Текст
'f..
63'
I
ДЖ. ЕЛА ТТ и В. ВАйСКОПФ
\
v r!j r
i' I \;'
,,} .i;., J
rrЕОРЕ'rlIЧЕСRАЛ
flДЕРI
IАЛ ФИ3ИI
А
ПНРЕВОД С АнrЛИЙСRоrо
И*Л
И3ДАТЕЛЬСТIЗО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТVРЫ
ИОСl>ва,1954
I
!
,!
j
i,
r
,.
1
\
I
I
.
, . :."'III""'" ., .
от РЕДАКЦИИ
Настоящая нниrа представляет собой фундаментальную моноrрафию,
излаrающую основы теории aToMHoro ядра. В нниrе рассматривается широ
ний Hpyr вопросов, относящихся Н явлениям, протенаюlЦИМ при сравни
тельно небольших энерrиях возбуждения (до 50 Мав).
Материал, рассмотренньтй в нниrе, в значительной степени не перенры
вается с содержанием моноrрафий по ядерной физине, имеющихся на рус-
сном языне.
Большой интерес представляют rлавы, посвященные ядерным реакциям,
в том числе взаимодействию элентромаrнитноrо излучения с ядрами
(l'Л. VIH XH). Подробно рассматривается танже явление распада
(rл. XIII).
Довольно MHoro места отведено строению ядер и описанию ядерных
моделей (rл. VI, УН, XIV). Н сожалению, авторы уделили мало места воп-
росам, связанным с изложением модели ядерных оболочсн, имеющей в настоя-
щее время большое значение. Отсутствует танже описание «ноллективних
моделей», в ноторых учитывается связь ноллентивных движений с поведе-
нием отдельных НУНЛОНОВ.
Что насается первых пяти rлав, то они в основном посвящены обсужде
нию ряда общих свойств ядер и взаимодействия НУНЛОНОВ.
В нниrе имеется раздел, посвященный формализму изотопическоrо
спина (rл. HI, 5). Однано авторы мало используют этот формализм при рас-
смотрении rипотезы зарядовой независимости и следствия из Hero в отноше-
нии ядерных реанций под действиеу тяжелых частиц и I HBaHTOB.
Авторы сознательно ИСНЛЮЧИЛИ ,из рассмотрения мезонную физику,
поснольну введение соответствующих материалов сильно увеличило бы
объем нниrи.
Необходимо танже иметь в виду, что нниrа была занончена авторамв
до 1952 r., поэтому в ней, естественно, не нашли отражения успехи в раз-
витии физини aToMHoro ядра, достиrнутые после выхода нниrи в свет.
В связи с этим перевод нниrи снабжен рядом примечаний, цель ноторых
состоит в том, чтобы обратить внимание читателя на те новые результаты,
которые получены по затронутым в нниrе вопросам в последние rоды. Нак
правило, Примечания содержат ссылн:и на обзоры по соответствующим вопро-
сам, содержащие более или менее полную библиоrрафию; уназывается такЖ4!
1.
От реааlrции
,ориrинальная литература. Эту те цель преследует Вl\люченный в l\ниrу в Ka
честпе приложения 111 перевод статьи В. Вайсн:опфа «Модель оболочеl\ и
.струитура ядра» [Physica, 18, 1083 (1952)].
Можно надеяться, что l\виrа Оl\ажется полезной для ШПрОl\оrо l\pyra
,физитюп, интеl'есующихся проблемами aToMHoro ядра.
Хорошим дополнением н: l\НИI'е Блатта и Вайскопфа может служить
иНОJ'отомная моноrрафия под редющиоi1 Ccrpe, В ноторой И3JJаrаются методы
и реЗУJIьтаты исследований в современноЙ экспе риментаJ1ЬНОЙ физии€'
aToMHoro ядра [«ЕхреriшепtаJ Nucloar Physics», т. 1, (19 '2); т. 1I, (1953)],
J
\
1
.
j
i
j
."
'1
I
'1
l'
,
1
1)
].
1
I
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Последние двадцать лет ознаменованы мощным развитием ядерной
физики. Наноплено большое ноличество данных, стало известно множество
экспериментальных фантов. По мере Toro нан энспериментальная техника
все более и более совершенствовалась, теоретичесний анализ и интерпретация
данных энсперимента становились боЛt е точными и подробными. РаЗВИ'f.ие
ядерной физини зависело от развития физики в целом. Хотя неноторые
интересные rипотезы относительно строения ядра выдвипщись еще в 1922 r.,
нинаная ноличественная теория даже простейшеrо ядра была невозмотна
до отнрытия нвантовой механяни и до тех пор, пона не были развиты энспе-
риментальные методы, достаточно чувствительные для обнаружения ней.
тральной частицы (нейтрона). Дальнейшее развитие наших предстаплений
о ядре зависело и продолжает зависеть от создания еще более совершенной
энспериментальной технини для исследования свойств ядра и более совер-
шенной теории для соrласования ЭтиХ свойств. Прантичесни каждое «простое»,
«разумное» или «удобное» предположение, сделанное в ядерной. физике,
нуждалось в дальнейшем уточнении, а мноrочисленные попытни объяснитъ
ядерные силы и свойства ядер на основе более «общеrо» подхода, чем анализ
энспериментальных данных, до сих пор оназывались безуспешными. Ядер"
ная физина нан науна отнюдь не мотет считаться завершенной. Весьма
вероятно, что MorYT быть отнрыты простые основные заноны, ноторые объяс-
нят все известные свойства ядер и позволят нам с успехом предсназывать
новые, неизвестные свойства ядер. Пона же мы должны оrраничиться иссле-
дованием и соrласованием всех известных свойств ядра на полуэмпирической
основе.
Настоящая нниrа полностью посвящена этой задаче. Предметом изложе-
ния являет'Ся теоретичесная ядерная физина, под ноторой мы понимаем
теоретичесние Rонцепции, методы и соображения, выдвинутые для объяснения
энспериментальноrо материала и позволяющие нам преДСIщзывать и упра-
влять ядерными явлениями.
Конечно, эта нниrа не претендует на освещение всех аспентов теорети"
чеСRОЙ ядерной физини. Мы были вынуждены опустить множество деталей
и уточнений. Отчасти это объясняотс,я недостатном места, а чаСТЬJO непол-
нотой знаний авторов в отдельных областях. Мы надеемся, что изучение этой
книти облеrчит читателю понймание ориrинальной литературы, содержащей
не освещенный здесь материал.
Мы оrраничились рассмотрением явлений, протенающих при энерrиях,
меньших, чем примерно 50 Мае. Эта область явлений иноrда называется клас-
сичесной ядерной физиной. Тю.им образом, мы иснлючаем из рассмотрения
ядерные явления, протенающие в носмичесних луqах, а таюне явления,
связанные с рождением и поrлощением мезонов. Единственным исключе-
нием из этоrо правила является rл. IV, rде речь идет об экспериментах по
.
"
Иа предисловия авторо,
рассеянию НУНЛОНОВ на нунлонах при энерrиях до 350 Мав и об интерпре-
тации этих энсперпментов С помощью ядерных сил.
Нак правило, мы опуснали теоретичесние соображения, ноторые не свя
ааны непосредственно со свойствами ядра. Тан, например, не рассматри-
вается теория замедления заряженных частиц, про ходящих через вещество,
теория диффранции и замедления нейтронов, теория метода моленулярных
пучков, опыты по маrнитному резонансу. теория сверхтонной струнтуры.
Все эти вопросы очень важны для энсперимента, но их внлючение Слишном
увеличило бы объем нниrи. Иснлючены танже вопросы, относящиеся н ядер
пой энерrеТИRе, например теория ядерных реанторов. Однако, поснольну
соответствующий материал рассенречен, по этому вопросу уже имеются
хорошие учебнини. К сожалению, теория деления ядер (Rоторая, несомнецно,
Относится н предмету нниrи) М6rла быть рассмотрена тольн:о очень беrло, тан
как СЛИШRОМ MHoro данных по этому вопросу еще не являются доступными.
Мы полностью опустили обсутдение теорий ядерных сил, основанных
на тех или иных мезонных полевых теориях. Мноrочисленные попытни
построить теорию ядерных сил с помощью мезонных полей привели н блестя
ЩИМ предвидениям и н выяснению ряда проблем мезонной физини. но ДО сих
пор не дали н:оличественноrо объяснения сил, действующих между ядер
ными частицами. Этот вопрос не Rазался нам достаточно разработанным,
чтобы помещать в Этой ЮIИI'е ero систематичесное рассмотрение.
При написании нниrи: мы все время имели в виду цель сделать нниrу
ионятной для фИЗИRОВ ЭRспериментаторов, работающих в области ядерной
физини, и для студентов старших нурсов, знаномых с Основными положе
пиями и задачами ядерной фИЗИRИ. Предполаrается, что читатель прослушал
семестровый нурс нвантовой механин:и, построенный на тан:ой основе, нан
учебнин Шиффа. ..
Мы стремились добиться достаточно ясноrо и нритичесноrо изложения'
рассматриваемых вопросов. В нен:оторых случаях это приподило R новым
выводам, н:оторые еще ниrде не опуfJлинованы. ПОСНОЛЬНУ мы имеем дело
с растущей и развивающеЙся облаетыо науни, следует ожидать, что мноrие
идеи, ноторые сеrодня считаются справедливыми, всн:оре он:ажутся непра
вильными. Поэтому мпоrие предполотения и утверждения, имеЮIЦиеся
в этой ННИI'е, следует рассматривать нан предваритеJIЫIЫе. Нниrа содержи"!'
большое ноличество сведений, в еправедливости ноторых мы да.ттено не YBe
рены и ноторые используются толы\О потому, что ничем лучшим мы в настоя
щее время не располаrаем. Харан:терным Примером явлшотс;н сведения о
плотности уровней ядра, приведенные в rл. VIII. В нен:оторых случаях HeдaB
ние выводы переместили цептр тяжести с одноrо способа описания на дpy
rой, более удачныЙ. Например, нан отмечается в rл. XIV, ядерная спентро
скопия сеrодня во все большей степени основывается на оболочечной теории
строения ядра. Однано, н:оrда была задумана эта ННИI'а, основным орудием
исследования ядерных спентров была теория супермультиплетов Виrнера;
эта теория и ПOJютена в основу обсуждения в rл. VI. .
Имеющиеся ссылни на ориrинальные работы не претендуют на полноту.
Мы стремились в иатдом случае уназать основные теоретичесние работы,
а из прочих теоретичеСJ\ИХ работ лишь знан:омые нам; из экспериментальных
работ уназывались лишь те, ноторые иллюстрировали отдельные утверждения
или содержали значения ядерных нонстант, использованные в тенсте. Мы не
проводили систематичесноrо ознаномления со всей литературой. Это в oco
бенности Относится н работам, опублинованным не в !JbysicaI Review,
а в друrих журналах. Если отсутствует ссылн:а на соответствующую работу,
весьма вероятно, что мы не знали о существовании этой работы. Последний
раз рУНОПИСЬ просматривалась весной 1951 r. СсыЛ!{и на более поздние
работы до неноторой степени случайны.
"
Иа nр"аисловия авторо,
7
Мы отдаем себе отчет в том, что в этой книrе MorYT встретиться ошибки,
не все из ноторых тривиальны или допущены по вине типоrрафии. Мы стара-
лись держаться золотой середины в своих попытнах, с одной стороны, YCTpa
нить ошибни, а с друrой понять тот или иной ВОПРОС и ясно ero изложить.
В нонце наждой rлавы приводится списон обозначений с нратним объяс-
нением значения наждоrо символа и с уназанием номера формулы, в НОТОРОЙ
ЭТОТ символ впервые определяется и вводится. Если символ определен в
тенсте, в списне обозначений приводится номер соответствующеrо параrрафа.
Мы старались сделать списни обозначений исчерпывающими, однано HeKO
торые второстепенные обозначения, встречающиеся в rлаве Bcero неснолько
раз, в спИсни не внлючались.
.
.
J
1
1
j
ИЮНЬ 1952
Дж. Б.латт,
В. Вайс-,;опф.
j'
1
'1
j
;
!
f
1
1
1
; .
i
'.
f
.t
l-
,\
1
.
.
(
J
-«:
rлава 1
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ЯДЕР
1. ВВЕДЕНИЕ
Ядерная физина является очень молодой пауной; несмотря на это, в на(',тоя
lЦee время уте наноплено большое ноличество сведений об атомных ядрах.
Существование ядра в атоме было установлено в 1911 r. Резерфордом l648].
Тоrда же были обнаружены неноторые важные свойства ядер:
. 1. Размеры ядра значите.1JЬНО меньше размеров атома. Резерфорд пона
. зал, что ядро обладает свойствами точечноrо заряда до расстояний по край
ней мере порядка 1 0 11 СМ.
2. Ядро заряжено. Оназалось, что заряд каждоrо ядра рю ен' пелому нрат-
HO IY от заряда элентропа, т. е. заряд ядра равен Ze, rде Z ==,,1, 2, 3,... назы
вается атомным номером ядра.
3. Ядро значительно тяжелее элен:тронов. Оно составляет ОСНОВПУIО
массу атома.
Тан нан атомы нейтральны, то необходимо предположить, что заряд
ядра полностыо нейтрализуется зарядами онружающих ядро элентронов.
Таним образом, заряд ядра Z определяет число элен:тронов в атоме и является
единственной харантеристин:ой ядра, важной для атомной физики, а следо
вательно, и д.ля объяснения большинства известных нам свойств вещества.
с.ледующей важной харантеристиной ядра является eI'o масса. Дж. Том.'
сон [740] пон:азал, что масса ядра не определяется ero зарядом. Болое Toro,
существуют ядра, имеющие одинан:овый заряд Z, но различные массы. Тание
идра называются И:Jотопами. Масса каждоrо изотопа приблизительно (но не
точно) равна целому числу цротонных масс 1 ). Ближайшее целое число назы
вается массовым числом II обозначается через А. ,
Проще Bcero было бы предположить, что все ядра состоят из протонов.
Однано это противоречит тому фанту, что практичесни для все.х ядер Macco
вое число А по нрайней мере вдвое больше aToMHoro номера Z. Таним образом,
наряду с протонами в ядре должны существовать и ДРУПIе частицы.
До 1932 r. предполаrали, что ядра состоят из протонов и элен:тронов.
Например, считалось, что ядро N14 (Z==.7, А==14) состоит из 14 протонов
(что давало правильную массу) и 7 элен:тронов (что ПрИВ'ЩИЛО н правильной
величине заряда). Эренфест и Оппенrеймер [201] уназали, что эта rипотеза
приводи'l' н ряду противоречий е известными свсйствами NJ4 (см. 8).
Энспериментальное отнрытие нейтрона ([176], [144]) позволило rейзен
берrу [360J2) в 1932 r. высназать предположение о том, что ядра состоят из
протонов и нейтронов, и рассмотрEJ'rь следствия этоrо предполошения 3 ). Таним
1) в маСС.СП('НТРОСRОПИИ за сдинипу массы принимаrтся не масса протона, а 1/16 мас-
сы изотопа Rислорода с массовым числом А==16.
2) Нсноторые интересные предположения были сделаны еще в 1922 r. [349]. однано
в то время нельзя было дать RОJlИчсственной теории.
3) Это нредположение впервые было сделано совеТСRИМ фИЗИRОМ д. д. ИвапеНRО.
Прим. перев.
10
r.n,. 1. Общие свойства ядер
образом, можно считать, что начало .современной ядерной фи зин и было зало-
жено тольно в 1932 r.
Предположение о протонно нейтронном составе ядер в настоящее время
надетно подтверждено экспериментом. Из Hero следует, что число нейтронов
в ядре (N) равно A Z. Нейтроны и протоны имеют почти равные массы и
их называют общим названием «нунлоны». Ядра с равными массовыми числа
ми А, но различными атомными номерами Z, называются изобарами. Ядра
содинановыми N === А Z, но различными Z называются изотонами . Ядра
равными Z, но раз.'IИЧНЫМИ А, наЗЫВaIСТСЯ изотопами. Изотопы ХИМичесни
энвивалентны и потому трудно разделимы. Однано с ТОчн:и зрения ядерной
физин:и они различаются по числу нейтронов. Изобары блаrодаря различию
в атомном номере Z химичесн:и различны. Однано с ядерной точни зрения
они больше похоти друт на друта, чем изотопы, тан: нан состОят из одина
HOBoro числа НУЮIOнов, а протоны и нейтроны в ядре обладают почти одина
новыми свойствами.
Силы, действующие внутри ядра, не MorYT быть обычными элентростати
чесн:ими силами, так нан в ядре удерживаются и элентричесн:и нейтральные
частицы нейтроны. Эти (<ядерные силы» не похожи на силы, деЙствующие
в атоме, и не имеют аналоrа в нласеичеспой физике. Ватную роль в исследо
Бании ядерных сил сыrрали работы Виrнерэ. [803, 804), н:оторый поназал, что
эти Силы должны иметь очепь малую область деЙствия, но в то же время
должны быть очень большими в ЭТОЙ области (в миллионы раз больше элен
тростатичеспих сил в атоме), а тат,же работы rеЙзенберrа [360) и Майорана
[50.5), поназавших, что ядерные силы долтны быть насыщающимися, т. е.
не псе пары нутшонов внутри ядра MorYT притяrивать )Трут друrа. Эти про
блемы будут обсуждаться соответственно в rл. 11 и III.
2. 1\ВАНТОIЗЫЕ СОСТОЯНИЯ, ЭНЕРПJЯ связи,
СРЕДНЯЯ ЭНЕРПIН СВЯЗИ НА ОДИН НУl{ЛОН
Ядро представляот собой еистему из А элементарных частиц, удерти-
. Баемых вместе силами притяжения. Имеются основания JJолаrать, что тан:ая
'система может быть описана в хорошем приближении с Помощью нереляти
'ВистстюЙ квантовой механики. Кан и ВСЯl{ая связанная система в нвантовой
механине, ядро обладает ДИСНретным спеТ\тром собственных значений энер
rии. Состояние с наименьшеЙ энерrией называется основным СОСТОlJнием.
При нормальных условиях ядра всоrда находятся в основных состояниях.
Если Я;tро перевести в более ВЫС()1\ое (возбужденное) нвантовое состояние,
то оно вернется в основное состояние с испуснанием одноrо или неснольних
лен:тромаrнитных нвантов.
Точные иамерения атомных весов [14] поназали, что атомный вес ядра
не равен сумме весов входящих в состав ядра частиц, а меньше ЭТОЙ
величины на неснолы\О десятых процента. Масса ядра И ядра определяется
выражением
1I1 ядра === ZM р + (А . Z) 1I1 н ,
(2.1) Э)
тде Ир и И n соответственно массы протона и неЙтрон , а «дефепт
массы» ядра. В большинстве энспериментов измеряемои величиной яв
ляется атомный вес 111 ат., НОТОРЫЙ отличается от веса ядра на вес элен
тронов. Тан нан число алентронов в атоме всеrда равно числу протонов
1) Формулы пронумrрованы отдельно в каждом параrрафс. Например, (3.6) обозна-
'част формулу () в S 3 той rлавы, в I{ОТОРОЙ эта ССЫЛlШ сделана. Ссылки на формулы из
друrих rлаn содержат HOмr p r;raubl, обозначенный РИМСIШМИ цифрами. Например,
,ОI1,2.8) есть ССЫЛIШ на формулу 8 в S 2 rл. III.
'.
I
I
I
I
I
I
i
I
i
i
'[
1-
I
!
I
J
Т
I
I
.
I
)
1
I
I
I
ff
I
!
r
I
!.1
d 2. Ква1lтО8ые состОЯ1lия. апереия С8Я8и. сре81lЯЯ апереuя свЯ8и
11
в ядре, атомный вес может быть записан в виде
Мат. ==ZM H +(А Z)Mn ,
(2.2)
"де М н масса атома водорода:
М Н ==Мр+т е ,
те масса элентрона. Энерrия связи элентронов в
мала по сравнению с энерrией связи ядра и поэтому
(2.3) не учитывается.
Дефен:т массы может быть объяснен соотношением Эйнштейна метду
Массой и энерrией. Введем полную энерrию ядра
И == с 2 М пдра' (2.4)
энерrия ядра И отличается от суммарной энерrии
[ZМрс2+(А Z)Ипс2], находящихся в поное и
(2.3)
атоме пренебрежимо
в выражениях (2.2) и
Из (2.1) следует, что
составляющих ero частиц
удаленных друr от друrа.
Разность "'тих величин равна работе, необходимой для разделения
ядра на составные части. СледоваТeJIЬНО, эта разность предстаВJшет собой
полную энерrию связи ядра
В == ZM p c 2 + (A Z) М п с 2 И == c2
(2.5)
и мотет быть получена из энспериментальноrо значения d. В дальнейшем,
если не oroBopeHo противное, величины И и В всеrда будут относиться
н ядру, находяшемуся в основном состоянии. Энерrия возбужденноrо co
стояния U* больше, а энерrия связи В* меньше, чем соответствующие
величины для OCHOBHoro состояния. Разность и* и == В В* равна энерrии
возбуждения. Полезно ввести еще одну величину 1)
в
f == А '
(2.6)
ноторая представляет собой среднюю энерПJJО связи, приходящуюся на один
нунлон.
На фиr. 1 приведена ФУННЦИЯ f для стаБИJIЬНЫХ ядер в зависимости
от MaccoBoro числа А. При MaJIbТX значениях А f меняется нереrулярно,
а затем изменения f оназьшаются весьма незначительными.
Величина f медленно возрастает до А == 50, затем до А == 150 остается
прибли;ште.пьно постоянной, равной 8,5 lI/эв, и далее медленно падает
с уве.пичением А, достиrая для урана 7,4 Иэе.
ИЗ фиr. 1 видно, что полную энерrию связи ядра можно rрубо считать
пропорциональной "Iислу нунлонов в ядре А. Все составные части ядра
связаны более или менее одинаново сильно. Это свойство уназывает на
сходство метду ядром и жидной наплей или твердым телом, для ноторых
добавление наждой новой молен:улы влечет за собой увеличение полной
энерrии связи на одну и ту же величину. Поведение элен:тронной оболочни
атома представляет собой противоположный пример. Средняя энерrия связи
элентрона в тяжеJJЫХ атомах HaMHoro больше, чем в леrних.
Неноторое уменьшение f при больших и малых значениях А можно
качественно объяснить следующим образом. Блаrодаря наличиЮ элентrи
чесних зарядов протоны внутри ядра отталниваются. Это отталнивание мало
по сравнению с ядерными силами притнтения. ОднаJ-Ю с увеличением Z
оно становится все более и более существенным, тан нак возрастает про
порционально Z2, В то время нан энерrия связи растет пропорционально
1) Эта величина связана с упаНОВ0ЧНЫМ множителем, употреблясмым в маСС СПСR-
ТрОСRОПИИ, но не совпадает с вим [55].
:12
r./1,. 1. Общие, свойства ядер
А. Электростатическое отталкивание оелабляет Сliязывающее действие-
я:дерных сил и, следовательно, уменьшает энерrию связи для бо.1JЬШИХ
А. 'Уменьшение f для малых А обусловлено поверхностным эффектом.
Совершенно очевидно, что частицы на поверхности связаны слабее, чем
внутри. Чем леrче ядро, тем больший процент нуклонов находится н&
поверхности; это приводит к уменьшению средней энерrии связи на НУI\ЛОн,
в области малых А (см. rл. VI, 2).
Друrим полезным пооятием является «энерrия отдеJJению> 1) S(. (Х}
частицы а от ядра Х. Она представляет собой энерrию, необходимую дла
10
7
r r----.- ..........
(, ......
(."
, .
9
в
6
q)
5
...:
4
3
2
о
о 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240
А
Фи r. 1. Средняя энерrия связи на ну).<лон f KaI{ функция А.
удаления частицы а из ядра Х, находящеrося' в основном состоянии, на
бесконечность, с образованием конечноrо ядра У (У + а ==- Х), которое
также находится в основном состоянии. Например, S" (016) представляет
собой энерrl'ПО, необходимую для удаления на бесконечность нейтрона из
ядра 016 с послеДУЮJJ(ИМ образованием ядра G15. Частица а не обязательно
долтна быть нуклоном; она мотет быть и ядром, например а частицей.
Энерrию Sa (Х) можно подсчитать из разности масс ядра Х и суммы
масс частицы а и образовавшеrося ядра У (У + а == Х). Величина S для
нуклонов, т. е. энерrия, необходимая для удаления из ядра ОДНОI'О нукло,
на, БJJИзна н веЛИЧ!fие средней энерrии связи на нунлон f '"'-' 8 Мэв.
Значительные отнлонеиия наблюдаются лишь в отдельных случаях, например
Sn(Si 28 ) == 16,8::!:: 0,4 Изв [495], Sp(N13) == 1,95 Иэв [744].
Кроме этих частных случаев имеется общая тенденция н отнлонению
величины энерrии отделения от среднеЙ энерrии связи на нунлон в области
значений А, rде заметно меняется f. Это можно видеть из следующеrо.
1) в отечествЕ'ННОЙ литературе вместО термина «энерrия отделснит> (scparl\ti оп ener-
gy) обычно употр( бллстся термин (<энсрrил свлзи». Однако авторы книrи используют
последний термин для обозначения энерrии связи ядра в целом. Поэтому мы сочли
возможным сохранить терминолоrию авторОВ. Прим. перев.
Z. Квантовые состояния, 8нереиия свяаи, средняя 8нереия свяаи 13
.энерrия отделения S,. нейтрона от ядра, содертащеrо Z протонов и N
нейтронов, равна по определению
S,. == в (Z, N) В (Z, N 1).
(2.7)
Перепишем это выражение в виде
Sn == / (Z, N) + (А 1) [f (Z, N) / (Z, N 1)].
(2.8)
в первом приБJJижении можно предположить, что / (Z, N) для CTa
бильных ядер является фуннцией только А (см. фиr. 1; однако при этом
ПОJJучаеТi:Я очень rрубое приближение с точки зрения более детаJJьноrо
рассмотрения).
Предположим далее, что фушщия / (Z, N) является достаточно rлаДI,ОЙ
и имеет производнуlO. ТOI'да (2))) запишется в виде
S п (А) / +- (А 1) dd .
(2.9)
Формула (2.9) показывает, что энерrин отделения приблизительпо
равна средней энерrиИ связи на НУIШОП / только в облаети ядер среДПeJ'О
Веса, rде / почти не зависит от А. ДЛЯ тяжелых ядер средняя энерJ ия
связи на НУНЛОН уменьшается с воарастапием А, тю, что в этой области днерrия
отделения остаетсн псе время меныlеe сродней энерJ'ИИ свяаи па нун:лон. Для
А ,> 2()О энерrии отдеJlения поряДIШ 5,5 G Мэв, в то время 1<3J\ / порядка 7,5
Иэв. Из формулы (2.9) следует также, что ДJШ Jlепшх ядер, ]')1,0 / возрастает
с увеличением А, энерrия отделения остается все время больше средней
энерrии связи на НУНЛОН. Однако ИСllОЛЬ;Jуемое приближение неприменимо
в этой облас:rи; средняя энерl'ИЯ связи с изменением Z и N изменяется здесь
слишном нереrулярно, и ее нельзя считать плавной функцпеЙ толыю
MaccOBoro числа.
Это же приближение можно применить длн оценни энерrии отделенин
а. частицы. В ре3УJlJлате получается
S" 4/ (А) В (:J.) + 4 (А 4) : '
(2.10)
.
rlIe В (:J.) == 28,23 Мэв энсрrия свя и lX частицы. Интересно сравнить это
выражение с формулой (2.9). Для тяже;;lЫХ ядер средння: энерrия: связи
на нунлон / поряДIШ 7,5 Иэв. Таким образом, разность 4/ В (7.) порядка
2 1I1эв и, следовательно, значительно меньше соответствующеrо члена /
в формуле (2.9). Нроме Toro, производная d//dA (отрицательная) YMHO
жается в (2.10) на зНачительно бо.пьший по величине множитель, чем
II (2.9). Поэтому можно ожидать, что энерrия отделения lX частицы OKa
жется значительно меньше энерrии отделения нейтрона или протона:
S" S" (для тяжелых ядэр).
(2.11)
Действительно, мноrие тяжелые ядра нестабильны в основном состоя
нии по отношению к lX распаду, т. е. у таних ядер S(j отрицательно.
"
3. СТАБИЛЬНЫЕ И НЕСТАБИЛЫIЫЕ ЯДРА, ДЕЛЕНИЕ, АЛЬФА-I)АСПАД,
БЕТА-РАСПАД
rруппа нун:лонов может удерживаться вместе и составлять связанную
систему. если число нуклонов одноrо сорта не превышает существенно
числа нунлонов друrоrо сорта. Например, неизвестны ядра, содержащие
только нейтроны или только протоны. Возможные причины этоrо будут
рассмотрены в rл. VI. Но даже среди комбинаций протонов и нейтронов,
образующих связанные системы, только относительно небольшая часть
\
/
14
rA. 1. Общие свойства ядер
представляет собой стабильные ядра. Имеются две формы нестабильности:
1) (<динамическая» нестабильность, которая приводит к самопроизвольному
распаду ядра на две или более части (а распад, деление и аналоrичные
явления), 2) нестабильносп, по отношению к распаду, которая приводит
н самопроизвольному изменению заряда ядра на единицу с одновременным
испусканием или поrлощением электрона ( распад, захват электрона).
А. «Динамическая» нестабильпость
Некоторые ядра нестабильны по отношению к расщеплению на две (или
более) части. Подобная нестаБИJIЬНОСТЬ появляется в том СЛучае, Коrда энер
rия связи ядра А меньше суммы энерrиЙ связи ядер В и С, обраsующихся
в результате расщепления.
Возникает вопрос: "ан:им образом обе части В и С моrли хотя бы временно
удерживаться совместно, образуя ядро А? ДЛЯ обсуждения механизма расще
плени я рассмотрим потенциальную энерrиJO системы как функцию расстоя
ния между частями В и С. [рафики потенциальной энерl'ИИ системы в зави
симости от расстояния r между ее частями Приведены на фиr. 2. Их, конечно,
1 E i j E ) ' E
R r R r R r
Ф Иr. 2. Зависимость эпсрrии двух ядер В и С от расстояния r между ними.
В СЛучае а ядро А==В+С стаtJит,но по отношению н распаду на В и С; в случае б ядро А мета-
стаtJИЛ но; в случае в ядро А вообще не обраауется. R расстонние. на нотором ядра В и С сли-
ваются в одно 11ДРО А.
следует рассматривать кан: схематические, особенно для малых расстояний
так кан в задаче мноrих тел потенциаJIьная энерrия не может быть задан,
иак функция одной н:оординаты.
Если составные части В и С приближаются друr н: друrу из беснонеч
ности, то потенциальная энерrия возрастает rлавным образом блаrодаря
кулоновскому отталн:иванию двух положительных зарядов. Однако коrда
расстояние между ними станет порядна радиуса действия ядерных сил при
тяжепия, отталнивание может быть сн:омпенсировано и возмОжно новое
уменьшение потенциальной энерrии.
Будем различать три случая, приведенные на фиr. 2. Если после полноrо
слияния энерrия системы оказывается меньше энерrии Еа:>, ноторую система
имеет при бесконечном удалении составных частей друr от друrа, то ядро А
стабильно по отношению к распаду на В и С (фиr. 2,а). Если же при ПОлном
объединении энерrия становится больше Еа:>, но меньше наибольшеrо Проме
жуточноrо значения, то ядро оназывается не стабильным по отношению к pac
паду на В и С (фиr. 2,6). В Этом случае части В и С НеУ{оторое время удержи
ваются вместе потенциа.'lЬНЫМ барьером и образуют нестабильное ядро А.
Если вообще не происходит уменьшения энерrии на малых расстояниях,
то части В и С не образуют ядра А (фиr. 2,в).
Во втором случае потенциальный барьер не может удерживать ядро А кан:
целое в течение неопределенноrо времени. Блаrодаря нвантовомеханическому
эффекту пронинновения через потенциальный барьер (см. rл. VIП) имеется
небольшая, но конечная (в единицу времени) вероятность П проникновения
одной из составных частей через потенциальный барьер, что приводит К
расщеплению ЯДра. Если в данный момент имеется N ядер А, то черЕ'
промежуток времени Т==1/П сохранится в среднем N/e ядер, а остальные
>
".?\; ",'.;--+-., , . rФ ,
3. Стабu.л,ъnые и nестабилъnые ядра
15
I
I
!
раепадутся. Вероятность П уменьшается с увеличением высоты барьера и
с увеличением масс про ходящих через барьер частиц 1).
Обычным результатом.'динамической нестаБилыJстии является ИСIJуска
ние lX частицы. По отношению н: этому процессу нестабильны мноrие тяжелые
ядра [38, 647]. Подробное рассмотрение lX распада будет проведено в rл. XI.
Расщепление на две части сравнимой величины обычно называется деле-
нием. Блаrоларя харан:терному уменьшению упановпчноrо множителя с YBe
личением А для тяжелых ядер сумма энерrий связи двух ядер промежуточной
массы с массовыми числами А 1 и А 2 может быть больше энерrии связи COCTaB
Horo ядра А==А1 +А2' При этих условиях ядро А может оказаться HeCTa
бильным по отношению н деJJению на два оснолна А 1 и А 2 . I3'eроятность caMO
произвольноrо деления н:райне мала вследствие большой массы оснолнов:
и, следовательно, малой квантовомеханической проницаемостц потенциаль
Horo бар}>ера.
1
I
I
J
I
I
'"
1
I
i
!
I
..
Б. Бета радиоактивность
Было обнаружен!), что MHOrJJe ядра испуснают позитроны и элентроны;
наблюдались также случаIJ захвата ядром одноrо из орбитальных ЭЛOIпронов:
атома.
Так каи имеется ряд причин, по ноторым элентроны не MorYT Haxo
диться в ядре (см. rл. ХIIТ), следует предположить, что элентрон рождаеТСI.
в Процессе испусн:ания. При этом заряд ядра меняется на единицу, а избы
точный заряд выделяется или поrЛощается ядром n виде электрона. В этом
процессе ядро превращается в друrое ядро, в нотором либо на один протон.
больше и на один нейтрон меньше, чем в ИСХОДном ядре, либо наоборот
одним нейтроном больше и одним протоном меньше. В первом случае испу
снается элентрон, во втором случае испускается позитрон или захватывается
орбитальный элеI\ТРОН.
Распад рассматривается нан про явление фундаментальноrо свойства
нунлпнов их способности к превращению ДРУl' в друrа. Протон может
перейти в нейтрон, и наоборот, нейтрон может перейти в протон. Блаrодарн.
сохранению заряда ;эти переходы сопровождаются испусканием или поrло
щением электрона или позитрона. Если протон переходит в нейтрон, то либо
испуснается позитрон, либо поrлощается элентрон; если же нейтрон переходит
в прЬтон, то происходит испусн:ание элен:трона. Как ПОI<ззано в rл. XIII,
зан:он сохранения количества движения и экспериментально найденная
непрерывность распределения испущенных электронов по энерrии требуют,
чтобы вместе с электронами ИСПУСI<злась еще одна незаряженная частица.
Эта частица называется нейтрино. Масса покоя нейтрино т" памноrо меньш
массы элентрона; ПО видимому, она точно равна нулю.
Переходы MorYT быть записаны следующим образом:
,
,
п p+e +'1,
p п+e++'1,
(3.1)
(3.2)
'
rде п, р, е+, e и '1 означают соответственно нейтрон, протон, позитрон , элек
трон и нейтрино.
Возможен также следующий переход:
i
t
t
i
I
I
t
I
p+e п+'1,
(3.3)
при котором протон вместо испусн:ания позитрона поrлощает элен:трон.
Этот электрон захват ывается из элен:тронной оболочки, окружающей ядро.
1) Важп сть туннельноrо эффекта дли идерпой физики была впервые выиснена в pa
оотах (281] и [159].
rл. 1. Общие свойства яоер
Теоретически возможна соответствующая реакция и для нейтрона:
п т е+ р .+- '1,
но вблизи ядра нет позитронов и потому тан:ой переход не имеет места.
Пропессы (3.1) и (3.2) нааываются соответственно элеlПРОННЫМ и
позитронным распадом; процесе (3.3) называется захватом ЭЛCl\трона.
В этих процессах, н:онечно, BcerAa' выполняется закон сохранения
энеРl'ИИ. Для рОiКденин пары элы\трон неЙтрино необходима энерrия не
менее 0,511 МЭ8, что соотпетствует энерrии покоя Элы\трона. Для рОЖде
ния неЙтрино энерrии не требуется, тю\ как энерrия пон:оя неiiтрино
равна нулю.
Рааность масс нейтрона и протона соответствует разности энерrий
;покоя E==(Mn Mp)c2==1,293 Мав [744]. с.пе овате.Т]Ьно, в реанции (3.1)
разносТJ, мешду эпер'ией на'Jальноrо и l\ОНGчноrо состояниЙ равна 0,782 Jl.fэв.
Для остальных нроцессов соответствующие изменения энерrии равны 1,8И4 и
0,782 Jl.!alJ.
Таким образом, самопрои;зnольно, без добаВJJения энерrии и;зnне,
происходит ТОJ1Ы\О процесс (3.1). Поэтому изолированный Hei:iTpoH HeCTa
'билен по ОТНОII. ению 1\ распаду 1), а и:юлированный протон, даже если
BOKpyr ПOl'() обраll'аетсп электрон, l\а{\ это имеет место, в атоме Водорода,
стаБИJlен [процессы (3.2) и ( i.3) не происходят самопроизвольно].
Эти правила уже I1епримеиимы, если неЙтрон или протон не изоли
рованы, а являются составной частью ядра. В тю\ом случае ИСПытываю
ший llревратение нуклон может получить ИJJИ отдать энерrию остальным
нуклонам ядра. Пусть ядро Х содержит Z протонов и N неЙтронов, а
ядро У (,z т 1) протонов и (N 1) нейтронов. Рассмотрим следующие
,
три процесса:
zX == z чУ + e + '1, (3.1а)
Z+1 У == zX + е+ + '1, (:3.2а)
z 1 1 У + e == zX + '1, (3.3а)
н {\оторых элементарные реющии (3.1) (3.3) происходят внутри ядра.
Эти процессы имеют место то.пько при выполнении определенных энерrе
тичеСЮIХ СООТНОILений. Введем разность
Дz, Z+1 == И (h, N) И (Z + 1, N 1) ==
== в (Z+ 1, N 1) B (Z, N) + (Mпc2 . И р с 2 ) (3.4)
Между энерrией И (Z, N) ядра Х и энерrиеЙ И (Z + 1, N 1) ядра У.
Янерrия ядра И (Z, N) определяется соотношением (2.4). Процессы (3.1а)
(З.3а) будут энерI'етичеСI\И ВОзможны дишь при выполнении следующих
условий:
д > О, 511 111 эв
д < . 0,511 1I1ав
д <O,511 E Мав
(3. 'lа),
(3.2а),
(3.3а),
(3.5)
(3.6)
(3.7)
для
ДJJЯ
для
['де в . энерrия связи электрона в квантовом состоянии, из HoToporo он
захва тьшается.
ИзБЫТОJ\ энерrии над необходимым для реанции минимальным значе
нием в процессах (3.1а) и (3.2а) переходит в I\Инетическую энерrию элен:
трона и неитрино, а в нроцессе (3.3) в I\ИнетичеСI{УЮ энерrию нейтрино.
Следовательно, ядро Z с зарядом Х стабидьно только при выполнении
двух условий:
1) Нестабильность нейтрона была Подтверждена экспериментально [632, 706].
9 3. Стабильnые и nестабильnые ядра
17
i,
I1
!
"
['
1,
t
[ "
"
,
1. Разность ДZ, Z+1 между энерrией ядра с зарядом 2 и энерrией изо
барноrо ядра с зарядом 2 + 1 долтна быть меньше 0,.511 Мэв, т. е.
Дz, Z+1 < т е с 2 .
2. Разность Дz, Z 1 между энерrией ядра с зарядом 2 и энерrиеii
иэобарноrо ядра с зарядом 2 1 должна быть меньше 0,511 Мэв, т. е.
1 z , Z 1< (тec2 в). (Заметим, что Дz, Z 1 == ДZ 1, z.)
Если Дz. Z+1> т е с 2 , то ядро оказывается нестаБИJIЬНЫМ по отношению
}{ ЭJlектронному распа'Ду; еС,1JИ Дz. z 1 > (т е с 2 е), ядро не стабильно по
отношению к захвату электрона; если же Дz, Z 1 > т е с 2 , ядро нестабильно
пq отношению к позитронному распаду.
Эти условия стабильности можно более нратн:о выразить с помощью
формулы (2.2) для массы атома;
Мат. (2, N)== c U(Z, N)+2т e . (3.8)
с учетом этоrо соотношения формула (3,11) для .l может быть запи
сана в виде
д == с 2 [Мат, (2, N) Иат. (2 + 1, N 1)] + т е с 2 .
(3.9)
После подстановки (3.9) внеравенства (3.5) , (3.7) последние прини
мают чрезвычайно простой вид:
Мат, (2, N) > Иат, (2 + 1, N 000 1) (ДJ1Я ЭJIeнтронноrо распада),
Иат. (2, N) < Мат, (2 + 1, 1\Т 1) 2те (ДJIЯ позитронноrо распада),
Мат, (2, N) < Мат, (2 + 1, N 1) s (для захвата электрона).
(3.5а)
(3.6а)
(3.7а)
;1
,
,
i
i:,
Тан н:ю{ в таблицах масс ядер обычно приводятсЯ: массы атомов
(выраженные в системе единиц, в ноторой масса атома 016 равна 16,0000),
то условия стаБЮIЬНОСТИ (3.5а) (3. 7а) оказываются более удобными, чем
::JКвивалентные условии (3.5) (3.7).
Большинство ядер изобар, содержащих А пуклонов, неетабlIJJЬНО по
отношению к распаду, и только один или два, в редких случаях три
изобара с данным А оназываются стабильными. Почти во всех случаях
;\ва стабильных изобара отличаются по Z более чем на единицу. В COOT
l3етствии с приведенными выше праВИJIами два ядра Х и У, отличающиеся
по Z на единицу, не MOI'YT быть оба стабильными, если только Д не
равно 0,511 }}fiJe 1 ). Эначение Д ==0,511 Иэв очень мало вероятно, и в тех
немноrих случаях, н:оrда два соседних по 2 изобара кажутся етабильными,
О;\ИН из них, повидимому, нестабипен, но с крайне большим периодом
Ilо;'!ураспада.
Рассмотренные эдесь Ilревращения: имею'l' очень большое время жизни
по сравнению с тоБЫМI1 ДРУJ'ИМИ ядерными процессами (ес.1JИ не считать
(Х распада). Минима:lьные измеренные значенин периода полураспада aK
'fивных ядер имеют поряд(ш долей секунды 2). Эти значения следует cpaH
Ilивать с временами Жизни llоэбужденных состояний ядер, имеющими по
рядок 10 13 се};. lШИ менее (здесь не рассматриваютсн ,случаи, I{оrда
переходы из возбужденных состояниi:i «СИJ1ЬНО запрещены»).
В области значений массовых чисо.ТJ А < 44 длн Iшждоrо значения А
имеется только один стабильный иэобар. В Этой области для нечетных А
Z==I/2(A 1), для четных А 2==1/2А либо 2==1/2(A 1).
,,1
'!
1) 'Учет энерrии связи в элы,трона, захваЧСНlIоrо ядром с оболочки атома, вносит
несущественную понраВ1,У к этому рассмотрению.
2) Самый l{ОрОТI\ИЙ из изврстных периодов полураспада имеет B12: t 1 / 2 =ccO,025 сек
[676}. () "'\.) "\
1 """ ' . '- 11 "'..,..
2 Заназ,N'. 396 КНИ! IЙ Li( )HlJ 51'л"те.а Jl'2,........___1
В области А > 44 для некоторых четных значений А MorYT существо
ватъ два или несн:олько стабильных изобар. Значения Z, для которых это
имеет место, оказываются существенно меньше, чем 1/2 А, причем тем
\ меньше, чем больше А. Обсуждение и uG I.qснение стабильности ядер
см. в rл. VI.
s 4. РАЗМЕРЫ ЯДЕР
Все энспериментальные данные ун:азывают на то, что, в ПрОТИВОПОJlОЖ
ностъ электронным оБОЛОЧI\ам атомов, ядра имеют вполне определенные
размеры. С увеличением расстояния от центра атома вероятность обна
ру жить элентроны в данной точке атома постепенно спадает до нуля.
Структура ядра совершенно иная. Ядро имеет относительно точно опре
деленную поверхность. Вероятность обнаружить нун:лон велина в объеме,
оrраниченном поверхностью ядра, а вне ero спадает до нуля на расстоянии,
которое длн тяжеJIЫХ ядер мало по сравнению с радиусом ядра. Это
позволяет достаточно точно определить радиус ядра. Однако преДСТ<lВJJение
о поверхности ндра неприменимо к очень леrн:им ядрам (А < 20).
Размеры ядер известны недоетаточно хорошо. Все эн:сперименты, из
ноторых может быть получен размер ндра, уназывают, что объем ядер
приБШI3ительно пропорционален ЧИСJlУ пун:лонов в ядре А. Форма ядра,
по всеЙ веронтности, сферическан. Однако у некоторых ядер наблюдаются
малые отклонения от сферичесной формы, которые приводят к наличию
электричеСКОI'О Iшадрупольноrо момента (см. S 7). Радиус ндра R прибли
зитеJ1ЬНО пропорционален Al/3, и наИJlучшее совпадение с энсперимен
тальными данными получается при использовании форму.пы
R == roAl/3,
( 4.1)
rде ro 1,5.10 13 см. Величина r o ' повидимому, несколы{о меняется от
элемента I{ элементу. Имеются уназания на то, что величина "0 для тя
желых ядер меньше, а приведенное значение r G справедливо только для
ядер среднеrо веса. Так кю{ поверхность ядра не является точно опреде
ленной, то ве.личина ro зависит от способа измерения радиуеа ядра. HeI{O
торые измерения уназывают на то, что в формулу (4.1) должна еще ВХОДить
аддитивная постоянная, не зависящая от А.
Имеется неСI{ОЛЫ\о методов измерения радиуссн ядер. Эти методы
перечислены ниже. Подробное обсуждение их содержится в тех rлавах
нниrи, в которых рассматриваются соответствующие нроцессы.
А. Рассеяние нейтронов БОЛЫllОЙ нерrии ядрами
1I0JllIOe сечение рассеяния очень быстрых неЙтронов близко I{ вели
чине 2т:Л2, что вдвое превышает rеометричесн:ое сечение ядра. Этот предел
достиrается в том случае, коrда длина волны нейтрона становится значи
тельно меньше радиуса ядра. l\вантовомеханичеснан теория рассенния
неЙТрОIlОВ ПОЗВОJшет более точно вычислить полное сечение в зависимости
от радиуса ядра. Поэтому сравнение эксперимента и теории дает возмож
,юсть определить радиус ядра (см. I'.Л. IX, S 2).
Б. Выход ядерных реакций под действием протонов
или альфа-частиц
Прежде чем положительно заряженная частица, участвующая в ядер
JilОЙ реанции, достиrнет поверхности ядра, она должна преодолеть элеJ{
тростатическое отталкивание ядра. Э,тrектростатический потенциал вблизи
.\
j
.
i
,
f
f
.
,
I 4. Раа.м.еры ядер
19
поверхности ядра обратно пропорционален радиусу, и, следоватеJJЬНО,
вероятность достижения частицей поверхности является функцией радиуса.
Эта функция чре3lJычайно чувствительна к величине раДИуса, cJсобенно
..ля малых энерrий, коrда частица может достиrнуть поверхности ядра
тольн:о в результате ПРОНИRновения через потенциальный барьер. CpaBHe
ние наблюдаемых ВЫХОДОВ реакции с вычисленными теоретичесии позволяет
определить радиус ядра.
В. Время жизни по отношению R альфа распаду
Некоторые тяжелые ядра самопроизвольно испуснают а частицы.
Испусн:ание а частиц связано с их прохождением через оБJJaСТЬ очень
высоной потенциальной энерrии вблизи поверхности ядра. Эта область
обусловлена наличием потенциала оттаюшвания между ядром и а части
цей. В нлассической механиие таной потенциальный барьер исключал бы
возмотность а распада. Пронинновение через потенциальный барьер есть
нвантовомеханичеСRИЙ эффеит. Вероятность проникновения сильно завт;сит
от ширины и высоты потенциальноrо барьера и от пинетической энерrии
« qастицы после прохождения через барьер. ВЫСО'l'а барьера определяется
радиусом ядра R, так нак при расстояниях от центра ядра, больших чем
R, а частица испытывает только отталиивание со стороны КУЛОНОlJСКИХ
сил И не испытывает номпенсирующеrо притяжения 1\ ядру, оБУСЛОВ;Iен
Horo ядерными силами. Вероятность проникновения через барьер тесно
связана со временем жизни распадающеrОСfl ядра. Поэтому радиус ядра R
можно определить по времени жизни ядра и RинетичеСRОЙ энС'[rии
(l частиц (см. rл. XI).
r. Определение радиуса ядра по верхней rранице бета спеRтра
В некоторых случаях распада структура исходноrо ядра и ядра
продунта очень БЛИЗRа друr R друrу, так что единственной причиной раз
JШЧИЯ в энерrии является различие в заряде. Разность энерrиЙ может
быть подсчитана по максимуму' энерrии испущенных частиц. Электроста
кческая энерrия ядра пропорциональна 1/1 ; более точно она равна
6 е 2
5Z(Z 1) R .
Таним образом, радиус R может быть вычислен из измерений мат;сJТИУ
Уа энерrии частиц. Подробности можно найти в rл. VI.
Результаты, полученные этими четырьмя методами, не СЛИШRОМ хорошо
соrласуются друr с друrом, что видно из табл. 1. Различия иноrда
достиrают величины 2. 10 13 см. Однано лучшеrо соrласия трудно было бы
ожидать. Ошибна в определении радиуса заведомо не может быть меньше,
чем радиус действия ядерных сил и среднее расстояние между НУRлонами
в ядре. Обе эти величины имеют порядок 2.1O 13 СМ. Кроме Toro, в раз
личных методах измеряются различные величины. В методах А, Б и В
измеряют расстояние, на котором налетающая частица начинает испытывать
влияние ядерных сил, в то время иак методом r определяется радиус
..ействительноrо распределения зарядов. Поэтому можно ожидать, что
последний метод даст меньшие значения радиусов l ).
1) Меньшие значения радиусов ядер (ro:::::' 1,2 . 10 13 с'м) получаются также из опытов
(. электронами и ll мезонами, которые взаимодействуют в основном с кулоновским полем
л;а:ра[см. Bitter, Feshbach, Phys.Rev., 92,837 (1953); Cooper, Henley, Phys.
Пе...., 92; 801 (1953}}. См. также Wilson, РЬув. Rev., 88, 350 (1952). При'м. псрее.
2.
s 5. КУJIОНОВСКИЙ БАРЬЕР
Рассмотрим энерrию, необходимую для удаления из ядра на бесконеч
ность протона или нейтрона. Соответствующие зна,чения энерrии Sp ИЛИ
Sn мы на;з;вали энерrиями отделения протона или нейтрона. Энерrия
Таблица 1
Радиусы ядер
в табшще приведены значенин радиусов ядер R и постоянных 70 [см. (4,1)]. найденные че
тырьмя раЗJIИ'/НЫМИ анспериментальными методами. Значения R и 70 даны в единицах 1 0 13 с.....
Метод А основан на рассеянии неЙтронов высоноЙ анерrии [250]; метод Б на нзмерении выходов
реющии (Р. п) (данные В3Яl'Ы из частных сообщений неноторых авторов. а танже из работы [74]).
Эl'И результаты очень петочиы. В методе В используется зависимость времени жизни а антивных
ядер от анерrии частиц [194]. В методе r радиус ядра определяется по анерrии сиентра в зер
нальных пдрах. Эффентивный радиус а частицы произвольно положен равным 1,2 ' 10 13 С.>,.
ЯДро R 70 Ядро R ro Ядро R 70
Метод А Метод Б
Ве 2,4 1,17 1 ZII 5,9 1,48 Ni 61 5 1, ;)
н Э,4 1,54 50 6,3 1,46 Ni 62 6 1,5
С 3,8 1,65 I Ag 6,8 1,44 SU 63 6 1,6
О 4,3 1,71 Cd 7,2 1,48 Zn 68 7 1,6
Mg 4,5 1,57 5n 7,4 1,52 5е 8О 6 1,6
Аl 11,6 1,53 51) 7,3 1,46 РЬ 85 7 1,6
S 4,1 1,:30 Ан 7,5 1,33 Zr 92 (j 1,4
С1 11,7 1,44 Hg 8,:3 1,42 Zr 96 7 1,6
Fe 5,6 1,46 РЬ 7,8 1,32 S n 120 8 1,6
Сп 5,5 1, :38 Bi 7,9 1,34 J127 8 1,5
Iетод В .\1GТОД l'
т 1208
Т1 21О
рЬ208
рЬ 2О8
1'))210
РЬ'll
Р))" 12
1'1) 1
JЗj211
1'0215
Ро"!l
6,3 1,10 Ро218 8,5 1,40 В11 I 3,2 1,42
7,0 1,19 Ет 219 8,5 1,40 С13 3,4 1,46
7,2 1,21 Ет 22О 1:$, I 1,34 N13 I 3,;} 1,41
7,8 1,31 Ь:т 222 8,7 1,4/1 017 ! :J, () 1,39
8,1 1,:\5 1<'1,223 8,4 1,:Ш 1<' 19 3,9 1,47
8,:3 1,40 I Ra 22 " I 7, (j 1,2б Na 23 4,1 1. ,46
8,1 1,:);) Ra 221 I 1:$,:\ 1, ;:ю I А12 7 4,2 1,39
1 8,4 1,:)9 I Ra 226 8,:3 1,36 5р9 11,5 1,46
8,1 1,:{) I Ra 228 8,6 1,43 р29 4,б 1,47
8,11 1,:39 Т11 23О 8,:3 1,35 533 4,7 1,46
8 8,5 1,1,0 '1'11231 8,11 1, :3G ср-' 11,8 1,46
I СаН 5,2 1,50
отдеаения неЙтрона есть энерrия, необходимая для Toro, чтобы разрушить
оБУl'::rОВ.:'IеlIные ядерными СИJIами связи, которые удерживают нейтрон
пнутри ядра. Энерrия отделения протона Sp == S у S с еостоит I13 двух
саal'аемых. Ве;'IИчипа S'J аналоrична ЭlIерrии отдеJlOНИЯ неЙтрона Sn И
лредсташшет собой энерI'ИЮ, необходимую для разрешения ядерных евязей,
удсрщиваlOЩИХ протон. Величина Sc обуслоплена КУЛОНОВСЮll\Ш силами
и отражаст наличие ЭJIектростатичеСI\ОI'О отталкивания между протоном и
н:опечным ядром после Toro, KaI\ разрушены ядерные связи.
Расе:l>lОТРИМ сначала леrкие ядра, т. е. ядра с Z == N и А < 40. Бла
l'одаря равенству сил, действующих между двумя нейтронами и двумя про--
5. Кулоnовский барьер
2
тоиами, энерrия 8", которую необходимо затратить, чтобы вывести протон
из ядра в точку вне ядра, близкую к поверхности, мало отличается от энер ,
rии, необходимой для совершения такой, же операции над нейтроном:
8,, 811' Z==N.
(5.1)
Ддя неЙтрона выражение (5.1) представляет собой энерrию отделения.
Но протон отта.тшивается конечным ядром, с;rтедовательно, по мере 'yдa
ления от ядра он приобретает энерrию. Это пон:азано на фиr. 3. Конечная
s == (Z 1) е 2
с R'
l'де Z 1 заряд конечноrо ядра
после испускания протона, а R pa
диус конечноrо ядра.
Электростатическая потенциальная энерI'ИЯ протона вне поверхности ядра
обычно называется кулоновским барьером. Однако в настоящем случае
такое название представляется несколько ИСI{усственным: при определен
ных энерrиях возбуждения ядра Е* протону леrче вылететь из ядра, чем
нейтрону. Нулоновские силы все же действуют нак барьер, если сравнить
нейтрон и протон не при данной энерrии возбуждения начальноrо ядра, а
при заданной нинетической энерrии на бесконечности, после полноrо OT e
ления или перед объединением. Тоrда протон должен преодолеть потен
циальный барьер перед тем, как пронин:нуть в ядро, В то время как нейтрон
может прониннуть в ядро без преодоления барьера.
Для леrnих ядер с Z =1= N нельзя дать TaKoro простоrо правила, как'
(5.1). Например, энерrия отделения нейтрона для 017 811 (017) == 4,155 Иав,
в то время как энерrия отделения протона 8 р (017) == 13,4 Изе. Это боль
шое различие обусловливается тем, что ядро N16 более слабо связано по
сравнению с 016. И спускание протона из возбужденноrо ядра 017 невоз
можно, если энерrиЯ возбуждения меньше 13,4 Иэе. В то же время
испускание неЙтрона происходит при значительно меньших энерrиях воз
буждения. Однако это явление едва ли может быть объяснено КУJIОНОВСКИМ
барьером. Вообще леrкие ядра с Z =1= N следует рассматривать особо в
каждом отдельном случае.
i
,
1
,
I
I
I
I
E.l t s
I j T
('Ij Б" i ВС
1 : S = B
I Р UV с
I
I
I
О R r
Фи {'. З. Если S" 8", то энерrИfl
отдеJJeПИЯ протона Sp меньше энер
rии отдеЛЕ'НИfl нейтрона 8 п па Be
ли ЧИПУ 8 с == (2 1) е 2 / R. Если ядро
воабуждепо до некоторой энерrии
Е* > 8 т то оно скорее ИСПУСI<ает
протоны, чем нейтроны.
,
!
А
энерrия отделения протона меньше
энерrии отде:тения: нейтрона 8 п на
величину
(5.2)
, .
f
*
E
CIO
11
11
11
"
':
"
.... I
I
1
I
I
s
Sn
о
R r
Ф 1I {', 11. Для тяжелых стаБИJIЬ
пых ндер 8 п 8 р . Поэтому 8с, т. е.
та часть энерrии отделения протона
8 р, которая обусловлена ку лонов
СКИМ вааимодействием, иrрает роль
барьера, аатрудняющеrо нспуснание
протонов. Если ядро воабуждено до
энерrии Е*, ТО на пеrо MorYT выле
тать нейтронЫ с энерrией R нейт . ==
==E* 8п; протоны же при вылете юз
ядра должны пройти сквоаь барьер,
максимальная высота KOToporo paB
на Sp+8c Е*. Энерrия 8", KOTO
рую падо аатратить, чтобы вывести
протоп аа поверхность ядра, как пра
вило, превышает энерrию отделения
нейтрона.
," ", " ' ""'JI" ".''"'''''''>'''''''Ч'''''"''''''"''''""''ё)"'''''''' ) 'Т''''''' У''"''>'''"'''" ",,,... . ,'" 'S """'..... ',' J"''')' ' "
22
r,л,. 1. Общие свойства ядер
"
Обратимся теперь к более тяжелым ядрам и покажем, что соотноше
ние. (5.1) не удовлетворяется даже приблизительно для ядер в стабиль
ной области периодической системы. Для этих ядер скорее выполняется
следующее приближенное соотношение:
Sp "'" Sn, А > 40 ( стабилъные ядра). (5.3)
В справедливости dToro соотношения можно убедиться следующим
образом. Энерrии отделения нейтрона и протона определяется выражениям.
Sn В (Z, N) В (Z, N 1),
Sp в (Z, N) В (Z 1, N).
Веря разность этих выражениЙ, получаем
Sp Sn == В (Z, N 1) В (Z . 1, N).
(5. )
Величина Sp Sn связана с энерrией, nыделяющеЙСfl при
(Z, N 1) (Z 1, N), причем направление распада выбирается
мости от зню{а выражения (5.4). С помощью (3.4) мы можем
Sp Sn LlZ. Z 1 (Иnс2 Ирс2).
Максимальная энерrия частиц 'при распаде тяжелых ядер, отличающихся
от стаБИJIьноrо ядра тольно одним нуклоном, не превышает несноль
них Мэв; часто она оказывается даже меньше 1 Иав. Следовате.льно, pa8
ность Sp Sn не превышает неснольких Иав.
С друrой стороны, величина Se, как видно из формулы (5.2), становит
ся очень большой ОRОЛО 7 М эв для меди (Z 29) и еще больше для
более тяжелых элементов. Следовательно, соотношение (5.1) больше не
может выполняться, а соотношение (5.3) справедливо с точностью до Hec
НОJIЬКИХ Иэв. Вместо (5.1) получим:
Sy> Sn }
Sy Sn"",Se А>40
распаде
в зависи
написать
1
( стаБИJIьные ядра).
(5.5)
Это соотношение ПОRазывает, что в ядрах ереднеrо веса и тяжелых
ядрах энерrия, которую необходимо затратить для разрушения ядерных
связей протона, больше, чем энерrия отделения нейтрона. Разность этих
величин rрубо равна Se' Протоны сильнее связаны ядерными силами, так
что энерrиЯ электростатическоrо отталкивания компенсируется. Это ПОШ13ано
на фиr. 4. Из rрафика видно, что мы теперь имеем праnо rОБОрИТЬ о
кулоновском барьере. Если энерrия возбуждения началъноl'О ядра равна Е*,
то протон должен при вьшете преодолеть барьер высотой:
Высота барьера Sp+Se E*, (5.6)
Б то время как нейтрону не нужно преодолевать барьера, и ОН, БЫХОД_
из ядра при r R, имеет такую же энерrию, что и на беСRонечности:
Энерrия нейтрона Е* Sn'
Нонечная энерrия протона при r '''''"НХ:> равна
Энерrия протона Е* S р;
(5.7)
(5.8)
она не очень сильно отличается от конечной энерrии нейтрона, но протон,
чтобы выЙти из ядра, ДОJПкен пройти через барьер. ТаRИМ образом,
ИСПУСRание протонов из более тяжелых ядер затруднено ПО сравнению
с испусканием нейтрона.
Мы видим, что роль кулоновскоrо отталкивания в леl'JШХ ядрах с
N Z совсем не та, что в тяжелых ядрах В первом СЛУlIaе (см. фиr. З)
6. Момент ко.аичества авижени, , спин
3
RУЛОНОВСRое оттаЛRивание облеrчает вылет протона из ",ядра; во втором
случае наличие RуЛОНОВСRоrо отталкивания вместе с требованием стаби.пь"
ности приводит к появлению потенциальноrо барьера, который препят-
ствует ИСПУСRанию протонов из возбужденноrо ядра. Однако в обоих случаях
Rулоновское отталкивание действует каи барьер для протонов по cpaBHe
нию с нейтронами, еСJIИ протоны и неЙтроны сравнивать при одинаковой
:кинетической энерrии на беСRонечности, а не при одинаковой энерrии
возбуждения cocTaBHoro ядра.
АнаЛОl"ичное положение имеет место и при ИСПУСRании а. частиц.
3нерrия отделения а. частицы 8", может быть разбита на две части:
8", == Sv> Sc (а.),
(5.9)
rде 8 'V энерrия, необходимая для Toro,
в точку, близную Н поверхности ядра.
Величина 8с (а.) учитывает кулонов
сние си.ЛЫ
чтобы вывести а. частицу из ядра
Е
;\
rде R' радиус нонечноrо ндра
N 2)1).
Вообще rоворя, в лсrних ядрах
8;а неСКОJIЬRО меньшс соответствую
щей ве.ПИЧИНЫ 8" д.ля протонов. ДJIЯ
очень тяжелых ядер S", часто отрица
тельно, тан что ядро даже в своем
основном состоянии нестабильно по OT
ношению н а. распаду. Значение 80. MO
жет падать до 8,95 И эв, что COOTBeT
ствует ядру, ноторое испуснает а. час
тицы с энерrией 8,95 Иэв (Р0212) [589].
Однано Sc (а.) для этих очень тяжелых
ядер порядна 25 29 И эв, таи что для
шеиию н а. распаду 2), величина
I
01
1
8 ( ) == 2(Z 2)e2
с а. В' ,
(5.10)
(Z . 2,
Фи r. 5. Потенциальный барьер при
а распаде. Нулевая энерrия соответст,
вует исходному ядру (Z, N), энер'
rия s. соответствует системе, состоя
щей из конечноrо ядра (Z 2, N 2)
и покоящейся а.частицы.
ядер,
нестабильных по
отно.
8 у ", == 8", + Sc (а.)
(5.11)
имеет ПОрЯДОI{ 16 28 И эв. При вылете из ядра а. частица должна преодо-
леть потенциальный барьер, высота HOToporo у поверхности ядра порядна
16 . 28 Иэв (фиr. 5). Такая высота барьера определяет большое время
жизни а. радиоактивнЫХ ядер (см. rл. XI).
6. МОМЕНТ IЮЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ, СПИН
Нак известно, нейтрон и протон обладают собственным моментом
:количеС!fва движения, равным h/2. Такой же собственный момент имеется
и у электрона. Этот собственный момент обычно называется спином.
Нвантовомеханические cBo:iicTBa момента ноличества движения, paBHOI'O
1
1) СТРОl'О rоворя, R' есть сумма радиусов конечноrо ядра и а.частицы. Этот вопрос
рассмотрен в rл. XI.
2) Конечно, не у всех ядер, пестабильных по отношению к а'распаду, наблюдалась
а'радиоактивность. Ядро С ЭIlерrией а'распада s", меньшей 4 5 Мав имеет настолько
большой период полураспада, что распад в лабораторных условиях никоrда не наблю.
дается. Таким образом, если мы оrраничиваемся рассмотрением ядер, которые не только
нестабильны по отношению к а'распаду, но у которых еще и наблюдается а.радиоантив,
кость, верхний предел в (5.11) следовало бы ПОlТизить до 24 Мэв.
,
i
j
.t
j
j
2
, ,
r{f.1, Общце cBot;!,cln(JaSдep ,
\
п/2;, т.аиовы, что ero ориентация может быть описана только двумя состоя,.
ниями, в которых момент либо параллелен, либо антипараллелен «аиому
нибудь наперед заданному направлению. Проекция спина на заданное Ha
правление, например на ось z, равна либо +nj2, либо п/2.
Так как ядро состоит из протонов и нейтронов, оно обладает моментом
количества движения 1, ВRлючающим спины нуклонов и орбитальный момент
кодичества движения, обусловленный движением Нунлонов внутри ядра.
ОрбитаJIЬНЫЩ момент Rоличества движения долтен быть равен целому
числу п. Спин любоrо нуклона может добавить у, этоЙ величине :f: п/2
в зависимости от ориентации относительно выбранной оси. Таким образом,
полный момент количества движения ядра равен целому числу п для ядер
с четным А и нечетному числу п/2 для ядер снечетным А. Это правило пот(
тверждается всеми измерениями.
Этот результат служит одним из оснований для предположения о том,
ЧТО ядра состоят из нейтронов и протонов, а не из элеRТРОНОВ и протонов.
Например, было найдено что ядра If2, Li 6, N14 имеют спин п. Эти наблюдения
находятся в соrласии с нашими заRлючениями, таи иаи Rаждое из трех ядер
состоит из четноrо числа нуклонов. Если бы эти ядра состояли и:з протонов
и электронов, то (с учетом их элеRтричеСRИХ зарядов) число составляющих
частиц должно было бы во всех УRазанных выше ядрах быть нечетным: 2 про ,
тона и 1 электрон в Н 2, 6 протонов и 3 элеRтрона в Li 6, 14 протонов и 7 элеR
тронов в N14. Но тоrда спины этих ядер равнялись бы полуцелому числу п.
Полный момент Rоличества движения ядра называют обычно спином
ядра, хотя он включает в себя каи орбитальные моменты Rоличества движения,
так и собственные моменты количества движения составляющих ядро нунло
нов (обычно термин «спию> ОТНОСится к собственным моментам Rоличества
движения элементарных частиц). Эта неудачная терминолоrия была введена
в то время,' Rоrда внутреннее строение ядер не было еще в центре внимания.
Момент количества движения ядра в возбужденном состоянии может
отличаться от момента количества двитения в основном состоянии. Орби
тальные моменты количества двитения и Относительная ориентация спинов
НУJШОНОВ, вообще rоворя, различны для различных СОСтояний одноrо и Toro
же ядра. Любое воздействие изменяет полный момент Rоличества движения
ядра на целое число п. Следовательно, спин ядра в возбужденном состоянии
может отличатьея от спина Toro же ядра в основном состоянии на целое чиело
п. Термин «спин ядра» всеrда относится R состоянию С наименьшей энерrией,
если нет особой оrОВОрRИ.
Измерения ядерных Спинов большей частью основаны на так называемом
(<пространственном Rвантовании моментов RОJlичества движению>. Любой
момент количества движения 1 может быть ориентирован относительно дaH
ной оси в пространстве тоЛько в 21 +1 направлениях. ПроеRЦИЯ момента
количества движения на рассматриваемую ось в любом из этих состояний
имеет величину тп, rде целое или полуцелое число т, называемое маrнит
ным ивантовым числом, может принимать значения 1, 1+1,...,+1.
Большинство методов измерения спина ядра основано на наличии у ядра
маrнитноrо момента (см. 7), RОТОРЫЙ всеrда связан с моментом Rоличества
движения. 21+1 ориентаций этоrо маrнитноrо момента в маIНИТНОМ поле
приводят н 21 '1,,1 различным значениям энерrии. Эти уровни энерrии можно
наблюдать МНОПIМИ способами 1 ).
Было найдено, что все ядра с четным массовым числом не имеют момента
количества движения (1==0), ИСRлючая таи называемые нечетно нечетные
ядра, в иоторых нечетны каи Z, таи и N. Имеется только четыре стабильных
нечетно нечетных ядра: Н2, Li 6 , BIO И N14.
j
!
1) Исчерпывающий обзор всех методов и результа1'ОВ СМ, в работе [445J.
'!
.j
j
"
J
:;
\1
[J
!I
"
л
1
i
t
J
/
; :
l
1;
k
1
11
:1
11
;
,.
1
.9 7. Эл(/;тричеСI;UЙ и .маенuтный .мо.менты
.).
Ядерные спины относительно малы. Наибольшая измеренная величин&
ядерноrо спина равна 9 j 2 И ТОЛЬRО У одноrо ядра (LU 176 ) ядерный спин 1>- 7.
Эти величины значительно меньше значений Aj2, иоторых можно было ожи
дать, если бы все спины НУRЛОНОВ в ядре были параллельны. Очевидно,
спины НУIШОНОВ lJ ядрах имеют тенденцию R взаимной номпенсации. Этот'
эффект, вытекающий из природы ядерных сил, будет объяснен в rл. VI.
7. ЭЛЕRТРИЧЕСЮIЙ И МАrнитный МОМЕНТЫ
Эле тричоl' [,ие моменты ядра обусловлены распределением ЭЛе!{тричеСЮJХ
зарядов, а маrнитные моменты распределением элентричесн:их тоиов внутри
ядра. Эти величины определяются для изолированноrо, ни с чем не взаимо
действующеrо ядра в опредеJ[енном квантовом состоянии (обычно в оеновном'
состоянии). ЭлеRтричесние и маrнитные моменты полностью определяют
взаимодействие ядра с внешними элеRтричесними и маrнитными полями
в той степени, в RОТОрОЙ эти поля не возмущают BHYTpeHHero распределения
зарядов и токов в ядре. Внешние поля, о ноторых идет речь, обычно соз
даются электронами в атоме ИJIИ электронами и друrими ядрами в моленуле,
в состав RОТОРОЙ входит данное ядро.
Взаимодействие при водит I{ возмущению уровнеЙ энерrии атомов или
молекул и являетея причиной сверхтонн:ой струитуры спен:тральных JIИНИЙ,
испуснаемых атомами или молеRулами. Объяснение наблюдаемой eBepx
тонкой CTPYI,Typbl с учетом свойств ядра было дано Паули [580]. Квантовая
теория взаимодействия ядра с :теRтрическими И маrнитными полями в aTO
мах и моленулах была подытожена в работе [142].
А. Электрические моменты
Рассмотрим сначала I{лассичеСI{ое распределение зарядов р (х, у, z)..
иоторое задается наи фУIШЦИЯ положения в пространстве. Пусть это pac
пределение отлично от нуля в неиотором MaJIOM объеме. Нас интересует
энерrия Е, ноторой обладает это распределение зарядов в элеRтричеСRОМ
поле атома. В первом приближении пренебреJJi'ем изменением поля в объеме-.
ядра. Выберем направление постоянноrо поля в начестве направления
оси z. Тоrда элеRтростатичеСIШЙ потенциал ер (х, у, z) этоrо поля может'
БЫТI, записан n виде
ер (х, у, z) == ер (О) z,
(7.1),
и энерrия Е, I{ОТОРОЙ обладает в этом поле распределение зарядов р,.
будет иметь вид
Е == ер (х, у, z) р (х, у, z) dV == ер (О) t Dz'
(7.2).
Fде t заряд, а Dz проеКЦИfl дипольноrо момента на ось z. ВеJIИЧИНЫ
t и D определяются формулами
Е== р(х, у, z)dV, (7.3)
Dz== zp(x,y,z)dV. (7.4)
В формуле (7.4) z отсчитывается от центра масс распределенин, т. е.
от центра масс ядра.
К сожалению, это простое приближение онавывается для наших целеii
недостаточным. ПОRажем, что элеRтричеСRИЙ дипольный момент равен
нулю для любой нвантовомеханичесной системы в стационарном состоянии.
Для этоrо введем RвантовомеханичеСRУЮ flнаJJQI"ИЮ ютассичесноrо onpeдe '
26
rA. 1. Общие свойства ядер
ления (7.4). Пусть (Т 1 , Т 2 , . . ., Тт' Т т +1' . . ., fл) будет Волновой функцией
нашеrо стационарноrо состояния. Первые Z координат являются Rоордина
тами протонов, остальные Rоординатами нейтронов. Вероятность найти
i й нуклон в элементе объема dV ОRОЛО ТОЧRИ f равна Р;, dV, ще
Р;, (т) == I (Т1' ..., ТА) 1 2d V 1 ... dVi 1 dV i +1'" dV A . (7.5)
,
,1
.,
Интеrрирование проводится по Rоординатам всех частиц, «роме частицы с
номером i, а RоордИнату f i следует положить равной т. ПJIOТНОСТЬ заря
да, RОТОРУЮ надо подставить в выражение (7.4), определяется формулой
z
р(х, у, z)== еР;,(Х, у, z). (7.6)
i==1
I
J
z
п, == eZ i 1 (r 1 , . . ., ТА) 12 d'C,
i==1
1
J
j
j
Суммирование распространяется тольио на протоны, тан иаи нейтроны
не дают вклада в плотность элеRтричеСROl'О заряда ядра. С помощью
формул (7.4) (7.6) нетрудно найти RвантовомеханичеСJ{ое выражение для
элеJпричеСI{оrо дипольнOI'О момента, например для проеRЦlIИ дипольноrо
момента на ось Z:
(7.7)
!'Де d'C Э:Jемент объема Bcero Rонфиrурационноrо пространства (все KOOp
динаты).
По]{ажем теперь, что Rаждый член cYM1vIbl (7.7) в стационарном eo
<стоянии исчезает. Стационарное состояние квантовомеханической системы
имеет определенную четность 1), т. е. ведет себя определенным образом при
операции инверсии. Возможны два случая: Jlибо фУНRЦИЯ не меняет знака
( T1' Т 2 , . . ., l'A) == + (Т 1 , Т 2 , . . ., ТА) (четность == + 1), (7.8)
.пибо нроисходит изменение ЗНaI{а фушщии
'f ( T1' Т 2 , . . ., ТА) == (Т 1 , Т 2 , . . ., ТА) (четность == 1). (7.9)
В .пюбом случае
1 (f1>f2,...,fA)12==1 ( f1> T2' ..., fA)12. (7.10)
Поэтому подинтеrральное выражение в каждом члене суммы (7. 7) представ
ляет собой произведение четноЙ фУНRЦИИ на нечетную Zi' таи что все интеrра
.пы исчезают. Такд,м, образо,м" "вантово,м,еханuчес"uе систе,м,ы в стацио--
нарных состоянuях не u,м,еют постоянных э.ле"трuчес"uх дuпо.льных ,м,о,м,ентов.
В моленулярной физике часто используется поннтие элеRтричеСRоrо
ДИПОJJьноrо момента полярной молекулы, наRОЙ является, например,
молеRула NaCI. Однако до тех пор, пока на молекулу не действуют
I3нешние СИJIЫ, эффентивный элеRтричеСRИЙ дипольный момент оказывается
равным нулю, тю{ н:а]{ происходит усреднение по всем направлениям.
Постоянный дипольный момент проявляется только в таиом эле]{тричеСRОМ
поле, в }{отором движение молеRУЛЫ сильно изменяется (диполь ориенти
руется вдоль направления элеRтричеСRоrо поля). Хотя этот эффект в
принципе возможен и в случае ядер; в нашем распоряжении нет достаточ
но сильных элентричесних полей. Даже поле, созданное атомными элеRТрО
нами, о:казывается недостаточно сильным вблизи ядра, чтобы заметно
ПОВJIИЯТЬ на движение внутри ядра. Неноторые очень небольшие расхож
!
1
;1
'!
,"f
j
]
"
'
А
I
j
'1
J
.
4
1
,
,
1) Это верно, cTporo rоворя, только для невырожденных состояний, в частности,
ДШI OCHoBHoro состояния ядра при условии, что центр тяжести пО!{оится (см. [799}).
;!
'1
j
I ,
.....
7. Электрический и .маенитный .мо.менты
'л
дения, которые наблюдаются в МИRРОВОЛНОВОЙ спен:троскопии, MoryT быть
.связаны с эффеюами TaKoro рода [295, 327].
Так иан электрический дипольный момент ядра равен нулю, то пред
положения (7.1) и (7.2) о постоянстве электричеСRоrо поля в объеме ядра
не дают полезных сведений о строении ядра. Следует учесть изменение
.олектричеСRоrо поля на расстояниях порядна размеров ядра. Предполо
жим для простоты, что поле симметрично относительно оси z. Тоrда
можно написать
( a$z ) К
ё z == 7JZ oz== z
(7.11)
(так НШ{ действие постоянноrо элентричеСI\оrо поля нами уже рассмотрено,
элентричес:кое поле в начале I{оординат мы положим равным нулю).
ЭлеRтрическое ПОJlе (7.11) создается зарядами, находящимися на HCI\OTOpOM
расстоянии, и, следовательно, диверrенция 11) должна равняться нулю.
Чтобы одновременно обеспечить цилиндрическую симметрию и равенство
нулю диверrенции G..z следует положить
1
ё х == 2 КХ '
1
y== 2Ky.
(7.12)
Потенциал 'l'aHOrO IlОJIЯ может быть записан в виде
к к
9 (х, у, z) == 4 (2Z2 х 2 у2) == 71 (3Z2 r 2 ).
(7.13)
(7.13)
Энерrия распределения зарядов р(х, у, z) в поле с потенциалом
дается выражением
Е== ср(х, у, z)p(x, у, z)dV== к (3z2 r2)p(x, у, z)dV.
(7.14)
Интеrрал, входящий в (7.14), называется квадрупольным моментом pac
пределения заряр:ов р. Применяя квантовомеханичеСI\ие выражения (7.5) и
(7.6) для распределения зарядов, получим следующее выражение для
квадрупольноrо момента системы в состоянии, описываемом фУНRцией :
z
Q( )== е(зzr rI)I (rl' ..., r A )!2d't. (7.15)
i==1
Суммирование про водится по всем протонам. Дополнительная энерrия,
появившаяся в результате помещения ядра внеоднородное элеRтричеСRОIi!
поле (7.11), (7.12), может быть выражена через квадрупольный момент Q ( ):
1 ( д& )
Е == 7; дi о Q ('j;).
(7.16)
Заметим, что вытянутое (сиrарообразное) распределение зарядов с осыо,
направленной вдоль оси z, дает положительный I\вадрупольный момент,
а сплющенное (диснообразное) распределение зарядов дает отрицательный
квадрупольный момент. Эллипсоид вращения с полуосями с (вдоль оси z)
и а (перпеНДИRУЛЯРНО н оси z) и равномерным распределением зарядов
по объему создает Rвадрупольный момент
2 4
Q == 1) (с 2 а 2 ) Е == "5 ТjR2 E , (7.17)
rде Е ПОЛНЫЙ заряд, Тj . (c2 a2)/(c2+a2) и R2 == (1/2)(а2+с2) средний
нвадрат радиуса.
Покажем теперь, что '<lдро ,м,ожет и,м,еть отличный от пуля к,вaдpy
лолъный ,м,о,м,ен,т rполък,о в том случае, если ,м,о,м,ен,т к,оличества движен,ия
:'
28
_ rA. 1. Общие свойства ядер
ядра 1 равен или больше единицы. Чтобы ДОRазать
член суммы (7.15). Ero можн записать в виде
\jJ*(r 1 ,..., rA)[e(3z r H(r1' ..., rA)]d't==
== \jJ* (r1' '" , r А) F (1'1'
это, рассмотрим первый
. . . , r,1.) d't,
(7.18)
l'де J? обозначает величину, стоящую в нвадратных СI{оБIШХ, а фующия 'f
является волновой фуннцией системы с моментом J{оличества движения 1.
Величина (3z r ), если ее рассматривать иан ВО.J1новую фуннцию, COOT
ветствует моменту количества движения l == 2.
Соrласно правилу сложения моментов количества i\ВИЖСНИЯ, множи
тель J? может быть предстаВ.J1ен в виде суммы
I+2
р == J?J, (7.19)
J==II 21
rде J? J волновые фУНRЦИИ, отвечающие моменту I{ОJlичества движения J.
Так иак волновые фУНRЦИИ, отвечающие различным полным моментам,
ортоrональны, то интеrрал (7.18) обращается в :ауль, если ни одна ив
величин J в сумме (7.19) не равна 1. Поэтому (7.18) обращается в нуль
при 1 == О [ноrда единственно возможное значение J в (7.19) равно 2] и
при 1==1/2 [Korдa наименьшее значение J в (7.19) равно 3/2]' При значе
ниях 1:>- 1 выражение (7.18) может не равняться нулю. Следовательно,
нвадрупольные моменты равны нулю в состояниях, в ноторых полный
момент количества движения равен О или 1/2'
В отличие от элеRтрическоrо дипольноrо момента оператор HBaдpy
польноrо момента е (3z2 r 2 ) является четной функцией относительно
инверсии системы КООрДИЩ1Т. Поэтому правило четности не препятствует
ядрам, находящимся в стационарном состоянии, иметь постоянный Y{Baдpy
польный момент.
I\вадрупольный момент Q (']i) (7.15) выражается через волновую фунн
цию \jJ, описывающую состояние ядра. ПрантичеСRИ нас интересует только.
основное состояние ядра. Однано это не определяет полностью волновую
фУНRЦИЮ. Ядро С моментом Rоличества движения 1 может находиться
в 21 + 1 состояниях с различными ориентациями момента, COOTBeTCTBY
ющими 1, == т == 1, 1 1, 1 2, ... , 1. Таким образом, имеется 21 + 1
различных Rвадрупольных моментов" связанных с ядром в ero основном
состоянии. Мы сейчас ПОRажем, что эти 21+1 величины связаны друУ'"
с друrом и что все они MorYT быть выражены через Ral{ую либо одну из них.
Обратимся сначала н нлассичеСRОМУ распределению зарядов, обла
дающему цилиндричеСRОЙ симметрией и представляющему ближайшую
нлассичеСRУIO аналоrию RвантовомеханичеСRоrо случая. Рассмотрим зави
симость нвадрупольноrо момента
Q (р) == (3z2 r 2 ) р (х, у, z) dV
(7.20)
от уrла между осью z и осью симметрии системы z'. Введем полярны
Rоординаты r, 6, ер с полярной осью вдоль оси z и r, 6', ер' с полярнои
осью вдопь оси z' (центры этих систем совпадают с центром распределения
зарядов). I-\ваДРУПОJlЬНЫЙ момент в системе Rоординат r, е, ер имеет вид
Q(p)== r2(3cos20 1)p(x, у, z)dV.
Пусть направление оси системы определено условием
Воспользуемся тождеством
СОБ 6 == СОБ 6' СОБ + sin О' sin СОБ (ер ф).
(7.20а)
a== , ср==ф.
(7.21)
7. Эл,е три'Чес ий и .маепитпый .мо.мепты
29
Подставив ero в (7.20а), получим
1
Q (р) == 2 (3 СОБ 2 1) Qo (р),
(7.22)
l'де Qo (р) :кваДРУПОJIЬНЫЙ момент распределения зарядов р в случае, коrда
за ось z выбрана ось симметрии распределения зарядов,
Qo(p)== r2(3cos26' 1)p(x', у', z')dV'..
Вернемся теперь :к ядру, находящемуся в ивантовом с остоянии с MO
ментом Rоличества движения 1, и изучим зависимоеть Rвадрупольноrо
момента Q (ф) O T МaI'нитноrо KBaHTOBoro числа т. Величина т определяет
ориентацию момента Rоличества движения 1 относительно оси z. 'Уrол
между осью z и направлением 1 есть CTporo опр деленная величина
т
cOS == Vl(i+1)
(7.23)
СледоватеJ1ЬНО, l\ваJ!.рупольные моменты в состояниях L различными МЮ'
нитньши квантовыМИ числами должны иметь такую же связь друr с дpy
['ом, как величины Q (р) в выражении (7.22) при соответствующих уrлах .
В частности, отношение двух квадрупольных моментов Q (т 1 ) и Q (т 2 )
<;истемы в состояниях \jJ с т == т 1 и т == т 2 по формуле (7.22) равно
g (1пl) ::J cos 2 1 l Этr 1 (1 + 1)
Q(m2) ;)COS2 2 1 эт I(I+1)'
(7.24)
Наибольшую ве.!lИЧИНУ имеет RваДРУПОJIЬНЫЙ момент при т == 1. 13еличина
Q (т == 1) являетсн :квантовым аналоrом нлассичеСRОЙ величины Qo' KBaдpy
IIОJIЬНЫЙ момент Q (т) системы в состоянии с маrнитным н:вантовым числом т
связан с ЮШДРУПОJJЬНЫМ моментом состояния с т 2 == 1 соотношением
Q (т) == Эт2 1 (I + 1) Q
1 (2I 1) ,
(7.25)
.'де Q обозначает l,вадрупольный момент Q (ф) [см. (7.1;»)] в состоянии \jJ
; маrнитным ивантовым числом т == 1 и называется обычно (швадруполь
ным моментом» ядра.
l\вадрупоаьнью моменты ядер относят обычно l{ заряду ОДНО1'О про
тона и выражают в c..!t 2 . В табл. 2 [238] приведены значенин Q для ряда
ядер. Эти пе,IИЧИНЫ часто точно не известны по СJЮДУЮЩИМ причинам:
энерrиIO В:Jаимод Йствип (7.16) мрнцу ядром и Э;;Iен:тричесним попем, соз
;щвае:\IЫМ онружаlOЩИМИ э,юктронами, можно измерить L UОJIЫllOl1 CTC
неныо точности, но опре.т е;;IИТЬ I'радиент эаен:тричеСJ,Оl'О IIО,Ш (iJ/t z/ iJz)o
в месте раСПО;Jожения ядра очень трудно. Ero можно точно измерить
ДJШ болыпинства aTO:\'lOB [187], но ДJШ БОJ1ЬПlинства молеRУJI может быть
произведена ШШIЬ оценна [747], Подобные оценки не все1'да надежны,
и приводимые в этих случаях ПС.'шчины пвадруполыlхx моментов сомни
те,rьны ]715].
Если преД1l0,'IOЖИТЬ, что заряд равномерно распреде':ЮII 110 объему
ядра, то с помощью формулы (7.17) можно 1l0JJУЧИТЬ прсдстаВJЮНИС о
форме ядра. она:3ывется,, что отклонение от сферичеСIЮЙ формы весьма
мало. Если в (7.17) подставить вместо R радиус ядра, то для параметра
эксцентричности 11 получится очень малое значение. НаиБОJIЬШИЙ KBaдpy
польный момент обнаружен у Lu 126, И ему соответствует 11 == 0,2.
30
r./t. 1. Общие свойства ядер
1
Таблица 2
Нвадрупольные моменты Q JJ пара метры эксцентричности
При вычислении "IJ радиус ядра R оиределялся по формуле (4.1) при
То==1. 5 . 1 O 13 с..\<. Настоящая таблица заимствована из работы [238].
Ядро Z Q. 1 O 26 с..\<2
N14 7 2
Al27 13 15,б
Cl 35 17 - 7 ,92
СР7 17 6, 19
С1I 63 29 10
С1I 65 29 10
Ga 69 31 23,24
Са 71 31 14,б8
AS75 3:3 :30
BI,79 35 28
Br 81 35 2:3
Kr 83 36 15
Jп 1JБ 49 117
JJ27 53 4в
Е и 151 6:3 120
Еп J53 6:5 250
УЬ 173 70 390
LlI J75 71 590
LIl 176 71 БОО 800
Та 131 73 600
Re 185 75 280
Re 187 75 260
H g 201 80 50
13р09 8:3 40
"IJ
0,028
0,074
О , 024
0,018
0,012
0,012
0,024
0,015
0,028
0,024
0,020
0,012
0,056
0,019
0,038
0,078
0,10
0,15
О, 15 O,20
0,14
0,064
0,058
0,010
0,008
,
'1
I
1
,1
j
!
J
Понятие элеl{тричесно['о дипольно['о и нвадрупольноrо моментов можно обобщить,
.ведя «элонтричесний Му.lIЬТИПОЛЬНЫЙ момент» 1):
Qlт== \ rlYtm(B, ep)p(x',y,z)dV, (7.26)
,)
[',I;e У (т (В, ер) нормированная сферичеснан rармонина, опредоленнап в приложении J.
Ывантовомехапичесное выражение для мvльтиполыlrоo момента, .энвивалентное (7.26),
.меет вид .
