Ж. iW. РА6БОТ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Издание тренье,
исправленное и дополненное
г» шттпшшавшмашшшшкятшшишюштюташттшшшшшшшжшвшашт
АЛТЕЛЬСТВО ЛЮСКС. аСКОГО УНИВЕРСИТЕТА- 196 9

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В.ЛОМОНОСОВА
Ж.М. РАББОТ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Рисунки Т.И.Куэнецовой
Издание третье,
исправленное и дополненное
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
19 6 9

z
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Предисловие 4
ГЛАВА I. Тригонометрические функции
и основные формулы тригонометрии 6
§ I. Определения тригонометрических
функций 6
§ 2. Обобщение понятия угла 15
§ 3. Измерение углов 19
§ 4. Формулы приведения 25
§ 5. Основные формулы 30
§ б. Графики тригонометрических
функций 54
§ 7. Задачи к главе I 36
ГЛАВА П. Преобразование тригонометрических
выражений 44
§ I. Доказательство тождеств, преобразование
тригонометрических выражений в
произведение 46
§ 2. Вычисление некоторых сумм 51
§ 3. Задачи для самостоятельного
решения 51

3
ГЛАВА Ш. Тригонометрические уравнения
и неравенства 62
§ I. Простейшие тригонометрические
уравнения и неравенства 62
§ 2. Некоторые типы тригонометрических
уравнений 71
§ 3. Тригонометрические неравенства 86
§ 4. Системы тригонометрических
уравнений 96
§ 5. Разные
задачи 99
ГЛАВА IV. Упражнения 127
§ I. Задачи письменного экзамена 12.7
§ 2. Вопросы устного экзамена 143
ГЛАВА V. Некоторые приложения тригонометрии . . . . 146
§ I. Гармонические колебания 196
§ 2. Интерференция и дифракция света 163
Приложение. Таблица основных формул 174

4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта брошюра по своему характеру немного отличается от
предыдущих изданий Заочной математической школы при МГУ. Если
в других наших брошюрах был изложен материал, который в школе
или совсем не изучают, или изучают в очень небольшом объеме,
то в этой книжке рассматриваются,в основном, те же вопросы,
что и в школьном курсе тригонометрии.
Коротко о содержании брошюры.
В первой главе рассматриваются основные определения и
формулы тригонометрии. Правда, кое-где нам пришлось
подняться на одну - две ступеньки повыше обычного школьного уровня,
чтобы получше охватить эти понятия. Даже если при первом
чтении в этой главе будет что-нибудь непонятно, в этом нет
ничего страшного, надо еще раз вернуться к этому материалу и
постараться его осмыслить. Зато задачи первой главы надо
решить обязательно, их немного, но все они очень полезны.
Главы вторая и третья носят ярко выраженный технический
характер. В них разобрано довольно большое количество
упражнений, иногда достаточно трудных, сделана некоторая
систематизация методов решения; особое внимание обращено на обычно
"слабые места" школьников: исследование решений в зависимости от
параметров, нахождение допустимых значений, решение и
доказательство неравенств.
В IV главе помещено много задач для самостоятельного
решения, большинство этих задач предлагались на конкурсных
экзаменах. Конечно, не нужно решать все задачи подряд. Надо
внимательно разобрать решенные в главах II и III примеры и
постараться решить самостоятельно наиболее интересные и трудные задачи
главы IV. Для облегчения работы над брошюрой в конце
мы поместили вкладку с основными тригонометрическими
формулами, которую советуем постоянно иметь перед глазами при прора-

5
ботке второй и третьей глав. Автор надеется, что после такой
тренировки школьнику не будет страшен никакой
тригонометрический пример на экзамене.
5 главе пятой рассмотрены приложения тригонометрии, там
довольно подробно изучаются гармонические колебания, затронуты
вопросы, связанные с гармоническим анализом, а также
рассказано об интерференции и дифракции света. Применение
тригонометрии в решении геометрических задач не рассматривается, так
как этому уделяется большое внимание в обычной школе.
В целом брошюра призвана помочь школьнику лучше
осмыслить основные понятия тригонометрии и дать ему необходимые
навыки в решении задач.
Приношу глубокую благодарность редакторам брошюры
Н.Б.Васильеву и В.Л.Гутенмахеру за большую помощь при написании
книги, Е.Г.Гнагояевой, Л.Е.Евтушку и С.И.Шварцбурду - 8а
высказанные замечания, которые способствовали-улучшению брошюры,
а также П.Р.Кантор, Т.г.Кузнецовой, А.Л.Тоому и И.Х.Сивашнс-
яому - за помощь в подбора задач. Благодарю также учащихся
SMffi, указавших на опечатки в предыдущем издании.
Просьба ко всем читателям брошюра прислать свои
замечания, пожелания, и в особенности новые задачи, по адресу:
Москва, В-234, МГУ, мехмат, ЗМШ, Рабботу I.M.
Ж.М.РАББОТ

6
ГЛАВА
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ.
§ I. Определения тригонометрических
Функций .
Впервые мы встречаемся в школьном
курсе с такими определениями
тригонометрических функций острого угла:
Синусом острого угла Л.
называется отношение противолежащего этому углу
катета к гипотенузе любого прямоугольного
треугольника с углом оС .
Аналогично определяются косинус,
тангенс и котангенс острого угла.
Указанные отношения не зависят от
размеров треугольника с острым углом J~ ,
который мы выбираем (все такие
треугольники подобны), так что отношения в
действительности зависят только от угла oL ,то
есть являизюя функциями угла at . Именно
поэтому наш определения имеют смысл.

7
Особенно просто выражаются
тригонометрические функции угла через стороны
прямоугольного треугольника с гипотенузой длины I.
Пусть катеты этого треугольника - ее
(прилежащий к углу U. ) и ^ ,
Тогда tiK^tf; COiJ-^X; ^^ = ^^'6=J-
Теперь дадим более общие определения.
Для этого мы будем использовать
"тригонометрический круг" - круг радиуса I на
координатной плоскости Охи с центром в начале
координат. Точнее, нам понадобится не круг, а
окружность х*ч-уг-= /.
Итак, мы хотим определить, что такое
tin<L , COiaC и Т.Д. ДЛЯ ЛЮбОГО УГЛЭ *С .
А что такое "угол" ?
В планиметрии углом называется часть
плоскости, ограниченная двумя лучами,
выходящими из одной точки.
Пока остановимся на этом, хотя ниже -
в § 2 - мы поговорим о несколько более общем
понятии угла.
Заметим, что у каждого угла на
плоскости есть правая и левая сторона: если
стоять в вершине лицом внутрь угла (например,
смотреть по направлению биссектрисы), то

Рис 6
8
справа будет правая сторона, слева - левая.
Пусть дан угол «6 . Расположим
тригонометрический круг тан, чтобы .его центр
их
находился в вершине угла, а ось^ыка
направлена по правой стороне угла. Пусть
левая сторона угла пересекает окружность
x-z+uz-j в точке Т ( ос , и. ).
Тогда, по определению:
■ЬпЛ-ш ала(.-х^ taJ~~-%.; c/taaL- -•£;
Тангенс можно определить еще так: провести
прямую, касающуюся тригонометрического
круга в точке < I; 0 ) -"ось тангенсов". Пусть
точка пересечения левой стороны угла с этой
прямой ( I; р ), тогда ta^.=p.
Проверьте это. Дайте аналогичное определение
котангенса.
Тригонометрические функция позволяют
очень удобно записать соотношения,
существующие иваду сторонами и углами
произвольного тредгтфЕьника (отсюда и название "Три-
гощомехдош*)* и вообще, бывают очень полез-

9
ны при решении самых различных
геометрических задач.
Заметим, что фрикции, которые мы
только что определили, - не совсем
обычные функции. До сих пор мы называли
санкцией правило, во которому каждому числу
(из некоторого множества чисел) ставится
в соответствие другое число, то есть, как
говорят математики, отображение некоторого
множества чисел во множество чисел, а
тригонометрические функции, как мы их пока
определили, ставят в соответствие каждому
углу некоторое вещественное число;
другими словами, каждая тригонометрическая
функция осуществляет отображение множества
.углов во множество (веаественншс) чисел.
В роли аргумента тригонометрических
функций выступают ве только углы. Нааомним
определения тригонометрических ааикди»
дуги окружности.
Синусом дуги называется синус
центрального угла, соответот-
вушцего этой дуге.
Аналогично выглядят определения для воея-
нуса, тангенса я котангенса.
Р
рис г.
Гис. в.

10
Рис Ю.
Таким образом, эти тригонометрические
функции отображают множество дуг во
множество вещественных чисел. Без них также
было СГы трудно обойтись в геометрии,
особенно в "сферической геометрии11 (геометрии
на поверхности шара). Например, теорема
синусов для треугольника ABC на сфере
выглядит так:
$гйг.С(. &А- & Sine
Стороны ее , 6 , с треугольника на
сфере - дуги большие кругов, и вместо их длин,
которые участвуют в формуле для плоского
треугольника, здесь фигурируют синусы.
Еще чаще, чем тригонометрические
функции углов и дуг, встречаются
тригонометрические функции числа. Это уже самые обычные
функции, то есть отображения множества
чисел во множество чисел; их можно изучать,
как мы это делали раньше с другими
функциями: строить графики, находить точки, где
они обращаются в нуль, достигают максимума
и минимума и т.д. Но дать определение
тригонометрических функций числа труднее,чем

п
соответствующих функций утла и дуги.
Мы не будем подробно останавливаться
на том, что такое (вещественное) число,
и считаем известным ( см. брошюру "Метод
координат" ), что вещественные числа
взаимно-однозначно соответствуют точкам
прямой - "числовой оси".
Будем обозначать числа (и соответетву
ющие им точки) буквой t . Определить,
что такое синус числа t , косинус t
и т.д., нам снова поможет
тригонометрический круг .
Расположим ось t так, чтобы
она касалась тригонометрического круга в
точке ( I, 0 ) и чтобы эта точка касания
являлась на оси t началом отсчета:
t= 0. Теперь намотаем числовую ось t
на наш круг (верхняя половина оси будет
наматываться слой за слоем против часовой
стрелки, нижняя - по часозой стрелке).
ж) Мы, естественно, считаем ось
"не имеющей ширины1', то есть бесконечно
тонкой.

12
Поставив в соответствие каждой точке t
числовой оси ту точку Р на окружности,
в которую она перейдет при наматывании.
Пусть ( х , и ) - координаты этой
точки < л и и - функции t ).
Положив, по определенно,
4ubt=u, t&t=Xi fyt = •%£■ j <£% ^= "и"
Длина окружности радиуса единица равна
2 Ж , так что отрезок оси ~t от 0 до
2 я" образует первой слой на окружности,
отрезок у21С , 4 Si" J - следующий слой
и т.д.; авалогачяо для отрицательных t
Таким образов, соответствие иевду точ-
квш t и точками окружности вовсе не
взаимно-однозначно: в каждую точку
окружности попадает бесконечное инояество точек
t , отличающихся друг от друга на 2.жп.
< п. - любое целое число).*'
я) Отсюда сразу вытекает, что значение
, тригонометрических функций во всех этих
точках одно и то же, - как говорят, функции
имеют период 2 3Z .Мы займемся исследова-
ние&! периодичности и других свойств этих
функций ниже.
Заметим вообще, что когда мы исследуем
тригонометрические функции или
просто ищем значение какой-либо
тригонометрической функции в точке t , ось t
удобно представлять себе нзьготанноГ- на три-

13
Триюномегрические функции числа,
которые мы только что определили, очень
часто встречаются в физике, особенно при
описании всевозможных периодических процессов,
колебаний,волн и т.п. Они, конечно,
используются и в геометрии, псско-лы-у они очень
просто связаны с тригонометрическими
функциями угла (и дуги), а именно:
синус числа t. равен синусу угла (ду- I
ги) в t радиан; аналогично для осталь- '
нкх функций.
Обычно именно это принимается
за определение синуса числа. Наше
определение удобнее по двум причинам: во-первых,
чтобы определить синус для всех
чисел t , нам не пришлось рассматривать
"отрицательных углов" и "углов, больших
полного" (см. § 2), и, во-вторых, мы
обошлись без понятия "мера угла", которое само
по себе достаточно сложно (см. § 3).
ж) гонометрический круг так, как мы описали
выше. Только когда мы захотим построить
графики тригонометрических функций, ось t
придется размотать и превратить в обычную
ось абсцисс.
юс) Впрочем, в нашем определении неявно
используется понятие "длины дуги" - Сез
этого нельзя объяснить, что значит"намотать
ось на круг".

14
Во всяком случае, это свойство позволяет
все рассуждения, которые мы будем проводить
ниже для тригонометрических функций числа,
моментально переносить на
тригонометрические функции углов и дуг.
Чтобы подвести итог всем определениям,
которые ны дали в этом параграфе, и их
взаимоотношениям, нарисуем такую диаграмму:
спккаЪыЬание угла
на тригонометрическом
круге
точки
окружности
0S
На/чатибанае оси
на окрумность
Каждая стрелка здесь изображает некоторое
отображение одного множества в другое.
Разберитесь, какое именно отображение!
Эта диаграмма, как говорят,
"коммутативна". Это означает, что если вы возьмете
любой элемент из этих множеств и посмотрите,
куда он попадает после одного или
нескольких последовательных отображений, обозна-

15
ченных стрелками, то результат не будет
зависеть от того, по какому пути вдоль
стрелок вы пошли, - другими слогами,
все эти отображения "согласованы"
друг с другом.
Одна такая "коммутативная диаграмма"
заменяет сразу несколько теорем или формул,
связывающих различные отображения, и на этом
языке оказалось удобным излагать целые
разделы современной математики.
§ 2. Обобщение понятия угла.
Разберемся сначала, что мы умеем де<
лать с углами, какие "отношения" и
"операции" определены для углов. /v^\
Во-первых, два угла мы можем сравним:
либо они равны (если их можно совместить
друг с другом), либо один из них меньше
(если его можно полностью поместить внутри
другого так, что вершины совпадут).
Во-вторых, два угла можно сложить:
если приставить друг к другу два угла так,
чтобы они лежали по разные стороны от их
общей стороны, то получится новый угол, на1
зываемый суммой углов.

16
В школьных задачах по геометрии обычно
нужны только углы, не превосходящие
развернутого угла (то есть такого, у которого
стороны составляют продолжение друг друга).
Что касается отношения "больше -
меньше", то тут все в порядке: любые два такие
угла можно сравнить. Но сумма двух таких
углов уже может быть больше развернутого.
Если мы хотим, чтобы операция
сложения была определена для любых двух углов,
то нам придется расширить наше понятие
угла: например, естественно считать, что
сумма двух углов АОВ и ВОС, изображенных
на рисунке, составляет "один полный угол"
и еще угол АОС.
В общем случае нужно будет считать,
что угол состоит из части плоскости,
заключенное между двумя лучами, и еще
нескольких полных углов.
Можно представить себе, что такой
угол склеен из нескольких слоев плоскости,
сходящихся в вершине 0, причем краями
служат стороны угла ОА и ОВ.
Чтобы задать угол, нужно задать два
луча ОА и ОВ и целое неотрицательное
число пь- , показывающее, сколько "пол-

17
ных углов" содержит наш угол.
После того, как мы расширили таким образом
понятие угла, мы уже можем складывать любые
два угла.
Если потребовать, чтобы и операция
вычитания была выполнена всегда, то придется
ввести в рассмотрение "отрицательные углы"
(разрешить тгь принимать и отрицательные
значения). Если мы приняли вращение против
часовой стрелки за "положительное", то
"отрицательные углы" будут задавать вращение
по часовой стрелке.
Удобно представить себе это так: утоп^-ДОВ^^
показывает, насколько нужно повернуть
сторону ОА, чтобы она совпала со стороной ОБ.
Тогда сличай Ю.>о соответствует
повороту на угол, больший полного оборота
против часовой стрелки: луч ОА должен сделать
m полных оборотов (и еще повернуться
на некоторый угол), прежде чем он совпадет
с ОБ. После этого мы приходим к
следующему общему понятию угла.

18
Углом называется пара лучей
ОА и ОВ, для которых
указано, сколько (полных)
оборотов и в каком направлении
надо сделать, чтобы перейти
от луча ОА к лучу ОВ.
Р
Для двух таких "углов" нетрудно
определить, какой из них больше, а также
определить сумму и разность. Тригонометрические
функции таких углов определяются точно
также, как это сделано в § I для обычных уг-1
лов, с той разницей, что отрицательные
углы нужно прикладывать к оси Ох левой
стороной (а положительные - правой). >
Заметим, что для двух углов d и
oL^ , отличающихся на целое число полных
углов, соответствующие им точки (ж , « )
на окружности х. + Н = I, а
следовательно, и значения всех тригонометрических
функций, совпадают.
Конечно, все сказанное про обобщение
понятия угла полностью переносится и на
дуги окружности.

