БАСКИН Я. М.
Инженер путей сообщения
ЛОГАРИФМЫ
и
СЧЕТНАЯ ЛИНЕЙКА
В ОБЩЕДОСТУПНОМ ИЗЛОЖЕНИИ
ДЕВЯТОЕ ИЗДАНИЕ
156 — 185 тысяча
Издательство ПРОМЕТЕЙ
1937 год
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Предисловие к	7-у	изданию .................	3
.	к	5-у	.....................	3
,	к	3-у	и 4-у изданиям .............	4
.	к	1-у	и 2-у изданиям ..............	5
Введение .......................... 6
Глава I. Возвышение в степень...................... 7
,	II. Извлечение корня..............12
„	III. Логарифмы.................14
,	IV. Логарифмирование..............18
„	V. Таблицы логарифмов.............23
,	VI. Таблицы логарифмов тригонометрических величин.34
.	VII. Действия с простейшими линейками.....43
„	VIII. Логарифмическая линейка.........44
,	IX. Правило знаков...............52
„	X. Действия ва лннейке.............55
.	XI. Свойства „опрокинутого** движка......60
.	XII. Тригонометрические шкалы.........61
,	XIII. Применения логарифмической линейки....64
Упражнения.....................................72
Приложения.....................................89
1-е	издание вышло		в свет	в 1931		г.,	тираж	10000 экз.
2-е	•		«	в	1931	г.	п	20000 „
3-е	и	99	и	в	1932	г.		25000 .
4-е	It	»	п	в	1932	г.	я	20000 ,
5-е	»	И	Я	в	1933	г.	W	25000 .
6-е	и	It	и	в	1934	г.	W	15000 ,
7-е			99	в	1935	г.	99	25 000 ,
8-е	»	и		в	1936	г.		15 000 ,
9 е	«	и	И	в	1937	г.	Я	30000 ,
Редактор В. Минтаи	Техн, редактор М. Клуцис
Главлит Б 8309. г. Формат 62ХОДи- 6 печ. листов. 40 000 зн. в печ. ласте. Тираж 30.000. вкз.
Заказ N 2237. Цена 1 р. SO к. Сдано в набор 16/1-37 г. Подписано к печати 27/1-37 г.
Отпечатано в 31-ой типографии „Красны* печатник1* Москва, 12, ул. 25 октябре, 6,
ПРЕДИСЛОВИЕ
К 7-у ИЗДАНИЮ.
В настоящем издании заменен ряд чертежей и на основании
многочисленных указаний читателей и тщательной выверки руко-
писи исправлен ряд опечаток и неточностей. Считаю своим дол-
гом выразить особую благодарность читателям И. С. Брильянт-
щикову (Ленинград), И. К. Генерозову (Мариуполь), приславшим
мне особенно подробные и ценные указания, почти полностью
мною использованные.
Всякие дальнейшие замечания читателей будут приняты с бла-
годарностью и учтены в дальнейших изданиях книги.
АВТОР
ПРЕДИСЛОВИЕ
К 5-у ИЗДАНИЮ.
В настоящем издании исправлены замеченные опечатки и
ошибки. Кроме того, в § 29 внесена таблица выражений триго-
нометрических величин любых углов через углы I-й четверти и
в приложении дано краткое пояснение пользования таблицами
Глазенапа.
Следует обратить внимание читателя, особенно недостаточно
подготовленного, на безусловную простоту пользования табли-
цами Глазенапа, которые рекомендуем самым настойчивым
образом.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К 4-у ИЗДАНИЮ.
Настоящее издание печатается без изменений с 3-го перера-
ботанного и дополненного издания.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К 3-у ИЗДАНИЮ.
Ознакомление с логарифмами, с работой на счетной линейке
и с таблицами логарифмов возможно даже без предваритель-
ного знакомства с предыдущим курсом алгебры. Изучение лога-
рифмов возможно без всякой связи с теоретической алгеброй,
при чем популяризация здесь возможна не только не в ущерб
пониманию, но для массового читателя скорее с пользой.
Это обстоятельство дает возможность со счетной линейкой
и с работой с таблицами логарифмов ознакомить широчайший
круг неподготовленных.
Настоящее издание представляет переработку и расширение
нашей книги, вышедшей в 1-м и 2-м изданиях под названием:
„Счетная линейка".
Внедрение линейки в массы сделалось в настоящее время
осуществимым, так как издательство „Прометей" начало
массовый выпуск на рынок счетных линеек, изготовленных по
способу автора этой книги иЕ. Клещева.
Желающие изучить теорию и практику только счетной ли-
нейки и не знакомые с тригонометрией должны пропустить
§§ 21 —34; §§ 60— 63 и § 70.
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЕРВОМУ И ВТОРОМУ ИЗДАНИЯМ.
Принцип, положенный в основу логарифмической (счетной)
линейки, по существу весьма простой, требует безусловного
понимания до конца. Только при этом условии обращение с ли-
нейкой не представит обычных трудностей. Что эта простая
истина далеко не всеми усвоена, можно судить хотя бы по тому
часто встречающемуся случаю, что многие из работающих на
линейке долгое время не отдают себе ясного отчета, почему,
например, для результата подсчета безразлично—пользоваться ли
начальным или конечным штрихом движка.
Если составить себе ясное представление об идее, положен-
ной в основу счетной линейки, тогда почти нет нужды изучать
по руководствам отдельные частные приемы вычислений. Навык
в этом приобретается самостоятельно, пост пенно. Поэтому
о нашем руководстве главное внимание удллгно основам, пони-
манию идеи линейки и меньше отдельным видам вычислений.
Особенное внимание при изучении необходимо обратить на
•следующие места:
§ 13—о свойствах десятичных логарифмов и §§ 38, 39, 40,
41, 42, 43, посвященные правильному чтению делений на шка-
лах.
Так как изучение основных действий на линейке мы желали
сделать понятным для людей малоподготовленных, то старались
вести изложение в возможно популярной форме. В отношении
•более сложных действий по необходимости нельзя было избе-
жать некоторых специальных терминов и формул, ибо популя-
ризация их завела бы нас слишком далеко.
Инженер $. М. РАСКИН
ВВЕДЕНИЕ
Теория логарифмов представляет собой метод вычислений,
значительно упрощающий обычные приемы.
Приведем следующий случай. В некоторых сборниках задач
„На досуге" встречается вопрос: „какое наибольшее число
можно написать тремя цифрами?"
Как известно, число это имеет следующий вид:
9(9‘)
Результат этого выражения содержит в себе около 370 мил-
лионов знаков!
Чтобы получить такой результат путем обычного умноже-
ния, даже на счетной машине, потребовались бы, по всей веро-
ятности, месяцы работы. Между тем, при помощи логарифмов
задача эта с точностью, не меньшей, чем на счетной машине,
может быть решена в 10—Л 5 минут. По ознакомлении с лога-
рифмами, в тексте будет дано решение этой задачи.
Счетная (логарифмическая) линейка представляет собой
дальнейшее гениальнейшее применение и упрощение вычислений
на основе теории логарифмов.
Глава 1.
Возвышение в степень.
§ 1. Изучение свойств одного частного случая умножения
когда все множители равны между собой, представляет большой
практический интерес и имеет большое практическое приложе-’
ние в математике.
Например, следующий случай:
3.3.3 3.3.3................ или
4.4.4.4.4.4.............
Сокращенно эти случаи равных между собой множителей
записываются так: пишут число, которое требуется повторить
сомножителем, а над ним сверху, справа ставят другое число,
выражающее, сколько раз данное число должно быть повторено
сомножителем.
Так например:
3 берется сомножителем один раз; обозначим его так З1
3.3.	п	„	два раза . .	...........З2
3.3.3.	„	„	три..........................З3
3.3.3.3.	„	п четыре раза........................З4
и т. д.
ИЛИ
14.14.14.14.	берется сомножителем четыре раза = 14«
14 14.14.14.14.14.14.	„	„ семь раз —147
Число, которое берется сомножителем (в предыдущем примере
3; 14), называется основанием степени.
Значок, указывающий, сколько раз данное число взято
сомножителем, называется показателем степени.
Вычисление результатов выражений, которые мы сейчас изу-
чаем, например:
7* = 7,7.7.7 =2401
438 = 43.43.43 = 79507 и т. д.
называется возвышением в степень.
В первом примере: 7 — основание степени, 4 — показатель
степени, 2401—четвертая степень „7“.
Во втором примере: 43 — основание степени, 3 — показатель
степени 79507 — третья степень числа „43*.
. 8 —
§ 2.	Перейдем к действиям над интересующими нас произ-
ведениями одинаковых сомножителей, т. е. над числами в сте-
пенях.
Сложение двух или нескольких чисел в степенях возможно
лишь после того, когда будут определены произведения каждого
из них в отдельности.
Например, чему равно 84 + в4?
Вычисляем отдельно: 84 = 8.8.8.8 = 4096
Также отдельно:	83 = 8.8.8 = 512
Только после этого можно произвести сложение и вычислить
сумму.
84 + 88 = 4096 + 512 = 4608.
Другой пример: 43 + 52 + 7Б?
Вычисляем отдельно: 43 = 4.4.4	=	64
52 = 5.5	=	25
75 = 7.7.7.7.7 = 168<)7
а искомая сумма: 48 + 52+7Б = 64+25+16807=16896.
§ 3.	Вычитание производится тем же порядком. Сначала
определяются отдельно произведения, а затем вычисляется ре-
зультат.
134 — 10г?	134= 13.13.13.13=28561
102= 10.10	= 100
разность 134 —102 — 28561 — 100	= 28461
§ 4.	Умножение. Здесь возможно вычислить искомый резуль-
тат или обычным путем, как в случаях сложения и вычитания;
например: 54Х53?	54 =5.5.5.5 = 625
53 = 5.5.5 =125
54 X 53 = 625 X 125 = 78125
или же следующим измененным порядком, который имеет для
нас очень большой интерес.
Могут представиться два случая:
а) основания равны;
пример: З4 X З2?
Это произведение можно написать несколько иначе:
3.3.3.3 х з.з
4 раза 2 раза
что, очевидно, можно представить и в таком виде:
3.3.3.3.3.3
6 раз
или, по нашему сокращенному обозначению, З6, т. е. новый пока-
затель степени „6“ равен сумме показателей степеней сомножи-
телей (4 + 2 = 6).
— 9 —
Окончательного результата мы не получили, да и получение
его в данном случае не отличалось бы от простого умножения,
но если бы мы имели таблицы, в которых значения осно-
ваний в разных степенях были бы вычислены
заранее, то результат мы могли бы получить,
не производя умножения. Отметим и запомним это об-
стоятельство.
Приведем еще несколько примеров:
2БХ24 —2.2-2.2.2X2-2.2.2 =
5 раз 4 раза
= 2.2.2.2.2.2.2.2.2=29
9 раз
Здесь, опять-таки, принимая во внимание одинаковое осно-
вание, показатель степени произведения равен сумме показате-
лей множителей.
И вообще зто правило, как можно в том убедиться, распро-
страняется на все случаи подобного рода умножений.
Если бы надо было помножить несколько количеств при
одном и том же основании, например:
63 X 6° X 62 X 6, мы могли бы написать
6.6.6 X 6.6.6.6.6 X 6-6 X 6
3 раза 5 раз 2 раза 1 раз
это составило бы:
6.6.6.6.6.6.6.6 6.6.6 = 63 + Б + 2 + 1 = 611
11 раз
Отсюда можно вывести следующее крайне важное для нас
правило:
Если умножаются степени какого- нибудь
числа, то произведение равно этому же числу
(основанию) в степени, равной сумме степеней
всех сомножителей.
В вышеприведенном примере умножались:
63 X 6Б X 62 X 6
т. е. третья, пятая, вторая и первая степень 6 (основания).
Результат равен 611, т. е., тому же основанию, но в степени
3	5Ц—2—|— 1 = 11, равной сумме степеней всех сомножителей.
Пример: 84 X 8е X 82 X 810 = 84 +6 +2 +10 = 82а.
— 10 —
б) Основания не равны;
5* X 78? Здесь для получения результата надо отдельно вычи-
слить, чему равно 54, отдельно 78 и полученные количества
между собой перемножить-
54 =	625
78 =	343
625X343 = 214375
Отметим то крайне интересное и важное обстоятельство,
что если бы нам удалось 54 = 625 представить в виде 7 в ка-
кой-то степени (пока неизвестной), или 7s = 343 представить,
в виде 5 в какой-то тоже пока неизвестной степени, то мы при
умножении могли бы применить наше правило сложения показа-
телей степеней количеств при равных основаниях, а если бы
иметь и соответствующие, ранее вычисленные таблицы, то и
результат получить, не производя вычислений.
§ 5. Для нас также представляют интерес случаи умножения,
когда приходится возводить степень в степень, например:
58.53, или сокращенно, пользуясь нашими прежними обоз-
начениями, это можно записать так:
58.58 = (58)2. Степень „2“ означает попрежнему, что 58 взято
сомножителем два раза. Скобки в данном случае, как и в при-
мерах нижеприводимых, обязательны, ибо они обозначают, что
в степень возводится все количество, в данном случае 53.
Вычислим приведенный выше пример:
(53)2 = 58.58 =
5.5.5
3 раза
5.5.5
3 раза
= 58Х2 = 5®
пример:
(74)8=7*. 74.7< = 2132 х 7_233 х LLLZ
4 раза 4 раза 4 раза
пример:
(узу - 7-7.7 7-7.7 _ 7-7.7 - -1	__73 х *— 712.
Зраза Зраза Зраза Зраза
Отсюда выводим правило:
При возведении в степень какого-нибудь ко.
личества, выраженного через основание в сте-
пени, показатели степеней (в первом случае 3 и 2;
во втором 4 и 3; в третьем 3 и 4) перемножаются меж-
ду собой.
(115)8 = 115Х И5 Х115=П5Х8 = 1115
(34), = 34X’z=328
(3'1)4 = 37х* — З28
—11 -
§ 6.	Деление. Здесь опять возможны два случая:
а)	Основания равны;
2е: 24? Представим это выражение в таком виде:
Х-Я-Я-Х-2.2 ___ 2.2 о2
X-X-Z-Z- --------i— — 2 • Производя сокращения одинако-
вых множителей в делимом и делителе, получим частное =
26-4 = 23 = 4
Зв : З3?
W-3.3. _ 3.3 _ зг
/.Х.Х	1
после сокращения одинаковых множителей в делимом и делителе
результат = З5 — 3 = З3.
Отсюда правило: при делении двух количеств, взятых
при одном и. том же основании, частное равно тому же
основанию в степени, равной разности степеней делимого
и делителя.
Правило это верно и в том случае, если показатель степени
делимого меньше показателя степени делителя.
Это видно хотя бы из следующего примера.
1) 9В :		93	9,9.	9.9	= 9Б~В = 92
				1	
2)	9В :	94	Я-Я-Я.Я.	_ 9 ' 1	— 9в-4 = 91
3)	9В :	9В	Я.Я.Я.Я.Я.	_ 1 1	— 9В-В = 9*
4)	9В :	9®	я. Я-Я.Я.Я.М.9.	_ 1 9	= 9в-« = 9-1
5)	ОБ .	97	_Я.Я-Я.ЯХ	1	ОБ — 1	0 — 2
			Я.Я.Я.Я.Я.9.9.	~ 9.9		У — У
Из этих случаев интересны:					
Случай 3) 9В:9Б — 9° = 1, т. е. 9®= 1, а так как нуле-
вая степень получится всегда, когда показатели степеней
равны, т. е. когда число делится без остатка на себя самое, то
отсюда следует, что всякое (естественное} число в нулевой
степени равно единице.
Случаи 4) и 5) Из этих случаев, которые легко можно
продолжить и расширить, следует, что число в отрицательной.
— 12 —
степени равно единице, деленной на то же число в поло-
жительной степени.
б)	Основания не равны.
Здесь, как и в аналогичном случае умножения, если бы коли-
чества при различных основаниях можно было бы представить
в виде численно равных им количеств при одинаковых основа-
ниях, волрос свелся бы к вычитанию из показателя степени
делимого показателя степени делителя и к нахождению по таб-
лицам (если бы таковые у нас имелись) результата (частного
от деления).
Глава II.
Извлечение корня.
§ 7.	Извлечение корня — действие, обратное возвышению
в степень.
Корнем какой-либо степени из какого-либо числа называется
такое число, которое, будучи обратно возвышено в эту степень,
даег число, из которого извлекался корень.
Например: корнем 2-й степени из числа 9 будет число „3“,
ибо „3“, возведенное во вторую степень, т. е. З2, дает 9, т. е.
то число, из которого извлекался корень. Корень 3-й степени
из числа 64 равен 4, ибо 4я = 4.4.4 = 64.
Сокращенно „извлечь корень“ обозначается знаком у/ и
предыдущие примеры надо записать так:
2 /--- з /-----------------
I/ 9=3	I/ 64 = 4 *)
2 /---
Прим. I /	, обычно для сокращения записывается . Таким
образом отсутствие числа над корнем указывает на то, что
требуется извлечь корень второй степени.
з /-- з /------------------------------------
§8.	1/ 64 можно написать и так: \/ 2е =
з /------------
~|/ 2ЭХ 22 X 22 =23 = 4. Здесь 2г получилось в результате
деления подкоренной степени „6“ на „3й, т. е. на ту степень,
корень который надо извлечь.
4 /--- 4 J------	4 J---
I/ 6561 - 1/ З8 = 1/ (3V = (З2)1 = З2 = 9. Здесь опять-таки,
чтобы получить результат, подкоренную степень „8“ надо раз-
делить на 4.
*) Здесь и в дальнейшем перед корнями оставляем только знак
— 13 —
Отсюда правило: для извлечения корня из степени (а мы
старались числа: 64; 6561; 150'51 представить в виде сте-
пеней), надо показателя степени разделить на показате-
ля корня.
Во всех предыдущих примерах мы нарочито извлекали корень
из чисел, которые можно было представить в виде какого-то
основания: питого числа, в какой-то степени.
Делали мы это потому, чтобы на простейших, очевидных
примерах вывести правило извлечения корней.
В алгебре доказывается, что это правило распространяется
на любые числа, в том числе и дробные. Таким образом, если бы
мы могли каждое число предстагить в виде основания в какой
степени и обратно: сумели бы любую степень числа, включая и
дробную (например 19°'73; 251да; 27зд5 и т. д.) вычислить, то
руководствуясь выведенным выше правилом, смогли бы извлечь
корень любой степени из любого числа.
Если бы потребовалось извлечь }/" 5, то нельзя подобрать
никакого целого или дробного числа, которое, будучи помножено
самое на себя, дало бы точно „5“. То же ив следующих при-
мерах:
|/ 17; у/ 17;	|/ 35 и т. д.
Корни из таких чисел могут быть извлечены лишь со сте-
пенью приближенности, точность которой нам желательна.
Правила извлечения корней из таких количеств даются
в алгебре, а корни выше четвертой степени извлекаются лишь
путем так называемого „логарифмирования". На практике извле-
чение корней почти всегда производится только путем логариф-
мирования, о чем речь и будет ниже.
§ 9. Прежде, чем перейти к основной нашей задаче, к озна-
комлению с логарифмами, мы сведем в одно все упомянутые
выше правила, при чем надо иметь в виду, что правила эти
действительны во всех случаях, хотя бы числа были дробные,
отрицательные и т. д.
а)	При умножении степеней одного и того же числа
показатели их складываются
83Х81Х8:,Х8б — 83 + 4 + - + б = 8’6
12.2'2Х 12,24Х 12.23 = 12,2’-i-l-s-l-4 —12,2s
0,941,5 • 0,947’5 • 0,942.4 = 0,94'-3 + 7'5 + 2>'1 = 0,94й-4
б)	При делении cmeneneti одного и того же числа пока-
затель делителя вычитается из показателя делимого
уВ . 76- уз - 6 - 73
11,03®: 1 l,03s= 11,ОЗ1 — 11,03
648.5: 647-2=648,5 -7 2 = 641-3
— 14 —
в) Чтобы возвысить степень в степень, надо перемно-
жить показателей этих степеней
(12s)5= 12аХь= 1216
(7,045/ = 7,045 X « — 7,0430
(7,04li)6 = 7,04° X в — 7,0430
г) Чтобы извлечь корень из степени, достаточно разде-
лить показатель степени на показателя корня
5 /------ 12
I/ 14510 = 145 5 = 1452
/-------- —
1/ 0,5353=0,535 2 = 0,5351-Е
Глава III.
Логарифмы.
§ 10.	Приведенные рассуждения, в том виде, в каком
они даны выше, почти не могут иметь самостоятельного
практического значения, но в большей мере помогут нам уяснить
самую идею и свойства логарифмов.
Составим следующую таблицу:
2° =	1	210 =	1024
2' =	2	2и =	2048
22 =	4	212 =	4096
23 =	8	213 =	8192
24 =	16	214 =	16384
2Б =	32	216 =	32768
2В =	64	216 =	65536
27 =	128	217 =	131072
28 =	256		
29 =	512	и т. д.; и т. д.	
Допустим, нам надо перемножить два числа 32 X 256 (числа
нарочито выбраны из имеющихся в таблице).
Умножение произведем следующим порядком:
По таблице находим: 32 = 25
256 = 28
Таким образом здесь, благодаря таблице, два разных количе-
ства, 32 и 256, нам удалось выразить через одно и то же осно-
вание в разных степенях).
По предыдущему: 32Х 256 = 25 Х28 = 2Б + 8 = 213. Обратно
находим по таблице число, соответствующее 219.
213 = 8192, следовательно:
32X256 = 8192.
Мы получили результат, не прибегая к умножению,
а заменив его сложением показателей степеней.
— 15 —
Еще пример: 128X512?
5^2—2^ 128X512 = 27X29 = 27 + 9 = 216
По таблице 216= 65536, следовательно 128X512 = 65536.
Требуется разделить 32768 на 4096?
По таблице: 32768 = 21ь
4096 = 212
32768:4096 = 21Б: 212 = 21» -12 = 2s
По таблице: 2s = 8
Следовательно, 32768 : 4096 = 8.
Здесь деление заменено вычитанием.
Относительно возведения в степень и извлечения корня речь
будет итти ниже.
§ 11.	Однако в приведенной выше таблице имеется целый
ряд пропусков.
Нет степеней для чисел:
3
5, 6, 7
9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
17, 18, 19, 20......................31
33, 34, 35, 36......................63
и т. д., и т. д.
Степень числа 3 при взятом нами основании 2 будет заклю-
чаться между 1 и 2 потому, что 21 = 2; 22 = 4, следовательно
2-- 2 1 С дробью.
Степени чисел 5, 6, 7 будут заключаться между 2 и 3, так
как 22 = 4, а 23 = 8; т. е. степени чисел 5, 6, 7 при взятом
нами основании 2 будут равны 2 с какой-то дробью и т. д., и
т. д.
Таблица эта нами не приводится и потому, что на практике
употребляются таблицы, где основанием принято число „10“.
Выбор этого основания не случаен, а необходимо вытекает
из всей нашей десятичной системы счисления. Это будет пояс-
нено ниже.
Методами, излагаемыми в курсах высшей математики, можно
вычислить показатели степеней любого числа при любом основа-
нии. Таким образом, всякое число может быть выражено через
основание в степени. Таблицы, в которых даны вычисленные
заранее степени чисел при одном и том же выбранном основа-
нии, называются таблицами логарифмов. В дальнейшем мы будем
пользоваться только таблицами, вычисленными при основании 10,
так называемыми таблицами десятичных логарифмов.
— 16 —
§ 12.	Введем принятые в математике наименования: логариф-
мом какого-либо числа называется показатель степени,
в которую нужно возвысить основание, чтобы получить
данное число.
Например, по таблице § 10 при основании „2“ логарифм
8 будет = 3, логарифм 128 будет = 7, логарифм 8192 бу-
дет = 13 и т. д.
Сокращенно это записывается так:
Lg2 8 = 3; Lg2 128 = 7; Lg2 8192 = 13.
Что значит: логарифм 8 при основании 2 = 3.
Логарифм 128 при основании 2 = 7 и т. д.
Целая часть (до запятой) логарифма называется характери-
стикой, дробная—мантиссой.
Теперь правила, изложенные в § 9, мы можем записать так:
При равных основаниях:
а)	Логарифм произведения равен сумме логарифмов
сомножителей.
б)	Логарифм частного равен логарифму делимого без
логарифма делителя.
в)	Логарифм степени равен показателю этой степени,
умноженному на логарифм возвышаемого числа.
г)	Логарифм корня равен логарифму подкоренного числа,
разделенному на показателя корня.