Z
Qlm (<j;)== 1} р r Ytm(B i , epi) I <j; (fJ, f 2 , '" , fл) [2 d'C.
i==1
О сюда находим СJlедующио соотношенип:
Е== V 4; Qo.o,
1 4п
п, == :3 Q],O'
V 87t
пх::!: Ш у == ::!: :3 Ql, '[-1'
1/ 1бп
Q== v yQ2,0'
(7.27)
\,
(
I
I
)
(7.28)
1) Эти «статические» мультипольные моменты относятся 1< распределению зарlIДОВ
Б одном состоянии ядра и не ДОJlЖНЫ смешиваться с МУЛЬТИПО1IЬНЫМИ моментами, рас-
атриваrмыми в I'л. хн, Iшторые отвечают пrреходам между двумя различными со-
C'fОЯIlИЯМИ ядра.
II
' \ :,-.,:
7. 8М! тричес ий и .маепитпый .мо.мепты
31
По соображениям четности все электрические мультипольные моменты, отвеча
ющие нечетным значениям 1, равны нулю. Из правила сложения моментов количества
движения следует, что электрические мультипольные моменты (четные) порядка [
обращаются в нуль, если момент количества движения 1 рассматриваемой системы
меньше [/2. Обращение в нуль электрическоrо дипольноrо момента для станионарноrо
состояния и равенство нулю эл ктрическоrо квадрупольноrо момента при 1 ==0 и 1 ==1/2
представляют собой частные случаи этих двух общих правил для мультнпольных MO
ментов. До сих пор не было экспериментально найдено никаких эффектов, связанных
с элентричесними моментами выше BToporo порядка.
Б. Маrнитные моменты
ОрбитаJlьное движение заряженных частиц внутри ядра сознает OlIpe
,!I.еленную плотность элеRтричеСRоrо тона, которыи порождает маrНИТIlое
поле. Одню{о МaJ'нитные свойства ядра обусловлены не толы{о орбиталь
ным движением. I\аждыЙ НУRЛОН (протон или нейтрон) обладает собствен
ным маrнитным моментом, который либо параллелен, либо аНТИlIаралле
лен eI'o спину. Этот маrпитный момент обусловливается, повидимому,
вращением НУЮIOнов 1).
MorYT существовать 11 друrие ИСТОЧНIIЮI :маrнетизма ядра. Возможно,
что собственный маrпеТIIЗМ нунлона изменяется в непосредственной бли
зости от APyroro НУI{лона. Возможно таRже, что поле, создаваемое ядер
ными силами, является носителем маrнитноrо момента. Нш{оторые ДOKa
зательства подобных эффектов были найдены в ядрах 1Р и Не 3 [453, 695,
656, 17, 75,5, 734]. Мы обсудим их в дальнеЙшем.
COrJIaCHO последним ЭI{спериментам [599, 287], наблюдаемая веШl'IИна
uаrнитноrо момента протона равна
r
f1 p == (2,7934 .:!: 0,0003) 2м еп .
рС
Она в 2,79 раза БОJIьше Toro значения, иоторое можно было бы ожидать
по аналоrии с элеRТрОНОМ, маrнитный момент KOToporo равен ett/2т e c.
Маrнитный момент нейтрона [82, 11, 633] равен
f1n == ( 1,9135 .:!: 0,0003) 2м сп .
рС
Знак минус уназывает на то, что направление мar'нитноrо момента
у нейтрона противоп'оложно направлению спина. Поле;шо ввести l'иромаr
нитные отношения gp и gn, выражающие связь между вентором маrнит
поrо момента р. и веитором спина S 2):
еп S
p.==g 2Mc '
(7.29)
J
Тю{ как еl1ИН НУН,110на равен 1/2'
протона и нейтрона имеют следующие
gp==,5,,59.
то l'иромаПIИтные отношенин ДJJЯ
значения 3):
gn == .. 3,83.
(7.30)
1) Может показаться удивит льным, что незаряжепная частица создаст мапlИТНЫЙ
комевт при вращении. Однако неитральность системы означает только, что интеrрал от
плотности зарядов равен нулю. Например, если поверхность сферы заряжена отрица.
тельно, а в центре ее помещен положительный заряд, равный по величине отрицатель.
ному, то система в целом не заряжена, по при се вращении возникает отрицательный
каrнитный момент. Эта картина приведена только в качестве ИЛJ!юстрацип и не представ..
ляет действительной модели нейтрона.
2) Момент количества движения измеряется в единицах h.
3) Леrко представить себе распределение зарядов, для I{OTOpOro нри праЩl'IШИ си.
6темы rиромаrнитное отношение будет отлично от единицН!. Если плотность заряда всюду
nропорциональна плотности массы, то отношение маrпитнOI'() момонта к моменту I{ОЛИ'
t
,:
.32
r л. 1. Общие С60йстеа яоер
В реальном ядре маrнитный момент распределен по всему объему
.ядра. Введем в связи с этим вектор намаrничения М (1'), зависящий от
пространственных координат. Рассмотрим дна источника маrнетизма: орби
тальное движение заряженных частиц (протонов) и маrнитные моменты, свя
эанные со спинами всех нушIOНОВ. Орбитальное движение протонов соз
.дает определенную ПJIOтность тока (проводимости) j (r). СООТБетствующий
лектор намаrничения МС (r) определяется форму.т:rоЙ
j(r)==crotMc(r). (7.31)
в применении J;: ядру следует использовать Rнантономеханическую
.:шпись плотности тона проводимости
z
j (r) == j" (r),
"0=1
j" (1') == * (1'1' ... , }'А.) p" (rl' . ., , r,1) d-: 1 . .. d't'H d't"+l . . . d't A . (7.32)
Суммирование проводится по всем протонам (k == 1, 2, .., , Z). В BЫ
ражении для j" (1') интеrрирование распространяется на ноординаты всех
.протонов, за исключением протона с номером k, а 1'" следует положить
равным r. Оператор р" == ih V" предстанлнет собой оператор импульса
.k ro нротона.
Обратимся теперь н выяснению роли спинов в создании намю'ничевия
М. Пусть 5" (1') будет «плотностью спина» частицы k. Эта величина опред€---
..JJнется по формуле, аналоrичной (7.:12), rде вместо оператора (е/М) р"
.стоит оператор спина k й частицы 5". Тоща намаrничение МВ (r), обуслов
.:leHHoe спинами, :мотет быть эаписано в виде
z А
М, (1') == 2е;;с [gp 5'1 (r) i gn 5" (1') ] (7.33)
"0=1 " Z+1
Нерван сумма распроираннется на все протоны, а вторая на все нейтроны.
По.т:rный n.ектор намю'ниченин состоит из двух частей: Мс (r) . созда
,ваемый тонами ПРОВОJIИМОСТИ и МВ (1') создаваемыЙ спинами:
М (r) == МС (r) + М" (1').
(7.34)
Нусть JC (1') напртн:енность внешнеrо МШ'НI1ТНOl'О HO.IJЯ, J\( й('твующеrо
JIH ядро. ЭнеРJ'ИЯ ядра n этом поле опредеJшется фОрМУ/JОЙ
Е == \ М (r) :JC (r) dV,
"
(7. 35)
'THI;: l;:а1\ М (1') намаПlИчение. Наиболее важен ('дучаii постоннноrо Mar
JIIITIlOj'() ПО.'Ш ЗС (r) == Х. fI этом СJlучае :шерпш имеет ви;\
Е == р.ЗС,
(7.36)
lле р. . <, МaI'НИТНЫll ДJllю.:JЬНЫЙ момент» ядра:
11 == М (r) dV.
(7.37)
в ОТ:lИчие от ('лучан элекrричесноrо ДИПOJJЬНОI'О момента соображения
IjеТIIОСТИ не требуют обращения в нуль маrнитноrо ДИПОЛЬНОJ'О момента.
Операторы спина S", входящие в спиновую чаеть выражения для намаrни ..
чения, не изменяют('я при инверсии, и ниже будет поназано, что часть
чrства движения равно e/2j'lfc [для доказательства см, формулу (7.39)]. Jlюбая величина
Тllошенин, IIрсвосходящая р/2Мс, может быть Ilолучена, rСJIИ приписать IIonrpXHocTHblM
слоны большую ПЛОТНОСТЬ .заряда.
6 7. 9.д.е"тричес"ий и .ма:титный .моменты
зз
маrнитноrо момента ядра f.L (7.37), обусловленная токами ПрОВОДИМОI\ТИ
j (r), также может быть выражена через операторы, не меняющиеся при
инверсии. Из правила сложения моментов количества движения следует,
что маrнитный дипольный момент обращается в нуль, если ядро имеет
момент количества движения 10:=0. Доказательство совершенно aHaJ1o
rично приведенному раньше для электрическоrо квадрупольноrо момента.
Разпожим маrнитный момент f.L на орбитальную часть, обусловлен
ную токами проводимости, и спинопую часть
f.L == f.Lc + f.Ls'
rде
f.Lc == Мс (r) dV,
а
f.Ls== Ms(r)dV.
Запишем орбитальную часть в ином виде, используя следующее тож
,il;Ii!CTBO (которое можно доказать интеrрированием по частям):
f.Lc == Мс (r) dV == (r Х rot Мс) dV == ic [r . j] dV.
(7.38)
'У"читывая квантовомеханическое опреДeJJение j (r), данное в (7.32),
мы видим, что последний интеrрал в выражении (7.38) представляет собой
математическое ожидание в состоянии оператора
Z Z
[f.Lс]оп. == 2 c (r k Х Pk) ==iдё L k ,
k==1 k==1
(7.39 )
rде Lk во второй сумме есть оператор момента ноличества движения k ro
протона, выраженный в единицах N. Следовательно, маrнитный момент,
обусловленный током ПРОВОДИМОС1И каждоrо протона, пропорционален
e1'0 орбитальному моменту количества движения. Коэффициентом пропор
циональности является пеличина еn/2И с. Из формулы (7.39) видно, что
оператор маrнитноrо момента не изменяет знака при инверсии. Действи
тельно, при этом r переходит в r, а Р в Р, откуда следует, что
L == (r Х Р) не меняется.
Спинован часть маrнитноrо момента также может быть записана
. виде математичесдоrо ожидания в состоянии следующеrо оператора;
Z А
еп [ ]
[f.LJоп. == 2Мс gp Sk + gn Sk ,
k==1 k==Z+1
(7.40)
rде Sh оператор спина k й частицы; в первой сумме суммирование про
изводится по псем протонам, по второй по всем нейтронам ядра. Пол
ный маrнитный момент f.L есть математическое ожидание в состоянии
t'Jператора f.Lоп.:
f.L == *f.Lоп. d't,
(7.41)
rAe
f.Lоп. == [f.Lс]ОП. + [f.Ls]оп.
(7.42)
Сравним оператор маrнитноrо момента (7.42) с оператором 1 полноrо
момента количества движения:
А
1 == Lk + Sk'
k==1 k==1
В формуле (7. 3) суммирование производитс;я по всем нуклонам ядра.
Операторы (7.42) и (7.43) сходны по форме. Однако операторы L" и
3 3анав;М 396
(7.43)
34
rл. [. Общие свойства ядер
fr,
I
([
н,
,
н
11
U
ILf
ii
н
.1
,
!i
в выражении для {.Lоп. умножаются на различные величины и, следова
тельно, маrнитный момент не обязательно параллелен моменту количества
движения 1. Так как вектор 1 является интеrралом движения, маrнитный
момент, вообще rоворя, не постоянен во времени. Важной характеристи С
кой маrнитноrо момента является среднее ero значение во времени. С уче
том (7.41) мы можем заменить оператор {.Lоп. на
(!-Iоп.I) 1
{.Lэфф. == [2 .
(7.44)
!.!
Эффективный маrнитный момент {.Lэфф. параЮlетш моменту количества
движения 1 и имеет в этом направлении все свойства веКтора. Отлично
от нуля математическое ожидание проекции этоrо BeI{TOpa только на ось
z, ({.Lэфф.)z. Метду математическими отиданиями ({.Lэфф.)z в 21 + 1 подсосто
яниях ядра с данным моментом количества движения 1 имеется хорошо
известное соотношение. Подсостояния с данным 1 отличаются только ори
ентацией момента количества движения 1 относительно оси .Z. 'Уrол
между Ве!{ТОРОМ 1 и оеью z опредеJшется формулой (7.23), тю, что MaTe
матическое отидание величины f1z в состоянии с мю'нитным нвантовым
числом т пропорционально т:
т
f1z == const. СОБ == const y .
. 1(1+1)
Следовательно, [1! достиrает :м:ансимальнOl'О значения в состоянии (т)
с т == 1. Эта ман:симальная величина обычно называется маrнитным MOMeH
том ядра [1:
l.t
f;
l'
[1 == * (1) ({.LОп.)z (1) d".
В этом выражении (1) lJолновая функция ядра в подсостояпии
с МaI'НИТНЫМ квантовым числом т == 1, а ({.Lоп.)z Z l{омпонента оператора
(7.42).
fиромаrнитпое отношение
g для ядра определяется формулой
eT
IL == g 2М с 1.
(7.45)
.
Маrнитныii: момент принято измерять R ядерных маrнетопах:
1 ядерный MarHeTOH == [10 == 2M eT == 5,049 .10 24 эрrjrаусс.
рС
(7.46)
В этих единицах маrнитный момент ядра записывается следующим
Qбразом:
Маrнитный момент в ядерных маrпетонах == == gI.
1'-0
(7.4.7)
Начало современным точпым методам измерения маrнитных моментов
положили Раби и ero rруппа [425, 428]. Эти методы позволяют прямо
измерить rиромаrнитное отношение g. Чтобы определить маrнитный MO
мент [1, нужно еще из независимых Эl{спериментов знать спин ядра.
Формула длп маrнитноrо ДИПОЛЫlOrо момента, соответствующеrо распределению
Iам:аrниченил М (r), может быть обобщена следующим образом. Введем (шлотность
м:ю'нитпоrо зарпда»
pт(r)== divM(r). (7.48)
Это позволит нам определить обобщенный маrНИТIlЫЙ мультипольный момент M Zm аlIа
Лоrичпо обобщенному ЭЛе!{тричеСIШМУ мультипольпому моменту Qlт (7.26):
M lm == r1Yim(6, <Р)Рт(Х, у, z)dV.
(7.49)
\
'.
D 7. 9.д.е"тРU'Чес"uи u маенитныи моменты
.
В частном случае l == 1 находим соотношения
М 1 , 0== V :п f1-z; м 1. :1:1 ==::!:: V В3п ([J-x =F i[J-у).
35
(7.50)
Эти обобщенные маrнитные моменты обладают следующими свойствами:
1. Они равны нулю при четных значениях l (по соображещшм четности).
2. Они обращаются в нуль при нечетных l, если момент I{оличества движения
ядра 1 меньше или равен Z/2 (по правилу сложения моментов количества движевип).
3. Они равны нулIO, если т =!= О (равенство нулю составляющиХ [J-x и [J-y маrпит
Horo дипольноrо момента есть частный случай этоrо правила).
4. Составляющая Mz,o,' отличная от нуля в состоянии ф, зависит от проекции
момента I\Оличества движения ндра m на ось z, однако значения М! о для различпых m
связаны между собой так, что имеется только одна независимая величина, за I\ОТОрУЮ
обычно принимается l'ИL,О в состоянии с m==I, называемая маrнитным мультиполь
ным моментом ПОрЯДIШ [. (Существуют различные определения высших моментон,
которые отличаются друr от друrа множителями, поэтому в каждом отдельном случае
следует обращать внимание на нормировку мультипольных моментов.)
В настоящее времп некоторые доказательства существования маrнитноrо OI{туполь
Horo момента и==З) имеются только для одноrо ядра (иод, [743]). Но успехи в точных
измерения.х маrнитнЫХ моментов, повидимому, позволят ВСlюре обнаруживать OKTY
польные моменты, если они имеют разумные порядки величины.
Вообще rоворя, невозможно найти выражение rиромаrпитпоrо OTHO
шения g для ядра, аналоrичное множителю Ланде в атомной спеI{ТРОСIШПИИ.
Взаимодействие НУI{ЛОНОВ в ядре, в противоположность взаимодействию
элеI{ТРОНОВ в атоме, существенно зависит от ориентации спинов. Следова
тельно, спины HYI{JlOHOB пе являются интеrралами движения даже в пер
вом приближении. Ни суммарный орбитальный момент I{оличества движе
z
ния протонов Lj L k , ни спины протонов или нейтронов не являются даже
k:ol
приближенно интеrралами движения. Они MorYT принимать все значения,
совместимые с полным моментом I{оличества движения 1.
Следовательно, любая ПОПЫТI{а теоретичесни определить rиромаrнит
ный множитель g должна базироваться на определенных преДПОJlOжениях
о том, I{aI{ИМ образом полный маrнитный момент f1 составлпется из орби
тальных моментов и спинов пунлонов ядра.
Проиллюстрируем это очень простым примером. Предположим, что
момент I{оличества двитения 1 обусловливается двитением толы{о ОДНОI'О
НУI{лона и что орбитальные моменты количества движения и спины всех
остальных НУI{ЛОНОВ при сложении обращаются в нуль. Это предположе
ние обычно называют «моделью Шмидта» [666]. Torдa получим
еп
1 == Lk+ 9k' tJ. == 2Мс (gLL k +gSSk), (7.51)
rде gL == 1, gs == gp, если лишний НУI{ЛОН является протоном, и gL == О,
gs == gn, если речь идет о нейтроне. Вообще rоВОрЯ, определенную
величину имеет толы{o 1, а Lk и Sk не имеют определенноrо значения.
ТаБ наБ спин ядра / обусловливается толы{o одним лишним нунлоном,
ТО S == ::!:: 1/2 и, следовательно, имеется ТОЛЫШ два возможных СОСТОJilНИН
по L: с /.J==/+1/ 2 или с L===/ 1/2' Тан БаБ состояние ядра должно
иметь определенную четность (т. е. должно быть либо четным, либо
нечетным), НУI{ЛОН не может находиться в состоянии, являющемся смесью
этих двух возмотных состояний. Следовательно, он должен иметь CTporo
определенный орбитальный момент I{оличества движения l == / + 1/2 ИJIИ
l==/ 1/2' .
Картина в этом случае совершенно аналоrична условиям в атоме,
и, следовательно, множитель g можно записать в виде
g==gsaS+gLa L ,
(7.52)
3*
.
.'
//
......
....
со) -.J
11(
о
/
D5
tз т ;;;
.....0 О ;:s"'
cf.) (,) ...J r--
т \\/ \
"'ctI
..J 1\\ о
.,.,'"
u)
(,)
r- u;
N 1:
::=
\ \ \
COO.
.! &;
......о...а; .;
(f.) а::
co
= 1-0 u)
CQ CQ <t:
\ 1\ \
i ,. о
r: /Jl
...J "';""'ctI"'
a::C!:IUZC!:l
. .
"'/.../
:J:ZIJ.
CI)
-.J
11(
()е
I
... ...о
а::
- .
/ I J
.,.,'" '"
Q.
'" L/')
00
>- z
. /
.
1\
<'-'"
З
bQ
<с
t'-.
о
tQ 'o::t t'Y;) C\I
(ХDношанвvw xr9нdЭ{}1I Э) тi
C!)ICI.I
'"
/SI
1"1
со
'"
"'ICI.I
:;;.
"' о>
1>1 '" ""
""f-
;i; :O
Q) Е-4'
tI:: "' о
= 8
о ""
1>1 <.> о:>
II' II' Q) :SI
О II'
:O
& II
. ""::!;,.
::;: i:I g,
о . '" II''''
1=: И "" f-
1ii .;
ro
::;: ф '1 ::!
::Е Е CL>S
со "" :о
... ::;: о II' g
1в '"
1< "" '1
..., s.. I ::!
''< ф ....
'" Jl :;:;.
1"1 о 11
ф f;: &
8.. =-i:slgJ
:t: 1:: i:I ",,;,.
:::s ii1 II' i:: @:
l:::@tE ;;;-
g ":
/SI::E g i:I
р< II'..:
::;: .:g, f;J i:I
::.::1..... i:: 1в
'"
ф 1=( '" о II'
1:1:: o:>
ro::::
'" S @ ...
p..
ф'" i:I 11
1=(... 1': ..:
1:1:: о @: :SI
II: <:.) о
Ф о i:: i:I '"
о CtI Q) Q)
::;: 1в 1':
'1 ::! о
<.> II'
i:I Q)
I'i
'" >i:I
tI::
'" о
'" 00&
i:I i:: о:>
"" :SI
;i; '"
!В)8
tI:: 1': :SI
:SI <.> ..:
.:о:: о
"" D'
Q) ::а lS1
I'Q '" :SI
1"1
1'oo1CI.I
11')1",
C')/CI.I
ф
Е-<
@
>..
со
;:;;:
ф
....
,
!:;i
е
. _>' C _
D 8. Cmamиcmиlta
37
rде а а и a L соответственно квантовомеханические значения величин
SI/ /2 и LI/ /2;
1 (1 + 1)+S (S+1) l и+ 1)
а а == 2I (1 +1)
1(1+1)+l(l+1) S(S+1 )
a L == 2I (1 + 1) .
В модели Шмидта мы должны положить S == 1/2 И 1 == / :1: 1/2' В He
иоторых частных случаях выражение для rиромаrнитноrо множителя
упрощается. Иусть, например, орбитальный момент количества движения
и спин k ro нуклона параллельны, т. е. / == 1 + 1/2' Torдa из (7.53) следует
as=-=S/I и aL==l//, так что
gs+(1 ; )gL
g == 1 (модель Шмидта, 1 == / ; ) . (7.54)
(7.53)
i:
!
В друrом возможном случае, коrда 1 и S антипараллельны (/ == 1 1/2)'
получим из формул (7.52) и (7.53)
1 ( 3 '
2gS+ 1+2 )gL
g == 1 + 1 (модель Шмидта, 1 == 1 + ) . (7.55)
Изучение маrниТНЫХ моментов ядер с нечетными массовыми числами
[599, 311, 500] покаЗaJlO, что они не MorYT быть описаны ни выражением
(7.54), ни (7.55). Одна но оназывается, что практически все маrнитные MO
менты для данноrо 1 лежат между результатами, получающимися из двух
этих формул. На фиr. 6 и 7 (взятых из работы [599]) приведены экспери
ментальные значения маrниТНЫХ моментов f1 == g/ в' зависимости от MO
мента количества движения ядра / для ядер с нечетным числом протонов
(фиr. 6) и нейтронов (фиr. 7). Жирные линии на rрафинах вычислены по
модели Шмидта.
8. СТАтИСТИКА
Свойства квантовомеханических систем, состоящих из мноrих частиц,
определяются статистиной этих частиц. СущеСТВУIОТ две статистики: Бозе
Эйнштейна и Ферми Дирака. Выбор той или друrой из них не может
быть объяснен с классической точки зрения. Следствия, вытекающие из
этоrо выбора, проявляются только в типично квантовых явлениях и исче
зают в нлассическом приближении.
Рассмотрим систему, состоящую из А частиц, среди которых имеются
тождественные, или неразличимые, частицЫ, например, ядро, содержащее
А нунлоноп, в котором протоны и нейтроны составляют две rруппы TO
ждественных частиц.
'Уравнение Шрединrера для этой системы имеет вид
Нф(1, 2, 3, .. .)==E (1, 2,3, .. .),
(8.1)
rде Н оператор rамильтона, (1, 2, 3, ...) собственная фуиrЩИЯ, зави
сящая от координат первой, второй, третьей и т. д. частиц (для нраТI{ОСТИ
вместо координат частиц написаны цифры 1, 2, 3, ...). Очевидно, что при
перестановке координат любых двух тождественных частиц оператор ra
мильтона Н не меняется. Мощно показать [581], что собственная функция
tji дож на быть симметричноЙ или антисимметричной по отношению к пе.-
рестановке координат любой пары тождественных частиц,
t'\:J
(f.)
.
..J
...
со
s::
N
I
о
с;;
O)
><
I
.
\ \ \
t--'" '"
"'''' '"
(/)
:::':?
.... ....0)
о х
\ I
odie
",! k
c s:
(() (/.)
.0
"'/
со <х)
t.. t..
::'::(1)
о
..,\
....
:о
>-
о
.п\
""
t)O
.
01
""
:t:
.
",/
Q)
са
... <:;) I
(Х'DНDШЭЮ!DW Х!9нс/эеu В) ТI
(f.)
.
) (')\
S:: Q)
:х:
C\;I
I
..J
0)1'"
""'1",
""'"
<":11'"
I'"
:r:
:::s
t:::
C:.J
со
!:;i
'"
Е-<
О
!:;i
Е-<
'"
О
::<
=-
<.>
=-
со
со
g
:Q D'I
ro.'Q "'Ф
8:
3 ;<; .о ""
1:: 3 >:1
:
;
:E O&
;<; Q) ...;
1:: :<1 ""
1:: ::!i '"
= о со
,.:..:; о E-4(t1
11 ffi
ч o::!i
Q
:SI 1': '"
0i ;.a0)
>:1 .. р:<
,.... t
;;:; р:<
.; 1:; .
ro::Q ....
ro I.Q
"'
:
&
Q) А
8
Е; !:;
Jl ::!i ><
о :S;::Z::
& Q) ..ф;
::Q Q.) Oiro
. р:< а 0;:""
1::....
ф
:Е "
I;J:::;: Q) '"
g....:.
I:{o Фа
11
1::= ro
"' :::
'" "" О"'
.. >:1 ::!i
о;: '"
'E
S . i5
:SI '" 3
:;1 [;:>:
::!i ::!i..
::!i og
g
'"
: i
+ '8
"'.....'"
;Л
::Q :s1 rog:
j;Q
1:: Q) о
ro o
J5
",,:::1':
>:1,,0.
S .:;j
1:: '" о
b
:Е Q) :::""
::: 0;::<1>:1
::I:I S
<;
1Е
О
Е-<
,=-
Ф
::<
О
1:: .
р<
::<
р< ::<
ф
::I: И
!:;i
N
1:1
1:1:
О
::I:
О
Е-< Ф
О ::Q
Ф
:::; tE
О,"
I::
"'::Q
::<.....
::Q,"
E-<1:1
1:1:
'"
Ф
1:1
1:1:
::Q
Е-<
Ф
::<
О
::<
Ф
::Q
...
Е-<
=-
>..
'"
:::Е
r:..:
>..
=-
е
j'\
. I
8. Статиоти1>а
39
Если вол:новая функция симметрична по отношению к перестановне
I{оординат любой пары тождественных частиц, то rоворят, что эти часТИЦЫ
подчиняются статистике Бозе Эйнштейна. Если волновая функция анти
симметрична (изменяет знак) относительно перестановки координат двух
тождественных частиц, то rоворят, что эти частицы подчиняются стати
стике Ферми Дирака. "Установлено, что протоны и нейтроны подчиняются
статистике Ферми Дирака. Все волновые функции, описывающие состоя
иие системы из протонов и нейтронов, должны изменять знак при пере---
становке Rоординат пары протонов или пары нейтронов. На поведение
волновой функции при перестановке координат протона и нейтрона не
накладывается никаких специальных условий, так как эти частиЦЫ не
являются тождественными 1). Из статистики Ферми Дирака вытекают
определенные следствия, которые можно установить менее формальным
путем.
Из антисимметрии непосредственно следует, что волновая функция
должна обратиться в нуль, если координаты двух тождественных частиц
совпадают. Фактически это означает, что две тождественные частицы не
MorYT находиться ТОЧIJО в одном месте. Также оченъ мало вероятно, чтобы
две тождественные частицЫ находились на малом расстоянии друr от
друrа, так как в этом случае координаты частиц почти совпадают и вол
новая функция еще мала. В действительности частицЫ находятся друr
от друrа на расстояниях, б6JIЬШИХ, чем некоторое характерное pac
стояние d, которое зависит от относительноrо импульса частиц р и равно
по порядку величины d,......, (п/р). Это можно показать следующим образом.
Запишем собственную функцию как функцию расстояния Т 12 между двумя
частицами в виде
.1. С . r12
'f ,......, SШ л (r12) ,
(8.2)
rде 1\ (Т 12 ) чётная функция от Т 12 , а С зависит от всех переменных KpO
ме Т 12 . В таком виде может быть записана любая функция, антисиммет
ричная по Т 12 . Предполо/Ним еще, что 7\ (rI2) медленно меняющаяся фунн
дия, т. е. что 1\ (Т 12 ) мало меняется на расстоянии порядка 7\ (О):
1\'(0) 1, 7\"(O)'1\(O) 1.' (8.3)
Смысл этоrо предположения станет ясным, если ввести оператор
п 2 (д2/дT 2)' который соответствует квадрату относительноrо импульса Р;2'
Если условия (8.3) выполнены, то
2 'п 2
Р12Ф == [л (0)]2 ф.
(8.4)
в этом приближении применение оператора P 2 эквивалентно умножению на
1;,2/7\2 (О), а следовательно, п/7\ (О) можно интерпретировать как значение Рll
в окрестности точки т I2 ==0. Таким образом, выражения (8.3) дают условия,
при которых можно rоворить об определенной (<величине» относительнOl'О
импульса в окрестности точки т I2 ==0.
Длина волны де Бройля, соответствующая импульсу Р12' равна 7\==п/Р12'
Формула (8.2) показывает, что волновая функция мала, пока расстояние
между двумя тождественными частицами r i2 мало по сравнению с 7\. Отсюда
можно сделать вывод, что частицы редко находятся друr от друrа на pac
стоянии, меньшем длины волны 7\==п/Р12' rде Рl2 величина порядка их OTHO
сительноrо импульса. Для TorO чтобы две тождественные частицы находились
1) В rл. III будет введен метод записи волновых функций ядер, в котором протоны
И нейтроны формально считаются тождественными частицами. Однако мы покажем что
это только формальный прием, а не дополнительное предположение о природе ча тиц.
40
rA. 1. Общие сВойства яоер
очень близко друr от друrа, скажем, на расстоянии, меньшем а, их относи
тельный импульс Должен быть по крайней мере порядка n/d.
Этот вывод, характерный для статистики Ферми, можно также получи'l'Ь
с помощью известноrо положения, соrласно которому в ОДной ячейке фазо
Boro пространства может находиться не больше одной частицы даННоrо сорта.
Фазовое пространство представляет собой шестимерное пространство, KOOp
,!I;инатами KOToporo являются три ПРОстранственные КООРДинаты и три COCTa
Вляющие ИМпульса. Объем одной ячейки в фазовом пространстве имеет поря
док величины h 3 . Если линейные размеры ячейки дq выбираются порядка а,
то разброс по Импульсам Др Должен быть ПОрЯДка h/d, так что д q з.д р З""h 3 .
Если ячейка занята Rакой либо частицей, то друrая частица, наХодящаяся
ua расстоянии d от первой, долтна отличаться импульсом по крайней мере
Jla величину Др, для Toro чтобы оказаться в друrой ячейке.
Друrое хорошо известное следствие статистики Ферми Дирака про
является в системах, состоящих из нескольких слабо взаимодействующих
между собой тождественных частиц. В этом случае частицы MorYT рассматри
ваться почти независимыми и находящимися в общем потенциальном поле У.
Занимаемые этими часТицами энерrетические уровни Являются стационар
ными уровнями одной частицы в потенциальном поле V. Обозначим соб
ственные функции и собственные значения этой задачи соответственно через
Фi и E i . Будем называть этот метод описания системы мноrих частиц «MeTO
дом' независимых частиц». Тоrда, если частицы подчиняются стаТистине
Ферми, на. Rаждом уровне должно находиться не более одной частицы
[5811. Это утверждение называется «ПРинципом Паулю>.
Применяя статистину Ферми Дирака к нуклонам, необходимо прин.
мать во внимание спин. 'У"чет спина вносит в описание частицы новую KOOp
динату, Ноторая может принимать только два значения, соответствующие
двум возможным ориентациям спина. Волновая фушщия должна быть
антисимметрична по Отношению к перестановке всех координа" двух тожде
ственных частиц, включая и спинОвые координаты. НеIиторые следствия,
обсуждавшиеся выше, должны быть переформулированы с учетом спина.
Выведенное выше правило, по ноторому две тождественные частицы не MorYT
находиться на расстояl;\.ИИ друr от друrа, меньшем, чем 1;., применимо толью)
к частицам в одинаковом спиновом состоянии. Только Тоrда все координаты
одинановы или почти одинановы. В случае противоположных спинов это
правило уже не имеет места, тан ка!} спиновые координаты двух частиц не
совпадают. В последнем случае частицы MorYT приближаться одна к друrой
так, кан если бы 9НИ не были тотдественными.
В описании независимых частиц уровень в потенциальном поле V не пол
ностью определяется собственной функцией Фi' зависящей только от про
странственных переменных. 'У"ровни полностью описываются тольно с уче
том спинОвой координаты. Положение упрощается в том случае, ноrда
потенциальное поле V не зависит от спина. Тоrда Фi и E i танже не зависят от
спина. Если уровень определяется тОлько через фi и E i , без I{аких либо пред
положений о спине, то принцип Паули уже не запрещает двум тожде
ственным частицам находиться на этом уровне при условии, что ориентации
спинов этих частиц противоположны. Отсюда опять вытенает, что две тожде
ственные частицы с ПРОтивоположными спИнами следует рассматривать
как различные.
Применение статистики Ферми Дирана к нуклонам ведет н: мнorочислен
ным важным выводам относительно строения ядер; эти выводы будут под
робно обсуждены в rл. VI.
Представляет интерес определение типа статистики, НОТОрой подчиняется
ядро как целое, если ero рассматривать кан: отдельную частицу. Это важно
для изучения взаимодействия ядер друr с друrом в молекулах. ВнутреННЯ1J
\,
Обоэnачения
4'
, f
,
\,
",
1
,
'.
<
I
r
1
j
J
структура ядра не имеет здесь никакоrо значения, так как энерrии в молеку
лах существенно меньше энерrий возбуждения ядер. Рассмотрим два тожде
ственных ядра, состоящих из А нуклонов каждое. Предположим, что они явля "
ются частью динамической системы, называемой двухатомной молекулой. При
иером такой системы является молекула кислорода, в которую входят два
ядра 016. Наобор,от, молекула кислорода с ядрами 016 и 017 не относится к pac
сматриваемому типу (хотя ее химические свойства не очень заметно отличаются
от свойств молекулы с тождественными ядрами). Волновая функция молекулы
с тождественными ядрами зависит от координат обоих ядер, а также от KOOp
динат всех электронов. Рассмотрим поведение этой волновой функции при
перестановке координат двух ядер без изменения координат электронов.
Перестановка двух ядер эквивалентна А перестановкам отдельных нуклонов
(A MaCCOBoe число). При перестановке каждой пары тождественных частиц
волновая функция умножается на 1 (статистика Ферми Дирака). В резуль
тате А таких перестановок волновая функция умножается на величину ( 1)A.
Отсюда можно заключить, что ядра с нечетными А подчиняются статисти1Ъе
Ферми Дирака, а ядра с четными A cтaтиcтиKe Возе Эйнштейна.
CTporoe доказательство этой теоремы было дано Эренфестом и Оппенrей
мерам в 1931 r. [201].
Статистика ядер имее важное значение для спектроскопии молекул.
Возьмем для примера молекулу кислорода. Среди квантовых состояний моле
кулы 016 017 имеются такие, которые симметричны по отношению к пере
становке координат ядер, и такие, которые антисимметричны по отношению
к такой перестановке. Оба типа уровней можно наблюдать спектрос!{опически.
В молекуле 016 016 ядерной статистикОй допускаются только симметричные
состояния, так что некоторые состояния отсутствуют. В молекуле 017 011
допускаются только антисимметричные состояния. Очевидно, детальное изу
чение спентра двухатомных молекул с тождественными ядрами позволяет
определить статистику ядер в этих молекулах. Подробностн читатель найдет
в специальных руководствах [368, 260; 445].
Исторически наиболее важным явилось определение статистИ!ш ядра N14
[362, 625]. Было найдено, что ядро N14 подчиняется статистине Бозе Эйн
штейна. Это оказалось решающим доводом против протонно электронной
rипотезы строения ядер. Соrласно протонно электронной rипотезе, ядро N14
должно состоять из 14 протонов и 7 ЭJIектронов, т. е. из 21 частицы, каждая
из которых подчиняется статистике ФеРМИ ДИРaI{а. Но по теореме Эрен
феста и Оппенrеймера все ядро должно тоrда подчиняться статистине Ферми
Дирака, что противоречит опыту. С друrой стороны, статистика ядра хорошо
предсказывается нейтронно протонной rипотезоЙ: строения ядер, соrласн()
которой N14 содержит четное число (14) частиц, описываемых статистикОй
Ферми Дирака. Из теоремы Эренфеста и Оппенrеймера следует также, что
нейтрон не может рассматриваться как сильно связанная сложная частица.
состоящая из протона и ЭJIектрона, ПОСКОJIЬНУ такая сложная частица должна
была бы подчиняться статистине Бозе Эйнштейна, в то время как хорошо
известно, что нейтрон подчиняется статистике Ферми Дирака.
.;,
;1
'1
ОБО3НА ЧЕНИЛ
в объяснеНИf1Х I{ обозначениям приведены номера формул, в ноторых обозначение
внервые употребляется или определяется.
а иолуось эллипсоида, перпеНДlIl{улярная н ero оси симметрии z (7.17).
"L орбитальный множитеJlЬ Ланде (7.52), (7.53).
"j спиновый множитель Ланде (7.52), (7.53).
А MaCCOBoe число (9 1).
в энерrия связи ядра (2.5).
( 3).
BeHTOp напряженности элентричесноrо поля ( 7).
средня<! энерrия связи, приходящаяся на один нунлон [f==B/A] (э 2).
rиромаrнитное отношение для частицы (7.29).
rиромаrнитное отношение для ядра (7.45).
rиромаrнитное отношение, связанное с орбитальным движением (7.51).
rиромаrнитное отношение для нейтрона [gn== 3,83) (7.30).
rиромаrнитное отношение для протона [gp == + 5,58] (7.30).
rиромаrнитное отношение, связанное со спином (7.51).
постоянная Планна, деленная на 21t ( 6).
rамильтониан ядра (8.1).
BeHTOp постоянноrо маrнитноrо поля (7.36).
BeHTOp маrнитноrо поля, зависящеrо 01' r (7.35).
полный момент ноличества движения (спин) ядра. обычно в основном еос!'оя
нии ( 6).
оператор полноrо момента ноличества движения ядра (7.43).
плотность тона в точне r (7.31).
плотность тона, обусловленная движением k ro протона (7.32).
rрадиент элентричесноrо полн, взятый в центре ядра [K==(J<Sz/Jz)o] (7.Н).
оператор орбитаЛl,ноrо момента ноличества движения k ro нунлона (7.39).
маrнитное нвантовое число ( 6).
масса элеI\Трона (2.3).
Macca нейтрона ( 3).
Macca Нунлона. Это обозначение употребляется, ноrда различие между М N
и Мр несущественно ( 7).
Macca атома, состонщеrо из ядра (2, N) и 2 элентронов (2.2).
Macca атома водорода (2.3).
обобщенный (статичесний) маrнитный мультипольный момент порядна l, т
(7.49).
М n масса нейтрона ( 2).
М ндра Macca ядра (2, N), лишенноrо атомных элентронов (2.1).
Мр Macca протона ( 2).
М (r) BeI{ТOp памаrничения в точне r ( 7).
Мс (r) намаrничение, обусловленное тоном проводимости j (r) (7.31).
М. (r) намаrничепие, обусловленное спинами нунлонов (7.33).
n нейтрон (3.1).
N число нейтронов в ядре [N==A 2] ( 1).
р протон (3.1).
Pi (r) dV вероятность обнаружить i й нуrшон в элементе объема dV на расстояни. r
от центра масс ндра (7.5).
ОПератор импульса k ro нунлона [Pk == ih Vk] (7.32).
42
,В*
В (се)
,С
'с
'n '
е
-e
е+
Е
Е*
Е""
J
lJ
lJ
lJL
lJn
lJp
!Js
1i
Н
Х
зс (r)
1
1
j (r)
)k (r)
к
Lk
m
те
т,/
м
Мат.
Ми
M Zm
Pk
rл. 1. Общие СlюuстlJа лоер
энерrия связи возбужденноrо состояния ядра ( 2).
энерrия связи се частицы [В==28,2 Мэв] (2.10).
полуось эллипсоида, параллельная ero оси симметрии z (7.17).
CHOpOCTЬ света [с==3.10 1О c.lt/celr] (7.15).
проенция на ось z дипольноrо момента, соответствующеrо распределен-ю
зарядов (7.4).
заряд элентрона [e==4,8.10 10 CGSE] ( 1).
элентрон (3.1).
позитрон (3.2).
потенциальная энорrия распределения зарядов р во внешнем поле с потеи
циалом q> ( 7).
энерrия возбуждения ядра до испуснания частицы (5.6).
значение потенциальной энерrии V (r) двух беснонечно удаленных ядер В и С
Обоапачепuя
43
Р12
Q
Qlm
Q(m)
Q (+)
l'(}
rk
1 R
R'
5
Sa (Х)
S..
8с
Sc (а)
51!.
ЭА (r)
Sn
8'1
S'It1,
Sp
tч'А
Т
U
и*
хА
z
У
Y 1m
Z
t.
t.
t. Z . Z+l
Е
Е
относительный иыпулъс частиц 1 и 2 (9 8).
электричесний нвадрупольный ыоыент (7.17), (7.25).
обобщенный (статичесний) элентричесний ыультипольный ыоыент порядка
l, т (7.26).
элентричесний нвадрупольный ыоыент систеыы в состоянии Ф с полным
ыоыентоы ноличества движения 1 и ыаrнитныы нвантовыы числоы 1 z == т
(7.24), (7.25).
элентричесний нвадрупольный ыоыент системы в нвантовоы состоянии Ф
(7.15).
параыетр, входящий в определение радиуса ядра [ro==R/-rА] (4.1).
радиус вентор k ro нунлона (9 7).
радиус ядра ( 4).
радиус нонечноrо (дочернеrо) ядра после а распада (5.10).
Beнтop спина частицЫ (7.29).
энерrия отделения частицы а от ядра Х (9 2).
энерrия отделения сх частицЫ (2.10).
нулоновсная часть энерrии отделения протона, равная высоте нулоновсноrо
барьера для протона (5.2).
I{улоновсная часть энерrии отделения сх частицы, равная высоте I{УЛОНОВСl{оrо
барьера для сх частицы (5.9), (5.10).
BeHTOp спина k й частицЫ (9 7).
плотность спина в точне r, связанная с k й частицей (9 7).
энерrия отделения нейтрона (9 2).
ядерная часть энерrии отделения протона [Sv==Sp+Sc1 (95).
ядерная часть энерrии отделения а частицы [S'I,,==S,,+Sc(cx)] (9 Б).
"нерrия отделения протона (9 2).
период полураспада радиоантивноrо ядра (приыечание2, стр. 17).
cpeДHee вреыя жизни возбужденноrо состояния [Т==П l] (9 3).
полная энерrия ядра (2.4).
полная энерrия возбужденноrо ядра (9 2).
обозначение ядра с ыассовыы числоы А, содержащеrо 2 протонов и N == А 2
нейтронов [zXA==zX== хА] (3.1')
оБОЗIIачение I{онечноrо ядра после отделения частицы а от ядра Х (9 2).
норыированная сферичесная rаРЫОНИl{а порядна [, т (определение дано в при
ложении 1) (7.26).
заряд ядра в единицах е [2==атоыноыу ноыеру==числу протонов в ядре] (91).
уrол ыежду осью z и осью z' распределения зарядов р (7.21), (7.22).
дефент ыассы (2.1). .
==t. z . Z+l (3.5).
разность полных энерrий изобарных ядер (2, N) и (2+1, N 1) (3.4).
энерrия связи элентрона в атоые до захвата ядроы (3.7).
полный заряд, соответствующий распределению зарядов р,
[e==Sp(x, у, z)dV] (7.4).
параыетр энсцентричности эллипсоида ['fj == (с 2 а 2 )/( с 2 + а 2 )] (7.17).
длина волны де Бройля, соответствующая относительноыу движению частиц
1 и 2 (8.2).
IL ыаrнитный ыоыент ядра (97).
р. вентор ыаrнитноrо ыоыента (7.29), (7.37).
!"о ядерный ыаrнетон для протона (7.46).
lLn ыаrнитный ыоыент нейтрона (9 7).
ILP маrнитнЫй ыоыент протона (9 7).
тj
(rI2)
'1
n
р
Рт (r)
.,
+
...If,lkp
оператор маrнитноrо момента (7.40) (7.42).
оператор маrнитноrо момента, обусловленноrо тонами проводимости (7.3 .
оператор маrНИтноrо момента, обусловленноrо спинами (7.40).
нейтрино (3.1).
вероятность Пронинновения через потенциальный барьер в единицу вре.-
мени ( 3).
нлассичесная плотность заряда ( 7).
«плотность маrНитноrо заряда» в точне r (7.48).
элентростатиче,щий потенциал ( 7).
волновая Фуннция ядра ( 7).
rлава II
3АДА чл. ДВУХ ТЕЛ ПРИ мл.ЛЫХ ЭНЕРrинх
1. ВВЕДЕНИЕ
В литературе и учеБНИI{ах уделено orpoMHoe по сравнению с осталь
ыми вопросами ядерноЙ фИЗИlШ внимание процессам, в ноторых участвуют
два нун:лона. Это обусловлено двумя причинами. ВО IIервых, задача двух
тел проста математичесн:и. BO BTOpЫX, ожидается, что силы, действующие
между двумя нунлонами, аддитивны, тан что в принципе полное решение
задачи двух тел позволило бы предсназать все своЙства ядер. Правда,
сеЙчас имеются, повидимому, уназания на то, что ядерные силы не
аддитивны: если бли3I\О друr н друrу находятся более чем два нунлона,
то силы, деЙствующие метду наждой парой нунлонов, снорее ВСЫ'О, не
равны силам, деЙствующим метду изолированными парами. Таним образом,
вопрени отиданиям, исследование задачи двух тел не иrрает В ядерной
фи зине столь фундаментальной роли. Тем не менее задача двух НУIШОНОВ
является основной проблемой ядерноЙ физин:и и лучшим источнином
наших знаниЙ о природе ядерных сил!).
В этой rлаве рассматривается задача двух тел при энерrиях относительно
малых по ядерНОII шн:але (т. е. при энерrиях, меньших 10 Мэе). Результаты
опытов, выполненных при больших энерrиях, будут обсутдаться в rл. IV.
Так нан мы оrраничиваемся энерrиями, малыми по сравнению с энерrией
поноя нунлона, то всеми релятивистсниМ:и эффен:тами мотно пренебречь.
Друrие неточности значительно превышают возможные релятивистсние по
правни [218, 685].
Сведения о природе сил, деЙствующих метду двумя нунлонами, пона
еще не MorYT быть получены теоретичесни. Поэтому в задаче двух тел
должны содертаться определенные эвристичесн:ие предположения, Iшсаю
щиеся этих сил. Несостоятельность этих предположений мотно выяснить
тольно при сравнении результатов теории с опытом.
При рассмотрении систем, состоящих из двух тел, обычно считают,
что ядерные силы I{онсервативны и описываются потенциалом V (7'), rде r
расстояние между нунлонами. Хотя у нас нет достаточных причин COMHe
ваться в справедливости занонов сохранения, однано описание посредством
ядерноrо потенциала предполаrает, что силы, деЙствующие между НУIШО
нами, не зависят от относительноЙ снорости частиц. Весьма вероятно, что
будущие энсперименты ун:ажут на существование сил, зависящих от сноро--
стей. Однан:о, н:ан будет пО!шзано далее, результаты задачи двух тел
при малых энерrиях довольно нечувствительны н предположениям о за
конах сил.
Причина уназанной нечувствительности занлючается в необычайной
малости радиуса действия ядернЫХ сил и очень большой их величине в
1) CTporoe изложение задачи двух тел МОЖIIО найтИ в книrе: А. А х и е з ер' и
И. П о м е р а н ч у к, Некоторые вопросы теории ядра, М., 1950. См. таI\же обзор
S q u i r е 5, Progress in nuclear Physics, 2, 89 (1952). Прu.lt. перев.
46
rл. //. Заоача овух тел .nри .малых Эllереиях
пределах радиуса действия. Впервые на это уназал Виrнер [803,8041 в связи
с большой энерrией связи а. частицы по сравнению с энерrией связи дей
трона. При энерrиях менее 10 Мэв радиус действия ядерных сил мал по cpaB
нению с длиной волны де Бройля частиц. Поэтому в той мере, в IШНОЙ они
определяют волновую фуннцию системы, ядерные силы оназываются энвива
лентными идеализированным бесн:онечным по величине силам с нулевым
радиусом действия. В соответствии с этим детальное знание зан:онов ядерных
сил несущественно. Естественно, что н:онечность радиуса действия ядерных
сил приводит Н ряду поправон, н:оторые MorYT быть определены из опыта.
Однано результаты дате очень тщательно выполненных опытов при малых
энерrиях, I{pOMe величины « эффентивноrо радиуса» ядерных сил и «rлубины>>-
потенциальной ямы, не дают нинаних сведений о свойствах ядерных сил.
Детальная форма потенциала остается полностью неопределенной.
Эта rлава начинается с рассмотрения OCHoBHorO состояния дейтрона.
При этом сначала делается упрощающее предполотение о том! что ядерные'
силы потенциальны и не зависят от спинов. Затем следует обсутдение pac
сеяния нейтронов на протонах, из HOToporo вытен:ает необходимость учета
зависимости ядерноrо потенциала от спинов. Рассмотрены нен:оторые особен
ности рассеяния нейтронов протонами, связанными в молеI{улах. Затем
проводится обсуждение ядерноrо взаимодеЙствия двух протонов, ИЗ'
I{OTOPOI'O следует ватный вывод: хотя потенциалы взаимодействия нейтрона
с протоном и протона с протоном не определяются однозначно из
ы{спериментальных данных, все результаты, полученные при малых
энерrиях, мотно объяснить, предполотив, что между двумя протонами
действуют тапие те ядерные силы, HaH и между неЙтроном и протоном.
Последний параrраф посвящен изменениям вида ядерноrо потенциала
в связи с отн:рытием нвадрупольноrо момента дейтрона [426, 427]. Силы,
деЙствующие метду двумя нун:лонами, не являются БОJIьше центральными,.
а должны содертать выратения, зависящие от относительноЙ ориентации:
спинов и радиуса вентора, соединяющеrо оба нунлона.
s 2. ОСНОВНОЕ' СОСТОЯНИЕ ДЕЙТРОНА;
УПРОЩЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ В СЛУЧАЕ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
Дейтрон является системой, состоящей из двух частиц примерно равной'
массы М, н:оторью удертиваются вместе норотнодействующими силамИ'
притятения. В этом параrрафе мы будем предполаrать, что силы при
тяжения деЙствуют вдоль линии, соединяющеЙ обе частицы, т. е. что'
они являются центральными. Таное предцоложение оназаJIОСЬ неверным.,
В действительности существует взаимодействие сцина с орбитой (так
называемые тензорные силы), учет HOToporo заметно усложняет волновое.
уравнение. Однано решение задачи двух НУШIOнов в приближении простых
центраJIЬНЫХ сил начественно верно описывает явление и не содержит суще
ственных усложнениЙ, Вознинающих при учете связи между спином и,
орбитальным движением.
ПреДJIолаrаемые центральные силы м Ol'YT быть получены из потенс...
циаJlа V (r). Тю{ нан имеет место притяжение, то потенциал V (r) отрица
телен и уменьшается с уменьшением расстояния между частицами. Пред
u
ПОJIаrаетсн, что он отличен от нуля тольно В пределах малои ооластИ'
Ь",-, 2 .10 13 СМ, нак поназано на фиr. 8. Волновое уравнение, описыпаIOще
относительное движение двух частиц, имеет вид
( п 2 )
2;;: V 2 y (r) + V (r) у (r) == Еу (r),
(2.1)!
\
9 2. ОС1l081l0е. состОЯlluе оейтРОllа
47
rде fJ. == 1/ 2И приведенная масса, Е энерrия относите.JIьноrо движения
а r радиус вен:тор, соединяющий обе частицы. Тан н:ан потенциаЛ V (r}
описывает центральные силы, то он зависит тольно от абсолютной величины
вентора r == I r 1. Нас интересует основное состояние этой системы, энерrия
АОЗ8оленная
зона r 1, Запрещенная зона
I
I Ь
B
r
'"
:i}
Yo
Фи r. 8. Потенциальная энерrИi1 V (r) ядер
ных сил нритяжения стаНОВИТСi1 пренебрсжимо
малой, Rоrда расстояние между частицами r
нревышает радиус Ь. ОБJlасть E V (r) > О в
дейтроне является (<дозволенной зоной», об
л;асть Е V (r) < o «запрещенной зоной».
R
r
/'V(rJ
,
,
,
,
а
U(r)
Ь
R
'
r
,
,
/V(r)
,
I
I
б
Фи r. \:J. Два стационарных co
СТОНllИЯ n случае потенциала HO
РОТRодействующих сил V (r).
Радиальнан часть волновоЙ фуfпщии
и(r )==r<!i в «аапrещенноЙ ноне» ведет себн
нан er/R . тде R==Y MB/ h (В энерrин
свнни). В основном состоЯНИИ (а) и(r)
внутри пмы (r < Ь) соответствует HeMHO
тим более четверти длины волны;
в следующем воsбу>ндепном состоннии
(б) немноrим более трех четвертей
длины волны. Состояние б не реали
ауетсн в деЙтроне. тан нан силы, дей
ствующие мешду неЙтроном и протоном.
обеспечивают существование тольно
. одно то свннанното состонния а.
HOToporo Е равна В, rде В == 2,2261:0,003
И эв энспериментально найденная энерrия
связи дейтрона [536, 744, 41, 701, 553].
Мы считаем, что основное состояние
сферичесни симметрично (S состояние),
поэтому (r) зависит толыю от r == I r 1.
Полотим == и (r)/r. Тоща и 2 (r) определяет вероятность Toro, что две частицы
находятся на расстоянии метду r и r + dr. Для и (r) получим уравнение
( п2 ) ( d2u )
111 dr2 + V (r) и (r) == Еи (r)
(2.2)
с rраничными условиями
и (r) == О при r == О и при r.......,. (х).
Обычно уравнение (2.2) записывается в следующей форме.
d 2 u
dr 2 +)(2 (r) и (r) == О,
(2.3)
(2.4)
..
rде )( (r) волновое число в точн:е r:
)( (r) == 1: h 1 {И [Е V (r)]\1/2.
(2.5),
При малых
энерrии Е
HOToporo
r потенциальная энерrия V (1') становится меньше полной
(см. фиr. 8). Существует таное расстояние r 1 порядна Ь, для
v (r 1 ) == Е.
(2 6)
8
rл. 11. Заоача двух тел при .малых вnереиях
"
Из формулы (2.5) видно, что волновое число является действительным
для r < r 1 и мнимым для r > r 1 . Область r < r 1 есть «дозволенная зона».
Если бы частицы подчинялись занонам н:лассичесн:ой м'еханини, то они Ha
ходились бы на расст()яниях r < r 1 друr от друrа, т. е. в пределах дозво
ленной зоны. Область r > r 1 есть «запрещенная зона», в ноторой система
НИIюrда не моrла бы находиться, если бы ее двитение подчинялось зан:онам
илассичесной механин:и.
Определим потенциальную энерrию, необходимую для Toro, чтобы
()бъяснить наблюдаемую энерrию связи дейтрона. Для этоrо исследуем
'Собственную фующию и (r), удовлетворяющую уравнению (2.4). При r,
БJIИЗНИХ н: нулю, u (r) будет вести себя, rрубо rоворя, нан sin Kr, rде К '
неноторое среднее значение волновоrо числа х (r) в разрешенной области.
Таное поведение будет иметь место во всей области действия ядерных сил
IШЛОТЬ дО rраницы запрещенной зоны. В запрещенной зоне потенциа'л V (r)
быстро становится пренебретимо малым. Нинетичесн:ая энерrия Т == Е V
ОIшзьшается отрицательной, и для волновоrо числа, соrласно (2.5), имеем
k ==:!: (2'rB)1f2.
R == I k 1 1 == 1i (2'rB) 1/2 == 4,31.10 13 СМ.
(2.7)
j,
,1
'1
1
J
1
i
j
j
j
J
При этом волновая фунн:ция и (r) ведет себя н:ан e Tт, rде R дается соот-
ношением
Друrое решение e+ r / R иснлючается rраничным условием на беснонечности.
Вид радиальных волновых фуннций и (r) поназан на фиr. 91). BHYT
ренняя область ДОJIжна содертать немноrим больше четверти длины волны
(фиr. 9, а), трех четвертей длины воЛнЫ (фиr. 9, б) и т. д., тан нак волна
должна быть «сшита» с ЭJ{спонентой, насательная н I{ОТОРОЙ направлена
и оси абсцисс. В случае а волновая фую{ция является нанболее плавной
и поэтому соответствует наименьшей нинетичесн:ой энерrии. Следовательно,
случай а соответствует основному состоянию дейтрона.
Необходимо отметить, что с ростом r волновая фУННЦИЯ и (r) спадает нак
e r/R, rде R неноторая постоянная, имеющая размерноеть длины и замет
но превышающая радиус ij.ействия ядерных сил. Это значит, что «раз
меры» дейтрона больше радиуса действия ядерных сил. Следовательно,
имеется заметная вероятность найти в связанном состоянии два нунлона
на расстоянии, большем, чем радиус действия сил, удерЖИвающих эти
НУIШОНЫ. Это обусловлено нвантовомеханичеСIШМ «туннельным эФФентом»,
который аналоrичен диФФраЮIИИ световой волны в области, rде reo
метричесная оптина предсн:азывает' резн:ую тень. Волновая Фунн:ция
«расплывается» в запрещенной области; размеры этоrо «расплыванию>
()пределЯIОТСЯ формулоЙ (2.7). Тю{ IШН R > Ь, то размер деЙтрона опреде
ляется снорее величиной Е, чем Ь, т. е. нвантовомеханичесн:им диффран:
ционным эФфю{том, а пе радиусом деЙствия ядернЫХ сил. Следовательно,
дейтрон представляет собой довольно слабо связанную протяженную CTPYH
туру. Ядерные силы в дейтроне эффентивно деЙствуют толы{о часть времени
(примерно половину), тоrда ню{ остальное время частицы находятся
друr от друrа на расстояниях, превышающих радиус действия ядерных
сил, и не взаимодействуют друr с друrом. В более тяжелых ядрах частицы
упанованы плотнее и действие ядерных сил проявляется полнее. Поэтому
1] тятелых ядрах энерrия связи на частицу значительно больше [803].
1) В дrйствительнrсти осуществляется толы\o 'перван из этих возможностей
{фиr. 9,а). Потенциал реальных сил, действующих между нейтроном и протоном,
недостаточно rлуБОI\, вследствие чеrо возможно ТОЛЬНО одно связанное состояние.
n 2. ОС1l081l0е состОЯlluе оейтРОllа
019
НИЖllИЙ предеа для rлубины потенциала, обеспечивающеrо связанное
состояние дейтрона, получится, если предположить, что энерrия связи
дейтрона близна н нулю. При этом величина R велина по сравнению
с радиусом действия ядерных сил и фунrщия и (r) при r>- Ь прантичесн:и
rоризонтальна. Из фиr. 10 следует, что в
области r < Ь должна тоrда унладыпаться чет
верть длины волны, т. е.
ь +л== 1 == 1 (21t1i)( и17) 1f2, (2.8)
rде К и V соответственно средние значения
волновоrо числа и потенциальной энерrии в
области r < Ь (следует отметить, что MaTeMa
тичесное ожидание потенциальной энерrии в
основном состоянии по абсолютной величине
существенно меньше, чем I VI, таи нан: час
тицы значительную часть tiремени не взаимо
действуют друr с друrом). В соответствии с по
ставленной нами целью найти нитний предел
величины I VI мы пренеuреrли в (2.8) :шерrией
связи дейтрона по сравнению с I v i. YpaBHe
ние (2.8) мотно переписать в следующем виде:
,.
Фи r. 10. В пределе, коrда
знерrия СВiIЗИ стремится к HY
ЛЮ, радиальная часть волно
вой функции u (r) внутри
области r < Ь оказывается чст
всртыо длины волны и псре
ходит в rоризонтальную пря
мую при r > Ь.
( 1t ) 2 п 2
b 2 j V I 2 м==1,02.10 24Иэв.с,М2.
(2.9)
Для TOrO чтобы дейтрон был устойчивой системой, потенциальная
энерrия внутри области действия ядерных сил долтна быть очень большой:
для Ь порядна 2 .10 13 с'м потенциальная энерrия I 17 I должна быть поряд
ка 25 Иэв.
В этом приб.lIижении знание энерrии связи дейтрона позволяет
найти величину произведения Ь 2 1 V 1, но не наждый из сомножителей
отдельно. Следовательно, относительно слабые силы с большим радиусом
действия MorYT дать таное же значение энерrии связи, н:ан: большие силы,
действующие в малой области.
Соотношение (2.9) основано на предполотении, что энерrия связи
дейтрона мала по сравнению со средней потенциальной энерrией в об
пасти r < Ь. Это предполотение пренрасно оправдывается при очень
малых значениях Ь. Однано для достаточно больших значений Ь, при I{O
торых энерrия I Vj, вычисленная по (2.9), становится сравнимой с энерrией
связи В, уравнение (2.9) нутдается в поправнах. Эти поправни обусловлены
двумя причинами: во первых, волновое ЧИСJlO х (r) внутри области r < ь
[см. (2.5)] меньше, чем приблитение (2.8), следовательно, при той же вели
чине потенциала длина волны в этой области о[{азывается больше; BO BTOpЫX,
волновая фуннция в области r < ь должна быть соответствующим образом
сшита не с rоризонтальной прямой линией, а с энспоненциально убывающим
решением в оБJIaСТИ r > Ь. Следовательно, для плавноrо сшивания необхо
димо, чтобы в области r < Ь унладывалось неснолы{о больше четверти
длины BOJlНbl. Обе эти поправни приводят н возрастанию величины потен
циала, необходимоrо для объяснения связанноrо состояния, делая дей
ствительную величину I v I большей, чем это следует из (2.9) 1).
1) Точную формулу, являющуюся обобщение" (2.9) на случай конечных значений
радиуса действия ядерных сил, см. в [491].
4 Заllаа.Ni З9б
50
rл. 11. 3аоача OIJYx тел при малых Эllереиях
Эти поправии обычно выражают с помощью параметр s (<параметра rлу
бины потенциаJШ», определяемоrо следующим образом: s число, на иоторсе
надо разделить действительный потенциал V (r), чтобы уменьшить энерrию
связи дО НУJIЯ. Таиим образом, фиитивный потенциал V (r)/ s дает энерrию
связи В == О и, следовательно, удовлетворяет формуле (2.9) при JIIобых
значениях радиуса действия сил Ь. ДJlЯ деиствительноrо потенциала V (r)
, в дейтроне -"> 1, и ОТJшонение s от единицы СJ1УШИТ мерой неТОЧНОСТII
приближенин (2.9). Удобным обстоятельством является то, что параметр s
зависит от отношения Ь/ R, ширины потеlщиаJIa 1{ «размерам» деЙтрона,
и равен единице дЛЯ Ь/ R == О. Отилонение параметра l'Jlубины s от едини
цы часто называется (<поправиой, учитывающеЙ н:онеЧНОСТh радиуса деи,
ствию> и простой оцение (2.9).
Параметр s паибо.тlее чувствителен и изменению веJIИЧIlНЫ отношения
Ь/ R в случае быстро RозрастаlOIIlИХ потенциалов типа прямоуrОJ1ьноrо.
В случае более «размазанных» потенциалов параметр s значительно меньше
чувствителен н: величине этоrо отношенин.
Для обычно используемых форм потенциала простая оцешш по формуле
(2.9) дает значения, заниженные на 30 50%, если считать b 1/2R==
== 2,15.10 13 С.М. Более детальные сведения читатель наi1дет в табл. V
работы [76].
ДJIЯ расчетов необходимо задаться неиотороЙ определенноii зависи
мостью потенпиала от радиуса. В JIитературе [5.5, 620, 621, 649, 389, 619,
100, 107, 218, 353, 375] наиболее часто употребляются следующие Bыpa
жения:
прямоуrольная яма
V (r) == {
V o
о
r < Ь,
r> Ь;
(2.10)
rауссовснип потенциал
V (r) == Voe r2/P;
(2.11 )
потенциал энспоненциаJIЬНОЙ формы
V ( 1' ) V e 2r/ '
о ,
(2.12)
потенциал Юнава
e r/
V(r)== Vo '
r
(2.13)
ДJIЯ этих потенциалов пара метр rлубины s опреде.ляется соотношени
ями:
прямоуrольная яма
s == 1Vo Ь 2 . (2 1 !. )
п2 п 2 ' .' I
rауссовсииЙ потенциал
== о 37261 VO 2 .
s, п 2 '
(2.15)
потенциал эн:споненциальной формы
О 1 291 MVO 2 .
s , 7 ,
(2.16)
9 3. Расrеянuе нейтронов на протонах
.51
потенциал Юнава
== О 59 r- 31 Л1Vо 2
s , <J п 2
(2.17)
Параметры t1, харан:теризующие ширину различных потенциалов, нель
ая сравнивать непосредственно ДРУI' с друrом. 'Удобно вместо параметра
ввести «харюперистичесний радиус действия» Ь. ДЛЯ упомянутых выше
потенциалов эти параметры связаны следующим образом:
rауссовсн:ий потенциал Ь == 1,4354 ;
потенциал энспоненциа,пной формы Ь == 1,7706 ;
потенциал Юнава Ь == 2, 1196 .
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Физичесн:ий .смысл величины будет выяснен в следующем параrрафе,
3. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ НА ПРОТОНАХ
А. Упрощенная теория
Рассеяние нейтронов на протонах существенно зависит от энерrии ней
тронов. Для энерrии менее 10 Мэв длина волны де Броi;jля (в системе центра
масс) велина по сравнению с радиусом действия ядерных сил. Следовательно,
нейтроны с моментом нолнчества движения l > О не подходят У{ протону на
достаточно близкое расстояние, при котором они моrли бы испытать заметное
рассеяние. Рассеяние обусловлено толы{о нейтронами с l==O (S рассеяние)
и изотропно в системе центра масс до тех пор, ПОJШ протон можно рассматри
вать нан свободную частицу. Последнее условие выполняется, если энерrия.
нейтрона велина по сравнению с энерrией химичеСI\Оii связи, ноторая yдep
живает протон в молю;:уле ИJIИ в нристалличеСI{ОЙ решеТI;:е, т. е. для энерrий
нейтронов, превосходшцих 1 эв. Мы подробно рассмотрим рассеяние нейтронов
на протонах в области энерrиii 1 Эв< Е< 10 А/эв. Особенности рассеяния
тепловых нейтронов будут HpaTI{O рассмотрены позднее. Обсуждение опытов
по рассеянию при энерrиях, превосходюцих 10 Мэе, содержится в rл. IV.
Будем рассматривать рассеяние неЙтронов на протонах J;:Ю{ чисто упру
roe рассеяние. Это, нонечно, не совсем верно, так кан возможен ДРУI'ОЙ,
I;:ОННУРИРУЮЩИЙ процесс захват нейтрона протоном с образованием дей
трона и испуснанием 1 Н:BaHTa [242]. Этот процесс мы рассмотрим в rл. ХН.
Сейчас нам достаточно толы;:о знать, что сечение радиационноrо захвата пре
небрежимо мало по сравнению с сечением упруrоrо рассеяния, если энерrия
нейтронов превышает величину 0,1 эв.
Напомним нратно обычный метод рассмотрения упруrоrо рассеяния
в случае центральных сил [546]. Волновая фУНJщия является решением
уравнения IIIреДlшrера для состояния с положительной энерrией Е, и мы
потребуем, чтобы она описывала пучон падающих частиц lIJIЮС рассеяннуш
волну, харю{теризующую частицы, удаляющиеся от рассеивающеrо центра.
Проведем анализ в системе центра масс. Необходимо отметить, что в БОЛk
шинстве опытов по рассеянию центр масс, системы не находится в поное.
Таним образом, энерrия Е относитеЛЫIОI о движения (I;:oTopoe нас интересует)
равна половине энерrии неЙтронов падающеrо пучна в лабораторной системе
I{оординат, а уrол рассеяния е в системе центра масс равен удвоенному
уrлу, на ноторый рассеиваются нейтроны в лабораторноЙ системе (простота
этих соотношений обусловлена равенством масс нейтрона и протона).
На очень больших расстояниях от рассеивающеrо це'нтра ВОЛIIовая:
фуннция
(r) == (х, у, z),
4-
52
rA. 11. 3аоача овух т л при .малых эnереиях '
описывающая относительное движение (r == r n r p ), имеет вид
e ihr
ljJ(r) eihz+f( )r при r........,.co;
(3.1)
rJ,l;e первый член соответствует падающему пучку, движущемуся в направ
лении оси z, а второй член описывает рассеянную волну, f (8) амплитуда
волны, рассеянной на уrол 8 к направлению падающеrо пучка. Волно
вое число k представляет собой асимптотичеСJ{ое значение выражения (2.5)
за пределами радиуса действия ядерных сил:
"
k == уМЕ
h .
(3.2)
(Эдесь Е без индекса является энерrией относительноrо движения.) Bыpa
жая k 2 в единицах 1024 с"",с 2 , а энерrиIO нейтрона в лабораторной системе
координат Е лаб . в Мэв, имеем
k 2 ( В 1024 c.м 2 ) == 1 206 Е ( В И эв )
, лаб. ,
(з.3)
. причем Е лаб. == 2Е.
Дифференциальное сечение упруrоrо рассеяния в элемент телесноrо
уrла dQ в направлении 8 связано с амплитудой рассеяния f (8) соотноше
lIIH M
da == I f (8) 12 dQ.
(3.4)
Разложим обычным способом волновую функцию 1jJ, определяемую
формулой (3.1), по собственным функциям оператора момента количества
движения:
о:>
ljJ (r) == 2j IjJl (r) Y 1 , 0(8),
1==0
rде Y 1 . О (8) нормированные сферические rармоники. Оrраничимся ДOCTa
точно малыми энерrиями, чтобы рассеяние происходило преимушественно
в S состоянии, т. е. с l == О. Torдa в разложении (3.5) нас будет инте
ресовать только член с l == О. Чтобы найти ero, умножим (3.1) на
У". ,,== 1/ / 4'1t и проинтеrрируем по уrлам:
iV eihr
ljJo (r) == (e ihr e ihr ) + V 4'1t f r при r........,. со, (3.6)
(3.5)
rде 1 обозначает среднее по уrлам от амплитуды рассеяния f (8). Для
малых энерrий f (8) не зависит от уrла и равна средней величине f. .
Для нахождения амплитуды рассеяния отметим, что rtj;o (r) == и (r)
ДОЮI\НО подчиняться волновому уравнению (2.2) или (2.4) для радиальных
фующий с Е == h?k 2 / 2f1 и rраничному условию и (r) == () при r == О. в данном
случае энерrия Е положительна и равна энерrии относительноrо движе
ния. При r 00 решение для и (r) имеет вид С sin (kr +- а), rде С произ
вольная постоянная. «Фазовый сдвиr» а однозначно определяется из rpa
НИЧНОl'О условия и (О) == О и волновоrо уравнения (2.2) для радиальных
фующий. Нормируем решение и (r) так, чтобы
' ( ) ( ) , Sin(kr+o)
иr >vr=== .,
SШ о
при r........,. 00.
(3.7)
.1
(Эта нормировка 1) отличается от обычной фактором sin а в знаменателе.
1) Термин «llOрМИрОВRа» означает в данном случае просто метод финсирова
11М произвольноii. постоянной в выражевии для волновой ФУIIRЦИИ путем задания и (r)
3. Рассеяпие 'Нейтро'Нов па npomona:J
&3
Она будет более удобна при последующем анализе.) Зависимость функции
и (r) от r схематически пред ставлена на фиr. 11. Сравнение членов в (3.6)
и (3.7), соответствующих падающей волне (пропорциональных B ikr), пока.
зывает, что мы должны положить
Фо (r) == v r 4'1t e i8 sin о иk ) .
(З.S)
Torдa сра нение членов, соответствующих расходящейся волне (пропорцио.
нальных e hr), дает следующее соотношение между амплитудой рассеЯНИI1
s волны f и фазовым сдвиrом S ВОШIЫ о:
1== ei8sino. (3.9)
Подставляя это выражение для
f (6) в (3.4), получаем дифферен
циальное сечение раесеяния в си
стеме центра маес.
Сечение не зависит от уr.ла
в тех пределах, в которых можно
пренебречь рассеянием в состоя
ниях С большими моментами коли
чества движения:
da == 2 Sin2 odQ.
(3.10)
r
Фи r. 11. При ПОЛОЖИТЕ)ЛЬНОЙ энерrии: 11
радиальная часть волновой ФУНКЦИИ и (т) за
пределами области действия ядерных сил
имеет асимптотическую форму v(r) ==
== sin (kr + o)/sinQ. Функция v(r) нормироваяа
1{ единице при т==О.
Таким образом, задача CBeдe
на к отысканию фазовоrо сдвиrа
S волны о IШК функции энерrии.
Будем иснать приближенное nы
ражение для о. Раесмотрим сначала поведение радиальной части волновой
фующии и (r) в том случае, коrда энерrия Е стремится н нулю. Обозначим
эту функцию через и о (r). МЫ пренебреrаем эффектом химической связи.
Ясно, что при этом, cTporo I'ОВОРЯ, мы имеем дело скорее с рассеянием прn
энерrиях, больших 1 эв, экстраполированным к нулевой энерrии, чем с дей-
ствитеЛЫIЫМ расееянием при очень малой энерrии. Будем рассматривать
такое экстраполированное расееяние кю{ рассеяние при (<нулевой» энерrии.
Вне радиуса действия ядерных сил волновое уравнение для радиаль.
ных функций (2.2) при Е == О имеет вид d 2 u o /dr 2 == О, т. е. асимптотически
переходит в прпмую линию. Так как решение уравнения (2,2) может быть
умножено на произвольный множитель С, то характерной для этой пря
мой является точка r=:=, а, rде прямая перееекает ось r. Схематически
функция и о (r) представлена на фиr. 12, Назовем величину а длиной
рассеяния [243] 1). Torдa мы можем написать
и о (r) == с (r а) для Е == О, r ----?оо.
(3.11)
при r ...... со и не имеет отношения к нормировке волновой ФУНI{ЦИИ OCHoBHoro состоявя/l.
00
и 2 (т) dr==1.
о
1) Иноrда длина рассеяния определяется более обще, I{ак значrние т, при котором
радиальная ВО.'IНовая ФУНI{ЦIШ И(Т) первый раз обращаrтся в нуль. При таком опредrле-
нии длина рассеяния является фуню исй энерrии, а онределрН!шя нами длина рассrяиия
а есть длина рассряния в нрrдельном случае нулрвой энерrии. В этой !шиrе мы не будем
пользоваться Уl{азанным общим опредrлением. В дальнейшем будем считать а постояв-
ной величиной, не зависящей от энерrии.
5
rл. 11. 3аоача овух тел при .«алых эн,ереu.< Х
Используя специальную нормировку (3.7) для [{ о (r),. СО1'ласно которой
ФУНКЦИЯ равна единице при r == О, получаем
[{ о (r) .........,. V o (r) == 1 !.... . (3.12)
, а
Сравнивая (3.12) с выражением (3.7), ноторое в пределе при k.........,. О прн
нииает вид V o == 1 + kr ctg о, находим
tg а == ka при k.........,. О, (3.13)
Подставив (3.13) в ..(3.10), получаем выражение для полноrо сечения
рассеяния при «нулевои» нерrии
00 == 47ta 2 . (3.14)
Фи r. 12. При «нулевой» энерrии Е == О pa
диальная часть ВОШIОВОЙ функции и о (r) за
пределами радиуса дейстшш ядерных сил
пмеетасимптотичесную форму V o (r)== 1 (r/a).
Внутри области деЙстВlШ пдерных сил (r < Ь)
фунrщия ио (r) БШ13на н и (r) (см. фИI'. 11),
а '00 (r) б.ТIИ3IЩ I( 1) (r).
Такой же вид в предеJlе при нулевой энерrии имеет сечение рассеяния на
непроницаемой сфере радиуса а. В этом случае ВОJJИовая функция исче
зает при r == а, что обусловлено
видом волновой фушщии (3.11).
Измерение сечения при (ШУJlевоЙ»
энерrии позволяет опреде.лить абсо
JIIОТНУЮ величину длины рассеяния,
но мы ничеrо не можем сказать о
r ее знаке.
Сuязь длины рассеяния а с ce
чением рассеяния можно найти
II прямым путем, с помошью BЫ
ражения (3.1) ДJIЯ ВОJIНОВОЙ функ
ЦИ11. ИЗ (3.1) следует, что при
НУJlевой энерrии == 1 + (f / r) и pa
диальная часть ВОJlНОВОЙ функции
U (r) == r принимает вид r + t. CpaB
нивая этот реЗУJlътат с (3.11), по
.Тlучаем t == а. Следовательно,
по формуле (3.4) da == a 2 dQ, что
немедленно дает фОрМУJlУ (3.14).
Теперь найдем выражение для фазовоrо сдвиrа п, следоватеJIЬНО, BЫ
ражение для сечении при произвольной энерпrи Е I).
Используем волновое уравнение (2.2) 11 сравним 01'0 с волновым ypaB
Ilением
1
",vo(rJ
,
"
1i 2 d 2 U
. . М dr20 + v И [{ о (r) == О
(3.15)
(2.2) на [{ о (r),
дЛЯ ВОJIIIOВОЙ фушщии [{ о (r) при энеР1'ИИ Е == О. 'Умножим
а (3.15) на U (r) и вычтем одно из друrОI'О. Получим
d ( ' ' ) 12
dr [{и о [{ои == /1, ии о .
(З.1fi)
Такое же уравнение ПОJJучается для асимптотичеСЮIХ выратений v (r)
и V o (r) фушщий II (r) (3.7) 11 [{ о (r) (3.12):
d
dr (vv vov') == /[2VV O '
(3.17)
1) Важную роль в теории рассеяния нейтронов на протонах сыrрала работа Вю',
lюра [804], в которой выяснллась родь больших идерных сил с малым радиусом действии.
Швинrер ввел в теорию эфф!штивный радиус [480, 674] и исполЬЗОвал вариационные
методы. Приводимые здесь упрощепные выражения принадлежат Бlте [63]. По теории
рассеяния нейтронов на протонах имеется обширная литература [53, 433, 389, 390,
156,702,703,436,619,28,76, 150,353, 471,423,746 и т. д.].
\ .',
8 3. Рассеяние нейтронов на про!понах
55
таи иаи v и V o удовлетворяют соответственно уравнениям (2.2) и (3.15)
для V == О. Вычтем (3.17) из (3.16) и полученную разность проинтеrрируем
по r от нуля до бесионечности. С учетом соотношений u (О) == О, v (О) == 1,
11' (О) == k ctg а и v (О) == 1/0, получаем 1)
/'
00
k ctg 8 == + k 2 \ (vv o ии о ) dr.
о
"Уравнение (:3.18) является точным. Мы примем ero за основу для
последующих приближениЙ. Прежде Bcero заметим, что основной вилад
в интеrрал дают те значения r, при ноторых фуниции u (r) и и о (r) замет
но отличаются от соответствующих асимптотических фуниций v (r) и V o (r).
Это и есть IШИ раз (<пнутреннян» облаеть, rде f>ффеитивно деЙствуют ядер
ные силы. В этоЙ области силы тю, велики, что поведение волновой фуни
ции [волновоrо числа х (r)] почти не зависит от величины полной энер
l'ИИ Е (см. фиr. 11 и 12). Потенциал V внутри области действии ядерных
еЮJ имеет величину поряДIШ 10 JVlэв и.ли БОJJьше, и учет Е дает очень
малое отличие. Следовательно, в хорошем приб.пижении ФУНIщии u (r) и
() (r) в интеrрале можно заменить их цыражеНJJЯМИ при нулевой энер
I'ии и о (r) и V o (r) соответственно. При этом мы получим формулу в тан
называемом «приближении, не зависящем от формы потенциала»:
(3.18)
1
I
!
'1 '1
k ctg 8 == а +;[ rok2,
(3.19)
r
)'де ro постоянная, имеющая размерность длины и определяемая выраже
нием
00
ro == 2 (v и ) dr.
о
Величина 7'0 зависит толы,о от потенциальной эперпш: V (7') и не зави
сит от k 2 . Подинтеrральное выражение в (3.20) равно нулю за пределами
области деЙствия ядерных сил, а внутри нее имеет величину порядна едини
цы. Следовательно, интеrрал (3,20) харантеризует среднее расстояние, на
нотором происходит взаимодеЙствие. Множитель 2 перед ИНТCl'ралом введен
для Toro, чтобы ro имело значение, близкое к ширине потенциала. Поэтому
назовем 7'0 «эффентивным радиусом», а член с ro в (3.19) «llопраВI'ОЙ,
учитывающей н:онечность радиуса деЙствию>. "Употребляя эту терминолоrию,
мы ДОJJЖНЫ п()мнить, что ro зависит не толы,о от ширины, но тю,же и от rлу
f)ины потенциала, Можно показать [76], что внлад от членов, которыми IIре
(3.20)
1) 3J(ecb может ВОЗНИIшуть неноторое недоразумение всЛrдствис 1'01'0, что интеrрал
<х)
\ uuodr равен нулю в силу обычной ортоrонаJlыlстии волновых функций, Относящихся
О
1( одному и тому же rаМИJlьтонпану, но н состояниям с различными ЭlIерrиями. Однако это
00
не относится 1, интеrралу \ VVodr, так нак v(r) удовлетворяет неоднородному rраничному
О
f
00
условию при r==(), Т. е. v(O)=='1. ИнтсrраJl \ VVudr отличен от нуля, и можно показать,
О
что он точно равен [k ctg о+('1/а)]/Р. Таким образом, (3. '18) сводится 1\: тождеству, если
учесть ортоrональпость фУlllЩИЙ u и и о .
7
:..
56
r.a.II. 3аоача овух теА при .м;а.аых эnереиях
Ь = liшr о ,
8 1
(3.21)
небреrается в (3.19), действительно мал по сравнению с ошибками экспери
мента при рассматриваемых энерrиях.
Характеристический радиус действия Ь [см. уравнения (2.18) (2.20))
определяется соОтношением
rде s определенный ранее параметр rлубины потенциаJ}:а. Так как в дей
ствительности ядерным силам соответствуют значения s, мало отличающиеся
1,2
8
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
а8
10
Ь
а7
8
Фи r. 13. Отношение эффеRтивноrо
радиуса ro R хараRтсристичеСRОМУ
радиусу Ь в зависимости от пара
метра rлубипы потенциала , для
обычно используемых четырех по
тенциалов (S прнмоуrольная яма,
G rаУССОПСRИЙ потенциал, Е по
тerщиал ЭRспонснциаJ1ЫlОЙ формы и
у потснциал Юнапа).
ПО определению Ь TO (To/b 1) при B 1.
т. с. НОI'ДЗ силы еднз ТОЛhНО обеспеЧlIва
ют С'пяяаннпе СОСТОRние. Эффентивный
РЗДIIУС То умею,шается с ростом в. Xa
рзнтср IIзмененил зависит от формы по-
тенциалз.
а6
Q5
Q4
{JЗ
от единицы (у{ак будет поназано ниже, это верно, в частности, для сил, дей-
ствующих в синrлетном спиновом состоянии), то .двум потенциалам раз-
личноЙ формы, но с ОДИНaI{ОВЫМП хаРaI{теристичеекими радv.усами действия
соответствуют примерно равные эффеJ{тивные радиусы.
Для значениЙ s, не равных единице, эффш{тивныЙ радиус отличается от
характеристическоrо. На фиr. 13 представлено отношение ro/b в зависимости
от параметра rлубины ямы s. Из поведения кривых следует, что эффективный
радиус ro уменьшается с ростом rлубины потенциала. Зависимость r 0/ Ь от
rлубины потенциала наиболее сильно проявляется в случае потенциала Юка
ва. НаиБОJlее слабая зависимость имеет место для прямоуrольной ямы. Это
объясняется формой потенциалов: потенциал IOKaBa имеет «длинный хвост»,
т. е. отличен от нуля на больших расстояниях, в то время как потенциал пря-
моуrольной формы резко обрывается при r==-b. Порядок расположения кри- "
вых на фиr. 13 определяется степенью «размазывания» потенциалов различ-
Horo типа. .
Численные данные, более Точные, чем те, н:оторые можно получить из
фИ!'. 13, имеются в табл. 1 работы [761.
I
J . H . l.
1
J
"\
,t.,
"; .
".
: ,.
\'
f"
:\1
t
:
J
\,
"
'\
'\
"
у
I
..
f
i
I
,:}
l'
t
8 3. Рассеяпtе нейтропов па протопах
57
Приближение (3.19) называется «не зависящим от формы потенциала»
потому, что в этом приближении рассеяние определяется только двумя пара
метрами: длиной рассеяния а и эффективным радиусом То' Эксперименталь
ные значения этих двух параметров MorYT быть получены для любоrо потен
циала (прямоуrольная яма, потенциал Юкава и т. д.), если должным образом
выбрать ero ширину и rлубину. Тан: каl{ выражение (3.19) является хорошим
приближением, то эпспериментальные данные позволяют определить тольпо
елубину и ширину потенциала, но не еео форму.
Мы можем также связать параметры, ОПИСЫВaIощие рассеяние с xa
рактеРИСТИJ{ами OCHoBHoro состояния дейтрона. Очевидно, что для этоrО'
необходимо просто заменить волновую функцию и (Т) в состоянии с поло
жительной энерrией Е на волновую функцию OCHOBH01'O состояния дейтро
на состояния с отрицательной энеРl'ией E== B. Нвадрат волновоrо числа,
вне области действия ядерных сил 1.2 теперь отрицателен [k2== 1/R2,
rде R «размер дейтрона», определяемый соотношением (2.7)]. Для асимпто
тическоrо выражения волновой фующии OCHoBHoro состояния дейтрона.
имеем v(r)==e I/R. Следовательно, v' (О) равно 1/R вместо k ctg о. В прибли.
жении, не зависящем от формы потенциала, получим
+
H a 2 R2'
(3.22)
Мы видим, что при пренебрежении радиусом действия ядерных сил дли
на рассе.<tния а равна размерам дейтрона в основном состоянии. Друrими
словами, рассеяние нейтронов на протонах (исключая попраВIЧ, учитываю
щуlO конечность радиуса действия) энвивалентно рассеянию на непроницае
мой сфере радиуса R. ,
Сопоставляя (3.10), (3.19) и (3.22), получаем следующую формулу для
сечения рассеяния неЙтронов на протонах в зависимости от энерrии [k опре
деляется по формулам (3.2) и (3.3)]:
4п
а==
( k 2 + 2 ) [ 1 R + 1 r5 ( k 2 + 2 ) ]
(3.23)
Эта формула содерi-Н:ИТ толы{о один подлежащиЙ определению параметр
эффективный радиус То (R определяется из известной энерr'ии связи дейтро
на). В принципе измерения при какой либо энерrии (например, при (<иуле
вой» энерrии) достаточны для определения величины эффот{тивноrо радиуса
действия ядерных сил. Из формулы (3.23) следует таЮl\е, что попраВI{а к pac
сеянию на неПРОНIщаемой сфере радиуса R с точностью до членов первоrо
порядка по то' учитывающая конечность радиуса действия, сводится просто'
к умножению сечения на постоянный множитель
1/[1 (ro/R)] 1).
в этом приближении сечение не зависит от предположений о ядерном:
потенциале Т1(т) , за исключением предположения о малости радиуса дей
ствия ядернЫХ сил. Правда, мы использовали допущение, что форма
волновой функции в области т<' Ь не зависит от энерrии. Однако это является
необходимым следствием малости радиуса деЙствия ядерныХ сил, а также
экспериментальноrо (малоrо) значения энерrии связи дейтрона (см. 2).
Таким образом, формула (3.23) очень хорошо обоснована теоретичеспи;
несоеласие с опытом должно рассматриваться.пап следствие фундаментальной
недостаточности наших основных представлений о ядерных силах.
1) Этот рсзультат был получеп Бете и Пайерлсом [53] без использОвания понятия'
эффективноrо радиуса.
..58
rл. //. Заоача овух тел при",малых 8нереиях
Б. Сравнение с опытом. Спиновая зависимость ядерных сил
Для (<нулевой» энерrии нейтронов формула (3.23) дает
4тr:B2
а о == .
(1 ; )
(3.24)
ЕСJIИ пренебречь попрюшой, учитывающей I\Онечность радиуса действия ro,
то для сечения при (<нулевой» энерrии получим величину, равную 2,33 х
х 10 24 с.м 2 . Мы ожидаем, что эффективный радиус ro меньше, чем размер
дейтрона R. Следовательно, поправка, учитывающая конечность радиуса
действия, не может изменить сечение больше чем в 4 раза. (Множитель 4
дает поправка, учитьшающая нонечность радиуса действия при ro == R.)
Можно НОJшзать, что поправки БОJlее BblcoHoro порядка, не учитываемые
формулой (3.24), малы при разумных предположениях о форме потенциа
.па. Таким образом, мы Ш)JIучаем окончательную теоретичесн:ую оценку
2,33.10- 24 с.м 2 а о < 9,32.10 24 с.м 2 .
ЭнспериментаJIЬНОС значение а о 1) оказалось равным (20,36 ::1:: О, 10) .10 24 с.м 2 .
Столь значительное различие значений а о указывает на то, что имеется
I\ЗIШЯ ТО фундаментальная ошибка в наших исходных предположениях.
Этот вопрос был выяснен Виrнером 2 ). Он обратил внимание на то, что
имеется значительное рааличие между основным состоянием дейтрона и co
стояниями интересующеЙ нас системы нейтрон + протон нри рассеянии.