19
О
§ 5. Измерение углов.
Мы нарочно в § 2 нигде не говорили о
величине угла - об углах 180°, 360° и т.п.,
потому что для этого надо знать, что такое
"численная величина" угла, а это совсем
не очевидное понятие. Сейчас мы
остановимся коротко на этом вопросе.
Ван не раз приходилось сталкиваться
в курсе геометрии с задачей "измерения",
например, с измерением длин отрезков,
площадей фигур и т.д.
Длина отрезка.
Р
Выберем какой-нибудь отрезок е и
назовем его единицей измерения. Пусть
АВ - отрезок, который мы хотим измерить,
целиком
и пусть отрезок е укладьшаетсяУв"
отрезке АВ к0 раз (до точки С, см.
рис. 14, на отрезке ВС - отрезок €
не укладывается). Пусть, далее, ^
число, показывающее, сколько раз отрезок ^=-
укладывается в отрезке АВ (в указанном
выше смысле), к, показывает, сколько
*>
раз -ь_ укладывается в АВ и т.д.,
10г

20
/^показывает, сколько раз отрезок
•^ укладывается в отрезке АВ.
Таким образом, мы получили числовую
последовательность х^-= -^ (так как
этот процесс можно неограниченно
продолжить), которая возрастает и ограничена
(объясните - почему?), а значит (см.
брошюру А.А.Кириллова "Пределы"), имеет
предел.
Длиной отрезка АВ с единицей
измерения в называется число
Л~ £im. А- •
/!.-*£*, 10
0
Площадь Фигуры.
Выберем в качестве единицы площади
квадрат со стороной е . Пусть /с-0
число таких квадратиков, укладывающихся
целиком внутри фигуры, k.f - число
квадратиков со стороной —г , и т.д., k^-
число квадратиков со стороной —-п ,
укладывающихся целиком внутри фигуры.
Площадью фигуры называется
*=*"■%&
/г-9 оо 'is

21
Р
Длина дуги кривой.
Длиной дуги АВ (см. рис. 15)
называется предел, к которому
стремится длина ломаной
АР-,^ .
.РЛ В,
•рп в
вписанной в эту дугу, когда
наибольший из отрезков этой
ломаной
АР:, Р:Р2,
стремится к нулю.
Определение объема тела Вы, конечно, без
труда сможете дать сами. А вот аналогичное
определение площади произвольной ("кривой")
поверхности, оказывается, дать не так-то
просто.
Но главное не в этом. Можно,конечно,
дать другие, равносильные этим, определения,
но важно следующее:
Каждому"геометрическому объекту"
(отрезку, дуге, кривой, углу и т.п.)
мы ставим в соответствие некоторое
число. которое называем его "мерой",
т.е. на множестве этих "объектов"
определяем некоторую функцию, причем эта
Рис У5:

22
+s,+s3 £&
p
функция обладает следующими свойствами:
а/ равные геометрические
объекты имеют равную меру;
б/ если объект разбить на
непересекающиеся части, то
мера объекта равна сумме мер
его частей (как говорят,
аддитивность меры);
в/ мера неотрицательна (вместо
этого можно потребовать, чтобы
мера целого была больше меры
части).
Когда мы используем-понятие площади
фигуры, длины дуги и т.д., нам бывают нужны
только эти свойства "меры", но совершенно
не важно, как именно "мера" определяется.
Интересно, что во всех перечисленных
выше случаях эти свойства позволяют
однозначно определить меру после того, как
задана единица измерения (т.е. для одного
и того же объекта разные функции,
удовлетворяющие этим условиям, пропорциональны).
Теперь подробнее поговорим о мере
углов. В школе вы сначала привыкли измерять
углы в градусах: за единицу измерения при

23
этой принимается ^ffl часть полного
угла. Это не очень естественная единица,
и во многих случаях, особенно в
математическом анализе, удобнее другая - радианная
мера углов, при которой за единицу принима^
ется центральный угол, у которого длина
дуги равна радиусу. При этом, конечно,
Л = -S..-AI
. s» /SO' ^
угла (>р&аианах иги& 4 г/игсшсах.
Радианную меру углов - причем для
о&бценных угле* - мохно
естественным образом ввести с помощью наматывания
числовой оси на окрухность, которое ухе
пригодилось нам в § I. Покажем, как это еде
лать. /\^
Пусть АОВ - угол, не превышающий
полного, причем, как всегда, луч ОА
направлен по оси ОХ ("неподвижная
сторона угла"). Поставим в
соответствие углу АОВ ту точку t числовой
оси, которая при наматывании попадет
в точку окрухности, лежащую на стороне
ОВ. Таким образом, кахдому углу, не
превышающему полного, мы поставим в
соответствие число "первого витка" -
Рис.11.
Pur <9

24
от 0 до 2.Ж , при этом каждому углу
ставится в соответствие его радианная мера*
Можно распространить это соответствие
и на "обобщенные" углы. Для этого
положительным углам от одного до двух оборотов
аналогичным образом поставим в соответствие
числа от 2 тс до 4 тс , углам от двух до
трех оборотов - числа от 4яг до Ьж ,
и т.д., а отрицательным углам аналогичным
образом поставим в соответствие
отрицательные числа.
Советуем Вам теперь еще раз вернуться
к диаграмме, которую мы начертили в конце
§ I. Напомним еще раз - и это хорошо видно
на диаграмме, - что понятия, которые мы
ввели, связаны следующим образом:
* \ С*)
(синус угла оС ) (синус числа oL ),
где под ( оС ) понимается величина угла
аС в радианах, и аналогично для других
тригонометрических функций.
Пользуясь этим, мы будем ниже
допускать некоторую вольность; хотя всюду речь
идет о тригонометрических функциях
вещественного числа t , мы будем иногда
считать, что аргумент есть угол в t ради-

25
ан, - мы будем говорить просто "угол t ",
или соответствующая точка на единичной
окружности. Вполне естественно, что это
удобно делать при исследовании
тригонометрических функций - ведь мы и определяем их с
помощью точек окружности.
Теперь, когда с определениями
покончено, мы займемся более подробно изучением
тригонометрических функций и формулами,
связывающими эти функции.
§ 4. Формулы приведения.
Тригонометрический круг симметричен
относительно осей координат и биссектрис
координатных углов. Отсюда для
тригонометрических функций получается целый ряд
соотношений, которые называются "формулами
приведения" .
Оси координат разбивают единичный круг
на 4 части, которые называются четвертями
1
/ его
/ II
\ ^ о*
I t^V^J
VII
\в Ар*
д
ta
Л
<а
ЙТ*
ш
асе-

26
и нумеруются,как показано на рис.
Необходимо отметить, что иногда
говорят, например, что угол °L = ~jf лежит
Qjr
в первой четверти, а л■=.—-- - нет.
Неверно! Угол^ тоже ь I четверти.
В первой четверти лежат углы аС ,
удовлетворящие неравенству
1жп k*t&^ + ZtCh,, /г= о,* 43± ZJ ...
(Укажите углы, лежащие в остальных
четвертях) -
Выясним, какие знаки имеют
тригонометрические функции в различных четвертях.
^тетверть
|(ункция^\^
■&1Н- е£
сеч oL
tjel
C-t-AaL
I
+
+
+
+
п
+
-
-
-
ш
-
-
+
+
1У
-
+
-
-
Эти результаты легко получаются из
определения функций.

27
Теперь рассмотрим группу формул
приведения. Заметим, что формулы приведения
верны не только для острых, но и для любых
углов (объясните это!), хотя первоначально,
как это видно из названия формул, они
применялись для приведения функций к функциям
острых углов. Конечно, запоминать все
формула приведения (а их 32) нет никакой
необходимости. Восстанавливать их можно по
такой схеме:
а/ смотрим, в какой четверти
находится аргумент приводимой функции
(считая oL острым углом);
б/ выясняем знак приводимой функции
в этой четверти, его и надо
ставить перед результатом;
в/ если мы работаем с горизонтальным
диаметром круга, то есть с Ж+2.7ГП.
или с 2жп. , то название
приводимой и приведенной функции одинаковы,
а если с вертикальным, то есть с
— + 2.71П. ИЛИ С Ц^-Ч- Zjtn , ТО
название функции меняется.
Например, мы хотим преобразовать c/to ('2%.-/-J,)■

28
( ёЖ + oL ) - угол в четвертой четвер-
Зтс
si, в ней котангенс отрицательный, -^-
на вертикальном диаметре, поэтому мы
получим:
Доказательство формул приведения легко
получается (причем не только для острых,
а для любых<?4 если применить наглядные
геометрические соображения симметрии.
Так, например, точки единичной окружности,
соответствующие углам U. и Jl-U. ,
симметричны относительно оси ординат, поэтому
синусы этих углов равны, а косинусы -
противоположны по знаку (на рис. 20 точка А
соответствует углу d , точка В -
углу JC-oL ; точка ■ Z) - углу б ,
точка С - углу ж-& ; разберитесь,
почему углу ж -& соответствует точка С ?).
Действительно, точки, симметричные
относительно оси ординат, имеют координаты
( * , у ) п ( - х , и ), откуда
и следуют равенства: м/^-^оАл^,

29
Из этих равенств следует такое:
bin. nL
Точно также
tqoi.
(?т-Л) = - eta ol
Аналогично получаются остальные формулы
приведения, например:
точки соответствующие углам <£. и
JC + d , симметричны относительно
начала координат (точки А и В, С и *2)
на рис. 21):
точки, соответствующие углам %*аС
получаются из точек, соответствующих утлая
ot , в результате произведения двух
симметрии: сначала относительно оси
ординат, а потом относительно биссектрисы П
и 1У координатных углов (на рис. 22 точка
1 ( л:,^ )переходит в точку С ( - х ,
у ), а потом точка С переходит в точку
В ( -J/ , ^ ).
Вам необходимо проследить, как
получаются из точек, соответствующих углам X ,
точки соответствующие углам

30
2зг
^±U. и 2X±*L, Щ^-tC.
§ 5. Основные Формулы.
Из определения тригонометрических
функций легко получается первая основная
формула:
Выпишем формулы, связывающие
тригонометрические функции одного и того же аргумента:
tad- do J. = /.
Отсюда 2
^£V= /***£ =
cev2U-t--hnz°<L _ У
Аналогично
Прежде всего,перечисленные формулы
позволяют, зная значение одной из
тригонометрических функций некоторого числа и
промежуток, в котором это число расположено, найти

31
значения всех остальных тригонометрических
функций этого числа.
Пример. Дано: *£W--jb^^^ x"
Найти: ceodj й?<*^ otaoi.
Решение: Попробуем найти сеэ<=1.
Из тождества 4т. ol + с&э3-^ = i
следует, что fc^dj =>/7^~7йРъС
(напомним, что корни четной степени всегда
рассматриваются арифметическими, поэтому
Ja? =|а/.').
Теперь надо воспользоваться тем, что
ol находится в Ш четверти (ясно, что без
этого знак косинуса определить невозможно,
и задача имеет два решения), поэтомуок<1<о
У 15 5
Теперь уже легко найти значения остальных
функций: tqc(~ J^L- = J-
(f C&) at 1
- }

32
Если промежуток, в котором находится
U., не задан, то инеем два решения:
C&oL= -j
и
ceioi =
§"< =
Olo J.
'1'
3
з'.
Вторая основная формула тригонометрии
Се] (U-jS) = c&ictcve ч- osioi. Whfi (2)
доказывается не так просто, как первая
(см. школьный учебник).
Все остальные тригонометрические
формулы можно вывести из двух основных (I) и
(2) (как, например, это делается в
школьном учебнике). Более того, оказывается, что
эти две формулы вполне определяют функции
и - S-inX -'< Ч = сеэх.
ж) Точнее, пусть две функции y = S(xJ
а и = С (х) определены на всей прямой
и удовлетворяют следующим условиям:
a/ S(z+y)- S(x)Cty) + С(х) Sty),
С(х+ч) = C(x)Cty) -S(x)Sty)
для Всех х «у -} (см слси сгр,

33
И еще одно замечание. Все
тригонометрические формулы являются тождествами.
Тождество - это соотношение, верное при всех
допустимых значениях входящих в него
величин, поэтому и формулы верны при тех
значениях аргумента, при которых обе части
равенства имеют смысл. Это всегда надо иметь
в виду. Нельзя, например, применять
формулу
С-**/)-
*'&■$/
так как
Я
не существует.
б/ S*-(x)-hCz(x) = </
для всех х ;
в/ S(o) = О,
S(fh /
/А
0<х < 3L .
и S(x)>0 при
Тогда можно доказать, что
$(х) = нпх, С(х)= c&ix
Отметим еще, что если в условии "в" заменить Щ-
на любое р>о , то получатся функции u=^aif[_^L и и= сео—х
имеющие период 4р. ^ ло а 2р
лР
*Р

34
§ 6. Графики тригонометрических
функций.
Часто при решении тригонометрических
уравнений, неравенств или доказательстве
каких-либо соотношений, особенно в тех
случаях, когда в них участвуют
тригонометрические функции различных аргументов,
бывает ^полезно работать не с
тригонометрическим кругом, который пока был в центре
нашего внимания, а с графиками этих функ-
Мы не будем приводить эти графики -
они есть во всех учебниках, да и Вы сами
без труда построите их, исходя из
определения тригонометрических функций.
Мы советуем Вам начертить эти графини
для каждой их функций: jf= Них , и = семе ,
у-й-ас , и=с£я.зс и обратить
внимание на следующее:
а/ где функции не определены?
б/ где они обращаются в нуль?
Положительны? Отрицательны?
в/ в каких интервалах функции
монотонно возрастают? Убывают? (Докажите это!).
Р

35
Р
г/ четные эти функции или нечетные
[(или ни то, и ни другое?).
Пользуетесь ли Вы этим свойством
при построении графиков?
д/ каков период каждой функции?'
(напомним, что функция У--{№
называется периодической, если существует такое
положительное число Т, что вместе с любой
точкой х из области определения
функции точка х + Т также принадлежит
области определения функции и
/&;= /(х+т).
Наименьшее из таких чисел Т называется
периодом (или главным периодом) функции ^ ).
Найдите главный период указанных функций
(со строгим доказательством!).
Будем измерять углы в радианах. у
Укажем еще одно важное свойство графика
^= Лн£ i касательная к графику в
точке х=0 составляет т$ с осью абсцисс.
(Если бы выбрали другую единицу для
измерения углов, то это свойство не сохранилось
бы). Это свойство эквивалентно следующему
соотношению:

36
tcm_l«2=<l, {x-число),
которое играет важную роль в математическом
анализе. Ны вернемся х нему в третьей
главе.
§ 7. Задачи к главе I.
Задача И» I. Постройте графики
следующих функций:
a/ y.~&i*.(-x),
б/ ^= \1$*\;
в/ и- сея Зсс^
г/ ^ = /V-f Sin.4oc ,
д/ и^ 4<H.x-ceix.f
е/ и-*-\Ыъ(\х\+2,)-<\\}
fer к/ и= 2.Ип.(2,х-Ц) + 1,
з/ и = сЛа (Л- ^), <гТ
IX
^
ж/, и = //"
cei2-^.

37
Найдите периоды этих функций (если
они периодические).
Задача №2. Докажите, что ести=/(х)—
монотонная функция (то есть либо возрастает,
либо убывает) или имеет конечное число
промежутков монотонности, то она
непериодическая. Как в этом смысле обстоит дело у
тригонометрических функций ?
Задача № 3. Если на стеклянный
цилиндр намотать прозрачную бумагу* , на
которой нарисован график функции Ц= f(x) y
как показано на рис. 23.
Рис. 23.
и посмотреть на цилиндр сбоку (со стороны
оси х ), то мы увидим график функции
и = Sin <f(x).
ос
"Л—
ч
ж) Бумага считается бесконечно тонкой,
чтобы можно было намотать бесконечно много
слоев, - так же как ось, которую мы
наматывали на окружность.