Примечание. Правила „в" и „г“ вполне понятны на
основании рассуждения § 8 и § 9, если принять во внима-
ние, что речь идет о числах, выраженных через основания
в каких-то степенях.
§ 13.	Крайне важные преимущества десятичных логарифмов
приноровленных именно к нашей „десятичной" системе счисле-
ния, суть следующие:
а)	Характеристика логарифма определяется весьма легко при
одном взгляде на число. Чтобы уяснить это, составим следую-
щую таблицу:
10°=	1	104=	10.000
10д=	10	105= 100.000
103=	100	10е =1.000.000
10s =1000	и т. д.
Всякое однозначное число заключается между 1 и 10, следо-
вательно, его характеристика равна 0. Всякое двузначное число
заключается между 10 и 100. Следовательно, его характеристика
равна 1. Трехзначное число заключается между 100 и 1000, его
характеристика = 2. Четырехзначное заключается между 1000 и
10 000, его характеристика = 3 и т. д.
Отсюда правило: характеристика логарифма числа
большего 1, равна числу цифр в целой части данного чис-
ла без единицы.
- 17 -
Характеристика: 7 равна 1 — 1 = 0, потому, что 7 заключается
между 0 и 10
„	73 равна 2 —1 = 1, потому, что 73 заключается
между 10 и 100
„	7,3 равна 1 —1=0, потому, что 7,3 заклю-
чается между 0 и 10
„	6492 равна 4—1 = 3, потому, что 6492 заклю-
чается между 1000 и 10.000
,	649,2 равна 3—1 = 2, потому, что 649,2 заклю-
чается между 100 и 1000
я 6,492 равна 1 —1=0, потому, что 6,492 заклю-
чается между 0 и 10.
Данную в этом параграфе таблицу степеней числа 10 про-
должим в обратную сторону.
В § 6 было указано, что всякое число в отрицательной сте-
пени равно единице, деленной на то же число в положительной
степени, следовательно, и обратно:
IQ- =0,1	=10'1; характеристика =—1
ТйГ=0.01		=-2
ТИГ^ОО! =10-’	"	=~3
^=0,0001 = 1О<;	.	=-4ит.«.
Следовательно, характеристика логарифма числа, мень-
шего I (десятичной дроби), содержит столько отрицатель-
ных единиц, сколько находится нулей слева от первой
значущей цифры числа, включая сюда и О целых.
Характеристика логарифма 0,532 = — 1
я	„	0,0013 = —3
,	„	0,0102 = — 2 и т. д.
б)	Мантиссы логарифмов всех чисел, отличающихся между
собой по величине в 10, 100, 1000 . . и т. д. раз, равны меж-
ду собой.
Например, равны между собой мантиссы ряда
4320; 0,0432; 43,2; 43200 .............
или 74; 74000; 0,00074; 0,074; 7,4.........
Закон этот легко понять.
Возьмем ряд чисел, имеющих одинаковые мантиссы, например:
8,94; 89,4; 894; 8940; 0,00894 . . .
18 —
Но 89,4 = 8,94X10- По предыдущему при умножении лога-
рифмы складываются, следовательно
1g 89,4 —lg 8,94 -j-lg 10
(основание не обозначаем, ибо здесь и в дальнейшем будем
принимать его равным 10).
Так как 1g 10 число целое = I, мантисса которого =0,
то к характеристике логарифма 8,94 прибавится 1, мантисса же
останется без изменения.
0,00894= 8,94 :	1000
Zg-0,00894=Zg8,94 — lg 1000
по предыдущему 1g 1000 = 3, т. е. равен опять целому числу,
которое изменит характеристику, мантисса же останется без
изменения.
Итак, характеристики логарифмов чисел при основании 10
определяются простым видом числа, следовательно достаточно
вычислить заранее лишь мантиссы логарифмов, чтобы опреде-
лить полный логарифм числа.
Глава IV.
Логарифмирование.
§ 14.	Следует заметить, что, за немногими исключениями,
если логарифм числа нельзя выразить точно целым числом, то
он не может быть выражен точно и дробью.
Поэтому результаты вычислений, при наличии логарифмов,
обладают лишь некоторой приближенностью, сте-
пень которой зависит от точности, с которой логарифм вы-
числен.
Существуют таблицы с 3 — 5—7 и более десятичными зна-
ками.
Наиболее употребительны таблицы с пятью десятичными
знаками. В конце настоящего руководства приложена таблица
трехзначных логарифмов чисел от 0 до 1000, и здесь мы дадим
правила пользования этой таблицей, а в следующей главе изло-
жим правила пользования пятизначными таблицами.
§ 15.	Вертикальный ряд под литерой ДА обозначает числа от
1 —100. Мантиссы этих чисел даны против каждого из них
в вертикальном столбце под литерой 0.
Напр. мантисса 72 = 0,857
„	63	=	0,799
,	3	=	0,477
„	44	=	0,643 и т. д.
— 19
Мантисса числа, большего 100, напр. 235, находится в месте
пересечения 23-го горизонтального ряда и вертикального столбца
с литерой 5. Мантисса логарифма 235 = 0,371.
Также:
Мантисса логарифма числа	748 равна	0,874
»	Я	W	644	„	0,809
п	»	и	Ш „	0,045
99	99	П	342	»	0,534
99	ЯН	964 „	0,984
Найдем теперь полные логарифмы	чисел.	
Найти 1g 4,95. По предыдущему, в характеристике столько еди-
ниц, сколько цифр до запятой без единицы, сле-
довательно, она равна 1 — 1=0.
Мантисса = 0,695
1g 4,95 = 0,695
Найти 1g 49,5. Здесь характеристика = 2 —1 = 1.
Мантисса та же: 0,695, следовательно.
1g 49,5=1,695.
lg 0,0832 = 2,920. Над характеристикой ,2“ черточка
сверху обозначает, что характеристика отрицательна.
Следовательно, логарифм состоит из двух величин: отрица-
тельной—2 и положительной -|- 0,920. Таким образом, если бы
мы пожелали иметь логарифм одного знака, надо было бы из
большего по абсолютной величине числа 2 вычесть меньшее
С,920 и поставить знак большего.
| 2 | — | 0,920 | = | 1,080 |
1g 0,0832 = —1,080
Обычно при пользовании логарифмами подобные вычисления
никогда не производятся и у подобных чисел, меньших единицы,
характеристика всегда отрицательна, а мантисса положительна.
Это много упрощает обращение с логарифмами, что и будет
видно из дальнейшего.
Примеры:
Число	Характе- ристики	Мантиссы	1g	Примечание:
54,6	1	0,737	1,73719	до запятой 2 знака, характ. 2 —1 = 1
0,00546	— 3	0,737	3,73719	до значущей цифры 3 ноля, характ. = — 3
984	2	0,993	2,99300	до запятой 3 знака, характ. 3 —1=2
0,984	— 1	0,993	“,99300	до значущей цифры 1 ноль, характ. — 1
0,210	— 1	0,322	1,32222	то же
210	2	0,322	2,32222	до запятой 3 знака, характ. 3 —1=2.
— 20 —
§ 16.	Если требуется по данному логарифму найти соответ-
ствующее ему число, то поступают следующим образом. Не об-
ращая внимания на характеристику, по данной мантиссе оты-
скивают соответствующее ей число. Характеристика служит
лишь для определения места запятой (числа знаков до запятой).
Сокращенно выражение: найти число, соответствующее логариф-
му, записывается так: Nig.
Найти Nig 0,441?
По таблице: мантисса 441 находится в 27 горизонтальном
ряду под литерой „6“, следовательно, соответствующее мантиссе
число будет 27G.
Характеристика 0 указывает, что до запятой надо отделить
одну значущую цифру
Nig 0,441= 2,76
Nig 2,210= 162
Nig 0,210 = 1,62
Nig 2,210 = 0,0162
Nig 1,442= 0,277
Nig 3,566= 3680 (недостающие цифры
заменяются нолями).
§ 17.	Может случиться, что дано четырехзначное число и
требуется найти его логарифм. Тогда логарифм находится по
так называемой интерполяции между двумя соседними числами.
Например: найти 1g 1232.
Мантисса 1g 124 = 0,093
„ lg 123 = 0,090
Разница:	1; — 0,003
Разница 0,003 мантиссы падает на единицу. Следовательно,
на следующую за ,123“ значущую цифру „2“ разница будет
равна (ноли для удобства отбрасываем)
мантисса 1g 1232 будет равна 0,0906
и 1g 1232 = 3,0906
и обратно: если мантисса не содержится в таблицах, то число,
ей соответствующее, находится по интерполяции между мантис-
сами, имеющимися в таблице.
Напр. Nig 1,132?
В таблицах нет мантиссы „132“, а есть:
мантисса „130“, которой соответствует число 135
„	„134“	„	„	„	136
Следовательно, искомое число будет заключаться между „135“
и „136".
— 21 —
Разнице чисел в „1“ (136—135) соответствует разница
мантисс „4“ (134—130). Следовательно, разнице „2* (132—130)
1X2
соответствует число Q = 0,5
и Nig 1,132=13,55.
Если дано число более, чем четырехзначное, то при пользо-
вании таблицами трехзначных логарифмов мантисса находится
только для первых четырех знаков числа, при чем число округ-
ляется, так что, если отбрасываемая часть равна половине или
больше следующего влево десятичного знака, то к нему прибав-
ляется единица.
Lg 143562? мантисса для „1436“.
Lg 143562 = 5,1552. Собственно мантисса получается 0,15518,
но здесь также делается округление.
§ 18.	Воспользуемся теперь предыдущими рассуждениями
для решения ряда задач.
Опять-таки напоминаем, что результаты вычислений посред-
ством логарифмов получаются приближенные, тем более точные,
чем с большим количеством знаков вычислены мантиссы лога-
рифмов.
При употреблении нашей таблицы логарифмов с тремя зна-
ками результаты будут соответствовать результатам, получае-
мым при помощи „нормальной'* 25«-сантиметровой логарифмиче-
ской линейки.
Требуется умножить 732,4 X 83,2.
Lg 732,4 будет равен 2,865; lg 83,2 равен 1,920.
Так как при умножении логарифмы складываются, то лога-
рифм произведения равен
. 2,865
+ 1,920
4,785
и число, соответствующее этому логарифму (по таблице),
Nig 4,785 = 60900.
В действительности 732,4 X 83,2 = 60935,68; ошибка (степень
приближения) 0,06% (шесть сотых процента).
Второй пример:
4,08X79,82.	. lg 4,08=0,611
+ /g 79,82= 1,9022
2,5132
Для того, чтобы определить число, соответствующее этому
логарифму, находим по таблице логарифмов:
Nig 2,513 = 326
Nig 2,514 = 327
— 22 —
тогда Nig 2,5132 по интерполяции будет = 326,1. Более точный
результат: 4,08 X 7982 = 325,6656,
ошибка 0,16%.
При употреблении пятизначных или семизначных логариф-
мов результаты были бы, конечно, много точнее полученных
нами при помощи „трехзначных" логарифмов.
§ 19.	При делении логарифмы вычитаются.
Найти 642,76: 1,372.
1g 642,76 =2,808
lg 1,372 = 0,137
Вычитая из логарифма делимого логарифм делителя, получим:
2,808—0,137 = 2,671
и число, соответствующее этому логарифму
Nig 2,671 = 469
(точнее 468,483).
Пример: 42,13?
Так как при возвышении в степень логарифм
числа умножается на показателя степени, то:
lg 42,1 = 1,624
3 X 4^2,1=3X1.624 = 4,872
и число, соответствующее этому логарифму
Nig 4,872 = 74500
Пример:	982
lg 982 = 2,992. Так как при извлечении корня ло-
гарифм подкоренного числа делится на показа-
теля корня, то
2,992:3 = 0,997
и число, соответствующее этому логарифму, Nig 0,997 = 9,93.
§ 20.	Особенно удобно употребление логарифмов, когда тре-
буется произвести несколько действий одно за другим и не вы-
числяя промежуточных результатов, необходимо найти лишь
окончательный.
Пример: 4,32 X 53,53
127
находим: lg 4,32 = 0,635
/g 53,5 = 1,728, а
lg (53,5)3 = 3 X lg 53,5 = 3X1,728 = 5,184
lg 127 = 2,104
Логарифм числителя равен 0,635
+ 5,184
5,819
Логарифм дроби:
5,819 — 2,104 = 3,715
Nig 3,715 = 5190 (точнее 5208,8).
— 23 -
Примеры
37,2 X 0,035=1,302	lg 37,2 = 1,571 lg 0,035 = 2,544 1,571 Н- 2,544 = 0,115 Nig 0,115 = 1,302
3210X4,35=13960 (точнее 13963,5)	Lg 3210 = 3,507 /g 4,35 = 0,638; 3,507 + + 0,638 = 4,145 Nig 4,145 = 13960
6420:19,8 = 324 (точнее 315,15)	lg 6420=3,808 lg 19,8 = 1,297; 3,808 — — 1,297 = 2,511 Nig 2,511=324
372:0,056 = 6650 (точнее 6642,85)	lg 372 = 2,571 lg 0,056 = 2,748; 2,571|— — 2,748 = 3,823 Nig 3,823 = 6650
(4,12)2= 17 (точнее 16,974)	lg 4,12 = 0,615 0,615X2=1,230 Nig 1,230=17
(0,0361)3 = 0,0000472	lg 0,0361 =2,558 2,558 X 3 = 5,674 Nig 5,674 = 0,0000472
/419,2=20,45	lg 419,2 = 2,622; 2,622:2=1,311 Nig 1,311=20,45
^0,0821=0,435	lg 0,0821 = 2?914; 2^914 : 3= Г,638 Nig 1,638 = 0,435
Глава V.
Таблицы логарифмов.
Наиболее употребительными у нас в СССР таблицами лога-
рифмов являются таблицы Пржевальского *) и Глазенапа.
Первые сложнее по обращению. Поэтому мы разберем их по-
дробнее, ибо знакомство с ними достаточно, чтобы понять кон-
струкцию любых других таблиц.
ПЯТИЗНАЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ ЛОГАРИФМОВ ПРЖЕВАЛЬСКОГО.
Логарифмы чисел.
§ 21.	Логарифмам чисел посвящена таблица 1 от стр. 29 до
стр. 59.
На стр. 29 даны мантиссы чисел от 0 до 99, причем числа
выписаны в столбце N, а мантиссы—в столбце с надписью Log.
Например: lg 55=1,74036. Мантисса 74036 взята из табли-
цы, а характеристика 1 определена согласно правил, изложен-
ных выше (двухзначное число).
lg 87 =£93952
lg 0,18=1,25527
На следующих страницах (29 — 59) даны мантиссы чисел от
100 до 10009.
*) Руководствуемся 15-м стереоти иным изданием 931 г. Ссылки в этой
следующей главе относятся к страницам таблиц Пржевальского.
— 24 —
Числа от 100 даны в столбце с литерой N, а мантиссы их—
в столбце О. Столбцы с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 слу-
жат для определения мантисс чисел от 1001 до 10009.
Соответствующая числу мантисса находится в месте пересе-
чения соответствующих горизонтальных строк с вертикальными
столбцами.
В конце книги приложена копия страницы 30 таблиц лога-
рифмов Пржевальского, на которую мы будем постоянно ссы-
латься в наших об'яснениях и ряде примеров.
Первые две цифры мантисс, общие нескольким логарифмам,
выписаны только один раз в столбце О и в дальнейших столб-
цах 1, 2, 3..........9 — не повторяются. Так что в этих
столбцах даны три последние цифры мантисс; первые же две
надо брать из столбца О; причем необходимо запомнить:
если перед тремя знаками есть звездочка — первые две циф-
ры надо брать не предыдущие, а последующие.
Покажем на примерах пользование таблицами.
Помощью таблиц могут быть решены две задачи:
1. по данному числу найти его логарифм;
2. по данному логарифму найти соответствующее ему число.
Причем в том и другом случае число или логарифм могут
находиться или не находиться в таблицах.
Нахождение логарифмов чисел.
§ 22. Мантиссы логарифмов двух-, трех- и четырехзначных
чисел в таблицах имеются. Логарифмы *) двухзначных чисел
берутся с таблицы на стр. 29. По существу без этой таблицы
можно было бы обойтись, потому что мантиссы логарифмов
этих чисел можно найти на следующих страницах, так как
мантиссы 2, 20, 200 или 17, 170 или 8, 80, 800 равны между
собой, и если таблица эта дается, то только для удобства.
Найдем логарифмы		чисел, пользуясь	раз'яснениями § 21.
lg 106?	(стр. 30)	мантисса 02531**	) lg 106 = 2,02531
lg 114?	(стр. 30)	„	05690	lg 114 = 2,05690
lg 117?	(стр. 30)	„	06819	lg 11,7 = 1,06819
lg 49,2?	(стр. 43)	„	69197	lg 49,2=1,69197
lg 0,501?	(стр. 43)	„	69984	lg 0,501 = 1,69984
lg 99800?	(стр. 59)	„	99913	lg 99800 = 4,99913
Найти lg 1045. В		месте пересечения	i горизонтальной строки
с числом 104 (стр. 30) с вертикальным			столбцом под литерой 5,
находим три	। последние знака мантиссы 912. Чтобы получить		
*) Хотя в таблицах даны только мантиссы логарифмов, для сокраще-
ния будем их иногда называть просто логарифмами.
•*) Мантисса lg 106 равна, конечно, 0,02531 так же, как и другие ман-
тиссы выражаются через 0............с	дробью. Однако, для упрощения
0 мы не будем писать.
— 25 —
всю мантиссу, надо прибавить первые два знака 01, взяв их у
103 горизонтальной строки. Итак, мантисса lg 1045=01912,
a lg 1045 = 3,01912.
Также lg 10,92 (стр. 30) = 1,03822
Найти lg 1,075 (стр. 30). Здесь перед тремя последними
цифрами мантиссы, т. е. перед 141, находится сверху звездочка.
Следовательно, первые две цифры надо брать не предыдущие (02),
а последующие, которые находятся уже в строке 108.
lg 1,075 = 0,03141
lg 5394 (стр. 44) = 3,73191
lg 6028 ( „ 46) = 3,78017
lg 0,07999 ( „ 52) = 2,90304
lg 8,129 ( „ 53) = 0,91004
lg 977700 ( „ 59) = 5,99021
§ 23. Если число больше чем четырехзначное (за исключе-
нием последней строки логарифмов, где даны числа 10 000 —
10009), то в таблицах оно не содержится, и мантисса его
определяется несколько иначе. Остановимся на этом случае
подробней.
Пусть требуется найти lg 1245786. Отделяем запятой первые
четыре знака:
1245,786.
Очевидно, мантисса lg 1245,786 будет равна мантиссе lg 1245786.
Мантисса же lg 1245,786 заключается между мантиссами
логарифмов чисел 1245 и 1246, которые в таблицах имеются;
мантисса lg 1246=0,09552
„ lg 1245 = 0,09517
1 ; 0,00035
Разница чисел 1 соответствует разнице мантисс 0,00035-
В пределах точности пятизначных логарифмов, если разно-
сти между числами не превышают 1, разности между логариф-
мами соответствующих чисел, больших 1000 пропорциональны
разностям между числами. Поэтому, аналогично рассуждениям
§17 для разности между числами
1245,786— 1245 = 0,786, имеем разность
между мантиссами.
0,00035 X 0,786 = 0,0002751,
и мантисса lg 1245786 будет:
,0,09517
~г 0,0002751
0,09545 (за округлением),
и lg 1245786 = 6,09545.
Однако приводимые здесь вычисления на практике никогда
не делаются и заменяются гораздо более простыми вычислениями
помощью ряда табличек, расположенных в столбцах с надписью
— 26 —
§ 24. В предыдущем примере разнице чисел 1 соответство-
вала разница мантисс 0,00035, поэтому
разница чисел	соответствует разнице мантисс
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9	0,00003.5 0,00007.0 0,00010.5 0,00014.0 0,00017.5 0,00021.0 0,00024.‘5 0,00028.0 0,00031.5
Или для упрощения, отбрасывая
табличку
ноли, получим следующую
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3.5
7.0
10.5
14.0
17.5
21.0
24.5
28.0
31.5
Подобная табличка, с надписью сверху крупным шрифтом 35.
что означает, что табличка предназначена для случая, когда
разность между двумя смежными логарифмами = 35 (вернее —
0,00035) имеется в столбце на стр. 30 таблиц Пржевальского
с надписью „Р. Р“. (см. приложение).
На этой же странице имеется ряд других табличек с разно-
стями 44, 43, 42 ......... 33, т. е. со всеми теми разностями,
которые встречаются между двумя смежными мантиссами на
данной странице. То же относится и ко всем другим страницам.
Теперь, пользуясь табличкой „35“, вычислим lg 1245,786
таким порядком
lg 1245 = 3,09517
пропорциональная часть для 0,7 0,08 0,006	24,5 2,8 0,21
lg 1245,786 = 3,09544,51
и округляя, получим
lg 1245,786 = 3,09545.
Логарифм же 1245786 будет равен 6,09545.
— 27 —
Для 0,08 взятую из таблички разницу 28 мы уменьшили
в 10 раз, а для 0,006 табличную разность 21 уменьшили в сто
раз. Это вполне понятно, если принять во внимание, что в таб-
личках разницы мантисс даны для 0,8; 0,6.
Найти lg 12955754.
Табличн. разн. между мантиссами lg 1296 = 10261
и lg 1295=10227
34
Обращаемся к табличке „34".
Мантисса lg 1295	=0,11227
4	=	13.6
7 =	2	.	38
3 =	0	.	102
4=	0.0136
lg 12954734 = 7,11243
Как видно, между прочим, из этого примера, уже 7-я цифра
3 увеличивает мантиссу только на 0,102; т. е. не оказывает
влияния на 5-ю десятичную цифру мантиссы. Поэтому при
нахождении мантиссы более чем шестизначного числа * *) нет
нужды определить мантиссу для знаков за шестым и практи-
чески:
lg 12954734= lg 12954700.
Найти lg 11635,3396.
Мантисса lg 1163
5
3
lg 11635,3
0,06558
18 . 5
1 . И
4,06578
Найти логарифмы чисел 0,0624573; 62,4573; 6245,73; 0,624573;
624573?
Мантиссы этих чисел между собою, конечно, равны. Разнятся
только характеристики.
Мантисса lg 6245 (стр. 47) 0,79553
7	4.9
3	0.21
lg 624573	=5,79558
lg 0,0624573	= 2,79558
lg 62,4573	= 1,79558
lg 6245,73	= 3,79558
lg 0,624573	= 1,79558
*) Это относится, конечно, к пятизначным таблицам логарифмов.
— 28 —
Нахождение по данным логарифмам соответствующих
им чисел.
§ 25. Первый случай: мантисса данного логарифма содер-
жится в таблицах. При отыскивании по таблицам Nig, т. е.
числа, соответствующего лшарифму, на характеристику внима-
ния вначале не обращаем (§ 16).
Пусть требуется найти Nig 2,05918.
В столбце с литерой 0 ищем число, образуемое первыми
двумя знаками мантиссы 05.
Затем в горизонтальных строках, к которым относятся эти
две первые цифры, ищем остальные три цифры 918. Они нахо-
дятся в месте пересечения горизонтальной строки 114 с верти-
кальным столбцом 6. Значит, принимая во внимание характе-
ристику:
Nig 2,05918 = 114,6.
Nig 1,90666. На стр. :53 таблиц Пржевальского находим
мантиссу 90666 в месте пересечения 806-й горизонтальной стро-
ки с 6-м вертикальным столбцом, следовательно:
Nig Г,90666 = 0,8066.
Найти Nig 2,70053.
На стр. 43 первые две цифры 70 начинаются только со стро-
ки 502-й. Последние три цифры 053 находятся в месте пересечения
501-й горизонтальной строки и 8 вертикального столбца. Однако,
так как перед 053 стоит звездочка, то это значит, что первые
две цифры этой мантиссы не предыдущие 69, а последующие 70 и
Nig 210053=0,05018.
До сих пор мы нарочито выбирали мантиссы, содержащиеся
в таблицах.
§ 26. Второй случай: мантисса данного логарифма не
содержится в таблицах.
Найти Nig 1,04748.
На характеристику в начале не обращаем внимания.
Обращаясь к таблицам, замечаем, что мантиссы 04748 не
имеется, а есть мантисса 04727, соответствующая числу 1115, и
мантисса 04766, соответствующая числу 1116. Таким образом,
число, соответствующее нашей мантиссе, заключено между чис-
лами 1115 и 1116. Число это очевидно будет = 1115 -|-
04748 — 04727
+1)4766^04727 = 1115 + °-5385 = 1115-5385’
Следовательно, мантиссе 04748 соответствует число 1115,5385»
или, все равно, 11155385, а
Nig 1,04748 = 11,155385.