Причина различия I{роется в том, что в проведенном рассмотрении не учи
тывались спиновые свойства рассеивающихся частиц.
Измеренный экспериментально [552, 217, 555] полный момент ноличе
ива движения (спин) дейтрона оказался равным единице. Тан I{aH: мы имеем
достаточно оснований считать, что основное состояние деriтрона является
преимущертвенно состоянием с орбитаJIЬНЫМ моментом количества движения,
pallIIbIM нулю, то спнны нейтрона и протона в деЙтроне ДОJIЖНЫ быть направ
лены параллеЛЫIО. Следовате.пьно, спины в основном состоянии дейтрона
/i,оррелироеаflЫ. В ОI ытах по рассеянию имеет место иное положение. Пучон
неЙтронов падает на ПОI\оящиеся протоны. Не КОНТРОЛИРУЮТСЯ ни ориента
[\ии спинов нейтронов в надающем нучне, ни ориентации спинов протонов
в рассеивателе. Следовательно, в опытах по рассеннию r.орре/{лцил спинов
отсутствует 3).
Два некоррелироваННhIХ спина, наждыЙ иа н:оторых равен 1/2' В среднем 1
три четверти времени направлены параллельно друr друrу (триплетное --
состояние) и одну четверть времени антипараллельно (синrлетное COCTO
яние)4). Величина энерrии связи дейтрона дает нам сведения о рассеянии для I
случая, 1,Ol'да две частицы рассеиваются в ТРИПJIOтном состоннии. Но если
бы ядерные силы зависели от отноеительной ориентации спинов нуклонов, 1
то наши знания об энерrии свяаи дейтрона (триплетное состояние) не дали бы i
нам НIШЮШ:Х сведениЙ о поведении системы, состоящей иа неЙтрона и проТО
на в сиш'летном состоянии. Таная цепь рассутдениЙ: привела Виrнера J{ необ
1) РаПIПfе пзмерrшш этоrо сечения были сдеJIaIlЫ n 1939 1941 rr. [157,158,697,
(j98, 346, 347]. Недапио были сделаны измеренил с нейтронпым сеЛеRТОром СRоростей
[418, 532]. ПриведешНlЯ здесь в('личина взята из работы [532].
2) Эта ваlIшал работа не была опуБJI1шована ВИП1ером. ССЫЛRа на е1'0 уназанне co
Дсржится в обзоре Бетс и l)ечера [55J.
3) Последнее uремя ВОЗНИ1, интсрсс R опытам с поллризопанныы ПУЧRОМ нейтронов.
13ЫJlИ прОВ"Дl'llЫ соответствующие теоретичесние расчеты [822], по до сих пор n рассмат'
,риваемой оБJlастн э][ерrий опыты не ПрОВОДИЛIlСЬ.
4) См. ПРШlошеш!() 1, S 4.
ii j
8 3. Рассеяпuе нейтропов па протопах
59
ходимости предположить спиновую зависимость ядерных сил, для TOro чтобы
объяснить расхождение между простоЙ теориеЙ и результатами опытов.
Обозначим через (1., и a t соответетвенно сечения рассеяния в синrлетном
и триплетном состояниях. Мы толы{о ЧТО ПOJ{азали, что (3.23) относится
лишь У{ а t, В то время как a s неизвестно. Измеренное экспериментально сече
ние является взвешенным средним этих двух сечений, причем весовые MHO
жители равны соответственно вероятностям обнаружить два некоррелирован
ных спина в триплетном и еиш'летном состояниях, т. е. 3/4 и 1/4'
Torдa
э
а с= 7; a t
1
7; а,'
(3.25)
Для неЙтронов е нулевоЙ энерrиеЙ имеем
ao==20,q.1() 24 С,М2 11
llодстановка этих значений в
('инrлетноrо рассеяния:
74,в.10 24 с.lt 2 > (а,)о > 53,6.10 24 с,М2.
2,33. 1 0 24 С,М2 <: ('1)0 <: 9,3. 1 0 24 с,М2.
(3.25) дает (;,ледующую оценку для сечения
"
<
"
I
I
1
I
Таним образом, еечсние еШIl'летнOJ'О рассеяния медленных нейтронов
;шачительно превышаGТ сечение триплетноrо рассеяния, составляя большую
часть наблюдаемOl'О сечения. ВерхниЙ предеJI сечения (crJo, соответствующий
нулевому радиусу взаимодеЙствия, дает по формуле (3.24) для синrлетнОЙ
длины рассеяния величину a; :f::2,43.10--12 С,м.
При раесмотрении СИНl'летноrо рассеяния мотно повторить все рассуж
дения раЗДOJlа А настоящеl'О параrрафа вплоть до формулы (3.20) включи
теJIЬНО. Однан:о мы не можем связьшать llараметры рассеяния в СИНl'летном
еостоянии а==а, и po==ro; е размерами дейтрона, так }{ю{ он находится в три
lшетном соетоянии. Следовательно, в этом случае соотношения (3.22) и (3.23)
несправедливы. В самом деле, мы даже не :знаем, допусн:ает ли вообще пдер
ный IJотенциал в синrлетном еостояпии V s (,') существование I\аких либо свя
:JaHHblX состояний. Известно лишь, что если таное состояние дозволено, то
::Jнерrия в этом состоянии должна быть больше энеР1'ИИ основнО1'О состояния
дейтрона, так кап связанноrо синrлетнOJ'О состояния эн:спериментально не на-
блюдалось. Мы увидим позте, что носвенные, но тем не менее убедительные
факты поназывают, что 'fю{оrо состояния у дейтрона вообще не существует.
Из формулы (3.14) следует, что, зная сечение синrлетнOI'О рассеяния
неЙтронов при (<нулевой» энерrии, мы можем наЙти синrJlетную длину pac
сеяния а" но ничеrо не можем сказать о ее знаке. Тю_ кю{ эффеJПИВНЫЙ радиус
в синrлетнОМ состоянии в случае I{ОРОТI{одействующих сил по.ложителен,
то вопрос о :знане СИНl'летноЙ длины рассеяния можно в принципе решить,
IIсследуя попраВJ{У, учитывающую нонечноеТh радиуса действия в рассеянии
при ЭIIерrиях, отличных от нуля. Однако степень точности Эl{СIIерименталь
ных результатов педоста'l'очна ДJIН тан:OI'О решения. Существует l'ораздо
более надежныЙ метод, J{ОТОРЫЙ будет рассмотрен позже в этом параrрафе.
Вопрос о зпан:е длины рассеяния можно с помощью (3.22) объединить
е вопросом о существовании связаП1Jоrо (;остояния системы. Связанному
состоянию системы соответствуют положительные значения R. П ренебреrая
попраВI\ОЙ, учитывающей конечносТь радиуса действия, находим, что пара
метр а Та!{же ПО.ТIожителеп; и наоборот, отрицательным значениям а COOTBeT
ствуют отрицательные значения Н, т. е. в 3ТОМ елучае связанноrо СОСТОЯНИIJ
существовать не может. Это утверждение нроиллюстрировано rрафинами
{фиr. 14, а и б), на I{OTOPblX изображены волновые фУНIЩИИ при нуле
вой энерrии, соответствующие положительному и отрицаТeJIЬНОМУ 3Ha
чениям длины рассеяния. Поведение волновой Фунн:ции при т< Ь в первом
,
60
, r.a. 11. 3аоача овух те.а при ма.аых эnереиях
приближении не зависит от энерrии Е. Следовательно, оно примерно одина
ково для связанных состояний, у которых энерrия связи не очень велика.
Мы видим, что волновая функция, изображенная на фиr. 14, а, может COOT
ветствовать связанному состоянию (ср. фиr. 9, а), если энерrия системы отри
цательна. Но волновая функция с отрицательной длиной рассеяния (фиr.14,Ь}
ведет себя во внутренн й области (r< Ь) так, что ее невозможно сшить с экспо
ненциально спадающим решением во внешней области. Следовательно, в этом
случае связанноrо состояния не существует.
Вопрос о знаке длины рассеяния можно объединить с вопросом о суще
ствовании связанноrо состояния системы, лишь предположив, что потенциал
не очень сильно отличается от Toro,
ноторый дал бы нулевую энерrиJO
связи (бесконечная длина рассеяния),
т. е. что потенциалу соответствует
параметр rлубины s, мало отличаю
щийся от единицы.
Большая величина сечения синr
летноrо рассеяния при «нулеВОЙ>r
r энерrии нейтронов свидетельствует о
большой величине синrлетной длины
рассеяния а, ==2,43.10 12 С,м,. Если бы
синrлетная длина рассеяния а з была
положительна, то связанному синr
летному состоянию дейтрона COOTBeT
CTBOBaJIO бы большое значение R и,
следовательно, очень малая энерrия
связи, Bo 100 пэв. В действительностиа,<О(см. раздел l )исвязанноrосин
rлеТНОI'О состояния деЙтрона не существует. Тем не менее для описани я синrлет
Horo рассеяния обычно вводят некоторую величину B , аналоrичную энер
rии связи дейтрона В. Величина B определяется следующим образом:
с помощью (3.22) находят параметр R (который теперь ОJ{азьшается отрица
тельным), изменяют знЮ{ R и подставляют полученную величину в (2.7),
что дает B==B . После этоrо rоворят, что существует (<виртуальное состоя
ние» с положительной энерrией B . Большая абсолютная величина синrлет
ной длины рассеяния интерпретируется НЮ{ следствие Toro, что (<вирту
альный уровень» системы расположен вблизи от нулевой энерrии. Однако
необходимо уяснить, что это толы,о способ обозначения. Никю,оrо различия
1IOЖДУ ВОЛНОВОII фушщиой В состоянии с энерrией Е==В; и волновыми функци
ями В любом ДРУI'ОМ состоянии с полотительноЙ энерrиеЙ не существует.
Комбинируя (3.10) и (3.19), получаем следующее выражение для сече
ния синrлетноrо рассеяния:
(r)
Ь а
r
щr)
"
'"
"
"
а
ь
а
Фи r. 14. а положительная длина pac
сеяния а свидетельствует о существовании
связанноrо СОСТОflНИЯ (ср. фиr. 9,а); 6 OT
рицательная длина рассеflНИЯ а свидетель
ствует о том, что систсма НО имеет свнзан'
Horo состояния с ЭНСрl'ией, близкой н нулю.
/.1
i
J
j
ч
1
'
1
;
4п
аз == ( 1 1 ) 2
a 2 rO$ k 2 + k 2
Соответствующее выражение для сечения триплетноrо рассеяния а/ может
быть приведено к виду (3.23). Величину ro в (3.23) следует положить равной
эффективному радиусу в триплетном состоянии 7'6/' Полное сечение опреде'
ляется формулоЙ (3.25).
В выратении для сечения имеется три неизвестных параметра: два
эффективных радиуса r o /' ros и длина синrлетноrо рассеяния а,. Длина три.
плетноrо рассеяния а ! определяется из (3.22) по извес'fНЫМ значениям r(}t
и энерrии связи дейтрона В. Наиболее точно измеренным сечением является
сечение для «нулевой» энерrии нейтронов а о ===(20,36:!:: 0,10).10'24 С,М,2 [418,
5321. зная величину сечения, можно, используя (3.25) и (3.14), связать а.
(3.26)
3. Рассеяпие пейтропов па протопах
бt
и а/. После этоrо в выражении для сечения при больших энерrинх остаются
два независимых параметра. В н:ачестве этих параметров мы примем эффек
тивные радиусы rOI и ros'
Измерив сечения, мы можем в принципе определить величины этих двух
эффективных радиусов. К сожалению, современная экспериментальная
100
80
60
40
80
20
I
.\ 10
8
е\) 6
4
ос 3
....
Q)
::s 2
r
;:)-
1
j qB
J цв
q4
цз
q2
.
.
,
l'
а.
\
'.. 1\,
,
\\
...... \\ f=:::::: 13
' ros=з,lО см
"', ...
" " /ros'=O
" '... ......1.
'...
, , ...'"'"
,', "Зм fi'" ......
,. , ...... ......
, t ......
....
'.... ... а; (1(,5=0)
....... ...
...... '- ......
.................. I ... ......
и, а; (r;,s=з.(о lk)/ ... ...... ...
......
...
ФО 1 2 3 4 5 6 7
Энереuя в лабораторной системе координат f лаб .. Мэе
..
Фи r. 15. Сечение рассеяния нейтронов на протонах (lnp СОСТОIIТ
из двух частей: сечения синrлетноrо рассеяния (1/4(18) и сечения
триплетноrо рассеяния (3/4(11). Оба сечения на rрафИI{е, нак и их
сумма, рассчитаны при следующих значениях параметров: ТРИIIлет
ное состояние при al==5,37.10 13 см и ro/==1,70.10 13 СМ; синrлет
ное состояние при aB==2,37.10 12 СМ, ros==O и roq==,3.10 13 СМ. При-
ведены также результаты опытов [21, 272]. Точность энсперимеп-
тальных данных недостаточна для определения значения r03'
техника еще не достиrла необходимой степени точности. Если rоворить
о сечениях, известных с точностью до нескольких проце;нтов, то положе
ние выrлядит следующим образом. Можно найти величины rOI и r o ,'
которые будут соответствовать экспериментальным данным во всей области
энерrий. Эти величины не являются, однако, единственными. Можно значи
62
rл,. //. 3аоача овух тел, при .малых э'Н,ераиях
тельно изменить значение одноrо из эффентивных радиусов (например, 1'01),
и это не нарушит соrласия с энснериментом, если тольн:о соответствующим
образом изменить величину друrшо эффен:тивноrо радиуса (1'oJ [751.
Поэтому оrраничимся здесь рассмотрением сечения для одноЙ определев
пой величины эффен:тивноrо радиуса в триплетном состоянии 1'01 == 1,7 .10 13 CJlC
(о причин ах тап:оrо выбора см. раздел l этшо парю'рафа). На фиr. 15 Пред
ставлен Вl\лад триплетноrо состояния в сечение рассеяния (3/4 cr l ) для этOl'()
значения 1'01, а танже внлад от рассеяния в СИН1'летном сОстоянии (1/4 а,,) ДJIЯ
двух значениЙ синrлетноrо эффен:тивноrо радиуса; 1'0,==0 и 1'o;==3.10 13 СМ.
Сплошными н:ривыми пон:азана сумма сечений синrлеТllOI'О и триплетпоrо pac
сеяний, н:оторая и определяется в ЭI\снерименте. При малых энерrиях пре
обладает синrлетное рассеяние. При энерrиях порядн:а 1 Мэв (в лабораторноЙ
системе) ВIшады от обоих видов рассеяния он:а:Jываются равными. При б6ш>
Ших энерrиях преобладает триплетное рассеяние. Это обусловлено большим
ста'l'истичесн:им весом триплетноrо состояния.
При энерrиях ОJ{ОЛО 5 Мав различие между сечениями СИНl'летноrо pacce
яния для двух выбранных значениЙ Т: о , становится довольно заметным, но это
мало сн:азывается на величине наблюдаемоrо сечения рассеяния во всем pac
сматриваемом интервале энерrиЙ. Нривые полных сечениЙ на фи!'. 15 почти
параЛJIOЛЬНЫ (в лоrарифмичесном масштабе). Следовательно, чувстви'rель,
НОсть наблюдаемоrо сечения н: выбору 1'0' во всеЙ области энерrиЙ от 1 до 6 МЭ6
примерно постоянна. Различие сечений ДJШ этих двух значениЙ 1'0, доходит
до 6 %. Поэтому измерения сечениЙ с точностью до 1 % (связанные с большими
энспериментальными ТРУДНОС'l'ями) не дают возмотности определить вели
чину сиш'летнOl'О радиуса точнее, чем ::+:O,5.10 13 СМ. На самом деле ошибш.l
будет, НОlIечно, значительно большей, тю{ н:ан: точное значение 1'01 неизвестно,
а любая ошибн:а в величине 1'01 при водит н значительно большей (примерно
в 7 раз) ошибн:е в 1'08' На фиr. 15 ha'i-lесеНbl тю{же энсперименталь,
ные данные [21, 2721. Ясно, что для определения величины 1'0 необходимы
rораздо более точные измерения.
Более точноэ определение сечениЙ проиэведено в работе [454]. Если
предположить, что ЭффСI\ТИВНЫЙ радпус в триплетном состоянии "01 ==
== 1, 7 .10 13 CJlt (см. раздел r этоrо параrрафа), триплетная длина рассеЯНИR
at==5,39.10 13 CJlC и сннrлетная длина рассеяния as== 2,37.1O'13 CJlC 2 [6591..
то новые значения сечений совместимы со значениями 1'0' в интервале 1,5 х
х 10 13 3,5.10'13 СМ. В S 4 мы увидим, что с теоретичесн:ой точн:и зрения весь,
ма удовлетворительным является значение Т'о; ==2,6 .10 13 СМ. Результаты co
временных эн:спериментов находятся в хорошем соrласии с этим значением 1'0' ,_
хотя они не оБJ1адают точностью, необходимой для Toro, чтобы УI{азать опре
ДеJlепные пределы, в ноторых зю{лючена величина 1'081).
, ,
В. Эффект химическоii: связи
На фИ1'. 16 IJон:азаны результаты опытов [418] по определению сеченин'
рассеяния неЙтронов па протонах в области очень малых энерrий. ВеJJичина,
сечения, соответствующая (<нулевой» энерrии (20,36 .10'24 CM ), наблю;(ается
при энерrиях, ЗaIшюченных в интервале от 1 до 100 эв. Поэтому нажется
удивительным, что при очень малых энсрrиях «/1 эв) сечение вдруr увели,
чивается примерно в 4 раза. Ферми ПОIШЗIШ [242], что это увеШlчение обу'
словлено эффен:том химичесн:ой связи, I{оторая удертивает протон в молен:уле
или нристалле. Химичесн:ая связь сназьшается на сечении рассеяния тольн:о,
при очень малых энерrиях нейтрона, порядн:а энерrий этоЙ связи (0,1 эв).
1) Анализ имспшсrося ранее энсперимснталыl)rоo материала [75] приводил R оши
БОЧllОМУ занлючснию, что ros ДОЛЖIlО быть очснь близно R нулю.
"1.::
' '.A:
s 3. Рассеяпие пейтропов на протопах
При энерrиях нейтронов, больших 0,1 эв, можно пренебречь свнзыо протона
в моленуле и считать ero свободным.
Нетрудно поназать, что если протон связан в моленуле, масса [шторой
значительно больше массы протона, а энерrия нейтрона тан мала, что oro
длина волны Л п велина по сравнению с размерами молен:улы, то сечение pac
сеяния нейтрояов на про
тонах увелнчивается в 4 pa
за. В этом случае цептр
масс системы находится в
центре МОJIеНУJlЫ. Тан нан
длина BOJIНbТ нейтрона Т'п Be
лина, то рассеиваются неЙт
роны тольно в S состоянии,
И поэтому рассеяние ДОЛЖIIО
быть сферичесни симметрич
ным в системе центра масс,
а для даннOI'О случая
в лабораторной системе. Сле
довательно, для дифферен
циальноrо сечения имеем
dcr == Cdr;2,
(3.27)
rде С постоянная, ноторую
необходимо определить. Pac
смотрим теперь рассеяние
нейтронов «нулевой» энер
rии на своБО)l;НЫХ протонах.
В этом случае уrловое pac
пределение будет сфериче
сни симметричным в системе
центра масс, )l;вижущейся со
сн:оростью, равпой половине
сн:орости нейтрона. Диф
ференциальное сечение pac
сеяния равно а 2 , rде а длина
тоrда
63'
90
'\. 1 I
, ,
\
\
' H " I
i\
\
1'\
,
........
80
70
'"
...
"
".
I
с)
....
60
50
gj 40
::r:
..,
:>- 30
с3
20
10
08 8 2
cj' cj' g. g. g.
8_8
c:r c::r c::r с::,-...... с\!
Знер2UЯ, эв
<::> <:::> <:::> <::> <::>
:;:} g 5'f
Фи r. 16. При энеРI'IШХ менее 1 эq полное сечl'ПИО
рассешIИЯ НОЙТРОIlОП на протонах (измерР!шое в воде)
резко возрастает от значепия при (ШУJ!евой» энер!'ии
(ao===20,36.10 2 см 2 ). При Е лаб . ==0,004 эв оно равно
примеРIlО 4ао и все еще продолжает возрастать [418].
Дальнсйший рост сечешlП (не рассмаТРИIJасмый в
ра шах упрощенной тсории, И3JIaI'асмой IJ этой rлаве)
обусловлен двумя причинами: теIIЛОIJЫМ движснием
молекул воды (ДОППJlCр эффент) и сечением радиа
ЦИОlшоrо захвата I1СЙТРОНОВ протонами.
рассеяния,
в лабораторной еистеме имеем
dcr сноб. == 4а 2 СОБ О d ?.
(3.28)
Заметим теперь, что эффенты химичесн:ой связи не сн:азынаются при
ynpyroM рассеянии нейтронов на очень щшые уrлы, 'l'aH н:ан в этом случае
можно прзнебречь отдачей протона и несущественно, был ли протон связан,
или нет. Приравнивая (3.27) и (3.28) при Ь== О, получаем С==4а 2 и
dcr == 4а 2 dQ, (3.29)
что дает для величины ПОJIНОI'О сечения значение 1G7ta2 B 4 раза больше,
чем для нсевязаННОI'О состояния (3.14). Этот проетой реЗУJlьтат еправед.ЛИВ
тольно в предеJIЬНОМ случае очень медленных неЙ'l'РОНОВ и очень тяжелой
молен:улы.
Влияние связи протона в МОJIOн:уле на раесеяние неЙтронов не может
быть рассмотрено обычными методами теории рассеяния, ибо нет возможно
сти исн:лючить движение ЦeIпра масе нейтрона и протона (протон химичесни
связан в молэн:уле, н:оторая может иметь импульс). Раесматриваемая задача
'существенно упрощается, ес.ЛИ учесть то обстоятельство, что область действия
ядерных сил ничтожно мала по сравнению с размерами молеН:УJIЫ (амплитуда
t
1
?'" \'-," \
";-
4
r.л,. //. Задача двух тел при .ма.л,ых 811.ер8UЯХ
Rолебаний протона в моленуле порядна 10 9 см), хотя сила ядерноrо взаимо
действия в миллионы раз больше химичесних сил. Следовательно, взаимо
действие нейтрона с протоном можно с хорошим приблитением рассматри
dЗать нан взаимодействие при ударе, т. е. считать, что оно равно нулю, ноrда
нейтрон и протон находятся дален о друr от друrа, и отлично от нуля тольно
тоrда, ноrда они находятся в одной точне. Мы долтны разработать HBaHTOBO
механичесний метод рассмотрения точечных ударов, аналоrичный специаль
,пым методам п:лассичесной механини, созданным для рассмотрении «MrHOBeH
ных» (точечных) соударений.
Тан нан мы имеем дело с очень малыми энерrиями, то поправна, учиты
<Бающая нонечность радиуса действия ядерных сил в (3.19), пренебретимо
мала. При рассмотрении рассеяния ядерное взаимодействие можно описывать
одним параметром, например длиной рассеяния а. Ввиду Toro, что ядерные
размеры малы по сравнению с молен:улярпыми, наблюдаемое рассеяние Meд
ленных нейтронов на химичесх;и связа1l1lЫХ протонах может зависеть от
харах;тера взаимодействия нейтрона с протоном тольх;о через посредство
Влины рассеяния а.
Рассмотрим теперь нвантовомеханичесную запись взаимодействия при
точечных соударениях. Волновая фуннция, описывающая движение ней
трона и протона, будет записеть от положения r п И r р двух частиц
(и, возможно, от друrих переменных, ноторыми мы мотем сейчас пре
небречь). До тех пор пона протон и нейтрон не находятся в одной и той
же точне, волновая фуннция W подчиняется уравнению Шрединrера:
Н о W == EW дЛЯ r n =1= r р' (3.30)
rде Н о rамильтониан свободноrо нейтрона и связанноrо протона:
"' 2 "' 2
Но== 2Mп V 2M;V +U(rp); (3.31)
v,; и v операторы Лапласа, действующие на иоординаты. нейтрона и
протона, а и (r p ) , потенциальная энерrия протона, связанноrо в моленуле.
В действитеJIЬНОС'l'И и (r p ) зависит не толыю от rp, но такте и от располо
жения веех друrих атомов в моленуле. Но мы упрощаем задачу, принимая,
'что и (r p ) является фуннцией тольио rp' l'амильтониан Н о не содертит
нин:аноrо взаимодействия между протоном и нейтроном.
Чтобы рассмотреть поведение волновой фушщии в точие r n == rp, BBe
дем расстояние между протоном и нейтроном r == r n rp и вспомним фор
му радиальной чаети волновой фуннции вблизи (<нулевой» энерrии [см.
(3.11)]. Волновая фуниция чr должна быть пропорциональна 1 (ajr),
,rде а длина рассеяния, а r == I r I == I r n r р 1. Тан:им образом, наJIичие вза
'имодейстпия при точечных соударениях предполаrает у волновой функ
,ции W особенность при r == 01). Мнотитель перед [1 (ajr)] зависит от поло
жения двух частиц при совпадении, например от rp' Поэтому получается
-следующее ераничное условие, налаеае.Atое на волновую фующ.uю qr при
r n rp:
W ( 1 , ) <р (r p )
для
r O,
(3.32)
rде <р (r ) неи ото рая фушщия, н:оторая будет определена позднее. В усло
13ие (3.32) входит тольн:о абсолютная величина r расстояния между нейтро
ном и протоном, тап: ию, мы предположили, что взаимодеЙствие при столн:но
вении является сферичесн:и симметричным (взаимодействие в S состоянии)_
1) В дrйствительности никакой особенности при r O не сущеСТIJует. Выражение
H (a.'r)] праIJИЛЬНО для величин r, малых по сравнению с молекулярными размерами,
>8:0 б6льших ио сравнению с областью действия ядерных сил.
s 3. Рассеяние 'Н,ейтро'Н,ов на прото'Н,ах
65
Уравнение (3.30) для r " =1= rp в совонупности с условием (3.32) для
r п == rp Полностью определяют волновую фуннцию. Однан:о более удобно
вместо (3.30) и (3.32) иметь толыю одно уравнение, н:оторое мы назовем
основным уравнением для взаимодействИя при точечных соудаРellиях. Впервые
ero получил Брейт [111, 1'12] неС}ШЛЬЮJ ДРУ1'ИМ путем.
rраничное УСJIOвие (3.32) требует, чтобы при очень малых значениях r
2 aw д (r\V) (3. 33)
7' ar a
lfРОИlпеl'рируем обе части этоrо вырашенин по YI'JIaM. Леван часть дает
;' r 2 d == (V"W) 11 dS == (v;1JJ') dV,
]'де второй интеrрал взят по поверхности сферы радиуса r, а поеледний
по объему этой сферы; 11 единичный вен:тор, перпендинулярпый н поверх
ности сферы. Если ввеети о фуннциlO, то правая часть (3.33) мотет быть
записана в виде объемноrо интеrрала:.
а D :) dQ == 47ta!fJ (r 1') о (r) dV
при УС.повии, что длп очень ма.ПЫХ 7' ПрОИЗlЗоднан
д (rЧ f ) == Ф ( r )
iJr . р
'\
н:онечна и не зависит от раеи'ояния между' протоном и неЙтроном. П ри
равнивая подинтеrральные выратения в написанных выше интеI'ралах
в предельном случае r О, мы можем переписать rраничное условие (3.32)
в третьей форме:
? д (rW) 4
\;W == 4пао (r) lim д ' ДШJ r О. (3.3 )
r--+O r
Выразим теперь rамильтониан Но (3.31) через относительную I\ООрДИ
нату r и ноординату цеНТра масс R:
R м nf" + Mpfp
Мn+Мр .
Используя обозначение
IL == м пМ..Е . "'" J. },{
С' Мп+М р 2 '"
ПОJrучаем
Н , '!2 "2
О LP_ \ 1
112 ') )
. V'j/', и (r p )'
(Мп+М р )
Поэтому уравнение (3.30) можно перепиеать в форме
1' 2 W . 1" V 2 1JJ' + и ( ) W ,- ?,u.H W )l}lЯ 7' =1= О. ( 3.35 )
r Мп+Мр R о п2 rp /,2
Уеловие (3.34) п уравнение (3.3.5) можно запиеать в виде одноrо уравневия,
справедливоrо для веех веJlИЧИН 7', еСJIИ приравнять V' W сумме правых
частеЙ (3.34) и (3.3.5). Это возможно потому, что для r==O правая часть
(3.35) пренебрежп:vIO мапа по сравнению е о('обенностью о фунн:ции в правоЙ
части (3.34).
СJ(елав это, получим
..
(Но" Е) W == 0-" V' (rn p)lim д :) ,
r,>O
(3.36)
5 Занаа М 396
66
rл. //. 3аоача двух тел при м.алых а'Н,ервuях
-"
:
У'Де
"' 2
V' (rn }'р) == 41И 2; 1) (rn r p )'
Уравнение (3.36) ЯJ3Jшется точным. Будем исн:ать подходящий метод
приблитенноrо решения этоrо уравнения. Заметим, что случай отсутствия
взаимодействия нейтрона с протоном получается, если приравнять V'
(т. е. длину рассеяния а) нулю. Предположив, что ве.личина V' мотет
считаться «малой», попытаемея разложить W в ряд по возрастающим CTe
пеням V'. Основным членом этOl'О ряда будет JШН: раз волновая фуннция
ДШJ случан отсутствия рассеяния неЙтрона на протоне чr о . Положим
(3.37)
ЧJ==ЧJ о +ЧJ 1 +чJ 2 +... (3.38)
и при равняем 'UleHbI с одинаковыми степенями V' II уравнении (3.36). При
этом получим
(Но Е)ЧJn== . V'lim a(r: l) .
r--+O r
(3.39)
Особенно простую форму имеет первое из этих уравнений. Тан кан волновая
функция падающеrо пучн:а не имеет особенности в точн:е, rде находится
протон, то мы находим
] . д(rЧ:о) [ w ( )]
1т О r n , rp rn==r p '
т--+О
(3.40)
При подстановн:е ЭТOI'О соотношения в правую часть (3.39), чтобы получить
уравнение дЛЯ ЧJ 1 , не следует полаrать в ЧJ о r" == rp' тан нан: ЧJ о умножается
на фуннцИIО V', которая содержит 1) фуНIЩИЮ. Тан:им образом, для первоrо
уравнения (3.39) ПОJlучаем
( Н E) qr ==. V' ( r . r ) W
О 1 прО'
(з.41)
Это уравнение аналоrично тому, н:оторое получается в первом б.орновсном
приблитении для рассеяния, оБУСJIовленноrо потенциалом V'. Таним обра
зом, мы можем определять сечения обычными методами (<JPHoeCKoeo npи
ближения при условии, что вместо nравильноео потенциала взаимодействия
между протоном II нейтроном llсnользуется «nсевдоnотенциал» V', опре
деляемый соотношением (3.37), и мы оrраничиваемся первым борновсн:им при
блищением (находим ТG.1JЬКО ЧJ 1 ), Из ПриведеННОI'О вывода следует, что
точное решение уравнения Шрединrера с псевдопотенциалом совсем. не
описывает действительноrо рассеяния. Любое уточнение первоrо борновсн:оrо
приближения должно основываться непосредственно на (3,39) Отметим еще,
что lim[a(rWn l)/ar] не равен ЧJn 1 )l;ЛЯ n:;>2
Т. О
ОС'l'ается обсудить СlIраведливость формаЛЬН01'0 разложения (3.38) по
возрастающим степеним V', т. е. по возрастающим степеням длины pac
сеяния а. Это раз.пожение оправдывается, еСJIИ взаимодействие нейтрона
с протоном можно рассматривать н:ан: MaJIOe возмущение в точн:ах r!= О.
O)l;HO из условий выполнения этоrо требования может быть получено из
rраничнOJ'О условия (3,32): множитель 1 a/r при больших r стремится
н: единице, Если этот мнотитель мотет быть заменен на единицу, н:оrда r
имеет величину порядн:а моленулярных размеров, то возмущение, вносимое
конечными размерами а, MaJ.l'" сн:азывается на волновой фующии молен:улы.
Возмущение волновоЙ фунн:ции нейтрона будет малым при условии, что
длина рассеянии а значительно меньше длины волны 'л, соответствующей
.тпосительному движению нейтрона и протона. Тан:им образом, получаются
s 3. Рассеяпие н,ейтропов па протопах
67
два условия справедливости борновсноrо приблитения:
а моленулярных размеров,
а длины волны нейтрона.
(3.42)
(3.4:1)
к этому следует еще добавить условие, опредеЛЯJOщее точечный ха рантер
взаимодействия протона с нейтроном: радиус действия сил Ь долтен быть
достаточно ма.пым, т, О,
ь МОJIен:улярных размеров.
(3.Н)
'Условия (3.42) (3.44) прантичесни очень хорошо выполняются.
Действительно, типичные молен:улярные размеры задаются амплитудоii
нолебания протона в моленуле, порядок ноторой равен 10 9 СМ (было бы
неправильно брать в начестве нритерия расстояние метду ядрами, тан кан
мы рассматриваем рассеяние нейтрона на одном ядре в моленуле), В то же
время радиус действия ядерных си является величиной порядка 10 13 СМ,
а длина рассеяния даже в наиболее невыrодном случае синrлетноrо рассеяния
10 12 Д u
имеет порядон: СМ, лины волн неитронов, прантичесни используемых
в этих опытах, BcerAa велин:и по сравнению с определенными выше «моле
нулярными размерами», так нак для длин волн порядн:а 10 8 СМ и меНl1ше
связи в молеНУJIе при столнновении разрываются и рассеяние происходит
на свободном протоне. Поэтому условие (3.43) выполняется при всех энер
rиях, для н:оторых важны эффенты химичесн:ой связи. Расчеты следующеrо
приблитения W 2 пон:азаJIИ [112, 481], что внлад ero в рассеяние равен
примерно 0,3%, Эта величина, нан и отидалось, порядна отношения длины
рассеяния н: мопеI{УJIЯРНЫМ размерам. Поправни, учитывающие н:онечность
радиуса действия ядерных сил, не вычислялись, но из условия (3.44) следует,
что они будут еще меньше, тан нан для рассеяния нейтрона на протоне Ь < а.
Вывод уравнения (3.41) был произведен с простым rамильтонианом Н О'
схематичесни описывающим молену;rrярные связи протона с ПОМОЩЬJo
потенциальноЙ инерrии протона с финсированпым центром сил и (rp)'
Однано сам вывод не зависит от вида и (r p ) и поэтому применим н: реаль
ным случаям, Н:Оl'да необходим детальный учет BHYTpeHHero двитения МОJlе
r(YJIbl. 'Установив на простом примере справедливость применения борнов
cHoro приблитенин с псевдопотенциалом V' (3.37), мы мотем теперь pac
смотреть рассеяние мед.пенных нейтронов на протонах, связанных в реальных
моленулах. Предполотим, что волновые фуннции для различных возбуждеп
ных состояний моленуды известны, Начальное состоЯ,Ние системы описывается
волновой фУНIщиеii
W o == ехр [ik i (rn Р)] u i (rp, ...),
(3,45)
rде k i начаJIьное волновое число относительноrо двитения нейтрона и MO
лекулы (в системе, rде центр масс нейтрона и моленулы покоится), Р н:оорди
ната центра масс моленулы, а Ui внутренняя волновая фунн:ция моленулы во
время соударения. Точн:и посде rp обозначают друrие н:оординаты в волновой
функции молеН:УJIЫ. Воспользуемся теперь обычным борновсним приБЛИiI{е
нием, позволяющим наЙти дифференциальные сечения для различных воз
можных случаев упруrOl'О и неупруrоrо рассеяний. Пусть Щ и l!f снорости
нейтрона относительно моленулы в начальном и нонечном состояниях,
!1' = м nМ МОЛ. / (М п + и мол.) приведенная масса для относительноrо двите
ния нейтрона и МOJlенулы и daif дифференциальное сечение рассеяния
нейтрона в элемент телесноrо уrла dQ (в системе, rAe центр масс нейтрона
. )lоnеRУЛЫ поноится) с одновременным возбуждением (или высвечиванием),
;)*
t
j
i
,
1
I
i
><.'
3. Рассея'Н,ие 'Н,ейтро'Н,ое 'Н,а прото'Н,ах
69
молен:улы не обязател но долтно быть основным. Вначале молен:ула мотет
нахоДИТЬСЯ в одном из возбутденных состояний с вероятностью, зависящей
от температуры rаза, в соответствии с распределением Больцмана. Если моло
нула находится в возбужденном состоянии, возможны тан:те акты неУПРУI'О
ro рассеяния, в н:оторых нейтрон прнобретает энерrию. Это может иметь место
для очень медленных нейтронов. Сечение тан:ото процесса обратно пропорци
онально начальной СН:ОрeJСТИ нейтрона [см. (3.46)], поэтому танио события
становятсЯ ватными ири рассеянии нейтронов малых ЭllеРI'ИЙ. 13тороо
усложнение вознин:ает вследствие молчаливо сделанных ранее предположоний
о ТОМ, что в молен:уле имеется тольн:о один протон И МОЛeJ{УЛЫ рассеивают
нен:отерентно. В действительности в молен:уле мотет быть носколько прото
нов, н:роме Toro, в ней всетда имеются друrие рассеИВa'l'ели нейтронов. В слу
чае рассеяния на твердых веществах раЗ;IИчные «молеН:УJJЫ» (ячейн:и нристал
JlИчесн:ой решетн:и) рассеивают н:отерентно. Интерференция ТaIюrо типа
приводит I{ явлениям аналоrичным рассеянию I JJучей на нристаллах.
r. I\отерентное рассеяние нейтронов па протонах
Рассеяние на одиночном протоне СI{ладьшается из синrлетнOl'О и триплет-
Horo рассеяния. Эти две .части очень трудно разделить до тех иор, пона они
снладываются нен:отерентно, т. е. пон:а нет интерференции метду амплитуда
ми рассеяния. Тан: же н:ан и в оптических интерференционных опытах, замот
ных интерфоренционных эффен:тов при неПОJlяризованных нейтронах можно
отидать тольн:о в том случае, если одна и та те нейтронная волна рассеиваот
ся более чем на одном рассеивающем центре (протоне), причем эти рассеиваю
щие центры находятся очень близно друт от друта, на расстояниях 'порядна
или меньше длины волны де Бройля для нейтрона. Тан IШН: в действитеJ[ЬНО
сти протоны разделены расстояниями порядн:а 10 8 СМ, то мы не получим ;!aMeT
ных интерференционных эффен:тов при рассеянии нейтронов, за ИСН:JНочени
ем самых медленных (с энерrиями, заметно меньшими тепловых).
Первый интерференционный опыт был предлотен Теллером и Швинrе
ром [670]. Они предлотили исследовать рассеяние нейтронов на моленулах
водорода. Протоны в молен:уле водорода мотут находиться IШI{ в состоянии
С параллельными спинами (ортоводород), тю{ и В состоянии с антипараллель
ными спинами (параводород).Интерференционные эффенты при рассоянии
нейтронов в этих двух случаях будут различны. Мотно, назалось бы, пред
полотить, что всян:ие интерферонционные эффенты исчезают, еСJIИ нейтропы
рассеиваются на ансамбле, содертащем молен:улы OpTO и параводорода в OT
ношении 1/4: 3/4' Таное отношение получается при рассмотрении статисти
чесн:их весов синrлетноrо и триплетноrо состояний для двух нен:оррелирован
ных протонов 1 ). Но это неверно: интерференционные эффен:ты наблюдаютсн
и при тан:их условиях. Дело в том, что мы имеем случайный набор пар прото,
нов, причем расстояние метду протонами н:атдой пары мало по сравнению
с длиной волны де Бройля рассеивающеrося нейтрона, а спины частиц в На/К
дой паре определенным образом н:оррелированы (дате тотда, нотда среднее
спиновое состояние ансамбля таново, н:ан:им оно было бы для неноррелиро
ванных спинов протонов). Это обстоятельство дает существенное ОТJ1Ичие от
случайноrо набора отдельных протонов с неноррелированными спинами.
Следовательно, мы долтны отИ)l;ать интерференционных эффен:тов при
рассеянии нейтронов на протонах дате 'в случао статистичеСJ{ОЙ смеси OpTO
1) Здесь термины «триплетное» и «синrлетнОС» состояния описывают СIIИllОПЫС состоя
ния двух протонов, а пе СПИНОIJЫС состояния нейтрона и одното из протонов. IЗ ЭТОl\! раз-
деле мы будем рассматривать !{орр<>!'яцию спинов различных пар ну!шонов. СлеДОIJа-
т<>льно, важно IJс<>тда яспо пр<>дставлять себе, о наких парах идет речь при употр<>блспии
терминов «ТРИПЛfТНЫЙ» и «синrлстный».
r л,. 11. Задача двух те'!/' при .мал,ых аnереиях
70
и параводорода. Однако интерференционные эффен:ты rораздо более резко
иыратены при рассеянии на водородных молекулах только одноrо сорта.
При низкой температуре имеется возмотность разделить OpTO и параво
:(ород. Молекула водорода состоит из двух атомов с одинаковыми Ядрами,
11 ядерная часть ее волновой фунн:ции долтна подчиняться ПРИНl ипу Паули,
так как протоны подчиняются статистин:е Ферми Диран:а. При выполнении
принципа Паули пространственная часть волновой Фуннции, описывающей
двитение ядер в молен:уле, харантеризуется симметрией, обратной симметрии
спиновой части. Например, в ортоводороде спины ориентированы в одну
c'ropoHY и спиновые части волновых функций симметричны. Следовательно,
пространственная часть волновой фуннции, описывающей движение ядер
в молекуле, долтна быть антисимметричной по отношению н: перестановн:е
протонов. В параводороде пространственная часть волновой фунн:ции долтна
быть симметричной. Таним 'образом, простраНСТВJНные части волновых функ
ций OpTO И параводорода имеют различную симметрию н, следовательно,
различные энерrетичесние уровни. Оба сорта водорода можно переводить
друr в друта, но в отсутствие н:атализатора выход реан:ции очень мал. Для
превращения ортоводорода в параводород необходима переориентация ядер
ных спинов, а электромаrнитное взаимодействие с ядерными спинами, н:ан
известно, мало. Эн:спериментально возмотно приrртовить довольно чистый
параводород, но при очень низн:их температурах (иоряюш 200 К). Удачным
обстоятельством является то, что сечение рассеяния нейтронов на иараво
дороде представляет собой величину, интересную ДJIЯ ндерно.й физики. Изу
чение рассеяния нейтронов на параводороде иозполяет определить относи
тельную фазу рассеяния нейтронов на протонах в синrлетном и триплетном
состояниях,
Для этих целей введем формальную зависимость рассеяния от спина.
Пусть а, амплитуда рассеянной волны в случае, нотда нейтрон и про
тон находятся в синrлетном спинов ом состоянии, а a t аМИJIитуда для
с.пучая ТРИIlлетноrо состояния. Введем (шроен:ционные» операторы '!t o И '!tt
со следующими свойствами 1):
== 1, если протон и нейтрон находятся
в синrлетном спиновом состоянии;
== О, если протон и нейтрон находятся
В триплетном спиновом состоянии;
== О, если протон и нейтрон находятся (3,50)
в синrлетном спиновом состоянии;
', : [1 (аnа,)] I
1
Т: t ==4[3+(а п а р )]
== 1, если протон и нейтрон' находятся
в триплетном спиновом состоянии.
Мы мотем везде в 3,В заменить длину
аэфф., равный а, в синrлетном состоянии и a t
аэфф. == a s 7t s + a t 7t t -
рассеяния а на оператор
в ТРИПJIетном состоянии:
(3.51)
] [ростейшим случаем будет рассеяние очень медленных нейтронов на моле
I,улах водорода. Под очень медленными понимаются неитроны, д.лина волны
юлорых (в системе центра масс нейтрона и мо.ленулы) значите.льно больше
расстояния метду протонами в моленуле (О, 74 .10 8 СМ), 13 этих условиях
во.лны, рассеннные от двух протонов, интерферируют без заметноrо запаздыва,
IIИЯ, т. е. как если бы они приходили из ОДНО1'О И ТОтО те места, а
1) 2 (апа р ) == (а п + ap)" (aп)" (ар)" == 4s (s + 1) 6, ТДС s ==0 в СI!НJ'ЛСТПОМ СПИНОDОМ
состоянии И 8==1 в триплетном.
s 3. Рассеяпие пейтропов па протопах
71
соударение с нейтроном не изменяет внутреннето движения МОЛeI,УЛЫ. (Это
несправедливо, если возмотны неупруrие соударения, при RОТОрЫХ нейтрон
приобретает энерrию. Но сейчас мы этим пренебреrаем,) ТаRИМ образом,
амплитуда рассеянной ВОЛНЫ является суммой амплитуд рассеяния аэфф., 1
и аэфф.. 2 двух протонов, причем аэфф. определяется формулой (3.51):
( 3 l' ( 1 1 \ '
арасс.==аэфф.,1+аэфф.,2==2 T a t+T a ,,)+2 7;at '7;a,,)(anS). (3.52)
Здесь S == 1/2 (а р 1 + а р 2) оператор спина водородной МОJIен:улы,выраженный
.в единицах t , Множитель 2 получился из за наличия двух протонов.
Изучая рассеяние на ВОДОрОДНЫХ моJiен:улах с 8 == О и 8 == 1, можно
разделить внлады от первоrо и BTOpOI'O ЧJIенов в (3.52). В частности, можно
измерить величину
...
(3 1 )
1 == 2 \./1 a t + !; а" . (3.53)
В самом доде, рассеяние на параводороде (8 == О) нропорционаJIЬНО 12.
IIсдставив в (3.49) вместо а ДJIИНУ HorepeHTHol'O рассеяния /, получим
сечение рассеяния, отнесенное н одноЙ МОJlенуле параводорода:
4 4 1 2 11', 4 1 2
Опаflа ( у 11: 9 11:. (354)
Полезно сделать нен:оторые J\{)J1ичественные ОЦeIШИ, ЕСJIИ пренебречь
попраВRОЙ, учитывающей нонечность радиуса действин ядерНЫХ сил, то
триплетная длина рассеяния a t приблизительно равна размеру дейтрона,
a t """ R == 4,31.10 '13 СМ. Синrлетную дшшу рассеяния можно оцепить из
сечения нен:оrерентното рассеяния нейтронов на протонах при «нулевой»
энерrии [см. (3.25) и обеутдение этой фОРМУЛЫ], МЫ получим таRИМ путем
а. == ::!:: 2,434 .10 12 см, rде знан: плюс относится R связанному синrлетному
состоянию. Если предположить, что TaRoe состояние существует, то окажется,
что 1 == 1,86 .10 12 CJlt, в то время н:ан: для виртуалыIrоo синrлетноrо COCTO
яния получаем 1== 0,565.10 12 СМ. ИЗ (3.54) находим для обоих случаев
соответствующие сечения рассеяния на параводороде: '
Опара == 77,6 .10 24 см 2 (связанное синrЛ.етное состояние),
(3.55)
Опара == 7,14.10 24 см 2 (виртуальное синrлеfное состояние).
Оrромная разница метду этими двумя величинами является следствием
удачной случаЙности: по абсолютноЙ величине 3a t очень БЛИЗRО к a s '
поэтому если a t и а" имеют противополотные знани, то интерференция
рассеяния в двух различных состояниях приводит н: малому значению
сечения рассенния на параводороде.
Экспериментально измеренное сечение рассеяния на параводороде равно
3,9 .10 24 CJlt [722]. Отсюда сразу, боз н:ан:оrо либо более полноrо анализа,
сдедует, что длина рассеяния в синелетно.М состоянии противопО.!l.ожна по
знаку (отрицательна) длине рассеяния в триплетном состоянии, т. е.
СlJязаllllоео синелеmноео состояния дейтрона не сущес твует.
Рассеяние нейтронов (<нулевой» энерrии на одиночных протонах дает
IЮЗМОЖНОСТЬ определить величину
3 ( 2 ) 1 (4 2 )
а о == 7; .ша t + 7; "rл в '
,
I
1
1
I
Так 1ШН величина j2 теперь также известна, можно, зная энерrию связи
деЙтрона, с большой точностыо раздельно определить а ,; и a t . ВеJIИЧИНУ а !
мотно использовать для определения эффен:тивноrо радиуса триплетноrо
72
r л. 11. 3аоача овух тел при .малых эн,ера"иях
состояния rOI [см. (3.22)]1). Этот метод определения он:аЗывается очень
чувствительным из за весьма удачноrо, н:ан: уже отмечалось, харан:тера
интерференции при рассеянии на параводороде. В реЗультате подучаем
rot == (1,6::t 0,2) .10 13 см.
(3.56)
Эта оцеНКа ПОДТВертдает сделанное ранее ЗaJшючение, что размер деЙтрона
(R == 4,31.10 13 см) превышает радиус деЙствия ЯДерных сид, обеспечива
JOщих ero существование.
IIеречисл'IIМ теперь уточнения, необходимые для дстальнurо сравнения теории
с опытом. Се'рьrзным педостатком предыдущеrо анализа было пренебрrжение неупруrими
столкновениями между нейтронами и молекулой водорода. Для нейтронов очень малых
энерrий необходимо учесть толы{о такие СТОЛЮIOвения, при I{OTOPblX нейтрон приобретает
энерrию. Если молекулы водорода находятся в основных состояниях, то в случае пара
водорода таких столкновений не будет, та к как основное СОстояние молекулы параводорода
лежит НИЖе, чем у"молекулы ортоводорода. Таким обраЗ0М, при рассеянии нейтронов на
очень холодном параВОдороде поправка на неупруrое рассеяние невелика. С друrой CTOpO
ны, нейтрон, нрн СТОJшновении с молекулой ортоводорода в основном состоянии, может
приобрести энерrию, причем молекула становится параводородной в ее основном состоя
нии. И3 (3.46) видно, что сечение этоrо процесса ДТШ нейтронов очень малых энерrий
пропорционально 1/Vi (так как 1/щ стремится к постоянной, не равной пулю величине).
СледоватедыIO, влияние поправки на неупруrое рассеяние очень медленных нейтронов
на очень холодном ортоводороде тем заметнее, чем медленнес нейтроны.
Экснериментально измеряется полное сечение ослабления нейтронноrо ПУЧI{а, HpO
шедшеrо блок вещества. Поэтому в дополнение к рассеянию (упруrому и неупруrому)
экспериментальное сечение ВIшючает таКЖе процессы радиационноrо захвата нейтрона
протоном с обраЗ0ваниrм дейтрона (см. rл. XII). При обычно используемых в опытах
энерrиях нейтронов эта ноправка очень важна, особенно в случае параВодорода.
Имеются еЩе' две поправки, которые необходимо учесть в теоретическом paCCMOT
рении. Во первых, форм фактор (3.47) НССIЮЛЬКО отличается от единицы, за исключением
нейтронов точно нулевой энерrии. BO BTOpЫX, для очень медленных нейтронов необхо
димо учесть максвеЛЛОВСI{ое распределение молекул rаза но скоростям. Ясно, что для
очень медленных нейтронов рассеяние в первом приближении Оllprделяется столкнове
пиями движущихся молекул с ПОI{ОЯЩИМИСя нейтронами.
Учет различных теоретических ноправок нриводит к увеличению сечения рассеяния
(3.54) примерно на 16% для нейтронов с энерrией E==kT при Т==20 0 К, соударJIIОЩИХСЯ
с параводородом, находящемся нри температуре кипения (также 200 К). Поправка на
сечение радиационноrо захвата нейтронов протонами велика. При рассматриваемых
малых энерrиях сечение захвата примерно равно сечению рассеяния. Однако эту поправку
МОжнО учесть более точно, так как известно сечение захвата при б6льших энерrиях,
и есть все основания полаrать, что оно подчиняется закону 1/v.
Существует танте и друrой, совершенно независимый метод наБJlюдения
HorepeHTHoro рассеяния нейтронов малых энерrий на протонах. 81'01' метод
стал возмотным тольн:о недавно, с появлением мощных потон:ов нейтронов,
получаемых в нотле. Он состоит в изучении рассеяния нейтронов на нристал
лах, в решетне н:оторых содерщатся атомы Водорода. Мы не будем здесь дe
тально рассматривать рассеяние нейтронов на н:ристаллах 2 ). Оно Вполне aHa
ЛОI'ИЧНО рассеянию на нристаллах рентrеповсних лучей. Имеется два типа
рассеяния: диффузное (HeHorepeHTHoe) и брэrrОВСRое (HorepeHTHoe). Последнее
наблюдается толы{о при определенных rеометричесн:их условиях (уrлы Брэr
ra) и получается в результате н:оrерентных ВRладов от всех атомов решетн:и.
KorepeHTHoe рассеяние можно использовать для определения величины f
в (3.53) для водорода. Полученные результаты [692] неСНОЛЬRО менее точны,
чем результаты, найденные по рассеянию на параводороде, но находятся
1) Важное значение опытов по нзмерl'lIИЮ сrЧ('fШЙ рассеяния нейтронпв на параво
дор оде отмечаJIOСЬ, в частности, в рабпте [672].
2) См. теоретические работы [798, 337, 677, 777, 244, 301], особенно последнюю
И3 НИХ. HeI{OTOpble ЭI;сперим!!нтальные данные 'содержатся в работо [824]. [Взаи
модействие медленных нейтронов с кристаЛJШМИ рассматривалось таиже в работах
И. Я. Померанчуна и А. И. Ахиезера, см. кпиrу А. А х и е 3 е р и И. П о м е р а н '1 у н,
Некоторые вопросы теории ядра, М., 1950, rл. VI; см. также Д. 10 3, Нейтронные иссле
допания па Ядерных потлах, М., 19[j4. IJIJu.M. перев.]
"
. ,
!
.,
х.
\';
I
1
i
.1
J:
r
I
11
i!
i
,
,}
$f
,
.!
..
9 3. Рассеян,ие нейтрон,ов н,а протон,ах
73
в прен:расном соrлаеии с ними. Метод рассеяния на нристаллах свободен от
мноrих систематичесн:их ошибон, н:оторые MorYT исн:ашать результаты опытов
по рассеянию на параводороде: нет необходимости в поправн:ах на радиаци
онный захват, отсутствует примесь ортоводорода, н:оторая мотет исн:азить
результаты, полученные из раесеяния на параводороде.
Весьма точныЙ метод определения длины HorepeHTHol'O расееяния f
был предлотен в работе [340]. В этом методе используется полное внутреннее
отратение нейтронов от шидн:оrо «зерн:аЛа», содершащеrо протоны. Тан ше
н:ан: и для рентrеновених лучеЙ, мотет случиться, что ноэффициент преJIомле
ния TaHoro материала, н:ан нристалл или тидн:оеть, будет для нейтронов
меньше единицы. Тоrда неЙтроны, сталн:иваясь с поверхностыо при пеноторых
уrлах отратения, испытают полное внутреннее отратение обратно в воздух.
Критичесн:ий уrол полноrо BHYTpeHHero отражения очень удобен для измере
ний. Он зависит от поназателя преломления. Поназатель преломления, в евою
очередь, зависит от длины HorepeHTHoro рассеяния материала, тан н:ю\
отражение обусловлено I;оrерентной суперпозициеЙ волн от БОЛЬШОI'О
числа рассеивающих центров на отратающей поверхности. Различные Heн:o
repeHTHble эффен:ты (поrлощение и т. д.) ведут к уменьшению интенсивности
oTpameHHoro пучка, но не влияют на критический уrол полноrо BHYTpeHHero
отратения. Был проведен ряд опытов [385, 630]. Полученные этим методом
очень точные результаты для f находятся за пределами ошибон: результатов,
найденных из рассеяния на параводороде, и едва УНJIадываются в пределах
ошибон результатов опытов по рассеянию на нристаллах, показывая, что
в обоих этих случаях имеются сн:рытые систематичесн:ие ошибни. Мы отдаем
предпочтение измерениям, сделанным по полному внутреннему отражению,
из н:оторых получаетея
f === (3,78 ::1:: 0,02). 10 13 см (ПОJ1Ное внутреннее отражение). (3.57}
При этом ДJIН ве.личины триплеТНО1'0 эффен:тивноrо радиуса имеем
r ot ===(1,70::l:: O,(3).10 13 см.
(3.58)'
Швинrер [В71] указал на то, что ПОЧТИ потшн интерференция синrлеТllоrо и три
П1Ieтноrо рассеяний на параводороде нвляетсн прямым доназательстпом равенства
спина нейтрона 1/2' ЭнсперимеllтаJIЬНО установлено, что спин дейтрона равен единице,
а спин протона равен 1/2' Имеются причины ПОЛaI'ать, что орбитальный момент L
дейтрона преимущественно равен нулю. Следовательно, спин нейтрона должен иметь
одпо из двух значений: Ч2 или 3/2' ПреДПОilОЖИМ, что он равен 3/'1' Тоrда воз южные
спиновые состоннин системы из нейтрона и протона будут. S == 2 (нвинтет) и S == 1
(триплет). При ЭТОМ ДJШ ССЧОНЮI некоrерептпоrо рассешIИЯ при (шулсвой» эrJCрrии
получаем
5 ;3
iJo==8iJq +8 iJt ,
rде 5/ в и 3/в стаТИСТИЧССI{Ие вщ;а Ь:ВIштеТl10rо и ТРИШICТI10rо спиновых состонний,
а iJq и iJt COOTBl ТСТВУЮЩlIе срчения. Если опят!, нренебреч!' поправкой, УЧlIтьшюощеi'J
конечность радиуса действия в триплеТII()l\l рассеянии, то ПОЛУЧИМ
5 3
20,:36 =='8 iJ q +8 (2,36), iJq==47ta ==31,2
(все сечения в единицах 10 24 C t2).
Для амплитуды HorepeHTHoro рассеянин, аналоrИЧIlОЙ j, имерм
r 5 3 )
j'==2 8 a q + 8 at .
Подставлня численные значения дли!! рассеЯНИJI a q и a s , получасм
f' == 2,29 .10 12 С.И (для рсальноrо квинтетноrо состошIИН),
j' == 1 ,65.10 12 С,И (дпн виртуальноrо НВlштетноrо СОСТОЮIИя).
Таким образом, J,J:аже при преДПOJIOжении о существовании виртуальноrо ЮJИнтет
HOI'O состояния сечение рассетпш на параводороде было бы [см. (з.54)] большр, чем
74
]'.а. 11. 3аоача овух те.а при ..чалых iтерzuях
61.10 24 с.м 2 что сильно противоречит опыту. Следовательно, спин нейтрона не может быть
,равен 3/2' Тан нан имеются тольно две возможные величины спина, 1/2 или 3/2' то спин ней
тропа должен быть равен 1/2' Достоинством этоrо доназательстна ЯВШIется ero неза
висимость от наНИХ .IIИбо предположений о ядернЫХ силах.
4. РАССЕЯИИЕ ПРОТОНОВ НА ПРОТОНАХ
Получать протоны значитеJ1ЫIО труднее, чем нейтроны. Для проведения
QПЫТОВ по рассеянию протоны долтны быть исн:усственно усн:орены. Это
связано с тем, что н:улоновсние силы, деЙствующие метду двумя про
тонами, стремятся удертать их на расстояниях, преВОСХОДЛЩИХ радиус
действия ядерных сил. При энерrиях протонов в лабораторной системе
н:оординат менее 100 nэв ядерные эффен:ты в рассеянии еще слишн:ом слабы,
чтобы их мотно было заметить. Таним образом, исследование ядерных эф
фен:тов при рассеянии протонов на протонах стало возмотным только после
Toro, н:ан были построены усн:орители, способные давать напрятения, пр.шы
шающие 100 nэв. Первые предварительные опыты, проведенные примерно
в 1935 r., показали, что взаимодействие между двумя протонами при энерrи
ях, больших 500 nэв, не мотет быть чисто н:улоновсн:им взаимодействием и что
имеются ядерные эффенты. ТОI'да же была разработана теория рассеяния про
тонов на протонах [100]. Н'оrда были получены более точные эн:сперименталь
ные результаты, теория была сравнена с экспериментом и были высн:азаны
{шреде.тюнные зarшючения о ядерных силах, действующих метду про
тонами [1071. Послевоенные работы в этой области (н:ан: экспериментальные,
тан: и теоретичесюю) изложены в обзорной статье [406], к н:оторой читатель
отсылается за детаJlЯ\1И, не рассмотренными в этом параrрафе.
Между рассеянием протонов на протонах и рассеянием нейтронов на
протонах имеется ДВа существенных различия: во первых, рассеяние прото
нов на протонах оБУСJIовлено не тольн:о ядерными силами, но тан:же и н:уло
новсн:ими; BO BTOpЫX, рассеивающая и рассеЮJНая частицы в этом случае
тождественны и подчиняются принципу Паули.
Кулоновсн:ое отташшвание стремится удертать протоны вдали друr
QT друrа, но оно существенно только при малых энерrиях. Квантовомехани
чесн:ий эффен:т пронин:новения через потенциальный барьер приводит к тому,
что ДВа протона MorYT он:азаться очень близн:о друr он:оло друrа, дате если
по н:лассичесн:им занонам это запрещено энерrетичесн:ими сообратениями.
Самое близн:ое н:лассичесн:ое расстояние метду протонами дается формулой
d е 2 / Е, rде Е энеРI'ИЯ относительноrо движения. В н:вантовой теории
н:улоновсное поле не мотет эффен:тивно препятствовать протонам близн:о под
ходить друr н: друrу, если d имеет порядок длины волны де Бройля или MeHЬ
ше. Относительная вероятность найти два протона в одной точн:е по сравнению
с вероятностью найти там две незарятенные частицы (при прочих равных
условиях) дается вероятностью проникновения через н:улоновсн:ий барьер
')
С2==. 1tYi (4.1)
e2"'1J 1 '
1'де Тj==е 2 /tш и v относительная сн:орость двух частиц. Этот мнотитель
равен 1/2 при относительной энерrии E 0,4 Мэв (энерrия протонов в лабора
торной системе будет в 2 раза БОJlьше, т. е. 0,8 Мэв). При значительно MeHЬ
ших энерrиях (меньше 0,2 Мэв в лабораторной системе) I\улоновсн:ое поле
эффен:тивно противодействует сближению протонов до взаимных расстояний,
на которых проявляется влияние ядерных сил. При больших энерrиях. важ
ную роль иrрает ядерное рассеяние.
Тотдественность частиц приводит н: двум следствиям. П ретде Bcero
нельзя больше различить два типа столн:новениЙ, изобра енных на фиr. 17, а
и б. Дифференциальное сечение рассеяния для тотдественных частиц опре
\,
r
1
(
j
I
I
1
r
+
8 4. Рассеян,ие nротон,ов н,а nротон,ах
75
деляет вероятность найти после столн:новения любую из этих двух частиц,
летящей под У1'лом fJ н: направлению падающей частицы. Для '1'01'0 чтобы,
исходя из н:лассичесн:их представлений, получить сечение рассеяния двух
тождественных частиц ДРУ1' на ДРУ1'е, достаточно сложить сечения про
цессов, изобратенных на фИ1'. 17. По зан:онам нвантовой механин:и долтны
'Сн:ладываться амплитуды, а не сечения. Тан:им образом, в ПОJlучающемся
сечении имеются интерференционные члены. В любом случае дифферен
циальное сечение рассеяния в системе
центра масс для тотдественных частиц
симметрично относительно fJ == 900.
Второе следствие тотдественности двух
частиц является результатом действия прин
ципа Па.ули: волновая фушщия для двух
протонов должна быть антисимметричной
по отношению н: их перестановне. Сле;J:О
вательно, симметричная пространственная
часть волновой фунrщии (S , D ) c , . . '., co
стояния) может быть связана ТОJIЫ,О с
антисимметричной (СИН1'летной) спиновой
частью волновой фунн:ции, в то время нан
антисимметричная пространственная часть
ВОJlИОВОЙ фунн:ции (P , P , . . . , состояния)
требует симметричной (триплетной) сшIНО
вой части волновой фуннции. При pacce
янии с энер1'ИЯМИ, меньшими примерно
10 JИ эв, взаимодействие осущеСТВJшется
толы,о в S состоянии, тан: нан: протоны
в состояниях с большими моментами ноличества движения остаются вдали
дру!' от друrа, за пределами радиуса действия ядерных сил. Следовательно,
опыты по рассеянию протонов на протонах при малых энер1'ИЯХ дают
сведения о ядерном взаимодействии протонов тольно с противополотно
направленными спинами (в СИН1'.летном состоянии).
Рассмотрим сначала уравнение для радиальной фушщии в lS состоянии
В случае чисто НУЛОНОВСН:ОI'О рассеяния. Радиальная фушщия, ноторую мы
Qбозначим через Р (r), удовлетворяет в этом случае уравнению (2.2)
с V(r)==e 2 jr:
/-: e \
6
Ф)! ['. 17. Дпа рааЛИЧllЫХ случаа
раСС('iШИН ОДИlIановых части!!, IIС
ра3ШIЧИМЫС па опыте.
1i 2 d 2 F (r ) е2
. . + P(r) == ЕР (r).
м dr 2 r
(4.2)
F (r) подчиняется I'раничному условию Р (О) == О. Решения уравнения (4.2)
хорошо изучены [837, 37] и протабулиронаны для большоrо интервала
энерI'ИЙ Е и расстояний r. Нас интересует, в частнQ.\(ТИ, поведение F (r) на
бо.пьших расстояниях. Оно описывается выражением
F (r) sin [kr 1) ln (21a) + 00] (для больших r),
(4.3)
I'де k волновое число относитеJlЬНОl'О движения [см. (З.2) и (3.3)], а 1)
определяетсп равенством (4.1); 00 представ;;шет собоЙ н.у.лОНОПСЮIЙ СДВИ1'
фазы в случае Н:УЛОНОВСН:ОI'О рассеяния ls волны. ЛО1'арифмичеСI,ИЙ член
в (4.3) обязан своим появлением «беснонечному радиусу действия» н:уло
новсн:их сил, т. е. тому обстоятельству, что потенциал e 2 jr определяет
поведение волновой фующии даже на очень больших расстояниях r.
Фуннция F (r) анаЛО1'ична фуннции sin kr, с нотороЙ МЫ имели дело при
рассмотрении рассепния неЙтронов на протонах. .
Предполотим теперь, что нроме Н:УЛОНОВСКО1'0 потенциала имеется еще
нен:оторый ядерныЙ потенциал V (r). В этом е:1учае радиальнап часть
76
волновой фунн:ции
rл. //. 3аоача двух тел пру ,м,алых аnереиях
и (r) удовлетворяет уравнению
h 2 d 2 и е 2
+ u(r) + Y(r)и(r)==Eu(r).
ЛI dr 2 r
(4.4)
Вне радиуса действия ядерных сил ЭТО уравнение совпадает с (4.2), так
что асимптотичесное поведение Фунн:ции и (r) весьма близн:о н: асимптоти
чесн:ому поведению функции F (r). Единственным отличием будет измено
ние ве.llИЧИНЫ фаЗОВОI'О l'двиrа. Положим измеНlJННЫЙ фазовыii сдвиr равным
"0+ а, '1'. е.
Ве.:шчину о
,-
ООЫЧIIО
lшзьшают
u (r) sin [lи '1In (2hr) + 00 + о] (ДШI больших r).
<<НДlJРНЫМ фа:ювым сдвиrом». Однан:о
0,5
0.4
0.3
ь
0.2
0.1
о
о
(4.5}
ф и 1'. 18. ДИффСрСlIциаJIЫlOе сечениf'
рассешlИЯ в системе Ц!'llтра масс в за
висимости от УI'iШ рассеяния 6,
Пуннтирной ПРИБОЙ иопааано чисто НУЛОIIОВ'
сное расс яние, Ядерное рассеяние иреоО
ладает Б области промешуточных уrЛОБ. Ми'
нимумы R сечении ири уrлах Рт и ", eт
свqsаны с интерференцией мешду ядерным
II нулоновспим рассеяниями, НУЛОlIовсное
раrеешше IIреuоладае1' ири е<ет и 9>,, 9т.
Нрllвап соответствует 8н рrии
Е ла G,-=2,4 Изв,
180
'.
необходимо Ясно представлять себе, что о нин:оим образом не является тем
фазовым СДВиrом, ноторый относился бы н: чисто ядерному рассеянию на
потенциале V (r) в отсутствие н:улоновсноrо отталнивания. Этот послед
ний мы будем обозначать а'.
Тап: н:ан lS волна IВляется единственноii частью падающей волны,
н:оторая при энерrиях, меньших 10 И эв, заметно изменяется за счет ядерных
эффентов, то все отличие от чисто н:улоновсп:оrо рассеяния сводится лишь R
СДВИ1'У фазы о в (4.5). Остальные парциальные волны (3Р, lD, 3F, ...) подвер
l'aIОТСЯ эффен:тивному во:щеЙствию тольн:о н:улоновсних сил, так н:ан: частицы
не MorYT при6JШЗИТЬСЯ настоЛЬН:О близно друr н: друrу, чтобы сназывалось
действие ядерных сил. Это означает, что наблюдаемое при данном значении
энеРI'ИИ Е сечение рассеяния опреде.тшетсн толы{о одним lIараметром О.
Таким образом, мы можем описать наб!lюдаемое сечение рассеюIИЯ на Bl:e
уrлы, 110дбиран Bcero ЮIШЬ один параметр. Э']'о утверждение является
довольно СJJJIЬНЫМ, И превосходное соrласие между теориеЙ и Эl{сперимен
том оназывается нетрпвиальным подтверждснием теории 1).
1) В ТСОрПИ раССС'Шlllf! llеЙТJ10НОВ па протонах ПОJIOЖСIlие НС'с'НОЛЬНО отличается по
слсдующим причипа [: ]J(>первых, в Шl!llСМ распорнж('нии IIмеютсн два значения СДВИI'а
фаз ,ДJШ ТJ1ИПJlстноrо 11 синrлстпоrо раССС'ЯIlИЙ; во,вторых, ДИФФС'J1еlщиальное сечени('
J1ассС'юIИЯ НрСДПОJjю'ается сфС'рич!'сни СII ШС'ТРИЧНЫ:М в системе цснтра масс. Более слож-
ная уrловая 3ЮШСИ}lOсть, имеющая место ПJ1Н рассеянии протопов па протонах, ВЫ3ВЮIa
IIIIЛИЧIfОI lIllТСJ1феРl'IЩИИ мС'жду НУЛОПОВС1ШМ 1I ядерным раССРНlJИЯ}!I[ п представляет
собой rораздо бол('с ЧУВСТВИТРilЬНЫЙ [eTOД НрОIJС'рНИ ТС'ОJ1Иll.
(>
.\ 4. Рассеяние протонов на poтOHax
77
Дифференциа:Jьное сечение является сложной функциеii энерrии Е,
YI'JIa рассеяния О и едвиrа фазы о. МЫ оrраничимся ните топы,о н:ачест
венным рассмотрением. Под малыми уrлами рассеяние будет по существу
чисто н:улоновсн:им (резерфордовсним). Затем следует интервал yrJIOB, I'де
Hy.;IOHOBCI{Oe рассеяние заметно интерферирует с ядерным. Нанонец, под
неСI,ОЛhКО б6JIЬШИМИ уrлами преобладает ядерное рассеяние. Ввиду ТОЖ
дественности двух протонов сечение рассеяния в системе центра масс под
уrло м т; fJ оказывается таним те, нан: и под уrлом е, что видно из
фИl'. 18. Ядерное рассеяние преобладает в центральноЙ оБJIaети Y1'JJOB.
В этоii области сечение приблизительно постоянно, тю, ню, ядерное
рассеЮПlе в нашем рассмотрении опредешштся ТО.ТIЬН:О S Bo.Trнoi1 (1 == О).
НебольшоЙ провал в сечении оноло fJ == е т связан с интерференцией между
ядерным и нулоновсн:им рассеяниями. Нан:онец, при У1'лах 6 </ От (и co
ответственно О > 7t От) преобла д 1ет HYJIOHoBcHoe рассеяние.
Мы не будем здесь детально анализировать реЗУJIьтаты Ы;Сllериментов.
'достаТОЧl:IО ун:азать, что можно проделать анаJJИЭ [63, 406], подобный
рассмотрению реЗУJIЬ'IaТОВ рассеяния неЙтронов на протонах и позволя
ющиЙ: наЙти приб;хиженную зависимость ядеРНОI'О СДВIll'а фа 1 о от :шерrии
.:щя рассеяния протонов на протонах. В этом с JlY'Ia е таюне еуществует
,фующия, зависящая от наблюдаемоrо сдвиrа фаз и относите.;IЬНОЙ CKO
рости, I{оторая, будучи предстаВ.тIена rрафичесн:и нан фующия энерrии
<фунн:ция k 2 ), ДОJJжна быть близна 1{ прямой .;шипи. TOJJIJHO теперь эта
фунн:ция не равна kctgo [ем. (3.19)], а имеет бопее слошныii вид:
К' == C 2 k ctg о t ; h (1), (11.6)
J'; e С2 И . опреде.ilеНhI в (4.1). Расстояние
Л == 'l. == 2 88. 10 12 см
.J..l1e 2 '
НВJIяется харю{терисТIШОН 1,УЛОНОВСI{0]'0 рассеяния (БОрОНСI\Иii радиу
протона, связаННО1'0 с фин:сированным центром заряда е); It (1)) медленно
менюощаяся фующия энерrии, при больших энерпшх ведущая себя лоrа
рифмичесни J). ПервыЙ Ч.'Iен уравнения (4.6) имеет проетоЙ смысл. Это
k ctg о ве:Iичина, встречавшаяся в теории рассеяния нейтронов на прото
нах, умноженная на нулоновснуlO пронпцаемость С2. Интерпретация BTO
poro члена бо.ТICе трудна. ОН обязап своим появлением ос,обенпостям нулонов
oCHoro рассеяния, в частности тому, что Н:У:Jоновсние силы имеют бесн:онеч.
ныЙ раДИус деЙСТllИН, т. е. ВОilНовая фушщин падающеrо пучна ПРОТОНОJJ
.заметно отличается от И,11ОСl,ОiТ волны даже на очень больших расстояниях
()т рассеивающеrо центра [см. (1.3)].
РаВ,1JОЖI1М К' но l'тепеням А2
К , '1 l, 12 Р З k 4
== + ') 7 оlt ro +... ,
а.
(4.7)
1
1
1'де а длина рассеяния протона па протоне, 7'0 ЭффОI\'l'ивныii радиус
действия ядерных CJIJI (для случая взалмодеi1СТВИЯ двух протонов) и Р . бев
размерный параметр, связанныii. с деталями записимости ядерНОI'О потен.
циала от расстояния можду двумя протонами. Членами бо.Jюе ВЫСOJюrо
порядна в (/1.7) мо жно, llОШЩИМОМУ, пренебречь. В раз.ТlOжении (11.7)
J) ФУПlЩТIЯ 11 (1)) ОПРС)'\l'лт;тrп r.;тсДУЮЩИЫ оfiра.щы:
1! (1)) == Re Ч/ ( i'(l) . Jll '("
f'де ч! (z) лоrарифмнчссная прОИ3Бодпап I' ФуIJТЩПИ, Не об();щачает ;1.l'йствl1тI'.;Iыlюю часл'Ь,
а lп натуральпый лоrарифм (определение lJI' (z) см. n нниrс Яш{с и ЭМДI'). (См. Я 11" е и
;Эм де, Таблицы фушщнй с формулами и нривыми, Ы., 1949., 1ТpllM. nр],,'в.)
78
r л. //. 3аi1aча овух тел при .малых iтерzиях
выписано на один член бо.1Jьше, чем в соответствующем разлотении (3.19)
при анализе рассеяния нейтронов на протонах. Это связано с тем, что
точность опытов по рассеянию протонов на протонах выше точности опы
тов по рассеянию нейтронов на протонах. Пара метр Р. повидимому, имеет
довольно малую величину. ОН отрицателен ( 0,03) в случае резн:о спа
дающей прямоуrольной ямы и полотителен (0,0.55) в СJ]учае потенциала
Юн:ава, имеющеrо длинный хвост.
На фИ]'. 19 представлены эн:спериментально полученные значения без
размерной' величины К == К' D в зависимости от k 2 для энерrий, меньших
.5 Иэв, в лабораторной системе н:оординат. Видно, что прямая линия
2 3
2 10 24 2
К, СМ
Фи r. 19. ЭRспериментальпые значении веЛIlЧИНЫ К ==К' D [К' опреде
пено лыражеписм (4.6), D харантеристичссная длина рассснния про
тонол на протонах] в зависимости от энсрrии.
Прнман J1IIIIИН соответствует пара метру р==о в (4.7). Имеетсн удовлетворительное
совпадение результатов. Дне параболы. построенные дЛЯ Р==+О,22 и P== 3.5.
иснлючаютсн этими данными. Все четыре обычно употребляемые потенциальные
ФУНlщии (см. 2) приводнт Н хорошему соr.lIасию С энспериментальными дaH
ныи..
4,5
5,5
'1
5,0
4,0
"
"
/
.
,1
i
T;t;
50
4
5
1
,;
,,
(Р == О) дает ПР(JВосходное соrJJaсие метду теорией и опытом. f Be пара
болы, показанпые на этой фиrуре, соответствуют значениям параметра
р == + 0,22 и Р == - 3,5. Эти значения иснлючаются имеющимися энспери
ментальными данными. Принимая во внимание уназанные выше оцен:ки
величины Р для некоторых часто употребляемых форм потенциала, мы
видим, что имеющихся сеЙчас данных недостаточно для Toro, чтобы cдe
лать выбор между обычно предлаrаемыми потенциалами. Одна:ко необ
:ходи мая для этоrо точность при современноЙ технике ЭI{сперимента, пови
димому, доститима.
Большой интерес представляет величина длины рассеяния а протонов на
протонах, определяемая на rрафике пересочением прямоЙ линии с осью
ординат. Эта величина о:казываетея равной а 7, 7 .10 13 с,м (точное
!lначение зависит от пр дполоа;ений относительно величины Р). Первым
3 4. Рассеяние протонов на протонах
79
важныМ обстоятельством является знан: длины расееяния. H отрицателен,
и можно пон:азать, что это означает, что система из двух протонов
в lS состоянии не мотет находиться в связанном состоянии. Друrими сло
вами, яДро Не 2 дина,м,ичес"и неустойчиво. Мотпо так те, н:ан: это делал ось
в случае синrJlетноrо рас,ееяния нейтронов на протонах, ввести понятие
о виртуальном уровне. Тоrда большая длина рассеяния (по сравнению
с ядерными размерами) ун:азывает на то, что виртуаJIЬНЫЙ уровень летит
не очень высоко над нулевоЙ энерrиеЙ, т. е. что стабильныЙ дипротон (Не 2 )
отсутствует точно тан: же, н:ю{ и дейтрон в синrлетном состоянии.
В пределах радиуеа деЙствия ядерных СИJ\ кулоновские силы можно
расематривать н:ан: малое возмущение. При этом удаетея получить приБJНI
женное соотношение между длиноЙ рассеяния а протонов на протонах
и «эквивалентноЙ» длиноЙ раесеяния а' ДШI случая, н:оrда н:улоновсн:ое
поле исн;rпочено. В это соотношение входит боровеНИl1 радиус для про
тона D и эффен:тивныЙ радиус деЙствия ядерных еил ДJШ взаимодействия
;М;Вух' протонов ro:
1 1, 1 ( D 33 \
"'" -.+' In о , .
а' а I D ro ')
(4.8)
Постоянная в сн:обн:е, выбранная равной 0,33, несколько заВИСИ'I' от формы
ядерноrо потенциала [406]. ПодстаВJIЯЯ экспериментальные значения вели
чин а и ro (последняя мотет быть наЙдена по наклону прпмоii на фиr. 19
и равна ro == 2,65 .10 13 с,м,), получим
в
а' "'" 1, 7 .10 12 см.
(4.9)
Эту оценн:у следует сопоставить с наблюдаемоii дтшоЙ рассеянии пейтро
нов на протонах в синrлетном спиновом состоянии
а в == 2,43. 1CТ 12 см.
С первоrо взrляда мотет показатьси, что в lS еостоянии ядерные силы,
;\еЙствующие между двумя протонами, значительно отличаются от еил, дей
ствующих между нейтроном и протоном. Надо, однако, помнить, ЧТО обе
длины рассеянии очень велин:и, т. е. мы находимея вблизи резонанса при
нулевой энерrии в елучае расееяния на протонах нан: неЙтронов, так и про
тонов. Поэтому длины рассеяния весьма чувствительны к малым изменениям
потенциала, и катущаяея большая разница метду а' и а$ может быть об
условлена, например, очень малым различием в величине параметра l'луби
ны s (в этих двух случаях величина параметра l'лубины s на 1 3 % БОJlьше
в синrлетном состоянии протона и нейтрона и зависит от формы потенциаJlа).
Это малое изменение мотет быть также вызвано эффен:тами не идерноп\
происхождения [675].
Мы приходим н: следующему заключению; если предположить, что зави
щ,М,ость от расстояния (в частности, радиус действия) потетщиалов взаи,м,о
действия ,м,е жду нейтроно.'4 и протоно,м, и ,м,е жду дву,м,я протона,м,и в lS cocтo
янии одина"ова, то величины сил в этих двух случаях та"же очень близ"и
(различие составляет по большей мере несн:ольн:о процентов). 8ффен:тивный
радиус рассеяния нейтронов на протонах в СИИl'летном состоянии не противо
речит сделанному предполотению о равенстве радиусов дейетвия.
. Сравнение сил, действующих метду двумя протонами и нейтроном и про
тоном в lS состоянии, явилось отправным ПУНI\ТОМ дЛЯ rипотезы о зарядовой
независимости ядерных сил [101 { 103, 108]. СО1'ласно '!той rипотезе, еилы вза
им:одействия метду двумя нун:лонами, находищимися в состояниих е одина
новыми спинами и моментами н:оличества ДБитения, не зависят от заряда
эт.х нуклонов. Например, силы, действующие между двумя нейтронами
80
1'л. 11. 3аоача овух тел при .малых аnереиях
в 3Р состоянии, имеют ту те величину, что и силы, действующие между
двумя протонами или метду ейтроном и протоном. Данные по более тяже
лым ядрам дают нен:оторые основания для утвертдения о равенстве сил,
действующих между двумя нейтронами и двумя протонами (см. rл. V и VI).
Однан:о утвертдение о равенстве сил, действующих метду нейтроном и про
-тоном и двумя протонами, основано rлавным образом на дон:азательетвах
типа, приведенноrо выше, а это доназа'l'ельетво не он:ончательно, тан: н:ан: еще
недостаточно хорошо известна величина радиуса действия ядерных сил,
действующих метду протоном и нейтроном в синrлетном состоянии. Справед
ливость I'ипотезы зарядовой независимости ядерных сил lJ настоящее время
он:ончательно не установлена. Так, например, окааалось, что данные по pac
сеянию при больших энерrиях трудно совместить с rипотезой зарядовойнеза
.висимоети Ядерных с,ил (см. rл. 1У).
s 5. ТЕН30РНЫЕ СIЫЫ
А. ЭКСll{'РИМСllтальное обнаружение нецентральных еИ,I
Н 1939 r. БЫ:IО обнаружено серьезное расхождение между теорией и энс
периментом [426, 427J. Теорией была преден:ааана тонн:ан структура в радио
частотном спен:тре маrНИТНОI'О ре:30нанса деЙТJрИН. Наличие тонн:ой струн:туры
было подтверждено эн:спериментально, но результаты измерений отличались
от теоретичеСJ{ИХ преJl,сназаниЙ. Неличина тан:ой струнтуры оказалась очень
f)о.JJыllй.. Это ЯВJlение БЫJI0 объяснено [566] наJIИчием отн:лонения распреде
.ления заряда деЙтрона от сферичесн:ой симметрии. С I{вадрупольпым MOMeH
том этоrо распредеJlенин заряда (см. rл. 1) связана l обавочная энерrия дей
трона внеоднородном элентричесн:ом поле молен:улы, в состав н:оторой он
входит. Эта добавочная энерrия, определяемая формулой (1, 7.16), увеличи
вает рааность энерrий дейтрона при ра:JЛИЧНЫХ ориентациях. Рааличие в TOH
ной структуре мотно объяснить, если предполотпть, что дейтрон обладает
нвадрупольным моментом [561, 438]
Q 0= (2,7/1 ::!:: 0,02). 10 Д7 с..и 2 .
(5.1)
НаJlичие квадрупольноrо момента у дейтрона свидетеJIьствует о ТОМ, что
лдеРllые силы llе являются чисто цеllтральными сила.'411. Если ядерные силы
т ентраJlЬНЫ, то основным состоянием дейтрона долтно быть S состояние,
в нотором н:вадрупольный момент равен нулю. Следует отметить, что наличие
юзадрупольных момеНТОIJ у более тяжелых ядер еУце не доназывает HeцeH
траЛЬНО1'0 харю\тера Hl epHbIx сил. Основными состоянинми таних ядер MorYT
быть состоянин с БОJIЬШИМП моментами количества движенiш (P , D , ...,
еОСТОНПlIН). ПJ\ра в таrшх еостояниях MOI'YT облаi ать юзаJ\РУПОЛЬНЫМИ
моментами. ОЮIaНО дейтрон ПОС.тIе раадеJIOНИЯ ноордияат на относи
те.льнуlO н:оординату r и :ноординату центра R становится эквивалентным
Оl ночастичной системе. IIаинизшим состоннием таной еистемы с централь
пыми еилами непременно является S состояниеl).
Довольно малая величина нвадрупольноrо момента пона:зывает, что вол
IIовая фУНI\ЦИЯ дейтрона в основном соетоянии почти сферичесни еимметрична.
Это можно ВИi еть иа cpaBHeH JI величины н:ваДРУПО.тIЬНОI'О мо мента Q со
средним н:вадратом расстояния r 2 метду частицами в дейтроне. r 2 имеет поря
дот\ тшадрата раамеров Л l еЙтрона, т. е. ОI\ОЛО 2.10-25 I'.н 2 . Таним обрааом,
1
1
j
1
1
!j
"
1) Это утверждение спраВС'ДJIJ1ВО толы,о для оuычных потеIlциаJlOВ. ОНО НЕ' имеет силы
в оБЩl'М случае, -Iюrда. потеlщиал зависнт от М()}[Е'нта IюличеСТН:1 движения, например
,;щя обмС'нных сил (см. rл. IIl).
' :.';
'''"
8 5. Тен,ворпые силы
81
Q по величине на два порядка меньше r 2 . Отсюда следует, что основным COCTO
ЯIlием дейтрона преимущественно является S состояние с очень малой при
месыо состояний с большими 1.
Казалось бы, что из малости отнлонения волновой фунн:ции дейтрона от
сферичесн:и симметричной можно сделать зан:лючение, что доля нецентраль
ных сил значительно меньше, чем центральных. Однано это зан:лючение
несправедливо. Дате заметная нецентральность Ядерных сил в общем случае
приведет н: относительно малой асимметрии волновой фунн:ции OCHoBHoro
состояния.
Б. Общее выражение ДЛЯ нецентральных сил
Несмотря на то, что ядерные силы нецентральны, мы мотем пон:а
предполаrать, что они н:онсервативны и не зависят от относительных
сноростей нун:лонов, т. е. что их можно вывести из потенциала v.
Конечно, нельзя считать, что V зависит тольно от расстояния r между
нуклонами.
Предполотение о том, что ядерные силы определяются потенциалом,
нан:ладывают тестн:ие оrраничения на возмотные выражения для этих сил.
Потенциал V дошнен быть инвариантен относительно вращений и OTpa
жений системы ноординат, в н:оторой описывается относительное двитение
частиц, т. е., rоворя математичесним язьшом, потенциал долтен быть
сн:аляром. Единственными величинами, с помощью ноторых мы мотем
построить тан:ие скаляры, являются вектор расстояния метду частицами
r == re (е единичный вектор в направлении r) и спиновые венторы частиц
s == 1/ 2n а, rде а == (ах, ау, a z ) обычные три матрицы Паули (см. приложе
ние 1). Нельзя, например, употреблять rрадиентные вен:тора, так н:ак это
привело было бы к силам, зависящим от сн:оростей.
Простейшим выбором является сн:аляр V (r), ноторый приводит н цeH
тральным силам. Друrой возмотной комбинацией оназывается произведе
ние (а 1 а 2 ), н:оторое, будучи умнотено на сналярную фунн:циlO V (r), пр;и:
водит н: силам, зависящим от спина, но центральным. Такие силы уте
рассматривались в этой rлаве. Чтобы построить выратение для нецентраль
ных сил, необходимо ввести в потенциал вентор е. Билинейные н:омбина
ции типа (а 1 е) или (а 2 е), тан: те н:ан: и типа (а 1 Х а 2 е), не являются
ска.пярами. При отратениях н:оординатной системы они меняют знак
(е переходит в е, а в а). В математине тан:ие величины называются
псевдосн:алярами.
Прежде чем перейти н: Н:9мбинациям, составленным из высших степе
ней а и е, ун:ажем, что: 1) тан: н:ан: в нашем распоряжении имеется един
ственный полярный вектор е, то он долтен встретиться в любом допу
стимом про изведении четное число раз; 2) любой полином от а с помощью
тотдественных преобразований может быть приведен н: выражению линей
ному по а. Например, (ае)2 == 1 и (ае)3 == (ае). Возможность подобноrо при
ведения является слеДСТЕием соотношения неопределенности метду MOMeH
том н:оличества двитения 1/2 И уrлами. Тан:им образом, наиболее общими
Быратениями, ноторые мы можем применять, являются выратения.
линейные по а 1 и а 2 .
СI{алярными выратениями, билинейными по а 1 и а 2 и с четными CTe
пеняии е, будут следующие: (а 1 е) (а 2 е) и (а 1 Х е) (а 2 Х е). В силу BeKTOp
ных тотдеств второе из этих выратений является линейной номбинацией
первоrо и произведения (ala ). Следовательно, номбинация (а 1 е) (а 2 е) является
по существу единственным сн:аляром, описывающим нецентральные силы.
