СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАГЕМАГИКЕ
ДАЛЯ ВТУЗОВ
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УРАВНЕНИЯ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Под редакцией А. В. ЕФИМОВА
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОВ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве учебного пособия
для студентов высших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
|| ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
с
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
|
1990

BBK 22.11C23
УДК 51(075.8)
Коллектив авторов:
Э. А. ВУКОЛОВ, А. ВЛЕФИМОВ, В. Н. ЗЕМСКОВ,
А. Ф. КАРАКУЛИН, В. В. ЛЕСИН, А. С, ПОЕПЕЛОВ,
А. М. ТЕРЕЩЕНКО
Сборник задач по математике для втузов. Ч. 4. Методы оптими-
зации. Уравнения в частных производных. Интегральные уравнения:
Учеб. пособ./Вуколов Э.А., Ефимов А. В., Земсков В.Н. и др.;
Нод ред. А. В. Ефимова.— 2-е изд., перераб.— М.: Наука. Гл. ред.
физ.-мат. лит., 1990.— 304 с.— 15ВМ 5-02-014457-6 (Ч. 4).
Сборник содержит задачи и унражнения по специальным кур-
сам математики: методам оптимизации, уравнениям математичес-
кой физики и интегральным уравнениям. Во всех разделах при-
водятся необходимые теоретические сведения. Все задачи снабжены
ответами, а наиболее сложные
— решениями. Решение части задач
предполагает использование ЭВМ.
1-е изд.— 1984 г.
Для студентов втузов.
Рецензент
кафедра специальных курсов высшей математики
Московского энергетического института
(заведующий кафедрой профессор С. А. /Томов)
1602070600-016 56-00
053(02)-90
© «Наука».
1<ВМ5-09-014457-6 (Ч. 4)
Физматлит, 1990
ISBN5-02-01 4338-3

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию . с. зо ьь авео»
Глава
$1,
§2.
§3
§4,
Глава
$1.
§2.
16. Методы ontamu3zauum .......
...
Численные методы минимизации функций одной
переменной ‚у... еее
еее
1. Основные понятия. Прямые методы минимизации
(7). 2. Методы минимизации, основанные на ис-
пользовании производных функции (20).
Безусловная минимизация функций многих пере-
M@HHBIX666oe0eeeewwew
1. Выпуклые множества и выпуклые функции (23).
2. Методы безусловной минимизации, основанные
на вычислении первых производных функции (26).
3. Методы безусловной мипимизации, использую-
щие вторые производные функции (32).
Линейное программирование .......... +
1. Постановки задач линейного программирования.
Графический метод решения (34). 2. Симплекс-ме-
тод решения задачи линейного программирования
(45). 3. Целочисленное линейное программиро-
вание (58).
Нелинейное программирование... у.е
1. Задачи, сводящиеся к нелинейному программиро-
ванию (68). 2. Методы возможных направлений
(75). 3. Граднентные методы решения задач нели-
нейного программирования (84). 4. Методы штраф-
ных и барьерных функций (91).
Дискретное динамическое программирование . . «
Вариационное исчисление .
у. .......
1. Предварительные сведения. Простейшая задача
вариационного исчисления (111).2. Обобщения про-
стейшей задачи вариационного исчисления (117).
3. Задачи с подвижными границами (121). 4. Задачи
на условный экстремум (125). 5. Прямые методы
вариационного исчисления (130).
17. Уравнения в частных производных. .....
Основные задачи и уравчения математической фи.
iие
ее
Вывод уравнений и постановка задач математи-
ской физики (138). 2. Приведение уравненийк
каноническому виду (141).
Аналитические методы решения уравнений матема-
тической Физики + с с. оон
23
34
68
96
111
138
138
145

1. Метод Даламбера (145). 2. Гильбертовы прость
ранства. Ортогональные системы (148). 3. Ортого-
нальные ряды (164). 4. Метод Фурье решения урав-
нений математической физики (156).
#8, Приближенные методы решения дифференциальных
уравнений в частных производных ........
. Основные понятия метода сеток (169). 2. Числен-
ное решение краевых задач методом сеток (183).
Глава 18. Интегральные уравнения... (у.о рь о 188
$ 1, Интегральные уравнения Вольтерра ..’,...ъь 188
1. Уравнения Вольтерра 2-го рода: основные по-
нятия, связь с дифференциальными уравнениями
188). 2. Метод последовательных приближений.
ещение с помощью резольвенты (194). 3. Уравне-
ния Вольтерра 2-го рода типа cBepTKH (198).
4. Уравнения Вольтерра 1-го рода (202).
62, Интегральные уравнения Фредгольма ....... 207
1. Основные понятия. `Метод последовательных при-
ближений и резольвента для уравнений Фредголь-
ма 2-го рода (207). 2. Решение уравнений Фред-
гольма 2-го рода с вырожденным ядром (213).
3. Характеристические числа и собственные функ-
ции. Теоремы Фредгольма (216). 4. Уравнения
Фредгольма 2-го рода с симметричным ядром (223).
$ 3. Численные методы решения интегральных уравнений 229
Ответы
еее еее
236
Список antepatyphl.... 1... 2. ee eee we eee ee 299
Conepwanue uactei 1-3 2. ww
ee ..... 300
169

Светлой памяти
Анатолия Федоровича
Каракулина
посвящается

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая четвертая часть сборника задач по мате-
матике для втузов содержит существенно переработанные
главы 16—18 первого издания третьей части сборника
(специальные курсы). Глава 16 «Методы оптимизации»
написана заново. Во всех главах более четкими и ‘лако-
ничными стали теоретические введения. Значительно уве-
личено число простых типовых задач. Исправлены неточ-
кости и опечатки в условиях задач, примерах и ответах.
В главе 16 «Методы оптимизации» расширен круг
рассматриваемых методов одномерной минимизации, без-
условной минимизации функций многих переменных, не-
линейного программирования, включен материал по
пелочисленному линейному программированию, а также
некоторым задачам вариационного исчисления. Большее
внимание уделено методической стороне изложения мате-
риала: более простыми и полными стали теоретические
введения, увеличено число разобранных примеров, в каж-
дом разделе теперь предлагаются как простые, так и
сложные задачи.
Изменения в главах |7 и 18 относятся в основном к
численным методам. Более систематичным и полным стало
изложение метода сеток в $ 3 главы 17. В главу 18 до-
бавлен $3 «Численные методы решения интегральных
уравнений».
Во время подготовки рукописи настоящего тома к
изданию скоропостижно скончался один из членов автор-
ского коллектива доцент, кандидат физико-математических
наук А. Ф. Каракулин, активно и плодотворно работав-
ший над рукописью всех четырех частей задачника.
В частности, им был подготовлен материал главы 18
«Интегральные уравнения».

Глава 16
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
$ 1. Численные методы минимизации функций
одной переменной
1. Основные понятия. Прямые методы минимизация. Пусть на
множестве (< К определена функцея |[(х). Под минимизацией
функции |(х) на множестве Ц будем чонимать решение следую-
щей задачи: найти хотя бы одну точку минимума х*и минимум
* =! (*) этой функции на множестве {/.
Задача нахождения точки максимума и максимального значе-
ния функции }(х) сводится к задаче минимизации заменой }(х)
на — } (х), поэтому ниже будут рассматриваться только задачи
на минимизацию.
Напомним, что число Х*ЕО называется точкой абсолютнего
(глобального) минимума или просто точкой минимума функции } (х)
на множестве (Л, если } (х*)
= [{(х) для всех хЕИ. Значение }* =
= min f (x) называется абсолютчым (глобальным) минимумом или
просто минимумом |(х) на И. Множество всех точек минимума
функции [(х) на множестве И будем обозначать (*.
Число хЕЦ называется точкой локального минимума функции
{ (<), если существует такое число 6 > 0, что {(х) <{(х) для всех
хЕЦь=
{х | хЕЦ, |х—х| < 6}. Значение {(х) называется локаль-
ным минимумом -|(х). Всякая точка глобального минимума f (x)
является и точкой локального минимума этой функции. Обратное,
вообще говоря, неверно.
В задачах 16.1 —16.4 найти множество точек мини-
мума И* функции ](х) на множестве Ц.
16.1. f(x)=sintax, U=R.
16.2. f(x)=|x—x?|. И=|[-1; 2].
16.3. f(x)=cos—, U=(0; 1].
р Хх: при |х|>1,
16.4. 19 =\ | при |х|< 1, U=R.
16.5. Доказать, что линейная на отрезке [а; 6] функ-
ция [(х) = Ах--В, А ==0, достигает минимума на этом
отрезке только в точке х=а или х=%.

Отметим, что минимум функции [(х) на множестве И может
н не существовать, т. е. множество И* может быть пустым. В этом
случае используют обобщение понятия минимума
-— точную ниж-
нюю грань функции | (х) на множестве U. Пусть {(х) ограничена
снизу на U, T. e. f(x) >A > == ©© для всех xE€U. Число |, назы-
вается точной нижней гранью функции f(x) на множестве И
(= Г), если [(х) >|, при всех хЕЦИ и для любого е> 0
вайдется точка хг ЕП такая, что |(хе) < 4-е. Для неограни-
ченных снизу функций } (х) полагают }, =— с. Если (* 52 2, то
|,=inff(x)=P=minf(x).
Пример 1. Пусть {(х)=1/х, U=[1l; + ©). Показать, что
множество (* точек минимума функции f(x) на множестве О пу-
сто и f,= int | (x)=0.
< Предположим, что Ив, т. е. существует хотя бы одна
точка минимума, x*EU функции [(х) на И. Возьмем нроизволь-
ное число х > х*. Тогда хЕИи f (x*)=1/x*> Их=Ё(х), т.е. х* не
является точкой ‘минимума / (х) на 0. Полученное противоречие и
доказывает, что множество (/* точек минимума пусто.
Покажем, что No = int f(x)=0. Очевидно, для’ произво льного
ХЕ1; - о) cnpanenauso неравенство f(x) = Их > 0. Далее, пусть
= > 0. Возьмем произвольное (ee max (1/e, 1). Тогда х ЕО и
1 (хе) < е=0-|-е. Поэтому f,=0.>
Пример 2. Пусть f(x)=Inx, U=(0; 1}. Найти fem int f(x).
«<& Функция f(x) He ограничена снизу на множестве U, Поэтому
по определению точной нижней грани полагаем |, ==— о.
В случае И*==0 под задачей минимизации [(х) на множестве
О понимают определение f,=int F(x), полагая f*=/f,. [Ipu stom
точка минимума X* не ищется.
В задачах 16.6—16.11 убедиться, что множество точек
минимума функции }(х), заданной на множестве (, пусто,
и найти Г
16.6. ое т, И= К.
16.7. 7(х) = 2х3 — 9х?-|- 12х--5, И= (— оо; 5).
16.8. f(x)=xsinx, U=R.
16.9. f(x)=arctgx, U=(— oo; —1].
16.10. f(x)=tgx, U=[—2; 2].
16.11. f(x)=—~, a) U=(0; 1); 6) U=(1; 4+ 0),
16.12. Показать, что если шп 7 (%) существует, то
inf
f(x)= min f(x).
и
U
Существование локальных минимумов функции }(х), отлич-
ных от абсолютного, почти всегда затрудняет поиск точек x*EU*,
поэтому многие приближенные методы минимизации применимы
только тогда, когда любой локальный. минимум |[(х) является
8

одновременно и глобальным. Один из классов функций, удовлете
воряющия этому условию, составляют унимодальные фучкции.
Функция }(х) называется унимодальной на отрезке [а} 6], если
она непрерывна на [a; 6] и существуют числа чи В, аза«
<В<Ь, такие, что:
1) если а <а, то на отрезке [а4; и] {(х) монотонно убывает;
2) если В <Ь, то на отрезке [В; 6] {(х) монотонно возрастает:
3) при хЕ|а; В] {(*) == пит (9).
Отметим, что возможно вырождение в точку одного или двух
из отрезков [а; “|, [%; В] и [В; 8]. Некоторые варианты располо-
жения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоян-
ства унимодальной функции показаны на рис. 204-207,
At(o)
ДР?А
|
|
|
|\
|
Ср
|
|
|
ft
|
|
|
|
|
|
|
}
!
!
1.
р
[
|=
a
“a=8bх
Рис. 205
Af (x)
}
|
|
|
i
}
|
|
1
|
|
|
?
}|
|
|
|
|
|
»
Iv
}
|
a
2-яasah6@
Puc. 206
Рис. 207
Множество функций, унимодальных на отрезке [а; 6], будем
обозначать Q [a; 6].
Для проверки унимодальности функции f(x) на практике
обычно используют следующие критерии:
1) если функция |(х) дифференцируема на отрезке [а; 6] и
производная f’ (x) ne убывает на этом отрезке, то |(х) ЕО [а; 5];
2) если функция Я (х) дважды дифференцируема на отрезке [@; 5]
uf" (x)=0 при хЕ[ а; 6], mo f(x)EQ [a; 6}.
|
|
Пример 3. Показать, что функция I (x) = x4 — 10294.96x9-+5¢
унимодальна на отрезке [3; 5].
“9

«4 Вторая производная функции [(х) равна }{" (х) = 12х2
>60х-{ 72.
Корни полученного квадратного трехчлена х1=2 и х›==3. Следо-
вательно, |” (х) —90, если х>3 и, в частности, при хЕ{3; 5].
Используя второй критерий унимодальности, получаем, что
f(x)EQ (3; 5]. >
В задачах 16.13 —16.16 убедиться в унимодальности
функций [(х) на указанных отрезках [а; 5}.
16.13. {(х) = х* —Зх + хх, [1; 2].
16.14. f (x)=In(1-+ «%—sin x, [0; 1/4].
16.15. f(x) => x4 + x?—8x4 12, [0; 2].
16.16. f(x)=zx?—sinx, [0; 1].
16.17. Показать, что любая из точек глобального ми-
нимума функции ](х)
© 9 [а; 6] является и точкой ее ло-
кального минимума.
16.18. Показать, что если }{(х)
Е9[а; 6] и а<е<
<а ь, то [(х)ЕО[с; 4].
16.19. Пусть {1 (%) Е Ч [а; 9] иах, < х, < 5. Показать,
что
а) если ] (х,)> [(х,), то U*c[x,; bj, а если {(х,)<
< [(х,), то И*с[а; х,];
6) если [(х!) ={[(х,), то отрезок [х.; х,] содержит хо-
тя бы одну точку х*ЕИ*;
в) если [(х1)
< [(х.), то хЕ[а; х,], а при [(х,)>
> f(x.) имеем х* Е [х.; 6], где х*—одна из точек мини-
мума f(x) Ha [a; b
16.20. На какие 3 части следует разбить отрезок
[--1; 2], чтобы на каждой из них функция f(x) =
= ||х(х—1)|—1| была упимодальной?
16.21, Найти максимальное значение $, при котором
функция f(x)=—x?+5x—6 унимодальна на отрезке
‚6.
16.22. Будет ли функция [(х) = ах —3х?—10 унимо-
дальной на отрезке [1; 2] при а>> 3?
Большую группу приближенных методов минимизации функ-
ЦИЙ составляют прямые методы минимизации, основанные па вы-
числении только значений минимизируемой функции в некоторых
точках и не использующие значений ее производных.
Метод перебора является простейшим из прямых методов ми-
нимизации. Пусть }(х) ЕД [а; 6] и требуется найти какую-либо из
точек минимума х* функции }(х) на отрезке [а; 6] с абсолютной
погрешностью 2 > 0. Разобьем [а; 8] на п равных частей точками
деления xjeza-+i(b—a)/n, i=0, 1, 2, ..., п, где п > (6 —а)/е.
Вычислив значения }[{х) в этих точках, путем сравнения найдем
точку хи, для которой
f(xm)= min НХ). .
(1)
Onctiga
10

Далее полагаем х* мхи, ВА | (п). ри этом максимальная по
грешность 2„ определения точки х* равна 8п = ($ -——а)/т.
Пример 4. Найти минимальное. значение и точку мини.
мума х* функции f (x)= x*-+-8x3—6x?——72x на отрезке [1,5; 2].
Точку x* найти в погрешностью #=0,05.
@ f(x)EQ (1,5; 2], van как #" (х) = 12x2-+ 48x—12 > 0 ири хЕ
Е[1,5; 2} (проверьте!
Выбрав п =
5 — 10, вычислим значения }(х;), x;=1,5+
0,05
--1.0,05, =0Ь ..., 10, поместив их в таблице 1.1.
Таблица 1.1
Xj
1,50 1,55 1,60 1,65 | 1,70 1,75
t (x) 89,4 —90,2 | —91,2 | —91,8
|
—92,08 | —92,12
x;
1,80 1,85
1,90
1,95 | 2,00
f(x) | —91,9 91,4 —90,5 —89,4
38,0
Из таблицы 1.1 находим х* = 175, f*? 3 —92,12. >
16.23*. Пусть #4)
Е Ч9[а; 6], х„— точка, найденная
из условия (1), х*”— одна из точек минимума f(x) Ha
[4; 6]. Показать, что если 1<т<п—1, To х*Е6
Е [Хт-1; ХXn+1}; если т=0, то жеж: , х1|} ели т=п,
TO x7 €[%,_13 Xp.
16.24. Пусть, отрезок [а; а „разбит на л частей точ-
ками x,=a-+(b—a)i/n=a+Ai, i=0, 1, ..., n. Pac
смотрев ‘функцию
|
Кх) =
AS 5 (X—X n+ + 9) при хХЕ[а; Xn+a— 5],
хина6) при х[х„+5—0; 6],
где |< т<ип—1, О<ф<А, показать, что абсолютная
погрешность определения точки минимума унимодальной
функции методом перебора может быть как угодно близ-
—а
койкА=
16.25. Составить блок-схему алгоритма минимизации
функции f(x) Ha отрезке [а; 6] методом перебора в по-
мощью ЭВМ.
В задачах 16.26 —16.33 методом перебора найти точку
минимума x* функции }(х) на отрезке [а; 6] в точностью
г и минимум [”.
==F n°
it

16.26. f (x)= x2—2x-+e-*, [1; 1,5], e=0,05.
16.27. f(x)=tgx—2sinx, [0; 2/4], e=0,03.
16.28. f(x)=V
1+ x?+e7%, [0; 1], e=0,1.
16.29. f(x) =x'+4x?—32x+1, [1,5; 2], e=0,05.
16.30. Коти, [1; 1,5], е=0,05
16.31. f(x)=x®—3sinx, [0,5; т, e=0,05.
16.32. f (x) = 5x?—8x*/4—20x, [3; 3,5], e=0,02.
16.33. f(x)=7x°—5x+xInx, [1,5; 2], e=0,02.
16.34. Пусть /(x)—yHuModanbHan Auddepenuupyeman
на [а; 6] фуйкция, причем | (х)|<М при хЕ[а; 6.
Оценить погрешность 6, нахождения минимума f* мето-
дом перебора при разбиении отрезка [а; 6] на п частей.
Метод перебора, предполагающий предварительный выбор то-
чек x;, i=0, 1, ..., m, называется также пассивной стратегией
поиска точки минимума х*. На практике точки х; выбираются за-
ранее, когда удобно провести п--| независимых экспериментов
по измерению значений | (х). а последовательное измерение. этих
значений трудоемко или невозможно, например ввиду нехватки
времени. Однако использование уже полученной в предыдущих
экспериментах информации о функции }(х) для выбора очередпой
точки Х; измерения (вычисления) f(x) приводит к более эффектив-
ному поиску точки х*. Методы минимизации, в которых точки
.
х;
определяются в процессе поиска точки минимума с помощью най-
денных ранее вначений функции {}(х) называются последователь-
ными методами.
Метод деления отрезка пополам является простейшим после-
довательным методом минимизации. Он позволяет для любой функ-
ции |(х) ЕО [а; 8] построить последовательность вложенных от-
резков [а; 8] > [@1; 91] 2... > [4в-г; 61-]> [@в; 8], каждый из
Af (x)
Af (x)
ит
mia и
Byer AE 22% dng B
-———
ыы
Ona
bn
an
at bn
Puc. 208
Puc. 209
которых содержит хотя бы одну из точек минимума х® функции
#(х). Пусть е> 0--требуемая точность определения точки х*.
Выбрав 6 (0; 2е), построим последовательности {ан}, {5}, {х"”}
а {х'°}, п-=0, 1, ..., используя рекуррентные формулы а ==а,
12

by)=5;
x? = (ani tbn-1—8)/2, Жо? = (ав 1-81-56) (2)
On=4n-ir bn=xs-?, ecan f(x?) f(x"),
Qn=x{""”, ba=bn_i, ecan f (xi"~”)
> f (xs"~”).
Переход от отрезка [@, 13 би-1] K OTpe3Ky [@n; bn] методом
деления отрезка пополам иллюстрируется на рис. 208, если
(хпо) < Кхп- 0), и на рис. 209, если #(х”7?) > f (x3"~”).
Tlonaraa x* % (an+6n)/2, HaxoquM x* c a6cOMIOTHOH Morpelll-
ностью, не превосходящей величины
|
En=(bg—An)/2=(6—a—§)/22+246/2.
(3)
Используя условие „<, из последнего выражения можно
найти необходимое число шагов п для обеспечения требуемой точ-
ности г. Однако на практике часто поступают иначе: определив
границы отрезка [ап; 6,], вычисляют #„ по формуле (3) и сравни-
вают с заданной точностью в.
Пример 5. Решить пример 4 методом деления отрезка по-
полам.
& Положим 6=0,02 < 2 =0,1. Построим последовательность
вложенных отрезков [ак; 6] по формулам (2), записывая резуль-
таты вычислений в таблицу 1.2:
|
Таблица 1.2
па,|В; |.|< x") x) t(x) г(=)
Примечание
|
011,5| 2
|
0,25 |1,74]1,76| —92,135 | —92, 096 | f (x0)
<f (x6),
bj=x0)
1 {1,5 [1,76] 0,13 | 1,62] 1,64 | —91, 486 | —91 696 | f (x{2))
>¢ (x),
|
аз == х()
2 |1,6211,76] 0,07 | 1,68| 1,70] —91,995 | —92,084 | f (x{)
>F (x0),
dy = x!?)
3 1,68 1,76] 0,04
+
&3<e&, точность
достигнута
Следовательно, х* = 1,72, и ВР =} (1,72) =92,13. >
Для увеличения скорости сходимости метода величину 6@
Е (0; 2=) целесообразно выбирать как можно меньшей, однако
этот выбор ограничен снизу используемым количеством верных
десятичных знаков при задании аргумента х. `В любом случае д
должно быть больше машинного нуля применяемого вычиблитель-
ного средства. -:
13

16.35. Показать, что каждый из отрезков [а„; В],
п=1, 2, ..., полученных методом деления отрезка по-
полам, содержит хотя бы одну из точек минимума функ-
unu f(x)EQ[a; 8].
16.36. Показать, что для #(х)
Е 9[а; 6] п шагов мето-
да деления отрезка пополам обеспечивает вычисление
точки минимума х” на отрезке [а; 6] с абсолютной по-
грешностыо, не превосходящей
b—a 6
1
En=oar
> (1-5).
16.37. Найти число шагов п метода деления отрезка
пополам, необходимое для ‘определения точки минимума
функции } (х) Е О [а; $] на отрезке [а; 5] с точностью г > 0.
16.38. Достаточно ли вычисления 10 значений функции
#(х)Е 910; 1] для. определения ее точки минимума на от-
резке [0; 1] с точностью == 0,02 методом деления отрезка
пополам?
16.39*. Сравнить необходимые количества вычисленных
значений No, и No, функции ] (х) при поиске ее точки мини-
мума на отрезке длины | с ТОЧНОСТЬЮ Е == 1078 методами
деления отрезка пополам и перебора соответственно.
16.40. Составить блок-схему алгоритма метода деления
отрезка пополам, рассчитанную на использование ЭВМ.
В задачах 16.41 —16.48 методом деления отрезка попо-
лам найти точку минимума х* функции f (x) па отрезке [а; 6]
с точностью & и минимум /*.
16.41. f(x) =xsinx-+-2cosx, [—5; —4], e=0,02.
16.42. f (x)= x'-+ 8x8 —6x?—72x
+ 90, [1,5; 2], e= 0,05.
16.43. f (x)= x°+3x2?-+ 6x—1, [—1; 0], ¢=0,1.
16.44, f(x) = 10xinx—*., [0,5; 1], e=0,05.
16.45. f (x)= x2 +2(xlg 2—2), [1,5; 2], е=0,01.
18.46. f(x) =3x*— 10x8+- 21x?+ 12x, [0; 0,5], e=0,01.
16.47. f (x)=— 2x, [3,5; 4,5], e=0,02.
16.48. f(x) =e*—2 x94 2x, [—1,5; —1], e=0,01.
Метод золотого сечения также является последовательным мето-
дом минимизации. Опираясь на свойства золотого сечения отрезка,
этот метод использует найденные значения } (х) более рационально,
чем метод деления отрезка пополам (см. задачу 16.53), что позво-
ляет переходить к очередному отрезку, содержащему точку х* после
вычисления одного, а не двух значений | (х). Деление отрезка на
две неравные части так, что отношение длины всего отрезка к длине
14

большей его части равно отношению длины большей части к длин
меньшей части, называется золотым сечением этогд отрезка.
Золотов сечение отрезка [а; 8] осуществляется двумя точками
2
причем х: есть вторая точка ‘золотого сечения отрезка [а; х-]|,
а х. — первая точка золотого сечения отрезка [хг; 6].
Зная одну из точек золотого сечения отрезка [а; 6], другую
можно найти по одной из формул
ж=а--в—х,
No=а--Ь—ху.
(5)
або)
ИЕ
(4)
Пусть | (х)Е 9 [а; 6] и требуется найти точку минимума х* функ-
ции | (х) на [а; 6]. Построим последовательности {ап}, {п} и {хп},
п=|, 2,..., следующим образом:
—1
—
—1
.
=-
~
>
e
ав =@в_1, =, хх О, если f (XY )r<f (xh);
Qn=xt?, bn=bn_i, Ха ЖИ О, если [(х"79) > [(хп-5),
(п-1
п-1
n=2, 3, ..., ГДе @1 =а4, =, x}
И x3 ’— первая и вторая
точки золотого сечения (4) отрезка [ав-1; 6._1].
Для определения чисел ал, би, хз по найденным апт, 6._1,
Xv—-{ необходимо выполнить следующие операции:
1) найти одну из точек золотого сечения отрезка [ав-1; Вв_1]
по известной другой точке х„_1, используя формулы (5) 1);
2) вычислить значение } (х) во вновь найденной”точке золотого
сечения (значение в другой точке х„_1 уже вычислено. на одном
из предыдущих шагов);
3} сравнить значения f (x{*~
формулам (6).
Таким образом, на каждом шаге определения ап, би и Xp
п=2, 3,..., требуется вычисление одного значения
р (х). Положив
x" х„, найдем точку минимума х” с точностью 2п:
[%* — хп | <e,—( P=") (6 —а),
2) Hw f(xs" ~Y) и найти Qn, On, Xn 10
откуда следует, что число шагов п метода золотого сечения, обеспе-
чивающее заданную точность & нахождения точки х*, должно удовле-
творять неравенству
п—= п (=) [1 (БИ) =-2лы (==).
(7)
7
Пример 6. Решить пример 3 методом золотога сечения.
1) При определении х* с большой точностью, чтобы избежать
накопления ошибок округления, обычно точки золотого сечения
=I
п-
отрезка [@в; В„| находят по формулам (4) ив качестве хи О
используют хв_Ги Ту из найденных точек, которая больше отли-
yaeTCH OT Xn 7.
15

@ Brrucnenua mpopegem no dopmyam (6), представив результаты
в таблице 1.3, где стрелками отмечены сохраняющиеся при пере-
ходе к следующему шагу значения.
Таблица 1.3
п| р|@о|б|д] х|Ее)|Вет) Примечание
1|0,30911,5 [2 2» 41,691)1,809|-92,049|-91,814) f(x")
< f(r), by=afl)
ee
aoe
"
2|0,191|1,5 |1,809/1,6 18/1,691 |-91, 464] -92,049) f(x(2)>f(x2)),
a,.= 22)
at
at
3/0, 118) 1,6 18] 1,809] 1,691] 1,736]-92,049| -92, 138] f(x > f(x), ajax
at
ho
4|0,073)1,691) 1,809)1,736) 1,76 4|-92, 138] -92,083)f (x{4< Fxg"), bs=25")
5
Sa
0,045
1,736
[9% 138 En <€ , TOYHOCTD
-
достигнута
Из таблицы 1.3 получаем х* = х,=1,736, | = f (xs) =—92,138.
Заметим, что если воспользоваться формулой (7), то необходимое
число шагов п можно определить заранее. В нашем случае п >> 4,79,
т. е. п==5, и отпадает необходимость во втором столбце таблицы 1.3
16.49. Показать, что каждая из точек X, ==
3—УБ
5—1
==: а+3—У 5 (6—а) и х=а-+ ИВ (6 — а) осуществляет
золотое сечение отрезка [а; 6].
16.50. Пусть х, и х,—точки золотого сечения отрезка
[@; 5].. Показать, что х, является второй точкой золотого
сечения отрезка [а; х,], а х,-— первой точкой золотого
сечения отрезка [х,; 6].
16.51. Пусть х: и х‚,—точки золотого сечения отрезка
[а; 65].
|
а) Доказать, что справедливы равенства х, =@-Н6—х,,
x,=a+ b—x;.
6) Найти длины отрезков [а; х,] и [х,; 6].
16.52. Найти длину A, отрезка [а„; 8,|, полученного
методом золотого сечения при поиске точки минимума х*
фуикции на отрезке [а; 6], и показать, что |х*—х„|<
С=
п
—
<( 5-1 (ь—а), где х„-— одна из точек золотого сече-
ния отрезка [аи В].
16.53. Сравнить необходимые количества вычисленных
значений No, и No. функции ]1(х) при ее минимизации на
отрезке длины 1 с точностью в = 107° методами деления
отрезка пополам и золотого сечения соответственно.
‘16.54. Составить блок-схему алгоритма метода золотого
сечения, рассчитанную на применение ЭВМ.
16.

В задачах 16.55 —16.62 методом золотого сечения найти
точку минимума х* функции }(х) на отрезке [а; 6] с точ-
ностью & и минимум 7.
16.55. (к) = ++ 2 4х-+- 1, [—1; 0], e=0,1.
16.56. f(x)
= x8 — 5x3 -+ 10x?— 5x, (—3: —2], ===0,1.
16.57. F(x) = x? + 3x(Inx—l1), (0,5: 1], e=0,05.
16.58. f(x) =x?—2x—2cosx, [0, 5; 1], в=0 05.
16.59. f(x) =(« + 1)*—2x?, [—3; —2], e=0, 05.
16.60. f(x) =3(5—x)*/3 + 2x?, [1,5; 2], ве =0 ‚025..
16.61, f()=—x84 3(1 +x) [In (1+ x)—1], [—0,5; О,
|
в = 0,05.
18.62. }(х) =2 + x? + x2/3—In (1 + x2/3)—
2x arctg x1/8,
(0,5; 1], e=0,025.
B прямых методах !'минимизации, рассмотренных выше, тре-
буется, чтобы функция F(x) была унимодальной. Если } (х) этим
свойством не обладает, то применение указанных методов приво-
дит, вообще говоря, к неверному результату. Кроме того, во мвогих
случаях доказательство унимодальности функции | (х) бывает за-
труднительно.
Метод ломаных является последовательным методом, рассчитан-
ным на минимизацию произвольных (не обязательно унимодаль-
ных) функций, удовлетворяющих условию Липшица. Говорят, что
функция [(х) удовлетворяет на отрезке [а; 6] условию Липшица,
если существует такое число Ё > 0 (константа Липшица), что
Ах") — Ре") 1-х" |
(8)
для всех х’, х”’Е[а; 6].
Для проверки условия Липшица на практике использугот сле-
дующий факт: если функция } (х) имеет на отрезке [а; 6] ограниченную
производную, то она удовлетворяет условию (8), гдЕ Г. > тах | | (х) |.
а,
Пусть функция #(х) удовлетворяет на [а; 5] условию Липшица
© константой Ё. Опишем метод ломавых для минимизации f (x),
Положим
=a U@-HO+LG+O r=TU@+ O+L(a~d)}
и реализуем следующую схему вычислений:
Шаг 1. Вместо пары чисел (xi, pi) образуем две новые пары
(х1, ри) и (2, р) следующим образом:
,
*
*
1
e
¢
m=xi— Ay, m=
x1 + Ay, pix Lf (xi)-+ar],
где Мэг [1 (x1) 01].
Шаг 2. Из полученных двух пар (хл, pi) u (x1, pi) выберем
ту, у которой вторая компонента минимальна. Обозначим ее
(х:, р:) и нсключим из. рассматриваемогс множества (очевидно, на
данном шаге в качестве (хз, рз) можно взять любую из пар (хи, ра),
17.
о аа.
к
—-—бы“

(x., p1)). Bmecto napp (x:, p:) добавляем две новыв пары (хэ, рэ)
н (х>, р»), компоненты которых находятся по формулам
о-и-А, ИИА, р-р],
1
*
*
где No5 [1 (x;)—p; |.
В результате получим множество, состоящее из трех пар чи-
сел (х, р).
Шаг п. Из п полученных на предыдущих шагах пар (х, р)
выбираем ту, у которой вторая компонента р минимальна. Обо-
e
*
.
вначим ее (хи, ри). Исключаем эту пару из рассматриваемого мно-
жества и добавляем вместо нее две новые пары чисел (хи, рн)
и (хи, Рз) но формулам
a,
*
”
*
1
*
*
Хп = лп—Ап, =-- Ан, р" =; [1 (xn)— pal,
(9)
“Fr.
|
*
*
гдеAn=> [Е(хп)—рн],
Полагая х* = хи, [No = | (х2), получим приближенное решение
задаче минимизации. Точность определения } характеризуется
*
RepapencTBaMH Oe f (x,) —f*<QLA,.
Геометрически метод ломаных состоит в построении последо
вательности ломаных, приближающихся к графику функции } (х"
A
|
А
A
F(Z)
|
(5)
F(Z)
|
||
р
|
оь
Е рен
|
ли
ГЕ
|
|
Г
и
ИЕ.
i|у| PaikobI
¥
Г]
|
fr
а
и
a д be адитbx ax,224961
снизу и имеющих угловые коэффициенты всех звеньев, равные -- Б
(рие. 210).
Пример 7. Методом ломаных найти минимум [* функции
sinx
[==
«$ Функция } (х) фе рениируема на указанном отрезке. Так как
ил fxcosx— $шх x|cosx|-+|sinx x+
|<|
2
<a <0,11 при
Flies 5Ъ то [(х) удовлетворяет условию Липшица © константой
на отрезке [10; 15] с точностью 0,01 и точку минимума х*.
13

Найдя х1 = 12,056, р: = —0,281, продолжим вычисления, исполь-
вуя соотношения (9). Результаты вычислений представим з таб-
лице 1.4.
Таблица 1.4
Исключаемая пара
Включенные пары (х, р}
2L4,,
x*
Ри,
x,
x,
Py
1 12,056 | —0,281 0,240
10,963 13,149 | —0, 161
2 10,963 | —0, 161 0,070
10,646 11,280 | —0,126
3 13,149 | —0, 161 0,203
12,227 14,071 | —0,096
4 10,646 | —0, 126 0,038
10,474 | 10,818 | —0, 107
5 11,280 | —0,126 0,041
11,094 11,466 | —0,106
6 10,474 | —0, 107 0,024
10,364 10,584 | —0,095
7 10,818
|
—0,107 0, 160
10,745 10,891 | —0, 099
8 11,094 | —0,106 0,016
11,020 11,168 | —0,098
9 111,466 | —0,106 | 0,028
11,338 11,594 | —0,092
10 10,891 | —0,099 | 0,008<e
-
—
—
—
Из таблицы 1.4 находим х* < 10,89, [= # (10,89) = 0,091. Отме-
тим, что | (х)4 Q [10; 15], поэтому из методов минимизации, рас-
смотренных выше, в данном случае применим только метод лома-
ных. >
16.63. Показать, что если функция }(х) удовлетворяет
условию Липшица (8), то модуль углового коэффициента
любой хорды или касательной к графику ] (х) не превосхо-
дит константы Липшица Ё.
16.64. Показать, что если функция удовлетворяет усло-
вию Липшица (5), то она непрерывна на [а; 6].
16.65. Пайти наименьшую из констант Липшица функ-
ции f (x)= 5-2
—
5x46 на отрезке: а) [0; 1]; 6) [0; 10].
16.66. Составить рассчитанную на использование ЭВМ
блок-схему алгоритма метода ломаных.
3 задачах 16.67 —16.7] методом ломаных найти мини-
мум [* функции [(х) на отрезке [а; Ь] с точностью в.
16.67. f (x)=—5*, [7; 11], e=0,01.
16.68. f(x)= И 10,01 sine, [9; 11], e=0,05.
16.69. f (x) =(0,lx—5)*4-cos (0,02x), [49; 51], e=0,02.
16.70. f(x)=Inx-+0,1 sin(0,1x), [10; 12], e = 0,01.
16.71. f(x) =(x—0,9)?
+ (x—1,1)*, [0,8 1,2], e=0,05.
i9

2. Методы минимизации, основанные на использовании производ-
ных фуниции. Если вычисление или измерение производных функ-
ции }(х) не представляет больших затруднений, то при решении
задачи минимизации можно применять непрямые методы, основан-
ные на использовании производных | (х). Во многих случаях эти
atix)
методы обеспечивают более быструю
сходимость, чем прямые методы ми-
нимизации.
Метод касательных применяет-
ся для минимизации выпуклых диф-
ференцируемых функций. Функция
f (x) называется выпуклой на отрез-
ке [а; 6], если
Flax’
+ (1—9) х"] < 9 (х')-
-- —о)|(х”) (10)
}
|
!
1
|
|
1
|
a
w
o
t
e
W
p
G
e
a
Ln
An-~ Cn-t
bn-7 2 woh
x’, x"Ela; b] u
Рис. 211
Проверка условия (10) почти
всегда вызывает затруднения, по-
этому на практике используют следующий критерий выпуклости:
Для того, чтобы дважды дифференцируемая на отрезке [а; 6]
функция |(х) была выпуклой на отрезке [а; В], необходимо и доста-
точно, чтобы р (х) —0 при всех хЕ[а; 6].
Опишем метод касательных. Пусть
ye дифферен-
цируемая на отрезке [а; 6] функция, причем }' (а) -}” (5) < 0. Построим
последовательности {аи}, {6} и {сп}, п=1, 2,..., в соответствии
с рекуррентными соотношениями
а, =а, b,=8,
Cn-i= baal’ (On ~1) —On-af’ {Qn—1)
+f (Qn-1) —f (bn-1)
Ё (61-1) -—Р (ав-1)
ав=@в-1, бв=Св-1 при f’ (Cn-1) =O,
ав=Св-1, бв=бв-т при р (Св-1) < 0.
После п шагов полагаем x* сл, No = | (сп). Требуемая точ-
ность минимизации }(х) считается достигнутой, если производная
f’ (Cn) достаточно близка к нулю, т. е. |Ё (Сп) |=, где => 0—
заданное число, характеризующее точность.
(11)
(12)
Af (2)
Aft)
|
|
|
|
|
J
I
|
|
Г|
|
1
|ВОО ПО
1|
|
|
|
|
it
||
!
ro bod
tol
|
|
|
ты
г
|
—
An-7 DNC 6) 2
@п-161-1 Я bp x
-=—_
Е
On
aby
a,
wt
by
Pue. 212
Рис. 213
20

Метод касательных имеет простой геометрический смысл: вели-
чина сн_1 из (11)-—это абсцисса точки пересечения касательных
к графику | (х), проведенных в граничных точках отрезка [@в—1;би_11
(рис. 211). Рис. 212 и 213 поясняют формулы (11) для случаев
Г (сп) > 0 и [ (Св-1) < 0 соответственно. Отрезок [ап; 6] выби-
рается так, чтобы ХЕ [ав; 6 .
Если условие |’ (а)р (b) < 0 не выполняется, то
а) х*=а при |’ (а)> 0, f’ (0)> 0;
6) х*=6 при Г (а) <0, Г(5)<0;
в) х*=а, если f' (a) =0, и х*==р, если f’ (b)=
Пример 8. Убедиться, что функция M0) meat ex выпукла
на [—1; |] и минимизировать ее методом касательных
в точностью
LF" (Cn) | << 0,05.
Так как |" (х) =2-ех > 0, To [|(х)—выпуклая функция; кроме
того, f’ (a) f’ (6) < 0. Проведем вычисления по формулам (11), (12),
поместив результаты вычислений в таблицу 1.5.
Таблица 1.5
п
qn
bn
Cn
Р (Сп)
Примечание
of =I
1 0,11586| 1,35 |f'(c)>0, br =cg
I—1
0,11586 | —0,41637 | —0, 173 Г (с1)<0, аз=с
о | —0,41637| 0,11586|!—0'14313| 0,58 |Р (с2)>0, вв ==е»
3 | —0.41637 | ~-0,14313] —0,27806| 0,02 ПР (сз)| <0,05, точ-
ность достигнута
Из таблицы 1.5 находим Х* я сз=0,278; }* 2 | (сз) ==0,835. >
16.72. Показать, что если функция [(х) выпукла на
отрезке [а; 6], то на любом отрезке [х'’; х"] <[а; 6] график
f(x) лежит не выше хорды, проходящей через точки гра-
фика с абсциссами х’ их”.
16.73**. Показать, что если [(х)—выпуклая диффе-
ренцируемая функция, то любая касательная к графику
f(x) лежит не выше этого графика.
16.74. Показать, что выпуклая дифференцируемая на
отрезке [а; 6] функция унимодальна на этом отрезке.
16 75. Составить блок-схему алгоритма метода каса-
тельных, рассчитанную на использование ЭВМ.
В задачах 16.76—16.83, убедившись в выпуклости
функции }(х) на отрезке [а; b1, найти ее точку минимума х*
и минимальное значение }” методом касательных, исполь-
зуя в качестве условия достижения требуемой точности
неравенство | f’ (e,)| <0,01.
76. f(x) =x—lInx, (0,1; 2].
16. 71. f (x) =x8—sinx, [0; 2/2].
16.78. хх,
[—1; 2].
16.79, f(x) = —cos x, [0; 3].
at

16.80. f(x)=V1+x?+e7%, [0; 1].
16.81. f(x)=e* ++, [0,1; 2].
16.82. f(x) =(x—4)?4Inx, [3; 5].
16.83. f(x)=x'+e7*, [0; 1].
Метод Ньютона, использующий не только первую, но и вто-
рую производные функции } (х), при определенных условиях обеспе-
чивает значительно более высокую, чем рассмотренные выше методы
минимизации, скорость сходимости к точке минимума `х*.
Пуеть | (х) —выпуклая дважды дифференцируемая на К фупк-
ция. Выбрав начальное приближение х,, ностроим последователь-
HOCTb
XyceXx ann)
n=}, 2
(13)
Ри
pees
Считая неравенство | { (х„) |<8 (8 -—достаточно малое число) усло-
Вне Достижения требуемой точности вычислений, положнм х* = Хр,
* =| (хп)
гм
пe
При неудачном выборе х, последовательность (13) может рас-
ходиться. Если же точка ху достаточно близка к х*, то эта последо-
вательность сходится к х* достаточно быстро.
Оценка скорости сходимости может быть сформулирована сле-
дующим образом. Нусть }|(х)
— дважды дифференцируемая на К
функция, причем |” (х) =и>0 при всех хЕК и |’ (х) удовлетво-
ряет условию Липшица на К с константой Ё. Тогда, если началь-
|
L
ное приближение х, удовлетворяет условию 9= all’ (x) |< 1,
то последовательность (13) сходится к единственной точке мини-
2оп
мума х* функции | (х) на К, причем
| х*— хп I< 9? ‚п=0,1,...
Нрнмер 9. Методом Ньютона найти точку минимума х*
и минимальное значение [* функции | (х) = (х—2)4— ш х с точностью
LF’ n) |< 107%
< Выберем х,=3 и проведем вычисления по формуле (13), запи-
сывая результаты в таблице 1.6.
Таблица 1.6
п
<n
Г (яп)
| (Хз)
0
3
—9,86. 10-2
3,67
1
2,6972477
|
—0, 7558859
0,985
2
2, 6322701
—(, 8488508
0,208
3
2, 4736906
—0, 8553636
2,1.10-2
4
2, 4663735
—0,8554408
3.10-
5
2, 4662656
—0, 8554408
5.10-8< 10-?
Окончательно х* = 2,4662656, }* = —0,8554408. No
|
Метод Ньютона часто используется па завершающем этзпе
минимизации, когда точка минимума х* грубо найдена другим,
менее трудоемким методом и требуется найти х* с большой точ-
ностью.
22

В задачах 16.84 —16.89 минимизировать функцию ] (х)
на всей числовой оси методом Ньютона. Критерием дости-
жения требуемой точности считать выполнение неравен-
ства | (х»)|< 107*.
16.84. /(х)
= -е“*.
16.85, f(x)=2x+e-*.
16.86. f(x)=x?+x*-+sinx.
16.87. f(x) =x?—x-+e%,
16.88. f(x) =e*%-+e72*-+ 2х.
16.89. f(x) =2x?-+x-+cos?x.
16.90. Найти точку мининума х” функции [(х) одной
из задач 16.76—16.83 методом Ньютона, используя в ка-
честве начального приближения решение, найденное методом
касательных. Вычисления закончить при |} (х„)
|<107.
$ 2. Безусловная минимизация функций
многих переменных
1. Выпуклые множества и выпуклые функции. Пусть б’„—п-мер-
ное евклидово пространство арифметических векторов Хх= (5х1, хз, ...
‚ хп). Множество Ис @„ называется выпуклым, если вместе
c любыми двумя точками XY, x2 EU оно содержит и отрезок,
соединяющий эти точки, т. е.
ax)
+ (l—a)x2EU ann Beex “Е [0; 1}.
(1)
Пример 1. Показать, что множество точек х=(х1; х2) пло-
CKOCTH И = {(ж; ха) | ха-ха «< 1} ВЫП кло.
<< Пусть хо= (x, xf?) и x= (x, YEU, a x= (xy, Хх)=
= ах -| (1—0) 2) — TouKa oTpe3-
ка, соединяющего точки хи x,
472
Покажем, что хЕО0. Имеем
жа же=[аж +(Lo) xf)?+
Нах (1—0) х ]*=
= a? [(xi?)? 4 (x2)?J+
$ (Lax)? [(x2)?+ (x8)?+
200 (Lmao) [xf xf? x8 xP? J.
Используя неравенства (x4)? 4.
+(x )al, i=], 2 (так кан
xЕЙ) и ОР<(хе)--
+(xf?)3, получим м--
<0?-|-
Рис. 214
+(l—a)*-+2a(l—a)=1, т. е,
ыы
ХЕЦ.
Выпуклость множества О ясна и и3 рис. 214. Так как И—
круг, то отрезок, соединяющий любые две точки XM, xQEU,
целиком лежит в 0.
Проверка условия (1) в большинстве случаев требует громозд-
ких выкладок, поэтому на практике при исследовании выпуклости
23

множеств в пространствах Ge H Gs YcTO используют геометриче-
ские иллюстрации, подобные рис. 214.
В задачах 16.91 —16.100 установить, являются ли выпук-
лыми множества (0.
16.91. U = {(x;, x,)|2x;+%, <2, 2x;—x, >—2, x, >0}.
16.92. U = {(x;, x,)|x.x, > 1, x; > 0}.
16.93. U = {(x;, x,) |x, xj}.
16.94. U= {(xj, х,)|жмх, <1, x;> 0, x, > Of.
16.95. U = {(x;, x.)|x;—x, <2, x3 +%x3< 4}.
16.96. U ={(x;, X,, %3)|%5 22x}+ x5}.
16.97. 0 = {(хт, х», хх) мм.
16.98. U = {(x;, Хх, дм}.
16.99.U={(x:,Xo»Хз) -х,ЕХз<|,x,=0,X420}.
2
2
16.100. = {( Xe, «)[a+2+to},
Функция |} (х), ваданная на выпук лом множестве И < @’п, назы-
вается выпуклой на этой множестве, если для любых точек х“),
Хх ЕО в произвольного числа а Е[ 0; 1] справедливо неравенства
Нах -| (1—@) 09)} es cf (x)+ (Lax) fF (x).
(2)
На практике обычно используют следующий критерий выпук-
лости функции:
Если | (х) — дважды дифференцируемая на выпуклом множестве
Ис &,„ Функция и матрица ее вторых производных |" (х) =
<= (027 (х)/дх; дху} (гессиан) положительно определена при всех х@Ц0,
то функция |[(Х) является выпуклой на множестве И.
Применяя критерий Сильвестра к матрице вторых производных,
можно сформулировать это утверждение в более удобном для про-
верки виде:
Если все. угловые миноры матрицы |" (х) положительны при х@0,
то функция |(х) выпукла на множестве 0.
Пример 2. Выяснить, является ли функция f (xy, хо) = 2х1--
+ x3-+- sin (xz-+-x,) выпуклой в пространстве фо.
|
«$ Запишем матрицу вторых производных
91 (х) _0?f (x)
ax? Ох: Оха = (7 (xj-+%x2) —sin (x, 12)
Of (x) Of (x)
— sin (xy4-%2) 2—sin (x1 -+%2) /°
Ox, Ox; до
i (x)=
Найдя угловые миноры этой MatpHubl Aj=4—sin (x,-} x2),
_[4ensin (xj x2) — sin (x44 x2)
Aa= — sin (xj --+-%2) 2—sin (xj-+ x2) 8—61 (ат а),
убеждаемся, что А; > 0, {=1, 2, при всех хЕф», т. е. функция } (х)
выпукла. No
_
Выпуклые функции играют большую роль во многих вопросах
оптимизации в связи с тем, что всякий локальный минимум выпук-
лой функции является одновременно и глобальным.
24

В задачах 16.101—16.106 убедиться в выпуклости функ-
ции {(х) во всем пространстве © „.
16.101. (хи, х.) =Ам-ю—
2х. 6х. —х,—2.
16.102. f (x;, x)=V1I+te2+ 2x.
16.103. f (x, x2) =x? + x3—cos
16.104. f (xj, %.) = xp + 42+ x74 494 x1x3.
2
2
16.105. f (xj, Xo» X_) = ett,
16.106. (жи, х., %3) = 5x? + 5x3 + 4x2 + 4x4x, + 2x2%3.
В задачах 16.107—16.110 указать множества U, на
которых функции [(х) являются выпуклыми.
16.107. Кх) =.
16.108. f(x) =sin(x;+¥%,).
16.109. (хх) =x}-+ 2x5—sIin (x; —¥*,).
]
ео.
16.110. f(x) Mite + ae
Во многих задачах оптимизации paccMaTpHBaIOTCA Keadpamure
n
n
ные функции, т.е. функции вида | (х)= >, сужу -Е >, Гуху. Если
1=1
9=1
Положить Чу = сгу-Ё Су, то получим симметрическую матрицу
`@=
= (9:/), с помощью которой можно представить квадратичную функ-
цию в виде
Кю. (х, х- (г, =),
(3)
rye X=(X1, Xo, woe, хп) Г, Г = (тт, го, ... гп) Г — векторы-столбцы,
(х, у) —скалярное произведение векторов х и УЕ ф».
Градиент и матрица вторых производных функции (3) равны
стад | (х) =’ (х)= Ч9х-г, |’ (х)= 9 = (9,,).
Таким образом, для того чтобы функция (3) была выпуклой
в ©з, достаточно, чтобы матрица @ была положительно определена.
Пример 3. Пусть {(х)= 22-9 ч- Заахз-- 2 == Э хода
+ 4xh-t 2х -| Зхз.
а) Найти матрицу О и вектор Г в представлении (3) функции f (x).
6) Найти градиент f’ (x).
в) Выяснить, является ли функция {(х) выпуклой.
«8 а) В данном случае сн=2, с12=—0, с13=3, Со2==1, 638 ==—2,
428
1
Сзз ==4, Г1==1, 7З=2, 7з=3, поэтому 9 = |—2 2—2|, г= |2],
\3—28
3
6) Используя найденные матрицу @ и вектор г, запишем
|4—23(Xy
1
f' (x)= Qxtr=|—2 2-2 |= + |2| =
Хз.
3
3—2 8
Ах 2х.++Зхз +1
= [ла
°
3x9х--8х:--3
25

в) Найдем угловые миноры А; матрицы |” (х)= 9:
4-9
4—2 3
А:=4, d=|_ 9
|=
Аз= —2
2 —2|= 22.
|
|
3—2 8:
Так как А;> 0, #=1, 2, 3, то функция {(х) выпукла в @з. No
16.111. При каких а, Ви сфункция f (x) =axi + bx,x,+
-- схз является выпуклой в &,?
16.112. При каких значениях а функция }(х) =ж- х-
-- хз-Ках.х, выпукла в ©?
В задачах 16.113—16.116 выписать матрицу @ квадра-
тичной функции { (х), найти ее градиент f” (x) B TouKe x
и убедиться в выпуклости f(x) в ©„.
16.113. (хх) =жм-5жх, Зам — хх, х®= (1, |.
16.114. /(х)
=м—Зхах,+10
-
5х —3Зх,, х®= (2, 1).
16.115.f(x)=x22 За+2,
2-х
х®= (1, 0, —1).
16.116. f(x) xt +o ah tad tay, tants + tots 5, —
—%X%,—3x,, ¥=(1, 2, 3).
2. Методы безусловной минимизации, основанные на вычисле-
нии первых производных функции. Постановка задачи минимизации
функции п переменных | (х)
= | (х1, хо, ..., Хп) на множестве ИС ©’п
не отличается от постановки в одномерном случае. Если (= ©’,
то говорят о безусловной минимизации функции | (х).
Для решения задачи безусловной минимизации функции | (x)
наиболее часто применяют приближенные методы, в сснове кото-
рых лежит вычисление производных f (x) первого порядка. Такие
методы обычно называют градиентными. В ряде других методов
требуется вычисление не только первых, но и вторых производных
функции } (Х).
Метод градиентного спуска. Пусть | (х) —выпуклая дифферен-
цируемая во всем пространстве &’„ функция и требуется найти ее
точку минимума х*. Выбрав произвольное начальное приближение
х‘°)
Е ©", построим последовательность
XIR+D
= gh) oe, ff! (x6),
k=0, 1, ...,
(4)
где величины ©» (параметрические шаги) выбираются достаточно
малыми для того, чтобы выполнялось условие
f(x'Ft) < f(x), Е=0,1,...
(5)
В качестве условия окончания вычислений обычно используется
близость к нулю градиента /” (х(®), т. е. выполнение неравенств
ja Ox; \<e, (=1, 2, SOs п,
или|"(х®)-И ть ©
{=1

(tf — заданное достаточно малое число), после чего полагают х* = х®,
{*~}(xi),
Если при некотором А условие (5) нарушается, то шаг © в (4)
уменьшают (дробят) в заданное число раз до выполнения неравен-
ства (5) и продолжают вычисления.
Пример 4. Минимизировать в @’з функцию | (х)
= [ (хт, 42)=
—х1--
2х5 1 ех:+хХз методом градиентного спуска, завершив вычис-
ления при | 0! (х‘®) /дх;
| = 0,05, 1=1, 2.
«$ Выбрав начальное приближение х“0)= (0, 0) и о, =1, построим
последовательность (4), записывая результаты вычислений в таб-
лице 2.1.
Таблица 2.1
k
5=.<|«
Примечание
=
=
a] ae] se].
>.
>
«— os
©
8
O|0
0
11
|
—1
—1
3,145] —
—
Условие (5) на-
|
рушено. Умень-
‚шаем©В2ра»
|
за
|
0
0
11
1 0,5
—0,5
—0,5
1,118) —
— | ‚Условие (5) на-
рушено. Умень-
шаем 4%в2ра»
3a
0
0
11
1 Ю,25
1 |—0,25
—0,25
0,79410,106 |—0,393]0,25] Условие (5)
|
‚выполнено
2 |—0, 2766326] —0, 1516326]0,77410, 09831 0, 045110,25] То же
3 |-—0,3012259|—0,1629096]0,77210,0262|—0,023| — | Точность дос-
тигнута
Итак, x* ~ (—0,301, —0,163), f* ~ 0,772. >
Для квадратичной функции (3) формула (4) принимает вид
ЖЕ+4)=x(k)—a,(Чх®-г),
В задачах 16.117—16.120 совершить один шаг гради
ентного спуска (4) из точки х® с шагом % и сравнить
значения f(x) nw f(x).
16.117. f (x)= xj + 2xpp emt, x= (1, 1), а} %=0,Ц
6) a =0,265; B) a, =0,5.
16.118.
a) a, =0,1; 6) a,=0,5; B) a, =1.
16.119. f (x)= x} + x2 + x3 4+44%,4+4%,%5, 4 =(0, 1, 0),
а) а, =0,1; 6) a, =0,638; B) a, =10.
16.120. f(x) Set +(x, +x,+4,),
а) % =0,1; 6) a, =0,21268; B) a =1.
k=0, l, вое
f(x) = 2-е жж -х,,
х®=(1,1,
(7)
х® =(0, 0),
I)s
27

16.121. Составить блок-схему алгоритма метода гради-
ентного спуска, рассчитанную на использование ЭВМ.
Метод наицскорейшего списка отличается от метода градиентного
спуска способом определения величины @„, которая находится из
условия
Ox (Ap) = minп O, (a), где Фи (д Роу" (В). (8)
Такой выбор к обеспечивает максимально возможное уменьшение
ее антиградиента — 1’ (х(®)
функции
в точке x‘)1 (х) ВДОЛЬ направления
Таким образом, для определения @&, на каждом шаге метода
ваискорейшего спуска решается одномерная задача. минимизации
(8), для чего можно использовать методы, рассмотренные в 6 1.
Пример 5. Решить пример 4 методом наискорейшего спуска.
Шаг 1. Положим х“0) = (0, 0), torga f’ (x)= (1; 1), Dy (a)=
= f(O—a-1, Oma: 1) == 3a2--e-2¢, Для нахождения точки минимума
функции Ф. («) используем метод перебора:
0%
0,18
0,20
0,22 0,24 0, 26
Dg (a)
0,7949
0,7903 0,7892 0,7916 0,7973
т, е. 4 ==01д == 0,22, откуда х(= (0, 0) —0,22.(1, 1) =(—0,22, —0,22).
r 2. (x)=
i (@):
Ша
(0,204, —0,230), @; (a)= (—0,22—0, зоо 4.
-- (—0,22 -+- 0,236c)2-}-e-o 1444-05 032c., Минимизируем Ф
a
0,28
0,30
0,32 0,34 0,36
|Ф! (а)
0, 77401
0,77384 0,77380 0,77387 0,77408
т.е. и=04=0,32, отк
= (~0,2853, —0, 144
уда х(2) == (—0,22, —00,22)—0, 32. (0,204, —0,236) =
Шаг 3. /" (2) (8,007, 7,268)-10-#, D, (a) = (—0,2853—8,007х
m 10-8)?
4. (—0, 1445—7,268- 10-2. ода-е-, ‚410 —15,278 107” Миними:
вигуем Dz (a):
a
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
‘D, (a)
0,77273
0,77241 0,77240 | 0,77241 | 0,77244
т.е. ааа== 0,2. 0 =(—0,3045, —0,1619), 7’ (9) (1.821,
—2,051).10-8, поэтому требуемая точность достигнута и х* = x18) =a
=(—0, 305, —0,162), fe ww f (x0) =0,772. p>

‚ Если [(х)— квадратичная функция (3), то величина @ь может
бы ть вайдена в явном виде
"(к р’
Op=ау, где Ох®-г,
(9)
Таким образом, для квадратичной функции метод наиск open
шего спуска. состоит ‘в построенни последовательности (x0) п
формулам (7), (9).
.
.
16.122*. Показать, что градиенты f’ (x) u ff’ (+?)
в последовательных точках итерационного процесса ме-
тода наискорейшего спуска ортогональны, т. е. (f' (x),
f (тт) =0, k=0, 1,
16.123. Составить блок- -схему метода наискорейшего
спуска.
‚ 16.124. Составить блок-схему алгоритма метода наиско-
рейшего спуска минимизации квадратичных функций.
В задачах 16.125—16.128 для функции }(х) найти ве-
личину шага , метода наискорейшего спуска из точки Хх.
16.125. f(x) =xi+
2x8 pent, xO= (1, 1).
16.126. f(x)=2x3 +43 +41%,+%;+%,, ¥ = (0, 0).
16.127. f(x) = xi a+ xp + 41%, +4,X3, х® = (0, 1, 0).
16.128. f(x) =e24
(xy +x_+4,)2, x =(1, 1, 1).
В задачах 16.129—16.144 минимизировать квадратич-
ные функции методом наискорейшего спуска, заканчивая
вычисления при ox"
“S| <0, Ol, i=1, 2, ..., a.
16.129. f(x)= т ох, 50 +x,;—10x,.
16.130. f (#) =3xj}—3x,x, + 4x3—2x,-+%,.
16.131. f(x) =x} + 4x,x,+ 17x35
+ 5x,.
16.132. f(x) =5xj —4x,x, -F 5x3 —%,— ¥,.
16.133. f(x) = 4x2 + 4x,x, + 6x2—I7 x4.
16.134. f(«) = 2x?—2x,x,
+ 3x23 +x,—3x,,
16.135. f(x) = 10x37 + 3x,x«, + x*3-+ 10x,.
15.136. 1(х) = ж— 2х, + 6х! -- х, —х..
16.137. f(x) = 4x) + 5x2 + 7x5
— 2x14, 4 XX gt Xi, —XaX35.
16.138. f (4%) = 3x3-+ 4x34 5x? + 2x1X,— XX g— мл. +
++ x,— 3X.
|
16.139. f(x)=x} 4+5x2+8xi—xx,+XjXg—XKX3+545—
—3X,+Xz.
16.140. f(x) = 2: 4х3 -- 8x3 + 2х.— жж Эх.
-- бх,
— 7х..
16.141. Р(х)=7xi+ 4x3+ба— 3xx,+жж хх.
=лм,—х. ЕХз.
° 16.142.|(x)=BxXiABIG QZ QKXpFXKgbX gfOXy+Xq.
16.143. f (x)=
=
OX} OX, ANG 2K Xg— HX gen Xt TXi+ Xp.
29

16.144. f(x)
= 4xj 44g + x13 —xyX,
+ 2H jXy + Xy%Hg—Hy +
+No2— Хз.
Метод сопряженных направлений состоит в построении после-
довательных приближений х“® к точке минимума функции } (x)
следующим образом:
MEATY
= XM — 9,0, k=0, 1, or, LCR, (10)
где х(0)
— заранее выбранное начальное приближение, шаг ©, выби-
рается аналогично (8):
Dy (ap) = min OD, (a), Toe Dy (a) =f (x —ap'),
(11)
а направление cnycka —p\*® определяется по формуле
POP sf" (x) +B, p-D, R=1, 2, р®=Х’ (0),
где
ых(2)\
ее)
BUS (AD)BR y (2a \"
Ox;
t=1
Таким образом, метод сопряженных направлений отличается
от метода наискорейшего спуска только выбором направления
уменьшения функции на каждом шаге (—р“Ю вместо — jf” (x‘*))).
Отметим, что р из (12) определяется не только антиградиентом
— /' (^®)), но и направлением спуска — р®-\ на предыдущем
шаге. Это позволяет более полно, чем в градиентных методах, рас-
смотренных выше, учитывать особенности функции | (х) при построе-
нии последовательных приближений (10) к ее точке минимума.
Критерием достижения заданной точности вычислений в методе
сопряженных направлений обычно`служат неравенства (6). Часто
для уменьшения влияния накапливающихся погрешпостей вычис-
лений через каждые М итераций (10) полагают Вим= 0, т =0, 1,.
т. е. производят обновление метода (No — параметр алгоритма).
Для минимизации выпуклой квадратичной функции в Gp Tpe-
буется не более п итераций метода сопряженных направлений.
Пример 6. Методом сопряженных направлений найти точку
минимума х* функции { (х) = м -- 22-х,
—7х1—7хо.
«$ |(х)— квадратичная функция, заданная в @?. Поэтому точка х*
будет найдена после двух шагов метода сопряженных градиентов.
Ч аг 4. Выбрав начальное приближение х“®9)= (0, 0), по фор-
мулам (9)
— (11) находим
р=Л’(м0)=(21-х.—7,1 4х.—Т)[д =(-7,—7),
Ф, (а) =98 (241— а). Из условия Фо (%) =0 минимума Ф, (%) полу-
чим =. Отсюда x)= (0, 9—т (—7, —= (т. 4 °
lar 2. f’ (x)= (7 +) ‚ откуда с учетом (12) имеем
1
|
7
1
35 21
‚——. (1)— aa
ee
a
awe{\os|—_— —
By16’р
(4а)+75¢7, 7)(16’г)ьПоэтому
30

©
Ф! (©) ===
С16.145. Показать, что при обновлении метода сопряжен-
ных направлений на каждом шаге (т. е. если В, =0, R=
=], 2, ...)он переходит в метод наискорейшего спуска.
16.146. Составить блок-схему алгоритма метода сопря-
женных направлений.
16.147. Минимизировать одну из квадратичных функ-
ций задач 16.129 —16.136, совершив две итерации метода
сопряженных направлений из произвольного начального
приближения Х®ЕФ..
16.148. Минимизировать одну из квадратичных Функ-
ций задач 16.137 —16.144 © помощью трех итераций мето-
да сопряженных направлений, используя произвольное
начальное приближение х®ЕФ..
В задачах 16.149 —16.174 минимизировать функцию
Г(х) методом сопряженных направлений, заканчивая вы-
числения apy | —
op (x
ae|<10-*t=1,2,...,%
a
Хх+
4a—392 H
35 21
ie 16)=8 No ==”. >
x?) =
74
4
ze
=z. Окончательно
16.149,
16.150.
[(x}= ров ре —X,-+ 2x,.
f(x)=Vatet l+yu—y %
1G.USE. f (¥) = xt 2-Е ма2% - х..
16.152. P(X)=xi+3x4+C08(x1+4).
16.153. f(x)=V1+ 2% Fat ett —X,—X,.
16.154. f(x) =x, + Bx, ett,
16.155. f(x)
= 4+ 44V 24 4+ 32—2x,+ 3x,
16.156. f(x) = + 38 — 251 (#55 “+ х,.
16.157. f(x)= т - 3 +5 -+ cos (x;—x,)].
16.158. f(x)
= x3+pes de За,
16.159. f(x) =x,+ 2x, АУ тя.
12
16.160. Иж) = 2x,— 5x, git et.
16.161. f(x) =2V 34 42842 — 1s.
16.162. f(xeyHxit2d+ 2x bt tet хх,
16.163. f(x )=4V Tit a +35 + xy — 2x,
16.164. Neo их: + ммм 3x8 + xy Хх,
16.165. f(0)=xi-+ 5x;+2x3+cos(x;—X,+X5).
81

16.166. f(x) =e!4 In (4 fe x2 + 2x2),
2
22
16.167. f(x) =x; +%,—5x,-f eer,
16.168. f(x) =xitxtt+ Cet YV 5+ xt
х..
16.169. f(x) = 2x? +43 + 4x2 —2Qsin (He).
16.170. 1(х)=2Иж- 3x8 +3+ 2 —мЬ—х..
16.171. f(x) = gt per PT 4 yy,
16.172. f(x) =x¢+4,+%,4+3V aati pete,
16.173. f (x) = 2x2 + а -+sin (x,-+%,)+V3+n+2
16.174. [(х) = 2-Е 10х, —Зхь ей + +38,
3. Методы безусловной минимизации, использующие вторые
производные функции, Если при построении последовательности
приближений к точке минимума функции } (х) использовать инфор-
мацию, содержащуюся в значениях не только первых, но и вторых
производных [ (х), то при определенных условиях можно’ обеспе-
чить более быструю, чем в градиентных методах, сходимость этой
последователь ности.
Метод Ньютона применяется для безусловной минимизации
выпуклых дважды дифференцируемых функций. В этом методе по-
следовательные приближения х (®) к точке минимума функции | (Хх)
строятся с использованием первых ивторых производных следую-
щим образом:
+ = к [ (Хх){" (х)), Е=0, 1, ,..,
(13)
где х®Е „начальное приближение, [{” (х®))]-1
— матрица, об-
ратная матрице вторых производных функции {(х) в точке х“®.
Критерием достижения требуемой точности вычислений обычно
служат неравенства (6).
Если начальное приближение х“) достаточно близко к точке
минимума х*, то метод Ньютона сходнтся, как правило, гораздо
быстрее методов минимизации, использующих первые производные
[(х), поэтому его часто используют на завершающем этапе мини-
мизации при уточнении приближения к точке х*, найденного дру-
гим, более простым методом.
Пример 7. Используя решение примера 4 в качестве на-
чального приближения метода Ньютона, найти точку минимума
функции f (x) = xp 2x3 fet *s с точностью | 91 (х(®)/дх;[ <= 10-8,
—-9
eo
<q Hcnonbsys результаты решения примера 4, запишем
—0,3012259
2.622655
(9) =
”(x)=
-1073,
* (~ 0" t629006,)° F(x) (5 зови
0,39319151 0,62867835
Ё(м7)=
.
0,62867835 0,22329787
Найдем
—0,39319151
—5,3404226. 9”) .
(0)))=2=
(Pe) (замов. о-в 0,22329787
83

откуда
а — —0,3012259 ( 0,39319151
—5,3404226.10-8\ _
~ \ —0, 1629096 —5,3404226-10-2 0,22329787
2,622655
—0,3127641
xX
e 10-2 =—-
e
— 2,296005
— 0, 1563821
Вычислив f’ (x) =(7,9-10-§, 7,9-10-%), y6exnaemca, 4TO условие
точности выполнено, т. е. х* ^х ха) = (—0,3127641, —0,1563821). >
Модифицированный метод Ньютона обеспечивает более устой-
чив\1ю сходимость последовательности приближений к точке мини-
мума, чем метод Ньютона.
Если начальное приближение х® выбрано недостаточно близ-
ким К точке минимума х*, то даже для выпуклой функции f (x)
последовательность (13) может не сходиться к х*. Этот недоста-
ток метода Ньютона будет устранен, если последовательность
приближений {х‘“)} строить по модифицированной формуле
RAL
melh)—а, [[(ХК (м),
k=0,ly.ee
(14)
где &, HaxoguTcaA nono6uo (8) u (11):
Ф,(©)=minDy(a),
а>о
Dy(4)=НЮс[Р(В) (ХВ.
Кроме того, для последовательности (14) всегда выполняется не-
равенство { (х‘+1) =] (х®)), &=0,1,..., которое может нарушать-
ся в случае (13).
16.175. Показать, что точка минимума выпуклой квад-
ратичной функции находится с помощью одной итерации
метода Ныотона из произвольного начального приближе-
Hud KES.
16.176. Используя результат задачи 16.175, показать,
что для нахождения точки минимума выпуклой квадра-
тичной фупкции достаточно одной итерации модифициро-
ванного метода Ньютона при произвольном х®ЕФ,.
16.177. Составить блок-схему алгоритма метода Нью-
тона.
16.178. Построить блок-схему алгоритма модифициро-
ванного мэтода Ныотона.
16.179. Минимизировать одну из квадратичных функ-
ций задач 16.129 —16.144 с помощыо одной итерации
метода Гыотона.
16.180. Используя в качестве начального приближения
решение одной из задач 16.149 —16.174, полученное ме-
тодом сопряженных градиентов, уточнить это решение с
помощью метода Ньютона, заканчивая вычисления при
| Of (x)/0x,|< 107%, 1=1, 2, ..., 4.