38
Рис. 24.
Докажите это и представьте с помощью
этого способа графики:
a/ -HnXj
б/ *in £i
В/ 4гП XZ}
■I
уг/ bin
JCZ-1
Задача № ». Если намотать на врямой
круговой цилиндр лист бумаги я затем
распилить цилиндр под углом 45° к его ови,
то край бумаги будет иметь форму графика
функции у= сезх . Доказать.
Задача № 5. а/ Дано;
1
Найти; с&} ~L ■+And-.
б/ Возможно ли равенство
в/ Предлагаем Вам следующие
рассуждения:
Л
Пусть о<*£ < -%■ ; имеем тождество

39
откуда J? -fa. c»jti. > -fa and
la, coizJ. > fa ceivlj
а так как и ■* tax — монотонно
возрастающая функция, то
Деля обе части на v%JL > о , поду чаем
C9iol>'l.
Согласны ли Вы с таким доказательством?
Бели нет, то найдите в нем ошибку.
Задача Иг 6. В этой задаче
используются формулы:
ЫьЛ= £-%— > cmd- = - f *
Первые две из этих формул позволяют
получить полезное взаимно-однозначное
отображение оси

*о
— t>o < t < + oo на окружность
xz-tuz= 1 без точки (-1, 0):
Действительно, для любого значения/
существует единственное значение угла у
-ж<у<л , такое, что Ы-у = t .
Соответствующая этому t точка будет иметь
координаты х = c&s>f и ц = Sin.y>.
Проверьте, что t можно выразить через
х и и по такой простой формуле:
1-tx
Это отображение интересно тем, что
оно переводит рациональные числа t
в точки ( ' х , и ) с рациональными
координатами и обратно. Докажите это. Выведите
отсюда общую формулу для сторон всех
пифагоровых треугольников (пифагоровыми
называются прямоугольные треугольники с целыми
сторонами, например: 3, 4, 5; 5, 12, 13 и
Т.Д.).
Ответ: стороны треугольника -
т.г+п.г -тх-/гг , 2тп-,

41
где ^г, л. - произвольные целые числа.
у
Задача Иг 7. Что больше:
а/ 4ьп-?в иии. с&35°2
б/ tcj.(-80) иии с&З?
Задача № 8. Можно ли в диаграмме,
приведенной в конце параграфа I, заменить
некоторые стрелки —?• такими: <—* ?
(Стрелка «г-у показывает, что
отображение взаимно-однозначно, то есть каждому
элементу первого множества ставится в
соответствие ровно один элемент второго, и
наоборот).
Укажите, какие именно стрелки можно
заменить. (Ответ на этот вопрос будет
различным в зависимости от того, рассматриваем
ли мы только "обычные" углы и дуги, то есть
положительные и не превосходящие 2 ж , или
"обобщенные" - как в § 2).
Задача Hi 9. а/ Докажите, что график
функции и - /(х) симметричен относительно
прямой Xzztx. тогда и только тогда, когда
{■(х.) =. fi(a-tx) для всех х из
области определения функции (причем, если л

42
принадлежит области определения, то Za-x
тоже должно ей принадлежать).
б/ Докажите, что график функции
у =• £{х.) симметричен относительно точки
*■ ( л, о ) тогда и только тогда, когда
f(x)*-f(2A-x).
в/ Какие симметрии графиков тригоно-
* метрических функций вытекают ив формул
приведения?
г/ Докажите, что график и « ыъх.
сдвинутый на -^ вправо график и=ьяхл
а график и - с^дх - сдвинутый на -£
вправо и отраженный (относительно оси Ох )
график £^1кх .
Задача № 10. Пусть колесо радиуса I
катится по оси х со скоростью I. Какую
траекторию описывает точка Р обода (в
момент времени t=o она находится в
начале координат х = 0, и = 0 )?
Запишите х и и - координаты
этой точки, - как функции времени /
(заметьте, как удобно измерять углы и дуги
в радианах!).
Начертите эту кривую. Она называется

43
"циклоидой" и обладает целым рядом
интересных свойств (см. например, брошюру Бермана
"Циклоида").
Рис П.

и
ГЛАВА П
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
В зтой главе мы рассмотрим ряд приемов, используемых
при проведении тригонометрических преобразований. С такими
преобразованиями Вы часто сталкивались в школе при упрощении
ответов к геометрическим задачам, для приведения какого-либо
выражения к виду, в котором его наиболее удобно исследовать,
и т.д.
Б § I иы рассмотрим задачи, близкие тем, которые Вн
решали в школе, может быть,чуть более сложные.
В § 2 мы займемся несколько необычными вещами: будем
вычислять некоторые суммы и произведения. Такого рода
вычисления приходится проводить в "гармоническом анализе", при
изучении комплексных функций и т.д.
Одна из часто встречающихся задач - доказательство
тождеств. С понятием тождества Вы уже познакомились в брошюре
м.И.Башмакова "Уравнения и неравенства". Мы сейчас напомним
некоторые положения, связанные с доказательством тождеств.
Прежде всего,надо указать допустимые значения входящих
в тождество величин. При использовании каких-либо формул
нужно следить за допустимыми значениями этих величин.

45
Имеются следующие способы доказательства тождеств:
а/ преобразовать левую часть тождества к правой или
наоборот;
б/ показать, что разность между левой и правой частью
равна нулю;
в/ от очевидного тождества придти к доказываемому;
г/ одновременно преобразовывая обе части данного
тождества, придти к очевидному тождеству; но в этом случае надо
всегда проверять, возможен ли обратный переход в каждом из
преобразований (например, верно: J- = в =$> -&огс^ = -&*ь&,
но неверно $in-*L = -Ылр => <=L =j, , так как здесь надо
записать: coidi^coi/ igd^tgf ctpU.=cyfy.j3
*^%**fi Д. Ц Ф
Jl d~p^2jtlc d+j3z:2xn. oL-ji^oric ol-ji=jrk
jL-ft^bm. ol+p=x(2lc+l)
двух последних случаях ^L -£ -^ (2n + -t)-; л ф -^ (2п. / i)\.
И последнее замечание. При доказательстве тождества не
старайтесь наугад применять все известные Вам формулы, надеясь
как-нибудь получить требуемый результат.
Выбирайте для проведения преобразования именно те
формулы, которые быстрее ведут к цели (и вообще к ней ведут). Иногда
одно и то же выражение преобразовывают по-разному, в
зависимости от того, что нужно получить.
Простой пример. Докажем тождество: ~ty ~£~ 7*г*Г2^^ +^'

46
Имеем:
При доказательстве тождества Ц ~£= ~~&>lls поступаем так:
( при cl*2tfrv bin~=o, no *~cei°L тоже не суцатвует').
В первом случае мы умножаем числитель и знаменатель на 2 "*>-£>
чтобы в числителе получился a>l^ - ю, что стоит в
числителе результата, который надо получить, а во втором - на
2*«f , чтобы получить в знаменателе &п.*с . (Кстати,
** это тождество верно при <^4як)
Теперь мы переходим к решению задач.
S I. Доказательство тождеств,
преобразование тригонометрических выражений в произведение.
Рассмотрим некоторые примеры.
а/ Доказать тождество:
Цл,еЛ -г <&>eJ- +3 m.ZoLcttz-ot = /.
Преобразуем левую часть:

И7
■&n.6J_ + cei'aL +3 bnteceoU - (SinU)\(ce>i*af-+
+ 3 Hn^cic^M. =(-Hnx*t-hce}zU.)(4ihvai-tinz<*L<:<P1!jt +
б/ Доказать тождество:
Допустимые значения .г :
Преобразуем левую часть :
Св-) Зх. Сербх. _ (в)3х Cgj2% -Сюбх CejX _
С&ЭХ с&)2х. сеэХ'СенХх
__ -/ Ihn Ух ii/iix. _ tytvtx.c&pecfy3x **»3_x_
i. сезх сеоЛх иях с/vJx
-z 4iinx iin3x = 2,(c#i 2x- с*я Ух)

48
в/ Доказать тождество:
£cn3ot =*fm.cL ntu('бо''-uj-Kt-C'бо'-л).
Здесь легче преобразовать правую часть к левой:
Чhud *Ся (6o'+u)**.(6oc-j.) =2*«U(c#}2U - сы 110°) =
г/ Доказать, что если 5h>us = *i>b(-L-°t.+/3) , то
Предполагая, что U -+6 Ф ^-(2*г+-/)> °t ? ^.(2k+-/)i
п., к в 0, + I, ± 2, . . . , имеем
tad ~Cb(d+&) тл ' hKflot+/}-*y " -Г**/* - ■**/ -г'
Вся трудность решения этой, вазалось бы необычной, задачи
состоит в том, чтобы привести —%—<— к такому виду,
чтобы можно было использовать данное в задаче условие.
д/ Начертить график функции

49
Рассмотрим с < х < 2л.
Так как | imx | * / и \анх\ < j ч то все подкоренные
выражения неотрицательны.
Кроме того, надо, чтобы ^\&nxl ±4 t*) тогда имеют
смысл дроби под знаками радикалов.
Теперь преобразуем и , учитывая (ж):
./ /- ХйгДГ' J~1+ Я»ТхГ _{l-mx)-{1 + hnx) 1&W.X fa)
\[T-Sin2JC ' |<*»*1
Аналогично получим:
/ 7^- WX
f /-* 6CJ JC
Итак, имеем:
У =
\pLl"?- .'-.
У /- СвЗА.
Усюх j,nx
| C&jx\- J Shi jc\
I CB3X
\ knx\
s) Еще раз напоминаем, что рассматриваются только
арифметические корни четной степени, поэтому faz_/ .= jossx) f

50
Учитывая теперь, что
[ SiKX, CCUU. 0<Х<Л,
\itn,X-\ = '
1 ' \-CeoX, ****" 2l<x<4f^
и что период функции равен ж , постройте ее график
самостоятельно.
е/ Вычислить 4^15° (без таблиц).
Имеем:
я/ Вычислить:
7Г .2-7 4Я"
с*а ^ • сю ~ ■ см -J-
Заметим, что аргументы у косинусов увеличиваются
последовательно вдвое и применим следувдий аффективный прием
(запомните его!): умножим и разделим данное выражение п&2^п~
(очевидно, an Щ-Фо ): ^
ж 27? Чт, ZSinf'^f ^^'^^

51
ь/ Преобразовать в произведение:
Поступаем следующем образом:
■frnJL-h -кл.е + Ни If- -tin(J. -fji +X) =(^ОгоСч- 4<пв) -
§ 2. Вычисление некоторых сумм.
а/ Найти сумму
5 = Ъ1П<А+ &П 2<* + ■ + Sin tint
Замечание. Для подобных сунн в математике принято
следующее удобное сокращение:
i*1

52
Знак "«21 " указывает на то, что происходит суммирование,
каждое слагаемое имеет вид fru-tJ. , границы изменения " i "
указаны под и над знаком " JL ".В дальнейшем мы будем
пользоваться такими сокращениями.
Решение. Умножим и разделим данное выражение на £ti*y
Тогда
' hn
L .(<*■<$-r*>i>£±+rt»i^-ce)&+- -ч-en-j-U-
-i. , nai r. /? + * .
,1 j -j Ь"\ ~^Г J'# ~~7jT °^
->//? -r-
) ^j->—-^;=
Мы умнона м ч делим i на 2 -»* j . Это можно сделать
лишь при ji 2^л , it = о, +1, +2,... При -*!■ = 2j7«
S= 0.
Попробуете оешить эту задач,,' л^'^чм способом (группируя
подходящим образом слагаемые).
Задача № II. Найти сумму
'/
о - JL ctiioi
ж.) Строго говоря, здесь надо было применить метод индук- Л
цки (см., например, брошюру М.Й.Бапмакова "Последовательности".]

53
Задача № 12. Доказать следующие формулы:
a)Z_ ьп. (4*<к)= *л ~-<ьп(^ + ^-
*° —Z *rt
д) 2. <& («с + <1) = =2 '- ^—~
**£
Замечание; Формулу "б" мояно доказать аналогично тому,
как доказана формула "а".
Эти формулы помогают без труда вычислить многие сунны.
Приведен примеры.
б/ Вычислить следующею сумму:
n-f .
S-^ZL tin -z- ■
Решение. Полагая в формуле "а" задачи /2 *(=о
и h = £■ , получаем S=cA £-.
в/ Вычислить суммы:

54
Решение. Заметив, что cejzк J. +HnzAu = /,
сложим S и S' : $ + S' * п. (I).
Так как c&s^-kcL - sin.zk°l = (mlk^t,
то S-S'= 0*гл + са14 + - --кмЧпА.
Применяя формулу задачи №11 (не забывайте, при каких ^
это можно делать!), получим:
**oL (2)
Итак, из (I) и (2), инеем
i ^ an 2noi ■ cm (In + f)cc
г/ Показать, что
5" Ji_ &-sL = X- da-^rr.- Я eta
io<;
Решение. Преобразуем левую часть; заметив, что справа
стоят котангенсы углов, постараемся представить
^ "^ ^ гГ череэ ^^''^^Е3' ■ "■ ^ 2">L '■
0 C&)J, a C&oL -ttn-aL

55
4^—*vju—"%•<-**?**■
Таким образом, инеем
2W «^ -2.ctaZJ.t
аналогично получаем
Умножая эти равенства последовательно на 5< -£, • •, —- и
складывая почленно, получаеи искомый результат (обратите
внимание на допустимые значения <£■ j).
Приведен еще пример на вычисление произведений.
д/ Вычислить произведение
Г
■=cei-i.-ceiM ie-j^cL ce-s 2
ж) Для таких произведений также есть специальное
обозначение: р= П uxSW
ь=0

56
Решение. Умножим это произведение на 2 tin^L.
Пользуясь последовательно формулами
2 -bin°(.c&)ol - л'/г-?^
2 2г/г. */еС с&э J/J. ■=■ *tn ScL,
2 */l Л. М съ 2 V, = An I ^,
получаем
Z 4tnd-f> = 4т. 2. oij
ОТКуда **) ^ /г*/
ьп 2, о/
/>:
^ *W
В частности, если ^ = - ^, ■ , то *ю 2 "*''^
& ■+ / 2 -+1
г) Если ^t>i^ji 0. Как найти р , если ^w = и

57
и следовательно, получим для такого <L
Г <яп+1
В частности, при
гь = I : «з -^ • («у
(сравните с задачей ж) § I ).
§ 3. Задачи для самостоятельного решения.
Задача № 13. Доказать товдества:
а/ §?(f ^;-%* = /+ %(%+*)• ^сс,
б/ «уЗ<^ = ^CftjoCc^^-^^jc^j (Ц;-°<-),
в/ ^^z^ff^^f-^
г/ 2p.2«d tg(30°-J.) + tb2«L-ta. (бО'-j.) +
+ Ц{60°~о1).-Ь(30"-и)=1.
Задача № I». Показать, что:
6
а+с 6+d
а/ »™, «*•£ ст(х+у)_ c*i(x+2#) an(x+5i/)
а/ если -5-= g-~— £— -- ^—>
/яс
4

58
Указание. Использовать следующее свойство пропорций:
о_ _ с_ s—>> а+с - а-
6 cl V~"^ -6 + d T
Здесь необходимо найти допустимые значения х , ц ,
б/ если о< х. <. ^f t ю
в/ если _•*» л_ОЕ-^ - Л f _£^Х5-1^2_ = JL
Un(x-ji) 6 сеь(х-р) d
aoi+€c^C , TO <«(V -/ij = rti-±^ - ;
ad+6c
г/ если ctn x - cei-<-one , x та f (Zk. + /;ж
if(<k*l)jTy bo,tI, + 2 то
SIS/. м'пг%
*irra
д/ если с<а<Д f /:</s^ ^ . o<^<jf ,
C&!> «L + СЮ }i + .-Ci ^ - J + ty SiH <y ■ it» -z; Sin J TQ
Задача № 15. вычислить: с<у 15е, А, 15о^ Л 7>5o.
& 22°30' .

59
Задача № 16. Доказать:
a/ a» f-с» <f. а» *f = f>
б/ CttJ ЛГ С« 65 • CCA lf-5 — ~~jr7f'
i 9ж Цл 6JT I
Г/ Сп ±f- -г ш. -— + oes -у = - J--
Задача № 17» Преобразовать в нроизведение:
.2. '
а/ (сжх+ созу) -h(iin.x ■/• ипи)",
О/ ta^,ta,+taY- !*f•<+*+'>..
' </ <Гг s iciol cmd mijf
Задача lb 18» Доказать, что при U-i-/j + Y - jz имеют
место следующие равенства:
a/ Mnd + Sin в -t !tin.]f= 4cei -j-C&i ~ ил yi
б/ cm U ■+ апр + u>s X" = 1 + ЧИп. ^■ Sin4j-iin -y-\
Г/ irin2J. + h in. 2/i + irirL 2if = 4 ic/l at ■ imfi ■ j{n Y;

60
Задача И» 19. Показать, что
п
X Hi [(2c-i)d]
Х_ an[(2i-i)U]
1=1
Задача № 20. Вычислить:
п-
а/ £. (-0 en U ■
1-е
i-1
б/ А (-1) inn LJ.;
п
в/ X с cei leLj
п
vj 2l с an <v,
i = 1 °
Ц i-i з и.
e/ 2_ 3 cm ~тг,
i=/ "*
Указание. Использовать формулу:
/l J / ' Cm(di+k)cmiU+(k-l)/i\

61
з/
i-i c«icL+ e*j(Zi+ 1)A>
Задача M» 21. Лаяв: d+ j& + / * j~ * ^ > 0»
p > О, У > 0, **«<^ , е&4 ♦ с-^У образуя*
арифметическую прогресемю. Найп <^«/- о2# Г

62
ГЛАВА Ш
ТРИГОНОУЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
Эту главу мы начнем с изучения простейших
тригонометрических уравнений и неравенств. Дня этого, яревде всего,
необходимо разобраться в опредехеяиях обратных тригонометрических
функций.
Затем мы приступим к решению более слепых уравнений и
неравенств. В тексте будет разобрано некоторое чксло примеров,
а в конце главк мы приведем бояьяое количество задач для
самостоятельного решения. Заметим еще, что общих методов
решения уравнений и неравенств нет; умение их решать достигается
путем большой практики.
§ I. Простейшие тригонометрические
уравнения и неравенства.
В этой глазе мы часто рассматриваем тригонометрические
функции и углов, и числовых аргументов, не оговаривая каждый
раз, что слово "угол" всегда можно заменить словом "число" и
наоборот (см. главу I).
I. Решим уравнение Ыпх = а (I). Для этого
рассмотрим тригонометрический круг. Проведем прямую У=а--

63
г-1
Уш го
Если \а\>1 , прямая не пересекает t 1Ф-1
окружность нашего круга, если \<х\&1 , /--"i~---.
то пересекает её в двух ( \а\< I ) или —Л. _£Т~ i^
в одной ( fa| = I) точке. ~'( . ^ ^У _Д/_
Из рис. 29 ясно, что если (#(> / , _£/'я
то наше уравнение не иыеет решений, при ^^
I а | = I оно имеет одну, а при | а | < i
две серии решений.
Рассмотрим случай \<х\ < 1 .Из рис.
29 видно, что решения нашего уравнения
можно записать так :
X. =Л * 2-Лп у хх -А у- 2Хп,
n=o,n,±i,.. ^
(случай о & а < i , здесь Uefa ^),
jee(£,x~\ ) или так:
п- целее
(это случай -/^а<о t
здесь Лб(-^>о),/€(-я,--£)
Таким образом, при \а\ & /
уравнение (I) имеет бесконечное мнояество реше-

