Софус Ли
ТЕОРИЯ
ГРУПП
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Часть 2
При содействии Фридриха Энгеля
Перевод с немецкого
Л. А. Фрай

Предисловие
Первоначально предполагалось объединить вторую и третью части
теории групп преобразований в один том (см. предисловие к первой части,
стр. xvi); но в конце концов оказалось, что это трудновыполнимо, поэтому
вторая часть вышла в свет отдельным томом; третья и последняя часть
появится позже, к ней также будет добавлен предметный указатель для всей
работы, в то же время в ней читатель получит возможность познакомиться
с новыми, очень важными исследованиями Шура.
Предложенная здесь вторая часть книги содержит теорию контактных
преобразований, а также групп таких преобразований и состоит из пяти
разделов: в первых двух рассматриваются понятие и свойства контактных
преобразований, третий раздел посвящен инфинитезимальным контактным
преобразованиям, а в двух последних представлена теория конечных
непрерывных групп контактных преобразований. Читатель, к слову сказать,
может сравнить предисловия к отдельным разделам.
Были приняты различные меры для того, чтобы облегчить читателю
понимание изложенного.
Прежде всего необходимо упомянуть, что в первых двух разделах
настоящей части, то есть в главах 1-13 (стр. 4-285), совсем не используются
результаты первой части; таким образом, даже те читатели, которые не
знакомы с первой частью, смогут понять оба эти раздела.
Далее в главах 1 и 3 будет развито понятие контактных преобразований
сначала для двух наиболее простых случаев: для плоскости и обычного
пространства, лишь начиная с главы 4 исследования будут перенесены на
пространство произвольной размерности.
Рассуждения, которые при первом прочтении можно пропустить без
ущерба для дальнейшего понимания, выделены, как и в первой части книги,
более мелким шрифтом.
Наконец, мы хотим еще обратить внимание читателя на главы 23 и 24;
они представляются нам наиболее подходящими для введения в общую
теорию групп контактных преобразований, поскольку в них идет речь о
важнейших группах контактных преобразований плоскости и поскольку для
их понимания необходимо лишь ознакомиться с основным содержанием
глав 1, 14, 15, 18 и 21.

Как и прежде, введенные во второй части новые понятия и
представленные здесь новые теории почти всегда принадлежат Ли; редкие
исключения всякий раз оговариваются особо. Также от Ли исходит почти без
исключения вся новая терминология. Содействие Энгеля распространяется
на вторую часть в той же мере, что и на первую.
В заключение еще несколько отдельных замечаний.
В главах 4 и 5 при обосновании теории контактных преобразований
п + 1-мерного пространства мы следовали главным образом тому ходу
мыслей, который первоначально привел Ли к соответствующим утверждениям
о контактных преобразованиях. По этой причине изящное обоснование
основного утверждения теории контактных преобразований, принадлежащее
А. Майеру, в нашу книгу не вошло.
Название главы 13 требует объяснения, которое в самой главе, к
сожалению, не приводится. Поэтому необходимо сразу пояснить, что
понимается под «структурой группы функций».
В первой части мы ввели понятие структуры r-параметрической
группы преобразований и сказали, что структура такой группы X\j • • • Xrf
определяется константами сы8 в следующих соотношениях:
г
Х{(ХМ)) ~ -M*t(/)) = 2>хвХв/
s=l
(ij х = 1 • • • г).
Понятие структуры r-параметрической группы функций совершенно
аналогично; мы просто говорим, что структура такой группы функций
tfl{x,p) ••• tfrfap)
определяется функциями J?^ в соотношениях
{ФгФх)хр = ftxf^i •'• <Рг) (г, * = 1 • • • г).
При таком подходе содержание главы 13 можно кратко описать следующим
образом: во-первых, в ней определяется, при каких условиях г2 заданных
функций
могут определять структуру r-параметрической группы функций
<pl(x,p) ••• <рг(х,р),
и, во-вторых, там развит метод нахождения всех r-параметрических групп
функций с заданной структурой.
Лейпциг, январь 1890 г.

Часть вторая
Теория контактных
преобразований
и групп контактных
преобразований

Раздел I
Понятие контактных преобразований
В этом разделе будет введено понятие контактных преобразований
и будут выведены наиболее замечательные свойства этих преобразований.
Чтобы глубже проникнуть в суть этих важных преобразований,
необходимо (или по крайней мере желательно) осознавать связь между теорией
контактных преобразований и теорией интегрирования дифференциальных
уравнений в частных производных первого порядка. По этой причине в
главах 4 и 7 кратко изложена теория дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка. При этом основной упор мы делаем на
развитие понятий; мы постараемся дать эти понятия в их истинной
общности. Полная теория интегрирования дифференциальных уравнений в
частных производных первого порядка здесь вообще не приводится, а теория
дифференциальных уравнений в частных производных представлена даже
в большем объеме, чем, строго говоря, было бы необходимо.
Чтобы облегчить понимание чрезвычайно важной, но абстрактной
главы 4, мы сначала кратко изложим теорию контактных преобразований
плоскости в главе 1, а также теорию контактных преобразований трехмерного
пространства в главе 3.

Глава 1
Контактные преобразования
на плоскости
В этой главе мы рассмотрим понятие контактных преобразований
плоскости и выведем несколько простых утверждений. Нашему пониманию
сущности контактных преобразований будет при этом особенно
способствовать введение другого важного понятия, включающего понятия «точка
и кривая на плоскости» в качестве специальных случаев, причем
единственных.
§i
Пусть задано преобразование от двух переменных
xi=X(x,y), 2/1= У (я, у), (1)
и пусть х, у и xi, г/i обозначают координаты двух точек на одной и той
же плоскости в одной и той же прямоугольной системе координат, так что
преобразование (1) выглядит как операция, переводящая точку с
координатами х, ту в точку с координатами x\,yi.
При такой трактовке все точки кривой у — <р(х) = 0 переводятся
преобразованием (1) в точки некоторой новой кривой; или еще короче:
кривая у — (р(х) = 0 переходит в некоторую новую кривую. Уравнение этой
новой кривой получается, если в силу (1) исключить переменные х, у из
у — ip(x) = 0; в общем случае оно, очевидно, может принимать
аналогичный вид: у\ — Ц)\(х\) — 0; те случаи, где это невозможно, мы здесь не
рассматриваем.
Каждой точке х, у кривой у — (р(х) — 0 соответствует определенное
значение производной

а каждой соответствующей точке х\ — X, у\ = Y преобразованной кривой
yi — (fi{xi) — 0 — определенное значение следующей производной:
Между величинами у[ и у' существует взаимосвязь, которую мы хотим
рассмотреть.
Если х + dx, у + dy — точка кривой у — ip(x) = О, бесконечно близкая
точке х, у, то имеет место равенство dy — y'dx — 0; для соответствующей
точки х\ + olxi, y\ -\-dyi преобразованной кривой также справедливо: dy\ —
—y\dx\ — 0. Выражая в последнем уравнении х\ и у\ через ж и ту в силу (1),
получаем:
"-*«-(g-*£)*+(f-*f)*-°-
Однако dx и dy связаны при наложенном условии лишь соотношением dy —
— y'dx = 0, а в остальном — совершенно произвольны; следовательно,
только что найденное уравнение между dx и dy может принимать вид dy —
— y'dx = 0, то есть должна существовать величина д, такая, что уравнение
(£-*£)*+(f-*f )*=**-•*>
выполняется для всех значений dx и dy. Сравнивая коэффициенты при dx
и dy, мы получаем отсюда
{дУ „,' SX
дх Vl дх ~ 9У>
следовательно, убирая о и разрешая относительно у[:
(2)
дУ+у'дГ
f дх ду
дХ . ,дХ
дх У ду
что является хорошо известной формулой.

Мы выразили здесь у[ через х, у, у'; но поскольку уравнение (3)
очевидно разрешимо относительно у\ то при помощи (1) можно также,
наоборот, выразить у' через хь уи у'\\ итак, мы видим, что уравнения (1) и (3),
вместе взятые,
г
V
представляют преобразование от трех переменных х, у и у'.
Преобразование (1) преобразует одновременно с х и у также
величину у\ причем так, как это задается преобразованием (4). Поэтому мы
говорим, что преобразование (4) возникло в результате продолжения
преобразования (1) и называем (4) просто продолженным преобразованием,
соот ветствующим (1).
Продолженное преобразование (4) по своему построению таково, что
имеет место тождество вида
dY - PdX = g{dy - y'dx), (5)
где q имеет следующее значение:
dXdY _ ЭХдУ
дх ду ду дх
°~ u2L+y'§2L
дх ду
и является, таким образом, определенной функцией от х, у, у1. Это
означает, что преобразование (4) оставляет уравнение Пфаффа dy — y'dx — 0
инвариантным. Кроме того, приведенные выше рассуждения показывают,
что при заданных Х(х,у) и У(х, у) величины g и Р однозначно
определены тождеством (5) как функции от х, у, у'. Следовательно, мы можем
сказать:
Продолженным преобразованием (4), соответствующим
преобразованию (1), является единственное преобразование вида
xi=X{x,y), yi = Y{x,y), у[ = П{х,у,у(), (6)
которое оставляет уравнение Пфаффа dy — yfdx = 0 инвариантным.
= Х(х,у), ух =У(х,у),
дх ду
д)£_ , „,дХ_
дх^у ду
= Р{х,у,у'),
(4)

Касательная к кривой у — ip(x) = 0 в точке х, у задается
соответствующими этой точке значениями х, у, у\ ее уравнение имеет вид
Касательная к преобразованной кривой в точке х\ — X, у\ —Y такова:
Ъ-У\ =i/i(?-zi),
где значение у[ берется из (4). Отсюда следует, что все кривые,
имеющие общие с кривой у — (р(х) = 0 точку х, у и соответствующую
касательную, переходят под действием преобразования (1) в такие кривые,
которые имеют общие с кривой у\ — ц>\{х\) — 0 точку х\ — X, у\ — Y
и соответствующую касательную. Выражаясь короче, преобразование (1)
превращает такие кривые плоскости, которые соприкасаются в некоторой
общей точке, снова в кривые, соприкасающиеся в некоторой общей точке.
Система двух величин х и у представлена на плоскости некоторой
точкой. Если добавить третью величину у', то мы получим некоторую прямую,
относящуюся к точке х, у и проходящую через нее, а именно, общую
касательную
О " У = y'(t - x) (7)
всех кривых, которые проходят через точку х, у и для которых величина ^
в этой точке имеет в точности значение у'. Поэтому естественно толковать
точку х, у в сочетании с проходящей через нее прямой (7) как
геометрический образ системы значений х, у, у1'. Определенную таким образом
фигуру, то есть совокупность точки х, у и проходящей через нее прямой (7), мы
назовем линейным элементом или просто элементом плоскости х, у.
Величины х, у, у' будем понимать как координаты этого линейного элемента.
После введения понятия линейного элемента мы можем назвать
преобразование (4) преобразованием линейных элементов плоскости х, у в
противоположность преобразованию (1), являющемуся точечным
преобразованием этой плоскости. Поскольку (4), кроме того, является продолженным
преобразованием, соответствующим (1), то мы имеем
Утверждение 1, Всякое точечное преобразование
xi = Х(х, у), yi = У(х, у) (1)
плоскости х, у задает преобразование линейных элементов плоскости;
аналитическим выражением этого последнего преобразования будет про-

долженное преобразование, соответствующее (1),
dY+y'QY
дх dxj
Х! = Х{х,у), yi = Y(x,y), yi=g^ ^' (4)
характеризующееся тем, что оставляет уравнение Пфаффа dy — y'dx = 0
инвариантным.
Если выбрать точечное преобразование (1) совершенно общим
образом, то преобразование линейных элементов (4) не будет общим, а
будет, очевидно, обладать двумя следующими специальными свойствами: во-
первых, оно всегда превращает те линейные элементы, которые приложены
к одной и той же точке, в линейные элементы с общей точкой и, во-вторых,
оставляет, согласно утверждению 1, уравнение Пфаффа
dy — y'dx — 0
инвариантным.
Можно легко убедиться в том, что оба эти свойства одновременно
выполняются лишь для преобразований вида (4). Действительно, любое
преобразование линейного элемента, обладающее первым из этих двух
свойств, очевидно, выглядит так:
xi = Х(х, у), ух = У(х, у), у[ = Я (ж, у, у'); (6)
а если преобразование такого рода оставляет уравнение Пфаффа dy —
— y'dx = 0 инвариантным, то оно является, согласно стр. 6, продолженным
преобразованием, соответствующим преобразованию
xi = Х(х,у), г/1 = Y(x,y),
то есть имеет вид (4).
Отсюда мы видим, что преобразования вида (4) полностью
определены двумя вышеуказанными свойствами.
Но в таком случае очевидно, что второе из названных свойств не
является следствием первого, а вот является ли первое свойство следствием
второго, напротив, сразу совершенно неясно; вполне можно предположить, что
продолженные точечные преобразования (4) будут единственными
преобразованиями от х, у, у', оставляющими уравнение Пфаффа инвариантным.
Мы покажем, что такое предположение не соответствует действительности

и что, помимо продолженных преобразований (4), имеется еще бесконечно
много преобразований от х, у, у\ оставляющих уравнение Пфаффа
инвариантным. Будет естественно использовать для них и для продолженных
точечных преобразований одно общее название. Поэтому всякое
преобразование от х, у, у', оставляющее уравнение Пфаффа
dy — у' dx = 0
инвариантным, мы назовем контактным преобразованием1
плоскости х, у. Продолженные точечные преобразования (4) могут быть
охарактеризованы просто как такие контактные преобразования, которые всегда
переводят линейные элементы с одной и той же точкой снова в линейные
элементы с одной и той же точкой.
§2
Теперь нашей следующей задачей является описание всех
преобразований от х, у, у', являющихся контактными преобразованиями
плоскости х, у.
Рассмотрим произвольное преобразование
Хг = Х(х, у, у'), ух = Y (х, у, у'), у[ = Р(х, у, у'). (8)
Поскольку оно оставляет уравнение Пфаффа dy — yfdx = 0 инвариантным,
то оно удовлетворяет тождеству вида
dY -PdX = g(dy-yfdx),
где д — некоторая функция от х, у, у'.
Функция д не может тождественно обращаться в нуль; в самом деле,
тождество
dY - PdX = 0
повлекло бы за собой три следующих:
9У _ рдХ_ = dY_ _ рдХ = 8Y_ _ р9Х ^ Q.
дх дх ду ду ду1 ду1
'Sophus Lie, Gottinger Nachrichten, февраль 1870 г. и октябрь 1872 г.; Comptes rendus de
rAcademie des sciences, Paris, октябрь 1870 г.; Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania,
1870-1873 гг.; Mathematische Armalen, том V и VIII.

следовательно, все определители второго порядка матрицы
\дХ дХ дХ\
дх ду ду
\дУ дУ дУ\
| дх ду ду' |
тождественно равнялись бы нулю, так что X, У не были бы независимыми
функциями от х, у, у', а уравнения (8) не задавали бы никаких
преобразований.
Если теперь предположить, что у[ и у' исключены из уравнений (8)
нашего контактного преобразования, то мы должны получить по крайней
мере одно соотношение между х, у, х\, у\\ но вполне возможно также, что
получатся два независимых соотношения такого рода.
Второй случай может иметь место лишь тогда, когда X и У не
содержат у', то есть когда (8) имеет вид
xi = Х(х, у), т/1 = У (ж, у), у[ = Р{х, у, у').
Это преобразование, однако, оставляет, согласно стр. 6, уравнение Пфаффа
dy — y'dx = 0 инвариантным тогда и только тогда, когда оно возникает из
точечного преобразования
xi = Х(х,у), ух = Y(x,y)
в результате его продолжения. Итак, мы имеем
Утверждение 2. Любое контактное преобразование
xi=X(x,y,yf), yi = Y(x,y,y'), y[=P(x,y,yf) (8)
плоскости х, у, из уравнений которого следуют два независимых
соотношения только между х, у, х\, у\, имеет вид
дх ди
xi = Х(х, у), ух = У (ж, у), yi = — —
дх ду
и потому является продолженным точечным преобразованием этой
плоскости.
Теперь рассмотрим случай, когда из уравнений (8) нашего контактного
преобразования получается лишь одно соотношение между х, у, х\, yi,
например, следующее:
j?(.x,y,xbyi) = 0.

Ясно, что в этом случае из (8) может следовать только одно
единственное соотношение между dx, dy, dx\, dyi, не содержащее yf и у[, а именно,
соотношение
-^-dx + -~-dy + ^—dxi + ^—dyi = 0.
ах а?/ axi ду\
Однако (8) должно быть контактным преобразованием плоскости х, у, то
есть должно выполняться уравнение вида
dyi - y[dxi - q(x, у, yf){dy - y'dx) = 0.
Если в нем выразить у[ и у' в силу (8) через х, у, xi, уь что при
наложенном условии возможно, то мы получим свободное от у1 и у[ соотношение
между dx, dy, dx\, dyi, которое должно быть идентично найденному
прежде. Другими словами, уравнения
дП . 3Q , дП . дП = / . / . х
дх ' ду ' дх\ ' дух " * * '
должны быть следствием уравнений преобразований (8). При этом легко
показать, что ни одна из производных от Q не обращается в нуль в силу (8);
в противном случае все четыре производных от Q обращались бы в нуль,
что, очевидно, невозможно.
Отсюда мы видим, что в силу (8) тождественно выполняются
следующие три уравнения:
Я(х,,,хьИ)-0. f +V'f =0, Ш+АШ =0,
а поскольку они независимы друг от друга, то составленная из них система
уравнений должна быть эквивалентна (8). Таким образом,
Всякое контактное преобразование плоскости ху, из уравнений (8)
которого следует лишь одно соотношение i?(x, у, х\, у\) — 0 только
между х, у, х\, у\, задается тремя уравнениями'.
n = Q m+j/m = 0i м+у;М = 0. (so
дх ay dxi dyi
Если, наоборот, задана какая-либо функция Q от х, у, х\, уь
обладающая тем свойством, что три уравнения (8') разрешимы относительно
как xi, y\ у[, так и х, у, у', то эти три уравнения определяют контактное

преобразование плоскости х, у. В самом деле, в силу преобразования (8')
уравнение
дО i , 3Q 1 . дО 1 . дО 1 А
ox ду ox i oyi
превращается в
§^{dyi ~ yirfxi} + ^{dy - y'dx\ = 0,
то есть действительно оставляет уравнение Пфаффа dy — y'dx = 0
инвариантным. Соответствующая функция q(x, у, yf) имеет значение
дО
_ ду
Q~ ~~дП'
дуг
Поэтому, если мы хотим выяснить, задает ли некоторая система
уравнений вида (87) контактное преобразование, достаточно лишь установить,
разрешима ли она относительно как хь уь у[9 так и х, у, у'.
Если система уравнений (8') допускает оба этих разрешения, то во
всяком случае необходимо, чтобы в О одновременно имелись все четыре
переменные х, у, х\ и у\. Если это условие выполнено, то (8') будет
всегда определять величины xi, yi, y[ как функции от х, у, у', коль скоро
уравнения
в-°- f+"f -°
разрешимы относительно xi, yi или, что то же самое, коль скоро три
уравнения
О = 0, -у' + А^=0, 1 + А^=0
ох ду
(9)
могут быть разрешены относительно хь yi и А. Чтобы выяснить, так это
или нет, надо составить по известному правилу определитель
q ом qj/
дО
дх\
дО
ду\
А
£*- А
дх
д2Р
дхдх\
д2о
А
а/?
ду
д2П
дудх\
д2П
дхду\ дудуг

который в результате деления на А переходит в определитель
дП I
ду
д2П
дудх\ '
д2П
dydyi |
а затем исследовать, обращается ли Л в нуль в силу (9) или, что то же
самое, в силу Q = 0. Если это не так, то уравнения (8') заведомо разрешимы
относительно х\, уь у[.
Определитель Л, очевидно, является симметричным по отношению
к обеим парам величин: х, у и xi, у\. Поэтому если Л не обращается в нуль
в силу J? = 0, то уравнения (8') обязательно разрешимы также
относительно х, у, у', а поскольку, как мы только что видели, они могут быть
одновременно разрешены относительно xi, yi, y[, то они представляют собой
преобразование; это преобразование является, согласно сделанному выше
замечанию, контактным преобразованием.
Из вышеизложенного следует, что уравнения (8') задают некоторое
контактное преобразование тогда и только тогда, когда Q содержит все
четыре переменные х, у, х\ и уь и когда Л не обращается в нуль в силу
/2 = 0. Однако легко видеть, что последнее условие является достаточным
само по себе; действительно, если Q не содержит все четыре величины х,
У, %1, Уь то Л тождественно равен нулю.
Можно было бы также спросить, не дают ли уравнения (8') некоторое
контактное преобразование уже тогда, когда Q содержит все четыре переменные х, у,
xi, у\. На этот вопрос, однако, пришлось бы ответить отрицательно, как показывает
пример
П = а(х,у) + (3(xi,yi),
где определитель i? обращается в нуль тождественно, какими бы функциями своих
аргументов ни были а и (3.
Полученный результат мы можем выразить следующим образом:
Теорема 1. Если функция Q от четырех переменных х, у,
Xi, y\ такова, что определитель
дП_ I
ду
д2П
дудх\
д2п
dydyi
0 <М1
дх
дП д2П
дх\ дхдх\
до д2п
ду\ дхдуг
0 Ш
дх
дП д2П
дх\ дхдх\
дП д2П
дуг dxdyi

не обращается в нуль в силу Q = О, то уравнения
П(х,у,х1,у1) = 0, ^ + 2/^ = 0. ахТ+У1^=° <8)
разрешимы относительно как х\, у\, у[, так и х, у, у' и задают
контактное преобразование плоскости ху. Если выбрать Q
самым общим образом так, чтобы Л не обращался в нуль в силу
Q — 0, то (8') дает самое общее контактное преобразование
xi = Х(х, у, yf), 2/i = Y(x, у, у'), у[ = Р(х, у, у'),
из уравнений которого получается лишь одно соотношение
только между х, у, х\, у\. Все остальные контактные
преобразования плоскости ху являются ее продолженными
точечными преобразованиями2.
Примеры. Если положить
то мы находим Л — 1, так что Л в силу Q — О не обращается в нуль,
следовательно, уравнения
у + г/i - xxi = 0, -xi + у' = 0, -х + у[=0
должны задавать контактное преобразование. На самом деле, из этих
уравнений следует
Х\ = у', J/1 = ху' - у, 2/i = я, (10)
с другой стороны,
х = у[, у = х1у[-у1, у' = хъ
и в то же время
dyi - y[dxi = d(xy' - у) - xdy' = -(dy - y'dx).
Таким образом, функция g(x, у, у') для соответствующего контактного
преобразования имеет значение — 1.
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1871 г., Math. Ann., том V, стр. 159, тома
VIII и XI; Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, том I, Христиания, 1876 г.

глядит так:
Xi
y'2 + i
yi = ■
xy' -у
y'2 + i'
vi =
_ x + 2?/y' - xy'2
у - 2xy' - yy'
Для
J? = (x-xi)xi - (y-yi)yi
определитель Л имеет значение
Л = (2xi - x)xi + (2yi - у)уь
которое в силу Q — О не обращается в нуль. Следовательно, уравнения
(x-xi)xi + (у-2/1)2/1 =0
si + 2/2/1 = 0> ^ - 2^i + (у - 2yi)j/i = 0
должны задавать контактное преобразование. В разрешенном виде оно вы-
(и)
Обещанное описание всех контактных преобразований плоскости х, у
теперь выполнено. В частности, теорема 1 показывает, что, помимо
продолженных точечных преобразований, действительно имеется еще одна
более широкая категория преобразований элементов, оставляющих уравнение
Пфаффа dy — y'dx = 0 инвариантным.
Из определения контактных преобразований легко получается важное
Утверждение 3. Если последовательно выполнить два контактных
преобразования
х1=Х(х,у,у'), yi=Y{x,y,yr), y[= P(x,y,y') (12)
и
х2 = Е(хиуиу[), 2/2 = #(xi,2/i,2/i), 2/2 = tf(xi,2/i,2/i) (12')
плоскости х, у, то получающееся преобразование
х2 = А(х, у, у'), уз = В(х, у, у'), у'2 = С(х, у, у') (12")
с«<9## будет контактным преобразованиям этой плоскости.
В самом деле, в силу (12) при условиях этого утверждения имеет место
соотношение вида
dyi - y[dxi = g(x, у, у') • [dy - y'dx),

а в силу (12') — соотношение вида
dy2 -y2dx2 =<7(xi,ybyi) • (dyi -y[dx[).
Если при помощи (12) исключить из обоих этих уравнений переменные х\,
yi,y[, то получается соотношение
dy2 - y'2dx2 = а(Х, У, Р) • д(х, у, у') • (dy - y'dx'),
которое имеет место в силу тех соотношений, которые получаются из (12)
и (12') в результате исключения хь уи у[. Но тогда (12) и (12') при
исключении х\, у\ и у[ дают как раз уравнения (12"), то есть и (12")
действительно является контактным преобразованием.
С другой стороны, само собой разумеется, что возникающее из
заданного контактного преобразования (12) путем разрешения обратное
преобразование
х = E/(xi,T/i,2/i)> у = V{xi,yuy[), у' = W(xuyuy[)
само будет контактным преобразованием.
§з
В этом параграфе вводится важное понятие, в которое понятия
«кривая» и «точка» входят как специальные случаи.
Всякая кривая y — f{x) = О выделяет среди оо3 линейных элементов х,
у, у' плоскости х, у некоторые оо1, которые мы назовем линейными
элементами кривой3; это такие линейные элементы, каждый из которых состоит
из точки кривой и соответствующей касательной; очевидно, они задаются
уравнениями
!/-/(х) = 0, !/'-/'(*) = 0, (13)
где /'(х) означает производную от /(х) по х.
Продифференцировав (13) один раз и добавив к (13) оба полученных
уравнения
dy - f'(x) • dx = 0, dy' - f"(x) • dx = 0, (13')
мы приходим к системе из четырех уравнений: (13), (13'), которая,
очевидно, обладает тем свойством, что все системы значений х, у, у\ dx, dy,
3 Напомним, что оо*-' обозначает /с-параметрическое семейство. В частности,
«некоторые оо1» следует понимать как «некоторое однопараметрическое семейство». — Прим. ред.

dy\ удовлетворяющие (13), (13'), удовлетворяют также уравнению
Пфаффа dy — y'dx = 0. Другими словами, уравнение Пфаффа dy — y'dx = 0
имеет место в силу объединенных уравнений (13) и (13').
Если система уравнений
Ф(х,у,у')=0, Ф{х,у,у')=0
обладает тем свойством, что уравнение Пфаффа dy — y'dx = 0 имеет место
в силу следующих четырех уравнений:
Ф = 0, # = 0, dФ = 0, d$ = 0,
то мы просто скажем, что эта система Ф — 0, Ф = 0 подчиняется
уравнению Пфаффа dy — y'dx — 0 или что она ему удовлетворяет.
Используя эту терминологию, мы можем сформулировать полученный
нами выше результат следующим образом.
Система уравнений
у-/(*) = 0, у'-/'(*)= 0, (13)
задающая оо1 линейных элементов кривой, удовлетворяет уравнению
Пфаффа dy — y'dx = 0.
Легко видеть, что кроме систем уравнений вида (13), каждое из
которых представляет все линейные элементы кривой, существуют и другие
системы уравнений:
Ф(х,у,у')=0, Ф(х,у,у') = 0,
удовлетворяющие уравнению Пфаффа dy — y'dx — 0.
В самом деле, рассмотрим семейство всех линейных элементов х, у, у',
проходящих через одну и ту же точку хо, уо, или короче: линейные
элементы точки хо, уо. Уравнения этого семейства таковы:
х = х0, у = Уо, (14)
после их однократного дифференцирования получается
dx = 0, dy = 0, (14')
так что уравнение dy — y'dx = 0 имеет место в силу (14) и (14;).
Следовательно, любая система уравнений вида (14) также удовлетворяет
уравнению Пфаффа dy — y'dx = 0.

Теперь мы докажем, что системы уравнений вида (13) и (14) —
единственные, удовлетворяющие уравнению Пфаффа dy—y'dx — 0. Мы сделаем
это, задав непосредственно все системы уравнений
Ф(я,3/,1/')=0, Ф{х,у,у') = 0, (15)
обладающие этим свойством.
Из (15) получаются либо два соотношения только между х, у, либо
лишь одно такое соотношение. В первом случае (15) может принимать вид
х = а, у = b и поэтому представляет все линейные элементы некоторой
точки. Во втором случае одно имеющееся соотношение между х и у,
очевидно, не может не содержать у; таким образом, оно приводится к виду
у — f(x) = 0. В результате дифференцирования мы получаем отсюда dy —
— f'{x)dx — 0; поэтому для того, чтобы система уравнений (15)
удовлетворяла уравнению Пфаффа dy — y'dx — 0, выражение (/' — у') dx должно
обращаться в нуль для любого dx в силу (15). Таким образом, наша система
уравнений (15) может принять вид (13)
у-/(*) = 0, y'-f'(x) = 0.
Итак,
Теорема 2. Если система уравнений
Ф(х,у,у') = 0, Ф(х,у,у')=0
удовлетворяет уравнению Пфаффа, то со1 линейных
элементов, которые она определяет, — это либо линейные элементы
кривой у — f(x) = 0, либо линейные элементы точки х = xq, у =
= У04
Вполне естественно использовать для определенных таким образом
семейств линейных элементов общее название. Поэтому для семейства
из сю1 линейных элементов х, у, у' мы введем термин
элемент-многообразие5 или короче — элемент-Mi 6 плоскости ху, если система уравнений
Ф(х,у,у') = 0, Ф{х,у,у')=0
этого семейства удовлетворяет уравнению Пфаффа dy — y'dx = 0.
4Lie, Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г.; Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania
1871 г., май 1872 г. и ноябрь 1874 г.; Math. Ann., том V и IX.
5Там же.
вС. Ли использует термины «Element-Mannigfaltigkeit» и «Element-A/i», мы будем чаше
всего пользоваться термином «элемент-многообразие». — Прим. ред.

Тем самым получено понятие, о котором мы говорили выше (стр. 5
и 16) и в которое в качестве специальных случаев входят понятия «кривая»
и «точка».
Всякое элемент-многообразие является фигурой линейных элементов',
но поскольку оно состоит из всех линейных элементов либо некоторой
точки, либо некоторой кривой, то оно может пониматься как точечная фигура,
а именно, это будет либо точка, либо кривая.
Примечательно, что среди только что найденных
элемент-многообразий Mi плоскости х, у содержатся все точки, но не все кривые: те, что
имеют вид х = а, то есть параллельны оси у, мы при задании всех
элемент-многообразий Mi не получили. В используемых здесь координатах х,
у, у' линейных элементов это имеет свои причины: для всех линейных
элементов, прямая которых параллельна оси у, эти координаты неприменимы,
поскольку для них у' будет бесконечно большим. Позже, когда мы будем
проводить эти исследования для произвольного числа переменных, мы
познакомимся с элемент-координатами, которым этот недостаток не
свойственен.
Можно спросить, имеются ли, кроме уравнения dy — y'dx = 0, другие
уравнения Пфаффа, которым удовлетворяют все элемент-многообразия Mi
плоскости х, у. Ответить на этот вопрос несложно.
Если уравнению Пфаффа
а(х, у, у') • dx + Ь(х, у, у') • dy + с (ж, у, у') • dy' = 0 (16)
удовлетворяют все элемент-многообразия плоскости х, у, то ему
удовлетворяют, в частности, и все системы уравнений вида
у-/(*) = 0, y'-f'(x) = 0.
Отсюда следует, что уравнение (16) имеет место в силу уравнений
у - Дх) - 0, у1 - f\x) = О, dy- f(x)dx = 0,
dy' - f"{x) dx = О,
какой бы функцией от х ни была /, или, что то же самое, что уравнение
{а(х, у, yf) + /' • Ь(х, у, yf) + /" • с(х, у, yf)}dx = О
тождественно выполняется для всех значений dx и для любой
функции Дх). Но это возможно только тогда, когда уравнения
с(х, у, у') = 0, а(х, у, у') + /' • Ь(х, у, у') = О

тождественно имеют место для всех числовых значений величин х, /, /',
то есть когда (16) имеет вид
Ь{х,у,у') • {dy-y'dx) = 0
и, следовательно, эквивалентно уравнению dy — y'dx = 0.
Таким образом, мы имеем
Утверждение 4. Уравнение dy — y'dx = 0 является единственным
уравнением Пфаффа, которому удовлетворяют все
элемент-многообразия М\ плоскости х, у, и даже единственным уравнением Пфаффа,
которому удовлетворяют все элемент-многообразия М\ специального вида:
у-/(*) = 0, y'-f'(x)=0.
Это утверждение нам вскоре пригодится.
§4
Результаты, полученные в предыдущих параграфах, приводят нас к
новому свойству контактных преобразований, являющемуся для них
характеристическим, а стало быть, к новому определению контактных
преобразований.
Это свойство состоит попросту в том, что всякое
элемент-многообразие М\ плоскости ху при выполнении контактного преобразования снова
переходит в некоторое элемент-многообразие М\.
Так, если уравнения
Ф(х,у,у') = 0, Ф(х,у,у')=0
представляют элемент-многообразие, то, как мы знаем, уравнение dy —
— y'dx = 0 имеет место в силу следующих четырех уравнений:
Ф = 0, Ф = 0, d$> = 0, d$ = 0. (17)
Если же вместо х, у, у' мы при помощи контактного преобразования введем
новые переменные xi, уь у[, то Фи Ф перейдут в некоторые функции Ф\
и Ф\ от xi, j/i, y[; таким образом, система уравнений (17) превращается
в следующую:
Ф1 = 0, Pi = 0, dФ1=0, d9i= 0; (17')

а из dy — y'dx — 0 мы получаем новое уравнение dy\ — y[dx\ = О, которое
теперь в свою очередь имеет место в силу (17'). Следовательно, уравнения
Фх = О, Ф\ = 0 также всегда представляют элемент-многообразие М\.
С другой стороны, если преобразование
xi =X{x,y,y'), yi = Y(x,y,y'), y[ = Pi{x,y,y') (18)
таково, что оно переводит любое элемент-многообразие Mi плоскости ху
в элемент-многообразие Mi, то это преобразование будет контактным.
Чтобы это доказать, предположим, что к произвольному
элемент-многообразию применено преобразование (18) вида
у-/(*) = 0, y'-f'(x)=0; (19)
тогда мы должны из (19), какой бы ни была выбрана функция /(х),
получить систему уравнений
£i(si,yi,yi) =0, ^i{xuyuy[) = 0,
удовлетворяющую уравнению Пфаффа dyi — y[dxi = 0. Поэтому, если мы
с помощью (18) вернемся к старым переменным х, у, у\ то dy\ —y[dxi = 0
превращается в уравнение Пфаффа
dyi - y[dxi = А{х, у, у') dx + В(х, у, у') dy + С(я, у, у') dy' = 0, (20)
которому, очевидно, удовлетворяют все системы уравнений вида (19). Но,
согласно утверждению 4 (стр. 20), уравнение dy — y'dx = 0 является
единственным уравнением Пфаффа с таким свойством, следовательно,
выражение
А(х, у, y')dx + B(x, у, y')dy + C(x, у, y')dyf
должно иметь вид B{dy — y'dx); поэтому в силу (18) имеет место
соотношение вида
dyi - y[dxi = В(х,у,у') • {dy - y'dx),
то есть (18) действительно является контактным преобразованием.
Тем самым доказано, что вышеуказанное свойство является
характеристическим для контактных преобразований плоскости, поэтому мы можем
сформулировать
Утверждение 5. Контактные преобразования плоскости могут быть
также определены как такие преобразования линейных элементов этой

плоскости, которые переводят всякое элшент-многообразие М\ снова
в некоторое элемент-многообразие М\,
Элемент-многообразие М\ плоскости состоит, как мы знаем, либо
из оо1 элементов некоторой кривой, либо из оо1 элементов некоторой
точки. Поэтому из нового определения контактных преобразований следует,
что оо1 элементов кривой переходят в оо1 элементов кривой или точки;
короче говоря, при контактном преобразовании кривая переходит либо в
кривую, либо в точку; с другой стороны, точка также переходит либо в кривую,
либо в точку.
Ясно, что продолженные точечные преобразования (4) являются
единственными контактными преобразованиями, которые переводят любую
точку снова в точку.
Рассмотрим далее контактное преобразование, не являющееся
продолженным точечным преобразованием, то есть таким, уравнения которого
xi =Х(ж,г/,г/'), j/i = У(х,г/,г/)> у[=Р(х,у,у') (21)
дают лишь одно соотношение
/2(x,y,xbj/i) =0
только между х, у, х\,у\.
Это контактное преобразование переводит оо1 линейных элементов
точки х — а, у = 6 в оо1 линейных элементов, точки которых
заполняют кривую J?(a, Ь, x\,yi) — 0. Но поскольку эти новые сю1 элементов
образуют элемент-многообразие, то они (теорема 2, стр. 18) являются
линейными элементами упомянутой кривой; таким образом, мы видим, что
наше контактное преобразование превращает точку х — а, у — Ъ в
кривую 42 (а,6,Xi,yi) = 0. Точно так же мы видим, что они переводят кривую
fi{x,y,a\,b\) — 0 в точку х\ — а\, у\ — Ь\?
1 Плюккер рассматривает в своей работе «Analytisch-geometrische Entwickelungen» (ч. 2),
произвольное уравнение Q(x,y,x\,y\) = 0 и трактует при этом ж, у как координаты
некоторой точки, a rci, у\ — как координаты другой точки. При такой трактовке уравнение Q = О
ставит в соответствие каждой точке х = а, у = Ь кривую Q{a,b,x\,y\) = 0, а каждой
точке х\ — аь у\ = Ъ\ — кривую Q{x,y,a\,b\) = 0; далее Плюккер подчеркивает, что
кривые, соответствующие точкам х\,у\ кривой J?(a,6,х\,у\) = 0, все проходят через
общую точку. Вероятно, Плюккер намеревался показать в более поздних своих работах, что
уравнение Q — 0 или, как он выражается, «aequatio directrix: Q — 0» устанавливает
соответствие, сопоставляющее кривым, касающимся друг друга в одной точке, кривые с тем же
свойством, вообще между всеми кривыми плоскости. Действительно, к рассуждениям Плкж-
кера нужно добавить совсем немного, чтобы получить исходную точку для геометрической

Примеры. Согласно утв. 10, уравнение
у + г/1 - xxi = 0
определяет контактное преобразование, под действием которого точка х =
= а, у = b переходит в прямую у\ — ах\ + b — 0, то есть в свою поляру
относительно конического сечения 2у — х2 = 0; прямая у — а\х + bi = 0
превращается в точку х\ = ai, yi = Ъ\, то есть в свой полюс относительно
этого конического сечения.
Контактное преобразование, определенное уравнением
(x-xi)xi + {y-yi)yi =0,
превращает любую точку х = а, у = b в окружность, проходящую через
эту точку и через начало координат и имеющую диаметром прямую,
соединяющую эти две точки. Любую прямую оно переводит в точку, а именно,
в основание перпендикуляра, опущенного на нее из начала координат.
Добавим к этому некоторые общие замечания.
Если уравнение
J?(x,y,xbyi) =0
определяет контактное преобразование, то всякая кривая i?(x, у, ai, &i) = 0
переходит под действием этого преобразования в точку х\ = ai, y\ = Ь\\
это мы видели выше.
С другой стороны, если мы хотим знать, определяет ли заданное
уравнение вида
J2(x,y,xbyi) =0
контактное преобразование, то, согласно утв. 9, необходимо выяснить,
разрешимы ли уравнения
дП
Я(х,у,хьУ1) = 0, У'= "^7 <22)
ду
относительно х\ и yi или они дают соотношение
У(х,у,у') = 0
только между х, у, у'. Лишь в первом случае Q — 0 задает контактное
преобразование.
теории контактных преобразований плоскости; однако надо при этом заметить, что то же
самое можно сказать и относительно исследований Лагранжа, касающихся сингулярных
решений. Лагранж был почти так же близок к понятию контактного преобразования плоскости,
как и Плюккер. (Ср. Lagrange, Lecons sur le calcul des fonctions.)

Уравнения (22), если в них придать величинам х\ и у\ постоянные
значения х\ — а\, у\ — 6ь определяют линейные элементы кривой,
принадлежащей семейству кривых Q{x,y,a\,b\) = 0. Если мы свяжем это
замечание со сказанным выше, то получим
Утверждение 6, Если семейство кривых ft{x,y,ai,bi) = 0 с
параметрами а\, Ь\ таково, что линейные элементы х, у, у1 всех кривых этого
семейства не удовлетворяют ни одному соотношению V(x,y,yf) = 0, то
существует одно и только одно контактное преобразование
xi = Х(х, у, у'), yi = У (х, у, у'), у[ = Р(х, у, у'),
переводящее любую кривую Q(x,y,a\,bi) = 0 в точку х\ = а\, у\ = Ъ\;
уравнения этого контактного преобразования получаются путем
разрешения уравнений
я(х,»,х11У1) = о, ^ + у^ = о, a^ + yi^ = o
относительно x\, y\, y[.
Если линейные элементы х, у, у' всех кривых семейства J?(x, у, а, Ь) =
= 0 удовлетворяют соотношению V(x, у, у') — 0, то все кривые этого
семейства являются интегральными кривыми дифференциального уравнения
первого порядка
v'(*•»•!)-°-
а поскольку это дифференциальное уравнение имеет лишь оо1
интегральных кривых, то и семейство J?(x, у, а, Ь) = 0, по всей видимости, содержит
не оо2, а лишь оо1 различных кривых. Таким образом, то, что линейные
элементы всех кривых некоторого семейства i?(x, у, а, Ъ) — 0 не
удовлетворяют никаким соотношениям вида V(x, y,yf) = 0, равнозначно тому, что
семейство J?(x, у, а, Ь) = 0 содержит оо2 различных кривых. Это
замечание дает некоторое объяснение и ведет к обобщению сформулированного
выше утверждения.
Пусть дано семейство из оо2 различных кривых, например,
следующее:
W(x,y,a,/?)=0.
Сопоставим кривым этого семейства точки плоскости согласно
некоторому правилу так, что каждой кривой этого семейства будет соответствовать

некоторая точка плоскости, а каждой точке — некоторая кривая.
Следовательно, если под a, b понимать координаты точки, соответствующей а, /?,
то мы положим
а = Л(а,/?), Ь = В(а,р), (23)
где А и В обозначают произвольные, независимые друг от друга функции
своих аргументов.
Разрешив уравнения (23) относительно а и /?,
а = 21(а,Ь), /3 = !8(а,Ь),
и подставляя найденные выражения для а, /? в уравнение W(x, у, а, /?) = О,
мы получаем уравнение
Щя,у,а,й) = Л(я,у,а,Ь)=0,
представляющее точно такое же семейство из оо2 кривых плоскости х, у.
Поэтому, согласно утверждению 6, существует контактное преобразование,
переводящее кривую i?(x, у, а, Ь) = 0 в точку х\ — а, г/i = Ь.
Там самым мы получили заявленное обобщение утверждения 6:
Утверждение 7. isc/ш на плоскости х, у имеется некоторое
семейство из оо2 кривых W(x,y,a,P) = 0, и если эти кривые согласно
некоторому правилу сопоставить точкам плоскости, то существует одно
и только одно контактное преобразование плоскости х, у, переводящее
кривые этого семейства в точки плоскости, при котором каэ/сдая кривая
переходит в соответствующую ей точку
Пример. Совокупность всех окружностей с одинаковым радиусом го
образует двухпараметрическое бесконечное семейство кривых
(х-а)2 + (у-Ь)2 = г1 (24)
Если сопоставить каждой из этих оо2 окружностей ее центр, то каждой
точке плоскости будет соответствовать одна из окружностей, т. е. мы имеем
соответствие с описанным в утверждении 7 свойством. Контактное
преобразование, переводящее любую из оо2 окружностей (24) в ее центр,
определяется уравнениями
(х - хг)2 + {у - у{)2 = rg, х - xi + (у - У1)у' = О,
х-xi + (y-yi)y[ =0,

в разрешенном виде:
xi=x + — У\=У , 0, У\=У\ (25)
л/1 + /2 \Л + у'2
таким образом, оно переводит любой линейный элемент в параллельный
ему .
§5
Теперь мы хотим дополнить исследования двух последних параграфов,
истолковав уравнение Пфаффа dy — y'dx — О понятийно; таким образом,
мы также получим более глубокое понимание природы
элемент-многообразия Mi.
Пусть задано произвольное семейство из оо1 элементов х, у, у'
плоскости, например, таким образом, что х, у, у' представлены как функции
независимой переменной t.
Рассмотрим какие-либо два бесконечно близких значения t: to и to + At
и предположим лишь, что не все три производные ^f > -5?' ~it~ обращаются
в нуль при t = to. Значениям to и to + At соответствуют два бесконечно
близких элемента нашего семейства хо, уо, Уо и хо + Дх, Уо + Ду, Уо + Ду'•
Точки хо,Уо и хо + Ах, уо + Ау отличаются друг от друга на величину
порядка At. На величину того же порядка точка хо + Ах, у о + Ау отстоит
в общем случае от прямой
Ч-Уо = Уо(?-*о)
элемента хо, уо, Уо, поскольку выражение
Ау - у'оДх,
которое может пониматься как мера этого отклонения, в общем случае
имеет первый порядок по At. Но может случиться, что выражение Ау — у о Ах
будет иметь второй порядок по At. Тогда точка хо + Ах, уо + Ау
отклоняется от прямой элемента хо, уо, Уо лишь на величину, бесконечно малую
по сравнению с расстоянием между точками хо,уо и х0 + Ах, уо + Ау.
В этом случае мы говорим, что оба элемента нашего семейства, хо, уо, У о
и хо + Ах, уо + Ау, у'0 + Ау'0, совмещаются.
Это определение можно сформулировать точнее следующим образом.
В семействе из оо1 элементов
х = a(t), у = /?(*), у' = 7(t)

эле,У1ент to совмещается с бесконечно близким элементом to + At
этого семейства*, если выражение
dy _ fdx
dt У dt
обращается в нуль при t — to и при этом не все три производные т^> 7ft' ~dt~
принимают значение нуля при t = to-
Если выражение ^ — у'^| для всех значений t обращается в нуль, то
рассматриваемое семейство образует из оо1 элементов
элемент-многообразие Mi; согласно этому всякий элемент в элемент-многообразии Mi
совмещается с бесконечно близким элементом. Это свойство, разумеется, может
быть использовано для определения понятия элемент-многообразия М\.
То, что все элементы некоторой кривой образуют
элемент-многообразие Mi, основано на том, что касательная к этой кривой в точке х, у отстоит
от бесконечно близкой точки х + dx,y + dy этой кривой лишь на величину,
бесконечно малую по сравнению с расстоянием между точками х, у и х +
+ dx,у + dy. Элементы точки хо^уо образуют элемент-многообразие Mi,
так как все они приложены к этой точке и так как вследствие этого точка
элемента хо, уо> Уо+^Уо лежит на прямой этого элемента, какое бы значение
ни имела у'0.
Используя понятие совмещенного положения двух бесконечно
близких элементов, можно непосредственно определить контактные
преобразования плоскости х, у как такие преобразования элементов этой
плоскости, которые переводят бесконечно близкие, находящиеся в совмещенном
положении элементы в такие же. А поскольку в элемент-многообразии
М\ всякий элемент совмещается с бесконечно близким ему, то
доказанное ранее свойство контактных преобразований, а именно, то, что при
контактном преобразовании любое элемент-многообразие Mi переходит в
элемент-многообразие Afi, кажется само собой разумеющимся.
§6
Мы видели, что контактное преобразование плоскости х, у
превращает всякое элемент-многообразие М\ плоскости снова в
элемент-многообразие Мь Поскольку элемент-многообразие Mi можно толковать еще и как
точечное образование, то мы можем также сказать, что контактное
преобразование переводит каждую кривую либо снова в кривую, либо в точку,
8Ли, Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г.

а каждую точку — либо в кривую, либо снова в точку. Кстати, при этом само
по себе ясно, что кривая в общем случае снова переходит в кривую, так как
уравнение всех кривых плоскости зависит от произвольной функции
одного аргумента, а общие уравнения точки — только от двух произвольных
параметров.
Две кривые, соприкасающиеся в общей точке, имеют общий линейный
элемент, если их интерпретировать как элемент-многообразия М\. Однако
два элемент-многообразия М\ с общим линейным элементом
превращаются при контактном преобразовании в два элемент-многообразия М\,
находящиеся в таком же соотношении. Итак, мы видим, что две
соприкасающиеся кривые переходят при контактном преобразовании снова в две
соприкасающиеся кривые. Отсюда название «контактное9
преобразование». Однако может случиться и так, что одна из этих двух кривых
превратится в точку и эта точка будет тогда лежать на кривой, в которую
переходит другая кривая.
Если контактное преобразование возникло из точечного
преобразования в результате продолжения, то оно преобразует естественным образом
точки и кривые плоскости х, у точно так же, как это точечное
преобразование. К этому нечего более заметить.
С другой стороны, рассмотрим контактное преобразование, не
являющееся продолженным точечным преобразованием, и проследим за тем, как
оно преобразует заданные точки и кривые.
Пусть уравнение между х, у, xi, гд, задающее наше контактное
преобразование, будет таким:
J?(x,y,xbyi) = 0.
Тогда мы уже знаем (ср. стр. 22), что каждая точка х — а, у — b при этом
контактном преобразовании переходит в кривую Q(a, 6,xi,yi) = 0, а
каждая кривая J?(x,у,ai, &i) = 0 — в точку х\ = а\,у\ = Ъ\. Мы можем
добавить, что оо2 кривых i?(x, y,ai, b{) — 0 являются единственными кривыми
плоскости, которые превращаются в точки; это непосредственно ясно.
Теперь допустим, что нам задана произвольная кривая </?(х,у) = 0,
не принадлежащая множеству кривых i2(x,y,ai,6i) = 0, то есть заведомо
переходящая не в точку, а в кривую.
К кривой, в которую превращается ip(x,y) = 0, мы можем прийти
следующим образом.
9Ли использует термин Beruhrungstransformation, что дословно означает «касательное»
преобразование. — Прим. перев.

оо1 точек кривой ip(x, у) — О переходят в оо1 кривых, общее уравнение
которых получается, если в
П(х°,у°,хиу1) = 0
понимать величины х°,у° как параметры, удовлетворяющие уравнению
(f(x°,y°) = 0. Любая точка кривой (р(х,у) = 0 имеет с ней общий
линейный элемент, следовательно, кривая <р{х,у) = 0 превращается в кривую,
имеющую с любой из оо1 кривых
П(х°,у°,хиу1) = 0
общий линейный элемент, короче говоря, она превращается в огибающую
этих оо1 кривых. Чтобы найти эту огибающую, надо по известным
правилам составить уравнения
дх° ду° у дх° ду° у
в которых для краткости вместо n(x°,y°,xi,yi) и (р(х°,у°) записать П°
и <р°. Исключив dx° и dy°, мы получаем
ЭП° dtp0 дП° dtp0 =
дх° ду° ду° дх°
и если при помощи J?0 = 0 и (р° — 0 удалить отсюда параметры х°,у°,
то получится уравнение искомой кривой. Другой путь такой: всякая кривая
J?(x, у, а, Ъ) = 0, касающаяся кривой <р(х, у) = 0, переходит при
контактном преобразовании в точку х\ — а, у\ — Ь, которая, очевидно, лежит на
искомой кривой. Поэтому надо лишь задать соотношение ф(а, Ь) = 0,
которое должно выполняться между a, b для того, чтобы кривая ip(x,y) = 0
касалась кривой j?(x, у, а, Ь) — 0; тогда t/>(xi, y{) — 0 будет
непосредственно являться уравнением искомой кривой. Но чтобы задать ф(а, Ь) = 0, надо,
очевидно, составить уравнения
П(х,у,а,Ь) = 0, <р(х,у) =0,
дП(х,у,а,Ь) dip(x,y)
дх _ дх
dQ{x)y,a)b) д(р(х,у) '
ду ду
а затем исключить х и у. Это согласуется с первым способом.

Наконец, мы можем действовать чисто аналитически. Наше контактное
преобразование, согласно стр. 12, задается уравнениями
д П дП
f2{x,y,xuyi)=0, у' = --^-, у'=—-±.. (26)
ду дуг
Линейные элементы х, у, у1 кривой у?(х, у) = 0 заданы уравнениями
**,у) = 0, %+У% =0. (27)
Поэтому, если мы хотим найти линейные элементы преобразованной
кривой, надо лишь исключить х,у и у' из пяти уравнений (26). Уравнение же
самой преобразованной кривой находится, если исключить еще и у[.
Исключение у' и у[ дает нам уже полученные выше уравнения
дПд<р dQdip
ох ду ду дх
из которых надо еще исключить хну. Таким образом, прямой
аналитический метод приводит к тем же вычислениям, что и проведенные выше
рассуждения.
Чтобы выразить эти результаты лаконичнее, мы назовем контактное
преобразование, не являющееся результатом продолжения точечного
преобразования, собственным контактным преобразованием. Тогда мы можем
сформулировать следующую теорему.
Теорема 3. Если собственное контактное преобразование
плоскости х,у задает соотношение j?(x, у,xi,yi) — 0 между
величинами х, г/, xi, г/i, то связь между кривой у?(х, у)=0 и
преобразованной кривой <£i(xi,yi) = 0 может быть задана двумя
следующими способами: если точка х — а, у — Ь пробегает
кривую (р = 0, то соответствующая кривая j?(a, b, xi,yi) = 0
огибает преобразованную кривую ip\ = 0; если, с другой стороны,
точка х\—а\, у\ — Ь\ пробегает кривую ipi — 0, то
соответствующая кривая j?(x,г/, ai,6i) = 0 огибает кривую </? = 0.10
10Это утверждение было впервые представлено в работе Софу с а Ли Over en Classe
geometriske Transforrnationer, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1871 п; ср. также
Math. Ann., том V, стр. 149.

Примеры. Контактное преобразование, задаваемое уравнением
У + У\ ~ xxi = О,
переводит, согласно стр. 23, каждую точку х = а,у = b в ее поляру у\ —
— ах\ + 6 = 0, соответствующую коническому сечению 2у — х2 = 0;
согласно этому оно, очевидно, переводит любую кривую в ее полярную кривую,
соответствующую коническому сечению. Единственные кривые, которые
переходят не в кривые, а в точки, — это прямые.
Мы видим, что это контактное преобразование совпадает с
преобразованием посредством взаимных поляр Понселе.
Уравнение
(х-х^хг + (y-yi)yi = 0
задавало контактное преобразование, превращающее прямую в основание
перпендикуляра, который может быть опущен на нее из начала координат.
Произвольная кривая переводится этим контактным преобразованием в ее
подошвенную кривую относительно начала координат; это сразу видно,
если учесть, что соответствующая кривая-образ должна состоять из всех тех
точек, в которые переходят касательные исходной кривой.
Это преобразование также уже давно рассматривалось.
И наконец, уравнение
(х - xi)2 + (у - yi)2 = г§
задает контактное преобразование, переводящее каждую кривую в
некоторую параллельную ей кривую.
§7
Если уравнения
xi =Х(х,у,у'), у = Y(x,y,yf), y[ =Р(х,у,у')
задают контактное преобразование, то имеет место тождество вида
(1У - PdX = д(х, у, у1) • (dy - yf dx) (28)
или, что равносильно, имеют место три тождества:
(29)
fдУ
дх
ЭУ_
ду
дУ
{ду'
-"%--«
-*£-»■
-рЩ=о.
Эу'

Если из них исключить величины о и Р, то мы увидим, что справедливо
тождество
М fdY_ , rdY\ _ dY_ (дХ_ 7/дХ.\ = п
ду1 \дх^У ду) ду'\дх^Уду)~
Тогда, используя общепринятое сокращение
д£ (дФ + ,дФ) _дФ(д£ ,dF\ = {рф]
ду1 \дх ^У ду) ду' \дх ^У ду) [ Ь
мы можем сформулировать следующее
Утверждение 8. Если уравнения
Xi = Х{Х, у, у'), Уг = У(х, у, у'), у[ = Р(Х, у, у')
задают контактное преобразование, то между функциями X и Y имеет
место тождество [XY] = 0.
Пусть, с другой стороны, даны две независимые функции X и У,
находящиеся в соотношении [XY] = 0. Тогда уравнения (29), очевидно,
совместны; кроме того, они однозначным образом задают g и Р.
Действительно, в результате исключения g из (29) получаются два
совместных между собой уравнения
dY _ рдХ_ = 0
ду' ду' '
Однако они лишь тогда не задавали бы величину Р, когда оба выражения:
дХ дХ | ,дХ
ду1' дх ду
обращались бы тождественно в нуль, то есть если бы X была независимой
от всех трех переменных х, у, у'. Но это исключено, поэтому Р однозначно
определена. Аналогичное рассуждение показывает, что Р не обращается
в нуль тождественно. Величина g однозначно определена уравнением
9У_рдХ=о
ду г ду в'

и очевидно, что д не может обращаться в нуль тождественно, поскольку из
dY_ _ рдХ = дУ_ _ рдХ_ = дУ_ _ рдХ_ _ 0
дх дх ду ду ду' ду'
следовало бы известным образом (ср. стр. 10), что X и У не являются
независимыми друг от друга.
Если Рид заданы такими, что уравнения (29) становятся
тождествами, то и уравнение
dY - PdX = g{dy - y'dx)
выполняется тождественно, и поэтому уравнения
xi = Х{х, у, у'), уг = У(х, у, у'), у[ = Р{х, у, у')
представляют контактное преобразование, если только три функции X, У, Р
друг от друга независимы. А они являются таковыми: если бы было Р =
= Q(XY), то dY — PdX можно было бы привести к виду V(XY) dU(XY),
то есть выполнялось бы dy — yfdx = ^dU, что неверно.
Итак, имеет место следующая
Теорема 4. Если две независимые друг от друга функции X
и У от переменных х, у, у' находятся в соотношении [XY] = 0, то
можно всегда и притом единственным образом задать такую
функцию Р от х, у, у\ чтобы уравнения
xi = Х(х, у, у'), ух = У (я, у, у'), yi = Р(х, у, у')
представляли контактное преобразование плоскости ху. Если,
с другой стороны, некоторое контактное преобразование
задано уравнениями х\ — X, у\ — У, у[ — Р, то [XY] = О.11
Если рассмотреть любые два уравнения
xi = А(х, у, у7), 2/i = В(х, у, у'), (30)
понимая под Л и В независимые функции своих аргументов, то легко видеть, что
любой кривой у — f(x) = 0 плоскости они в некотором смысле ставят в
соответствие другую кривую этой плоскости. В самом деле, всякому линейному элементу
х,у,у кривой у — f(x) = 0 соответствует в силу уравнений (30) некоторая
точка #i,yi; точки, которые таким образом соответствуют со1 линейным элементам
"Lie, Kurzes Resume mehrerer neuen Theorien, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania,
апрель 1872 г., и Zur analyiischen Theorie der Beruhrungsiransformationen, там же, июнь 1873 г.

нашей кривой, образуют в общем случае кривую, поставленную уравнениями (30)
в соответствие кривой у — f(x) = 0.
Если независимые друг от друга функции А и В, в частности, находятся в
соотношении [АВ] = 0, то, согласно теореме 4, всегда существует одно и только одно
контактное преобразование вида
xi = А(х,у,у), yi = В(х,у,у), у[ = С{х,у,у).
Очевидно, что это контактное преобразование переводит кривую у — /(#) = 0
именно в ту кривую, которая согласно вышесказанному уже поставлена ей в
соответствие уравнениями (30).
Вернемся к случаю, когда уравнения (30) совершенно произвольны, и покажем
прежде всего, каким образом находится кривая, поставленная уравнениями (30)
в соответствие заданной кривой у — f(x) — 0.
оо1 линейных элементов кривой у — f{x) = 0 представлены, согласно стр. 16,
уравнениями
у-/(*) = 0, y'-f(x) = 0.
Геометрическим местом оо1 точек х\,у\, соответствующих этим оо1 линейным
элементам в силу (30), является искомая кривая; следовательно, уравнение этой
кривой мы получим, если исключим х из следующих двух уравнений:
xi = A(x, f{x), f(x)), yi = Bix, fix), fix)). (31)
В общем случае это уравнение можно будет привести к виду у\ — /i(xi) = 0.
Каждому значению х соответствует вследствие уравнений (31) некоторая
точка кривой у\ — fi(x\) = 0. В этой точке производная
имеет значение
dB дВ+у>йВ „дВ
, ^ дх +У ду +У ду>
У\ — — > (32)
dA M + 7/M+t/'M
dx дх ^ У ду ^ У ду'
где у" записано вместо ^- и где в правой части предполагается произведенной
замена:
У = f(x), У = f (х), у" = /" (х).
Отсюда мы видим, что в общем случае у[ не является функцией только от
х,у,у', а зависит также от величины у". С геометрической точки зрения это
сводится к следующему: если две кривые, у — f(x) = 0 и у — tp{x) = 0, соприкасаются
в одной общей точке, то есть имеют общий линейный элемент х,у,у', то
соответствующие им в силу (30) кривые у\ — fi(x) — 0 и у\ — ф\{х\) — 0 хотя и имеют
общую точку
xi = Л(х,2/,2//), у\ = В{х,у,у),

но в общем случае имеют в этой точке различные касательные. Лишь тогда, когда
кривые у — f(x) — 0, у — ip(x) = 0 оскулируют12 в точке х,у, то соответствующие
кривые у\ — fi(xi) — 0, у\ — ^i(xi) = 0 заведомо соприкасаются в точке х\,уг.
Каковы же должны быть функции А и В, чтобы уравнения
xi = А(х, у, у'), yi = В(х, у, у) (30)
двух таких кривых, которые просто соприкасаются, по крайней мере в общем случае
сопоставляли две соприкасающиеся кривые? Иначе говоря, при каких
обстоятельствах выражение (32) для у[ будет функцией только от х,у,у' и не будет зависеть
от у"? Очевидно, что необходимым и достаточным является, чтобы А и В
тождественно удовлетворяли уравнению
дх ду ду'
дА+>дА ~~дХ
дх "*■ У ду ду'
или эквивалентному ему
дА [дв ,,дв\ дв (дА ,п/дА\ <лп} п
Следовательно, такой случай возникает тогда и только тогда, когда уравнения (30)
можно при помощи добавления уравнения вида
У\ =С(х,у,у)
дополнить до контактного преобразования.
Этот результат мы сформулируем следующим образом.
Утверждение 9. Если А и В — независимые функции от х,у,у', то уравнения
xi = А(х, у, у), yi = Б(ж, у, у') (30)
оо1 линейным элементам кривой в общем случае ставят в соответствие оо1 точек
xi,г/ь образующих кривую, и таким образом всякой кривой плоскости
соответствует некоторая новая кривая. Если две данные кривые соприкасаются, то две
соответствующие им кривые в общем случае не соприкасаются; они всегда
соприкасаются тогда и только тогда, когда выражение [АВ] тождественно
обращается в нуль; в этом случае все кривые плоскости переводятся в соответствующие
им в силу (30) кривые некоторым контактным преобразованием.
Между функциями X, Y и Р контактного преобразования
xi = Х{х, у, у'), У1 = У (я, у, у'), у[ = Р{х, у, у') (33)
,2То есть имеют касание второго порядка. —Прим. ред.

плоскости ху, помимо тождества [X, Y] = О, также имеет место другое
похожее тождество, которое мы легко можем найти. Поскольку (33) —
контактное преобразование, то
dY - PdX = e(x, у, у') • (dy - y'dx).
Но тогда выполняется тождественно
dY - PdX = d{Y - РХ) + XdP,
следовательно, в то же время верно
d(Y - РХ) 4- XdP = д(х, у, у') • {dy - y'dx),
то есть уравнения
Х2 = ~Р, y = Y-PX, y'2 = X
также должны представлять контактное преобразование плоскости ху.
Поэтому, согласно изложенному выше утверждению 8 (стр. 32), справедливо
следующее:
[Р, Y-PX]= 0. (34)
Несколько приложений помогут убедиться в полезности этого замечания.
Можно поставить вопрос относительно всех контактных преобразований,
оставляющих направление любого элемента неизменным.
Такие преобразования, очевидно, имеют следующий вид:
xi = Х(х,у,у'), ух = Y(x,y,y), y[ = у .
Из тождества (34) следует, что Y — РХ удовлетворяет дифференциальному
уравнению в частных производных
[Pf] = [y'f] = 0
от трех переменных х, у, у'; но поскольку известны два независимых решения этого
дифференциального уравнения, а именно, у' и у — ху\ то мы имеем
Y - РХ = yi - у! а; 1 = П{у\у - ху).
Подставляя это значение вместе с Р = у' в уравнение
d(Y - РХ) + XdP = g{dy - y'dx)

и приравнивая нулю множитель при dy\ мы получаем
ду
В соответствии с этим искомые преобразования имеют вид
xi = ~^-;ЛЫ,У-хУ'), У\ =У',
д ^
У\ = G(y\y-xy') -у'-—П{у1\y-xy).
ду
Здесь функция ft совершенно произвольна, так как в силу уравнений (35) имеет
место
dy\ - y[dxi = -Q-(dy' ~ yd*),
какой бы функцией своих аргументов ни была ft.
Совершенно аналогичным образом находятся контактные преобразования,
переводящие параллельные элементы в параллельные. Их общий вид таков:
^Щу'л-ху')
ду i i
F(y)
У\ = М(у',У-ху') ~ -,„ /ч ' -z-;fi(y\y-xy),
где F(yf) и ft(y',y — ху') — произвольные функции своих аргументов.
§8
Развитая ранее теория контактных преобразований плоскости является
важной для теории обыкновенных дифференциальных уравнений от двух
переменных.
Прежде всего введение понятий линейный элемент и
элемент-многообразие Mi приводит к обобщению задачи интегрирования обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка:
W(x,y,y,) = 0.
Так, мы можем, очевидно, заменить эту задачу следующей, более общей:
найти все элемент-многообразия Mi, линейные элементы которых х, у, у'
удовлетворяют уравнению W(x, у, у') = О.13
,3Lie, Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г.; ср. также Verhandlungen der Ges. d. W. zu
Christiania, 1871 и 1874 гг. и Math. Ann., том V и IX.

При такой трактовке в качестве решений дифференциального
уравнения W = О допускаются не только кривые; его решениями считаются также
и все точки, линейные элементы которых удовлетворяют уравнению W =
= 0.
Далее, легко видеть, что всякое известное контактное
преобразование позволяет составить бесконечно много непосредственно
интегрируемых дифференциальных уравнений первого порядка.
Контактное преобразование задается двумя независимыми функциями
Х(х,у,у') и У(х,г/, ?/), находящимися в соотношении [X, У] = 0. Ясно,
что уравнения X = a,Y = b определяют те линейные элементы х, у, у\
которые переводятся этим контактным преобразованием в линейные
элементы точки х\ — а,у\ — Ь\ эти линейные элементы, конечно, образуют
элемент-многообразие Mi, таким образом, мы прежде всего имеем
Утверждение 10. Если X и Y — независимые функции от x,y,yf,
находящиеся в соотношении [XY] = 0, то уравнения X = a,Y = b
представляют для любой системы значений а, Ъ линейные элементы
некоторого элеменпг-многообразия Mi.
Пусть теперь задано дифференциальное уравнение, имеющее вид Y —
— Q{X) = 0. Тогда очевидно, что
[У-Я(Х),Х] = 0;
то есть уравнения
Y-f2(X) = 0, X = а
представляют для любого значения а элемент-многообразие Mi, а именно,
такое, линейные элементы которого удовлетворяют уравнению У — П(Х) =
— 0. Поэтому если исключить из последних уравнений величину у', то
мы получим уравнение между х, у и а, представляющее для любого
значения произвольной константы а интегральную кривую дифференциального
уравнения Y — Q(X) — 0; мы получим оо1 интегральных кривых этого
дифференциального уравнения и тем самым полное решение.
Само собой разумеется, мы здесь предполагаем, что X, а также Y
содержат величину у', так что контактное преобразование
dY_
, ду'
х\ = X, у\ — У, у =
У дХ
ду'

не будет продолженным точечным преобразованием. С учетом этого
условия мы можем сформулировать следующее
Утверждение 11. Если функции X(x,y,yf) и Y(x,y,yf),
существенным образом зависящие от у', находятся в соотношении [X, Y] = О, то
любое дифференциальное уравнение вида Y — Q{X) = 0 можно будет
сразу проинтегрировать; его полное решение получается, если исключить у'
из обоих уравнений
Y - П(Х) = О, X = а
и рассматривать а как постоянную интегрирования.
Предыдущее утверждение имеет очень простой смысл: при
выполнении контактного преобразования
дУ_
х1=Х, yi=y, У[ = ^~ (36)
дХ
ду'
дифференциальное уравнение Y — Q(X) = 0 переходит в
дифференциальное уравнение у\ — Q(x{) — 0, не содержащее у[; это уравнение
задает семейство из оо2 линейных элементов, точки которых лежат на кривой
У\ — Q(x\) = 0; поэтому можно непосредственно задать оо1
элемент-многообразий Мь удовлетворяющих уравнению у\ — Q(x\) — 0. Отыскивая
оо1 кривых, переходящих при контактном преобразовании (36) в оо1 точек
кривой у\ — П(х\) = 0, мы находим указанные в утверждении оо1
интегральных кривых дифференциального уравнения Y — Q(X) — 0.
Следовательно, задачу интегрирования дифференциального уравнения
первого порядка W(x, у, yf) = 0 можно решить, найдя контактное
преобразование, приводящее уравнение W(x,y,yf) =0/c виду w(xi,y{) — 0 или,
если угодно, к виду у\ = 0.
§9
Наконец, еще одно приложение контактных преобразований к
обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка от х и у.
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
у" = u(x,y,yf)
имеет оо2 интегральных кривых:
U(x,y,a,b) = 0.

Однако, согласно стр. 24, утв. 6, мы знаем, что уравнение
U(x,y,xi,yi) = 0
задает некоторое контактное преобразование плоскости ху, которое
получается разрешением уравнений
ттг \ n dU , fdU dU , f dU n /07\
U(x,y,xuyi) = 0, ~^+VW dx-1+yWr° (37)
относительно x,y,x\,y\. Это контактное преобразование переводит
кривую U(x,y,a,b) — 0 с параметрами а, 6 в точку xi — а,у\ — Ъ. Итак, мы
видим:
Для любого обыкновенного дифференциального уравнения второго
порядка
у" = и(х,у,у')
можно задать контактное преобразование, переводящее оо2
интегральных кривых этого дифференциального уравнения в оо2 точек плоскости
х,у.
Кстати, из рассуждений на стр. 24 и ниже следует, что, кроме
контактного преобразования (37), существует бесконечно много других легко
задаваемых контактных преобразований, осуществляющих этот переход.
Если теперь имеется любое другое дифференциальное уравнение
второго порядка, например,
у" = v(x,y,yf)
с оо2 интегральными кривыми
V(x,y,a,b) = 0,
то мы можем непосредственно задать контактное преобразование,
переводящее точки плоскости в интегральные кривые уравнения у" — v(x,y,yf),
его мы найдем, если разрешим уравнения
Ffe,fcxb!,,) = 0, g+rff£-0, g + »lf =0 (38)
ОТНОСИТеЛЬНО Х2,У2,У2-
Мы имеем теперь два контактных преобразования, первое из которых
переводит интегральные кривые уравнения у11 = и(х, у, у') в точки
плоскости, тогда как второе превращает точки плоскости в интегральные кривые

второго уравнения у" = v(x,y,yf). Если последовательно выполнить оба
этих преобразования, то мы снова, согласно стр. 15, получим контактное
преобразование, причем, очевидно, такое, которое переводит интегральные
кривые у" — и(х,у,у') в интегральные кривые у" — v(x,y,yf). А
поскольку любое дифференциальное уравнение второго порядка полностью
определяется своими оо2 интегральными кривыми, то ясно, что найденное
контактное преобразование в то же время превращает дифференциальное
уравнение у" = и(х,у,у') в уравнение у" = v(x,y,yf). Здесь можно
также заменить контактное преобразование (37) другим контактным
преобразованием, которое переводит интегральные кривые дифференциального
уравнения у" — и(х,у,у') в точки плоскости.
Уравнения рассмотренного контактного преобразования, переводящие
дифференциальное уравнение у" — {х,у,у') в у" = v(x,y,yf), получаются
естественным образом, если исключить xi,yi,y[ из (37) и (38) и разрешить
полученные уравнения относительно Х2,У2,У2-
Поскольку дифференциальные уравнения у" = и(х,у,у') и у" —
— v(x,y,y') совершенно произвольны, то мы имеем следующую важную
теорему.
Теорема 5. Всякое дифференциальное уравнение второго порядка у" —
— <р(х,у, у') — О плоскости молено перевести контактным
преобразованием в любое другое уравнение этого типа; существует даже
бесконечно много контактных преобразований, осуществляющих этот
переход™.
Это означает, что обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка не обладает никаким свойством, ведущим себя
инвариантно по отношению ко всем контактным преобразованиям. Напротив,
всякое обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка у"' —
— w(x, у, у', у") — О и более высокого порядка обладает такими свойствами.
|4Ср. Lie, Gott. Nachr., 1874 г., стр. 638-639, а также окт. 1872 г. Согласно результатам
настоящей работы, соответствующим процитированным выше заметкам, следует изменить одно
утверждение, сформулированное в примечании на стр. 1029 в лекциях по геометрии Клебша,
отредактированных и опубликованных Линдеманом в 1876 г. Пользуясь случаем, напомним,
что рассуждения относительно контактных преобразований, приведенные в этом
замечательном во многих отношениях произведении, не принадлежат Клебшу, они были добавлены
спустя много лет после его смерти и использовали появившуюся за это время литературу.
Несмотря на то, что этот досточтимый редактор в основном верно представил суть дела, все же из-за
неточного названия этой работы возникло много недоразумений. В частности, неверным
является, когда некоторые авторы приписывают Клебшу важное понятие элемент-многообразия
(ср. примечание на стр. 18).

Глава 2
Некоторые определения и общие
утверждения
В этой главе будут приведены некоторые определения, которыми мы
в последующих рассуждениях неоднократно воспользуемся. К ним
добавится несколько известных утверждений (без доказательств), которые
находят широкое применение в теории дифференциальных уравнений и будут
также постоянно использоваться ниже.
§ю
Рассматривая систему уравнений
ФгЫ • • • яп) = 0, • • • $q(xi • • • хп) = 0 (1)
между некоторыми переменными х\ • • • хП9 мы, как и в первой части
книги (ср. ч. I, стр. 120), всякий раз предполагаем, что не все определители
порядка q матрицы
дФг
дх\
дФя
дх\
дФг
дхп
дФя
дхп
обращаются в нуль в силу системы уравнений (1). Если система уравнений
удовлетворяет этому условию, то она содержит в точности q независимых
друг от друга уравнений; поэтому мы кратко называем ее также д-парамет-
рической. Системы уравнений, для которых наше условие не выполняется,
мы вообще исключаем из рассмотрения. Например, пусть определитель
V- , 3^1 9ФЯ
^ dx\ dxq
(2)

не обращается в нуль в силу (1). Тогда дифференциальные уравнения
г=1 г—1
могут быть разрешены относительно dx\ • • • dxq, и коэффициенты в этих
разрешениях ведут себя для систем значений х\ ••• хп из (1) в общем
случае регулярно. Но отсюда, как известно, следует, что конечные
уравнения (1) могут быть разрешены относительно переменных х\ • • • xq. Если
Х\ = <Pl(xq+i • • • Хп), • • • Xq = ipq(xq+i • • • Хп)
— это разрешение, то уравнения
Ф\{Ч>\ ••• 4>q,xq+i ••• хп) =0, ... Ф9(</?1 ... v?9,x9+i ... хп) = 0
выполняются тождественно для всех значений xq+\ • • • хп.
Если все системы значений х\ • • • хп, удовлетворяющие <?-параметри-
ческой системе уравнений $i = 0, • • • Фя = 0, удовлетворяют также
системе уравнений
■Gl (я 1 * * * хгг) = 0, • • • Qm{xi • • • хп) = 0 (m < д),
то мы скажем, что эта система имеет место в силу последней или является
ее следствием.
Две g-параметрические системы уравнений Ф\ = 0, • • • Фд = 0 и ^ =
= 0, ♦ ♦ ♦ Фя = 0 называются эквивалентными, если всякая система
значений xi .. хп, удовлетворяющая одной, удовлетворят также и другой, то
есть если любая из обеих этих систем уравнений является следствием
другой. Необходимым и достаточным для эквивалентности является то, что
одно решение х\ — ipi, • • • xq — (pq первой системы уравнений
тождественно удовлетворяет второй; если это условие выполнено, то вообще всякое
решение любой из этих двух систем тождественно удовлетворяет другой;
поэтому можно заменить одну из двух эквивалентных систем уравнений
другой.
Если некоторая заданная система уравнений
#i(zi • • • хп) = 0, ... Фд(х1 • • • хп) = 0 (1)
от п переменных х\ • • • хп удовлетворяет тому условию, что не все
определители порядка q матрицы (2) обращаются в нуль, то и продолженная

система уравнений
f #i(si • • • ж„) = 0, • • • Фч(х1 ■ • • хп) = О,
Чг=1 г=1
от 2п переменных xi • • • xn, dxi • • • dxn такова, что в силу этой системы
не все определители порядка 2q соответствующей матрицы обращаются
в нуль; ведь среди этих определителей порядка 2q находятся квадраты
определителей порядка q матрицы (2).
Если две системы уравнений Ф\ — 0, • • • Фя — О и Ф\ — О, • • • Фя — О
от переменных х\ --- хп эквивалентны, то и продолэюенные системы
уравнений
А дФл ^дФц
Фг = о,...Фя = о, Е^7^ = 0'---Е^7^ = ° (3)
г=1 г г=1
U
*1=0,.••*,=<), £|^=0,.-.]Г|^=0 (3')
г=1 г г=1 г
от 2п переменных х\ • • • xn,dxi • • • dxn эквивалентны друг другу;
другими словами, при налоэ/сенном условии любая система значений х\ - - • хп,
dx\ - - - dxn, для которой выполняется (3),удовлетворяет также (3') и
наоборот.
Следовательно, если система уравнений (3) после выполнения замены
dxi = £i(xi • • • xn) • <ft, • • • dxn = £n(xi • • • xn) • <ft (4)
удовлетворяется всеми системами значений х\ • • • хп, для которых
выполняются уравнения Ф\ = 0, • • • Фя = 0, то система уравнений (3') в свою
очередь после выполнения замены (4) будет также удовлетворяться всеми
системами значений х\ • • • хп, для которых выполняется Ф\ — О, • • • Фя —
= 0. Это можно выразить еще и так:
Утверждение 1. Если две q-параметрические системы уравнений
Ф\ = 0, • • • Фя = 0 и Ф\ = 0, • • • Фя = 0 в переменных х\ — - хп
эквивалентны друг другу и если q уравнений
t=i г

выполняются одновременно в силу Ф\ = 0, • • • Фя = О, то и q уравнений
^2&(xi ***Хп}~ёьг = 0 (*=1---я)
г=1
также выполняются одновременно в силу Ф\ = О, • • • Фя = О.
Это само собой разумеющееся утверждение будет нами в дальнейшем
использовано для важных приложений, но для большего удобства мы еще
хотим облечь это утверждение в другую форму. Подведет нас к этому
введение выражения «инфинитезимальное преобразование».
Мы говорим (так же, как и в первой части, стр. 57 и ниже), что п
уравнений вида
dx\ = £i(xi • • • хп) • <tt, • • • dxn = £n(xi • • • xn) • <tt,
в которых dt обозначает некоторую бесконечно малую величину,
определяют инфинитезимальное преобразование переменных х\ ••• хп.
При этом мы хотим подчеркнуть, что в первом разделе данной
части книги выражение «инфинитезимальное преобразование» используется
лишь для краткости. Связь между понятием «инфинитезимальное
преобразование» и введенным в первой части понятием однопараметрическои
группы будет считаться известной только начиная с третьего раздела этой
части.
Далее (в соответствии с первой частью) мы скажем, что q-параметри-
ческая система уравнений
Q\{x\ • • • хп) = 0, • • • Пя(х\ • • • хп) = О
допускает инфинитезимальное преобразование
dxi = £i(xi • • • хп) -dt, • • • dxn = £n(xi • • • хп) • dt,
если оно таково, что все q уравнений
Cl(Xi ••• хп)-г^Г + ••• + £n(Xi '•• Xn)-Q^T = 0 (*=!•••$)
имеют место в силу Q\ — О, • • • Qq = 0.
С использованием этой терминологии изложенное выше утверждение
можно сформулировать следующим образом.

Утверждение 2. Если q-параметрическая система уравнений Q\ —
— О, ♦ ♦ ♦ Qq — О в переменных х\ • • • хп допускает инфинитезимальное
преобразование
dxi = Ci(^i • • • хп) -dt, • • • dxn = £n(xi • • • xn) • dt,
то и любая эквивалентная ей система уравнений Ф\ = О, ♦ ♦ ♦ Фя = О
допускает это инфинитезимальное преобразование.
Во многих случаях было бы утомительно явно выписывать п
уравнений
dxi = £i(xi • • • хп) -dt, • • • dxn = £n(xi • • • sn) • dt, (4)
которыми задается инфинитезимальное преобразование. Этого неудобства
мы можем, как и в части I, избежать путем введения символа для инфини-
тезимального преобразования (4).
Если под / мы будем понимать произвольную функцию от х\ • • ♦ хп,
то мы можем из выражения
О ■£ £} -Р
непосредственно выделить нужные п функций, так что одно выражение Xf
полностью задает и, как следствие этого, заменяет п выражений (4).
Поэтому мы введем, как и в первой части, выражение Xf в качестве символа для
инфинитезимального преобразования (4) и будем просто говорить об ин-
финитезимальном преобразовании Xf.
Тогда мы можем сказать: q-параметрическая система уравнений Q\ =
= 0, ♦ ♦ ♦ Qq = 0 допускает инфинитезимальное преобразование Xf, если q
выражений XQ\, • • • XQq обращаются в нуль в силу Q\ — О, ♦ ♦ ♦ Qq — 0.
Для пояснения вышесказанного рассмотрим случай п = 3 подробнее.
Если понимать Х1,Х2,хз как прямоугольные координаты трехмерного
пространства, то инфинитезимальное преобразование
dxi=£i(xi,X2,X3)-dt (г = 1,2,3) (5)
ставит в соответствие каэ/сдой точке Х1,Х2,хз, для которой не все
£ь£2>£з обращаются в нуль, некоторое совершенно определенное
направление dx\ : dx2 : е/хз.
Если Dice уравнение i?(xi,X2,X3) = 0 допускает инфинитезимальное
преобразование (5), то либо все £ь£2»£з обращаются в нуль
одновременно для всех точек поверхности ]?(х1,Х2,хз) = 0, либо эта поверхность

касается в любой своей точке направления dx\ : dx2 : dxz, поставленного
в соответствие этой точке инфинитезималъным преобразованием (5). В
этом геометрическом толковании того факта, что уравнение ft = 0
допускает инфинитезимальное преобразование (5), содерэ/сится, кроме
того, обоснование сформулированного выше утверэ/сдения о том, что всякое
уравнение, эквивалентное ft = 0, также допускает инфинитезимальное
преобразование (5).
Если система из двух уравнений
ftl(xUX2,X3) = 0, ft2(Xl,X2,X3) = 0
допускает инфинитезимальное преобразование (5), то либо £ь£2,£з
обращаются в нуль для всех точек кривой ft\ — 0, i?2 = 0> либо направления
dx\ : dx2 : dx3, ставящие инфинитезимальное преобразование (5) в
соответствие точкам кривой ft\ = 0, ft2 = 0, всегда совпадают с
соответствующей касательной этой кривой.
Если, наконец, система из трех уравнений
х\ = ai, X2 = <22, хз — аз
допускает инфинитезимальное преобразование (5), то £ь &, £з
одновременно обращаются в нуль для точки х\ — а\,х2 = а>2,хз — а%.
§и
Уравнение вида
ai(xi • • • хп) dxi Н + ап(х\ • • • хп) dxn = 0 (6)
мы назовем уравнением Пфаффа, а левую его часть — выражением
Пфаффа.
Если ввести в выражение Пфаффа (6) в силу некоторого
преобразования
х\ = fi(xi ••• Хп) (г = 1 -.. п)
новые переменные х1 вместо х, то в переменных х1 получится новое
уравнение Пфаффа:
~а\{х\ • • • х'п) dx[ + • • • + ап(х[ • • • х'п) dxfn = 0.
Может случиться, что это уравнение будет иметь тот же вид, что и
исходное, и отличаться от уравнения
ai(xi • • • х'п) dx[ -\ + ап(х[ • • • х'п) dx'n = 0

только одним множителем, являющимся функцией от х[ • • • х'п. В этом
случае мы говорим, что уравнение Пфаффа (б) остается инвариантным под
действием такого преобразования и что оно допускает или позволяет это
преобразование.
Поэтому необходимым и достаточным условием инвариантности >>/?яв-
нения Пфаффа (6) при преобразовании
xi = /ь • • • хп = fn
является то, что уравнение вида
п п
22ai(xi ' • * хп) dxi = Q22&i(xi • • • xn)dxi,
г=1 г=1
где q — функция от х\ ♦ ♦ ♦ хп, тождественно выполняется. Если, в
частности, выражение Пфаффа остается инвариантным, то функция о имеет
специальное значение 1.
Если уравнение Пфаффа
ol\{xi ••• xn)dxi H +an(xi ••• xn)dxn = 0 (6)
выполняется для всех систем значений х\ ♦ ♦ ♦ xn,dx\ ♦ • ♦ dxn,
удовлетворяющих как системе уравнений
<Z>i(xi - - - хп) = О, - - - Фд(х! • • • хп) = О, (7)
так и системе, полученной в результате дифференцирования,
±&*-°--±т£*-°- (7,)
г=1 г=1
другими словами, если уравнение Пфаффа (6) выполняется в силу
объединенных уравнений (7) и (7х), то мы скажем, что система уравнений
#!=(),••• Фд = 0 удовлетворяет уравнению Пфаффа (б) или ему
подчиняется.
Это определение означает, что всякая система уравнений,
эквивалентная (7), удовлетворяет уравнению Пфаффа (б), если ему удовлетворяет
система (7). Поэтому, если
xi - <pi(xg+i • • • хп) = 0, • • • xq - ipq{xq+i • • • хп) = О

является некоторой разрешенной формой системы (7), то (7) будет тогда
и только тогда удовлетворять уравнению Пфаффа (6), когда выражение
а\(х\ • • ♦ xn)dxi Н +an(xi • • • xn)dxn
при замене
х\ = <pi, • • • xq = (pq, dx\ = ^2 -fl-^~ dx*i -- dxq= ^ ^—- dx„
тождественно обращается в нуль для всех значений хя+\ ♦ ♦ • хп, dxq+\ • • •
• • (XXп.
Далее легко убедиться, что справедливо следующее утверждение.
Если в системе уравнений Ф\ — 0, • • • Фд — О, удовлетворяющей
уравнению Пфаффа a\dx\ + • • • 4- andxn = 0, ввести вместо х\ • • • хп новые
переменные х[ • • • х'п, то возникающая система уравнений удовлетворяет
в х[ — • х'п такому уравнению Пфаффа, которое получается из a\dx\ -Ь
+ • • • 4- OLndxn = 0 путем введения этих новых переменных.
Если система уравнений Ф\ = 0, ♦ ♦ ♦ Фя = 0 удовлетворяет
уравнению Пфаффа a\dx\ 4- ••• 4- andxn = О, то всякой системе значений
#1 • • • хп, удовлетворяющей Ф\ = 0, ♦ ♦ ♦ Фя = 0, соответствуют q таких
чисел Ai ♦ ♦ ♦ Ag, что для соответствующей системы значений х\ • • • хп
выполняется уравнение
У^ OLi(x) dxi = Ai ^2 ~Б~^ dxi^ + \ 5Z 7Г~^ dx*'
г=1 г=1 г=1
какие бы значения ни придавались dx\ • • ♦ dxn. Записанное выше
уравнение, очевидно, распадается на следующие п:
если исключить из них q величин Ai ♦ ♦ ♦ А9, то получатся лишь
уравнения, которые выполняются для всех систем значений, удовлетворяющих
Ф\ = 0, ♦ ♦ ♦ Фя = 0, то есть уравнения, следующие из системы Ф\ =
= 0, • • • Фя = 0.
Пусть п 4- s переменных xi • • • xn, yi • • • ys связаны m + q
независимыми соотношениями, которые разрешимы относительно га из у и потому

дают в точности q независимых соотношении только между х, так что эти
т + q соотношений могут быть приведены к виду
У\ -wi(ym+i ••• Уа,х\ ••• хп) = 0,
" ' Ут - ^гп{Ут+1 ' ' ' Уз, Х\ ••• Хп) = 0,
/2i(a:i • • • хп) = 0, • • • ^(xi • • • хп) = 0.
(8)
При этих условиях n + s дифференциалов dx\ ♦ ♦ ♦ dxn, dy\ ♦ ♦ ♦ dys
также связаны в точности m + q независимыми соотношениями, которые
можно представить в следующем виде:
[dyi - dui = 0, • • • dym - dujm = 0,
(8')
i=l
i=l
то есть разрешенными относительно m из dy, тогда как q независимых из
них не содержат dy, а содержат лишь dx.
Если теперь система уравнений (8) удовлетворяет какому-либо
уравнению Пфаффа, не содержащему dy,
^i{xi ••• xn,yi ••• y5)dxi H +an(xi ••• хп,У\ ••• y5)cten = 0, (9)
то согласно вышесказанному имеет место уравнение (9) в силу
объединенных уравнений (8) и (8'). В нашем случае, однако, (9) должно, очевидно,
иметь место уже в силу объединенных уравнений (8) и
Т.тё*,-<>--±£<«-»-
г=1
dXi
г=1
(8")
Следовательно, каждой системе значений х\ ♦ ♦ ♦ хп,у\ ♦♦♦ yS9
удовлетворяющей системе уравнений (8), должны соответствовать q таких чисел
Ai • • • Ag, что уравнение
п п ~„
^2 ^(я, У) dXi = Ai ^ ~faT dXi + -- + Xq ^2 -^ dxi
г=1
г=1
А ад,
г=1
выполняется для этой системы значений, какие бы значения ни
придавались dx.

Последнее уравнение, очевидно, распадается на п следующих:
&i(X, у) = Ai -г—; Л + *<l~Q~ (i=1 '-'п)'
Если из них исключить величины Ai ♦ ♦ ♦ Xq, то дол,жны получиться лишь
уравнения, удовлетворяющие всем системам значений х\ ♦ ♦ ♦ хп, у\ ♦ • • ys,
подчиняющимся (8), то есть уравнения, являющиеся следствием системы
уравнений (8).
Легко видеть, что всякая система уравнений в переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп,
У1 " ' Vs> удовлетворяющая уравнению Пфаффа
c*i(xi ••• xn,yi ••• ys)dxi H +an(xi ••• xn,j/i ••• ys)dxn = 0, (9)
либо включает в себя п уравнений
ai(x,y) =0, ••• ап{х,у) = 0, (10)
либо дает соотношение только между х\ ♦ ♦ ♦ хп. Если же такая система
уравнений не дает никакого соотношения только между х\ ♦ ♦ • хп, то и
дифференциалы dx\ ♦ ♦ ♦ dxn не связаны между собой никаким соотношением;
поэтому эта система уравнений может удовлетворять уравнению
Пфаффа (9) только тогда, когда п функций ai(x, у) ♦ ♦ • an(x, у) в силу этой
системы обращаются в нуль. Разумеется, это может произойти лишь тогда,
когда системы значений х, у, обращающие в нуль все п функций а, вообще
существуют.
Если к уравнениям (10) добавить другие произвольные уравнения
Wi(x,y) = 0, W2(x,y) — 0, ♦ ♦ ♦, являющиеся совместными между собой
и с уравнениями (10), то всегда получится система
ai = 0, • • • an = 0, Wx = 0, W2 = 0, • • • ,
удовлетворяющая уравнению Пфаффа (10).
Если, с другой стороны, выбрать q совершенно произвольных
независимых уравнений между переменными х
f2\{xi • • • хп) = 0, • • • J?„(xi • • • хп) = 0 (11)
и добавить к ним те, что получаются из
аг(х,у) = Х1^ + ...+Хд^ (i=i..-n) (12)

в результате исключения А
Ui(x,y)=0, ... Щх,у)=0,
то всякий раз, когда уравнения (11) и (12) совместны, получается система
уравнений
Пх = о, ... Qq = О, Ui = О, • • • Ui = О, (13)
удовлетворяющая уравнению Пфаффа (9). При этом надо отметить, что
система уравнений (13) отнюдь не всегда содержит п независимых
уравнений и что, с другой стороны, уравнения U\ — О, • • • Ui = 0 вполне могут
иметь следствием новые соотношения только между х.
Если, наконец, добавить к уравнениям (11) произвольное число
других уравнений Vi(x,y) = О, V^,2/) = 0, •••, совместных между собой
и с (13), то получающаяся система уравнений
Пх = 0, ... Д, = 0, Ui = 0, • • • Ui = 0, Vi = О, V2 = 0, • • •
вновь будет удовлетворять уравнению Пфаффа (9).
Можно было бы легко доказать, что указанным способом получаются все
системы уравнений, удовлетворяющие уравнению Пфаффа (9). Однако надо заметить,
что в общем случае невозможно выделить без интегрирования все наименьшие
системы уравнений такого типа. Если описанную процедуру применить к общему
уравнению Пфаффа
Xi(xi • • • Хп) dx\ Н + Хп(х\ • — хп) dxn — О,
то получаемые системы уравнений имеют в общем случае тривиальный вид:
х\ = Const., • • • хп — Const.

Глава 3
Контактные преобразования
обычного пространства
К контактным преобразованиям обычного пространства мы подойдем
точно так же, как это было сделано в главе 1 с контактными
преобразованиями плоскости.
§12
В преобразовании
xi=X(x,y,z), 2/1 = У (х, у, 2), zi=Z(x,y,z) (1)
мы будем понимать величины х, у, z как прямоугольные координаты точки
трехмерного пространства, величины x\,y\,Z\ — как прямоугольные
координаты другой точки и при этом в обоих случаях использовать одну и ту
же систему координат.
При таком толковании преобразование (1) является операцией,
придающей каждой точке пространства новое положение: точку с координатами
ж,у, z оно переводит в точку, имеющую координаты x\,y\,z\.
Точки поверхности z — <р{х,у) — О переходят при преобразовании (1)
в точки, которые в свою очередь образуют некоторую поверхность; поэтому
мы можем сказать, что наше преобразование переводит любую поверхность
z — <р(х, у) — 0 в новую поверхность. Уравнение этой новой поверхности
получается, если из z — (р(х,у) = 0 при помощи (1) исключить x,y,z;
в общем случае (а мы ограничимся здесь этим случаем) оно, очевидно,
может принять аналогичный вид:
*1 -¥>i(sb2/i) =0-
Как каждой точке х, у, z поверхности z — </?(х, у) = 0 соответствуют
определенные значения частных производных
дх Р' ду Ъ

так и каждой точке х\ = X, у\ =Y,z\ — Z преобразованной поверхности
Z\ — (fi(xi,yi) = 0 тоже соответствуют определенные значения частных
производных
dzi dz\
dxi dyi
Мы установим аналитическую связь между величинами р\, q\ и р, q.
Если под x+dx, y-\-dy, z-\-dz понимать произвольную точку
поверхности z — (р — О, бесконечно близкую точке х, у, z, то справедливо равенство
dz—pdx — qdy — О и для соответствующей точки xi -f dxi, y\ + dyi, Z\+dz\
поверхности z\ — ц>\ = О мы также имеем dz\ — p\dx\ — q\dy\ = 0. Если
мы выразим здесь x\,y\,z\ через х, у, z в силу (1), то получим
dZ -PldX -qidY = 0
или более развернуто —
dZ п дХ п дУ\ , , fdZ „ 5Х Л дУ\ , .
Но х + dx, у + dy, z -\- dz должна быть произвольной, бесконечно близкой
к точке х, у, z точкой поверхности z — ip — 0; то есть dx, dy, dz подчиняются
лишь условию dz — pdx — qdy = 0, а в остальном совершенно
произвольны. Таким образом, только что найденное соотношение между dx, dy, dz
должно принимать вид dz — pdx — qdy — 0, то есть должна существовать
величина о такая, чтобы уравнение
dZ — p\dX — q\dY — o(dz — pdx — qdy)
имело место для всех значений dx, dy, dz.
Если мы сравним здесь коэффициенты при dx, dy, dz в обеих частях,
то получим
<
dz п дх п by _ пп

следовательно, в результате исключения д
»(£+'£)+*®+'&)-М+*
Pi
Определитель
м+ эх
ду ^ ч dz
,л ,зу , _ау \ _ dz ,ndz
(3)
ду_
dx
U2L+qU2L 9Y+dY
ду dz ду А~
дх dz
+>f
dz
может здесь иметь значение нуль лишь для специальных поверхностей z —
— (f(x, у) = 0; если бы он обращался в нуль для любой поверхности z —
— (р — О, то он должен был бы обращаться в нуль вообще для всех значений
х, у, 2,р, q; но это невозможно, поскольку иначе все определители матрицы
ЭХ дХ ЭХ
дх ду dz
дУ дУ дУ
dx dy dz
были бы тождественно равны нулю и, стало быть, уравнения (1) не
представляли бы собой преобразования. Тем самым уравнения (3) определяют
величины р\ и #i как функции от х, у, г, р и q:
pi = Р(х, у, г, р, q) qi = Q(x, у, г, р, д);
в то же время q будет также функцией от х, у, z,p,qB силу (2). Если теперь
еще учесть, что уравнения Pi — Р, qi — Q разрешимы относительно р
wq — это видно непосредственно из эквивалентных уравнений (2), — то мы
увидим, что пять уравнений
[ xi = Х(х, у, г), г/i = У (ж, у, z), zx = Z(x, у, г),
Ipi = P(x,y,z,p,g), ?! = Q(x,y,z,p,q)
(4)
вместе взятые представляют преобразование от пяти переменных х, у, z, р, g.
В соответствии с этим преобразование (1) преобразует одновременно
с х, у, г также и величины р, <?, а именно, так, как это указывает
преобразование (4). Поэтому мы говорим, что преобразование в переменных
х,у, z,p, q получается из преобразования (1) в результате продолжения,

и называем (4) просто ?гродолэ/сенным преобразованием,
соответствующим (1).
Согласно тому, как оно выводится, ?гродолженное преобразование (4)
таково, что имеет место тождество вида
dZ - PdX - QdY = g(dz - pdx - qdy), (5)
где q — совершенно определенная функция от х, у, г, р, q; то есть (4)
оставляет уравнение Пфаффа dz — pdx — qdy = 0 инвариантным. Кроме того,
оба наши рассуждения, изложенные выше, показывают, что при заданных
X, У, Z функции £, Р, Q однозначно определены тождеством (5).
Следовательно, мы можем сказать:
Относящееся к (1) продолженное преобразование (4) является
единственным преобразованием вида
xi = Х(х, у, г), ух = У(х, у, z), Zi = Z(x, у, z),
pi = II(x,y,z,p,q), <?i = K{x,y,z,p,q),
оставляющим уравнение Пфаффа dz — pdx — qdy — О инвариантным.
Касательная плоскость поверхности z — </?(х, у) = О определяется
значениями х, y,z,p, <?, соответствующими точке х, у, z; ее уравнение будет
таким:
i-z=p(t-x)+q(t)-y). (7)
Уравнение касательной плоскости к преобразованной поверхности z\ —
— <pi(xi,yi) = 0 в точке х\ — Х,у\ =Y\z\— Z будет таким:
Ъ ~ zi = pi(r- - xi) + qi(x) - j/i),
где p\,q\ вычисляются из уравнений (4); таким образом, оно тоже
полностью определено, если известны величины x,y,z,p,q. Отсюда следует,
что все поверхности, имеющие с поверхностью z — <р — 0 общую точку,
а в этой точке — общую касательную плоскость, переходят при
преобразовании (1) в поверхности, касающиеся поверхности z\ — (р\ = О в точке
х\ — X, у\ — Y, z\ — Z. Стало быть, преобразование (1) всегда
переводит те поверхности, которые соприкасаются в общей точке, снова
в поверхности, соприкасающиеся в общей точке.
Система значений х, у, z представлена точкой пространства; система
значений x,y,z,p,q, согласно изложенному выше, ставит в соответствие

этой точке некоторую проходящую через нее плоскость, а именно,
следующую:
i-z=p{f-x)+q(\)-y). (7)
Поэтому точку х, у, z вместе с этой проходящей через нее плоскостью
вполне можно интерпретировать как геометрический образ системы
значений х, у, z, p, q. Определенную таким образом фигуру, то есть совокупность
точки x,y,z и проходящей через нее плоскости (7), мы назовем
элементом поверхности или, кратко, элементом пространства х, у, z. Величины
я, У, z,p, q мы рассматриваем как координаты этого элемента.
Теперь преобразование (4) в противоположность точечному
преобразованию предстает как преобразование элементов. Однако связь между
этими двумя преобразованиями мы можем охарактеризовать следующим
образом.
Утверждение 1. Любое точечное преобразование
xi=X(x,y,z), г/1 = У(х,у, 2), zi=Z(x,y,z) (1)
пространства x,y,z одновременно определяет преобразование элементов
поверхности x,y,z,p,q; аналитическим выражением этого
преобразования элементов является соответствующее (1) продолженное
преобразование
x1=X(x,y,z), г/1 =У(х,г/,2), zx= Z(x,y,z), ,^
рх = P(x,y,z,p,q), qx = Q(x,y, z,p,q),
характеризующееся тем, что оставляет уравнение Пфаффа dz — pdx —
— qdy — 0 инвариантным.
Преобразования (4), возникшие из точечных преобразований путем
продолжения, образуют среди преобразований элементов пространства
особый класс, очевидно, определяемый следующими двумя свойствами.
Во-первых, любое преобразование этого класса всегда превращает
элементы поверхности, имеющие общую точку, снова в элементы поверхности
с общей точкой.
Во-вторых, все преобразования такого рода оставляют уравнение
Пфаффа dz — pdx — qdy = О инвариантным.
Очевидно, что существуют преобразования элементов, обладающие
первым, но не обладающие вторым из этих свойств; однако такие
преобразования для последующего несущественны. Не так очевидно, что
существуют преобразования элементов, для которых первое свойство
отсутствует, а второе — присутствует. Мы покажем сейчас, что таких преобразований

бесконечно много, и все их опишем. Вместе с определенными выше
преобразованиями (4) они образуют важный класс преобразований элементов
пространства, а именно, класс всех преобразований элементов,
оставляющих уравнение Пфаффа dz—pdx—qdy — О инвариантным. Все
преобразования с этим свойством мы кратко назовем контактными преобразованиями^
пространства и дадим согласно этому следующее определение:
Преобразование элементов
xi = X(x,y,z,p,q), ух = Y{x,y,z,p,q), zx = Z(x,y,z,p,q),
pi = P(x,y,z,p,q), qx =Q{x,y,z,p,q)
пространства х, у, z является контактным преобразованием этого
пространства, если оно оставляет инвариантным уравнение Пфаффа dz —
— pdx — qdy = 0. Следовательно, преобразование (8) является контактным
преобразованием тогда и только тогда, когда имеет место тождество
вида
dZ - PdX - QdY = g(dz - pdx - qdy), (9)
в котором g обозначает некоторую функцию от х, у, z,p, q.
§13
Теперь наша задача — описать все контактные преобразования
пространства х, у, z\ при этом мы, конечно, должны в качестве частного случая
вновь найти преобразования (4).
Пусть преобразование (8) является контактным, то есть имеет место
тождество вида (9).
Прежде всего заметим, что функция g не может тождественно
равняться нулю. Если бы это было возможно, то тождество
dZ - PdX - QdY = 0
распадалось бы на пять различных тождеств, из которых следовало бы, что
все определители матрицы
\dz_ dz_ dz_ dz_ dz_\
дх ду dz dp dq
\dx ax ax ax эх\
дх ду dz dp dq
\dY dY dY dY dY\
| dx dy dz dp dq \
'Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1870 и 1871 гг.; Math. Ann., том V и VIII;
Gottinger Nachrichten, 1870 и 1872 гг.

тождественно обращаются в нуль; но это исключено, поскольку система
уравнений (8) является преобразованием и должна, таким образом быть
разрешима относительно х, у, 2, р, q.
Далее допустим, что четыре величины p\,q\,p,q исключены из пяти
уравнений (8). Тогда должно получиться по меньшей мере одно
соотношение только между x,y,z,x\,y\,z\\ но возможно, что таких соотношений
будет и два, и - при известных условиях — даже три, но во всяком случае
не более трех. Если уравнения (8) дают в точности три независимых
соотношения только между х,у, 2,xi,yi,2i, то функции X, Y,Z не должны
зависеть от р и q; поэтому преобразование (8) есть не что иное, как
продолженное точечное преобразование пространства х, у, 2 и относится к
вышеупомянутому классу преобразований (4). Следовательно, любое контактное
преобразование (8), которое является не просто продолженным точечным,
должно давать одно или два соотношения между х, у, 2,x\,y\,z\.
Рассмотрим сначала случай, когда из (8) следует только одно
соотношение
j?(x,y,2,xbyi,2i) = 0
между х, у, 2, xi, г/1, 2ь
Очевидно, что шесть дифференциалов dx,dy,dz,dx\,dy\,dz\ в этом
случае также связаны лишь одним соотношением, а именно:
Шйх + Шйу + dRdz + |Я dxi + ШЛух + Md2l = о. (ю)
ах ay oz ох\ ду\ oz\
Но, с другой стороны, из тождества (9) мы знаем, что между этими
дифференциалами имеет место соотношение
dz\ — p\dx\ — q\dyi — g(dz — pdx — qdy) = 0. (11)
Поэтому, если мы выразим при помощи (8) четыре величины p,q,pi,qi
через х,у, 2,xi,г/1,2i, что в данном случае заведомо возможно, и
подставим соответствующие значения в (11), мы должны будем получить
уравнение (10) с точностью до множителя. Таким образом, мы видим, что в
силу (8) имеют место пять уравнений:
дП дО дО_ дП дП ОН
dzi _ dxi _ dyi _ dz _ дх _ ду
~Т~ ~ -pi ~ -qi ~ ^~£ ~ ~W ~ ~0Ч'
(12)
Кроме того, мы видим, что все шесть производных функции J? должны
быть отличны от нуля.

Исключим из (12) д и к полученным четырем уравнениям добавим
еще Q — 0; таким образом мы получим пять уравнений:
Pi
(2 = 0,
Р =
3Q
дх\
~1ш_'
dz\
дп
дх
~дп"
dz
Яг =
я = -
8Q
дуг
~дП
dzi
дп
ду
~~дп'
dz
(13)
Они выполняются в силу (8); кроме того, они, очевидно, являются
независимыми друг от друга; таким образом, они полностью заменяют
уравнения (8).
Этим доказано, что всякое контактное преобразование (8), дающее
только одно соотношение между x,y,z,x\,y\,z\, может быть приведено
к виду (13).
Пусть теперь, напротив, Q — некоторая функция от х, у, z, xi, г/i, z\,
такая, что пять уравнений (13) разрешимы как относительно хь г/ь 2ьРь <7ь
так и x,y,z,p,q и вследствие этого представляют преобразование
элементов пространства х, у, z. Тогда уравнение dQ = 0 можно, очевидно,
записать так:
dz\ — p\dx\
an
Qidyi H (dz
dz\
pdx — qdy) = 0.
Но здесь мы можем выразить множитель при dz — pdx — qdy через
x,y,z,p,q; таким образом, мы видим, что преобразование (13) оставляет
уравнение Пфаффа dz — pdx — qdy = 0 инвариантным и что оно является
контактным преобразованием пространства х, у, z.
Но существуют ли функции Q с предполагаемым выше свойством?
Уравнения (13) разрешимы относительно xi, y\, z\,p\, q\ тогда и
только тогда, когда уравнения
дх
дп
ду
^ = °> P = -^i ? = -Т7Г
дО_
dz
дП
dz
(14)

разрешимы в общем случае относительно x\,y\,z\. Для этого необходимо
и достаточно, чтобы некоторый определитель, который можно образовать
по известному правилу, не обращался в нуль в силу Q = 0. А
поскольку этот определитель, как легко убедиться, не для всякого Q тождественно
равен нулю, то уравнения (13) в общем случае заведомо разрешимы
относительно xi,yi,2i,pb<7i. Точно так же можно видеть, что они разрешимы
в общем случае и относительно ж, у, z,p, q.
Ниже в соответствующих рассуждениях для произвольного
числа переменных мы подробнее коснемся вопроса разрешимости
уравнений (13) и покажем, наподобие того, как это было сделано для плоскости
(ср. стр. 12 и ниже), что уравнения вида (13), разрешимые относительно
xi, г/i, 2i,pi, #ь также могут быть разрешены относительно ж, у, z,p, q.
В любом случае, мы имеем
Утверждение 2. Существует бесконечно много контактных
преобразований
xi = Х(х, у, z,p, q), yi = У, zi = Z, px = P, qi = Q
пространства x,y,z, из уравнений которых следует лишь одно
соотношение Q = О только между x,y,z,x\,y\,z\. Все эти контактные
преобразования можно привести к виду (13), где Q обозначает некоторую
функцию от x,y,z,x\,y\,Z\.
Примеры. Если J? = z + z\ + ХЖ1 + уу\, то из (13) получается
преобразование
(ж! = -р, yi = -q, zi=xp + yq-z,
[Pi = -х, Qi = ~У,
которое Лежандр использовал для интегрирования дифференциальных
уравнений в частных производных минимальных поверхностей.
Уравнение Q — (x—xi)xi+(y—yi)yi+(z—zi)zi также дает контактное
преобразование:
z-xp-yq
zi = — 2"^~> Xl = ~Р*ь У1 = ~^ь
р +q +1 (16)
х + 2pz\ у + 2qz\
Pl = "5; Г' 9i = "9i r-
Z2i — 2 ZZi — 2
Впрочем, легко видеть, что не всякая функция Q дает разрешимые
уравнения (13); если, например, J? не содержит жь то в уравнениях (13) х\
вообще не появляется, и эти уравнения поэтому в любом случае не могут
быть разрешены относительно x\,y\,z\,p\,q\.

Теперь перейдем к описанию всех контактных преобразований (8), из
уравнений которых можно вывести в точности два независимых
соотношения
f2i{x,y,z,xi,yuzi) = 0, n2{x,y,z,xuyuzi) = 0
только между x,y,z,x\,y\,Z\.
В этом случае шесть дифференциалов dx, dy, dz, dx\,dy\, dz\ связаны
ровно двумя независимыми соотношениями, а именно:
-=— dx + -Fr-dy + -F—dz + д— dxi + -~—dyi + -^— dzi = 0,
1 d:r ay dz ox i dyi dz\ ,-_v
_dx + _dy + _d2 + _&, + _dyi + _^ = 0;
поэтому должна быть возможность так задать три величины д, Х\ и А2 как
функции от х, у, z,p, Q', чтобы коэффициенты соответствующих
дифференциалов в уравнениях
Ч^*+-)+Ч£*+-)-°
и
dz\ — р\ dx\ — q\ dy\ — g(dz — pdx — qdy) = 0
были пропорциональны друг другу в силу (8). Это дает пять уравнений, из
которых мы можем исключить д; тогда, добавив еще Q\ — 0 и i?2 — 0> мы
получим систему уравнений
х dQi , х 8Q2 \ a/?i . дП2
„ dxi dxi дух дух
x #J?1 . x <9i?2 л dQ\ . x 0i?2
Ai — tA2tj— Ai- hA2T—
C7Zl C72i C72i OZ\
x a/?i , x 0я2 \ ai?i 4_ \ s/?2
(18)
122 = 0, p= — ——, q =
x dQ\ x 5i?2 ч dQ\ x <9J?2
Al~5 rA2-^— Л1 — hA2T—
которая переходит в результате исключения частного ^ в систему,
эквивалентную (8).
Отсюда мы видим, что любое рассматриваемое здесь контактное
преобразование (8) может быть представлено в виде (18).

И наоборот, ясно, что если две независимые функции J?i и i?2
таковы, что уравнения (18) могут быть разрешены как относительно
^7>£b2/b2i,pi,<7i, так и относительно j^,x,y,z,p,<?, то полученные в
результате разрешения уравнения представляют контактное преобразование;
в силу (18) уравнение
A,(^* + ...)+A,(g* + ...)-0
принимает характерный вид
dz\ — pidxi — q\dy\ — g(dz — pdx — qdy) = 0,
где д имеет следующее значение:
Л1^Г + Л2"97
Q — •
ч dQ\ . ч дП2
Л1^Г + Л2^Г
Не каждая пара независимых функций Q\, j?2 дает разрешимые
уравнения (18), так как, например, если fl\ и f22 не содержат х\, то в уравнения,
получаемые из (18) в результате исключения ^, переменная х\ не входит
вообще и потому разрешение относительно x\~y\,z\,p\,q\ невозможно.
С другой стороны, можно также задать пары функций j?i,i?2,
которые, будучи подставлены в (18), действительно дают контактные
преобразования. Позже мы покажем, что это можно сделать бесконечно многими
способами; здесь достаточно одного примера.
Если положить J?i = z + z\ + xxi, J?2 = у — yu то из (18) получается
преобразование, которое уже рассматривалось Эйлером, а затем Ампером:
xi = -Р, У\ = У, zi= хр - z, pi = -х, q1 = -q. (19)
Поэтому мы можем сформулировать следующее
Утверждение 3. Всякое контактное преобразование
xi = X(x,y,z,p,q), yi= У, zi = Z, pi = Р, 9i = Q
пространства x,y,z, из уравнений которого следуют в точности два
независимых соотношения ft\ — 0 и i?2 = 0 только между х, у, z, x\y yi,z\,
может быть получено, если из уравнений (18) исключить величину -^
и разрешить полученные уравнения относительно х\ ,yi,z\,pi,q\.
Наконец, согласно стр. 59, мы можем добавить

Утверждение 4. Всякое контактное преобразование
xi = X(x,y,z,p,q), 2/1= У, zi = Z, pi = Р, qi = Q
пространства x,y,z, из уравнений которого следуют в точности три
независимых соотношения только между x,y,z,x\,yi,z\, получается из
точечного преобразования пространства x,y,z в результате его
продолжения.
Объединяя утверждения 2, 3, 4, мы получаем следующую теорему.
Теорема 6. Существует три различных типа контактных
преобразований
Xi=X(x,y,z,p,q), 2/i= Y, zi = Z, pi = Р, q\ = Q
пространства x,y,z: 1) те, из уравнений которых следуют
три независимых соотношения только между х, у, z,xi,yi,zi,
они получаются из точечных преобразований пространства
x,y,z в результате продолжения; 2) те, что дают два таких
соотношения; 3) те, что дают лишь одно независимое
соотношение только между x,y,z,x\,yi,z\}
§14
При исследовании контактных преобразований плоскости оказалось
целесообразным ввести общее понятие элемент-многообразия; этим словом
мы называли любое множество линейных элементов, которые состояли
либо из всех элементов некоторой точки, либо из всех элементов некоторой
кривой. Благодаря этому мы были избавлены от необходимости делать
различие между двумя видами точечных многообразий — точками и кривыми,
последние оказались лишь двумя специальными случаями общего понятия
элемент-многообразия.
Аналогичное справедливо для обычного пространства. Здесь также
целесообразно ввести понятие элемент-многообразия. Специальными
случаями этого общего понятия являются три вида точечных многообразий
пространства: точки, кривые и поверхности.
Непрерывное семейство эле/иентов поверхности обычного
пространства называется элемент-многообразием, если система уравнений
между x,y,z,p,q, которыми представлено это семейство,
удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — pdx — qdy = 0. Если это семейство содержит
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1870 и 1871 гг.; Math. Ann., том V.

в точности оо9 различных элементов поверхности, то мы будем говорить
об элемент-многообразии Мя?
Какие же различают виды элемент-многообразий?
Система уравнений Wi(x,y,z,p,q) = 0, W<i = 0, •••,
удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz — pdx — qdy = 0, должна давать по меньшей
мере одно соотношение только между х, у, z (ср. стр. 51 и ниже).
Рассмотрим сначала случай, когда из W\ — 0, • • ♦ следует лишь одно
соотношение <P(x,y,z) — 0 только между x,y,z. Здесь dx,dy,dz связаны
только одним соотношением
дФ * дФ ; дФ 7
поэтому для всех систем значений x,y,z,p,qy удовлетворяющих W\ =
= 0, • • •, это соотношение должно быть эквивалентно уравнению Пфаффа,
то есть в силу W\ =0, • • • должны иметь место уравнения
8Ф_ дФ_
dz _ дх
Г ~ ~У
которые мы можем записать и так:
дФ_
дх
dz
причем очевидно, что Ф не может не содержать z. В нашем же случае
система W\ — 0, • • • может содержать максимум три независимых друг от
друга уравнения, поэтому она должна быть эквивалентна объединенным
уравнениям Ф = 0 и (20); в самом деле, Ф = 0 и (20) вместе взятые всегда
образуют систему уравнений, удовлетворяющую уравнению Пфаффа dz —
— pdx — qdy — 0, какую бы функцию от я, у, z мы ни подставили вместо Ф\
лишь бы только Ф не было свободным от г.
Элемент-многообразие, представленное объединенными уравнениями
Ф = 0 и (20), состоит из оо2 элементов х, у, z,p, q, точки которых лежат на
поверхности Ф = 0, тогда как ее плоскости
i-z=p(f-x)+q(t)- у)
3Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1871 и 1874 гг.; Math. Ann., том V и IX;
Gottinger Nachrichten, 1872 r.
ЬФ_
ду
дФ
ду
~дФ_
dz
(20)

являются соответствующими касательными плоскостями этой поверхности,
она состоит, как мы можем кратко выразиться, из всех элементов
рассматриваемой поверхности Ф = 0. Это выражение полностью
соответствует тому, что мы использовали для плоскости, когда говорили о линейных
элементах кривой (ср. стр. 16).
Согласно этому справедливо следующее
Утверждение 5. Если уравнения элемент-многообразия
пространства x,y,z дают в качестве следствия единственное соотношение
Ф(х, у, z) = 0 только между x,y,z, то их можно записать в следующем
виде:
дФ дФ_
~дх ®У
Ф(х,у,г) = 0, Р=~—-, Q = -^T- (21)
дФ дФ
dz dz
Такое элемент-многообразие состоит из оо2 элементов поверхности
Ф = 0.
Уравнения (21), как отмечалось выше, теряют смысл, если функция Ф
не содержит z\ таким образом, из поверхностей пространства х, у, z
исключаются все цилиндры, образующая которых параллельна оси z. Это
основано на свойстве используемых здесь элемент-координат x,y,z,p,q;
они становятся непригодными для всех элементов, плоскости которых
параллельны оси z. Ниже будут введены элемент-координаты, которым этот
недостаток не свойственен.
Теперь перейдем к описанию всех элемент-многообразий, из
уравнений которых получаются в точности два независимых соотношения только
между х, у, z.
Если система уравнений W\ = 0, W2 = 0, • • • удовлетворяет
уравнению Пфаффа dz — pdx — qdy = 0 и дает между х, у, z в точности два
независимых соотношения, например,
iPi(x,y,z) = 0, iP2(x,y,z) = 0,
то dx, dy, dz также связаны в точности двумя независимыми
соотношениями, а именно:
дФ1 , дФ1 j дФ1 ,
-^ dx + -jr-± dy + -jr-± dz = 0,
ax ay dz
dx + -тг^ dy + -тг^ dz = 0.

Оба этих уравнения в сочетании с W\ = О, W2 = 0, • • • должны повлечь
за собой уравнение Пфаффа dz — pdx — qdy = 0; таким образом, система
уравнений W\ = 0, W2 = 0, • • • должна в любом случае включать в себя,
помимо Ф\ —0^ф2 — 0, еще те уравнения, которые получаются из
<
х d$i , х дФ2
Р-АХ—+А2 —,
OZ OZ
х d$i , х дФ2
q = Ai-^ + А2-
ду
ду
(22)
исключением Ai и А2 (ср. стр. 49).
Пусть теперь, наоборот, даны два произвольных независимых
соотношения
*i(z,y,*) = 0, Ф2(х,у,г) = 0
только между x,y,z. Тогда если уравнения
х d#i , х дФ2
Эх
Эх
-, х c"^i х ич>2
-1 = Х1^Г + Х2~дГ
(22')
совместны между собой и с $i = 0, Ф2 = 0, то из Ф\ = 0, Ф2 = 0 и (22')
путем исключения А заведомо получается система уравнений,
удовлетворяющая уравнению Пфаффа
(ср. стр. 52).
Если определитель
dz — pdx — qdy = 0
Лг =
дФг дФ1\
дх dz
дф2 дф2
дх dz
не обращается в нуль в силу Ф\ = 0, Ф2 = 0, то уравнения Ф\ = 0, Ф2 = 0
и (22'), очевидно, можно разрешить относительно 2, ж, Ai, А2 и q, и потому
они в любом случае совместны между собой. Аналогичное справедливо,
если определитель
\дФх дФх\
ду dz
\дФ2 дФ2\
ду dz |
л2 =

не обращается в нуль в силу Ф\ = 0, Ф2 — 0. В обоих случаях из Ф\ —
= 0, Ф2 = 0 и (22;) в результате исключения А получается система из трех
уравнений
(Фг(х,у,г) = 0, Ф2{х,у,г) = О,
| D(x,y,z,p,q) =
удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz — pdx — qdy = 0 и, очевидно,
дающая лишь два независимых соотношения: Ф\ = 0, Ф2 = 0 только между
ж, у, г.
Если же и Zii, и Zb в силу Ф\ = 0, #2 = 0 обращаются в нуль, то это
будет также справедливо для ^- и ^% и последнее из них (22')
принимает бессмысленный вид 1 = 0; следовательно, в этом случае не существует
системы уравнений, удовлетворяющей уравнению Пфаффа dz—pdx—qdy =
= 0 и дающей только два соотношения Ф\ = 0, Ф2 = 0 между x,y,z.
Из сказанного следует: всякая система уравнений, удовлетворяющая
уравнению Пфаффа dz — pdx — qdy — 0 и дающая между х, у, z только
два независимых соотношения, содержит три независимых соотношения
вида (22//), где Ф\ и Ф2 — совершенно произвольные функции своих
аргументов, с единственным условием, что уравнения Ф\ — 0, Ф2 = 0 должны
быть разрешимы либо относительно z и х, либо относительно z и у. Если
такая система уравнений содержит в точности три независимых
соотношения, то ее можно также привести к виду (22//), если же этих соотношений
четыре (большее число изначально исключено), то она может принять вид
Ф1=0, Ф2 = 0, Я = 0, С/(ж,1/,г,р,д) = 0,
где функция U подчиняется только одному ограничению, что уравнения
Л = 0, U = 0 должны быть разрешимы относительно ри q.
Система уравнений Ф\ = 0, Ф2 =0,D = 0 представляет
элемент-многообразие М2. Всякий его элемент x,y,z,p,q имеет свою точку x,y,z на
кривой $i = 0, Ф2 — 0, а его плоскость проходит через соответствующую
касательную этой кривой; так как уравнение D — 0 свидетельствует о том,
что плоскость
Ь ~ z = p(i - х) + q{t) - у)
имеет с кривой Ф\ = 0, Ф2 = 0 две бескочечно близкие общие точки х, у, z
и х + dx, у + dy, z + dz. Кроме того, наше элемент-многообразие М2 со-
V
ЭФг
дх
дФ2
дх
Q
ЭФг
ду
дФ2
-1
дФг
dz
дФ2
dz

держит все элементы, связанные с кривой Ф\ = 0, Ф2 — 0 только что
описанным соотношением; короче мы можем это выразить так:
элемент-многообразие М2 : Ф\ — 0, $2 = О, D — О состоит из оо2 элементов кривой
ф1 = о, Ф2 = 0.
Система уравнений Ф\ = 0, $2 = 0, D = 0, С/ = 0 представляет элемент-
многообразие Mi, которое из оо2 элементов кривой содержит лишь оо1,
причем каждой точке кривой соответствует один из этих оо1 элементов.
Подобное образование мы назовем полосой элементов.
Теперь мы можем сформулировать следующее
Утверждение 6. Если из уравнений элемент-многообразия
пространства х, у, z следуют в точности два независимых соотношения Ф\ = 0,
$2 = 0 только между x,y,z, то они могут быть записаны либо в виде
Ф1 (ж, у, z) = 0, Ф2(х, у, z) = 0, D
V
дФг
дх
дФ2
дх
Q
дФг
ду
дФ2
ду
-1
дФг
дг
дФ2
дг
(23)
либо в виде
ф1=0, Ф2=0, 2? = 0, Ефм/,*,р,д) = 0,
где на U наложено лишь то ограничение, что уравнения D = 0 и U = 0
долэ/сны быть разрешимы относительно р и q. В первом случае мы имеем
дело с элемент-многообразием М2, образуемым оо2 элементами кривой
Ф\ — 0, Ф2 = 0, во втором — с элемент-многообразием М\, а именно,
с так называемой полосой элел1ентов. Система уравнений Ф\=0, Ф2=0
должна содержать z и кроме этого не подлежит больше никаким
ограничениям.
Остается описать все элемент-многообразия, из уравнений которых
следуют три независимых соотношения:
х
а, у = 6,
(24)
только между х, у, z.
Система уравнений (24) дает: dx = dy = dz = 0, то есть уже сама
по себе удовлетворяет уравнению Пфаффа. То же самое справедливо для
системы уравнений
х = а, у = 6, z=c, V(p,q) = 0,
какой бы функцией от р и q ни была V. Этот результат мы выразим так.

Утверждение 7. Если уравнения элемент-многообразия
пространства х, у, z дают в точности три независимых соотношения х — а, у — Ь,
z — с только между х, ?/, z, то они могут либо принять вид
х = а, у = b, z — с
либо следующий вид:
х = а, у = b, z = c, V{p, q) = О,
где функция V совершенно произвольна. В первом случае мы имеем
дело с элемент-многообразием Мч, образуемым оо2 элементами точки х —
= а,у = b,z = с, во втором — с элемент-многообразием М\, содержащим
оо1 из оо2 элементов этой точки.
Нас будут здесь преимущественно интересовать лишь
элемент-многообразие М2 пространства х, у, г, поэтому еще раз отдельно подытожим, что
мы о них узнали.
Теорема 7. В обычном пространстве имеется три
различных типа элемент-многообразий Мч, всякое
элемент-многообразие Л^2 первого типа состоит из всех элементов
некоторой поверхности, всякое элемент-многообразие Мч второго
типа — из всех элементов некоторой кривой, и третьего ти-
па — из всех элементов некоторой точки4.
Для последующего будет важно знать, имеется ли другое уравнение
Пфаффа, кроме dz — pdx — qdy — О, которому удовлетворяют все
элемент-многообразия Л/2 пространства x,y,z.
Если уравнение Пфаффа
a(xyy,zyp,q)dx + bdy + cdz + pdp + q(x,y,z,p,q)dq = 0 (25)
выполняется для всех элемент-многообразий Af2, то ему, в частности,
удовлетворяют все системы уравнений вида
z-F(x,y) = 0, P"§f = 0, 9-^=0, (26)
какой бы функцией от х и у ни была F. Отсюда следует, что уравнение (25)
имеет место при произвольно выбранной F в силу объединенных уравне-
4Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1871 и 1874 гг.; Gottinger Nachrichten,
1872 г.; Math. Ann., том V и IX.

ний (26) и
dz-%dx-%d^ dv-Bdx-£kdy=0>
или, что то же самое, что уравнение
(26')
для всех числовых значении величин
d2F d2F d2F . ,
выполняется тождественно. Согласно этому мы получаем
р = 0, q=0, a-\-pc = 0, Ъ + qc = 0
и видим, что уравнение Пфаффа (25) эквивалентно уравнению dz — pdx —
— qdy = 0. Словами это выражается так:
Утверждение 8. Уравнение dz — pdx — qdy — 0 является
единственным уравнением Пфаффа, которому удовлетворяют все
элемент-многообразия M<i пространства x,y,z, оно даже является единственным
уравнением Пфаффа, которому удовлетворяют все элемент-многообразия М2
специального вида:
,-Лх,„) = о, p-f = 0, ,-§£ = 0.
§15
Если к элемент-многообразию Мъ мы применим контактное
преобразование, то всякий раз снова получим некоторое элемент-многообразие Л^-
Действительно, пусть уравнения
Ф(х,у,г,р,9)=0, Х = 0, Ф = 0 (27)

задают элемент-многообразие Mi, то есть пусть система уравнений (27)
удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — pdx — qdy — 0. Если к (27)
применить контактное преобразование, то получится новая система уравнений
Ф^хиуигирияг) = 0, Хг = 0, Фг = 0, (27')
тогда как уравнение Пфаффа dz—pdx — qdy = 0, как мы знаем, принимает
вид, dz\ — р\ dx\ — q\ dy\ — 0. Согласно стр. 49, (27;) удовлетворяет
преобразованному уравнению Пфаффа, то есть (27') опять представляет собой
некоторое элемент-многообразие М2. В этом и состояло наше утверждение.
Отсюда мы видим, что оо2 элементов поверхности переходят при
контактном преобразовании либо снова в оо2 элементов некоторой
поверхности, либо в элементы некоторой кривой или точки, другими словами: при
контактном преобразовании поверхность превращается либо снова в
поверхность, либо в кривую или точку. В соответствии с этим кривая или
точка при контактном преобразовании становится либо поверхностью,
либо кривой или точкой.
То, что любое элемент-многообразие М\ при контактном
преобразовании превращается снова в элемент-многообразие Ми очевидно; поэтому
достаточно об этом просто упомянуть.
Пусть теперь, наоборот, дано некоторое преобразование элементов:
xi = S(x,y,z,p,q), yi= Я, zi = Z, pi = II, qi = К (28)
пространства <т, у, z, переводящее всякое элемент-многообразие М2 снова
в элемент-многообразие Мг. Мы докажем, что это преобразование является
контактным.
Преобразование (28) превращает, в частности, любое
элемент-многообразие М2 вида
z-F(x,y)=0, P-ff = 0, 9-^=0 (2б)
в элемент-многообразие Л^; поэтому если в (26) ввести в силу (28) новые
переменные х\, у и Zupu qu то мы получим систему уравнений
Ui(xuyuZuPuqi)=0, U2 = 0, U3=0,
удовлетворяющую уравнению Пфаффа dz\ — p\dx\ — q\dy\ = 0; это
справедливо совершенно независимо от того, какой является функция F(x,y).

Поэтому если мы в dz\ — р\ dx\ — q\ dy\ = 0 снова заменим новые
переменные прежними, то получим (ср. стр. 49) уравнение Пфаффа
dz\ — pidxi — qidyi = a(x,y,z,p,q)dx + bdy + cdz + pdp + qdq = 0,
которому удовлетворяют все системы уравнений вида (26). Но, согласно
утверждению 8 (стр. 71), уравнение dz—pdx — qdy = 0 является
единственным уравнением Пфаффа с таким свойством, следовательно, в силу (28)
должно иметь место соотношение вида
dzi -pidxi -qidyi = g{x,y,z,p,q) • (dz -pdx-qdy),
то есть уравнения (28) при наложенном условии действительно
представляют контактное преобразование.
Из этого всего следует, что свойство превращать
элемент-многообразие Л/*2 в элемент-многообразие Мъ является характеристическим для
контактных преобразований пространства х, у, г.
Теорема 8. Контактные преобразования пространствах,у,z
можно также определить как такие преобразования
элементов этого пространства, которое любое
элемент-многообразие Л/2 превращает снова в элемент-многообразие Мъ?
Если уравнения контактного преобразования
xi = X(x,y,z,p,q), 2/1= У, zi = Z, pi = P, qi = Q (29)
дают лишь одно соотношение
fi{x,y,z,xi,yi,zi) =0
только между x,y,z,x\,y\,z\, то это контактное преобразование
переводит оо2 элементов поверхности точки х — а, у — b,z — с в оо2 элементов
поверхности, точки которых xi, y\, z\ заполняют поверхность
n(a,b,c,xuyi,zi) = 0; (30)
а поскольку полученные таким образом элементы поверхности, согласно
теореме 8, образуют элемент-многообразие М2, то они являются (утв. 5,
стр. 66) элементами описанной выше поверхности; таким образом, мы
видим, что наше контактное преобразование переводит точку х = а, у — Ь,
z = с в поверхность (30). Соответственно этому элементы поверхности
/2(z,2/,z,ai,6i,ci) = 0
переходят в элементы точки х\ — а\,у\ — b\,z\ — с\.
5Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1878 г.; Math. Ann., том VIII.

С другой стороны, если контактное преобразование (29) дает в
точности два независимых соотношения
J?i(x,y,z,xbybzi) = 0, Q2{x,y,z,xi,yi,zi) = 0
только между x,y,z,xi,yi,zi, то оно переводит оо2 элементов точки х =
= a,?/ = 6,z = CB оо2 элементов, точки которых заполняют кривую
f2i{a,b,c,xuyi,zi) = 0, П2{а,Ь,с,хиуъ z{) = 0,
то есть (поскольку эти оо2 элементов образуют элемент-многообразие М2)
в оо2 элементов записанной выше кривой. Соответственно, при таком
контактном преобразовании оо2 элементов кривой
/2i(x,j/,z,abbi,ci) = 0, f22{x,y,z,ai,bi,ci) = 0
превращаются в оо2 элементов точки х\ — а\,у\ — b\,z\ = с\.
Если теперь мы вспомним, что в первом случае уравнение Q = 0
полностью определяет соответствующее контактное преобразование и что
во втором случае два уравнения, П\ = 0 и fi2 — 0, делают то же самое
(ср. утв. 2, стр. 61, и утв. 3, стр. 63), то мы можем сказать:
Утверждение 9. Если контактное преобразование пространства
х, у, z определено уравнением
fi(x,y,z,xi,yi,zi) = 0,
то оно переводит точку х — а, у — Ь, z — с в поверхность
Q{a,b,c,x\,y\,z\) = 0, а поверхность Q{x,y,z,a\,b\,c\) — 0 — в точку
х\ = ol\, у\ = &i, z\ = с\; если же оно определено двумя уравнениями
fiiix.y.z.xuyuzx) = 0, n2(x,y,z,xi,yuzi) = 0,
то оно превращает точку х — а, у — Ь, z — ев кривую
f2i(a,b,c,xi,yuzi) = 0, tt2(a,b,c,xi,yi,zi) = 0,
а кривую
(2i(x,y,z,ai,bi,ci) = 0, f22(x,y,z,ai,bi,ci) = 0
— в точку х\ = ai, у\ = b\, z\ = с\.

Примеры. Уравнение
Q = z + z\ + xxi + 2/2/1 = О
определяет, как мы видели на стр. 61, контактное преобразование. При этом
преобразовании элементы точки х = а, у = b, z = с превращаются в
элементы плоскости
z\ + с + ах\ + Ьу\ = 0, (31)
или короче: точка х = а, у = b, z — с превращается в эту плоскость.
С другой стороны, плоскость
z + ci +aix + biy = 0 (32)
переходит в точку х\ = а\,у\ =b\,z\ — с\.
Если учесть, что (31) является полярной плоскостью точки х = а,
у — Ь, z — с по отношению к поверхности второго порядка
2z + х2 + у2 = 0
и что плоскость (32) относительно этой поверхности имеет полюсом точку
х\ = ai, 2/i = b\,z\ = c\, то можно просто сказать: под действием
упомянутого контактного преобразования каждая точка превращается в свою
полярную плоскость, а каждая плоскость — в свой полюс относительно
поверхности второго порядка 2z + х2 + у2 — 0.
Далее, согласно стр. 62, уравнения
Z + Z\ + XX1 =0, у -ух =0
также определяют контактное преобразование, при котором точка х — а,
у — b, z — с переходит в прямую
z\ + с + axi =0, 2/1 ~ ^ = 0.
Эта прямая является пересечением плоскости, которую можно провести
через точку х — а, у — b, z — с параллельно плоскости zx, с полярной
плоскостью этой точки относительно цилиндра второго порядка:
2г + х2 =0.
С другой стороны, прямая
z + с\ + а\х = 0, у — а\ — 0
проходит через точку xi =ai,2/i =bi,£i = ci, то есть любая параллельная
плоскости zx прямая превращается в точку.