16.181. Выбрав произвольное начальное приближение,
минимизировать одну из функций задач 16.149
— 16.174
модифицированным методом Ньютона, используя критерий
точности решения |0{(х®)/дх;
| < 1078, 1=1,2, ..., п.
$ 3. Линейное программирование
1. Постановки задач линейного программирования. Графический
метод решения, Задача минимизации функции п переменных [ (х)==
= f (xz, ..., Хп) на некотором множестве (с @„, не совпадаю-
щем со всем пространством @в и заданном с помощью ограниче-
ний (равенств и неравенств) на координаты х; точки ХЕХ», на-
зывается задачей математического программирования. При этом функ-
цию [(х) называют целевой функцией, а множество И — допустимым
множеством.
Решение задач математического программирования, как пра-
вило, связано со значительно большими трудностями, чем реше-
ние задач безусловной минимизации, рассмотренных в 6 2.
Простейшим частным случаем задачи математического програм-
мирования является задача линейного программировачия, состоящая
в минимизации линейной целевой функции {(х)
= (x7, ..., Xn) =
п
= > сух; на множестве Ис ©, заданном системой линейных
j=1
ограничений (равенств и (или) неравенств) на координаты ху
(j=1, 2, ..., п).
Задача линейного программирования формулируется следую-
щим образом.
Среди точек х= (ху, .. Хп)Е ©», идовлетворяющих ограниче-
ниям
п
Утаня =,
i=1,2,ooegп
(1)
j=1nп.
|
Усах,< в р. т;
(2)
j=1
х; =0,
пч
найти те, в которых функция [(х)= > с;х; принимает мини-
/=1
мальное вначение, и определить это зна’ение.
Отметнм, что в условии задачи линейного программирования
могут содержаться неравенства и противоположного, чем в (2), знака,
однако такие неравенства легко сводятся к виду (2) умножением
на —1.
Если в условии задачи линейного программирования не содер-
жатся ограничения-неравенства (2), т. е. в (1) [=т, то она назы-
вается задачей линейного программирования в каноническом виде.
34

Вводя дополнительные переменные хи+{ >0, {=={1-1,..., m,
ограничения-неравенства (2) можно записать в виде равеиств
п
Утак хп, т cas,m.
/=1
Таким образом, любая задача линейного программирования
может быть записана в каноническом виде
п
f (x) =i ejty— min 1),
(3)
]21
п
Улая,=Ы,
=], soos Ft,
(4)
=
x,=0.
(5)
Часто используется векторная вапись задачи (3)
— (5):
f (x) =(c, x) —> min,
Ax=b,
(6)
x>0,
где х=(х1, ..., X,)—=BeKTOp HeH3BECTHEIX, C=(ci, ..., Cn) TMBeKTOD
коэффициентов целевой функции из (3), А=(а;,)
— прямоугольная
матрица размера тхл, 9=(1, ..,, бт) —вектор правых частей
системы (4), а х—0-краткая запись условий неотрицательно-
сти (5).
Математические модели многих важных для практики задач
оптимизации представляют собой задачи линейного программиро-
вания.
Пример 1. Составить математическое описание следующей
вадачи об оптимальном составе сплава и представить полученную
задачу линейного программирования в каноническом виде.
Для приготовления бо кг сплава с заданными свойствами
используют вещества Ау, ]=1, ..., И. В х кг вещества А} содер-
жится @;ух кг химического элемента В;, {=1, ..., т. Содержание
элемента В; в сплаве должно заключаться в пределах от В; до
6; кг. Стоимость | кг вещества А, составляет с, руб.
Требуется определить такой состав для приготовления спла-
ва, при котором общая стоимость израсходованных веществ мини-
MaJIbHa,
«$ Обозначим х) количество кг вещества А,, используемое для
приготовления сплава (очевидно x,>0, j=1, 2, ..., п). Тогда
п
содержание элемента В; в сплаве составит > ух} KT, а стои-
1=1пЧ
мость израсходованных веществ будет равна У сл, руб.
j=1
1) Символ [ (х)> пп в записи условия задачи математического
программирования используется вместо слов «минимизировать
функцию f(x)», Далее указываются; огранзчения, определяющие
допустимое множество,
2=
35

Поэтому, с учетом ограничений на содержание элементов В; в
еплаве, для величин х; получим следующие неравенства;
п
В;= >‚@уху<<by,
i=], ъоор 1.
j=1
Кроме того, количество сплава должно составлять % кг, поэтому
п
У; x7==bg.
j=1 Таким образом, математическое описание задачи об оптималь-
вом составе сплава принимает вид
п
к®=У, сх) —> т,
j=1
n
У; агух}<>bis
(7)
j=1
n
Si jx;=Bi
(1=1, ово, т),
(8)
i=1
n
SY x= bo,
(9)
j=)
x,==0, j=l, ee
п.
Запишем эту задачу линейного программирования в канониче-
ском виде.
Среди ограничений (7) = (9) на переменные х; содержится 2т
‘неравенств (7), (8). Для преобразования их в ограничения-равен-
ства введем 2т дополнительных неотрицательных переменных хи {
И Xnt+artis i=1, сое» 1.
Прибавив переменные х„+.; к левым частям соответствующих
неравенств (7) и вычтя переменные хь. „+; из левых частей нера-
венств (8), получим задачу линейного программирования в кано-
ническом виде
п
я =У, суху —+ тт,
{#1
n
> агуху-Н Хп+1= 1,
j=l
n
Уталя хит=
(i=1, ..., m),
i=
n
У;x;=ba;
]1=1
=0, i=],оо»,П,>
36

‘Составить математическое описание задач оптимиза-
ции 16.182 —16.187, представив полученные задачи ли-
нейного программирования в каноническом виде.
16.182. Для. изготовления сплава из меди, олова и
цинка в качестве сырья используют два сплава тех же
металлов, отличающиеся составом и стоимостью. Данные
от этих сплавах приведены в таблице 3.1.
Таблица 3.1
Содержание компонентов в %
Компоненты сплава
сплав No 1
сплав No 2
Медь
10
10
Олово
10
30
Цинк
80
60
Стоимость | кг
4
|
6
Получаемый сплав должен содержать не более 2 кг
меди, не менее 3 кг олова, а содержание цинка может
составлять от 7,2 до 12,8 Кг.
Определить количества х,, |=1, 2, сплавов каждого
вида, обеспечивающие получение нового сплава с мини-
мальными затратами на сырье.
16.183*. Для изготовления двух видов изделий А; и
А, завод использует в качестве сырья алюминий и медь.
На изготовлении изделий заняты токарные и фрезерные
станки. Исходные данные задачи приведены в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Нормы расхода
на {1 изделие
Объем
Виды ресурсов
ресурсов
изделие изделие
:
A,
Алюминий (кг)
570
10
70
Медь (кг)
420
20
50
Токарные етанки (станко-час.)
5600
300
400
Фрезерные станки (сТанко- час.)
3400
200
100
Прибыль на | изделие (тыс. руб.)
3
8
37

Определить количества х,, |=1, 2, изделий Ау, кото-
рые необходимо изготовить для достижения максимальной
прибыли.
- 16.184. Из одного города в другой ежедневно отправ-
ляются пассажирские и скорые поезда. В таблице 3.3
указаны: состав поезда каждого типа, количество имею-
щихся в парке вагонов различных видов для формиро-
вания поездов и максимальное число пассажиров, на ко-
торое рассчитан вагон каждого вида.
Таблица 3.3
\
Вагоны
Поез
.
-
eee
багаж
почтовый артный купейный | мягкий
Скорый
]
1
5
6
3
Пассажирский
1
—
8
4
]
Число пассажиров —
—
58
40
32
Парк вагонов
12
8
81
70
26
Определить число скорых х, и пассажирских х, поез-
дов, котсрые необходимо формировать ежедневно из имею-
щегося парка вагонов, чтобы число перевозимых пасса*
жиров было максимальным.
16.185. Завод производит продукцию двух видов А, и
A,, используя сырье, запас которого составляет 6 т.
Согласно плану выпуск продукции А; должен составлять
не менее 60% общего объема выпуска. Расход сырья на
изготовление | т продукции А, и А, составляет соответ-
ственно а; и а, т. Стоимость 1 т продукции А; и А, со-
ставляет соответственно с, руб. и с, руб. Определить план
выпуска продукции А; и А,, при котором стоимость вы-
пущенной продукции будет максимальной.
16.186. В начале рабочего дня автобусного парка на
линию выходит х; автобусов, через час к ним добавляется
х, автобусов, еще через час — дополнительно х. машин.
Каждый автобус работает на маршруте непрерывно в
течение 8 часов. Минимально необходимое число машин
на линии в 1-й час рабочего дня (1=1, 2, ..., 10) равно
b;. Превышение этого числа приводит к дополнительным
издержкам в течекие 1-го часа в размере с; руб. на каж-
дый дополнительный автобус.
Определить количества машин No1, Х,, Хз, ВЫХОДЯЩИХ
на маршрут в первые часы рабочего дня, с таким расче-
38

том, чтобы дополнительные издержки в течение всего
рабочего дня были минимальными.
16.187. Процесс изготовления изделий двух видов со-
стоит в последовательной обработке каждого из них на
трех станках. Время использования 1-го станка состав-
ляет 6, часов в сутки, #=1, 2, 3. Время обработки каж-
дого изделия |-го вида, ]==1, 2, на {1-м станке равно а,,
часам. Прибыль от реализации одного изделия ]|-го вида
составляет с, руб. Составить план суточного выпуска из-
делий так, чтобы прибыль от их производства была мак-
симальной.
Если задача линейного программирования содержит только
две переменные, и в ее условии нет ограничений-равенств (1), то
такую задачу можно исследовать и решить Графически.
Рассмотрим задачу
[(х)=аи сьха—+п,
(10)
апх-Н арх < 6, #=1,... Mm,
(Lt)
Xi 0, x9=> 0.
(12)
На плоскости (х1, х2) любое из неравенств (11) определяет
полуплоскость, лежащую по одну из сторон от прямой ах --
-- а;.хз =6;. Для того чтобы определить расположение этой полу-
плоскости относительно граничной прямой, можно подставить
координаты какой-либо точки (при 6; == 0 проще всего взять начало
координат) в соответствующее неравенство (11) и проверить его
выполнение.
Таким образом, допустимое множество О задачи (10) (12)
является пересечением первого квадранта х: 2—0, хз —0 и полу-
Are
97 Pk
ANN
avf
Рис. 215
Рис. 216.
плоскостей, соответствующих неравенствам (11). Поэтому множе-
ство (И представляет собой либо:
а) пустое множество, тогда задача (10) (12) не имеет реше-
ний из-за несовмествости ограничений (11), (12);
6) многоугольник (рис. 215);
в) неограниченное многоугольное множество (рис. 216).
39

Для решения задачи (10)—(12) в случае И = я рассмотрим
семейство линий уровня функции ] (х) из (10)
саж -Е сах = С, C=const,
(13)
которые являются параллельными прямыми. —Антиградиент
—1’(х)
= (—ст, —с2) =е перпендикулярен прямым (13) и указывает
направление. убывания [(х). Если перемещать параллельно самой
себе произвольную прямую (13), проходящую через допустимое
множество U, B направлении е убывания [(х) до тех пор, пока
эта прямая будет иметь хотя бы одну общую точку с множеством
(И, то в своем крайнем положении указанная прямая пройдет
через точку множества (, в которой целевая функция {(х) при-
нимает минимальное на { значение.
Пример 2. Используя графический метод, найти решение
следующей вадачи линейного программирования
f (x) =—Зм-—2хо + Ш,
X{+2хо<7,
2x1+Xo&8,
Хо< 3,
Xj, Xg>>0.
«$ Изобразим на плоскости (х1, Хо) допустимое множество И дан-
ной задачи (многоугольник АВСОЕ) и одну из липий уровня
— Зх1— 2х. =С
`
целевой функции
(рис 217). Направление убывания
(x) указывает вектор е =(3, 2). Со-
вершая параллельный перенос ли-
нии уровня вдоль направления е,
находим её крайнее положение. В
этом положении прямая —Зх1
—2х,=
=С проходит через вершину Д (3, 2)
многоугольника ABCDE. Поэтому
целевая функция f(x) принимает
минимальное значение {| в точке
=, -2х, =
= >” причем [*=}(3, 2)=
Рис. 217
Задача линейного программи-
рования (10)—(12) может иметь
и бесконечное множество решений.
Пример 3. Решить задачу линейного программирования с
целевой функцией { (х) = —х1—2х. и ограничениями на допусти-
мое множество (/, взятыми из примера 2.
«$ Множество И построено при решении примера 2. На рис. 218
изображена линия уровня —х! —2х. =С целевой функции |(х).
В своем крайнем положении при параллельном переносе вдоль
направления е == (1, 2) она содержит сторону СБ многоугольника
АВСОЕ. Таким образом, все точки отрезка СР являются точками
минимума функции {(х) на множестве И. Так как концы Си О
этого отрезка имеют координаты (1, 3) и (3, 2) соответственно, то
любая точка минимума / (xX) представима в виде х*=а (1, 3)-+
-- (1—<) (3, 2) =(3—2%, 2--&), где @E[0; 1]. Минимальное зна-
чение целевой функции [=] (х*) =—7. >
В’ случае неограниченного допустимого множества U задача
линейного программирования (10)—(12) может не иметь решения.
40

так как целевая функция. на таком множестве может быть не ого
раниченной снизу.
Пример 4. Решить графическим методом задачу линейного
программирования
f(x)=—xj— 2x2—>min,
xy+% >],
2х:—Ха=ol,
Xj—2X,&0,
Xi)ха—0.
< Допустимое множество И данной задачи представляет собой
веограниченное многоугольное множество (рис. 219). Функция | (х)
~ X4~-22%2=C
1
|
>
343511
Рис. 218
Рис. 219
убывает в направлении е == (1, 2). При параллельном перенссе ли-
нии уровня —х1— 2х. =С вдоль направления е она всегда пере-
секает множество (, а целевая функция |(х) неограниченно убы-
вает. Поэтому рассмотренная задача не нмеет решений. No»
Решить задачи линейного программирования 16.188—
16.200 графическим методом.
16.188. f (4%) =x;—2x, — min,
—Xi+%,<0,
2x;+%, < 3,
x4—XS1,
Xi, X, 0.
16.189, f(«) = —xj—
3%, — min,
2ж-х. 52,
х— Хх. 20,
—Х.<1,
Хх, х. 20.
4}

42
18.190. f (x)= —2x;—x, — min,
2X, +x, 1.
3x; —x, 2—l,
x; —4x, &2,
X1, X, 20.
16.191. f(x) =—xj;—x,— min,
x13,
%,<2,
ж-No<1,
т» x, 20.
16.192. f (x«) = —x,;—4x,
— min,
XS 2,
Xy-4 2x, 22,
X32,
хх, 53,
Xt, Х.—>0.
16.193. f(x) =—x,;—x, — min,
Xi+X,>1,
м—х, > —,
Ky—%, Sl,
x1< 2,
X32,
Xx, X, 0.
16.194. f (x)= — 2x;—x, — min,
ж- 2х, 22,
21 —х, —>0,
ж—2х,<0,
м—Хх.>—,
АТ, X,=20.
16.195. {(*)=—x,—¥+x,— min,
2x, 21,
y+ X,<3,
XS 2,
х,<2,
2х1
Хх,>2,
X15 X20.

16.196. Решить задачу 16.182 об оптимальном составе
сплава.
16.197. Найти оптимальный план выпуска продукции
в задаче 16.183.
16.188, Определить число формируемых пассажирских
и скорых поездов в задаче 16.184.
16.199. Найти оптимальный план выпуска товаров
в задаче 16.185, полагая а, =2, аа=1, 6= 390, c,=2,
C,= 3.
16.200. Решить задачу 16.187 со следующими исход-
ными данными:
0,1
0,2
By
12
оз оз/'
be 21
а) Cc, = 65, c,= 80; 6) c;=85, c,= 60.
Графический метод используется также для решения задачи
линейного программирования в каноническом виде (3) —(5) с про-
извольным числом переменных ху, если число свободных перемен-
ных системы уравненнй (4) не превосходит двух.
Пусть ранг г матрицы системы ограничений (4) (т. е. мат-
рицы А из (6)) равен рангу расширенной матрицы (А]6) этой
системы. В противном случае система (4) несовместна и задача
линейного программирования (3) —(5) не имеет решения, так как
ее допустимое множество И пусто.
Выберем произвольный базисный минор матрицы А. Для опреде-
ленности будем считать, что этот минор порядка г соответствует
первым г столбцам и строкам матрицы А. Если г < т, то уравне-
ния (4) с номерами {=7г-1, ..., т являются следствиями осталь-
ных уравнений и их следует опустить. Поэтому будем считать,
ЧТО Г=.
Предположим, что п^т=2 или п—т=!|. Считая перемен-
ные х,, [=1, ..., Mm, базисными, а остальные
— свободными, ре-
шим систему (4), т. е. выразям базисные переменные через свобод-
ные, после чего исключим базисные переменные из условия за-
дачи (3) —(5). Для этого полученные соотношения для базисных
переменных подставим в выражение (3) целевой функции и запи-
шем условие неотрицательности (5) для всех переменных.
В результате получим задачу линейного программирования
вида (10)—(12), эквивалентную исходной задаче и содержащую
только свободные переменные исходной задачи, а их число не
превосходит двух. Для решения полученной задачи можно исполь-
зовать графический метод.
Пример 5. Используя графический метод, найти решение
следующей задачи линейного программирования в каноническом
виде:
f (x) =X,
+ 9x—e+ 5x3 + 3x5
-+ 4x5-+ 14x —> min,
x1-+-р 20,
Xo+Хь=50,
X3-+%x,= 30,
Xq + X5-+ Xe= 60,
4720,
j/=1,
@eoy9
®
43

100100
0
0
«@ В данном случае матрица системы ограничений-равенств имеет вид
<
>
=
A
0010
= 1001 }*
000111
Ее ранг г=4== т, причем минор, образованный первыми четырьмя
столбцами, может быть выбран в качестве базисного (проверьте!).
Число свободных Переменных п— т==2, поэтому для решения за-
дачи можно испольвовать графический метод.
|
Решив систему ограничений-равенств относительно базиснык
переменных ху, ] =], ‹,,, 4, получим
1 =—40- X5-+ x2,
Ка =50—хь,
(14)
Кз == 30 —Хв,
4 =60 —хь —хе.
Исключая в помощью (14) переменные ху, ..,, Х4 Из выраже-
ния для целевой функции, находим
1(х) =740 —7хь-{ 7хе.
(15)
С учетом условия неотрицательности Х;=0, /=1, ..., 6, и
равенств (14), (15) получаем следующую задачу:
1(х) =740-—Тхь--7х6 — min,
хь-- Хв >> 40,
x5 <=, 00,
Xe =, 30,
Хь-- Хз < 60,
Xs, Ав —0.
Допустимое множество
последней задачи изображено на
рис. 220. Это многоугольник АВСОЕ. Перемещая линию уровня
—7хь--7хв=С функции (15)
gh
по направлению вектора е =
=(7, —7), находим точку
30
минимума [(х) —вершину
р (50, 0) многоугольника
2014
АВСРЕ. Подставив значения
Хь=00, %g=0 в равенства
(14), окончательно находим
10|-
х*= (10, 0, 30, 10, 50, 0), [=
=р.|4
.
>
ешить задачи линей-
0 20 0 40/90 hs ного программирования в
Рис. 220
каноническом виде 16.20]—
16.206 графическим мето-
дом.
16.201, {(*«)=—+x,+ x, — min,
2—4,— ха-х, = 3,
4xj;—3x,—Xx, х,=6,
ж--Ах,Ежа 5=15,
д, 0, j=1, eeey5.
44

16.202, — (x)= 4x,—3x,—x,+ 4%, — min,
—x,+
3x, +%, = 13,
4х: х, +х,=26,
аж Нах. + хз=1,
х,—Зх»-Хз=0,
x,20, j=l, ..., 6.
16.203. f(x) =x; + 2x, +%,—x, — min.
`
10x,+x,-++2x,+3x,=25,
—X,+5x,+жа х,-Хь=10,
2%. —х, -- X%,—3x,= 6,
х,>0, |=1, ..., 5.
16.204. |(х)= —4м- 2х.— хх. — min,
Зх:+2х,—хз-|-4х,=3,
X,—X,
+4%,—2x, =2,
x,;=0, j=1, cee, 4.
16.205. f(x)=—x,—3x, — min,
2X1; —X_y +X, +x, = 10,
2X,+2X,+4%,+хв=25,
—2x,+3x,+%,—%x, =9,
6x,+X%,-+x,=36,
x,220, j=l, ..., 6.
16.206. f (*) = —3x, + 2x, +3x,—x, — min,
OX, —2X, —X, +X, =2,
ж-НХ, — в =3,
4x, —xX,+x,+4%,
= 19,
4x, —X,— xX, +x, = 13,
x,220, j=l, ..., 6.
2. Симплекс-метол решения задачи линейного программирова-
ния. Общим методом решения произвольной задачи линейного
программирования является симплекс-метод, рассматриваемый
ниже.
Пусть рангг матрицы А== (а;,) системы ограничений-равенств (4)
задачи линейного программирования в каноническом виде’ совпадает
с рангом расширенной матрицы (А] 6).
Выберем какой-нибудь базисный минор матрицы А. Для опре-
деленности будем считать, что он соответствуе® первым г столб-
цам и строкам этой матрицы. Если г < т, то уравнения в номе-
рами {==г--1, ‚.., Ш, являющиеся следствиями остальных урав-
зений системы, отбросим, полагая в дальнейшем Г==т.
45

Для решения системы уравнений (4) относительно базисных
переменных х;, ]=1, ..., MM, © помощью эквивалентных преобра-
вований приведем ее к виду
xi FO Km etch vee FAO Kn= BO,
Х2 +aтьматeeeFataBP,
ceeeeewoe
.
.
Xmarnatewitovepalox=Bo,
Тогда общее решение системы (4) запишется следующим образом:
0
xi=Bi—0,о1т+1— вое—af?пп»
(16)
0
0
о,
Ха=Во)meofтав+1— ese—0 ихп
(17)
®9®e©9eeee®®eeоeооe9
0
0)
=
one
0)
Xn = BO me m+itm+t vee an пп»
где свободные переменные хи+т, ..., Х„ могут принимать произ-
вольные значения.
Положив их равными нулю, получим частное решение
1== В®, Xe= BO, ete, Хв= о, Хт+1=Хт+2 =... ЕЕХ, =0
ИЛИ
x6)= (В®, Bo, 000» (о),0,0, eee, 0),
(18)
которое назовем базисмым решением системы (4). Каждому выбору
базисных переменных соответствует свое базисное решение сн-
стемы (4).
Если все компоненты базисного решения (18) удовлетворяют
условию неотрицательности, т. е. если В® >0, {=1, ..., т, то
таков решение называют допустимым базисным решением системы (4)
или угловой точкой допустимого множества И задачи линейного
программирования (3)— (5). Если среди неотрицательных чисел pio
в (18) есть равные нулю, то допустимое базисное решение назы-
вается вырожденным (вырожденной угловой точкой), а соответст-
вующая задача линейного программирования также называется
вырожденно!.
В основе симплекс-метода лежит следующий факт:
Евли задача линейного программирования (3)—(5) разрешима,
то минимум целевой функции f(x) из (3) достигается хотя бы
в Одной из угловых точек допустимого множества Ц этой задачи.
Так как различные базисные решения системы (4) соответст-
вуют различным вариантам выбора т базисных из общего числа п
переменных ху, ТО число допустимых базисных решений (угловых
точек) не превышает Сп. Поэтому задачу линейного программиро-
вания можно решать посредством перебора конечного числа угло-
вых точек допустимого множества (Ш, сравнивая значения целевой
функции в этих точках. Однако при большой размерности п за-
дачи линейного программирования этот подход затруднителен.
Идея вимплекс-методз состоит в направленном переборе угловых
точек допустимого множества И 6 последовательным уменьшением
целевой функции } (Х).
Описание симплекс-метода.
Предположим, что задача линейного ‘программирования (3)—(5)
является невырожденной, а базисное решение (18) =" допустимым.
46

Используя соотношение (17), выразим целевую функцию из (3)
через свободные переменные ху, [=т-Е1, ..., п:
п
f(xy=pO+ D pix,
(19)
1=т+1
где
т
т
пр Хой: Ире— Хоа, ть нп,
i=
t=!
Справедливы следующие утверждения:
а) Если в выражении (19) все коэффициенты p, J=m+l,...
..., п, Неотрицательны, то в угловой точке (18) достигается ми-
нимум целевой функции |[(х) из (3) на допустимом множестве U
задачи (3)—(5) и этот минимум равен ро”.
6) Если среди отрицательных коэффициентов p, 1720, из (19)
есть такой (например p), что в (16) все коэффициенты af?) <0,
{=|,..., т, mo целевая функция |(х) не ограничена снизу на
допустимом множестве И и задача (3) —(5) не имеет решений.
в) Если хотя бы один из коэффициентов р®, 1 72 0, в (19) отри-
цателен (например р < 0) и при этом среди коэффициентов ©?
в (16) есть хотя бы один положительный, то существует угловая
точка х® множества И maxaa, umo f (x) < fF (x).
|
В случаях а) и 6) процесс решения задачи линейного програм-
мирования на этом заканчивается. Рассмотрим подробнее случай в).
Пусть в (19) коэффициент р) < Обив (16) имеются положитель-
ные коэффициенты out), Найдем номер & базисной переменной
из условия
(0)
(0)
Ang{8
on
(0),
(0)|’
Ce tral> OL Oy
где минимум берется по всем номерам #=1, ..., т, для которых
al) >0.
Найдем решение системы (4), считая свободными переменные
Xmtits coer Xp—-iy Xky X4i, oe 0, Xn,» Т. ©. поменяв местами свобод-
ную переменную ху; с базисной переменной х». Система уравнений.
вида (16) в этом случае запишется следующим образом:
С
(0) (0) Che
ay
0) (0) Bi”
e
1
х:--
|“—iyan))xj ab)ха
=@
(0) 9
we
j=m+i
Rl
jieI
i=1,...m, lk,
(21)
n
(0)
0)
On
1
Br
xy
— tay trem
acall ar oh
47

а зависимость целевой функции от новыж свободных переменных
вримет вид
|
п
(0)
(0)
a
У (0) „(91
_
CO), (0) ER
ae
‘р; Pyс)xjaeXp+Po+]af)?*(22)
=m
isl
Компоненты нового базисного решения х можно найти, при-
равняв нулю свободные переменные х,, |1=т--1, ..., п, ] 7 ЁЬ
и хЕ й найдя при этом условии значения базисных переменных
из (21). Базисное решение х® является допустимым, т. е. угловой
точкой множества , причем } (х1) < f (xi).
По внакам коэффициентов в системе (21) и выражении для
целевой функции (22) можно сделать одно из трех приведенных
выше заключений, как это было сделано для угловой точки x"),
В случае в) следует совершить переход к очередной угловой
точке х®), аналогичный переходу oT x к х®, ит. д.
Так как число угловых точек допустимого множества ( не
превышает С’, то случай в) может повторяться конечное число
раз, т.е. в результате конечного числа шагов перехода к новой
угловой точке будет либо найдено решение задачи, либо сделано
заключение о том, что она не имеет решений.
Реализация описанного выше симплекс-метода значительно
упрощается при использовании симплекс-таблиц. Записав коэффи-
циенты уравнений (16) и целевой функции (19) соответствующим
образом (см. таблицу 3.4), получим симплеке-таблицу задачи
(3)— (5) для угловой точки 26 из (18).
Таблица 3.4
хп ceeMp neeXp
“1
+1 ... И ere al?)
pi
re|nag coeay oeaf,| Bl
,
tn oSna ’’’al) ..’al), в
Do) nae ph gg,pl)|—pl
Рассмотрим переход OT симплекс-таблицы, соответствующей
угловой точке х“, к симплекс-таблице для угловой точки х\.
Пусть номера А и ? определены так, как это сделано выше.
Элемент 07, а также строка и втолбец таблицы 3,4, на пересе-
чении которых он стоит, называются разрешающими или опорными.
48

Из формул (21) и (22) следует, что преобразование исходной симп-
лекс-таблицы с опорным элементом 0/7 (см. таблицу 3.4) приво-
дит к новой симплекс-таблице (таблица 3.5), для определения
элементов которой необходимо выполнить следующие операции:
1. Поменять местами переменные хр и х;, остальные перемен-
ные оставить на прежних местах, см. таблицу 3.5.
Таблица 3.5
Хт+1
ооо Xp
eee Xn
Xx
alt) +1 8%? at), ose а,
pty)
e
e
®
e
°
e
4
e
(1
(
(1
1
x1
aad eee ay), ere a
В
e
e
®
e
6
a
e
e
1
1
1
1
Xin
1 ed evs a(t) aes afl)
ва)
1
1
pi, ee oh vee ot? |p?
2. На место опорного элемента поставить число 1/a{?),
3. На остальных местах разрешающей строки записать соот-
ветствующие элементы исходной таблицы, деленные на опорный
элемент.
4. На свободные места разрешающего столбца поставить со
знаком минус соответствующие элементы исходной таблицы, делен-
ные на опорпый элемент.
5. Оставшиеся свободные места в новой симплекс-таблице
заполнить построчно следующим образом: из строки элементов
исходной таблицы вычесть произведение ее элемента из разрешаю-
щего столбца на уже заполненную разрешающую строку новой
таблицы.
Например, для строки © 1-й базисной переменной имеем
(знак с/у стоит на месте элемента разрешающего столбца, запол-
ненного согласно определению операции 4);
(тат evoy Ld, woes a BY) =
=(a
@ees LI, 909) и’, Bio’)
rr) тг
0) 1)
1
1
—о,l(a0m+»7?"Ld,oesо, Bs).
Пример 6. Решить задачу линейного программирования из
примера 5 симплекс-методом, используя в качестве начальной
угловой точки х(б) базисное решение, соответствующее свободным
переменным х} и хз.
49

«Я Столбцы с: номерами 2, 4,5 и 6 матрицы А системы ограниче-
ний-равенств данной задачи образуют базисный минор (проверьте!).
С помощью эквивалентных преобразований приводим эту систе-
му к виду (16), где базисными являются переменные хз, Ха,
5ИХе:
хз
Еха хз=40
X4
+xy
== 20)
Хь —Х1—Хз=10
Xe +x 3=30.
(23)
Полагая в равенствах (23) свободные переменные ху и хз рав-
ными нулю, находим х2=40, х.=70, хь=10, хв==30, т. е. базис-
ное решение х“®)
— (0, 40, 0, 20, 10, 30). Так:как все базисные пере-
менные в х“9) положительны, данное базисное решение является
допустимым (т. е. угловой точкой) и невырожденным.
Исключив с помощью (23) базисные переменные в выражении
для целевой функции, получим
f (x) = 880--7x, — 14xz.
(24)
С помощью равенств (23) и (24) составляем симплекс-таблицу,
соответствующую угловой точке хх‘);
м
Хз
Х2
1
]
40
^4
1
0
20
Хь
—1] —1
10
xe|0|
30
—7 —14
—880
Среди коэффициентов рт, 170, из (19) есть отрицательные—
это элементы —7 и —14 последней строки симплекс-таблицы. Сле-
довательно, угловая точка х°) не является решением задачи.
Для каждого из отрицательных элементов ру’ среди ссответ-
ствующих коэффициентов ae? из (16) (Т. е. ‘элементов симплекс-
таблицы, стоящих в том же столбце, что и p>) есть положительные,
значит, возможен переход к новой угловой точке х\? с меньшим
значением | (х).
Найдем разрешающий элемент. В качестве опорного можно
взять Любой из столбцов таблицы, соответствующих свободным
переменным х1 и хз. Выберем, например, столбец при свободной
переменной хз.
Разрешающую строку находим в соответствии с (20): так как
тп (40/1, 30/1} =30/1, то разрешающей является строка, соответ-
ствующая базисной переменной хз. Итак, опорный элемент найден,
в симплекс-таблице он обведен рамкой.
50

Заполнив новую симплекс-таблицу по правилам, описанным
выше, получим
А
X6
XsМ1
10
Ха
1
0
20
x,|—!
140
Хз
0
1
30
—7
14 —460
Отметим, что значение }{(х) в новой угловой точке уменьшилось
по сравнению со значением в исходной: 460 вместо 880 (см. эле-
менты в правых нижних углах симплекс-таблиц).
В нижней строке последней таблицы есть отрицательный эле-
мент —7, стоящий в столбце при свободной переменной х1. Кроме
того, в этом столбце имеются положительные элементы, поэтому
возможно дальнейшее уменьшение [(х} с помощью очередного
шага симплекс-метода.
На данном шаге выбор опорного столбца однозначен и опре-
деляется отрицательным элементом —7 последней строки. Разре-
шающая строка находится из условия (30): так как пип (10/1, 20/1)=
=10/1, то это строка при базисной переменной х.. Опорный эле-
мент в последней таблице обведен рамкой.
Как и на предыдущем шаге, находим. очередную симплекс-
таблицу по общим правилам:
Хз
6
xy
l—1
10
Ха
—1
1
10
Хз
1
0
50
Хз
0
1
30
7
7|—390
В этой симплекс-таблице оба коэффициента рб), } 20, в по-
следней строке положительны. Поэтому угловая точка x"), соот-
ветствующая свободным переменным хз и хз, является точкой мини-
мума целевой функции f(x): x*=x'*) =(10; 0; 30; 10; 50; 0). Munn.
мальное значение }(х) со знаком минус записано в правом ниж-
нем углу симплекс-таблицы, поэтому ]* = 390. Сравните эти резуль:
таты с решением той же задачи, полученным графическим методом,
см. пример 5. No»
Замечание. Если задача линейного программирования
(3) —(5) вырождена, то возможны холостые шаги симплекс-метода,
т. е. шаги, в результате которых значение целевой функции не
изменяется. При этом теоретически возможно и зацикливание, т, е.
51

бесконечное повторение холостых шагов. Для того чтобы избежать
зацикливания, разработаны специальные алгоритмы (аятецик-
лины). Однако на практике зацикливание происходит крайне
редко, поэтому антициклины мы здесь не рассматриваем.
Решить задачи линейного программирования 16.207—
16.212 симплекс-методом, используя Хх‘ в качестве на-
чальной угловой точки.
16.207, f (x) = —5х.- 4x,—x,—3x,—95x, — min,
3X4 —X, + 2x, +%,=9,
2х:—3X,+Xg4-2X,+%,=6,
3Xy—Xq
+Xg+3X,+2X5=9,
x,220, j=1,..., 5; #=(0, 0, 1, 2, 1).
16.208. 1(х) = —xj;—%*x,—%,—
xX,+4x,— min,
Зж-Ех.|хз— 6х,=7,
2x, +%, + Зхз- 3x,—7x, = 10,
—3x; + x, +x,—6x,=1,
х, 20, |[=1, ..., 9; Х®= (1, 2, 2, 0, 0).
16.209. f(x”) =2x,;+%,4%,-- 7x,—2x, — min,
хх,
— хх. =1,
2-х,
в—ь=7,
ж-2х, х8—1X,+%,=6,
x, Q,. feel, ..., 5; ¥°=(2; 1; 2; 0; 0).
16.210. f(x) =x;—3x,—3x,
+ 6x,+ 3x, — min,
— 2x, +3%x,—4x,
+ 3x,+ 2x, =1,
— 8x,-+ 2x, + 3x,—4x,—4x,= 1,
—xX,—4X,+2x,—3x,+ 3x,=1,
x,220, j=l, ..., 55 #=(0; 1; 1; 0; 1).
16,211, f (#) = — 2x, + x. 4+ 4x%3—x,—x,— min,
X,+2x,—*%,= 1,
Xy—-X,—x, = 1,
2х.-Хз++2x,=4,
х,20, |=|, ...,9;^®=(1; 1;2;0;0).
16.212. f (4%) =xy—x,—%,3—
x,— 3x, — min,
2X1++2х,--ха х=,
BXy— X,-+ 2x,
— 2х, =1,
— 3x + 2x,5—x,+2x,=1,
х,>0, ]|=1,..., 9; Х®= (0; 1; 1; 1; 0).

Решение задачи линейного программирования симплекс-мето-
дом начинается с поиска какой-либо угловой точки х® допустн-
мого множества И этой задачи.
Метод искусственного базиса нахождения начальной угловой
точки 29) состоит в следующем. Пусть в ограничениях задачи
линейного программирования (3)—(5) все В;>0, #=1,..., т.
Если это не так, то умножим соответствующие уравнения (4) на —1,
Введем т дополнительных переменных хи, #=1, ..., т, И рас-
смотрим вспомогательную задачу линейного программирования
f (x)= > Xn4i —> min,
(25)
.
i=!
Зах, -Нхин= в фа. т,
(26)
о
ж0, =k=1, ..,nem.
(27)
Одной из угловых точек допустимого множества (этой задачи,
очевидно, является точка х“0)= (0; ...; 0; &;...; 6»). Поэтому
для решения задачи (25)
— (27) можно использовать симплекс-метод
со следующей начальной симплекс-таблицей:
Х1
Хз
eee
Xn
Xn41 Gig ig wee An bg
Kn+32
@21 Qag ese Agn
Dg
e
¢
e
®
Xnim Qmi @тз ore Ann om
Px
ра
coe Pn
—Po
re pj=— Dw j=l, ..., 23 —py=— ye
Отметим, ‘что решение задачи (25)—(27) всегда существует, так
как ее допустимое множество U непусто (ФЕЙ), а целевая
функция (25) ограничена снизу на 0 (f(x) >0).
Пусть P= min F(x) Рассмотрим возможные случаи.
1. >00. Тогда допустимое множество И исходной задачи
линейного программирования (3) —(5) пусто, т. в. эта вадача не
имеет решений.
2. #=0 и минимум целевой функции f (x) достигается в угло-
вой точке
х=(#1; 090% хп; Knot eee; пт)
(28)
допустимого множества 0’ вспомогательной задачи. Тогда
20= (51; Xep ved Xn)
(29)
53

есть угловая точка допустимого множества И исходной задачи,
(3)—(5) и ее можно использовать в качестве начальной угловой
точки при решении этой задачи симплекс-методом.
Из (25) видно, что равенство j (x) =f*=0 возможно только
тогда, когда все координаты хи+;, #=1,..., т, в (28) равны нулю.
Если задача (25) —(27) невырождена, то это означает, что все
переменные х„+; для угловой точки (28) являются свободными.
Опустим столбцы, соответствующие этим переменным в Фкончатель-
ной симплекс-таблице, составленной при решении задачи (25)
— (27).
Полученная в результате этого таблица будет соответствовать
системе уравнений (4), разрешенной относительно 71 переменных х;,
являющихся базисными для угловой точки (28). Поэтому остается
заменить в этой таблице последнюю строку на строку коэффи-
циентов целевой функции (3) исходной задачи и продолжить ее
решение симплекс-методом из начальной угловой точки (29).
Если вспомогательная задача (25)
— (27) вырождена, то в угло-
вой точке (28) некоторые из переменных хи, #=1,..., т, могут
оказаться базисными. Тогда эти переменные следует перевести
в свободные с помощью холостых шагов симплекс-метода, выбирая
в качестве разрешающих произвольные элементы симплекс-таблиц,
отличные от нуля. После этого исходная задача (3) —(5) решается
симплекс-методом так, как описано выше.
Пример 7. Методом искусственного базиса найти какую-
либо угловую точку допустимого множества задачи линейного
программирования, рассмотренной в примере 5, и записать соот-
ветствующую этой угловой точке симплекс-таблицу.
«4 Введем дополнительные переменные ху, ..., Хо И запишем усло-
вие вспомогательной задачи линейного программирования (25)—
(27) для рассматриваемого случая:
f (%) == X24Xp Xo+ 4X19 —> min,
жена х. = 20,
ха-Е хь-- Хз ==50,
Xg-} Xe-+
X%» = 30,
Kat xXs+ Xe+ x1) = 60,
хь —>0, k=Il,..., 10.
Считая дополнительные переменные ху, ..:., Хло базисными,
запишем симплекс-таблицу этой задачи, соответствующую угловой
точке 0==(0; 0; 0; 0; 0; 0; 20; 50; 30; 60):
XfХз^з
^4
Хз Хв
ky10010of}2
Xs огоо
го 50
x%|0010о|30
mo}0001
|60
ЦЕ-1~—2—2~—2]~160

Любой столбец этой симплекс-таблицы может быть выбран
в качестве разрешающего, так как элементы ее последней строки
отрицательны. Выберем, например, столбец, соответствующий сво-
бодной переменной х.. Тогда разрешающим будем элемент этого
столбца, стоящий в первой строке, так как min (20/1, 60/1) =20/1.
Производя преобразования симплекс-метода, получим такую
последовательность симплекс-таблиц (рамками обведены разре-
шающие элементы):
мх,Хух1|5Xe1)
HX,LgXsXo|,
x4] 1 0 Of\1/}0 0} 20
то 00 |20
0то 1050м1[о
0
х.|00
0 1]30 %/6
01O}A130
Lol-1 0. OfANT1] 1]40 ж|-1 00 11|40
1-1 172 -2 -2|-120
4-4 "1 2 01-40
х;|3|2;Xe
4|100 0|20
mt
0-1 |10
Х.| 0
1[1]30
Ж5 | -1 110\10 1140
01-1 -1 |-30
. ей oyfx,
24| 1 0 |\0/]20
%11 1| 140
Я|0.1
30
2 |-1 -1 |[1\| 10.
0 ofolo
В нижней строке последией симплекс-таблицы нет отрицатель-
ных элементов, а в правом нижнем углу стоит нуль. Следовательно,
минимум No =0 вспомогательной целевой функции достигнут и
x= (0; 40; 0; 20; 10; 30)
(30)
есть угловая точка допустимого множества ( исходной вадачи
линейного программирования из примера 5.
1) Столбец симплекс-таблицы, соответствующий вспомогатель-
ной переменной хь+;, вводимой в свободные на каждом шаге метода
искусственного базиса, удобнее вычеркивать на данном шаге вместо
того, чтобы исключать такие столбцы одновременно в окончатель-
ной симплекс-теблице.
55

Заменив нижнюю строку последней симплекс-таблицы на строку
коэффициентов целевой функции исходной задачи, получим симп-
лекс-`аблицу этой задачи, соответствующую угловой точке х«®)
из (30):
|
Xf
Хз
Mh
1
0
20
Хо
1
1
40
Ав
0
1
30
Xs—1—1
10
—7 —14 | —880
Отметим, что другие варианты выбора разрешающих элемен-
тов в ходе реализации метода искусственного базиса могли при-
вести к другим угловым точкам допустимого множества И исход-
ной задачи.
Использование х“°) из (30) в качестве начальной угловой точки
симплекс метода В рассматриваемой задаче иллюстрирует решение
примера 6.
Решить задачи линейного программирования 16.213 —
16.225 симплекс-методом, находя начальную угловую точку
методом искусственного базиса.
16.213. f(#)=—3x;+2x,—2x,+2x,—x,—min,
Xg-+%,—X3 = 1 ,
—ЖЕХз ха=1,
Ха Ха Хь=2,
х, >0, j=l, eee, 5,
16.214. f (x)=— 6x,;— 8x, — min,
2x;+5x,+x,=20,
12x,+6x,+х.=72,
x, 0, j=1, eee, 4.
16.215. f (x) =—x,—4x,— min,
—X;—2x,+2x,+x,+5х,=13,
—2x;+2х,|4х.+ =5,
жи
—ха 2х,=5,
х,>0, j=l, eeey5
16,216, f(«)=— 34x,+4x,+3x3—3x,— min,
OX;—2X,+3x,+2x,=Y,
ж- 2х, —х.-
ха =0,
—Xi—X,fe2x,х.=6,
x, 20, j=l, eee, 4,
56

16.217. f(x) =—%x,+%,
+ 2x%3;—x, — min,
жж-х. =7,
—Зж-Н
ох,- 2х8+ ха=6,
2Xy +X, +X3—X,=2,
x, 220, j=l, ..., 4.
16.218. f («) =— 3x, +%*,—2x,;— min,
15x;+ 2x, —3x,—7x,
+x, =4,
2X1+X, +X3— 2x,=3,
Xx+5х.++2х,=7,
х,>0, |=1, ..., 5.
16.219. f(«)=—
x, — min,
ж-х, 21,
и», =—l,
2X%i— Xp = 0,
Xt X,=0.
16.220. f (x) =3x,—2x,-+х. — min,
OX, +X%,—2x,=2,
4x,+
3x, +2x,=1,
x, 20, j=l, 2, 3.
16.221. f(x)
= — 2x; +%,—x,+%x,— min,
2х.= — 3,
X3—2x,=2,
ха--35,—
<5,
Xi Xp=—3,
x,;220, j=l, ..., 5.
16.222. f (x) = — 8x;—
2x, +5x, — 15x, — min,
—х,+Зх,-хз-10x,<25,
2X4+X,+X545X,<S10,
10x, So eae
16.223. Предприятие, располагающее ресурсами сырья
трех видов В;, 1=1, 2, 3, может производить продукцию
четырех видов АД), j=l, ..., 4. В таблице 3.6 указаны
затраты ресурсов В; на изготовление | т продукции А,,
объем ресурсов и прибыль, получаемая от изготовления
1] т продукции А,,.
57

Таблица 3.6
Вид продукции
Вид сырья
Объем
А,
А,
А,
A,
ресурсов,
т:
By
4{/5
9
3
60
By
30
14
18
29
400
Bs
16
14
8
10
128
Прибыль, руб.
48
25
56
30
Определить ассортимент выпускаемой продукции, при
котором полученная ‘прибыль будет максимальной, при
условиях:
а) продукции А, необходимо выпустить не менее 8 т,
продукции А,— не более 5 т, а продукции Ау и А,—
в отношении 2:1;
6) производственные издержки на | т продукции А,,
]=1,..., 4, составляют соответственно 3, 9, 12 и 6 руб.,
а суммарные издержки не должны превышать 96 руб.
16.224. Завод получает 4 вида полуфабрикатов В,
в количествах: В;—400 т, В,—250 т, В. —350 ти
В. —100 т.
В результате смешения этих компонентов получают
3 вида продукции А,. Пропорции смешиваемых полуфаб-
рикатов следующие: для А. —2:3:5:2, для А.—3:1:2:1,
для ДА,—2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции А, состав-
naet: Ay—12 py6., A,—10 py6., A,—15 py6.
Составить оптимальный план выпуска продукции по
критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
6) максимального использования полуфабрикатов.
16.225. Решить задачу 16.186 об оптимальном графике
работы автобусного парка при следующих исходных
данных!
i
123456
7
8
910
b; 10|20|22|23|25|22 20 15 10
5
co | 5]5]6]6
{6]8]10|15|15|20
3. Целочисленное линейное программирование, Во многих слу-
чаях на допустимое множество задачи линейного программирова-
ния (3)= (5) накладывается дополнительное требование целочис-
58

ленности переменных х,. Если этому требованию должны удовлете
ворять все переменные, то получаем полностью целочисленную
задачу линейного программирования, которая в каноническом виде
записывается следующим образом:
п
f (x)= >) ejxy — min,
17
п
Dytists=Mis 1 ча»1,
j=! x j=0,
,
x,EZ,
j=1, ера»П
(31)
где 1 — множество целых чисел.
Полностью целочисленную задачу с двумя переменными можно
решить графически, учитывая, что допустимое множество ( этой
задачи состоит из точек целочисленной координатной сетки, при-
надлежащих допустимому множеству И задачи линейного програм-
мирования без дополнительного требования (31).
Решить полностью целочисленные задачи линейного
программирования 16.226—16.234 графическим методом.
—х-- 10x, = 40,
4х.--2х.<29,
х, >20, x,€Z, j= l, 2.
< На плоскости (х1, х2) построим допустимое множество И рас-
сматриваемой задачи линейного программирования без требования
целочисленности (многоуголь- oA
HuK ABCD ua puc. 221) u oT- ae
Ся
метим точки множества И с ВИА =.
целочисленными координата-
@
\
ми. Совокупность этих точек
9$в6teеоо
\
представляет собой допустимое
множество (/ полностью цело-
2
численной задачи.
71$©®
А
®e®
Перемещая
о уровня
-
целевой функции | (х) в направ-
—.—[—._——5а—>
лении е=(—1,20) убывания
72 one.2) & 7D. a
f(x), HaxoquM крайнее поло-
жение этой линии, в котором
она еще имеет непустое пересечение с множеством И, В этом по-
ложении линия уровня проходит через точку В (0, 4), поэтому
решение задачи имеет вид х*= (0,4), = шш | (х) =— 80.
и
Отметим, что, как видно из рис. 221, точкой минимума [(х)
в данной задаче без требования целочисленности является точка
С (5; 4,5), т.е. х*= (5; 4,5), = пит}
(х) =— 85. Отсюда следует,
U
что точкой минимума целевой функции на допустимом множестве
целочисленной задачи не обязательно является ближайшая к реше-
нию x* обычной (нецелочисленной) задачи точка множества (
с целочисленными координатами. }>
69

16.227, f(x) =—x*;—x, — min,
2x1+3x,<36,
x*1< 13,
3X, +X,= 4,
x,20, x,EZ, j=l, 2.
16.228, (Хх) = — 9x,;—11x, — min,
4x;
+3x,<10,
x,<5,
Ky+2x,<8,
x, 20, x,EZ, f=, 2.
16.229, f (*) =— 4x,;— 3x, — min,
4х: х,<10,
2x,+3x,&8,
x, 0, x,EZ, ‘j= I, 2.
16.230, f(*) =—x,—*x, — min,
2х1+3X4>5,
Х1>2,
x, >0, х,ЕС, j=l, 2.
16.231. f(x) =x,—-x, — min,
BX+X34X=3,
xi;—2x%,+%,=1,
х,>0, х,ЕС,
j=1, 2.
16.232. f(x) — —X, _ min.
3X1 +X,+ хз = 12,
—8x,+3x,+x,=24,
x,220, x,EZ, j=l, 2.
16.233. В цехе площадью 74 м? необходимо установить
станки, на приобретение которых отпущено 42 тыс. руб.
Существует два типа станков. Станок первого типа
стоимостью 6 тыс. руб., требующий 12 м? производствен-
ных площадей, обеспечивает изготовление 70 изделий
в смену. Аналогичные характеристики станка второго
типа составляют соответственно 4 тыс. руб., 6 м?, 40 изде-
лий в смену.
Найти оптимальный вариант приобретения станков,
обеспечивающий максимальное производство изделий
в цехе.
60

16.234. Решить задачу 16.182 об оптимальном составе
сплава, предполагая, что сырье каждого вида приобре-
тается в количествах, кратных | кг.
Для решения полностью целочисленных задач линейного
программирования с произвольным Числом переменных исполь-
зуется метод Гомори. Он состоит в последовательном отсечении
от допустимого множества U нецелочисленной задачи частей, не
содержащих точек с целыми координатами. Эти отсечения произ-
водятся включением в задачу дополнительных ограничений на
переменные ху.
Опишем алгоритм метода Гомори, использующий симплекс-
метод.
1. С помощью симплекс-метода находится решение х” задачи
линейного программирования без учета требования целочислен-
ности (31). Если для х* условие (31) выполняется, то задача
решена. В противном случае среди чисел В; последнего столбца
oreo
определяющей рещение х*, есть такие, что
t>0).
;
2. Среди нецелых элементов В: выбирается произвольный
элемент В; (например, с максимальной дробной частью {В,}).
По г-й строке симплекс-таблицы составляется дополнительное
п
ограничение вида — >, {,;}х,<—{В,} (здесь, как и выше, для
]=т-+1
„р
определенности мы полагаем, что свободные переменные х; имеют
номера т--1, ..., п). С помощью вспомогательной переменной
Хв+1-—0 это ограничение представляется в виде равенства хв+1—
п
— >, {«,-;}=—{B,} и вводится в симплекс-таблицу дополвни-
]=т+1
тельной строкой
Xn+il On+i, m+fooe Яв+Т, в [Baad
(32)
где One, s=— {Ap hs j=m-+l, ..., 23; Bast=— {B,}.
ak Kak Byayg=— {B-} <0, To mocae yononHeHHA cTpoKOh (32)
симплекс-таблица перестает соответствовать допустимому базис-
ному решению задачи линейного программирования, которую она
описывает.
3. Для перехода к допустимому базисному решению произво-
дятся следующие операции:
а) строка с отрицательным свободным членом В» считается
разрешающей (на первом шаге, очевидно, &=п-{- 1);
6) если все коэффициенты @зу > 0, то задача не имеет реше-
ния, в противном случае номер { разрешающего столбца нахо-
дится из условия
12| пару<о1у|
в) совершается преобразование симплекс-таблицы с опорным
элементом Я. Если в новой таблице по-прежнему есть хотя бы
один отрицательный свободный член, то описанная процедура
повторяется, начиная с операции а), необходимое число раз.
*) Напомним, что всякое действительное число а можно пред
ставить в виде а=[а]--{а}, где [а] целая часть числа а, а
{2} =а--[а] =-его дробная часть.
61

Если все элементы В; вновь полученной симплекс-таблицы
неотрицательны, то допустимое базисное решение найдено. Отме-
тим, что выбор опорного элемента ©;; гарантирует неотрицатель-
ность коэффициентов р; новой симплекс-таблипы. Поэтому найден-
ное допустимое базисное решение является и оптимальным,
4. Если найденное в разделё 3 решение задачи линейного
программирования удовлетворяет условию целочисленности, то
вычисления завершаются, а если нет, то продолжаются переходом
к разделу 2 описания алгоритма.
Описанный алгоритм позволяет найти решение полностью
целочисленной задачи линейного программирования или устано-
вить отсутствие решений за конечное число итераций.
Пример 8. Решить задачу 16.226 методом Гомори.
«$ Введя дополнительные переменные хз, Хх —0, запишем эту задачу
в каноническом виде:
f(x)
= —20х. — пи,
— 1-Е 10%. хз =40,
4% 2х. х.=29,
ху0,х;ЕД, |=1,2.
Отметим, что так как все коэффициенты ограничений-равенств
данной задачи целые, то целочисленность исходных переменных
х1, Хз влечет целочисленность и дополнительных переменных хз,
x,. Поэтому и после перехода к каноническому виду можно рас-
сматривать данную задачу как полностью целочисленную и при-
менить для ее решения метод Гомори.
Одна из угловых точек допустимого множества нецелочислен-
ной задачи очевидна: х‘)= (0, 0, 40, 29). Запишем симплекс-таб-
лицу для этой угловой точки:
xf
Xe
xs|—I |10| 40
X4
4
229
1—200
Решение нецелочисленной задачи находится за две итерации
симплекс-метода:
Xi
Хз
X4
Xs
te |—l/10 110] 4
xe | 1/42 © 4/42} 9/9
xe | [42710] —2/10] 21
ож | 10/2 2/42] 6
—1
280
10/42 82/42 | 85

Это решение х*=(5, 9/2, 0, 0), f*==—85 He удовлетворяет
условию целочисленности, поэтому дополняем последнюю сим-
плекс-таблицу строкой (32):
^4
Хз
Xe
1/42
4/42 9/2
м
10/42 —2/42
5
Xs |—1/42| —4/42 | —1/2
10/42
82/42 85
Для перехода к допустимому базисному решению находим
разрешающий элемент по описанному правилу и преобразуем
симплекс-таблицу:
Xs
Хз
Ха
1
0
4
X1
10 —1
0
X4
—42
4
21
10180
Последняя симплекс-таблица не только соответствует допусти-
мому базисному решению, но и дает решение рассматриваемой
задачи: х*= (0, 4), = 80.
Отметим, что дополнительное ограничение, введенное в симп-
4
лекс-таблицу, имеет вид — 404 — о. < 1/2. С помощью уравне-
ний хз=40--х,
— 10х», х.=29 —4х: —2х› перепишем его для пере-
менных 1 И хо: Х› 4. Отсюда видно, что дополнительное огра-
ничение соответствует отсечению от допустимого множества И
(многоугольника АВСО на рис. 221) части, содержащей точку
х*= (5, 9/2) (вершину С этого многоугольника). No»
Решить полностью целочисленные задачи линейного
программирования 16.235—16.250 методом Гомори.
16.235. |(х) = — хх, > шш,
—2х.ха хь=1,
мех, — 2х4 =2,
ж-Ехз--Зха=3,
х, 20, х,ЕД, |=1, ..., 4.

16.236. [(х)= — 2x; + 2x, —3x, + 3x, — min,
Xy—2X,+X,=3,
ха X%3—2x,=9,
BX, +X,
%,=4,
x,220, x,EZ, j=l, ..., 5.
16.237. f(#)=—x,1+%,—%,+%, — min,
ж-Н2ж
ха=8,
жа. —х.=4,
—Xi 2х, хз Зх.=6,
x,220, x,EZ, j=l, ..., 4.
16.238. f(«)=—x*,;—x, — min,
2%; + X,-+%,=5,
2x,+3%,+%,=9,
x,220, x,EZ, j=l, ..., 4.
16.239, f(x) =x,+ 2x, +x, — min,
Kp xXy+Xy
+x, +%,=5,
ха+Хз+Ха 6=,
Ав — А4-- Хь=1,
х,>0, х,ЕД, |=1, ..., 5.
16.240. f(x) =—4x,;—3x, — min,
2X; +3X,+X, =8,
4x;+х, +х.=10,
x,=), х,Е2, j=l, eoey 4.
16.241. f(*)=—x,;—x,— min,
x;+2x,+x,=6,
3X, + 2x,+4,=9,
x,20, x1,€4, j=l, ..., 4.
16.242. {(*)=— x, — min,
—6x,+5x,+x,=6,
1X, —4x%,+%,=4,
ж+ж х.=9,
K, 20, ЕД, |[=1, ..., 5.
Отметим, что переход к каноническому виду в полностью
целочисленной задаче линейного программирования, содержащей
64

ограничения-неравенства
п
>,ах)<р
(33)
j=l
не приводит, вообще говоря, к полностью целочисленной задаче
в каноническом виде, так как в преобразованных ограничениях (33)
п
>,ауХЕ=
j=l
вспомогательные переменные Хх„.-.; не подчинены требованию цело-
численности.
Однако если все коэффициенты агу, 6; в (33)
— целые числа, то
условие целочисленности можно распространить и на хп -.р, как это
сделано при решении примера 8.
Полностью целочисленную задачу в каноническом виде можно
получить также, если в (33) ау, 6; — рациональные числа. Для
этого следует умножить (33) на общее кратное знаменателей
коэффициентов агу, 6; (т. е. перейти к целым коэффициентам в (33))
и лишь после этого ввести вспомогательные переменные Хи.;.
16.243. (хх) =3Зх + 2х. + х. —+ пит,
X,+ 3x, +X, > 10,
2x, +4x,
> 14,
2х.+X,>7,
x, 0, x,EZ, j=1, 2, 3.
16.244. f («#) = —-2x,—x,—x, — min,
X,+2x,+2x,=16,
xy +x, <7,
Ox,+2x,=18,
х, >20, x,€Z, j=l, 2, 3.
16.245. f (*) = —4x,—3x, — min,
4x, 4X,< 44,
xX, 22,
x, << 18,
x,>20, x,€Z, j=l, 2.
16.246. f(x) =x,+2x,+x, — min
1
|
2
3х! tae tax, Sl,
2x, -+-xX, 21,
|
3.
ух, чз 221,
x; 20,
x;E4,
j=l, 2, 3.
3 Под ред. А. В. Ефимова, ч. 4
`65

16.247, f (x) = —x,—
2%)—3x5-
2
]
25
ж--5No+5356
3
2
kite r,t No53,
х, 0, х,Е2, j=l, 2,3.
16.248. В цехе размещены 100 станков 1-го типа
и 200 станков 2-го типа, на ‘каждом из которых можно
преизводить детали А, и A,. Производительность станков
в сутки, стоимость | детали каждого вида и минимальный
суточный план их выпуска представлены в таблице 3.7.
Таблица 3.7
Прсизводительность
дет./сут
Стоимость
Минималь-
Детали
1 детали,
вый суточ-
руб.
пый план
Tun |
Tun 2
Ay
20
15
6
1510
Ag
35
30
4
4500
Найти количества х,, станков i-ro THnd, i=1, 2, Ko-
торые необходимо выделить для производства деталей A,
[=1, 2, с таким расчетом, чтобы стоимость продукиии,
производимой в сутки, была максимальной.
16.249. Решить задачу 16.183, считая, что в резуль-
тате усовершенствования технологического процесса рас-
ход меди на изготовление одного изделия А, снизился
с50до40кг.
16.250. Решить задачу 16.199 в предположении, что
товары А; и А, выпускаются в количествах;
а) кратных | кг;
6) кратных 2 кг.
Если требованию целочнсленности подчипены не все пере-
менные задачи линейного программирования, То такая задача иа-
зывается частично целочисленнои.
Для решения частично Целочисленных задач также исполь-
зуется метод Гомори, но его алгоритм в этом случае отличается
видом коэффициентов 9+1, у в дополнительной строке (32), а имсино
—@,,,
если а,,;—0,
@п+1, = Pet
.
|
n+i,/
в} о» если Op; <0,
66

если переменная х; подчинена требованию целочисленности, в
{aps},
ecma {a7}
< {В,},
ан = ет (ел, если {,/}
> {В},
для ху, свободных от этого требования.
Разумеется, вычисления заканчиваются, когда целыми явля-
ются не обязательно все коэффициенты В; симплекс-таблицы,
а только те, которым соответствуют переменные х;, подчиненные
требсванию целочисленности.
Решить частично целочисленные задачи линейного
программирования 16.251—16.256 методом Гомори.
16.251. f(*«)=x,;—10x, — min,
ЗА+X,<12,
—8x,+3x, < 24,
x,>0, x,€2Z.
16.252. f(x) =—+«,;—x, — min,
X,+2x,<4,
2X,+XS4,
x,220, x,€2.
16.253. /(*)=—x,—4x, — min,
X,+X,= 7/2,
ж хь- ха=7Т,
—Xy
+X, 1%, =2,
x,>20, х ЕС.
16.254. f(x) =—10x,+5x, + 7x;—3x, — min,
—х,—2х,+Зх,-3х.=3/2,
жа xy+7 2х4==7/2,
2х1--2х,--8хз +ха=4,
х,>0, x,^,ЕС.
16.255. Решить задачу 16.182 об оптимальном составе
сплава, предполагая, что сырье второго вида приобретается
в количествах, кратных | кг, а сырье первого вида—
в произвольных количествах.
3*
67

16.256. Решить задачу 16.199 в предположении, что:
а) товар А: выпускается в количествах, кратных 1 кг,
а товар А.—в произвольных количествах;
6) товар А: выпускается в произвольных количествах,
а товар А,—в количествах, кратных | кг.
$ 4. Нелинейное программирование
1. Задачи, сводящиеся к. нелинейному программированию. В нан-
‘более общей постановке задача нелинейного программирования
формулируется следующим образом:
f (x) —> min,
(1)
gi (x) =5;,
i=1,2, зоо, р,
(2)
81 (х) =,
i=/+1, ..., m,
(3)
где | (х), в; (х), [=1, ..., т‚— заданные (не обязательно линей-
ные) функции п переменных. Отметим, что условие неотрицатель-
ности переменных х,—=0, j=1, ..., п, входящее в постановки
многих задач нелинейного программирования, можно записать
в виде неравенств (3), положив ау (х)=— хр 6;=0.
Некоторые задачи нелинейного программирования сводятся
К задачам линейного программирования, методы решения которых
описаны в $ 3.
Рассмотрим задачу дробно-линейного программирования
п
f(x) =
— min,
(4)
>, d;x7-+- do
j=l
n
> Aj jXj= Oj,
i=l, ..., J,
(5)
=!
п
>, ах, Ы, i=I+1, .,., m,
(6)
j=l
x, 0,
j=l, ..., n.
(7)
Будем считать, что на допустимом множеетве U задачи
(4) —(7) знаменатель целевой функции из (4) не обращается в нуль
и, следовательно, сохраняет знак. Если этот знаменатель отри-
цателен, то умножим числитель и знаменатель дроби из (4) на —1
и будем в дальнейшем считать, что >. ах; 4% > 0 для всех
хЕЦ.
.
=
Обозначим п = (2 вн} (очевидно, 1/6 > 0 при хЕЦИ)
и введем новые переменные уу== уой у, J=1, sey ML
68

B HOBDIX NepeMeHHBIX gy, /=0, I, ees, M, Sagaua (4)—(7) Mpu-
нимает следующий вид:
п
(у)= Ус, ти,
‘=o
ау == Будь==0,
i=1, os, J,
a;74;—Ву<0,
i=/-+1, вое» MM,
(8)
f
aj=l
п
aj=l
п
У, аи; =1,
1=0
у;=0,
1=0, ooo, ft,
т.е. превращается в задачу линейного программирования (см. $ 3).
Отметим, что требование и, —0, включенное в условие задачи (8),
не ограничивает возможного изменения переменной уз, так как
Ш >0 при ХЕЦ.
af
a*
*\ Fe
.
Hafizem pemenne y*=(yo, «.-, yn), f* задачи линейного про-
граммирования (8) и, используя равенства
|
xj = ff » f=Hl, aoe, М, f*=min f (x)=-,
(9)
Уп
и.
получим решение исходной задачи дробно-линейного программи-
рования (4)
— (7).
Если у =0, то допустимое множество ( задачи (4)—(7) не
ограничено и минимум целевой функции f(x) Ha HeM не дости-
гается.
Решить задачи дробно-линейного программирования
16.257—16.266.
16.257. КЕЙ — min,
Xy— 2x, SA,
2X1 +X, +X, =6,
x0, j=l, 2, 3.
« Знаменатель х!--2х›.--1 целевой функции положителен при
всех х из допустимого множества И, так как х1, ха —0.
Вводя переменные Yo = 1/(Xy-+2%a-+ 1), ys=Yorx;, J=1, 2, 3,
получим следующую задачу линейного программирования:
f (¥)=—2yit+yo — min,
Yim 2y2—-2y, =0,~7
ут—уз-уз—бу=0,
yit 2ya-+yo=l,
yy=9, 1=0, .,.,3.
69

Приведя эту задачу к каноническому виду и решив ее симп-
лекс-методом, находим ус = 1/3, и1 =2/3, у =0, из =2/3, #=—4/3,
откуда, используя формулы (9), получаем решение исходной
вадачи: х*= (2; 0; 2), Р=— 4/3. >
16.258. /(х)= aa _+ min,
Xi, 4+ 2x,< 16,
x, +x,< 10,
Xx, <6,
Х,<7,
X15 Хх. 20.
`16.259. j (x)= FEA
—
min,
—x,+x,+3x, =8,
2X,;—X,—X,= 4,
x,20, j=l, 2, 3.
16.260. f(x)= Sat. min,
X,—%,
+2x,=4,
—жа2х,+хаЕха=6,
х;> 0,
j=Hl1,..., 4,
16.261. f (x)= SE — min,
ж-х,
+ль=3,
Чи,
— Х:=4,
— xX, +3x,+x,=6,
x; 0,
[=1,..., 5.
16.262. f(x)= SS — тт,
6x1—3X,+%,--x,=12,
7X;
—X,-+2x,< 12,
aEaateh
x, 20,
j=],
ey 5.1
16.263. f(x)=
Во,
Xy+%,+%,=6,
3X1—2X,+X4—9,
—x,
+ 2x,+ x,= 10,
x,20, j=l,..., 5.
70

16.264. f (x)= ES — min,
4X;—Xz<5,
xX, +3x,—x,=7,
—3x,+ 4x%,4 «,=17,
x, 220,
j=1,..., 4.
16.265. f(x)= ee | _. min,
— xX, +3x,—x,=10,
2x, +4x,—x,—x,=20,
5X,+2x,+x,=35,
—3x,12x,+%x%,=11,
x, 0,
j=l, eee, 6,
16.266. К = Е
ж--х, — Хз =5,
—%X,+ 2x, > 1,
—3x,+%,+%,= 1,
x, 0,
j=], ee ey 4.
Другой важный класс задач нелинейного программирования,
решение которых можно найти методами линейного программиро-
вания, образуют задачи квадратичного программирования, в которых
требуется минимизировать выпуклую квадратичную функцию
(см. $ 2) на допустимом множестве, заданном линейными ограни-
чениями, т, е.
— min,
Кое (@х, x)4(r, x) min,
(10)
n
> QjXj 60
f=1, ..6, Mm,
(11)
[=1
ху 0,
]1=1, ..., П.
(12)
Здесь Ч = (9:,) —симметричная матрнца размера пжп, Г=
= (71, ..., Гл) — заданный вектор. Напомним, что если матрица О
положительнс определена, то квадратичная функция [(х) из (10)
является выпуклой в ©п.
На основании известной теоремы Куна
-= Таккера [1] точка
минимума х*= (х:, ..., хп) целевой функции | (х) из (10) на до-
пустимом множестве И (11), (12) может быть найдена как реше-
ние следующей системы уравнений с дополнительными перемен-
ными Аг» Xnai, C= 1, «06, Т; Wy, Jl, «00, Mm
п
т
Dy Use 3, Мауи, =0, |... п, (43)
(=]
i=l
n
aахХи=,
t=1,..., m,
(14)
f=]
NiXan+i=9, =], coe, M, уху =0,
j=1, ores ft,
(15)
71

удовлетворяющее условию неотрицательности
x; 0,
y= 0, 1=1, вое» 15
Aj > 0, i=l], вору 171 (16)
Для решения системы (13)—(16) можно использовать метод
искусственного базиса (см. 5 3), позволяющий найти одну из угло-
вых Точек множества, заданного ограничениями (13), (14), (16),
Так как эта точка принадлежит указанному множеству, то она
удовлетворяет перечисленным ограничениям.
При реализации метода искусственного базиза следует учи-
тывать и условия (15), т. е. не включать в базисные одновременно
переменные Л; и Ха.+; © одним и тем же индексом { и перемен-
ные х,, п; с одинаковым номером jf.
Пример 1. Решить задачу квадратичного программирования
= 2—9.
—2х1-— бд —ь Ш,
ж--Хх<2,
— м-Н2х.=2,
Ат, Xo=>0.
-
<& Матрица 9=|
“4 квадратичной функции {(х) положи-
зельпо определена (проверьте самостоятельно!). Система (13)
— (16)
‘й данном случае принимает вид
21—2х. МмЬ—Ae pa=2,
(17)
—2х1--4х.|А.--2А:—из==6,
(18)
Хл -|- ХЕ Хз=2,
(19)
—Xp 2xo+ Xg=2,
(20)
[LyX = WoXe = Ay Xg =Aox4= 0,
(21)
X14, vee, X20; My, 220; No, No20.
Будем искать угловую точку множества, определяемого этой
системой, методом искусственного базиса. При этом, так как урав-
нения (19) и (20) легко разрешаются относительно переменных
Хз И Ха, для уменьшения размера симплекс-таблиц дополнительные
переменные (хи хз) вводим только в уравнения (17) и (18), считая
базисными переменными начальной угловой точки Хз, %4, ХИ Хз.
Вспомогательную целевую функцию }(х)
= хь--хв выразим
через свободные переменные ху, х2, Ал, А», No1 И |» с помощью
уравнений (17) и (18): {1 (5х) = 21 —2мМ — ши 8.
Последовательность симплекс-таблиц, приводящих к решению
задачи, приведена ниже. Рамками обведены опорные элементы,
а те свободные переменные, которые на данном шаге нельзя пере-
водить в базисные из-за условий (21), обведены кружками.
В последней таблице элементы нижней строки неотрицательны,
следовательно, минимум вспомогательной целевой функции [*=0.
достигается в угловой точке, ‘соответствующей этой таблице.
Поэтому искомое решение задачи квадратичного программи-
рования имеет вид х* =(4/5, 6/5), [*=={(х*)
= 36/5. No
Замечание. Если задача квадратичного программирования
наряду с ограничениями-неравенствами (11) содержит и равенства
И
$, аля, =, то для преобразования их к виду (11) следует вы-
1=1
72

о 2 AD) HLPeal
1% 4A)aePape
sf 2-2. 4440/2 [1 1 f44 0/4
ж|-2 412046 402 12042
1100002 — жр-чо обо
жа |-4 [2100002 +, 14/21/7200
0 0f4
0-2-24 11|-8 [ft 1-2-2 11/6
HytqAyAefyPol
|HsHyHeAeHs@2)
x5|-284/3 4-1 -1 0|10/3 2х; [2003] -9 -1 1143
р 9-2 1] 2042 мо 20 -41/2
91 [2/8-/3 0 0 0.0 (2/8 2123430 0 8 0 [2/3
м. [1/3 1/30 0 0 04/3 22113130 060 04/5
2823-24 1 1463 13452 3 1-1) 28
MsXyXeМиNo
v4
_ 4/10
„> Ay
28/0
#1
4/5
v2)
6/5
042460 0la
разить из этих равенств какие-либо базисные переменные через
остальные и записать условие неотрицательности для базисных
переменных.
Например, преобразуем ограничения-равенства
ЗА-Ь ха-Р хз-Ё ха == 16,
—ж--Зла хз--4=4
к виду (11). Разрешив их относительно хз и ха, находим Хз =6 —
— Э- хо, х.=10—х1— 2х2. Учитывая условие неотрицательности
хз —0, х. =0, получим ограничения-неравенства (11): 2х1 == Хо << 6,
ж-Е 2х2 «< 10.
Решить задачи
16.267—16.276.
16.267. (хх) =м-ю —1Южм—15х, — min,
2х1+3х.<13,
2х1+X2=10,
Xi,Xo=0.
квадратичного программирования
73

74
16.268. f (x) = x3 -+x3—20x,;—
30x, — min,
5x; + 13x, <5,
15x; + 7x, < 107,
Xi,X_=0.
16.269. f (x«}=xi—2x,;—x*,— min,
2x, + 3x, <6,
2x, +%,<4,
Xi, X_, => 0.
16.270. f(x) =
—10х,—20х,—»шт,
Ox;+8х.<72,
ж+2х,
< 10,
Xi, X, 0.
16.271. f(x) = x34 x3— 10x, — 8x, — min,
2X;+ 3x, -+ x, =6,
х,>0, ]|=1, 2, 3..
16.272. (хх) =За- м- 3x; —2x, — min,
X+3x,+хз х,=16,
За—х.— хх. =4,
x,20, j=l,..., 4.
16.273. f(x) =xi+64+ -+x,—2x, — min,
же х,+2х,<6,
Зж-2х, хз<12,
х,20, f=1, 2, 3.
16.274. f(x) =(x,;+ x,+%,)? — min,
xi 2x,+3x,<6,
ж+х,<1,
X,+Xg<l,
х,>0, ][==1, 2, 3.
16.275. f (x)= x34 2x,x,—x, — min,
ж-х, =4,
X, +X,= 8,
x,220, j=l, 2, 3.
16.276. f(x) =xi + x3—x,—
2x, — min,
X,— X,-+ 2x,= 6,
x,20, j=l, 2, 3.