Обычно потенциал нецентральных сил определяют тан:, чтобы oro среднее
по всем направлениям е равнялось нулю. Так н:ак для произвольных
6 3аиаз 396
82
rл. 11. Задача овух тел при .малых эперauях
постоянных векторов А и В среднее от (Ае) (Ве) по всем направлениям
равно l/ з (АВ), то определим тC1tЗОрНЫU оператор 812 следующим образом:
812 == 3 (а 1 е) (а 2 е) (а 1 а 2 ). (5.2)
Из приведенных выше соображений с.ледует, что потенцuалшая функ,
ция, из к,оторой получаютС.<t нецентралыlеe силы, должна иметь форму
V == V т (r) 812' . (5.3)
Необходимо еще раз подчеркнуть, что сейчас нет достаточных эксперимеu
тальных оснований для предположения о том, что ядерные силы действи
тельнО MorYT быть получены из потенциальной функции. Но нет, однако,
также нинаних доназательств противноrо. Кроме Toro, сделанные предпо
ложения являются математически простейшими. Возможные выраженин
для центральных и нецентральНых сил, зависящих от СIюростей, были
указаны в работе [203].
Наиболее общее выражение для потенциаJJa ядерных сил, действующих
между двумя НУЮIOнами и зависяших только от положения частиц и их
спинов, получается, если к (5.3) добавить возможные центральные силы:
V == V d (r) + V a (r) (а 1 :1 2 ) + v т (r) 812' (5.4)
Дальнейшее обобщение с учетом зависимости от свойств симметрии волно
вой функции будет проведено в следующей l'лаве. Одна но выражение (5.4), .
содержаll ее три произвольные фующии для различных V (r), является ужо
достаточно общим при рассмотрении поведения системы, состоящей И;3
нейтрона и протона, при малых энерrиях.
В. Свойства теНЗ0РНЫХ сил 1)
Потенциал тензорныХ сил (5.3) является сналяром, поэтому полныЙ
момент системы J и ее четность являются. интеrралами движения. Bыpa
жени е (5.3), описываюшее нецентраJIьные силы, не остается инвариант
ным относитеJIЬНО вращения TOJIbHO пространственных или ТОЛЫ{Q спино
БЫХ координат. Поэтому орбитальный момент L и спин S не являются
интеrралами движения. Однако мы сейчас понажем, что н:вадрат спина S
в / задаче двух тел еше является интеrралом движения, хотя отдельные
составляющие вектора S не номмутируют с (5.3). Д';IЯ доназательства
рассмотрим поведение (5.3) при перестановке а 1 и а 2 (это не тождественно
перестаноВlШ нейтрона с протоном, тан НЮ{ в последнем случае имеет
Место добавочное преобразопание е е). Выражение (5.3) не меняется
при этой операции. Поэтому состояния системы должны быть либо сим
метричными, либо антисимметричными по отношению к обмену спинами.
Однано ДJIЯ частиц со спином 1/2 возможны только два спиновых COCTO
яния симметричное (триплетное) и антисимметричное (синrJIетное), Поэтому
HaILe разделение состояний системы на симметричные и антисимметричныо
по ОТНОIl,ению н перестановке спиновых ноординат двух частиц энвива
лентно разделеНИIО на триплетные и синrлетные спиновые состояния. Это
дон:азывает, что 82 является интеrралом движения. Мы еще раз подчерки
ваем, что такое ДOIшзате.льсТВО справедливо толь но потому, что мы имеем
деJIO е системой из двух частиц, у каждой из ноторых спин равен 1/2"
В обrr ем случае поведение системы при перестановке СПИНОВЫХ координат
не определяет однозначно полный спин.
1\11,1 определили тензорный оператор 812 в (5.2) таним образом, что ero
среДПСl значенио по всем папраШJениям равно нулю. В синr.летном СПИНОВОМ
СОСТСНllПИ ДJlЯ ориентациЙ спинов нет преимушественноrо направления.
1) Обсуждl'НИС этоrо вопроса основано rлавным образом па результатах работы [0221.
5. Те1t80рИWJ силы
83
Поэтому в синrлетном состоянии S12 будет равно нулю. Действительно,
в этом случае S == 1/2 (а 1 + а 2 ), что дает а 1 == а 2 ; поэтому мы получаеМ
812== 3(a1e)2+(a1)2== з+з==о.
Так нак в синrлетном состоянии тензорные силы равны НУJIЮ, то все
прРдыдущие результаты, полученные для синrлетных состояний (рассеяние
t
I О --+
I I i
а I I 2
I в I
I I
S'2=+Z SI2= 1 812= 2 812=+ 1
Фи r. 20. 3паqспия тепзорпоrо опсратора для пеноторых час.тпых с. JУ'ШСD.
СтрелнаМII I10назаны направлсннн спинов двух частиц.
нейтронов на протонах в синrлетном состоянии, рассеяние протонов на
протонах), остаются совершенно неизменными. Ядерные силы е Сlтелетных
состояниях являются силами центральными.
Прежде чем перейти к анализу триплетных состояний, ПОJlезно pac
смотреть характер тензорных сил, опредеJIИВ з.начения оператора 812
в нескольких простых случаях (фиr. 20). Мы видим, что пеJlИчина 812
положительна в случае а с параШJельными спинами, направленными вдоль
линии, соединяющей две частицы, и отри
цательна в случае б,' коrда напраВJIения
спинов перпендикулярны ]{ линии, соеди
няющей частицы. Отсюда можно заклю
чить, что отрицательный потенциал притя
жения V т (r) ведет к образованию вытяну
той конфиrурации (случай а). т. е стремится
деформировать дейтрон из сферической фор
мы в сиrарообразную с положительным
квадрупольным моментом. Так как наблю
даемый нвадрупольный момент (5.1) дейст
вительно положителен, то потенциал У'1' (r)
ЯВЛЯетСЯ потенциалом притяжения (т. е.
отрицателен).
Рассмотрим теперь следствия, BЫTe
кающие из этих свойств тензорны:х: сил
в применении н движению системы, состоящей из двух нуклонов
в триплетном спиновом состоянии. Триплетное состояние с полным MOMeH
ТОМ J может быть записано в виде линейной номбинации триплетных
состояний с орбитальными 'моментами L == J, J 1, J + 1. Четность волно--
вой функции системы, состоящей из двух частиц с орбитальным MOMeH
том L, равна ( 1)L. Поэтому состояние с L == J имеет четность, противо
положную четности двух состояний с I., == J 1 и L == J Т' 1. Например,
триплетное состояние с J == 1 является смесью состояний 381' 3/\, 3D 1
(в спентросн:опичесн:их терминах). Состояние 3Р1 имеет четность ( 1),
а состояния 381 и 3D 1 имеют четность (+ 1). Поэтому состояния с J == 1,
имеlOlIlие четность (+ 1), являются смесями состояний 381 и 3 D 1 . Состояния
С J == 1, имеющие четность ( 1), ЯВJlЯIOТСЯ чистыми 3Р1 СОСТОЯНИЯМИ.
(То, что В последнем случае L2 является интеrраJlОМ движения, не проти
воречит нецентральному харантеру ядерных сил. 'Утверждение, что для
центральных сил L2 является интеrралом движения, не всеrда справедливо.)
. 6*
Таблица 3
Возможные триплетные СОСТОЯНИJI
системы, состоящей из нейтрона
и протона, с теНЗ0РНЫМИ силами
J
Четные
СОСТОЯIlИП
I Нечетные
состояния
о
1
2
3
эро
ЗР1
3Р2' ЗF 2
ЗF З
зs,. 3D 1
ЗD 2
зD з . 3С з
84
rл. 11. Задача овух тел при .малых эпераuях
Таним способом можно построить классификацию триплетных состоя
ний для системы, состоящей из нейтрона и протона. Несколько первых
состояний приведены в табл. 3,
r. Основное состояние дейтрона; динамика
Наблюдаемый момент количества движения дейтрона J == 1. Предпо
лаrается, что четные состояния имеют более НИЗН:УЮ энерrию, чем COOTBeT
ствующие нечетные состояния. Поэтому основное состояние дейтрона
является четным с J == 1, т. е. смесью 38l и 3Dl СОСТОЯНИЙ.
Исследуем теперь зависимостЬ волновой функции от уrЛ :>Б. При pac
смотрении этоrо вопроса мы будем пользоваться нормированными сфери
ческими rармонин:ами со спином C a, относящимися К состоянию с полным
моментом н:оличества движения J, проеIЩИЯ KOToporo на ось z равна И;
J является суммой орбитальноrо момонта l и спина 8 (см. приложение 1, 5):
a == C lS (J, И; тl, та) Y lml (8, ) ХВ т " (5.5)
т!+та==М S
Для интересующеrо нас случая (8 == 1) постоянные Cls даны в табл. 39
приложения 1. При J == И == 8 == 1 и l == О, 2 соответственно имеем
l == ==У
101, у,{;;Хы o,OXl,l'
1...16 .../3 .../Т
121 == V 15 Y 2 ,2Xl, ! V 10 Y2,lXl,o + V 10 У 2 ,оХы'
(5.6)
(5,7)
130лновая Функцин длн чистоrо 38 l СОСТОЯНИЯ с учетом зависимости
от " может быть записана в виде
Ф и (r) шМ
S==r '0101,
(5.8)
rде u 2 (r) dr вероятность найти две частицы в рассматриваемом 8 состоянии
на расстоянии от r до r + dr друr от друrа. Волновая функция для чистоrо
3Dl СОСТОЯНИЯ может быть записана в виде
Ф w (r) енм
V == r 0121,
(5.9)
-1
1
j
.
j
1
'j
rде w 2 .(r) dr вероятность найти две частиЦЫ в D состоянии на расстоянии
от r до r + dr друr от друrа. Тоща ДJIЯ волновой фуннции смешанноrо
состояния (OCHOBHoro состояния дейтрона) имеем
: ф == фs + фL<
(5.10)
Так нак интеrрирование, ПО уrлам и суммирование по спиновым индексам
в силу нормировн:и функции (5.5) дает единИЦУ, то для вероятности обна
ру жить дейтрон в 38 состопнии получим
ею
РВ== (фs, фs) == u 2 (r) dr,
о
(5.11)
а для' вероятности найти дейтрон в 3 D состояНИИ
со
pv == (фv, фv) == w 2 (r) dr.
о
(5.12)
{} 5. TenaopnЪle силы
85,
Поскольку имеется Bcero лишь два состояния, дающиХ основное состояние
дейтрона, то условием нормировки ВОЛНОВОЙ функции Ф будет
со
(ф, ф) == Ps+ Pv == [u 2 (r) + w 2 (r)] dr == 1.
о
(5.13)
в дальнейшем нам понадобится знать действие оператора тензорных
сил 812 на спиновые функции . Можно пон:азать, что
м , / м
812 101 == V 8 121,
М , / м м
812 121 == V 8 101 2 121.
Справедливость соотношений (5.14) можно доказать различныМИ способами.
Наиболее прямым доказательствОМ ЯВJшется вычисление левых частей равенств (5.14)
с использованием определеНИII (5.2) тензорноrо оператора, а также с'Оотношений (5.6)
и (5.7). Про изведение (о, е) можно записать в виде
(о e)==O'xsin 8 СОБ'Р+ О'У sin 8 sin 'Р + O'z СОБ 8.
Учет свойств сферичеСI{ИХ rармонИ!{ и последнеrо равенства приводит II доказатель
ству (5.14). Однако, избеrая утоыительноrо расчета, ыы используеы более НQрОТКИЙ
способ.
Из табл. 3 видно, что при действии 812 на волновую фУНIщию 1 З81 СОСТОЯНИЯ
получается только линейная ноыбинация волновых фУНIщий З8 с и ЗD1 СОСТОЯНИЙ:
812 rcJ1==a( 01+b 1' (5.15)
(5.14)
Среднее от оператора 812 по всеы направленияы е равно нулю. Оператор 812,
В (5.15) действует на функцию ro1' которая не зависит от направления е (так как
1 ==0). СледовательнО, уыножение ro1 на 812 не ыожет привести к сферически сим
.IeТРИЧНОМУ состоянию С [==0. Поэтому а==О.
Для определения коэффициента Ь рассмотриы частный случай, леrно поддающийсЯ
расчету. Бозьмеы М==1 и направим оеь z по вектору е. ТОI'да леван часть (5.15)
примет вид
1 1
[30'1Z0'2Z (0102)] ::r а (1) а (2) == 2 а (1) а (2).
v 4% V 4'/t
Правая сторона (5.15) с а==О в этом елучае принимает особенно простой вид, тан как
при 8==0 иыееы У2,2==У2,1==0, COrJJacHo (5.7) правая сторона (5.15) равна
OJ1 V T 1
Ь0 121 (8==0)==Ь 10 У2,О (8==0) Х1,1==Ь у8% а (1) а (2). (5.16')
Сравнивая (5.16) и (5.16'), находиы ь==уБ, что подтверждает первое еоотношение (5.14).
Чтобы доказать второе соотношение (5.14), напишеы
8 OJЫ Ь OJМ (НМ
12 0121 == 0101 +с 0121'
rде коэффициент Ь должен быть теы же, что и в (5.15), тю, НЮ, тепзорный оператор 812
является эрыитовыы оператором. Бычпслян обе чает и равенства для чаСТIIоrо случая,
I{оrда вектор е направлен в направлении z (6==0), найдем с== 2. Этим полностью
доказаны соотношения (5.1/1).
Теперь мы можем написать ВОJIНОБое уравнение дЛЯ OCHOBHOI'O СОСТОЛ
пия дейтрона. ОНО будет иметь следующиЙ вид:
(5.16)
(Т + У) Ф == Еф,
(5.17)
знаком, т. е. Е== B.
спиновые переменные.
rде Е энерrия связи, взятая с противоположным
Оператор нинетичеСRОЙ энерrии Т не действует на
Он может быть записан в виде
Т== ( ; ::2 r+ 2 ), (5.18)
rде L2 == l (l + 1) == О в 8 состоянии И L2 == 2.3 == 6 в D состоянии. Потен
циальная энерrия V дается выражением (5.4). Для потенциала центральных
86
rл. 11. Заоа'lа двух тел при .малых апереиях
СИЛ В 'I'риплетН:ом состоянии введем обозначенце:
V c (r) == V d (r) + V a (r). (5.19)
С учетом (5.8) (5.10), (5.14), (5.17) (5.19) получасм
[ ;; ; +Vc(r)и ] lOl+V8VTи l21+
+ [ . ;; ( ; 6r ) + (V c 2V Т) w ] l21 + (5.20)
+ VS V TrQJ' lOl == Е (и lOl + W l21)'
Приравнивая сн:обки при ОДИНaI,ОВЫХ сферических rармониках, полу
чаем еледующую систему двух дифференциальных уравнениЙ BToporo по
рЯДКа для определения радиальных волновых функций и и w:
h 2 d 2 ll ./
М dr 2 + V с И II Еu == r 8 V Т (r) w,
t 2 ( d2W 6Ш ) V
' M dr 2 72 +[Vс(r) 2VтИ]w Еw== 8 VT(r)а. (5.21б)
(5.21а)
Для OCHOBHoro состояния дейтрона энерrия связи Е отрицательна
и равна В. Обсуждение этих уравнении весьма затруднительно, тан: кан
даже для простых потенциалов типа прямоуrольной ямы не существует
точных решений, выраженных через табулированные фуннции. До сих пор
полные численные решения имеются ТОЛЬКО дЛЯ двух случаев: Rоrда оба
потенциала V с и V Т имеют форму прямоуrольноЙ ямы [577, 326, 65] или
I\:оrда оба потеНЦИаJIа имеют форму потенциала Юкава [251]. В Rаждом
из этих случаев найдеды решения для ширOlШХ интервалов изменения
1'Jrубины потенциала и радиуса деiiствия ядерных сил.
Трудность численных расчетов обусловлена не ТОЛЫ,О харан:тером
системы дифференциальных уравнений (5.21), но ТaI,же и тем, что при
наЛll'IlШ тснзорных сил имеется значительно большее число параметров,
'ЮМ в случае центральных сил. Теперь ТaI,ИХ параметров уже четыре:
I'лубина II радиус действия потенциалов V c (r) и V Т (r). Энерrия связи дей.
трона дает одпо соотношение между Ними. Ивадрупольный момент дей
трона (см. раздел Д настоящеrо параrрафа) дает второе соотношение.
Этим ЧИСJIО Сllободных параметров уменьшастся до двух. В Принципе, два
остающихсн параметра моrли бы быть определены путем сравнения с ЭI,спе
риментаЛЫ1ЫМИ :шачениями маrнитноrо МОмснта дейтрона и эффеRТИВIIоrо
радиуса рассеЯНl1Я нейтронов на протонах в триплетном Состоннии (см.
соответственно разделы Е II Ж этоrо параrрафа). ПрантичеСI\И, однако,
OIшзываотсн невозможным ИЗ известных данных однозначно определить
Все четыре параметра. Выбор параметров потенциала, соrласующихся
( имеющимисн сеЙчас свсдениями о ;J;ейтроне, довольно широк Например,
можно увеличить БIшад тензорных сил, IШl\шенсируя ero уменьшением
вн:лада центральных сил, и при этом не ВОЗНИJ{ает противоречил с Имею
щимися данными.
ИнтереСlIО, что ДШI потенциалов с Д,'ШIПIЫМ хвостом, типа потенциала Юкава,
('уществует одна особешIO простая форма, которая находится в СОI'ласии со всеми иие
ЮЩимися данными, Этот потенциал включает центральные СИJIЫ, равные силам, дей
ствующим между нейтроном и протоном в сипrЛСТIIОМ спиновом СОСТОШШII, и ТСНЗ0рпые
силы с несколы\О БОШ,ШIIМ радиусом деиствия II немпоrо мепы[(ие, чем центральные
силы [251]:
Ь С
Ь Т
j
1
i
2, 121'/Ь с 2, 12т/Ьт
V== 22,7 e 10,g e 8'2'
r r
s 5. Те/шорные силы
87
l'де Ьс==2,47.10 lЗ см п Ьт==З,68.10 lЗ с.\!, а потенциал измеряется в Мае. Ь С и Ь Т
1IВЛЯЮТСЯ приведенными радиусами действия и поэтому сравнимы с радиусом действиЯ
потенциалов прямоуrолЬНоЙ формы. Значения параметра rлубины в, дЛЯ центральной
и тензорной частей этоrо потенциала, paBHj>! соответственно 0,937 и 0,998. Такой
1I0тенциал приводит 1( правильныМ значениям энерrии связи и квадрупольноrо момента
ейтрона. Вероятность D состояния оназывается равной приблизитеJIЫIO 3,3%, триплет
вый эффективный радиус 1, 75 .10 lЗ см. Обе Уlшзанные величины находятся в соrлаСИI!
(', имеющимися экспериментальными данными.
Этот потенциал имеет следующее интересное СВОЙСТIJО: l\ентральные силы, дей
('тнующие между протоном и нейтроном, не аавиСят от спинов [т. е. в (5.4) V a (r)==O].
Поэтому дейеТIJите.:rьная зависимость ядерных СИ;I от спинов обуСJIOIJлеIJa иСIШЮЧИ
тельно тенаорныМИ еилами, I,oTopble исчеаают в СИНI'JIетном спиновом еостоянии, 110
действуют в триплетном. Друrими С:Iовами, еуществование свяаанноrо триплетноrо
сuстояния системы, состоящей па нейтрона и протона, обусловлено исключительно
тензорными СИЛЮIИ. Необходимо, oJHa1rO, подчерr;нутъ, что спиновая независимостъ
цептра/р,ных сил Hиr;oиM об разоМ не Bblmer;aem из llастоящеео утве р;ж:дения.
Поведение функций и (r) и w (r) за пределами радиуса деiiствия ядер
ных сил леrко устаНОВI1ТЬ помошыо дифференциальных уравнениii (5.21а)
J[ (5.21б). В этом случае потенциалы V c и VT исчезают и уравнения CTa
новятся незавпсимыми. Их решениями будут фунн:ции
и (r) == N e r!R,
w(r)==N'е r!R[З( У+3( )+1] ,
I"} e R «размер') дейтрона (2.7), а N п 1\1' нормировочные постоянные.
!'рубую оценну величины N можно получить, пренебреrая малой, по cpaB
нению С единицеЙ, вероятностыo D состояния и считая, что асимптотИ
чесн:ое выражение (5.22а) ДJIЯ функции и (r) справедливо ПрИ всех значе
ниях r (т. е. пренеБРel'ая попраш ой на }{Онечную величину радиуса дей
сrвия ядерных спл). ПОJIa1'ан
(5.22а)
(5.22б)
00
п 2 (r) ar 1,
u
нолучаем
./71
N v R
(5.22в)
ПОСТОЯlшан N' зависит от величИНЫ тензорпых СНЛ. Она будет опре
;(Олена позднее.
Тах нан: в обсуждаемой: проблеме имеются два радиуса действия:
радиус дейстпин центральных сил и радиус действия тензорных сил, то
интересно более точно определить, с наIП1Х расстояний асимптотичесние
выражения (5.22) становятся примеНИМЫМJI, Уравнение (5.21а) определяет
.асимптотичеСlюе поведение (5.22а) ФУНIЩllИ п (r). Он:азывает я, что при
разумных допущениях о величине потенциалов ЧJJeНЫ V с (r) и и Vs V т (r) W
мало отличаются друr от друrа. Поэтому радиус действия, за пределами
HOToporo справедливо аСIlмптотичееlюе выражение (5.22а), равен наиболъ
шему из ДВУХ радиусов действия расематриваемоЙ задачи.
Иное ПО:IOжение имеет MrCTO в случае асимптотпчеСI{оrо выраже
ния (5.22б) Д:IЯ функпии w (r), определяеМ01'0 уравнением (5.216). Потен
циал центраJIЬНЫХ сил V с (r) входит в это уравнение на тех же npaBflX,
J,aK и центробежныЙ ЧJJен (п 2 / М) (6/ r 2 ). Для разумных значении радиуса
;\ействин ядерныХ сил и rлубины потенциала ЭТОТ отташпшаlOЩИЙ цeHTpo
бежныЙ IJIен значительно БОJIьше ядерноrо потенциала V с (r) (именно
поэтому мОжно ожидать, что при учете тольн:о центральных СИJI D состояние
не даст при малых энерrиях нин:аноrо внлада в рассеяние нейтронов на
88
rл. 11. 3аоа'Ч,а овух тел при малых эnерauях
протонах, а основное состояние дейтрона не может быть преимущественно
D с{)стоянием). Следовательно, потенциал центральных сил не иrрает cYIЦe
ственной роли в уравнении (5.21б) и расстояние, за пределами KOToporo
справедливо асимптотичесн:ое выратение (5.22б), определяется правой
частью уравнения (5.21б), т. е. радиусом дейст
вия тензорных сил, которыЙ мы теперь будем
обозначать Ь т .
Функции и (r) и W (r) ведут себя вблизи
" == о подобно типичным ФУНКЦИЯМ s и D co
стояниiJ:l), т. е. и(r)"--'r, а w(r) "--'r 3 . Тан: кат,
фунн:ция w во внешней области (за пределами
раДиуса действия ядерных сил, но внутри дейт
рона), соrласно (5.226), изменяется каI\ r 2, то
отсюда следует, что w (r) имеет довольно резкий
ман:симум вблизи, той оБJIaСТИ, rде w начинает
переходить в асимптотическую форму, т. е.
вблизи r ';::;:,Ь т . Это схематически поназано на
фиr. 21. Мы видим, что ОСНОВНОЙ вн:лад в Bыpa
жении (5.12) для вероятности D состояния PD обусловлен именно этой
оБJlастью значений r. Наоборот, вероятность S состояния Ps [см. (5.11)}
в основном обусловлена ИIlтервалом r, Jlежащим за пределами радиуса
действия ядерных сил, т. е. при r"" R, rде R размер деЙтрона.
.
Ь 7 r
Фиr. 21. Схематический вид
радиаJIЬНОЙ части волновой
функции D СОСТОfIНИЯ rt (r) в
зависимости от r.
ПРИ малых r w (y) y3. ПрИ боЛl,
ших r w (r) l/r2. Имеется резниЙ
мансимум при r,:::bT. тде bT pa
.' ДИУС деЙствия теНЗ0РНЫХ СИЛ. .
Д. Основное состОяние дейТрона; квадруиольнып момент
В rл. 1 квадрупольный момент был определен н:ав: среднее значение-
величины (3z2 r 2 ) в состоянии с И == J. В дейтроне JШJlад в Rвадрупольный
момент вносит только протон, а ero расстояние от центра масс равно'
половине расстояния От нейтрона до протона. Поэтому оператор KBaдpy
польноrо момента для дейтрона имеет следующиЙ вид:
Q == { (3z2 r 2 ) == (3 СОБ 2 О 1) r 2 . (5.23)
<1.
Математическое ожидание оператора нваДРУПОЛЬНО1'О момепта равно
(5.24)
(ф, Qф) == (фs, Qфs) + (ФD, QфD) + 2 (фs. QфD).
Первый член равен нулю, тан: н:ан S состояние сферически симметрично.
и не может иметь квадрупольноrо момента. Второй член обусловлен
чистым D состоянием и поэтому меньше, чем член, зависящий От обоих
состояний 2 (фs, QфD)' Можно показать, что
со
2 (фs, QфD) == .} r 2 и (r) w(r) dr,
r 50 о
00
(фD, QфD)== ' 2 r 2 w 2 (r)dr.
о
Измеренный квадрупольный момент дейтрона является суммой этих ,lJ.BYX
выражений:
(5.25а)
(5.25б),
00 00
Q 1 \' 2 d 1 ( 2 2 d
деЙтр. == JI 50 .) r иw r 20 r w r.
о о
1) Наличие правых частей в уравнениях (5.21а) и (5.216) ведет к ТОМУ, что в выраженю,
для и (r) появляется член типа r ln r, а в выражении для w (r) член типа r 3 1n r. Поэтому,
CTporo rоворя, ни u(r), ни w(r) не MorYT 6ыть прсдстаВЛСIlЫ чисто степснными рядами по r.
(5.26),
/
s 5. Тепворпые силы
89
Докажем формулу (5.25а) непосредственной подстановкой в нее (5.8) и (5.9). Опе
ратор квадрупольноrо момента не зависит от СIIИНОВЫХ переменных, Н, следовательно,
первые два члена сферической rармоники (5.7) дают в скалярном произведении с (5.6)
нуль, так как (5.6) содержит только спиновую функцию Xl,l' Замечая, что
(3 cos 2 0 1)== V У2.0 (О),
выполним суммирование по спиновым ИIlденсам. Получим
1'"
сх)
2 (ф , Qф) ==2\ r2dr \ dQ 1 иИ V !: У2 ( O ) r2 1 w(r) y, ( в ) .
v 4% r 5.0 V 1 О r 2 о
О
Учет нормировltи фУННЦИИ У 2.0 немедленно дает (5.25а).
Чтобы вывести (5.25б), мы используем то обстоятельство, что среднее значение
величины (3 cos 2 o 1) в состоянии с моментом количествн движения [, проенция HOTO
poro на ось z равна т/, определяется выражением [51]
l (l+1) 3mr
(3 cos 2 0 1)cp. ==2 (2l+3) (2l 1)
Подстановна этоrо выражения в (ФD' QфD) немедленно дает (5.25б). Нам необхо
дима знать только среднее значение величины (3COS20 1), ибо перенрестпые члены
между номпонентами C::J 21 с разлнчпымн т/ выпадают вслед твие ортоrональности
епиновых фуннций.
Так н:ан: основное состояние деЙ'l'рона по существу является S состоя
нием, то первый член в (5.26), в JЮТОРЫЙ w (r) ВХОДИТ линейно, дает зна
чительно больший вклад, чем член, содержащий w 2 (r). Множитель r 2
в подинтеrральном выражении делает н:вадрупольныi! момент rлавным
со
образом (<внешней» величиной, т. е. ОС)IОВНОЙ ВJшад в r 2 uw dr обусло
о
влен облас'lыо значений r, лежащеЙ за пределами радиуса действия ядер
ных сил. Поэтому l\вадрупольный момент можно оценить, подставляя
выражения (5.22) в первый интеrрал (5.2.6). Это дает
Q ;8 NN'R3. (5.27)
Используя выражение (5.22в) дЛЯ N, мы можем с помощью этой фор
мулы довольно точно оценить N'. При этом получим
N' 'L (5.27а)
R 5 /2 .
Следовательно, в первом приближении фуюrция w (r) за пределамu,
радиуса действия ядерных сил полностью определяется величиной квад руполь
НОВО момента.
Этот результат указывает на то, что вероятность D состояния PD
сильно зависит от веJIИЧИНЫ радиуса действия теУfЗ0РНЫХ сил Ь т и
быстро увеличивается с уменьшением Ь т . Рассмотрим фиr. 22, на KO
торой схематичеСIШ представлена функция w 2 (r) для двух значений
величины Ь т . В силу приведенных выше доводов нривые совпадают при
r> Ьт. Вблизи r == О обе !{ривые пропорциональны (r 3 ? == r 6 , но с различными
н:оэффициентами пропорциональности. Функция w 2 (r) имеет резкий макси
мум при значениях r, несн:одько меньших, чем радиус действия тензорных
со
сил, и веJIичина ИНТCl'рала w 2 (r) определяется областью этоrо мансимума.
о
Из фиr. 22 видно, что с уменьшением радиуса действия тензорных сил
j
1
t
ii
.11
11
"
90
rл. 11. 3аоача овух тел при .малых эnерauях
максимум быстро увеличивается. Следовательно, вероятность D состояния
ДJlЯ данноrо квадрупольноrо момента резко возрастает с уменьшением Ьт.
Используем теперь эти качественные соображения ДЛЯ l'рубоrо опре
деления вероятности D состояния PD [см. (5.12)]. Обозначим значение r,
при котором ш 2 (r) имеет максимальную вештчину, через r m . Предположим,
что rrп значительно меньше размеров дейтрона (r m R). Torдa в (5.226)
мы можем пренебречь D квадратных скобнах всеми членами, кроме первоrо,
н положить Эl{споненциальный множитель равным единице. Это дает оценну
внлада D PD области r, лежащей за
пределами радиуса действия тензорных
сил:
,'\
w 2 (r) I \
I \
I \
J \
I
I
I
I
I
I
}
I
."
00 00
ш 2 (r) d,' 9(N')2 ( )" dr==
rm r'11
===3(N')2 ( r: )3 R 12 ( Я2 У ( r: )3
(5.28)
о Ь т ' r
Фи r. 22. Схематичесная 3aIШСIВIOСТЬ
Jшадрата радиальной части волновой
фующии D СОСТОЯIlИЯ w 2 (r) для двух
различпых зпачепии радиуса деиетшIЯ
тепзорных сип Ь т и Ь Т "
Попедение w2 (т) при r > Ьт R первом прибли
шении определпется значением нвадруполь
Horo момента дейтрона, При финсированно !
иачении нва;1рупольноrо момента Q с YMeHЬ
lIIснием ра;1и)'са дейстшш теНЗ0РнЫХ сил пе
, 00
роптность D СОСТОПI!ПП PD \ w2 (1) d,' ]JСЗ
О
1\0 увеЛПЧI1ваетсн.
l'де для нормировочной постояННОЙ N'
использовано выражение (5.27а). МЫ BOC
пользопались ТОJJЫЮ rрубой оценкой,
основанноЙ на том, что функция ш 2 <,.)
имеет очень реЗI{ИЙ максимум при r == r m .
Поэтому мы можем положить интеrра.
00
ш 2 (,.) (Z,. равным примерно удвоенному
о
аначению (5.28). Точна r m , в HOTOpoii
фующия ш 2 (r) достиrает максимума,
находится в пределах радиуса действия
тензорных сил и близ на н: Ь т (если HO
тенциаJJ тензорных сил не имеет сн:ольно нибудь определенноrо радиуса деЙ
('твия Ь т , ТО можно определить Ь Т через "т). Поэтому заменим в (5.28) r/l'
на Ь т и умножим на число, близкое 11: 2, что дает
Р D С ( Я2 У ( ) 3 ,
(5.29)
l'де С численныЙ множитель поряДIШ 20 30.
Выражение (5.29) свидетельствует о том, что 'l'ензорные силы не MorYT
иметь произвольно малый радиус деЙствия 1); в противном случае основное
состояние было бы преимущестпенпо D , а не S состоянием. Действительно,
.экспериментальные измерения вероятности PD, хотя 11 С большоЙ неточностью,
определяют радиус деЙствия теНЗ0РНЫХ сил ьт в отноеительно узн:их пре
делах. В следующем разделе этоrо парю'рафа будет выяснена связь PD
с маrнитным моментом деЙтрона. Эта связь приводит I\ новой возмощности
измерения Р D.
Е. Основнос состояние дейтрона; маrНIIТlIыii :момснт
Если ядерные силы считаются центральными, маrпитный момент дей
трона может быть оБУСЛОВJlO1I толыш собственными маrнитными моментами
ВХОДЯЩИХ в Hero нун: лонов, тю{ 1\31\ Вf\лад орбитальноrо движения протона
1) Это попожение было впервые BblCI\a3aIJO в работе [6731 и в дальнейшем уточнено
I! работах [125, 262].
.
,
'>
'
'"
s 5. Тепаорпые силы
91
n 8 состоянии равен нулю. В случае нецентральных ядерных сил появляется
внлад в маrнитный момент дейтрона, обусловленный орбитальным двиЖе
нием протона в D состоянии. Этот ВI\лад является тольно малой попраВRОЙ
н вн:ладу, обусловленному спинами, но он вполне может быть обнаружен
при современной точности экспериментов.
Оператор {!ооп., который описывает маrнитный момент системы, состоящей
из нейтрона и протона, имеет следующий вид:
{!оон. == f1 n a n + f1 p a p + Lp,
(5.30)
{'де I"n и f-L p маrнитные моменты нейтрона и протона в ядерных MarHeToHax,
а Lp орбитальныЙ момент количества движения протона (лишенный заряда
нейтрон не дает вклада в маrнитныЙ момент, обусловленныЙ орбитальным
J вижением). Коэффициент при Lp равен единице, тан кан маrнитный момент
{!ооп. измеряется в боровских мю'нетонах.
В системе центра масс нейтрона и протона орбитальный момент ноли
чества движения протона равен половине cYMMapHoro орбитальноrо момента
ноличества движения деЙтрона, Lp == 1/ 2L. С ПОМОЩЬЮ этоrо соотношенил:
можно переПllсать (5.30) в виде
1 1
{!ооп. == (I"п + f1 p ) S + 2" (f1п f1 p ) (а п ар) + "2 L,
(.5.31)
rде S == 1/2 (а n + ар) суммарный спин двух частиц. Математичесное ошида
иие оператора (а п ар) в триrтетном состоянии равно нулю, поэтому опе
ратор (а n ар) не дает вклада в маrнитный момент. Соответствующий член
в (5.31) можно опустить. Введя полныti момент ноличества движенин
J == L + S и выразив S в (5.31) через J и L, получим выражение для опе
ратора эффентивноrо маrнитноrо момента
{!оафф. == (f1n + !1р) J ( !1п + f1j1 ) L.
(5.32)"
Наблюдаемый маrнитныii момент есть математическое ожидание ЭТОl'О
пыражения в состоянии с Jz == J (см. r.!I. 1). Поэтому в (5.32) мощно за
менять L на Lz:
L L == (LJ) J ==J(J+1)+L(L+1) S(S+1) J
,. z J2'Z 2J(J+1) <'
Для дейтрона J (] + 1) == S (8 + 1) == 2, а ДШI смеси S 11 D состояниЙ
[, (L + 1) определяется равенством
(L (L + 1)ср. == О х РБ + 6 Х PD == 6PD.
Величина Jz дшi: дейтрона в состоянии с Jz == J равна единице (] == 1).
Подставляп эти значения в (5.32), по.:lучаем величину МaI'нитноrо момента
деi'1трона
f1дейт. ==!1n + !Lp (I"n + f1p ) PD'
По от-к.лШlСllUЮ ве.лU'Ц,UllЫ маеllитНО20 момеита дейтрона от простой суммы
м"енuтных моментов llейтрона и протона МОЖНО непосредственно опреде.лuть
веРiJятность D сосmо.яни.я. Эксперимента.1Jьные данные [82, 476] уназывают
на то, что вероятность D состояния состаВ..тIяет он:оло 4%.
От формулы (5.33) нельзя ожидать большой точности. Мы рассмотрели
01'ltлонения, ноторые составляют Bcero JlИШЬ неснольно процентов от OCHOB
НО!;" члена f1 n + !.Lp в (5.33). Имеется целыЙ рнд ДРУ1'ИХ эффеитов, в частности
(5.33)
92
r л. 11. Задача двух тел при ,м,алых эnереиях
релятивистских, которые дают поправки TaKoro же порядка величины.
Релятивистские поправки к маrнитному моменту дейтрона рассмотрены
мноrими авторами [514, 136, 110, 113, 654, 607], но их значения и дате
знаки неизвестны. Эти поправки по порядку величины составляют несколько
процентов. Поэтому измерение маrнитноrо момента дает ТО.лько rрубую"
оценку вероятности D состояния. По разумным оценкам оказывается, что
она заключена rде то между 2 и 6%.
Несмотря на большую неточность в знании вероятности PD, радиус
действия тензорных СИJJ ЬТ определяется из соотношения (5.29) более точно.
Подставляя ун:азанную выше величину в (5.29), получаем оценку, по KOTO
рой вероятное значение радиуса действия тензорных сид за1i,дючено .между
2. 20 13 И 3 .10 13 с,м. Строrие численные расчеты [65] для случая прямо
уrольной потенциальной ямы и вероятности D состояния, равной 4%,
уточняют эту оценку величины Ь т : величина радиуса действия теНЗ0РНЫХ
3 10 13
сил во всех случаях опазывается порядна. с,м и почти не зависит
от радиуса действия центральных сил. Таной же результат получается
для случая потенциала Юн:ава [251], если для Ь т принять значение (2.20)
радиуса действия Ь.
Большое значение веJIИЧИНЫ Ь т / R упазывает, что приближения,
сделанные нами при оценпе (5.29), не очень точны. Однан:о едва ли стоит
сеЙчас делать более детальные оценпи, тап пю, вероятность D состояния,
являясь «внутренним» эффентом, повидимому, сильно зависит от формы
потенциала.
.
Ж. Рассеяние нейтронов на протонах при знерrиях ниже 10 МЭб
Тап нап опазьшается, что наличие нецентральных сил не влияет замет
ным образом на рассеяние в этой энерrетичеСIЮЙ области [366, 622], мы
рассмотрим данный вопрос весьма пратпо.
В ПРJfнципе при наличии нецентральных сил рассмотрение рассеяния
заметно меняется. ОрбитаJJЫJЫЙ момент ю)личества движения не является
уже интеrралом движения; ero величина может пзменяться во время co
ударения.
При рассмотрении рассеяния в области энерrии ниже 10 Иэв ОI\азываетсл
удобным разложить волновую фунпцию по сферичесн:им rаРМОНИПllМ со спи
'М
ном JIS [см. (5.5)]. В триплетном и сипrлетном состояниях спин 8 может
соответственно принимать значения 1 и О. Сделав тапое разложение, можно
оrраничиться учетом рассеяния тольн:о в 8 состоянии (1 == О), тап пан: в COCTO
лииях С большими моментами поличества движения частицы не будут
приближаться друr п друrу на расстояния, достаточно БJIизние для про
явлеНИJl ядерных сил. Харю,тер 8 рассеяния (1 == О) в сииrлетном состоянии
(8 == О) не изменяется при наличии тензорных сил, тю, н:iш они в этом
состоянии ие действуют. Поэтому необходимо обсудить ТОJIЬПО рассеяние
в триплетном состоянии, ноrда спины параллельны. В этом случае нет
чистоrо 38 состояния. Из табл. 3 видно, что тензорные силы связывают
3D с состояние с 38 с соетоянием, таи что даже при малых энерrиях ВIшад
в рассеяние дают оба состояния.
Отдельные ЧJlены разложения но сферичеСI\ИМ rармоникам волновой
фуннции, описьшающей рассеяние, соответствуют суперпозиции сходящейсл
(e ikr) и расходящейся (е ikr) сферичесних волн [см., например, (3.6)]. Если
сх:одящаяся волна является чистой 381 ВОЛНОЙ, то расходящаяся волна будет
смесью 8 и D волн, оБУСJlовленпой действием тензорных сил во время
соударения. Аналоrично сходящаЯСJl чистая 3D с волна превращается при
рассеянии в смесь расходящихся волн.
i
'j
j
j
f} 5. Тепаорпые силы
93
'Удобнее проводить анализ с волнами, которые имеют в смеси одинако
вое отношение 8 и D состоянИЙ ДО И после рассеяния. Такие волны назы
ваются «собственными состояпиями» для рассеяния 1). Имеется два собствен
ных состояния. Одно из них это преимущественно 8 волна с очень малой
примесыо D волны. Такое состояние мы будем называть а вОЛНОЙ. Друrое
состояние представляет собой преимущественно D волну с очень малой
примесыо 8 волны. Ero мы назовем волной. Физически очевидно, и можно
также показать математически, что во всех практических применениях
волна ведет себя при рассеянии как D состояние, поэтому в рассматриваемом
энерrетичеСl\ОМ интервале ею можно пренебречь.
Так как мы имеем дело с таким же состоянием, как и основное состоя
ние дейтрона (381 +3D1 состояние), то волновую функцию МОIIШО записать
в форме (5.8) (5.10), а волновое уравнение дается системой дифференциаль
ных уравнений (5.21).
Асимптотические выражения для фующий и (r) И W (r) можно записать
в виде
и (r) '"'" а sin (kr + о)
w (r) '"'" Ь sin (kr 'It + о)
r........,. 00,
(5.34)
rде уrол о фазовый сдвиr по сравнению с асимптотичесним выражением
для J:lевозмущенной плоскоЙ волны. Решения волновоrо уравнения 11 (r) и W (r)
описывают собственное состояние рассеяния в" определенно,м выше с,мыс.ле,
указывая на то, что фазовый сдвие в (5.34) oaUHalioe liali д.ля и (r), тa
и д.ля w (r). Существуют два решения, удовлетворяющие этим условиям:
так называемые a и решения, с двумя различными фазовыми сдвиrами
О" и o и двумя различными значениями отношения Ь/а, которые определяют
два разных асимптотических значения отношения w к и.
Можно показать, что
,.
Ь"
а"
a
b'
(5.35)
Поэтому условие,
(Ь. а,,), автоматически
етвенно D волноЙ.
Если учесть только а ВОЛНУ, пренебреrая фазовым сдвиrом o и фазо
вым:и сдвиrами всех друrих волн, то для дифференциальноrо сечения pac
сеяния в системе центра масс получим выражение (Ь"/а,, == tg t):
что а волна является преимущественно S волной
указывает на то, что волна является преимуще
Bin 2 о" r ( tg t ) 2 ]
da.== L 1 + 1 + ys sin 2 (2 t ) Р2 (СОБ 6) dQ,
(5.36)
rде Р2 (СОБ О) второй полином Jlежандра (см. ПРИJlOжение 1, 2). Второй
член в прямых скобках появился вследствие Toro, что а волна не является
чистой 8 волной. Этот интерференционный член дЛЯ D и S состояниЙ дает
уrловую зависимость сечения. Однако коэффициент при этом члене зависит
от уrла t и мал, если этот уrол мал.
Мы видели в (5.27), что величина квадрупольноrо момента определяет
а.симптотичеСRое поведение функции w (r) для OCHoBHoro состояния дейтрона.
Поэтому неудивительно, что, зная величину квадрупольноrо момента, можно
оценить асимптотическое значение отношения функций w и и, точнее,
1) Анализ рассеяния с использованием «собственных СОСТОЯНИЙ» был проделан ШВИI:-
repoJd: (не опублиновано).
94
rл. //. Задача двух тел при малых эн,ереиях
величину уrла f для (I решения при ПОложительных энерп1ЯХ 1). Такая
оценка дает
f V2Qk2.
аа
(5.37)
Подставим в (5.37) численное значение нвадрупольноrо момента и oцe
ним зависящий от уrпа член в (5.36), например, при энерrии 10 Иэе
в лабораторной системе. Оказывается, что величина коэффициента при
Р2 (СОБ О) при тююй энерrии меньше 0,01. В настоящее время ошиБЮI
в опытах по уrщ)Вому распределению в этоЙ энерrетическоЙ оБJlасти дости
rают 10%. Поэтому В.lIияние тензорных сип на рассеяние при тю,их энерrиях
СЛИШIЮМ мало, чтобы ero мотно было обнарутить существующими методами.
Следует еще заметить, что Р волна также может дать добавочные члены
с таJ\ОЙ же УI'ЛОВОЙ зависимостыо и Toro же порядна величины.
· Итак, YI'JJOBoe распределение, описываемое II ВОЛНОЙ, настолько БЛИЗI\О
н сферически симметричному, ожидаемому для чистоЙ S волны, что разница
между ними находится за пределами возМожностей энсперимента. Приняв
это положение, леrко показать, что при энерrиях ниже 10 lИэв тензорнью
силы не дают в рассеяние никакоrо наблюдаемоrо внлада. Аналоrично
тому, как это было сделано в 3, А [см. формулу (3.16) и далее], можно
показать, что здесь также применимо приближение (3.19) для фаЗОВОJ'О I
сдви1'а. не зависящее от формы потенциала ядерных сил [151]. Так же как.
и в (3.19), выражение k ctg Qа является фуннцией длины рассеяния а и эф
фентивноrо радиуса ro'
Длина рассеяния а определяется таним же путем, нак это было сделаю}
в 3, А, т. е. по асимптотичесному поведению радиальноЙ час'l'И ВОЛНОВОll
фунн:ции II (,.) ДJlЯ S состояния В lI волне при энерrии Е == О [см. формулу
(3.11)]. Эффективный радиус деЙствия ядерных сил ro является некоторым
средним радиусом деЙствия центральных и теНЗ0РНЫХ сил. Он определяется
соотношением .;,
I
:
j
:i
11
со
ro == 2 \ [ ( 1 : )2 llба (r) rQ)ба (r) ] dr,
О
(5.38)
rде llоз. (r) и WO a (r) решения уравнениЙ (5.21а) и (5.21б) дЛЯ II ВОЛНЫ при
Е == О. Torдa из (5.36) получаем выражение для полноrо сечения рассеяния
в триплетном состоянии
4п sin 2 О"
а == k 2
(5.39)
Эта формула имее такой вид, нак если бы lI волна была чистой S вол
ной. Следовательно, выражение для 'полнOI'О сечения моЖно использовать.
для определения длины рассеяния d и эффективноrо радиуса ro, В то ж
время с помощью (5.39) нельзя что либо узнать о тензорных силах.
Ранее мы видели, что радиус действия тензорных сил Ь Т нельзя выбрать
произвольно малым. В разумном приближении ве.тrичина Ь Т определяется
по нвадрупольному и маrнитному моментам деЙтр()на. Эффективный радиус
рассеяния ro лежит, вообll1е l'ОВОРЯ! rде то между значениями радиусов
действия центральных и тензорных сил. П()этому ro остается нонечным даже
тоrда, ноrда радиус деЙствия центральных сил стремится к нулю. ЧИСJlеп
ные расчеты с потенциалом ПРЯl\10уrольноЙ: формы поназывают, что в этом
1) а реIП('Ние ютт ТСЯ РСПJ('нием, I{OTOPOC МОшет быть продолж('но аналитич('сни
в решенис для оспоппоrо состояпия; рсшrни(', п( дущс.с себя, ню{ D состеяние, ИМРст
nOJIIoc при Эllс'рrии E (). Таким образом. епойетва ОСНОПllоrо ссстояния, тание, ню:, HII.
примср, ннаДРУПОЛЫIЫЙ момент, MorYT дать СIJCдения только об а рсШении.
ОБОiJначения
95
предельном случае величина эффективноrо радиуса остается все же в пре
1 10 13 1 5 10 13 ..
делах между' и, . СМ В зависимости от предположении
относительно вероятности D состояния в основном состоянии дейтрона [65].
Излишне напоминать, что экспериментальная (конечная) величина эффеI\ТИВ
Horo радиуса в триплетном состоянии не может быть интерпретирована
как следствие тензорных сил, таи кан: чисто центральные СИJIЫ в общем
случае также дают конечную величину эффш{Тивноrо радиуса.
а
а
а'
а эфф .
а в
°t
ь
ь
Ь Т
В
B
С 2
d
da
daij
dQ
D
с
Е
Е lIаб.
f
1
f (8)
F(r)
h('fj)
Но
Iч
J
ОБОЗНАЧЕНИЯ
амплитуда асимптотическоrо выражения для и (r) I! теорип рассеЯJlIIН
пейтронов на протонах при учете тензорных сил (5.34).
длина рассешпш (3.11).
длина рассеiIНИЯ, отвечающая толыш ядерным силам без учета НУЛОJlОВ
ских сил (11.8).
OHepaTOp «Эфф(Jl{ТИВНОЙ» длины рассеяния (3.51).
длина рассешIИЯ в синrлетном СПИНQlJОМ состояниИ (синrJЮТlIaЯ Д:Шl1а
рассеяния) ( 3, Б).
длина рассеяния в триплетном спшIOВОМ состоянии (тринлетная ДШIШ\
рассеяния) ( 3, 13).
аМПJIитуда в асимптотическоы выражении ДJШ w (r) в теории рассеянип
нейтронов на протонах при учете тензорных сил (5.34). .
радиус действия ядерных сил, БОJIC!' точно определяемый 1{З1{ «xapaHTe
ристический радиус действИЮ> (2.18) (2.20) и (3.21).
раДИУС действия тензорных сил ( 5, r).
энерrия связи дейтрона (В==2,226::!:: 0,003 Мае) ( 2).
энерrия «виртуальноrо уровню> системы, состоящей из протона и нейтро
па в синrлетпом спиновом состоянии (9 3, Б).
ПРОНlIцаемость HYJIOHOBCKoro потенциалыlrоo барьера (4.1).
наименьшее юшссичес[ше расстояние, на l{оторое MoryT нриблизитьсн
два протона (d==e 2 'E) ( 4).
дифферепциальное сечение рассеяния (:3.4).
дифференциальное сечение столюювешш нейтрона с МОJIeКУЛОЙ, приво
дящеrо к возбуждению молекулы из состояния и; в СОСТОШIИе и, (3.46).
элемент те:тесноrо уrла (3.4).
боровский радиус протона (D== h2!Me2==2,88.10 12 см) (4.6).
еДИНИЧНЫЙ вектор в напраВ!lении веlпора r (равный расстояи ию между
протоном инейтропом) (з 5, Б). .
энерrия ОТIIосительноrо движения ( Е== Елаб.) (2.1).
энерrия в лабораторной системе при рассеянии нейтрОНОВ на нротонах
(Е лаб . == 2Е) (3,3).
длина I{OI'epeHTHoro рассеяния при столкновениях нейтронов с протонами
(3.53).
cpeДHee значение f (8) [для S волны в f ( )] (3.6).
аМIJлитуда рассеяния [{ан ФУШЩИЯ уrла 8 (3.1).
радиалыIяя кулоновснан фуннция (11.2), (4.3).
фупнция, слабо зависнщая от "fj (% 4).
rамильтониан, описывающий нейтрон и связанный протон без учета их
IJзаимодейетвин (3.31).
форм фar{тор при рассеянии прйтронов на протон, свнзаппых в MOJIO
нулах (3.46), (:3.47).
HBaHTOBoe ЧИС.;Ю полноrо MO ICHTa ноличества двишенип системы, СОСТОII
щей из нейтрона и протона (з 5, 13).
96
1
k
k f
ki
К
К
К'
1
--.... L2
J,
Lp
М
М
Ммол.
N
N'
PD
Рв
Р
Q
Q
r
ro
ros
rol
r] ,
rm
r
r n
rp
R
R
1/
S
S
812
Т
U (r)
Fл. 11. 3аоача овух тел при малых энереиях
оператор полноrо момента количества движения системы, состоящей иа
нейтрона и протона (з 5, 13).
волновое число относительноrо движения на больших расстояниях
(k==liin'X.(r)] (3.2), (3.3).
T >-CO
относительный волновой вектор нейтрона и молекулы после столкновения
(3.47).
относителыlйй волновой вектор нейтрона и моленулы до столкновения
(3.45).
среднее ВОШlOвое ЧИСJIO в «ДО3ВОJlенной» области (внутри области действия
ядерных сил) (з 2).
==к'п (з /. и фиr. 19).
в теории рассенния протона на протоне величина, аналоrичrrан выраже
пию k ctg о И3 теории рассеяния нейтрона па протоне (4.6).
KBaHTOBoe число момента количества движения (з 3, А).
оПератор квадрата момента ноличества движения L (5.18).
оператор момента ноличества движения системы, состоящей И3 нейтрона
и протона ( 5, В).
оператор момента КОJ!ичества движения протона (5.30).
маrнитное нвантовое число дш! ПОЛIIоrо момента ноличества движения 1
системы, состоящей и нейтрона и протона (5.5).
масса НУI(Лона (з 2).
t;MaCca моленулы (з 3, В).
нормировочная постоянная в выражении для асимптотичесноrо поведения
функции и (r) (5.22а).
нормировочная постоянная в выражении ДJIЯ асимптотическоrо поведения
функции w (r) (5.22б).
вероятность нахождения дейтрона в D состоянии (5.12).
в()роятность нахождения дейтрона в 8 состоянии (5.11).
безразмерный параметр, зависящий от формы потенциала, в феноменоло
rичссном описании рассеянии протонов на протонах (4.7).
квадрупольный момент дейтрона (5.1).
оператор Iшадрупольноrо момента дейтрона (5.23).
расстошrие между протоном и нейтроном (r == I r.i) (з 2).
эффентивный радиус для рассеяния (3.19), (3,20).
эффективный радиус в синrлетном спиновом состоянии (з 3, Б).
эффективный радиус в триплетном спиповом состоянии (з 3, Б).
IlаиБолыпеe классическое расстояние, на которое MorYT удалиться друr
от друrа нуклоны, входЯщие в дейтрон (з 2).
расстошше между протоном и нейтроном r, при I{OTOPOM функция W (r)
имеет максимальное :шачение (з 5).
BeIHOp, соединяющий нейтрон с протоном (r==rn rp) (2.1).
радиус вентор нейтрона (раздел З 3, А). .
радиус вектор протона (раздел З 3, А).
«pa3Mep» дейтрона (R==4,31.1О lЗ см) (2.7).
I\оордината центра масс нейтрона и нротона (з З, 13).
параметр rлубины (отношение действительной rлубины потенциала н rлу.
бине, при которой энерrия СВЯ3И дейтрона равна нулю) (з 2).
оператор спина моленулы водорода [s== ; (a pl + а р2 ) J (3.52 .
оператор спина системы, состоящей И3 нейтрона и протона (з 5, 13).
теНЗ0РПЫЙ оператор частиц 1 и 2 (5.2).
кинетичесная энерrия относитеЛЫlOrо движении (з 2).
радиальная часть волновой фуннции в 8 состоянии [и (r)==rф (r)]; и 2 (r) dr
определяет вероятность найти частицы на расстоянии от r до r + dr друr
от друrа (2.2).
' .
,,;Y <
C-i,'j'",,-'
11'
"
ОбозначеНttя
97
радиальная часть волновой ФУНКЦИИ tt (r) при <<нулевой» энерrии (!\ 3, А).
.. .) волновая функция BHYTpeHHero состояния молекулы после столкновения
(3.47).
иi (rp, ...) волновая фушщия BHYTpeHHero состояния молекулы до столкновения
(3.45).
потенциальная энерrия химической связи протона lJ положении rp (3.31).
отпосительная скорость двух протонов (!\ 4).
асимптотическая форма функции и (r) при БО.1JЬШИХ r (3.7).
асимптотичеСI{ая форма функции по (r) при больших r ['ио (r) == V (r) при
«нулевой» энерrии] (3.12).
относительпая скорость нейтрона и молекулы после столкновения (!\ 3, 13).
относительная СIШрОСТЬ нейтрона и молекулы до СТОЛIшовения (!\ 3, В).
среДНее значение потенциальной энерrии V (r) внутри области действия
ядерных сил (у не есть математическое ожидание потенциала V) (2.8)
потенциальная эиерrия двух нуклонов, паходящихся на расстоянии r
друr от друrа [V == V (r)] (!\ 1).
V o rлубина потенциала, имеющая размерность энерrии (2.10) (2.13).
V' (r n r p ) «псевдопотенциаш> при рассеянии нейтронов на протонах, связанных в
молекулах (3.36), (3.37).
потенциал центральных сил в триплетном спиновом состоянии [V с (r) ==
ио (r)
п! (rp,
U(r p )
V
V (r)
Vo (r)
Vj
Vi
V
v
V c (r)
Vd (r)
V a (r)
VT(r)
w(r)
Yl т (е, 'f')
MB
о
о
O
Е
1J
е
"1. (r)
['.
/,-'
!1 э фф.
fJ.n
fJ. оп .
fJ.p
. п .
== Vd (r)+ V a (r)]
(5.19).
часть потенциала взаимодействия нейтропа с протоном, не зависящая от
спинов (5.4).
радиальная зависимость потенциала взаимодействия пейтрона с про
тоном, пропорциональная произведению ("'1"'2) (5.4).
радиальная зависимость тензорной части потенциала взаимодействия ней
трона с протоном (5.3).
радиальная часть волновой ФУНКЦИИ D состояния (5.9).
нормированные сферические rармонИIШ (см. приложепие 1, !\ 2) (3.5).
нормированные сферические rармоники со спином (см. приложение 1, !\ 5)
(5.5) (5,7).
параметр радиуса действия ядерных сил (2.11) (2.13).
фазовый СДIJиr S волны (3,7).
«ядерпый» фазовый сдвиr при рассеянии протонов на протонах (разность
между действительным фазовым сдвиrом и кулоновским фазовым сдвиrом
ао) (9 4).
фазовый сдвиr а во.'ЩЫ при учете тензорных сил (!\ 5, Ж).
параметр, хараlперизующий асимптотичеСI{ое поведение отношения функ
ций w (r) И tt (r) В а волне при рассеянии нейтронов на нротонах при
наличии тензорных сил tg Е == b /a", (5,36).
параметр, определяющий роль кулоновских сил (1J==p-2/hv) (4.1).
уrол рассеяния (3.1).
волновое ЧИСJIO в точке r (2,5).
]jриведенная масса (fJ.::::::: м) (2.1).
припеденная масса для нейтрона и молекулы (!\ 3, 13).
оп()ратор эффентивноrо маПIИ1'ноrо момента дейтрона в основном COCTO
янии (5.32).
маrпиТIIЫЙ момент нейтрона (f'-n== 1,914) (5,30),
оператор маrнитноrо момепта системы, состоящей из нейтрона и протона
(5.30).
маrПИТIIЫЙ момент протопа (fJ.p== 2,793) (5.30).
проеI{ЦИОННЫЙ оператор для синrлетноrо спиновоrо СОСТОЯНИf! (3.50),
7 33Н38 N, 396
98
r л. 11. 3аоача двух тел при лалых энерl!иях
1Ч
Р
а
а о
а о
а п
ар
а пара
а "
аl
Ф
фD
фS
<f(r p )
XSms
ф (1')
фо (с)
W
проекционный оператор для триплетноrо спиновоrо состояния (3.50).
координата центра масс молекулы (3.45).
полное сечение рассеяния (3.23), (3.25).
полное сечение рассеяния при «нулевой» энерrии (3.14), (3.24).
кулоновский сдвиr фазы для S волны {4.з).
спиновый оператор Паули для нейтрона (3,50).
спиновый оператор Паули для протона (3.50).
полное сечение рассеяния нейтронов на параводороде (3,54).
полное сечение рассеяния в синrлетном спиновом состоянии (3.25).
I10лное сечение рассеяния в триплетном спиновом состоянии (3.25).
волновая фуНiЩИЯ нейтрона и протона в четном состоянии с J==1 (5.10).
доля D волны в Ф (5.9).
доля S волны в Ф (5.8).
== lim a/ar [rW] (3.22).
r O
спиновая функция, отвечающая спину S, проеRЦИН KOToporo на UCI, Z
равна тВ; в З 5 используются функпии для S == 1, поторые пришщепы JJ
приложении 1, З 4 (5,5) (5.7).
волновая фуппция, описывающан 01нuсителыlOС ДВИЖСНИС системы ДВУХ
TCJI (2.1).
доля S волны В Ф (r) (3.5), (3.6).
ВОJJНовая ФУШЩИП нсйтрона, взюшuдеЙСТJJующсrо с протонuм, связанным
в ыuлекуле (3.30).
'i(
r л а в а III
ЯДЕРНЫ.Е СИЛЬI
1. ВВЕ.т ЕПИЕ
Теоретическое исследование строенин ядер значительно труднее, чем
исследование строения атомов и молен:ул, так кан неизвестен основной занон
ядерных сил. Трудности, встречающиеся в атомной и моленулярной фИ3ИI{е,
занлючаютсн в приложении хорошо известных занонов сил. Силы, действую
щие между элентронами и атомными ядрами, полностью описываются занона
ми элентромаrнитной теории. В ядерной же фИ3Iше мы сталниваемся 110
тольно с трудностями примененин нвантовой мехапики к сложным системам,
но танже и с дополнительной трудностью, ЗaIшючающейся в незнании зано
нов ядерных сил. Таним образом, не считая трудности, связанной с решением
Болновоrо уравнения длн системы, состоящей И3 мноrих тел, мы даже не
знаем, накое волновое уравнение следует решать.
Поэтому в ядерной физине имеются две проблемы: прежде Bcero необхо
димо найти законы ядерных сил и далее рассчитать свойства ядер, обусловлен
ные таними силами. Тан: нан в настоящее времн нет удовлетворительной Teo
рии ядерных сил, то их природу можно изучить только с помощью ТIЦатель
Horo анализа свойств известных ядер. Мы должны найти занон сил, ноторый
объяснит наблюдаемые свойства ядер. Трудности таной попытки очевидпы.
Во первых, существуют энспериментальные трудности: наши знания о свой
ствах ядер не очень точны, вследствие чеrо неснолько различных заноноп сил
иоrут приводить н соrласию с имеющимся экспериментальным материалом.
Тан, например, мотно уназать, что данные по рассеянию нейтронов на IIрО
тонах и протонов на протонах не чувствительны н деталям зависимости от
расстояния ядерноrо потенциала в S состоянии системы, образованной из
двух нунлонов. В этом случае можно определить лишь длину рассеяния
и величину эффентивноrо радиуса действия ядерных сил, т. е. тольно два
параметра. BO BTOpЫX, существуют и теоретичесние трудности: методы pac
чета всех ядерных процессов, нроме простейших, основаны на приближениях,
точность которых в лучшем случае сомнительна и, повидимому, являе'fСН,
нан правило, очень плохой. Таким образом, надежная и однозначная про
верна каноrо либо заданноrо зан:она сил возможна тольно в весьма оrрани
ченном числе случаев.
В силу трудностей, связанных с детальной проверной различных возмож-
ных занонов сил, обычно пытаются использовать простейший заНОН};.СlIЛ,
ноторый не находится в очевидноМ противоречии с известными данными.
Например, предполаrается, чтО ядерные силы действуют тольно между парами
нунлонов и не зависят от относительной снорости двух рассматриваемых HyH
лонов. Весьма верояТНО, что оба допущения несправедливы, но обычно счи
тают, что при их использовании можно получить хотя бы начественное пред
етавление о строении ядер.
Критерий (<простоты» является в высшей степени ПРОИЗВОЛЬНЬJм и зави
сит нан от применяемоrо формализма, так и от частноrо выбора метода при
7 '
100
Тл. I//. Ядерные силы
ближенноrо решения волновоrо уравнения. К тому же историческое развитие
ядерной физини не способствовало унреплению мнения о том, что действи
тельный зю,он сил имеет очень простой ВИд. ПО мере накопления Эl{сперимен
тальноrо материала упрощающие предположения отбрасывались одно за дpy
I'ИМ и часто с очень большим сопротивлением. Силы, ноторые сейчас обычно
предлаrаются, весьма отличны от тех чнсто центральных, обменных
сил Майорана между неодинановыми частицами, которые иредлаrались
в 1935 r.
В этой rлаве рассматриваются rлавным образом I\ачественные аспенты
теории ядерных сил, имеющие значение не тольно в задаче двух тел, но
также и для изучения свойств друrих ядер. Нам известны два важных свой
ства ядер: для всех ядер плотность нунлонов примерно постоянна (<насыщение
плотности») И энерrия связи на нунлон примерно одинанова (<насыщение энер
rии связи»). Наличие этих двух явлений насыщения имеет решающее значе
ние для природы ядерных сил и приводит Н rипотезам (<обменных сию>. '8 этой
rлаве обсуждаются aprYMeHTbl, которые делают невозможным предположе
ние о простых ядерных силах притяжения и при водят н необходимости
рассмотрения обменных сил. Будут описаны различные типы обменных
сил, а также развит широно используемый в этой задаче формализм.
Было бы ошибкой утвертдать, что ядерные силы действительно являют
ся силами (<обменноrо» типа. Еще менее вероятно утверждение о том, что
свОйства насыщения ядер обусловлены обменным харантером ядерных сил.
Полученные теперь данные по рассеянию нунлонов при больших энерrиях,
повидимому, указывают на то, что потенциал между двумя нунлонами имеет
обменный харю,тер в меньшей степени, чем это необходимо для объяснения
насыщения.
Возможно, что в свете будущих отнрытий часть материала этой rлавы
окажется вскоре устаревшей. Влияние на ядсрные силы близости различных
нунлонов друr к друrу (мноrочастичные силы) может иметь в задаче насыще
нин большее значение, чем обменный харюпер ядерных сил [606].
J
'
J
;;
.
s 2. УСТОЙЧИВОСТЬ ЯДЕР ПО ОТНОШЕНИЮ К «стяrИВАНИЮ».
IIЕВО3МОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ МЕЖДУ ВСЕМИ
ПАРАМИ НУКЛОНОВ
Следствия, полученные при изучении ядерной задачи двух тел при Ma
JIЫХ энерrиях, привели н утверждению, что ядерные силы являются силами
нритятения. ЭТО справедливо для сил, действующих метду двумя протонами
в 18 состоянии, а танже метду нейтроном и протоном ню, В 18 , так
и в 38 состояниях. Нроме Toro, эти силы примерно равны и, повидимому,
имеют приБJlизительно равные радиусы действия. Если rоворить более
точно, то данным, обсуждавшимся в предыдущей rлаве, не противоречит
следующий выбор формы потенциала сил, дейивующих между двумя
любыми нуклонами в 8 состоянии (см. замечание на стр. 86 87):
V == У С (r) + 812 V Т (r),
(2.1)
rде l' расстояние между двумя нунлонами, 812 тензорный оператор,
определенный в (11, 5.2), а V c (1') и V т (1') - не слишком хорошо известные
фУНIЩИИ от Р, Jюторые можно взять, например, в форме потенr иаJlа Юнава
с раЗJlИЧНЫМИ параметрами. Потенциал тензорных сил имеет БОJlьшиil
радиус действия, но менее rлубок, чем потенциал центрапьных СИJl.
е ТОЧI,И зрения простоты было бы очень привленатеJlЬНО предположить,
что выражение (2.1) представляет собой основной закон ядерных сил не
f} 2. Устойчивость ядер по отпошепию ,. «стяеивапию»
101
только для двух изолированных нуклонов в S состоянии, НО И для любых
двух нуклонов при любых условиях. Torдa потенциальную энерrию ядра,
содертащеrо А частиц, можно было бы представить в виде суммы
А
V == V ij, (2.2)
i <j== 1
rде V ij потенциальная энерrия двух изолированных ядерных частиц, Haxo
дящихся на расстоянии rij друr от друrа, определяемая соrласно (2.1),
т. е. одинановая для всех пар нунлоиов внутри ядра.
Однано можно пон:азать, что это простеi1шее из всех предположениЙ
находится в прямом противоречии с эн:спериментально известными CBeдe
пиями о более тяжелых ядрах. 8нсперимент указывает на то, что плотность
ядерноrо вещества в тяжелых ндрах примерно одинан:ова для всех 'ядер.
Друrими словами, объем ядра в хорошем приблитении пропорционален
массовому числу А. Нроме Toro, эперrия отделения последнеrо нейтрона
(или протона) от тяжелоrо ядра также примерно не зависит от MaccoBoro
числа А. Мы будем называть приблизительную пропорциональность объема
ядра массовому числу «насыщением ядерной плотностю> , а приблизитель
ную пропорциональность по.пной энерrии связи массовому числу «Hacы
Щением в энерrиях связи ядер». Мы увидим, что ни одноrо из этих свойств
нельзя было бы ожидать, если бы силы, действующие между НУIшонами,
были только парными силами притяжения. .
Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим поведение кинетичеСI\ОЙ
и потенциальной энерrий в зависимости от радиуса ядра R. ДО тех пор
пона форма волновой функции пе сильно меняется при уменьшении ядер
Horo радиуса, кинетическую энерrию можно считать обратно пропорцио
пальной нвадрату радиуса ядра. Действительно, пусть СРl (r 1 , r 2 , . . ., r А)
нормированная волновая фуиrщия. Torдa фуннция СРа == а 3А / 2 СРl (ar 1 , ar 2 , . . .
. . ., ar А) таюнс нормирована (а постоянная). Прямая подстановка опера
тора нинетической энерrии
А
h 2 h
Т == Vf
2M .
(2.3)
i==1
дает следующий результат:
(СРа' ТСРа) == а 2 (СРl' ТСРl)'
(2. )
Если волновая функция СРl описывает ядро радиуса R, то волновая фунн
ция СРа описываст (<подобное» ядро радиуса R/a. Поэтому соотношение
(2.4) можно интерпретировать, нак уназание на то, что при прочих равных
условиях математическое ожидание I\инетичесной энерrии обратно пропор
ционально квадрату радиуса ядра.
ПереЙдем теперь н: оценке зависимости потенциальной энерrии от pa
диуса ядра R. Предположим, что ядро имеет примерно сферическую форму,
я существует достаточное усреднение ориентаций спинов и расстояний
между частицами, так что тензорные силы не дают заметноrо внлада
в полную потенциальную энерrию тюнелоrо ядра, т. е. предположим, что
среднее значение тензорноrо оператора Sij близно н нулю для всех
нуклонных пар. До тех пор пока в потенциале (2.1) учитываются толыю
центральные силы, наше рассмотрение будет определяться лишь короткодеЙ
ствующим харантером ядерных сил, но не детальной зависимостыо функ
ции V c (r) от радиуса. Поэтому мы сделаем упрощающее предположение,
что фующия V с (r) может быть представлена в форме прямоуrольной ямы
шириноЙ Ь и rлубиной V O '
102
rл. 111. Ядерные силы
Вследствие малоrо радиуса действия ядерных сил математическое
О/I,идание потенциальной энерrии для нун:лонов, находящихся на больших
расстояниях, очень. близн:о н: нулю. Мы оценим потенциальную энерrию
следующим образом:
1
V""" 2A(A 1)pVo'
(2.5)
rде р средняя вероятность нахождения пары нуклонов на расстоянии,
меньшем Ь.
Величину р можно оценить, предполаrая, что нун:лоны движутся He
зависимо друr от друrа внутри сферы радиуса Л. Определим фунн:цию
е (х) соотношениями
е (х) == { 1,
О,
если х > О,
если х < О.
(2.6)
Тоrда вероятность обнаружить две частицы на расстоянии, меньшем
Ь друr от друrа, равна
р== ( 4rc: З ) 2 e(b r12)dVldV2' (2.7)
I'де интеrрирование производится по объему сферы, а r 12 обозначает
расстояние между частицами. Вычислив интеrрал, получим
р == ( у [ 1 196 ( ) + 312 ( ) 3 ]
р==1 (R< ).
( Ь )
\..R> 2 '
(2.8)
Эти соотношения правильно описывают поведение вероятности в пределе при
больших и малых Л: при больших R (2.8) равно отношению объема сферы
радиуса Ь н: объему ядра (сферы радиуса Н), т. е. (Ь/Н)3. ДЛЯ малых R все
частицы находятся в пределах радиуса действия ядернЫХ 'сил, тан: что Bepo
ятность взаимодействия равна единице.
Соотношения (2.5) и (2.8) дают приближенное выражение для потенци
альной энерrии ядра в зависимости от ero радиуса R и радиуса действия ядер
ных сил Ь. Эта зависимость rрафически представлена на фиr. 23 (н:ривая Vj . На
Этой фиrуре нанесеаа также оценн:а для нинетической энеРI'ИИ l' (пропорци
ональной H 2). Кривая Е представляет полную энерrию Е== Т +V н:ак
фушщию радиуса ядра Н. Мы видим, что Е имеет минимальное значение при
Н"Ь/2 и Ма!{СИМУМ при некоторой величине Н==Нl,»Ь 1 ). Если рассмотреть
ансамбль нуклонов, находящихся внутри сферы радиуса Н>Н 1 , то нун:лоны
будут стремиться разлететься друr от друrа. Ансамбль нун:лонов, находящих
ся внутри сферы радиуса Н<Н 1 , будет стремиться стянуться н устойчивому
положению с радиусом R порядна Ь/2.
Однако это предсн:азание находится в полном противоречии с действи
тельностью: наиболее устойчивым состоянием ансамбля нунлонов должно
быть состояние, реализуемое в действительности, а оно вовсе не является
стянутым: ядра cl{opee имеют тенденцию находиться в состоянии, в н:отором
НУIШОНЫ удерживаются друr от друrа на расстояниях, близн:их по величи
не н: радиусу действия ядернЫХ сил. Такое же противоречие получается при
рассмотрении энерrии связи. В стянутом состоянии н:аждый нуклон находится
достаточно близн:о н: н:аждому друrому нуклону, тан: что «связы> он:азы
1
J
"
1
j
j
j
!
1
!
j
1) Так как V и Т зависят различным образом от MaccoBoro числа А, то положения,
минимума и максимума также зависят от MaccoBoro числа.
2. Устойчивость ядер по отношению /i: «стЯZиванию»
103
вается очень эффен:тивной и дает вн:лад в полную энерrию связи. ПОЭТОМУ
полная энерrия связи в стянутом сос оянии для больших величин А пропор
циональна числу пар нун:лонов; т. е. А 2. В действительности же энерrия связи
"4
з
2
/8
R, 10 см
5 6 7
со 00
...1:') 4
....
<:;:)
.....
"
1
55
2
з
4
i
50
5
6 о.ОЮ
Фи r. 23. СхематичеCIШЯ аависимость от радиуса ядра R потенциаль
ной энерrии ТТ, кинетической энерrии т и полной энерrии E==V +1'
в предположении, что силы, действующие межДУ всеми парами HYH
лонов, являются силами притяжения.
Численные величины выбраны с целью получить представление о ситуации
Б области ТН1иелых ядер (А:::: 200). Энерrетичесная шнала отложена в единицах
105 Мэв, абсцисса в единицах 1 0 13 СМ. Полная энерrия Е имеет очень rлубо
ний минимум при радиусе R порядна bf2, rде Ь радиус действия ядерных
сил, и очень плавный мансимум при больших 8начениях радиуса R==Rl. AH
самбль нунлонов, нахоДИВШИХСЯ первоначально в области R<Rl' стянется н
радиусу стабильности соответствующему минимальному 8начению полной
энерrии Е. Величина устойчивоrо радиуса (bf2) находится в противоречии с pa
диусами ядер. tнаблюдаемыми энспериментально. Минимальное 8начение Е
соответствует при этом энерrии СВЯ8И оноло 16 О О М эв на нунлон, что танже
противоречит энспериментально наблюдаемым энерrиям СВЯ8И.
ядра с массовым числом А приблизительно пропорциональна А, а не А 2.
Для н:ривых, приведеНЮiIХ на фиr. 23, энерrия связи (минимум величины Е)
составляет 3,3.105 Мэв, или 1650 Мэв на частицу, в то вреМя как эн:сперимен
тальное значение составляет он:оло 8 Мэв на частицу.
104
r.a. IIl. Ядерные Си.аы
1
I
Поэтому мы приходим н: зан:лючению, что сделанные выше чрезвычайно
простые предположения о ядерных Силах находятся в противоречии С фан:та
ми и не соответствуют действительности. Перечислим теперь сделанные ранее
существенные предположения; одно или несн:ольн:о из них (а ВОЗможно, и все
. они) должны быть отброшены:
1. Ядерные силы действуют тольн:о между парами нун:лонов. Наличие
поблизости друrих нун:лонов не сн:азывается на силах, действующих
между двумя данными нунлонами.
2. Силы, действующие между двумя нуклонами, консервативны и не
зависят от скорости. Поэтому они MorYT быть записаны в виде rрадиента по
тенциала.
3. Силы, действующие между двумя нуклонами, всеrда являются силами
притяжения.
4. Ядерные силы не за исят от сорта нун:лонов (нейтрон или
протон).
5. Силы одинан:овы для всех относительных моментов ноличества
движения.
6. Ядерные силы явлЯются преимущественно центральными, т. е. TeH
зорные силы не имеют решающеrо значения в ядерной связи,
На первый взrляд, следует отбросить предположение 1. Оно, несомненно,
является незан:онным для сил, ответственных за химичесн:ую связь в молен:у
ле; тем не менее историчесн:ое развитие теории ядра не пошло в Этом направле
нии. Более Toro, в большинстве попытон: найти закон ядерных сил считались
справедливыми первые два предположения, а изменялись отстальные. При
чину подобной тенденции найти нетрудно: при отсутствии фундаментальной
теории ядерных сил было бы практичесн:и безнадежным попытаться вывести
тольн:о на основе опытных данных зан:он сил, не удовлетворяющий допуще
нию 1. Тан:ой зан:он сил должен был бы менять свой вид н:аждый раз при
добавлении к ядру новой частицы. Это дает тан:ое число произвольных
параметров, что становится возможным объяснить любую совонупность
фактов. Разумеется, тан:ое объяснение имело бы вееьма незначительную
ценность.
Аналоrичные рассуждения применимы и к силам, зависящим от
сн:орости: здесь имеется так MHoro Возможных выборов, что соrласие
с эн:спериментальными данными можно было бы рассматривать н:ю{ простую
случайность.
Может пон:азаться не сорсем очевидным, почему предположение о силах,
не зависящих от сн:орости, было существенным в проведенном выше paCCMO
трении. Наиболее леrн:о это можно пон:азать, если рассмотреть противополож
ный пример. Допуетим, что силы, действующие между любыми двумя HYН:
лонами, являются силами притяжения и аддитивны, но их зависимость от
сн:орости тан:ова, что притяжение быстро стремится !, нулю, если отноеитель
ная сн:орость увеличивается сверх нен:оторой предельной величины. В стяну
том СОСтоянии все нун:лоны движутся очень быстро (тан: н:ак уменьшилась
длина волны). Поэтому наше предположение должно было бы заметно осла
бить устойчивость стянутоrо Состояния, лишая при этом зан:онноети YTBep
ждение о том, что это соСтояние является наиболее устойчивым.
Можно попытаться сохранить предположения 1, 2 и 4, а предположе
ние 3 изменить следующим образом:
3а. Силы, действующие между двумя нуклонами, являются силами при
Тяжения на расстояниях r>d, rде d порядон: расстояния между двумя
соседними НУJ\лонами в реальных ядрах. На расстояниях r< d эти силы xapaн:
теризуются сильным отталкиванием.
Тан:ой зан:он сил, несомненно, привел бы !{ наб.qюдаемому постоянству
плотности ядерной материи и н: постоянству энерrии связи, приходящейся на
1
I
I
j
Ф
\
;1
1
J
.
3. Обменные си.аы
10;'-'
одну частицу. Зан:он TaHoro типа объясняет отсутствие стянутоrо состоянин
у жидкостей и твердых тел: два атома притяrиваются друr к друrу (rлавным
образом силами Ван дер Ваальса) до тех пор, пон:а их элен:тронные оболочки
заметно не перен:рываются. На меньших расстояниях элен:троны удержи
ваются вдали друr от друrа" блаrодаря принципу Паули, действие HOTopOr()
проявляется в наличии большой отташшвающей силы.
Против этоrо предположения имеется пока что относительно мало воз
ражений. Результаты опытов по рассеянию при малых энерrиях, обсужден
ные в l'Л. 11, не настольн:о чувствительны к деталям зан:она ядерных с:ил
чтобы можно было :исключить предположение 3а. Одню{о результаты опы
тов по рассеянию при больших энерrиях (10 Мэв и больше; наибольшая
достиrнутая энерrия 350 Мэе), повидимому, уназывают на несправедливость.
этоrо зю{она сил. В частности, рассеяние в состояниях с нечетными MOMeHTa
мИ !{оличества движения О!{азалось слишю м малым, чтобы оправдать силы
типа 3а. Были указаны и друrие aprYMeHTbl против предположення За [2221.
В настоящее время эти aprYMeHTbl не являются особенно убедительными.
В следующем параrрафе мы обсудим друrие, более общепринятые объясне
ния постоянства плотности и энерrии связи\ приходящейся на частицу.
3. ОБМЕННЫЕ СИЛЫ
А. Качественное рассмотрение
Общая тенденция в ядерноЙ физике до настоящеrо времени состояла
в попытн:ах избежать трудностей, обсуждавшихся в предыдущем парю'рафе
изменяя предположения 3 и 5 и принимая остальные. Предположение 3 заме
няется следующим:
3б. Силы, или неноторая доля сил, действующих между двумя НУIшона
ми, являются либо силами притяжения, либо силами отталн:ивания, в зави
симости от состояния двух нунлонов.
Зависимость сил от состояния двух частиц можно ввести мноrими спосо
бами. Наиболее употребительный вид зависимости был впервые введен rей
зенберrом [3601 и Майорана [5051; ОН при водит l{ тан называемым «обменным
силам». Первоначальные aprYMEJНTbl rейзенберrа и Майорана выrлядят
примерно следующим образом: известно, что химичеСlше силы притяжения\
между двумя атомами водорода зависят от состояния электронов.
Притяжение имеет место в том случае, н:оrда волновая функция'
симметрична по отношению к перестановке элеIПРОНОВ; если же волновая.
фунн:ция антисимметрична по отношению н: таной перестаною{е, то имеет
место отташ{ивание.
В химичесн:ой связи притяжение или отталн:ивание может быть объясне
но н:вантовомеханичесними свойствами волновых фуннций ЭЛeI\ТрОНОВ. rей
зенберr и Майорана приняли формальную зависимость взаимодействия ОТ'
свойств симметрии, не стремясь, однано, дать полное н:вантовомеханическое
объяснение этой зависимоСТИ. Они ввели тип ядерных сил, ноторые дают при
тяжение для «симметричных» пар и примерно таное же по величине отташ{И
вание для <<знтисимметричных» пар. Симметрия пары зависит от волновой
фунн:ции, описывающей ее состояние. Если волновая фуннция не меняетсЯ'
при перестаповн:е !{оординат частиц пары, то пара симметрична. Наоборот,
если при тю{ой перестановке знан: волновой фуннции меняется, то пара
антисимметрична. Пара может быть частично симметрична и чаСТИlIНО антисим
метрична. Определение сил в чисто симметричных и чисто антисимметричных
состояниях исчерпывает все возможности, тю{ н:ан любая фУIШЦИЯ двух
переменных ql и q2 может быть записана в виде лннейноiI номбинации двух
фунн:ций, одна из н:оторых симметрична, а друrая антисимметрична пО;
l(i6
rл. 111. Ядерные силы
()тношению н: перестановн:е н:оординат ql и q2:
1 1
rp(ql' q2)==2[rp(ql' Q2)+rp(q2' Ql)l + 2 [rp(Ql' Q2) rp(Q2' Ql)]' (3.1)
Прежде чем переходить н: н:оличественной формулировн:е теории обмен
ных сил, пон:ажем сначала н:ачественно, что обменные силы MorYT привести
1\ насыщению как энерrии связи, так и ядерной плотности. В основе этоrо
объяснения лежит принцип Паули. Вследствие принципа Паули ядерная
волновая фунн:ция не может состоять тольн:о из симметричных пар. Более
Toro, в стянутом состоянии имеется больше антисимметричных пар, чем сим
метричных, и в 4 будет пон:азано, что отношение числа антисимметричных
пар н: симметричным равно 5 : 3. Поэтому если силы отталн:ивания для анти
имметричных пар примерно равны силам притяжения для симметричных
пар, то в стянутом состоянии имеется чистое отталн:ивание, т. е. связанноrо
'стянутоrо состояния вообще не существует. Напомним здесь результат, полу
-ченный с обычными (не обменными) силами: там мы пришли к выводу, что
'стянутое состояние дает для всех Состояний ядра наибольшую энерrию связи
(см. 2).
Пон:ажем теперь, что, во первых, состояния с (<нормальной» плотностью j
(н:оrда расстояния между нун:лонами порядн:а радиуса действия ядерных сил)
стабильны н:ак по отношению н возрастанию, тан: и по отношению !{ уменьше
нию радиуса ядра и, BO BTOpЫX, что энерrия связи пропорциональна Macco
вому числу А, а не ero н:вадрату. Для этой цели необходимо найти выражение
для потенциальной энерrии 11 н:ан: фунн:ции радиуса ядра для случая обмен
ных ядерных сил; это выражение заменит (2.5) и (2.8). Прежде Bcero необхо
димо уточнить основное выражение (2.5), тан: н:ак теперь имеется два
сорта пар. Обозначим через n+ полное число симметричных пар, а через
n полное ЧИСJIО антисимметричных пар в ядре. Пусть Р+ вероятность
найти симметричную пару частиц на расстоянии друr от друrа порядка
радиуса действия ядерных сил Ь, а p вероятность TaKoro же события
для антисимметричной па ры. ТOl'да
v "'" (п+р+ n p ) V о'
(3.2)
У'де V o rлубина потенциала взаимодействия, н:оторый предполаrается
()динан:овым по ВeJIичине н:ан: д.ЛЯ симметричных, тан: и для антисимметрич
ных пар. В стянутом состоянии взаимодействуют все пары, т. е. р+ и p
равны единице, что дает
1 A(A 1)
V "'" (n n+) V o == + /1 2 V o (стянутое состояние). (з.3)
.нан: уже rоворилось, в 4 будет дон:азано, что отношение n+ к n равно
п+
h.
п iJ
Для дальнейшеrо рассмотрения существенно, что вероятности р+ и p
зависят от радиуса ядра R не одинаковым образом. Антисимметричные
пары должны находиться друr от друrа на расстоянии порядн:а 'Л' rде 'л
длина волны, отвечающей относительному движению (см. rл. 1, 8).
Зависимость средней длины волны 'л от радиуса можно rрубо оценить
следующим образом. Будем рассматривать в первом приближении ядро
в виде А нунлонов, зан:люченных в сфере радиуса R и не взаимодейству
J:ОЩИХ между собой.
...
,
9 3. Об.мепн,ые си.аы
107
ы можем вычислить среднее значение длины волны
ядре 'л 1). В случае paBHoro числа нейтронов и протонов
:;:-- 0,85 R
{I. А1fз .
нун:лона в тан:ом
получаем
(3.4)
Несмотря на rрубость приближения, это выражение можно считать
'Rачественно правильным. Средняя длина волны почти
расстоянию d между ближайшими частицами в случае А
.деленных равномерно по объему сферы. Леrн:о проверить,
d O,893R
А 1 /з .
rрубой оценн:ой относительной длины вол
равна среднему
частиц, распре
что
(3.5)
'Зто расстояние может служить
ны 'Л.
Запишем теперь 'Вероятности р+ и p кан: функции радиуса ядра в
'Следующем виде:
р+ == g+ (R) р,
p === g (R) р,
(3.6)
тде р фующия, оп"ределенная ранее соотношением (2.8). Множитель р
.дает вероятность наити пару на расстоянии, меньшем R, коrда частицы
равномерно распределены по объему ядра. Функции g+ и g выражают
.отклонения от этой вероятности, обусловленные свойствами симметрии
,пар. Можно считать, что g+ и g зависят от отношения относительной
.длины волны 'л н: радиусу действия ядерных сил Ь. Поэтому их можно
аписать нак фунн:ции отношения djb, что rрафичесн:и представлено на
фиr. 24. Как.и можно было ожидать, относительная вероятность найти
.нтисимметричнуЮ пару внутри области Ь меньше, чем вероятность найти
<симметричную пару, и стремится I{ нулю, н:оrда расстояние d становится
.больше радиуса действия ядерных сил.
Функции g можно найти, испольауя реаультаты работы Виrllера и Зсйтца [802]
по теории твердоrо состояния. Вероятность найти два свободных элентрона с парал
лельными спинами на расстоянии от r до r + dr друr от друrа да тся авторами ЭТОЙ
;работы в виде:
7t a (r) dr== [1 з( SinХ х СОSХ У] : dr, (3.7)
il:'де
х == ( 97tN ) 1f3
4 R
(3.8)
и Nl2 число элен тронов с рассматриваемой ориентацией спинов. Для применения
'этих формул к ядру ааменим N!2 на Aj4, так как это и есть число одинаковых чаетиц
11 ядре (например, нейтронов со спинами, ориентированными вверх) и это число опре
.делнет среднюЮ Д.Тjину волны относительноrо движения j;. Для параметра х теперь
имеем
r
х==1,36 (['
(3.9)
тде d дается формулой (3.5). Так кан электроны с параллельными спинами MorYT
()брааовывать толы\О антисимметричные пары, то (3.7) относится к вероятности найти
1) В действительности этот реаультат соответствует средней величине л 2. Это можно
получить иа выражения (4.16) для ПОЛНОЙ кинетичесной энерrии Т системы. Для полу-
ЧЩIИя (3.4) испольауется соотношение
т п 2
А 2м1 2
108
Т.а. 111. Яоерн,ыt! си.аы
антисимметричную пару на расстоянии между r и r + dr дру!' от друrа. Тоrда для
вероятности p имеем 1)
ь
p === п а (r) dr == g ( ) ( у.
u
Интеrрал можно раесчитать численно. Фуницию g + можно определить из условий.