§16
Рассуждения двух предыдущих параграфов мы хотим дополнить тем,
что дадим уравнению Пфаффа
dz — pdx — qdy — О
понятийное толкование. Тем самым мы одновременно получим наглядное
представление о сути элемент-многообразия.
Пусть дано множество из оо1 элементов пространства х, у, z,
например, такое, что х, у, z,p, q заданы как функции независимой переменной t.
Рассмотрим какие-либо два бесконечно близких значения t: to и to + At
и предположим лишь, что не все пять производных ^, -&,jfi,-&,-&
Одновременно обращаются в нуль при t = to- Значениям to и to~\-At
соответствуют два бесконечно близких элемента хо, Уо, ^о, Ро, Яо и хо + Ах, • • • qo + Aq
нашего множества. Точки этих двух элементов отличаются друг от друга
на величину порядка At. На величину того же порядка отстоит в общем
случае и точка хо + Ах, уо + Ay, zo + Az от плоскости
I - zo = po{l - х0) + до(9 - Уо)
элемента хо, уо, ^о, ро, Яо, поскольку выражение
Az -poAx - qoAy,
которое можно толковать как меру этого отклонения, в общем случае
имеет первый порядок по At. Однако может случиться, что выражение Az —
— poAx — qoAy будет иметь второй порядок по At. Тогда точка хо + Ах,
уо + Ay, zo + Az отстоит от плоскости элемента хо,уо,£о,Ро,<7о лишь на
величину, бесконечно малую по сравнению с расстоянием между точками
хо, Уо, zo и хо + Дх, Уо + Ay, zo + ^z- Мы говорим в этом случае, что эле-
менты хо, Уо, ^о,Ро, qo и хо + Ах, • • • нашего семейства совмещаются.
Это определение может получить следующую, более четкую
формулировку.
В семействе из оо1 элементов
х = a(t), у = /3(0, z = -y{t), p = тг(0, q = к(Ь)
элемент to совмещается с бесконечно близким элементом to + At, если
выражение

обращается в нуль при t = to и при этом не все пять производных
Ш* ~dt' Ш' df' ~dt пРинимают значение нуля при t = to-
Если выражение ^| —p^f — q-^ обращается в нуль для всех значений £,
то рассматриваемое семейство из оо1 элементов образует
элемент-многообразие Mi; следовательно, любой элемент в элемент-многообразии Mi
совмещается с бесконечно близким ему элементом.
С другой стороны, если мы имеем элемент-многообразие Мг, то любое
содержащееся в нем множество из оо1 элементов образует
элемент-многообразие Mi и всякий элемент в нем совмещается с бесконечно близким
элементом; поэтому мы можем кратко выразить свою мысль следующим
образом: в любом элемент-многообразии Мг любой элемент совмещается
с бесконечно близким ему элементом.
Тот факт, что все элементы поверхности образуют некоторое
элемент-многообразие Л/2, основан на том, что всякая бесконечно близкая
точка x + dx, y + dy, z + dz отстоит от касательной плоскости этой поверхности
в точке х, 2/, z лишь на величину, бесконечно малую по сравнению с
отклонением точек х, у, z и х + dx, у -h dy, z + dz друг от друга. Аналогичное
имеет место, если элемент-многообразие Мч состоит из всех элементов
кривой или точки.
Используя понятие совмещенного положения двух бесконечно близких
элементов, мы можем определить контактные преобразования
пространства х, у, z просто как такие преобразования элементов, которые
переводят бесконечно близкие элементы, находящиеся в совмещенном пололсении,
в такие же, и, кроме того, элелгент-многообразие — как такое множество
элелмнтов, в котором каждый элемент совмещается с бесконечно близким
элементом этого семейства.
Выведенное ранее утверждение о том, что контактное преобразование
переводит элемент-многообразие в элемент-многообразие, кажется само
собой разумеющимся, если в их основу положить только что
сформулированные определения.
§17
Если два элемент-многообразия Мч имеют один и только один общий
элемент, то соответствующие им точечные образования суть либо две
поверхности, соприкасающиеся в одной точке, либо одна поверхность и одна
кривая с тем же свойством, либо поверхность и точка на ней, или, наконец,
две пересекающиеся кривые. Если же эти два элемент-многообразия Мч
имеют оо1 общих элементов, то им соответствуют либо две поверхности,

касающиеся друг друга вдоль некоторой кривой, либо поверхность и
лежащая на ней кривая (или поверхность с одной из ее двойных точек), либо
две кривые, соприкасающиеся в одной точке, либо, наконец, кривая и точка
на ней; общие оо1 элементов образуют в каждом из этих случаев некоторое
элемент-многообразие Mi.
Если выполнить контактное преобразование, то два
элемент-многообразия М2, имеющие один общий элемент или оо1 таких элементов,
переходят в два элемент-многообразия М2, для которых выполняется то же самое
соотношение. Следовательно, любое контактное преобразование
превращает две поверхности, соприкасающиеся в одной точке, либо в две такие же
поверхности, либо в поверхность и кривую, соприкасающиеся в одной
точке, либо в поверхность и точку на ней, либо в две пересекающиеся кривые.
А две поверхности, соприкасающиеся вдоль некоторой кривой, оно
переводит либо в две такие же поверхности, либо в одну поверхность с кривой
на ней и т. д.
Теперь мы можем чисто геометрически выяснить, каким образом
заданное контактное преобразование преобразует точечное многообразие
пространства.
Сначала предположим, что из уравнений этого контактного
преобразования можно вывести лишь одно соотношение
t2{x,y,z,xi,yi,zi) = 0
только между х, у, z, xi, yi, z\.
Если мы придадим x,y,z фиксированные значения x°,y°,z°, то есть
рассмотрим оо2 элементов x,y,z,p,q точки х — х°,у — y°,z — z°, то
получим в качестве геометрического места соответствующих элементов
х\, у\, z\,pi, Я.1 следующую поверхность:
n(x°,y°,z°,xi,yi,zi) = 0.
Таким образом, наше контактное преобразование превращает точку
х°, у0, z° в поверхность J?(x°, y°, z°, Xi, 2/1, z\) = 0. И наоборот,
поверхность
оно превращает в точку х\ = х\, у\ = y\,z\ = z®.
Это мы заметили еще в утверждении 9 (стр. 74).
Если мы хотим найти для произвольной поверхности (^(х, у, z) = 0
точечное многообразие 4>\(x\,yi,zi) = 0, ••♦, в которое она переводится

нашим контактным преобразованием, то мы можем действовать
различными методами.
Если х°, у0, z° — какая-либо точка поверхности ip = 0, то ее
поверхность-образ &(х° ,у°, z°, xi, yi, z\) = 0 касается искомого
точечного многообразия (р\(х\,j/i,z\) = О, • • •; следовательно, последнее есть не
что иное, как огибающая фигура семейства схэ2 поверхностей
n(x°,y0,z°,xuyl,z1) = 0,
где три параметра x°,y°,z° связаны условием (p(x°,y°,z°) = 0. Поэтому
искомое точечное многообразие ipi = 0, • • • получается, если положить все
определители второго порядка двух следующих уравнений
равными нулю и исключить из полученных таким образом соотношений
д(2(х° ---zi) дП дП
дх° ду° dz°
дф°,у0^0) dip dip
дх° ду° дг°
величины х°, у0, z° с помощью <р(х°, у0, z°) — 0 и П(х° • • • z\) = 0.
Другой способ такой.
Заданной поверхности у?(х, у, z) = 0 касаются некоторые из
поверхностей
Q{x,y,z,x\,y\,z{l) = 0,
и эти поверхности переходят при нашем контактном преобразовании в
точки искомого многообразия-образа поверхности ср = 0. Следовательно,
соотношения, которые должны иметь место между х\, у\, z\ для того, чтобы
поверхность Q(x • • • z\) = 0 касалась поверхности (р = 0, как раз и
являются уравнениями искомых точечных многообразий. Эти соотношения
находятся, если исключить х, г/, z из уравнений
аД(ж---г?) 8Q_ dQ_
дх _ &У_ _ dz_
dip(x,y,z) dip dip
дх ду dz

при помощи ip(x, у,2) = 0и П(х • • - z\) = 0. Результат, разумеется, будет
таким же, как и прежде.
Наконец, мы можем подойти к делу чисто аналитически.
Пусть наше контактное преобразование представлено уравнениями
(33)
в(....„) = о, f + „f = o, f+ 9f = o,
а оо2 элементов поверхности ip = 0 определены через
ф,у,г) = 0, g+p|f = 0, ^ + ^ = 0- (34)
Если из (33) и (34) исключить величины x,y,z,p,q, то получатся
уравнения элемент-многообразия М*2, в которые переходит элемент-многообразие
AI2 (34). Если, наконец, исключить еще;?! и #i, то получатся уравнения
точечного многообразия, в которые превращается поверхность ip = 0. Сразу
видно, что этот метод приводит к тем же вычислениям, что и два других.
Наконец, если задана кривая, то точечное многообразие, в которое она
переходит, находится следующим образом.
Кривая имеет с каждой из своих оо1 точек ровно оо1 общих
элементов; однако ее оо1 точек превращаются в оо1 поверхностей семейства
j?(x°, у0,20, a?i, yi, z\) — 0, таким образом, эта кривая переходит в
огибающую фигуру этих оо1 поверхностей.
Наоборот, огибающая фигура каких-либо оо1 поверхностей семейства
П(х, у, z, x\, yj, z\) — 0 всегда превращается в кривую.
Примеры. Контактное преобразование, заданное уравнением
Q — z + z\ + хх\ Л- уу\ — 0,
превращает, как показано на стр. 75, каждую точку x,y,z в ее полярную
плоскость относительно поверхности второго порядка:
2z + х2 + у2 = 0.
Как следствие этого, оно превращает вообще любую фигуру точек в
фигуру, полярную ей относительно этой поверхности. В общем случае
поверхность переходит снова в поверхность, только развертывающиеся
поверхности превращаются в кривые, а плоскости, в частности, — в точки.

Кривые же в общем случае переходят в развертывающиеся поверхности,
только прямые превращаются в кривые, а именно, снова в прямые.
Видно, что такое контактное преобразование есть не что иное, как
преобразование Понселе посредством взаимных поляр, которое, кстати, еще до
Понселе использовал Леэ/сандр.
Также очень известным является приведенное на стр. 61 контактное
преобразование (16), заданное уравнением
(х - xi)xi + (у - J/1 )yi + {z- zi)zi = 0,
а именно, оно превращает всякую поверхность </?(х, у, z) = О в ее подэрную
поверхность относительно начала координат.
Рассмотрим теперь контактное преобразование, из уравнений которого
можно вывести в точности два независимых соотношения
i?i(x,y,z,xi,2/i,zi) = 0, /22(x,j/,2,xi,j/i,2i) =0
только между х, у, z и xi, yi, z\.
Элементам, проходящим через точку x0,y0,z°, это контактное
преобразование, согласно утверждению 9 (стр. 74), ставит в соответствие
элементы кривой
f21{x°,y0,z°,xuy1,z1) = 0, /22(х° ■■■*!)= 0,
таким образом, оно превращает точку х°, у0, z° в только что упомянутую
кривую; в соответствии с этим оно переводит кривую
tfi(x,y,z,x?,y?,z?) = 0, Я2(* .-*?)= 0
в точку с координатами х\, y\,z\.
оо2 точек х°, у0, z° заданной поверхности </?(х, у, z) = 0 переходят при
нашем контактном преобразовании в оо2 кривых, аналитическое
выражение которых — в следующих двух уравнениях:
/?1(х°,у0,2°,х1,у1,21) = 0, Д>(х° ■.■2i)=0,
где между тремя параметрами х°,у0,г0 имеет место соотношение
(^(х0,у0,2°) = 0. Каждая из этих оо2 кривых касается точечного
многообразия, в которое превращается поверхность ip = 0 при контактном
преобразовании, следовательно, наши оо2 кривых имеют огибающую фигуру
(поверхность, кривую или точку), то есть фигуру, в которую переходит
поверхность ip = 0.

Но можно действовать и так: среди кривых семейства
Ql(x,y,z,x°1,y°l,z°) = 0, Q2{x--- z?)=0
есть несколько таких, которые соприкасаются с поверхностью (р = 0; они
задаются соотношениями между параметрами х^у^г®] при контактном
преобразовании эти кривые превращаются в точки того точечного
многообразия, в которое переходит поверхность ip = 0, следовательно, заданные
только что соотношения между x°,y°,z° являются уравнениями этого
точечного многообразия.
Наконец, пусть задана кривая, имеющая с каждой из своих оо1
точек оо1 общих элементов, поэтому точечное многообразие, в которое она
переходит, является огибающей фигурой тех оо1 кривых, в которые
превращаются оо1 ее точек. Или еще так: заданная кривая пересекается
некоторыми из кривых
/2i(x,y,2,x?,y?,2?) = 0, П2(х ••• z?) = 0; (А)
эти кривые переходят в точки многообразия-образа, то есть уравнения
этого многообразия получаются, если составить такие соотношения между
xi> У?> zi> которые должны иметь место, для того чтобы кривая (А)
пересекала заданную кривую.
Пример. Контактное преобразование, задаваемое уравнениями
z + zi +xxi = 0, y-J/i =0,
(ср. стр. 62 и 75), переводит всякую точку в прямую; кривая превращается
в общем случае в прямолинейную поверхность, которая содержит
бесконечно удаленную прямую плоскости zx\ наконец, поверхность переходит
в фокальную фигуру некоторой системы лучей, то есть в общем случае
снова в поверхность; в частности, можно очень легко задать те
поверхности, которые переходят в кривые.
Кроме того, рассмотренное выше контактное преобразование
примечательно тем, что оно является взаимно однозначным.
§18
Готовясь к изложению рассуждений следующей главы, мы хотим
добавить здесь несколько замечаний, касающихся задачи интегрирования
дифференциального уравнения в частных производных первого порядка:

Если, как обычно, положить
dz= dz =
Эх V" ду Ъ
то дифференциальное уравнение в частных производных (35) примет
следующий вид:
Ф(*,у,*,р,?) = 0, (350
и задача его интегрирования в обычном ее понимании сведется к описанию
всех систем уравнений вида
z-F(x,y) = 0, р-Ц = 0, 9-^=0, (36)
включающих в себя уравнение (35'). Если такая система найдена, то
уравнение (35') тождественно выполняется при замене
«-*■<*.»>. ,-%. ,-Щ:
но при этой же замене тождественно выполняется и уравнение Пфаффа
dz — pdx — qdy = 0.
Поэтому задача интегрирования уравнения (35) может быть заменена
более общей задачей: найти все трехпараметрические системы уравнений
$i(x,y,2,p,g) =0, Ф2(х,у^,р^) =0, Фъ(х,у,г,р,ц) = 0,
удовлетворяющие уравнению Пфаффа dz — pdx — qdy — 0 и при этом
включающие в себя уравнение (35'); выражаясь геометрически,
уравнением $(x,y,z,p,q) — 0 задано семейство, содержащее оо4 элементов
из оо5 элементов поверхности пространства х, у, z; требуется найти все
элемент-многообразия M<i, принадлежащие этому cejvieucmey из оо4
элементов, или короче: требуется найти все элемент-многообразия
уравнения (35').
Чтобы пояснить отличие этой формулировки задачи интегрирования
от обычной, мы сначала в общих чертах разовьем теорию интегрирования
линейного дифференциального уравнения в частных производных первого
порядка:
Х(х, y,z)-p + У(х, y,z)-q- Z{x, у, z) = 0. (37)
Из оо4 элементов х, у, 2,р, q, которые определены уравнением (37), мы
рассмотрим оо1, имеющих одну и ту же точку х, у, z. оо1 плоскостей
р(у - х) + q(t) - у) - (з - z) = 0

этих оо элементов образуют пучок, осью которого является прямая
X(x,y,z) Y(x,y,z) Z(x,y,z)'
Если теперь предположить, что каждой точке х, у, z пространства ось
соответствующего пучка поставлена в соответствие как направление
движения, то получим в качестве аналитического определения этих направлений
движения систему обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно,
следующую:
dx _ dy _ dz /«gx
X(x,y,z) Y(x,y,z) Z(x,y,z)'
Очевидно, что всякий элемент поверхности х, у, z,p, q любой интегральной
кривой этой системы удовлетворяет уравнению (37); следовательно, оо2
интегральных кривых системы (38), понимаемые как элемент-многообразия,
суть элемент-многообразия Мг уравнения (37).
Если из оо2 интегральных кривых уравнения (38) выбрать согласно
какому-либо аналитическому закону оо1 различных, то очевидно, что все
элементы поверхности, образованной этими оо1 кривыми, опять-таки
удовлетворяют уравнению (37); следовательно, эта поверхность является
элемент-многообразием М<2. уравнения (37).
Это соответствует утверждению Лагранжа о том, что любая
поверхность, порожденная оо1 интегральными кривыми системы (38), является
интегральной поверхностью дифференциального уравнения в частных
производных (37). Теперь было бы легко доказать еще одно утверждение,
также восходящее к Лагранжу, что таким образом находятся все интегральные
поверхности уравнения (37); но мы на этом останавливаться не будем.
Мы видели, что среди элемент-многообразий М2 линейного
дифференциального уравнения в частных производных первого порядка (37) всегда
имеется оо2 таких, которые являются кривыми, если их рассматривать как
точечные образования, — это оо2 интегральных кривых системы (38).6
Если, наоборот, дифференциальное уравнение в частных производных
первого порядка таково, что среди его элемент-многообразий А/2
имеется оо2 кривых, заполняющих все пространство, то это дифференциальное
уравнение, как легко убедиться, является линейным. Таким образом,
существование оо2 таких элемент-многообразий Л/2 является
характеристическим для линейных дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка.
6Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1871 г.; Gottinger Nachrichten 1872 г.; Math.
Ann., том V.

Согласно трактовке Лаграилса уравнение вида
F(x,y,z,p,q) = 0
является дифференциальным уравнением тогда и только тогда, когда оно
содержит по крайней мере одну из двух величин р, q.
С той точки зрения, которую мы здесь заняли, кажется, что уравнения,
не содержащие р и q, являются полностью равноправными с другими,
которые содержат по меньшей мере одну из двух величин р, q, так как всякое
уравнение F(x, у, z) = 0 также выделяет из оо5 элементов пространства
некоторое семейство из оо4 элементов, а именно, тех, точки которых
лежат на поверхности F(x, у, z) = 0. Однако уравнения вида F(x, y,z) = 0
являются особыми, поскольку для любого такого уравнения можно
непосредственно задать все его элемент-многообразия М^ Так,
элемент-многообразие M<i уравнения F(x,y,z) = 0 — это, во-первых, поверхность
F(x, у, z) = 0, во-вторых, любая точка на этой поверхности и, в-третьих,
любая кривая этой поверхности. Очевидно, что тем самым заданы все
элемент-многообразия M<i уравнения F(x, у, z) = 0. Наконец, еще несколько
замечаний относительно систем дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка в обычном пространстве. Если задана
система из двух уравнений вида
F^x.y.z.p.q) =0, F2{x,y,z,p,q) =0, (39)
то возможны три случая: либо эта система уравнений разрешима
относительно р и q, либо она не разрешима относительно р и q, но содержит по
меньшей мере одну из этих двух величин, или же, наконец, она вообще не
содержит р и q.
Рассмотрим сначала первый случай и предположим, что разрешение
относительно р и q выполнено:
р = Я(х,у,г), q = K(x,y,z). (40)
Эти уравнения задают оо3 элементов поверхности, и любой точке ставится
в соответствие один из них. Если уравнение в полных дифференциалах
dz- Ildx-Kdy = 0 (41)
интегрируемо без ограничений, то имеет место тождество вида
dz — Udx — Kdy = q(x, у, z) • d(/?(x, у, z)

и элементы любой из оо1 поверхностей <р(Х)У,г) = const, удовлетворяют
обоим уравнениям (40); иначе говоря, оо3 элементов, заданных системой
уравнений (40), упорядочиваются в оо1 элемент-многообразий М2. Если
же уравнение в полных дифференциалах (41) не является интегрируемым
без ограничений, то упомянутые оо3 элементов нельзя упорядочить в оо1
элемент-многообразий М2.
Теперь мы подошли ко второму случаю, в котором система
уравнений (30) может быть приведена к виду
Ф(х,у,*) = 0, f2{x,y,z,p,q)=0, (42)
где Q в любом случае содержит одну из величин р, q. Уравнения (42)
задают оо3 элементов, точки которых заполняют поверхность Ф = 0, причем
через каждую точку этой поверхности проходит оо1 таких элементов. Если
плоскости этих оо1 элементов всякий раз образуют пучок, ось которого
касается поверхности Ф = 0, то на поверхности Ф — 0 имеется оо1 кривых,
для которых в каждой их точке ось к соответствующему этой точке пучку
элементов является касательной. Тогда заданные таким образом оо1 кривых
являются оо1 элемент-многообразиями М2, элементы которых
удовлетворяют обоим уравнениям (42); в то же время поверхность Ф = 0 сама является
элемент-многообразием М2 с этим свойством. Напротив, если оо3
элементов, заданных уравнениями (42), упорядочиваются в оо1
элемент-многообразий М2, то эти элемент-многообразия необходимо являются кривыми,
лежащими на поверхности Ф = 0, и вследствие этого оо3 рассматриваемых
элементов упорядочиваются в оо2 пучков, оси которых касаются
поверхности Ф = 0.
Остается третий случай, в котором система уравнений (39) вовсе не
содержит р и q и потому имеет вид,
Fi(x,y,z)=0, F2(x,y,z) = 0. (43)
Заданные этими уравнениями оо3 элементов можно также определить как
такие оо3 элементов, точки которых лежат на кривой F\ — 0, F2 — 0. Они
всегда упорядочиваются в оо1 элемент-многообразий М2, а именно, все оо1
точек этой кривой являются элемент-многообразиями М2,
удовлетворяющими уравнениям (43); одним таким элемент-многообразием М2 является
также кривая F\ — 0, F2 — 0.
Наконец, трехпараметрическая система уравнений вида
F1(x,y,z,p,q) -0, F2{x,y,z,p,q) =0, F3(x,x, z,p,q) =0

задает в точности оо2 элементов, которые, разумеется, лишь при особом
свойстве функций F\,F2,Fs образуют элемент-многообразие Мг. Это
элемент-многообразие Л^2 является тогда либо поверхностью, либо кривой или
точкой.
§19
Пусть уравнения
xi=X(x,y,z,p,q), yi=Y, Zi=Z, рг = Р, qx = Q (44)
представляют контактное преобразование.
Если под а, Ь, с мы будем понимать какие-либо константы, то
уравнения
X(x,y,z,p,q)=a, Y = b, Z = c
задают такие оо2 элементов поверхности, которые переходят под
действием преобразования (44) в оо2 элементов точки х\ — а,у\ — b,z\ — с
(ср. стр. 73 и ниже), то есть они задают оо2 элемент-многообразий Af2-
Таким образом, мы имеем
Утверждение 10. Пусть
xi=X(x,y,z,p,q), yi=Y, Zi=Z, рг = Р, qi = Q
— контактное преобразование пространства х, у, z, тогда система
уравнений
X(x,y,z,p,q)=a, У = 6, Z = c
всегда представляет элемент-многообразие M<± этого пространства,
какие бы фиксированные значения ни придавались константам а, 6, с.
Это элшент-многообразие М^ переводится контактным
преобразованием в точку х\ — а, у\ — b, z\ — с.
Тем самым мы имеем замечательное аналитическое представление
для оо3 элемент-многообразий М^, которые переводятся контактным
преобразованием (44) в оо3 точек X\,y\,z\ пространства. Эти оо3
элемент-многообразий М2 как точечные образования являются либо
поверхностями, либо кривыми или точками, в зависимости от числа независимых
соотношений только между х, у, z, xi, у\, Z\, которые следуют из уравнений
х\ =X,yi=Y,zi = Zb результате исключения р и q.
Позже мы покажем, что контактное преобразование получается
всегда, если взять оо3 элемент-многообразий М2 пространства х, у, 2,
элементы которых х, у, г,р, q не удовлетворяют никакому соотношению вида

F(x,y,z,p, g) — 0, и если этим оо3 элемент-многообразиям М2
согласно некоторому аналитическому закону поставить в соответствие оо3
точек xi,2/i,zi пространства таким образом, что каждому
элемент-многообразию ili*2 будет соответствовать одна точка, а каждой точке — одно
элемент-многообразие Мг. Тогда существует одно и только одно контактное
преобразование, переводящее каждое из выбранных оо3
элемент-многообразий Мъ в соответствующую точку.
Доказательство этому, а также вывод некоторых дифференциальных
уравнений, которыми связаны функции X, F, Z, P, Q в произвольном
контактном преобразовании (44), мы приведем ниже.
§20
Здесь нам хотелось бы коснуться некоторых специальных теорий7. Но в
последующих главах они использоваться не будут.
Если при контактном преобразовании некоторая заданная поверхность F
снова переходит в поверхность Fi, то каждой точке F соответствует определенная
точка Fi, стало быть, каждой кривой на F соответствует кривая на F\.
Поэтому можно, например, поставить вопрос обо всех контактных преобразованиях, при
которых асимптотическим кривым поверхности всегда соответствуют
асимптотические кривые преобразованной поверхности.
При контактном преобразовании с требуемым свойством всякая прямая д,
лежащая на поверхности F, переходит в некоторое элемент-многообразие,
касающееся преобразованной поверхности F\ вдоль асимптотической кривой. Отсюда
можно заключить: если д\ касается совершенно произвольной поверхности Ф\ вдоль
некоторой кривой, то эта кривая является асимптотической кривой поверхности Ф\.
Следовательно, д\ как точечные многообразия являются либо плоскостями, либо
прямыми линиями; а поскольку оо4 прямым д должны соответствовать оо4
различных pi, то это могут быть только прямые.
Таким образом, искомые контактные преобразования переводят прямые в
прямые, причем пересекающиеся прямые, то есть имеющие общий элемент, — в такие
же. Но все плоскости с оо2 различными прямыми имеют по оо1 общих
элементов, и то же самое верно для точек, а кроме плоскостей и точек, не существует
других элемент-многообразий Mi с таким свойством. Следовательно, искомые
контактные преобразования превращают либо точки в точки, либо точки в плоскости,
7Ср. Ли, Over en Classe geometriske Transformationer, Verhandlungen der Ges. d. W. zu
Christiania, 1871, и Uber Complexe insbesondere Linien- und Kugel-Complexe, Math. Ann., том V.
Эти труды содержат хоть и сжатую, но все же обстоятельную геометрическую теорию
контактных преобразований пространства; среди прочего там развиты основные свойства
удивительного контактного преобразования, превращающего прямые линии в сферы. Оно и
преобразование Понсеяе посредством взаимных поляр являются важнейшими контактными
преобразованиями пространства.

а плоскости в точки, короче, мы получаем лишь проективные и двойственные
преобразования:
Утверждение 11. Если контактное преобразование пространства x,y,z
асимптотическим линиям всякой поверхности, которую оно превращает снова
в поверхность, всегда ставит в соответствие асимптотические кривые
преобразованной поверхности, то оно является либо проективным, либо двойственным
преобразованием этого пространства*.
Дальше можно поставить вопрос обо всех контактных преобразованиях, при
которых линии кривизны переходят в линии кривизны.
Для ответа на этот вопрос следует заметить, что на сферах любая кривая
является линией кривизны и что сферы, не считая интегральных поверхностей
дифференциального уравнения
1+(i)2+(l)!=°-
являются единственными поверхностями, обладающими этим свойством. А
поскольку не существует кривой, являющейся линией кривизны для всех проходящих
через нее поверхностей и поскольку, с другой стороны, оо4 сфер пространства не
удовлетворяют ни одному дифференциальному уравнению в частных производных
первого порядка, то можно сделать вывод, что искомые контактные преобразования
переводят любую сферу снова в сферу.
Если координаты центра а,/?,7 и радиус г выбрать в качестве параметров,
однозначно определяющих сферу, и если qji,/5i,7i»^i — параметры, однозначно
определяющие ту сферу, в которую переходит сфера а, 0,7?Т ПРИ одном из искомых
контактных преобразований, то будут иметь место уравнения вида
ai =Л(а,/3,7,г),
/3i = B(a,/3,7,r),
7i = Г(а,/5,7,г),
П = Д(а,/3,7,г).
Кроме того, поскольку произвольные, т. е. также бесконечно близкие,
соприкасающиеся сферы должны переходить в сферы с таким же свойством, то должно
выполняться уравнение вида
dai + d0i + dr/i — dri = g(a,/3,7,r) ♦ (da + d0 + d^y — dr ).
Отсюда можно без труда задать искомые контактные преобразования, но мы
опустим дальнейшие рассуждения.
Наконец, можно искать все контактные преобразования, превращающие
асимптотические кривые в линии кривизны.
Об этих преобразованиях здесь будет замечено лишь то, что они переводят
прямые линии пространства в сферы. Это очень легко понять.
8Lie, Verhandlungeri der Ges. d. W. zu Christiania, 1871 г., стр. 107.

Глава 4
Обобщение задачи интегрирования
дифференциального уравнения
в частных производных первого порядка
Когда мы перешли от плоскости х, у к пространству x,y,z, мы
получили вместо уравнения Пфаффа dy — y'dx — О более общее dz—pdx — qdy — 0.
Теперь пойдем дальше и рассмотрим при произвольном п следующее
уравнение Пфаффа:
dz — p\dx\ — ♦ ♦ ♦ — pndxn = 0. (1)
§21
Первая задача, которую мы себе поставим, такова: в 2п -Ь 1
переменных z,x\ • • • xn,pi • • • рп описать все системы уравнений,
удовлетворяющие уравнению Пфаффа.
Если уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — pndxn = 0 удовлетворяет
система уравнений
Wi(z,xi ••• xn,pi ... pn) = 0, W2 = 0, ••• , (A)
то оно имеет место в силу объединенных уравнений
W1=0, W2 = 0, ..., dWi=0, dW2 = 0, .... (В)
Возможно это только тогда, когда из (А) следует по крайней мере
одно соотношение только между z,x\ • • • хП9 так как коэффициенты
уравнения Пфаффа (1) не могут одновременно обращаться в нуль в силу (А)
(ср. стр. 51 и ниже). Поэтому мы предположим, что из (А) следуют в
точности q + 1 независимых соотношений
i?i (г, xi • • • хп) = 0, ««« J?g+i (г, xi • • • хп) = 0 (2)
только между г, £i ... хп.

При этих условиях (А) согласно стр. 51, включает, кроме
уравнений (2), во всяком случае еще те, что возникают из
&сг
(3)
(г = 1 • • • п)
путем исключения Ai, • • • \+\- Кроме того, система уравнений fi\(z,x) =
= О, • • • nq+i(z,x) = О необходимо разрешима относительно гид штук
переменных из х. Если бы она, например, совсем не содержала z или
содержала лишь формально, то есть была бы эквивалентна одной из систем,
не содержащих г,
Oi(xi • • • хп) = 0, • • • Oq+i(xi • • • хп) = О,
то уравнения (В) не давали бы никаких других соотношений, кроме
уравнений (А) и дифференциальных уравнений dO\ — О • • • dOq+\ — О между
величинами z, х\ • • • хп,р\ • • • рп и дифференциалами dz,dx\ • • • dxn. Но
эти соотношения не содержат с(г и выполняются при подстановке Wi = О,
dx^ = 0 при произвольном dz9 что в случае с уравнением Пфаффа dz —
— p\dx\ — • • • — pndxn = 0 неверно.
Пусть, с другой стороны,
Q\(z,xi • • • хп) = 0, • • • i?g+i(z,xi • • • xn) = 0
(20
— произвольная (g + 1)-параметрическая система уравнений, разрешимая
относительно z и q штук переменных из х, т.е., скажем, относительно
z,x\ — - xQ9 так что определитель
5>
dfhdfh df2q+1
dz дх\ dxq
не обращается в нуль в силу (27). Предположим, что (2') действительно
разрешимо относительно z,x\ • • • xg, и подставим найденные значения в n H-1
уравнений
А1-_ + ...+А9+1-^- = -Л
<9z
(3')
(г= 1 •••п);

тогда q + 1 первых полученных таким образом уравнений будут
разрешимы относительно Ai • • • А9+ь а именно, они будут задавать Ai • • • \q+i как
функции от Xg+i • • • xn, р\ • • • 2V Наконец, подставим найденные значения
Ai • • • Ag+i в п — q последних из уравнений (З7) и получим таким
образом еще выражения для pq+\ • • • рП9 так что уравнения (2') (З7) окажутся
разрешенными относительно z,x\ • • • х9, Ai • • • \q+\,pq+i • • • £>п« Отсюда
следует, что уравнения (2') (3') совместны друг с другом, то есть они
дают (ср. стр. 52) при исключении А систему уравнений, удовлетворяющую
уравнению Пфаффа
dz — p\dx\ — ... — pndxn — 0;
в то же время ясно, что эта получающаяся в результате исключения А
система уравнений должна быть в точности (п + 1)-параметрической, ведь
она разрешима относительно z,x\ • • • xq,pq+\ • • • рп.
После этих приготовлений мы можем непосредственно задать все
системы уравнений, удовлетворяющие уравнению Пфаффа
dz — p\dx\ — ... — pndxn — 0.
Чтобы система уравнений удовлетворяла нашему уравнению Пфаффа,
она должна во всяком случае давать некоторое число, скажем, q + 1
независимых соотношений
f2i(z,xi ••• жп) = 0, ••• f2q+i(z,xi ... sn) =0 (2)
только между z,x\ • • • хп. При этом число q может иметь любое из п 4- 1
значений 0,1 • • • п, а на функции Q\ • • • J?9+i не налагается никаких других
ограничений, кроме того, что (2) должна быть разрешима относительно z
и q штук переменных из х. Помимо уравнений (2), эта система уравнений
включает в себя в любом случае еще п — q независимых уравнений
Ui(z,xi ••• xn,pi ••• pn) = 0, ••• Un-q(z,xi ••• xn,pi ... pn) =0, (4)
возникающих из (З) в результате исключения Ai • • • A9+i.
Объединяя (2) и (4), мы получаем (п + 1)-параметрическую систему
уравнений, удовлетворяющую уравнению Пфаффа
dz — pidxi — ... — pndxn — 0,
причем единственную такую (n-Ь 1)-параметрическую систему, которая
дает между переменными z,x\ • • • хп лишь уравнения (2).

Далее ясно, что любая система уравнений, включающая в себя (2)
и (4), также удовлетворяет уравнению Пфаффа. Поскольку, с другой
стороны, все системы уравнений, обладающие последним свойством и
дающие лишь соотношения (2) между z,x\ • • • хп, обязательно должны
содержать (2) и (4), то мы видим, что все такие системы уравнений получаются,
если к (2) и (4) добавить либо 0, либо 1, либо 2, • • • п — 1 соотношений
между z,x\ • • • xn,pi • • • рп. Эти соотношения совершенно произвольны,
они должны лишь быть совместны с (2) и (4) и не должны, взятые вместе
с (4), давать никаких независимых от (2) соотношений между z,x\ • • • хп.
Итак, мы имеем
Утверждение 1. Чтобы описать все системы уравнений от 2п -f 1
переменных z, x\ • • • хп,р\ • • • рп, удовлетворяющие уравнению Пфаффа
dz-pidxi- • • • - рп dxn = 0, (1)
необходимо проделать следующее. Пусть q — любое из чисел 0,1 • • • п,
a J?i • • • fiq+i — некоторые q + 1 функции от z,x\ • • • хп, такие, что
уравнения
Oi(z,xi ••• хп) = 0, ••• nq+i(z,xi ... хп) =0 (2)
разрешимы относительно z и q штук переменных из х. Тогда сначала
находится самая общая (п-\-1)-параметрическая система уравнений с искомым
свойством путем добавления к (2) тех уравнений, что получаются из
« + •••+^1^-1 = 0,
dii-i. . , > ЗДл-i
dz ' ' "q+1~ д.
z
**+... +А...В±1+п, = П (3)
А1^ + ---+Ад+1^+р, = 0
(г = 1 • • • n)
в результате исключения Ai ••• A9+i. Все остальные искомые системы
уравнений получаются, если к найденной (п -+- \)-параметрической
системе добавить самым общим образом те соотношения между z,x\ • • • хп,
Pi — - Рп» которые совместны как между собой, так и с (п +
^-параметрической системой и не дают вместе с последней никаких независимых
от (2) соотношений только между z,x\ • • • хп.
К более явному виду описанной системы уравнений мы придем, если
будем исходить из уравнений (2) в разрешенном виде.

Поскольку не все Q\ • • • f2q+i независимы от г, то систему уравнений
!?i = 0, • • • Qq+\ — 0 всегда можно привести к виду
{z ~ J\xa,,+ i ' ' ' ЭСа„ ) = U» Ха1 — /ЦХа^+1 • • • Ха// J = U, fo'M
%ач jq\P^a4Jt\ ' ' ' ^а„ ) = U,
где ai • • • an обозначает некоторую последовательность чисел 1 • • • п. При
использовании (2") уравнения (2), (4) предстают в следующем виде:
z - f = 0, xai - /i = 0, • • • xaq - fq = О
«-к+^+-+^=° <4'»
(г = о:д+1 •• • an).
Согласно этому мы можем сформулировать
Утверждение 2. Если система уравнений в переменных z,x\ • • • хп,
Vi • * • Рп удовлетворяет уравнению Пфаффа
dz — p\dx\ — ♦ ♦ ♦ — pndxn = О,
mo она daem /to крайней мере одно соотношение только между z,x\ • • • хп.
£слм она дает в точности q + 1 таких независимых соотношений, то их
всегда можно разрешить относительно z и q штук переменных из х:
Z - f(xQ<l+1 ' ' ' XQn ) = О Ха, ~ fl(Xa4+l ' ' ' XQn ) = 0 (2")
(i = l'-q).
Тогда эту систему уравнений можно либо привести к виду
- / - 0, Xai ~ /l = 0, • • • Ха„ ~ fq = О
(г = ag+i • • • an),
где /, /i • • • fq — произвольные функции своих аргументов, либо она
содержит, помимо соотношений (4'), еще некоторые другие соотношения
между z->X\ ••• XmPi • •• Рп> которые совершенно произвольны, но должны
быть совместны друг с другом и с (47) и не должны вместе с (47) давать
никаких независимых от (2") соотношений только между z,x\ • • • хп.

Уравнения (4') можно записать в изящном виде. А именно, если
учесть, что из (4') следует уравнение
Z — Xaipai — Ха2ра.2 — • • • — Ха(/ра(/ = / — PaiJl — • • • — pat/Jg
и что правая часть этого уравнения кратко записывается в виде
W(xa,,+1 ''' Xa„,Pai ''' Ра„), то (4') принимает вид
Z — Xaipai — • • • — ХачРо1ч — И (Xa4+1 • • • Xan -)Pa\ ' ' ' Vol,,)-)
dW „ _ _ dW
X/y.. —
9pei' dPa,,' (5)
dW dW
Pa,l+1 8r ' "' Pa" Br '
Таким образом, система уравнений (5) удовлетворяет уравнению
Пфаффа (1), если W — такая функция отxQ</+1 • • • xQn,pQl • • • pQi/, в
которой pQl • • • ра< встречаются только линейно. Замечательно при этом то, что
это свойство системы уравнений (5) сохраняется и тогда, когда W
означает совершенно произвольную функцию своих аргументов. Действительно,
из (5) в результате дифференцирования мы получаем
dz - paidxai - • • • - Pa4dxa„ =dW + xai dpai H + xa„ dpa„ =
AW dW A„ dW A„
= dW-d^dp«> d^,dp*<-
С другой стороны,
Pa,,-!-! dXa(i+^ -)-••• T^a,, d%a„ =
то есть если вычесть это уравнение из предыдущего:
dz — pi dx\ — • • • — Рп dxn = dW — dW = 0.
Тем самым, наше утверждение доказано.
Следовательно, мы можем обобщить утверждение 2 (стр. 94),
следующим образом.
Теорема 9. Если в уравнениях
Z ~ %о>\Ро>\ — • • • — Хачра(( = V\ (Xo,t/+1 ♦ ♦ ♦ Хап -)Ра\ ' ' ' Vol,,)-)
~ _ 9W „ _ dW
Хг)/..
9pei' дра,/ (5)
= dw ...p = dw
охп,1-.Л ох с
ьа<,+1 ^^a„

под q понимать одно из чисел 0,1 ♦ ♦ ♦ п, под ос\, •• • ап —
некоторую последовательность из п чисел 1 ♦♦♦ п и, наконец, под W —
произвольную функцию своих аргументов, то (п +
^-параметрическая система уравнений (5) в переменных z,x\ ♦ ♦♦ хп,р\ • ♦ ♦ рп
будет всегда удовлетворять уравнению Пфаффа
dz — p\dx\ — • • • — pndxn — 0.
К виду (5) можно привести любую (п + \)-параметрическую
систему, которая удовлетворяет этому уравнению Пфаффа, и,
в частности, молено добиться того, что W будет линейной
функцией от переменных р.
Наиболее общая система уравнений, которая вообще
удовлетворяет уравнению Пфаффа, получается, если добавить
к (5) еще 0 или 1, или 2, ♦♦♦ п— 1 произвольных независимых
соотношений только между ха</+1 ••• xOLn^pOLl •••pan.[
§22
Среди систем уравнений в z,x\ • •• хп,р\ • • • рп, удовлетворяющих
уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — ♦ ♦ ♦ — pndxn = 0, имеются, в частности,
такие, которые включают в себя уравнение z = 0. Если
z = о, C/i = 0, С/2 = 0, • • •
— такая система и если все функции U\, U2 • • • не содержат г, чего
всегда можно достичь, то система уравнений U\ — 0, С/2 = 0, • • •, очевидно,
удовлетворяет уравнению Пфаффа
pidx\ Н + pndxn = 0. (б)
Если, наоборот, система уравнений, не содержащая z,
Vx(xi • • • xn,pi • • • рп) = 0, V2 = 0, • • •
удовлетворяет уравнению Пфаффа р\ dx\ Л \-рп dxn = 0, то система
z = 0, Vi = 0, У2 = 0, • • •
удовлетворяет уравнению dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn = 0. На
основании этих замечаний легко задать все системы уравнений в переменных
1 Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1874 г., стр. 201 и 207; ср. также Math.
Ann., том IX.

xi • • • xn,pi ♦ ♦ ♦ pn, удовлетворяющие уравнению Пфаффа p\ dx\ + • • • +
+ pn dxn = 0.
Если такая система уравнений не дает соотношений только между х,
то она включает в себя п уравнений
Pi = 0, • • • Рп = 0
и не содержит никаких других. Если .же она дает в точности q
независимых соотношений только между х\ • • • хп
i?i(xi • • • хп) = 0, • • • fiq(xi • • • хп) = 0, (7)
то, помимо (7), она в то же время включает в себя еще n — q независимых
уравнений, возникающих из
Al9x7 + -"+^9x--^ (8)
в результате исключения А. Другие уравнения она не обязана, но может
содержать; они являются тогда совершенно произвольными, должны лишь
быть совместны между собой и с ранее найденными уравнениями, а так-
же не долэюны давать никаких независимых от П\ = 0, ♦ ♦ ♦ Qq = 0
соотношений только между х\ • • • хп. Наконец, очевидно, что вид q-napa-
мерической системы уравнений ft\ — 0, • • • Qq — 0 не подлежит никаким
ограничениям. Удобно взять за основу уравнения (7) в разрешенном виде.
Представление, которое получается таким образом для рассматриваемых
систем уравнений, мы изложим в отдельном утверждении.
Утверждение 3. Если система уравнений от 2п переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп,
Pi - ' Рп удовлетворяет уравнению Пфаффа p\dxi-\ +pn dxn —0u
дает в точности q независимых соотношений только между х
Ха\ (pl\Xa,,+i * * * Хап ) = U, • • • Хач ^Pq\*^a4+i ' ' ' ^ot„ J = U,
то она либо может быть записана в виде
'ха1 ~ Ч>\ = 0, ♦ ♦ ♦ Хач -<ря=0,
(у = q+ 1 ••• п),
где ipi • • • ifq — произвольные функции своих аргументов, либо
включает в себя, помимо уравнений (9), еще некоторые другие соотношения

между pai ♦ ♦ ♦ Рач,Хач+1 • • ♦ хОСп; эти соотношения являются совершен-
но произвольными, но не должны давать никаких уравнений только между
Поэтому если среди систем уравнений, удовлетворяющих уравнению
Пфаффа pidx\ + ♦ ♦ ♦ + pndxn = О, ограничиться n-параметрическими, то,
не считая системы р\ = 0, ♦ ♦ ♦ рп = 0, получаются только такие системы
уравнений, которые содержат лишь отношения переменных р\ • • • рп.
Выше мы исходили из (га + 1)-параметрических систем уравнений
в переменных z,x\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рП9 удовлетворяющих уравнению
Пфаффа dz — р\ dx\ - • • • — рп dxn = 0, и выводили из них га-параметриче-
ские системы в х\ • • • xn,Pi • • • рП9 удовлетворяющие уравнению Пфаффа
Pidxi И + pndxn = 0.
И наоборот, из (п-\-1)-параметрических систем уравнений в
переменных ух • • • 2/n+i* #1 • • • <7п+ъ удовлетворяющих уравнению Пфаффа q\dyi +
Н -\-qn+idyn+i = 0, можно получить (га+1)-параметрические системы
уравнений в переменных z,x\ • • • хп,Р\ • • • рп, удовлетворяющие
уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn — 0.
Действительно, если положить
У\ = Х\, • • • уп = Хп, уп+1 = Z,
Ях _ Яп _
4n+i ~ Рьт" qn+l ~ Рп,
то уравнение Пфаффа
Qidyi + • • • + q<n+idyn+i = 0 (б')
превращается в
dz — р\ dx\ — ♦ ♦ ♦ — рп dxn = 0. (1)
Одновременно из каждой (га + 1)-параметрической системы уравнений
в У\ '' • Уп+iiQi "' Зп+ь удовлетворяющей (6') и не содержащей
уравнения #п+1 — 0> получается (га + 1)-параметрическая система уравнений
в z,xi • • • xn,pi • • • рп, удовлетворяющая (1); кроме того, даже без
вычислений очевидно, что таким образом получается всякая (п + 1
^параметрическая система уравнений, удовлетворяющая (1); для того, чтобы подтвердить
это аналитически, нужно лишь применить формулы (7) и (8) на стр. 97
к уравнению Пфаффа
gidj/i + • • • + qn+1dyn+1 = 0,
2Если бы речь шла только о том, чтобы доказать утверждение 3, то было бы проще вывести
его независимо от предыдущих утверждений этой главы. Ср. работы, цитируемые на стр. 96.

заменить в полученных выражениях q,y на z,x\ • • • xn,pi • • • рп и
сравнить результат с выражениями в утверждении 1 (стр. 93).
Видится желательным облечь только что проведенные аналитические
построения при помощи понятийных рассуждений в более наглядную
форму; при этом ради простоты мы ограничимся здесь случаем п = 2, к случаю
с произвольным п мы позднее вернемся.
Если в соответствии с главой 3 понимать величины z,xi,X2 как
прямоугольные координаты в обычном пространстве, то 2,xi,X2?PbP2
окажутся координатами элемента поверхности (раньше эти координаты
назывались z,x,y,p,q). Тогда трехпараметрические системы уравнений
в £,xi,X2,pi,P2, удовлетворяющие уравнению Пфаффа dz — p\dxi —
—P2dx2 = О, представляют элемент-многообразие М2 пространства z, xiX2-
В частности, среди упомянутых выше трехпараметрических систем
уравнений мы ограничимся теми, которые включают в себя уравнение
z = 0, то есть рассмотрим лишь те элемент-многообразия М2
пространства, элементы поверхности которых удовлетворяют уравнению z = 0.
Любое такое элемент-многообразие состоит либо из всех элементов некоторой
лежащей на плоскости z = 0 кривой
2 = 0, (£(хьх2)=0,
либо из всех элементов некоторой точки
z = 0, xi = аь х2 = а2
этой плоскости. В обоих случаях оо2 элементов поверхности этих
элемент-многообразий упорядочиваются в ос1 семейств по оо1 элементов
в каждом; кривая z — 0, (/?(xi,X2) = 0 содержит оо1 линейных элементов,
и через каждый из этих оо1 линейных элементов проходят оо1 элементов
поверхности пространства z,xi,X2,' для точки z — 0, х\ — а\, х2 — о>2
справедливо аналогичное утвер.ждение.
Мы можем выразить это еще и так: любую кривую z = 0, ^(xi,X2) = 0
и любую точку z = 0,х\ — а\,Х2 — а2 можно понимать либо как
элемент-многообразие Мг пространства z,xi,X2, либо как
элемент-многообразие Mi плоскости z = 0. В первом случае z,xi,X2,pi,p2 являются
обычными координатами элементов поверхности пространства z,xi,X2; во вто-
ром — Xi,X2, 5~ суть координаты линейных элементов плоскости z = 0.
В любом случае мы видим, что, описав все такие
элемент-многообразия М2 пространства z,xi,X2, удовлетворяющие уравнению z = 0, мы
одновршенно получаем все элел1ент-многообразия Mi плоскости z = 0.

Особенно важным является то, что мы получаем таким образом для
элемент-многообразия Mi плоскости z — 0 аналитическое
представление, при котором не исключаются никакие элемент-многообразия М\ этой
плоскости, лежащие в конечной области, В представлении же, изложенном
в главе 1 для элемент-многообразий Mi плоскости х, у, все прямые,
параллельные оси у, исключены, несмотря на то, что они могут, как и всякая
другая кривая плоскости, рассматриваться как элемент-многообразия Mi.
Соответствующие рассуждения для произвольного п см. на стр. 122
и ниже.
§23
Задача интегрирования дифференциального уравнения в частных
производных первого порядка
по Лагранжу обычно формулируется так: требуется описать все функции
F(x\ • • • хп)9 такие, что при подстановке z — F(x\ • • • хп) (10) будет
тождественно выполняться.
Если, как обычно, положить
— =Pi (г = 1 ••• п),
то (10) примет вид
0(Z,X! ••• Xn.Pl "'Vn) =0 (10')
и задача интегрирования уравнения (10) сведется к тому, чтобы описать
в переменных z,x\ - - хп,р\ • • • рп все системы уравнений вида
z-F(Xl •••*„)= 0, Р1-|^=о,...рп-|^=0, (11)
ох\ ахп
включающие в себя уравнение (10').
Эта формулировка задачи интегрирования есть лишь перефразировка
обычной; однако она полезна в том смысле, что естественным образом
ведет к тому, чтобы рассматривать задачу интегрирования
дифференциального уравнения в частных производных первого порядка как частный случай
более общей задачи.

А именно, системы уравнений вида (11) удовлетворяют уравнению
Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — pndxn = 0; однако, согласно § 21, они
образуют среди всех систем уравнений, обладающих этим последним свойством,
лишь один специальный класс. Поэтому будет вполне естественным
заменить задачу интегрирования уравнения (10) следующей, более общей.
Требуется описать вообще все (п + \)-параметрические системы
уравнений
Фг{г,х1 ••• xn,pi ••• рп) = 0, ••• Фп+1(г,х1 ••• xn,pi • • • рп) = 0,
удовлетворяющие уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • —pndxn = 0 и при
этом включающие в себя уравнение2
Ф(г,хг •••xn,Pi '" Рп) = 0. (10')
Если эта задача решена, то среди найденных систем уравнений
остается лишь найти все те, которые дают лишь одно соотношение только меж-
ду z,x\ • • • хп и могут, таким образом, принять вид (11). Тогда
интегрирование дифференциального уравнения (10) будет выполнено и в смысле
Лагранжа.
Даже если мы в настоящей главе и не решим только что поставленную
общую задачу, все же мы подготовим ее решение тем, что исследуем ряд
важных характеристических свойств такой (п + 1)-параметрической
системы уравнений, которая удовлетворяет уравнению Пфаффа
dz — pidxi — ... — pndxn = 0.
§24
Мы будем сначала исходить из систем уравнений, которые могут
принимать следующий вид:
z - F(Xl • • • хп) = 0, Р1 - |£ = 0, • • • рп - jj£- = 0. (11)
Если система уравнений (11) включает в себя уравнение
V(z,xi ••• xn,pi ... pn) =0,
3Lie, Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г.; ср. также Verhandlungen der Ges. d. W. zu
Christiania за 1874 г. и Math. Ann., том IX.

то имеет место тождество
V(F,Xl •••*п,Ц
дхп'
Если это тождество продифференцировать по х\ • • • хп, то, конечно, снова
получатся тождества; итак, мы видим, что система (11) включает в себя,
помимо уравнения У — 0, еще следующие п уравнений
дУ дУ dF
дхг дг дхг
+Е
дУ d2F
др,у дх„дхг
= 0
(г = 1 • • • п).
Теперь мы хотим, как это принято со времен Пуассона, обозначить
выражение
EJ dip ( дф дф\ дф f dip dip\ 1
v=1 \д^\др',+ P'^J ~д^[д^+ Pu~d~z) J
символом [арф]; тогда левые части последних уравнений принимают вид
dF
dxi
{г = 1 ••• п);
поэтому при наложенных условиях имеют место п уравнении
Vi
dF
дх\'
V
= 0, ...
Рп
dF
dxn"
У
= 0
в силу (11).
С другой стороны,
|-^-5^(--€)-
что также обращается в нуль в силу (11); итак, мы получаем
Утверждение 4. Если система уравнений* вида
z-F(x1...xn) = 0, Р1-Ж = 0|...Л-Ж
= 0
(11)
4Это важное утверждение 4 восходит к Коиш, правда, в ином виде. Однако следует
заметить, что Пфафф, который первым интегрировал дифференциальные уравнения в частных
производных первого порядка от произвольного числа переменных, еще раньше
сформулировал похожее, хоть и более специальное утверждение.

включает в себя уравнение V(z,x\ • • • xn,pi • • • рп) = 0, то она также
включает в себя и любое из следующих п + 1 уравнений
\z-F,V]=0,
»-£■'
= о,.-.
dF т/
Vn-&TnV
= 0.
Целесообразно сформулировать этот результат в ином виде.
Скобка [V/] представляет инфинитезимальное преобразование5, а
именно, такое, которое придает переменным z, x\ ■ ■ ■ хп, р\ ■ ■ ■ рп бесконечно
малые приращения
fa-£>!£*■ Sx-=dust- *"--(^+»
dV_
dz
St,
(г = 1
To, что выражения
[z-F,V],
или, что то же самое, выражения
[V,z-F],
дх\
дх\
dF у
дхп"
dF
V,pn -
дхп
одновременно обращаются в нуль в силу (11), равносильно тому, что
система уравнений (11) допускает инфинитезимальное преобразование [V, /].
Таким образом, утверждение 4 может быть сформулировано еще и так:
Утверждение 5. Если система уравнений
z-F(xi...xn) = 0, Pi" Jf =°> •••?«-|f = 0 (11)
включает в себя уравнение V(z, х\ • • • хп,р\ • • • рп) = 0, то она допускает
инфинитезимальное преобразование [V, /].
Отсюда, в частности, следует, что (11) допускает п + 1 инфинитези-
мальных преобразований:
[z-FJ],
9F f
v -^- f
Рп дх'1
5Важная трактовка скобки Пуассона как символа инфинитезимального преобразования
была разработана и использована в работе: Theorie der Transformationsgruppen II, Sophus Lie;
Archiv for Mathematik, Christiania 1876 г.; ср. также Math. Ann., том V11I, стр. 239 и 303.

Действительно, все выражения
8F
dXi
dF
dF
dXi
d2F + d2F = 0
dXyrdXi дХбдХх
dXi' дХх
обращаются в нуль в силу (11).
Примечателен следующий вид:
(т? dF dF\ n
z - p\X\ - •.. - pnxn - (P - x\ ... - Xn-—) = U,
OF n n dF n
который может принимать система (11). А именно, если из левых частей каких-
либо двух уравнений (11') образовать скобку [ ], то она всегда будет тождественно
равна нулю.
(in
§25
Пусть
Vi(z,xi ••• xn,pi ••• pn) =0, ••• Vn+i(z,xi ••• xn,pi ••• pn) = 0
(n + 1)-параметрическая система уравнений, которую можно записать
в виде
8F
z - F(xi • • • хп) = 0, pi - ^- = 0,
*-£=°- <»>
Согласно утверждению 5, система (11) допускает любое из п + 1 инфини-
тезимальных преобразований
\Vif\---[Vn+lf\,
но отсюда следует (ср. стр. 46), что и сама система V\ — 0, • • • Vn+\ — 0
допускает все эти инфинитезимальные преобразования, иначе говоря, что
все выражения [ViV^] в силу V\ = 0, • • • Vn+\ = 0 принимают значение
нуля.
Это замечание приводит нас к тому, чтобы рассмотреть вообще
произвольную систему уравнений
Ф\{г,Х1 ••• хп,рг ---РтО =0, ••• Фт(^^1 ••• a;n,pi • • • рп) = 0, (12)
такую, чтобы все [Фг^] в силу $i = 0, • • • Фт = 0 обращались в нуль.

Система уравнений (12) допускает, согласно нашему предположению,
следующие т инфинитезимальных преобразований:
[*i/] ••• [*m/];
поэтому если Ф\ = 0, • • • Фт = 0 — система уравнений,
эквивалентная (12), то она также допускает вышеупомянутые инфинитезимальные
преобразования; в соответствии с этим выражения [Ф$ Ф>,\ одновременно
обращаются в нуль в силу Ф\ — О, • • • Фт — О и, следовательно, также
в силу Ф\ = 0, • •• Фш = 0. Но [Ф^Фг] = — [Ф^*], то есть все [#*Фг]
также обращаются в нуль в силу $i =0, • • • Фт = 0 или, что то же самое,
система уравнений Ф\ = 0, • • • Фт = 0 допускает т инфинитезимальных
преобразований
[#i/] ••• [#*»/];
то же самое справедливо поэтому для эквивалентной системы Ф\ =
= 0, • • • Фт = 0; короче говоря, все [ Фг Ф„] обращаются в нуль в силу
Фг = 0, • • • Фт = 0.
Тем самым мы имеем исключительно важную теорему.
Теорема 10. Если т-параметрическая система уравнений
Ф\ = 0, • • • Фш = 0 такова, что все выражения [Ф^Ф^]
обращаются в нуль в силу Ф\ = 0, • • • Фт = 0, то и любая другая форма
этой системы уравнений Ф\ — 0, • • • Фт = 0 обладает тем
свойством, что все выражения [Фг, Ф^} обращаются в нуль в силу
#1=0,." Фт = 06
При этом нельзя забывать, что обе системы уравнений Ф\ — 0, • • •
• • • Фш = 0 и Ф\ = 0, • • • Фт = 0 должны удовлетворять требованиям,
предъявленным, согласно гл. 2 (стр. 42), к любой исследуемой нами системе
уравнений.
Рассуждения, приведшие нас к теореме 10, дают, в частности, еще и
следующее
Утверждение 6. Если т-параметрическая система уравнений Ф\ — 0, • • •
• • • Фш = 0 б переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп допускает т
инфинитезимальных преобразований [Ф\/] • • • [Фт/\, то она допускает также любое инфините-
зимальное преобразование [ Ф f\, в котором функция Ф обращается в нуль в силу
Ф\ = 0, • • • Фт = 0.
Из теоремы 10 можно сделать много важных выводов. Мы начнем
с наиболее простых.
6Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1874 г.; Math. Ann., том IX; Abhandlungen
der Ftgl. Sachs. Ges. d. W., том XIV.

Для того, чтобы (п + 1)-параметрическую систему уравнений Ф\ —
= О, • • • Фп+1 = 0 можно было привести к виду
z - F(xx • • • жп) = 0, Pi - ^ = 0» • • • Рп - ^ = 0, (11)
все [Фг Ф>,\, согласно замечанию выше (стр. 104), должны обращаться в нуль
в силу Ф\ = 0, • • • Фт = 0 и, кроме того, уравнения Ф\ = 0, • • • Фп+1 = О
должны быть разрешимы относительно z,p\ ••• рп. Если первое из этих
двух условий выполнено, то второе не обязательно должно выполняться,
об этом уже свидетельствует специальная, например, система уравнений
z = 0, xi = 0, • • • хп = 0; если же не только первое, но и второе условие
выполнено, то Ф\ = 0, • • • Фп-\-1 = 0 может принять вид
z-F(xi---xn) = 0,pi-Fi(xi---xn) =0, ••• Pn-Fn(xi ---хп)=0, (13)
а поскольку, согласно теореме 10, любое выражение
\jH-Fi, z-F]=Pi-^
обращается в нуль в силу (13), то мы имеем Fi — ——. Если при этом
еще учесть, что (11) является наиболее общей разрешимой относительно
z,Pi '" Рп (п + 1)-параметрической системой уравнений,
удовлетворяющей уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — pndxn = 0, то мы получим
Утверждение 7. Система уравнений Ф\ — 0, • • • Фп+\ — 0 в
переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп, разрешимая относительно z,p\ • • • рп,
удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — рп dxn = 0 тогда и
только тогда, когда все выраэ/сения [Ф;, Ф^] обращаются в нуль в силу Ф\ —
= 0, • • • Фп+1 = 0.
В то же время мы получаем следующие два утверждения.
Утверждение 8. Система уравнений
Фх&.хх ••• Xn.pi ••• Рп) =аи ••• #n+i(2,£i ••• <xn,pi ... pn) = ап+ь
разрешимая относительно z,p\ • • • рп, удовлетворяет уравнению
Пфаффа dz —pidxi — • • • —pndxn = 0 для всех значений параметров а\ • • • an+i
тогда и только тогда, когда все [фФ*] обращаются в нуль
тождественно.

Утверждение 9. Если к заданным т < п + 1 уравнениям Ф\ —
= 0, • • • Фт = 0 от z, х\ • • • xn,pi - " рп можно добавить еще п + 1 — т
уравнений Фт+1 — ^т+ъ * * * $n+i = а>п+\, так что получится (п + 1)-па-
раметрическая система уравнений, разрешимая относительно z,p\ • • • рп
и удовлетворяющая для всех значений параметров am+i • • • an+i
уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — pndxn — О, то все выражения [Ф$, Фх],
[Ф{, Фх], [ Фи &>с\ обращаются в нуль в силу т заданных уравнений1.
§26
Теперь перейдем к выводу более общих утверждений.
Согласно теореме 9 (стр. 95), (п +1)-параметрическая система
уравнений удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ рп dxn = 0 тогда
и только тогда, когда она может быть записана в виде
z ~ Рсц^сц — ♦ ♦ ♦ — ра<1Ха<1 — W \Рос\ * * * Рос,, i ^av+i * * * ха„ ) = U,
х + ^-0 ...х + ^-0
к«/+1
— и> Pol,, о — U.
дт ' ^а" Вт
Если же функциональный определитель
д 8W д dW
Е±5
(14)
(15)
dpai dpai драч дра<1
не равен тождественно нулю, то уравнения
х +Ш--0 ...х +^i-o
можно разрешить относительно ра1 • • • pQ,, и наша система в соответствии
с этим может быть представлена в виде
2-F(x1...xn) = 0, Р1-^ = 0,...Рл-Ж=о.
7В своих исследованиях по дифференциальным уравнениям в частных производных
первого порядка Якобы почти всегда ограничивается случаем, когда неизвестная функция z явно
в уравнениях не участвует. По этой причине важные утверждения 7, 8 и 9 не были им
сформулированы, хотя они, конечно, тесно связаны с его теоремами.

Поэтому, образовав из левых частей каких-либо двух уравнений (14)
скобку [ ], мы, согласно теореме 10, всегда получим функцию от z,x\ • • • хп,
Pi " ' Рп, которая обращается в нуль в силу (14).
Тем самым мы нашли свойство, присущее системе уравнений (14),
если определитель (15) не обращается тождественно в нуль. Однако ясно,
что это свойство и при тождественном обращении (15) в нуль не может
быть утрачено; поскольку обращение упомянутых скобок в нуль в силу (14)
никак не может быть следствием необращения в нуль определителя (15).
Действительно, мы имеем в результате вычисления
Z Рос\^а\ ' ' ' Ра,,%а,, V*,
Хг\
Рси\"Е(Х\
dw
+
дРа/
+
Ра,, %а
8W
W, Va-, +
дра, \
= 0
Ра« -
3W
дра,
dW
дха>.
dW
- х,
-Р.
дра, )
dW
dp,
Pay ~
дха
dW
= 0,
xOLi -\-
dW
дра,
какие-либо из чисел 1
P*., ~
dW
дРа>
dp a,.
= 0,
какие-либо из чисел q +
где г и i
+ 1, ••• п.
Таким образом, мы видим, что с учетом теоремы 10 имеет место
следующее
Утверждение 10. Если (п + 1)-параметрическая система уравнений
Ф\ = 0, • • • Фп+\ = 0 в переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп удовлетворяет
уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn = 0, то все [Ф$, Ф^\
обращаются в нуль в силу Ф\ — 0, • • • Фп+1 = 0.
Это утверждение может быть также сформулировано следующим образом.
Утверждение 11. Если (п + \)-парсшетрическая система уравнений Ф\ =
= 0, • • • Фп+1 = 0 удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — p\dx\ рп dxn =
= 0, то она допускает любое из п + 1 инфинитезимальных преобразований
[*i/L ■••[*»+!/].
Можно показать, что утверждение 10 обратимо. Чтобы выполнить это
обращение, мы сначала докажем вспомогательное утверждение, которое
также и само по себе является замечательным.
Пусть в переменных z, x\ • • • хп,р\ • • • рп задана (п +
^-параметрическая система уравнений Ф\ =0, • • • Фп+\ = 0, такая, что все [Ф^Ф^] в силу
этой системы обращаются в нуль.

Если бы все п + 1 функций Ф не содержали z, то система уравнений
Ф\ = 0, • • • Фп+\ = О давала бы некоторое число, скажем, / > 0
независимых соотношений
Wi(xi • • • хп) = 0, • • • Wi(xi • • • хп) = О
только между х\ • • • хП9 а с другой стороны, ее можно было бы разрешить
относительно ровно п — I + 1 из переменных р, например, относительно
VuVl+i ••• Рп>
Pi -<pi(pi •••Pz-i,xi ••• xn) = 0, ••• pn -<pn(pi -- Pi-i,xi ... xn) = 0.
Из / уравнений Wi = 0, • • • Wi — 0 мы могли бы теперь исключить I — 1
переменных х\ • • • x/_i и получили бы по крайней мере одно соотношение
только между х\ - - - хп. Если бы это соотношение содержало, например, хи
то его можно было бы привести к виду
xi -ф(х1+1 ••• хп) = 0
и, согласно теореме 10, выражение
[pi -(fi,xt -ф] = 1
должно было бы обратиться в нуль в силу Ф\ — 0, • • • Фп+\ — 0. Это
противоречие показывает, что случай, когда ни одна из функций Ф\ • • • Фп+1
не содержит z, невозможен. Тем самым мы получили обещанное
вспомогательное
Утверждение 12. Если п + \ независимых уравнений Ф\ = 0, • • •
• • • Фп+\ — 0 в переменных z,X\ ■ • • хп,р\ • • • рп таковы, что все [ФгФ-^]
в силу Ф\ = 0, • • • Фп+\ = 0 обращаются в нуль, то п + \ функций
Ф\ • • • Фп+i не могут быть одновременно независимыми от z.
Теперь исключим z из (п + 1)-параметрической системы уравнений
$1 =0, • • • Фп+i — 0. В результате мы получим n-параметрическую
систему уравнений только от х\ • • • хп,Р\ • • • Рп>
Ф1(х1 • • • xn,pi • • • Рп) = 0, • • • Фп(хг • • • xn,Pi • • • Рп) = 0,
такую, что каждая скобка [ ^ Фх] обращается в нуль в силу Ф\ =
= 0, • • • Фп+1 = 0 и даже в силу Ф\ = 0, • • • Фп = 0.
Если система уравнений Ф\ = 0, • • • Фп = 0 дает в точности / > 0
независимых соотношений
■Gi(я 1 • • • хп) = 0, • • • ^(xi • • • хп) = 0

только между х\ • • • хп, то она разрешима относительно п — I из р,
например, относительно pi+\ • • • рп:
pi+i -(pi+i(pi ••• Pi,xi ••• хп) = 0, ••• рп -ipniPi •••£/,ffi ••• xn) =0.
Отсюда мы, как и выше, видим, что из уравнений J?i = 0, • • • J?j = 0 не
следует никаких соотношений только между xi+\ • • • хп, то есть что эти
уравнения разрешимы относительно х\ • • • х/:
х\ - ¥>i(xi+i • • • хп) = 0, • • • xi - (pi(xi+i --• хп)=0.
Тогда система из п уравнений
х\ - (pi = 0, • • • xi -<pi= 0, р/+1 - у?л_1 = 0, • • • рп - (рп = 0,
очевидно, эквивалентна системе уравнений Ф\ — 0, • • • !Pn = 0.
При помощи рассуждений выше было доказано, что систему
уравнений Ф\ = 0, • • • Фп+\ = 0 можно разрешить относительно z,x\ ••• xj,
Pz+i • Рп и что она, таким образом, может принять вид
Г г - xipi - ... - xipi - W(pi • • • рь x/+i • • • хп) = 0,
\ Xl + Wx = 0, • • • xi + Wi = 0, w+1 - Wi+i = 0, • • • рп - Wn = 0,
(16)
где W\ • • • Wn, равно как и W, зависят лишь от р\ • • • эд, x/+i • • • хп. Если
же образовать скобки
[Z - XiPi - . . . - хда - W, X; + Wi] = - [Xi + — J ,
[г - xipi - ... - хда - W, px - Wx] = - (p* - ^-J,
которые должны обращаться в нуль в силу (16), то мы увидим, что
W\... Wn имеют следующие значения:
dpi dpi 9x/+i дхп
и что (16), а значит, и эквивалентная ей система Ф\ = 0, • • • Фп+\ = 0
удовлетворяют уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — pndxn = 0.
Тем самым доказана обратимость утверждения 10, и мы имеем
следующую теорему.

Теорема 11. Система, состоящая из п + 1 независимых
уравнений Ф\ = 0, • • • Фп+1 = 0 в переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп
удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn = 0
тогда и только тогда, когда все \Ф^ Ф„] обращаются в нуль в
силу $1=0,... Фп+1=0.8
Следует также упомянуть, что всякую (п+ 1)-параметрическую систему
уравнений Ф\ — 0, • • • Фп+\ — 0, обращающую в нуль все [ФгФ^], можно привести
к такому виду Х\ = О, • ■ ■ Хп+\ — 0, что все [ХгХ^] будут равны нулю
тождественно. Прежде всего, как мы только что видели, систему Ф\ — 0, • • • Фп+1 = 0
можно представить в виде
а,,Рач ~ W(pai • • • ра,пХа,1+1 ' ' ' Ха„) = 0,
Z Х&-[Рсс\ ' ' ' X,
Xai + дРа1 ~ °' Ха" + дРа„ ~ и' (17)
8W п п 8W п
Pa"+1 ~ di— '"'Ра" ~ д^~
Но система (17) эквивалентна следующей:
Z-Xau + 1Pau+1 ХссРсс,, ~W+pai - 1 bZa„ ^ =0,
' ' Ор0(1 ОХ&,,
dW n „ 8W
д~х— ' "Ра" ~ д^~
^ OW n « C7VV n
и если здесь из левых частей двух уравнений образовать выражение в скобках [ ],
то всегда получится тождественный нуль.
Из теоремы 11 непосредственно следует
Утверждение 13, Система, состоящая из п + 1 независимых
уравнений
Фг&хг ••• xn,pi ••• рп) = аи ••• Фп+г&^г ••• *n,Pi * * * Рп) = Оп+и
удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn — 0 для
всех значений параметров а\ • • • an+i тогда и только тогда, когда все
выраэ/сения [ФгФ*] обращаются в нуль тоэ/сдественно.
Если две функции Ф и Ф переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп таковы,
что выражение [ФФ] обращается в нуль тождественно, то говорят, что
они находятся в инволюции. Система из I таких независимых функций
HLie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1874 г.; Math. Ann., том IX; Abhandlungen
der Kgl. Sachs. Ges. d. W., том ХН.

&i(z,x,p) ••• $i(z,x,p), попарно находящихся в инволюции, называется
l-параметрической системой функций в инволюции9.
Из того, что (п + 1)-параметрическая система уравнений Ф\ =
= а\ • • • Фп+i = ап+ь удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz—pi dx\ —
— — - — Рп dxn = 0, не может не содержать z, следует
Утверждение 14. Если Ф\ • • • Фп+\ образуют (п +
^-параметрическую систему функций в инволюции, то по крайней мере одна из функций Ф
должна содержать величину z.
Более простой вывод этого утверждения будет приведен ниже.
§27
Если m-параметрическая система уравнений
$i(2,xi ••• xn,pi ••• рп) = аь ••• Фт{г,Х1 ••• xn,pi ■■• рп) = аш
удовлетворяет для всех значений параметров а\ • • • ат уравнению Пфаффа
dz — pi dx\ — • • • — рп dxn = 0, то выражение dz — p\dx\ — • • • — pndxn
обращается в нуль при произвольно выбранных z,x\ • • • хП9 р\ • • • рп для
любой системы значений dz,dx\ • • • dxn, dpi • • • dpn, удовлетворяющей т
уравнениям
Поэтому можно задать т таких функций Ai • • • Am от 2, xi • • • xn, pi • • • рп,
что будет иметь место тождество
dz - pidxi - • • • - Pn^n = Aid#i + ... + Amd$m. (19)
Эти функции Ai • • • Am находятся путем разрешения уравнений
\дф*м л. \ дФ™ -
dz ' ' Тп dz
\ дФ1 Л. Л-\ ЭФ™ - „
дФг , , х дФт
— h • • • -|- Am —
Орг Орг
(г = 1 ••• п),
(20)
9Это общее понятие, а также термин система функций в инволюции (Involutionssystem)
были введены в работе Софуса Ли «Kurzes Resume mehrerer neuen Theorien», Gesell. d. W. zu
Christiania, май 1872 г.; ср. также Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania за 1873 г., стр.
19. В исследованиях Якоби встречаются лишь специальные системы функций в инволюции, на
которые наложены обременительные ограничения, а именно, Якоби требует, чтобы
рассматриваемые функции не содержали z и были независимы по переменным р\ • • • рп.

которые при наложенных условиях заведомо совместны между собой
и ввиду независимости Ф\ • • • Фт однозначно определяют неизвестные
Ai ■ • • лт.
Теперь, наоборот, предположим, что заданы 2га функций Ф\ • • • Фт9
Ai • • • Am, тождественно удовлетворяющие (19). Если функции Ф\ • • • Фш
не являются независимыми друг от друга, то мы можем заменить (19)
тождеством такого же вида, в котором число т имеет меньшее значение;
поскольку если, например, Ф\ • • • Ф{ не зависят друг от друга, в то время как
Ф/+1 ••• Фш можно выразить через Ф\ • • • Ф[, то (19), очевидно, можно
привести к виду
dz — pi dx\ — • • • — Рп dxn = Aid^i Ч- • • • 4- \'$Ф\.
Следовательно, мы можем предположить, что Ф\ • • • Фш друг от друга
независимы. Но тогда из справедливости тождества (19) следует, что система
уравнений
Ф\{г,х\ ••• хп,р\ ••• рп) = аь ••• Фт&хг ••• хп,р\ • • • pn) = am
удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — pi dx\ — • • • — рп dxn — О для всех
значений параметров а\ • • • am, a это, согласно утверждению 1 (стр. 93),
возможно лишь тогда, когда т ^ п + 1, то есть сначала мы получаем
следующее утверждение, известное из теории о проблеме Пфаффа.
Утверждение 15. Если 2га функций Ai • • • Am, Ф\ • • • Фш от
переменных z, х\... хп, pi... рп тождественно удовлетворяют уравнению
dz -pidxi - • • • - рп dxn = Ai йФ\ Ч + Am dФш,
то среди т функций Ф\ ••• Фт имеется по крайней мере п + 1 друг от
друга независимых.
Кроме того, мы получаем (утверждение 13, стр. 111) следующее
важное
Утверждение 16. Для того чтобы уравнение вида
dz - pidxi - • • • - pndxn = XldФl Ч + An+id$n+i (A)
выполнялось тождественно, необходимо и достаточно, чтобы Ф\ • • • Фп+г
были независимььми друг от друга функциями от переменных
z,x\ - - - xn,pi • • • рп, находящимися попарно в инволюции [Ф^Ф^] =0.
Если имеется п + 1 таких функций Ф\ • • • Фп+г, то \\ • • • An+i однозначно

определены и могут быть найдены путем разрешения п + 1 линейных
уравнений10.
§28
При помощи утверждения 16 мы легко сможем вывести другой
замечательный результат.
Если Х\ • • • Хт9 Р\ • • • Рт — такие функции от х\ • • • хп,р\ • • • рП9
которые тождественно удовлетворяют уравнению
Pidxi Н + Pndxn = PidXi H + РшйХш,
то и уравнение
dz — pidxi — ... — pndxn — dz — P\dX\ ♦ ♦ ♦ — PmdXm
также выполняется тождественно. Отсюда следует, что га ^ п.
Ограничимся случаем т — п. Для существования соотношения вида
dz — p\dx\ — ... — pndxn — dz — P\dX\ — ♦ ♦ ♦ — PndXny (21)
согласно утверждению 16, во всяком случае необходимо, чтобы
функции Xi(x,p) ♦ ♦ ♦ Хп(х,р) были независимы друг от друга и удовлетворяли
уравнениям
[ХЛ,]=0, М] = Х>^=0 (22)
«/=1 °^,у
(г = 1 • • • п)
,0Это важное утверждение 16 было впервые сформулировано и доказано в работах Софуса
Ли «Краткое резюме некоторых новых теорий» («Kurzes Resume mehrerer neuen Theorien»)
и «К аналитической теории контактных преобразований» («Zur analytischen Theorie der
Beruhrungstransformationen»), Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, май 1872 п и июнь
1873 r. Данное там же обоснование утверждения опирается на теорию Клебша о проблеме
Пфаффа и неявно предполагает, как отмечает г-н Майер в заметке «О контактных
преобразованиях Ли» («Ueber die Lieschen Beruhrungstransformationen» (Gottinger Nachrichten, июнь
1874 г.)), что величина Фп+\ не является независимой от z. Однако к этому следует заметить,
что Ф\ - - • Фп+i являются равноправными и что с самого начала ясно, что не все они могут
быть свободны от 2, если выполняется тождество (А), а также если они образуют (п +
^-параметрическую систему функций в инволюции (ср. Verh. d. Ges. d. W. zu Christiania, март
1873 г., стр. 38). Кстати, именно благодаря представленным в данном тексте результатам было
впервые получено утверждение 16.

тождественно, другими словами: независимые друг от друга функции
Х\ ♦ ♦ • Хп должны попарно находиться в инволюции, а также быть
однородными функциями нулевого порядка по р. Эти необходимые условия
являются также и достаточными. Если они выполнены, то, согласно
приведенному выше утверждению, имеет место тождество вида
dz — pidxi — ... — pndxn = Xdz — X\dX\ — • • • — \ndXn,
а из него немедленно следует Л = 1 и
Х>^=д, Х>^=0 (23)
(i = 1 ••• п),
то есть Ai • • • ХП9 однозначно определенные этими уравнениями, будут
функциями только от х\ • • • xn,pi • • • рп. Поэтому если указанные выше
условия выполнены, то заведомо имеет место тождество вида (21);
входящие в них функции Pi • • • Рп идентичны функциям, определенным
уравнениями (23); если еще учесть, что X — однородные функции нулевого
порядка по р, то мы сразу видим, что Р будут однородными функциями
первого порядка по pi • • • рп.
Наконец, из тождественного выполнения (21) следует, что уравнение
Pidxi + • • • + Pndxn = PxdXx + • • • + PndXn (24)
также выполняется тождественно, а так как, наоборот, (21) следует из (24),
то мы имеем указанные выше необходимые и достаточные условия
выполнения тождества вида (24).
Прежде чем сформулировать полученный результат в виде
утверждения, мы хотим еще заметить следующее.
Поскольку Х\ ♦ ♦ ♦ Хп не содержат г, то выражение [ХгХ*] принимает
вид
^ V дР» дх» дх„ др„ ) *
Для выражения
др дф д<р дф
£
„=1 хдр„дх,у dxv дри
где (риф — две произвольные функции от х\ • • • хп,р\ • • • рП9 принято
использовать символ (рф); поэтому мы можем в нашем случае вместо [Х^Х^]
записать также (XiX^).

Итак, мы имеем
Утверждение 17. Тождество вида
Pidxi H + pndxn = PidXi H + PmdXm,
в котором X и Р — функции от х\ • • • хп,Р\ • • • рп, моэ/сет иметь место
только тогда, когда т ^ п. В частности, для существования тождества
вида
Pidxi H + pndxn = PidXi H + PndXn (24)
необходимо и достаточно, чтобы функции Х\ • • • Хп были независимы
друг от друга, находились попарно в соотношениях (Х^Х^) = 0 и были
однородными функциями нулевого порядка по р. Если известны п функций
Х\ • • • Хп с таким свойством, то Р\ ♦ ♦ ♦ Рп находятся разрешением
линейных уравнений; Р\ • • • Рп однозначно определены этими уравнениями
и являются однородными функциями первого порядка по р\ • • • рп.
Для того чтобы система уравнений вида
Ui{xi ... xn,pi ••• Рп) = аи ... Un(xi ••• xn,pi ... Рп) =ап
удовлетворяла уравнению Пфаффа p\dx\ + • • • + pndxn — 0 для всех
значений параметров а\ • • • аП9 необходимо и достаточно, чтобы
равенство pidxi + • • • -Ь pndxn — О выполнялось для всех систем значений
х\ • • • xn,pi • • • рп, dx\ ♦ ♦ ♦ dxn, dp\ • • • dpn, удовлетворяющих п
уравнениям
dUi = 0, ••• dUn = 0.
Но это происходит тогда и только тогда, когда имеет место тождество
Pidxi Н + Pn^n = Ai d Ui H + An d C/"n,
где Ai... An — некоторые функции от х\ • • • xn,p\ • • • pn. Поэтому на
основании последнего утверждения мы можем сформулировать следующее
Утверждение 18. Система уравнений вида
Ui(xi ♦ ♦ ♦ xn,pi • • • рп) = ai, • • • Un(xi • • • xn,pi • • • pn) = «n
удовлетворяет уравнению Пфаффа p\dx\ Л +pndxn = 0 d/ш всех:
значений параметров а\ • • • ап тогда и только тогда, когда U\ • • • Un — такие
независимые друг от друга функции, которые находятся попарно в
соотношениях (UiUH) = 0 и являются однородными функциями нулевого порядка
по р.

§29
Если (п + 1)-параметрическая система уравнений вида
J?i(z,.Ti ••• xn,pi ••• Pn) =0, ••• J?n+i(z,xi ••• xn,pi ••• pn) = 0 (25)
включает в себя некоторое заданное уравнение Q{z,x\ ••• хп,р\ • • • рп) = 0
и при этом удовлетворяет уравнению Пфаффа dz —p\ dx\ рп dxn = 0,
то мы говорим, что она представляет решение уравнения Q — 0.
Если система уравнений вида (25), представляющая решение
уравнения /2 = 0, содержит п произвольных констант а\ • • ♦ ап, то мы называем
такое решение полным, коль скоро из (25) исключением а\ • • • ап
получается всего лишь одно уравнение /2 = 0 только между z,x\ • • • хп,р\ • • • рп,
или, что то же самое, система уравнений (25) может принимать вид
П(г,х,р) = 0, Ф1(г,х,р) = а1, ••• Фп{*,х,р) = ап.
Это понятие11 полного решения является более общим, чем у Лагран-
жа: Лагранж ограничивается случаем, когда система уравнений (25) дает
только одно соотношение между z,x\ • • • хп и параметрами а\ • • • ап.
Далее мы покажем, что интегрирование уравнения /2 = 0 сводится
к нахождению полного решения уравнения /2 = 0; при этом безразлично,
сколько можно вывести соотношений из уравнений этого полного
решения — только одно или несколько.
Если интегрируемое уравнение уже содержит произвольную
константу, то есть его можно записать в виде U(z,x,p) = а, то чтобы
найти его полное решение, нужно лишь задать п функций U\ • • • Un
от z,x\ - - - хп,р\ - - - рп, которые тождественно удовлетворяют уравнению
вида
XdU + \\dUi Н + XndUn = dz — р\ dx\ — • • • — pndxn.
Если одно полное решение U — a, U\ — а\, ♦ ♦ ♦ Un — ап уравнения U — а
найдено, то самое общее полное его решение мы получим, если
удовлетворим уравнению
XdU + \idUi + .-• + \ndUn = pdU -\-fiidVi -\ + findVn
"Данное в тексте обобщение введенного Лагранжем понятия «полное решение» было
впервые изложено в заметке Софуса Ли «К теории дифференциальных уравнений в
частных производных первого порядка, в частности, об их классификации» Gottinger Nachrichten,
окт. 1872 г.

или, что то же самое, уравнению
самым общим образом (ср. гл. 6).
Если взять за основу старое определение полного решения, данное
Лагранжем, то переход от одного заданного полного решения к другим
полным решениям будет более сложным.
§30
В теории дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка часто бывает полезно использовать понятия и терминологию
из теории многообразий. Вся теория в целом существенно выигрывает при
этом в смысле «прозрачности»; многие ее результаты кажутся даже само
собой разумеющимися.
Систему значений г, х\ • • • хп мы понимаем как точку (п+ 1)-мерного
пространства, а величины z, х\ • • • хп рассматриваем как координаты этой
точки.
При такой трактовке уравнение вида
Ф(г,хг ... жп) = 0
выделяет из oon+1 точек пространства z,x\ • • • хп в точности ооп
различных, совокупность которых образует n-мерное точечное многообразие;
уравнение Ф = 0 в соответствии с этим есть лишь аналитическое
представление этого точечного многообразия. В частности, всякое уравнение
первого порядка
Az + Bixi Н + Впхп + С = 0
определяет некоторое плоское n-мерное многообразие, или, кратко, п-мер-
ную плоскость.
^-параметрическая система уравнений
Ф\^,Х1 ... хп) =0, ... Фя(г,Х1 ... жп) =0
задает (п +1 — д)-мерное точечное многообразие пространства 2, xi • • • хп.
Точкам пространства z,x\ • • • хп мы сопоставляем элементы этого
пространства. Любую систему значений z,x\ • • • хп,р\ • • • рп мы назовем

элементом пространства z,x\ ••• хп, величины z,x,p мы
рассматривав как координаты этого элемента. Согласно этому, мы должны
сказать, что (п + 1)-мерное пространство содержит, с одной стороны, con+1
точек, а с другой — oo2n+1 элементов.
На плоскости и в обычном пространстве мы могли связать с понятием
«элемент» некое наглядное представление: на плоскости каждый элемент был
совокупностью точки и проходящей через нее прямой, в обычном пространстве —
совокупностью точки и проходящей через нее плоскостью. Точно так же мы можем придать
реальный смысл понятию «элемент (п + 1)-мерного пространства».
Уравнение
3 - z - pi(yi — ал) — — — Рп(Тп - Хп) = 0 (26)
представляет проходящую через точку z7x\ • • • хп n-мерную плоскость
нашего (п + 1)-мерного пространства. Совокупность точки z,x\ • • • хп и проходящей
через нее плоскости (26) — это такая фигура, которую мы рассматриваем как
образ системы значений z, х\ • • • хп, р\ ♦ • • рп. В соответствии с этим мы называем
совокупность точки z,x\ • • • хп и проходящей через нее плоскости
3 - z - pi(ji - хг) - • • • - Рп(Тп - Хп) = О
элементом пространства z,xi • • - хп и при этом рассматриваем z, x\ ••• хп,
Pi ''' Рп как координаты этого элемента.
Такая трактовка понятия «элемент» выказывает недостаток, присущий
элемент-координатам г, я, р. Так, с самого начала ясно, что, следуя логике, вообще
всякая фигура, состоящая из точки и проходящей через нее гс-мериой плоскости
пространства z,х\ • • • жп, может быть названа элементом пространства z,x\ • • • хп; но
элемент-координаты z,xi • • • xn,Pi • • • Рп не представляют общности всех
определенных таким образом элементов пространства, поскольку они теряют смысл для
всех тех элементов, n-мерная плоскость которых имеет специальный вид
gi(?i -xi)-\ 4- Яп(Ъп - Хп) = 0.
Несколько ниже мы познакомимся с однородными элемент-координатами,
которым этот недостаток не свойственен.
Дадим еще несколько приложений нашей интерпретации понятия «элемент».
Точечное тг-мерное многообразие
z - F(x\ • • • Хп) — 0
,2Определение этого важного понятия «элемент пространства z,x\ • • • хп» было введено
в заметке Софуса Ли «Новый метод интегрирования уравнений в частных производных
первого порядка от п переменных», Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, май 1872 г.; там
же можно найти и ряд важных приложений этого понятия. Ср. также Gottinger Nachrichten,
май 1871 и октябрь 1872 г.

имеет в каждой своей точке г, х\ • • • хп n-мерную касательную плоскость,
уравнение которой выглядит следующим образом:
3-2-C(F1_a;i) C(Fn_a;n) = 0-
Теперь мы хотим каждый элемент z, х\ • • • хп, Р\ * * * Рп-, точка которого z, x\ • • • хп
лежит на многообразии z — F(x) = 0 и плоскостью которого
Ь - z - pi(ji - х\) - ••• - Pn{ln -хп) = 0
является соответствующая касательная плоскость этого многообразия, назвать
элементом многообразия z — F — 0. Тогда мы можем сказать: каждому п-мерному
многообразию z — F{x\ • • • хп) = 0 соответствуют оо71 различных элементов
z, х\ • • • XmPi - - ■ Рп, совокупность которых представлена системой уравнений
z-F(x1---xn) = 0J Pi-ff = °>-"Pn-|^- = 0. (27)
Системы уравнений вида (27) не представляют для нас ничего нового, мы уже
видели раньше, что они удовлетворяют уравнению Пфаффа
dz — p\dx\ — ... — pndx-n — 0
и что среди всех (п + 1)-параметрических систем уравнений с таким свойством
они — единственные, дающие лишь одно соотношение только между z,x\ • • • хп-
Согласно этому, полученный выше результат можно сформулировать так:
Семейство, состоящее из ооп элементов z,x\ ••• xn,Pi • •• Рп,
принадлежащих n-мерному точечному многообразию z — F(x\ • • • хп) = 0
пространства zyxi • • • хп, удовлетворяет уравнению Пфаффа
dz — pidxi — • • • — pndxn = 0.
Здесь исключаются все n-мерные точечные многообразия, которые представлены
уравнением вида Q{x\ • • • хп) = 0.
Рассмотрим, с другой стороны, точечное многообразие, которое представлено
q + 1 независимыми уравнениями
Oi(z,xi • • • хп) = 0, • • • Дг+i(z,xi • • • хп) = 0.
Оно имеет в каждой своей точке оод n-мерных касательных плоскостей,
определяемых уравнением
(§^)ь-)+С?1л-^)<п"п) + -

где под Ai ■ ■ ■ A<j+i понимаются произвольные параметры. Тогда в соответствии
с введенной выше терминологией мы назовем элемент z,x\ • • • хп,р\ • • • рп
элементом многообразия J?i = 0, • • ■ Qq+\ = 0 в том случае, когда его точка
z, х\ • • • хп лежит на этом многообразии, а его плоскость
3 - z - pi(yi -xi) - • ■ ■ - pn(ln -Хп) = 0
— одна из оо9 n-мерных касательных плоскостей, которые имеет
многообразие fi\ = 0, • • • ftq+i = 0 в точке z,x\ • • • хп-
Многообразие i?i = 0, • • • i?g+i = О является (n — q)-мерным, то есть оно
содержит оо71-9 различных точек, и каждой из этих оо71-9 точек соответствуют,
согласно вышесказанному, оо9 элементов, следовательно, нашему многообразию
соответствуют в целом ооп элементов, определяемых уравнениями
fi?i(z,xi • • • хп) =0, • • • i?g+i(z,xi • • • хп) = 0,
(i = 1 ••• п),
при условии, что из них исключены А. Но исключением Ai • • • \q+i из (29)
получается (п + 1)-параметрическая система уравнений от переменных z,x\ • • • хп.
Pi " ' Рп, удовлетворяющая уравнению Пфаффа. Итак,
Семейство из оо71 элементов z,x\ •••xn,pi "' Рп» соответствующих
(п — q)-мерному точечному многообразию пространства z,x\ • • • хп,
удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — p\dx\ рп dxn — 0, при этом q может быть
любым из чисел 0,1, 2 • • • п.
Из-за особого свойства элемент-координат 2,х,р, здесь исключаются все
(п — q)-мерные точечные многообразия, уравнения которых не содержат z.
Особо следует упомянуть случай q — п, в котором (п — <?)-мерное точечное
многообразие сводится лишь к одной точке
z = а, х\ = ai, • • • хп = о,п- (30)
ооп элементов, принадлежащих этому точечному многообразию, — это именно те,
которые имеют точкой приложения точку (30).
Если мы вспомним проведенное в §21 (стр. 90) и ниже описание всех
(п + 1)-параметрических систем уравнений, удовлетворяющих уравнению Пфаффа
dz — р\ dx\ — рп dxn = 0, то получим также следующее.
Всякая (п + 1)-параметрическая система уравнений в z,x\ • • • xn,Pi • • • Рп,
удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz — p\dx\ рп dxn = 0,
представляет ооп элементов, принадлежащих точечному многообразию n-мерного
пространства z,x\ ••• Xnl число измерений этого точечного многообразия — одно из
чисел 0,1, 2 • • • п.
Если система уравнений в координатах z,x\ • • • хп,р\ • • • рп такова,
что удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn — 0,

то представляемое ею семейство элементов z,x\ • • • хп,р\ • • • рп
называется элемент-многообразием пространства z,x\ • • • хп.
Элемент-многообразие, представленное системой из 2п — I + 1 независимых уравнений
от г, х\ • • • xn,pi • • • рп и состоящее в точности из оо' различных
элементов, мы будем кратко называть элемент-многообразием М/.13
Поскольку система уравнений, удовлетворяющая уравнению Пфаффа
dz — pidxi — • ■ • — pndxn = О,
состоит по крайней мере из п + 1 независимых уравнений, то вообще не
существует элемент-многообразия, которое содержало бы более чем ооп элементов.
Элемент-многообразие, содержащее в точности ооп элементов, то есть
элемент-многообразие Мп, согласно рассуждениям выше, всегда состоит из ооп элементов
точечного многообразия пространства z,xi • • • хп.
Используя понятие элемент-многообразия Мп, мы можем
сформулировать утверждение 13 (стр. 111), следующим образом.
Утверждение 19. Система из п + 1 независимых уравнений
Fi(z,xi ••• Xn,Pi ••• Рп) = ai, ••• Fn+i(z,xi ••• xn,pi ••• pn) = an+i
представляет элемент-многообразие Мп для всех значений
параметров а\ ••• an+i тогда и только тогда, когда F\ • ■ • Fn+\ удовлетворяют
тождеству вида
dz — pidxi — ... — pndxn = XidFi H + An+i<iFn+i
или, что то же самое, если все выражения [FiF*,] тождественно
обращаются в нуль.
§31
Чтобы сделать понятие «элемент-многообразие» как можно более
доступным, мы хотим показать, что уравнение Пфаффа dz — р\ dx\ — ♦ ♦ ♦ —
— рп dxn — О может быть также истолковано понятийно.
Рассмотрим некоторое семейство из оо1 элементов, то есть не
обязательно элемент-многообразие Mi, и представим себе это семейство
аналитически таким образом, что z,x\ ♦♦♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп заданы как функции
^Понятие «элемент-многообразие» было введено в заметке Софуса Ли: Zur Theorie
partieller Differentialgleichungen erster Ordnung... Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г.; что
касается термина «элемент-многообразие» Мд, то он был впервые применен в Verhandlungen
der Ges. d. W. zu Christiania за 1874 г. Недавно г-н Энгель предложил, быть может, более
выразительный термин «элемент-ферайн» или «ферайн» (Verein — общество, объединение. —
Прим. перев.). Но в данном тексте мы по многим причинам будем придерживаться
первоначально введенного термина.

параметра t:
z = i(t), Xi = ai(t), Pi = Pi(t) (31)
(i = l • • • n).
Среди со1 элементов этого семейства выделим элемент z°, x? • • • х°, р? • • • р°,
соответствующий параметру t = t°, и потребуем лишь, чтобы не все 2п + 1
производных
drf_ do^ d& a = i...n)
dt dt dt
обращались в нуль. Тогда бесконечно близкому значению t° + At параметра t = t°
соответствует некоторый бесконечно близкий элемент z° + Az,x° + Ах\, • • • р° +
+ Арп нашего семейства.
В общем случае точка z° + Az,x® + Axi, • • • ж° + Лхп этого элемента с
параметром to + At отстоит от n-мерной плоскости
0 0/ 0\ 0/ 0\ а
l-z -pi(я -a?i) - ■■• -Pn(ln-xn) = 0
элемента 20,х? • • • p° на величину, имеющую тот же порядок, что и Л£, поскольку
выражение
Az-p\Axi- р°п Ахп, (32)
которое может служить мерой этого отклонения, имеет в общем случае тот же
порядок, что и At. Однако для отдельных значений t° может также случиться,
что выражение (32) будет бесконечно малой величиной более высокого порядка,
чем At. В этом случае мы говорим, что элементы z° + Az,x\ + Axi, ♦ • • р° + Арп
и z yXi • • • Рп совмещаются.
Это определение может получить следующую более четкую формулировку.
В семействе из оо1 элементов
2 = 7(t)i Xi=Oi(t), Pi = 0i{t) (31)
(г = 1 • • • n)
элемент to совмещается с бесконечно близким элеменлгом to -f Zlt, если
выражение
обращается в нуль при t = t° и при этом не все 2п + 1
d^ dxj_ dx^ dp± dpn
dt' dt '" dt ' dt '" dt
производных принимают значение нуль при t — t°.,4
14Lie, Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г.; Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania 1874;
Maih. Ann., том IX.

Для того, чтобы семейство из оо1 элементов (31) образовывало
элемент-многообразие Мь необходимо и достаточно, чтобы выражение
dz_ _ dx± _ ... _ dxn
dt dt dt
обращалось в нуль для любого значения t. Согласно этому, мы можем также
определить элемент-многообразие М\ как такое семейство из оо1
элементов, в котором каэюдый элемент совмещается с бесконечно близким ему
элементом.
Наконец, если мы имеем произвольное элемент-многообразие Mi
и выберем в нем согласно какому-либо закону семейство из оо1
элементов z,xi • • • xn,pi • • • рп, то два бесконечно близких элемента в этом
семействе всегда совмещаются и элемент-многообразие, очевидно,
характеризуется как таковое именно этим свойством. Поэтому мы теперь можем
дать следующее определение.
Элемент-многообразие пространства z,x\ ♦ ♦ ♦ хп — это такое сшей-
ство элементов этого пространства, в котором каэюдый элемент
совмещается с бесконечно близким ему элементом.
§32
Мы определили элемент z,x\ • • • хп,р\ ■ ■ • рп как совокупность точки z,
х\ • • • Хп и проходящей через нее n-мерной плоскости
Ь - z ~ Pi(?i —х\)- ••• - Рп(Тп - Хп) = 0;
однако мы заметили, что элемент-координаты z,x\ • • • хП)р\ • • • рп имеют
определенные недостатки; каждая фигура, состоящая из одной точки и проходящей через
нее n-мерной плоскости, должна была бы иметь право называться элементом,
однако наши элемент-координаты ни в коей мере не представляют все такие элементы,
а оказываются непригодными для всех элементов, n-мерная плоскость которых
имеет вид
Pi (л -xi) + --- +Pn(tn-xn) = 0.
Этот недостаток исправить легко. Величины р\ • • • рп — суть не что иное, как
элемент-координаты плоскости в пучке из oon_1 n-мерных плоскостей,
проходящих через произвольно выбранную точку z,x\ ••• хп, и эти элемент-координаты
таковы, что представляют не все n-мерные плоскости, проходящие через
точку z,x\ ••• хп. Чтобы получить все эти плоскости, нам надо лишь ввести
вместо р\ ■ ■ ■ рп систему из п + 1 однородных координат плоскости q\ ■ ■ ■ qn+\ при
помощи замены
q\ Яп
Vi = -7Г—Г' '"Рп = -
<7n+i' ^Tl 9п+Г

Тогда n-мерная плоскость произвольного элемента с точкой z, х\ • • • хп имеет
уравнение
Чп+\(ь - z) +<7i(?i -xi)-\ +qn(ln -Xn) = О,
а п+1 координат точки z, x\ • • ♦ хп полностью равноправны между собой; поэтому
больше нет причины выделять одну из этих координат, а именно, z, специальным
обозначением среди остальных; следовательно, мы положим еще
Х\ = 2/1, • • • Хп = VmZ = уп+1
и можем теперь выразить нашу мысль следующим образом.
Элементом (n-f \)-мерного пространства у\ ■ • • Уп+\ называется любая
фигура, состоящая из совокупности точки у\ • • • Уп+i и проходящей через нее
п-мерной плоскости
qi(t)i -yi)-\ +4n+i0b+i -2/n+i) = 0.
Величины yi ••• t/n+i,(7i ••• qn+i мы называем однородными
элемент-координатами в противоположность неоднородным элемент-координатам z,xi ♦ ♦ ♦ хП9
Pi -" рп-
Впрочем, к этим однородным элемент-координатам можно, как уже было
замечено ранее (стр. 98 и ниже), прийти другим путем.
Среди oo2n+1 элементов пространства z,xi • • ■ хп мы рассмотрим лишь
те оо2п, которые удовлетворяют уравнению z = 0.
Если z — 0, х\ • • • xn,Pi • •' Рп — какой-либо из этих элементов и если под Л
мы понимаем произвольный параметр, то уравнение
д ~ ^Pi(?i ~ х\) - ••• - \рп(?п - хп) = 0
представляет оо1 n-мерных плоскостей оо1 элементов z = 0, х\ ♦ ♦ ♦ xn, Api, ♦ ♦ ♦ \рп-
Все эти оо1 элементов проходят через (п — 1)-мерные плоскости
3 = 0, pi(yi -xi)-\ +pn(ln -Хп) = 0
n-мерного пространства z = 0.
В соответствии с этим мы видим, что оо2п элементов z,x\ • • • xn,Pi • • • Рп,
удовлетворяющих уравнению z = 0, упорядочиваются в oo2n_1 пучков по оо1,
причем таких, что оо1 элементов каждого пучка проходят через некоторый
совершенно определенный элемент из со n_1 элементов n-мерного пространства z = 0.
Рассмотрим какое-либо элемент-многообразие Мп пространства z,xi • • • хп,
удовлетворяющее уравнению z = 0. Согласно рассуждениям § 22 (стр. 96 и ниже),
оно представлено n -f 1 уравнениями вида
z = 0, Ft(x1---xn,^---^-)=0 (z = l-..n).
Его соп элементов z,x,p вследствие этого также упорядочиваются в семейства
по оо1 в каждом из таких элементов, которые проходят через элемент пространства

z = 0. Определенные таким образом элемент-многообразием Mn: z — 0, F\ —
= 0, • • • Fn = 0 пространства z,xi ••• хп образуют в свою очередь
элемент-многообразие Мп-\ n-мерного пространства.
Это означает, что мы можем понимать величины х\ • • • xn,pi • • • Рп как
координаты элементов n-мерного пространства х\ • • • хп. Определенные таким образом
элемент-координаты суть не что иное, как вышеупомянутые однородные элемент-
координаты.
Наконец, мы можем сформулировать предыдущее утверждение 19 (стр. 122)
так, как оно выглядит при использовании однородных элемент-координат.
Если х\ ■ • • хП)р\ • • • рп — однородные элемент-координаты n-мерного
пространства х\ • • • хп, то система уравнений вида
X\(xi • • • Хп,Р\ ' ' ' Рп) = CLl, ' ' ' Хп(Х\ • • • Xn,V\ ' ' ' Рп) = &п
представляет элемент-многообразие Mn-i этого пространства для всех
значений параметров а\ • • • ап, если все (ХгХ„) обращаются в нуль тождественно
и если Х\ ♦ ♦ ♦ Хп — независимые функции от х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп, являющиеся
однородными функциями нулевого порядка по р.
§33
Дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка
F(z,xi ••• xn,pi ... pn) = 0
пространства z,x\ ♦ ♦ ♦ хп выделяет из oo2n+1 элементов этого
пространства семейство из оо2п элементов. Поэтому задачу интегрирования этого
уравнения мы можем теперь сформулировать так.
Требуется найти все элемент-многообразия Мп, элементы которых
удовлетворяют уравнению F — 0 или, короче, все
элемент-многообразия Мп уравнения F = 0.
Найти полное решение уравнения F = 0 можно, не иначе как
упорядочив оо2п элементов этого уравнения каким-нибудь способом в сшей-
ство из ооп элемент-многообразий Мп, чтобы совокупность всех
элементов этих ооп элемент-многообразий Мп совпадала с совокупностью оо2п
элементов уравнения F = О.15 Все элемент-многообразия Мп уравнения
F = 0 возможно найти в общем случае лишь путем интегрирования;
напротив, элемент-многообразия Мп-\ произвольного уравнения F = 0 можно
задать без интегрирования. Надо только взять какое-нибудь
элемент-многообразие Мп, которое не удовлетворяет рассматриваемому уравнению F — 0,
l5Lie, Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г.; ср. также Verhandlungen der Ges. d. W. zu
Christiania, 1871 r.

и найти все содержащиеся в нем элементы, удовлетворяющие F — 0;
заданные таким образом элементы всегда образуют элемент-многообразие Mn_i
уравнения F = 0. Если выбрать это элемент-многообразие Мп всеми
возможными способами, то получатся все элемент-многообразия Mn-i
уравнения F — 0.
Если заданы несколько уравнений
Fi(z,xi ••• xn,pi ••• рп) = 0, ••• Fg(z,xi ••• xn,pi ... pn) =0
между z,xi ♦♦♦ xn,pi ♦♦♦ рп, то можно поставить себе задачу, добавить
самым общим образом п + 1 — q таких уравнений Фя+\(г,х,р) —
= 0, ••• $n+i(z, x,p) = 0, что возникающая система уравнений
Fi = 0, • • • F< = 0, Ф9+1 = 0, • • • Фп+1 - 0
будет удовлетворять уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — ♦ ♦ ♦ — рп dxn = 0.
Особенно важным является случай, когда заданы лишь два уравнения,
и одно из них z — 0. Поскольку мы знаем, что всякая (п +
^-параметрическая система уравнений, удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz —
— pi dx\ — • • • — рп dxn = 0 и включающая в себя уравнение z = 0, может
быть приведена к виду
п JP ( V\ Vn-\\ п ,. л
z = 0, FiLxi ... хп,— ••• -р^- I =0 (г = 1 ... п),
то мы естественным образом приходим к постановке следующей задачи.
Даны два уравнения вида
требуется добавить к ним самым общтм образом п — 1 таких уравнений
* ( Р1 Рп-Л к ж ( Pi Рп-Л п
*i(*i - *п,^ - -p^J =0, ... Фп^Х1 '-хп,- ... -p^J =0,
чтобы
г = 0, F = 0, *i =0, ••• Фп_1 -0
была (п + \)-параметрической системой уравнений, удовлетворяющей
уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn — 0.

Эта задача может, очевидно, получить следующую, более простую
формулировку.
Задано одно уравнение вида
от 2п переменных у\ ♦ ♦ ♦ yn,Qi * * * Qn, требуется добавить к нему самым
общим образом п — 1 таких уравнений
чтобы получилась п-параметрическая система, удовлетворяющая
уравнению Пфаффа qi dy\ + • • • + gn dyn = 0.
Самым важным является то, что эта последняя задача по существу есть
лишь по-другому сформулированная задача интегрирования
дифференциального уравнения в частных производных первого порядка от п
переменных Z,X\ ' ' ' Xn_i.
В самом деле, пусть
К"-»■■£-3S1)-•■ *(й-*.£-^)=о(м)
(г = 1 ••• п- 1)
— n-параметрическая система уравнений, удовлетворяющая уравнению
Пфаффа qi dy\ -f ♦ ♦ ♦ + qn dyn = 0, или — как мы можем сказать по
аналогии с введенной на стр. 117 терминологией — пусть (33) будет решением
уравнения (32).
Если теперь положить
9i Qn-i
Уп = 2, J/1 = Яь • • • Уп-l = Хп_ь — = -рь • • • -д = -Pn-U
Чп Чп
то из (32) получается уравнение
F(xi • • • хп-и z, -Ри • • • - Pn-i) = 0, (32')
а из (33) — система уравнений
\F(xi • • • xn_i, z, -рь • • • - pn_i) = 0,
I ^(xi ■ • • xn_i, г, -рь • • • - pn_i) = 0 (33')
(г = 1 ••• тг- 1).

Последняя удовлетворяет уравнению Пфаффа
dz-pidxi - ••• -pnidxn-i = О
и включает в себя уравнение (32'); таким образом, она представляет,
согласно стр. 117, решение уравнения (32').
Если же в тг-параметрической системе, представляющей решение
уравнения (32'), произвести замену
gi Яп-i
z = Уп, si = 2/ь • • • Xn-i = Уп-и Pi = ~7Г> *** Pn-i = -—Ft—>
Чп Чп
то, очевидно, получится система уравнений, представляющая решение
уравнения (32).
Все это ясно и в понятийном смысле16.
Уравнение
т?{ <?i qn-i\ п
F[yi--yn^-'^r)=0
задает семейство из оо2тг_2 элементов n-мерного пространства. Здесь речь идет
о том, чтобы найти все элемент-многообразия Mn-i, входящие в это семейство
из оо2п~2 элементов. Это задача, которую можно сформулировать аналитически
при использовании однородных элемент-координат у\ ♦ ♦ ♦ уп, q\ ♦ ♦ ♦ qn или
неоднородных элемент-координат z,xi ••• xn-i,Pi • • • Pn-i- Само собой разумеется, что
обе эти аналитические формулировки по сути эквивалентны друг другу, имеется
лишь небольшое отличие, причиной которого являются различия между
однородными и неоднородными элемент-координатами: если решается задача для
однородных элемент-координат, то можно с тем же успехом найти и такие
элемент-многообразия Mn-i, которые удовлетворяют уравнению qn = 0; если же задача
решается в неоднородных элемент-координатах, то все подобные
элемент-многообразия Л/п-1 будут потеряны, поскольку однородные элемент-координаты для них
непригодны.
Изложенные выше рассуждения мы хотим пояснить на примере.
Уравнение вида
F(x,y,fj=0
задает семейство из сю4 элементов пространства z, x, у. Среди этих оо4
элементов имеется оо3, удовлетворяющих уравнению z = 0. Непосредственно
16Данные рассуждения объясняют и дополняют восходящую к Якоби переформулировку
задачи интегрирования общего уравнения
F{x\ ••• xn,Pi ••• Рп) =0.
Ср. Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1873 и 1874 гг.

видно, что заданные таким образом оо3 элементов пространства z,x,y
упорядочиваются в оо2 семейств по оо1 элементов в каждом, так что все оо1
элементов такого семейства проходят через линейный элемент плоскости
z — 0. Согласно этому, уравнением
выделены оо2 линейных элементов плоскости z — 0. В неоднородных
линейных элемент-координатах х,у,у' эти оо2 линейных элементов
представлены уравнением
F{x,y,-y') = Q, (34)
которое может трактоваться как обыкновенное дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка плоскости х, у.
Задача нахождения всех элемент-многообразий М\ уравнения (34),
очевидно, эквивалентна задаче нахождения всех элемент-многообразий М2
пространства z,x,y, удовлетворяющих уравнениям
z = 0, F(z,y,|)=0.

Глава 5
Контактные преобразования
произвольного числа переменных
Если преобразование
( z' = Z(z,xi ••• xn,pi ••• рп), х- = JQ(z,xi ••• xn,pi ••• рп),
< ^ = Pi(z,Xi ••• Xn,pi ••• pn) (1)
[ (г = 1 . • • n)
от 2n + 1 переменных z, x\ • • • xn, p\ • • • рп таково, что оставляет
уравнение Пфаффа
dz — p\dx\ — • • • — pndxn = О
инвариантным, то оно называется контактным преобразованием (п + 1)-
мерного пространства z,x\ • • • хп.]
§34
Преобразование (1) будет контактным тогда и только тогда, когда 2п+1
функций Z,X\ • • • Хп, Р\ • • • Рп тождественно удовлетворяют
соотношению вида
dZ — P\dX\ — • • • — PndXn — g(dz — p\dx\ — • • • — pndxn), (2)
где под д понимается некоторая функция от z, x\ • • • хп, р\ • • • рп.
1 Приведенное здесь определение понятия контактного преобразования было
сформулировано в работе Софуса Ли «К аналитической теории контактных преобразований»,
Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, июнь 1873 г.; ср. там же, 1871 и 1872 гг., а также
Gottinger Nachrichten, октябрь 1872 г. Утверждения о контактных преобразованиях,
изложенные в настоящей главе, можно также найти в первой из упомянутых работ. Конечно, подобные
преобразования, как было сказано, уже использовались ранее многими математиками, в
частности, Эйлером, Ампером и Якобы, но никто из них не дал настоящего определения, не говоря
уже о систематической теории контактных преобразований.

Легко видеть, что функция д здесь никогда не обращается в нуль. Если
бы было д = 0, то тождество (2) распадалось бы на следующие 2п + 1:
(2')
dZ
dz
dZ_
дхъ
dZ
дрг
_ дХг .
1 dz
ОХг
рдХг
р dXn
п dz
р оХп
пдхг
р иХп
'' п дРг
= п,
= о,
= 0
(г = 1 ••• п),
так что все определители порядка (п + 1) матрицы
dz
dz
dXi
az
dx\
dXi
dZ
dxn
dXi
dz
dpi
dXi
dz
дрп
dXi
dz
dXn
dx\
dXn
dxn
dXn
dpi
dXn
dpn
dXn
dz
dx\
dxn dpi
dpn
обращались бы тождественно в нуль, а функции Z, Х\ • • • Хп не были бы
независимыми друг от друга; но это исключено, поскольку (1) должно быть
преобразованием.
Очень простым и чрезвычайно важным является следующее
контактное преобразование:
■xipi
*1 =PU
' Xq =Pq>
X,
<7+1
XqPq,
= Xq+1, ' '
(3)
" Рп= Vn,
' Pq = ~Xq, Pq+i =Pq + U
в котором q — произвольное из чисел 1,2 • • • п. Убеждаясь в том, что это
преобразование удовлетворяет общему определяющему уравнению (2)
контактного преобразования, мы в то же время видим, что величина g имеет
значение 1. Преобразования этого вида для случая q = 1 встречаются уже
у Эйлера; случай п = 3, q = 2 известен как «преобразование Леэ/сандра»;
случай п = 3, q = 1 можно найти у Ампера.
Если мы под ai • • • an будем понимать некоторую последовательность из
чисел 1,2 • • • п, то и уравнения
(3')
/
ХОс\ — Poci )
1
% — Z XociPa^ ' ' ' ^q(/Pq(/i
/ /
xOc,, — Рос,, > xaq + i — xOcq+i ч
i /
Рос,, — — XOc,,i Р<*ч+1 ~ Р&ч+П
1
XOL,,
1
••• p<

также всегда будут представлять контактное преобразование. Для этого контактного
преобразования, которое хотя по виду и более общее, чем (3), но не по сути, мы
хотим здесь показать одно замечательное приложение.
Согласно теореме 9 (стр. 95), всякая (п + 1)-параметрическая система
уравнений, удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — Pndxn = 0, в
результате разрешения может быть приведена к виду
| Z — Х0(1РоС1 — • • • — ХосРа,, — уу\Рос\ ' ' ' Рос,, , х<хч + 1 ' ' ' xocn)i
_ _dW dW
Xql\ — ~
Pft./+1 —
dpc^ '
dW
XOc„
'•• Рос,,
дРсс,, '
dW
дха„ '
(4)
дХач+!
Если теперь к (4) применить контактное преобразование (3'), то мы получим в z\
х\ р следующую систему уравнений:
/ и// / / \ / dW i dW
z = W(xai •■• xan), pi = —-, ••• pn = —-,
которая, в свою очередь, удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • —
— p'ndx'n = 0. Тем самым доказано, что всякая (п + 1)-параметрическая система
уравнений, удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — pndxn = 0,
может быть переведена подходящим контактным преобразованием вида (3') в
систему уравнений, которая в разрешенном выглядит так2:
z - F(xi • • • хп) = 0, pi - — = 0, • • • рп - — = 0.
Более того, при помощи простого вычисления можно убедиться в том, что
скобка [F^Jzxp при выполнении преобразования (3х) принимает вид
Используя это замечание, можно было бы сократить рассуждения в §§25 и 26
предыдущей главы.
Приведем второй пример контактного преобразования:
а
Ха — Xi ~Г
v^i+pf+ ••• +р£'
api
у/1+р% + --- +р2п
(г= 1 ••• п);
для него q также имеет значение 1.
Pi =Pi
(5)
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, ноябрь 1874 г.

Если
z' = Z(z,x,p), х\ = Xi(z,x,p), pfi = Pi(z,x,p) (1)
(г = 1 • • • n)
— некоторое контактное преобразование, то, как мы знаем, в силу (1) имеет
место соотношение вида
dz - p\dx\ - ... - p'ndxn = g(z, x,p) • (dz - p\dx\ - • • • - pndxn), (6)
где функция £ не обращается в нуль тождественно. Отсюда немедленно
следует, что соответствующее (1) обратное преобразование
z = Z(zf,xf,pf), х{ = Xi(zf,xf,pf), pi = Pi(zf,x',pf)
(i= 1 ••• n),
получающееся разрешением (1) относительно z, x, p, также является
контактным.
С другой стороны, если сначала выполнить контактное
преобразование (1), а затем какое-либо другое контактное преобразование
z" = Z(z',x',p'), х'! = Е&',х',р'), р'; = Лг(г\х',р')
(г = 1 ••• п),
то всякое полученное таким образом преобразование
z" = Z{Z,X,P), x'l = Ei{Z,X,P), р? = Щ(г,Х,Р)
(г = 1 ... п)
снова будет контактным.
Действительно, в силу (1) имеет место соотношение вида (6), а в
силу (]/) — соотношение аналогичного вида:
Г dz"-p'{dx'{ p£d< =
\ = a{z\ x',p') ■ (dz' - p\dx\ p'ndx'n). l '
В силу уравнений (1"), получающихся из (1) и (1') в результате
исключения z',x',p\ имеет место соотношение вида
Г dz"-p»dx'{ рЖ =
\ = g(z,x,p) -a(Z,X,P)(dz -pidxi - ••• -Pndxn),
то есть (1") действительно является контактным преобразованием.

Таким образом, мы имеем следующее
Утверждение 1. Контактные преобразования (п-\-1)-мерного
пространства z, х\ - - хп упорядочиваются в пары взаимно обратных; если
последовательно выполнить два произвольных контактных преобразования
этого пространства, то всякий раз мы снова получим контактное
преобразование.
Считая введенное в начале первой части книги понятие «конечная
непрерывная группа» известным, мы можем сказать, что все контактные преобразования от
переменных z,x\ • • • xn,Pi • • • рп образуют конечную непрерывную группу
преобразований.
Если уравнения
z' = Z(z,x,p), х'х = Л^(г,х,р), р'„ = P„(z,x,p)
задают одно контактное преобразование, а уравнения
zf = А(з,у,р), х'„ = В„(з,у,р), р'„ = Сх(з,у,р)
— другое, то уравнения
Z(z,x,p) = А(з,£,р), Х„ = В„, Р„ = Сх
задают контактное преобразование между переменными z,x,p и з,у,р;
ведь, согласно нашим предположениям, имеют место тождества вида:
dz' — p[dx[ — • • • — p'ndx'n = g(dz — p\dx\ — • • • — pndxn),
dzf - p[dx[ - ... - p'ndx'n = a(di - Р1Ф1 - ... - pndyn),
а значит, и следующее:
cfe -pidyi - ••• -pndfn = w(z,x,p) • (dz-pidxi - ••• -pndxn).
§35
Пусть теперь заданы некоторые функции Z, Х\ • • • Xn, Pi • • • Рп,
удовлетворяющие тождеству вида
dZ — PidXi — - - — PndXn = g(dz — p\dx\ — ... — pndxn) (2)
с необращающимся в нуль д. Выведем дифференциальные соотношения,
являющиеся характеристическими для всех таких систем функций Z,
Х{, Р{.

Тождество (2) можно записать еще и так:
л Р Р
dz - pidxi - ... - pndxn = -dZ ^dXi - • • • тг^Хп,
следовательно, согласно утв. 16 (стр. 113), п + 1 функций Z, Х\ • • • Хп
находятся попарно в инволюции, так что должно выполняться
(г, *с= 1 • • • п).
(7)
[ZXt] = 0, \XiXx] = О
С другой стороны, справедливо тождество
dZ - PxdXi - ■■■ - PndXn = d(Z -XaiPai- ХачРач) +
где a.\ ♦ ♦ ♦ an как и прежде — произвольная последовательность из
чисел 1,2 • • • n, a g — какое-либо из этих чисел. Если это значение выражения
dZ—P\dX\— • • • —PndXn подставить в тождество (2) и вновь использовать
утверждение 16, то получится, что п + 1 функций
^С*1-* С*1
-& a,, -La,, 1
*ol\ * * ' Рос,, 1 -^-c^+i
хп
попарно находятся в инволюции. Следовательно, мы имеем
[р4,рх] = о, [рих„] = о а?*),
[Рг,г\=Рг[РиХг]
(г, ус = 1 • • • п).
Кроме того, контактное преобразование (5) дает тождество
(7')
d\ Z
аР.
^)-Z/i-d[Xi + ^)=dZ-T,P*dX*'
г=1
г+1
где S используется для сокращенной записи выражения 1 -f Рх2 +
то есть функции
попарно находятся в инволюции. Вследствие этого
+ Р2

откуда следует
[Р1,Х1] = [Р2,Х2]= ••• =[Рп,Хп].
Наконец, чтобы найти значение выражения [Р$, Xi], мы используем тот
факт, что 2п + 3 функций
z = Z, Xj = Х\, ♦ ♦ ♦ хп = An, ^n+i = ^п+ь
Pi = Л, • • • Рп = рп, Рп+\ = QVn+\
от 2п + 3 переменных г,xi ♦ ♦ ♦ Xn+bPi ♦ ♦ ♦ pn+i тождественно
удовлетворяют уравнению
71+1 71+1
cte' - ^2pldx'„ = £>(dz - y^p„dx„).
Если теперь положить
V^ f дФ (дФ . 0йЛ дФ ( дФ . дф\\ ш хТА
то, согласно изложенному выше, должно выполняться
[Pb^i]n+i = ♦♦♦ = [Pn,Xn]n+i = [gpn+i,xn+i]n+i;
здесь самое правое выражение просто имеет значение д9 тогда как
[Pi,Xi]n+i равно [Р$, JQ]. Таким образом, мы имеем
[Pi,Xi]= ••• =[Pn,Xn]=0. (7")
Тем самым, доказано следующее
Утверждение 2. £слм Z,X\ • • • Xn, Pi • • ♦ Рп — функции от
переменных z, х\ ♦ ♦ ♦ xn, pi • • • Рп, удовлетворяющие тождеству вида
dZ — P\dX\ — • • • — PndXn = g(dz — p\dx\ — • • • — pndxn), (2)
где g — не обращающаяся в нуль функция от z,x\ ••• хп,р\ ••• рп, wo
и все дифференциальные соотношения
( [Z, X,] = [X,, Хж] = [Р<, Х„] =0 (г * *),
i [Р<,Х<] = 0, [Pi,Z] = gPi (8)
I, (г, >f = 1 • • • п)
также выполняются тождественно.

Это утверждение можно легко дополнить.
Из существования тождества вида (2) с необращающейся в нуль д,
согласно утверждению 15 (стр. 113), следует, что функции Z,Х\ ♦♦♦ Хп
являются друг от друга независимыми. Если бы функции Р\ • • • Рп не
были независимыми друг от друга и от Z, Х\ ■ ■ Хп, то во всяком случае
одну из них, скажем, Ря, можно было бы выразить через остальные и
через Z,Xi ••• Хп:
Pq = Х(Р\ ♦ ♦ ♦ Pq-l, Pq+l • • • Pn,Z,X\ ♦ ♦ ♦ Хп),
то есть должно было бы выполняться
[РдХд] = [ХХд] = О,
что неверно. Следовательно, 2п + 1 функций Z, Х\ • • Хп, Р\ • • • Рп
являются независимыми друг от друга.
Итак, мы имеем обещанное дополнение к утверждению 2.
Утверждение 3. Если 2п + 1 функций Z,X\ ♦ ♦ ♦ Хп, Р\ ♦ ♦ ♦ Рп от
переменных z,xi • • • хп, pi • • • рп удовлетворяют тождеству вида
dZ — P\dX\ — • • • — PndXn = g(dz — p\dx\ — • • • — pndxn), (2)
в котором g не обращается в нуль, то они являются друг от друга
независимыми3, и поэтому уравнения
z' = Z, х'{=Хи p'i = Pi (t = i...n)
представляют контактное преобразование.
Но утверждение 2 можно также и обратить.
Действительно, пусть заданы 2п + 1 функций Z, Х\ • • • Хп, Р\ • • • Рп,
тождественно удовлетворяющие уравнениям (8) и £> при этом не
обращается в нуль. Мы покажем, что при таких условиях имеет место тождество (2).
Прежде всего мы, как и прежде, видим, что функции Р\ • • • Рп
являются независимыми друг от друга и от Z, Х\ ♦ ♦ ♦ Хп. Если бы Z, Х\ ♦ ♦ ♦ ХП9
напротив, не были независимыми друг от друга, то можно было бы
выразить либо Z только через Х\ • ■ ■ Хп:
Z = U{Xl---Xn),
3То, что 2п + 1 величин Z, Х\ • • • XnyPi • • • Рп, удовлетворяющих тождеству (2), не
зависят друг от друга, давно известно из теории о проблеме Пфаффа.

либо одну из X, например, Xq, через остальные:
Xq = V(Xi • • • Xq-iiXq+i - - • Хп).
В первом случае мы получили бы из уравнения
[PtZ\ = \PiU]
тождество вида
_ди(х1-.-хп)
П ~ dXi
которое согласно сделанному выше замечанию относительно Р\ ♦ ♦ ♦ Рп не
может иметь места; во втором случае тождество
[P„X,] = [P„V] = 0
привело бы к противоречию. Таким образом, мы видим, что при
наложенных условиях функции Z, Х\ • ■ ■ ХП) Р\ • • • Рп являются
независимыми друг от друга.
Поскольку эти друг от друга независимые функции Z, Х\ • • • Хп
попарно находятся в инволюции, то, согласно утв. 16 (стр. 113), заведомо
имеется п + 1 функций а, Ях • • • Яп, удовлетворяющих уравнению
dz — pidx\ — • • • — pndxn — -p(dZ — IlidXi — • • • — IIndXn)
тождественно. В силу утверждения 2 мы здесь имеем
[Х„Щ =0 (i,*=i ..-п; 1ф*\
значит, Щ, к примеру, будет общим решением п — 1 линейных
дифференциальных уравнений в частных производных
[Xi,/]= 0, ••• [Xi_i,/] = 0, [Xi+1,/] = 0, ••• [Х„,/] = 0.
Эти уравнения имеют n -f 2 общих решений, а именно: Z, Xi, Хг
♦ • • Хп, Pi, с другой стороны, они независимы друг от друга, в чем можно
непосредственно убедиться, если в них вместо / подставить
последовательно функции Pi • • • Pi_i, Pi+i • • • Рп и учесть (8); следовательно, они
заведомо имеют не более чем п + 2 независимых общих решений, и
каждое такое общее решение, в том числе и Щ, является некоторой функцией
только от Z, Х\ • • • Хп, Pi\
ni = U{Z,Xy •••Xn,Pi).

Подставим теперь это значение для Щ в уравнение
которое, согласно утв. 2 (стр. 137), также должно тождественно
выполняться, и получим
!^{[^]-с/[ад]}=о,
или, поскольку из-за условия [Щ,Х{] — а функция U не может быть
свободной от Р{,
[г,Рг\-и[ХгРг\=0.
Но с другой стороны,
[2,Р<]-Рда><]=0;
следовательно, Р* = Ui = Щ9 и, кроме того, а = д.
Тем самым доказана обратимость утверждения 2. Поэтому,
подытоживая все, мы можем сформулировать:
Утверждение 4« Для того чтобы 2п + 1 функций Z,X\ • • • Хп,
Pi • • • Рп от переменных z,X\ • • • xn,pi - • • рп удовлетворяли тождеству
dZ — P\dX\ — • • • — PndXn = ^(dz — pidxi — • • • — pndxn)
с необращающимся в нуль g, необходимо и достаточно, чтобы они
тождественно удовлетворяли соотношениям
( [Z, Xi] = [Хи Х„\ = [Pi, X„) = [Pi, Рх\ = О {гф *),
I \PUXi\ = Q, [Pi,Z]^QPi (8)
I, (г, ус — 1 • • • п).
Если эти условия выполнены, то Z,X\ • • • Хп, Р\ • • • Рп суть независимые
функции своих аргументов, и поэтому уравнения
Zf = Z, х\=Хи р'{ = Рг (г = 1..-п) (9)
задают контактное преобразование. Если Z,Xi ♦ ♦ ♦ Хп, Pi ♦ ♦ ♦ Рп — самая
общая система функций с данным свойством, то (9) — самое общее
контактное преобразование4.
4Lie, Zur analytischen Theorie der Beruhrungstransformationen, Verhandlungen der Ges. d. W.
zu Christiania, Juni 1873; A. Mayer Uber die Lieschen Beruhrungstransformationen, Gottinger
Nachrichten, 1874 r.

Из соотношений (8), существование которых характеризует
преобразование (9) как контактное, следует важное свойство скобки.
Пусть Ф и Ф — какие-либо две функции от z, х\ • • • xn,pi • • • рп. Если
мы образуем скобку [Ф, Ф]9 принимая во внимание, что Фи Ф можно также
представить как функции от Z, Х\ • • • Хп, Р\ • • • РП9 то получим
г=1 v
MMf7p.l + MMfp.7l\
+ dZdPi[Z^ + dPidZ[*Z4'
то есть с учетом (8)
\,т, ял-„Sri ЭФ ( дФ ,рдЧ>\ дф(дФ,г,дФ
,дРг\дХг ldZ) дРг\дХг 18Z
г=1
что с использованием легко понимаемого обозначения мы можем кратко
записать следующим образом:
[Ф, *Ux,p = д[Ф, $\z,x,p- (Ю)
Это тождество показывает, как ведет себя выражение в скобках
[Ф, Ф\г,хф по отношению к контактному преобразованию (9). Очевидно,
что справедливо следующее
Утверждение 5. Если при помощи контактного преобразования
zf = Z(z,x,p), х\ = Xi{z,x,p), р\ = Pi{z,x,p)
(i = 1 • • • n)
вместо z,x\ • • • xn,p\ • • • pn ввести новые переменные z',x[ • • • х'п,
p[ -" prn, то выражение [Ф, Ф]г^х,р> в котором Ф и Ф означают
произвольные функции от z,x\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп, принимает вид
[Ф, Ф]г^р = в[Ф, Ф\г>,х>,р>. (10)

Здесь о — функция, значения которой следует взять из mootedества
dZ — P\dX\ — ♦ ♦ ♦ — PndXn — g(dz — p\ dx\ — ♦ • • — pn dxn).
Если известно п + 1 независимых функций Z, X\ • • • Xn, попарно
находящихся в инволюции, то, согласно утв. 16 (стр. 113), существуют
однозначно определенные функции Щ,П\ ♦ ♦ ♦ ПП9 удовлетворяющие тождеству
dz — p\dx\
■ pndxn = IlodZ -h U\dX\ Л TIndXn.
Ни одна из этих функций не равна тождественно нулю, поэтому мы можем
положить
1 ЛЬ'
Р -.Ik 0__L
и немедленно увидим (утв. 3, стр. 138), что уравнения
*' = Z, x\=Xi, Pi=Pi (г = 1-..п)
представляют контактные преобразования. Это дает нам следующую
важную теорему.
Теорема 12, Если Z,X\ • • • Хп — независимые функции от
z,x\ • • • хп,р\ • • • рп, находящиеся попарно в инволюции, то
существует одно и только одно контактное преобразование
вида
z — Z, xi — Xi, pi — Р{
(г = 1 ••• n).
Соответствующие функции Pi
Г dZ р^дХ,
dz dz
Pn находятся из уравнений
дХ„
Рп-
dz
Q,
8Z р дХ1
dxi dxi
dZ рдХг
dpi l dpi
p dXn
(11)
dpi
(i = l
которые при наложенных условиях совместны между собой
и однозначно определяют функции q, P\ • • • Рп.5
Наконец, докажем простое утверждение, которое будет использоваться
ниже.
5Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1872 и 1873 гг. Надо заметить, что в
приводимом здесь доказательстве теоремы 12 предшествующее утверждение 4 не используется.

Утверждение 6. Если уравнения
z' = Z{z,Xi ••• Xn,pi ••• рп), Xfi = Xu Pi = Pi (i = l...n)
представляют контактное преобразование, то уравнения
[Хь/]=0, ••• [*„/] = О (12)
образуют q-параметрическую полную систему, все решения которой
можно представить как функции 2тг + 1 — q независимых решений
Х\ ''' Хп, Z, Pq+i • • • Рп
К доказательству этого утверждения заметим следующее:
уравнения (12) являются друг от друга независимыми, чтобы в этом
убедиться, достаточно лишь подставить в них последовательно вместо / функции
Pi, P2 • • • Pq; с другой стороны, они, очевидно, имеют 2гг 4- 1 — q
независимых общих решений Х\ • • • Хп, Z, P^+i • • • Рп и поэтому, согласно
теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных,
действительно образуют g-параметрическую полную систему.
§36
Среди контактных преобразований
z'= Z(z,xi ••• xn,pi ••• рп), х\ = Хи Pi = Pi . v
(г = 1 • • • n)
имеются, в частности, такие, при которых 2п переменных xi---xn,
Pi - — Рп преобразуются сами по себе, то есть функции Х\ • • • Хп,
Pi • • • Рп не зависят от г, а зависят лишь от xi • • • xn,pi • • • рп. Такие
преобразования мы кратко называем контактными преобразованиями от х,р.
Примерами здесь послужат приведенные в начале главы специальные
контактные преобразования (3), (3') и (5).
Если (13) — контактное преобразование от х и р, то из тождества
dZ — P\dX\ — • • • — PndXn = g(dz — p\ dx\ — pn dxn) (2)
очевидно следует
dZ__pdX± _p dXn _ ^ _ dZ
dz dz dz " dz'

M_PlMl Pn^2L = _opu
dxi dxi n dxi
dZ p dXl p9In_n
OPi OPi OPi
Исключив Z с помощью первого из этих уравнений сначала из
третьего, а затем из второго, мы находим
дд _ дд дд _
dpi ~ ' dxi г dz ~
Отсюда прежде всего явствует, что g не содержит р, поэтому -^- и ^f
должны тождественно обращаться в нуль, стало быть, g — некоторая,
естественным образом отличная от нуля константа о = А. В то же время
получается, что Z имеет вид
Z = Az + i?(xi • • • xn,pi • • • рп).
Помимо этого, функции Z, Xu Pi должны тождественно
удовлетворять соотношениям (8); однако мы можем в них почти везде символ [ ]
заменить на ( ), так как мы большей частью имеем дело с функциями
только от х\ • • • хп,р\ • • • рп. Таким образом, справедливо следующее
Утверждение 7. Если переменные х\ • • • хп,р\ • • • рп сами
отдельно преобразуются под действием контактного преобразования от
z,x\ • • • xn,pi • • • pnt то оно имеет следующий вид:
z' = Az + n(xi • • • xn,pi • • • рп), х\ = Xi(x,p), р^ = Pi{x,p)
(г = 1---п),
где А — отличная от нуля константа. Участвующие функции
тождественно удовлетворяют характеристическим соотношениям
[Az + П, Xi] = 0, [Ри Az + 12] = APU
(XiX„) = (PiP„) = (PiX„) = О (гф *), (РгХг) = А (15)
(г, >с = 1 • • • n)
В соответствии с утверждением 5 (стр. 141), мы получаем теперь
Утверждение 8. Если вместо z,x\ • • • хп,р\ • • • рп при помощи
контактного преобразования вида
zf = Z(z,x,p), x\ = Xi(x,p), pi = P((x,p)
(г = 1 • • • n)

ввести новые переменные z* ,х\ • • • хп,р[ • ■ • р'п, то выражение {и,у)Хф,
в котором uuv обозначают произвольные функции от х\ • • • хп, р\ • • • рп>
принимает вид
{u,v)x,p = A- (u,v)x>iP>. (16)
Здесь А обозначает отличную от нуля константу, значение которой
следует взять из тождества
dZ — P\dX\ — • • • — PndXn = A(dz — p\dx\ — • • • — pndxn).
Покажем, что контактные преобразования вида (14) по существу
характеризуются уже теми из соотношений (15), в которых участвуют лишь
Х\ ' ' ' ^m Р\ ' ' ' Рп-
Прежде всего справедливо следующее
Утверждение 9. Если 2п функций Х\ • • • Хп, Р\ • • • Рп от х\ • • • хп,
Pi ' " Рп удовлетворяют соотношениям
(xix„) = (pix«) = (pip>() = o а**), (PiXi) = A
(г, >с — 1 • • • п),
где константа А не обращается в нуль, то они являются независимыми
друг от друга.
Действительно, если бы можно было, скажем, Ря выразить через
остальные Р и через Х\ • • • Хп,
Pq=X{Pl ... Pq-UPq+l ••• Pn,Xl ••• Хп),
то получилось бы
(PqXq) = (XX,) = О,
что невозможно. Точно так же мы видим, что ни одну из функций
Х\ • • • Хп нельзя выразить через остальные.
Если константа А имеет в соотношениях (17) значение 1, то мы
называем эти соотношения каноническими и говорим, что функции Х\ • • • Хп,
Pi • • • Рп находятся в канонических соотношениях.
Если Х\ • • • Хп — такие независимые функции от х\ • • • xn,Pi • • • рп,
которые попарно находятся в инволюции, то, согласно рассуждениям,
изложенным на стр. ПО и ниже, система уравнений
Xi(xi • • • хп,Р\ • • • рп) = аи • • • Xn(xi • • • xn,pi • • • рп) = ап (18)

разрешима относительно xai • • • xai(,paii+1 • • • рап:
^OLyc ~ ^OLy. \Pol\ * * * VOL,, 4 %Ol4+\ * * * %Ol„ 1 &l * * * &п) = U,
Pa,,+ y -И^а#/+/(ра1 ■••£<*.,, Яа.,+1 ••• xa„,ai ••• an) = 0 (18')
(>e=l ••• q; j = 1 ••• n-q),
где ai • • • an - некоторая последовательность из чисел 1 • • • п.
Поскольку по условию все (ХгХ^) тождественно обращаются в нуль,
то, согласно теореме 10 (стр. 105), система уравнений (18') должна быть
такой, чтобы любое выражение в скобках, образуемое из левых частей двух
его уравнений, обращалось в нуль в силу (18'), то есть все выражения
/ ш ш s Ш«* Ш<**
(Ха, ~ Wa^Pa,i+i - Wa,i+i) = -^— + _,
0Wa + dWa +.
(Pa./+I - Wa,i+i,Va,i+) - Wa4+))= - "
(*e,t=l ■•■ q; j,)=l ■■■ n-q)
должны обращаться в нуль в силу (18'). Но все эти выражения не содержат
ха1 ■ ■ ■ Za„>Pa„+i • • • £><*„> а стало быть, сами по себе тождественно равны
нулю. Отсюда мы заключаем, что Wai ■ ■ ■ Wa„ выражаются через частные
производные некоторой функции W отра1 ■ ■ ■ ра,, ха 1 ■ ■ ■ хап, ai • • • ап
Wa =.dW_ Wa =_dW_
дРа^ "+1 дхач+1
(к = 1 • • • q; j = 1 • • • n - q),
и что поэтому можно записать систему уравнений (18') так:
г dW г, dW
а-~ дра„' Va"+' ~ дхач+1
(х= 1 ••• q; j = 1 ••• n-q).
Такая функция W находится при помощи квадратуры; появляющуюся
при этом константу интегрирования следует понимать как произвольную
функцию от ai • • • an. Если теперь положить
Wfrai ••• Рач,Ха„+1 ••• Xa„,Xi ••• Хп) = Щхг ••• Xn,pi ••• рп),

то очевидно, что
Xrv..
v = Ш
г=1
п
-Е
г=1
dW
dW
дса
dXj
dXj
а=Х дХ<*ч+,
(х= 1 ••• q; j = 1 ••• n-q)
то есть тождество
Pidxi H +pndxn = d ^2 xol„Vol„ ~ ^2 x<*~&Vol>,+
n—q
x=l
+ 2_^Pa,l+ldxai(+i,
3 = 1
можно записать следующим образом:
Pidxi H +pndxn = d(W + xaipai H +xailpatt)-
dW
da\
•dXi
a=X
dW
dar
- dXn.
Ja=X
Этот результат мы можем сформулировать так:
Утверждение 10. Если имеется п независимых функций Х\ • • • Хп от
х\ • • • хп, pi • • • рп, для которых все (XiX^) тождественно обращаются
в нуль, то всегда можно найти п + 1 таких функций ft, P\ • • • Рп от
х\ • • • хп, р\ • • • рп, что будет выполняться тождество
рх dx\ Л + Рп dxn = dft + Р\ dX\ H + Рп dXrt
(19)
Функции ft, Pi • • • Рп, как мы видим, никоим образом не задаются
полностью при помощи Х\ • • • Хп\ однако Р\ • • • Рп определены
однозначно, если мы имеем в своем распоряжении ft.
Тождество (19), которое мы при наложенных условиях всегда можем
удовлетворить, можно записать еще и так:
d(z — ft) — Р\ dX\ — • • • — Рп dXn — dz — p\ dx\ — • • • — рп dxn,

откуда следует, что уравнения
z1 = z - П(х,р), х- = Xi{x,p), р^ = Pi{x,p)
представляют контактное преобразование, и что функция ft
удовлетворяет п уравнениям
[г-П,Х{] = 0 (г = 1 ... п)
тождественно. Тем самым мы имеем
Утверждение 11. Если п независимых друг от друга функций
Х\ • • • Хп от переменных х\ • • • хп, р\ • • • рп находятся попарно в
соотношениях (Xi,XH) = О, то всегда можно при помощи квадратуры найти
функцию ft от х\ • • • хп, р\ • • • рп, тождественно удовлетворяющую п
уравнениям
[г-П,Хх]=0, ... [z-ft,Xn} = 0.
Если известна одна такая функция ft, то с ее помощью однозначно
задаются п таких функций Р\ • • • Рп от х\ - - хп,р\ • • • рп, что мы имеем
d(z — ft) — Pi dX\ — ... — Pn dXn = dz — pi dx\ — • • • — pn dxn.
Функции Х\ • • • Xn, Pi • • • Pn находятся при этом в канонических
соотношениях
{XiXx) = {РХХ) = (PiP„) =0 (гф „), (Р{Х{) = 1
(iyx= l ••• n),
а уравнения
zf = z- ft(x,p), х'{ = Xi(x,p), р'{ = Pi{x,p)
(г, x = 1 • • • n)
представляют контактное преобразование.
Пусть теперь заданы In функций Х\ • • • Хп, Pi • • • Рп от х\ • • • хп,
Р\ ' " Рп, находящиеся в соотношениях6
(Х{Х„) = (РХ„) = (Р{Р„) = О (г Ф *), (РгХ{) = А (АфО)
(г, ус — 1 • • • и).
6В теории возмущений со времен Пуассона и Лагранжа, Якоби и Бура постоянно
рассматриваются системы 2п функций Х\ • • • ХПь Р\ ■ • • Рп от 2п независимых
переменных х\ - • • яп,Р1 ••• Рп, удовлетворяющие уравнениям (20). Развитые в этом параграфе
теории, как уже указывалось выше, были впервые обоснованы в работе Софуса Ли, «Zur
analytischen Theorie der Beruhrungstransfonnationen», июнь 1873 г.