64
НЕЙ.
Ясно, что вместо d можно в
формулах (2) в (2 ) написать любой угол,
левая сторона которого пересекает окружность
в точке А, например, Л + zjt ,
вместо ji - любой угол, левая сторона
которого пересекает окружность в точке В
и т.д. Выбор промежутков для U,<>L\ji,f'
условен и объясняется только
соображениями удобства.
Итак, реиенне нашего уравневм^можно
записать в вяде (2), если считать
Перепишем еще раз формулы (2):
п - целое. Оказывается, что все решения
можно выразить не через два угла ( d и
3 ), как в формулах (2), а только через
один (удобнее через d ), если
заметить, что fi=Jt-U. . Действительно,
формула ос -(- /) J. -t лк. ,
к - целое (3),

65
заменяет формулы (2). Проверим это. Если
^= In , то
а если k - 2 я. + I, то
Удобно ввести специальное название:
Число о<^Г-з'Т^ » оинус которого
равен ol , обозначается wtcUna..
Теперь окончательно выпишем решение
уравнения (I):
К,
х=(-/) алеЫпа.'+згк,, k=0}±1}±2.,.
Сделаем еще несколько замечаний
относительно введенного здесь понятия tzrcun-a
Ясно, что выбор промежутка для cthcs^a
не случаен, а обусловлен тем, что,
во-первых, в нем -On U. принимает все свои
значения от -I до I, причем каждое значение
принимается ровно один раз (выбрав
промежуток oi 0 до я , мы не смогли бы
записать через anc%ina. решение
уравнения (I) при а<о , a cvtciina. при
ссъ-О имел бы два значения); во-вто-

66
рых, из всех промежутков длиной от , на
которых функция и- пил монотонна,
числа, лежащие ).а отрезке ]_-%■> у J
имеют наименьшую абсолютную величину,
поэтому этот отрезок наиболее удобен.
Отметим еще, что можно выразить все
решения уразненяя (I) через угол J.k[o:>^-\.
Это делаехся при помощи формулы
ate ji,i(-a) =- ai< sma , I
легко получаемой из рис. 29. Например,
решение уравнения
i./i/ = —-
можно записать так: х-(-1)олснп(-£)■**&=■
=-(->) ( - лта,п j-)+ та; =г
--/- ff*f к. , угк
* J ь
2. С помощью введенного понятия
aieitna легко реиаются и простейшие
неравенства типа
цп ос %а > i wnjc | % я и т.д.
(Знак ^ означает, что левая часть
сравниваемся с правой).
Покакем, наприиер, как решается нера-

67
венство
iin x < а
Воспользуемся снова рис. 29. Решение
выглядит так:
при со / к е ( о~ , + °v),
ппи I? & - / решений нет,
при а е (-1 t]
r€- ( (2.n-f)7T-aicuncx, (Vtcana + 27/n),
п = о t /jt г ,
Подобные неравенства (и уравнения)
можно такяе решать, пользуясь графиками
тригонометрических функций.
hie JC
3. С помощью рассуждений, аналогичных
приведенным в п.п. I, 2, легко получить рв'
шение других простейших уравнений.
Р
свьх
X -- -
п
^{ (С
= с,±
а
6
1,
//не j !)
-/ 2 лп ,
wcccei 6 € [с, nj
а 1с cei{ -в) -JT-ntc cot (,
р'ic a

68
-if
I
-1
с
-I /
0 ,
\lx
/
1 X
Рис А2
\<[
>
\
}
>1
-1
1 <*9*
\ V ?
f>L
ОС - С (CUt. /l.tcc.3Z)
3C- алс-tac -tUCrb^
cvu.t^c £(-jij)>
anctq(-c) = - ancta,C.
eta x =d ( cut. fiuc-. 35)
X = ate eta at + Jtn.
Рас 33
есъе eta (-ol) = JV ~ cvtccfa ct
P
Здесь уместно заметить следующее.
Решение уравнений мы не доводили "до
числа", а ограничивались лишь нахождением
ответа в общем виде. На самом деле этого
достаточно, так ках имеются таблицы, по хото-
нужный
рым из общей формулы можно получить^конк-
ретный ответ.
4. Приведем решения часто
встречающихся частных случаев простейших уравнений

69
(попробуйте получить их сами):
a) frnX. = o, -х^жп ;
£) Олх. = 1, х =■ £-h Zim.J
€) c&ix -о, х = ^.(2'i + i);
г) csix. = -l) jt.= Ztt'I)
t) ctg.x. = o, х = Я(2*+/)}
Эй) &ЪЯ- =-/, X. = JT(Zn+f),
здесь везде п. = 0, + I, + 2,...
Объясните совпадение решений уравнений
а/ и д/; в/ и е/.
5. Не надо рассматривать введенные
величины axt*ina. , a-tccna и т.д.
только как удобные обозначения для решения
соответствующих уравнений.
Рассмотрим график функции и- ьпх..
Рис io
Функция у= япх не имеет обратной, т.к.
одно и то не значение и соответствует
многим различным значениям х . Но если

70
взять кусок грасрика от -j- до
j , то для этого куска, т.е. для
функции у = апх, - j й- л. & ^~ >
обратная функция уже существует. Это как
раз функция (j ~ ихоц'и.с , её график
симметричен графику функции у =■/«/?-г _,
-|«j:if относительно прямой у = *-
6. Уравнения и неравенства вида
Sin /(x)2<Z, Сеэ /(л) £ ё
и т.д. приводятся к алгебраическим с
помощью формул, выведенных при решении
простейших уравнений и неравенств. Рассмотрим
два примера.
а/Решить уравнение -Mn(Su+°j±)=-'ll
Вводя обозначение у = 5-* + g— '
получаем уравнение iinij-- у , решаем
его: // = (~ 0 * +J'k- , а затем
находим а. х = (- 1)к'"^-+ т~- J—-
б/ Решить неравенство
Обозначая и^-5х- ^~ , получаем:
\vtci4.\ < v'T.

71
Решаем полученное неравенство (см. рис.
36): yeif-tjrnjlf + yrn),
п = 0, + I, +2,... Теперь, решая
неравенство ^~t ж п. < Зх- Щ- < ~+^-пг
получаем ответ:
1Vjc L ля . 29л , лл\
х е
( ~W 6 ' 36 * 3 J
Рас 36
В заключение параграфа мы хотим
предостеречь Вас от такой часто встречающейся
ошибки. Пусть решается уравнение -Ыпх = -—^
Механически выписывается ответ: х = (- /) алсЫп. ^~ ■* яп
Но ведь —р-> / .' (Ответ: уравне- <
ние решений не имеет).
Теперь мы переходим к решению более
сложных уравнений.
§ 2. Некоторые типы тригонометрических
уравнений.
В этом параграфе мы рассмотрим наиболее
часто встречающиеся типы уравнений.
Напомним также, что при решении
тригонометрических уравнений надо соблюдать об-

72
щие правила решения уравнений: надо следить
за равносильностью переходов, не допускать
потери корней, отбрасывать посторонние
корни, исследовать наличие решений в
зависимости от параметров и т.д. (с этими
вопросами Вы ухе сталкивались при изучении
брошюры М.И.Башакова "Уравнения и неравенства").
ГIJ Начнем с уравнений, содержащих
тригонометрические функции одного и того же
аргумента и приводящиеся к ним. Первый,
довольно распространенный метод решения
состоит в сведении данного тригонометрического
уравнения к алгебраическому относительно
некоторой тригонометрической функции (для
этого, естественно, надо привести уравнение к
такому виду, чтобы оно содержало только
одну тригонометрическую функцию). Рассмотрим
примеры.
а/ Ып2х + cei х =о
Преобразуем это уравнение, заменив -ьй^х
2
на I - олх , тогда получится уравнение
алгебраическое относительно сах (можно
свести зто уравнение и к алгебраическому
относительно -&1.Х , но оно будет гораздо
более сложным): ст*х -c&ix- 1=o.

73
Полагая
,2.
f « СеЗХ
, подучип:
Л
Ш1Х
1+Js1
решений нет, так как
апх-
1-iS
* = о, *',**,..
б/ Рассмотрим уравнение вида
я . t-i .. "-■£- _ г.
a0Hnx+a1i^i ха» х -f- ax^i <мх+-.+
и-/ л
+ а. 4<лхсез х +а.,ст х-с,
п.-г п >
где #,,...,<£„. - вещественные числа,
а0ф 0. Такое уравнение называется
однородным относительно алх и сезх (здесь
в каждом слагаемом сумма степеней синуса
и косинуса одна и та же, а иненно, п ).
Предположим, что с&х - о. Тогда,
подставляя а»х= 0 в уравнение, получим
а0 ■Иипх=с , а т.к. ав Ф 0, то
*'>?* - 0. Получили противоречие, так как
-iinx и шх одновременно в нуль
обратиться не могут ( ш*"х + ceizx = I).

74
Итак сеьх ф О, поэтому мы можем обе
части уравнения поделить почленно на с&Ъ:
после чего получим алгевраическое
уравнение п -ой степени относительно tyx:
решив которое,мы найдем ответ. Заметим еще,
что совершенно аналогично можно было
доказать, что }иис.ф О и деля *&<■ -т ,
получить алгебраическое уравнение
относительно с to х
ttoxao рассматривать уравнения
однородные относительно любой пары
тригонометрических функций, причем эти функции могут
быть от разных аргументов, например,
Эти уравнения решаются аналогично
показанному выше (только здесь могут быть случаи,
когда функции, на которые мы делим,
обращаются в нуль). Так, последнее уравнение
приводится к виду

75
a J -
tgljc
+ a
**(*-■£; J ;t ^f-fjJ
+ +#, =<?.
Полагая —%— —— = и , получим урав-
Wf-#; ^
нение -* ^
из которого определяем ц,...ч ип
Теперь наша задача свелась к нахождению
решений п. таких уравнений:
Из полученных решений надо выбросить корни
уравнения Мл (~- ^)=о
Отметим еще, что начиная решать
последнее уравнение, надо было сразу нависать,
что значения л ~ Цг(^'ь + ') являются
недопустимыми, так как при этих значениях
неизвестного to 2x не определен.
в/ Теперь рассмотрим группу уравнений,
приводящихся к уравнениям с одной
тригонометрической функцией с помощью так
называемой "универсальной" подстановки:

76
Решим, например, такое уравнение:
Допустимые значения неизвестного:
x=tj(2.k+f), к.- целое. Пользуясь формулами
( х ), преобразуем данное уравнение к виду
----- -t tax = Z
"У* f Ц
Ъ*х+Нрх- 2ta!ix-l=0
Далее, полагая tqa=u получаем:
Разложим левую часть уравнения ( жж ) на
множители: {^i-J^2')~(y3'-u) + (^~^) -О
■fane - J. afucnitti/wcntHb/x
j -> решений нет
n = 0,±t,

77
Заметим теперь, что формулы ( * ) можно
применять тогда, когда и правые, и левые части
входящих в- них выражений имеют смысл. Мы
применили только первую из них (в виде
2. tor X
Ип,2х= -^j£-xj ), она имеет смысл при
*Ф*.(Хк-и) $ но XsZ(Xk-n) не
входят в область определения уравнения,
поэтому найдены все решения.
Вообще же в подобных случаях надо
проверять, не являются ли такие исключительные
значения неизвестного решениями.
Замечание. Отметим, что вместо того,
чтобы раскладывать левую часть уравнения
( я м 5 на множители (часто это бывает очень
трудно), можно было применить одну теорему
из алгебры: если у многочлена с целыми
коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным
единице, есть целые корни, то они находятся
среди делителей свободного члена (включая и
"тривиальные делители", то есть единицу и сам
свободный член). Выписав целые делители
свободного члена уравнения < ж ж ), то есть I,
-I, 2, -2, прямой подстановкой находим, что
у = 1 - корень ( ж ж ), а затем поделив
левую часть (хх)на # - It получим
квадратное уравнение у*-- у * + 2 <* О для
определения других корней.
Г 2.)Многие уравнения решаются с помощью
разложения на множители. Для такого
разложения, если его нельзя провести сразу,
применяют различные тригонометрические формулы:

78
преобразования суммы тригонометрических
функций в произведение и наоборот; формулы
удвоения, деления аргумента пополам и т.д.
Приведем примеры.
a/ iiu^xceix- VsmJx t,-,«* -i =o,
z
сеч* = 2,
/имении нет
/
кп 2х - - -j»
б/ ЦЛ 3X = iin ZX 4- Sin X
%
Un 3cc- Sin2x-*in.X =0.
Преобразуем разность Ял$х- шгх в
произведение, a hn'Zx к функциям " jc ":
z sin. xcm Z x — Q Л/г x cejx = О,
ZL iinx (en Zx-cpsx) = 0.

79
Преобразуем caj Zx - c&x в произведение:
4 iuix ii/гЦ- h'n.~=0
Упх=о ^3^
i.-.W **t;0> *in~r-°>
Здесь надо обратить внимание на часто
встречающуюся ситуацию: третья серия реше-
ни', содержится в первой (см. рис. ?7, так
значком х обозначены точки окружности,
состиетствуывде решениям первой серии, а
значком о - третьей серии). Поэтому
око2;чателы<о ответ записывается тьк:
п ■ /■ Pur 37
в/ il ъп * ■ мл 'кх ■ -а эх
Преобразуем левую часть уравнения в сумму:
ft
f« "-.r -О
/О * ?
{. г/

80
г/ Мы сейчас приведем пример
уравнения, решаемого с помощью "боевых формул
тригонометрии":
4-м»о1= Яая*'^, i-and = 2,ltnl -j-
Эти формулы очень часто применяется для
понижения степени уравнения, а также для
перехода к двойному или половинному
аргументу :
Решим уравнение:
^с^х-9,са2х -Zan^Zx.
Z
*Ииях - c&2jc( 1+сел%х)=о
1 Мх - %ан2х ce5Zx =0
9
% cejx-(4-c&i 2x-anx) =0
C&s 2x-ceix =/.
Так как \an2x\4l, lc&sx\±1 это
равенство выполняется тогда и только тогда,
когда оба множителя равны либо единице,
либо минус единице:

81
C&iX- = I,
C0i2x,= I;
{
i\
V
J" CBiX = -I,
( ceylx* -I;
Ф
Эта система решений не
имеет, так как при при
каких целых р и а,
оба равенства
одновременно не выполняются.
Разберем еще один пример: как решается уравнение
lin^x -/- caj^x =a.
Применяя "боевые формулы", получаем
<1-CK2x\\(1 + c&lx_f=a
1 ' 'Л £
Уравнение имеет решения при тех "а ",
при которых {2а-1) в [о, 1] , ю есть
a e[j> 1] . Тогда
± ccftcw(t]/Za-i')+IjtJc L_n+j

82
Можно было ревить данное уравнение
по-другому, более искусственным путем:
■bin4* + ceivx -(сеэгх +Ш1л)*'-2&&сС(Льх -
Еще pas обратим внимание на то, что
при решении уравнений с параметрами
необходимо исследовать, сколько решений и
какие решения имеет уравнение при различных
значениях параметров.
©■
3JРассмотрим уравнения вида
cctinx + Sc&jx-c . Их можно решить
с помощью "универсальной подстановки" (см.
п. I в настоящего параграфа), но мы
сейчас укажем другой метод - метод введения
вспомогательного угла.
Мы предполагаем, что а и 6
одновременно не обращаются в нуль, то есть
что о + ь ^ о. Тогда получаем такое
уравнение, равносильное исходному:
а ,апх + -—2-—r-ceiX- С
\faT7J1 /я*+ в*- /л*+ 6х

83
Так как I—-* bj I * 1^-/ „
то можно половить -■.-,.. ■.- = се У ;
/ , • ' = **"f , прячем эти
соотнося-1 +бь
шения определяют угол f с точностью
до целого кратного 2х , поэтому
Ответ; если I — I > у , решений нет;
' \/яА+ **- I
если I —£-=5-1*у, x=(~i)ntvtcbn-F=r + X»-<fj
(ЧЛ Здесь мы рассмотрим уравнения с
обратными тригонометрическими функциями. При
решении этих уравнений мы используем лишь
определения тригонометрических функции и с
их помощью сводим данное уравнение к
обычному тригонометрическому или к алгебраическому
уравнению.