Однако, имея таблички в столбце „Р. Р.“, опять-таки нет
нужды производить все эти вычисления. Путем обратного нахож-
— 29
дения по правой части таблички, т. е. по мантиссам соответ-
ствующих им слева чисел, можно определить Nig гораздо про-
ще. Покажем это на приведенном выше примере.
Найти Nig 1,04748.
Табличная разность между двумя смежными мантиссами:
04766
~04727
39
Обращаемся к табличке
вид:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
„39“, которая имеет следующий
39
3,9
7,8
11,7
15,6
19,5
23,4
27,3
31,2
35,1
Мантиссе 04727 соответствует число —	1115
Разница мантисс заданной и меньшей из имею-
щихся в таблицах: 04748 — 04727 = 21. В нашей таб-
личке числа 21 не имеется, а есть ближайшее мень-
шее 19,5, которому соответствует число	0,5
Остающуюся разницу 21 — 19,5=1,5 умножаем
на 10, так как в таблицах выписаны мантиссы для
чисел 0,1; 0,2; 0,3; 0,4;..........0,9	(см. § 24).
1,5X10=15 в табличке нет, а есть ближайшее
меньшее 11,7, которому соответствует число слева 3.
Помещая его справа за найденной раньше пятеркой,
мы 3 уменьшаем в десять раз и, таким образом, ком-
пенсируем увеличение нами остатка 1,5 в 10 раз 0,03
Остаток 15—11,7 = 3,3 опять увеличиваем в 10
раз: 3,3 X Ю = 33. Этого числа в табличке не имеется,
а есть ближайшее меньшее 31,2, которому соответ-
ствует цифра 8	0,008
Остаток 33 — 31,2=1,8 увеличиваем в 10 раз:
1,8X10=18. Большей точности нам не требуется и
между двумя мантиссами 15,6 и 19,5 выбираем бли-
жайшую 19,5, которой соответствует цифра 5	0,0005
Число, соответствующее мантиссе 04748=	1115,5385
или все равно, 11155385.
Следовательно Nig 1,04748=11,155385.
— 30 —
Упрощенный ход вычислений покажем на следующем примере:
Найти Nig 3,28635?
На стр. 33
имеем мантиссу 28623, соответствующую числу 1933
„	28646,	„	.	1934
табличная разность 23.
данная мантисса	28635
мантисса числа 1933	28623
разность	12
Из таблички разностей „23“
5	11,5
5 (увеличенное в 10 раз)
2	4,6
4 (увеличенное в 10 раз)
1 2»3
7 (увеличенное в 10 раз)
3	6,9
0,1 (дальнейших вычислений
не ведем).
Искомое число— 19335213
и Nig 3,28635 = 1933,5213.
§ 27. Приложим наше знакомство с логарифмами к решению
ряда задач при помощи пятизначных таблиц.
Пример 1. 4390082. 0,027577?
lg 4390 0 8	(стр. 41)	= 6,64246 0 8
lg 4390082 lg 0,02757 7	(стр. 35)	= 6,64247 2,44044 10,5
lg 0,027577		= 2,44055
Так как при умножении логарифмы складываются, то лога-
рифм произведения будет равен:
 6,64247
+ 2,44055
5,08302
Найдем теперь Nig 5,08302.
На стр. 30 таблиц Пржевальского
имеем мантиссу 08279, соответствующую числу 1210
08314	„	„	1211
табл, разность 35.
Данная мантисса =	08302
число 1210	08279
разность 23
— 31 —
По таблице разностей ,35“ 6	21	
5 7	20 17,5 2,5 2,45 0,05	
Искомое число 1210657 Nig 5,08302=121065,7 При желании можно было бы, конечно, не останавливаться на разности 0,5, а продолжать дальнейшее определение знаков Пример 2.	0,045949: 14,950671? lg 0,04594	= 2,66219 9	9		
lg 0,045949 lg 14,95 (стр. 31) 0 6 7		= 2,66228 = 1,17464 0 17,4 2,03
lg 14,950671		= 1,17483
Так как при делении логарифм делителя вычитается из ло-
гарифма делимого, то логарифм частного будет равен:
2,66228
— 1,17483
3,48745
Найдем теперь Nig 3,48745.
На стр. 36-й имеем:
мантиссу 48742, соответствующую числу 3072 48756,	„	„ 3073	
Данная мантисса —	48745
число 3072	48742
	3 2,8
1	2 1,4
4	6 5,6
	0,4
Искомое число 3072214
Nig 3,48745 = 0,003072214
— 32 —
3/	Э
ПримерЗ:	1/ 0,0568427 •
lg 0,05684 (стр. 45)	2,75465
2	1,6
7	5,6
0,0568427	2,75467
Так как логарифм корня равен логарифму подкоренного
числа, разделенному на показателя корня, то:
lg 0,0568427 ] = 2,75467:3 = 1,58489.
Так как 2 не делится на 3 без остатка, то мы к характе-
ристике прибавили одну отрицательную единицу и, таким обра-
зом, делили 3:3=1 и получили в характеристике целое число.
Одновременно мы добавляем положительную единицу к ман-
тиссе и делим на 3 число
1,75467:3 = 0,58489.
Таким образом, окончательно логарифм равен
Г 4- 0,58489=7,58489.
Найдем теперь число, соответствующее этому логарифму,
Nig 1,58489?
На стр. 39 имеем:
мантиссу 58478 для числа 3844
„	58490 „	„ 3845
Табл. разн. 12
Данная мантисса =	58489
числа 3844	58478
11
9	10,8
2
1,2
8
6	7,2
8
6	7,2
~ 8
в дальнейшем получается периодическая дробь.
Искомое число = 38449166 ..........
Nig 1,58489=0,38449166 ............
3 /
Таким образом, I/ 0,0568427 = 0,38449166.
— 33 —
28. В заключение решим пример, приведенный в введении
Найти 9^ 8) ?
Определим сначала выражение (99).
lg 9 = 0,95424.
$> = 9Xlg 9=9X0,95424 = 8,58816
Nig 8,58816?
Данный логарифм находится в таблицах и число, ему соот-
ветствующее (стр. 39) 387.400.000
Следовательно, теперь необходимо вычислить выражение
387.400.000
9
lg 9 = 0,95424
/ 387.400.0СОХ
Следовательно, lg (9	) = 387.400.000 X 0,95424
Прологарифмируем это выражение (стр. 58)
lg 0,95424 =7,97964
___________________1,6
Г,97966
Логарифм 387.400.000 по предыдущему равен 8.58816
Т.97966
+ 8,58816
8,56782
Найдем число, соответствующее этому логарифму
Nig 8,56782?
(вычисление ведем упрощенным порядком, который фактически
и практикуется при навыке в обращении с таблицами).
8,56782 — 369.975.000,00000
73
9
8,4
6
6
' 0
Таким образом, логарифм выражения 9387 400000=387.400.000Х
X 0,95424 = 369.675.000 Следовательно, надо найти
число, соответствующее логарифму, характеристика которого=
= 369.675.000. Число это будет содержать 369.675.0001 =
369.675.001 знаков!!!
— 34 —
Глава VI.
Таблицы логарифмов тригонометрических
величин *).
§ 29. Следующей таблицей, представляющей для нас боль-
шой интерес, является таблица логарифмов тригонометрических
величин Sin; Cos; Tg; Ctg.
В таблице III от стр. 62 до стр. 151 даны логарифмы этих
величин и, таким образом, чтобы получить натуральные их
значения, надо, взяв логарифмы по таблице III, искать нату-
ральное значение по таблице 1 аналогично тому, как раньше
находился Nig.
В таблице III дается значение углов только для 1-й четверти.
Как известно из тригонометрии, значение тригонометриче-
ской величины всякого угла может быть приведено к ее значе-
нию в пределах углов первой четверти окружности. Если через
х обозначить углы от 0° до '90°, то все другие углы могут быть
приведены к следующему виду: д; 90°х: 180°-|-х; 270°-|-л:.
Нижеследующая таблица дает значения этих углов, выраженных
в углах 1-ой четверти.
Какая чет- верть окруж- ности	Угол	Sill	Cos	Tg	ctg	Sec	Cosec
I	X	-[-sin х	-j-- COS X	+ tg x	-1- ctg X	4 sec x	-f- cosec. x
II	90°4х	4- cos х	— sin x	— Ctg X	~tg X	— cosec .v	4-sec x
III	180=4-х	— sin X	— COS X	+ tg X	4- ctg x	— sec x	— cosec л
IV	270°4-х	— cos x	-[-sin x		 Ctg X	-tg x	4 cosec x	— sec X
Например: ctg 197° 30' = ctg (180°+17°30')=с7£ 17° 30'
cos 114°	= cos ( 90° -|- 24°)	=— sin 24°
sin 221°	= sin (180° 4-41°)	=—sin 41°
Таким образом совершенно достаточно иметь вычисленными
тригонометрические величины для углов от 0° до 90°, чтобы
получить их значения для любых углов.
Однако, и здесь можно вести дальнейшие преобразования.
В самом деле:
sin (90°— д) = cosx
tg (90°— д) = ctgx
cos (90°—x) = sinx
ctg (90°—xj = tgx
Это значит, что синус какого-либо угла 1-Й четверти равен
косинусу дополнительного до 90° угла и обратно.
*) И в этой главе, как и в предыдущей, ссылки на страницы отно-
сятся к таблицам логарифмов Пржевальского.
— 35 —
Тангенс какого либо угла 1-й четверти равен котангенсу
дополнительного до 90° угла и обратно.
Например: sin &8°2Q'=^cos 21°40'
cos 68°20' = sin 21°40'
tg 68°20' = cte 21°40'
ctg 68°20’= tg 21°40'
Поэтому для всех величин достаточно дать значения для
углов только в пределах от 0° до 45°.
Соответствующим расположением таблиц, пользуясь заме-
чаниями, изложенными выше, можно сразу из таблиц получать
значения тригонометрических величин углов от 0° до 90°, не-
смотря на то, что таблицы вычислены лишь для углов от 0° до
45°. К ознакомлению с этими таблицами мы теперь и перейдем.
§ 30. Сверху таблиц надписаны градусы от 0° до 44° и снизу
от 45° до 89°. В крайнем левом столбце (1J и в столбц.
справа (9) даны минуты. При чем в левом столбце счет (1) ми-
нут возрастает на левой странице от 1' до 30' и на правой от
30' до 60'.
В правом же столбце f9) минуты убывают: на левой стра-
нице от 60' до 30' и на правой от 30' до О'.
В столбцах (2), (4), (6), (7) даны значения тригонометриче-
ских величин, при чем надписи в этих столбцах следуют в сле-
дующем порядке.
Столбцы		2	4	6	1
Вверху . , . • 		sin	tg	Ct£	cos
Внизу		cos	Ctg	tg	sin
При отсчете какого-либо угла сверху минуты берутся по ле-
вому столбцу (1), а соответствующий столбец со значением
искомой тригонометрической величины избирается по надписям
сверху.
Если же угол отсчитывается снизу, то минуты берутся по
правому столбцу (9), а соответствующий столбец со значением
тригонометрических величин избирается, руководствуясь ниж-
ними надписями.
Благодаря такому построению таблиц достигается то, что
значение какой-либо тригонометрической величины и ей допол-
нительной до 90° находится в одном месте.
Например, sin 32° 23'. Избирая страницу с надписью сверху
32°, отыскиваем по столбцу 1 (левому) цифру 23 и справа в
*) См. приложение в конце книги, в котором дана точная копия
стр. 126—127 таблиц логарифмов. Приложением этим мы будем часто
пользоваться на протяжении наших об'яснений.
-- 3t) —
столбце (2), имеющем сверху надпись sin, прочитываем искомое
значение:
lg sin 32° 23'= 9,72883.
Одновременно с этим
lg cos 57° 37' = 9,72883,
потому, что отсчитывая градусы снизу, а минуты по правому
столбцу и снося 37' правого столбца (9) к левому (2), мы как
раз попадаем в одну строку с 23. А так как при отсчете сни-
зу и соответствующий столбец избирается по надписям снизу,
то отсчет тригонометрической величины мы берем по столбцу (2).
Также, например
lg tg 32° 43' = 9,80781
при отсчете снизу ему соответствует
lg ctg 57° 17'= 9,80781.
§ 31. Как известно, синусы и косинусы для углов от 0° до
90°, тангенсы для углов от 0° до 45°, котангенсы для углов от
45° до 90°—имеют натуральные значения от 0 до 1. Следова-
тельно, они выражаются правильными дробями, т. е. 0—с рядом
десятичных знаков.
Следовательно, характеристика у них всегда будет отрица-
тельна.
Чтобы не печатать в таблицах отрицательных характери-
стик, к ним прибавлено 10 и в таблицах напечатаны не самые
характеристики, а их дополнения до 10.
Таким образом, в предыдущем примере:
lg sin 32° 23' —lg cos 57° 37'= 9.72883
в действительности равен 1,72883.
После прибавления 10 к отрицательной характеристике
1 характеристика получила значение 9, которое и напечатано
в таблицах.
Таким образом, если в таб- в действительности она
лицах характеристика	равна
9	I
8	2
7	3
6	4
и т. д.	и т. д.
При пользовании таблицами обстоятельство это не должно
упускаться из виду и при выписывании из таблиц значений три-
гонометрических величин лучше обозначать их сразу с дей-
ствительными характеристиками.
— 37 —
Так например:
lg sin 32°	42' = 1,73259	(в	таблицах	9,73259)
lg tg 3°	53'= 2,83175	(	„	8,83175)
lg tg 0°	8'= 3,36682	(	„	7,36682)
Однако, lg ctg 0° 17'= 2,30582 так же, как и напечатано в
таблицах, так как здесь котангенс находится в пределах от 0°
до 45°, т. е. значение его больше единицы.
Помощью таблицы III решаются две задачи:
1	) по данному углу найти логарифм тригонометрической ве-
личины этого угла;
2	) по данному логарифму и заданной тригонометрической
величине найти соответствующий ей угол.
§	32. Нахождение логарифмов тригонометрических величин
было отчасти об'яснено в предыдущем параграфе.
Решим еще несколько примеров.
Найти lg sin 32° 30 ?
На стр. 126 с надписью сверху 32° отыскиваем по крайнему
левому столбцу строку, соответствующую 30', и в месте пере-
сечения этой строки со столбцом, имеющим сверху надпись sin,
прочитываем 9,73022, что равносильно 1,73022.
Найти lg ctg 38° 48'?
На стр. 139 в строке крайнего левого столбца, соответст-
вующей 48', в месте пересечения ее со столбцом, имеющим над-
пись сверху ctg, прочитываем 0,09473.
Найти lg cos 56° 12'?
На стр. 129 с надписью внизу 56° отыскиваем по край
нему правому столбцу строку, соответствующую 12', и в
месте пересечения со столбцом, имеющим надпись внизу cos,
прочитываем 9,74531, что равносильно 1,74531.
Найти lg tg 83° 37'?
На стр. 74 с надписью внизу 83° отыскиваем по крайнему
правому столбцу строку, соответствующую 37', и в месте
ее пересечения со столбцом, имеющим внизу надпись Tg,
прочитываем 0,95127.
Найти lg sin 32° 44' 36"?
Так как в таблицах значения тригонометрических величин
даны через 1', то имеем:
lg sin 32° 45'= 7,73318
lg sin 32° 44'= 1,73298
l' = 60"	=0,00020
разница разница
углов мантисс
логарифмов
— 38 —
Аналогично рассуждениям §§ 24 и 26 имеем:
lg sin 32° 44' 36"= 1,73298+ °’00^0'36
= 1,73298 + 0,00012 = Т,73310.
Чтобы не делать подсчетов, в таблицах имеются следующие
данные:
столбец (3) (см. приложение) с надписью сверху и снизу
,,da, дающий разницу между двумя смежными логарифмами для
синусов, если чтение величин идет сверху, и косинусов, если
снизу;
столбец (5) с надписью сверху и снизу „d. с.“ дает то же
для тангенсов и котангенсов;
столбец (8) с надписью сверху и снизу ,,d“ дает то же для
косинусов, если углы брать по отсчетам сверху, или для сину-
сов, если углы брать по надписям снизу.
В крайнем столбце (10) имеются таблички, у которых над-
пись сверху обозначает, для какой табличной разницы они дей-
ствительны.
Для упомянутого выше примера с разницей „20“ табличка
имеет следующий вид:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20
0,33
0,67
1,00
1,33
1,67
2,00
2,33
2,67
3.00
Пользуясь этой табличкой, находим lg sin 32° 44' 36", опре-
деленный раньше путем подсчета.
Имеем lg sin 32° 44'	=1,73298
Табличка „20“ дает для 3" при-
бавление к мантиссе=1, а для 30"	10
Та же табличка дает для	6"	2
Откуда lg sin 32° 44' 36" = 1,73310,
т.-е. тот же результат, который мы получили путем подсчетов.
Найти lg ctg 41° 28' 54"? (стр. 144).
lg ctg 41° 28'	= 0,05370
Табличная разность = 25.
— 39 —
По табличке с надписью
„25“ имеем............. .	. 50"	20,8 1
4"	1,67 J22’47
Откуда lg ctg 41° 28' 54" = 0,05348
Здесь мы из lg ctg 41° 28'= 0,05370 вычли „22“, так
как с увеличением угла значение котангенса уменьшается.
Найти lg cos 61° 45' 47" (стр. 118j.
Табл, разность „23“.
lg cos 61° 45'	=1,67515
40" = 15,30 I
7" = 2,68 / 17’98
lg cos 61° 45' 47" = 1,67,497
Здесь также из Igcos 61° 45' 47" мы вычли 18, так как с
увеличением угла значение косинуса уменьшается.
Можно было бы здесь, как и в предыдущем случае, чтобы
избегнуть вычитания, взять не ближайший меньший, а ближай-
ший больший угол и к его логарифму прибавить разницу, по-
лучающуюся по табличке.
lg cos 61° 46'= Т,67492
Так как нам требуется вычислить
lg cos 61° 45' 47", то по табличке
„23“ определяем разницу для 61°
46' —61° 45'47"= 13" для—10"	3,80
_________________________32________1,15
lg cos 61° 45' 47" = Г,67497
Мы получили тот же результат, что и раньше.
Таким образом, при вычислении тригонометрических ве-
личин для углов, не содержащихся в таблицах, необхо-
димо все время отдавать себе ясный отчет, имеем ли мы
дело с величиной, которая при увеличении угла увеличи-
вается, или, наоборот, уменьшается, в противном случае
неизбежны ошибки.
§	33. Нахождение по логарифму данной тригонометрической
величины соответствующего ей угла аналогично нахождению по
логарифму соответствующего ему числа.
При решении задачи надо иметь в виду, что логарифмы
тригонометрических величин находятся в двух столбцах, при
чем один служит для углов от 0° до 45°, а другой служит его
продолжением для углов от 45° до 90°.
Здесь так же могут встретиться два случая:
1) данный логарифм содержится в таблицах;
2) данный логарифм не содержится в таблицах.
— 40 —
Пример: lg sinx= 1,73337. Найти угол х?
Ищем в таблицах число 9,73337. Находим его на стр. 127 в
столбце с надписью сверху sin. Поэтому отсчет градусов
берем сверху, а минут по левому столбцу
х = 32° 46'.
lg tgx = 1,68303. Находим число 9,68303 на стр. 113 в
столбце с надписью Тап сверху. Отсчет градусов берем
сверху, а минут по левому столбцу
х = 25° 44'.
lg cosx = 1,89213. Число 9,89213 находится на стр. 139 в
столбце с надписью cos сверху. Поэтому отсчет градусов
берем сверху, а минут по левому столбцу
х = 38° 44'.
lg stgx= 1,35170. Число 9,35170 находится на стр. 87 в
столбце с надписью cot снизу. Отсчет градусов — снизу, а
минут по правому столбцу
х=77° 20'.
lg cosx — 1,82368. Стр. 145. Отсчет градусов снизу, ми-
нут — по правому столбцу
х = 48° 13'.
lg smz—1,73482. Числа этого в таблицах не имеется.
Не будем повторять здесь рассуждений § 24, § 26, § 32
и приступим сразу к решению задачи.
На стр. 127 с надписью sin сверху имеем:
( 9,73474, которому соответств. угол 32° 53’
Табл. разн. 20 | 9,73494	„	я	и 32° 54'
Пользуемся табличкой „20
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,33
0,67
1,00
1,33
1,67
2,00
2,33
2,67
3,00
Разница между заданным логарифмом 9,73482 и меньшим,
имеющимся в таблицах, 9,73474 — составляет „8“.
- 41 —
По табличке имеем: для 2" — 0,67
следовательно, для 20" — 6,70.
Ищем по табличке угол, соответствующий остатку:
8 — 6,70=1,30.
В табличке нет угла, соответствующего 1,30,
жайший к нему угол 4", соответствующий 1,33.
Итак:
lg sin = 9,73474	=32° 53'
6,7	20"
1,33	4"
9,73482	=32° 53' 24"
Пример: lg cosx —1,46245.
На стр. 95 находим в столбце с надписью cos
„ .	/ 9,46220 и соответствующий
Табл. рази. .42- { мю62 „
Так как с увеличением угла значение косинуса уменьшается,
то угол х, которого lg cosx = 9,46245, будет больше угла
73° 8' и меньше 73° 9'.
9,46262
14
2,80
0,14
0,056
а есть бли-
снизу
угол 73° 9'
„	73° 8’
73° 8'
20"
4"
0,2"
0,08"
9,46245	73° 8'24,28"
Нахождение логарифмов углов близких к нулю для Sin и
Tgt а для Cos и Ctg для углов близких к 90° несколько отли-
чается от здесь данного описания. Приводить здесь раз'яснений
не будем, а отсылаем читателей к об'яснениям, изложенным на
стр. 13 таблиц Пржевальского.
ПЯТИЗНАЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ ЛОГАРИФМОВ ГЛАЗЕНАПА.*)
Обращение с этими таблицами много проще, чем с описан-
ными на стр. 24—42 таблицами Пржевальского.
Таблица логарифмов целых чисел.
§ 34.	Таблица эта занимает стр. 2—37 и дана для чисел от
1 до 10800.
Отличия ее от таблиц Пржевальского следующие. Здесь не
приходится искать необходимые логарифмы на пересечении го-
ризонтальных строк и вертикальных столбцов и первые два
знака мантиссы не отделены от остальных трех. В этих табли-
цах против каждого числа выписан соответствующий ему
логарифм.
*) 7-ое издание Академии наук. Ленинград, 1932 г.
— 42 —
Например:
Число	Мант нсса логарифма	На какой странице	Число	Мантисса логарифма	На какой странице
340	53148	3	7463	87291	26
2251	35238	9	8325	92038	29
5319	72583	19	8700	93952	30 и 31
6145	78852	22	9600	98227	33 и 34
Затем, начиная с 5-ой страницы, в столбце под литерой D
даны разницы двух смежных мантисс. Таким образом отпадает
необходимость в этих вычислениях, что весьма облегчает и
ускоряет нахождение логарифмов чисел, в таблицах не содер-
жащихся. Это же уменьшает и вероятность ошибок.
В столбце „Р. рг.“ даны таблички для разностей мантисс
встречающихся на данной странице.
Пользование ими ничем не отличается от об'ясненного
раньше при разборе таблиц Пржевальского.
Таблица логарифмов тригонометрических величин.
§ 35.	В отличие от соответствующих таблиц Пржевальского-
таблицы Глазенапа дают значения всех шести тригонометриче-
ских величин. Разницы смежных мантисс выписаны в столбце
На каждой странице имеется таких три столбца, при чем
каждый из них относится к тем тригонометрическим величи-
нам, между которыми он помещен, т. е. одновременно.
Sin — Cosec
Tang— Cotg
Sec — Cos
Соответствующие этим разностям таблички помещены в
столбце „Part, prop."
Таблички эти несколько отличны по своему построению от
описанных при рассмотрении таблиц Пржевальского. Пользова-
ние покажем на частном примере.
Найти lg sin 22° 35' 45"?
На стр. 63 имеем:
lg sin 22° 35'	7,58436
Табличная разность „31".
То табличке „31“ имеем для	40"	20,7
Здесь не требуется увели-
чения в 10 раз, ибо раз-
ность дана для 40"
Затем имеем для	5"	2,58
Здесь потребовалось умень-
шение в 10 раз, ибо зна-
чение дано для 50"
lg sin 22° 35' 45" = 7,58459
— 43 —
Глава VII.
Действия с простейшими линейками.
§ 36.	Сложение и вычитание, помимо обычных аналитиче-
ских подсчетов, можно произвести несколько своеобразным
путем.
