электроны
которых участвуют в образовании эквивалентных ς-связей.
Эквивалентность гибридных орбиталий (ГО) объясняет
эквивалентность образующихся химических связей.
Например, в случае четырехвалентного атома углерода
имеется один 2s — и три 2p-электрона. Чтобы объяснить
эквивалентность четырех ς-связей, образованных углеродом
в молекулах CH4, CF4 и т. д., атомные одна s- и три рорбитали заменяют четырьмя эквивалентными гибридными
sp3-орбиталями:

Направленность ковалентной связи состоит в том, что она
54

образуется в направлении максимального перекрывания
орбиталей, образующих общую пару электронов.
В зависимости от типа гибридизации гибридные орбитали
имеют определенное расположение в пространстве:
sp — линейное, угол между осями орби-талей 180°;
sp2 — треугольное, углы между осями орбиталей 120°;
sp3 — тетраэдрическое, углы между осями орбиталей 109°;
sp3d1 — тригонально-бипирамидальное, углы 90° и 120°;
sp2d1 — квадратное, углы между осями орбиталей 90°;
sp3d2 — октаэдрическое, углы между осями орбиталей 90°.

ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ ОРБИТАЛЕЙ
Согласно теории молекулярных орбита-лей, молекула
состоит из ядер и электронов. В молекулах электроны
находятся на молекулярных орбиталях (МО). МО внешних
электронов имеют сложное строение и рассматриваются как
линейная комбинация внешних орбиталей атомов,
составляющих молекулу. Число образующихся МО равно
числу АО, участвующих в их образовании. Энергии МО могут
быть ниже (связывающие МО), равны (несвязывающие МО)
или выше (разрыхляющие, антисвя-зывающие МО), чем
энергии образующих их АО.
Условия взаимодействия АО
1. АО взаимодействуют, если имеют близкие энергии.
2. АО взаимодействуют, если они перекрываются.
3. АО взаимодействуют, если имеют соответствующую
симметрию.
Для двухатомной молекулы АВ (или любой линейной
молекулы) симметрия МО может быть:
55

ς, если данная МО имеет ось симметрии,
π, если данная МО имеет плоскость симметрии,
δ, если МО имеет две перпендикулярные плоскости
симметрии.
Присутствие электронов на связывающих МО стабилизирует
систему, так как уменьшает энергию молекулы по сравнению
с энергией атомов. Стабильность молекулы характеризуется
порядком связи n, равным: n = (nсв — nразр)/2, где nсв и
nразр — числа электронов на связывающих и разрыхляющих
обителях.
Заполнение
МО электронами происходит по тем же правилам, что и
заполнение АО в атоме, а именно: правилу Паули (на МО не
может быть более двух электронов), правилу Хунда
(суммарный спин должен быть максимален) и т. д.
Взаимодействие 1s-AO атомов первого периода (Н и Не)
приводит к образованию связывающей ς-МО и
разрыхляющей ς*-МО:

Электронные формулы молекул, порядки связей n,
экспериментальные энергии связей Е и межмолекулярные
расстояния R для двухатомных молекул из атомов первого
периода приведены в следующей таблице:

56

Другие атомы второго периода содержат, помимо 2s-AO,
также и 2рх-, 2рy — и 2рz-АО, которые при взаимодействии
могут образовывать ς — и π-MO.
Для атомов О, F и Ne энергии 2s — и 2р-АО существенно
различаются, и можно пренебречь взаимодействием
2s-AO одного атома и 2р-АО другого атома, рассматривая
взаимодействие между 2s-AO двух атомов отдельно от
взаимодействия их 2р-АO.
Схема МО для молекул O2, F2, Ne2 имеет следующий вид:

57

Для атомов В, С, N энергии 2s — и 2р-АО близки по своим
энергиям, и 2s-AO одного атома взаимодействует с 2рz-АО
другого атома. Поэтому порядок МО в молекулах В2, С2 и N2
отличается от порядка МО в молекулах O2, F2 и Ne2.
Ниже приведена схема МО для молекул В2, С2 и N2:

На основании приведенных схем МО можно, например,
записать электронные формулы молекул O2, O2+ и O2¯:
O2+(11ē)ςs2ςs*2ςz2(πx2πy2)(πx*1πy*0)
n = 2 R = 0,121 нм;
O2(12ē)ςs2ςs*2ςz2(πx2πy2)(πx*1πy*1)
n = 2,5 R = 0,112 нм;
O2¯(13ē)ςs2ςs*2ςz2(πx2πy2)(πx*2πy*1)
n = 1,5 R = 0,126 нм.
В случае молекулы O2 теория МО позволяет предвидеть
большую прочность этой молекулы, поскольку n = 2, характер
изменения энергий связи и межъядерных расстояний в ряду
58

O2+ — O2 — O2¯, а также парамагнетизм молекулы O2, на
верхних МО которой имеются два неспаренных электрона.

НЕКОТОРЫЕ ВИДЫ СВЯЗЕЙ
Ионная связь — электростатическая связь между ионами
противоположных
зарядов.
Ионная
связь
может
рассматриваться как предельный случай ковалентной
полярной связи. Ионная связь образуется, если разница
электроотрицательностей атомов ΔХ больше чем 1,5–2,0.
Ионная связь является ненаправленной ненасыщаемой
связью. В кристалле NaCl ион Na+ притягивается всеми
ионами Cl¯ и отталкивается всеми другими ионами Na+,
независимо от направления взаимодействия и числа ионов.
Это предопределяет большую устойчивость ионных
кристаллов по сравнению с ионными молекулами.
Водородная связь — связь между атомом водорода одной
молекулы и электроотрицательным атомом (F, CI, N) другой
молекулы.
Существование водородной связи объясняет
аномальные свойства воды: температура кипения воды
гораздо выше, чем у ее химических аналогов: tкип(Н2O) =
100 °С, а tкип(H2S) = — 61°C. Между молекулами H2S
водородные связи не образуются.

ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОТЕКАНИЯ ХИМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
(Термохимия)
Энергия (Е) — способность производить работу.
Механическая работа (А) совершается, например, газом при
его
расширении:
А
=
р
•
ΔV.
Реакции, которые идут с поглощением энергии, —
59

эндотермические. Реакции, которые идут с выделением
энергии, — экзотермические.
Виды энергии: теплота, свет, электрическая, химическая,
ядерная
энергия
и
др.
Типы энергии: кинетическая и потенциальная.
Кинетическая энергия — энергия движущегося тела, это
работа, которую может совершить тело до достижения им
покоя.
Теплота (Q) — вид кинетической энергии — связана с
движением атомов и молекул. При сообщении телу массой
(m) и удельной теплоемкостью (с) теплоты ΔQ его
температура повышается на величину Δt: ΔQ = m • с • Δt,
откуда Δt = ΔQ/(c • т).
Потенциальная энергия — энергия, приобретенная телом в
результате изменения им или его составными частями
положения в пространстве.
Энергия химических связей — вид потенциальной энергии.
Первый закон термодинамики: энергия может переходить из
одного вида в другой, но не может исчезать или возникать.
Внутренняя энергия (U) — сумма кинетической и
потенциальной энергий частиц, составляющих тело.
Поглощаемая в реакции теплота равна разности внутренней
энергии продуктов реакции и реагентов (Q = ΔU = U2 — U1),
при условии, что система не совершила работы над
окружающей средой. Если реакция идет при постоянном
давлении, то выделяющиеся газы совершают работу против
сил внешнего давления, и поглощаемая в ходе реакции
60

теплота равна сумме изменений внутренней энергии ΔU и
работы А = р • ΔV. Эту поглощаемую при постоянном
давлении теплоту называют изменением энтальпии:
ΔН = ΔU + р • ΔV, определяя энтальпию как Н = U + pV.
Реакции жидких и твердых веществ протекают без
существенного изменения объема (ΔV = 0), так что для этих
реакций ΔН близка к ΔU (ΔН = ΔU).
Для
реакций с изменением объема имеем ΔН > ΔU, если идет
расширение, и ΔН < ΔU, если идет сжатие.
Изменение энтальпии обычно относят для стандартного
состояния вещества: т. е. для чистого вещества в
определенном (твердом, жидком или газообразном)
состоянии, при давлении 1 атм = 101 325 Па, температуре 298
К и концентрации веществ 1 моль/л.
Стандартная энтальпия образования ΔНобр — теплота,
выделяемая или поглощаемая при образовании 1 моль
вещества из простых веществ, его составляющих, при
стандартных условиях. Так, например, ΔНобр(NaCl) = — 411
кДж/моль. Это означает, что в реакции Na(тв) + ½Cl2(г) =
NaCl(тв) при образовании 1 моль NaCl выделяется 411 кДж
энергии.
Стандартная энтальпия реакции ΔН — изменение энтальпии
в ходе химической реакции, определяется по формуле: ΔН =
ΔНобр(продуктов)
—
ΔНобр(реагентов).
Так для реакции NH3(г) + HCl(г) = NH4Cl(тв), зная
ΔHo6p(NH3)=-46 кДж/моль, ΔHo6p(HCl) = — 92 кДж/моль и
ΔHo6p(NH4Cl) = — 315 кДж/моль имеем: ΔH = ΔHo6p(NH4Cl)
— ΔHo6p(NH3) — ΔHo6p(HCl) = — 315 — (-46) — (-92) = — 177
кДж.
61

Если ΔН < 0, то реакция экзотермическая. Если ΔН > 0, то
реакция эндотермическая.
Закон Гесса: стандартная энтальпия реакции зависит от
стандартных энтальпий реагентов и продуктов и не зависит
от
пути
протекания
реакции.
Самопроизвольно идущие процессы могут быть не только
экзотермическими, т. е. процессами с уменьшением энергии
(ΔН < 0), но могут быть и эндотермическими процессами, т. е.
процессами с увеличением энергии (ΔН > 0). Во всех этих
процессах «беспорядок» системы увеличивается.
Энтропия S — физическая величина, характеризующая
степень беспорядка системы. S — стандартная энтропия, ΔS
— изменение стандартной энтропии. Если ΔS > 0, беспорядок
растет, если AS < 0, то беспорядок системы уменьшается.
Для процессов в которых растет число частиц, ΔS > 0. Для
процессов, в которых число частиц уменьшается, ΔS < 0.
Например,
энтропия
меняется
в
ходе
реакций:
СаО(тв)
+
Н2O(ж)
=
Са(OH)2(тв),
ΔS
<
0;
CaCO3(тв)
=
СаО(тв)
+
CO2(г),
ΔS
>
0.
Самопроизвольно идут процессы с выделением энергии, т. е.
для которых ΔН < 0, и с увеличением энтропии, т. е. для
которых ΔS > 0. Учет обоих факторов приводит к выражению
для энергии Гиббса: G = Н — TS или ΔG = ΔН — Т • ΔS.

62