_ Минимизировать в многоугольнике с вершинами (0, 0),
(0, 4), (5, 8), (10, 4), (6, 0) следующие функции:
16.277. Г(х) = ме
—4х,—бх..
16.278; }(х)=ж
Ех — 20х. — 16х..
16.279. 1 (х) =—хах..
16.280, f(x) = 2x; + 3x;— 40x, — 48x,.
2. Методы возможных направлений. Основная идея этой группы
методов решения задач нелинейного программирования заклю-
чается в построении последовательных приближений к точке
минимума х* целевой функции [(х) на допустимом множестве (:
ЖЕНИ
--ое(®, k=O, 1, 09 be XOEU, Xp > 0.
(22)
Этв методы вапоминают безусловную минимизацию f (x) гра-
диентными методами (см. $ 2).
Вектор е®, определяющий направление ‘перемещения (22) из
точки х® в точку +0, должен удовлетворять следующим двум
требованиям.
1. Для достаточно малых ах > 0 точка х(+Ъ из (22) принад-
лежит множеству И (т. е. е\® задает возможное направление).
2. Для достаточно’ малых @, > 0 выполняется неравенство
[(х®+5) < |(м®) (Т.е. е® определяет направление убывания |[(х)).
Первое условие означает, в частности, что для граничных
точек х\® допустимого множества И вектор е“® направлен внутрь И.
Величина а} > Ов (22) выбирается из условия наибольшего
убывания целевой функции в направлении &“® с учетом требова-
ния ХА+ЕЦ.
Рассмотрим сначала метод возможных направлений решения
задачи минимизации выпуклой дифференцируемой нелинейной
функции }(х) на допустимом множестве И, заданном линейными
ограничениями
Hx) — min
и
> арх, <: 1) i=1,..., m,
(24)
"ey, =1, ,.., д.
(25)
Опишем выбор вектора е®
= (2; ...; е\”) из (22), опреде:
ляющего возможное направление убывания функции [(х)
в точке х“^). Рассмотрим возможные случаи.
1. Пусть в точке х® все неравенства (24) и (25) выполняются
как строгие. Это означает, что х‘® —внутренняя точка допусти-
мого множества (/. Тогда
eh) = —Л (хЮ),
(26)
т. е. определение очередного приближения хА+Ъ из (22) совпадает?
с итерацией градиентного метода (см. § 2).
2. Пусть хотя бы одно из неравенств (24), (25) в точке хм
обращается в равенство, т.е. ж® является граничной точкой
допустимого множества (/. Тогда выбор е в соответствии с (26},
вообще говоря, невозможен, так как может оказаться, что
Г) Если среди этих ограничений есть равенства, то преобра
зовать их. к виду (24) можно описанным выше способом (см. заме»
чание на с. 72).

rouka x‘\*+2) 43 (22) npu m060M ах > 0 не принадлежит множеству И
(е® из (26) не является возможным в точке х направлением).
Опишем, как определять возможное направление убывания elf)
в этом случае,
Обозначим через /» и 7х множества индексов, ссответствующих
ограничениям (24) и (25), которые в точке х(® обращаются в ра-
венства, T. e.
n
nf 2, вы}. Jp={i|xf?=0}.
(27)
j=l
Представим компоненты е® вектора е® для | @ Уь в виде
ef?)exе*)+=elt)=1),|
(28
где
|
ef), если eft) > 0,
(+=
0,—если е®)<0;
(^)
2)=—| 0,
если е’ => 0,
—e("), если olf) < 0.
Очевидно, eft, е#)- >0, и ее) -=0 для всех |6 Jp.
Вектор е(®
= (е®; ‚..; е®) из (22) ищется как решение сле-
дующей вадачи линейного программирования:
р(е®)=(ft(x),е®)=
(Е)
(Rk)
= У. OF (TO) 62) ot. У. ОР) (29+ —е®-) — min, (29)
(Esp
J
1е Л» Ox;
Oxy
(40, е®)= >, але -|
Ai; (e+ —e(*)) <0, iElp, (30)
п ky)
(2)
(Е) + (к)—
хе
ея en
j=!
ied,
IES
e(")>0, iEJp, |
(32)
at, (9)->0, iESpy
(33)
ef)+.e(~ =0, iJ,?),
(34)
где а = (ал, ..., @).
1) Такое представление для ей), 7 4 Ть, позволяет находить
вектор е“ как решение задачи линейного программирования,
содержащей условие неотрицательности переменных, несмотря
ва то, что его компоненты могут быть отрицательными.
Для ]ЕТь представление (28) не используется, так как у век-
тора еNo, определяющего возможное направление, компоненты el)
с номерами ] Е Уь не могут быть отрицательными.
*) Для учета дополнительного условия (34) при решении за-
дачи (29)
— (33) симплекс-методом следует не включать переменные
е\®)+ И е(")- с одинаковым номером Тв число базисных одновре-
менно.
76

Поясним смысл соотношений (29)
— (33).
1. Минимуму целевой функции |» (е\No) из (29) еоответетвует
минимально возможный с учетом ограничений (30) —(34) yron
между искомым вектором. е‘ и антиградиентом =” (х(®), опре-
деляюшим направление скорейшего убывания {(х) в точке х®.
2. Ограничение (30) для каждого i€/, означает, что вектор
л5. © вектором а), нормальным к гра-
е‘® составляет угол ф;>
п
вичной гиперплоскости >, ах} =06: допустимого множества ПО и
fa
направленным вне 0.
Так как точка х‘® принадлежит этой гиперплоскости, то усло-
вие (30) для любого {@/» гарантирует, что направление е“^ яв-
ляется возможным по отношению |
к му ограничению (24) исход-
ной задачи. Рис. 2922 поясняет
смысл ограничепий (30) в двумер-
ном случае.
3. Условие (31) является ог-
раничением на длину вектора е(®
и обеспечивает ограниченность
снизу целевой функции {» (е(®)
из (29).
4. Неравенство (32) для каж-
SSS
SSS
дого /ЕУ,‚ гарантирует, что на-
Рис. 222
правление искомого вектора е“No
является возможным по отношению к ]-му ограничению (25) ис-
ходной задачи.
5. Соотношения (33) и (34) следуют из представления (28) кок.
понент ef ), |ЕЁУь, вектора e'*),
Опишем теперь, как определить величину перемещения Gp
вдоль направления 6“No из (22). Для найденного вектора е“® опа
находится из условия
f(x)
+aye)=
hy
in f(x + ae),
a>0,x)+ae ЕЙ
e
—`
—
~
~
*
Qp = ПП (Cris occ, Apmy, Apt, over Abn, pk),
(35)
re Cp; WH к, — максимальные перемещения, при которых для точ-
ки ХА+И из (22) выполняются соответственно #-е ограничение (24)
и /-е ограничение (25). т. е.
— f+,
если (40, е®) 0, (36)
Oni = (6; —(a), x))/(aM, ef), ecnn (a, e'®) > 0;
~
+o,
если е(^) —0,
Яр; =
(37)
(R) },(R)
Е)
—х /e}‚еслиef <0,
а а, находится из условия наискорейшего спуска вдоль направ-
ления вектора е® без учета ограничений (24), (25), т. е.
©, (%) = min D, (2), roe Dy(a)=f(xfae), — {38}
a>
a

Приведем описание А-го шага решения задачи (23)
— (25) мето-
дом возможных направлений,
1. Подставить ^® в неравезства (24) и (25) и определить
множества индексов /», У» по формулам (27).
|
2. Если 11=/,= @, найти вектор е® из (26), в противном
случае определить ©) из решения задачи линейного программи-
рования (29)
— (33) с помощью формулы (28).
3. Для найденного вектора е“ определить «» из формул
(34) — (37).
:
4. Hafitn ovepequoe npu6nuxenne x'*t+)) no chopmyue (22).
При выполнении хотя бы одного из условий | f’ (x'*))||<e nin
1х-р—х® |< в, где > 0— число, определяющее точность реше-
ния задачи, вычисления завершают, полагая хех, No 5х”).
Любое из равенств |/’ (х(®))|[=0, | х#-П
— х® |=0 означает,
что точка минимума х* функции f/f (x) на множестве И найдена.
точно: х* =.
Пример 2. Решить следующую задачу нелинейного про-
граммирования с линейными ограничениями методом возможных
направлений, завершая вычисления . при |’ (х®)
|< 0,01 ‘или
xB
oe xP) Le 0,01.
f(x)=(xi—4)®+(x2—2)?— min,
Xix23,
х1+2x,&4,
>
Х1, Xe=0.
|} качестве начального приближения выберем, например, точку
х'0)
= (0,4; 1,4) (убедитесь, что х®' ЕО).
Шаг 1.
1. Ограничения (24) и (25) в точке х0) выполняются как
строгие неравенства (проверьте!), т. е. х“0)— внутренняя точка
множества (/, т. е. = /о= 9.
2. В соответствии с (26) находим
e(0)— — fF! (x)
= (7,2; 1,2).
(39)
3. Hs gopmya (36), (37) ‘nomyyaem Ooy=1/7, Qog== 1/12, Aoi=
== Обр
=
о.
.
|
Определим с в соответствии с (38), используя условие мини-
мума Фо (©) =0:
Do(a)=f(x!+ве)=(0,4 72—4)?+(1,4La1,2—2)%,
Dy (&)= 107,040 —53,52=0, oTkyna ao = 1/2.
Из (35) окончательно находим
д = пт (1/7, 1/12, 1/2, - оо) = 1/12.
(40)
4. Используя равевства (22), (39) и (40), получим
x1) = (0,4; 14) +75 (7.25 1,2)= (1; 1,5).
(41)
Шаг 2.
1. В точке хп» из (41) второе из ограничений задачи выпол-
няется как равенство, поэтому х\ — граничная точка множества (,
п| ичем /1={2}, /1 =.
78
/

2. Задача (29) —(33) для определения е\) принимает вид
fi(e)=—6e{?*4Ge
7 —+ min,
et — ei +2067 * 268” <Z0,
пте?рт 2«1,
еб) +, е1)- 05 2+.) =0, j=1, 2.
Записав эту задачу в каноническом виде с помощью ДопПолнНз
тельных переменных и выбрав эти переменные в качестве базис-
ных, в результате двух шагов симплекс-метода получим et)+ = 2/3,
е1)- =1/3, 1) = 041+ =0, т. е.
_.
(21
е®=(2+—е ‚ +—в ›=(3.-з).
(42)
_3. По формулам (36), (37) находим O17
= 3/2, aj2=9/2, Qe =
= jj=-+00, a = 156/85, noxTomy B соответствии @ (38)
39156
3
DT et? =z
(*)
4. Очередное приближение х“? находим по формуле (22) с
учетом (41), (42) и (43):
|
м =(в5)-+5 (з:-3)=: 5. (44)
Шаг 3.
it
Как и на втором шаге, для определения ©“) получаем задачу
линейного программирования
фз (©?)
=—4е ++de —2e+-F2e— —>min’,
e(2+— >-2+ —е®- «<0,
et) — (2 4 Qe(2)+ —2e2)- «= 0,
e++-e(2)—--e(2) +е)- =<|,
е)+,в?)—0; 2+в)=0, j=1,2,
Q,= min (
решив KOTOpylo, NOJIY THM
e?) = (>: -=).
(45)
Как и на предыдущем шаге, находим Ooi = Ago = Aaj = +0,
~
*
Oog=A, =1, т. е.
dy= min (1,--o0)=1.
(46)
Из формул (22), (44) —(46) получаем
челны)
Шаг 4.
Находя е!3) по общему правилу, получим е\3) =0, т.е. х%) = х9,
и | ** —хЭ | =0. Это означает, что точка минимума х* найдена:
TouHO: x* = x'4) = (5/2; 1/2), fF =f (x) =9/2.,.
79

Puc. 223 дает геометрическую иллюстрацию хода решения
задачи. На нем штриховыми линиями показаны линии уровня
Кх} (окружности с центром в точке (4,2)).
F(a!)= 13,32 fae" =9,25 F(plaj=5
!
1
|
1|
1
fie”)
$
1
|!i\
-
h
‹
.
(B*)=4,5
(4,2)
1
LLLLLLLLLLLLLL LLL
LLL
ha.
0
7
2
3a
- 424
Puc. 223
Решиль задачи нелинейного программирования с Ли-
нейными ограничениями 16.281 —16.290 методом возмож-
ных направлений, завершая вычисления npn | f(x) |<
<0,01 nan | x?-Y— x | < 0,01.
16.281. f(x) =x; + 2x3—16x,— 20x, — min,
2х1 -- DX, => 40,
2х1+А?<16,
Xi,No.=0.
16.282. f (x) =x} + x«3—18x,— 20x, — min,
xy+X»<15,
2X; -- 5х, => 60,
3X;+^>=30,
XiyXe=0.
.
16.283. f (x) =(x,— 16)?+ (x, —9)? — min,
5x,+2x,<60,
xy+x,<15,
xy+4х,=40,
Ат,Х›=0.
16,284. f(x) =x} + ?—x,x,—3x, — min,
xy+Xo=4,
Xt,X_>0.
16.285. f (*) =x}+ x3;— 4x;— 8x, — min,
6x,+ llx,+ x, + 2x,= 96,
—2x;1+ 38x, — 2x, +x,= 8,
x,20, j=l, a) 4.

16.286. f(«)=xj) + 2x; —x, — min,
ж-х, < 15,
x;+8x,+x,=30,
5x;+3x,+x,=60,
x,20, j=l, eooy4.
16.287. f («) =xi-+ 2x;—6x,;—32x, — min,
3X, +X. +X, = 30,
xj +%x,+%,= 15,
2x,-+5x,+x,=60,
x, 20, j=l, доу 5.
16.288. j (x) = 2x?
+3x,-+2x,+4x,>min,
Xi+ 3x,-+ 2x, << 15,
Зла-х,+хз<20,
x,=0, j=1,2, 3.
16.289. f(*x)=x{4+ +43 +4,;—2x, — min,
xy+-2X,+Зх:<18,
2x, +x, +%X%3< 20,
x,>0, j=l, 2,3.
16.290. f(x) =xj—2x, +2x,+%, — min,
Xy+3x,-+ 2х: ЗТ,
Зах,
-х.<5,
x,>0, j=l, 2, 3.
Метод возможных направлений используется также для реше-
ния задачи пелинейного программирования более общего, чем
(2) — (25), вида, а именно
f(x) —> min,
(47)
i (%) <0, i=l, ..., m,
(48)
где (Хх), в; (х) —выпуклые дифференцируемые в @,„ функции.
Опишем один из вариантов определения необходимого для
решения этой задачи вектора 2“ из (22) методом возможных на-
правлений, а также укажем критерий окончания вычислений.
1. Выбор вектора е(®): Если х\® —внутренняя точка до-
пустимого множества (, т. е. в(х“®) < 0, {=1,.,.,т, то вектор
е определяется так же, как в рассмотренном выше случае ли-
нейных ограничений (24), (25), т. е. е =— }' (х®).
Если же х^) —граничная точка множества И, т. е. множество
индексов
In={i| g; (x) =0}
(49)
непусто, то компоненты eo”) вектора е“®) ’представляются в виде
ее + — с) и находятся из решения следующей задачи
линейного программирования с переменными 0, с Or ee) -
81

p=], coe, П:
= Ce—>min,
ofOf (x‘*)) k)+ k)—
у Ga (есь,
i=!
р)
уBiх
ee ft—e-)
+ op<0, iE lp,
(50)
1
к) + (k)—
>(ep?*ep) <I,
l=
Cp, e+, e(®)— >0, b+. lf
~
9, j=1,
Замечание. Для ускорения сходимости метода возможных
направлений множество индексов (49). иногда определяют не по
точному, а приближенному равенству д; (x'*))=0 co Bce возрас-
тающей точностью Ey, T. €. вместо /p используют множество
Тв (вв) ={|—
в»= 9:(х®)<0}, где в,—0 при Ё—+®.
2. Выбор величины перемещения ©. Величина а,
находится по аналогии со случаем линейных ограничений (24),
(25) на допустимое множество (, т. е.
к = тШ (Свт, ete, Apm, On),
где ©, определяется из (37), a ap;, t=1, ..., тТ,— максимально
возможное перемещение вдоль направления #“®) с уметом {-го огра-
ничения (48), найденное из условия g; (x‘*) +a,, е®) =0.
‘Критерий окончания вычислений. Условием
достижения заданной точности решения & > 0 задачи (47), (48) ме-
тодом возможных направлений служит выполнение хотя бы одного
из неравенств |” (х‘®) |<, ор<е. При выполнении этого усло-
вия полагают x* Vx), ft wf (x),
Любое из равенств f' (x) =0 » Og=O означает, что точка
минимума х* функции} (х) на множестве И найдена точно: х*=х®.
Пример 3. Решить следующую задачу пелинейного про-
граммирования методом возможных направлений, завершая вы-
числения при | 1” (х®) |= 0,1 или ор— 0,1:
f (x)= — м—х. —> min,
Gi(X)=x}4x—25<0.
«& Функции /(х) и 21 (х) являются выпуклыми (проверьте!) и диф-
ференцируемыми в в: поэтому можно использовать метод воз-
можных направлений.
Выберем начальное приближение х9) = (0; 1). Очевидно, х0’Е И.
Шаг 1.
1. Так как 1 (х0)) =—24 <0, то х'9) является внутренней
точкой множества И и 1,>= QQ.
2. Вектор е‘0) находим по формуле е'°)
= — }" (х'0))
== (1, 1).
3. Найдем максимально возможное перемещение “от из усло-
вия gy (X! +1 0%93€)=0: (0 + Gog: 1)?4-(1
+ on 1)?~-25 = 2a,
+ 2a91—
— 24=0, откуда 0%1=3.
|
Определяя ©, из (38), получим = --®, так как функция
D(a) =f (x -++ ме ®)=р— 20 — 1 неограниченно убывает при & —--,
82

Отсюда находим величину перемещения на первом шаге: об =
= min (3, +o)=3.
4. Найдем следующее приближение (22):
д==(0,1)3(1,1)=(3,4).
Шаг 2.
2. Поскольку &1 (х“?) =0,-то х@)— граничная точка множества
И и П={1}.
2. Вектор ©? находим из решения задачи линейного програм-
мирования (50):
fi=—Oj—>min,
e+—o-+E(t—e~+o, 0,
бе+—Be) ЕЗе?—Ве~-+ay<=.0,
e++fe~+e++еф-<|,
Oi,eft,г!) >0, etfD~=0, j=],2.
Решив ее симплекс-методом, получим ©: == 1/8, e(D+ = 9/16,
el)~=7/16, e— =ell)t+=(), т. е. EY)==(e+—ed, e(1)+anef))=
= (9/16, —7/16).
3. Величину перемещения 04 находим, как и на предыдущем
шаге: ©;1
=16/65, ©;=-{-о, т.е.а= 16/65
4. Очередное приближение x?) находим из (22):
x9)=(3;4) 0(7;
te 3,892),
Шаг 3.
Так как &1 (х‘?) =0,„то точка х“? является граничной. Находя
e* и @, по общему правилу, получим: о.=0,125, е) =(0,547;
—п,453), и. =0,186. Отсюда 3)= (3, 240; 3,809).
Переходя к следующему шагу, найдем оз =0,094 < 0,1, т. е.
требуемая точность достигнута
и х* = х)= (3,240; 3,809), Fe oe Falah) =:
—7,049.
Решить задачи нелинейного программирования 16.291—
16.298 методом возможных направлений, завершая вычис-
лепия при |{’(х*®) |< 0,01 или о, < 0,01,
16.291. f (x)= 2x,+ x, — min,
в(ху=—90.
16.292. (хх) =м-+ю—
1х, —бх, + шп,
в,(х)=иж—16<0.
16.293. /(«)=—x,—2x, — min,
2, (x) =xi+xu—1<0,
&, (x) = —xX,—
x, <0.
16.294. ff (x)=xj—2x,—x,—min, _
п,(х)=2х;-3%—6<0.
16.295. (x)= 4x? + x34 2x, — min,
2, (x)=
x +xj—4x, <0,
gx)
my ey
—
2 KO.

16.296. f(x) =10x,—x, — min,
£4 (x)= xi — 4x, +4543<0),
9. (х)=©- 4 —4л:—450.
16.297. }х)=4м Ех, — min,
91 (х) = м-х,—150,
г (х) = х:—х,< 0.
16.298. ff («) = xj—3x, + x} — min,
gi(x)=xi—2x, <0,
9% (х)= — хх.< 0.
3. Градиентные методы решения задач нелинейного программн-
ровавия. Один из подходов к решению задач нелинейного про-
граммирования состсит в такой модификации градиентных методов
безусловной минимизации (см. $ 2), чтобы в процессе построения
последовательных приближений к точке минимума учитывались
ограничения на допустимое множество.
Ниже рассматриваются два метода минимизации, основанных
на этом подходе применительно к решению гладкой задачи выпук-
лого программирования
f(x) — min,
xEU,
(51)
где Исфи„— выпуклое замкнутое ‘множество, / (х) —выпуклая диф-
ференцируемая на И функция.
Первый метод (метод проекции градиента). На каждой
итерации этого метода предусмотрена процедура возврата очеред-
ного приближения градиентного спуска х®+Ю
= x(k) 9, }’ (жж)
на допустимое множество (, если х®+1 @ И. Такой возврат произ-
водится посредством проектирования хХ®+И на 0, т. е. замены
х+ на ближайшую точку множества И.
‚ Определение. Пусть заданы замкнутое множество Ис @п
и точка 2Е фи. Точка 2г=Ри(2) называется проекцией точки Z
Ha множество (И, если
©
б (21, 2)=min p (x, 2),
ХЕЦ
где р(х, у) =|х—уУ|--расстояние между точками хи ув про-
странстве Gn.
Очевидно, для TOUKH ZEU проекция Риу(=) совпадает с 2.
Таким образом, в методе проекции градиента последователь-
ные приближения х® к точке минимума х* целевой функции f (x)
на множестве И вычисляются по формулам
RAD = Py [xP —- о’ (х®)|, k=0, 1, ,.., OEU, (52)
В зависимости от способа вычисления Oy, из (52) различают
несколько вариантов метода проекции градиента, самыми распро-
страненными из которых являются следующие.
1. “к находится, как в методе наискорейшего спуска безуслов-
ной минимизации (см. $2), т. е. Фу (ин) = шт DM, (a), roe Dy (a) =
a>
— f [х® — ор’ (х(®))].
|
В предположении, что градиент f’(x) целевой функции
удовлетворяет на множестве И условию Липшица, т. е.
ПЛ ах
(53)
84

Ruin Bceex x, x”EU,.nonaraioT aze=a, R=, 1, ..., THe a= npo
извольное число из интервала (0; 2/1). Если известна минималь*
ная, константа Липшица Г из (53), то выбирают, как поавило,
=I1/L,
Вычисления по формуле (52) завершаются при выполнении
одного из неравенств ||” (х®) |<2 или | х®-х(-No |<, где
величина ё > 0 опреде ляет точность решения задачи. Окончательно
полагают х* = х®, ftw f(x),
Отметим, что определение проекции Ру(2) для точки & ФИ
является самостоятельной задачей нелинейного программирования
п
F(x)=|x—zP=
У уча -ьшн, x€U, = 64)
—=
решение которой может вызвать затруднения,
В частном случае, когда множество { определяется лишь
линейными ограничениями, задача (64) представляет собой задачу
квадратичного программирования. Ее решение может быть най-
дено за конечное число шагов, как описано выше.
Особый интерес при использовании метода проекции градиен-
та представляют такие множества (И, для которых задача проек-
тирования решается в явном виде. —
Пример 4. Найти проекцию Ро(2) точки #@ Ф»в на мно-
п
жество И = xEPallxP=> xj <= Ro (замкнутый шар радиуса
f=]/=
КЮ, с центром в точке 0 в пространстве Gn).
«< Запишем условие задачи (54) для рассматриваемого случаяз
F(x)=>,(x; 2)— min,
1=1
*
>, х!<Ro.
(55)
j=
Рассмотрим возможные случаи.
n
1. z€U, T. e. >, 2;<Юз. Тогда Ри(2)=2.
j=lп
2
2
2. 20, т.е. YD 27=R*> Ro. Запишем ограничение-нера-
j=!
венство (55) в виде равенства, добавив в его левую часть допол-
нительную переменную хь+1=и? —>0. В результате получим за-
дачу на условный минимум (см. т. 1, с. 363):
(хх) = >, (уг) — min,
j=l
n
ф(х, у= >, ж-н
и?— В=0,
1=1

Для ee решения запишем необходимые условия экстремума
функции Лагранжа Ё (х, 9, ^) = Arcee aie -83))
j=l
OL
.
OL
п
Яя
=
j=l
Решив эту`систему п--2 уравнений с учетом предположения
п
>, 2;=R2> В, находимy= 2,|=1,
heaped, y=0,
=|
.
0
'Ю.
п
т.е.=.2=Ви
2г.
Проверим выполнение остаточного условия минимума L(x, y, A)
в найденной точке. Для этого найдем все частные производные
[R ):OL R
e
e
=
—ы
’
72=?
—
meenпорядкавточкеae^) (-<;ий 2о Ro’
5
Sxjay 1 т шар
O
LAT a =2(7-1): nee
этому d*L=2вх dx?+2(oe—!)ays>0 приу ах; ди?>0,
j=l
т. е. достаточное 1 словие минимума выполняется.
Окончательно
п
2
2
2,
если 32 RO;
j=
Ру (2)=
вы И 3>)Ziг, если 2:>Ro.
j=l
(56)
Если проекция точки #Е @’п на допустимое множество задачи
нелипейного программирования находится в явном виде, то ис-
пользование метода проекции градиента для ее решения значи-
тельно упрощается.
Пример 5. Решить следующую задачу нелинейного про-
граммирования методом проекции градиента, завершая вычисления
при выполнении одного из условий |/’ (х®) |< 0, Ol, |x*-b)—
—xk <=0,Ol:
{(x)=— tix) -—> min,
gtx <= l.
«$ В качестве начального приближения возьмем, например, точку
х(0)— (0; 0,5) ЕЦ.
86

Градиевт f’ (x)=(—1,2x2) удовлетворяет условию Липшица (53)
с константой [=2, так как
IF’ (x’)—f" (x"\J=V (—14 1)?-+ (25-203)?=
m2] xian
xy| 2 x’ x"I.
Поэтому в (52) MOKHO NOMOKUTD Ap=aE (0; 1), Ё=0, 1, ...,
HanpuMep, &,=0,75.
.
Шаг 1. Так как f’ (x)=(—1, 1), по формуле (52) находим
x) = Py [x —af’ (x()] = Py [(0; 0,5) —0,75 (—1, 1)] =
=Py [(0,75; —0,25)].
Точка (0,75; —0,25) принадлежит множеству (И, так как 0,75? -|-
-- 0,252 =0,625 < 1, поэтому х®
= (0,75; —0,25).
Требуемая точность не достигнута, так как || X{0) mm x) || =e
= 1,06 > 0,01.
'
Шаг 2. Как и на предыдущем шаге, находим
J’ (x) =(—1; —0,5), x = Py [(0,75; —0,25)—0,75 (—1; —0,5)}=
= Pr [(1,5; 0,125)].
Точка (1,5; 0,125) допустимому множеству не принадлежит, по-
тому что 1,52 -- 0,1252 =2,266 > 1. Так как множество И представ-
лязт собой замкнутый шар радиуса Ю,=1 с центром в точке 0
в пространстве Ba, то, используя результат примера 4, по фор-
муле (56) находим
ЕЕ
Требуемая точность не достигнута, так как’ || х® — х(2)| =
= 0,298 > 0,01.
Результаты остальных шагов метода проекции градиента при-
ведены в следующей таблице:
= (0,9965; 0,08304).
к
fh)
1-1) — х(^)|| fe (x8)
6k)— apr (x4)
2} (0,9965; 0,0830)
0,298 (—1; 0, 1661) (1,7465; —0,0415)
3 | (0,9997; —0,0238) 0, 107
—1;
(1,7497; 0,0119)
—0, 0476)
4 |(0,99998; 0,60679) 0,031 (—1; 0,0136) (1,74998;
—0,00339)
5
(0,99998;
0, 0087
Точность достигнута
—0,00194)
Из таблицы следует, что х*я х® = (0,99998; —0,00194), Р =
= }(х”) =—1. Отметим, что точное решение рассматриваемой за-
дачи х*= (1, 0), “= —1. No
В задачах 16.299—16.303 найти проекцию 2у==Ру (г)
точки 2Е©’„, на указанные множества ЧФ...
87

16.299. U={xEo,
|x, 20, jal, ..., nm} (HeoTpHua-
тельный октант пространства &@„).
16.300. Ч={хЕф„|а,
<, <, |=1, ..., п} (п-мер-
ный параллелепипед).
16.301. и хев. >
«В, (замкнутый
j=l
шар радиуса Ю; с центром в точке х®).
п
16.302, U= xEE,| Dax, =, а = (ат, ее, a,) 0}
|
(гиперплоскость с нормальным вектором а).
16.303. и хе. Ха
а = (а:, ..., а.) 50]
1=1
(полупространство в @’,).
Используя результаты решения подходящих задач
16.299—16.303, решить задачи нелинейного программиро-
вания 16.304—16.313 методом проекции градиента. Вы-
числения завершить при | х*7— х® | < 0,01.
16.304. 1(х)=жм-- 4х + Зах,+ 2x; + 16x, — min,
х1 >20, х. >0.
16.305. f (4%) = 9x} + x3 —54x;-+ 4x, — min,
Xi=0, Xo=0.
16.306. {(х)=ж-- 92 —12х, —36х, —+ шп,
—1 < 4:54, 1х, 52.
16.307. f(*)=2V 1422+ 2+4,;+x, — min,
§<x4, <8, l<x,<10.
16.308. 7 (х) = 2х. х, — min,
(x; —4)?+(4%,—
2 <1.
16.309. f (+) =*x;}— 8x; +x; — min,
B+ (x%p—4)? <9.
16.310. f(x) =xit+x+43+4,+%,+%3 — min,
|
xj+х,-хз=3.
16.311. f(x) = e+ 238+ x5—4x;—
6x,—2x,— min,
2x;
+ %,=2.
16.312. f(%«) =(x,;—2)*+(*,—1)* шп,
2X, +X, <2.
16.313, f(*)=xj;—.x, — min,
Второй метод (метод условного'градиента). Пусть х® Е И —
очередное приближение к решению гладкой задачи выпуклого
программирования (51), причем /“ (х®) 20. Тогда.в окрестности
точки хЮ функция {(х) представима в виде
f(x)=F(x)+(Ff!(x), x—x)+0(|x—eI),
и линейная функция
Fe (x) =(f" (x), x—x'”)
‚88

являетея приближением разности | (x)—/f (x) c точностью до
величины о (| х—х‘® |) в некоторой окрестности точки х“®.
Поставим вспомогательную задачу минимизации на множестве
(И линейной функции [к (х), т. е.
рь (х)= (Л’(х®), х- х®) ти, xEU.
(57)
Пусть х«®— решение этой задачи. (Следующее приближение
х®+И к точке минимума х* функции {(х) на множестве И най-
дем по формуле
ЖЕНИ
— Нар (Х®
— (hI),
о (0; 1).
(58)
В силу выпуклости допустимого множества х+1ЕИ.
Величина ©» из (58) в различных вариантах метода условного
Градиента вычисляется по-разному. Опишем два способа опреде-
ления Op. .
*
*
®
1. ав = тит (1, 04), где ок найдено из условия наискорейшего
-^
:
спуска по направлению x)— x); DO, (az)
= min Oy (a), rye Og (a)=
a>0
==ffx)La(x)
— x')].
2. В начале выполнения итерации (58) полагают @p=1, mocae
чего проверяют условие
(жет) < | (ж®).
.(59)
Если оно нарушается, то &» уменьшают (дробят) в 2 раза и
повторно проверят (50). Дробление &,„ производят до выполнения
неравенства (50), после чего переходят к следующей итерации (68).
Условие окопчания вычислений по методу условного градиента
совпадает с апалогичным условием метода проекции градиента.
Отметим, что вспомогательная задача (57) является, вообще
говоря, задачей пелинейного программирования. Укажем случаи,
когда поиск ее решения ХА не представляет затруднений.
1. Допустимое множество И задано линейными ограничениями
и условием неотрицательности переменных. Тогда (57) —это задача
линейного программирования и ее решение можно найти в по-
мощью симплекс-метода (см. § 3).
2. Допустимое множество И={хЕ
Фи [ах Ь,, [=1, „ив,п}
п-мерный параллелелипед. Тогда:
ау,
ecau Of (x\)/dx; > 0,
~(;
b
ecu Of (x'*))/Ox;, <0
ey __
7’
1
,
|
—5— , если Of (x\*))/dx
; =0.
п
3. Допустимое множество И =‹ хЕ@,| (ии a= RES
ша» раднуса К, с центром в точке 10). Тогда.
f' (x)
LF’ (x) |"
Пример 6. Решить следующую задачу нелинейного про-
граммирования мстодом условного градиента, завершая вычисления
`89
MP)=(0) R,

при f} 20% —D eae х 1=0,1:
к)=м—4 2—9. — min,
Ох: =1 О<ж=2.:
«$ В качестве начального приближения выберем, например, точку
x= (0, O)EU.
Шаг 1. Найдем градиент Г” (х) = (2х, —4, 2х. —2) в точке х‘0):
Л’ (х0))
= (—4, —2). Запишем вспомогательную задачу (57):
ре (х)= (Л (м9), хх)
=—4x,—2x,—> min,
О=х<1, Os Xo me 2.
Это задача линейного программирования, ее можно решить
симплекс-методом. Однако проще воспользоваться соотношениями
(60), откуда следует х“0)
= (1,2).
Найдем о, первым способом. В данном случае
Do (cx) =f [x6+ ox (x10) 60))] = f (x, 2a) =5a2— 8a.
Из условия Фо (а)=0 находим a@=ao=0,8. Поэтому a=
= па (1, 0,8) =0,8.
Вычислим очередное приближение х‘\ по формуле (58): x2) =
== (0, 0) --0,8 (1, 2) = (0,8; 1,6).
Tak Kak | xO©— x |=1,79
> 0,1, то требуемая точность не
достигнута.
Результаты вычислений на следующих шагах метода условного
градиента приведены в следующей таблице.
А
х(®)
t)(R=2)—(А|
th)
Op
]
(0,8; 1,6)
1,789
(1,0)
0, 462
2
(0,892; 0,861)
0,745
(1,2)
0,212
3
tH 999. 1,103)
0,243
(1,0)
0, 168
4
0,929; 0,917)
0, 187
(1,2)
0, 140
5
(0,939; 1,069)
0, 152
(1,0)
0,121
6
(0,947; 0,940)
0,129
(1,2)
0, 106
7
(0,952; 1,053)
0,113
(1,0)
0,095
8
(0,957; 0,953)
0,1
Точность достигнута
Окончательно х“ = х“8) =(0,957; 0,953), ft ~ f(x)= — 3,91. >
Решить задачи нелинейного программирования 16.314—
16.322 методом условного граднента, завершая вычисле-
ния при | Хх“
—
х®|< 0,1.
16.314. (хх) = хх — 6х, —4х, — min,
м, 52,
Xi, x, 20.

16.315. f(x) = + 4x2—8x,—8x, — min,
—2=>x=2,
О=<х, = 3.
16.316. Ё(х) = ея"
2 м—4х—4х,—+ПШ,
Ох,<1,
—2< x, <3.
16.317, f(«) =In (24 xf +5— 2x,) + es 9%)? — min,
x, 23,
x, 0.
16.318. f(*«) =x, +4;+6x,—2x, — min,
м--> < 1.
|
16.319. (хх) = No— 8х: 4х. — min,
(x, —1)?+(%,—1)?<1.
16.320. f (x)=I1n (xi-++*3—4x,—6x,+13)—2x,—x, — min,
(x, +2472 <4.
16.321. f(«) =x, +44—6x,—3%,+5 — min,
хх, <3,
2x, +X, <4,
Х1, No >0.
16.322. 1(х)=ш (+ м— 8х, —бх,-+26)—х,—х, — min,
X,+%, <4,
Ох,< 3,
O< x, <2.
4. Методы штрафных и барьерных функций. Один из подходов
к решению задачи нелинейного программирования f (x) —> min,
x@U основан на ‘замене этой задачи последовательностью задач
безусловной минимизации
[в (х) =[(х) + фе (х) -+ тт, ХЕбь Ё=1,2,., (61)
где ф, (х) —фуикции, которые с ростом Ё во все большей степени
учитывают ограничения, определяющие допустимое множество @
исходной Задачи.
В методе штрафных функций функции Фе (х) подби раются так,
чтобы при больших Е функция {[» (х) из (61) мало отличалась OF
f(x) при хЕИ и быстро возрастала при удалении точки ХФИ ©
допустимого множества (И.
Определение. Пусть ИСф„—заданное множество. По-
следовательность функций {ф,(х)}, определенных в &ви обла-
дающих свойством
Нт фе (Хх)=
h->
0, если ХЕЦ,
|<, если хФИ,
называется последовательностью штрафных функций множества UV,
91

Рассмотрим один из вариантов метода штрафных функций
приближенного решения задачи нелинейного ‚программирования
g; (x) =0,
=], р
(62)
gi (x) <0,
i=/+], ores,
считая, что функции f(x), g; (x), t=], ..,, т, ваданы во всем
пространстве Gy.
Положим
Pr (x) =ko (x),
R=], 2, sees
(63)
rye
$
т
(= Зах D> le? @]',
i=l
i=l+1
+) 9, еслив(х)<0,
at = 81(х),если4:(х)>0.
Равенства (63) определяет последовательность штрафных функ-
ций допустимого множества задачи (62) (проверьте!).
ри определенных условиях последовательность решений за-
дач ‚безусловной минимизации (61), (63) сходится к решению х*
задачи ey’ поэтому для достаточно больших No полагают жх* = х®,
Критерием достижения требуемой точности решения задачи (62)
может служить неравенство
| xi) wae 6/2) | =<е,
(64)
где = > 0— число, характеризующее точность, А =четное число.
Для решения задач (61) можно использовать методы безуслов-
ной минимизации, рассмотренные в $ 2.
Если в задаче (62) }(х)—выпуклая квадратичная функция,
a g;(x), t=1, ..., тТ— линейные функции, то точное решение
вспомогательной задачи (61) можно найти из системы линейных
уравнений ОЁь(х)/0х;=0, |=1, ..., п, определяющих стационар-
ную точку функции {+ (Хх).
.
Пример 7. Методом штрафных функций решить следующую
задачу нелинейного программировання:
f (x) =2xi-+%5— min,
Gi(X)=—X41—Xn+20,'
82(х)=х!—2х.--1«0,
(65)
дз (Хх) = —2xj +x. 0.
«& Целевая функция }(х) является выпуклой (проверьте!) квадра-
тизной функцией, а ограничения, определяющие допустимое мно-
зкество задачи, линейны. Поэтому решение х“® вспомогательной
вадачи (61) для любого #=1, 2, ... может быть найдено точно из
условия [» (х(®) =0.
Так как функция Q,(x) из (63) в различных областях про-
странства фз задана по-разному, то при составлении вспомога-
тельной функции [+ (х) следует сделать определенное предположе-
ние о расположении ее точки минимума х(®.
92

1. Предположим, что в точке х® безусловного минимума функ-
ции {» (х) все ограничения задачи (65) нарушаются, т.е. 81 (х(®))>0,
isc?)
Тогда gf (x) =g; (x), i=1, 2, 8, nostomy считаем, что
Fe(x)=F(x) -+&[gi(x)+93(x)+28(x)]=
ex(2-+6k)xi+(1+62)xh ORXjXQ Qhxj—BhXo+SR.
Решив систему уравнений
ОГ (%) (41 126) бла --0В =0,
OX,
Ofe (X) ____ 6h, + (2+ 12k) x— 8k =0,
Оха
находим
(0
_
ПВА
x 27k?-+- 8k
*1 O7Re
4 18k +2? ~* = 974-182
о вРНЕ.
Так как gs (x‘*))
2x; +X
О <0 при веех
=} 2,..., то предположение gs (x'*)) > 0 не подтвердилось.
9. Предположим, что в; (х®) > 0, 1=1, 2, 63 (х®)< 0. Тогда
о (х®)= в: (х®), 1=1, 2, в (х®)=0, поэтому считаем, что
(=)НЕ[а ()-22(<)]=(2-28)м--(1-5)х—2жал»—
— 2х, —8х.--5^, откуда находим
(No) __
942+No
(В
Qk?+8k
иое” ®ЕЕ
69)
Легко проверить, что сделанное предположение подтвержда-
ется, т. е. равенства (66) определяют точку безусловного мини-
мума х“ вспомогательной функции }» (х) из (61).
Окончательно -находим хп х® = (1; 1) fr=f(x*)=3.
—©
Отметим, что для решения вспомогательных задач (61) можно
было использовать и приближенные (например, градиентные) ме-
тоды безусловной мипимизации (см. $ 2). Тогда, если требуемая
точность решения задачи нелинейного программирования (65) за-
дана числом 8 из (64), равным, нап имер, 0,01, то получим х* м
ey 11120)
.ж (0,9899; 0.9463), р = f (xG2%) =2,9524, так как
| Х020)
— (60) | —(),01. >
Решить задачи нелинейного программирования 16.323 —
16.332 методом штрафных функций, полагая х*л х®
при |х®
— х@(/?) | < 0,05.
|
|
16.323. 1(х} =ж-х— 20х, —3З0х, — min,
2x, +3x,—138<0,
2x, +x,—l10<0.
16.324. f(x) =x, ++43—10x,— 15x, — min,
5x, + 13x,—51 <0,
15x,+7x,—107 <0.
93

16.325. f (4%) = xi + —5xj—4x, — min,
2X; +3%, +x, = 6.
16.326. f(*«)=xj++*3—5x,—
10x, — min,
9x; + 8x,—72 <0,
x; +2x,—10<0.
2x, +3x,—6<0,
16.328. f (”) = x}— 2x, + 2x,;+%x,— min,
x, +3x,+2x,—6<0,
OX + Xe + %,—2<0.
16.329, f (4) =—x,+%*;—2x,— min,
Ox: + 2x3—-6 <0.
16.330. 1(х)=м-
д—бл—Зх,—min,
юж —9<0.
—2ж:
+х:<0,
х— 2х.<0.
жа—1 <0,
—Xy+Аз<=0.
В методе барьерных функций исходная задача нелинейного
программирования также сводится к последовательности задач
безусловной минимизации (6!), но функции фь(х) выбираются та-
ким образом, чтобы при больших Ё функции {ь(х) из (61) мало
отличались от }(х) во внутренних точках х допустимого множе-
ства И и в то же время при приближении точки XEU kK границе
множества ( эти функции неограниченно возрастали.
Определение. Пусть множество ИС’, задано. Последо-
вательность функций {фх (х)}, определенных во всех внутренних
точках множества (И, называется последовательностью барьерных
функций этого множества, если выполняются условия:
1. lim Ффь(Х)=0 для любой фиксированной внутренней точ-
kao
ки Хх множества U;
2. Ши Фр (х‘7)) =-- ® для любой последовательности {х“”}
r>@
внутренних точек множества И, сходящейся к какой-либо гра-
ничной точке этого мпожества.
Рассмотрим некоторые варианты метода барьерных функций
рзшения следующей задачн нелинейного программирования:
f (x) —> min,
6: (х) =0, 1=1..., т.
(67)
Положим
,
фи (х) = P(X), #=Ь 2, ...,
(68)
где
т
p(x)=No, 14: (<) |-Р, р>0,
(69)
t=!

ИЛИ
ф(х)=— No ш[- &(%)].
(70)
ix]
Выражения (68) —(70) определяют последовательности барь-
ерных функций допустимого множества ( задачи (67) (проверьте!).
Пусть х^ — решепие задачи безусловной минимизации (61),
где функция ф;х(х) определена равенствами (68), (69) или (68),
(70). Полагая х* = х®, м | (х®) для достаточно большого Ё,
находим приближенное решение задачи нелинейного программи-
рования (67) методом барьервых функций. Для контроля достиг-
нутой точности решения можно использовать критерий (64).
Пример 8. Решить следующую задачу нелинейного про-
граммирования методом барьерных функций, полагая х*я х®
при || х* —х“/?)
| < 0,002:
f (x) =xi-+2x2 — min,
в1(Х)=—1-Ехо«<0,
а(Х)=1-1
—х2<0.
« Используем последовательность барьерных функций (68), (70).
Тогда задача (61) принимаст вид
f(x)=x)+2x)—FU(yaa)бн-а] >ти, хЕфь
Решая ее методом Ньютона (см. $ 2) при А=500 и k=1000, no-
лучаем No59
— (0,6696; 0,3319), х‘2009)
= (0,6682; 0,3326). Так как
| No1009
— (600 || — 1,65- 1078 < 0,002, полагаем х* = 1000 —
— (0,6696; 0,3319), f?~ f (x49) =0,6687. >
Решить задачи нелинейного программирования 16.333—
16.339 методом барьерных функций, полагая х*л^ х®
при |х®—
хм? | < 0,05.
16.333. f (©) = x;—2x,—x;— min,
xi txj—4<0.
16.334. f(x) =x}, + <—10x,—8x,+3 — min,
x, +2x,—2<0,
2х.— 2—0.
16.335. (хх) == 4+ x*3—x, +2 — min,
2x) --3x3—-6<0.
16.336. f(*©) =x) ++*,—8x,—4x,4+3 — min,
x,+xi—8 <0.
16.337. f(#) == xj) -+ x3—3x,+ 1— min,
xj—2x,<0,
—2x,+x, <0.
16.338. /{x*)=—x,—5x, — min,
xy+х,—|<0,
—X,+2x,<0.
16.339. f(*)=9(x,—5)?+ 4 (x,—5)? > min,
ж—2х,—Xy“+|<0,
— x, +x,—1 <0,
х—х. < 0.
95

$ 5. Дискретное динамическое программирование
В этом параграфе рассматриваются многошаговые задачи опти-
мизации, т. е. задачи, оптимизацию в которых можно представить
в виде ряда последовательных этапов (шагов).
Предположим, что состояние некоторого процесса или объек-
та описывается п-мерным вектором х=(х1, хо, ..., Ап), ИЛИ, ЧТО
то же самое, точкой х пространства @и, которое называют фазо-
вым пространством.
Будем считать, что процесс является /МNo-шаговым, т. е. его
эволюция происходит в No этапов (шагов) в соответствии со сле-
дующей схемой:
x!)—>„ов—х-О—xh)—>690
x),
начальное
———=—
копечное
состояние
k- шаг
состояние
Переход между состояниями на Ё-м шаге происходит в соэт-
ветствии с уравнением состояний
хо = fl) (x(k), yh),
(1)
где и Е @т есть т-мерный вектор управления, выбираемый на
#-м шаге, Д\® (х, и) —заданная п-мерная вектор-функция аргумен-
TOB XE Gn, HEEm-
Таким образом, предполагается, что в результате k-ro шага
процесс переходит в состояние х“®, которое определяется только
начальным состоянием х“-No этого шага и выбранным на нем
вектором управления #“® и не зависит от «предыстории» процесса
до Ё-го шага, т. е. от х®, ..., ХЕ] и ЦО, ..., цели.
Показателем эффективности Е-го шага является заданная чис-
ловая характеристика (целевая функция этого шага) ФУ, ==
= J, (x'F-), a), k=1, 2, ..., N.
Предположим, что эффективность всего процесса в целом ха-
рактеризуется целевой функцией вида
No
J (%, uy= Dp Sg (xk, wh),
(2)
k=l
где x={x, x), ,.., х(}
— набор состояний, пазываемый diaco-
вой mpaeKkmopuett npoyecca, a u={u, и, ..., и(No}
— набор вск-
торов управления, который называется управлением процессом.
Такнм образом, рассматриваются только аддитивные целевые
функции 7, представимые в виде суммы целевых функций шагов
Предположим далее, что на фазовую траекторию и выбор уп-
равлений наложены ограничения
Wh EU, (xk), k=l, ..., N,
(4)
где Хьи Up, (x'*-))—sagaHHble MHOXKeCTRA B MpecTpancTBax Gy, и
@в соответственно, причем множество И» зависит, вообще говоря,
от начального состояния х\#-1 Ё-го шага.
Ограничения на начальное и конечное состояния процесса
называются начальными и конечными условиями. При этом множз-
ства Хо и Хм @&н во многих случаях содержат по одной точке
(начало и конец фазовой траектории).
96

Пусть и={80, и, ..., и No} —управление процессом, удов-
летворяющее ограничениям (4) и переводящее его из некоторого
начального состояния Х®ЕХ, в некоторое конечное состояние
жNoЕХм в соответствин с уравнениями (1) с учетом ограниче-
ний (3). Обозначим множество всех таких управлений буквой U.
Многоцтаговая задача оптимизации формулируется следующим
образом: среди всех управлений иЕЦ выбрать такое (и*=
= {и0*, и, ..., и}, для которого целевая функция (2) при-
нимает минимальное или максимальное (в зависимости от смысла
задачи) значение.
Управление No" и соответствующая ему фазовая траектория
х* называются оптимальными.
Условие многошаговой задачи оптимизации будем записывать
следующим образом:
J(x,и)=>, Тв(х-», a)—extr}),
(5)
k=1
хЮ = КЮ (х-Ъ, ц®),
k=l, ,.., N,
(6)
Х®ЕХ,,
k=1, ..., N—1,
(7)
wh) EU, (x(R-D),
k=1, ..., М,
(8)
х’ЕХ., MEX,
(9)
К многошаговым задачам оптимизации сводятся многие при-
кладные задачи.
Пример 1. Сформулировать следующую задачу в виде мно-
гошаговой задачи оптимизации (5)
— (9).
С помощью /ЛNo-ступенчатой ракеты с заданной стартовой мас-
сой М в космос запускается межпланетная станция массой т.
За время работы каждой ступени ракета получает добавочную
скорость Ауи=Р (у, 2), где у— масса, разгоняемая этой ступенью,
2— масса самой ступени. Найти такое распределение общей мас-
сы М ракеты между ее ступенями, при котором конечная скорость
станции будет махсьмальной,
«Я Обозначим и. #=1, ..., М, массу k-H ступени, считая от
межпланетной станции (г. е. на старте работает ступень массой
и\No, а в конце разгопа
— ступень массой м1).
Массу станции вместе с примыкающими к ней А ступенями
ракеты обозначим x'*), k=0, 1, ..., No. Тогда, очевидно,
ХИ=АЕ-ЮAyh),
k=l, bee, N;
хо—от, ЖА
=М-т.
Из условия задачи вытекают следующие ограничения на мас-
сыХЮии;тзж®Ю
< М--т, Оэзщ®
=М, т.е.
ЖЕХЬ=т; Мать k=l, ..., Nl,
uw EU, =[0; MI, k=1, .., N.
*) Символом ех\ мы будем обозначать минимум или макси-
мум соответствующей функции, в зависимости от смысла задачи.
Несмотря на то, что задачу на максимум целевой функции J
всегда можно свести к задаче минимизации— / —+ пп, мы будем
рассматривать и задачи на максимум, используя обозначение
] — шах, чтобы математические постановки этих задач соответ-
слвовали их прикладному смыслу.
4ПолпелАВПфимова.ч.4
97

В результате работы А-й ступени ракеты приращение скорости
станции составит F (x\F-), и®), поэтому ее конечная скорость
N
будет равна >, Fo(xtk-D, yh),
Е=1
Таким образом, рассматриваемую задачу можно сформули.
ровать как многошаговую. задачу оптимизации следующегс
вида:
N
J(x, и)= >, F (x(R~2), иш®)) — max,
k=1
AP) — x R-D 4 yh) k=1,,.., M,
xR) E[m; m+ M},
k=], ..., N—l,
и(®Е [0; М],
k=], ..., М,
0O—m, XM =Mtin. >
Сформулировать задачи 16.340
— 16.349 в виде много-
шаговых задач оптимизации вида (5)— (9).
16.340. Сумма средств © распределяется между No
предприятиями. Выделение fk-my предприятию средств в
размере и приносит доход А, (и), А=1, 2, ..., М. Опре-
делить, какое количество средств необходимо выделить
каждому предприятию, чтобы суммарный доход всех
предприятий был максимальным.
16.341. Сумма средств $ выделяется предприятию в
течение No лет. Прибыль, получаемая предприятием в ре-
зультате выделения ему средств и в течение А-го года,
составляет J,(u), R=1, ..., М. Распределить выде-
ляемые средства по годам таким образом, чтобы сум-
марная прибыль предприятия за М лет была максималь-
HOH.
|
16.342. Найти МNo неотрицательных чисел и®, А =
=], ..., ^, сумма которых равна’, а произведение
максимально.
16.343. Совхоз производит посевной материал. Еже-
годно часть семян продается потребителям, а оставшаяся
их часть используется для воспроизводства. Доход от
продажи ит семян составляет Р (и) руб. Количество по-
севного материала, оставленное в совхозе, в следующем
году увеличивается в А раз (А > 1). В начале первого
года имеется ат семян. В конце МNo-го года их производ-
ство прекращается. Сколько семенного материала следует
продавать каждый год, чтобы доход совхоза за М лет был
максимальным?
16.344. Рассмотреть задачу 16.343 в предположении,
что в конце МNo-го года производство семян не прекраща-
98

стся, и минимальное планируемое их количество к началу
(М 1)-го года составляет фт.
16.345. Планируется производство на двух предприя-
тиях в течение М лет. Начальные средства, предназна-
ченные для выделения предприятиям, составляют © руб.
Средства в размере И руб., вложенные в производство
на 1-м предприятии в начале каждого года, приносят к
концу этого года доход У, (и) руб., а также сумму [ (и),
оставляемую для финансирования дальнейшего производ-
ства, $=1, 2. [о истечении каждого года все предназна-
ченные для дальнейшего производства средства перерас-
пределяются между предприятиями.
Найти такой способ распределения средств предприя-
тиям, при котором суммарный доход двух предприятий
за No лет будет максимальным.
16.346. Оптовая база вмещает Рт продукции. Запасы
продукции могут пополняться и продаваться в начале
каждого из No месяцев, причем пополнение предшествует
продаже. Хранение 1 т продукции в течение k-ro месяца
обходится в ,`‘руб., а продажа того же ее количества в
начале No-го месяца приносит доход В, руб. Начальное ко-
личество продукции па базе составляет ат.
_
Определить количества продукции, которые в начале
каждого месяца следует принимать на хранение и про-
давать, чтобы суммарная прибыль базы за No месяцев
была максимальной.
16.347. Рассмотреть задачу 16.346 в предположении,
что в начале каждого месяца продажа продукции прел-
шествует ее пополнению.
N
16.348. F(u)= > F,(u)— min,
.
k=l
N
2 a,u” <b,
u®TM >0, wEZ, R=1, ..., N,
где а, >0, А=1, ..., М, 6—0 (сепарабельная!") задача
целочисленного программирования с одним линейным
ограничением).
n
1) Функция п переменных вида Ф (%1, зь»ь хи) = No, Mi (x;) на-
i=
зывается сепарабельной.
Если все функции, входящие в условие задачи математиче-
ского программирования, сепарабельны, то Такую задачу назы-
вают сепарабельной.
4»
99

N
16.349. F(z) = 2 F, (u®) — min,
k=
N
Zi iu <b;, i=l, ..., m,
u® >0, uEZ, k= 1, ..., N,
rye a;,, 9; 20, 1=1,..., m, R=, ..., NM (сепарабель-
ная задача целочисленного программирования с т линей-
ными ограничениями).
Для решения многошаговой задачи оптимизации (5)— (9) ис-
пользуется метод динамического программирования, основанный на
принципе оптимальности Беллмана:
Оптимальная траектория в задаче (5)— (9) обладает тем свой-
ством, что любая ее завершающая часть, начинающаяся с Е-го шага,
k=1, ...» М=]1, является оптимальной для остающихся шагов
процесса.
Опишем метод динамического программирования.
Заметим прежде всего, что в формулировке многошаговой за-
дачи оптимизации (5)— (9) ограничения на фазовую траекторию
(7) и на конечное состояние (9) можно включить в ограничения
на выбор управлений, заменив соотношения (7) и (8) следующим
эквивалентным ограничением:
ЕО, (8-1)
= {иВЕИ, | (х-5, и) ЕХ,},
(10)
k=1,..., N.
С учетом этого перепишем формулировку задачи (5)—(9) B
следующем виде:
N
J (x, w= Dy Ig (xk-Y, nw) — extr,
(11)
k=1
xh)= fi) (x(k-1), yi), k=1,..., N,
(12)
Ww EU, (xiF-D), k=], oes N,
(13)
KO EX.
(14)
Предположим, что в результате начальных &—1 шагов про-
цесс перешел в состояние х^-?. Рассмотрим задачу оптимизации
оставшихся М—--1 шагов, аналогичную задаче (11)
— (14). Пусть
оптимальное управление и* (А) ={и\®*, ..., и\No*} последних М—
—А--1 шагов и оптимальная траектория этих шагов х“(#) =
= {xik-), х®*, ‚,.., х М}, начатая из состояния х\^-No, найдены.
Целевая функция Г” (х (К), и (#)) =», Ji (xF-Y), ци) послед-
t=k
них Nek-+1 warop npu x(k) =x' (R), и (Е) =и* (Е) принимает оп-
тимальное (т. е. минимальное или максимальное) значенье, зави-
сящее от начального состояния х-No фазовой траектории этих
шагов, т. е.
extr (No (х (Е), и (Ё))
= J (4* (Rk), u* (R)) = Bp (x*-Y), — (15)
Функция В, (х®-1) из (15) называется функиней Беллмана
последних /М--А -- | шагов.
100

Очевидно,
Вм(хИ-Ъ) =
extr
м (мМ-У, Ww),
16)
N( )ем) No
)
(16)
Кроме того, функции Беллмана связаны между собой следующими
рекуррентными соотношениями, вытекающими из принципа опти-
мальности:
Вь (х#-5) =
extr
{Brat (fi) (x(k), wi*))) --
X
«еб, (*®-Ъ)
-- Ла (х-Ъ, ц®))},
R=1, .2., N—I,
(17)
Соотношения (16) и (17), позволяющие последовательно найти
функции Беллмана Вм (хМ\-5), Вм_1(мМ-3), ..,, Ву(ж®), назы-
ваются уравнениями Беллмана.
Находя функции В» (х#75), Е=М, М1, ..., 1, из (16)и (17),
мы одновременно определяем и управления 1®)* (х\®-\), которым
отвечают оптимальные значения соответствующих величин Ям=
= м (хУ-Ь yt) И бк = Вь+1 [о (ЖЕ-И, a®)) + J, (x(k-), ur),
k=N—1, N—2, ..5, 1, из правых частей равенств (16) и (17):
Вх ИО, щМ)*(М1)]=
Zy (x49, Ww) =By (xN-D), (18)
extr
WwW)ЕUn(eV~1)
7, x(k) UEV* (lk DY] x
== extr Zp (xiF-), WP)= By (xk~)),
(19)
a”6 Up (xk -Y)
k—N—I,
oeeyl.
Управления и“*”* (х®-1), Е=1,..., No, называются условными
оптимальными управлениями, а процесс их нахождения
— условной
оптимизацией. Отметим, что управления #«®* (х(-,), найденные
в соответствии с (19), удовлетворяют принципу оптимальности,
т. е. в зависимости от начального состояния ХА-Ъ управление
и (х-), Е=|,.... М—1 учитывает оптимизацию не только
&-го шага, но и следующих за ним М—Е шагов.
Итак, в результате условной оптимизации находятся функции
Беллмана B,(x‘*-)) и условные оптимальные управления
wih (x(k-D), Е=1, ..., М.
После этого можно осуществить безусловную оптимизацию
в задаче (11) —(14), т. е. определить искомые оптимальное управле-
ние процессом и*={и*,..., и‘ ^*} и оптимальную фазовую траек-
торию х*={х@)*,..., жМ*} следующим образом.
Так как функция Беллмана Вт (х®9)) для каждого начального
состояния х®ЕХ; равна оптимальному значению целевой функ-
ции М шагов, т. в. всего процесса, начатого из состояния х“®), то
оптимальное начальное условие х‘9”*Е Ху находим из соотношения
В1 (х0*)= extr By (xi)
(20)
x@X,
(если мпожество Хх из (14) еостоит из единственной точки х®, то
полагаем х“9)*
= x(0)),
101

Далее, используя найденные условные оптимальные управле-
ния, а также уравнения состояний (12), последовательно находим
BOE, (De Qe ih, цИ*, АМ)* из следующих соотношений:
п 5 И (х(0*), х0* — 1) (х®*, ца»),
$1(2)* — ц\2)* (x(4)*),
ain = fi) (xib* u\?)*),
(21)
©фофооо©#фоо
e
оофоо
ооо
М * — ця (М-Н), х(МNo)*— АМ) (x= 1), uN
,
Алгоритм метода динамического программирования.
Этап [ (условная оптимизация).
Шаг 1. Находим условное оптимальное управление #\/^*(х(No-1)
и функцию Беллмана Вм(х/\-1) в соответствии с (16), (18).
Шаг 2. Используя результаты первого шага, находим
ТТ) и Вм-1(х-2) с`помощью равенств (17) и (19) при
e
oe
7
e
e
®
e
e
e
e
Шаг М. Используя результаты (NoМ—1)-го шага, определяем
w)* (4) и В: (х9) в соответствии с (17) и (19) при А=1.
Этап П (безусловная оптимизация).
[Гаг 0. Находим оптимальное начальное состояние х«6)*в соот-
ветствии с (20).
Шаг 1. Определяем оптимальные управление и\1* и конечное
состояние х“* первого шага процесса по формулам (21).
Шаг 2. Используя результаты предыдущего шага, находим
u)* и х?)* в соответствии с (21).
eee°eeee
°e°eо®e°оee°®ofr@e
Шаг М. С помощью результатов (М —1)-го щага определяем
и No)* и мNo* по формулам (21).
Окончательно имеем (*={(и*, ..., щМNo*}, х* = {х0*, wy NAY,
Пример 2. Методом динамического программирования ре-
шить задачу из примера | со следующими исходными даниыми:
No =3, М =63, т=1, Е{у, z)=2/y.
@ Для указанных исходных данных многошаговая задача оптими-
зации примера 1 формулируется следующим образом:
3
LAA
ui)
J(x,i)=>)Rap 7тах,
k=1
д=(R-D
4 Yh), k=], 2, 3,
(22)
x) E[1; 64],
k=1, 2,
шт E[0; 63), k=1, 2, 3,
id)—l,
x)—64,
Определим множества 0, (х-И) из (10):
Ок (х*-5) ={и(ВЕЦО; 631 | х®-No-- РЕГ 1; 64]} =[0; 64—ж*-1],
Е —=1, 2, 3, так как Ж#-Ю> 1,
Проведем вычисления по методу динамического программиро-
вания в соответствии с описанным выше алгоритмом.
Этап [ (условная оптимизация).
3
Шаг 1. Из (16) находим Вз (*2))=
max al Так как
и е[0; 64-22] *
23 (8), и) =и 31 при всех М Е[ 1; 64] является возрастающей
102

функцией аргумента и, то ее максимум достигается при макси-
мально возможном значении ‘3, т. е.
#3" (х42)) = 64 — x2),
(23)
Тогда
64— xf
Bs (x6)= Z (x4), u9)* (x)))= — xe) °
(24)
Шаг 2. В соответствии с (17) при А=2 с учетом (24} в (22)
получаем
Bs (x)
64—x(U oy и
max
os
—_
y(1)
(2)
(1)
a)efo;64=D]
xи
х
Найдем точку максимума ?*(х@)) функции 2. (%0, uy?)=
64—И—ur?
yi?)
—хои
=
Для определения стационарных точек функции 25 (1, и)
решим уравнение
97. (ии
— (00)? — 64)
au
xD (x) yt?)
откуда получим
на отреэке [0; 64 —ж1] в зависимости от х(®.
=(0, xl) Е[0; 64— x,
u'?(xD), = 8 WVxD—xh
(25)
(ouesuano, wl? (x), E[0; 64—x], Tax kax x « 64).
Сравним значения фувкции, 22 (0%, и) в точке и?) (= из (25}
и на концах отрезка |0; 64—22]:
a) Za(x", O)=OE—1; 0 244%, 4-х) =0;
+)
_
_
8
в) 2 x), ul?) (xD =2( ———~—l1
Отсюда следует, что Zy (x),
—1)<7.(х0, 0)=
<< 2. (ЖИ, м2) ао) при ХЕ]1; 64] верьте. Поэтому
0% (хо)= и («о=8 УО до
(26}
и
8
В—1СТ=
—1).
Ba (xD)
=Za (x,ul)(x) (rz ')
(27)
Шаг 3. Учитывая равенства (27) и (22), из `(17) при #=1
получаем
(о
2
8
1\4 2°].
x'=
max
‹ Ы——
Как и на втором шаге, исследуя функцию 21(%%®, WW)=
Е
)
8
u
к
(1)
(a=Г)
на максимум по ШИ на отрезке
[0; 64—х:9] (проведите исследование самостоятельно!), получим
UM (47600) ee 4 (x1)2/7 x10),
(28)
By (4) = 12,(x)-?3,
(29)
103

Этап ИП (безусловная оптимизация).
Шаг 0. Так как множество Ху состоит из единственной точки
No0) =], то полагаем
х0*=1.
(30)
Шаг 1. Из формул (21) с учетом (28), (30) и (22) находим
yd)?= ylh* (1) = 3,
х(1% — x0) 111* —4,
Шаг 2. Аналогичным образом из формул (21), (26) и (22)
получаем
и—и*(4)=12, 2%—хи)=16,
Шаг 3. Используя равенства (21), (23) и (22), находим
и(9*— и (8) (16) = 48, х(3)* — х42)*| 113)* — 64.
Окончательно получаем и*={3, 12, 48}, х*={1, 4, 16, 64}.
Таким образом, массы верхней, средней и нижней ступеней ракеты
должны равняться соответственно 3, 12 и 48 единицам. При этом
межпланетная станция достигнет максимально возможной в данных
условиях скорости, равной В! (х(0)*) =9 единицам (см. формулы
(29), (30)). >
Задача, рассмотренная в примере 2, свелась к непрерысной
модели многошагового процесса оптимизации. В этой модели управ-
ления #1, векторы состояний хи другие величины могут не-
прерывно изменяться на соответствующих множествах.
Для многих экономических и производственных задач харак-
терной является дискретная модель, предполагающая, что величины,
описывающие процесс, могут принимать только дискретный ряд
значений. Функциональные зависимости в таких задачгх задаются,
как правило, в виде таблиц, а не аналитически. Однако общая
схема их решения методом динамического программирования
остается без изменений.
Пример 3. Общая сумма в 4 млн. руб. распределяется между
тремя предприятиями в количествах, кратных 1 млн. руб. В резуль-
тате выделения средств А-му предприятию в размере и оно дает
доход Ук (и), Е=1, 2, 3, величина которого может быть найдена
из таблицы 5.1.
Таблица 65.1
u
0
1
2
3
4
Л|о 5
9|
12
Ле(и) 0 4
8|1214
Уз(и) 0 7
9|10
у
Распределить средства между предприятиями так, чтобы их
суммарный доход был максимальным.
<& Обозначив средства, выделенные А-му предприятию (# == 1, 2, 3),
символом и®, а сумму средств, выделенных предприятиям с номе-
рами от | до No, символом No, сформулируем рассматриваемую
104

Задачу как многошаговую задачу оптимизации (11)
— (14):
3
У(х,и)=>, Ук(и)—max,
k=1
HF)=eRD Alh),
k=1, 2, 3,
k2
u'®) & [0; 4—x\k-)) 1 Z,
1, 2.3,
xO —=0, 9—4,
N
l
Для решения этой задачи применим метод динамического про-
грамми рования.
Этап Г[ (условная оптимизация).
Шаг 1. Найдем Вз(^2))=
тах
Уз (и‘3). Так как
u®e[0;4-x]qZ
функция 23 (х(2), ‘uS))= Js (u)) является возрастающей функцией
аргумента #3 (см. таблицу 5.1), то ее максимум достигается при
максимальном допустимом значении и“), т, е.
y3)* (х(2)) = [4—2] 1).
(31)
Отсюда Вз (х9) = 23 (х?, и (ж2))) = Г. ([4—2ж2)]). Значения
Bg (x), найденные с помощью таблицы 5.1 представлены в табли-
це 5.2.
Таблица 5.2
х(2)
0
1
2
3
4
Bg (x(?) И
10
|
9
71
Шаг 2. Вычислим
Во (x0) =
max
{Bs (x(t) -- и(2)) + Jo (u‘?))}.
и‘?в [0; 4-х] п 2
Для нахождения максимума функции 25 (х\%, и)= Bs (x + ul)
-- У) (“2”) составляем таблицу 5.3 значений этой функции, исполь-
зуя данные таблиц 5.1 и 5.2.
В таблице 5.3 рамками обведены максимальные по и“ зна-
чения функции 22(20, и), соответствующие различным зна-
yeHHsM x),
Используя таблицу 5.3 waxogum pyHKunn By (x) vw ul (x),
представив их значения в таблицах 5.4 и 5.3.
Шаг 3. Так как множество Х5 состоит из единственной точки
х(0) —=0, то найдем Только В+ (0) и и®* (0):
В: (0)=
тах
{Bq (O-- ul) + Jy (u)}.
и ео; 4ГП
Для определепия максимумав правой части последнего равенства
составим таблицу 5.6 значений функции 22 (0, и) =В» (и) Ут (и),
которые найдем с помощью таблиц 5.1 и 5.4.
Из таблицы 5.6 видно, что В1(0)=20, причем и * (0) =1 или
и(1)* (0) =2, т. е. в данной задаче существует два оптимальных
управления и две оптимальные траектории.
1) Напомним, что снмволом [4] обозначается целая часть числа а.
105

Е3
Таблица 5.
=”
и(2}
ха)
0
1
2
3
4
0
i
14
17
19| 14
1
10
13
45|
12
_
2
9
11|
8
_
_
3
7
4
_
_
_
4
0
—
—
_
_
Таблица 5.4
Таблица 5.5
x2) of 1{ 2]3]4
х(1)|о|13
Ba(x)|19 [15] 11] 7/10 ul|3|2 Го
Таблица 5.6
yd)
0
!
2
3
4
2,(0,и) 19
20|Г
19 12
Этап П (безусловпая оптимизация).
Шаг 1. а) Пусть и =1. Тогда ж0*
— х(0)*-1- 0%— ].
6) Пусть и *==2. Тогда х*:=5
440% 0 =.
Шаг 2. в: Для x@*e] имеем 12% = и * (1) =2 (см. табли-
цу 5.5}, x2)*—seo18}—3
6) Для xil*=
xist—afls Ц?ee3.
Шаг 3. Так как для обеих оптимальных фазовых траекторий
х?)* -=3, то из (31) находим и“ == и®* (3) =1, х8* = д-р
и4,
Окенчательно получаем и* ={1, 2, 1} или и*={2, 1, 1} и соот-
2 получаем 12%
— y2)* (2)=1 (см. таблицу 5.5),
ветственно x*={0, 1, 3, 4} или x* == {0, 2, 3, 4}.
Таким образом, существуют два оптимальных варианта рас.
пределения средств предприятиям:
J06

Первый варнант: нервому предприятию выделяется 1 млн. руб.
втарому —2 млн. руб. и третьему —1 млн. руб.;
Второй вариант: первому—2, второму— 1 и третьему| млн. рубу
В обоих случаях суммарный доход предприятий составит В} (©)=
— 20 млн. руб. }>
В условиях задачи 16.340 решить задачи 16.350 —16.358
об оптимальном распределении средств предприятиям с®
следующими исходными данными.
|
16.350. S=5 man. руб., М ==4. Средства предприятиям
распределяются в количествах, кратных 1 млн. руб. Функ.
ции /, (и), К==1,..., 4, заданы следующей таблицей:
(мл a руб.) 0
|
2
|
3
4
5
Jy4u)01,5о3,555|9
12)|03
4,5 5,5 6,5 7,5
Js(u) 0 4
5
5,5
6
9
Ча(и) 0 2
3
4
6,5|8
16.351. 5 =0 млн. руб., М=5. Средства распределяются
в количествах, кратных 1 млн. руб. Функции J, (u),
&—=1,..., 4, заданы таблицей из условия задачи 16.350,
а функция У, (и) —следующей таблицей:
и
(млн. руб.)
15(и)|0 3|4,5 6 7,5|3,5
0
1
2
3|4|5
16.352. 5 == 100 тыс. руб., М = 4. Средства каждому пред-
приятию выделяются в количествах, ‘кратных 25 тыб. руб.,
но не могут превосходить 50 тыс. руб. Функции ., (и),
k=1,...4, заданы следующей таблицей:
(тыс. руб.) 0 25
50
75
100
Kqw|o||м|20 28
J(u)
|
0|12|8
|
24 30
в(и)02
|
16
24
30
Та(и)|0812|6|247
107

В условиях задачи 16.34] ‘решить задачи 16.353 —
16.357 об оптимальном выделении средств предприятию
в течение No лет со следующими исходными данными.
16.353. э=500 тыс. руб., No =4. Средства, выделяемые
в течение каждого года, кратны 100 тыс. руб. Функции
У, (и) представлены в таблице.
(тыв. руб.) 0 100
200 | 300
400
600
Jj (u)
0
40
70
104
120
136
Ja(u)|0 50 80 96 112 124
Л.(и) 0 34 76 100 110 120
Ла(и) 0 60 90 100 110 136
16.354*. Найти решение задачи 16.353, если начальная
вумма S
а) уменьшена на 100 тыс. руб.;
6) увеличена на 100 тыс. руб. при следующих допол-
нительных данных о прибыли предприятия при выделе-
нии ему в течение А-го года средств в размере 600 тыс. руб.1
Rk
1
2
3
4
J» (600) 146 132 130 144
16.355, S= 400 тыс. руб., М =4. Выделяемые в течение
к-го года средства кратны 20 тыс. руб. и не могут пре-
восходить 200 тыс. руб. Функции J,(u) заданы таблицей
(тыв.руб.)| ©| 20 |140| 60| 80| 100| 120| 140| 160| 180| 200
Ут (и) @| 10120| 40| 100| 160| 180| 190| 200 |210| 215
Jo(u)|0|20] 40] 60} 80| 95|101 102|103|104|105
Jg(u) | 0| 5] 10] 15] 25| 37| 69| 140| 295| 280| 300
ли |0 |30| 68|95|140|160|170|175|176|177|178
16,356. © ==300 тыв. руб., М=3, функции J, (u), k=
=1, 2, 3, определяются следующим образом:
а) Ч: (и) == 1. (и) = У, (и) =10—10-7.(и—100):;
108

6) Л, (и)= 1. (и) = 24 — 6.10-* (и —200)?,
J, (u) = 16—4.10- “(и —200)?.
16.357. $ = 150 тыс. руб.,No =3, J; (и) =0, l2u, J,(u)=
= 0,0012u?, J,(u) =0,36u —0 0024u2.
16.358. Найти решение задачи 16.342, еслиМ =3, $=9.
16.359. Найти решение задачи 16. 342 с произвольными
исходными данными.
16.360. Найти решение задачи 16.343, если Р(и)= си,
c> 0.
16.361. Найти решение задачи 16.343 при следующих
исходных данных: РЁ (и) =0,1и?, A=5, a=4, N=3.
16.362. Найти решение ‘задачи 16. 344, если Ё(и)= си,
с>0, Аза> 6.
16.363. Найти решение задачи 16.344 при следующих
исходных данных: Ё (и) =0,1и?, A=5, a=4,b=5, N=3.
16.364. Найти решение задачи 16. 345 со следующими
исходными данными: М =4, $ = 200 тыс. руб., Ч; (и)=0,3и,
У, (и) =0,4и, | (и) =0,8и, (и) =0,би.
16.365. Найти решение задачи 16.345 при следующих
исходных данных: М =3, S=120 тыс. руб., [1 (и) =0,4ц,
р, (и) =0,би. Выделение средств предприятиям происходит
в количествах, кратных 20 тыс. руб., а функции Л, (и)
и У, (#) заданы следующей таблицей:
(тыс.руб.)| 0 20 40 6C 80 100| 120
Ji (u)
0
5
8
12
14
15
16
Ча и)
0
3
5
8
12
14
15
16.366. Найти решение задачи 16.346 со следующими
исходными данными: Р=10, М=4, а=0. Коэффициенты
a, Hp, R=l,..., 4, представлены в таблице:
k
1
2
hp
10
15
10
6
В
712
9
8
Считать, что к концу рассматриваемого периода база
должна быть освобождена от продукции.
Найти решение задачи 16.346 при следующих
12, М=4, а=5. Значения коэффи-
16.367.
исходных данных; Р=
109