Допустим, мы имеем две линейки с нанесенными на них, че-
рез равные расстояния, делениями.
Требуется сложить 3 + 5 (см. черт. 1). Установим началь-
ную черту 0 линейки В под цифрой 3 линейки А, тогда против
второго слагаемого, против цифры 5 линейки В в стороне воз-
растающих делений мы, очевидно, прочтем сумму 3 + 5 = 8.
Таким же образом можно было бы произвести и вычитание.
Для этого надо было бы от уменьшаемого отнять вычитаемое.
Пример: 9 — 7? (см. черт. 2). Под „9“ линейки А уста-
навливаем уже, конечно, не начальную черту линейки В, а то
число, которое требуется вычесть, т. е. 7, затем переводя от-
счет влево, в сторону убывающих делений, мы над началь-
ной чертой линейки В прочтем, на линейке А, требуемую раз-
ницу 9 — 7 = 2.
Очевидно, если бы мы имели линейки достаточной длины,
то могли бы производить на них сложение и вычитание любых
чисел. Однако, мы будем иметь дело с линейками, на которых
деления нанесены лишь от 1 до 10.
Уже с самого начала при пользовании нашими примитивными
линейками, возникают некоторые затруднения.
Допустим, требуется сложить 5 + 7 (см. черт. 3). При уста-
новке начальной черты линейки В под „5“ линейки А, требуе-
мый отсчет выходит за пределы линейки „А“.
Однако, это затруднение легко устранимо и на наших ли-
нейках.
Установим под „5“ пин. А не начальную, а конечную (пра-
вую) черту линейки В (см. черт. 3, 2-е положение линейки В,
нанесенное пунктиром).
Если вдуматься в то, что таким образом произойдет, то не
трудно догадаться, что устанавливая под „5м не начальную, а
конечную черту линейки В, обстоятельство, заставившее нас сдви-
нуть всю линейку В на 10 делений влево, равносильно умень-
шению того результата, который мы получим на „10". Таким
образом, если теперь прочесть над цифрой „7“ линейки В от-
счет на линейке А, который, очевидно будет равен „2“, и в уме
прибавить отнятые упомянутые выше 10, то мы получим
требуемую сумму
5 +7 = 2+ 10= 12.
Таким образом, чтение результатов сложения не в сторо-
ну возрастающих делений (правую) как то требова-
— 44 —
лось бы по смыслу сложения, а в сторону убывающих (левую)
требует прибавления к окончательному результату -J- Ю.
Допустим, что нам требуется из 7 вычесть 9 (см. черт. 4).
Установив „9" линейки В под „7“ линейки А, мы заметим, что
левый конец линейки В вышел за пределы линейки А.
Тогда прочтем результат на линейке А против правого конца
линейки В, он равен = 8.
Однако, что мы сделали, переводя отсчет с левого на пра-
вый конец, т. е. читая результаты вычитания не в стороне
убывающих делений, а в стороне увеличивающихся? Переводя
отсчет на целую линейку вправо, мы, очевидно, и тот резуль-
тат, который должен был получиться заведомо увеличили на 10.
Отняв теперь в уме от 8 десять, получим требуемый ре-
зультат
7 — 9 = 8—10 = —2.
Таким образом, чтение результата вычитания в
сторону увеличивающихся делений требует отня-
тия от результата 10.
Эти чрезвычайно примитивные рассуждения окажут нам в
дальнейшем большую пользу и помогут уяснить себе некото-
рые сложности обращения с логарифмической линейкой.
Глава VIII.
Логарифмическая линейка.
§ 37.	Поняв предыдущие рассуждения о свойствах логариф-
мов и наших простейших линеек, нетрудно уяснить себе идею
логарифмической линейки.
Логарифмы позволяют заменять умножение — сложением,
деление—вычитанием, возвышение в степень—умножением (кото-
рое опять-таки можно перевести на сложение) и т. д.
Возникает мысль, что если бы на наших линейках нанести
не числа, а логарифмы чисел (вернее — величины, пропорциональ-
ные логарифмам), при чем, конечно, нас интересует только
мантиссы.
За основание мы можем принять любой отрезок (линейку).
Чем он будет длиннее, тем, конечно, и результаты нанесения
наших делений будут точнее.
Наибо	лее употребительная линейка имеет длину шкалы 25
.сантиметров.
Нашим основанием будет попрежнему „10“. Упоминание же
о длине 25 см. нам нужно для того, чтобы определить длины
отрезков, пропорциональные нашим логарифмам.
— 45 —
Обратимся к нашей таблице десятичных логарифмов с тремя
знаками. Имеем:
lg 1 = 0,000
lg 2 = 0,301
lg 3 = 0,477
lg 4 = 0,602
lg 5 = 0,699
lg 6 = 0,778
lg 7 = 0,845
lg 8 = 0,903
lg 9 = 0,954
lg 10 = 1,000
Если логарифму 10=1,000 соответствует длина 25 см., то
логарифму г2“, равному 0,301, будет соответствовать, очевидно,
длина 0,301X25 = 7,525 см., логарифму 3 = 0,477 будет соот-
ветствовать длина 0,477X25= 11,925 и т. д. Продолжая вы-
числения дальше, мы получим для мантисс логарифмов чисел от
1 до 10 соответствующие им длины, при условии, что вся длина
шкалы = 25 см. (округляем до сотых сантиметра), lg 1=0,000
и ему соответствующая длина отрезка при любой шкале 0,00 см.
Ig2 =	0,301	и ему	соответствует при шкале = 25			см.
длина .				0,301 X 25	= 7,53	см.
lg з =	0,477	и ему	соответствует	0,477 X 25	см. = 11,93	0
lg 4 =	0,602	я		0,602 X 25		
lg 5 =	0,699		п	0,699 X 25	„ =17,48	J*
lg 6 =	0,778			0,778 X 25	„ =19,45	»
lg 7 =	0,845	я		0,845 X 25	„ =21,13	
lg 8 =	0,903	я		0,903 X 25	„ =22,58	*
lg 9 =	0,954		п	0,954 X 25	„ =23,85	п
lg 10 =	1,000	я	Г)	1,000X25	„ =25,00	п
В основном логарифмические линейки и представляют собой
шкалы, на которых нанесены эти деления, при чем на 25 см.
линейке именно на вычисленных здесь расстояниях от началь-
ной черты шкал.
Промежутки между цифрами 1 и 2, т. е. 1,1; 1,2; 1,3;
1,4;..........1,9 вычисляются таким же путем, например,
мантисса 1,3=0,114. Следовательно, ее расстояние от началь-
ной черты шкалы будет
0,114X25 = 2,85 см.
То же в отношении промежутков между цифрами 2 — 3;
3 — 4; 4 — 5 и т. д.
В свою очередь так же разбиваются и промежутки между
1,1 -1,2; 1,2 —1,3; 1,3- 1,4 и т. д.
Например lg 1,45? Мантисса этого числа будет равна 0,161.
Следовательно, длина отрезка (от начальной черты шкалы)
0,161 X 25 = 4,03 см.
— 46 —
Если вычисленные таким образом отрезки нанести на две
линейки, то очевидно, ими можно пользоваться, не прибегая к
таблице логарифмов, ибо логарифмы чисел нанесены на эти
линейки графически и с ними можно поступать так же, как
было об‘яснено в главе VII о простых линейках с той, конечно,
разницей, что складывая отрезки, мы получим результат, равно-
сильный умножению, а не стожению; а вычитая, получим част-
ное двух чисел, а не их разность.
Писание логарифмической линейки.
§ 38. Логарифмические линейки отличаются между собою
количеством и назначением шкал.
Есть линейки, где помимо общих всем линейкам шкал, есть
шкалы специально для электротехнических, водопроводных рас-
четов, для металлистов и пр.
Объяснение специальных шкал дается, обычно, в проспектах,
прилагаемых к этим линейкам, и овладение ими не представит
труда, если уяснить себе общие принципы обращения с так на-
зываемой „нормальной11 линейкой, изготовляемой Пр ос в е-
тительным Обществом „Прометей44 по способу
инженера Баскина п Клещева, знакомство с которой со-
вершенно достаточно, чтобы понять идею любой линейки.
Надо заметить, что обращение с линейкой—дело исключи-
тельно опыта, и ниже даваемые правила могут иметь пользу
лишь при первоначальном обучении.
Всякая вообще линейка состоит из трех частей (см. чер-
тежи 5 и 18).
1)	Корпуса с прорезом по линии а —а; а' — а'.
2)	„Движка", который свободно движется и этом прорезе.
3)	Визира, т. е. металлической рамки со стеклом и с нане-
сенной на стекле тонкой чертой, свободно передвигаемого по
корпусу (см. рис. 10 — 16).
Основная шкапа, это шкала DD на корпусе и D'D' на
движке. Шкалы эти совершенно одинаковы во всех отношениях,
длина каждой 25 см. и все деления на них нанесены в точном
соответствии с данными, вычисленными в § 37.
Вторая шкала ВВ — В'В' — шкала квадратов, т. е. вторых
степеней чисел, данных на шкалах DD и D'D'. На этих шка-
лах логарифму 10 —1,000 соответствует длина шкалы, равная
25
—2= 12,5 см, следовательно на длине линейки в 25 см. шкала
эта укладывается два раза.
Шкала КК — шкала кубов, т. е. третьих степеней чисел,
данных на шкалах DD и D'D'. Расстояние от начальной черты
делений этих шкал ровно в три раза меньше аналогичных рас-
стояний шкал DD — D'D'. Шкала эта укладывается на длине
— 47
25 см. ровно три раза. На шкале L — L даны логарифмы
чисел, нанесенных на шкале DD.
Относительно делений, нанесенных на оборотной стороне
движка, речь будет итти ниже.
§ 39. Так как мантиссы чисел, отличающихся между собой
по величине в 10, 100, 1000, 10000 ........и. т. д. раз —
равны между собой, например, ряд 0,002; 0,02; 0,2; 2; 20; 200;
2000 ...........и	т. д. или
0,0632; 0,632; 6,32; 63,2 632, 6320 и т. д.
и так как на линейке нанесены только мантиссы чисел, то
одни и те же деления линейки служат для перемножения раз-
личных чисел, отличающихся между собой по величине в 10,
100, 1000 и т. д. раз.
Таким образом, цифра 3 означает одновременно 3; 30; 300
3000; 0,003; 0,03 и т. д. цифра 6 — 6; 60; 600; 6000 ....
0,0006; 0,006 и т. д.
То же в отношении всех остальных чисел. Это правило
само собой разумеется, распространяется на все шкалы.
Для начинающих представляет большое затруднение прочи-
тывание делений на шкалах. Поэтому на этом вопросе оста-
новимся несколько подробнее.
В то время, как отрезок, соответствующий 2, равен 7,53 см.,
отрезок между 2 и 3 равен 11,93 — 7,53 = 4,40, т. е. короче.
Эти расстояния, чем дальше к концу шкалы, все укорачиваются
и отрезок между 9 и 10 равен 25 — 23,86= 1,14 см.
Поэтому и разбивка промежутков между отдельными частями
шкалы неоднородна.
Деление между 1 — 2 шкал DD —D'D (см. черт. 6).
§ 40. Расстояние между 1 — 2, равное по предыдущему
7,53 см., разделено на десять неравных, заранее вычисленных
частей с цифрами наверху, которые последовательно соответ-
ствуют логарифмам чисел:
11 там, где стоит маленькая цифра 1
12	2
13 „	„	„	»	„3
18
19
8
9
Деления между 1 — 1 (т. е. между 10—11), 1 — 2 (11 —12),
2 — 3 (12—13)...............8	— 9 (18 — 19), 9 — 2 (19 — 20)
разделены черточками каждое на десять заранее вычисленных
частей, обозначающих (на запятую не обращаем внимания).
— 48 —
Между 1 — 1 100, 101, 102, 103,104, 105, 106, 107,108, 109, 110,
1 — 2 111, 112, 113..................................120,
2 — 3 121, 122, 123 .........................•	. . . 130,
8 — 9 181’ 182', i83 '	.........	190,
9 — 2 191, 192, 193 .................... 200,
отсчеты между только что упомянутыми делениями в свою
очередь берутся на „глаз”.
Например (см. черт. 7) отсчет черты а 1049
б 1170
в 1236
г 1340
д 1456
е 1635
ж 1739
з 1925
§ 41.	Деления между 2 — 3 шкалы DD — D'D' (см.
черт. 8).
Здесь цифр в промежутке нет, т. к. расстояние между 2—3
меньше расстояния между 1 —2, и помещение здесь цифр только
излишне пестрило бы шкалу.
Шкала поделена десятью длинными черточками, которые
обозначают мантиссы, соответствующие числам: 21, 22, 23, 24,
25, 26, 27, 28, 29.
Расстояния между этими длинными черточками поделены
каждое на 5 частей. Числа, им соответствующие, будут
202, 204, 206, 208, 210
212, 214, 216, 218, 220
222, 224, 226, 228, 230
292, 294, 296, 298, 300
Здесь отсчеты получаются через две единицы. Однако, если
устанавливать движок посредине этих делений, то можно отсчеты
получать с точностью до единицы.
На чертеже 7 отсчеты, указываемые черточками, равны:
черта и — 211 (несколько больше, ибо черточка ближе к право-
му краю).
Черта i —219
. к — 224
„ л — 239
, м — 294
§ 42.	Деления между 3 — 4 во всем аналогичны делениям
между 2—3. Отсчеты четвертой значущей цифры здесь более
— 49 —
затруднительны и требуют большого навыка, т. к. промежутки
между ними мельче. Примеры отсчетов даны на черт. 7.
Деление между 4—5; 5 — 6; 6 — 7; 7 — 8; 8 — 9 и 9 — 1
построены одинаково и потому достаточно остановиться на
промежутке между 4—5 (см. черт. 9).
Длинными черточками каждый промежуток разбит на 10 ча-
стей, которые будут читаться так:
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49,
короткими черточками каждый промежуток разбит на две части
и чтения по ним будут
405, 415, 425, 435, 445, 455, 465, 475, 485, 495.
Отсчет в этих промежутках берется „на глаз" и будет
обозначать:
401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410
411, 412.........415......................420
491, 492, 493, 494, 495, 496, 497, 498, 499, 500
Мы не будем приводить об'яснений, чтений по остальным
шкалам, ибо внимательное ознакомление со шкалой DD доста-
точно для уяснения правил отсчета по другим шкалам.
§ 43.	Переходя к дальнейшему, еще раз подчеркнем неодно-
кратно повторяемые нами основные идеи, положенные в основу
устройства логарифмической линейки, идеи, которые подолгу
служат камнем преткновения для начинающих пользоваться
линейками.
а)	Логарифмы чисел вычислены нами при основании = 10.
Следовательно, числа, отличающиеся между собою в 10, 100,
1000 . . . . и т. д. раз, имеют лишь разные характеристики,
которые легко определяются на основании правил, данных ранее,
мантиссы же этих чисел равны.
б)	На линейках нанесены только мантиссы чисел. Цифры,
даваемые над штрихами, имеют лишь условный характер и
обозначают одновременно бесконечный ряд чисел, опять-таки
отличающихся между собой по величине в 10, 100, 1000,
10000 ...........и т. д. раз.
Например, отсчет 1234 будет одновременно обозначать и
0,01234, 0,1234, 12,34 и 1234 и т. д.
в)	Так как сложение логарифмов дает в результате произ-
ведение (а не сумму) складываемых графически чисел, а вычи-
тание— частное (а не разность), т. е. равносильно делению, то
с логарифмической линейкой можно поступать так же, как и
с нашей простейшей линейкой, свойства которой мы объяснили
выше.
— 50 —
§44- Ниже мы дадим, следуя установившемуся
обычаю, правило знаков, т. е. место запятой, но должны от-
метить, что на практике им не всегда пользуются. Вопрос о том,
где нужно поместить запятую, решается на практике простой
„ прикидкой в уме". Если надо помножить, например, числа
23,2 X 637, то на линейке мы прочтем отсчет 1478. Простая
прикидка в уме умножения вместо 23,2 X 637 сл 20 X 600 ука-
жет, что результат будет иметь пять знаков, следовательно, он
будет равен 14780 (конечно, точно вычисленный, он будет дру-
гой, равный 147784, но ведь линейка дает приближенный ре-
зультат).
Кроме того, почти всегда ожидаемый результат приближенно
известен по смыслу задачи.
Мы дадим пока несколько примеров, отделяя место запятой
именно таким способом:
Пример 18,14X194?
Положение шкал ясно из черт. 10. Вначале не обращаем
внимания на значность. Против отсчета „1814“ на шкале DD
корпуса устанавливаем начальную черту шкалы D'D' движка.
Затем сдвигаем визир так, чтобы волосок приходился на отсчете
„194“ на шкале D’D' движка.
Окончательный отсчет (произведение) читаем на шкале DD
корпуса в месте, пересекаемом волоском. Отсчет этот будет
равен „352“. Приближенная прикидка в уме результата, который
должен получиться от умножения 18,14 X 194, дает возможность
определить, что в произведении будет четыре знака. Следова-
тельно, результат = 3520.
Конечно, если бы мы начальную черту движка установили
на „186" корпуса, а окончательный отсчет искали бы под „458“
движка — результат получился бы тот же.
На черт. 11 показано положение движка и волоска визира
при умножении 135,4X1,536 = 208.
Пример Ш. Найти 85,3 X 81,5? (см. черт. 12).
Тут произошел случай, аналогичный разобранному нами
в главе о простейших линейках.
Устанавливать ли „853“ на корпусе, а „815“ на движке, или
„815“ на корпусе, а „853“ на движке — все равно отсчет вый-
дет за пределы шкалы. Поступим здесь, как поступали раньше.
Установим над делением „853“ шкалы DD не начальную (левую),
а конечную (правую) черту движка.
Установив линию визира на „815“ шкалы D'D' движка,
прочтем на шкале DD отсчет „695". Результат=6950.
Мы читаем теперь сложение логарифмов чисел в стороне
убывающих делений; отсчет мы перекинули на целую линейку
влево. Если бы мы делали сложение на простейшей линейке, то
результат уменьшался бы на десять единиц. Что же получилось
— 51 —
в данном случае, с умножением? Результат его мы ко-
нечно, уменьшили в десять раз. Поскольку мы при-
кидываем число знаков в уме — это роли не играет: отсчет
ведь мы все равно получили верный, уменьшение в десять раз
у нас будет компенсировано приближенным подсчетом числа
знаков. Но если мы будем руководствоваться правилом знаков,
речь о котором будет идти ниже, то обстоятельство это при-
дется как-то учесть.
§ 45.	Деление. Пример L 758: 1679? (см. черт. 13). На „758“
шкалы DD корпуса устанавливаем черту визира. Под этой же
чертой устанавливаем „1679" шкалы D'D'движка. Отсчет влево
у начальной черты движка = „452".
Результат 0,452
Пример И. 2920:483? (см. черт. 14). На „292“ шкалы DD
корпуса устанавливаем волосок визира. Под этим волоском
устанавливаем „483“ шкалы D'D' движка.
Результат, равный 6,05, приходится читать уже у правого
конца движка, т. е. в стороне увеличивающихся отсчетов.
Это обстоятельство также отразится на „значности" числа,
но отнюдь не на самом отсчете.
Следовательно, всегда и правой и левой начальной чертой
движка можно пользоваться безразлично.
Черт. 15 дает положение частей линейки при делении
55:752. Результат, равный 0,0732, читается у правого конца
движка.
Черт. 16 дает положение частей линейки пги делении
2910:635. Результат, равный 4,58, также у правого конца
движка.
Найти 492X73,6X6,42? При умножении нескольких чисел
удобство пользования линейкой сказывается еще в большей
степени.
Устанавливаем конечную правую черту движка на „492“
шкалы корпуса, передвигаем визир на „736“ движка и, не читая
результата, если нам, конечно, промежуточный результат не
нужен, устанавливаем опять правую конечную черту движка
под чертой визира. Затем сдвигаем черту визира на „642“
движка и только теперь прочитываем окончательный результат
= 232000 (точнее 232476).
Определить результат следующего выражения:
3451) X 12.342)
5243)Х9,414)
При условии, что промежуточные результаты нам ненужны,
поступаем так:
На „345“ корпуса устанавливаем левую начальную черту
движка. Сдвигаем линию визира до ^,1234“ движка. Устанавли-
ваем „524“ под чертой визира. Сдвигаем линию визира до пра-
— 52 —
вой начальной черты движка. Устанавливаем под чертой визира
„941“ шкалы движка и после этого читаем у правой начальной
черты движка результат, равный 0,863.
Действие не обязательно, конечно, делать в том порядке,
в каком мы указали, т. е. сначала помножить 345X12,34,
затем разделить результат на 524, полученный результат раз-
делить опять на 941. Можно производить действия в любой
последовательности, а иногда и приходится менять эту последо-
вательность, чтобы не гонять движок из конца в конец.
Тут никаких правил дать нельзя. Это дело исключительно
навыка.
Пример:
6944X635*)
8352)Х 1873)
Здесь лучше произвести действие в такой последовательности:
694: 835
результат разделить на 187, затем
результат умножить на 635.
Окончательный отсчет „282“. Результат 2,82.
Глава IX.
Правило знаков.
§ 46.	Зная характеристики множителей, мы могли бы вы-
числить характеристику результата, а следовательно, определить
и место запятой.
На практике, однако, место запятой определяется не харак-
теристикой числа, а так называемой „значностью".
Значностью чисел, больших единицы, называется число цифр
до запятой. Значностью чисел, меньших единицы, называется
число нулей от запятой до первой значущей цифры.
Пример:
Число	5321	53,21	4,325	0,912, 0,035	0,0096	0,00051
Характеристика ....	3	1	0	- 1 ! — 2	— 3	— 4
Значность 		4	2	1	0 — 1	— 2	— 3
Следовательно, значность — это та же характеристика, но
увеличенная на 1.
Чему может равняться характеристика произведения двух
чисел? Она может равняться или сумме характеристик множи-
— 53 —
телей, или на единицу больше. На единицу больше тогда, когда
сумма мантисс превысит единицу и произведение приходится
читать не в стороне возрастающих делений, а в стороне убы-
вающих.
Прймечание. Почему это так, ясно из § 44. Здесь
также отсчет слева, т. е. перенесение отсчета на целый дви-
жек влево равносильно уменьшению числа в десять раз, т. е.
уменьшению характеристики на единицу, которую и надо
прибавить, чтобы получить верный результат.
Если бы при отсчете знаков мы руководствовались харак-
теристикой, то в произведении отделяли бы на одну цифру
больше, чем число единиц в характеристике (см. § 13). Если бы
отсчет был вправо, то характеристика равнялась бы сумме
характеристик сомножителей. При отсчете влево характеристика
увеличилась бы еще на единицу и количество отделяемых цифр
было бы уже на 2 цифры больше, чем сумма характеристик
сомножителей.
А так как значность каждого числа равна характеристике,
увеличенной на -|- 1, а сумма значностей двух сомножителей
равна характеристике произведения, увеличенной на +- 2, то
ясно, что значность произведения двух чисел равна сумме
значностей сомножителей, уменьшенной на единицу, если
отсчет берется справа, в стороне увеличивающихся деле-
ний, или сумме значностей сомножителей, если отсчет
произведения берется слева в стороне убывающих делений.
Для напоминания об этом с правой стороны шкалы АА кор-
пуса стоит заметка „Р—Р (Р—начальная буква от слова
Product — произведение), которая обозначает, что если произ-
ведение читается справа, то от суммы значностей сомножите-
лей надо отнять единицу.
Примеры	Место отсчета	Уменьше- ние знач- ности	Значность произведения
4,35X9.42 = 41. . . . . .	Слева	Нет	1 + 1=2
0,0018X354=0,637 . . . .	Справа	— 1	— 2 + 3 -1 = 0
143,2X0.794=113,7 . . .	Слева	Нет	3 + 0 = 3
445 X 0,00022 = 0,0979. . .	Справа	— 1	3-3- 1=—1
Значность произведения нескольких чисел равна сумме
значностей всех сомножителей, или этой же сумме,
уменьшенной на число единиц, равное числу отсчетов
справа.
Значность произведения 543.2 X0,0945 X^3,4X1,275 =
=5460 сумме значностей (3— l-|~2-f~l) минус число отсчетов
справа (один) (3 — 1 —2 —|— 1) —1 = 4.
— 54 —
§ 47.	Аналогично предыдущим рассуждениям и рассуждениям
§ 36 и § 44, значность частного равна или разности знач-
ностей делимого и делителя, или этой же разности, но
увеличенной на единицу. Последнее обстоятельство отмечено
тем, что с левой стороны шкалы D — D стоит значок Q+Z
(от начального слова Quotient, т. е. частное).