Тогда, согласно только что доказанному утверждению, существует п
функций П\ • • • Пп от х\ • • • хп,р\ • - - Рп, находящихся в канонических
соотношениях cXi • • • Хп:
{XiX„) = {ЩХ„) = (ПгП„) = О (гф *), (ЩХг) = 1
(г, к = 1 • • • тг)
и удовлетворяющих тождеству вида
п п
^PidXi = ^ nidXi + d$-
г=1 г=1
Отсюда следует
(Хи Р„ - АП„) = О (г, * = 1 . • • п),
то есть Р„ — АЯ>, — общее решение п линейных дифференциальных
уравнений в частных производных
№/) = 0, • • • (Xnf) = 0.
Эти уравнения независимы друг от друга; мы это увидим, если
подставим в них вместо / последовательно одну за другой функции Pi • • • Рп.
Поэтому они имеют не более п независимых общих решений. А так как
Х\ • • • Хп — такие решения, то мы получаем
PJ( = Anj€ + Wje{Xl ...Xn) (*=i...n).
Здесь, кроме того, выражения
fdW„ dW4'
(Pi,P„) = (АЩ + WUAII» + W„) = A
dXi ЭХ»
должны тождественно обращаться в нуль, следовательно, W\ • • • Wn суть
частные производные некоторой функции W(X\ • • • Хп) по Х\ • • • Хп.
Итак, мы имеем
dW(X1 •••Хп)
Р„ = АЛ„ + ^ ^ (^=1...п),
таким образом,
п п
5^ PidXi = A J2 nidXi + dW =
г=1 г=1
гг
= А^рДТ;+<*(И/-ЛФ).
г=1

Следовательно, выражение
п п
У^PidXi - А^2Pidxi
г=1 г=1
является полным дифференциалом, путем интегрирования которого
находится функция W — АФ; она определена с точностью до аддитивной
произвольной константы.
Теорема 13. Уравнения
zf = Z(z,x,p), х\ =Х{(х,р), р\ = Pi(x,p)
{i= 1 ••• п)
представляют контактное преобразование тогда и только
тогда, когда Z имеет вид Z — Az+f2(x,p), где А — отличная от нуля
константа и если, кроме того, уравнения
[Az + n,X{] =0, \Pi,Az + Q\ =AP{,
(х&н) = (pm = (PiPx) = 0 а ф x), (р^ = а
(г, -*с= 1 • • • n)
выполняются тождественно. С другой стороны, если Х\ • • • Хп,
Р\ • " Рп — функции, удовлетворяющие уравнениям
(ХгХ„) = (PiX») = (PiP„) = 0 (t Ф *), (PiXi) = А
(г, *r= 1 ••• n),
то выра.жение
п п
У^ PidXi - А ^Pidxi
г=1 г=1
есть полный дифференциал; следовательно, существует
функция f2(x,p), тоэ1сдественно удовлетворяющая уравнению
п п
V^ PidXi — dfi = A'S^pidxi,
г=1 г=1
причем она задана с точностью до аддитивной константы.
В то Dice время уравнения
zf = Az + Я(ж,р), х\ = Xi(x,p), pj = Р»(ж,р) (14)
(г = 1 • • • n)
представляют контактное преобразование от переменных х,р.1
7Теорема 13 несравненно важнее, чем очевидно более общее утверждение 4 (стр. 140),
которое в дальнейшем не найдет никакого важного применения.

Среди контактных преобразований вида (14) заслуживают особого
внимания те, у которых константа А имеет значение 1.
Согласно утв. 8 (стр. 144), ясно, что выражение в скобках (u,v)XtP
ведет себя при таком контактном преобразовании инвариантно, то есть
что (u,v)XiP = (u,v)X'iP'.
Если же, напротив, преобразование
х- = Si{xi • • • xn,pi • • • pn), Pi = IIi(xi • • • xn,Pi • • • Pn) ,2 v
(г = 1 • • • n)
оставляет скобку (t/,v)xj> инвариантной, какими бы функциями от
х\ • • • хп,р\ - • • рп ни были гх и г;, то функции «Е4, Л находятся в
канонических соотношениях
(£iSx) = (Д ~^) = (Я»ЯХ) = 0 (г ф х), (Л^О = 1
(г, к = 1 • • • п),
поскольку должно выполняться
и так далее. Таким образом, согласно последней теореме всегда можно
задать такую функцию i?(x,p), что уравнения (21) вместе с
z' — z + Q{x,p)
представляют контактное преобразование от х, р.
Если сначала выполнить контактное преобразование вида
z' = Az + Q{x,p), x'„ = Хх(я,р), р'„ = Р„{х,р),
а затем какое-либо другое контактное преобразование соответствующего
вида
то возникающее таким образом контактное преобразование, очевидно,
также преобразует переменные х, р сами по себе.
Поэтому мы можем сказать, что все контактные преобразования от х, р
образуют бесконечную группу Очевидно, что преобразования этой бесконечной группы
упорядочиваются в пары взаимно обратных. С другой стороны, ясно, что все
контактные преобразования специального вида
z = z + 0{х,р), х'н = Х„(х,р), р[ = Рг(х,р)

в свою очередь образуют бесконечную группу с попарно обратными
преобразованиями.
Если же заданы два контактных преобразования вида
z' = Az + П(х,р), х'„ = Х„(х,р), p'i = Pi{x,p)
и
zf = Ац + tfifop), x'x = Y-Ahp), p\ = Q»(f,p),
то возникающее в результате исключения z',x',pf преобразование,
очевидно, снова является контактным преобразованием от х, р.
§ 37
Среди контактных преобразований вида
zf = Az + ft{x,p), х[=Х{(х,р), p'i = Pi{x,p)
(i = l • • • n)
мы хотим отдельно рассмотреть те, в которых функция ft является просто
константой. Определенная таким образом категория контактных
преобразований имеет исключительное значение.
Если ft — константа, то уравнения
[Az + ft, Xi) = О, [Ри Az + ft) = APi
можно соответственно записать
EdXi ^ dPi
таким образом, мы видим, что X являются однородными функциями
нулевого порядка по переменным р\ • • • рп> а Р — однородными функциями
первого порядка по р\ • • • рп.
Ясно, что все преобразования (14), при которых функции X и Р имеют
эти свойства однородности, переводят любую однородную по р функцию
от xi • • • xn,pi • • • рп в некоторую функцию от х[ • • • х'п,р[ - - - р'п,
однородную по р'.
Если, наоборот, контактное преобразование вида (14) обладает
свойством превращать любую однородную по р функцию от х, р в некоторую

однородную по р' функцию от х', р', то в таком преобразовании Х\ • • • Хп
будут однородными функциями нулевого порядка по р, Р\ • • • Рп —
однородными функциями первого порядка, а функция Q будет константой.
Действительно, при наложенных условиях X и Р заведомо являются
однородными по р. Кроме того, х[ + х[ являются однородными функциями
нулевого порядка по р', то есть Xi + Х{ — однородная функция нулевого
порядка по р. Если же Pi — однородная функция s-ro порядка, то (PiXi) —
однородная функция (s — 1)-го порядка, и здесь s — 1 имеет значение
нуля, т.к. (Р{Х{) = А; таким образом, Р являются однородными функциями
первого порядка по р. Но тогда мы имеем
[XuAz + Q] =AJ2P^ + №й) = О,
[РиAz + n}-APi = A[ }^Р»т^г -Pi)+ (Pitt) = 0,
следовательно, поскольку X и Р однородны,
{Х{П) = 0, {Р{П)=0 (i = i...n). (22)
Согласно этому Q является общим решением 2п линейных
дифференциальных уравнений в частных производных (22) от 2п переменных
х\ - - - хп,р\ • • • рп. А поскольку Х\ • • • Хп, Р\ • • • Рп находятся в
известных соотношениях, то, подставляя вместо Q последовательно Р\ • • • Рп,
Х\ - - - Хп, мы получаем, что уравнения (22) являются независимыми друг
от друга, и что они тем самым не имеют никакого другого общего решения,
кроме Q — const. Итак, справедливо следующее
Утверждение 12. Контактное преобразование вида
z' = Az + i?(x,p), x\ = Xi(x,p), p\ = Pi{x,p)
(z = 1 • • • n)
превращает любую однородную по р функцию от x\ - - - xn,p\ • • • pn
в функцию от х[ • • • xfn,p[ • • • pfn, являющуюся однородной по pf, тогда
и только тогда, когда функция i?(x,p) является просто константой;
X в данном случае — это однородные функции нулевого порядка по р, а Р —
однородные функции первого порядка.
Контактное преобразование вида
z' = Az + B, x'i = Xi(x,p), p'i = Pi(x,p)
(г = 1 ••• п),

в котором А и В обозначают константы, преобразует величины
Р1_ Рп-1
Xl '" Хп' Рп'" Рп
сами по себе, как непосредственно видно из свойств однородности,
которыми обладают X и Р согласно только что изложенному утверждению. Но
одновременно с (23) очевидно, что
Z' = Z, х[ = Хг(х,р), р*1 = ±Рг(х,р)
(г = 1 • • • п)
также является контактным преобразованием, и ясно, что контактные
преобразования (23) и (23х) преобразуют величины
Pi_ Рп-1
Х\ • Хп, п ' п
Рп Рп
одинаковым образом.
Мы можем по этой причине ограничиться контактными
преобразованиями вида
z' = z, xfi = Xi{x,p), Pi = Pi(x,p)
(г = 1 ••• п),
а контактные преобразования более общего вида (23) вообще опустить. Так
мы и поступим в дальнейшем.
Для всякого контактного преобразования вида (24) имеет место
тождество
dz — P\dX\ — • • • — PndXn = dz — pi dx\ — • • • — pn dxn
или, что то же самое, тождество
PidXi H + PndXn = pidxi H + pndxn. (25)
Исключив из уравнений контактного преобразования (24) уравнение
z1 — z, мы, очевидно, получим преобразование только от переменных
xi ••• xn,pi ••• рп:
х\ = Х»(х,р), р\ = Pi{x,p) (i = l ... n), (26)
для которого справедливо тождество (25).

Преобразование вида (26), для которого выполняется тождество (25),
имеет исключительно важное значение; мы называем его однородным
контактным преобразованием*.
Итак,
Преобразование
x;=Xi(x,p), pJ = P»(x,p) (г = 1-..п) (26)
от переменных х\ • • • xn,pi • • • рп называется однородным контактным
преобразованием, если wvieem место тождество
PidXi Н + PndXn = pidxi H + pndxn. (25)
Это определение можно слегка изменить.
Если Х\ • • • Хп, Р\ - - - Рп — функции от xi • • • xn,pi • • • рп,
удовлетворяющие тождеству
PidXi H + PndXn = pidxi H + pndxn, (25)
то выполняется также тождество
dz — P\dX\ — • • • — PndXn = dz — p\dx\ — • • • — pndxn,
то есть (ср. утв. 3, стр. 138) г, Xi • • • Xn, Pi • • • Pn являются
независимыми функциями от г, xi • • • хп,р\ • • • рп, и вследствие этого X, Р в свою
очередь являются независимыми функциями от х, р. Тем самым, мы прежде
всего имеем известное из теории о проблеме Пфаффа
Утверждение 13. Если функции Х\ • • • Хп, Р\ - — Рп от пергаменных
х\ • • • хп,р\ - - - рп таковы, что уравнение
PidXi Н + PndXn = pidxi H + Pndsn
вполняется тождественно, то они являются независимыми друг от друга.
Данное выше определение однородных контактных преобразований
можно теперь заменить следующим.
Уравнения'.
Х- =Xi(x,p), р\ = Р{(х,р)
(i = 1 • • • п)
xSophus Lie, Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, in denen die unbekannte
Function explicite vorkommt (Дифференциальные уравнения в частных производных
первого порядка, в которые неизвестная функция входит явно), Verhandlungen d. Ges. d. W. zu
Christiania, март 1873 г.; ср. также Math. Ann., том VIII.

представляют однородное контактное преобразование тогда и только
тогда, когда 2п функций X, Р удовлетворяют тождеству
P\dX\ + • • • + PndXn = pidxi + • • • + pndxn.
Если преобразование
x\ = Xi{x,p\ p'i = Pi{x,p) (i = i--.n) (26)
является контактным, то выполняется тождество
dz — P\dX\ — - - - — PndXn = dz — p\dx\ — • • • — pndxn,
таким образом, уравнения
z' = z, xfi = Xi(x,p), Pi = Pi(x,p)
(i = 1 • • • n)
представляют контактное преобразование от переменных х, р. Отсюда
прежде всего следует, что X и Р находятся в канонических соотношениях
(XiX„) = (PiX„) = (PiPx) = О (гф „), (PiXi) = 1
(г,ус=\ ••• п),
но кроме того (ср. стр. 152 и ниже), функции X являются однородными
нулевого порядка по р, а Р — однородными первого порядка.
Если же, наоборот, задано 2п функций Х\ • • • Хп, Р\ — - Рп от
х\ - " хп, р\ • • • рп, находящихся в канонических соотношениях, причем X
из них являются однородными функциями нулевого порядка по р, а Р —
однородными функциями первого порядка, то уравнения
Xi=Xi(x,p), Pi = Pi{x,p) (i = i---n)
всегда представляют однородное контактное преобразование.
Действительно, при наложенных условиях уравнения
[г,Х{]=0, [Puz]=Pi (г=1..-п)
также выполняются тождественно, поэтому уравнения
Z' = Z, х[=Хг(х,р), Pi = Pi(x,p)
(г = 1 • • • п)

представляют, согласно теореме 13 (стр. 150), контактное преобразование
от переменных х, р, для которого А имеет значение 1 и J? = 0. Отсюда
прежде всего следует справедливость тождества
dz — PidXi — • • • — PndXn = dz — pi dx\ — • • • — pn dxn,
а тем самым и справедливость характеристического тождества (25). Из
сказанного вытекает, что верно следующее
Утверждение 14. Если Х\ • • • Хп, Р\ — - Рп обозначают функции от
переменных х\ • • • хп, р\ ••• рп> мо для выполнения тождества вида
PidXi H + PndXn = pidxi H + Pndxn
необходимой достаточно, чтобы уравнения
( (XiX„) = (PiX„) = (PiP„) - 0 (1ф *), (PiXi) = 1,
ЭХг ^ dXi ЭР; 8Pi p ,„.
Pl^— + Рп^ =0, Pl^—+pn^—=Pi У27)
dpi дрп dpi дрп
(г, >с = 1 • • • п)
выполнялись тождественно.
Если теперь вспомнить данное на стр. 155 определение однородных
контактных преобразований, то мы получим следующую теорему.
Теорема 14. 2пуравнений
x\=Xi(x,p), p'i = Pi{x,p) (г = 1..-п)
представляют однородное контактное преобразование тогда
и только тогда, когда X и Р находятся в канонических
соотношениях
{XiX») = (PiX„) = (PiP„) = 0 (г ф *), (Р^) ЕЕ 1
(г, х = 1 • • • п)
и, кроме того, когда X являются однородными функциями
нулевого, а Р — однородными функциями первого порядка
от pi • • • рп?
Соединив полученные результаты с утверждением 11 (стр. 148), мы
получим (ср. утв. 17, стр. 116) следующее
9Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март и июнь 1873 r.

Утверждение 15, Если Xi • • • Хп — независимые функции от х\ • • • хп,
f1 • • • ^^~> находящиеся попарно в соотношениях (XiXy,) = О, то
существует п однозначно определенных функций Р\ • • • Рп от х\ • • • хп,
Pi ''' Vn> тождественно удовлетворяющих соотношениял1
(ад)=1, plffi+...+p„lfi=p,
(г, к — 1 • • • п).
Уравнения
Х- =Х{(х,р), р\ = Pi(x,p)
(г = 1 • • • п)
при этом представляют однородное контактное преобразование.
Пусть в переменных х\ • • • хп,р\ - — рп задано некоторое контактное
преобразование (26). Если в силу этого преобразования
U{xi --- xn,pi ---Pn) =H(xi ••• хп,р[ --- р'п),
то
kPt^~h^hPl^ huh**»~
Итак,
Утверждение 16, Если однородное контактное преобразование
х[=Хг(х,р), р[ = Рг(х,р) (г = 1...п)
переводит функцию U(x\ • • • хп,р\ • • • pn) e il^ • • • х'п,р[ • • • p£J, mo
оно в то же время переводит
др[ др'п

Если 2n — 1 функций P<i • • • Pn, Xi • • • Хп от xi • • • xn, pi • • • рп
удовлетворяют уравнению
PidXi + P2dX2 Л + PndXn = pidxi -\ + pndxn,
то соотношения
(piP„)=0, (piA-i) = l, (piXx) = 0, x = 2---n
показывают, что Р2 * * * Рп, X2 * * * Xn не содержат хь тогда как Х\ имеет
вид
К этому замечанию мы вернемся позже.
Разрешая однородное контактное преобразование
Xi = Xi(x,p), Pi = Pi(x,p) (i = \..-n)
относительно х\ - - хп,р\ • • • рп, мы получим уравнения
Xi =Xi(x\p'), Pi = Pi(x',p') (г = 1 ••• та),
очевидно, также представляющие однородное контактное преобразование.
Если сначала выполнить однородное контактное преобразование
х\ = Xi(x,p), р[ = Pi(x,p) (г = l ..• n), (28)
а затем какое-либо другое однородное контактное преобразование
x'! = Ei{x\p% р'1 = Щ{х\р') (г = 1---п), (28')
то, исключив х', р\ мы получаем новое преобразование
х'/ = Б{(Х,Р), р'! = Щ(Х,Р) (i = l-..n). (28")
Это преобразование снова будет однородным контактным.
Действительно, при наложенных условиях
п п
^Pi{x,p)- dXi(x,p) = ^2pi dxi,
г=1 г=1

2=1 2=1
Если во втором из этих тождеств произвести подстановку х\ — Хг,
р\ = Pi, то с учетом первого получится
п п
YtHi(X,P)'dSi(X,P) = YtPidx^
2=1 2=1
то есть уравнения (28") действительно задают однородное контактное
преобразование.
Из сказанного явствует, что совокупность всех однородных контактных
преобразований от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп образует бесконечную группу,
и притом группу с попарно обратными преобразованиями.
Наконец, мы хотим еще добавить следующее
Утверждение 17, Если уравнения
х\ = Х{(х,р), р\ = Pi(x,p) (г = 1 -.. п) (29)
задают одно однородное контактное преобразование, а уравнения
А = Yi(y, g), v\ = Qi(y, я) (i = l • • • n) (290
— другое, то из уравнений
Xi(x,p) = Yi(y,q), Щх,р) = Qi(y,q) (г = 1 • • • п) (29")
мы всегда получим однородное контактное преобразование, независимо от
того, будт мы их разрешать относительно у, q или х, р.
Доказательство находится в изложенных выше результатах, но легко
может быть проведено и непосредственно. А именно, поскольку
п
У^ P{dX{ = ^2,Pidxu ^2 QidYi = ^2 Qidyu
2=1 2=1 2=1 2=1
то уравнение
п п
^Qidyi = y^pjdxj
2=1 2=1
становится в силу уравнений (29") тождеством.

§38
От общих контактных преобразований от 2п + 1 переменных z,
х\ - - - хп, р\ • • • рп путем двух последовательных спецификаций мы
пришли к однородным контактным преобразованиям от 2п переменных х\ • • • хп,
Pi • • • Рп-
Очень важным, хоть и легко предполагаемым, является то, что можно
также пойти и обратным путем. А именно, мы покажем, что из однородных
контактных преобразований от 2п + 2 переменных у\... yn+i, Qi * * * Яп+i
можно вывести общие контактные преобразования от 2п +1 переменных z,
#i • • • хп, Pi * * * Рп- К этому мы затем добавим различные заслуживающие
внимания рассуждения.
Пусть в J/1... 2/тг+ь 01 ''' Яп+i задано некоторое однородное
контактное преобразование
[ У** = Y>c(yi . . . Уп+1, 01 '" Qn+l),
q'x = Q*(yi - - - Уп+uQi • • • <b+i) (30)
(x= 1 ••• n+ l).
Тогда, как мы знаем, в силу (30) тождественно выполняется уравнение
q[ dyi + • • • + qn+1 dy'n+l = gi dyi + • • • + qn+i dyn+i. (31)
Кроме того, Y являются однородными функциями нулевого порядка от q,
&Q — однородными функциями первого порядка, так что Y и отношения Q
зависят лишь от отношений q.
Теперь положим
Уп+1 = Z, У1 = Xi, • • • уп = Хп,
Qi Qn
и, соответственно,
Яп+1
Уп+1 = Z'>
Q'i
= ~Pi, •••
= -Рп
Яп+1
У\ — х1-> * * * Уп ~ Хп->
-Pi, •••
"Рп.
Яп+l Яп+1
кроме того, введем следующие обозначения:
Yn+i(yi-.-yn+i^i ••• Яп+i) = Z [Уп+иУ1 --Уп,
(32)
(320
-Яг
Яп+1
~Яп
Яп+1,

Yi(yi • • -Уп+uQi ••• Qn+i) = Xi (j/n+bJ/i ••• Ути , ••• — ],
V Qn+i Qn+i/
Qi(yi---yn+uQi ••• Qn+i) n ( -qi -qn
Qn+l(yi • • -Уп+UQl *•• tfn+l) V 2n+l 2n+l
(i = 1 ••• n).
После этих приготовлений мы получим в силу уравнений (30) следующие
выражения для z', х[ • • • хп, р[ • • • р'п как функций от г, xi • • • xn, pi • • • рп:
( z' = Z(z, xi ••• xn, pi ••• pn),
х- =Х»(г, xi ••• xn, Pi ••• Pn),
p^ = РДг, xi ••• xn,pi ••• pn)
a = l ••• n).
(33)
Априори ясно, что уравнения (33) представляют преобразование от
переменных г, х\ • • • xn, pi • • • pn, однако можно также легко доказать,
что они представляют контактное преобразование. Так, если мы разделим
уравнение (31) на <?п+1 или, что то же самое, на Qn+i, то с использованием
уравнений (32) и (32') оно примет вид
dzf -р[dx[ - ■ ■ • -р'пdx'n = n+1 (dz -p\dx\- • ■ • -pndxn).
Здесь множитель перед dz—p\dx\ — • • • —pndxn зависит только от
отношений между q и является поэтому функцией д от z, х\ • • • xn, pi • • • рп.
Согласно этому, между z', х', р', z, x, p мы получаем следующее уравнение:
dz' —p\ dx\ — • • • — pndxn — q{z,x,p) • (dz — pi rfxi — • • • — pndxn), (34)
которое естественным образом имеет место в силу уравнений
преобразований (33), так же, как и уравнение условия (31) в силу уравнений
преобразований (30). Тем самым доказано, что (33) действительно является
контактным преобразованием от переменных г, х, р.
Пусть теперь, наоборот, задано какое-либо контактное преобразование
otz, xi ••• xn,pi ••• рп:
z' = Z(z,x,p), x\ =Ei(z,x,p), р'г = П{(г,х,р)
(г = 1 ••• тг),
то есть преобразование, в силу которого имеет место уравнение
dz' —p[ dx[ — • • • — p'ndx'n = g{z,x,p) • (dz—pi dx\ — • • • —pndxn). (36)

Если здесь положить
z = 2/п+ъ
Pi
Уп+li
-Qi
Pi
Qn+i
%i — У и
7,'
e =
A = у*
Qn+i
(37)
Qn+i
то уравнение (36) примет вид
q[ dyi + • • • + q'n+i dy'n+l =qidyi + --- + gn+i dyn+i
и будет, очевидно, выполняться для системы соотношений
Уп+1 =Z [Уп+иУг
2/п,-
2/i = -г [ 2/п+ь2/1
2/п,
-gi
Qn+i'
-tfi
9n+l
~9n
9тг+1
9n+l
Qi
Qn+i
(38)
2/n+i, 2/1
9"+1 • П,
2/nr
-9i
9n+l
Уп+иУг ••• 2/n,
9n+l
-91
-9n
9n+l
0 V <?n+l
представляющей однородное контактное преобразование. При этом ясно
еще следующее: если преобразование (35) совпадает с (33), то есть если
тождественно выполняется
Z = Z, Ej = JQ, rij = Р^ а = g,
то преобразование (38) совпадает с преобразованием (30). В
предшествующих рассуждениях показано, что из всякого однородного контактного
преобразования от J/1 • • • Уп+i, <7i • • • <fo+i можно получить некоторое
совершенно определенное контактное преобразование от z, х\ • • • хп,р\ • • • рп
и наоборот. Отсюда прежде всего вытекает, что все контактные
преобразования от z, х\ • • • xnypi - - Рп можно непосредственно задать, если
известны все однородные контактные преобразования от у\ • • • 2/n+i, q\ • • • <2Vi+b
и что обратное тоже верно. В то же время между этими двумя видами
контактных преобразований установлено взаимно однозначное
соответствие: всякому преобразованию первого типа соответствует некоторое
совершенно определенное преобразование второго типа и наоборот',
если для преобразования одного из этих двух типов найти соответствующее
преобразование второго типа, а для него снова соответствующее
преобразование первого типа, то всегда получится исходное преобразование.

Описанная только что взаимосвязь между этими двумя типами контактных
преобразований будет понятийно ясной, если заметить, что по усмотрению либо z,
х\ • • • хп, р\ • • • рп, либо у\ • • • Уп+i, Qi ' * * Яп+i могут трактоваться как элемент-
координаты (n-fl) -мерного точечного пространства, и что всякое контактное
преобразование этого пространства является некоторым преобразованием его элементов.
Отсюда следует, что любое контактное преобразование (п 4- 1)-мерного
пространства можно записать как в переменных z, х, р, так и в переменных у, q; но если это
сделать, то получится именно то описанное выше соответствие между контактными
преобразованиями в z, х, р и однородными контактными преобразованиями в у, q.
Совокупность всех контактных преобразований в z, х\ • • • хп. Pi — * Рп
образует, согласно стр. 135, бесконечную группу, поэтому если S и Т — два
произвольных преобразования от г, х, р и если выполнить сначала S, а затем Т9 то полученное
преобразование ST будет той же природы. Если теперь 6 и X — два однородных
контактных преобразования в г/i • • • г/п+1, qi • • • <?п+ь соответствующие S и Т, то,
согласно стр. 159 и ниже, (5Х также будет однородным контактным
преобразованием, причем, очевидно, тем преобразованием, которое соответствует
преобразованию ST. Исходя из этого, бесконечная группа всех контактных преобразований
от z, х\ — • хп, Р\ • • ■ Рп и бесконечная группа всех однородных контактных
преобразований от у\ — • 2/n+i, qi — - q-n+i связаны друг с другом голоэдрическим
изоморфизмом при помощи вышеуказанного взаимно однозначного соответствия
их преобразований.
Рассмотренная здесь взаимосвязь между многократно упомянутыми
типами контактных преобразований дает нам возможность
переформулировать любое утверждение о контактных преобразованиях одного типа
в утверждение о контактных преобразованиях другого типа. Этот общий
принцип™ мы применим сначала к следующему утверждению (см. утв. 14,
стр. 157).
Для того, чтобы функции Y\ - - • Yn+ь Qi " Qn+i от переменных
У\ ''' Уп+i, Qi ''' Чп+i тождественно удовлетворяли уравнению:
QidYi H + Qn+1dYn+i = qidyi H + qn+idyn+i>
необходимо и достаточно, чтобы уравнения
(QiQ«) = (QiY„) = (YiYx) = О (г Ф *), (QiYi) = 1,
£«# = °> £<^=<?; (39)
(г,х=Ь--п + 1)
выполнялись тождественно.
,0Сформулированный в данном тексте общий принцип был представлен и использован
в Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март 1873 r.

Для того, чтобы переформулировать это утверждение применительно
к контактным преобразованиям от z, x\ ••• хп, р\ • • • рп, нам надо,
согласно вышесказанному, рассматривать вместо у, q величины
* = Уп+и xi = Уи '" хп = уп,
Qi Qn
Pi = -7ГТ7> **• Рп = ~
Чп+\' уп tfn+i
как переменные, образовать функции
Yn+i(y,q) = Z(2,x,p), Yi(y,q) = Xi(z,x,p),
n l / \ = pi{z,x,P), T^T—; = 0(z>xiP)
Qn+i{y,q) Qn+i{y,q)
и вывести из каждого отдельного из соотношений (39) эквивалентное
соотношение, которое оно дает между функциями Z, Х\ • • • Хп, Р\ • • • Рп^д.
Прежде чем произвести указанное вычисление, мы предварим его
формулой, которая нам теперь, а также в дальнейшем пригодится.
Если F и Ф — функции от величин
yi 2М+Ь ?n+i '" gn+i'
и если положить
yn+l=Z, У1=Хи '" Уп=хп,
Ql Qn
= -Рь *•• 7ГГ77 = -Рп,
«la справедлива формула
(F*)vo = -q^lF*U*P- (41)
Доказательство очень простое. Мы имеем
dF = OF д£=д£ d_F = 1 dF
dyn+i dz" дуг дхг' dqi Qn+i dpi'
OF ^у" Чу dF = l_fn M.
и соответствующее верно также для Ф. Отсюда непосредственно следует
равенство (41).

Теперь мы переходим к тому, чтобы вывести соотношения,
получающиеся между Z, Х\ — - Хп, Pi - — Рп, д, из уравнений (39).
Уравнения
(YiY^yq =0 (i,*=l •••П+1)
на основании (41) принимают вид
[XiXx] = 0, [XiZ] = О (i, х = 1 ■.. n). (A)
Кроме того,
(п F\ - dF - dF
таким образом,
(Qn+lYn+l)yq = (—^—,ZJ =
\ / yq
-ldZ . 1 r ~i
Q dz o«
то есть уравнение (Qn+iYn+i) = 1 эквивалентно следующему:
[qZ] + еЦ - g* = 0. (В)
Совершенно аналогичное вычисление показывает, что из уравнений
(Qn+iYi) = 0, {Qn+iQi) = 0 (i = i • • • п)
получаются следующие:
1<*] + <^ = о, 1-^1+ гЖ = °" (О
(i = 1 ••• п).
Далее мы имеем для г = 1 • • • п
(Qi^i) = — (Qn+l-Pb^i) = — -PiCQn+l^i) _ Qn+l {PiYi),
^[вд] = 1[ад],
11 Формулы (В) и (С) в данном тексте были впервые предложены господином Дарбу, Bulletin
des sciences matematiques, 1882 г.

а значит, поскольку (QiYi) имеет значение 1,
[Р{Х{]=в (г = 1...п); (D)
точно так же мы получаем из
(QiYil) = 0, (QiYn+1)=0
(г, >с = 1 • • • п, г ф ус)
соотношения
а из
— соотношения
[PiX„] = 0, [PiZ\ = ePi
(i, x = 1 ■ ■ ■ п, i Ф *),
{QiQx) = 0 (г,^= 1 ... тг)
(Е)
[Р<Рж]=0 (г,х=1.-.п). (F)
Остаются еще лишь условия однородности:
«/=1 °^ «/=1 ag"
(г = 1 ••• п + 1),
но они не дают никаких соотношений между функциями Z, X, Р, д.
Итак, из уравнений (39) получаются соотношения (А) • • • (F) между Z,
X, Р, £, поэтому мы можем сформулировать следующее
Утверждение 18. Для того чтобы 2и + 2 функций Z, Х\ • • • -Х^г>
Р\ • - - Рп> Q от 2тг + 1 перченных х\ • • • xn, pi - • • рп тождественно
удовлетворяли уравнению
dZ — P\dX\ — ... — PndXn = g(dz — p\dx\ — • • • pndxn), (42)
необходимо и достаточно, чтобы уравнения
(43а) [Р<РХ] = [/**„] = [Х,ХХ] = 0 (i#„), [PiXi] = e,
(43b) [X<Z] = 0, [PiZ] = gP*, 2 7^ О
(43с) М + ^ = Ш + ^ = [е£] + еЦ - £2 = о
(г, х: = 1 • • • п)
тождественно выполнялись.
(43)

Это утверждение по сути является лишь записанной в другом виде
общей теоремой 14 об однородных контактных преобразованиях,
сформулированной на стр. 157. От доказанного ранее утверждения 4 (стр. 140) оно
отличается лишь тем, что к используемым там уравнениям (8) добавились
уравнения (43с). Утверждение 18 в данном тексте выражает в
определенном смысле нечто большее, чем процитированное утверждение 4, а именно,
оно показывает, что уравнения (43с) являются следствием существования
соотношения (42). С другой стороны, старое утверждение 4 выражает
больше, чем показывает, поскольку уже одно существование уравнений (43а)
и (43Ь) является необходимым и достаточным. Связывая оба эти
утверждения, мы получаем, что уравнения (43с) являются следствием объединенных
уравнений (43а) и (43Ь).
Если в формулу (43с) подставить для о значение д = 1, то мы получим
уравнения
Mi-n M-n M-1
OZ OZ OZ
дающие нам следующее утверждение, известное из теории о проблеме
Пфаффа.
Утверждение 19. Если 2п + 1 величии Z, Х\ - — Хп, Р\ • • • Рп
удовлетворяют тождеству
dZ — Р\ dX\ — • • • — Рп dXn = dz — pi dx\ — • • • — pn dxn,
то они имеют вид
Z = г + f2(x,p), X„ = A„(x,p), P„ = B„(x,p).
Это утверждение мы, кстати, получим и в том случае, если применим
общий принцип, изложенный на стр. 164 к замечанию на стр. 159.

Глава 6
Описание всех контактных
преобразований без интегрирования.
Их характеристические свойства
Выше были рассмотрены три различных вида контактных
преобразований и для каждого вида при помощи определенных дифференциальных
соотношений были полностью охарактеризованы входящие в них функции,
так что описание всех контактных преобразований каждой из этих трех
категорий в отдельности свелось к интегрированию некоторых
дифференциальных уравнений. Однако мы пока еще ничего не знаем об объеме этих
трех категорий и об общности входящих в них контактных
преобразований; мы лишь убедились на примерах, что каждая из этих трех категорий
контактные преобразования действительно содержит.
Позже мы разовьем общие методы, ведущие к интегрированию
упомянутых дифференциальных уравнений и получим таким образом полное
разъяснение свойства произвольных элементов, от которых зависит
контактное преобразование. Для описания всех контактных преобразований
мы пока пойдем другим путем, на котором не требуется интегрирования,
а необходимы только дифференцирование и исключение. Таким образом
уже из этого мы получим общее представление об объеме этих трех
категорий.
Во второй части главы мы опишем ряд характеристических свойств
контактных преобразований (п + 1)-мерного пространства; в частности, мы
исследуем, как преобразуются точечные многообразия этого пространства
под действием контактного преобразования.
§39
Сначала отыщем все однородные контактные преобразования, то есть
все преобразования
х\ = Xi(xi • • • xn,pi • • • pn), p'i = Pi(xi • • • xn,pi • • • pn) (1)
(i = 1 • • • n),

в силу которых уравнение
р\ dx\ Н + рп dxn - р[ dx[ - • • • - pfn dx'n = 0 (2)
становится тождеством.
Уравнение (2) можно понимать как уравнение Пфаффа от 4п
переменных XiiPiix'^Pi. Если эту трактовку взять за основу, то можно
сказать: преобразование вида (1) является однородным контактным
преобразованием тогда и только тогда, когда 2п-параметрическая система
уравнений от 4п переменных х\,р\,х\,р\ удовлетворяет уравнению
Пфаффа (2). Согласно этому все однородные контактные преобразования (1)
будут найдены, если задать в An переменных Хг,Рг,х[,р[ все 2п-парамет-
рические системы уравнений, удовлетворяющие уравнению Пфаффа (2)
и разрешимые относительно как х[ • • • х'п, р\ • • • р'п, так и х\ • • • хп,
Pi • • • Рп-
Мы можем очень легко выписать все 2п-параметрические
системы уравнений, удовлетворяющие уравнению Пфаффа (2); ведь, согласно
стр. 96 и ниже, можно задать все m-параметрические системы уравнений
от Х\ • • • хт,р\ - - - рт, удовлетворяющие уравнению Пфаффа
pi dx\ H + рт dxm = 0;
в этих формулах нам надо лишь выбрать т — 2п, а затем заменить
xn+i • • • x2n,Pn+i • • • Р2п на х\ • • • х'п, -р[, • • • , -р'п соответственно.
Таким образом, мы находим следующее.
Если не считать системы уравнений pi — 0, р\ — 0 (г = 1 • • • п),
которая в данном случае вообще не рассматривается, то самая общая 2тг-пара-
метрическая система уравнений, удовлетворяющая уравнению Пфаффа (2),
получится исключением q величин Ai • • • Xq из 2n + q уравнений
{ (За) Q\{xY - • • хп,х[ • • • х'п) = 0, • • • Qq(xi • • • хп,х[ • • • х'п) = 0,
(зь) -p* + x^ + --- + А«ё = 0 ь = 1'~пъ
(зо к + л,Ц + ...+а,Ц = о „.,....,
(3)
(ср. стр. 96 и ниже).
Здесь q может быть любым из чисел 1,2 • • • n, a Q\ • • • Qq означают
произвольные функции своих аргументов при условии (ср. стр. 42), что не

все определители порядка q матрицы
dQn
дх\
дхп дх[
дхп дх[
дх'
дПп
дх'
(М)
обращаются в нуль в силу Q\ — О, • • • Qq = 0. Тогда очевидно,
что (2п + д)-параметрическая система уравнений (3) от переменных
х\ • • • xn,pi • • • рп, х[ • • • х'п,р[ • • - р'п, Ai • • • Xq обладает тем свойством,
что не все определители порядка (2n + q) соответствующей матрицы
обращаются в нуль в силу (3). С другой стороны, заведомо известно, что,
исключив из (3) Ai • • • Ад, мы действительно получим 2п-параметрическую
систему уравнений.
Среди 2п-параметрических систем уравнений, получающихся из
систем вида (3) в результате исключения А, нам надо теперь еще выбрать те1,
которые являются разрешимыми относительно как xf,pf, так и х,р.
Совокупность всех однородных контактных преобразований от х,р состоит из
совокупности всех систем уравнений с этим специальным свойством.
Для того чтобы 2п + q уравнений вида (3) после исключения А
давали 2п-параметрическую систему уравнений, разрешимую относительно
х[ • • • xfn,p[ • • • pfn, необходимо и достаточно, чтобы они сами были
разрешимы относительно х[ • • • xfn, Ai • • • Ag, p\ • • • р'п. Для удобства
выражения этого условия мы положим
AiJ7i +••• + ХЯПЯ = W,
и уравнения (ЗЬ) и (Зс) предстанут в следующем виде:
8W
"Рг + |^=0 (t = L..n),
/ , 8W t\ t- л \
(36')
(Зс')
1 Пфафф, Якобы и Клебш давно доказали, что преобразования между х,р и х',р',
полученные в результате исключения Ai • • • Xq из 2n + q уравнений вида (3), дают самый общий
переход от одной 2п-параметрической канонической формы выражения Пфаффа к другой его
канонической форме. Однако связь этой задачи преобразования выражения Пфаффа с общей
задачей нахождения всех аналитических преобразований в этих более ранних работах не
рассматривалась. С другой стороны, оставался нерешенным вопрос, когда 2п + q уравнений
вида (3) после исключения параметра Л дают преобразование между х',р' и х,р.

Тогда разрешимость (3) относительно х', \,р' сведется к тому, чтобы
функциональный определитель от
"1 ••• Д?, ~Р\ + -q^~,
п л. 9W , , aw , , dw
взятый относительно переменных х[ • • х'п, Ai • • • \д,р[ • • • рп, не
обращался в нуль. Но этот функциональный определитель порядка (2n + q)
сводится просто к функциональному определителю порядка (n + q) от
&1 ' ' ' Д?> ~Pl + Ъ > * * * ' ~Рп +
dW
взятому относительно х\
льно xx •••
dQi
dx\
dQq
dx[
d2W
dx\dx'i
d2W
dxndx'i
Tn, Л\ • • • Aq,
dQi
8x'n
dQq
dx'n
d2W
dxidx'n
d2W
dxndx'n
поэтому с
о .
0 •
8Qi
dxi
dfh
dxn
)н имеет
• • 0
• • 0
8Qq
dxi
3Qq
dxn
(4)
Уравнения (З) являются разрешимыми относительно х',\,р' тогда
и только тогда, когда Л не обращается в нуль в силу (3). Но поскольку Л
не содержит р\ — • Pn,Pi • • • p'ni то оно может обращаться в нуль в силу (3)
только тогда, когда оно уже обращается в нуль в силу (За) для всех систем
значений Ai • • • Xq.
Следовательно уравнения вида (3) при исключении А дают 2п-пара-
метрическую, разрешимую относительно х[ --- х'п,р'х - - - р'п систему
уравнений тогда и только тогда, когда А не обращается в нуль в силу Q\ —
= о, •. • пя = о.
Определитель Л не меняется; если заменить х\ ••• xn,pi • • • рп на
xi " ' хп> ~Р\-> " ' ~ Рп соответственно, то будет непосредственно видно,
что система уравнений, возникающая из (3) в результате исключения А,
разрешима относительно х\ • • • хп, р\ • • • рп тогда и только тогда, когда Л
не обращается в нуль в силу (3).

Если бы все определители порядка q матрицы (М) обращались в нуль
в силу i?i = 0, • • • Qq — О, то Д очевидно, делал бы то же самое. Мы
видим даже, что Л обращался бы в нуль в силу Q\ = 0, • • • Qq — 0, если
бы все определители порядка q одной из матриц
дх\
Эх'
дПя
~дх~\
дПя
дх'
дх\
дхп
дПя
дх\
дПя
дхп
были равны нулю в силу (За). Следствием требования, чтобы Л не
обращался в нуль в силу (За), является не только то, что определители порядка q
матрицы (М) не должны одновременно обращаться в нуль в силу (За), но
и то, что уравнения Q\ — 0, • • • Qq — 0 разрешимы относительно как q из
xf, так и q из х. Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 15. Если функции Q\ • • • Qq от переменных х\ ••• хп,
xi '" хп маковы, что определитель
Л =
| dxndx'i
в котором W — \\Q\ +
дх'п
дПя
dxi
d2W
дхгдх'п
d2W
дхпдх'п
0
0
дПг
дх\
дПг
дхп
О
дПя
дх\
дПя
дхп
(4)
+ \qQq не обращается в нуль в силу
Q\ — О, • • • Qq — 0 для всех значений А, то в результате
исключения А из уравнений
Qi{xi ••• хп,х[ ••• х'п) = 0, ••• Qq(xi ••• хп,х[ ••• х'п) = 0,
_о. + ^-0 v' + дК-о /о/ч
Рг + дхг ~ U' P* + дх[ ~ U (3 }
(г = 1 • • • п)
мы получаем 2п-параметрическую систему уравнений,
разрешимую относительно как х[ • • • х'п,р\ • • - р'п, так и х\ - - - хп,

Pi - - Рп и задающую однородное контактное преобразование.
Если выбрать Q\, • • • Qq самым общим образом так, что Л не
обращается в нуль в силу Q\ — 0, • • • Qq — О и если целому
числу q придать одно за другим значения 1,2 • • • п, то мы
получим все однородные контактные преобразования в переменных
х\ • • • xn,pi • • • рп. При этом система уравнений Q\ — О, • • • Qq = О
всегда будет разрешима относительно как q из х'', так и q
из х?
Еще мы хотим упомянуть, что Л является целой однородной
функцией (п — q)-ro порядка от Ai • • • Ад и что требование необращения Л в нуль
в силу fi\ = 0, • • • Qq = 0 для всех значений А можно выразить еще и так:
не все коэффициенты этой целой однородной функции от А должны
обращаться в нуль в силу J?i = 0, • • • Qq = 0.
Если предположить, что уравнения (3) разрешены относительно
хг '" xn->Pi " ' Pni^i ''' ^я> т0 х' будут однородными функциями нуле-
вого порядка от р, а р' — однородными функциями первого порядка, как
это должно быть при контактном преобразовании.
Так, если мы хотим выразить х[ • • • х'п через х, р, то прежде всего
исключим А из уравнений (ЗЬ), чего можно достичь, образовав п — 1
уравнений
Рк Эх* q дхус
М т; 1 + Ля Тч—
охп чахп
(*Г = 1 ... П- 1),
а затем исключив из них отношения между А. Таким образом мы получаем
n — q уравнений между х[ • • • х'п, х\ • • • хп,р\ • • • рП9 в которых
встречаются лишь отношения между р\ поэтому если сюда добавить еще уравнения
(За), то мы получим х[ • • • х'п9 представленные как функции от
El ... Pn~l
X\ • • • Хп, „ • • • „
Рп Рп
Если подставить найденные значения х[ • • • х'п в (ЗЬ) и разрешить
возникающие уравнения относительно Ai • • • А^, то Ai - - - \q будут такими
функциями от х\ ••• хп,р\ - - • Рп, которые являются однородными
первого порядка по р. Наконец, уравнения (Зс) показывают, что р' будут такими
же функциями от х и р, что и А.
2Lie, Math. Ann. Bd. V, VIII und XI, стр. 547; Archiv for Math., том I, Христиания, 1876 г.

Если система уравнений Q\ — 0, • • • Qq — О такова, что она обращает
определитель Л в нуль, то система уравнений, возникающая из (3) путем
исключения А, не разрешима ни относительно x\pf, ни относительно х,р,
поэтому из уравнений (3) можно вывести некоторые соотношения только
между х,р, а также некоторые соотношения только между х\р'.
Для того, чтобы из (3) или, что то же самое, из (За) (ЗЬ) можно
было вывести в точности га независимых соотношений только между х,р,
необходимо и достаточно, чтобы вместе с определителем А в силу J?i =
= 0, • • • ftq = 0 обращались в нуль все его миноры (n + q — 1)-го • • •
♦ • • (n + q — га + 1)-го, но не (п + q — га)-го порядка. Если это условие
выполнено, то очевидно, что из (За) (Зс) также можно вывести в
точности га независимых соотношений только между х',р\ и ровно столько же
соотношений подобного рода из всей системы уравнений (3).
Кроме того, следует заметить, что все встречающиеся соотношения
только между х, р являются однородными по р, и то же самое справедливо
для возможных соотношений только между х\рг в отношении р'.
В самом деле, чтобы найти соотношение только между х,р, нужно
во всяком случае исключить А из (За) (ЗЬ), а это можно, как и прежде,
выполнить таким образом: сначала образовать уравнения
Vi
Vn
A dQl I
дхг
охп
dnq
'+Xq~dxl
•+А ^
4 дхп
(г=1,2---п-1),
а затем исключить из них отношения между А. Все соотношения, которые
получаются таким образом, являются однородными по р. Тем самым мы
имеем
Утверждение 1. Если 2п + q независимых уравнений
( f2i(xi ••• xn,xi ... х'п) = 0, ... Qq = О,
dxi q дх{
-Pi + ^^r- + "-+\^r = o.
О)
Pi + Ai^f + --- +\g—т =0
(i = 1 • • • n)
дают в точности т ^ 0 независимых от \\ • • • \q соотношений только
между х,р, то они также дают в точности га независимых соотношений

только между xf,p'. Все такие соотношения между х,р являются
однородными по р, а между х',р' — однородными по р'?
§40
Мы переходим к описанию общих контактных преобразований от
Z, Х\ • • • Хп, Р\ • • • рп,
z' = Z(z,x,p), х- = Xi(z,x,p), р\ = P{(z,x,p)
(i= 1 ••• n),
(5)
то есть таких преобразований, которые тождественно удовлетворяют
уравнению вида
dzf — р[ dx[ — - - —р'п dx'n — g(dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn).
Чтобы решить эту задачу, мы положим, как в гл. 5:
z — 2/п+Ь z — Уп+Ъ хг — Vii xi — Vii
Qn+i
Qn+i
(i = 1 ••• n),
так что уравнение (5) принимает вид
q[ dy[ + --- + q'n+1 dy'n+1 = qidyi^ + qn+i dyn+l.
Тогда, как мы знаем, уравнения
/ гу( -Ях -Qn\
»n+i = Z\yn+uVi •••Уп, ^-, • • • ^rj,
/ v ( -Qi -Qn\
, ( -Qi -Qn
9n+i=9n+i-e^I/n+i,I/i ---J/n, g—^, ••• g—
Qi = -Qn+i • 0(г/п+1 ••* -q-^J PiUJn+i
(г = 1 • • • n)
- gn
<?n+l
(6)
(7)
3Archiv for Math., том I, Христиания, 1876 г.; Math. Ann., том XI. Последняя работа
содержит далеко идущие исследования о рассматриваемых в тексте неполных контактных
преобразованиях.

представляют однородное контактное преобразование от переменных
У\ ''' Уп+1> Qi • • • Qn+1- С другой стороны, всякое контактное
преобразование от у, q дает контактное преобразование от г, Xi • • • хп,р\ • • • рп, если
из их уравнений исключить при помощи (6) переменные у1, q1\ у, q, а затем
разрешить относительно z , х\
iPi -"Pri-
3i
Самое общее однородное контактное преобразование от у\ • • • уп+ь
♦ • gn+i получается, согласно теореме 15 (стр. 173), из уравнений
f fli(yn+i,yi ••• уп,Уп+1^1 ••• »п) = °> ••• Я^ = 0,
A.S& + -
%
- ffi = А:
ЭД1
+ • • • + А,
ад,
(8)
(г
1 ••• п + 1),
если исключить А. При этом q может быть любым из чисел 1,2 • • • п + 1,
а функции J?i • • • Qq выбираются самым общим образом так, что
получающиеся в результате исключения А уравнения являются разрешимыми
относительно у[ • • • г/^+1,q[ ••• <Zn+i> разрешимость относительно у,g
тогда, само собой, имеет место. Поэтому для того чтобы найти самое общее
контактное преобразование от z,x\ • • • хп,р\ • • • рП9 необходимо лишь
исключить из (8) с помощью (6) величины y,q,y',q\ что дает
fil(z,Xi ••• Xn^'^Ti ••• xJJ = 0, ••• Qq = О,
(9)
Т)' —
Рг —
. ал ,
Ai-s Ь •
OZ
\ дП^ л.
Л1а7 + '
0Я,
"+А«~дГ
ая,
oz
■ п),
и затем лишь так выбрать систему уравнений i?x = 0, • • • fiq = 0 самым
общим образом, чтобы получающиеся в результате исключения А из (9)
уравнения были разрешимы относительно z\x\ • • • х'п,р[ • • • р'п\ тогда они,
само собой, разрешимы также относительно z,x,p. Итак, мы имеем
следующее

Утверждение 2. Самое общее контактное преобразование от z,
xi • • • хп, pi • • • Рп получается, если исключить \\ • • • \q из уравнений
(fli(z,xi • • • х.
ni % , Х^
Pi = -
p'i = -
x^+-+x"
■<)
dQq
дхг
0, ■■■ Пп= О,
Ai
Ai
dQi
dz
dQi
+ •■
+ ••
• + Aq
• + Aq
~d7
d(2q
(9)
Ala7 +
+ Ag
dQq
~d7
(i = 1 ... n).
Здесь g может быть любым числом из 1,2 - - n + 1; на q-параметриче-
скую систему уравнений Q\ = 0, • • • Qq = 0 наложено лишь то
ограничение, что уравнения, получающиеся из (9) в результате исключения А,
разрешимы относительно z',x[ • • • х^,^ • • • р'п; разрешимость
относительно г, xi • • • xn,pi • • • рп тогда, само собой, имеет место.
Кроме того, из утверждения 1 (стр. 175) мы получаем также
следующее
Утверждение 3. Если уравнения (9) дают в точности т ^ 0
независимых не содержащих А соотношений только между z', x[
р[ • • • р'п, то они так
только между z, x, р.
р[ • • • р'п, то они также дают в точности т независимых соотношений
Конкретизируя утверждение 2, мы, наконец, находим все контактные
преобразования вида
z' = Az + П{х,р), х\ = Xi(x,p), £ = Pi(x,p) (10)
(г = 1 ••• n).
Так, если мы предположим, что соотношения между г, xi • • • xn, г',
х[ - - - х'п, следующие из (10), выписаны, что происходило бы в результате
исключения р\ • • • рп из первых п + 1 уравнений (10), то мы
непосредственно видим, что эти соотношения содержат z и z' только в комбинации
вида z' — Az, то есть могут быть приведены к виду
z' -Az- V(xi
Ln-> *^i
О = о,
Ui(x,x') = 0, • • • Uq-i(x,x') = 0.
(11)

Поэтому для того, чтобы система уравнений (9) давала контактное
преобразование вида (10), уравнения П\ = 0, • • • f2q — 0 должны приводиться
к виду (11). Если, наоборот, в (9) заменить уравнения fi\ = 0, • • • Qq = 0
на (11), то мы, очевидно, получим контактное преобразование вида (10).
Итак,
Теорема 16. Самое общее контактное преобразование от z,
xi - " хп, pi • • • рп, при котором переменные х\ • • • хп, р\ • • • рп
преобразуются между собой, получается, если из 2n + q-\-l
независимых уравнений
z' — Az — W(x\ • • • хп,х[ • • • х[) = 0, J?i(x,x') = 0, • • • Qq(x,x') = 0,
— \-Z Г Л\ — h • • • + Ля—
ОХг ОХг ОХг
Pi =
ХА
A^-Ai^-- Л ^
ftr£ дх'г ч дх[
Pi = -х
(г = 1 • • • п)
(12)
исключить A,Ai ••• \q. Здесь А — отличная от нуля
константа, q может быть любым из чисел 0,1,2 •••п, наконец,
W, Q\ - • • Qq — произвольные функции своих аргументов,
подчиняющиеся одному лишь условию, что уравнения, возникающие
из (12) в результате исключения А, должны быть разрешимы
относительно ^,х',р', разрешимость относительно z,x,p
следует отсюда сама по себеА.
Если в уравнениях (12) положить константу А равной 1, а функцию W
равной 0 и затем отбросить уравнение z' — z — 0, то мы снова приходим, как
это и должно быть, к формулам теоремы 15 (стр. 173) для самого общего
однородного контактного преобразования от х\ - - - хп, р\ • • • рп.
§41
Пусть в переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп задана система уравнений
фх = 0, • • • Фш — 0, удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ —
4Lie, Zur analytischen Theorie der Beruhrungstransfonnationen, Verhandlungen der
Ges. d. W. zu Christiania, июнь 1873 г.; Math. Ann., том VIII.

— • • • — Pn dxn = 0. Если применить к этой системе уравнений некоторое
контактное преобразование
z' = Z(z,xi ••• xn,pi ••• рп), Xi = XU Pi = Pi (г = 1 .--n),
то мы получим в z\x\ * - x'n,p\ - * p'n новую систему уравнений Ф[ =
= 0, • • • Ф'ш = 0, удовлетворяющую, согласно стр. 49, тому уравнению
Пфаффа, в которое переходит dz—pi dx\ — • • • — рп dxn = О под действием
этого преобразования; но при наложенном условии уравнение Пфаффа
dz — р\ dx\ — - - - — рп dxn = О
превращается в dz' — р[ dx[ — • • • — р'п dx'n = 0; итак, мы видим:
При контактном преобразовании переменных z, x\ • • • хп, р\ • • • рп
всякая система уравнений, удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz —
— pi dx\ — - - — Рп dxn = 0, переходит в систему уравнений с тем Dice
свойством.
Чтобы убедиться в том, что верно и обратное, мы сначала докажем
вспомогательное утверждение.
Утверждение 4. Уравнение dz — р\ dx\ — • - — рп dxn = 0 является
единственным уравнением Пфаффа, которому удовлетворяют все
системы уравнений вида
z - F{xi • • • хп) = 0, Р1 - g- = 0, • • • рп - |£- = 0. (13)
Доказательство этого утверждения очень простое. Пусть
п п
A(z,x,p) dz + ^Bi(z,x,p) dxi + *^Ci(z,x,p)dpi = 0 (14)
г=1 г=1
— уравнение Пфаффа, которому удовлетворяют все системы уравнений
вида (13). Тогда уравнение
г=1 х i/=l /
при замене

становится тождеством, какой бы функцией от х\ • • • хп ни была F.
Следовательно, п уравнений
АР> + В, + ±С„^=0 (« = !...„)
должны выполняться тождественно, но это происходит лишь тогда, когда
Ci =0, В{ = -Api (г = 1 ...п),
то есть когда уравнение Пфаффа (14) имеет вид
A(dz — pi dx\ — - - —рп dxn) = 0.
Тем самым утверждение доказано.
Теперь предположим, что нам дано некоторое преобразование
z' = Z(z,x,p), x'i = Ei(z,x,p), p'i = Пг(г,х,р), (15)
переводящее всякую систему уравнений, удовлетворяющую уравнению
Пфаффа dz — pi dx\ — • • • — pn dxn — 0, в такую же. Мы покажем, что
это преобразование является контактным.
Применим преобразование (15) к произвольной системе уравнений
вида
z - F(Xl • • • хп) = 0, Р1 - g- = 0, • • • рп - g- = 0. (13)
Поскольку (13) удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • —
— pn dxn = 0, то мы должны, таким образом, всегда получить систему
уравнений Ф = 0, • • • ^Vi+i = 0 от z',x',p\ удовлетворяющую уравнению
Пфаффа dz' — р[ dx[ — • • • — p'n dx'n — 0. Поэтому если в силу (15) снова
ввести в dz' — р[ dx[ — • - - — p'n dx'n = 0 исходные переменные z, x,p, то
должно получиться уравнение Пфаффа
dz' - р[ dx[ - • • • - p'n dx'n =
п п
= A(z,x,p) dz + ^^Bi(z,Xip)dxi + y^2,Ci{z,x,p)dpi = 0,
г=1 г=1
которому удовлетворяют все системы уравнений вида (13). Этот случай,
согласно изложенному выше, имеет место только тогда, когда Ci = 0 и Bi =

= —Ари следовательно, в силу уравнений преобразования (15) имеет
место соотношение вида
dz' — р[ dx[ — • • • — р'п dx'n = A(z, ж, p)(dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn),
то есть (15) действительно является контактным преобразованием.
Объединив этот результат с полученным выше, мы можем сказать:
Теорема 17. Контактные преобразования от переменных
z,x\ - - xn,pi - - рп можно также определить как такие
преобразования от z,x,p, которые переводят любую {п
+^-параметрическую систему уравнений, удовлетворяющую
уравнению Пфаффа dz — p\dx\ — • • • — pndxn = 0, в систему уравнений
с тем oice свойством5.
§42
В главе 4 мы видели, что (п + 1)-параметрические системы
уравнений от z,x\ - - - хп,р\ - • • рп, удовлетворяющие уравнению Пфаффа dz —
— pi dx\ рп dxn = 0, разбиваются на конечное число, а именно, п +1
различных классов. Один из этих п + 1 классов состоит из всех систем
уравнений вида
z - F(Xl • • • хп) = 0, Vi - |£ - 0, • • • рп - |£ = 0, (13)
таким образом, совокупность всех входящих в него систем уравнений
зависит от произвольной функции с п аргументами. Напротив, совокупность
всех остальных систем уравнений, удовлетворяющих уравнению Пфаффа
dz — pi dx\ — - - —рп dxn = 0, зависит от нескольких произвольных
функций, однако эти функции содержат не п, а меньшее число аргументов.
При выполнении контактного преобразования
z' = Z(z,x,p), х'{ = Xi(z,x,p), p[ = Pi(z,x,p) (16)
(i = 1 ... n)
всякая (n 4-1)-параметрическая система уравнений, удовлетворяющая
уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — - - — рп dxn = 0, превращается в систему
уравнений с тем же свойством. Согласно вышесказанному, можно ожидать,
5Ср. Lie, Math. Ann., том V и VIII.

что системы уравнений специального вида (13) при выполнении
контактного преобразования (16) переходят в общем случае в системы уравнений
аналогичного вида:
/-ф(^..*;) = о,р;-Щ = о,...к-|| = о. аз')
Мы покажем теперь, что это действительно так и что система уравнений
вида (13) не переходит под действием контактного преобразования в систему
уравнений аналогичного вида (13') тогда и только тогда, когда F(x\ • • • хп)
удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных
производных, которое мы выпишем.
Если мы хотим найти систему уравнений, в которую переходит (13)
под действием контактного преобразования (16), то нам лишь надо
произвести в (16) замену:
Хп), Pi = ^— (г = 1
OXi
z = F{X!
и из получающихся таким образом уравнений
zf = z(f,xi •
p/i = Pi(F,x1
dF
г' дХг '
tU' ЭХ!
, dF
n' dxi
dF
dxn
. ML
dxn
dxn
(17)
(i = 1 • • • n)
исключить переменные х\ • • • xn.
Преобразованная система уравнений, очевидно, не может быть
приведена к виду (13') тогда и только тогда, когда из (17) следует по
крайней мере одно соотношение только между х[ • • • х'п. Это происходит, если
функциональный определитель п функций
y I г г „ dF_ dF_
дх\ дхп
(i
п),
взятый относительно х\ • • • хп, обращается в нуль тождественно,
другими словами, если z = F(x\ • • • хп) тождественно удовлетворяет
некоторому дифференциальному уравнению в частных производных, которое мы

можем с использованием сокращении
dU(z,xi ••• xn,pi ••• рп) dU
dxi
dz
■1 Ри
— +Pi9LL
dxi г dz
d2z
^ dp,,
v=l
дх^ dxvdx
записать следующим образом:
D = y±dX1
dXn
aXfi
= 0.
(18)
Определитель D не может обращаться в нуль тождественно, поскольку
будь это иначе, то он должен был бы заведомо обращаться тождественно
в нуль, если положить в нем все р^ (г Ф х) равными нулю. При этой
замене D принимает вид
D"
дХг , дХг , dXi
+ Р1-5ГГ+Р11
дх\
дХп
дх\
dz
дХп .
dpi
дХп
dpi
dXi , dXi . dXi
r Pn ~~л i Pun'
dxn
dXn
dxn
+ Pn
dz
dXn
dz
+ Pn
dpn
dXn
dpn
a D° может, очевидно, лишь тогда тождественно обращаться в нуль для
всех значений рц • • • рпп, когда все определители порядка п матрицы
dXi , dXi
+ Pr
dxi
dXn
dxi
+ Pi
dz
dXn
dz
dXi dXi dXi
i~ Pn'
dxn
dXn
dxn
+ Pn
dz dpi
dXn dXn
dXi
dpn
dXn
dz dpi
dpn
тождественно равны нулю. Но это невозможно, так как тогда и все
определители порядка п расширенной матрицы
dXi dXi
+ Pi-
dx\
dz
dXi мг^п dXi
2^г=1 Pi
dpn
dpt

также обращались бы в нуль тождественно и, следовательно, п уравнений
[*i/]=0, ••• [Xnf]=0
не были бы друг от друга независимыми, тогда как мы знаем (ср. утв. 6,
стр. 143), что они заведомо являются независимыми друг от друга. Таким
образом, мы имеем следующую теорему.
Теорема 18. Под действием контактного преобразования
z' = Z(z,x,p), x[ = Xi(z,x,p), p[ = Pi(z,x,p) (16)
(г = 1 • • • п)
система уравнений специального вида
z-F(x1...xn) = 0, Pi-Jf = °> •••Pn-|f =0 (13)
в общем случае превращается в систему уравнений
аналогичного вида:
г'-Ф(х[...х'п)=0, pi-M=O,..Vn-0-=O; (13')
исключение составляет лишь тот случай, когда функция
F{x\ - - - хп) удовлетворяет дифференциальному уравнению
в частных производных (18), тогда получающаяся из (13)
преобразованная система уравнений дает по крайней мере одно
соотношение только между х[ ••• хп.в
Мы хотим еще несколько дополнить предыдущие рассуждения и
сначала предположим, что контактное преобразование (16) возникло из
точечного преобразования пространства z,x\ • • • хп в результате его
продолжения, а стало быть, имеет вид
z = Z(z,x), x'i = Xi(z,x), p\ = Pi(z,x,p) (19)
(г = 1 ••• n).
Здесь Z, X\ • • • Хп — произвольные независимые функции от z,xi • • • хп;
кроме того, всегда имеется п однозначно определенных функций Р\ — - Рп
от г, х\ — - xn,pi - - - рп, тождественно удовлетворяющих уравнению вида
dZ — Р\ dX\ — • • • — Рп dXn = g(dz — p\ dx\ — • • • — pn dxn)
(ср. теорему 12, стр. 142).
6Lie, Zur Theorie der Beruhrungstransformationen, Abhandlungen des Kgl. Sachs. Ges.
d. W., том XIV, номер XII; ср. также Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania,
1872 и 1873 гг. и Archiv for Math., том 2, Христиания, 1877 r.

Точечное преобразование, из которого возникло (19) в результате
продолжения, таково:
z1 = Z(z,x\ х\ = Хг(г,х), • • • х'п = Xn{zyx). (20)
При выполнении этого преобразования уравнение z — F(x\ • • • хп) = 0
переходит в уравнение Ф(г\х[ • • • х'п) = 0, которое, очевидно, только
тогда не содержит z', когда уравнение z — F = 0 может принять вид
fi(X\ - - • Хп) = 0. Отсюда мы видим, что контактное преобразование
специального вида (19) не приводит систему уравнений (13) к аналогичному
виду (13') тогда и только тогда, когда уравнение z — F = 0 может быть
представлено в виде Q(X\ • • • Хп) = 0; этот случай, разумеется, может
наступить лишь тогда, когда не все Х\ • • • Хп являются независимыми от z.
Полученный результат можно было бы также вывести, рассматривая
уравнение D — 0. Так, если в контактном преобразовании (19) не все функции Х\ • • • Хп
от z, х\ " - хп свободны от z, то D — 0 будет линейным дифференциальным
уравнением в частных производных первого порядка, самое общее решение которого
представлено произвольным соотношением Q{X\ • • • Хп) = 0 между Х\ • • • Хп.
Если же все Х\ ■ ■ ■ Хп не содержат 2, то D будет необращающейся в нуль
функцией только от х\ — - Хп, Si поэтому невозможно так задать F(x\ • • • хп), чтобы D
при подстановке z = F обращалось в нуль тождественно.
Теперь рассмотрим собственное контактное преобразование
z' = Z(z,x,p), Xi = Xi(z,x,p), Pi = Pi(z,x,p), (16)
то есть такое преобразование, которое возникло не в результате
продолжения точечного преобразования и, следовательно, в котором не все
Х\ - - - Хп, Z свободны от р\ • • • рп.
Легко можно показать, что в этом случае уже одни Х\ • • • Хп не все
свободны от р\ • • • рп. Действительно, если бы Х\ • • • Хп не содержали
Р\ • • • рп, ТО ВЫПОЛНЯЛОСЬ бы
(l = l.--n).
Если бы теперь определитель
5>(S*+»$)"(f&+^) <»>

обращался в нуль тождественно, то благодаря свойству X все определители
порядка п матрицы
dXi dXi dXi
дх\
дХп
дхп dz
дХп дХп
дх\
дхп dz
были бы тождественно равны нулю, а Х\ • • • Хп не были бы друг от
друга независимыми. Таким образом, определитель (22) отличен от нуля,
и из (21) следует, что -— • • • -— обращаются в нуль тождественно: если
dpi дрп
Х\ • • • Хп не содержат р, то это же будет справедливо и для Z.
В собственном контактном преобразовании (16), то есть в таком,
которое возникло не в результате продолжения точечного преобразования
пространства z,x\ • • • хп, функции Х\ • • • Хп никогда не будут
одновременно независимы от р\ • • • рп.
Поскольку величины Z, Х\ • • • Хп могут пониматься как
равноправные, то отсюда непосредственно следует, что при собственном
преобразовании максимум п — \ из величин Z,X\ • • • Хп могут быть свободными от
V\ '" Рп.
Если выполнить такое собственное контактное преобразование (16)
над системой уравнений
F(Xl
х dF
О, • • • Рп
dF
дхп
О,
(13)
то, согласно сказанному выше, мы не получим систему уравнении
аналогичного вида
г'-Ф(х'1...х'п) = 0,р'1-^-=0,.-.р'п-Щ- = 0 (13')
тогда и только тогда, когда z = F(x\ • • • хп) удовлетворяет следующему
дифференциальному уравнению в частных производных:
^—' dm. л
dX\ dXn
dx\ dxTi
= 0.
(18)
Покажем, что уравнение D = 0 теперь является дифференциальным
уравнением второго порядка.

Для этой цели рассмотрим линейные дифференциальные уравнения
в частных производных [X\f] = 0, • • • [Xnf] = 0 или подробнее
+ эхл а/ =0
dz ) dpi
которые (утв. 6, стр. 143) образуют n-параметрическую полную систему
сп + 1 независимыми решениями Z, Х\ • ■ ■ Хп. Если приравнять эти
решения произвольным константам а, а\ • • • ап, то получающаяся система
уравнений
Z = a, Xi = ai, • • • Xn = ап
всегда удовлетворяет уравнению Пфаффа dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn = 0.
Поэтому можно (стр. 107) выбрать такую последовательность а\ • • • ап
чисел 1 • ■ ■ п, что уравнения Z = а,Х\ = ai, • • • ап будут разрешимы
относительно
а поскольку величины Z,X\ • • • Хп не являются свободными от р, то
число q (утв. 2, стр. 94) всегда можно считать большим нуля. При этом мы
можем без ограничения общности допустить, что наши уравнения
разрешимы относительно
так что 2п + 1 величин
Z, Ai • • • An, Pq+1 ' ' ' Pw> X\ • - - Xq
являются независимыми друг от друга, Тогда линейные дифференциальные
уравнения в частных производных [X\f] — 0, • • • [Xnf] = 0 разрешимы
относительно производных
EL...EL df df
dxi dxq' dpq+i дрп
а определитель
El =Y±dx' дХядХя+1 | а*«+1 дхп | эхп
",<? ^ 5pi 9pg 9x^+1 9+ dz дхп п dz
в соответствии с этим отличен от нуля.

Таким образом, дифференциальное уравнение в частных производных
D — О, упорядоченное по степеням производных второго порядка Pi„,
всегда содержит один член второго порядка, а именно,
Ei...qpn ■ ■ • pqq,
который не обращается в нуль тождественно.
Этим доказано, что дифференциальное уравнение в частных
производных D = О, относящееся к собственному контактному
преобразованию, всегда имеет второй порядок.
Пусть теперь z = F(x\ • • • хп) — некоторое решение
дифференциального уравнения в частных производных второго порядка D — 0.
Поскольку (16) — контактное преобразование, то мы имеем тождество
dZ p дХг р дХп
OZ OZ OZ
dXi dXi П dXi
d^-Pld*l Рпдхп ^0
dpi г dpt n dpt
и получаем, таким образом, для задания Pi • • • Рп следующие уравнения:
' dz , п dz _ р (дХг дхЛ р (дхп дхп
дхг * "dz Х \дхг * " dZ ) * ' П\дхг *% dz
M = pMl + ...+p Mil (23)
дрг дрг П дрг
(г = 1 ••■ п).
Эти уравнения, как мы знаем, совместны между собой и разрешимы
относительно Pi • • • Рп; в общем случае они остаются таковыми и тогда, когда
в них произведена подстановка
z = F(x1...xn), n = §-,... Vn = j>L, (24)
так как z = F — произвольное решение дифференциального уравнения
в частных производных второго порядка D = 0; поэтому в общем
случае оно не является решением тех дифференциальных уравнений в
частных производных первого порядка, которые выражают тот факт, что
уравнения (23) не разрешимы относительно Pi • • • Рп. Этим доказано, что

Pi • • • Pn в общем случае при подстановке (24) не становятся ни
неопределенными, ни бесконечными.
Из уравнений (23) мы теперь выводим следующие:
dZ
дхг
Вт., г dz ^ иг др„ dxi 1 дхг
dX,
1— h
' + Рп
I/=l
dXn
dxj
(* = 1
Эти уравнения показывают, что z — F(x\ • • • xn), помимо уравнения D — О,
удовлетворяет также всем другим дифференциальным уравнениям в
частных производных, которые получаются в результате приравниванию нулю
определителей порядка п матрицы
Это означает, что х\ •
dZ
dx\
dZ
dxn
dXi
dx\
dXi
dxn
dXn
dx\
dXn
dxn
• • хп можно исключить
Z[F,Xl---xn,j£-..
(г = 1 ••• n).
OF
дхп
dF_
дхп
Поэтому мы можем сказать:
Если контактное преобразование (16) возникло не в результате
продолжения точечного преобразования, и если z = F{x\ • • • хп) — решение
дифференциального уравнения D = О в частных производных второго
порядка, то система уравнений
z-F(xi ••• хп) = 0, р1
dF
дх\
= 0, • ' ' Рп
dF
дхп
= 0
переходит при выполнении контактного преобразования (16) б общем
случае в систему уравнений, дающую соотношение вида zf — Ф(х[ • • • хп) = 0
и, кроме того, еще по меньшей мере одно соотношение только между
х\

Теперь можно задать следующий вопрос: какой должна быть система
уравнений
z - F(xx • • • хп) = О, Р1 - |£ = о, • • • рп - |£- = 0, (13)
чтобы она при заданном контактном преобразовании (16) переходила в
систему уравнений, дающую в точности т > О независимых соотношений
только между х[ ♦ ♦ ♦ х'п1
Ответ на этот вопрос дать легко. А именно, для z = F(x\ ••• хп)
с определителем D все его миноры порядка (п — 1), ••• (n -m + 1)
должны одновременно обращаться в нуль тождественно, а миноры
порядка (п — т) — нет. Следовательно, все системы уравнений (13) с
требуемым свойством определяются тем, что F должна быть общим
решением нескольких дифференциальных уравнений в частных производных; эти
дифференциальные уравнения получаются приравниванием нулю всех
миноров порядка (п — т + 1) определителя D.
§43
Мы знаем, что q уравнений
fii(z,xi ••• xn,z\x'i ••• хп) = 0, •.. Qq(z,xi • - xn,z\x[ • • • хп) = 0 (25)
задают контактное преобразование тогда и только тогда, когда они удовлетворяют
определенному условию, заданному в утв. 2 (стр. 178). Теперь мы хотим показать,
что в основе этого условия лежит очень простой понятийный смысл.
Упомянутое условие сводится к тому, что уравнения
Q\(z,x,z\x') = О, • • • fiq(z,x,z',xf) — 0,
\ dQl . . \ dQ<i
дх„ дх„
V' = (26)
Al^7 + "-+A*^7
(*=1...<Z)
не должны давать никаких свободных от z\x\ • • • х'п и Ai • • • Aq соотношений
только между z,x\ • • • xn,pi • • • Рп- Если же придать z1 х\ • • • хп в (26)
произвольные фиксированные значения с, а\ • ♦ • ап и предположить, что Ai • • • Ag исключены
из (26), то полученные уравнения представляют элемент-многообразие Мп,
состоящее из всех ооп элементов (п — д)-мерного точечного многообразия
fii(z,xi • • • xn,c,ai • •• an) = 0, ••• Qq(z,xi ••• xn,c,ai ••• an) = 0. (25')

Поэтому для того, чтобы уравнения (26) не давали никаких свободных от z ,х',р'
и Л соотношений только между z,x,p, необходимо и достаточно, чтобы
совокупность всех элементов z,x,p многообразий, представляемых уравнениями (25х) с
параметрами с, а\ • • • ап, не удовлетворяла никакому соотношению вида
Ф(г,Х\ ■■• Xn,pi ••• Рп) = 0.
Поскольку в пространстве z, x\ • • • хп имеется oo2n+1 различных элементов, и
всякое многообразие семейства (25х) содержит в точности ооп элементов, то в
частности получается, что семейство (25х) должно состоять из ровно ооп_и различных
многообразий. Поэтому мы имеем следующее
Утверждение 5. q уравнений
Q\{z,x\ • • • xn,z\x'i • • • хп) = 0, ••• Qq(z,x\ • • • xn,z,x'i ••• хп) = 0 (25)
задают контактное преобразование тогда и только тогда, когда они, если
толковать z\x\ - ■ ■ х'п как произвольные параметры, представляют различные
многообразия пространства z,x\ • ♦ ♦ хп, элементы которых z,x,p не удовлетворяют
никакому уравнению вида <P(z,x\ • • • xn,Pi * • * Рп) = 0.
Если уравнения (25) задают контактное преобразование, и если понимать
в них z,x\ - — хп как параметры, то они естественным образом
представляют oon+1 многообразий пространства z1 ,х\ ••• х'п, элементы которых не
удовлетворяют никакому соотношению вида &(z\ x\ р). Таким образом, мы можем
сформулировать следующее
Утверждение 6. Если q уравнений
i?(z, х\ • • • жп, с , а,\ ♦ ♦ • ап) = 0, • • • Qq(z,x\ • • • хп, с , а,\ ♦ ♦ • ап) = 0
с параметрами с', а\ • • • a'n представляют oon+1 различных многообразий
пространства z,x\ ♦♦♦ хп, элементы которых z,x\ ••♦ xn,pi ♦ ♦ • рп не
удовлетворяют никаким соотношениям вида Ф(г,х,р) = 0, то qуравнений
i?i(c,а\ ♦ ♦ ♦ an, z ,Xi ♦ ♦ ♦ хп) =0, ♦ ♦ ♦ Пя(с,а\ ♦ ♦ ♦ ап, z ,Xi ♦ ♦ ♦ хп) = 0
в свою очередь представляют oon+1 многообразий пространства z',x[ ••• х'п,
элементы которых z\х\ ♦ ♦ ♦ х'п,р\ ♦ ♦ ♦ р'п не удовлетворяют никаким соотношениям
вида Ф(г\х\р') = 0.
Рассмотрим теперь контактное преобразование, заданное q уравнениями
fli(z,xi ♦ ♦ ♦ хп, z ,Xi ♦ ♦ ♦ хп) = 0, ♦ ♦ ♦ £2q(z,xi ♦ ♦ ♦ жп, z ,Xi ♦ ♦ ♦ хп) = 0, (25)
подробнее.

При нашем контактном преобразовании каждое элемент-многообразие Мп
переходит в элемент-многообразие Мп, в частности, и то элемент-многообразие Мп,
которое состоит из ооп элементов точки
Z — С) X — Q-l) * * * Xfi — £^71 ■
Если предположить, что наше контактное преобразование применено к этим ооп
элементам, то мы получим ооп элементов z\x\ •♦♦ х'п,р\ ♦ ♦ ♦ рп,
удовлетворяющих q уравнениям
ft*{c,ai ••♦ an,z\x[ ••• хп) = 0 (ус = 1 ••• д),
но, кроме них, никаким другим, не содержащим р\ ♦ ♦ ♦ р'п. Следовательно, эти
только что выписанные уравнения задают точечное преобразование, элементами
которого являются ооп преобразованных элементов z ,x',р.
Совершенно аналогичное рассуждение показывает, что
элемент-многообразие А/п, состоящее из элементов точечного многообразия
fi*(z,xi ♦♦♦ xn,c\a'i •••an) = 0 (х = 1 • •• q),
переходит при нашем контактном преобразовании в элемент-многообразие А/п,
образованное всеми элементами точки
i i i i it
z = с, хх = аь ••• хп = ап.
Эти результаты мы можем кратко выразить следующим образом.
Утверждение 7. Если контактное преобразование пространства z,x\ • • • хп
задано q независимыми уравнениями
Q*(z,xi ••♦ xn,z ,х\ ♦♦• х'п) = 0 (*г= 1 ••• q),
то оно переводит точку z = с, х\ — ai, • • • хп = ап в (п — а)-мерное точечное
многообразие
0*,(с,а\ ♦♦♦ an,z,x'i ♦♦♦ х'п) = О (**= 1 --• q),
а (п — а)-мерное точечное многообразие
fi*{z,x\ •• • XnjC^ai •••ajl) = 0 (>*= 1 ••• <?)
— в точку z — с', х[ = а[, • • • х'п = а'п.
Пусть в пространстве z, x\ • • ♦ хп даны oon+1 элемент-многообразий Мп,
элементы которых не удовлетворяют никаким соотношениям вида <P(z,x,p) — О, а
соответствующие ооп_и точечных многообразий представлены уравнениями
Wi(z,xi ♦•• xn,c,a'i ---an) = 0, ♦•• Wq(z,xi ♦♦♦ xn,c,a'i ---an) = 0. (27)

Теперь мы хотим каким-либо образом каждому из этих oon+1 многообразий
поставить в соответствие точку z,х[ — - х'п так, чтобы двум различным из наших
oon+1 мноогобразий всегда также соответствовали две различные точки, то есть мы
положим
z =7(c,ai ---О, хг = at(c/,ai---<0 (i = 1 ••• п), (28)
где функции 7? <*\ * * * &п совершенно произвольны и подчинены лишь тому
условию, что уравнения (28) должны быть разрешимы относительно с\а[ • • • an:
с = C(z,x1 ♦♦♦ хп), а[ = Ax(z\x\ ♦ ♦ ♦ хп) (г = 1 ••• п). (29)
Пусть при этих условиях
W*(z,xi ••• xn,C,Ai ••• Ап) = n*(z,xi ••• xn,z,x'i • • • xn) (*c = 1 ••• <?),
тогда уравнения
tf„(z,si ••• xn,z\x'i ••• xn) = 0 {* = 1 ... <?), (30)
если в них толковать z',^ •♦• хп как параметры, представляют то же самое
семейство многообразий пространства z,xi • • • хп, что и уравнения (27), то есть те
же оо71"1"1 многообразий, элементы которых не удовлетворяют никаким
соотношениям вида Ф(г,х,р) = 0. Вследствие этого уравнения (30) определяют, согласно
утв. 5 (стр. 192), контактное преобразование пространства z,xi • • • хП9 и это
контактное преобразование, согласно утв. 7 (стр. 193), переводит многообразие
J?*(z, xi - - • xn, 7> <*i • • • an) = 0 (>tr = 1 • • • q)
в точку z = 7, xi = qi ♦ ♦ ♦ xn = an или, что то же самое, превращает всякое
многообразие
W„(z,x\ ••• xn,c',a'i ---an) = 0 (**= 1 ••• <?) (27)
в соответствующую ему точку
2х = 7(с',ai • • • an), ж£ = at (с', a\ • • • an) (г = 1 • • • п). (28)
Можно показать, что найденное контактное преобразование является
единственным переводящим всякое многообразие (27) в соответствующую ему
точку (28). Действительно, любое контактное преобразование, осуществляющее этот
переход, в то же время переводит многообразие
Q>i(z,xi ••• rcn,7,CKi ••• осп) = 0 (к= 1 ... q)
в точку z = 7)^i = &i, • • • xfn = an. Отсюда следует, что уравнения такого
контактного преобразования дают между z, х\ • • • xn, z', x[ • • • х'п лишь соотношения
Q„(z,xi ••• xn,z ,x\ • • • х'п) =0 (xr= 1 ••• q) (30)

и больше никаких. Однако мы знаем, что существует только одно контактное
преобразование, при котором z,x\ ••• x-a^z^Xi • • • х'п связаны лишь
соотношениями (30), а именно, контактное преобразование, определяемое уравнениями (30).
Итак, мы имеем следующее
Утверждение 8. Если выбрать какие-либо oon+1 точечных многообразий
пространства z,x\ ♦ ♦ ♦ хп, элементы которых не удовлетворяют никаким
соотношениям вида Ф(г,х,р) = 0 и если сопоставить этим oon+1 многообразиям
согласно какому-либо правилу oon+1 точек этого пространства так, чтобы каждому
многообразию соответствовала одна точка, а двум различным многообразиям —
две различные точки, то всегда существует одно и только одно контактное
преобразование, которое переводит эти oon+1 многообразий в точки пространства
так, что каждое многообразие переходит в соответствующую ему точку.
Если к двум элемент-многообразиям Мп пространства z, x\ • • • хп,
имеющим, скажем, оот общих элементов, применить контактное преобразование этого
пространства, то мы всегда снова получим два элемент-многообразия А/п,
имеющие оот общих элементов. Это замечание мы используем для простого, но важного
приложения.
Рассмотрим какое-либо (п — т)-мерное точечное многообразие Mn_m и
некоторую лежащую на нем точку Р. Если Mn_m и точку Р трактовать как
элемент-многообразия Мп, то они, как легко убедиться, имеют в точности оот
различных элементов. Поэтому если применить к Mn_m и к точке Р контактное
преобразование, то мы получим два элемент-многообразия Л/п, которые также имеют оот
общих элементов. Это справедливо для любой точки многообразия Mn_m. Итак:
Если к oon_m точкам (п — т)-мерного точечного многообразия М
п—т прост"
ранства z,xi • — хп применить контактное преобразование этого пространства,
то получится oon_m элемент-многообразий Мп, которые огибаются тем
элемент-многообразием Мп, в которое переходит М
п—т-
Наоборот, мы можем найти все элемент-многообразия А/п, переходящие при
некотором заданном контактном преобразовании в элемент-многообразия Мп,
которые как точечные образования являются в точности (п — га)-мерными. При таком
контактном преобразовании, как мы знаем, oon+1 различных
элемент-многообразий Мп переходят в точки этого пространства. Если мы теперь среди этих oon+1
элемент-многообразий Мп выберем согласно какому-либо правилу oon_m
различных, то они должны огибать то элемент-многообразие А/п, которое при контактном
преобразовании переходит в элемент-многообразие А/п, являющееся как точечное
образование (п — га)-мерным.
Изложенные выше рассуждения в точности соответствуют аналитическим
результатам § 42; кроме того, они показывают, что все решения встречающихся там
дифференциальных уравнений в частных производных можно найти без
интегрирования. Так, если задано какое-либо контактное преобразование
z = Z(z,x,p), х[ = X%{z,x,p), p[ = Px(z,x,p) (i = l---n), (31)

то из него можно всегда путем простых исключений получить уравнения
Q*(z,x\ ♦♦♦ xn,z,x'i ♦♦♦ хп) = 0 (х= 1 ••• q),
которые оно дает только между z,x\ ♦♦♦ xn,z,x\ ♦♦♦ х'п. Если уравнения Q\ =
= 0, • • ■ Qq = 0 найдены, то можно, согласно утверждению 7 (стр. 193)
непосредственно задать те многообразия, которые при контактном преобразовании (31)
переходят в точки пространства. Но как мы только что видели, нам достаточно знать
лишь эти многообразия для того, чтобы иметь возможность задать все
многообразия, переходящие при контактном преобразовании (31) в точечные многообразия
данной размерности.

Глава 7
Теорема Пуассона, тождество Якоби
и метод интегрирования Якоби
В этой главе мы изложим важные теории, восходящие к Пуассону
и Якоби; они будут в дальнейшем часто использоваться.
§44
Для символа скобки
(ш ,и\ = V (&£_дф_ _ dip dip\
$Г[\дР»дх» dx„dpj
выполняется следующее важное
Утверждение 1. Если и, v, w — три совершенно произвольные
функции от х\ • • • хп, pi - - рп, то имеет место тождество
((и, у) w) + ((v, w) и) + ((iu, и) v) = 0. (1)
Мы докажем сначала справедливость этого тождества для частного
случая, когда функция w сводится к одной из величин Хг или pi.
Из
(и v) = V^ ( du__dv_ _ ди dv \
' ^Т[\дри дх„ дху др„)
следует
nu v)Xi\ = д^у^ = у ( д2и dv _ д2и dv\ +
V ' г} dpi ^\др}/дргдхи dxydpidpv)
_l V^ | ®u д2у ®u д2у \
4^ V ®Vv dxudpi dxv dp„dpi)'

стало быть, мы получаем
= ((u,Xi)v) + (и (г;, я*)),
но это и есть тождество (1) для частного случая w — xi.
Точно так же можно видеть, что тождество (1) верно и для w = pi.
Чтобы доказать универсальный характер тождества (1), мы поступим
следующим образом.
Если
ГО rx r
^(/)=E^(»1-Wm)^,
/х=1
771
B(f) = ^Uyi---ym)§f,
м=1 ау»
то выполняется известное уравнение
df
Поэтому если положить
А(В(/)) -B(A(f)) = J2(A(C,)-B(r,,))^.
fJL=l У^
то получится:
(u(v,w))-(v(u,w)) =A(B(w)) -B(A(w)) =

Но это, как мы видели выше,
&Л _ ( ди \ _ д(и, v)
др») \ ' дри) дру
а значит, и
dv \ ( ди \ _ д(и, v)
следовательно,
// \\ г , w-ST* t d(u,v) dw д(и, v) dw
(u(v,w))-(v(u,w))= ^ ^—^- " -о-» о-
//=1
или
9р^ <9х<, <Эх„ 9р^ j
(u(v,iy))-(v(u,iy)) = ((и,г>)г<;); (1')
тождество
((u,v)w) + ((v,w)u) + ((w,u)v)= 0 (1)
является лишь другой формой записи тождества выше.
Это важное тождество (1) было впервые доказано Якоби, причем
только что изложенным способом. Поэтому мы называем его кратко
тождеством Якоби.
§45
Из тождества Якоби непосредственно следует известная теорема,
которая названа по имени ее автора теоремой Пуассона и звучит следующим
образом.
Утверждение 2. Если v и w — два произвольных решения линейного
дифференциального уравнения в частных производных
ди df ди df l _ Q
и. л V4 ( ди df
дху дри
то и (v, w) также всегда будет решением этого дифференциального
уравнения.
Действительно, в предположениях этого утверждения
(и, v) = 0, {u,w) = О,

стало быть, из тождества (1) следует, что выражение ((v,w)u) =
= —(u(v,w)) обращается в нуль тождественно; таким образом,
утверждение доказано.
Пуассон опубликовал свою теорему еще в начале этого столетия,
следовательно, она «старше» тождества Якоби, опубликованного в наследии
Якоби только после его смерти.
§46
Пусть и\ - - - иг — какие-либо г таких независимых функций от
х\ • • • хп,р\ • • • рп, которые находятся попарно в соотношении (щ, их) = 0.
Если мы теперь рассмотрим г линейных дифференциальных
уравнений
Ai (/) = (ui, /) = 0, • • • МЛ = («г, Л = 0, (2)
то прежде всего увидим, что они являются независимыми друг от друга, так
как из независимости функций щ • • • иг друг от друга следует, очевидно,
что не все определители порядка г матрицы
I ди\ t t t ди\ ди\ t t t du\ I
дх\ дхп dpi dpn
dur dur dur dur
| dxi дхп dpi dpn |
обращаются в нуль тождественно, а это, собственно, и означает
независимость уравнений (2).
Далее мы имеем
А»{МЛ) - (AjiAM)) = ЫЩ,Л) - Ыи„,/)),
однако здесь из-за тождества (1) или (1/) правая часть принимает вид
({и*;, v>j)f), то есть обращается в нуль тождественно, и мы получаем
А„(МЛ) - (Aj(AM)) = 0 (~,j = 1 ••• г).
Поэтому уравнения (2) образуют r-параметрическую полную систему.
Итак, справедливо следующее

Утверждение 3. Если г независимых функций щ • • • иг от
переменных х\ — - xn,pi — - рп находятся попарно в соотношениях (щ^и^) = О,
то г линейных дифференциальных уравнений в частных производных
(«!,/) = О, ••• (urJ)=0 (2)
образуют г-параметрическую полную систему.
Полная система (2) имеет, согласно теории линейных
дифференциальных уравнений в частных производных, в точности 2п — г независимых
решений; в частности, т независимых решений — это сами щ • • • иг.
Если теперь ur+i — какое-либо неависимое от ui • • • иг решение
системы (2), то, согласно только что доказанному утверждению, уравнения
(щ,/) = 0, ••• (ur,/) = 0, (ur+i,/) = 0 (3)
образуют (г + 1)-параметрическую полную систему с 2п — г — 1
независимыми решениями, из которых известны г + 1 независимых, а именно,
и\ • • • ur+i. Если иг+2 — независимое от ui • • • ur+i решение системы (3),
то уравнения
(иъ/) = 0, ••• (ггг+2,/) =0
в свою очередь образуют (г + 2)-параметрическую полную систему и так
далее.
Согласно этому, задав по одному решению для г-параметрической,
(г + 1)-параметрической, • • • (п—1)-параметрической полных систем,
можно найти п — г функций ur+i • • • ип, являющихся независимыми
между собой и от и\ - - - ит и обладающих тем свойством, что все
выражения (щ,их) (г,х = 1 ••• п) обращаются в нуль тождественно. Тогда п
уравнений
(ui,/) = 0, ••• К,Л = 0
естественно образуют n-параметрическую полную систему с п
независимыми решениями, а именно, щ • • • ип.
Если ur_|_i • • • ип найдены, то, согласно утв. 11 (стр. 148), можно
задать при помощи квадратуры функцию £1{х\ • • • хп,р\ • • • рп)9
тождественно удовлетворяющую п уравнениям
[z + i?(x,p), щ] = 0 (г = 1 ... п),
и тогда, как было изложено в гл. 4 (стр. 117 и ниже), уравнения
иг(х,р) = аь • • • иг(х,р) = аг, ur+i(x,p) = Си • • • ип(х,р) = Сп_г,
z + П{х,р) =С

с п + 1 произвольными константами а\ • • • аг, С\ • • • Сп_г, С дают
полное решение для каждого из г дифференциальных уравнений в частных
производных
их{хх • • • жп,р1 • • • рп) = аь • • • ur(xi • • • жп,Р1 * * * Рп) = аг;
это верно для всех значений констант ai ♦ ♦ ♦ ar.
Мы хотим сформулировать этот результат для особо важного случая
г = 1, то есть для случая единственного дифференциального уравнения
в частных производных вида
u(xi ••• xn,pi ••• Рп) = а.
Утверждение 4. Всякое дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка вида
u(xi ••• xn,pi ••• pn) = a
имеет полные решения. К заданию такого полного решения мы приходим
через интегрирование нескольких полных систем.
Развитая в этом параграфе теория интегрирования является
обобщением метода Якоби интегрирования дифференциальных уравнений в
частных производных первого порядка. Якоби вводит ненужное ограничение,
что п функций ui • • • иг • • • ип должны быть независимыми
относительно pi ••• рп.]
Рассуждения выше дают новое и более простое доказательство
утверждения, сформулированного на стр. 112. Действительно, если щ • • • ип —
независимые функции от х\ • • • хп, р\ • • • рп, находящиеся попарно в
соотношениях (гц, иуг) = О, то уравнения
(пь/) = о, •••к,/) = о
образуют n-параметрическую полную систему в точности с п
независимыми решениями, а именно, и\ • • • ип. Таким образом, мы имеем
Утверждение 5. Если т независимых функций и\ • • • иш отх\ • • • хп,
Р\ ♦ ♦ ♦ Рп находятся попарно в соотношениях (щ,и„) = 0, то т не
превосходит п.
Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март 1873 r.

Раздел II
Теория инвариантов
контактных преобразований
Если к заданным функциям Fi ♦ ♦ ♦ Fm переменных z,xi • ♦ ♦ хп,
Pi - - Рп применить контактное преобразование
z1 = Z(z,x,p), х\ = Xi(z,x,p), р\ = Pi(z,x,p) (A)
(г = 1 • • • п)
этих переменных, то получатся некоторые новые функции $i • • • Фт от
новых переменных z',x[ • • • х'п,р[ • • • р'п.
Можно поставить себе задачу найти такие свойства заданной системы
функций F\ - - - Fm, которые остаются инвариантными при всех
контактных преобразованиях вида (А) или, что то же самое, найти критерии, при
помощи которых можно определить, существует ли контактное
преобразование (А), переводящее т предъявленных функций F\ ♦ • ♦ Fm от г, х,р в т
заданных функций Ф\ • • • Фш от z\x',p' соответственно.
Решение этой важной задачи является одним из основных результатов
настоящего раздела. При этом, поскольку это наиболее целесообразно, мы
будем действовать следующим образом.
Сначала ограничимся случаем, когда т предъявленных функций
F\ * * * Fm зависят лишь от х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп, и найдем инвариантные
свойства этой системы функций по отношению ко всем контактным
преобразованиям специального вида:
zf = z + f?(s,p), х\ = Xi{x,p), p[ = Pi{x,p) (В)
(г= 1 ••• n),
то есть мы будем искать критерии, позволяющие выяснить, может ли
контактное преобразование (В) перевести га предъявленных функций
Fi • • • Fm от х\ — - хп,р\ — - Рп в т заданных функций Ф\ • • • Фш
от я; ••• х'п,р[ •••?;.

Затем наложим еще одно дополнительное ограничение, проведя
соответствующее исследование как для функций от х\ • • • хп, р\ • • • рп,
являющихся однородными по р, так и для однородных контактных
преобразований; то есть допустим, что заданы т однородных по р функций F\ • • • Fm
от х\ • • • хп,р\ • • • рп, и будем искать критерии того, может ли однородное
контактное преобразование
х[=Хг(х,р), Pi = Pi(x,p) (i = l...n) (С)
771
перевести F\ ♦ ♦ ♦ Fm в т заданных однородных по р' функций Ф\ ♦ ♦ ♦ Ф.к
OT.Ti ••• х'п,р\ '-р'п.
Решив эту последнюю задачу, мы автоматически найдем решение
поставленной вначале более общей задачи.
Вышесказанное дает в общих чертах путь, которому мы будем
следовать в настоящем разделе. Но решение упомянутой общей задачи — далеко
не единственное, что будет сделано в данном разделе. Напротив,
вспомогательные теории, разрабатываемые для достижения этой цели, имеют уже
сами по себе выдающееся значение. Как особо важное следует упомянуть
понятие «группа функций», связь которого с общим понятием «группа
преобразований» будет объяснена ниже (в разделе З)1.
Хотелось бы еще упомянуть, что общая задача, решаемая в этом
разделе для произвольных функций от z,x\ ---xn,pi ♦ ♦ ♦ Рп, может иметь
еще одно обобщение, к которому мы приходим, если понимать
величины р\ • — Рп как производные:
dz ^ dz
Pi = ъ—, '" Рп~
дх\ дхп
от z относительно х\ ♦ ♦ ♦ хп. Вполне можно предположить, что даны т
функций F\ - - - Fm от z,x\ — - хп и от производных первого, второго
• • • 5-го порядка по 2, и спросить, при каких условиях существует
контактное преобразование от z,x\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп, переводящее F\ ♦ ♦ ♦ Fm
в т заданных функций Ф\ • • • Фт от z', х[ • • • х'п и от производных zf
по х[ — - х'п. Можно пойти даже еще дальше и предположить, что вместо
'Основы теории инвариантов контактных преобразований, представленной в этом
разделе, были заложены Софусом Ли в Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1872
и 1873 гп, его трактатами «Zur Invariantentheorie der Beruhrungstransfonnationen», «Ober
partielle Differentialgleichungen erster Ordnung» и «Partielle Differentialgleichungen erster
Ordnung, in denen die unbekannte Function explicite vorkommt». Содержание этих работ без
существенных изменений было воспроизведено в работе «Begriindung einer Invariantentheorie
der Beruhrungstransfonnationen», Mathematische Annalen, том VIII, 1874 г.

систем функций F\ • • • Fm и Ф\ • • • l^m нам даны две системы уравнений,
и затем поставить вопрос, переводится ли одна система контактным
преобразованием в другую и если да, то когда2.
Решение подобных более общих задач не входит в наши планы,
поэтому они здесь не будут рассматриваться.
2Lie, Kurzes Resume mehrerer neuer Theorien, Verh. d. Ges. d. W. zu Christiania, 3 мая 1872
г.; ср. также Math. Ann., том VIII, стр. 217; том XVI, стр. 626, том XXIV

Глава 8
Группы функций и их выделенные
функции
В соответствии с тем, что мы сказали во введении к настоящему
разделу, мы начнем с рассмотрения вопроса обо всех инвариантных
свойствах, которыми обладает система из га функций F\ • • • Fm переменных
Xi ••' Xn,Pi ''' Рп по отношению ко всем контактным преобразованиям
вида
г' = z + tt(x,p), х[ = Х{(х,р), Pi = Pi(x,p) {{ = !••• п). (1)
Приступая к этому вопросу, мы сразу приходим к важному понятию
группы функций, теория которых будет развита в этой и следующей главах. На
основе построенной теории мы тогда сможем в главе 10 без труда задать
инвариантные свойства произвольной системы функций F\(x,p) • • • Fm(x,p).
§47
Пусть F\ • • • Fm — какие-либо функции переменных х\ • • • хп,
Р\ — • рп. Если мы применим к F\ • • • Fm контактное преобразование
вида (1), то получим некоторые новые функции Ф\ • • • Фш от новых
переменных х[ ••• х'п,р[ •• - р'п. В то же время благодаря свойствам скобки
(см. стр. 151) мы имеем
{FfJLFl/)xp = (ФрФ^х'р' (m,i/=1 ..-m).
Это означает, что любое из выражений (FfjLFiy)xp является инвариантом
системы функций F\ • • • Fm по отношению ко всем контактным
преобразованиям вида (1).
Что касается свойства выражений {F^Fy)xv, то тут возможны два
различных случая: либо все (FMF„)xp можно представить как функции

только от Fi • • • Fm, либо такое представление невозможно. Если имеет
место второй случай, то предположим, что к функциям F\ • • • Fm
добавлены функции (FpF^xp, и получим таким образом новую систему функций
F\ -•- Fm, Fm+i ••• Fq. Если и теперь еще не все (FiF^), (i,*c = l • • • q)
можно выразить только через F\ • • • Fq, то мы добавим к F\ • • • Fq все
фуНКЦИИ (F^Fq) (т: = 1 • • • q, д = т + 1 • • • q) И ОПЯТЬ ПОЛучИМ НОВуЮ Систему
функций. И так будем продолжать далее. Поскольку имеется всего лишь 2п
независимых друг от друга функций от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, то
в конце концов после некоторого конечного числа операций мы должны
будем таким образом прийти к системе функций F\ • • • Fr (г ^ ш),
обладающей тем свойством, что все (FiF^) (г, ^= 1 • • • г) могут быть представлены
как функции только от Fi • • • Fr.
Поэтому будет естественным ограничиться сначала рассмотрением
таких систем функций F\ • • • Fr, для которых все (F^F») (д, */ = 1 • • • г) уже
можно выразить только через Fi ••• Fr. Целесообразно ввести при этом
еще условие, что Fi • • • Fr являются независимыми друг от друга;
поскольку если бы, например, лишь F\ • • • Fj были бы друг от друга
независимыми, a Fj+i • • • Fr — функциями только от F\ • • • Fj, то можно было бы
выразить все (FiF^) (г, х: = 1 • • • т) через Fi • • • F/, чтобы Fj+i • • • Fr можно
было (во всяком случае сначала) совсем не учитывать.
Предположим в соответствии с этим, что нам даны г независимых
функций Fi • • • Fr от xi • • • xn,pi • • • рп, таких, что все (FnF„)xp можно
представить как функции только от Fi • • • Fr:
{F^Fu)xp = w^(Fi ... Fr) (/x,i/ = l -.-r).
Если C/(Fi •••Fr) и V(Fi • • • Fr) — какие-либо две функции только
от Fi ♦ ♦ ♦ Fr, то получается
dU dV
»n,-Ef
£- 3F„ 3F„ (F"f»''>> -
_ X- ou av w (F и
таким образом, (UV)xp всегда снова будет функцией только от Fi • • • Fr.
Отсюда мы видим, что при наложенных условиях совокупность всех
функций от Fi ♦ ♦ ♦ Fr имеет следующее характеристическое свойство: если
вычислить скобку для двух функций, принадлежащих этой совокупности, то
всегда снова получится принадлежащая этой совокупности функция.

Теперь вместо того, чтобы исследовать систему функций Fi • • • Fr
саму по себе, мы займемся совокупностью всех функций от F\ • • • Fr. Эту
совокупность функций мы назовем группой функций и назовем эту группу
функций r-параметрической, поскольку она задана г независимыми друг
от друга функциями F\ • • • Fr. Итак:
Если т независимых функций F\ • • • Fr от переменных Х\ • • • хп,
Р\ • • • Рп таковы, что каждую скобку {F^Fv)xp (/x, v = 1 • • • г) mooicho
представить как функцию только от F\ • • • Fr, то они задают
тетраметрическую группу функций от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп. Эта группа
функций состоит из совокупности всех функций от Fi • • • Fr.'
Если независимые функции Fi • • • Fr задают г-параметрическую
группу функций, то мы будем кратко говорить о группе функций F\ • • • Fr.
С другой стороны, мы иногда будем опускать слово «функций» и говорить
просто «группы» вместо «группы функций», но это мы будем делать лишь
до тех пор, пока речь не зайдет о группах преобразований.
Сначала мы сделаем несколько очевидных замечаний о группах
функций.
Если F\ • • • Fr задают r-параметрическую группу функций в
переменных х\ • • • xn,pi - - - Рп и если Ф\ • • • ФТ — какие-нибудь
независимые функции от F\ ••• Fr, то все (Ф{Фх)Хр можно выразить сначала
через Fi • • • Fr, а затем также только через Ф\ • • • Фг. Поэтому Ф\ • • • Фг
в свою очередь задают r-параметрическую группу функций, причем,
очевидно, именно ту группу, которую задают F\ • • • Fr. Обе группы функций,
F\ • • • Fr и Ф\ • • • Фг, должны поэтому толковаться как две различные
формы представления одной и той же группы функций.
По этой причине мы назовем любую систему из т независимых функций
т-параметрической группы функций формой этой группы. Таких форм эта
группа может иметь бесконечно много.
Если г независимых функций F\ • • • FT образуют r-параметрическую
систему в инволюции, то все (FiF^) = 0 и F\ • • • Fr задают тогда
г-параметрическую группу функций. Ясно, что все функции этой группы
находятся попарно в инволюции, и что любая форма этой группы является
r-параметрической системой функций в инволюции.
Если имеется s функций F\ • • • Fs от х, р, таких, что всякую
скобку (FiFx) (г, к = 1 • • • s) можно выразить только через F\ • • • Fs, но среди
этих s функций имеется всего лишь г независимых друг от друга, скажем,
F\ • • • Fr, тогда как Fr+i • • • Fs — функции только от F\ • • • Fr, то ясно,
что F\ • • • Fr задают r-параметрическую группу функций, которой также
принадлежат Fr+i • • • Fs.
Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, декабрь 1872 г. и март 1873 г.

Если F\ • • • Fr задают r-параметрическую группу функций, а I
независимых функций от F, например,
— /-параметрическую, то мы назовем эту /-параметрическую группу
функций подгруппой r-параметрической группы.
Если имеются две группы функций F\ • • • Fr и Ф\ • • • Ф[ в
переменных #1 • • • xn,pi - - - рп, то вполне может оказаться, что существуют
функции от х\ - - xn,pi - - - рп, принадлежащие одновременно обеим группам.
Предположим, что имеется в точности h независимых функций xi • • • Хн
с таким свойством, что всякую функцию, принадлежащую как группе
F\ • • • Fr, так и группе ^i • • • Ф[, можно представить как функцию
только от xi • • X/i- Тогда и всякая функция (x>cXj) принадлежит имеющимся
группам функций и может быть поэтому выражена только через xi " ' Xh,
то есть xi • • • Xh B свою очередь задают /г-параметрическую группу
функций. Этот результат мы выразим следующим образом.
Утверждение 1. Общие функции двух групп функций образуют в свою
очередь группу функций.
Пусть F\ • — Fr — такие независимые функции от х\ - — хп,р\ • • рп,
которые задают г-параметрическую группу функций, то есть находятся
в соотношениях вида
(FiiFv)xP = ^v(Fi • • • Fr) (/i, v = l • • • г).
Если теперь применить к F\ • • • FT контактное преобразование вида
z' = z + f2(x,p), x[ = Xi(x,p), p'i = Pi(x,p) (i = i-.-n), (1)
то мы получим г независимых функций Ф\ • • • Фг от х',р'', находящихся
в силу известного свойства скобки в соотношениях
(FpFv)xp = ( Ф^ 9„)x.j, = uv( Ф1 ••• Фг) {w = 1 - • • г);
в то же время любая функция от F\ • • • Fr переходит в такую же функцию
от Ф\ - • • ФТ. В этом состоит
Утверждение 2. Всякая r-параметрическая группа функций в
переменных Х\ • • • хп, р\ - - - рп при выполнении контактного преобразования

вида
z' = Z + n{x,p), х[=Хг(х,р), Pi = Pi(x,p) (i = l".n) (1)
всегда снова превращается в г-параметрическую группу функций.
Если Fi(x,p) ••• Fr(x,p) — такие независимые функции, которые
задают исходную группу функций, то при выполнении контактного
преобразования (1) они переходят в г независимых функций Ф\ • • • Фг от
х[ - - - х'п, р[ - - р'п, которые задают преобразованную группу функций; при
этом всякая (Ф^ Фи)х'р' выражается через Ф\ • • • Фг точно так же, как и
соответствующая (F^Fu)xp — через F\ • • • Fr.
Если г независимых функций F\(x,p) ••• Fr(x,p) образуют систему
в инволюции, то есть {F^Fv)xp = О, то они задают, как уже отмечалось
выше, r-параметрическую группу функций. Применив к этой группе функций
только что сформулированное утверждение, мы увидим, что всякая г-пара-
метрическая система в инволюции от х, р переходит при любом контактном
преобразовании вида (1) снова в r-параметрическую систему в инволюции.
Поскольку r-параметрическая группа функций в переменных х\ • • • хп,
pi — - Рп переводится любым контактным преобразованием вида (1) в г-па-
раметрическую группу функций в переменных х[ • • • х'п, р[ • • • р'п, то
совершенно естественным и согласующимся со сказанным во введении будет
следующий вопрос: какие свойства произвольной г-параметрической
группы функции остаются инвариантными относительно всех контактных
преобразований вида (1)?
Этот вопрос может быть сформулирован следующим образом: даны
какие-либо две г-параметрические группы функций, одна задана г
независимыми функциялш F\ — - Fr от х\ • • • хп,р\ • • • рп, другая — г
независимыми функциями Ф\ • • • ФТ от х[ • • • х'п, р[ • • • р'п; требуется найти
критерии, позволяющие выяснить, может ли первая группа функций
переводиться контактным преобразованием вида (1) во вторую или нет. При
этом «переводиться» надо, конечно, понимать так, что при упомянутом
контактном преобразовании совокупность всех функций от F\ • • • Fr
переходит в совокупность всех функций оч Ф\ • • • Фг, или, что то же самое: любая
из г функций F\ - - Fr должна переводиться этим контактным
преобразованием в некоторую функцию от Ф\ • • • ФТ.
Эта поставленная только что задача является исключительно важной;
последующие рассуждения данной главы подготовят нас к ее решению,
само же оно будет дано только в следующей главе. Затем мы снова вернемся
к исходной задаче — исследованию инвариантных свойств, которыми об-

ладает произвольная система функций Fi (х, р) • • • Fm (x, р) по отношению
ко всем контактным преобразованиям вида (1).
§48
Основу теории групп функций составляет важная
Теорема 19. Если г независимых функций щ • • • ит от
xi '"Хп, р\ — - Рп задают г-параметрическую группу функций,
то г линейных дифференциальных уравнений в частных
производных
(txi/) = 0,...(tir/)=0
от независимых переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп образуют т-па-
раметрическую полную систему2.
Чтобы это доказать, мы сначала заметим, что г записанных только что
дифференциальных уравнений являются независимыми друг от друга; если
бы это было не так, то все определители вида
Еди\ диг
обращались бы в нуль тождественно (под тт\ • • • 7гг понимаются некоторые
г из 2п переменных х,р), следовательно, и\ • • • иг вопреки условию
теоремы не были бы независимыми друг от друга. Затем мы положим
(км/) = Лм(/) (М=1...г)
и получим
АД АД/)) - А,(АЛЯ) = (<vM/)) - (н„К(/))
или, в силу тождества Якоби,
ЛДАД/)) - А,(АЛЯ) = (К^,)/)-
Но тогда имеют место уравнения вида
(UpUv) = W^Ui • • • Ur) (д, v = 1 • • • г); (2)
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, декабрь 1872 г. и март 1873 г.

то есть выполняется
ЛМ(ЛДЛ) - АДЛД/)) = («v/) =
J = l J
Тем самым теорема доказана.
Теперь допустим, что нам даны в переменных х\ -—xn,pi • • • рп
какие-либо г независимых функций щ • • • иг, задающих г-параметриче-
скую группу функций. Тогда r-параметрическая полная система
К/) = о,.. • М) = о
имеет 2п — г независимых решений. Если v\ • • • V2n-r — такие
решения, то можно представить любое другое решение как функцию только
от v\ • • • V2n-v Из теоремы Пуассона (см. стр. 199) следует далее, что
вместе с v\ • • • V2n-r каждая скобка {v^Vj) также является решением полной
системы. Согласно этому, все (v^Vj) являются функциями от v\ • • • V2n-r*
а все v\ • — V2n-r задают в свою очередь (2п — г)-параметрическую группу
функций.
Если мы применим к группе функций v\ • • • V2n-r те же рассуждения,
что и к группе и\ • • • иг выше, то мы вернемся к группе и\ • • • иг;
поскольку (2п — г)-параметрическая полная система
(vi/)=0,... (t72n-r/)=0
имеет 2п — (2п — г) — г независимых решений, причем и\ • • • иг,
очевидно, будут такими решениями, а всякое другое решение является функцией
только от и\ • • • иг.
Эти результаты мы можем подытожить в следующей теореме.
Теорема 20. Любой г-параметрической группе функций
и\ • • • иг от х\ • • • хп, р\ — - р<п соответствует совершенно
определенная (2п — г)-параметрическая группа функций,
находящаяся в отношении полной взаимности с г-параметрической.
Каждая из этих двух групп образуется всеми функциями,
находящимися в инволюции со всеми функциями другой группы3.
В дальнейшем мы будем называть две такие группы функций
взаимными группами функций, иногда мы будем также говорить, что каждая из
обеих этих групп является полярной группой другой.
3Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1872 и 1873 гг.

Очевидно, что две взаимные группы функций переходят при всяком
контактном преобразовании вида
Z1 = Az + i?(x,p), х'{ = Xi(x,p), р\ = Рг(х,р) (г = 1 • - - п)
снова в две взаимные группы функций.
Если r-параметрическая группа функций и\ • • • иг является, в
частности, системой функций в инволюции, то r-параметрическая полная система
К/) = 0,... (ur/) = o
имеет по крайней мере г независимых решений, так как и\ ♦ • ♦ иг в этом
случае являются решениями этой системы. Отсюда следует, что 2п — г ^ г,
то есть для числа параметров г системы в инволюции получается
следующее условие: г ^ п. Это означает, что справедливо
Утверждение 3. Система функций в инволюции от 2п переменных
х\ - - - хп, р\ • • • рп никогда не содержит более чем п независимых
функций.
Это утверждение мы получили еще в главе 4, стр. 112 (ср. также гл. 7,
стр. 202).
Мы хотим еще заметить, что теорему 19 можно дополнить.
А именно, можно задать себе вопрос, при каких условиях г уравнений
вида
Bi(/) = fo>i/)*p = 0, ••• Вг(/) = (^г/)жр = 0
образуют r-параметрическую полную систему в переменных х\ • • • хп,
V\ • • • Рп-
Прежде всего ясно, что г функций (pi{x,p) • • • <рг(х,р) должны быть
независимы друг от друга, так как если бы они не были таковыми, то было
бы видно (как и выше), что уравнения B\(f) = 0, • • • Br(f) = 0 также не
являются независимыми друг от друга. Если же ip\ • • • </v — независимые
функции, но не такие, которые задают r-параметрическую группу функций,
то среди функций (<р{(рх)хр имеется по крайней мере одна независимая
от (pi • • • <рг; таким образом, среди уравнений
Bi(Bx(f))-Bx(Bi(f)) = ((<Pi<P«)f) =0
(г, *г= 1 ••• г)
имеется по крайней мере одно, которое является независимым от B\f —
— 0, • • • Brf — 0, но отсюда следует, что уравнения B\f — 0, • • • Brf — 0
при наложенном условии не образуют r-параметрической системы.
Согласно этому, с учетом теоремы 19 мы получаем

Утверждение 4. Уравнения
(<Plf)xp = 0, • • • {(prf)xp = О
образуют г-параметрическую полную систему тогда и только тогда,
когда г функций (fi • • • ifr от переменных х\ • • • xn,pi • • • рп являются друг
от друга независимыми и задают г-параметрическую группу функций.
Если ifi • • • ipr — независимые функции некоторой г-параметрической
группы функций, то линейные дифференциальные уравнения в частных
производных
(¥>i/) = О, •••(¥V/) = 0
образуют полную систему, обладающую тем свойством, что (фх) наряду
с ф и х также представляет ее решение.
Таким образом, можно поставить себе задачу найти все полные
системы
Ai/ = 0, ••• Аг/ = 0,
обладающие этим свойством.
Если и\ • • • U2n-r — система решений такой полной системы, то имеют
место соотношения вида
(Щих) = Wix(Ui • • • U2n-r)',
поэтому и задают (2п — г)-параметрическую группу функций. Если
v\ • • • vr — независимые функции соответствующей полярной группы, то,
согласно стр. 212, можно задать и как решения полной системы
(vi/)=0, •••(t;r/) = 0,
которая вследствие этого является эквивалентной системе A\f = 0, • • •
... Arf = 0. Тем самым мы имеем
Утверждение 5. Если г-параметрическая полная система в
переменных х\ • • • хп, р\ - • - Рп обладает тем свойством, что образованная из
двух решений этой системы ф и х скобка (фх) снова представляет
решение, то эта система моэ/сет быть записана в виде
(t/i/)=0,...(t/r/)=0,
причем v\ • • • vr задают г-параметрическую группу функций^.
4Lie, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, том 10, Христиания, 1884 г. Для случая
г — \ первая часть утверждения уже была ранее получена г-ном Коркиным.

§49
Группа функций может содержать функции, которые также
принадлежат взаимной группе и потому являются общими для обеих групп. Такие
функции мы называем выделенными функциями^ первой группы. Из этого
определения следует, что выделенные функции некоторой группы функций
одновременно являются выделенными функциями и взаимной группы; в то
же время из утверждения 1 (стр. 209) следует, что выделенные функции
группы функций в свою очередь сами образуют некоторую группу
функций.
С аналитической точки зрения выделенные функции г-параметриче-
ской группы функций и\ • • • ит — это такие функции U только от и\ • • • ит,
которые удовлетворяют r-параметрической полной системе
(uiU) = 0, ... (urU) = 0
в переменных х\ • • • xn,pi • • • рп. Поэтому мы можем сказать:
Выделенные функции группы функций суть такие функции этой
группы, которые находятся в инволюции со всеми функциями этой группы.
Отсюда следует, что выделенные функции группы функций находятся
попарно в инволюции, то есть что h независимых выделенных функций
всегда образуют /i-параметрическую систему функций в инволюции.
Если группа функций от переменных х,р переводится контактным
преобразованием вида (1) в группу функций от х',р\ то всякая выделенная
функция исходной группы функций в то же время, очевидно, превращается
в выделенную функцию новой группы. Следовательно, число независимых
друг от друга выделенных функций группы функций от х,р остается
инвариантным при всех контактных преобразованиях вида (1).
Если F(x,p) — выделенная функция r-параметрической группы
функций и\ • • ♦ иг, то она принадлежит не только группе щ • ♦ ♦ иг, но и
взаимной группе v\ ♦ ♦ ♦ V2n-r, поэтому может быть выражена как через и\ ♦ ♦ ♦ иТ,
так и через v\ • • • v^n-r'-
F(x,p) - и(щ ... гхг) = V(vi • • • v2n-r). (3)
Другими словами, всякой выделенной функции группы и\ ♦ ♦ ♦ иг
соответствует соотношение, причем соотношение особого вида (3), между
функциями ДВуХ ВЗаИМНЫХ ГруПП U\ • • • Ur И V\ • • • V2n-r- ЕСЛИ
5Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1872 и 1878 гг. Ниже будет показано, что
выделенные функции некоторой группы функций естественно называть ее инвариантными
функциями.

F\(x,p) • • • Fm(x,p) — независимые выделенные функции группы и\ • • • ur,
то и га соответствующих им соотношений
Fx{x,p) = U„(Ui • • • Ur) = V„(vi • • • V2n-r)
(x = 1 • • • ra),
конечно, будут друг от друга независимы.
Теперь мы, наоборот, предположим, что г независимых функций
и\ • • • иг r-параметрической группы функций связаны с 2п — г
независимыми фуНКЦИЯМИ V\ • • • V2n-r ПОЛЯрНОЙ ГруППЫ ПОСреДСТВОМ В ТОЧНОСТИ 771
независимых соотношений
&хЫ • • • Ur, Vi • • • V2n-r) =0 (х = 1 •. • m). (4)
Мы покажем, что обе эти взаимные группы в этом случае имеют в
точности т общих друг от друга независимых функций, то есть что каждая из
них содержит в точности га независимых выделенных функций.
Очевидно, что 2п функций и\ • • • ur,v\ • • • V2n-r, среди которых,
согласно нашему предположению, имеется в точности 2п — т независимых,
таковы, что каждая скобка (щ.и^), (щ,Ун), (г^,г>х) выражается только
через них, поэтому все они принадлежат вследствие сделанного на стр. 209
замечания (2п — га)-параметрической группе функций. Тогда уравнения (4)
должны быть разрешимы как относительно га из и, так и относительно т
из у, иначе либо v, либо и не были бы друг от друга независимы;
поэтому мы можем предположить, что разрешение возможно относительно как
и\ • • • иш, так к v\ • • • vm. Тем самым (2п — га)-параметрическая группа
функций, к которой относятся все 2тг функций г/, v, будет задана как 2п — т
независимыми функциями щ ♦ ♦ ♦ ur, vm+i • • • Щп-г<> так и 2п — га
независимыми функциями um+i ♦ ♦ ♦ ur, fi ♦ ♦ ♦ г>2п-г-
Рассмотренной выше (2гг — га)-параметрической группе функций
соответствует m-параметрическая полярная группа. Каждая функция этой
полярной группы удовлетворяет уравнениям
(иь/)=0, ••• (urj) = 0
и потому принадлежит группе v\ • • • V2n-r, но в то же время она
удовлетворяет уравнениям
(VI,/) = 0, ••• (v2n-r,/)=0,
следовательно, принадлежит также группе и\ ♦ ♦ ♦ ur. Этим доказано, что
все функции рассматриваемой га-параметрической полярной группы
являются общими для двух групп и\ • • • иг 1Л v\ • • • V2n-r-> то есть что любая
из этих двух групп содержит при наложенных условиях га независимых
выделенных функций. Но это мы и хотели доказать.

Теперь мы знаем следующее: если r-параметрическая группа
функций щ • • • иг содержит в точности т независимых выделенных функций,
то tii • • • ur,v\ • • • V2n-r связаны всегда т независимыми соотношениями
специального вида
U„{ui • • • иг) = V„(vi • • • v2n-r) (х = 1 • • • ™).
Если, с другой стороны, и\ • • • wr, v\ • • • V2n-r связаны в точности т
независимыми соотношениями, то группа щ ♦ ♦ ♦ иг содержит во всяком случае
га независимых выделенных функций. Поэтому мы сразу видим, что имеет
место следующая
Теорема 21. г-параметрическая группа функций щ ♦♦ ♦ иг
с (2п — г)-параметрической полярной группой v\ • • • V2n-r всегда
содержит ровно столько независимых выделенных функций,
сколько имеется независимых соотношений между 2п
функциями и\ ♦ ♦ ♦ ur,v\ ♦ ♦ ♦ V2n-r< Эти соотношения можно всегда
привести к виду
Uyc{Ui . . • Ur) = V„(vi • • • V2n-r) (x = 1, 2 • • •),
который говорит о том, что выделенные функции группы
функций являются в то же время выделенными функциями
взаимной группы6.
Так сколько же независимых выделенных функций содержит
заданная r-параметрическая группа функций щ • • • иТ в переменных х\ • • • хп,
Pi • • • Рп?
Для того чтобы F(x\ ♦♦♦ хП1р\ ••♦ рп) была выделенной функцией
группы функций и\ • • • иг, необходимо и достаточно, чтобы г уравнений
A1(F) = {uuF) = 0, ••• Ar(F) = (ur,F) = 0
выполнялись тождественно и чтобы она была функцией только от и\ • • иг.
Отсюда следует, что выделенные функции группы и\ • • ♦ иг — это такие
функции U от п\ ♦ ♦ ♦ иг, которые тождественно удовлетворяют г линейным
дифференциальным уравнениям в частных производных
AX(U) = £(^)|^ = J2""Л*! • • • *г) J^ = 0 (5)
j=i j j=i j
(х=1 ..-г)
от независимых переменных щ ♦ ♦ ♦ иг.
6Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март 1873 г.

Что касается уравнений (5), то все зависит от свойств определителя
Uuiui) • • (uiur)\
D= • • • • . (6)
(urui) ♦ ♦ (urur)\
Мы предполагаем, что этот определитель, как и все его миноры (г — 1)-го,
• • ■ (г — т + 1)-го порядка, обращается в нуль, тогда как из миноров (г —
— т)-то порядка во всяком случае один, например,
^2±(uiUi) ••• (Ur-mUr-m),
не обращается в нуль тождественно.
При этих условиях г — m уравнений Ai(U) = О, • • • Ar-m(U) = 0
являются друг от друга независимыми, в то время как Ar_m+i([7) • • • Ar(U)
могут быть представлены в виде
Ат-ш+^(и) = Xiii(ui •--ur)-Ai(U) + --- + Xn,r-m(ui • • • ur) • Ar-m(U)
(/i = 1 • • • m).
Но тогда левые части уравнений (5), согласно стр. 212, находятся попарно
в соотношениях
A.iMU)) - ММ*)) = £ ^^Ц"^ ■ ми)
3 = 1 3
(/i, 1/ = 1 ••• г);
если предположить, что везде в правой части Ar_m+i(f7) ••• Ar(U)
выражены через Ai(U) ♦ ♦ ♦ Ar-m(U), то сразу видно, что г — m уравнений
A\{U) — 0, • • • Ar-m(U) — 0 образуют (г — т)-параметрическую полную
систему. Эта полная система имеет в точности т независимых решений,
то есть получается, что при наложенных условиях г уравнений (5) имеют
в точности m независимых общих решений и что заданная группа функций
и\ • • • иг содержит в точности т независимых выделенных функций.
Таким образом, мы имеем следующую теорему.
Теорема 22. г-параметрическая группа функций и\ ♦ • • иг от
переменных х\ ♦ ♦ ♦ xn,Pi * * * Рп содержит в точности т и не
более независимых выделенных функций тогда и только
тогда, когда определитель ^2±(uiUi) ••• (urur) и все его
миноры (г — 1)-го, • • • (г — т + 1)-го порядка обращаются в нуль

тождественно, тогда как миноры (г — т)-го порядка не все
тождественно равны нулю; в этом случае г линейных
дифференциальных уравнений в частных производных от
переменных щ • • • иг
г г
a*{u) = Е(^-)|г = £ w»^ • • • ^)fr = ° (5)
3 = 1 j j=l j
(к=1.--г)
сводятся к [г — т)-параметрической полной системе,
решениями которой являются выделенные функции группы и\ • • • иТ?
Согласно этому всегда можно при помощи выполнимых операций
выяснить, сколько независимых выделенных функций содержит заданная
группа функций, однако описание самих этих выделенных функций
требует в общем случае интегрирования.
Примечательно, что группа функций с нечетным числом параметров г
всегда содержит по крайней мере одну выделенную функцию; поскольку
определитель D является кососимметрическим, то если г — нечетное, то он
всегда обращается в нуль тождественно и уравнения (5) имеют по крайней
мере одно общее решение.
Добавим к этому еще одно
Утверждение 6. Если г-параметрическая группа функций в
переменных х\ - - - хп, pi - - Рп содержит г — 1 независимых выделенных функций,
то все ее функции находятся попарно в инволюции, и группа содержит
только выделенные функции.
Доказательство очень простое. Если U\ • • • £/r-i — известные
выделенные функции, а V — какая-либо независимая от U\ • • • Ur-\ функций
из группы, то по условию
(UiUx) = 0, {U{V)=0 (i,„=i...r),
то есть U\ • • • f7r-i, V образуют r-параметрическую систему функций в
инволюции и все функции группы действительно попарно находятся в
инволюции.
§50
Пусть, как и прежде, и\ • • • иТ обозначают r-параметрическую группу
функций в переменных х\ • • • xn,V\ • • • Рп, однако предположим, что функции и\ • • • иг
7L ie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март 1873 г.

не известны, как это было ранее, а что нам дана лишь (2п — г)-параметрическая
полная система
АЛи) = J2 {а^х'Р^г + fl-"^'p)fe} = ° (7)
(х= 1 ••• 2п-г),
которая имеет и\ • • • ит в качестве независимых решений, так что группа функций
и\ • • - ит состоит из совокупности всех решений полной системы (7).
r-параметрической группе функций и\ • • • иг соответствует, как мы знаем,
совершенно определенная (2п — г)-параметрическая полярная группа v\ • • • V2n-r,
состоящая из совокупности всех решений r-параметрической полной системы
(mv) = 0, ... (urv) = 0. (8)
Правда, и\ • • • иг при наложенных условиях неизвестны; но мы покажем, что тем
не менее всегда возможно без интегрирования задать r-параметрическую полную
систему, которая всегда имеет те же решения, что и неизвестная система (8).
Пусть под 7Г1 • • • 7Г2п понимается такая последовательность переменных
х\ • • • xn,pi — - рп, что 2п — г уравнений (7) разрешимы относительно д^и • • •
• • • д^и . Если предположить, что это разрешение выполнено, и подставить
найденные значения названных производных от и в (uv), то мы получим выражение вида
(uv) = Вг(у) ■ ^ + - + Br(v) ■ ^-, (9)
где B\{v) • • • Br{v) — известные линейные однородные функции производных от v.
Уравнение (9) имеет место для любого v в силу уравнений (7); таким
образом, оно становится тождеством, если в него вместо и подставить решение полной
системы (7). Тем самым, мы видим, что имеют место следующие г тождеств:
М5ад| + ...+ад|,
(10)
М5адА + ...+ад.|.
Но уравнения (7) были разрешимы относительно д^и • • • дд^ , и поэтому
и\ • • • иг, согласно теореме 12 (часть I, стр. 101), являются независимыми друг
от друга по переменным -к\ • • • 7гг, так что определитель
Е, ди\ диг
д-к\ дттг

не обращается в нуль тождественно. Следовательно, тождества (10) разрешимы
относительно B\(v) • • • Вг(у) или, что то же самое, система из г неизвестных
уравнений (8) является эквивалентной системе из г известных уравнений
Bi(v) = 0, ••• Br(v) = 0. (11)
Ясно, что уравнения (11) образуют r-параметрическую полную систему с
желаемым свойством, то есть что полярная группа v\ • • • Vin-r группы функций
и\ - - - иг образуется совокупностью всех решений полной системы (1).
Результаты выше можно еще обобщить, если отказаться от предположения,
что т независимых решений и\ • • • ит (2п — г)-параметрической полной
системы (7) должны задавать r-параметрическую группу функций. Тогда точно таким
образом, как изложено выше, мы получим систему из г уравнений (11),
эквивалентную системе из т неизвестных уравнений (8); но отличие от предыдущего состоит
в том, что г уравнений (8), а также уравнения (11) в общем случае не образуют
никакой r-параметрической полной системы, а при определенных условиях вообще
не имеют общих решений.
Поэтому мы можем сформулировать следующее
Утверждение 7. Если в переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп задана (2п — тп)-па-
раметрическая полная система
Li(/) = 0, ...L2n_m(/) = 0,
решения которой неизвестны, а через и\ • • • ит обозначены некоторые т
независимых решений этой полной системы, то всегда можно без интегрирования
задать систему линейных дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка, имеющую те же решения, что и система неизвестных
уравнений*
(Ulf)xp = 0, • • • (Urnf)xp = 0.
KLie, Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, том 2, 1877 г.

Глава 9
Канонические формы и инвариантные
свойства групп функций
Если г независимых функций и\ ♦ ♦ ♦ ит от переменных х\ • • • хп,
Pi - - рп задают r-параметрическую группу функций, то имеют место
соотношения вида
(UiU^xp = Wiyi{ui "' Ur) (г, х = 1 • • • г). (1)
Если и\ — - иг заменить некоторыми г независимыми функциями ui ♦ ♦ ♦ ur
от ui • • • иГ9 то есть привести (ср. стр. 208) группу функций и\ • • • ит к
новому виду ui • • • ur, то получатся аналогичные соотношения между и
(UiU^)Xp = XOiyt{U\ • • • UT) (г, * = 1 • • • г), (1')
где функции в правой части, разумеется, в общем случае будут другими,
чем в соотношениях (1).
В настоящей главе мы сначала упростим соотношение (1;)
подходящим выбором функций \\\ • • • иг и покажем, что r-параметрическая группа
функций и\ — - ит может быть приведена к некоторому каноническому
виду, для которого любая из функций ш^ имеет в уравнениях (1;) одно из
двух значений: 0 или 1. Исходя из канонического вида, мы легко
приходим к тому, чтобы указать условия, при которых две заданные г-парамет-
рические группы функций могут переводиться друг в друга контактными
преобразованиями вида
z1 = z + Я(х,р), х\ = Xi(x,p), р\ = Pi(x,p) (2)
(г = 1 ••• п);
тем самым мы одновременно получаем те свойства группы функций,
которые остаются инвариантными относительно всех контактных
преобразований (2).

§51
Итак, допустим, что в переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп задана г-пара-
метрическая группа функций и\ • ♦ ♦ иг, для которой имеют место
соотношения
(Щи^хр = Wiyi(ui • • • Ur) (г, ус = 1 - • • г). (1)
Если бы все Wix были тождественно равны нулю, то упростить
соотношения (1) за счет введения новых функций от и\ • • • ит было бы
невозможно. Поэтому мы можем ограничиться случаем, когда не все Wix обращаются
в нуль тождественно, то есть когда не все и\ • • • иг являются выделенными
функциями нашей группы функций.
Пусть согласно этому и\ не является выделенной функцией группы
функций и\ - - ит. Тогда выражение
v- dF(ui---Ur) ^ OF
2>lfi*) э^ = Ъ w^ • • • и^
не для каждого F обращается в нуль, следовательно,
г
EOF
УС=\
представляет в переменных и\ ♦ ♦ ♦ ит линейное дифференциальное
уравнение в частных производных, для решений которого F{u\ ♦ ♦ ♦ иг)
выражение (u\F) тождественно равно 1. Таким образом, мы имеем
Утверждение L Если и\ не является выделенной функцией г-пара-
метрической группы функций и\ • • • иг в переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп,
то в этой группе всегда существуют функции F(u\ ♦ ♦ ♦ иг),
тождественно удовлетворяющие уравнению (u,F) — 1.
Будем считать, что нам дана какая-нибудь такая функция F; она,
очевидно, не зависит от и\ и поэтому может быть выбрана в качестве U2, так
что мы отныне можем предположить, что выполняется тождество
(u1U2)xp = 1.
Теперь мы ищем все функции группы и\ • • • гхг, которые находятся в
инволюции как с щ, так и с гх2, то есть все функции f(ui • • • г*Г), тождественно

удовлетворяющие двум линейным дифференциальным уравнениям в
частных производных
_+u,13(n)— + ...+WlP(tt)_
(«i/)*p = 1СГ.+ «1з(«)^г + • • • + wir(u)^- - Лх(/) - О,
(3)
^^ - - J£+"2з(и)й+• • •+ ^(и)£=Аз(/)=°
в переменных г/i • • • г/г.
Уравнения (3), очевидно, являются независимыми друг от друга, кроме
того, используя тождество Якоби, мы получаем
A1(A2(f)) -A2(A1(f)) = (u!(tt2/)) - («2(«i/)) =
= ((1*!^)/) = (!,/) =
= 0,
следовательно, они образуют двухпараметрическую полную систему от г
переменных щ • • • иг и имеют в точности г — 2 независимых общих
решений и[ - - и'г_2.
Эти г — 2 решений г/'х • • • ufr_2, рассматриваемые как функции
от х\ • • • xn,pi • • • рп, задают (г — 2)-параметрическую группу функций,
содержащуюся в группе функций щ • • • иг как подгруппа.
Действительно, согласно теореме Пуассона (см. стр. 199) получается, что не
только и\ ••• и'г_2, но и все (и'{и'х)хр находятся в инволюции как с г/i, так
и с г/2, а поскольку любое выражение (и[и'^)хр изначально зависит лишь
от ui • • • г/г, то оно должно удовлетворять обоим дифференциальным
уравнениям (3) от переменных и\ • • • иг и потому являться функцией только
от и[ • • • и'г_2.
Наконец, еще легко видеть, что г функций щ, и2, и[ ♦ • • и'г_2 не могут
быть связаны никаким соотношением; будь это иначе, то такое
соотношение обязательно должно было бы содержать и\ или и2, поэтому его можно
было бы привести к виду
их -<р{и2,и[ ••• и'т_2) = 0
или
г/2 - ф(и\,и[ - - - и'г_2) = 0,
но в обоих случаях мы приходим к противоречию, так как в первом
получалось бы
(u1U2)xp = 1 = (VU2)xp = 0
и во втором — аналогично.