8*
а/ Решив уравнение
ouuta. (4+х) + cvicta (■/-х) = ж
V
Обозначим cvitta (j +x) через U. ,
тогда taJ. - i+oc . Аналогично
c<Hetp(i-x.)=ji , fea -=i-x .По условию
^+^=Щ- , поэтому ta.(°L+Js)= 1 ;
пользуясь формулой
получим: ^Г-2'
б/ алеем (x-i) = l&ibc&sx..
Ищем допустимые значения л; :
I \x\si ; И***^4^
Обозначая: алеет fx-i)=°t.j апес^х-^
получим: с& и = х-4, ан^^х.
Из уравнения следует, что
d.~Zji <=? сею*.-cn2.fi,
Итак,

85
it
x(2x-J)=0
&
s/ cwxut(i-x) = алшл( i+x).
Ищем допустниые значения x :
> <==> \ <=$ x*o.
Допустимое значение х одно, л = О,
поэтому уравнение может иметь только одно
решение; проверим, является ли х = Q
решением:
Итак, уравнение решений не имеет.
В заключение этого параграфа мы еще раз
хотим обратить Ваше внимание на уравнения с
обратными тригонометрическими функциями. Они
обычно простые, но г г них проверяется очень
многое: знание определений аркфункций,
тригонометрических формул, умение решать обычные

86
уравнения. Поэтому мы советуем Вам
прорешать самостоятельно все примеры такого
типа, приведенные в конце главы.
§ 3. Тригонометрические
неравенства.
Решение неравенств,содержащих
тригонометрические функции, обычно сводятся к
решению алгебраических неравенств и
элементарных тригонометрических, такого типа, как
рассмотренные в § I. При решении неравенств
про
не забывайтёМ>бласть определения и
множество значений тригонометрических функций.
Разберём несколько примеров.
а/ Решить неравенство:
4v«ir -Л ( I- \J~I)axx - Л >0.
Обозначим rejjr-t . Тогда наяе
неравенство можно переписать так:
4tl-Z(/-a)t ~й >0 (*)
Решаем это неравенство:

87
',*■ 8 ~
it
8
JL
Решение неравенства < к ):
*<--£'"f
be 35
Теперь решение исходного неравенства
свелось к решению двух элементарных неравенств:
I) C&1X <-
Л
, 2) а»х?х
Решаем неравенство I):
3*-+ 2эг>ъ<х< -? + 2,Жп.
Ч 7
/г= о,+ /,...
Теперь решим неравенство 2):
ш х > ■£ ,
- Яг + Хлк < х < Q-I-Ижк.
Рис iS
Рис 40.
п,к = о,±13.

88
б/ Решить неравенство:
4? [ ty (™х +2'&смх-П >0.
J
Обозначим: -01X + 2.JZ <х*х. = t.
Тогда t >o , иначе to. t не
существует. Исходное неравенство перепишем так:
Обозначая fyvt~i( «получим fo-u^o.
1
Из рис. 41 видно, что О < и < 1 .
Итак, ч* l^tcj.
Из р' 42 получаем, что I <■ t < 4.
Это в есть решение неравенства ( я )•
Итак, нам надо решить неравенство
Преобразуем -Ни х+ 2 Л. с&зх :
где угол ¥ определяется из условий
£6УУ = £>
■3

89
Обозначим х + f ~ d . Тогда наше
неравенство примет вид:
ИЛИ 4 , U
(**)
Правая часть < х х ) выполняется для любых
oi , поэтому окончательно запишем:
4inU >4
На нашем рис. 43
= COltbin. -j-
X~л- coieirin.j . ПОзтоцу получаем
такое решение:
анеИп^+ 1Яп <оС< ж-аъса'л-^ + 2Жл.
Puc.fi.
Теперь имеем:
,.ч, /
откуда получаем
Ответ: axw*~±+1ъп -<*■ <х<ж-ahaoi^+ Ипл - £
где «^аллю—

90
в/ Довевать неравенства
Unx < х < tax , где 0<х< =£•
Из рис. 44 видно, что
S < S < S
АОЛс Сект ОЯс ь.ОЛ&
(*##)
Вычислим теперь эти площади:
А ОДс г -Ь
(так как 0А = I);
акт ОАС
JTJIA X _ Х_
2jt~ "z
S*c*e = iM*& = i
<х.
Итак, лолучаеи, подставляя найденные
выражения для площадей в ( х к эс ):
откуда, деля на положительное число -jj- ,
получим доказываемое неравенство
frnx < х< tjx . (1)
Задача И° 22.
Докажите, что coi х > 1 - — (2). Из этих двух неравенств
(f) и (2) легко получается одно из замечательных

91
соотношений
Попробуйте получить его.
Еще два интересных предела:
х^0 * ^*.ох
(докажите это).
г/ Доказать,что при о £ х± £
Се) tinx > Кпсезх-
Учитывая, что с £ л* «■ j , получаем
поэтому, согласно предыдущему неравенству,
h'n cei.x -' cesx (I)
но по тому же неравенству
поэтому
cej л $ се) tin х
(2)
ж) То есть для любой последовательности
хп , стремящейся к нулю, р- ^п*н _,
Jc ' ~

92
(в 1-й четверти с&х. - убывающая
функция).
Объединяя (I) и (2), получим требуе-
мое неравенство:
д/ Доказать, что при о * х < ^
_£*£ >8.
&Cn*x(ceix -Onz)
Имеем:
t«x ,, свах- 8nnx-c*jx+8£tnx
-о — '
Цп*х(стх- iinx.) juilx(c»sx-hn.x.)
£пхх(сезх- Ппх) \ £*3* )
\Joivc ' /
сюх - &ьх
Первый множитель положителен, так как при
0<Х<— ЬЛХ >0j *СЩХ> iinX
ч
(докажите это!)
Далее, при о<х<~ все три выражения:
-L—, сюх. 'f-8an.1x
Цп*Х
убывают, поэтому наименьшее значение
ШХ ,
Хп3,
X
(1-8х*гл)
получится при х = Щ » оно равно 2,

93
следовательно,
смх
#.цгх(с»)х-Кп.х.)
8>0,
а значит,
С*)Х
Цп.1х(се)Х-£лх)
>8-
В этом примере, в отличие от предыдущих,
нам пришлось существенно воспользоваться
монотонностью тригонометрических функций на
некоторых участках изменения аргумента.
е/ Теперь докажем, что если d , р ,
У - углы остроугольного треугольника, то
Условие, что U. , а и Y - углы
треугольника, записывается так:
отсвда получаем:
Y= л- (•*■+/)■
Преобразуем ып^и* -Hn.lj3+ ^л1^у
учитывая последнее равенство:

9*
= f - £an£jr~ir}c*ie(c8}/3 =
Теперь используем то, что Л , fi *Y
- острые углы:
поэтому
что и решает поставленную задачу.
Задача № 23. МФТИ.
Доказать неравенства:
a/ (cfyic~/)(3c£?it- ()(cfy3x-tf2x-0&-1;
* У eta ^> 1-h cfyf, 0<4><f;
в/ (/- tfx )(1-3^х)(^гх -tg 3x)>o ;
• г/ Юг £•&■%• Jin£*£> A+8 + C=jr-

95
е/ уиу).^, %<-»$/*.
Задача И? 24. Решть неравенства:
а/ Ч нпгх + 3tcfx -2 нс1х ^О,
б/ шьх-анЗх- Хп*х ■ ii>i Зх =- -g- >
$ в/ свзх- binx-cei 2х >or
, 4- х ~&х-2-
г/ Фчг > +—7
f' ^ fax-tZ
(Указание. Применить "универсальную"
подстановку.)
>
1 7-cblx ( у /
c&jl2x-Hn^x \ ^
VJ.
Задача № 25. Найти наибольшее и
наименьшее значение функции
у -а}Оггх* ёЛпхс&х t-ccei^x.

96
§ ». Системы тригонометрических
уравнений.
При решении системы
тригонометрических уравнений надо стараться свести её к
системе алгебраических уравнений или
попытаться сразу исключить одно из неизвестных
системы тригонометрических уравнений.
Рассмотрим пример.
а/ I х + и = 75'з
1?
э . г 3
■fin ОС + iOt и - -—■
Второе уравнение системы перепишем в виде
1 1 ~ *
иди
или 4 аь (Xi-u) cei (х -у.) = /
Но так как х + и а 75°, то имеем
4 т 7S0ceifJC-y) = /,

9?
откуда:
г Чем}? Чнп15° Усы IS**.»<Г°
Итак, cm ( jc - у ) a cei 15°.
На основании условия равенства двух
косинусов имеем:
1) х - у. = I5°+360°rt
2) х - у = -15°+ЗбО°/и .
Таким образом, инеем две системы:
Дальше ясно.
ОТВЕТ:
X, - 45'(Чп +l)} ( х^=30"('блг + О,
h
Г X, = Ч5'(Чп +<)} ( хл=30'(6л1 + О,
б/ Решим теперь такую систему:
I
Ъ*+Ъг-т>
*)
*) Ъдесь и 6 Зальнеишен^сли не оговорено противное,
гчитортся, что параметры ^т^р и т.д. принимают
Ьсе целые значения: о,±1,±2,*..
7-2553

98
~Хф£{2к+0г
ОдУ. Л „ а X
г
Применив'формулу
TqoL+tg з = — ,
запишем второе уравнение так:
Un (t+ц)
<- - т ,
(03Х <ЧП1/
г/
Далее, заменив спхюу на 2£&Ji™fr-Jti
и ■*->■</ на ^ , получим
ceiU -t-t&fjc-o) ~
или
Это уравнение эквивалентно такому:
х -у - ± OMccei ( —^— f»jd )■+ 2лп (■*)
Присоединяя к ( ж ) уравнение x+t/-*t ,
получаем
Ответ: С х = j-У ± ftчсгеч {^ ^-^Щ+ЛИг

99
Отметим еще, что для того, чтобы уравнение
(я) имело смысл, необходимо и достаточно,
чтобы:
Г I Tj^L - шА < 4
\ | т I '
V. coioi ■+ соь(х-а)фо .
Решение этой системы неравенств мы
предоставим читателю.
§ 5. Разные задачи.
В этом параграфе мы рассмотрим более
сложные уравнения, чем раньше. Для их
решения приходится комбинировать
рассмотренные ранее способы.
Кроме того, мы разберем несколько
примеров, в которых приходится проводить
довольно кропотливое исследование
существования и количества решений в зависимости от
параметров, а также несколько нестандартных
задач.
а/ Решим уравнение
■tin (oica х)~ст(тг Ил х).

100
Перепишем это уравнение так:
6
«■(=?♦
,77 ЯМлх-Яанх
.0
>0
37 . JT-*t/7 ЯГ -Jl&iX _,
^ + ~2 : JT&
ф fon мЗ ?1п 3)
V 4l 2.4?
Так как \coiU\&'\ то k
может принимать единственное
Значение, равное нулю.
Итак,
4 Ч ' II?
VT
а
2.J7
X =-4±ахсспЩ. +2жп.
\ - - -- ч)-о
*^1JC + СИЛ" = -Xе-
о
.г/г
<j) #t'n х ■+ сеэ3эс = 4.

101
1 способ.
Цкьх +cei3x = Un-Zx +c«Ax
$
(&П?Х - iOtZX ) + ( tei3X - UAZx) =г О
Ып X (tin x - 1)-t-cei x(<*ix-l) =-0
0
(/- Ce?x){HnX/-l)+{i-itn}x)(ClAX- l)---0
(/- uax)(l- Hnx)(l + hnX + cmx)=0.
Выражение 2 + frnx + anx Ф 0, так как
в противном случае должно быть н*.х=с&х = -1>
что невозможно.
Таким образом, имеем два уравнения:
I/ -HnX = i, 2/ стх.ъ-1.
Из I/ следует х = ^ /■ £»£ , а из
2/ находим д^ =• -2^.
2 способ.
Известно, что -Нпгх ■+ ангх = /!
Поскольку \anx\&i и [шх\ £1
для всех л; , то • | *йъх \ <г Яп^х и \ ан3х | £• cmzx (у).

102
Отсюда следует, что
причем знаки равенства здесь могут быть
только для тех х ,. для которых они
стоят в неравенствах (я), то есть для
Поэтому все решения нашего уравнения
■Ип?х ■+ а%3х = /
содернатся среди х=тп •
Непосредственно убеждаемся, что из
этих х уравнению удовлетворяет только
х. - 1жк и х =3£+2яв .
В/ CGi Зх Св-^JC + JiH Зх Згл^Х - О
Известно, что
I/ ceiix - Цсы*х-Зссьх^
2/ НпЗх. = 3^-т.х - ^tin^x,
откуда
, с&Зх+Заых .. з 3fthx-jt>iJx
Св) х =■ -г j *т х = ъ
з
Подставляя значения "а х и ior'x
в заданное уравнение, получаем

103
с<я 3x (ceiix +3сезх ) + Hn 3x(3 Kn.X - Hn 3x) ^0
if
X ( COi3xcB}X+ tih3x hnx)-hC6) 3x -finZ3x =0
3 ш2х +ceibx =0.
Но поскольку
oe?1x--L (ceiGx+Scetlx),
то окончательно инеем:
tjcai3 2x =0
Ф
cei 2x - 0
г
x,2L{Ln+t).
r/ -H.n2x ■ -мах -+ceilx - Unfx iintix-гсв^Ух
Шеей: «*х^* + 1±^-^^^^
После преобразования получаем:
cei 2х -се) Зх +cei9x-c0iSx = о
(сез2х -ап£х)+(ст9х-шЗх) = о
г
2 fan Sx ■ нн. 3х - Z Ын 6х нпЗх = О
■On Ьх ( fr-n 5~х - ни 6 х) = О
X tinix-iinf- ce]i^-=o.

10*
Таким образом, задача свелась к решению
трех уравнений:
2) Хп&~о, f = зглi *2= 2%н}
Поскольку при к = вп
х1 - Хтш. , то xz входит в x-f
Ответ; х - —>
д/ taix-i^Zx-'thx. =0,
ОЮЗ: Хф-fCZn + tl xf3L(2m+i),
Перепишем данное уравнение в виде
taix + tqx -tyix
Умножим и поделим левую часть этого
уравнения на /- tqlx-iax
tq2x+tax
Я * (!-+*??■ tax)-toix

105
Далее:
ta(2,x+x.)(1-taZz tyx.) =talx
ta 3x (1-t^lxtox)- ta/3x =0
taix-if3x iqlx-ta,x--kt3x=0
\У
ihix talx taoc =0 .
Таким образом, задача свелась к решении
трех уравнений:
1) taix=0> 3х=т,к, X,= -j->
2) talx^Oj 2х=лв ; xz=-j->
Множество —х- состоит из двух множеств:
Так как х^ не могут служить решениями
уравнения, а множество л =тг/с входит
в х = -^ , то решениями заданного
уравнения являются только х- ^г
(объясните, почему можно умножить и разделить
данное уравнение на i-fy-Zx tqx ).

106
е/ Решить уравнение
-№г X + -^ 4 ft- Зх = ixJiX ■ бгП^Зх.
Если решать это уравнение обычными
способами, то после преобразований Вы придете к
уравнению высокой степени, которое решить
довольно трудно.
Мы сейчас покажем способ, иногда
применяемый при решении уравнений.
Перенесем все члены уравнения в левую
часть, затем прибавим и отнимем -^^и^Зх ,
тогда получим:
■yihzx - Нпх tin 3x + 4j -ltn'fJx - ~ мг vSx +
4 ± hn2SX =0^ ф
fartx- 4r *<лг3х)+ 4 #inz3x с&^Зх-о
1#
{Ui x - j- 4in4x) + ( |- itn 6xf= О
Теперь Вам станет ясной суть способа
решения: сумма квадратов действительных
чисел равна нулю тогда и только тогда,
когда эти числа равны нулю, поэтому мы
получаем такую систему уравнений(куда более
простую, чем исходное уравнение!):

107
Муьх - -!r Mi 3x =o,
мп
6х=0 (*)
Заметим, что эта система двух уравнений с
одним неизвестным.
Её можно решить двояко: либо решить
каждое из уравнений и внбрать общие решения,
либо решить какое-либо ив этих уравнений
(естественно, более простое!), затем
подставить его решения во второе и посмотреть,
удовлетворяется ли второе уравнение.
Обычно школьники почему-то забывают о
втором способе, а как раз здесь он наиболее
удобен.
Итак, решаем второе уравнение системы (к):
жп.
х.- Q
Подставляем эту серию решений в левую часть
первого уравнения системы (я):

108
Посмотрим,
или -|- :
когда -тп -g-
fan. —g- - 0}
О
равен нулю
= 6k.
7М „
В этом случае и -tin. —^ - и,
поэтому ос =■ Щ- (п= £к) t то есть
xt-jrk - есть серия решений
исходного уравнения.
Далее, *м -j- - у
с
п =^"0Л+ (>fn -нечетно
ж/ Найти все пары чисел а , / ,
для которых всякая пара чисел х} и
где /г ж о, +1, +2,...,
« * 0, ±1, +2,...],
удовлетворяющая уравнению зг + и - а
удовлетворяет также уравнению

109
Преобразуем данное уравнение:
coix <**Ч- tet х (ми
Или
Mifx-f- и)- £a>5X CfVjf, ■+ £Unx Или, -
= 6 mux }<nw - Hnx -^кУ-
Иначе:
■ixn (x-tu,)- ёш(х+р)-=(€-1)*#1Х tails
Заменяя х+у на а , получим:
Л»1Й - 6 се) а - ((-/jft'/гх ft'ftU
Правая часть уравнения зависит от х
и и , а левая - не зависит, то есть если
мы будем менять х и у .(конечно, так,
чтобы х + и = cl ), то правая часть будет
меняться, а левая - нет. Это возможно лишь
при f ^ = / <^> \^--'
ч
з/ Решить уравнение