Примеры		Место отсчета	Увеличе- ние знач- ности	Значность частного
212 :	0,345 = 614 		Справа	Нет	3- 0=4-3
212 :	0,0167 = 12700 ....	Слева	+ 1	3-(-1)4-1=+5
0,985	: 0,242 = 4,07 ....	Слева	+ 1	о—о+1=+1
0,435	: 0,00192 = 227 ...	Слева	+ 1	0-(- 2)+1=+3
6,34	752 = 0,00843 ....	Справа	Нет	1 —3 = —2
При вычислении сложных выражений, когда не требуются
промежуточные результаты, но отсчеты получаются у разных
концов движка, необходимо где-нибудь на клочке бумаги делать
отметки, сколько раз требуется отнять и прибавить 1.
Пример:
16,92 X 3,17 X 8,35 X 0,054
0,081 Х44,8
1) 16,92X3,17 отсчет произведения вправо............—1
16,92X3,17
J 0,081
(порядок действий
движка).
отсчет
сбиваем,
16,92X3,17X8,35
ППЯ1
частного вправо .............
чтобы излишне не „гонять"
отсчет произведения влево . .
.. 16,92X3,17X8.35X0,054
4) ---- nnei------------- отсчет произведения влево
5)
16,92 X 3,17 X 8,35X0,054
0,081 X 44,8
отсчет частного вправо
Результат............—	1
Значность числителя 2 —|- 1 —|- 1 — 1 = +- 3
„ знаменателя — 1 —|— 2 = 1
Число знаков результата =3 — (-1-1)— 1 = 1
Результат 6,66.
Для ясности мы привели записи всех действий; на практике
делаются, конечно, только отметки —|— 1; — 1, являющиеся резуль-
татом чтения у правого или левого конца движка, что для нас
единственно и важно.
— 55 -
Глава X.
Действия на линейке.
§ 48. Как было указано в § 38, деления шкалы ВВ в два
раза, а деления шкалы КК в три раза меньше соответствую-
щих делений шкалы DD. Следовательно, каждому отсчету шка-
лы DD соответствует на шкале ВВ вторая степень, а на шкале
КК—третья степень этого отсчета. И обратно. Если устано-
вить какой-нибудь отсчет на шкале КК, то ему будет соответ-
ствовать на шкале DD корень третьей степени этого отсчета,
шкале же ВВ на шкале DD будет соответствовать корень вто-
рой степени отсчета, взятого на ВВ.
Отсюда вытекает простое правило возвышения чисел во вто-
рую и третью степень и извлечение из них корня второй и
третьей степени.
а)	Для получения второй степени какого-нибудь числа
устанавливают линию визира на соответствующем от-
счете шкалы DD и прочитывают по линии визира отсчет
на шкале ВВ.
б)	Для получения третьей степени установку делают
попрежнему на шкале DD, а результат берут на
шкале КК.
в)	Для извлечения корня второй степени визир уста-
навливают на шкале ВВ—результат же берут на шка-
ле DD.
г)	Для извлечения корня третьей степени линию визира
устанавливают на шкале КК—результат прочитывают
на шкале DD.
На черт. 17 линиями дан ряд положений волоска.
В положении волоска под литерой.	Чтение по шкале DD	На шкале ВВ квадрат числа взят на шк. DD	На шкале КК куб. числа, взя- того на шк. DD
а		14,44	208	ЗОЮ
б		1,82	3,31	6,02
в		2,23	4,97	11,1
г		27,8	772	21500
д		0,331	0,110	0,0362
с		38,9	1510	58900
ж		4,63	21,5	99,2
3		56,4	3180	1790000
и		6,62	43,8	290
к		7,85	61,6	484
л 		0,919	0,844	0,776
— 56 -
§ 49. Что касается правил знаков, то здесь надлежит заме-
тить следующее:
На шкале ВВ деления идут следующим образом (см. черт. 5
и 17) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90, 100.
Цифры на шкале КК идут следующим образом:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1,-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 —
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1,
в то время, когда казалось бы удобнее иметь
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 — 10. 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90,
100 - 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000.
Однако, принципиально безразлично помещать нули или не
помещать. Не делается это только потому, чтобы излишне не
загромождать шкалы знаками.
Теперь перейдем к правилу знаков.
Ровно посредине шкалы ВВ против точки, где кончается
левая шкала и начинается правая — на шкале DD находится
V 10 = 3,162 *). Все числа меньше 3,162, возведенные в квад-
рат, дадут в результате однозначное число, и отсчет будет на
левой шкале ВВ.
Все числа больше 3,162, возведенные в квадрат, дадут в ре-
зультате двузначное число, а отсчет перейдет уже на правую
шкалу.
Так как квадрат какого-либо числа есть не что иное, как
помножение числа на самое себя, то по правилам значности
произведения, последнее равно сумме значностей множителей,
или на единицу меньше.
Отсюда, принимая во внимание предыдущие рассуждения,
выводим правило:
Значность второй степени какого-нибудь числа равна
удвоенной значности этого числа, если отсчет берется
по правой шкале квадратов, или на единицу меньше, если
отсчет берется по левой шкале.
Пример:
7,382 = 54,5 отсчет на правой шкале, значность 1X2 = 2
192,62 = 37100 „	ж	левой	„	„	3X2—1=5
0,0534s = 0,00285 „	„	правой	„	„	(—1)Х2 = —2
0,1275s = 0,0163 „	„	левой	„	„	0X2 —1= — 1
§ 50.	Для извлечения квадратного корня данное число уста-
навливается на шкале ВВ. Возникает вопрос, когда устанавли-
вать на левой и когда на правой.
Известно, что для извлечения квадратного корня число де-
лится на так называемые грани, попарно от запятой влево и
*) С точностью де третьего знака.
- 57 —
вправо, в зависимости от того, больше ли число единицы, или
меньше.
173,2= 1'73'20
43526 = 4'35'26
8412 = 84'12
7,125= 7', 12'50
числа > 1
0,374 = 0,37'40
0,0641=0,06'41
0,005494 = 0,00'54'94'
0,0003412 = 0,00'03'41'20
числа
1
Из предыдущих (§ 49) рассуждений вытекает такое правило
установки движка при извлечении квадратного корня:
Если в первую (старшую) грань попадает один знак —
установка по левой шкале.
Если в первую грань попадают два знака—установка
по правой шкале.
Значность результата (корня) будет равна числу гра-
ней в целой части подкоренного количества, если оно
больше 1, — и число нулей после запятой равным числу
чисто нулевых граней подкоренного количества, если оно
меньше 1.
Дадим решение приведенных примеров.
У 173,2= У1'73',20 = 13,17 = в первой грани одна цифра, уста-
новка по левой шкале ВВ.
В целой же части подкоренного количества 2 грани. Резуль-
тат двузначен.
	В первой грани цифр	Установка по шкале	Всего гра- ней в цел. части	Нулевых граней после	запятой	Значность результата
V 43526 = V 4 '35'26 = 209	одна	левой	три	нет		+ 3
}/ 8412= У 84'12 = 91,7	две	правой	две	нет		+ 2
У 7,125 = У 7',12'50 =2,67	одна	левой	одна	нет		+ 1
У0,374 = У0,37'40 = 0,612	две	правой	нет	нет		0
V0,0641 = У0,06'41 = 0.252	одна	левой	нет	нет		0
у 0,005494 = У 0,00'54'94 = 0,0741	две	правой	нет	одна		— 1
У 0,0003412=У 0,00'03'41'20 = 0,0185	одна	левой	нет	одна		—
— 58 —
§ 51.	Возведение в куб при наличии шкалы КК во всем
подобно действию возвышения в квадрат.
При возведении в куб установка делается на шкале DD и
результат прочитывается по шкале КК.
Значность равна утроенной (3 п) значности числа
в куб возвышаемого, если результат прочитывается по
крайней правой шкале кубов.
Значность равна утроенной значности числа, без еди-
ницы (3 п — 1), если результат прочитывается по сред-
ней шкале кубов.
Значность равна утроенной значности числа без 2
(Зп — 2), если результат прочитывается по крайней ле-
вой шкале).
Выводы эти вполне понятны из объяснений § 49 касающихся
шкалы кубов.
Примеры:
7,383 = 402, отсчет по правой крайней шкале. Значность
1X3=3.
19,26	3 = 7140, отсчет по крайней левой шкале. Значность
2X3 —2 = 4.
0,05343 = 0,000152, отсчет по крайней правой. Значность
Хз=-з.
0,12753 = 0,00207	.	„	„ левой. Значность
0X3 — 2 = — 2.
3,423 = 40	„	„	средней шкале. Знач-
ность 1X3 —1 = 2.
§ 52.	Извлечение корней третьей степени также совершенно
аналогично извлечению квадратных корней, с той только раз-
ницей, что установка делается на шкале КК, результат бе-
рется на шкале DD. Шкала имеет три одинаковых подшкалы и
установка на первой, второй или третьей подшкале делается
в зависимости от того, сколько значущих цифр попадает в пер-
вую грань.
Если в первой грани одна цифра — установка на левой шкале
„	„	»	„	Две	„	„	на средн.	„
»	„	„	„	три	„	„	на правой	„
Это ясно из рассуждений § 49.
Правило значности такое:
Если число >7 — число цифр в целой части корня равно
числу граней в целой части подкоренного количества.
Если число <7 — число нулей после запятой равно
числу нулевых граней в подкоренном количестве.
— 59 —
		S3	JQ		Л
	к о			>4	о
	_ u «а 2 .	° §	к		2
	tr <и Е	сз и	5 го го	5 К «2 го	ХГ4
			у го	и 5 га	
	5 S и р. СП Д t_	£ =		:г	СО
1^4'910=17		1	левой	2	нет	2
1^12'167 = 23 		2	средней	2	нет	2
^132'651 = 51 		3	правой	2	нет	2
1/3X^05 = 0,472 ....	3	правой	нет	нет	0
1^0,017'6 = 0,26 ....	2	средней	нет	нет	0
1^0,000'068'9 = 0,041 . .	2	п	нет	1	— 1
1^0,000'061'4 = 0,0393 . .	2		нет	1	— 1
§ 53.	Если на линейке не имеется шкалы кубов, то возвыше-
ние в третью степень можно делать и по шкале квадратов.
Для этого достаточно взять число, которое возводится в куб
на шкале квадратов (ВВ), и установить против этого отсчета
начальную (или конечную) черту движка, приложить то же
число, но по шкале чисел (D'D') и окончательный отсчет взять
по шкале ВВ.
Значность результата легче всего определить „прикидкой
в уме".
173? Установив начальную черту движка против „17“ шкалы
ВВ, сдвигаем визир внутрь до „17“ шкалы D'D’. Результат —
4910 прочитываем по шкале ВВ.
§ 54.	Корень третьей степени можно извлечь, пользуясь
лишь шкалами D'D' и ВВ.
В зависимости от того, содержит ли первая грань одну, две
или три цифры, отсчеты (подкоренное количество) устанавли-
ваются:
Если в 1 грани одна цифра, установка по левой подшкале.
„	„	две	„	„	правой
„	„	три	„	„	опять по левой	„
Установив визир на шкале ВВ таким образом, чтобы черта
его приходилась на количестве, из которого требуется извлечь
корень, движок двигают до тех пор, пока отсчет шкалы В'В'
под чертой визира и отсчет по шкале DD против начальной
или конечной черты движка не будут равны друг другу.
Напр., f 3070 (см. черт. 18). В первой грани две цифры.
Устанавливаем черту визира на „307“ правой подшкалы ВВ.
Затем продвигаем движок, следя одновременно за отсчетом под
— 60 —
чертой визира по шкале D’D' и под конечной (или начальной)
чертой движка на шкале ВВ. Пробуя разные положения, поу-
чаем, наконец, отсчет на шкале ВВ 31,4 против начальной
черты движка и тот же отсчет на шкале D’D' на линии ви-
зира.
Глава XI.
Свойства „опрокинутого" движка.
§ 55.	Если перевернуть движок „вверх ногами" (см. черт. 19)
так, чтобы шкала В'В скользила теперь вдоль шкалы DD, а
шкала D'D’ — вдоль шкалы ВВ, то всякому числу „а“, взятому
на неподвижной шкале DD, будет соответствовать на шкале
D’D' число, равное —. При этом начальные линии всех шкал
должны совпадать (вернее: правые конечные линии движка с ле-
выми начальными неподвижных шкал и наоборот).
Например:
Отсчет на шкале ему соответствует отсчет на шкал
DD	D’D’
2	°,5= 2 -
4	0,25=—1—
4
5	0,2 = —
□
68	0,01615=-^-
§ 56.	Если движок будет находиться в положении, указан-
ном в предыдущем § („вверх ногами"), то кубы чисел нахо-
дятся так:
На шкале DD, против отсчета, который требуется возвести
в куб, устанавливается тот же отсчет перевернутой шкалы В'В.
Результат читается у начальной черты движка — на шкале
квадратов, т. е. на шкале ВВ.
Правило установки отсчета по левой (первой) или правой
(второй) подшкале те же, что и в § 53.
51,63	= 137000. Против „5 — 1—6“ шкалы DD устанавли-
ваем линию визира и на ней устанавливаем „5 — 1—6' под-
шкалы В'В (левой). Отсчет берем у конечной черты движка на
шкале ВВ.
§ 57.	Для извлечения корней третьей степени при помощи
опрокинутого движка поступают следующим образом:
Визир устанавливается на шкале ВВ на отсчете, из кото-
рого требуется извлечь корень. Затем, под установленной
таким образом линией визира устанавливается начальная (или
— 61 —
конечная) черта движка. После этого визир передвигают до тех
пор, пока не будет найдено на шкале DD и В’В' место, где
отсчеты равны друг другу.
В некоторых линейках посредине шкал D'D' и В’В1 на
движке расположена шкала, во всем подобная D'D', но обрат-
ная ей. Деления идут справа налево. При наличии этой шкалы
отпадает надобность в перевертывании движка „вверх ногами*.
Нахождение логарифмов.
§ 58.	На шкале L — L нанесены логарифмы (мантиссы лога-
рифмов) чисел.
Для нахождения логарифма числа устанавливают черту ви-
зира на соответствующем отсчете шкалы и прочитывают ман-
тиссу по шкале L — L. Характеристика находится обычным
порядком.
Примеры (см. черт. 17).
Черта	а	число	14,44 —	логарифм	1,160
и	б	и	1,82 —	н	0,260
»	в	м	2,23 —	н	0,348
	г	л	27,8 —	И	1,444
»	д	п	0,331 —	н	1,520
в	е	п	38,9 —	*?	1,590
в	ж	в	4,63 —	«	0,666
н	3	н	56,4 —	в	1,751
и	и	м	6,62 —	в	0,821
в	к		7,85 —		0,895
и	л		0,919 —	я	1,963
§ 59.	Если по данному логарифму требуется найти соответ-
ствующее ему число, то, не обращая внимания на характери-
стику, устанавливают визирную линию на отсчете мантиссы
по шкале и число, ей соответствующее, прочитывают по шка-
ле DD.
Глава XII.
Тригонометрические шкалы.
§ 60.	На оборотной стороне движка нанесены тригонометри-
ческие величины (см. черт. 20).
В условиях нашей линейки, когда на части шкалы DD от
1 до 2 можно прочесть четыре значущих цифры, первое ощути-
мое значение для синуса и тангенса получается при 0°35', где
sin 0°35'=^g 0°35'=0,01018.
Заметим еще, что в пределах от 0° до 5°44' синусы и тан-
генсы в условиях точности нашей линейки между собой равны,
а именно
sin. 5°44'=0,0999
tg 5°44' = 0,1004
— 62 —
Так как правая часть линейки допускает отсчеты в три зна-
ка, то практически
sin b°44'=tg 5°44' —0,100
В дальнейшем синусы и тангенсы изменяются не пропорцио-
нально, и, как известно, sin 90° = tg 45°= 1.
Эти данные и положены в идею построения шкал.
На задней стороне движка мы имеем три шкалы, обозначен-
ные литерами
,,S“; „S & Т“- ,Т“
Средняя шкала „S & Т“ служит одновременно для синусов
и тангенсов малых углов от 0° до 5°44', при чем первая от на-
чала черточка обозначает ('как в том не трудно убедиться из
рассмотрения линейки) — 0°35'.
Малые до 5°44' углы берутся только на этой шкале.
Для углов, больших 5°44' служат шкалы отдельно для сину-
сов (шкала „5“) и отдельно для тангенсов (шкала ,,Г“).
§ 61.	На шкалах опять-таки нанесены логарифмы тригоно-
метрических величин, натуральные значения синусов и танген-
сов определяются двояким способом:
1) не перевертывая задней (тригонометрической) шкалы на
лицевую сторону.
На задней стороне линейки имеются продолговатые раковин-
ки. Раковинки эти нарочито сдвинуты в сторону от оси линейки
таким образом, что в правую попадают только шкалы 5и
5 & Г, а в левую только Т. На раковинках этих нанесены тон-
кие черточки таким образом, что когда начала и концы шкал
D'D' и В'В' движка совпадают с началами и концами шкал
DD и ВВ корпуса — черточки на раковинках находятся как раз
против начальных и конечных штрихов тригонометрических
шкал.
Установив против черточки на раковине шкалу на угле,
значение которого хотят определить, прочитывают на шкале
D'D' против начальной или конечной черты шкалы DD нату-
ральную величину искомого угла.
Примеры: найти sin 3°45'? Устанавливаем в правой раковине
против ее нижнего штриха (ибо он один непосредственно при-
легает к шкале S & Т), отсчет 3°45'. На лицевой стороне ли-
нейки на шкале D'D' движка (черт. 21). у конечной черты
шкалы DD (там, гдезначок Р—1), прочитываем отсчет „654“.
Так как максимальное значение синуса, прочитываемого на этой
шкале, т. е. sin 5°44' = 0,1, то синус угла 3°45', очевидно будет
равен
sin 3°45' = 0,0653.
Найти, чему равен sin 42°20'?
На правой раковинке против верхней черты устанавливаем
42°20'.
— 63 —
На шкале D'D' движка против конечной черты шкалы DD
корпуса прочитываем отсчет „673* (черт. 22).
Так как на шкале S значение синусов колеблется от 0,1 до 1,
го sin 42°20' = 0,673.
Найти tg 15°25'.
Против черты левой раковины устанавливаем отсчет 15°25'
шкалы Т.
На шкале D'D' против начальной черты шкалы DD там,
где значок Q + 1, берем отсчет „275“.
Так как на шкале Т значение тангенсов колеблется от 0,1
до 1, то tg 15°25' = 0,275.
§ 62. Если движок установить таким образом, что тригоно-
метрические шкалы будут обращены не внутрь линейки, а на-
ружу и начальные и конечные черты движка и корпуса будут
совпадать, значения синусов и тангенсов прочитываются весьма
просто. Именно: устанавливая линию визира против углов на
соответствующей шкале S; S & Т или Т на шкале DD, берут
отсчеты.
Примеры (см. черт. 23).
На линии	Числовой отсчет на шкалах DD	Отсчет угла на шкале		
			S & т	Т
а	0,115	6°36'	—	6°33'
	0,0115		39'30"	—
б	0,1526	8°47'	—•	8°40‘
•F	0,01526	—	52'20"	—
в	0,223	12°53'	—	12°35
	0,0223		1°16'30"	—
г	0,351	20'35'	—	19°20
W	0,0351	—	2°8'	—
д	0,437	25°55'	—	23°35
	0,0437	—	2°30'	—
е	0,655	40°55'	—	33° 15'
»	0,0655	—	3°46'	—
ж	0,815	54°35'	—	39° 10*
и	0,0815	—	4'МО'	—
3	0,913	66°	—	42°25'
н	0,0913		5°14'	—
§ 63. На шкале тригонометрических величин Т (тангенсов)
нанесены углы до 45°. Значения больших углов определяются
следующим образом.*)
*) § 63 получил новую редакцию в соответствии с указаниями чита«
теля И. С. Брильянтщикова (Ленинград).
— 64 —
Как известно:
/ga=rf£(90°-«) = -¥j9(J;2(i)
т. е. тангенс любого угла равен единице, деленной на тангенс
дополнительного до 90° угла.
пают следующим образом.
Пусть требуется найти tg
Пользуясь этим свойством, посту-
62°30'? По предыдущему:
1 1
tg 62°30'	^(90о_62о30г)— tg 27°30'
Устанавливаем в левой раковине против черточки отсчет
по шкале Т—27°30'.
Тогда на шкале DD против правой, конечной черты движка
прочитываем отсчет 1,923. Это и будет искомый результат.
Это вполне понятно, если принять во внимание, что чтение
на движке против левой начальной черты шкалы будет 0,52;
это значение соответствует tg 27°30', а отсчет на шкале DD
против правой конечной черты движка = — —=	-	=
tP" «jv
= 1,923.
Значения косинусов углов определяются по известным три-
гонометрическим формулам перехода. Так например,
Cosa=Siti (90° — а).
Обратная задача: нахождение углов, соответствующих дан-
ным числовым значениям, ясно из предыдущих рассуждений.
При установке тригонометрических шкал наружу на лицевую
сторону линейки (черт. 23) так, чтобы начальные и конечные
штрихи движка и корпуса совпадали, очевидно, каждому отсчету
на шкале DD будет соответствовать угол на одной из шкал
S; S & Т, или Т.
Можно и не оборачивая движка наружу, находить величины
углов, пользуясь черточками на раковинах, во всем согласно
рассуждений § 60 и этого параграфа.
Глава XIII.
Применения логарифмической линейки.
§ 64. Пропорции. Если любым образом сдвинуть движок в
отношении шкалы корпуса, то всякому отсчету на движке будет
соответствовать отсчет на шкалах корпуса, умноженный на
величину сдвига, т.-е. деления шкал движка и корпуса будут об-
разовывать между собою пропорцию, где величина сдвига будет
играть роль знаменателя. Вычисления пропорций удобнее вести
по шкалам ВВ.
65 —
Установим движок так, чтобы начальная черта шкалы В'В'
совпадала с „З11 на левой шкале ВВ (черт. 25), корпуса, тогда
отсчетам на шкале В'В' движка
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1 (10), 11, 12 и т. д.
будут соответствовать отсчеты на шкале ВВ корпуса
3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 и т. д.
Отсюда вытекает правило для решения пропорций вида
35 _ 63
5 х
против „35" на корпусе, устанавливаем „5“ движка.
Таким образом шкалы ВВ и В'В' образуют теперь между
35
собою пропорцию со знаменателем—g—= 7. Тогда против „63"
на шкале корпуса найдем искомый ответ на шкале В'В' движ-
ка =9.
Особенно удобна указанная пропорциональность при сдвиге
шкал, когда требуется отыскать ряд значений, где множителем
является одно и то же число. Это случается, например при пе-
реводе одних мер в другие, при расчете передач и проч.
Пример: принимая 1 ведро —12,30 литрам, определить
скольким литрам равны 7 ведер, 17 ведер, 172 ведра, 145 ве-
дер, 92 ведра.
Получается пропорция вида:
1	_	7	_ 17 _ 172
12,30	%j х2 х3 И Т’ Д’
Установив против „12,30“ шкалы ВВ (см. черт. 26) „1“
шкалы В'В', берем на шкале ВВ отсчеты. Против отсчетов
движка 7, 17, 172, 145, 92 получаем соответствующие им от-
счеты на шкале ВВ 86,1; 209; 2120; 1790; ИЗО.
Пример: перевести градусы Реомюра в градусы Цельсия. Как
известно, отношение /?: С=80:100, таким образом получается
80 а
пропорция вида
Под „8“ шкалы ВВ корпуса устанавливаем „10“ шкалы В'В'
движка. Тогда каждому отсчету градусов по /?, взятому на шкале
ВВ, будут соответствовать градусы С на шкале В'В'.
Отсчетам R на шкале ВВ
1° 2° 3°................25° 50° 80°
соответствуют отсчеты С на шкале В'В'
1,25° 2,50° 3,75°. . . 31,25° 62,5° 100°
— 66 —
§ 65.	Длина окружности круга, как известно, равна к. D,
т. е. постоянному числу тс = 3,1416, помноженному на длину
диаметра круга.
Для удобства, чтобы каждый раз не искать отсчет, соответ-
ствующий тг, на линейках Просветительного Общества „ Про-
метей “ нанесен штрих, обозначенный значком п.
Штрих этот нанесен на шкалах „чисел1* D—D; D' — D' и
на шкалах „квадратов" В — В-, В'—В.
Для вычисления длины окружности круга надо установить
начальную (или конечную) черту движка на штрих тс на кор-
пусе и против отсчета на движке, соответствующего длине
диаметра, на шкале корпуса прочитывается искомый результат.