Следовательно, мы можем сформулировать
Утверждение 2. Если и\ • • • иг — r-параметрическая группа функций
от переменных х\ • • • хп,р\ • ■ • рпи имеет место соотношение (u\U2) = 1,
то уравнения
в переменных и\ ♦ ♦ ♦ иг образуют двухпараметрическую полную систему
с г — 2 независимыми решениями и[ ♦ ♦ ♦ ufr_2. Эти решения,
рассматриваемые как функции от х\ ♦ ♦ ♦ xn,pi ♦ ♦ ♦ рп, задают (г — ^-параметрическую
подгруппу группы функций и\ ♦ ♦ ♦ иТ, кроме того, они являются
независимыми от u\,U2, таким образом, U\,U2, u[ ♦ ♦ ♦ и'Т_2 является одной из форм
г-параметрической группы и\ ♦ ♦ ♦ иг.
К доказательству этого утверждения можно, кстати, прийти
следующим образом.
Пусть и\ ♦ ♦ ♦ иг — некоторая r-параметрическая группа функций, для
которой имеет место соотношение (U1U2) = 1, a v\ ♦ ♦ ♦ V2n-r —
независимые функции соответствующей (2п — г)-параметрической полярной
группы. Тогда гх1,гх2,г>1 • • • V2n-r не связаны никаким соотношением; если бы
соотношение вида и\ = x(^2>^i • •• V2n-r) имело место, то получилось
бы невозможное уравнение (U1U2) = 1 = (хи2) — 0- Поэтому функции
txi, гх2, v\ • • • У2п-г задают (2п — г + 2)-параметрическую группу функций,
полярная группа которой является (г — 2)-параметрической и, очевидно,
содержится в группе функций и\ ♦ ♦ ♦ иг. Если и[ ♦ ♦ ♦ и'г_2 — независимые
функции этой полярной группы, то точно так же, как и выше, мы видим,
что u\,U2, u[ ♦ ♦ ♦ и'2п_г независимы друг от друга, а значит, образуют одну
из форм r-параметрической группы функций и\ ♦ ♦ ♦ иг.
Применяя утверждение 2 несколько раз подряд, мы легко приходим
к обещанному на стр. 222 каноническому виду r-параметрической
группы U\ ♦ ♦ ♦ Ur.
Если и[ ♦ ♦ ♦ и'г_2 имеют тот же смысл, что в утверждении 2, то
ui,u2,^i ••• и'Т_2
будет новым видом r-параметрической группы функций и\ ♦ ♦ ♦ иг, при этом
имеют место соотношения
{uiU2) = 1, (Uiu'n) = (U2U'„) = О {к = 1 • • • г - 2),

а и[ ♦ ♦ ♦ и'г_2 в свою очередь задают (г — 2)-параметрическую группу
функций.
С группой функций и[ • • • и^_2 мы поступим точно так же, как выше
с исходной группой ui ♦ ♦ ♦ ur. Таким образом, если и[ ♦ ♦ ♦ и'т_2 не
образуют (г — 2)-параметрическую систему функций в инволюции, то мы
выберем какую-либо функцию группы и\ • • • и'г_2, не являющуюся выделенной
(обозначим ее из), зададим какую-либо функцию и^ от и[ ♦ ♦ ♦ и'г_2,
находящуюся в соотношении (щщ) = 1 с из, наконец найдем г — 4 независимых
функций и'/ ♦ ♦ ♦ и"_4 от и', находящихся в инволюции как с из, так ис^.
Тогда и" ♦ ♦ ♦ и"_4 в свою очередь задают (г — 4)-параметрическую группу
функций, в то же время U3, U4, и" ♦ ♦ ♦ и"_4 является новым видом
(г—2)-параметрической группы и[ ♦ • ♦ и'г_2, и наконец
Ui,U2,U3,U4,ui' ♦♦♦ u"_4
является новым видом r-параметрической группы и\ ♦ ♦ ♦ ur.
Если u'l ♦ ♦ ♦ u"_4 не образуют системы функций в инволюции, то мы
можем снова поступить с заданной ими группой так же, как только что
с группой и[ ♦ ♦ ♦ ufr_2, и т.д. Мы будем продолжать таким образом и
придем, наконец, к (г — 2т)-параметрической системе функций в инволюции
и™ ••• u^2m' что, впрочем, согласно утверждению 3 (стр. 213), может
произойти не ранее, чем выполнится условие г — 2m ^ п.
Эти результаты мы сформулируем следующим образом.
Утверждение 3. г-параметрическую группу функций от переменных
х\ • • • %п,Р1 • • • Рп всегда можно привести к такому виду
Р\,Х\,Р2,Х2, - - - Рш,Хш,Хш+\ ♦ ♦ ♦ Хт+Я
(n ^ q = г — 2т; т + q ^ г; т > 0),
что любое (P{Xi) будет иметь значение 1, тогда как все остальные
выражения (РгРя), {PiXn), (XiX^) тождественно обращаются в нуль.
Вид, указанный в этом утверждении, мы назовем каноническим видом
соответствующей группы функций. Группы, представленные в
каноническом виде, мы также для краткости будем называть каноническими
группами.
Из рассуждений, приведших к каноническому виду, вытекает, что
отдельные функции Р и X в каноническом виде заданной группы функций
определены отнюдь не однозначно, то есть что любую группу функций
можно бесконечно многими способами привести к каноническому виду.

Однако мы скоро увидим, что всем каноническим формам, которые может
принимать группа функций, соответствуют одни и те же значения чисел q
и т.
Если некоторая группа функций задана в каноническом виде
Р\ • • • Рщ ? Х\ * * * Xm+q,
то можно сразу указать ее выделенные функции.
Так, если Я (Pi ♦♦♦ РШ,Х\ ♦♦♦ Хш+Я) — какая-либо функция этой
группы, то имеют место соотношения
(вд = ж, дао =-If e=i—>■
{Хт+1П)= ... = (Хт+<?Я) = 0.
Поэтому, чтобы Я была выделенной функцией, она не должна
содержать Х\ • • ♦ Хт, Р\ ♦ ♦ ♦ Рт, а должна зависеть только от Xm+i ♦ ♦ ♦ Xm+q.
С другой стороны, любая функция от Xm+i ♦ ♦ • Xm+q является выделенной
функцией группы, которая таким образом содержит в точности q
выделенных функций.
Отсюда прежде всего следует, что всем каноническим формам Р\ ♦ ♦ ♦ Рт,
Х\ ♦ ♦ ♦ Хт ♦ ♦ ♦ Xm+q некоторой заданной группы функций
соответствуют одни и те же значения чисел q и т.
Наша группа является (2т + (^-параметрической, и выделенных
функций она содержит, как мы только что видели, в точности q независимых,
таким образом, мы можем заключить следующее: разность между числом
параметров группы функций и числом ее независимых выделенных
функций всегда будет четным числом.
Поэтому (25 + 1)-параметрическая группа функций всегда содержит
нечетное, а 25-параметрическая — четное число независимых выделенных
функций.
Если r-параметрическая группа функций задана не в каноническом
виде щ • • • иГ, то всегда можно, согласно стр. 219, без интегрирования найти
число q ее независимых выделенных функций; число г — q будет тогда,
согласно вышесказанному, четным, скажем, равным 2т, поэтому априори
можно сказать, что всякая каноническая форма этой группы должна иметь
вид
Pit -X"l? Р2, Х2, ' ' ' Рт, Хш, Хш-\-\ • • • Xm+q,
{PiP„) = (PiX„) = {XiX„)=0 {%фх), (PiXi) = l.

Однако в общем случае, для того чтобы действительно предъявить такую
каноническую форму, то есть задать такую систему функций Р\ • • • Рт,
Х\ ••• Хш+Я, интегрирование необходимо.
Теперь предположим, что нам просто даны 2т + q функций
Р\ - - - Рт, Х\ ♦ ♦ ♦ Хт+Я
от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, находящиеся в канонических
соотношениях
(PiP*) = (PiX„) = {XiX„)=0 (»#*), (PiXi) = l
Если бы эти 2га + q функций были связаны соотношением,
содержащим одну из 2т функций Р\ - - - Рт, Х\ ♦ ♦ ♦ Хт, например, Р\, то мы бы
имели
Р1 = Ф(Р2'" Рт,Хг •••Хт+Я),
и отсюда следовало бы
(Р1Х1) = 1 = {ФХ1)=0.
Это противоречие, поэтому соотношение между функциями Pi • • • Хт+д
может содержать в лучшем случае лишь функции Хт+\ • • • Хт+Я. Тем
самым, мы имеем следующее
Утверждение 4. Если 2т 4- q функций Р\ ♦ ♦ ♦ Рт, Х\ ♦ ♦ ♦ Хт+Я от
переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп находятся в канонических соотношениях
(PiPx) = (PiX„) = {XiX„) = О (гфк) (Р{Х{) = 1,
то они являются независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда
это справедливо для q функций Xm+i • • • Хт+Я; если это условие
выполнено, то Р\ ••• Рш, Х\ • • • Хт+Я задают {2т + q)-параметрическуюгруппу
функций, yotce имеющую канонический вид.
Кратко подытожим полученные до сих пор в настоящем параграфе
результаты.
Теорема 23, Каждая группа функций от переменных
#1 •••#п» Pi " • Рп может быть приведена к каноническому ей-
ду
Р\ • • • Рт 1 Х\ • • • Xm+q,

где Р и X связаны соотношениями
(PiXi) = 1, (PiP*) = (PiX«) = (XiX«) = 0;
здесь 2т + q — число параметров группы функций, a q —
число независимых выделенных функций, поэтому разность этих
двух чисел — всегда четное число; наконец, Хш+1 • • • Xm+q —
независимые выделенные функции группы, и общей выделенной
функцией является произвольная функция от Хш+\ ••• Хт+Я.]
К этому мы добавим еще одно обобщение утверждения 2 (стр. 225). Пусть
U\ • • • Urn,Um+\ ' ' • Ur
— r-параметрическая группа функций в переменных х\ • • • хП9 р\ • • • рП9 пусть,
кроме того, и\ • • • Urn — m-параметрическая подгруппа, но такая, которая не
содержит выделенных функций, так что определитель
Л = ^ ±(uitli) • • • (ЦтПт)
не обращается в нуль тождественно. Если образовать в переменных щ ■ ■ ■ ur m
линейных дифференциальных уравнений в частных производных
(UlU) = («i«i)|^- + • • • + (uittr)!^ = 0,
OU\ OUr
(UmU) = (UmUl)- 1 + (UmUr)Tl = 0,
понимая под U функцию от и\ • • • иГ9 то легко видеть, что эти уравнения
являются независимыми друг от друга и образуют m-параметрическую систему с ровно
г — т независимыми решениями: Ui • • • ur_m. Эти решения Ui • • • ur_m,
очевидно, задают (г — га)-параметрическую группу функций, которая содержится также
в r-параметрической и\ • • • иГ в качестве подгруппы; с другой стороны, они
независимы от и\ • • • иШ9 так как если бы между и\ • • • ит, м\ • • • ur_m имело место
какое-либо соотношение, то оно разрешалось бы относительно одной из функций
и\ • • • иш, например, относительно гц, таким образом, мы имели бы
и\ - &(и2 • • • иш, ui • • • ur_m) = 0;
но отсюда следовали бы га тождеств вида
(uiu^ - Ш{и2и^—£t(urnu^=°
(а= 1 ••• гтг),
которые не могут иметь место, поскольку определитель Л отличен от нуля.
'Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март 1873 г.

Утверждение 5. Если г-параметрическая группа функций и\ • • • иг от
переменных Х\ • • • хп, Р\ — - Рп содержит т-параметрическую подгруппу и\ • • • иш,
не имеющую выделенных функций, то она содержит в точности r—т независимых
функций Ui • • • ur_m, находящихся в инволюции со всеми т функциями и\ • • • иш,
эти функции ui • • • ur_m задают в свою очередь [т — тп)-параметрическую
подгруппу г-параметрической и, кроме того, являются независимыми от щ • • • ит,
так что щ • • • ит, ui • • • ur_m является одной из форм группы и\ • • • иг.
Утверждение 2 на стр. 225 является частным случаем этого утверждения, оно
получается, если добавить условия т — 2 и (u\U2) — 1.
§52
Если мы имеем в переменных х\ • • • xn,pi • • • рп каноническую
группу функций, число параметров которой меньше, чем 2п, то всегда можно
задать большие канонические группы, включающие эту группу, в
частности, можно всегда найти 2п-параметрическую группу с таким свойством.
Пусть сначала
РХ •••Pm,X1 ..-Xrn+q (A)
— (2га + д)-параметрическая каноническая группа с q > 0
независимыми выделенными функциями. Одну из этих q выделенных функций
Xm+i • • • Xm+q, скажем, Xm+i, мы опустим, и получим группу
-Pi * * * P-m^Xi ■ • • Хт, Хш+2 • • • Хш+Я. (В)
Полярная группа последней содержит Хш+\ и может поэтому быть
приведена к виду
Хш+1, Ui,U2 ••• (С)
А так как Xm+i не принадлежит группе (В), то она не является выделенной
функцией группы (С), стало быть, в группе (С) (ср. утв. 1, стр. 223)
заведомо имеется функция Рт+ь удовлетворяющая уравнению (Pm+iXm+i) = 1.
Поскольку эта Pm+i находится в инволюции со всеми функциями
группы (В), то 2га + q+l функций
Р\ " ' Pm+l? Х\ • • • Xm+q (D)
удовлетворяют каноническим соотношениям и являются, согласно утв. 4
(стр. 228) независимыми друг от друга, потому что таковыми являются
Хт+2 * * * Хш+Я. Следовательно, функции (D) задают (2га -f q 4-
^-параметрическую группу, включающую в себя исходную группу (А) и также
уже заданную в канонической форме.

Применив эти рассуждения несколько раз, мы в конце концов получим
каноническую группу вида
Р\ * * * Pm+qi Х\ • • • Xm+q,
то есть группу без выделенных функций. Поэтому если в переменных
^1 • • • Xn,Pi • • • Рп задана каноническая группа с выделенными
функциями, то можно всегда задать каноническую группу без выделенных функций,
в которую заданная группа входит в качестве подгруппы.
Таким образом, мы можем ограничиться случаем, когда задана
каноническая группа без выделенных функций, скажем, 2т-параметрическая,
Р\ — - Ртч Xi - • - Хш, (Е)
и можем искать большие канонические группы, в которые входит эта
2т-параметрическая.
Чтобы получить (2т + 1)-параметрическую группу такого типа,
причем с одной выделенной функцией, достаточно добавить к заданной группе
произвольную функцию Xm+i ее полярной группы. Из этой (2га 4-
1)-параметрической группы
Р\ * * * Рт, Х\ - - - Хт+\
мы можем рассмотренным выше образом путем добавления функции Pm+i
получить (2т + 2)-параметрическую каноническую группу
Р\ ' ' ' Рт+1ч Х\ • • • Xm+i,
не содержащую никаких выделенных функций. После многократного
последовательного применения этой процедуры мы наконец получим 2п-па-
раметрическую каноническую группу с искомым свойством. Кстати,
быстрее всего мы придем к такой группе, добавив к заданной группе (Е) сразу
всю ее 2(п—га)-параметрическую полярную группу в канонической форме:
■'771+1 ' ' * Рпч ^771+1 ' ' ' -^71 •
Тогда 2п-параметрическая каноническая группа будет такой:
■Pi * * * Рпч Х\ • • • Хп.
Итак, мы имеем
Утверждение 6. Если Р\ • • • Рш, Х\ ••- Xm+q — (2т + q)-napcuviem-
рическая группа функций в 2п переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, то всегда

существуют дополнительные функции Pm+i ••• Pn,Xm+g+i ••• Хп,
такие, что
Р\ ' " Р-пч Х\ • • • Хп
задают 2п-параметрическую каноническую группу функций.
Определенные в этом утверждении функции Р\ • • • Рп, Х\ • • • Хп
находятся в канонических соотношениях
(PiXi) = 1, [PiP„) = (Р{Х„) = {XiX„) =0 (г, х = 1 • • • п),
поэтому согласно теореме 13 (стр. 150) существует такая функция Q от
х\ • • • xnipi • • • рП9 что уравнения
z' = z + Q(x,p), х\ = Хг(х,р), р- = Р*(х,р) (г = 1-..п)
задают контактное преобразование.
Из этого замечания мы сразу можем извлечь пользу: связанное с
последними утверждениями, оно решает главную задачу из теории групп
функций, а именно, позволяет сказать, при каких условиях две г-парамет-
рические группы функций можно перевести друг в друга контактными
преобразованиями вида (2).
Итак, предположим, что нам даны две r-параметрические группы
функций, одна и 1 • • • иг — в переменных х\ • • • хп,р\ ••• рп, а другая
w\ • • • wr — в переменных у\ • • - уп,Я1 * * * Яп, и мы спрашиваем о
критериях существования контактного преобразования вида
i = Z+ Ф(х,р) Уг=Гг{х,р), ft = Ki{x,p) (г = 1 • • • n), (4)
переводящего группу и\ • • • иг в группу w\ • • • wr, так что г функций
и 1 • • • иТ от переменных х,р переходят при выполнении соответствующего
контактного преобразования в такие функции от у, q, которые выражаются
только через w\ • • • wr.
Для того, чтобы контактное преобразование (4), осуществляющее
требуемый переход, существовало, необходимо, чтобы группы функций
и 1 • • • ит и w\ • • • wr содержали одинаковое число независимых
выделенных функций. Но это необходимое условие является в то же время и
достаточным.
Действительно, пусть любая из этих двух групп содержит в точности q
независимых выделенных функций, тогда группу и\ ••• иГ можно привести
к канонической форме
Pi • • • Pm, Xi • • • Хш+Я (2m + q = r),

а группу w\ • • • wT в свою очередь — к канонической форме
На основании утверждения 6 (стр. 231) можно, кроме того, задать такие
функции Р,Х от х, р и Q, У от у, q, что
-Pi • • • Рты Xi • • • Хп и Qi • • • Qn, Yi • • • Yn
также будут каноническими группами. Наконец, можно найти такую
функцию Q от х,р и такую функцию О от у, q, что как уравнения
г7 = Z + fl(x,p), Xi = Xi(x,p), p'i = Pi(x,p) (i = 1 • • • n),
так и уравнения
представляют контактное преобразование. Но тогда, согласно стр. 152,
уравнения
i + 0(y,q) = z + f2(x,p), Yi(y,q)=Xi(x,p), Qi(y,q) = Pi(x,p)
(i = 1 • •• n)
также задают контактное преобразование, причем такое, которое, будучи
разрешенным относительно $,y,q> принимает вид (4). Это контактное
преобразование переводит Pi • • • Pm, Хх • • • Хш+Я в Qx • • • Qm, Yi • • • Ym+(?
соответственно и превращает согласно этому группу функций щ ••• иг
в группу vi • • • vr. Тем самым, наше утверждение доказано, и мы имеем
следующую теорему.
Теорема 24. г-параметрическая группа функций от
переменных х\ --xn,pi • - Рп может быть переведена контактным
преобразованием вида
zr = z + П(х,р), х\ = Xi(x,p), р\ = Pi(x,p)
(г = 1 • • • п)
в другую г-параметрическую группу от х,р, если обе группы
функций содержат одинаковое число независимых выделенных
функций2.
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, декабрь 1872 г. и март 1873 г.; Math. Ann.,
том VIII.

Отсюда немедленно следует еще одна
Теорема 25. Группа функций от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп
имеет только два свойства3, которые сохраняются при всех
контактных преобразованиях вида:
zf = г + П{х1Р), х<=Хг(х,р), р\ = Pi(xiP) (2)
(г = 1 ••• п),
первое свойство — число ее параметров, а второе — число
независимых выделенных функций, которые эта группа
содержит.
Мы будем всегда причислять две r-параметрические группы функций
в переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп к одному и тому же типу групп
функций, если одна может быть переведена в другую контактным
преобразованием вида (2); напротив, мы причисляем их к различным типам, если
такой переход невозможен. Согласно этому определению мы получим
совокупность всех r-параметрических групп функций, относящихся к одному
и тому же типу, если применим все контактные преобразования вида (2)
к одной из групп соответствующего типа.
Теперь встает вопрос: сколько имеется различных типов г-параметри-
ческих групп функций от переменных х\ • • • xn>Pi • • • рп?
Ответ на этот вопрос можно дать непосредственно на основании
теоремы 24. Две r-параметрические группы функций относятся к одному и тому
же типу тогда и только тогда, когда обе они содержат одинаковое число,
скажем, q независимых выделенных функций, следовательно, существует
столько различных типов r-параметрических групп функций, сколько
различных значений может принимать число q. При этом надо заметить, что
должны выполняться неравенства ^ги^пи что г — q всегда четное
число. Таким образом, мы видим, что число таких типов конечно и не
превосходит г. Поскольку само число г не может быть больше 2п, то
одновременно явствует, что в переменных х\ • • • хп, р\ • • • рп существует вообще
лишь конечное число типов групп функций.
Если щ • • • иТ — r-параметрическая группа в канонической форме
Р\ * * * Р-m, Х\ • • • Ат+^,
и если Pm+i ••• Pn,Xm+q+i - • • Хп — такие функции, что Pi • • • РП9
Х\ • • • Хп задают 2п-параметрическую каноническую группу функций, то
3Там же.

часто полезно при помощи контактного преобразования вида
г' = Z + tf(x,p), Х- = JQ(x,p), Pi = Рг(х,р)
(г = 1 • • • п)
ввести Р, X вместо р,х в качестве новых переменных. Мы назовем эти
новые переменные каноническими переменными.
На стр. 226 мы видели, что всякая r-параметрическая группа функций
и\ " - ит может быть приведена к канонической форме бесконечно
многими способами.
Пусть
Р\ ' - Рщ, Xi • • • Xm+q (2m + q = r)
и
4^1 •• • Фт, 3£i • • • £т+(? (2т + g = г)
— две различные канонические формы одной и той же г-параметрической
группы функций, причем первая форма записана в переменных х\ • • • хп,
Pi * * * Рп» ^ вторая — в х\ • • • x'n,p[ • • • р^. Если вспомнить рассуждения,
использованные нами при доказательстве теоремы 24 (стр. 233), то мы
увидим, что существует контактное преобразование вида
Z1 = Z + Q(x,p), Х-=У*(х,р), р\ = Кг(х,р) (г = 1.-.п),
преводящее всякое Р* в соответствующее ^ и всякое Хх — в Хя; при
этом контактном преобразовании любая функция от и\ • • • ur, очевидно,
снова переходит в функцию от и\ • • • иГ9 другими словами, группа функций
переходит сама в себя. Итак:
Если заданы две различные канонические формы г-параметрической
группы функций и\ ••• иГ от переменных х\ ••• хп,р\ ••• рп, то всегда
существует контактное преобразование вида (2), оставляющее группу
щ • • • иТ инвариантной и переводящее одну каноническую форму в другую.
В заключение приведем еще следующее
Утверждение 7. Если в переменных х\ ■ ■ ■ xn,Pi - - - Рп мы имеем г-пара-
метрическую группу функций и ее подгруппу, то всегда можно задать такую
каноническую форму г-параметрической группы, что и подгруппа будет иметь
каноническую форму
Доказательство, не представляющее никакой сложности, мы опустим4.
Lie, Math. Ann., том VIII, стр. 262 и далее.

Глава 10
Решение общей задачи преобразования
Вернемся к общей задаче, приступая к решению которой мы в свое
время (гл. 8, стр. 206 и ниже) были приведены к понятию «группа
функций». Теперь, когда мы развили теорию групп функций, нам без труда
удастся эту задачу решить.
Задача, о которой идет речь, может быть сформулирована следующим
образом.
В переменных х\ ••• xnypi • • • рп заданы г функций U\ • • • Ur, а в
переменных у\ - - - yn,qi • • • qn — г функций V\ • • • Vr\ требуется указать, при
каких условиях существует контактное преобразование вида
Ь = Z + П{х,р), Уг = Пг(х,р), qi = Щх,р) (i = 1 • • • п), (1)
переводящее U\ • • • Ur в V\ • • • Vr соответственно.
Сначала мы решим эту задачу для частного случая, а затем в полной
общности.
§53
Частный случай, рассмотрением которого мы пока ограничимся, — это
тот случай, когда функции U\ • • • Ur являются независимыми друг от друга
и находятся попарно в соотношениях вида
{UiUx) = Qi-AUi '"Ur) (i,*=i-..r); (2)
другими словами: U\ • • • Ur должны задавать r-параметрическую группу
функций.
Для того чтобы при этих условиях существовало контактное
преобразование (1), переводящее U\ • • • Ur в V\ • • • Vr соответственно, V\ • • • Vr,
конечно же, прежде всего должны быть независимыми друг от друга.
Кроме того, мы видели ранее (гл. 8, стр. 209), что уравнения (2) при всяком

контактном преобразовании (1), переводящем U\ ••• Ur в V\ • • • Vr,
принимают следующий вид:
(ViV„)yq = Пы(ух • • • Vr) (i, * = 1 - - - г). (2')
Следовательно, г независимых функций V\ • • • Vr должны в свою очередь
также задавать r-параметрическую группу функций, причем такую, чтобы
любое (ViVx)yq выражалось через V\ • • • Vr точно так же, как (UiU^xp
через U\ - " UT.
Тем самым найдены некоторые условия, необходимые для
существования контактного преобразования (1) с требуемым свойством; мы покажем,
что эти необходимые условия одновременно являются и достаточными.
Пусть системы функций U\ • • • Ur и V\ • • • Vr удовлетворяют
заданным условиям, это значит, что как U\ • • • Ur, так и V\ • • • Vr друг от друга
независимы и одновременно с соотношениями (2) имеют место
соотношения (2;).
По правилам предыдущей главы мы можем привести группу U\ • • • Ur
к канонической форме:
Pl'-Pm, Xi---Xm+q (2m + q = r).
Пусть эта каноническая форма задана г независимыми друг от друга
соотношениями
Хг = <ад ... с/г), р„ = #„{Ui --Ur)
(i = 1 - - • m; к — 1 • • • m + q).
Кроме того, предположим, что вычислены г функций
уг = ад • • • vr), Q„ = *UVi ■■■vr)
(i = 1 - - • m; к — 1 • • • m + q),
которые, само собой разумеется, являются независимыми друг от друга.
Тогда, при наложенных условиях, выражения
[QiQxJyqi \Sii^>i)yqi \^i^>c)yq
будут именно теми функциями от V\ • • • Vr, которые являются
соответствующими выражениями
(*•iPм)хр-> \-^i^>c)xpi \^i^>c)xp

от Ui • • • Ur; поэтому если учесть, что Р и X находятся в канонических
соотношениях
\±г±>с)хр — \±г^>с)хр = \^-i^-yc)xp = U К1 Ф **)\ \±г^г)хр = -Ц
то мы сразу увидим, что между Q и У имеют место те же самые
соотношения:
{QiQ*)vq = (<Э»У*)У9 = {У1У»)уя = 0 (t ф *), {Qiyi)yQ = 1.
Таким образом, система из г независимых друг от друга функций Q\ • • • Qm,
Y\ - - - Y<m+q является канонической формой группы V\ • • • Vr.
Теперь вспомним рассуждения на стр. 232 и ниже, из которых
явствует, что существует контактное преобразование вида (1), переводящее
функции Xi • • • Хт, Р\ • • • Рщ+q в Yi • • • Ут, Qi • • • Qm+<?' Очевидно, что это
контактное преобразование также превращает U\ • • • Ur в V\ • • • VT и
одновременно естественным образом превращает группу функций, заданную
при помощи U\ • • • С/г, в ту группу, которая задана при помощи V\ • • • Vr.
Согласно этому, справедлива следующая
Теорема 26. Если г независимых функций U\---Ur от
переменных х\ • • • хп,р\ " • Рп задают г-параметрическую группу
функций, а г независимых функций ill • • • Яг от переменных
Xi -" xn,pi - - Рп — тако/се r-параметрическую группу функций,
то контактное преобразование
z' = z + f2(x,p), x'i=Xi(x,p), Pi = Pi(x,p) (i = l..-n), (3)
переводящее U\ • •• Ur в ill ♦ ♦ ♦ ilr соответственно,
существует тогда и только тогда, когда (1МЛх)ж'р' выражается через
Hi • • • ilr точно так же, как соответствующая скобка
(UiUx)xp — через U\ ♦ ♦ ♦ UT.
Итак, если г независимых функций U\ • • • Ur от х\ • • • хп, р\ • • • рп
задают г-параметрическую группу функций, то наличие соотношений
(UiU„)xp = f2ix(Ui • • • Ur) (г, ^ = 1 ... г)
является единственным свойством системы функций U\ ♦ ♦ ♦ Ur,
остающимся инвариантным по отношению ко всем контактным преобразованиям
вида (3).

§54
Теперь предположим, что две системы функций, U\ ♦ ♦ ♦ Ur и V\ • • • Vr,
которые мы считали заданными во вводной части данной главы,
полностью произвольны, и выясним, при каких условиях существует контактное
преобразование (1), переводящее U\ • ♦ ♦ Ur в V\ • • • Vr соответственно.
Пусть среди г функций U\ ♦ ♦ ♦ Ur имеется в точности т друг от друга
независимых, скажем, U\ ♦ ♦ ♦ Um, тогда как Um+\ • • • Ur можно выразить
как функции только от U\ • • • Um:
Um+» = W^(C/i ... Um) (м=1...г-т).
Тогда для существования контактного преобразования с требуемым
свойством, очевидно, необходимо, чтобы и V\ • • • Vm были друг от друга
независимы и чтобы Vm+i ♦ ♦ ♦ Vr можно было выразить через V\ - - - Vm точно
так же, как выше E/"m+i • • • Ur — через U\ • • • Um, то есть должно
выполняться
Vm+p^W^Vi ... Vm) (M=l...r-m).
Если эти условия выполнены, то надо еще лишь выяснить, существует ли
контактное преобразование (1), переводящее U\ • • • Um в V\ • • • Vm
соответственно, так как при таком контактном преобразовании Um+i ••• ^г»
очевидно, сами по себе превращаются в Vm+i • • • Vr.
Тем самым случай, когда U\ • • • Ur не являются друг от друга
независимыми, сводится к случаю системы функций, которая состоит из
независимых друг от друга функций, поэтому мы можем, не нарушая общности
исследования, с самого начала сделать предположение, что U\ • • • Ur
независимы друг от друга, тогда и V\ ♦ ♦ ♦ Vr, разумеется, тоже должны быть
таковыми.
Отныне мы предполагаем, что как U\ ♦ ♦ ♦ Ur, так и V\ ♦ ♦ ♦ Vr являются
независимыми друг от друга.
Образуем все выражения (UiUx)xp и выберем из них максимально
возможное число таких, которые являются независимыми от Ui • • ♦ Ur и друг
от друга; найденные таким образом функции мы обозначим C/£+i ♦ ♦ ♦ U'r .
Кроме того, образуем все выражения (UiU^)xp, {U[Uf^)xp и выберем из
них максимально возможное число таких, которые являются
независимыми как от U\ ♦ ♦ ♦ Ur, C^+i ♦♦♦ U'rv так и друг от друга; обозначим их
ur[+i ••• U?2. А также выберем из выражений (UiU^)/{UlU^(Ul'U'^)
максимально возможное число таких, которые являются независимыми от
U\ - - - U"0 и друг от друга, и обозначим их {/"/+! • • • [/£"• Таким же образом

мы придем к некоторым функциям £^3+1 * * * Ur4 , являющимся
независимыми от U\ • ■ • [/"J и друг от друга, и т. д.
Определенные выше целые числа г\, г 2 - - - удовлетворяют следующим
условиям:
но если гн+\ = ^/г» то очевидно, что и все 77^2,^/1+3 ••• также
равны Th- С другой стороны, все числа ri,r2 ••• ^ 2п, поскольку
имеется не более чем 2п независимых друг от друга функций от переменных
х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп. Вследствие этого должно существовать некоторое
конечное целое число / ^ 0, такое, что хотя при h < I любое r^+i больше г^,
но все п+ьП+2, ♦ ♦ ♦ равны т\.
Предположим, что это число / нам задано и все функции Ur+l ♦ ♦ ♦ Ur,
построены. Тогда
К ••■ ur,u^i •■■ Кх, ■■■ и®_1+1 ■■■ и$
— независимые функции с таким свойством, что все выражения
{Щи'„)хр ■ ■ {U[U$)xp,
(4)
MM1)
{uru^)xv
можно выразить как функции только от U\ • • • Ur, . Другими словами,
Ui -" Ur, задают г/-параметрическую группу функций, которой
принадлежат все г функций U\ ♦ ♦ ♦ С/г, причем очевидно, что эта группа является
наименьшей с таким свойством.
Если контактное преобразование (1) переводит функции U\ •• • Ur
в V\ ♦ ♦ ♦ Vr, то оно должно в то же время превращать C/£+i ♦♦♦ Uri,
Ur'l+1 • • • U^] в некоторые функции Vrf+X • • • Vr\, V^[+l • • • Vr(P от уг • • • yn,
Qi " * Яп* Эти функции V^+i ♦ ♦ ♦ являются полностью определенными
и легко задаваемыми. UfT+l ♦ ♦ ♦ U*T — это некоторые т\ — г из
выражений (UiU^xpl однако при данном контактном преобразовании
всякое (UiUx)xp переходит в соответствующее (ViV^)yq; следовательно,
функции V^+1 ♦ ♦ ♦ V^, в которые переходят Ur+X ♦ ♦ ♦ Uri, — это просто те г\ —
— г из выражений (ViVx)yq, которые соответствуют г\ — г
выражениям ([/"i, Uk)xp. Кроме того, выражения f/"i+i • • • UT'0 — это некоторые r<z—т\
из выражений {UiU[^)xv, (J7/l/^)xp, а функции V^^j ♦ ♦ ♦ Vr", естественно, —

это Г2 — ri соответствующих выражений (V^, V^)yq, {У{У^)УЯ. Точно таким
же образом можно найти V^'+1 ♦ ♦ ♦ VT, .
Когда все V^+1 • • • Vr, вычислены, то надо еще, очевидно, лишь
выяснить, существует ли контактное преобразование (1), переводящее
£/!••• ur,u'r+l ■ ■ ■ utf вУг-.-Vr,v;+1 ■ ■ ■ vr(P.
Это исследование провести очень легко. Поскольку U\ • • • Ur, друг от
друга независимы и задают Т[-параметрическую группу функций, то
контактное преобразование с требуемым свойством существует только тогда,
когда и V\ • • • Vr, также являются друг от друга независимыми и задают
т\ -параметрическую группу функций. Наконец, к этим условиям
добавляется, согласно теореме 26 (стр. 238), еще одно: функции
{V(VL)yq ■ ■ {V!v«\q, (5)
должны выражаться через V\ ♦ ♦ ♦ Vr, точно так же, как соответствующие
функции (4) — через U\ • • • Ur, . Тем самым найдены условия,
необходимые и достаточные для существования контактного преобразования с
требуемым свойством.
Из рассуждений настоящего параграфа мы прежде всего получаем
следующую теорему.
Теорема 27. Если в переменных х\ • • • xn*Pi * * * Рп заданы
какие-либо г функций U\-"UTf а в переменных х[ • • • х'п,
Pi'"Pn ~ какие-либо г функций И\ • • • itr, mo всегда можно
при помощи дифференцирования и исключения выяснишь,
существует ли контактное преобразование вида
z' = г + П(х,р), х[=Хг(х,р), p'i = Pi(x,p) (г=1...п),
переводящее Ui - - - Ur в Hi - - - iXr соответственно1.
Приведенные выше рассуждения задают, кроме того, все свойства
произвольной системы функций U\(x,p) • • • Ur(x,p), остающиеся
инвариантными относительно всех контактных преобразований вида (3).
1 Lie, Math. Ann., том VIII.

Глава 11
Однородные группы функций
и их выделенные функции
В этой и следующей главах мы ограничимся рассмотрением таких
функций от х\ --- xn,pi • • • рп, которые являются однородными по р, или,
выражаясь кратко, мы рассмотрим только однородные функции. В
соответствии с этим мы будем использовать только однородные контактные
преобразования, в остальном же рассуждения этой и следующей глав совершенно
параллельны рассуждениям из трех предшествующих.
Если Н^ и Н^ — однородные функции i-го и к-го порядка по р
соответственно, то все отдельные члены выражения
^ V дР» дхи дху dpv )
очевидно, будут однородными функциями (i + к — \)-го порядка, а
следовательно, и все выраэ1сения (Н^Н^) тоже. Поэтому если взять т
однородных функций Н\ • • • #т, то из них всегда, сколько бы раз ни
повторялись скобочные операции (HiH^), {(HiH^Hj) и т.д., получатся
однородные функции. Это обстоятельство дает естественный повод для введения
понятия однородной группы функций.
Мы будем называть т-параметрическую группу функций от
переменных х\ ••• хп,р\ — - Рп однородной, если она содержит г независимых
функций, являющихся однородными по р.
Из этого определения непосредственно явствует, что однородная
группа функций в х\ • • • хп,р\ — - Рп при любом однородном контактном
преобразовании от этих переменных снова переходит в однородную группу
функций.
§55
Пусть заданы г независимых однородных функций Н\ • • • Нг
некоторой r-параметрической однородной группы функций, причем всякая Н„

является однородной функцией порядка s^, так что выполняются
соотношения
п дН
г=1 Уг
Тогда если F означает произвольную функцию от Н, мы находим
^Pidpi " 2-j ЗЯ^ ^Р* dpi " 2-j 8*М"дН»'
г—1 >c=l г—1 х=1
где выражение справа зависит лишь от Н\ • • • Нг. Это значит, что
справедливо
Утверждение 1. Если однородная группа функций от переменных
#1 "' Xn,Pi "' Рп содержит функцию F(x,p), то она всегда содержит
также и функцию
» dF м м„ dF
dpi дрп
Это важное свойство является характеристическим для однородных
групп. Ибо если r-параметрическая группа функций К\ • • • КТ такова, что
с Ф(К\ - - • Кг) этой группе всегда также принадлежит и Х^Рг|р~> т0 она
содержит г независимых однородных функций и потому является
однородной.
Доказать это очень просто. При наложенных условиях функции К
удовлетворяют соотношениям вида
п дК
г=1
dpi
Если бы здесь все Qj были равны нулю, то Kj уже были бы однородными,
причем все нулевого порядка. Если же не все Qj обращаются в нуль, то
уравнение
" дЩКу-Кг) ^ dN
г=1 У j=l J
представляет линейное дифференциальное уравнение в частных
производных от г переменных К\ • • • Кг\ тогда некоторые г — 1 независимых
решений N\ • • • Nr-1 этого уравнения являются столькими же
независимыми однородными функциями нулевого порядка этой группы. Наконец,
чтобы найти r-ю независимую от N\ • • • Nr_x однородную функцию группы,

требуется отыскать только одно какое-либо решение дифференциального
уравнения
г=1 Уг j=l 3
каждое такое решение является однородным первого порядка по р,
принадлежит группе и, кроме того, очевидно, является независимым от
iVi ••• Nr_i. Тем самым, правильность сформулированного выше
утверждения доказана.
Из этих рассуждений одновременно следует, что г-параметрическая
однородная группа функций всегда содержит по меньшей мере г — 1
независимых однородных функций нулевого порядка.
Если группа содержит г таких функций, скажем, N\ • • • 7Vr, то все ее
функции, очевидно, являются однородными нулевого порядка. Тогда
выражения {NiNy) будут однородными (—1)-го порядка, но, с другой стороны,
они являются функциями группы и поэтому должны быть нулевого
порядка. Это возможно лишь тогда, когда все (NiN^) обращаются в нуль
тождественно, то есть когда все функции группы попарно находятся в
инволюции.
Если группа содержит всего лишь г—1 независимых однородных
функций нулевого порядка, например, N\ • • • iVr_b то согласно
вышесказанному всегда можно найти одну независимую от Ni • • • Nr_i функцию
первого порядка Н, принадлежащую группе. Тогда N\ • • • Nr_i, H является
одной из форм этой группы. При определенных обстоятельствах может,
однако, быть удобнее привести группу к следующему виду:
Н\ = N\H, • • • Нг—\ = N1—\Н, Hr = Н,
где все г функций являются однородными первого порядка1. Изложенные
выше отдельные результаты мы хотим сформулировать еще раз во
взаимосвязи.
Теорема28. Группа функций от переменных х\ ••• хп,р\ • • • рп
является однородной тогда и только тогда, когда
одновременно с функцией F(xi - - хп,р\ • • • рп) функция
dpi дрп
'Имеются в виду не только однородные многочлены, но и однородные функции более
общей природы, например, рациональные. — Прим. ред.

также всегда принадлеэюит группе. Если г-параметрическая
однородная группа функций содержит г независимых
однородных функций нулевого порядка по р, то все ее функции
являются однородными нулевого порядка и, кроме того,
находятся попарно в инволюции; в любом другом случае группа моэ/сет
принимать вид, в котором помимо одной функции первого
порядка встречаются лишь функции нулевого порядка1.
К этому добавим следующее
Утверждение 2. Общие функции двух однородных групп функций
образуют в свою очередь однородную группу функций.
Действительно, если К\ • • • КТ две L\ • • • Lm — однородные группы
функций, то общие функции обеих групп во всяком случае образуют,
согласно утв. 1 (гл. 8, стр. 209), некоторую группу функций д. Если теперь
9) — какая-либо функция из д9 то функция
dpi dpn
всегда принадлежит как группе К\ • • - Кг, так и группе L\ - • • Lm, и
вследствие этого снова является функцией от д. Согласно этому группа д
действительно является однородной.
Здесь мы поместим несколько замечаний относительно понятия «однородные
контактные преобразования».
Если контактное преобразование от х,р
z = z + П(х,р), х^ = Х9е(х,р), р'„ — Р*{х,р) (1)
переводит все функции от х\ • • • жп, Ц- • • ■ ^г^1 в функции от х\ • • • х'п,
у- • • • "7*, то все Хг, а также все -^- должны быть нулевого порядка по р.
Следовательно (см. стр. 242), все функции
(£*•) - k
являются однородными (—1)-го порядка, а все Р* — однородными первого порядка
по р. Отсюда, согласно рассуждениям на стр. 153, следует, что i? — константа,
которая без ограничения может быть положена равной нулю. Итак: однородные
контактные преобразования в переменных х\ • • • xn,pi • • • Рп являются
единственными контактными преобразованиями вида (1), преобразующими величины
Х\ ' Xjij ~
Pi Pn-l
Рп Рп
между собой.
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1872, 1873 г.; Math. Ann., том VIII.

§56
При исследовании однородных групп функций очень полезным будет
следующее
Утверждение 3. Если Н — однородная по р функция от х\ ♦ ♦ ♦ хп,
Р\ - - Рп> и f = К — решение линейного дифференциального уравнения
в частных производных (Hf) — О, то
dpi дрп
также всегда будет решением этого уравнения.
Чтобы доказать это утверждение, положим
dpi дрп
iHf)~^\dPidxi dxidpj Af;
тогда
в(т) - л{щл) = ±Bm§L-£{B& + (яи)} g.
Если теперь Н — однородная функция га-го порядка, то производные от Н
по pi и Xi являются однородными (га — 1)-го и га-го порядка
соответственно, что выражается уравнениями
ВН = тН, B_ = (m_i)_ В— =т^.
Следовательно,
BAf-ABf = (m-l)(Hf)
или, что то же самое
5>^-(ф$-*»-Ч(ял.
(А)

Наконец, если заменить здесь / каким-либо решением К линейного
дифференциального уравнения в частных производных {Hf) — 0, то два члена
обращаются в нуль тождественно, и мы получаем
что и доказывает наше утверждение.
Пусть теперь Яi ♦ ♦ ♦ Нг — г-параметрическая однородная группа
функций, и при этом для простоты все г функций #i ■ ■ • Нт выбраны
однородными.
(2п — г)-параметрическая полярная группа К\ ♦ ♦ ♦ К^п-т группы
Н\ ♦ ♦ ♦ Яг образована всеми функциями, которые удовлетворяют г-пара-
метрической полной системе
(Я1/)=0,...(Яг/) = 0 (2)
от переменных х\ • • • xn,Pi • • • Рп- Однако, согласно только что
доказанному утверждению, вместе с К функция S^JV%^~ также является
полным решением системы (2), следовательно (теорема 28, стр. 244),
группа К\ ♦ • Кчп-т в свою очередь является однородной.
Тем самым, мы имеем следующую теорему.
Теорема 29. Полярная группа однородной группы функций
также является однородной*.
Система г + 1 уравнений
(я1/) = о,...(яг/) = о| 5>Д = о (з)
г=1 Рг
определяет совокупность всех функций нулевого порядка, которые
имеются в группе Ki • • • K2n-v При этом возможны два случая. Во-первых,
J2Pi~^~ — 0 может быть следствием остальных г уравнений; это про-
исходит, очевидно, тогда и только тогда, когда все функции группы
К\ • • • K<in-r являются однородными и нулевого порядка. Во втором
случае вышеназванные г + 1 уравнений образуют (г + 1)-параметрическую
полную систему с 2п — г — 1 независимыми решениями, тогда группа
К\ ■ - • Kin-r содержит лишь 2п — г — 1 независимых функций нулевого
порядка.
3Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1878 г.; Math. Ann., том VIII.

Если U — выделенная функция группы Н\ • ♦ ♦ Нт, то и ^РгЩ- будет
выделенной функцией, поскольку ^ Рг|р"> также как и С/, принадлежит как
группе Н1 • • • Яг, так и группе if i • • • К^п-т- Отсюда мы заключаем:
Утверждение 4. Выделенные функции однородной группы функций
образуют в свою очередь однородную группу.
Это утверждение, очевидно, является частным случаем утверждения 2
(стр. 245).
Выделенные функции группы функций, как мы знаем, попарно
находятся в инволюции. Для выделенных функций однородной группы функций
различаются лишь 2 случая, так как эти выделенные функции будут либо
все, либо не все однородными нулевого порядка.
Возникает вопрос: как понять по заданной однородной группе
функций, какой из этих случаев будет иметь место?
Если задана r-параметрическая однородная группа функций, то мы
считаем, что выбраны г независимых функций Н\ ♦ ♦ ♦ Нг и все они
являются однородными и первого порядка по р. Этого, согласно стр. 243, можно
достичь всегда, за исключением того случая, когда все функции группы
имеют нулевой порядок; но в этом случае все функции группы попарно
находятся в инволюции, поэтому группа состоит только из выделенных
функций нулевого порядка, так что наш вопрос полностью решен априори.
Итак, все Hi • • • Нт являются однородными функциями первого
порядка. Тогда выделенные функции группы Н\ • • • Нг, согласно стр. 217,
являются общими решениями г линейных дифференциальных уравнений
в частных производных
(Я„ЯО|| + ...+(ЯхЯг)|^=0 (х=1..т) (4)
от г переменных Hi ♦ ♦ ♦ Нт. Кроме того, существует m независимых
выделенных функций, если для определителя
£±(Я1#1)...(ЯГЯГ)
все его миноры порядка (г — га + 1), но не все порядка (г — тп) обращаются
в нуль тождественно. Выделенные функции нулевого порядка нашей
группы удовлетворяют, помимо вышеуказанных уравнений, еще и следующим:
г=1 >с=\

и тем самым определены как однородные нулевого порядка. Если это
уравнение является следствием (4), то все выделенные функции нашей группы
имеют нулевой порядок; в противном случае группа содержит лишь га — 1
независимых выделенных функций.
Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо лишь выписать
матрицу
(#!#!) • (#!#г)
(HrHi) ♦ (НТНГ)
Hi * Hr
и выяснить, все ли определители порядка (г — га + 1) обращаются в нуль
или нет.
Таким образом, мы имеем
Утверждение 5. Если Н\ ♦ ♦ ♦ Нг — независимые однородные функции
первого порядка г-параметрической однородной группы функций от
переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ • • • Рп, то путем вычисления определителей можно
найти не только число независимых выделенных функций этой группы, но
и число независимых выделенных функций нулевого порядка.
Если о заданной r-параметрической группе функций и\ ♦ • • иТ известно, что
она однородна, но неизвестны ее г независимых однородных функций первого
порядка, то тем не менее всегда можно без интегрирования решить, сколько
независимых выделенных функций нулевого порядка содержит эта группа. А именно,
сначала, согласно стр. 219, мы задаем число га всех независимых выделенных функций
группы. Затем образуем (2га — г)-параметрическую полную систему
A*f = J2 a*'(*'p)|£ + J2 &"(*'?)Й" = ° (* = 1 • • ■ 2п - г),
г=1 г г=1
независимыми решениями которой являются и\ ♦ ♦ ♦ иг, наконец, составим систему
линейных дифференциальных уравнений в частных производных:
Ai{f) = 0, • • • A2n-r(f) = 0, (uj) = 0, • • • (urf) = О
и выясним, влечет ли она за собой уравнение
9f Of Л
dpi дрп
Если да, то все выделенные функции группы гц • • • иг являются однородными
нулевого порядка, если нет, то группа содержит только га — 1 независимых
выделенных функций с таким свойством.

Глава 12
Канонические формы и инвариантные
свойства однородных групп функций.
Решение задачи преобразования
В этой главе мы рассмотрим вопрос о том, какие свойства однородной
группы функций остаются инвариантными относительно всех однородных
контактных преобразований. Для этого мы вначале разовьем теорию
канонических форм однородных групп функций.
И в заключение надо будет еще показать, как решается рассмотренная
в главе 10 задача преобразования1, если ограничиться однородными
контактными преобразованиями от переменных х\ • • • xn,pi • • • рп. Благодаря
этому мы получим возможность решить общую задачу преобразования, из
которой мы исходили во вводной части настоящей книги.
§57
В главе 9 мы видели, что всякая группа функций, будь то однородная
или нет, может принимать каноническую форму Р\ ♦ ♦ ♦ Рт, Х\ ♦ ♦ ♦ Xq, для
которой канонические соотношения
(PiXi) = 1, (PiP„) = (Р*ХХ) = (М„) = 0
выполняются тождественно. Однородная группа функций, однако, может
быть приведена к еще более специальному каноническому виду, а именно,
как мы теперь хотим показать, для такой группы всегда возможно добиться
того, что Pi будут однородными функциями первого, г. Xi — однородными
нулевого порядка по р.
Предположим, что нам даны в переменных х\ • • • хп,р\ ♦ • • рп какие-
либо г независимых функций и\ • • • иГ9 задающие г-параметрическую
группу функций.
1В оригинале — Transformationsproblem; имеется в виду проблема существования
преобразования, переводящего одну заданную группу функций в другую. — Прим. ред.

Рассмотрим сначала частный случай, когда и\ • • • иг образуют г-па-
раметрическую систему функций в инволюции. Тогда если все функции
и\ • • • иг — однородные и нулевого порядка по р, то, просто положив Х\ =
= и\, • • • Хг — иГ9 мы уже тем самым привели эту группу к каноническому
виду. Если же не все и\ • • ♦ иг однородны и нулевого порядка, то мы
можем, согласно стр. 244, найти такие независимые функции Н\ • • • Нг от
и\ • • • иг, которые являются однородными первого порядка; тогда Pi =
= ifi, • • • Pr — Нг является канонической формой группы щ • ♦ ♦ иг.
Таким образом, случай, когда и\ • • • иг образуют г-параметрическую
систему функций в инволюции, рассмотрен, поэтому отныне мы можем
предположить, что не все г функций и\ • • • иг попарно находятся в
инволюции. Вследствие теоремы 28 (стр. 244) исключено, что все и\ • • • иг
являются однородными функциями нулевого порядка, и согласно этой последней
теореме должно быть возможно привести группу к виду N\ ••• iVr_i,if,
в котором N\ ••• Nr-i однородны и нулевого порядка по р, в то время
как Н однородна и первого порядка.
Вид N\ ♦ ♦ ♦ Nr-\,H группы и\ • • - иг мы в дальнейшем возьмем за
основу. Заметим еще, что соотношения (щи*) — Wi*{ui • • • иг) для такой
группы принимают следующий вид:
\№ЛЦ - "»%■*-> (1)
(x,j = 1 ••• г - 1).
Так как все выражения (NXH) и H(N^Nj) будут однородными
нулевого порядка по р, то их можно будет представить как функции только
otTVi ♦♦♦ Nr-i.
Во всяком случае, при наложенных условиях не все N± • • • Nr-i
являются выделенными функциями нашей группы (ср. утв. 6, стр. 219). Если,
например, согласно этому N\ не является выделенной функцией, то всегда
можно задать функцию
F = H-Q{Nl ... 7Vr_i)
первого порядка, находящуюся в соотношении (FN\) = 1 с N\. При этом
для Q получается уравнение

принимающее при использовании уравнений (1) следующий вид:
J2 v*i(Wi • • • 7V-i)^f- =г + ^Ni - - - ^-i) •я- (2)
Здесь не все коэффициенты <рц • • • (/?r_i,i, Vi обращаются в нуль, а значит,
(2) представляет в переменных N\ • • • iVr-i линейное дифференциальное
уравнение в частных производных, имеющее решения. Каждое решение
этого дифференциального уравнения, помноженное на Я, дает функцию F
с требуемым свойством.
С другой стороны, мы можем также считать, что функция
первого порядка Н выбрана так, что не является выделенной функцией
нашей группы, в этом случае всегда существуют функции нулевого порядка
Ф(Л^1 • • • JVr_i), удовлетворяющие условию
(ЯФ) = £(ЯЛГх)^- = 1.
Это условие равносильно дифференциальному уравнению
и поскольку при наложенных условиях не все ф\ ♦ • • фг-\ обращаются
в нуль, то это дифференциальное уравнение всегда имеет решения.
Таким образом, мы можем сформулировать следующее
Утверждение 1. Если функции однородной группы функций от
переменных х\ • • • xn,pi • • • рп не находятся попарно в инволюции, то в этой
группе всегда можно найти две независимые функции Р и X,
находящиеся в соотношении (РХ) = 1, причем первая будет однородной функцией
первого порядка по р, а вторая — однородной нулевого порядка. При этом
в качестве Р или в качестве X может быть произвольно выбрана какая-
либо функция этой группы, не являющаяся выделенной, при условии, что
она будет однородной и нужного порядка.
Пусть теперь Pi и Х\ — две такие функции однородной группы
iVi • • • Nr-i,H, которые обладают указанными в вышестоящем
утверждении свойствами, и пусть Pi,Xi, N[ • • • N'r_2 является одной из форм
нашей группы. Поскольку имеет место соотношение (Р\Х\) = 1, то мы
можем применить утв. 2 (гл. 9, стр. 225) и таким образом убедиться, что
наша группа содержит г — 2 функций и\ • • • и'г_2, обладающих следующим
свойством: они не зависят от Pi и Х\9 находятся в инволюции как с Pi,

так и с Хь наконец, они в свою очередь задают (г — 2)-параметрическую
группу, которая содержится в r-параметрической как подгруппа. Тем
самым мы одновременно нашли новую форму Pi,Xi,u\ •••u'r_2 нашей
r-параметрической группы.
Можно доказать, что (г — 2)-параметрическая группа функций
и[ • • • и'г_2 опять-таки будет однородной. В самом деле, пусть v\ • • • v2n-r
будет (2п — г)-параметрической полярной группой, соответствующей
нашей r-параметрической группе и, согласно теореме 29 (стр. 247), также
являющейся однородной. Тогда P\,X\,v\ • • • V2n-r задают (2п — г +
2^параметрическую группу функций (ср. гл. 9, стр. 225 и ниже), причем,
очевидно, однородную. Полярная (г — 2)-параметрическая группа этой
однородной группы опять-таки однородна и, очевидно, есть ничто иное как
группа и[ • • • и'г_2.
Согласно этому всякая r-параметрическая однородная группа
функций, функции которой не находятся попарно в инволюции, может быть
приведена к виду
РъХии\ ••• v!r_2,
(PiXi) = l, (P1u'x) = (X1u'x) = Q
(ж=1...г-2),
где Pi является однородной функцией первого, а Х\ — однородной
нулевого порядка, и где и[ • • • и'г_2 в свою очередь задают (г -
2)-параметрическую однородную группу функций.
Если и[ • • • и'т_2 образуют (г — 2)-параметрическую систему в
инволюции, то заданная ею группа может, согласно стр. 251, легко быть
приведена к каноническому виду. В противном случае мы будем обращаться
с группой и\ • • • и'т_2 точно так же, как раньше с группой N\ • • • iVr_i, H,
то есть приведем ее к виду
р2,х2,<-..<_4,
(Р2Х2) = 1, (Р2<) = (Х2ч1) = О,
где Р2 — однородна и первого порядка, Х2 — однородна и нулевого порядка,
а и" • • • и"_А задают (г —4)-параметрическую однородную группу.
Продолжая таким образом, мы в конце концов должны прийти к (г — 2т)-пара-
метрической однородной группе, функции которой попарно находятся в
инволюции. Эту группу, которая образуется выделенными функциями нашей
г-параметрической группы (ср. теорему 23, стр. 228), мы тогда, согласно
указанию на стр. 251, приведем к каноническому виду.
Поэтому для однородных групп функций теорема 23 (стр. 228)
принимает следующий, более специальный вид.

Теорема 30. Всякую г-параметрическую однородную
группу функций от переменных х\ -—хп,р\ • • • рп можно привести
к виду
Рг-'-Рт, Xi---Xm, Ui---Uq (2m + ^r);
здесь Pi и Xi — однородные функции первого и нулевого
порядка соответственно, находящиеся в канонических
соотношениях
(PiP„) = (PiX„) = №ХХ) =0 (i # *), (Р<Хг) = 1
(г, ус= 1 ••• га);
кроме того, U\---Uq находятся в инволюции меэ/сду собой
и с 2т функциями Pi - - - Рт,Х\ • • • Хш и задают q-параметри-
ческую однородную группу функций, которая состоит из
выделенных функций данной г-параметрической группы. В
зависимости от того, являются выделенные функции U\ • • • Uq
одновременно однородными нулевого порядка или нет, т-парамет-
рическая группа моо/сет быть приведена к одной из двух
следующих канонических форм:
Р\ • • ' Рт, Х\ • • • Хт, Xrn+i • • • Хт+Я
или
где Хш+1 • • • Хш+Я — однородные функции нулевого порядка,
a Pm+i '" Pm+q — первого порядка2.
Говоря в последующем о канонической форме однородной группы
функций, мы будем всегда подразумевать ту из двух только что
определенных канонических форм, которую может принимать эта группа.
Однородную группу, которая уже представлена в каноническом виде, мы называем
«канонической однородной группой» или, если это не вызовет
недоразумения, кратко «канонической группой».
§58
Если однородная группа, содержащая только выделенные функции
нулевого порядка, представлена в каноническом виде Р\ • • • Рт, Х\ • • • Xm+q,
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март 1873 г.

то можно всегда найти такую функцию Pm+i первого порядка, что
Р\ — - Pm+i, Х\ • • • Хш+Я будет канонической группой, содержащей
исходную.
Так, полярная группа однородной группы Рх • • • Рт, Х\ • • • Хш,
Хт+2 ''' Хш+Я является однородной и содержит Xm+i, но не как
выделенную функцию. Поэтому, согласно утверждению 1 (стр. 252), эта
полярная группа заведомо содержит функцию Pm+i первого порядка,
удовлетворяющую условию (Pm+iXm+i) = 1; ясно, что Pm+i удовлетворяет всем
поставленным условиям.
Применив эту процедуру последовательно q раз, мы получим
каноническую однородную группу Pi • • • Pm+q, X\ • • • Хш+Я без выделенных
функций. К ней мы добавим ее однородную полярную группу в
каноническом виде Pm+<?+i • • • Рп, Xm+g+i • • • Хп и получим таким образом 2п-па-
раметрическую каноническую однородную группу Pi • • • Рп, Х\ • • • Хп,
в которой содержится исходная r-параметрическая. Итак:
Утверждение 2. Всякая однородная группа функций в переменных
х\ • • • хп, pi " - Рты имеющая канонический вид
Р\ ' ' ' Ртч
Х\ • • • Хт) Хш+\ • • • Хт+д,
содерэ1сится в 2п-параметрической канонической однородной группе
Рг.-.Рп.Хг... Хп.
Поэтому если нам, например, известны п независимых функций
Xi ••• Хп нулевого порядка, находящиеся попарно в инволюции, то всегда
можно найти п независимых друг от друга и otXi • • • Хп функций
первого порядка Pi • • • Рп, которые вместе с X удовлетворяют каноническим
соотношениям. Этот результат был уже известен нам раньше (см. стр. 158),
тогда мы еще нашли, что эти п функций Pi • • • Рп однозначно
определены, и что 2п функций Х\ • • • Хп> Р\ --- Рп тождественно удовлетворяют
уравнению
Pi dX\ H + Рп dXn = pi dx\ H + Рп dxn.
Если две однородные группы функций с одинаковым числом
параметров содержат только выделенные функции нулевого порядка, и при этом
число независимых выделенных функций для них одинаково, то они могут
быть приведены к каноническим формам
Р\ ' ' ' Рт, Х\ ' ' • Xm+q

и
Ц;1 * * * Ц/га> У\ • • • im+g
соответственно, где Pi,Xi могут быть записаны, скажем, как функции
от х\ • • • xn,Pi ••• Рп> a QbY* — от yi • • • ул, ^1 • • • qn. Согласно
выдвинутому выше утверждению, всегда существуют другие такие функции
Рт+1 ' ' ' Рп> Xm+q+i • • • Хп И Qm+i • • • Qn, Ym+q+i * * * Yn, что
-Pi * * * Рпч X-i - - - Xn
И
Qi - - Qn, Y\ • • • Yn
опять-таки являются каноническими однородными группами. Кроме того,
одно из более ранних утверждений (стр. 160) показывает, что уравнения
Х% = Yi, Pi = Qi (г = 1 • • • п)
задают однородное контактное преобразование. Ясно, что это контактное
преобразование переводит однородную группу Р\ • • • Рт, Х\ • • • Хт+Я
в группу Qx • • • Qm, Yi • • • Ym+q.
Следовательно, мы получаем следующую теорему.
Теорема 31. Если две однородные группы функций от
переменных х\ '-xn,pi -'Рп имеют одинаковое число параметров
и обе содеро/сат только выделенные функции нулевого порядка,
причем число независимых из них одинаково, то всегда
существуют однородные контактные преобразования, переводящие
одну группу функций в другую.
§59
Теперь вкратце об однородных группах функций, у которых не все
выделенные функции имеют нулевой порядок.
Каноническая форма такой группы была Р\ • • • Pm+q, X\ • • • Хт.
Однородная полярная группа однородной группы Pi - - - Pm, Pm-\-2 * * * Pm+q,
Xi • • • Xm содержит Рт+ь но не как выделенную функцию, поэтому
(ср. утв. 1, стр. 252) в этой полярной группе имеется функция нулевого
порядка Хт+1, удовлетворяющая уравнению (Pm+iXm+i) = 1. Тем
самым найдена каноническая однородная группа Pi • • • Pm+g, Xi • • • Xm+i,
в которую входит исходная группа. Повторив эти рассуждения q раз, мы

получим группу Pi • • • Pm+q, Xi • • • Xm+q без выделенных функций, а
добавив, как это было сделано выше, ее однородную полярную группу в
каноническом виде, мы получим 2п-параметрическую каноническую
группу Pi • • • Pn,Xi ••• Хп. Отсюда следует
Утверждение 3. Всякая однородная группа функций от переменных
xi - - - xn,pi • • • рп, имеющая канонический вид
П "' мти ■*гп + 1 * * * *m+q-> А]. • • • Am,
содержится в 2п-параметрической канонической однородной группе
функций Pi ••• Pn,Xi ••• Xn.
При помощи рассуждений, совершенно аналогичных тем, что привели
нас к изложенной выше теореме 31, мы получаем следующую теорему.
Теорема 32. Если две однородные группы функций от
переменных х\ '-xn,pi '"рп имеют равное число параметров, обе
содержат одинаковое число независимых выделенных функций
и, наконец, если эти выделенные функции ни для одной из
этих групп не являются одновременно функциями нулевого
порядка, то всегда существуют однородные контактные
преобразования, переводящие одну группу функций в другую.
Из теорем 31 и 32 немедленно следует
Теорема 33. Однородная группа функций от переменных
#1 * • • Хп, Pi ••• Рп обладает лишь тремя свойствами,
сохраняющимися при всех однородных контактных преобразованиях от
этих переменных, а именно, следующими: 1) число
параметров г, 2) число q содерэ/сащихся в ней независимых выделенных
функций и 3) число q' входящих в нее независимых выделенных
функций нулевого порядка; это последнее число q' всегда
равно либо q, либо q — I?
Две r-параметрические однородные группы от переменных xi ♦ ♦ ♦ хп,
Pi -' Рп мы будем причислять к одному и тому же типу групп функций,
если одна из них может быть переведена в другую некоторым однородным
контактным преобразованием от этих переменных; если же такой переход
невозможен, то мы отнесем эти группы к различным типам. Разумеется,
число типов r-параметрических однородных групп конечно, т. к. зависит от
Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, март 1873 г.

числа всех возможных систем значений g, qf, а это число является
конечным, поскольку должно выполняться неравенство q < г, и для qf
учитываются только две возможности: q' = q и q' = q — 1. Понятно, что в
переменных х\ • • • xn,pi • • • рп вообще имеется лишь конечное число различных
типов однородных групп функций.
§60
Теперь мы хотим решить общую задачу преобразования,
рассмотренную в главе 10, при том особом условии, что учитываются
только однородные контактные преобразования. Итак, допустим, что нам
даны г функций U\ — - Ur от х\ — - хп,р\ ♦ • • рп иг функций Vi • ♦ ♦ Vr от
У\ • • • Уп, Qi • • • #п> и зададим вопрос о критериях существования
однородного контактного преобразования:
У г = П{ (я, р), qi = if; (х, р)
(г = 1 ••• тг),
переводящего СД ♦ ♦ ♦ Ur в Vi ♦ ♦ ♦ Vr соответственно.
Прежде всего рассмотрим частный случай, когда U\ ••• Ur являются
друг от друга независимыми и задают r-параметрическую группу функций,
так что имеют место соотношения вида
((Uiu„)xp = ni„{u1 •••[/,),
&^=^-^) (4)
«/=1 ар"
[ (г, >с= 1 ... г).
Если при этих условиях существует однородное контактное
преобразование (3), превращающее U\ ♦ ♦ ♦ Ur в V\ ♦ ♦ ♦ Vr, то Vi ♦ ♦ ♦ V^ должны быть
прежде всего также независимы друг от друга. Если мы, кроме того,
предположим, что это контактное преобразование применено к уравнениям (4),
то с учетом изложенного на стр. 151 и 158 получим следующие уравнения:
{Y,^7^=w^---Vr) (5)
J/=l aqu
\ (i, x= 1 ••• r).
Поэтому для того чтобы существовало однородное контактное
преобразование с требуемым свойством, V\ ♦ ♦ ♦ Vr должны в свою очередь задавать

r-параметрическую однородную группу функций, причем соотношения (5)
должны выполняться тождественно.
Необходимые условия, которые здесь проявились, являются также
и достаточными.
Предположим, что заданные условия выполнены. Мы приводим
г-параметрическую однородную группу C/i • • • Uг к каноническому виду
Х\ • • • Хт, Р\ ••• Рь, который может быть задан уравнениями
Xi = WW - ■ ■ Ur), Pj = ф^и, ...Ur)
(г = 1 • • • m, j = 1 • • • /i, m + h = r).
Очевидно, что тогда
Yi = (Pi(Vi ---Vr) (i = l--.m),
Qj = 1>j{Vi ••• vr) (j = i...h)
— независимые функции группы V\ • • • Vr и находятся в канонических
соотношениях, в то же время Y будут однородными функциями нулевого
порядка от q, a Q — однородными функциями первого порядка, поскольку
f эх, . f Щ р
то есть
Отсюда мы заключаем, что Y\ • • • Угп, Qi • • • Q^ является канонической
формой однородной группы функций V\ ♦ ♦ ♦ Vr. Тогда, согласно стр. 255-
256, можно найти 2п — г таких функций X, Р от ж, р и 2п — г таких
функций У, Q от у, q9 что Xi • • • ХП9 Р\ ♦ ♦ ♦ Рп и Yi ♦ ♦ ♦ Yn9 Q\ ♦ ♦ ♦ Qn будут
двумя 2п-параметрическими каноническими однородными группами
функций. Следовательно, 2п уравнений
Yi=X{, Qi = Pi (г = 1...п)
задают однородное контактное преобразование, причем, очевидно, такое,
которое переводит U\ ♦ ♦ ♦ Ur в V\ ♦ ♦ ♦ Vr соответственно. Таким образом,
наше утверждение доказано, и мы имеем следующую теорему.

Теорема 34. Если т независимых функций U\ •• • Ur от
переменных Х\ •••xn,pi ♦ ♦ ♦ рп задают г-параметрическую
однородную группу функций, и г независимых функций Hi • • • Иг от
переменных х[ • • • x'n,Pi • • • pfn также задают г-параметрическую
однородную группу функций, то однородное контактное
преобразование
x'i=Xi(x,p), р[ = Рг(х,р) (г = 1-..п)1
переводящее U\ • • • Ur в И\ • • • Нг соответственно, существует
тогда и только тогда, когда каждое из выражений
(iwixW, Ек#7 (^=1---)
выражается через \Х\ • • • iXr точно так же, как
соответствующее ему выражение
(UiU„)xp, ^Pi/^-5" (г,^=1---г)
— через U\ • • • C/r.4
Если сами функции f/i • • • t/r уже однородны по р, то и Hi • • • Нг
должны, разумеется, быть таковыми по р\ а именно, всякая il* должна быть
того же порядка, что и соответствующая Щ.
Из теоремы 34, кроме того, следует: если г независимых
функций U\ ••• Ur от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп задают г-параметриче-
скую однородную группу функций, то существование соотношений (4)
является единственным свойством системы функций U\ • • • Ur,
сохраняющимся при всех однородных контактных преобразованиях в
переменных xi ••• xn,pi ♦♦♦ рп.
Теперь следует рассмотреть общий случай, когда заданные функции
U\ • • • Ur и V\ ♦ ♦ ♦ Vr совершенно произвольны, однако мы хотим по
крайней мере наложить ограничение, что U\ ♦ ♦ ♦ Ur независимы друг от друга
(ограничением общности это не является (ср. стр. 239)).
Для того чтобы U\ ♦ ♦ ♦ Ur при помощи однородного контактного
преобразования (3) переходили в V\ ♦ ♦ ♦ Vr, последние, конечно же, должны
4Lie, Mathematische Annalen, том VIII.

быть также независимы друг от друга, кроме того, при таком контактном
преобразовании любое (UiUx)xp должно превращаться в (ViV^yq, а любое
dpi
+ Рг
соответственно в
дрп
dVi
dVi ^ ^
dqi dqn
Учитывая это рассуждение, а также вспоминая изложенное на стр. 239 и
ниже, мы поступим следующим образом. Рассмотрим все выражения
' др„
(6)
и выберем из них максимальное число таких, которые независимы от
U\ ♦ ♦ • Ur и между собой, найденные функции мы обозначим через
U^+i • • • CT^i • Далее образуем выражения
аи!
№х)хр, {и[К)хр, J2p»t^
u=l
дри
(?)
и выберем из них максимальное число таких, которые являются
независимыми как от Ui ■ • Ur, C/^+1 ♦ ♦ ♦ Urri, так и между собой, и обозначим их
U" +i • • • U"0. Соответствующим образом мы получим некоторые функции
U"l+i ♦ ♦ ♦ Ur" и т. д. В конце концов мы должны прийти к системе из п ^ г
независимых функций
и, ■ ■ ■ иг, и'г+1 ■ ■ ■ и'Г1, с/;;+1 • • • с/;;, • • • и^_1+1
(п > г, гг > П, • • • vi > r/_i; I > 0),
обладающей тем свойством, что все выражения
■ up
А дЩ А дЩ
эи
(0
9pi/
dp»
Pw
\UiU xjxpi \уiUx)xp->
[u[K)xp,
dp»
п
Е
\UiUx jxp-i
(8)

можно представить как функции только от U\ ••• Ur,\ другими
словами, мы должны прийти к г-параметрической однородной группе функций
U\ ♦ ♦ ♦ Ur,\ содержащей г функций U\ ♦ ♦ ♦ Ur, причем мы, очевидно,
приходим к наименьшей однородной группе функций с таким свойством. Затем
среди выражений
W„)
yqi
(во
♦ U'ri среди вы-
отыщем те, которые соответствуют обозначенным Ufr+l
ражений (6), и обозначим их соответственно Vrf+l ♦ ♦ ♦ V^. Точно так же мы
найдем среди выражений
(ViV^)yg, (V^)yg, Х>
V=l
(Г)
те, которые соответствуют обозначенным U"i+1 "' U"0 среди
выражений (7), и обозначим их V^'+1 ♦ ♦ ♦ Vr"o. Аналогичным образом мы получим
ФУНКЦИИ^! '"Vr{P.
Если однородное контактное преобразование переводит U\ • • • Ur
в V\ ♦ ♦ ♦ Vr соответственно, то оно в то же время превращает U'r+l ♦ ♦ ♦ щ,
bV/'" Vr, соответственно; поэтому только от этого зависит,
существует ли однородное контактное преобразование, переводящее U\
r(l)
иЯ>
в V\ ♦ ♦ ♦ VT, соответственно. Дать ответ на этот вопрос легко:
однородное контактное преобразование с требуемым свойством существует тогда
и только тогда, когда V\ ♦ ♦ ♦ Vr\ являются независимыми друг от друга
и задают п-параметрическую однородную группу функций и, кроме того,
(см. теорему 34, стр. 260) когда любая из функций
EOVi ST^ Л dVi
(VtV„)
дри'
yqi
'(ViV^yq,
выражается через V\
щая из функций (8) -
r(D
dV!
(i)
(ViVP)yq,
WvP)
yqi
(v?l)vP)yq
(8')
♦ ♦ Vr, точно таким же образом, как и соответствую-
через C/i
и«\

Теперь мы можем сказать:
Теорема 35. Если в переменных х\ ♦ ♦ ♦ хП) р\ ♦ ♦ ♦ рп заданы
какие-либо г функций U\'"Ur, а в переменных х'х - - х'п,
Р\ * * * Рп ~ какие-либо г функций iXi • • • ilr, то всегда можно
при помощи дифференцирований и исключений выяснить,
существует ли однородное контактное преобразование
х[=Х{(х,р), p[ = Pi(x,p) (г = 1-..п)1
переводящее U\ ♦ ♦ ♦ Ur в й\ ♦ ♦ ♦ ilr соответственно5.
Кроме того, вышеизложенные рассуждения дают все свойства
произвольной системы функций U\{x,p) ♦ ♦ ♦ Ur(x,p), остающиеся
инвариантными относительно всех однородных контактных преобразований от
переменных х,р\ однако на рассуждениях по этому вопросу мы останавливаться не
будем.
§6i
Теперь мы наконец-то можем решить общую задачу преобразования,
поставленную в начале данной книги.
Предположим, что нам даны т функций F\ • • • Fm переменных
z,x\ ♦ ♦ ♦ xn,pi ♦ ♦ ♦ рп и т функций #1 ♦ ♦ ♦ $т переменных z',x[ ♦ ♦ ♦ х'п,
Р\ '" P'n'i требуется ответить на вопрос, существует ли контактное
преобразование вида
z' = Z(z,x,p), x[ = Xi(z,x,p), p'i = Pi(z,x,p) (9)
(i = 1 ••• га),
при котором F\ • ♦ ♦ Fm переходит в 3i • • • dm соответственно.
Чтобы ответить на поставленный вопрос, мы введем (ср. стр. 161
и ниже) вместо переменных z,x\ ♦ ♦ ♦ хП1р\ ♦ ♦ ♦ рп однородные переменные
У\ • • • Vn+uQi • • • 9п+ь положив
Z = 2/п+Ь Х\ = Уь • • • Хп = уп,
-п - ~Ql <п - ~Qn
Pi - qn+1 i-'Pn- Qn+1
и, соответственно,
z — Уп+\-> Х\—У\^ " ' xn — Уп->
5Lie, Math. Ann., том VIII.

Чп+1 Чп+\
Все сводится к тому, чтобы выяснить, существует ли однородное
контактное преобразование
yl = У„(2/, q), q'v = Q^y,q) (r = 1 • • • n + l),
переводящее га функций
В
V Чп+1 Чп+1 /
соответственно. Но это мы уже раньше научились определять. Итак,
Теорема 36. Если в переменных z,x\ - - - хп,р\ • • ♦ рп заданы
какие-либо т функций Fi---Fm, а в переменных г',х[---х'п,
Pi'''Pn ~ какие-либо т функций Зт ♦ ♦ ♦ 3m, то всегда можно
при помощи дифференцирований и исключений выяснить,
существует ли контактное преобразование вида
z' = Z(z,x,p), х[=Хг(г,х,р), р'{ = Pi(z,x,p) (9)
(г = 1 ••• п),
переводящее F\ ♦ ♦ ♦ Fm в 3i * * * 3m соответственно.
Очевидно, можно также задать все свойства произвольной системы
функций F\{z,x,p) ••• Fm(z,x,p), остающиеся инвариантными
относительно всех контактных преобразований вида (1).

Глава 13
Структура группы функций
Настоящая глава поможет существенно дополнить теорию групп
функций: первый параграф — теорию произвольных, а второй — теорию
однородных групп функций.
§62
Пусть ipi • — фг — независимые функции г-параметрической группы
функций от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, тогда, как мы знаем, имеют
место соотношения вида
(<Pi<Px)xp = &ы{ч>\ '" <Рг) (г, * = 1 • • • г). (1)
Легко видеть, что участвующие здесь здесь функции Qi?c величин
(fi ... ipr удовлетворяют некоторым условиям, не зависящим от
специального вида группы функций
Во-первых,
(}pi4>>c)xp + {<Px<Pi)xp = 0 (г, х = 1 • • • г),
то есть выражение «f2$x + ^*г также должно для всех значений г и к
тождественно обращаться в нуль, а поскольку ipi(x,p) • • • (рг{х,р) —
независимые функции своих аргументов, то это возможно не иначе как только
тогда, когда функции Q^ переменных tpi • • • <рг тождественно
удовлетворяют уравнениям
^гх(^1 ••• фг) +Пю{ф1 ••• фг) =0 (г,*=1 ..-г). (2)
Во-вторых, между любыми тремя функциями
4>ifap) --- (prfap)

имеет место тождество
(г, >tr,j = 1 ... г);
если же мы здесь при помощи (1) выразим левую часть через (pi • • • (рг,
а с другой стороны примем во внимание, что </?i(x,p) • • • (рг(х,р) являются
независимыми функциями своих аргументов, то мы увидим, что i?^ как
функции от (pi • • • <рг тождественно удовлетворяют также уравнениям
(г, >tr,j = 1 ... г).
Следовательно, справедливо следующее
Утверждение 1. Если г независимых функций <pi • • • <рг переменных
xi • • • хп, pi — - Рп задают r-параметрическую группу функций и
вследствие этого имеют место соотношения вида
{¥i,Vx)xp = &ы{ф\ ••• <Рг) (г,*= 1 ••• г), (1)
то fiiK, рассматриваемые как функции величин (pi - - - (рг, тождественно
удовлетворяют уравнениям (2) и (3).
Теперь можно предположить, что нам, напротив, даны г2 функций w^
от (pi • • • (рг, и задать вопрос, можно ли (и при каких условиях) выбрать
число п так, чтобы в 2п переменных xi • • • хп, р\ • • • рп существовали г
независимых функций </?i(x,p) ••• <рг{х,р), которые задают г-параметри-
ческую группу функций и к тому же находятся в соотношениях
(<Pi¥x)xp = Щх(<Р1 • • • 4>г) (г, * = 1 • • • г). (4)
Ниже будет дан ответ на этот вопрос.
Согласно вышеизложенному утверждению 1, r-параметрическая
группа функций с заданным свойством может в любом случае существовать
только тогда, когда функции W{x величин (pi • • • (рг тождественно
удовлетворяют как уравнениям
Wix+Wxi = 0 (г, х= 1 ... г), (5)

так и уравнениям
g Г-^Г + ^-fl^T + w-^-J ^ ° (6)
(i,>c,j = l ••• r).
Однако эти необходимые для существования такой группы функций
условия являются также и достаточными, что мы теперь докажем.
Предположим, что г2 заданных функций w^ величин ipi • • • </?г
тождественно удовлетворяют уравнениям (5) и (6).
Если бы уже было доказано, что от подходящего числа 2п
переменных х\ •••xn,pi • • • рп существует r-параметрическая группа функций
4>\{х->р) "' ^г(х,р), для которой имеют место соотношения (4), то для
двух произвольных функций F и Ф от if\ • • • ipT мы получили бы
следующее уравнение:
''Г1 (7)
Е, sdF дФ
'dtfidipK
Если же нам ничего не известно о том, действительно ли имеется такая
группа функций <pi(x,p) • • • (рг(х,р) (а мы пока еще находимся в этой
ситуации), то символ
(F(<pi ••• <рг),Ф(<Р1 ••• 4>г))хр
не имеет вообще никакого смысла. Но выражение, записанное во второй
строке формулы (7), при любых обстоятельствах сохраняет смысл; поэтому
для этого выражения мы введем новый символ, положив
Е •*.<»"■-*>^;!£-1"1- (8)
Старый символ ()хр содержится в этом символе | | как частный случай:
так, если выбрать г равным 2п, вместо <pi • • • (f2n записать
соответственно р\ • • • рп, х\ • • • хп и, наконец, все гу^, кроме
^1, гг+1 = ^2, п+2 = • • • = Wn> 2п = 1>
Wn+1,1 = ^п+2,2 = • • • = W2n,n = -1,

положить равными нулю, то уравнения (5) и (6) будут выполнены
тождественно, а если U и V обозначают произвольные функции от х\ • • • хп,
Pi ' — Рп,т0 мы получим
г=1
Новый символ 11 обладает характеристическими свойствами старого
символа ()хр.
Прежде всего в силу w^ + w^i = 0 выполняется тождество
|F<?| + |<Z>F| =0, (9)
которое, в частности, показывает, что выражение \FF\ всегда
обращается в нуль. Кроме того, выражение \(fi^p^\, очевидно, всегда имеет
значение Wix, следовательно, выражение
Е dwix
имеет значение Hyw^lv^'k н0 поскольку функции WiH{(f\ • • • </?г)
тождественно удовлетворяют уравнениям (6), то для любых чисел г, >c,j из
последовательности 1,2 • • • г также имеет место тождество
||¥W*|<Pjl + ||¥>*<Pjl¥>i| + \\Ч>эЧ>г\Ч>*\ = 0. (10)
Напрашивается предположение о том, что тождество этого вида будет
иметь место также для трех произвольных функций F, Ф, Ф от ipi • • • ipr.
Правильность этого предположения мы докажем следующим образом.
Из тождеств
г
следует, как известно
г
\(fi\ip„F\\ - \(p„\<piF\\ = 5^{|^»|^^j/|| - |^|^*^j/||}
dF

то есть, с учетом (10):
\(fi\(f^F\\ - \(p„\(fiF\\ = ||^(/?^|F|. (11)
Точно так же из тождеств
г
дФ
мы получаем следующее:
г
дФ
\\4>1\гу>и\\ - \r wupvW}
правая часть которого в силу (11) принимает вид
|^|F<P|| - \F\<p&\\ = 52{\<Pi\F<pu\\ - |F|^||}|f,
таким образом,
Наконец, из
|^|F<?||-|F|^#|| = ||^F|<f|. (12)
r
мы получаем тождество
г
\F№\\ - №\F*\\ = ^ {|F|<^|| - |<P|*V„||}|^-,
V= 1
а если здесь при помощи (12) преобразовать правую часть, то имеем
\Г\ФЩ-\Ф\Г$\\ = \\РФЩ (13)
или, что то же самое,
\\РФ\ ф\ + \\ФФ\Р\ + || ФГ\Ф\ = 0. (14)

Тем самым мы подтвердили наше предположение и имеем
Утверждение 2. Если г2 функций w^ переменных cpi • • • срг таковы,
что уравнения
(Щх{¥>1 ' ' ' <рг) + ™xi{}P\ ' ' ' 4>т) = О,
< v^ f 9iyix dwxj dwji) (15)
1^1 I ^ ^ ^ J
выполняются тождественно, и если положить,
/??<? /и/?и произвольные функции F, Ф, ^ 0/7? (^ всегда удовлетворяют
тождеству
||РФ| 8Р| + ЦФ8РИ + || <?Р|Ф| = 0. (14)
Тождество (14), очевидно, является обобщением тождества Якоби.
После этих приготовлений мы приступаем к ответу на вопрос,
поставленный на стр. 266 и ниже. Итак, предположим, что нам даны г2
функций Win от (f\ - - - tpr, тождественно удовлетворяющих
уравнениям (15), и спросим, существует ли г-параметрическая группа функций
y>i(x,p) - - - (рг(х,р), для которой имеют место в точности соотношения,
(<РИР*)хр = Щк(<р1 '•• Фг) (г, х = 1 ••• г). (4)
Для ответа на этот вопрос мы поступим следующим образом: попробуем
задать г = 2т + q таких независимых функций Р\ • • • Рт+7, Х\ • • • Хт
от ipi — - ipr, что будут иметь место соотношения вида
\PiXi\ = 1, \PiPx\ = \РгХ«\ = \XiXx\ = 0;
если нам это удастся, то мы без труда сможем задать г-параметрическую
группу функций с требуемым свойством; следовательно, мы увидим, что
ответ на наш вопрос утвердительный.
Если все выражения l^^l обращаются в нуль тождественно, то
мы можем непосредственно задать 2га + q — г независимых
функций Pi - - - Рщ+q, Xi - - Хт с желаемым свойством; мы просто положим
ipi — Pi, • • • ipr — Рг, тогда и сами соотношения |РгР*| — 0 выполняются;
число га в этом случае равно нулю, ag = r.

Отныне мы будем считать, что не все \^Рг^Рх\ обращаются в нуль
тождественно, в частности, не все \ц>\фу,\ тождественно равны нулю.
Сначала положим Р\ — ipi и найдем функцию F от (р\ • • • tpr,
удовлетворяющую условию
г
\PlF\ = Yt™U<Pi---<Pr)-!& = l-
Х=1
д(р*
Среди решений этого линейного дифференциального уравнения в частных
производных мы выберем какое-либо F и назовем его Х\. То, что это Х\
является независимым от Pi, следует из выполнения тождества |PiXi| = 1.
Составим теперь следующие два линейных дифференциальных
уравнения в частных производных:
аг (1б)
Они независимы друг от друга, так как не все их решения являются
общими, в чем можно уже убедиться, подставив Х\ вместо /; кроме
этого, они образуют двухпараметрическую полную систему; используя
тождество (14), мы таким образом получаем
\Px\XrfW - \Xx\Pxf\\ = HPiXil/l = |1/| = 0.
Отсюда следует, что существует в точности г — 2 независимых функций
ip[ ••• ф'г-2 от ^1 *** Фг, удовлетворяющих обоим уравнениям (16). Эти
функции (р[ • • • ц>'г_2 являются независимыми от Pi и Х\, поскольку если
бы, например, выполнялось
Pl = Q{Xu4>i •••<Рт-2)>
то получалось бы противоречивое уравнение: |PiXi| = 1 = \P\fi\ — 0.
Когда (р[ •••(р'г_2 найдены, мы вычислим выражения |^^|.
Если все они одновременно обращаются в нуль, то мы положим Р2 =
= (р[, • • • Pr_i = ifr-2 и тем самым Уже получим искомую систему
функций Pi • • • Pm+q,X\ - - - Xm; число m равно 1, a q равно г — 2. Если же
не все lifiif'xl обращаются в нуль, что, разумеется, может произойти
только тогда, когда г > 3, то мы можем предположить, что, например, не все

I^i^l Равны нулю; тогда, положив Р2 — (р[, мы составим уравнения
|Pi/|=0, |Xi/|=0, |Р2/| = 1. (16')
Чтобы найти функцию / от ipi ■ ■ ■ tpr, удовлетворяющую этим условиям,
мы сначала найдем функцию W от <pi ■ ■ ■ <рг и /, удовлетворяющую
уравнениям
J Ai(W) = \PiW\ = 0, A2(W) = \XiW\ =0,
A3(W) = \P2W\ + ^-=0. (17)
Эти три линейных дифференциальных уравнения в частных производных,
которые, очевидно, являются независимыми друг от друга, образуют трех-
параметрическую полную систему в переменных ipi • • • tpr,f, поскольку
с использованием тождества (14) получается
Ai(A2(W)) - A2(Al{W)) = WPM W\ = \1W\= 0,
A^AsiW)) - A^A^W)) = \\РгР2\ W\ = \0W\ = 0,
A2(A3(W)) -A3(A2(W)) = \\XYP2\W\ = \0W\=0.
Если бы все решения трехпараметрической системы (17) не содержали /,
то есть уравнение —— = 0 входило бы в эту систему, то уравнения
|PiW| = Ои l-^iWI = 0 повлекли бы за собой уравнение |Р2^| = 0,
и вследствие этого все выражения \Р2(р'^\ вопреки предположению
обращались бы в нуль. Отсюда мы заключаем, что полная система (17) во всяком
случае имеет одно решение W(tpi • • • </?г> /), действительно содержащее /;
если же мы положим это решение равным константе
W(ipi • • • <pr, /) = const.
и предположим, что записанное только что уравнение разрешено
относительно /, то получим, как известно, решение / уравнений (16').
Допустим, что описанным способом задано некоторое решение
уравнений (16'), и обозначим его Х2, тогда Pi, X\, Р2, Х2, очевидно, будут
независимыми друг от друга и находиться в нужных соотношениях
<\Р1Х1\ = \Р2Х2\ = 1,
Теперь выпишем четыре линейных дифференциальных уравнения в
частных производных
|J>i/| = 0, |Xi/|=0, |Р2/|=0, |Х2/|=0 (19)

в переменных <pi • • • ipr. Ни одно из этих уравнений не является
следствием другого, что непосредственно видно, если придать в них /
поочередно значения X\,Pi,X2,P2- Кроме того, в результате использования
тождества (14) и соотношений (18) получается, что уравнения (19) образуют
четырехпараметрическую полную систему. Эта полная система имеет в
точности г — 4 независимых решений ip'{ • • • ^"-4> которые, очевидно, также
независимы от Pi, X\, P<i, X2.
Что делать дальше — понятно и не требует разъяснений. Достаточно
сказать, что нам действительно удастся в конце концов задать 2т + q = г
таких независимых функций Pi • • • Pm+g, X\ • • • Хш от <pi • • • <рг, которые
тождественно удовлетворяют соотношениям
\PiP„\ = \PiXx\ = \XiXx\ = 0 (г ф к), \PiXi\ = 1 (20)
(г, >с — 1 • • • г).
Если Pi - - - Рщ+q, Х\ • • • Хш заданы как функции от ipi • • • ipr, то и,
наоборот, мы можем представить ipi • • - ipr как функции от Pj • • • Pm+7,
Х\ - - - Хт. Тогда, если под F и Ф понимать две произвольные функции
от if\ — - ipr, мы получим
m+q m
m+q m ,
8F ОФ 8F ОФ
г=1 х=1 К
дРгдх« эх„дРг
или, в силу соотношений (20),
т. /
8F дФ 8F 8Ф
1^1 = £
1=1
дР» дх^ дх^ дР^
В частности,
\4>%4>к\ = Wi„((pi
дХ^ дР^
что может быть также записано как
Е( dipi д<рх dipi dip* \
и=\

если, помимо Р\ • • • Рт+д, Х\ • • • Хт, ввести еще в качестве независимых
переменных какие-либо не входящие в ipi • • • ipr величины Pm+q+i • • • Pn,
Xm+i ••• Xn. При этих предположениях (pi(X,P) ••• ipr(X,P)9
очевидно, задают r-параметрическую группу функций в переменных Х\ • • • Хп,
Р\ •— Рп, а именно, группу функций, удовлетворяющую поставленным на
стр. 271 условиям.
К слову сказать, тем самым найдена вообще любая г-параметриче-
ская группа функций от 2п переменных Х\ • • • Хп, Р\ • • • Рп,
обладающая требуемым свойством. Так, если грх • • • фг — независимые функции
от Х[ • • • Х'п, Р[ • • • Р'п, тождественно удовлетворяющие соотношениям
{ФгФх)х>Р' = Wix(lpl * ' ' Фт) (г, ^ = 1 • • • г),
то, согласно теореме 26 (стр. 238), всегда существует контактное
преобразование вида
г' = г + п(х,р), х[ = б,{х,р), р[ = щх,р) (i = i-n),
переводящее (pi(X,P) ••• ipr(X,P) в i/ji(X\P') ••• фг(Х',Р')
соответственно. С другой стороны, если к группе функций (fi(X, P) • • • (pr{X, P)
применить произвольное контактное преобразование заданного вида, то
мы, конечно же, снова получим группу функций с тем же свойством.
Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема 37. Для того чтобы по крайней мере для
некоторых значений п существовала г-параметрическая группа
функций от 2п переменных х\ ---хп, р\ • • • рп, содержащая такие
независимые функции <pi(x,p) ♦♦ ♦ ipr(x,p), для которых имеют
место соотношения вида
(<Pi<Px)xp = Wi*(<Pi '" 4>r) (i,**=l ••• г) (21)
с заранее заданными функциями Wi^, необходимо и
достаточно, чтобы функции Wi^ от величин (pi • • • <рГ тождественно
удовлетворяли уравнениям
( Щх(<р1 ••• <pr)+ w>ci(<Pi • • • yv) = О,
I A J dwix dwxj dwji \
g(^l^+^l^+w-^)=0 (22)
I (h^j = 1 ••• г).

Если эти условия выполнены и имеется некоторая г-пара-
метрическая группа функций ipi(x,p) •••yv(#>p) от 2п
переменных х\ ♦ ♦ • хп, р\ • • • рп, для которой выполняются
соотношения (21), то все другие такие группы функций от 2п
переменных мы найдем, применив к (fi(x,p) ♦♦♦ <рг(х,р) самое общее
контактное преобразование вида]
z' = z + f?(x,p), x- = Si(x,p), р'{ = Щх,р)
{г = 1 ••• п).
Если заданы г2 функций WiH(<Pi • • • <£г)> тождественно
удовлетворяющих уравнению (21), то в общем случае можно лишь при помощи
интегрирования найти r-параметрическую группу функций </?i(x,p) ♦♦♦ <рг(х,р),
для которой имеют место соотношения (21), причем рассуждения выше
показывают, что в любом случае необходимо лишь интегрирование
линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого
порядка или, что то же самое, интегрирование систем обыкновенных
дифференциальных уравнений. Напротив, без интегрирования можно найти целые
числа т и д, участвующие в каноническом виде Pi ♦ ♦ ♦ Рт+Я, Х\ ♦ ♦ ♦ Хш
неизвестной группы функций ф\{х,р) ♦ ♦ ♦ фг{х,р).
Очевидно, что q при этом — число независимых выделенных
функций, содержащих группу функций (fi(x,p) ♦♦♦ ipr(x,p). Поэтому число q
мы найдем, исследовав определитель $^±(<pi<£>i) ••• (ipr<Pr) или, что
сводится к тому же самому, определитель
|wil(<P) • WlrMl
|wrl(¥>) • Wrr(<f)\
Если этот определитель, а также все его миноры (г — 1)-го, ♦ ♦ ♦ (г — Д+1)-го
порядка обращаются в нуль тождественно, а миноры (г — /г)-го порядка —
не все обращаются в нуль, то q равно h. Задав д, мы находим т из
уравнения 2т = г — q.
Следует еще заметить, что и наименьшее число 2п переменных
х\ ••• хп, Pi • • • Рп, Для которых существует r-параметрическая группа
функций <£i(x,p) ••• (рг(х,р) с заданными соотношениями (21), можно
также задать без интегрирования. Ясно, что это наименьшее число 2п
имеет значение 2(га + q), т. к., очевидно, существует r-параметрическая группа
'Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1888 r.

функций в 2п = 2(га + q) переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп, р\ ♦ ♦ ♦ рп с таким
свойством, а в 2п < 2(га + <?) такой группы функций нет, поскольку (2т +
(^-параметрическая группа функций от 2п < 2(га + q) переменных х\ • • • хп,
Pi " • Рп никогда (ср. стр. 202, утв. 5) не может иметь канонического вида
-Pi * * * Pm+qt X\ ' ' ' Хт.
Рассуждения, приведшие нас к теореме 37 (стр. 274), могут отчасти выглядеть
несколько иначе.
Вернемся к исходной точке зрения, принятой нами на стр. 270 после
утверждения 2. Как и тогда, предположим, что нам даны г2 таких функций гиг>£ от y?i • • • </?г,
которые тождественно удовлетворяют уравнениям (15), и будем искать г = 2т + q
таких независимых функций Р\ ■ ■ ■ Рт+д, X\ • • • Хт, чтобы имели место
соотношения вида
|РгХг| = 1, \РгР*\ = \РгХ*\ = \ХгХ„\ = 0.
Сначала поступим точно так же, как и ранее; если не все \<рг<р*\ тождественно
обращаются в нуль, то мы зададим (как на стр. 271 и ниже) г таких независимых
функций Pi, Xi, <p'i • - - ip'r-2 от <р, чтобы тождественно выполнялись уравнения
|PiXi| = l, |Pi^| = 0, |Xi^|=0 (23)
(х= 1 ••• г-2).
Затем образуем два тождества (ср. утв. 2, стр. 270)
||v>y*|Pi| + ||v4Pi|¥>:i + \\Piri\rU = o,
\\<pW„\x*\ + llv'x^ilvil + \\Хкр'гШ = о.
которые в силу соотношений (23) принимают вид
|h^|Px|=0, ||^'ж|Х,|=0.
Отсюда вытекает, что одновременно с ip'i ■■• <pr-i всякое |уч^| также является
решением двухпараметрической полной системы |Pi/| = 0, \X\j\ — 0, а
поскольку всякое решение этой полной системы можно представить как функцию только
от ip'i • ♦ ♦ <fr-2, следовательно, имеют место соотношения вида
\<Рг<Р*\ = Wt*(<Pl ' ' ' ф'т-2) (h * = 1 ' ' ' Г - 2). (24)
Если не все wt>c тождественно равны нулю, в частности, например, не все uJi^,
то мы положим Pi = <pi и найдем функцию F от <р[ • • • c/V-2> удовлетворяющую
условию
|P2F| = £uM^ •• Vr-2)^-= 1.

Если F(<p'i • • • <р'т-2) является решением этого линейного дифференциального
уравнения в частных производных от переменных кр\ ■ ■ • ц>г-1-> те мы положим
Хг — F(<f'i • • • (fr-2) и затем составим два линейных дифференциальных
уравнения в частных производных
Т-\ **" (25)
в переменных ф\ ■ • • </?£.-2- Уравнения (25), очевидно, являются друг от друга
независимыми, кроме того, они образуют двухпараметрическую полную систему,
поскольку
\F2\X2f\\ - \X2\P2f\\ = \\P2X2\f\ = |1/| = О,
следовательно, они имеют в точности г — А общих независимых решений
{р'{ ♦ ♦ • c£V-4- Кроме того, легко видеть, что Рг,Хг,ф{ - - - Ц>"-4 являются
независимыми функциями от 1р\ ■■■ 1рг-2 и что всякое |<piV*l можно представить как
ФУНКЦИЮ ТОЛЬКО ОТ (fii • ■ • ip'r-4'
С системой функций кр'[ ♦ • • у?"-4 мы поступим точно так же, как до этого
с системой функций <р[ • ■ • ip'r-2, и, продолжая таким образом, в конце концов
получим г таких независимых функций Pi ♦ ♦ ♦ Pm+g ,Х\ ♦ ♦ ♦ Xm от <р9 которые
находятся в желаемых соотношениях
|РгХг| = 1, \РХР«\ = \РХХ„\ = \XtX«\=0.
Все остальное будет тогда как на стр. 273 и ниже.
§63
Рассмотренную в предыдущем параграфе общую задачу мы теперь
хотим несколько конкретизировать. А именно, мы хотим выяснить, при каких
условиях возможно выбрать число п таким, чтобы существовала г-парамет-
рическая однородная группа функций от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп,
обладающая следующими свойствами: она должна содержать т
независимых функций h\ • • • hr, однородных и первого порядка по р, и эти г
функций должны удовлетворять заданным соотношениям вида
(hihx)xp = Wix(hi • • • hr) (i,x=\ ... г). (26)
Для того чтобы существовала группа функций с требуемым свойством,
функции win должны, согласно утверждению 1 (стр. 266), тождественно

удовлетворять уравнениям
( wiyc(hi • • • hr) + wxi(hi • • • hr) = 0,
EГ f Эй;»* 9w*j dwji\
^=1рж:+^Ж7+^ж;) = 0 (27)
I (i,^,j = 1 ••• r).
К этим условиям, очевидно, добавляется теперь еще то, что iu^ должны
быть однородными функциями первого порядка от h\ ♦ • hr.
Если заданные условия выполнены, то мы можем считать, что,
согласно теореме 37, всегда имеется некоторая r-параметрическая группа
функций (fi {x,p) • • • (fr{x,p)i например, от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, для
которой выполняются соотношения
{4>%4>*с)х-р = ЫгЛ^г • • • Ут) (г, х = 1 • • - г). (28)
Впрочем, здесь ^ • • • </V отнюдь не должны быть однородными первого
порядка по р, но можно доказать, что всегда существует контактное
преобразование вида
z' = z + П(х,р), х\ = Ei(x,p), р\ = Лг(х,р) (29)
(г = 1 • • • п),
при выполнении которого ipi(x,p) • • • (рг(х,р) переходит в такие функции
Н\ • • • Нт от х\ • • • xfn,pfi • • • р'п, которые являются однородными и
первого порядка по р'. Эти функции Hi • • • Нт находятся тогда в соотношениях
(HiH„)x<p> = Wiy<(Hi • • • Нг) (г, к = 1 • • • г)
и поэтому задают r-параметрическую однородную группу функций с
требуемым свойством.
Если мы хотим доказать наличие такого контактного
преобразования (29), достаточно привести группу функций ipi(x,p) • • • ipr{x,p) к
такому каноническому виду Pi • • • Pm, Xi • • • Xq (m + q = r, m > 0), чтобы Pi
были однородными функциями первого, & Xi — однородными нулевого
порядка по (pi • • • (рг. И если такой канонический вид найден, то (fi • • • (рг
можно представить как функции от Pi • • • Pm, Xi • • • Xq, причем они,
очевидно, будут однородными и первого порядка по Pi • • • Pm. Если теперь
♦ Pm, Xi ♦ ♦ ♦ Хд Добавить Такие фуНКЦИИ Ртп-j-i • • • Pni Xq+i ♦ • • Хп
переменных х,р, чтобы Pi • • • Pn, Xi • • • Хп стала 2п-параметрической

канонической группой, то, согласно теореме 13 (стр. 150), существует
контактное преобразование вида
z' = Z + /2(х,р), х[ = Хг(х,р), р[ = Рг(х,р) (г = 1 • • • п),
и оно, очевидно, переводит (fi(x,p) • • • <рг{х,р) в некоторые функции
Н\ • • • Нг от х[ - -- x'mPi --- р'п, являющиеся однородными первого
порядка по р'.
Итак, нам еще лишь остается задать такую каноническую форму
Р\ • • • РШ,Х\ • • • Xq (m + g = r,m>0) ГруППЫ фуНКЦИЙ (fi(x,p) • • • </?г(х,р),
чтобы Р были однородными функциями первого порядка от ifi ♦ ♦ ♦ ipr,
а X — однородными функциями нулевого порядка. Это мы теперь и
проделаем.
Если бы в уравнениях (28) все Wi^((fi • • ♦ tpr) обращались
тождественно в нуль, то мы могли бы положить Pi = <£Ь ♦ ♦ ♦ Рг = (£г и имели бы,
таким образом, каноническую форму с требуемым свойством. Поэтому мы
предполагаем, что не все w^ и, в частности, не все wi^ равны нулю.
При наложенных условиях мы можем выбрать ф\ в качестве
функции Р\ и должны прежде всего задать функцию / от величин
находящуюся в отношении ((fif)Xp = 1 к Pi = ip\. Для / мы таким образом
получаем следующее условие:
5Z(Vl«x)xP^ = l, (30)
коэффициенты которого {(piVx)Xpi очевидно, являются однородными и
нулевого порядка по (f\ • • • (fr и потому функциями только от vi • • • vr-\.
Вследствие этого (30) является линейным дифференциальным уравнением
в частных производных первого порядка от переменных v\ • • • vr-\. Какое-
нибудь решение этого дифференциального уравнения мы выберем в
качестве Х\.
Затем выпишем в переменных ipi - • • ipr два линейных
дифференциальных уравнения в частных производных
(^) = £(**с)|£ = о,
"71 ' " (31)
^1 д^»

очевидно, являющихся друг от друга независимыми, и покажем известным
образом, что они образуют двухпараметрическую полную систему, г — 2
независимых решений которой являются независимыми от Pi и Х\ и
задают (г — 2)-параметрическую группу функций от х\ ■ • • хп,р\ • • • рп.
Если бы все г — 2 независимых решения F\ • • • Fr_2 этой полной
системы были нулевого порядка по (р, то (FiFx) были бы однородными
функциями (—1)-го порядка от щ ♦ ♦ ♦ <рг, то есть должны были бы, поскольку
выражаются только через F\ • • • -Fr-2, одновременно обращаться
тождественно в нуль. В этом случае мы положили бы Х2 = -F\, • • • Xr-\ = -Fr-2,
и Р\,Х\,Х2, ••• -XV-1 была бы той канонической формой нашей г-пара-
метрической группы функций, которую мы ищем.
Если же не все решения полной системы (31) являются однородными
функциями нулевого порядка по ip, то уравнения (31) вместе с
^С+-+^С=0 (32)
образуют трехпараметрическую полную систему, что очень легко видно из
того, что (Pi(p*c) являются однородными функциями первого, a (Xi(pH) —
нулевого порядка от (pi • • • (рг. Пусть теперь ip2 • • • Фг-2 — независимые
решения этой трехпараметрической полной системы, и пусть, кроме того,
ip\ — функция от (р\ • • • ipr, удовлетворяющая, помимо уравнений (31), еще
и уравнению
^w, + -+wwrF (33)
(то, что такая функция (р[ существует, также совершенно очевидно), тогда
является другой формой записи вышеупомянутой (г — 2)-параметрической
группы функций. В соотношениях
{V'i4>'*)xp = ™ы(Ч>'\-> ••• Ч>'г-2) (г, ^ = 1 • • • г - 2),
соответствующих этой форме нашей группы, Ш^ являются однородными
функциями первого порядка по (р[, ♦♦♦ <^J._2, это следует из того факта,
что всякое ip[ и точно так же всякое {(р[(р^) является однородным первого
порядка по </?i, • • • (рг.
Если теперь поступить с (г —2)-параметрической группой (р[, • • </?^._2
так же, как ранее с r-параметрической <^ь ••♦ (рГ9 и продолжать таким

образом, то в конце концов мы получим желаемую каноническую форму
Р\ ••• Рт,Х\ • • • Xq нашей r-параметрической группы, где Р —
однородные функции первого порядка по (р, а X — однородные функции нулевого
порядка.
Теперь, согласно стр. 278 и ниже, доказано, что при тех условиях,
которые мы наложили на функции гу^, существует r-параметрическая
группа, содержащая г независимых функций h\(x,p) ♦ • ♦ hr(x,p)9 находящихся
в соотношениях
{ЫЬ>н)хр = Wix{h\ ♦ ♦ ♦ hr) (г, к = 1 • • • г)
и являющихся однородными первого порядка по р.
Если в переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп имеется г-параметрическая
группа функций h\(x,p) • • • hr(x,p) с таким свойством, и если к h\ • • • hr
применить какое-либо однородное контактное преобразование
Xi = Ei(x,p), р[ = Пг(х,р) (г = 1...п) (34)
в этих переменных, то, конечно же, в х\ • • • х'^р^ • • • pfn мы получим г
независимых функций Н\(х',р') ♦♦♦ Нг(х',р'), однородных и первого
порядка по р' и находящихся в соотношениях
(ЩНз^х'р' — Wix(Hi ♦ ♦ ♦ Hr) (г, *г = 1 . • • г).
С другой стороны, если Hi(x',pf) ♦♦♦ Hr(x',pf) — какие-либо г
независимых функций только что описанного свойства, то, согласно теореме 34
(стр. 260), всегда существует однородное контактное преобразование (34),
которое переводит h\(x,p) ♦•♦ hr(x,p) в Н\(хг,рг) ♦♦• Hr(x',pf)
соответственно.
Таким образом, справедлива
Теорема 38. Для того чтобы по крайней мере для
некоторых значений п существовала r-параметрическая группа
функций h\(x,p) ♦♦♦ hr(x,p) от 2п переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп —
однородных функций первого порядка по р, находящихся в
соотношениях вида
{hihx)xp = wix(hi • • • hr) (г, х = l • • • г), (26)
с заданными заранее функциями Wi*, — необходимо и
достаточно, чтобы Wiyr были однородными функциями первого по-

рядка по h и тождественно удовлетворяли уравнениям
( Wix{hi • • • hr) + Wxi(hi • • • ftr) = О,
EГ I 0w* dw^ dwji 1 л /л_
. шД^^ + ^ЖГ + ^а^)=0 (27)
V (г,**, j = 1 ••• г).
£с/ш 3WW условия выполнены и мы имеем некоторую т-пара-
метрическую однородную группу функций hi(x,p) ••• hr(x,p) от
2п переменных х\ • ♦ ♦ хп,р\ • • • рп с упомянутым свойством, то
все такие группы функций от 2п переменных мы найдем,
применив к h\{x,p) ---hr(x,p) самое общее контактное
преобразование
х[ = Ег(х,р), р[ = Щ(х,р) (г = 1--.п)
от xi ... xn,pi ••• Рп-2
Если заданы г2 функций w^{h\ ••• Лг), однородных первого
порядка по Л- и тождественно удовлетворяющих уравнениям (27), то всегда
можно при помощи интегрирования систем обыкновенных
дифференциальных уравнений найти r-параметрическую однородную группу
функций, содержащую г независимых однородных функций первого порядка
hi(x,p) ..♦ hr(x,p), для которых имеют место соотношения (26).
Напротив, можно без интегрирования всегда найти целые числа т и д,
участвующие в рассматриваемой выше канонической форме Р\ • • • Рт, Х\ • ♦ ♦ Xq
неизвестной однородной группы функций h\(x,p) • • • hr(x,p).
А именно, разность т—q по абсолютной величине равна числу
независимых выделенных функций, которые содержит неизвестная группа
функций hi(x,p) ♦ ♦ ♦ hr(x,p). Поэтому, исследовав определитель
\wn(h) • wir(h)\
\wri(h) ♦ wrr(h)\
и его миноры, можно, согласно методу, описанному на стр. 218, задать эту
разность по абсолютной величине.
Чтобы теперь найти также и знак для m—q, заметим следующее:
выделенные функции искомой группы hi(x,p) ♦ ♦ ♦ hr(x,p) все или не все
нулевого порядка, в зависимости от этого либо q — m, либо т — q будет
положительной. Какой из этих случаев имеет место, можно понять на основании
2Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1888 r.

изложенного на стр. 249 при помощи исследования матрицы
\wn(h) • wir(h)\
Wri(h) ♦ wrr(h)
h\ ♦ hr
Если число т — q задано, то сами т и q получаются из условия т +
+ q = г.

Раздел III
Инфинитезималъные контактные
преобразования
Наиболее важные результаты первой части были выведены при
постоянном использовании понятия инфинитезималъные точечные
преобразования, в то время как вычисления с конечными точечными
преобразованиями встречались сравнительно редко. Точно так же и теперь будут
преимущественно использоваться инфинитезималъные контактные
преобразования^ а конечные отойдут на второй план. Мы увидим, что таким
образом достигается такое же значительное упрощение, как и при
исследовании точечных преобразований в первой части.
Отныне мы будем считать некоторые результаты первой части
известными, правда, только самые существенные из них.

Глава 14
Вид инфинитезимальных контактных
преобразований
В первом разделе данной книги мы обнаружили несколько различных
категорий конечных контактных и, соответственно, столько же категорий
инфинитезимальных преобразований. В настоящей главе мы хотим
рассмотреть их поочередно и задать их общий вид.
§64
Инфинитезимальное преобразование
Xf = ф,Х,р)-£- +J]&(2,X,p)— + 53 *"*(2,X,p)-
в переменных z,x\ ♦ • • xn,p\ • • • pn называется инфинитезимальным
контактным преобразованием, если оно оставляет уравнение Пфаффа
dz — p\dx\ — ♦ ♦ ♦ — pndxn = 0 (1)
инвариантным.
Поскольку Xf придает переменным z,x,p бесконечно малое
приращение
Sz = (St, Sx{ = ^iSt, Spi = KiSt (г = l • • • n),
то, согласно части I (стр. 582), оно оставляет уравнение Пфаффа (1)
инвариантным тогда и только тогда, когда выражение
п
Tr{dz - pidxi - • • • - pndxn) = dC - ^J^idxt + Pid&)
i=i
имеет вид
a(z, x, p) - {dz - pidxi - • • • - pndxn)

или, как там говорилось, когда уравнение вида
X(dz — p\dx\ — ♦♦♦ — pndxn) = a(z,x,p)(dz — p\dx\ — ♦♦♦ — pndxn)
выполняется тождественно.
Поэтому если мы желаем найти все инфинитезимальные контактные
преобразования Xf, то нам необходимо лишь самым общим образом
задать £, £i ♦ ♦ ♦ £n, 7Ti ♦ ♦ ♦ 7гп, а так, чтобы выполнялось тождество
п
dC - ^{nidxi + pid£i) = a(dz - pidxi - • • • - pndxn). (2)
2=1
Уравнение (2) эквивалентно следующей системе из 2n -h 1 уравнений:
f SC „ 96 „ d§n
dz
dz~Pl^ РлаГ = а'
Pn-K ТГг = ~0"Pi,
^ дхг дхг
0р. Р1оРг РпдРг и
(г = 1 ••■ n),
которую мы, очевидно, можем записать так:
й«-*ъ
Рп€п) + <?Pi = ТГг,
поэтому, положив
мы получим
^(C-Pl6 - ••• -Рп€п) = -Сг
(г = 1 ••• п);
С - Plf 1 - • • • - pn£n = - W,
(г = 1 ••• п);
при этом функция И^ остается совершенно произвольной.
(3)
(4)
(5)

Этот результат мы хотим сформулировать следующим образом.
Утверждение 1. Самое общее инфинитезимальное контактное
преобразование в переменных z,x\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп имеет вид
{ б^ = dw_ ^ = _dw__ aw_ (6)
St дрг ' St дхг г dz
(i = 1 ••• n),
где W обозначает произвольную функцию от z,x\ ♦♦♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп. То,
что (6) является инфинитезимальным контактным преобразованиям и
поэтому оставляет уравнение Пфаффа dz — p\dx\ — ♦ ♦ ♦ — рп dxn = 0
инвариантным, видно из того, что в силу (6) имеет место тоэ/сдество:
^-(dz - pidxi - ... - pndxn) = —Q-(dz - pxdxi - ♦ ♦ ♦ - pndxn). (7)
Функцию W(z,x,p), которая задает инфинитезимальное контактное
преобразование (б), мы назовем характеристической функцией этого
преобразования.
Если задано некоторое инфинитезимальное контактное
преобразование, например,
г—1 г—1
то можно непосредственно задать ее характеристическую функцию, а
именно,
Если, напротив, задана какая-либо функция W(z,x,p), то уравнения (б)
задают инфинитезимальное контактное преобразование, для которого W
является характеристической функцией; символ этого инфинитезимального
преобразования таков:
\h dpi J dz h dpi dXi h*AdXi dz) dpi'
или, применяя знак
[Wf}-W^t. (6a)

Отсюда непосредственно видно, что две функции W\ и И^,
отличающиеся друг от друга только постоянным множителем, дают два инфините-
зимальных контактных преобразования, которые эквивалентны, поскольку
их символы
[WJj-W^, [W2f]-W2^
отличаются только постоянным множителем.
Из сказанного вытекает, что характеристическая функция W уже
сама по себе представляет соответствующее инфинитезимальное контактное
преобразование и вследствие этого полностью заменяет символ (6а).
Следовательно, можно с полным основанием говорить просто об инфинитези-
мальном контактном преобразовании W(z,x,p).
На основании вышеизложенных рассуждений мы можем дать
утверждению 1 следующую формулировку.
Теорема 39. Всякое инфинитезимальное контактное
преобразование
,df ДЛ df df
^ + ^№ + 7r<afc
полностью задается его так называемой характеристической
функцией
С другой стороны, всякая произвольная функция W(z,x,p)
является характеристической функцией некоторого совершенно
определенного инфинитезимального контактного
преобразования, задаваемого символом^
[wf] - wfz.
Пример. Положим
1 Понятие инфинитезимальное контактное преобразование было введено в статье Софу-
са Ли «FCurzes Resume mehrerer neuer Theorien»; Verhandlungen der Ges. d.W. zu Christiania,
3 мая 1872 г.; ср. также Math. Ann., том VIII, Gottinger Nachrichten, декабрь 1874 г., Archiv for
Mathematik, том 1, 1876 г., и том 6, 1881 г., Abhandlungen der Kgl. Sachs. Ges. d. W., 1888 r.

тогда
Sxj Pi Spj __
St y/l+$ + --- +Pn' St
Sz_ = 1
St л/1+Р?+ ••• +P2n
(i = 1 ••• n),
отсюда следует уравнение
Л*)Ч*),+-♦(£)'-'•
которое, кстати, свидетельствует о том, что все элементы z, x,p сдвигаются
на инфинитезимальные отрезки одинаковой длины St.
Если мы, в частности, выберем п — 2, то получим в обычном
пространстве инфинитезимальное контактное преобразование, которое
сдвигает любой элемент поверхности перпендикулярно его плоскости на
бесконечно малый отрезок St (инфинитезимальный нормальный сдивиг2).
Вычисления с инфинитезимальными контактными преобразованиями
получаются существенно более простыми, чем вычисления с конечными
контактными преобразованиями. Это обусловлено в первую очередь тем,
что инфинитезимальное контактное преобразование полностью задается
одной единственной функцией W переменных z,x\ ••• xn,Pi ••• рп,
поскольку из этого обстоятельства немедленно следует, что любое вычисление
с инфинитезимальными контактными преобразованиями сводится к
вычислению с характеристическими функциями.
Из части I мы знаем, что при исследовании групп преобразований в
общем случае достаточно рассмотреть инфинитезимальные преобразования.
Это дает огромное преимущество при работе с группами контактных
преобразований.
Теперь мы приступим к более близкому рассмотрению инфинитези-
мальных контактных преобразований от переменных г, х\ • • • жп, р\ • • • рп.
Всякое инфинитезимальное контактное преобразование от z, x\ • • • хп,
pi - - рп порождает однопараметрическую группу, преобразования которой
являются контактными, т.к. все они, согласно стр. 581-582, часть I,
оставляют уравнение Пфаффа
dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn — О
2В оригинале Parallel transformation. — Прим. ред.

инвариантным. Если, наоборот, некоторая однопараметрическая группа от
переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп оставляет уравнение Пфаффа
dz — р\ dx\ — • • • — рп dxn = О
инвариантным, то ее инфинитезимальное преобразование3 обладает тем же
свойством.
Утверждение 2. Однопараметрическая группа от переменных z,
xi • • • хп, р\ • • • Рп является группой контактных преобразований тогда
и только тогда, когда ее инфинитезимальное преобразование является
контактным.
Если W — характеристическая функция некоторого контактного
преобразования, то и порожденную последним однопараметрическую группу
контактных преобразований мы назовем также однопараметрической
группой W.
Инфинитезимальное контактное преобразование сводится к
тождественному преобразованию тогда и только тогда, когда его символ
тождественно обращается в нуль, то есть когда все приращения
(г = 1 • • • п)
тождественно равны нулю; для этого, как видно из уравнения
п
г=1
Sxj Sz
Ji St St'
необходимо и достаточно, чтобы W тождественно обращалась в нуль.
Если
Aif=[W1f]-W1^, A2f = [W2f]-W2^
— символы двух инфинитезимальных контактных преобразований, а под
Ci,C2 понимаются две произвольные константы, то
c1A1f + c2A2f = [ciWi + c2W2,f] - (ClWi +C2W2)|£
3Везде в данном тексте рассматриваются лишь такие однопараметрические группы,
которые порождены инфинитезимальными преобразованиями. Видится излишним давать здесь те
же общие формулировки, что и в части I.

также будет инфинитезимальным контактным преобразованием, причем
с характеристической функцией c\W\ + C2W2.
Поэтому г инфинитезимальных преобразований A\f • • • Arf будут
независимы друг от друга тогда и только тогда, когда невозможно задать г
таких не обращающихся одновременно в нуль констант с\ • • • сг, чтобы
выражение с\ Aif-\ \-crArf тождественно равнялось нулю. Таким образом,
мы получаем
Утверждение 3. Инфинитезималъные контактные преобразования
Wi{z,x,p) ••• WT{z,x,p)
являются независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда
между W\ • • • Wr не существует тоэ/сдества вида с\W\ + • • • + crWr = О,
в котором константы с\ • • • сг не все обращаются в нуль.
Для того чтобы функция Ф(г,х,р) допускала инфинитезимальне
конное преобразование [Wf] —
стр. 106-107), чтобы выражение
df
тактное преобразование [Wf] — W—, необходимо и достаточно (часть I,
тождественно обращалось в нуль. Если это условие выполнено, то Ф(г, х,р)
допускает одновременно все конечные преобразования однопараметриче-
ской группы [Wf] — W-^-.
С другой стороны, для того чтобы уравнение F(z,x,p) = 0 допускало
инфинитезимальное контактное преобразование W(z,x,p)9 а стало быть,
и все порожденные им конечные контактные преобразования, необходимо
и достаточно (часть I, стр. 125), чтобы выражение
[WF] - W®fz
обращалось в нуль в силу F = 0.
Одним из уравнений, допускающих инфинитезимальное контактное
преобразование W(z,x,p)9 является само уравнение W = 0, поскольку
выражение
г 8W
[W W] - W-
dz

очевидно, обращается в нуль в силу W — 0. Напротив, если задано какое-
либо уравнение Ф(г,х,р) — 0, мы можем немедленно задать инфинитези-
мальное контактное преобразование, при котором оно остается
инвариантным, а именно, Ф(г,х,р) является таким преобразованием.
Из следующего простого рассуждения еще более явно вытекает, что инфини-
тезимальне контактное преобразование W{z)x)p) занимает некоторое выделенное
положение.
Инфинитезимальное контактное преобразование W(z,x,p) превращает любой
элемент z, я, р в бесконечно близкий ему z + 5z, x + <5х,р + 5р. Поэтому возникает
вопрос, совмещается ли последний с элементом г, х,р, и если да, то когда. Ответить
на этот вопрос очень легко. Мы знаем, что совмещенное положение реализуется
тогда и только тогда, когда выполнено уравнение
5z Sxi Sxn Тт7/ ч п
Итак, мы видим:
Инфинитезимальное контактное преобразование W(z,x,p) переводит
элемент z,x,p в бесконечно близкий, совмещающийся с ним элемент тогда и только
тогда, когда он удовлетворяет уравнению W(z,x,p) = 0.
Ранее мы неоднократно сталкивались с такими инфинитезимальными
преобразованиями от z,x,p, которые имели вид [W/]. Эти инфинитези-
мальные преобразования [Wf] не являются контактными, т. к. для них
выражение
обращается в нуль, что происходит только при таких инфинитезималь-
ных преобразованиях, которые сводятся к тождественному
преобразованию, а для [Wf] это, очевидно, не так. Однако преобразование [Wf] тесно
связано с некоторым инфинитезимальным контактным преобразованием,
а именно,
так как оно, очевидно, придает каждой системе значений z,x,p,
удовлетворяющей уравнению W — 0, те же самые приращения, что и исходное.
Поэтому с учетом гл. 7 и гл. 14, часть I, мы можем сказать:
Инфинитезимальное преобразование
[Wf]
4С. Ли использует термин «unendlich benachbartes, mit ihm vereinigt liegendes». — Прим.
ред.

и инфинитезималъное контактное преобразование
\wf\-wfz
оставляют уравнение W — 0 инвариантным и оба одинаково преобразуют
элементы z,x,p, удовлетворяющие этому уравнению. То же самое
справедливо для обеих соответствующих однопараметрических групп.
Если m-параметрическая система уравнений Ф\ = О, • • • Фт = 0 в
переменных z,x\ ••• хп,р\ • • • рп удовлетворяет уравнению Пфаффа dz —
— р\ dx\ — • • • — рп dxn — 0, то существует (ср. стр. 49) т таких функций
Ai • • • Am от z, x,p, что уравнение
dz - pidxi - • • • - pndxn = Ai • йФ\ Н + Am • dФш (А)
тождественно выполняется относительно дифференциалов dz, dx\ • • • dxn,
dpi • • • dpn для всякой системы значений z,x,p, удовлетворяющей
системе Ф\ = 0, • • • Фш = 0. Поэтому, произведя замену
мы получим уравнение
-W = Л! (VФО - W^j + • • • + Хт ([\¥Фт] - W^fj,
которое имеет место в силу Ф\ = 0, • • • Фт = 0 при произвольном
выборе функции W{z,x,p). Если мы, в частности, предположим, что система
уравнений Ф\ = 0, • • • Фт — 0 допускает инфинитезимальное контактное
преобразование W, то выражения
дФи
[ЖФ^-ЦГ-^ (M=l-..m)
одновременно обратятся в нуль в силу Ф\ = 0, • • • Фш = 0, и мы получим
Утверждение 4, Если т-параметрическая система уравнений
Фр(г,Х1 ••• xnipi ••• рп) = 0 (/х = 1 ..-ш),

представляющая элемент-многообразие пространства z,x\ • • • хп,
допускает инфинитезимальное контактное преобразование W(z,x,p), то все
элементы этого элемент-многообразия удовлетворяют уравнению W — 0.
С другой стороны, справедливо следующее
Утверждение 5. Если т-параметрическая система уравнений Ф\ =
= 0, • •• Фт = 0 в перел1енных z,x\ ••• хп,р\ • • • рп такова, что все
[ФгФх] в силу Ф\ = 0, ••• Фш = 0 обращаются в нуль, то эта
система уравнений допускает любое инфинитезимальное контактное
преобразование, характеристическая функция которого обращается в нуль в
силу $i = 0, • • • Фш = 0.
В предположениях этого утверждения (ср. гл. 4, утв. 6, стр. 105)
обращаются в нуль все [W^], а следовательно, и все
в силу Фх = 0, • • • Фт = 0.
В утверждении 4 согласно природе вещей т ^ п+ 1, но в
утверждении 5 будет выполняться т ^ п + 1. Поэтому, ограничившись случаем
m = n + 1, мы получим в результате объединения этих двух утверждений
следующее
Утверждение 6. (п + \)-параметрическая система уравнений Ф\ =
= 0, • • • Фп+1 = 0 в переменных z,x\ • • • хп,р\ - - - рп, представляющая
элемент-многообразие Мп пространства z,X\ • • • хп, допускает
инфинитезимальное контактное преобразование W(z^x^p) тогда и только
тогда, когда все элементы этого элемент-многообразия Мп удовлетворяют
уравнению W = 0.
§65
Среди инфинитезимальных контактных преобразований W(z,x,p)
особую важность представляют те, которые оставляют не только
уравнение Пфаффа dz—pi dx\ рп dxn = 0, но и само выражение Пфаффа
dz — pidxi — • • • — pndxn инвариантным.
Произвольное инфинитезимальное контактное преобразование
W(z,x,p) удовлетворяет, как мы знаем, уравнению
— (dz-pidxi- ••• -pndxn) = —^-{dz-pidxi- ••• -pndxn).

Если оно, в частности, также оставляет выражение Пфаффа dz — p\dx\ —
— - - - — Pndxn инвариантным, то оно удовлетворяет (ср. ч. I, стр. 583)
условию
— (dz - pidxi - • • • - pndxn) = 0.
Но это происходит тогда и только тогда, когда ^- обращается в нуль
тождественно, то есть W не содержат z. Тем самым, мы имеем следующую
теорему:
Теорема 40. Инфинитезимальное контактное
преобразование с характеристической функцией W(z^x^p) оставляет
выражение Пфаффа dz — p\dx\ — - — — pndxn инвариантным тогда
и только тогда, когда W является функцией только от х,р.
Общий символ такого инфинитезимального контактного
преобразования будет таким:
где if — произвольная функция от х\ • • • хп,р\ • • • рп.
Если инфинитезимальное контактное преобразование от z,x,p
оставляет выражение Пфаффа dz — p\dx\ — ♦ ♦ ♦ — pndxn инвариантным, то
и все преобразования порожденной им однопараметрической группы
будут обладать этим свойством; поэтому такие преобразования, согласно гл. 5
(стр. 168), будут иметь вид
г' = z + Q{x,p), х\ = Хг(х,р), р[ = Рг(х,р)
(г = 1 ••• п).
Если, наоборот, о некоторой однопараметрической группе контактных
преобразований известно, что все ее преобразования имеют описанный выше
вид, то отсюда можно заключить, что она порождена инфинитезимальным
контактным преобразованием вида (8). При инфинитезимальном
контактном преобразовании с характеристической функцией (р(х,р) переменные
#1 ••• Хп,Р\ ' — Рп преобразуются между собой, а именно, сокращенным
инфинитезимальным преобразованием (у?/). Очень часто бывает
интересно рассмотреть само это сокращенное преобразование. Разумеется, одно-
параметрическая группа, порожденная (<^/), преобразует переменные х,р

точно так же, как и однопараметрическая группа контактных
преобразований, порожденная
Сокращенное инфинитезимальное преобразование (iff) сводится
к тождественному преобразованию тогда и только тогда, когда </? —
константа, тогда как для инфинитезимального контактного преобразования
соответствующее справедливо лишь при (р = О (ср. стр. 291).
Согласно утв. 3 (стр. 292), для того чтобы г инфинитезимальных
контактных преобразований с характеристическими функциями
(р(х,р) • • • (рг(х,р) были независимы друг от друга, необходимо и
достаточно, чтобы между (fi\ • • • ipr не имело места ни одно тождество вида
c\ip\ Л + сг(рг = 0. С другой стороны, справедливо следующее
Утверждение 7. Сокращенные инфинитезилшлъные преобразования
ЫЛ ••• (</W)
от переменных х,р являются независимыми друг от друга тогда и только
тогда, когда (р\ • • • (рг не удовлетворяют никакому тождеству вида
c\(fi + • • • + cr(fr = с = const.
Функция v от х\ • • • xn,pi • • • рп допускает инфинитезимальное
контактное преобразование <р(х,р) тогда и только тогда, когда выражение (ipv)
тождественно обращается в нуль.
Это простое, но важное замечание содержит, кроме того,
толкование понятия «соотношение инволюции между двумя функциями
переменных х,р». К примеру, для полярной группы, соответствующей некоторой
заданной m-параметрической группе функций (ср. теорему 20, стр. 212),
оно непосредственно дает следующее описание.
Теорема 41, Пусть и\{х,р) - - - ит(х,р) — т-параметрическая
группа функций, тогда соответствующая ей полярная группа
состоит из тех функций от х\ '—xn,pi —-pn, которые
остаются инвариантными при всех инфинитезимальных
контактных преобразованиях, характеристические функции которых

имеют вид ф(и\ • • • ит). Функции полярной группы ведут
себя по отношению к любой однопараметрической группе ф как
дифференциальные инварианты5.
Поскольку выделенные функции группы функций и\ • • • ит
характеризуются тем, что они в то же время принадлежат полярной группе, то
отсюда следует еще
Утверждение 8. Выделенные функции группы функций щ • • • ит —
это такие ее функции, которые остаются инвариантными при всех инфи-
нитезималъных контактных преобразованиях, характеристические
функции которых имеют вид ф(и\ • • • ит).
По этой причине выделенные функции группы функций мы будем
также называть ее инвариантными функциями', следует признать, что
последний термин передает смысл этого понятия, чего о первом утверждать
нельзя.
Инфинитезимальные контактные преобразования, рассмотренные в
настоящем параграфе, хотя и преобразуют переменные х\ • • • хП9 р\ • • • рп
между собой, но все же не являются самыми общими инфинитезимальны-
ми контактными преобразованиями с этим свойством.
Если инфинитезимальное контактное преобразование преобразует
переменные х,р между собой, то оно придает х и р такие приращения,
которые зависят только от х и р, то есть его характеристическая
функция W(z,x,p) такова, что все 2п выражений
dW dW , dW ,. л
flfc'te7+ft-e7 {г = 1'"п)
не зависят от z. Поэтому, положив для краткости
dW
мы получим
9z=fi'
dft _ q dft . dft _ q
dpi ' dxi г dz
для любого г = 1 • • • п. Первое из этих уравнений показывает, что ft не
содержит р\ — - Рп\ поэтому второе распадается на
dft _ n dft_ _ п
Х{ OZ
5Ср. Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, февраль 1875 г.

откуда следует, что J? — константа. Наконец, из
—— = s I = А = const.
OZ
получается
W = Az 4- w(x,p).
Очевидно, что и, наоборот, всякое инфинитезимальное контактное
преобразование с характеристической функцией вида Az + w(x,p) таю/се
преобразует переменные х, р между собой6.
Определенная таким образом категория инфинитезимальных
контактных преобразований небезынтересна, даже если она здесь мало
используется. Заметим, впрочем, что инфинитезимальное контактное
преобразование с характеристической функцией Az + w(x,p) выводится линейно из
тех двух преобразований, характеристическими функциями которых
являются z и w(x,p). Инфинитезимальное контактное преобразование,
характеристической функцией которого является z, имеет вид
г fl df df df df
§66
Полностью соответствуя пути, намеченному в главе 5, мы теперь
перейдем к тому, чтобы задать все инфинитезимальные преобразования
от х\ - - - хп,р\ • • • рп, оставляющие выражение Пфаффа p\dx\ + • • • +
+ pndxn инвариантным.
Всякое инфинитезимальное преобразование
г=1 г=1
от переменных х,р может также трактоваться как инфинитезимальное
преобразование от переменных z,x,p, и как таковое оно придает z
приращение 5z = 0. Если же Xf как преобразование от х, р оставляет выражение
Пфаффа p\dx\ + • • • + pndxn инвариантным, то, рассматриваемое как
преобразование от z,x,p9 оно, очевидно, оставляет выражение Пфаффа dz —
— p\dx\ —pndxn инвариантным и выделяется из всех преобразований
6Archiv for Mathematik, том 9, Христиания, 1884 г.

с таким свойством лишь тем, что приращение z обращается в нуль.
Поэтому, согласно теореме 40 (стр. 296), Xf имеет вид
где функция (р переменных х\ ■ ■ ■ xn,pi ■ ■ ■ рп не подлежит никакому дру-
df
шижшсль при
нулю. Дифференциальное уравнение
тому ограничению, кроме того, что множитель при -^- должен равняться
dip dip
дрг дрп
получающееся таким образом для ip, позволяет видеть, что ip является
однородной функцией первого порядка по р, а в остальном — произвольной.
Итак,
Утверждение 9. Самое общее инфинитезимальное преобразование
от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, оставляющее выражение Пфаффа
pidxi H \-pndxn
инвариантным, имеет вид (hf), где h — некоторая функция от nepejvieH-
ных х\ - - - xn,pi • • • рп, которая совершенно произвольна, за исключением
того, что должна быть однородной первого порядка по р.
Если h однородна и первого порядка по р, то порожденная (hf) од-
нопараметрическая группа целиком состоит (ср. ч. I, стр. 582-583) из
преобразований, оставляющих выражение Пфаффа pidxi 4- • • • 4- pndxn
инвариантным, то есть только из однородных контактных преобразований
от х\ — - хп,р\ • • • рп. И наоборот, всякая однопараметрическая группа
однородных контактных преобразований от х, р обязательно порождена
инфинитезимальным преобразованием {hf), где функция h однородна и первого
порядка по р.
Это означает, что мы будем лишь последовательны, если назовем
любое инфинитезимальное преобразование (hf), в котором h удовлетворяет
упомянутому условию однородности, инфинитезимальным однородным
контактным преобразованием. Функцию h, при помощи которой
задается преобразование (hf), мы, разумеется, назовем ее характеристической
функцией.

Таким образом, мы можем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 42. Общим видом инфинитезимального
однородного контактного преобразования от х\ • • • хп,р\ • • • рп
является (hf), где h — соответствующая характеристическая
функция, однородная и первого порядка по р, в остальном —
совершенно произвольная функция от х\ • • • хП)р\ • • • рп. Всякое ин-
финитезимальное однородное контактное преобразование
порождает однопараметрическую группу однородных
контактных преобразований, с другой стороны, всякая однопарамет-
рическая группа однородных контактных преобразований
порождена ифнитезимальными однородными контактными
преобразованиями1.
Если задано инфинитезимальное однородное контактное
преобразование, например,
i—l i—\
то можно непосредственно задать соответствующую характеристическую
функцию h. Мы имеем
1 „ dh . _. dh
A=Pl_ + ...+Al_
но очевидно, что
следовательно,
^X'p) = §ii <i = 1 •••»>•
h = pi£i + ••• +PnU-
Инфинитезимальное однородное контактное преобразование (hf)
сводится к тождественному преобразованию тогда и только тогда, когда все
приращения х\ • • • хп,р\ • • • рп обращаются в нуль. В этом случае все
производные от h равны нулю, поэтому из
и „ dh , _. dh
dpi opn
следует, что h сама обращается в нуль.
7Lie, Mathematische Annalen, том VIII; Gottinger Nachr., декабрь 1874 г.; Archiv for
Mathematik, том 1, Христиания, 1876 г.

С другой стороны, для того чтобы инфинитезимальное однородное
контактное преобразование (hf) оставляло все элементы
Р\_ Рп-1
Xl " ' *"' Рп'" Рп
неподвижными, необходимо и достаточно, чтобы все выражения
Sxi 5xn S_ /pi\ S_ fPn-i\
St '" St ' St \Pn) '" St\ Pn J
обращались в нуль. Из ^ = ^- — О получается, как и прежде, h = 0,
следовательно, наше требование выполняется тогда и только тогда, когда (hf)
сводится к тождественному преобразованию.
Более того, мы видим: если инфинитезимальное однородное
контактное преобразование для каждого элемента х\ • • • хп,р\ - • рп оставляет
соответствующую точку х\ • • • хп неподвижной, то оно сводится к
тождественному преобразованию, и h равно нулю. Это, впрочем, ясно априори,
так как (hf) при наложенном условии оставляет каждую точку х\ • • • хп,
рассматриваемую в качестве элемент-многообразия, неподвижной (стр. 195,
утв. 8).
Если (h\f) и (h2f) —два инфинитезимальных однородных контактных
преобразования с характеристическими функциями h\ и /i2, то
ci(hif) + c2(h2f) = (cifti + C2/12,/)
также будет инфинитезимальным однородным контактным
преобразованием; соответствующая характеристическая функция: c\h\ Ч- c^h^^
Отсюда с учетом вышесказанного следует.
Утверждение 10. г инфинитезимальных однородных контактных
преобразований
(hif)---(hrf)
являются независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда между
их характеристическими функциями не wvieem места ни одно тождество
вида
c\h\ -f • • • + crhr = 0,
в котором бы константы с\ • • • сг обращались одновременно в нуль.
Пусть h\ • • • hr — однородная группа функций, тогда функции
нулевого порядка соответствующей полярной группы можно, очевидно, также

определить как функции от х\ • • • хп, ^- • • • ^£—4 остающиеся инвариат-
ными относительно инфинитезимальных преобразований (h\f) • • • (hrf).
Поэтому функции нулевого порядка полярной группы являются в
действительности дифференциальными инвариантами по отношению ко всем од-
нопараметрическим группам преобразований (h^f).
Среди инфинитезимальных однородных контактных преобразований
(Hf) особенно важными являются те, чья характеристическая функция Н
линейна по р, а также имеет вид
Н = £i(xi ••• хп) -pi + ••• +Cn(xi ••• хп) -Рп-
В этом случае приращения
6х„ = -—St = £„(xi ••• xn)-8t
зависят лишь от х\ • • • хп. Поэтому соответствующее инфинитезимальное
контактное преобразование является инфинитезилшльным точечным
преобразованием^ точнее говоря, инфинитезимальное однородное контактное
преобразование
(е*./)-?<-?(?&)£
получилось из инфинитезимального точечного преобразования Х^&я—
ихг
в результате продолжения (ч. I, стр. 603 и ниже).