циентов o@,, B,, R=1,..., 4, MPHBeeHbI B YCNOBHH 3aa-
чи 16.366.
|
Считать, что к концу рассматриваемого периода на базе
должно остаться 4 т продукции.
Используя результат решения задачи 16.349, решить за.
дачи целочисленного линейного программнрования 16.368—
16.371 методом динамического программирования.
16.368. F (2) = — 4u') —3u) — min,
4u+u2<10,
2u+3u?<8,
u, w®>0; uw, u® EZ.
16.369. Е (и) = —uTM —yu® — min,
uo <9.
оym+3u?=>5,
и, и®>0;и),и®ЕЯ.
16.370, Е (#) = —9uTM —11u — min,
uw) <5,
4u+3u<=10,
uD+I)<8,
u®, u® >0; uTM, ul? EZ.
16.371. Р(и) = — и? —2и® —3Зи® — min,
6a+4и®43и®<95,
5и--Зи --23)<15,
uTM >0; uwEZ, R=1, 2, 3.
16.372. Имеется 7т сырья, пригодного для производ-
ства’ изделий трех видов. Для изготовления одного изде-
лия каждого вида требуется соответственно |, 2 и Зтсырья.
Расходы У,(и) на производство и изделий А-го вида,
#=1, 2, 3, приведены в таблице (значения У, (0) характе-
ризуют штраф, выплачиваемый ‘в случае, если изделие
Ё-го вида не производится).
и
0
|
1
2
3
4
5
`6
7
Л,(и) 40 30|2|at{i7|14do
2
Jo(2) 55 ao|9 fa] eft
fe|_
лы ю |5 |5|-|-|-|-| _
Спланировать выпуск изделий так, чтобы затраты на
их производство были минимальны.
16.373. Судно грузоподъемностью 10т загружается кон-
тейнерами трех типов. Массы контейнеров различных типов
110

и стоимости грузов в них составляют соответственно 860 кг,
720 кг, 600 кг и 516 руб., 360 руб., 240 руб.
Найти количества контейнеров каждого типа, которые
необходимо загрузить, чтобы стоимость грузов на судне
была максимальной.
16.374. Имеется 9 однотипных станков, каждый из
которых можно наладить на производство изделий одного
из трех видов. Зависимость количества изделий каждого
вида, изготовленных за смену, от количества станков, за-
нятых для их производства, приведена в таблице.
Число станков
7
Bun
|>
изделия1с3456759
|
14182226
32
38
42
48
50
Ik
19182428
30
36
40
44
54
Ih
12202630
32
36
42
44. 50
Найти количества станков, которые необходимо исволь-
зовать для изготовления изделий каждого вида, чтобы
общее число произведенных изделий было максимальным.
$ 6. Вариационное исчисление
г. Предварительные сведения. Простейшая задача вариационного
исчисления. Существует ряд прикладных задач оптимизации, в кото-
рых качество выбранного решения не удается охарактеризовать
с помощью целевой функции. Числовой показатель качества в этих
задачах зависит от функции (а не от одной или нескольких пере-
менных), определить которую необходимо так, чтобы этот показа-
тель принял минимальное или максимальное значение. Числовыми
показателями в указанных задачах являются функционалы.
.
Определение. Если каждому элементу у=у(х) множест-
ва С из некоторого функционального пространства Х поставлено
в соответствие определенное число У, то говорят, что на множестве
Gc задан функционал У (и) =У [у (х)].
В качестве функциональных пространств Х в вариационном
исчислении используются пространства С„[а; 6], которые опре-
деляются следующим образом.
Линейное нормированное пространство Св [а; 8], п =0, 1,...,
состоит из функций и(х), имеющих на отрезке [а; 6] непрерывные
производные #/*(х) до п-го порядка включительно !), с нормой
Е—
R) (x) |.
NYUre 2 ,max [и (x)|
4) Под производной /® (х) нулевого порядка здесь понимается
сама функция у (х).
bil

Расстояние р (и{, у2) между функциями (кривыми) и (%) и у» (х)
в пространстве С» [а; 6] определяется формулой
п
`
(yi, ydn=llyi—Yyalln=D>, max |yf? (x)—ys? (x) |, n=0, 1,...
в =0ХЕ[а; 6]
Пусть функция y*(x)EC,[a; 6] и # > О— произвольное число.
Множество функций (кривых) и(х)ЕСь [а; 6], для которых выпол-
няется неравенство
ot
е (у*, У)" <ь,
называется 8-окрестностью п-го порядка кривой y* (x).
Говорят, что функционал У [и(х)] достигает на кривой и” (х)
локального или относительного минимума (максимума), если для
всех у(х) из некоторой г-окрестности кривой и*(х) выполняется
неравенство
Л[и*(х)]=ЛС) (J[y*(x)]=J[y(x)]).
(1)
Локальные минимумы и максимумы функционала / [и (х)] пазы-
ваются его локальными экстремумами.
Если (1) выполняется для всех кривых у(х), принадлежащих
некоторому множеству @ < С; [а; 6], то говорят, что на кривой у* (х)
достигается абсолютный экстремум функционала J [y (x)] Ha MHO-
*ecTBe G,
Пусть функционал J [y (x)] onpezenen Ha MHOmecTBe G CC, [a; 5}.
Функции у(х)ЕС можно рассматривать не только как элементы
пространства Ст[а; 8], но и как элементы Сь [а; 8]. Локальный
экстремум функционала У [и (х)] в пространстве Со [а; 6] называется
сильным, 8 в пространстве С [а; 6] —слабым локальным экстрему-
мом. Всякий сильный экстремум функционала является и слабым,
а обратное, вообще говоря, неверно.
Отметим, что всякий абсолютный экстремум функционала
У [и (х)] является сильным и слабым локальным экстремумом, но
не всякий локальный экстремум будет абсолютным.
Сформулируем простейшую задачу вариационного исчисления,
Пусть функция Р(х, у, 2) имеет непрерывные частные произ-
водные до второго порядка включительно по всем своим аргумен-
там. Требуется среди всех функций y(x) EC, [a; 68], удовлетворя-
ющих граничным условиям
у(а=у, у()=уь
(2)
найти ту функцию, на которой достигается слабый экстремум функ-
ционала
b
Пу =Ре у,У’)4.
(3)
a
Другими словами, простейшая задача вариационного исчисле-
ния состоит в отыскании на множестве всех гладких кривых, про-
ходящих через точки Мо (а, уо) и Мг (6, ул), той кривой, на которой
функционал (3) достигает слабого экстремума.
При решении простейшей задачи вариационного исчисления
используется следующая теорема,
Теорема 1, Для того чтобы функционал (3) достигал на функ-
ции у (х)Е Су [а; 6] слабого экстремума, необходимо, чтобы эта функ-
112

ция удезлетворяла уравнению Эйлера
а
Решения (интегральные кривыз®) уравнения (4) называтот экстре-
малями функционала (3).
Уравнение (4) в развернутом виде записывается следующим
образом:
у"(х)Ву НУ’(х)Poy+Fey—Ру=0.
Если Ру’у, 520, то оно представляет собой обыкновенное дифферен-
циальное уравнение второго порядка, поэтому его общее решение
зависит от двух произвольных постоянных, которые находятся
с помощью граничных условий (2).
Отметим, что так как всякий сильный экстремум функционала
является и слабым, то теорема | дает необходимое условие и силь-
ного экстремума функционала (3). |
Кроме того, так как абсолютный экстремум функционала (3)
на множестве
(= {у (*) ЕС: [а; 6] |у(а)=у, у=и}
(5)
является и локальным экстремумом (сильным и слабым), то тео-
рема | определяет необходимое условие абсолютного экстремума
функционала (3) на множестве (5).
Таким образом, решение краевой задачи
а
Е у—1
у (а) =у, у(6)=и
позволяет найти все кривые возможного экстремума функционала (3)
на множестве функций (5).
Пример 1. Найти гладкие экстремали функционала
1
Л[у(<)]=\(y" —12xy)de,
0
Fy, =0,
удовлетворяющие граничным условиям и (0) =0, иу(1) =1.
В данном случае Р(х, и, у’) =у”—12ху, поэтому уравнение
Эйлера (4) имеет вид иу”-- 6х =0. Его общее решение и (х)
=—x3+-
-- С1х-- С.. Из условий 400, у (1) =1 получаем систему урав-
нений для определения Су и С»:
y (1) =—14Ci+C2=1,
откуда находим С1=2, С. =0. Следовательно, в рассматриваемой
задаче существует единственная экстремаль и (х) = — 3--2х.
Решение задачи (6) существует не всегда, а если оно сущест-
вует, то может быть не единственным.
Пример 2, Найти гладкие экстремали функционала
2
Лу 1=|(2х—ух,
1
удовлетворяющие граничным условиям у (1) =], у(2) =3,
113

«@ Уравнение Эйлера имеет вид х— у=0. Так как функция и (х) =хХ
условию и (2) =3 не удовлетворяет, данная задача не имеет решений.
Пример 3. Найти гладкие экстремали функционала -
п
Пер} (ах,
0
удовлетворяющие граничным условиям и (0) =1, и(л)
= —1.
«& Уравнение Эйлера имеет вид у’ у=0, а его общее решение
y(x)=C,cosx+Czsinx.
Используя условия и (0} =1, у (пл)
= —1, находим у (х)
= с0$ х--
= С зшх, где С — произвольная постоянная.
Таким образом, данная задача имеет бесконечное множество
решений. No
В задачах 16.375—16.384 найти все экстремали функ-
ционала J(y), удовлетворяющие указанным граничным
условиям.
1
16.375. )=\( (y" + xy)dx; y(0)=y(1)=0.
0
16.376. J(y) = \ (4ycosxt+y"—y*)ах; у) =у(я)=0.
0
16.377. J (y) = § (@y—aty" )dx; y(1)=e, y(e)=0.
16.378. J(y)=\ (y+
yy’ + 12xy) dx; y(0)=y(1)=0.
v
e
y
.
C
e
O
C
O
D
O
e
y
16.379. J(y) = \ (e% + xy’)dx; y(0)=0, y(1)=1.
‚а
16.380. J(y)=\ (y +y?+ xy) dx; y(0)=y(1)=0.
16.381. J(y)= \ (y” +y?-+6ysh 2x) dx; y (0) =0, y(1)=1.
16.382. J (y)= f (y+
y?-+ 2ye*)dx; y(0)=0, у(1)=
0
In2
16.383. J(y)= | (y+ 3y*)e% de; y(0)=0, y(In2) =
0
b
16.384, J (y) = \ (y" + y*—4y sin x)dx; y(0) =0, y(b) =
0
114

Lew
16.385. Показать, что функционал [р (x)y’ +q(x)y+
-г(х)]ах,гдер(х)ЕС,[а;6],9(х),r(x)€С,[а;6],неимеет
экстремумов.
Уравнение Эйлера (4) не всегда интегрируется в квадратурах,
а в ряде случаев его решение может вызвать затруднения. Пере-
числнм частные случаи, в которых решение уравнения Эйлера
упрощается по сравнению с общим случаем.
1. Функция РЁ из (3) не зависит от и’, т. е. Е=Е(х, и). Урав-
нение (4) в этом случае принимает вид ЁР,(х, у) =0. Это конечное
(не дифференциальное) уравнение, его решение не содержит про-
извольных постоянных и, следовательно, удовлетворяет условиям
(2) только в исключительных случаях.
2. Функция РГ зависит только от у’; Е=Е (и’). Уравнение Эй-
лера принимает вид Ру, у’. и” =0, а его общее решение и (х) =С1х-| Со.
Таким образом, в данном случае экстремалями функционала J [y (x)]
являются всевозможные прямые,
3. Функция Ё не зависит от у, т. е. Е=Е(х, и’). Тогда урав-
пение (4) записывается в виде an Fy’ (х, у’) =0, откуда получаем
первый интеграл уравнения Эйлера РЁ, (х, у’) =Су, т. е. дифферен-
циальное уравнение первого порядка, решив которое, найдем экстре-
мали функционала.
4. Функция Е не зависит явно от х, т. е. Е=Р(у, и’). Урав-
нение Эйлера принимает вид РЕ, — Руу’ И’ — Ругу’/"=0 или (после
умножения обеих частей этого равенства на и’) ах (Е— Ру) =0,
откуда получаем первый интеграл уравнения Эйлера Е— у’Ру,= Ст.
Это дифференциальное уравнение первого порядка можно проин-
тегрировать, разрешив его относительно у’ и разделив переменные,
или путем введения параметра.
Найти экстремали следующих функционалов У(у),
удовлетворяющие указанным граничным условиям.
1
16.386. J(y) = | (Фе
—
у) ах; у(0)=1; у(р=е.
0
1
16.387. / (и) = ( (e*+¥—y—sin x) dx; y(0)=0, y(1) =—1.
0
1
16.388. J (y)
=| y" dx; y(0)=0, y(1)=1.
0
1 ____
16.389. по
ах у(—1) =0, у(1)=1.
~1
3/2
16.390. J(y)= | (y"
+ 2x) dx; y(0)=0, (5) =1.
0
115.

16.391. J(y)= \ (xy’+y") dx; y(—l1)=1, y(1)=0
1
}2
16.392. J(y)= | гта», n€N, nl; y(l)=—,
1
1
16.393. J (y)=\ y—y")dx; y (0)= (1) =0
т
18.394. Л(у)
= уу’ ах; у(0)=1, у)= 4.
и
16.395. 7(у)= [| буи") 48 y(0)=y (F) =0.
0
‚
В ряде случаев существование абсолютного экстремума функ-
ционала (3) на множестве функций (5) и его характер (минимум
или максимум) бывают очевидны из физических или геомет-
рических соображений. В таких случаях необходимое условие
экстремума, сформулированное в теореме |, позволяет найти функ-
цию у(х), дающую абсолютный минимум или максимум функцно-
налу (3) на множестве (5).
Пример 4. Найти гладкую кривую на плоскости, соединяю-
щую две данные точки Мо (а, А) и М; (6, В) и имеющую минималь-
ную длину.
@ Длина дуги гладкой кривой, описываемой уравнением y=y (x)
)
и проходящей через точки с абсциссами а и БВ, равна \ И пи? dx.
a
Поэтому данную задачу можно сформулировать следующим
образом: найти функцию у(х), минимизирующую функционал
b
Jiy@=\V ity?ae
(6)
a
и удовлетворяющую условиям у (а) =А, у (5) =В
Уравнение Эйлера для этой задачи имеет ВИД | y” (x) =0, откуда
y=Cyx+C,. Hatiga C; uw Cy 43 ycnoBult na функцию и(х) при х=а
3}—
и x=6, NoyYHM y (x)= Fa (x—a)-+A, T. e. HEOGXOZHMOe условне
экстремума функциопала (6) выполняется на прямой, соединяющей
точки Мои М1.
Из геометрических соображений ясно, что среди гладких крн-
вых, соединяющих даиные точки, кривая минимальной длины должна
существовать, а кривая максимальной длины — нет, Поэтому упо-
мянутая прямая и является искомой кривой. No
116

16.386. Материальная точка перемещается вдоль плоской
кривой и=и (х), соединяющей точки М, (а, А) и М; (5, В)
со скоростью о=риу’. Найти гладкую кривую, время дви-
жения вдоль которой из точки М, в точку М; будет мини-
мальным.
16.397. Решить задапу 16.396, если М,== (0, 0), М;=
= (1, 1), v=x.
16.398. Среди гладких кривых, соединяющих точки
М, (0, 1) и М; (1, 1), найти ту, которая при вращении
вокруг оси Ох образует поверхность наименьшей площади.
16.399**. Задача о брахистохроне. Найти гладкую кри-
вую, соединяющую точки М. (0, 0) и М; (ж, у), при ска-
тывании вдоль которой под действием силы тяжести мате-
риальная точка, зафиксированная первоначально в точке Мь,
переместится в точку М; за минимальное время (трением
и сопротивлением воздуха пренебречь).
2. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления.
Ниже рассмотрены два обобщения простейшей задачи вариацион-
ного исчисления. Первым из них является задача на экстремум
функционала . [у (х)], зависящего от производных высших поряд-
ков функции и (Х):
b
FIyOM=VF Gy OM soo yO de,
(7)
где функция Р(х, у, ..., И”)) имеет непрерывные частные произ-
водпые вплоть до (п--1)-го порядка по всем аргументам, а и (х)Е
ЕС [а; 6].
,
Граничные условия в этой задаче имеют вид
y(2)=yo, y)(a)=yh’, ene,и")(а)=yb”,
у(6)=и, и(5)=ут, в. (9)(6)=ит,
(8)
Приведем обобщение теоремы 1 применительно к рассматривае-
мой задаче.
Теорема 2. Для того чтобы функционал (Т) достигал на функ-
ции у (ЕС, [а; 6] локального экстремума, необходимо, чтобы эта
функция иудовлетворяла уравнению Эйлера
— Пуассона
а
qn
4?
|
Py
Рита Fyay eeeFI)" Ty Еп)=0,
(9)
Подобно случаю простейшей задачи вариационного исчисления,
решения уравнения (9) (экстремали функционала (7)), удовлетворяю-
щие граничным условиям (8), являются кривыми возможного абсо-
лютного экстремума этого функционала на множестве
(tt)
G= {y(x)EC, [a; В] [у(а)= у, вв в, И" (а)= 50; YlO)=Hi, oes
ве, И” (6) = у!"}.
117

Пример 5. Найти экстремали функционала
|
Ли («= \ (120хуи— у") ах,
0
удовлетворяющие граничным условиям
у(0)=у’(0)=0, ур=Ьу(0=6.
«$ Запишем уравнение Эйлера — Пуассона: 4) =120х. Его общее
решение и (х) = хз -|- СяхЗ -- С.х?-- Сзх-- Са. Отсюда с помощью гра-
ничных условий получаем систему уравнений для определения
востоянных Ст, ‚,,, Са:
С. =0,
Сз=0,
С1-- Со -- Сз- Са =0,
3C; + 2C,+C3=1,
из которой находим С1==1, С.= —1, Св=С. =0. Поэтому экстремум
функционала может достигаться на кривой и (х) = -- х8— 2.
В задачах 16.400—16.411] найти все экстремали функ-
ционала У/(у), удовлетворяющие указанным граничным
условиям.
1
16.400. J(y)=\ y"dx; у(0) =у(1)=у’(1)=0,
у" (0) =1.
9
1
16.401. J(y) = | (48y—y") de; y (0) =y" (0) =0, y (1) =1,
0
y’ (1) =4.
1
16.402. J (y) =| (y" —24xy) ах; y (0) =y' (0) =0, y(1) =
y’(I)=1.
m/2
16.403. J (y) = ) (y"—y")dx; y (0) =y' (0) =0, (F)=
==‚и(2)=).
6
16.404. J (y) =| Иа yO=y'0)=y(0)=
ws y’ (6) =0.
16,405. Jy) =| ety" dx; y(O)=0, y’ (O)=1, y(1) =e,
y!(1)=26 °
118

16.406. J (y)==f! yey" dx; y()=1, y 0)=—I,
yy —ytxdxs у(0)=Т, и’ (0) =
=y(F) =0, (5 = —},
“de; y (0)=y' (0)=y" (0) =0, y (1)=
16.407. J (y)=
16.408. J(y)=
=1, y'(I)=4, v=
16.409. J(y)= § (y"”"*—yTM) dx; y (0) =y" (0) =0, y' (0)=
y(1)=y" (1 )= sh
16.410. J y=\ YY") dx; yO) =¥' O)=¥" 0) =0,
y(1)=n, У =2, у(1)=O.
16.411. =" —y"")dx; y (0)=y' (0)= y" (0) =0,
у (л)= y" (nm) =sha, y’(a)=cha+1.
Другим обобщением простейшей вадачи вариационного исчис-
ления является задача об экстремуме функционала, зависящеРо OT
нескольких функций:
т
<
‚и (=.
J lyr (%), so) Yn (x)] =f F(x, yi (x), vos Yn (X)y 1 (%), vere Yn (X)) dx,
.
(10)
где функция ЁЕ(...) имеет непрерывные частные производные до
второго порядка включительно по всем своим аргументам и у, (х)&
EC, (a; bj, k=l,
п.
Граничные условия в этой задаче имеют вид
ув (а)= У), gp (Hy, R=L, oe, п.
(11)
Теорема 1 для данного случая обобщается следующим образом.
Теорема 3. Для того чтобы набор функций ит (х), ..., ин (х)&
ЕС: [а; В] доставлял слабый экстремум функционалу (10), необходи мо,
чтобы эти функции удовлетворяли сивтеме дифференциаль-
ных уравнений Эйлера
d
vpday=
R=), see, A.
(12)
119

Пример 6. Найти функции и! (х) и уз (Хх) ЕС, [а; 6], на кото-
рых может достигаться экстремум функционала
|
п/2
J(yi(x),yo(x))=\(ии
— луз) ах
0
при граничных условиях у; (0)= уг (0) =0, их (л{2)= у» (л/2) =1.
«$ Система уравнений Эйлера имеет вид
yi-+ yo=0,
yat yi =0.
Исключая из второго уравнения функцию у. =— и! получим
ys — yi =0. O6mee pellieHHe STOrO ypaBHeHHA HMeeT BHA yj (x) =
— С1е*-- С.е-*-- Сз со$ х-- С. зшох. Отсюда находим
Jo (x) = — у" (x) == — Cie¥ —Coe-*-+Cy cos x+C, Sin x.
Из граничных условий следует, что Cy=Cy=C3=0, C,=—1,
поэтому и (х) =зшх, y.(x)=sinx.
В задачах 16.412—16.419 найти функции и, (х) и у, (х) Е
ЕС:[а; 6], на которых может достигаться экстремум функ-
ционала У (у, у.) при указанных граничных условиях.
л/2
16.412. Лу, д= (бидав и(0) =
0
==у, (0) =0, у, (п/2) =1, у, (п/2)= —1.
1
16.413. J (ys, у.)= |) Yi+
ys —2yy,) ах; из (0) =, (0) =
0
==0, у:(1)=зВ1, у,(1)= — 61.
л/2
16.414. Л(у, и)= | (ууу) ах; 1 (0)= у, (0) =0,
0
Y; (1/2)= 1, y, (1/2) = —1.
16.415. Л(ут, yo) = | (yiys + ye) de yx (9) = y, (0) =90,
0
—
,
yi (1) =e, y2 (1) =1/e. |
16.416. (уз, у,)= \ (yigi + бин +1254.) 455 Ут (0) ==
= у,(0)=0, и(П=у, 0)=1.
16.417. J (yi, инд = (ays tye ди), у: (1) =1,
уз(1)=у, (3)=0, у;(3)
= ш3-1.
120

wt
16.418. J (ys, ys) = § (Ys? ys" + Qyiys + 2ys cos.x + Qyl) dx,
0
уз(0)=—1, у,(0)=у(п) =0, и;(л)=1-л.
16.419. J (yi, yo) = § (ys +-ys* +.2y,) dx, у: (0)= у, (0)= 1,
0
yi (1)= 3/2, y,(I)=1.
3. Задачи с подвижными границами. В задачах вариационного
исчисления с подвижными границами в отличие от ранее расбмот-
ренных задач граничные условия на функцию у(х), хЕ[а; $] на
концах отрезка [а; 6] не зафиксированы.
|
Простейшая задача вариационного исчисления с подвижными
границами состоит в определении функции у (х)Е С: [а; 6] и точен
Хо, М Е[а; 6], хо < хт, для которых функционал
No1
Jiy@=\ Fo yw y) ae
(13)
Xo
достигает слабого!) экстремума при условиях
у(Хо)=Фо(Хо),и(х1)=ф:(%1.
(14)
(Здесь Фо (х), $1(х)ЕС1[а; 8], Е(х, у, г)— заданные функции
и Р(х, у, 2) имеет непрерывные частные производные до BtOporo
порядка включительно по всем аргументам.)
Эту задачу можно сформулировать и следующим образом.
Пусть на плоскости заданы гладкие кривые Pj: у=Ффь (х) и у2: у =
== ф1 (х), хЕ[а; 6]. Требуется найти такую гладкую кривую у==й (х),
которая соединяет какуо-либо точку кривой 1 с какой-либо точкой
кривой ‘2 и доставляет слабый экстремум функционалу (13).
Приведем обобщение теоремы 1 для простейшей задачи вариа-
цонного исчисления с подвижными границами.
Теорема 4. Для того чтобы функционал (13) достигал на
функции у(х)Е Ст [а; 6] слабого экстремума при условиях (14), Необ-
ходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера
а
и условиям трансвереальности
[2+ (Ф— и’) Ви’ ==0,
[F+(gi—y’) Ру’ х=х, =0.
1) Напомпим, что слабым называется локальный экстремум
в пространстве С: [а; 6]. В задаче с ‘подвижными границами на
кривой у*(х) с абсциссами концов хо и х! функциопал (13) дости-
гает локального экстремума в Су[а; 6], если существует число
=> 0 такое, что для всех кривых и(х) ЕС [а; 6] и точек хз и Xj,
удовлетворяющих
неравенствам |/“— gl] < в, | xo — Xo| < &,
*
о
.
| x; — x1 | < в, справедливо У [и* (х)| < / [у (х)] (локальный минимум)
или У [и* (х)|= У [у (х)] (локальный максимум).
(15)
121

Таким образом, для определения экстремалей в простейшей
вадаче с подвижными границами необходимо найти общее решение
(х, Ст, СЗ) уравнения Эйлера, после чего из условий (15) и урав-
ений
у(Хо,Ci,С.)=Po(хо), у(хт,Ci,С?)—Ф1(Х1)
(16)
определить постоянные Ст и Сз и концы отрезка [хо; хи].
Если на одном из концов искомой кривой иу(х) задано обыч-
ное граничное условие (и (а) = ш или и(5) =и1), то условие транс-
версальности (15) следует записать только для другого конца
КРИВОЙ.
Частным слузаем задачи с подвижными границами является
вадача, в которой задана абсцисса одного из концов кривой и (х),
например х. =р, но граничное условие дяя х=ф отсутствует. Это
означает, что граничная точка (6, и (Ё)) кривой у(х) может пере-
мещалься по вертикальной прямой х=, и вместо второго условия
тТрансверсальности (15) следует записать естественное граничное
условие
[Ру х=ь=0.
(17)
Пример 7. Найти экстремали функционала в следующей за-
даче с подвижными границами:
x
лу= У ту ая ye)aet2, y(n.
Xo
«$ Так как функция Р (х, в, g}=Vi+y" зависит только от и’,
то общее решение уравнения Эйлера имеет вид
y (x) =Cix+Co.
(18)
Завишем условия трансверсальности (15):
ИТу*--ео | =(,
V i+y? Xa Xi,
V i4y* 41—#) у
—
|
т
V i+y? vex”
Из (18) находим У’ (хо) =’ (х1)
= Ст. Отсюда с учетом равенств
(16) получаем систему четырех уравнений для определения Ст, С»,
АоИА1
V1+С (2%—С!) O10,
1+}
V 14-4 4(1—C)) aso1
Суж +Co= Xi$2,
Cyx,+Co=x,
решив которую, находим С1= —1, С» == 1/4, х,==1/2, х, = 1118.
Следовательно, уравнение экстремали имеет вид 9(х) ==
11
11
as—XT, “=a: =o
,
Отметим, что функционал У [и (х)] в данной задаче с подвиж-
ными границами представляет собой длину дуги кривой между
122

TOUKAMH (Xo, Y(Xo)) WH (X1, И(х). Поэтому геометрический емысл
этой задачи состоит в определепии гладкой кривой минимальной
длины, соединяющей параболу у=л?--2 и прямую у=х. Найден-
ное решение позволяет определить расстояние $ между указанны-
11/8
ми параболой и прямой: $ = \ ИНЕТ = V2. >
1/2
Пример 8. Найти экстремали функционала в следующей за-
даче:
п/а
Пу = | (9—9) ах, у(0)=1.
0
«@ В этой задаче отсутствует граничное условие при х=л/4, сле»
довательно, правый конец кривой у(х) может перемещаться по
прямой х =л/4, и необходимо использовать естественное граничное
условие (17).
Уравнение Эйлера имеет вид /”-- у=0, а его общее решение
и (х)= С1 с0$ х+- Сэт х. Из условия и (0)=С:=1 находится во-
л
стоянная Су, а из условия (17) 29’ < =z — sin HC: 00s f=
= Q—noctoaHHan Co=1, откуда и (х) =<0$ х--5ш х. >
Найти экстремали функционала в следующих задачах
с подвижными границами.
16.420. Лу
= у” ах; y(0)=0, y(x)=—xy—l.
0
16.421. J(y)=\y" dx; y)=0, ylx,)=
0
16.422. 1yy=\V1 +y" dx; y(0)=0, y(x)=b,
0
1
2
1—2 *
16.423. У (у) = \ у! У“ ах; у(ж) =, ух) =х,Ь—5.
у,
16.424. J(y) =) (y—yTM) dx; у0)=0.
0
2
(y" —y?) dx; y (0) =0.
+ y) dx; y(1)=0.
Z
F
c
o
e
d
f
o
e
16,427, J(y) = \(y" +y?) dx; y(0)=0, y(x,)=1.
2
.
—
123

16.428. J (y) =) OE ae, у (0) =1, у(х)=ж-—1.
0
л/а
16.429; Л(у) =\\ (у"—у--4усозх)ах; y (0) =0.
К задачам вариационного“ исчисления с подвижными грани-
м относится и задача Больца, состоящая в определении функции
(x) EC; [a; 5], доставляющей слабый экстремум функционалу
b
Jy l=) F(x vy ydx+Fy@, yO)
(19)
a
где [(и, 0) заданная функция, имеющая непрерывные производ-
ныепонио.
Необходимое условие экстремума функционала (19) формули-
руется следующим образом.
Теорема 5. Для того чтобы функционал (19) достигал на
функции у (х) ЕС: [а; 6] слабого экстремума, необходимо, чтобы эта
функция удовлетворяла уравнению Эйлера
а
FyaРи=0
ци условиям трансверсальновти для задачи Больца
“a| [Pet aor|
Ри ———
0,Ри——
=0.
20
[2 ду(а) ка
Ти) x=b
(20)
Условия (20) используются для определения постоянных С1 и
С; из общего решения и(х, Ст, С2) уравнення Эйлера.
Пример 9. Найти экстремали функционала
m/2
Пи
=
|wy) dx 0)+24(4).
0
«& Уравнение Эйлера у”--у=0 имеет общее решение
y (x) =C, cos x-+-Cy sin x.
(21)
Записав условия трансверсальности (29)
[2-2] х=о==2 [-—-Ст шв х -- С» с03 х-- Су с0$ х -- С> $шх] „-6=
=2С1:--2С.=0,
Ру’ --2] „луз = 2 [—Ci sin x4+-Ce cos x-+ I), п»=—2С1-2 =0,
находим С:=1, С. =р—1. Таким образом, функция и (х) = с08 х—шх
является единственной кривой возможного экстремума функционала
(у (х)]. >
Найти экстремали следующих функционалов.
1
16,430, J(y) = \ y” dx + y? (0)— 2y? (1).
^
124
;

16.431. J(y)=\ (y”+ y?)dx—2sh1 y(l).
72
16.432. J(y)=
+ 2y (1)— у? (м).
16.433. J (y)
(y" +y?—4y
sinx)dx+2y?(0)+
‚<
4у’ узах- у (0) —8у (3).
w
e
e
!
и
й
.
.
|
=
>
p
e
a
n
C
f
=
:
Ф
е
т
.
S
o
t
a
.
e
e
16.434. J (y)= \ 2y’ (xy’ + y) dx + 3y? (1)—y? (e)—4 y (€).
16.435. J(y) =\e*t1(y” + 2y")dx+ 2y(1)(y(0)+1).
16.436. J (y)= \ e¥y” dx+ 4e¥ 4 32e-9 ,
16.437. J (y)= | (y"—y")dx-+y*0)—y" (>) +4( F >
4. Задачи на условный экстремум. Задачи вариационного ис-
числения, в которых на искомые функции накладываются, помимо
граничных условий, дополнительные ограничения, называются за
дачами на условный экстремум.
Рассмотрим следующую задачу об экстремуме функционала,
зависящего от нескольких функций,
b
Л [ил (х), ...› Уп (=| FG, Yi(X)> vver Yn (Hs YilX)s aver Yn (X)) ax
a
(22)
с граничными условиями
ye (a=ye’, Ye (d)=ye, R=L, wa, 0,
(23)
при дополнительных ограничениях, заданных уравнениями связи
Фи(Хх,У +..,У»У». У)=0, 1=1.., т,т<п.
(24)
Эта задача вариационного исчисления называется задачей Лаг-
ранжа.
Введем финкиию Лагранжа рассматриваемой задачи
L(x, uy, ооо; In ит, ооо, И, АТ, een. Nm) =
=f (Xx, ут вое, Yn, и, фев» уп)
т
+>,A;(x)7(x,ИТ,«40,GnYrseresyn)s
(25)
=1
где А; (х) ЕС, [а; 6] = произвольные функции (множители Лагранжа).
125

При решении задачи Лагранжа используется следующее необ-
ходимое условие экстремума функционала (22).
Теорема 61). Если функции и. (х), ..., ип (х) доставляют
слабый экстремум фиункционалу (22) при условиях (24), (25), то су-
пествуют множители Лагранжа А; (х), &=1, ..., т, при которых
эти функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера
а
а
=,
k=1, eens ТП,
(26)
b
записанных для функционала I (yt, 6+) Yn = ( Lax.
a
С помощью теоремы 6 решение задачи об условном экстремуме
функционала У (иг, ..., Ип) сводится к исследованию экстремума
функционала / (уг, ..., Из) без дополнительных условий (24).
При использовании теоремы 6 для решения задачи Лагранжа
яскомые функции у» (х), Е=|, ..., п, и множители Лагранжа
Л: (х), 1=1, ..., т, определяются из системы п-т уравнений (26)
н (24).
Пример 10. Найти функции и, (х), у.о (х), на которых может
лостигаться экстремум функционала У (ут, ye) в следующей задаче
Лагранжа:
1‚2‚2
J(yi, у)= | (и -Ни> )dx;
0
ут (0)= у» (0) =0, gi (1)=2chl. y2(1)=2 sh];
Yim Ya=0.
,;
«4 Функция Лагранжа данной задачи имеет вид [= +y, +
ЧА (у1— уг). Для определения функций их (х), Уз (х) и А(х) запн-
шем систему, состоящую из уравнений Эйлера (26) и уравнения
Связи:
,
2yi+A’ =0,
2y2-+rA=0,
yi —-hL= 0.
Исключая из этой системы сначала функцию A(x), a3atTem yy (x),
получим И,” -=»у, =0. Обозначим у, буквой 2, тогда 2 -—г==0,
Общее решение этого уравнения г (х) = Сте*-- Сзе“*. Отсюда после-
довательно находим
|
Из (Х) = ( 2 (x) dx = Cyje*% —Cyoe~* +-Cg,
yi(x)=(Yo(x)dx=Cye*4+Coe*+Cax+Cy.
Для определения постоянпых Ст, ..,, С4 из граничных усло-
вий получаем следующую систему уравнений:
yi (0) =Ci-+C.+Cy=0,
Уз (0) =Cij—C.,+C,=0,
yz (1) = Cye-+ Coe~4-+ C3-4+Cy=2ch],
уз '1} = Се Се --С,=2 511,
1) Эта теорема обобщает соответствующий результат для задачи
на условный экстремум функции п переменных (см, т, I, стр. 363)
(26

откуда находим С1=С›=1, Сз=С,=0, т. е. в данной задаче функ-
ционал У {/1, ИУ2) может достигать экстремума при и1 (х) =ех
-- е-Х==
== 2 сх, yo=er—e-*=2shxr.
Найти функции 4, (х), и,(х), на которых может дости-
гаться экстремум функционала J (y;, y,) B следующих
задачах Лагранжа. л/2
16.438. (у, у)= | (ИИ
и’ и' +008) 4%;
|
Yi(0)=Y,(0)=yi(1/2)—I, Y,(1/2)=—1;
Yi,— Ye— Sinx=0.
1
16.439. (у у) = (иг ие +) ах;
0
Y (0)=—2, Y2(0)= 1,у:(1) =—e7}, у. (1)=0;
и—у=0.
1
16.440. J (yr, y.)= J (yr tus +49) dx;
0
nA(D=y,(=2, ¥,()=y(l)=1s
Yy,— 2y, + 3x =0.
1
16.441. J(y,, y,)=§ (ys tye +1) dx;
0
и:(0)=y,(0)=y,(1)=0,у,(1)=23
Yity,—2x? =0.
1
16.442. J (ys, Yo) = (yi +9) dx,
0
-
у:(0)=и,(1)=0,и,(0)=у:(1)=1,
Yi—Ya=0.
16.443. J (ys, ys) = (ие) ах;
ы
0
.
у(0)=у,(0)=и,(л)=0,у,(л)=л/2;
и— у,--с0$Х=0.
л/2
16.444. Л(у, уд = \ (y+
y" + Quy.) Ox
0
y,(0)=1, y,(0)=—l, vwi(s)aptl
л
m4,
ь(5)=-в
уи-и:—4х=0.
127

16.445. J (yi, y2)= \ (и у, у.) ах;
и: (а)= у, у, (@=и», и, (=, у, (6)= у’;
ину. —1=0.
Задача на условный экстремум функционала {22) с гранич-
ными условиями (23) при дополнительных условиях
b
(Fite, Yis BO by Uns Yiy ooo yn) dx = Cy, i=l,
ene, т 1),
(27)!
a
называется изопериметрической задачей.
Функция Лагранжа данной задачи имеет вид
E (x, Yi, oses Yn, и, ene, Уп, АТ, козу Ат) =
т
F(X, Yin ces Yn» Yio very Уп)-- a NiFi (Xs Yt, veer Yn: Yi, Coo Yn)s
i=]
(28)
где множителями Лагранжа А;, i=1, ..., m, являются произволь-
ные вещественные числа.
При решении изопериметрической задачи используется сле-
дующее необходимое условие экстремума, подобное условию, сфор-
мулированному в теореме 6 для задачи Лагранжа.
Теорема 7. Если функции и! (Хх), ..., ув (Х) доставляют сла-
бый экстремум функционалу (22) при условиях (23), (27), то сущест-
вуют числа М, ..., Ав (множители Лагранжа), при которых эти
функции удовлетворяют системе уравнений Эйлера
а-
Lyayby=O, R=Lwm
(29)
где [—функция Лагранжа (28).
При использовании теоремы 7 для решения изопериметриче-
ской задачи функции у, (х), R=1, ..., п, и множители Лагранжа
А, ${=1|, ..., т, находятся из системы п-- т уравнений (29)и (27).
Пример 11. Найти функцию у(х), на которой может дости-
гаться экстремум функционала У (у} в следующей изопериметри-
ческой задаче:
л
У(и)=| у"?dx;
0
It—e
п
у (0) =1, у(л) =—1; (усов хах = a
0
«$ Функция Лагранжа данной задачи имеет вид [=и’?--Лу с0$ х.
Из уравнения Эйлера А, с0$ х—-2у" =0 находим и (х) = — 5 COs х--
1) В данном случае, в отличие от задачи Лагранжа, число до-
полнительных ограничений не ограничивается условием т < п.
128

-- С1я--С.. Для. определения множителя Лагранжа А используем
п
дополнительное условие \ ( —> cos x4-Cyx +0,) cos x dx
0
=F А, —2С1 = > ‚ откуда находим А 2—2 С. Таким обра-
зом, общее решение уравнения Эйлера имеет вид у(х)==с08х +
+=4 C; cos Хх С1х-- С..
"Постоянные Ст и Сз определяем из граничных условий у (0) =
1+2 СЕ С: =1,
=—1+(я=—т) Cy+Cy=—Il, — Откуда
Ст == С. —=0.
о
:
Итак, функционал У(у) может достигать экстремума при
у(Хх)=с05Хх. }
Найти функции, на которых может достигаться экст-
ремум функционала У (у:, ..., И,) в следующих изопери-
метрических задачах.
|
|
1
16.446. Л(у)
= y"dx;
0
1
y(0)=0, y(1)=1; J xydx=0.
27.
1
16.447, J(y)
=\y"dx;
°
1
1
y(0)=y(1)=0; | ydv=1, | xydx=0.
0
0
at
16.448. Л(у)
= y"dx;
°
л
и (0) =0, и(л) =1; узшхах=0.
0
Л
16.449. / (у) = } узшхах;
0
72
38
и(0)=0, у(л)=я Ny 4 = п.
16.450. / (и) = ( (yTM"+ уз) ах;
1
у (0) =0, и(1) =е-1; \е-*у dx =1(1—3e-9.
5 Под ред. А. В. Ефимова, ч. 4
129

=
16.451, J (1 ys) =f yiyi de;
Ул (0)=у, (0) = у:(1) =0, у,(1) =1;
1
(ик, би, ах =0.
0
0
©
_ 16.452. Л (ул, =) (yi ty.) dx;
1 0)= 04 0) ==0, yi(Ij=1, y, (I)=—3;
(Yiy,dx=0.
1
16.453. 1 (уг, у,) = ( узи» Ах;
0
1
ys (0) = y,(0)=y,(1)=0, y,(1)=1; | xy,dx=0,
1
(ху.ах=0.
0
1
16.454. J (yi, y)= J (yr + 9s") ax;
.
0
1
y: (0) = y,(0)=yi(1)=42
(1) =0; | y.y,de=—2.
16.455. J (yz, 4)= | x (yi—y,) dx;
0
I(1)=Y2(0)=у»(1)=0,y,(1)=2;
—
—
-
ы
ы
>
.
<
|
e
n
|
5. Прямые методы вариационного исчисления. Обычные методы
вариациопного исчисления, при использовании которых задана
минимизации функционала сводится к интегрированию уравнений
Эйлера-— Лагранжа, как правило, приводят к трудоемким вычис-
лениям и поэтому являются малоэффективными. Приближенные
численные методы, дающие непосредственное решение вариацион-
ной задачи, называются прямыми методами вариационного исчис-
ления. Основная идея прямых методов заключается в том, что
вариационная задача рассматривается как предельная для неко-
торой задачи на экстремум функции конечного числа переменных.
130

Наиболее известными среди них являются методы Ритца, Канто-
ровича и Галёркина. Следует отметить, что прямые методы BapHa-
ционного исчисления являются также я приближенными методами
решения краевых задач дифференциальных уравнений.
Метод Ритца. Пусть требуется найти минимум функцио-
нала
6
(= \ Р (х, ods, у(а=у, 9Ф=и. = (90)
Идея метода Ритца состоит в том, что значения функционала
У (у) рассматриваются не на произвольных допустимых кривых
вариационной задачи (30), а лишь на ‘всевозможных линейных
комбинациях вида
gn(x)=o (x)+No,С:(х),
(31)
{=1
где фо (4) =95, Фо (6) =и: и ф:(х) —последовательность линейно
независимых функций, причем ф; (а) =Ф; (6) =0, {=1,9, .,., п.
Эти функции называются координатчыми.
На функциях вида (31) функционал (30) превращается в функ-
цию, зависящую от п переменных Су, Сз, ‹›,›, Си:
/ (уп (х)) =Ф (Ст, Сь, ‹..› Си).
Значения С1, С», .... С» выбираются так, чтобы функция
Ф (Ст, С», ..., Св) достигала экстремума, т. е. Су, Сз, ‹.›ь Си оП-
ределяются из системы уравнений
aw5,70 i=l, 2, ..., a.
(32)
При найденных из системы (32) значениях Cr, t=1, 2, seo, ЛП,
приближенное решение вариационной задачи (30) запишется в виде
yn(x)=Po(x)4-DyCri(x).
(33)
t=l
Вопросы сходимости минимизирующей последователь пости
[ил (х), пЕМ} являются сложными. Они изучаются в специальной
литературе. Для оценки точности результатов, полученных мето-
дом Ритца или другими прямыми методами, обычно пользуются
следующим практическим правилом. Вычислив On (x) и Yn+1 (x),
сравнивают их между собой в нескольких точках отрезка [а, 6].
Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то
считают, что с требуемой точностью решение рассматриваемой ва-
риационной задачи (30) равно ул (х). Если же значения ул (х)и
уп+т (Хх) хотя бы в некоторых из выбранных точек отличаются
значительно, то вычисляют 9л+2 (х) и сравнивают теперь значения
Упал (Х) и ил+> (х). Этот процесс продолжается до тех пор, пока
значения улук (х) И улик: (Х) не совпадут в пределах заданной точ-
НОСТИ.
5*
131

Пример 12. Найти экстремаль функционала
;
9(у)=((y*++y?+2xy)dx
(34)
0
при граничных уеловияя я (0) =0, у (1)=0 методом Ритца.
«$ Полагаем фо (х) =0. В качестве координатных функций выби-
раем фр (х) =хй+1-=х*, КЕМ. Эти функции удовлетворяют гранич*
вым условиям Фр (0) =» (1) =0. Выберем п=2. Тогда в соответ-
ствии @ (33)
Ha(x)=С:(хх)+Сь(х3=>х?)
(35)
и
yo (x)= Cy (2x1) + Ce (3x?— 2).
(36)
‘После подстановки (35) и (36) в (34) и интегрирования получим
|
MW.» ,
1. |1
1_-
Ф(С,С)= (4<)=56СЕ 56С1б»-7С:—EFCi—7HCw
Воспользовавшись необходимыми условиямн экстремума функции
Ф (С;, С.), находим
ОФ1
11
|
Cy15 E358G=O
0Noi2eoto
en
ac, 30117“ 10 °°
Решая систему (37), получим С! = 69/473, С. =7/43. Следова-
тельно, приближенное выражение уз (х) для экстремали у (х) имеет
ВИД
69
1
.
7
уз(х) 173(х2==X) 45(x3—x*) 473(77х3—8х?—69x).
В данном случае существует точное решение поставленпиой
вадачи:
B(x)
=Sz ieee*)—x.
Сравним полученное методом Ритца приближенное решение y2 (x)
и точное при некоторых значениях аргумента:
x
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Y (x) 0,0000 |—0,0287 | —0,0505 | —0,0583 | —0,0444| 0,0000
уз (х | 0,0000 |—0,0285| —0,0506 | —0,0585 | —0.0442| 0,0000
Сравнение показывает, что точное и приближенное решения
совпадают с точностью до 0,0002. >
|
В вадачах 16.456 —16.460 методом Ритца найти приближенное
‘решение задачи об экстремуме указанных функционалов.
132

2
|
Е:
16.456*. J [и (х)] =) (y" +y%+ 2xy) dx, y(0)=y(2)=0,
n= 2,
у) 4х,
|
“y)=9=0, п=2.
16.458*. J [y(x)]= \ (изу) ах, y(0)=y(1)=0,
п=2.
16.459*. Л [и (х, =) ((.5= + (5. ) ax dy,
D={(x, y)|x>0, y>0, ху < 1}, иг, = х*- у, п=3.
16.460*. [и (х, и =(\ (32) + (24) 20) aay,
,
|
16.457*. J [y(x)]= (
ду
В={{х, у)|1-2<х5<2, —2<у<?}, иг, =0, п=2.
16.461. Найти методом Ритца приближенное ретиение
дифференциального уравнения y" +x*7y=x, y(0)=y(1)=
Определить и! (х) и ts (x) и сравнить их значения в TOM
ках х=0,25 и х=
Метод Канторовича. Этот метод применяется для приближен
ного решения вариационной задачи, когда функционал зависит
от функции нескольких переменных. Пусть
Ли(х,n=(fF(x,у,и,= Se)dedy, (38)
D
Р={(х, у|азхж<Ь, а! (х) ужа: (х)}, “г, =1р(х, и).
При применении метода Ритца к функционалу (38) (см. за-
дачи 16.459 —16.460) выбирается следующая система координат-
ных функций: фо (х, и), фу (х, И, ‹.., Фп(х, и). Решение ищется
в виде
Un(x,у)=Фо(x,у) 2СеФь(х, у),
k=
где С, — неизвестные постоянные. В методе Канторовича выраже-
ние для экстремали берется в виде
ив(х,у)=aца(х)Фе(х,И),
(39)
где ик (х) — неизвестные функции, определяемые таким образом,
чтобы функционал (38) достигал экстремального значения. Отыс-
кание решения в виде (39) позволяет расширить класс экстремалей.
Ah 83

После подстановки (39) в (38) и ивтегрирования полученного
выражения по у получается следующий функционал:
b
Jlun(x, =f ® (x, Uj(X), seer Un (x), и (*), ..., Un (x))dx.
a
Фувкции Up (х), К=1, 2, ,.., п, должны удовлетворять системе
уравнений Эйлера
— Лагранжа
O,.— 7, 0,» =0, k=l, 2, ooo, M,
и, ах
я приближенное решениеил (х, у) вида (39) —заданным гранич-
вым условиям на прямых х=а и х=6.
ример 13. Методом Канторовича найти экстремаль функ-
ционала hue
au \*, [au \4_
и ((ах)+(бу) 2иdxdg, (40)
где D={(x, y)|—-a<xxaia, —bay<d}, “г, =0, n=].
Решение будем искать в виде
Uy(x,у=и!(х)(62
— у?).
Граничные условия на прямых у+ 6 выполняются. После под-
становки из (х, у) в (40) и интегрирования по у получаем
а
- 116
.
У[ил(х)]=i(5ит"4=Bui—зе)ах.
Уравнение Эйлера для этого функционала имеет вид
”
о
5
Ui(X)—sya= Ч.
Находим общее решение этого уравнения:
uz(x)=C;chV2,5=+0,shУ2,5=40,5.
Постоянные Ср и С. определяем из граничных условий, т. е.
*
*
—- qa \~4
и1(—а)=и1(а}=0, откуда Сз=0и С!=-(2chV2.55) .
Окончательно получаем следующее приближенное выражение
для экстремали функционала (40):
ch V2,5 =
ul (x, y) =u (x) (24?) =0,5 (b2—y2) (1 —-——___>
ch V2,5 +
В задачах 16.462 и 16.463 найти приближенное ре-
шение методом Канторовича. Положить п==1.
134

16.462*. J[u(x, у = (\(uv+07, —2u)dxdy, где р=
р
= {(х, Ух< 1, |у|< 1}, иг =0.
„а
„8
16.463*. J[u(x, y)|= С (yy + Uyy— 2xy) ах аи, где О =
р
= {(х, у) 10х51, О<у< 1}, ше =0.
Метод Галёркина. Этот ` метод применяется для отыс-
кания приближенных решений как вариационных задач, так и
краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
и уравнений в частных производных, в частности, уравнений
Эйлера — Лагранжа.
[усть неизвестная функция и (Р) удовлетворяет в некоторой
области Р следующей краевой задаче:
L(u(P))=f(P), PEG,
Г (и (Р)) =0 на \ (ур—граница С).
Здесь [.-—некоторый линейный дифференциальный оператор, Г —
линейный оператор граничных условий. Приближенное решение
краевой задачи (41) ищется в виде суммы
un(P)= », скть (Р),
k=l
где сх — неопределенные коэффициенты, фк (Р)— система линейно
независимых непрерывно дифференцируемых функций, удовлетво-
ряющих однородным краевым условиям. Обозначим 6/ невязку
Of =L (un (P))—F(P).
Коэффициенты с» определяются из условия ортогональности в 06-
ласти О невязки 6{ к функциям ф»(Р), &=1, 2, ..., п:
11. (шо (Ру) — (РУ фк (РуЧР =0, 51,2, .. п. (42)
р
Так как оператор Ё линеен, то (42) запишется в каноническом
виде, удобном для вычислений су:
Хе (ФЕ (Р)) Фа (Р)4Р = ( Г(Р) Фь(Р) ЧР,
[=@
G
или в виде
Ха|К(Р)чи(РуЧР=|Г(Р)Фь(Р)ЧР,
i=! GC
G
rae fj (P)
= L (9; (P)).
Замечание, Можно использовать ортогональность невязки
к другой линейно независимой системе фуякций ф,(Р) выбирае-
мой из удобства вычислений получаемых интегралов (см. решение
примера 14).
135

Пример 14, Найти экстремаль функционала
1
J (y=) (ym 2xy) dx
0
при гравичных условиях п (0) =0, у (1) =0.
«$ Составив уравнение Эйлера Ру — 1: Ру, =О имеем
а
Гу=|(х), т.е. у’=-—х.
(43)
Краевые условия остаются прежними: п(0) =0, у(1) =0. Исходная
задача сводится к эквивалентной краевой задаче:
= —х, у (0) ==0, иу(1)=0.
Решение будем искать приближенно методом Галёркина, записы-
вая искомую функцию в виде
у(х)=х(1-х)(А-Вх)=Ax(lex)+Вх?(1—х),
(44)
rye pj (x) =x (lx) W Qe (x) = x7 (1—x). Вычисляя у” и подставляя
в левую часть уравнения (43), запишем выражение для невязки O:
Sf =—2A+B (2—6x)-+x.
Вместо условий ортогональности невязки 6{ к функциям qy (x) A
Po (x) коэффициенты А и В определены из условия ортогональ-
ностиOfKфункциям а(х)=1 и12(х)=х (функции Ч(х)HYe(x)
линейно независимы на [0, 1] с фи: (*) и Ge (x):
1
|
|
А\—2dx+B\(2—5х)dx=—(xdx,
0
0
!
1
1
(49)
A(—2хах--В((2-—6x)xdx=—|x?dx.
0
0
0
Вычисляя интегралы в (46), получим систему уравнеинй
2А--
В=1/2,
A+Be1/3.
Решая эту систему относительно А и В, получим
A=1/6, B=I/6.
Подставив найденные коэффициенты А, В в формулу (44), найдем
искомое приближение для экстремали:
*a_Io,
_ x (1—x?*)
y*(x) g*Ul хи
==.
Заметим, что в данной задаче найденное приближение совпадает
с точным решением y7=x(1—x?)/6. D>
Методом Галёркина найти решение следующих вариа-
ционных задач. Ограничиться приближениями искомой
136

экстремали в виде
У» (х) = (X) (Gy ах ам -... аи^”),
re p(x) выбирается из условия выполнения граничных
условий, а п= 1. 2
16.464. / (у)= | (xy’+-y")dx, y(0)=0, y(2)=0.
©
1
16.465. J (y) = | (y2-+y"—2y sin x) dx, y (0)=0, у(1)=0.
0
1
16.466. I (y)= (y2+y"+2ye*)dx, y(0)=0, y(1)=0.
0
16.467. Составить на фортране подпрограмму-функцию
для вычисления функций Ф,.:(х)=Ф(х)х", А=0, 1,...
..., п], ИСПОоЛЬЗУуемых при решении задач 16.464—
16.466. В качестве параметров выбрать ЕТК — идентифи-
катор подпрограммы-функции, Х— аргумент функции,
параметр К на единицу меньше номера функции.
_
16.468*. Составить подпрограмму-функцию для вычис-
ления функций {»(х) в задачах 16.464 —16.466. В каче-
стве параметров выбрать ЕК — идентификатор подпрограм-
мы-функции, Х —аргумент функции, п=3.
16.469. Используя формулу Симпсона, составить под-
программу-функцию для вычисления интегралов
\ (x) f,(x)dx, k, j=1, 2, ..., m. B kauecTBe mapamer-
ров взять А, В—начало и конец отрезка интегрирования,
Е1, ЕТ— идентификаторы соответствующих функций, К на
единицу меньше номера функции, ЕР$ — абсолютная по-
грешность вычислений.
16.470*. Составить на фортране подпрограмму реше-
ния задач 16.464 —16.466, используя подпрограммы, по-
лученные при решении задач 16.467— 16.469, а также
подпрограмму решения системы линейных уравнений ме-
тодом Жордана— Гаусса, выбирая при этом для y,(x)
порядок п=4, ЕР$ =0,05.

Глава 17
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
$ 1. Основные задачи и уравнения математической
физики
°
1. Вывод уравнений и постановка задач математической физики.
Многие задачи механики, физики, ‘широкий круг инженерно-техни-
ческих задач приводят к исследованию дифференциальных урав-
нений с частными производными второго порядка, являющихся
частным случаем так называемых уравнений математической фи-
зики.
Их вывод опирается на механические или физические законы.
Из всего многообразия таких задач мы ограничимся лишь не-
сколькими простейшими, иллюстрирующими некоторые методы
построения математических моделей реальных физических или ме-
ханических процессов.
Пример 1. Вывести уравнение распространения тепла в
изотропном твердом теле.
«@ Обозначим температуру тела в точке М (х, у, 2) в момент вре-
мени # символом и (х, у, 2, #. Как известно, в теле происходит
движение тепла от более нагретых частей к менее нагретым.
В теории теплопроводности принято, что количество тепла АО,
проходящего через некоторый элемент новерхности Аб, лежащий
внутри данного тела, пропорционально АПАДЁ, где АП
— поток век-
тора огаи через элемент Ао, т. е.
AQ = АПДЕ.
(1)
Snech R=R(x, y, 2) —KoOIPPnUHeHT TeENMONPOBOAHOCTH тела.
Выделим внутри тела произвольный объем У, ограниченный
гладкой замкнутой поверхностью Х, и составим уравнение тепло-
вого баланса для выделенного объема. Пусть @, — количество
тепла, входящего в У через поверхность Х за промежуток време-
ни (1, Ё+- АВ. Тогда из (1) следует, что
a= hh k(M) gradu, do) At.
х
Обозначим Оз количество тепла, выделяемого или поглощаемого
в объеме У за промежуток (Ё, 1-Е АР вследствие имеющихся в
этом объеме источников (или стоков), плотность которых, Т. е.
количество поглощаемого или выделяемого тепла за единицу вре-
мени. в единице объема, обозначим Р (х, у, 2, Г). Ясно, что
9:=\ Fu, у, г, 49,
и
138

а тогда, используя формулу Гаусса —Остроградского, для общего
количества тепла, приходящего в объем И за промежуток време-
ни (1, {+ АР, получаем выражение
Qi4+ Qa= [NA dive grad uy ado art (A Fx. y, 2, t)dvAt. (2)
V
у
С другой стороны, на изменение температуры объема тела У за
время Mi [- 42) на величину А;и= и (х, у, 2, (Ай) —и(х, и, 2,10 м
Эи( ft
~— zy at необходимо затратить следующее количество тепла:
Qs= fC tule у, 2-Е
АЙшк, у,2, DIV и,Эр(у, 94=
у
А\ ур duAl, (3)
у
где у=у (М) —теплоемкость вещества, а р=р (М) —его плотность.
Но Ч9:--
9. = Оз, а потому из (2) и (3) следует соотношение
|
4 |v0Ge—div (kgradu)—F(x, y, 2,5 du=0.
у
Так как объем У произволен, а подынтегральная функция непре-
рывна, то отсюда следует, что в любой момент времени # должно
выполняться соотношение
ver = div (k gradu)+F (M, 2).
(4)
Это уравнение (4) называется уравнением теплопроводности неод-
нородного изотропного ‘тела. Если .тело однородно, TO y, рий
постоянные и уравнение (4) запишется в виде
ди_3 [02и|0?и/ди
a? (Sat Sat Ge) the у, г, 1),
(5)
и
а=Y=.f(x,y,2,Narr,у,г,t).»
Для вычисления температуры тела и (х, у, 2, Г) в любой точке
тела и в любой момент времени Е недостаточно решения уравне-
ния (4) или (5). Из физических соотношений следует, что необхо-
димо знать еще распределение температуры внутри тела в началь-
ный момснт времени (начальное условие) и тепловой режим на
границе тела (граничное условие). Точно так же и для решения
других задач математической физики требуется знание начальных
(если процесс нестационарный) и граничных условий. Поэтому под
постановкой задачи в дальнейшем подразумевается выбор функции,
характеризующей исследуемый физический процесс, вывод (или
выбор} соответствующего этому процессу уравнения, установление
граничных условий и формулировка начальных условий.
Пример 2. Поставить задачу об определении температуры
однородиого изотропного стержня 0 <х < # с теплоизоли рованной
боковой поверхностыо, если его начальная температура есть пеко-
139

тосзя функция х, а на концы стержня подается извне заданный
тепловой поток.
|
«4 Температура стержня зависит только от координаты точки
хЕ[0, 1] и времени Ё, т.е. и=и(х, И. Внутри стержня источники
тепла отсутствуют, т. е. ЕЁ(х, у, 2, ==0. Поэтому уравнение (5)
Ou(x, ft), O*u (x, ft)
a
ot
ox® '
условие записывается в виде U(x, O)=G (x), OMX, re P(x)—
ваданная функция. Граничные условия имеют вид
принимает вид
где а*=—-. Начальное
,
1
,
I
w.(0, N=—poault, 4,0, N=Zoaell), 0<1<,
где о-—площадь поперечного сечения стержня, 41 () и 92 (Г—
тепловые потоки (количество тепла, поступающего в единицу вре-
мени) в стержень через его концы. Таким образом, имеем задачу:
Найти решение и (х, Г) уравнения
2
ди(х,Г)—а u(x,Е), a.
al
ox®
удовлетворяющее условиям:
u(x, 0)=Фф(х) (начальное условие),
О=х<«рЬ O<t<o, (6)
1
и, (0, д=— 191),
]
(граничные, или краевые, условия). No (7)
и,( =Fo72(4)
Рассмотренная в примере 2 задача относится к так называемым
смешанным задачам, в которых участвуют как начальные, так и
граничные условия. Граничные условия (7), наложенные на значе-
ние производной и’, (х, #), называют условиями второго рода. Рас-
сматриваются также задачи с условиями первого рода, наложенными
на значения функции и (х, #),
и(0, 1) =: (0), и(Ь = (4)
(8)
и с условиями третьего рода, наложенными как на значения функ-
ции и (х, #), так и на значения производной и, (х, Г),
Еи)zhi. (=+)p=:
(9)
Условие (9) означает упругое закрепление в точках х=0 и х=[,
Кроме смешанной задачи достаточно часто встречается задача
Коши, состоящая в отыскании решения и (х, #) в области — © <х<
< ®, О<ЁЕЁ< ®, удовлетворяющего только начальным ‚условиям
(вапример, условию и(х, 0)=ф(х) для уравнения (6)).
17.1**. Вывести уравнение малых колебаний закреплен-
ной на концах х=0 и х=1[ натянутой струны, т. е. сво-
бодно изгибающейся в плоскости горизонтальной тонкой
нити. Действующая на струну сила натяжения Т значи-
тельно больше силы тяжести, т. е. действием силы тяжести
можно пренебречь.
17.2, Используя уравнение задачи 17.1, поставить
задачу о вынужденных колебаниях закрепленной на концах
140

х=0 и х=/[ горизонтальной однородной струны, если
в момент 1 =0 струна имела форму ф(х), Ох Ь и ско-
рость струны в каждой ее точке задается функцией ap (x).
17.3*. Используя уравнение задачи 17.1, поставить
задачу о свободных колебаниях закрепленной на конце
х=[ горизонтальной однородной струны, левый конец
которой (при х=0) движется так, что касательная в этом
конце (при х—+--0) в любой момент времени горизон-
тальна. В момент =0 струна имела формулу ф (х), а
скорость каждой точки равна нулю.
17.4**. Рассматривая однородную двухпроводную ли-
нию равномерно распределенных индуктивностей, сопро-
тивлений, емкостей и утечки, вывести волновое уравнение,
называемое также уравнением длинной линии. (Ввести
величины: [— коэффициент индуктивности, С — емкость,
Ю — сопротивление, С — коэффициент утечки, которые счи-
тать отнесенными к единице длины.)
17.5. Используя уравнение задачи 17.4, поставить за-
дачу об отыскании закона изменения напряжения и силы
тока в длинной линии (0 <х < оо) без потерь (т.е. Ю =
=@ = 0), если известны начальные напряжение ф (х), сила
тока \ф(х), а напряжение в точке х=0О постоянно и
равно Р..
17.6*. Воспользовавшись уравнением (6) примера 2,
поставить задачу о распределении температуры внутри
однородного изотропного стержня, начальная температура
которого равна иь, при свободном внутреннем теплообмене,
если в левом коние его (при х= 0) поддерживается посто-
янная температура ш, а через правый конец (при х= [>> 0)
происходит теплообмен с окружающей средой, темпера-
тура которой задана функцией ф (1).
17.7. На границе бесконечного изотропного однород-
ного цилиндра, направляющая которого—кривая [— ле-
жит в плоскости, перпендикулярной образующей, поддер-
живается температура, зависящая только от положения
точки на Ё. Используя уравнение (5) примера 1, поставить
задачу O6 установившемся стационарном распределении
температуры внутри цилиндра (плоская задача Дирихле).
2. Приведение уравнений к каноническому виду. Общее уравне-
ние второго порядка относительно функции и (хт, Хз, ..., Ав) Неиз-
Вестных Х1, Хо,
oe eg Xn имеет ВИД
"t
ц
и
Ou
Ou
> Qj; (Xq, «60, X
х1, ..., Ха, Й
—
|
—=0.
ijAI>
’ п)одк,OX;+!
I>
п,и,дж9FebsOX,-
p j=l
(+03
14]

Методы решевия таких уравнений и характер описываемых этими
уравнениями процессов зависят от вида квадратичной формы
п
..
a
Dy giz (xi, vee, en) tity
(11)
f, j=!
в каждой точке М. (х1, ‚,», хп) некоторой области р п-мерного
пространства.
|
Как известно, выбором линейного преобразования матрица
(a;;(x3, os, хп))Р, 1 квадратичной формы (11) может быть приве-
дена к каноническому (диагональному) виду, причем согласно
закону инерции число положительных, отрицательных и равных
нулю коэффициентов канонического вида матрицы не зависит от
способа диагонализации.
В соответствии с этим уравнение (10) в точке М, (в области D)
называется уравнением эллиптического типа, если все п коэффи-
ниентов канонического вида квадратичной формы одного знака,
т. е. квадратичная форма (11) является положительно либо отри-
цательно определенной.в точке Му (соответственно в области 0).
К уравнениям эллиптического типа обычно приводят задачи
о стационарных тепловых процессах, об отыскании гармонических
в области Р функций.
_
_
Урьвнение (10) имеет гиперболический. тип в точке Му (в об-
ласти ШО), если в точке М, (соответственно в области 0) п—1
коэффициент канонического вида квадратичпой формы (11) имеет
один знак, а один коэффициент противоположен им по знаку.
К уравнениям гиперболического
типа приводят различные задачи
о колебательных процессах. В более общем случае уравнение (10)
имеет ультрагиперболический тип, если т коэффициентов канони-
ческого вида квадратичной формы одного знака, а остальные
п — fi — противоположного.
Наконец, уравнение (10) имеет в точке М, (в области D) napa-
болический тип, если в точке М, (соответственно в области О)
котя бы один из коэффициентов канонического вида квадратичной
формы (11) равен нулю. Такие уравнения описывают процессы
распространения тепла, диффузии и некоторые другие.
случае двух независимых переменных х и у уравнение (1G)
обычно записывается следующим образом:
==0.
(12)
0*и
О?и
`. 02
ди ди
a(x, у)3-26(х, УFray +o TM Neath(s у, и, эр, a
Соответствующая ему квадратичная форма имеет вид
а(х, у) й-- 25 (х, у НЬ-в (х, УЕ.
Тип уравнения (12) может быть определен и без приведения квад-
ратичной формы к каноническому виду. Именно: уравнение (12)
имеет в точке Му (хо, ио) (в области 0)
эллиптический тип, если ас-— 6 > 0,
гиперболический тип, если ас —63 < 0,
параболический тип, если ас — 5 =0
в точке М, (соответственно в облаети Ш).
Уравнение
а (к, и) dy? —2b (x, и) ах ау--в(х, 9) ах? =0
(13)
142

называется характеристическим для уравнения (12), а его общие
интегралы
Ф(, у=С, (а, )=С
— характеристиками.
Характеристики линейного уравнения в частных производных
второго порядка (12) используются для приведения его к капони-
ческому виду. Для уравнения гиперболического типа (ас "=? < 0)
характеристики действительны и различны. Полагая &=$\(х, у) и
1} = (х, у), приводим уравнение (12) к виду
ди
|
ди ди
+(т,MyOEм)=0
(14)
или
03и 0?и
ди ди
,
Sat apr TO(a Bu Ss SH)=O ua)
если положить дополнительно a= > (b+), B= (f—n).
_ Для уравнения эллиптического типа (ас—53> 0) характе-
ристики комплексные и комплексно сопряжены (ф(х, 9) = (х, и)).
Полагая Ё=- (ф(х, у)-ЕФ(х, у)) =Кеф(х, у) и 1=о: (Ф(, у) —
— p(x, y))=Im q(x, у), уравнение (12) приводим к виду
Ou,Oru
ди ди
get Get Oe (bmw Fe. Fe) =O. (5)
В случае уравнения параболического типа (ас —63 =0) имеется
только одна характеристика ф(х, у) =С. Полагая &=Ф\(х, у) и
= (х, и), где ч(х, у) произвольная функция, независимая
xту
‚ „| 20], получаем
$.
ди
ди ди
оо(4ЗЕбт)
с ф(х, и)(+ е. якобиан /=
=0.
(16)
Уравнения (14), (14°), (15), (16) называются каноническими.
Рассмотренный метод приведения уравнения (12) к канони-
ческому виду (14) —(16) и решение полученного уравнения носит
название метода характеристик.
Так как для каждого типа канонических уравнений разрабо-
таны определенные методы как аналитического, так и численного
решения, то задача приведения уравнений (12) к каноническому
виду представляет практический интерес.
Заметим, то в различных областях тип одного и того же урав-
нения (12) может быть различным.
Пример 3. Определить тип уравнения
”
2
2
их+XUyy——uy— их=0
(17)
и привести его к каноническому виду.
< Так как ас—
5? = у?х? > 0 во всех точках, не лежащих на пря-
мых х=0 или у=0, то в любом открытом квадранте заданное
143

уравнение. имеет эллиптический тип. Составим характеристическое
уравнение
у? ау?-| х? 4х? =0.
Оно имеет комплексно сопряженные общие интегралы 13 --{х?=
HW y2—ix?=k. Поэтому полагаем Ё=у? и ц=х?. Тогда имеем
их=webs-ит=un:“2X,
Uy=ub, -ину=ue.2,
Ихх=(итЕЁх + Unnnx)2x+ ии.2=ити 4х2--Зи,
|.
Uyy = (ugeby+ wenty)-2y-+
ue+2=use dy?+Que.
Подставив эти значения в исходное уравнение, получим
”
,
„я“
,
x?
’
2
’
y?(4x2uqn+Quy)+x?(4y2ues+Que)—>Qyuz——2хин=0,
т. е. 4х3? (итт-- изё) =0. Сокращая на 4х?уз+= 0, приходим к урав-
нению канонического видя иё-- итт==0. Отсюда заключаем, что
решение уравнения является гармонической функцией по пере-
менным & и 1.
В задачах 17.8—17.18 определить тип уравнений и
привести we K каноническому виду.
би
17.8. a Saray -|- sae
O2u
ди
17.9. ae aay 8G +3; +6, =0.
ди
17.10. ae Saray t 8 Gpa =0.
17.11. x4 490V xyху ко + = тии
17.12.
ао
17.13. уе и — 27% =0.
17.14. xy =>sas—at+ ао в области х>0,
y> 0.
17.15. oer t 25s + cos? x55 —ctg x (SE 4-54) = 0,
17.16. <4 — xао
17.17. 44 x stСи — 0 в области x>0.
17.18. 2°544 Oxy ее,0 —(
144

17.19**. Найти: общее решение уравнения из 3a-
дачи 17.8.
17.20. Найти общее решение уравнения из задачи 17.9.
17.21. Найти общее решение уравнения из задачи 17.11.
17.22. Найти общее решение уравнения из задачи 17.15.
17.23. Найти общее решение уравнения из задачи 17.18.
$ 2. Аналитические методы решения уравнений
математической физики
1. Метод Даламбера. Одним из широко используемых способов
решения уравнений колебаний струны является метод характе-
ристик, называемый в этом случае методом Даламбера. В основе
его лежит тот факт, что с помощью замены §=x-+at, yn=x—at-
уравнение
Ou ou
af 4” 5х8
(1)
ди
преобразуется в уравнение
—=0 (см. задачу 17.5), которое
0& On
имеет общее решение и (Е, 1) =Ф (&)--Р (\), где Ф и Е—произволь-
ные дважды дифференцируемые функции. Для определения этих
функций Ф и Ё, т. е. для определения закона колебаний струны,
требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач
и граничные. Если вернуться к старым переменным хи Ё, то
решение имеет вид
u(x, ) =Ф (ха)Е (х—ай.
Здесь Р(х— ай) характеризует прямую волну (кривая Ё (х) сме-
щается вправо со скоростью а), а Ф(х--а{Г) —обратную волну
(кривая Ф (х) смещается влево со скоростью а).
Если рассматривается задача Коши для бесконечной струны
— © <х< ©, то по заданным начальным условиям
и(х,0)=ф(х), uz(x,0)=p(x)
(2)
определяются функции Ф и Ри искомое решение (формула Далам-
бера)
х+а
]
их, D=slolxe—a+oetanlts:| ped. ©
x~at
Пример 1. Найти решение и (х, #) задачи Коши (— ® <х<
<0,0<t<0)
0? 0’
=,
и (х, 0) == cosx,
9),
q Используя формулу Даламбера (3), имеем
и (х, )= > [eos (x~—¢)-+- cos (x-+-¢)]=cos x cost. >
Используя формулу Даламбера, найти решения и (х, #)
следующих: задач Коши’ (— со «х< оо, 0(«ЁХ оо}
„ 145

17.24. Найти решение уравнения. и,= и, при началь-
ных условиях и (х, 0) = S22, u;(x, 0)=0
17.25. Найти решение уравнения и: = их при началь-
ныхусловияхu(x,0)=54, и:(х,0)=т
17.26. Найти решение уравнения и’= и. при началь-
ных условиях и(х, т , u(x, 0)=sinx.
17.27. Найти решение уравнения ин = их при началь-
ных условиях и (х, =
u;(x, 0) =cosx.
17.28. Найти решение уравнения и = и», при началь-
_.&
’
x
ных условиях и(х, 0)=e-*, u; (x, =.
17.29*. Найти закон свободных колебаний бесконечной
струны, если начальная скорость каждой ее точки равна
нулю, а начальное отклонение задается функцией
ОВ
0 при хЕ (—со, 0) 0(21, oo),
и (х, 0) =Ф(х)={ Хх
при хЕ (0, 1,
| 21—х при ХЕ(Ь 21.
Построить на чертеже профиль струны в моменты времени
{=12а и = Ца (а—входящая в уравнение (1) посто-
янная).
17.30*. Найти решение уравнения и! =а*и,, при на-
чальных условиях и(х, 0)=ф (х) =0,
О при {x|>A,
и: (х, 0)=+(х)={ —а при —#й<х<0,
а при О<х<А.
Построить профиль струны в моменты времени = й/(2а)
H ¢t =3h/(2a).
В случае полубесконечной струны кроме начальных усло-
вий (2), заданных при Ожх < <, необходимо добавить еще гра-
ничное условие (конец струны предполагается в точке х=0)
и(0, =0
(4)
для закрепленной в точке х=0 струны,
их (0, )=0
(5)
для свободного конца в точке х=0,
их (0, t)—hu (0, t)=0
для упругого закрепления в точке х=0.
446