Можно, конечно, поступить и наоборот: длину диаметра уста-
новить на корпусе, а тс на движке.
Когда тс приходится помножать на первую степень числа
(например на длину диаметра при определении длины окружно-
сти круга), подсчеты предпочтительно вести по шкалам D — D\
D'—D', как имеющим большую длину и дающим, следовательно,
более точный отсчет.
Длину окружности круга можно подсчитать, пользуясь дру-
гой постоянной величиной, нанесенной на шкалах ВВ — ВВ и
обозначенной буквой М. Величина эта равна
= ^— = 0,318
тс 3,1416
d
Следовательно, чтобы получить длину окружности по фор-
муле S=nd = d: —— — .. , надо длину диаметра разделить
тс М
на означенную величину Л4 = 0,318.
Пример!. rf = 4,41. Найти длину окружности? Против отсчета
„441" шкалы ВВ устанавливаем штрих М. У крайнего правого
штриха шкалы В В—берем на шкале ВВ корпуса отсчет 13,84.
Пример 11. rf = 9,53. Найти длину окружности? Против от-
счета „953“ шкалы ВВ устанавливаем штрих М. У крайнего
правого штриха шкалы ВВ'—берем отсчет на шкале ВВ кор-
пуса равный 29,9.
§ 66.	Как известно, площадь круга определяется по формуле
Q— , где тс попрежнему постоянное число, равное 3,1416,
и d—длина диаметра.
Ход вычислений при пользовании штрихом тс поясним на
числовом примере.
Пример d—4,53, найти площадь круга. Устанавливаем на-
чальный штрих шкалы ВВ движка против штриха тс на шкале
ВВ. Устанавливаем волосок визира на „453* шкалы DD' движ-
— 67 —
ка. Отсчет по волоску визира на шкале ВВ—64,4 будет, оче-
видно, равен it. 4,533=itd*, потому что, 453 мы откладывали
на шкале D’D' й перенеся отсчет вверх на шкалу ВВ, тем са-
мым помножили тс на квадрат числа 4,53. Разделив отсчет 64,4
на 4, получим окончательный отсчет на шкале ВВ, равный 16,1.
Это и будет искомая площадь круга.
Таким образом в данном случае, когда тс пришлось множить
на квадрат числа, выгоднее пользоваться верхним штрихом тс.
Этим мы избежали лишнего действия на линейке: возведения в
квадрат.
И вообще, когда одно число приходится множить на квад-
рат второго, можно поступать аналогичным образом: отсчет
сомножителя, даваемого в 1-ой степени, брать по шкале ВВ,
сомножитель, который одновременно надо возвести в квадрат,
отсчитывать на шкале движка D'D’ и результат брать на шка-
ле корпуса ВВ.
Площадь круга можно определить и другим приемом, ко-
торый представляет некоторые преимущества, особенно когда
приходится определение площади круга совмещать с другими
действиями, например с умножением при вычислений об'емов
тел вращения, что и будет показано в дальнейшем. На шкалах
чисел DD; D'D’ нанесены штрихи
С =\/ — = 1,128
< к
/Тб~
G = l/ —=^3,57
Г 4
Штрихи эти находятся друг от друга на расстоянии ровно
12,5 см.*)
Пусть требуется определить площадь круга при d = 42,7.
Против отсчета 42,7 на шкале DD устанавливаем штрих С
или Q шкалы D’D'. Отсчет берем по шкале ВВ у левого конца
движка.
Результат= 1430 получится, конечно, одинаковый—пользо-
ваться ли штрихом С или Сп с той лишь разницей, что в од-
ном случае результат прочитывается по второй подшкале, а в
другом случае по первой подшкале. Это вполне понятно, если
*) В самой деле: lg С = lg 1,128 = 0,053
lgCi=lg8,57 =0,053
0,0553—0,053 = 0,5
25 см X 0,5 —12,5 см
— 68 —
принять расстояние между штрихами = 12,5 см, т.-е. длине под-
шкалы.
Пример:	d = 2,53
Против отсчета „253“ шкалы DD устанавливаем штрих С
или Cj движка. Отсчет берем по шкале ВВ корпуса у правого
конца движка.
Результат = 5,02.
И вообще правило нахождения площади круга при пользо-
вании штрихом С или Cj такое:*)
На шкале DD корпуса отыскивается значение диамет-
ра: против него устанавливают штрих С или С\. Резуль-
тат отсчитывается на верхней, шкале ВВ против началь-
ного или конечного штриха движка.
Площади кругов при помощи значка с еще проще могут
быть определены следующим образом.
Значок с, находящийся на шкале D'D' движка, совмещают
с начальной левой чертой шкалы DD, сдвигая для этого движок
влево.
Тогда, устанавливая черту визира на отсчете шкалы D'D',
равном заданному диаметру, искомый результат находим сразу
же, прочитывая его под чертой визира на шкале квадратов ВВ.
Этот способ удобен тем, что установив штрих с, согласно
изложенного выше, и устанавливая черту визира на отсчетах
шкалы D'D' равных диаметрам, можно составить целую таблицу
площадей круга и наоборот — по площадям определять диаметры.
§ 67.	Боковая поверхность цилиндра
S=2r.r.A = r.D.h
Пользуясь штрихом М, можно формулу эту вычислить одной
установкой движка.
Пример: диаметр цилиндра d = 62,3 см, высота h = 26,2 см.
Устанавливаем под отсчетами „623 й шкалы ВВ штрих шка-
лы В’В’ движка с надписью М. Таким образом, если бы в конце
движка мы взяли отсчет, то получили бы длину окружности
при с? =62,3.
Однако, так как этот отсчет нам не нужен, то мы уста-
навливаем визир на отсчет движка (по шкале В’В') „262“ и на
шкале ВВ прочитываем отсчет „513“
S = 5130 см2.
§ 68.	Боковая поверхность конуса
Вычисление по этой формуле аналогично предыдущему, надо
только окончательный результат разделить на 2.
*) Окончание этого параграфа изложено в соответствии с указаниями
читателя И. С. Брильянтщикова (Ленинград).
— 69 —
Пример: диаметр основания <2=53,2
длина образующей Z = 66I
Ход подсчета следующий:
1)	под „532“ шкалы ВВ устанавливаем штрих М движка;
2)	сдвигаем черту визира до „661“ шкалы В’В'-,
3)	подводим под черту визира „2* шкалы В'В'.
Отсчет п551“ прочитываем у левого конца движка на шка-
ле ВВ.
Об‘ем цилиндра
V—nr.h, т. е. равен произведению площади
основания на высоту.
Пример:	г — 6,25
h-= 17,3
Если г= 6,25, то d— 12,50
Устанавливаем против „125“ шкалы DD штрих С шкалы
D'D' движка.
У левого конца движка на шкале DD можно взять отсчет,
равный площади круга при <2=12,5, т.-е. площадь основания
нашего цилиндра.
Однако отсчет этот нам по условиям задачи не нужен, а
потому сдвигая визир до отсчета й = 17,3 на шкале В'В, про-
читываем на шкале „квадратов* ВВ отсчет „213“
V=213 см8
06‘ем прямого кругового конуса
V=1/3 ъгЧг
вычисляется аналогичным образом, с той лишь разницей, что
окончательный результат надо разделить еще на 3.
Например:	<2=7,8
/г = 52
определить об'ем конуса?
Схема действий:
1)	против отсчета „78“ на шкале DD устанавливаем
штрих Ср
2)	черту визира устанавливаем на „52“ шкалы В В
движка;
3)	под черту визира подводим „3“ шкалы движка ВВ.
У левого конца движка прочитываем на шкале ВВ отсчет
„826“
У=826 см8.
§ 69. Мы познакомились со штрихами it, М, С, Сг.
Штрихи эти представляют значения наиболее часто встре-
чающихся коэффициентов. При различных подсчетах специаль-
ного характера, могут понадобиться другие часто ветре-
— 70 —
чающиеся коэффициенты, значения которых и наносятся на
специальных линейках. Об'яснения этих штрихов, чрезвычайно
разнообразных, даются обыкновенно в проспектах, прилагаемых
к линейкам.
Иногда на самом визире, на стекле, прочерчивается не одна
линия, а три. Расстояние крайних волосков от средняго равно
С, что по § 66 будет обозначать для шкалы DD —
/ 4	4
I/ —— =1,128, а для шкалы ВВ-----------.
у п	ЧТ
Наличие этих волосков упрощает ряд вычислений.
Так, например, при определении площади круга мы, уста-
навливая значение диаметра на шкале DD, подводили под во-
лосок штрих С или Сг движка, а затем на шкале ВВ брали
отсчет.
При наличии же дополнительных волосков задача упрощается
еще более. Установив средний волосок на значении диаметра на
шкале DD, по крайнему левому волоску на шкале ВВ прочи-
тывают ответ.
§ 70. Упрощение целого ряда вычислений зависит исключи-
тельно от навыка и понимания идеи линейки.
Для иллюстрации этого положения решим следующую задачу:
дано: катет а = 215,5
„ £ = 392
Решить прямоугольный треугольник, т.-е. найти величины с;
А; В.
Как известно из формул тригонометрии
,	. а
tg A — —j—
s b
В = 90° —А
c_ a b
sinA sinA
При обычных приемах без упрощений, решение задачи по-
требует три установки.
I установка: пользуясь шкалами DD и D’D', вычисляем
215,5 = 0,55
392
II установка: определяем угол А, для чего, или:
приводя движок в такое положение, чтобы 55 шкалы D'D'
находилось против начальной (левой) черты шкалы D'D' пере-
—71 -
ворачивая линейку, прочитывают у черты левой раковины на
шкале Т угол А = 28°50'
или:
установив тригонометрические шкалы в положение, показанное
на черт. 23, сдвигают волосок визира до „55й шкалы DD и
прочитывают на шкале Т величину угла Л = 28°50'.
VII	W	Л
ill установка: вычисляем с по формуле с=
Для этого, перевернув наружу тригонометрические шкалы (как
показано на черт. 23) и установив волосок визира на отсчете
ti—215,5 и подводя под него значение sin 28°5(У у правого
конца движка на шкале DD, прочитывают значение С=447.
Теперь покажем, как эту же задачу решить одной установ-
кой движка.
Для этого устанавливаем на лицевую сторону тригонометри-
ческие шкалы „вверх ногами", при чем начальную черту движка
устанавливаем на величине а~ 215,5, как то показано на
черт. 27. Установив теперь волосок визира в положение I—I, на
шкале Т, берем отсчет угла Д = 28°50'.
Затем, установив волосок визира в положении II — II, при
котором волосок находится на отсчете sin 28°50'— по шкале
DD, берем окончательный результат с = 447.
— 72 —
УПРАЖНЕНИЯ.
К главе I.
1)	114 —|— 103-j—7s?
Решение: 114 = 11-11-11-11 = 14641	103= 10-10-10= 1000
7В * 10 = 7- 7-7-7-7 =16807
114 + 103 + 7В = 14641 + 1000 + 16807 = 32448.
2)	233 + 1,924 -|- 5,34?	Ответ 12969,64.
3)	18,42 + 133 -j- 11,53?
Решение: 18,42 = 18,4 • 18,4 = 338,56
133 = 13-13-13 = 2197
11,58= 11,5-11,5-11,5 = 1520,88
338,56 + 2197 4-1520,86 = 4056,42 Ответ 8112,86
4)	19,7234-3,54+ 12,82?	Ответ 7982,57.
5)	648 — 124?
Решение: 648 = 64-64-64 = 262144
124 = 12-12-12-12 = 20736
643 — 124 = 262144 — 20736 = 241408.
6)	1273 — 166?
7)	23,72* —5,96в?
Решение: 23,724 = 23,72 • 23,72 • 23,72  23,72 = 316561
5,96в = 5,96 • 5,96 • 5,96.5,96.5,96 = 7520
316561—7520 = 309041.
8)	19,654— 10,31?
9)	1,44-1,4®? так как здесь основания равны, то могут
быть два решения:
1-е решение: 1,44= 1,4-1,4-1,4-1,4 = 3,842
1,4е = 1,4 -1,4 -1,4-1,4-1,4-1,4 = 7,530
3,842-7,530 = 28,93.
2-е решение: 1,4* «1,4® =
4 раза	6 раз
1,4-	1,4-1,4-1,4-1,4-1,4-1,4-1,4-1,4-1,4
10 раз
1,416 = 28,93.
10) 97-94? Решение: 9’I.94 = 97 + 4 = 911
11) 24,33-24,34-24,3®	Ответ:	24,313
12) 158М583-158*	Ответ:	15812
13) 53,75п-53,754.53,752-53,75в Ответ: 53,7522
— 73 —
14) 0,378-0,372-0,37п-0,374	Ответ: 0,372Б
15) (43)Б Решение: (43)Б = 43.43.	. 43.43.43 = 43 хБ — 41 Б.
16) (29,62)е =	Ответ: 29,612
17) (425,б4)1 =	Ответ: 435,628
18) (0,9324)3 =	Ответ: 0,93212
19) 686 : 6827 28 2 * =	Ответ: 684
20) 59,61:59,6Б =	Ответ: 59,62
21) 0,0749:0,074s	Ответ: 0,074’= 0,074
22) 17,394:17,39е	Ответ: 17,39-’=-
23) 11,6е :11,6s	Ответ: ц,б~3=—1— 11,63
К главе II.
24)	V 14641
Решение: 14641 = П4; |/= 112 = 112 = 121
25)	f 46456
6
Решение: 46456 = 6е; V 46456 =V 66 = 63 =62 = 36
26)	С325.324): (32s. 322)
_	32е. 324 _ 32е+4	329 QO4_B_QQ4
Решение. 32^322 — 323+2 _ 32г^=32' —32
27) (264:263). (26е: 263)
( 264 z / 26е \	26е+4	2610
Решение. 2б8 К ( 26з ) — 26з+8 — 266
= 2610-е = 264.
28) (0,494 — 0,493 + 0,49=): (0,492:0,49-2).
Вычисляем первое выражение в скобках.
Решение:	0,494 = 0,49.0,49.0,49.0,49 = 0,0576
(с приближен. 0,493 = 0,49.0,49.0,49 = 0,1176
результатом)	0,492 = 0,49.0,49 = 0,2401
следовательно результат выражения, заключенного в первых
скобках: 0,0576 — 0,1176 + 0,2401 = 0,1801.
— 74 —
Вычисляем выражение, заключенное во вторых скобках:
0.492 _ _	2	1
лд'о-8 ' можно представить в виде п ,Q2 , тогда
vjTr*z	vjtiy
О 492
0 498	___ —_____
выражение ? примет вид 1	= 0,492.0,492 == 0,494 =
и,4У~	0,492
= 0,0576
и окончательно все выражение можно представить в виде
0,1801 _qiQ
0,0576 “
Сокращенно задача может быть решена и таким путем
(0,49* — 0,493 + 0,492): (0,492:0,49-2) =
_ 0,494 — 0,49s + 0,492
~	0,492
Сокращая числитель и знаменатель на 0,492, получим
0,492 — 0,49+1
0,494
0,492 = 0,2401
тогда числитель = 0,2401 — 0,49 + 1 = 0,7501
0,7501	„
"рмультат: 0;2402 =3’12
(разница получилась в виду округления).
29)	Чему равно (-^-)°? ( зу)< ? (0>034)°? (7)<>? (7-2)0?
Ответ: 1.
30)	Представить	—72®~)
в виде недробного выражения
Ответ: 13-2; 0,04—3; 72-8.
К главе Ш.
31)	Найти характеристики чисел:
12, 644, 355, 9,21, 0,622, 4,35, 3554, 0,074, 1534, 153,4, 15,34,
1,534, 0,1534, 0,01534, 0,001534, 0,0001534
Ответ: 1; 2; 2; 0; 1; 0, 3; 2; 3; 2; 1; 0; 1, 2; 3; 4.
К главе IV.
32)	Пользуясь таблицей трехзначных логарифмов, приложен-
ной к руководству, найти полные логарифмы чисел 394; 632; 74;
741; 9,35; 0,74; 0,095; 0,95; 95; 951; 3512; 6,432; 0,09841; 6352?
Ответ: 2,595; 2.801; 1,869; 2,870; 0,971; 7,869; 2,978; 7,978;
1,978; 2,978; 3,546; 0,8082; 2,993; 3,803-
— 7Ь —
33) Найти числа, соответствующие следующим логарифмам
3,911	ответ	8140 2,079	„	120 0,643	„	4,4 Г,495	.	0,3125 3,633	„	0,0043 2,064	„	116 0,008	„	1,018	2,431 ответ 270 4,305	„	0,000202 2,667	„	0,0464 0,321	„	2,095 0,435	„	2,72 2,601	„	0,0399 3,222	.	0,001667
Решить следующие выражения путем логарифмирования, при
помощи таблиц.
34) 691,5X4,45?	Решение: . lg 691,5 = 2,8395 “г lg 4,45 = 0,648 3,4875 Nig 3,4875 = 3072,5 Ответ 3072,5 (точнее 3077,175
35) 0,492 X 6,54	Решение: , lg 0,492= 1,692 “г lg 6,54 = 0,816 0,508 Nig 0,508 = 3,265 Ответ 3,22 (точнее 3,21768)
36) 0,056 X 0,681?	Решение: . lg 0,056 = 2,748 lg 0,681 = 1,833 2,581 Nig 2,581=0,0381 Ответ 0,0381 (точнее 0,038136)
37) 6,493X0,058? 38) 54,96 X 0,0084? 39) 0,342 X 9,81? 40) 53,05 X 8,32? 41) 48,6 Х3,12?	Решение:	lg 48,6 = 1,687 lg 3,12 = 0,494 1,193 Nig 1,193 = 15,6 Ответ 15,6 (точнее 15,1632)
42) 642:341? 43) 73:98? 44) 68:981?	Решение:	lg 68=1,833 lg 981 = 2,992
2,841
Nig 2,841=0,0693.
— 76 —
45) 98:355?
46) 734:682? 47) 0,0352:0,671?	Решение: 	lg 0,0352 = 2,547 lg 0,671 =7,827 2,720 Nig 2,720 = 0,0525 Ответ 0,0525.
48) 0,092:0,542? 49) 0,654:0,0082? 50) 0,111:0,00531? 51) 15,43?	Решение lg (15,43) = 3.Z^ 15,4 lg 15,4 = 1,188 3 lg 15,4 = 3X 1,188 = 3,564
число, соответствующее этому логарифму,
Nig 3,564 = 3665.
Ответ 3665.
52)	43,712? 5,Об8? 1,48*? 9,075? 13,4Р? 8,9423?
53)	Найти 0.7324	lg (0,7324) = 4 lg 0,732
lg 0,732=^865
4 lg 0,732 = 4.Т,865 =1,460
(не надо забывать, что мантисса положительна, следовательно
отдельно 0,865 X 4 = 3,460. Три положительные единицы этой
характеристики сократили три отрицательных единицы характе-
ристики логарифма).
Путем логарифмирования и обратного нахождения по
логарифмам чисел, определить, чему равны следующие вы-
ражения.
54)	0,952? 0, ЮЗ3? 0.0723? 0,0354? 0,09Б?
к_. „ „	14,36.0,954 _
55)	Найти-----6 Й5— ?
Решение: lg 14,36= 1,1562
lg 0,954= 7,980
lg 0,410= 1,613
Так как при умножении логарифмы складываются, а при
делении вычитаются, то к логарифму 14,36 надо прибавить lg
0,954 и отнять логарифм 0,410. Так как порядок безразличен,
то можно было бы сначала от логарифма 14,36, или логарифма
0,954 отнять логарифм 0,410, а затем прибавить логарифм 0,954
или логарифм 14,36.
— 77 —
Т. о. логарифм всего выражения будет равен
1,1562+1,980 -Т,613= 1,5232
Nig 1,5232 = 33,35	Ответ 33,35.
56)	Найти	3,95.6,37 , 12,35 '	
57)	Найти	0,432-31,04 41,34	?
58)	Найти	64,56-7,93	?
		0,64-3,57	
59)	Найти	0,019-17,58 0,732-0,054	?
К главе V.
Пользуясь таблицами пятизначных логарифмов Пржеваль-
ского, решить нижеследующие примеры:
60) Найти lg 47306,8?
Решение (стр. 47)
lg 4730	4,67486
6	5,4
________8_____________________________0,72
lg 47306,8	=	4,67492
61) Найти lg 741,6085
Решение (стр. 51)
lg 7416	2,87017
0
________8_____________________________0,48
lg 741,608 = lg 7416085 = 2,87017
62) Найти lg 0,035624
lg 7,35
lg 8,90006
lg 587,95
lg 1000,09
lg 573,12
lg 96
lg 960
Отв. 2,55174 (стр. 38)
0,86629 (стр. 51)
0,94930 (стр. 56)
2,76930 (стр. 46)
3,00004 (стр. 30)
2,75825 (стр. 45)
1,98227 (стр. 29)
2,98227 (стр. 29)
— 78 —
63)	Найти числа, соответствующие логарифмам *)
3,47436	Ответ 2981
4,61584	ж 41290
1,19240	„	15,574
3,90701	„	8072,7
2,92301	„	837,44
3,60002	„	3981,3
4,74801	„	55977
0,03607	„	1,0866
1,40528	,	25,4262
0,53186	„	3,40302
L31401	„	0,20607
3,55428	„	0,00358327
4,92353	„	0,000838554
2,76101	„	0,0576774
3,42711	„	0,00267366
1,00040	„	0,100093
64)	Nig—3,67918. Решение: здесь знак минус относится
ко всему логарифму. Добавив — 1 к характеристике и -f-1
мантиссе, мы, тем самым, логарифма не изменим, но логарифм
примет вид
— +100000
— — 67918
— 4; 4- 32082,
следовательно, NI—3,67918 =Nlg 4,32082
Nig 4,32082 разыскивается обычным порядком.
65)	Вычислить выражение:
Решение: логарифм числителя будет равен
4
4. lg 11+ v 23459
О
логарифм знаменателя — lg 40173 +	51432
*) Примеры: 63, 65, 66, 67 заимствованы: Маракуев „Элементарная
алгебра", т. II, изд. 1903 г.
— 79 -
Логарифм результата будет, очевидно, равен логарифму чи-
слителя без логарифма знаменателя. Найдя по логарифму ре-
зультата соответствующее ему число, получим окончательный
ответ х=51961,6.
Вычислить выражение:
107328724
Ответ 6208,16.
67) Вычислить выражение:
854,277.0,009748
0,06723.2893
Ответ 0,257717.
К главе VI.
68) Найти логарифмы следующих тригонометрических ве-
личин
sin 14°38'	Ответ 1,40249	(стр. 91)
cos 75° 10'	„	T,40825	(стр. 91)
ctg 72°9'	„	1,50789	(стр. 97)
tg 62°15'	„	0,27891	(стр. 117)
cos 89°27'	„	3,98223	(стр. 63)
sin 1°57'	,	2,53183	(стр. 65)
tg 87°11'	„	1,30804	(стр. 67)
69) Найти lg sin 14° 46' 39"?
На стр. 91, имеем
lg sin 14° 46'	1,40634
30"	24
______________9"	7,2
lg sin 14° 46'39"	=	1,40665
70)	Найти lg cos 14°46'39"	_
lg cos 14°46'	1,98541
По табл. раз. 3 для 30" 1,5
________________	9" 0,45	- 1,95
lg cos ]4°46'39"	T,98539
— 80 —
71)	Найта lg ctg 58° 16' 25"
lg ctg 58° 16'	1,79128
20"	9,30
5"	2,33
1L63—11,63
lg ctg 58° 16' 25"	=	1,79116
72)	Найти логарифмы следующих величин
ctg	72°	15'	34"
sin	42°	40'	31"
cos	25°	15'	42"
tg	32°	12'	11"
tg	69°	57'	30"
cos	72°	9'	44"
sin	63°	13'	24"
ctg	38°	12'	15"
73) По данному логарифму тригонометрической величины
найти соответствующий ей угол.
lg cosx =	1,89213	Ответ	38°	44'	стр.	139
lg COSX —	1,83133	JV	47°	18'	я	147
lg sinx —	1,65902	V	27°	8'	п	116
lg sinx —	1,88531	n	50°	10'	п	141
tg tgx =	1,40584	»	14°	17'	п	90
lg tgx =	0,20900	n	58°	17'		125
lg ctgx =	0,58216	я	14°	40'	99	91
lg ctgx =	1,98281	я	46°	8'	99	149
74) lg tg x =	1,97288	Найти	угол J	t?		
Решение:
На стр. 148 имеем:
43° 12' соответствует 1,97269
40"	17,3
4"	1,73
43° 12' 44"	1,97288
табл. раз.