но
Данное уравнение равносильно такому:
откуда
I. CLfO, Xt=-L(<±C<StCCe6£-i +-2&7т) .
Рассмотрим теперь различные случаи:
а/ а>о
Тогда уравнение имеет решения при
Icutec&it- / + 2/cjt ъо
Если взять перед ансс&л£ знак плюс,
то получим серию решений, при которых
в случае, если анеая € >^ / , то есть
4& а»-/ и при к. = I, 2,..., если
4>см •/ .
Взяв Перед cvtecojtf знак минус, получим
серию решений, для которых
-txtec&se'-•/ +1кэъ •><? f k=/,2,3}.
Таким образом, при а>о
х = ± /~L(±cvtcc&4 - -f-i-Zk^r) , где

Ill
( 0,1,2,....если 6-^ces /)для первой серии
к=\ 1,2,3,...,если 6>ш-1)
ll,2,3,... для второй серии
б/ а. < о ; аналогично случаю а/
получаем:
х - + J4- (±а.чссе*4'- l+Zkjr), где
I 0,-1,-2,...,если £* сй)'/ )ддя первой серии
к = < -1,-2,..., если ^< cm 1 J
(_ 0,-1,-2,... для второй серии
П. Я = 0. Уравнение принимает вид
сю 1-6 • Если 6 f w / , то решений
нет, а при S-ces I уравнение обращается
в тождество.
и/ Решить уравнение foow Ъ 6х - I
Допустимые значения веиаввстяого:
ctsxfZ(lk + i),
x^f-(Zlc^)
2а
exifiln + i), 1хф2-(2п + 1)
Здесь предполагается, что S^4o иначе
/ it о
уравнение решений не
имеет.
Теперь преобразуем уравнение

112
ta ax =c£i#x , ta-cuc = ^f(^- #х)}
x(a-fg) --— ■•
Если a = - 6 , то уравнение
решений не имеет, в противной случае
ас = (** + 0х
2(а + «)
Посторонние решения определяются из
условия
или
а.ч-6 Л
их надо исключить.
к/ Решить уравнение
-т,1/х+с8э'/х + *т. 1х ч-а =о.
Так как ■№ х + cm чх -
= {$inlx + с&2х) - 1 Ип^х ах2* ■■
= i - 4 *.п*2Х;
то получим уравнение

из
И" 4inlx= 4±}/2лч-ъ'.
Для существования решения необходимо
выполнение следующих условий:
\\4±JlaT?\*\ (2)
Из (О имеем:
«»--| (*)
Далее, I + \12 а + 3 » I,
I - \12а +зЧ I,
поэтому I + \1 2 а +3 удовлетворяет
уравнению только при Я=-у-
Найдем, (согйа
•/- \ЛйО+3 9-J
или \l'2a+5 &Z.
Так как обе части неравенства неотрицательны, обе его части
можно возвести в квадрат:
Учитывая (ж), получим
/■ А^" . ч JTfl

114
если - — 6 a, <z -f >
при других а уравнение решений не
имеет.
л/ Решить уравнение
Ъйг х ■+ C&JX+ -Япх ■ сеъх - /
Здесь можно применить "универсальную"
подстановку, но решение получится громоздким.
Покажем два других способа решения.
I способ.
-fiAJC* c&iX= J- fr'njc ceix
Возведем обе части уравнения в квадрат,
подучим:
'/•*- Ып. 2.x - J- an 2x + X -ип 2jc
%
&Сп2х (8-ьп2х)-о
Тан как S-innlx>o , имеем одну серию
решений
^nZx = o , то есть ^ = -^-
При возведении обеих частей уравнения
в квадрат (:;ак и в любую четную степень)
могли получиться посторонние корни,
поэтому необходима проверка:

115
Г I при lc= % п,
L-r- кт , J I ПРИ k= Ьп+L
L 2. 1 I -I при /с= 4n + 2,
V^-I при к- kn+Ъ
Итак: к = ^п. • k- 4n+J , отсюда
x1 - l7in}
я^^ + Ьхи, л. = о,И,*1, .
2 способ.
Цусть сезх -+ нпх - t
Так как t - -/-f-2-tinx с&х}
то -Onx «w
z
Данное уравнение приникает вид:
iz+lt-S-€ , откуда tf-4,
t^-3
а/ *шх -/ с&х. - 1
Это уравнение уже решалось нами:
хх- %+ik-sc
б/ .imx-i- св^ос- -3
Так как \ -hnx + cm-x\ i JT , то это
уравнение не имеет решений.
Как Вы ухе убедились, многие уравнения

lib
допускают несколько способов решения.
Из них,разумеется, надо выбирать самый
рациональный.
Теперь разберем еще несколько задач.
м/ -tin \x\= 1.
Очевидно, что \х\-^ + 1як,,
где * ■ О, I, 2,...
а/ Бели х>о , то х = Щ+1як. ,
где k ж о, I, 2, ...
б/ Если х<о , то -лг = =!*.г.7г/{, ,
где £-* О, I, 2,...
Ответ; x=±^(4k + i), tat. k=0,1,Z,...
н/ xl-tZx iinxuf. + J=0.
Так как /= &inzxu + св^ху,
то заданное уравнение можно переписать в
виде х?-+ lx-апам. +ti*?-x2+u>izxy =o,
V

117
Поскольку сумма квадратов может бнть равна
нулю тогда и только тогда, когда
одновременно слагаемые равнн нулю, то имеем:
JX + iubXy -0}
уравнения сел хи =0 следует, что
Z+xk.
Подставим его значение хи в уравнение
х у- Нп хи - о :
* х=- iCn (f+яб)■
Ясно, что если k= г п + I, то
х = /,
{.
Если к ш 2 п , то
х =-■/,
о/ Решить уравнение
■Hnx = xz+x+/.
{

118
Найдем сначала те значения х , при
которых
\xz+z+i\>i (*)
(эти значения х нас не устраивают).
Так как x^+x+l = (х+4) ■+%} 1 •§■ 7°
то \хг+х + 11 = x^x+J
я неравенство (ж) равносильно такому:
хг +х+ /> У,
«
Л: + х >о,
are (-0.^-0^ (О; +оо).
Осталось исследовать только х е [- /, О] ,
но при таких х tinx &0 , ъ.хг+х+4ъ^,
поэтому ясно, что уравнение решений не
имеет (см. рис. 45).
Рис 45.

119
п/ Решить уравнение
Так как 2 - —%. , то учитывая известное
неравенство а+~5*^ (а>0) • получим,
х -х
что 2 +2 ?• 2 , в то время как
Zcm— ^2 f поэтому равенство может
выполняться при таких условиях:
■1*+*-*
2* '~i} 00
Первому уравнению системы (к)
удовлетворяется только х :0; он удовлетворяет и
второму уравнению.
Ответ: х = о.
р/ На координатной плоскости указать
все точки, координаты которых ( л , и )
таковы, что выражение
Л *an]W+^l*b(.-t+x)cMU-i(o>iu-l) -finx
при всяком значении t меньше 1/2, и
изобразить область, образуемую этими точками.

120
I
о 0 о
'Л (0
т.
St-OJ
Так как cn[l(t+x)\*-j-2taizCt+x.),4Q
A = 1-2tOll(~t+X.)i-l-h.n(t+x)CBiy -
~ £ (cei}f ~ ^ ~ИкХ
Преобразуем теперь выражение
Так как -2[ип(±+х)--£с<»У~1 *0 » *o
для выполнения требуемого в задаче
соотношения необходимо и достаточно, чтобы
С& и - hhjc <0 (I)
Решим теперь неравенство <1):
Ш\ X - tin. ( 3L - у.) > О,
2*iK(X±l-.2L). c&i(*ZJ£ +*)>о
(*»>

121
Решаем системы (я):
tf
'^ -/■ Чпп с х+у. < ~+ Чяъ,
Зл
г +11лк < х-и < -j + Члк
Рассмотрим подробно область, образуемую
искомыми точками при п.
Инеем:
к = 0.
■Ч<*-?<1
РмС.46.
1:
ЯМ1
"1 I 1 V.
11 }\6ь
^
—->
У
При остальных значениях п «к
получаются аналогичные "клетки".
Мы предоставляем Ван закончить этот
пример и нарисовать картинку ("косая"
шахматная доска).
с/ Решить неравенство

122
(\
ооо
Перешшем неравенство так:
у/у- х1-- 1 &сезх-иг.
Ищем допустимые значения •*</ у:
селх-и ъО,
>, хгч- /
to
Из (I) следует, что \ $\ ±1,
из (2) - что у * / , поэтому ^ = /,
тогда лг = о. Итак, \tZj' ~ e^a"
ствевная допустимая
пара значения х пи,. Проверим,
является ли она решением:
Ответ
i w= У.
т/ Найти те значения <* , при
которых уравнения
2.unvx.=(i+ апжа)иих.+анп.*х: (■:)
и
равносильны.
Заметим, что Нлх=о <5=Ф jc =^гл.
решения (I). Найдем при каких значениях •*

123
эти х будут ревевиям (2).
(а - ■()( 4+ са^лп.) + Ziinfxn = Z ti^yui +Z(a-i)
ft
Z(a-i)-Z(a -i)=0
2(a4)(i-a2+2a-t)=0
Ъ s
а(а-1){а-2)=0
Проверки теперь эти значения а.
I) я = 0.
Уравнение (I) примет вид
Оп.х( lUnx- /)-0
A ,
НП X =0 , $гПХ = ± -J7=r
Уравнение (2) примет вид:

12*
X4in?X-X finZX + / -йв}"1с -О
Ф
А ,
Hnx=0J 4о\х =+-£=•
Ясно, «ю я в 0 не годится.
2) л = I.
Уравнение (I) примет вид:
iinxil iin€X - ЛЙ^Г - /J = <?
Л
(подумайте, почем; не* других решений).
Уравнение (2) примет вид:
Ф
л
■Нй*=0, кпХ = ±-1

125
Итак, a s i годится.
3) а - 2.
Уравнение (I) примет вид:
ft
Якх(1ь«£х-2 xn.zx-i) =0
#пх=0 Х#Лйс-2-Яп1х--1~0.
ПУСТЬ 40lZX=y,.
Перепишем уравнение так:
Из графиков правой и
левой частей уравнения
видно, ЧТО ВРИ OSU& 1
(а вас интересуют только
такие и ) решений нет»
Уравнение (2) примет вид:
jmp сравнение решеми.^ к* имшк.

126
Ответ: #= I; a = Z.

127
ГЛАВА I У
УПРАЖНЕНИЯ
§ I. Задачи письменного экзамена.
В этом параграфе собрано много задач, предлагавшиеся
в последние годы на письменных вступительных экзаменах в
различные вузы. Рядом с некоторыми задачами указано, где они
предлагались (МГУ - Московский университет , ЛГУ -
Ленинградский университет, МФТИ - Московский физико-технический
институт, МИФИ - Московский инженерно-физический институт).
Задача № 26. Решить системы уравнений:
a/ \iiAх. = аысх ■+ hnu
I COJX = >ЫХ + COiU.
I mx = css 2 у.

128
в/ Г -Яп. (у-Зх)=2Хп be
\ ан(р-3х)=2е<п3х
г/ J */4(п(Зх+2р)-+ Ипх**о (МФТИ, 1968г.)
,Ц &л(2х+3и)+ -&п.и =0
д/ (смх + Зкпх = Zuhu. (МФТИ, 1968г.)
смЧ. + 3-Яп.и = Z&ix
е/ < <хая(2х+и,)=аъи. (МФТИ, 1968г.)
4 ' (л>1)
I ас#(х + 1ч,)=сах
%1 Г <мх = J. (МФТИ, 1968г.)
3/ [3tfiJX-tt*in(x+tf)+3cefy=-'f (МФТИ, 1968г.)

129
и/ j чипгх -3т (хч-у)ч- к},■**# = / (МОТИ, 1968г.)
5(iinx + Stnu)-Ceix-ce)ii = 2
к/ ]4ceix-tfy-2m2x-#cip=t {иш, 1967г.)
ЦТ tyx + ClCLI/)- (2hnx+ta и.)- 1
л/ г тгу+ стх ш2у = / (МФТИ, 1967г.)
I {taxtcta,^,)-(ZHnx -ib,u,}- -а»2х
м/ Г ипх + ни и - Hud.
Ни 2х+ Он lu ~ i<nZ<L
(МФТИ, 1967г.)
н/ с ceix + инее и = 2(<х +1)
7
cm х cetce и - а, -+Ча
(МФТИ, 1967г.)
О/ (4-inX+l -2(Z(t + i)
lanz-Z * ~5(1л-и)
(МФТИ, 1967г.)

130
п/ г i-itt x + tei и. = 2.еь
i lxnxceiu=<xi'(cCL-tt)
$ p/ (Ыпх.-сюц ~az
I una.■ mx = cl
°/ fcoix ■ шц - ■/-a
Л fax ■ hny. = 4-la.
I/ (Инх + #еи ~ J.(a + f)
[ mx • kvu. - U"i + 3a- i
Решить уравнения (задачи K= te 27 - 36).
Задача № 27. (МИФИ)
а/ -же х + cetct х = l\/l
б/ 1м(40% х.) cti ( S°~x) - |
в/ ct^x+ 6c»ho2x-Sc&uc32x^o
V,J_ / t-'-4 - '— = -3
bn2x cm2x tq-x cfazx исх с&лч2л

131
д/ {a (Xnx)-U (сб»х)= 1
(f-tinx-ceix d&tnx елях v
e/ astctq x +-L ехмемс 5~x = ^-
Задача t 28. (МФТИ)
a/ icw^f^-^j^cei^jr+^iffjc = cm2x + dtnbx
6/ *ui2x-cei2x=2/2!ceiz(x^)-t}/3-/z
ъ/ i&iZx +frsi6x ~ fin4x + ce}4x + 2ih/tzx
г/ при каких В уравнение
an 2x + IB Л (anx - шх) + 1- 4fl = о
имеет решения? Найти их.
д/ с« -2 X - сез *х - -Ип х
е/ -X*х +&пгх+ ьп}х -c/»x + teiX. + coi х
ж/ (а» 7х + eci 7х ) *~~ 1 Unx 11 х
з/ при каких В уравнение
cejzx ■ а» 1х ■+ Е>( cm *х - и*г чх) = С1В +i)Z
имеет решения? Найти их.
Задача Ife 29 (ЛГУ)
a/ wSx ~ tox = z

132
б/ (Ъ+ 5**п.х--с*зх - csi2x ) =9
в/ (4 + \fz)*n 2x +(1-\,T)cei2x = 1+—
' l a»2x+tJ3Mi2x
г/ 1+2ся1х + 2сЩ/х + 2ceiGx = 0
Д/ \{$x + ctyx\*-fe
в/ ill (л eta х)~ eta (jtfax)
ж/ Ы Ix + ic&i lx =a
г/ N+k)c»x .«*&*+*]- f + kca2x
и/ 3ta(x1hx) + aa[oi(tax. + t/c*bx.)]- 3' da (fa da, x)
к/ aifrilx + В tin (2x-^.)+\fa*--hg1- &in.6x—О
л/ frtx + cesetx + HtX'C(^yt.x- а. (а-фо)
Задача № 30. (МФТИ. I966-6Sr. г.)
a/ 3tfbr Зж - с^ 2х ■=. tfta х
б/ ИпЦ-х)*1п (^-Zx)ifii(^~ 3x> tin(^+Jc)*,-n(ff2x)**(j*i*yo
■Ql(J-dgX)(l+Hn2x)= 1+dqX
V/ t<HX+J)trf(r + U)t<f(JC + 3'l)=i
Я/ ria x ~ 2ce$ 2x~ I

133
a/ ta.zx + »itfX=o
я/ Ип. х-смх-cetZx^o
a/ &c0iX$x +■ *in.Sx = /
и/ 1-K*?-x+ljt»t2,x^1
к/ }ilfeL = i««*-/
1-fyx
л/ -tin^x■ eet3x - свл*х-Хп*х = ceiZx
и/ ta3x-ta 2.x- tax =0
f%C0iX+ Ш.Х ~ C**X
0/ 4itL^X- HKiX-Z-tinZx+ZiOiX-O
Задача * 31. (Мех-мат МГУ)
Оря каких значениях « уравнение
. я»
7 + fm лх =■ сезл
имеет единственное решение (не одну сери», а единственное
решение! ).

13*
Задача 1Ё 32. (МФТИ)
л
ПуСГЬ О * </, ' ctx < ■ < Un * -J
Доказать, что
ЦМ, < <
Задача № 33. (МФТИ-)
Пусть /? - целое число, большее единицы и
о < а6< ж -
Доказать, что й п ы. > n~ki<?t
Указание . Применить метод полной
математической индукции.
Задача № 34.
Найти, при каких << функция у. = япх -ап2л -/
принимает наименьшее значение.
Задача № 35.
и = йосу1* -Z Jb ee>iх -Мп\х +5
Найти и ни , а также те значения ос ,
при которых эти значения функции принимаются.

135
Задача И» 36. (Мех-мат МГУ)
Найти все пары чисел х и а , удовлетворяющие
уравнениям:
а/ шх+ £*>#■ + &н(х+у)-^
Задача № 37. (Мех-мат МГУ)
Сколько решений на отрезке о < ос < ж имеет
уравнение
tinx+ZHnlx = 3 + *ОъЗх. f
Задача И? 38. (Мех-мат МГУ)
Найти все такие числа р , при которых уравнение
1ч- р *Л ж =у>г- л/гг^
имеет решение. Исследовать количество решений при разных р
Задача Ш 39 о
Найти все решения уравнения x-h'n -£'*vi f = x ~*"хЗ.'