Из условий (2) и (4) следует, что ф (0) =0.
В случае однородных граничных условий (4) или (5) решение
задачи о колебании полубесконечной струны сводится к решению
вадачи 0 колебании бесконечной струны путем продолжения на-
чальных условий на всю ось нечетным образом для условия (4),
т. е. Ф(—х) =—ф(»), ф(—х)=—
1 (>), и четным образом для
условия (5), т. е. ф(— х) ==ф (x), p(— = (2);
Пример 2. Найти решение уравнения
ди О<х<
ot’ Ox?" —
<0o,C<t< om, удовлетворяющее условиям и(х, 0) = x2, ato =
=sin?x,u(0,1)=0.
«$ Продолжим функции ф (х) =? и ф(х)
= $11 х на отрицательную
полуось печетным образом:
(д=
x? npn x>0,
PII) —_x8при х<0;
bey
sin?x npu x>0,
но =4 —5118хприх<0.
Тогда по формуле Даламбера (3) решение запишется следующим
образом:
|
|
x+at
1
|
u(x, => [Фг (хай+ ф: (&—а0] +5 | фе (2) 42=
к-а
x+at
J f(e-Lat)®+ («—at)4} pb | sint zd2 при (<
2
2a
р
a’
x—al
== } >. [(x-+ at)? —(x— at)?] +
| x+at
0
tS
a
2
,~*
+4 \sin®zdz |sinee|при#>a>0,
0
x—al
|
|
t1
x
2.4 oa¢e2 yp 8
—
x*-+atTS дс0082xsin2at при ta,
2axt + [2x —sin 2x cos 2at]
при{>=>0.>
Замечание. Как следует из формулы Даламбера (3) и урав-
нения (1), входящая в условие (2) функция ф(х) должна иметь
вторую производную, а функция \(х)
— первую. Однако в после-
дующих задачах мы будем рассматривать функции ф (х) с угло-
выми точками, а функции \р(х)—с точками разрыва, предполагая
тем не менее, что определяемая по формуле (3) функция является
ешением (вообще говоря, обобщенным) исходного уравнения (1).
то объясняется тем, что путем незначительных изменений функ-
ции фи YP можно сделать достаточно гладкими и полученные для
этих сглаженных функций. по формуле (3) решения ц*(х, #) будут
мало отличаться от и (х, #).
147

Используя метод продолжения и формулу Даламбера,
найти решения следующих задач:
17.31, В области О<х <, 09 <[< о найти реше-
ние уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(x, 0)=0, и; (х, О) =зшх, и; (0, д =0.
17.32. В области. О0<х< о, 0 «Ех о найти реше-
ние уравнения (1), удовлетворяющее условиям
и (х, =, и: (х, 0)=0, и(0, t)=0.
‚ 17.33. В области О<х«<оо, 0«<Ё< сх найти реше-
ние уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(x, )=0, uj(x, )=p5, и (0, t)=0.
17:34. В области 0 < х < оо, 0 «<Ё < оо найти решение
уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(x, Отт,
и; (Х, =,
и (0, t)=0.
. 17.35. В области 0 <х < оо, 0<{[< оо найти решение
уравнения (1), удовлетворяющее условиям
u(x,0)=e-*, u;,(x, 0)=sinx, u(0, #1=0.
| 17.36. В области Ох < оо, 0 «<< соо найти реше-
ние уравнения (1), удовлетворяющее условиям
UX.
a(x, o-{ = при хЕ[0, П,
\0
npH x€(I, оо),
и; (х, 0)=0, и(0, t)=0.
Построить графики решения в моменты t= l/(4a) u ft==
== 31/(4a).
17.37. Полуограниченная струна (и (0, 1) =0) в на-
чальный момент имеет форму и(х, 0) =0 и начальную
скорость
sin
,0
с при xe[0, 0,
u(x, Y=) 6 npu x€[I, oo).
Найти форму струны для момента времени #= аи t=
—=.5На, где а—входящая в уравнение (1) константа.
2. Гильбертовы пространства. Ортогональные системы. Одним из
наиболее ‘распространенных аналитических методов решения урав-
нений математической физики является так называемый метод
Фурье, который опирается Ha свойства ортогональных систем и
148

ортогональных разложений. Поэтому изложению метода Фурье
мы. предпосылаем ряд задач на свойства ортогональных. систем,
ортогональных рядов и на решение краевых задач обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Пусть в векторном пространстве 9/ введено скалярное (внут-
реннее) произведение (х, у) векторов ХЕ и УЕЧ/ (см. ч. 1, глава 4,
$ 1, п. 3), удовлетворяющее условиям
1) (х, у)= (5, х),
2) (Xi+X, y)=(xi, V)+(Xe, У),
3) (Ax, Y)=A(x, ¥), NEO,
4) (х, х) —=0, причем (х, х) =0 © х=0.
|
Нормой элемента хЕ4{, обозначаемой |х|, называется число, рав-
Hoe V (x, x), T.e. || x [= (х, х). Последовательность векторов {Хи}<=
С-4/ называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию:
для всех > 0 существует No=М (8) такое, что для любых пт,
па > МNoМ(=) выполняется неравенство | х„,--хи,| < г. Пространство
4 называется полным, если любая фундаментальная последова-
тельность векторов {х„} этого пространства имеет предел хьЕ4/.
Полное линейное векторное пространство со скалярным произве-
дением называется пространством Гильберта и обозначается бук-
вой Н.
OG
17.38*. Доказать, что удовлетворяющее условиям 1)—
4) скалярное произведение есть непрерывная функция
относительно сходимости по норме, т. е. если |х„—х|=0
И [у,„—у|1—0 при п + оо, то и |(х», У„)— (х, У)|—0
при п-—+ со.
17.39. Доказать, что линейные операции над векто-
рами гильбертова пространства Н непрерывны, т. е. если
|х„—х|-—0, [У„—У|—+0 и последовательность чисел
\и—А (п—+ оо), то |(х„-У,)—(*-+У)1=0 и [^х,—
—Ах|— ,
17.40*. Доказать, что конечномерное евклидово про-
странство является полным.
17.41. Пусть [, —векторное пространство бесконечных
последовательностей х=(х1, х., ..., Хи, ...) @ Дейст-
вительными (комплексными) компонентами х„ ПЕМ,
@
причем »|х„|' < со. Доказать, что воотношение (х, у)=
n=l
©
= > oe задает скалярное произведение В пространстве [..
n=l
17.42. Доказать, что ечетное множество 8 = {е„, ВЕ No
е„=(0, ..., 0, 1,0, ...)} образует ортонормированный
базис в пространстве J, относительно скалярного произ-
ведения задачи 17.4].
|
17.43%. Доказать, что [, является пространством Гиль-.
берта..
149

17.44. Пусть Г, (а, 6) — пространство заданных на [а, 6]
b
комплекснозначных функций ] (х) таких, что \ Е (х) Рах <
а
b
« со. Считая известным, что из условия бр (х)?ах=0
следует [(х}=0(х), где 0 (х)— нулевой элемент простргн-
ства [?(а, 6), доказать, что если }(х)Е Г. (а, 6), 2 (х)Е
5
ЕГ, (а, 5), то соотношение (}, g=\f (x) g(x)dx опреде-
ляет скалярное произведение B L,(a, 6). Hanncatp nepa-=
венство Коши
— Byuakoscxoro B L, (a, b), Ha3bIBaeMOe TaK-
же неравенством Шварца (см. ч. 1, с. 164).
17.45*. Доказать, что последовательность непрерыв-
ных функций
—1 при ЁЕ[-—, —1/n]},
7, (t) = |" при ЁЕ(—1/м, 1/n),
1 при ЁЕПИл, 1]
фундаментальна в пространстве непрерывных на отрезке
|
|
1
1/2
[-—1, 1} функций в нормой (Su и)
‚ноне
-1
имеет предела. Таким образом, это пространство не яв-
ляется полным.
17.46. Пусть [2 (а, 5) — пространство заданных на [а, 6]
b
функций [(х) таких, что \ | f (x) |?
р
(х) 4х < оо, где весовая
а
функция р(х)>0 и может обращаться в пуль только
в отдельных точках. Доказать, что если [(х)
Е [1 (а, dD),
6 (х) ЕЁ (а, 5), то соотношение
b
(f, 2) =S F(x) E@)0 (x) dx
a
определяет скалярное произведение B LS (a, b) (cM. ycuo-
вие задачи 17.44).
Система функций {фи (х)}®_.,, заданных на отрезке [а, 6], на-
зывается ортогональной на [а, 6], если
а) Pn(x)ЕГ» (а, 65), п=0, 1, ...;
b
_0
при MEN,
6):(Qn,Gm)=fGn8)9m(2)de=4 dx#0 npn m=n.,
a
150

Система функций (фи (х)}®_, называется ортогональной на [а,
с весом р(х), если
|
a) Pn (x) ELE (a, b), n=0, l, 0909
b
0
np msn,
6)(Pa, =|On2)Ge(2)9(8)dx4d,40 при т=и.
Если 4в==1 для всех п=0, 1, ..., TO CHCTeMa называется
ортонормированной на [а, 6] или соответственно ортонормирован-
ной на [а, 6] с весомр(х).
На примерах следующих задач убедиться в сущест-
вовании ортогональных и ортогональных с весом систем
функций.
17.47. Доказать, что тригонометрическая система функ-
ЦИЙ
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx,
ортогональна на отрезке [—л, п], а система
1
cos x sinx
cosnx sinnx
И 2л’Ул’ Ул’ °’’’ Уп’ Уп’ ***
ортонормирована на [— я, п].
17.48. Доказать, что система ‘функций {cos rete
ортогональна на отрезке [0, [.
17.49. Доказать, что система функций {sin мт Емnt
[
оотогональна на отрезке [0, 1/2].
17.50. Пусть система функций р (х), 1, (х), ...,!ы(х), ...
из [.(а, 6) линейно независима на [а, 8]. Доказать по
индукции, что построенные по рекуррентной формуле
функции
_—_ fo (x)
Pol) = TAT п-1
(д— >) (Fas Oe) Pe (x)
фи»(Хх) = i <<
’
n=l, 2, coo,
—>(fnФЕ)ФЕ
k=0
образуют ортонормированную на [a, 6] систему (метод
ортогонализации Шмидта).
17.51. Используя метод ортогонализации Шмидта (см.
задачу 17.50), найти первые четыре функции (ортонор-
ми рованые полиномы Лежандра Р, (х), Р‚ (х), Р. (х) иР,(х)),
151

полученные при ортогонализации системы степеней 1, х,
хз, ... на отрезке [—1, 1}.
17.52. Используя метод ортогонализации Шмидта (см.
задачу 17.50), найти первые 4 функции, получаемые при
ортогонализации системы степеней 1, х, х*, ... на отрез-
ке [—1, 1] с весом 0)
= (ортонормированные по-
ны.
линомы Чебышева). |
‚ 17.58%. Ненормированные полиномы Чебышева с козф-
фициентом 1 при старшей степени имеют вид
Г. (х)==1, T, (= 57-1603 (narccosx), —l<ax<l
(пЕNo). Доказать, что система {Т, (х)}*_. ортогональна на
—1, 11 с весом р(х) = ——.
[—1, 1]
0 (*)=
17.54. Используя метод ортогонализации Шмидта (см.
задачу 17.50), найти первые 3 функции, полученные при
ортогонализации системы степеней |, х, х?, ... на отрез-
ке [0, 1].
Функции Радемахера тг„(х) определяются следующим
образом:
гв (Х)
== Чоп зш 2"*1лх, n=0,1,...,
где
] при х>0,
sign x=
О при х=0,
—1! при х<0.
17.55. Построить графики функций Радемахера г„(х)
для П=0, 1, 2,
17.56. Показать, что при. и> у каждый интервал
постоянства функции г,(х) содержит четное число 2#-“
интервалов постоянства функции Fr, (x).
17.57. Доказать ортонормированность системы
{7„ (х)} го на отрезке [0, 1].
Функции Уолша
,„(х), хЕ[0, 1], в нумерации Пэли опре-
деляются следующим образом:
Wo (x)w=I, Won(x)=7p (2),
k=0, l, eons
и если nestor, Lo, т>пт >...> NM, SD, TO
(=ПИ,9=U07a,
152

re ny (x)—pynkunn Payemaxepa, MpHuem B точках разрыва
|
о
Wn (x)= Ив (х-- 0) - И (х==0)].
17.58. Построить графики функций Уолша No, (х) для
п ==0, 1, офоу
|
”
17.59. — Доказать ортонормированность = CHCTEMbI
{Й, (*)} "о на отрезке [0, 1].
о
° 17.60**. Пусть ФТ, (х) решение уравнения Бесселя
ху" -- ху’ - (х*—
2) у=0, а {и}.
— корни Л, (х). Дока-
зать, что система функций {/, (м”х)}. ортогональна на
отрезке [0, 1] с весом р(х) ==х.
Отыскание решения у (х), х@ [а, В, уравнения
7
(2(x)9°(x))! 9(x)y(x)Ap(x)y(x)=0, | (6)
удовлетворяющего однородным краевым условиям одного из типов
1) у(а)=у (5) =0,
2) y' (a)=y' (b) =0,
|
|
3) и(х) ограничено при х—+а--0 их —+-ф--0, будем назы-
вать задачей Штурма
— Лиувилля. При этом предполагаем, что
функции А (х), 9(х) и р(х) непрерывны на отрезке [а, 6], причем
Е (а)
=Е (5) =0 в случае условия типа 3), No(х)>0, 9(х)=0,
о (х) >0 ир(х) ограничена для ХЕ[а, 6].
|
В общую задачу Штурма—Лиувилля краевые условия })—3)
могут входить и в некоторых линейных комбинациях.
Нетривиальные решения иу(х)=5=0 уравнения (6), удовлетво-
ряющиз одному из краевых условий
1) —3), существуют не при
всех А. Значение ^/*”, при котором существует нетривиальное ре-
шение у*(х) задачи Штурма —Лиувилля, называется собственным
числом уравнения (6), а соответствующее ему решение у*(х) -»соб-
ственной функцией.
Заметим, что собственные функции и; (х) и у, (х) задачи
Штурма —Лиувилля, соответствующие различным собст»
венным числам А, >= ^А,, ортогональны на [а, 6] с весом
о(х),т.е.
b
(у, уз)= \ ysl) Yo (x) 0 (x) dx=0.
а
Найти собственные числа и собственные функции слез
дующих задач:
17.61**. у’—Лу=0, и(0) =и(1 =0.
17.62. y’—Ay=0, y' (0)=y' (1) =0.
17.63. y"—Ay=0, y(0)=y'
(I) =0.
17.64. у’—Лу=0, y' (0) =y(1I)=0.
17.65**. у”(г) + ту" <) - <?у (г) =0, у (R) =0.

3. Ортогональные ряды. Пусть Ф = {9 (х)} >, — ортонормиро-
ванная на [a, 5] система функций, а функция | (*)Е Гл (а, 6). Тогда
существуют числа
b
Cn=Cal(f=(f, end={ F(x) gn (¥) dx,
п=0, |, ..,,
называемые коэффициентами Фурье функции f(x) по системе Ф.
яд © этими коэффициентами
f(x) ~ ФФ (x)
называемые ортогональным разложением. или рядом Фурье функции
[(х) по системе Ф.
о
Если система Ф только ортогональна, а не мормирована, то
b
n=—g—— |F(0)on94%, n=0,1,os
(gh de
a
17.66. Используя результат задачи 17.60 (см. решение),
найти выражение коэффициентов Фурье
— Бесселя функ-
ции {(х)
Е 22 (0, 1) (0(х) =х) по системе (их) Ем.
17.67*. Нормированные полиномы Лежандра Р„(х)
(см. задачу 17.51) можно определить также соотношением
(формула Родрига)
(—-1)",dt(1—х)"
Р,(х) = тоя
т
п=0, 1, ...
Они образуют ортогональную на [—1, 1] систему, т. е.
1
[0
при ТЭП,
| P(x)P,(x)dx=i 2
у
[ 57-1 При теи.
Найти первые 4 коэффициента разложения: функции { (х)==
—=|х|, —1 <х<1, если известно, что Р,(х)==1, Р, (х)=х,
P, (x) = 3х1/2— 1/2, Р, (х) = 5х3/2
— Зх/2.
17.68. Записать выражение коэффициентов Фурье функ-
ции [ (х)Е [5 (—1, 1) (0) == по системе полипо-
1—x?
мов Чебышева (см. задачу 17.53).
17.69. Для функции /(х)=х на отрезке [0, 1] вычис-
лить первые четыре коэффициента ее разложения по си-
стеме Уолша в нумерации Пэли.
п
17.70*. Доказать, что частные суммы $„ ({, х)= Жсифь(х)
k=0
разложения функции f(x) по системе Ф дают решение
154

следующей задачи о наилучшем среднеквадратичном при-
‘ближении: в множестве
м, т.д = Dae}
«полиномов» Г„(х) по системе Ф порядка не выше п найти
тот, который дает минимум интегралов
6
min | [f (x)—T, (x) dx.
TneMng
17.71. Используя результат задачи 17.70, вывести не-
равенство Бесселя для конечных сумм!
b
De<|rwa
и для бесконечных рядов
<
Ха <\[2(х)ах.
а
17.72. Написать неравенство Бесселя задачи 17.7] для
коэффициентов Фурье функции {(х) периода 2л по три-
гонометрической системе {1, созпх, $ пх}, «м.
Ортогональная система Ф = {фи (х)}®_, называется полной, если
из равенств
b
(Г, Фи) = 9 on()dr=0, п=О, Ь не
а
следует, что | (х)=0 почти во всех точках отрезка [а, 8].
ля полных ортонормированных систем неравенство Бесселя
обращается в равенство Нарсеваля
b
Уа-(f?(x)dx.
k=0
a
Рассмотренные ранее тригонометрические системы, система
Уолша, система функций Бесселя, системы полиномов Лежандра
и Чебышева являются полными.
17.73. Каков смысл неравенства Бесселя и равенства
Нарсеваля в конечномерном евклидовом векторном про-
странстве?
17.74*. Доказать, что система функций Радемахера не
является полной на отрезке [0, 1].
155

4. Метод Фурье решения уравнений матсматической физики. Метод
Фурье, широко используемый при решении ряда задач математи-
ческой физики, состоит в следующем. Искомая функция, завися-
щая от нескольких переменных, ищется в виде произведения функ-
ций, каждая из которых зависит лишь от одной или нескольких
переменных. После подстановки этого произведения в исходное
уравнение получается несколько обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями
исходной задачи являются краевыми задачами Штурма —Лиувилля.
Искомое решение представляется рядом по произведениям соб-
ственных функций этих задач Штурма —Лиувилля.
Пример 3. Найти отклонение и (х, Г) от положения равно-
весия акрепленной на конце х=0 однородной горизонтальной
струны, правый конец которой при х=/ перемещается так, что
касательная к струне остается постоянно горизонтальной. В на-
1 1lx ATK
чальный момент времени струна имела форму iE sin aT cos or
начальные скорости отсутствовали.
«@ Прёдполагая, что струна совершает малые колебания, получаем
следующую смешанную краевую задачу: найти решение уравнения
свободных колебаний струны
Cu du
То
эй =4*
а?=—
7
д,
5’
(7)
‘удовлетворяющее начальным условиям
ee
4лх диди(х,0)
и(х,от sin——— 1 oR =0
(8)
я граничным условиям
и(0, #=0, и„( 0=0.
(9)
Решение этой задачи ищем в виде произведения и (х, #) =
=Х (х) Т(0, подставляя которое в (7), находим
X (x) T” (t) =a*X" (x) T (2).
Разделив обе части этого уравнения на а3Х (х) Т (No, получаем
Т"(Г)_ Х"(х)
айТ (1 Х(х‘
(10)
Каждое отношение в (10) зависит от своей переменной, поэтому
равенство возможно только в том случае, когда каждое из этих
X"(x)
X (x)
условия (9), получаем задачу Штурма —Лиувилля
Х" (х) АХ (х)=0, Х(0)=Х' (1 =0,
отношений постоянно. Полагая
—^, и используя граничные
.
a
2k—1 \8
собственными числами“которой являются числа hse — (
:
д},
21
а собственными функциями
= функции Хь (5) = $1
к, kewl,
3... (см. задачу 17.63).
156

|
X" (x)
|
Подставив в (10) вместо отношения
его вначевие.
Х(*
7
2—1 \3
*)
|
p=: 5 п) ‚ получим при каждом k=], 2, в»› уравнение
”
2—1 a
T (¢)-+-—э ла Т(1)=0,
общим решением которого является функция
2k— |
2Rowm|
T,(t)=Ay,cos—5 at+Bysin 5]
Таким образом, решениями уравнения (7), удовлетворяю-
щими граничным условиям (10), являются функции
ик(х,=ТЬ(1)AeGs
2k—
2—1
2—1
=(льсоз 5]|nat+B,sin 5] д‚)
27
k=], 2, see
Из линейности уравнения (7) следует, что любая линейная ‘ком-
бинация этих уравнений, т. е. формально составленный ряд
nat.
~
2k— |
2kwm |
2k—1
u(x, = >. (A,cos 5] nat-+-B,sin 5] nat)sin= a
k=
(11)
при условиях на коэффициенты Аки Вх, допускающих возмож-
ность его двукратного почленного дифференцирования по _{ и по х,
также является решением уравнения (7), удовлетворяющим гра-
низным условиям (9).
Потребуем, чтобы представленное рядом (11) решение и (х, #)
удовлетворяло также граничным условиям (8), т. е. чтобы.
.
©
1Илх.4лх—
2—1
и(х, a
Asin5p
ди
aw”) 0)
in ve
=
ne.
Г.
Из этих равенств заключаем, что если числа А». являются
официентами Фурье функции
Илх
4лх_ 1
am
15x
p(x)=35sin cos 57 =55(si“atssin)
Raum |
©
.
по системе 5ш—
TUX pet’ T. @., eclH A,=O0 mpw k#4 a
Е28, а А. =А, =1/30 и если Вь=0 для всех А=1, 2, .,., 10
функция
,
os 7nat gin 7лх17 | со sae
Ала! о 15лх
\
.
и(х,=300Г 9-1
51)
является искомым решением уравнения @). No
157

17.75. Найти отклонение и(х, ё) от положения равно-
весия закрепленной‘на концах х=0 и х=[ однородной
горизонтальной струны, если в начальный момент струна
37
1
х
|
имела форму зт —т-, а начальные скорости отсутство-
вали.
|
о
17.76. Найти отклонение и (х, #) от положения равно-
весия закрепленной на концах х=0 и х={ однородной
горизонтальной струны, если в начальный момент точки
струны находились в положении равновесия и ей была
1 5лх
придана начальная скорость = зт-——.
17.77. Найти отклонение и(х, #) от положения равно-
весия закрепленной на конце х=[ однородной горизон-
тальной струны, левый конец которой при х=0 переме-
щается так, что касательная к струне остается горизон-
тальной, если в начальный момент струна имела форму
1 Злх
|
9OSal
17.78. Найти отклонение и (х, Г) закрепленной на кон-
цах х=0 и х=[ однородной горизонтальной струны от
положения равновесия, если в начальный момент струна
имела форму параболы
‘с вершиной в точке х=//2 и OT-
клонением от положения равновесия Й, а начальные ско-
рости отсутствовали.
‚ а начальная скорость отсутствовала.
э Решить уравнение колебаний закрепленной на концах струны
Let = AU yx при начальных условиях
4йх(1—х) ди(х,0)
их =.
GO
17.79. Найти колебания закрепленной на концах х=0
и х=1 однородной горизонтальной струны, находящейся
в положении равновесия, если в начальный момент врс-
мени ударом молоточка в точке х= ЦЗ ей сообщается
постоянная начальная скорость
п
ди (х, 0)__| "9 ПРИ |*—
ot
т
а
а
О при |х—
где л//
— ширина молоточка.
17.80. Найти закон свободных колебаний закрепленной
на конце х=0 однородной горизонтальной струны, если
правый ее конец при х={ перемещается так, что каса-
тельная к струне остается постоянно горизонтальной.
158

В начальный момент струна находилась в положении рав-
новесия и ей была придана начальная скорость и, (х, 0)==
= sinnx/l.
@ Граничнымя условиями в данном случае являются условия
и (0, pa HD Lo, а системой собственных функций является
система и
ПХ
21
reN’
17.81. Закрепленной в точке х=1 однородной горизон-
тальной струне, левый конец которой в точке х=0
может перемещаться с гор изонтальной касательной,
х(1—
придана начальная скорость и=-——^
x('=*)i *). Найти закон: ее
свободных колебаний, если в начальный момент она имела
._ ЛХ
форму ф(х) = =.
@ Системой собственных функций задачи является система
cog WORN) x
21
keN
17.82. На концах однородного изотропного стержня
длиной [ поддерживается нулевая температура. Предпо-
лагая, что стенки стержня теплоизолированы от окружаю-
щей среды, найти закон распределения температуры в стерж-
не, если известно, что в начальный момент имелось
х (1—х
следующее распределение температуры: и (х, 0) = и. 2,
где и,= const.
|
#
”
@ Решить уравнение распространения тепла и; ==а?3ихх.
17.83. Один конец стержня (при х=0) поддерживается
при постоянной нулевой температуре, а второй (при х=й
теплоизолирован от окружающей среды (т. е. производ-
ная’ от и (х, Г) пох на этом конце равна нулю: и, (1, В =0).
Найти закон распределения температуры внутри стержня,
если начальная температура задана функцией
_ _(0при0<х<И,
и (х, =o) =] и При Y2<CxK <i.
@ Системой собственных функций является система
{sin л (2—1) х
21 ЕЕNo
17.84**. Однородная прямоугольная мембрана (0 < х<,
0— у= т), закрепленная вдоль всего контура, лежащего
159

в горизонтальной. ‘плоскости, и имеющая в начальный
момент форму и(х, у, 0) =Ф(х, и), начала колебаться
с начальной ‘скоростью и; (х, и, 0) =т (х, и). Найти закон
свободных колебаний мембраны. Получить решение в слу-
Злх _._ вл
чае ф(х, y) =sin == sin—, ф(х, у) =0, если натяжение
мембраны Ту, равно ее поверхностной плотности о, т. е.
a?==],
Pe
17.85*. Точкам закрепленной по контуру однородной
квадратной мембраны со стороной [, находящейся в на-
чальный момент в положении равновесия, придали началь-
`
,
.UX.Qry
o
ные скорости и (x, y, 0) =sin —- sin ——. Halitn saxon cBo-
бодных колебаний мембраны.
17.86*. Закрепленной по контуру однородной квадрат-
ной мембране со стороной [ придали форму и (х, y, 0) =
.ЛХ.лу
„
= зш — зп. Найти закон свободных колебаний, если
начальная скорость точек мембраны постоянна и равиа
а//, где а—входящая в уравнение колебаний постоянная.
17.87**. Найти стационарное распререление температуры
в прямоугольнике О = {(х, у)|0 <х=<а, 0<у= 6}, если
на границе прямоугольника поддерживается заданная тем-
пература:
ц(х, 0)=и(х, 6)=0, ХЕ(0, а),
и (0, у) = =у6—у, ua, y)= py) =sin ZZ,
УЕ (0, 0).
17.88*. Найти решение и(х, у) уравнения Лапласа
Аи = их, -- иу,= 0 в прямоугольнике Д = {(х, у) |0 <х=а,
0<y<}}, удовлетворяющее следующим краевым усло-
ВИЯМ:
д,
),O
40, y=y(b—y), ша =F aM 9,
17.89. Найти решение u(x, y) уравнения Лапласа
Аи = 0 в прямоугольнике О = {(х, у) [0 < х<а, 0<узв5},
удовлетворяющее условиям
Ou(x, 0) du(x, b
и(0, у)=а, u(a, y)=ay, то ) ет )=0.
17.90**. Найти свободные колебания закрепленной по
краю однородной круглой мембраны радиуса [, если в на-
чальный момент отклонение в каждой точке определялось
160

Г
равенством и (г, ф, ¢) =a, (HY ‚ в котором и; — первый
положительный корень, [, (х), а начальная скорость мем-
браны равна са, где а— постоянная, входящая в уравне-
ние. колебаний мембраны.
17.91**. Найти закон стационарного распределения тем-
пературы внутри бесконечного кругового цилиндра ра-
диуса К, если на его поверхности поддерживается задан-
ная температура:
и(г,©)|.-в=[(Ф)=1Ф.
В случае, когда исходное уравнение в частных производных
является неоднородным, т. е. в характеризуемом этим'` уравнением
физическом процессе имеются внешние силы и источники, предва-
рительно находится система собственных функций соответствую-
щего однородного уравнения и решение ищется в виде ряда по
этим собственным функциям с переменными коэффициентами. `‘
Пример 4. Найти форму и (х, 2) (отклонение от положения
равновесия) закрепленной на конце х == () однородной струны, пра-
вый конец которой имеет горизонтальную касательную и на кото-
рую действует внешняя сила с плотностью F (x, #) 5Е0. В началь-
ный момент { =0 струна имела форму Q(x) и каждая точка имела
скорость 1р (х). Найти и(х, Г при условии, что ф (х) = (х) =0,
а Е(х, 1)=а?== Го/о.
«@ Предполагая, что струна совершает малые колебания, имеем
следующую первую краевую задачу: найти решение ц (х, ¢) ypaB-
нення вынужденных колебаний струны
ohaEtFx,t), ata,
(12)
удовлетворяющее граничным условиям
u (0, t)=0, Йо
(13)
и начальным условиям
и, =, ЯРУ)
(14)
Чтобы найти собственные функции однородного уравнения
ии =ва?ихх с граничными условиями (13), положим и (х, #)=Х (х) Т(В
и после разделения переменных получим уравнения
T” xX"
apo x
(15)
с граничными условиями
X(0)=X*()=0.
(16)
Решая уравнение Х”—^Х ==0 с краевыми условиями (16), нахо-
л (2Е— 1)\2
В
дим собственные числа А=— A) и соответствующие
AflannenАВЕфимова.а.4
61

собственные функции
2—1
.
ХиО,EN
(17)
(см. вадачу 17.63).
Рассматривая # как параметр, разложим функцию Е(х, 1)
в ряд по системе sins Ds вм:
a
F(x,)}=>) Ag(d)sinSET,
k=l
rye
2
2—1
лот |г t)sinEEE a, REN.
Будем искать решение уравнения (12) в виде ряда
С
л (2—1) х
u(x, =>)cp (2) sin EEN)
(18)
k=l]
подставляя который в (12) (считаем, 4TO Cpz(f) TaKOBBI, ITO BO3-
можно двукратное почленное дифференцирование по хи по ди
сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, Получаем
бесконечную систему дифференциальных уравнений второго по-
рядка относительно функций ск (1):
”
2q2 (2k— 1)?
о
= An), REN. (19)
Из начальных условий (14) следует, что функции с» (Г) должны
удовлетворять условиям
о
2—
u(x, N= (x) >> cy (0) sin EERNS
и
иг(х,0)= (x)=a сь(0)in "ОХ.
Пусть
l
Cr(0)=4|@(v)sinner tedu
(20)
и
°
7
2
—
Cr(0)= \@(v)sinzee? te,
РЕМ,
(21)
0
т. е. сь (0) и cy, (0) являются коэффициентами Фурье соответствен.
но функций ф(х) и ф(х) по системе (17). Найдем теперь решения
162

ск (#) уравнений (19), удовлетворяющие условиям (20) и (р, и,
подставляя их в ряд (18), получим искомое решение и (х, р.
По условию ф (х) =\1 (х) =0, поэтому
ск(0)=с»(0)=0 длявсех REN.
Jlanee, Tax Kak F(x, #) =а?, то
t
An (t)= Ap= a? sin ERAN)? ym
0
_ 208 2 cos TANol!
442
— Lx (2k—1)
21 0=0 П(28—1)"
Поэтому требуется найти решения дифференциальных уравнений
rome 7202 (Ob 1)2
2
|
ch ()
=a
KEN, 9
удовлетворяющие условиям
с (0) ==ск (0)=0.
(23)
Корни характеристического уравнения для уравнения (22) мнимые,
поэтому частные решения уравнений (22) ищем в виде с» (#)
== \ь.
Подставив эти зпачения в (22), найдем, что
— 162
ЗЕ,
а поэтому общее решение каждого из уравнений (22) запишется
в виде
ла 2—1) Ё
ла (2—1)Е
1623
Cp (t) = ap COS ———5——
-TBg Sin я Риби: “No
и из условий (23) получим
1622
Ck ОР ео,
ск (0)= В»ма
0,
16/2
т.е.Ве=0Иte—3"
REN.
Таким образом,
сь (#)= 16/2
ma(2k—-1)t\
—
328 ‚ ла (2Е—1)t
=евр(!-—$
)
sin" 41
~m3(2k 1)8
и искомое решение имеет вид
©
3212
1
a Ma(2kel)t (kml)x
a eeTs)
иNo
6*
163

17.92*, Jnana OS x<ll un 1 >0 решить уравнение
Ou dru
д= РИ
при нулевых начальных и краевых условиях
u(x, 0)=u;(x, O)=u(0, t)=u(l, t)=0.
17.93*. Для О<х<[и [>20 решить уравнение
O7u
ot?
ди а?.nat
и.
|- —_
——
при нулевых начальных и краевых условиях
u(x, 0) =и;(х, 0) =и (0, И=и (1 t)=0.
17.94. Найти температуру стержня при 0 <х = [с теп-
леизолированной боковой поверхностью, если начальная
температура его концов равна нулю, а в точке хь Е (0, [)
находится сосредоточенный источник с постоянной мощ-
ностью ().
® Требуется найти решение уравнения
ди_оди
atATTD
с нулевыми начальными и граничными условиями и (х, 0) = и (0, #)=з
== (1, Й=0, в котором }(х, Г) =06 (х—хо)/со, 6(х) — дельта-функ-
ция Дирака, с=- удельная теплоемкость и р— удельная плотность.
/
При вычислении коэффициентов A= | Fl, Г) зп Ee do ис-
0
пользовать следующее свойство б-функции:
если }(х) определена и непрерывна в точке хо, TO
+©
|} 8-х) ах= Го).
17.95. Для О<х<2 и{—0 найти решение уравнения
ди 0?и
.ЛХ
Of Hat SINT:
удовлетворяющее начальному условию и(х, 0) =0 и гра-
ничным условиям и (0, #) =0 и и, (2, й=0.
В примерах Зи 4 краевые условия являлись однородными
(см. определение задачи Штурма —Лиувилля перед задачей 17.61).
Если же рассматривается задача с неоднородными краевыми усло-
виями, то с помощью замены и=о--( путем надлежащего выбора
фупкции © вадача сводится к решению уравнения относительно
164

функции9 уже с однородными краевыми условиями. Выбор функ-
ции (/ определяется видом заданных краевых условий.
Пример 5. Найти закон свободных колебаний горизонталь-
ной струны, правый конец которой при ‘х={ закреплен, а левый
mat
при х=0 движется по закону u(0, ¢)=sin т. Начальные ско-
рость и отклонение равны нулю.
—
—
< Имеем уравнение и;, =0?и,, с начальными условиями и (х, 0) =
=и, (х, 0) =0 и неоднородными граничными условиями и (0, #) =
=sin, u(l, t)=0. Произведем замену u(x, ¢)=u(x, t) +
[—х ла
-|- 7 sin —- . Тогда относительно функции 9(х, #) получим не-
однородное уравнение
” » sa? (l—x)_ nat
Oj, = aU,
Sin
ла (1—х)
ОЙ
родными граничными условиями (0, #) =9(Т, #) =0. Однородное
уравнение 9/, =а?%',, с этими граничными условиями имеет систему
лАх
собственных функций sin —— кам’ поэтому ищем решение не-
с начальными '!условиями и(х, 0) =0, и, (х, 0)=
ин одно-
однородного уравнения в виде
©
<
о(х,=», Cr(t)sina,
k=l
Подставив это выражение ‘в неоднородноз уравнение, получим
бесконечную систему уравнений
лка \?
С, + (т) Cy (t) =A, (t), REN,
(24)
2a2 (1
t
k
27a
t
где Ag(t) =z | EE
ain а
фе
sin
причем
0
из начальных условий следуют следующие условия на С, (0) и
©
С, (0): u(x, 0) =», Сь (0) $т
о, т.е. Ск (0) =0 для всех ЕЕМ,
Е=1
@
“
TURK ла (1—х
ник, =У,Cf(0)sin =АС, т.
k=!
м _2 ла(1—х)
RX
‘2a
|
С
зик
ТЕ для всех КЕМ.
0
При &=1| в уравнении (24) имеет место резонанс (см. указание
к задаче 17.93), поэтому частнов решение ищется в форме
165

С
=
(4 сое" | Вуз | ; NOJCTaBHB ero B ypaBHeHHe, Haite
дем, что С (А =— # cos a . Используя затем условия Cz (0)=0
и Ci ©=—*, находим, что
Ci()=— +sinTM _ cosae
Далее, используя условия С» (0) =0 и С, (0) =— =, при #>2
получаем следующие решения уравнений (24):
2
два
[2
лай
С=—пар тТит.
Подстгвив эти коэффициенты в ряд для U(X, #), получим искомое
решение
[—x mat
j sin—--- 0 (x, t). >
u(x, j=
17.96. В области О<х<[Г и {>0 найти решение
уравнения и, = а*и,, при начальном условии и (х, 0)= х/
и граничных условиях и (0, #) =0 и и (1, t) =e,
@ Для приведения неоднородных граничных условий и однород-
ным произвести замену и(х, #) =и(х, + хе-11.
‚ 17.97. В области О<х<Ги #20 найти решение
уравнения и; =и,, при начальном условии и(х, 0) =1 и
Ou(l, t)_
— =0.
@ Для приведения неоднородных граничных условий к однород-
t
граничных условиях и (0, t)=e +”
ным произвести замену u(x, t)=o(x, t)te “Г,
17.98. Найти закон свободных колебаний горизонталь-
ной струны, Левый конец которой при х=0 закреплен,
.
‚ла
а правый движется по закону и(1, И=зш=--. Началь-
2
ные уклонения и скорость равны нулю.
® Для приведения неоднородных граничных условий к однород-
nat“oO?®
ным произвести замену и(х, t)=0(x, ++ sin 5]
17,99, В области Ох Ь [>>0 найти решение урав-
нения и,;== аи», при начальном условии и (х, 0=- и
граничных условиях и (0, й==в6"*, u(l, д =0.
166

17.100. B o6nacth O<x<l, t>0 найти решение
уравнения и, =и,, при начальном условии и(х, 0) =1 и
граничных и, (0, й=0, и(1, д =е-иР.
При решении задачи Коши (в этом случае краевые условия
заменены ограниченностью решения на бесконечности) метод
Фурье приводит к использованию интеграла Фурье.
Пример 6. Найти закон распределения температуры и (х, #)
в длинном однородном стержне, боковая поверхность которого
т‹ плоизолирована и известно начальное распределение темпера-
туры и (х, 0) =ф (х) =е-*".
<& [Гренебрегая влиянием температурных условий на концах длин-
нсго стержия, будем считать его бесконечным. Поэтому мы имеем
следующую задачу Коши: найти решение уравнения
ди о9?и
ye Ox’ —юхх<- о, O<t<+o,
(25)
удовлетворяющее начальному условию
и(х, 0) =ф(х) =е-*.
(26)
Предполагаем, что ф(х) абсолютно интегрируема на оси (— 0, со).
Ищем решение в виде произведения [и (х, #) =Х (х)
Т (1, поэтому
уравиение (25) преобразуется к виду
T’
и
в,
(27)
причем отношение отрицательно в силу того, что при f —+ o
—
2
фуцкция Т (6) =е-@®1 не должна возрастать до бесконечности.
Правое из отношений (27) приводит к уравнению Х”-о?Х =0,
решениями которого являются функции
Хо (х) =А (0) с0о$ ox-+ B (@) Sin wx,
а потому решениями уравнения (25) являются функции
Uw(x,В=ea*wrt(A(@)coswx-+B()sinwx).
Ecru A(@) и В (©) абсолютно интегрируемы для ®Е[0, -+ 0),
то интеграл
+®
+©
u(x, t)= ( Uy(x,f)do= \ e~Fart(А(©)cosox-+-B(w)sin@x)dw
0
0
(28)
можно дифференцировать по параметрам Е и х и мы имеем
+>
и;(х,д=—а?(wte~2°"(A(w)coswx-+B(w)sinwx)da,
0
+o
ur. (x, )=— \ е- 1" "160? (А (0) с0$ ох--В (®) зп ox) do.
0
167

Следовательно, определяемая интегралом (28) функция и (х, Ё) яв-
ляется решением уравнения (25), поэтому, если мы выберем
А(©)=<\ф(t)coswtdt
B(o)=+ | ф (т) sin wtdt,
то определяемая интегралом (28) функция и(х, Г) будет удовлет-
ворять и условию (26). Таким образом, искомым решением яв-
ляется функция
+®
+o
u(x,t)=> |enVoldoy ф(т)[с0$охс0$ют--$шхх$шют]4т=
0
01©
+oO
=— \ф(т)4т \e~Parlозв(x—1)do.
©
0
Используя формулу (см. задачу 8.192)
+@
| eV" cog бои
И=.*е 4,
0
вычисляем внутренний интеграл
+©
oot?
оHe
e
COSW(X—+Tdomtf= е 4arl
\
()2a*t
0
.
а потому
+®
1
_&=)?
u(x, ¢t ——
заа
(x,д=mVaJp(te
т.
>12
’ поэтому
1"С-(в29
е
В нашем случаеф (т) =е
yt baVnt
4a7t
.
и 82аVxtJ
a.No
В задачах 17.10] —17.104 найти решение задачи Коши
д0?
=:
—<<х<-ро,О<
-
о,
при указанном начальном условии и (х, 0).
17.101, и(х = LISA,
— 70, |x] >a.
168

17.102. и(х; 0) =е-1*1..
|
(si, [| А,
17.103. и(х, 0)= 0 ix|>h
x, |х| А,
17.104. u(x, 0)= 0, |xl>h
$ 3. Приближенные методы решения
дифференциальных уравнений в частных производных
1. Освовные понятия метода сеток. В большинстве случаев
получить решение дифференциального уравнения в частных про-
изводных с помощью элементарных или специальных функций
певозможно. В связи с этим важное значение приобретают при-
ближенные методы его решения. Ниже мы ограничимся рассмотре-
нием краевых задач для уравнений математической физики
© двумя
независимыми переменными в области О с границей у, т. е.
Lussa(x, y) uy, 2b (x, yu, be(x, yu, +d (xX, у)и,-
Het, yu +a, yu=f(x, y), (x, yED, (1)
Ги=ф(х, у), (% yey,
(2)
re a(x, y), B(x, y), c(x, y), d(x, y), e(x, y), B(x, y), T(x, y=
известные функции переменных Хх и у, определенные в области О,
Г — некоторый линейный (в общем случае дифференциальный)
опе-
ратор граничных условий и ф(х, у) — известная функция, задан-
ная на границе \.
Наиболее часто используемым методом численного решения
краевой задачи (1), (2) является метод сеток (метод конечных раз-
ностей). В методе сеток замкнутая область 2 =р\]} заменяется
конечным множеством точек —сеткой О, =В, (р. Точки этого
множества называются узлами сетки. Параметр A=(A, т), шаг
сетки, характеризует ее плотность в области Ш). Обычно при
1915 У т —> 0 последовательность сеток Ру стремится запол-
нить всю область О. Производные, входящие в левые части соот-
ношений (1) и (2), заменяются на сетке Р»ь соответствующими
разностными отношениями. В результате получается система ли-
нейных алгебраических уравнений
Гвив == [в (Хт» Яп),
(^„ И) ЕОь,
(3)
Грив
= Фр (Хт» Уп), (Хт» Уп) Е\ь,
где ил (Ут, Уп), (Хт, 9п) ЕР»
— искомая сеточная функция, [в (Хт, Уп),
Ф» (Хт, Ив) — сеточные функции, заданные; на множествах Оу и yp,
соответственно, и [„, Г» —разностные операторы. Сеточная функ-
ция ил, являющаяся решением системы уравнений (3), называется
приближенным решением краевой задачи (1), (2) на сетке Dy. Ee
значения ип, п = ив (Хр, уп) приближенно заменяют в узлах сетки
р, соответствующие вначения точного решения и (хр, Yn)
исходной краевой вадачи в некоторой погрешновтью 0, „==
=Um, nu (Xan Yu)
169

Семейство систем уравнений (3), зависящее от параметра
в (В, т), называется разностной схемой. Разностную схему (3)
иногда удобно записывать в виде
Грир =fp (Хт» Ип),
(Xmas уп) ЕО»,
(4)
где
т =] Lys (Xm> Уп) @Оь, = =| (в, (Xm> Yn) EDrz,
"1 Гь, (хи, ув) Ели;
Pr» Xm» Yn) Eh:
Построение разностной схемы (3) или (4) для краевой задачи (1),
(2) начинается с выбора сетки, т. е. указывается правило замены
области О и границы ‘у сеточной областью ДР». Чаще всего сетка
выбирается прямоугольной и равномерной. Для этого проводятся
два ссмейства параллельных прямых: х=х.--тв и y= Yo-- ant u
рассматриваются всевозможные точки попарных пересечений пря-
мых из этих семейств, т. е. точки вида (хи, Ип)
=(хо--МА,у, ПТ).
Точки (Хш, Уп), Которые принадлежат замкнутой области О), обра-
зуют сетку О», являясь ее узлами. У каждого узла (хи, Yn)
имеется чэтыре соседних точки: (Хш_1» Ип), (Хт+1» Ив), (Хт, Уп-у,
(Хт, Уп+1). Если все эти соседние точки также принадлежат
сетке О», то узел (хт, Уп) называется внутренним, в противиом
J
Рис. 224
случае узел (хш, Уп) называется граничным. Совокупность внут-
репних узлов образует множество Бу», а граничных
— множество ур
(так что Ди =Д, лу»). Следует отметить, что множество гранич-
ных узлов у» не обязательно является подмножеством точек гра-
ницы 9, что приводит к погрешностям при построении сеточной
функции фр из (3). На рис. 224 приведен пример прямоугольной
и равномерной сетки О», построенной для задаиной области О
170

{внутренние узлы сетки здесь отмечены символом *, а граничные—
символом ®).
После выбора сетки Dy проводится построение сеточной функ-
ции {» = ([No, Фл) и разностного опёратора Г» =(Ё», Ги) из (4). Для
определения {и в узлах сетки D, полагают р (Хть Yn)=f (Xm Yn)s
если (Хм, у") ЕДь, in (Xm Уп) =Ф (Хт, Yn) если (Хм, Yn) E Vn И
(Хи, Уп)Е 1, если же граничный узел (хш, Уп) Фу, то в качестве
(хп, Yn) выбирается значение функции ф(х, у) в произвольной
точке (х, у) Еф, отстоящей от узла (хш, уз) наз величину, мень-
шую |1 |. Для построения разностного оператора Ё» все известные
функции, участвующие в явной записи операторов Ё и Г (напри-
мер, а (х, и), 6 (х, и) и т. д.), заменяются своими значениями в у3з-
лах сетки О), и обозначаются соответственно через ат, п, бт,п
ит. д., а частные производпые 1-го и 2-го порядков неизвестной
функции и(х, у) приближенно заменяются соответствующими раз-
ностными отношениями. В результате получаем разностную схе-
му (4), соответствующую краевой задаче (1), (2).
Пример 1. Построить разностную схему для краевой за-
дачи распростраиения тепла в конечном стержне (0 <х=])
и! —аи"= (х, 0), u(x, 0)=9 (x),
t
u(0, th=
(¢),
и(рt)=We(2.
@ Заметим, что область определения {(х, #) |0 <х<
0 <<}
данной краевой задачи является неограниченной. Поэтому для
построения равномерной прямоугольной сетки О» (которая всегда
является конечным множеством точек) поступим следующим обра-
зом. Проведем два семейства прямых х=тй и t=nt MIA HeKOTO-
рых заданных А и т. Очевидно, что точка (хш, #1) принадлежит
области определения исходной задачи, если т=0, 1, ..., г, где
г —= [1/1], и п=0, 1,... Положим
Бь={(хт, и)
| т=0, 1, ..., Г, П=0, 1, ..., $},
(5)
где целое $ выбирается так, чтобы интервал 0=<{=<<1$ перекры-
вал тот временной диапазон, в котором изучается распростране-
ние тепла в стержне. Мпожество внутренних узлов ‚имеет вид
Dp={(Xm fn)| m=, 2, ..., r—1; n=l, 2, ..., s. B 3TO множе-
ство входят и узлы вида (хщ, #5), ml, 2, ..., r—1, KOTOpbIe мы
считаем внутренними, так как наше ограничение {< зт является
искусствеиным! Соответственно у,„=О,\О» или в явном виде
ув ==((хт, 0)|т=0, 1, .,,, г} {(0, и) |п=Ьа, ‚.,, $0 (т, в) |
п=
9
?9PeySe
Далее полагаем ив = {иш, п},
F (Xm tn)s (Xm tn) EDz,
$
Ф (Хм),
n=0; m=0, |, ор» Ws
th (Xn) t,)=
v1 (п),
т=0; п=|1, 2, ..., $5,
(6)
‘ha (fn);
т=,n=l,2,e909S.
Отметим, "To в случае, когда [/А не является целым числом,
т. е. г== [1/1] < ИВ, узлы (х‚, в), п=Ь 2, ..,, $, не принадлежат
граничной полупрямой х=р у-—0. Вместе с тем эти узлы яв-
171

ляются граничными, поэтому значения сеточной функции {» вних
перенесены с границы...
|
”
С
Для получения разностного уравнения заменим производные
разностными отношениями (см. задачи 17.105 и 17.108):
и, (т, bn) © = (Им, п+1—Ит, п),
=
Urs (Xm, tn) я yz (Um +i, п— ит. п-НИт-1, п),
Где (хи, в) @Оь. Следовательно,
1
|
а?
т (И, +1 Ид, п)— 3 (Um+i,п— 2, п-РИт-1,п),
Т=1, eees foal; П =0, 1, ee ey $—1,
Ит,6, Т=0, хооу Г,
(7)
Ko, п’ n=l, coos S,
Up n, Nel, ..., S.
Подставляя выражения (6) и (7) в (4), получаем искомую раз-
ностную схему, которая представляет собой следующую систему
линейных алгебраических уравнений:
a?
= (tm, п+1—Ит, п) — Fr (Um +1, n— 2m, п-РИт -1, п) =f (Xm, в),
Гвив =
J
O
e
n
m
e
g
r
e
e
’
”
w
e
n
n
G
E
,
m=al, ..., rml; n=0, ..., s—l,
Um, o=P (Xm);
т=0, ее» Гу
Шо,в=$!(в),
п=], .,., 5,
Ur, n= Da (tn),
r= 1, eoey So
Эта система состоит из (5-1) (7-1) уравнений. Решив ее относи-
тельно неизвестных Ит.п, Т=0, ..., г; п=0, ..., $, найдем се-
точную функцию ир= (ит, п}, значения которой в узлах сетки при-
ближенно заменяют значения искомого решения исходной краевой
вадачи для уравнения теплопроводности. >
Естественно, наибольшие трудности в построении разностной
схемы (4) вызывает замена дифференциального оператора Ё, исход-
ного дифференциального уравнения в частных производных (1)
разностным оператором Ён из (3).
Пусть И, —конечномерное нормированное пространство сеточ-
ных функций ив, заданных на сетке Оь, в нормой | из | = тах | ил |,
Vv
где и, — координаты вектора из (индекс V последовательно про-
бегает все пары индексов (т, п), нумерующих узлы сетки). Будем
говорить, что разностный оператор Ly приближает дифференци-
альный оператор Ё, если для любой функции и(х, и), дифферен-
цируемой достаточное число раз, норма сеточной функции
(Ги)в—РГьив стремится к нулю при |1| —+ 0, т. е.
| (Lu),—Lyuy|| — 0, [11| —0.
Если, Кроме того, выполняется неравенство
|(Ри)ь— Рив |= С Р-]т 19),
где С--константа, не зависящая от й, то порядок приближения
разностным оператором равен р по переменной х и 9 по перемен-
ной у.
172

В частном случае, когда щаги сетки связаны соотношением т=0 (1)
(т.е. не являются независимыми) и
| (Ги),
— Гьи <= СВ”,
говорят, что разностный оператор [» приближает’ оператор Ь
с порядком приближения п.
Для определения порядка приближения обычно используется
формула Тейлора.
Пример 2. Определить порядок приближения дифферен-
циального оператора [и=и;—а?ихх разностным оператором из
примера 1.
< В примере 1 был построен разностный оператор
1
а?
|
(Latta) in, n= (Um, n+i—Um, n)— 3 (Um+t, n—2Ugy, n+Um-i, n)-
Используя формулу Тейлора, находим
|
|
|
={Ит,пт Им,п)=— (U(Xm.tn+I—U(Xm,bn)=
,
TH
.
=Ut(Xmtn)Pooи(т,Е),
Где{и<Ё<Ш-ъ,и
1
да (Ит+1, п—2Ит, п--Ит-1, п) =
=(pentste)=Hmetn)Paии) ии,(=
1
,
th”
h2 97’
=F (ux (Xm ty Uxx (Xm: tire Uxxx (Xm tn)+
уг:
“fFa Uxxxx(X'; tn))+ (—us(Xm, tn)+4 Uxx(Xm tn)—
1:
h2
h3 vere
—-6 Чххх(Хт, tn) og Ихкхх (Х”, ta)|)’
re X_,—h< xu" <SxXy <x’ <xXm_th. Приводя подобные члены
в правой части последнего выражения, получаем
1
”
Ge (Um +i, n—2in, n+4Um-—i, n) = Uxx (Xm, bn)+
h2
tee
,
seer
n
124 (иххлх (Х', tn) Urxxx (X", tn))-
Следовательно,
,
”
tT
(Свир)т, n= Ui (Xn, tn) — A uxx (Xm) mae ип (Xm t')—
cas
ore
(ихккх (Х Stn)+ Ихкхх (х”, tn). (8)
Используя выражение (8), разность между исходным диффе-
ренциальным оператором [. и заменяющим его разностным Ё%
в узлах сетки можем представить в виде
azh
oouer
(Lu) m, nam (Latin)m: n= ee Co re54
——(ихххх (%', tn)-buxxxx(X", bn ))
173

для некоторых р (ПОРЫ их, "вх
< хто <).
Если теперь | и! (х, В| < Мги | ихххк (х, 0| < М», то выполняется
неравенство
(в— Сьив [=mar [(LU)m,n (Свив)т, в|<
М
a®h?
«ет
1 СВ®-|т).
Следовательно, использованный в примере | разностный опе-
ратор приближает исходный дифференциальный и порядок при-
ближения по переменной х равен двум, а по #—единице.
Отсюда, в частности, следует, что для того, чтобы порядок
приближения был равен двум, необходимо шаги И и т сетки свя-
вать соотношением т=?.
Замечание. Для облегчения запоминания построенного
разностного оператора полезно поставить в соответствие ему
«шаблон»
— геометрическую картинку расположения узлов сетки,
значения в которых связывает разностный оператор при некоторых
фиксированных значениях ти п. Для разностного оператора из
примера 1 шаблон изображен на рис. 225 (проверьте!)No»
В задачах 17.105—17.107 определить порядок прибли-
жения дифференциального оператора частной производ-
ной и, указанным. разностным оператором Ё..
1
17.105. (Гьиь) n= (Иа, "И, )— оператор пра-
восторонней разности.
17.106. (Рьи»)т, n= (ии „—Ит-1г. в) — Оператор лево-
сторонней разности.
]
17.107. (Lita),
n= Эр (Ит+т. п—Ит-1 п) — оператор
центральной разности.
В задачах 17.108 —17.111 определить порядок прибли-
жения заданного дифференциального оператора [. второй
частной производной указанным разностным оператором Ё.,.
17.108. Ги=ихх, (Рьиь)т.в =1
— he (t,,41, "—2И т, nat И п-т, п).
17.109. Lu =u’, (Littp)m n=
]
— he (Un+t, п+1 — 2+1, ntUnsi, n-1):
17.110. Lu = Uy, (Ltn)
в=
—_1
=a (Итчи, п+1— Ит+1, п-т —Ит-1, ntit Unat, n-1):
1
= ht (Un+t, nti mi, not Итп Ил, n+}
174

17.112. Построить разностную схему для краевой за-
дачи из примера |, используя оператор правосторонней
разности и оператор, аналогичный приведенному в за-
даче 17.109. Определить порядок приближения получен-
ного разностного оператора Ё, (шаблон приведен на
рис. 226).
m,n 1
т
тие
(т-1,1+) (mst) (тп)
т-1,п+1) (тт!) (ТН, п+
nk (m-1,n) (mn) _(m+hn) nti
.*-——-
h
n—
(т
Рис. 225
Рис. 226
В задачах 17.113 и 17.114 определить, какой диффе-
ренциальный оператор и с каким порядком. приближается
заданным разностным оператором Д,.
1
17.113. (Litt) in, п — op (Um+i, п Ит-1, „)
1
17.114. (ни),и=
|
:
-
~ Ae (Un—1, num, n-it Unset, at Un, nti— 4p, п).
17.115. Определить при каком % порядок приближения
дифференциального оператора [: Ри=и,—и„, разност-
HbIM L,
1
(Рив)т,na т(Ит,п+1—Им, в)—
]
+(1—а)(Чтт, "— 2, п—Ит-Т, n))
будет четвертым по Й и первым по т.
Составить разностные схемы для следующих краевых
задач.
17.116. SP = a2 S44 F(x, 9,и (х, 0) =$(%), 5 (х, 0)=
=), и(0,0=(0, и(6,= (0,=, 0108,
0O<i<T}.
7.117. cE +dF5 =f y),0>0,d>0, uly = Oy)
D={(x, YJO<x<xb, OSy<Y}.
Более общьм способом построения разностных операторов,
приближающих заданный дифференциальвый, является метод
175

неопределенных коэффициентов. Этот метод состоит в том, что при-
ближается не каждая производиая в отдельности, а сразу весь
оператор. Для замены дифференциального оператора разностным
в узле (хт, Ип) рассмотрим соседних узлов. Узел (хи, Уп) 0боз-
начим индексом 0, а остальные рассматриваемые узлы занумеруем
м
числами |, 2,..., М. Составим линейную комбинацию >, Cruz
k=0
с неопределенными коэффициентами ск, где и„— значение u(x, y)
в узле Е.
°
Предполагая функцию и(х, у) дифференцируемой п-1 раз,
разложим и» по формуле Тейлора в окрестности узла 0. Считая
сетку квадратной (т=й), имеем
м
<
0 +/и
>
=>
меИНR.
9
Свиь
7(55 a) +R
(9)
k=0
i+j<gn
Коэффициенты \,;, линейно выражаются через ск. Выберем коэф-
фициенты сх так, чтобы правая часть в равенстве (9) отличалась
возможно меньше от значения дифференциального выражения Lu
в узле 0, т. е. чтобы коэффициенты при производных в уравне-
нии (1) ‘совпадали с коэффициентами при соответствующих произ-
водных в правой части (9), а коэффициенты при старших произ-
водных порядка г (2 «г п) в (9) приравняем нулю, т.е.
у; =0 для 2<i+j=rcn.
(10)
Учитывая, что 7;, выражаются через ск, имеем систему уравнений
относительно с», решив которую, мы получим приближение опера-
тора [ми в узле (т, п):
м
скик = (Ги НО (В7—*).
0k=
Система уравнений (10) относительно сь может иметь несколько
решений, однако достаточно взять одно из них. Используя в слу-
чае необходимости достаточно большое число узлов М, можно
получить хорошее приближение Lu в узле (т, п).
В задачах 17.118 и 17.119 построить соответствующие
разностные операторы методом неопределенных коэффи-
циеитов.
17.118, Lu=u;,,+2u,,+5u),. Порядок приближения
равен двум (шаблон указан на рис. 227).
ев
р
5. |!
17“ 8
Рис. 227
176

«$ Гектроим квадратную сетку Дь, т.е. выбираем шаг как по
переменной х, так и по переменной у равным Й. В качестве сосед-
них берем 8 узлов (см. рис. 227), т.е. NoМ=8. Имеем линейную
комбинацию > Сейв
= (Био.
k=0
Pa3naran up, по формуле Тейлора в окрестности узла 0, будем
иметь
и”
Ure
Uj (Xo-+h, Yo) Uo bush +> h?+—S= hP-+0 (hs),
Uz=U(Xo, Yoth)=9+uh uy ha = ho+0(14),
Ug =U (Xyo—h, juni pt ha — i he+-0 (1),
или (хо, Yo—h)
uy —uyh4+—2e“yy 28 —27 ne +-0 (hs),
Ug=U(X9 В, votNock asi win (ure+Quy+Uyy)+
+3F(t eh Зи, Ни)0 (84),
Ug=U (Xo—A, goth) = шо их ugh ee киви ии) +
+37 (—: i Зи Нину)0 (1%),
Uz =U (Xy—h,
Ат (ихх-Н 2иху- ии) —
oon
ste
-з
Зин Зи и, о)--О (h*),
eon Ge Yoh)=totex
—
iy+
aor
>PO(ex—2иху+Uy)+=31и -Зи,а, Зи —м) 0(9.
Подставим эти выражения в ([и)о:
(и)о=Ug(Co+61+62$3-FCg+Cn+CotCz-FCg)
ugh (Cy—свРось св C7+Cg)+Ugh(Comey
+65 св=>С+=сз)+
ure т (cyсво св C7 са) + Uy т (Ca-t са-Нсь
Е св-Еса-Нсв) ++
4 Puy
ee (о ед ть (их Bu yey Зин Нщуи)+
+oв(—WegtЗа=Зи Нину)—
И + Begab yyy)
+3x Cy (ul
4
xy yyy) FR (Ci, Cav ик» Св) hom
=ex+Quxy+Buyy.
п
h2 ое
3 ee (Cj~»C3)-+

Сравнивая коэффициенты при соответствующих производных, по-
лучим систему линейных уравнений для нахождения с;, выбирая
при этом i-+j=3:
Cop Ci Caf Cg+Cy+C5+
CotCz+Og=0,
Ci —C3 =с5—св—с.Есв=0,
Ca —Са-Рсь-Ё
св—с—св=0,
2
Ci -сз овсв саРев=5,
bates teeto tear, ay
2
Св—Cg—Cp+Cg=2’
Cl
са оь све -Рсв==0,
C3-+Ca—C, —Cg=0,
Cp —Cga—C,-+Cg,=0,
Са
са сьсв—с—св=0.
Систему уравнений (11) решаем методом исключения. Из послед-
них четырех уравнений получим Сь=Сз, с2==с4. Используя эти
равенства, из второго и третьего уравнения системы установнм,
ЧТО Св=Са, Су=св. Можно переписать систему уравнений (11)
в следующем виде:
св 21-Е 2сэ Е 2сь- 2св =0,
21 - 2сь- 2св == 2/1,
2Cg-+ 2¢5-+ 2св = 16/12,
265—266 = 2/42,
(12)
С4—0,
Со—=0.
Решая систему (12), получим следующие значения для искомых
постоянных:
Со == — 2/2, ст == —4/1?, Са =з0, сз = —4/1?,
ва=0, с=3/12, Св=2/й?, C,=3/h?, Cy=2/h?,
Окончательно для узла 0 получим
(Lu) % (—2ty ~~ 4uj — 4u3 + 3u5-+ 2ug-+ 3u, + 2u,),
т. е. для всех внутренних узлог сетки ДР» имеет место формула
(Lita)m, n=2Um, n+ 4Umsi, nt+44n-i,n—
mm Sin + is п+1-—2И т-1, п+1— ЗИ т 1, п-1-— Им, в ЕЕ.
Порядок аппроксимации второй: г— |1 =л —1==2. >
2
7
0
9
|.
Рис, 228
178

17.119. Lu=u,,+u,,. Topayok приближения равен
двум (шаблон указан на рис. 228).
Пусть, как и выше, иь={и» (т, п)} —решение `разностной
схемы, т. е. системы линейных алгебраических уравнений (4).
Прнменение разностной схемы к решению краевой задачи (1), (2}
оправдано, если величины и»(т, п) являются приближенными
значениями сеточной функции и(хт, Yn), представляющей собой
значения неизвестного решения и(х, у) задачи (1), (2) в узлах
сетки.
Будем говорить, что разностная схема (4) является сходящейся
на решении и (Хх, у) задачи (1), (2), если при А —»+0О выполняется
условие #)
|
[и(Xm)Уп)—Ив(т,п)||—0.
Если дополнительно выполняется неравенство
[и(хт, Уп)—ив (т, п)|<= Ай,
(13)
где А--константа, не зависящая от В, то говорят, что скорость
сходимости имеет порядок 5 относительно A,
Сеточная функция и(хт, Уп), вообще говоря, не является
решением разпостной схемы. Поэтому при подстановке ее в левую
часть (4) получается выражение
Г (и (ть Ут) = Ть-Ебфь,
где 5/» называется невязкой или погрешностью аппроксимации,
Если |6 | —0 при В—+0, то говорят, что разностная
схема (4) аппроксимиругт краевую задачу (1), (2) на решении и (х, y).
При выполнении дополнительного условия
|Fp ||<<BAY,
(14)
гле С— константа, не зависящая от й, число а > 0 называется
порядком аппроксимации.
Наконец, не менее важным свойством разностных схем яв-
ляется понятие их устойчивости. Разностная схема (4) называется
устойчивой, если существует такое й,, что для всех А <No и лю-
бых [„ она имеет единственное решение и
ль |< СПР
(15)
где С—константа, не зависящая от Й и правой части fy.
Между рассмотренными понятиями сходимости, аппроксима-
ции и устойчивости существует тесная связь.
Теорема 1. Пусть устойчивая разностная схема (4) аппро-
ксимирует краевую задачу (1), (2) на решении и(х, и) с порядком
аппроксимации в > 0. Тогда эта схема является сходящейся и по-
рядок ее сходимости совпадает с порядком аппроксимации.
Пример 3. Для задачи Коши
Uj—Uy=f(x,Г), —©<х<-о, ОЕ«ТГ,
и(х,0)=ф(х),
—© <xX< +o,
1) Здесь и в дальнейшем будем считать шаги й и т вависи-
MLIMH, T. e. T=0 (A).
179

построена разностная схема
О
1
® (Um, n+1—Um, n)— (Ит +1, п— Ил, n) =I, ns
m=0, +1, ..., +M: n=0, 1, ..., (T/t]—1,
Um,o=Pm»
m=0 + l, eee, +М,
где т=АА и постоянная А < 1. Определить порядок аппроксимации
этой схемы и исследовать ее на устойчивость.
«4 Сначала покажем, что построенная разностная схема аппрокси-
мирует исходную краевую задачу и определим порядок аппрокси-
мации; Предполагая, что решение и (х, у) задачи Коши имеет огра-
ниченные вторые производные, по формуле Тейлора имеем
бт, ий, 2) = (и (хв-НВ, tn) )—и (хит, tn)) =
=у
A”
= Uy (Xm, bn) boy Ихх (Xm+6, tn),
O< E<A,
j~
- 1-,
-
(Um, nim Um, n= (1 (Xme En$t)—U (Xm, bn))=
==И;(Xm г)
ин (Xm, tn+n),
О<ц< т.
Учитывая соотношение т=АА, получаем
1
=‘
д
1
~~
-<
=(Ит,птИл,n)—>(Ива,пИт,п)=
=)
-,
А, -/”
1п
r= (Uy (Xm, bn) —Ux(Xm, tn))+A (5 Uti (Xm, ви) — > Ихх (Хт-НЬ, tn),
Погрешность аппроксимации б[ш, п= (и (хт, Ип))— Ра, п» сле-
довательно, В ВИД
в(ин ых а в),
Um,о— Fm:
Но ‘ив о—Фт==0 для любого т в силу граничных условий. По-
этому норма би, п оценивается следующим образом:
бт, |"
| fm, „тах |5 бе,
ихинь6
|
«АМА
где М —максимальное значение вторых производных функции
u(x, и) в области Р. Полагая здесь В =М ‚ приходим к нера-
венству (14). Следовательно, рассматриваемая разностиая схема
аппроксимирует исходную задачу Коши и порядок аппроксимации
равен единице. (Конечно же, на решении и (х, у), обладающем
ограниченными вторыми производными.)
Отметим, что метод проверки свойства аппроксимации разно-
стной схемы во многом повторяет метод определения порядка прн-
ближения разностным оператором дифференциального.
180

Теперь проведем исследование разностной схемы на устойчи-
вость. Снова используя соотношение т=А/, перепишем исходную
разностную схему в виде
Ит, п+1==(1— А) Ит, п--АИт +1, в М, ns
(16)
Ит,о=Фю,
где. как и выше, т=0, +1, ..., М; n=0, 1, ..., [T/(AA)J—1.
По условию Awe |, поэтому 1—A>0. В этом случае справед-
лива оценка
|(1—А)ит,в Аитчт,в|<(1—^)|И,в1-НАИр+т,п|<
<(1—А)тах{|Um,nt;
[Ит+т,в}-+Атах{|ит,в |Ит+т,п|}=
= тах {| Иж, в | [4т+1,п|}< max Тит, в |.
-М<т<м
Используя эту оценку, из (16) находим:
т, п+1 | < | (1—^) им. ntAum+i, n|+tM fa nl<
S_ymax lem nlt Miia (17)
где|[+|=тах
| [м п|. Правая часть неравенства (17) от т не `за-
m,n
висит, поэтому выполняется неравенство
и
AA
ммм | Um, nvi]S_ max [Um n{|+AAl fal
(18)
для любого п=0, 1, ..., [T/(Ak)]—1.
Используя неравенство (18) для оценки первого слагаемого
в его правой части, последовательно находим
тах мт п+1 | < _Мет«м [ Um, n-i]+2Ah|
f, l=...
-М«т«М
ак [Ит,в-Е|-Н(ЕО
М[а
.,
бах и ито 1-Е
(а ль5
= maxylPaltetDalfal
(19)
-~M<em
Tak Kak Um p=Pm 43 (16). ле заметим, что max [Qal<
<т<М
< [и |< |. Подставляя эти неравенства в (19), получим
max yum neil (1--(п--1)No) 71 <
-М<т
<(1Т/АВ]В) |<(+Т) Fe
Правая часть полученного соотношения от В не зависит. Следо-
вательно,
тах
ии, в+1 [< (1-Е ТЕРЬ
O<gn<(T/(Ah)]—2 -м<т«м
г. е.
_
[ив[<<1--Г)|
и мы получили искомое неравенство (15) (с С=1-+-Т), означающее
по определению, что разностная схема устойчива при А «<< 1.
181

Так как заданная разностная схема аппроксимирует на реше-
нии исходную краевую задачу и устойчива, то при А =1 она
является сходящейся и скорость сходимости по теореме | имеет
первый порядок. No
17.120. Доказать теорему 1.
17.121. Показать, что рассмотренная в примере 3 раз-
ностная схема неустойчива при ^>1.
17.122**. В области В = {(х, у) |0 < х<1, 0<у<!}
построить разностную схему первого порядка, аппрокси-
мирующую первую краевую задачу для уравнения гипер-
болического типа
0?
0?
д
д
ааа со, Ча, ви =, а>0, b6>0,
|
о
ино = Ф(%), бу, = (9), и, =Ф(У), и. =Р (У).
17.123*. В области О из задачи 17.122 построить раз-
ностную схему второго порядка, аппроксимирующую пер-
вую краевую задачу.
17.124*. В области В построить разностную схему пер-
вого порядка, аппроксимирующую третью краевую задачу
Lu =f, Ul, ao=P (x), cleo
(x),
(#4 и)|..,=Ф®. (#+50)|_, Е)
17.125**. Построить разностную схему второго поряд-
ка, аппроксимирующую третью краевую задачу.
17.126*. Определить порядок аппроксимации разност-
ной схемы задачи 17.117.
В задачах 17.127—17.129 для заданных задач Коши
и соответствующих им разностных схем выполнить следую-
щие задания!
1) Выписать разностный оператор Ё„ и правую часгь |,
возникающие при записи этой схемы в виде (4).
2) Нарисовать шаблон для разностного оператора [.,.
3) Показать, что разностная схема аппроксимирует
соответствующую краевую задачу с первым относительно
й порядком на решении и(х, Г), имеющем ограниченные
вторые производные.
4) Исследовать разностную схему на устойчивость в
зависимости от значений параметра A: t= AA.
182

17.127. uj;—u,=f(x, t), —wow<x<+o0, OSI(KT,
u(x, 0)= (x);
1,
1
т(Un,п+1—Им,")—+(Un,п—Ит-1,n)—|n
m=0, +l, mo +M,
=Фф„, п ==0, wee, [T/t]—1.
17.128. bute fle, t), —oo ox <+o0, 0O<f<T,
u(x, 0) = (x);
1
1
т (и, п+1—_ Им, в) + h (Un, п—Ит-1, п) == bin. п»
т =0, +1, coy +M,
o=P,, 2=0,1,...,[7/t]—1.
17.129, u;tu,=f(x, ), —o<x<+oo, OSt<T,
u(x, 0) = @(x);
1
1
=(Un,п+1—Им,п)+h(Um+t,пИм,в)=hin.ne
т =0, +1, oeeyg
+-M,
Ито =Pm, =O, 1, ..., [7/t]—1.
17.130. Исследовать устойчивость разностной схемы из
примера 1.
17.131. Исследовать устойчивость разностной схемы из
задачи 17.112.
17.132. Исследовать устойчивость разностной схемы из
задачи 17,116.
17.133. Исследовать устойчивость разностной схемы
1
1
5- (Ит. nti
Um п-1) = ha (Ит-т, „—2Ит. at U n+i, п)»
т=0, 1,..., М—1, п=0,1,..., М-—1,
о—Фи, Un,1—Wins Ug,n=Uyn=0.
2. Численное решение краевых задач методом сеток. Все разно-
стные схемы, применяемые при решении краевых вадач матема-
тической физики, делятся на два больших класса —явных и не-
явных схем.
Под слоем разностной схемы понимается совокупность точек
сетки Р, лежащих на некоторой горизонтальной (или вертикаль-
ной) прямой. Если значения сеточной функции Иж, п+1, заданные
на (п--1)-м слое, выражаются в явном виде через значения этой
же функции на слоях с меньшими номерами, то такая схема на-
вывается явной. В противном случае схема называется неявной.
Например, разностная схема, полученная в примере 1, является
явной, так как может быть записана следующим образом (см.
183