что сумма g + + g не зависит от расстояния между соседними частицами и что g..
стремитен l{ g при малых значенинх отношения d;b (стянутое состояние).
2,0
qs
d/b
1,0
1,5
Ф и ['. 24. Относительная вероятность
g+ (d/b) найти симметричную пару
нуилонов на расстоянии, меньшем Ь,
если растояние между ближайшими'
соседними пуилонами в ядре равно
d; g (d;b) соответствующая вели
чина для антисимметричпых пар.
Эти две вероятности равны ДЛfJ очень
сильно стянутоrо состояния (d<i::b) , но
в СОСТОfJНИИ С нормальноЙ плотностью
d Ь вероятность наЙти антисим:vrетрич
ную пару па расстоянии, меньшем Ь, CTa
НОВИТСfI очень малоЙ по сравнению с Be
РОЯТIIОСТЬЮ наЙти на таном раССТОfJНИИ
симметричную пару.
(3.10)
8
7
6
5
v
4
1:::'- 3
2
13
R,IO см
о
10
'{)
1
2
ФИ ['. 25. ПотеIЩИDльпая энерrия V иаи фУНR
ция радиуса ядра R в случае обменных сил.
Построена для тяжелых ядер (А 200) на oc
новании оцении (3.11).
По оси ординат отложена анерrия в Вэв, по оси абс
цисс радиус ядра в единицах 1 O 13 см. 'l'еперь уже
стянутое состояние не является стабильным (потен
циальная анерrия полоаштельна). Потенциальна»
анерrия имеет МIIНимальное аначение при таном pa
диусе ЯДра R, ноrда расстояние между ближаЙши
ми соседними нунлопами в ядре порядна величины
радиуса деЙСТВIIЯ ядерных сил. Это соответствует
состоянию ядра с нормальноЙ плотностью. ВеЛIIЧII
на потенциальноЙ анерrии V в минимуме пропор
ЦlIональна массовому числу А. а не ero нвадрату.
1
J
Подставим теперь (3.6) в (3.2) и используем то обстоятельство, что
отношение n+ У{ n равно 3: 5. Это дает следующую оценку для потенци
альноЙ энерrии ядра в предположении обменноrо харантера ядерных сил:
V А (A 1) [ g+ g ] pV o ' (3.11)
Фующия р определена в (2.8), а Фунн:ции g+ и g I'рафичеСI{И представ
лены на фиr. 24. Зависимость выражения (3.11) от радиуса ядра поназана
на фиr. 25. Потенциальная энерrия положительна (отталнивание) дпя Ma
1) Таи иа1\ весь расчет справедлив тольио для R, значителыIо больших d и.тти Ь.
то ИСПОЛЬЗ0вюra предельная форма р (b;R) дЛЯ БОJIЬШИХ Н (2.8), ОбусловлеНН3!I этим
QшиБIШ не имеет большоrо значения для наших целей.
9 3. Обменные силы
'109
.пых радиусов. Затем она становится отрицательной (притяжение) для
радиусоВ порядка расстояния между ближайшими соседями d, н:оторое в
свою очередь порнДIШ радиуса действия ядерных сил Ь. Причина этоrо
зан:лючается в том, что часть V, соответствующая отталн:иванию, пропор
циональна фунн:ции g , н:оторая стремится н: нулю, если d 2> Ь. В даЛk
нейшем доминирующим становится множитель р, вследствие чеrо потен
циальная энерrия при больших R стремится н нулю нак H 3.
Потенциальная энерrия V имеет минимум при радиусе ядра Но, J\ОТОрЫЙ
соответствует d Ь, т. е. случаю, н:оrда расстояние между ближайшими
НУ1ШОНЮ\IИ В ядре равно по порядн:у ве.ЛИЧИНЫ радиусу действия ядерных
сил. Поэтому устоЙчивое ядро имеет радиус R Но, ноторый соответствует
состоянию с нормальной плотностыо (в деЙС'fвительности блаrодаря на.ЛИЧИЮ
нинетичесной энерrии этот радиус оказывается несколы,о больше, чем НО),
Теперь уже нет н:ан:ой либо тенденции к стяrиванию, тан нан: В стннутом
состоянии потенциальная энерrия вызывает появление сил отталн:ивания.
Обменные силы привод.ят 11, насыщению плотности ядерной материи.
ПOIшшем orеперь, что в таком состоянии с нормальной плотностью
энерrИЯ связи пропорциональна массовому числу А, а не ero квадрату.
Оптимальный радиус получается при d Ь. В предположении, что в ядре
имеется MHoro частиц (этим предположением мы все время пользовались),
условие d Ь требует, чтобы радиус ядра R был значительно больше, чем
Ь, так что для Р можно использовать предеJIЬНУЮ форму выражения (2.8),
имеющую вид (bjR)31). Если Ь d, то р (bjR)3 '"'v A l. Следовательно,
потенциальная энерrия У, соrласно (3.11), пропорциональна А, а не А 2.
В 4 будет более детально рассмотрена н:инетичесная энерrия. При paBHO
мерном распределении одинан:овЫХ частиц по объему н:инетичесн:аяэнерrия
зависит тольн:о от плотности частиц. Плотность частиц, а следовательно,
и нинетическая энерrия на одну частицу в состоянии с нормальной плот
ностью не зависят от MaccoBoro числа. Тю,им обр азо м, в состоянии с HOp
мальной плотно стыо полная н:инетичеошя энерrия Т, н:ак и потенциальная
энерrия, пропорциональна А. Следовательно, и энерrия связи также про
порциональна А. Таnим образом, обменные силы привод.ят 11, насыщеllию
энереии связи .ядер.
При попытн:е н:оличественноrо использования этой оценн:и потенциаль
ной энерrии для нахождения энерrии связи вознин:ают трудности. Кине
тичесная энерrия (см. оценки в 4) всеrда достаточно велин:а, таи что
получается, что полнан энерrия Е == Т + v положительна, т. е. потенциаль
ная энерrия, определяемая выражением (3.11), СЛИШI,ОМ мала, чтобы обе
спечить связь. Причина этоrо кроется в rрубости наших приближений.
Мы полно стыо пренебреrли влиянием ядернЫх сил на свойства волновой ФУнн:
ции. COrJIaCHO нашим предположениям, симметричные пары притяrиваются
друr н: друrу, а антисимметричные отталн:иваются. Эти эффеI'ТЫ он:азывают
влияние на волновую фушщию: вероятность р+ найти симметричную пару
нуклонов на расстоянии друr от друrа, меньшем, чем радиус действии
сил между ними, больше, чем это следует из предыдущей оценни, а ДJШ
антисимметричных пар н:артина будет обратной. В волновую фУННЦИЮ
необходимо ввести (<Динамичесную поправн:у», Эта динамичесн:ая попраВIШ
действует таким же образом, нан: и статистическая поправн:tt на свойства
симметрии пар, усиливая ее.
Динамичесние поправн:и можно учесть, заменяя искусственным путем
величину d в g+(djb) и g (djb) большей веЛИЧИНОII d'. Возьмем d' на
40% больше, чем величина d, определенная в (3.5). Из фиr. 24 можно
1) Это доказывает справсдливость IIспольвоваНJ(Н этоi предельной формы в (3.1 О).
110
10
1;05
t8
<\)
&
о
5
" '
rA. 111. Ядерные силы
R, lО fЗсм
Фи r. 26. Зависимость потенциальной энерrии
V, кинетической энерrии Т и полной энерrии
Е== V + т от радиуса ядра R в случае обменных
пдерных сил.
Шнала анерrип отложена в единицах ВЭ8, шнала pa
диусов в единицах 10 13 см. Радиус стабильности
имеет теперь величину R:::::6,5.10 13 см, а анерrия свя
8и разумную величину оноло 8 ИЭ8 на частицу.
Точные значения получать нецелесообразно, таи наи
'динамичесние поправии» введены в волновые фуниции
весьма произвольно.
видеть, что это дает заметную поправку: g+ (djb) увеличивается с ростом
d, а g (djb) уменьшается с ростом d. Это приводит Н тому, что симме..-
тричные (а следовательно, и притяrивающиеся) пары находятся тепер
теснее друr н: друrу, чем это было по прежним оценн:ам, а для антисим
метричных пар эффен:т будет об
ратным. Таким образом, заме
на d на d' приводит н:ачествен
но н: таному же результату, нак
и действительная динамичесн:ал
поправка, ноторой до сих пор'
пренебреrали. Поэтому можно-
считать, что расчет с иснусст
венно увеличенной величиной
d' вместо d воспроизводит OCHOB
ные качественные свойства пра
вильноrо решения.
Результат "пон:азан на,
фиr. 26. Полная энерrия Е при
нимает минимальное значение-
при радиусе ядра R """ 6,5 х
х 10 13 С.Н, который имеет pa
зумное значение для выбранноrо,
здесь MaccoBoro числа А 200.
Этот радиус соответствует co
стоянию с нормальной плотно
стью. Расстояние между бли
жайшими соседями d""" 1,8 х
х 10 13 СМ ПО порядн:у величи ,
ны тан:ое же, кан: и выбранный.
радиус действия ядерных сил
Ь 2,2 . 10 13 С.М. Поведение Е'
в зависимости от радиуса ядра
уназывает на то, что ядро устой
чиво н:ат{ по отношению н YBe
личению, тан: и по отношению,
н: уменьшению радиуса.
Минимальное значение Е на
фиr. 26 соответствует энерrии;
связи оноло 1600 Мэв, или 8 Мэв на частицу. Не следует придавать слишном
большоrо значения тому, что МЫ получили разумныЙ результат, так нан:
нами был использован довольно произвольный способ введения динамиче
сн:ой попраю{И. Тем не менее весьма примечательно, что мы сумели полу
чить удовлетворительный результат для радиуса ядра R и энерrии связи
тольно лишь С одним произвольным параметром (величина d' в оценке-
поправн:и). При этом были использованы параметры Ь и V o , н:оторые полу
чаются из решения задачи двух тел, проведенноrо в rл. 11, т. е. не явля ,
IOтся дополнительными параметрами.
Б. Формальное определение обменных сил'
Построим теперь Iшантовомеханический оператор V х (r), соответствую ,
ший потенциалу обменных сил. Определим оператор V х (r) по 01'0 действию
на волновую фунн:цию ер, зависящую от ноординат r 1 и r 2 двух частиц:
V х (r) ер (r 1 , r 2 ) == f (r) ер (r 2 , r 1 ),
(3.12):1
'''' :Ч'f ;},
9 3. Об.меННЫ9 силы
111
rде f (r) нен:оторая фунн:ция, зависящая от расстояния между частицами.
В дополнение к умножению ер на f (r) оператор V х (r) «переставляет» н:oop
динаты двух частиц.
IIон:ажем теперь, что определенный таким образом обменный оператор
обладает необ;х:одимыми нам свойствами, т. е. дает притяжение в симмет
ричных состояниях и отталнивание в антисимметричных при условии, что
зна фунн:ции f (r) выбран правильно (отрицательный). Н симметричном
состоянии мы имеем
ер (r 1 , r 2 ) == ер (r 2 , r 1 ), V х (r) ср == + f (r) ер,
(3.13)
в то время н:ак в антисимметричном состоянии
ер (rl' r 2 ) == ер (r 2 , r 1 ), V х (r) ер === f (r) ер.
(3.14)
Если фунн:цию f (r) выбрать в виде потенциала притяжения (отрицатель
ной), то оператор V х действует н:ю{ потенциал притяжения в симметрич
ных состояниях и нак потенциал отталн:ивания в антисимметричных
состояниях.
Операторное выражение (3.12) не вн:лючает спинов. Если учесть спины
нуклонов, то он:азываются возможными три типа обменных сил. Они обычно
называются по именам впервые предложивших их исследователеЙ. Пусть
r 1 и 1 обозначают соответственно пространственньiе II спиновые }{оординаты
первоrо нунлона ( 1 принимает только значения :l: 1) и пусть (r 1 , 1; r 2 , 2)
волновая фунн:ция данной пары нунлонов. Тоrда возможны три обменных,
оператора, I{OTOpble приведены в табл. 4.
Таблица 4
Возможные обменные операторы
Наименование
Определение оператора
Оператор Майорана [505]
Оператор Бартлета [35]
Оператор rейзенберrа [360]
РМ<jJ==ф (r 2 , (1;
РВф==ф (r 1 , (2;
РНф ф (r 2 , (2;
rJ, (2)
r 2 . (1)
r J . (1)
Обменный оператор Майорана переставляет пространственные н:oop
д:цнаты частиц, оставляя неизменными ориентации их спинов. Этот ТJilП
обменных сил мы уже использовали в 3, А. Оператор БаРТJlОта перестав
ляет спиновые н:оординаты двух частиц, не меняя их положения, в то время
н:ан: обменныЙ оператор fеЙзенберrа перестаВJJяет' н:ан: пространственные,
тан и спиновые I{оординаты. Очевидно, что
рН ==рМрВ (3.15)
и
(рМ)2=== (рВ)2 === (рН)2 === 1.
(3.16)
Из уравнения (3.16) сле;хует, что наждый из трех обменных операторов р
имеет тольн:о два собственных значения: + 1 и 1.
Представляет интерес исследовать влияние обменных сил на систему,
состоящую из двух частиц. Для обменных сил наше прежнее предположение
5 о том, что силы должны быть независимыми от относительных моментов
н:оличества движения, не выполняется. Перестановна I{оординат r 1 и r 2 (СИJIЫ
Майорана) энвивалентпа пере мене знана относительной I{оординаты
r==r2 rl' Для системы, состоящей из двух частиц, и толыш для тан:ой
11.Z
rл. 1//. яаериые силы
системы, эта процедура тождественна с операцией инверсии. Она дает +1 для
четных величин момента н:оличества движения l и 1дл янечетных l. Тан:им
.образом, силы Майорана являются силами притяжения в состояниях с чет
ными l (они должны быть выбраны тан:ими в соответствии с известными сила
ми притяжения между двумя нун:лонами в 8 состоянии) и силами отташ\Ива
ния в состояниях снечетными l. Обменный оператор Бартлета независимо от
величины момента ноличества движения дает +1 в триплетном состоянии
и 1 в синrлетном. Тан:им образом, получаются приведенные в табл. 5 8Ha
чения обменных операторов в различных состояниях системы двух частиц.
Последствия изменения знака сил в состояниях с различными моментами
iн:оличества движения для ра сеяния нейтронов на протонах и протонов на
протонах будут рассмотрены в rл. IV. Там же будет проведено сравнение
с опытом.
Таблица 5
Значенил обменных операторов n различных состолниях
системы двух частиц
СОСТОПШlе
Оператор
четное (четное 1)
трпплетное I спнrлетпое
нечетное (нечетное 1)
трпплетное I спнrлетное
рМ 1 1 1 1
рJЗ 1 1 , 1 1
рН 1 1 1 1
Три типа обменных операторов, приведенных в табл. 5, MorYT быть
использованы для построения трех типов обменных сил путем умножения
на нен:оторые фунн:ции, зависящие от расстояния между частицами. Кроме
<roro, попрежнему MorYT существовать и нен:оторые обычные силы (хотя пре
дыдущее рассмотрепие показало, что они не должны быть преимущественно
силамп притяжения). Обычные, необменные силы часто называют силами
Виrнера 1 ). В свою очередь, тензорные силы MorYT быть нан: обменными, тан:
и необменными. В евязи с этим полезно отметить, что тензорный оператор 812
номмутирует с оператором Бартлета рв : рв дает +1 в триплетных состоя
ииях и 1 в синrлетны'х, в то время У,ан: 812 дает нуль в синrлетных состоя
ШIЯх и преобразует триплетные состояния в триплетные. Тан:им образом,
РВ812 == 8 12 РВ ==812 (3.17)
И по:JТОМу имеется толы,о два (а не четыре) типа тензорных сил: обычные TeH
зорпыо силы и тепзорнью силы с обменными своЙствами типа Майорана.
ТаЮIМ образом, потенциал обменяоrо типа может быть записан в следующем
наиболее общем виде:
V == V \v (r) + v М (r) рм + V в (r) рв + V п (r) рн +
+ V пv (r) 812 V тм (r) 8 12 РМ, (3.18)
('де V(I') различные фующии, зависящие от раестояпия между двумя части
цами. Эти фунн:ции MorYT отлиqаться друr от дрУ1'а кан: по велиqине, тю, и по
1
!
1
j
j
!
.
)
;)
J
1
1) ИсторичеСIШ важнОЙ хараю'еристикой сил l3иrпера является не отсутствие у пих
,)БМОIllIЫХ свойств, а, снорее, их малый радиус действин. Эти сиды были предложеиы Виr,
lIер(щ [803, 80'*] длн объяспспия БOJIЬШОЙ энерrип связи ядра Не! ПО сравнению с дейтро
НОМ, а таиже длн объяснения свойств рассеянин нейтронов па протонах. П 0зднсе термин
«СИJJЫ Виrперю> стал ПРИМСIJЯТЬСЯ ИСI{JlЮЧJ'lТСЛЬНО дЛЯ пеобмеНlIЫХ сил.
s 3. Об.меиные силы
113
типу зависимости от расстояния (иметь разные радиусы действия сил);
Нl:шоторые из них MorYT быть равны нулю. Они MorYT быть тан:же различны
для пар нейтрон +нейтрон, протон +протон и нейтрон+протон. Мы, однан:о,
будем предполаrать, что имеет место зарядовая независимость ядернЫх сил
(пре!1'lоложение 4 в 2), т. е. для любых пар нун:лонов фунн:ции V w (1') оди
нанпвы и т. д. [101,675]. Из формулы (3.18) следует, что даже при этих orpa
ничивающих предположениях в нашем распоряжении все еще имеется боль
шое число произвольных параметров для подrонн:и под эн:спериментальные
данные.
Не все'мыслимые н:омбинации произвольных фунн:ций для различных
V(r) в (3.18) дают соrласие с опытом. Например, мы уже отбросили чистые
си;.:ы Виrнера, тан: н:ан: они не в состоянии объяснить насыщения. Мы можем.
также отбро(;ить чистые силы Бартлета и чистые силы fейзенберrа, тан: н:ак
оба типа сил имеют противоположные знан:и в синrлетном и триплетном
состояниях, в то время н:ю{ нам известно, что силы, действующие между про
тоном и неЙтроном н:ан: в lS тан: и в 3S состояниях, являются силами притяже
ния. В 4 мы рассмотрим оrраничения (<условия насыщению», нан:ладывае
мые на выбор фунн:циЙ v'(r) в (3.18) насыщением энеРI'ИИ связи ядра. Тан: н:ан:
чистые силы fеЙзенберrа иди Бартлета отпадают, то мы сн:онцентрируем наше
внимание rлавным образом на смесях сил Виrнера и Майорана.
Обменпые силы необходимо раrсматривать нак первое rрубое приближение к теории
лдерНЫХ сил, в котором учтена «струнтура» нейтрона и протона. ьрейт и 13иrllер YKa
зали aprYMeHTbl в ПОJIhЗУ этой точки зрепия [91), 596]: если протон и нейтрон во время
взаимодействия действительно меняются местами, то центр масс системы танже слеrка
движется, так кю, массы нейтрона и протона неснолъко отличны. Это не позволяеТ
выделить движение центра масс при расс янии нейтронов на протонах с учетом обмен
ных сил.
'Уиллер [790] указал, что обменные силы можно рассматривать как специальный
случай более общеrо класса сил, зависящих от скорости (такое определение, однако,
до некотОРОЙ степени вводит в заблуждение, Коrда оно применяется к обменным СИJIам),
Обычно энерrия взаимодействия записывается в виде оператора
vф == V (r) Ф (rl' r2)'
Однако нет никаких возражений против применения оператора более общеrо вида:
VФ == к (r 1 , r2; rf, r2) Ф (rf, r ) dVfdV 2 . (3.19)
При этом должны быть выполпены некоторые простые условия: оператор К должен
быть эрмитовским:
к (rl,r2; r{, r 2 )==K* (rf, r ; r 1 , r2)'
(3.20)
Кроме этоrо он должен быть инвариантен
ной системЫ кю, целоro:
С О о о О )
+ + + к==о
ох} аХ 2 axf 'ОХ 2 '
по отношению к переносу координат--
и аналоrично для у и Z,
(з.21)
а также по отношению к вращениям координатной системы как целоrо: формальные
условия для этоrо имеют вид (3.21), но с заменой а/ах на Lх проекцию момента
количества движения на направление х, и анаЛОПIЧНО для направлений у и z. Наконец,
оператор К должен быть инвариантен по отношению к отражению координатной си
стемы (операция инверсии):
К (rl' r2; rf, r2) ==К ( rl' r2; rf, r2)' (з.22)
Потенциал обычных необменных сил V (r) оказывается специальным случаем оператора
более общеrо вида (3.19), если написать
К (r 1 , r2; rf, r ) == V ( I r 1 r21 ) о (rl rf) о (r2 r2)' (3.23)
Обменные силы Майорана V М (r) рМ тю,же можно записать как специальный случай
оператора (3.19):
К (rl' r 2 ; rf, r2)==VM(lrl r21 )o(rl r2)o(r2 rf).
(3.211)
g ЗаJlаз;N'. 396
Н4
r.л,. ///. Яоерные силы
Выражения (3.23) и (3.24) являются весьма частными случаями выбора К. Возможно
и MHoro друrих выборов, что дает большой класс операторов, Iшторые MorYT ОПисывать
8нерrию взаимодействия двух нуЮIOнов. Рассыотрим, наприыер, следующий выбор:
K(rl' r 2 ; rf,rf)==g(lrl r21)g(lrf rfl), (3.25)
rде g некоторая проюшольная действительная функция. Такой выбор К приводит 1\
взаимодействию TOJIbKO в S состоянии. Оператор дает нуль в применении I{ p , D
и т. д. СОСТОfШИЯЫ. Можно показать. что (3.2;:;) нриводит к насыщению энерrии свпзи
ядра. Возыожны и друrие выраженип длп сил, зависяцих от скорости [203, 769, 73,116].
Обобщение Уиллера свя; ано с отказом от предположения о независимости сил от
скорости (ПРl'дположение 2 в \j 2). Хотя формалыIо и ЫОЖIlО з:шисывать обменные
силы как зависящие от скорости [см. (3.24)], ]10 это скорее специальный, особый случай.
Мы будем попрежнеыу рассматривать обменные СИ.пы, как независнщие от СIЮРОСТП,
но зависящие от относительных моментов I,оличества ДВИЖt'НI1Я (IШК СПIIНовых, тю, И
орбитальных) двух взаимодействующих частиц. Поэтому в дальнейшем мы будем счи
TaTh, что для обменных сил ВЫПОЛНЯIOтсн предположения 1, 2, 4 и 6, но не ВЫIIОЛНЯ
ютсл предположения 3 и 5, приведенные в \j 2.
4. УСЛОI3ИЯ IIАсыЕIпIя
А. Теорема сравнения
Нен:оторые н:ачественные зан:лючения, полученные в предыдущем пара
rрафе, можно сфОРМУJ1ировать в более строrой математичеСI,ОИ форме.
Вместо зависимости энерrии данноrо ядра от ero раДиуса будем теперь
интересоваться зависимостыо энерrии от MaccoBoro числа. ПОI,ажем, что
предположение о наJ1ИЧИИ обычных сил притяжения . дает для величины
энерrии OCHoBHoro состояния Е А (Н) ядра А значение, н:оторое он:азывается
меньше, чем наблюдаемая энеРI ия OCHoBHoro состояния Е А (эксперим.) для
нен:оторой области значений А. Мы не будем пытаться рассчитать на основе
предположений о rамильтониане точн ое значение энерrии Е А (Н), а оценим
лишь верхний предел этой величины Н А, дЛЯ HoToporo
lI >EA(H) для всех значений А. (4.1)
Затем мы ПOJшжем, что этот верхний предел меньше эн:спериментальной
величины для нен:оторых значений А:
Н А < Е А (эн:сперим.) для нен:оторых значений А. (4.2)
Номбинируя (4.1) и (4.2), получаем
Е А (Н) < Е А (эн:сперим.) для нен:оторых значений А, (4.3)
что ун:азывает на то, что предполаrаемая нами форма rамильтониана должна
быть отброшена, тю, н:ан: она не дает соrласия с опытом.
Чтобы оценить верхний предел Н А для. теоретичеСI,ОЙ энерrии OCHOB
Horo состояния Е А (Н), используем теорему сравнения из н:вантовой механин:и.
Эта теорема утверждает, что математичесное отидание энерrии HeHOToporo
произвольноrо состояния Ф больше, чем энерrия действительноrо OCHoBHoro
состояния системы чr. Дон:азательство этой теоремы можно найти в учеб
НИIшх по н:вантовой мехаНИJ,е 1).
Построим простую волновую Фунн:цию Ф, дЛЯ н:оторой можно будет
n:олностыо рассчитать математи чес н:ое отидание rамильтониана. Эта величина
будет служить нам в начестве Н А В (4.1), и мы пон:ажем, что она обеспе
чивает неравенство (4.2).
Состояние Ф не должно быть непременно собственным состоянием
I'амильтониана Н, и действительно не является тан:овым. Выберем Ф тан.
1) См., например [663], rл. УII, З 27.
8 4. J!сл,овия насыщенuя
115
чтобы она соответствовала стянутому состоянию, в н:отором двишение частиц
ничем не н:оррелировано, у,роме принципа Паули. Ни один нуклон не
может удалиться от центра дальше, чем на половину радиуса действия
ядерных сил Ь, т. е. всяний раз, н:оrда 1 r 1 1 >- Ь/2 или I r 2 1 >- Ь/2, ...,
или I rA 1>- bj2
"-- "'
ф (r 1 , 1' r 2 , С 2 , . . ., rA, A) == О.
(4.4)
Выберем волновую функцию Ф тан:ой, чтобы она описывала состояние,
в н:отором нунлоны движутся независимо друr от друrа (хотя TaHoro
состояния в природе нет). Математически это предположение означает
Ф == ер1 (r1' 1) ер2 (r 2 , С 2 ) . . . Ч'А (rA, СА), (4.5)
{'де наждый сомножитель зависит от н:оординат одноrо, и тольн:о одноrо,
нуклона. В н:ачестве фушщии ер; выберем собственные фупн:ции свободной
одиночной частицы, оrраниченной при своем движении объемом сферы
радиуса Ь/2. Выражение (!с5) несовместимо с требованиями принципа
Паули. Однан:о нужную нам волновую фуннцию для тотдественных
частиц мотно получить из .lIинейных н:омбинациЙ фупн:ций типа (4.5), если
считать, что все частицы находятся в различных состояниях (принцип
Паули), т. е. нет двух равных друr друrу. фуннций ер. Н счастью, для
наших целей нет необходимости в антисимметризации (4.5) 1).
Чтобы упростить вывод, выберем функции ер (r, ) в форме
ер (r, ) == и (r) Х (С),
(4.6)
{'де Х (С) определяет ориентацию спина частицы: она может быть либо r:J. ( ),
либо В ( ) в зависимости от ориентации спина. Фующия и (r) описывает
дt.lш,еlше частицы внутри сферы. COrJ1aCHO принrипу Паули, в нен:отором
l. ро(;трапствепном состоянии MorYT находит(,ся не более чем четыре
ПУНЛОJJа, п то толы,о В том случае, если пе БОjIeе чем два из них являются
;,УI,лонами uдноrо типа 11.'];1 11.\:ОЮТ О.1,l1наново ориентированные спины.
с.J1едоватеЛhИU, чтобы УДОВ:lеню;,НlТЬ ПрllНЦllПУ Паули, мы должны запол
Т'I т., В I\OHne КОНЦО[1 J1 /!, ра;зтlЧНЫХ пространственных состояния u (r) БудеМ
оGuзначать различные fl:,ПСТIJaнственные состоянин свободной частицы внутри
сферы рациуса Ч2 индексом т.
Прс п<тожим, что rамильтониан имеет форму
H==T+V+C, (4.7)
{'де T оператор н:инетичесн:ой энерrии:
А
п2 2
T== 2M \7i'
i==1
(4.8)
v оператор потенциальной энерrии:
А
V== V ij '
i<j== 1
(4.9)
в котором фунн:ции V;j имеют общую форму (3.18). После ий член в (4.7)
является оператором н:улоновсн:ой Jнерrии протонных пар
С == ;.2.
"
ПО всем парам
протонов
(4.10)
1) Члены, IIолучающиеся при антисиммстризации, исчезают в стянутом СОСТОЯНИИ,
СПИ потенциалы ядерных сил выбрать в впде прямоуrольных ЯМ.
8.
116
rл,. //1. яаериые сил,ы
. Рассчитаем сначала математичесн:ое ожидание ТА н:инетичесн:ой энер-
r ии т в стянутом состоянии Ф. Используя предположения (4.5) и (4.6) относи-
iельно Ф, получаем, что
т А == Вт Е т .
т
(4.11)
rде Е т н:инетичесн:ая энерI'ИЯ одиночной частицы в т M пространственном
состоянии и т (r), а Вт число частиц в этом состоянии. Соrласно прин
ципу Паули, Вт не может быть больп е четырех. Чтобы получить для
ващей теоремы сравнения величину наименьп;ей н:инетичесн:ой энерrии,
будем предполаrать, что нунлоны занимают наинизшие возможные Н:BaH
. товые состояния. Полаrаем Вт == /1 для т == 1, 2, ..., 1/<1 А и Вт == О для
последующих т (предположим, что А делится на 4). При этом получаем, что
AJ4
1';(==4 h Е т . (4.12)
т==l
Эту сумму можно апрон:симировать неноторым интеrралом: пусть z (Е)
число состояний и т (r) свободноЙ частицы массы И внутри полости объема
Q с энерrией Е т Е. Если внутри этой полости имеетс.я очень MHoro
частиц, то z (Е) приблизительно не зависит от ее формы и может быть пред
CTaBJJeHO непрерывной дифференцируемой ФУНН:Цl1ей (несмотря даже на
то, что в действительности z (Е) изменяется СIШЧН:ОМ вснн:иЙ раз, н:оrда
t проходит собственные значения Е т И остается постоянноЙ в друrих местах).
IIри этих условиях сумму (4.12) можно апрон:симировать интеrралом
.
A/4 t'
Е т Е : d Е , (4.13)
т==1 О
rде верхний предел интеrрала t' определяется условием
z (Е') == .
функция z (Е) дается выражением (см. [168])
У2 ( МЕ ) 8/8
Z(E)== 3n2 g 7;2. .
(4.14)
(4. 14а)
Для сферическоrо объема радиуса R интеrрал (4.13) имеет значение
9':. ( ) Ч8 A5/8 ( .15 )
160 n МЮ .
Подставив это выражение в (4.12), получим оценн:у кинетической энерrии
fIдра радиуса R:
п 2 5/8
Т А ==0,695 MR2 A ,
JJ'fO для стянутоrо состояния (R == bj2) дает
п 2 5/8
ТА==2,78 мь2 А .
(4.16)
(4.17)
Зависимость кинетической энерrии от MaccoBoro числа по закону А 5 /а
fШдяется следствием принципа Паули. Если частицы не подчиняются
9 4. ;Условия насыщения
111'
принципу Паули, то мы должны все их поместить в наинизшее состояние
в нашем объеме СР1' Тоrда Т А было бы равно Е 1 А, т. е. пропорциональпо А !
а не А 5 / з .
Зан:он А 5 / з справедлив в стянутом состоянии ядра, но не имеет места
у реальных ядер. Для состояния с нормальной плотностью кинетическая
энерrия определяется выратением (4.16). Так шiк радиус ядра в дТОМ
состоянии пропорционален АЧЗ, то н:инетичесн:ая энерrия в этом состояниЙ
пропорциональна А, а не А 5 / з , что свидетельствует в пользу утверждения,
сделанноrо в 3, о том, что энерrия связи в состоянии с нормальноЙ
плотностью пропорционаJIьна массовому числу.
Возвращаясь теперь н: теореме сравнения, перейдем к оценке кулонов"
сн:ой энерrии СА в стянутом состоянии Ф.
Соrласно нашему предположению о состоянии Ф, нуклоны в ядре
распределены равномерно по объёму сферы радиуса Ь/2. Torдa для элен:трО"'
статичесн:ой энерrии имеем 1)
6 е 2
CA==5Z(Z 1)b .
(4.18)
Введем в н:ачестве единицы энерrИИ величину п 2 /МЬ 2 , которая по порядку
величины равна н:инетичесн:ой энерrии одиночной частицы, заключенной
в объеме порядн:а Ь. Используя обозначение
п 2
D == .IИе 2 == 2,88 .10 12 см,
получаем
6 Ь п 2
CA==5DZ(Z 1) Mb2 .
( 4.19)
Для разумных величин радиуса действия ядерныХ сил Ь коэффициен't
(6/5) (Ь/ D) имеет значение порядн:а 0,1. Поэтому основной член в СА очень
мал. ОН всеrда значительно меньше, чем потенциальная энерrия, отвеча-
ющая ядерныМ силам. Лс.ледстеие этово при рассмотрении условий насы-
щения мЫ можем преllеб ревать КУЛО1l0есnой Эllервией ядра.
Теперь необходимо рассчитать математичесное ожидание потенциальноЙ
энерrии. Чтобы подчерн:нутЬ наиболее важные моменты проводимоrо рас-
смотрения, упростим расчеты, выбрав в (3.18) потенциалы прямоуrольной
формы. Сначала рассмотрим силы Виrнера и предположим, что
Vi;=={ :W
для
для
r ij "';;: Ь,
riJ > Ь.
(4.20)
В этом случае математическее ожидание V А (4.9) в стяну'rОМ состоянии Ф
получить очень просто: н:аждое расстояние rij должно быть меньше, чем Ь,
оледовательно, н:аждая пара дает вн:лад в потенциальную энерrию, paB
вый V W, а поэтому получаем .
1
VA==2A(A 1)Vw.
(4.21)
1) Результат (4.18), CTporo rоворЯ, правилсн только до членов порядка 22. Правиль-
ная антисимметричная функция дает добавочный вклад порядка Z, который не ВRЛЮЧeJl
в (4.18) (<<кулоновская обменная энерrия» [2311). В проводимом сейчас рассмотрении эти
членЫ не существенны.
Н8
";'
rл,. ///. яаерные сил,ы
КаК известно из rл. 11 [см. (11, 2.9)], величина V w долтна быть отрица
телЬНОЙ (сипы притяжения) и иметь значение порядн:а
энерrия стянутоrо СОСтояния Н А получается сложением
без учета (4.18). Используя оценн:у (4.22), получаем
51 п 2
Н А <,(2,78А B 1,23А2+ 1.23А) 1I1Ь 2 '
Полная
и (4.17)
" ,;
( 7t ) 2 t 2
I V w I >- 2 МЬ2 '
(4.22)
(4.21)
(4.23)
Зависимость полной энерrии НА от MaCCOBoro числа А поиазана на фи!'. 27.
Для малых А энеР1'ИЯ Н А примерно равна Т А И положительна. Однан:о
1000
600
g
о'
fD
е-
soo
1000
30 А
Е А (эксперuм)
1
,
.
ф и r. 27. Среднее з чение По
тенциальной энерrии V А в стяну-
тоы состоянии Ф отрицательно и
пронорционально А2. Среднее зна-
чение 1\инетичесной ЭII<'рrии ТА
положительно и пропорционально
А 5 /з. Поэтоыу сРеднее значение
полной энсрrии jj А становится OT
рицательным и пропорциональ-
ным А2 при очень большой вели-
чине ыассовоrо числа А. Величи-
на Jj А очень быстро становится
отрицательной. ыеньшей Э1\спери-
ыентально определенной энерrии
связи OCIloBHoro состояния ядра
Ел(энспериы.). В силу этоrо про-
тиворечия rаыильтониан Н дол-
жен быть отброшен. Приведенная
1\артина соответствует сплаы при-
тnжения ыежду всеыи парами
нунлоноn. Противоречие иыеет
место даже при очень небольших
массовых числах (А>- 17), 1\01'0-
рые занедоыо относятсн н интер-
валу ыассовых чиеел известных
ядер.
1
1
!
при некоторых значениях А потенциальнаlI энерrия, 'пропорциональная А2,
начинает преобладать над н:инетичесн:ой, пропорциональной А 5 /з. Начиная
с этих значений А, полная энерrия НА становится отрицательной и очень
быстро уменьшается. Она становится меньше действительноЙ энерrии
OCHoBHoro состояния Е А (эн:сперим.), пропорциональноЙ толь н:о первой
степени А, н:оторая таюне ПОI\азана на фиr. 27. Мы видим, что Н А CTaHO
вится меньше Ел (эн:сперим.) при значениях А, больших чем 17. Этот
результат находится в противоречии с rруппой неравенств (4.1) (4.3).
Чистые сиды притяжения Виенсра исnдючаются "аn несов.мести.мые с тpe
боваllие.м llасыщения Эflереии связи ядра.
Необходимо УI\азать, что мотно произвести расчеты с потен-
циалом V w (r) и не прямоуrольноЙ формы. В этом случае н:оэффициент V w
в (4.21) заменяется соответствующим средним значением V w (r) в стянутом
со<,:тоянии И это среднее УДОВJlетворяет неравенству (4.22). Поэтому наибо
лее существенные с.ледствия провсденноrо рассмотрения остаются в силе.
Изменяется тольн:о член порядн:а А в выратении для потенциальной
знерrии, но Он Б данном случае существенноrо ВIшада не дает.
Б. Условия насыщения для смешанных сил Майорана и Виrнера
Рассмотрим теперь потенциал, в у{отаром представлены как силы Виr
нера, тан: и силы Майорана, но нет ни сил fейзенберrа, ни сил Барт
лета. Вместо (4.20) предполаrаем, что 1)
{ . м
V..== V\V+VMPij для rи<b,
1.} О для r ij > Ь.
Здесь P . оператор, деиствующий на пару нун:лонов i и j, определенный
в табл. 4. ]{инетичеСRая энерrия в стянутом состоянии останется прежней.
Потенциальная энер1'ИЯ MO . '
жет быть записана в виде ....
1
V A ==>' +2A(A 1)Vw+
+(п+ п ) VM, (4.25)
rде п+ п разница между
числом пар НУJ{ЛОНОВ, находя
щихся в симметричных и анти::
симметричных состояниях,
определяемая выражением
А
n+ n == Ф*Р Фdt.
i<j==1
Это выражение можно oцe
пить следующим образом 2):
б u Р М
если о менныи оператор ij
действует на пару (i, j) в He
н:отором пространственном co
стоянии т, то волновая фунн:ция не меняется. Поэтому н:аждаfI такая
пара дает + 1 в (4.26). Если пара состоит из двух идентичных частиц
(одинан:овоrо сорта с одинаково ориентированными спинами), то волновая
. фушщия должна изменить свой знак (принцип Паули) и н:аждая тан:ая пара
даст в (4.26) 1. При любых друrих обменных операциях переставляIOТСЯ две
иеодинановые частицы в двух разЛИЧНЫХ состояниях т и т'. Тан:ие переста
новн:и при водят н: состояниям, которые запрещены принципом Паули (фиr. 28).
Следовательно, волновая фуннция ptf ф имеет сушественно друrие СБойства
симметрии по сравнению с волновой фушщией Ф и поэтому ортоrональна ей.
Для этих пар интеrрал в (4.26) исчезает, и 'они не дают НИНaI,оrо ВRлада.
Для н:аждоrо пространственноrо состояния имеется шесть пар частиц,
а различных пространственных состояний Bcero Aj4. В ядре имеются четыре
сорта частиц, и I,ЮI\ДЫЙ сорт образует 1 j 2 (1 j <1 А) (1/<1 А 1) пар. Поэтому
n п == 6 ( .::t.) 4 ( )( .:!\ ( .:! 1 ) == +2A.
+ 4) 2 4) 4 8
Для тяжелых ядер членом, пропорциональным А, можно пренебречь.
Тоща из (4.27) совместно с условием п+. п ==1/2A(A 1) следует
п+ "'" f ( {2 ), п "'" }( 2 ) при УСJJОВИИ, что А 1.
("'.26)
'9 4. ;у словия, насыщения
119
(4.24)
ff#
а
6
Фи r. 28. a cxeMa допустимоrо заполнения двух
урnвней; нейтроны УI{азаны заштрихованными пруж
каыи, протоны незаштриховапными, направле
ния спинов указаны стрешшми; б состояние, в KO
тором ПрIШЦИП Паули нарушен, так как на каждом
уровне имеется по две одинаковых чаетицы (два
протона со спинами, направленными вверх, на
верхнем уровне и два нейтрона со спинами, Ha
правленными вверх, на нижнем уровне).
Состонпие б получено из состоннин а путе\l обмена ней
трона ив нижнеrо уровн" с протоном ив BepXHero ,ровнн,
причем у обеих частиц спины направлены вверх. Тан нан
волновые Фуннции с равличными свойствами симметрии
ортоrональны, то состояние б ортоrонально всем состон-
нины. соrлаСУЮЩИll\СН с принципом Паули.
(4.27)
(4.28)
1) в этом рассмотрении нссущrственно прrдположение о равенстве радиусов дей-
ствия ндерных сил двух типов. Если они разлпчны, то ра;з:иус дrйствия ядерных сил в сжа-
'Том состоянии МОЖНО взять равным полnвине суымы двух радиусов.
2) Это рассуждение взято из юrиrп [286}:
, t20
rл,. 111. Ядерные 'сил,ы
На этом основани мы и утверждали ранее (см. 3), что антисимметрич
ных пар имеется оольше, чем симметричных, в отношении 5; 3. Мы уже
подчерн:ивали, что тан:ое преобладание антисимметричных пар (н:оторое
существенно для насыщения) является следствием принципа Паули. Если
бы принцип Паули не имел места, мы должны были бы Поместить все
нун:лоны в наинизшее пространственное состояние. Тоrда все пары были
бы симметричны и в стянутом состоянии мы не нашли бы н:ан:ой либо
разницы между силами Виrнера и Майорана.
ПодстаНОВJ,а (11.27) в (4.25) дает потенциальную шерrию в стянутом
состоянии:
А2 А
V A == +8(4Vw VM) 2(Vw 4VM)'
(4.29)
Так н:ан: основное состояние дейтрона является симметричным состоянием
(S l:остоянием), то потенциал в этом состоянии есть V w (r) -+ V м (r). Torдa
сумма V w+ V м должна быть отрицательной и удовлетворять неравенству
(11, 2.9)
( 1t ) 2 п2
I V w + V м I :> 2 111 Ь 2 .
(4.30)
Введем отношение
V M
р==
Vw+V M '
(4.31)
которое определяет относительный вн:лад сил Майорана в основном состоя
нии дейтрона. Torдa вместо (4.29) имеем
А2 А
V А == + 8 (V w+ VM) (4 5р) 2 (V w + VM) (1 5р). (4.32)
Сн:ладывая (4.32) и (4.17), получаем выражение для полной энерrии НА
в стянутом состоянии. Неравенство (4.30) дает
r 5/ 7t 2 ( 5 ) 7t2 ] п2
Н А <. L 2,78А З 8 А2 1 4P +8A(1 5p) 1I1Ь 2 '
(4.33)
При р == о это выражение переходит в соответствующее выратение для
чистых сил Виrнера (4.23). До тех пор пон:а н:оэффициент при А2 в (4.33)
отрицателен, этот член при достаточно больших А перен:рывает положи
тельный член от н:инетичесн:ой энерrии. Тоrда величина НА отрицательна
и меньше, чем Е А (эн:сперим.) (н:оторая ПРОПОрциональна тольн:о А). Сле--
дователыIO, условие насыщения энерrии связи для всех значениЙ Macco
Boro числа А требует, чтобы н:оэффициент при А2 в (4.33) был положите
лен, т. е.
4
Р>"5 и.ли V M -<:4V w .
(4.34)
Тан:им образом, в основном состоянии дейтрона силы МаЙорана должны
составлять 4/5 действующих ядерных сил. Силы Виrнера если они имеются,
составляют не более 1/5 ядерных сил.
Можно убедиться, что условие (4.34) слишн:ом cTporoe, тю, н:ак оно
предпо.лаrает, что энерrия связи не должна возрастать с массовым числом
быстрее, чем пропорционально А для всех значений. А. Действительно,
противоречия с опытом нет, если значение А, при н:отором член потен
циальной знерrии превышает член н:инетичесн:ой знерrии, лежит за преде
лами интервала значениЙ А для известных ядер, т. е. н:оrда А БОJlьше
чем примерно 250. fипотетичесн:ие ядра с А > 250 MorYT быть неустойчивы
по отношению н: стяrиванию, но они еще не наЙдены и не получены
исн:усственно, тан: кан: очень велин:о н:улоновсн:ое отталн:ивание между частями
1>
\\
I
ji
:1
1-
t
,i
I
"Су"
9 4. ;у славил насыщения
121
ядра с А> 250, н:оторые долтны находитьСЯ в соприн:основении. Мы можем
определить «условное насыщение» н:ан: такое свойство ядерноrо потен
циала, при н:отором Е А (Н) пропорциональна А для наблюдаемоrо интер
u A Z
вала массовых чисел А (А < 250), но становитСЯ пропорциональнои .
для очень больших массовых чисел (А> 250) [232]. Момент наступлении
TaKoro условноrо насыщения установить нелеrн:о. 'Условие
н А> Е А (эн:сперим.)
(4.35)
не может быть использовано, так нак оно необходимо, но не достаточно.
Е свете экспериментальных данных по рассеянию при больших энерrиях,
обсуждаемых в СJIeдуюшей rлаве, дальнейшее исследование вопроса 06
условном насыщении является в высшей степени желательным. Однан:о
пон:а еще TaKoro исследования не проведено.
Так н:ан: условие Н А > Е А (эксперим.) необходимо, но не достаточно,
то интересно знать, не приведет ли выбор друrой Фунн:ции Ф к боле!}
сильным оrраничениям на потенциал. Однан:о удалось доназать [806],
что член в точном выражении дЛЯ Е А (Н), пропорциональный А2, дЛЯ
вееьма широн:оrо выбора потенциалов имеет тот те знан:, что и COOTBeT
ствующий член в (4.33). Таким образом, посн:ольн:у в наших рассужде
ниях существенным является толы\l) знан: этоrо члена, а не cro величина.
(следовательно, пренебреrается возможностью условноrо насышения), необ
ходимое условие (4.34) является тан:же и достаточным.
В. полные условия насыщения для центраЛЬНblХ сил
До сих пор мы рассматриваJIИ тольн:о смесь сил Виrнера и Майорана,
тан: н:ак с практичесн:ой точн:и зрения этот случай является наиболее важ
ным. Условие насыщения (4.34) можно обобщить на потенциал Vij сил,
,действующих между двумя нун:лонами, который содержит не тольн:о силы
Майорана и Виrнера, но тан:же и центральные обменные силы друrих
типов (rейзенберrа и Бартлета). Мы не будем здесь заниматься подробным
рассмотрением 1), тан: н:ан: оно аналоrично уже проведенному выше. Исполь
зованная нами фушщия Ф приводит н: условию
4 V w + 2V в 2V н V м >- О,
(4.36)
I\OTopoe преврашается в (4.34), если сил Бартлета и rейзенберrа нет. Мы
можем использовать и друrие волновые функции Ф, н:оторые тан:же COOTBeT
ствуют стянутому состоянию, но с большими оrраничениями на спины и
типы НУНЛОНОВ (например, можно потребовать, чтобы все нун:лоны имели
одинан:ово ориентированные спины). Этим способом получаются четыре допол
нительных, линейно независимых условия насыщения:
2Vw+2VB VH VM>-O, (4.37)
2VW+VB+2VH VM>-0, (4.38)
2V w + V в V н V м:> О, (4.39)
V W + VB VH VM>-O. (4.40)
Брейт и Виrпер пон:азали, что условия (4.36) (4.40) образуют полный
набор необходимых условий. Любой друrой выбор спинов и типов нукло
нов В стянутом (сравниваемом) состоянии приводит н: условию, вытен:ающему
из условий (4.36) (L 1 .40). Виrнер пон:азал тан:же, что эти условия ДOCTa
точны для абсолютноrо насыщения (отличноrо от ус;цовноrо насыщения) [8061
1) См. ориrинальные статьи [223, 431, 1051.
122
rл. 111. Яоерnые силы
Хотя с чио.то математической точки зрения это рассмотрение насыще
вия является строrим, не следует считать, что оно действительно неопро
'вержимо. При обсуждении нами была использована форма (3.18) для потен
циала ядерных сил. Виrнер подчеркнул, что потенциал этоrо типа, возможно,
приrоден тольно для описания состояния с нормальной плотностью, а не
стянутоrо состояния. Например, в стянутом состоянии необычайно важное
значение MorYT иметь силы, зависящие от скоростей, или силы, обусловлен
вые l'i(ноrочастичным взаимодействием, ИJIИ и те и друrие силы, не иrрающие
роли в состоянии с нормальной плотностью. В этом случае рассуждения,
.зависяшие от предположения о том, что ядерные силы одинаковы в обоих
этих состояниях, при водят К неправильным заключениям, хотя математи
чески они и являются строrими.
I'. у словил насыщенил в случае тензорных сил
ИСПОЛЬЗОllанная до сих пор сферически симметричная функция Ф не
может дать каких либо условий для тензорных сил в обменном потен
циале (3.18), поскольку среднее значение тензорноrо оператора 812 равно
нулю. Чтобы получить условия для тензорных сил, необходимо исполь
зовать функции Ф с меньшей симметрией (обычно, эллипсоидальной).
Равенство нулю среднеrо значения тензорноrо оператора приводит
R выводу, что всеrда имеется некоторая форма стянутоrо состояния,
в котором тензорные силы в среднем являются силами притяжения, неза
висимо от Toro, положителен или отрицателен коэффициент при 812"'
В одном случае такое притяжение дает сплющенная форма ядра, в друrом
-случае предпочтительна форма вытянутоrо ЭЛJ1ИПСQида. ТаI\ИМ образом,
,теllЗ0рllые силы сами по себе llикоеда llе приводят ,.. llасыщению. Для полу
чепия насыщения необходимо, чтобы условиям насыщения удовлетворяли
центральные силы, а теllЗ0Рllые силы были бы слабее централшых [757, 758].
Так как рассмотрение YCJIOBHOro насыщения при наличии тензорных
.сил очень rромоздно 1), мы обратимся н условиям для абсо.пютноrо HacЫ
щения. ИСl;ледуем поэтому только математичесн:ое ожидание потенциальной
энерrии V А и потребуем, чтобы член в V А, пропорциональный А2, имел
положительный коэффициент. Это должно быть справедливо для всех стя
нутых состояний ЭЛJJипсоидальной формы. Поместим две частицы в каждое
пространственное состояние 2). Простоты ради будем считать, что этими
частицами являются протон и нейтрон со спинами, ориентированными
в одну сторону. В этом случае оператор 812 можно заменить выражением
(3 cos 2 u) 1), rде U) уrол между линией, соединяющей две частицы, и Ha
правлением их сп ов. Пусть 8 cpeДHee значение этоrо выражения в стя
нутом . еостоянии. S равно нулю ДJIЯ сферы и имеет экстремальные значе
ния + 2 для сиrарообразной формы и 1 ДJJЯ ДИСlюобразпоЙ формы.
В стянутом состоянии взаимодействуют все пары нуклонов. При этом
вклад тензорных сил из (3.18) в потенциальную энерrию равен
c
V А . тенз. == (п++ п ) V Tw 8 + (п+ nJ У тм 8 .
(4.41)
1) Начало в ЭТОМ направлении было положено Бош{овым, который рассчитал Н А
,для эллипсOlЩОВ различных размерон с разными экспентриситетами при двух различНЫХ
предполож('ниях о ВКJIaдах центральных и ТСНЗ0РНЫХ еил, имеющих, однако, в обоих
,случаях обменные свойства ВИI'IJCровскоrо типа. Эти случаи не соrласуIOТСЯ с опытом
в области И3Вl'стных ядер. .
2) Полное заполнспие 1шждоrо состояния четырьмя нуклонами даст для среднеrо
!шачеI1ИЯ ТСНЗ0рноrо оператора нуль, даже если форма ядра не является сферической.
1...'Ч-;,_-,;- ':'<;-. ?'>t.\
4. ;v СJl,овия Насыщения
123
Величина п+ п , т. е. разность между числами симметричных и антисим
. метричных пар, больше не определяется условием (4.27), тан нан теперь
Б наждом пространственном состоянии находится тольно по две частицы.
Аналоrично тому, нак было получено условие (4.27), можно найти, что
для данноrо случая
. А 1 А С А ) А2
п+ п ==1'2 2'2Y 2 1 == 4+A. (4.112)
Оставляя в (4.41) члены порядна А2, получаем
А2
V А, теН8. == 7; (2V TW V тм) S + Члены порядна А. (4.43)
Отсюда следует, что сами по себе теНЗ0рные силы ниноrда не приводят
J{ насыщению. Значение S положительно для сиrарообразной формы элли
псоида и отрицательн() для диснообразной. Поэтому независимо от Toro,
положительна или отрицательна разность 2VTW V TM , мы можем найти
таное стянутое состояние, в нотором ноэффициент при А2 в (4.43) будет
отрицательным. А это противоречит требованию аБСОЛlOтноrо насыщения.
Для получения насыщения мы должны предположить, что присутствуют
танже и центральные силы. Тан нан для стянутоrо состояния сферичесной
формы S == О, то центральные силы должны подчиняться услоr:иям Hacы
щения, ноторые уже получены независимо 01' тензорных сил. Для простоты
рассмотрения снова предположим, что центральные силы являются тольно
смесью сил Виrнера и Майорана. В этом случае выражение для Вfшада
в потенциальную энерrию от центральных сил в стянутом состоянии имеет
следующий вид:
V А , центр. == (п+ + п ) V W + (п+ п ) V м ==
А2
==7;(2Vw V M )+ Члены порядна А. (4.44)
Потребуем теперь, чтобы сумма (4.43) и (4.44) имела положительный
ноэффициент при А2 дЛЯ всех возможных значений S. Наибольшее значе
пие S равно + 2 (сиrара), наименьшее значение равно 1 (дисн). Поэтому
мы имеем два УСJIОВИЯ насыщения для тензорных сил:
2 (2V TW V тм) + (2V W V м) > о,
(2V TW V тм) + (2V W V м) > о.
(4.45)
(11.1.6)
Номбинацию параметров центральных сил, входящих в зти условия,
можно переllисать в форме
2Vw VM==(V W + VM)(2 3p),
(4.47)
('де ервый множитель должен быть отрицательным, чтобы дать связь
в деитроне, а второй ДОJlжен быть отрицательным, чтобы удовлетворить
условиям насыщения (4 34). ТaIШМ образом-, выражение (4А7) положи
'I'ельно. Комбинируя (4.45) и (4.46), получаем
(2V п1 V м) -< 2V Tw V тм-< 2V W V м. (4.48)
TaHoro харюпера условия насыщения и следовало ожидать: тензорные
силы оrраничены с двух сторон Если они положительны, то они не должны
6ыть больше центральных сил, если отрицательны, то не должны быть
лишном велини по абсолютной величине,
124
rл. 111. Яоерnые силы
Сейчас мы не будем записывать полные условия насыщения для TeH
зорных сил, аналоrичные условиям (4.36) (4AO), так нак они значительно
сложнее, а наиболее существенные результаты уже содержатся в (4.!1.8). Эти
условия более просто выражаются с ПОМОIIlЬЮ формализма изотопичесн:оrо
спина и будут даны в следующем параrрафе. ,
Хотя в литературе и не проводилось обсуждения условноrо Hacы
щения с обменными тензорными силами, но rрубые оценки показывают,
что условие (4.48), вероятно, является весьма жестним. Если центральные
силы удовлетворяют УСJIOВИЯМ насыщения, то необходимы очень
большие тензорные силы, чтобы получить противоречие с энерrиями связи
наблюдаемых ядер. Мы, однако, еше раз подчеркиваем, что тензuрные силы
не дадут насыщения, если не насыщены центральные силы. Тензор
ные силы MorYT привести только к ухудшению насыщения, а не улучшить
ero.
5. ФОРМАЛИЗМ ИЗОТОIIИЧЕСlюrо СПИНА
Иноrда удобно рассматривать нейтрон и протон не как две существенно
разные частицы, а как два различных состояния одной «ча тицы», называ
ем ой нунлоном. Имеются некоторые физичесние обстоятельства, оправды
вающие эту точку зрения, например распад, при котором нуклон пере
ходит из протона в нейтрон (с испусканием позитрона и нейтрино), и т. д.
Эта идея приводит н: весьма употребительному в литературе формализму:
формализму изотопическоrо спина [Н3]. Хотя в нашей книrе он будет
использоваться редко, в этом параrрафе все же мы дадим краткое изложе
ние этоrо метода.
До тех пор пон:а мы рассматриваем нейтрон и протон как различные
частицы, волновая функция ядра имеет вид
Ч1==Ч1(r 1 , C 1 , r 2 , С 2 , ..., rN, CN; rN+l N+l' ..., rA, CA , (5.1)
rде r 1 определяет положение порвоrо нейтрона, Сl ориентацию ero спина
(С == ::!: 1) и т. д. Первые N координат относятся к нейтронам, а осз:а.ль
Hыe H протонам. Принцип Паули требует, чтобы при перестановке двух
нейтронов или двух протонов волновая функция изменяла знак. Однако
при этом не накладыва,ется нинакоrо оrраничения на поведение ч1 по
отношению к перестановке нейтрона и протона.
Введем теперь ДРУ1'УЮ ноординату 1), называемую «I\оОРДIIнатой изото
пическоrо спина», ноторая может иметь только два значения + 1 и 1.
1) == + 1 означает, что частица является нейтроном, а 1) == 1 что частица
протон (ЗНaI выбран таким образом, чтобы иметь избыток положитель
ных значений 1) в тяжелых ядрах, rде имеется больше нейтронов, чем
протонов) .
ВолноваI1 функция (5.1) может быть записана в форме
ljJ == ljJ (1\, С 1 , 1)1' r 2 , С 2 , 1)2' ..., rA, СА, 1)А),
(5.2)
rде ljJ исчезает, если не выполняются условия 1)1 == 1)2 == . . . == 1)N == + 1,
a1)N+l == . . . == 1)А == 1. Будем считать, что все нуклоны являются тождест
венными частицами, подчиняющимися принципу Паули, и что волновая
фуннция (5.2) должна поэтому изменять свой знак при перестановне всех
координат любых двух частиц (пространственной ноординаты, обычноrо
спина и изотопическоrо спина). Приведенный выше простой выбор удовле
творяет этому условию при перестановках в пределах первых N координа'l'
или в пределах последних А N координат, но не удовлетворяет, например.
при нерестановке r 1 , С 1 , 1Jl и rA, СА, 1)А.
9 5. Фор.мал,иа.м иаотоnичеСКОiJО спина
125
Можно думать, что требование Toro, чтобы волновая фунн:ция была
антисимметричной по отношению к перестановке всех координат любых
двух частиц, накладывает некоторые добавочные условия на выбор возмож
llЫХ волновых функций. Сейчас мы покажем, что это не таи: указанное
требование в значительной степени является формальным. Любая во.лновая
функция, удов.летворяющая принципу П аулu, Ifоеда нейтроны u протоны
расс.маmрuваются Ifа" раа.лu'Чные 'Частицы, может быть сде.лана а1{тисиммет
ри'Чной фУНlfцией и в формалиа.ме uаотопu'ЧеСlfоео спина. Чтобы обойти oc
ложнениЯ, мы рассмотрим это подrобно только для случая двух частиц.
ЕСJIИ мы имеем два нейтрона, то обычная волновая функция должна
быть антисимметричной по отношению к перестановие их пространствен
ных и спиновых координат:
<р (r 1 , l; r 2 , 2) == 'f (r 2 , 2; r 1 , 1)'
(5.3)
Чтобы написать соответствующую волновую функцию в терминах изотопи
ческоrо спина, введем функцию. изотопическоrо спина для HeiiTpoHa '1 (т,),
обладающую свойствами
{ 1, еСJIИ 1) == t 1,
'1 (1)) ==
О, если 1) == 1.
(5.4)
Теперь на языке формализма изотопическоrо спина мы имеем волновую
функцию для двух нейтронов
ljJ (rl' l' 1)1 r 2 , 2' '1j2) == <р (r 1 , 1; r 2 , С 2 ) '1 (1)1) '1 (1)2)' (5.5)
Ясно, что эта фуниция антисимметрична по отношению н перестановке
всех координат (пространственных, спина и изотопическоrо спина) двух
частиц, если только фуннция <р первоначально была антисимметричной, как
требует принцип Паули.
Случай двух протонов полностью анаЛОI'ичен. Нужно топько заменить
фуницию шютопичесиоrо спина нейтрона на фуИIЩИЮ изотопичеСI оrо спина
протона 1t (1)), удовлетворяющую условиям
{ о, если 1) == + 1,
1t (1)) ==
1, если 1) == 1.
(5.6)
в случае пары нейтрон протон обычная волновая фуниция <р (r 1 , 1;
1'2' 2) не имеет иаиих либо особых свойств по отношению и перестановие
частиц. Казалось бы, что волновая фуниц.ия в этом случае должна иметь
вид
IjJl == <Р (rl' 1; r 2 , 2) '1 (1)1) 1t (1)2)'
(5.7)
, ,
Однако эта волновая функция исн:лючается требованием Toro, чтобы оба HYK
лона являлись тождественныМИ частицами. Действительно, выражение (5.7)
означает, что частица 1 является нейтроноМ, а частица 2 протоном.
А мы мощем лишь утверждать, что один из двух НУIШОНОВ находитСЯ
в состояниИ нейтрона, а друrоЙ в состоянии протона. Можно, конечно,
построить и друrую волновую фУНКЦИЮ, в н:оторой частица 2 будет нейтро
ном, а частица 1 протонОМ:
IjJп == <Р (r2' 2; r 1 , l) '1 (1)2) 1t (1)1)'
(5.8)
в формализме изотопичеСI оrо спина принцип Паули для двух нукло
нов требует, чтобы волновая функция с учетом изотопическоrо спина 1jJ,
<>ПИGывающая таиое же состояние пары нейтрон проТОН, как и: обычная
i26
rл. 111. Яоерные силы
волновая фующия ер (r 1 , С 1 ; r 2 , С 2 ), была выбрана как разность (5.7) и (5.8).
т. е.
ljJ (r 1 , С р 1Jl; r 2 , 2' 1J2) == (1/V2) (IjJI IjJп).
(5.9)
r
['
Леrно проверить, что эта волновая фУНJщия действительно антисимметр:ична
по отношению н перестаНОВRе двух НУIШОНОВ. Отметим, что волновая функ
ция (5.9) не позволяет нам видеть, какая из двух частиц является нейтро
ном, а кан:ая протоном. Мы можем лишь сн:азать, что один из двух нукло
нов явлнетсн нейтроном, а друrОЙ llРОТОНОМ.
Это завершает наше ДOJшзательство Toro, что если обычная волновая
фУНRц:ин ер удовлетворяет принципу Паули для нейтронов и протонов в OT
дельности, то требование антисимметрии по отноп;ению к перестановке-
н:оординат любых двух нуклонов в формализме ИЗ0топичее1юrо сПина являет
ся чисто формальным требованием. Имеем ли мы пару неЙтрон + нейтрон,
протон протон или нейтрон + протон, можно построить ДОJIЖНЫМ образом
антисимметричную IЮЛНОВУЮ функцию изотопическоrо спина ljJ из обычной
волновой фУНRЦИИ ер.
Общий случай можно рассмотреть следующим образом [562]. Напишем
с помощью (5.1) волновую фующию изотопическоrо спина
IjJI == ер (r 1 , С 1 , r 2 , 2' ..., rN, CN; rN+l N+l, .. ., rл, 1:А) Х
Х '1 (1Jl) .. . '1 (1JN) 1t (1)N+l) .. . 1t (1JA). (5.10}
Эта фунн:ция не обладает правильными свойствами' по отношению к пере
становке ноординат нуклонuв. Имеется А! функций TaRoro типа, которые-
различаются толы,о нумерацией координат, т. е. перестановной :индексов.
1, 2, . . ., А. Позтому правильная антисимметричная волновая функция изо
топичесноrо спина дается выражением
[ А! 1 1/2
ljJ == NI (A N)! '. Ор PljJr,
р
(5.11)
rде сумма беретсн по всем Р перестановнам индексов (вн:лючая тождест
венную перестановку, которая не меняет индексов), а ер == + 1 для четной
перестановки и 1 для нечетной. Леrко показать, что рассмотренные выше-
EOJJНOBble фунн:ции для двух частиц нвляются частными случаями (.'5.11).
Любую обычную волновую фУНRЦИЮ можно записать в обозначениях
llзотопичесноrо спина, но обратное утверждение неправильно. Чтобы убе
дпться в этом на простом примере, рассмотрим еледующую волновую функ
цию одиночноrо HYKJlOHa:
1
ljJ (r, 1:, 1J) == ер (r, С) у2 ['1 (1J) +1t (1J)].
Эта функция соответствует нуклону, находящемуся в обычном СОСТОЯНИИ'
ер (r, 1:), но имеющему одинановую вероятность быть в одно и то же время
нейтроном или протоном. Таное сОстояние действительно не соответствует
н:акой либо обычной волновой функции нейтрона ИJIИ протона, Поэтому
формализм изотопичеСКОI'О спина является неснолько более обшим, чем
обычный метод написания волновых фУНIщий. Общность эта, однако, не.
только не помоrает, а доставляет даже неноторые неудобства.
Мы будем интересоваться ТОЛЬКО теми волновыми ФУНIЩИЯМИ изотопи
чесноrо спина, которые отвечают физ:ичесному состоянию системы с опре
деленным числом нейrронов и протонов.
, .
9 5. Фор.мал,иа.м иаотоnическоео спина
127
Представляет интерес разложить волновую ФУНН:ЦИIO (5.9) следующим
образом:
1
Ф == У2 (0/1 о/п) ==
1
== 2' [ (r 1 , 1:1; r 2 , С 2 ) + <р (r 2 , С 2 ; r 1 , 1)] ХО +
+ [<р (r 1 , с. 1 ; r 2 , 2) <р (r 2 , 2; r 1 , 1)] Х I . 0 , (5.12)
['де ФУНКЦИИ изотопичесноrо спина Х определяютсн соотношениями
1
ХО == ")12 ['/ (1)1) 1t (1)2) '/ (1)2) 1t (1)1)]
(5.13}
и
1
Х 1 ,О == ")12 ['/ (1)1) 1t (1)2) + '/ (1)2) 1t (1)1)]'
(5.14)
Причины введения обозначений, принятых для этих двух фуннциЙ
изотопичеСI,оrо спина, станут нсными из дальнейшеrо.
ФУНIщия Хо является антисимметричной по отношению I{ перестаПОВJ{е.
координат изотопичеСI{оrо спина двух частиц. Позтом:у в (5.12) она YMHO
жается на фуннцию пространственных и спиновых переменпых, I,оторая
симметрична по отношению н таной перестаноВlШ. При этом произведение
получается антисимметричным. Соответственно Х 1,0 умножаетсп на аIIТИСИМ
метричнуlO ФуннциlO пространственных и спиновых переменных.
Из уравнения (5.12) следует эн:вивалентность cTaporo и IIoBoro методов
написания. В (5.12) 0/ представлена нан линейная номбинация двух ВО.пно
вых Фуннций С ноэффициентами Х о и х 1 ,о, одна из ноторых симметрична,
а друrая антисимметрична по отношению н перестановне двух пун:лонов.
Любая произвольная фуннция <р (r 1 , 1; r 2 , С 2 ) пары нейтрон протон в CTa
рых обозначениях может быть представлена в тю,ой же форме.
Интересно рассмотреть две фУННЦИИ изотопичесноrо спина ХО и Х 1 . 0 ,
определенные равенстоами (5.13) и (5.14), совместно со следующими фунн: ,
циями, ноторые использовались в связи с соотношением (5.5):
Хы == '/ (1)1) '/ (1)2)'
Х k1 == 1t (1)1) 1t (1)2)'
(5.15)
(5.16)
rоворят, что фуннция ХО описывает «синrлетное состопние по ИЗ0топиче
сному спину», а три фуннции Х 1 ,1' Х 1 ,О И X1, 1 описывают три составных
части «триплетноrо состояния по ИЗОТОllичесному спину». ти наименова
ния даны в полной аналоrии с обычным спином. Четыре возможные HOM
бинации состояний двух частиц с обычными спинами получаются тюшм же,
. путем, нан (5.13) (5.16). Аналоrом состояния (5.13) является состояние
с полным спином, равным нулю, в то время нан аНaJlОrи трех друrих
состояний представляют три состояния с полным спином, равным единице.
Необходимо подчерннуть, что эта. аналоrия является чисто формаJIЬНОЙ.
Изотопичесний спин не является моментом ноличества движения, и все
подобие между переменными обычноrо и изотопичесноrо спинов ПОJIУЧИЛОСЬ
тольно потому, что для обоих предполаrается лишь два значенин + 1 и . 11).
rлавной причиной введения метода изотопичесноrо спина для описания
ядерных состояний: является удобство, с ноторым мы можем описать пере
"
1) Эта аналоrия становится особенно очевидной, еСJIИ напомнить, что ИЗ0топиче.
СRИЙ спин нуклона по своим свойствам эквивалентен спину 1/2 (в единицах п).
Прц.м. перев.
И8
rл. 111. Ядерные силы
ХОД нейтрона в протон и наоборот и, следовательно, перестановну нейтрона
и протона. Введем три оператора, ноторые действуют на переменную изо--
топичесноrо спина 1) в волновой фуннции. Определим эти операторы по их
действию на нейтронную ФУННПИIO '1 (1)) И протонную Фуннцшо 7t (1)). Любая
фуннция изотопичесноrо спина должна быть линейной номбинацией этих
двух фуннций, поэтому определения будут полными. Оператор 't+ переводит
.протон в нейтрон и дает нуль, если действует на нейтрон:
't+7t (1)) == '1 (1)),
't+'I(1)):=OO.
(5.17)
Эрмитовсни сопряженны:Й оператор 't переводит нейтрон в протон и дае')
,нуль при действии на протон:
't 7t (1)) :=о О,
't 'I (1)) == 7t (1)).
(5.18)
Нанонец, оператор 't з дает + 1 при действии на нейтронную фуннцию изото--
личеСI оrо спина и 1 при' действии на ФУННЦИЮ протона:
't 3 '1(1))== +'1(1)),
't з 7t (1)) == 7t (1)).
(5.19)
Эти три оператора формально аналоrичны СllИНОВЫМ матрицам Паули
а+==1/ 2 (ах +ia y ), a ==1/2(ax iay) и ах для обычноrо спина. Поэтому опера
торы 't называются операторами изотопичесноrо спина. Чтобы эти наимено
.вания не ВВОДИЛИ в заблуждение, мы снова подчерниваем, что изотопи
чесний спин не имеет нинаноrо отношения н наному либо вращению.
Приступим теперь н выводу выражений для обменных операторов
рм, рв И рН В терминах операторов изотопичесноrо и обычноrо спинов
двух нунлонов. Начнем с обменноrо оператора Бартлета рв. Две частицЫ
MorYT находиться либо в триплетном, либо в синrлетном спиновых состоя
ниях. Волновая фуннция для синrлетноrо состояния антисимметрична по
отношению н перестановне двух частиц, поэтому обменный оператор Барт
лета дает . 1. Три волновые фуннции для триплетноrо состояния симмет
ричны по отношению н перестановне частиц, поэтому оператор Бартлета
дает + 1. Синrлетное и триплетное состояния определяются из соотношения
.'
2 ( 1 1 ,2
S 0/ == 2/11 + 2 (12) 0/ == 8 (8 + 1) 0/,
(5.20)
тде 8 == О В синrлетном состоянии и 8 == 1 в триплетном. Поэтому мы имеем
равенство
рВ == S2 1
(5.21)
(операторы в правой и левой частях этоrо равенства дают одинан:овые
'результаты для двух возможных состояний системы). Мы можем найти
квадрат оператора
1 1
S == '2 /11 "2 /12'
используя тот фант, что (/11)2 == (/12)2 == 3. Это дает друrое выражение ДJlЯ
обменноrо оператора Бартлета:
В 1
Р ==2(1+/11/12)' (5.22)
Перейдем теперь н: двум друrим обменным операторам. Определим
следующим образом «сналярное произведение изотопичесних спинов двух
'Частиц» :
"С 1 "С 2 =:. 2 ['t+,1't .2 + 't .I't+,2] + 't З ,I't з ,s,
(5.23)
",'Iii,
5. Форм,ал,иам иаотоnичеСlrоео cnи1l.a
129
по аналоrии с про изведением r:J 1 а 2 для обычных спинов.
в (5.13) (5.16) и используя определения (5.17) (5.19),
("'=1"'=2) ХО == 3Х о , ("'=1"'=2) Х 1 . 0 == Х 1 . 0 ,
("'=1"'=2) Х1,1 == Хl.l' ("'=1"'=2) Xl. 1 == Xl. I'
Подставляя (5.23)
получаем
(5.24)
Тан:им образом, оператор "'=1"'=2' действуя на ТРИ,плетные по изотопичесн:ому
спину состояния, дает + 1, а действуя на синrлетные. по изотопичесному
спину состояния дает 3 (в ПОJIИОЙ аналоrии с оператором а]а 2 ).
Используя "'=1"'=2' определим оператор изотопичесноrо спина Р", анало
u Р В
rичныи оператору .:
Р" == (1 + "'=1"'=2)'
(5.25)
Этот оператор, действуя на (симметричные) триплетные по изотопичесному
спину состояния, дает + 1, а на (антисимметричные) синrлетные по изото
пичесному спину состояния 1, и поэтому он энвивалентен простой пере
становне ноординат изотопичесноrо спина 1Jl' 1J2 двух частиц:
P"1jJ (r 1 , 1' 1Jl; r 2 , 2' '1J2) == ljJ (r 1 , 1' 1J2; r 2 , 2' 1Jl). (5.26)
Мы требовали полной антисимметрии по отношению н перестановн:е
всех ноординат (пространственных, спиновых и изотопичеСIюrо спина) двух
частиц. Тан нан обменный оператор rейзенберrа обменивает положение
и спин, а р" обменивает н:оординаты изотопичесноrо спина, то можно
выразить это требование в форме
pHp"ljJ == ljJ (для всех возможных 1jJ).
(5.27)
Выражение (5.27) является условием, налаrаемым
тождеством: существуют волновые фУННЦИИ 1jJ, для
ратора рНр" не энвивалентно умножению на 1.
фуннции ИСI\лючаются принципciм Паули.
'Умножим обе стороны (5.27) на Р-=. С левой стороны
мутируют, а из (5.26) следует, что (Р")2 == 1. Поэтому
pHIjJ == P"1jJ (для всех возмотных 1jJ).
на 1jJ, а не операторным
ноторых действие опе
Однано тание волновые
р" и рII HOM
(5.28)
Таним образом, во всех приложениях мы можем заменять обменный
оператор rейзенберrа рН на оператор изотопичесноrо спина Р' ==
== 1/2(1+"'=1"'=2)' ноrда мы имеем дело с волновыми ФУИIщиями изотопи
чесноrо спина, подчиняющимися принципу Паули. .
Нанонец, обменный оператор Майорана свнзан с двумя друrими опе--
раторами соотношением (3.15). 'Умножение обеих сторон (3.15) на рВ дает
рМ == рВрН.
(5.29)
Таним образом, мы можем заменить обменный оператор Майорана на HOM
\ бинацию
Р М 1
........,.. 4 (1 + а 1 а 2 ) (1 + "'=1"'=2)'
Выражеllия (5.22), (5.28) и (5.30) яв.ляются выражеllUЯ.мл д.ля трех
.лиllейllО llеаависи.м.ых об.м.ellllЫХ операторов рВ, рН И рМ в терМИllах oпepa
торов оБЫЧllО80 u uаотопuчеСКО80 спИllов. С точн:и зрения формализма изо
топичесноrо спина более удобно использовать три друrих линейно незави
(5.30)
9 Ззиза N, 396
130
rл. 111. Ядерные силы
симых оператора, т. е. (а' 1 а'2)' ("=1"=2) и (а' 1 а'2) ("=1"=2)' Поэтому мы напишем
общий потенциал обменноrо типа (3.18) в форме
V::::: V d (r) + V (r) (а' 1 а'2) + V't (r) ("=1"=2) + Vo't (r) (а' 1 а'2) ("=1"=2) + V Td (r) 812 +
+ V Т" (r) 812 ("=1"=2)' (5.3J)
l'де
1 1 1
V d == V W + 2' V в 2 V н 4" V м,
1 1
V ==2VB 4" VM,
1 1
V == V н V M
1: 2 4'
1
VC't == 4" VM,
1
V Td == VTW 2 V TM ,
1
VT't == 2' V TM .
Эти соотношения получаются в результате непосредственной подста
новки. Индекс d указывает на зависимость только от расстояния. OT
сутствие равенства между V d и V W не имеет значения. Если все силы
являются обычными (необменными), то V W == V d'
ПОJlезно знать значение входящих в (5.31) произведениii матриц спина
и изотопическоrо спина для различных состояний системы из двух частиц.
Поэтому мы приводим их численные значения в табл. 6. Термины «три
плотное» и «синrлетное» в этой таБJlице относятся к состояниям по обыч
ному спину.
(5.32)
Таблица 6
Величины произведений, зависЯIЦИХ от спинов, в СОСТОЯНИЯХ
системы ЮI ДВУХ частиц
Состояние
ПроизведеНIIе
спинов
четное (четное () нечетное (нечетное 1)
ТРИШIетное I СIIпrлетнос ТРИIIлетное I синrлетное
(<:11<:12)
(Ч-2)
(<:11<:12) ("1"2)
1
3
3
3
1
3
1
1
1
:3
3
\)
Для ("=1"=2) состояние определяется 113 принципа Паули. Например,
триплетноо состояние с четным 1 симметрично по отношению к перестановке
пространственных и спи новых координат двух частиц и должно быть поэтому
антисимметрично по отношению к перестановне координат изотопическоrо
спина 1)1 и 1)2' Таким образом, по ИЗ0топичеСIЮМУ спину это должно быть
синrлетное состояние, т. е. ("=1"=2) == 3. Опо может иметь место только
у системы нойтрон протон, но не реализуется у систем протон + протон
и нейтрон неЙтрон. Цифры в послодней строне таблицы являются просто
про изведениями чисел, стоящих в первых двух строках.
Можно рассматривать обменные силы двух типов [623, 624]: «сим
метричную» теорию, в ноторой зависимость потенциала от изотопическоrо
8 5. Формализм иаотопическоео спина
131
спина определяется произведением ("'=1"'=2)' и «зарядовую» теорию, в н:оторой
зависимость от изотопическоrо спина дается выражением ("'=1"'=2 "'=3.1"'=З,2) 1).
в зарядовой теории отсутствуют силы взаимодействия между парами про
тон + протон и нейтрон + нейтрон, силы действуют толыю между прото
ном и нейтроном.
В обозначениях, приняtых в фОРМУJJе (5.31), эти два типа обменных
потенциалов определяются соответственно условиями
V d (r) == V а (r) == V Td (r) == О (симметричная. теория),
а остальные три функции V (r) произвольны и
V d (r) == V" (r) )
V a (r) == Va"t (r) (зарядовая теория).
V Td (r) == V т"' (r)
(5.33)
(5.34)
Этот весьма частный выбор обменной зависимОСти приведен в связи
с тем, что он довольно широко используется в литературе, в частностИ, при
обсуждении результатов опытов по рассеянию нейтронов на протонах и ПРО
тонов на протонах при больших энерrИЯХ (см. rл. IV). Vсловия (5.34) при
ложимы только К потепциалу взаимодействия между нейтроном и протоном.
rлавным преимуществом формализма изотопичесн:оrо епина является,
пожалуй, простота формулировни условий насыщения [222]. Пять условий
насыщения (4.36) (4.40) принимают следующую форму [V d является значе
нием V d (r) внутри области Ь; V d считается постоянной величиной; анало
rично и для друrих потенциалов]:
V d >0,
V d + Va> О,
V d : V't> О,
V d + Va't> О,
V d + V.+ V't ', Va"t >0.
v словил абсолютноrо насыщения тензорных сил имеют
(V d + V.) <;: V Td <: V d + V.,
(Vd 1 Va"t)<;:VT"t<;:Vdi V,"t,
; (V d + V.+ V't+ V.o;)<;:V Td + VTo;<;: V d + V.+ V"t Va"t.
(4.36) == (5.3;))
(4.37) -----: (5.36)
(4.38) == (5.37)
(4.39) == (5.38)
(11.40) == (5.39
форму
(5.40)
(5.41)
(5.42)
Vсловие (5.40) в отсутствие сил Бартлета JI rейзенберrа превращается
в (4.48). 'Условия (5.41) и (5.42) являются добавочными условиями дЛЯ TOH
зорных сил, однако с практичеСRОЙ точки зрения они не очень важны.
В этой книrе формализм изотопичеСRоrо спина не будет использован
в сколько нибудь значительной мере. Он нашел ширОRое применение в лите
ратуре для описания обменных свойств ядерных сил2). В этом параrрафо было
1) Эта терминолоrия возникла вследствие Toro, что привrДl'lIllЫ() зависимости от
изотопическоrо спина являются результатом пекоторых мезопных теорий, ноторые BBO
дЯТ мезоны всех трех тиипв (иоложительные, отрицательные и исйтраJIьные) симметрич
ным образом или же вводят только заряжениые мезоны. '
2) Формали м изотопическоrо спина широко используетея еейчас при изучении
ядерных реакций [см., например, Wilkinson, Nature, 172,576 (195:т и различных
явлений, связанных с мезонами [см., например, Henley, Rtldеrшап, Steill
berger, Anntlal Review of Ntlclear Scienee, 3,1 (1953). См. также и. С. Шапиро,
Успехи физич. наук, 53, 7 (1954); r. и. аельцер, Успехи фИЗIlЧ. JlaYI\, 53, <1:>;)
(1954)]. Прим. перее.
9*
132
r л. 111. Ядерные силы
'11
j
'J
пон:азано, что формализм изотопичесн:оrо спина полностью эквивалентен
описанцю с использованием сил Виrнера, Майорана, Бартлета и rейзенберrа.
Нен:оторые обменные потенциалы имеют простую форму в одном фор
мализме. Тоrда они не тан: (<просты» в друrом формализме, и наоборот. Про-
стота или компан:тность потенциала в н:ан:ом либо формализме не может
служить верным н:ритерием для предпочтительноrо выбора этоrо форма
лизма.
ь
в
" G
СА
d
d
d'
D
ОБОЗНАЧЕНИЯ
радиус действия ядерных сил; ширина прямоуrольной ямы для
потенциала V с (r) (9 2).
энерrия связи ядра (9 3, Б).
оператор кулоновской энерrии ядра, содержащеrо А нуклонов (4.7),
(4.10).
cpeДHee значепие оператора С в стянутом состоянии (4.18).
расстояние, при котором ядерные силы становятся силами отталки
вания (9 2).
расстояние между соседними нуклонами в ядре (3.5).
величина d с учетом динамической поправки ,для нуклонов в ядре
(9 3, А).
боровский радиус протона [ == з ==2,88.1О 12 см ] ( 4, А).
единичная ступенчатая функция (2.6),
энерrия ядра (==1'+ тт) (9 2).
известпан из эксперимента энерrия OCHoBHoro состояния ядра с Mac
совым числом А (4.2).
(rипотетич.) энерrия OCHOBHoro состоннин системы, состоящей из А частиц
с rамильтонианом Н (4.1).
зависимость от расстояния 6бменноrо потенциала Vx(r) (3.12).
относительная вероятность взаимодействия для симметричной пары
в ядре радиуса В [==g+ (d/b)] (3.6).
относительная вероятность взаимодействия для антисииметричной
пары в ядре радиуса В [==g (d/b)] (3.6).
rамильтониан ядра (9 4, А).
е (х)
Е
БА (ЭКОllерим.)
БА (Н)
f (r)
g+ (В)
g (R)
Н
НА
к
т
м
n+
п
р
р+
p
р
р
рВ
математическое ожидание rамильтониана Н системы из А частиц
в состоянии Ф [верхний предел для Е А (Н)] (4.1).
ядро интеrральноrо оператора сил, зависящих от скорости
[==К (r 1 , r з ; r 1 , r )] (3.19).
орбитальное квантовое число системы, состоящей из двух частиц
(9 3, Б).
переменный индекс для различных пространственных волповых
функций и (r) одиночной частицы в сферичеСIШМ объеме ( 4, А).
Macca нуклона (2.3).
число симметричных пар (9 3, А).
число антисимметричных uap (9 3, А).
вероятность взаимодействия пары нуклонов в ядре радиуса
В [==р(Ь/В)] (2.5), (2.8).
вероятность взаимодействия между нуклонами симметричной пары
(9 3, А).
вероятность взаимодействия между нуклонами антисимметричной
пары (9 3, А).
перестановка индексов 1, 2, 3, ..., А (5.11).
обменный оператор (9 3, Б).
обменный оператор Бартлета (табл. 4).
рН
рМ
t]
р'С
q
r
rl
r12
R
Ro
R 1
В
Вт
S
82
812
Т
Т
ТА
и (r)
V
V
V
У О
У А
V
А, центр.
V
А, тенз.
У в
V В (r)
VсИ
Vd
Vd (r)
У н
VНИ
Уц (rij)
I У м
:f',,i" '
Обоаnачеnия
133
обменный оператор rейзенберrа (табл. 4).
обменный оператор Майорана (табл. 4).
обменный оператор Майорана для частиЦ i и i (4.24).
обменный оператор изотопичеСКОl"О спина (5.25), (5.26).
координата нуклона, включая пространственные и спиновые пере
менные (3.1).
расстояние между НУIшонами (2.1).
радиус веRТОр нуклона 1 (3.12).
расстояние между частицами 1 и 2 (2.7).
радиус ядра (9 2).
радиус ядра, при котором потенциальная энерrия V минимальна
(9 3, А).
радиус ядра, при котором полная энерrия Е МaI,симальна ( 2).
спиновое квантовое число пары нуклонов (5.20).
число нуклонов В пространственном состоянии ит (r) (4.11).
cpeДHee значение от 3 cos 2 ю 1 [математическсе ожидание опера
тора 812 в случае, коrда все ,спины параллельны} (4.41).
KBaдpaT спи'на пары нуклонов (5,20).
тензорный оператор частиц 1 и 2 (2,1).
оператор кинетическОй энерrии (2.3).
математическое ожидание оператора Т (9 2).
математическое ожидание оператора т в стянутом состоянии ядра
с массовым числом А (4,11).
КООРДlIпатная волновая ФУНIщия одиночноrо нуклона в сферическом
объеме (4.6).
оператор потенциальной энерrии двух ча тиц (2.1).
оператор потенциальной энерrии ядра ка!> целоrо (2.2).
математическое ожидание оператора V (2.5).
rлубина ямы потенциала прямоуrолыюЙ формы У С (r) (9 2).
математическое ожидание оператора V в CТfIНYTOM состоянии ядра
с массовым числом А (4.21).
вклад центральных сил в V A (4.44),
вклад тензорныХ сил в V А (4.4з).j
значение V В (r) внутри области Ь в случае потенциаlIa пряиоуroль
ной формы (4.36).
радиальная зависимость потенциала Бартлета между двумя нукло
нами на расстоянии r (3.18).
потенциал центральных сил двух нуклонов, находЯЩИХСЯ В 8 COCTO
янии (2.1).
значение Vd (r) внутри радиуса Ь в случае потенциала прямоуrОJlЪ
ной формы (5.35).
часть потенциала взаимодействия между двумя НУIшо нами , не
зависящая от спина и изотопичрскоrо спина (5.31).
значение V н (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуroль
ной формы (4.36). .
радиальная зависимость потенциала rейзенберrа для двух нуклонов,
находЯЩИХСЯ на расстоянии r друr от друrа (3.18).
потенциальная энерrия двух изолированных нуклонов t и ;, Haxo
дяЩиХСЯ на расстоянии rij друr от друrа (2.2).
значение V М (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
ной формы (4.24).
134
Тл. ///. Ядерные сuлы
V м (r)
V Т (r)
V Td
V Td (r)
V TM
V TM (r)
V TW
V TW (r)
VT-r
V T-r (r)
V w
Vw(r)
V х (r)
V a
v а (r)
V a ,!:
V a ,!: (r)
V-r
V-r (r)
:Хо
Х 1 ,О
Х 1 ,1
Xl. J
z (1:)
(J (С)
Ю
радиальная зависимость потенциала Майорана для двух нуклонов,
находящихся на расстоянии r друr от друrа (3.18).
радиальная зависимость потенциала тензорных сил для двух нукло
нов, находящихся в четном состоянии с J == 1 (2.1).
значение V Td (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
пой формы (5.40).
. радиальная зависимость потенциала тензорных сил, не зависящих
от изотопичесноrо спина, для двух нуклонов (5.31),
значение V ТМ (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
пой формы (4.41).
радиальная зависимость потенциала тензорных сил с обменными
свойствами типа Майорана для двух нунлонов (3.18).
значение V TW (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
ной формы (4.41).
радиальная зависимость потенциала доли необменпых (виrнеровсних)
тепзорных сил между двумя нунлопами (3.18).
зпачение V T-r (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
ной формы (5.41).
радиальная зависимость потенциала обменных тензорных сил, опи
сываемых оператором ('tl't2) S12 ДЛf1 двух нуклонов (5.31).
значение V w (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
ной формы (4.20).
потенциал необменных сил (сил Биrнера), действующих между
двумя нуклонами, находящимися на расстоянии r друr от друrа
(3.18).
оператор обменных сил, действующих между двумя нуклонами,
паходящимися па расстоянии r друr от друrа (3.12). 1
значение V a (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
ной формы (5.36).
радиальная зависимость ПОТf;нциала сил, действующих между двумя
нунлонами и описываемых оператором (C!1C!2) (5.31).
значение Vo-r (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
ной формы (5,38).