26
75) lg tg х = 0,58042.
Решение:
На стр. 91 имеем:
75° 16'
30"
7"
0,6"
0,05"
75° 16' 37,65"
Найти угол х?
0,58010
25,50
5,95
0,51
0,0425.
0,58042
табл. раз.
51
— 81 —
76) lgsinx = 1,50621. Найти угол х?
Решение:
На стр. 99 имеем: 18° 42'		1,50598 18,5 4,32 0,185	табл. раз. ‘	37
	30" 7" 0,3"		
18°	42' 30,73"	L50621	
77)	Igcosx—1,91990.
Решение:
На стр. 129 имеем:
33° 44'
20"	2,7
2"	0,27
33° 44' 22"
Найти угол х?
1,91993
— 2,97
1,91990
табл. раз.
8
Так как значение cos с увеличения угла уменьшается, то
к углу 33°44' надо прибавить значение угла, соответствующее
разнице между логарифмом, заданным 1,91990, и логарифмом cos.
33°44', равным 1,91993.
78)	Igctg х = 1,51962
Значение котангенса с увеличением угла уменьшается
Решение (стр. 98).
Igctg 71° 42'
—	20"
71°41'37"
1,51946 ]
+	14
2,1 |
7,51962
табл. раз.
42
Так как мы взяли значение угла при 71°42', соответствую-
щее 1,51946, а имеем заданное значение большее: 1,51962, то
для получения угла, соответствующего этому логарифму, от угла
71°42' надо отнять 23".
79)	Дано lg tg 23°44'= 1,64312.
Найти натуральное значение угла.
Отыскиваем на стр. 41 Nig 1,64312 = 0,43966
tg 23°44' = 0,43966
70) Решить прямоугольный треугольник:
по углу В = 27° 12' 15"
и гипотенузе с =187,47 м.
— 82 —
По известным формулам тригонометрии, имеем
а = с. cos В = 187,47 . cos 27°12'15"
Ь = с . sin В—\87,41. sin 27°12'15"
А =90° — fi=90° — 27°12'15" = 62°47' 45"
Схема вычислений.
I. а= 187,47X27° 12' 15"	I. Igcos 27°12'	= 1,94911
	10"	1,2
а =166,732	5"	0,58
	Igcos 27° 12'15"	= L94909
	+ tg 187,47	=2,27277
		16,1
		= 2,22202
	Nig 2,22194	= 166,7
	7,8	3
	0,26	2
	Nig 2,22202	= 166,732
II. &=187,47Х«п27° 12'15"	II. Igsin 27°12'	= Г66001
	10"	4
Ь = 85,68	5"	2
	Igsin 27°12'15"	= Г,65995
	+ lg 188,47	2,27277
		16,1
		1,93288
	Nig 1,93298	= 85,68
К главе VIII.
Помимо нормальной длины в 25 см. шкалы счетных линеек
бывают длиной меньшей: 15 см; 12,5 см; 10 см; а также боль-
шей 0,50 м, 1,00 м.
Руководствуясь главой VIII, а также таблицей трехзначных
логарифмов, определить в сантиметрах необходимые расстояния
между промежутками для шкалы „чисел* при длине всей шкалы
15 см.
81) Между 3—4? Решение lg 3 = 0,477; lg 4 = 0,602
Разность логарифмов 0,602 — 0,447 = 0,125
Длина промежутка 15 см Х0>125= 1,875 см.
— 83 —
82) Между 44 и 69?
Решение: мантисса lg 44 = 0,643
lg 69 = 0,839
Разница мантисс	0,839 — 0,643 = 0,196 .
Длина промежутка 15 см ХОД96 = 2,94 см
83; Между 35 и 76?	Между 12 и 58?
Между 18 и 88?	Между 62 и 90?
Ответы: 5,055 см; 10,26 см; 10,335 см; 2,43 см.
84) Примеры задачи № 62 решить для шкалы квадратов.
Ответ: промежутки будут очевидно ровно в два раза
меньше.
85. Определить действиями над линейкой		результаты следую
ших выражений:		
	ОТВ	Е Т Ы
	Отсчет	Результат
14,3X43,5	справа	622
732 X 96	слева	70300
87X3,54	слева	308
5,71X621	слева	3550
11,2X17	справа	190
0,43 X 54,2	слева	23,3
0,086X971	слева	83,5
0,41 X 0,0175	справа	0,00718
	отв	Е Т Ы
	Отсчет	Результат
86)	435 : 192	слева	2,27
736 : 881	справа	0,836
64,2 : 135	слева	0,476
741 : 5,48	слева	135
35,5 : 43,1	справа	0,824
6,80 : 7,95	справа	0,857
546 : 8,43	справа	64,8
0,321 : 0,546	справа	0,588
7,01 : 6,17	слева	1,136
51,1 : 43,2	слева	1,183
1,17 : 8,45	справа	0,1385
6,31 : 1,84	слева	3,43
4,36 : 0,562	справа	7,76
— 84 —
87)	Примеры № 54 — 59, решенные ранее помощью лога-
рифмов— решить при помощи линейки. Обратить внимание на
разницу результатов.
Сравнить отсчеты по линейке с результатами, получаемыми
при обычном умножении.
К главе IX.
88)	Определить значности следующих чисел: 1435; 732; 64;
73,25; 6,942; 0,941; 0,00541; 0,0642.
Ответ: 4, 3, 2, 2, 1, 0, — 2, —1.
89)	Проделать при помощи линейки нижеследующие приме-
ры, отделяя количество знаков, пользуясь правилом значности
Примеры	Место отсчета	Уменьшение значности	Значность произведения	Ответы
6,98 X 3,05	слева	нет	1 + 1 = 2	21,3
43,12X8,41	слева	нет	2 + 1=3	363
0,546 X 91,82	слева	нет	0 + 2 = 2	50,1
536,1 Х0,154	справа	— 1	3+0—1=2	82,6
0,433X19,82	справа	— 1	+2—1=1	8,58
0,016X0,173	справа	— 1	— 1 +0 —1 = —2	0,00277
546,2 X 0,004	слева	нет	3 — 2=1	2,18
90) Пользуясь правилом		значности,	решить следующие при-	
меры при помощи линейки.
Примеры		Место отсчета	Увеличение значности	Значность частного	Ответы
635	72	справа	нет	со	8,82
742	631	слева	+1	3 — 3 Ц1 = + 1	1,176
54,2	6,92	справа	нет	2 — 1=+1	7,83
77,3	0,546	слева	+	2—0+1=3	141,5
0,439	264	слева	+ 1	—	0,001663
0,321	0,0125	слева	+1	0-(-1)+1 = +2	25,7
0,0921	0,1762	слева	+1	— 1— 0 + 1=0	0,523
54,6 . 0,0416.0,632.0,544 ?
91)	0,00726 . 14,32.0,649
— 85 —
Запись
знаков
54,6.0,416
54,6.0,0416.0,632
54,6.0,0416.0,632.0,544
54,6.0,0416.0,632 0,544
0,0726
54,6.0,0416.0.612.0,544
0,0726 . 14,32
54,6.0,0416 0,632 - 0,544
0,00726.14,32.0,649
отсчет	произведения	влево	.	.
»	ч	я		"
,	вправо	.
частного влево ........
,	вправо . .	.	.
,	влево	• . .	.	.
Результат...........
— 1
+ 1
+ 1
+ 1
Значность числителя 2 — 1 -[- 0 -1- 0 = -J-1
знаменателя — 2 -f- 2—0 = 0
Число знаков результата -I-1 -(0) + 1=2
Ответ: 11,52.
К главе X.
92) Пользуясь шкалой квадратов, вычислить квадраты чисел,
помещенных в первом столбце.
	На какой шкале отсчет	Значность	Ответ
2,962	левая	1Х2-1=1	8,76
15,35»	левая	2X2—1=3	236
1542	левая	3X2—1=5	23700
43,1»	правая	2X2 = 4	1860
6422	правая	3X2 = 6	412000
57,42	правая	2X2 = 4	3290
0,2423	левая	0X2-1=—1	0,0586
0,5452	правая	0X2 = 0	0,297
0,0912	правая	-1Х2 = -2	0,00828
0,0663	правая	-1X2= —2	0,00436
0, 8412	правая	- 1Х2 = - 2	0,00707
0,02563	левая	-1X2—1= —3	0,000655
— 86 —
93) Пользуясь шкалой квадратов, из следующих чисел, помещенных в			извлечь квадратный корень первом столбце.		
	Разбивка на грани	Сколько зна- чущих цифр в 1-й знячушей грани	По какой шкале установка	Знач- ность ре- зультата	Ответ
V 43,5	43'50	2	правая	1	6,6
V 1742	17'42	2	правая	2	41,7
V 176,2	1',76',20	1	левая	2	13,28
V 4,321	41,32'10	1	левая	1	2.08
V 742	7'42		левая	2	27,3
V 0,421	0,42'10	2	правая	0	0,649
V 0,6327	0,63'27	2	правая	0	0,795
V 0,426	0,42'60	2	правая	0	0,653
V 0,0624	0,06'24	1	левая	0	0,25
V 0,0354	0,03'54	1	левая	0	0,1882
Г0,008842	0,00'88'42	2	правая	— 1	0,094
V 0,00141	0,00'14'10	2	правая	— 1	0,0376
V 0,00342	0,00'34'20	2	правая	— 1	0,0585
94) Пользуясь шкалой кубов,			вычислить	третью	степень
чисел, помещенных в первом столбце.					
	На какой	3начНосТь			Ответ	
	шкале отсчет				
433	средней	2 X			3—1=5	79500	
4,35я	средней	1X			3—1 = 2		82
14,323	левой		2X3—2=4		2930	
8,95s	правой	1X3 = 3					717
79,4я	правой	2 X			3 = 6	500000	
642,1s	правой	3 X			3 = 9	265000000	
0,54s	правой	0 X			3 = 0	0,157	
0,4943	правой	0 X			3 = 0	0,12	
0,0214s	левой		—1X3—2=—5		0,0000098	
0,0569s	правой	— 1 X 3 = — 3				0,000184	
0,0184s	левой		-1X3—2=—5		0,00000623	
0,0205s	левой		—1X3—2=—5		0,0000086	
— 87 —
95) Пользуясь шкалой кубов, извлечь корень третьей степени
из чисел, помещенных в первом столбце.
	Разбивка на грани	Сколько значущих цифр в 1-й значущей грани	Значность результата	Ответы
f 79500	79’500	2	2	43
f 82	82’	2	1	4,35
2У30	2'930	1	1	14,32
715	717'	3	1	8,95
500000	500'000	3	2	79,4
265000000	265'000'000	3	3	642,
?	0,157	0,157'	3	0	0,54
0,12	0,120'	3	0	0,494
уГ 0,0000098	0,000’009’800	1	— 1	0,0214
0,000184	0,000’184	3	— 1	0,0569
У 0,00000623	0,000’006’230	1	— 1	0,0184
f 0,0000086	0,000’008’600	1	— 1	0,0205
96) Найти, чему равны
	Установка угла на шкале	Ответы
sin 3°24’		средней	0,0593
tg 3°24’ 		»	0,0593
sin 1°12’		и	0,0210
tg 1°12’		•	0,0210
sin 2°24’			0,0419
tg 2°24 		я	0,0419
sin 6°43’		верхней	0,117
tg 6°43’		нижней	0,118
sin 12°25’		верхней	0,215
— 88 —
	Установка угла на шкале	Ответы
tg 12°25’		нижней	0,220
sin 22°30'		верхней	0,382
tg 22°30' 		нижней	0,410
sin 32°50'		верхней	0,542
tg 32°50'		нижней	0,645
sin 4l°15'		верхней	0,659
tg 41°15'		нижней	0,877
sin 45* 		верхней	0,707
45°		нижней	1,000
sin 48°15'		верхней	0,746
sin 54°30'			0,814
sin 60°30'		п	0,870
sin 75* • 		п	0,966
sin 80® 		N	0,985
tn 90®		п	1,000
— 89 —
ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица трехзиачиых логарифмов чисел от 1 до 1000.
Ar. 1	Т. 0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	—	000	301	477	602	699	778	845	903	954
1	000	041	079	114	146	176	204	230	255	279
2	301	322	342	362	380	398	415	431	447	462
3	477	491	505	519	531	544	556	568	580	591
4	602	613	623	633	643	653	663	672	681	690
5	699	708	716	724	732	740	748	756	763	771
6	778	785	792	799	806	813	820	826	833	839
7	845	851	857	863	869	875	881	886	892	898
8	903	908	914	919	924	929	934	940	944	949
9	954	959	964	968	973	978	982	987	991	996
10	000	004	009	013	017	021	025	029	033	037
И	041	045	049	053	057	061	064	068	072	076
12	079	083	086	090	093	097	100	104	107	111
13	114	117	121	124	127	130	134	137	140	143
14	146	149	152	155	158	161	164	167	170	173
15	176	179	182	185	188	190	193	196	199	201
16	204	207	210	212	215	217	220	223	225	228
17	230	233	236	238	241	243	246	248	250	253
18	255	258	260	262	265	267	270	272	274	276
19	279	281	283	286	*:88	290	292	294	297	299
20	301	303	305	307	310	312	314	316	318	320
21	322	324	326	328	330	332	334	336	338	340
22	342	344	346	348	350	352	354	356	358	360
23	362	364	365	367	369	371	373	375	377	378
24	380	382	384	386	387	389	391	393	394	396
25	398	400	401	403	405	407	408	410	412	413
26	415	417	418	420	422	423	425	427	428	430
27	431	433	435	436	438	439	441	442	444	446
28	447	449	450	452	453	455	456	458	459	461
29	462	464	465	467	468	470	471	473	474	476
30	477	479	480	481	483	484	486	487	489	490
31	491	493	494	496	497	498	500	501	502	504
32	505	507	508	509	511	512	513	515	516	517
33	519	520	521	522	524	525	526	528	529	530
34	531	533	534	535	537	538	539	540	542	543
35	544	545	547	548	549	550	551	553	554	555
36	556	558	559	560	561	562	563	565	566	567
37	568	569	571	572	573	574	575	576	577	579
38	580	581	582	583	584	585	587	588	589	590
39	591	592	593	594	595	597	598	599	600	601
40	602	603	604	605	6<)6	607	609	610	611	612
41	613	614	615	616	617	618	619	620	621	622
42	623	624	625	626	627	628	629	630	631	632
43	633	634	635	636	637	638	639	640	641	642
44	643	644	645	646	647	648	649	650	651	652
45	653	654	655	656	657	658	659	660	661	662
46	663	664	665	666	667	667	668	669	670	671
47	672	673	674	675	676	677	678	679	679	680
48	681	682	683	684	685	686	687	688	688	689
49	690	691	692	693	664	695	695	696	697	698
50	699	700	701	702	702	703	704	705	706	707
	L. 0	1	2	3	4	л	6	7	8	9
1 У.|	о о	tocPCDCDCOCOCOcpcD CDOO^OSCT^-CDbai-*	90	03 CO 03 CP 03 -J	GO 00 03 03 03 03		СЭ о	-J CD	д ^д ^,Д _^д _ д	_^д — Д				.70	O5O5O5O5O5O5O5O5O5		05 слслслслслслслслел					OS 1	
					05	ст »u cd ьа •—			03	-о 05 ел	4». CD ГО	к-4		сооо<1а5ел4^сого	t—*	о	CD 03 -J	05 CT 4^	CD	ro		
t-ч	г>	дедедедесодедедеде	CO	CiJCDCDCDCDCDCDCDCD				03	03	00 00 00	00 03 03	00	03	000000030300<1<1		<1					05	Ьн
	X	десооооо-з-здаоьст	CT	ьйь	CO		ьа ьа •— •— о	6	CO	с©	03 03 -1	05 05 СТ	ел	4-	CDCDbSrOl-^OCDCD	03		05 СЛ	i1- |г- CD	ьа	b- p	05	
о	о	oiH-^irooowooHbeo	4*	CD О	4-	CD 4^ CD 4»- 00	CD	03	ьз	05 1— сл	СШ-J	и-*	сл	СО CD 05 О CD 05 С© ГО	сл	03	f— CD 05	03 0 N)		05 00	С©	о
	о	C©C©COC©C0C©C0C©C©	CD	CD CD CD CD		CD CD CD CD CD		03	03	00 00 00	00 00 00	со	со	00030003000000<1				J -4| -4|		m.1 *.1	_q	
	о	дедеозоз<!-1О5О5сз	CT	CT 4- >	CD	CD ЬО bi О	X	CD	СО	00 00 <1	“Л 05 СЛ	сл		WCDrCbDb-OOCD	03		-4 05 СЛ	4* 4*- CD	ьа	ь- о	О	н*
	о	05bD-JCD034-C©4*-0	CT	OCTOOlOCTOi^CD				00	CD	<! к— 05	О ^03	го	05	C©CD^J©4^^JOtD	05	с©	Г0 4* -J	CD I-* CD	ст	-J 03	О	
	о	toc©c©c©c©c©c©c©c©	CD	CDCDCDCDCDCDCDCDCD			CD	on	03	03 03 00	00 00 00	ап	03	ОЗОООЗОЗОЗОООЗ^З	^д	«J	Ж.1 -.1 -^1	m.1 m.1 m.1		41 “-3	_q	
го	о	дедеоз0з<1^зо5О5О5	CT	сл 4* 4- cd		CD ЬЭ b5 H-a	О	co	с©	03 03 -1	-41 05 СЛ	сл	4-	4xCDb5b3l-‘OOC©	(Г	(JO	<J 05 СЛ	CT 4* CD	го	»— о	О	ГО
	1—*	-jwataco^eDWo	CT	O35H	05	о ст о ст о		CD	CD	00 ГО 05	© СЛ CD	го	05	О 4^ <1 -- Ф СС н-	“4J	©	ГО СЛ -J	ONib	05 00 CD		к-*	
	о	CD©C©C©C©C0C©CDCD	pc	CD CD CD	CD	CD CD CD CD CD	CD	00	03	00 00 00	00 00 00 00		03	аоозооозсоозоо<1		-1	<д eC| ».l	*.1 «41 ^.1		-» д	^д	
со	о	с©деоооз<К1<!0505	CT	CT 4^ 4-	CD	CD Ь5 Г0 >— i—	Г;	CD	CD	03 03 -1	-4 05 сл сл			ФИЙМНООС©	00	03	-<] 05 СЛ	CT CD	го	к— t—•	о	CD
	>—1	-JWCO^^^OUIO	05	h- 05 •—	05	h-05MO»0	CT	CD		03 CD -4	»— сл со	CD	*4	^-4*озьзелоо1—>^.		о	CD G5 00	H-• CD CT		де о	гЗ	
	Г)	еососодедедедедеде	CD	CD CD CD	e©	CD CD CO CD CD	CD	CO	03	00 00 00	03 03 03	03	СП	озозооозоооеоо<!	«_д		Ж.1 №.1 M.1	*.1 «41 ».!		№.1 ^.д		
4>>		дедеозоооо^з<юэо5	CT	CT 4^ :	CD	CD hi tO »—	©	О	С©	00 00 О	-Л 05 05	сл	4-	4^ CD ЬЗ to Г— О О ср	03	Ct	-J 05 СЛ СЛ 4^ CD bD			t=5	о	
	го	-j^^^OCnOOH	05	H- 05 bD		k—“ 05 1—‘ 05 •—1	CT	о Д Ф CC'l			ЬЭ 05 О		GO	1— СЛС©Ь5О5«0ЬЕСЛОО			4s* 05 CD	»-*	05 Q0 CD w.			ьа	
	о	дедедедесодедедеде	CD	CDCDCDCDCDCDCDCDCD			CD	CD	00	00 00 00	00 00 00	03	00	03000300000000^3								
ел	о	е©деоооооо^з<зоэо5	СЛ	CT 4- 4-	CD	WNNHM	О	О	с©	03 00 <1	-4 05 05	сл	4^	4* МММ	»С>СО	03	00	05 05 CT 4»- CD		Й!	ьа i—	р	СТ
	г*	оодедестосле-*®!-*	*J	bi ^3 bD		to -J to 05 H-*.	os	o	СЛ	CD 4- 00	ЬЭ 05 О	4-	сс	С«О5вО&ЭС5ОС0О5	с©		CT -J © to 4>> 05		CD	О ьэ	CD	
	о	co cd де де де де де де cd	CD	CD CD CD CD		CD CD CD CD CD	co	cd се oo oo oo			03 00 00	03	го	сеоооооосооооо<1	м		--I ^-3 “^1	^1	“"Л		-41 ».!		
05	о	дедеоофооо-*з*305О5	CT	CT 4> 4-	CD	CD Г0 tO »- t=5	о	о	CD	CD 03	-4 05 О»	сл	4к	^CDCD^H-^-OCO		03	-1 05 05 C 4- CD		ьэ	ГО ь-	О	05
	сБ			N<W	03	№ -J hi —J ЬЭ	05	1—*	СЛ	О д CD	CD -Л Н-»	сл	С©	W050Cd^3©00-3	о	EC.	CT 00 О CD СТ О		CD	к— CD		
	о	t0CDC©CDC©CDC©C©C©	CD	CD CD CD	cr>	CD CD CD CD CD	co	CD	03	03 00 00	00 00 00	03	03	оооооооооооосо^з			Л -<1 ~-l	“-1 *1		•41 "41		
^д		дедедеоооз—з<1О505	CT	CT 4* 4-	CD	CD hD bS h- H-‘	©	О	CD	С© 03 -41	-4 05 05	сл		4‘CDCDb3^-l— ОС©	с©	co	05 05 CT 4^ CD		CD	ьс w	о	
	со	юдоСтиогз^м	00	CD 00 CD	00	WCO WQCbS		н*	05	о сл со	CD -4 ГО	05	со	CD -<] •— 4^ 00 >— 4^<1	©	Ы	05 CD I-*	4* ©5 00 О		ьа cd	сл	
	о	CDC©C©CDC©C©C©C©C©	CD	CD CD CD	CD	CD CD CD CD CD	co	CD	03	00 03 03	00 00 00 00		00	ССОООООЗОЗОЗОО<1			Л «Л -41	Л -к1 -Л	-41	—1	_q	
00	о	O’O^COOC-J-JCjO)	CT		CD	CD ЬЭ ba ‘ 1	о	Л	CD	CD 00 00	-4] 05 05	сл	ел	4^ CD CD ЬЭ	• О CD	со		-1 05 05 CT 4- CD CD			ьа к—	О	00
	со	(OOiociH^hsaw	00	W 00 CD	CD	CD 00 CD 03 CD		ЬЭ	«	ь- СЛ о	4- 03 ЬЭ	05	с	4^00н^4>-соьзелсо	н-•	>£	•J CD b3	4- "м де	1—‘	со 4-	05	
	л	о sec creole	CD	CD CD CD	CD	CD CD CD CD CD	CD	CD	on	00 00 00	се оо оо	03	а	СС 00 00 СО 00 03 03 <1			->.1 -^1 ж.1	“^1 ^3	_q	—3	«о	
де	гз	©дедеоооо-а-зеь®	CT	СЛ 4	CD	CD ЬЭ ЬЭ t— —	О	О	с©	СО 03 03	-4 05 05	сл	сл	4-tecDpo^-f-*oc©	to	00	-J -3 ОЭ	Ст 4>- 4* CD		N5	О	де
		OOl-*0iM^WCDW	CD	iK CD *>	CD	4* CD 4- CD CD	00	CD		го сэ о	4- CD ЬЭ			4» 00 ЬЗ СЛ С© [\3 05 СР		СЛ	-J c w	ICT <1 о ьо		СО СЛ	—J	
																						
co
о
— 91
Страница 30 логарифмов Пржевальского.
I. Логарифмы чисел
N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Р.Р.