выражение (7):
ат
Ит, +1 ТИт, Ру: (Ит +1, пит, в-НИт-1,
п)[ап,
n=O,
l, eee, 8—1;
т=|, `етеу r—lI,
Unm,o=Pm
т=0, lL, eae Г,
Uo, n= Pi (tn),
п=1, 2, 9%°еу $»
Ир, п= 2 (Zn),
n=1, 2, eooos Se
Решение получающейся системы линейных алгебраических урав-
нений трудностей не представляет и осуществляется после дова-
тельно, переходом от слоя к слою.
Сложнее обстоит дело с неявными схемами (как в задаче 17.112,
например). Для решения соответствующих им систем уравнений
удобно применять метод прогонки, т. е. модифицированный метод
исключения для решения системы линейных уравнений. Суть этого
метода разберем на основе неявной разностной схемы для уравне-
ния теплопроводности (см. задачу 17.112). Введем обозначения
as
2a2t
@т, п+1
= — TFs Вт, п1=1- 5, Em, nti=Unm, ntitlm n+i-
hi
h?
(20)
Разностную схему из задачи 17.112 перепишем в виде
Uo, n= Wi, п,
Om, n+itm-1, nei tom, nlm, пы Гат, п+1Ит +1, п+1=бщ, в+1 (21)
Ив, п = фо, п» П=0, ‚„,., 5—1],
Нт, (= Фю,
т=|, eee, k—l,
Система уравнений (21) при. каждом фиксированном значении п
совпадает с системой
Up =f,
Anni +Onlnt Cnunsi=Bn, n=1, ..у’, М—1,
(22)
им= т,
для которой справедлива следующая
Лемма. Система уравнений (22), коэффициенты которой идов-
летворяют неравенствам |6. | >1-Н|[ав|-|св|, разрешима при лю-
бых правых частях, и для ее решения справедлива оценка
[и | < тах {|ф|], [41], +...» | @в-т|, [4 ]}.
Для системы (21) условия леммы выполнены. Систему уравне-
ний (21) удобно решать с помощью метода, который называется
методом прогонки. Будем искать решение системы уравнений (21)
при каждом фиксированном п в виде
Ит-Т, п+1 == От, n+i4m, п+1-Е Нл, п+ 1»
mR, «45, 2. (23)
Исключая иш--1, п+1 ИЗ системы (21), получим
Qn, n+i
@т, +1т, пт Ом, п+1
Вт, п+1 = @т, п+1Нт, п+1
Aan n+1Qm, ntitom, n+1
Ит,п+1=—
Ит+т,
+1 -[
‚ (24)
184

Соотношение (24) связывает значения CPYHKUHA Up nat, Ummah n+is
поэтому можно записать
ит, п+1=От+1, пт +1, аа Нин, net
(25)
Сравнивая соотношения (24) и (25), имеем
@т, п+1
Qm+i,
аи пра. n+1tlm, n+i-
(26)
Em, n+17— 4m, п+1Нт, n+i
Ит+1, п
Qn, n+1Q9m, n+it om, n+1
Соотношения (26) определяют значения всех прогоночных коэффи-
циентов @ш, п, Нт, п.С помощью этих соотношений сетка проходит-
ся вверх по Mm от "значения | до значения &—1 при фиксированном
значении п. Нри этом определяются все значения Ож, п, Нш, в на
сетке (прямая прогонка). Определив все прогоночные коэффициенты
Чт, п, Нт, п, проходят сетку вниз от значения А до 2, последова-
тельно определяя значения Uy yn Из уравнения (23) (обратная
прогонка). Граничное условие при т=0 определяет начальные
значения @1, п+1, Ну, п+1, а граничное условие при т= в общем
случае определяет первое значение и». Метод прогонки обладает
тем свойством, что ошибки округления, получаемые на каждом
шаге, не нарастают. Это свойство служит основанием ее широкого
применения.
17.134**. Определить начальные значения прогоноч-
ных коэффициентов и значение и, для решения парабо-
лического уравнения в случае граничных условий
(авы)
=ФУ, (<,z+Bat)|,=Or
В задачах 17.135—17.147, используя разобранные вы-
ше разностные схемы, найти приближенное численное ре-
шение.
17.135. 2
x=0
д? д?
|
т—25—0 =0, Р={(х, 10 <х<2,
д
<#=—1},
U|po9 =X’,
=
LL. ‚„ =4с0$ $.
17.136. £4— oa 8xy =0, D={(x, y)|O<x<1, 0<
-
|
0
<у=<\}, “0, n=x, 00, y)=y, 5, (х, 0) =0, и, =
=1— 9.
2 137. u,, Alyy = YY, D=\(x, и)10<=х=—<2, 0=<
<1}, и |= -Е1, No ть = + 6, ul,-o=siny+l,
TL
Seo
17.138. u,,—4u,,—xy=0, D={(x, yIO<x<l, 0O<
Ou
Ou
,
(a, Wlyao=X, S| = 8r—2, (t+yu)| =v",
И
mtyt)ра= 1AY.
50 — sinx, Ш в=е—1,
185

17.139. u,,—4u,, = en D={(x, У 0х2, О=иуи=—
р и. =4х--5, Byleo
(5; sinyu| peg OY
(Sey) ee OOS:
Задачи 17.140—17.143 решить, используя явную или
неявную схемы.
ve 2o4_x=0, D={(x, y)[0<x<2, 0<
<1}, tla l= Ul,no
= COSY, Ul,_,
= Siny.
17.141. 5 —2"+1=0, D={(x, y)JO<x<l, 0<
Ky <1}, ule, N=, ular=e, (H+u)| =O.
17.142. чи РИО, Dette NlO0<x<2,0<
и
a
ats 1}, Hao
x|.0 t,(u“+
)
|...
17.143. о-ва,
БЫ { (к, |010 ЕЦ,
и [1-0
= Sin nx, (5+—0,5и) о = 0, (5 +0,5и |. =0.
Решить следующие задачи Дирихле.
el} QU pxt Uy =O 2xy, D={(x, y)|V<x<2,
0<yY<
|, 20 == 1-+x, Ula. =3—y’, и 0 =1+5 у,
u meena
17.145. set ha =——y?, D={(x,y |O<x<lo<s
<<,
leon = 2A
Ulnt=y"+4y, и|=.=0, и===
esХх -|- 2-2.
17.146. 5 +49 = Эду, D={(x, y|O<x<yHl,
0<у=1},
и], =0=Х, и =х-1==ХУ-1, | и|=1=5—Х,
и -0о=54.
17.147, 2u,,+4u,,+yx=0, D={(x, y)|0O<x<2,
О=у= 1}, и|==БУ, =,
и==
—
x*, и =з=
= aaa
В задачах 17.148—17.155 составить на фортране под-
программы для численного решения уравнений в частных
производных методом сеток, используя разобранные выше
разностные схемы. В качестве параметров подпрограмм
использовать: Е, Е], Р$11, Р$Г2, РЕТ1, ОТТ2 ит. д.—
индентификаторы подпрограмм-функций, вычисляющих
значения правых частей уравнений, а также начальные
H краевые условия соответственно.
186

17.148. Составить подпрограмму для решения уравне-
ния параболического типа аа я=| (x, t), D={(x, y)|0<
<= 1, 0O<t<}}, и|1-.=Ф(Х), И|шо==:(1), U|ei=
= p,(¢) явным методом, используя схему примера 1.
17.149. Составить подпрограмму для решения первой
краевой задачи, используя разностную схему из за-
дачи 17.123.
17.150. Составить подпрограмму для решения третьей
краевой задачи, используя разностную схему из за-
дачи 17.125.
17.151*. Составить подпрограмму для решения урав-
нения Пуассона, используя разностную схему из за-
дачи 17.117.
17.152. Составить подпрограмму для решения уравне-
ния теплопроводности методом прогонки, используя раз-
ностную схему из задачи 17.112: а) граничные условия
не содержат производных; 6) граничные условия общего
вида (см. задачу 17.134).
17.153. Составить на фортране подпрограммы-функции
для вычисления функций правых частей уравнений
17.135—17.147.
17.154. Составить на фортране подпрограммы- функции
для вычисления начальных и краевых условий в задачах
17.135—17.147.
17.155*. Составить на фортране программы решения
задач 17.135—17.147, используя подпрограммы, получен-
ные при решении задач 17.148—17.154.
187

Глава. 18
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
$ 1. Интегральные уравнения Вольтерра
1. Уравнения Вольтерра 2-го рода: основные понятия, связь с диф-
ренциальными уравнениями. Линейным интегральным уравнением
ольтерра 2-го рода называется уравнение
x
у =!)+} Ка, Oy Wat,
(1)
a
где и (х) — искомая функция, а К (х, Г) и {(х) — известные функции,
определенные соответственно в треугольнике Ae xb, aI xX
и на отрезке [а, 5]. Функция К (х, #) называется ядром иптеграль-
ного уравнения (1), функция |[(х) свободным членом этого урав-
нения.
Решением уравнения (1) называется всякая функция и(х), хе
@[а, 65], подетановка которой в это уравнение обращает его в тож-
дество. Вопрос о существовании и единственности решения ре-
шается различным образом в зависимости от свойств ядра К (х, Ё)
и свободного члена | (х), а также от того, в каком классе функций
ищется решение. Всюду в дальнейшем, если не оговаривается
противное, мы будем предполагать, что функции К(х, t) uw f(x)
непрерывны в своей области определения. При этом условии урав-
нение (1) имеет, и притом единственное, решение в классе функ-
ций, непрерывных на [а, 6].
Интегральные уравнения Вольтерра 2-го рода используются
обычно при описании динамики различных процессов в системах.
В частности, всякая задача Коши для линейного дифференциаль-
ного уравнения
ап
ап-1
паи bas (1) ae bee Fan (x) Y= FH),
F(X)= YoY" (Xo)= Yin enor YO) (Xo)
= Yn-t
может быть сведена к решению некоторого линейного интеграль-
ного уравнения Вольтерра 2-го рода.
Пример 1. Составить интегральное уравнение, соответ-
ствующее задаче Коши
uu’
+ ue xt, u(O0)=), цв’(0) =0.
«$ Положим
u" (x) =y (x).
(2)
188

Иптегрируя (2) с учетом начальных условий, последовательно
находим
иди (0)+ Дуб) = Дуб) а,
(3)
0
0
x
$
x
ии
(0) |48уд =1+
| иду) @. (4)
00
0
Подставляя (2)—(4) в [исходное дифференциальное уравнение,
получаем
y(+2\ yt) и+ (1+ (xt) y (2)at) =x
0
0
ИЛИ
уф —1— | (2+ ems) y(t) dt,
(5)
0
Таким образом, показано, что если и (х)— решение исходной
задачи Коши, то функция у(х)==и” (х) удовлетворяет интеграль-
ному уравнению (5). Обратно, если у (х) == решение этого уравне-
ния, то функция и(х), определяемая соотношением (4), удовлетво-
ряет как исходному дифференциальному уравнению, так и началь-
ным условиям. Следовательно, рассматриваемая вадача Коши
эквивалентна интегральному уравнению (5). >
Проверить, что данные функции являются решениями
соответствующих интегральных уравнений:
x
18.1. y(x) =e, y (x) =e* + [ert y(t) dt.
0
18.2. y(x) = xe, y (x)=
x-+ | xty (2) dt.
0
18.3. y(x) =e7* (+ 1).
x
y(x)=e7*+\e~“=)sin(x—?)y(2)dt.
0
Составить интегральные уравнения, соответствующие
следующим задачам Коши:
18.4. u' + 2xu =e*, у(0) =1.
18.5. и"— Зи’ и=0, и (2) =1, и’ (2) =— 2.
18.6. w’—sinx- ци’ ен ==х, и (0) =1, и’ (0) =-—1.
18.7. uw" +xu=e*, u(O0)=1, wu’ (0) =u" (0) =0.
18.8, ШУ Ри" —и=0, и (0)=и' (0)=и” (0)=0, м” (O)=1.
189

18.9*. Показать, что задача Коши для линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициен-
тами
апу
аи... tay=f (x),
Yo (Xo)
= Yor Y" (Xo)= Yty oes YO” (Xo)= Yat
сводится К интегральному уравнению вида (1) с ядром
—~{)k-1
K(x,=aa, or|
зависящим лишь от разности х—1{ своих аргументов
(интегральное уравнение типа свертки, см. п. 3).
Задача Коши для произвольного дифференциальвого уравнения
|{-го порядка вида
y'=f(x,9), у(Хо)=у
эквивалентна в общем случае нелинейному интегральному урав-
нению Вольтерра
x
y (x) =yot | F(x. yO) at.
Жо
Аналогично, вадача Коши для произвольного дифференциального
уравнения п-го порядка, разрешенного относительно старшей
производной,
yTM=P(x,9,Or,aoeyin), У(о)=У,
у" (Хо) =, oor, YOY (Xo) =Yn-1
может быть сведена к системе нелинейных интегральных уравне-
ний Вольтерра.
Пример 2.” Составить систему интегральных уравнений,
соответствующую задаче Коши
y"=2y—y"*, 9(0)=1, И’ (0) =0.
«® Полагая и! (х) =у(х), 92 (х)=У (х), сведем исходную задачу
к вадаче Коши для нормальной системы 2-го порядка
Yi=Yyon == у, 44 (0)=1,1 Уз (0) =0.
В свою очередь, полученная система дифференциальных уравнений
с учетом начальных условий эквивалентна системе интегральных
уравнений
0
и(®=1--94 и=\Фи) 9.>
0
Составить интегральные уравнения или системы урав-
нений, соответствующие следующим задачам Коши!
190

18.10. y =l+xsiny, y(n) =2n.
18.11. yi =—1+43x?4+y%, y(I)=1.
18.12. y’=x+y?, y(0)=1, y' (0) =2.
18.13, y" => xy", y(0)=—3, y' (=I, y"(O)=—1.
18.14. y" =x-+xy?—y", y (0)=1, y’ (0) =y’
(0) =0.
Во многих случаях решение интегрального уравнения Воль-
терра 2-го рода (или системы таких уравнений) в свою очередь
может быть сведено к решению некоторой задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Укажем здесь два
способа, посредством которых это может быть сделано.
а) Если в исходном интегральном уравнении (1) ядро К(х, 2)
и свободный член [(х) имеют непрерывные производные К’ (х, #)
и |’ (х), то это уравнение может быть продифференцировано (один
или несколько раз), что и позволяет в ряде случаев свести его
к задаче Коши для некоторого обыкновенного дифференциального
уравнения.
Пример 3. Решить интегральное уравнение
y(x)=sinx-+(sin(x—1?)y(¢)d?.
(6)
0
« Последовательно дифференцируя интегральное уравнение, полу-
чаем
y’ (x) =cos x-+ ( cos (x—t) y (t) df,
(7)
0
y”(x)=— sinx+y(x)—(sin(x—t)y(t)dt.
(8)
0
x
Исключая из уравнений (6) и (8) интеграл { sin (x=
y) y(t) dt, nony-
0
чаем для неизвестной функции у(х) дифференциальное уравнение
и" (х) =0. Из (6) и (7) находим начальные условия: и (0) =0,
у’ (0) =1. Следовательно, и (х) =х. >
Рассмотренный прием всегда приводит к цели в том случае,
когда ядро К (х, [) имеет вид многочлена по степеням бинома х-=}
(см. задачу 1.9).
Пример 4. Решить интегральное уравпиение
x
y (x)= x42 sin x—1—| (A y (at.
(9)
0
< Дважды дифференцируя уравнение (9), получаем
x
y’(x) =1-+42cosx—| y(2)dt,
(10)
0
y” (x) =— 2sin x—~y (x).
(11)
19]

Уравнение (11), или в стандартной форме
y’+y=—2sIn x,
(12)
и есть дифференциальное уравнение для функции и(х). Началь-.
ные условия найдем из (9) и (10) при х==0:
у (0) =—1, у’(0) =3.
(13)
Решая задачу Коши (12), (13), находим
у(х)=25шх-|(х—1)с03х,
что и является решением исходного интегрального уравнения. >
6) Пусть исходное интегральное уравнение (1) имеет вид
ид=Род((2pil)91)y(t)dt (14)
0\=
(уравнение в вырожденным ядром).
Запишем его следующим образом:
се=Ро--3ре)409)4.
(15)
t=1
0
Вводя функции
(ед че) у).
0
в оооофое
ее
(16)
x
tn(x)=|an()y(t)dt
0
и подставляя их в (15), заключаем, что решение интегрального
уравнения (14) имеет вид
y (x)
=F (x)-+ >, pi (x) 4; (x).
(17)
t=]
Далее, дифференцируя соотношения (16) и подставляя вместо и(х)
выражение (17), получаем для неизвестных функций и; (х) систему
дифференциальных уравнений
us (x) =44 (х) [(х)-- 3 91 (%) Рё (х) 47 (4),
[=|
Un(x)=9в(х)|()--aQn(x)pi(x)uj(x).
Из (16) при х=0 находим начальные условия: и1(0) =... =ив (0) =0.
Определив функции и; (х) и подставив их в (17), получим решение
y(x) интегрального уравнекия (14),
192

Пример 5. Решить интегральное уравнениз
x
ch?
y(y=tt
|Se gat
0
x
< Полагая и (х)= ( ch? y(t) dt, nonyuum
0
1
y(x)=l+py4(*)-
Далее, дифференциальное уравнение для и(х) имеет вид
u! (x) =ch x y(2)—=ch x (14+ =u (2) )
ИЛИ
u’—u=ch x.
Решая это уравнение с учетом начального условия и (0) =9,
находим и (=> (xe*-+sh'x), откуда
1 xe¥-—-Lesh x
chx
y (x)= 15>
.>
Решить интегральные уравнения, сведя их предвари-
тельно к обыкновенным дифференциальным уравнениям!
18.15. y(x)=e*+Ти t) dt.
0
18.16, y(x)=1-+ а
0
18.17. у(х)=
и, y(t) dt.
18.18, y (x)==e7* cos x— cos xen!" y (4) dl.
o
l
>
18.19. y (x) =4e* + 3x—4—J (x— 1) y (2) de.
0
18.20. уд =х—1-- } (х—0у(0 4.
0
18.21. y(x)=sinx +-> \ (x— Ay (t) dt.
0
7 Под ред. А. В. Ефимова, ч. 4
193

18,22, (x) =chx—Jsh(x—d) y(Z) dt.
J
:
18.23, y(x)=x+ | (4 sin(x—1)—x+2)y (0) dt.
0
18.24, y (x) = 1-4) (x1?
— (x1) y (tal.
0
2. Метод последовательных приближений. Решение с помощью
резсльвенты. Метод последовательных приближений применительно
к линейному интегральному уравнению Вольтерра 2-го рода
x
у=кбу
а
заключается в следующем. Строится последовательность функ-
ций 1 (Х), и1 (х), +... Yn (%), «oe, где нулевое приближение и (х)—
произвольная функция, а последующие приближения определяются
с помощью рекуррентного соотношения
x
yn (x)= F(x) + | K Ce, thyn-a(t)dt, = n=1, 2, wae
a
Если ядро К (х, Г) и свободный член {(х) непрерывны соотвст-
ственно при ах 6, а {< хи на отоезке [а, 65], то построен-
ная таким образом последовательиость приближений уп (Хх), A=
=0, 1, ..., при п —+ в сходится к единственному непрерывному
решению интегрального уравнения.
Обычно полагают у, (х)
= {(х), однако это вовсе не обязательно:
удачный выбор нулевого приближения часто позволяег ускорить
сходимость последовательности уз (х) к точному решению.
Пример 6. Методом последовательных приближений решить
уравнение
9 =1- «руда
0
q Положим
Чо(Х)=1.
Тогда
x
3
yi (x)= ‚| (x—A)di=1———,
0
г?
о
2
2
t
xr
Yewai| (x—1)(1-5) ==1—-“т.
194

Для п-го приближения получим
a
vy,No,ehxB
кт_
хак
откуда
-
©
2k
g(x)=limon(=Da 1"Gar 8х.No
Решить интегральные уравнения методом последова-
тельных приближений;
x
18.25. y(x)=1+| y(t) dé, yo(x)=0.
0
x?
С
18.26. у(х) = 5-+*— | y (t) dt,
0
ay (a1, 6) w(x)=o te.
18.27. у(х) =1— м
-
(xy(t)dé,
0
a) Yyo(x)=1—x*, 6) yy (x)= 1.
18.28. y(x)=1+\ xy (A dt, yy (x)=1.
18.29. y(x)=1-+\ ty(d dt, y, (x) =1.
18.30. у(х)=1+
Г Ру( 4, (2) =1, р=0, 1,2, ...
0
18.31. y(x) = x—| (x—t)y (dt, yo(x) =9.
0
0
18.32. y(x)=14+ \ (*x—t)y (dt, yo (x) =0.
18.33. y(x)=2*+ | 2*-"y(t) dt, yo (x) =0.
0
Pita
|
18.34. уд =1-+я— 5 т y(t) dt, ys (x) =0.
0
В задачах 18.35—18.37 методом последовательных
приближений найти для заданных нелинейных уравнений
7*
195

Вольтерра второе приближение у, (х); в качестве нулевого
приближения взять их (х)= 0:
x
18.35. у(х)= ( (2—9 (1)) 4.
0
18.36. и(х)=х—л- ( ¢sin y(t) dt.
0
x
18.37. y (x)= J te-¥ at.
0
Часто вместо одного уравпения рассматривают семейство урав-
нений
x
у =На-НаК 8)y(6)dt,
(18)
a
соответствующих различиым значениям числового параметра А.
Предполагая, что А фиксировано, будем решать уравнение (13)
методом последовательных приближений, взяв в качестве нулевого
приближения и (Хх) =|(х). Тогда получим
ид-А Ко,опо=Год { К,)НО,
rae
a
а
Ky(x, t)=K(x, Г);
уз©)=
( K(x,t)f(t)dt-FA?\К(х,{| К:($,оном =
а
Xr Xx
=f(x)+21 Ky(x,t)(2)dl+ (| K(x,>)Ка(5,#45)(0)dt=
a
а\
ок (x,OF(dtpa (Ка(х,ВЧ
и
a
:
Ka(x,n=(kK(x,s)Ky(s,¢)ds.
Вообще
Yn 19+) iJ (к, (x, 1) f(t) dt=
=f (x)-bA \ (> MIB5(x, о) dt, (19)
а \М=1
196

где
x
Ку (х, = K(x, s) Ky-a(s, t)ds, f=2, 3, evap (20)
t
Ki(x, H=K (x, 2).
Anpa K,(x, #) HaSbIBaIoTCA NOsmopHoimu WAM UMepUpOsaHHoMu,
Если ядро К (х, #) непрерывно, то ряд
R(x,t,М=
3
М-1Ких, 9
(21)
1=1
при любых фиксированных значениях А сходится (равномерно
относительно хЕ[а, 6] и ЁЕ[0, х]) к функции R(x, Г, Л), назы-
ваемой резольвентой ядра К (х, г). Следовательно, соотношение (19)
в пределе при п —+ © переходит в формулу
уф= --А|Ва,2:No104.
(22)
выражающую решение интегрального уравнения через резольвенту.
Пример 7. Найти резольвенту А (х, Е, Л) ядра K(x, ) =х
и, используя ее, решить интегральное уравнение
y(x)=. \хи(Г)dé.
0
«& Из рекуррентных соотношений (20) получаем
Ky (x, t)=x,
x
x
y?— fa
Ko(x, =(ке. $)Ки($,#) = ив х 5—'
{
A
яаа
2. f2\2
Ka(x, n=(Ku, $)К;($t)as= \xs° = вх. (=) ,
t
t
Вообще, можно провевить (например, методом математической
индукции), что
|
| xt—f2\f-a
Ky(x,1)=х—1—1(5) »Jol,2,vec
Подставляя это выражение для итерированных ядер в форму-
лу (21), найдем резольвеиту
x2— f%
“ 1-1
2—_ {8\/-&
A
т (2-й 1-1 и"
R(x,f,N="UGS (5) =X8
.
1=
Найдем теперь решение заданного интегрального уравнения. В
рассматриваемом случае ^= —>5и [(х) =х, поэтому на основании
197

(22) получаем
]пеё
26 (г
2
y(yarns |xe 4 efdi=x—xe “(4 е*/=хе 4.>
0
Найти резольвенты для следующих ядер:
18.38. К (х, й =1.
18.39. K(x, t)=t.
18.40. K (x, t)=x?.
18.41. K(x, ¢)=xt.
18.42. K (x, ¢) = x??.
12.43. K (x, t) = er"
18.44. K(x, t)=2s*-sht, 18.45. K(x, П=1Ея.
РАЕН]
h
18.46. K(x, )=5 eae 18.47. K(x, =F.
18.48. Показать, что для произвольного ядра вида
K (x, 1) = xPtY, где ри д— некоторые положительные целые
числа, резольвента имеет вид хР+9+1_/р+9+1
A
R(x, t, A) =xPlfe pratt
18.49. Показать, что для произвольного ядра вида
K(x, j= cae K (t) 40, резольвента имеет вид
R(x, 1, N= Fe A(x= 1),
Найти с помощью резольвенты решения следующих
интегральных уравнений:
18.50. и(х) =1— \ 21 ([) 42.
18.51. y(x)=x-+ \ xty (2) dt.
x
18.52. y(x)—sing +2 \ ertyty (t) dt.
C
l
&
o
n
18.53. y(x) =chx + (Sy u(t
1-2
18.54. у(х) = ret | Ty (t) dé.
3. Уравнения Вольтерра 2-го рода типа свертки. Интегральное
уравнение Вольтерра 2-го рода вида
уд =1) +} Ки-буш а,
(23)
198

в котором ядро К (х, t)}=K (x—?) зависит лишь от разности аргу-
ментов, называется уравнением тйпа свертки. Если в (23) а— ко-
нечное число, то, не ограничивая общности (см. задачу 18.65},
можно считать а=0, что мы и будем предполагать в дальнейшем.
Для решения уравнений типа свертки используется преобр!-
зование Лапласа.
Предположим, что функции }(х) и К (и} —оригиналы (см. ч. 2,
глава 13, $ 1, п. 1). Можно показать, ч:0 в этом злу чае решение
у (х) также будет оригиналом и, следовательн», к обеим частям
уравнения (23) можно применить преобразование Лапласа. Полагая
у(х)= У(р), 1х =Е(р), К(и=К(р)
и используя теорему о свертке, согласно которой \« (x—fy (f) df=
= К (р) У(р), получим
У (р) =Е (р)+ К(Р)У (р),
откуда
Е (р)
Y
————
(р) ШК
Оригинал у(.. для У (р) будет решением интегрального уравнения.
Пример 8. Используя преобразование Лапласа, решить
интегральное уравнение
y(x)=! + ch(x—f)y(t)dt.
0
«$ Так как = и СЪ ит, то, применяя. к обеим частям
заданного уравнения преобразование Лаплаеа и используя теорему
о свертке, получим
1р
=
(р).
У (2) 1-35, =>
Отсюда
-a!at
er
25’
2
4
и, следовательно, у (х) =1--—=— e*/*® sh ———ys х.No
С помощью преобразования Лапласа найти решения
заданных уравнений типа свертки:
18.55. y(x)=e*—x—1 + | y (Made.
0
139

18.56, и =5-+ | (x—?t) y(t) dt.
0
x
18.57.y(x)=хе"—|e8Py (1)di.
0
x
18.58. y(x)=sinx + ( cos (x— 7) y (4) dt.
0
x
18.59. y(x)=e*+ | sin (x—2) y(t) dl.
0
18.60. y(x)=sinx— \ sh (x—t)y (t) dt.
18.61. y(x)=4 45 ии (t) dt.
0
x
18.62. y (x) =e ++ | (x—t)e*"Fy (A) dt.
0
18.63. y(x)=1+ ( cos (x— 7?) sin (x— 2) y (t) dt.
0
18.64. y(x)=1+xcosx—sinx+ \ (x—t)x
x sin (x—f?) y (2) dt.
18.65. Показать, что если у (х) — решение уравнения (23)
с а==0, то функция. у? (х)= у(х-- а) удовлетворяет урав-
нению
y* (x)==r wt) Koy (2) dt,
rae f(x) =f (r+a).
8.66. Показать, что для ядра К(х, #)=^ (х—1) все
nrepuponattiiee ядра, а следовательно, и резольвента
также зависят лишь от разности аргументов х— .
Решение уравнений типа свертки можно провести и несколько
иным способом, а именно —путем использования преобразования
Лапласа для нахождения резольвенты. В самом деле, резольвента
ядра К (х, t)=K (x—/) зависит лишь от разности зргументов (см.
задачу 18.66), и, следовательно, решение уравнения
y=10)+( K (xt) y (¢) dé
(24)
0
200

можно ваписать в виде
;
им= + ве-0КОа
(28)
0
где R(x—?f)= R(x, В 1), a R(x, ЁЬ ^) =-резольвента ядра К (х, No ==
= К(х—0). Применяя к обеим частям уравнений (24) и (25) пре-
образование Лапласа, получим
Y (p)=F (p)+K (p)¥ (p), Y¥ (0) =F (0) +R (p) F (p)s
отк уда
(26)
Оригинал А (и)= В (р) определяет резольвенту Ю (х—1), зная ко-
торую, из (25) найдем и решение уравнения.
Пример 9. С помощью резольвенты найти решение уравнения
yQ=lt—a le * n V3
0
«$ В рассматриваемом случае К (и) =
(«—1) у (04.
с/т уз uu
Payee
Из (26) получим В
— 1=е-8, т. е.
(26) у К) =;sorh= р “5aT
e
Ю (х—=1—в-‘х-8. Учитывая, что }(х) =1, с помощью (25) Ha-
ходим решение
К (р)=
x
у (х) =1 +) (l—e-(*~-)) dt=x+e-*, >
0
Найдя резольвенту с помощью преобразования Лап-
ласа, решить следующие интегральные уравнения:
x
18.67. y(x) == 1 4- | 72-9. y(t) dt.
0
18.68.y(x)=2-45|(х—39(14.
0
18.69. y (x) =e7*+
| e-*- sin (x—2)
y (£) dé.
0
х
x
18.70. y(x) =e?+ | (L—e-*~")y (2) de.
()
201

x x-1
=
18.71. y(x)=1+ | е *% cos Уз (x —t) y (¢) dt.
0
Используя преобразование Лапласа, решить системы
уравнений типа свертки;
18.72. и (х= 1-Е, (04, у, фехЬ— | у, (94.
0
0
x
18.73. yy (x) =—x4+) y, (f) df,
Q
y, (x) =—3x2+x—5 | ys (dt +2) y, (0) db.
0
0
18.74. y,(x)=x+t J y(t) dt,
0
Ys (x) =F +2x—1—| (х— Пи! (0) 44.
0
x
(8.75. (x) =e"—| y(t) dt+4\ erty, (de,
0
0
y,(x)=1—f ey, (Qt +) y, (Hae.
0
0
18.76. y,(x)=x+ и, (Ц ав, у, (Хх) =1 — | y(t) dt,
0
0
ys (x) =sinx + | (e—t) yy (E) dl.
0
4. Уравнения Вольтерра 1-го рода. Линейным интегральным
уравнением Вольтерра 1-го рода называется уравнение вида
x
К, души =,
(27)
где у(х) —искомая функция, а К (х, йи } (х) — заданные функции,
определенные соответственно в треугольнике ах, [<8, [«хн
на отрезке [а, 6]. Классическим примером уравьения этого типа
является уравнение Абеля
x
у (2)
“|Е: d= f(x).
202

за также его обобщение с ядром вида К (х,
т О<ха<\
имеющим интегрируемую особенность при х==. В настоящем пункте
ограничимся рассмотрением уравнений, для которых ядро К (х, #)
и свободный член {(х) непрерывны всюду в своей области опреде-
ления.
К уравнениям Вольтерра 1-го рода приводит, например, сле-
дующая важная задача, часто встречающаяся на практике, Пусть
задана некоторая линейная динамическая система, х (Г) —ее вход-
ной, а у(Р выходной сигналы. Тогда, как известно, зависимость
y(t) or x(t) может быть записана в виде
4+®
уд=ЕЦ,т)х(9)4%
(28)
где & (1, т)— весовая функция, определяемая свойствами системы.
Если, в частности, выполнено условие физической реализуемости
(т. е. (1, т) =0 при т >41) и система находилась в покое до мо-
мента времени #6 (т. е. х (Г) =0 при < 1%), то (28) принимает внд
t
y(t) ={ g(t, Dx (x) ar,
(29)
to
Еслн теперь требуется по известному выходному сигналу восста-
новить внешнее воздействие, то мы приходим к уравнению Воль-
терра 1-го рода (29) относительно х (Г) при заданной функции и (1).
В отличие от уравнений Вольтерра 2-го рода, решение урав-
нения Вольтерра 1-го рода (27) существует только в том случае,
когда свободный член f(x) удовлетворяет ряду дополнительных
условий, зависящих.в каждом конкретном случае от свойств
ядра К (х, й).
В частности, каково бы ни было ядро, необходимым условием
существования решения, как это видно из (27) при х=0, является
равенство } (а) =0.
Пример 10. Найти условия разрешимости в классе непре-
рывных функций и решение уравнения
ити
dt =f (x),
n=l, 2, nee, ХЕ[0, С].
(30)
0
«Я Предположим, что непрерывное решение у (х) существует. Тогда
из (30) следует, что } (0) =0 и существует непрерывная производ-
ная |’ (х), хЕ[0, с]. Дифференцируя (30) последовательно п раз,
получаем
|
‘__. {\n~-2
| Sau i at=P (2),
c зоо
оффе
фо
(y(at
= fi (x),
0
у(х)=|” (x).
203

Таким образом, если непрерывное решение у(х) существует, то
функция }(х) имеет непрерывные производные до п-го порядка
включительно, причем
f(0)=f' (0)=... = f"~» (0) =0;
(31)
при этом решение единственно и должно иметь вид Y (x)= fi” (x).
Подставляя в (30) и(х)=}” (х) и п раз интегрируя по частям
с учетом соотношений (31), найдем, что функция и(х) =/”) (х)
действительно является решением исходного уравнения (про-
верьте!). }>
Если ядро К (х, #) и свободный член [(х)(] (а) =0) уравне-
ния (27) таковы, ч10 существуют непрерывные производные
oA
u f’ (x) a, Kpome toro, gmyHkuna K(x, x) #0 sciony Ha
[a, bj], TO ypaBHenne (27) SkBUBaNeHTHO ypaBieilmic BoaAbTenpa 2-To
рода и, следовательно (см. п. 1), имеет единственное непрерывное
решение. В самом деле, предполагая существование непрерывного
решения и дифференцируя (27) с учетом перечисленных условий,
получаем
x
д‚1
.,
Ки, до
| бриг
ИЛИ
°
_fy
AK (x, t)
к +кеRa
nat, (32)
т, е. у(х) есть решение уравнения Вольтерра 2-го рода (32).
Обратно, непосредственной проверкой убеждается, что решение
уравнения (32) при условии (a) ==0 удовлетворяет н исходному
уравпению (см. задачу 18.7
|
Пример 11. Решить нанение
x
(Q+e—PyyQaex,
0
сведя его к уравнению Вольтерра 2-го рода.
@ Дифференцируя это уравнение, получаем
Xx
Qy (x)++ \ Oxy (t) 4! =2х
0
ИЛИ
x
y(x)=x—|xy(1)df
0
— уравнение Вольтерра 2-го рода. Ядро К (х, #) ==—х вырождено
x
и, полагая u(xy= (9 (8) 4, получаем
у (х)
= х-хи (х),
и"(х)==у(x)=X—xu (x)
204

ИЛИ
и’ хи=х, u(0)=0.
Отсюда и (х) =1-е7*/ и y(x)=xe7*/?,
Если в исходном уравнении Вольтерра 1-го рода (27) К (х, х)==6
на [a, 6], то после дифференцирования этого уравнения снова
получается уравнение 1-го рода, и—при выполнении соответ-
ствующих условий
— можно повторить описанный выше прием.
При этом, однако, следует всякий раз внимательно учитывать
отмеченные выше ограничения на свободный член, необходимые
для разрешимости уравнения.
Пример 12. Решить уравнение
x
( sin (x—1)y (t) dt =e*— 1.
(33)
0
< Условия существовапия и непрерывности производных для ядра
и свободного члена здесь выполнены. Дифференцируя дважды,
получаем
\cos(x—1)y(1)dt=e*,
(34)
0
y(x)—|sin(x—1?)y(t)dt=e*,
(35)
ty`2
Уравнение (35) есть уравнение Вольтерра 2-го рода и оно имеет
единственно непрерывное решениеи (х) = 2е* —х— 1, которое может
быть найдено, например, операционным методом. Однако функция
у (х)=2ех —х— 1 не удовлетворяет исходному уравнению, в чем
можно убедиться непосредственной подстановкой. Дело здесь в том,
это уравнение (34) не имеет решения, так как е*|;-,=1 2 0. А по-
скольку решение уравнения (33) должно удовлетворять уравнению
(34), то и исходное уравнение (33) не имеет решения. }
18.77. Доказать, что решение уравнения (32), в кото-
ром [ (а) =0, является решением и уравнения (27).
Решить заданные уравнения Вольтерра 1-го рода, сводя
их к уравнениям 2-го рода.
18.78, | (x—d)y
(t) dt =e*—x—1.
*
2
-
x
18.79. \= ty()di==.
0
18.80. | 3*-ty
(t) dt =x.
0
18.81. | sin(x—d) y(t) di =1—cosx.
0
205,

18,82, \ sh(x—?)
y(t) dt=shx—x.
18.83,
\
«—i)?y
() dti=x'*.
18.84, \ (x—2)%y (2) dt == x8 + x3.
C
l
a
y
O
8
9
,
=
18.85, фа; диф = ре" пх.
0
18.86, {d-e+Ay(Qd=>.
0
18.87. | (2¢—x) y(t)dt=x°—1.
1
Решить уравнения Вольтерра 1-го рода типа свертки,
применяя преобразование Лапласа непосредственно к за-
данному уравнению (см. также п. 3)
x
18.88, \{x—d y(f)dt=chx—I1.
<
—
>
18.89. (зт(х—дуфи ол.
18.90, \ соз (х—Ви(1 = хх.
x
18.91,
9°
sh(x —1?)y(t)df=2 sin’
18.92. \ (x—1?) зш (х— Ки (2) 4 = ах.
18.93. { (x—f)e*~*y
(t) dt => e*— xe",2
18.94. \ e*-' cos (x— 1) y(t) dt = xe*.
e*-"sh(x—t)y(1) df= peTM—Tx—s.
18.95,
4
5
—
2
з
о
н
е
<
>
—
ч
>
=
C
C
»
2
206

18.96. | (x—#)sh(x—2) y (f) dt =xchx—shx.
0
18.97%, ( Vix—ty(thdt=x°V x.
0
$2. Интегральные уравнения Фредгольма
1. Основные понятия. Метод последовательных приближевий и
резольвента для уравнений Фредгольма 2-го рода. Линейными инте-
гральными уравнениями Фредгольма называются уравнения вида
b
y(x)—| K(x, 8) g(0) dt =] (2)
(1)
(уравнения 2-го рода) и
b
\ K(x, Ny (i) dt=F (2)
(2)
a
(уравнения 1-го рода). В (Г) и (2) и(х) —искомая фувкция, а ядро
К (х, {) и свободный член | (х) предполагаются заданными соответ-
ственно в квадрате ах, {фи на отрезке [а, 5]. Если, в част-
ности, К (х, {) =0 при ах <Ь то уравнения (1) и (2) превра-
щаются в уравнения Вольтерра 2-го н 1-го рода соответственно.
Мы ограничимся рассмотрением уравнений Фредгольма 2-го
рода, наиболее интересных и важных для приложений.
Далее будем предполагать, что пределы иктегрирования а и
Ь в (1) — конечные числа, а функции К (х, Г) ий (х) либо непрерывны
в своей области определения, либо, в более общем случае, удов-
летворяют условиям bb
(Vike, t)|?dxdt=B <-+0.
(3)
‘а,
Ира <.
(4)
Если #(х) =0 всюду на |а, 65], то уравнение Фредгольма 2-го рода
(1) пазывается однородным, в противном случае оно называется
цгоднородным. Решением уравнения (1) будем называть всякую функ-
пию у(х) класса Ро (а, 6), обращающую это уравпение в тождество
относительно х@{а, 6].
Обычно рассматривается не одно уравнение (1), а семейство
уравнений
,)
ya Y K(x, Dy) dt=f (x),
(5)
зависящих от числового параметра А, который может принимать
как действительные, так и комплексвые значения. В отличие от
207

уравнений Вольтерра 2-го рода, существование и единственность
решения уравнения (5) существенно зависят от вначения парамет-
ра Л (см. подробно об этом в п. 3). В настоящем пункте рассмот-
рим случай, когда число ^ удовлетворяет условию
bb
-1/2
=_=
6
<= ( {ке овёка
(6)
(точнее, |^| < |А1|, где м-=наименьшее по модулю характерис-
тическое число уравнения (5), см. п. 3).
При условии (6) уравнение (5) имеет единственное ‚решение (ие-
прерывное, если непрерывны К (х, ри [(х)), которое может быть
найдено методом последовательных приближений подобно тому, как
это делается
в случае уравнений Вольтерра 2-го рода (см. п. 251).
А именно, перепишем уравнение (5) в виде
b
ие=Р +»|Ка,ду
а
и далее, выбрав произвольно нулевое приближение и (х), построим
последовательность уп (х), п=1, 2, ..., полагая
b
у» (#)=РО-НА Ка, 0-1 (04, — EN,
а
Если число А удовлетворяет условию (6), то при п —+ с последо-
вательность уп (х) сходится (в общем случае в метрике [2 (а, 6), а
в случае непрерывного ядра и равномерно на [а, 6!) к точному
решению и (Хх).
Пример 1. Методом последовательных приближений решить
уравнение
I
y(a |ybdt=sinnx.
0
A
В данном случае, полагая ^=1/2 и K(x, 1)=1, имеем
фик (, #) [2 4х4! = Вк=1 и, следовательно, условие |^| < /Вк
0
ыполнено. Приняв и (х)
= лх, последовательно находим
1
1
у1(x)sinnx-+>\Yo(¢)dé=sinWeb \sinmtdt=sinпк,
0
1
1
|
уз ших [и (t) dt=
0
1
=Sinnx |(sin т) dt=:sinmx4+- Pat
=
26
.
д
_
at
2’
208

1
i
Ys (x) =sinnx-++-> | Yo (x) dt =sin neo | (sin тт) 4 =
0
6
111
Род Ро,
Вообще,
]
>
=
i
=—
+—
Yn(x)=sinnxt++. На ==sinnx+— У
откуда
©
.
1
1
limgn(*)=sin1x+п.>. a=виллх
fl 00
Поэтому решением уравнения является функция
g (x) =sin et,
в чем можно убедиться непосредственной проверкой.}No>
Методом последовательных приближений найти реше-
ния заданных уравнений Фредгольма 2-го рода, предва-
рнтельно убедившись, что условие (6) выполнено:
1
18.98. y(x)— xty (t) dt = 2x.
0
л
18.99. y (x) + | cos? ty (t)dt =1.
0
1
18.100. у(х)—лк] @— sin 2aty (0 dt = (1—2)
a
18.101. y(x)—5х | пу (t)¢dt=2sin x.
18.102. y(x)+s5- Sco (x-+ f)-++-cos(x—?)) y (t)dt=cos x.
Если в качестве нулевого приближения выбрать свободный
член уравнения (5), т. е. и (х)
=}! (х), то для п-го приближения
получается общая формула (см. также $ 1, п. 2
Уп9=/9+2 А/СКу(х,#)[(1)4=
1=
5,
|
= |2a-"Ки,оо
nEN, (7)
jal
209

«де итерированные ядра определяются соотношениями
b
Ky (x, )=K (x,t), Kz (es =) K(x, ) Kya (s, tds, 7=2, 3, «. (8)
Mpu JA] < 1/Bx paa
R(x,t,No)=У,М-Ку(а,1)
(9)
j=]
сходится в функции R(x, t,A), называемой резольвентой ядра
К (х, 1). Следовательно, (7) в пределе при п --+ со переходит в формулу
b
y(x)=f (AY R(x, t, ма,
(10)
a
выражающую решение интегрального уравнения через резольвепту.
Замечание. Понятие резольвенты как функции Л (х, ft, A),
с помощью которой по формуле (10) определяется ‘решение иптег-
рального уравнения, сохраняет смысл для любых значений А, при
которых это уравнение однозначно разрешимо. Метод последова-
тельных приближений и формула ©) дают представление для ре-
вольвенты в виде ряда по степеням А (называемого рядом Неймана),
годное лишь в области |^,| < 1/Вк.
Существует, однако, общий метод нахождения резольвенты—
метод определителей Фредгольма, который в принципе позволяет
построить резольвенту для любого значения ХА, при котором ин-
тегральное уравнение имеет единственное решение. Этот мстод
здесь не рассматривается.
Пример 2. С помощью итерированных ядер найти резоль-
венту и решение интегрального уравнения
1
1
x
y(x)— па |T+ ey (¢) dt =1-4 x3.
0
q B yannom cayuae K (x, = и для итерированных ядер
на основании (8) получаем
Ky (x, )=K (x, =p
1
1
‘
шах
КО (Ко, экв, д [а
$
:1$212
<
+
—
<
2
Кз(х,om [ки $К.($,р
x 55ds=()" x
$о©©@#фо©@®@@e@©@Фо9ФоФо®©e®ФФФФ@Фоoee®©@о@#
]/-
Ky (%, o=() Ел
210

Поэтому резольвента ядра равна
In2
x
у
x
Rix1,y=SoU Ky nad(3ay Ей-о ит
j=l
j=l
1——~A
причем этот ряд сходится в области
2
[Al <7.
(11)
Заметим, что в рассматриваемом случае
1
ВК=See
a ee raydeat=A,
00
т. е. условие (6) приводит к неравенству
6—_
12
<?У=5
(12)
2
Таккак2V
<jpp 10 из сравнения (11) я (12) видно,
что в рассматриваемом случае область сходимости ряда Неймана
для резольвенты шире, чем это гарантируется условием (6) (в со-
ответствии с замечанием на с. 210).
1
Далее, для заданного уравнения ^=-— и, следовательно,
In2
1
x
R ( р, ins) =2 Te Решение уравнения на основании (10) равно
очен
воен, s+x. >
Методом итерированных ядер найти резольвенту и
решение заданных интегральных уравнений:
л
18.103. уд 904 — эх,
18.104. п акда к
18.105. y(x)4+a | xsin Qnty (t) dt =cos Inx.
0
3
18.106. у(х)—- \ xety (t)dt =e7*.
п/2
18.107. y(x)— ( sinx cos ty (t) dt=1.
0
2И

Anpa K (хи Г(х, й называются ортогональными в квадрате
a@< х, [<=6, если выполняются условия
b
b
\K(x, s)L(s, t)ds= \L(x, $К(5, t)ds=0
а
а
для всех а=х, {< 6. Если, в частности, ядро
К (х, #) ортогонально
самому себе, то для него второе итерированное ядро Ка(х, #) =0
всюду в квадрате а=х, feb, Следовательно, для такого ядра
ряд Неймана для резольвенты сходится при любых значениях А,
а сама резольвепта совпадает с ядром К (х, #1).
Пример 3. Методом итерированных ядер найти резольвенту
и решение интегрального уравнения
1
у(х)— \cosmxcos3nty(t)4Ё=с0$Злх.
-!
$ Ядро К (х, #) = ©0$ лх с0$ ЗлЁ ортогонально самому себе:
1
1
\K(x,s)K(s,thds=((с0$1xcos3ms)(cosmscos3nt)ds=9.
_1
~1
Поэтому резольвента А (х, t, A) = cos mx cos 3n¢ H решение заданного
уравнения имеет вид
1
и(х)=с0$Злх--(cosmxcos?3ntdt=cos3nx-}+cosnx.>
~!
18.108. Доказать, что если ядра Ё (х, Г) и M (x, 1) op-
тогональны, то резольвента ядра К (х, #) = 2 (х, В МС, #)
равна сумме резольвент ядер Ё(х,Ё) и М (х, 0), т. е.
Кк(х,Г,^,)=Кь(х,[,А)-|-Юм(х,[,А).
Используя ортогональность ядер и результат зада-
чи 18.108, решить интегральные уравнения:
18.109. и (= (1-Й уфана,
0
I
18.110. y(x)—J sin Quxy (1) {dt = x.
0
л
18.111. y(x)— J sin(x-+
20) y(Ndl = x.
-п
18.112. у()—5 \ (2-1 +xt)y(t)di= 1.
_!
212

18.113. y(x)+a | (x sin f+ sin 2x) у (В dt =sinx.
-л
2. Решение уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным
ядром. Ядро К (х, Г) называется вырожденным, если оно имеет вид
я
K(x,t)=Уру(х)9/1(8.
j=l
Соответствующее интегральное уравнение
у(х)—(3 py(X)97оо dt=f(x)
(13)
решается путем сведения к системе линейных алгебраических
уравнений следующим образом.
Перепишем уравнение (13) в виде
yw=> py(x)Ss=F(x),
(14)
где неизвестные $, определяются через искомое решение у(х) ра-
венствами
b
буть Чуб (04, 71,2 нп,
(15}
а
Умножая тождество (14) последовательно на д/(х), ]=1, 2, „вк п,
и лалее интегрируя обз части на отрезке [а, 65], с учетом (15) no-
лучим для неизвестных чисел $; следующую систему линейных
алгебраических уравнений:
в/b
b
$:—>,|qi(x)р;(х)ts)5у=\qi(x)i(x)dx, 1=1,2;зьь (16)
‚=! \а
а
Введем обозначения
а
b
aj=\4:(х)р;(х)ах,[=(41(x)F(x)dx.
(17)
b
”
Тогда система (16) запишется в виде
ыы>,арб=
= а,ово»Пь
(18)
[=1
или в матричной форме
(Е— А) $=Р.
(19)
где Е = единичная матрица, А = (ах) /=1, 5=8(51, в и)Т, Е=
=— (f1, оз в)Г.
213

Если $1, ..., 5п— какое-нибудь решение системы (18), то в
соответствии с (14) функция
п
и(х)
= К®- », р/(%) 5}
(20)
j=l
будет решением исходного интегрального уравнения (13). Если же
система (18) несовместна, то и интегральное уравнение пе имеет
решения,`
Этот метод применим, конечно, и в том частном случае, когда
урзвнение (13) однородное, т. е. }(х)=0.
Пример 4. Решить уравнение
л
у(х)— |(ео xsin(+t) y(¢)dt=>sin2x,
-л
«$ Ядро К (х, == т хш1--{ вырожденное. Полагая
1
ри (х) = зто, рз(х)=1,
q: (t) =sint, qa (t) =F,
зо формулам (17) вызисляем
п
л
1
ai= \=$?л4х=1, a= |sinxdx==0,
—Jt
-я
л
л
a= | 4 xsin xdx=2, an= | xdx=0,
л
п
i= ( sinx-sin2xdx=0, f= \ х.5ш 2х 4х
=—я.
-л
-л
Система (19) принимает вид
00\ /51\ __ 0
—2 1/7 \5%/ \—x/}!
ее общее решение: $1 =С, 52 =— л--2С, где С— произвольная по-
стоянная. Следовательно, любая функция вида
y (x) =sin = Зпх—л--2С=зш 2х--С (ем v2) —л
есть решенне заданного интегрального уравнения н других реше-
ний это уравнение не имеет. д»
Пример 5. Решить уравнение
1
у(*)—2 ( V xt y(t) dt—=x.
0
214

«@ Следуя изложенному выше общему методу, вапишем это урав-
нение в виде
'y(x)—2V xs=x,
1
где = У 1и(1) 4. Умножая обе части на Ух и интегрируя,
0
получаем
1
1
6—2(х4х.5= (х3/?dy,
0
0
или 5—5=2/5. Последнее уравнение не имеет решения OTHOCH-
тельно $, следовательно, исходное интегральное уравнение также
не имеет решения. No
Найти все решения или установить неразрешимость
заданных уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным
ядром:
12s
18.114. y(x)—= \ cosxsin ty (t) dt = sin x.
0
1
18.115. y(X)—aq Jchxy(1)dt= 1.
0
1
18.116. y()—F | (1-2) (1 — t) y(t)dt=x.
0
t
18.117. y (x)—§ (1 + x) cos 2nty (t) di =x.
0
л/4
18.118. y(x)— | te ty (t) dt = cos?x.
0!
18.119. y(x)—4 | x8 y(t)dé=0.
0
1
18.120. y(x) + | e* ty(t)dt=0.
0
|
18.121. у(х)— ( (2х—Дду(аЁ
= с03 2лх.
0
18.122. y(x)—|(1+ 2x0) (8 di =— > (x+3).
0
215

1
18.123, y(x)—| (xt +x2(¢—1)) y(t) dt=0.
1
—
18.124. y(x)—— | cos? (x—?) y (¢) dt =sin 2x.
0
1
18.125. y(x) + | (x—V 7) y (dt =2 x 4+Vx—4.
0
л
18.126. из | cos (x —t)y(t)dt =0.
=5
1
18.127, у(х)—3 | (x? + 4xt + 1)-y (d) dé = 2n? cos лх.
0
1
18.128. y(x)— оу =0.
=|
3. Характеристические числа и собственные функции. Теоремы
Фредгольма. Значения параметра А, при которых однородное урав-
нение
|
b
у—^\Кс,t)y(t)dt=0
(21)
имеет ненулевые (петривиальные) pemieHHa y(x)3£0, называются
харак теристическими числами этого уравнепия или ядра К (Хх, {),
а каждое ненулевое решение
— собственной функцией, соответству-
ющей характеристическому числу /. Заметим, что число А=0 не
является характеристическим, так как при ^=0 уравнепие (21)
имеет лишь нулевое решение. Если ^ — характгристическое число,
то число д=1/А называется собственным числом интегрального
уравнения. При этом p 4 0.
Из результатов п. 2 следует, что в случае уравнения с вырож-
денным ядром
Бит
raf(3 py(x)ai)Jo dt=0 (22)
а \М=
всякое решение имеет вид
y(x)=A >) 870; (x),
(23)
j=l
где 5=(51, .››, 5п) Г — решение однородной системы
(E—AA) S=0
(24)
216

b
c MaTpnuelH A=(a;,;), aij= \ gi (x) p; (x), i, f=, «+, a. Samerum,
a
что если заменить А ва 1/4, то система (23) принимает вид
(A—pE)S=0, pO.
(25)
Отсюда следует, что собственные числа интегрального уравнения
(22) совпадают с отличными от нуля собственными числами мат-
рицы А, а собственные функции определяются соотношением (23),
где $= ($31, ..., би} | — соответствующие собственные векторы этой
матрицы.
Пример 6. Найти характеристические числа и собственные
функции уравнения
1
y(x)—A ( (xt— 2x2) y (t) dt =0.
0
<j Stupo K (x, t)=xt—2x? вырожденное. Полагая
Pi (x) =,
Pa (x) =— 2x3,
qi (¢) =#, 92 (#) =1,
найдем элементы матрицы А в (25):
}
1
]
|
1
an о x di=z, an—=—2{ =,
0
0
1
I
@21 = xdxat
Ao,=—2 dre—2
17,
9,
28а —
-—
3°
0
0
Характеристическое уравнение для определения собственных чисел
матрицы 4 имеет вид
1
1
—w oe
—7=
3
2
оу|
1
1\2
2
3
откуда jt=—1/6—ennncTBeHHoe coOcTBeHHOe YHCO MaTpHUb A.
Соответствующие собственные векторы находим из системы урав-
нений
11
ле(Я?\инГо
(4452)8-( 71 )(S)=(0)-
22
oGuyee pemenHe KOTOpOH sj=C, s,=C, rae C—npon3Bo/lbHaA NocTo-
янная. Следовательно. окончательно получаем, что заданное инте-
гральное уравнение имеет единственное характеристическое число
А =—=—6, а соответствующие собственные функции имеют вид
й
и (х) =—6 (5х
— 25252) =С (х— 2х3),
где С — произвольная постоянная. д»
217

Интегральное уравнение может вообще не иметь характеристи-
ческих чисел (например, в том случае, когда ядро К (х, #) воль-
терровское или, в случае вырожденного ядра, матрица А в (24)
нулевая) либо не имеет действительных характеристических чисел.
Пример 7. Найти. характеристические числа и собственные
функции уравнения
at
y(x)—A \ x cos ty (t)
dt =0.
-п
«@ Имеем
п
y(x)—Axs=0, s= \ cos ty (2) dt,
-л
откуда
п
5—No5\xcos
x dx=0.
-_п
Л
Но (x cos хах=0, поэтому при любом А последнее уравнение
-л
имеет только одно решение: $=0. Следовательно, при любом A
интегральное уравнение имеет только тривиальное решение, т. е.
не имеет характеристических чисел. д
Пример 8. Найти характеристические числа и собственные
функции уравнения
л
и(х)—А ( sin(x—f)y(f)dt=0.
-п
$ Ядро K (x, ¢)=sin (x—?t)=sin x cos¢—cos xsint
вырожденное, причем можно положить
pi(x)=sinx, р»(х)=—cosx,
qi(f)=cost, qa(t)=sint;
п
2
матрицаА= [= \4:(х)ру(х)2
имеет вид
-л
t, j=l
0—л
А=(% 0),
карактеристическое уравнение
det (A—pE)= TRO
ae
лieя=0
имеет только комплексные корни (|411, = + й. Найдем соответству-
ющие собственные векторы. Для py = in
иО
(26)
218

ДляЦа=—д
_fin —an\f[sj\ _ [9
AIRES (in) (Ss) (0)
Sj\
1
7
(м) .=<().
27)
Окончательно заключаем, что заданное интегральное уравнение
действительных характеристических чисел не имеет, но 1)
два
комплексных характеристических числа А1, =
=: Соот-
ветствующие собственные функции имеют вид (cM. (26) и (27)
yy(X)=Ay(Cysinx—iC,cosx)=A,e!*,
уз(Х)==Ag(Cysinx+iC,cosx)=Дое-йх,
где Ауи 4.— произвольные комплексные постоянные. д»
Найти характеристические числа и собственные функ-
ции заданных интегральных уравнений с вырожденным
ядром (ограничиться случаем действительных характери-
стических чисел):
18.129. y(x)—A \ (1 4+ 2x) ty (t) dt =0.
18.130. y(x)—A \ (1 —x?)
y(t) dt =0.
18.131. y(x)—A уф =0.
18.132. и(х) —^ \ хэш #/ (1)
41 =0.
18.133. y(x)—A \ cosx cos fy (t)di=0.
18.134. y(x)—A
&
|
(x-+f)y (t)dt=0.
18.135. y(x)—A \ (xe? + 2t) y (1) dt =0.
18.136. y(x)—A (« sin 2st a) 4 (t)dt=
18.137. y(x)—A\ sin(x-+2) y(t)dt =0.
0
219

“4
18.138. y(x)—A | cos (x—Z) y(t) dt =0.
0
Для уравнений Фредгольма 2-го рода вида
b
g(x)—A( K(x, Hy) dt =F (0),
(28)
rye a uw b—koneunble yncna, a anpo K (x, Ё) и свободный члеи f (x)
интегрируемы с квадратом в области а<х, [< и на отрезке
[а, В] (в частности, непрерывны), справедливы следующие тео-
ремы Фредгольма (при формулировке которых мы ограни-
чимся случаем действительного ядра К (х, #)).
1. Однородное уравнение
b
y(x)—A\K(x,t)y(t)dt=0
(29)
имеет либо конечное, либо счетное множество характеристических
чисел; CGAL этих чисел счетное множество, то они стремятся к бес-
конечности.
2, Боли = характеристическое число, то уравнение (29) и сопря-
женное ему однородное уравнение
b
y(x)—2( K(x, dy (6) dt=0,
(30)
a
где К*®(х, Г) =К(Ь, х), имеют одно и то же, и притом конечное,
число линейно независимых решений.
3. Альтернатива Фредгольма: либо неоднородное урав-
нение (28) имеет одно и только одно решение для любой функции
f (x) Е Г. (а, Ь), либо соответствующее однородное уравнение (29) имеет
по крайней мере одно нетривиальное решение. (Другими словами,
если число ^ не является характеристическим, то уравнение (28)
elt poe единственное, решение для любой функции | (х)Е
=La(a, .
C 4, я Am характеристическое число, то для того чтобы урав-
ненце (28) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы свободный
член [ (x) был ортогонален любому решению у* (х) однородного сопря-
женного уравнения (30), т. е.
6
\f(x)у*(х)ах=0.
Проиллюстрируем теоремы Фредгольма на примере интеграль-
вого уравнения с вырожденным ядром.
Пример 9. Исследовать решения интегрального уравнения
л
y(x)—A \ (х2 с0з + хзш В у(1) 4 =с03х
(31)
-п
в зависимости от значений параметра A,
$20

< Решение интегрального уравнения сводится к решению неодно-
родной системы
(ЕЛА) $=Р,
(32)
где
b
A=(a;;), aj \qi(*)Pj(x)dx, #,f=1,25ave,M,
a
b
uF=(fy, «0s, fn)? fe \ q; (x) f (x) у . В рассматриваемом случае
{
a
имеем
Py(x)=x?, Po(x)=x,
д1 (1) =с0$[, gg(x)=sinf?,
л
д
|
( с0$ хх? ах=4ц, ayg= \ cos x-x dx=0,
п
-л
п
421=\Sinx-x?dx=0, 423=\пх-хах=—2,
—Л
-л
л
л
i= (cos*xda=TX,
р=\sinxcosxdx=0.
—л
-л
Система (32) имеет вид
(ye а) (*)=(5)-
(33)
Хграктеристическое уравнение
det (E —AA}j =(1 + 230A) (l— 4A) =0
]
1
имсет корни м и ha=— or» являющиеся XapakTepHcTH-
ческимн числами соответствующего CAHODOANOTO ypaBHeHHaA.
При любом А,
oF система (33) имеет единственное
решение
л
==,
$2=0;
Гдло’
соолветствующее репение интегрального уравнения!
1
1
‘i=
4.—
2
A-—
а
о
Y(xj=COSx- TG ME
д
При м = из (33) получаем
{93
03 )(2)=(0):
221

Эта система, а вместе с чей и исходное интегральное уравнение,
решения не имеют.
При А=А»› =—1/(2л) система (33) принимает вид
(50(*=(5
00
$3~~0
и имеет решения $1==7/3, 5, ==С. Соответетвующие решения интег-
рального уравнения таковы:
y (x)= COS X-+ Ag (syx®-+- sex)
= cos ra x?-+-Cx,
где С— произвольная постоянная. >
Исследовать решения заданных уравнений с вырожден-
ным ядром при различных значениях параметра A:
1
18.139. ух хуи=.
0
1
18.140. у —^) xy (1) &= за 2х.
3
18. 141, y(x)—2 1(1 + 2x)ty (t) dt =1—+ x,
0
t
18.142. y(x)—A y x sin Qnty (t) dt =x.
0x
8
18.143. у(х-—Х\ ий =авх.
1
18.144. Уд —® | агссов ty (t) dt ут ха
м
18.145. y(x)—A \ sin x cos fy (¢) df = cos x.
0i
18.146. y(x)—A | (1 +-xt) y(t) dt =sinae,
—1
1
18.147, y(x)—2 | НОУТ.
—1
18.148, y(x)—A| cos(x-+f)y (i) d=.
0
222

4. Уравнения Фредгольма 2-го рода с симметричным ядром. Ядро
К (х, Г) называется симметричным, если оно удовлетворяет условию
K (x, д=К( Хх)
для всех ах, #=6.
Для симметричных ядер, удовлетворяющих условию
bb
(Vike, ра а< о,
аа
дополнительно к основным теоремам Фредгольма (см. п. 3) спра-
ведливы следующие утверждения:
1. Симметричное ядро, отличное от тождественного нуля, имеет
по крайней мере одно характеристическое число.
2. Характгристические числа симметричного ядра действительны,
а собственные функции, соответствующие различным характеристи-
ческим числам, ортогональны.
На практике часто встречается случай, когдз интегральное
уравнение с симметричным ядром является решением некоторой
самосопряженной однородной краевой задачи для обыкновенного
дифференциального уравнения. В таких случаях нахождение харак-
теристических чисел и собственных функций ядра сводится к реше-
нию указанной краевой задачи.
Пример 10. Найти характеристические числа и собственные
функции ядра
|
f(x+1), Оха 1,
К (х, = (¢-+1)x, Omtaxeal.
«$ Заметим, что ядро (34) симметричное. Действительно, из (34}
следует '
аи0
_J *(+l), Ostaxvel,
ке. 3) une Ох.
(35)
Сравнивая (34) и (35), видим, что К(х, =К(ЁЬ Хх) для любой
пары (х, й).
Однородвое интегральное уравнение
|
y(x)—2\ K(x, ty (1) at =0
(36)
0
с ядром (34) запншем следующим образом:
(34)
х
1
уWaals \(¢-+1)y(4)di+(x+ 1)\ty(t)it)
(37)
0
x
Далее, дважды продифференцируем (37):
у’ w=a( { (ПУ dt-+x(e +1)y (x) +
0
1
-- ( ty (f) dt —(x-+1) xy «), (38)
Uy’(X)=A ((x+ 1)g(4)—xy(x))=Ay(x).
(39)
223

Таким образом, число А и функция у(х) таковы, что
y"omhy=0,
(40)
Найдем теперь краевые условия, которым должна удовлетво-
рять искомая функция у(х). Для этого, подставляя в (37) и (38)
х=0и х=1, получим
1
1
y(Q=Al ty (jdt, y(=al
+N y(hae,
0
0
1
1
y (=A) ty@Madt, уе» +N yO dl,
откуда
°
°
y(0)=y' (0), y(D=y" (1).
(41)
Соотнощения (40) и (41) образуют в совокупности одпородную
краевую задачу, решая которую, найдем характеристические числа
и соответствующие им собственные функции исходного интеграль-
ного уравнения.
Рассмотрим три случая
1) ^=0. Уравнение (40) принимает вид
y"=0,
y (x) = Cy+Cox.
(42)
Используя краевые условия (41), получим для нахождения постеян-
ных Сги Со систему
Ст=С.,
Cy-+Cy=Co,
которая имеет единственное решение Су=0, С, =0. Следовательно,
краевая задача —а вместе с ней и уравнение
(36) — при А =0 имеют
лниь тривиальное решениеи
(Хх) == 0, т. е. А =0 не является характе-
ристическим числом. Впрочем, это можно было заметить сразу из
уравнения (36): если в нем ^=0, то у (х) == 0.
2) ^=в? > 0. Уравиение (40) имзет вид
у" —00? =0,
его общее решение:
его общее решение:
и (х) = Сте®х -|- Сье- 9х.
Краевые условия (41) приводят к системе
Cy t+-Cg= U0} — wl,
Cye® + С»е-® = wlye" — oC ,e-9
или, в матричной форме,
1—w
1--о
Ci\_[О
(о ofveo}(<)=(0).
(43)
Эта система имеет нетривналь!:11е решения в том и только в том
случае, когда выполняется условие
1—0 1-- о
ОЕ |_
ово е-о
р ше-о |=И—
6)1%) | o>
=— 2(l—o)
(14-0) sho=0,
tT. e. O=+ 1(0?> Of), или А=0*=1.
224

При @=1 из (43) получаем
(о) (с)= (о) *(<) =(о
О 2/e},\Ca/ \O
С] \0/’
откуда и (х)
= <С1е*, С, — произвольная постоянная.
Аналогично, при © = —1 получаем
20
в.0
С.
0
С.—Cy,
откуда и(х)=С.е7*, С.— произвольная постоянная.
Таким образом, А=1 — характеристическое число ядра (35),
соответствующая ему линейно незавасимая система собственных
функция состоит из двух функций уу=е*, у›=е7*, а любая соб-
ственная функция имеет вид И(х)=Слех--С.2-х, rae Cy u Ca—
произвольные постоянные.
3) ^=— &* < 0, В этом случае уравненне (40) имеет вид
y”+0?=0,
его общее решение:
у(х)=С:с0$юх--С.$шwx.
Краевые условия (41) приводят к системе
Cy=WC,
C,cosm-+Cysina=—@C,sino--aC,cosw
или, в матричиой форме,
]
= (|)
Ci—_0
(os w--+wsin@ sin w&—w@ cos ») (<) — ( 0 ).
(44)
Эта система имеет отрицательные решения в том и только в том
случае, когда o*sinw=0, T. @. ов=лп, п=-1, 2,.,., или
^
2
‘
Ля=— в=—7272,NEN.
При «=о„=лп, п= 1 +2,..., из системы (44) получаем
1 —JIN
Ci\ _/90
(— 1)" — дп(—1)"
Cy
0/’
откуда С! =л7пС, С, =С и у(х)=С (пп с08 лих-- зш лих), где С —
произвольная постоянная и п = 1, -|-2, ... Заметим, однако, что
в этом выражении для и(х) переход от п к —п приводит лишь
к смене знака, т. е. к изменению константы С. С учетом этого
получаем, что каждому из характеристических чисел Ав = — л?п?,
пЕМ, соответствует одна базисная собственная функция у„ =
—=лп с0$ лах--$ш ллх, пЕМ, а любая собственная функция имеет вид
у (Хх) =С (лл с03 лпх-- $1 ллх), n&N,
С — произвольная постоянная.
Подводя итог, заключаем, что для заданного ядра задача
о характеристических числах и собственных функциях имеет сле-
дующее решение:
Ло = 1, Yoi=e*,
Yo,g==e~*,
Лв=— 720, Yn =n cos anx-+-sin 1x, ПЕМ. No
8 Пал nen A. R Fmoumona. a. 4
225

Для заданных симметричных ядер найти характеристи-
ческие числа и соответствующие им собственные функции,
сводя интегральное уравнение к однородной краевой за-
даче для обыкновенного дифференциального уравнения.
({—1)x, O0x<x<t,
18.149. К (х, = t(x—l), t<x<l.
7* Ох.
18.150. К (х,2) =
t<x<l
a
0O<x<,
18.151. K(x, Y= —t—l, ¢<x<l.
costsinx, 0<x<t,
18.152. K(x,1) = sinfcosx, t<x<u.
‚| sintcosx, O0O<x<,
18,153, K(x, д = cosfsinx, (<x<n.
.
sn 0O<e<t,
18.154.
(x, 1)=
in?si —|
О, ух.
18.155. K ( ие
0551,
Хх
)=
.°
’
sh t sh ({—1)
So, tel.
18.156. K(x, )=ysin|x—1|,0S e<t<a,
|
—e-*chy, beret
18.157. K (x, t)=
—chte-*,
t<x<2.
Если задано неоднородное интегральное уравнение
b
y(x)—A! K(x, ty () dt =F (x)
a
(45)
с симметричным ядром К (х, {) =К (&, х), удовлетворяющим условию
wy
бис», пра <,
аа
то его решение в общем случае может быть найдено следующим
образом.
Пусть
Aq, Ag, ooo, An, ove
(46)
— последовательность характеристических чисел ядра К (х, 2), a
91(%),Из(Х),++в,Yn(tsave
(47)
226

— соответствующая ортонормированная последовательность еобст-
венных функций. Нри этом в посЛедовательности(46) каждое харак-
теристическое число выписывася столько раз, каков его ранг,
т. е. число лилейно независимых функций, соответствующих этому
характеристическому числу.
Если параметр А в уравнении (45) не совпадает ни с одним
из характеристических чисел А„, n=l, 2,,.., то решение этого
уравнения (существующее и единственное в силу 3-й теоремы Фред-
гольма для любой правой части #(х)) дается формулой
y (=F)+4 DY ty on
(48)
fisl n
где
5
[n= \ f(x) on (x) dx,
n=l, 2, oes
(49)
Если же параметр А совпадает с одним из характеристических
чисел, имеющим ранг г, т. е.
^
^
4
Ат Ampere hmer
для некоторого м. то решение существует в том и только. в том
случае, когда функция ](х) ортогопальна ко всем собственным
функииям, соответствующим данному характеристическому Числу,
т. е. выполнены г условий
b
Году»
сд ак=0, n=m+1, m+%..., mtr (50)
В этом случае уравнение имеет бесконечное множество решений,
имеющих вид
@
yi=f@)+h =
И ув (9-Е Сина +...
ПЕ!
п
ПЕТЬ... ТУР
+. „СлИтг (Х),
(51)
где Су, coos С, тт произвольные постоянные.
Пример 11. Найти все решения неоднородного интегрально-
го уравнения
it
f
я
Хх
ии |К, и(04=1—5,
0
52
costsinx, Omxex,
(2)
sinfcosx, Qx<aa,
K(x, =|
при различных значениях параметра A.
«$ Характеристические числа и соответствующие им собственные
фуикции ядра (52) имеют вид (см. задачу 18.152)
2
M=—l+ (=F } , Yn=Sin “or Xx, a==(Q, |,2, tes
8*
227

Заметим, что в данном случае каждое характеристическое число
имеет ранг г=1, а последовательность собственных функций орто-
гональна, но не нормирована па отрезке [0, д]: нормированные
собственные функции имеют вид
2. 2n+1
m= VY2sin 5
n=0, 1, 2, ‚,..
По формулам (49) для Гар-я 5 получаем
л
—
л ._Х
22l
=|(1-15) И
Е
9
——
л
д
2/[л‚21-1
21-1
=
ala \ sin
xax— sin+sin—75— хах
0
0
Vz
д
a!
при п=0,
=Уз(тео4. УЕ1
л (2n+-1)
~\
5апри
п #0.
При А Ав, п=0, 1,2, ..., уравнение имеет едииственног
решение
.On-+l
т—
= поху.
Ty 2n-+ 1
м=а
pn A=Ayg=—3/4 в силу ортогональности / (х) к собственной
функции Yo (x)=sin > получаем бесконечное множество решений
вида
3® п2А-Е1
mx
x
2
_x
y (= pg sin +d imАОИ ГИЯ,
где С — произвольная постоянная.
Наконец, при А=А,, п=1, 2, ,,., уравнение решения нс
имеет. }>
Найти решения неоднородных уравнений Фредгольма
2-го рода с симметричным ядром при различных значе-
ниях параметра А (характеристические числа и собствен-
ные функции соответствующих ядер см. в задачах 18.149—
18.157).
18.158. yy—al K(x, thy (t)di=1,
] (1—1)х, О<хФЬь
K(x, =) t(x—1l), ¢<x<l.
$28

1
18.159. y(x)—~A ( K (x, t)y(é) dt =sin nx cos+ x,
0
2
—x, Vax
K (x, 0-1 —t, t<x<l.
18.160. y(x)—A \ K(x, i)y(t)dt=x—xn,
sinfcosx, 0O<xc<t,
cosfsinx, «хз л.
К (х, 9-1
18.161. у(х)—^
| 5 эт] х—Ну(04#=1.
0
$ 3. Численные методы решения интегральных
уравнений
Существуют различные методы численного решения интеграль-
ных уравнений: метод конечных сумм, метод моментов, метод кол-
локации и др. Ниже будут рассмотрены два из них
— метод конеч-
ных сумм и метод моментов.
|
Пусть задано интегральное уравнение Фредгольма второго рода
(ср. 5 2, п. 1 настоящей главы)
b
y(xy—A | K(x, #) y(t) dt =F (x),
(1)
а
где у(х)
— искомая функция, К (х, Ри }(х) —известные функции,
определенные в прямоугольнике а<х, фи на отрезке [а, 6]
соответслвенно, /, — параметр, не равный собственному числу соот-
ветствующего однородного уравнения.
Метод конечных сумм. Этот метод основан на прибли-
женном вычислении определенного интеграла с помощью некоторой
квадратурной формулы
b
n
(F(x)dx=У.А.Е(5)dx+Rr,
(2)
ix
а
rye x;, {=1, 2,.,., П, == точки отрезка [а, 6], А» #=1, 2, .,,, п,—
числовые коэффициенты, не зависящие от выбора функции Р (x),
и Юр-—ошибка формулы (2), порожденная приближенным вычисле-
нием интеграла, В случае равноотстоящих узлов х;=а--(—1)й,
а=F: коэффициенты А; в приближенных фор-
мулах (2) имеют следующие вначения:
1) для формулы прямоугольников
Ajah, =]: 2, вое, П==], Ад=0;
i=l, eno) п, где hex
229