Глава 15
Вычисления с использованием
инфинитезимальных контактных
преобразований
В предыдущей главе мы рассмотрели несколько категорий
инфинитезимальных контактных преобразований и задали их общий вид. Но одного
этого еще недостаточно для того, чтобы действительно успешно
вычислять контактные преобразования. Для этого необходимы еще две вещи:
во-первых, надо знать, что получится, если скомбинировать два
инфинитезимальных контактных преобразования при помощи скобки, а во-вторых,
следует выяснить, как ведет себя инфинитезимальное контактное
преобразование, если ввести в него при помощи некоторого конечного контактного
преобразования новые переменные.
Оба этих вопроса должны быть решены в настоящей главе для
трех различных категорий инфинитезимальных контактных
преобразований. При этом мы, однако, будем действовать в обратном порядке по
сравнению с предыдущей главой: начнем с однородных инфинитезимальных
контактных преобразований, поскольку они имеют более простое аналити-
чекое выражение и, кроме того, являются наиболее важными для
приложений, и лишь под конец рассмотрим общие инфинитезимальные контактные
преобразования в переменных z,x\ • • • xn,pi • • • рп.
§67
Если
(Hlf) = Alf, (Я2/) = А2/
— два инфинитезимальных однородных контактных преобразования, то при
помощи взятия скобки получается инфинитезимальное преобразование
AiA2f - A2Axf = (#i(#2/)) - (ff2(tfi/)),

которое, согласно стр. 199, можно записать следующим образом:
A1A2f-A2A1f=((H1H2)f).
Здесь (Н1Н2), равно как и функции Н\ и H<i, является однородной
функцией первого порядка по р, то есть A\A2J — A2A\f снова будет инфинитези-
мальным однородным контактным преобразованием. Это, конечно, можно
было предположить, поскольку (ср. ч. I, теорема 93, стр. 582) комбинация1
двух инфинитезимальных преобразований Ai/, A2f, оставляющих
выражение Пфаффа
Pidxi Л \-PndXn
инвариантным, дает инфинитезимальное преобразование A\A2f — A2A\f
с тем же свойством. Но теперь, кроме того, еще получается, что (Н1Н2)
является характеристической функцией нового инфинитезимального
однородного контактного преобразования.
Во всяком случае, мы имеем следующую теорему.
Теорема 43. Два инфинитезимальных однородных
контактных преобразования (Hif) и (#2/), характеристическими
функциями которых являются соответственно Hi и Б.2, дают в
результате скобочной операции инфинитезимальное однородное
контактное преобразование с характеристической функцией
(#1Я2). 2
Для того, чтобы инфинитезимальные контактные преобразования A\j
и А2/ были перестановочны, то есть чтобы выражение
AxA2f - А2Аг/= ((НгН2)/)
тождественно обращалось в нуль, согласно стр. 301, необходимо и
достаточно, чтобы (HiH2) = 0, следовательно, мы имеем
Утверждение 1. Два инфинитезимальных однородных контактных
преобразования с характеристическими функциями Н\ и Н2
перестановочны тогда и только тогда, когда выраэ/сение {Н\Н2) тождественно
обращается в нуль.
Если при помощи однородного контактного преобразования
х\ = Xi(xi • • • xn,pi • • • рп), p'i = Pi(xi ... xn,pi • • • Pn)
(г = 1 • • • n)
'Напомним, что комбинацией называется коммутатор инфинитезимальных
преобразований. — Прим. ред.
2Lie, Gottinger Nachrichten, декабрь 1874 г.; Archiv for Mathematik, том 1, Христиания,
1876 г.

ввести в инфинитезимальное однородное контактное преобразование (Hf)xp
новые переменные х\р\ то, согласно стр. 151, мы получим
при этом Н как функция от х', р' будет однородной и первого порядка по р'.
Этот результат можно сформулировать следующим образом.
Утверждение 2. Если в инфинитезимальное однородное контактное
преобразование с характеристической функцией Н{х\ ---хп,Р\ • • • рп)
ввести посредством однородного контактного преобразования
х[=Х^Х,р), р[=Рг(х,р) (г = 1-.-п)
новые переменные х\р', то мы получим инфинитезимальное однородное
контактное преобразование, характеристическая функция которого
получается из Н(х,р) в результате введения хг ,рг.
Если заданы т ^ п независимых функций
#i(xi ... xn,pi ... рп) ... Hm(xi --- xn,pi ---Рп),
находящихся попарно в соотношениях (ЩН^) = 0 и являющихся
однородными и первого порядка по р, то можно (ср. стр. 255 и ниже) при
помощи однородного контактного преобразования ввести такие новые
переменные х',р\ что
Н\{х,р) =р[, ... Нт(х,р) =р'ш.
Тогда инфинитезимальные однородные контактные преобразования
являющиеся при наложенных условиях перестановочными, принимают
в новых переменных х\р' вид
{H^f)xp = (p^f)x'v' = Tj~T 0* = 1 • • • m).
Итак, справедливо следующее
Утверждение 3. Если инфинитезимальные однородные контактные
преобразования

от переученных х\ • • • xn,pi • • • рп являются попарно перестановочными,
а их характеристические функции Н\ • • • Ят — независимыми друг от
друга, то всегда можно при помощи однородного контактного
преобразования ввести такие новые переменные х\р', чтобы (Hif) ••• (Hmf)
переходили в инфинитезимальные переносы
df Of
т
дх[ дх:
очевидно, что должно выполняться т ^ п.3
Если, в частности, т = 2, то характеристические функции H\,H<i
всегда будут независимы друг от друга, коль скоро (Hif) и (Яг/)
представляют два независимых инфинитезимальных контактных
преобразования. Следовательно, мы имеем
Утверждение 4. Если два независимых инфинитезимальных
однородных контактных преобразования, например, (Hif) и (#2/),
перестановочны, то всегда можно при помощи однородного контактного
преобразования ввести такие новые переменные xf,pf, чтобы (Hif) и (Яг/) перехо-
9f df 4
дили в инфинитезилшльные переносы —- и —-.
oxi дх2
Пример. Если к уравнению
xix'-i Н + хпх'п + 1 = 0
применить изложенный в теореме 15 (стр. 173) метод, то мы получим
контактное преобразование
*' = - Р
У^^усРус
Pi = xi^2xxP*i
х=1
р
Уг _ / V-^ ' '
xi — ^-^ » Pi — х% / J ХхРус1
^2х*р'*
х=\
которое при п — 3 превращается в преобразование Понселе посредством
взаимных поляр.
3Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1872 r.
4Там же.

Введя теперь при помощи этого контактного преобразования новые
переменные в инфинитезимальные проективные преобразования
Pi-i %iP*c> %i / J %>cV>c->
мы получим
Pi = Xi 12 X'"P'^
x=l
%гР>с — ~%xPi->
n
Xi^2XxPx =Pi'
Таким образом, наше контактное преобразование переводит всякое инфи-
нитезимальное проективное преобразование в такое же; в частности, оно
переводит всякое линейное однородное преобразование Ec^xip^ в
преобразование того же типа.
§68
Предположим теперь, что в переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп заданы
два произвольных инфинитезимальных преобразования специального вида:
где (риф — функции от х\ • • • хп,р\ • • • рп\ мы хотим задать вид инфини-
тезимального преобразования ABf — BAf.
Поскольку как Af, так и Bf оставляют выражение Пфаффа
dz — p\dx\ — ... — pndxn
инвариантным, то это должно быть справедливо и для ABf — BAf, то есть
последнее выражение должно иметь вид
где w, так же, как (риф, зависит лишь от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп.

Для нахождения w мы воспользуемся тождеством Якоби. А именно,
путем прямого вычисления мы получаем
ABf - BAf = (<р(ф/)) - (</#/)) +
+{(ФН-(ФМ}й
df
или, если учитывать упомянутое тождество и во множителе при -£-
опустить сокращающиеся члены,
ABf - BAf =
что можно записать еще и так:
ABf - BAf = ((^)/) + {f>^ " (**)} Ъ
Следовательно, w просто равно {уф).
В словесной форме:
Утверждение 5, Если Af и Bf — два инфинитезималъных
контактных преобразования специального вида:
с характеристическими функциями ip(x,p) и ф(х,р), то ABf — BAf
всегда будет инфинитезилшльньт контактным преобразованием того
Dice типа, причем соответствующая характеристическая функция wiieem
вид ((рф).
Предыдущие рассуждения показывают, что понятие «инфинитезимальное
контактное преобразование» с необходимостью приводит к тождеству Якоби. Так, урав-

пение (1) выше можно записать следующим образом:
-<-*+(»£ + •••+*&-)&
если здесь / рассматривать как произвольную функцию х только от х\ ••• жп,
Р\ • • • рп, то мы увидим, что уравнение вида
Ы'Фх)) - Ы<рх)) = (^х)>
в котором w зависит лишь от кр и ф, выполняется тождественно. Обе части этого
уравнения являются линейными и однородными по производным от х; если
приравнять соответствующие коэффициенты, то получатся выражения для
производных от w и тогда можно определить само w. Мы получаем w = (<рф) + const., тем
самым снова имеем тождество
Ы'Фх)) - Ы<рх)) = ((ч>Ф)х)-
Из утверждения 5 следует с использованием стр. 291
Утверждение 6. Два инфинитезималъных контактных
преобразования от z,x\ ♦ ♦ ♦ xn,pi ♦ ♦ ♦ рп, характеристические функции которых (риф
зависят лишь от х, р, перестановочны тогда и только тогда, когда
выражение (<рф) обращается в нуль тождественно.
Для сокращенных же инфинитезимальных преобразований вида (</?/)
справедливо следующее
Утверждение 7. Два инфинитезималъных преобразования, (</?/) и {ф/),
в которых сриф — функции от х\ • • • хп, р\ • • • рп, перестановочны
между собой тогда и только тогда, когда выражение ((рф) сводится к
константе.
Действительно, для того чтобы инфинитезимальные преобразования
от переменных х\ • • • хп, р\ • • • рп были перестановочны, необходимо и
достаточно, чтобы выражение
A1A2f - A2AJ = ({tpi4>2)f)
обращалось в нуль тождественно, а это, согласно стр. 297, происходит тогда
и только тогда, когда (ipiip2) равно константе.

Если ввести в инфинитезимальное преобразование
*/-w> + (£>£-*)g-ww-.>g
при помощи контактного преобразования специального вида
z' = z + П(х,р), х\ = Х{(х,р), р[ = Pi{x,p)
(г = 1 • • • п)
новые переменные z', x[ • • • х'п, р[ • • • р'п, то сначала получится (ср. стр. 141,
утв. 5)
г,лЛ _r,„fl Ё1-Ё1 dz[_d£
mizxp - m\z>x'p', dz - dz, ■ dz - dz„
следовательно,
[<Pf]zxp - V-q~z = [<ff]z'x'p' ~ 4>-^j,
то есть мы получаем в новых переменных контактное
инфинитезимальное преобразование, характеристическая функция которого зависит только
от xf,pf и получается из ц> в результате введения xf ,pf вместо х,р. Таким
образом, справедливо следующее
Утверждение 8. Если в инфинитезимальное контактное
преобразование
при помощи контактного преобразования вида
Z' = Z + П(х,р), Х\ = Xi(x,p), р\ = Р{{х,р)
{г = 1 • • • п)
ввести новые переменные z',x[ • • • х'п,р\ • • • р'п, то получится инфините-
зимальное контактное преобразование
характеристическая функция которого ф(х',р') получается из </?(х, р) в
результате введения новых переменных.

§69
Теория общих конечных контактных преобразований от z,x\ — - хп,
Pi "' Рп совпадает, как мы знаем, с теорией конечных однородных
контактных преобразований от yi ••• yn+i,qi • • • Яп+и так как> согласно
стр. 161 и ниже, из общего однородного контактного преобразования
от у\ • • • yn+i,qi ''' tfn+i мы получим общее контактное преобразование
от z,x\ • • ♦ xn,Pi ♦ ♦ ♦ рп, если вычислим, как это общее однородное
контактное преобразование преобразует переменные
Z = yn+1, Xi=Vi, Рг^-ТГГТ (i =!••"">) (2)
Чп+1
между собой.
Можно предположить, что инфинитезимальное однородное
контактное преобразование от у\ ♦ ♦ ♦ yn+i,<?i ••• Qn+i преобразует переменные
z,x\ • • • xn,pi - - Рп таким же образом, что и самое общее
инфинитезимальное контактное преобразование от z,x\ • • • хп,Р\ • • • рп- Мы
проверим это сначала вычислением, а затем выведем из утверждений § 67 об ин-
финитезимальных однородных контактных преобразованиях
соответствующие утверждения об общих инфинитезимальных контактных
преобразованиях ОТ ZyXi ••• Хп,Р\ '" Рп-
Пусть Н — произвольная функция от у\ • • • yn+i,qi • • * <fo+i первого
порядка по q, так что (Hf)yq предоставляет инфинитезимальное
однородное контактное преобразование от y,q. Чтобы найти приращения, которые
получают переменные
Z = yn+u Xi=yi, р{^-—^— (г = 1 ... п) (2)
Чп+1
при инфинитезимальном преобразовании (Hf)yq, нам нужно лишь
вычислить приращение, которое получает совершенно произвольная функция F
от
Уп+Ы/i ---Уп, gn+1, ••• qn+1
при действии (Hf)yq\ окажется, что это приращение (HF)yq зависит лишь
от z,х\ ♦ ♦ ♦ xn,Pi • • • Рп- Мы можем положить
Я = -дп+1.ж(уп+1,У1...уп,^-,...-^),
где W — произвольная функция своих аргументов, тогда
(HF)yq = -gn+1 ■ (WF)yq - W ■ (qn+iF)yq.

Здесь вследствие соотношений (2) прежде всего имеет место
а с другой стороны (ср. стр. 165 и ниже),
-qn+1(WF)yq = [WF]zxp, (3)
следовательно, мы имеем уравнение
(HF)yq = [WF}zxp-W^, (4)
которое выполняется тождественно, если F является произвольной
функцией величин (2). В (4) выражение справа действительно представляет
общее инфинитезимальное контактное преобразование от z,x,p, так как W
является произвольной функцией переменных z,x,p.
Тем самым мы имеем
Утверждение 9. Пусть Н и F — произвольные функции от у\ • • • yn+i>
Qi "' Qn+i с единственным условием, что Н однородна и первого порядка,
a F — однородна и нулевого порядка по q. Если, кроме того, положить
и, наконец, задать величины z,x\ • • • хп,р\ • • • рп уравнениями
Z = Уп+ЪЯ1 =УЬ ••* Хп =Уп,
п = -Яг п = -Яп
Pl Яп+i ' * * * Рп Яп+1 '
то будет иметь место тождество
(HF)yq = [WF)zxp - W^.
Это утверждение можно также сформулировать следующим образом.
Утверждение 10. Общее однородное контактное преобразование от
переменных у\ ♦ ♦ ♦ у<п+\->Я\ * * * Яп+\ преобразует переменные
— Я
Z = yn+l, Xi=yi, щ = —— (г = 1 • • • п)
Чп+1

точно так Dice, как общее инфинитезимальное контактное преобразование
от z,x\ ♦ ♦ ♦ xn,pi ♦ ♦ ♦ рп, а именно, общее инфинитезимальное
контактное преобразование (Hf)yq преобразует z,x,p посредством инфинитези-
мального контактного преобразования
[WF]ZXP-W^,
где характеристическая функция W(z, x, р) связана с характеристической
функцией Н(у, q) уравнением
Если
[W,F\zxp -Wv^ = BiF, [W2F}zxp ~W2^ = B2F
— два инфинитезимальных контактных преобразования от z, x\ • • • хп,
Pi • • • Рп, то и B1B2F — B2B1F оставляет выражение Пфаффа
dz — p\dx\ — ♦ ♦ ♦ — Pndxn = О
инвариантным и потому является инфинитезимальным контактным
преобразованием, короче говоря, имеет место равенство вида
BlB2F - B2BYF = [VF]zxp - V^.
Мы хотим теперь действительно вычислить характеристическую
функцию V, которая может зависеть только от W\ и W2. Если положить
-Qn+iWi(z,x,p) = Hi(y,q), -qn+iW2(z,x,p) = H2(y,q)
и, кроме того,
(HiDyg = Arf, (H2f)yq = A2f,
и под F понимать произвольную функцию переменных z,x,p, то, согласно
утверждению 9 (стр. 313), имеют место тождества
'AtF = (Я^)„, = [WtF]zxp -WM = B,F,
%Zx? (5)
A2F = (H2F)yq = [W2F]zxp - W2|£ = B2F,

следовательно,
AXA2F - A2AXF = BlB2F - B2BiF
или (ср. стр. 199)
{{H1H2)F)yq = B,B2F - B2B,F.
Поскольку (HiH2)yq является однородной первого порядка по q, то мы
можем положить
(HiH2)yq
= -W(z,xi ♦♦♦ хп,рг ---Рп)
Чп+l
и получим, согласно утв. 9 (стр. 313)
((Я1Я2)Г)от = [1Ш^]яч,-ЯУ^ =
= BlB2F — B2BlF,
то есть определенная выше характеристическая функция V равна 2D.
Чтобы выразить 2D непосредственно через W\ и И^, заметим, что
(H\H2)yq — (Hl,—Q.n+lW2)yq =
ОУп+l
Из утверждения 9 в свою очередь следует
dWo
(HlW2)yq = [WlW2]zxp-Wl^,
поэтому
W^v* = -\WlW2\zxv + W^ + -J- • -^- • W2
Qn+i l^i^2j,»p+^i dz + qn+1 dyn+i УУ2
= -[WlW2]zxp + Wl^-W2^
m=[wlw2]zxp-(w1^-w2d-^y
Словами этот результат можно выразить так.

Теорема 44. Если
B„F = [W„F]zxp -W„2£ (x = l, 2)
— два инфинитезимальных контактных преобразования от
переменных z,x\ - • • хп,р\ • • • рп с характеристическими
функциями Wi(z,x,p) и W2(z,x,p), то и B1B2F — B2B1F также
будет инфинитезималъным контактным преобразованием,
причем с характеристической функцией
Щг,х,р) = [W1W2]zxp -(w^- W2^\
так что B1B2F — B2B1F будет иметь вид5
B1B2F - B2BiF = [WF]ZXP - 2U|^.
Теперь исследуем, как ведет себя инфинитезимальное контактное
преобразование
[WF]Z<X<P - W^
при введении в него в силу контактного преобразования
z' = Z(z,x,p), x\ = Xi(z,x,p), p\ = Pi(z,x,p) (5a)
(г = 1 • • • п)
новых переменных z',xf,р' вместо z,x,p. Согласно утв. 5 (гл. 5, стр. 141),
[WF}z,x,p = Q.[WF\z,,x,,p4
где q берется из тождества
dZ — P\dX\ — • • • — PndXn = g(dz — p\dx\ — • • • — pndxn).
Кроме того,
д£ = д£ dz^ + S^dJL M + V^ M
dz dz' ' dz ^ dx'4 ' dz ^ dp', ' dz '
2=1 г 2=1 г
5Lie, Abhandlungen des Kgl. Sachs. Ges. d. W., том XIV, № 12.

но поскольку (ср. гл. 5, утв. 18, стр. 167)
( 8 ' 1
| -7£ = Q- g[QZ}z,X,p = Q~ [б*']*',*',*',
~q~ — ~~д[@Хг\г,х,р = {Qxi\z' ,х' ,р' ->
-£ = -\[QPi\z,x,p = -[Qp'i\z',x>,p>
(i = 1 ••• n),
то мы получаем
dF dFSn Гя /, г SPdF, ,,
(6)
2=1
-ЦаЫбР&'.х'.р'
ИЛИ
dF 8F rp,
Тогда получается
rdF
dF
\WF)z>XiP - W^ = Q'[WF]z,,x,iP, + W[oF}z,iX,,p, -QW-^-r
что можно записать следующим образом:
[WF}Z,X,P - W^ = [gW,F]z,,x^ - QW ■ |g.
Итак,
Теорема 45. Если в инфинитезимальное контактное
преобразование
[WF]ZtXtP -W-dF-
с характеристической функцией W(z,x,p) в силу контактного
преобразования
z' = Z(z,x,p), х[ = Xi(z,x,p), p[ = Pi(z,x,p) (5a)
(г = 1 ••• п),

ввести новые переменные z',x',pf, то для этих переменных мы
всегда снова получим инфинитезимальное контактное
преобразование
[WF],W - 2ng.
Характеристическая функция последнего, W(z',x',pf), имеет
вид
W(z',x',p') = g{z,x,p) • W(z,x,p),
где g(z,x,p) задается тождеством6
П / П ч
dZ — Y^ PidXi = gldz — Y^ p%dxi ).
Доказанное только что утверждение следует вывести теперь еще другим
способом.
Пусть
[WF)Z,X,P-W^
— какое-либо инфинитезимальное контактное преобразование от переменных г,
Х\ • • • Жп, Pi ' ■ ' Рп, а
z = Z(z,x,p), x[ = Xt(z,x,p),p[ = Pt(z,x,p) (г = 1 ••• п) (7)
— какое-либо конечное контактное преобразование. Если мы положим
z = 2/n+i, хг = уг,Рг = ^^ (г = 1 • • • п), (8)
и, кроме того,
то, согласно утв. 10 (стр. 313), получим
[WF]XlS,p - И/g = (HF)yq, (9)
где выражение справа содержит у, д, конечно, лишь в соотношениях (8). Тогда
контактное преобразование (7) преобразует величины (8) точно так же, как некоторое
легко задаваемое, согласно стр. 162, контактное преобразование
Уи = У»{У,q), 4v = Qv(y,q) (у = 1 • • • п + 1) (7')
r,Lie, Abhandlungen der Kgl. Sachsischen Ges. d. W., том XIV, № 12.

от переменных у\ • • • ?m+i,<7i ■ ■ ■ Qn+i- Поэтому если мы желаем знать, как ведет
себя левая часть равенства (9) при выполнении контактного преобразования (7), то
нам нужно лишь ввести в правую часть равенства (9) в силу однородного
контактного преобразования (7') новые переменные yf,qf и еще учесть, что у'\q связаны
с z',x',p' соотношениями
/ / / / / — Яг ,. , ч /0/\
z = Уп+ь хг = уг) рг = (г = 1---п). (8)
Яъ+\
При выполнении однородного контактного преобразования (7')
выражение (HF)yq, согласно стр. 151, принимает вид
(HF)yq = (HF)yW.
Теперь мы будем рассматривать Н как однородную функцию переменных y\q
первого порядка по q\ a F — как однородную функцию нулевого порядка, поэтому
положив
Я/ лл / / / / — Qi — Яп \
= -<7п+1 -231 Уп+иУг ••• Упч— '•• — )>
V <7n+i Яп+\ /
и используя утв. 10 (стр. 313), мы получим
{HF)y,q, = [fmF\x,,x,tP, - 2D^,
oz
следовательно, левая часть (9) при выполнении контактного преобразования (7)
принимает вид
[WF)ZtXtP - W^ = [WF)Z,,X,,P, - 2ug.
Между 23J и W имеет место уравнение
Щг',х',р') = *р±УГ(г,х,р),
Яп+\
где выражение q"+1, очевидно, является функцией только от z, х\ ♦ ♦ ♦ xn, p\ ♦ ♦ ♦ рп,
3,,-fl
причем, согласно стр. 161 и ниже, оно равно той функции g{z)x^p)i которая
определена тождеством
71 / П \
dZ — 2_J PtdXt = g(z, x,p) • I dz — ^J pxdx% j.
г=1 ^ г=1 '
Таким образом, мы имеем
Щг,х\р) = Q(z,x,p) • W(z,x,p),
тем самым получено обещанное новое доказательство теоремы 45 (стр. 317).

§70
Важность тождества Якоби послужит нам оправданием в том, что мы
отведем здесь место его понятийному толкованию7. Однако в дальнейшем
рассуждения этого параграфа никакого применения не найдут.
Инфинитезимальное преобразование ((ff)xp от переменных х\ • • ♦ хп,
Pi " ' Рп порождает однопараметрическую группу, конечные
преобразования которой таковы:
( 2
\Xi = Xi + \{4>Xi)xp + 1Т2 М^*))^ + • • • >
1 Pi = Pi + j(<PPi)xp + Y^2 №Wi))xp + '" (10)
[ (2 = 1- --П),
где е — параметр этой однопараметрической группы.
Если теперь под и' и v' понимать произвольные функции от х[ • • • х'п9
р[ • • • р'п, то, согласно стр. 151, в силу уравнений преобразований (10)
имеет место тождественное соотношение
(u'v')x>p> = {u'v')xp. (11)
Поэтому если в обеих частях уравнения выше выразить x',pf в силу (10)
через х,р, то получится тождество, какое бы значение ни принимал
параметр £.
Пусть Q — произвольная функция от х\ • • • хп,р\ • • • рп, a Q' — та же
функция от х[ • • • х'п,р[ • • • р'п, тогда, согласно ч. I (стр. 56), в силу (10)
имеет место уравнение
П' = Q + \(<р(2)хр + Д Ыч>П))хр + ■ ■ • ,
или, как можно еще записать, применяя понятное сокращение
2 771
П' = П + ^Q)lp + f^№)% + ■■■+ ^№)?р + ■■■■
Из этой формулы следует, с одной стороны:
(«V)xy = (uv)xp + j(<p(uv))xp + • • • + ^j(cp(uv))™p + • • • .
7 Л и использует термин «begriffliche Deutung». — Прим. перев.

С другой стороны,
(uV)xp = (и + \{<fu)lxp + ■ ■ ■ , v + | {fv))lxp + • • Л =
\ / хр
= (uv)xp + ^{(u^)1) + ((<puyv)} + ■■■ .
Коэффициент при ^ имеет здесь простой вид:
(Mmv) + f(Nm"1M1) +
+ ™(™~ 1} М-2(^)2) + • • • + (u&vr),
с известными биномиальными коэффициентами; так, если к и I —
определенные положительные целые числа, то в разложении (u'v')xv в ряд
встречается лишь один единственный член вида
£*+<((^П<Н<).
и этот член, очевидно, имеет следующий числовой множитель:
J_ J _ J (X+1)(* + 1-1) ••• (ЛС + I-X+I) _
>с\ * /! ~ (* + 1)1 * х\
1 (х + 1)(* + 1-1) ••• (н + 1-l + l)
~(х + /)!* 1\
Подставив полученные для (ufvf)X'P' и (ufvf)xp выражения в
уравнение (11), мы должны получить тождество, какое бы значение ни
принимал е; таким образом, мы видим, что между любыми тремя
функциями <£, и, v переменных х\ - - - хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп выполняется бесконечное число
следующих тождеств:
(<p(uv))m = {(<pu)mv) + f ((^Г"1^)1) +
+ m(m-l)((^)m_2(^)2) + _ + (и(^г)
(т = 1,2,3---)-
Первое из этих тождеств — уже известное нам тождество Якоби
((p(uv)) = ((<pu)v) + (u{<pv)),

все остальные, как легко убедиться, являются следствиями тождества
Якоби.
В соответствии с этим тождество Якоби является непосредственным
следствием того факта, что скобка (uv)xp ведет себя инвариантно
относительно любого преобразования
х'{=Хг(х,р), р'{ = Рг(х,р) (г = 1.-.п),
при котором функции X и Р находятся в канонических соотношениях.
Если выбрать встречающуюся выше величину е бесконечно малой,
равной St, так что преобразование (10) совпадет с инфинитезимальным
преобразованием ((ff)xp, и если пренебречь в вычислениях выше всеми
степенями второго и более высокого порядка от St, то найденный результат
можно выразить следующим образом.
Тождество Якоби, имеющее место между тремя произвольными
функциями u, и, (р переменных Х\ — - xn,pi ♦ ♦ ♦ рп, показывает, что
скобка (uv)Xp ведет себя инвариантно относительно любого инфинитезималь-
ного преобразования вида (ipf)Xp-
Таким образом, получено понятийное толкование тождества Якоби8.
§71
Здесь мы рассмотрим некоторые обобщения теоремы Пуассона (см.
стр. 199). Впрочем, в настоящей части книги они применения не найдут.
Можно задать следующий вопрос: когда линейное дифференциальное
уравнение в частных производных первого порядка
А/= («/)= 0
допускает в переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп инфинитезимальное
преобразование (vf) — Bf?
Ответить на этот вопрос легко. Необходимым и достаточным условием
является (часть I, стр. 156) существование соотношения вида
ABf-BAf = \(x,p)-Af,
то есть должно выполняться
(u(vf))-(v(uf)) = ((uv)f)=\.(uf).
8Ср. Lie, Theorie der Transformationsgruppen, Math. Ann., том XVI.

Это уравнение распадается на следующие:
d{uv) = qu d{uv) = gu
(г = 1 ••• п),
то есть Л, а стало быть, и (uv) должны быть функциями только от и.
Утверждение 11. Линейное дифференциальное уравнение (uf) = 0 от
переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп допускает инфинитезимальное
преобразование (vf) тогда и только тогда, когда (uv) является функцией только
от и.
Так же легко решается и следующий более общий вопрос. Когда линейное
дифференциальное уравнение в частных производных (Pi,/) = 0 в переменных
х\ • • • xn,pi • — Рп допускает инфинитезимальное преобразование
УС УС
Для ответа на этот вопрос вводятся канонические переменные Х\ • • • ХПу
Pi • • • Рп, в которых (Pi/) = 0 принимает вид
Тогда если
УС 'УС
то мы непосредственно получаем как необходимое и достаточное условие, что
OL2 • • • &п, Pi • • • Рп не должны зависеть от Х\.
Если w — решение дифференциального уравнения (uf) = 0, a (vf) —
инфинитезимальное преобразование, оставляющее это уравнение
инвариантным, то (vw) также является решением уравнения (uf) = 0 (ч. I,
стр. 154-155). Соединив это с только что доказанным утверждением 11,
мы получим первое обобщение теоремы Пуассона.
Утверждение 12. Если w — решение дифференциального уравнения
(uf) = 0 в переменных х\ • • • хп, р\ • • • рп, a v — какая-либо функция с тем
свойством, что выраэ/сение (uv) является функцией только от и, то (vw)
всегда также будет решением уравнения (uf) = 0.
Это утверждение, которое, впрочем, может быть также выведено
непосредственно из тождества Якоби, может быть обобщено в нескольких
направлениях. Например, справедливо следующее

Утверждение 13. Если w\ • • • wm — такие решения уравнения
(uf) =0, которые попарно находятся в соотношениях (wiW*) = 0, и если,
с другой стороны, функция v такова, что (uv) имеет вид
(uv) = Q(u,wi ••• wm),
то все (vw\) • • • (vwm) также являются решениями уравнения (uf) = 0.
Действительно, в предположениях этого утверждения в левой части
тождества
[(uv)w?c) + ((vwx)u) + ((wxu)v) = 0
первый и третий члены обращаются в нуль, стало быть,
((vwx)u) = 0 (г = 1 • • • га),
что и требовалось.
Существуют и другие обобщения теоремы Пуассона, которые не
вытекают непосредственно из тождества Якоби, но здесь их рассматривать
неуместно.

Глава 16
Обобщение теории однородных групп
функций. Группы функций как
бесконечные группы преобразований
В настоящей главе мы займемся преимущественно конечными
контактными преобразованиями специального вида
z' = Az + /2(ж,р), х\ = Xi(x,p), р\ = Pi{x,p) (1)
(г = 1 - • • п)
и соответствующими инфинитезимальными контактными
преобразованиями, характеристические функции которых, согласно стр. 299, имеют вид
ez 4- w(x,p), где е — константа.
Впрочем, рассуждения, изложенные в этой главе, для понимания
следующей главы не потребуются, и если мы тем не менее их здесь приводим,
то лишь потому, что они важны сами по себе.
§72
Прежде всего — некоторые простые определения и утверждения.
Мы говорим (ч. I, стр. 106), что функция U от z,x\ - - - хп,р\ — - рп
остается при заданном контактном преобразовании вида (1) инвариантной,
если в силу (1) имеет место соотношение вида
U(z\х[ • • • х'п,р[ • • • р'п) = U(z,xi ••• хпрх • • • рп).
Отсюда немедленно следует, что однородные контактные
преобразования
z1 = z, х\ =Xi(x,p), р'{ = Pi(x,p) (i = i ...n)
могут быть определены в переменных Х\ • • • хп,р\ • • • рп как такие
контактные преобразования вида (1), которые оставляют функцию z
инвариантной.

Если u\ (х, p) ••• иг(х, р) — r-параметрическая группа функций, и в
силу (1) имеют место соотношения вида
и„{х',р') = F„(ui{x,p) ••• ur{x,p)) (*=i ..-r), (2)
то мы говорим, что группа функций и\ • • • ит остается при действии
контактного преобразования (1) инвариантной или что она допускает
преобразование (1); при наложенных условиях, и только при них, контактное
преобразование (1) переводит всякую группу функций щ ♦ ♦ ♦ иг снова в
функцию этой группы.
Данное только что определение можно сформулировать несколько
иначе. А именно, если v\ • ♦ ♦ V2n-r — полярная группа группы функций
и\ • • • иг, то последняя состоит из всех решений полной системы
ЫЛх,р = 0, • • • {V2n-rf)x,p = 0. (3)
Если теперь группа функций щ • • • иг остается при действии
контактного преобразования (1) инвариантной, то это же будет справедливо (ч. I,
стр. 153-154) и для полной системы (3) и наоборот. Следовательно, мы
можем сказать:
r-параметрическая группа функций и\(х,р) - - ♦ иг(х,р) остается
инвариантной при действии контактного преобразования (1) тогда и
только тогда, когда соответствующая ее полярной группе v\ ♦ ♦ ♦ V2n-r полная
система
{Vlf)x,p = 0, • • • (V2n-rf)x,p = 0 (3)
остается инвариантной при действии (1).
В то же время справедливо следующее
Утверждение 1. Если r-параметрическая группа функций
ui(x,p) ••♦ иГ(х,р) остается инвариантной при действии контактного
преобразования
z' = Az + /2(х,р), х\ = Xi(x,p), р\ = Рг(х,р) (1)
(г = 1 ... п),
то это же справедливо и для соответствующей полярной группы
VI • • • V2n-r-
Это утверждение следует непосредственно из того, что две взаимные
группы переводятся любым контактным преобразованием (1) снова в две
взаимные группы (см. стр. 213).

Для того чтобы инфинитезималъное контактное преобразование ez +
+ w(x,p), символом которого является
[ez + w{x,p),f]z,x,p - (ez + w(x,p)) —,
оставляло функцию U(z, x,p) инвариантной, необходимо и достаточно (см.
стр. 292 и ниже), чтобы выражение
[ez + w(x,p), U}Z,X:P - (ez + w(x,p)) —
тождественно обращалось в нуль.
Если упомянутое инфинитезимальное контактное преобразование
таково, что оставляет определенную выше полную систему (3) инвариантной,
то мы говорим, что она оставляет группу функций и\{х,р) ♦ ♦ ♦ иТ(х,р)
инвариантной. На основании ч. I, гл. 8, мы можем выразить это еще и так:
г-параметрическая группа функций и\(х,р) ♦ ♦ • иг(х,р) допускает
инфинитезималъное контактное преобразование ez + w(x,p) тогда и только
тогда, когда имеют место г соотношений вида
[ez + w{x,p),u„]z,x,p = II^(ui ••• ur) (*=i ... г).
Для того чтобы полная система (3) при всех конечных преобразованиях
однопараметрической группы
[ez-\-w(x,p),f]z,x,p - (ez + w(x,p)) —
оставалась инвариантной, согласно ч. I, гл. 8, необходимо и достаточно,
чтобы она оставалась инвариантной при инфинитезимальном
преобразовании этой однопараметрической группы. Отсюда следует:
г-параметрическая группа функций и\{х,р) ♦ ♦ ♦ иг(х,р) допускает все
конечные контактные преобразования однопараметрической группы ez +
+ w(x,p) тогда и только тогда, когда она допускает инфинитезималъное
контактное преобразование ez + w(x, р).
Если группа функций и\ (х, р) • • • иг (х, р) допускает все конечные
преобразования однопараметрической группы ez + w(x, p)9 то, согласно
утверждению 1 (стр. 326), то же самое справедливо для соответствующей
полярной группы v\ ♦ ♦ • г>2П-г- Соединив это со сказанным ранее, мы получим
Утверждение 2. Если г-параметрическая группа функций
и\{х,р) ••• ^г(^,р) допускает инфинитезималъное контактное
преобразование ez + w(x,p), то соответствующая полярная группа
vi(x,p) • • • V2n-r(x,p) обладает тем же свойством.

Это утверждение, очевидно, может быть сформулировано следующим
образом.
Теорема 46. Если г независимых функций tpi(x,p) • • ♦ ipr(x,p)
г-параметрической группы функций удовлетворяют г
соотношениям вида
[SZ + W(X, р), ¥>х]г,*,р = U„(ipi • • • lpr)
(к= 1 ••• г),
то 2п — г независимых функций фг(х,р) • • • ip2n-r(x,p)
соответствующей (2п — г)-параметрической полярной группы
удовлетворяют соотношениям вида
[£Z + w{x,p),lj)j\ZiXiP = Vjtyi ••• ^2n-r)
(j = 1 ... 2n-r).
§73
Рассуждения предыдущего параграфа дают более глубокий взгляд на
теорию однородных групп функций и одновременно обобщение этой
теории.
Согласно теореме 28 (стр. 244), г-параметрическая группа функций
<Pi{x,p) ♦♦♦ ipr(x,p) является однородной, если имеют место г
соотношений вида
п я
У^-тг1 = £/*(¥>1 • ■ • ¥V) (*=l •••!•). (4)
i=l °Pi
Сравнивая с этим символ инфинитезимального контактного
преобразования z, который выглядит следующим образом:
г=1
— мы видим, что соотношения (4) можно записать так:
[2¥>х]г,х,р = -U„(<pi '•• фг) (* = 1 ' ' * Г).
Поэтому на основании сказанного в предыдущем параграфе мы можем
заменить старое определение однородных групп функций нижеследующим1:
'Ср. Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, декабрь 1872 г.

r-параметрическая группа функций if\{x,p) ••• (рг{х,р) называется
однородной, если она допускает инфинитезимальное контактное
преобразование с характеристической функцией z.
Если же группа функций (^i(x^p) ••• (рг{х,р) допускает инфините-
зимальное контактное преобразование z, то и соответствующая полярная
группа, согласно утв. 2 (стр. 291), его допускает и также является
однородной.
Тем самым, мы имеем новое доказательство и в то Dice время
понятийное разъяснение фундаментальной теоремы из теории однородных групп
функций, согласно которой полярная группа однородной группы функций
также является однородной (см. теорему 29, стр. 247).
Кроме того, при рассмотрении утв. 2 (стр. 291) становится ясно, что
само понятие однородной группы функций является всего лишь частным
случаем некоторого общего понятия. Так, можно рассмотреть вообще все
группы функций, которые допускают какое-либо заданное инфинитезимальное
контактное преобразование вида ez + w(x1p). Тогда множество всех этих
групп функций, согласно утв. 2 (стр. 291), обладает тем свойством, что
полярная группа содержащейся в ней группы функций всегда будет снова
принадлежать этому множеству.
Кстати, можно вывести утверждение 2 (стр. 291) и другим путем.
Если r-параметрическая группа функций (pi(x,p) ••• ipr(x,p),
имеющая группу ф\(х^р) • • • ^п-г&чР) в качестве полярной группы, допускает
инфинитезимальное контактное преобразование ez + w(x,p), то, согласно
стр. 327, имеют место соотношения вида
[ez + w(x,p),(p„]ZiXiP = Фх(ч>\ ••• <рг) {*= 1 ••• г). (5)
Тогда если сначала положить е равным нулю, то эти уравнения можно
записать так:
{и><рх)х,Р = #*(<Pi * * * 4>т) (* = 1 • • • г).
Если же мы подставим эти выражения в тождество Якоби
{(W(px)^j) + ((<Pxll>j)w) + {{ll>jU>)<px) = О
и примем во внимание, что оба первых члена в левой части обращаются
в нуль, то получится, что имеют место соотношения вида
{^j)x,p = iPj(^l • • • Ф2п-г) U = 1 • • • 2п - г).
С другой стороны, если е ф 0, то при помощи контактного преобразования
вида
zf = ez + w(x,p), х^=ХДх,р), Pi = Pi(x,p) (i = l---n)

мы введем новые переменные г',х',р*. Если при этом (^ и ф^ переходят
в 7рх(х\р') и ф^х1 ,р') соответственно, то (5) превращается в
откуда следует, что группа функций Тр± • • - Трг является однородной.
Соответствующая полярная группа фг • • • Фъп-г-» согласно теореме 29 (стр. 247),
также является однородной, то есть имеют место соотношения
[^ib',*'*' = $№i • • • Ф2п-г) У = 1 •'' 2п - г),
которые, если снова ввести старые переменные z,x,p, принимают вид
[ez + w(x,p),ipj]ZiXiP =еФэ{ф1 ••• ф2п-т) С? = 1 ••• 2п-г).
Итак, оба случая подтверждают правильность теоремы 46 (стр. 328).
При помощи совершенно аналогичных рассуждений из теоремы 30
в гл. 12 (стр. 254) мы получаем следующее
Утверждение 3, Если г-параметрическая группа функций
(fi(x,p) ••• (рг(х,р) допускает инфинитезималъное контактное
преобразование z + w(x,p), т. е. имеют место соотношения вида
[z + w(x,p),(fx} = Ф„{(рг ••• (рг) (х = 1 ••• г),
то всегда можно привести эту группу к такому каноническому виду
Х\ - - - Хт, Р\ " - Pq, что уравнения
[Xi,Z + w(x,p)]z,x,p = 0, [Pj,Z + w(x,p)]ZiXiP = Pj (i = l ••• m;j = 1 «•• q)
выполняются mootedественно.
Это утверждение дает новый способ ответа на вопрос о том,
существует ли контактное преобразование (1), переводящее 5 заданных
функций Ui(x,p) • • • Us(x,p) в 5 других функций V\(x\pf) - - - Vs(x\pf) и,
кроме того, оставляющее заданную функцию z + w(x,p) инвариантной. Но
заниматься этим подробнее нет причины.
§74
Пусть ui(x,p) •••ur(x,p) — какая-либо r-параметрическая группа
функций, а Х\ • • • Xm+q, Р\ • • • Рш — ее каноническая форма.

W)xp-u-£ (б)
Если теперь под U мы будем понимать произвольную функцию
группы, то
дг
будет инфинитезимальным контактным преобразованием, оставляющим
группу функций и\ • • • ит инвариантной. Это инфинитезимальное
преобразование в то же время оставляет каждую отдельную функцию полярной
группы соответствующей и\ • • • иГ9 а значит, в частности, любую
выделенную функцию группы и\ • • • иг — инвариантной. Кроме того, легко видеть,
что оно является самым общим инфинитезимальным контактным
преобразованием вида
(<p(x,p)J)xp-<p(x,p)-^,
обладающим указанными свойствами.
С другой стороны, мы хотим отыскать все конечные контактные
преобразования вида
zf = z + 0{x,p), x'i = Ei{x,p), Pi = IIi{x,p) (7)
(г = 1 • • • га),
оставляющие группу функций щ • • • иТ и в то же время каждую
отдельную функцию соответствующей полярной группы, а стало быть, и всякую
выделенную функцию группы щ • • • ит инвариантными.
Если Xm+g+i • • • Хп, Prn+i — ' Рп — такие функции переменных х,р,
что Х\ • • • Хп, Р\ • • • Рп задают 2п-параметрическую каноническую
группу функций, то, в частности, Xm+i • • • ХП9 Pm+(?_|_i • • • Рп — каноническая
форма соответствующей и\ • • • иг полярной группы. Поэтому речь идет
лишь о том, чтобы найти самое общее контактное преобразование (7),
переводящее систему функций Х\ • • • Хш+Я, Р\ • • • Рш в другую
каноническую форму группы и\ • • • иг и в то же время оставляющее все функции
Xm+i • • • ХП9 Рт+<7+1 • • • Рп инвариантными.
Чтобы решить эту задачу, мы прежде всего зададим самым общим
образом такую каноническую форму Х\ • • • Xm+q, Ф1 • • • фт группы
функций и\ • • • иг, чтобы Xm+i • • • 3£m+<? были равны Хш+\ ''' Xyyi-^-q
соответственно. Затем добавим к функциям Х\ • • • Xm, Xm+i • • • Хп, фх • • • ^Зт,
Pm+q+i • • • Рп самым общим образом другие такие фт+1 • • • tym+q,
чтобы получилась 2п-параметрическая каноническая группа. Наконец,
согласно указанию в теореме 13 (стр. 150), найдем две функции А(х,р) и В(х,р)
с таким свойством, чтобы как уравнения
Z = Z + А(х,р), Х{=Х{(х,р), р[ = Рг(х,р)
(г = 1 ••• п),

так и уравнения
z = z + B(x,p), xi = Х\(х,р), ---xm = Хт(х,р),
х\ = Xm+i{x,p), ---xn = Хп(х,р),
Р\ = Vlfap), • • • Pm + g = фт+д(Х,р),
Pm+g+1 = JW9+l(s,p), * * * Pn = ^n(x,p)
представляли контактное преобразование. Тогда, согласно стр. 152, из
(zf + B(x\pf) = z + A(x,p),
Xi(x',p') = Xi(x,p) • • • Xm(x',p') = Xm(x,p),
< Xm+i(x',p') = Xm+i(x,p), • • • Xn{x\pf) = Xn(x,p), (8)
[Pm+g_hi(a;/,p/) = Pm+q+i{x,p), ••• Pn(xf,p') = Pn(x,p)
в результате разрешения относительно zf,xf,p' получается контактное
преобразование, причем, очевидно, самое общее вида (7), оставляющее группу
функций u\ • • • иг и одновременно все функции соответствующей
полярной группы инвариантными.
Ясно, что совокупность всех контактных преобразований (8) образует
бесконечную непрерывную группу преобразований с попарно обратными
преобразованиями и что эта группа преобразований включает в себя все
инфинитезимальные контактные преобразования
(Uf)xp-U^, (6)
какой бы функцией от и\ • • • uT ни была U. С другой стороны, ясно, что для
любого инфиншпезилшльного контактного преобразования (8)
соответствующая характеристическая функция зависит только от х\ • • • хп,р\ • • • рп,
так как z' — z является функцией только от х, р. Отсюда следует, что в
форме (6), в которой U означает произвольную функцию от и\ • • • иг,
содержатся все инфинитезимальные преобразования бесконечной группы
преобразований (8). Итак,
Теорема 47. Если и\ • • • иТ — произвольная
г-параметрическая группа функций от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, то
имеется бесконечная непрерывная группа контактных
преобразований, инфинитезимальные преобразования которой все без

исключения записываются в виде
(Uf)xp-U^, (б)
где U — произвольная функция от и\ • • • иТ.
Упомянутая здесь бесконечная группа преобразований, очевидно,
включает в себя все однопараметрические группы вида (б); принадлежит
ли, наоборот, всякое из ее конечных преобразований такой однопараметри-
ческой группе — останется здесь нерешенным.
Если из уравнений (8) исключить самое верхнее, то мы естественным
образом получим бесконечную группу сокращенных контактных
преобразований только от переменных х\ ••• хп,р\ ••• рп. Инфинитезимальные
преобразования этой группы также являются сокращенными контактными
преобразованиями и все записываются в виде
(U(m -" ur),f)xp,
где U — произвольная функция своих аргументов.
Мы еще раньше (стр. 297) замечали, что как выделенные функции г-па-
раметрической группы функций, так и функции соответствующей
полярной группы являются дифференциальными инвариантами по отношению ко
всем однопараметрическим группам вида (U(u\ • • • иг), /). Но в то же
время они, очевидно, также являются дифференциальными инвариантами по
отношению ко всем конечным преобразованиям нашей бесконечной группы
контактных преобразований (8).
Здесь можно без дальнейшего обоснования привести следующее
Утверждение 4. Если преобразования бесконечной непрерывной группы
преобразований упорядочиваются в пары взаимно обратных, то всякая функция,
допускающая все инфинитезимальные преобразования этой группы, при всех ее
конечных преобразованиях также остается инвариантной.
Здесь также следует поставить несколько различных вопросов2.
Если задана r-параметрическая группа функций и\(х,р) ••• иг(х,р),
то можно задать вопрос относительно всех конечных контактных
преобразований вида (17), оставляющих эту группу функций инвариантной.
Совокупность всех этих преобразований естественно образует бесконечную
2Ответы на ряд этих вопросов можно найти в работе Софуса Ли: «Discussion aller
Integrationsmethoden der partiellen Differentialgleichurigen erster Ordnung», Verh. d. Ges. d. W.
zu Christiania, февраль 1875 г.; ср. также Math. Ann., том XI.

группу преобразований, инфинитезимальные и конечные преобразования
которой, кстати сказать, можно всегда легко непосредственно задать.
Кроме того, можно искать все конечные или инфинитезимальные
контактные преобразования вида (7), оставляющие одновременно несколько
заданных функций или групп функций инвариантными; само собой
разумеется, здесь также в общем случае получаются бесконечные группы
преобразований.
С другой стороны, можно искать все полные системы от
переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, которые остаются инвариантными
относительно такой бесконечной группы^.
Само собой разумеется, что соответствующие исследования можно
провести и тогда, когда мы изначально ограничимся однородными
контактными преобразованиями от х,р.
Мы ограничимся здесь только одним рассмотренным ниже примером.
Пусть задана функция и переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп. Прежде
всего нас интересуют все инфинитезимальные контактные
преобразования р(х,р), оставляющие и инвариантной.
Согласно стр. 292, для того чтобы инфинитезимальное контактное
преобразование </?(х,р) оставляло функцию и инвариантной,
необходимо и достаточно, чтобы выражение (<ри) обращалось в нуль
тождественно, то есть <р(х,р) является произвольной функцией (2п —
1)-параметрической полярной группы, соответствующей и. Если мы
положим и — Х\9 и если Х\ • • • Хп,Р\ • • • Рп являются каноническими
переменными (ср. стр. 234), то упомянутая полярная группа имеет вид
Х\ • • • Хп, Р2 • • • Рп\ следовательно, общее инфинитезимальное
контактное преобразование с искомым свойством таково:
{Ф{ХХ ■■■ ХШР2 ■■■ Pn)j)xp- Ф^ (9)
где Ф — произвольная функция своих аргументов. Теперь мы ищем все
полные системы от х\ • • • хп,р\ • • • рп, остающиеся инвариантными при
действии всех инфинитезимальных контактных преобразований вида (9).
Если W(x, p) — решение одной из искомых полных систем, то и
(Ф(Х1---Хп,Р2---Рп),]¥)хр
всегда должно быть решением этой системы при совершенно
произвольном Ф.
3Подобные задачи относятся к общей теории дифференциальных инвариантов, см.
цитированную выше работу: «Discussion ...»

Предположим теперь, что самое общее решение одной из искомых
полных систем задано как функция от Х\ • • • Хп, Р\ - - - Рп и имеет в этом
случае вид
П(Х\ - - - Хп, Р\ • • • Рп).
Пусть Q сначала не будет независимой от всех 2п — 2 величин
Х2 - - Хпу Р2 • • • Рп, а содержит, например, ХХ9 где к > 2 (если она
содержит Рус{к > 2), то получится то же самое). Образуем два выражения
(РхЯ) = -!£-, (Р1,П) = 2РндП
дх„ v xJ ' эх*
которые, согласно вышесказанному, равным образом суть решения полной
системы, а поскольку не обращается в нуль тождественно, то мы ви-
дим, что Руг само является решением. Отсюда следует, что
{Руг, Х^) = 2Xyr, (PjcyXjfXj) = Xj {j = l • • • n, j ф х),
также являются решениями полной системы; то есть что эта система
имеет 2п — 1 независимых решений Х\ • • • Хп, Р2 • • • Рп- Больше
независимых решений она иметь не может, следовательно, она просто имеет вид
(Xif) = 0 или, что то же самое, (uf) = 0.
Пусть, напротив, Q не содержит Х2 - - - Хп, Р2 - • • Рп и является,
таким образом, функцией Q(X\,P{) только от Х\,Р\. Тогда Q обязательно
не зависит также и от Pi, иначе выражения
(xln) = -j£L, (х1х2,п) = -х2Ш
были бы решениями соответствующей полной системы, а значит, и Х2
было бы решением, в то время как самое общее решение должно зависеть
лишь от Х\ и Pi. Поэтому в данном случае самое общее решение является
функцией только от Х\, а соответствующая полная система такова:
(Xi/) - 0, • • • (Xnf) = 0,
(Р2/) = 0,-.-(Рп/) = 0.
Тем самым, мы имеем следующее
Утверждение 5. Если полная система в переменных х\ - - • хп,
Pi ''' Рп допускает все инфинитезимальные контактные преобразования

от х,р, оставляющие функцию и(х,р) инвариантной, то она может либо
быть записана в виде
{uf)xp = О,
либо является {2п—\)-параметрической и имеет только одно решение — и.

Раздел IV
Общая теория конечных непрерывных групп
контактных преобразований
В этом разделе мы рассмотрим понятие конечных непрерывных групп
контактных преобразований и выведем наиболее важные свойства таких
групп.
Но прежде всего мы восполним пробел, который остался в первой
части книги. А именно, там мы установили, что г независимых
инфинитезимальных преобразований
г=1 г
r-параметрической группы удовлетворяют соотношениям вида
г
Xi(Xn(f))-X„(Xi(f)) =J2c^sXsf (i,*=i...r), (A)
5=1
а также, что входящие в эти соотношения константы а^3 удовлетворяют
уравнениям
Qxs "г Cycis = ",
г
v=l
(г, K,j,s = l • • • г).
Кроме того, мы утверждали, что и наоборот, всякий раз, когда заданы г3
констант Ci>,s, удовлетворяющих уравнениям (В), всегда имеется
некоторая г-параметрическая группа точечных преобразований со
структурной Cixs, то есть группа, содерэ/сащая г независимых инфинитезимальных

преобразований X\f • ■ ■ Xrf, находящихся в соотношениях (А). Это
фундаментальное утверждение мы теперь действительно докажем и в то же
время обнаружим, что все группы точечных преобразований с заданной
структурой могут быть найдены при помощи интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Затем в главе 18 мы рассмотрим понятие конечных непрерывных групп
контактных преобразований и перенесем самые главные теории первой
части на группы этого типа. При этом наиболее простой в изложении является
теория подобия двух групп контактных преобразований.
Из прочего содержания настоящего раздела следует еще выделить
доказательство того, что все группы контактных преобразований с
заданной структурой можно также заведомо задать при помощи интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений (глава 20).
Далее в главе 21 мы введем понятие приводимости и неприводимости
групп контактных преобразований; и наконец, в заключительной главе
раздела (гл. 22) мы покажем, что любая конечная непрерывная группа
контактных преобразований имеет дифференциальные инварианты, и
одновременно укажем способ задания всех этих дифференциальных инвариантов при
помощи интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Глава 17
Доказательство существования групп
с заданной структурой
Допустим, нам дана некоторая структура, то есть г3 констант c^s,
удовлетворяющих уравнениям
Cixs i Cxis = U,
г
*/=l
(г, xr, j, S = 1 • • • r).
Мы утверждаем, что существует г независимых инфинитезимальных
точечных преобразований от подходящего числа т переменных у\ - - уш
находящихся в соотношениях
г
У.(Ух(/))-У«(^(/))=Х!с«^У^ (г,*=1...г) (2)
5=1
и порождающих, таким образом, r-параметрическую группу со
структурой СЫз.
§75
Прежде всего мы докажем, что при подходящем выборе п всегда
существует г независимых функций (р\(х,р) ••• (рг(х,р) от 2п переменных
Х\ • • • хп,р\ • • • рп, находящихся в соотношениях
г
{ЩЧ>>с)хр = ^2 Ci^s^s = ™%ЛЧ>1 ' ' ' Фг) (г, х = 1 • • • г). (3)
5=1

Согласно теореме 37 (стр. 274), для существования г таких функций
(fi(x,p) • • • <Рг(х,р) необходимо и достаточно, чтобы соотношения
/
Щ* + w><i = О,
Y^ Г dwiX , dw„j dw.
,x + tw^-5-^ + «w^2- ^ = ° (4)
(i,*,j = l ••• r)
выполнялись тождественно. Из этих соотношений, однако, выполняются
в силу CiKS + Cxis — О, очевидно, лишь те, что в первой строке, а те, что во
второй, принимают после соответствующего вычисления вид
т т
/ ^ ^Ps ' / \C-iKvC-vjs "Г C^jifCjyis -\- Cjii/Cirxsf = "»
s=l //=1
то есть в силу (1) также обращаются в тождества. Следовательно,
заведомо существует г независимых функций (pi(x,p) • • • (р,у(х,р) с заданным
свойством, и мы имеем
Утверждение 1. Если заданы г3 констант ciycs, удовлетворяющих
уравнениям
г
/ ^\Cj>c]sCisjs -\- CycjvCisis ~\- CjijyCjsxsf = U (1)
(г, *r,j,S = 1 ••• г),
mo /7/7W подходящел1 выборе п всегда можно найти г независимых
функций <pi(x,p) • • • (рг(х,р) от 2п переменных х\ * - хп,р\ * - рп,
находящихся в соотношениях
г
(<РИрх)хр = ^2сЫз<р8 (г,**=1---г), (3)
5=1
причем для задания г таких функций <р\ - - - <рг требуется не более чем
интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пусть теперь <pi(x,p) ♦ ♦ ♦ (рг(х,р) — независимые функции,
находящиеся в соотношениях (3). Рассмотрим г инфинитезимальных преобразований
(tpljjxp *•• yprjjxp

от переменных х\ • • • xn,pi ••• рп. Эти преобразования, согласно утв. 7
(стр. 297), являются независимыми друг от друга, так как tp\ • • • <рг как
независимые функции переменных х,р не связаны никаким линейным
соотношением
с\(р\ + - • • + сг(рг + с — О
с постоянными коэффициентами. Если мы теперь положим
(¥>*/)= Ах(/) («=1...г),
то получим
Аг(Аки)) - ммл) = Ыч>*л) - ЫпЛ) =
г
s=l
или
г
Ai(Ax(f)) - ммп) = Ес-*А*(я
5=1
(г, ус = 1 • • • г).
В соответствии с этим A\(f) ••• Ar(f) суть г независимых инфинитези-
мальных преобразований от переменных х\ - - - хп,р\ • • • рп,
порождающих r-параметрическую группу со структурой с^8.
Тем самым, выдвинутое в начале главы утверждение доказано, т. к.
если выбрать названное там число т равным 2п и записать х\ • • • хп, р\ • • • рп
вместо ух • • • ут, то нам надо будет лишь положить Yxf = A^f.
r-параметрическая группа ipi(x,p) • • • (рг(х,р) имеет
(2n—r)-параметрическую полярную группу ф\(х,р) ••• ф2п-г(х,р)' Если ввести 2п — г
независимых функций ф\ • • • ф2п-г этой полярной группы в качестве
новых независимых переменных и дополнить их г подходящими
величинами z\ • • • zr, то г инфинитезимальных преобразований
A^yj) = {(pxj)xp
очевидно, примут вид
г
3 = 1
(ус=1 -.-г),
Ф2п-г)-^ (*=1 ---г).

Тогда г линейных дифференциальных уравнений в частных производных
(<Plf)xp = 0, • • • ((frf)xp = О
являются независимыми друг от друга, так как <pi • • • <^r суть независимые
функции переменных х,р, а стало быть, и г линейных дифференциальных
уравнений в частных производных
^2,C>xj{Zi ••• Zr,lj)i ••• ^2n-r)-Q- = 0 (>с=1 ... г)
должны быть независимы друг от друга и оставаться таковыми, если
рассматривать в них величины ф\ • • • ip2n-r не как переменные, а как
произвольные константы. Отсюда следует, что г инфинитезимальных
преобразований
a*(/) = 5^C*i(*i ••■*r>c,i • ••c2n_r)|^ (* = i...r)
от переменных z\ • • • гг являются независимыми друг от друга, в то же
время ясно, что эти инфинитезимальные преобразования порождают г-па-
раметрическую группу от ^i • • • zr9 причем эта группа обязательно будет
просто транзитивной. Итак,
Теорема 48* Если даны г3 констант
Cites (t, *,S = 1 ••• г),
удовлетворяющих соотношениям
г
/ ;\CixvCvjs "Г Cycji>Cf;is "г Cjii/Cvxsj — U (1)
(г, *r,j,s = 1 ... г),
wo всегда можно при помощи интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений найти г-параметрическую
просто транзитивную группу точечных преобразований, имеющую
структуру ciy,s}
'Lie, Verhandlungen der Ges. d. W. zu Christiania, 1888 г.; ср. также Archiv for Mathematik,
том 1, Христиания, 1876 г.; Math. Ann., том XVI и Berichte der Kgl. Sachs. Ges. d. W., 1888 r.

Если же одна просто транзитивная группа точечных преобразований
со структурой CixS задана, то, согласно ч. I, гл. 22, все остальные группы
точечных преобразований с этой структурой находятся также при помощи
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким
образом, справедливо следующее
Утверждение 2. Если имеется г3 констант
Cixs (г, *r,s = 1 ••• г),
удовлетворяющих соотношениям
C-ixs "г C>cis — U,
г
/ j\C-ixyC-vjs i CxjvCvis • Cjii/Cvxsf = U \±)
v=l
(г, >гг, jf, 5 = 1 • • • r),
то существует бесконечно много групп точечных преобразований со
структурой Сг^3. Все эти группы могут быть найдены при помощи
интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
Поскольку в соотношениях (3) функции w^ являются однородными
первого порядка от ц>\ • • • <рг, то, согласно теореме 38 (стр. 281),
существует, в частности, также г независимых функций h\{x,p) • • • hr(x,p),
однородных и первого порядка по р, находящихся в соотношениях
г
8 = 1
Тогда
\^1J )хр ' ' ' \'^rj)xp'>
очевидно, являются инфинитезимальными однородньти контактными
преобразованиями и порождают r-параметрическую группу со структурой c^s.
Итак,
Утверждение 3. Если имеется г3 констант
Сыв (i,**,s = 1 ••• г),
удовлетворяющих соотношениям
Cixs i Cxis = "?
г
/ jXCjycvCyjs ~г CycjvC-vis i CjivCvycs) = U (1)
{i,x,j,s = 1 ••• г),

то всегда моэ/сно при помощи интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений найти г независимых инфинитезимальных однородных
контактных преобразований
BM) = (h„f)xp (*=i...r),
находящихся в соотношениях
г
Bi(B„(f))-B„(Bi(f))=Yt**sB8(f) (*,:*= I--г)
s=l
и образующих тем самым r-параметрическую группу со структурой Cix8;
все инфинитезималъные преобразования
г /г \
этой группы являются инфинитезимальными однородными
контактными преобразованиями.

Глава 18
Общий подход к конечным
непрерывным группам контактных
преобразований
В изложенных ниже исследованиях о конечных непрерывных группах
контактных преобразований мы будем иметь дело преимущественно с
группами однородных контактных преобразований.
Это не означает ограничения общности. В главе 5 (стр. 161 и ниже)
мы доказали, что всякому однородному контактному преобразованию от
2п переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп соответствует определенное контактное
преобразование от 2п — 1 переменных
- - - _?2L
% — ЗСпч Ух. — 3Cxi 0.x — /п
уп
(х=1 ...п-1),
и тем самым между двумя этими категориями контактных преобразований
устанавливается взаимно однозначное соответствие. Кроме того, мы
показали там следующее: если последовательно выполнить два контактных
преобразования, принадлежащих одной и той же категории и найти для
них и для полученного третьего преобразования этой категории
соответствующие преобразования другой категории, то всегда получатся три
преобразования, третье из которых получается в результате выполнения двух
первых.
Поэтому если имеется оог преобразований одной категории,
образующих r-параметрическую непрерывную группу, то оог
соответствующих преобразований другой категории также образуют г-параметрическую
группу, которая, очевидно, является голоэдрически изоморфной первой.
Во всяком случае, нижеследующие исследования нам нужно будет
подробно провести только для групп однородных контактных преобразований
и тогда совсем несложно будет перенести их на группы неоднородных
преобразований.

Кроме того, ясно следующее: всякая подгруппа г-параметрической
группы контактных преобразований состоит опять-таки из контактных
преобразований. Если применить это замечание к однопараметрическим
подгруппам нашей группы, то получится (ср. утв. 2, стр. 291), что эта группа
порождена г независимыми инфинитезимальными контактными
преобразованиями. И наоборот, ясно, что r-параметрическая группа, порожденная г
независимыми инфинитезимальными контактными преобразованиями,
состоит лишь из контактных преобразований.
§76
Всякая r-параметрическая группа однородных контактных
преобразований х\ • • • xn,pi • • • рп содержит г независимых инфинитезимальных
однородных контактных преобразований (Hif) • • • (Hrf); r
характеристических функций Н1 • • • Нг этих инфинитезимальных преобразований
являются однородными по р и, согласно гл. 14, утв. 10 (стр. 302), не связаны
никакими линейными соотношениями е\Н\ -\ + егНг = 0 с
постоянными коэффициентами.
Очевидно, что характеристическая функция общего инфинитезималь-
ного преобразования e\{Hif) + • • • + er(Hrf) нашей группы имеет вид
е\Н\ + • • • + еТНТ. Тогда если мы запишем A^f вместо (H^f), то,
согласно теореме 22, часть I (стр. 167-168), будут иметь место соотношения
вида
г
А{Аус] — AyrAij = / v CjytsAytf.
s=l
Итак,
AiA„f - AM = (Я,(ЯХ/)) - (Hx(Hif)) = ((Я«ЯЖ)/);
то есть эти соотношения принимают вид
г
5 = 1
что можно записать еще следующим образом:
({ЩН„)-^сЫзН8,Л =0.
^ 5=1 '

Но отсюда мы можем заключить (ср. гл. 14, стр. 264), что
характеристические функции Н\ • • • Нт находятся в следующих соотношениях:
( т
J (HiHx) — 2_^cixsHs
[ (г, * = 1 ••• г).
Если же, наоборот, (H\f) • • • (Hrf) — инфинитезимальные
однородные контактные преобразования, характеристические функции которых
Hi • • • Нт находятся в соотношениях вида (1), то они, очевидно,
порождают r-параметрическую группу однородных контактных преобразований.
Таким образом, справедлива следующая
Теорема 49. Для того чтобы г инфинитезималъных
однородных контактных преобразований (H\f) • • • (Hrf) от
переменных xi • • • xn,pi • • • рп порождали г-параметрическую группу
однородных контактных преобразований, необходимо и
достаточно, чтобы г характеристических функций Н\ • • • Нг не
были связаны никаким линейным соотношением е\Н\ Н +
+ егНг = 0 с постоянными коэффициентами и находились в
соотношениях вида
( Т
(HiHyc) — У CixsHs
{ tl С1)
[ (г,*г= 1 ••• г).
Всякая г-параметрическая группа однородных контактных
преобразований порождена г такими инфинитезимальными
однородными контактными преобразованиями (#i/) • •• {Hrf);
характеристическая функция общего инфинитезимального
преобразования этой группы такова:
е\Н\ + • • • + егНг}
Для краткости мы будем в дальнейшем говорить об г-параметрической
группе Н\(х,р) • • • Нг(х,р) однородных контактных преобразований или,
там, где можно не опасаться недоразумения, просто об г-параметрической
группе Hi(x,p) • • • Нг(х,р).
'Lie, Math. Ann., том VIII; Gottinger Nachrichten, декабрь 1874 г.; Archiv for Mathematik,
том I, Христиания, 1876 г.

Если Hi(x,p) ••• Hr(x,p) — r-параметрическая группа однородных
контактных преобразований, то можно поставить себе задачу описать
характеристические функции инфинитезимальных преобразований всех
подгрупп, содержащихся в этой r-параметрической группе. Для решения этой
задачи требуется лишь разрешить алгебраические уравнения; это
следует непосредственно из теоремы 33 (часть I, стр. 233), так как эта
задача сводится попросту к описанию всех подгрупп r-параметрической груп-
ПЫ (Я!/) •••(#,./).
Константы с^5, входящие в уравнения (1), связаны соотношениями
/ г
(г, x,j,s = l • • • г).
Эти соотношения можно вывести, составив либо известное тождество
между тройками инфинитезимальных преобразований A^f = (H^f), либо
тождество между тройками характеристических функций Н\ • • • Нг.
Система констант с^$ в уравнениях (1) задает, точно так же, как и для
групп точечных преобразований, структуру группы Н\(х,р) • • • Нг(х,р)\
а именно, если положить (Hxf) — Axf9 то уравнения (ЩН^) — ^ Сгус8Н8
повлекут за собой соотношения
•A-iAxJ AycAij — у ^ CiyrSAsj.
s=l
Отсюда следует, что присоединенная группа группы Н\(х,р) ••• Нг(х,р)
имеет обычный вид:
Далее (ср. ч. I, стр. 322), две r-параметрические группы
Hi(x,p) ••• Нг(х,р) и Ki(x,p) ••• Кг(х,р) однородных контактных
преобразований являются равносоставленными, или голоэдрически
изоморфными, тогда и только тогда, когда во второй группе имеется г таких
независимых инфинитезимальных преобразований
Щ!) = 9я(KJ) + ■■■+ gjr(Krf) у = 1 • • • г),

что одновременно с соотношениями
г
5 = 1
имеют место точно такие же соотношения
г
5 = 1
Но это мы теперь можем выразить следующим образом.
Утверждение 1. Две г-параметрические группы однородных
контактных преобразований Hi(x,p) ••• Нг(х,р) и К\(х,р) ••• Кг(х,р)
являются раеносоставленными тогда и только тогда, когда можно задать г
таких не связанных никаким линейным соотношением характеристических
функций
г
KJ = ^9ji'Ki(x,P) 0 = 1 •••г),
г=1
что одновременно имеют место соотношения
г
{HiHj) = ^ cijsHs (г J = 1 ... г)
5=1
и
г
(KiKj) = ^ ciJsKs (hj = 1 • • • г),
5 = 1
в обоих случаях с одними и теми же константами CijS.
Если выбрать г2 констант д^ самым общим образом так, чтобы
условия этого утверждения удовлетворялись, и поставить каждой
характеристической функции е\Н\ Н + егНг в соответствие функцию е\К[ -\ +
+ erKfr, то мы, очевидно, получим две группы, Н\ • • • Нг и К\ • • • КГ9
самым общим образом связанные между собой голоэдрическим
изоморфизмом.
Для того чтобы r-параметрическая группа Н\(х^р) • • • Нг(х,р)
однородных контактных преобразований была инвариантной подгруппой (г +
+ т)-параметрической группы Н\(х,р) ••• i7r+m(x,p), согласно теоре-

ме 47 (ч. I, стр. 290), необходимо и достаточно, чтобы имели место
соотношения вида
(H^(Hr+flf)) - (#Г+/Х(Я„/)) = У ^сх>г+м<д(Яд/).
5=1
Отсюда известным образом получается следующее
Утверждение 2. r-параметрическая группа Н\(х,р) • • • Яг(х,р) од-
нородных контактных преобразований является инвариантной подгруппой
(г + т)-параметрической группы Н\(х,р) • • • Яг+т(х,р) тогда и только
тогда, когда имеют место соотношения
(НусНг+ц) — Cx,r+n,lHl + • • • + Сх,г+ц,гНг
(>f = 1 • • • г, fi = 1 • • • т).
§77
Если Н\(х,р) ••• Яг(х,р) — r-параметрическая группа однородных
контактных преобразований, то среди г функций Н\(х,р) • • • Яг(х,р)
найдется определенное число, скажем, m друг от друга независимых. Мы
полагаем, что Ях • • • Ят являются независимыми друг от друга, тогда как
Ят+1 • • • Яг выражаются только через Н\ • • • Нш:
Нт+к = ^m+>c{Hi • • • Нт) (>с=1 ... г - т). (3)
При этих условиях уравнения (1) дают следующие соотношения между
Ях • • • Нт:
( т т—гп
Сд/-/,т+х:Дп+х-(Я1 ••• Ят)
(, (fji, i/ = 1 ... га);
другими словами, Н\ ••• Нш задают m-параметрическую, естественным
образом однородную группу функций, которой также принадлежат
Ят+1 • • • Яг. Это дает нам следующее
Утверждение 3. Всякой г-параметрической группе Н\ (х, р) • • • Яг(х, р)
однородных контактных преобразований соответствует некоторая
совершенно определенная однородная группа функций2. Она задается
2Archiv for Mathematik, том 1, Христиания, 1876 г.

функциями Н\{х,р) • • • Нг(х,р) и содержит характеристические функции
всех инфинитезимальных преобразований этой г-параметрической группы.
Число ее параметров равно числу независимых друг от друга функций
среди Hi(x,p) • • • Нг(х,р).
В отличие от группы функций, заданной функциями
Hi (x, р) • • • Нг(х, р)9 мы будем в дальнейшем называть г-параметрическую
группу Н\(х,р) • • • Нг(х,р) однородных контактных преобразований
группой преобразований Hi(x,p) • • • Нг{х,р).
Если cites заданы и вид соотношений Нш^.^ — От+ус = 0 известен, то
можно непосредственно задать тип (ср. стр. 257) соответствующей
однородной группы функций.
Инварианты группы преобразований Hi(x,p) --- Нг(х,р) (часть I,
стр. 240) — это такие функции переменных х, р9 которые допускают г
инфинитезимальных преобразований (Hif) • • • (Hrf), то есть являются общими
решениями г линейных дифференциальных уравнений в частных
производных
(#i/) = 0, •••(Яг/) = 0
в переменных х,р. Если, как и выше, Hi • • • Нш не зависят друг от друга,
в то время как Нш+\ • • - Нг выражаются только через Hi • • • Нт, то эти
уравнения сводятся к следующим т друг от друга независимым:
(#i/) = 0, •••(Ят/) = 0,
образующим, согласно теореме 19 (стр. 211), m-параметрическую
полную систему. Но решения этой полной системы образуют, согласно
теореме 20 (стр. 212), полярную группу rn-параметрической группы функций
Hi(x,p) ••• Нт(х,р), следовательно,
Теорема 50. Инварианты г-параметрической группы
Hi(x,p) ••• Нг(х,р) однородных контактных преобразований
суть функции полярной группы, соответствующей группе
функций, заданной функциями Н\(х^р) ••• Нг(х,р).
В частности, мы получаем
Утверждение 4. Инварианты т-параметрической группы
Hi(x,p) ••• Нг(х,р) однородных контактных преобразований,
являющиеся однородными функциями нулевого порядка по р, молено таю/се
определить как функции нулевого порядка полярной группы, соответствующей
группе функций, заданной функциями Hi(x,p) • • • Нг(х,р).

Ответ на вопрос относительно всех инвариантов группы
преобразований Н\(х,р) • • • Нг(х,р), принадлежащих самой группе функций
Hi(x,p) • • • Нг(х,р), будет таким: это выделенные функции группы
функций Hi(x,p) • • • Нг(х,р). Если среди этих инвариантов существуют такие,
которые имеют нулевой порядок по р, то ими, конечно же, будут
выделенные функции нулевого порядка этой группы функций.
При переносе понятия транзитивности на группы однородных контактных
преобразований можно встать на две различные точки зрения.
Во-первых, r-параметрическую группу Н\(х,р) • • • Нг(х,р) однородных
контактных преобразований можно назвать транзитивной тогда, когда она транзитивно
преобразует переменные х\ • • • xn,pi ••• Рп- В этом случае для транзитивности
необходимо и достаточно, чтобы эта группа не имела инвариантов или, что то же
самое, чтобы среди функций Н\(х,р) • • • Нг{х,р) имелось в точности 2тг
независимых друг от друга.
Во-вторых, группу Н\(х,р) ••• Нг(х,р) можно назвать транзитивной тогда,
когда она транзитивно преобразует переменные
Р\_ Рп-1
Х\ * * * Хп-) ^ * * * ^
Рп Рп
При этой трактовке для транзитивности необходимо и достаточно, чтобы группа
не имела инвариантов нулевого порядка, то есть полярная группа группы функций
Н\(х,р) • • • Нг(х,р) не должна содержать функций нулевого порядка.
Везде, где делается упор на то, что мы имеем дело с группой однородных
контактных преобразований многообразия Х\ • • • Xji^ будет отдано предпочтение
второму определению транзитивности, поскольку в этом случае нам важно лишь
то, как преобразуются элементы
Р]_ Рп-1
Х\ * * * Хпч г* ' ^
Рп Рп
n-мерного точечного пространства х\ • • • хП9 и естественным образом мы назовем
группу транзитивной, если она переводит всякий элемент общего положения в
любой другой, то есть если она не имеет инвариантов нулевого порядка. С другой
стороны, если она имеет в точности / независимых инвариантов нулевого порядка
ЛТ ( Р1 Pn-l\ АТ ( Pi Pn-l\
Nl{Xl"-Xn>jb •'•-!*-) •''N\Xl---Xn>lb '••-!*-)>
то она разбивает множество всех oo2n_1 элементов пространства х\ • • • хп на оо'
отдельных инвариантных семейств N\(x,p) = ai, ••■ Ni(x,p) = сц с оо2п~*-1
элементами в каждом и группа будет интранзитивной.
Дело обстоит несколько иначе, если мы хотим перенести понятия
примитивности и импримитивности на группы однородных контактных преобразований.

Поскольку (см. стр. 158) всякое однородное контактное преобразование от
переменных х\ -" xn,Pi • • • Рп оставляет линейное дифференциальное уравнение
в частных производных
Pi^-Ч +Рп^ = 0 (5)
dpi дрп
инвариантным, то и вообще всякая r-параметрическая группа Н\(х,р) • • • Нг(х,р)
преобразует переменные х\ • • • хп,р\ • • • рп импримитивно уже тем, что
преобразует переменные
Pi Рп-1
Х\ ' ' ' Ять-) п * * * ^
Рп Рп
между собой. Поэтому для группы однородных контактных преобразований имеет
смысл говорить о «примитивности» только тогда, когда она примитивно
преобразует переменные
Pi Pn-i
Xl '" х^ рп '" рп 1
то есть когда в переменных х\ • • • xn,pi ■ ■ ■ рп она не оставляет инвариантной
никакую полную систему с двумя или более параметрами, содержащую уравнение (5).
Если группа однородных контактных преобразований не является в этом смысле
примитивной, то она будет называться импримитивной.
Во избежание недоразумений рекомендуется всякий раз четко оговаривать,
в каком смысле применяются понятия транзитивности и примитивности к группе
однородных контактных преобразований.
§78
Пусть Н\(х,р) ••• Нг(х,р) — r-параметрическая группа однородных
контактных преобразований. Если в этой группе в силу однородного
контактного преобразования
yi = Yi(x,p), qi = Qi(x,p) (i = l---n)
ввести новые переменные у\ • • • yn-,q\ ''' Яп> то получится новая г-пара-
метрическая группа однородных контактных преобразований. Если
Н\ (ж, р) • • • Нт(ж, р) при введении у, q превращаются в К\ (у, q) • • • Кт(у, д)
соответственно, то, согласно стр. 306, инфинитезимальные
преобразования {Hif)xp • • • {Hrf)Xp переходят в (Kif)yq • • • {Krf)yq соответственно
и тогда это будут независимые инфинитезимальные преобразования новой
группы. Следовательно, характеристическая функция общего инфинитези-
мального преобразования нашей новой группы будет такой: e\Ki(y,q) +
+ • • • + erKr(y, q) или, как еще можно это сформулировать,

Утверждение 5. Если в г-парсьиетрическую группу однородных
контактных преобразований Н\(х,р) • • • Нг(х,р) ввести в силу контактного
преобразования
yi=Yi(x,p), qi=Qi{x,p) (i = l---n)
новые переученные у\ • • • упЛ\ ''' Чп> то получится новая т-параметри-
ческая группа K\(y,q) ♦♦♦ Kr(y,q) однородных контактных
преобразований: характеристические функции K\{y,q) • • • Kr(y,q) этой новой
группы будут получаться путем введения в характеристические функции
Hi(x,p) • • • Нг(х,р) исходной группы новых переменных у, q.
Пример. Если ввести в общую проективную группу
п
Pii XiPx-> %i / v %иРх
новые переменные х\р' в силу контактного преобразования
п
' - Pi ' - V"
xi — sr-y -> Pi — хг / v XxPx-)
2_^xxPx ^=1
то мы снова получим (см. стр. 307) общую проективную группу. При
этом всякая подгруппа этой общей проективной группы переходит снова
в некоторую ее подгруппу. Две такие проективные группы мы называем
двойственными группами. Двойственная группа, соответствующая
линейной однородной группе, сама является линейной однородной группой. Так,
например, двойственная группа, соответствующая присоединенной группе
произвольной группы преобразований, будет также линейной однородной
группой.
Согласно утверждению 3 (стр. 350), r-параметрическая группа
Hi(x,p) • • • Нг(х,р) однородных контактных преобразований
соответствует совершенно определенной однородной группе функций, к которой
относятся все г функций Н\ • • • Нг. Предположим, что
Х\(х,р) ••• ХЛ(х,р), Р\(х,р) ••• Р»(х,р)
— канонический вид этой группы функций; кроме того, пусть
X\+i(x,p) ••• Хп(х,р), PM+i(x,p) ••• Рп(х,р) (Л + д^г)

— такие функции, что Х\ • • • Хп, Р\ • • • Рп будет 2п-параметрической
канонической однородной группой функций.
Если при наложенных условиях в силу однородного преобразования
yi=Xi(x,p), qi = Pi(x,p) (i = l...n)
ввести вместо х,р новые переменные у\ • • • yn,Qi * * * Qn, то
Н\(х,р) • • • Нг(х,р), очевидно, будут функциями только от yi • - уп,
Н„(х,р) = Я„(у1 ••• yx,qi ••• gM) (*=l ••• г),
и поэтому инфинитезимальные преобразования (H>cf)xp нашей г-парамет-
рической группы принимают следующий вид:
JTi % дУэ
(x= 1 ••• r).
г=1
% %
Отсюда ясно, какой вид принимают конечные уравнения нашей группы
в новых переменных. Так, если /i ^ А, то эти конечные уравнения
имеют следующий вид:
(у'г = фг(У\ ••• y\,qi ••• Я»,о>1 ••• аг),
q'i = &i{yi ---Vx^i •-- q^ai ••• ar)
(i = l-.. A),
2/a+i = 2/A+i + ^(2/1 • • • 2/A, 9i • • • q^ ai •' • ar),
(6)
9a+i = 9л+ь ••• ql = q^
У^+1 = У»+и ••• Уп = Уп,
{q'n+i = Яи+и '" я'п = Qn-
В случае А > ц вид конечных уравнений совершенно аналогичен и не
требует особого рассмотрения.
Выше (стр. 351) мы видели, что группа преобразований
Н\(х,р) - - - Нг(х,р) оставляет инвариантными все функции полярной
группы, соответствующей однородной группе функций Н\(х,р) • • • Нт(х,р).

Если записать эту группу преобразований в виде (6), то инвариантность
функций полярной группы будет очевидной, так как при ji > А
полярная группа группы функций Н\(х,р) ••• Нт(х,р) принимает в
переменных у, q вид 9л+1 • • • QfM, Qfi+i • • • Qn, У»+\ • • • Уп-
Кроме того, можно заметить, что вид функций Ф, Ф, Б в
уравнениях (6) полностью задан группой Н\(х,р) • • • НТ(х,р) и выбранной
канонической формой Х\{х,р) • • • Х\(х,р), Р\(х,р) • • • Р^{х,р) группы функций
Hi(x,p) ••• Hm(x,p).
§79
Пусть Н\(х,р) ••• Нг(х,р) — r-параметрическая группа однородных
контактных преобразований от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп*
а К\(у, q) • • • Kr(y, q) — такая же группа от переменных у\ - - - уп, qi - - - qn->
тогда если существует однородное контактное преобразование
yi = Yi(x,p), qi = Qi(x,p) (г = 1.--п), (7)
переводящее конечные преобразования первой группы в конечные
преобразования второй, то эти две группы будут называться подобными в силу
однородного контактного преобразования (7).
Согласно теореме 61 (часть I, стр. 365), для того, чтобы группы
Н\ - — Нг и К\ • • • КТ были подобны в силу однородного контактного
преобразования (7), необходимо и достаточно, чтобы г инфинитезималь-
ных преобразований (H\f)xp ••• (Hrf)xp первой группы переходили при
выполнении преобразования (7) в г инфинитезимальных преобразований
группы Ki(y,q) ••• Kr(y,q). Поэтому, согласно сказанному на стр. 306,
мы получаем следующую теорему.
Теорема 51. Две г-параметрические группы Н\(х,р) • • • Нг(х,р)
и K\(y,q) ••• Kr(y,q) однородных контактных преобразований 2п
подобны в силу однородного контактного преобразования
тогда и только тогда, когда существует однородное
контактное преобразование
Vi = Yi{x,p), qi=Qi(x,p) (i = l...n), (7)
в силу которого всякое Hi(x,p) принимает вид gnKi(y^q) + • • • +
-\-girKr(y,q), где дц обозначают константы3.
3Ср. Lie, Math. Ann., том VIII, стр. 303; Gottinger Nachrichten, декабрь 1874 г.; Archiv for
Mathematik, том 1, стр. 185, Христиания, 1876 г.

Если группы Hi(x,p) ••• Нг(х,р) и K\(y,q) ••• Kr(y,q) подобны
в указанном смысле, и если положить
9nKi (y,q)-\ + 9irKr(y, q) = K[{y, q)
(i = 1 •■• г),
то соотношения
г
{l±il±j)Xp = у ^ Cjjs±1 s
s=l
благодаря инвариантному характеру символа скобки переходят при
выполнении контактного преобразования (7) в
г
5 = 1
Это согласуется с теоремой 62, (часть I, стр. 365), по которой лишь те
группы могут быть подобны друг другу, которые являются равно со
ставленными.
Конечно, очень важно научиться выяснять, являются ли две заданные
r-параметрические группы Н\(х,р) • • • Нг(х,р) и К\(у,q) • • • Kr(y,q)
однородных контактных преобразований подобными друг другу в силу
однородного контактного преобразования (7). Сейчас мы покажем, как это
можно понять, но при этом предположим, что эти группы являются равно-
составленными, так как будь это условие не выполнено, то подобие
заведомо исключалось бы.
Если имеют место соотношения
г
yiiiiij )хр — у v Cijsiis,
5 = 1
то мы сначала самым общим образом выберем г2 таких констант д^ с
необращающимся в нуль определителем, что г характеристических функций
К[ = gnKi(y,q) H +girKr(y,q)
(г = 1 ■■■ г)
связаны соотношениями
г
{К[Щ)уя = ^СцвК'8
5=1

с теми же константами CijS. Другими словами, мы самым общим
образом связываем группу K\(y,q) • • • KT(y,q) голоэдрическим изоморфизмом
с группой Н\(х,р) • • • Нг(х,р). Теперь вопрос лишь в том, можно ли
придать произвольным элементам, содержащимся в д^, такие значения,
чтобы существовало однородное контактное преобразование (7),
превращающее Н\(х,р) ••• Нг(х,р) в K[(y,q) ••• Kfr(y,q) соответственно. Но этот
вопрос можно решить на основании рассуждений в § 60 (стр. 258 и ниже).
Если, например, Н\ • • • Нт — независимые функции от х\ • • • хП9
Pi • • • Рп, тогда как Нш+\ • • • Нг выражаются только через Н\ • • • Нт,
Hm+j = Qm+j (H\ • • • Нт) {j = 1 • • • г - га),
то Hi • • • Нт задают га-параметрическую однородную группу
функций, которой принадлежат также .ffm+i • • • Нг. Для того, чтобы
существовало однородное контактное преобразование, переводящее Hi • • • Нг
в К[ - - - К'г, должна быть возможность придать содержащимся в д^
произвольным элементам такие значения, что К[ • • • К'ш будут
независимыми функциями от г/i • • • упЛ\ ''' Яп и задавать m-параметрическую
однородную группу функций, которой также принадлежат К'т+1 • • • К'г,
причем К'ш+1 • • • К'Т должны точно так же выражаться через К[ • • • К'ш, как
Нш+1 • • • Нт — через Hi • • • Hm, то есть должно выполняться
K'm+j = Пт+з(К[ • • • К'ш) (j = 1 • • • г - га).
Эти необходимые условия являются, однако, для существования
контактного преобразования (7) с требуемым свойством также и достаточными.
Действительно, если они выполнены, то Hi • • • Нш находятся в
соотношениях
т г—т
[■H-H-H-vjxp = / v Cfivs-H-s i / v cij,v,m+j*Jm+j{-Hi • • • iirn)
5=1 j=l
(/i, v = 1 • • • ra),
a if { • • • if^ находятся в соотношениях
771 Г —771
(KfiKv)yq = / jCyvsKs + ^ Cfj.v,m+jMm+j(Kl • • • Кш)
5=1 j=i
(/i, ^ = 1 • • • га);
но поскольку все Hi • • • i/m являются однородными функциями первого
порядка по р\ • • • рп, а К[ • • • if^ — однородными и первого порядка по

Qi • • • Qn> то> согласно теореме 34 (стр. 260), существует однородное
контактное преобразование (7), превращающее Н\ • • • Нт в К[ • • • К'ш
соответственно и в то же время переводящее Hm+i • • • Нг в if^i+i • • • if£> то
есть удовлетворяющее всем поставленным условиям. Таким образом, мы
имеем следующую теорему.
Теорема 52. Для того чтобы две г-параметрические группы
Hi(x,p) ••• Нг(х,р) и K\(y,q) ■•• Kr(y,q) однородных контактных
преобразований от 2п переменных были подобны друг другу
посредством однородного контактного преобразования
Vi = Yi(x,p), qi = Qi{x,p) (i = l...n), (7)
необходимо прежде всего, чтобы они были равносоставленны-
ми. Если это условие выполнено, то надо выбрать самым
общим образом г2 таких констант gij с необращающимся в нуль
определителем, чтобы между Н\(х,р) ••• Нг(х,р) и между
K[{y,q) =gaKi(y,q) + ••• + girKr{y,q) (i = l ..-r)
имели место соотношения одного и того же вида:
г
[liiiijjxp = / v Cjjs-H-s
5 = 1
и
г
5=1
Если теперь, например, Hi(x,p) ••• Нт(х,р) — независимые друг
от друга функции, в то время как -ffm+i • • • НТ можно
выразить только через Н\ • • • Нш,
Hm+v = ^т+/х(#1 • • • Нш) (/i = 1 • • • г - га),
— то группы Н\(х,р) • • • Нг(х,р) и K\(y,q) • • • Kr(y,q) подобны
друг другу требуемым образом тогда и только тогда, когда
можно так задать содержащиеся в д^ произвольные
элементы, что K[(y,q) • • • Kfm(y,q) будут независимы друг от друга,
тогда как Kfm+l---Kfr можно следующим образом выразить
только через К[ ••• К'Ш:А
Кт+ц = Мт+»(К[ ' ' ' К'т) Ох = 1 • • • г - т).
4Lie, Archiv for Mathematik, том 1, стр. 187, Христиания, 1876 г.

Из этой теоремы, в частности, следует, что группы #i • • • Нг
и К\ • • • К г также подобны только тогда, когда среди функций
К\(у, q) — - Kr(y, q) имеется точно столько же друг от друга независимых,
сколько среди функций Нх(х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р). Если, с другой стороны, эти
две группы действительно подобны, то самое общее однородное
контактное преобразование (7), переводящее одну группу в другую, находится
следующим образом: содержащимся в д^ произвольным элементам придаются
такие значения, чтобы выполнялись условия теоремы, а затем ищется самое
общее однородное контактное преобразование (7), переводящее Н\ - - - Нш
в К[ • • • К'ш соответственно.
Объяснением доказанной выше теоремы может послужить простой
пример. Мы хотим выяснить, является ли группа
Hi = Pi + р2, #2 = XiPi + Х2р2, #3 = XlPl + X\V2
подобной группе
1 2
Ki=qu K2 = yiqi + 2^/2^2, Кг = ytfi + yi2/2<?2
посредством однородного контактного преобразования.
Поскольку имеют место соотношения
(#1#2)яр = Hi, {HiHs)Xp = 2#2, (#2#з)хр = Щ,
а также
{К.Щу^Ки {KlKz)yq = 2K2, (K2K3)yg = K3,
то эти две группы являются равносоставленными. Кроме того, iJi, #2, Щ —
независимые функции от £i,X2,Pi,P2, а Ки1<2,К3 — от 2/ьУ2,<?ь<?2?
поэтому вследствие нашей теоремы заведомо имеется однородное контактное
преобразование, в силу которого уравнения
Р\ +Р2 = qu
Х1Р1 + Х2Р2 = yiqi + ^?/2<?2, (А)
yx\pi + х\р2 = y\qi + 2/12/242
выполняются тождественно.
Из уравнений (А) в результате разрешения получается
xiJpi + ix2Jp2
y/Pl+ly/P2
y2q2 = 2z(xi - x2) VP1P2-

Для задания
у2 = Ф( ХЬХ2, ^
мы имеем дифференциальные уравнения
{Я1,У2)хр = 0, {yiquV2)xp = 0ЛУ2Я2,У2)хр = J/2,
интегрируя которые, находим
Наконец,
у2 = С • у/х\ - х2
2г
УР№
y/Vi+i\/P2
<?2 = -g ' У/Xl - Х2 • УР1Р2(т/Р1 + iy/V2),
и тем самым искомое контактное преобразование полностью задано.
Примечательно, что Hi,H2, #з может рассматриваться как группа
точечных преобразований от переменных xi,X2, а К\,К*ь,Къ — как такая
же группа от переменных yi,y2, но эти группы не являются подобными
посредством точечного преобразования
2/1 = <Pi(ffi,x2), ^2 = ^2(^1,^2)
(ср. часть I, стр. 400 и ниже).
До сих пор мы применяли понятие подобия только к тем
группам однородных контактных преобразований, которые содержат
одинаковое число переменных. Это условие может быть опущено. Например,
если группа K\{y,q) ••• Kr(y,q) содержит лишь 2/г < 2п переменных
У\ ••• Vh, Qi • • • Qh, то можно добавить 2(п - /г) переменных yh+i • • • уп,
Qk+i ' • • Qn, , которые вообще не преобразуются под действием группы
Ki{y->9) ••• КЛу^я)* т0 есть преобразуются только тождественным
преобразованием
y'h+i =Vh+u ••• Уп = Уп,
Ян+i = Фн-ь "• Яп = Яп-
Тогда если группа K\{y,q) • • • Kr(y,q) от 2п переменных у\ • •• уп,
9i ''' Яп является подобной группе Н\{х,р) • • • Нг(х,р) посредством
однородного контактного преобразования (7), то можно расширить
понятие подобия, сказав, что группа К\ • • • Кт от 2/г переменных у\ • • • ун,

qi • • • qh подобна группе Hi • • • Hr от 2n переменных Х\ • • • xn,p\ • • • pn
посредством однородного контактного преобразования (ср. часть I, стр. 400,
где введена похожая терминология для групп точечных преобразований).
Впрочем, если мы в дальнейшем будем говорить о подобии двух групп
посредством однородного контактного преобразования, то мы будем всегда,
если особо не оговорено противное, иметь в виду подобие в
первоначальном узком смысле, когда обе группы содержат одинаковое число
переменных.
К вышеупомянутому расширению понятия подобия двух групп
однородных контактных преобразований мы добавим еще следующее
замечание.
Если задана некоторая r-параметрическая группа Н\{х,р) • • • Нт{х,р)
от 2п переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, то можно поставить перед собой
вопрос, насколько малым может быть число 2/г для того, чтобы в 2/г
переменных г/1 • • • yh,qi • • • qh существовала еще одна г-параметрическая
группа K\{y,q) ••• Kr(y,q) однородных контактных преобразований,
подобная группе Н\(х,р) - - - Нг(х,р) посредством однородного контактного
преобразования (слово «подобная» понимается в широком смысле).
Ответить на этот вопрос легко. Итак, пусть Х\(х,р) --- Х\(х,р),
Pi(x,p) ••• Рм(.т,р), как и в §78 (стр. 354), — канонический вид
однородной группы функций, заданной посредством Н\(х,р) ••• Нг(х,р),
и пусть, например, /i ^ Л, тогда из ранее сказанного
непосредственно видно, что существует r-параметрическая группа однородных
контактных преобразований от 2/г = 2/i переменных у\ • • • y^q\ • • • q^, подобная
группе Н\(х,р).. .Нг(х,р)\ эта группа получается, если опустить в
группе (6) переменные y^+i • • • уп, q^+i * * * Qn, которые вообще не
преобразуются этой группой. В то же время очевидно, что при 2/г < 2// не
существует r-параметрической группы однородных контактных
преобразований от 2/г переменных у\ • • - yhiQi — * Qh, которая была бы подобна группе
Hi(x,p) ♦•• Нг(х,р), поскольку будь Ki(y,q) ♦♦♦ Kr(y,q) такой группой,
то К\(у,q) — - Кг{у<> я) должны были бы задавать (А+//)-параметрическую
однородную группу функций, которая могла бы принимать канонический
вид Yi(y,q) ••• Yx{y,q),Qi{y,q) ••• Q^(y,q)\ однако группы функций от
2/г < 2ji переменных у\ • • • yh,qi • • - qh с таким каноническим видом
вообще не существует.
Если в 2гг переменных заданы две r-параметрические группы однородных
контактных преобразований Н\(х,р) • • • Нг(х,р) и Ki(x\p') • • • Kr(x',p'), то можно
задать себе также и общий вопрос: существует ли вообще какое-либо
преобразование от 2га переменных х\ • • • хп, р\ - - - рп
Хг = Рг{х,р), Рг=Фг(х,р) (г = 1 • • • 7l), (8)

переводящее одну группу преобразований в другую, и при этом не требуется,
чтобы (8) было именно однородным контактным преобразованием? Ответ на этот
вопрос может быть дан по правилам, изложенным в гл. 19 (часть I), так как речь
идет лишь о том, являются ли r-параметрические группы точечных
преобразований (Hif)Xp - • • (Hrf)xp и (Kif)xfpf - - - (Krf)x'p' подобными друг другу
посредством точечного преобразования (8).
С другой стороны, можно задать себе вопрос, будут ли данные группы
однородных контактных преобразований подобными посредством преобразования (8),
не являющегося однородным контактным преобразованием. С помощью
следующих замечаний будет легче ответить на этот вопрос.
Всякое однородное контактное преобразование от переменных х\ • • • хП9
Pi -" Рп оставляет выражение Пфаффа pidxi + • • • + pndxn, да и вообще любое
выражение Пфаффа вида c(p\dx\ + • • • + Pndxn), инвариантным, какое бы
значение ни принимала константа с. То же самое справедливо, разумеется, и для любой
группы однородных контактных преобразований в х\ • • • xn^pi • • • Рп-
Если же группа Н\(х,р) ••• Нг(х,р) оставляет инвариантными только оо1
выражений c(p\dx\ + • • • 4- Pndxn) и более ни одного выражения Пфаффа
п
У^ (at(x,p)dxt + 0t(x,p)dpl)y (9)
г=1
то группы Н\ • • • Нг и К\ • • • Кг заведомо могут быть подобными посредством
преобразования (8) только тогда, когда и группа К\{х\р') ••• Кг(х',р') также
оставляет лишь оо1 выражений Пфаффа c(p\dx\ + • • • + pndxn) инвариантными.
Всякое преобразование (8), в силу которого эти группы подобны, должно тогда
оставлять множество из оо1 выражений Пфаффа c(p\dx\ + • • • + pndxn)
инвариантным, то есть иметь вид
х[ = Хг(х,р), р[ = е- Рг(х,р) (г = 1---п), (10)
где е — константа и где
х'г = Хг(х,р), р[ = Рг(х,р) (г=1...п) (11)
— однородное контактное преобразование. Отсюда непосредственно видно, что
в данном случае эти две группы, если они подобны посредством некоторого
преобразования (8) вообще, будут подобны также посредством однородного контактного
преобразования. Более того, если (11) — самое общее однородное контактное
преобразование, в силу которого обе группы подобны, а под е понимается произвольная
константа, то (10) будет самым общим преобразованием (8), в силу которого эти
группы подобны.
Если же, напротив, группа Н\(х,р) • • • Нг(х,р) кроме оо1 выражений
Пфаффа c(p\dx\ + \-pndxn) оставляет и другие выражения Пфаффа (9)
инвариантными, и если группа К\(х\р) • • ■ Кг(х\р') делает то же самое, то очень возможно,

что эти две группы будут подобны посредством преобразования (8), не
являющегося однородным контактным преобразованием, даже в том случае, когда они не
являются подобными посредством однородного контактного преобразования.
Если среди функций Hi(x,p) • • • Нг(х,р) имеется в точности т < 2п друг от
друга независимых, то группа Н\(х,р) ••• Нг(х,р) имеет в точности 2п — га>0
независимых инвариантов Л(ж,р) ••• J2n-m(x,p) и оставляет инвариантным
помимо оо1 выражений Пфаффа c(p\dx\ + • • • + pndxn) вообще всякое выражение
Пфаффа вида
п 2п — т
n(Ji... j2 п—т п — т
г=1 и=\
какими бы функциями своих аргументов ни были Q.
§80
Хотя результаты этого параграфа сами по себе и являются важными,
но их можно пропустить без ущерба для понимания дальнейшего.
Если задана r-параметрическая группа Hi(x,p) - • • Нг(х,р) от
переменных х\ ♦ ♦ ♦ xn,pi • • • рП9 то можно поставить себе задачу, описать все
однородные контактные преобразования
х\ = Х{(х,р), р\ =Pi(x,p) (i=i.-.n), (12)
переводящие группу Н\(х,р) ■ • • Нг(х,р) в себя. Совокупность всех этих
преобразований образует группу, а именно, наибольшую группу
однородных контактных преобразований, в которой группа Hi • • • Нг содержится
как инвариантная подгруппа. Очевидно, что определенная таким образом
группа не обязана быть ни конечной, ни непрерывной.
Для того чтобы однородное контактное преобразование (12)
переводило группу Н\ ♦ ♦ ♦ НТ в себя, необходимо и достаточно, чтобы она
переводила г независимых инфинитезимальных преобразований (H\f) • • • (Hrf)
этой группы в г таких же преобразований или, что то же самое,
необходимо и достаточно, чтобы она приводила г характеристических функций
Hi(x,p) • • • Яг(х,р) к виду
г
Н„(х,р) = ^2gKjHj(x',p') (*= 1 ••• г),
3 = 1
где g^j — константы. Поэтому если мы хотим задать самое общее
однородное контактное преобразование (12), переводящее группу Hi • • • НТ в себя,
то мы будем действовать следующим образом.

Сначала мы самым общим образом связываем группу
Н\{х,р) ••• Нг(хр) голоэдрическим изоморфизмом с ней самой, то есть
если имеют место соотношения
г
(HiHx)xp = 2_, cixsHs (г, * = 1 • • • г),
5=1
то самым общим образом выбираются г2 таких констант 7*rj с
необращающимся в нуль определителем, что между характеристическими функциями
г
$дх(х,р) = ^-yKjHj(x,p) (к=1 ••• г)
i=i
будут иметь место соотношения
г
(f)if)x)xp = 2J c^s^5 (г, * = 1 • • • г).
s=l
Затем содержащимся в 7*rj произвольным элементам (ср. предыдущий
параграф) придаются, если нужно, такие значения, чтобы имелось
однородное контактное преобразование (12), переводящее Н\{х,р) • • • Нг(х,р)
в S)i(x\pf) ••• S)r(x',p') соответственно, и, наконец, задается общее
однородное контактное преобразование (12), осуществляющее этот переход;
тем самым поставленная задача решена.
От каких же произвольных элементов зависит определенное таким
образом контактное преобразование? От произвольных функций или только
от произвольных параметров? Ответ на этот вопрос можно свести к ответу
на более простой.
Пусть задана какая-либо система значений 7*j такая, что
можно посредством однородного контактного преобразования (12) перевести
Н\{х,р) • • • Нг(х,р) в $)i(x',pf) • • • $)r(x',pf). Тогда если Т — какое-либо
преобразование (12), реализующее этот переход, a. S — общее однородное
контактное преобразование (12), оставляющее инвариантной каждую из
функций Н>€(х,р) в отдельности, то очевидно, что 5Х — общее
преобразование (12), превращающее Н\{х,р) ••• Нг{х,р) в f)i(x',p') ••• S)r(x',p').
Следовательно, общее однородное контактное преобразование (12),
переводящее группу Hi(x,p) • • • Нг(х,р) в себя, можно представить в виде 5Т,
где преобразование Т содержит только такие произвольные элементы,
которые встречаются в общих системах значений 7*rj> то есть только
произвольные параметры. Таким образом, ответ на поставленный выше вопрос

сводится к тому, чтобы установить, зависит ли преобразование S от
произвольных функций или нет, и мы это ниже (стр. 367) действительно сделаем.
А здесь мы хотим еще лишь заметить, что совокупность всех
преобразований 5, разумеется, также образует группу (ср. стр. 331 и ниже).
Можно поставить также несколько более специальную задачу: описать
все однопараметрические контактные преобразования, оставляющие г-па-
раметрическую группу Н\(х>р) • • • Нг(х,р) инвариантной.
Положим (Hjf)xp = Aj(f) и (Kf)xp = B(f). Однопараметриче-
ская группа В/, согласно теореме 43 (часть I, стр. 280), оставляет группу
A\(f) • • • Ar(f) инвариантной тогда и только тогда, когда имеют место г
соотношений вида
г
В{А^))-^{В(/))=^2^МЛ (i = i-r), (13)
s=l
в которых ljS обозначают константы. Эти уравнения (13) можно записать
следующим образом:
г
{K{Hif)) - (я,-(ед) =Y,h>(HBf) = {(KHj)/),
s=l
откуда, как известно, следует
г
(KHj)xp = J2 hsHs U = 1 • • • г). (14)
Итак, мы получаем следующее утверждение, которое, впрочем,
несущественно отличается от утверждения 2, выведенного на стр. 350.
Утверждение 6. г-параметрическая группа Н\{х,р) ♦♦♦ Нг(х,р)
однородных контактных преобразований остается инвариантной при всех
преобразованиях однопараметрической группы К(х,р) того же типа
тогда и только тогда, когда имеют место г соотношений вида
г
(KHj)xp = J2 hsHs ti = l ■ ■ ■ г) (14)
с некоторыми константами ljS.
Мы не будем углубляться и описывать все такие однопараметрические
группы К(х,р), а рассмотрим только те из них, которые оставляют всякую
отдельно взятую функцию Н\{х,р) • • • Нг(х,р) инвариантной.

Для того, чтобы однопараметрическая группа однородных контактных
преобразований оставляла г инфинитезимальных преобразований или, что
то же самое, г функций Н\(х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р) инвариантными, необходимо
и достаточно, чтобы это выполнялось для инфинитезимального
преобразования (Kf)xp, то есть чтобы г уравнений
(КНу) = О, • • • (КНт) = О, • • • (КНГ) = О
выполнялись тождественно. Функция К(х,р) должна, таким образом,
содержаться в полярной группе, соответствующей однородной группе
функций Н\(х,р) ••• Нш(х,р), а поскольку она является характеристической
функцией инфинитезимального однородного контактного преобразования,
то она должна быть однородной и первого порядка по р. Поэтому если мы
хотим найти самую общую однопараметрическую группу К(х,р)
однородных контактных преобразований, оставляющую Н\{х,р) ••• Нг{х,р)
по отдельности инвариантными, то нам надо лишь найти самую общую
однородную функцию первого порядка полярной группы, соответствующей
группе функций Н\{х,р) ♦ ♦ • Нт(х,р).
Если полярная группа группы функций Н\{х,р) ••• Нш{х,р)
содержит только функции нулевого порядка по р, то очевидно, что не существует
никакой однопараметрической группы однородных контактных
преобразований, оставляющей Н\(х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р) инвариантными. Во всех
остальных случаях известную полярную группу можно, поскольку она однорода,
привести к виду
J(s,p), Nx(x,p) • • • N^Xip),
где J — однородная функция первого, а N — нулевого порядка (ср. стр. 244).
Тогда самая общая однопараметрическая группа К(х,р) однородных
контактных преобразований, оставляющая Н\{х,р) ••• Нг(х,р) по
отдельности инвариантными, имеет вид
где функция J? совершенно произвольна. Поэтому соответствующая
общая однопараметрическая группа зависит от произвольных функций, если
число /л больше нуля, но если /л = 0, то существует только одна
единственная однопараметрическая группа с упомянутым свойством.
Множество всех однопараметрических групп однородных контактных
преобразований, оставляющих Н\{х,р) •♦♦ Нг(х,р) инвариантными,
очевидно, содержится во множестве всех однородных контактных
преобразований с этим же свойством. Если это первое множество зависит от
произвольных функций, то и для второго будет обязательно выполняться то же

самое и наоборот (ср. стр. 330 и ниже). Тем самьш решается поставленный
выше вопрос о том, завысит ли общее однородное контактное
преобразование, оставляющее Н\(х,р) ••• Нг(х,р) по отдельности
инвариантными, от произвольных функций.
Если мы хотим найти вообще все преобразования
Хг = Фг(х,р), р[ = $г{х,р) (г = 1 • ■ • п), (15)
оставляющие г-параметрическую группу Н\(х,р) ♦♦♦ НГ(х,р) инвариантной, то
есть те, которые не являются однородными контактными преобразованиями, то нам
надо будет действовать согласно указаниям на стр. 398 и ниже (часть I).
Наконец, можно также задать вопрос относительно всех преобразований (15),
оставляющих г инфинитезимальных преобразований (H\f) ♦♦♦ (Hrf) по
отдельности инвариантными. Эти преобразования задаются согласно стр. 406 и ниже
(часть I).
§81
Теперь вкратце некоторые замечания относительно г-параметрических
групп контактных преобразований от переменных z, x\ ♦ ♦ ♦ xn,pi ♦ ♦ ♦ рп.
оог преобразований такой группы упорядочиваются в oor_1 однопара-
метрических групп, порожденных инфинитезимальными контактными
преобразованиями (ср. стр. 291, утв. 2). Если
AM) = [Wxf]-W„^ (*=i-..r)
— символы г независимых инфинитезимальных преобразований группы, то
имеют место соотношения в известном виде:
Ai(Ax(f)) - ММЛ) = £>^АДЯ;
S=l
однако, согласно теореме 44 (гл. 15, стр. 316),
МАМ)) - А„(МП) = [я/] + я^г.
где Q принимает вид
n = Ww»]-w^ + w^

или, как еще для краткости можно записать,
Q = {WiW„}.
Отсюда следует, что выражение
[я - £ *>"w» f\ -(Q~i2 **№) %
обращается в нуль тождественно, что, согласно стр. 291, происходит
тогда и только тогда, когда характеристические функции W\ ♦ ♦ ♦ Wr связаны
следующими соотношениями:
{WiWH} = J^CixsWs (г,* = 1 ... г).
s=l
Пусть, наоборот,
[Wxf]-Wx^ (~=l--r).
г инфинитезимальных контактных преобразований, характеристические
функции которых W\ ♦ ♦ ♦ Wr не связаны никакими линейными
соотношениями
eiWi + --- +erWT = 0,
но находятся в соотношениях вида
{WiW„} = ^Ci„8Wa (t,* = l ... г).
Тогда эти инфинитезимальные преобразования независимы друг от друга
(ср. стр. 292) и порождают г-параметрическую группу, разумеется, группу
контактных преобразований.
Итак,
Теорема 53. Для того чтобы г инфинитезимальных
преобразований
[W„f]-Wx^ (*=i...r) (16)
от переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп порождали
г-параметрическую группу контактных преобразований, необходимо и
достаточно, чтобы г их характеристических функций W\ ••• Wr не
были связаны линейным соотношением
e\Wi + ••• +erWr = 0

с постоянными коэффициентами и находились в соотношениях
вида
Т
{WiW*} = Y,***™* («."= 1 •■• г). (17)
5=1
И наоборот, всякая r-параметрическая группа контактных
преобразований от переменных z,x\ •••</rn,pi • • • рп порождается г
такими инфинитезимальными преобразованиями5.
Если г инфинитезимальных контактных преобразований (16) с
характеристическими функциями W\ ♦ ♦ ♦ Wr порождают г-параметрическую
группу контактных преобразований, то эту группу мы будем также кратко
называть «группа W\ • • • Wr».
Залуживает внимания то, что одна из характеристических функций
W\ ♦ ♦ ♦ Wr вполне может быть просто константой.
Константы Ciycs в уравнениях (17) задают структуру такой г-парамет-
рической группы контактных преобразований. Поэтому легко можно
видеть, как находятся характеристические функции инфинитезимальных
преобразований всех подгрупп, содержащихся в этой группе. Кроме того, если
имеются две r-параметрические группы контактных преобразований,
каждая из которых задана характеристическими функциями г независимых
инфинитезимальных преобразований, то из соотношений (17),
соответствующих этим обеим группам, можно сразу понять, являются эти группы рав-
носоставленными или нет.
Понятия «транзитивность» и «интранзитивность», «примитивность»
и «импримитивность» переносятся непосредственно на группы контактных
преобразований от z, х\ • • • хп,р\ • • • рп.
r-параметрическая группа Wi(z,x,p) ••• Wr(z,x,p) контактных пре-
обраозваний является транзитивной тогда и только тогда, когда среди г
линейных дифференциальных уравнений в частных производных
[W«f]-Wx^=0 (*=!••• г)
от переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп имеется в точности 2п + 1
независимых друг от друга; она будет примитивной тогда и только тогда, когда г
инфинитезимальных преобразований
[Wxf]-W^ (*=l...r)
5Ср. Lie, Gottinger Nachrichten, декабрь 1874 г.; Abhandlungen der Kgl. Sachs. Ges. d. W.,
том XIV, №12.

не оставляют никакую ^-параметрическую (0 < q < 2п + 1) полную
систему
Cjf = ^{а^,х,р) — + (3ji(z,x,p) — J +lj(z,x,p)— = 0
от переменных z, x\ • • • xn,p\ • • • pn инвариантной.
Пусть
z = Z(z,x,p), хг = Xt(z,x,p), рг = Pt(z,x,p) (18)
(г = 1 • • • n)
— контактное преобразование, тождественно удовлетворяющее уравнению
dz — ptdxi — • • • — pndxn = g(z, x,p)(dz — pidxi — • • • — pndxn).
Тогда, если в силу этого контактного преобразования ввести в г-параметриче-
скую группу Wi(z,x,p) - - - Wr(z,x,p) новые переменные г,х,р, в этих
переменных 2, х, р получится новая r-параметрическая группа контактных преобразований,
содержащая г независимых инфинитезимальных контактных преобразований с
характеристическими функциями
Wx(z,x,p) = g(z,x,p) • W>,(z,x,p) (x= 1 ••• г).
Если заданы две r-параметрические группы W\(z,x,p) • •• Wr(zyx,p)
и Vi(2, ж,р) • • • Vr(2, ж,р) контактных преобразований и мы хотим понять,
являются ли они подобными посредством контактного преобразования (18), то надо
сначала выяснить, являются ли они равносоставленными. Если да, то все будет
зависеть от того, существует ли контактное преобразование (18), переводящее г
инфинитезимальных преобразований
[Wxf)„p-Wx^ (ж=1-..г)
в г инфинитезимальных преобразований вида
(х=1--т).
£>,([К,/Ьр-14§0
Эту задачу нам не надо решать непосредственно, мы можем, согласно указанию
на стр. 313, записать обе эти группы, а также характеристические функции их
инфинитезимальных преобразований от 2п + 2 однородных переменных у\ • • • г/п+ь
Qi - • • Яп+i и соответственно ух • • • yn+1, <?i * * * <7n+i> и получим таким образом

две r-параметрические группы H\(y,q) • • • Hr(y,q) и K\(y,q) • • • Kr(y,q)
однородных контарстных преобразований; если они подобны посредством однородного
контактного преобразования
У г = Уг(У,Я), Яг = Qt(y,q) (г= 1 ■■• П+1),
то и группы W\ • • • Wr и Vi • • • Vr будут также подобны друг другу посредством
контактного преобразований (18), в противном случае — нет
§82
Наконец, мы хотим задержаться на особом типе контактных
преобразований от переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп, а именно, на тех
преобразованиях, которые имеют вид
z1 = z + П(х,р), х\ = Xi{x,p), р'{ = Pi{x,p) (19)
(г = 1 ... n).
Соответствующие инфинитезимальные преобразования, как мы знаем,
имеют вид
где tp — произвольная функция только от х\ ••• хп,р\ • •• рп: согласно
стр. 297, г инфинитезимальных преобразований A\f • • • Arf такого типа
являются независимыми друг от друга, если между их г
характеристическими функциями (р(х,р) • • • (рг(х,р) нет линейного соотношения 7i<£i H +
+ 1гфг = 0с постоянными коэффициентами. Если теперь A\f • • • Arf —
независимые инфинитезимальные преобразования, то для того чтобы они
порождали r-параметрическую группу, должны иметь место уравнения
вида
г
МА*(Л) - ММЛ) = 1>*И,/
s=l
или, в другой записи (ср. стр. 309),
Г
s=l

что в свою очередь, согласно стр. 297, равносильно следующему:
г
(фгфк) = ^2 Ci"s(?s (i, * = 1 • • • г).
5=1
Поэтому мы можем сформулировать
Утверждение 7. Для того чтобы г инфинитезимальных
преобразований вида
/ r\ I v~^ дфх \ df
(<P*f)xp+ \Z^P»1fo-V») ~d~z {"=1 '"r)
от переменных z,x\ - - - xn,p\ • • • pn порождали г-параметрическую
группу контактных преобразований, необходимо и достаточно, чтобы г
характеристических функций (fi(x,p) • • • (рг(х,р) не удовлетворяли
никакому линейному соотношению вида 71^1 + * *" + Irpr = 0 с постоянными
коэффициентами, и при этом находились в соотношениях вида
г
(<Pi<px) =^2ci>iS(fs (г,*г=1 ••• г). (20)
5=1
Наоборот, всякая r-параметрическая группа контактных преобразований,
преобразования которой имеют вид
Z' = Z + ii{x,p\ X\ = Xi(x,P), р\ = Pi(x,P) (19)
(i= 1 ••• п),
порождена г такими инфинитезимальными преобразованиями.
Упомянутые здесь группы контактных преобразований можно
разделить на два класса: к первому классу относятся все группы, содержащие
характеристическую функцию tp(x,p) = 1, а значит, и инфинитезимальное
преобразование
д£
дг"
ко второму — все остальные. Ясно, что всякая r-параметрическая группа
второго класса содержится в качестве инвариантной подгруппы в
(г+^-параметрической группе первого класса.
Величины с^8 в уравнениях (20) задают структуру соответствующей
группы; поэтому непосредственно видно, как найти все подгруппы этой

группы и выяснить, являются ли две заданные r-параметрические группы
этого типа равносоставленными.
Наконец, остается еще выяснить, при каких условиях две г-параметри-
ческие группы с указанным свойством являются подобными посредством
контактного преобразования вида (19). Рассуждения, мало отличающиеся
от изложенных в § 79, дают нам следующую теорему.
Теорема 54. Для того чтобы две г-параметрические группы
контактных преобразований:
и
(ФкЛхр + I Х^"У^ ~ ^
были подобны друг другу посредством контактного
преобразования вида
z' = z-\-f2(x,p), Xi=Xi(x,p), p'i = Pi(x,p) (19)
(i = 1 ••• та),
прежде всего необходимо, чтобы они были
равносоставленными. Если это так, то выберем самым общим образом г2 таких
констант g^j с необращающимся в нуль определителем,
чтобы между <pi(x,p) -" ц>г{х,р) и
ф„{х,р) =дХ1Фг(х,р) + ••■ +дхг'Фг(х1р)
(*=1-..г)
имели место соотношения одного и того же вида:
г
VpiVxJxp = / J Cixs^s
5=1
U
г
s=l
Of

Если, например, <pi - — ipm — независимые функции, тогда как
фт+i -' фг выраэ/саются только через cpi • • • сртг
Рт+ц = ^т+/х(^1 * * * <Рт) (м = 1 • • • г - т),
то наши две группы подобны друг другу требуемым
образом тогда и только тогда, когда можно придать
содержащимся в g„j произвольным элементам такие значения, чтобы
Ф\ '"Фт были независимы друг от друга, а фт+1 - • Фг выра-
э/сались только через /ф1 • • • фш следующим образом:
Фт+v = Дп+аЛ^ * * * Фт) (М = 1 • • • г - т).
Определенный интерес могут вызывать также те группы контактных
преобразований от г,xi ••• хп,р\ ♦♦• рп, инфинитезимальные преобразования которых
имеют характеристические функции вида ez+w(x,p)9 где е — константа, a w(x, р) —
функция только от xi • • • хПург • • • рп. Инфинитезимальные преобразования этих
групп, разумеется, имеют вид
[ez + w(x,p),f] - (ez + w(x,p)) — .
Если
6^2 + W*(x,p) {к=1 ••• Г)
— характеристические функции г независимых инфинитезимальных
преобразований r-параметрической группы этого типа, и если не все е* равны нулю, то такая
группа содержит (г — /) -параметрическую инвариантную подгруппу,
инфинитезимальные преобразования которой имеют рассмотренный выше вид:
(Vj/)*p+(ZP"|^-<M |£ (J = l-r-l). (21)
Пусть не все е* равны нулю. Самый простой случай — тот, когда одна из
функций Wk обращается в нуль; тогда группа содержит инфинитезимальное
преобразование, имеющее характеристическую функцию z и, стало быть, следующий
вид:
df , , df df
dpi opn oz
кроме того, оно содержит г — 1 независимых инфинитезимальных преобразований
вида (21). К этому простейшему случаю можно свести более общий случай, в
котором не задействована характеристическая функция z. Так, если ил(ж,р) и е\ обе

не равны 0, то надо лишь ввести новые переменные в силу контактного
преобразования вида
, wi(x,p) , ,
z=z +—— , хг = Хг(х,р), рг = Рг(х,р)
(г = 1 ••• п),
и мы получим таким образом в переменных z' ,х' ,р' г-параметрическую группу
контактных преобразований, в которой имеется характеристическая функция z.
Если 2, ipi(x,p) - - - tpr-i(x,p) — характеристические функции г независимых
инфинитезимальных преобразований r-параметрической группы контактных
преобразований, то само собой разумеется, что имеют место соотношения вида (17),
но в данном случае они имеют специальный вид:
г-1
s=l
П гч Г—1
V=\ ^ 5=1
(г, >с = 1 • • • v — 1).
Наконец, иногда мы получаем возможность рассмотреть группы
от переменных х\ - - хп,р\ — - рп, порожденные сокращенными инфи-
нитезимальными преобразованиями вида ((pf)Xp, для этих групп мы легко
получаем (ср. стр. 297) следующее
Утверждение 8, г сокращенных инфинитезимальных преобразований
{<Plf)xp ' ' ' {<pf)xp
от переменных xi • • • хп,р\ • • • рп порождают г-параметрическую группу
тогда и только тогда, когда г функций Ц>\(х,р) ••• фг{х,р) не связаны
никакими линейными соотношениями
7i -(pi(x,p) Н +7r -iprfap) =7r+i
с постоянными коэффициентами, но в то же время находятся в
соотношениях вида
г
{(Pi(p„) = ^2 Cixs(ps +di„ (г, ус = 1 • • • г),
5 = 1
где как a^s* так и &г>с — константы.

Глава 19
Группа, двойственная присоединенной
группе
О присоединенной группе r-параметрической группы контактных
преобразований мы уже говорили (см. главу 18, стр. 348). Дважды (ч. I,
стр. 541, и ч. II, стр. 354) мы также упоминали группу, являющуюся
двойственной к присоединенной. Эта двойственная группа будет в следующей
главе играть важную роль при описании всех групп контактных
преобразований с заданной структурой, а стало быть, может в отличие от
присоединенной группы претендовать на самостоятельный интерес, поэтому нам
кажется оправданным, если мы посвятим ей отдельную, хоть и короткую,
главу. В этой главе мы предполагаем, что из первой части нам известны
лишь результаты до главы 15 включительно.
§83
Пусть
(Hif)xp = Ai(f), ■■■ (Hrf)xp = Ar(f)
— независимые инфинитезимальные преобразования г-параметрической
группы Gr однородных преобразований, а стало быть, имеют место
соотношения вида
г
Мм/)) - мм/)) = £с^а5(/) (1)
5 = 1
(г, хт= 1 ••• г),
которые, согласно стр. 346, могут быть также заменены эквивалентными
соотношениями
г
{НгН„) = ^1с^Н* &*=1--т). (2)
5=1

Кроме того, пусть
х\ = Ft(x,p; ai • • • ar), р- = Ф»(х,р; ai • • • ar) (3)
(г = l • • • п)
суть конечные уравнения группы Gr.
Согласно ч. I (стр. 88 и ниже), при наложенных условиях в силу (3)
имеют место соотношения вида
г
(н'х1)х'р' =^w„j(al • • • Or) • (Hjf)xp (4)
3 = 1
где, как обычно, Н^ — краткая форма записи для Н^(х[ • • • х'п,р[ - - - р'п).
Однако преобразования (3) являются однородными контактными,
следовательно, (см. стр. 151) справедливо
(H'„f)x>p> = (H'xflxp,
и из (4) мы получаем
(н'„ - $>*;(а)Я,, Л = О (*= 1 ... г),
\ j=l / хр
откуда известным образом следует
г
H'x = Y^w"i(ai •" аг)'нз (*=!••• г). (5)
.7=1
Положив далее
х? = F;(x',p'; 6i • • • ft,.), р? = *i(x',p'; bi • • • Ьг) (3')
(i = 1 -•• п),
мы также получим
г
я£ = £>^(б! •.•&,.).я; (^=1--т) (5')

или, с использованием (5),
г
Н*= Е w"№) • Щ1{Р) • ^ (х=1...г). (5")
.7,1=1
С другой стороны, из (3) и (3') следует
ж" = Fi(x,p; а • • • cr), р" = Фг(з:,Р; ci • • • сг)
(г= 1 ••• п),
где с\ ••• сг определяются уравнениями вида
с* = 4>x(ai • • • ar; bi • • • Ьг) (** = 1 • • • г), (6)
так как преобразования (3) образуют группу. Таким образом, мы получаем
для Н£ следующее представление:
г
К = £>*;(ci • • • сг) • Я,- (*= i ... г). (5")
.7 = 1
Поскольку эти уравнения в силу (6) обязательно должны стать идентичны
уравнениям (5"), то мы видим, что уравнения (5) представляют группу Г,
если в них величины Н\ • • • Нг трактовать как независимые переменные.
Преобразования этой новой группы Г в известном смысле
соответствуют преобразованиям группы Gr:
ж- = Fi(x,p; а), р[ = Ф*(ж,р; а) (3)
(г = 1 ••• п).
Так, если Г(а) и Т(^) суть два преобразования группы Gr и дают,
выполненные последовательно, преобразование Т^Т^ = Т(с), то соответствующие
преобразования группы Г — обозначим их £(а)> *£(Ь) и ^(с) — будут также
находиться в соотношении Х(а)Х(ь) = Х(с).
Если бы мы хотели считать понятие изоморфизма известным, то мы могли бы
просто сказать: группа Г от переменных Н\ • • - Нг является изоморфной группе Gr
от переменных х,р.
Тождественное преобразование группы Gr соответствует в Г снова
тождественному преобразованию. Тем преобразованиям группы Gr,
которые образуют подгруппу, соответствуют преобразования группы Г, также

образующие некоторую подгруппу, но эта подгруппа группы Г может при
определенных обстоятельствах сводиться к тождественному
преобразованию. Вследствие этого всякой однопараметрической подгруппе группы Gr
соответствует либо однопараметрическая подгруппа группы Г, либо
тождественное преобразование, а всякому инфинитезимальному преобразованию
группы Gr соответствует инфинитезимальное либо тождественное
преобразование группы Г.
Эти рассуждения показывают, что конечные преобразования
г
Н'х = ^2w>cj(cli ••• сьг) -Hj (*=l...r) (5)
.7 = 1
группы Г упорядочиваются в однопараметрические группы, каждая из
которых содержит тождественное преобразование и тем самым порождена
инфинитезимальным преобразованием. Пусть
3 =&(*>?;*)> $ = №,?;«) (7)
(г = 1 • • • п)
— такая однопараметрическая подгруппа группы Gr, которой в Г
соответствует тождественное преобразование. Тогда в силу уравнений (7):
Я* = Ях(ж,р) = Н„(х,р) (*=1 ... г),
и вследствие этого также
{Hxf)xp = {H*f)xp, (х = 1 • • • г), (8)
так как однопараметрическая группа (7) состоит из однородных
контактных преобразований. Уравнения (8) показывают, что
однопараметрическая группа (7) оставляет каждое из г инфинитезимальных
преобразований (H\f) • • • (Hrf) в отдельности инвариантным, но для этого, согласно
части I (стр. 288), необходимо и достаточно, чтобы соответствующая
однопараметрическая подгруппа группы Gr была порождена
инфинитезимальным преобразованием, перестановочным с (H\f) • • • (Hrf).
Следовательно, если Gr содержит в точности т независимых
инфинитезимальных преобразований, перестановочных с (H\f) ••• (Яг/), то
группа Г содержит в точности r-т независимых инфинитезимальных
преобразований, так как при наложенных условиях имеется в точности г — т
независимых инфинитезимальных преобразований, из которых нельзя
линейно получить никаких перестановочных с (H\f) • • • (Hrf)
инфинитезимальных преобразований, и эти г — т преобразований соответствуют, как

легко видеть, стольким же независимым инфинитезимальным
преобразованиям группы Г.
Действительно, не представляет сложности выписать инфинитези-
мальные преобразования группы Г. Так, если
Ai №/) + ••. +Xr(Hrf)
или, кратко,
X\Hi -h • • • + XrHr
— общее инфинитезимальное преобразование группы Gr, то конечные
уравнения этой группы можно известным образом (первая часть, стр. 81)
выразить в виде степенных рядов от Ai • • • Аг:
г
v-x dHi
3 = 1
V-x 9Н3
9pi
дН
дХг
(9)
3 = 1
(г= 1 ••• п).
Эти значения х',р' мы подставим в Н^(х\р') — Н^ и получим таким
образом Я^, разложенные по степеням от Ai • • • Аг:
К = н« + ±^±(дн'дн~ ан'9н'
~[ ~{\дРг dXi dXi dpi
(>с= 1 ... г),
что можно также записать в виде
я; = ях + £>,-(я,-ях) + .
3=1
г
.7,5=1
(х=1...г).
+ ...
(10)
Если выбрать здесь Ai • • • Аг бесконечно малым, то мы получим
инфинитезимальное преобразование группы Г, а именно,
/ >Л? / , Cj*sHs~dH~'

которое можно линейно получить из г следующих:
Bif = Ё c^sHsM: °=' • • •г)- (11)
Спрашивается, все ли инфинитезимальные преобразования группы Г
тем самым найдены, поскольку можно было бы изначально предположить,
что для того, чтобы получить действительно все инфинитезимальные
преобразования группы Г, в разложениях ряда (10) по степеням А нужно брать
члены второго или более высокого порядка.
Чтобы убедиться в этом, мы должны сначала установить, сколько
независимых друг от друга преобразований имеется среди инфинитезимальных
преобразований B\f • • • Brf.
Если Bif • • • Brf не являются независимыми друг от друга, то между
ними имеет место по меньшей мере одно соотношение вида
/1-5!/ + ... +ir.Brf = 0,
в котором / обозначают константы. Отсюда следует, что выражение
г г
или, что тоже самое, выражение
Г I T
2_^lj(HjHx)xp = I / JjHj,Hy
обращается в нуль тождественно, другими словами, инфинитезималь-
ное преобразование /i • Н\(х,р) + ••• + 1Г * Нг(х^р) является
перестановочным с Н\(х,р) - - - Нг{х,р). Если теперь Gr содержит в
точности т независимых инфинитезимальных преобразований,
перестановочных с Н\(х,р) • • • Нг(х,р), то между B\f • • • Brf имеет место в
точности шине более независимых соотношений вида l\B\f -\ + lrBrf = 0,
это значит, что среди инфинитезимальных преобразований B\f ••• Brf
имеется в точности г — т независимых друг от друга, ровно столько
же, сколько содержит группа Г при наложенных условиях. Таким
образом, в Г нет ни одного инфинитезимального преобразования, независимого
OTSi/...Br/.

При помощи вычисления, аналогичного тому, что было проведено в ч. I,
гл. 16 (стр. 304), мы получаем, что B\f • • • Brf находятся в соотношениях
г
Bi(B„(f)) - MBi(f)) = 2>*A/
5=1
(г, х = 1 • • • г).
Это означает новое доказательство того, что B\f • • ■ Brf порождают группу
и что эта группа изоморфна группе GT.
Следует еще заметить, что инфинитезимальные преобразования
B\f • • • Brf порождают группу также вместе с
поскольку все г выражений B(Bx(f)) — B^{B{f)) обращаются в нуль
тождественно.
Результаты настоящей главы мы подытожим следующим образом.
Теорема 55. Если
х\ = Fi(x,p; сц ••• ar), р\ = Фг(х,р;а! • • • ar) (l)
(г = 1 • • • n)
— конечные уравнения г-параметрической группы однородных
контактных преобразований, порожденной инфинитезимальны-
ми однородными контактными преобразованиями Hi(x,p)---
Нг(х,р), то имеют место соотношения вида
г
Н„(х',р') = ^2w„j(ai ••• ar)-Hj(x,p)
{*= 1 ••• г).
Если же толковать Н\ • • • НГ как независимые переменные, то
уравнения
Т
Н'„ = ^Wxjiax ••• ar)Hj (*= l ... г)
представляют линейную однородную группу, порожденную ин-
финитез и At альн ым и преобразован иям и
Y, CjHsH.-^jr- (j = l"T). (И)

Эта линейная однородная группа содеро/сит в точности г — т
независимых инфинитезимальных преобразований, если в
группе Н\{х,р) • •• Нг(х,р) имеется в точности т независимых
инфинитезимальных преобразований, перестановочных со всеми
Нх{х,р) ••• Нг{х,р).]
Упомянутую выше линейную однородную группу мы назовем двойственной
группой присоединенной группы; она также является изоморфной исходной группе
Hi(x,p) ••• Нг{х,р).
§84
Если заданы какие-либо г3 констант c^s, удовлетворяющих
известным соотношениям
ci*ts "г Cycis = U,
г
/ ^\Cj>ij/Cj/js i Cxjj/Cvis i CjivCi/>cs) = ^ \Д^/
(i,x,j,s = 1 ••• r),
то, согласно главе 17, всегда имеются такие r-параметрические
группы однородных контактных преобразований, которые содержат г
независимых инфинитезимальных преобразований Н\(х,р) • • • Нг(х,р),
находящихся в соотношениях
г
(Н{НХ) = 2_^ <кх8Н8 (г, к = 1 • • • г).
s=l
Отсюда следует, что инфинитезимальные преобразования
9/
■^jj — / ; C-jytstt-s
'дН«
порождают группу, разумеется, линейную и однородную. Это, впрочем,
также следует еще из сделанного на стр. 382 замечания. Итак,
Утверждение 1. Если г3 констант
Cites (г, >*, s = 1 • • • г)
'Lie, Archiv for Mathematik, том I, Христиания, 1876 г.; Math. Ann., том XVI, стр. 495.

удовлетворяют соотношениям
г
(г, *r,j,s = 1 ... r),
mo линейные однородные инфинитезилшлъные преобразования
всегда порождают группу.
Теперь мы вкратце изложим новое и, в общем-то, более простое
обоснование некоторых результатов § 83: рассмотрим снова группу
(#!/)••• (Яг/)
от переменных х\ • • • <xn,pi • • • рп. Если х^ = i7^, p^ = Ф^ —
соответствующие конечные уравнения, а (р — произвольная функция от х,р, то
справедлива следующая формула (ср. часть I, стр. 81-82):
(р{х[ ••• х'п,р[ >-р'п) =
г г
= ф,р) + J2 ЧнзЧ>) + JT2 Л Х^(Hi(H^)) + • • • »
j=l i,j=l
и в частности,
г г
Нх(х',р') = Нх(х,р) + YdXj(HjHM) + y^J2 А4А^Я<(Я,ЯЖ)) + • • •
(13)
(>* = 1 -•• г).
Если записать здесь Я^ вместо Нн(х',р') и, кроме того, ввести вместо
скобок (HjHx) их значения как функции от Я, то получатся конечные
уравнения рассмотренной ранее группы Г.
С другой стороны, рассмотрим г инфинитезимальных преобразований
от переменных Н\ - - - Нг:
Bjf = \Hjf\ = z2 \НзН*\'ятГ- = zJ cjitsHt
>c=l xys=l

а также самое общее полученное из них инфинитезимальное
преобразование
Конечные уравнения соответствующей однопараметрической группы
заданы (ср. часть I, стр. 82) известной формулой
И\с — Нуг + СНуг + —-^ССНус + • • • ,
которую можно записать еще и так:
г г
Сравнив эту последнюю формулу с формулой (13), мы непосредственно
видим, что группа Г порождена г инфинитезимальными
преобразованиями Bjf.

Глава 20
Нахождение всех групп контактных
преобразований, имеющих заданную
структуру
Если имеется система из г3 таких констант c^s, которые
удовлетворяют всем соотношениям вида
г
(1)
(i,Kj,s = 1 ... г),
то, как было доказано в главе 17, всегда существуют г-параметрические
группы преобразований со структурой c^s.
Теперь опишем все г-параметрические группы однородных
контактных преобразований, имеющих заданную структуру c^s-1 При этом мы
рассматриваем две такие группы как не отличающиеся друг от друга2, если
они подобны друг другу посредством однородного контактного
преобразования, трактуя понятие подобия в общем смысле, упомянутом на стр. 361;
таким образом, нас не заботит, содержат обе группы одинаковое число
независимых переменных или нет.
Если нам удалось задать все г-параметрические группы однородных
преобразований, имеющих заданную структуру Ci„s, тогда можно сразу
также задать все группы контактных преобразований с такой структурой
в z,Xi,:c2, —'Vi->P2 ••• Это следует непосредственно из того, что
бесконечная группа всех однородных контактных преобразований от 2п + 2
переменных у\... 7/n+i,gi • • • gn+i, согласно стр. 164, может быть
связана голоэдрическим изоморфизмом с бесконечной группой всех контактных
преобразований от 2п + 1 переменных z,x\ • • • хп,р\ • • • рп.
'Lie, Theorie der Transformationsgruppen II; Archiv for Mathematik, том I, Христиания,
1876 г.
2Ли использует термин «nicht von einander verschieden». — Прим. перев.