136
Задача Ife 40. Решить уравнения:
а/ Х- cvtc*in(rtnx)
б/ алсип (- х) - алеем (- х.)
в/ алсЛа х = Hannta, н£
г/ алесщ *| = 2 cvudb. (х-1)
Д/ алч&е! х -+ але*& ( i-x) =. asiecei (- *■)
*/ £ ctAtnnGx. = cvxec&j 2.5~xx'
з/ ax-etfLXx+coxe-ta 3jc- kjr-t eZ.
л/ cLtteHn(xz-Jz + 2)= ^j-
м/ а/^е-яс fax ■+ алек'п (а и - -?
н/ cbxeta. \fx(x+t) + cuicwn \/хг+хн - -■?

137
Задача И> Ц. (Мех-мат ИГУ)
На координатной плоскости указать все точки,
координаты ( х , и, ) которых таковы, что соотношения:
a/-tinz(t+x)4 it» (t4ii)+'hn(t+2x-y.)-> -£ >о
б/(2c&)t+ic&xce)iAc»3x а»ц + Uc&x-ceiy +tm2t>o
выполняются при всяком значении t , и изобразить область,
образуемую этими точками.
Задача Н° »2. (Мех-мат МГУ)
На координатной плоскости указать все точки с
координатами ( х , и ), для каждой из которых существует хотя бы
одно значение t , при котором выполняются соотношения:
ъ! Iceilt -t b Hn.2x#n.t+2*in (x+y)- fan 1х- ■/)*'> i
б/ ев) (t->-3x+y)-c#>(t+z-y)-*.t>2{f +2x)>-£
в/-iu^-tсъ1*-/• c&^-t*<n:LJc■ + -£ tin2ttin2z.-+ 2{c&3x*-ceij{.)*0
и изобразить область, образуемую этими точками.
Задача Ife 43. (МГУ) Решить уравнения:
a/ to Ыс :
3 -Л
б/ \Ст2эс\ -\тгх-а\ (ozx^lyzj

138
<ftm*x- «A
Г/ Нц. 4x=mizix.
Я/ tq.Xi<nx-loL-&L40ix-a?-+l~0
/ Них Них * у л
ж/ ш -Ипх + fa #сюс -а -о
в/ ■XtJ'x. +m4x + 4&i2x+a.=0
(tin 2x-i)c&i3x (Финл - asex)Z
к/ 81 -9 =0
, , fihlx + Zavb: /-Jih2x + 2*#jc njt
л/ о ■+ 3 = Z8
о/ —I \(1тх-шх)с&х+2«:пх+стх\\t+i-^Z-—)' -
Зьнх V 'о JL x3.aox-Hnx* J
a»Jx[2(1-*"X cxnx)+ (нлХ+и»х)1-[
6 ( tin х+се)х)х (1- *'* х с й>х)

139
p/ Ип^Х+ми^х Hnkx+- + JOt »x-Hnnxx ^/
c/ 4b."x +c*i"a = ^ce>"2x
Задача Ife ¥)-. (МГУ, 1968г.) Реи» уравнения:
а/ -клх-t с&)(а+х)+ ces(a.-x.)= Z
б/ fru х 4 \JX-tin (ct-x)s 1
ctglx+ctctqx
B/ \CCnX I - /
r/ #£b*f (~cax-ca,3x)= & _xi (-ceiZz)
° 1С "to
6/ % *.1Я ^3< ■'•»*) = (}эх-У
(л (с»х-и»3х) = (о
ж/ fo (с»х-а»3х) = й? ^гл2д-
/к-х*-3х
S
Задача № 45. (МГУ). Решить неравенства:
а/ х >/ (о<х<%)

140
В/ Zt&lx *3tax.
P/ Jl-ftfCttx » -i+Заях.
■Mux-Cat Zx
ш2х+ <&ix
■/ fa. WiX. > fa (ЭИ/tX-J.)
K/C#i[3r(x2- /Ox)]- &hn {3i(zZ- /Ox)J > /
*/ to (xl-Sxtli)> —4
u/ U, (z?+lx+i) ъо
H/ Ы (36 HnX.+ J.C6ix)^i
о/ &. „ ( *7-уХ+-*)*0
' S-kbx+JJcelx^ 1 < '
п/ <5z (jutx-Scax)-^/
' tfa*x -coix
р/ cm(2-4x-)-te»)(l-t-^x)^\Jicpj1-2x + ta 22L
С/ £-4 (^3x)(da f+ eta Зх) Ъ /cty Jx - /

141
*"*'■&-«''Ч/ч-Ж,*}
у/ ceil(3+x)+ t*n*(i- x) £ eta ''j Ал 2jc
ф/ и - \ ice л ) - \J I-1/-j* 9 0
Задача to 46. (МГУ) Решить неравенства:
а/ •—■ 1т*х -f ~ *иГ 2 х > сеч 2л
ч ч
б/ 4<т 3pL-+5 г ЧгыМ f-fjthrt
в/ нп JC > v I- lux 2х
г/ аченл (7Га\с(пл) >С
л/ Са iax < 2 fq нЬх -t f
Они* О <fl<;x
\ynx\ \h"x\ -,
e/ 9 +2(a 2J-3 -ta-/>o (Физ-фак 7ГУ)
ж/ Ч +2(2a + i) 2 +4aJ-i >c
з/ unx-h-'-- &a (П>с) (ЛГУ);
l-r c») JC H h» i ''
к/ h-,2t+4m2x Ъ-а (ЛГУ);
л/ f*»x- -J^ &a (a >o) (лгу).

142
н/ \fhnx + \/с*нс > i
°>[
3(*tnx.-ceix)-i/3
п/ 3 - 3 *
>4
\,2
»(%J?< &J**W
с/ (VtctiKX < antcvix.
Т/ OMiin-ИиХ < COttCeiC-»iX
. (ЛГУ);
Физ-фак ИГУ);
(«из-фак МГУ);
(Мех-мат МГУ);
(Мех-мат МГУ);
Задача № 47. (ЛГУ) Доказать неравенства:
а/ Шчх+ и»чх. >,-tj-
й/ hJZ- < fr'n^x + /thx с&х ^ —'4^~
Задача Ife 48. (Мех-мат МГУ. 1968г.)
Найти все значения л , при которых следующие пары
уравнений равносильны:
а/ мк Зх - ссьтх + (Ц-2. \а\) м-2*,
Яп Зх + с&)2х - I + 2&пх c£>i2x

I«
<$/ 2 *iM?x.-(1t-A\4th.ix -f- (3at3-Jct-/)ih*x -o,
Z *,*. 6x + а»2эс - i +a - 2as+ еш»гх
в/ ace)2x.+\ct\ca>tyx + ш£х - f,
■Ипх-ш2х = /1*.2х-с#)Лйе- -1-ьлЗ~х
г/ tycefx-cmix. = ctu»x-(a-4)(l+ спЛх^
2с#)х ш2х = / +tB)2x + с&* Зх
Д/ {1а.+ 1)с&3х.+ (1ба?-4а+1)св)х -2с&7х=о,
с&6х - {ил)с#>хх -tSa^-la
5 2» Вопросы устного экзамена.
Для успешного решения задач этого параграфа нужно
уверенно владеть.школьным курсом тригонометрии. Задачи,
помещенные здесь, как правило, не требуют больших выщслений.
Задача И» 49. (ЛГУ)
•а/ Вычислить: ипач^х ; a,\cta-j-t anctcf.x (x?o)j
CUttiihX-KXteШХ (lx\£l)-,
aKttq, 1 -t citeta -| + anttq -L
б/ Найти области определения функций:
и* 1оШх ; и= aif-bn (cutec&ix)

ш
Задача № 50. (МГУ)
а/ Вычислить с точностью до 0,1 &>г 80° ;
б/ ЧТО бОЛЪГОЗ ititcpil ИЛИ C«J tin / ;
cwc-^ или h(l - -i<« ^ )?
в/ Доказать непериодичность функций: ^- ■*<« t£* ;
и-Мх2'; u^ceix cen(JXx) ; и = Cmx.+c&i/z"x
Задача Ж; 51.
Дано, что c&iXt i-pu>jt + ^>о при всех ^
Следует ли отсюда, что х^+рх+с^-го при всех ;& ?
Задача № 52. (МГУ)
Найти на плоскости множество точек, координаты которых
удовлетворяют следующим соотношениям:
а/ (созх)У'+(jih.x)*-1
б/ «г+сеЛс */
Г/ ft>iX < >'>ij£
д/ хп1(х* + иг)=1

145
Задача 8» 53. Найти периоды функций:
а/ у- *'"х -*&■*
J? у
в/ и- &" j-х-*-*ti j-x
Задата Я» 54» Построит* графики функций:
ш. х
а//= £
6/ ra,/**i*
в/у.-
г/у =
д/у =
ч г
"г
з/ ^
И/^
*%.{ 1+ futxJ
с&) (2 алл сю х)
**♦ -iiu -
1
j<n -,
(а X
aZunx
кпх
-- X

146
ГЛАВА У
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ
§ I. Гармонические колебания.
Пусть по окружности х ту =Jt
против часовой стрелки равномерно
движется точка, делая один полный оборот за Т
Ля
секуад(то есть с угловой скоростью и)=- — )
Тогда проекция этой точки на любую
прямую, например, на ось Оу , совершает
колебательное движение, которое называется
гармоническим колебанием с частотой k= —
*х и амплитудой А.
Задача te I. Докажите, что любое
гармоническое колебание можно записать как i(t)=
=aceicot+ -Situ cot (I) или, что одно и то
же, как Л*п(ь>Г+у>) (2), где У
называется начальной фазой колебания.
Выразите а и S из выражения (I) через
А и у из выражения (2) и обратно.
Гармонические колебание часто ветре-

1*7
чаются в природе и технике. Приведем
некоторые примеры.
Если измерять давление воздуха при
распространении звуковых колебаний,
соответствующих чистому тону (звуки на рояле -
до, соль и т.д., свист и т.п.), то график
давления будет синусоидой.
Намеряя напряженность
электромагнитного поля, создаваемого в простейшем
колебательном контуре или при прохождении
монохроматического света (то есть света,
который содержит электромагнитное поле с
одной длиной волны), мы снова получим
синусоидальную зависимость напряженности от
времени.
Зависимость тока или напряжения,
получаемого в генераторе переменного тока,
от времени - опять-таки синусоида.
При изучении гармонических колебаний
нам поможет прибор, называемый
осциллографом. Этот прибор имеется в физическом
кабинете почти любой школы. Иы сейчас
коротко опишем принцип его действия.
Основная часть осциллографа -
электронно-лучевая трубка (см. рис. 47).

148
Трубка откачивается до высокого вакуума.
Катодом А испускаются электроны,которые
разгоняются и летят к аноду А. Почти все
электроны ударяются об анод и остаются на
нем, но в центре анода сделано небольшое
отверстие, и в это отверстие проходит
узкий пучок электронов (такое устройство
называется электронной пушкой). Пучок
ударяется о флуоресцирующий (светящийся) под
действяеи электронов экран. Бели бы в
трубке не было больше никаих устройств, то на
экране мы видели бы только светящуюся
точку. 0. Но на пути электронов ставят еще
две пары отклоняющих пластин, вертикальную
и горизонтальную, на которые подаются
независимо друг от друга отклоняющие
напряжения. Эти пластины отклоняют пучок в
вертикальном и горизонтальном направлениях, и
пучок рисует на экране "картинку" *).
ж) Трубки такого же типа применяются
в телевизорах.

149
Пусть Mil подали на вертикальные
пластины напряжение $№ u>t , а на
горизонтальные - Acetiot . Что мы увидем
на экране?
В момент времени t пучок будет
отклонен от точка 0 на экране в
горизонтальном направлении на Лее*tot
(то есть абсцисса светящейся точки будет
равна Лая cot ), а в вертикальном
направлении - на Анн ut (ордината равна
JiHnut ). Итак» светящаяся течка Н
на экране осциллографа будет иметь
координаты х- Ди»tot , u^J-Hhi^t ,
удовлетворяющие уравнению х2--*- У3~=А*' »
то есть точка м будет равномерно
двигаться по окружности радиуса А. Если
взять круговую частоту и достаточно
большой (например, 100 Л" ), то на
экране мы увидем эту окружность (человеческий
глаз не успевает регистрировать столь
быстрое движение точки и поэтому мы увидим
сразу всю ее траекторию "',
ж) Если х. и у , координаты точки
М, заданы как функции некоторого параметра
t , то говорят, что уравнения [х= ■$,(+) _
\У=Ш Рис 49
параметрические уравнения некоторой линии.(См. след. стр.)
Ш
FB
Ш
ш
ш

150
v(
U
Задача № 2. Изменим отклоняющие
напряжения. Напишите уравнение линий, которые
мы увидим на экране, если подать на
пластины такие напряжения:
а/ [х- a.c&not
[ и *■ £хл i-ot
(эллипс)
6 Jt>! 3iO t
(астроида) и'
s) Если из этой системы уравнений исключить
г. то получится самое обычное уравнение
этой линии {правда, исключить г удается
далеко не всегда). Мы получили, таким
образом, что уравнения (х = Лее» tat _
(и- Jlhntit
параметрические уравнения окружности.
с. ял) Если заставить окружность радиуса
-р катиться по неподвижной окружности
радиуса « без скольжения (причем по
внутренней её части), то фиксированная точка
малой окружности опишет астроиду. Астроида -
представитель интересного семейства кривых,
называемых гипоциклоидами.
Гипоциклоида - траектория
фиксированной точки окружности радиуса а ,
катящейся изнутри по неподвижной окружности
радиуса ё <у астроиды ё = 4 л ). Если же
окружность радиуса а катится по внешней
стороне окружности радиуса ё , то
траектория фиксированной точки первой окружности
называется эпициклоидой. Эти кривые
обладают целым рядом интересных свойств Приведен
их параметрические уравнений (см.слей, стр.):

151
Вообще, изменяя частоту, амплитулу и фазу
отклоняющих напряжений, ыогно получить на
экране целый рад линий, называемых
фигурами Лессажу. (Рис. 48, 49)
Задача fc 3. Равносторонний
треугольник вписан в окружность радиуса v и
вращается вокруг своего центра с угловой
скоростью ь) = 100 Л" . Пусть ^ (t) ,
j^ (t) и и (t) - ординаты его вер- Pi.
шин Ар А2 и А, в момент времени t
Нарисуйте графики этих трех функций один
под другим (пусть, для определенности,
при t. = о вершина kj находится в
точке ( 0; V ).
Рис 51
хх)
х - (-б-сс)се} t ■+ a t»i
и z.(4 -<x.) fui
(эпициклоида)
S-CL,
y^(4-a.)hiit-atin~t
Кривая
Штейнера (4=3а)
с&ь~а.сев—— Г
а.
) у = (a.+S)**.t-a.-b*. Z+JLt
а
(гипоциклоида)
Попробуйте вывести эти
параметрические уравнения.
Кардиоида
fa.-- I)

152
Задача fc ». У стандартного генератора
электрического тока частоты 50 герц с
тремя обмотками графики зависимости
напряжения на каждой обмотке от времени
выглядят в точности так же, как и графики,
построенные Вани в задаче 1 2. Докажите,
что разность напряжений в двух любых
обмотках тоже представляет собой гармоническое
колебание с частотой 50 герц. Во сколько
рае амплитуда напряжения *' между двумя
обмотками больше, чем амплитуда напряжения
в одной обмотке "относительно нуля" ?
Задача № 5. Докажите, что сумма двух
гармонических колебаний Jt*t>i.('tot+(ft) и
Ях-Нп(^ + ^Ь) с одинаковой частотой
со есть снова гармоническое
колебание с частотой oj . Выразите его
амплитуду А через амплитуды Ар А2 и
разность фае У7 данных колебаний.
Докажите, что амплитуду А можно определить
графически так, как показано на рис. 52.
х) Мы обычно называем "напряжением в
сети" 127 в, 220 в и т.п.; это не
максимальное, а "среднее квадратичное значение
напряжения, оно в fZ раза меньше
амплитуды.

153
Это не сдучайво. Вели вращать
параллелограмм ОдСЪ вокруг точка 0 с
угловой скоростью и> и смотреть, как
меняются абсциссы его вершин л , X ,
, то правило параллелограмма для ело-
У
2
кения гармонических колебаний становится
очевидным: Хс = Хв + Х^
Задача Ш 6. На рис. 53 изображена
одна октава рояля и обозначены отношения
ж)
частот для некоторых пар звуков '.
ае /^ jtu <ра сол Ml <м ао
V-5-чА
-3d-
■l](0kr»afo) -
Рис. 53.
я) Эти числа приблизительно
соответствуют так называемым "чистым интервалам".
В современной двенадцатиступенной системе,
чтобы получить в октаве 12 одинаковых
"полутонов'^ эти отношения слегка изменены
(см. брошюру Г.Е. Шилова "Простая гамма"
из серии "Популярные лекции по
математике").