2) для общей формулы трапеций
Ay=Ayn=h/2, Aga... = An-1t=h;j
3) для общей формулы Симпсона при п=2т-|-1
А! == Азт+1=3, A,=Ag=.., = Arm= 4h/3, Ag=A;=...=
= Agni = 2/3.
Вводя обозначения
у (х:) = уг, K (xi, xj=Kiyz, («x)=fi,
i, 1=1, 2, coe, ft,
интегральное уравнение (1) на основании формулы (2), в которой
ошибка Юр отброшена, можно замепить системой п линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных у; — прибли-
женных значений точного решения у(х) в узлах хг:
п
~
ь|
~
и
У АКИ
Е vee
(3)
[=1
‘Система (3) может быть решена одним из численных методов
линейной алгебры, например, методом Гаусса.
Найдя у; из (3), для решения у(х) получаем из уравнения (1)
приближенное аналитическое выражение
п
у (х) =] (x)-+4 5) A;K (x, X;) у).
4
Пример 1. Используя квадратурную формулу Симпсона, ме-
тодом конечных сумм найти приближенное решение уравнения
1
9:(х) —0,5 \ хеу (Ё) &4=е-х. В вычислениях положнть п=3.
0
@ Bui6upaem .paBHootctosmue y3abl x;=0, x%2=0,5, x3=1. Знане-
ния ядра К (х, #) =хеЁ и правой части }(х) =е7-* в точках (%:, ¢,)
и х; соответственно оформим в виде таблиц:
Таблица значений К;/= K(x;, ¢;)
>
t,
|
0
0,5
1
о
0
0,5
|
0,5|0|0,8244
1,6487
О
|о|1,3502
2,7183
Таблица значений = Кх,)
Xi
0
0,5.
1
я|1
|
0,6065 0,3679
230

Квадратурная формула’ Симпсона’ (см. (3)). вв нашем. случае
имеет вид
1
(,F (2) dx 2 (F (0)-+4F (0,5)-+-F (1)
0
Tax kak h=1/2, Ay=h/3=1/6, Ap=4h/3=4/6, Az =h/3—=1/6.
Лля определения приближенных значений Vis i==1, 2, 3, pe
шения у(х) в узлах х; согласно (3) получим, используя таблнцы
значений Кгуи f;, следующую систему линейных уравнений:
1=I,
ys 22 (0,541 -E 53,2976ye -|- ,3592уз)= 0,6065,
(4p
ys — 22> (ys +6,5948y»
+ 2,7183yq) = 0,3679.
После упрощения система (4) перепишется в виде
n=l,
0,7252y. <0, 1133y3 =0,6482,
(5)
0,5496y2 —0,7735y = —0, 4512,
Решая систему (5), находим
gi=1, y2=1,1079, ys =1,3706.
Слгдовательно, приближенное решение интегрального уравне-
ния выражается формулой
y (x) == 27* + 1,003x.
Зэметим, что точное решение уравнения есть у(х) =е-х--х. D>
Изложенный выше метод применяется также для приближен-
ного решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода
©
y (x) —2.{ (x. y(t)dt=f(x), — ах.
a
В последнем случае полагают, что
Ky,
Г>Ё
Действительно, уравнение Вольтеррас ядром К (х, ft) можно свэсти-
к. уравнению Фредгольма с ядром К*(х. No). вводя. функцию.
К (х Г) awszt<ex
*.
—_
.
»
AN. =
<
Метод моментов. В методе моментов приближенное ре-
шение у интегряльного уравнения ищется в виде суммы [(х) и
линзйвой комбинации линейно независимых на отрезке [а, J]
фузчкций Ф, (х), Ф2 (х), ‚,., Фи (Хх), Т. е.
Я)==ув(= (а) У с (9),
(6)
iz}
231

ГДЕ С1, С2, ..., Сп- некоторые постоянные. Подставляя (6) в (1),
получаем невязку
:
п
п
b
В[у(=Удо NoУзел9-— |Ка,DEAL (7)
i=1
i=1
a
где
b
wii=( Ke, Ned, 11% var.
Согласно методу моментов коэффициенты с» t= 1, 2, ..., И,
определяются из условий ортогональности невязки ко всем функ-
циям Ф! (Хх), фз (х), ..., Фа (Х). Эти условия дают следующую систе-
му линейных уравнений:
b
FR[yn(2)9;(*)dx=0, =1,2 vrayп,
a
или в силу (7)
п
Ус (a; ;—ABi 7) =Ayis
i=], 2, вв) 1,
(8)
j=1
где
b
iz=|gr(x)gy(2)dx,
a
b
Ву|dx (KimDg)oy at,
b
Vi
a
(dx
a
Если определитель Д (^)
= 4её (&;;, —^ЛВ:;) системы (8) отличен
от нуля, то коэффициенты ст, с, ..., сп определяются однозначно.
Подставляя их найденные значения в (6), получаем приближен-
ное решение исходного интегрального уравнения.
амечание. Для удобства вычислений интегралов систему
(8) иногда формируют, используя условие ортогональпости невяз-
ки (7) к некоторой иной системе функций, отличной от системы
фи (х}, Фа (%), ..., ЧФп (Х).
Пример 2. Найти приближенное решение уравнения
K(x,t)f(t)gj(é)dt.
1
y (x)= K (x, t)y (t) dt=1,
0
где
_j(t—l)x, 0<x<t,
AG d={too <х=1,
232

<& Используя выражение для ядра К (х, ¢), Nepenuuem ypaBHeHue
в виде
x
1
y (x) — (| t(x—1)y (t) dt+- (=) x9) «)-1
0
x
Положим и (х)= уз (х) =1-+- их-+ сох?. Тогда невязка А [уг (х)] имеет
ВИД
/
2
‚No
x4
Cy
(Be) be xt x8 \\]_(xeI)?|x(x1)?
Из условия ортогональности невязки В [93 (х)] в функциям х
HX? получаем следующую систему:
1
Аша 4х =0,
0
1
( Rye (#)]49dx=0.
0
После вычислепия интегралов и некоторых преобразований
получим следующую систему линейных уравнений :для определе-
HHACyHCo:
0,3555¢; +-0,3146c, = —0,1167,
0,2638c, -++ 0,2417с. = —0,025.
Решая эту систему, находим с1==0,027, с. =—0,029. Приближен-
ное решение исходного интегрального ‘уравнения имеет вид
у (х) =1--0,027х—0,029х*. >
Замечание. Мы не приводим оценок точности приближен-
ного решения для изложенных методов ввиду довольно громозд-
ких выкладок. Изложение этих вопросов можно найти в специаль-
ной литературе *).
Решить интегральные уравнения методом конечных сумм, либо
методом моментов. В методе моментов использовать функции
фк (Хх) =х^, k=O, l, 2, воёу п.
1
18.162. y(x)—4 | sin? (xt?) y(t) dé = 2e—n.
0
arcsin 24
18.163, y(x)—\e ? y(d)dt=tex.
0
I
18.164, y(x)—| tget + y (#) di =ctg(x +5).
0
1) См, например, Березин И. С., Жидков Н. П, Методы
вычислений.
== Т. 2. =М.: Физматгиз, 1962, гл, 10, $ 10.
233

234
18.165.
18.166.
18.167,
18.168,
18.169.
18.170.
18.171.
18.172.
18.473.
18.174.
18.175.
18.176.
18.177.
18.178.
18,179,
1
y(x)—§ sin(+ I)y()d=2+5.
0
1
y(x)—=\(x?-+-sinxt)y(¢)dt=cos2x.
!]
1
в
y (x) +7) xn (x?-+ 1042-43)
y(t)dé=22+3x.
y (x)—5 tg ely (t) dt=cos*x.
y(x)— ) (1-е) уд = (+8).
ves (x24 ef + 1) y(t) dt= cos 2x.
1
уж-5ету(0 =In(1+x).
[$2
+
u(x) + \ (x sind—V7)
y(t)dt=cos 3x.
1
и®—) (xt+-x*cos¢)y(t}dt=x—2.
0
у
—
(хе), (дах (+2).
y(x)— cosIn((¢-+5)x)y()dt=sine.
y9 (5xarcsinf—In(¢+8))y(t)dt=x*+8.
v(o)—4 xer' tty (t) dt = e* 4-8,
y(x)+ cos2x(x*-+ tx)y(t)dt=x?+sinx.
1
y (x) —4 сине же (4-4) уе" 8.
0

18.180. y(x)—\ (x—sinxt)y()dt=sinx, O<x<cl,
18.181. y(x)—J (1 +2%—e!)
y(t) dt =e +x, Oey
х
T
O
I
T
h
e
18.182. y(x)— sin(3x—8¢x) y (t)df =1—2cosx,
0
Q<x<l.
18.183. y (x)— | e@**~Sry
(1) dt —e* 49, O<x <I,
0
18.184. y(x)—J
(xin (¢+8)—t) y(t) dt=pe* +x,
0
QO<x<l.
18.185. Составить на Чортране подпрограмму для ре-
шения интегрального уравнения Фредгольма второго рода
(1). В качестве формальных операторов использоваты
МNo-—количество узловых точек, С=А, Х — одномерный
массив размера М, который перед обращением к подпрог-
рамме содержит значения узловых точек х,, k=1, 2, ...
..., No, А— одномерный массив размера М, который перед
обращением к подпрограмме содержит коэффициенты квад-
ратурных формул А„, т=1, 2, ..., No, КК— промежу-
точный двумерный массив размера МХМ, К — одномерный
массив’ размера М, в котором до обращения к педпрог-
рамме находятся значения правых частей, а после окон-
чания работы
— решение системы линейных уравнений, Е и
ЕЕ — имена подпрограмм-функций, вычисляющих значения
K (x, t), {(*) соответственно.
® Для решения системы линейных уравнений можно
использовать подпрограмму ЕХСГОЗ (А, В, N) (cm. 4. 2,
с. 178) или стандартную подпрограмму математического
обеспечения ЭВМ серии ЕС.
18.186. Используя подпрограммы задачи 18.185 и квад-
ратурную формулу Симпсона, найти решения задач
18.162 —18.184. Число точек деления выбрать равным
п=21.
235

ОТВЕТЫ
ГЛАВА 16
!
$—
*
———!
16.1, Ut=Z, 16.2. U*={l, 2}. 16.3. U ет.
16.4, U®=f—1; l}. 16.6. f,=0. 16.7, f,=—o. 16.8. f,=— 0,
16.9. fee 1/2. 16.10. [+=— ©. 16.11. a) [+==—©; 6) к=0.
16.20. [—1; 0], [0; 1], [1; 2]. 16.21. 5=2,5. 16.22. Да. 16.23. @ Вос-
пользоваться результатом задачи 16.19. 16.25. См. рис. 299.
( Начало —)
вез.
_у
/ 2429 1/7), а, 6,8 /
у
. Т*=а, f*=#/a)
у_
(и
_ Рис, 229
236

16.26. x*=1,156, f*=0,6609. 16.27. x*=0,6605, f*=—0,4501,
16.28. x°=0,6565, f*=1,4653. 16.29. x*=1,6702, f*=—33,5064¢"
16.30. x*=1,2963, f*=—1,7557. 16.31. x*=0,8241, f*=—1,64217°
16.32. x*=3,3532, |" —47,1447. 16,38. х*=1,8411, f* = —6,00163°
= 32, Ny — 190001: Nq/Ng=== 3125. о. Использовать результат за-
дачи 16. 37, полагая д = 0. 16.40. См. рис. 230. 16.41. х*
= —4,4934,
C Начало “`` )
/8809 fду аЧаоьв |
у
2=ld)
©=
ИР) <
Z*=2
*= f(2*)
\еее a*,+* \
у
C
Конец
»
Puc. 230
8206, 16.42, x*= 1,0030, f= —2,1376. 16.43, х #== —0,7549,
3/6047. 16.44. x* <2), 3822, f?==—3,7491. 16.45, x= 1,7556, [=
54. 16.46. x*=20,3584, fF 2,4154, 16.47. ch 4, f? = —8,9169.
B48. xe el 5, Р=- 16519. 16.51. 6) y—asb—m=
=
_~4
V5
=! (yg), 16.52. дн= Ут) ‚ 16.53. Ма =32, Ме=
— 24; М\/Ме=1,33. 16.54. См. рис. 231. 16.55. х* = —0,6823, [=
237

ex —QOj5814. 16.56.. x*
= —2,2340, f*=61,,1806. 16.57. «*=0,6488,.fF =
= —2;3675. 16.58. x*=0, 5110, ft=—2, 5054. 16.59. х*—=— 2,3247,
“=— 7,7290; 16:60... х*= 1, 5160, f*= 20,4415. 16.61. x*=0, f*=—3.
C
Н
а
ч
а
л
о
:
>
}
/ 8800" F(x), 2,0;8 у.
т
=]т
тв
a
maar Voz!J daa |
Нет
ae
сИЕ|
\ Печатьр¢*\
».у
( Конец _}
Рис. 231
16:62. х*=0,7339; f*=1,6796. 16.65. a) L=5; 6) L=135. 16.66. См.
puc. 232. 16.67. #1, 152 10- 2. 16.68. г =—10, 006. 16.69. f*=
= (0,523. 16.70. f*= 2,387. 16.71. ==1,393х 10-3. 16.73, $ Урав-
нение касательной к графику f(x) в точке (хо, [(хо)) имеет вид
238

Cc Ночало 34
у
[ B09 —_ 5,éУ
Г.- Fla)- aD
[Pts
ыы
2
Jone f
>—
\
A=5h (f(s) -pr} -
<>
Aa
|
n=n+1 |
api xeA
| | 2*--Г(х*)
|
Lon=2
—|
=||2,=_д’
| \ Печать &*,P* \
+|
—
°
__1[Е5%)+*
|
-
= 197
Р2п= 2. {п Pr
Конец
.
[2
‘Panet =Pen
@—
3
у
w
a
y
“
S
s
*
t
t
5
Е
=
a
„Опил = Ро
1=]
И
{
c
e
L
R
a
Puc, 232
239

и= | (ж)-Р (%) Х—хо). По формуле конечных приращений | (х) =
= { (хо)-- { (2) (х— хо), гдеЁ заключено между хи %. Поэтому
(х)—и=[Г (© —Р (%0)] (< — хо) =0, хак как [(х) не убывает. }>
6.75. См. рис. 233. 16.76. х*=1, f*=1. 16.77. x*=0,4502, f=
= —0,2355. 16.78. х* = —0,3855, {*==0,7852. 16.79. x*=0, f*=—l.
(_ Начало »
у
/ 8629 (x), a,b,8 [
со Нет
к
ча
у
al
f
h
Fb) - f(a)
Да
Нет
#(а)>0
f(a)=0
Hem Aa
Hem
rsh |o*=a TK ab
p
|
| fta f(x)
Рис. 233.
16.80. x%*=0,6501, f*=1,6951, 16.81. x*=0,7035, f*=3,4422.
16.82. х*=3,8708, f*=1,3702. 16.83. x*=0,5283, f*=0,6675.
16.84. x*=0,3851734, f*=0,827184. 16.85. x*=——0,693147, f*=
= (),6137064. 16.86. х*=—0,835430, f*<:—6,879073. 16.87. x*=
= 0,738835, /f*=0,284712. 16.88. х*=—0,175203, /*<1,908524.
16.89. х*= —0,443931, *=0,765751.
16.91. Да. 16.92. Да. 16.93. Да. 16.34. Нет. 16.96. Да.
16.36. Да. 16.97. Нет. 16.98. Да. 16.99. Да. 16.100. Нет. 16.107, И =
={(хт, хз)|Ха>0}. 16.108. И={(хт, Хэ)|(2k— 1)лм -х.< 2л,
REZ}. 16.109. U=€2. 16.110. И = {(хт, Х2) | х1-|- Ха > O}U{(xx, X2) |
жа < 2}. 164. а>0, 4-—?>0. 16.112. аЕ(—2; 2).
16.113, = (: 5), f' (x) = (19).
16.114, Q=(_} 7): f' (x)= (1).
240

11|
16.116. Q={ 111), f’ (x)=
112
16.117. a) xt) =(0,0611; —0,1389), (ха)
<(<);6)x=
= (—1,4881; —2,0181), f (x)
=f (x); B) x4) = (—3,6945; —4,6945),
F(x)
> f(x), 16.118, a) x= (—0,1; —0,1), f(x)
< fF (xl);
6) x9 (0,5; —0.5), = (о; в) же, О, [>
> f (x). 16.119. Oo (—0,1; 0,8; —0,1), F(x) < fF (x): 6) х® =
— (— 0,638; —0,276; —0,638), fF (x)= f(x): в) x =(—10, —19,
C Hayano
»)
у
/8609 аа,в,6 |
at+h-6
as
220
4
16.115. o-(2 4 -1} f' c=) =( 3)
16
—5
Ly=
Ly ай
.
a
r
e
a
s
e
|
“
Е
Р
.
у
\
4
П
е
ч
а
т
ь
2*,
=
“
\
у
( wkovey )
Puc. 234
—10), f(x) > f(x). 16.120. a) x?
= (—0, 1437; ee 0,44), (м) <
< f(x); 6) x) =(—1,4323; —0,2761; —0 2761), НЕ: )) = G ох
B) x‘)
= (—10,4366; —5; —5), f (2) > f(x), 16.121. Cm. puc. 234,
16.122. @ Воспользоваться необходимым условием минимума функ-
unn OD, (a) =f [xmaf’ (x\)] B TouKe Gg: Ф; (ал) =0. 16.123. См.
24]

C
Начало
)
Y
/ 8609 F(a),0%e f
у
] Bax
|
гы
-
НАШИ ЗЕ
Минимизация функции.
|
Ф()=#[т- «Р(х)] |
L*= 2
D(a*t=min D(a)
. f* =F(a*)
|_a>0
|
:
тw= 2-a*f'(z) |
\ Печать a*f* \
МИ
]
_у
© Авнец +
Рис. 235
(_ Начало _)
ЕК
/ 8600 4,р,2)е/
_p=)
Hem
|
НОж+рИ<Е >
_ (d2+p,a2+p)
` L*=2
“(ат + р), дхн)
ф*=Р(х*)
__У
|
__
х-4-#(0%+Р)|
\ леать 2,"\
у
(_ Конец _)
Рис. 236
243

рис. 235. 16.124. См. рис. 236. 16.125. а, =0,113:. 16:126. ж =0;96,
16.127. a@—=0,236. 16.128. a) =0,119: 16.129. ** = (—0,2206; 1,04419;
*—=—5,3809. 16.130. х*=(0,3333; 0), f*=0;3333. 16.131. х*=
— (0,3846; —0,1923), f*=—0,4877. 16.132. х*= (0,1667; 0,1667»,
f* = —O;1667. 16.133. x*= (2,55; —0,85), f*==—21,675. 16.134. х*=
= (0; 0;5), {* = —0,75. 16.135. х* == (0,9677; —6,4516), f*=—32,2581.,
16.136. x*=(—0,5; 0), =-—0,25. 16.137. х*=(—0,1053: 0,0789;
—0;0639), +=
— 0,1207. 16.138. х*= (—0,1538; 0,1154; 0,3077), {*
=
== 0,5385. 16.139. х*= (—2,6028; —0,0198; 0,1050), Р=— 6,4658.
16.140. х*=(—1,5865; 0,3221; 0,2981), = —5,8029.. 16.141. х*=
= (—0,1112; —0,0292; 0,0308), }*=—.0,4435. 16.142. x*=(—0,5236;
0,2028; —0,1698), [*+=— 1,3939. 16.143. х*=(—1,2867; 0,2317; —0,2569),
* = —4,6319. 16.144. х*= (—0,0732; —0,2195; 0,6830), {= —0,4146.
16.146. См. рис. 237. 16.149. х*=(0,2310; —0,3160),. f*=0,5565.
@ Начало, »)
у
a’
Я
a
)
_AF(a)i?
|
|
| Рут
[2-20-09 =O" |
ant.
=
д
p=Ff(x) +p
у
Минимизация Фучкции
Y(u)=t (x2 - xp)
Dia*) = min O(a |
|
|
4)me(9|@Конец ).
Z|
}-
\ Печать ae" \
РЕ up
A
n*=2, f'n fia")
Да to
ИР) Иа
Рис. 237.
16.150. х*=(—0,7071; 0;7074), [#= —0,7071. 16.154. м*=(—0,7592;
—0,4053), [*=—1,4498. 16.152. x*=(0; 0), Р=1. 16.153. х*=
== (0;2420; 0,1829), =1,7814. 18.154. х*=(—0,1918; —0,9596),
#—=— 9.3843. 16.155. x*=(0,7358; —0,8580), f*=—1,4001.
16.156. x*—=(0,2400; —0,3267), /*=—0,4504. 16.157. x*=(0; 0),
f*—0,6931. 16.158. x*—=(—0,6132; —0,6633), f*==-—1,805. 16.159. x*=
== (—0,3015; —0,6031), No=3,3166. 16.160. ж*=(—0,2990; 1,4952),
= —4,7999; 16.161. х*= (1,2948: 0; 1,2248), [*=2,4495. 16.162. х*=
= (0; 0,1555; —0,4119), [*==0,6949. 16.163. х*=(—0,3016; 0,6030; 0),
243

f*=3,3166. 16.164, х*=(—0,4446; —0,5778; 0,0010), f*=—0,7668.
16.165. x*=(0; 0; 0), Р=|. 16.166. x*=(0', 0°, 0), f*=2,3863.
16.167. x*=(—0, 1907; —0, 0954; 0,9535), f*=—2,4321. 16.168. x*=
= (—0,6300; 0; —1 5811), f*=1,1087. 16.169. x*=(0,2300; 0,4600;
—0,1150), fe— 0, 4131. 16.170. х*= (1,0610; 0,3539; 0,0011), f*=
= 2,8284. 16.171. х*= (—0,4041; 0,2235; 0), ft 0,6600. 16.172. х* =
= (—0,1912; —0,4081; —0,3602), j*=3, 5056. 16.173. x" * == (—0,2136;
—0,3328; 0), f*=1,4461. 16.174. x* ‘= (—0, 1154; —1,1544; 0,3463),
ft ——8, 3670. 16.177. См. рис. 238. 16.178. См. рис. 239.
16.182. f (x) =4x,-+6x, — min,
0, lxj-+0, lxo< 2,
0,1х1--0,3х2> 3,
0,8x,;-+ 0,6x» >= 7,2,
0,8x;+0,6x. < 12,8,
X1, Xp =0.
16.183. f (x) =—3x) — 8x2 — min,
10x; -+ 70x. << 570,
20х:-- 50х2 = 420,
300хт-- 400х. <= 5600,
200х1- 100х. = 3400,
Х1, Х2 —0. @ Максимуму прибыли Зхь-- 8х. соответ-
ствует минимум противоположной величины.
16.184. # (х) = —626х, —656х. — т,
х1-- хо < 12,
х1< 8,
5x1+8x.<=81,
6x; -+ 4x,<= 70,
Зхт- хо = 26,
Х1, Ха=>0.
18.185.
= evan
— min,
0 »4X1—0, бх. >>=
4X1 -+ Aoxa <b,
x1; kg=0.
10
16.186.
>С;+= с C;—>) Cibj—min,
i=1
{=3
i=l
xy => Oy,
ж-Н
Ха>do,
ж--
Хх. Хз— max 6,
3«1<8
Xq-+X3= do,
оо
>0, j=1, 2, 3.
16.187. tz) = "— Cyxq—Cot, > min,
апмт-| а12хз < Oy,
QgiXi + AaaXe& bo,
igiX1 + AgeXo & Dg,
ХТ, “>
16.188. х*= (1;
#=— 1. 16.189. х*= (2/3; 2/3); #=— 8/3.
16.190. Нет ее ий, 16.191. Бесконечное множество решений:
х* = (а; Ш, roe aE[0; 1}; ft 1. 16.192. м =(1; 2); P=—9.
16.193. x* ; 2); {=.-4. 16.194. Нет решений. 16.195. Бесконеч-
ное еее решений: х*={(2-—0; &--1), где “|0; 1]; “=-—3.
16.196. x*=(2; 28/3). 16.197. x*=(1; 8). 16.198. x*=(5; 7).
16.199. х*= (146,25; 97,5). 16.209. а) х*=(20: 50); 6) ж= (30; 40).
16.201, x*=(4; 1; 7, 0; 0); +=—3. 16.202. х*=(5; 6; 5; 0; 0; 13);
244

C Hayano ~Y
у
2608 F(t), 8 у
|
| х-=х(0)
| х=х-[Р (ХР (Х)
|
C
_
\ devas att" \
у.
кн С)
Рис. 238
(_ Начало »
у
/860622),2,в/
у
2=2°9
Hem <>
Да
Минимизация функции
Dioe)=F{n-alf
(a) Fla}
D(a")= min P(e)
a>0
-C2*=2
1
f*=f (x*)
у
т-=-т-в*Р т) f(a)
_Y
( Конец р
Рис, 239
\ Печать 2% ‘\
|

f'=2. 16. 203. x* = (10/35 7/3; 5/3; 0; 0); No=29/3. 16.204. х*
=3 (0; 2; 1; 0); f*=3. 16.205. Бесконечное множество решений:
x*=(6—ae 5-0; 6—ба; 0; За; З-4а), где аЕ[0; 1]; f*=—21.
16.206. х*= (1; 2; 0; 3; 14; 0): = 4. 16.207. Хх; 0; 2; 0; 2);
Р=—17. 16.208. "Нет решений. 16.209. х*= (3; 0; 2; : 1);
16.210. Нет решений. 16.211. х*= (9/2; 0; 0; 3/2; ae pa 25p2
16.212. х*= (0; 0; 11/10; 12/5; 3/5); fra —5/3. 16.213. х*= (2; 0; 1;
0; 1); f*=—9. 16.214. x*=(5; 2; 0; 0): v= 46. 16.215. х* =
= (1/2; 0; 6; 3/2; a p= 60. 16.213. x*=(0; ; 1); ft=7.
16.217. х*—(1; 0; 3; 3}; Р=2. 16.218. х*=(1/5; bhi 0; 7/5; .0);
К=— 17/5. 16.219. Нет решений. 16.220. Нет решений. 16. 221. х* =
= (0; 2; 4; 1; 0); f*=—2. 16.222. x*=(3; 0; 0; 4/5), Р=- 36.
16.223. а) х*= (0,9; a “0,45: 0); 6) х* = (4,71; 0; 6,82; 0).
16.224, а) х*= (600; 0; 0); 6} х*=(0; 700; 0). 16.225. х*=(15; 5; 5).
16.227. х*=(13; 3), f*=—16. 16.228. х*=(1; 2), =—31.
16.229. х*= (2; 1), й=р— И. 16.230. Два решения: х*==(2; 0), х*-=
= (1; и в=—2. 16.231. x*=(0, 0; 1; 2), f*=—I1. 16.232. x* =
=(1;9 0; 5), г 16.233. де`(3; 6). 16.234. x"=(3 9),
5 "x?=(0: 4;0; 1; 0), f*=1. 16.236. x*=(0;0;11;3;1),
f*—=—24, 16.237. x*=(3; 2; 2; 1), fF =—2. 16.238. о 3; 2; 0)
или x*=(1; 2; 1; 1) wan x*=—(2; 1; 0; 2), #=-3З. 16.239. х*=
= (1; 3; 0; 0; 1), Р=8. 16.240. я
11; 1) f*=—Il.
16.241. х*=(2; 1;2; 1) или a (1; ‚2) или x*¥=(3; 0;3;о
или х*=(0;3;0;3), “=
ча ied(1;35;3),f=—5.
16.243. x*=(1; 2; 3), О 16.244, x*=(6: 1; 4), РЕ.
16.245. x*=(6; 18), f*=—78. 16.246. x*=(0; 1; 1), f*=3.
16.247. x*=(0; 0; 7), f*?=—21. 16.248. x7;= 76, x1,=24, x2,=0,
Ха =200. 16.249. х*=(7; 7). 16.250. а) х*-=(146; 97); 6) х*=
— (146; 96). 16.251. х*= (3/8; 9), [+= —717/8. 16.252. х*=(1; 3/2),
*#e-
— 5/2. 16.253. x*=(3; 7/2; 0; 1/2; 3/2), ff =—17. 16.254. x* =
= (1; 0; 1/6; 2/3), f*=—65/6. 16.255. х*=(3; 9). 16.256. a) x* ==
== (146; 292/3); 6) х*=(293/2; 97). 16.258. x*=(6; 0), ft=2.
16.259. х*=(6; 14; 0), f*=—8/29. 16.260. x*=(0; 0; 2; 4), [r=
== —2/3. 16.261. х* = (3/5; 11/5; ©; 1/5), /*=5/6. 16.262. x*—=
= (5/2; 11/2; 0; 27; 0), 5 = 91/38. 16.263. х*=(0; 0; 6; 9; 10),
= —3. 16.264. x* = (12/5; 23/5; 46/5; 29/5), f*=—1/91. 16. 265. х* =
== (5; 5; 10; 0; 0; 16), = —4/13. 16.266. Нет решений. 16.267. х* =
= (2; 3), f* xa —52, 16.268. x*=(5; 2), /*=—131. 16.269. x*=
о 14/9), {[*=—22/9. 16.270. х*= (2; 4), Poe 16.271. x* =
== (33/13; 4/13; 0), f*—=—273/13. 46.272. x*=(1/2; 1 9/25 8), fis
= —7/4. 16.273. х*=(0; 0; 1), Р=р—1. 16. 274. x" 0s D ; 0), pP=0.
16.275. х*=(0; 4; 4), f*=12. 16.276. x*=(0; 0; 3), ft=—6.
16.277. x*=(2; 3), f*=—13, 16.278. x*=(8; 28/5), f*=—154,24.
16.279. х*=(15/2; 6), f*=45. 16.280. x*=(10; 4), “=.
16.281. х*= (99/5; 22/5), f*==—108,44. 16.282, x*=(7; 8), f*=—173.
16.283. x*=(10;5), =52. 16.284. х*=(1;2), = -3З. 156.235. х* =
== (2; 4; 8; 16), f?=—20. 16.286. x*=(0; 10; 0; 30), Р=- И.
16.287. х*={3; 8; 13; 4; 14), =—137. 16.288. х*= (0; 0; 0),
р =0. 16.289. х*= (0; 1; 0), Ё=р-—1, 18.290. м =(1;0; 0), = —2.
16.291. х*=(—2,683; —1,342), {= —4,025. 16.292. х* = (3,578; 1,789),
В =— 37,667. 16.293. x*=(0,447; 0,894), J*=—I1,4. 16.294. x*=
= (0,791; 1,258), /*=—2,214. 16.295. x*=(0; 0), f*=0. 16.296. x*=
= (1,005; 0,099), /*==9,95. 16.297. x*= (0,618; 0,618), f*—=4,090.
16.298. x*=(1;0,5), > =—1,75. 16.299. zy,
= max (0, z,), j=1,.,., 2.
246

ау, если Zp< ay,
16.300. i= | 6, если 27> Oy, |= щвь No
Г 2, если eu. 2;<.6...
#, если 2ЕЫ,
16.301. 2и=
Ех
если # ФИ.
16.302. ги=2— (а, 2) —В] аа]. 16.303. Zy=2 +
++ max {G, b—(a, #}} аЛа|. 16.304. х=—(0; 0), f*=0. 16.305. x* =
== (3; 0), К=— 81. 16.306. х*= (4; 2), НВ, 16.307. х*= (5; 1),
“== 11,29. 16.308. х*= (3,1056; 1,5528), р=7,764. 16.309. х*=
= (2,1213; 1,8787), f?=—8,9411. 16.310. x*=(1; 1; 1), fr=6.
16.311. х*= (0,8; 1; 0,4), “=-—8,2. 16.312. х*= (0,8; 0,4), =
== 104,987. 16.313. x*= I; 0,5), =0,5. 18.34. х*=(1,5; 0,5,
= —8,5. 16.315. д* =; I), Н=-— МЮ. 18.316. х*=(1; 2), #=-3.
16.317. х* = (3; 1), Ё=2,3026. 16.318. х*=(—0,9487; 0,3162), “=
— —5,3246. 16.319. ж*= (1,7071; 0;2929%, No =—9,4858, 16. 320" х* =
== (—2,111; 0,8944), р=1,7603. 16.321. х*= (1,6; 0,8), f*=—3,8.
16.322. x*=(2; 2), f*=—2,2082. 16.323. x*¥=—(2; 3), f*=—117.
16.324. х*=(5; 2), “= —51. 16.325. х*= (33/13; 4/13; 0), Р=
= —7,385. 16.326. х*=(2; 4), No=—39. 16.327. х*= (2/3; 14/9),
"= —2,444. 16.328. х*= (0; 1; 1), f* =—t.. 16.329. x*= (1,258; 0,791),
f= —2, 214. 16.330. х*= (2, 684; 1,342), =— 11,125. 16 ‚331. х* =
= (9,5; 1), [—=— 1,75. 16.332. x*=(0,618 0,618), ==4, 090%.
16.333. х* = (1,8388; 0,7862), [= —2,7933. 16.334. х*= (0, вв: 0,6667}.
ft=—8, 1111. 16. 335. x *== (0,791; 1,258), f*=—0,214.. 18.336. х*=
= (2,530; 1,265), р=—14,299. 16.337. х*=(1; 0,5), f*=— т.
16.338. х*= (0,8284; 0,4142), [= —2,8995. 16.338. х*== (3; 4), =
16.340. Л(х, и)= 5 Ть(и®)— тах,
k=1
Ao R-D4 yl(h) ped, ..., N
xh) E[0; 5], el, эру» М— В,
uth) E (0; SI. ЕР even N,
x=(0, x)=
где ш® — средства, выделенные k-my нредприятию, х*^— сумма
средств, выделенных предприятиям с номерами от 1 до #
16.341. См. ответ к задаче 16.340, где и средства, выделеть
ные предприятию в #-м году, а Ж®) == средства, выделенные ему за
первые # лет, k=1, ves
(6.342. /(х, и)= У, Ль(ЖР-Ь, wh) — max,
k=l
xf?
= xk-D at yth), x coe POY, th, k=l, or, М,
ХОЕ|0; S], =], сн NE,
и10;5].ВТ,+.М,
xi=0, x$P=1, i eS,
k
rae APS uO, PTT Ig AD, wh) =O, RAD, vase Wd,
i=l
{=]
JN (tN -2), us) = xV- out).
N'
16,343. /(х, в) = > Е (и®) — пил,
KR = Axle-aT eth
k= 1, aed, N,
xi)>0, = oewrВ=|,

uh>=0, k=I1,..., N,
Noж09) =а, x\N) = (0),
где и\® — количество’ семян, проданных в #-м году, хNo— их коли-
чество, оставленное в совхозе к концу k-ro roma, &=1, ..., No.
16.344. В ответе задачи 16.343 заменить конечное условне
х^) =0 на условие хм > b.
16.345. J(x, u)= No, [1(и) -- Л, (ЕР фи] — max,
k=1
xP)==fz(ul)+ fa(ЖЕ-Ь— и^), k=1, eee,N,
wh) E(0; <k-D), k=1, ..., N,
xo)=S, х(No)> 0,
где х^-Ю.— средства, перераспределяемые в начале k-ro года,
Ш) =— средства, выделяемые первому предприятию в Х-м году.
м
16.346. Л(х, п) = У (Ви aul”) — max,
k=1
АВ=ии, 1, ,..,М,
х®Е [0: Р], #=1, ‚.., М1,
и Е[0; Р-—-ж®-Ъ], и Е [0; жи], Е=1,...,М,
20 =а, MM EO; Р],
где ^*-Р
= запасы продукции в начале А-го месяца, и и uf?—
количества продукции, принятой и проданной в начале К-го ме-
сяца соответственно.
16.347. В ответе задачи 16.346 заменить ограничения на управ-
ления следующими ограничениями: uy E[0; х#-5], ц®Е
Е[0; Р—жЖ-Ю- и], =
ees N.
16.348. J (x, w= No, Рь(ш®) — min,
иван, k=1, ,.., N,
ж^ >0,
k=1,
ee es N—l,
и(®>0, иЕ, k=1, eee,N,
No0 —в, МО,
k
гдеNo=b—>;ал.
j=l N
16.349, J (x, u)= 3 Рь(и®) — min,
k=]
о am RD ива, k=l, oon, N,
x s>0, i=l, ..., m R=1, ..., N—1,
uh >0, wHEZ, k=l, ..., М,
Xb (bi, 0.6, Om), XY 0, i=, wey m,
rye all H Q\*) em m-MepHbIe BeKTOpbl © KOMMOHEHTaMH x? =b; —
—-> аи И aj =ajp соответственно, k=l, ,,,, N.
j=l
16.350. w*={1, 2, 1, 1}, /*==12. 16.351, Tpu pemenna: й*=
={0, 2, 1,1, 1} a*={1, 1, 1, 1, 1},a*={0, 1, 1, 1,2}, J*=13,5,
16.352. й°=={25, 95, 25, 25}, /*=44. 16,353. и*={100, 100, 200, 100},
1*=226. 16.354. а) w*={100, 100, 200, 0}, J*=186; 6) u*=
— {100, 100, 300, 100}. @ Использовать результаты условной оп-
248

тимизации, полученные при решении задачи 16.353. 16.355. Семь
решений: &*={100, 0, 200, 100}, w*={100, 40, 180, 80}, д* ==
= {120, 0, 200, 80}, u*={120, 0, 180, 100}, и*={120, 20, 180, 80},
u*={100, 20, 200, 80}, и*={100, 20, 180, 100}; J*==620.
16. 356. a) u*={100, 100, 100}, J*=300; 6) w*={114,3; 114,3; 71,4},
= 48,6, 16.357. u*={0, 150, 0}, J*=27. 16.358. u*={3, 3, 3},
ro 27. 16.359. w*={S/N, S/N, ..., S/N}, J*=(S/N)TM, 16.360. * =
= {0, 0, ..., 0, аАМ}, Л*=саАМ. 16.361. и*={19,2; 3,84; 0,768},
J*= 38,402. 16.362. w*={0,0,...,0, aAN—b}, Л=саАМсв,
16.363. w*={19,01; 3,802; 7,604}, J*=37,638. 16. 364. ii
== {200, 160, 128, 0}, #2={0;0;0; 102,4}, /*=187,36, где ил и 12—
средства, распределенные первому и второму предприятиям соот“
ветственно. 16.365. ш1 = {40; 64; 25,6}, и. = {80, 0, 0}, J* = 99,84,
16.366. i; ={10, 0, 10, 0}, 2: ={0, 10, 10, 0}, J*=90. 16.367. si
= {7, 0, 12, 4}, x’ ={0, 12, 12, O}, J*=111. 16.368. w*==(2,
Е*=— 11. 16.389. Два решения: #*={2, 0}, и*={1, 1}; ree}:
16.370. a°={1, 2}, F*=—3l. 16.371. u*={0, 7}, F* = —2),
16.372. w*=(2, 1, 1}, J*= 115. 16.373. a*={10, 1, 1}, ^=5760,
16.374. Ueteipe pemenua: a*={2, 3, 4}, a*={3, 3, 3}, a*={I, 4, 4},
u* = {2, 4, 3}; J*=72. 16.375. у= то (*—Х). 16.376. Бесконечное
множество решений: у=(С--х)зшх, СЕК. 16.377. у=е/х
= пм,
16.378. у=хз—х. 16.379. Нет решений. 16.380. ая,
16.381. вк sh x, 16.382. у хе*— 5х. 16.383. go
== ех—е-3х. 16.384. уе зп х-- зшх. 16.386. Нет решений,
16.387. у=р—х. 16.388, ух. 16.389. => (1+5). 16.390, y=
= (2х/3)3. 16.391. ут.
16.332. у=жм-п/(1п).
16.393. =)
16.354. Два решения: у=(х-|
1) ира
= (3х —1)*!°. 16.395. у = с0$ х-- зшх— 1. 16.396. yaaa (x a)-+-A,
1
16.397. и= И1—*-1. 16.398. у= св (xz) eh 5. 16.399, «4 На-
правим ось Оу вертикально вниз. Скорость материальной точки
ds/di = a поэтому время ее движения из точки Му в точку
И
т
Via
—— dx. Tak как подынтегральная функция
V2g
He 3aBHCHT ABO от х, то уравнение Эйлера имеет первый интеграл
1-Е у"?
yy”
Vy Vy ty”)
полагая у’ =
с
2, Тогда y=
=С или и(1-- у’) =Су. Введем параметр &,
С
dy
разр” (1— 03 21); ху =
249

mC; (1m cos 24) dt, x= SE (2t—sin 2f)-+-C3, Hs yenosna прохожде-
gps кривой; у(х) через точку М, (0,. 0} naxogum: Cg=0. O6o3anauue.
‚ через tg, получим уравнения семейства циклоид; x=
= 5: (1-е), g= 3 (1—cos ty). Taxum образом, искомая кри
вая является циклоидой. ПостояннаяС; может быть найдена из
условияее прохождения` через точку Му -(х1, и1).. 16.400. у=х (х— В,
16.401. у==х*. 16.402. y= 75 (HP 39—25. 16.403. y=x-- cos x,
16.404. yem0. 16.405. y=xe*. 16.406. У
16:407. у= сом.
16.408. g=oxt, 16.409. y=shx. 16.410. y=x—sinx. 16.411, y=
ex sh x—sin x. 16.412. y;=sin x, yz=—sinx. 16.413. y;=shx, ysy=
@ —sh
x. 16.414, gi=sinx, yes—sinx. 16.415. yy=e%, улет®,
16.416, gem xt, yo x8. 16.417. у=шх--|, у›=0. 16.418 Беско»
.
x
MeTHOe. множество решений; у1 = — -- 5х — 605 х—Сзш х- х, уз==
у
2
=—узшх-ЕСэшх, СЕК. 16.419. w= +1, уз ==1. 16.420, у=
= —2х, Х1=|. 16.421. Два решения: y=+ 4х, nay. 16.422, y=
ex x/V 5, xp p/2. 16.423. y=—x4+3/4, x= 1/2, x, 23/8.
19.424. yz x (lx), 16.425. y==(x*—1)/4. 16.426. Beckxoneunoe
множество решений: у=жСзшх, СЕК. 16.427. Нет решений.
16.428; y= VY 2-1), ж==2, 16.429. у=
1 sinx.
16.430. yew 0. 16.431, y=eshx, 16.432, y=er%-+sinx, 16.433. pa
6
решения: д= У х-1 и у= V+ х?, 16.434. у= пх--1. 16.435. у=
== — 6% /(23--1). 16.436. у=2
п (х--1). 16.437. y=sinx-+cosx.
18.438. уу == со х-Е 5х у= 50$ хзшх. 16.439; и =(х—2)е-х,
ба = (1—5) е-*. 16.440. у=2-—х, уз=х-Ё1. 16.441. yy =x?+x,
gra=xt—~x, 18.442. Нет решения. 16.443. „=> sink, уз =
= + (sinx—xcos х). 16.444. yj=x?+4-cosx+sinx, yo==x?—cos.x—
— 5шх, 16.445. Бесконечное. множество решений: у; =\ (х), уз=
фу Иа, ге ФО ЕС1[а; В, сели ии’
—(yiyf= а;нетрешенийприа (у
gx bea. 18.448. yoo as х. 16.447. y= 60x* — 96x? + 36x.
16.448. = (х-=2 5ш х)/л. 16.449. Два pewenna: y=x-+sinx, y=
= x—sSinx, 16.450. y= xe~*. 16.451. и = —6x°+6x, yo 3x2— 2x.
16.452, [pa pemienna:. yy = 3x? —2x, yo=3x®—6x и yy = —3x?-+44x,
gs —3x5, 16.453, gj ==0, => B— х. 16.454, Бесконечное мно-
жество решений: у==2 $11 Ёлх, у» =—25ш Алх, КЕФХ. 16.455. Два
ешения: = 3х— 3, go x8—x и ШЕАЗ-Х, ум хх,
6.456, п. (х) =х (2-х) (—1,3551
- 0,308х). @ Искать решение

Ya (x)=
x (2—x) (Ci+ Cox). 16.457. yt (x)= 0,321 (x—1) (x——-2). @
Решение искать в виде уу (х) = С; (х-1) (х—?). 16.458. у» (х)=
= х (1—х) (0,192--0,171х). @& Решение искать в виде у (х)=
ая (Ст-- С»х). 16.459. и’(х, y)=x?-+y? tay (Ixy) 4
х (3, 0401 —0 ‚0562х (1-х). @ Pemenue искать в виде из (х, у)—
==х?-|-у?-|- и —х—y)+Coxty(1—x—y) +Cgx3y (1—x—y).
16.460. м; (х, у)=0, 0037 (х2—4) (2—4). @ ети Й chats в виде
uj (x, y)= Ci: (x?— 4) (y®—4). 16.461. yo (x)=x (x—1)(0, 1708-+0, 1744),
yg =x (X— 1) (0,1705 + 0,176x — 0,002x?). @ Peurenua nekete 9В виде
ya (x) =x (x—1) (С: С), Ya (x)=x (x—1) (Ci + Cox +Cси
за»
данных точках значения у, и уз совпадают с
ль iid
0,0001. 16.462. ul (x, у) = 0,3125 (2—1) (1—1). %® Решение
искать в виде и: (х, у) = С: (х2 — 1) (у?—1). 16.463. uF* (x, y)=
==0
Ш
@ Решение искать в ‘виде м: (х, у)=
= 0,3125ху (х— 1) (и—1). 16.464. у(х) = x.(2—x)/4. 16-468. y (x)=
=x (1—x) (0,140 —0,144x). 16.466. и(х)
=х (1-х) (—0,655-0 0772).
16.467. Для задачи 16.464 myHKunH Oey; (x) имеют вид
Pasi (x) =x (2—x) x4, Е =0, 1,2, 3, 4.
Ответ записывается следующим образом;
FUNCTION FIK(X, к)
IF (X.EQ.0OR.X. EQ. ) GOTO 1
FIK= X#(2.—X )#Xaak,
RETURN
1 FIK=0
RETURN
END
о Для остальных задач ответы отличаются ‘вторым оператором
H On eee определяющим значение функции Pg4y (x).
468. Для задачи 16.464 ‘ответ ‘записывается следующим
образом
FUNCTION F1(X)
RETURN
FUNCTION F2(X)
F2=4.—6.%X
RETURN
FUNCTION F3(X)
{.3=19.*(Х—Х+*2)
RETURN
END
Уравнение Эйлера в данной задаче имеет вид у- 1/2 =
следовательно, Гу=у”, [ (х) =— 1/2 и» (х)=Ф, (х), =1, 2, 3, 4, 5,
Для остальных задач ответы отличаются только вторым ‘Olle pad
тором.
36.469.
FUNCTION SIMP(A,B,F1,FT,K,EPS)
I=0
No=2

6 H=(B—A)N
Pl=(0.
Р2=0.
РО1]=1,М
Х=х--Н
Р1=Р1--Е(Х,К)*ЕТ(Х)
X=X+H
P2=:P2-+-F1(X,K)sET(X)
P3=(F1(A,K)*FT(A)—F1(B,K)*FT(B)+-
*2.#P2+-4,%P1)*H/3.
IF (I.EQ.1) GO TO 2
I=]+I
8 У=Р3
М=М+2
GOTO5
2 EPSI=ABS ((P3—Y)/15.)
IF (EPSI—EPS) 10,10,12
12 1=0GO TO 3
10 SIMP==P3
RETURN
END
16.470.DIMENSION Al (5, 5, B1(5)
EXTERNAL FIK,FI,F2,F.3,F4,F5,F
DATA A/0./, B/2./
ЕР$==.05
J=]
DO 3 I=!],5
Al (I,J) =SIMP(A,B,FIK,F1,I—1,EPS)
Al (LJ--1)=SIMP(A,B,FIK,F2,I—1, EPS)
Al (I, J-+-2)=SIMP(A,B,FIK,F3,I—1,EPS)
Al(1,J-+3)==SIMP(A,B,
FIK, F4,I—1, EPS)
Al(1.J-+-4)=SIMP(A,B,FIK,F5,I—1,EPS)
8 BI(I)=SIMP(A,B,FIK,F,I—1,EPS)
CALL EXCLUSE (A1,B!,5)
PRINT 2, BI
2 FORMAT (//19X,5F9.4)
STOPEND
® Задание для ЭВМ должно содержать 9 программных единиц —
указанную здесь основную программу и другие подпрограммы,
подпрограммы-функции, а именно: Е1К(Х,К), ЕКХ), Е2(Х), Е4(Х),
F5(X), SIMP(A.B,FI,FT,K,N, EPS), EXCLUSE(A,B,N), a takxe
подпрограмму-функцию Е(Х), вычисляющую вначения функции
правой части Су=[(Р), в данном случае
FUNCTION F(X)
RETURN
END
При решении вадачи 16.464 gan pbyHkuuh F1(X), F2(X), F3(X),
Е4(Х), Е5(Х) использовать решение вадачи 16.468. При решении
остальных задач необходимо составить подпрограммы-функции,
вычиеляющие соответствующие значения [к (х).
252
=
!

ЛАВА 1.
O2u(x.t >Fu(x,t 1
17.1. ae eS Fe Г), где и (х, #.— откло-
нение точки струны с абсциссой х от положения равновесия в мо-
мент времени Ё&, а? =Т/р, р— плотность струны, Ё (х, #) — плотность
распределения действующих на струну внешних сил. «® Пусть
=9(х, — острый угол между осью абсцисс и касательной
к струне в точке с абсциссой х в момент времени #. Условие
малости колебаний означает, что величиной 0? (х, Г) можно пре-
.
u
небречь, а погому имеем ша лю, cosawl, Fy te А а.
Длина любого участка /41Мз струны в момент времени # выра-
жается формулой
(
-
Гди \з
мым
| И :+(5) ах,
xy
Ou\22
атаккак|—|2a*20,To
дх
|MiMy,|RMXy—
Xj=AX.
Согласно второму закону Ньютона сумма всех сил, действующих
на участок струны М:/М», равиа по величине и по направлению
вектору ускорения этого участка, умноженному па его массу. Вы-
числим все силы, действующие на этот участок. Плотность рас-
пределения внешних сил обозначим через Ё (х, 2), тогда внешняя
сила, действующая на М: Мз, равна Е (х, В Ах. Далее, силы на-
тяжения Туи T2, действующиз на концах М] и М. направлены
по касательным к дугам в соответствующих! точках. Из малости
колебаний и из того, что равиодействующая этих сил ‘вызывает
только вертикальные перемещения, заключаем, что Горизонталь-
ная составляющая равнодействующей равна нулю, т. е. —Т\ соз о1-
+ Т. с0$ @› =0. Так как с0$01 ^ с0$ @.х 1, то отсюда выводим
равенство Т,=Т.=Г. Следовательно, вертикальная составляю-
щая сил натяженил дается выражением Т 5ш а. —Т мо: и сумма
всех сил Ем,м, действующих на участок М1М», равна
Ем.м.=Т (sin @g—sin Qi)-+F (x, ¢) Ax.
Но в момент времени # =a (x)=arcigu., а потому
sin @g—sin aj =sin a (xy-+ Ax) —sin @ (xj) =
=cos@(x4--0Ax)(a(я Ах)— (х1))=
=cos&(x1-|-9Ax)(arctg ui) |,v.40, Ax4k=
1
= cos @ (xj-+-9Ax)| —=————и"
| Wipe =|
(0<0<1, 0 < 0; <1).
Ax
X=X +0, Ax
При наших предположениях с0$ “% (х1--9 Ах)= 1 и (и,)? =, +0, «20.
Таким образом,
O81(x4+07Ax,Ё)
Ox?
Гм,м,=1
Ax-+-F (x, t) Ax.
(*)
263

С другой стороны, считая участок М:М, материальной точкой
(при достаточно малом Ах), имеем
Ot.
Fy yma
Ах.
(++)
Приравняв согласно закону Ньютона выражения (+). и (++) и пере-
кодя: к пределу при. 4х —0, для искомой функции и(х, ty nowy
чаем дифференциальное уравиенне. Wye eg bo F (x, 1). No
17.2. Найти функцию и(х, Й, определенную при О<х<Ь. и
(<1=<-- ®, являющуюся решением уравнения
Оби
Cru I
Or=а?a+>F(x,t),
{a?=T/p, T—HaTA2KeHHE CTPYHH, O-—~NMOTHOCTD cTpyHbl, F(x, t)—
плотность распределения внешних сил) и удовлетворяющую
условиям
и (0, А =и(Ь =0 (граничные условия),
u(x, 0)=@ (x),
OuС0)=1p(x)
(начальные условпя).
17.3. Найти функцию и (х, {), определенную при оч < я
0:1: <, являющу:0ся решением уравнения т =4* я
F
.
|
(“=> Т— патяжение, р-—плотность. струны } и удовлетво-
ряющую условиям
и. (1, t) =0..
аи(0,#)_0
(граничные условия);
Ox
u(x, 0) = (x),
Ou(x,0) 0.
{начальные условия).
ot
® Гракичное условие при х=0 получить из отсутствия на этом
конце внешней силы и, следовательно,. равенства. нулю силы на
`ди (0, #)
тяжения Т, пропорциональной —
17.4. Напряжение и (х, Г) и сила тока [(х, Г) в точках линии
в лобой момент времени # должны удовлетворять волновому
уравнению
Ow (x, 1)
да (<, 1)
.
»
Ow (x, 0).
« Рассматриваем двухпроводнпую линию как систему равномерно
распределенных индуктивностей, сопротивлений, емкостей и утечки
(см. рис. 240). Согласно первому закону Кирхгофа (алгебраиче-
ская сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю) имеем
L(x, Bt (et Ax, )=Chr +6 Ахи (х, 1),
264

rye C Ax ot ток через конденсатор, а G Axu (x, р —ток утечки,
Разделив это равенство на Дх и переходя к пределу при Ах -+ 0,
получим уравнение
Oi (x, t)
Cди(х,1)
—=o
Ox
t
Далее, согласно второму закону Кирхгофа падение напряжения
и (х, Г) на участке между хи х--Ах состоит из падения напря-
т
Ar ,a@+Az
aВЦ
a=
ie
— Gu (x, -t).
(+)
Рис. 240
жения на индуктивности Lax He И) и из падения напряжения
на сопротивлении Ю Ах! (х, 1), т. ®.
u(x, th—u(x-+Ax, Ф =Г ax AD + Ravi (x, В.
Разделив на Ах и переходя к пределу при Ах-—»›0, получим
уравнение
ди(х,Г)_
OX—
Уравнения (+) и (+*) называются уравнениями длинной линии.
Исключая из этих уравнений {(х, #), приходим к уравнению
Loe Ri (x, 2).
(aa)
2
2
SE =LCLE
A (LC+RO) a+ RGu,
(x33)
а исключая и (х, Г) —к уравнению
|
2 1с 9, (LC+- RG) 9. RGi.,
(4349)
Ox*
0%
ot
Уравнения (+++) и (*+#**) называют также телеграфными уравне-
ниями. No 171.5. Найти функции u(x, В и i(x, Г), определенные
nph OSX
< +0 HOS? <+ 0, являющиеся решениями урав-
нения
92%(х,t)_ 0%(x,Г)
ax=-бп
и удовлетворяющие условиям
и(х, 0) =ф (*),
i(x, 0) =p (x)
HO, Y= Ee (граничные условия)
u(--o, t)=i(-+o, t)=0
{начальные условия},

(условия при х==--® следуют из физических соображений).
17.6. Найти функцию и(х, й, являющуюся решением уравнения
Ou, Ou
otaox’
и удовлетворяющую условиям
и(х, 0) =ш (начальное условие),
и(0, t) = Up,
ux (l, t+ylu(l, t)—@(t)]=0
где ye=KooppuunenT теплообмена между стержнем и средой. ®
Для получения граничного условия при х=={ заметим, что коли-
чество тепла, проходящего через конец стержия за время АЁ, равно
(граничные условня),
|
ди
|
А= — re © ДЕ, где 5 — площадь поперечного сечения стержня,
Хх=
а No => коэффициент теплопроводности материала стержня. С другой
стороны, А9 пропорционально произведению разносги температур
й (1, й--Ф( на площадь $ и на время ДЁ, т. е. Ау==й [и (р t)—
—$Ф(01$ АБ где В>0 зависит от качества теплоизоляции конца
стержня от окружающей среды. Сравнивая оба выражения для Ад
и обозначая у=-;, приходим к написанпому грачичному условию.
17.7. Пусть система координат выбрана так, что ось О2 парал-
лельна образующей. Область, ограниченную кривой [, в плоско-
сти Оху, обозначим через Ор. Найти функциго и(х, у), которая для
всех точек М (х, и) ЕР удовлетворяет уравнению
Oru Oru_9
Ox? | oy?’
т. е. является гармонической в области О, а на границе области,
т. е. на кривой С, удовлетворяет условию
и(х, и) |(х, ивр = (x, у),
где [(х, у) —заданная на Ё непрерывная функция. Для установив-
i
Ц
o
и
шегося теплового процесса
0. 17.8. Гиперболический, ип =0.
17.9. Параболический. Выбирая & (х, yy=2x—yuny (x, У) =х, после
преобразования получаем уравнепие ити-- Зип =0. 17.10..Эллиптн-
ческий, ири-- иуу==0, где в (х, у) = — 3х —у=:
Кеё (х, у)ну(х, у) =
==9х
= Ип Е (х, и). 17.11. Параболический. Выбирая #& = Vu-V x
и =X, после преобразования получаем уравнекие
о.
17.12. Параболический. Выбирая &=л2-{ у?, ц==х при & #2 1, т. е.
и ==0, При у=0 имеем
при и7- 0, получаем уравнение ил-+ 5—1?
:02
”
уравнение бо, а при х=0-- уравнение ихх =0. 17.13. В обла-
сти D={(x, y)|x 40, y 40} runep6onnueckui, tin
ue—
— Lu, =0. При х=0 или —0 параболический.
2 (Brae ny”
P
4P
256

17.14. В области D={(x, 9) |х > 0, 9> 0} эллиптичевкий, из-Нити=0.
При х==0 или у=0 параболический. 17.15. Гиперболический, и=„=0.
17.16. В области D={(x, у) [х = 0} гиперболический, Ех
х (щит) =0. При х=0 параболический. 17.17. В области
2={(х, и) [Хх 70} эллиптический, це
И
ти +3p 0. При х=0
параболический. 17.18. Параболический. Выбирая & (2, y) = 4/%
H 4 (x, y)=g, после преобразования получаем уравнение И (§, n)=0.
17.19. u(x, yy=p(4emyy+y(x—y), rae ф (9) и ф (5) —произволь-
ные дважды дифференцируемые функции. <& Выбирая 5 (х, y)=
= 4ymey H N(x, y)=xX—Y, приводим уравнение к виду Wey ==0
(см. вадачу 17.8), последовательно интегрируя котороз, находим
и = фо () ии (Е, п) = | Go (8) E+ YIM =Ф(9-НФ(1). — Подставив
сюда выражения для &(х, и) и п (х, и), получим иекомсе решение.
17.20. u(x, y)=1p(2x—y) е73*--ф (2х), где ф(0) и ф(/— про.
извольные дважды ‘дифференцируемые функции. 17.21. u(x, g)=
=хо (У у Их) ъ(И у-— У x), где ф (9) и\ (9) —произвольные
дважды дифференцируемые функции. 17.22. и (х, у) =Ф (у—х--соз х)-
+P (y—x—-cos x), rye D(v) wu (9) —- произвольные дважды диф.
ференцируемые функции. 17.23. и(х, у) =ф (+) y+p (+) » Где
ф (9) и ф(5) > произвольные дважды дифференцируемые функции,
xsinxcosat—atcosxsinat
17.24. u(x, j=
х2— а2[2
xsinxcosat—atcosxsinat ,
1 -+-(x -+- at)?
17.25. и (x, j=
а—а
+z 12а —а
х--1
17.26. u(x, D=>> lee
ty?
1
|
17.27. u(x,
+ sinxcosf.
a
17.28. u(x, t)==e7 (+0), ch ext + qin
я: 17.29. Если
|-+sim x sin.
1+-
(x ~~ 1)?
l
5 (x-bat)
при —at<=ax <at,
x
при
<х<1—а
[—at
при 1—4!
х<1-ай,
u(%, =) ayy
при l+atqx<q2/—at,
[ — x (х—а при 2l—ataqxr—q2l-+at,
0
при остальных х.
9 Поп пел. А. В. Ефимова. ч. 4
257

Если <<
‚то
~
>
|
5: (ад
при —at<xql—at,
1-3 (ха) при leat<=xeat,
|Joat
при
ар<Х<<21—аЁ,
и (х, )-1 1y tal) npx 2l—atqxaqel+at,
lm (xm al) пр l+ateqx— 2-+at,
.0
при остальных х.
Если <: <-|-©, то
5 (Е--ад при —aaqxrql—al,
Loma (x at) при l—atqxqe2i—at,
и(х, #) =
5(tal) при а!<х<1-|-аЁ,
у)
при (а < х«<21--аЁ,
0
при остальных х;
г]
lOu
[
1
аа) "Ри а<<
l
1
31
=
при —<< —>,
u (=. aye
2
P
2
<
°
211,при9!
of
a°~9* ПР = <=,
0
при остальных х;
|+(x) при` —[<<0,
+ (l=) при
Ох
1
“(+1)
+(e) при
15х «5 21,
jl kx
yay
при alex <3,
0
при остальных х.
® Рассмотреть случаи различного возможного расположения знз-
чений xewat wu х--аЁ на оси х, а именно: если х-=аё < 0, то точка
х--- ай может лежать в промежутках (— о, 0), (0, J), (/, 20)
и (2 +); если 0 < х--аЁ < Ь то точка х--аё может лежать в
промежутках (0, 1), (1 20 и (21 + ®)}; если { < х-—а1 < 21, то точка
х-- ай может лежать в промежутках (р 21 и (21, -- ©); если
258

21<Хы <+©,ТОих1Е(21,+}0).
о
при
и при
— ан)
при
и(х, )=‹ —at
при
x
при
at
при
5: (— ха) при
h
h
Если ig =! Sy: TO
(0
при
и при
=> (xpath)
при
1
u(x, the
=x(x+al—h) при
x
при
5 (tat +h)
при
5(-ха+в) при
h
При ‘>> нмеем
(0
при
и при
— иран)
при
1
u(x, =
55(а! —1)
при
\0
при
(хай)
при
о-в)
при
Го
1
ЗА
h
—3 (+5)
при х@Е| —
и(+в)=.
а
x
при хЕ
1
ЗА
| $(-*+3) при хЕ
17.30. Еслиб < {Е <. ‚ то
om00<<XK we|1
ах<-о.
owныДЕ3х<<4=,
Atwmh ea Хх <— а,
5ДЕ<real,
ах й—аЁ,
h—wat
<x <h-+at.
m0 < ra —h—at
ht+atqx<+o,
mhemataxra—al,
mata x <al—h,
—h-+atqx<h—al,
h—at << <a,
ataxah-+at.
—O <x a ~h—al
htat<qx<+o,
а! ах —Фар
—ataxrah—at,
heal qx<aal—h,
ах аЕ,
их й-Н ай.
при хЕ —«,-5) U (F +),
259

f0
при r€(— ©, ——7) u(F.+),
—4(++) приre(—a. 4).
1h
3h
} g(-G) при е(-%. 3).
u(x,a)4 ;
при (Ея 4).
x(*+5) при «Е (т. 7).
ч.2)
@ Рассмотреть случаи различного возможного расположения зна-
чений х-—аЁ и х-аЁ если х—@ < —Й, то ха: может лежать
в промежутках (— ©, --Й), (—Й, 0), (0, h) и (В, +); если
— И < х--аё < 0, [то ха может лежать в промежутках (—Й, 0),
(0, й) и (A, +e): если O< x—at <h, To x-+at momeT JexKaTb
B промежутках (0, И и (1, --®); если h<x—at<-+0, TO
в ха!Е(й, -- о). 17.3
1stn xin at
alex <+0,
u(x, j= 1
°
— (1—©08хс0за), Ожхжаи.
17.32.
Lf (bat)?
1ne
ха
X—a
|
|
д,0: slpeor ttheo | NpH x>at,
U(X,
=
]
(x+ at)?
(at —x)? :
oe
nph Omxeal.
= 1(х-а)?
17.33. и(х, = щеerase
х-а
17.34. и (х, pain Tie art
1
рав
(gat)?
Z| 1-+ (x-+ at)? РЕ
| mph Osx<al,
1[ (x-tat)?
(x—at)?
5| ГЕа-аб" ТТ аб? при ха.
17.35. и(х, д =е-2 +97) св ах
A (1 cos x cos at) при 0axagal,
+
eons
при х- а.
17.36. Если О << —,1,
sin Pate! при
О=х</— ар,
u(x, й=
5 sin (x—at)
при [— ах 1-01,
м
при 1-х <- о.
260

Если fact <-+o, TO
0
при 0Ox<x<at—l
uupu /+at<x<+o,
u(x, =
]
> sin + (x—at) npy at—l<ax<at+l,
1-5 вт
при O<xra 2,
u(x t\
15
tl
3l
5
’4а“| Qn \*—Gg) ПРИЧ<=,
|0
при Я «<,
|
sin —*
при O<xaHl,
u(x St)
—1cos*x—1 при
i
’fa =| xCOS q) "PH GS*sT7:
l
(0
при <.
17.37. Если ОР < Г. то
ct
при
Ох < 71—21,
u(x,j= 5ий —я) при l—at<x
< l-+ail,
0
при l-+at<qx<+o.
1
Если=<!<©,то
cl
при
0<
x xat—l,
u(x, t)= 57 Иа! — при 4—1
хза1,
0
при @&--1<=х <-о.
Гбо
«(» г) = 52 (2i—x) npn Osx< 2i,
a\0
при 2/=х<-+о;
of
при Osx< 4,
51°
u(x “)= 57 (6l—x) npn 4leqx< 6l,
0
при Olaex<+to.,
17.38. @ Bupaxenne (47,9) —(X,VY) 3amuCcaTb B BUDE (Xn, In —Y)+
-- (хв--х, У) и [воспользоваться неравенством KowH—BysaKos-
ского. 17.40. @ Показать, что в произвольном ортонормированном
базисе фундаментальность последовательности векторов {Xn} oN
эквивалентна фундаментальности числовых после довательпостей
их координат. 17.43. @ Воспользовавшись результатами задач 17.4}
и 17.42, доказать полноту пространства fg.
26}

b
в
b
17.44.
С ах| «<WiFiрах 19(4)I?dx.
а
а
а
17.45. @ Пусть /(х)— произвольная функция из С“? [-— 1, 1]
ий (Г — разрывная функция, равная —1 при { <Оби 1] при #>0.
Из неравенства Коши
— Буняковского для интегралов (неравенства
Швариа, см. вадачу 17.44) следует, что
1
1/2
(уе»a)>
-!
1
1/2
1
1/3
>( \(f(t;aeh(у) -( ((On(t)—h(0)?a) ,
-1
Покавать, что
,
im(и(ФВ(0)=,
П-о«I
и в силу непрерывности
би (0—1 (1) &> 0.
>|
i
Отсюда еледует, что интеграл бо (1) — фп (1)? 41 не может стре-
=!
миться к нулю при п —+ <, какова бы ни была f (t)ECTM[—I, 1}.
17.51. Ру ‚ Рф= V 3, В,(х)= УЗ (2-3),
8
1
Pa(x) c= у
s_3
P5(x)
8x
5 xX].
Го)
]
17.52. No (х)=-——, Т, (х) =
—] -.
ae
—)УIU
_u(
2
_и2о
1
=У>.т
= (2—1),
0т
M4 (a) 7; (x)= У? (4x3 — 3x), 17.53. ©
-1
м
При вычислении — интегралов
произвести замепу переменной
1
агсс08 х=0. — 17.54. (x) =I,
Y> (x) n=2V (xz), Ф2 (х)=
=6V 5 и—#+5). 1.55. См.
рис. 241. Вертикальные прямые
в точках разрыва проведены толь-
r(x} ко для наглядности. 17.58. См.
рис. 242. Вертикальные прямые
в точках разрыва проведены для
Рис. 241
наглядности. 17.60. < Учитывая,

i
$
—No9
Ve
tay,
Ио
>
Yar
я
=—
Wea)
ad
H
7
Г:
>
—
——=—_--
W,(z)
0
—_}
—$
——>
qr1
ns a,
W,(2)
U
vv
7
v
+
$
¢
+
>
и
—oeKe
уA
т
+
У
}
+
+
+>
—
——
и
и_
т
.
j
v
т
——
1
1
}
т
¥
т
Ta
0—3
огггг
=г
(7]
Рис. 242
что /у(ах) есть решение уравнения ху”-- у’ -- (ats —~ )y=0 (см.
ч. 2, гл. 12, задача 12.338), т. @е. уравнения
Ч,
2 У\„—
axYT(«t— }y=0,
m nonaran Zo= 1 (ах) и И; =1, (р/”х), можно записать
d,
,
2
ях(ха)(atx—~)Za=0
а
,
,
2
f (xvi)+ (г 7) U;=0.
Умножая первое равенство на у, второе Ha 2а, вычитая из
первого получевного равенства второе и принимая во внимание
соотношение
а
,
d
’
а
“+
’
Ur (123) та (Ui)= A (But— 10 La),
получим и
А (ха — 21)+ ((ni”)? —9?) 2401 =0.
Интегрируя это равенство в пределах от 0 до | и учитывая, что
асе (о) == ах (ах) = а (ях), приходим к равенству
|
(и) —аа) (2 (wi?) Ly (01x) d= —BI Ly () Fy (2)
0
У
(V)
Отсюда при &= ми’ 7 и’ получаем
|
\ 1, (их) 1, (и?) хах=0,
a

а nepexog~m K Hpegeny npw a —> py”, Hafizem
[1 (вх) 2х ах= lim =(v)
C
l
e
m
)
a>:
(Vv)
"re
14, (©) Г, (и
1у
= lim No vy(a)v(Hi ти, (uM)
240. >
way (Wr)?
kn \#
knx
17.61. Ap=— =) ‚ yp (x)= sin——, REN. < Из общего реше-
—
“vin
ния уравнения 9 (х) = се" No сое Ax npuHa>O nan y(x)=cyx+eg
при ^ =0 и из Гравичных условий следует, что отличное от тож-
дественного нуля решение этой задачи возможно только при А < 0
(системы \ Cit Cs=0,
и | C1=0, имеют нулевое реше
Сле"М+Се"М=0
Col=0
Hue Cy=C,=0). Поэтому полагаем 4=— ow? и общее решение
уравнения запишем в виде и (х)= С с0$ ох-- С› $3 юх. Из гранич-
ных условий следует, что Су=0 и С. $ш ®/=0. Это означает, что
отличное от тождественного нуля решение вадачи возможно только
д
в случае $ш «{Ё= 0, т. е. при Ф=@,=-—^, Е ЕМ. Отсюда и находим
Rx
собственные числа. Функции yp,(Xx) =sin TT РЕМ, являются собст-
венными функциями этой задачи. В> 17.62. No=0, из (х) =1, Ак=
кл \2
k
2k—| 2
=- (7) , yelx)=cos——, REN. 17.63. Ag=— =”),
2—1
2—1 `\?
ye (x) = sin HI REN. 17.64. Ap=— =F"): yp (x) =
2hk—}
Or?
Py
== COS xp 1X, REN. 17.65. i=(He ‚ ик(т)=, тр
‚ Где
о (г) — функция Бесселя порядка нуль, а up, kEN—ee nyau,
т. е. Io (ub?) =0. <@ Econ @=0, TO nony4aem ypaBHenHe — (ry" (r)+-
та
Ни’ (х)) =0, или > a ly =9, решая которое, находим сначала
гу (г) ==ст и, наконец, у=с1 п г-- с». Из ограниченности решения
при г=0 следует, что с1 =0. Используя далее граничное условие
у: К) =0, находим, что с› =0, т. е. у(г)==0. Последнее означает,
что 0=0 не является собственным числом. Пусть теперь w 40.
Произведем в исходном уравнении замену переменной ц=ог.
Так как уг = ут! = ФУп», уг = Ф?уут, ТО уравнение преобразуется
к виду
o*(yin(+ -+у)=
6
которое является частным случаем (при \=0) уравнения Бесселя
и+— и+ (1-5) y=0.
264

Следовательно, решением уравнения (*) является функция
Бесселя Фо,("\), т. е. решением исходного уравнения является
функция у (г) == /ъ (©).
Из граничного условия у(Ю)= 1, (®Ю) =0 находим, что OR=
0
=. Таким образом, собственными значениями нашей задачи
(0 \3
2
o
являются числа Ль= 0} = и ‚ РЕМ, а собственными функ-
(0)1
ЦИЯМИ ==> функции 1 (Hr) .
Замечание. Уравнение
и+- у’ == ?у=0
(++)
”
1г
ваменой у:= — у приводится к виду И! Tog -- ©3у; =0, откуда
ваключаем, что уравнение (жж) имеет решение у=—/б (©г), а
потому для краевой задачис уравнением (+*) легко находим
собственные числа и собственные функции. No 17.66. с,=
1
2
(У)
aan_1
=
Е {res ly (ue x) x dx, REN. 17.67. 61
Св=0, Со=99
5
=F. @ Воспользоваться четностью функции |х| и четностью
или нечетностью соответствующих полиномов. 17.68. c=
dx
cos (Rk arccos x)
1
1
д
“
а
ит |169 Vin
dx, k€N.
17.69. o=y a=. в=—-. в;=0. 17.70. @ Воспользо-
вавшись ортонормированностью функций {_(x)}q=0, ваписать
интеграл в виде
b
b
„
‚
(Fe) ть (орах= | f(x) dxm2 Dag, O+Dy 4 =
a
k=0
k=0
a
b
n
n
=| f2(x)dx— >,ci,+->, (Ска)
а
k=0
k=0
2
©
м
17.72. oo >, (ak — ti)
(f?(x)dx.
2 k=]
-л
17.73. Равенство Парсеваля означает, ‘что квадрат модуля
вектора равен сумме квадратов всех его коордипат (в ортонорми-
рованном базисе), а неравенство Бесселя —что квадрат модуля
вэктора не меньше суммы квадратов некоторых из его координат.
17.74. @ Воспользоваться тем фактом, что функции Уолша No, (х)
при А 5227 (см. определение перед задачей 17.58 и задачу 17.59)
ортогональны функциям Радемахера г (х)
= д (Хх).
17.75. и (х, = cos sant sin Sy,