радиальная зависимость ДВУХНУКЛонноrо потенциала, описываемоrо
оператором ("1"2) ('t 1 't 2 ) (5.31).
значение V-r (r) внутри области Ь в случае потенциала прямоуrоль
ной формы (5.37).
радиальнаiI зависимость Двухпуклошюrо потенциала, описываемоrо
оператором ('t 1 't 2 ) (5,31).
волновая ФУШЩИfI изотопическоrо спина для синrлетноrо состо яния
по изотопичесному спину пары нейтрон + протон (5.13).
волновая фунrщия изотопическоrо спина для триплетноrо состояния
по изотопичеСIЮМУ спину пары нейтрон + протон (5.14).
ВОЛНОВЮl фУШЩИiI ИЗОТОпическоrо спина для трип летноrо СОСТОЮIИЯ
по ИЗОТОШlческому спину пары нейтрон + протон (5.15).
волновая функция изотопичеСlюrо спина для триплетноrо состояния
по ИЗОтопичеСRОМу спину пары нейтрон + протон (5.16).
число состояний и т (r) с эперrией I:т -< 1: (4.14а).
спиновая волнован фУШЩИiI частицы со спином, ориентированным
по данному направлению (з 4, А).
спиповаiI волнован функция частицы со спином, ориентированным
противоположно данному направлению (з 4, А).
'Ор
'о (r 1 r )
t'
т
1.(0
1L
л
'/ ('1J)
1t ('1J)
?
а
0'+
4
"+
'(
'1:3
'f(r, )
ер (rl' r2'
Ф
W
{l)
Ь
I
j
f
ОбозначеНllЯ
135
четность перестаНОIJIШ Р [== + 1 для четных перестаНОВОI< и 1 для
нечетных] (5.11).
дельта фуНIЩИЯ Дирака (3.23).
наиБОЛЬШafI энерrия tm, RОТОРУЮ имеет нуклон [== энеРI'ИЯ Ферми]
(4.14).
юшетическая энерrия нуклона в состоянии ит (r) (4,11).
спиновая координата нуклона (з 3, Б).
СПIIновая волновая функцип одиночноrо нуЮIOна (4.6),
координата ИЗ0топическоrо спина нуклона (з 5).
средвЯЯ длина волны де Бройлп, отпечающая OTHOCIITeJIbHoMY движе
нию дпух НУI<ЛОНОВ (3.4).
волнов:ш функции ИЗ0топическоrо спина н йтрона (5А).
волнопш'I функцип ИЗ0топическоrо спина протона (5.6).
относительны й вклад сил Майорана в потенциальную Эlюрrию дей
трона [== v';:v M l (4.31).
СПИНОВЫЙ BeRTop Паули с составляющими ау, ау и a z ; см. приложе
ние 1, S 4 (5.20).
== (ax+ia y ) (з 5).
== (ax iay) (з 5).
оператор ИЗ0топическоrо спина, пере водящий протон в нейтрон (5.17).
оператор ИЗ0топичеСI<оrо спина, пере ВОДЯЩИЙ нейтрон в протон (5.18).
оператор ИЗ0топическоrо спина [== + 1 для нейтрона и 1 длн про
тона] (5.19).
ВОЛlIовая функция одиночноrо нуклона в сферическом объеме (4.5)'
(4.6).
rА) ВОЛIIоная фУНКЦПЯ ядра (з 2).
полновая функция стянутоrо состоянип (з 4, А).
волновая функция ядра n формаШlзме ИЗ0топическоrо снина (з 5).
волновал функция действительноrо ОСНОВIюrО состояния системы,
состоящей И3 А частиц, описываемОй rамильтонианuм Н (з 4, А).
уrол между радиусом веI<ТОРОМ двух частиц r12 и направлением их
спинов (з 4, r).
объем полости [ == 7tR3] (з 11, А).
r л а в а IV
3АДА. ЧА. ДВУХ ТЕЛ ПРИ БОЛЬШИХ ЗНЕрrиях 1)
1. ВВЕДЕНИЕ
Рассеяние элементарных частиц при очень больших энерrиях является
прен:расным cpeДCTBOM детальноrо исследования взаимодействия нунлонов.
Блаrодаря развитию технин:и усн:орения заряженных частиц удалось pac
ширить энерrетичесн:ую область исследования рассеяния нейтронов на про
ТОнах и протонов на протонах до энерrий, при н:оторых длина волны де Брой
ля, соответствующая относительному движению нунлонов, становится зна
чительно меньше радиуса деЙствия ядерных сил. Следовательно, в отличие
от задачи двух тел при энерrиях, не превышающих примерно 10 Мэе, опыты
при более ВЫСОн:их энерrиях дают результаты, ноторые очень чувствитель
ны н: деталям взаимодействия, ero зависимости от расстояния, а тан:же-
н обменным свойствам сил.
Имеющиеся сейчас данные опытов, выполненных при больших энер
rиях, во мноrих отношениях необычны и неотиданны. Они заметно отли
чаются от Toro, что следовало бы ожидать на основе энстраполяции резуль
татов опытов при малых энерrиях. В этой связи надо особенно подчерннуть
следующие два результата:
1. Совон:упность данных, полученных при больших энерrиях, повиди
мому, ун:азывает на то, что силы, действующие между двумя протонами,
отличаются от сил, действующих между протоном и нейтроном. Следова
тельно, ядерные силы не являются зарядово независимыми, хотя результа
ты, полученные при малых энерrиях, убедительно свидетельствуют в пользу
предполотения о зарядовой независимости ядерных сил (см. rл. 11). Напом
ним, что результаты опытов н:ан: по рассеянию нейтронов на протонах, так
и по рассеянию протонов на протонах при малых энерrиях можно объяс
нить, предполаrая, что потенциаJIЫ ядерных сил, деЙствующих метду оди
нан:овыми и неодинан:овыми частицами, имеют одни и те же эффен:тивные
rлубины и радиусы действия.
2. Данные опытов при больших энерrиях явно несовместимы с ядерными
силами обменноrо харан:тера, необходимыми для объяснения свойств Hacы
щения ядер (см. rл. 111). Результаты опытов при больших энерrиях не
ун:азывают на наличие н:аних либо сил отталюrвания метду нун:лонами в
антисимметричных состояниях; это отталнивание было необходимо для
объяснения насыщения на основе обменных сил.
В целом теории, построенные на основе результатов Опытов при малых
энерrиях, не MorYT объяснить результатов новых эн:спериментов при боль
ших энерrиях. Это является неприятным напоминанием о том, что теория
ядерных сил находится пон:а на очень низн:ом уровне.
1) Новейшие данные по рассеянию нуклонов большой энррrии содержатся в BBOД
ной статье Я. А. Смородинскоrо 1( сборнику «Проблемы современной фи;шки», вып. 7,
М. 1954. См. тпнже обзор rольданскоrо, JIюбимовп и Медведева ['Успехи физич. наук,
48, 531 (1952); 49, 3 (1953)]. Прuм. перее.
D 1. Введение
137
,;
'.
Результаты, полученные при очень больших энерrиях, интерпретиро
вать значительно труднее, нежели при малых энерrиях, тан: кан: в этом слу
чае требуется определить rораздо большее число параметров. Например, для
описания рассеяния нейтронов на протонах при малых энерrиях необходимо
ввести Bcero два параметра (фазовые сдвиrи для lS и 3S состояний), н:оторые
определяются из опыта. Кроме Toro, энерrетичесн:ую зависимость этих
параметров можно однозначно предсн:азать, используя лишь самые общие
теоретичесиие предпосылн:и (считая k ctg о линейной фуницией энерrии).
В противоположность этому при больших эиерrиях существенную роль
иrрают не тольио S состояния, но И состояния с друrими моментами н:оли
чества двитения.
Например, при энерrиях порядн:а 100 Мэв замеТНЫfI вн:лад в рассеяние,
по всей вероятности, вносят S , p , D и F со(?,тояния (l==O, 1, 2, 3), и трудно
ожидать, что их фазовые сдвиrи имеют каиую либо простую зависимость
от энерrии. При больших энерrиях, н:оrда длина волны де Бройля л==1/k
становится меньше радиуса действия ядерных сил, энерrетичесн:ая зависи
мость фазовых сдвиrов в существенной мере определяется деталями формы
потенциала. Нан:онец, наличие тензорных сил (н:оторые не приводят и за
метным эффен:там при рассеянии частиц снебольшими энерrиями) означает,
что в триплетном спиновом состоянии имеется в 4 раза больше независимых
параметров, чем в случае центральных сил.
С друrой стороны, интерпретация эн:спериментальных данных услоп\
няется тем, что применяемые обычно пучии нейтронов не являются MпHO
энерrеТИЧеСн:ими, Они получаются в результате «срыва» нейтрона с быстро
движущеrося дейтрона [683]. При этом энерrия нейтронов размазывается
при средних энерrиях порядн:а 100 Мэв примерно на интервал в 20 Мэв.
Следовательно, эн:спериментально измеренное, сечение рассеяния является
средним по достаточно широн:ой энерrетичесн:ой области. При тан:ом ycpeд
нении MorYT сrладиться детали более о.цожной энерrетичесн:ой зависиМОСТИ
сечения.
Результаты опытов по рассеянию протонов на протонах при больших
энеР1'ИЯХ интерпретировать леrче, чем данные по рассеянию нейтронОв на
протонах. Это обусловлено двумя причинами: 1) принцип Паули уменьшает
в 2 раза число фазовых сдвиrов и 2) измерения эиспериментальных сечений
производятся с моноэнерrетичесн:ими протонами.
Неопределенность в интерпретации имеющихся результатов затруд
няет получение н:аиих либо точных выводов. Обычно делаются неиоторые
предположения о ядерныХ силах (например, предполаrается, что эти силы
MorYT быть описаны потенциалом с заранее заданной зависимОстью от спина
и обменными свойствами) и полученные при этих предположениях резуль
таты сравниваются с ЭJ\спериментальными данными. Если в пределах эн:спе
риментальных и теоретичесн:их ошибон: наблюдается соrласие, то избран
ный заион действия ядерных сил рассматривается нан: возможный.
При энерrиях порядна 100 Мэв неточное знание релятивистсн:их попра
вон: не позволяет отидать лучшеrо соrласия, чем в пределах 10 20%.
Потенциал V(r), зависящий от расстояния r между двумя нун:лонами, не
является релятивистсн:и иовариантной величиной, таи н:ан: само расстояние
r не является релятивистсн:и н:овариантным. Кроме Toro, релятивистсн:ое
увеличение массы с ростом импульса при рассеянии частиц с тан:ими Эl-lер
rиями увеличивает поправн:и примерно на 5%. Поправн:а на увеличение
массы известна и, следовательно, не приводит н: существенным неопределен
ностям при интерпретации данных. С друrой стороны, динамичесние поправн:и
[н: потенциалу V (r), применяемому при малых энерrиях, весьма еточны
104, 106, 708,694]. Оценн:и, полученные при помощи мезонных теОРИII [708],
пон:азывают, что при энерrиях порядн:а 100 Мэв поправн:и MorYT составлять.
"
ч
)
4
<J
"!
i
';'1
,
.
, \
" , \I
.,:":
"\ .
', . I
"";',
.:.,
;( ;.
''''
,1'
'
,
138
I'л. IV. Задача двух тел при больших анереиях
оноло 10% и увеличиваются до фантора 2 при энерrиях в неСJ{ольн:о_сотен
миллионов элен:трон вольт. .
Мы сн:онцентрируем наше внимание на следующих типах обменной зави
симости для предполаrаемоrо потенциала сил, действующих между двумя
нун:лон ами 1):
1. Силы Виrнера
2. Силы МаЙорана
V == V (1').
(1.1)
V == p1l1V (r).
(1,2)
3. Смесь сил Виrнора и Майорана, удовлетворяющая требованию
насыщения,
V == (а + pM) V (r)
4. Силы Сербера
( ; < ).
( 1.3)
V== (1+pM)V(r).
(1.4)
Следует иметь в виду, что потенциал V (r) может зависеть от спина:
он мотет быть различен в триплетном и синrлетном спиновых состояниях
двух часТИЦ, Более Toro, в триплетном состоянии MorYT сн:азываться TeH
зорные силы. Мы будем считать, что при любых r потенциал V (r) является
потенциалом притятепия [V (r) < О], Хотя недавно [411,412] и бы.по
сделано предположение о том, что при малых r V (r) может превращаться
в потенциал отталнивания [V (r) > О], нин:ан:их детальных расчетов с этим
потенциалом пон:а не опублиновано. По этой же причине мы не будем
рассматривать сил, зависящих от сн:орости [790, 141]. В тои мере, в Н:OTO
рой мы пренебреrаем этими возможностями, наши обсутдения по необхо
димости оназываются неполными, а зан:лючения вызывают сомнения.
В 2 и 3 обсуждаются резуш"таты опытов по рассеянию нейтронов
на протонах, выполненных в интервале энерrий от 12 15 до 280 И эв.
В 11 рассматривается рассеяние протонов на протонах. Обсуждение OCHO
llывается r.павным образом на работах Кристиана и сотруднинов [152, 153].
По этому вопросу имеется обширная литература, в н:оторой более детально
обсуждаются методы расчета и приводятся результаты, полученные при
ноннретных преДПОЛОtн:ениях о ядерных силах [137,149,206,132,522,832,
13, 634 и др.].
Расчеты для энерrийболее 30 Мэе чрезвычайно утомительны и сложны.
При энерrиях, не превышающих примерно 300 Мэе, rде борновсн:ое при
блюн:ение дает достаточно точные результаты, не существует более удоб
ных приблитенных методов. Во избежание ненужных усложнений мы
дадим в 3 и 4 тольн:о rрубые н:ачественные оценrш, отсылая за резуль
татами детальных расчетов R литературе [152, 153].
2. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ С ЭНЕРrиями ОТ 10 ДО 30 Мав
НА ПРОТОНАХ
в настоящее время имеетсн очень мало эн:сперимента.пьноrо материала,
Qтносящеrося н: области энерrий от 10 до 30 Изе. Мы будем называть
:)ту область «областью средних энерrИЙ». Большинство опублин:ованных
1) Все эти силы, за исключением сил Виrнора, не fIВЛЯЮТСfI общеупотребитель
ными. В литературе вплоть до 1950 r. продпочтсние отдавалось «зарядов ой» и «сим
мстричной» обменным зависимостям, введенным Рарита и ШпинrеРО 1 [623, 624]. Мы
][0 будем здесь использовать эти две теории, тю{ как ни одна из них не соответствует
НМСIOЩИМСfI данным, а обсуждение более леrко проводить, оперируп только с вариан
таМII (1.1) (1.4).
'\
2. Рассеяние нейтронов с анереuя.мu от 10 до 30 Мав на протонах 139
измерений было выполнено в энерrетичесн:ой области между 12 и 13 Иэв.
Первые измерения в рассматриваемой области энерrий были произведены
Амальди с сотруднин:ами [8], н:оторые обнаружили наличие преим'уще
cTBeHHoro рассеяния на уrлы, близн:ие н: О == 'те /2, по сравнению с рассеянием
на уrлы О == те. Однан:о <JTOT результат не был подтвертден в болео позд
них опытах [601,463,464,34]. При энерrиях между 12 и 15 Мэв уrловое
распределение в системе центра масс является сферичесн:и симметричным
в пределах 5 10%. Полное сечение БЫJЮ измерено в довольно широн:ой
энерrетичеСRОЙ области [658, 686, 699], и ero величина в интервале энерrий
от 1 О до 24 И эв оназалась очень б.пизн:ой н: 4 те 7\ 2.
Для качественноrо описания теоретичесн:и отидаемоrо поведения сече
ния при энерrиях, превосходящих 10 Иэв, мы используем борновсн:ое
приблюн:ение, несмотря на то, что оно не является достаточно точным
методом для н:оличественноrо расчета сечений. Рассмотрим сначала цeH
тральные силы обычноrо типа (1.1). Амплитуда рассеяния, определенная
соrласно (11, 3.1), имеет в борновсн:ом приближении следующий вид:
00
t (О) == r W (r) r 2 dr,
о
(2.1)
rде
21L М
W (r) == h2 V (r) == lt2 V (r)
(2.2)
и
к == I k ROH . k пач . I == 2k sin .
(2.3)
В области, rде про сходит рассеяние (r Ь), волновая фунн:ция имеет
вид падающей волны e'hz. Это справедливо тольн:о в том случае, если
потенциальная энерrия V (r) значительно меньше н:инетичесн:ой энерrии
в системе центра масс и наличие потенциала слабо возмущает падarOIЦУIO
волну.
Выражение (2.1) неприменимо для рассмотрения проблемы рассеяния
нейтронов на протонах, ИСН:ЛlOчая случай эн:стремально больших энерrий
(300 Иэв и больше). Наибольшие ошибн:и получаются в сферически сим
метричной (не зависящей от уrлов) части амплитуды рассеяния, т. е. для
рассеянной S волны. В связи С этим запишем амплитуду рассеяния t (О)
в следующем виде:
по) == т + g (О),
(2.4)
rде t среднее от t (О) по всем направлениям:
1 ('
t == 4тс t (О) dw.
(2.5)
Будем пользоваться для 1 точным выражением (11, 3.9), а для g (6)
борновсн:им приближением. Борновсн:ое приближение для g (О) можно сле
дующим образом рассчитать при помощи (2.4). Найдем значение sin Kr/ Kr,
усредненное по всем направлениям:
1
С sin Kr dw == С 2krx dx == ( Sin kr ) 2 ( 2.6)
4тс) К r .) kr kr'
о
rде х == sin (0/2). Борновсн:ое приб.ТIитение для g (О) определяется н:юх резуль
тат вычитания из выратения (2.1), полученноrо для t (О) в борновсн:ом
,
140
rл. IV. Задача двух тел при больших эн,ереилх
приближении, среднеrо значения f (О) по всем направлениям, т. е.
00
g (О) == [ Si r ( Si r Y] w (r) r 2 dr.
о
(2.7)
Дифференциальное сечение рассеяния do в элемент телесноrо уrла d(J)
в направлении О по отношению R падающему пучн:у в системе центра масс
дается выражением
do == I t (О) 12 dw == 11 + g (О) 12 dw.
(2.8)
Борновсн:ое приближение (2.7) для g (8) является н:оличественно неточ
ным. Однан:о это выражение он:азывается достаточным для J{ачественноrа
пони мания основных свойств рассеяния, в то время н:ан: (2.1) дает н:аче
ственно неверные результаты. Причины этоrо следующие: эффен:тивная
потенциальная энерrия в состоянии с моментом н:оличества движения 1
равна сумме действительноrо потенциала V (r) и « центробежноrо» потен
циала (h 2 j2f1r 2 ) 1 (l + 1). Для радиуса Ь порядка 2.1O 13 СМ центробетный
член в Р состоянии составляет на н:раю ямы примерно 20 Иэв, в D COCTO
янии примерно 60 И эв и соответственно еще больше при больших l.
Тан:им образом, ядерный потенциал сравним с центробежным в Р состоянии
и значительно меньше центробетноrо потенциала в состояниях с большим
моментом н:оличества движения. Поэтому ero можно считать малым воз
мушением. Этот aprYMeHT полностью теряет силу для S состояния, что
И является причиной специальноrо рассмотрения рассеяния S волны, 7.
Рассмотрим сначала область средних энерrий (от 10 до 30 Иэв в лабо
раторной системе), rде kr 1 для r, лежащих в пределах радиуса действия
ядерных сил. Разложим выражение, стоящее в сн:оБRах в интеrрале (2,7),
в ряд по степеням kr. Первый неисчезающий член этоrо разлотения
равен 1/3(kr)2cose. Учитывая в области средних энерrий тольн:о этот член,
получаем
00
g (6) :::::; k 2 СОБ 6 W (r) r 4 dr.
о
Уrловая зависимость g (6) харан:терна для амплитуды рассеяния Р вол
ны. Энерrетичесн:ая зависимость (А 2 пропорциональность энерrии) и CTe
пень r под знан:ом интеrрала (4 == 2l + 2) ха ран:теризуют амплитуды pac
сеяния Р волн в борновсн:ом приближении. .
Соrласно (2.2), фунн:ция W (r) полотительна в случае потенциала
отталн:ивания. Тан:им образом, в этом случае g (6) положительна для pac
сеяния вперед (О < 6 < те/2) и отрицательна для рассеяния назад (те/2 <
< о < те). (То обстоятельство, что g (6) действительная фунн:ция 6, является
следствием примененноrо здесь борновсн:оrо приближения и, следовательно,
верно толыю приблизительно.) Роль этоrо члена в (2.8) для сечения pac
сеяния do зависит от амплитуды (7) рассеяния S волны. Обозначим дей
ствительную и мнимую части 1 соответственно через lт и А. Сравнение
с (11,3.9) дает
(2.9)
f 1." "
r == т Sln u СОБ о
(2.10)
и
f 1. 2"
.i ==т юп u,
(2.11)
D 2. Рассея,нuе нейтронов с энер2uл.ми от 10 до 30 Мэв на протонах 141
['де 8 фазовый сдвиr S волны. Из (2.8) и (2.9) следует, что в этой области
внерrий дифференциальное сечение рассеяния мотно записать в виде
do == (Ао + Al СОБ 6 + А 2 СОБ 2 е) dш, (2.12)
l'де
Ао == (1,)2 + (ТУ == si : ,
(2.13)
00
Al == 1 k 2 1r W (r) r 4 dr,
u
(2.14)
00
А 2 == ; k 4 W(r)r 4 dr.
о
МЫ видим, что знан: коэффициента A 1 , а также и ero величина зави
сят от действительной части амплитуды (1) рассеяния S волны. В част
ностИ, соrласнО (2.10), А 1 == О, н:оrда фазовый сдвиr S волны 0== 7t/2.
Выражения (2.10) (2.15) долтны быть подсчитаны отдельно для три
плетноrо и синrлетноrо спиновых состояний. В этом случае наблюдаемое
сечение имеет следующий вид:,
(2.15)
do == : (do)t + : (do)s == (ВО+ Bl СОБ 6 + В 2 cos 2 6) dш,
(2.16)
{'де
3 1
ВО == 71 (Ао)! +"4 (Ao)s и т. д.
Интересующие нас величины можно rрубо оценить следующим образом.
Рассмотрим не зависящее от формы потенциала приближение (11, 3.9) для
фазовоrо сдвиrа S волны о (в двух спиновых состояниях) В случае потен
циала эн:споненциальной формы, и вычислим интеrрал
о()
W(r)r4dr.
о
Результат вычислений для коэффициентов Ао, А 1 И А 2 В двух спино
вых состояниях приведен на фиr. 29. Сплошные Rривые относятся н: три
плетному спиновому состоянию, пунн:тирные н: синrлетному 1). Обращает
на себя внимание различное поведение коэффициента А 1 при СОБ в двух
спиновых состояниях. Этот н:оэффициент всеrда положителен в синrJlетном
состоянии, а в триплетном состоянии меняет знан с отрицательноrо (при
малых энерrиях) на ПОJlOжительный (при больших энерrиях).
'Ун:азанное различие может быть 1l0НЯТО при рассмотрении фИl'. 30,
на которой представлены действительные и мнимые части амплитуды pac
сеяния S волны, 1, в двух спиновых состоянияХ'. Цифры он:оло н:ривых
означают величины k 2 в единицах 1024 c.м; 2 (в этих единицах k 2 == 1,2 Елаб.
в Мае). Различие н:ривых обусловлено знан:оМ длины рассеяния а в этих
двух спиновых состояниях. В триплетном состоянии длина рассеяния
а == а ! полотительна (II,3.13). Отсюда следует, что фазовый сдвиr в три
плетном состоянии О! стремится н: 7t при стремлении энерrиИ н: нулю. Затем
()! уменьшается, проходит в нонечном счете через 7t/2 и стремится J{ нулю
1) Следует иметь в виду, что эти кривые носят исключительна иллюстративный
характер. Сделанные здесь приближения недостатОчно точны для прямоrо сравнения
с опытом.
-:;,
f42
r./l,. /V. Задача двух те.л, при бо.л,ъшuх (JН,ереuях
при очень больших энерrиях. Из фиr. 30 видно, что при нашем выборе
постоянных (а ! == 5,39.10 13 см, rot == 1, 73.10 13 см) фазовый сдвиr в три
плетном состоянии О! становится равным 1С/2 при k 2 22.1024 CM 2, т. е.
при энерrии Е лаб . 18 Мэв. При этой энерrии действительная часть t
равна нулю и, следовательно, коэффициент А 1 исчезает (2.14). При меньших
18
16
14
12
10
'"
:;:
",с.>
8
'"
6
4
'2
1
;
ч
,
,)
j
'
'1
.'1
I
.'
,
--....--- ...........-
,,"
1
I
А/
2
Фи r, 29. Сечение рассеяния нейтронов на протонах, запи
санное в форме da == (Ао + А} cos О + А 2 cos 2 О) dw. Н:оэффи
циенты Ао, А} и А 2 ПРf'дставлены в зависимости от k 2
(в 1024CM 2==1,206 Е лаб . в Мае).
Сплошные нривые относятся н триплетному, пуннтирные н син
rлетному СПI1НОВЫМ состояниям, Ноэффициенты вычислены в rрубом
lIриблпшении. поэтому их нель я ИСПОЛЬЗ0вать для детальноrо cpaB
lIения с опытом, Нрпвые относятсп н обычным сплам (силам
Виrнера) .
'!
/3
энерrиях кю{ деиствительная часть j, так и А 1 отрицатольны; при боль
ших эверrиях они становятся 1l0ЛожитеJ1ЬНЫМИ.
Рассмотрим теперь синrлетное состояние. Связанноrо синrлетноrо COCTO
яния деЙтрона не существует, и синrлетная длина рассеяния отрицательна.
Поэтому из (II,3.13) СJlедует, что фазовый сдвиr в синrлетном состоянии
08 стремится к ну.шо, !{оrда энерrия уменьшается до нуля 1). Уравнение
1) Размеры фиr. 30 пе ПОЗDОЛЯIОТ это поназать. При продолжении синrлетналкривал
в процессе приБJ1Ишепил Е I{ ну;по перссечет действительную Ось вертикально в точке
Re (f)o== a8==+2,37.10 I2 СМ.
'\'
t,
2. Рассеяние нейтронов с анереиями от 10 до 30 Мав на протонах
143
(П,3.19) показывает, что выражение k ctg В" всеrда положительно, т. е.
фазовый сдвиr Вв все1'да меньше 1С/2. Следовательно, в синrлетном
состоянии действительная часть f также положительна, что при ВОДит
к положительным значениям коэффициента А 1 , в сечении синrлетноrо
рассеяния.
Так как измерения уrJювоrо распределения обычно являются относи
тельными (измеряются отношения сечений под различными уrлами, а не
абсолютные значения сечений), мы рассмотрим в первую очередь отноше
ния Вl/ВО и В2/ВО' определенные в (2.16). На фиr. 31 эти отношеШ1fl
!"
12
[т(п,1О см
,
,
O,Si
O,4i
5
5
СиН2Лf/тное
рассеяние
то
O,1i
0,4 О,З 0,2 -0.1 0.1
Re(f),1O- 12 см
1 '/)
Фи r. 30. Амплитуда рассеяния S волны 7 ==k e sin о прН раз
лич:ных энерrилх.
По оси абсцисс отложена деЙствительная часть f, но оси ординат мни
",ая. Rривые связывают значеНИfI при различных энерпшх. Оноло нривых
нанесен ряд значений k 2 (в 1024 CM 2). Действительная часть f в триплет
ном состоянии обращае СJl_В нуль прп (k 2 ::::22.10 24 CM 2) (Е лаб .;:::;18 Изв).
Действительная часть f в синrлетном СОСТОЯНИИ всерда ПОЛО1Rительна;
при малых энерrиях она не поназана в связи с оrраничениями в раЗYlерах
фиrуры. Будучи продолжена за пределы фИI'УРЫ. нривая изrибается и прп
равной нулю энерrии стремится н Т==+ 2.37.1 o 12 см (на действительной
оси). Эти нривые получены в прпблпжении, не зависящем от формы потен
циала (П, 3.19), и их можно пспользовать тольно для начественных выводов.
0.2
0.3
представлены в зависимости от энеР1'ИИ. В настоящее время точность из
мерений уrловых распределений составляет не менее 5 10%. Таним обра
зом, если значения Вl/ВО или В 2 / Во окажутся меньше примерно 0,1, то
они, вероятно, не будут обнаружены. Из фиr. 31 видно, что в энерrети
ческой области между 12 и 15 И эв В 1 / Во будет иметь величину TaKoro ше
порядна и меньше. (Нуль В 1 расположен при нескольно меньших CJнерrиях,
чем нуль триплетноrо' коэффициента (A 1 )t, блаrодаря шшаду синrлеТНОI'О
состояния.) Это и есть как раз та область, rде проведены измерения уrло
вых распределений. Таним образом, при энер2иях между 12 и 15 Иэв не
следует ожидать БОЛЬШО20 вклада в се'Чепие со стороны 'Члена с СОБ 6.
Скорее У2ловая зависимость должна описываться выражением Во + В 2 СОБ 2 О.
В литературе имеются теоретич:еские оценки, не соrласующиеся с этим выводом
[62, 623]. Прич:иной тююrо расхождения является выбор величины эффективноrо радиуса
для тринлетноrо состояния. Наша величина rQl == 1, '(3 .1 0 13 см значительно меньше Be
личины эффективноrо радиуса !{ак у потенциала Рарита Швинrера, так и в IIейтралыlйй
144
r.л" /V. Задача двух те.л, при бо.л,ъших эн,ереиях
м:езонной теории Бете. Для б6льших значений эффективноrо радиуса отношение B.IBo
обращается в нуль при меньших энерrиях. В этом случае можно было бы ожидать, что
при рассматриваемых энерrиях положительный. член с со б будет вносить заметный
вклад в уrловое распределение. Однако недавние измерения KorepeHTHoro рассеяния
нейтронов на протонах (см. rл. П, % 3, r) определенно находятся в противоречии
с таким большим значением эффективноrо радиуса для триплетноrо состояния.
Рассмотрим теперь влияние обменных
средних энерrий. Сначала изучим случай
0.4
0.3
0.2
0.1
о
Е, МЭ8
25
30
10 24 см - 2
20
25
к 2
,.
0,1
Фи r. 31. Экспериментально И1меряемое сечение, за-
писанное в форме
da==(Bo + В 1 cos б + В 2 ('052 б) dw.
На I'рафине представлены парамртры асимметрии в 8ависимо
сти от знерrllИ. Эти 8начении получены в I'рубом приближе
нии. и их нельзя ИСПОЛЬЗ0вать при детаJJЬНОМ сравнении
с опытом. Приврденные НРИБые получены для обычных сил
(СИJJ ВИl'нера). Для сил Майорана иозффициент /Зl/ВО меняет
знаи, а иоэффициент В2/ Во не :.Iеняется. В приближении. ле
жащем в основе постр()енин этих данных. силы Сербера дают
сферичесни симметричное рассеяние (Вl==В2==О).
сил при рассеянии в области
сил Майорана (1.2). Разобьем
g (6) на симметричную и
антисимметричную части
относительно 6 == 1С/2:
g (6) ==.gчетн. + gнечетн. ==
1
=="2 [g (6) + g (1С 6)] +
1
+т [g (6) g(1C 6)].
(2.17)
Так как в этом CMЫC
ле четные сферические rap
моники (четные 1) являют
ся четными функциями 6,
а нечетные сферические rap
моники нечетными функ
циями 6, то отсюда следует,
что рассеяние в состоя
ниях С четными 1 дает
вклад в gчетн., В то время
как рассеяние в состояниях
снечетными l в gнечетн.'
Собственные значения об
MeHHoro оператора Майо
рана РМ равны + 1 для
четных l и 1 для нечет
ных '. Так как величина
g (6) в борновском прибли
жении (2.7) линейнО" зави
сит от потенциала, то BЫ
ражение ДJIЯ g (6) в этом
приближении в елучае сил
Майорана получается про
сто путем изменения знака
gнечетн. В (2.17). Таким
образом,
gM (6) == gw (1С 6), (2.18)
J
J
. . . ;'
-.рJ
rде инденсы относятся к обменным свойствам сил соответственно типа
Майорана и Виrнера. Преобразование (2.18) справедливо при всех энерrиях
(до тех пор пона справедливо борновсное приближение). В рассматриваемой
области средних энерrий преобразование (2.18) эквивалентно изменению
знака Р волны g (6) (2.9).
Так как амплитуда и) рассеяния S волны не зависит от обменных
свойств ядерных сил, то мы приходим таким образом R следующему BЫ
воду: при одной и той же радиальной зависимости потенциала cи. (pa
диус действия, елубuна и форма) в случае справедливости борновС1iоео
1
.j
9 2. Рассеян,ие н,ейтрон,ов с ан,ереия.ми от 10 00 30 Мав на протон,ах 145
приближенuя силы И айорапа дают при рассеянии в состояниях с 1'=1=- О
тот же самый эффект в направлении 6, что и силы Виенера в направлении
1t О. В частности, если силы Виrнера приводят к преимущественному
рассеянию в направлении вперед, то силы МаЙорана н: преимущественному
рассеянию в направлении назад.
Этот результат имеет очень простую физическую интерпретацию. Pac
смотрим столнновение между неЙтроном и протоном, в реЗУJIьтате KO
Toporo неЙтрон (в системе центра масс) отнлоняется на уrол 6. Вылет
протона происходит в диаrонально противоположном направлении. Предполо
жим теперь, что силы, вызвавшие отнлонение, ЯВJIЯЮТСЯ обменными, но
имеют те же самые динамичесние своЙства (величина и радиус действия).
Тем не менее столнновение будет выrлядеть, кан и прежде, TOJIbKO с oд
ноЙ разницеЙ: частицы обменяются при столнновении своими ролями.
Следовательно, частица, вылетевшая в напраВJlении 6, будет протоном,
а неЙтрон будет двиrаться в направлении 1t 6. Это поназывает, что Ha
блюдение в направлении 7t 6 в случае обменных сил эквивалентно наблю
дению в направлении О в СJIучае обычных сил: столнновения в сущности
те же самые и сечения равны. Все эти утверждения, конечно, только
приблизительно верны. Если бы взаимодеЙствие было сильным. (борновсное
приближение неприменимо), то неЙтрон и протон моrлн бы за время
столнновения обменяться местами более чем 1 раз, и приведенные выше
соображения были бы несправедливы.
В рассматриваемоЙ области средних энеРI'ИЙ обменные СИJJЫ Майорана
дают сечение (2.16), lJ нотором В 1 (ноэффициент при СОБ'О) имеет противо
положный знан. Поэтому, в частности, нет существенноео различия в pac
Сеянии в области энереий 12 15 М эв в случае сил Виепера и сил М aйo
рана. Коэффициент В 1 в выражении для сечения слишком мал, чтобы ero
можно бьшо заметить. Это не позволяет решить вопрос о том, меняется ли
ero знан 1).
Ввиду TOI'O что при рассеянии с энерrиями 12 15 И эв разница между
силами Виrнера и МаЙорана мала, можно думать, что при этих энерrиях
сечение рассеяния вообще не зависит от обменных своЙств ядерных СИJI.
Однано это совершенно неверно. Рассмотрим, например, силы Серб ера (1.4).
Эти силы действуют только в состояниях с четным моментом количества
движения 1. В состояниях снечетными 1 собственное значение обменноrо
оператора МаЙорана рМ равно 1, тан что силы Серб ера равны НУJfЮ.
Мы уже видели, что рассенние в состояннях с четным 1 дает в (2.17)
ВЮIaД только В gчетн., а рассеяние в состояниях снечетными 1 в gнечетн. 2).
Таним образом, амплитуда рассеЮlия f (6) == Т + g (6) в случае сил Сербера
является четной фУllкцией уела 6, т. е.
f(е)==f(т: О) (СИJlЫ Сербера). (2.19)
Сечение рассеяния (2.8)' в этом случае танже будет четноii функцией уrла
6 для обоих спиновых состоянии.
1) К сожалению, более ранние вычисления, в IЮТОрЫХ ИСIIользовались большие зна,
чения радиуса действия в синrлетных СОСТОЯНИЯХ, привсли К противоположным заклю'
чсниям. Поэтому эксперимснтаторы пытались измерить не уrловос распределение во всем
интервале уrлов, а только отношение сечснпй при 0==% и 0==%/2. Это отношение суще-
ственно лишь в случае, I(оrда членом, содержащим cos 2 О, можнО пренебречь. Более-тоrо;
наши оценки показывают, что область энерrий от 12 до 15 Мав является I{aK раз наиболее
нсудачной областью для выделения сил Виrнера и Майорана. Любой друrой энерrетиче-
ский интервал (даже при меньших энерrиях) был бы значительно удобнее для этой цели.
2) В отличие от преобраЗ0вания (2.18), которое зависит от применимости борновскоrо
приближения для g(O), сделанное сейчас утверждение справедливо даже в том случае,
если БОРНОВСlюе приближение незанонно.
10 3анаэ Х. 396
/'
,)
8 3. Рассеяние н,ейтрон,ов на протонах при эн,ереиях, превышающих 30 Мэв 147
отнлонение, составляющее примерно 1/3 результата, приведенноrо на фИl'. 31,
не противоречит известным ЭI,спериментальным данным.
Необходимо подчеркнуть, что расхождение между опытом и теорети
ческими преДСI,азаниями, сдеJIaННЫМИ на основе сил Виrнера или МаЙо
рана, может быть уетранено при некоторых предположениях относите.НЬНО
формы потенциаJта. Данные на фиr. 31 получены для потенциала экспо
ненциальноЙ формы, Менее протяженныЙ потенциаJI, например прнмо
уrольной формы, дад бы значитедьно меньшую величину ИНТCI'ра.тlа
(х)
w (r) ,,4 dr ввиду наличия в подинтеrралыюм выражени и множителя r 4 .
о
Так IШI, Шlэффициент при СОБ 2 О В (2.15) пропорционален квадрату ЭТОI'О
интеrрала, то ЕJ.lИяние формы потенциала очень заметно (с ДРУ1'ОЙ стороны,
В сдучае не зависящеrо от формы потенциала приближения д.ля 7 форма
потенциала не В.лияет на Ао или Во). При выборе потенциала пря:моуrоль
ной формы вместо экспоненциальной отношение В 2 / Во будет примерно
в 4. раза меньше приведенноrо на фиr. 31. При этом теоретические пред
СI,азания оказываются в соrласии с опытом в пределах экспериментальных
ошибок даже для: сил Майорана или Виrнера.
Здесь мы встречаемся с трудностыо интерпретации, упомяну'rой во
введении. Теорию можно привести в соrласие с имеющимися сейчас экепе
риментальными данными совершенно различными путями: 1) можно BЫ
брать ДОВОJIЬНО протшненную форму потенциала для одноrо из видов CMe
шаННJ?IХ обменных СИJI [(1,3) или (1.4)]; 2) можно при менять один из типов
обменных СИJI J3ИI'нера или Майорана при условии, что форма потенциала
более компю{тна (мало протяженна). Более подробные сведения о силах,
действующих между протоном и нейтроном, будут подучены из измерений
винтерваде энер1'ИЙ от 20 до 30 Иэв. Приведенные на фиr. 31 данные
ПOI,азывюот, что в этой оБJIaСТИ энерrии I{aK член с СОБ В, тю, и член
е СОБ 2 (j имеют достаточно большие I{оэффициенты и MorYT быть обнаружены
при достиrнутой сейчас точности энсперимента; таким образом, измерение
уrловой зависимости сечения даст больше возможностей судить относи
тельно обменных свойств ядерных сил, нежели подробные измерения: в об
JIасти 12 15 Иэв. Предваритедьные измерения [117,118] при 27 Иэв
иоказывают, что дифференциаJIьное сечение рассеяния имеет заметную зави
СИIlОС'l'Ь от упlOВ.
3. }' АССЕЛНИЕ НЕЙТРОНОВ НА ПРОТОНАХ
ПРИ ШIEРrиях, ПРЕВЫШАЮЩИХ 30 Мэв
l3 предельном С.тJучае очень больших энерrий ожидаемое, соrласно
теории, сечение рассеяния можно изучить бодее просто, рассматривая п()
ведение Фунн:ции g (В), определенной в (2.7). Предподожим, что длина
волны де Бройля в системе центра масс 'л == 1/k мала по сравнению с pa
диусом действия я:дерных сил Ь. l3 подинтеrральном выражении в (2 7)
в скобнах содержится два члена, один из I{OTOPblX: sinKr/Kr является осцид
лирующей фующиеЙ от r, в то время ию, друrоЙ: всеrда имеет один и
тот же знан. Если первыЙ член осциллирует в пределах радиуса действия
ядерных сил, то он вносит очень малый вклад по сравнению со вторым
членом. ПервыЙ член ОСЦИЛJlирует при значениях ", превышающих K l.
Таким образом, первый член в СI{обие (2.7) дает пренебрежимо малый вклаJl:
11 иптеrрал при условии, что
< к == 2k sin .
(3.1)
10*
148
r л. IV. Задача двух тел при больших анереиях
13 предположении kb 1 максимальный уrол, для ROToporo БЫПОJl
няется условие (3.1), OIшзывается настолько малым, что синус можно
'ф и r. :32. Схематическое изображение зависимости от Уl'.1а 6
:амплитуды 1'>ассеЯНИII g (6), не связанной с рассеянием S волны,
ири очень больших энерпIЛХ для обычных сил (сил ВИI'lIера).
,g (е) пмеет резнпЙ мансимум прп е==О и спадает до ПОСТО!IННОЙ отрица-
тельноЙ велпчины при YI'JlaX е> ее, рде 9c kb (k волновое чпсло OTHO
.()птельноI'О двшненпя. Ь радпус деЙСТВИfI ядерных спл). Сплы МаЙора
Jla даЮт таноЙ те результат. но с ЗЮlеноЙ 9 на 7t 9. В с;rучае сил СерОера
печетноЙ части g (9) нет, т. е. gсерб. ==I!2[g(9)+g(7t 9)].
обрааом, lIервыЙ член в С1юБRе Б (2.7)
IlрИ условии, что yroJl рассеяния () пре
вышает Нel{ОТОРЫЙ Rритиче
сниIl уrо,Т[ 6 с , определяемый
выражением
замеНИ1Ъ e1'0 ap1'YMeHToM. Тан:им
дает пренебрежимо малый ВIшад
Рассмотрим СИJlЫ притя
жения ВИl'нера, ДJШ ноторых
функция W (r) положитеJlьна.
При yrJlax 6> 6е функция
g (6) отрицательна и не за
висит от 6, Таи }{Ю{, по опре
р;елеНl1Ю, среднее значение
g (6) по псем направлениям
равно нушо, то упювая за
висимость g (6) от yrJla 6 COB
падает с приведенной на
фИl'. 32. Фазовые сдвиrи о
S волны при этих эперrиях
меньше 1С/2 для обоих спи
новых состояний. ПОJlучаю
щеесн сечение имеет резкий максимум в направлении вперед и спадает при
мерно до постоянной величины при У1'лах 6> ее'
СОl'ласно (2.18), силы Майорана приводят н обратной картине: сечение
имеет реЗ1ШЙ: максимум в направлении назад и спадает примерно до по
етоянной величины при уrлах () < 1с 6 е .
12
10
8
6
:t:
4
2
00
20
40 60 80 100 120 140 160
Энерzuл неtJmронОб , Мэв
Фи 1'. 33. ЭнерrетичеСIШЙ епен:тр нейтронов, иолу
чаlOЩИХСII 13 процееее ерыва при об.'Jучении берИJIJlие
вой мишени ТО.1Iщиной 1,27 С,М дейтронами е энер
rией 190 Мае [334).
Сплошпан ЩJlшап рассчитана по теорип Сербера [683].
ЗнсперпмеН1'альные вначенпп, полученные различными
способами, поназаны заштрихованными ПРНМОУI'ольнинами
и вертинальньшп черточнамп. Существует внаqИТeJIЬНЫЙ
равброс uнерI'ПП нейтронов ополо средней энерI'1I1I 90 Мзв.
1
ОС кЬ .
(32)
,9 3. Рассеян,ие н,ейтрон,ов н,а протон,ах при эн,ереиях, превышающих 3,0 Мэв 149
.>
Э:Rспериментальные данные были получены для неЙтронных пуЧ:RОВ
со «средними» энерrиями О:RОЛО 40, 90 и 260 Иэв [127,334, 430,765].
ЭнерrетичеСI{ИЙ епе:RТР таких нейтронных ПУЧ:RОВ иллюстрирует фиr. 33
[334]. На фиr. 34 приведены Э:Rспериментальные значения сечений в систе
ме центра маес, полученные с этими нейтронами. Точни в верхней части
рнсунка относятся :R энерrии «40 Аfэв» , а в нижней н энерrии «90 Мэв».
3веЗДОЧ:Rами обозначены ередние из имеющихся сейчас значений. Из pac
смотрения фиr. 33 и 34 еJrедует, что возможность детальноrо еопоетавления
20
,
.,..,-.'
о , r'
. '1
. о '1<.Х
А t « O
. {i,
-{z {'l j 8
, о
6.
.
"):
<:l
"1;
1\
7 <f.
> ,
"j,
'18
... 18
..
'"
'1::) 14
...
..,
12
с\)
1O
с\)
с)
=<:
"" В
;:,-
=<: 6
е.
4
":t
2
о
о 20 40 60 Во 100 120 140 160 180
Уzол рассеяния, ерад.
Фи r. 34. Дифференциальное сечение рассеяпия нейтро
нов па протонах в системе центра масс в едини ах 10 27
с.\(2 / сте радиан.
Верхнпе точни получены для нейтронов с энерrией «40 Мае».
нижние для нейтронов с энерrией «90 Мзю,. Отдельные тОЧЮI
при одном и том же уrле получены D раsличных опытах при
раэных энспериментальных условиях. 3веsдочнамп понаsаны
онончательные усредненные 8начения [334].
результатов оПытов и теории весьма сомнительна; имеющиеся данные по
3ВОПЯJOт получить ТОЛЬ:RО начественные заIl:лючения.
Измерялось танже полное сечение
с == dc == I t (6) \2 d(J).
(3.3)
При этом были получены следующие результаты ([190] и др.):
с==(1,7::!:: 0,2).10 25 с.м 2 (Е лаб .==40 Иэв),
с == (7,6 ::!:: 1,0).10 26 с.м 2 (Елаб. == 90 Иэв),
с == (3,8 :1: 0,15) .1([26 с.м 2 (Елаб. == 280 И эв).
(3.4)
(3.5)
(3.5а)
Понажем теперь, что нан уrловое распределение, тан и полное сечение
при энерrии 90 И эв свидетельствуют в пользу предположения о наличии
.бменных сил Сербера (1.4). Рассмотрим сначала уrловое распределение.
150
r л. IV. Задача овух тел при больших эн,ереиях
', .
",
.
1
j
,1
I
d
1
:1
,j
Если бы силы были еилами Виrнера, то сечение при уrлах В> ОС было бы
малым и, rрубо rоворя, не зависело бы от уrла. При энерrии 90 Иэв кри
тичесн:ий уrол ее равен примерно 0,5 радиана. Измеренное энспериментально
сечение имеет качественно друrое поведение: оно быстро растет при уrлах
() :> 1С/2. Таким образом, силы Виrнера отбрасываются, так как они про
тиворечат имеющимся Э}{спериментальным данным. Возрастание сечения
при уrлах О < 700 моЖно использовать для Toro, чтобы исключить силы
Майорана. С друrой стороны, из (2.19) следует, что силы Сербера приводят
I{ сечению, которое симметрично относительно уrла е == 1С/2. Хотя экспери
ментальное сечение не нвляется cTporo симметричным относительно уrла 900,
однако ero поведение позволяет показать, что обменные силы Сербера
дают разумное первое приближение. Подробные расчеты [152] подтверждают
это качественное зю{лючение.
ПОJIНьre сечения при 90 Мэв (3.5) и 280 Мэв (3.5а) весьма малы по
сравнению с преДСI{азываемыми большинством теориЙ. Покажем теперь,
что в случае даНlIоrо потенциала V (r) для S состояния наименьшее воз
можное значение сечения дают обменные силы Сербера. Полное сечение
опредеШlе1'СЯ фОрМУJIaМИ (2.4) и (3.3). Разобьем g (()) снова на четную
и нечетнуlO части, так что
(J == 11+ gчетн. \2 d(J) -i i gнечетн, \2 аш.
(3.6)
Член, содержащий произведение, исчезает, так как ПОДИНТeI'ральное Bыpa
жение ЯВ,1lнетсн нечетной фУНIщией СОБ (). Предположим существование сил
произвольноrо обменноrо характера:
V == (IX + pM) V (r), rде IX + == 11.
(3.7)
ТО1'да силы, действующие в состояниях, отвечающих четным l, непременно
равны СИJIaМ, деЙствующим в S состоянии, так как в состояниях с четным
l рМ == + 1. Тю{ I,Ю, первый интеrрал в (3.6) содержит вклады от состояний,
отвечающих четным [, то ero значение определяется силами, действующими
в S состоянии, Теперь очевидно, что минимальное значение сечения полу
чится, если gнечетн, == О, кан это и имеет место в случае обменных сил
Сербера IX == == 1/2' Эта теорема справедлива как для синrлетноrо, так и для
триплетноrо спиновых состояний и потому справедлива также для наблю
даемоrо сечения.
Таким образом, силы Сербера являются подходящими обменными силами
ДJШ обънснения имеющихся сейчас результатов опытов по рассеянию ней
тронов па протонах при всех энерrиях. С друrой стороны, они совершенно
неУДОВJlетворительны с точки зрения проблемы насыщения. Силы Сербера
ЯВШIIОТСЯ силами притнжения в случае симметричных пар и равны нулю
(а не явлнются силами отташ{ивания) в случае антисимметричных пар.
При полном отсутствии сил отталкивания тяжелые ндра оназываются
неустойчивыми по отношению к стяrиванию. В случае сил притятения
Сербера насыщение отсутствует [293].
Интересно выяснить, совместимы ли сечения с насыщающимися силами,
'1'. е. с силами (3. 7) ( /IX > 4), которые блите Bcero к силам Сербера при
выборе
:;,
-
1
1
i
i
1
1
а.. == 5 '
4
== 5' (насыщающиеся силы).
(3.8)
ОI{азывается [1521, что тание силы противоречат данным, полученным
в опытах при энерrии 90 Мэв. Они не дают роста дифференциальноrо сече
ния, наБЛlOдаемоrо для yrJJOB () > 700, а преДСJ,азываемое полное сечение
s 4. Рассеяпuе протопав па протопах
151
.
оказывается слишком большим при разумных предполотениях о форме
и радиусе потенциала.
В настоящее время сложилось довольно неопределенное полотение.
Обменные си;;rы вводятся для объяснения насыщения ядерных энерrий
связи и ядерныХ плотностей. Поэтому очень хорошо, что данные по pacce
я:нию, полученные при больших энерrиях, не соrласуются с силами Виrнера
и соответствуют обменным силам. Но обменные свойства ядерных сил, дающие
здесь наилучшее СOI'ласие (силы Сербера), не приводят к насыщению. И хотя
для разрешения этоrо противоречия был сделан ряд предположений [411,
412], детальных расчетов рассеяния нейтронов на протонах с каними либо
друrими силами, кроме рассмотренных здесь, пока еще не опуБЛИI{овано.
Приведем теперь некоторые детали, найденные блаrодаря теоретичеСIЮЙ интерпре.
тации данных, полученных при больших энерrиях, в предположении, что силы, дейст-
вующие между протоном и нейтроном, потенниальны [1521:
1. Потенциалы протяженной формы (типа потенциала Юкава или экспоненциальной
формы) дают значительнО лучшее соrласие с опытом, нежели менее размазанные (типа
прямоуrольной формы или rayccoBcKoro потенциала).
2. Форма уrловоrо распределения вблизи 90° указывает па наличие вклада тензор-
ных сил в рассеяние. Чисто центральные силы Сербера дают более плоское (U -образное)
уrловое распределение по сравнению с экспериментами, данные которых более близки
к V-образной форме (см. фиr. 34).
3. Величина триплетноrо радиуса действия, необходимая для объяснения резуль-
татов, полученных при больших эн!!рrиях, находится в соrласии с величиной эффективноrо
триплетноrо радиуса, полученной из анализа данных опытов при малых энерrиях. Из
результатов опытов, полученных при больших энерrиях, следует, что синrлетный радиус
действия должен иметь величину несколько превышающую 2.1 0 13 см, в то время кю, из
результатов опытов при малых энерrиях следует, что величина этоrО радиуса зюшючена
в пределах между 1,5.10 13 и 3.10 lC СМ.
4. Форма потенциала и радиус действия в случае тепзорных сил ш) определяются
однозначно. В частности, чтобы избежать противоречий, необходимо предпоЛОЖИТЬ, что
радиус тензорноrо взаимодействия должен быть приблизительно в 2 раза больше радиуса
действия центральных сил. С друrой стороны, значительно меньший радиус действия тен-
зорных сил по сравнению с радиусом действия центральных сил противоречит величине
квадруиольноrо и маrнитноrО моментов дейтрона (см. rл. П, З 5).
4. РАССЕЯНИЕ ПРОТОНОВ НА ПРОТОНАХ
Блаrодаря тождественности двух протонов число параметров, необхо
димых для описания рассеяния протонов на протонах, заметно уменьшает
ся. В синrлетнОМ рассеянии участвуют тольно четные значения l, а в три
плетном только нечетные значения l. Если пренебречь тензорными силами,
то для н:аждоrо значения момента ноличества движения l необходимо опре
делить тольно один фазовый сдвиr, в то время кан при рассеянии нейтронов
на протонах в случае центральных сил требуется определить два фазовых
сдвиrа для каждоrо значения l.
Измерения рассеяния протонов на протонах были выполнены при энер
rиях 32 Мэв [164, 578] и 340 Мэв [145]. Данные, полученные при энерrии
32 lVJэв, совместимы с ядерным взаимодействием только в S состоянии ([==О).
Такой результат оназывается совершенно неожиданным, тан нак при этой
энерrии должен существовать заме'fНЫЙ внлад рассеяния в p и D состоя
ниях. Возможно, что рассеяние в этих состояниях в действительности имеет
место, однано ВIшады суммируются таким образом, что получается эффект
чистоrо S рассеяния. Опыты по рассеянию при различных энеР1'ИЯХ в интер
вале от 20 до 60 Мэв ПОСJIУЖИЛИ бы провеРJ{ОЙ указанной ВОЗМОЖНОС'Iи, так
J{aII: трудно ожидать, что эффент TaI{OrO взаимноrо влияния p и D состоя
ний на уrловое распределение, имеющиЙ место при энерrии 32 Мэв, coxpa
нится в широком интервале энерrий.
Мотно построить тю{ие силы, которые эффентивно деЙствуют только
в S состоянии И равны нулю во всех остальных состояниях. Однако подобные
152
Fл. IУ. 3аоача овух тел при больших эnереиях
)
силы [см. (111, 3.25)] не являются обменными в обычном смысле слова. Кроме
Toro, мы увидим, что результаты по рассеянию при энерrии 340 Мэв не соrла
суются с этим предполотением.
Данные, полученные при энерrии 32 iИэв, были проанализированы
в предполотении, что обменные силы являются в S состоянии силами притя,.-
жени я [153]. Было обнарутено, что для объяснения результатов опытов
при энерrии 32 Мэв необходимо ввести заметные тензорные силы в 3P co
стоянии. (Тензорные силы не сн:азываются в S , п и друrих состояниях
системы из двух протонов, т3I{ 1Шl{ принцип Паули требует, чтобы
состояния с четным 1 были синrлетными.) Были, однан:о, предлотены и дpy
rие объяснения этих эн:спериментальных данных [411, 412, 141]. Чтобы
отдать предпочтение н:ан:ой либо из предлотенных rипотез, необходимо имеТJ,
более полные эн:спериментальные данные. Из имеющеrося сейчас материала
мотно сделать лишь. следующее, наиболее ватное зан:лючение: весьма
вероятно, что рассеяние протонов на протонах неЛЬ31I описать при помощи сил,
аналоrичных предлотенным для объяснения рассеяния нейтронов на прото
нах. Силы Сербера, дающие возмотность удовлетворительно описать pac
сеяния нейтронов на протонах, не при водят н: соrласию с имеюIЦИМИСЯ дaH
ными по рассеянию протонов на протонах при энерrии 32 Мэв. 3арядовая
независимость ядерных сил, справедливая, по видимому , при малых энер
rиях, вероятно, не имеет места при более высон:их энерrиях.
Обратимся теперь 1{ данным, полученным при энерrии 340 Мэв. В той
области уrлов, rде не существенно н:улоновсн:ое рассеяние, эн:спериментаJ1Ь
но измеренное сечение рассеяния протонов на протонах не зависит от уrла
рассеяния и имеет величину [146]
da==(4,O::l: 0,4).10 27 с.м 2 /стерадиа1l. (4.1)
Это сечение слишн:ом велин:о, чтобы ero мотно было объяснить при помощи
предполотения о наличии взаимодействия тольн:о в S состоянии. В этом
-случае ман:симаJ1ЬНО возмотное сечение дается выражением
da == '1..2 dш (в случае S волны), (4.2)
I'де 7I.==1/k длина волны де Бройля в системе центра масс. При энерrии
340 Мэв следует ожидать, что сечение будет заметно меньше этой манси
мальной величины (н:оторая соответствует фазовому сдвиrу S волны 00==;;/2).
Однан:о при тан:ой энерrии в лабораторноЙ системе длина волны 71. равна
примерно 5.10.14 с.м. Следовательно, экспери.менталыюе сечение оказывается
почти в 2 раза больше .максимально вО8.iltОЖflоео сечения рассеяния S волны.
Тан:им образом, силы (111, 3.25) исн:лючаются данными, полученными при
340 Мэв, дате если они соrласуются с результатами опытов при 32. Мэе.
Были попытн:и объяснить результаты, полученные при энерrии 340 Мэв,
при помощи обменных сил типа сил Сербера в случае потенциала притятения
(отрицательноrо) [153]. Обычные формы потенциалов приводят н: теоретиче
СН:ИМ результатам, не имеющим н:ачественноrо соrласия с сечением при
энерrии 340 Мэв. В прометуточной области уrлов теоретичеСЮIе сечения
приблизительно не зависят от уrлов, но по абсолютному значению они на
порядш{ величины меньше Э1{спериментальных. Это обстоятельство мотно
рассматривать 1{31{ ун:азание на несп,раведливость предположения о заря
довой независимости ядерных сил.
Был предпринят ряд понытOJ, объяснить тан:ое поведение рассеяния
протонов на протонах при больших энеР1'ИЯХ при помощи новых типов сил.
Для соrласования различных данных ИСПОJIьзовались сильно синrулярные
тензорные силы [153]. Для объяснения большоrо сферичесн:и симмеТРИЧllоrо
рассеяния, найденноrо при энерrии 340 Мэв, предлаrались большие силы
оттаЛJ\ивания, действие н:оторых сн:азывается тольн:о при очень тесном сбли
(',:,;: '
Обозначения
153;
жении протонов [411, 412]. Предлаrалось тан:же третье объяснение [141]"
основанное на наличии сил, н:оторые уже не являются потенциальными. Эти
зависящие от сн:орости силы учитывают взаимодействие спина с орбитой.
Только дальнейшее нан:опление эн:спериментальноrо материала позволит"
решить, н:ан:оlI из ун:азанных выборов правилен.
Общим ДJIЯ всех попытон: объяснения ЭI{спериментальных данных
является предположение о существовании очень СИЛЬНО1'0 взаимодействия
двух протонов на расстояниях порядн:а 10 13 см или меньше. Может OIшзаться,
что эти обычные представления имеют важное значение п в совершенно иных.
случаях.
«
аз
«t
А.
Al
Az
liI
В.
Bl
8.
da
(da);
(da)t
dro
! Е
. Е лао .
t
; / (О)
I 1
,
j
I т.
1 /;
fr
g (О)
gчетн.
gM (О)
gнечетн.
1
' gиr (О)
, k
k ИОН .
-,.. k нач .
К
l
ji
'1 м
Х/ рМ
r
ОБОЗНАЧЕНИЯ
ДJIИна рассеЮIlШ (9 2).
длина рассеяния в сиН!'летном сниновом состоянии (9 2).
длина рассеяния в триплетном спиново'м состоянии (9 2).
изотропная часть дифференциальноrо сечения рассеяния da (Ао == 1/12) (2.12),
(2.1:3).
ноэффициоllТ при COS О н dcr (2.12), (2.14).
коэффиционт при cos 2 О n da (2.12), (2.15).
радиус действня ядерных сил (9 2).
изотропная часть наблюдаемоrо дифференциальноrо сечония раСССЯlllIН (2.16).
lшэффициент при cos О в наблюдаемом дифференциальном сечении pacce
яния (2.16).
коэффициент при cos z О в наблюдасмом дифференциаJIЫН1М се'IС!llШ pacce
яния (2.16).
дифференциальное сечение рассеяния (2.8).
дифференциальное сечение рассеяния в синrлетном спиновом состоянии (2'.16).
дифференциальное сечение рассеяния в триплетном спиновом состоянии (2.16).
элемент телесноrо уrла (2.5).
эперrия относительноrо движения (9 2).
энерrия нейтрона в лабор торной системе Iшординат (Е лаб . == 2Е) (9 2).
амплитуда рассеяния (2. !).
cpeДHee значение амплитуды рассеяния / (О) [S==S BOJIНa в / (О)] (2.4), (2..5).
значенио т при Е==О (9 2).
мнимая часть Т (2.11).
действительнан часть т (2.10).
часть / (О), не связанная с рассеяниом S-волны [g (0)==/ (O) f] (2.4), (2.7).
1
=="7)[g(O)+g(1t O)] (2.17).
'"
величина g (О) в случае сил Майорана (2.18).
1
==2[g(0) g(1t 0)] (2.17).
величина g (О) n случае сил Виrнера (2.18).
волновое число относительноrо движения (9 1).
волновой вектор относительноrо движения после столнновения (2.3).
волновой вектор относительноrо движения до столкновения (2.3).
==ikHoH. kHaq.1 (2.1), (2.3).
I,BaHTOBoe число момента Iшличестпа движения ( 1).
' Macca НУIшона (2.2).
обмснный оператор J\'lайорана (9 1).
расстояние мсжду двумя частицами ( 1).
О
О,;
О/
О
ОС
А
['.
154
r л. /У. 3аоача овух тел при больших эnереиях
/'01
V
W(r)
z
эффеl{ТИВНЫЙ радиус для рассеяния в триплетном спиновом состоянии ( 2),
потенциал ядерных сил ( 1).
== (M/п2) V (r) '(2.1), (2.2).
проеl{ЦИЯ расстояния между частицами на напраВШJНие падающеrо пучка ( 2).
коэффициент при виrнеРОВСl{ОЙ части потенциала V (1.3).
коэффициент при майораНОВСl{ОЙ части ПОТЕ>llциала V (1.3):
фазопый сдпиr S волны (2.10), (2.11).
фазовый СДБиr S волны в синrлетном спиновом соС'Тоннии ( 2).
фазовый сдвиr S волны в триплетпом СПИlIOВ()М состоннии ( 2)
уrол рассенния в системе центра масс ( 2).
Rритичесний уrол рассеяния при больших ЭIIерrиях; при О > О dr;; врибл.
зительно не зависит от О (3.2).
деЛ(>lПIая на 2п ДJIИIШ ВОШIЫ де БрОЙJIЯ, отвечающая относительному дввже
нию (A==k l) ( 1).
приведенная масса (f'- lИ) (2.2).
ПОЛIIое сечение рассеяния (3.:\).
а
r;;
.
"
...
rлава v
3АДА ЧИ ТРЕХ И ЧЕТЫРЕХ ТЕЛ
s 1. ВВЕДЕНИЕ
Исследование задач трех и четырех тел имело большое значение для
ядерной физин:и. В 1933 r. в своей важной работе по энерrии связи а частицы
Виrнер [803] пон:азал, что ядерные. силы имеют малый радиус деЙствия и
очень велики в пределах этоrо радиуса. Величина радиуса действия ядерных
сил была оценена по энерrиям связи тритона и а частицы еще до 1'01'0, нан
из экспериментов по рассеянию стало возможно извлечь н:аI{ие либо уназа
ния на этот счет. В частности, в 1935 r., ноrда эн:сперименты по рассеянию
нейтронов на протонах еще полностью соrласовались с предположением
о нулевом радиусе действия ядерных сил, а энспериментов по рассеянию
протонов на протонах вообще еще не существовало, было показано [735],
что ядерные силы не MorYT иметь нулевой радиус действия. Было танже
показано, что если радиус сил, действующих метду нейтроном и протоном,
считать очень малым, а величину этих сил выбрать тан:ой, ноторая объяс
нила бы энерrию связи дейтрона, то можно получить очень большое значение
для энерrии связи тритона даже в предполотении, что два нейтрона в три
тоне вообще не притяrивают друr друrа. Действительно, беря достаточно
малый радиус действия сил, можно получить произвольно БОJlьшие значе
ния для энерrии связи тритона.
Исследование задачи трех и четырех TeJI позволило бы нам в принципе
оценить важность мноrочастичных сил в ядрах 1 ). Если бы мы знали силы,
действующие между двумя нун:лонами, мы моrли бы в предположении, что
имеются только парные силы, решить волновые уравнения для трех и четы
рех тел. Если бы полученные тан:им путем результаты оназались в соrласии
е эн:спериментальными данными, рассмотрение мноrочастичных сил стало бы
ненужным; однан:о отсутствие соrласия с эн:спериментом rоворило бы о том,
что мноrочастичные силы долтны существовать.
К сожалению, дело не тан: просто и ясно.
Во первых, мы не настолы{o хорошо знаем силы, действующие между
двумя нун:лонами, чтобы CTporo сформулировать задачи трех и четырех
тел. В противоположность задаче двух тел при малых энерrиях, задачи
трех и четырех тел чувствительны н: более тонн:им особенностям ядерных
сил, таним н:ан форма потенциала и относительная величина тензорных и
центральных сил в триплетном спиновом состоянии. Имеется, однако, и одно
облеrчающее обстоятельство: задачи, рассматриваемые в этой rлаве, не слиш
н:ом чувствительны к обменному характеру ядернЫХ сил. Тритон и а частица
предстаВJIЯЮТ собой плотно упан:ованные системы, волновая фунн:ция HOTO
рых симметрична, насн:ольно это возможно, чтобы наилучшим образом
использовать н:оротн:одействующий характер ядерных сил. Поэтому эффен:
"
I
1) В работах [410,606], исх()дн И3 \IС30!IНЫХ теорий, даны оцснки длн трсхчастич,
ных СИJI.
"
156
r л. V. 3аоачи трех и четырех тел
тивным взаимодействием в указанных ядрах является взаимодействие в сим
метричных состояниях, тан: что силы Майорана при водят почти н: тем те-
результатам, что и силы Виrнера. С друrой стороны, из рассмотрения OCHOB
ных состояний тритона и а частицы мы ничеrо не можем узнать об обмеННОR
природе ядерных сил.
BO BTOpЫX, дате зная точно харан:тер сил, действующих между двумя
нун:лонами, мы встретились бы со значительными трудностями. Математиче
сное рассмотрение систем из трех и четырех тел связано с большими TPYДHO
стями, если силы центральные, и с практически непреодолимыми трудностя
ми, если силы тензорные. Не существует .простых приближений, н:оторые
приводили бы 1\ надетным результатам. Мы должны прибеrать н: помощи
слотных и утомительных вариационных методов вроде тех, н:оторые исполь
зовались в работе [396] при исследовании атомной задачи трех тел (атома
rелия). Хотя задача в принципе ставится просто, необходимые вычисления
при имеющейся свободе выбора параметров взаимодействия требуют (при
обычном вычислении) ДЛИТСJIЬНОI'О времени.
В третьих, теория расс\'яния и реаI\ЦИЙ в системе из трех и четырех тел
не развита еще даже схематичесн:и в Сl{ольн:о нибудъ удовлетворительной
форме. Хотя имеется обширный эн:спериментальный материал по рассеянию
протонов на дейтронах, мы ВСС еще не мотем использовать ::JТИ сведения для
Toro, чтобы узнать что либо относительно ядерных сил. Проделанные до
сих пор вычисления оппралиr,ь на приближения, справедливость н:оторых
сомнительн а.
В четвертых, есть основания полаrать, что релятивистсн:ие поправки
в задаЧ0- трех и четырех тел более существенны, чем в задаче двух тел (при
исследовании дейтрона) [219, 607]. Тритон и а частица связаны rораздо более
прочно, чем дейтрон. Нун:лоны в этих ядрах находятся блите друr н: друrу
и имеют соответственно большую Iшнетичесн:ую энерrию. Точно оценить
реЛЯТИВИСТСIше попраВIШ очень трудно; эти попраВI\И MorYT изменить вычис-
ленное значение энеРI'ИИ связи тритона на 10 20% в обе стороны; для а ча
стицы влияние реЛЯТИВИСТСI\ИХ попраВОI\ еще более значительно. Поэтому'
нельзя надеяться на лучшее соrласие нерелятивистсн:ой теории с эн:спери
ментом, чем в пределах 10%.
Задачи трех и четырех тел представляют широн:ое поле для исследо
ваний. В имеющихся экспериментальных данных содертится, по видимому >
множество сведениЙ о ядерных силах, но мы не имеем пон:а средств для
извлечения этих сведений.
s 2. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ТРИТОНА;
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИДЫ
Волновая фунн:ция тритона выбирается таl\, чтобы наилучшим образом
использовать коротн:одействующий характер сил притяжения метду тремя
парами частиц. Это лучше Bcero достиrается, если волновая функция но
имеет нулей. Для любых двух частиц, сближенных до расстояния, на Н:OTO
ром действуют ядерные силы, волновая фующия долтна быть веЛИl\а. Кроме
Toro, она должна быть по возможности '['ладн:ой, чтобы l\инетичеСl\ая энерrия
была минимальной. Поэтому мы будем предполаrать, что волновая фунн:ция
OCHoBHoro состояния тритона симметрична относительнО перестановн:и про
странственных l{оординат любой пары частиц. Если бы состояние было антИ
симметричным по отношению н: перестановн:е пространственных н:оординат
двух частиц, например частицы 1 и частицы 2, то мы имели бы ЧТ;:::О при
r 1 ==r 2 и волнован фУНI\ЦИЯ W была бы близн:а н: нулю на расстояниях порядн:а
длины волны де Бройля 'ti. (см. l'Л. 1, S 8). Так I,aH в тритоне 'ti. равняется по
порядну величины радиусу дейстпия ядерных сил, частицы 1 и 2 большую
8 2. Основное состояние тритона; центральные силы
157
часть времени не воздействовали бы друr на друrа. Энерrетически это было бы
,очень невыrодно. Поэтому следует отидать, что антисимметричная вол
новая фунн:ция не дает OCHoBHoro состояния тритона. Н'роме Toro, в анти
.симметричном состоянии ВОЗНИl{ают трудности с юшетичеС1\ОЙ энерrией.
l{инетичесн:ая энерrия увеличивается при быстрых вариациях волновой
,фующии. Антисимметричная волновая функция при r 1 == r 2 изменяется CKO
рее, чем симметричная. Тан:им образом, в антисимметричном состоянии по
сравнению с симметричным не тольн:о уменьшается потенциальная энеРI'ИЯ,
но и увеличивается н:инетичесн:ая энерrия.
Симметрия волновой фунн:ции OCHoBHoro состояния ведет 1\ двум нослед
.ствиям: ВО lIервых, в соответствии с принципом Паули два нейтрона должны
иметь противоположные спины (см. rл. 1, g 8); BO BTOpЫX, В тан:ом состояниИ
-обменные силы Майорана нельзя отличить от обычных, необменных сил (сил
Виrнера), 1I0ТОМУ что собственное значение обменноrо оператора Майорана
равно +1 для н:аждой пары частиц1).
Посн:ольку спины нейтронов ориентированы НРОТИВОllOJIОЖНО, спин
тритона равен СlIИНУ протона: S == 1/2 (в спеl{троскопичеен:их обозначениях
,()сновпое состояние тритона есть в rлавной своей части дублетное состояние).
"Требование отсутствия нулей У волновой функции дает для орбитальноrо
момента н:оличества движения значение L==O. Следовательно, ПОJШЫЙ момент
ноличествадвнженин тритона 1 (спин тритона) равен 1/2 и определяется спи
иом протона. Маrнитный момент тритона должен равняТl,СЯ маrпитному
моменту изолированноrо протона (мю'нитные моменты двух нейтронов
взаимно уничтожаются, тап: нак спины нейтронов ориентированы противо
полотно, а орбитальныЙ момент н:оличества движения равен нулю). Оба эти
преДСl{азания очень хорошо подтвертдаются на опыте: спин тритона равен
половине, а маПIИТНЫЙ момент f1==2,98 ядерных MarHeTOHa [195, 559, 81, 10].
Небольшое различие между :Маrнитным моментом тритона и маrнитным
моментом протона, равным [1==2,79 ядерных MarHeToHa, обычно объясняется
.IюллеRТИВНЫМИ эффектами, I,oTopble мы здесь не рассматриваем (см. rл. VI).
Можно было бы думать, что для вычислениЙ. существенна спиновая зави
<симость ядерных сил. ОДНЮ,О в первом приближении единственноЙ величи
ной, существенной для задачи тритона, является среднее от ядерных сил
но двум спиновым состояниям (триплетному и сию'летному). Чтобы доназать
.это, примем, что волновая функция симметрична относительно перестановки
пространственных н:оординат Jlюбых двух нунлопов. Будем танже слитать,
'Что ядерные силы зависят от спина, но являются зарядово независимыми,
т. е. взаимодействие двух нейтронов равно (в СИНl'летном состоянии) взаимо
.действиЮ нейтрона с протоном. При наших предположениях относительно
ВОЛНОВОЙ фупн:ции верЬяТНОСТЬ обнаружить два нуклона с параллельпыми
,спинами (триплетное состояние) на заданном расстоянии ДРУl' от друrа равна
вероятности обнаружить на том же расстоянии друr от друrа два 1Jунлона
,с противоположно направленными Сllинами (сиш'летное 'состояние). Далее,
потенциальная энерrия НЮ, ФУНIЩИЯ расстояния зависит ТОJIЫЮ от относи
тельноЙ ориентации СIlIIIIОВ и не зависит от Toro, одиню,овые или разные
'ЧастИЦЫ сщ;тавляют пару2).
1) Конечно, оба эти УТВСРilщеllИП СllравеДJIИВЫ толы,о ПРllБJIШШ'llllO. Если СИЛЫ
между наждой парой частиц но }iВ:ШIOТСП сопсршенно одинановыми (а п дrйствительности
они не одинановы), то волновая фушщип OCIIOBHoro состошшя содержит MaJJLIe примеси
менее симметричных состояний. Однано, ню{ понаЗЫjJaIОТ паши доводы, эти примеси OTHO
сительно неСУЩССТDОННЫ, тю, что МЫ по будем их учитьшать при нашем Iшчествснпом pac
,смотрении.
2) Вероятно, уместно будет напомнить, что в этом нарю'рафе мы ИСЮIlочае I из pac
>смотрения теНЗ0рные силы. Зависящие от спина силы, о ноторых идет рсчь, этО силы
"Типа (G 1 G 2 ), а не теНЗ0рные силы.
158
rл. v. 3аоачи трех и четырех тел
Тан:им образом, вн:лады синrлетных и триплетных пар в полную потен
циальную энерrию прямо пропорциональны числу пар н:атдOl'О сорта.
Поэтому нам следует сосчитать число сию'летных и триплетных пар. Два ней
трона образуют синrлетную пару (по принципу Паули). Нейтрон и протон
со спинами, направленными (<вверх», образуют триплетную пару. Остаю
щаяся пара (нейтрон со спином (<вниз» и протон СО спином <<вверх») должна
рассматриваться I\aJ, наполовину триплетная, наполовину синrлетная 1 ).
Следовательно, в тритоне имеется равное число (3/2) триплетных и СИН
rлетных нар. Поэтому эффективная потенциальная энерrия между н:атдой
парой частиц рапна
,
.
.
.;
.-:
1 .
V зфф (r) == "2 [V t (r) I V s (r)].
(2.1)
Разумеется, это тольн:о первое приближение. Силы в трипле ном состоя
нии больше, чем в синrлетном (см. rJJ. 11), и волновая фующия должна
отражать фант большеrо притятения в триплетном состоянии. Вероятность
обнаружить на малых расстояниях триплетную пару несн:ольн:о больше, чем
вероятность обнарутить на тех те расстояниях синrлетную пару. Кроме-
'roro, действительная волновая функция не полностью симметрична относи
тельно перестаноВI,И пространственных н:оординат всех пар частиц. Это,
однако, дает только малые поправки, особенно по сравнению с теми изме
нениями, н:оторые вносит учет тензорных сил. В той степени, в н:ан:ой спра
ведливо приблитение (2.1), мы из рассмотрения OCHoBHoro состояния три
тона не можем сделать нинан:их выводов относительно спиновой зависимости
ядерных сил.
Перейдем теперь н: обсуждению результатов теоретичеСIШХ расчетов
энерrии связи тритона в предполотении центральноrо харантера ядерных
сил. Это обсутдение rораздо проще наших предыдущих рассутдений. Bo
первых, мы теперь знаем, что для нашей задачи существенны тензорные силы.
Поэтому при расчетах с чисто центральными силами нам не следует l'наться
за большоЙ точностью. Мы будем пользоваться I'рубыми приближениями,
ноторые значительно обле1'чают вычисления. При этом мы не придем н н:аче
ственно неперным зан:лючениям, 1l0CKOJIbHY нас интересуют тодьн:о тан:ие
начественные результаты, н:оторые, н:ан можно ожидать, не будут изменены
учетом тензорных сил. BO BTOpЫX, при исследовании формы потенциала
в основном состоянии тритона мы можем воспользоваться понятием эффен:
ТИВноrо радиуса, ноторое мы ввели в rл. 11, S 3. Это позволит нам определить
харантеристичесн:ий радиус действия {) для потенциала любой формы таним
обрааом, Ч'rобы два потенциала различной формы, но с одиню,овыми xapaH ;j
теристичесн:ими радиусами действия в задаче двух тел оназывались во MHo 1
rOM ЭIшивалентными. В третьих, мы воспользуемся простым выражением
Фешбаха 2 ) для пробной волновой фунrщии тритона, н:оторое позволяет беЗ: , . ,j",, ! .'
особых усилий получить в задаче тритона н:ачественно верные результаты. .
13 первую очередь рассмотрим потенциал эн:споненциальной формы
и потенциал Юкава (определения и обозначения см. в rл. 11, S 2). Большое 1
ноличество теоретичесн:их расчетов провеДе!IО тю,те с rayccoBcHIQ1: потенциа 1
1) ДОl{ажем это утверждеНИе. Спиновая часть волновой фУНl{ЦИИ, описывающей
протон со спином (<вверх» и нейтрон со СПИНОМ (<ВIlИ3», ЕСтЬ а(р) р(п), rде а обоО!нача('т, что
спин направлРн вверх, а р что спин направлен вниз. Мы можем написать
а (р) р (п) == 1/2 [а (р) р (п) + р (р) а (п)] + 1/2 [а (р) р (п) р (р) а (п)].
В таl<ОМ написании первый член соответствует триплстному состоянию, второй синrлст
иому. посl{олы{y l{оэффициенты при обоих этих членах равны, пару следует считать
наполовину ТРИllЛСТНОЙ, наполовину еИRl'летной.
!) Частное сообщение.
.
!
1
j
i
,
'
s 2. Осповпое состояпие тритопа; цептрал,ьпые силы
159
лом [218, 220, 259, 509, 510, 724, 725]. Одню{о в задаче двух тел при ис
пользовании rayccoBcKoro потенциала с одним и тем же значением xapa
н:теристичесн:оrо радиуса действия Ь для синrлетноrо и триплетноrо состоя
ний оказывается невозмотным объяснить имеlOщиеся данные. Использова
ние же двух различных значений характеристичесноrо радиуса действия
значительно услотняет вычисления. ПОСI{ОJIЬКУ нас интересуют тольн:о
н:ачественные результаты, мы вообще не будем вводить rayccoBCHoro потен
циала.
Наиболее употребительным методом решения задачи тритона является
вариационный метод Ритца. Вычислим математичесн:ое отидание энеРI'ИИ
при помощи следующеrо выражения для волновой функции тритона (пред
JlOmeHHOro Фешбахом):
1
\те 2 Х(I"12+rlз+r23)
'!; ==Ne ,
(2.2)
rде 1( нен:оторый параметр, выбираемый тан:, чтобы значение энорrии было
уинимаJIЬНЫМ, r12 расстояние метду частицами 1 и 2 и т. д. Нормировочный
uножитель N имеет вид
N == V f 1(3.
(2.3)
Спиновые фующии частиц выписывать не нужно, тан нан мы JIош>зуеМСR
«эффентивным» потенциалом (2.1). .
Вычисление средних значений н:инетичесной и потенциальной энерrий
с помощью тан:ой волновой Фунн:ции проводится непосредственно [585, 586].
В результате имеем
Кинетичесная энерrия
15 п 2 %2
== 14 'lIТ '
(2.4)
rде М Macca НУ1шона. ИСlIользуа обычныо выражения ДШ1 1l0тенциала
экспоненциальной формы и потенциала Юкава (Н, 2.12; П, 2.13), находим
Потенциальная энерrl1Я == V()! (1( ), (2.5)
еде параметр радиуса деЙствия, и
Э ( Х ) 3 [ ( Х ) ( х ) 2 ]
! (.1' ) === 2 + 3 + 2
7 .Х + 1 Х + 1 Х + 1
(2Ji)
ДЛЯ ПО'l'енпиала ЭI{споненциа.пьноЙ формы и
24 Х3 [ ( Х ) ( Х ) 2 ]
!(X)==7 (2х+l)2 1+2 2х+l +2 2х+1
(2.7)
для потенциала Юн:ава. Мы должны найти тю{оо значение х, I{OTopoe обра
щает в минимум полную энерrию [сумму выратений (2.4) и (2.5)] и подставиТJ,
это значение в приведенные формулы. Искомое значение можно довольно
просто определить численно. Чтобы сравнить результаты для двух потонциа
лов, введем вместо параметра радиуса действия и rлубины потенциала V o
характеристичесн:ий радиус Ь [см. (11,2.19) и (11,2.20)] и парамотр rлубины
потенциала 8 [см. (11,2.16) и (11.2.17)]. В новых переменных результаты
lIычислений MorYT быть записаны в следующем виде:
Кинетичесная энерrиа
п 2 ,
== МЬ2 1 (8),
(2.8)
160
r л. V. 3аоачи треж и Ч8тыреж тел
ПотенциаJIьнан энеРI'ИЯ
(2.9)
п 2
== МЬ 2 V (8),
п 2 1 2 "
== МЬ 2 В (8) =" МЬ 2 [V (8) 1 (8)],
.['де 1'(8), V(8) и В(8) медленно меняющиеся фунн:ции параметра I'лубины
потенциала 8. 8ти фунн:ции изобратены на фиr. 35 для обоих видов потенциа
ла и разумных значениЙ параметра 8 (напомним, что потенциал с 8== 1 дает
.силы, едва достаточные для получения СВЯJаююrо состояния дейтрона).
Рассмотрим зависимость энерrии связи В от радиуса деЙствия ядерных
.(;ил Ь. В пределе, н:оrда Ь-----+О, значение параметра rлубины потенциала 8,
необходимое для объяснения
синrлетнои длины рассеяния
нейтронов на протонах и энер
l'ИИ связи дейтрона (триплетное
состояние), бли31,О н единице.
Поснольн:у В (8) при стремлении
8 н единицо не стремится н HY
JIЮ, формула (2.10) пон:азывает,
что энерrия связи трит на об
ратно пропорциональна радиусу
действия ядерных СИJI. Иными
словами, потенциал, правильно
описывающий энерrию связи
дейтрона и синrлетную длину
рассеяния нейтронов на прото
нпх, может дать очень большую
энерrию связи тритона, если pa
диус действия выбрать очень
малым. В пределе, при CTpeM
лении радиуса действия н нулю,
энеРI'ИЯ связи тритона CTaHO
вится бесн:онечноЙ. Следователь
но, мы должны считать, что
О радиус действии ядерных сил
0,90 0,95 1,00 1.05 1.10 1,15 1,20 1.25 1,30 l{онечон. 81'01' вывод является
s rораздо менее общим, чем BЫ
вод, сдоланный n работе [735],
по следующим причинам: 1) мы
оrраничились частными видами
Ilотенциала, в то время IШН в
работе [735] не содержится
предположения о деталях ЗaJ,О
на действия сил; 2) мы приня
ли, что сила ПРИ'fяжения Me
жду двумя неЙтронами имеет
ту же величину, что и сила метду нейтроном и протоном (в синrлет
IIОМ состоянии), в то время н:ю, работа [735] исходит из предположения об
отсутствии притяжения между двумя нейтронами. Если бы мы считали, что.
два неЙтрона не иритяrиваются, нам пришлось бы умножить V (8) на 2/3.
Тота для 8== 1 мы мOI'ЛИ бы но получить СВЯЗЮIlIOl'О состояния [В(8) было бы
отрицательно] .
Сравноние розулr,татоl3, изображенных на фю'. 35, с очень точными
J3ЫЧИСJIеllИЯМИ, проделанными в работе [619] (потенциал эн:сноненциальной
формы с хараI,теристичеСI\ИМ радиусом действия Ь==3,О6 .10 13 см), а танже
с вычислениями в работах [121, 122] (потенциаJI Юнава с харан:теристиче-
Энерrия связи
20
18
14
16
12
10
13
"
"
....
........""V(S)
....
....
....
,..,..-' /"'" -'"....... "-'7(5)
"
....
i3
4
........
..........
2
<ф И ['. :)5. 1I01'Е'lIциалыlяя ЭНЕ'рrип T (s), КИIIети
'1ССIШЯ Эllсрrия l' (s) н ЭIIЕ'рrип связи В (s) три-
'j'OIIa (в оДиницах 1 2/Mb2, ['ДС Ь радиус дейст
вия ЯДОрНЫХ сил) n зависимости от параметра
I'Jlубины s ДЛИ ДВУХ I10тенциаJlОП: потенциала
j()KaBa (сплошныс кривые) п потенциала эксно
непцна:IЫlOИ фUр IЫ (НУ[II{ТИРllые I\РИПЫС).
.I<l'JIубониii,) потенциал Юнана стнrивае'f систему н
нентр)', давав большие значснпн нинетичесноЙ и По
ТСIЩИ3JIьноii энсрrIIII.
t
(2.10)
'1
J
.1
:1
;
,
j
'4
,
,'1
j
.
:1
.
1
2. Основное состо:;,Ние тритона; центральные силы
161
ским радиусом действия b==3,89.10 13 см), поназывает, что при таних боль
ших значениях радиуса деЙствия 1) волнован фующия (2.2) дает более
90% величины энеРПIИ свнзп. Поэтому можно предположить, что I\аче
стнепные реаУJILтаты, полученные с полно воЙ фушщиеii (2.2), заслуживают
доверия и для значений Ь, более соответствующих данным, известным
нз задачи двух тел (b 2,5. 10 13 см).
о 2,6 О
2 0.1
4 0.2
6 Q3
::
8 0.4
'"
..Q
10 Q5
72 Q6
18
ф 11 r. 36. Потенциал Юкава и потенциал ЭНСП[)IIе!щиаль
ной формы в зависимости от расстояния r между части
цами.
Оба изображенных потеНциала имеют ра вные хараптеристичеспие
радиусы действия Ь и параметры I'лубины s. Абсцисса r ОТЛО1Не
на в единицах Ь. ордината в произвольных единицах. Заметно
сильное падение потенциала Юпава (<<I'лубоний» потенциал) при
т/Ь<О ,2. Ордината отсчитьшается по левой шнале при т/Ь<1 ,1
и по правой шпале при r/b>l, 1.
Рассмотрим подробнее I\ривые фиr. 35. rрафин: ПОI\азывает, что энерrия
связи есть малая разность двух больших величин (потенциальной и н:инети
чеСJ,ОЙ энерrиЙ). Аналоrичное полотение имеет место в основном состоянии
дейтрона, ;за ИСI,лючением Toro, что для тритона отношение потенциальной
эперrии 1": энерrии связи неснолы\o меньше, чем для БOJJее слабо спязанноrо
дейтрона.
Отметим харю,,:терную разницу метду резуш,татами пычислеиий с потен
цпалом К)н:ава и с llотенциалом ЭI\споненциальной формы. Ню, потенциальная,
1) Выиор столь больших значений частично оправдан тем, что ряд работ по лепшм
ядрам основан на этих ЗJшченипх нараметров [398, 511 513, Э91, 556]. Из за неверной
веJ!ИЧИИЫ ра;Цlуса действия, нрнме!lявшейся в ВЫЧИСЛО!lИПХ, невозможно обсуждать эти
работы с !Н)/[ичествр!шой сторопы
11 Занзз А' :!96
162
r л. V. Задачи трех и четырех тел
.'
f
r'.
r
t
cl
r. '.
тан: и кинетичесн:ая энерrия в случае потенциала Юкава rораздо больше,
чем во втором случае при том же характеристичесн:ом радиусе действия Ъ
[405]. Тан:ой результат допусн:ает прОСТУЮ интерпретацию. Потенциал Юн:ава
простирается на большие расстояния и rлубина ero при r==O, больше, чем
У потенциала эн:споненциальной формы. Это пон:азано на фиr. 36, rде мы
изобразили потенциал ЮI\ава и потенциал ЭI{споненциальной формы с тем же
характеристичесн:им радиусом действия и тем же значением параметра rлуби
ны (8==1). Волновая фунн:ция тритона (<подrоняется» к области сильноrо
притяжения потенциала Юн:ава, и система в потенциале Юн:ава «сидит rлуб
же», чем в потенциале эн:споненциальной формы. Например, значение 1(., Н:OTO
рое обращает в минимум энерrию при 8==1, равно для потенциала экспонен
циальной формы 1,90/Ь, а для потенциала Юн:ава 2,49/Ь. Это означает, что
в потенциале Юн:ава система находится примерно на 30 % rлубже, чем в потен
циале Э!{споненциальной формы при том же характеРИС'l:ичесн:ом pa
диусе.