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 ПО 111 112 ИЗ 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130	00 000 432 860 01284 703 02119 531 938 03 342 743 04139 532 922 05308 690 06 070 446 819 07188 555 918 08 279 636 991 09342 691 10 037 38- 721 11 059 394	043 475 903 326 745 160 572 979 383 782 179 571 961 346 729 108 483 856 225 591 954 314 672 *026 377 726 072 415 755 093 428	087 518 945 368 787 202 612 *019 423 822 218 610 999 385 767 145 521 893 262 628 990 350 707 *061 412 760 106 449 789 126 461	130 561 988 410 828 243 653 *060 463 862 258 650 038 423 805 183 558 930 298 664 *027 386 743 *096 447 795 140 483 823 160 494	173 604 *030 432 870 284 694 *100 503 902 297 689 *077 461 843 221 595 967 335 700 *063 422 778 *132 482 830 175 517 857 193 528	217 647 *072 494 912 325 735 *141 543 941 336 727 *115 500 881 258 633 *004 372 737 *099 458 814 *167 517 864 209 551 890 227 561	260 689 *115 536 953 366 776 *181 583 981 376 766 *154 538 918 296 670 *041 408 773 *135 493 849 *202 552 899 243 585 924 261 594	303 732 *157 578 995 407 816 *222 623 *021 415 805 *192 576 955 333 707 *078 445 809 *171 529 884 *237 587 934 278 610 958 294 628	346 775 *199 620 *036 449 857 *262 663 *060 454 844 *231 614 994 373 744 *115 482 846 *207 565 920 *272 621 968 312 653 992 327 661	389 817 •242 662 *078 490 898 *302 703 *100 493 883 *269 652 *032 408 781 *151 518 882 *243 600 955 *3и7 656 *003 346 687 *025 361 694	144 43 42 1 4.4 4.3 4.2 21 8.8 8.6 8.4 3 13.2 12.9 12.6 4 17.6 17.2 16.8 5 22.021.5 21.0 6 26.4 25.8 25.2 7,30.8 30.1 29.4 8 35.2 34.4 33.6 9 39.6 38.7 37.8 41 40 39 1 4.1 4.0 3.9 2 8.2 8.0 7.8 3 12.3 12.0 11.7 4 16.4 16.0 15.6 5 20.5 20.0 19.5 6 24.6 24.0 23.4 7 28.7 28.0 27.3 8 32.8 32.0 31.2 9 36.0 36.0 35.1 138137 36 1| 3.81 3.7 3.6 2| 7.6 7.4 7.2 3'11.4111.1 10.8 4 15.2 14.8 14.4 5 19.0,18.5 18.0 6 22.8'22.2 21.6 7 26.6 25.9 25.2 8 30.4 29.6 28.8 9 34.2,33.3 32.4 35 34133 1 3.5 3.4| 6.3 2 7.0 6.8 6.6 3 10.5 10.2 9.9 4 14.0 13.6 13.2 5 17.5 17.0 16.5 6 21.0 20.4 19.8 7 24.5 23.8 23,1 8 28.0 27.2 26.4 9 31.5 30.6 29.7
N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	Р.Р.
100" = 1 ПО =1 120 = 2		' 40" S 4.685 57 Т. 57 50	57	57 0	57	57					1000" = 16' 40 11С0 =18 20 1200 =20 0			S 4,68557 Т. 58 57 58 57 68	
92
III. Логарифмы тригонометрических величин.
32°
/	Sin.	d	Tan.	d. s.	Cot.	Cos.	d.	f	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0 1 2 3 4	9.72 421 9.72 441 9.72 461 9.72 482 9.72 502	20 20 21 20 20 20 20 20 20 20 21 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 19 20 20 20 20 20 20	9.79 579 9.79 607 9.79 635 9.79 663 9.79 691	28 28 28 28 28 28 29 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 27 28 28 28 28 28 28 28 28	0.20 421 0.20 393 0.20 365 0.20 337 0.20309	9.92 842 9 92 834 9.92 826 9 92 818 9.92 810	8 8 8 8 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8	60 59 58 57 56	" 29 1 28 1 0.48 0.47 2 0.97 0.93 3 1.45 1.40 4 1.93 1.87 6 2.42 2.33 6 2.90 2.80 7 3.38 3.27 8 3.87 3.73 9 4.35 4.20 " 21 20 1 0.35 0.33 2 0.70 0.67 3 1.05 1.00 4 1.40 1.33 5 1.75 1.67 6 2.10 2.00 7 2.45 2.33 8 2.80 2.67 9 3.15 3.00 "78 10.12 0.13 2 0.23 0.27 3 0.35 0.40 4 0.47 1.53 5 0.58 0.67 6 0.70 0.80 7 0.82 0.93 8 0.93 1.07 9 1.05 1.20
5 6 7 8 9	9 72 522 9 72 542 9 72 562 9.72 582 9.72 602		9.79719 9.79 747 9.79 776 9.79 804 9.79 832		0.20281 0.20253 0.20 224 0.20 196 0.20 168	9.92 803 9.92 795 9 92 787 9.92 779 9.92 771		55 54 53 52 51	
10 11 12 13 14	9 72 622 9.72 643 9.72 663 9,72 683 9.72 703		9.79 860 9.79 888 9.79 916 9 79 944 9.79 972		0.20 140 0.20112 0.20 084 0.20 056 0.20 028	9.92 763 9.92 755 9.92747 9.92 739 9.92 731		50 49 48 47 46 45 44 43 42 41	
15 16 17 18 19	9 72 723 9.72 743 9.72 763 9.72 783 9.72 803		9.80 000 9.80028 9.80056 9.80 084 9.80112		0.20000 0 19 972 0.19944 0.19916 0.19 888	9.92 723 9.92715 9.92 707 9.92 699 9.92 691			
20 21 22 23 24	9.72 823 9.72 843 9.72 863 9 72 883 9.72902		9.80140 9.80 168 9.80 195 9.80223 9.80 251		0.19 860 0.19 832 0.19 806 0.19 777 0.19 749	9.92 663 9.92 675 9.92 667 9.92 659 9.92 651		40 39 38 37 36	
25 26 27 28 29	9.72 922 9 72 942 9.72 962 9 72 982 9.73 002		9.80 279 9.80307 9.80 335 9.80 363 9.80 391		0.19 721 0.19 693 0.19 665 0.19 637 0.19 609	9.92 643 9.92 635 9.92 627 9.92 619 9.92 611		35 34 33 32 31	
			9.80 419		0.19 581	9.92 603		30	
30	9.73 002								
t	Cos.	d.	Cot.	d. c.	Tan.	Sin.	d.		
57°
— 93 —
III. Логарифмы тригонометрических величин.
32°									
	Sin.	d.	Tan.	d. s.	Cot.	Cos.	d.	/	
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
30 31 32 33 31	9.73 022 9.73 041 9.73 061 9.73 081 9.73 101	19 20 20 20 20 19 20 20 20 19 20 20 19 20 20 19 20 20 19 20 19 20 19 20 19 20 19 20 19 20	9.80419 9.80 447 9.80 474 9.80502 9.80530	28 27 28 28 28 28 28 28 27 28 28 28 28 27 28 28 28 27 28 28 28 27 28 28 27 28 28 27 28 28	0.19 581 0.19 553 0.19 526 0.19 498 0.19 470	9.92 603 9.92 595 9.91 587 9.92 579 9.92 571	8 8 8 8 8 8 9 8 8 8 8 8 8 8 8 9 8 8 8 8 8 8 9 8 8 8 8 8 9 8	30 29 28 27 26	" 28 1 27 1 0.4?|o.45 2 0.93 0.SO 3 1-40 1.35 4 1.87 1.80 5 2.33 2.25 6 2.80 2.70 7 3.27 3.15 8 3.73 3.60 9 4.20,4.05 " 20 19 1 0.33 0.32 2 0.67 0.63 3 1.00 0.95 4 1.33 1-27 5 1.67 1.58 6 2.00 1.90 7 2.33 2.22 8 2.67 2.53 9 3.00 2.85 "89 1 0.18 0.15 2 0.27 0.30 3 0.40 0.45 4 0.53 0.60 5 0.67 0.75 6 0-80 0.90 7 0 93 1.05 8 1.07 1.20 9 1.20 1-35
35 36 37 38 39	9 73 121 9 73 140 9 73 160 9 73 180 9.73 200		9.80 558 9.80 586 9.80 614 9.80 642 9.80 669		0.19 442 0.19 414 0.19 386 0.19 358 0.19 331	9 92 563 9.92 555 9 92 546 9.92 538 9.92 530		25 24 23 22 21	
40 41 42 43 44	9.73 219 9.73 239 9 73 259 9.73278 9 73 298		9.80 697 9.80 725 9.80 753 9.80 781 9.80 808		0.19-03 0.19 275 0.19 247 0.19 219 0.19 192	9.92 522 9.92 514 9 92 506 9.92 498 9.92490		20 19 18 17 16	
45 46 47 48 49	9.73 318 9.73 337 9.73 357 9.73 377 9.73 396		9.80 836 9.80 864 9.80 892 9 80919 9.80947		0 19 164 0.19 136 0.19108 0.19 081 0.19 053	9.92 482 9.92 473 9.92 465 9.92 457 9.92 449		15 14 13 12 11	
50 51 52 53 54	9.73 416 9 73 435 9.73 455 9.73 474 9.73 494		9.80975 9.81 003 9.81 030 9.81 058 9.81 086		0.19 025 0 18 997 0.18 970 0 18 942 0.18 914	9.92 441 9.92 433 9.92 425 9.92 416 9.92 408		10 9 8 7 6	
55 56 57 58 59	9 73 513 9 73 533 9 73 552 9 73 572 9.73 591		9.81 113 9.81 141 9.81 169 9.81 196 9.81 224		0.18 887 0.18 859 0.18 831 0.18 804 0.18 776	9 92 40(1 9 92 392 9.92 384 9.92 376 9.92 367		5 4 3 2 1	
60	9.73 611		9.81 252		0.18 748	9.92 359		0	
	Cos.	d.	Cot.	d. c.	Tan.	Sin.	d.	r	
57°									
— 94 —
ТАБЛИЦЫ.
Взаимный перевод русских и метрических мер.
1. Меры длины.
1 км. = 0,9374 версты = 468,69 саж.
1 м. =0,4687 саж. = 3,2809 фут.
1 см. = 0,03281 фут. = 0,3937 дюйм.
1 вер. = 1,0668 км.
1 саж. =2,1336 м.
1 фут. =0,3048 м.
I дюйм.= 2,54 см.
2. Меры площадей.
1 кв. км. =0,8787 кв. верст = 91,5299 дес.
1 га =10000 кв. м. = 0,9153 дес. = 2196,72 кв. саж.
1 кв. м. =0,2197 кв. саж. = 10,7641 кв. фут.
1 кв. см. =0,155 кв. дюйм.
1 кв. вер. =1,13806 кв. км. = 113,806 га.
1 дес. = 1,0925 га.
1 кв. саж. =4,5522 кв. м.
1 кв. фут =0,0920 кв. м.
1 кв. дюйм = 6,4516 кв. см.
3.	Меры объемов.
1 куб. м. =0,1030 куб. саж. = 35,3166 куб. фут.
1 куб. см. =0,0610 куб. дюйм.
1 куб. саж.= 9,7124 куб. м.
1 куб. фут = 0,0283 куб. м.
1 куб. дюйм= 16,3866 куб. см.
4.	Меры веса.
1 т. (метрическая) =61,0459 пуд. = 2441,8350 фунт.
1 кг	=0,0610 пуд. = 2,4418 фунт.
1 пуд	=0,0164 т. = 16,3811 кг.
1 фунт	=0,4095 кг.
5.	Меры жидкостей.
1 л. =0,001 куб. м. = 0,0353 куб. фут.
1 куб. саж.= 789,6 ведра.
1 куб. фут = 2,302 ведра = 28,375 л.
1 ведро =0,4345 куб. фут. = 12,2990 л.
— 95 —
Важнейшие постоянные величины,
Величина	Число	Лога- рифм, числа	Величина	Число	Лога- рифм, числа
Я	3,1416	0,4972	ТС2	2,4674	0,3922
			4		
2г.	6,2832	0,7982			
			д	9,81	0,9917
п V 2	4,4429	0,6477	9г	96,2361	1,9833
К	1,5708	0,1961	9		
2				3,1321	0,4958
К	1,0472	0,0200	2	6,2642	0,7969
3					
X	0,7854	7,8951	2.4	4,4295	0,6464
4			1	0,1019	7,0083
					
					
4г	4,1888	0,6221	9		
					
3			1	0,0510	*2,7083
					
			2о		
У 2	2,2214	0,3466	itVg	9,8398	0,9930
1					
	0,3183	1,5029			
X			TzV^g	13,9154	1,1435
1	0,1592	7,2018	п 9	1,0030	0,0013
2ж					
			п		
1	0,1061	7,0257	1/77	0,7093	1,8508
Зя			F 2д		
			е	2,7183	0,4343
1	0,0796	2,9008			
4л			е2	7,3891	0,8666
	1,7725	0,2486		1,6487	0,2172
1		1,7514	1		
l/v	0,5642			0,3679	1,5657
			е		
X3	9,8696	0,9945	1	0,1353	1,1314
1	0,1013	7,0057	еа		
—2					
			V е	0,6065	1,7829
— 96 -
Объемы и поверхности некоторых тел.
V — об‘ем;
О — поверхность;
S — боковая поверхность тела.
Пирамида.
V —1/3 площади основания на высоту.
Усеченная пирамида. Если F и / — площади оснований, h —
высота.
у=_1-л	+	)=2l (р+/+ф),
где Ф — площадь среднего сечения.
Цилиндр.
17 _ площади основания Хна высоту.
Круговой цилиндр. Если г — радиус основания, h — высота,.
V — r^h; S = 2wA; О = 2w (г + h).
Прямой круговой конус.
Если г — радиус основания, h — высота, I — производящая,
(7 = 1/3 тс Г2 h I = тгГ |/” Г2 Л2 = тс Г I.
Усеченный параллельно основанию конус.
Если R — радиус второго основания, то
У=1/3 тсЛ (/?2-f-/?r-|-^) = S = TcS (Д + г).
Шар.
Если г — радиус d — 2г— диаметр, то
V = % № = 4,1888 г2 = 1/6 та/э = 0,5236 d3.
О = 4№ = nd2 = 4 X площадь большого круга.
Обратно:	_____
г = |/Г_1_К= 0,6204	у
d = |Лб V —1,2407	у
ЛОГАРИФМЫ
ИЕТЙМ
ЛМЯЕЙКА
ИЗДАНИЕ 9-Е
„ПРОМЕТЕЙ” 1937 МОСКВА
ЧИТАТЕЛЬ!
Я положил труд и время, чтобы, сделать эту книгу
для тебя понятной, даже в том случае, если ты обла-
даешь весьма небольшими познаниями в математике.
Твой долг сообщить обо всех недостатках и неясно-
стях изложения, желательных дополнениях, а также
обо всех замеченных ошибках и опечатках по адресу.
Москва, 121.
Смоленский бульвар, 3—5.
Издательству „ПРОМЕТЕЙ".
АВТОР
руб. 60 коп.
С ПОМОЩЬЮ ЭТОГО ЛИСТКА
В ТИПОГРАФИИ ПРИКЛЕИЛИ
СКЛАДНЫЕ ЛИСТЫ-ВКЛАДЫШИ
К ОБЛОЖКЕ В КОНЦЕ БЛОКА
ьешшезшп
ЕИКЫТЬ О,?5и< КРЕПОСТЬ
тд‘0Я1эом1*1з
% Ot' чюоизам
AMQOdLl И AVAOOU H-LMVlTl VdSEOS
TS'O^J
АЯЭ
lavanhvvuo эн
qV3.LH93dJ.0ll
H3vo<3uv>i лнеоилул
: ‘ид ихзоаи
«OS mVaoou
I «osagnyiVos;vh3tl
KVHbUHZIHU
Цена 1 руб. 50 коп.
Издательство „Прометей" — Москва, 121, Смоленский бульвар, 3-5.
Книжные магазины: Москва, центр, Маросейка, 8. Ленинград, 40, Лиговская, 15.
Черт, к
Черт. 3.
* положение	•,	1 положение.
аа — а'а' прорези, вдоль которых перемещается движек с нанесенными на нем шкалами В’В' и D'D’
Шкала DD нт
ВВ
КК
LL
корпусе — шкала чисел. Ей соответствует на движке шкала D'D1
„	— шкала квадратов чисел. Ей соответствует на движке шкала В'В’
,	—шкала кубов чисел нанесенных на шкалах DD и D'D'
„	— шкала логарифмов чисел „	„	„	DD и D'D'
черт. б.
1 С	ь Ь 7 в 9	2
: 5" i	$ t 7 i А 2
Деления между 1—2
аа — а'а' прорези, вдоль которых перемещается движек с нанесенными на нем шкалами В’В' и D'D'
Шкала DD нт корпусе— шкала чисел. Ей соответствует на движке шкала D'D'
,	ВВ	„	,	—шкала квадратов чисел. Ей соответствует на движке шкала	В'В'
»	\КК	.	.	—шкала кубов чисел нанесенных на шкалах DD и D'D'
,	LL	,	,	— шкала логарифмов чисел „	„	„ DD и D'D'
Деления между 1—2
Черт. 7.
Черт. 8.	ЧеРт 9-
Деления между 2—3 и 3—*	Деления между 4—5 и 5
Положение шкал” при умножении 135,4X1.536 = 208.
(135,4 на шкале DD корпуса, 1,536 на шкале D’L>' движка, 208 на шкале DD корпуса).
Положение шкал при j
(18,14 на шкале DD корпуса, 194 на пл
туттяутятутптуттнJIIIIJI 111|11П|1Л 11 III 11II П| 1Т11|М
Положение шкал при
(85,3 на шкале DD корпуса, 81,5 на пп
Prod.
Черт. 9.
Деления между 4—5 и 5—5.

Положение шкал при умножении 18,14 X 194 = 3520.
(18,14 на шкале DD корпуса, 194 на шкале D'D' движка, 3520 на шкале DD корпуса).
г
Кении 135,4 X’.536 = 208.
D’D' движка, 208 на шкале DD корпуса).
Черт. 12.
Положение шкал при умножении 85,3 X 81,5 = 6950.
(85,3 на шкале DD корпуса, 81,5 на шкале D'D' движка, 6960 на шкале DD корпуса)^
Поюженне шкал при делении 7о8:,1679 = 0,152.
(738 на шкале DD корпуса, 1679 па шкале D'D' движка, 0,452 па шкале корпуса
у крайней левой черты движка).
Положение шкал пр
(2920 на шкале DD кэрпуса, 483 иа шкале D'D’ движка,
Черт._15.
Положение шкал при делении 55:752 — 0,0732.
(55 на шкале DD корпуса, 752 на шкале D'D' движка, 0,0732 на шкале DD корпуса у крайней правой черты движка).
Г
ХХ1Э1Э'па шкал/ DD
в^Черт. 17.
г	д
а
3
13.
пни 758- 1679 = 0,152.
е D'D' движка, 0,452 на шкале корпуса
черты движка).
Черт. 14
Положение шкал при делении 2920: 483 — 6,05.
(29'20 на шкале DD корпуса, 483 на шкале D'D' движка, 6,05 на шкале DD корпус у правой крайней черты движка).
Черт.^15.
е шкал при делении 55 :752 = 0,0732.
©’ движка, 0,0732 на шкале DD корпуса у крайней правой черты движка).
в£Черт. 17.
Черт. 16.

Положение шкал при делении 2910: 635'= 4,58.-
2(1919jia шкал? DD. корпуса, 635 на шкале /2'©' движка, 4,58 на шкале DD кор-
fe.	пуса у крайней правой черты движка).
а
д
ж
и
к
в	I
яжиав эь'вят иэнжии оп эннэхн
э „g- iiMipiniir aaodoxj iiouxadogo ец
——
ч—
<	.	.	i
•,;cgo‘Q хэьэхо ха в о вэХпёоя ,Q,(7 laiream laxdab ноньэноя ainodu влжняХГ агент иэнжии ou annaxjj
эхэьэхо ен ‘aanaoHed a uniiOidaii иэнжии auxodu хиохэ „1 ig g“ вввяш aaodoxa HOHXodogo вц
[rnliiiilnidiiiilimliiiiliiiilirirtni
‘IS -idah
•нивлш аияээь^хэконохидj, вяжияВ Biiodoxj BBHxodogQ
Wffl|ll|lljll|ll|ll|ll|ll|ipi|ll|ll|ll|lf^ll|ll|ll^	x
т^4Ш11111Ы1Т1Г11Н|1111Т[Пф111[11ПТП1тртрштф111|1Н1|ип'рт1Г|1111^и[П11|11111111111П1|111ттн|Н1Т|1Н1|!Нгртп~ттт 11111111 1.1 i i i i i । i i i i i i i i ) ।,
iiliiiiiiiiiBihiinhiniliiiiHiiiiiTiHiiiiiiiiniTiiliii п 11111 iTiiiiiiiiiiriiliffiiirMtmiTiiliimli ii i н i in i inWliiiiiiiiilihli^^	s
-os -idajj
J
61 'xdai-j
<7(7 Н1ГВЯШ „Ц£“ auxodn иинвевяои эж wox вн вин natr eidab ввнчвеьвц •<-----1
7 ^MWllipWWIiniiiiwn^^
f _ 0,1	.	6	,	8
d mlitrihlilili ilililirnrrtitrfr
iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiiiiiii
liHiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiinii
£	I	n
тгдттрт whr Ttmrtnrrl и ritrm t rn I I'itti 11 i i nri i i Гттптгт1 U
,d
ИЙИвИ»ИйЯ
9
t>	131
IniltlllinTlllllllIlnllil
i Jo1
Hlllllllllllllllllllllll
I
i t
g
01	6	8	4	9

liiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiitii
° UOt 0'6	08	04	09
9
g
01	6	8	4
9
7 нхея н „Ц£“ вэхигохвн gg нгвягп ./с-Е' uiixodu <-	—I
'81 'idah
Черт. !8.
।----> Против .307" шкалы ВВ находится „314“ шкалы В'В'.
40
llllllllllllllllllli
Mfi 111111111	hi ii ।	111
5	6	7	8	9	10
ТТЛ'
С,’
ijmiiiiiHiiiiiiiiiriiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiiuniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiuiiiiiiiiiiiiiiiiiii
...............................................  iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiyjiiiiHIjMHiujiiiiiiinJLiUHUHUniJL'L'UiiyULiLiLlULiUliUlJHOLiLiLiiJljillJUnLILIHLIlJIJLIlJliyLliiy------------------------------
4
,'о
I------Начальная черта дви кка на том же показании против „314“ шкалы DD.

1	5
[)Ш[ШЙЙ01
б
2
3

Я
%
8
9
towriri D‘
Черт. 20.
i i i i Г11 111111 м 111111 i 1111111111111111111111*П111111111ii[11iiii|||||||111Г||11Ь|||1п111|11|||1111||1пп[11|||||||111п1|1111|||||1н111h~iTirmi?irm~ti!iilTiii'TimTiTTTiT
'			3'0 ,1,1, 1,1  3|5 I I , _	!
10
ГЗ, ] 3 [ ,14
ifc, 1 I I , I I I 48 | । I il9, | । | ,20
40

II1IIIII111IIII
в
Оборотная сторона движка. Тригонометрические шкалы.
niiiiiiiiiiiiimiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii
Нижняя часть корпуса
линейки.
Черт. 22.
чки в раковине, на отсчете 3°4о‘
D'D' корпуса дает отсчет 0,0653
На оборотной стороне линейки ..S“ стоит против верхней черточки в раковине на отсчете 42°20'.
Чтение по нижней шкале движка против конечной черты корпуса (10) дает отсчет 0.673.
X
’9S -idah
т +
гоп-o
г +
го П-0
•S3 -idaj
т +
"tong
X
1WS
s
Черт. 27. I II
biiihmliiiltiiiiliiiihiiilij 11111111 ilililihlJilllililiiihlilihiilililiJ.h!;	ii|!llipni|llll|lll'll^^ ih imtiiji^iiihimiii^^	1111|Л1|1||11]!111р 2 iiliiuliHiliHihii	ll?yil|lll1|IJIp!^ ,rp|i|i|i|i|4i		|ip|^,|ip|ippi^,i|i|i|ii'ii;^^ iW^Urr	1'l'l11'1'л11 'I' 1' 1 '1 Ji1 1' 1' 1' 11' 111111Ц
1 .У X’S	!P| ' 'I1']	| * | । | ^ 1 ‘ ck 1 |^Ц I p ^11 llllllllli 1 '/jiTTIHI111 III 1^111111!i 1 I 11 ll^l1 i 1! 111 PL°f- 1 . JR I.M,I.Mrfcl-* 1.1.1 1 . 1. 1 . 1 . 1 I 1 iTfll.J,. 1.. 1. ffl t.1	inijiiii|im|ii	1и[ ч11!1 г1} -и lm!|HII|llliyni|lltl|llllilili]r 4'  1  Г I  Г I ! 1 I ГТ"!", ill'll	жэт 'llllllllli . °гй	ПвГГТ^* 111 ЧН msfcl 11 Гф1 lrt 1 1 1 *4 11 1 1 ч I 1 1 l{4 л 7  . . . |iinp;iilniipiii|iii^i111111 11111111111111 11111 ^i । । । | I । । i^ I. hidihi°fiiliffuti'rhi 11ifi 1111 h 1111111111f 1111 if i 111 rhilililililiLlililihii