Наконец, в заключительном параграфе главы мы опишем еще все г-па-
раметрические группы со структурой a^s* состоящие из контактных
преобразований особого вида:
z' = z + П(х,р), x'i = Xi(x, Р), p'i = Pi(x,p) (i = l,2 ...).
§85
Пусть в переменных Х\ •••xn,pi • • • рп задана г-параметрическая
группа Н\{х,р) ••• Нг(х,р) однородных контактных преобразований,
и структура этой группы будет такой: CiKS, т.е. имеют место соотношения
вида
г
{ЩНх)хр = ^ CixsHs (Ж, р) (2)
s=l
(г, >с = 1 • • • г).
Далее, пусть функции Н\(х,р) • • • Нт(х,р) будут независимы друг от
друга, тогда как Нш+\(х,р) • • • Нг(х,р) выражаются только через
Н\(х,р) • • • Нт(х,р) следующим образом:
г
Hm+j(x,p) = ^2wm+j(Hi(x,p) ••• Нт(х,р)) (3)
(j = 1 ... r-m).
При наложенных условиях уравнения
Hm+j-Wm+jiHx ••• #m)=0 (j = l...r-m) (4)
при замене
Н^Н^р), ---Нг = Нг{х,р) (5)
становятся тождествами, и, наоборот, любое соотношение между Н\ • • • ifr,
превращающееся в тождество при замене (5), является следствием
уравнений (4). Но тогда очевидно, что выражение
((p,Hm+j{x,p)-Wm+j(Hi(x,p) ••• Нт(х,р)))
\ У хр
тождественно обращается в нуль, какой бы функцией от х,р ни
была ср; итак, с учетом (2) — если вместо ip поочередно подставить

Hi • • • Нш • • • Нг — получается, что уравнения
Е ^ dWm+j(Hi ••• Нт) ^
(г = 1 • • • г; j — 1 • • • г — 7тг)
при замене (5) выполняются тождественно. Следовательно, соотношения
между величинами Н\ - — Нг должны быть следствием соотношений (4).
Если же мы положим, как в главе 19 (стр. 382),
то уравнения (6) можно будет также записать в виде
Bi(Hm+j - Wm+j(H, ■■■ Нт)) = 0 (6')
(г = 1 • • • г; j = 1 • • • г — т).
Таким образом, тот факт, что уравнения (6) являются следствием
уравнений (4), можно выразить просто так.
Система уравнений
Hm+j-Wm+^Hi ."#m)=0 (j = l"T-m) (4)
от переменных Н\ • • • Нг допускает г инфинитезимальных преобразований
B\f • - - Brf в этих переменных.
Наконец, если мы еще вспомним, что Н\(х,р) ••• Нг(х,р) —
однородные функции первого порядка от р\ • • ♦ рп, то сразу же станет
понятно, что Wm+j являются однородными функциями первого порядка от
Н1 • • • Нт; но отсюда следует, что любое из уравнений Hm+j — Wm+j = О
допускает инфинитезимальное преобразование
дн1 Тднг
от переменных Н\ • • • Нг. То же самое справедливо, разумеется, и для всей
системы уравнений (4).
Тем самым, мы имеем следующее
Утверждение 1. Если Н\(х,р) • • • H^x,p) — г-параметрическая
группа контактных преобразований от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп, и если

структура этой группы задана уравнениями
г
(HiHx)xp = 2_^, ci>csHs (г, х = 1 • • • г),
s=l
наконец, если функции Н\(х,р) • • • Нг(х,р) связаны ровно г — т
независимыми соотношениями, которые могут, например, принимать вид
Нш+з ~ Wm+jiHx ... Нт) = 0 (j = 1 ... г-ш), (4)
то г —т уравнений Hm+j — Wm+j = 0 отг независимых переменных опре-
деляют систему уравнений, которая допускает в этих переменных г +1
инфинитезимальных преобразований
дн1 Тдяг"
Bif = Yl CiHSHs-^t- (i=l-r).
>c,s=l
Согласно предыдущей главе, B\f • • • i?r/ порождают группу,
являющуюся двойственной к присоединенной группе группы Н\ (х, р) • • • Нг(х, р).
Преобразования Вх/ ♦ ♦ ♦ Вг/, В/, вместе взятые, также порождают группу.
§86
Пусть теперь, напротив, задана некоторая система из г3 констант с;^,
удовлетворяющая известным условиям
Gins "Г C^is = U,
г
(г, x, j,s = 1 • • • г).
Образуем с этими c^xs r инфинитезимальных преобразований от
переменных Hi • • • Нт
Bif = ^2 Ci*sHsJw~ (i = 1"'r)'

которые, однако, не обязаны быть независимыми друг от друга, но, согласно
утв. 1 (стр. 384), всегда порождают линейную однородную группу. Затем
выберем какую-либо систему уравнений от переменных Hi • • • Нг, которая
допускает как B\j ♦ ♦ ♦ Brf, так и инфинитезимальное преобразование:
■0#i ' дНг
и, кроме того, не влечет за собой никакого линейного однородного
соотношения
ci#i + ••• +crHr = 0
между Hi ♦ ♦ ♦ Нг. Соответствующую систему уравнений представим себе
для простоты сразу в разрешенном виде:
Hm+j - Wm+j{Hi • • • Нт) = 0 (j = 1 •. • г - т); (7)
при этом вовсе не исключается, что целое число т в точности равно г;
этот случай будет иметь место тогда, когда выбранная система уравнений
состоит лишь из тождественного уравнения 0 = 0.
При наложенных условиях всегда имеется r-параметрическая группа
Н\{х\ • • • ,р\ - — ) — - Hr(xi • • • ,pi • • •) однородных контактных
преобразований, имеющая заданную структуру c^s, характеристические функции
которой Н\(х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х>р) связаны в точности г — т соотношениями
Hm+j - Wm+j(Hi • • • Нт) = 0 (j = 1 • • • г - т), (7)
но не связаны ни одним независимым от них соотношением.
Ниже мы это докажем в полной общности, опираясь на результаты
главы 13, но не преминем упомянуть, что частный случай т — т еще в главе 17
нашел свое решение.
Под а и /3 мы понимаем некоторые из чисел 1,2 • • • m и полагаем
m 7—m
(Hi ♦ ♦ ♦ Ят),
вместо чего можно также записать
г
\НаН&\ = / ;Cg/3sHs
5 = 1
(а,0= 1 ••• т),

при условии, что Ят+1 • • • Нт в силу уравнений Hm+j = wm+j(Hi • • • Нш)
выражаются как функции от Hi • • • Нш. Если, кроме того, F и Ф — две
произвольные функции от Hi • • • Hm, то, как и выше, мы определим
выражение |F$| так:
то.
|F<P| = ^ 1Я«#/5
1днадн0-
Поскольку система уравнений #m+j — wm+j = 0 допускает инфинитези-
мальные преобразования
Bif= J2 сызНзш~ (i=1*"r)'
х,5=1 ^
то уравнения
Ей V^ dwm+j{Hi • • • Ят) ^-> _
Ci,m+j,s rLs 2_^ 7^ 2^ С^5^5 ~ U W
5=1 /z=l ^ 5=1
(г = 1 • • • r; j = 1 • • • r — m)
при замене
-#m+l = Wm+l(Hl * * * Hm), " ' Hr = Wr(Hi • • • Hm)
становятся тождествами. Отсюда следует, что уравнения
Ш , dWm+j
\HocWm+j\ — 2_^ \наНр\
дЩ
/3=1
m о г
/3=1 Р 5 = 1
могут принять следующий вид:
г
\H-Oc1Vrn+j\ = у ^ ^,771+^,5 -^5»
5=1
Таким же образом мы найдем
772
Vm+и IV m -\-j | = 2_, l^m+x-ff/J
|гУт1. „,
/?=i
~dHi
— / ^ Cm-\-Hi7n+j>s -"5?
5 = 1

то есть формула
г
5=1
справедлива в общем случае для i,x = 1 ♦ ♦ ♦ г, если везде заменить
#m+i * * * Нг на wm+i ♦ ♦ ♦ wr соответственно. Поэтому если мы вспомним,
что Ci>,s удовлетворяют известным соотношениям (1), то мы увидим, что
уравнение
\\ЩН„\НА\ + \\HxHj\HiW + \\HjHi\HxW = О
выполняется тождественно, какими бы числами из 1,2 • • • г ни были г, х, j;
в частности, оно выполняется и тогда, когда i,*c, j обозначают три
произвольных числа из 1,2 • • • га.
Наконец, необходимо еще подчеркнуть, что га2 выражений \HQHp\
являются однородными функциями первого порядка от Н\ ♦ ♦ ♦ Нт; это
следует непосредственно из того, что система уравнений Hm+j — wm+j = 0
допускает инфинитезимальное преобразование
*/ = *!# + ...+яг*/
знх гднг'
Из теоремы 38 в гл. 13 (стр. 281) мы заключаем, что существует
га-параметрическая однородная группа функций Н\(х,р) ••• Нт(х,р) от
подходящего числа переменных х\ ■■• ,pi •••, для которой га независимых
функций На(х,р) находятся в соотношениях
т 7 т
{НаНр)хр = ^ С(*0»Н,м{х,р) + ^ Capim+jWm+jiHi • • • Нт)
М=1 3=1
(а, /3 = 1 • • • ш)
и, кроме того, являются однородными и первого порядка по р.
Предположим, что такая га-параметрическая группа функций Н\(х,р) • • ♦ Нт(х,р)
задана. Если положить
w.
m+j (Hi (ж, р) • • • Яш(ж, р)) = Hm+j (ж, р) у = 1 ... г - т),
то функции Hm+j(x,p), очевидно, будут также однородными первого
порядка по р9 и, кроме того, ясно, что уравнения (8) при замене Hi =
= Hi(x,p), ♦ ♦ ♦ Hr = Нг(х,р) выполняются тождественно. Поэтому для

а, /3 = 1 • • • га, j, x = 1 ♦ ♦ ♦ г — m мы получаем соотношения
г
г
772 о Г
{iiaiim+j)Xp = > (iiaiip)Xp ;г-— = > ca^m+jySiis{x,p),
т о г
um+j
{■H-m+x-H-PJxp дуг == / jCm+Xim+jiS-LlsyZ-iP)-
0=1 & 5=1
Поскольку между Hi{x,p) ♦ ♦ ♦ Нг{х,р), очевидно, не может быть никаких
соотношений, независимых от уравнений
НтН - Wm+jiHi • • • Нт) = О (j = 1 • • • г - га), (7)
и поскольку из последних, согласно нашему условию, не следует
никакого линейного однородного соотношения с\Н\ + • • • + crffr = 0,
то Н\(х,р) ••• Нг{х,р) является r-параметрической группой однородных
контактных преобразований. Эта группа действительно имеет заданную
структуру, и ее характеристические функции действительно связаны ровно
г — т независимыми, выбранными нами соотношениями (7). Тем самым
выдвинутое на стр. 391 утверждение доказано.
Пусть теперь 5)\ {у\ • • • ,qi • • •) • • • S)r(y\ ♦ ♦ ♦ , <?i • ♦ ♦) — какая-либо
другая r-параметрическая группа однородных контактных преобразований,
которая также имеет заданную структуру с*^, причем ее
характеристические функции F)i{y,q) ♦ ♦ ♦ $)r(y,q) обладают такими же свойствами, как
Н\{х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р), то есть, во-первых, будут иметь место соотношения
г
{ftift»c)yq = 5Z Ci*sbs (У, q) (i, * = 1 • • • г),
s=l
а во-вторых, fim+i(y,q) •••£r(s/?(Z) будут выражаться через
независимые друг от друга функции S)\{y,q) • • • $)т(у,я) точно так же, как
tfm+i(x,p) ••• Нг{х,р) -через Hi{x,p) ••• tfm(x,p):
fim+j(y,q) =Wm+j(fii(y,q) ••• Йт(у,?))
(j = 1 ••• г-га).
Число же переменных г/i ♦ ♦ ♦ , gi • • • не должно быть равно числу
переменных х\ • • • ,р\ • • •. При этих условиях группы Н\ • • • Нг и S)\ • • • 5эг,
согласно теореме 52 (стр. 359), являются подобными друг другу посредством

однородного контактного преобразования; слово «подобный» понимается
в широком смысле, определенном на стр. 361.
Поэтому, даже если нам известна всего одна единственная г-парамет-
рическая группа однородных контактных преобразований,
характеристические функции которой Н\(х,р) - - - Нг(х,р) находятся в соотношениях
г
(HiHx)xp = 2_^ CixSHs (г, ;* = 1 • • • г)
s=l
и связаны в точности г — т независимыми соотношениями вида
H-m+j = Wm+j (Hi • • • Нт) (j = 1 • • • г - m),
то нам известны вообще все группы с этим свойством; но эти группы с той
точки зрения, которую мы здесь принимаем (ср. стр. 387), различными не
считаются.
Сначала мы хотим соединить эти результаты в следующем
специальном утверждении.
Утверждение 2. Если г1 констант Ciy<s удовлетворяют уравнениял1
г
и если
Hm+j - Wm+^Hi • • • Нт) = О у = 1 ... г - m) (7)
— какая-либо (г — т)-параметрическая система уравнений, допускающая
г + 1 инфинитезимальных преобразований
Bf = HldiTl+---+HrdH'r'
B*f= Ё а*Л*Щ- (г = 1 ■ • - г)
от переменных Нi • • • Нг, которая, однако, не влечет никаких линейных
соотношений с\Н\ + ••• + сгНг = 0 между Н, то всегда существует
г-параметрическая группа Н\(х,р) ♦♦♦ Нг(х,р) однородных контактных

преобразований Н\(х,р) • • • Нг(х,р), характеристические функции
которых Н\(х,р) • • • Нг(х,р) находятся в соотношениях
г
(HiH„)xp = ^2сЫзН3(х,р) (г,*=1 .-г)
s=l
и связаны в точности соотношениями (7), тогда как между
Н\{х,р) ••• Нт(х,р) никаких соотношений не существует. Такую
группу мы находим, задав т-параметрическую однородную группу функций
Н\(х,р) • • • Нт(х,р) от достаточного числа переменныхх\,хч • • • ,pi,p2
т функций которой Н\ ♦ ♦ ♦ Нт являются однородными первого порядка по
р и тождественно удовлетворяют соотношениям
771 Г —771
(Н\ • • • Нт)
11=1 j=l
(а, 0=1 •••m);
тогда соответствующая группа однородных контактных преобразований
имеет вид
#i(x,p) ••• Нт(х,р),
Hm+j{x,p) = wm+j(#i(a;,p) • • • Нт(х,р))
(j = l ... r -m).
Всякая другая такая группа однородных преобразований является
подобной найденной группе Н\{х,р) • • • Нг(х,р) посредством однородного
контактного преобразования.
Если мы желаем знать, каково наименьшее число переменных х\ ♦ ♦ ♦,
Р\ • • •, для которых существует r-параметрическая группа с
рассмотренным здесь свойством, то, согласно указанию на стр. 218, надо только задать
число 7г независимых выделенных функций, которые содержит га-парамет-
рическая группа функций Н\(х,р) • • • Нт(х,р)\ тогда наименьшим числом
переменных будет т + 7г. Разумеется, число 7г может быть найдено и без
того, чтобы действительно задавать группу функций Н\(х,р) • • • Нт(х,р).
§87
Из рассуждений двух предыдущих параграфов непосредственно
следует, что надо делать, чтобы описать все r-параметрические группы
однородных контактных преобразований, имеющих заданную структуру с^.

В § 85 мы видели, что всякой r-параметрической группе
Н\{х,р) • • • Нг(х,р) соответствует некоторая система уравнений от
переменных Н\ • ♦ ♦ Нг, допускающая г+1 инфинитезималъных преобразований
Bf, B\f ♦ ♦ ♦ Brf. В § 86 было показано, что, и наоборот, для любой
системы уравнений от Н\ ♦ ♦ • Нг, допускающей Bf, B\f ♦ ♦ ♦ Brf и не влекущей
никаких соотношений вида
c\Hi Н + стНг = О,
может быть найдена r-параметрическая группа однородных контактных
преобразований, и что все относящиеся к этой системе уравнения
группы являются подобными друг другу посредством однородного контактного
преобразования. Таким образом, мы получаем следующую теорему.
Теорема 56. Все г-параметрические группы однородных
контактных преобразований, имеющие заданную структуру,
могут быть найдены следующим образом: сначала рассмотрим
г + 1 инфинитезималъных преобразований от переменных
Н\ • • • Нг
Б/ = Я1# + ...+я; df
dHi rdHr'
Bif = 22 Ci*sHs~nW (i = 1'"r)'
XT,5=1
порождающих линейную однородную группу преобразований.
Затем зададим для Hi ♦ ♦ ♦ НТ все системы уравнений,
допускающие Bf, B\f • • ■ Brf, исключив при этом те из них,
которые имеют следствием линейное однородное соотношение
с\Н\ -\ + сТНТ — 0. Если
Нщ+j = Wm+j (Hi • • • Hm) (j = 1 • • • r - m)
— одна из найденных систем уравнений, то, согласно
правилам утверждения 2 (стр. 395), мы зададим т-параметри-
ческую группу Н\(х,р) • • • Нг(х,р) от подходящего числа
переменных х\ • • • ,р\ •••, характеристические функции которой
Н\ ♦ ♦ ♦ Нг находятся в соотношениях
г
(Н{Нх)хр = 2_^ CixSHs (г, к = 1 - - • г)
5=1

и связаны r — т соотношениями Hm+j — wm+j = О, тогда как
между Н\ • ♦ ♦ Нт никаких соотношений не существует. Таким
же образом нужно поступить со всеми найденными
системами уравнений. Тогда всякая г-параметрическая группа
однородных контактных преобразований, имеющая структуру Ci>,s,
будет подобна одной из полученных групп посредством
однородного контактного преобразования^.
Эта теорема показывает, что все г-параметрические группы
однородных контактных преобразований, имеющие заданную структуру, в любом
случае могут быть найдены при помощи интегрирования систем
обыкновенных дифференциальных уравнений*.
Так, прежде всего описание всех систем уравнений, допускающих ин-
финитезимальные преобразования Bf,B\f ••• Brf, является
выполнимой операцией. Это основано на том, что группа, порожденная
Bf,B\f ♦ ♦ ♦ Brf, является однородной и линейной, поэтому ее конечные
преобразования могут быть найдены путем разрешения алгебраических
уравнений; однако из конечных уравнений этой группы, согласно
теореме 37 (ч. I, гл. 14, стр. 226), можно получить упомянутые инвариантные
системы уравнений.
С другой стороны, согласно утв. 2 (стр. 395), речь также идет о
задании m-параметрической группы функций Н\(х,р) ••• Нт(х,р) с
определенным свойством. Но в главе 13 (стр. 276) мы видели, что для ее задания
необходимо лишь интегрирование систем обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Очевиден вопрос относительно наименьшего числа переменных х\ • • • ,
р\ • • •, для которых существует r-параметрическая группа однородных
контактных преобразований со структурой С{Х8. Чтобы на него ответить,
зададим ко всякой системе уравнений, допускающей инфинитезимальные
преобразования Bf, B\f • • • Brf, соответствующее, заданное на стр. 396
число 7г. Наименьшее из полученных чисел т + тг будет искомым числом
переменных. При этом, очевидно, совсем не обязательно, чтобы была известна
некоторая группа со структурой c^5.
Поскольку мы на основании теоремы 56 можем найти все г-параметри-
ческие группы однородных контактных преобразований, имеющих
заданную структуру Cms, то, как уже отмечалось в начале главы (на стр. 387), мы
можем также задать все г-параметрические группы контактных
преобразований от z,x\ ♦ ♦ ♦ , pi • • •, структура которых совпадает с заданной.
3Lie, Archiv for Math., том I, Христиания, 1876 г.; Math. Ann., том XVI; Berichte
der Kg]. Sachsischen Ges. d. W., февраль 1888 г.
4Там же.

§88
Задача описания всех r-параметрических групп однородных
контактных преобразований с заданной структурой c^s привела нас к
следующей задаче: задать m-параметрическую однородную группу функций
Hi(x,p) ••• Нт(х,р), функции которой Hi -" Нт являются
однородными первого порядка пори удовлетворяют соотношениям
771 Г —771
(НаНр)хр = У ^Cgp^Hjj, + 2_^ CaP,m+jWm+j(Hl ' ' ' Нш) = \НаНр\
М=1 3=1
(а, (3 = 1 - - • т)
тождественно. То, что такая группа функций Н\{х,р) - - - Нт(х^р)
существует, следует из рассуждений в главе 13, §63, которые показывают,
что всегда имеются т независимых функций Х\ • • • Ха, Р\ • • • Рр из
Н1 • • • Нт, удовлетворяющих известным соотношениям
\XtX„\ = |Х<РЖ| = \PtP„\ = 0, \PtXi\ = 1,
Цитируемая глава, кроме того, содержит метод нахождения т таких
величин Х,Р и тем самым метод задания однородной группы функций с
требуемым свойством при помощи интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Этот метод отнюдь не является таким, который ведет к цели самым
простым путем, поэтому возникает вопрос, какой метод является самым
простым. Этот вопрос относится к области дифференциальных
уравнений и поэтому не будет здесь подробно рассматриваться; мы
займемся вплотную только выделенными функциями искомой группы функций
Н\{х,р) ♦ ♦ ♦ Нт(х,р); их задание как функций от Hi ♦ ♦ ♦ Нш
представляется особенно простым и требует, как мы увидим, лишь выполнимых
операций.
Пусть Н\(х,р) ♦♦♦ Нш{х,р) — какие-либо m независимых функций,
являющихся однородными первого порядка по р и тождественно
удовлетворяющих соотношениям
771 Г —771
(НаН(з)хр = 2_^ са(з^Н^ + 2^ (#!••• ffm) (9)
/2=1 j=\
(а,0=1 •.. m).

Мы вовсе не предполагаем, что эти функции Н\(х,р) • • • Нт(х,р)
известны, однако знаем, что имеется т таких функций, и поэтому можем о них
говорить.
Самая общая выделенная функция U(H\ • • • Нш) г-параметрической
однородной группы функций Hi(x,p) • • • Нт(х,р) является, согласно
стр. 217, общим решением т линейных дифференциальных уравнений
в частных производных
{HaHi)-^j- + • • • + (НаНт)-^- = О
(а = 1 • • • т)
от переменных Нi • • • Нш, то есть в нашем случае — общим решением т
уравнений
771 [ 771 7 771 |
5Z { Ц С*А*ЯМ + Ц c*0,m+jWm+j(Hi • • • Нт) > ^f = 0 (10)
0=1 [м=1 .7 = 1 J ^
(а = 1 • • • т).
Независимые среди этих уравнений образуют полную систему, из
числа параметров которой немедленно следует число независимых друг от
друга выделенных функций этой группы.
Мы докажем, что общие решения уравнений (10) могут быть найдены
при помощи выполнимых операций.
Для этого рассмотрим Н\ ♦ ♦ - Нг как координаты точек некоторого
r-мерного пространства. Точки этого пространства преобразуются под
действием группы
Bif = Yl Ci^Rs^H~ {i = 1'"r)
причем так, что многообразие, представляемое уравнениями
Hm+j - Wm+j{Hi ♦ ♦ ♦ Нш) = 0 (j = 1 • • • г - га),
остается инвариантным.
Точки упомянутого многообразия переставляются между собой под
действием группы B\f ♦ ♦♦ Brf, а именно, согласно теореме 40 (ч. I,

стр. 258), тоже некоторой группой. Если мы рассмотрим Hi • • • Нт как
координаты отдельных точек на многообразии
то инфинитезимальные преобразования этой новой группы предстанут
в следующем виде:
771 I 771 7 771 | <-ч р
/3=1 [м=1 j=l ) &
(>с = 1 • • • г).
Но если учесть, что система уравнений
допускает г инфинитезимальных преобразований Bif, то есть что
уравнения
Bi{Hm+j — wm+j(Hi • • • Нт)) = О
(г = 1 • • • г; j = 1 • • • г — т)
при замене
#771+1 = Wm+\{H\ • ♦ ♦ Нш), ♦ ♦ ♦ Нг — Wr(Hi ♦ ♦ ♦ Нт)
становятся тождествами, то мы видим, что W\f • • • Wrf связаны
тождественными соотношениями
(j = l ... г -т).
Отсюда следует, что система уравнений (10) эквивалентна системе
уравнений W\f = 0, • • • Wrf = 0, другими словами, общие решения
уравнений (10) являются ничем иным как инвариантами группы W\f • • • Wrf.
Однако эти инварианты можно найти при помощи выполнимых
операций. Действительно, прежде всего при помощи выполнимых операций
и можно выписать все конечные уравнения группы B\f • • • Brf. Если же

они найдены, то, согласно ч. I (стр. 259), можно непосредственно
выписать конечные уравнения группы W\f • • • Wrf, которая преобразует
точки инвариантного многообразия Hm+j — wm+j — 0. Инварианты группы
W\f - - - Wrf находятся тогда путем исключения (ч. I, теорема 35, стр. 243).
Тем самым, доказано, что выделенные функции т-параметрической
группы функций Н1 • • • Нт можно найти при помощи выполнимых
операций.
Всякий абсолютный инвариант группы W\f ♦ ♦ • Wrf9 будучи положен
равным произвольной константе, дает семейство из ос1 подмножеств
многообразия Hm+j — wm+j = 0. Разумеется, каждое отдельно взятое
подмножество остается инвариантным относительно группы W\f • • • Wrf и в то
же время относительно группы B\f • • • Brf. Поэтому если многообразие
Hm+j — wm+j = 0 — одно из тех, которые мы в ч. I (стр. 285), назвали
«наименьшими инвариантными относительно группы B\f • • • Brf
многообразиями», то группа функций Н\ - — Нт не содержит вообще никаких
выделенных функций; такие функции появляются, напротив, тогда и только
тогда, когда группа B\f • • • Brf разбивает многообразие Hm+j — wm+j = 0
на непрерывное семейство отдельных инвариантных подмножеств.
Среди выделенных функций m-параметрической однородной группы
функций Hi(x,p) - - - Нт(х,р) имеются, в частности, такие, которые
являются однородными нулевого порядка по р. Примечательно, что и они могут
быть найдены при помощи выполнимых операций.
Действительно, выделенные функции нулевого порядка группы
функций Н\(х,р) - - - Нш(х,р) суть те ее выделенные функции, которые
являются однородными нулевого порядка по #i • • • #m, или, что то же самое,
те функции от Н\ • • • Нш, которые допускают инфинитезимальное
преобразование
dHi дНш
Вследствие этого они могут быть также определены как инварианты
группы преобразований W\f • • • Wr/, Wf; но то, что инварианты этой группы
можно найти при помощи выполнимых операций, — очевидно.
Если однородная группа функций Н\(х,р) • • • Нт(х,р) содержит
в точности / независимых выделенных функций, то совокупность всех ее
выделенных функций образует, согласно утв. 4 (стр. 248),
/-параметрическую группу функций, функции которой попарно находятся в инволюции.
Мы теперь покажем еще, каким образом можно привести эту
/-параметрическую группу функций к каноническому виду.

Если все выделенные функции группы функций Hi(x,p) - - - Нт(х^р) -
нулевого порядка по р, то, задав при помощи выполнимых операций /
независимых среди них, например,
■t±rn -"771 / \-"га *±\
мы уже получим каноническую форму нашей /-параметрической группы
функций: XJ\ ♦ ♦ ♦ \J{. В любом другом случае группа функций Я\ ♦ ♦ ♦ Нт
содержит лишь / — 1 независимых выделенных функций нулевого порядка.
Предположим поэтому, что / — 1 таких функций
Я™ Я™ / V Я™ Я™
^±±т ±±т / \±J-m ±±т
и какая-либо независимая от них выделенная функция U(H\ ♦ ♦ ♦ Нш)
заданы с помощью выполнимых операций. Чтобы теперь привести группу
функций Hi • • • iX/—1, U к каноническому виду, нам надо еще найти
функцию F(iXi • • • iXi-iiU), однородную и первого порядка по р или, что то же
самое, по Hi • • • Ят. Для этой функции F мы получим дифференциальное
уравнение
Е
dF
1дНа
Я -^— - F
1L\l c\tt — г ->
М=1
которое, очевидно, принимает простой вид:
STh dU dF - F
2-^П»дН„ ' dU~
Здесь можно представить множитель при ^—, заведомо не обращающийся
в нуль, как функцию от Hi • • • Ui-i, С/, то есть сама F находится при
помощи квадратуры. Если F известна, то Fiii • • • Filj_i, F будет каноническим
видом /-параметрической группы функций. Мы сформулируем результаты
этого параграфа следующим образом.
Теорема 57. Если г3 констант ci^s удовлетворяют
уравнениям
( г

и если система уравнений
Hm+j - Wm+j(Hi ♦ ♦ ♦ Нт) = О (j = 1 • • • г - т) (7)
допускает г + 1 инфинитезимальных преобразований
Bf = Hl9L + ...+Hrdf
7720 для подходящего числа переменных Х\ • • • ,pi ••• всегда
имеется т независимых функций Н\{х,р) • • • Нш{х,р), которые
являются однородными и первого порядка по р и тождественно
удовлетворяют уравнениям
т г—т
(НаНр)хр = 2_^ Са(ЗцНц + 2_^ (tfi • • • Нт) (9)
(а,0= 1 ••• m).
Всегда можно, даэюе если еще не известны т таких функций
Н\{х,р) • •• Нш(х^р), выразить с помощью выполнимых функций
все выделенные функции U{H\ • • • Нш) т-параметрической
группы функций, заданной функциями Н\(х,р) • • • Нт(х,р), через
Hi • • • Нш и, в частности, также все выделенные функции
нулевого порядка этой группы функций. Если мы хотим
привести однородную группу функций, образованную выделенными
функциями группы функций Н\{х,р) - - - Нт(х,р), к
каноническому виду, то самое большее, что для этого требуется, помимо
выполнимых операций, — это некоторая квадратура.
Мы хотим также сформулировать следующее утверждение, которое
содержится в вышеизложенной теореме.
Утверждение 3. Если задана r-параметрическая группа
Н\(х,р) ••• Нг(х,р) однородных контактных преобразований от 2п
переменных х\ • • • хп,р\ • • • Рп, то всегда можно при помощи выполнимых
операций найти все выделенные функции и все выделенные функции
нулевого порядка однородной группы функций, задаваемой независимыми из
функций Н\ (х, £>)••• Нг(х, р). Если мы xomwvi привести однородную группу

функций, образованную веши этими выделенными функциями, к
каноническому виду, то самое большее, что для этого требуется, помимо
выполнимых операций, — это некоторая квадратура.
Выше мы выражали выделенные функции неизвестной группы Н\ • • • Ят
как функции от Н\ • • • Нш при помощи одной единственной, да и то не всегда
необходимой квадратуры. Для того чтобы теперь найти т независимых функций
Х\ • • • ХЛ, Pi • • • Рр от Н\ • • • Нт, удовлетворяющих известным соотношениям
( \РгХг\ = 1, \ХгХ„\ = \ХгР„\ = \РгР„\ = О [уфх)
\ Л дхг ^н дРг (А)
\ х — \ ' х = \
необходимо некоторое интегрирование. Мы покажем (правда, без подробного
объяснения), как это можно проще всего сделать; при этом для простоты ограничимся
случаем, когда все выделенные функции нашей группы функций имеют нулевой
порядок по Нус.
Пусть
Ni = JMtf! ... tfm), ...#„ = N„(#1 • • • Нт)
— уже найденные выделенные функции нашей группы. Если теперь т = 2д + z/,
и соответственно Х\ • • • Х^ • • • Хц+и, Р\ • • • Рм — типичный вид нашей
однородной группы функций, то мы положим
Хц+i = TVi, • • • Хц+и = Nu
и выберем в качестве Х\ некоторую функцию нулевого порядка от Н\ • • • Ят,
независимую от iVi • • • Nv. Затем составим два линейных дифференциальных
уравнения в частных производных
1^/1 = 0, JTHx-^f^o,
очевидно, имеющих общие решения, и выберем одно независимое от N\ ■ ■ ■ Nu
и Х\ решение в качестве Xi. Затем выберем одно независимое от N\ • • • NU9 X\
и Х2 решение уравнений
m я f
ixi/i = o, \x2f\=o, 52н*дн:=0
в качестве Хз и так далее. Таким образом мы шаг за шагом найдем ровно fi
функций нулевого порядка Х\,Х2^ ••• Х^ от Н\ ♦ ♦ - Ят, образующих вместе
с Хр+1 • • • Xp+t, (i± + г/)-параметрическую систему в инволюции. Затем найдем д

функций Pi • • • Рм от Я1 • • • Ят, удовлетворяющих уравнениям
т ЯР
\X„Pt\=0, |P,Xt| = l, £tf.|g=Pt
s=l
{хфг, г = 1,2---/х, х = 1 • • • ц + ^).
Получается, что эти уравнения имеют для любого г одно-единственное общее
решение Рг, которое находится без интегрирования и, кроме того, что все |РгР^|
обращаются в нуль тождественно.
Тем самым, найдены 2\х 4- v независимых функций Х\ ■ ■ • Х^+1/, Р\ • • • Рм
от Н\ • ♦ ♦ Ят, удовлетворяющих соотношениям (А); если тогда выразить Н„ как
функции от X и Р,
Я^ = V^(Xl • • • Хц+и, Р\ • • • Рд),
то m функций
Я^ = V^(xi • • • жм+1/,р1 • • • рм)
от переменных rci • • • х^+и,р\ • • • pM+i/ задают группу функций с искомым
свойством.
§89
Чтобы пояснить рассуждения выше на примере, мы зададим все трех-
параметрические группы Hi(x,p),H2(x,p),Hs(x,p) однородных
контактных преобразований, являющиеся равносоставленными с общей
проективной группой
\JUaXj KAjxLi \Aj%L>
одномерного многообразия. Итак, мы имеем
(HiH2)xp = ЯЬ (HiHs)Xp = 2Я2, (Н2Н3)Хр = Я3,
поэтому
дН2 гдНъ
B-lf = —Hi-^et + Щ-
Вз/ = —2H2WTZ #з-
дНх лдНг

а также
Bf Н1дЩ+Н2дн;+щдн;-
Составив все определители третьего и второго порядка матрицы
О Нг 2Я2
-Е1 0 #з
-2Н2 -Н3 О
Hi Н2 Н$
мы легко убеждаемся, что HiH^—H^ = 0 — единственная инвариантная
относительно группы Bif,B2f,B3f,Bf система уравнений, не содержащая
ни одного уравнения, линейного по Н. Поэтому необходимо различать два
случая, и в каждом из этих случаев достаточно задать соответствующую
группу, все остальные тогда будут ей подобны посредством однородного
контактного преобразования.
В первом случае Hi,H2,Hs вообще не связаны соотношениями.
Поэтому для того чтобы найти выделенные функции группы
функций Н1,Н2,Нз, нам надо трактовать Hi,H2,H% как координаты точек
трехмерного пространства и выяснить, разбивает ли группа B\f, -В2Л B3f
это пространство на непрерывное семейство отдельных инвариантных
многообразий. Мы находим, что всякая из оо1 поверхностей второго
порядка Н\Нз — Н$ = const, остается инвариантной относительно
группы B\f,B2f,Bzf, но эти поверхности не распадаются на непрерывные
семейства инвариантных подмножеств. Отсюда следует, что самая общая
выделенная функция группы функций Н\,Н2,Но, является произвольной
функцией от Н\Н3 — Н%. Канонической формой, образованной из этих
выделенных функций однородной группы функций является функция первого
порядка \jHiHz — Н\. Представителем входящих сюда групп однородных
контактных преобразований может служить следующая группа:
# 1 = Pi + Р2, Н2 = xipi + X2P2, #3 = A.V\ + Я2Р2;
менее чем от четырех переменных х\ • • ♦ , р\ • • • таких групп, очевидно,
вообще не существует.
Второй случай характеризуется уравнением Н\И3 — В\ — 0,
представляющим инвариантный относительно группы Bif, Bf конус второго
порядка. Соответствующая группа функций Н\,Н2 — двухпараметрическая и не
содержит никаких выделенных функций. Последнее видно либо из
соотношения (Н1Н2) = Hi, либо из того, что этот конус не распадается
относительно группы Bif,B2f,B$f на непрерывное семейство инвариантных

подмножеств. Все входящие сюда группы однородных контактных
преобразований являются подобными группе
#1=рь H2=xipu H3=xjpi
посредством однородного контактного преобразования.
§90
Результаты §§86,87 являются в некотором смысле неполными и
требуют дополнения. Правда, мы показали, как можно найти все группы
однородных контактных преобразований с заданной структурой c^s. Но до сих
пор нам известно только следующее.
Первое. Всякой системе уравнений от Н\ • • • Нг, остающейся
инвариантной относительно группы B\f ••• Brf,Bf и не дающей никакого
соотношения между Н, соответствуют некоторые r-параметрические группы
однородных контактных преобразований, имеющие структуру с^5 и
являющиеся подобными друг другу посредством однородного контактного
преобразования. Второе. Если каждой из упомянутых систем уравнений
сопоставить некоторую группу, то всякая r-параметрическая группа
однородных контактных преобразований со структурой cixs будет подобна одной из
найденных групп посредством однородного контактного преобразования.
Однако мы еще не знаем, когда две различные из этих систем
уравнений дают также две группы, которые мы рассматриваем как различные,
то есть две группы, не являющиеся подобными посредством однородного
контактного преобразования (слово «подобный» взято в широком,
определенном на стр. 361 смысле). Поэтому мы должны еще поставить условия,
при которых две различные системы уравнений от Н приводят к двум
подобным группам. Это мы и хотим теперь сделать, но при этом можем
предположить, что обе эти системы содержат одно и то же число независимых
уравнений, так как в противном случае они заведомо давали бы две группы,
которые не являются подобными друг другу.
Пусть, как и прежде,
Hm+j - Wm+j(Hi • • • Нш) = 0 U = 1 ' • ' г - т) (7)
— система уравнений, допускающая группу
dHi ' дН,
Bif = Y1 ъмН'Щ- (* = 1 •••»•)
x,s=l

и не влекущая никаких линейных однородных соотношений между Я.
Пусть
Н1(х1 ••• ,pi ...) •♦♦ Нг(х1 ••• ,pi ...)
— соответствующая r-параметрическая группа однородных контактных
преобразований, где функции Ях(х,р) находятся в соотношениях
г
Ухр — 2_^
s=l
(ЩН„)хр = V СЫзН5 (t, >f = 1 • • • г). (12)
С другой стороны, пусть
Йаш + / - ПЭт+<7-(Йа1 ' ' ' Йаш ) = 0 (j = 1 • • • г - т) (7')
— система уравнений от ioi • • • i)rj допускающая группу
5/ , , г а/
>f,S = l
Соответствующей r-параметрической группой однородных контактных
преобразований будет
£i(yi ••• , 9i •••) ••• Йг(У1 ••• , 91 •••)»
где $)x{y,q) находятся в соотношениях
г
(f)ifi>c)yq = ^2 Ci^s^s (*,*=!•••*•)• (12')
5=1
Если две такие группы контактных преобразований, #i ••• Нг
и f)i • • • i!)^, уже известны, то легко определить, являются ли они в смысле
стр. 361 подобными посредством однородного контактного преобразования.
А именно, мы можем предположить без ограничения общности, что
число переменных y,q равно числу переменных х,р. Если бы, например,
число у, q было меньше числа х,р, то мы могли бы, как на стр. 361,
добавить некоторые новые переменные у, q, которые не преобразуются группой
$)\(y,q) ••• S)r{y^q). Поэтому мы полагаем, что число как y,q, так и х,р
равно 2п.

Чтобы теперь группы Н\{х,р) • • • Нг(х,р) и $)\{у, q) • • • $)г{у, ч) были
подобны друг другу, согласно теореме 51 (стр. 356), необходимо и
достаточно, чтобы существовало однородное контактное преобразование
Vi = Yi(x,p), qi = Qi{x,p) (i = l...n), (13)
в силу которого всякое 9)i(y, q) принимает вид
г
ЫУЛ) = ^29ijHj{x,p) (г = 1 ... г); (14)
3 = 1
причем gij обозначают константы, определитель которых не обращается
в нуль. Если такое преобразование существует, то г инфинитезимальных
преобразований
г
Hi(x,p) = ^gijHjfap) (г = 1 .-• г)
5=1
удовлетворяют соотношениям
г
[Hjli ycjxp — / ^Cixs-Hs) (А)
5=1
тогда как система уравнений
Н<*„, + , =tt>m+j(Hai -"Нат) (j = l--r-m)
будет эквивалентна системе уравнений Hm+j — wm+j(Hi • • • Нт). С
другой стороны, если можно найти г2 таких констант дц с
необращающимся в нуль определителем, чтобы имели место уравнения (А), в то
время как система уравнений #<*,„+, — mm+j эквивалентна системе
уравнений Hm+j = wm+j, то заведомо существует (теорема 52, стр. 359)
однородное контактное преобразование (13), приводящее всякое S)i{y,q) к ви_
wYli9ijHj{x,p).
Поэтому если уже известны два однородных контактных
преобразования Н\ • • • Нг и 551 • • • %)г-> принадлежащие в изложенном виде системам
уравнений (7) и (7'), то, согласно результатам предпоследней главы,
можно непосредственно ответить на вопрос, дают ли эти системы уравнений
подобные группы.
Но мы исходим здесь из того, что нам известны обе системы
уравнений (7) и (7'), и хотим узнать, являются ли соответствующие им еще
неизвестные группы преобразований, которые мы в дальнейшем будем
обозначать Н\ • • • Нг и 55i • • • S)r, подобными посредством однородного
контактного преобразования или нет.

Если существует однородное контактное преобразование (13),
приводящее всякое S)i(y,q) к виду V.gijHj(x,p), то выполняется тождество:
г
f)i{y^Q) = ^29ijHj(x,p) (i = l...r). (15)
Подставляя эти значения в уравнения (12') и учитывая, что ($)i$)x)xp —
= (f)i$)x)yq (ср. стр. 151), с использованием (12) мы получаем, что
уравнения
г г г г
У^ 9ij9xir^2c3-*sHs(x,p) = ^2сЫтУ^,9тзН3(х,р)
J,7T=1 5=1 T—l S—1
(г, к= 1 ••• г)
выполняются тождественно, но разбиваются на следующие:
Г Г
У^ gijg^Cj^s = ^2,ci>CTgTS (16)
J,7T=1 T=l
(г, х,5 = 1 ••• г),
так как Н\(х,р) • • • Нг(х,р) не связаны никаким линейным соотношением.
Если же мы подставим значения (15) функций S)i(Y,Q) в
уравнения (7'), которым тождественно удовлетворяют $)i(y,q), а стало быть,
и f)i(Y, Q), то получим г — га независимых уравнений между if, которые
тождественно удовлетворяются функциями Hi(x,p) • • • Нг(х,р). Но
система этих г — m уравнений должна, очевидно, быть эквивалентна системе
Hm+j - wm+j(Hi • • • Hm) = О (j = l • • • г - m), (7)
поскольку Н\(х,р) ••• Нг(х,р) не связаны никакими независимыми от
уравнений (7) соотношениями.
Поэтому для того чтобы существовало однородное контактное
преобразование (13) с указанным свойством, необходимо во всяком случае
следующее: должны существовать г2 констант gij с необращающимся в нуль
определителем, которые, во-первых, тождественно удовлетворяют
уравнениям (16), а во-вторых, таковы, что система уравнений (7') при замене
г
S)t = ^gijHj (г = 1 ... г)
3=1
переходит в систему уравнений, эквивалентную системе (7).

Найденные необходимые условия являются, однако, одновременно
и достаточными. Так, если имеется г2 констант дц, обладающих
заданными свойствами, то г характеристических функций
г
Hi(x,p) = ^2gijHj(x,p) (г=1 .-т)
J=l
очевидно находятся в соотношениях
г
(Нг~Нх)Хр = ^СЫзН8{х,р) (г,*г=1 • • • г)
5 = 1
и, кроме того, связаны г — т независимыми соотношениями
Нат + , = Km+jiHct! ' ' ' Нат ) {J = 1 • • • г - т),
поэтому, согласно теореме 52 (стр. 359), заведомо существует
однородное контактное преобразование (13), переводящее Н\(х,р) • • • Нг(х,р)
в $)\{у,д) •••$)г{у,д) соответственно, и это контактное преобразование
удовлетворяет всем поставленным требованиям.
Полученные результаты мы хотим сначала еще раз обобщить; при этом
будет целесообразно воспользоваться двумя следующими символами:
^ аддг-яг) dx(Hj • • • яг) г
^ —т ш:— h = Ыя'
*'Х ди{ы---Ьг) dv^-.-br) X (17)
L ад" адТ Lc^s = l^ls,
^г,-н-=1 " 5=1
тогда мы имеем
Утверждение 4. £сли имеются две {г—т)-параметрические системы
уравнений от переменных Н\ • • • iJr
Ят+j = wm+j(Hi • • • Ят) О* = 1 • • • г - т)
#а„, + , = ПЭт+>7-(Яа1 • • • Нат ) (j = 1 • • • г - т),
обе допускающие группу Bf, B\f • • • Бг/ w we влекущие никакого линейного
однородного соотношения между Н\ • • • iJr, /720 о/ш дают
г-параметрические группы однородных контактных преобразований со структурой Ci^s*

подобные друг другу посредством однородного контактного
преобразования тогда и только тогда, когда моэ/сно задать г2 констант gij с
необращающимся в нуль определителем и следующими свойствами: во-первых,
г выражений
г
Ьг ^^gijHj (г = 1 ..-г)
3 = 1
должны тождественно удовлетворять символическим уравнениям
\*)&>с\н = \Ь&Лъ (г,*=1---г) (18)
или, в более развернутой записи, уравнениял1
г г г г
^2 9ij9™ ^2 сэ**Н* = 5Z СЫт X 9tsHs (*» ^ = ! • • • г) (19)
J,7T = 1 S=l T=l S=l
для всех значений Н, а во-вторых, система уравнений
#«,„ + , = ^m+j(fiai ••*£«,„) (j = 1 • • - г - m)
/?/7W замене
г
Ьг ^^gijHj (г = 1 --т)
j=l
должна быть эквивалентна системе Hm+j — wm+j(Hi • • • i?m).
Сформулированный в утверждении выше критерий мы хотим теперь
несколько видоизменить.
Если символические уравнения
|ЯгЯх|л = |ЯгЯх|$ (г,*=1---г) (18)
для всех значений Hi - — НТ выполняются тождественно, то это
справедливо также и для
\<pf\H = \<pf\s>, (20)
какими бы функциями от Hi • • • i7r ни были <£ и /. И наоборот, ясно,
что из существования (20) следует существование уравнений (18), т.е. что
одно уравнение (20) эквивалентно системе (18). В частности, имеют место
также г символических уравнений
Ы\н = \fiif\ss (* = !••• г), (21)

совокупность которых также эквивалентна совокупности всех
уравнений (18). Однако, используя символы
7* г\ л
г
дЬ8
l^t/U,
можно записать уравнения (21) следующим образом:
г
Y,9ijBjf = *if (г = 1---г).
(22)
Итак, мы получаем:
Теорема 58. Если г3 констант Ci^s удовлетворяют
уравнениям
/ jXCiyryCvjs + CyrjvCvis + Cjij;Cvxsj — *Л
//=1
Qx-s "Г C^is = U
(i,*J,s = 1 ••• г),
л системы уравнений
Hm+j - Wm+j(Hi • • • Ят) =0 (j = 1 • • • г - га)
(1)
#<*,„ + , ~ *Vm+j(Hai ' * * #a„, ) = 0 (j = 1 • • • г - m),
«w одия из которых не влечет линейного однородного
соотношения между Hi • • • ifr, допускают г-f 1 инфинитезимальных
преобразований
Bf = HldH~1+'"+Hrdirr>
£>ij — / v CixsHs _
(z = 1 • • • г)
>f,5=l

то каждой из этих систем уравнений соответствуют
некоторые г-параметрические группы однородных контактных
преобразований со структурой Ci^s. Группы, соответствующие
одной системе, будут подобны группам, соответствующим
другой, посредством однородного контактного преобразования
тогда и только тогда5, когда существует линейное
однородное преобразование вида
г
f>i = ^29ijHj (г = 1...г), (23)
3 = 1
которое переводит одну систему уравнений в другую и, кроме
того, дает
£ CixaS)a ^ = »*/ = £ 9VBif (22a)
x,s=l ' j=l
(г = 1 ••• г).
Поэтому, если мы хотим выяснить, приводят ли эти обе системы
уравнений (7) и (7') к группам, подобным между собой, прежде всего надо
задать все преобразования
г
f>i = '529ijHj (i=l...r), (23)
3 = 1
удовлетворяющие уравнениям (22а), а затем исследовать, имеется ли
среди найденных преобразований некоторое, переводящее систему уравнений
Hm+j — wm+j = 0 в систему S)am+t — rom+J- = 0. Все преобразования (23),
удовлетворяющие уравнениям (22а), можно найти, задав все
преобразования (23), оставляющие группу B\f • • - Brf инвариантной, а затем отыскав
среди всех таких преобразований те, что оставляют группу B\f • • • Brf
инвариантной таким образом, чтобы выполнялись уравнения (22а). Эти
последние преобразования, очевидно, в свою очередь образуют группу.
Совокупность всех r-параметрических групп однородных
преобразований со структурой Ciy,s мы разделяем на ряд типов, причисляя две
группы, являющиеся подобными посредством однородного контактного
преобразования, всегда к одному и тому же типу, а две группы, не являющиеся
подобными, — к разным типам.
5Ср. Lie, Berichte der Kgl. Sachsischen Ges. d. W., февраль 1888 г.

Рассуждения настоящего параграфа позволяют нам установить,
сколько различных типов r-параметрических групп однородных контактных
преобразований со структурой Ciycs необходимо различать. Прежде всего мы
зададим все системы уравнений, которые допускают г + 1 инфинитези-
мальных преобразований Bf,Bif • • • Brf и не влекут никаких линейных
соотношений между Н. Далее отыщем самое общее преобразование
г
f)г = Y,^ijHj (* = 1-" О, (23)
3 = 1
в силу которого имеют место уравнения
г
®i/= £>«£;/ (i = 1 "'r)' (22)
Затем разделим найденные системы уравнений на различные классы,
причисляя всякий раз две системы уравнений к одному и тому же классу тогда
и только тогда, когда одна может быть переведена в другую посредством
одного из найденных преобразований (23). Число найденных таким
образом классов равно числу типов групп, которые следует различать. Ясно, что
задание этого числа требует лишь выполнимых операций.
Если мы хотим для каждого типа группы получить некоторую
относящуюся к нему группу, то для этого надо лишь выбрать по одной системе
из всех упомянутых классов систем уравнений и задать согласно
указаниям § 87 соответствующую группу6.
§91
В качестве простого приложения результатов предыдущего
параграфа мы хотим выяснить, какие имеются различные типы групп
однородных контактных преобразований, равносоставленных с четырехпараметри-
ческой группой
Xlf^^ X2f = Xte> Xsf = X^ X*f=d^
точечных преобразований плоскости ж, у. Мы имеем
{HiH2)Xp — Н\, (HiHs)Xp — 2#2, {H2Hs)Xp — Нз,
{H\H/j)xp — {Н2Н±)хр — (HsH^xp — О,
6В следующей части мы вернемся к этим рассуждениям и выведем некоторые другие
общие результаты. Ср. часть I, гл. 14, а также Archiv for Mathematik, том I, Христиания, 1876 г.

следовательно,
Blf = Hl4L + 2H2df
дН2
df
B2f = -HiM-i+H3
дН3'
df
df
Bzf = ~2i?2-^rj Щ
'ая3'
df
dHi
[dH2'
B4f = 0,
of - я dfiu df , U df д. Я 9f
В1-Н1дт+Н2д~н;+Нздн;+Н4дщ-
Определитель
0 Hi 2#2 0
-Hi О Я3 О
\-2H2 -Нг О 0
Hi H2 Hz H±\
обращается в нуль тождественно, то есть уравнения
В/ = 0, B„f = 0 (x=i-..4)
имеют одно общее решение, а именно, 2 м^ 3. Отсюда следует, что оо1
систем уравнений
Hi - #1#з - С • Hi (24)
остаются инвариантными относительно группы Bf,Bif ••• В4/. Но это,
как можно убедиться, приравняв нулю миноры третьего порядка этого
определителя, — единственные инвариантные системы уравнений, из
которых не следует никакого линейного однородного соотношения
между Hi • • • Щ.
Теперь надо исследовать, как ведут себя системы уравнений (24), если
выполнить преобразование вида
4
bi^^gijHj (i = i...4), (25)
удовлетворяющее уравнениям
4
^if = ^29ijBjf (i = l...4).
;7 = 1

Но для этого нам не надо выписывать самое общее преобразование (25)
с таким свойством, достаточно заметить, что всякое преобразование вида
Й1=#Ь ^2=#2, £з = #з, ^4 = С-Я4, (26)
влечет за собой уравнения
и что преобразованием вида (26) при С ^0 можно перевести любую
систему уравнений (24) в любую другую.
Согласно этому различают два случая: 1)Ст^0и2)С = 0.В первом
случае всегда можно получить С — 1. Системам уравнений
tff - tfitfs - 0
и
Н2 — Н\Н3 — #4
соответствуют два различных типа групп. Представителем одного можно
выбрать группу
Нг=ри H2 = xipu H3=xIpu Я4=р2,
а представителем другого — группу
XiPi - Х2Р2 тт
Hi = x2pi, Н2 = g ' Яз = ~Ж1Р2,
Ж1Р1 + Х2Р2
#4 = J '
И наконец, сюда относятся все группы с заданной структурой,
характеристические функции которых не удовлетворяют никаким соотношениям.
В качестве представителя этих подобных друг другу групп мы выберем
Группу Х2ри ^(Xipi ~ X2p2),Xip2,X3p3.
§92
Немного внимания мы хотим теперь уделить задаче, очень похожей на
ту, что была решена в § 87, но все же представляющей отдельный интерес.

А именно, мы рассмотрим группы контактных преобразований от
переменных z, х\ - - , pi ♦ ♦ ♦, но только те, инфинитезимальные
преобразования которых имеют специальный вид:
где (р обозначает функцию только от х,р. Если (fi(x,p) • • • (рг(х,р) — одна
г-параметрическая группа с таким свойством, a ipi(xf,p') ••• ipr(xf,p') —
другая, то мы будем считать, что эти группы не отличаются друг от друга,
если они являются подобными друг другу посредством контактного
преобразования вида
Z1 = Z + Л(Х,Р), х\ = Xi(x,p), p\ = Pi(x,p) (27)
(г = 1,2...)
(ср. стр. 374). При этом слово «подобные» мы понимаем в его общем
смысле, то есть не требуем, чтобы эти две группы, (fi(x,p) ••• (fr{x,p)
и ipi(x',p') • • • tyT{x!\p'\ содержали одинаковое число независимых
переменных.
Если (р^х^р) •••(рг(х,р) — r-параметрическая группа контактных
преобразований, то, согласно утверждению 7 (стр. 373), имеют место
соотношения вида
г
((pi<px)xp = ^2 Ci*sVs (Х' Р) (*, >* = 1 • • • г).
5=1
Тогда заведомо существует группа функций с т ^ г параметрами, в
которую входят все г функций <pi(x,p) • • • фг{х,р). Так, если мы для
простоты предположим, что </?i(x,p) • • • фш{х,р) являются независимыми друг от
друга, тогда как <£m+i(a;,p) • • • <рг(х,р) можно выразить следующим
образом:
<pm+j(x,p) = nmH((fi(x,p) ... ipm{x,p)) (j = l •.. r-m),
то ipi(x,p) - - - ipm(x,p), очевидно, задают m-параметрическую группу
функций, в которую входят также <^m+i(x,p) • • • (рг{х,р). Если мы далее
рассмотрим if\ ♦ ♦ • ipr как переменные, то точно так же, как в § 85, сможем
доказать, что система уравнений
(fm+j - flm+j(<pi • • • <рт) = О (j = 1 • • • г - т)

допускает линейную однородную группу
Bif = У^ Ci*sVs-R (i=l-..r)
от переменных tpi • • • ipr.
Оба эти замечания замечания образуют, как и тогда, исходный пункт
этого исследования. Поэтому можно выразиться кратко.
Если задана структура c^s и требуется найти все те г-параметри-
ческие группы (fi(x,p) ♦•• (рг(х,р) контактных преобразований, которые
имеют эту структуру, то надо прежде всего составить г линейных
однородных инфинитезимальных преобразований Bif • • • Brf от переменных
ipi • • • (рГ9 затем найти в ipi • • - (рг все системы уравнений, допускающие
группу Bif • • • Brf, исключая при этом все те, которые влекут некоторое
линейное однородное уравнение ciipi + ♦ ♦ ♦ + cr(pr = О между
функциями (р.7 Если
^m+j = ftm+j (<£l • ' * <Pm) 0" = 1 • • • г - m)
— одна из найденных систем, то надо, согласно указанию в главе 13, задать
m-параметрическую группу функций ifi(x,p) ••• (pm{x,p) от достаточно
большого числа переменных £i,pi, £2>Р2 * * *» для К0Т0Р°й имеют место
соотношения
771 Г —771
/х=1 i=l
(a,/?= 1 ••• m).
Если затем вычислить еще </?m+j(x,p) • • • уг{х,р) из соотношений ^m+j =
= Qm+j((pi ♦ ♦ ♦ (pm), то (fi(x,p) ♦ ♦ ♦ tpr(x,p) будет r-параметрической
группой контактных преобразований, имеющей заданную структуру c^s-
Наконец, если ipi(x',pf) - - ipr(x',pf) — другая r-параметрическая группа
контактных преобразований, соответствующая системе уравнений <pm+j —
— firn+j — 0, то она всегда будет подобна группе cpi(x,p) • • • (рг(х,р)
посредством контактного преобразования вида (27) (стр. 374, теорема 54).
7Можно также совсем забыть про z и искать все r-параметрические группы со
структурой сг>С5ч порожденные независимыми инфинитезимальными преобразованиями
вида (ipif)xp ''' (tprf)xp, в этом случае нужно также исключить такие инвариантные системы,
которые имеют следствием соотношение вида сцр\ + • • • + cr<pr = const.

Такие же рассуждения, как те, что были проведены в § 88, можно,
конечно, провести и здесь, но мы этого делать не будем, а просто заметим, что
1) задание всех систем уравнений, допускающих группу B\f ♦ ♦ ♦ Brf,
является выполнимой операцией и 2) рассуждения § 88 непосредственно дают
(само собой разумеется, посредством выполнимых операций) выделенные
функции группы функций <pi(x,p) ♦ ♦ • (рт(х,р).
Наконец, рассуждения из § 90 в настоящем случае также остаются в
силе почти слово в слово.
К рассмотренному в §89 примеру мы вернемся теперь с несколько
измененными условиями; то есть мы хотим задать все трехпараметриче-
ские группы ipi(x,p),ip2{x,p),(p3(x,p) контактных преобразований,
имеющие следующую структуру:
(<Pl<P2)xp = 4>U {^1^з)хр = 2<р2, {<р2<Рз)хр = <РЗ-
Инфинитезимальные преобразования Bif таковы:
B1f = <p1-^-+2<f2df
д(р2 д(р3'
dipi д(р3'
Единственная система уравнений, остающаяся при их действии
инвариантной и не влекущая никаких линейных однородных соотношений между (/?,
имеет вид
(р\ — ф1<рз — const. = a2. (28)
Входящий сюда параметр а не может быть опущен, поскольку всякая
замена
з
^1 = ^913^3 (* = 1 •••3),
имеющая следствием
з
B'if = 529ijBjf (i = i-.3),
3=1
дает одновременно
Ч>2 -4>'\4>'г = Ч>\ -<Pi^3.

Это следует непосредственно из того, что наибольшая линейная однородная
группа, в которой группа Bif является инвариантной, имеет вид
Bi/,B2/,B3/, Bf = (Plp- + (P2p-+(p3-9f
dip i д(р2 д(рз'
Итак, мы различаем два случая.
В первом функции ipi, <р2, <£з не связаны никаким соотношением. Все
относящиеся сюда группы являются подобными группе
<Pi=Pi+ Р2, Ч>2 = xipi + X2P2, ^з = x\pi + х\р2
посредством контактного преобразования (27).
Во втором случае между <£i, (^2, <£з имеет место соотношение (28),
поэтому должно выполняться
VP\V2)xV = <PU <P3 = Щ •
Двухпараметрической группой (pi(x,p), <Р2(х,р), удовлетворяющей
условию ((pi(f2)xp = ifi, является ipi = pi, (f2 = xipi; все же мы предпочитаем
следующую группу функций:
¥>i=Pi, <£2 = ziPi+a, (29)
поскольку благодаря тому, что имеется произвольная константа а, мы
получаем более удобное выражение для <^з, чем положив ipi = pi, у>2 = х\р\.
Из уравнений (29) тогда получается
х\р\ + 2axipi + а2 — а2
<^з = р-г ,
то есть если выбрать а равным а:
<£з = х\р\ + 2ах\.
Поэтому соответствующей группой будет
<Pi=Pb (f2=xipi+a, (p3=xipi+2axi.
Всякая другая группа y?i(x,p), (р2(х,р), (рз{х,р), для которой имеет место
соотношение ц>\ — (рцрз = о?-> является подобной вышеупомянутой
посредством контактного преобразования (27).

Глава 21
Приводимые и неприводимые группы
контактных преобразований
Если в группу G контактных преобразований га-мерного пространства
ввести в силу некоторого контактного преобразования новые переменные,
то получится новая группа, подобная исходной. Если среди групп
контактных преобразований, подобных группе G, имеются такие, которые состоят
лишь из точечных преобразований m-мерного пространства, то G будет
называться приводимой} , в противном случае мы назовем ее неприводимой.
В настоящей главе мы займемся понятиями приводимости и
неприводимости групп контактных преобразований, а именно, разовьем критерии
того, является ли некоторая заданная группа контактных преобразований
приводимой или неприводимой. Для строгости формулировок мы
сначала рассмотрим группы однородных контактных преобразований, а затем —
группы контактных преобразований от z, х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп.
§93
Пусть задана r-параметрическая группа Н\(х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р)
однородных контактных преобразований от переменных х\ • ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп. Если
в эту группу при помощи однородного контактного преобразования
х\ = Xi(x,p), р\ = Рг(х,р) (г = 1 ... п) (1)
ввести новые переменные х[ ♦ ♦ ♦ х'п,р[ ♦ ♦ ♦ р'п, то мы получим новую
группу однородных контактных преобразований; характеристические функции
Ki(x',p') ••• Kr(x',pf) этой новой группы получаются, если просто
выразить Hi(x,p) ♦♦• Нг{х,р) в силу уравнений (1) через х\р' (ср. утв. 5,
стр. 354). Чтобы теперь новая группа K\(xf,р') • ♦ ♦ Kr(xf,р') состояла
'Здесь термин приводимая (в ориг. reducibet) группа имеет не тот смысл, который ему
обычно придается сейчас. — Прим. ред.

лишь из точечных преобразований от переменных х[ ♦ ♦ ♦ х'п, согласно
стр. 303, необходимо и достаточно, чтобы г функций К\(х',р') ♦ ♦ ♦ Кг{хг,р'),
которые в любом случае являются однородными первого порядка по р\
кроме того, были еще линейными функциями от р[ ♦ ♦ ♦ р'п\
п
Kj(x',p') = J2^(xi •••xn)'Pi U = 1 ''' г)-
г=1
Определению понятий приводимости и неприводимости, данному нами во
введении к этой главе, мы можем теперь, если речь идет о группах
однородных контактных преобразований, дать следующую, более строгую
формулировку:
т-параметрическая группа Н\(х,р) • • • Нг(х,р) однородных
контактных преобразований от переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп,р\ ♦ ♦ ♦ рп называется
приводимой, если существует однородное контактное преобразование
х[=Хг(х,р), р[ = Рг(х,р) (г = 1---п),
при котором характеристические функции Н\{х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р) переходят
в линейные однородные функции от р[ ♦ ♦ ♦ р'п:
и
Н„(х,р) =^2r)*i{x[ ---х'п)'р'{ (х=1 --.г);
г=1
если такого контактного преобразования не существует, то группа
называется неприводимой.
Если r-параметрическая группа Н\{х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р) однородных
контактных преобразований приводима и если
х[=Х{{х,р), р-=Рг(я,р) (г = 1..-п) (1)
— однородное контактное преобразование, переводящее Ня(х,р) в
линейные однородные функции переменных р'
п
г=1
то в силу (1) имеют место соотношения вида
(#^Х„)хр = f ^2 V*i(x')p'i,К ) = vMxi • • • хп)
\г=1 / х'р'
(>€ = 1 • • • г; v = 1 • • • п),

то есть справедливо тождество
{Н^Х^хр = rjxv(Xi ♦ ♦ ♦ Хп) (к = 1 ••• г; v = 1 ••• п);
следует также заметить, что Х\{х,р) • • • Хп(х,р) — однородные функции
нулевого порядка по р, находящиеся попарно в инволюции, а отсюда
следует, что уравнения (1) представляют однородное контактное преобразование.
Если же, наоборот, имеется п таких независимых функций Е\ ♦ ♦ - Е\
от xi ♦ ♦ ♦ xn,p\ ♦ ♦ ♦ рп, однородных и нулевого порядка по р, находящихся
попарно в инволюции и, наконец, тождественно удовлетворяющих г ♦ п
соотношениям вида
(НхЕ„)хр = Ф>ау{Ех ♦ ♦ ♦ Еп) (х= 1 ••• г; и= 1 ••• га), (2)
то группа Н\(х,р) ••• Нг(х,р) является приводимой. Действительно, при
наложенных условиях можно задать, причем без интегрирования
(ср. стр. 158, утв. 15), п однородных функций первого порядка
П\{х,р) ••• Пп(х,р), таких, что Е\ • • • ЕП,П\ • • • Пп будут находиться
в канонических соотношениях. Тогда, согласно теореме 14 (стр. 157),
x[ = Ei(x,p), р\ = Щ(х,р) (i = l---n) (3)
будет однородным контактным преобразованием. Если мы в силу этого
преобразования введем в уравнения (2) новые переменные х\р\ то получим
(НхЕ„)хр = (Н„х'„)х>р> = -g-r = Ф*ЛХ1 '" хп)
{х = 1 • • • г; v = 1 • • • га).
Наконец, если вспомнить, что Н^ должны стать однородными функциями
первого порядка по р[, то мы немедленно получаем
п п
ХХ^Г = #* = £ Ф»Лх[ ■ ■ ■ <Ы
«/=1 ОР" «/=1
(>f=l...r).
В соответствии с этим группа Н\(х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р) переходит при
выполнении контактного преобразования (3) в группу точечных преобразований
и поэтому действительно является приводимой.
Тем самым получена следующая
Теорема 59. Для того чтобы г-параметрическая группа
Н\(х,р) ♦♦♦ Нг(х,р) однородных контактных преобразований
была приводимой, то есть подобной некоторой группе точечных

преобразований от переменных х[ ♦ ♦ ♦ х'п посредством
однородного преобразования
Х-=Х*(ж,р), р[ = Рг(х,р) (г = 1-..п),
необходимым и достаточным условием является
существование п независимых функций Е\ ♦ • ♦ Еп от
Р±_ Pn-i
Xl '" Хп'Рп '"' Рп '
находящихся попарно в инволюции и удовлетворяющих r-п
соотношениям вида
{Н^Еи)хр = Фт{Е\ • • • Еп) (к = 1 ••• г; v = 1 ••• п).
Если имеется п таких функций, то существует совершенно
определенное однородное контактное преобразование вида
х'{ = Е{(х,р), p'i=Pi{x,p) (г = 1-..п),
которое переводит группу Н\(х,р) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р) в группу
точечных преобразований
п
^2Ф*»(Х1 '" Х'п)Р» (*=!••• г).
Полученный критерий приводимости для группы однородных
контактных преобразований можно сформулировать иначе.
Мы нашли, что группа Н\(х,р) • • • Нг(х,р) однородных
контактных преобразований приводима, если существует п независимых
однородных функций нулевого порядка Е\(х,р) ♦ ♦ ♦ Еп(х,р), попарно находящихся
в инволюции и тождественно удовлетворяющих г ♦ п соотношениям вида
{Hy,Ev)xv = ФХ1/(Е1 • • • Еп) (х= 1 ••• г; и= 1 ••• п).
Однако функции Е\{х,р) ♦♦♦ Еп(х,р) являются решениями некоторой
совершенно определенной n-параметрической полной системы
Aif = E {Q*<x'P)|ir+/Mx'P)|£} = о

от 2п переменных х\ •• • xn,pi ••• рп, и эта полная система, согласно
утверждению 1 (часть I, глава 8, стр. 155), допускает любое из инфи-
нитезимальных преобразований (H^f)xp, а стало быть, и всю группу
(Hlf)xp ' ' ' (Hrf)xp-
Следовательно, приводимая группа Н\(х,р) • • • Нт(х,р)
характеризуется тем, что оставляет инвариантной некоторую n-параметрическую
полную систему от переменных х\ ♦ ♦ ♦ xn,pi ♦ ♦ ♦ рп, решения которой
однородны и нулевого порядка по р и к тому же попарно находятся в инволюции.
Ясно, что эта полная система включает в себя уравнение
df df n
dpi дрп
Поэтому критерий, содержащийся в теореме 59 (стр. 425), мы можем
также сформулировать еще следующим образом.
Утверждение 1. т-параметрическая группа Н\(х,р) ••• Нг(х,р)
однородных контактных преобразований от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп
приводима тогда и только тогда, когда в этих переменных существует
п-параметрическая полная система вида
г=1 °Pi
которая допускает г инфинитезимальных преобразований (H\f)xp • • •
(Hrf)xp и, кроме того, такова, что ее решения попарно находятся в
инволюции.
Если мы теперь рассмотрим х\ ♦ ♦ ♦ xn,pi ♦ ♦ ♦ рп как равноправные
переменные, то сможем трактовать всякую группу Н\(х,р) ••• Нг(х,р) однородных
контактных преобразований как группу точечных преобразований 2п-мерного
пространства х\ • • • хп,Р\ ■ ■ ■ Рп- Такая группа точечных преобразований всегда
импримитивна (ср. стр. 352 и ниже), так как она оставляет линейное
дифференциальное уравнение в частных производных
dpi дрп
инвариантным. Но она может быть импримитивной и по другой причине; в
частности, она заведомо импримитивна тогда, когда группа контактных преобразований
Hi • • • Нг является приводимой. В этом состоит необходимый критерий
приводимости для однородной группы контактных преобразований, но, согласно
вышеизложенному, он отнюдь не является достаточным.

Благодаря утверждению 1 ответ на вопрос, является ли заданная
группа Hi(x,p) ♦ ♦ ♦ Нг(х,р) однородных контактных преобразований
приводимой, сводится к исследованию полных систем, которые остаются
инвариантными относительно группы (H\f)xp ♦ ♦ ♦ {Hrf)xp. Конечно, задание этих
полных систем требует в общем случае интегрирования (ср. часть I,
глава 25 «О дифференциальных инвариантах», § 132), тем не менее мы хотим
упомянуть, что всегда можно без интегрирования решить, имеется ли
полная система со свойством, описанным в утверждении 1. Другими словами,
можно всегда при помощи выполнимых операций определить, является ли
заданная r-параметрическая группа однородных контактных
преобразований приводимой. Доказательство этого мы опустим.
Наконец мы хотим привести третью, понятийную формулировку
нашего критерия приводимости для группы однородных контактных
преобразований. Но прежде несколько общих замечаний.
Пусть
г=1
дщ
— r-параметрическая группа точечных преобразований от переменных
щ • • • ип, оставляющая семейство
(2ц{щ • • • ип, 1\ • • • lh) = 0 (/х = 1 • • • т) (4)
из ooh различных многообразий пространства щ • • • ип инвариантным, то
есть пусть в переменных 1\ - - - lh имеется г инфинитезимальных
преобразований
Lxf = J2\xT(h • • • lh)jlf (~= l ••• г),
т=1
'dlT
таких, что система уравнений (4) отп + ft переменных и\ • • • ип,1\ — - lh
допускает г инфинитезимальных преобразований
Если теперь вместо п ввести новые переменные ui • • • un, то из группы
U\f - - - Urf получится новая группа
п - df
ях/ = ^2 **t(ui • • • Un)^~ (^=i • • • о,
г=1 г

а из (4) — новая система уравнений
Ор(щ • • • un, Zi • • • fo) = 0 (/х = 1 • • • m), (4')
в свою очередь представляющая семейство из оо^ различных
многообразий. Это новое семейство многообразий допускает группу Hi/ • • • Нг/, так
как система уравнений (4') от переменных щ • • • un, l\ •••//*, очевидно,
допускает г инфинитезимальных преобразований
от этих переменных.
Применим теперь только что сказанное к приводимым группам
однородных контактных преобразований.
Пусть задана некоторая приводимая группа Н\{х,р) ••• Нг(х,р)
однородных контактных преобразований от переменных х\ • • - хп,р\ • • • рп,
и пусть
х[=Хг(х,р), р[ = Рг(х,р) (г=1...п) (5)
— однородное контактное преобразование, переводящее эту группу в
другую, состоящую лишь из контактных преобразований
п
J2Vxi(x'l '"<)Р[ ("=!•• т). (6)
г=1
Группа (6) оставляет семейство всех ооп точек
х\ =аь ••• я^ = an (7)
пространства х[ — - х'п инвариантным. Если теперь обратно ввести в силу
контактного преобразования (5) прежние переменные х,р, то группа (6)
перейдет в исходную группу Н\(х,р) • • • Нг(х,р). В то же время
семейство (7) всех точек пространства х[ • • • х'п превратится в семейство
Xi(x,p) = аь • • • Хп(х,р) = ап (7')
из ооп элемент-многообразий Mn_i пространства х\ • • • хп (ср. утв. 7,
стр. 193), и из вышеизложенных замечаний следует, что совокупность
этих ооп элемент-многообразий Мп-\ остается инвариантной
относительно группы Н\{х,р) • • • Нг(х,р). Кроме того, очевидно, что элементы х,р

этих ооп элемент-многообразий Мп-\ (7') не удовлетворяют никаким
соотношениям, поскольку произвольные константы а\ • • • ап из уравнений (7')
исключить нельзя.
Поэтому для того чтобы r-параметрическая группа Н\(х,р) • • • Нг(х,р)
однородных контактных преобразований от переменных х\ • • • хп,р\ • • • рп
была приводимой, должно существовать инвариантное относительно этой
группы семейство из ооп элемент-многообразий Мп-\ пространства
х\ • • • хп, причем такое семейство, элементы которого х,р не
удовлетворяют никаким соотношениям.
Это условие является не только необходимым, но и достаточным,
поскольку если оно выполнено, то нам нужно лишь перевести
соответствующее семейство из ооп элемент-многообразий Мп-\ посредством
подходящего контактного преобразования в семейство всех точек n-мерного
точечного пространства, что согласно утв. 8 (стр. 195), всегда возможно. При
этом группа Н\{х,р) • • • Нг(х,р) переходит в новую группу, оставляющую
семейство всех точек инвариантным, то есть в группу, состоящую лишь из
точечных преобразований.
Тем самым мы имеем следующее
Утверждение 2. г-параметрическая группа Н\(х,р) • • • Нг(х,р)
однородных контактных преобразований от переменных х\ • • • xn,pi • • • рп
является приводимой тогда и только тогда, когда она оставляет
инвариантным такое семейство из ооп элемент-многообразий Мп-ъ
элементы которых х,р не удовлетворяют никаким соотношениям
вида F(xi ... xn,pi ••• рп) = 0.
Утверждение выше является лишь новой (третьей) формулировкой
критерия, входящего в теорему 59 (стр. 425), так как всякое семейство из
ооп элемент-многообразий Mn_i, элементы которого не удовлетворяют
никаким соотношениям, представлено п независимыми уравнениями вида
Ni(ffi ••• xn,pi --- рп) = аь ... Nn(xi ... Хп.Рх ---Рп) =ап, (8)
где Ni • • • Nn — однородные функции нулевого порядка по р и они
находятся попарно в инволюции, тогда как а\ • • • ап обозначают произвольные
константы. Но такое семейство (8) допускает группу Н\ (ж, р) • • • Нг{х, р) или,
что то же самое, г инфинитезимальных преобразований
(Hif)xp ♦ ♦ ♦ (Hrf)xp, если выполняются тождественно г • п соотношений
вида
(HxN„)xp = ОД • • • Nn)
{ус — 1 • • • г; v — 1 • • • п),

так как только в этом случае имеется г инфинитезимальных
преобразований вида
(Я„/) + ^ а^(а1 • • • ап)-д— (^ = 1 • ' • Г),
г=\ г
оставляющих систему уравнений (8) от переменных х\ • • • хп, р\ • • • рп,
а\ — - ап инвариантной (ч. I, стр. 514 и 515).
Таким образом, утверждение 2 действительно является лишь другой
формой теоремы 59.
§94
Результаты предыдущего параграфа можно легко перенести на группы
контактных преобразований от z,x\ • • • хп,р\ • • • рп. Мы будем говорить,
что r-параметрическая группа
Bxf=[Wxf]zxp-Wx-£ (*=i
dz
контактных преобразований от переменных z,x\ • • • xn,pi • • • рп
приводима, если ее можно посредством контактного преобразования
z1 = Z{z,x,p\ х\ = Xi(z,x,p), р\ = Pi(z,x,p)
(г = 1 • • • п)
перевести в группу контактных преобразований, состоящую лишь из
точечных преобразований пространства z1 ,х\ • • • х'п. Если такой переход
невозможен, то она называется неприводимой.
Для того чтобы группа B\f • • • Brf была приводимой,
необходимо и достаточно, чтобы она оставляла семейство из oon+1 элемент-
многообразий Мп пространства z^x\ ••• хп, элементы которого z,x,p не
удовлетворяют никаким соотношениям вида Q(z, х\ • • • xn,pi • • • рп) = О,
инвариантным. Такое семейство Мп элемент-многообразий представлено
п + 1 уравнениями вида
Zi(z,xi ••• xn,pi ••• Рп) = ai (i = l ... Ti+i),
где Zi являются независимыми друг от друга и попарно находятся в
инволюции, так что все выражения [Z^Z^] тождественно обращаются в нуль.
Теорема 60, г-параметрическая группа
Bxf = [W„f]zxp-Wx?£ (Ж=1..т)

контактных преобразований от переменных z,x\ • • • xn,pi • • • рп
является приводимой тогда и только тогда, когда
существует п-параметрическая полная система от этих переменных,
допускающая эту группу, и решения которой попарно
находятся в инволюции.
Можно, конечно, также сказать: группа Bif • • • Brf является
приводимой тогда и только тогда, когда существуют п + 1 независгичых функций
Zi • • • Zn+i от z,x\ - - хп,р\ • • • рп, попарно находящихся в инволюции
и тождественно удовлетворяющих г (п + 1) соотношениям вида
B„Zi = £xi(Zi ... Zn+i) (*=i --.г, i= l ...n + i).
Если группа B\f ... Brf от переменных z,xi • • • xn,pi - — рп транзитивна,
то ее наибольшая подгруппа, оставляющая элемент z,x,p общего положения
инвариантным, содержит г — 2п — 1 параметров. Для того чтобы группа была
приводимой, во всяком случае необходимо, чтобы вышеупомянутая группа входила
в (г — п)-параметрическую подгруппу, но этого еще не достаточно.
Если задана группа контактных преобразований от х,р вида
то легко видеть, что она может быть переведена посредством контактного
преобразования вида
z — z + /2(ж,р), х'ъ = Я*(х,р), Vx = Р-ЛХ)Р)
в группу точечных преобразований вида
^г(^1 ••• Хп)—-+C^(Xi •■• Хп,2 )—7
г г
тогда и только тогда, когда существуют п независимых функций
Xx(xi ••■ xn,Pi ••• Рп) (* = 1 ••• п)
от ж,р, находящихся попарно в инволюции и, кроме того, удовлетворяющих г • п
соотношениям вида
((рхХг) = £*г(Х\ • • • Хп) (>* = 1 • • • г; г = 1 • • • п);
тогда С* (ж', 2') зависят, очевидно, лишь от х[ • • - х'п.

Глава 22
Продолжение контактных
преобразований и групп контактных
преобразований. Дифференциальные
инварианты таких групп
При контактном преобразовании
z' = Z(z,x,p), х\ = Xi(z,x,p)1 р'{ = Pi(z,x,p) (1)
(г = 1 • • • п)
пространства г, х\ • • • хп всякое элемент-многообразие Мп этого
пространства, согласно стр. 179 и ниже, переходит снова в некоторое элемент-
многообразие Мп. Но при этом различные элемент-многообразия Мп, как
было показано в главе 6, §§42, 43, ведут себя по-разному. Так, если
имеется элемент-многообразие Мп, из уравнений которого следуют в
точности га>1 независимых соотношений только между z,x\ ••• хп, то при
выполнении контактного преобразования (1) в общем случае мы не
получим ни одного элемент-многообразия Мп, аналитическое выражение
которого давало бы в точности га независимых соотношений только
между zf,x[ ••• х'п. Если же имеется некоторое элемент-многообразие Мп,
для которого определенное ранее число га равно 1, то есть элемент-
многообразие Мп специального вида
z - F(Xl • • • хп) = О, Pl-jUL = o, ...pn-jUL = o, (2)
то оно превращается при контактном преобразовании (1) в общем случае
в элемент-многообразие Мп, из уравнений которого следует лишь одно
соотношение только между z\ x[ • • • х'п.
Таким образом, элемент-многообразия Мп вида (2) являются
единственными в пространстве z,x\ • • • хп, превращающимися при выполнении

контактного преобразования (1) в общем случае в
элемент-многообразие Мп аналогичного вида:
*'- *М ... О = °. "'.-^ = °.
"'-й^ <2'>
Кроме того, в главе 6 (стр. 185 и ниже) мы видели, что элемент-
многообразие Мп (2) не переходит при контактном преобразовании (1)
в элемент-многообразие Мп вида (2') тогда и только тогда, когда
функция F(x\ ••• хп) удовлетворяет некоторому дифференциальному
уравнению в частных производных. Используя обозначения
dz
дхо
= Рг
д22
дхгдхь
= pil
(г, v = 1 • • • п)
и сокращения
дху г dz
dXi dXi
3 = 1
(г,1/= 1 ••
п),
dpj dx,y
можно записать это дифференциальное уравнение следующим образом:
D =
dXi
dx\
dXi
dXn
dXn
dx\
dXn
dXn
= o.
(3)
В общем случае (ср. стр. 189) оно второго порядка, первого же только тогда,
когда все Х\ • • • Хп не зависят от р\ • ■ • рп; но в этом случае и Z не зависит
от р, и контактное преобразование (1) есть не что иное, как продолженное
точечное преобразование пространства г, х\ • • • хп. Наконец, мы напомним
еще, что определитель D никогда не обращается в нуль.
Поэтому если в уравнениях (1) рассмотреть z как произвольную
функцию от х\ • • • хп (исключив только те функции, которые удовлетворяют
дифференциальному уравнению D — 0), а р\ • • • рп — как частные
производные первого порядка от z по х\ • • • хп, то уравнения (1) задают zf как
функцию от х[ • • • х'п9 а р[ • • • р'п будут частными производными первого
порядка от z1 по х\ • • • х'п. Наше контактное преобразование задает р'^ как
функции от z,xi • • • xn,pi ••- рп.

Очевидно будет предположить, что и для т > 1 частные
производные порядка т от zf по х[ • • • х'п можно выразить через z,x\ • • • хп и
через частные производные порядка функции z от 1-го до m-го порядка
по х\ • • • жп. Сейчас мы докажем, что это предположение соответствует
действительности.
§95
Частные производные второго порядка
d2z „ d2z' _„,
Р*»> ^J^ZT=Pi, (i,i/ = l.-.n)
dxidx„ "'" ax^x,
заданы уравнениями
n
dpi = ^2 Pi» dx» (i = l • • • n) (4)
!•=!
Ф* = Х^Р*1/<&£ (i = i---n) (4')
соответственно. Если мы в (4') подставим из (1) значения р[ - • • р'п,
х\ • • • х'п, то получим
dPi = ^2 PiudX" (г = l • • • n),
r/=l
в более развернутой записи:
■eF^ + La^^ + L^Pi
j=i J j=i J
П ъ tr П
. " z_. 9x ^- + 2^ ap '
= E*k i -ягd2 + E tut**+E tst** > •
Если здесь выразить dz,dp\ • • • dpn в силу уравнений
dz — р\ dx\ — • • • — Рп dxn = О,

а (4) — через dx\ • • • dxn, то получатся п уравнений вида
п
У^ UiydXy = О (г = 1 • • • тг),
t/=l
каждое из которых в свою очередь распадается на п различных уравнений,
так как dx\ ♦ ♦ ♦ dxn совершенно произвольны. Таким образом, для
задания р'ы мы получаем следующие п2 уравнений:
J x=l t/=l k >гт=1 J
которые с использованием введенных на стр. 434 сокращений могут быть
записаны следующим образом:
йл v * / dJ\.jj , ч ,_ч
3 /У=1 J
Поскольку определитель D не обращается в нуль тождественно, то эти
уравнения можно, очевидно, разрешить относительно п2 величин р'ы.
Казалось бы, при этом для p'iv и р\л получаются два различных значения, если %
отлично от //, но на самом деле это не так. Ведь p'iv должно равняться p'lA,
и это равенство должно иметь место тождественно, в противном случае
имело бы место уравнение между z,Xi,Pi,piv, а это исключено, поскольку
мы рассматриваем z как произвольную функцию от х\ ♦ ♦ ♦ хп.
Тем самым доказано, что p'iv в силу уравнений (1) некоторого
контактного преобразования можно представить как функции от z,Xi,Pi,PiV\
(г, v = 1 • • • n).
При этом Pijy = Pvi. Если функции Z,X\ • • • Xn,P\ • • • Pn ведут
себя в окрестности zQ,x\ • • • х^,р\ • • • р„ регулярно, а определитель D для
системны значений г°,х?,р?,р?у не обращается в нуль, то и Р\у в
окрестности г°,х^р^,р9,, очевидно, ведут себя регулярно.
Следовательно, всякое контактное преобразование (1) преобразует,
помимо г,х,р, еще частные производные второго порядка, а именно,
посредством продолженного преобразования
z' = Z, х[=Хи р[ = Ри pl=Pi„ (б)
(г, v = 1 • • • п).

Это продолженное преобразование может также быть определено как
преобразование от переменных г, хьРьРш, имеющее вид
*' = Z, х\ = Хи р'{ = Ри p'iu = niu (7)
(г, v = 1 • • • п)
и оставляющее систему уравнений Пфаффа
п п
dz - ^2,Vu dxy = 0, dpi - 5^р«/ dx» = ° (8)
(г = 1 ••• п)
инвариантной. Так, для того чтобы преобразование (7) оставляло
систему (8) инвариантной, помимо известного тождества
п / п \
dZ — 2_2 Pv dXv — g(z, x, p) ♦ I dz — Y^ pvdxv ,
должны еще иметь место п тождеств вида
п / п \
dPi - ^2 Пги dXu = <Ti- \dz — ^2p„dx„ +
n / n \
j=l V v=l J
из этих условий получаются сначала однозначно определенные значения
для а г и nj9 а затем для Uiv мы получаем ряд уравнений, показывающих,
что всегда Uiu = Р^.
Так же, как производные второго порядка от z, при контактном
преобразовании (1) преобразуются и производные третьего порядка. Если
положить
d3z
dxidx^dxy гд,/'
то
п
dPifj. = ^ p'ifM„dX„ (г, /i = 1 • • • п).

Рассматривая это уравнение с учетом соотношений (8) и разбивая его в
силу произвольности dx\ ♦ ♦ ♦ dxn на группы по п уравнений, мы находим
дР
гц.
дхт
+ Рт
8Pi
гц
dz
+
+ Рл
8R
гц,
дрп
= £*>:
и=1
dXy
^ dxT
(г,/л, т = 1 • • • n),
откуда, поскольку D не обращается в нуль, можно задать все р\ как
функции от z,Xi,pi,pi„, pinv. Ясно, что кажущиеся различными значения,
которые таким образом получаются для p'ij2„, р\У{1 и т.д., должны быть
идентичны между собой, иначе между z,Xi,pi,pi„,pinv имели бы место
соотношения, что невозможно, так как z является произвольной функцией
от xi • • • хп. Если р'.„м = Pi1/fi9 то
z — Z, Xi — Xi, pi — Pi, piu — Pih
(i, /i, v = 1 • • • n)
— преобразование, которое задает, как преобразуются третьи производные
от z при действии (1). Это продолженное преобразование (9), очевидно,
полностью задано тем, что оставляет систему уравнений Пфаффа
Pifiu ~ * гци
(9)
dz — 2_\ Рт dxT
dpiu
О, dpi - ^2 Ргт dxT = О,
т=1
т=1
У^ Pivr «
т=1
dxT = О
(г, v — 1 • • • п)
(10)
инвариантной.
Продолжая таким образом, можно прийти к производным любого
порядка, причем производные порядка га от z' можно всегда выразить
через z, х\ ♦ ♦ • хп и производные от 1-го до га-го порядка включительно от г.
При этом мы получаем некоторое число продолженных преобразований,
каждое из которых характеризуется тем, что оставляет некоторую систему
уравнений Пфаффа инвариантной. Уравнения этих продолэ/сенных
преобразований ведут себя регулярно для всякой системы значений z°,x^,p^,p^,
которая не приводит D к обращению в нуль.
Следовательно, справедлива следующая
Теорема 61. Всякое контактное преобразование
z' = Z(z,x,p), x\ = Xi(z,x,p), p • = Pi(z,x,p) (l)
(г = 1 • • • n)

пространства z,x\---xn преобразует, помимо первых
производных р\ - - - Рп переменной z no х, также и все
производные более высокого порядка от z. С учетом всех производных
от z вплоть до некоторого определенного порядка мы получим
из (1) продолженное преобразование, которое
характеризуется тем, что оставляет некоторую систему уравнений
Пфаффа инвариантной.
§96
Пусть уравнения
( z' = Z(z, x, p\a\ • • • ar), x\ = Xi(z, x, p\ a),
I p'{= Pi{z,x,p-,a) (11)
I (г = 1 • • • та)
представляют г-параметрическую группу контактных преобразований
пространства z, х\ • • • хп. Добавим к ним такие уравнения
v'iu = Piv(z,x\ ••• xn,pi ••• РтРп '" Vnn,Q>i ••• a>r) (12)
(г, v = 1 •• • та),
чтобы (11) и (12) вместе взятые представляли преобразования,
оставляющие систему уравнений Пфаффа
п п
dz-^^pydxy = О, dpi-^Pivdx» = 0 (8)
(г = 1 • • • та)
инвариантной. Кроме того, образуем уравнения
( z" = Z(z',x',p'; h ■ ■ • Ьг), x'l = Х{(г\х',р'; Ъ),
I р'( = Pi(z',x',p'; b), p'l = PUz',x',p',p'n ■ ■ ■ p'nn; b) (13)
I (i,v = 1 • • • та).
Выполним сначала преобразования (11), (12), а затем (13) и получим при
наложенных условиях преобразование вида
z" = Z(z, х, р; а • • • Сг), х'( = Xi(z, x, p; с),
р'( = Pi{z, x, p; с), p"v = Qi„{z, x, pn ♦ ♦ ♦ рпп; а,Ъ) (14)
(г,*/= 1 • •• та),

в котором с обозначают некоторые функции от а\ • • • аг, Ь\ ♦ • • Ъг.
Очевидно, что преобразование (14) в свою очередь также оставляет систему
уравнений Пфаффа (8) инвариантной, следовательно, функция Q{V имеет вид
P%\AZ^X^V ••• ;с)> это значит, что оог преобразований (11), (12),
возникшие из преобразований группы (11) в результате продолжения, образуют
некоторую г-параметрическую группу преобразований. Эта продолженная
группа является равносоставленной с исходной группой (11), поскольку
имеет, очевидно, ту же самую группу параметров.
Найденную продолженную группу мы в свою очередь можем
продолжить, добавив производные третьего порядка от z, и так далее. Короче
говоря, мы имеем следующую теорему.
Теорема 62. Для любой г-параметрической группы
[ z' = Z(z, х, р\ а\ • • • аг), х\ = Xi(z, х, р; а\ • • • аг),
р\ = Pi(z, x,p\ai ••• ar) (11)
(г = 1 .. • та)
контактных преобразований пространства z,x\ ♦♦♦xn, помимо
переменных z,x,p некоторой группой, равносоставленной с
исходной (11), преобразуются также и производные второго,
третьего, ... N-го порядка от z no х.]
С другой стороны, пусть
( z' = Z(z, x, p; ai • • • ar), х\ = Xi(z, x, p\ a),
р\ = Pi(z, х, р\ а) (11)
(г = 1 • • • та)
— r-параметрическая группа контактных преобразований пространства
z,x\ • • • хП9 порожденная г независимыми инфинитезимальными
преобразованиями
)^ + ^^(г,х,р)—+ ^тг^(г,х,р) —
(*=1 ..-г).
Пусть тождественное преобразование группы (11) имеет параметры а\
и требования на стр. 14-17 и 74 первой части выполнены.
'Lie, Abhandlungen der Kg]. Sachs. Ges. d. W., том XIV, № 12.

При этих условиях, согласно теореме 3 (стр. 36, ч. I), в силу (11) имеют
место уравнения вида
3 = 1 3
т дх'-
Zx(z',x',p') = J2a*j(a) • g^"'
j=l J
r dp'-
7r„{z',x',pf) = ^Qxj(a) • ^A
(15)
где определитель, составленный из a^-(a), при а\ — а^ - - - ar — aj: не
обращается в нуль.
Если теперь
( z' = Z(z, х, р; a), x\ = X^z, x, р; а), р- = Р*(г, х, р; а),
PL = Pw(z, х, р, рп ... pnn; а) (16)
(г, I/ = 1 • • • те)
— продолженная группа, соответствующая (11), то в силу (16) имеют место
уравнения вида
г
C„{z',x',p', pfn • • • р'пп) = J]axj • ^Ц
r <Эх'
txi(z',x',p', Рп • • • p^J = ^axi • ^,
T dp'-
7r„i{z',x',p', p'n • • • p^n) = Jaxj • ^
(>tr = 1 • • • г; г = 1 • • • те)
nXiv(z',x',p',p'n ••• p'nn) = ^2,OLHJ[a)
j=i
(>c = 1 • • • г; г, i/ = 1 • • • те).
dpi
ddj
(17)
(17')
Из (17) следует, что £^, £^, n^i зависят только от г',х',р' и не зависят от
Рп • • • р'пп, а поскольку функции £х, fxi, 7rxi, aXj(a) однозначно определе-

ны уравнениями (15), то мы получаем
(x,j = 1 •• • r),
т. к. уравнения (15) и (17) получены аналогичным образом. Вследствие
этого определитель из a^j(a) при а\ = а?, • • • аг = а£ также не обращается
в нуль, и поэтому мы можем (ч. I, стр. 80 и ниже) заключить из
уравнений (17), (17'), что продолженная группа (16) в свою очередь порождена г
независимыми инфинитезимальными преобразованиями
г=1 г=1
n г
г=1 м=1
однако эти инфинитезимальные преобразования имеют вид
OViv
Byf = B„f+j2I27r™
df
(x= 1 ••• r).
Итак, продолженная группа (16) порождена г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями, возникающими из инфинитезимальных
преобразований исходной группы (11) в результате продолжения.
Чтобы действительно вычислить Б^ /, напомним, что система
уравнений Пфаффа
п п
dz — ^2 p„ dxv = 0, dpi - ^2 Viv dx„ = 0 (8)
(г = 1 • • • n)
допускает все конечные, и как следствие этого, также все
инфинитезимальные преобразования продолженной группы (16). Отсюда мы заключаем,
что имеют место уравнения вида
В^ I dpi - ^2,Piu dxv = axildz- ^p„ dxv J +
n / n \
+5Z Txv (dpj ~ "12pj»dx» I •

Левые части этих соотношений имеют вид
п п
d-Kxi - 22 -Kyciv dxy - 22 Viv d£w
Сравнивая коэффициенты в обеих частях, мы сначала находим a^i, t^j*
а затем
dnXj sr^„ d^xj /1Я\
(>с = 1 • • • г; г,1/ = 1 • • • п),
где, как обычно, мы полагаем
дх„ " dz Z—* м" дрц dxv'
LL—1
Таким образом, п^^ заданы; то, что их формально имеющаяся
переопределенность — лишь кажущаяся, лежит в природе вещей, так как
величины z,£,p,pn ■ ■ • рпп не связаны никакими соотношениями.
Между г независимыми инфинитезимальными преобразованиями
г=1 „=1 У
п г
df
(х=1 ..-г)
продолженной группы (16) имеют место соотношения вида
(В™ В™) = ±c'„jsBi1]f =
s=l
»=i V t=ii/=i °Vtu,
но с другой стороны,
(вРв™) = (ад,) + ]Г£^т,,-
df
i 1 ^rv
Г П Т гч г
s=l r=l v—\ TV

поэтому
г п т р.-
J2 cx.isBsf+J2J2 ^т,/д^~ =
s=l r=l v=l TV
= t^sBsf+tttc'^^,
5=1 т=1;у=Ь=1 FTU
откуда немедленно следует с'^3 — c^jS. Так же, как и выше (стр. 440), мы
видим, что продолженная группа (16) является равносоставленной с
исходной группой (11).
Эти же рассуждения можно, конечно, применить и тогда, когда
группа (11) продолжена добавлением всех производных от z вплоть до
некоторого определенного порядка. Поэтому мы имеем:
Теорема 63, Пусть r-параметрическая группа
z' = Z(z,x,p;a), х\ = Xt(z, х, р; а), р\ = Pi(z, х, р; а) (11)
(г = 1 • • • п)
контактных преобразований пространства z,xi---xn пороэ/с-
дена г независимыми инфинитезимальными преобразованиями
Bif • • • Brf и продолжена добавлением всех производных от z
вплоть до N-го порядка, тогда и получающаяся продолженная
группа также порождается г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями
Если B^f находятся в соотношениях
(B„Bj) = ^c„jsBsf (*,j = i ... r),
s=l
то и В)* ~ 'f находятся в тех же самых соотношениях
(B^-UBJN-Uj = £c^B<"-i>/ (*j = 1 ... г).
s=l
При достаточно большом N полная система
B[N-1)f = o,---B(rN-Vf = o

будет всегда иметь решения, являющиеся в этом случае инвариантами
продолженной группы В[ ' f ♦ ♦ ♦ Br ~ / и рассматриваемые как
дифференциальные инварианты исходной группы контактных
преобразований Bif • • • Brf. Итак,
Теорема 64. Всякая конечная непрерывная группа
контактных преобразований пространства z,x\ • • ■ хп задает
бесконечную последовательность дифференциальных инвариантов,
которые можно определить как решения полных систем2.
Если известны конечные уравнения исходной группы, то известны
также и конечные уравнения каждой соответствующей продолженной группы;
поэтому можно получить все инварианты последней, то есть все
дифференциальные инварианты исходной группы без интегрирования (ср. ч. I,
стр. 243, теорема 35). Но в любом случае, если известно достаточное число
дифференциальных инвариантов, то можно при помощи
дифференцирований получить сколь угодно много новых. Но на этом мы останавливаться
не будем.
Всякая система уравнений, остающаяся инвариантной относительно
продолженной группы, конечно же, представляет систему
дифференциальных уравнений, допускающую исходную группу. Все такие системы можно
задать согласно правилам из гл. 14 части I, причем без интегрирования,
если имеются конечные уравнения исходной группы. Но для каждой такой
системы уравнений в отдельности необходимо особо исследовать,
выполнены ли условия интегрируемости. Ничего общего об этом, естественно,
сказать нельзя.
2Lie, Abhandlungen der Kgl. Sachs. Ges. d. WM том XIV, № 12.

Раздел V
Специальные исследования о группах
контактных преобразований
Поскольку в прошлом разделе мы рассмотрели теорию конечных
непрерывных групп контактных преобразований, то в этом мы займемся
некоторыми особо важными специальными классами таких групп.
Начнем с описания всех неприводимых групп контактных
преобразований плоскости. Мы найдем шести-, семи- и десятипараметрическую
группы такого типа и покажем, что всякая неприводимая группа
контактных преобразований плоскости подобна одной из этих трех групп
посредством некоторого контактного преобразования. В частности, нам удастся из
десятипараметрической группы при помощи подходящего контактного
преобразования получить группу, которая состоит из всех контактных
преобразований плоскости, переводящих окружности в окружности. Кроме того,
мы зададим содержащиеся в этой десятипараметрической группе
подгруппы, среди которых находятся обе неприводимые группы с шестью и семью
параметрами соответственно (главы 23 и 24).
Перенеся указанные исследования на пространство размерности п, мы
найдем хоть и не все неприводимые группы контактных преобразований
этого пространства, но все же три важнейшие из них. А именно, нужно
отметить, что в любом пространстве с заданной размерностью мы получим
простую группу такого типа (глава 25).
Наконец, в последней главе раздела (гл. 26) мы выведем замечательное
утверждение, имеющее большое значение для описания некоторых групп
контактных преобразований n-мерного пространства.

Глава 23
Нахождение всех неприводимых групп
контактных преобразований плоскости
Если выбрать z,x в качестве координат точек плоскости, а
dz
z,x,y= —
ах
— в качестве координат линейных элементов, то, согласно главе 1,
контактными преобразованиями такой плоскости будут те преобразования от z,
х, у, которые оставляют уравнение Пфаффа dz — ydx = 0 инвариантным.
Группы контактных преобразований плоскости делятся на две
категории, а именно, они могут быть приводимыми или неприводимыми, первые
подобны группам (продолженных) точечных преобразований плоскости
посредством контактных преобразований, а вторые — нет (ср. гл. 21).
Поскольку в третьей части книги мы зададим все группы точечных преобразований
плоскости, то здесь мы можем ограничиться неприводимыми группами
контактных преобразований плоскости*.
§97
Чтобы можно было с самого начала исключить приводимые группы,
мы прежде всего должны выяснить, при каких условиях заданная группа
контактных преобразований плоскости является приводимой. Это мы
сделаем, перенеся рассуждения из главы 21 на частный случай плоскости и
добавив несколько замечаний, относящихся именно к этому частному случаю.
Пусть
Bxf = £*(x, z,y)— + C„(x, z,y)— + г]„(х, z, у) —
(*=!■-.г)
'Результаты, полученные в этой главе, были впервые приведены и доказаны в работах
Софуса Ли «Ueber Gruppen von Transformationen» и «Theorie der Transformationsgruppen»,
Gottinger Nachn, декабрь 1874 г., и Archiv for Math., том З и 4, Христиания, 1878 и 1879 гг.

— независимые инфинитезимальные преобразования г-параметрической
группы контактных преобразований плоскости х, г. Эта группа,
согласно стр. 431, приводима тогда и только тогда, когда оо3 линейных
элементов плоскости можно упорядочить в оо2 таких элемент-многообразий Mi,
совокупность которых остается инвариантной относительно этой группы,
тогда как отдельные элемент-многообразия Mi этой совокупности могут
переставляться между собой. Аналитически мы можем сформулировать
данное условие приводимости группы B\f ♦ ♦ ♦ Brf следующим образом
(ср. стр. 432): необходимо и достаточно, чтобы существовали две
независимые функции и, v от х, z, у, находящиеся в инволюции
н=|(й<)-|(!+»йИ. (и
а также удовлетворяющие 2г соотношениям вида
В „и = ip„(u, v), B„v = хЛи>v) (2)
(Ж=1-..г).
Тогда уравнения и = const., v = const, представляют инвариантное
относительно этой группы семейство из сю2 элемент-многообразий М\.
На основании стр. 432 мы также можем сказать: наша группа
B\j • ♦ ♦ Brf приводима тогда и только тогда, когда она оставляет
инвариантным линейное дифференциальное уравнение в частных производных
a(x,z,y)^+j(x,z,y)^+{3(x,z,y)^ = 0, (3)
любые два независимые решения которого находятся в инволюции.
Пусть (3) — линейное дифференциальное уравнение в частных
производных, имеющее два независимых решения и и v, находящихся в
инволюции. Тогда, с одной стороны, верно тождество
откуда следует
а
7 _ Р
ди dv dv ди dv ди ди dv ди dv dv ди
(4)
ду dz ду dz ду дх ду дх dz дх dz дх

с другой стороны, благодаря соотношению инволюции между и и v мы
имеем
dudv_ _ dv^du , (дидц _ dv_ди\ _ q /r\
ду дх ду дх \ду дг ду dz J ~
Отсюда следует, что два первых знаменателя в уравнениях (4) либо оба
равны нулю, либо оба отличны от нуля. В первом случае необходимо а =
— 7 = 0, во втором получается 7 = ОД, и таким образом, в обоих случаях
дифференциальное уравнение (3) имеет вид
где а и /3, конечно, не могут одновременно обращаться в нуль.
Наоборот, легко видеть, что два независимых решения и и v
дифференциального уравнения вида (3') всегда находятся в инволюции.
Действительно, поскольку а и /? не обращаются в нуль, то очевидно, что тождества
^ I ди , 01ди\ , оди _ п
имеют следствием соотношение инволюции (5) между и и v.
Из сказанного следует, что верно
Утверждение 1. г-параметрическая группа
B„f = £„(z, z, у)— + Сх(х, z, у)— + 7fc(z, z, у) —
(*=1-..г)
контактных преобразований плоскости х, z является приводивши тогда
и только тогда, когда она оставляет инвариантным некоторое линейное
дифференциальное уравнение в частных производных вида
««•'•»>• (ж+»я)+«*•'•»>-ft-0- (3'>
Приводимая группа B\f • • • Brf контактных преобразований может,
в частности, состоять лишь из (продолженных) точечных преобразований

плоскости х, z. Заметим, что этот случай наступает тогда и только тогда,
когда группа оставляет дифференциальное уравнение вида (3;), в котором
функция а обращается в нуль, то есть дифференциальное уравнение, все
решения которого являются независимыми от у\ так как только при этом
условии группа оставляет семейство из со2 элемент-многообразий Mi,
образованное всеми точками плоскости х, z, инвариантным.
Утверждение 1 можно сформулировать иначе. Линейное
дифференциальное уравнение в частных производных
и система
dx = dz_ = dy_
а 7 /?
(б)
связаны между собой инвариантным образом, то есть всякое
преобразование от переменных ж, z, у, оставляющее (3) инвариантным, оставляет
также и (6) инвариантным, и наоборот. Следовательно, мы можем сказать:
Утверждение 2, Для того чтобы r-параметрическая группа
Bxf = f*(z, *, У) ^ + C*(z, z> 2/)"^; + Ы*> z, у) —
{х= 1 ... г)
контактных преобразований плоскости х, z была приводимой,
необходимо и достаточно, чтобы она оставляла инвариантной некоторую
систему вида
dx dz dy
a(x,z,y) y-a(x,z,y) (3(x,z,y)'
Наконец, мы хотим еще доказать следующее
Утверждение 3. Неприводимая группа
(?)
(х= 1 ••• г)

контактных преобразований плоскости х, z не оставляет инвариантным
никакое уравнение Пфаффа
А(х, z, у) • dx -\- v(x, z, у) • dz -\- д(х, z, у) • dy = О,
кроме dz — ydx = О.
Если бы эта группа оставляла два отличных друг от друга уравнения
Пфаффа
dz — ydx = О, Л dx + vdz + \xdy = 0
инвариантными, то она также оставляла бы инвариантной заданную ими
систему
dx = _dz_ = ^У
и не была бы поэтому, согласно утверждению 2, неприводимой, что
находилось бы в противоречии с условием доказываемого утверждения.
§98
Величины х, z, у мы до сих пор всегда трактовали как координаты
линейных элементов на плоскости х, z, однако мы можем их также
понимать как координаты точек в трехмерном пространстве. Это мы сейчас
и сделаем, но прежде всего уясним связь между этими двумя различными
трактовками.
Всякому линейному элементу плоскости х, z в этой новой трактовке
соответствует в пространстве х, z, у некоторая точка. Всякому элемент-
многообразию Mi плоскости х, z соответствует в пространстве х,у, z,
некоторая кривая, удовлетворяющая уравнению Пфаффа dz — ydx = 0,
независимо от того, состоит соответствующее элемент-многообразие М\ из
всех элементов кривой или из всех элементов точки плоскости х, z. И
наоборот, всякой кривой пространства х, z, у, удовлетворяющей уравнению
dz — ydx = 0, соответствует некоторое элемент-многообразие М\
плоскости х, z. Поэтому если мы назовем любую кривую пространства х, z, у,
удовлетворяющую уравнению Пфаффа, интегральной кривой этого
уравнения, то мы сможем сказать: элемент-многообразия М\ плоскости х, z
появляются в пространстве х, z, у как интегральные кривые уравнения
Пфаффа dz — ydx — 0, и наоборот (ср. стр. 18).
В свою очередь уравнение dz — ydx = 0 имеет в пространстве х, г,
у очень простой геометрический смысл. А именно, оно сопоставляет
каждой из со3 точек х, z, у этого пространства со1 направлений движения

dx : dy : dz, образующих плоский пучок. Совокупность определенных
таким образом оо3 пучков направлений, очевидно, является полным
геометрическим аналогом уравнения Пфаффа dz — ydx = 0.
Следовательно, кривая пространства х, z, у удовлетворяет уравнению
Пфаффа dz — ydx — 0 или, что то же самое, является интегральной кривой
этого уравнения, если в любой ее точке направление, заданное касательной
к этой кривой, попадает в соответствующий этой точке пучок направлений.
С другой стороны, контактное преобразование плоскости х, z
представляет в пространстве х, z, у точечное преобразование, оставляющее
совокупность упомянутых пучков направлений инвариантной, и наоборот,
всякому точечному преобразованию пространства х, z, у, оставляющему
совокупность этих пучков инвариантной, соответствует некоторое
контактное преобразование плоскости х, z. Всякое такое точечное преобразование
пространства х, z, у переводит интегральные кривые уравнения Пфаффа
dz - ydx — 0 снова в интегральные кривые, и наоборот, всякое точечное
преобразование пространства х, z, у, переводящее интегральные кривые
уравнения dz — ydx = 0 снова в интегральные кривые, является образом
контактного преобразования плоскости х, z (ср. стр. 20 и ниже).
Приводимая группа контактных преобразований плоскости х, z
оказывается в пространстве х, z, у импримитивной группой точечных
преобразований, поскольку оставляет линейное дифференциальное уравнение
в частных производных специального вида
инвариантным или, что сводится к тому же самому, систему вида
dx dz dy
a{x,z,y) y~a(x,z,y) 0(x,z,y)
(7)
инвариантной.
Итак, нашу задачу описания всех неприводимых групп контактных
преобразований плоскости х, z можно сформулировать еще и так:
требуется выписать все группы контактных преобразований пространства х,
zf у, оставляющих инвариантным уравнение Пфаффа dz — ydx — 0, но не
оставляющих инвариантной ни одну систему специального вида (7).
Второе из этих условий можно было бы выразить еще так: ни одно cejvieucmeo
из со2 интегральных кривых уравнения dz—ydx — 0 не должно оставаться
инвариантным относительно группы.

Поскольку, согласно утв. 3 (стр. 451), неприводимая группа B\f • • • Brf
контактных преобразований плоскости х, z оставляет инвариантным
только одно уравнение Пфаффа dz — ydx — 0, то легко видеть, что всякая такая
группа точечных преобразований пространства х, z, у является
транзитивной. Будь это не так, то при любых условиях в пространстве х, z, у
имелось бы семейство из оо1 инвариантных относительно этой группы
поверхностей ф(х, z, у) — const., но отсюда следовало бы, что под действием
этой группы остается инвариантным уравнение Пфаффа dijj = 0,
очевидно отличное от dz — ydx = О, а это, согласно утверждению 3, исключено.
Следовательно, мы имеем
Утверждение 4. Всякая неприводимая группа
Byrf = ^(X,Z,7/)— +(>>i(x,Z,y)— +7^(X,Z,7/) —
(*=1 ...r)
контактных преобразований плоскости х, z, истолкованная как группа
точечных преобразований пространства х, у, z, является транзитивной.
§99
Пусть теперь
Byrf = £*(ж,2,у)— +tx(x,z,y)— +r}„(x,z,y) —
(*=l-..r)
— независимые инфинитезимальные преобразования г-параметрической
группы контактных преобразований плоскости х, z.
Поскольку мы имеем дело только с неприводимыми группами (а
согласно доказанному выше утверждению всякая неприводимая группа
контактных преобразований плоскости х, z как группа пространства х, у, z
должна быть транзитивной), то мы хотим еще наложить дополнительное
условие, что группа B\f • • • Brf как группа пространства х, z, у
является транзитивной. Тогда надо будет выяснить, при каких условиях эта
группа в то же время является неприводимой.
Для этого рассмотрим х, у, z как функции вспомогательной
переменной £, которая не преобразуется нашей группой, и продолжим группу до-

бавлением производных
dt~' ' dt " ' dt У'
Таким образом мы (ср. часть I, стр. 574 и ниже) получим новую г-пара-
метрическую группу от переменных х, у, z, х', у\ z' с г независимыми
инфинитезимальными преобразованиями
где сокращение ^ использовано для
<Эх' <9z' <Эу''
и С^, т?^ имеют аналогичный смысл.
Можно трактовать х', z', у7 как однородные координаты направлений,
проходящих через точку х, z, у, а значит, шесть величин х, z, у, х', z', у' —
как определяющие компоненты линейных элементов пространства х, z, у
(там же, стр. 575-576). При такой трактовке группа B[f • • • B'Tf
определяет, каким образом линейные элементы пространства х, z, у преобразуются
группой Bi/ ••♦ Brf.
Между прочим, совершенно безразлично, какие величины х, z, у, х',
z', у' или х, z, у, dx, dz, dy рассматриваются как координаты линейных
элементов пространства х, z, у, ведь группа Б[/ • • • B'rf, очевидно,
преобразует х, z, у, х', z', у' точно так же, как группа B\f • ♦ ♦ Brf —
величины х, z, у, dx, dz, dy. А поскольку B\f • • • Brf как группа контактных
преобразований плоскости х, z оставляет уравнение Пфаффа dz — ydx — О
инвариантным, то ясно, что уравнение
zf - у . х' = О
остается инвариантным при действии группы B[f ♦ ♦ ♦ i^./.
Теперь предположим, что f х, £х, ^^ в выражениях для В^/ разложены
в ряд по степеням х — хо, z — zq9 у — уо, причем под хо, zo, у о
понимается точка общего положения, то есть такая, для которой £^, ^, 77^ ведут
себя регулярно (часть I, стр. 131) и которая, кроме того, сама не остается
инвариантной относительно группы B\f ♦ ♦ ♦ Brf и не лежит ни на какой
инвариантной кривой или поверхности пространства х, z, у. Такие точки
наверняка имеются, поскольку B\f ♦ ♦ ♦ Brf как группа пространства х, z, у
по условию является транзитивной.

Среди инфинитезимальных преобразований e\B\f + • • • -Ь erBrf мы,
в частности, рассмотрим те, что оставляют точку xo,zo,yo инвариантной,
или другими словами, те, в разложении которых в ряд по х—хо, z — zo, у—уо
участвуют только члены первого и более высокого порядка. Таких
преобразований группа B\f ••• Brf по причине своей транзитивности содержит
в точности г — 3 независимых (см. часть I, стр. 242), скажем, следующие:
0=l---r-3),
где, например, $j при отбрасывании членов второго и более высокого
порядка имеет вид
tj = a,ji(x - хо) + aj2{z - zq) + 0,3(2/ - Уо) + • • • ,
a 3j и t)j устроены аналогично. Разумеется, Bi/ ••• Вг_з/ порождают
(г — 3)-параметрическую подгруппу группы B\f • • • Вг/.
Продолжая Bj/ точно так же, как прежде B^f, мы получим г — 3
независимых инфинитезимальных преобразований вида
0 = 1 ...r-3),
где, например, у'- выглядит следующим образом:
^ = (aji + • • • )х' + (а,2 + • • • )z' + (а,3 + • ■ ■ )у'.
Эти преобразования B[f • • • В^_3/ принадлежат, разумеется, группе
B[f ♦♦♦ B'rf и порождают ее (г — 3)-параметрическую подгруппу,
которая оставляет точку хо, 2о» Уо инвариантной, но переставляет между собой
направления dx : dz : dy или xf : zf : yf в этой точке. Чтобы узнать, каким
образом эти направления переставляются между собой, нам нужно лишь
ввести в Bjf вместо х, у, z соответственно хо, Уо> zq, тогда мы получим
г — 3 инфинитезимальных преобразований
®i/ = (аЯх' + aj2z' + а^У')^д + (cilX' + с^'22;/ + сззуП>~&/ +
0 = 1---г-3),

преобразующих направления в точке хо, у о, zo точно так же, как
B[f ••• В^_3/, и порождающих в свою очередь группу, правда, в общем
случае не (г — 3)-параметрическую, так как они не обязательно должны
быть независимыми друг от друга.
Напомним (см. ч. I, § 149, стр. 657 и ниже), что 25i/ ••• *Вг_з/
заданы членами первого порядка в разложениях в ряд инфинитезимальных
преобразований группы Bif ♦♦♦ Вг_з/. Впрочем, можно непосредственно
понять, что это так, поскольку мы, очевидно, получаем инфинитезимальные
преобразования 93i/... 23г_з/, если в Bif ♦ ♦ ♦ Вг_з/ опустить все члены
второго и более высокого порядка и, кроме того, вместо
df df df
х-х0, z-zq, y-yo, g^, tjj, -Q-
записать соответственно
т' ,' ,/ EL EL EL
' ' y' dxr dz" dyr
В то же время видно, что, наоборот, члены первого порядка в
разложении в ряд общего инфинитезимального преобразования группы Bif • • • Вг_з/
заданы инфинитезимальными преобразованиями *Bi/ ♦ ♦ ♦ Шг_з/.
Для краткости мы хотим ввести для группы 031/ ♦ ♦ ♦ 55г_з/
обозначение 0.
Согласно стр. 452, уравнение Пфаффа dz — ydx — О сопоставляет
каждой точке пространства х, z, у плоский пучок из оо1 проходящих через нее
направлений dx : dz : dy или х' : z' : у\ и совокупность всех этих
пучков остается инвариантной при любом точечном преобразовании
пространства х, z, у, являющемся контактным преобразованием плоскости х, z.
Отсюда следует, что всякое контактное преобразование плоскости х, z,
оставляющее точку хо, го, уо пространства х, z, у инвариантной, фиксирует
также соответствующий этой точке пучок из оо1 направлений х' : z' : у'.
Таким образом, этот пучок остается инвариантным относительно группы
B[f ♦ ♦ ♦ В^_3Л а также группы ©, в то время как оо1 направлений этого
пучка преобразуются обеими группами.
Пучок направлений, соответствующий точке xo,zo,2/(b представляется
уравнением zf — уо ♦ х' — О, поэтому мы можем использовать х' и у' в
качестве однородных координат этого пучка. А поскольку этот пучок остается
инвариантным относительно группы 0, то можно непосредственно задать,
каким образом его оо1 направлений преобразуются этой группой. Нам
нужно всего лишь (см. часть I, стр. 258 и ниже) исключить из инфинитезималь-

ных преобразований 53i/ ♦ ♦ ♦ 93г_з/ группы © члены с —7, а в остальных
членах произвести замену г' — уо • х', тогда мы получим г —3 сокращенных
инфинитезимальных преобразований от xf,yf
&jf = ((dji + yoaj2)x' + aJ^y,)^i + ((&J'i + yobj2)x' + Ьру') Б~7
(j = i -..r-3),
в свою очередь порождающих группу и преобразующих направления
упомянутого выше пучка точно так же, как 031/ ••• 23г_з/, а также как
Bi/--.B;_3/.
Группа 051/ • • • 53г_з/, которую мы хотим кратко обозначить ©, — это
подгруппа общей линейной однородной группы двумерного многообразия,
и потому она имеет самое большее четыре параметра. Если она является
четырехпараметрической, то, согласно части I (стр. 611), она
преобразует оо1 направлений х' : у' нашего пучка посредством общей проективной
группы одномерного многообразия, следовательно, не оставляет ни одно из
направлений х' : у1 неподвижным.
Если группа (5 — трехпараметрическая, то различают два случая: либо
она содержит инфинитезимальное преобразование
дх' ду1'
оставляющее все оо1 направлений х1 : у' инвариантными, либо не содержит
этого преобразования. _
Во втором случае в (5, очевидно, имеются три независимых
инфинитезимальных преобразования вида
но здесь все три константы A,/i, v равны нулю, как можно
непосредственно убедиться при помощи попарных комбинаций2 трех инфинитезималь-
2Напомним, что здесь и ниже под комбинацией автор подразумевает коммутатор. — Прим.
ред.

ных преобразований, следовательно, (5 в данном случае — не что иное,
как специальная линейная однородная группа двумерного многообразия,
преобразующая оо1 направлений х' : у' посредством общей проективной
группы одномерного многообразия. В соответствии с этим не существует
направления х' : у\ инвариантного относительно группы (5.
В первом из этих двух случаев (3 содержит три независимых инфини-
тезимальных преобразования вида
где Y\f и Y^f относятся к специальной линейной однородной группе и
сами по себе, очевидно, порождают двухпараметрическую группу. Поэтому,
согласно части I (стр. 649), мы можем предположить, что инфинитезималь-
ные преобразования Y\f и Y^f априори выбраны так, что имеет место
соотношение вида
Yl(Y2(f))-Y2(Y1(f))=c-Y1(f).
А поскольку Yf оставляет все направления х\ у1 неподвижными, то (5
преобразует эти направления лишь двухпараметрически, а именно, точно так
же, как двухпараметрическая группа Yi/, I2/» но к последней мы можем
применить утверждение 4 (часть I, стр. 646), согласно которому она всегда
оставляет инвариантным некоторое направление хг : у\ и, таким образом,
мы видим, что в данном случае наверняка имеется направление,
инвариантное относительно группы 0.
Наконец, если группа © содержит только два или менее независимых
инфинитезимальных преобразования, то совершенно аналогичным образом
можно убедиться, что она всегда фиксирует по крайней мере одно
направление х' : у'.
_^Гем самым доказано, что имеются только два случая, в которых
группа (5 не оставляет инвариантным ни одного направления пучка,
относящегося к точке xo^zo^yo: в первом случае & есть общая, а во втором —
специальная линейная группа двумерного многообразия.
Мы покажем теперь, что наличие или отсутствие инвариантного
относительно 0 направления определяется тем, является группа B\f • • • Brf
контактных преобразований плоскости х, z приводимой или нет.

Пусть xf0 : yf0 — направление пучка zf — y$xr = 0, остающееся
инвариантным относительно 0, а стало быть, и (5. Тогда вместе с точкой хо, ^о> Уо
это направление образует линейный элемент пространства х, z, у,
сохраняющий свое положение при действии (г — 3)-параметрической группы
B[f • • • Bfr_3f, так как эта группа оставляет точку хо, zq, уо неподвижной
и преобразует проходящие через нее направления так же, как группа &.
Но r-параметрическая группа B[f • • • Bfrf, очевидно, не содержит ни
одного инфинитезимального преобразования, независимого от B[f • • • Bfr_3f
и оставляющего точку хо, у о-, zq неподвижной, а значит, и ни одного такого
преобразования, оставляющего упомянутый линейный элемент
инвариантным, следовательно, этот линейный элемент, согласно теореме 85 (часть I,
стр. 531), при всех оог преобразованиях группы B[f • • • Bfrf в
пространстве х, г, у принимает в точности оо3 различных положений, совокупность
которых ведет себя инвариантно по отношению к этой группе. К тому же
группа B[f • • • Bfrf транзитивно преобразует точки пространства х, z, у,
а хо, го, уо является точкой общего положения, поэтому ясно, что каждому
полученному таким образом линейному элементу соответствует одна точка
из оо3 точек пространства х, z, у. Наконец, надо еще вспомнить, что группа
B[f • • • B'rf оставляет инвариантным уравнение z' — ух' = 0, и вследствие
этого каждый из упомянутых сю3 линейных элементов удовлетворяет
уравнению zf — ух1 — 0 так же, как и проходящий через точку хо, го, уо. Таким
образом, наше инвариантное относительно группы B[f • • • Bfrf семейство
из оо3 элементов может быть представлено двумя уравнениями вида
a(x,z,y) y-a{x,z,y) /?(х,г,у)'
Тем самым доказано: если определенная выше группа (5 оставляет
направление х1 : у' инвариантным, то существует семейство из оо3 линейных
элементов х, z, у, xr : z1 : у', представляемое уравнениями вида (8) и
остающееся инвариантным под действием группы B[f • • • B'rf. Но отсюда
немедленно следует, что группа B\f • • • Brf контактных преобразований
плоскости х, z оставляет инвариантной систему вида
dx = dz = dy
a{x,z,y) y-a{x,z,y) (3(x,z,yY
другими словами, что она является приводимой (см. утверждение 2,
стр.451).
Если, наоборот, B\f ••• Brf — приводимая группа контактных
преобразований плоскости х, г, то, согласно утв. 2 (стр. 451), она оставляет

систему вида (9) инвариантной. Следовательно, уравнения (8)
представляют семейство из оо3 линейных элементов, остающееся инвариантным под
действием соответствующей продолженной группы B[f • • • Bfrf. Если хо,
го, у о снова точка общего положения, то очевидно, что уравнения
У
I «./
а(х0,20,г/о) 2/о • а(х0, z0, t/o) /?(х0, z0, t/o)
определяют проходящий через точку хо, ^о, у о линейный элемент,
остающийся инвариантным под действием группы B[f • • • В^_3/; в то же время
ясно, что этот линейный элемент, принадлежащий, очевидно, пучку zr —
— уох' = 0, сохраняет свое положение при действии группы 0, а также
группы 0.
Из всего этого следует, что наша r-параметрическая группа B\f • • • Brf
контактных преобразований плоскости х, z является неприводимой тогда
и только тогда, когда соответствующая, определенная на стр. 457 группа 0
не оставляет инвариантным никакое направление х1 : у''.
Если мы, наконец, вспомним сказанное на стр. 459, то полученный
результат можно сформулировать еще и так.
Утверждение 5. Для того чтобы r-параметрическая группа
B„f = £x{x,z,y)— + £„(x,z,y) — +r)„(x,z,y) —
(*=l.-.r)
контактных преобразований плоскости х, z, являющаяся транзитивной
как группа пространства х, z, у, была в то эюе время и неприводимой,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа 0 была либо
общей, либо специальной линейной однородной группой в переменных xf, у1,
то есть чтобы 0 имела вид
Х'Ё1: х>К_у>Ё1, у'К, х'К + у>Ё1
дуп дх1 дуп дхп дх1 ду1
или
С>Ё1, Х>Ё1-У>Ё1, У>Ё1
дуп дх' дуп дх'

§100
На данный момент мы ограничимся рассмотрением отдельного инфи-
нитезимального преобразования
Bf = f (ж, z,y)-^+ С(ж, z,y) — + ф, z, у) —
плоскости х, z. Под xo,zo,yo мы будем понимать произвольную систему
значений, в окрестности которой £, £, г) ведут себя регулярно; да и вообще
будут рассматриваться только такие системы значений.
Сначала мы попробуем ввести при помощи контактного
преобразования плоскости х, z такие новые переменные х, z, у, чтобы система значений
х = хо, z = zo, у = уо переходила в х = 0, z — 0, у — 0. Для этого мы
положим
х — ах + /3z + /i, z = 7^ + 5г + z/,
где а, /3,7? ^ М> ^ обозначают константы, и где, конечно же, аб — /З7 не
может обращаться в нуль. Тогда прежде всего мы должны задать еще у как
функцию от х, z, у, так чтобы имело место уравнение вида
dz — ydx = g(dz — ydx).
При этом получается
(7 — oty)dx + (6 — /3y)dz = £>(dz — ydx),
стало быть,
g = 6 - f3y, -gy = j-ay,
следовательно,
У OL + {5y"
так что уравнения
х = ах + /3z + /i, z = 7^ + $z + *Л
= 7 + Д|/ (10)
У <х + 0У
представляют контактное преобразование, а именно, продолженное
точечное преобразование плоскости х, z. Шесть констант а, /3, ... можно легко

задать так, что х, z, у при подстановке х = z = у = 0 принимают
соответственно значения хо, zo, уо, и нам надо лишь положить ji — хо, v — zo,
ауо = 7, что всегда достижимо без обращения аб — /З7 в нуль.
Если а, /3,7? ^ /^ ^ выбраны указанным образом, то х, z, у, очевидно,
будут обычными степенными рядами от x,z, у и, наоборот, ж, г, у будут
обычными степенными рядами от х — хо, z — zq, у — уо- Поэтому если в В/
в силу контактного преобразования (10) ввести новые переменные х, z, у,
то контактное преобразование
Bf = i(x,z,y)— +i(x,z,y)— + K)(x,z,y)— =Bf
плоскости x,z, которое мы таким образом получим (см. теорему 45,
стр. 317), таково, что £,з>9 в окрестности х = z = у = 0 ведут себя
регулярно. К тому же на основании части I (стр. 218 и ниже)
получается следующее: если разложение в ряд по степеням х — xo,z — zo,y — уо
начинается с членов га-го порядка, то и разложение Bf по степеням от
х, z, у также начинается с членов га-го порядка.
Поэтому если нам известно, что одно или несколько инфинитезималъ-
ных контактных преобразований
(*=1,2...)
плоскости х, z ведут себя в окрестности системы значений х = хо, z =
= zo, у = уо регулярно, то мы можем без ограничения общности пред-
полоэ/сить, что хо = ^о = уо = 0. Вследствие этого в данной главе мы
рассмотрим только такие группы B\f ♦ ♦ ♦ Brf, инфиншпезилшльные
преобразования которых ведут себя в окрестности системы значений х =
= у = z = 0 регулярно.
Теперь мы переходим к тому, чтобы действительно выписать члены
наименьшего порядка в разложении в ряд произвольного контактного
преобразования плоскости х, z. При этом мы можем вследствие
вышесказанного ограничиться разложениями в ряд по степеням х, z, у.
Согласно теореме 39 (стр. 289), всякое инфинитезимальное
преобразование
Bf = £(x, z,y)-^+ r/(x, *> У) д" + С(*> z, y)-fa

плоскости х, z полностью задается характеристической функцией W(x, z, у),
так как
8W
ду '
V
dW . dW
дх
У-
dz
C = -W + y
dW
ду '
Поскольку отсюда следует
w = yt- с,
то W, очевидно, всегда ведет себя одновременно с £,г},( в окрестности
х = z = у = О регулярно. Поэтому мы можем ограничиться случаем,
когда W является обычным степенным рядом от х, у, z:
W = A + Bx + Cy + Dz + Ex2 + Fxy +
+ Gy2 + Hxz + Jyz + Kz2 + • • • .
Каждый член га-го порядка в выражении для W влияет в соответствующих
разложениях в ряд £ и г) на члены (га — 1)-го и га-го порядка, а в
разложении £ — только на члены га-го порядка. Поэтому если мы хотим
получить представление о том, какими членами нулевого и первого порядка
может начинаться разложение в ряд инфинитезимального преобразования
в окрестности х = у = z = 0, то нам надо лишь ввести в качестве W
общую целую функцию второго порядка от x,y,z и вычислить
соответствующие значения £, гу, С- То же самое, только удобнее, мы получим, когда
придадим характеристической функции W поочередно следующие
значения:
1, х, у, z, х2, ху, у2, xz, yz, z2
и выпишем соответствующие инфинитезимальные контактные
преобразования Bf. Используя сокращения
д£
дх
д±
ду
д±
dz
= г,
которые мы отныне хотим регулярно применять, мы получим тогда
следующую таблицу:
(и)
W
-1
—х
У
—z
—х
Bf
Г
q + xr
V
yq + zr
2xq + x2r
W
xy
У2
—xz
У*
-z2
Bf
xp-yq
2yp + y2r
(z + xy)q + xzr
zp - y2q
2yzq + z2r

Из нее мы можем непосредственно понять, какие члены нулевого
и первого порядка от х, у, z участвуют в разложении в ряд
произвольного инфинитезимального преобразования. В частности, ясно, что инфините-
зимальное контактное преобразование, содержащее только члены первого
и более высокого порядка от х9 у, г, обязательно имеет вид
А • xq + fi(xp -yq) + i/-yp + iv(yq + zr) + g • zp + a • zq H ,
где A, /i, j/, 7Г, q, a — константы и где опущенные члены — второго порядка
и выше.
Добавим к этому еще одно замечание, которое в дальнейшем найдет
применение во многих важных случаях.
Пусть Af и Bf — два инфинитезимальных контактных
преобразования плоскости х, z, a С/(х, у, z) и V(x, у, z) соответственно — их
характеристические функции. Тогда, согласно теореме 44 (стр. 316), ABf — BAf
также является инфинитезимальным контактным преобразованием
плоскости х, z, причем с характеристической функцией
q = ди_ (dv_ + dv\ _ dv_ (ди_ + ди\ _ vdv_ + vdu_
ду \дх dz) ду \ дх dz J dz dz'
Теперь заметим, что члены наименьшего порядка в разложении Q в ряд по
степеням x,y,z в общем случае задаются членами наименьшего порядка
в разложении в ряд функций U и V. Так, если U и V начинаются с членов
порядка /л и v соответственно,
С/ = ад + • • • , V = /?„ + • • • ,
то Q начинается с члена порядка (/х + и — 2), имеющего вид
да^ д(3„ да^ д(3„
ду дх дх ду
Этот факт порой дает более точное разъяснение вида инфинитезимального
преобразования ABf — BAf, чем прямое вычисление членов наименьшего
порядка ABf — BAf из членов наименьшего порядка Af и Bf (см. часть I,
стр. 216).
В дальнейшем мы, впрочем, будуем, как и в первой части книги,
использовать для выражения ABf — BAf сокращение (АВ). Легко
убедиться, что этот вид сокращения является лишь специальным случаем
символа (ipip)xp- Всякое инфинитезимальное контактное преобразование
Bf = f (*> z, У)Р + vfa z, y)q + C(z>z, У)г

плоскости х, z является в то же время инфинитезимальным
точечным преобразованием пространства и потому может трактоваться как
инфинитезимальное однородное контактное преобразование от
переменных х, у, z, p,q, r.
§101
Теперь снова обратимся к исследованию неприводимых групп
контактных преобразований плоскости х, z. Пусть G — такая группа, причем г-па-
раметрическая, порожденная г независимыми инфинитезимальными
контактными преобразованиями
B„f = £„(x,y,z)— +T]K(x,y,z)— +(„(x,y,z) —
(*= 1 ■•■ г).
Будем считать, что инфинитезимальные преобразования группы G
разложены в ряд по степеням х — хо,у — yo,z — zo в окрестности системы
значений xo,yo,zo общего положения (ср. стр. 455). При этом мы можем,
согласно стр. 463, предположить, что хо, уо, zo все равны нулю.
Неприводимая группа G контактных преобразований плоскости х, z
является как группа пространства х, у, z транзитивной (см. стр. 454),
поэтому она содержит (ср. часть I, стр. 242, утверждение 5) в окрестности
х = у = z = 0 три независимых инфинитезимальных преобразования вида:
Aif=p+---, А2/= « + ••• , A3f = r + --- ,
где опущенные члены — первого или более высокого порядка по х, у, z.
Тогда характеристические функции от Af и Bf с точностью до степеней
второго или более высокого порядка имеют вид
U\ — у + az Н , С/2 = -х + bz Н ,
как можно непосредственно видеть из таблицы (11) (стр. 465). Поэтому
характеристическая функция инфинитезимального преобразования A\A2f —
— A2A\f = (A1A2), согласно стр. 465, выглядит так:
JL{V + „,.JL(_X + „2) _ ±(, + „,. £<_ + и +...
или в результате вычислений:

где опущенные члены — первого или более высокого порядка. Отсюда
следует, что члены нулевого порядка комбинации
AlA2f - A2Axj = (А1А2) = (р + .--,9 + ...)
имеют вид г + ар + bq, то есть что имеет место соотношение вида
(р + • • • , q + • • •) = г + ар + bq + • • • , (12)
в котором а и b обозначают некоторые пока неопределенные константы
и в котором все опущенные члены имеют первый или более высокий
порядок по х, у, z. Эта формула, которая, конечно же, справедлива и для
приводимых групп, сослужит нам позже важную службу.
Группа G содержит г — 3 независимых инфинитезимальных
преобразований, которые оставляют систему значений х = у = z = О инвариантной
и порождают (г — 3)-параметрическую подгруппу. Мы обозначим эти г — 3
инфинитезимальных преобразований, как на стр. 456, через Bi/ • • • Вг_з/.
В разложениях в ряд инфинитезимальных контактных преобразований
Bi/ • • • Вг_з/ участвуют члены только первого и более высокого порядка
по х, у, z, следовательно (см. стр. 465), общее инфинитезимальное
преобразование группы Bi/ • • • Вг_з/ должно иметь вид
Г А • xq + ц{хр -yq) + v-yp + ir{yq + zr) + ^v
| + Q • zp + о • zq Л ,
где опущенные члены — второго и более высокого порядка по х, у, z и где А,
/i, v, 7г, £, а зависят от специальных свойств группы Bi/ • • • Вг_з/. Но,
согласно стр. 457, группе Bi/ • • • Вг_з/ принадлежит некоторая линейная
однородная группа 0, которая задает, каким образом направления,
проходящие через инвариантную точку х = у = z = 0, преобразуются группой
Bi/ ••• Вг_з/, рассматриваемой как группа_пространства х, z, у. Общее
инфинитезимальное преобразование группы 0 задано членами первого
порядка в разложениях Bi/ • • • Вг_з/ в ряд и потому (см. стр. 457 и ниже)
имеет вид
ГА • x'q' + fi(x'p' - y'q') + v • у'р' + тг(з/У + zY) +
\+e-z'p' + a-z'qf, [ )
где р', qf, т' записано вместо
д]_ д]_ д£_
дх'' ду'' dzf'
и где A, /i, zv, 7г, д, а имеют те же значения, что и в выражении (13).

В свою очередь группа 0 оставляет пучок из оо1 направлений х' :
у' : z', сопоставляемый уравнением Пфаффа dz — ydx = О точке х =
= у = z = 0 в пространстве ху уу z9 инвариантным и преобразует оо1
направлений этого пучка посредством некоторой группы 0. Если учесть,
что z1 = О — уравнение данного пучка, и выбрать, как на стр. 457, х', у'
в качестве однородных координат направлений пучка, то_мы сразу увидим,
что общее инфинитезимальное преобразование группы 0 имеет вид
А • x'q' + ц{х'р' - y'q') + v • y'p' + тг • y'q'. (15)
Здесь A, /i, zv, 7г имеют те же значения, что и в (14) и (13).
Но B\f • • • Brf как группа контактных преобразований плоскости х, z
должна быть неприводимой^а для этого, согласно стр. 461, необходимо
и достаточно, чтобы группа 0 имела вид
x'q', x'p'-y'q', y'p', x'p' + y'q' (21)
или
x'q', x'p'-y'q', y'p'. (35)
Из этого факта мы можем в обратном направлении сделать вывод о том,
какие различные виды может принимать группа 0.
Если 0 имеет вид (21), то выражение (15) представляет общее
инфинитезимальное преобразование из 0, если рассматривать в нем А,//,г/, 7г как
произвольные параметры. Соответственно, А,д, */, 7г в общем инфинитези-
мальном преобразовании группы 0 (14) — тоже произвольные параметры.
Отсюда следует, что 0 должна содержать четыре независимых инфините-
зимальных преобразования вида
C2f = x'p' - y'q' + a2z'p' + faz'q\
Csf = y'p' + azz'p1 + foz'q',
C4f = x'p' + y'q' + 2z'r' + oaz'p' + faz'q',
где x'p' + y'q' + 2z'r' = x'p' — y'q' + 2(y'g' + z'r') вводится вместо y'q' +
+ z'r\ чтобы продемонстрировать определенное равноправие х' иу'. Кроме
C\f - • C4f, в 0 могут еще иметься инфинитезимальные преобразования
вида
Df = X- z'p' + /л • z'q'.