15*
Начертите график звуковых колебаний,
соответствующих аккорду "до-ми-соль" (иа-
хорвое трезвучие), если все три клавиш
нажать одновременно в момент времени t=o
Указание. Если частоту "до"
обозначить эа h к , то нужная функция выглядит
так: и = Нп НкТ+ и* S'kt + jin Gkt
Найдите нули этой функции!
Задача te 7. Передача звука по радио
осуществляется так: высокочастотные
колебания электромагнитного поля с частотой
£e[l05, IO8] герц, как говорят,
"модулируются" колебаниями звуковой частоты
ке (15, ЗО.ООО] герц, так чтс в
результате получаются колебания такого вида:
mkt hnKt • Чтобы представить
себе, как это выглядит, начертите примерно
график функции и - Ни t- j,j/ /ОТ
Объясните, почему, если две радиостанции
работают на двух близких частотах, в
приемнике слышен свист (считайте, что
станции ничего не передают).
Указание. Если сложить два колебания
с близкими частотами и" и <<", , то

155
после прообразовали мы получим
произведение двух множителей, одна из которых
меняется о частотой —^— , близкой
и ц , it ux , а второй
множитель меняется с очень налой частотой
——— . В результате получается
Z U.-r U),
колебание с частотой —7—- , аип-
литуда которого медленно меняется с
частотой '■ ~ -— I ; эта вторая
частота как бы "модулирует" первую
(сравните с -Uiik-t ■ hn Kt ). Такое явление
называется "биением".
Задача № 8. Докажите, что функция
и - &'л u>f t -i- м юх t -
периодическая тогда и только тогда, когда
отношение —- рационально (tJt + u)£)>0.
Задача № 9. Получите более общий
результат: докажите, что функция
ч.-ас + 2- (я. cent я ч- вг <hn i Cx.) (*)
- периодическая. Найдите её наименьший
период.
Итак, если складывать гармонические
колебания с соизмеримыми частотами, то

156
получатся периодические функции -
"тригонометрические многочлены" «на (х).
Возникает вопрос: как велик запас
периодических функций, получавшее подобным
обрааон ?
Задача И» 10. Представьте в виде (х)
следующие периодические функции и найдите
их период:
а/ #= &н%х +аягх
б/ и- {1+mx + -4i*.x.)('t- кнх)
в/ и = £ /* Лях - с&х)
г/ и - с^ц3^х ■ с&> /3~х -Ни В ос &» 4&х
Из задачи № 10 мы видим, что
периодических функций, представленных в виде
тригонометрического многочлена, довольно
много. Оказывается, однако, что такими
функциями далеко не исчерпывается весь запас
периодических функций.
Рассмотрим, например, такую простую
функцию: и - х при с ь х < Jt , далее
функция продолжается периодически с
периодом л (см. рис. 5*0.

157
Рис. 54. - Х
Эта функция оказывается очень полезной
в радиотехнике. График пилообразного
напряжения, подаваемого на
горизонтальные отклоняющие пластины телевизионной
трубки, имеет именно такой вид. Эта
функция уже не предстаэима в виде
тригонометрического многочлена (хотя бы потому, что
она разрывна).
Можно привести еще много примеров
функций (даже непрерывных), которые не пред-
ставимы в виде суммы гармоник
ас + а ctrfjc-t- в/ нп ( -t-ujCej Zx+ £ ип2х +
+ + д., се» пх + S., 'г<п их.
Оказывается,однако, что для любой "не
слишком плохой" функции у = / <х) с
периодом Z^r можно написать га;'ой ряд
(сумму бесконечного числа слагаемых):

158
d^a^ceix* e^nx + a^ceiZx +вл *ел2хч-
+ а^свзЗх-t- S3 4tn Зх-t- ■■ +апсезпх.+
+ e>h-itnnx + ... г
суша которого дает эту функцию, то есть
если брать тригонометрические многочлены
$2(х)- ас+ a.f с&х + ej-ti«.x +
■f- a.cei^x^€iitn2x^
j£ (x) ~ ao¥- a cmz v- ii /ikx +
/ aA ce>2x+ вд &tn Jx +
+ а^сезЗх* ^*гаЗх}
n
<Sn = CLo + 2L (а.. Св31Х+ i. 4гп cx)t
то графики функций y. = S^x) , u^S^fxj ,
u-SjCxJ ,..., и = SK(xj ,... все
точнее приближаются к графику функции Ч. = ffc)
Такой ряд называют рядом фурье данной
периодической функции u-f(xj no имени
французского математика Ж.Б.Лурье,
работавшего в этой области математики. Так как
каждый член ряда Лурье есть гармоническое
колебание, то такой ряд называют
гармоническим, слагаемые - гармониками, а область

159
математики, занимающуюся этими вопросами -
гармоническим анализом (сейчас, правда,
предмет гармонического анализа вышел
далеко за свои первоначальные рамки).
Ыы не будем приводить здесь точных
теорем о рядах Фурье, а ограничимся
несколькими примерами.
Рассмотрим такую функцию: и = 1х\
для ~л<х$л дальше функция
продолжается периодически (см. рис. 55).
Ряд 4урье для вашей функции выглядит так:
i-ал-
гармоника
^2_± 2-СМ
3* ' 53-
<*a 1ярмонш(о( =0.
'-t/iijJx
Ниже нарисованы графики сумм S (x) ,
J5(x), Ss(x) , ряда (I) (то есть
график суммы трех первых членов ряда (I).
Посмотрите, как постепенно,' с увеличением

160
числа слагаемых график -)n(-*J
принимает вид, близкий к графику суммы всего
ряда. * 5(
Рис 56
Задача fc II. Ниже помещены графики
нескольких периодических функций, а над
ними указаны разложения их в ряд Фурье.
Постройте графики первых трех приближений
для указанных периодических функций.

161
,£
fM
f-
\
\Z3f
Гзл-
е//(х)*= %LfcOc(*bX-
Puc.S¥.
стЫ a*-Sx
„25-
*=*>
-яни.
ч _k *f
<
fa
Лк+4
1*-
<
I
a arv
z
-a
ж g x &71;
1Ж+еС
1
J(x) - ^t 4 ( cetx ce»2x f
c&ix
.3 Г-- l У fri.
Рис Sg
-■)-
Рис S3

162
Г/ И. = | -Нп.х |
р, . ц I СЯЗх Ш^х св)6х ,_ \
hfr Рис бО.
7Г ХУ! 371
Задача № 12. Разложите в ряд фурье
следующие функции (укажите период!):
а/ «. =^и x-frnjc
б/ u~(M'nyL-hn2x-h*ih~jz)(cmx-
/2* , Сл f /Ja:
в/
Отметим, что функции, рассмотренные
в задачах II (а, б), часто встречаются в
радиотехнике - их графики изображают
прямоугольные импульсы тока или напряжения.

163
§ 2. Интерференция ■
дцфЕракэдя света.
В этом параграфе мы рассмотрим еще
один важный пример гармонических колебаний.
Речь будет идти об интересном явлении,
называемом интерференцией (нонохроматичес-
кого)света. Совершим небольшой экскурс в
историю.
Физиков давно волновал вопрос о
природе света, В ХУП веке были выдвинуты две
теории света: одна Ньютоном, другая
Гюйгенсом.
Ньютон считал, что свет представляет

16*
собой поток быстро летящих маленьких
частиц - корпускул, распространяющихся по
прямым линиям, и приводил множество
примеров, подтвержающих его теорию: наличие
четкой тени предмета при его освещении,законы
отражения, преломления света и т.п.
Гюйгенс считал,что природа света -
волновая. В пользу своей теории он также
приводил много аргументов: он показал,что
волновая теория света тоже хорошо
объясняет и закон преломления, и закон отражения,
и существование "полутени" предмета и др.
Долгое время физики не могли понять,какая
из этих теорий соответствует истине.
Один из самых мощных ударов по
корпускулярной теории света нанес английский
физик Томас Юнг. Он поставил такой опыт
(см. рис. 62).

165
Юнг направил яркий свет на плотный экран,
в котором были прорезаны две узкие щели,
расстояние между которыми было равно
I - 2 мм.
Если бы была справедлива теория
Ньютона, то за экраном должны были быть две S
яркие нолоски как раз напротив щелей, а ~т
остальная часть второго экрана J
должна была быть темной (см.рие. 62а).
На самом деле обнаружилась совершенно
неожиданная и, казалось, странная картина.
Таи, где ожидались световые полосы,
оказались - темные. Весь экран ?
оказался покрытым темными и светлыни
полосами. Свойство света, обнаруженное в этом
опыте, назвали интерференцией.
Интерференцию могла объяснить лишь волновая теория
света •'.
Мы сейчас опишем математически интер-
х) В настоящее время волновая теория
света уже не может удовлетворительно
объяснить все известные сейчас свойства света.
Современная теория синтезирует
корпускулярную и волновую теории и считает, что свет
обладает и корпускулярными, и волновыми
свойствами.

166
ференцию, но сначала рассмотрим это
явление качественно.
Через щели в экране Q проникают
световые волны. При достижении экрана J
волна, прошедшая через щель АВ,
накладывается на волну, прошедшую через щель СЪ
(рис. 62). Волны имеют одинаковые частоты,
но разные фазы, так как их путь до экрана
J различен. В той точке экрана У ,
в которой накладывается максимум одной
волны на максимум другой, получается яркая
полоса; там, где волны находятся в противо-
фазе, получается темная полоса, между
темными и светлыми полосами расположены
переходные зоны (рис. 63),
Теперь рассмотрим интерференцию
света математически. Нам надо сложить две
волны: Jttcei(o>t-f-y>t) и Я1о^(и±ч-^1).
Сделать это можно, например так, как это
делалось в гл. 1У, § I, задача № 5.
Предоставим читателю произвести все вычисления и
приведем лишь окончательный результат. Мы
уже знаем (см. гл. 1У, § I), что сумма
гармонических колебаний есть снова
гармоническое колебание. Бел*! обозначить амплитуду

167
суммы волн через A3, то
Ив приведенной формулы видно, что результат
зависит от разности фае, а не от их
абсолютных значений.
Выясним теперь, где будут темные, а
где светлые полосы в опыте Юнга. Мы можем
предполагать ("принцип Гюйгенса"), что у нас
имеется два источника света с одинаковой
частотой и> , амплитудой А и фазой
вехнн, расположенные в «елях экрана Q
Нам надо посчитать разность фаз колебаний,
пришедших в точку Е экрана (см.рис.64а).
а)
')
Рис W
Так как расстояние между источниками света
$
и
S,
много меньше расстояния
между источниками и экраном У , то можно
считать, что волны из точек Sf и S

168
идут в точку Е параллельно,под углом J-
к оси ММ1 (см. рис. 64 б ). Тогда
разность фаз колебаний, очевидно, будет
равна числу длин волн, укладывающихся на
отрезке 5 А" , умноженному на ,2-тг ,
то есть ^ , еде л - длина
световой волны.
Итак, интенсивность (то есть квадрат
амплитуды) результирующей световой волны
вычисляется так:
где А - амплитуда волн, идущих из
источников £; и 5, . Теперь для того,
чтобы окончательно выяснить расположение
интерференционных полос, надо только знать
расстояние d между щелями. Если,
например, это расстояние равно нечетному
числу половин длин волн, т.е. yl ■*& + /) ,
то
= 9.ЯХ[ / -и<9Ц'я( J. кч-t) knd)\
Найдем, когда.получатся темные полосы.

169
1+u»[x(2k+t)imj] =0
X(lk-n)Hn*L=(ln+l)x
Очевидно, здесь должно быть \Xk-ti\ >|2n+f|.
(Ясно, что знака равенства быть не может).
Аналогично, можно найти расположение
светлых полос. Если, например, d = Х"\ ,
Л = £ , то f-f,=^^--2jr
Задача № 13. Свет с длиной волны Л
падает на три щели с интервалом d между
соседними щелями. Докажите, что максимум
интенсивности получится под тем же углом, </
что и в случае двух таких же щелей.
Явление диффракции света ничем по су- Рас (5
ществу не отличается от интерференции,
только при диффракции обычно
рассматривается очень много источников света. Пусть у

170
нас вмеется п источников света
одинаковой частоты, фазы и амплитуды,
расположенных на равных расстояниях друг от друга,
и мы хотим выяснить, какая картина будет
наблюдаться на экране ? в точке Е,
находящейся под углом ^ к оси ш'
(см. рис. 66 ).
Рассуждая так же, как я раньше, мы
придем к выводу, ч?о вам надо вычислить
М <^-'' .--
£
И
^
dT
РиС 66.
сумму:
II - Я ■( соА сои не) (tct + Y) + c*i(u>t + 2Y)+
где f - разность фаз между соседними
источниками Ч -

171
Мы уже вычисляли такую сумму (см.гл.
П, § 2, задача »12-б):
«* Т
В данном случае интенсивность У
суммарной волны выражается так:
Попробуем нарисовать график интенсивности
при больших " и малых, близких к нулю
Ч . При Ч = 0 мы получаем
неопределенное отношение с- , но можно учесть,
что при очень малых положительных ■*>? -у * -р
и ал -у % — , так как /^ -— - /
(см. гл. Ш, § 3, зад. fe£?), поэтому при
/ = 0 можно считать
Попробуйте осмыслить этот результат с
физической точки зрения.
С ростом V отношение двух синусов
уменьшается и впервые обращается в нуль при
У= — (tosесть при у^ ).

172
поэтому первый минимум получается при
<ф- 2л
Будем исследовать нему функцию дальше.
Так как при большом п *-н -j меняв т-
ся намного медленнее, чем 4т —j- , то
условие iinz^j-=i дает условие
следующего максимума с большой точностью:
..„г.£/_ / _* 11^ И ^ ye i£
Мп Z ' ^ 2 2 Y п
Оценим приближенно величину этого максимума:
2. У
Итак, при у-^
9 я1' 1 '" 9л1
откуда видно, что второй максимум
составляет меньше 5% главного максимума!
Рассуждая дальше подобным образом, мы
получим следующую интересную картину
зависимости У от ¥ (для удобства мы
У
откладывали по осям величины -j-; и
п ¥. \ П

173
-ч -i
-2 -i 0 1 2 5 4 jvf_
Рис 68. 2;Гс
Задача te I». Покажите, что
рассмотренная выше систеиа источников посылает пучки
волн в разных направлениях, причем каждый
пучок имеет высокий центральный максимум и
ряд слабых максимумов (в каждом пучке
график интенсивности такой хе, как на рис. 68).
Указание. Обратите внимание на то, что
при изменении У на 2 лт , т ж
0. 1 I» ± 2,... значение интенсивности не
меняется; отсюда следует, что при f- Хжт
появляются такие же максимумы, как ща
т - 0. Максимумы, появлявшееся прв ¥=2жт^
называются максимумами т -го щрядна.
Можно было бы рассказать о других
применениях тригонометрии: в комплексных
числах, в геометрии, при решении различных
физических задач. Ш рассчитываем это
сделать в наших последующих выпусках.

т
Тригонометрически* фумюфеи
0О4О&ШХ
Sin
toi
ъ
*
(ко)
0
1
0
«о
цгио€
»Ц)
i
ч
?
ъ
«®
ж
г
г.
1
1
ЯШ
i
i
43
f
»g
0
о*
0
тории^ш сложение.
Ш (eL+/) = -iilldLCMfl +COt*UinjB
U>i(<t.+ji) - casetcoijl -imcdmjt
со} (<<-fi) a coi<totofi + sin <J*«yS
1
Тригонометрические
sin,алее
ал, see. <
ч
<*
I
+
+
-f
-♦-
я
-t-
—
—
—
ш
—
—
-f
-+■
й
—
+
—
—
Основные пфчюнофгприче&ме
4+ctglJ. = иле&.
<?bputt/M>( 2~tMC, 3~t#x
и ■£ -их yt-tof
ОМЫ- 00***1 - iU^ai
JlA3e>l=3si*°<- fa/hie
t& i. ъ Л*£ - JzSftL
0 3." НШ< ~ *t"o<-

14S
Приложение
Формулы
31}*с5ра*й£аки1> qAteuat в
SthU - itnfi = 2w £Z£- On <££
u»<2 +анр = 2a»£±£. an^-£-
3-2
Jin U On/& * ^[(Oi (о/уЗ)- coi (j+s) \
coi °l csij3 = 4 [cos (U-p) *ce>)(U -*j3j ]
Und ш& = j; [<*nf*i-+j>>)i-3m fry!)]
j Ут^греамнвя подстановке
fku/ение простейших mfwimo-
инх л& 4=J>.2=2kTt ± atccei^
амт(-е(.) = Я- але&»а£
сосейр (-<*.)■*- evutgtol
Форивмн Элл' peatertaJb
В
O&gHcwttut:
Я.-радиуг описания* с*э ■••<
X-!u*buyc ёпаехммей ?К£ -
pzzl(a *• jt-c)- полулгрь.ч^ ■
ilAj} ' *w.j ' ->-■>!,'
Теорема ma/tjgv^,
2 2 а» В
я- з.— = zik,
* = -£ = fyA-bhr^f*'"}

ПОДП. К ПЕЧАТИ 15/1Х-69 Г. Л-24612. Ф. 60x90/16
ФИЗ.П.Л. 11,0. УЧ.-ИЗД.Л. 7,35. ЗАК. 2553. ТИР. 6000
ЦЕНА 20 КОП.
ОТПЕЧА1ЛЧО НА РОТАПРИНТАХ В ТИП. ИЗД. МГУ
МОГКПА, ЛЕНГОРЫ.