17.76. u(x, === sin 227 sin
15ал
1
l
17.77. u(x, j= cos т cos A
© 095 mt (2k-+-1)at
32h
l
.. (2kR+ лх
17.78. u(x, j=}!
sin
‚
nmoO caer,
[
лп
© sin ——sin ——
17.79. u(x, f)= iaa У 3 ath sin ans sin 21%
k=1
ao
__ 161
(—1)**+}
17.80. u (x, = ©. (Qk—1) Qk+1) QF +3) *
(2k-+ 1) nat п А-П ля
т
я
4х
(2k— 1) mat
17.81.u(x,N=У{-oHOF 38
г sce
1
(2k —1) nat | (2k
—1)mx
Та|I+7 я ФЕТ
|соз 1
17.82. u(x, Ke
tu©
_ eee
от ря
=—=——
бт 1°
sin
ir
.
17.83. u(x, je
|
© eos Meat
ers ини ла\ 2,
—446aSEE
____# i,
21 yetaet1)nx
ar|
21‘
7
В\2
\2
17.84. u(x, у, > у (ль вс0$ ла V (+) +(2) tt.
k=l n=!
,
к\?п\?
Tue x ппу
ees
+(=) t) stn 7 sin ——=
mil
К, (9, ое ур ода,
l
m
00
By n=
лат УЕ (=)
any
k, nEN. В случае, когда ф (x,
и »w(x,y)=04a
где
mil
у |[хе, 2)sin sin“22dode,
00
3
a=1, u(x, y, t)=cosn V 24%
ates * sin = sin —4any . $ Предпола-
гая, что мембрана совершает малые колебания, имеем первую
краевую задачу: найти решение и(х, у, Г) уравнения свободных
266

колебаний мембраны
Gu (au,On
Ts
|
Oye (Star): one
(1)
удовлетворяющее начальным условиям
ди(х, п,0
и(х, у, 0)=Фф(х, и), eo) ple, и)
(2)
и граничным условиям
и(0,у,д=и(Бу, N=u(x, 0,д=ви(х, т,1)=0.
(3)
Ищем решение в виде произведения
u(x,y, t=X(x)¥(y)T(0),
подставив которое в (1), получаем
ХУТ"= а? (Х"УТ--У*ХТ).
Разделив это равенство на а?ХУТ, имеем
‚Ти
ии
arate
(4)
Каждое отношение здесь зависит от своей переменной, а потому
равенство возможно только в том слу’ ае, когда каждое из этих
отношений постоянно. Полагая Х”/Х ==А, У”/У=и и используя
граничные условия (3), получаем две задачи Штурма— Лиувилля:
Х"—АХ =0, Х (0)
=Х(1=0
(5)
уУ'—У =0, У (0) =У (т)=0.
(6)
Рассмотрим сначала задачу (5). Как показано в задаче 17.61,
собственными числами вадачи (5) являются числа А==р— (лА/1),
а собственными фувкциями
— функции
и
X p(X) = Sin wkx/l,
КЕМ.
(7)
Аналогично, собственными значениями задачи (6) являются
числа цз == — (лп/т)?*, nEN, а собственными функциями
— система
функций Уз (и) =зш ллу/т, ПЕМ. Подставив в (4) вместо отноше-
ний Х”/Х и У”/У их значения — (лА/1] и —(лп/т)?, получим
уравнения
,
2
2
пан (2) (1) 7-я
решениями которых при различных # и п будут функции
k\? [п \2
Тк,в(1)=Ак,п60$ла У (1) +(=) i+-
2
2
+B, ,Sin na У (+) +(=) te
Таким образом, решениями уравнения (1), удовлетворяющими
граничным условиям (3), являются функция
ив,п(Х,И,о(льnCOSiaV(4)+(4) {+
kb \3 n\3
nkx . sng
|
+8,п$1лаV (4) +(=|1)sin2 inBOE,
(8)
267

Из линейности уравнения (1) следует, что и любая линейная ком-
бинация решений (8), т. е. формально составленный двойной ряд
и(х,и,„=> > (4.nCOSлаУ (1)'+(7"+
.
в\?п\?
RX Ty
==
au
t
Eee
uae
+B, nsinnaУ (2) +( ) )sin —— sin
(9)
при условии возможности его двукратного почленного дифферен-
цирования также является решением уравнения (2), удовлетво-
ряющим условиям (3). Потребуем, чтобы представленное рядом (9)
решение и (х, и, +) удовлетворяло условиям (6), т. е. чтобы
u(x,у, > Ул» nsin2 ginROY ф(х,и)
k=!I n=1
us (x, 4, 0)=
=2 de Brana V (F)°4+
(5) sin SF sin St ve,9)
Из этих равенств заключаем, что если числа А» в являются коэф-
фициентами Фурье _— ф(х, И), т. е. если
т
saan | foe 2) sin 2 sin S22 dude, k, ПЕМ,
0
а числа Вх, пла V (#)'+(2 )* — козффициентами Фурье функ-
ции 1(х, И), т. е. если
В,=
|я2n
м" У (т)'+ (т)в, ВПЕМ,
Те 2)sinTesin22dyde,
то ряд (9) является искомым решением задачи 17.84 в общем слу-
чае. Если же ф(х, у) =0, то все В», п=0, ^, ПЕМ, а для ф\(х, у} =
=sin2sinSY нмеемАхв=0при(Ё,п)7(3,8)иАзв=1.>
17.85. и(х, и, В =
sin 2 У5 ¢ sin =*sin 24. @ Восполь-
naV 5
l
Ts
зоваться формулами ana коэффициентов Ах, пи By п, полученными
в задаче 17.84.
268

17.86. u(x, у, =
naV2t 16 naV3t лх ли
=(>7+yore7зоstn+
лаVQk P+Cat1)?t
16©
@
+2. >. (2k-+ 1) (2n-++1) V (2k 1+ oni
k=1 n=!
cet1)1inOt1)лу.
l
Воспользоваться формулами для коэффициентов Arn wu Br, п
полученными в задаче 17.84.
м
xX sin
eo sin——
17.87. u(x,y=e
k=lS
ра | “36 mens)
(a— о$их|,
"
где
b
=7\9 (v) sin “= : v (6—v) sin
=
0
( 8b?
={ ama при Ament
\0
при. А=2т, т EN;
_2| лу‚ЛАУ
1 при k=],
n= | sinh5
Y=)Oпри#2
0
«@ Определенне стационарного распределения „температуры сво-
дится к решению уравнения Лапласа aus i+5g8и о в заданными
граничными условиямн. Решение ищется в виде u(x, y)=X (x) Y (y).
й
Тогда имеем уравнения
на и граничные условия
У (0)=У (6)=0. Таким образом, задача У”--в2У=0, У (0)=У (в)=0
приводит к собственным функциям (см. задачу 17.61) У» (y)=sin 4
uk
и собственным числам - (=>) ‚ ЕЕМ. Решения уравнений Х”—
k
— (5; ) Х =0 запишем через гиперболические функции:
Xx (X%)=apch в oh
Тогда решение исходного уравнения Аи==0, удовлетворяющее
всем граничным условиям, запишем в виде
@
u(x,y=>, (a4ch5 +bgsh"=sin222,
kel
269

Для определения чисел ag u bp получаем соотношения
‚в (0, и-чи-У ad, sin ——ae
я
©
b
b
лка
TRY
u(a, ити (вы sh 82) ¢sin =,
#3 которых ОМ, что
26
an} (a0 sin 2 do= she 0(6—v)sin 2 dos
0
852
-{ т вая TPH k=em—l,
0
при k=2m, m€N
}
a,chTO bpspee>|0sin do,
Из последнего: равенства находим 6»:
b
b
1
2
лка
=i] $fvientae =\9 sinTMao=
0
b
Подставляя зна ения авки В» в ряд для и(х, и), получаем
Thx
u(x, y=>,re
(6) sin doch TS 4.
k=1
b
sh RX
дк
ла
b
~p(v)sin dy =Fev
ch——|———
b shae
b
xsin 2{Je)sin оchREopROoyTHsh |+
=!\9
р.
6
b
b
b
г
me
mee
0
bp)
© sin— ..
``. 6
дА (а—х)
RX
=D aaa [test St oesh |
k= {sh ——
270

мgh2 (а)
|
bt52,5
Imng
17.88. ule, W=— Bb Ets ола SF
®@ Собственными числами соответствующей задачи Штурма-— Лиу-
IU2
вилля являются числа —|--} ‚ #=0, |,..,, а соответствующие
b
им собственные функции имеют вид Ур (y) =cos 2 , k=0, 1, ...
k\2
Поэтому уравнение xr (5) Х =0 имеет систему решений
RX
К
Xo (x) agx-tby WX Q(x) = ay ch—=~-++d_sh——
, REN.
17.89. u(x, yaa 20—9 ,
(2m— 1) mx
_496< ‚Я b og(=1)ny
л2
(2m— 1)? (2m— 1) na ©
b.
$ ————
m=|
b
17.90. u(r, p, И =и(г, д =а cos “Hat lo (и ‚)+
©
appt , (pe
+2cl `
sin
[ (Hr).
|
>. pil y (ie)
1
k=1
«< Уравнение ин=а? Ли, где и=и(х, у, и Аи=ихх- цу, в по-
лярных координатах{х, ф) записывается в виде (см. задачу 10.168
при и(х, у, г, ) =и(х, у, 1)):
ди
ди, Гди, 1 0?и
a4(+яя).
Нгчальные условия че зависят от ф, поэтому колебания ра-
диальные, и уравнение принимает вид
д?и
03%и, | ди
———а?—
——
д“ (Sat г бу).
(+)
Требуется найти решение и=и(х, #1), О г < уравнения (*)
при начальных условиях
и (г, 0)=al (),
uy (7, 0)=ca
и граничном условии и ([, #) =0.
Ищем решение в виде произведения #(7, = (Г) Т (60, пов-
ставив которое в (*), получаем:
ватт).
м
].
„
р
ги_ КУ КО
aT (1)
Rw)
271

Отсюда получаем уравнение
В" (j++ Ю* (г)= ХВ (г) =0
с граничным условием (1) =0. Собственными числами этой крае-
вой задачи (см. ответ к задаче 17.65) являются числа А»=
МЕ \?
т
oo
- (6Решая уравнение
трона(1 "ть =о,
‚ КЕМ, а собственными функциями
-* функции Ю» (г) =
получаем
T, (f)=a4 cos He из in SH,
Следовательно, искомое решение представ ляется в виде ряда
u(r, > (tp COSautHt 48, sinчи") ly (4 г).
=
i
Используя вачальные условия, находим
u(r, O)=aly (+t )-х. cal (No г)
(#*)
k=1
a
0)= =
aR
Bk
t(r, 0) =вса Уи 1, (tr).
k=1
Из ортогональности с весом рф (х) =х (см. задачу 17.60) системы
{1o( Er), REN} wa npomexytke [0, /] H u3 cooTHOWeEHHA (#*)
имеем Qy==Q и “к =0 при #22.
Учитывая равенства
l
1
\1(1r]о(ег)ав 1(Шо)Го(ито)
о40=
о
0
ГР рый, mae,
0,
mn К,
находим выражения коэффициентов Фурье
= Бесселя yp функции
f(r) по системе < 15 (fe , een} на отрезке [0, 7] (cp. s3agauy
17.66):
t
2
"оды И (г), EN,
0
272

а TOrga из второго начального условия имзем
2
ВЕ
bea, °arn | reca+ly (Ht г) ДГ=
0
Up
itp
20
1\3
Or}
tie, wan J (==) ото (9
ря \Oly(0)do.
<G
a
Но (см. часть 2, вадачу 12.335) ого (ols (5)) и Г; (9) =
—— {' (9), а потому
ЦЕ
== el; (Ug)= — wel (вк),
MR
Ne
|оо(0)4е= \ =(li(v))du=v/,(0)
"
0
О
В»
»)
‘
9
С ЕМ.
и(г,#)=аcoscae Го( r)-
@
.
l
ap pt
и
— 2cl
ЩЕ|Ga)
>. рта ГО]
@
aust ( Hy
у
ай
у
.
(М)
a%COS
/a
2+»
Sin
/г
=1
в
17.91. и(г, Ф)=Ag+ У (А! coskp-+- Bzr*sinke)=>sinф,где
k=1
'2a
А|ео,
0
230
]
де ЕЕ|/(Ф)сз4-0,—ВЕ,
0
27
It
|
1
1
B= | f(g) $11 фаф== =, Be=ape | fF (p) sin kp dp =0, k>=2.
0
и
< Уравнение Лапласа в полярных координатах имеет вид
Ju
u
и
arts 7+7 да: =0 (и не зависит от 2). Решение их, $)
должно быть отраничено при Ож<г<РА и периодично по ф, т. е.
u(r, Фф--2л) =и(г, $). Полагая и(г, ф)==Х (г) Ф ($), приходим к
’`О Под ред. А. В. Ефимова, ч. 4
273

y paBlleHHAM
4X(1)
Ф ($)
(+)
Решение уравнения Ф” (ф)-^Ф (ф)} =0 должно иметь период 2л, а
‘потому А =2, к=0, 1,..., и мы имеем
Ф,(ф)=ApCOSkp-+bpsinkop.
При ^ =? из левой части (*) получаем уравнение Эйлера
г8Х” (г) + гХ' (г) —А2Х (г) =0,
которое путем замены г==е? сводится к уравнению Х” (0) =0 при
&—=0О ик уравнению Х” (5)
— Е2Х (5) =0 при Е>1, решениями ко-
торого будут функции Хь (и) =ао-Н%, Хы, (0) ===: и Хь з (0) ==
=e-kv—=yr-k, При а 20 решение Xo(v) He ограничено при
и—+ —©, также не ограничены и решения Ху 2(г) =г-® при
О <г< К. Следовательно, будем иметь ш(Г, Ф) =, ивк(г, $}=
= rF (a, cos kp-+ bg sin kp). [Bui6epem ay u bp Tak, чтобы функция
с
u(r,ф)=В
-
> r® (ap cos kp-- by sin kp) удовлетворяла условию
k=1
и (К, Ф=рЁ(Ф), т. е. чтобы f (~)
=bo+>, RF(apcoskp+bySinkg).
k=]
д
1>
Для этого следует выбрать ых
f(y) dq, ав=
>
on
2л
1
1
= \ F(p) coskpdp, ЁЕМ, в= ра | [(ф) зш #ф 4ф, REN.
`
0
B нашем случае Г(ф)
= 1 ($), а потому No=0, ак =0, REN,
b=
H b,=0 npu k>=2,
©cosLom!at—1
ЗАк
l
(2m—1)mx
17.92. u(x, J=sae Dy om
sin
—
тЕ1
» cS (2m—1) xt
git
(Qm—1)nx x
бир
ото В+ 9.
m=!
@ Последнее выражение получено NyTeM AByKpaTHOro nowel;#-
ного интегрирования:
x
“1
8/2 @
i
x
А1
(2
1)
M—1)wv
{ae \(о =фз У.@т—18\dx,\sin———— do.
oa:
т=1
оWa
274

2
17.93.
и(х,= (тхо Е ссов )stn+
13
[i
l
1="
1
1
(2 1) nai
о
оптом
=1haa m(it~1)
(2m — 1)4% sin
l
+
|
ла
(277
om1)1x
++———-
бт--1 sin 7 sin —jp
k
® При решении системы уравнений С,50+ (77= ) Cp (t) = Ag (2),
# =2т— 1-= нечетные числа, следует учесть, что частота амплитуды
внэшней силы совпадает с частотой амплитуды первой гармоники,
ч. е. имеет место резонанс и частное решение следует искать в
форме
С (И=! (< sinSU +Bs cos=*) .
©
‘Gah
wa|
-—
.
17.94. u(x, om tad
[1
! |sunnts Хх
Con®a? kel
nkx
{
по)
17.98. u(x, tas в-1--
sin
—ныР
tha\8
amsecue CO) ed
an yy
(ob
«me 2
sin US
8—3
:
°
ke
k {(nka)?— 17]
1
ad?
17.97. u(x, f)=e +
©
inCRAYae ,1 Lf MUtkt ys,
4
21
ae
(
al
|
+m ии ое —1!)
°
(7.98. u(x, tex = sin a+
Se 3l+1 лаы
nat Ак
oy
sin —
2$пог) зы М.
17.90. at, [) =+ о
|
(ити)
Q
t)
—*_
=
1
л(2т= 0х
@
лак
21
а
mex
a k(nak4-1)(nak)(.- ‘ome“Cr y "a .
10*
275

17.100. их, д =е-Ий--
(ars
=
=e Hl ohmI
+45) (“Ite
Sha 5 cos——ax.
Bn)
+©
‚
i
17.101. и(х, )hel2 | en ort SOO”оз ох ао.
д
@
+o
17.102
2(eo"
102. u(x,=— о coswxdw
wh
+©
чп—
4
=> 0?
2
wh
1
ah
17.103. wu(x, = т | е
5_(1C08--—>sin) x
0
<COsWxdw.
17.104. u(x, t) xs 2af -ot 1 (= —h cos wh) sin wx do.
w
w
17.105. Первый. 17. 106. Первый. 17.107. Второй. 17.108. Вто-
рой. 17.109. Второй. 17.110. Второй, если т==А\. 17.111. Первый,
если tuaAh
17.112.
{Um+1—Им,п
Птт,пт
— 2Ит. п+1-РИж-Т, п+1 9
т
a
h2
_
mez|, ..., Rol, n=O, ..., Sl,
Грир ва
Um 0»
т =0, @ee?s К,
Ko, ne
п=0, ..., 5}
\МЕ,п,
т n+1> m=], pee, k—lI, n=(, ees s—1,
~
ms
m=, eee, No,
fy,= |”
|
1, п п=(),...., 5,
Yo, п,
вин =}. Порядок приближения азностным оператором [в — вто-
рой по Ни первый по т. 17.113. Ги=и,-ри,, порядок приближе-
2"
i
ния — первый по Й и второй по т, если т2=АА. 17.114. Lueay’ +
Pa
2
и’, порядок приближения второй. 17.115. = — тор,
17.118, Разностные схемы могут быть следующими:
(Ит, п+1— 2Ит. п Ит, п-1
т+1,п 2Ит,п--Ит-Тп
—2
14
a
h2
,
т =, езэу в— |, n=]. eee, 5—].
—_
Um, 0s
ри=
lm, i—Um,o m=, poe, Е,
т
'
и
|
п=0,,,,6)
‹ НА,No
276

Г Ит, п+1— 2g, nt Um, n-1 ат +1, п 2Ит, в-- Um—i,n
т=1,
о ор k—1l, n=l, @oes $— 1,
Ит, 0›
Ти==4
,
=0Q
eee k
heh
Um, 1— Um, -i
mo
т
'
и’
о,п
п=0, ..., $}
\
Ц», п,
т, n+p
т= |, eee, k—l, п =0, эро) $1,
—
Pm
т=0, eet, k,
f,=
Wins
Vi, ns =0
Late =F
.2и
—
9@eooy5.
вив —= [в.
17.117. т=й, Грир=
Ит+1п—2Итп Ит-Тп
Um, n+i—2lm, ntum, n~i
Ст, в
h2
--Чт, п
h2
»
“|
m=1, ..., R—1, n=1, ..., s—lI,
Un,n (Хт» Уп) Е\в;
$
Im п,
m=1, eee, k—l, nal, eee, $—1,
=
р
In
Wm, ns (Xm Yn) EYpz-
Замечание. В случае данной области разностные уравнения
составляются и для точек ур.
17.119. Итт, па Итт, пати п-т ИТ вт— 4Ит
—= 212 и, п. Порядок аппроксимацин равеп двум. @. ше
+ cyl Cotte + сзиз-- Сдиа. В силу симметрии уравнения и симмет-
рии шаблона положить с1= 62 ==563
== 64 =6.
17.120. «@ По определению аппроксимации имеем (см. соотно-
шение (14))
(+)
llSf,|< Ba,
rae Of, =Ly(u(Xm» Уп)— No.
Tlon0oxKHM &% (Xm, Yn) =U (Xm Yn)—Um, в. Здесь, как и ранее,
и (х, у) — решение краевой задачи (1), (2), а {um. n} = Up, — решение
разностной схемы (4). В силу линейности оператора Гь имеем:
Гь(ев)=Гы(и(ит, ув)ит) =
-=
=Ly(u (Xm, yn))—Lp (Un, n) =Ly, (u (Xm, 9п)) — в = 6,
т. в. сеточная функция ёл (хш, Yn) является решением разностной
схемы Гри, =би. В силу устойчивости этой разностной схемы
(соотношение (15)), а также используя неравенство (ж), находим:
[ев(Хт» Ил)|<=С|бРь|<<СВйо =Айс,
где А=ВС. Тем самым неравенство (13) установлено, что и дока+
зывает теорему.
17.121. @ Для доказательства неустойчивости достаточно рас-
смотреть разностную схему при некотором выборе правой части {у.
277

Положить [я, в=0 для всех т и пифи = (—1)" г, = > 0 —некоторое
число. Тогда разностная схема запишется в виде:
Ит, п+1= (1 —Л) Иж, п-РАНт+Ь п»
ит,о= (—1)7 г.
Получить отсюда, что
|
Um, n= (L—2A)" (—1)” 8.
Затем показать, что
Рив [= 1 1—2А [EOg,
Если |No|= max м1 Фт |=, то, следовательно, выполняется
=
>
paBeHCTBO
|tn=| 120 EO
Сравнивая это равенство и соотношение (15) и учитывая, что
}1— 29 JET /AF)] —> ©
при Ай — 0, получаем, что исходная разностная схема неустойчива.
17.122.
Ат, пит, п+1- "Ви, num n-1t С т, nlm+iont
+ Da, nu m-t1, п-т, пИт, п»
_
n=l, ..., $—-l, m=1, ..., R—I,
Lntn=) Um, or m=0, ..., 4
ит. 1
,
yк,
Uo, n>
n=0
$
|Up.n>
’
»э)
гот,п,
n=1, ..., s—l, m=], ..., kR—1,
Фи,
m=0,.k
[No=
Patt
,
yo
Dn»
_
Fa,
n=0, ..› 5,
где
d
т,п т,п
От п Amin
Ат Рот Вии ар,
тп Сл,п
amin Ст, п
тпаР-нРивзр
2ат, п От,п
Ет,в=— 3—2 —5 8т,п.
17.123.
[ An, nim n+titBa, num, n-itCn, nbm+1, n+
Ра, вИм —Т, ate m, nlm, ny
Грир == Um, 0»
Um, I»
Uo, ne
Up, me
278

(и. o-+ 25В т, офт —Си, 0Pm+1—
|
Th- Ат,atBin,0
|
— Эт, оФт-1—м, оф],
|
Ф,,
Ри,
где значения коэффициентов те же, что и в задаче 17.122. @ При-
влекая еще один горизонтальный ряд, соответствующий п = — 1,
ди
производную ay
заменить разностным отношением
y=0
,
Um,1—Им,—1
2T
зуя разностное уравнение
[вии =Ап. num, п+1-К Во, nm, n-itCn, nilim+i,n+
От, пИт-1, п-- Ем, nun, n=l, п.
При исследовании порядка аппроксимации учесть, 4TO порядок
аппроксимации уравнения равен двум. Для исследования порядка
аппроксимации разностной схемы необходимо определить порядок.
аппроксимации начальных и граничных условий.
. Промежуточные значения ив, _-1 исключить, исполь-
17.124.
Ат, пИт, п+1 - Bm, nlm, n-1 + Ca, num+i,n +
+ Dm, вИт_—1^П-- Вю, вИт, п = п, п т=1, оФ®у Е —1|, n=l, eee, $— 1.
ито—Фа
т=9, ..., й,
Ит, 1 =Фи
-- фи.
ий) ПТИ бы)
Значения коэффициентов те же, что и в задаче 17.122.
7.125.
Am,nlmnoitBy.num,n-1-Ст,вИт+т,п+
+ Din, na —t, ntl m, nba. п = [т. n m=l,...,8—I,n=l,..., s—l,
Ит.
=Фи, М=0, ..., К.
|
u=
2+В
=С
—
т tba bm.ot т.оф. т,оФт+1
un (1 — 61,4) Чо, п--АФь,
— Ом, оФт-1— Еж, офи |.
Ao, nitty, ati Во, пНо, п-1-[ (Со. п-НО, п) ил, в (Езв-- 2161, Оо, п) Из, п==
= {о, в-+ 210%, вФи, (*
(Ay, o-+ Bo, 0) Hu, 1 = fo, 0+ 2TBo, oa + 2h4Do, yPo— (Co,o-+D0,0) Pi sD
— (Eo, + 216100%, в) Po
(Ак‚ЕВь,о}Ив,1=К,о--25Вь,офк
— 2АСь, of o— (Ce, o+ Dp, 0) Pe-1—
` — (Ек, о— 2/6Сь, о) Фь,
Ax, np, ntit Bp nllesn-1 - (Ск, n+ Daz, n) Up-1, nt
+ (Ex, nt 2hbenCr, n) Up, n=Tp, nwa 2hC,, nf n-
Схема (+) имеет второй порядок аппроксимации на решении, об-
ладающем ограниченными четвертыми производными. «Ф Заменим
входящие в начальные и граничные условия про изводные централь-
ными разностями. Для аппроксимации граничных условий в узлах
279

=j-_2
boi.т
1=-1-
П=-]
m=K+l
Рис. 243
(0, п) и (Ё, п) привлечем еще узлы вертикальных рядов, соответ-
ствующие т= —[ и т==Ё--1 (см. рис. 243), и запишем следующие
соотношения:
2h
2h
+61nto,n=p,
(++)
-Нбавиь, п= Ри.
Разностные уравнения, аппроксимирующие дифференциальное урав-
нение задачи 17.122 в узлах (0, п) и (No, п), имеют вид
Ao, пИо, п+1-| Bo, nto, n-1 + Co, nla, n-b Do, nt-i,n+ Lo, ntlo, n = fo, п.
Ак, пик, n+1t Br, пИЕ, n-1tCp, nlpg+1, ntDp, nUp_1, n +E, пи, п =в, п,
Исключая из этих уравнений И_1, п, Ик+1, п С ПОМОЩЬЮ выражений
(+*«), получим
Ao, no, n+1PBo, по, п-1 + (Co, ntDo, n) uy, nt (Eo, n+2h81nDp, п) Uo, n=
= fo, n+2hDo, nFi, в, (++)
Ap, nuk, n+itFBr, nile, n-1t(Cx, n+Dr, n) UpR-1, at
4-(ER, n—2hSanCy, n) Up, n= Fr, n—2hCg, nFo, ny
Значения решения в узлах (0, 1) и (No, 1) определяются из (жж»)
при п=0. Исключая величины #0, —1, Ик, -1 с ПОМОЩЬЮ пачальных
„No0, 1—0,-1
НЕ,1— ШК, -1
условий ==
0»7
получим выражения
для определения #9, 1, Ик, 1:
(Ао Во, о) Uo, 1=fo, 0 2TBo, oo + 2hDy, «Фо —
—(Co, 9 +Do, 0) G1— (Eo, 0 2461 9Do, 0) Po.
(Ак, о-- Вь, 0) Uk, i=fr,o+2tBp, ofp—2hCy, oF o—
|
— (Cr, o+Dr, 0) Pe-i— (Ek, о — 216эоСь, о) Фе. No
17.126. Порядок аппроксимации равен двум. @ Для замены
частных производных и,„ и,, использовать разностный оператор
из задачи 17.108. Положить т=й,
280

.
(
1/1
]
Гвив =] an om nt+i~ | (z+!) Un, aby Um-i, ne
\Un,0,
Th = |fmm
2) Шаблон изображен на рис. 244. 4) Схема неустойчива при лю-
бом Л.
17.128. 1) Гнив=
|
1/1
1
_|рт,п+1|(1-1)т,впИт-Ёв,No-1Im,вн
Фж.
\ Ит,0.
2) Шаблон тот же, что и в задаче 17.127. 4) Схема устойчива
при А= 1.
1
17.129. 1) Ти! ak in, n+1— a (qt! мо, пеши ns
\ Ulin, O»
i= {in 2) Шаблон изображен на рис. 245. 4) Схема неустой-
me
2
чива при любом А. 17.130. Схема устойчива при условии < ут.
n+1~ |
Jenn”
n+?|ит
(т-п) | (m,n)
(туп) (m,n+1)
a
n
т-К
т
т
т+1
Рис. 244
Рис. 245
17.131. Схема устойчива при л!обых Й, т. 17.132. Схема устойчива
при условии ат=<й. 17.133. Схема всегда устойчива. 17.134. Про-
bbQ
7 nOnn
гоночные коэффициенты От, „= — д,
Нуgp=|
By, n—G@,n
AB, n—%, п,
п=|, ..., $. Значение решения на правой границе, необходимое
для обратной прогонки,
Oe, nile nthDen
ИЕ, n=
_
h
a
Qei(1 Ч,п) Ba,n
«& Аппроксимируем граничные условия задачи 17.134 разностными
соотношениями
a= l, 999) $»
ИТ,п—40,п
Qi, п
Bi, пНо, п= D;, п,
(+)
Up, n—Up-i, n
Oa,pt Bs,ntl n=Pa,me =O; sees8 (HH)
28}

Полагая в формуле (25) т=0, запишем следующее равенство:
Ио,п==От,пил.п Нип,
n=l, oot, S.
(4k)
Сравнивая равенства (*) и (+**), получим начальные значения
прогоночных коэффициентов
О,в
ИФ! п
Чт,
Ay
——
п=\,
о.оу$.
ABy, п— Ч!
п
’в=
9
ABs,п—91,в
Для обратной прогонки необходимо знать значение решения на
правой границе и» в. Для определения этого значения запишем
равенство (23) в узле (к, п):
°
Up—f, n= Qrentty, nt Ag, п,
п=|,eee,$.
(жж)
Заметим, что все прогоночные коэффициенты определены по фор-
мулам (24). Сравнивая равенства (++жж) и (++). получим систему
линейных уравнений
Оь, пик. п—Иь-1, в =— Нь п,
(а,к-ЕПВз,к)Ик.п—о,кИк-1. п= АФо,п.
иь,в Получим как решение этой системы. д
17.135. h=0,02; t=0,01;
|
0,0 0,40 0, 80 1,20
|
.
1,60 2.00
Ос 0,0 0,16 0,64 1,44 2,56 4,0
0,2
0,22
0,28
0,82
1,67
2,80
3,98
0,4
0,49
0,48
1,08
1,96
3, Ц)
3,68
0,6
0,82
0,92
1,41
2,33
3,19
3,30
0,8
1,23
1,42
1,82
2,76
3,11
2,79
1,00
1,72
1,97
2,46
2,97
2,83
2,16
17.136. h=0,01; T=0,01;
,
0.0 0, 20 0,40 0,60 0, 80 1,00
0,0
0,0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,2
0,20
0,20
0,40
0,60
0,80
0,80
0,4
0,40
0,20
0, 39
0,59
0, 78
0,60

0.0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,6 0,60 0,39 0,37 0,56 0,54 0,40
0:8 0:80 0.57 0/34 0°49 0,28 0720
1,00 100 0:73 0.47 0,20 0,00 0,00
17.137, h=0,02; t=0,01;
у
0,0
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
0,0 1,00 1,16 1.64 2,44 3,56 5,00 -
012 1,20 2°49 2°94 389 5-06 4'90
0.4 1,39 3°73 4.33 5,99 6.57 4°61
0:6 1°56 4°15 5 80 6,82 6.53 4°13
0:8 1°72 4°53 731 8/37 6.23 3.48
1.00 1/84 4°91 7.94 8,38 5,74 2°70
17.138. h=0,01; t=0,01;
y
0,0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,0
0,0 0,04 | 0,16 0,36 0,64 1,00
0/2 —0'42| —0'03 | 041 0’93 1'53 3.01
0:4 Г | —0,08 | 0.68 1°52 2°44 7,98
0'6 —3'28 | —0.14 | 0.97 2°19 4°18 | 14.60
08 | —10,87| —0.51 | 1,27 2'75 8°14 | 26.44
10 |—4084| —2'30 | 1,56 4°20 15.18 | 44°60
17.139. h=0,02; t=0,01;
у
.
0,0
0,40
0,5C
1,29
1,60
200
0,0 5,00 6,60 8,20 9,80 | 11,40 | 13,00
0,2 5,30 6,79 8.39 9'99 | 11’59 | 1312
0.4 5.65 6,98 8.58 | 1017 | 11.77 | 13.18
0,6 6,19 7’ 15 874 | 10,33 | 11,92 | 13°18
0,8 7,26 7,32 g.s9 | 10.46 | 12,04 | 13.09
100 | 9.61 7,57 9°01 10,57 | 12,03 | 12.87
283

17.140. h=0,02; t=0,01;
0,0
0,40
0,80
1,20.
1,60
2,0
0,0
1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0,0
0,20 0,98 0,84 0,72 0,58 0,42 0,20
0,40 0,92 0,87 0,81 0,72 0,59 0,39
0,60 0,83 0,88 0,88 0,83 0,73 0,56
0,80 0,70 0,86 0,91 0,92 0,86 0,72
1,00 0,54 0,80 0,92 0,98 0,96 0,84
17.141. h=0,02; t=0,01;
у
0,0
0,20
0,40
0, 60
0,80
1,00
0.0 0,0 0.04 | 0,16 | 0,36 | 0,64 1.00
0,20 | —0,17 0,01 0,01 0,01 0,01 0,00
0,40 | —0,72 0,04 0,02 0,01 0,00 0,00
0,60 | —1,63 0,10 0,04 0,00 0,00 0,00
0,80 0,97 0,17 0,00 0,00 0,00 0,00
1,00
1,00
‚00 0,00 0,00 0,00 0,00
17.142. h=0,02; t=0,01;
у
0,0
0,40
0,80
1, 20
1,60
2,00
0,0
0,0
0,16 0,64 1,44 2,56 4,00
0,2
0,28 0,46 0,83 1,28 1,52 1,27
0,4
0,30 0,42 0,53 0,60 0,54 0,38
0,6 —0,03 | 0,05 | —0,05 | —0,24 | —0,43 | —0,44
0,8 | —0,67 |—0,61 | —0,87 | —1,23 | —1,47 | —1,29
1,0 —1,57 | —1,52 | —1,90 | —2,38 | —2,62 | —2,21
17.143. h=0,01; t=0,01;
t
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,00
0,0
0,0
0,59 0,95 0,95 0,59 0,00
0,2
0,50 0,54 0,57 0,58 0,57 0,53
0,4
0,60 0,70 0,88 1,10 1,29 1,31
0,6
2,01 2,51 3,54 4,88 6,08 6,31
0,8
8,05 9,90 13,58 18,31 22,41 23,03
1,0 25,35 | 30,58 | 40,44 52,78 | 63,21 64,34
284

2,00
>
H
O
O
S
O
>
<
>
<
>
>
=
H
O
N
W
>
285
+
+
+
>
D
P
w
o
o
n
x
>
>
O
t
o
>
о
3
с
а
<
>
<
<
+
+
о
C
A
R
M
A
N
©
B
o
o
n
e
s
©
с
ч
©
+
=
<
A
N
A
M
O
O
A
M
D
>
е
м
о
=
|
-
о
о
-
я
м
о
-
~
S
O
O
=
N
S
O
O
D
M
~
A
O
>
с
я
—
ч
а
>
O
A
R
S
>
O
T
O
O
D
O
A
S
N
H
O
W
©
ю
г
+
9
5
я
|
A
N
D
T
A
N
G
D
с
з
=
I
A
W
O
W
N
-
A
O
O
-
m
S
>
S
O
A
N
M
M
-
—
-
9
O
0
O
-
M
_
—
D
0
O
0
O
—
-
M
0,02;
17.144. h
>
=
>
S
G
I
N
D
O
N
O
>
m
h
0
0
1
9
0
>
S
G
M
W
o
n
t
r
o
>
A
M
+
H
t
O
O
O
W
O
D
H
O
N
—
+
O
N
H
O
O
O
H
с
о
6
9
5
—
—
с
о
с
а
с
о
O
K
N
O
O
M
=
D
O
O
N
W
>
D
O
m
A
N
N
>
o
o
c
o
-
-
s
>
o
o
o
o
n
~
+
©
с
ч
ф
@
©
=
>
N
N
N
+
>
O
r
t
o
n
o
>
с
о
<
>
с
ч
2
<
з
н
F
O
O
M
N
K
R
A
D
n
N
>
6
2
>
6
9
$
0
<
<
м
о
е
о
+
0
9
6
)
0
B
O
O
O
S
L
O
>
о
о
-
—
—
>
o
o
o
o
—
-
~
=
>
о
о
о
м
+
я
я
я
=
>
>
o
a
o
o
o
o
o
>
с
о
с
ч
с
©
©
>
o
o
o
o
o
>
o
o
o
g
o
o
o
S
e
c
o
o
c
s
e
I
>
C
O
N
R
A
N
S
T
>
o
o
o
o
o
c
s
|
.
>
©
>
2
>
2
$
5
5
=
A
N
O
D
H
I
D
>
>
S
O
C
O
—
-
N
=
>
©
—
м
е
ю
ч
ю
=
>
©
м
о
ю
1
9
©
~
<
<
<
4
=
=
.
S
o
o
o
c
°
o
:
c
o
o
o
o
:
o
o
o
o
o
O
N
N
M
O
D
M
O
]
&
=
O
A
T
O
D
S
~
=
я
х
с
>
O
N
F
S
G
D
S

286
17.148.
SUBROUTINE PARAB(A,F,FI,PSI1, PSI2,
# K1,NS1,X,T,U)
COMMON Y1, B
DIMENSION X(K1),T(NS1),U(K1,NS1)
HT=Y1/(NSI—1)
HX=B/(KI—1)
РО 91=1, К]
о1)=ЕЦХ ( )
26'3 ]==1, No1
Ta) cited (J—1)
Ui1,J)= ТО
3 U(NSI, J)=PSIQT(J))
Al=H T#A/HX#u2
A2=1.—2A1
К=кК!—1
NS=NSI—1
"БОБ J=2, NS
DO5I=2,K
5 U(I, J+1I)=AlsU(I-, J)+A2eU(I, I)+-
+ ate
J)-- HT #F(X(1), T(J))
RETURN
END
17.149.
SUBROUTINE GIPERI(A,F,FI,PSI,EFL,EFR,
« KI,NSI,X,Y,U)
DIMENSION xs Y(NS1), U(KI,NSI)
COMMON /C/ Y1,
HY=Y1/(NSI—1)_
HX=B/(KI—1)
7 FORMAT (///10X,’HX=’,F7.4,10X
,’H Y=’ ,F7.4)
PRINT 7, HX, HY
HY2=HY«#2
Al=HY2/(A#HXex2)
ОО3]=1,No1
U(1,J)=EFL(Y(J))
ОКТ,
РА Y(J))
3 CONTINUE
ОО 101=1, К!
U(L, )=FI(X(1))
ТЕ (1.ЕО.1) СО ТО 2
IF (1.EQ.Kl) GO TO 2
U(1,2)=—.5«(HY2/A)»F(X(1),
» Y(1))--HY#PSI(X(1))-+-.54A1
РАКЕ ОН, —А1)+ЕЦХ(П))
2 CONT
K= Ket
NS=NS1—1
DO5J=2,NS
РО51=2,К
5 U(I,J-+1)=—(HY2/A)sF(X(1), Y(J))—
» UI, JI—1)-Als(U(I-+1,J}H-U(I—1);J))o

+2.9(1.—Al)sU(1,J)
RETURN
END
17.150.
7
SUBROUTINE GIPER3(A,F,FI,PSI, ELF,EFR,DbLTI,
DLT2,K1,NS1,X,Y,U
DIMENSION X(K1), Y(NS1), U(K1, No1)
СОММОМ /С/ У1,
HY= Y1/(NSI—1).
HX=B/(KI—1)
FORMAT (///10X,7HX=’,F7,4,10X ,*HY=s!,F7,4)
PRINT 7, HX, HY
HY2= НУз+2
А1=НУ2/(А»НХ+ж2)
NS=NSI1—1
K=l0—1
РО11=1,К]
10 X()==HX4(1— 1)
2
*
3
$
€
%
%
&
No
+
$
ofe
6
+
17.
No
DO 2 J=1, NSI
Y¥(J)=HY#(J—1)
DO3I=1,К!
Ud, 1)=FI(X(1)
IF (1.EQ.1.OR.1.EQ.K1) GO TO 3
U(1,2)=—5 .» HY2/A)*F(X(1), У(1ЕНУ%РЗКХ()
--.5*А1*(21(Х(1--1))-РЕЦКХ
(1-—1))
% +(1.—AI1)xF1(X(I)))
CONTINUE
T1=1.—A1I+HX#Al*#DLT1(Y(1))
T2=1.—Al—HX+#Al*#DLT2(Y(1))
9 1,2)=—.5*«(НУ2/А)»жЕ(Х(1),У(1))-+
HY#PSI(X(1))—HX#A l¥ELF(Y(1))-LAl»
FI(X(2))+Tl#FI (X(1))
U(K1,2)=—.54(HY2/A)#F(X(K1),
Y(1))--HY*PSI(X(K1))
+НХ+А1*ЕЕК\У(1))--А1*ЕКХ (К))-Т2+ЕКХ(К1))
DO6J=2,NS
РО51=2.К
U(1, J +1) —=—(HY2/A)*F(X(1), Y(J))—
U(I,J—1)+Al*(U(I-+-1,J)4+-U(J—1,J))+-
2.%(1.—Al)*UCI,J
И J+1=—Ud, J —1)+2.8AleUG ,J)4-
2. «(1 —AI+Al#HX*DLTI(Y(J)))xU(, J)—
(HY2/A)*F(X (1), Y(J))—2. +AlHHX+ELF(Y(J)
oe J+ I=—U(K1,J—1)+2.%
ЦК, Л-2.ж(1. АНА ИС ЖАК, J)—
(year«Р(Х (К), У(7))-2.» А1+Е
ЕВ (У(1))
RETURN
END
151.SUBROUTINE ELIPT(F,FIEFL,EFV,EFR.K1,
NS1,X,YU)
DIMENSION X(K1),¥(NS1), U(K1,NS1)
COMMON /W/ А, KT, AMO, EPS
COMMON /C/ B
HX=B/(KI—1)
287

17 FORMAT (///10X,’HX=" ,F7.4)
PRINT 17, HX
HX2=HX #42
K=KI—1
NS=NSI—1
DO 6 J=1, NSI
Y(J)=HX+(J—1)
K2-=KT#(J—1)-+-K1
DO6I=1,КЗ
X(I)=HX«(I—1)
IF (1.GT.1.AND.I.LT.K2)U(I,J)=AMO
IF (1.EQ.1)U(I,J)=EFL(Y(J))
IF (I.EQ.K2)U(1,J)=EFP(X(I),Y(J))
IF (J.EQ.1)U(I,J)=FI(X(D)
IF (J.EQ.NSI)U(I,J)=EFV(X(1)
6 CONTINUE
4 D=0DO 3 J=2, NS
M=KTu(J—1)+K
РО3 1=2, М
|
R=(U(I-+1,J)+U(I—1,J)-+-Aa(U(I,J+1)4-
« U(,J—1))—HX
2#F(X (1), ¥(J)))/(2-4(1.-FA)
Di =ABS(R—U(I,J))
IF (D1.GT.D)D=Di
UU,JJ=R
IF (D.GT.EPS)GO TO 4
RETURN
END
© При численной. реализации разностной схемы для краевой
вадачи 17.117 необходимо привести уравненне к виду
ди ди
а 2aaah (x, 9).
Для решения системы линейных разностных уравнений применить
метод простой итерации по формулам:
(01
(0
(0 о)
Um,п 50 Ча) (+ ипРИт-а, п0 (rn,neat Ym,n-1)
— А? (Xm) Yn))s
где {— номер итерации. Пусть =— абсолютная погрешность вычис-
лений. Будем считать, что решение получено с заданной точ-
ностью, если выполнено соотношение
тах|и „—ист|<.
m,n
,
,
При написании программы использовать указанное выше правило.
Использовать идентификаторы: Е— правые части, ЕТ, ЕРГ, ЕЕР,
ЕРУ — идентификаторы функций, вычисляющих краевые условия
на нижней, левой, правой, верхней границе соответственно.
АМО— возможная вариация для значения uy) КТ =0 для пря-
моугольной области, КТ =1 для трапецеидальной области.
17.152.
a) SUBROUTINE PROGN|] (A,F,FI,PSII, PS12,
* K1,NSI,X,T,U,Q,H)
COMMON Y1, B
288

DIMENSION X(K1),T(NS1), U(K1I,NS1 K1,NS1), H(K1,NSI
НЕЙ )T(NS1), UC )e Q( ). H(KUNS1}
HX=B/(KI—1)
Ree are Ae AT)
К=К1—1
РО21=1,К!
X(I)=HX#I—1)
2 (1,1) =ЕКХ(!))
РО3]=1,No1
Т()=НТа (J —1)
Q(1,J)=0
Hf ,J)=PSI(T(J))
(КЕ, J)=PSI2(T(J))
3 U(1, Л=нНа, J)
DO 20 J=2, NSI
DO7.I=1,K
Q(I+-1,J)=1./(2.4+-A2—Q(L,J))
7 H(I+1,J)=Q(I-+1,J)#(A2«0(T, J—1)4+-
НТти ‚На, л)
8 0(1—1,Л =0(, Sens нар
ТЕ (3—1) 15, 20,
15 1=1—1
СОТО8
20 CONTINUE
RETURN
END
6) SUBROUTINE PROGN2A,F,FI,ALF1,BETI,
* ALF2,BET2,EFI,
* EF2,K1,NSI,X то. Н)
СОММОМ iC] YI,
DIMENSION Q(K1, NSl). H(K1, No51)
DIMENSION X(K1), T(NS1), ССК, No1)
HT=Y1! NSI—1)
HX=B/(KI—1)
17 FORMAT (///10X, ’HX=’, Е7.4,10Х, 'НТ=*, F7,4)
PRINT 17, HX, HT
AQ—=(FIX #%2)/(A+HT)
K=KI—1
DO2I=1,Kl
X(1I)=HX#(I—1)
2 a 1)=FI(X(1))
3 J=I1, No1
И Ы1)
О(1, J)=— ALE LTS) (A XBETICT(J))—ALFI(T(S)))
H(1,J)=HX#EF1
( T(J))/(HX#BETI(T(J))—ALFI(T(J)))
CONTINUE
DO 20 J=2, NSI
DO 7I=1, K
QU+t,J)=1,/(2.-+A2—Q(1,J))
7 HO+1,J)=Q(I+1,J)#(A2*U(1, J—1)+-
. HTX, T(J))-LH,J))
U(1,J)=(ALF2(T(J))#H(K1,J)+-H X*
» EF2(T(J)))/(ALF2(T(J))#(1.—Q(K1,J))-+-
O
o
289

© HXaBETAT(J,))
8 UI—1,J)=Q(1, J)«sU(1,J)+H(I,J)
1Е (2—1) 15, 20, 20
15 I=I—1
GOTO8
20 CONTINUE
RETURN
END
17.153. Для вадачи 17.135 ответ записывается следующим
образом:
FUNCTION (T,X)
F=—.54T#X#42
RETURN
END
Ответы для остальных задач отличаются только вторым операто-
ром, определяющим значение РК.
17.154. Ответ к задаче 17.135:
FUNCTION FI1(X)
FIl=X «2
RETURN
END
FUNCTION PSI(X)
PSI=SIN(X)
RETURN
END
FUNCTION EFL(T)
EFL=E XP(T)—1
RETURN
END
FUNCTION EFP (T)
EFP=4.#COS(T)
RETURN
END
Ответы к другим задачам отличаются вторыми операторзми.
17.155. Ответ к задаче 17.135:
EXTERNAL F,FI,PSI,EFL,EFP
DIMENSION X(101), T(101), 9(101,101)
COMMON /C/ Y1, B
l=
B=2
РАТА А /1./, К! /101/, No1 /101/
CALL GIPERI(A,F,FI,PSI, EFL, EFP,
» K1,NS1,X,T,U)
25 ЕОВМАТ (50Х, 'ТАБЛИЦА РЕШЕНИЯ! //10X,
» 110('—')/15Х, Т/Х’, 2Х, 11Е8.2/(1Х,Е8.2,
» 1X, 11F8.2)))
PRINT 25, (X(I),; I=1, K1, 10), (T(J), (U(I,J),
« I=1, KI, 10), J=1, NSI, 10)
STOP
END
® Задание для ЭВМ должно содержать 7 программных единиц:
указанную здесь основную программу, а также программы, полу-
ченные при решении задач 17.149, 17.153, 17.154. Программа
решения любой другой задачи отличается от приведенной операто-
рами, содержащими обращение к соответствующим подпрограммам.
290

ГЛАВА 18
18.4. у(х) = 9—2mm \ 2хи (14.
<
=
—
18.5. y (x) = 2x94 [ (2—x-+t) y (2) dt.
2
18.6. y(x)=re* (x—1)— sin etx + ( (sinx — eX (x = 2))y (2) dt.
8
x
18.7. уе
ф |x(x—t)®y(t)di.
0
188.о «—|(*- 25") y(t)dt.
0
18.9. @ Воспользоваться формулой
Xx
tn
te
м fas ...)Hdmi | оии dt.
Xx
18.10, y(x)ax-tn+( fsin y (de. 18.11. y (x)= xm tlt
п
+}и04
|
Хх
18.12. и -!+]и (2)dt, yswaz tet |soa
x
x
18.13. и (= 8+ yoit) dt, ya (x)= 1+ (ys (t) de. ys (x)=
0
0
x
x
=—1 +9 и (t)dt. 18.14, yy= ва, ya(x)=
0
0
x
x
x
3
‘
=} No04 и=5-+ | фи 9 (¢) dt. 18.15. у(х)=
0
0
— ех (х-- 1). 18.16. у(х) =“. 18.17. y (=p terete x
~ 5 in(1 +2). 18.18. y(x)=cos
xe~ +9 *). 18.19. y (x)
=20%—
—2cesx+5sin x.
18.20. y(x)=—e-*.
18.21. y(x)=
(зо x-+3 sin кв К).
18.22. y(x)=1.
291

18.23, y (x) =x ch x.
18.24. у = ets е-
х (==1 sin yi x-+3 cos V7 +). 18.25.
у (х)=е*. 18.26. у(х)=х.
V7
2
18.27
1. 18,28
|о
1-+ хе**/? ( -2 124
8. ‚у(х)= . . .и(х)= +x (k-+-Ii
+xe
|
"dt,
k=0
0
хз
хР+1
18.29. у(д=е?. 18.30. y(x)=e?*2. 18.31. y(x)=sinx.1
18.32. y (x)= ch x. 18. 33. y (x)=(2e)*. 18.34. y(x)=(14x%)e 2,
18.35. yo (x)=
ae.
18.36. yo (x)=x+%x
cos x—sin x.
x?
x2—[2
x3= 23
18.37. yo(x)=1—e ? . 18.38.e*(-*) 18.39. fe =? . 18.40. x%e 3
3om£8
xt f4
18.41, xte ‘3. 18.42. хРе 4
18.43. еА+0е-0,
18.44, 238 5-58 #/^(#-0, 18.45. ee gh (x- 0, 18.46. = ehle~t),
x?
x3
2
“3
1
18.47. аа (*-0, 18.50.е ®. 18.51. = . 18.52. 5 E08 x}
+ sin x, 18.53. e~chx. 15:54. =a——z
18.55. ех(х—1)-|-1.
18.56. ch i— l.
18.57. e2X — ex,
18.58. +! ex/2 Sin уз 3х
x
18.59. 2e°—x—1, 18.60. 2sinx—x, 18.61.y
(x)= az et—Le * x
л
1
1
4
V3
9
1=
xsin( F242 . 18.62. 7 e?* (2x-+3)-+7- 18.63, — — = cosV 3x.
2
18.64. 1. 18.67, 2—e-*. 18.68. chx-}cos x. 18.69. e~* (1+5).
“> УЗ
3
из
18.70. re (нь
x) 18.71. 2—cos er V 2sin aie.
18.72. yj (x)= 1—2cosx, yo(x)=2sinx. 18.73. y, ae
—= eX (3 cos 2x4 sin 2x), y2(x)=— sts e* (cos 2x-+2 sin 2x).
2
18.74. yi ое
УЗ,-75 sinЕ x),уз(х)=
——е- "УЗ él sin V3, 18.75. yi (x) = (x-} 2) sin x-+(2x-+1) cos x,
y2 (x) =— (s+) вы
cos x. 18.76. yj (x)=2sin x,
x2
`
yo (x) =2 cos x1, yg (x) =x. 18.78, e*, 18.79. >. 18.80. 1-—=х ш3.
292

18.81. 1. 18.82. x. 18.83. 3. 18.84.PemeHna net. 18.85. e~* (7-м =).
18.86. хех?. 18.87. 3(2х—1). 18.88. сЬх. 18.89. “(6+5 2) .18.90.2 sin x.
18.91. 2cosx—l. 18.92. Решения нет. 18.93. +(e —1),
18.94. ex (1+5 в) . 18.95. 1. 18.96. 1. 18.97. 2 x, ® Воспользо-
ваться формулой Г (2--
1) =2Г (2). 18.98. 3х. 18.99. =. 18.100. 1—х.
2
1
101.
. .102. —
.103.
‚А)=
18.101. 4sinx. 18.102 3 COS x 18 о К (х, 1 iM Toni”
=
= xt+t_
2-1
y(x)=sinx.18.104.R(x,t,No =2 — д, y(x)
ind x
2112
х 2+1 -х.
18. 105. К (х, 1, )=хзш271 у(х)== с0$ 2лх.
18.106. R(x, Г,
=е-*--х. 18.107. R(x, t, A)=
= т sinx cos ¢, ранах
18.109. т.
18.110. +> cos 2лх. 18.111. x— cos x. 18.112. 7-- 6х8.
18.113. sin ст,
18.114. sinx-+cosx. — 18.115. Решения нет.
1
|
—у?
IZ. x.
2_
18.116. x+C(1—x?). 18.117. x 18.118. cos "5
in) .
18.119. Cx. 18.120. 0. 18.121. cos 2nx.
18.122. rtd.
18.123. с (5 =+ . 18.124. Решения нет. 18.125. 1-- Ух.
18.126. C,; cosx+Cyzsinx. 18.127. 2n? cos nx +2 (2x*—1). 18.128. 0.
18.129. hae, y(x)=C(1+4 2x). 18.130. Mas, y (x) =C (1 — x2).
18.1381. A=1, y(x)=C |x|. 18.132. ha, у (х)
= Сх. 18.133. л—2
1
1.
—
y(x)=Ccos x. 18.134. py, => Е =; yi, 2(x)=C(V 3x + 1).
3
18.135. wi,2=1+ V 2-0),
(e—1), yi, a(x)= <(У теж 1).
18.136. A = —2n, y (x) =C. 18.137. Ay, o = — ит, 2 (Х)=С($Ш Хх с0$ x),
18.138. =, и (х) =С1 0$ х-- Со зшх. 18.139. При А я —=6 ух) =
7
6
А
——
=X +5 6—5), при А 5 решения нет, 18.140. [IpH A 42
y (x) =sin 20x, mph A=2 y(x)=sin 2nx+Cx, 18.141. При MAD gy (=
293

—1— Эх при тит уси». 18.142. При Ля
2
= —2лу (я) = ae при А=—2л решения нет. 18.143. у(х)=
|
.
1
nA
= cige tah, AER. 18.144. Ipoh A 41 y(x)= Vi +.
18.145. y (x) созх- 7 sin x, ЛЕК. 18.146. При А и, и =
=
1
3
3
ex sin 1x-+
х, при А=-— у(х) = лх--
— ХС, при А=-
2
2
2
1——A3
Уз
решения нет. 18.147. При А 7 + — у (х) =—5РН
——x
3
x ( (1-24) x4 +3^). при А = + УЗ решения нет. 18.148. При
2
20
2
|
АЕ у(х)=1— я$ х,приA=— y(x)=1—sinx-+Ccosx,
2
при ha = решения нет. 18.149. Ли ==— n?n?, y,=sin nnx, nEN.
2
2
18.150. Аи =— 7 (24 11, из АР х, n=0, 1,2,
18.151. Ап == — ©), где ®„-—корни уравнения wW=ctgo, Yn=
9
= соб), MEN. 18.152. Age —it (ET) ypesin AHH,
2
n=, 1, 2, ... 18.153. A nai (AE
yn cos ЕТ, п=0,1,
2,... 18.154. Ag ms Lom vin, в == $11 ллх, ПЕМ. 18.155. А. =— 1 — 2723,
gn sin inx, n NY 18.156. =, Yo 13 An = 1 —4n?, yn=Ci cos 2nx-+-
ar Cy sin Qnx, 1 . 18.157. Aneel +o2, где ®„— корни уравнения
© = ctg 20, ete Oar nGEN. 18.158. [pu A4A,=—n2n?, n€N,
от 4зшл Их,
т
ии
_п
'’
КИ Л=А.ш, MEN,
1
45шл (2Е-- 1) х
,
м
Ти
Е
+-C sin 2nmx;
при А== Аш +Т, Т= 0, 1, 300) решения
нет.
18.159.
ПриА,2Ав=
2
—«=ЛЗ(=
snea,1,2,acs
пик
(г.>шт
бт . zee)
Af—
A<>——
4
4
294

д
Эл?
при А ==No=— 1 и А ==м=—- решения нет; при А=Ав, п=2,
3, ...
y (x) =sin Rx COSSK— An
оз. Asin x \+-
п4
Ant+— 4
+Csin OF,
2
18.160. При ^ вт (5) (п=0, 1,2, ...,
Уз (и)
m \Qn+1
21-1.
y(x)= x—m+AУ.
11,
*COS 5 x;
n=0
npw A=A, решения нет. 18.161. При А=А,=1—4л27%, п=0,
1, 2, ..., к = (А) -1 ; при ^=А,=1| решения нет, при А=Ав,
ПЕМ
y=
$0 cos 2nx+C-, sin 2nx.
—Апв
18.162 1).
18.163. 18.164. 18.165.
18.166. — 18.167.
—3, 1459
— 4, 3533
0,5335 63,0353
1,0000 0,0000
—-3,0518
—4,3578
0,3333 63,9561
1,0135 0,2209
—? ,9692
—4,3631
0,1614 64,8184
1,0172 0,4469
—-2,8983
—4,3688
0,0109 65,6236
1,0111 0,6780
—2,8387
—4,3747 —0,1233 66,3731
0,9955 0,9142
—2, 7903
—4,3806 —5),2448 67,0681
0,9709 1,1557
—2,7527
— 1.3863 —5,3566 67,7100
0,9376 1,4025
—2,7257
—4,3914 —0,4608 68,2999
0,8963 1,6546
—2.7083
—4,3956 —%,5594 68,8388
0,8476 1,9121
—2,7015
—4,3985 —,6535 69,3277
0,7921 2, 1751
— 2,7033
— 1,3998 —1,7444 69,7680
0,7306 2,4436
—2,7137
—4,3988 —v,8332 70,1604
0,664] 29,7176
—2, 7321
— 14,3950 —',9209 70,5058
0,5933 2,9972
—2,7577
—4,3877 —1,0082 70,8054
0,5192 3,2825
—2,7900
— 1,3759 —1,0959 71,0600
0,4428 3,5734
—2, 8282
—1,3585 —1,1848 71,2707
0,3651 3,8701
—2,8715
—1,3341 —i,2758 71,4384
0,2870 4,1776
— 14,9193
— 1,3008 —1,3695 71,5642
0,2096 4,4809
—2,9707
—4,2563 —1,4668 71,6469
0,1340 4,7950
—-3,0247
—4,1974 —1,5688 71,6940
0,0610 5,1150
—3.0811
—4,1198 —1,6765 71,6998 —0,0083 5,4410
‘) Ответы к задачам 18.162—18.184 приводятся в виде значе.
ний функции у(х) в точках отрезка (0, 1],
Ах =0,05, т. е. уху
(хв) = (Ах), & =0, 1,
этих задач методом конечных сумм, либо моментов следует срав-.
нить значения полученного решения с приведенным в точках вида
¢,=-0,05, k=0, 1, .-., 20
высранных С ша! ом
20. При решении
2

18.468.
0,3123
0,2985
0,2796
0,2555
0,2264
0, 1925
0, 1539
0,1111
0,0641
0,0134
—0,0407
—0,0978
—0, 1575
—0,2192
—0,2827
—0,3472
—0,4125
—0, 4780
—0,6076
—0, 6708
18.174.
—2,0000
—2,0579
—2,1294
—2,2145
—2, 3133
—2,4257
—2,5517
—2,6913
—2,8446
—3, 0114
—3, 1920
—3,3861
—3,5938
—3,8152
—4,0502
—4,2988
—4,5610
—4,8369
—5, 1263
—5, 4294
—5,7462
296
18.169.
2,4334
2,3247
2,1981
2,0532
1,8890
1,7072
1,5056
1,2843
1,0430
0, 7813
0,4988
0, 1951
—0, 1303
—0, 4778
—0, 8480
—1,2413
— 1,6584
—2,0997
—2,5659
—3, 0576
—3, 5754
18.175.
—2,8204
—2,7112
—2,5946
—2,4700
—2,3366
—2, 1938
—2,0408
— 1,8768
—1,7009
—1,5122
—1,3096
—1,0922
—0,8587
—0,6050
—0, 3388
—0,0497
0,2607
0,5939
0,9518
1,3351
1,7488
18.170.
—1,1130
— 1,0644
—1,0122
—0,9562
—0,8963
—0,8322
—0,7639
—0,6910
—0,6134
—0, 5308
—0, 4431
—0,3500
—0,2513
—0, 1466
—0,0358
0,0815
0,2056
0,3369
0,4755
0,6220
0, 7766
18.176.
4,7481
4,9997
5,2563
5,5178
5,7844
6,0560
6,3326
6,6142
6,9008
7,1924
7,4890
7, 7906
8,0971
8,4087
8,7252
9,0468
9,3734
9,7050
10,0416
10,3832
10,7297
18.171.
0,9897
0,9686
0,9376
0,8970
0,8469
0,7879
0,7202
0,6446
0,5617
0,4722
0,3768
0,2763
0, 1719
0,0643
—0,0455
—0, 1565
—0,2675
—0,3777
—0,4860
—0, 5914
—0, 6929
18.177.
9,0000
9,6196
10,4009
11,3784
12,5934
14,0952
15,9423:
18,2048
20,9759
24,3244
28,3977
33,3252
39,2718
46,4331
55,0407
65,3683
77,7398
92,5376
110,2132
131,3000
156, 4264
18.172.
—0, 1988
—0, 1636
—0, 1312
—0,1016
—0,0744
—0,0497
—0,0273
—0,0071
0,0110
0,0270
0,0410
0,0530
0,0630
0,0711
0,0774
0,0818
0,0842
0,0848
0,0834
0,0802
0,0750
18.178.
—0,7005
—0,5713
—0, 4441
—0, 3191
—0, 1964
—0,0760
0,0420
0, 1574
0,2702
0,3804
0,4878
0,5923
0,6938
0,7924
0,8879
0,9802
1,0693
1,1552
1,2376
1,3167
1,3923
18.173.
0,8313
0,8287
0, 8039
0,7577
0,6912
0,6662
0,5048
0,3894
0,2629
0, 1281
—0,0116
—0, 1528
—0,2922
—0,4265
—0,5526
—0, 6672
—0, 7678
—0,8518
—0.9172
—0, 9623
—(}, 9859
18.179.
2,0380
1,8073
1,5597
1,2958
1,0164
0,7219
0,4131
0,0909
—0,2436
—0,5896
—0,9456
— 1,3104
—1,6823
—2,0595
—2,4400
—2,8212
—3, 2004
—3,5743
—3,9390
—4, 2900
—4,6216

18.180. 18.181. 18.182.
18.183. 18.184,
0,0000 1,0000 —1,0000 10,0000 0,2500
0.,0501 1,1550 -—1,0087 11,0564 0,3279
0, 1004 1,3207 —1,0196 11,6033 0,4112
° 0, 1517 1,4969 —1,0398 12,5516 0,5029
0,2027 1,6862 —1,0515 13,1184 0,6005
0,2556 1,8859 —1,0674 14,0373 0,7127
0,3076 2,1029 —1,0692 14,5906 0,3301
0,3625 2,3292 —1,0641 15,4312 0,9712
0,4151 2,5790 —1,0452 15,9774 1,1155
0,4717 2,8354 —1,0042 16,7572 1,2966
0,5247 3,1245 —0,9569 17,3502 1,4771
0,5823 3,4152 —0,8761 18,1492 1,7136
0,6349 3,7512 —0,8027 18,8795 1,9427
0,6926 4,0500 — 0,6992 19,8175 2,2555
0,7443 4,4708 —0,6154 20,7997 2,5495
0,8008 4,8359 —0,5200 22,0172 2,9672
0,8508 5,2909 —0,4442 23,3845 3,3491
0,9053 5,6921 —0,3751 25,0395 3,9123
0,9535 6,2067 —0,3108 26,9496 4,4129
1,0059 6,6194 —0,2539 29,2271 65,1786
1,0499 7,2710 —0,15807 31,8675 5,7222
18.155.
SUBROUTINE INTEGR (N,C, X, A, RK, R, F, EF)
DIMENSION X(N),A(N),RK(N,N),R (N )
DO5I=1,N
DO6J=1,N
6 RK(I,J)=—C#A(J)#F(X(D, X(J))
RK(U,D=1.+RK(I, I)
5 R(I)J=EF(X(I))
CALL EXCLUS(RK, R, N)
RETURN
END
Подпрограмма для решения уравнения Вольтерра второго рода
отличается от вышеприведенной следующими операторами:
RK(I, J=—CoA(J)#F(X(I), X(J))
IF (J.GT.1) RKC
IF (1.EQ.1. AND: J. EO. 1} RK(I,J)=0.
6 CONTINUE
15.186. Ответ приводится для решения задачи 18.162:
EXTERNAL FI, FFI
DIMENSION X(21), A(21), RK(21,21), R(21)
N=21
Al=0.
В=1.
H=(B—Al1)/(N—1)
NI=N—1
C=4,
DO5I=1,N
5 X(J)=(I—1)*H
DO6J=2,N1I,2
A(J)=4.#H/3.
IF(J.NE.N1I)A(J-+-1)=2.#H/3.
297

6 CONTINUE
A(1)=H/3.
A(N)=A(1)
CALL INTEGR (N, C, X, A, RK, R, FFI, Fl)
PRINT 9, (X(I), R(I), 1=1,N)
|
FORMAT (50X, 'РЕШЕНИЕ’ {/10,Х, 'Х',
« 10X, 'Y’/(1HO, 2F15.6))
STOP
END
® Задание для ЭВМ должно содержать 3 программных модуля:
O
o
указанную здесь основную программу, а также программы, ‘рея-
лизующие соответствующие подпрограммы-функции. Для рассмат-
риваемой задачи 18.162 опи имеют вид:
298.
FUNCTION F1(X) FUNCTION FFI1(X,T)
PI=3.14593
FFI=SIN(X«T##2)##2
Е1==9.*Х—Р1
RETURN
RETURN
END
END

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Васильев Ф. [ПП]. Численные методы решения экстремаль-
ных задач.— М.: Наука, 1980.
2. Кузин Л. Т. Основы кибернетики.— Т. Г; Математические
основы кибернетики.— М.: Энергия, 1973.
3. Ефимов А. В. Математический анализ (специальные раз-
делы).—- Ч. [: Общие функциональные ряды и их приложения.—
М.: Высшая школа, 1980.
4. ЕфимовА. В., Золотарев
Ю.. Г., Терпигорева
В. М.
Математический анализ (специальные разделы).— Ч. П: Примене-
ние некоторых методов математического и функционального ана-
лиза.— М.: Высшая школа, 1980.
5. Гачев Э. М., Кушниренко А. Г., ТихомировВ.М.
Сборник задач по оптимальному управлению.— М.: Изд. МГУ, 1980.
Колихман И. Л., Войтенко М.А. — Динамическое
программирование в примерах и задачах.— М.: Высшая школа, 1979.
Очан Ю. С. Методы математической физики.— М.: Высшая
школа, 1965.
Очан Ю. С. Сборник задач по методам математической
физики.— М.: Высшая школа, 1967.
9. Будак Б.М., СамарскийА.А., Тихонов А.Н,
Сборник задач по уравнениям математической физики.— M.: Hay-
ка, 1972.
10. Араманович И. Г., Левин В.И. Уравнения матема-
тической физики.— М.: Наука, 1964.
11. Смирнов М. М. Задачник по уравнениям математической
физики.— М.: Наука, 1968.
12. Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной
математики.— М.: Наука, 1977.
13. Калиткин Н.Н. Численные методы.— М.: Наука, 1978.
14. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики.— М.:
Наука, 1989.
15. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в
теорию.— М.: Наука, 1975.
|
|
16. Краснов М. Л., Киселев А.Н., Макаренко Г. И.
Интегральные уравнения.— 2-е изд.— М.: Наука, 1976.

СОДЕРЖАНИЕ ЧАСТЕЙ 1—3
ЧАСТЬ 1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
Предисловие
Глава |. Введение в анализ
§1.
§
§
§
$
m
G
C
d
O
o
n
Глава
C
O
O
r
C
r
m
G
C
В
О
—
Глава
O
O
A
ч
б
D
>
n
N
m
p
W
w
w
=
Глава
$1.
$2.
$3.
300
Действительные числа. Множества. Логическая символика
Функции действительной переменной
Предел последовательности действительных чисел
Предел функции. Непрерывность
Комплексные числа
2. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Векторная алгебра
. Линейные геометрические объекты
. Кривые на плоскости
. Поверхности и кривые в пространстве
3. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Определители
Матрицы
. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы
. Системы линейных уравнений
. Некоторые вычислительные задачи линейной алгебры
4. Элементы линейной алгебры
Линейные пространства и пространства со скалярным
произведением
Линейные операторы
Билинейные и квадратичные формы

Глава 5. Дифференциальное исчисление функций одной перемене
ной
1. Производная
2. Дифференциал
3. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Tei
лора
4. Исследование функций и построение графиков
5. Векторные и комплексные функции действительной пере
менной
6. Численные методы функции одной переменной
Глава 6. Интегральное исчисление функций одной переменной
$ 1. Основные методы вычисления неопределенного интеграла
$ 2. Интегрирование основных классов элементарных функций
$ 3. Смешанные задачи на интегрирование
$ 4. Определенный интеграл и методы его вычисления
$5. Несобственные интегралы
$ 6. Геометрические приложения определенного интеграла
$ 7. Приложения определенного интеграла к решению некото“
рых задач механики и физики
|
$ 8. Численное интегрирование функций одной переменной
Главе 7, Дифференциалькое исчисление функций нескольких пере“
менных
$ 1. Основные понятия
$ 2. Дифференцирование сложных и неявных функций
§ 3. Приложения частных производных
$ 4. Приближенные числа и действия над ними
Ответы
ЧАСТЬ 2
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Предисловие
Глава 8. Кратные ннтегралы
‚78 1. Двойной интеграл
$2. Тройной интеграл
$ 3. Несобственные кратные интегралы
$ 4. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
801

Глава 9. Дифференциальные уравнения
$ 1, Уравнения 1-го порядка
$ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков
‹ 3. Системы дифференциальных уравнений
$ 4. Элементы теории устойчивости
65. Численное интегрирование обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений
Глава 10. Векторный анализ
$ 1. Скалярные и векторные поля. Градиент
62. Криволинейные и поверхностные интегралы
6 3. Соотношения между различными характеристиками ска-
лярных и векторных полей
$ 4. Специальные виды векторных полей
65, Применение криволинейных координат в векторном ана-
лизе
Глава 11. Основные понятия теории функций комплексной пере-
менной
$ 1. Элементарные функции
$ 2. Аналитические функции. Условия Коши
== Римана
$ 3. Конформные отображения
$ 4. Интеграл от функции комплексной переменной
Глава 12. Ряды и их применение
$ 1. Числовые ряды
$ 2. Функциональные ряды
$ 3. Степенные ряды
$4. Применение степенных рядов
65. Ряды Лорана
$6 6. Вычеты и их применение
$ 7. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
Рязва 13. Операционное исчисление
$ 1. Преобразование Лапласа
$ 2. Восстановление оригинала по изображению
6 3. Применения операционного исчисления
$4. Дискретное преобразование Лапласа и его применение
Ответы =
808

ЧАСТЬ 3
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИС-
ТИКА
Преднисловье
Глава 14. Теория вероятностей
$ 1. Случайные события
$ 2. Случайные величины
$ 3. Случайные векторы
$ 4. Функции случайных величин
$5. Закон больших чисел и предельные теоремы теории веро-
ятностей
$ 6. Случайные функции (корреляционная теория)
Глава 15. Математическая статистика
$ 1. Методы статистического описания результатов наблюдений
$ 2. Статистическое оценивание характеристик распределения
генеральной совокупности по выборке
$ 3. Интегральные оценки
$ 4. Проверка статистических гипотез
~
$ 5..Однофакторный дисперсионный анализ
$ 6. Критерий х? и его применение
$ 7. Элементы регрессионного анализа и метод наименьших
квадратов
$ 8. Непараметрические методы математической статистики
Ответы
Приложения
Список литературы

Учебное издание
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
для втузов
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Под редакцией А. В. Ефимова
Заведующий редакцией С. И. Зеленский
Редактор В. В. Донченко
Художественный редактор Т. Н. Кольченко
Технический редактор С. Я. Шкляр
Корректор Н. В. Румянцева
ИБ No 41097
Сдано в набор 05.05.89. Подписано к печати
22 01.90. Формат 84х108/33. Бумага тип. No2.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл.
печ. л. 15,96. Усл. кр.-отт. 16,17.
Уч.-изд. л. 20,76. Тираж 49 000 экз.
Заказ No 3439. Цена 90 коп.
Издательско-производственное
и книготорговое объединение «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы,
117071, Москва В-71. Ленинский проспект. 15
Набрано и сматрицировано в
Ордена Октябрьской Революции и ордена
Трудового Красного Знамени МПО «Первая
Сбразиовая Типография Государственного
комитета СССР по печати
113054, Москва, Валовая, 28
Отпечатано в типографии
"здательства «Коммуна»,
г. Воронеж, пр. Революции, 39

90 коп.