Если & содержит инфинитезимальное преобразование вида Z?/, то она
в то же время содержит следующие преобразования:
{DCl) = \-z'q\ (DC3)=n-z'j/,
а поскольку А и \х не могут оба обращаться в нуль, то она содержит как z'p\
так и z'q' и, стало быть, имеет вид
хУ, х'р'-уУ, у'р\ x'p' + y'q' + 2z'r', z'p\ z'q'. (16)
С другой стороны, пусть (5 не содержит ни одного инфинитезималь-
ного преобразования вида Df. В этом случае при помощи комбинации
(СгС3) = х'р' - i/V + /?1*У - a3z'q'
получается преобразование, которое должно обязательно содержаться в ©,
а поскольку в © нет ни одного преобразования вида Df, то мы заключаем,
что ос2 = Р\ и /32 = — с*з> а Сг/ имеет вид
C2f = (x' + i31z')p'-(y' + a3z'tf.
После этого мы находим
(CiC2) = -2(х' + (3iz')qf + alZfp\
(C2C3) = -2(y' + a3z')p'+f33z'q',
то есть OL\ = /Зз = 0. Наконец,
(С2С4) = -faz'p' + а3*У - а4*У + /34*У,
и это выражение, разумеется, должно обращаться в нуль, следовательно,
а4 = -Pi и /?4 = -а3.
Итак, группа (5 имеет вид
(x' + az'tf, (x/+azV-(», + ^V, (y' + Pz'W, (u)
(x'+az')p' + (y' + pz')q' + 2z'{r'-ap'-(3q'), ( '
где константы а и /3 остаются совершенно неопределенными.
Теперь надо еще исследовать, какой будет 0, если Й имеет вид (25).
В этом случае при помощи рассуждений, почти не отличающихся от
только что изложенных, можно найти, что & имеет либо вид
{x'+az')q\ (x'+az')p'-(y' + (3z')q', (у'+ flz')p', (18)

либо
x'q\ x'p'-y'q', y'p', z'p', z'q'. (19)
Тем самым, найдены все виды, которые может иметь (5, если
B\f • • • Brf — неприводимая группа контактных преобразований
плоскости х, z. Но в то же время мы знаем, что, наоборот, группа B\f • • • Brf
всегда неприводима, когда соответствующая группа 0 имеет один из
четырех найденных видов (16)—(19), поскольку если (5 имеет один из этих
видов, то & имеет либо вид (21), либо (*В), а отсюда, согласно стр. 461,
следует неприводимость B\f • • • Brf.
Члены первого порядка в разложении в ряд общего инфинитезималь-
ного преобразования группы Bi/ • • • Вг_з/, согласно стр. 457, полностью
заданы инфинитезимальными преобразованиями группы 0, так что мы
можем выписать все различные виды, которые могут иметь эти члены первого
порядка. Таких видов, разумеется, четыре в соответствии с четырьмя
видами группы (5; в каждом из этих четырех случаев мы находим упомянутые
члены первого порядка, рассматривая общее инфинитезимальное
преобразование группы (5 и опуская штрихи в xf, yf, z'.
Однако группа Bi/ • • • Вг_з/ содержит все инфинитезимальные
преобразования группы B\f - - Brf, разложения которых в ряд по х, у, z
начинаются членами первого или более высокого порядка, другими словами, она
содержит все инфинитезимальные преобразования группы B\f ••• Brf,
которые имеют первый или более высокий порядок по ж, у, z (ср.
терминологию в ч. I, стр. 214). Поэтому если нам известны члены первого
порядка в разложении в ряд общего инфинитезимального преобразования
группы В if — - Brf, то можно непосредственно указать, сколько независимых
инфинитезимальных преобразований первого порядка по х, у, z содержит
группа B\f • • • Brf, а также мы можем задать начальные члены в
разложениях в ряд этих преобразований первого порядка.
Таким образом, для вида, который могут иметь инфинитезимальные
преобразования группы B\f • • • Brf, мы получаем:
Теорема 65. Для того чтобы г-параметрическая группа
Bif'--Brf контактных преобразований плоскости х, z была
неприводимой, необходимо и достаточно*, чтобы она, во-пер-
3Для простоты изложения мы ограничимся здесь по умолчанию (ср. стр. 463) группами,
инфинитезимальные преобразования которых
В></ = £,*(х, у, z)p + г}„(ж, у, z)q + С.„(х, у, z)r
разлагаются в ряд по х, у, z; далее предположим, что система значений х = у = z = О
представляет точку общего положения (часть 1, стр. 225-226) пространства ж, у, z. Чтобы

вых, содерэ/сала три независимых инфинитезимальных
преобразования нулевого порядка от x,y,z, имеющих вид
р+--- , q + --- , r + --- ,
и, во-вторых, чтобы она также содержала три, четыре, пять
или шесть таких инфинитезимальных преобразований первого
порядка по х, у, г, из которых нельзя линейно вывести
никакого преобразования второго или более высокого порядка,
причем эти инфинитезимальные преобразования первого порядка
имеют в первом случае вид
(х + az)q + • • • , (х + az)p - (у + 0z)q + • • • , (у + 0z)p + • • • , (I)
во втором —
(х + az)q + • • • , (х + az)p - (у + 0z)q + • • • , (2/ + PZ)P +
(х + az)p + (у + /?z)g + 2z(r - ар - (3q) -\ ,
(И)
в третьем —
xq + • • • , хр - yq + • • • , ур + • • ♦ , zp + • • • , zg + • • • , (III)
w, наконец, в четвертом —
xq-\ , xp-yq-\ , ур + • • • , zp -\ , zq +
xp + yq-\- 2zr + • • • ,
(IV)
где всякий раз опущенные члены — второго порядка по x,y,z
или выше.
Эти четыре случая соответствуют четырем видам группы 0: (18), (17),
(19), (16).
Конечно, не исключено, что группа B\f • • • Brf9 кроме записанных
инфинитезимальных преобразований, содержит и такие, разложения в ряд
которых по х, ?/, z начинаются членами второго и более высокого порядка.
Итак, чтобы найти все неприводимые группы контактных
преобразований плоскости х, z, нам надо один за другим рассмотреть четыре
различных случая, (I)—(IV). Мы хоть и не знаем пока, каждому ли из этих четырех
получить универсальную формулировку этой теоремы, надо лишь записать х — а?о> y — yo-,z —
— zq вместо x,y,z и затем добавить, что xo,yo,zo должно означать точку общего
положения.

случаев действительно соответствуют группы контактных преобразований,
но зато знаем, что всякая группа контактных преобразований,
соответствующая одному из четырех случаев, является неприводимой.
§102
Прежде всего найдем все группы4 контактных преобразований,
содержащие шесть инфинитезимальных преобразований вида
Гр + .", g + ...,r + ...,
\(x + az)q + --- , (x + az)p-{y-0z)q + --- , (у + Дф + • • • ,
к которым могут добавиться еще некоторые инфинитезимальные
преобразования второго и более высокого порядка в х, у, z, тогда как в любом
инфинитезимальном преобразовании первого порядка группы члены
первого порядка должны быть линейно выводимы из
(х + az)q, (х + az)p -(у- (3z)q, (у + pz)p.
Кроме того, мы уже знаем (см. стр. 467), что имеет место соотношение вида
(р + ... ,g + ...)=r + Ap + /xg + --- , (21)
в котором все опущенные члены имеют первый и более высокий порядок
по х, у, z.
Под G мы будем совершенно общим образом понимать такую группу
контактных преобразований плоскости х, z, которая удовлетворяет
поставленным условиям; тогда всякая группа G — если она вообще существует —
заведомо является неприводимой и как следствие этого не оставляет
никакое другое уравнение Пфаффа, кроме известного dz — ydx = 0,
инвариантным.
Для краткости мы введем при помощи преобразования
х1 = х + olz, у' = у + /3z, zf = z (22)
43десь, как и везде в дальнейших рассуждениях этой главы, мы ограничимся группами,
инфинитезимальные преобразования которых можно разложить в ряд по х, у, z. Но поскольку
мы явно требуем, чтобы из рассматриваемых разложений имели место три ряда следующего
вида
Р~\ , <Н , г -\ ,
то система значений х = у = z = 0, несомненно, представляет точку общего положения
пространства х, у, z.

новые переменные xf, у', z*. При этом шесть инфинитезимальных
преобразований (20) нашей группы G принимают вид
V + • • • = V1 + • • •, Q + ''' = Я1 + • • • , г + • • • = г' + ар' + pq' + • • • ,
(х + а*)д + • • • = x'q' + •••,(» + ДФ + • • • = У V + • • • ,
(ж + az)p - (у + Дг)д Н = ж'р' - y'q' -\ ;
(200
то есть сама группа G переходит в новую группу G\ которая содержит
шесть следующих инфинитезимальных преобразований:
{?' + •••> *' + ••• > *•' + •••> (20")
|*У + -", x'V'-y'q' + ..., y'p' + ---. K ]
Кроме того, G' может содержать некоторые инфинитезимальные
преобразования второго и более высокого порядка в х', у\ zf, но во всяком ин-
финитезимальном преобразовании первого порядка, которые она содержит,
члены первого порядка должны быть линейно выводимы из
x'q', х'р' - y'q', y'p'.
Наконец, между р' -\ и qf H в соответствии с уравнением (21) имеет
место соотношение вида
(/ + •••, <?' + •••) =г' + АУ + МУ + .-., (21')
где опущенные члены — первого и более высокого порядка от х\ у', z'.
Заметим, что преобразование (22) в общем случае не является контактным
преобразованием плоскости х, z. А именно, оно переводит уравнение dz — ydx = 0
в
dz' У'-Р*' dx' = 0 (А)
l + ay'-apz1
и потому является контактным преобразованием только тогда, когда аир равны
нулю. Отсюда немедленно следует, что и G' только тогда является группой
контактных преобразований, когда а и Р обращаются в нуль, поскольку как G оставляет
инвариантным лишь одно уравнение Пфаффа dz — ydx = 0, так и G' может
оставлять инвариантным лишь одно уравнение Пфаффа (А) и никакое другое.
Помимо инфинитезимальных преобразований (20"), в группе G'
возможно наличие еще некоторых преобразований второго и более высокого
порядка от х\ у\ z\ но мы можем предположить (см. часть I, теорема 29,

стр. 215), что выше чем 5-го порядка (под s понимается конечное
положительное целое число) их не бывает.
Пусть
B{s)f = esP'+vW+&' + ■■■
— инфинитезимальное преобразование 5-го порядка группы С, где ££, rj's, Cs
обозначают целые однородные функции 5-го порядка от х\ у\ z\ а члены
более высокого порядка как всегда опущены. Если бы здесь ('s не была
равна нулю, то, скомбинировав B^f в подходящей последовательности
несколько раз ср'-\ ,q'-\ ,г'-\ , мы бы получили в конечном итоге
инфинитезимальное преобразование первого порядка такого вида, которого,
согласно стр. 473, в G' быть не может. Таким же образом мы получаем, что
£fs и r)'s не содержат z'.
Поскольку ^ и r)'s не могут одновременно обращаться в нуль, то мы
предположим, что ^ отлично от нуля (если ££ = 0, а rjfs ^ 0, то совершенно
аналогичное вычисление приводит нас к цели). Комбинируя теперь B^f
последовательно с x'q' -\ достаточное число раз, мы получим в
результате преобразование вида
x,8p' + rjsq' + --- ,
а из него при помощи комбинации с р' + • • • —
sx's~lp'+itq' + ----
Образовав в заключение выражение
(х'*~ У + \^q' + ■ ■ ■ , x'V + VsQ' + ■ ■ ■ ) = X'2S~2P' + nq' + ---,
мы получим инфинитезимальное преобразование (25 — 2)-го порядка, то
есть должно выполняться условие 25 — 2 ^ s или 5^2. Поэтому если
5 > 1, то оно имеет значение 2.
Если 5 = 2, то наша группа G содержит инфинитезимальное
преобразование вида
В(2)/ = х'У + (ах'2 + Ьх'у' + q/V + • • • .
Комбинируя его один раз с р' Л , а затем — с q' H и помня о том, что
преобразование y'q' + • • • здесь не участвует, мы находим b = — 2 и с = 0.
Теперь комбинируем
B™f = х,2р' + {ах'2 - 2x'y')q' + • • •

с x'q' -\ , получаем — Зх' q' -\ , и наконец,
(xf2pf + (ах'2 - 2x'y')qf + •••)= 4x'V + • • • ,
то есть преобразование третьего порядка. Это противоречие.
Следовательно, s не может быть больше 1, и наша группа G не может содержать
инфинитезимального преобразования, которое было бы независимым от шести
преобразований (20").
Теперь нам надо найти соотношения, имеющие место между шестью
независимыми инфинитезимальными преобразованиями (20") нашей ше-
стипараметрической группы G'.
Для удобства введем некоторые сокращения, положив
..=Р, <?' + ... =Q, г' + ...=Д,
x'q' + ... =XQ, x'V'- y'q'+ • • • = XP-YQ, y'j/ + • • • = УР. ^ j
При этом, к примеру, выражение XQ у нас обозначает вовсе не
произведение двух величин X и Q, а символ инфинитезимального
преобразования x'q' -\ .
Соотношения, имеющие место между инфинитезимальными
преобразованиями первого порядка группы G* (так как инфинитезимальных
преобразований более высокого порядка здесь нет), мы можем сразу выписать.
Они будут такими:
(24)
Г (XQ, ХР - YQ) = -2XQ, (YP, ХР - YQ) = 2YP,
\{XQ,YP) = XP-YQ.
Затем имеют место соотношения вида
(Q, XQ) = a1-XQ + (3l (ХР - YQ) + ъ ■ YP,
{Q, ХР - YQ) = -Q + a2-XQ + {32(ХР - YQ) + 72 • YP.
Чтобы его упростить, введем Q' вместо Q:
Q' = Q + A-XQ + B(XP -YQ) + C- YP,
в результате чего соотношение (21'), которое в развернутой записи,
очевидно, выглядит так:
f(PQ)=R + \'-P + »'-Q + i/-XQ + *'(XP-YQ)+
\+q'yp, [Zl >

изменится несущественно. Мы получаем
(<?', ХР - YQ) = -Q' + (а2 - A)XQ + (ft + В){ХР - YQ) +
+ (71 + SC)YP,
и выбирая А = а<1, В = —/?ь 3C = —71, видим, что в этом выражении
для (Q, ХР — YQ) можно просто положить а^ /?2 и 72 равными нулю.
Итак, мы можем предположить, что (Q,XP — YQ) = —Q. Но если
составить тождество
((QyXQ)XP - YQ) + ((XQ,XP - YQ)Q) +
+ ((XP-YQ,Q)XQ)=0,
то мы получим
axXQ + 30i(XP - YQ) + 57i • YP = 0,
то есть ai = /?i = 7i = 0, а стало быть,
(Q,XQ) = 0, (Q,XP-YQ) = -Q.
Далее имеет место уравнение
(Q,УР) = Р + а • XQ + b{XP -YQ)+c- YP;
здесь мы вводим правую часть в качестве нового Р, в результате чего
соотношение (21") несущественно изменится, и получаем
(QtYP) = P
Поскольку, кроме того, в тождестве
{(Q,YP)XQ) + ((YP,XQ)Q) + ((XQ,Q)YP) = 0
оба последних члена дают лишь —Q, то
(P,XQ) = Q.
Составив теперь тождество
((Q, YP)XP - YQ) + ((YP, XP - YQ)Q) +
+ ((XP-YQ,Q)YP)=0,

мы находим
(P,XP-YQ) = P.
Наконец,
(Р, YP) = а ■ XQ + 0(XP -YQ) + f' YP,
однако тождество
((Р, YP)XP - YQ) + ((YP, XP - YQ)P) +
+ ((XP-YQ,P)YP)=0
непосредственно дает
-5а • XQ - ЩХР - YQ) -j-YP = 0,
следовательно, а = (3 = /у = 0и
(Р, YP) = 0.
Тем самым мы получили следующие соотношения:
(Р, XQ) = Q, (Р, ХР - YQ) = Р, (Р, YP) = 0,
(Q,XQ) = 0, (Q,XP-YQ) = -Q, (Q,YP) = P.
В уравнении (21") введем правую часть в качестве нового Д, и тогда
(PQ) = R.
Но
((PQ)XQ) + {(Q,XQ)P) + ((XQ,P)Q) = 0,
((PQ)XP - YQ) + {(Q, XP - YQ)P) + ((XP - YQ, P)Q) = 0,
i(PQ)YP) + ((Q,YP)P) + ((YP,P)Q) = 0,
а отсюда с использованием (25) мы получаем
(R, XQ) - (R, XP - YQ) - (R, YP) = 0.
Кроме того, мы имеем
(PR) = a'P + (3'Q + j'R + 6' -XQ + е'(ХР - YQ) + ti' ■ YP.
Однако в результате вычисления тождества
((PR)XP - YQ) + ((R, XP - YQ)P) + ((ХР - YQ, P)R) = 0

получается
dP - P'Q - 26''XQ + 2<d'YP = {PR),
следовательно, {PR) = dP, и точно так же {QR) = (3"Q. В конце концов,
тождества
((PR)XQ) + ((R,XQ)P) + ((XQ,P)R) = О,
((PQ)R) + {(QR)P) + {(RP)Q) = 0
дают соотношения
(d - (3")Q = 0, -(/?" +а') Л = 0,
так что и а', и (3" обращаются в нуль.
Таким образом, имеют место следующие соотношения:
(Л, XQ) = (Л, ХР - YQ) = (Л, УР) = 0,
(PQ) = P, (РЛ) = (ОЛ) = 0. l J
Итак, все соотношения, имеющие место между шестью независимыми ин-
финитезимальными преобразованиями (20//) шестипараметрической
группы С, приведены к простому каноническому виду.
Хотелось бы отметить, что инфинитезимальные преобразования Р, <5, R и т. д.
нашей группы G' теперь, после выполненной нормировки, имеют следующий вид:
Р = р' + — , Q = $' + ••• , Я = г, + А,У + //У + -" ,
XQ = x'q' + --- , XP-YQ = x'p'-y'q' + --- , УР = j/V + • ■ ■ •
А поскольку (Я, XQ) и (Я, УР) обращаются в нуль, то, очевидно, получается А" =
= /х" = 0, так что и Я имеет простой вид
R = т + • • • ,
где опущенные члены имеют порядок 1 и выше по х\ у , z .
Остается еще лишь задать сами инфинитезимальные
преобразования Р, Q, R и т.д. Это мы сейчас и сделаем, причем выберем переменные
такими, чтобы группа G1 приняла наиболее простой вид.
Эти три инфинитезимальных преобразования Р, Q, Р порождают в
переменных х', у\ z1 просто транзитивную группу. С другой стороны,
рассмотрим три других инфинитезимальных преобразования
р, q + xr, r,

которые, кстати говоря, оставляют уравнение Пфаффа dz — ydx = О
инвариантным. Очевидно, что они в свою очередь порождают в переменных х, у, z
просто транзитивную группу, причем такую, которая является равно со
ставленной с группой P,Q,R. Таким образом, между переменными х', у', z'
и х, у, z существует (часть I, теорема 64, стр. 376) преобразование, в силу
которого имеют место уравнения
Р = Р, Q = Я + xr, R = r.
Разумеется, XQ под действием только что упомянутого
преобразования принимает новый вид
XQ = £1(x,y,z) -p + T)i(x,y,z) -q + (i(x,y,z) -r,
где £ь т/ь Ci должны в силу соотношений
(Р, XQ) = Q, (Q, XQ) = (Д, XQ) = О
удовлетворять дифференциальным уравнениям
дх ' дх ' дх '
<9у <9z <9у * dz ду * dz '
d£i = ^t?i = 9Q = q
<9z <9z dz
Отсюда при помощи интегрирования мы находим
XQ = ар + (Ь + x)q + ( с + ay + у
где а,Ь,с — константы.
Более того,
У Р = 6 • р + % • 9 + С2 • г.
Тогда для &> %> С2 из соотношений
(Р, УР) = 0, (Q, УР) = Р, (Я, УР) = 0
получаются следующие дифференциальные уравнения:
= 0,
^2 + х^- -1 = ^1+ х^- = ^ + х^ - £2 = 0
cty dz ду dz ду dz '
д&
дх
dm
дх
db
дх
д&
dz
дг)2
dz
дС.2
dz

а из них мы получаем
YP = (a + у)р + pq + (7 + ay + ^- J r,
где а, /3,7 — также константы. Кроме того, в силу ХР — YQ = (XQ, YP)
ХР - YQ = (b + х)р - (а + y)g - {pa - b(a + y)}r.
Однако (Xg, ХР — YQ) — —2 • XQ, следовательно,
ар - 2(6 + x)q + {b(b + x) - x(b + x) + a(a + y)}r = -2 ♦ Xg,
откуда следует a — О, fc2 = —2c. Далее должно выполняться
{YP,XP-YQ) = 2-YP,
стало быть,
2(a + y)p -0q + {ЬР + (a + y)2}r = 2 ♦ УР
или Р — 0, а2 — 2у. Согласно этому,
Xg = (x + %+|(x2-&2)r,
YP = (y + a)p+±(y + a)2ry
XP-YQ = {x + b)p -(y + a)q + b(y + a)r.
Как легко убедиться, теперь и соотношения
(р, хр - yg) = p, (Q, хр - уд) = -д,
(р,хр-уд) = о
выполняются тождественно.
Чтобы исключить константы а и 6, мы можем попробовать положить
х" = х + Ь, у" = у + а, z" = ip(x,y,z),
откуда следует
р р + дх ' а« '
* + - = *"+(t^^)7"

Инфинитезимальные преобразования р, q + хг, г, очевидно, остаются при
введении н
уравнения
введении новых переменных х", уп', z" неизменными, если выполняются
dip dip dip dip „
^-=0, — = 1, _+£_=£ = Х + 0,
ox dz ay dz
то есть если ip имеет вид
(p = z + by + const.
Однако если мы положим в основу это значение <р, то получим
Р = р", Q = g"+a;"r", Д = Л
хд = х'У' + \x"2r\ yp = у"Р" +1„"V,
ХР - FQ = хУ - у "</'♦
Тем самым мы нашли шестипараметрическую группу
р, д + хг, г, хд + |х2г, хр - yq, yp + |у2г.
(27)
Ей подобна посредством точечного преобразования между переменными х,
у, z и х', у', z' группа G\ определенная на стр. 473, которая также подобна
посредством преобразования (22) группе G, о нахождении которой,
собственно, и идет речь. Итак, получается, что всякая группа G контактных
преобразований плоскости х9 г, обладающая заданными в начале
настоящего параграфа свойствами, является подобной группе (27) посредством
некоторого точечного преобразования в переменных х, у, z.
Но группа (27) является группой контактных преобразований
плоскости х, г, так как все ее инфинитезимальные преобразования являются ин-
финитезимальными контактными преобразованиями, это показывает
таблица (11) на стр. 465. Кроме того, группа (27), очевидно, удовлетворяет
всем поставленным в начале данного параграфа требованиям, то есть
является неприводимой и не оставляет ни одно уравнение Пфаффа, отличное
от dz — ydx = 0, инвариантным.
Далее, мы знаем, что всякая другая группа G контактных
преобразований плоскости х, г, обладающая указанными на стр. 472 свойствами, не
может оставлять инвариантным ни одно другое уравнение Пфаффа, кроме
dz — ydx = 0. Отсюда следует, что преобразование от переменных х, ?/, z,

переводящее произвольную группу G в группу (27), в то же время
переводит уравнение Пфаффа dz — ydx — 0 в себя, другими словами, что оно
является контактным преобразованием плоскости х, z.
Таким образом, мы видим, что всякая неприводимая группа
контактных преобразований плоскости х, z, обладающая изложенными в начале
этого параграфа свойствами, является подобной группе (27) посредством
контактного преобразования.
Представляется целесообразным привести еще одно доказательство
неприводимости группы (27).
Прежде всего, она состоит не только из продолженных точечных
преобразований плоскости х, г, так как содержит инфинитезимальное
преобразование ур + \у2т, которое получилось, очевидно, не в результате
продолжения инфинитезимального точечного преобразования
t(x,z)p + ri(x,z)q
плоскости х, z. Поэтому, будь эта группа приводимой, она должна была бы
(ср. утв. 1, стр. 450 и последующее замечание) оставлять линейное
дифференциальное уравнение в частных производных вида
^-s+*s+^»-*>^-° (28)
инвариантным.
Чтобы найти и, мы скомбинируем Af поочередно с р, г, q + хт и таким
образом найдем уравнения
дх ду dz ду \ду dz) ду
которые при наложенных условиях должны иметь место в силу Af — 0
(см. ч. I, теорема 20, стр. 156). Отсюда следует, что и — это константа.
В результате комбинации с хр — yq получается
df , df df
то есть ш должна быть равна нулю. Наконец, комбинируя
Af-El + Ж

с xq + \х2г, мы получаем уравнение
^ = 0
ду
которое не может иметь место в силу Af = 0. Это противоречие, то есть
группа (27) не может оставлять инвариантным никакое дифференциальное
уравнение специального вида (28) инвариантным, значит, она
действительно неприводима. Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 66. Если группа контактных преобразований
плоскости х, z, инфинитезимальные преобразования которой
ведут себя в окрестности системы значений х = у = z = О
регулярно, содержит шесть независимых инфинитезималъных
преобразований вида
£+••• , « + •••, Г + --- ,
(х + az)q + • • • , (у + pz)p + • • • ,
(х + az)p - (у + @z)q H
и не содержит ни одного инфинитезималъного преобразования
первого порядка от x,y,z, члены первого порядка которого не
были бы линейно выводимы из
(х + az)q, (х + az)p - (у + (3z)q, {у + (3z)p,
то такая группа является шестипараметрической и подобной
неприводимой группе
q + zr, r, xq + \x2r, xp - yq, yp + ±у2г
(27)
контактных преобразований плоскости х, z посредством
контактного преобразования этой плоскости.
Необходимо еще упомянуть, что с точностью до перестановки и
числовых множителей характеристическими функциями инфинитезимальных
контактных преобразований (27) являются
1, я, у, я2, ху, у2.

§103
Теперь найдем все группы контактных преобразований, содержащие
в окрестности х = у = z = 0 семь инфинитезимальных преобразований
вида
р+--- , ? + ••■, г + ••• ,
(х + а*)? + • • • , (х + az)p - (у + (5z)q + ... , (у + 0z)p + • • • , (29)
(х + az)p + (у + /?z)g + 2z(r - ар - (3q) H ,
предположив при этом, что во всяком инфинитезимальном преобразовании
группы, которое имеет первый порядок по х, у, z, члены первого порядка
можно линейно получить из
(х + az)q, (х + az)p - (у + 0z)q, (у + 0z)p,
(х + az)p + (у + /3z)g + 2z(r - ар - /?д).
Под G мы в свою очередь понимаем произвольную группу,
удовлетворяющую поставленным условиям. Мы снова введем новые переменные
х1 = х + az, у' = У + (3z, z1 — z
и получим вместо G новую группу С, содержащую в окрестности х1 —
= у1 = z1 = 0 семь инфинитезимальных преобразований вида
V + • • • , ?' + • • • , г; + ... ,
ху + ... , х'р' - y'q' + • • • , у V + • • • , (29')
хV + У V + 2г'г' Н •
При этом нам заведомо известно, что имеет место соотношение вида
(?' + ••-, q' + •••)= г' + V + /V + • • • ,
где опущенные члены имеют порядок 2 и выше.
Группа С может еще содержать инфинитезимальные преобразования
второго и более высокого порядка от х', у', z', скажем, до 5-го порядка
включительно, а именно, пусть
J Zs дх' Пе ду' ^s dz'
— одно из ее преобразований s-ro порядка от х', у', z'.

Как и в прошлом случае, легко видеть, что ^ и Vs должны быть
независимыми от z''. Кроме того, х1 и у' не могут входить в (Js, иначе в результате
многократной комбинации с г' + • • • и, если надо, еще с р1 + ♦ ♦ ♦ , qf + ♦ ♦ ♦
получилось бы не существующее в этой группе преобразование первого
порядка от х\ у', z1. Следовательно, B^f имеет вид
^(x',y').p' + r1's(x',y')-q' + C-z'sr' + ---.
Если бы С было отлично от нуля, то при помощи (s — 1)-кратной
комбинации с г' + ♦ ♦ ♦ получилось бы недопустимое преобразование первого
порядка, а именно, z'r' H , следовательно, С должно обращаться в нуль.
Но тогда, точно так же, как и в предыдущем параграфе, мы получаем, что
возможность s > 1 исключается, то есть что G не содержит ни одного
инфинитезимального преобразования, независимого от семи
преобразований (29/).
Для шести первых преобразований из (29') мы, как и прежде, введем
символы Р, Q, R, XQ, ХР — YQ, YP и, кроме того, положим х'р1 + у V +
+ 2zV + • • • = U; тогда непосредственно получим
' (XQ, ХР - YQ) = -2XQ, {XQ, YP) = XP- YQ,
{YP,XP-YQ = 2YP, (30)
^ (XQ, U) = 0, {ХР - YQ, U) = 0, {YP, U) = 0.
Далее имеют место соотношения вида
з
{PU) = Р + ^ацТг + ри,
г=1
3
(QU) = Q + J>^ + 5C/,
г=1
где Г1,Г2,Гз записаны для краткости вместо XQ,XP — YQ,YP. Если
здесь ввести правые части в качестве новых Р и Q соответственно, то
получится просто
(PU) = P, (QU) = Q. (31)
Тоэклество
((РОД) + (ОД)Р) + ((ТгР)и) = о
теперь сразу дает значение (PTi), и таким же образом мы получим
значение (QTi), а именно,
UP,XQ) = Q, (P,XP-YQ) = P, (P,YP)=0,
\(Q,YP) = P, (Q,XP-YQ) = -Q, (Q,XQ) = 0. l '

Положим, как и в предыдущем случае, (PQ) = R и в результате построения
тождеств
((PQ)Ti) + ((QTi)P) + ((TiP)Q) = О,
((PQ)U) + (QP) - (PQ) = 0
(33)
найдем соотношения
f (Д, XQ) = (Д, ХР - YQ) = (Д, YP) = 0,
\(RU) = 2Д.
Наконец,
з
(PR) = a'P + /3'Q + УД + ^ #Г, + e'tf,
но из тождества
((PR)U)+2(RP)-{PR) = 0
непосредственно следует, что а1 — /?' = • • • = е1 — 0, то есть имеют место
соотношения
(PQ) = R, (PR) = (QR)=0. (34)
Тем самым все соотношения между семью инфинитезимальными
преобразованиями группы G1 приведены к каноническому виду.
Очевидно, что G содержит шестипараметрическую группу, а именно,
ту, что порождена шестью инфинитезимальными преобразованиями
P,Q,R,XQ,XP-YQ,YP.
Поскольку эта шестипараметрическая группа удовлетворяет поставленным
в начале параграфа условиям, то путем введения подходящих новых
переменных ее можно привести к виду
р, q + zr, r, xq + -x2r, xp - yq, ур + -у2г. (35)
Новый вид £р + щ + £г, который С/ принимает при соответствующей
замене переменных, задается из соотношений
(PC/) = Р, (ДС/) = 2Д, (Qtf) = Q,
(хр-уд,с/) = о.

Они дают следующие дифференциальные уравнения:
дх ' дх дх дг дг дг
ду дг ду дг ду дг
д^_ (%_,_ ^П__ &П _ <К__ ^С_0
дх ду дх ду дх ду
из которых после интегрирования получается
£ = х, г; = у, C = 2(z + c).
Если, наконец, ввести г + с в качестве нового г, в результате чего
подгруппа (35) не изменится, то U примет вид
U = хр + yg + 2zr
и будет, очевидно, удовлетворять также соотношениям
(XQ, С/) = (УР, С7) = 0.
Согласно этому, группа G' в новых переменных ж, у, z принимает вид
р, <? + хг, г, xq + ^x2r, xp-yq, yp + т;У2г,
хр + yq + 2гг.
(36)
Все инфинитезимальные преобразования (36), как показывает
таблица (11) на стр. 465, являются инфинитезимальными контактными
преобразованиями. Таким образом, группа (36) — это группа контактных
преобразований плоскости х, z, причем неприводимая, поскольку она содержит
шестипараметрическую группу (35), которая, согласно стр. 481, является
неприводимой. Отсюда, как и в предыдущем параграфе, непосредственно
следует
Теорема 67. Если группа контактных преобразований
плоскости х, г, инфинитезимальные преобразования которой
ведут себя в окрестности системы значений х = у = г = 0
регулярно, содержит семь независимых инфинитезимальных
преобразований вида
£>+••• , ?+•••, Г + -" ,
(х + az)q Н , (х + аг)р - (у + (5z)q Н , (у + /3z)p H ,
(х + аг)р + (у + 0z)q + 2г(г - ар - 0q) H ,

и если она не содержит ни одного инфинитезимального
преобразования первого порядка от x,y,z, члены первого порядка
которого нельзя было бы линейно вывести из
(х + az)q, (х + az)p - (у + (3z)q, (у + (3z)p,
(х + az)p + (у + /3z)q + 2z(r - ар - 0q),
то эта группа является семипараметрической и подобна
неприводимой группе
\ р, q + xr, г, xq + ^x2r, xp - yq, yp + -у2г, _
ХР + УЯ. + 2zr
контактных преобразований плоскости х, z посредством
некоторого контактного преобразования этой плоскости.
Характеристические функции инфинитезимальных контактных
преобразований (36), с точностью до перестановки и числовых множителей,
будут следующими:
1, х, у, z- ±жу, х2, ху, у2.
§104
Из изложенных на стр. 471 различных четырех случаев осталось еще
рассмотреть третий и четвертый.
В третьем случае речь идет об описании всех групп контактных
преобразований, содержащих восемь независимых инфинитезимальных
преобразований вида
р+... , <?+.•• , Г + -- ,
xq Н , хр - yq + • • • , ур + • • • , zp -\ , zq -\ ,
при этом предполагается, что в любом инфинитезимальном преобразовании
группы, имеющем первый порядок по х, у, z, члены первого порядка могут
быть линейно получены из
xq, xp-yq, yp, zp, zq.

Инфинитезимальные преобразования
q H , zp H
имеют две характеристические функции, разложения в ряд которых
соответственно таковы:
—х — az Л , yz + xz2 + • • • ,
где а и к обозначают константы, которые пока нельзя точно
определить. Поэтому, согласно стр. 465, инфинитезимальное преобразование
((?+•••, zp+ • • •) имеет характеристическую функцию
+ ^(х + az) • -^(yz + xz2) + • • • = z + • • • ,
где опущенные члены — второго порядка и выше по х, у, z.
Инфинитезимальное контактное преобразование с характеристической функцией z-\
имеет, как легко убедиться (ср. стр. 465), следующий вид:
-(yq + zr) + А • xq + fi(xp - yq) + и • yp + 7Г • zp + g • zq -\ ,
где A, /i, v,-k,q — некоторые константы и где опущенные члены имеют
второй или более высокий порядок по х, у, z.
Однако в нашем случае участие такого инфинитезимального
преобразования исключено, следовательно, мы приходим к противоречию.
Тем самым доказано, что групп с требуемым свойством вообще не
существует.
Переходим к четвертому и последнему случаю.
Требуется найти все группы контактных преобразований
плоскости х, z, которые содержат девять инфинитезимальных преобразований
вида
P = p + ---,Q = q + ---,R = r + ---,
XQ = xq + -.. ,XP-YQ=xp-yq + --- ,YP = yp + --- , (37)
У = xp + yq + 2zr + • • • , ZP = zp + • • • , ZQ = zq + • • • .
Предполагается, что эти группы не содержат ни одного
инфинитезимального преобразования первого порядка от х, у, z, члены первого порядка
которого нельзя было бы линейно получить из
xq, хр — yq, yp, xp + yq + 2zr, zp, zq.

Кроме того, вспомним, что изначально нам известно о существовании
соотношения вида
(Р + ''' , Я + •••) = г + ХР + М + ''' >
где опущенные члены от х, у, z — первого и более высокого порядка
(см. стр. 467).
Под G мы снова понимаем некоторую группу, удовлетворяющую
поставленным условиям.
Поскольку инфинитезимальные преобразования ZP и ZQ имеют
характеристические функции вида yz + az2 + • • • и — xz + /?z2 + • • •,
то (ZP,ZQ), которое, разумеется, также принадлежит группе G, имеет,
согласно стр. 465, характеристическую функцию — z2 + • • •, а значит,
следующий вид:
(ZP, ZQ) = 6 • р + т • 9 + *2г + • • • ,
где ^2 и 772 — целые однородные функции второй степени от х, у, z, тогда
как порядок опущенных членов больше 2. Пусть теперь в группе G
имеются другие инфинитезимальные преобразования, порядок которых по х, у, z
больше 1 и, скажем, меньше либо равен s, и пусть
— некоторое преобразование 5-го порядка из G. Как и в § 102, здесь прежде
всего получается, что £5 должна иметь вид C-zs. Если s > 2, то в результате
комбинации B^f с ^2Р + ??2P + z2^ H мы получим преобразование (s +
+ 1)-го порядка
^+iP + r7s+ig + C-zs+1r + --- ,
следовательно, С должно иметь нулевое значение; если же s = 2, то можно
при помощи £2Р + ЩЯ + ^2r H исключить С. Таким образом, в любом
случае мы придем к преобразованию вида
€s(x,y,z)p + Vs(x,y,z)q + --- .
Повторно комбинируя это преобразование с zp + • • • и zq + • • •, мы в
результате получаем
Azsp + Bzsq H ,
где А и В не могут оба обращаться в нуль, а при помощи комбинации
с xq + • • • и ур + • •• находятся преобразования zsp + • • •, zsq -\ .

Выражения
суть инфинитезимальные преобразования (sH-l)-ro порядка и потому
должны тождественно обращаться в нуль. Это дает
^2_sz = 0 — - sz = 0 ^ = ^2 = О
<Эх ' ду ' <Эх cty
или
^2 = SXZ + 1 • Z2, 772 = S?/Z + Ш • Z2.
В результате комбинации <^2Р + 7?2<7 + z2r + • • • с г + • • • мы получаем
преобразование первого порядка
(sx + 2lz)p + (sy + 2mz)q + 2zr H ,
которое должно содержаться в G. Но это возможно только тогда, когда 5 = 1,
а этот случай как раз исключен.
Тем самым доказано, что помимо инфинитезимальных преобразований
G не может содержать ни одного преобразования, порядок которого
по х, у, z был бы больше 1.
Для задания £2 и щ заметим, что выражения
(*£ + •••, &Р + V2Q + z2r + --),
{zq + --- , &Р + mq + z2r H )
должны обращаться в нуль, потому что в противном случае они давали бы
инфинитезимальные преобразования второго порядка, которые входили бы
в G, но не имели бы вида &Р + V2Q + z2r + • • •. Отсюда мы по аналогии
с предыдущим имеем
£2 = xz + lz2, 772 = yz + mz2
и, наконец, комбинируя с xq + • • •, ур + • • •, получаем, что I и т равны
нулю.

Согласно этому к уже указанным девяти инфинитезимальным
преобразованиям (37) группы G добавляется еще лишь одно, а именно,
V = xzp + yzq + z2r -\ ,
причем согласно вышеизложенному (ZP, ZQ) — V.
Теперь мы перейдем к тому, чтобы выписать соотношения, имеющие
место между десятью инфинитезимальными преобразованиями группы G.
При этом, как это уже было сделано в § 103, мы иногда будем обозначать
выражения XQ, ХР — YQ, YP кратко через Ti, Т2, Т3. Непосредственно
получаем
' (XQ, V) = {ХР - YQ, V) = (YP, V) = 0,
(ZP,F) = (ZQ,V) = 0, (UV) = 2V, (38)
(ZP,ZQ) = V.
Кроме того, имеют место соотношения вида
{1iU)=aiV (i = 1,2,3),
{ZP, U) = -ZP + 6V, {ZQ, U) = -ZQ + cV.
Добавляя к каждому из преобразований Т^, ZP, ZQ подходящее кратное V,
мы можем привести а$, b и с к обращению в нуль без изменения
соотношений (38) и таким образом получаем
Г (ZP, U) = -ZP, (ZQ, U) = -ZQ,
\{XQ,U) = (XP-YQ,U) = {YP,U)=0. [ }
Образуя тождество между Т^Т^ и U, мы находим (поскольку {Till)
и (T^U) обращаются в нуль), что ((Т^Т^С/) тоже всегда равно нулю. А
поскольку (TiTx) имеет вид 8ixTj-\-PixV9 где 8^ принимает одно из значений
—2, +1, +2, то fax должно быть равно нулю и справедливо следующее:
UXQ,XP-YQ) = -2XQ, (YP,XP-YQ) = 2YP,
\{XQ,YP)=XP-YQ. K }
Если ZP и ZQ обозначить через S\ и S2, то будут иметь место
равенства вида

где с может иметь значения 0, 1, —1. Однако тождество
((тми) - (5хго = о
показывает, что 7г*г обращается в нуль, следовательно,
t(ZP,XQ) = ZQ, (ZP,XP-YQ) = ZP, (ZP,YP) = 0,
\(ZQ,XQ) = 0, (ZQ,XP-YQ) = -ZQ, (ZQ,YP) = ZP. { '
В уравнении
(RU) = 2R + £ щТг + £ P*S„ + 4U + 6V
введем
R+\{Y,<*iTi+4U) + \Y,PxS» + \5V
в качестве нового R и получим (RU) = 2R. Далее, (RV) = U + aV, но
тождество
((Д10С0 = -2(V72) - 2(RV)
показывает, что а обращается в нуль, стало быть, (RV) = U. Далее мы
имеем
(RT%) = £ Х{Тг + £ VxS» + vU + тгУ,
но из тождества
((ДГ0С7)-2(ЛГ<) = 0
немедленно следует (RT^) = О. Таким образом, имеют место соотношения
URV) = U, (RU) = 2R,
\(R,XQ) = (R,XP-YQ) = (R,YP) = 0. К '
Преобразования Р и Q мы отнормируем так, что
(R, ZP) = Р, (R, ZQ) = Q. (43)
Затем, памятуя о том, что (RTi) — 0 и (TiSx) — e^Sj, составим тождества
((RSi)TH) + ((SiT„)R) + ((T„R)Si) = 0.
Мы находим
((P,XQ) = Q, (P,XP-YQ) = P, (P,YP) = 0,
\(Q,XQ) = 0, (Q,XP-YQ) = -Q, (Q,YP) = P. { '

Точно так же тождества
((RS„)V) + ((SXV)P) + ((VR)S„) = О,
{(RS„)U) + ((5Х£/)Д) + ((UR)S„) = О
показывают, что имеют место соотношения
(PV) = ZP, (QV) = ZQ,
(PU) = P, (QU) = Q. K }
Два следующих тождества
((Р, ZP)YP) = О, ((Р, ZP)XP - YQ) - 2(Р, ZP) = О
позволяют увидеть, что в выражении
(Р, ZP) = a'-XQ + ff- (XP - YQ) + Y-YP +
+ 5' -ZP + e' -ZQ + d' -U + x' -V
все коэффициенты обращаются в нуль, за исключением У, то есть
что (Р, ZP) — У ■ YP. Далее мы имеем
((Я, ZF)ZQ) + (VR) + ((ZQ, R)ZP) = 0,
((Р, ZP)XQ) + (ZQ, P) - (Q, ZP) = О,
откуда следует
(Р, ZQ) - (Q, ZP) = U, (Р, ZQ) + (Q, ZP) = -ЦХР - YQ)
ИЛИ
(P,ZQ) = \lJ-\i(XP-YQ),
(Q,ZP) = -\и -\i(XP -YQ).
Из тождества
((P,ZP)Z<5) + (VP) + ((ZQ,P)ZP)) = 0
следует теперь
-i zp-zp- ±zp -17' • zp = 0,

то есть У — — 1? а тождество
((Q,ZP)XQ) + (ZQ,Q) = 0
дает еще (Q, ZQ) = XQ. Итак, имеют место соотношения
'(P,ZP) = -YP, (P,ZQ) = \(ХР - YQ) + \U,
(Q, ZQ) = XQ, (Q, ZP) = I(XP - FQ) - \и.
(46)
((Л, ZP)Q) - \(ХР -YQ-U,R) = 0
Образуя тождества
((PK)U)) - 3(РР) = О,
мы немедленно получаем (PR) = 0, а также (QP) = 0. Наконец, из
тождества
мы еще находим соотношение (PQ) = Л. Следовательно,
(РД) - (QP) - 0, (PQ) = Р. (47)
Тем самым все соотношения между десятью инфинитезимальными
преобразованиями группы G приведены к простому каноническому виду. Итак,
семь инфинитезимальных преобразований
Р, Q, Д, XQ, XP-YQ, YP, U,
очевидно, порождают семипараметрическую подгруппу группы G, и эта
подгруппа, согласно теореме 67 (стр. 487), является подобной группе
р, q + хг, г, xg + -х2г, хр - yg, ур + -y2r,
хр + yq + 2zr
посредством контактного преобразования плоскости х, z. Поэтому если
предположить, что в силу этого контактного преобразования в G введены
новые переменные, то получится
Р — Vi Q = q + xr, R — г, U — хр 4- yq 4- 2zr,
XQ - xg + |х2г, ХР - FQ = хр - yq, YP = yp+ ^y2r.

Новый вид £р + щ + £г, который принимает преобразование ZP в
новых переменных, задается соотношениями
(Р, ZP) = -(ур + \у2т), (R, ZP) = р,
(Q,ZP) = -(yq + zr), (U,ZP) = ZP,
которые дают
дх
дх
1-.2
У ,
dz ' dz dz '
<9£ а?? 9т? ас о»С
оу аг оу oz ay oz
ду
xtx+yfy+2zfz-^ 4f+yS+24H^
Отсюда мы находим
дх ду dz
1Л.2
£ = z-xy, г] = --у, £ = --Ху,
следовательно,
ZP = {z- ху)р - ±yzq - ^ху2г.
Ir2.
Далее, (ZP,XQ) = ZQ9 то есть:
ZQ = yX2p + zq + xzr,
и, наконец,
(ZP, ZQ) = V = (xz - \x2y)p + (yz - \xy2)q + (z2 - \x2y2)r.
Наша группа G принимает в новых переменных следующий вид:
р, q + ат, г, xg + ±х2г, хр - уд, ур + ±y2r,
xp + yq + 2zr, (z — xy)p — ^y2q — \xy2r, ~x2p + zq + xzr,
(xz - \x2y)p + (yz - \xy2)q + (z2 - ^x2y2)r.
(48)

Все десять инфинитезимальных преобразований (48) оставляют
уравнение Пфаффа dz — ydx — О инвариантным и потому являются инфини-
тезимальными контактными преобразованиями плоскости х, z\ а именно,
их характеристические функции, с точностью до перестановки и числовых
множителей, выглядят следующим образом:
1, X, у, Z - |ху, X2, ху, У2,
X(Z - ixy), y(z - |ху), (z - |xy)2.
В соответствии с этим группа (48) является группой контактных
преобразований плоскости х, г, причем, очевидно, неприводимой, так как содержит
шести- и семипараметрическую подгруппы, обе являющиеся
неприводимыми [группа (27) на стр. 481 и группа (36) на стр. 487].
Теперь мы можем сформулировать следующую теорему.
Теорема 68. Если группа контактных преобразований
плоскости х, z, инфинитезимальные преобразования которой
ведут себя в окрестности системы значений х = у = z = 0
регулярно, содерэ/сит девять независимых инфинитезимальных
преобразований вида
р + ... , q + ... , r + --- ,
xq Н , хр - уд + ♦ ♦ ♦ , ур -\ ,
хр + yq + 2zr H , zp Ч , zq H
w «e содержит ни одного инфинитезимального преобразования
первого порядка по x,y,z, члены которого нельзя было бы
линейно вывести из
xq, xp-yq, ур, zp, zq, xp + yq + 2zr,
то эта группа является десятипараметрической и содержит
еще одно инфинитезималъное преобразование второго
порядка, имеющее следующий вид:
xzp + yzq + z2r -\ ,
в то Dice время она является подобной неприводимой группе
p,q + xr,
xp + yq + 2zr, (z
r, xq + |
- xy)p -
(xz - \x2y)p + (yz -
x2r, xp — yq,
1„2„ 1^,2
-y q - -xy
- \xy2)q + (*
yp+\y2r,
1 9
г, 2х P + Z(l +
:2 - \x2y2)r,
xzr,

контактных преобразований плоскости х, z посредством
некоторого контактного преобразования этой плоскости.
Подытоживая результаты всей главы, мы получаем следующую
теорему.
Теорема 69, Всякая конечная непрерывная неприводимая
группа контактных преобразований плоскости х, z является
шести-, семи- или десятипараметрической и подобна
посредством некоторого контактного преобразования плоскости x,z
группе (27) на стр. 481 или группе (36) на стр. 487, или же
группе (48) на стр. 496.5
5Lie, Gottinger Nachrichten, декабрь 1874 г.; Theorie der Transformationsgruppen, IV, V, Archiv
for Mathematik, Христиания, 1878 и 1879 гг. Метод, используемый в предыдущей главе для
вывода утверждений, уже рассматривался в последней из упомянутых работ.

Глава 24
Дальнейшие соображения
о неприводимых группах контактных
преобразований плоскости
В предыдущей главе мы описали все неприводимые группы
контактных преобразований плоскости и выяснили, что существует лишь три типа
таких групп: шести-, семи- и десятипараметрические группы. Теперь мы
хотим подробнее рассмотреть те три группы, которые мы нашли в
предыдущей главе как представители этих трех типов. Прежде всего, мы
исследуем структуру этих групп и ответим на наиболее важные в этой связи
вопросы: мы найдем инвариантные подгруппы всех трех групп и, в
частности, обнаружим при этом, что десятипараметрическая группа является
простой. Сюда же относится проведенное в одном из последующих параграфов
(§ 111) данной главы описание наибольших подгрупп десятипараметриче-
ской группы. Далее мы поставим вопрос о дифференциальных
уравнениях наименьшего порядка, остающихся инвариантными под действием этой
десятипараметрической группы. И в заключение займемся теми группами
точечных преобразований, которые изоморфны нашей
десятипараметрической группе контактных преобразований плоскости и содержат наименьшее
число переменных.
§105
В этом параграфе мы опишем все инвариантные подгруппы тех
трех неприводимых групп контактных преобразований, что были найдены
в предыдущей главе. Начнем с шесшмпараметрической группы
р, q + xr, r, xq+-x2r, хр - yq, ур-\-^у2г. (1)
Инвариантная подгруппа д группы (1) всегда содержит инфинитезимальное
преобразование вида
ар + p(q + хт) + 7г, (2)

поскольку из любого инфинитезимального преобразования подгруппы д,
имеющего вид, отличный от (2), в результате комбинации с р или q + xr
получается преобразование вида (2), принадлежащее д. Комбинируя (2)
с q + xr и с р, мы находим, что д одновременно с (2) получает также оба
преобразования аг и /Зг, а отсюда мы можем заключить, что г в любом
случае участвует в инвариантной подгруппе д, так как в противном
случае должно было бы выполняться а — /3 — 0, то есть и 7 обращалась бы
в нуль, так что д не содержала бы ни одного инфинитезимального
преобразования вида (2), а стало быть, вообще никакого инфинитезимального
преобразования.
Очевидно, само г порождает однопараметрическую инвариантную
подгруппу шестипараметрической группы (1), оно даже является ее
выделенным инфинитезимальным преобразованием, поскольку перестановочно
со всеми преобразованиями (1) (см. ч. I, стр. 306).
Если инвариантная подгруппа д группы (1), помимо, г содержит еще
другие инфинитезимальные преобразования, то одно из них во всяком
случае будет следующего вида:
ap + P(q + xr), (3)
так как любое отличное от г преобразование, не имеющее вида (3), дает
в результате комбинации с р или g + xr преобразование (2), в котором а и /3
не обращаются в нуль одновременно. Если же скомбинировать (3) с xp—yq,
xq + \х2г и ур + ^2/2г, то получится
®Р - P(Q + xr), a(q + xr), /Зр,
то есть и р, и q + xr должны встречаться в д, и действительно, р, q + xr, r
является инвариантной подгруппой группы (1).
Наконец, д могла бы помимо p,q + xr, r содержать еще одно инфини-
тезимальное преобразование вида
X(xq + -x2r) + fi(xp - yq) + v(yp + ^y2r), (4)
однако это невозможно, так как в результате комбинации (4) с xq + \х2г
и т. д. немедленно получилось бы, что д содержит все три инфинитезималь-
ных преобразования xq + -x2r и т. д., то есть что она совпадает с
группой (1). Следовательно, в группе (1) нет других инвариантных подгрупп,
кроме двух ранее найденных
г; р, q + xr, r.

Теперь мы займемся семипараметрической группой
- L,2r
(5)
р, q 4- xr, г, х<? + |х2г, хр - у<?, до + |у2г,
[хр -Ь уд 4- 2zr,
возникающей из шестипараметрической (1) путем добавления
преобразования хр + yq 4- 2гг.
Поскольку (1), очевидно, является инвариантной подгруппой
группы (5) и для обеих единственных инвариантных подгрупп группы (1)
г; р, q 4- xr, r
выполняется то же самое, то нам требуется найти лишь те инвариантные
подгруппы группы (5), которые не содержатся в (1). Любая такая
инвариантная подгруппа группы (5), если она m-параметрическая, содержит
(га — 1)-параметрическую подгруппу, принадлежащую группе (1), и в ней
инвариантна (ср. в ч. I утверждение 7, стр. 235, и утверждение 10, стр. 293).
Согласно этому в группе (5) может иметься максимум два типа
инвариантных подгрупп: 1) двухпараметрическая, инфинитезимальные
преобразования которой имеют вид:
V, хр 4- yq 4- 2zr + ap + /3(q 4- xr) +
^ + j(xq + \x2r) + 8(xp - yq) + e(yp + \y2r),
(6)
и 2) четырехпараметрическая вида
i
р, q 4- xr, r, xp + yq + 2zr +
+ У(х<? + ±x2r) +(5;(^Р-w) + ^(yP+ |y2^)-
В первом случае в результате комбинации с р и q + xr нашлись бы два
инфинитезимальных преобразования вида
р 4- (Зг 4- i(q + xr) + 5р,
q 4- xr — ar — 5(g + xr) + ep,
которые сводились бы к fir и —ar соответственно; поскольку это
невозможно, то ясно, что в группе (5) нет ни одной двухпараметрической
инвариантной подгруппы вида (б). Во втором же случае мы видим, что в результате
комбинации с (6) xq 4- \х2т и т. д. 7', 5f, e' должны обратиться в нуль и что
р, q 4- xr, г, хр 4- уд 4- 2zr
является инвариантной подгруппой группы (5).

Тем самым, все инвариантные подгруппы группы (5) найдены.
И наконец, десятипараметрическая неприводимая группа контактных
преобразований
р, q + хт, т, xq+^x2T, хр - yq, ур+^у2т,
xp + yq + 2zt,
(z - xy)p - ±y2q - ±ху2т, zq+±x2p + xzT,
(xz - ^x2y)p + (yz - ^xy2)q + (z2 - ^x2y2)r
(7)
вообще не содержит инвариантных подгрупп. В такой группе, как легко
можно убедиться, должно было бы иметься преобразование вида (2), а
значит, в частности, и преобразование г. Тогда в результате комбинации г с
(z - ху)р - -y2q - -ху2т и т. д.
получилось бы р, q + xr и xp+yg + 2zr, а в результате комбинации этих
преобразований с (z — ху)р Н и т. д. — все оставшиеся преобразования (7).
Полученные результаты дают следующую важную теорему.
Теорема 70. Десятипараметрическая неприводимая группа
р, q + хт, т, xq + |x2r, xp - yq, yp + \y2r,
xp + yq + 2zt,
(z - xy)p - ^y2q - ^xy2T, zq + ^x2p + xzt,
(xz - \x2y)p + (yz - \xy2)q + (z2 - ^x2y2)r
(7)
контактных преобразований плоскости x,z является простой.
Семипараметрическая неприводимая группа
(р, q + хт, т, xq + ±x2r, xp - yq, yp + ±y2r,
\xp + yq + 2zt
содержит четыре инвариантные подгруппы, а именно, шести-
параметрическую неприводимую
р, q + хт, т, xq + -х2т, хр - yq, yp+ -у2т (1)

и, кроме нее, еще три следующие:
р, q + xr, г, xp + yq + 2zr;
р, q + xr, r;
г.
И наконец, шестипараметрическая неприводимая группа (1)
содерэюит две инвариантные подгруппы, а именно,
р, q + xr, r и г.
§106
Группы (1), (5), (7) — это три неприводимые группы контактных
преобразований плоскости х, г, и, следовательно, они не оставляют
инвариантными ни семейство всех оо2 точек, ни семейство
ф(х, z,a, b) = 0
из оо2 кривых плоскости х, z. Поэтому заведомо не существует никакого
обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка
d2z , dz\
которое оставалось бы инвариантным при действии одной из наших трех
групп. Зато могут иметься обыкновенные дифференциальные уравнения
третьего порядка, которые наши три группы допускают.
Чтобы найти эти дифференциальные уравнения третьего порядка, мы
рассмотрим z как функцию от х, а у — как производную от z по х и
продолжим десять инфинитезимальных преобразований (7) по правилам главы 22,
добавив производные второго и третьего порядка от z. Если при этом
применить сокращения
то мы
вания:
У =
dz _
dx
■■г',
drz ii
dx2
получим следующие продолженные
V
г
дает
дает
дх"
df
dz'
d3z
' dx3
= z'",
инфинитезимальные
преобразо

xr + q
1 2
2х г + q
xp-yq
УР + 2y2r
xp + 2zr + yq
Три прочих продолженных инфинитезимальных преобразования мы из-за
их громоздкости записывать не будем, а лишь заметим, что все они
придают z,n приращение, содержащее множитель z,n и таким образом
обращающееся вместе с г'" в нуль.
Пять первых из вышеупомянутых инфинитезимальных
преобразований р и т.д., очевидно, порождают пятипараметрическую группу, которая
содержится в каждой из наших трех неприводимых групп. В результате
продолжения из этой группы получилась пятипараметрическая группа от
пяти переменных х, z, 2/, z", z,n', причем просто транзитивная группа,
поскольку определитель пяти ее инфинитезимальных преобразований
имеет не обращающееся в нуль значение г'". Отсюда следует, что уравнение
z'" = 0 является единственным уравнением вида z'n — х(х, z,z'•> %")•>
которое остается инвариантным при действии упомянутой пятипараметриче-
ской группы. Поскольку г'" — О допускает также и пять остальных
продолженных инфинитезимальных преобразований — при каждом из них z'"
получает приращение, обращающееся в нуль одновременно с z"\ — то
уравнение г'" — О допускает любую из наших трех неприводимых групп и,
кроме того, является единственным дифференциальным уравнением третьего
порядка, для которого это выполняется. Мы можем добавить, что десятипа-
раметрическая группа (7) является наибольшей непрерывной группой
контактных преобразований, относительно которой дифференциальное
уравнение zin — О остается инвариантным. А именно, наибольшая непрерывная
группа с таким свойством сама является неприводимой, поскольку
включает в себя десятипараметрическую неприводимую группу (7), кроме того,
она является конечной1, стало быть, согласно теореме 69 (стр. 498), она не
может содержать более десяти параметров, то есть совпадает с группой (7).
1 Обыкновенное дифференциальное уравнение между хи z, порядок которого больше двух,
никогда не допускает бесконечного числа независимых инфинитезимальных контактных
преобразований.
ДаСТ Хд-г + д?>
1 2df df df
df , df „ „ df n ,„ df
дает ^/ + 1^_^*|4_зг«г«'а/
дх 2 dz dz" dz
df n df , df ,„ df
ДЗеТ X/X+2z/z+Zd?-Z ЭФ'
///'

Таким образом, имеет место
Теорема 71. Всякая неприводимая группа контактных
преобразований плоскости оставляет инвариантным только одно
дифференциальное уравнение третьего порядка. Если группа
посредством подходящего контактного преобразования
приведена к одному из трех видов (1), (5) или (7) (см. стр. 502), то
такое дифференциальное уравнение принимает вид
dx* '
где х и z — координаты точек на плоскости. В
частности, наибольшей неприводимой группой контактных
преобразований плоскости x,z, оставляющей указанное
дифференциальное уравнение инвариантным, является десятипараметри-
ческая неприводимая группа (7).
Предыдущую теорему мы можем сформулировать также следующим
образом. При действии неприводимой группы контактных преобразований
плоскости х, z инвариантным остается одно-единственное семейство из оо3
кривых этой плоскости; если группа приведена посредством
подходящего контактного преобразования к одному из трех видов (1), (5) или (7)
(см. стр. 502), то уравнение этого семейства будет таким:
z = а + 2Ьх + сх2;
само семейство состоит, таким образом, из всех оо3 конических сечений,
касающихся бесконечно удаленной прямой в одной и той же точке, то есть
из всех конических сечений, имеющих один (бесконечно удаленный) общий
линейный элемент.
В одном из последующих параграфов (§110) мы подробнее займемся
вопросом об инвариантных дифференциальных уравнениях, однако
ограничимся при этом главным образом десятипараметрической группой (7).
§107
Если в неприводимую группу контактных преобразований
плоскости х, z ввести в силу контактного преобразования
3 = 7(*>а;>У)> ? = а(г,х,г/), X) = 0(z,x,y)

новые переменные з>?>9> т0 мы> конечно, получим неприводимую
группу контактных преобразований плоскости £,з- Таким образом, существует
некоторое контактное преобразование, приводящее нашу десятипараметри-
ческую группу (7) к другому замечательному простому виду.
Это контактное преобразование задано уравнением
4?(г-з)+*2 = 0,
из которого мы по правилам гл. 1, стр. 13, в качестве уравнений контактных
преобразований найдем следующие:
x = 2i- v^J, (8)
Очевидно, что
dz — ydx = di — tjdy,
то есть д имеет значение 1, и потому характеристические функции тех ин-
финитезимальных преобразований, в которые инфинитезимальные
преобразования (7) переходят под действием контактного преобразования (8),
получаются, если ввести в характеристические функции
1, х, у, х2, ху, у2, z - ^ху, x(z - ^ху), y(z - g^y), {z - ^ху)2
преобразований (7) новые переменные з, h 9- Если это проделать, то,
опустив несущественный множитель \/^1, мы получим следующие
характеристические функции:
О»)
Следовательно, это и есть тот вид, который группа (7) принимает в новых
переменных j,y, g.
Представляется интересным записать группу (9) как группу
однородных контактных преобразований от четырех переменных х\, Х2, Рь Р2- Для
этого нам надо лишь положить
Pi

и еще умножить все характеристические функции из (9) по отдельности
нар2 (ср. стр. 313, утверждение 10). Таким образом мы найдем следующую
группу однородных контактных преобразований
\PU XipU х1ри Р2,Х2Р2, AV2, ц0ч
\\/V\V2, Xiy/pip2, X2y/piP2, XiX2y/PlP2,
вид которой обнаруживает некоторую симметрию.
Семейство кривых
z — а-\- 2Ьх + сх2,
остающееся инвариантным относительно группы (7), при контактном
преобразовании (8) превращается естественным образом в семейство кривых,
инвариантное относительно группы (9). Если мы хотим найти уравнение
этого нового семейства кривых, то нам надо применить к двум следующим
уравнениям,
z — а + 2Ьх + сх2, у = 2Ь + 2сх,
контактное преобразование (8) и из получающихся уравнений:
3 + зд = а + 46?у^ - 4су2Г),
-у/11*) = 26 + 4с? - у/-х},
исключить Г). Мы получим уравнение
4с?з + 4(62 - ас)? + з - а = 0, (11)
представляющее все конические сечения, которые проходят через две
определенные (бесконечно удаленные) точки.
Само собой разумеется, что группа (9) является наибольшей
непрерывной группой контактных преобразований, оставляющей семейство
кривых (11) инвариантным.
Наконец, посредством точечного преобразования
3 = z — ix, i — z-\-ix (12)
плоскости ?, з мы хотим сместить те две точки, через которые проходят оо3
конических сечений (11), в две бесконечно удаленные точки окружности.

При этом семейство кривых (11) переходит в семейство всех оо3
окружностей
4с(х2 + z2) + 4(62 - ac)(z + ix) + z - ix - а = 0 (13)
плоскости х, z.
Для того, чтбы найти десятипараметрическую группу контактных
преобразований, относительно которой семейство (13) остается
инвариантным, нам необходимо продолжить точечное преобразование (ср. стр. 6)
и применить полученное таким образом контактное преобразование
3 = z — ix, i = z + ix,
y-i (14)
к группе (9). А поскольку в силу (14) имеет место уравнение
dl -ncfr = ——.{dz-ydx),
У "г 1
то нам надо лишь (ср. стр. 276, теорема 45) применить контактное
преобразование (14) к характеристическим функциям (9), а затем перемножить
каждую из этих функций с (у + г); множитель ^ можно, разумеется,
опустить. Таким способом из группы (9) мы получим следующую новую
группу контактных преобразований:
у + г, (z + ix)y/y2 + l, vV + 1, (z + ix)2(y-i), (z + ix){y-i),
y-i,(z -ix)(y + г), (z2 + x*)y/y2 + l, (15)
(z - ix) \/l + V2, {z - гх)2(у + г).
Вместо десяти мнимых инфинитезимальных преобразований (15) мы
можем, конечно, рассмотреть и десять действительных преобразований
j 1, у, х + zy, z-xy, 2zx + {z2 - x2)y, z2 -x2 -2xzy,
\y/ii^,xy/y^ [ )
Само собой разумеется, что (15') является наибольшей непрерывной
группой контактных преобразований, которая оставляет семейство (13)
всех окружностей плоскости х, z инвариантным.
Группу (15') мы запишем также как группу однородных контактных
преобразований. Если положить
-Pi
x = xi, z = x2, У = ^р^-->

то характеристические функции такой группы однородных контактных
преобразований примут вид
Г pi, P2, *lP2 - X2PU XiPi + Х2р2,
< (х\ -xppi + 2xix2p2i 2xix2p\ + (ж| - s?)p2, (16)
[ Vpl+p'h xi Vp'i+pb x2VpI+pIi (x\ + xl)Vp'I+pI
Первые два из этих преобразований суть инфинитезимальные переносы
плоскости х\,Х2', первые три порождают группу всех движений, первые
четыре — группу всех преобразований подобия этой плоскости; первые шесть
порождают наибольшую непрерывную группу точечных преобразований
плоскости xi,X2, относительно которой окружности переходят в
окружности (наибольшая конечная группа конформных точечных преобразований);
и наконец, у/р\ + р\ — это инфинитезимальный нормальный сдвиг.
Подытоживая основные результаты настоящего параграфа, мы можем
сформулировать следующую теорему.
Теорема 72. На плоскости имеется оо10 контактных
преобразований, переводящих окружности в окружности.
Совокупность этих преобразований образует неприводимую группу
контактных преобразований, не входящую ни в одну большую
конечную непрерывную группу контактных преобразований.
Этой группе подобна посредством некоторого контактного
преобразования всякая десятипараметрическая неприводимая
группа контактных преобразований плоскости и в частности
та десятипараметрическая группа контактных
преобразований, которая оставляет инвариантным семейство всех оо3
конических сечений с общим линейным элементом.
§108
Еще в предыдущей главе мы использовали обстоятельство, что всякая
группа контактных преобразований плоскости может рассматриваться как
группа точечных преобразований трехмерного пространства. Отныне при
исследовании неприводимых групп контактных преобразований плоскости
мы будем главным образом брать за основу эту точку зрения. Но при этом
мы снова исходим из найденных в предыдущей главе видов этих групп, то
есть трех групп (1), (5) и (7) на стр. 502.
Если в только что названных трех неприводимых группах контактных
преобразований плоскости х, z величины х, z, у мы истолкуем как коорди-

наты точек трехмерного пространства, то эти группы будут группами
точечных преобразований пространства x,z,y, а именно, такими группами,
которые оставляют инвариантным уравнение
dz — ydx = 0,
но не оставляют инвариантным ни одно другое отличное от него уравнение
Пфаффа:
а(х, z, y)dx + j(x, z, y)dz + /?(я, z, y)dy = О
(см. стр. 451, утверждение 3).
Являются эти три группы точечных преобразований х, z, у
примитивными или нет?
Семейство оо1 поверхностей tp(x,y,z) — const, пространства x,z,y
не может оставаться инвариантным ни для одной из наших трех групп,
так как одновременно с этим семейством поверхностей оставалось бы
инвариантным также и уравнение Пфаффа dip = 0, отличное от уравнения
dz — ydx = 0, а это исключено.
Поэтому если одна из наших групп импримитивна, то она в любом
случае оставляет инвариантным не семейство из оо1 поверхностей, а лишь
семейство из оо2 кривых пространства х, z, у. Для шести- и семипараметри-
ческой группы мы можем непосредственно задать такое семейство кривых,
поскольку эти две группы, согласно теореме 70 (стр. 502), содержат одно-
параметрическую инвариантную подгруппу г и вследствие этого оставляют
уравнение
dz
или, что то же самое, семейство кривых х = const., у = const,
инвариантным. Поэтому обе группы являются импримитивными, а шестипараметри-
ческая — еще и систатической, поскольку, как уже было сказано на стр. 500,
г является выделенным инфинитезимальным преобразованием шестипара-
метрической группы (ср. утверждение 3, часть I, стр. 559).
Если бы шестипараметрическая группа оставляла другое, отличное от
х = const., у = const, семейство из оо2 кривых инвариантным, то она
df
должна была бы оставлять инвариантным некоторое, отличное от — = 0,
линейное дифференциальное уравнение в частных производных
^'Z' У> ~дх + ^ Z'y'!h+ ^ V'Z'~dy= '

но тогда бы и система уравнений
Ё1-о л^ + /Д-о
дг~°' Хдх+1*ду-0'
а следовательно, и уравнение Пфаффа
II dx — Xdy = 0,
в котором А и /i не равны нулю, оставались бы инвариантными. Согласно
стр. 451, это исключено, а значит, не существует другого семейства из оо2
кривых, кроме х = const., у = const., которое оставалось бы инвариантным
относительно шестипараметрической группы. То же самое верно, конечно,
и для семипараметрической группы, в которую шестипараметрическая
входит в качестве подгруппы.
Наконец, десятипараметрическая группа, подгруппой которой опять-
таки является семипараметрическая, не оставляет инвариантным даже
семейство кривых х = const., у = const., так как она, очевидно, не оставляет
инвариантным уравнение — = 0, то есть является примитивной.
Поэтому мы можем сказать:
Теорема 73, Если трактовать три группы, (1), (5) и (7),
стр. 502, являющиеся неприводимыми группами контактных
преобразований плоскости x,z, как группы точечных
преобразований трехмерного пространства x,z,y, то примитивной
будет лишь десятипараметрическая группа (7), две другие,
напротив, являются импримитивными, а
шестипараметрическая — еще и систатической. Как шести-, так и
семипараметрическая группа оставляет семейство оо2 кривых х = const.,
у — const, инвариантным, но другого такого семейства из оо2
кривых нет, и, в частности, нет семейства из оо1
поверхностей, которое оставалось бы инвариантным относительно
одной из этих групп.
§109
Как группы контактных преобразований плоскости х, z наши три
группы оставляют семейство из оо3 кривых
z — а + 26х + сх2

инвариантным. Но поскольку всякой кривой z — (р(х) плоскости х, z
соответствует кривая пространства х, z,y, удовлетворяющая уравнению
Пфаффа
dz — ydx = О,
а именно, кривая z = (f{x), у = (f'(x), то наши три группы,
рассматриваемые как группы пространства х, z,y, должны оставлять семейство оо3
интегральных кривых
z = а 4- 2Ъх + сх2, у = 26 + 2сх
(17)
уравнения Пфаффа dz — ydx = 0 инвариантным. Поскольку уравнения (17)
можно также записать так:
1 1
z - -ху = а + Ьх, -у = Ъ + сх, (17')
— то вполне можно ввести вместо х, z, у при помощи преобразования
Xi = X,
1
1
* - 2ХУ, У1 = 2^
(18)
новые переменные X\,z\,y\. Таким образом мы получим вместо (17)
линейные уравнения
zi=a + bxi, yi=b + cxi, (19)
которые, если x\,z\,y\ трактовать как прямоугольные координаты
трехмерного пространства, представляют семейство оо3 прямых. Само собой
разумеется, все эти оо3 прямых являются интегральными кривыми того
уравнения Пфаффа, которое возникает из dz — ydx — О в результате
введения Xi, 2/i,zi, то есть интегральными кривыми следующего уравнения
Пфаффа:
dz\ + Х\ dy\ — у\ dx\ — 0. (20)
В новых переменных X\,Z\,y\ вместо наших трех групп (1), (5), (7)
(стр. 502) мы получим соответственно следующие группы точечных
преобразований пространства x\,z\,y\.
Р\-У\Г\, qi+xiri, rb xitfi, xipi-yiqi, yiPi
Р1-У1Г1, qi+xiri, ru xiqu xipi-yiqu ViPu
XiPi +yiqi +2z1r1
(21)
(22)

Pi-J/in, Qi+xiri, ru xiqu xipi-yiqi, ym, Xipi+yiqi+2ziri,
ziPi-yi(xipi+yiqi+ziri), ziqi+x^xipi+yiqi+ziri),
Z\{XiPi +2/101 +Ziri).
(23)
Разумеется, они оставляют инвариантным уравнение Пфаффа
dz\ + x\ dyi - yi dx\ — 0, (20)
но не оставляют инвариантным ни одно другое отличное от него уравнение
\{xx,z\,y\)dx\ + fi(xi,zi,yi)dyi +v(xi,yi,zi)dzi = 0,
кроме того, они оставляют инвариантным семейство из оо3 прямых
zi=a + bx\, у\=Ь + сх\. (19)
Через всякую точку пространства х\, у\, z\, очевидно, проходят в
точности оо1 прямых семейства (19); а поскольку все прямые семейства (19)
удовлетворяют линейному однородному уравнению (20) от dx\,dy\,dz\,
то непосредственно ясно, что оо1 прямых семейства (19), проходящих
через произвольно выбранную точку £1,2/1,2:1, всегда лежат в одной и той
же плоскости. С другой стороны, легко можно убедиться, что на любой
плоскости пространства x\,y\,z\ также лежат в точности оо1 различных
прямых семейства (19), и эти оо1 прямых всегда проходят через некоторую
точку этой плоскости. Согласно этому, семейство из оо3 прямых (19)
устанавливает однозначное соответствие между каждой точкой пространства
rci, г/1, jzti и проходящей через нее плоскостью и между любой плоскостью
этого пространства и лежащей на ней точкой. Всякое преобразование,
принадлежащее одной из трех групп (21), (22), (23), переводит каждую точку
пространства x\,y\,z\ снова в точку, а всякую прямую семейства (19) —
снова в прямую этого семейства, поэтому оно должно также переводить
поставленную в соответствие произвольной точке проходящую через нее
плоскость снова в плоскость и, как следствие этого, вообще любую
плоскость — снова в плоскость. Отсюда следует, что все три группы, (21), (22)
и (23), являются подгруппами общей проективной группы пространства
x\,y\,z\. Но это мы могли бы уже увидеть из инфинитезимальных
преобразований наших групп, поскольку они все проективны (часть I, стр. 608
и ниже).
Трехмерные бесконечные семейства прямых со свойством найденного
выше семейства (19) первоначально рассмотрел Мёбиус, который ввел их

в науку как «нуль-системы»; позднее они использовались, в частности,
Шалей. Плюккер ввел для такого семейства прямых термин «линейный
комплекс линий», или, как можно еще короче сказать, «линейный комплекс».
Плюккер показал, что самый общий линейный комплекс задается
общим линейным однородным уравнением между шестью названными его
именем линейными координатами. В качестве координат прямой линии
пространства x\,y\,z\ он выбрал шесть величин:
#1 ~ #2, Т/1 - 2/2, Z\ - Z2,
Х\У2-У\Х2, y\Z2-Z\V2, ZiX2-XiZ2,
где х 1,г/i,2i и #2,2/2,22 — две произвольные точки на этой прямой.
Если, в частности, три величины #2,2/2,22 бесконечно мало отличаются
от x\,y\,z\ соответственно, то мы приходим к следующим линейным
координатам:
dx\, dy\, dz\, x\dy\ — y\dx\, y\dz\ — z\dy\, z\dx\ — x\dz\.
Однородное уравнение первой степени между этими величинами, то есть
уравнение вида
Adx\ + Bdyi + Cdz\ + D(x\dy\ — y\dx\) +
+ E(y\dz\ — z\dy\) + F(z\dx\ — x\dz\) = 0
с постоянными коэффициентами, представляет тогда самый общий
линейный комплекс пространства #1,2/1,21. Отсюда мы видим, что в
трехмерном пространстве #1,2/1,21 имеется в точности оо5 различных линейных
комплексов. С другой стороны, мы заметим, что уравнение Пфаффа (20)
представляет линейный комплекс, очевидно, тот, что образуется оо3
прямыми (19).
При проективном преобразовании пространства #i,2/i,^i всякий
линейный комплекс этого пространства, разумеется, переходит в некоторый
линейный комплекс. А поскольку в пространстве #ь 2/1, z\ имеется в
точности оо15 проективных преобразований, но лишь оо5 линейных комплексов,
следовательно, всякий линейный комплекс допускает по меньшей мере оо10
проективных преобразований (ср. утверждение 10, часть I, стр. 529).
Вышеизложенные рассуждения это подтверждают, так как они показывают, что
комплекс
dz\ + #1 dyi — 2/1 d#i = 0 (20)
допускает десятипараметрическую проективную группу (23).

На основании того, что нам известно из линейной геометрии, мы могли
бы предположить, что всякий линейный комплекс, состоящий не только из
прямых, которые пересекают фиксированную прямую, может быть
переведен в любой другой посредством проективных преобразований; отсюда мы
можем непосредственно заключить, что всякий такой комплекс допускает
ровно оо10 и не более коллинеаций, и этот вывод применим также к
комплексу (20), поскольку он, очевидно, состоит не только из таких прямых,
которые пересекают некоторую фиксированную. Но нам совсем даже не
нужно использовать эти утверждения из линейной геометрии, мы придем
к тому же результату путем следующих рассуждений.
Десятипараметрическая группа (7) на стр. 502, оставляющая
уравнение Пфаффа dz — ydx = 0 инвариантным, не содержится ни в одной
большей конечной непрерывной группе, которая также оставляет
уравнение Пфаффа dz — ydx = 0 инвариантным; такую группу мы должны были
бы обязательно найти в прошлой главе. То же самое верно, конечно, для
группы (23) по отношению к уравнению Пфаффа dz\ -\-x\dy\ —y\dx\ = 0.
В частности, поэтому группа (23) также не может содержаться ни в одной
большей непрерывной проективной группе, оставляющей линейный
комплекс
dz\ + х\ dyi — у\ dx\ = 0 (20)
инвариантным.
Кстати, можно также совершенно непосредственно убедиться в том,
что десятипараметрическая группа (23) является наибольшей
непрерывной проективной группой, сохраняющей линейный комплекс (20); так,
если ищутся все инфинитезимальные коллинеаций пространства х\, у\, z\,
оставляющие уравнение dz\ + x\dy\ — y\dx\ = 0 инвариантным, то
оказывается, что имеется в точности десять независимых преобразований такого
типа, а именно, преобразования (23).
Наконец, можно было бы еще предположить, что наибольшая
проективная группа Г, оставляющая уравнение Пфаффа инвариантным, состоит
из нескольких разрывных семейств преобразований. Но только и это
неверно, более того, группа Г совпадает с группой (23). Это можно доказать,
связав самым общим образом группу (23) саму с собой голоэдрическим
изоморфизмом; если затем найти самое общее преобразование от #i, y\,z\,
переводящее эту группу в себя, то мы обнаружим, что это самое общее
преобразование как раз и есть самое общее преобразование группы (23).
Выше использовались рассуждения из главы 18 первой части книги,
из которых следует, что группа (23) как наибольшая входящая в Г
непрерывная группа остается инвариантной при всех преобразованиях группы Г.

Методически важно здесь это подчеркнуть, так как подобные рассуждения
очень часто находят практическое применение.
Результаты настоящего параграфа мы обобщим в теореме.
Теорема 74. Всякая десятипараметрическая неприводимая
группа контактных преобразований плоскости x,z является
равносоставленной с десятипараметрической проективной
группой линейного комплекса трехмерного пространства.
Если трактовать оо3 линейных элементов плоскости,
преобразуемых первой группой, как точки трехмерного пространства,
то получится группа точечных преобразований этого
пространства, подобная группе линейного комплекса посредством
точечного преобразования.
Аналогичным образом семипараметрическая неприводимая группа
контактных преобразований (5) (см. стр. 502) является равносоставленной
с семипараметрической проективной группой (22) (см. стр. 512)
трехмерного пространства и, если угодно, подобной ей. Эта семипараметрическая
проективная группа оставляет инвариантным линейный комплекс
dz\ + x\dy\ — y\dx\ = 0
и, помимо этого, еще бесконечно удаленную плоскость, а на этой
плоскости — точку Х\ = у\ = 0, поставленную в соответствие этой плоскости
линейным комплексом. Более того, можно легко убедиться, что группа (22)
является самой общей проективной группой, оставляющей указанные
фигуры инвариантными.
Наконец, шестипараметрическая неприводимая группа контактных
преобразований (1) (см. стр. 502) является равносоставленной с шестипара-
метрической проективной группой (21) (см. стр. 512) и, если угодно,
подобной ей. Последняя отличается от семипараметрической проективной
группы (22) только тем, что оставляет также все объемы пространства x\,y\,z\
инвариантными.
Обе группы, (1) и (5), трактуемые как группы пространства x,y,z,
были импримитивны (ср. стр. 511), точно так же, разумеется, должны быть
импримитивны обе проективные группы (22) и (21) пространства x\,y\,Z\.
Действительно, их импримитивность проявляется непосредственно, ведь
обе они оставляют некоторую точку, а стало быть, и пучок из оо2
проходящих через эту точку прямых инвариантными.
Для многих целей желательно иметь группу линейного комплекса в
однородном виде. Мы зададим этот однородный вид и сделаем несколько
выводов.

Если заменить неоднородные переменные х\, yi, z\, согласно
указанию из части I (стр. 634 и ниже), четырьмя однородными переменными
х\ • • • #4, то группа (23) линейного комплекса dz\ + x\dy\ — y\dx\ — О
принимает вид
Х4Р1 - Х2рз, Х4Р2 + Xip3, Х4Р3
%lP2, Х1Р1 ~ Х2Р2, Х2Р1, Х3рз ~ ХАрА,
ХзР\ + Х2Р4, Х3Р2 ~ Х\РА, ХзРА
(24)
а сам линейный комплекс выглядит так:
X\dx2 — x2dx\ + x±dx3 — £3^X4 = 0- (25)
Из (24) видно, что наша группа может перевести любую точку
трехмерного пространства в любую другую. Это означает в то же время, что
она переводит любую плоскость в любую другую, так как любой точке
пространства посредством линейного комплекса взаимно однозначно
соответствует проходящая через нее плоскость, а всякой плоскости — лежащая
на ней точка.
С другой стороны, если мы зафиксируем какую-либо точку, то при
действии остальных преобразований нашей группы любая проходящая
через эту точку прямая комплекса может, очевидно, перейти в любую другую,
и точно так же любая проходящая через эту точку и не принадлежащая
этому комплексу прямая может перейти в любую другую прямую, а сама
точка может быть переведена нашей группой в любую другую точку, то есть
получается, что любая из оо3 прямых комплекса может быть переведена
в любую другую, и точно так же любая прямая, не принадлежащая этому
комплексу, — в любую другую прямую.
§по
Рассмотрев десятипараметрическую проективную группу линейного
комплекса, можно легко вывести различные новые утверждения о деся-
типараметрической неприводимой группе контактных преобразований (7)
(см. стр. 502). Например, таким образом совершенно несложно понять,
какие семейства кривых плоскости х, z остаются инвариантными
относительно последней группы, при условии, что мы ограничимся семействами с не
более чем восемью параметрами.
Чтобы решить поставленную задачу, необходимо найти все
семейства кривых трехмерного пространства, удовлетворяющих уравнению

dz\ +x\dy\ — y\dx\ = О, допускающих десятипараметрическую
проективную группу (23) и содержащих при этом не более восьми параметров.
Всякая пространственная кривая, принадлежащая семейству с
вышеупомянутым свойством, допускает по крайней мере оо2 коллинеаций
этого пространства и потому является2 либо кубической нормкривой3, либо
плоской кривой; плоской криволинейной кривой она быть не может,
поскольку все касательные этой кривой являются прямыми комплекса, а все
прямые комплекса, лежащие на плоскости, огибают точку, а не кривую;
следовательно, наша кривая является либо пространственной кубической
нормкривой, либо прямой комплекса.
Согласно этому, инвариантным семейством кривых с требуемым
свойством является уже известное нам семейство оо3 прямых линейного
комплекса dz\ + x\dy\ — y\dx\ = 0, любое другое из искомых семейств
кривых должно состоять из кубических нормкривых. Так, нам известно, что
касательные кубической нормкривой всегда принадлежат некоторому
однозначно определенному линейному комплексу, который при всех оо3 кол-
линеациях, оставляющих эту кривую инвариантной, также остается
неподвижным. Обратно, кривые третьего порядка всегда находятся в заданном
соотношении с некоторым линейным комплексом, например, кривая
X!=t, yi=t2, Zl = ~\tZ (26)
— с комплексом dz\ + x\dy\ — y\dx\ — 0, так как она, очевидно,
удовлетворяет уравнению этого комплекса, а также действительно допускает как
раз трехпараметрическую подгруппу десятипараметрическои группы этого
комплекса, а именно,
Pi + 2xi<2i - yiгь xipi + 2yi<?i + З^гь
о 9
SiPi + xiyiqi + xiziri + ziqi - ^у\Р\.
При действии всей десятипараметрическои группы комплекса кривая (26),
конечно, принимает ровно оо7 различных положений.
Из сказанного следует, что любое из искомых семейств кривых, не
совпадающее с семейством всех оо3 прямых нашего линейного комплекса,
содержит в точности семь параметров и состоит исключительно из
кубических нормкривых.
Перенеся эти результаты на десятипараметрическую группу
контактных преобразований (7) (см. стр. 502) плоскости х, z, мы увидим, что эта
2См. Клейн и Ли, Comptes Rendus 1870 г.
3В оригинале gewundene Curve dritter Ordnung. — Прим. перев.

группа, помимо дифференциального уравнения третьего порядка zm = О
(см. стр. 439), оставляет инвариантными еще лишь одно или несколько
обыкновенных дифференциальных уравнений седьмого порядка между z
и х, но никакое другое, порядок которого не превышает восьми. Остается
только явно задать соответствующие дифференциальные уравнения
седьмого порядка. Для этого группу (7) надо продолжить, взяв производные
от z по х до седьмого порядка включительно; тогда в результате
построения детерминантов мы, во-первых, найдем инвариантное
дифференциальное уравнение третьего порядка zl" = 0, а во-вторых, еще одно
инвариантное дифференциальное уравнение седьмого порядка, которое уже нельзя
разложить на множители. Мы не станем выписывать это
дифференциальное уравнение, а ограничимся тем, что сформулируем следующую теорему.
Теорема 75. Всякая десятипараметрическая неприводимая
группа контактных преобразований плоскости оставляет
только два обыкновенных дифференциальных уравнения
инвариантными, порядок которых не выше восьми, а именно, одно —
третьего и одно — седьмого порядка.
§ш
Теперь перейдем к описанию наибольших подгрупп десятипарамет-
рической проективной группы линейного комплекса. Знания об этих
подгруппах являются во многих случаях полезными, в том числе и для теории
интегрирования.
Прежде всего вспомним, что было сказано на стр. 517. Там мы
видели, что десятипараметрическая проективная группа (23) комплекса dz\ +
4- x\dy\ — y\dx\ = О любую из оо3 точек пространства x\,y\,z\ может
перевести в любую другую и точно так же любую из оо3 прямых этого
комплекса — в любую другую. Отсюда следует, что внутри этой десятипа-
раметрической группы (23) — мы назовем ее для краткости Сю — имеются
два различных семейства по оо3 семипараметрических подгрупп в каждом.
Всякая подгруппа, принадлежащая одному семейству, состоит из всех
преобразований группы Сю, фиксирующих определенную точку: вместе с этой
точкой, конечно, остается инвариантной также и плоскость, которая
образуется проходящими через нее оо1 прямыми комплекса. Всякая подгруппа
другого семейства состоит из всех преобразований группы Сю,
оставляющих прямую комплекса инвариантной. Подгруппы каждого отдельно
взятого семейства, разумеется, являются равноправными между собой
внутри Сю-

Представителем первого семейства может служить семипараметриче-
ская группа (22) на стр. 512, у которой инвариантная точка лежит в
бесконечности. Чтобы получить представителя второго семейства, мы выберем
в качестве инвариантной прямой комплекса ось пучка плоскостей у = const.
и найдем таким образом семипараметрическую группу
Pi-yin, qi+xiru xipi-yiqu yiPu
x\P\ + г/191 + 2zirb zipi - yi(xipi + yiqi + zin).
Семипараметрическая группа (27) не является равносоставленной
с группой (22), поскольку в группе (27) нет никакой однопараметрической
инвариантной подгруппы, в то время как (22) содержит однопараметриче-
скую инвариантную подгруппу, а именно, г\.
Действительно, если
S = a(pi - j/iri) + p(qi + хщ) + 7^i + 8(xipi - yiqi) + e • r/ipi +
+ ti{xipi + yiqi + 2ziri) + +x(zipi - yi{xipi + yxqi + zin))
— однопараметрическая инвариантная подгруппа группы (27), то
(rb5) = 2tfn+x(pi-yin)
может отличаться от S только постоянным множителем, то есть и $, и к
должны обращаться в нуль; аналогичным образом, рассмотрев два
выражения
(Pi - У\Ти S) = 2/3 • n + S(pi - з/in),
(<2i + xiru S) = -2a • n - S(qi + xin) + e(pi - у in),
мы видим, что как 5 и е, так и а и /3 обращаются в нуль; наконец,
(5, zipi - yi(xipi + r/igi + zin)) = 7(Pi - J/m)
показывает еще, что 7 не может быть отлично от нуля. Тем самым доказано,
что группа (27) действительно не содержит никакой однопараметрической
инвариантной подгруппы.
Поскольку наша Сю, как мы видели раньше, содержит семипарамет-
рические подгруппы, то ее наибольшие подгруппы мы найдем, если
зададим все ее подгруппы, содержащие семь или более параметров. Это сейчас
будет проделано.

Сначала докажем, что всякая подгруппа группы Сю является импри-
митивной, причем в том смысле, что она оставляет инвариантным
семейство из оо2 кривых, заполняющее пространство x\,y\,z\.
Если мы отобразим точки пространства x\,y\,z\ в силу
уравнений (18), стр. 511, на линейные элементы x,y,z плоскости я, г, то
группе Сю будет соответствовать десятипараметрическая неприводимая группа
контактных преобразований плоскости я, z, в то же время каждой
подгруппе д группы Сю, разумеется, соответствует некоторая группа j контактных
преобразований плоскости. Если j неприводима, то она имеет шесть или
семь параметров, и потому из рассуждений на стр. 509 и ниже следует,
что соответствующая подгруппа д группы Сю является импримитивной
и оставляет семейство из оо2 кривых пространства x\,y\,z\
инвариантным. Если же группа контактных преобразований приводима, то согласно
гл. 23 (стр. 448) на плоскости х, z существует семейство из оо2 элемент-
многообразий Мь инвариантное относительно j, и этому семейству в
пространстве xi,?/i,zi, конечно же, соответствует инвариантное
относительно д семейство из оо2 кривых, удовлетворяющих уравнению Пфаффа dz\ +
+ x\dy\ — y\dx\ = 0, то есть, как можно еще выразиться, инвариантное
относительно д семейство из оо2 кривых линейного комплекса dz\+x\dy\ —
- yidxi = 0.
Тем самым доказано, что всякая подгруппа группы Сю оставляет
инвариантным семейство из оо2 кривых пространства x\,y\,z\\ кроме того,
ясно, что в каждом отдельном случае кривые такого инвариантного
семейства заполняют все пространство, так как непосредственно видно, что через
любую точку пространства проходит кривая этого семейства.
Теперь мы применим этот результат для исследования подгрупп с
семью и более параметрами группы Сю.
Если подгруппа д группы Сю содержит семь или более параметров,
то всякое инвариантное относительно д семейство оо2 кривых допускает
по меньшей мере оо5 проективных преобразований и потому является либо
плоской кривой, либо прямой.
Первый из этих двух случаев, кстати сказать, может возникнуть только
при условии, что это инвариантное семейство кривых состоит не из
кривых комплекса, так как плоские кривые не могут удовлетворять уравнению
dz\ + x\dy\ — y\dx\ — 0, это мы уже видели выше (на стр. 518).
Если этот случай имеет место, то оо2 плоскостей наших кривых
огибают либо инвариантную относительно д криволинейную поверхность, либо
инвариантную кривую или точку. Если же имеет место второй случай, то
мы имеем инвариантное семейство из оо2 прямых, то есть систему лучей,
остающуюся инвариантной относительно д.

Эта система лучей, конечно же, всегда имеет некоторую и, конечно,
тоже инвариантную, фокальную фигуру, а именно, фокальную поверхность,
кривую или точку; возможная фокальная поверхность, разумеется, может
не быть плоскостью.
Итак, мы видим, что всякая содержащаяся в Сю подгруппа д,
имеющая семь или более параметров, оставляет инвариантной либо некоторую
криволинейную поверхность, либо точку.
Выше было показано, что всякая точка пространства х\, у\, z\
допускает лишь оо7 преобразований группы G\q. Поэтому если некоторая точка
под действием д остается инвариантной, то д содержит в точности семь
параметров и идентична наибольшей входящей в Gio подгруппе,
относительно которой эта точка остается инвариантной.
С другой стороны, если д оставляет инвариантной некоторую
криволинейную поверхность, то эта поверхность допускает по меньшей мере оо7
коллинеаций, следовательно, любая из оо1 ее ассимптотических кривых
допускает их оо6, то есть эти кривые не могут быть нормкривыми, а должны,
согласно известному утверждению, быть прямыми линиями. Если бы эта
поверхность была развертывающейся, с нормкривой в качестве ребра
возврата, то эта кривая также должна была бы оставаться инвариантной, а это
невозможно, так как нормкривая допускает только оо3 коллинеаций. С
другой стороны, эта поверхность не может быть вырожденной поверхностью
второго порядка, поскольку такая поверхность допускает лишь оо6
коллинеаций. Следовательно, эта поверхность может быть только конической.
Если же под действием д конус остается инвариантным, то и его вершина
остается неподвижной, таким образом, мы приходим здесь к уже
рассмотренному случаю инвариантной точки.
Остается случай, когда д оставляет инвариантной некоторую кривую.
Эта кривая, очевидно, не может быть нормкривой, кроме того, если бы она
была плоской, но с кривизной, то ее плоскость оставалась бы неподвижной,
а на ней — соответствующая линейному комплексу точка, то есть мы бы
снова получили уже рассмотренный выше случай. Следовательно, эта
кривая должна быть прямой, причем прямой комплекса, так как любая другая
прямая принимает под действием Сю в точности оо4 различных
положений и потому допускает лишь шестипараметрическую подгруппу, а любая
из оо3 прямых комплекса — семипараметрическую.
Тем самым, найдены все подгруппы группы Сю, имеющие семь и
более параметров, поэтому мы можем сказать:
Теорема 76. Десятипараметрическая проективная группа
линейного комплекса в трехмерном пространстве не содержит
подгрупп с более чем семью параметрами, а входящие в нее

семипараметрические группы бывают лишь двух типов: всякая
семипараметрическая подгруппа первого типа состоит из всех
преобразований десятипараметрической группы, оставляющих
некоторую определенную точку инвариантной, а всякая
подгруппа другого типа — некоторую определенную прямую
комплекса.
Теперь мы вкратце рассмотрим еще один новый и, в общем-то, более
простой способ описания наибольших подгрупп нашей
десятипараметрической группы.
Десятипараметрическая проективная группа Сю линейного комплекса
dz\ + x\dy\ — yidxi — 0 содержит один и только один инфинитезимальный
перенос, а именно, г\. Если представить любой инфинитезимальный
перенос, как в части I на стр. 633, при помощи элемента поверхности
пространства £i,yi,2i, то в качестве образа инфинитезимального переноса г\ мы
получим элемент поверхности, состоящий из бесконечно удаленной
плоскости и некоторой точки, поставленной в соответствие этой плоскости
линейным комплексом.
Если учесть, что однопараметрическая подгруппа г\ группы Сю
будет инвариантной в семипараметрической подгруппе (22), но ни в одной
другой большей подгруппе группы Сю, то мы увидим, что G\o
содержит в точности оо3 различных инфинитезимальных преобразований,
являющихся в ней и, конечно же, в общей проективной группе
пространства xi,yi,zi равноправными с инфинитезимальным переносом. Эти оо3
преобразований, равноправных с г\, разумеется, представлены оо3
элементами поверхности пространства х\,y\,z\, причем на любой плоскости
пространства лежит такой элемент поверхности, который состоит из этой
плоскости и сопоставленной ей линейным комплексом точки.
Помимо упомянутых выше оо3 инфинитезимальных преобразований,
в Сю больше нет ни одного инфинитезимального преобразования,
которое было бы равноправно с инфинитезимальным переносом внутри общей
проективной группы пространства Xi,y\,z\. Действительно, если бы S
было таким инфинитезимальным преобразованием, то мы могли бы
перевести плоскость соответствующего ему элемента поверхности посредством
подходящего преобразования группы Сю в бесконечно удаленную
плоскость; поэтому 5 и внутри G\o было бы равноправным с
инфинитезимальным переносом, но это невозможно, так как г\ — единственный входящий
в Сю инфинитезимальный перенос, а 5 не должно принадлежать оо3
инфинитезимальным преобразованиям, являющимся равноправными с г\
внутри Сю.

Если подгруппа группы G\q содержит все оо3 равноправных с г\ ин-
финитезимальных преобразований, то она, как можно убедиться при
помощи комбинации, содержит вообще все инфинитезимальные
преобразования группы Сю, а стало быть, совпадает с этой группой. Отсюда следует,
что всякая девятипараметрическая подгруппа группы Gio содержит в
точности оо2 инфинитезимальных преобразований, равноправных с Г\
внутри Сю. Всякая восьмипараметрическая подгруппа этой группы содержит
такие преобразования соответственно оо1 либо оо2, и наконец, всякая се-
мипараметрическая подгруппа — оо°, оо1 или оо2. При этом само собой
разумеется, что совокупность всех равноправных с т\ инфинитезимальных
преобразований, содержащихся в этой подгруппе, остается инвариантной
относительно этой подгруппы. Если мы теперь вспомним, что всякое
равноправное с ri инфинитезимальное преобразование представляется
элементом поверхности, то увидим, что всякая подгруппа группы Сю, содержащая
девять, восемь или семь параметров, оставляет инвариантным семейство
из оо2, оо1 или оо° элементов поверхности, а в итоге отсюда следует, что
всякая такая подгруппа оставляет неподвижной некоторую криволинейную
поверхность, кривую или точку.
Тем самым мы снова вернулись к тому месту, к которому уже пришли
на стр. 522, только на основании других рассуждений. Теперь, для того
чтобы провести описание упомянутых подгрупп, нам пришлось бы лишь
повторить ранее сказанное.
§112
Теперь мы используем результаты предыдущего параграфа, чтобы
описать все группы точечных преобразований с наименьшим числом
переменных, равносоставленные с группой Сю линейного комплекса или, что то же
самое, с десятипараметрической неприводимой группой контактных
преобразований плоскости.
Поскольку группа Сю линейного комплекса содержит лишь семипара-
метрические подгруппы, а девяти- и восьмипараметрических не содержит,
то десятипараметрические группы точечных преобразований с требуемым
свойством могут иметься лишь в случае трех и более переменных; поэтому
мы ограничимся нахождением таких групп от трех переменных.
Десятипараметрическая группа точечных преобразований
трехмерного пространства, равносоставленная с группой Gio линейного комплекса,
обязательно будет транзитивной и даже примитивной, поскольку если бы
она оставляла семейство из оо1 поверхностей или семейство из оо2 кривых
инвариантным, то она, очевидно, должна была бы содержать девяти- или
восьмипараметрическую подгруппу, что неверно.

Прежде всего, согласно правилам теоремы 81 (ч. I, стр. 492), мы можем
очень легко определить, сколько имеется различных типов групп с
требуемым свойством. Так, мы знаем, что в группе Сю некоторого линейного
комплекса имеется только два различных типа семипараметрических подгрупп.
Представителем одного типа является семипараметрическая подгруппа g-j,
оставляющая инвариантной некоторую точку, а представителем другого —
семипараметрическая подгруппа 77, оставляющая неподвижной некоторую
кривую комплекса. Поскольку группа Сю является простой, то ни g-j, ни 77
не содержат никакой инвариантной в Сю подгруппы, таким образом,
любой из этих двух подгрупп соответствует один тип групп с требуемым
свойством; более того, эти два типа отличны друг от друга, так как подгруппы
g-j и 77 не являются равносоставленными (см. стр. 520) и, следовательно,
невозможно так связать G\o саму с собой голоэдрическим изоморфизмом,
чтобы g-j соответствовало 77- Таким образом, имеется два различных типа
групп с требуемым свойством.
Чтобы найти представителя для каждого из этих двух типов, мы будем
действовать согласно указанию в теоремах 85 и 86 (на стр. 531 и 538)
части I. Возьмем в пространстве линейного комплекса две произвольные
фигуры, F\ и F2, первая из которых остается инвариантной при действии д7,
а вторая — при действии 77- Применим к этим двум фигурам все оо10
преобразований группы Сю и охарактеризуем оо3 положений, которые при этом
принимает Fi, и оо3 положений, которые принимает F2, в каждом случае
при помощи трех параметров. Тогда в каждой из этих систем с тремя
параметрами мы получим десятипараметрическую группу, равно со ставленную
с группой линейного комплекса, и обе найденные таким образом группы,
очевидно, являются представителями двух упомянутых типов групп.
В качестве фигуры F\ мы можем выбрать произвольную точку
пространства xi,yi,2i; поэтому представителем типа группы, задаваемой при
помощи #7? является сама группа (23) (см. стр. 513) линейного комплекса.
В качестве фигуры i<2 мы можем выбрать произвольную прямую
комплекса, но предпочитаем пойти несколько другим путем.
Мы знаем, что на плоскости имеется десятипараметрическая
неприводимая группа контактных преобразований, оставляющая семейство всех
окружностей
{х - а)2 + (z - с)2 + Ъ2 = 0
инвариантным (см. стр. 509). Если теперь записать семейство всех
окружностей как семейство элемент-многообразий М\ плоскости х, z, то есть
следующим образом:
Г(гг-а)2 + (2-с)2 + &2 = 0,
\x-a + y(z-c) = 0,

и трактовать х, у, z как координаты точек трехмерного пространства, то
наша десятипараметрическая группа контактных преобразований
плоскости х, z окажется группой точечных преобразований пространства х, ?/, z,
а именно, группой, оставляющей семейство из оо3 кривых (28)
инвариантным.
Определенную выше десятипараметрическую группу точечных
преобразований назовем кратко бю. Ясно, что она подобна группе
линейного комплекса посредством некоторого точечного преобразования,
переводящего оо3 кривых (28) в оо3 прямых комплекса. Поэтому отсутствующего
представителя типа группы, заданного при помощи 77» мы можем также
найти, вычислив группу, которая преобразует параметры а, 6, с семейства
кривых (28) при действии (5ю-
Эту группу мы получим следующим образом. Пусть
+ t \9f , ,df . t .df
(x= l ••• 10)
— инфинитезимальные преобразования группы 0ю, тогда для всякого к
вычислим такие три функции а„, /3^, 7* от а, Ъ, с, чтобы система
уравнений (28) от шести переменных х, у, z, а, 6, с допускала инфинитезимальное
преобразование
df df , df df 0 df df
Тогда
ах{а, Ь, с)— + /?*(а, 6, с)— + 7*(а, Ь, с) —
{к= 1 ••• ю)
будут инфинитезимальными преобразованиями искомой группы и будут
иметь вид
fa/ а/ а/
Sa' 96' 9с'
df La/ а/ а/ La/ а/ ,опх
ci-6i' ааН^> 6^-ai> (29)
df , .9/ , df
а1Га+Ь1Гь+С1Гс>

первые три из них порождают группу всех переносов трехмерного
пространства, а первые шесть — группу всех движений.
Десятипараметическая группа всех контактных преобразований
плоскости, переводящая окружности в окружности, естественно, переводит две
бесконечно близкие соприкасающиеся окружности в такие же окружности.
А поскольку da2 + db2 + dc2 = 0 является условием того, что эти две
бесконечно близкие окружности с параметрами а,5,сиа + da, b + db, с + dc
соприкасаются, то мы можем заключить, что все инфинитезимальные
преобразования (29) оставляют уравнение da2 + db2 + dc2 — 0 инвариантным,
то есть являются конформными инфинитезимальными преобразованиями.
Можно было бы даже легко доказать, что самое общее конформное инфи-
нитезимальное преобразование пространства а, 6, с линейно выводимо из
десяти преобразований (29).
Тем самым, мы имеем следующую теорему.
Теорема 77. Существует только два типа таких групп
точечных преобразований от трех переменных, которые
являются равносоставленными с десятипараметрической
неприводимой группой контактных преобразований плоскости.
Представителями этих двух групп являются: 1) проективная группа
линейного комплекса и 2) группа всех конформных точечных
преобразований пространства.
К этому мы добавим еще
Утверждение 1. Проективная группа линейного комплекса в
трехмерном пространстве и группа всех конформных преобразований этого
пространства являются равносоставленными, обе они простые и содержат
подгруппы с семью, но не более, параметрами.

Глава 25
Об одном классе неприводимых групп
контактных преобразований
(п + 1)-мерного пространства
Рассуждения, совершенно аналогичные тем, что были проведены
нами в главе 23 для плоскости, можно провести и для пространства сп + 1
измерениями. Правда, здесь имеется одно существенное отличие. На
плоскости мы при помощи этих рассуждений получили все неприводимые
конечные непрерывные группы контактных преобразований, при обобщении
же, которое мы теперь предпримем, мы найдем один отдельный, но как
раз самый важный класс неприводимых групп контактных преобразований
(п + 1)-мерного пространства. Аналогия между нижеследующим и
сказанным в главе 23, однако, настолько очевидна, что мы можем здесь многое
сократить.
§113
Чтобы четко охарактеризовать группы контактных преобразований,
которые мы хотим найти в настоящей главе, необходимо дать некоторые
предварительные объяснения.
Контактное преобразование (п + 1)-мерного пространства z,x\ • • • хп,
согласно главе 5, есть преобразование от 2п + 1 переменных г, х\ --- хп,
У\ * * * Уп, при котором уравнение Пфаффа
dz — y\dx\ — ♦ ♦ ♦ — yndxn — О
остается инвариантным. Мы запишем здесь у\ ♦ • • уп вместо
использованного в главе 5 обозначения р\ ♦ ♦ ♦ рп, так как р\ • • • рп будут ниже
употреблены в другом смысле (см. стр. 531). В соответствии с этим во всей этой
главе величины z,x\ ♦ ♦ ♦ хп,у\ • • • уп следует рассматривать как
координаты элементов пространства z,x\ • • • хп.

Всякое инфинитезимальное преобразование
•В/ = 53^(а;,у,г)д—+ 53»й(х,у,г)^- + С(а;,у,г)^
г=1 2=1
пространства z,xi • • • хп, согласно теореме 39 (стр. 289), полностью
определено некоторой функцией W от z,x\ • • • xn,yi • • • уп, его так
называемой характеристической функцией, а именно,
* = ■%' ^ = "&7"Й-5Г' c= +^^^ ()
(г = 1 • • • n).
И наоборот, характеристическая функция W инфинитезимального
контактного преобразования Bf полностью задана этим преобразованием,
поскольку
п
W = Y,y^<-C (2)
Самое общее инфинитезимальное контактное преобразование
пространства z,x\ • • • хп мы получим, если положим характеристическую
функцию W равной произвольной функции от х\ • • • хп,у\ • • • Уп,2.
Если в инфинитезимальном контактном преобразовании Bf все
функции £ь ??ь С ведут себя в окрестности системы значений х\ • • • х^, у? • • • у^,
г° регулярно, то и характеристическая функция W от В/ ведет
себя в окрестности этой системы значений регулярно. Обратное,
разумеется, тоже справедливо: если W ведет себя в точке x®,y®,z°
регулярно, то и £ь?7ьС обладают тем же свойством. По аналогии с главой 23
(см. стр. 462 и ниже) можно показать, что всегда можно в силу контактного
преобразования пространства z,x\ ♦ ♦ ♦ хп ввести такие новые переменные
xl • • • хп, ух • • • уп, ~z, что система значений х®,у?, z° перейдет в хг- = yi =
= z = 0; если &i ?7ь С ведут себя в окрестности х\,у\, z° регулярно, то при
упомянутом контактном преобразовании Bf переходит в
инфинитезимальное контактное преобразование
Bf = ^li(x,y,z)-g=r + ^^i{x,y,z)— +}(x,y,z)— = Bf,
2=1 * * 2=1 Vi
при котором ii,X)i,i ведут себя в окрестности х~г- = у{ — ~z — 0 регулярно;
то же самое справедливо, разумеется, и для характеристической функции
п
Щх,у,г) =^2yvtu-i

инфинитезимального преобразования Bf. Если
г=1 г г=1 ^г
(«=1...г)
— r-параметрическая группа контактных преобразований пространства
z,x\ • • • хпу то мы предположим (см. часть I, стр. 190), что все функции
^хг^хьС^ в окрестности одной и той же системы значений x®,y®,z°
общего положения ведут себя регулярно. Согласно вышесказанному, мы
можем без ограничения общности предположить, что все х\ • • ♦ ж^, у\ • • • ?/£,
z° равны нулю. Поэтому в дальнейшем нам везде надо будет
рассматривать только те группы контактных преобразований пространства,
инфинитезимальные преобразования которых имеют
характеристические функции W\ • • • Wr, являющиеся обыкновенными степенными рядами
по xi ••• xn,yi ••• yn,z:
п
здесь 21, 2$, £, 2) и т. д., разумеется, обозначают константы.
Пусть Bif и B2f — два инфинитезимальных контактных
преобразования с характеристическими функциями Wi и И^; тогда, как мы уже видели
ранее (теорема44, стр. 316), B\B2f — В2Вг/ также будет инфинитезималь-
ным преобразованием с характеристической функцией:
я = £
и=\
dWi fdW2 dW2\ 8W2 fdWi dWx
dyu \ dxv dz J дуи \ dxv dz
dWo dWy
dz dz
Для этой характеристической функции Q мы хотим отныне использовать
введенный на стр. 369 символ
П = {WXW2}
и скажем кратко, что характеристическая функция {W1W2} возникает
в результате комбинации двух характеристических функций W\ и W2.
Из членов наименьшего порядка в разложениях в ряд W\ и W2 можно
в общем случае вычислить член наименьшего порядка в разложении в ряд

{И^И^}- Так, например, разложения в ряд для W\ и W*i могут начинаться
с членов порядка /i и и соответственно и потому иметь вид:
Wl = ам(х, у, z) + • • • , W2 = /?„(х, у, z) + • • • ,
где а^и f3u — целые однородные функции порядка \± и v соответственно от
Х\ • • • хп, У\ ' " Уп, z, в то время как члены более высокого порядка
опущены. Тогда член наименьшего порядка в разложении {И^И^}, как правило,
имеет порядок \i + v — 2 и следующий вид
£
г=1 \дЩ dXi dXi дЩ У
если же это выражение тождественно обращается в нуль, то член
наименьшего порядка {W1W2} в одном случае по-прежнему полностью
задан функциями а^ и /3,„ а именно, тогда, когда ам и (Зи не зависят
от х\ - - - хп, у\ • • • уп\ в этом случае разложение {W\W2} начинается
членом (ji 4- v — 1)-го порядка, имеющим вид
ад„ да»
-а»-дТ+р»-дТ- (4)
Но если выражение (3) обращается в нуль тождественно, а а^ и /?,, при
этом не являются независимыми от х\ • • • хп,у\ • • • ?/п, то можно
только утверждать, что разложение в ряд {И^И^} начинается членом порядка
{ji -Ь v — 1) или выше, о виде же начального члена ничего сказать нельзя.
Если рассмотреть инфинитезимальное контактное преобразование Б/,
соответствующее характеристической функции W, то мы увидим, что
всякий входящий в W член m-го порядка в разложении в ряд £i • • • £п,
7^1 • • • т)п влияет на члены (га — 1)-го и га-го порядка, а в разложении
в ряд £ — только на члены m-го порядка. Таким образом, если разложение
в ряд преобразования Bf начинается членом нулевого или первого порядка
от Xi,yi,z, то W начинается членом нулевого, первого или самое большее
второго порядка.
Поэтому, если мы хотим знать, какой вид могут иметь члены самого
низкого порядка в таком инфинитезимальном контактном преобразовании,
которое начинается членами нулевого и первого порядка, нам надо лишь
придать характеристической функции W последовательно следующие
значения:
1 2
-Ц %ii Уг-> Х{Ху,, ХхУх, УгУ>с> z
(г, >с = 1 • • • п)

и вычислить соответствующие инфинитезимальные контактные
преобразования Bf. Таким способом, применяя сокращения
dXi
Pi
EL
дуг
df
OZ
которые отныне будут регулярно использоваться, мы получим следующую
таблицу:
W
-1
-Xi
Vi
—z
Хг%и
в/
Г
q% + ХгГ
Pi
п
^2 У»4» + zr
v=\
XiQi "г XyrQi ~r X%Xy(T
w
x%y%
ViV*
x%z
Vi*
-z2
Bf
XiP* ~ УхЯг
ViPx + VxPi + ViV^T
n
zqi + Xi ^^ У»Я" + xiZT
n
n
2z^2y„qjy + z2r
(5)
Из нее непосредственно видно, какие члены нулевого и первого
порядка могут участвовать в разложении в ряд инфинитезимального контактного
преобразования; в частности, получается, что инфинитезимальное
контактное преобразование, содержащее члены только первого порядка и выше
по хи Vi, z9 обязательно имеют вид
^2 {0Cix(xiQx + x>c4i) + Pix{XiPx ~ y>c4i) + li'AViPx + VxPi)} +
г,х=1
+ ^(^ • ZPi + Si • Zqi) + •d 1^2 УМ* + ZT J +
(6)
г=1
vi=l
здесь а, /?, 7,5, £, д обозначают константы, а члены второго порядка и выше
по хи Vi, z опущены.
Из сказанного следует, что группа контактных преобразований
пространства z,xi • • • хп в окрестности системы значений Xi = yi = z = О
содержит максимум

таких независимых инфинитезимальных преобразований первого порядка
от Xi,yi,z, из которых нельзя линейно получить никакого преобразования
второго или более высокого порядка (ср. часть I, стр. 214).
Теперь мы хотим перенести рассуждения, изложенные на стр. 452
и ниже для контактных преобразований плоскости, на данный случай, то
есть трактовать переменные х\ • • • хп, у\ • • • уп, z как координаты точек
в (2п + \)-мерном пространстве.
В этой трактовке уравнение Пфаффа
dz - j/i dxi - • • • - уп dxn = 0 (7)
ставит в соответствие всякой точке пространства х\ • • • хп, у\ • • • уп, z
некоторый плоский пучок из oo2n_1 направлений, и совокупность
определенных таким образом oo2n+1 пучков является, очевидно, идеальным
геометрическим образом этого уравнения Пфаффа. Поэтому контактные
преобразования пространства z,x\ • • • хп можно также определить как
такие точечные преобразования пространства х\ - - - хп,у\ - - - yn,z,
которые совокупность вышеупомянутых пучков направлений оставляют
инвариантной, а отдельные пучки переставляют между собой.
Теперь допустим, что нам дано какое-либо инфинитезимальное
контактное преобразование
п п
Bf = ^2 &(х, z, y)pi + ^ Vifa z, y)qi + C(x, z, y)r
2=1 2=1
пространства z,x\ • • • xn, которое, являясь инфинитезимальным точечным
преобразованием пространства х\ • • • хп,у\ • • • yn,z, оставляет точку хг =
= yi = z = 0 инвариантной. Если записываются только те члены В/,
которые имеют первый порядок по х^у^ г, то Bf, согласно стр. 532, имеет
вид (6)
( п
\ Bf = ^2 {<*ы(ЪЯ>€ + x>c4i) + Pix(xiP* ~ y*Qi) +
I 2,X=1
I 71
< + ъЛУгР* + УхРг)} + Х^ ' ZPi + Si ' Zq^ + (6)
2=1

Инфинитезимальное преобразование Bf переставляет оо2п
направлений dxi : dyi : dz, проходящих через точку Xi = yi — z — 0, между собой,
а именно, посредством инфинитезимального преобразования 55/,
полностью заданного входящими в Bf членами первого порядка (см. часть I,
стр. 658 и ниже). Если х[ • • • х'п, у[ • • • у'п, zf выбрать в качестве
однородных координат этих направлений и положить
дх\ Pi' ду[ Qi' dz' '
то 55/ принимает вид
( п
®/ = Е {<**(*< <?* + < ?<) + РМ р'х - у', и) +
I п
{ +ЪкШк + у'хР\)} + Т,^-2'й + е*-г'&+ (б')
г=1
Поскольку инфинитезимальное преобразование Bf оставляет
уравнение (7), а также точку Х{ — yi = О инвариантными, то оно должно в то же
время оставлять инвариантным пучок из оо2гг_1 направлений,
поставленный этой точке в соответствие уравнением (7). Отсюда следует, что и 55/
оставляет этот пучок неподвижным, в чем, кстати, можно
непосредственно убедиться, если принять во внимание, что этот пучок представляется
уравнением z' = 0. В то время как пучок z' = 0 остается неподвижным,
отдельные направления переставляются между собой инфинитезимальным
преобразованием *В/, которое, если выбрать х[ • • • х'п,у[ • • • у'п
однородными координатами направлений этого пучка, примет следующий вид:
( п
Для того чтобы инфинитезимальное преобразование <Б/ оставляло
любое из oo2n_1 направлений х\ • •• х'п, у[ ■ ■ ■ у'п пучка z' = О инвариантным,

необходимо и достаточно, чтобы оно имело вид
(п п \
где Л — константа, которая, конечно, может принимать также значение нуля.
Этот случай, как можно легко убедиться, имеет место тогда и только тогда,
когда 1)все а^ и 7г*г и 2) все /?г>г, в которых г отлично от и, обращаются
в нуль, и наконец, 3) когда между /Зц • • (Зпп и д имеют место соотношения
tf = 2/?ii=2/?22 = --- = 2/?nn.
Поскольку 35/ преобразует направления пучка z* — О точно так же, как 35/,
то получается, что 35/ оставляет каждое отдельное направление этого
пучка инвариантным, если оно имеет вид
(п п \ п
V=l j/=l / 2=1
то есть если его можно линейно получить из 2п + 1 инфинитезимальных
преобразований
п
z'P[,••• z'P'n, z'q[,...*'<?;, ^(*;x + ^) + 2zV.
/У=1
С другой стороны, если учесть, что самое общее инфинитезимальное
преобразование вида (б") можно линейно получить из (п + 1)(2п + 1)
независимых инфинитезимальных преобразований
xi Я* + х'к Qii x'iP* -УхЯ'и У[Pi +У*Р'и
n
(г, >с= 1 • • • n),
то мы увидим, что существует не более п(2гг 4- 1) независимых
инфинитезимальных преобразований вида (б'), которые действительно преобразуют
направления пучка z' — 0 и из которых нельзя линейно получить
никакого инфинитезимального преобразования, которое оставляло бы каждое
направление этого пучка в отдельности неподвижным. В то же время мы
получим, что инфинитезимальное преобразование вида (6') действительно
преобразует направления пучка zf = 0 тогда и только тогда, когда оно может

быть линейно получено из п(2п + 1) инфинитезимальных преобразований
вида
у П / 71 ч
xtf„+ х'„д'{ ^(a^jz'p'j + binjz'q'j) + Ц ^(x>/+ у'Х) + 2*V ) ,
| j=i ^i/=i '
n / n \
х'гР'х- y'A +Yl(ai*Jz'Pj + b'i*jz%) + СЦ ^2«p^+ vWv) + 2z'r').
»УХ+ « +j^{aljZ% + b'^zWj) + t'd !>>'+ V'A) + 2z'r)
j=l Sy=l ^
(i, *r = 1 ••• n);
(8)
при этом предполагается, что коэффициенты
л h л" Pi" r"
не меняют своих значений, если поменять местами г и к.
Применяя полученные результаты к инфинитезимальным контактным
преобразованиям вида (6), мы получаем следующее.
Если разложение в ряд некоторого инфинитезимального
преобразования Bf пространства z,x\ • • • хп начинается членами второго или
более высокого порядка по хг, уг, z, то это преобразование, истолкованное
как инфинитезимальное точечное преобразование пространства х\ • • • хп,
2/1 •• • Ут z, оставляет вообще любое проходящее через точку х% — у% =
= z = О направление инвариантным; это следует из того, что все
константы oci>c, 0ix, 7гх5 S^ Si, $ имеют для нашего преобразования Bf нулевые
значения и, кроме того, что соответствующее инфинитезимальное
преобразование 93/ тождественно обращается в нуль.
Если же разложение в ряд инфинитезимального преобразования Bf
начинается членами первого порядка от хг, г/г, г или, что то же самое,
если Bf — инфинитезимальное преобразование первого порядка от Xi,yi,z,
то следует различать два случая: либо Bf истолкованное как
инфинитезимальное точечное преобразование пространства х%, г/г, z оставляет любое
отдельно взятое направление пучка zf — О неподвижным, либо оно
действительно преобразует направления этого пучка.
В первом случае Bf при исключении членов второго порядка и выше
имеет вид
п п / п \
^2б{ - zpi + ^е{ - zqt + fl i ^(xvPv + yuqy) + 2zr J + • • • , (9)
2=1 2=1 \v=l /

где константы 6^ е^д могут иметь всевозможные значения, только не
могут, разумеется, одновременно обращаться в нуль.
Во втором случае Bf должно линейно выводиться из п(2п + 1) инфи-
нитезимальных преобразований первого порядка вида
( п / п \
xzq^ 4 x>,q% 4 ^2(аг^3гр3 4 hx*3zq3) 4 сг>< ( ^2(хири 4 VvqJ) 4 2zr J -\ ,
хгр* - y*qi 4 ^2,{p!xx3zp0 4 b't9€Jzqj) 4 c^ I ^{xvpv 4 yuqu) 4 2zr J 4 • • • ,
УгР>, 4 УхРг 4 ^(a^2pj 4 b^2^) 4- c"* ( ^(z^ 4 уиЯи) 4 2zrJ 4 • • •
(i, и = 1 • • • n);
(10)
при этом предполагается, что константы
при перестановке гихне меняют своих значений; опущенные члены
имеют порядок 2 и выше по Xi,yi,z.
Итак, мы видим: среди тех инфинитезималъных контактных
преобразований пространства z,x\ ••• хп, которые, истолкованные как ин-
финитезимальные контактные преобразования пространства х\ ••• хп,
у\ - — yn,z, оставляют точку Xi = yi = z — 0 неподвижной, имеется не
более чем п(2п 4- 1) независимых друг от друга, которые действительно
преобразуют oon_1 направлений пучка z' — 0 и из которых нельзя линейно
получить ни одного инфинитезимального преобразования, которое
фиксировало бы каждое отдельное направление этого пучка. Если мы имеем
в точности п(2п + 1) независимых инфинитезимальных преобразований
с описанным выше свойством, то их можно всегда линейно получить из
п(2п + 1) инфинитезимальных преобразований первого порядка вида (10).
Теперь мы наконец можем определить группы контактных
преобразований пространства z,x\ ••• хп, которые мы хотим описать в настоящей
главе. К этим группам мы предъявляем два требования.
Всякая искомая группа как группа точечных преобразований
пространства х\ - - - хп,у\ ••• yniz должна, во-первых, быть
транзитивной, и, во-вторых, среди ее инфинитезимальных преобразований долэ/сно
содероюатъся наибольшее число, точнее говоря, ровно п(2п + 1) друг от
друга независимых, оставляющих точку общего положения Xi—yi — z = 0

инвариантной, из которых нельзя линейно получить ни одного инфините-
зилшльного преобразования, которое бы оставляло неподвижным любое
отдельное направление пучка zf — 0.
Мы увидим, что всякая группа контактных преобразований
пространства z,x\ — • хп, обладающая этими двумя свойствами, является
неприводимой.
Первое из поставленных условий, согласно утверждению 5 (часть I,
стр. 242), означает, что наша группа в окрестности Х{ = yi = z = 0 должна
содержать в точности 2п + 1 независимых инфинитезимальных
преобразований, которые имеют нулевой порядок по Xi,yi,z и из которых
нельзя линейно получить никакое инфинитезимальное преобразование первого
порядка. Другими словами, эта группа долэ1Сна содерэ/сать 2п + 1
инфинитезимальных преобразований вида
Pi + ••• , & + ••-, г+ ••• (11)
(г = 1 ••• тг),
где опущенные члены — первого порядка и выше по хи Уи %•
Второе условие требует, чтобы группа содержала в окрестности Х{ =
= yi = z = 0 в точности п(2п + 1) независимых инфинитезимальных
преобразований первого порядка вида (10). Помимо этого, группа, конечно,
может содержать еще одно или несколько инфинитезимальных
преобразований первого порядка следующего вида:
п п / п \
^2Si ' zPi + ^2ег ' zqi + д ( ^2{х„ри + yuqv) + 2zr J + • • • , (9)
г=1 г=1 \i/=l /
так как в наших требованиях ничего не говорится о том, сколько
инфинитезимальных преобразований, оставляющих любое направление пучка z' — 0
неподвижным, содержит эта группа.
Следует также упомянуть, что группа не может содержать никаких
других инфинитезимальных преобразований первого порядка по Xi,yi,z,
кроме п(2п + 1) инфинитезимальных преобразований вида (10) и
некоторых вида (9), так как это группа контактных преобразований
пространства z,x\ - - хП9 и потому все ее инфинитезимальные преобразования
первого порядка обязательно имеют вид (6).
Данное выше определение искомых здесь групп может быть также
сформулировано несколько иначе. А именно, поскольку имеется не более п(2п + 1)
независимых инфинитезимальных преобразований, которые оставляют точку хг = уг =
= z = 0 неподвижной и из которых нельзя линейно получить ни одного инфи-
нитезимального преобразования, оставляющего любое направление пучка z' = 0

неподвижным, то априори ясно, что группа контактных преобразований
пространства z,x\ —' хп при фиксировании точки хг = уг = z = 0 может преобразовывать
направления пучка z' — 0 максимум тг(2тг+1)-параметрически. Отсюда следует, что
второе из наших условий может звучать еще и так: всякая из искомых групп,
являясь группой точечных преобразований пространства х\ • • • хп, У\ • • • Уп, z, должна
быть такой, чтобы она, если зафиксировать некоторую точку общего положения,
преобразовывала oo2n_1 соответствующих этой точке направлений пучка наиболее
общим образом, то есть п(2п + 1)-параметрически.
§114
О группах, описанием которых мы здесь займемся, нам уже известно,
что в окрестности Х{ = yi = z = 0 они содержат п(2п + 1)
независимых инфинитезимальных преобразований первого порядка вида (10). Пока
непонятно, существуют ли еще другие инфинитезимальные
преобразования первого порядка, но тем не менее мы уже можем сказать, что такие
преобразования, если они вообще встречаются, должны обязательно иметь
следующий вид:
п п / п \
^2 Si ' zPi + ^2 Si ' ZQi + ^ ( Л О*"?" + У"9») + 22T J + • • • . (9)
2=1 2=1 V=l /
Рассмотрим вначале те группы с требуемым свойством, которые не
содержат преобразований вида (9). Пусть G — такая группа.
Одновременно с преобразованиями (10) группа G содержит также все
те, что возникают в результате попарных комбинаций преобразований (10).
Тогда при попарной комбинации преобразований (10) всякое выражение
вида
Xiq^ + x^qu XiPx-y„qi, УгР^ + у^Рг
будет воспроизводиться, а выражение
п
^2(x„p„ + yl/q,;) + 2zr
— не будет, поэтому если бы не все с^, с'ы, с"„ равнялись нулю, то G
должна была бы заведомо содержать преобразование вида
п п
^{XvVv + У»Ч») + 22Г + ^{Si . zpi + Si • zqi) + • • • ,
М=1 2=1
что исключено. Следовательно, все сг><, с^ , с^' должны обращаться в нуль.

Чтобы задать прочие участвующие в (10) коэффициенты, заметим, что
в G заведомо встречаются два преобразования вида
п
XiQi + ^{otijzpj + fyjzqj) + • • • ,
j=i
n
УгРг + ^{otijZPj + PijZqj) + • • • ;
.7=1
комбинируя их между собой, мы получаем преобразование
XiPi -y%q% + PiiZPi - otiiZqu
а комбинируя его снова с двумя первыми, получаем
-2xiqi + auzpi - 20uzqi H ,
2уфг + lol^zvi -0iiZqi + --- ,
— преобразования, которые обязаны принадлежать группе G.
Поскольку G не содержит преобразований вида (9), то ац и /?г"
должны обращаться в нуль, и мы имеем преобразования
(xi + Puz)qi H , (yi+ а'-^рг -\ ,
(Xi + f3nZ)pi ~ (yi + OL'nZ)qi + • • •
или если для краткости положить
Xi + fez = x\, yi + a'dz = у[,
то следующие преобразования:
(г = 1 - - - тг).
Остальные преобразования (10) теперь можно записать:
п
А Я* +x'xQi + ^(^ixj z Pj + Vixj zq'j) + --- ,
71
3=1

п
.7 = 1
(г, >c= 1 • • • n; гф ><).
Но если здесь скомбинировать первую строчку с а^ р^ — ^ q[ + • • •, то
получится
xi Qx + x*Qi- Xi*i ZPi + Vi*i * Я{ + " ' >
а в результате замены г на к\
х'х Qi +Ая'х- X*i* zPx + РкЫ Zqfi + -- ,
то есть все А^ и все ji^j должны быть равны нулю. Аналогичным
образом мы найдем, что и все Л", /i", A', ji' также обращаются в нуль.
Таким образом, если группа G с требуемым свойством содержит
только п(2п + 1) инфинитезимальных преобразований первого порядка
вида (10), то она содержит в точности п(2п 4- 1) независимых
инфинитезимальных преобразований первого порядка вида
(Xi + CLiZ)qx + (Хх + OL„z)qi + • • • , (у» + Piz)p* + (У* + PxZ)Pi H ,
(х» + а^р* - (уж + (3„z)qi + • • •
(г, >*= 1 • • • га),
(i)
а инфинитезимальных преобразований первого порядка по х^, yi, z, в
которых члены первого порядка не были бы линейно выводимы из членов
первого порядка преобразований (I), напротив, не codepoicum. При этом 2п
констант а\ — - ап, /?i • • • /Зта остаются полностью неопределенными.
Мы подошли к тем группам с требуемым свойством, которые, помимо
п(2п + 1) преобразований вида (10), содержат еще по меньшей мере одно
инфинитезимальное преобразование первого порядка вида (9).
Если такая группа G не содержит ни одного преобразования
специального вида
п п
^2$г • т+5Ze*'zqi +'''' (12)
г=1 г=1
то она может, помимо п(2п + 1) инфинитезимальных преобразований
первого порядка вида (10), содержать еще лишь одно первого порядка
следующего вида:
п п п
^(х„ри + y„qu) + 2zr + ^5[ • zpi + ^e'i' zq{ ^ . (13)
v=l г=1 г=1

В этом случае можно, очевидно, положить в преобразованиях (10) все
коэффициенты См, с'ы, с"^ равными нулю и тогда найти так же, как и раньше,
что преобразования (10) имеют вид (I). Комбинируя (13) с
(Xi + OtiZ)pi - (yi + &2)ft + • • • ,
мы получим преобразование
-aizpi + fazqi - 5[- zpi+e'i- zqi-\ ,
которое должно иметь второй порядок по Xi,yi,z, так как преобразования
вида (12) в G не участвуют. Следовательно, 8[ = — а*, е[ = —/%, так что
преобразование (13) принимает вид
^ {{xv + OL„z)p„ + (у„ + Pvz)qv) + 2z ( г - ^(а„р„ + pvqv) J 4 .
Остается еще случай, когда группа G помимо п(2п+1) преобразований
первого порядка вида (10), содержит по крайней мере еще одно
следующего вида:
п п
^Si • Zpi + ^£г - Zqi + • • • . (12)
г=1 г=1
В этом случае мы прежде всего можем предполагать, что все с^,
с^, с"^ в преобразованиях (10) равны нулю. Действительно, если G не
содержит преобразований вида (13), то, как на стр. 539, в результате
попарной комбинации преобразований (10) мы увидим, что с, с', с" равны
нулю, если же G содержит преобразование вида (13), то в силу последнего
мы можем также приравнять с, с', с" нулю.
Скомбинировав теперь (12) с преобразованиями (10), после того как
мы все с, с', с" в них положили равными нулю, мы непосредственно найдем,
что G содержит вообще все 2п инфинитезимальных преобразований
zpi + -- , ZQi-\ , (г = 1 ...n),
к этим преобразованиям может, конечно, добавиться еще одно вида:
п
^2(х„р„ + yvqv) + 2zr-\ .

Из проведенных только что рассуждений следует:
Если группа G с требуемым свойством содержит, помылю п(2п + 1)
преобразований первого порядка вида (10), еще хотя бы одно вида (9),
то оно содерэ/сит либо п(2п + 1) + 1 независимых инфинитезималъных
преобразований первого порядка вида
( (Xi + <Xiz)qx + (х„ + a„z)qi + • • • , (у* + Piz)p„ + (ух + /?*2)pt + ''' ,
(Xi + c^z)^ - (у„ + 0xz)qi H ,
У^ ((ж* + Oiyz)pv + (г/„ + Pvz)qJ) -\-2zlr- У^(а„р„ + Д,д1У) J H
(г, *= 1
лмбо n(2n + 3) таких преобразований вида
(И)
ЗД* + Ях2г + • • • , XiVx - Vxq% Л , ViPx + V>cPi H ,
ZPi + • • • , 2ft + • • • (III)
(г, >с = 1 • • • n),
или, наконец, (п 4- l)(2rc + 1) таких преобразований вида
( Xiq„ + S„ft + • • • , ^гРЖ - 2/*:2г + ' ' ' , ViVx + 2/*:Рг + ' ' ' ,
ZPi + ' ' ' , 2ft + • • • ,
^(х„ру + г/^) + 2zr +
«/=1
(г, >r= 1 • • • n).
(IV)
5 каждом отдельном из этих трех случаев группа содержит только
такие инфинитезимальные преобразования первого порядка, члены первого
порядка которых можно линейно получить из членов первого порядка
указанных выше преобразований в каждом из случаев.
§115
На основании предыдущих рассуждений мы можем сказать об
искомых группах следующее.
Первое. Всякая из искомых групп содержит в окрестности Х{ = г/i =
= z = 0 в точности 2п + 1 независимых инфинитезимальных
преобразований нулевого порядка вида
Pt+ ••• , & + ••-, г + ••• (11)
(г= 1 ••• п).

Второе. Что касается встречающихся в такой группе инфинитезималь-
ных преобразований первого порядка от хг, уг, z, то здесь различают
четыре случая; так, группа может содержать п(2п + 1), или п(2п + 1) + 1, или
п(2п + 3), или наконец, (п + 1)(2п + 1) независимых инфинитезималь-
ных преобразований первого порядка, из которых нельзя линейно получить
никакого инфинитезимального преобразования второго и более высокого
порядка; эти инфинитезимальные преобразования первого порядка имеют
вид (I), (II), (III), (IV) соответственно.
Теперь спрашивается еще, какие инфинитезимальные преобразования
второго и более высокого порядка могут встречаться в наших группах?
Мы облегчим ответ на этот вопрос, воспользовавшись тем фактом, что
мы ищем группы контактных преобразований, то есть что все имеющиеся
инфинитезимальные преобразования являются инфинитезимальными
контактными преобразованиями и как таковые полностью определены
своими характеристическими функциями. Поэтому отныне вместо инфинитези-
мальных преобразований, содержащихся в наших группах, мы будем
рассматривать соответствующие характеристические функции.
Сначала рассмотрим по отдельности инфинитезимальные
преобразования, которые имеют нулевой или первый порядок по х^, уг, z, и запишем
для каждого такого преобразования разложение в ряд соответствующей
характеристической функции W; при помощи таблицы (5) (стр. 532) это
сделать совсем несложно. Таким образом, мы получаем следующую новую
таблицу.
Bf
г + ...
(Ц + -'
Xiqx + xxqi H
XiPx ~ УхЧг Н
УФк - УхРг + ' ' '
п
^2(х„р» + yvq„) + 2zr + • ••
zpi-{
zqi + • • •
W
_1 + ...
Уг + fJ<iZ-\
—Xi — XiZ + • • •
X^Xyc ^%>cZ т * * *
ХгУн + flinZ2 H
УгУх + VixZ2 + • - •
-2z + ---
yiz + (JiZ2 H
JLj^Z '2 1
Здесь Аг, /i2, Аглг, /i^, Vm, Gi,Ti — некоторые константы, остающиеся
неопределенными, а опущенные члены везде более высокого порядка по xi, yi, г,
чем выписанные.

И наоборот, в общем случае для всякой характеристической
функции W, разложение которой в ряд по х%, yi,z начинается членами нулевого,
первого или второго порядка, таблица (14), очевидно, дает члены
наименьшего порядка в разложении в ряд соответствующего инфинитезимального
контактного преобразования Bf. Исключение составляют лишь
характеристические функции вида 1 + ---, £ + •••, г2+ •••. Так, функции 1 + • • •
соответствует инфинитезимальное преобразование нулевого порядка вида
п п
г=1 г=1
а функции —2г Л — инфинитезимальное преобразование первого
порядка вида
п п
^2,{х„ри + yuq„) +2zr+ ^2 {aL(xiQ>c + x„qi) +
+ PL(xiPx ~ VxVi) + I'iAViV* + y*Pi)} +
n
2=1
константы о/!^^а,ы^,ы^,ы^\^е\ остаются при этом неопределенными.
Напротив, функции z2 + • • • соответствует некоторое инфинитезимальное
преобразование, имеющее второй порядок по Xi, y^z.
Теперь мы хотим применить сделанные только что замечания к
искомым группам. При этом рассмотрим по отдельности все четыре случая,
которые мы различаем в соответствии с четырьмя возможными видами ин-
финитезимальных преобразований первого порядка.
Первый случай. Всякая относящаяся сюда группа содержит 2п + 1 ин-
финитезимальных преобразований нулевого порядка вида (11)ип(2п+1) —
первого порядка вида (I); этим инфинитезимальным преобразованиям
соответствуют следующие характеристические функции:
Г Ц , Xi + XiZ H , yi + fliZ-\ ,
I (xi + aiz)(x„ + a„z) + \i*z2+ ••• , (у{, + /3iz)(y„ + fi^z) + i/ixz2-\ ,
I (Xi + OLiZ){y^ + P„Z) + fli3€Z2 H
^ (г, >с= 1 • • • n).
(15)
Кроме того, сделанные ранее замечания показывают, что эта группа не
может содержать никакой характеристической функции вида z + • • •, а также

функции вида
п
У^(£г * %iZ + Si • yiz) + dz2 Ч ,
71=1
в которой не все константы 8\ • • • дП9 в\ ••• еп обращаются в нуль.
Группа не содержит никаких характеристических функций, кроме функций
вида (15), разложение в ряд которых начинается членами нулевого, первого
или второго порядка, и только вопрос о существовании или
несуществовании характеристической функции вида z2 Ч остается пока еще
нерешенным.
Если мы попарно скомбинируем характеристические функции,
стоящие во второй и третьей строчках (15), то, согласно стр. 530 и ниже,
получим п(2п + 1) функций вида
J (xi+aiz){x>c + a>ez) + --- , {у% +Piz){y„ +P„z) +-•• , ,ш
которые, разумеется, также должны содержаться в нашей группе,
следовательно, мы можем без ограничения общности положить все л^^^^^щ^
равными нулю. Чтобы задать А^,/^ , мы скомбинируем
Xi + XiZ-\ , Vi + HiZ-\
с функциями (16) и найдем характеристические функции
Xi + OLiZ Ч , Уг+0%г-\ ,
но характеристическая функция вида z + • • • здесь не участвует, таким
образом, мы заключаем, что А* = а* и /^ = А-
Следовательно, в первом случае характеристические функции
участвующих инфинитезимальных преобразований нулевого и первого порядка
имеют вид
( 14 , Xi+OLiZ-\ , Уг+Р%г-\ ,
I (pa + alz)(x-< + a„z) + • • • , (yt+ 0iz)(y„ + 0*z) + • • • ,
I fa + (XiZ){y„ + 0XZ) + - --
[ (г, >c= 1 ••• n).
Ни одна из этих групп не содержит характеристической функции вида
z + • • •; для того, чтобы существовала характеристическая функция,
разложение в ряд которой начиналось бы членами второго порядка, а члены

наименьшего порядка которой нельзя было линейно получить из
fa + aiz)(x„ + olkz), {Xi + aiz)(yx + 0„z), {yi + Piz)(y„ + /3„z)
(i,K= 1 ••• n),
необходимо, чтобы ее можно было привести к виду z2 + • • •.
Во втором случае мы точно так же видим, что инфинитезимальные
преобразования нулевого и первого порядка относящихся сюда групп
имеют следующие характеристические функции:
Ц , Xi+OLiZ-\ , Vi+PiZ-\ , Z Н ,
(xi + aiz)(xx + a„z) + • • • , (у* + Piz)(y* + /3*г) + • • • , ,
(г, ус — 1 • • • п).
Из тех характеристических функций, разложение в ряд которых
начинается другими членами второго порядка, может добавиться в крайнем случае
еще z2 +
В третьем случае мы получим характеристические функции
Ц , Xi + XiZ Н , ?/г + Hi* Н ,
ЖгЖх + А^г2 + • • • , Жгух + fli9eZ2 + • • • , У0^ + !^£2 + ' ' ' ,
zxi + о^г2 Н , zyi + t*z2 Н
(г,^= 1 ••• п),
функция вида z-\ участвовать здесь не может. Однако в результате
комбинации двух характеристических функций, ^+Дг^2Н и zxi + <JiZ2-\
все же получается функция z + • • •, то есть мы приходим к противоречию,
следовательно, не может существовать вообще никаких групп
контактных преобразований, которые относятся к третьему случаю.
И наконец, в четвертом случае характеристические функции
участвующих инфинитезимальных преобразований нулевого и первого порядка
имеют вид
И , xi + XiZ H , yi + mz-\ , z H ,
XiXyc + Xi>cZ2 + • • • , ХгУк + flixZ2 + • • • , yiyyc + ViycZ2 + • • • ,
zx; + a;z2 H , zyi + TiZ2 Л
(г, ус — 1 • • • ri).