Результаты вычислений с «rлубоким» потенциалом (наподобие потенциа
ла Юкава) более сомнительны, чем результаты вычислений с менее синrуляр
ными потенциалами, по следующим причинам:
1. Энерrия связи есть малая разность больших величин. Поэтому, чтобы
получить надежное значение энерrии связи, нужна большая точность
в определении как кинетической, так и потенциальной энерrии.
2. Менее тривиальной причиной ошибон: MorYT оназаться релятивистские
I10правн:и. Для разумной rлубины потенциала (т. е. для области значения
между 1 и 1,2) отношение кинетической энерrии R энерrии связи зюшючено
метду 6 и 10. Таким образом, энерrии связи в 8,5 Мэв в случае потенциала
Юкава соответствует кинетическая энерrия 50 85 М эв. При таких энерrиях
релятивистсн:ие поправки MorYT оказаться существенными (10 20% энер
rии связи).
3. Если ядерные силы зависят от скорости, то необходимы большие по
праВRИ н: вычислениям с rлубокими потенциалами.
Попытаемся теперь определить теоретическое значен е энерrии связи
тритона, исходя из ядерных сил, приблизительно соответствующИХ данным
задачи двух тел (нет необходимости точнО подrонять результаты, ибо мы не
учитываем тен;орных сил). Выберем тю{ой радиус действия, который объяс
нял бы данные по рассеянию протонов на протонах, и таRие значения
rлубины потенциалов в синrлетном и ТРИПJlетном состояниях, которые соrла
совывались бы соответственно с длиной рассеяния протонов на протонах
и величинОй энерrии связи дейтрона. Такая подrонка автоматически дает
почти правильную величину rлубины потенциала для сил, действующих
между нейтроном и протоном в синrлетном состоянии (см. обсуждение зарЯДО
вой независимости в rл. 1, 4), а также разумное значение триплетноrо
эффективноrо радиуса rot. Для потенциала экспоненциальной формы пара
метры тю{овы:
b==2,51.10 13 см 1
8, == 0,905 (синrлетное состояние)
8t == 1,449 (триплетное состояние)
8 == 1,177 (среднее' значение)
(потенциал экспонен
циальной <IlOpMbl).
(2.11)
t
>'
.
t; ,
f'
.
I .
/
t
I
I
Постоянные для триплетноrо взаимодействия соответствуют эффекти
БНОМУ радИУСу rot==1,77 .10 13 см. Это значение очень близко к эксперимен I
Т8.льному. Выражения (2.10), (2.11) и фиr. 35 дают следующее значение
эиеvrии связи для потенциала экспоненциальной формы:
!
f
t'
8 == 9,79 И эв (потенциал экспоненциальноЙ формы).
(2. 2
..
9 2. ОспО6пое состояние альфа 1Iдстицы; це1tтралъные силы
163
Это значение надо сравнить с экспериментальным [7441: Вэнспершr. ==
==8,492 Мэв. Если мы вспомним, что величина (2.12) была получена вариа
ционным методом и потому дает заниженное значение энерrии свшш,
мы можем заключить, что потенциал эпспонеflциальной формы, подоеllаНflЫЙ
,. данны.м задачи двух тел, дает слишпом большое значение энере ии С6ЯЗll
тритона.
]{ еще худшим результатам приводит использование потенциала IOT{ana.
Параметры для потенциала ЮТ\ава, подобранные так же, как и для llOTelI
циала экспоненциальной формы, тановы:
ь == 2,47. 10 13 См ]
Ss == 0,922 (синrлетное состояние)
(потепциал Юнава).
St == 1,356 (триплетное состояние)
s== 1,139 (среднее значение)
Для эффективноrо радиуса в трпплетном состоянии принято значение
rot==1,51.10 13 см, т{оторое нескольн:о мало, но не является бессмысленным.
Тем же путем, что и в случае потенциала экспоненциальноЙ формы, получаем
величину энерrии связи для потенциала Ют{ава:
В== 12,3 iVJэв (потенциап Юнала). (2.14)
Значительно большая, чем в (2.12), величина Эllерrии связи является
следствием Toro, что тритон в потенциале Юкава «УТОJlлен» rJтубже, чем
в ПОТенциале экспоненциальной формы. Тапим образом, потенциал Юпава,
nодоенанный п данным задачи двух тел, дает в при.мене1lии п тритону еще
худшее сйеласие С эпспериментом (еще большую энереию связи), чем потенциал
эпспоненциальной формы.
Если бы мы оrраничились рассмотрением только центраJТЬНЫХ сил, мы
моrли бы отсюда сделать вывод о необходимости использования менее протя
meHHoro и менее синrулярноrо потенциала (например, rayccoBCT{oro или пря
моуrольной ямы) для объяснения эксперимента. Однако из рассмотрения дей
трона мы знаем, что в нем существенны тензорные СИJIЫ. ЭТИ силы должны быть
и в тритоне. Обсуждение вычислений с учетом тензорных сил мы продолжим
в 5 настоящеЙ rлавы. Пока можно сделать следующие выводы:
1) результаты для OCHoBHoro состояния тритона весьма сильно зависят
от вида потенциала;
2) «rлубокий» потенциал приводит У{ меньшим размерам тритона ][ дает
большие значения для энерrии связи, чем менее синrулярный потенциаJТ;
3) теоретичесние результаты становятся более сомнительными (вероятные
поправки растут) с увеличением синrулярности потенциала;
4) потенциалы центральных сил, объясняющие данные по взаимодеi't
ствию двух тел, приводят т{ завышенным значениям энорrии связи.
Первые три ВI?Iвода остаются справедливыми и при учето тензорных еИJl.
(2.13)
3. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ АЛЬФА- ЧАСТИЦЫ;
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ
(l Частица это первое полностью насыщенное ядро. Спины двух входя
щих В нее нейтронов направлены в противоположные стороны, как и спины
двух протонов. Поэтому пространственная часть волновой функции сим
метрична относительно перестановки как двух протонов, так и двух HeЙ
тронов. В первом приближении пространственная часть ВОЛНОВОII фую\
ции симметрична также относительно перестановки одноrо из протонов
с одним из неЙтронов. Основное состояние а частицы в спектрОскопичесном
обозначении есть lSп состояние. В приближении, в нотором прострапственная
11 *
1(j/1
r л. У. Задачи трех и четырех тел
.1 . j . . . ..
j
часть волновоЙ фУIПЩИИ симметрична относительно перестанош\и любоЙ'
пары.частиц, мы можем опять, подсчитывая число синrлетных и триплетных
нар, определить эффентивную потенциальную энерrию. Среди шести пар,
1\оторые мощно составить И:3 четырех пунлонов С1. частицы, две пары являются
синrJ1еТПЫМI1 (пары неliтрон неЙтрон п протон протон), две тринлетными
(неЙтрон и протон со ('lшнамп, направленными (шверю>; HeIIТpoH и протон со
('пинами, направленными (<вниз»). О('таЛЫlые две пары явлюотся смешанными
и их сле;(ует ра('сматривать НЮ\ наполовину трип.:Iетные, наполовину син
I'летные. В IlTOI'e мы нолучаем равное число спнrлетных и триплетпых пар,
тю, что эффеJ\ТНШlая потенциальная энеРI'ИЯ попрежнему определяется
формулоЙ (2.1).
В 1В37 r. в работе [6201 для энерпш свяаи С1. частицы была получена
величина, превышающая ЭI,спериментаJIьное значение. Та1\ нан о Iшадруполь
ном моменте дейтрона (а следовательно, и о тензорных силах) ТOl'да еще не
было известно, то эти результаты рассматривались 1\31\ серьезное противо
речие между теориеЙ и экспериментом. Протпворечие еще более уrлубляется,
если взять подобранныЙ в 2 потенциал эъ:споненциальноЙ формы (2.11) BMe
('то потенциальноЙ ямы (имеющеЙ большоЙ радиус деЙствия), использованной
в работе [6201. п ростеЙшая предложенная в этоЙ работе волновая функция
[формула (7) УI\азанноЙ работы1 в случае подобноrо потенциала ЭI\споненци
альной формы дает для энерrии связи С1. частицы значение 38,2 j}fэе на
10 Мэе больше, чем следует. 'Уточнение вида волновой фУIПщии может лишь
ухудшить дело.
В работе [724] проделаны соответствующие вычисления для потенциала
Юкава. В неЙ не онределялось значение энерrии связи при заданноЙ rлубине
потенциала, а находИ.пась rлубина потенциала, необходимая для объяснения
наблюдаемоЙ энерrии связи. Для наших целеЙ эта разница несущественна.
'Указанная работа содержит численные результаты, полученные с учетом
радиуса деЙствия сил, использованноrо БреЙтом [1071 в 1939 r. для объясне
нин данных по рассеянию протонов на протонах (b==2,51.10 13 см, ЧТО близ
но н наиболее надежноМу современному значению). Для необходимой rлу
fiины потепциала получается неравенство V <: 52,5 Мэе, что соответствует
S==1/ 2 (St+ s 8),,;;;1,052 [ср. с (шодоrнанным» значением s==1,139 (2.13)1.
Таким образом, l'лубина потенциала, необходимая для объяснения энерrии
('вязи а частицЫ, оказывается меньше тоЙ, ноторая получается из данных
;1адачи двух тел. Потенциал (2.13), ноторый уже слишком rлубон для тритона,
дал бы для а частицЫ нрайне большое значение энерrии связи 1 ).
Результаты нашеrо рассмотрения позволяют лишь сделать вывод о том,
что центральные силы, взятые из задачи двух тел, дают слишном большую
Эllерrию связи. В частности, наши сведения недостаточны для Toro, чтобы
(;удить, ню\ полученнью результаты зависят от формы потенциала. Однано
мы можем предполаrать, что для а частицы зависимость энерrии связи от
формы потенциала начественно таная же, нак и для тритона. Есть OCHOBa
ния ожидать, что тснзорные ('илы дают меньшие значения энерrии связи
а частицы [292] (см. 5).
э 4. IJ3 и Не З . РАВЕНСТВО СИЛ, ДЕй.ствующих МЕЖДУ
ДВУМЯ НЕй.ТРОНАМИ и: ДВУМЯ ПРОТОНАМИ
Э1\сперименты, вьшолненпые в сязи с задачеЙ двух тел, дают нам OTHO
еИ'I'еЛЫIО надежные сведения о еилах, деЙствующих между двумя протонами
1) неБолыlисe различия в I'лубинс потенциалов водут 1\ БОJIЫIШМ различиям в вели
ЧЮIС эrrерrии СПfIЗИ. Это можно видсть из фиr. 35 для тритона. Для а,частицы это утвер-
Ж;(С'НIlС остастеп в еИJlС.
.
8 4. НЗ и Не З . Равепство сил, действующих Me;;lCay двумя пeиmpoпa.Atu 1G,}
и ежду неЙтроном и протоном. В то же время наши сведения о силах,
деиствующих между двумя нейтронами, значительно беднее. Единственное,
что мы знаем, сводится I\ отрицанию существования стабильноrо динейтрона.
Это наI\ладывает верхний предеJI на величину притяжения между двумя неЙ
тронами. Об ЭI\спериментах по рассеянию нейтронов на нейтронах праI\ТИ
ЧОСI\И нельзя и l'оворить мансимально достижимая сейчас плотность нейтро
нов в пуЧI\е на MHoro порядт,ов меньшо тоЙ, ноторая необходима для ЭI\спе
риментов по рассеянию.
Поэтому наиболео удобным путем для получешш 0;(lI0311ачТlЫХ сводениiI
о силах, действующих между двумя неiiтронами, нвляется сойчас изучение
систем, соетоящих из трех тел. В тритоне и в Не 3 Jпшется толы\О 110 ОДНОЙ паре
тождественных часиц: в трнтоне пара нейтронов, а в Пе3 'llара протон оп.
Все остальные пары нутшонов в этих ядрах состоят из пеОДИИа!,ОВЫХ частиц.
Поэтому можно ожидать, ЧТО эти лростеЙшие «зернальные» ндра J адут болео
ясные сведения о силах между двумя неЙтронами, чем любые более тяжелью
ядра.
ЭнеРI'ИИ связи ядер Н3 и Не 3 довольно БJJИЗНИ друr h друrу [744].
В (IР) == 8/192 Мэв, В (Не 3 ) == 7,728 Мэв. (It.l)
,-
Приблизнтельнсе равенство этих величин позво;rrяет предположить, что
силы, деЙСТВУЮIЦие между двумя неЙтропами 13 Н 3 , пе .оч('нь отличаются от
сил, действующих между двумя протопами в Не 3 . НеБОJ1ЬШУЮ разность энер
rий связи
j,B == о, 7в4 j f эв
(1t.2)
можно объяснить I\УЛОНОВСЮIМ отталюшанием между J(ВУМЯ протонами в Пе 3
(что не имеет места в Н3). Это предположение пр вильно с ],ачественной CTO
роны, посполы,у ядро Ве 3 связано слабео, чем ядро Н 3. Значение B,
соответствующее нуЛОНОПСНО;VlУ отта;;rн:иванIТIО, таюне имеет вернЫЙ порядоп
веЛИЧИIlЫ. Мы може!lI убодиться в :этом, пычислня ЕУ;'IОJlOВС1ШЙ радиус Н,.
ядра Не 3 , определяемыЙ paneHCTBO!lI 1 ).
() е 2
НултТОПСl,ан энерnш ндра lIo 3 == .
, л;
(It.З)
ЕС. 1 LП счита1Ъ, что 13CH ра:зпосТI, эпеРl'IIЙ С13пэи ТРИ'fОН а If Пе 3 объпсняетс я
I\УЛОИОПСЮIМИ снлами, то ИО:lучается С:Jе) ующее значеНJJO ДJlЯ l\УJlОIfОП
CHoro радиуса Не ндра Н е 3 :
Не =о 2,2в. 1O 13 С.Н.
(4.4 )
Это довольно разумиое значение для радиуса TaEoro аеП,ОI'О ядра, [,а!, JJ е 3 .
Мы ПРllХОДИМ Н заТULIоченпю, что значенин :энеРПIИ связи Н 3 и lIe 3 про
ще Bcero можно объяснить, предположив, что силы, действующие между
двумя нейтрона.мп, БЛllЗКll к сила.Н, действующи.м .между двулtЯ протОllалtll,
еСЛll не СЧllтать КУЛО1fОССКОёО отталкиваlllJЛ двух пPOт01l0B 2 ).
Это предполотение соrласуется с отсутствием стабильности у ЮТIlеii
трона. Из ЭI\спсримеIIТО13 по рассеянию протонов на llротовах и:шестно, что
дипротон динамичесни неустоiiЧIJВ (см. J'JI. Il, S 4). ЕСШJ силы, деiiСТВУЮЩIIе
между двумя иеЙтронами и протонами, раппы, то длина рассеянна неЙтронов
на нейтронах определяется тоЙ же формулой, что и а' (1I, 4.9). Тю, нан а'
1) Общее опре.n;рлеl!ие НУЛОJlОВСl,оrо l'<); пуса 'n;:JН ЩJOlIЗВОЛЫIЫХ Z I\allo в rл. VI.
2) Этот вывод по пснлюч<)рт ВОЗ;\Iожноrо существошншл трехчаСТИЧIlЫХ СИЛ. Одпано
если танис СИJIЫ существуют, 'fO Сll:IЫ «IleiiTpO)[ Jl( ЙТРОJl ПрОТОШ> 11 (i]JрОТОН ПрОТОН
нейтрош> равпы .n;pyr .n;pyry.
.
166
r л. V. Задачи трех и четырех тел
отрицательно, мы приходим К выводу, что отсутствие кулоновских сил не
ДJJIaет динейтрон стабильным.
Важное подтверждение равенства сил, действующих метду двумя ней
тронами и протонами, дает также изучение более тяжелых зеркальных ядер,
о чем подробнее будет сказано в следующей rлаве.
Коль скоро мы приняли предположение о равенстве сил, действующих
между парой нейтронов и протонов, наблюдаемое значение разности энерrий
СПflЗII t:,.B можно считать критерием справедливости тео рии, не заВИСflЩИМ от
абсолютных величин энерrий СВflЗИ. Кулоновский радиус Rc зависит от
(шротяженности» волновой функции OCHoBHoro состояния. Кулоновскаfl энер
rИfl flдра Не 3 равна среднему значению величины e 2 /r12 в основном СОСТОflНИИ
(1','1;е чаСТIIЦЫ 1 и 2 flВЛflЮТСЯ ДВУМfI протонами). Отсюда с помощью формулы
(4.3) мы можем следующим образом выразить н:улоновский радиус Rc через
волновую ФУ1ШЦИЮ OCHOBH01'0 состояния Не 3 .
== 5 \ чr* W d'C. (4.5)
Rc 6 r12
ПОСRОЛЬКУ В области, дающей основной вклад в ЭТОТ интеrрал, кулонов
СЮIO силы значительно меньше flдерных, мы можем приБJIиженно вычислить
интеrрал (4.5), подставив вместо W волновую функцию (2.2.) ядра Н3 с Ta
уо/м значением У., НОТОрОО дает ДЛfl Н3 наибольшую энерrию связи. Тоrда из
(4..5) получаем
42
Rc == 25 У..
(4.6)
В соответствии с вычислеНИflМИ, произведенными в работе [121], выражение
(4.(3) справедливо в пределах 10%. Из (4.6), ИСПОЛЬЗУfl параметры потенциа
JIOB (2.11) и (2.13), находим
Rc==1,81.10 13 см
Rc == 1,32. 10 13 см
(потенциал ЭI{сiIOненциа.т:rьной формы),
(потенциал Юкава).
(4.7)
(4.8)
Сравнение с экспериментальным значением (4.4) показывает, что потен
цпал ЮI{ава дает слишком малое значение нулоновскоrо радиуса (СЛIIШКОМ
бо.пьшую нулоновскую энерrию flдра). Это обстоятельство, по видимому,
ИСI,шючает выбор потенциала Юкава. Предварительные вычислеНИfl (585,586)
с учотом тен:зорпых сил подтверждают такой вывод.
Две ТОЖЦfJl'тва.f!ные частицы (два нейтрона в IР, два протона в Не 3 )
в основном СОСТОflНИИ системы трех тел имеют противоположно направлен
выо спины. В первом приближении две тождественные частицы не имеют
также отпосительноrо момента ноличества движеНИfl. Поэтому сравнение
Эl1ерrиii СВfl3И flдер IP и Не 3 дает сведеНИfl о силах между ДВУМfI нейтронами
11 )\ВУМfI протонами тольно в одном lS состоянии. П ринципиально возможен
превосходный метод изучеНИfl сил между двумя нейтронами и в друrих
СОСТОflНИЯХ. Это исследование СТОЛЮIовений нейтронов и протонов с дей
тронаМ11. СТОЛIшовоние нейтрона с дойтроном может повести н трем различ
пым процессам.
'УПРУ1'ое рассеflние: п + d == п + d,
Расщепление дейтрона: п + d == р + п + п,
Радиационный захват нейтрона: п + d == IP + 1.
(4.9)
( 4.10)
(4.11)
При малых энерrиях нейтронов расщепление дейтрона менее вероятно,
чем упруrое рассеяние, но оно моrло бы быть обнаружено. (Расщепление
:шерrетически невозможно, если энерrия нейтрона в лабораторной системе
Е п . .1Iаб. <3,34 Мэв,' что составляет 3/2 энерrии связи дейтрона.)
I
1
+
9 5. Осповпое состоя1tие тритопа; теп80рпые силы
167
При столкновении протона с дейтроном происходят соответствующие
«зеркальные» реакциИ.
"Упруrое рассеяние: р.+ d == р + d,
Расщепление дейтрона: р + d == р + р + п,
Радиационный захват протона: р + d == Не З + 1.
(4.9а)
(4.10а)
(4.11а)
хотя по всем этим реакциям, особенно по упруrому рассеянию, имеетсЯ
значительный сшспериментальный материал [26, 31, 727,701,245,524 и др.],
теоретическая интерпретация ЭI{спериментов находитсЯ еще в весьма прец
варительном состоянии [605, 568, 548, 130,374, 523, 133, 174].
э 5. ОСНОВIIОЕ СОСТОЛНИЕ тРитОНА;
ТЕН30РНЫЕ СИЛЫ
Наличие тензорных сил изменяет свойства OCIloBHoro состояния тритона.
Прежде Bcero основное состояние уже не является чистым 251f2 СОСТОЯ
нием. ]{ основному СОСТОЯНИЮ 251/2 примешиваются друrие состояния с теми
же значениями 1== 1/2 И С той же четностьЮ. Наиболее значительна примесь
состояния 4D1/2 [292]. В этом проще Bcero убедиться, заметив, что оператор
тензорных сил 512 (11, 5.2) ведет себя при вращениях пространственных KO
Qрдинат как волновая функция с l==2. Поэтому в применении 11: функции
S состояния этот оператор дает ФУНКЦИЮ D СОСТОЯIIИЯ. В дейтроне примесь
D состояния является единственно возможной. В тритоне же возможны и дpy
тие примеси (которые MorYT быть получены применением оператора 512
к различным D состоянИЯМ, примешанным в первом порядке), но эти при.
меси менее важны, чем примесь D состоянИЯ.
Зная ЭI\спериментально измеренные значения маrнитныХ моментов три
тона и Пе З , мы можем оценить ДОЛЮ примеси друrих состояний по их ВJшаду
Б маrнитныЙ момент. Чтобы отлИЧИТЬ эти вклады от обменных маrнитных
моментов, мы должны предположить, что вклады обменноrо маrнитпоrо
момента для этих двух ядер равны и противоположны [656,540,710]. Однано
такое предположение несколько сомнительно, пОСКОЛЬКУ мы не имеем пол
Horo представления о роли КОJIЛeIПИВНЫХ эффентов в ядерном маrнетизме.
rрубая оценна, сделанная в предположении, что примесь D состояния являет
ся основной, дает для доли D состояния 4 %. Эта оцен'ка еще менее надежна,
чем аналоrичная оценка для дейтрона. Релятивистские поправки к значе
пиям маrнитноrо момента тритона и ВеЗ значительно больше, чем для дей
трона, поскольку частицы в ядрах I-P и Не З движутся значительно быстрее.
Основным следствием наличия тензорных сил в тритоне является не
примесь друrих состояний, а уменьшение теоретическоrо значения энерrии
связи (кан: мы видеJ1И в S 2, это нообходимо' для соrласования теории с экспе
риментом). Выражение (2.1) для эффективноrо потенциала взаимодействия
между двумЯ нуклонами описывает только часть потенциала, обязанную цeH
. 'ТралЬным силам. Тензорные силы нельзя усреднять таким способом. СрlJднее
значение оператора тензорныХ сил в 251/2 СОСТОЯНИИ равно нУЛЮ (квадрат
волновой функции этоrо состояния сферически симметричен, а среднее зна
чение 512 по сферически симметричному состОЯНИЮ равно НУЛЮ). Таким обра
30М, тензорные силы дают вклад в энерrию связи тритона только в друrих
менее симметричных состоянияХ. Получается такое же положение, как в деЙ
'Троне. Однако в тритоне тензорные силы значительно менее эффективны, чем
в дейтроне. Прежде Bcero в тритоне только половина пар нуклонов дает три
плетные пары. Друrую половину составляют синrлетные пары, дЛЯ KOTO
рых тензорные силы равны нулю. Далее, существование примешанных
состояний в тритоне энерrетически rораздо менее выrодно, чем в дейтроне.
1Н8
rл. V. Задачи трех и четырех тел
Тритон HaMHoro теснее связан, чем дейтрон, и поэтому волновая фунн:ция,
имеющая узлы (например, волновая функция D состояния), rораздо сильнее
«выталкивается наружу», чем в дейтроне. rлавный вклад тензорных сиз
в энерrию связи дает перен:рестный член между основным S состоянием
и различными примесями. Этот перекрестный член для тритона очень маз,
посн:ольн:у волновые функции примешанных состояний перепрываются с BOJl
новой фующией OCHoBHoro S состояния в rораз)l,О меньшей степени, че t
в дейтроне. В результате одни и те же тензорные силы в значительно MeHЬ
шей степени влияют на энерrию связи тритона, чем на энерrию связи дейтрона.
Эти обстоятельства ведут к уменьшению теоретичесноrо значения энер
I'ИИ связи тритона по сравнению с величиной, полученной при использова
нии центральных сил. В соответствии с (2.1), потспциа.'!ьнан энерrия опреде
Jшется выращением
чr* (V t + VJ \}J' d,.
При наличии тензорных сил V t содержит центральную и тензорную чаСТI!
V tc + V tT . Второе слаrаемое дает для тритона относительно меньший ВI\Ла;
в потенциальную энерrию, чем для дейтрона. ПОСRОЛЫ,У параметры тензор
пых сил подrоняются к описанию дейтрона, мы ожидаем, что энерrия связи
тритона при учете таRИХ тензорных сил окажется значительно меньше, чем
при учете центральных сил, подоrнанных таI\ИМ же образом. Это уменьшение
он:азывается еще более значительным для а; частицЫ.
Ранние вычисления [292, 249] с прямоуrОJlЬНОЙ потенциальной ямой
давали для энерrии связи тритона заниженные значения (в то время
l\aR центральные силы приводили к СJ1ИШRОМ большим значениям энерrИI1
связи). Положение остается неясным по неснольним причинам. I30 первых,
RaR было поназано в 1949 r. [155], приближешш, испольаованные в более
ранних вычислениях, не являются адэнватными и не определяют энеР1'ИЮ
связи тритона с достаточной степенью точности. BO BTOpЫX, параметры
потенциала, использованные в этих вычислениях, ИРОТИJ30речат современным
)l,aHHblM относительно сил, деЙствующих меЖI У двумя чаСТlIцами [65]. Прп
использовании потепциаJШ Юнава с параметраМIJ, подобранными для описа
ния системы )l,Byx тел, удалось получить ДJ1Я энерrин связи трнтона значение,
БJlИЗRое R энсперимептальному, но при слишт,ом малом значении I\УЛОПОВ
cT\oro радиуса [585, .586].
Та" нан определение ЭJlерI'ИП связи трптона (а тем более а; частицы)
требует оrромпоЙ вычпслпте,lЬНОЙ работы, для решения этоЙ заi\ачи, пови
димому, необходимы быстродеЙСТПУlOщие ВЫЧlIСJllIте.ттытые ,машины. Нон:а ше
положение таноно; lJведепио те!lЗОрНЫХ сил 1\ачественно праШIJJЬНО объясняет
расхощдения между энсперимснтаJ1ЬПЫМ значепием эперrип связи и теоретп
чесним, полученпым n предполощепип чисто центральных еил. В настоящее
времп MЫlТe можем сназать, устранят;;:ш тензорные силы этн расхождения ШII1
онащетсп неоБХОЮIМЫМ введепие МНОI'очастпчпых СИ,;l. Однат,о, вероятно,
удается объяснить имеющиееН данные с lIоJ\'Ioщыo СИJI, деЙСТlJУIOЩИХ толы,о
меж!,\у двумя чаетПТщ.vш, потому что описание Снетемы двух частиц допу
Сl\ает большоЙ выбор параметров ядерных снл, а :Jадачп трех II четырех Te, 1
чувствительны Т, дета';lЯ1\I припятоrо занона сил.
ОБ03НАЧЕIIIIЯ
а' длина рассетшн 1IеЙтронов на нейтронах, опреде:rеJllШН НО ;J;анным рассеянна
JlРОТОНОВ 1Iа протонах ( 4),
а, СJШ!'jIeТlШЯ дшша раССРЯНIJП неЙТрОНQВ на про топах ( 2).
Ь хараJ\теристпчеСI{rJЙ раДflУС ;J;еЙСТВПJl Я;J;ерных CH. ! (ОlТреде:rl'ние см. !':1. П.
2 и :J) ( 2),
энерrия связи ядра ( 2).
величина, входящая в выраЖClIие для энерrии спязи [В (5)== V (s) T (s)] (2.10).
полный момснт Iюличества движения ядра ( 2).
орбитальное квантовос ЧИСJIO ядра ( 2).
Macca НУЮIOна (2.4).
нормировочпыи множитель волновой фушщии (2.2).
расстоянис между двумя lIу/шонами (2.1).
радиус веI{ТОр нуклона (s 2).
триплстный эффективный радиус ДJlН случап расссяния пеЙТРОIIOП [[а про
тонах ( 2).
нулоновCI(ИЙ радиус ядра (4.3).
безразмерный параThIетр rлуБИI1Ы потснциала [опрсде.,JСlJИС см. rл. П, 2] (s 2).
значение s для СИШ'J1еТllоrо СIIII!ювоrо состоянип ('истемы, состопщей lШ ней
трона и протона (2.11).
значешlC s для триплетноrо спинопоrо СОСТОШlИп системы, состопщеЙ 1J3 пеЙ
трона и протона (в прсдположении чисто J l'птраЛЫIЫХ сил в трпп.тrеТJfОМ
СПИНОВО I состоянии) (2.11).
сппновое Jшантовое число ядра (s 2).
опсратор теНЗ0РНЫХ СIШ (определение
нинетичесная эперrнп в СJ\lШlщах
фушщип W (2.8).
V o «rлубипа» потснциала (определение см. rл. П, 2) (2.5).
V эфф . (r) эффеНТJJвная потснциальная ЭlIсрrип наждой пары НУIШОНОIJ в lIoсIIIостыо
симметричном СОСТОЯНШI системы И3 трех пли чстырех тел (2.1.).
ПОТСIщиальная ЭIJсрrип в еДИIIицах 1 2/Mb2, соотвеТСТВУIOщан BO:IIIOBOI1
фушщпи 1lc' (2.9).
ПОТeJщиаJI ядерныХ сил для случая сиш'леТlюrо Сl!ИНОВОI'О состопшш (2,1).
потеНl\паJI ядерных сил для случая ТРIПШСТНOl'о спиновоrо состоппип (2.1).
ПОТСlщиал центральных сил длп случап ТрИII.тrеТIЮI'О СПИlIOlJоrо СОСТОЯllllЯ (з 5).
потеllциал ТСllЗ0РНЫХ спл для с.:тучая Трl!lI.iЮТ!Iоrо СПlJНОВOl'о СОСТОШIIIН ( 5).
СIIИIJовая волповая фУШЩIlН нсЙтрона со СШIНОlll, панраВJlеlШJ.lМ IJBepX (з 2).
СIIиновап волновав фУШЩНП протона ('о СIllШОМ, направленным вверх ( 2).
парамс>1'р радиуса Д('йстПlШ JщеРПhlХ СИ,I (ОПрС>ДСClСJше см. rл. П, 2.) (2.5),
сшпювая ПОЛНОlJал фУШ\IlIlП нсйтроиа со СШIJlО}[, направлснным ВШ13 (% 2).
спвпопая ВОJшован фушщпя протона со СШI!lО}[, папраВЛ('lIIIЫМ ВШl3 (% 2).
pa31l0CTЬ энс>рrиЙ СВП311 IP п liе З (4,2).
наращ'тр в lJыраШСll!!II Т(.1IН ВО,'1повоЙ фУШЩIIН 11' (2.2).
делеНlIitп на 2" )\,l1Iна вотlЫ дe IJ I'оiiЮJ, с ()()l'вс тству ющан OTHocHTe:lI>IIOThIY
ДПШШ'lIlJЮ AIJYx частиц ( 2).
,}шrнитный момент пдра (в ядерных маrпеТОllах) (s 2).
СПlJllOВЫЙ оператор Пау;:ш НУШlOна (s 2).
ВО.,повап фУНЮ\l1П ТТJlJтоиа (s 2).
1
1
+
,
в
в (s)
1
L
М
N
r
r
rot
Вс
s
S8
sl
r
8
812
Т (s)
1
:1
1
':
I
I
V (s)
V s (r)
Vt (r)
V tc
V IT
а (п)
а (р)
(п)
(р)
t:,B
'1
,1
..
."
I
а
\}!'
.t
"
Обозначения
\ ,",,:.', C:'\ :"T: \)'
1Ш
СЫ. rл. 11, 5) ( 5).
п 2 / JИЬ 2 , соответствующая
ВОJl!lOВОЙ
r л а в а VI
ЯДЕРНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ
1. ОБЩАЯ ТЕорИЯ 1 )
1. СИСТЕМАТИКА СТАБИЛЬНЫХ ЯДЕР
А. у словил стабильности
Еще в начале развития ядерной физики было обнаружено, что по н:рай
ней мере для области леrких ядер стабильные ядра содержат примерно оди
наковое число нейтронов и протонов (см. работу Харкинса [349]2). Это свой
ство ядерноrо вещества иллюстрируется фиr. 37, rде изображена величина
т N !Z ( 1.1 )
t==
в зависимости от MaccoBoro числа А. Каждое стабильное ядро обозначается
на этой диаrрамме КРУЖКОМ.
То обстоятельство, что для леrких ядер величина Т, принимает значе
ния 0,1/2 И 1, привело к rипотезе, соrласно которой ядерные силы действуют
только между протонами и нейтронами и не действуют между двумя нейтро
нами или двумя протонами. Если бы эта rипотеза была справедлива, стабиль
ность ядра была бы наибольшей у ядер с наибольшим числом пар нейтрон-+
+протон, что привело бы к значениям Tr., близким к нулю. Однано такое пред
положение о силах, действующиХ между неодинаковымИ частицами, ни
в коей мере не является необходимым. Более Toro, опыты по рассеянию про
тонов на протонах определенно уназывают на существование ядерноrо вза
имодействия между протонами. Поэтому закономерности в поведении Т'
должны быть получены из более общих соображений.
Напомним, что имеется два вида «стабильности» ядра:
1. Динамическая стабильность, при I{ОТОРОЙ развал ядра на две или
больше частей энерrетически невозможен.
2. Стабильность по отношению к распаду, при которой переход ней
тропа ядра в протон (или, наоборот, протона в нейтрон) с испусканием (или
поrлощением) ЭЛeI{трона и нейтрино энерrетически невозможен.
Так IШК проблемы, связанные с динамической стабильностью, paCCMa
триваются в rл. XI, то мы не будем обсуждать здесь этот вид стабильности.
В этой rлаве Мы попытаемся найти ответ на вопрос: Iшкое ядро из rруппы
изобарных ядер с различными значениям избытка нейтронов Т' является
стабильным? Поскольку любое ядро в результате ряда IIревращений может
перейти в любое друrое ядро из этой rруппы, то стабильным будет ядро, об
.падающее наименьшей энерrией.
Итак, нам нужно выяснить: по каким признакам мы можем выделить
из ряда изобарных ядер (с данным А) одно или нескольн:о яде.р с наинизшей
энерrией?
1) См. также обзор 1 n g 1 i s Ь, Rev. Mod. Phys., 25, 390 (1953). При.м;. перев.
2) Разумеется, в то время существование нейтронов еще не было установлено. Xap
кинс исходил из представления о ядре с массовым числом А, как о совокупности А поло-
жительно заряженных и N отрицательно заряженных частиц (<<электронов»). В работе,
на которую ссылаются авторы, было показано, что для большинства стабильных ядер
БСЛИЧПНЫ N И A N близки друr к друrу. Прu.м;. перев.
_. "":: ;-: .'-""' - "''' ;' -,
f----I I О I \ I I
f---- :
t---- о
о :
о
f---- О ::
о
f---- О ::
о
о :
о
о ::
о
о :=
о
о ::
о
о
о
о
о
о
'
о
о ::
о
о :
о
о :
о
о
f--- О :
о
;: о
о ::
о
с-- О =
О
= о ::
о
:: о
о
о
о :
о ::
о
о
о
о
f--
f-- o
rl I 1 I I I I 1, I Q .
CIO t-- t.o Il) """ ,, ...... с::::> ....
о)
II
1
с)
d:,
;;
'" t>:
CI:S Е-<
8 CI:S
""
!S:8
«
;,:; ,
t...
;;.,
'"
о
. :>1
...,0
t... ь
'"
s ""
о ::::
Е-< '"
'::;: о
о) :>1
:>1 о
' >ti
.z :>1
'" CI:S О
:s: е;:
I EJ'
'" gj
s
t:':( :::: ч
::O
!s: \о
'-' О '"
О ::r:: :=
о Е-<
"" ;;:
:s: CI:S
"Ii
CI:S е;:
е;: Е-< \о
u О
:s: о)
I:r' Ci:S
:S: Е
CI:S t>:
1=(0)
t>: ::о
1':
t.o
о:>
CIO
CIO
"""
CIO
CIO
CIO
t.o
t.o
1.{)
о)
::о
'"
о
u
u
CI:S
::;;: Ф
:z S
::r1
о) о)
е;:
о о)
е;: ::о
Е-< '"
О :S:
'-' '"
EJ '8
::f Е-<
u u
>-
:S: CI:S
u
О 1=(
О t>:
CIO
с\3
t.o
....
CIO
о)
::о
с'".>
'8
:S: Е-<
е
с;)
172
r л. V 1. Ядерная спектроскопия. Общая теория
,
,
у словия стабильности определяются двумя основными фан:торами, н:o
торые мы перечислим в порядн:е их значимости.
1. Симметрия: за рядовая независимость и обменные свойства ядерных
r,ил совместно с принпипом Паули приводят н: значительному уменьшению
энrрrии ядер с равным, или приблизительно равным, числом нейтронов
и протонов.
2. КУЛОНОВСНИЙ заряд: I{улоновсн:ое отталнивание протонов делает
Il редпочтительным существование ядер с несн:ольно меньшим числом прото
НОВ по сравнениIO с числом нейтронов. При этом следует еще учитывать раз
ноеть масс нс:Птропа и протона; но тан:ой учет дает малую поправну. Влияние
зарЯ;J,а Bo; pal:TaeT с P()CTO 1 ядерноrо заряда.
1. В lIeEoTopl,lX случаях иrрает роль еще третий фантор: спиновая зави
симость Н) e рJlЫХ 0Ш де,'шет более предпочтительной таную НОНфИl'урацшо
внешней пары НУIСiЮНОI3, в шJТОрОЙ они имеют паралле.пьно напрашюнные
спины.
Рассмотрим сначала рою, симметрии и KYJlOnOBCKoro зарнда. 3ависи
мость я;:\ерных сил от спина будет обсуждаться в свнзи с вопросом О стабиль
HOCТJl я}(ер с массовыми числами А ==4п + 2.
1. Симметрия: :JIIaLlсние симметрии наИ, олее ле,l'КО продемонстрировать
на очень ПРОСТОI1, правда, весьма далекоЙ от ;(еиствителыюсти, модели
ядра ю)(еJ1И незаШIСПМЫХ частиц. В этой МО,::J,еШI ндро пре;щоааrается
СОСТОНJI(ИМ из не; ависпмых ПУЮlOНОВ, движущихся внутри сферы, радиус
HOTOpoii ранен ра;щусу лдра Л. Ра:,умеетсн, таное пре;що.'ю;неlfие ничем
не о 1I]!авЦlНro . ОДIIЮ{О .\1ы В()СПО. Iьзуемся :щесь ТОЛЬЮ) теми свойствами модеJIИ
пезависпмых 'IaСТИЦ, ноторые следуют из соображениЙ симметрии и, I,Ю, бу
дет поназано позже, ИI\ЮЮТ общее значение. Рассмотрение различных своЙl'ТП
этоii П ДРУИJХ модеJШЙ БУ,1,ет проведено в следующеЙ rлаве.
В модеЛII независимых частиц наждая частица занимает один из YP()B
ней, I,OTOPbIM соответствуют стационарные состояпия в общем центрально
симметричном поле. При настоящем рассмотрении специфичесние особен
ности этих уровнеЙ для пас несуществеllВЫ. Будем рассматривать все нуклоны
нан тождественные частицы с двумя внутренвими степенями свободы: спином
и зарядом; наждап из этих степеней свободы может принимать два возможных
значения. COrJIaCHO принципу Паули, две ТО/Jщеетвенвые частицы не M01'Y'I'
находиться в одном и том же состопнии. ПОСНОЛЬНУ паждому УрОВНlo в модели
пезависимых частиц соответствуют четыре возможных состояния (неЙтрон
ltJШ протон с о;щоii из двух ориентаций снина), то наждыii уровень в модеJШ
незавиеимых частиц считается за четыре состонния и может содержа'1ъ :(0
четырех нунпонов. Это ПОI,азано на фиr. 38, rде уровни изображены rОРИЗОl!
та.: ыlмии JIИНИНМИ, протонам соответствуют незаштрихованные J\ружюr,
неllТРОlIам заштриховапные JI направление спина IШfIщоrо нуклона указано
стре,той. Ядро, I1зобра;ненное па фиr. 38, а, содерлшт 8 нсЙтронов II 8 про
тонов (' ПОJIllЫМ СШШU f, раВIIЫМ пулю (ядро 016). Мы видим, что заполнены
четыре псрвых уровня, а уровни с б6';lЬШИМИ энеР1'ИНМИ свобо;щы. Н а фиr. :31:), б
изоБРЮI;СIlU я!(}ю, со;rержащее также 16 частиц, из поторых па этот раз 7 ЯI3
JIНЮТСЯ щютонами, а 9 неiiтронами (ядро N16). В этом случае 1\==1.
На тобом 1I;] уровней нельзя поместить более двух нейтронов. Поэтому
Jlишпиii нейтрон )(O.iJfHCH нерейтн на следующий уровень. Это является пер
Bbl f apryMcHToM в пользу T01'O, что сумма всех ::шеРI'иii бу;rот наимсньшей,
ес:ш число протонов Z равно ЧИСЛУ нейтронов N. В этом случае частицы I\ЮЖ
НО разместить на наиниаших возможных уровнях. СJIИ]У +Z, то i\ОШЮIЫ
быть заняты более ВЫСОlше уровни. О)щако этот aprYMeHT не явлнется OCH()B
ной прпчиной, обусловливающей эффект симметрии, ибо он теряет СИЛУ, сиш
неI{()торые 11:, уровней вырождены.
i
1
"
,1
;,
]
,
.
'i
J
", ,
9 1. Систематика стабильных ядер
173
Соображения симметрии, иrрают решающую роль при рассмотрении об
l\IеИНОl"О харан:тера ядерных сил. Обменные СИJIЫ мещду двумя частицами
в ядре!) представшпот соБОlI СИJlЫ притяжеюш, если ВОШlOван функция сим
метричпа по отношению н перестановке н:оординат частиц. Наоборот, они будут
силами отталнивания, если ВОJIновая фуннцин антисиммеТРllчна по отношению
1, тан:оЙ порестанош{е. Таким образом, обменные сшrы обладают евойствами
а
(j
ев
Св
Е5 С 5
С 4 €4
(;3 Са
(;2 С 2
е, с,
T =O ( 016) T =1 (7 NI6 )
8
Фи r. 38. Схематическое представление двух ядер с массовым
числом А 16 в модели псзависимых частиц.
Заштрихованными нружнами поназаны нейтроны, незаштрихованны
ми протоны; ориентация спинов (вверх или вниз) уназана стрелнами.
Н:аждый уровень модели независиМЫХ частиц нонааанrоризонтальной ли
нией; уровни расноложены в порядке возрастании энерrии: Е] Е2 Ез<:;...
В силу принципа Паули состояние а ДЛfI ядра 016 (Т , O) не может
иметь места в frдpe N16 (T, I). В ядре N1G один из нейтронов находится
на более высоном уровне; волновая ФУНКЦИfI TaHoro СОСТОfIНИЯ менее
симметрична.
притяжения для частиц, находящихся на одном и том же уровне, но если
частицы находятся на разных уровнях 2 ), то притятение он:азывается слабее
или дате переходит в отталн:ивание. Следовательно, мы приходим к выводу,
что притятение будет наибольшим в том случае, н:оrда на одном уровне Ha
ходится наибольшее число частиц. Среди ядер с о; инан:овым А это будет иметь
место для ядра с наименьшей величиной Т,. "
Тан:им образом, предполаrая обменные свойства ядерных сил, мотно
подучить естественное объяснение большей стабильности ядер с одинаковым
1) В этой rлавс под об !СIПIЫМИ силами будут IIониматьсп силы Майорана, СОJ\сржа
щис оператор персстановки I{Оордииат (по пс спинов) пары НУНJJОПОВ.
2) Волновап Фушщин, ОЧСnIщно, симметрична длп пары частиц, иаХUJ\ЯЩИХСП на
HeI{OTOpOM уровпс. В соотвстствии С припципом ПаУШI она Ю\ТИСIlММ('ТРИЧНf\ дшт двух
тождсственпых частиц, паходящихся па двух различных уровипх. Волновая Фупю\ип
частично симмстрична, частично антисимметричпа для двух ][СТОЖД{'СТВС\lНых части\{,
находпщихся па двух раЗJ\ИЧНЫХ урОНIIЯХ.
174
Тл. V/. Ядериая спектроскопия. Общая теория
числом протонов и нейтронов, посн:ольн:у тан:ие ядра MorYT иметь в'своем COCTa
ве наибольшее число симметричных пар. Ядра с избытн:ом нун:лонов HaHoro
либо сорта в соответствии с принципом Паули имеют большее число антисим
метричных пар. Антисимметричные пары не дают ВIшада в потенциальную
энерrию (их наличие в ядре приводит н: увеличению полной энерrии), так
что наиболее стабильным он:азывается ядро, содертащее наименьшее число.
антисимметричных пар, т. е. ядро, у 1\OTOpOro веJIичина Те близн:а 1\ нулю.
Это И есть эффю\т, названный нами эффектом симметрии.
До сих пор н:азалось, что мы используем специальную модель, весьма
дален:ую от действительности. Однан:о это неверно. Модель независимых
частиц дает нам тольн:о простой способ определения числа симметричных
пар истинноrо состояния.
В 3 мы пон:атем, что модель независимых частиц дает верное число сим
метричных пар, если даже истинная волновая фунн:ция ядра заметно отли
чаетея от волновоЙ фУН1\ЦИИ по модели независимых частиц.
Эффен:т симметрии в основном определяется обменной природой ядер
ных сил. Имеются, однан:о, еще два довода, по н:оторым ядра с большим
числом симметричных пар долтны быть стабильнее друrих ядер с тем те-
самым массовым числом. Эти вспомоrатедьные доводы зан:лючаются в еле.
дующем:
а) J{иllетическая энер<Jия. Волновая фунн:ция, антисимметричная по OT
ношению н: перестановн:е пространственных н:оординат двух частцц, должна
быть равна нулю всян:ий раз, н:оrда эти две частицы находятся в одной точн:е.
Поэтому тан:ая волновая фунн:ция осциллирует быстрее, чем волновая
фуннция, симметричная по отношению н: подобной перестановн:е. Быстрые-
осцилляции волновой фунн:ции приводят н: возрастанию н:инетичесн:ой энер
I'ИИ. Отсюда СJICдует, что более симметричная волновая Фунн:ция в общем
связана с меньшей (полотительной) н:инетичесн:ой энерrией.
б) Перекрытие. Оно объясняет, почему н:аI\ое либо взаимодействие-
(дате и необменное) более эффентивно метду симметричными парами частиц,
чем метду антисимметричными. Две частицы, волновая фунн:ция н:оторых
симметрична, чаще находятся одна возле друrой, что при водит R увеличению
взаимодействия; антисимметричные пары частиц находятся вдали друr
от дрУl'а, что приводит К уменьшению взаимодействия между ними. Тан: н:ак
силы, действующие метду симметричными парами частиц, являются СИJIaМИ
притяжения, то этот эффен:т действует тан:те в пользу состояния с большим
числом симметричных пар.
2. Нулоновскии' эффект. Влияние элен:тростатичесн:ой (нулоновсн:ой)
энерrии протонов и разности энерrий пон:оя нейтрона и протона (Иnс2
и рс 2 ==1,3 Мэе) можно рассматривать совместно.
Кулоновсние силы являются силами оттаЛI\ивания. Поэтому их действие'
тан:ово, что более устойчивыми являются ядра с неСН:ОЛЬ1\О меньшим числом
протонов (Те полотительно). Нейтрон HeMHoro тятелей протона. Поэтому
внлад массы поноя в энерrию ядра уменьшается при замене нейтрона на
протон. Эффен:т разности масс нейтрона и протона действует так, что болеВ'
стабильными должны быть ядра с несн:ольн:о меньшим числом нейтронов
(Т' отрицательно). Таким образом, здесь действуют две противоположные
тенденции и более сильная из них определяет изменение стабильностц под
влиянием заряда.
Перейдем н: oцeHн:e порядн:а величины эффен:та заряда. Элен:тростати
чесн:ую энерrию С можно использовать для определения «н:уло,иовсн:оrо pa
диуса» R ядра с помощью соотношения
1 6 е 2
С == z z 1 )
:1' 5 R '
(1.2)
s 1. Систе.м,атшrа стабил,ъных !!оер
175
С элен:тростатичесн:ая энерrия Z протонов, распределенных равномерно по
объему сферы радиуса R. Предполотение о равномерном распределении He
правильно по двум причинам:
1. Протоны не распределены равномерно по объему ядра, тан: н:ан: объем
ядра не имеет резко определенных rраниц и, н:роме Toro, н:улоновсн:ое
отталн:ивание мотет привести н: увеличению плотности протонов в перифери
чесн:ой области ядра [227];
2. Полотения протонов н:оррелированы, т. е. вероятность найти два
,протона в определенных элементах объема dV 1 и dV 2 не является про
стым произведением вероятностей найти один из них в элементе объема dV l'
а }J;руrой в элементе объема dV 2 [230, 231, 595]. Но так н:ан: мы не знаем
влияния этих двух эффен:тов, то мы примем (1.2) за определение н:улонов
cHoro радиуса ядра R. ДЛЯ нас сейчас ватно то, что определенный
тан:им образом радиус ядра имеет порядон: величины ядерНОI'О радиуса, из
BecTHoro из друrих данных (например, из опытов по рассеянию).
Соотношение (1.2) мотно переписать, использовав величины А и T,
С == 160 [ ( J Т, (А 1 Т,) ] . (1.3)
Энерrия покоя всех нуклонов ядра равна
ЕПОНОR ZИ рс 2 + N м пс2.
Выразим эту величину через А и Т,:
Е А м п с2 + м рс 2 l ' ( И 2 ! 2 )
ПОНОR == 2 + r. п С j рС .
(1.4)
(1.5)
Отсюда находим выратение для вклада эффента заряда в разность
полных энерrий двух изобар с изБЫТIШМИ нейтронов Т, и T 1)
АЕс == (Т, ТО [ (И п с 2 М рс 2 ) 1 6 о (А 1 Т, T ) ; J (1.6)
Б. Рассмотрение стабильных ядер
Исследуем теперь условия стабильности изобарных ядор, используЯl
тольн:о два рассмотренных выше фюпора (симметрию и заряд). Сначала
рассмотрим ядра С А == 4п, rде п целое число. В СИJlУ эффеI{та симметрии
среди изобар с данным массовым числом А == 4п наибольшей стабиль
ностыо будет обладать ЯДро, состоящее из одинаковоrо числа протонов,
и нейтронов, т. е. с Т, == О. Если 1',4=0, то один или несн:олько нун:лонов.
необходимо поместить на более высокие уровни, и число симметричных
пар уменьшится. Тан:им образом, мотно отидать, что стабильные ядра
будут иметь Т, == О.
Из фиr. 37 видно, что такая картина имеет место для леrн:их ядер.
последовательности А == 4п. 'у ядер с большим Z влияние эффекта заряда
значительно возрастает и перекрывает влияние эффекта симметрии. Теперь
уте стабильные ядра содержат избыток нейтронов (полоти тельная вели
чина Т,). Это имеет место для А>- 36.
Теперь рассмотрим ядра с нечетными массовыми числами. Типичный
случай (А == 15) по:казан на фиr. 39. Эффент симметрии делает предпочти
тельными малые значения 1',(1',== 1/2 и Т,== +1/2)' а не большие (1"==3/2)'
С друrой стороны, мы ничеrо не мотем сказать о том, н:ан:ое из малых
8начений Т' действительно осуществляется: тс== 1!2 или 1',== 1/2
1) Предполаrается, что радиус ядра R не зависит от избытна нейтронов Т,.
176
(J1ИШНИЙ протон или JJИШНИй нейтрон). НСНО,
и ядерная часть потенциаJ1ЬНОй энерrии двух
что нинетичес:кая энерrия
«зернальных ядер» (ядер
rл. V/. Ядерная спекmроспопия. Общая теория
а
т ,
" 2
( 01:1)
8
б
в
7i ,
' 2
<7 NI5 )
,;,.
r
7i з
2
<6 сI5 )
Фи r. 39. СхематичеСlше представление трех ядер с Macco
вым числом A 15 в модсли независимых частиц.
Ядра 0]5 (Tt, ]/2) и N]5 (Тt, 1I2) зернальные; ИХ юшетичеснан и
ндернап потенппальнан энерrип одинановы; зффент яарнда обуслов
лиuает б6льшую УСТОЙЧIlвоеть ндра с б6льшим пзБЫТ!lОМ неЙтронов,
т. е. ПДрil N15. Ядра с I т, 1> 112, наП]Jимер С]д (Tt. 3/2) (случаЙ
в), Менее устоЙ.чиnы, тан нан неноторыс частицы находптся на более
ВЫСОЮ1Х ypOUIIHX, и при этом ВОЛIНJ1JaН ФУНlщин мсиее симметрична.
t; одинановыми А и равными, по противоположными по знан:у 1't,) cTporb
ОДИJlaI{ОВЫ, еСJIИ преДПОJIarать, что СИJJЫ, действующие между двумя ней
тронами, рапны силам, деЙствующим между двумя протонами.
' <- "/
"'
9 1. CucmeMaтuli:a стабильных ядер
177
Для TOro чтобы решить, н:акое из двух зеркальных ядер стабильно,
надо учесть эффект заряда. Разность энерrий связи ядер с Tc +-1/ и
Тс 1/2 дается тольн:о дЕс. Из (1.6) имеем
дЕс (И n с 2 И р с 2 ) 1 (А 1). (1.7)
Изобарное ядро с Тс + 1/2 стабильно, если дЕс < тс 2 . ТО1'да элек
трон не мотет быть ИЗJlучен. Если t!.Ec > тс 2 , то стабилен изобар с Тс 1/
[см. (1, 3.5) и (1,3.7)]. Таким образом, мы нашли условие стабильности
для изобара с Тс +- 1/2:
R < (А 1) . 1,05 . 1 o 13 СМ. (1.8)
Из опытов по рассеянию быстрых нейтронов получена хорошая эмпи
ричесная формула для радиусов ядер (см. rл. 1)
R 1,45. А 1 /з . 10 13 СМ. (1.9)
'Условие (1.8), несомненно, выполняется для А> 3, поэтому изобар
с меньшим зарядом является стабильным во всех парах зеркальных ядер,
исн:лючая ядра с А 3 и А 1. Из соотнош ения (1.9) для А 3 получаем
R 2,02 . 10 13 СМ, а из условия (1.8) СJlедует, что для стабильноrо ядра
с А 3 R должно быть меньше 2,10. 10 13 СМ, ЭТИ величины очень БJJИЗ"
ни, и действительно (вследствие необычайно малой энерrии свяэи на частицу),
НУJJОНОВСЮIЙ радиус ядра Не 3 превышает предельное значение (1.8): ядро
Ве 3 стабильно, в то время I\aH ядро Н3 распадается с ИСПУСI\анием отрица
теЛЬНОf'О элентрона, превращаясь в Не 3 . Мансимальная энерrия элен:тронов
в этом случае не более 19 кэв, и это показывает, насн:ольн:о наши оценни
соответствуют действительности. Наше правило Подтверждается данными,
приведенными на фиr. 37, вплоть до А 35. У ядер с большими А эффен:т
заряда начинает преоБJJадать над эффентом симметрии, и стабильные ядра
имеют Те> 1/2'
Обратимся теперь н леrн:им ядрам с массовымп Чllсла.лщ А 4п + 2
(п ЦЫlOе). Типичный случай (А 6) поназан на фиr. 40. Эффент симметрии
не дает указания на ВОЗМОжность выбора среди ядер с Те 1, О, + 1.
Рtатдое из трех ядер может иметь н:онфиrурацию занятых уровней с двумя
дополнительными частицами на верхнем уровне. ЭффеIП симметрии уназы
вает лишь на то, что ядра с I Tel > 2 значительно менее стаБИJIЬНЫ, тан
JШI{ один из занятых уровней долтен иСпытывать распад (фиr. 40, <).
Из трех ядер с Те 1, О, +- 1 два ядра (с Те 1 и Те 1) яВJIЯ
ются зерн:альными, и .на основе изложенных выше сообратений мы мотем
СRазать, что ядро с ТС 1 (Не 6 ) более стабильно, чем ядро с Те 1 (Ве 6 ).
Поэтому выбор оrраничивается, и нам следует исн:ать стабильное ядро с
Те О или Те 1 (Li 6 или Не 6 , фиr. 40, б и 40, в).
Мы видеJIИ, что эффеI{Т заряда делает более стабильными ядра с боль
шим Те. Поэтому н:ажется разумным зан:лючить, что наиБОJlее ста6ИJIЬНО
ядро с Те 1. Однан:о таное занлючение ошибочно: ядро Li 6 , нан известно,
стабильно, в то время нан ядро Не 6 нестабильно.
Паше рассутдение было неверным, так нан: мы не 1юrJIИ считать здееь
(нан это делалось в случае зеркальных ядер), что оба интересующих нас
ядра обладают ОДинановой величиной ядерпой потенциальноЙ энерrии. Две
(<внешние» частицы в Li 6 являются нейтроном и протоном, в то время I\aH
две (<внешние» частицы в Не 6 являются нейтронами. Из Toro фюпа, что
стабильным оназьшается ядро I.i 6 , а не ядро Не 6 , следует, что взаимодей
ствие между нейтроном и протоном в Li 6 СИJJЫlее взаимодействия между
двумя нейтронами в Не 6 на величину, достаточную для Toro, чтобы пере
н:рыть отталн:ивающее действие заряда. Это не означает, что мы долшны
12 Занаа 396
178
rл,. VI. Ядерная сnептроспоnия. Общая теория
отн:азаться от зарядовой независимости ядерных сил. Достаточно отназатьсн
только от их спинов ой независимости. Тан: н:ан: две внешние частицы в Li R
не являются одинановыми, то и их спины MorYT быть парал.пельны без Hapy
шения принципа ПаУJIИ, в то время н:ан два внешних нейтрона в НеИ
а
Tt= 1 <4 ве6 )
в
Tr.==l «(Не 6 )
б
' ;!
=o
(з Li6 )
8
Tr.::=2 (l Н6 )
Фи 1'. /10. Схематическое преДСТaIшенис четырех ядер с А 6
в модели нсзависимых частиц.
С точки зрения эффекта симметрии ЯДрi\ с T,== 1 (Ве 6 ). Tt,==O (Li 6 )
и Т, ==1 (Не6) эквивалентны, и нельзя скаэать. какое иэ них более
устойчиво. Ядра с I Tr.1 > 1, такие кан Н6 (Т,==2), будут вс'лсдствие
ПЛИf!llИЯ эффента симмеТРИII неустойчивыми. Ядрз с Т, == :1:: 1 (Не 6
и Ве6) эерНi\льные; эффент эаряда сиособствует устойчивости 11)\]13
Не6. Ядра Не6 (Т,==1) и Li 6 (Т,==о) не явлпютrн зерналыIчи;; зф
фент Эi\рлда способствует устойчивости ядра Не 6 . 3 СШlIIопые эффен
ты устойчивости лдра Li 6 . Спиновые эффенты преобладают. и пдро
Li6 (Т,==о) действительно пвлпетсн устойчивым. а OCT3JIblIble ядра.
изображенные на схеме, неустойчивы.
должны обладать противополотно ориентированными снинами. Поэтому
достаточно считать, что два нунлона, находящиеся на одном и том же
уровне, притяrиваются ДРуr н: друrу неснолыю сильное, если их спины
параллельны, чем в случае антипараллельных спинов. Таное предположе
ние о спиновой зависимости ядерных сил подтверждается на основе ИЗllе
стных данных о деЙтроне, простейшем ядре из ряда 4п -1 2. ПараЛJIOЛh
ность спинов нейтрона и протона в основном состоянии дейтрона ЯВJшется
очевидной реализацией этоrо правила.
;::';" ''''t-'::'l?
9 1. Систе.матшrа стабильных ядер
{7!}
Поэтому нет необходимости отбрасывать rипотеау :зарндовой 1Jезависи
мости ядерных сил для '1'oro, чтобы попять стабильность ядра Li 6 . Считая
эту rипотезу правильной, мы сумеем получить неСКОJlЬКО б6льшие сведенця
об уровнях ядер последовательности А == 4п+ 2. fипотеза зарядовой неза-
висимости дает ун:азание на то, что ВО.'ПIOвая фунн:ция возбужденноrо со-
стояния ядра Li 6 , в н:отором нейтрон и протон имеют противоположно
ориентированные спины, идентична (' ВOJlНовой фующией ядра Не6, за
8е 6 L 6 Неб Ве б L,G Неб 4 Веб L,6 Неб
4 з I 2 4 3 I 2 3 I 2
...
I I I I I I 1 I
1 О 1 1 О 1 1 О 7i
а 6 в
Ne l8 F I8 во '8
10 Э
4 8е6 L. 6 Неб
з 1 2
- JL1Ес ]AE,
I I I I
1 О 1 О
8 а
Фи r. 41. IIримсрная схема уровней изобарных ядер при раз-
личных предположениях о ядерных силах и об эффекте заряда.
а зффентом заряда пренебреrается; ядерные силы не вависят от заряда.
но зависят от спина; б эффе"том заряда препебреrаеТСlI; ядерные силы
зависят от заряда и спина. но силы. деЙствующпе между двумя неЙ-
тронами. сЧитаются равными силам, деЙствующим мешду двумя прото-
нами; в эФФентом заряда пренебреrается; ядерные силы не зависят ни
от заряда, ни от спина (предполошение Виrнера, см, 3 и далее);
состояния я;\ср образуют «супермультиплет,); е учитывается зффент
заряда; ядерные силы не зависят от заряда. но зависят от спина; раз-
ность знерrиЙ t.E c мешду «соответственными> уровнями обусловлена
зффентом заряда и мошет быть оценена по фор муле (1.11); д Te ше
предполошения. что и в ПреДыдущем ПУннте, но длн случая более
тяшелых ндер. для ноторых эффент заряда иrрает б6льшую роль; в этом
случае зффент заряда преобладает над спиновым эффентом. и ядро
с Т!;==1 устоЙчиво. а ядро с Т!;==О неустоЙчиво.
иt;КЛlOчением TOl'O, что протон ядра Li 6 заменен в Не 6 на нейтрон, Обо-
значим это возбужденное еостояние нак J..Ii 6 *, По тем те причинам та же
ВО.лновая Фунн:ция ОIIиеывает и оеновное состояние ядра Ве 6 , Состояния
ядер Не 6 , Li 6 * и I3е 6 е одинан:овой волновой фунrщией образуют простой
пример мультиплета по массе или .му.лыпип.лета по иаотопичеспо.4tу спину.
В данном случае мы имеем дело с триплетом по изотопическому спину;
три ядра Не 6 , Li 6 * и Ве 6 с Т', == 1, U, 1 соответственно образуют три НОМ-
поненты TaHoro триплета по ИЗОТОIIичесн:ому спину.
Если пренебречь эффен:том заряда, то энерrетические уровни наинизших
t;ОСТОЯНИЙ ядер Не 6 , и 6 и Ве 6 будут тан:ими, н:ан: это показано на фиr. 41, а,
Три уровня, энерrии КОl'ОРЫХ равны, состав.'1ЯЮТ триплет по изотопичесн:ому
спину. На более низком уровне ядра Li 6 , соответствующем основному со-
стоянию ядра, находятся (<внешние» частицы протон и нейтрон, спины
ноторых параллельны, Это состояние является триплетным по обыч-
ному спину и может быть названо синr.петным по изотопичесн:ому спину,
12.
180
Тл. VI. ЯдеРllДЯ спектроскопия. Общая теория
Если мы отн:ажемся от I'ипотезы зарЯДОRОЙ независимости ядерных сил
и будем тольн:о считать (что проще Brero), что силы, деЙствующие между
двумя нейтронами, равны силам, действующим между двумя протонами, то
схема уровнеЙ на фиr. 41, а будет близна н схеме 41, б; два зерн:аJIЬНЫХ
ядра Не 6 и Ве 6 попретнему обладают одинан:овой энерrией (без учета эффен:та
заряда), но уровень ядра Li 6 , йа н:отором «внешние» частицы имеют анти
цараллельные спины (IJi 6 *), больше не совпадает энерrетичесни с уровнями
ядер Ве 6 и Неб. С друrоЙ стороны, если принять более сильное предполо
жение о зарядовоЙ и спиновоЙ независимОСТИ ядерных сил, то схема ypOB
ней 41, а перейдет в схему 41, в; уровни ядра Li 6 , на ноторых (<внешние»
частицы находятся с параллельными и аНТl1параллельными спинами, COB
падают по энерI'ИИ. Поэтому при таних силах триплет и синrлет по изо
топическому спину на фиr. 41,а совпадут и образуют суперму.льтип.лет
па фиr. 41, в.
Рассматривая вновь фИI'. :17, мы видим, что среди ядер серии
А == 4п+ 2 дО N14 ВIшючительно, ядра с Т' == О являются стабильными.
Однако далее стабильными оназываются ядра с T == + 1 (например 018,
Ne 22 и т. д.). Это можно объяснить с.ледующим образом: эффент заряда
исн:ажает схему уровней, изобратенную на фиr. 41, а, превращая ее в
схему, изображенную на фиr. 41, iJ. С помощью (1.6) мотно определить
величину, на RОТОРУЮ понитается энерrия осшшноrо состояния ядра с Т r. == 1
по отношению к соответствующему уровню в ядре с Т' == О. Она равна
е 2
дЕ с == 1 (A 2) (Мnс2 Ирс2). (1.10)
Используя соотношение (1.9) для нулоновсноrо радиуса R, получаем
""
A 2
д Ec==0,41 1 1,29 Иэв.
А 3
Отсюда видно, что нан и СJlедовало отидать, дЕ с быстро возрастает с увели
чением MaccoBoro числа, тан н:ан: нулоновсная энерrия пропорциональ
на ЧИСJlУ пар протонов; меДJlенпое увеJIичение радиуса ядра R ("-' А1fз)
не может компе!lсировать этоЙ тенденции. Поэтому по мере увеличения
MaccOBoro числа мы постепенно достиrнем точни, rде энерrия одноrо
из трех возможных состояний ядра с противополотно направленными спи
нами внешних НУНЛОНОВ (состояние с Т' == 1) он:атется меньше, чем энерrия
ядра с Т' == О и параллеJIЬНО направленными спинами внешних нун:лонов
(фиr. 41, д). Начиная с этоrо момента, изобар с T == 1 становится более
стабильным, нетели изобар с Т' == О. Кан видно из фиr. 37, это выполняется
для массовых чисел, больших 14 18.
Проведенное рассмотрение объясняет систематин:у стабильных ядер до
А == 36 внлючительно. Далее, нан это СJlедует из фИI'. 37, выявляется TeH
денция к увеличению значениЙ 1\. Тан:ое относительное УВeJlИчение числа
нейтронов является следствием влияния Н:УЛОНОВСlшrо отталнивания метду '"
протонами. Разность НУЛОНОВСI{ИХ энерrий между соседними изобарными
ядрами меняется примеряо ПРОПОРЦИОНaJIьн6 А 2/з [см. (1.6)] и поэтому тем
существеннее, чем больше массовое число.
Рассмотрим раздельно ядра с четными массовыми ЧИСJIaМИ А == 4п,
А==4п+2 и нечетпыми А=4п+1, A==4п 1 (п цепое число).
Начнем с серии А == 4п + 2 (фиr. 42, а). ДО N14 нечетно нечетные ядра
с Т' == О стаБИJJЬНЫ; начиная с 018, стабильные ядра уте имеют избытон:
нейтронов и у них T == 1. Мы видели, что это обусловлено ноннуренцией
между относительно слабым спиновым эффен:том и эффеюом заряда. Эффен:т
заряда с ростом А во все большей степени приводит I{ увелнчению T . Тем
не менее соотношение T == 1 имеет место' до А == 46, начиная с HOToporo
( 1.11)
,
'_.. " "'"
.\
!J 1. CиcmeMamи1fa стабильных лдер
18t
стабильными являются тан:же ядра с Т, > 1 (Са 46 , Т, == 3). Столь бол шое
значение А слутит указанием на то, что своЙства симметрии волновОЙ
фунн:ции оказывают решающее влияние на стабильность ядер: ядро с
Т, == 3 неизбетно долтно содержать нескольн:о меньшее ЧИСJIO симметрич
ных пар, чем ядро с Т, == 1.
8
7
6
5
4
3
2
1
00
"
......' I I 1 I I I I ! I О '"о 10 oT
о"
О О О О О О О О
О О О О О О О О О
I 0,0 0,0 010 010 0,0 о, I I I I '
8
ffi М п м п 00 00
а
А
'"
8
'7
6
5
4
3
2
1
00
I I , -1 , , I I I I l I T
I I 1 ! l I I I I I I I '
8
ю н w 00 м $
б
l'
А
(
Фи r. 42, У стойчивью ядра с А ос; 100. ОБО3IJaчения 'Ш же. что
и на фиr. 37, но теперь ра3ШIЧIlые серии ядер ПОI{азапы раздельно.
a Hдpa серии А==4п+2 (п" целое число); б лдра серии А==4п; в' Hдpa с нечет--
ными А. т. с. серий А==4п+ 1 и A==4n 1.
Коrда действие эффен:та заряда становится сравнимым с действием
эффен:та симметрии, стаБЮIьные ядра имеют Т, == 3, а не Т, == 2, т, е. нечетно
нечетные ядра с Т, == 2 ниноrда не бывают стабильными. Н самом деле, для
А == 46 ядра Ti 46 (Т, == 1) и Са 46 (1', == 3) стабильны, Между ними находится
радиоактивное (испытывающее н:ан: распад, так и захват элеIпрона) ядро
SC 46 с Те == 2. Позднее мы увидим, что соображения, основанные на эффекте
симметрии, MorYT быть использованы и для объяснения ЭТОI'О фан:та.
Подобную те тенденцию н: увеличению 1" можно наблюдать и у ядер
с .массовы.м ЧllСJl,О.м А == 4п (фиr. <'12, б). (:таБиJJыlмии Яl.IJJяютея толы{о Ha
сыщенные ядра с 1" == О (целое ЧИСJlO а. частиц) до А -=32 включительно.
Для массовых чисел А ==36 и А ==40 имеется по два стабильных ядра
(Т, ==0 и Т' ==2). Далее дО A= 60 стабилъными изобарами являются
тольн:о ядра с Т' == 2 (за исн:лючением А ==48, ноrда стабильным оназы
вается еще ядро с Tr. :...... 4). При А==64 имеется два стабильных ядра
182
Тл. V 1. Ядерная спет-тРОС1О0nия. Общая теория
() T ==2 и T ==4. Отсюда начинается область стаби.1IЬНЫХ ядер с T ==4
\1 т. Д. В этой серии опять таки нет нечетно нечетных ядер (т. е. ядер
(', А==4п, у которых T нечетно). .
Наконец, обратимся' к ядрам с не'Четны.мд массовы.мд 'Числами А==4n+
'; 1 и А ==4n 1. ТаRие ядра можно рассматривать совместно аналоrично pac.
емотрению атомов, находящихся в начале и в н:онце периода периодическои
таблицы элементов. .Лишний элеRТJIOН вне замннутоЙ оболочки в литии ведет
себя почти так же, как и (<ДЫРНа» (недостающий элентрон), которую в атоме
фтора нужно зашшнить, чтобы ПОJIУЧИТЬ замннутую оболочку. Подобно это
му, JI(эrкое ядро серии 4n,+ 1 имеет Оi(ИН ВУЮlOн сверх п заПО.пненных уровней,
в то время кан .т1еl'Iюе Яi РО серии 4п 1 (см. фИl'. 39) можно рассматривать
как состоящее из п ааПОJшенных уровней и «дыркю> (недостаЮЩel'О нуклона)
на верхнем уровне. Подобный парашю.rrи:зм имеет место танже и у более тяже
лых нечетных ядер. В силу ЭТО1'О В,'Ilfяние эффекта симметрии J(ОЛЖНО быть
примерно одинаноuо н:ан в случае ндер серии 4п+ 1, тан и в случае ядер ce
рии 4п 1. Влияние эффекта зарЯi а таюне примерно о;(инаново у ядер этих
двух серий. Таким обрааом, теория предсназывает, что тенденция к BoapaCTa
пию величины Т, (обусловленная Ю>НRуренциеiI между эффентом заряда
и эффектом симмет ри:и) дотнна быть примерно одинановоiI в зависимости
нт MaccoBoro чие.па этих двух серий. :11'0 :занлючение подтверждается дапны-
ми, приведенными на фиr. 42, в.
Для каждOI'О нечетноrо значения MaccOBoro числа А имеется только
одно стабильное ядро, 13 то время нан ДJlЯ больjП01'О ЧИС,1Iа четных значений А
имеется по два и более стабильных изобара. Это обстонте.1IЬСТВО будет объяс-
нено II 4 на основе простых соображений симметрии.
2. ПОЛУЭМПИ:РИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА ВАЙЦЗЕККЕРА
ДЛЯ МАСС ЯДЕР
В предыдущем параrрафе мы рассмотрели эффекты, ВJlИяющие на ста-
nИJIЬНОСТЬ ядер. Продолжим теперь наше рассмотрение с тем, чтобы получить
простую интерполяционную формулу для энерrий основных состояний ядер.
«Конденсированнаю> ядерная материя, повидимому, совершенно несжи-
маема: объем ядра прямо пропорционаJIен массовому числу. Кроме Toro,
:ш:спериментально и:звестные энерrии, связи обнаруживают насыщение, т. е.
энерrия связи оназывается приблизителъно пропорциональной массе ядра,
tI следовательно, и er6 объему. Напишем поэтому основной член в формуле
/{JIН энерrии ядра в Вlще «объемноiI энерrию>:
Б об .== и,A, (2.1)
rде uu постоянная, hоторая будет определена из сравнения с опытОМ.
Эффект симметрии дает поправку н объемной энерrии. Этот эффент спо-
ибствует значениям 1',==0, и поэтому в формуле появляется положительный
член, имеющий минимальное значение при T ==O. Будем считать, что он про-
порционален Tt. Можно ожидать, что множитель пропорциональности за
висит от MaccOBoro числа А. В следующем иараrрафе будет lIоказано, что для
l{aHHOrO изменения числа симметричных пар изменение потенциальной. энер-
\'ии обратно пропорционально массовому числу А. Поэтому напишем выра-
щение для «энерrии симметрию> в виде
T
Е симм . == 4u't А ' (2.2)
\'де U't постоянная.
Мы уже оценивали нулоновсную энерrию. Соrласно (1.2), имеем
Е нул . == 4u c Z (Z 1) А l/з. (2.3)
2. П о.ауамnиричес"ая формула Вайцае""ера для .масс яоер
183
Постоянная и связана с постоянной ro в выражении для радиуса ядра
R == r о А1fз соотношением
:i {,2
иC==' 2 O 0,15 Иде.
, ro
(2.4)
(Выбор множителп LI в опредепениях для постоянных и" и и с сделан в
('()ответствии е обозпачениями, принятыми В обаорной статье [233].)
Имеется, однако, еще один эффект, HOTOpbli-i: также необходимо учесть,
Это поверхностный эффект [797]. Он совершенно аналоrичен поверхност
IIОМУ натюнспиlO в тидностях. Поверхностное натяжение объясняется тем,
что нуклоны, находящиеся на поверхности, имеют меньше «связей», чем
нунлоны, нах()дящиеся внутри ндра. Поэтому по аБСОJIIОТНОЙ величине по
тенциальная ::шерrия ядра оназывается меньше Toro значения, I\оторое мы
получили бы, рассматривая просто сферу порядна размеров ядра внутри
очень БОJIЫl!Ol'() объема конденсированной ядерной материи 1). Поверхност
.3 ный эффент дает член в энерrии, имеющиii характер отталнивапия. Этот
.эффент пропорционален площади поверхности ядра, т. е. А2/з. Поэтому Ha
iflюпем ero в Биде
Е пов . == и в А2/з.
(2.5)
Тан юн..: отношение ШlOщади поверхности ядра к cro объему YMeHЬ
Illается с увеJlичением объема, то поверхностныЙ эффент имеет наибольшее
;шачение длп JIеrних ядер. Наоборот, эффент заряда имеет наибольшее зна
чение для более тяжелых ядер (большие значения Z). Действительно,
( aMыe тяшеJlые ядра обладают настолько большим зарядом, что они He
устойчивы по отношению к испуснанию Il частиц и к делению.
Собрав все члены, получим полуэмпuрu'Чеспую формулу Вайцзе,.пера
для энеРI'l1Й основных состояний ядер [783, 55, 233]
2
Е == в == uvkf 4и" + 4u c Z (Z 1) А l/з. + u s А 2 /з.. (2.6)
Здесь B . энерrия связи, определенная в rл. 1, 2, Е == в энерrин
OCHoBHoro состояния ядра. Для полной энерrии ядра и, внлючающей также
энерrию массы покоя, имеем теперь I
и == А М п с 2 ;М р с 2 + Т, (И п с 2 И р с 2 ) + Е.
(2.7)
Формула (2.6) является приближенной интерполяционной формулой,
которая не отражает IШJ\их либо ТОНJ\ИХ деталей в поведении энерrии в
;1ависимости от харантеристик ядра. С помощьJO ее воспроизводятся тольно
'1'лавные свойства и тенденции энерrии ядер. Используем, например, (2.7)
Д.ля ВЫЧИСJlепия величины Т,, при котороЙ имеет место наименьшее зна
<rение энерrии и при данном массовом числе А:
r . 1 и с (А 1) А l/з. (М п с 2 М р с 2 )
(Т')МИН. == 2 1 / (2.8)
и"A l + иcA З.
Упростим это выражение, оставив только основные члены и пренебреrая
разностью масс протона и нейтрона:
(Т')МИН. 2 ис А5/з.. (2.9)
и"
1) Друrие !{ВантовомеханичеСRие Эфф()I{ТЫ, ПрИRодящие R выражению для повсрх
lюетноrо натяжения, рассмотрены ВаЙЦ3eIшером [7831 и Фин6ерrом [2281.
184
rл. VI. Ядерная спектроскопия. Общая теория
В выражение дЛЯ (Т')МИII. входит отношение ис/и" так нак стабильность 1I()
отношению н распаду определяется ноннуренцией между эффентом за
ряда, НОТЬРЫЙ приводит н увеличению' избытна нейтронов, и эффентом
симметрии, КОТОРЫЙ при водит н предпочтению для ядер с Т, == О,
По той же самой причине зависимость от MaccoHoro числа определяется
заноном А5/з: влияние эффента заряда пропорционально А2/з, а эффент'
симметрии пропорционален
A I, и в (2.9) входит OTHO
шение этих эффентов.
Теперь перейдем н оп
ределению постоянных в фор
муле (2.6). Постоянную и
в выражении для нулонов
сной энерrии мощно доволь
но точно определить из раз
ности энерrий «зернальных
ядер» [714]. Из формулы
(2.6) следует, что раЗНОСТJ
энерrий связи между паром
ядер (А, Tr.== +1/2) и (А,
Т' == 1/2) равна
и содержит только постоян
ную и с . Выражение (2.10)
12 . 14 можно сравнить с энспери
ментаЛЫIЫМИ значениями
этоЙ разности, взятыми из.
мансимальных энерrий ПО
зитронных спентров ядер
с T,== 1/2' На фиr. 43
представлена зависимость
разности энерrий (2.10) от
(A 1) А ]!з. Она должна иметь вид прямоЙ .линии, проходящей череа,
начало ноординат с нанлоном, равным 4и с . Мы видим, что почти все
точки ложатся па прямую линию. Иснлючения встречаются только среди
очень Лel'ЮJХ ядер, rде MurYT оканаться важными накие .r1ибо особы&
<Jффенты, как, например, кулоновская обменная энерrия [230, 231, 595J.
ИЗ этоrо rрафика получаем и с == О,148Иэв, что дает ДJIЯ KYJlOHOBeHoro
радиуса ядра
1}
8
7
6
q,
5
...
><
Q4
-з
3
2
1
2
4
6 8, 10
(А ОА 'Iз
Фи r. 4 . Разность энерrий зеркальных ядер (исправ
ленная на различие масс нейтрона и протона) в за
DИСИМОСТИ от величины (A 1) А l/з.
Rc == 1,465. А1fз . 1O 13 СМ.
-' ,i
.
в ( А, + )
( 1 ) A 1
В А == 4и с l/
'2 А 3
(2.10)
(2.11)
Определив и с , мы можем найти веJ1ИЧИНУ и", сравниван теоретическое'
выражение (2.8) дЛН (Тr.)МИII. со значениями Т' стаБИJJЬНЫХ ядер. Для тех
А, у ноторых имеетсн только два стабильных ядра, чтобы УДOJшетворить
выражению (2,8), мы используем среднее значение Tr.. 'УЦОШIeтворите.льно&
соrласие получается, если выбрать И,;; === 18,1 Иэв. Две остающиеся констап
ты можно опредеШIТЬ, сопоставляя (2.7) с известными массами ядеr
r
f
!
- '..
.","""", ,:"",- ,'_\Ч ,
s 2. Полуэ.мnирическая фор.мула Вайцзеккера оля .масс яоер
185
I
Финберrом были найдены следующие значения [233]:
Здесь необходимо указать, что постоянная и" не равна постоянной q
в приближенном соотношении В "'" q А, ноторое часто используете я. Величина q
для ядер среднеrо веса равна при
мерно 8 j'J;J эв, и ею учитывается эффент
всех членов в (2,6). Мы еще раз под
черкиваем, что простая формула (2.6)
не дает аДfшватноrо описания энер
rИII связи отдельных ядер. Ее можно
рассматривать в качестве приближен
Horo представления rлавных свойств
зависимости энерrии связи от Macco
Boro числа и избытка нейтронов. KOH
станты (2.12) танже являются тольно
первым приближением. Более точные
их значения можно найти в обзорной
статье [233].
Из формулы Вайцзен:кера (2.6)
следует, что энерrии изобарных ядер
в зависимости от ТС JIежат на параболе
и минимум параболы имеет место при
(Тr.)мин., нак это показано на фиr. 44.
Формулу (2.6) можно переписать в виде
и == и [А, (Те)мин.] +
( 4и" 4и ' )
+ А+ Аl з [Те (Т е )мин.]2,
(2.13)
I'де (Тr.)мин, дается выражением (2.8). 'у этой кривой имеется только один
минимум. Ядро с Тс, ближайшим к (Тr.)мип., стабильно по отношению к
распаду, а друrие ядра нестабильны. Полуэмпирическая формула для масс
н таком простом виде исключает возможность существования более чем одноrо
изоба]Эноrо ядра. Экспериментально известно, что в случае нечетных Macco
вых чисел существует только по одному стабильному изобару. Но среди ядер
с четными массовыми числами существуют по два, а иноrда и по три стабиль
ных изобарных ядра. Эти стабильные ядра относятся всеrда :к четно четным
ядрам. Между ними находятся нестабильные нечетно нечетные ядра, которые
испытывают r распад в обоих направлениях. Поэтому мы ДОJIЖНЫ добавить
в формулу Вайцзеккера член, зависящий от четности ядра. Сейчас нам ДOCTa
точно считать, что четно четные изобары лежат на одной параболе, а He
четно нечетные на друrой, с той же самой кривизной и с тем же значением
(Тдмин., но сдвинутой вверх на некоторую постоянную величину.
Таким образом, к (2.13) мы добавим член
и" "'" 14 Иэв,
и с == 0,146 И эв,
r
,
l'
i
I
i
'1
I
l'
11
ir
,
.
......
'.
о
:!: 2А
и" "'" 18,1 Иэв,
U s "'" 13,1 Иэв.
(2.12)
Т,
и[А, (T,J"'UH.J
Фи 1'. 44. Пот ая эперrШl и изобарных
ядер в зависимости от избытка нейтро
пов Т r. в полу эмпирическом прибли
жении.
RриваJI JIВЛJIеТСJI параболой. Величина
(Те) мин.. при RОТОРОЙ энерrия и имеет Ha
именьшее значение. не соответствует реально
сушествующему flДРУ (т. е. она не обяза
тельяо долшна быть целым или полуцелым
числом) .
(2.14)
"
и будем выбирать отрица1'ельный знан для четно четных ндер и ]1O.ТlOжитель
ный для нечетно нечетных. Величина о считается постоянной. Этот член
пронорционален A l, тан кан поправна (2.14) является следствием эффента
симметрии, а мы уже предположили такую зависимость от А для l'лашюrо
ВЮIaда от эффекта симметрии. Мы знаем, что энерrин нечетноrо ядра
t
186
r.lt. v 1. Яоерная сnе"трос"оnия. Общая теория
ЩJимерllО равна полусумме энерrий соседних четно четноrо и нечетно нечет
Horo ядер. Этот факт и является обоснованием Toro, что мы добавляем к
энерrиям нечетно нечетных ядер ту же величину (2.14), какая вычитается из
энерrий четно четных ядер.
Порядок величины параметра симметрии а можно довольно просто oцe
нить следующим образом. Имеется нижний предел величины О, тан: нац все
lI('четно нечетные ядра нестабильны. Схематически это показано на фиr. .45,
"1
.
'<{
1
u
I
I
I
I
I
I
I
I
Нечетно
нвцетные
t
I
I
I
I
I
,.
.
.;!
,
4и т + 4и с
А А'1.9
i
:
Фи r. 45. Эперl'ИЯ ядра U в зависимости от избытка llей
тронов Т, для фиксироваНIlоrо четноrо MaccoBoro числа
А с учетом различия четно четных и lючетно нечетных
ядер.
Номазан случай. наиболее блаrоприятный для устойчивости нечет-
но-нечетноrо ядра с тамим выбором параметра разделения парабол iJ
(8 очень мало). что нечетно нечетное ядро устойчиво. Таиой случай
в природе не реализуется. Это ПРИDОДИТ М условию
о;;;' 4u,,+4u с А 2 / з .
:.
",,]
..',1
1
:
.
',1
;1
['де построены параболы ДJlН четно четных и нечетно нечетных изобар в слу
чае, наиболее блаrоприятном для стабильности средних нечетно нечетных
изобар. Для нижнеrо предела величины о отсюда получаем (используя ранее
определенные величины и" и uJ интервал от 70 до 100 Мэе. Большие значения
относятся н большим массовым числам.
Можно получить таюне и верхний предел величины а. Для этоrо исполь
зуем тот фант, что три изобарных ядра встречаются очень редно. НаиБOJIeе
блаrоприятные условия для существования трех изобар поназаны на фиr.46.
Если бы трех изобар вообще не существовало, то а должно было бы быть
примерно в 3 раза больше уназанноrо выше нижш rо предела. Тан нан слу
чаи трех изобар все тани имеются, то мы видим, что действительное значение
а близно н верхнему пределу, т. е. оно имеет величину, заЮlючеllНУЮ в пре-
делах от 200 до 300 Мэе. Более детальное рассмотрение энерrий распада
подтверждае1 это заключение и приводит н ве.lIичине
а'"'-' 270 М эе (для ядер среднеrо веса). (2.15)
Чтобы получить действительное разделение между параболами для нечетно
)
,
'1
")
,
.;.
Z. П олуа.мnирическая фор.мула Вайцаеккера для .масс яДер
187
нечетных и четно четных ядер, эту величину необходимо, I\онечно, разделить
на массовое число 1 ). .
Бор и Vиллер [89j ИСПОJIьзовали полуэмпирическую формулу для масс
(2.13) при анализе процесса деления. Однако они интересовались более тон.
RИМИ деталями поверхности энерrии, особенно «1i:ОliЦО.Ю> R долине стабильных
и
Фи r. 4а. Энерrия ядра и в зависимости от избытн:а lIей
тронов Те для фИRсированноrо MaccoBOI'O числа А с учетом
различия четпо чзтных и нечетно нечетных ядер,
Помазан случай. наиболее блаrоприятный для существования трех
устоЙчивых изобарных пдер (все ядра четно четпые). с выбором
столь большоrо значения параметра разделения парабол 8. что все
три четно четных изобарных ядра устойчивы. 'l'аи наи этот случай
очень редио реализуется в природе. то отсюда следует условие
1) 3 (4u,+4uсА2/з)
ДЛJI пара метра разделеюш парабол 8. Это УСJI0вие нарушастсн
тольно внеснольмих случанх.
ндер [284]. Они учли это, заменив (<теоретическое» значение (l'с)мип., опреде
.аенное по формуле (2.7), на чисто эмпиричесний параметр, дающий дно
ДОJ1ИНЫ масс для любоrо данноrо значения А. Это приводит Н ;заметному улуч
шению соrласия формулы с известными энер1'ИЯМИ связи и энерrиями распа
да. Однано это улучшение понупается ценоЙ полной потери теоретичесноrо
обоснования, и тоrда формулу надо рассматривать нан еще БОJIее эмпири
чесную. Таную и подобные еЙ формулы мы здесь рассматривать не будем
[772, 435, 233, 177].
Даже с учетом всех таних поправон получающиеся выражения не объяс
няют особой стабильности неноторых ядер по сравнению с их соседями
1) ПолуэмпиричеСRое ,тачение а/А приводит J{ завышенному значению разделения
парабол в зависимости от MaccoBoro числа. «ЭФФеRтивп()е» значение а меньше для леrRИХ
ядер и больше для очень тяжелых ядер. Лучшее приближение получается ЩJИ использо,
вании выражения типа а' /А 3 /4 (неопуБЛИRованная работа Ферми).