Здесь мы, комбинируя функции
Х{ + \{Z Н , yi + fliZ-\ , ZXi + (TiZ2 H , Zlji + TiZ2 H
с Xifji + fiaz2 + • • •, непосредственно находим, что все А;, [iu Щ-> ®и Ч
можно положить равными нулю; а по аналогии с тем, что на стр. 546, мы
видим, что и Х^^ы^ы могут быть сразу положены равными нулю. Но
тогда получается
{yiZ + • • • , XiZ + •••} = z2 + • • • ,
то есть в относящихся сюда группах имеются следующие
характеристические функции:
Г 1 + • • • , Xi + -- , у» + • • • , * + •••,
I Х{Хуг + * * • , %>гУ>г + * * • , УхУус + * * * ,
^ 2 (IV)
гггг Н , г^ Н , г Н
^ (г, ус= 1 ••• п).
За исключением z2 + • • • — это характеристические функции всех
имеющихся инфинитезимальных преобразований нулевого и первого порядка.
Итак, следует различать три случая, и в каждом из этих трех случаев
нам известны начальные члены участвующих характеристических
функций, разложения в ряд которых начинаются членами нулевого, первого или
второго порядка. Исключением, однако, является функция z2 + • • •,
участие которой в двух первых случаях пока остается невыясненным, тогда
как в последнем случае она заведомо имеет место.
§пб
К уже имеющимся характеристическим функциям могут в наших трех
случаях добавиться и другие, а именно, кроме z2 Л , еще те, разложения
в ряд которых начинаются членами третьего или более высокого порядка.
А поскольку мы имеем дело с конечными непрерывными группами, то
согласно теореме 29 (ч. I, стр. 215) для каждой из требуемых групп должно
существовать конечное положительное целое число s' ^ 1 такое, что
соответствующая группа содержит инфинитезимальные преобразования s'-ro
или более низкого порядка по x^y^z^ а преобразований порядка (sf + 1)
или выше не содержит. Отсюда немедленно следует, что каждой из
искомых групп соответствует конечное положительное целое число s > 2 такое,
что группа содержит характеристические функции, разложения в ряд
которых начинаются членами 5-го и более низкого порядка, но не содержит ни

одной, в которой начальные члены имели бы порядок (5 + 1) или выше по
ж, у, z. Очевидно, что число s равно либо sf, либо sf + 1.
Чтобы теперь задать начальные члены тех характеристических
функций, которые могут еще добавиться, мы исходим из того, что в каждом
из трех рассматриваемых случаев участвуют характеристические функции
вида
Г 1 + -~,
I (Xi + OLiZ){Xn + Oiy.z) + • • • , (у{+ (3iZ){yx + 0„z) + • • • ,
| (xi + aiz)(y„ + P„z) + ---
[ (г, >с= 1 ... n).
Под G мы понимаем некоторую группу, относящуюся к одному из наших
трех случаев. Если s — ранее определенное, относящееся к G целое число,
то
ip{s)(xi ••• xn,yi • • • yn,z) + • • • (18)
будет некоторой участвующей в G характеристической функцией,
разложение в ряд которой начинается членами 5-го порядка. При этом ф^ означает
целую однородную функцию своих аргументов 5-го порядка, а
отброшенные члены имеют порядок (5 + 1) и выше. Для краткости мы положим
Xi + a{Z = £•, Уг + PiZ = у\
(г= 1 ••• п),
так что характеристические функции (17) примут следующий вид:
1 + ---, *;*'„ + ..., *^ + ---, у-у'х + --- (in
(г, к = 1 ••• п),
а ?/;(5) + • • •, скажем, такой вид:
ф{°\х[--.х'п,у[-.-у'п,г) + -.-. (18')
Для вычислений с характеристическими функциями введение х',у'
вместо х, у не имеет практически никакого значения. Так, если мы
возьмем две характеристические функции
F<A>(x,y,z) + ..., F<*>(x,y,z) + ...,
члены наименьшего порядка которых — F^ и F^) — порядка Аид
соответственно, и скомбинируем их между собой, то, согласно стр. 530 и ниже,

мы получим характеристическую функцию, член наименьшего порядка
которой Л + \х — 2 имеет вид
^ V dVi dxi дхг дУг ) '
но в переменных х[ • • • х'п9 у[ — - у'п, z этот член наименьшего порядка
записывается точно так же, поскольку принимает вид
у- (dF^dF^ _ dF^dF^A
^{ ду[ дх\ дх\ ду[ )'
Это тот вид, которым мы в дальнейшем предпочтем пользоваться.
—(5)
Во-первых, пусть ф (xf,yf,z) не является полностью независимой
от х[ • • • х'п,у[ • • • у'п. Затем мы исключим все y'i9 достаточное число раз
комбинируя функции (18') с некоторыми из функций
х1 + ' ' ' * * * * хп + * * * •
Таким образом мы получим характеристическую функцию вида
X{s)(x[---x'n,z) + .-.,
принадлежащую группе G, где х^ ~ опять-таки целая однородная
функция своих аргументов, которая вследствие наложенных ограничений не
обращается тождественно в нуль и не является независимой от всех х[. Чтобы
теперь удалить все имеющиеся х\ за исключением х[, мы достаточное
число раз скомбинируем ее с подходящими из функций
Ау^Л'" (*=2 ... п)
и придем таким образом к характеристической функции
w(e)(xi, *) + ••-,
где ш^ — снова однородна 5-го порядка и непременно содержит х[.
Если наивысшая встречающаяся в и/5) степень х[ имеет показатель га, где
О < га < 5, то, скомбинировав функцию оо^ + ••• последовательно га раз
с у[ , мы найдем характеристическую функцию
y>1m.z-rn + ...j (19)
которая, конечно же, содержится в G. Отсюда, в результате столько же раз
повторенной комбинации с х[ + • • •, следует
/т s-m i
Xi • z -\- • • • ,

а эта характеристическая функция, будучи скомбинирована с (19), дает
в конце концов
/m-l jm-l 2s-2m ,
xl ' У\ z т ,
то есть функцию, разложение в ряд которой начинается членом
порядка (25 — 2). Здесь должно обязательно выполняться 2s — 2 ^ s или
(поскольку s > 1) s — 2. Итак, принятая выше характеристическая функция (18')
начинается членами второго порядка, которые зависят не только от z.
Однако мы уже знаем, какие характеристические функции с этим свойством
могут иметь место в G.
И во-вторых (третьей возможности не существует), пусть ф не
зависит от х\ - - - хгп, у[ • • • угп, так что характеристическая функция (18) имеет
вид
zs + • • • .
В этом случае мы комбинируем zs + - - с 1 + • • •, и согласно стр. 531
получаем функцию
которая, будучи в свою очередь скомбинирована с zs -\ , дает следующую
функцию:
z2s~2 + ---,
то есть, должно выполняться 2s — 2 < s или 5 = 2. Следовательно:
К уже известным характеристическим функциям может добавиться
в крайнем случае еще z2 + • • •, но она участвует только тогда, когда
также имеет место z -\ .
Теперь рассмотрим эти три случая по очереди.
Первый случай. Поскольку z-\ участия не принимает, то участвуют
лишь известные функции (I') (см. стр. 546).
Второй случай. Если положить для краткости
xi + aiz = x'i, yi + f3iz = yfi (i = i...n),
то всякая относящаяся сюда группа G содержит следующие инфинитези-
мальные преобразования нулевого и первого порядка от х', у', z\
Pi + '- •> Qi + '" , r + * * * ,
xWx + Х'Л + • • • , Av'x ~ vWi + • • • i 3/iPx + VxPi + '" *
(II")
7/=l
(г, х= 1 • • • n).

Если бы помимо уже известных характеристических функций (II')
(стр. 547) встречалась еще z2 Л , то G содержала бы инфинитезимальное
преобразование второго порядка
Е(Л+Л)+*2г+--,
под Q \щ понимаются целые однородные функции второго порядка от
х[ • • • х'п, у[ • • • yfn, z. Если бы в одной из 2п функций £] , щ
встретилась z, то в результате комбинации с одним из преобразований $ + •••,
q[ + • • •, г + • • • получилось бы следующее преобразование:
п
J2 (Ai* x'i р'м + цы х[ с[„ + уыу\ р'м + йы y'i q'„) +
п
+ ^2{а{гр[ + btzq'i) + 2ezr H ,
г=1
в котором й{ и bi не все одновременно обращаются в нуль. Но такое
преобразование исключено, так как все участвующие в G инфинитезимальные
преобразования первого порядка могут быть линейно получены из
преобразований (II") на стр. 551 (по крайней мере, если речь идет о членах первого
(2) (2)
порядка). С другой стороны, если бы все Q \щ ' были независимы от z, то
в результате комбинации с т -\ получилось бы также не имеющее места
преобразование zr + ---. Следовательно, G не может содержать
характеристическую функцию z1 + • • •, а может содержать лишь функции (II'),
указанные на стр. 547.
Последний случай. Всякая относящаяся сюда группа G содержит
характеристические функции
(IV)
и не содержит никаких других. Функции z1 Л соответствует
инфинитезимальное преобразование вида
- + ••-, Xi Н , у{ + -
Х%Хус "г * * * , ХхУус "г * * * ,
ZXi + • • • , Zyi + • • • ,
(г, >с = 1 • • • тг)
•, z +
УгУх + ■
22 + ---
Е(Л + Л) + г2г + ---, (20)

очевидно, единственное встречающееся в G инфинитезимальное
преобразование второго порядка, а преобразования третьего порядка не участвуют
вообще. Под £г> \щ мы, конечно, понимаем целые однородные функции
второй степени от х\ • • • хп, у\ • • • уп, г. Комбинируя инфинитезимальное
преобразование (20) с
ZPv + • • • , УиРи + • • • ,
мы получим инфинитезимальное преобразование вида
9L
(2)
Е'^-л+Е
дг)\
(2)
г=1
п
г=1
dxv
dxv
■ч»
ъ
(2)
(2)
дхь
г=1
{у = 1 ••• гг)
9*
^2Р;у +
Л* + ' '
(21)
где опущенные члены имеют порядок выше второго. Поскольку G
содержит лишь одно инфинитезимальное преобразование второго порядка (20),
а преобразования (21), тоже второго порядка, не имеют вида (20), то они
должны тождественно обращаться в нуль. В частности, поэтому в (21) все
члены второго порядка также должны обращаться в нуль, но если мы
положим члены второго порядка, на которые умножено р]/9 равными нулю, то
получим
дхь
= 2, 2/„-
Ъ&
дхи
= v?\
то есть rjl = yvz. Точно так же само собой разумеется, что £,, = xuz, так
что инфинитезимальное преобразование второго порядка (20) имеет вид
У^ z{xvPv + y»qv) + z2r +
(20')
!У=1
Итак, теперь мы знаем для всех искомых групп члены самого низкого
порядка встречающихся характеристических функций и инфинитезималь-
ных преобразований. Поэтому мы, в частности, можем уже теперь понять,
сколько параметров могут иметь искомые группы. Например, всякая
группа, подпадающая под первый случай, имеет в точности
2п + 1 + п(2п + 1) = (п + 1)(2п + 1)

независимых инфинитезимальных преобразований и поэтому является
(п + 1)(2п + \)-параметрической.
Всякая подпадающая под второй случай группа будет
((п + 1)(2п + 1) + 1)-параметрической,
и наконец, в последнем случае получаются группы, содержащие
(п + 2)(2п + 1) + 1 = (п + 1)(2п + 3)
параметров.
Остается еще лишь записать соотношения, имеющие место между ин-
финитезимальными преобразованиями искомых групп, а затем описать
сами эти группы.
§117
Первый случай
Здесь требуется описать все (п + 1)(2п + 1)-параметрические группы
контактных преобразований, содержащие в окрестности системы значений
Хг — yi — z — 0 общего положения 2п + 1 инфинитезимальных
преобразований нулевого порядка вида (11) (см. стр. 538) и 2п + 1 преобразований
первого порядка вида (I) (см. стр. 541).
Удобно было бы ввести для инфинитезимальных преобразований
искомых групп такие обозначения, которые напоминали бы начальные члены
соответствующих характеристических функций
{И , Xi + OLiZ Л , Уг + faz H ,
(Xi + OLiZ)(xx + OLyr.z) + • • • , (Уг + P%z)(yx + 0xz) + • • • , ,„.
{xi+aiz)(yx + 0„z) + --- [ }
(г, лг = 1 ••• n).
Поэтому мы положим:
f-r + ...=N, -9i + • • • = Xu Pi + • • • = Yu
-{Xi+ aiz)q>c - (Xy,. + a„z)qi H = Хы,
I (xi + aiz)p>c - (y„ + /3„z)qi + • • • = Ты, (22)
(Уг + 0iZ)p„ + (y„ + (3xZ)pi + • • • = ^
^ (г, yc= 1 • • • n).

Эти обозначения, помимо краткости, имеют еще то преимущество, что
легко запоминаются.
Конечно, можно и 7V, Хг, Уг, Хг*,Тгх, Уг>с трактовать как символы
характеристических функций (I7) и производить вычисления с этими функциями, но тогда
придется в дальнейшем постоянно использовать знак { } вместо ( ). Впрочем, что
касается обозначения ( ), то полезно обратить внимание на замечание, сделанное
на стр. 465.
Если мы, как обычно, условимся считать, что е^ обращается в нуль,
если г отлично от х, а ец имеет значение 1, то соотношения, имеющие
место между инфинитезимальными преобразованиями Х^, Т^, У^х, можно
записать следующим образом:
[ \^гх^итг) — U, yli^ly^) = Eyryli^ — E^iluyr^ \УыУи-к) = U,
\YwK-&ix) — £vi-L xir ~r EyyrliTx + E^i-l- xv ~r E^^li,/
(г, >rr, f, 7Г = 1 • • • n).
(23)
При этом надо особенно подчеркнуть, что Тц при этой комбинации
воспроизводит каждое инфинитезимальное преобразование Х,^, YulT-> TU17, в
котором один из индексов имеет значение г, с одним из пяти множителей
О, +1, — 1, +2, — 2. Хотим также обратить внимание читателя на следующие
формулы:
= 2У*,
72 ч у 71
i^i / J J- vv 1 = ^ix? I ±ixi / J -Lis
(ты,^тЛ = o,
которые справедливы для всех значений гих.
Далее, между Х\ и Тц имеет место уравнение вида
п
(Х\Тп) = —Х\ + 2_^ (biycXiy, + bi^Tix + с^Уы),
г,х=1
поэтому если ввести
п
(24)
,х=2

в качестве нового Х\, то мы получим соотношение более простого вида:
п
(^Тц) = -Хг + ^ аДы + b„Tix + c„Txi + DxYi^).
Кроме того, тождество
((XiTn)r«) - (№Г«)Гц) =0 (» > l)
при подстановке значения (XiTn) показывает, что теперь и (Х\Тц)
содержит только члены, у которых хотя бы один из индексов равен 1.
Следовательно, в частности,
/ п \ п
(хи Ет-)= ~Xi + E«xi- + b-Ti- + c,*T*i+°ху^)-
^ t=i / >-=i
Чтобы полностью отнормировать Xi, положим
п
Х[ = ХХ + ^(AjXij + /ijTy + i/jTji + TTj-Уу)
и с учетом (24) получим
X'l> Т,ТЧ= ~X'l + Ц{« - Х»)Х1» + № +37Tx)Yix} +
г=1 ' х=1
п
+ (Ь[ + с[ +m + i/i)Tn + ^{(Ь'ж + Mx)Tix + (4 + ^x)Txi}.
*:=2
Поэтому, выбрав подходящим образом A, /i, z/, 7Г и снова записав Х[
вместо Xi, мы получим соотношение
( Х\, 2_^Тц \ = -Х\.
^ г=1 '
Теперь составим для х^\ тождество
(Хь ^Г^Г^ - ((XiTxx) £Т«) -0,
1=1 ' ^ 1=1 '

которое сразу принимает вид
(XiTxx) + ((XiTxx) £г«) = 0.
^ г=1 '
А поскольку (XiTxx) имеет вид
п
№Т„) = -е1хХг + ^{(а^Ху + b^T.j + с~Т,д + Dj'Yy },
.7 = 1
то мы получаем
п
£{-а*хъ- + ь;ту + с;гя + з^уъ} = о,
j=i
откуда непосредственно следует
bf + cf = 0, а:* = Ь? = с? = D? = 0,
и тем самым,
(XiTHH) = —Е\кХ\.
Тождество
((XiX11)r11)+3(X1Xn) = 0
показывает теперь, что {Х\Х\\) обращается в нуль. Далее, из
((XiTn)^) - {{Х.Х-^Тп) =0 (х > 1)
следует, что (XiX^*) содержит лишь члены, у которых хотя бы один из
индексов равен 1; поскольку, кроме того,
{{ХгХ^Тм) + 2(ХгХхх) = 0,
а Тусуг не воспроизводит ни одного встречающегося в (XiX^^) члена с
коэффициентом — 2, ТО ДОЛЖНО ВЫПОЛНЯТЬСЯ (XiXyryc) = 0.
Если отнормировать Хг • • • Хп так же, как Х\, то мы получим
соотношения
(Х!ХХХ) = 0, (XiTxx) = -е«жХх (А)
(г, >г = 1 • • • п).

Yi мы отнормируем так, чтобы (Х{Уц) = —2У*. Тогда для любых г и к
{(XiYi^Txx) — 2£гк(ХгУц) + £{п(Х{Уц) = О,
((X1Yii)T„„)-4ei„{XiTii) = 0,
следовательно,
Если г = х, то тождество
((УгУжж)Гхх) - 2(У<УХХ) - г«(УгУхх) = О
непосредственно дает (У^п) = 0, если же г ф х, то оно лишь показывает,
что (YiYxx) имеет вид А^У^х» з. тождество
((У<УХ*)Х**) - 4(У*ГХХ) = О
доказывает, что и А^ обращается в нуль. И наконец, из
следует
\^г± усх.) = ££ix±i*
Поэтому в итоге мы имеем
J (^^я) = 0, (XiT^x) = —EixXx, (XiYxx) = 2£ixXi,
\ (У<Ухх) = 0, (YiTxx) = £{хУи (YiX„„) = 2£i>{Xi (В)
(г, >с = 1 • • • п).
Составим для i ф я тождества
((ХгХы)^2т,Л + з(адх) = о,
((Х,Г^) £tJ) + (Х&„) = 0.
Поскольку (XiXix) и (X{Tix), если г отлично от х, содержат лишь члены
вида Х^, ТМ7Г, У^ (/х, 7Г = 1 • • • n), a ^ Т„„ воспроизводит любой из этих
членов с одним из коэффициентов —2,0, +2, то мы заключаем, что (XiXi>€)

и (XiTix) при г ф х обращаются в нуль. Но согласно (В) (Х{ХгХ) = О
и (XiTix) = —Х{, так что в общем случае мы получаем:
(XiXix) = О, (ХгТы) = -еыХг (С)
(г, ус = 1 • • • п).
Точно так же мы находим
(YiYilt) = О, (Y-T^) = еыУ{ (D)
(г, ус = 1 • • • п).
С другой стороны, при i ф х
п
(XiTXi) = -Ху, + 2_^ {avjXvj + bj^Tjyj + c^jYvj},
однако тождество
((XiTxi) J2 T™) + (xiTxi) = О
V 7Г = 1 '
показывает в силу соотношений (24), что все а", Ь", с" обращаются в нуль,
так что (XiTHi) = —Хус. Кроме того, из тождества
(№Т«)Ухх) + 2№У<Х) =0 (г ф ус)
следует еще [Х^У^) = — YH (г ф х). Если связать с этим содержащиеся
в выражениях (В) соотношения
(XiTu) = —Xi и (XiYu) = —2Yi,
то мы получим в общем случае
\XiTxi) = —Хх, (XiYxi) = —SixYi — Yyr (Е)
(г, ус = 1 • • • п).
Точно так же, очевидно,
(YiTiM) = Ух, (ЪХЫ) = Х„ + Ei„Xi (F)
(г, ус = 1 • • • п).

Пусть теперь i,xnj- три различных индекса, тогда
((XiX^) ^2 Т™) + 4XiXxj) = О,
({XiT^Y^T^ + (XiTxj) = О,
((x<yxi)^rw)-(x<y^) = o.
Ho (XiX^j), {XiT^j), (XjYkj) содержат при наложенных условиях
только члены вида Х^п, Т^п, Y^, и каждый из этих членов
воспроизводится с одним из коэффициентов —2,0, +2, следовательно, все три
скобки (XiXxj), (XiTxj), (XiYnj) обращаются в нуль. То же самое,
разумеется, справедливо и для (YiX^j), (YiT^j), (YiY^j), если i,?c,j отличны друг
от друга.
Объединяя только что найденные соотношения с полученными
раньше (A)-(F), мы имеем
(XiXxj) = О, (Y^) = О,
{Xilxj) = —EijXyc, (Yilyrj) =£lj, /^гч
\^i*xj) — — Ei^lj — Sijlx, (YiYixj) — Ei^J^j -\- EijA.x
(i,x,j = 1 ••• n).
Характеристическая функция, соответствующая инфинитезимальному
преобразованию (Y\Xi), имеет вид
{yi+Piz-\ , xi + aiz H } = И ,
следовательно,
{УгХг) = N + ^(а<Х< + ВД +
г=1
п
если ввести правую часть в качестве нового N, то мы получим
(Y1X1)=N. (G)

Кроме того, заметим, что характеристическая функция инфинитезимально-
го преобразования (XiX^) (г ф к) имеет вид
{Xi + OLiZ Л , Х„ + OL„Z Л }=0Н ,
где опущенные члены — первого и более высокого порядка от х, у, z, таким
образом,
п п
j=l ",.7 = 1
Тождества
((вдт«) + (ад = о, ((ХгХх)тхх) + (XiX„) = о
позволяют понять, что выражение (ХгХ^) сводится к
а из тождества ((^ХХ)Г^Х) = 0 явствует, что \i>c также обращается
в нуль, то есть (XiX^) = 0, и конечно же, (У*УХ) = 0. Кроме того, из
((YiXa)Yx) = 0 (г Ф к) следует (XiYx) = 0, так что мы имеем
(XiXx) = 0, (XiYx) = 0, (YiY„) = 0 (Н)
(г, ус = 1 •• • щгф ус).
Чтобы задать (YiXi), составим тождество
((ЦГн)**) + №*i) + {(XiY^Tu) = 0 (г > i), (I)
которое с учетом (G) и (Н) дает (YiXi) = N. Следовательно,
{Х{Х„)=0, (YiX>t)=ei>tN, (У«Уж)=0 (J)
(г, >:• = 1 • • • п).
В тождествах
((У1Х1)ХЫ) - еи(ХхХ{) - е1х(ХМ = 0,
((УхХОГ^) - £и№П) - ен^ХО = 0,
((Ух-ВД*) - гн(УхУ1) - £1х(У*У1) = 0
*

мы можем на основании (J) всякий раз вычислить оба последних члена
и находим
(NXi„) = О, (NTi„) = О, (NYi>c) = О (К)
(г, х = 1 • • • п).
Наконец,
п п
г=1 г,х=1
однако тождества
((NXJTn) + (NX!) = 0, {(NX^Tu) = О (г > 1)
показывают, что все коэффициенты справа, кроме а\, обращаются в нуль,
таким образом,
{NXx)=aXu
а также
(NY1) = tY1.
Тогда, составив тождества
((XiYJN) + ((YiNWi) + ((JVXiJVi) = 0,
((NX1)Yn)+2(NY1) = 0,
мы получим
-tN - gN = 0, -2gYx + 2rYx = 0,
то есть а и г также обращаются в нуль, и мы находим
(NXi) = 0, (NYi) = 0 (i = l-.-n). (L)
Если мы в итоге объединим соотношения (G)-(L), то получим
( (NXi„) = (NTiH) = (NYi>c) = 0,
I №XX) = 0, (YiXx) = eixN, (УгУх) = 0, ,_*
1 (ivxo = (лгуо = о ^
t (г, ус= 1 ••• п).
Можно заметить, что теперь после произведенной нормировки инфините-
зимальное преобразование N имеет вид
п
N = -r + J^KPu + ftq*) + ■ ■ ■ ,

где а'у, Pl — константы, а опущенные члены имеют порядок выше нулевого.
При задании af„, P'v мы исходим из того, что выражение (NTa) для любого г
обращается в нуль; но поскольку
{NTa) = (N, {Xi + оцг)рг - (Уг + Piz)qi + •••) =
= {а\ - OLi)Vi - (/?• - Pi)qi + • • • ,
и члены нулевого порядка здесь, очевидно, должны обращаться в нуль, то
получится а[ — щ, Р[ — Pi, так что N имеет следующий вид:
п
N = ~Т + ^2(а»Р» + РиЯи) + • • • .
Выше все соотношения, имеющие место между инфинитезимальными
преобразованиями группы с требуемым здесь свойством, приведены при
помощи подходящего нормирования к простому каноническому виду.
Теперь нам надо попытаться привести сами эти инфинитезимальные
преобразования путем введения подходящих новых переменных к наиболее
простому виду.
2п + 1 инфинитезимальных преобразований нулевого порядка
п
Xi = -qi-\ , Yi = pi H , N = -г + ^(а„р„ + pvq„) Л
(г = 1 • • • тг)
в переменных х\ • • • хП9 у\ • • • уп, z, очевидно, порождают (2п +
^-параметрическую просто транзитивную группу. Равносоставленной с этой
группой является (2п + 1)-параметрическая просто транзитивная группа
-(«i+sjr'), Р'ь -г'
{г = 1 • • • п)
от переменных х[ • • • х'п, у[ • • • у'п г1, поэтому, согласно теореме 64
(часть I, стр. 376), между переменными х, г/, z и х', у', z' существует
преобразование
Х\ = Аг(Х1 ••• Xn,J/i ••• yn,z), y[ = Вг(Х1 ••• Xn,J/i ••• J/n,*),
*' = Гг(Х1 ... Xn,J/l ••• J/n,*)
(г = 1 ••• n),
(27)

в силу которого имеют место уравнения
X. = -(?<+*ir')> Yi=v'i, N = -rf (28)
(г = 1 ••• n).
В частности, мы хотим выбрать это преобразование (27) так, чтобы
xi ''' х'п-> У\ " ' Уп> z' одновременно с х\ • • • хп, у\ • • • yn, z обращались
в нуль, и чтобы x',y',z' были обычными степенными рядами от x,y,z.
Возможность подобного выбора преобразования (27) можно легко увидеть,
если на основании вышеупомянутой теоремы сначала задать самое общее
преобразование (27), удовлетворяющее уравнениям (28), а затем
применить теорему 12 (стр. 101 части I).
Под действием преобразования (27) инфинитезимальные
преобразования Уц и Хц принимают несколько иной вид:
п
n
Хц = J2 (=*»& + и*я1) + Z*r'>
которые должны удовлетворять соотношениям
{YjYa) = (NYu) = 0, (XjYu) = -teijYu
(XjXa) = (NX*) = 0, (YjXa) = 2eyX<
0 = 1 •••»»).
Из этих соотношений вытекает, что £, г), £ не зависят от х\ ■ ■ • х'п, z', Е, Н —
от у[ ■ ■■ у'п, а Е, Н, Z — от z', кроме того, из них следуют
дифференциальные уравнения
Ё&£-о д&ж _ дг\ы _ dQ
Ух dVj dy'j dy'j
О Х\ О Xj О Xj

в результате интегрирования которых мы находим
п , п v
\Уа = y'iPi + '52(аыр'х + Ьыq^ + (Ci + 5Z а™у'х + 2^2 )Г''
П , П ч
-\Хц = х[Я[ + ^(aixpUfe^) + И; + Y. а™У'х + |ХПГ''
где а, 6, с, а, /3,7 — константы. Но преобразование (27) таково, что х', г/', z'
являются обычными степенными рядами от х, г/, z и одновременно с x,y,z
обращаются в нуль и, наоборот, что х, г/, г являются обычными
степенными рядами от х', yf, z\ поэтому оно, согласно утв. 1 (ч. I, стр. 220),
переводит инфинитезимальные преобразования Уц,Хцу имеющие первый
порядок по х, г/, z, в такие инфинитезимальные преобразования, которые имеют
первый порядок по x',yf,zf. Отсюда непосредственно следует, что в
найденных выше выражениях для Уц и Хц константы a^, bi^, с^, с^х, /?г*г, Ъ
равны нулю, а Уц и Хц имеют простой вид
\Угг = У'гР,г + \у'12г',
-^Xii = x'iq'i + lxfr'.
В то же время в силу (Уц, Хц) = 4Тц будет также верно
Тц=х[р[-у[д[.
Чтобы теперь вычислить Х^ (г ф х), заметим, что должно
выполняться
поэтому если Х^ имеет вид
п
v=l
и под F понимается любая из функций &*«/> Vixv9 Сьо то F должна
удовлетворять уравнениям
хщ~ущ = р (^0, x*d£-yw« = (иф^ (29)

Кроме того,
(NXix) = (XjXix) = 0, (YiXix) = Хн, (YxXix) = Xi,
то есть мы получаем
8F д£ы» дгц
дй
оа
4>i*ij 1
dzf dy'j dy'j
дг)Ы„ _ дг),
~ = ~дх1~~ '
-£х,
да
щ *"■" дх[ *""" дх'„ ш' дх\
а с использованием (29)
Kiycv — U, T\iycv = —ЕусуХ^ — EivXy,, Qi^ = — X^X^-)
то есть
-x^
■&гк — %% Qx ' ^>c Qi * %ii ^>c T '
И наконец,
±(Y„1<Xi„)=Ti„=x'ip'„-y'xq'i,
\{УЫТЫ) = Уы = y'iP'„ + у'„Р[ + y\ y'„r'.
TaicHM образом, всякая группа контактных преобразований
пространства z,x\ • • • хп, обладающая указанными в начале данного параграфа
свойствами, является подобной (п + 1)(2п + 1)-параметрической группе
XiQx+ x*qi+ %iqi+ XiX>,r, XiPx - y„qi, yip* + y„Pi + y^r
(г, ус — 1 • • • n)
(30)
посредством преобразования вида (27).
Инфинитезимальные преобразования группы (30), как следует из
таблицы (5), стр. 532, все являются инфинитезимальными контактными
преобразованиями пространства z,x\ ••• хп\ соответствующие им
характеристические функции, с точностью до перестановки и знаков, будут
такими:
~ (31)
1,
Xi-,
У и
(г,
Xi
УС -
X у-,
--1..
Xi
■п).
Ух,
Уг
Ух

Согласно этому, группа (30) является группой контактных преобразований
пространства z,x\ • • • хп.
Из вышесказанного ясно, что группа (30) оставляет уравнение Пфаффа
п
dz - ^ у}Лх„ = 0 (32)
/У=1
инвариантным. Мы утверждаем, что это единственное инвариантное
относительно группы (30) уравнение Пфаффа. Действительно, пусть
п
Zdz + 5^(Е„ dx„ + Н,у dyu) = 0 (33)
— какое-либо уравнение Пфаффа, остающееся инвариантным относительно
группы (30), или, что то же самое, уравнение Пфаффа, допускающее все
инфинитезимальные пребразования вида (30) (ср. часть I, стр. 582 и ниже).
Если считать, что (33) разрешено относительно какого-либо входящего
в него дифференциала, то мы, конечно, должны снова получить уравнение
Пфаффа, допускающее все инфинитезимальные преобразования (30), а
также, в частности, преобразования r,pi ♦ ♦ ♦ рп. Отсюда, очевидно, следует,
что все коэффициенты в разрешенном уравнении являются независимыми
от 2, xi • • • хп. Поэтому мы можем априори предположить, что и
коэффициенты неразрешенного уравнения (33) также зависят только от у\ • • • уп.
Если бы выполнялось Z = 0, то мы имели бы уравнение Пфаффа вида
п п
^ Е;у(г/1 • • • yn)dxv + ^ ЬЦг/i • • • yn)dyv = 0. (34)
/У=1 /У=1
Если считать его разрешенным относительно одного из дифференциалов
dx,y, dyv и учесть, что полученное таким образом уравнение Пфаффа
допускает п инфинитезимальных преобразований qi + х* г, то мы увидим, что
в этом разрешенном уравнении все коэффициенты являются независимыми
от у\ ♦ ♦ ♦ уп, а стало быть, просто константами. Следовательно, (34) можно
заменить уравнением вида
п п
J2 к Ас* + J2 в» dy»= °» (34')
где Av и Bv — константы. Но (34') должно также допускать 2п
инфинитезимальных преобразований
1 2 12
Xi Яг + ~Xi Г, ViVi+ ~УгГ (г = 1 • • • п),

то есть 2п выражений
Bidxi, Aidyi (z = l---n)
в силу (34') должны одновременно обращаться в нуль, что, очевидно,
возможно лишь тогда, когда все Ai и Bi равны нулю. Таким образом, случай
Z = 0 не дает вообще ни одного уравнения Пфаффа, инвариантного
относительно группы (30).
Если, с другой стороны, Z ф 0, то мы можем положить Z = 1 и
получим уравнение вида
п п
dz + ^2, -ЛУ1 '" Уп) dx„ + ^2 Н"(У1 '" Уп) dy„ = 0. (35)
Оно допускает 2п инфинитезимальных преобразований
УгР1 + ^yfr Xiqi + -x*r
тогда и только тогда, когда все 2п выражений
Vidyi +=.dyi,
Xi dxi + У2xi~?T± dx" + Нг dxi + У2 ~а~~^ ^yv
i дУг , ОУг
обращаются в нуль в силу (35). Отсюда немедленно следует
г\ —
J/г + =-i = 0, Hi + Xi + ^г^111 = 0
дУг
или, поскольку Ег- = —г/г»
2/г+Нг = 0, Нг = 0 (г = 1..-п).
Итак уравнение
п
dz-^2yidxi=0 (32)
действительно является единственньш уравнением Пфаффа от
переменных х\ • • • хп, г/i • • • уп, z, остающимся инвариантным относительно
группы (30).

Отсюда мы можем сделать важный вывод.
Если G — группа контактных преобразований со свойством, указанным
в начале настоящего параграфа (на стр. 554), то, как мы видели на стр. 563
и ниже, существует преобразование вида (27), при котором G переходит
в группу (30). Но мы знаем, что группы G и (30) оставляют уравнение
Пфаффа (32) инвариантным, а про группу (30) мы только что доказали, что
она не оставляет никакое отличное от (32) уравнение Пфаффа
инвариантным, следовательно, мы можем заключить, что и относительно группы G
никакое уравнение, кроме уравнения Пфаффа (32), не остается
инвариантным. Тем самым, получается, что преобразование (27), превращающее G
в группу (30), переводит уравнение Пфаффа (32) в себя, то есть что оно
является контактным преобразованием пространства z,x\ ♦ ♦ ♦ хп. Другими
словами:
Всякая группа контактных преобразований пространства z,x\ • • • хп,
обладающая указанными на стр. 554 свойствами, является подобной
группе контактных преобразований (30) посредством контактного
преобразования пространства z,x\ • • • хп.
Наконец, мы еще докажем, что группа контактных
преобразований (30) является неприводимой.
Для этого найдем все полные системы от переменных х\ ♦ ♦ ♦ хП9
2/1 •• • Уп, z> допускающие группу (30).
Если A\f — 0, A2J — 0, ■ ■ • — такая система, то предположим, что она
разрешена относительно стольких производных от /, сколько независимых
уравнений она содержит; тогда разрешенная полная система должна, в
частности, содержать п + 1 инфинитезимальных преобразований г,р\ • • • рп,
то есть все ее коэффициенты должны быть независимы от z,x\ ••• хп
(ср. часть I, теорема 20, стр. 156). Поэтому мы можем априори
предполагать, что и в уравнениях A\f — 0,^2/ = 0, • • • неразрешенной полной
системы все коэффициенты являются независимыми от z,x\ • • • хп.
Пусть
— произвольное уравнение полной системы A\j — 0 • • •, тогда, применив
инфинитезимальные преобразования yi p^ -\-y^Pi~\- у г у><г, мы увидим, что
все уравнения вида

также принадлежат этой системе. Если бы здесь не все jii обращались
в нуль, то система, очевидно, содержала бы п уравнений
кроме того, поскольку она должна допускать п инфинитезимальных
преобразований Xi qi + ^xf r, она содержала бы уравнения
^ =о • • • =0
и, наконец, еще — так как она является полной системой — уравнение
дуг' дх\ dz J dz
таким образом, кроме ничего не говорящего решения / = const., она
не имела бы вообще никакого решения и не была бы полной системой
в собственном смысле слова. Следовательно, все коэффициенты jii ♦ ♦ ♦ /лп
в уравнении (36) должны обращаться в нуль или, что то же самое, полная
система A\f = 0, • • • является независимой от п производных
д]_ д]_
ду\ дуп'
Отсюда мы видим, что всякая полная система, допускающая
группу (30), имеет п решений, у\ • • • уп и в то же время, так как она
допускает инфинитезимальные преобразования xi qi + \х\ г, она должна иметь
п решений
9yi ,12% ,. ,
XiWi + 2Xi~dI=Xi (2 = 1-П)'
а поскольку она не может иметь 2п + 1 независимых решений, то эта
система должна иметь следующий вид:
1^ = 0. (37)
dz
Более того, сразу ясно, что уравнение (37) действительно допускает
группу (30).

Таким образом, уравнение (37) — единственная полная система от
переменных х\ ♦ ♦ ♦ жп, у\ ♦ ♦ ♦ уп, 2, остающаяся инвариантной относительно
группы (30).
Кроме того, из теоремы 60 (стр. 431) следует неприводимость
группы контактных преобразований (30), так как 2п независимых
решений х\ • • • xn, 2/i • • • уп единственной инвариантной относительно группы
полной системы (37), очевидно, не находятся попарно в инволюции. Тем
самым одновременно доказано, что все группы контактных
преобразований, обладающих указанными на стр. 554 свойствами, являются
неприводимыми.
Результаты настоящего параграфа с учетом предыдущих рассуждений
могут получить следующую формулировку.
Теорема 78. 1 Если конечная непрерывная группа
контактных преобразований пространства z,x\ ••• хп, инфинитезималъ-
ные преобразования которой в окрестности Xi = yi = z = 0
ведут себя регулярно, содержит (п + 1)(2п + 1)
инфинитезималъных преобразований вида
Pi + ' ' ' , Яг + • • • , Г + • • • ,
(Xi + aiz)qyc + (х„ + a^z)qi Н , (у* + Piz)p„ + (у* + P„z)pi H ,
(хг + aiz)p>€ - (у* + 0xz)qi H
(г,к= 1 ... п),
а инфинитезималъных преобразований первого порядка
от x,y,z вида
{п Л п
^{xvPv + yvq,,) +2zr > +^2{6„zpl/+el/zq„) + ••• ,
напротив, не содержит, то эта группа является (п+1)(2п + 1)-
параметрической, а также неприводимой и подобной
неприводимой группе контактных преобразований
(30)
эд*
+
%*cqi
+
Рг
Х%Х у/Г,
4г
+ ХгГ, Г,
ХгР^ - 2/*г<7г,
(г, х
= 1 • • • п)
УгРх
+ y*Pi
+ 2/гУ*Г
'Для удобства эту и следующие теоремы мы формулируем только для системы значений
хг = уг = z = 0; для системы значений ж°, 2/J\ z° общего положения надо лишь везде вместо
ггг, уг, z записать соответственно хг — х®,уг — y®,z — z°.

посредством контактного преобразования пространства
Z^X\ • • • Хп.
Мы хотим еще упомянуть, что группа (30) как группа точечных
преобразований пространства х\ ♦ ♦ ♦ хп, у\ ♦ ♦ • yn, z является импримитивной,
правда, только в единственном смысле: она оставляет уравнение (37)
инвариантным и потому преобразует 2п переменных х\ ♦ ♦ ♦ хп, у\ ♦ ♦ ♦ уп между
собой. Группа даже является систатической, так как имеет выделенное ин-
финитезимальное преобразование, а именно, т (см. ч. I, стр. 559,
утверждение 3).
§118
Второй случай
Здесь будут описаны все те группы контактных преобразований
с (п + 1)(2п + 1) + 1 параметрами, которые в окрестности системы значений
Xi — yi — z — 0 общего положения содержат 2п + 1 инфинитезимальных
преобразований нулевого порядка вида (11) (см. стр. 538) и п(2п 4- 1) 4-1
преобразований первого порядка вида (II) (см. стр. 543).
Как и в предыдущем параграфе, мы положим
Г -Г + . . . = N, -qi + • • • = XU Рг + • • • = YU
-(Xi+ OLiz)qx - [Ху, 4- OL><z)qi + • ■ • = Xix,
< (Xi 4- aiz)p„ - (y„ + (3*z)qi + • • • = Ты, (38)
(Уг + PiZ)p„ + (уу, + 0*z)pi + • • • =Yix
\ (*,*:= 1 ••• n),
кроме того, обозначим инфинитезимальное преобразование
71 S П N
^{(х,у 4- avz)py + (у„ + f3vz)qu} + 2z< r - ^(<ЗД>,У + Pvqu) > Н
кратко через С/.
Помимо соотношений (23) на стр. 554, между инфинитезимальны-
ми преобразованиями первого порядка -Х"^, Т^, У^, С/ также имеют место
следующие:
{Хы U) = {Tiyc U) = {Уы U) = 0 (39)
(г, >с — 1 • • • п).

Отнормируем Хг и Yi так, чтобы выполнялись соотношения
(XiU) = XU (YiU)=Yi (40)
(г = 1 ••• п).
Далее, понимая под S^j любое из преобразований XXj, T^j, YXj, составим
тождество
((ВДЗД + ((US^Xi) + ((SxjXi)U) = 0.
Здесь второй член обращается тождественно в нуль, то есть
(XiSxj) = -((SxjXi)U).
Но так как (XiS^j) имеет вид
п п
+ Щ*УЫ} + oU,
u=\ i,x=l
где мы можем вычислить коэффициенты <7„, т,у, то мы получим
и
-((SxjXi)U) = J2(a»X" + Т"У") = №ЗД-
Таким образом мы находим
J \XiXyrj) — 0, \XiTyrj) — —CijXyc, [XiYycj) — —SixYj — £ijYx,
(i,x,j = 1 ••• n).
(41)
Тождества
(даГх)Е/) - 2(1Д.) = 0, ((У<ХЖ)17) - 2(У<ХЖ) = 0
показывают, что (Х»ХЖ) и (У^Х*), которые содержат только члены
с Хи, У,,, Хиж,Т„ж, YU7r,U (ср. стр. 561), оба обращаются в нуль. Точно так
же (У«УХ) = 0.
Преобразование N мы отнормируем как на стр. 560, так что
будет (Y\Xi) = N, тогда тождество
{(YiTuWi) - (У1Х1) = 0 а > 1)

немедленно доказывает, что (YiXi) = (Y1X1) = N. Далее мы
рассматриваем тождества
({Y1X1)U)-2(YlX1)=0,
((YiXi)SW) + {{XiSbcW + (($**№) = О
и находим путем вычисления, что выражение
{{XiSi^Yij + ((SixY1)Xl)
всегда обращается в нуль, тем самым мы получаем
(NU) = 27V, (NSix) = 0.
Наконец, из
i(NXi)U) + {(XiU)N) + {(UN)Xi) = 0
следует уравнение
((NXi)U) = 3(NXt),
то есть (NX{) — 0, а также (NY{) — 0. Таким образом, мы имеем
{(Х{и) = Хи (YiU) = Yu (NU) = 2JV,
(NXix) = 0, (JV7-„) = 0, {NYix) = 0,
(Х#„) = 0, (У<Х„) = £^ЛГ, (У<Уж) = 0, (42)
(XiJV) = (У,ЛГ) = 0
(г, ус = 1 • • • п).
Тем самым все соотношения между инфинитезимальными
преобразованиями искомых групп приведены к каноническому виду.
Очевидно, что (п + 1)(2п + 1) инфинитезимальных
преобразований N,Xi,Y{,XimTiKiYix порождают подгруппу, которая, согласно
рассуждениям предыдущего параграфа, может посредством подходящего
контактного преобразования
Xi = Ai(xyy,z), y[ = Bi(x,y,z), z' = r(x,y,z) (43)
(г, ус = 1 • • • п)
быть приведена к виду
N = -r', Хг = -(д> + х'У), У4 = р<,
Xi* = -(хГq'„ + х'„<?• + х<х'„r'), Y^ = у[р'„ + y'„p'i + y[у'„г'),
При этом мы можем предположить, что х', у', z' одновременно с х, у, z
обращаются в нуль, и что как х', у', z' являются обычными степенными
рядами от х, у, z, так и ж, у, z — обычными степенными рядами от х', у', z'.

Под действием контактного преобразования (43) инфинитезимальное
преобразование U принимает некоторый новый вид
п
tf = £(£,?/„+ *?"<£)+ Сг',
который должен удовлетворять соотношениям
(YiU)=Yu (XiU) = Xu (NU) = 2N, (THU) = 0;
поэтому для £7у,77;у,С получаются следующие дифференциальные
уравнения:
дх[ дх[ дх[ dz' dz' dz'
Xidx[ Vidy[~eivKv' Xidx[ Vidy[~ eiv7)v'
в результате интегрирования которых мы находим
iv = х'и, т)„ = у',у, С = 2(г' + с).
Но U должно и в переменных xf,yf, z' быть инфинитезимальным
преобразованием первого порядка (ср. стр. 565 и ниже), то есть с должно
обращаться в нуль, и мы получаем
п
Это выражение, очевидно, удовлетворяет также и всем другим
соотношениям, которые мы нашли между U и остальными инфинитезимальными
преобразованиями.
Вышестоящим доказано, что всякая группа контактных
преобразований G, обладающая указанными на стр. 572 свойствами, является подобной
группе
(44)
Pu Qi+XiT,
XiQys i XxQi i XiXj^T^
n
r, y^(xvpy + yvqv) + 2zr,
v—1
XiPx ~ УхЧи УгРх + VxPi + УгУ^Г
(i^yc—\---n)
в силу некоторого контактного преобразования.

Группа (44) является группой контактных преобразований,
поскольку порождена лишь инфинитезимальными контактными
преобразованиями. Соответствующими им характеристическими функциями, с точностью
до перестановки и числовых множителей, являются
■*-? ^г-> Уг-> Z о \«£l2/l ~г * * * т ЭСпУп)-) ^i^yci ^iVm УхУус
(г, >с= 1 • • • п).
Кроме того, группа (44) является неприводимой, ведь она содержит
неприводимую подгруппу, а именно, группу (30) на стр. 571.
Итак, мы имеем следующую теорему.
Теорема 79. Если конечная непрерывная группа контактных
преобразований пространства z,x\---xn, инфинитезималъные
преобразования которой в окрестности х\ — yi — z% = 0 ведут
себя регулярно, содержит (п + 1)(2п + 1) + 1 инфинитезималь-
ных преобразований вида
Pi Н , Чг Н , т Н 1
(ж» + а^)^ + (х„ + ax2)?t + • • • , (Уг + Piz)p* + (у* + Pxz)Pi + • • • ,
(х* + а^)р^ - (у„ + /?*г)& + • • • ,
п п
5^{(я„ + а„;ф„ + (у,/ + Puz)<lu) + 2г{г - ^(а,ур„ + /3^/у)} + • • •
(г, х= 1 • • • п),
но не содержит ни одного инфинитезимального
преобразования первого порядка от x,y,z, имеющего вид
п
^2(6„ • zpu + е„ • гд„) + • • • ,
//=1
то она имеет в точности (п +1)(2п +1) + 1 параметров, кроме
того, является неприводимой и подобной неприводимой группе
контактных преобразований
ph q{ + x{r,
'З-'хЧ.ус i X*cQ.i i ^х^ус'^
п
г, ^J(x;yp,y + у;,<^) + 2гг,
;у—1
^гР>с - У*&, 2/гР* + У*Рг + УгУ><Г
(г, х- = 1 • • • п)

посредством контактного преобразования пространства
Z, Х\ • • • Хп.
Как группа точечных преобразований пространства х\ • • • хп, у\ • • • уп,
z группа (44) является импримитивной, поскольку так же, как и группа (30)
на стр. 571, оставляет уравнение
инвариантным, но это уравнение, конечно же, задает единственную,
инвариантную относительно группы (44) полную систему в переменных я, у, z.
Также само собой разумеется, что кроме известного уравнения dz—y\dx\ —
— • • • — Уп dxn — 0 не существует никакого другого уравнения Пфаффа,
которое оставалось бы инвариантным относительно группы (44).
§119
Последний случай
Требуется найти все группы контактных преобразований,
имеющие (п 4- 1)(2п 4- 3) параметров, а также в окрестности системы значений
хг — У г — z — 0 общего положения: (2га + 1) инфинитезимальных
преобразований нулевого порядка вида (11) (см. стр. 538), (га + 1)(2п + 1) первого
порядка вида (IV) (см. стр. 543) и, наконец, одно второго порядка вида
п
^(zxvp,; + zy^qv) + z2r + • • • .
/v=l
В соответствии с используемыми в §§ 117 и 118 обозначениями положим
-г + •. • = N, -ft + • • • = Хи Pi + • • • = Yu
п
^{хири + yuqu) + 2zr + -- = U,
-(ХгЧх + X^qi) + • • • = ХЫ, УгР„ + у^р% + • • • = Yix,
%iPx УхО.1 i * * * — J-ix
и напомним (стр. 548), что соответствующие этим инфинитезимальным
преобразованиям характеристические функции имеют следующий вид:
1 + • • • , £* + •••, Уг + ' ' ' , -22 + • • • ,
XiXyc -|- • • • , УгУх т * * * > %гУх "г • • • •

Кроме того, введем обозначения
-zqi H = ZXi, zpi H = Zy,,
п
(г= 1 ••• п).
Тогда инфинитезимальные преобразования ZXi, Zy/ и У будут иметь
следующие характеристические функции:
ZXi + • • • , zyi + • • • , z2 + • • • .
Наконец, мы хотим еще условиться, что под S^ мы понимаем одно из
преобразований Xix, Tix, Уы, а под Зг — любое из преобразований ZXl, ZVl.
Некоторые соотношения между инфинитезимальными
преобразованиями Si*, U, 3j, V мы можем сразу указать. Если мы учтем вид этих инфи-
нитезимальных преобразований, то получим
Г (ХЫУ) = (TittV) = {YiHV) = О,
I (CA0 = 2V, (ZSlV) = (ZViV) = 0 (46)
[ (г, х= 1 ••• га),
а также, с учетом вида характеристических функций,
{(ZSlX„j) = 0, (ZyY^) = 0,
\Zx,Y>cj) — —£ixZVt — £ijZy>ei \ZytXycj) —eiyrZX) +£ijZx>ei (47)
(ZXlZx„) = 0, (Zy,Zx„) = eixV, (Zy,Zy„) = 0
(г, x. = 1 • • • n)
и, кроме того, еще соотношения (23) на стр. 554.
Выражение (S^U) имеет вид A^V, поэтому в тождестве
{(S^S^U) + ((S^U)Si>() + {(US^)S,/n) = 0
оба последних члена обращаются в нуль тождественно в силу
соотношений (46), то есть всегда
((Sii€SU7r)U) = 0.
Однако вышеуказанные формулы (23) показывают, что всякое
преобразование Sgr при подходящем выборе преобразований S^ и SU7r может быть

представлено в виде (SiHSU7r), то есть (SQTU) всегда равно нулю. С другой
стороны, из тождества
((гх.Тц)и) + ((uzXl)Tu)) =о
в силу соотношений (47) немедленно следует
(гх,и) = {(игх,)Тц)),
но (ZXtU) = — ZXi 4- tiiV, следовательно,
(ZX,U) — (ZXtTii) — —ZXi,
и точно так же {ZyU) = —Zyr Тем самым мы имеем
Г (XixU) = {TiltU) = <yiMU) = О,
I {ZX,U) = -ZX„ {Zy,U) = -Zy, (48)
I (i,*c= 1 • •• п).
Теперь мы должны попытаться так отнормировать инфинитезимальные
преобразования N,Yi,Xi, чтобы они были связаны с остальными инфи-
нитезимальными преобразованиями и между собой по возможности
максимально простыми соотношениями.
Получаем
(NU) = 27V + £ 0ixSi„ + £ 7г3г + SU + eV
или, если ввести
N+l{T, &*5«+би) +1Е **з< + ^
в качестве нового N,
{NU) = 2N.
Кроме того,
(NV) = U + aV,
но тождество
{{NV)U) - 2(VN) - 2{NV) = О
показывает, что а обращается в нуль. Если вдобавок составить тождество
((NSi„)U) - 2(JVSix) = 0,

то мы обнаружим, что (NS^), имеющее вид
равно нулю. Короче говоря, мы получаем
(NU) = 27V, (ЛГУ) = 2С/,
(ЛГХЫ) = (NTix) = (ЛГУЫ) = 0 (49)
(г, х= 1 • • • п).
Отнормируем Yi,Xi так, чтобы выполнялось
(JVZX/) = -Хи (NZy,) = -Yi (50)
(г=1..-п),
тогда сможем в тождестве
((JV3<)5XJ-) + {(3iS„j)N) + {(SxjN)3i) = 0
всегда вычислить два последних члена и найдем таким образом
значения (XiSxj) и (YiSnj), а именно,
[YiYxj) — 0> (УгТхэ) — SixYj, (YiXxj) — CiyrXj + €ijXx (51)
(i, x,j = 1 ••• n).
Точно так же тождества
(таи + (OiV)jv) + ((w\03i) =o,
((JV3,-)C7) + ((Зг^)ЛГ) + {(UN)3i) = 0
дают соотношения
{ (ХгУ) = -гх„ (YiV) = -zy„
(XiU) = Хи (YiU) = Yi
(г = 1 ••• n).
Из тождества
[(YiZyx)Tij) 4- e^j(Zy^Yi) — Sij(YiZVie) = 0
(52)

явствует, что все члены в
(YiZyH) = Y, owSW + ^иЪи + iu + s'v,
кроме одного, исключаются, а именно,
(YiZVK) = QfixYix.
Более того,
{{NZy,)ZXy.) - eUNV) + (X„Zy,) = О,
((YiZyJX„„) - 2(YiZxJ - 2ei3<(X„ZyJ = 0,
таким образом,
-(YiZXr) + (X„Zyt)=ei„U,
(YiZXa€)+€ij€(XxZyi) = о!ы(\ +ei„)Txi,
откуда в результате разрешения следует
(XHZyi) = a^Tni + 2£i*U-
Наконец, запишем тождество
{{X^ZyijXii) — 2\XyrZXi) — 0
и найдем отсюда
Величину ос'ы зададим с помощью тождества
{iXiZyK)ZXK) - {YiV) - ((YiZx„)Zy„) = О,
вычисляя которое, мы находим
<*ы(\ + £%>c)Zy, + zy, + oliytZVi + ySixZy* = °'
то есть будет выполняться а'ы = ^, независимо от того, равны ли между
собой гия.

3 целом мы теперь имеем
(XiZXy!) = ——Х^, (XiZyJ) —
(YiZy>i) = —-Yix, (YiZXy:) =
— -T ■ — -p- 77
(53)
(г, я = 1 ■ ■ ■ п).
Из тождеств
((NXi)U) - 3(NXi) = 0, {(NYi)U) - S(NYi) = О
теперь следует (NXi) — {NYi) = 0, и наконец,
((JVZy.)Xx) + \{Т.М - eixV,N) = О,
((WZV/)yx) + I(Y;x,JV) = 0
дает еще (УгХ^) = e^N, (YiY^) = О, а также (Х$ХХ) = 0. Таким образом,
имеют место следующие соотношения:
( дагх) = 0, (YiXM) = eixN, (YiYx) = 0,
(NXi) = 0, (7Vr<) = 0
(г, х = 1 • • • п).
(54)
Соотношения между инфинитезимальными преобразованиями
искомых групп теперь имеют желаемый простой вид, остается лишь привести
сами эти инфинитезимальные преобразования путем подходящего выбора
переменных как можно к более простому виду.
Очевидно, что (гс + 1)(2гс +1) +1 инфинитезимальных преобразований
JV, Xi, Yu Xix, Tiy,, Yin, U сами по себе порождают группу с
рассмотренным в предыдущем параграфе свойством; поэтому эта группа, согласно
теореме 79 (стр. 575), может быть приведена посредством контактного
преобразования пространства z,x\ • • • хп к виду
N
Xi
-(qi + xir), Yi=pi,
Хы = -{xiqH + x„qi + XiX„r), Yiyc = уф„ + у„щ + УгУ„г,
n
Ты = хфк - y^qi, U = ^2,{хири + yvqv) + 2zr.
Jt/=1

Здесь, как мы знаем, все преобразования JV, Х$, У*, Х^, Г^, У^, {/ суть ин-
финитезимальные контактные преобразования пространства z,x\ • • • жп.
Инфинитезимальное преобразование Z^, принимает в новых
переменных ж, у, г новый вид
Z2/' = ^Yj^i]jVv + ^'^ + &Г'
л/=1
который должен удовлетворять соотношениям
(NZy.) = -Vu {yjZy.) = -\{ViPj + VjPi + ViVjr),
n
Поэтому мы получаем для &„, 77^, Сг следующие дифференциальные
уравнения:
д&„ _ drji^ _ д({ _
dz ~Ei}J" dz " dz _U'
d&t/ , diiu_ _ 1, _ ч
dVj ^Xj dz " 2{6ivXj 6ijXuh
Qrgv дЩу _ 1, v
3 2k + xdA_c..-_£..z
dyi 3 dz Кгз~ "'
^ \ dxj J 9j/j у dz
k\ *** dyj) dz

и находим
€,iv — &iv I 2 / „ xjVj J cytvVi
^г/у = ~lyUjVvi Q — ~ оУг / ^ZjUji
3 = 1
следовательно,
z - 2J2xiyj)Pi " 2Vi\ J2(x»p» + ^^) + J2X№ ' r)'
Преобразование ZVi является инфинитезимальным контактным
преобразованием, так как, рассмотрев инфинитезимальное контактное
преобразование, имеющее характеристической функцией выражение
П / П ч
^2 у»&» ~^ = y\z~ 2^XjVj)'
мы получим как раз инфинитезимальное преобразование ZVi. Разумеется,
^(ZytXa) = ZXi тоже является инфинитезимальным контактным
преобразованием, а поскольку Хц имеет характеристическую функцию х?, то
характеристическая функция от ZXi будет иметь следующий вид:
1\ У* [z ~ \ИхзУз Ь х1 \ = xi \z - \^хзУз
и наконец, (ZVtZXt) — V — также инфинитезимальное контактное
преобразование с характеристической функцией
уА*~ \ЛхзУз 11 xi iz ~ \ ^2хзУз\ j = iz ~ \Т.хзУз
Таким образом, мы видим, что инфинитезимальные преобразования
искомых групп контактных преобразований могут быть переведены
посредством подходящего контактного преобразования пространства в такие
инфинитезимальные контактные преобразования, которые имеют следующие

характеристические функции:
*-•> %ii Hit % ~ 7y / J ЯуУу)
v=l
XiXy,, ХгУх, ViVyo
Xiiz- -^Xj.yA, yAz-\^xuyA [z-iy^XuyJ
v=l
(г, >c — 1 • • • n).
v=l
(55)
Более того, легко убедиться, что характеристические функции (55)
удовлетворяют всем выписанным выше соотношениям, если только заменить
знак ( ) на { }, поэтому инфинитезимальные контактные преобразования,
соответствующие функциям (55), также удовлетворяют этим
соотношениям.
Характеристические функции (55) задают группу контактных
преобразований пространства z,x\ • • хп, содержащую (п + 1)(2п + 3) параметров.
Эта группа является неприводимой, поскольку содержит две неприводимые
подгруппы, группу (30) на стр. 571 и группу (44) на стр. 575. Итак, мы
имеем следующую теорему.
Теорема 80. Если конечная непрерывная группа контактных
преобразований пространства х,Х\---хп, инфинитезимальные
преобразования которой ведут себя в окрестности Хг = у% = z
регулярно, содержит (п + 2)(2п +1) инфинитезимальных
преобразований вида
Pi + • • • , Яг +
+ ''' ' ^{руРи + УуЧи) + 2гг +
v=\
XiVx - УхЧг + ' ' ' , УгРх + УхРг +
zpi + • • • , zqi + • • •
(г, ус — 1 • • • гг),
то она является (п + 1)(2п + 3)-параметрической и содержит
помимо указанных преобразований еще одно вида
^2(z xv pv +zyu q„) +z2r
v=\

кроме того, она является неприводимой и подобной
неприводимой группе контактных преобразований
Pi, qi + Xir, г, ^2(хир„ + yvqv) + 2zr,
и=\
ХхЧк + XxQi + XiX^r, XiPx ~ у^Чи ViVx + VxVi + ViV^,
l/=l
U/=l
г *ь \ ( \
;y=l
4^=1
[z - \ ^ХиуЛ r- \z - \^ХиУ,1\ ( ^{xvPv+yrtv) + 2zr]
(г,х = 1 • • • n)
v=\
\v=\
(56)
0
посредством контактного преобразования пространства
z,X\---xn. Характеристические функции инфинитезимальных
контактных преобразований (56) имеют вид (55).
Поскольку уравнение
дг
является единственной полной системой от переменных x,y,z,
допускающей группу (30) на стр. 571, и поскольку это уравнение, очевидно, не
остается инвариантным относительно группы (56), то мы видим, что
группа (56) как группа пространства х\ • • • хп, у\ • • • yn, z является
примитивной. Кроме того, следует упомянуть, что кроме уравнения
dz - yidxi - • • • - yndxn = 0
нет никакого другого уравнения Пфаффа, которое бы оставалось
инвариантным относительно группы (56).
Теперь задача, которую мы поставили на стр. 537, решена и все
заданные группы контактных преобразований найдены. Поэтому мы можем
сказать:
Теорема 81. Если трактовать конечную непрерывную
группу контактных преобразований G пространства z,x\ • • • хп как
группу точечных преобразований (2п-\-1)-мерного
пространства z,x\ ••• хп,у\ • • • Уп и потребовать, чтобы G как группа
этого последнего пространства, во-первых, являлась
транзитивной и, во-вторых, чтобы она, если зафиксировать некоторую

точку общего положения z ,х\ ••• хп,у® ••• уп,
преобразовывала наиболее общим образом oo2n_1 направлений плоского пучка
направлений, поставленного этой точке в соответствие
уравнением Пфаффа
dz - yi dxi - • • • — уп dxn = 0,
то мы получим следующее: группа контактных
преобразований G является неприводимой, имеет (п + 1)(2п + 1), (п + 1)х
х(2п + 1) + 1 или (п + 1)(2п + 3) параметров и является
подобной посредством контактного преобразования пространства z,
Х\ • • • хп одной из трех следующих неприводимых групп
контактных преобразований: (30) на стр. 571, (44) на стр. 575
или (56) на стр. 586.
Теперь мы хотим исследовать найденные группы контактных
преобразований несколько подробнее.
§120
Все три найденные нами группы контактных преобразований
пространства z,£i • • • хп являются неприводимыми, поэтому ни одно
семейство из oon+1 элемент-многообразий Мп пространства z,x\ ••• хп,
элементы которого z,x\ • • • хп,у\ • • • уп не удовлетворяют никакому
соотношению вида
J?(z,xi ••• xn,yi ••• уп) = 0,
не остается инвариантным относительно ни одной из этих групп
(ср. стр. 431). Напротив, вполне возможно, что существуют семейства
элемент-многообразий Мп, остающиеся инвариантными относительно наших
групп, а именно, желательно знать те из соответствующих семейств,
которые содержат минимальное число параметров. Обозначенную здесь задачу
мы хотим полностью решить по крайней мере для того случая, когда
инвариантное семейство элемент-многообразий Мп состоит лишь из п-мерных
точечных многообразий вида
Z = Ф(х\ • • • Хп).
Если семейство точечных многообразий пространства z,x\ • • • хп
допускает группу контактных преобразований (30) на стр. 571, то она, в
частности, допускает также все содержащиеся в этой группе инфинитезималь-

ные точечные преобразования пространства z,x\ • • • хп, в том числе
следующие:
^ х д-1 хх д-1 (57)
(г, ус — 1 • • • тг).
Если согласно этому z = Ф(х\ ••• хп) — некоторое многообразие этого
семейства, то и все многообразия, возникающие из z = Ф в результате
применения однопараметрических групп (57), должны принадлежать этому
семейству. Следовательно, помимо z = Ф это семейство должно содержать
еще все многообразия вида
п п г
z = Ф(хх • • • хп) + а + ^2 biXi + У^У^
(58)
2=1 2=1 Я—1
где под а, 6г, с^ понимаются произвольные параметры.
Этим доказано, что наша группа (30) не оставляет инвариантным ни
одно семейство многообразий вида
Z= Ф{Х1 ••• Хп,0,1,0,2 •••)>
число параметров а\,02 • • • в котором меньше, чем
п(п+1) (п + 1)(п + 2)
1+п + ^ = 2 •
Но возможно, что имеются инвариантные семейства ровно с ^(п + 1)(п + 2)
параметрами, это надо проверить.
Если существует инвариантное семейство с ^(п + 1)(п + 2)
параметрами, то оно обязательно должно иметь вид (58), где функция Ф не зависит
от параметров а, Ьи сы- Тогда группа (30) помимо инфинитезимальных
точечных преобразований (57) содержит еще следующие:
J xvlf- (м,1/ = 1.--п). (59)
дх^' v дх^
Но для того, чтобы семейство (58) допускало инфинитезимальные
преобразования (59), согласно ч. I (стр. 514), необходимо и достаточно,
чтобы имелись некоторые инфинитезимальные преобразования A^f, AvpLf

от ^(п + l)(n + 2) переменных a,bi,Cix, обладающие тем свойством, что
уравнение (58) от переменных Ху • • • xn,a, bi,Cix допускает инфинитези-
мальные преобразования
V , л * _ df
Н~ Anj, х1У + AWuj.
дх» ' ^' "-"а^ "^
Если учесть, что Ф независима от а,Ьг,сь,, то прежде всего Лм/ и AJyflf
должны придавать а^Ь^с^ такие бесконечно малые приращения, которые
линейно зависят от а, 6^ с^, в то же время мы видим, что функция Ф
должна удовлетворять условиям вида
= а + ^ &Х* + 5Z 5Z 7гх^г^^,
ЭФ
г=1 г=1 ^-=1
n n i
UXV< ^л ,-=1 „=i
г=1 г=1 ^-=1
где а, /3,7^°Л Р'> 1* — константы. Стало быть, сама Ф имеет вид
« = «" + £ #'** + ££ у****,
г=1 г=1 ^=1
и получается, что всякое инвариантное семейство с |(п + 1)(п + 2)
параметрами (если таковое имеется) должно иметь вид
п п
Z = a + ^ Ьг^г + ^ Сг^Х^, (60)
г=1 г,х=1
где мы можем предположить с^ = с^. О семействе (60) тогда во
всяком случае точно известно, что оно остается инвариантным при действии
инфинитезимальных преобразований (57) и (59).
Уравнение (60) с параметрами а, Ь^ с^ представляет общее решение
следующей системы дифференциальных уравнений:
°3z (»,*,j = l---n). (61)
dxidx^dxj
Отсюда следует, что система (61) допускает инфинитезимальные
преобразования (57) и (59). Если же мы хотим знать, допускает ли семейство

многообразий (60) также остальные инфинитезимальные преобразования
группы (30), то нам надо лишь исследовать, допускает ли система
дифференциальных уравнений (61) эти инфинитезимальные преобразования. Для
этого рассмотрим z как функцию от х\ • • • хП9 так что
v.-Л*. ... у - dz
У г — о 1 Уп —
и продолжим инфинитезимальные преобразования (62), добавив
производные второго и третьего порядка от z (ср. гл. 22). Мы увидим, что
производные третьего порядка от z при инфинитезимальных
преобразованиях (62) получают бесконечно малые приращения, обращающиеся в нуль
в силу уравнений (61). Другими словами, система уравнений (61)
допускает инфинитезимальные преобразования (62), так как она допускает,
согласно вышесказанному, все прочие инфинитезимальные преобразования
группы (30), поэтому остается вообще инвариантной относительно
группы (30). Точно так же можно видеть, что система уравнений (61) остается
инвариантной и относительно двух других наших групп (44) и (56).
Тем самым, доказана следующая важная
Теорема 82. Три неприводимых группы контактных
преобразований — (30) на стр. 571, (44) на стр. 575 и (56) на
стр. 586 — не оставляют инвариантным ни одно семейство
z = Ф(х1 ••• sn,ai,a2 •••)
n-мерных точечных преобразований пространства z,x\ -- • хп,
содержащее менее ^(п + 1)(п+ 2) параметров, и оставляют
инвариантным только одно семейство ровно с ~(п + 1)(п + 2)
параметрами, а именно
п п
z = a + ^2 Ь{Хг + ^2 ciKxix*, (60)
г=1 г,х=1
которое состоит из всех n-мерных многообразий второго
порядка, имеющих один общий бесконечно удаленный элемент
пространства z,x\ ••• хп.

§121
Если в неприводимую группу контактных преобразований
пространства 2, х\ - " хп ввести в силу некоторого контактного преобразования
этого пространства новые переменные, то мы, конечно, снова получим группу
контактных преобразований, которая является неприводимой. Среди
бесконечно многих различных форм, которые неприводимая группа контактных
преобразований (56) может принимать указанным на стр. 586 способом,
имеется одна, примечательная своей простотой; частный случай п = 1 мы
уже видели на стр. 506, но это справедливо и для любого п.
Чтобы провести указанное видоизменение группы (56), мы сначала
представим себе, что эта группа записана как группа однородных
контактных преобразований от 2п + 2 переменных х[ • • • х'п+1, р[ • • • pfn+i. Итак,
положим
xi — xi->
Vi =
%П %п
Z = X
П+1'
р[
Рп+1
', '•• Уп =
Рп+1
выразим все характеристические функции (55) инфинитезимальных
преобразований нашей группы через х[ • • • х'п+1, р[ • • • p'n+i и умножим каждую
из полученных функций на pn+i (ср. утверждение 10, стр. 313). В
полученную таким образом группу однородных контактных преобразований мы
введем новые переменные $[ • • • ?^+1, р[ • • • p^+i B СИЛУ однородного
контактного преобразования
Х^ — Z£i
Pn+l'
Cn+l — Тп+1
//=1
Pn+l'
Pi = y/PiPn+1, Pn+l = Pn+l
(г = 1 ••• гг),
(63)
тогда наша группа предстанет в следующем замечательном виде:
\/р*Р^
Uy/PiPx,
(г, х. = 1 • • • 1
Ыу
*+1),
c\/pipZ
(64)
имеющем преимущество некоторой симметрии.

Выше мы видели, что группа (56) оставляет инвариантным семейство
n-мерных точечных многообразий пространства г, х\ • • • хп, а именно,
II, 11
Z = а + ^ Ьгхг + Т ^2 СыХ{
г=1
i,>c—\
Если мы запишем это семейство как семейство элемент-многообразий Мп
пространства z,x\ • • • хп и используем при этом определенные выше
однородные элемент-координаты х[ • • • х'п+1,р[ • • • р'п+1, то оно примет вид
II, II,
г=1
г,*-=1
К
у 9 / > с^^3?^
(65)
Рп+1 х=1
(i/= 1 ••• n),
где используется соотношение с^ = с,,*. Если применить к этим
уравнениям однородное контактное преобразование (63), то получатся уравнения
b+1-Ep£r = «+2EWp£r+
г=1
п
г=1
Рп+1 \/ Рп+1 '
(66)
р*
п+1 ^—'
Ci/xZzc i
Рп+1
к=1
(i/= 1 ••• п),
которые, естественно, представляют семейство элемент-многообразий Мп
пространства £i • • • ?п+ь остающееся инвариантным относительно
группы (64). Поскольку, кроме этого, из только что записанных уравнений при
исключении р следует лишь одно соотношение между у, то это семейство
элемент-многообразий Мп должно в свою очередь состоять из п-мерных
точечных многообразий.
Не составляет труда задать уравнение этого семейства точечных
многообразий, можно даже привести его к очень изящному виду.

Так, первое из уравнений (66) можно заменить следующим:
уп+1 =а + ^6г?г
г=1
Pn+l'
если связать с этим остальные п уравнении и исключить р, то мы получим
Cllfl+1 Ci2?2
С21И C22?2 + l
Cnlfl+1 Cn2?2
&1?1 &2?2
C2nln
bi
62
^п?п Л — ?n+l
= 0.
Чтобы левая часть выглядела симметричней, мы положим
Ъг
у/а
— ^г,тг+1? Qx Сг,п+1 C*etn+1 — Qx?
I
а
тогда наше уравнение будет просто таким:
СцЯ + 1 ^12?2 • • Ci ,71+1 £п+1
C21F1 С22?2 + 1 ' ' C2,n+l?n+l
Сп+1,1?1 Сп+2,2?2
Сп+1,п+1 ?п+1 + 1
= 0,
(67)
где сы = txi.
Уравнение (67) представляет семейство n-мерных точечных
многообразий пространства ji • • • £п+ь содержащее |(п + 1)(п + 2) параметров,
и остается инвариантным относительно группы (64) однородных
контактных преобразований этого пространства.
Для группы контактных преобразований (56) мы пока не
выяснили, оставляет ли она инвариантными семейства элемент-многообразий Мп
пространства z,x\ • • • хп, которые не состоят из n-мерных точечных
многообразий пространства z,x\ ••• хп. Для группы же (64) мы можем без
труда ответить на этот вопрос, а именно, справедлива следующая
Теорема 83. Всякое инвариантное относительно группы
контактных преобразований (64) семейство
элемент-многообразий пространства pi • • • £n+i состоит из n-мерных точечных
многообразий этого пространства.

Доказательство. Согласно стр. 97 (утверждение 3) и стр. 124 и ниже,
всякое элемент-многообразие Мп пространства pi • • • pn+i можно задать
при помощи нескольких уравнений только между р. Поэтому пусть
?М ~ ^Mfm+1 ' ' ' fn+l) = 0 (/х = 1 ■ ■ • m)
— некоторое элемент-многообразие Мп, принадлежащее инвариантному
относительно группы (64) семейству элемент-многообразий Мп. Тогда и все
элемент-многообразия Мп вида
?д - ^(?т+1 '•• Jn+l) = Яд (М= 1 •*• гп)
принадлежат этому семейству, так как оно допускает все конечные
преобразования гл. однопараметрических групп
(p/z,/)yp = -д— (М= 1 "• "О-
Отсюда следует, что всякое инвариантное относительно группы (64)
семейство элемент-многообразий Мп содержит по крайней мере столько же
параметров, сколько для его представления нужно уравнений только между р,
и что эти уравнения разрешимы относительно того же числа параметров.
Пусть поэтому
</V(?l * • • £п+Ъат+Ьат+2 •••) = а^ (68)
(/1 = 1 • • • т)
— инвариантное семейство элемент-многообразий Мп, а уравнения (68)
разрешимы относительно pi • • • pm; при этом число т необходимо меньше
п + 1, так как совокупность всех точек пространства pi • • • рп+ь очевидно,
не остается инвариантной относительно группы (64).
С другой стороны, рассмотрим семейство из оо71"1"1-771 плоских т-мер-
ных точечных многообразий
?m+l = bm+i, • • • Pn+1 = 6n+l- (69)
В группе (64) имеется подгруппа, оставляющая каждое отдельное из
этих ооп+1_7П многообразий неподвижным, а именно, подгруппа
y/PiPxi tiVPiPxi Ыху/РгРх {Щ
(г, >с = 1 • • • га),

которая для любого из этих многообразий имеет точно такой же смысл, как
и группа (64) для пространства £i • • • £п+ь
Конечно, относительно подгруппы (70) остается инвариантным
также семейство элемент-многообразий Мп. Но всякое элемент-многообразие
Мп семейства (68) пересекает любое плоское точечное многообразие
вида (69) в общем случае только в одной изолированной точке, и наоборот,
всякая точка плоского многообразия вида (69) всегда проходит по крайней
мере через одно элемент-многообразие Мп семейства (68). Следовательно,
подгруппа (70) должна переставлять точки любого плоского
многообразия вида (69) между собой, но это происходит только тогда, когда т = 1,
поскольку для т > 1 (70) является неприводимой группой контактных
преобразований некоторого m-мерного многообразия вида (69) и не оставляет
совокупность всех точек этого многообразия инвариантной.
Таким образом, наша теорема доказана.
§122
Для специального случая п — 1 мы уже задали инвариантные
подгруппы трех групп: (30), (44) и (56) (см. стр. 499 и ниже). Совершенно
аналогичное вычисление при произвольном п приводит нас к цели, поэтому мы
ограничимся лишь тем, что обобщим результаты в следующей теореме.
Теорема 84. Из трех неприводимых групп контактных
преобразований — (30) на стр. 571, (44) на стр. 575, (56) на
стр. 586 — пространства z,x\ • • • хп первая содержит две
инвариантные подгруппы, а именно,
Pi, qi+XiT, Г (г = 1..-п) U Г,
вторая содержит четыре такие подгруппы, а именно,
группу (30) и, кроме того, еще три следующие:
п
Pi, qi+Xir, r, ^(x1/p1/+j/I/gl/)+2zr (г = 1-.-п),
Pi, qi + XiT, r (г = 1-..п),
г,
и наконец, третья не содержит никакой инвариантной
подгруппы и потому является простой.
Рассуждения из § 109 (стр. 511 и ниже) можно легко перенести на
случай с произвольным п, однако при этом будем предельно кратки.

Если мы рассмотрим неприводимую группу контактных
преобразований (56) на стр. 586 как группу точечных преобразований пространства
х\ • • • хп, у\ • • • уп, z и введем в эту группу в силу точечного
преобразования
п
А = Хи У[ = \VU Z' = Z ~ \ J2 Х»У» (71)
(г = 1 • • • п)
новые переменные х', у', z\ то получим следующую группу точечных
преобразований пространства х[ • • • хп, у[ • • • у'п, z'\
п
V'i-У'гг', ql+x'S, г', ^2(х'ир'и +
xW* + х'А-, x'tp* - у*яЬ у'а>*
^{PvPv + УиЧи) + <
v=\
n
t'faxuPv + vM + M
(г, >c = 1 • • • n).
В то же время уравнение Пфаффа
dz-yidxi уп dxn = О
в этих новых переменных принимает вид
п
dz, + Yt(<dvl-vl<te't,) = Q. (73)
Группа (72), состоящая лишь из проективных преобразований, конечно же,
оставляет уравнение Пфаффа (73), но только его и никакое другое,
инвариантам; в то же время она является наибольшей непрерывной
проективной группой пространства х1\yf,z\ оставляющей уравнение (73)
инвариантным. Последнее следует из того, что неприводимая группа
контактных преобразований (56) не содержится ни в одной большей непрерывной
у'Х) + 2гУ,
tV
>,'r'
(72)

группе контактных преобразований, поскольку такую группу, если бы она
существовала, мы должны были бы обязательно найти в более ранних
рассуждениях.
Если перенести обычные для трехмерного пространства
обозначения на пространство размерности 2п + 1, то можно сказать, что
уравнение Пфаффа (73) представляет линейный комплекс пространства х[ • • • х'п,
У\ ''' Уп> z'- Группу (72) можно будет тогда назвать проективной группой
линейного комплекса (73).

Глава 26
Общий подход к описанию конечных
непрерывных групп контактных
преобразований
пространства z, x\ • • • хп
Ранее — в главе 23, а также в предыдущей главе — при задании
групп контактных преобразований пространства z,x\ ••• хп мы большей
частью имели дело с разложениями в ряд инфинитезимальных
преобразований этих групп, а разложения в ряд соответствующих характеристических
функций использовались лишь мимоходом. Этот метод является не совсем
удовлетворительным. Во-первых, членов наименьшего порядка в
разложении в ряд инфинитезимального контактного преобразования недостаточно
для того, чтобы охарактеризовать это преобразование как контактное,
поэтому всякий раз необходимо особо учитывать еще то, что мы имеем дело
с инфинитезимальным контактным преобразованием. А во-вторых,
характеристическая функция, несомненно, является самым естественным
аналитическим представлением инфинитезимального контактного
преобразования, и поэтому для таких вычислений, как те, что были проведены в гл. 23
и 25, желательно работать по возможности только с характеристическими
функциями.
Поставленная цель будет достижима, если мы сможем точно так же
производить вычисления с разложениями в ряд характеристических
функций, как можно, согласно теореме 30 (ч. I, стр. 216), производить
вычисления с разложениями в ряд инфинитезимальных преобразований, то есть
если из начальных членов в разложениях в ряд двух характеристических
функций U и V можно найти начальные члены в разложении в ряд
характеристической функции {UV}.
Мы сейчас прежде всего покажем, что описанным способом
действительно можно производить вычисления с разложениями в ряд
характеристических функций, при условии, что члены этих разложений упорядочены

подходящим образом. Затем, используя вычисления с характеристическими
функциями, мы, во-первых, сделаем несколько общих замечаний по
поводу описания групп контактных преобразований пространства z, x\ • • • хп
и, во-вторых, выведем важное утверждение, которое чрезвычайно облегчит
нам задачу описания многих таких групп.
Наконец, следует еще упомянуть, что обозначений, примененных
в предыдущей главе, мы будем придерживаться и теперь, поэтому
выберем в качестве координат элементов пространства z,x\ ••• хп
величины z, х\ • • • хп, ух • • • уп и в соответствии с этим будем понимать под
контактным преобразованием пространства z,xx • • • хп такое преобразование
переменных хх • • • хп, ух • • • Уп, z, которое оставляет уравнение Пфаффа
dz-yxdxx- • • • - Уп dxn = 0 (1)
инвариантным.
§123
Пусть С/(х, у, z) и V(x, у, г) — две характеристические функции от
переменных хх - - - хп, ух • - Уп, z, причем и U, и V — обычные степенные
ряды от я, у, z (согласно стр. 529, мы можем ограничиться этим случаем).
Какой же вывод можно сделать в отношении начальных членов разложения
в ряд характеристической функции
{UV}= £
dU I dV + у дуЛ _ dV_ f dU_ +V]dU_
ду„\дх„ vdz) dyv\dxv v dz
исходя из начальных членов разложений в ряд U и VI
Если мы общепринятым образом упорядочим разложения в ряд U и V
по степеням я, у, z, начиная с членов самого низкого порядка по я, у, z
и продолжая с повышением порядка, то начальные члены, т. е. члены
самого низкого порядка скобки {UV}, хоть и будут в общем случае задаваться
начальными членами U и V, но, как мы видели на стр. 530 и ниже, с
различными исключениями. Поэтому мы должны проверить, не придем ли мы
к лучшему результату при другом порядке членов в разложении в ряд U
и V. Для этого проведем следующие рассуждения.
При обычном упорядочении степенного ряда от я, у, z этот ряд
принимает вид
оо
%п<> У\ Уп, Z),
х=0

где otx обозначает целую однородную функцию х-го порядка, таким
образом, всякий раз вместе собраны те члены ряда, которые при выполнении
операции
воспроизводятся с одним и тем же целочисленным множителем. Тогда
можно сразу видеть, что такое упорядочение степенных рядов при разложениях
в ряд характеристических функций неуместно. Всякая характеристическая
функция от х, у, z определяет инфинитезимальное контактное
преобразование пространства г, х\ • • • хП9 однако символ операции (2), как показывает
таблица на стр. 532, не представляет никакого инфинитезимального
контактного преобразования и поэтому не имеет, если речь идет о контактных
преобразованиях, выделенного смысла. Напротив, символ операции
±{<+О+*-%=" (з)
представляет инфинитезимальное контактное преобразование
пространства z,x\ • • • хп, а именно, преобразование с характеристической функцией
п
-2z + ^2xiyu (4)
г=1
поэтому будет естественным проверить, не будет ли лучше результат,
если разложения в ряд характеристических функций упорядочить так, чтобы
всякий раз были собраны те члены, которые при операции Bf
воспроизводятся с одним и тем же целочисленным множителем. Убедимся, что это
действительно так.
В обычном степенном ряду от х, у, z мы назовем член
х1 хп У\ Уп z
членом я-го уровня по х, у, z тогда, когда он при операции Bf
воспроизводится с целым числом х в качестве множителя, то есть если целые
числа Ai • • • An, /ii • • • р,П9 v удовлетворяют условию
Ai 4 + An + /ii H + /in + 2v = x.
Целую функцию от х, у, z, которая содержит члены только х-го уровня, мы
назовем целой функцией к-го уровня от х, у, z. На основании этого
определения мы можем представить всякий обычный степенной ряд от х, у, z

в виде
оо
Y^9*ixi '" хп,У\ ••• Уп,*),
где дн обозначает целую функцию >^-го уровня от х, у, z.
Далее мы скажем1: характеристическая функция U(x,y,z) является
функцией т-го уровня от х, у, 2, если ее разложение в ряд не содержит ни
одного члена нулевого, первого, • • • (га — 1)-го уровня по х, у, z, тогда как
не все члены m-го уровня обращаются в нуль. Характеристическую
функцию m-го уровня от х, у, z мы тогда сможем записать следующим образом:
gm(x,y,z) -\ ,
где дт — необращающаяся в нуль целая функция m-го уровня, в то время
как все отброшенные члены имеют уровень (га + 1) или выше по х, у, z.
Поэтому общий вид характеристической функции нулевого уровня
от х, у, z будет таким:
а + ...,
вид функции первого уровня — таким:
п
г=1
а всякая характеристическая функция второго уровня от х, у, z будет иметь
следующий вид:
п
^ (^„Я^Х* + <Вг>Л2/х + С^ЙУх) + 2>2 + • • • ,
здесь 21, 05, С, 2) обозначают константы, а опущенные члены всегда имеют
более высокий уровень по х, у, z, чем выписанные.
Можно также представить себе, что разложение в ряд характеристической
функции С/(х, у, г) упорядочено по уровню ее членов так, что U(x, у, г) как обычно
представляется степенным рядом от xi • • • xn, yi • • • уп и ^/1, где, конечно,
участвуют только четные степени от yfz.
Теперь мы переходим к рассмотрению характеристических функций
U(x,y,z) и V(x, у, г), но при этом предполагаем, что С/ имеет уровень к
от х, у, г, а У — уровень т. Таким образом,
U = ах(х, y,z) + • • • , V = /?т(х, у, г) + • • • ,
* Понятие «характеристическая функция m-го уровня от х,у, 2» восходит к Ли. Термин
«уровень» (Stufe) был предложен Энгелем.

где а.^ и рт — целые функции уровня хит соответственно и где
опущенные члены всякий раз имеют более высокий уровень, чем оставшиеся.
Если учесть, что всякое дифференцирование по одной из
переменных х\ • • • хп, у\ • • • уп снижает уровень характеристической функции на
единицу, а всякое дифференцирование по z — на два, и принять, кроме
того, во внимание, что произведение двух характеристических функций 1-го
и р-го уровней дает функцию уровня / + р, то мы непосредственно увидим,
что характеристическая функция {£/V} имеет вид
{UV} = {а„рт} + ... ,
где
да*
-Oiyc^T- +Pm-
dz ' ™ dz
— целая функция уровня (х + т — 2) и где опущенные члены имеют
уровень (х + т — 1) и выше.
Тем самым мы имеем следующую теорему.
Теорема85. Пусть U(xv • -xn,yi • • -уп, z) u V(xi • •-xn,yi • •-yn,z)
— характеристические функции двух инфинитезимальных
контактных преобразований пространства z,x\---xn, и пусть
разложения в ряд U и V по степеням x,y,z начинаются
членами х-го и т-го уровня соответственно, тогда
разложение в ряд характеристической функции {UV} содержит лишь
члены (х + т — Т)-го уровня и выше по x,y,z. Участвующие
в {UV} члены (х-\-т — 2)-го уровня полностью определены
членами х-го уровня функции U и т-го уровня функции V. В
частности, если сумма хЛ-т — 2 отрицательна, то разложение
в ряд функции {UV} начинается членами нулевого или более
высокого уровня.
Теперь нам надо еще исследовать, как ведет себя уровень некоторой
характеристической функции, если вместо я, у, z ввести посредством
контактного преобразования пространства z,x\ • • • хп новые переменные.
Пусть Af — инфинитезимальное контактное преобразование
пространства г, х\ • • • хП9 а С/(я, у, г) — соответствующая характеристическая функ-

ция. Если применить к Af конечное контактное преобразование
U =ЕДх,у,г), tji = Hi(x,y,z), j = Z(x,y,z) (5)
(г = 1 • • • n)
пространства z, xi • • • хп, то мы получим инфинитезимальное контактное
преобразование 21/ пространства з, ?i • • • ?п> характеристическая функция
которого il(y, tj, j) находится в следующем соотношении с С/(х, у, г):
П(?, Г),}) = ^(х, у, г) • С/(х, у, г), (6)
где функция g(x, у, г) берется из тождества
dZ -^H^dE; = gidz -^^yidxi J (7)
г=1 ^ г=1 '
(см. теорему 45, стр. 317).
Чтобы удобнее было выражать связь между характеристическими
функциями С/(х, y,z) и Д(£, д,з), мы будем впредь говорить2, что
характеристическая функция U(z, у, z) при выполнении контактного
преобразования (5) переходит в характеристическую функцию И(у, tj,j), или что
контактное преобразование (5) переводит первую характеристическую
функцию во вторую. Таким образом, мы имеем то преимущество, что
нам вообще больше не надо говорить об инфинитезимальных
контактных преобразованиях, соответствующих обеим нашим характеристическим
функциям. Недоразумений также можно не опасаться, если только
всегда представлять себе, что мы находим новую характеристическую
функцию И(у, Г),з)> если в силу контактного преобразования (5) введем в
выражение £>(х, у, z) • U(x, у, z) новые переменные у, Г), j.
Пусть характеристическая функция С/(х, у, z) ведет себя в окрестности
системы значений х\ — у г — z — О регулярно и имеет уровень к от х, у, z,
а значит, следующий вид:
U{x,y,z) = а„(я, у, *) + ••• ,
где Oiyc — не обращающаяся тождественно в нуль целая функция к-т
уровня от х, у, z, тогда как опущенные члены имеют порядок выше к. С
другой стороны, пусть в контактном преобразовании (5) E^H^Z — обычные
степенные ряды от х, у, z, обращающиеся в нуль при xv — у„ — z = О,
и наоборот, х, ?/, z можно представить как обычные, обращающиеся в нуль
при I» — Х)и — i — О степенные ряды от у, Г), j.
2По предложению Энгеля.

При этих условиях контактное преобразование (5) переводит
характеристическую функцию U(x, у, z) в характеристическую функцию Д(у, tj,j),
которая ведет себя в окрестности & = щ = ъ — 0 регулярно
(ср. стр. 529) и определена уравнением (6). Выясним, какой уровень
имеет il(£, Г),з), и покажем, как можно найти члены самого низкого уровня
функции il(y, t), 3) из членов самого низкого уровня функции U(x, у, z).
Контактное преобразование (5) во всяком случае имеет при сделанных
предположениях следующий вид:
( п
U = Y^(ai»X" + ЪыУу) + ciz + ' ' • >
v=l
I n
I 4i = 5Z(<*u/Si/ + Ь^У,.) + CiZ + • • • ,
I n
3 = J2WvXv + »1/У|/) + £Z + • • •
;y=l
I (i = l---n).
Здесь в правых частях исключены все члены, имеющие порядок выше
первого по х,г/, z. Само собой разумеется, что взятый по x,y,z
функциональный детерминант членов первого порядка в правых частях (5') не
обращается в нуль, так как только в этом случае можно и х, у, z также представить
как обычные степенные ряды от у, Г), j.
Если подставить заданные в (5') выражения для Е$, Н^, Z в
тождество (7), а также учесть, что д заведомо является обычным степенным
рядом от x,y,z и потому имеет вид д(х, y,z) — до Н ,и наконец, сравнить
в обеих частях (7) члены нулевого порядка по х, у, z, то мы увидим, что
все 21 v и 03,у обращаются в нуль и что до = С. Другими словами,
разложение в ряд для i содержит только члены второго и более высокого уровня
по х, у, z. Следовательно, контактное преобразование (5) имеет вид
( п
U = ^2,{aiyxu + bivyv) Л ,
;у=1
I п
I 0» = У2(<Н„х„ + bivyv) + ■■■ ,
\ Z=[ (5 )
П
3 = £z + ^ [Ь^х^Ху + е^их^уу + •d^y^yj) + • • •
I (i = l---n),

где в правой части записаны лишь члены наименьшего уровня по х, у, z.
Константа £, конечно, должна быть отлична от нуля, так же, как и
составленный из (2п)2 величин а^у, bi,y, а^, Ь^ определитель порядка 2п.
Если считать уравнения (5") разрешенными по х, у, z, то, очевидно,
получаются уравнения вида
п
;/=1
(5'")
(t = 1 ••• n),
где в правых частях заданы лишь члены наименьшего порядка по у, Г), j. Как
легко видеть, а^;у, Ь^|У • • • tf^,y здесь полностью заданы через а^, 6^ • • • $м,у, £
и получаются в результате разрешения возникающих из (5") сокращенных
уравнений преобразований
v=l
п
(8)
//=i
относительно x,y,z.
Тогда из уравнения (б) мы получаем
il(y,ij,3) = (£ + ---)(ax(a:,i/,^) + ...)
или, если перемножить в правой части,
где все опущенные члены от х, у, z имеют уровень выше я. Наконец, нам
надо еще выразить х, у, z в силу (5") через у, Г),з, и мы получим
Н(?,Г),з) =Qjx(j,rj,3) +

где 'oiyr обозначает целую функцию я-то уровня от у, д,з, тогда как
опущенные члены имеют более высокий уровень. Целую функцию сё^(у, Х),%)
мы, очевидно, найдем, если введем г., Г),з в силу сокращенного
преобразования (8) в целую функцию С-а^ (х, у, z). Это означает, что а^ не обращается
в нуль тождественно.
Наконец, мы хотим еще упомянуть, что сокращенное
преобразование (8) со своей стороны является контактным преобразованием
пространства z,x\ ♦ ♦ ♦ хп. Так, если мы подставим следующие из (5") значения Е$>
Hi, Z в тождество (7) и учтем, что в обеих частях члены первого
уровня от х, у, z должны совпадать, то получим некоторые соотношения для
членов первого уровня в разложении в ряд функции g{x,y,z), кроме того,
увидим, что в силу уравнений (8) имеет место соотношение вида
d} - ^ Oi <ki = Ч dz ~ XI Vi dXi ) ' (9)
г=1 ^ г=1 '
Таким образом, уравнения (8) действительно представляют контактное
преобразование пространства z,xi • • хп.
Предыдущими рассуждениями доказано, что всякая
характеристическая функция U(x,y,z), имеющая уровень к по переменным x,y,z, под
действием всякого контактного преобразования (5) с определенным на
стр. 603 свойством переходит в характеристическую функцию il(y, 9,3),
которая в свою очередь имеет уровень к по j, Г), %.
Члены х-го уровня функции Я(у, q,j) также можно определить очень
простым способом. Исключив из С/(ж, у, z) все члены уровня (х + 1) и
выше по x,y,z, а из il(y, 9,3) ~~ все члены уровня (х + 1) и выше по у, д,з,
мы получим две сокращенные характеристические функции а*;(х,у, z)
и а^(у, Г},з), являющиеся целыми функциями уровня к своих аргументов.
Тогда сокращенная характеристическая функция а^(у, tj,j) получается,
если применить к характеристической функции а^(х, г/, г) сокращенное
контактное преобразование (8), а оно получается, если в уравнениях (5)
исключить из Ег, Нг все члены второго и более высокого уровня, а из Z — все
члены третьго уровня и выше.
Всякому контактному преобразованию (5) с определенным на стр. 603
свойством соответствует сокращенное контактное преобразование вида (8), и
наоборот, можно считать, что всякое контактное преобразование вида (8) возникает из
контактного преобразования вида (5) в результате сокращения. Поэтому для того
чтобы узнать, как преобразуются члены самого низкого уровня характеристической
функции U(x, у, z) под действием самого общего контактного преобразования (5)
со свойством, определенным на стр. 603, надо лишь выяснить, как ведут себя эти

члены низкого уровня при действии самого общего контактного преобразования
вида (8).
Совокупность всех контактных преобразований вида (8), очевидно, образует
некоторую группу Г. Эта группа Г, конечно, не обязана быть непрерывной, однако
заведомо содержит (см. часть 1, гл. 18) непрерывную подгруппу 7> порожденную
инфинитезимальными контактными преобразованиями. Легко видеть, что 7
содержит в точности п(2п + 1) + 1 независимых инфинитезимальных преобразований
вида
( ХгЯ* + Х-усЧг + ХгХ^Гу Хгр* — У*Яг, УгР* + У*Рг + УгУ^Г,
I п
< 5Z(zi/Pi/ + УиЯи) + 2zr (10)
I (г, >гг= 1 • • • п),
то есть является (п(2п-Ы) + 1)-параметрической. Все характеристические функции,
соответствующие инфинитезимальным контактным преобразованиям (10), имеют
второй уровень по x,y,z и выглядят, если не учитывать знаки и числовые
множители, следующим образом:
( п
\ ХгХх, ХгУх, УгУх-, Z~ о / > Xvyv (ЛЛ\
| и=\
I (г, >с— 1 • • • п).
Остается нерешенным, совпадает непрерывная группа 7> порождаемая
инфинитезимальными преобразованиями (10), с определенной выше группой Г или нет.
Если характеристическая функция U(x,y,z) имеет уровень т от x,y, z , то
порядок соответствующего инфинитезимального контактного преобразования
£(&(я,2/,2)— +Ъ(х,у,г)— )+((x,y,z) — (A)
г=1
меньше либо равен т, это непосредственно видно из выражений
£-®L п--Ш--уШ. c--u + ^Tv^
Ь~дуг' Vl~ дхг Угдг> С_ и + 2^У»дуи
для £, ту, С- С Другой стороны, всякому инфинитезимальному преобразованию (А),
имеющему по х, у, z порядок т, соответствует характеристическая функция
п

наименьший уровень которой по x,y,z имеет значение га, а наибольший —
значение 2га 4 1.
В частности, получается, что инфинитезимальное контактное
преобразование (А) по х, у, z будет иметь первый или более высокий порядок тогда и
только тогда, когда оно имеет характеристическую функцию второго и более высокого
уровня. Итак, мы можем сказать:
Для того чтобы инфинитезимальное контактное преобразование
пространства z,x\ ••♦ х-п, трактуемое как инфинитезимальное точечное преобразование
пространства х\ ♦ ♦ ♦ xn,?/i • • • 2/n, z, оставляло точку хг = уг = z — 0
инвариантной, необходимо и достаточно, чтобы ее характеристическая функция была
второго или более высокого уровня по x,y,z.
Согласно стр. 534, уравнение Пфаффа
п
dz — У^ У г dxz = О
г=1
ставит в соответствие точке хг = уг = z = О пространства х\ ♦ ♦ ♦ хп, у\ ♦ ♦ ♦ уП9 z
плоский пучок из oo2n_1 направлений, представляемый уравнением z — 0, если
трактовать х[ ••• x'n)yi ••• y'mZ как однородные координаты оо2п направлений,
проходящих через точку хг = уг = z = 0. Всякое инфинитезимальное
преобразование пространства z,xi ••• хп, которое как инфинитезимальное точечное
преобразование пространства хЪ)уг,г фиксирует точку хг = уг — z — 0, конечно же
оставляет неподвижным и соответствующий ей пучок z = 0, но преобразует в
общем случае отдельные направления х[ ••• х'п,у[ ••• у'п этого пучка; рассмотрим
подробнее, каким образом оно преобразует упомянутые направления.
Характеристической функции U(x,y,z), которая имеет четвертый или более
высокий уровень по х, у, z, соответствует инфинитезимальное контактное
преобразование минимум второго порядка по х, у, z\ это преобразование, понимаемое как
инфинитезимальное точечное преобразование пространства хг, уг, z, оставляет
всякое отдельное направление х[ • • • х'п, у[ • • • у'п, z',a стало быть, и всякое отдельное
направление пучка z' = 0 инвариантным (ср. стр. 536).
Если характеристическая функция U(x,y,z) имеет третий уровень от x,y,z,
то она имеет вид
п
^2(atxtz 4 РгУгг) 4 *0(3){х,у)Л ,
г=1
где ф^ обозначает целую однородную функцию третьего порядка от х\ ••■ хп,
У\ • • • Уп и где опущенные члены по x,y,z имеют четвертый уровень и выше;
поэтому соответствующее инфинитезимальное контактное преобразование при
исключении всех членов второго и более высокого порядка будет таким:
п п
- ^^ a%zq% 4 ^2 P*ZP* "• *
г=1 г=1

Но инфинитезимальное преобразование этого вида также оставляет, согласно
стр. 536, каждое отдельное направление пучка z = 0 неподвижным.
Пусть, наконец, характеристическая функция U(x, у, z) имеет второй уровень
от гг, у, z и, соответственно, следующий вид:
U(x,y,z) =g{2)(x,y,z) + --> ,
где р(2) — целая функция второго уровня, тогда как опущенные члены имеют
более высокий уровень. В этом случае соответствующее U инфинитезимальное
преобразование, очевидно, преобразует направления пучка z — 0 точно так же, как
инфинитезимальное контактное преобразование со следующей характеристической
функцией:
il(x,y,z) =p(2)(x,y,z),
получающейся из U в результате исключения всех членов уровня выше второго.
Характеристическая функция 11(х7у,2;) — это целая функция второго уровня,
то есть ее можно линейно получить из п(2п + 1) + 1 функций
х%х
п
„, ХгУус, УхУус , Z - -^ХиУи
(И)
(г, з€
п);
отсюда в свою очередь следует, что инфинитезимальное контактное преобразование
с характеристической функцией U(x,2/, z) соответствует (п(2тг + 1) +
^-параметрической группе контактных преобразований
( ХгЯх + X*qz + ХгХ^Г, Х%Р». ~ У»Лг-> УгР». + У*Рг + УгУ*Г,
п
^2(хири + УиЯи) + 2zr (10)
(г, >f = 1 • • • п).
Наконец, из ранее сказанного (см. стр. 534 и ниже) мы знаем, что co2n_1
направлений х\ • • ♦ х'п,у[ - — у'п пучка z' = 0 при действии инфинитезимального
преобразования (10) преобразуются некоторыми инфинитезимальными преобразованиями
вида
( Хгд„+Х„дг, ХгР^-УхЯг, УгРх+УхРг,
^ х'^ + ^2 ylql
v = \
(10')
(h**
1 ... n),
порождающими в свою очередь (n(2n + 1) + l) -параметрическую группу в
переменных х[ ••• х'п,у[ ••• у'п.

Итак, если характеристическая функция U(x,y,z) имеет третий или более
высокий уровень по х,г/, z, то соответствующее ей инфинитезимальное
контактное преобразование оставляет все оо2п-1 направлений х[ ♦ • • х'п,у[ • • • у'п пучка
z = 0 неподвижными; если же эта характеристическая функция — второго
уровня от х, у, z, то соответствующее инфинитезимальное контактное
преобразование преобразует направления пучка z' = О посредством входящего в группу (10')
инфинитезимального преобразования, полностью заданного членами второго
уровня упомянутой характеристической функции.
Нельзя не упомянуть тот факт, что функции вида
п
2
являются единственными характеристическими функциями второго уровня,
соответствующие инфинитезимальные контактные преобразования которых фиксируют
каждое отдельное направление пучка z' — 0.
Понятие «характеристическая функция ш-го уровня» можно также перенести
на такие характеристические функции, которые являются обычными степенными
рядами от х\ — х?, ♦ ♦ ♦ хп — Хп, у\ — Уи • • • Уп — 2/n> z — z°< Для этого нужно лишь
представить, что эти функции разложены в ряд по степеням 2тг + 1 величин
п
0 0 0 V4 0/ 0\
х\-хи yi-yi, z-z - ) ^уи(х„ -х„)
(г = 1 • • • п),
а каждый член вида
П(хг - х°гУ ■ (Уг ~ уУ' (г - z° - J2У°Л^ -x°)Y
г=1 ^ v=l '
обозначить как член уровня ^(аг +/Зг) + 2*у по х\ — х?, у\ — у?, z — z° — ^ У и {хи —
— хЧ). Тогда мы получим теорему, аналогичную теореме 85 (стр. 602), так как если
положить
X?
о — о v^ 0/ 0\ -
> Уг-Уг=Уг, Z~Z ~ 2^Уу\Х» ~ Х„) = Z
и понимать под U и V обычные степенные ряды от af, y, z, то очевидно:
{UV}
= Е
г=1
8U ( дУ , - QV\ _ дУ_ (dU_ , - du\\
дуг \дхг Угдг) дуг \дхг Уг дг)\
dz dz
Однако мы никак не будем использовать эту обобщенную формулировку понятия
уровня.

§124
Если Ui(x,y, z) ♦ ♦ ♦ Um(x, у, z) — характеристические функции,
aci ♦ ♦ ♦ cm — произвольные константы, то мы скажем, что
характеристическая функция
сх -Ui{x,y,z) + '-- + cm 'Um{x,y,z)
получена линейно из функций U\ • • • Um; это соответствует терминологии,
введенной нами в части I на стр. 65 для инфинитезимальных
преобразований. Далее мы еще раз напомним, что под комбинацией двух
характеристических функций U и V мы понимаем образование характеристической
функции {UV}.
Наконец, необходимо упомянуть, что для трех произвольных
функций U(x,y,z), V(x, у, z), W(x, у, z) всегда тождественно выполняется
уравнение
{{tn/}W} + {{^W}£/} + {{WU}V} = 0. (12)
Так, если Af, Bf и Cf — три инфинитезимальных преобразования
с характеристическими функциями С/, У, W и мы положим
ABf - BAf = (АВ)
и т. д., то, как мы знаем, имеет место тождество
{(АВ)С) + {(ВС)А) + {(СА)В) = 0.
Но тогда левая часть этого тождества является символом инфинитезималь-
ного преобразования, характеристическая функция которого, согласно
теореме 44 (стр. 316) представлена левой частью уравнения (12), с другой
стороны, характеристическая функция инфинитезимального контактного
преобразования, символ которого тождественно обращается в нуль, сама
тождественно равняется нулю (см. стр. 291), следовательно, уравнение (12)
является тождеством.
Если С/, V и W не зависят от z, то тождество (12), очевидно, совпадает
с тождеством Якоби (см. стр. 197).
После этих предварительных замечаний мы перейдем к
исследованию конечных непрерывных групп контактных преобразований
пространства Z,X\ • • • Хп.

Согласно теореме 53 (стр. 369), для того чтобы г
характеристических функций Ui(x,y,z) • • • Ur(x,у,z) задавали r-параметрическую
группу контактных преобразований пространства z, x\ • • • хп, то есть чтобы
соответствующие инфинитезимальные контактные преобразования
порождали r-параметрическую группу, необходимо и достаточно, чтобы, во-первых,
ни одну из функций Ui • • • Ur нельзя было линейно получить из остальных,
и, во-вторых, чтобы имели место соотношения вида
г
{UiU„} = ^ ci*rUT (г, х = 1 ... г). (13)
т=1
Если эти условия выполнены, то мы назовем заданную при помощи
U\ • • • Ur r-параметрическую группу контактных преобразований просто
группой U\ - - Ur (см. стр. 369).
Если U\ • • • Ur задают в указанном смысле r-параметрическую группу
контактных преобразований, то выражение
ei?7i Ч + erUr
с г произвольными параметрами ei • • • ег, очевидно, представляет самую
общую входящую в эту группу характеристическую функцию; с другой
стороны, если V и W — какие-либо две характеристические функции
упомянутой группы, то и характеристическая функция {VW}, получающаяся
в результате комбинации V и W, также принадлежит этой группе.
Пусть U\(x,y,z) ••• Ur(x,y,z) — некоторая г-параметрическая
группа контактных преобразований пространства z,xi • • • хп. Если мы вместо
х, у, z введем новые переменные х'', у1', г' в силу произвольного контактного
преобразования
х- = ФДх, у, z), у- = v|/j(x, у, z), z' = Х(х, у, z)
(г = 1 • • • п)
пространства z, xi • • • хп, то г характеристических функций U\(x, у, z)
••• Ur(x,y, z) переходят в некоторые новые характеристические функции
У\ {x'i y\ zf) • • • Vr(x\ yf, z'), причем справедливы равенства
V„(x', у', z') = д(х, у, z) • f/„(x, у, z) (^ = 1 • • • г), (14)
где функция £>(х, у, z) берется из тождества
rfX - ^ ^M<t>j = д[ dz - ^ Уг fai ) •
i=l ^ г=1 '

В то же время характеристическая функция
srrrr х V* \dui (dU* ^ dUA dU* (ди* .L
9z
С/2 OZ
очевидно, превращается в характеристическую функцию
дх'„ ' '" dz
№}„„. = v 1 ^ 1 ^+^ 1 - ^ i f£+^
^v
то есть
{ViV„}x>y>z> = g(x,y,z) • {UiU„}xyz
или вследствие соотношений (13) и (14)
г
{^V^bv*' = ^2ci>CTVT(x',у',z1) (i, *: = 1 • •. г).
т=1
Таким образом, соотношения (13) не зависят от выбора переменных,
конечно, при условии, что допустимы лишь такие замены переменных, которые
являются контактными преобразованиями пространства z,x\ ♦ ♦ ♦ хп.
Теперь допустим, что характеристические функции группы U\ • • • Ur
разложены в ряд по степеням Х{ — х^, у г — yf, z — z°, где под х®, у®, z°
понимается система значений общего положения (см. часть I, стр. 225-
226), причем такая, для которой не все г функций U\{x, y,z) • • • Ur(x, у, z)
обращаются в нуль. Однако для простоты мы хотим, как на стр. 529,
посредством подходящего контактного преобразования выбрать переменные
априори такими, чтобы величины х®, у®, z° одновременно равнялись нулю.
Поэтому впредь, когда речь будет идти о группах контактных
преобразований вообще, мы будет предполагать, что характеристические
функции этих групп являются обычными степенными рядами от х, у, z
и при Х{ = yi = z = О не все обращаются в нуль; при этом под Xi = yi =
= z = 0 мы всякий раз понимаем систему значений общего положения.
Поскольку характеристические функции группы U\ • • • Ur при
наложенных условиях Xi — yi = z = О не все обращаются в нуль, то наша
группа заведомо содержит характеристическую функцию нулевого уровня

от х, у, z следующего вида:
1 + --.,
где опущенные члены по х, у, z — первого или более высокого уровня.
С другой стороны, группе U\ • • • Ur соответствует конечное
положительное число 5, такое, что группа хоть и содержит характеристические
функции 5-го уровня по х,у, 2, но не содержит ни одной (s 4- 1)-го или
более высокого уровня.
Действительно, группа Ui • • • Ur конечна, поэтому, согласно части I,
теорема 29 (стр. 215), существует конечное положительное число sf,
такое, что эта группа в окрестности Х{ — yi = z = 0 не содержит
никакого инфинитезимального преобразования, разложение в ряд которого по
х, ?/, z начиналось бы членами порядка выше, чем sf. Всякому же инфи-
нитезимальному преобразованию, разложение в ряд которого по х, у, z
начинается членами 1-го порядка, соответствует характеристическая функция
максимум (21 4- 1)-го уровня по х, у, z (см. стр. 607). Следовательно,
группа U\ • • • Uт заведомо не содержит никакой характеристической функции,
уровень которой по х, у, z был бы больше 2s' 4- 1, другими словами,
конечное положительное число s с указанным выше свойством действительно
существует; очевидно, что s ^ 2s' 4-1.
Из сказанного следует, что всякая характеристическая функция e\U\ 4-
4- • • • 4- erUr группы U\ • • • Ur в переменных х, у, z имеет уровень 5 или
ниже. Стало быть, эта группа для любого целочисленного х,
удовлетворяющего условию 0 ^ к ^ 5, должна содержать определенное число, скажем,
nix ^ 0 характеристических функций
VIм ... V{*\
v l vmy: >
которые имеют уровень х по x,y,z и из которых нельзя линейно
получить ни одну характеристическую функцию (х-Ь 1)-го или более высокого
уровня. Сумма заданных таким образом 5 + 1 целых чисел то, гп\ ... ms,
очевидно, равна г; число то, в частности, имеет значение 1, число ms
при наложенных условиях — больше нуля. Вопрос, будут ли и все числа
тп\ ... ms_i также отличны от нуля, мы оставляем открытым.
Пусть в группе U\ • • • Ur для всякого к ^ 5 выбраны т^
характеристических функций
М(х) ... V^
у 1 гп^
с указанным свойством, так что наша группа принимает вид
fjV = l+ ,
\ Vi? = v£\xmz) + • • • (tx = 1 ... тж) (15)

Здесь v£ обозначает целые функции я-то уровня от х, у, z, причем тп^
целых функций у± • • • Vm„ всегда таковы, что ни одну из них нельзя
линейно получить из остальных; опущенные члены будут в каждом отдельном
случае иметь по х, у, z уровень более высокий, чем выписанные.
К уже принятым соглашениям мы хотим еще добавить то, что наша
группа контактных преобразований U\ • • • Ur как группа точечных
преобразований (2п + 1)-мерного пространства х\ • • • хп, у\ • ♦ ♦ уп, z должна
быть транзитивной, то есть содержать в окрестности системы значений
хг = Уг = z = 0 общего положения 2п + 1 независимых инфинитези-
мальных преобразований нулевого порядка, из которых нельзя получить
никакого инфинитезимального преобразования первого или более высокого
порядка. Поскольку всякое инфинитезимальное преобразование нулевого
порядка от х, у, z имеет характеристическую функцию нулевого или
первого уровня, то наше требование, очевидно, сводится к тому, чтобы группа
содержала 2п +1 характеристических функций нулевого или первого
уровня, из которых нельзя линейно получить никакой характеристической
функции второго или более высокого порядка по х, у, z. Следовательно, в нашей
группе должно иметься 2п + 1 характеристических функций вида
И , Xi -\ , Уг Н (г = 1 ••• п).
Таким образом, мы можем сказать:
Если г-параметрическая группа контактных преобразований U\ • • • Ur
пространства z, x\ • • • хп как группа точечных преобразований
пространства х\ • • • хп,у\ •• - yn,z является транзитивной, то она содержит г
характеристических функций вида
( N = 1 + • • • , Xi = Xi + • • • , Y{ = Vi + • • • ,
\ ^(ях)=^)(х|у1г) + ... (16)
^ (г = 1 • • • п; г* = 1 • • • т^; х= 2 • • ■ $).
Здесь у(*\х, у, z) не требует повторного объяснения. Сумма 2п + 1+ rri2 +
Н -h ms, разумеется, равна г.
Выше мы оставили нерешенным вопрос, все ли числа Ш2 ••• ms-\
отличны от нуля, в данном же случае мы можем доказать, что ни одно из
этих чисел не равно нулю. При этом мы должны, конечно, принимать во
внимание лишь случай s > 2.
Поскольку ms наверняка больше нуля, то в нашей группе имеется по
меньшей мере одна характеристическая функция 5-го уровня; выберем одну

из них, например,
Vis)=v[s)(x,y,z) +
и скомбинируем ее с Х\ • • • Хп, Y\ • • • Yn. Таким образом мы получим
следующие 2п характеристических функций, входящих в нашу группу
дуг г дг
№*•>> =-^--*.%г+-
, ,„, 9»<*> dv[,] dv[e)
w*'>-iir+*-ar-*-5-+"--
где опущенные члены — s-ro уровня и выше по х, у, z. Если бы в нашей
группе не было ни одной характеристической функции (5 — 1)-го уровня,
то все целые функции (s — 1)-го уровня
dv[s) dv[s) dv[s)
OXi дуг OZ
должны были бы одновременно обращаться в нуль; то есть v[s' должна
была бы быть независимой от всех х, у, z, но это невозможно, так как v\s
является целой функцией s-ro уровня, и мы можем предположить, что s > 2.
Поэтому наша группа содержит по меньшей мере одну характеристическую
функцию (s — 1)-го уровня, и число ras_i заведомо больше 0. Точно так же
отсюда следует, что и ms-2 > 0 и т. д., короче, мы видим, что ни одно из
чисел гп2 ••• ms-i не может обратиться в нуль.
Отныне для удобства и краткости терминологии мы будем называть
r-параметрическую группу контактных преобразований, заданную г
характеристическими функциями (16), просто группой G.
Комбинируя 7П2 характеристических функций второго уровня
v}2)=vf(x,y,z) + --- (j = l ■■■mi)
попарно между собой, мы получим, согласно теореме 85 (стр. 602):
{^2Ч(2)} = к(2Ч2)н--- ("J
(г J = 1 ••• m2),

где {v^ v- } — целая функция второго уровня, а опущенные члены
имеют третий и более высокий уровень. Поскольку функции (17), очевидно,
должны быть линейно выводимы из г — 2п — 1 функций
Vt)=vii:\x,y,z) + ...
(г* — 1 • • • т*', >с—2 • • • s),
(18)
Г (2) (2Ь <z - (2) (2)
то всякая {г;^ JvK- '} может быть линейно получена из v\ • • • v;, другими
словами, 7П2 целых функций второго уровня
Vf=vf\x,y,z) 0- = l---m2), (19)
понимаемые как характеристические функции, задают группу
контактных преобразований пространства z,x\ • •• хп. Эта группа — назовем
ее д — очевидно, является Ш2-параметрической группой и подгруппой
(п(2п + 1) + 1)-параметрической группы контактных преобразований
п
Х{Х„, ХгУх, УгУ„, Z - ~^Хиу„ (20)
(г, >с — 1 • • • и).
Итак, мы видим: всякой г-параметрической группе контактных
преобразований пространства z,x\ • • • хп, являющейся транзитивной как
группа точечных преобразований пространства х\ • • • хп,у\ • • • уп, z}
соответствует некоторая совершенно определенная подгруппа группы
контактных преобразований (20). Самая общая характеристическая функция
этой подгруппы образована членами второго уровня самой общей,
содержащейся в группе G, характеристической функцией второго уровня.
Группа g имеет очень простой смысл.
Прежде всего заметим, что и г — 2п — 1 характеристических
функций (18), взятые сами по себе, также задают (г — 2п — 1)-параметрическую
группу контактных преобразований G', которая содержится в G в качестве
подгруппы. Понимаемая как группа точечных преобразований
пространства х\ • • • хп, у\ • • • уп, z, G1 оставляет точку хг- = у г = z = 0
инвариантной, более того, это наибольшая из входящих в G непрерывная подгруппа,
3Вообще-то, необходимо еще добавить, что все характеристические функции из G ведут
себя в окрестности хг — уг = z = 0 регулярно, и что хг — уг = z = 0 должна быть точкой
общего положения; однако ср. со сказанным на стр. 613.

оставляющая эту точку инвариантной, что следует непосредственно из
замечания, сделанного на стр. 608. Уравнение Пфаффа
п
dz — 2_" У и dx„ = 0
и=1
ставит точке Xi = yi = z = 0 в соответствие некоторый плоский пучок
из oo2n_1 направлений х[ • • • х'п,у[ • • • yfn,zf, представляемый
уравнением z1 = 0. Под действием группы G1 этот пучок, конечно, также
остается инвариантным, а отдельные направления пучка в общем случае
переставляются между собой. Наконец, если вспомнить, что, согласно стр. 608
и ниже, всякая характеристическая функция, имеющая третий или
более высокий уровень, дает инфинитезимальное преобразование,
оставляющее, если понимать его как инфинитезимальное преобразование
пространства х\ • - - хп,у\ ••• yn,z, каждое отдельное направление пучка zr — 0
неподвижным, то мы получим: группы G и д преобразуют oo2n_1
направлений пучка zf — 0 совершенно одинаковым образом.
Итак, понимая группу G как группу точечных преобразований
пространства х\ ♦ ♦ ♦ хп,у\ ♦ ♦ ♦ у™, г и фиксируя точку xi = yi = z = 0, мы
преобразуем оо2гг_1 направлений пучка zf = 0 остальными
преобразованиями группы G точно так же, как и группой д.
Теперь допустим, что в группе G вместо х, у, z введены новые
переменные у, Г),з в силу контактного преобразования
Уг = Ег(ж,у,г), tji = Hi(s,y,r), i = Z(x1y,z) (5)
(г = 1 --• п)
с определенным на стр. 603 свойством. Группу контактных
преобразований пространства з,?1 • • • In, которую мы таким образом получим,
обозначим (5. Ее характеристические функции получаются в результате
применения контактного преобразования (5) к характеристическим функциям (16)
и имеют, согласно рассуждениям на стр. 603 и ниже, следующий вид:
г »i:)=oi:)o:,4,3)+- (21)
I (г* = 1 • • • т^; я = 0,1 • • • s; mo = 1, пц = 2п),
где \)\ • • • Ъгп^ — целые функции х-го уровня от £, Г), з? причем такие, из
которых ни одну нельзя линейно получить из остальных.

,<*)/
Если мы действительно хотим вычислить целую функцию ъ\ (у, 9,з)>
то нам надо, согласно указанию на стр. 606, образовать соответствующее
(5) сокращенное контактное преобразование
п
Ог = ^(Ail/Si/ + Ь«/2/,/),
п
(8)
„*/=1
(г = 1 ••• п),
тогда в силу (8) имеет место уравнение
X>(£)(t,t),i) = <L.v£\x,y,z),
то есть t)^ (у, Г), з) — это та характеристическая функция, в которую
переходит характеристическая функция г£/(я,г/, г) под действием сокращенного
контактного преобразования (8).
Разумеется, группа 0, если ее понимать как группу точечных
преобразований пространства yi ••• ?n>9i ••• qn,3> является транзитивной,
поэтому, согласно стр. 617, ей соответствует некоторая подгруппа g группы
контактных преобразований
?г?*о ?г9>о tyity>a Ъ
и.
J/=l
(г, к= 1 ••• п);
эта подгруппа д, очевидно, является т2-параметрическои и имеет вид
<В
(2)
,(2)
&} ЧЬ^З) U = l •••т2).
Если же мы вспомним рассмотренную ранее взаимосвязь между гг- (re, г/, г)
и ^ {h Ч>3)> то непосредственно увидим, что g подобна определенной
выше группе д посредством сокращенного контактного преобразования (8).
Таким образом, мы можем сказать.

Если две r-параметрические группы пространства z,x\ • • • хп, G
и (3, истолкованные как группы точечных преобразований пространства
х\ • • • хп,у\ • • • yn,z, являются транзитивными и подобными друг другу
посредством контактного преобразования (5) с определенным на стр. 603
свойством, то и соответствующие им, согласно стр. 617, подгруппы g и g
группы контактных преобразований (20) будут подобны друг другу
посредством сокращенного контактного преобразования (8).
Рассуждения выше приводят нас к естественному разделению групп
контактных преобразований пространства z,x\ ••• хп, которые как
группы точечных преобразований пространства х\ • • • хп, у\ - - - yn,z являются
транзитивными. А именно, группы G и <& мы будем всегда относить к
одному и тому же классу, если соответствующие им подгруппы g и g группы
контактных преобразований (20) являются подобными друг другу
посредством контактного преобразования вида (8); напротив, мы отнесем G
и & к различным классам, если g и g не являются подобными посредством
контактного преобразования вида (8).
Не следует забывать, что совокупность всех контактных преобразований (8)
образует группу, в которой группа (20) участвует как наибольшая непрерывная
группа (см. стр. 607). Если окажется, что совокупность всех контактных
преобразований (8) совпадает с совокупностью всех конечных преобразований группы (20),
то нашу классификацию надо будет понимать так, что G и 0 тогда и только тогда
относятся к одному и тому же классу, когда соответствующие группы g и g являются
равноправными между собой внутри группы (20).
Рассмотренную только что классификацию групп контактных
преобразований пространства z, x\ • • • хп, являющихся транзитивными как группы
точечных преобразований пространства х\ • • • хп,у\ • • • уп, мы могли бы
теперь аналогично тому, как в части I (стр. 663 и ниже), использовать для
того, чтобы дать начало описанию всех этих групп. Но мы не станем этого
делать и в двух последующих параграфах рассмотрим лишь один частный,
но очень важный случай.
§125
Если мы скомбинируем характеристическую функцию второго уровня
п
z = z~ 2^2XvVv + ■ ■ ■
с характеристической функцией m-го уровня
W = w(m)(:r,y,z) + --- ,

где г*/т) обозначает целую функцию га-ro уровня, то получим
п
{zw} = {z-\Y, х»у»> ™{т)} + ■■■ =
_ 1 у- (dwM , „ dw^\
--22^хЛ~д£Г + у" dz )~
_1 " dw{m) (m)_
или, используя соотношение
просто
{ZW} = i^.u><"0(x,j,, *) + •••,
где опущенные члены имеют уровень (га + 1) и выше. Таким образом,
справедливо следующее
Утверждение 1. £слм скомбинировать характеристическую функцию
п
Z = z - - ^2 Х"У" + '''
с характеристической функцией W, имеющей уровень т по х, у, z, то
возникающая характеристическая функция {ZW} будет снова иметь
уровень т по х, у, z, причем ее члены т-го уровня получаются из членов т-го
уровня функции W в результате умножения на |(2 — т).
Утверждение выше мы хотим теперь применить к некоторым группам
контактных преобразований. Пусть
W^)=w£)(x,y,z) + ---
(я = 0,1 • • • s; i^ — 1 • • • т*)

— какая-либо (mo + m\ + • • • + m3)-параметрическая группа контактных
преобразований пространства z,x\ • • • хп, содержащая для всякого к ^ s
в точности Шуе характеристических функций W{ • • • WmJ х-го
уровня, из которых нельзя линейно получить никакой функции {я + 1)-го
или более высокого уровня. При этом мы не требуем, чтобы все числа
mo, mi • • • ms_i были отличны от нуля, в то время как ms, конечно, не
должно обращаться в нуль. Зато мы предполагаем, что среди rri2
характеристических функций второго уровня в нашей группе имеется функция
следующего вида:
п
Z = z - g ^2 XvVv + * * * •
При наложенных условиях между Z и характеристическими
функциями 5-го уровня W[s' - - - Wm! имеют место соотношения вида
{ZWJe)} = ^.WJe) (j = i-m,). (22)
Кроме того, между Z и характеристическими функциями (s — 1)-го
уровня W± • • • Wrn7-i имеют место соотношения вида
т=1
или если положить
т=1
то следующие:
r=l
поэтому, выбрав XjT = 2CjT и записав вместо 2ш5~ снова W". ~ , мы
получим просто
{ZW}-1)} = ^±.W}-1) у = 1-т.-х).

Тем самым, все характеристические функции (s — 1)-го уровня в нашей
группе нормированы (ср. часть I, стр. 669).
Точно так же мы можем нормировать характеристические
функции (s — 2)-го уровня, а именно, положив
Ж
•(8-2)
r=l r=l
(j = 1 ••• ms-2)
с использованием подходящих К и Л и, наконец, записав снова Wj
вместо 2П^ , мы получим
(5-2)
(s-2)1
{ZWf~Z)}
±—*уу<8-2)
{j = 1 ••• ms_2).
Продолжая таким образом, мы в конце концов придем к тому, что
все характеристические функции нашей группы будут нормированы
(единственным исключением будет сама функция Z), и что будут иметь место
соотношения простого вида
{z<r>} = Ц^<ж)
(*г = 0,1 ••• s; i* = l---m*). (23)
С другой стороны, любые две характеристические функции W{
и Wjt нашей группы связаны соотношением вида
'71*? + /-2
{<х)<}= Е г*^^-^
г=1
+ Е E<tk^:>
(ix = 1 • • • гпх; ji = 1 • • • тгц; >*, £ = 0, 1 • • • s
(24)
в котором c^j,r полностью заданы членами наименьшего уровня
функции и всякий раз обращаются в нуль, если х + / — 2 > s или
< 0. Чтобы найти также и С, составим тождество
r(*W')i
r(*)nxrV)
(l),
r(*h
{Z{W£>W™}} + {W£>{W»>Z}} + {W™{ZW£>}} = 0,

которое при использовании соотношений (23) принимает вид
{Z{<x)wf}} = ^^{w^wfY
Если в это тождество вместо {W^ Wjf } подставить выражение (24), то
мы получим после исключения исчезающих членов с Wr
соотношение
S ГПтг S ГПтг
у- у- 2-тг в с(7г) w(7r) 4-х-/ у- у- C(W) ^(7Г)
распадающееся на следующие:
(2+7г-*-осг(:>,т„=о
(7Г = X + Z — 1, УС+ /, • • • 5),
следовательно, все С должны одновременно обращаться в нуль.
Для удобства формулировки этого результата мы хотим обратить
внимание на то, что каждой группе контактных преобразований
(>f = 0,1 • • • s; i* = 1 • • • mx)
соответствует сокращенная группа контактных преобразований с таким же
числом параметров:
w£> = «£>(*, у, *)
(>*• = 0, 1 • • • 5; i* = 1 • • • m.^),
характеристические функции которой х-го уровня получаются из т^
функций х-го уровня W/ в результате исключения всех членов (х + 1)-го
уровня и выше. Если мы это учтем, то получим
Утверждение 2. Если (гао +mi + ••• + ms)-параметрическая
группа контактных преобразований пространства z,x\ • • • хп содер,жит для
любого х ^ s в точности т^ характеристических функций х-го уровня:
из которых нельзя линейно получить ни одну функцию (х + 1)-го или более
высокого уровня, и если она, в частности, содержит характеристическую

функцию второго уровня вида
п
Z = z- - ^х„у„ + --- ,
то она является равносоставленнои с сокращенной группой контактных
преобразований
{ус — О, 1 • • • 5; iy, = \ •-• т*),
характеристические функции которой х-го уровня Wi>t получаются из
функций Wi"' в результате исключения всех членов уровня (к + 1) и
выше; в то же время всегда можно так нормировать характеристические
функции Wi , что между W\ будут иметь место те же самые
соотношения
{<х)<}= Е *.*М*+1-2)
т=1
(>tr, г = 0,1 • • • 5; г* = 1 • • • т*; ji = 1 • • • ггц)
с теми Dice константами, что и между Wi^ :
{sW> = Е ^TwT'-2)
r=l
(х, г = 0,1 • •• s; г^ = 1 ••• m^; jj = 1 • •• mj).
§126
Результаты предыдущего параграфа мы теперь хотим применить к
тому специальному случаю, когда рассматриваемая группа контактных
преобразований пространства z, х\ • • • хп как группа точечных преобразований
пространства х\ • • • хп, у\ • • • уп, z является транзитивной.
Итак, рассмотрим некоторую (2п + 1 + гп2 + • • • +
ms)-параметрическую группу контактных преобразований, содержащую 2п + 1
характеристических функций нулевого и первого уровня вида
TV = 1 + • • • , Xi = Xi + • • • , Yi = Уг + ♦ ♦ ♦
(г= 1 ••• п),

а также для любого х, удовлетворяющего условию 2 ^ к ^ 5, в
точности туе характеристических функций х-го уровня
Wt] = ™£\х,У^) + • • • (ix = 1 -.. т.),
из которых нельзя линейно получить никакую функцию (к + 1)-го или
более высокого уровня. В частности, мы, конечно, предполагаем, что среди
характеристических функций второго уровня нашей группы имеется одна
функция следующего вида:
п
Z = z - g ^ х^ + • • • .
Следует также упомянуть, что все числа т2,тъ • • • ms отличны от нуля
(ср. стр. 615 и ниже).
На основании рассуждений предыдущего параграфа мы априори
предполагаем, что характеристические функции JV, Xi,Yi, И^ нашей группы
нормированы так, что между ними имеют место те же самые отношения,
что и между характеристическими функциями
iV = l, Xi=Xi, Yi = yu
W£ =w\"\x,y,z)
(г = 1 • • • n, >c = 2 • • • s; i* = 1 • • • ra^)
соответствующей сокращенной группы контактных преобразований.
Согласно этому, 2п + 2 характеристических функций
Г iV = 1 Ч , Xi = Xi + • • • , У» = Ух + ' ' ' ,
I п
< Z = z~Y^xvyv + --- (25)
//=1
I (г = 1 • • • п)
сами по себе задают (2гг + 2)-параметрическую группу контактных
преобразований, структура которой представлена соотношениями
Г {XiX„} = О, {ЪХ„} = £i„N, {YiY„} = О,
{NXi} = 0, {NYi} = О,
< 1 1 (26)
| {ZN} = 0, {ZXi} = ±Xi, {ЯУ4} = ±У<
У (i,*c= 1 •■• n).

Теперь запишем группу контактных преобразований (25), согласно
указанию на стр. 313 (утв. 10), как группу однородных контактных
преобразований от 2п + 2 переменных £i • • • jn+i, pi • • • рп+ь то есть положим
3?1 — ?li ' ' * 3?п — Jni ^ — ?n+l}
У1 =-
Pi
Pn+l'
■• Уп = -
Pn
Pn+l'
(27)
и кроме того, еще умножим каждую из характеристических функций в
отдельности на —рп+ь Таким образом мы получим (2т +
2)-параметрическую однородную группу контактных преобразований
£*(jiP) = —pn+iXu 3£n+i(?,p) = -рп+1%,
Viih P) = -pn+iYi, фп+1 (у, р) = -Pn+iiV
(г = 1 ••• n),
(25')
структура которой, согласно рассуждениям на стр. 314-316, определена
соотношениями
(260
(фп+1^)Ур = 0, (фп+1фг)УР = 0,
(3£n+l4?n+l)yp = Фтг+Ь (^n+l^Ojp = 2*^' (^г+1^Рг)ур = lyfii
(г, >< = 1 • • • п).
Заметим, что 2п + 2 функций
п
^г = —?гРп+1> ^п+1 = ~~ ?n+lPn+i ~ 2 /_^^vPv>
Vi = -P» Vn+1=-Pn+1
(г = 1 • • • п)
в свою очередь удовлетворяют соотношениям вида
(Х&'х)т.р. = 0, (ЩХ'„)ы = еы¥'п+п №ФЛ'р' = 0.
(K+i*0.t'P' = 0, (Ф^ЭД W = О-
(^п+1т>п+Ш/Р/ — Фтг+И v^n+l^iVp' = 2 ^ v^n+lT^iVp' = 2^*
(г, ** = 1 ••• п),
(26")

и стало быть, также задают (2п + 2)-параметрическую однородную
группу контактных преобразований. Далее заметим, что как Xi ••• Э£п+ь
фх • • • фп+1 являются независимыми функциями от р, р, так и ЭС^ • • • 3£^+1,
Фх • • • Фп+i являются независимыми функциями от р',р'. Отсюда
немедленно следует (см. теорему 52, стр. 359), что между переменными р,р
и р',р' существует однородное контактное преобразование, переводящее
Xi • • • Хп+и Ф1 • • • Фп+1 в 3Ci • • • ЭС^+1, Ур[ • • • ф^+1 соответственно. Это
однородное контактное преобразование полностью задано 2п + 2
уравнениями
так как они могут быть разрешены как относительно р',р' так и
относительно р, р.
Чтобы записать однородное контактное преобразование (28) как
контактное преобразование пространства г, х\ • • • хп, мы должны (ср. стр. 161
и ниже) в силу уравнений (27) и следующих уравнений:
Pi - w/ *2_ - „'
~~ 2/i> и — Уп
Pn+1 Pn+1
ввести вместо p,p, p',p' переменные z,x,y,z'\x'\y' и тогда получим из
уравнений (28) следующие:
(г = 1 • • • тг),
которые можно разрешить непосредственно относительно х^ • • • х'п, zf,
i/=i (29)
у' - Хк ... у' - YlL
Уравнения (29), конечно, представляют контактное преобразование
пространства z,х\ ••• хп, причем в силу этих уравнений имеет место соот-

ношение
n / n \
dz' - ^2 y'vdxv = дР [dz-^yv dxv J.
Из сказанного выше по поводу однородного контактного
преобразования (28) следует и непосредственно видно, что (2п + 2)-параметрическая
группа контактных преобразований (25) принимает при контактном
преобразовании (29) простой вид:
п
\ (г = 1 ... п).
Надо теперь еще только выяснить, как ведут себя остальные
характеристические функции V^ нашей группы при действии контактного
преобразования (29).
Прежде всего заметим, что контактное преобразование (29) имеет
простой вид:
X • = Xi Н , у[ = УгЛ , Z1 = Z Л
(г= 1 ••• п),
где опущенные члены в правой части всегда имеют более высокий уровень
по х, у, z, чем выписанные. А значит, и, наоборот, х, у, z будут обычными
степенными рядами от х1', у'', z'', а именно,
Xi = х\ Л , yi = y,i-\ , z = z' Н
(г = 1 ••• п).
Если к характеристической функции х-ro уровня применить контактное
преобразование (29)
V^)=v{i*\x,y,z) + ---,
то, согласно стр. 603, мы получим характеристическую функцию вида
ТТ(^) 1 т/(ж) (ус), ч .

где опущенные члены имеют по х, у, z уровень к + 1 или выше. Очевидно,
что V^ будет также иметь уровень к по х\у\ z' и просто примет вид
Уг, =*>-жЧ* >»>*) + ••• >
где опущенные члены — (х + 1)-го и более высокого уровня по х', у\ z'.
Наконец, надо еще заметить, что между Z и Уг имеет место
соотношение вида
\Z/Vii< Sx,y,z — 2 *х '
поэтому между Z и V г_ будет иметь место соотношение
соответствующего вида (ср. стр. 612 и ниже):
\Z Vii< )x'ty\z* - 2 Vi" *
— —(x)
Вследствие вида Z в разложении в ряд Vi не может встретиться ни один
член (х + 1)-го или более высокого уровня по х', у', zf, и Vi^ , тем самым,
должна быть целой функцией к-то уровня от х',у', z'\
V[^ = v\*\x\y\z') (^=2...в; гж = 1-..тж).
Тем самым получена следующая важная
Теорема 86. Пусть G — конечная непрерывная группа
контактных преобразований пространства z,x\ ---хп, причем
являющаяся транзитивной как группа точечных преобразований
пространства Х\ •••xn,j/i •••yn,z, то есть пусть G содержит
в окрестности системы значений общего положения 2п-\-1
характеристических функций нулевого и первого уровня вида
N = 1 + • • • , Х{ = Xi + • • • , Yi = Уг + • • • ,
(г = 1 • • • n)
и кроме того, для любого х, удовлетворяющего условию
2 ^ к ^ s, еще в точности т^ > 0 характеристических
функций я-го уровня вида

из которых нельзя получить никакой функции (х + 1)-го или
более высокого уровня. При этом v\ обозначает целую
функцию х-го уровня от x,y,z, а опущенные члены имеют уровень
к + 1 или выше; сумма 2п + 1 + rri2 + • • • + ms является числом
параметров группы G. Если среди характеристических
функций G второго уровня содержится, в частности, функция
вида
п
Z = z- 2 ^£„?/„ + ••• ,
то она будет подобной посредством контактного
преобразования пространства z,x\ • • • хп сокращенной группе
контактных преобразований
(г = 1 • • • п; >с = 2 • • • 5; i* = 1 • • • m*),
характеристические функции т-го уровня которой
получаются из характеристических функций т-го уровня группы G в
результате отбрасывания всех членов (га + \)-го и более
высокого уровня.
На основании изложенного в настоящей главе, а именно, при
помощи теоремы выше можно было бы существенно упростить исследования
предыдущей главы; но мы ограничимся здесь лишь указанием на это.