188
Тл. VI. Яоерnая спектроскопия. Общая теория
[526,210,211]. Особая стабильность таних ядер, повидимому, связана с опре
деленными (<маrичеснимю» числами нейтронов или протонов (или тех и дpy
rих вместе) в ядре. Эти эффенты будут расемотрены в rл. XIV.
* 3. ПОДРОБНОЕ РАССМОТРЕНИЕ ЭФФЕRТА СИММЕТРИИ
В этом парю'рафе мы остановимся на более полпой ноличественной
формулировне основных сообрюнениЙ, связанных с эффеI{ТОМ еимметрии, и,
в частности, ПО1шжем, что обменные силы приводят Н потенциаJIЫlOЙ энер
rии, имеющей минимальное значение при наименьшеii величине \ T 1.
Будем сначаJIа считать, что ядерный потенциал является потенциалом
типа Майорана. Тоrда можно оценить потенциа.1JЬНУЮ эяерrию аналоrичНо
тому, HaR это было сделано в rл. ПI (III, 3.2):
V == (n+р+ n p ) V o , (З.1)
,'Де n+ и n числа соответственно симметричных и антисимметричных пар,
Р+ и p вероятности взаимодействия этих пар, и Vo' среднЯя потен
циальная энерrия (ПIубина ямы) в пределах радиуса действия сил Ь. В co
стоянии с нормальной плотностью вероятность р+ заметно БОJlьше Bepo
ятности p. . Поэтому в первом приБJlижени и для V мы полностью прене
брежем ВRлаДОl\1 от антисимметричных пар. Соrласно (III, З.6), вероятность
р+ можно разбить на два множителя: g+ и р. Величина g+ приведена на
фиr. 24 в rл. ПI. В предельном с.пучае Р+ »p она стремится н значениIO
порядна 2, ноrда вероятностью g можн6 пренебречь. ИСПОJIЬЗУЯ ,асимпТО
тичеСRое выражение р (III, 2.8) для случаи R »Ь, находим
p+==g+p 2( )3. (3.2)
Тан нан радиус ядра R пропорционален А1fз, то мы имеем
( !... ) 3 !5...
R А'
(3.3)
2 З. Подставляя (3.2)
I'де k ноэффициент пропорциональности поряДIШ
и (3.3) в (3.1), получаем
V 2k + V o (чистые силы Майорана),
(З.4)
отнуда СJlедует, что потенциаJlьная энерrия имеет мипимальное значение в
состоннии, IЮI'да имеется мю{симаJIьное ЧИСJJО симметричных пар.
Теперь обобщим наше рассмотрение, введЯ не зависящий от заряда
потенпиаJJ, обменпыо свойства HOToporo являются номбинацией обменных
свойств типа Майорана и Виrнера. ВИl'нером [807] было впервые уназано
на большую простоту и возмощность числепных выводов, ноторые ПОJlУ
чаются в предположении ТЮПlХ сил, не за13ИСЯЩИХ ни от заряда, ни от
спинов. Воеьма возмощно, что это предполощение не очень далено от дей
ствительности.
Запишем по'rенциаJIЬНУЮ Эllерrию двух частиц в виде суммы двух чле
нов: один из НllХ обычные силы (силы Виrнера) V w (1'), а друrой про
странствеПllO обменные силы (силы Майорана) V м (r) рМ:
V (r) == V V (r) + V м (r) рм, (3.5)
rде рм обменныЙ оператор МаЙорана, переставляющий пространственные
н:оординаты двух НУIШОНОВ. По.пная потенциапьная энерrия равна сумме
выражений типа (3,5) по всем парам:
А
V == V ij (riJ)' (З.6)
i<j 1
<:'''-АJ'''' :f:';
,./ .
Т"'....'
$ J. П ооробн'ое рассмотрение эффекта симметрии 189
Среднее значение V потенциала дается следующим обобщением Bыpa
жения (3.1):
V == (n+р+ + n p ) (V w)o (n+р+ n p ) (V М)о, (3.7)
rде (V w)o и (V М)о соответствующие средние (шубины ям) от потенциалов
V w (r) и VM (r) по области Ь. В состоянии с нормальной плотностыо мы
<снова пренебреrаем p по сравнению с р+ и получаем выражение, анало .
l'ичное (3.4), rде
V o == (V М)о + (V w)o.
(3.8)
между нейтроном и протоном
из данных о системе двух тел,
Эта сумма определяет притяжение
'в S состоянии, поэтому се можно найти
проанализированных в I'Л. Н.
Теперь ПРОИЛЛIOстрируем важность выражения (3.4), вычие.ТIИВ раз
НОС'IЪ :терrий ядер 016 и N16. ДЛЯ описания ядер используем модель
независимых частиц (фиr. 38, а для 016 И фиr. 38, б дЛЯ N16); раз
ница между ядрами в нашей rрубой оценке обусловлена TOJJbKO числом
симметричных пар n+, Кан мы уже делали в rл. IH при выводе (HI, !1.27),
найдем число n+ для этих двух ядер 1). Это дает для А == 16 и T == О
(фиr. 38, а)
6 /1'3
N + n == 4. 4 == о
2'
n+ == 60
А == 16 и T == 1 (фиr. 38, б)
3 ( 5.4 4.3 3.2 )
n+ n ==(3.611. +1.0) 2+221 2 ==
n+ == 58.
В 016 двумя симметричными парами больше чем в N16. Поэтому
потенциа.'1ьная энерrия ядра 016 меньше потенциальной энерrии ядра N16
на величину
и для
4,
2
V == 2k А V o "'" 5,3k Иэв.
(3.9)
Мы использовали тот фант, что А==16 и V o ==21 Иэв (это вытенает из
результатов исследования системы двух тел, ПРО13еденноrо в r;п. 11). Так
R3I\ величина k заключена в пределах между 2 и 3, то мы получаем
ТТ "'" 11 16 Иэв (оценна). (3.10)
Действительная разность энерrий основных состояний ядер N16 и 016 Ha
ходится в этих пределах 2).
Может поназаться, что не очень надежно основывать Н3I\ие либо оценни
величины n+ на модеJlИ независимых чаетиц, J\оторая, вероятно, не очень
точна. Однано мы понажем, что использование модели независимых частиц
приводит 1i правильным значениям n+, если ядерный потенциал содержит
только силы Виенера и MaйopaHa, па!>" например, потенциал (35), Число
n+ в состоянии ядра W можно определить, зная выражение (111, 4.26),
1) Пара чаСТИIl Шl одном и том же уровне дает в n+ n ВIшад, равный +1; нара тож
деетвепных частиц (на различных уровнях) дает 1; кю,ая.либо друrая пара (неодипа.
ковых частиц в различных состояниях) дает нуль. Заметим, что результат (III, 4.27)
зависел от предположения, что N и Z четные. I10ЭТОМУ приведепная здесь величина для
n+ n соrласуется с (111,4.27) длн 016, но не для N16.
2) Разность энерrпй связи ядер 016 и N16 равна приблизительно 9,7 Мм. ЭТО значе
ние необходимо исправить на эффект заряда в соответствии с (1.6). После введения такой
попраВI,И получим для разности энерrий значение, равное 13 МЭ6.
А
[ "" \ ш * р !'JШ d , A(A 1) ]
n+ 2 ..:::.J J 'Х 1 'Х 1: I 2
- i<i==1
190
r.tt. У/. Яоерная спектроскопия. Общая теория
которое дает разность чисел симметричных и антисимметричных пар n+ n .
Так кан: n+ + n == 1/2 А (А 1), то мы имеем
(3.11)
Ныратение (3.11) является точным. В rл. IП число n+ было получено при
некоторых предположениях о волновой функции чr. Покажем сначала, что
при наших предположениях о силах обменный оператор pff коммутирует
с rаМИJIьтонианом Т + V. Оператор потенциальной энерrии (3.6) зависит
только 01' пространственных координат ядра и инвариантен по отношению
к перестановне любых двух пространственных координат (pfJ == P:f).
Поэтому оператор pff номмутирует с оператором V. Точно таким же об
разом пространственные координаты всех нунлонов входят в выражение
для нинетической энерrии. Следовательно, оператор pfJ коммутирует такте
и с оператором кинетической энерrии Т.
Конечно, оператор pff не номмутирует с оператором НУЛОНОВСНОЙ энер
{'ИИ, тан как перестановна нейтрона и протона изменяет кулоновскую
энерrию ядра. Однано до тех пор пока нулоновскую энерrию можно pac
сматривать как малое возмущение, мы можем утверждать, что оператор
p приблизительно коммутирует с полным rамильтонианом Н == Т + v + с.
Это приближение оrраничивает наше рассмотрение леrними и средними
ядрами, тан как в случае тяжелых ядер кулоновсная энерrия С уже заве
домо не мала по сравнению с потенциальной энерrией V. Это особенно
следует иметь в виду при рассмотрении интересующей нас зависимости V
и С от избытна нейтронов. Выражение (3.11) для числа n+ содержит
Р М Д u
тольн:о оператор ii. еиствительно, мы можем рассматривать число n+
Kali математичесное ожидание следующеrо оператора:
'"
1 [ ""М А (A 1) J
(n+)оп. =="2 ..:::.J Pii + 2
110 всем парам
(3. 12)
Этот оператор номмутирует с rамильтонианом Т + v.
Для Toro чтобы определить возможные значения n+ для ядра, coдep
жащоrо А частиц, нет необходимости использовать действительную слож
ную ВОJlJIOВУЮ функцию системы. Мы можем использовать волновые функ--
ции, 01'носящиеся Н неноторому финтивному потенциалу, при условии, что
эти фУННЦИИ адиабатически переходят в правильные, коrда выключается
фин:тивныЙ потенциал и внлючается действительный. Коммутативность опе
ратора (п+)Оl1 с rамильтонианом обеспечивает постоянство n+ во время
тан:ой ;JaMOllbl, В начестве финтивноrо потенциала выберем просто потен
циаJI, обуеJlовленный стеннами непрозрачной еферичесн:ой полости, внутри
но1'ОрОЙ находится нунлоны, не взаимодействующие друr с друrом. COOT
веТС1'вующая (в модели независимых частиц) волновая фуннция особенно
проста, и в этом случае можно леrко подсчитать число симметричных и
антисимметричных пар.
Очевидно, что энеРI'ИИ и волновые фуннции ансамбля нунлонов за
метно изменяются во время операции замены потенциалов. Однано из
оценки (3.4) следуе1', что в первом приближении достаточно знать число
симметричных пар в деЙствительном состоянии ядра, чтобы иметь возмож
ность оценить эффент симметрии. При этом нет необходимости знать по
дробности поведения волновой фуннции. Число n+ правильно дается
модеlIЫО независимых частиц, Поэтому из возможных значений n+ мы
J. П ооробн'ое расс.мотрение аффекта симметрии
191
ДОЛЖНЫ просто выбрать тан:ое, которое, СОI'ласно (3.4), приводит н: наи
меньшей энерrии.
Прежде чем в общем случае определить п+, введем простое обозначе
ние, чтобы пон:азать, как распределены частицы в полости между различ
ными УрОIННМИ. Пусть п 1 , п 2 , п з и п 4 обозначают количества уровней,
содержащих соответственно 1, 2, 3 и 4 частицы. Например, на фиr. 38, а
16 частиц распределены по 4 частицы на каждом уровне. Это обозначается
четырьмя числами п 1 == О, п 2 == О, п з == О и п 4 == 4. Распределение частиц,
показанное на фиr. 38, б, описывается совокупностью чисел п 1 == 1, п 2 == О,
п з :;= 1, п 4 == 3. Конечно, таное описание не rоворит нам о том, какие
именно уровни заняты частицами, но для свойств симметрии волновых
фующий это не имеет значения. Такие распределения частиц по уровням
мы будем называть размещениями. Данное нами определение несколы\o
HecTporo, но оно оказывается достаточным Д.1JЯ наших целей 1).
Одно из четырех чисел п 1 , п 2 , пз, п 4 может быть выражено через три
остальные, так нак между ними существует следующее соотношение:
п 1 + 2п 2 + 3п з + 4п 4 == А, (3.13)
rде А ПОJlНое ЧИСJIO частиц. Поэтому, если задано полное ЧИСJIO частиц,
для однозначноrо описания размещения необходимо и достаточно знать
три немвисимых числа. Выбор этих независимых чисел, конечно, про
изволен. Удобно брать совонупность чисел р, р' и р", определяемых
соотношениями 2)
1
Р == "2 (п 1 + 2п 2 + пз),
р/ == (п 1 + пз),
р" == (п 1 пз).
)
I
}
I
J
(3.14 )
Размещение, изображенное на фиr. 38, а, обозначается при этом как
(О, О, О), а изображенное на фиr. 38, б нан: (1, 1, О). Мы видим, что число
заполненных уровней п 4 не входит в (3.14). Друrими словами, р, р/ И Р"
определяют числа частиц, находящихся на неполностью заПОJlНенных ypOB
них. Соответствующее число заполненных уровней п 4 нужно затем доба
вить, чтобы, соrласно (3.13), получить полное число частиц А.
В rл. 111 4, мы поназали, что каждая пара частиц, находящихся на
. . одном и том же уровне, дает вклад в п+ п , равный +1 [см. (III, 4.26)],
каiIщая пара тождественных частиц (одноrо сорта и с одинаково ориентиро
ванными спинами) дает 1, а все 'остальные пары не дают ничеrо.
Доказательство утверждения, что «диаrональные» пары З ) не дают ника
Koro вклада в п+ п , основано на том, что обмен таких пар приводит I{ состоя
нию, противоречащему принципу Паули. Это справедливо в том случае,
если все частицы находятся на заполненных уровнях (см., например,
фиr. 38,а). Однако в общем случае это не так. Для получения однозначноrо
ответа на вопрос о свойствах симметрии волновых функций необходимо точно
определить порядок заполнения неполностью заполненных уровней.
Используем особый способ расположения частиц на этих уровнях, IЮТО
рый мы будем называть (<нормальным» расположением. Такое расположение
1) Более точное определение можно найти в работах [807, 789].
2) у Ею'пера эти числа обозначены соответственно через S, Т и У [807J.
3) «Диаrопальными» парами мы называем пары неодинаковых частиц, находящихсн
иа различных уровнях. Соединительные линии на схеме фиr. 47 не должны быть в этf1м
r.лучае ни I'ОРИЗОIlтальными, ни вертикальными.
"
!{i1
192
rл,. V/. Яоер1tая сnе1tтРОСК,QnUЯ. Общая теорuл,
описывается следующим образом: все уровни, на ноторых находится по одной
частице, содержат по одному нейтрону, спин ROToporo ориентирован вверх;
все уровни, на ноторых находятся по две частицы, содержат по два нейтрона
ос противоположно ориентированными спинами; все уровни, на н:оторых Haxo
дится по три частицы, содержат два нейтрона с противоположно ориентиро
ванными епинами и один протон со спином, ориентированным вверх. На
а
б
в
2
а
Фи r. 47. IIримеры расположения ПУЮIOнов на четырехчас
тичных уровнях.
Схемами a e поназаны «нормаJlьные» раСПОЛОi-ненип, а схема д по
называет расположение. ноторое не fIвшrеТСff нормальным в УIlО
треблнемом здесь смысле.
фиr. 47, a e ПОRазаны примеры нормальных расположений, а на фиr. 47,д
приведено раСПОJlожение, ноторое в нашем CMblCJle слова не является HOp
мальным. Причиной введения определенноrо таним образом нормальноrо pac
ПОJlOшения являются ero свойства симметрии. Блаrодаря нормалыюму распо
JlOжению Rатдой частице, находящейся на н:аном либо уровне, соответствует
частица Toro же сорта и в том же спиновом состоянии на ДРУI'ОМ уровне
с равным или б6льшим заполнением. Перестановна пространственных HOOp
дина т наной либо (<диаrональной» пары ПрИБОДИТ тоrда R состоянию, ноторое
противоречит принципу Паули.
9 3. ПоороБNое рассмотртие эффеr;та симметрии
193
Если бы мы не определили точно нормальное распол(!жение, то частицей
на верхнем уровне фиr. 47, 2 Mor бы быть протон со спином, напрашюнным
ВНИ3 (ер. фиr. 47, д) Ero свойства симметрии отн(!сите.nЬНО частиц, находящих
ся на нижнем уровне, тоrда точно пе опреде.nены. Таким образом, если мы
знаем, что на одном уровне находятся три частицы и одна частица на друrом,
то этим еще размещение системы не определеJЮ. Однако размещение ОДнознач
но определено, если расположение частиц на уровнях является (<н(!рмальным».
Тоrда разность п+ п равна числу пар на равных уровнях минус число
пар (!динан:овы х частиц:
п+ п ==[6.п4 ! 3.п з + 1.п 2 +О.п 1 ]
. [+ (п 1 + п2 l п J + п 4 ) (п} + п 2 + п з + п 4 '1) +
1
+ 2 (п 2 п з + п 4 ) (п 2 + п з + п 4 1) +
+ (п з + п 4 ) (п з + п 4 1) -+ п 4 (п 4 1) ]
(3.15)
Эту разность можно выразить через массовое число А и Jшантовые
числа размещения Р, Р' и Р'. При этом получаем 1)
п+ п == А2+ 2А+} , (3.16)
rде
== [(Р + 2)2.+ (Р' -+ 1)2+ (Р")2].
(3.17)
Теперь выражение для числа симметричных пар запишется в пиде
п+==2А2 +2A+ 5, ( 3.18 )
16 4 4 2'
ПОДСТ1l1l0вка этоrо выражения в (3.4) приводит н следующеЙ оцею,е ПОТeII
циальной анерrии ядра:
V""" k [ A + 3 ..J A l J V kVо ( 3.19 )
. 8 2 '[ 2 о А'
rде k множите.'1Ь, определенный в (3.3).
Первый член в (3.19) не зависит от избытка нейтронов. Кр(!ме Toro,
в этой rJJaBe мы УСЛОВИJIИСЬ пренебреrать зависимостыо кинетичеСI,ОЙ ЭlIер
rии т от избытка нейтронов. Тан:им образом, при нап:ей оценн:е зависи
мость полной энерrии Т + V от избытка нейтронов определяется ТОЛЫШ
последним членом в (3.19). Отсюда для rрубоЙ оценки «энерrии симметрию>
получаем
Е симм . """ k;o ,
(3.20)
ще V o == (V М)о + (V w)o rлуfiина ямы в S состоннии системы, образопаНIIОЙ
из неитрова и протона 2), 11еличина V о полотительна, по: тому ПреДllОЧТИ
тельными являются .малые значения для ядра. Соrласно (3.17) это
1) У БипН'ра [808] величина п+ п обозначсначсрсз З, а наше обозначение Е соот,
ветствус т в( личине З'. >
2) ита rлубина ямы различна н ТРИПЛfТI\LJМ и синrлеТНf1М спинf1ных Сf1СТf1f111ИflХ.
Мы будr т считать, что бf1льшая часть разницы может быть отнес( иа за счет 1'( IJЗ0рНЫХ
сил И ЧТf1 Н fJассматрива( мых ядрах теНЗ0рные силы не дают бf1льшоrо Dlшада D энrрrиlO.
Поэтuму для V u В (3.20) Мf1ЖI\О ИСПf1ЛЬЗ0вать знач"нш" полученное для синrлетноrf1 COCTOfl'
нин системы, состОящей И3 протопа и нРi!ЧJuна.
13 Занаэ ;N', 396
194
r.a. v 1. Я оеРIЩJt спектрос.,;опи.я. Общая теория
означает MaJlble значения чисел Р, Р' и Р". Обращаясь н определению этих
чисел (3.14), мы видим, что наинизшая энерrия получается в том случае,
lшrда числа п 1 , п 2 , п з имеют наименьшие значения, т. е. в том случае,
коеда на заполненных уровнях находится наибольшее число частиц.
Возможное значение избытна неЙтронов Iшноrо либо данноrо размеще
нин оrраничено принципом Паули. Мы выражаем этот избытон величиноЙ
1
Tr,== 2 (N Z).
Например, размещение (О, О, О) (см. фиr. 38, а) имеет толыш заполненные
уровни; поэтому числа протонов и нейтронов должны nыть равными:
(Tr.)MaHC. == О. Размещение (1, 1, О) (см. фиr. 38, б) допуснает присутствие
трех нейтроноп и одноrо протона сверх заполненноrо уровня. Поэтому 1',-
может иметь значение (Tr.)MaHC. == 1, но не больше.
Обобщим эти сообратения. Заметим, что нормальное расположение
содержит мансимальное число нейтронов, дозволенное для рассматривае
Moro размещения принципом Паули. С равнение фllr. 47, а с оиределением
(3.14) поназывает, что
Р == Т, == } (N Z) (в нормальном расположении).
(3.21)
Отсюда СJlедует, что избытон нейтронов n наНОМ JJIlбо размещении
(Р, Р', Р") Ol'раничен условием
(N . Z)==1't<P.
Тан нан протоны и нейтроны входят совершенно симметричным обра
зом, то тш\ое же оrраничение наJIаrается на избыток протонов 1/2 (Z N) ==
== Т..... Таким образом, мы получаем ераницы возJ.tOЖНЫХ 311ачений вели
ЧUllЫ Т.... в размещеllии (Р, р', Р"):
Р< Tr..<'P. (3.22)
Эти оrраличешш означают, что ядро с большим избытном нейтронов или
нротонов (большим значением 11',1) должно быть отнесено н размещению
(Р, Р', Р") с большим Р, т. е. P>IT,I. в вырашение (3.20) для энерrии
симметрии входит величина (3.17), ноторая квадратично растет с Р.
Тarшм образом, найденное нами для энереии симметрии выражение (3.20)
во мноеом CXOallO, с полуэмпирическим выражением для Э1iереии симметрии
(2.2). При возрастании 11',1 величина (3.20) также возрастает приблизи
телыlo liсадратично. Она обратно пропорциональна массовому числу А.
БОJIее Toro, на примере ядер N16 и 016 было поназано, что n нен:оторых
случаях мы можем ПОJ1УЧИТЬ и ноличественное соrласие. В следующем
парю'рафе энерrия симметрии (3.20) будет ИССJlедована более подробно.
Уместно сназать неснольн:о слов о предеJlах применимости нашпх
оценок: 1) зависимость кинетичесноЙ энерrии от избытка неЙтронов не
иренебрежимо мала, и это дает внлад в деiiствительный эффент симметрии
ндер; 2) имеется вклад в потенциальную энорrию от антисимметричных
иар; 3) ири j'рубой оценне (3.4) не принято во внимание детаJIЫlое иове
доние ВОJlИОВОЙ фующии. Соrласно (3.4), все состояния W 1 , W 2 , .., с одним
и тем же ЧIlСJIОМ симметричных пар + [с однпм И тем же размещением
(Р, Р', Р")] имеют одну и ту же потенциальную энерrию. Это, очевидно,
неверно. Одпано в тоЙ мере, в наной наше рассмотрение имеет смысл,
еостояния с одним и тем же размещением ПО энерrии I'ораздо ближе друr
l{ ДРУI'у по сравнению с ::шерrеТIlчесr,;им разделением состояний с различ
ными размещениями.
" ,., ' ':'{'!1:'с", "'7:-')":'7v,'У- ,_," "7' ,':::""':" ;;:" ":r'V"":"':':J.e":,"'_t;>?,,"; : "'1f"''1'{;:::
!} 4. ЭNераия симметрии и систематика стаби.аЪNЫХ яоер
195
#
Э 4. ЭНЕРrия СИММЕТРИИ И СИСТЕМАТИКА СТАБИЛЬНЫХ ЯДЕР
13 любой последовательности изобарных ядер одно или несколько
ядер с наименьшей энерrией стаБИJIЬНЫ по отношению к распаду. 8Hep
rии изобарных ядер определяются в первую очередь двумя :lффектами:
эффеI{ТОМ симметрии и эффектом заряда. Так кан теперь в нашем распо---
ряжении имеется оценка энеРI'ИИ симметрии Есим.м. (3.20), сделанная в пер
ВОМ приближении, в предположении о наличии обменных свойств у ядерных
ф II r. 48. СхсмаТИ'IССJiOС предстаJJJICние заВIJ
симости эперrии ядра от изБЫТRа НСЙТrО
,/ов Т, ДЛII ядер с lIО'lе1'НЫМИ массовыми
чпслами А.
ПУННТIJРНОЙ НрllВОЙ поназап пара метр симмеТРIШ
в sависимости от Т,. Этот параметр ПрОПОрЦllО
нален :энерrии СИ:\О1еТрПI1 Е симм .; i; меннетсн по
параБОЛllчесному эанону 11 IIмеет IISЛОМ Прll 1', o.
СплошноЙ нривоЙ IIS0брашена велнчина З/'21',.
УЧlIтывающая эффент sаряда. Видно. что имсетсп
тольно один УСТОЙЧIlВЫЙ изобар (в данном случае
при 1', Ч2), Хотп эдесь и проведены нривые. на
самом деле имеют смысл толы\o отдельные ТОЧНП
на ШIХ (соотвеТСТНУIOЩllе полуцелым значсrШП\1
пеЛIIЧИНЫ Т,).
20
I
I
'i
15 I
\ I
\ I
\ I
\ I
f
\
10 \ I
\ I
I
\ I
\
\
5 \
07 {j з 1 01 3 5 7 Э
2 2 2 2 2 2' "2 "2 2'
T
еllЛ, то эту оценн:у можно использовать дЛЯ T01'0, чтобы разобраться в систе.,.
матине стабильных ядер.
Начнем с ядер с не'Чеmными массовыми 'Числами А. Можно считать,
что избыток нейтронов принимает значения Т, == :f: 1/2' :f: 3/2' :f: 5/2' ..:
110пытаемся определить размещение (Р, р', Р") OCHoBHoro состояния ядра,
которое имеет избытон нейтронов T . Мы должны выбрать таное раЗМ8.,.
щение, которое ПрИЕОДИТ н наименьшему значению величины . Из (3.17)
следует, что мы должны взять наименьшее значение р, совместимое с Т,.
Соrласно (3,22), это значит, что Р == I Те[. Числа Р' и Р" также должны
иметь как можно меньшие значения, а Р' к тому же в силу условиЦ
(3.14), неиременно должно быть положительным. Так кан ядро содержит
нечетное число частиц, то мы не можем положить как 121' тан и 123 paB
ными нулю. Наименьшее значение р' получается, если п,оложить И.НИ
п 1 == 1, 123 == О, или п з == 1 и п 1 == О. Первый выбор соответствует ядру типа
А == 412 + 1 (12 целое число), а второЙ ядру типа А == 412 1. ДЛЯ Р"
получаем + 1/2 В первом случае и 1/2 во втором. В обоих случаях
lIе;rшчина (3.17) равна
== 4 T + 2/ т, I + (нечетные ядра; основное состояние).
(4.1)
Энерrия симметрии, соrласно (3.20), пропорциональна . На фиr. 48
1l00шзана зависимость от 1\. Член с 1 Теl в (4.1) дает излом при Те == О,
что противоречит предположению о плавной параболе, сделанному нри
выводе полуэмпиричеСJШЙ формулы ВайцзеJшера (2.2). 'Увеличение эпеРI'ИИ
симметрии в зависимости от I т, 1 оказывается пеСIШЛЬКО более. силъным
13""
196
rл,. V/. Яоерная спектроскопия. Общая теория
чем это следует из параболичеСНОI'О занона.. Сейчас еще нет онончатеJJЬ
ных :Jмпиричесн:их данных о наличии излома в энерrии симметрии.
На фиr. 48 поназан танже учет эффента заряда (1.6), внлад от HOTO
poro приблизитеJJЬНО линейно зависит от 1' . В приведепном на этой фи
rype примере ВIшад эффекта заряда выбран тан:им образом, чтобы изобар
ное ядро с 1''., == 1/2 было стабильным.
Обратимся теперь и ядрам с четными массовыми числами типа А == 4п
(п целое число). Мы снова иселедуем размещение для OCHoBHoro состояния,
т. е. размещение с наименьшим значением , н:оторое соrласуется с усл(>
виями (3.14) и (3.22). Оптимальное значение величины Р вновь равно
р == I 1' 1. Таи JШJ{ теперь мы имеем четное число НУЮJOнов, то попытаемся
сделать вс.личину минимальной, полотив Р' == р" == О. Соrлаено (3.14),
тю{ой выбор Р, Р' и р" соответ-
ствует п 1 == п з == О и п 2 == i 1',1. Тан
нан в данном случае А нратно 4,
то этот выбор возможен только
для четных значений 1' .8TO по
назано на фИl'. 49, rде мы счи
таем, что сверх заполненной обо
почни имеется четыре нунлона.
r.;сли величина Т, четная (Т, == 2,
фиr. 49, а), то все четыре нунлона
должны быть нейтронами, что
дает размещение (Р, Р', Р") == (2,
О, О). С ДРУ1'ОЙ стороны, если
величина Те нечетная (Т, == 1,
фиr. 49, б), то мы должны поме
стить три частицы на один ypo
вень и одну частицу на друrой,
что дает размещение (Р, Р', Р") == (1, 1, О). J300бще размешение основпоrо
{:,остояния для ядра ряда А == 4п с четным значением Те есть (Р, Р', Р") ==
== (1 T 1, О, О), а с нечетным 1' (1 1'r.I, 1, О).
Столь харанторная разница между ядрами ряда А == 4п с четными и
нечетными значениями 1''., является важным свойством теории. Ядра ряда
А == 4п с четной величиной Т". являются четно четными ядрами, а ядра
с не'Iетной величиной 1''., нечетно нечетными. Теперь мы понажем, что
теория предсказывает, что все llечоmно нечеmllые ядра ряда А == 4п 1lе-
сmtlбилыlы.
Чтобы поназать это,
двух случаев:
== T + 21 1',\ + 4 (нечеТIIO нечетные ядра), 1
(4.2)
== T + 21 1',\ + (четно четные ядра). J'
rрафин величины в зависимости от 1''.. для этих двух случаев поназан
на фиr. 50; там имеются две различные параболы (наждая, нан и прежде,
с ИЗJJOМОМ при 1' == О), нижняя для четно четных ядер и верхняя для
нечетно нечетных. Тю{им образом, найденнее д.ля энерrии симметрии Bыpa
жение (3,20) всеrда включает член типа (2.14), ноторый долтсн быть
ИСI\усственно IJведен в полуэмпиричесн:ую формулу для масс. Более Toro,
величина Toro члена (которыЙ дает разделение двух парабол, приведен-
ных на фиr. 50), теперь уже не является произвольным параметром, а
связана с друrими н:онстантами в выражении для энерrии симметрии [pac
стояние между двумя парабuлами, еоrласно (4.2), равно утроенному значе-
Ilию коэффици['нта при T ].
#ff
а
+tФ+
о
Фи r. 49. Примеры размещений различноrо
типа.
а ра8мещение (2, О, О); б ра8мещение (1. 1. О).
нам нужно то.льно рассчитать величину для
J
!} 4. ЭNереия симметрии и систематика стабиЛЪNЫХ яоер
197
Нестабильность нечетно нечетных ядер является прямым следствием
большоrо разделения двух парабол, пон:азанных на фиr. 50. Если мы
учтем эффект заряда, то наилучшие условия для стабильности нечетно
нечетноrо ядра имеют место в том случае, КОI'да минимум КрИВОЙ ДJIЯ
нечетно нечетных ядер достиrается в ТОЧI{е с возможным (нечетным) зна
чением T . Такой случай показан на фиr. 51. Мы видим, ,что даже при
20
15
/
I
/ I
/ I
\ / I
, / I
\ \ / I
,\ ,/ /
,\ //
, \ / /
, \ / I
\ , / I
, , / /
, , I /
, \ / /
I I
\ \ Нtiчеmно I /
\:\ нечеmные 7;/
,\ Р/
\ , / /1--.... Чеmно
\', / I четные
, v /
, /
, /
'с(
"w'
10
5
f!4 з
2
2
о
T
l
3
Фи 1'. 50. Параметр ;, ВХОДНJIIИЙ в JJыраж()
вие для энерrии симметрии, кан ФУНRЦИЯ
изБЫТRа нейтронов T для ядер с массовыми
числами A 4п (п ц()лое число).
Четно четные ядра (Т четные) имеют меньшие
значения . чем нечетпо нечетные (T нечетные).
4
20
I
,
.
15
\
,\
\
\, \
\ \
\\
\\
\\
\\унечетно.
\ \ нечетные
\ \ /
\ \ //
Четно \ \ ;1 /
четные..А\ \ "'./ //
,'.... .; /
' .",. ..... ./"
.................. +
fJ , K 3axвaт
10
5
qз
2
3
4
1
о
2
ф и r. 51. Схема тичеСRое представление
зэписимости знер1'ИИ ядра от изБЫТRа
нейтронов T для ядер с массовыми
числами А == 4п (п пелое число).
приведiшный при мер наиболее блаrоприятен
для устойчивости нечетно нечетноrо ядра
с ТI; -==1. Однано даше в этом сл)'чае таное
ядро имеет большую энерrию. чем соседние
четно ч"тные изобары (Tt-==O.2). и поэтому
неустойчиво. Н:ривые изобрашают величину
3J2TI; в ноторой второй член обусловлен
, внладом эффента заряда.
такоЙ блаrоприятной ситуации нечетно нечетное ядро имеет энерrию,
I..оторая больше энерrий двух соседних четно четных изобар. Та ним
образом, оба четно четных ядра стабильны, а нечеТНО llечетное изобарное
ядро, находюпееся между ними, испытывает распад в обоих направле
ниях. В периодической таблице имеется немало подобных случаев. Все
они осуществляются при четны:х;. массовых числах А и нет ни одноrо Ta
Koro случая для нечетных .А. Это опять таки находится в соrJJaСИИ с Teo
рией: имеет место плавное изменение величины для основных состояний
ядер с нечетными А (см. фиr. 48); поэтому стабильным по отношению
1{ распаду может быть толы{о одно изобарное ядро 1).
1) в ПЕ'риодичееRОЙ таблице имеетея НЕ'СН:ОЛЬRО случаев двух стабильных из()бар
с НЕ'четными А. Это веЕ'rда случаи сосrдних изобар, а не изобар е нестабильным изобарным
ядром между ними. Вееьма верОЯТIIО, что одно из двух «стабильных» изобарных ядер
в дrйетвительности нестабильно, но со столь большим временем жизни, что ero радиоак
тивность еще не была зареrистрирована.
i98
rл,. V/. Яоер/ия спектроскопuя Общая теория
,
,
,
HaRoHen, рассмотрим ядра с 'Четllыми .массовыми 'Числами типи
А == 4п + 2 (п целое 'Число). Из простоrо рассмотрения, аналоrичноrо про
веденному ранее, следует, что размещение OCHoBHoro состояния есть
(Р, Р', Р") == (1 Tr.I, О, О) дЛЯ четно четных ядер с нечетной величиной Т'..
и (Р, Р', Р") == (1 Tr.[, 1, О) дЛЯ нечетно нечетных ядер с четной величиной
Т'.. с одним существенным исключением: нечетно нечетные ядра с Z == N,
1''.. == О образуют особый случай. На фиr. 40, б видно, что такие ядра
имеют две чаСТ1IЦЫ сверх заполненноrо уровня, таи что они относятся
20 и тому же самому размещению (Р,
I Р', P ) == (1, 1, О), как и их coceд
/ ние (четно четные) изобары.
/ / Значение величины дЛЯ OCHOB
/ / ных состояний ядер серии А == 4п +- 4
НечетI10 нечетflые....../ I таиже даются выражением (4.2).
I i (Однако теперь четно четные ядра
J I имеют нечетную величину Tr., а He
/ I
I I четно нечетные четную). Ядра с
р / Т'.. == О имеют == 5, т, е, таное же
1/ значение, нан и их соседние изоба
I ры. rрафичеСЮI это поназано на
\ I фиr. 52. Нечетно нечетные ядра опять
/\:"" .,./ нестабильны, за иснлючением ядер
qeтHo qeтHbIe с Т'.. == О, ноторые необходимо paCCMaT
ривать особо. Эти особые с.пучаи уже
обсуждались в 1, rде было ПОI{а
зано, что учет спиновой зависимости
ядерных сил (IШТОРОЙ мы сейчас при
rрубом рассмотрении пренебреrаем)
весьма существенен для понимания
стабильности неноторых из ядер это
ro типа.
Хотя простая оценна энерrии
симметрии (3.20) и позволила нам
получить полное объяснение условий
стабильности ядер, все же HeCOM
ненно, что таное чисто внешнее co
rласие с опытом, 110 нрайней мере
частично, являетtя случайным. По
мимо прочеrо, для Toro чтобы по
нять условия стабильности, мы доши
вы рассмотреть случаи, ноrда влияние эффекта заряда по порядну вели
чины равно влиянию эффента симметрии. Сомнительно, чтобы в первом
приближении теории возмущений можно было (нан это было сделано нами)
рассмотреть таной эффент нан эффент заряда.
С учетом Bcero сназанноrо леrность, с н:оторой тан:ая простая теория
дает условия стабильности наблюдаемых ядер, может оназаться весьма
обманчивой.
15
10
\
\
\ \
Ъ\
\ \
\ \
, \
\ q
\ \
\
\
\
:ц.
5
о .
4. з 2 1 О
T
Фи r. 52. Параметр в выражении для
знерrии симметрии как функция избытка
нейтронов Т'.. ДШI ядер с массовыми чис
лами А == 4n + 2 (п целое число).
Снова нечетно нечетные ядра (Тr. четные) Ha
ходятся на друrой (более высоиой) иривой. чем
яетно четные (ТI; нечетные). Однаио нечетно
нечетное ядро с равными числами нейтронов и
протонов (Tr.==O) является исилючением. Ero
I;\нерrия симметрии (величина ") равна энерrии
симметрии соседних четно четных изобар. Yc
.довия устойчивости среди ядер с Т(==I. О. 1
.зависят, таиим образом. от эффента заряда и
спиновых эффентов.
,
2
3
4
1
J
.
1
5. мАrнитныЕ МОМЕНТЫ ЛЕrких ЯДЕР
Весьма общие соображения, изложенные в предыдущем параrрафе,
недостаточны для предсназания маrнитных моментов основных состояний
ядер, тан нан для этоrо требуется более детальное описание рассматриваемых
состояний. Однано соображения симметрии позволяют получить немало CBe
дений и о маrнитных моментах ядер [515].
C ":""'7,,,,,,,,,,,, . , ",
? - ' 7 : ._ ::;"' J'/ '!,""<ry
9 5. Ма2lщтNые MOMeNmbt .аеекuх ядер
199
УRажем, что использованный нами вид потенциала (3.5) не учитывает
спин орбитальной связи. Спин орбитальная связь в ядре обусловлена Mar-
нитными полями Qрбитальноrо движения нуклонов и тензорными силами
Первый эффект в ядре очень мал; последний имеет только весьма rрубую
оценну [594, 182, 184]. Позднее мы рассмотрим некоторые качественные pe
зультаты, вытекающие из наличия заметной спин орбитальной связи; однако
эта связь настолько мала, что ее еще можно рассматривать нак малое возму
щение.
Выражения для маrнитноrо момента ядра f1 в предположении отсутствия
спин орбитальной связи были даны в rл. 1 [см. (1,7.52) и (1,7.53)]. Мы ис
пользовали там эти выражения при рассмотрении модели Шмидта, в ноторой
предполаrалось, что орбитальный момент L и спин 8 обусловлены только
одним нуклоном. Теперь вклад MorYT давать спины нескольких нуклонов
(тех, которые находятея вне заполненных оболочек из четырех нунлонов)
и (по крайней мере в принципе) орбитальный момент может быть обусловлен
всеми нуклонами.
При помощи проведенноrо в предыдущем параrрафе рассмотрепия мы MO
жем получить величины 8 и gs для веех основных состояний ядер. Однако
мы ничеrо не можем Сlшзать ни о величипах орбитальных моментов L, ни о том,
Rаким путем вектор J выражается через S и L. Значение величины gL также
неизвестно. Однако в одном особом случае величина gL известна: если ядро
состоит из paBHoro чиела протонов и нейтронов (<<самосопряженное» ядро),
ТО из предположения о равенстве сил между двумя протонами силам между
двумя нейтронами вытекает, что орбитальный момент количества движения
делится поровну между нейтронами и протонами. Тан как величина gL равна
единице для протона и нулю для нейтрона, в этом случае gL == 1/2. Эти же сооб
ражения можно применить к с реднеМУ арифметическому маrнитных момен-
тов ДВУХ зеркальных ядер [653].
Будем поступать следующим образом: вместо Toro чтобы пытаться
рассчитать маrнитные и орбитальные моменты при помощи указанных сообра-
жений, возьмем экспериментально наблюдаемое значение J и посмотрим, нан
далеко мы можем продвинуться в теоретическом определении известных из
опыта маrнитных моментов. Так нак из общих соображений известна вели
'Чина 8, то возможными окажутся несколько значений L и выбор между ними
может быть сделан без труда. Из за больших значений спиновых маrниТНых
моментов протона и нейтрона большая часть величины наблюдаемых маrнит-
ных моментов обусловлена первым членом в (1,7.52), поэтому ошибка в
определении величины gL не так уж существенна.
ЭRспериментально известно, что полные моменты всех исследованных
до сих пор четно четных ядер равны нулю, а поэтому и их маrнитные моменты
1'аRже равны нулю. Леrкие ядра этоrо типа с Tr.==O построены из целоrо
числа (1 частиц и, следовательно, относятся к размещению, в котором все
уровни полностью заполнены [т. е. к размещению (0,0,0)]. Поэтому для
1'аких ядер 8==0. Для более тяжелых четно четных ядер избытон нейтронов
осуществляется парами нейтронов на последовательных уровнях, так что
спины взаимно rасятся. Так как теоретически 8 ==0, а экспериментально
известно, что J ==0, мы приходим К занлючению, что орбитальный момент L
у этих ядер таюке равен нулю. Друrими словами, движения отдельных HY
1ШОНОВ в ядре таковы, что орбитальный момент системы как целоrо равен нулю
для всех четно четных ядер.
Попытаемся определить 8 и gs для ядер с llечетllыми массовыми числами.
В леrних ядрах этоrо типа все уровни, кроме одноrо, полностыо заполнены.
Один остающийся уровень содержит или одну, или три частицы. У ядер типа
А==4п+1 ОДIIа частица на верхнем уровне и является той единственной части
цей, которая дает вклад в спин (тан как все остальные спины взаимно
200
rл,. V/. ЯоерNая спектроскопия. Общая теория
rасятся): поэтому полный спин8 ==1/ t. Тан:им образом, ТО.льно одна, «внешняю>,
частица дает внлад в спиновую часть маrнитноrо момента. Поэтому g, == 5, 58,
если внеШней частицей является протон, и gs , 3,82, еQЛИ внешняя части
ца нейтр()н. Точно таное же полотение имеет место в елучае ядер серии
4п 1 за иснлючением Toro, что теперь (шнешння частица» должна быть заме
нена «внешней дыркой». В любом случае для всех llечеmllЫХ ядер имеем
1
8==2 '
gs == 5,58, если число протонов нечетно, (5.1)
gs == 3,82, если число нейтронов нечетно.
Утверждение (5.1) можно считать справедливым таюне и для более тяже
лых ядер, тан нан избытон нейтронов получается добавлением двух нейтро
нов на последующие уровни (см. 4). Однано предположение о силах, не
зависящих от зарядов и спинов, становится (ВС!lедствие роста влияния эффек
та заряда) все менее оправданным, ноrда мы переходим к ядрам с большими
массовыми числами, и поэтому н результатам (5.1) надо относиться с OCTO
рошностыо.
Необходимо предостеречь читателя от слишном бунвальноrо понимания
«уровней», например в модели независимых частиц. Мы имеем здесь дело со
свойствами симметрии волновой функции по отношению к перестановне Про
странственных Iшординат. Термин «заполненный уровень» означает просто
четыре частицы, полностью симметричные по отношению н перестановне их
пространственных ноординат. По принципу Паули их спины (и изотопиче
сние спины) ДОШIШЫ попарно компенсироваться, поэтому «заполненные
уровни» не дают внлада в спин или спиновый маrнитный Момент ядра. Сила
TaHoro рассмотрения состоит в том, что нет необходимости делать далеко иду
щие предположения о детальном поведении волновой функции.
Прежде чем сравнивать (5.1) с экспериментом; приведем аналоrичные
соображения для четырех известных стабильных нечетно нечетных ядер,
имеющих равные числа нейтронов и протонов. Чтобы объяснить стабильность
этих ядер, мы ввели в 1 спиновую зависимость ядерных сил, блаrодаря JЩТО
рой основное состояние этих ядер есть триплетное спиновое состояние.
В этом состоянии (<внешние» нейтрон и протон имеют параллельные СПИliЫ
и их маrнитные моменты снладываются. Таним образом, в этом случае вели
чина gs равна сумме маrнитных моментов нейтрона и протона, деленной на
спин. 8, ноторый равен единице. Поэтому для, Нечеmно иечеmllЫХ ядер с Тс==О
получаем
s == 1,
gs == 0,88.
, (5.2)
Сравним теперь полученные нами результаты с энспериментальными дaH
ными. Начнем с самосопряженных нечетно нечетных ядер, тан нан для них
величина gL известна и равна] /2' Соответствующие данные собраны в табл. 7.
В ней приведены энспериментально найденные значения J и ВЫЧИСJIенные
маrнитные моменты !J-Teop. для различных значений L, совместимых с J и пред
сназанным значением спина 8 == 1. Из сравнения е эксперимент3'ЛЬНО найден
ными величинами маrнитных моментов !J-шсп. следует, что имеется возможность
выбрать одно из допустимых значений L в качестве действительноrо или по
I\райней мере преобладающеrо значения.
Для дейтрона в соответствии с результатами, полученными в rл. 11,
взято L==O. Небольшое отнлонение !J-энсп. от !J-Teop., вероятно, обусловлено малой
примесью D состояния (L==2), связанноrо с наличием тензорных сил. Мы
видим, что ядро Li 6 имеет rлавным образом L==O, ядро Вl0 L==2. В ядрах
N14 и Na 22 танже преобладает L==2.
'.io
4
"
1
"
'1
"й'
9 5. Мавнитные .мо.менты .аевких яоер
201
Таб.аица 'l
Пдро
J
s
ВНСП.
L
gs
gL
I'-тСОр.
1
IP 1 1 0,88 О Т О,
1
Li б 1 1 0,88 О 2 о,
1
1 2 о,
1 О,
2 Т
1
В1О 3 1 0,88 2 Т 1,
I
3 2 1,
4 1
2 1,
l
N14 i i 0,88 О Т О,
i
i Т О,
2 1
2 О,:
Na 22 * 1
3 1 . 0,88 2 2 i,
i
3 2 1,
1
4 2'" 1,
I
88
0,86
88 0,82
69
31
88 1,80
60
22
88 0,40
69
н
88 1,75
60
22
. Ядро Na22 радиоантивно, но еl'О спин и маl'НIIТНЫЙ момент определены n работе [188].
распад ЯДра не снааывается па ero динамичесних свойствах.
То обстоятельство, что ни одно из рассчитанных значений не соrласует
СП полностью с энспериментальными результатами, можно объяснить тремя
причинами: 1) релятивистсними поправнами н маrнитным моментам отдель
ных НУRЛОНОВ; 2) ноллентивными эффентами тан называемыми (<обменными
маrнитными моментами», ноторые имеют место тольно в случае большоrо
числа плотно упанованных нунлонов 1 ); 3) влиянием спин орбитальной связи.
Даже в та но м простейшем случае, нан дейтрон, нет надежноrо пути
для учета влияния релятивисmских эффеl.'тов на маrнитные моменты. Однако
rрубые оценни по называют, что влияние релятивистских эффы{тов может быть
достаточно большим, приводя к изменению маrнитных моментов па величину
порядка 0,1 ядерноrо MarHeToHa. Поэтому одноrо TaHoro эффента может OHa
заться достаточно для объяснения большинства отнлонений, наблюдающихся
в табл. 7. Действительно ли это та н, в настоящий момент неизвестно.
1) l{оллеI{тивные эффекты MorYT быть двух типов: а) маrнитные моменты рзличпых
нуклонов. наХОJЩЩИХСЯ на малых расстояниях ДРуr от ДРуrа, MorYT быть отличпы отих
значений при больших расстояниях; б) D маrнетизм ядер MorYT давать вклад «обмепные
ТОКИ», обусловленные обменом пейтронов и протонов. Из обменных свойств ядерных сил
следует наличие таких обменных токов [656, 453, 695], по из этих предположений
нельзя получить одпозначных заключений о величине таких TOI{OB [573].
202
rл. V/. ЯоерlИЯ спе1>тРОС1>опия. ОБЩ,ая теория
Что касается по.п.пептивllЫХ эффептов, то имеются некоторые основания
считать, что в самосопряженных ядрах их вклад мал [540, 5731. Наконец,
наличие спиll орбита.пЬ1l0Й связи приводит к следующему эффекту (если толь
1\0 эта связь является малым возмущением): волновая функция не xapaKTe
ризуется больше одним определенным значением S и L, а представляет собой
суперпозицию состояний с различными возможными значениями S и L,
приведенными в табл. 7. Наблюдаемый маrнитный момент является взвешен
ным средним значений, указанных в таблице, причем веса являются вероят
ностями осуществления различных комбинаций величин S и Ll). Поэтому,
В частности, можно было бы ожидать, что наблюдаемые маrнитные моменты
заключены между энстремальными значениями вычисленных величин.
То обстоятельство, что это действительно имеет место, свидетельствует
в пользу предположения, что из трех рассмотренных здесь поправок наибо
лее важной является спин орбитальная связь.
Рассмотрим теперь llечетllые ядра. В этом случае труднее теоретичеСЮI
предсказывать маrнитные моменты, так как неизвестно rиромаrнитное отноше
нис ДШJ орбитальноrо движения. Мы дадим теоретические значения маrнит
пых моментов для обоих значений орбитальноrо момента L, совместимых
с эпсперименталъно известными значениями J, и теоретичсски предполаrае
мым значением S == 1/2 при двух предположениях об орбитальном rиромаrнит
ном отношении gL: 1) модель Шмидта [666,668,6691, соrласно которой gL=='l,
если Z нечетно, и gL==O, если N нечетно; 2) однородная модель [8081, co
rласно которой gL==Z/ А. В последней модели считается, что ядерное движение
настолько сложно, что мы можем использовать статистическое рассмотрение;
тоrда орбитальный момент ядра распределен случайно между всеми частица
ми так, что протоны кат{ целое дают вклад, пропорциональный их числу. CTa
тистические соображения несправедливы в той мере, в кат{оI1: движение в
ядре более упорядочено, например, в случае ядерных оболочек. Результаты
определения маrнитных моментов показаны в табл. 8.
Ядра с массовым числом 3 имеют маrнитные моменты, несколько отличные
от предсказываемых теорией. Анализ показывает, что ни одна разумная при
месь друrих возможных состояний не исправляет дела [655, 17, 181. ЭТИ OT
клонения, вероятно, обусловлены обменными маrнитными моментами, KOTO
рые в катдом случае дают ВJшад порядка 0,2 ядерноrо MarHeToHa. Поэтому
и для друrих нечетных ядер трудно ожидать соrласия между простой теорией
(в 1\0ТОрой . пренебреrается этими эффектами) и экспериментом лучшеrо,
чем на 0,2 ядерноrо MarHeTOHa. Некоторые расчеты [710] указывают на то,
что обменные маrнитные моменты MorYT С увеличением массы ядра давать
более заметный вклад.
Так как известно, что ядро Li7 находится в Р состоянии, то статистиче
ские предположения для gL приводят К очень хорошему результату. Ядро
Ве 9 также находится в Р состоянии; здесь также статистическое значение
gL не слишком сильно отличается от экспериментальноrо и отклонение Haxo
дится в пределах ошибок, ожидаемых за счет обменных маrнитных MOMeH
тов. Маrнитный момент Вll не объясняется ни одной из теорий. Возможно, что
учет примеси D состояния (вызванноrо спин орбитальной связью) позволил
бы получить соrласие с экспериментом. Экспериментальные результаты для
ядер N15 и СIЗ определенно указывают на то, что эти ядра находятся в
Р состояниях. Необходимо также подчерКНУТЬ, что они являются первыми
двумя ядрами в таблице, для которых наименьшее возможное значение L
(в данном случае L==O) не дает хорошеrо соrласия с опытом. В дальнейшем
1) у кажем, что мы не приписываем орбитальный момент L движению только одноrо
нуклона. Поэтому возможны линейные комбинации состояний с различными значениями
L, в противоположность одночастичной модели (см. rл. 1, s 7, Б), в которой правило чет
НОСТИ исключает любые тание комбинации.
s 5. Маенuтные .мо.менты лееl>UХ яоер
::Ю:3
Таблица 8
в
,
[J.Teop.
OДHOpOД
Ядро J S gs L модель Шмидта ная [J. ;ЭI{(}П.
модель
1 gL==O I gL==! gL==Z/A
1 1
{3 2"' 2"' 5,58 О 2,79 2,79 2,98
1 1
Не 3 2"' 2"' . 3,82 О 1,91 1,91 2, 13
3 1
., """"2 2"' 5,58 1 3,79 3,22 3,25
l
2 0,12 0,90
3 1
)е 9 2"' 2"' 3,82 1 1,91 1,47 1,18
2 1,i5 1,95
3 1
. C 11 2 Т 5,58 1 3,79 3,25 2,69
- 2 0,12 0,84
1 1
(:13 2"' 2"' 3, 82 О 1,91 1,91 0,70
1 0,64 0,95
1 1
]\15 2"' """2 5,')8 О 2,79 2,79 О, 28*
1 0,26 0,62
1 1
1;'19 """"2 """"2 5,58 О 2,79 2,79 2,62
1 0,26 0,61
3 1
Na 23 """"2 2 5,58 1 3,79 3,27 2,21
2 0,12 0,81
5 1 4,79
A12' """"2 """2 5,58 2 3,75 3,64
3 0,86 .0,63
1 1
('31 2"' """"2 5,58 . О 2,79 2,79 t,t3
1 0,26 0,61
3 1 5,58 1 3,79 3,28
Сl'5 """"2 2 0,82
2 0,12 O,81
еР? 3 1 3,25 0,68
""""2 2"' 5,58 1 3,79
2 0,12 0,85
. о знаке маrнитноrо момента ядра N 15 см. [608].
...1
мы увидим, что по модели независимых частиц эти два ядра должны Haxo
диться в Р состоянии. По видимому , лучшие результаты для этих ядер дает
модель Шмидта. В обоих случаях мы имеем L==1.
ДЛЯ более тяжелых ядер теория уже не так хороша. Маrнитные моменты
ядер Na, Р и С1 не соrласуются с вычисленными значенипми при любых L.
.эти отклонения слишком велики, чтобы их можно было объяснить вкладом
обменных маrнитных моментов. Мы вступаем здесь в область ядер среднеrо
Беса, rде важную роль иrрает спин орбитальная связь. Конечно, у всех этих
204
r.п,. V/. Яоерная спеl>тРОСl>опия. Общая теория
яТ(ер маrнитные моменты заключены между наибольшими и наименьшими
теоретическими значениями, и поэтому их величину можно объяснить, пред
нолаrая заметную спин орбитальную связь.
Из результатов, полученных в этом параrрафе, следует, что теория недо-
статочна для преДСI\азания спинов и маrнитных моментов ядер. Однано они
дает rрубое объяснени!' эн:епериментальных данных и позволяет произвести
некоторую интерпретацию наблюдаемых величин.
6. СПЕКТРОСIШПИЧЕСКАЯ КJJАССИФIШАЦИЯ ЭНЕрrЕТИЧЕСIШХ
УРОВНЕЙ ЯДЕР
ДО сих пор мы ЮIaсеифицировали энерrетичесние уровни ТОлы,О по
размещениям, R: которым они Отt,осятся. 9Toro оказывается достаточно для
понимания систематики стабильных ядер.
Попытаемся теперь отыскать друrие интеrралы движения, приrоднью
ДJ!Я более детальноЙ Jшассификации уровнеЙ ядер. Для любоrо ядра полный
момент J и четность являются интеrралами движения. Можно получить и дpy
rие правила классификации энерrетичеСI\ИХ уровней. Для этоrо достаточно
сделать неноторые предположения о ядерных силах, справедливые толы,о
приближенно. Мы подробно перечислим здесь эти предположения, хотя боль
шинство из них уже было использовано ранее.
Сделаем следующие два предположения:
1) лдерные силы лвллютсл заР.<l,дово независимыми силами;
11) эффепт зарлда (пулоновспал энереил и разность масс нейтрона и пpo
тОllа) МОЖllО рассматривать пап малое возмущение!).
Предположения 1 и 11 означают наличие так называемых мультиплеТОll
по изотопичеспому спину. Мы встречались с одним примером мультиплета по
изотопичесному спину в 1 (см. фиr. 41, а). Теперь мы рассмотрим мульти
плеты по изотопическому спину с более общеi'I ТОЧI\И зрения.
Допустим, что мыi имеем состояние ядра (А, 1'r.), описываемое волновой
фуннцией \f r . Соrласно предположениям 1 и 11, динамические свойства систе
мы не изменятся, если неноторые нейтроны превратятся в протоны или, Hao
борот, протоны превратятся в нейтроны. Поэтому та же волновая функция \fl'
описывает и друrие возможные состояния ядер (А, 1', 1), (А, 1', 2), ...
и (А, 1''.. +1), (А, 1''.. +2), '" Разница только в том, что неноторые координаты
нейтронов в первоначальной волновой функции \Т! теперь рассматриваются
как координаты протонов или наоборот. На этот метод обобщения волновых
фующий изобарных ядер налаrается одно важное оrраничение: мы не долж
ны нарушать принцип Паули. Допустим, что наше первоначальное ядро
имело 1',>0, т. е. содержало больше нейтронов, чем протонов. Введем символ
т, для обозначения этоrо первоначальноrо значения величины 1'r.. Мы можем
затем заменить нейтрон протоном, т. е. перейти н ядру с 1', ==mr. 1, не БОЯСI,
нарушить при этом принцип Паули, так как мы уменьшаем максимальное число
тождественных частиц. ФУЮЩИЯ \ . по той же самой причине является дои'у
стимой волновой фуннцией для ядер с 1'r.==mr. 2, 1'r.==mr. 3 и т. д. вплоТI,
до 1'r.== mr.. Допустим,. с друrой стороны, что мы заменили протон на неЙ
трон. Исходное ядро 1'r.==mr. уже имеет избыток нейтронов. Поэтому такан
замена увеличнвает мансимальное число тождественных частиц и получаю
щаяся волновая функция может противоречить принципу Паули.
1) Хотя обычно предполаrается, что ядерные силы действуют т()льно между параьш
IJУНЛOlЮВ, дальнейшие эанлючения от этоrо предположения не эависят. Силы, действую
щие между мн()rими телами, ДОПУСIШЮТСЯ э;:\rсь с тем условием, что они должны быть
эарядов(),неэаписимыми. Вероятно, полсэно танже унаэать, что предпол()жrния 1 и II не
исилючают б()льших тенэорных сил. МУЛЬТИПЛЕ'ты но ИЭ()ТОПИЧЕ'сиому спину не уничто-
жаются тепэорными силами при условии, что тенэорные силы, так же ию, и центральные,
являются эарядопо,неэависимыыи.
8 6. Спеl>тРОСliопuчеСliая IiлаССUфUl>ацuя ЭNерzетuчеСIiUХ урО8Nей ядер 205
Мы видим, таI\ИМ образом, что для любой волновой функции имеется
максимальное значение величины Т" при котором Ч! удовлетворяет припци
пу Паули. Это максимальное значение Т: называется полным изотопичеспи.м,
спином и обозначается череs Tl).
Функция 'Т' является допустимой
нолновой фующией для ядер с
Т,==Т, T 1, ..., T,
и энерrии этих состояний. одина
I{OBbl у всех изобарных ядер (если,
конечно, исключить эффект заряда).
rоворят, что такие состояния изо
барных ядер от (А, Т) дО (A, T)
образуют мультиплет по изотопи
чеспому спину с полным изотопиче
ским спином Т.
Сравним теперь мультиплеты по
обычному спину с мультиплетами
по изотопичеСI,ОМУ спину. В муль
типлете по обычному спину 8 имеет
ся 28 +1 уровней с той же самой
энерrией, соответствующих значе
пиям 8. в интервале от +8 до 8.
Аналоrично в мультиплете по изо
топическому спину Т имеется 2Т + 1
уровней с одной и той же энерrией,
соответствующих значениям вели
чины Т, в интервале от +Т дО T.
D мультиплете по обычному спину
28 + 1 вырожденных уровня явля
ются уровнями одноrо и Toro же
ядра. В мультиплете по изотопиче
скому спину вырожденные уровни
относятся к 2Т +1 различным яд
рам, у ноторых Т'.. меняется от +Т
дО Т. Вырождение I\ратности
28 + 1 в мультиплете по обычному
спину может быть снято каким либо
возмущением (например, электриче
ским или маrнитным полем). Bы
рождение кратности 2Т+ 1 в случае
мультиплета по изотопическому спи
ну практичесни снимается эффектом
заряда (ср. фиr. 41, а и е).
Ранее мы видели, что если из
вестно какое либо состояние Ч' ядра
с Т:==т" то можно сказать, что Ta
:кое же состояние осуществляется
в изобарных ядрах с Т'.. ==т, 1, т: 2,..., т,. Для иллюстрации применения
этой теоремы рассмотрим фиr. 53, на ноторой приведена система возмож
пых уровней для изобарной последовательности ядер с четным массовым
1t
Фи r. 53. СхематичеСЮIИ вид уровнен си
стемы изобарных пдер с различными Зllаче
НИRМИ избытка нейтронов Т, в преIlебреже
нии эффектом зарнда.
'Уровни. имеющиеся толыш при '1',==0. образуют
синrлеты по изотопичеСНО:l1У спину; уровни,
имеlOщиеся тольно у трех пдср с Tr. I. О. 1,
образуют триплеты по ИЗ0топичесному спину;
уровни. имеющиеся у пяти ядер С Т: ==2. 1. О,
1. 2. обраауют нвинтет по ИЗ0топичесному
спину. Все уровни ядра с '1',==1 имеют партнеров
в аернальном ядре с Т, == 1. а TaHНlC в ядре
С '1':==0. в то же время не все 'ровни в ядре
с Т- ==1 имеют партнеров в ядрах с Т- ==2 или
Т: 2. Эффент заряда иаменяет эту артину,
причем энерrия всех уровней при данной вели
чине Т,: увелиqиваетсн на неноторую величину,
зависящую от '1': (эта веШlЧ,lНа бuльше ДЛfI
большеrо числа протонов. т. е. для мепьшеrо
значсния Т,).
1) Не сл('дуст смешивать символ Т для KBaHTOBoro числа полноrо И30ТОПИЧ\,Сlюrо
спина с кинетичеСI{ОЙ энерrией ядра Т. Оба обозначения общеупотр(бит('лыI..
206
r.п,. V/. Яоерпая спеl>тРОСl>опия. Общая теория
числом А. Допустим, что мы знаем (экспериментально) уровни ядра T ==1. '
Тоrда мы можем сказать следующее:
1. Имеется точно такое же число уровней с точно тюшми же энерrиямн
возбуждения в зеркальном ядре с 1',== 11).
2. Все уровни ядра с 1' ==1 имеют
ея тан:же в ядре с 1'1'.==0. Однако в Ядр(}
с Т, ==0 . существуют дополнительные
уровни (синrлеты по изотопическому
спину), не имеющие (шартнеров» в яд
ре с 1'1'.==1.
3. Нен:оторые, но не все, из из
вестных уровней в ядре с 1'1'.==1 Haxo
дятся тан:же и в ядрах с 1'1'. == 2 и 1'1'.==
== 2. ровни, ноторые имеются толь
у{о в ядре с 1'1'. ==0, являются синrле
тами по изотопическому спину, уровни
же, имеющиеся в ядрах с 1\==1, 0, 1
(но не с большими 11'1'.1), являются три
плетами по изотопическому спину.
Друrие уровни являются квинтетами
и мультиплетами более высоких по
ряднов по изотопичесному спину.
тверждения 1 3 справедливы,
если пренебреrать эффеIПОМ заряда.
Пона эффект заряда является малым
возмущением, обусловленные им по
нраВI\И примерно одиню{овы для всех
уровней данноrо ядра 1'1'.' Таким обра
зом, все уровни данноrо ядра 1'1'. сдви
нуты по энерrии на равные величины.
3еличина этоrо сдвиrа зависит, нонеч
но, от 1'1'.' Примером MorYT служить
системы уровней зеркальных ядер Вll
и Сll, поназанные на фиr. 54 [379,
416, 466]. Основные состояния изо
бражены при Е==О. В той мере, в па
ной можно считать эффект заряда оди
нановым в разных состояниях, можно
предполаrать, что уровни обоих ядер
соответствуют одной и той же энерrии
возбуждения. Несомненно, что теорети
чесние соображения находятся в пре
нрасном соrласии с ЭI\спериментаJIЬ
ными фантами. Имеется тольно один
уровень, у HOToporo, I\ажется, нет
(шартнера» (уровень 7,5 Мэе в Сll)2).
В будущем причина этоrо единствеННОI'О отнлонения будет, конечно, выяе
иена. .Малые сдвиrи в энерrиях возбуждения соответствующих уровнеЙ
вполне естественны и имеют разумный порядон величины.
...
, \
5
'"
:i}
аз
10
э
8
7
6
4
з
2
,
о
о
с 1l
I
T = 2
B t1
7" I
'; 2
Фи 1', 54. Нижпие энерrетичесrше уровни
ЯДер 1311 и С11,
Основные СОСТОfllIИЯ. а танже разлнчные B03
6ушденные СОСТОПНIlff этих lдер явлпютсп
«нартперами>,. 1>'ровнн ядра В IIзмерены 110
ре31ЩИII B 10 (d. р) E ll . а уровни ядра cll HO
jJсанции B 10 (d. 11) C I1 (данные вояты ИЗ работ
[379, 416, 406J).
9.26
.9, 18
8,92
8,57
7,30
6,80
6,75
4,46
1) Это утверждение фю,тически зависит тодъко от предположения о равенстве СПJI,
действующих между двумя протонами, и сил, действующих между двумя пейтронами ,
п не требует полной зарядовой независимости ядерпых сил.
2) СОСТОЯIIИе ядра Сll с энерrией 6,48 Мэа, песомненно, является неразрешеНПЫ I
дублетом, соответствующим состояниям с энерrиl'Й 6,75 и 6,80 Мэе в ядре ЕВ. То же са.
мое имеет место и для паивысших уровней, приведенпых на фиrуре.
.'
s 6. Спеl>тРОСl>опuчеСl>ая I>лаССUфUl>ацuя [тереетuчеСl>UХ уроеней ядер 207
Эффект заряда не всеrда можно рассматривать кю{ малое возмущение. Примером
этоrо MorYT служить зеркальные ядра С13 и N 13, НИЗI{О лежащие уровни которых показаны
на фиr. 55. Первый возбужд нный уровснь ядра С13 находится при 3,10 Мае, а пдра
N13 при 2,4 Мае. Столь большая разница была объяснена ВиrIIером. Он указаJI на то,
'1ТО энерrия отделения нейтрона 8 п от ядра С 13 равна 4,88 Мае, т. е. больше 3,10 Мае,
в то время кю{ энерrия отде!lения протона 8 р от ядра N 13 состашIЛСТ толыю 1,92 M:Je,
т. е. II же уРОВIIЯ с энерrиси 2,4 Мае. Поэтому уровень с ЭIIерrисй 2,4 M:Je n ядре N13
пеустоичив по отношепию к вылету протона, в то врсмя как «зсrШaJIЫIЫЙ» уровснь
4
3,95
З.5З
'" 3
'" 2
JS
З.70
N 13
C l3
Фи r. 55. Нижние ЭlIерrетичесние уровни ндuр
. N13 И С13.
Энерrии основпых СОСТОflНИЙ ПРИШlТы равными нулю.
Большое расстоянпе мешду УРОВНIIМП с энерrиеii
2.39 Мае в flдре N 13 и 3.10 Мао в flдре с 13 обуслов
лено тем. что в этом случае НУЛОНО!JСНУЮ энерrию
нельзя рассматривать как малое возмущение. Ypo
вень с энерrиеЙ 3.10 Мае в ядре с 13 устойчив по
отношению н испусканию пеЙтрона. в то времп нан
уровень с энерrией 2.39 Мэо в пдре N 13 неустойчив
ио отношению к вылету протопа. Наличие урОВНJI
с знерrией 0.8 Мае в flдре с 13 наДСlIШО пе устаПОВJIСПО
(данные взяты из работы [379]).
2.39
o.8?
о
..
(с ЭIIеРI'ией 3,20 M:Je) в ядре (;13 устойчив по ОТlIОlIlеIП1Ю н вылету часТIIЦЫ (нейтрона). IIри
зтих условиях КУЛОНОВСI{УЮ энерrию уже нельзя рассматривать IШК МЮIOе возмущение.
Из болсе дстальноrо анализа, oCIIoBaHHoro на теории ядерных реющий [202], можно
получить OцCНI{y действительнOI'О энерrетичесноrо сдвиrа в этом случае, ноторая по
порядку всличины соrласустся с опытом (теория не даст возможности провести болсе
детальное сравнение).
Существование подобных уровней в зеркальных ядрах :Iависит
от предположения о равенстве сил, действующих между нарами одинаковых
нуклонов (нейтрон+неЙтрон и протон+протон), И не требует полноЙ зарядо
вой независимости ядерных сил. Указания на наличие мультиплетон по пол
ному изотопическому спину в области леrкИХ ядер являются l'ораздо менее
убедительными, чем указания на наличие соответственных уровней в зерналь
ных ядрах. Два наиболее убедительных случая IIмеют место для ядер с А ==10
и 14 [687]. Уровни ядер 014, N 1 4 И С14 поназаны на фиr. 56. Учтя поправку
на эффект заряда, можно видеть, что триплет по изотопичесному спину обра
:зуют следующие три состояния: основное состояние ядра 014, возбужденное
состояние ядра N14 с энерrией 2,3 Мэе и основное состояние ядра С14. Это
.Утверждение подкрепляется рассмотрением особенностей распада ядер 014
и С14. Ядро С14 распадается с очень большим периодом, что указывает на то,
что структура OCHoBHOro состояния ядра N14 сильно отличается от структуры
OCHoBHoro состояния ядра С14 (см. rл. XIII). С друrой стороны, распад ядра
014 происходит преимущественно на уровень с энерrией 2,3 Маа ядра N14
и с очень малым периодом, указывая на то, что свойства уровня с :шер
l'ией 2,3 Мэа ядра N14 весьма подобны cBo icTBaM основпОrо СОСТОЯIIИЯ
ядра 014.
'Утверждение 2 таI\же следует из данных, приведенных на фю'. ;)(i.
Ядро С 1 4 имеет возбужденный уровень с энерrией 5,6 Мэе и возбуш
денный уровень с энерrиеi1 6,1 Мэе, наличие KOToporo ставится под COMHe
ние. Если основное состояние ядра С14 соответствует уровню с энерrиеii
2,3 Мае в ядре N14, то эти два возбужденных состояния в ядре С14 должны
соответствовать уровням с энерrиями 7,9 и 8,4 Мае в ядре N14. В ядре N14
208
rл. V/. ЯоерНая спектроскопия. Общая теория
имеется хорошо установленный уровень с энерrиеЙ 8,07 Мэе, ноторый может
соответс,твовать уровню ядра С 14 с энерrией 5,6 Мае. С друrоЙ стороны, co
мнительный уровень С 14 с энерrией 6;1 Мэе, повидимому, не имеет (шартнера»
в ядре N14. Более тщаТельная энспериментальная проверна понажет, имеет
СЯ ли здесь действительное противоречие с теорней.
В целом теоретичесная интерпретация данных по леrним ядрам пона еще
находится в состоянии разработни. Необходимо проделать большую работу,
8
7
6
5
""
'"
4
",,'
:::,
'"
3
2
8,07
6,6
. 6.7
5.5
5,0
6,1?
5,6
о
4,0
2,3
о
о
о
0'4
N 14
с 14
1
О
Фи {'. 56. ЭнерrетичеСI{ие уровни ядер 014, N14 и С 14 .
Основные состояния япер 014 и с 14 совместно с уровнем
2,3 Мэо ядра N14 образуют триплет по изотопическому спину.
Состонние нлра N 14 с знерrией 8.07 Мэо и СОСТОНIIие Iщра
с 14 с энерrией 5.6 М эо таюне MorYT оназатьсн COOTBeTCTHeH
ными СОСтоянияМи. Состuяние ядра N 14 , подобное не надежно
установленному уровню ядра с 14 с энерrией 6.1 Мэо.
неll8веетно.
..
.
чтобы получить все, что из этих данных следует. Имеющиеся данные не Haxo
дятся в противоречии с предположением о зарядовоЙ нрзависимости ядерных
сил (т. е. с существованием мультиплетов по изотопичеСI{ОМУ спину), но эти
данные все еще не являются онончательными.
Используя нонцепцию размеЩАНИЯ, можно разработа'lп спентроскопиче
СНУЮ ЮIaссифинацию энерrетичеСI{ИХ уровней ядер более детально, чем это
проделано нами здесь [807, 393, 8121. Н с,ожалению, таная более детальная
Iшассифинация основана на прс положении, что в первом приближении мож
но пренебречь тензорными силами (спин орбитальной связью). Это пред
положение, вероятно, приемлемо в случае рассмотрения основных черт устой
;<: W'""7"""J ..,v ?"W"/ vr ".;:,,""
"с"':",' .'. ' :,-, ,J,' ...'т " :" 7'/:?'-.,": -,:':r;}" "':tr 'i'!"о;:J'1; ;"!".:",;:?Т': ;O;."':f.. "':_ID"':''':T'<'t"'3' :7::''', ,,_ .f'':
Обоаначения
209
чивости ядер (см. 4). Однако оно является слишком rрубым и не позволяет
дать практически полезную спектроскопическую классификацию энерrети
ческих уровней. Если бы силы действительно были зарядово и спиново не
зависимыми, то определенные уровни (относящиеся к той же самой простран
ственноЙ волновой функции и, следоваТельно, к тому же самому размещению)
обладали бы одинаковой энерrией, образуя «супермультиплеты». Если бы
спиновая зависимость ядерных сил [которая может быть типа (0'10'2) или
типа тензорных сил] была очень малой, то получающиеся из TaHoro супермуль
типлета действительные уровни OI\азались бы все же близ ними друr н друrу
по энерrии по сравнению с расстояниями между различными супермульти
плетами. Экспериментальных уназаний о существовании ТaI<ИХ rрупп ypOB
ней в леrJ\ИХ ядрах не существует, а теоретичесние оценки показывают
[236], что эффект тензорных сил ни в ноем случае не является малым. Таним
образом, нвантовые числа размещения нельзя Использовать в начестве
основы для детальной классифинации энерrетических уровней. С друrой
стороны, иноrда ядерным уровням можно приписывать нвантовые числа
размещения (Р, Р', Р"), что позволяет в ряде случаев получить неноторые
полезные ЗaIШючения [333].
Таким образом, мы приходим н следующей общей схеме I\лассифи
нации энерrетичесних уровней леrЮIХ ядер: I<аждыЙ: уровень обладает опреде
ленным МОментом J и четностью '::. Кроме Toro, уровни изобарных ядер
можно rруппировать в мультиплеты по изотопичеСI\ОМУ спину. При HeKOTO
рых условиях отдельным уровням можно также сопоставить квантовые чис
ла размещения (Р, Р', Р").
'Уназанная схема нлассифинации значительно менее обширна, чем схема
для энерrетических уровней атомов [160]. Причинами этоrо явлЯются пло
хое знание ядерных сил, а также то, что мы не умеем рассматривать в про
стом приближении ядерную задачу мноrих тел. В случае атома ядро дает
определяющую по величине силу притяжения, и модель независимых частиц
является хорошим первым приближением, ноторое можно использовать для
нлаССИфИI\аЦИИ энерrеТIIчесн:их уровней атомов. Для ядер не имеется подоб
Horo первоrо приближения, обеспечивающеrо соответствующую точность.
Однано определенные успехи модели оболочен (см. rл. XIV) уназывают на то,
что модель независимых частиц, вероятно, не является тат,им уж плохим
приближением, кю, это до сих пор считалось.
Мы можем следующим образом подытожить достижения общей теории
ядерноЙ спектроснопии:
1. Качественно объяснены основные фю<торы, определяющие устойчи
вость ядер ( 1).
2. Полученные качественные соображения можно использовать дЛЯ BЫ
вода полуэмпиричесноЙ: формулы для энерrии связи ядер, ноторая удовле
творительно отражает основные особенности энспериментальных данных ( 2).
3. I'рубая оценна эффеJ<та симметрии, обусловленнOI'О обменными СВОЙ
ствами ядерных сил ( 3), позвОляет понять основные зан:ономерности устоЙ:
чивости ядер.
4. Получены HeI,oTopble занлючения ОТНОсительно маrнитных моментов,
которые МО1'ЛИ бы быть использованы ДJIЯ интерпретации энспериментальных
данных ( 5).
5. Изучение интеrралов движения ядерных систем дало нам элементар
НУЮ основу для классифин:ации энерrетичесних уровней ядеРJ 6).
ОБО3IIАЧЕНИЯ
А MaCCOBoe число ядра [A==N +Z] ( 1).
Ь радиус действия ядерных сил (3.2).
14 3аиаз М 396
210
r.a. У/. Ядер пая спектроскопия. Общая террия
в
с
С
ё
d
Е'lI'УЛ.
Е'ПОRОЛ
Е'пов.
Е'симм.
Боб.
gl.
gs
g+(d/b)
н
J
k
L
Li6*
т
т
М"
Мр
n
n+
п
(п+)оп.
энерrия связи ядра (2.6).
CKOpOCTЬ света (s 1).
оператор куЛОНОВСIШЙ энерrии ядра (s 3).
среднее значение оператора С (1.2).
расстояние между ближайшими соседнИМИ нуклонами в ядре (ощjеl1:еJlеllие
СМ. в rл. Ш, S 3 (3.2).
KYJlOHOBCI{aH энерrия ядра в формуле Вайцзеннера [Е куд . ==С] (2.3).
Эllерrия массы ПОIШЯ N нейтронов п Z протонов, разделенных друr от l1:PY
ra (1.5).
повеРХIlостная энерrин ядра в формуле Вайцзеюшра (2. ).
энорrия симметрии ндра в формуле Вайцзоккера (2.2).
объемная энерrия ядра в формуле Вайцзеккера (2.1).
rиромаrнитное отношение для орбитальной части маrНИТIlО!'О момонта пдра
(опредеJIоние см. rл. 1, S 7) (s 5).
rиромаrнитное отношение для спиновой части маrНИТIlОI'О момента ндра
(определение см. rJI. 1, s 7) (s 5).
отпосптельнан веронтность взаимодействин для симметричных пар (опреде
ление см. rл. IlI, S 3) (3.2).
rамильтониан ядра [H==T+V+C] (s 3).
KBaHTOBoe число полноrо момента ядра (s 5).
KOHCTaHTa в соотношении (ЬjR)З;=kА 1; заключена между 2 и 3 (3.3).
I{BaHTOBoe число орбитальноrо момента ядра (s 5).
возбужденное состонние пдра Li 6 , ноторое (<нодобно» осповным COCTOH
нипм ядер Не 6 и Ве 6 (s '1).
Macca ЭЛ!Jктрона (s 1).
значение Т r. для HeHoToporo опреДОJlенноrо я:дра (s 6).
Macca нейтрона (s 1).
Macca протона (s 1).
целое число (s 1).
число симметричных пар (3.1), (3.11), (3.18).
число антисимметричных пар (3.1).
опоратор числа симметричных пар (3.12).
1
.'
j
.'
1
,
,:
)
п1 число уровней, на которых находится по одному НУIШОНУ (3.13).
n1 число уровней, на которых находится но два нуклона (3.13).
Па число уровней, на которых находитсн по три нунлона (3.13).
п4 число уровней, на IШТОРЫХ находитсп по четыре нуклона (3.13).
N число нейтронов в ядре [N==A Z] (1.1).
р вероятность взаимодействин для пары нунлонов бозотноситеJIЬНО f{ симметрии
этой пары [р== р (bjR)] (определение см. rл. III, S 2) (3.2).
р+ вероятность взаимодействия симметричной нары (3.1), (3..2).
p вероятность взаимодействин антисимметричной пары (3.1).
Р СИМВОJI размещения [р== + (п1 + 2п 2 +пз) ] (3.14).
Р' СИМВОJI размещенИН [р' == (п 1 +п з ) ] (3.14).
/''' . символ размещения [Р" == (п1 п з )] (3.14).
рМ обменный оператор Майорана (3.5).
pff обменныЙ оператор Майорана для частиц i и i (3.11).
q постонннап в интерполяЦИОННОЙ формуле В"", qA ДJIJ1 энер!'ий свнзи ядер
[q 8 Мае ] ( 2).
R радиус ндра (1.2).
Rc КУЛОНОВCl{ий радиус пдра (2.11).
ОбоаNачеNия
211
s Iшантовое число СПИFОВОl'О момента ндра (s 5).
811 энерrия отделения нейтрона (s 6).
8 р энерI'ИfI отделения протона (s 6).
8 l проенция спина ядра на ось z (s 6).
Т Iшантовое число и:ютопичеСlюrо спина (равно ыа!<сималыlмуy значению Т
при сопоставлении «подобных» уровпей изобарных ядер) (s 6).
Т оператор кпиетической энерrии ядра (s 3).
Т cpeДHee значение оператора юшетичеСIЮЙ эперпIИ (s 3).
Те избытOI, нейтронов [Ту., == (N 7,) J (1.1).
(Т, )манс. маНСП Ia.'IЬНЫЙ изБЫТОЕ неЙТрОIIОВ, совместимый с размрщением (Р, Р', Р'"
(s 3).
(1'r, )мин. значение пзбытна нейтронов Те' llрИВОДfIщее 1\ мипимуму ПОШlOй энерrии и
(максимальной энсрrии связи) Д.'Iя ядер с .и;аНIlЫМ массовым числом А
(2.8), (2.9).
ПОСТОЛIшан в члене ДЛJ1 l<УЛОНОВС1\ОЙ энсрrии в формулс Вайцзсюшра
(2.3), (2.4).
. постояннан. в членс д.тш новерхностной энерI'ИИ в формуле Вайцзенкера (2.5).
постоянпая в Ч.'lене для объемной энсрrии в формуле Вайцзекксра (2.1).
ПОСТОfIНIIая в члене для энерI'ИИ снмметрии в фОРМУJJе Внiiцзскнера (2.2).
полная энеРI'ИfI ядра (2.7).
оператор потенциальной энерI'ИИ ядра IШН: целоrо (3.6).
сре;:J;пее значение оператора потенциальной энерI'ИИ (3.1).
rлубина ПРЯМОУI'ОЛЬНОЙ нотенциальной ямы, описывающей ндерное взаимо-
действие между двумя нуклонами (3.1).
потенциал ндерНОI'О взаимодействия между двумя НУШIOнами i и i, нахо-
Дящимися на расстоянии rij друр от друра (3.6).
rлубина потенциала прямоуrольной формы для взаимодействия тина Майо-
рана между двумя нуъ:лонаМII (3.7).
зависимость от расстояшш обмеШIOl'О нотенциала J\Iайорапн ДJШ взаИМОДей-
ствия двух нуклонов (3.5).
rлубина потенциала ПРЯМОУI'ОЛЬНОЙ формы ДJIЯ взаимодействия типа Виrнера:
между двумя нуклонами (3.7).
потенциал необменных сил взаимодействия между двумн нуклонами (сип
ВИI'нера) на расстоянии r (3.5).
ЧlIСЛО протонов В ядре.
ностоянная в формуле Вайцзеlшера, ОlIисывающая раюIOС'fЪ энерrий между
четно четными и IIечетно нечетныыи изобарами (2.14).
разность энерI'ИЙ двух изобарных ядер, обуслов;rенная эффеI\ТОМ зарЯ'да (1.6).
разность значений 11 для двух изобарных ядер (3.9).
маrнитный момент ядра, выраженный в ядерных марнетонах (s 5).
экспериментальное значение fL (s 5).
теоретичеСI\ОС' значение fL 11 предположении отсутствия спин орБИТЮIьноjf
связи (s 5).
часть выражсштл п+ п , заВИСJ1щая от размещснин (3.16), (3.17).
четность ядра (s 6).
вектор спина Паули пунлона ( 6).
волноваЯ' фупкция ядра (s 3)
llC
и.
и"
и
U
V
V
; о
ji (r'J)
(vи)о
.. 1'и(r)
(v' w)o
T w (r)
Z
8
t>Ec
;lV
11-
fJ знсIl .
I1- Teop .
т;
а
W
14'"
"
rлава УН
ЯДЕРНАЯ СПЕItТРОСRОПИП
11. МОДЕЛИ ЯДЕР 1)
1. ВВЕДЕНИЕ
Предыдущая rлава была посвящена тан:им вопросам ядерной спен:тросн:о
пии, н:оторые мотно понять и связать друr с ДРУ1'ОМ на основе довольно
общеrо рассмотрения. Область применимости этих общих методов хотя и зна
чительна, но все же довольно оrраничена. Эти методы позволяют получить
Rачественные данные, н:асающиеся всех свойств атомных ядер; однан:о значи
тельно труднее получить с ИХ помощью н:акие либо н:оличественные занлюче
пИЯ И, н:онечно, совершенно невозмотно предсказать отдельные ядерные
харан:теристин:и (например, спин, маrнитный момент, возбужденные состояния,
отн:лонение энерrии связи от rладной полуэмпиричесн:ой формулы и т. д.).
В связи с этим была проделана значительная работа по более детальному
описанию ядерных состояний с помощью имеющеrося в нашем распорятении
:dатематичеСJ{ОI'О аппарата, не прибеrая при этом к существенным упроще
пиям действительных условий. В этой rлаве дается н:ратн:ий обзор получен
пых результатов. Мы увидим, что в ряде случаев имеются отдельные успехи,
по большинство интерпретаций MorYT считаться неудачными. Различные
:dодели, предложенные для описания Свойств ядер, оказывались неудовлетво
рительными при IIопытнах поставить их на твердый теоретический фундамент
или подверrнуть действительно детальному сравнению с опытом.
Мы начнем с обсуждения однородной модели, так нак она наиболее тесно
примыкает н: материалу, рассмотренному в предыдущей rлаве. Затем дe
тально рассмотрим модель независимых частиц. В заКлючение мы в общих
чертах познакомимся с а частичной моделью Яil.ра и моделью тидн:ой н:апли,
!{оторые, по видимому , в значительно меньшей степени соответствуют действи
тельности, чем первые две модели.
2. ОДНОРОДНАЯ МОДЕЛЬ виrНЕРА 2)
А. Теория
В предыдущей rлаве было пон:азано, что для объяснения УСТОЙЧИВQСТИ
ядер можно использовать весьма общие свойства симметрии. Развивая эти
соображении, н:асающиеся свойств симметрии, можно получить количествен
ные данные об энеРI'ИИ Связи ядер. Тан:ое рассмотрение основывается на пред
положении о том, что двитение частиц в ядре чрезвычаЙно запутано, блаrо
1) Изложение вопроса о моделях ядра в значительной степени устарело. Это преЖДЕ
I'ICero относится н разделу, в l{OTOPOM обсуждается модель незаПИСIШЫХ частиц. Сопрсмен
J,юе состояние этой модели излаrастсн, хотя и весьма HpaТl{O, в rл. Х IV. Кроме Toro,
JI книrе совершенно отсутствует изложсние Tal{ называеыых <(но;тснтивных моделей»
lIдра, ноторые в последнее вреыя нриобрели чрсзвычайно большое значение. Подробнее
М. приложение III. При.м. перев.
2) См. [808, 811].
tJ Z. Оонорооная .м,оое.л,ь Виенера
2fЗ
даря чему можно воспользоваться статистичесн:им рассмотрением. При этом
пренебреrают детальными особенностями ядерноrо двитения и сохраняют
ТОЛЬНО ero основные н:ачественные особенности. Поэтому таная модель ядра
называется (<однородной моделью». Рааумеется, она не учитывает эффентов,
связанных с оболо.чочной СТРУНТУРОЙ ядер (см. рассмотрение маrнитных
моментов в преДыдущей rлаве, а тан:же l'Л. XIV.
Теория исходит из предположения о том, что силы не зависят от заря-
дов и спинов. Для простоты начнем с рассмотрения сил Майорана. 13 ЭТОМ
случае оператор потенциаJJЫЮЙ энерrии даетсп выражениями (VI, 3.5)
и (VI,3,6), в н:оторых пренебреrается членом, описывающим силы 13иrнера.
Математичесное ожидание потенциаJJЬНОЙ энеР1'ИИ можно оценить, предпо-
лаrая, что антисимметричные пары не вносят заметноrо вклада в потен"
циальную энерrию ядра V.
Сделаем теперь более точную оцеНII:У. Майорановсная часть потен
Циальной энерrии имеет вид!)
(1jJ, VM )==L[IjJ, VM(rij)Pf1 ],
ij
(2.1)
l'де суммирование производится по всем парам нуклонов, причем
пара считается только 1 раз. Введем «проеIщионпые» операторы
CIC 1 (1 м
7tij==T ::f:: Рц),
каждая
(2.2)
выделяющие часть волновой фушщии, симметричную (антисимметричную)
по отношению к перестановн:е прострапственных н:оордина т частиц i и j.
Тоrда из (2.1) получим
( , VMIjJ)== [IjJ, VM(ri)7ttj'f] [ , V M (r i )7tijljJ]. (2.3)
t] t]
Рассмотрим первую сумму этоrо выражения. Вследствие наличия опе-
ратора "'Т) подсчитывается ВЗ:J.имодействие ТОЛЫ,О тех пар, которые сим
метричны по отношению н: перестановке пространственных координат-
Введем усредненное .майорановское взаиJotOдеuствие .между си.мметричными
пара.ми частиц:
V и ==
[ф, v М (rij) '1ttj'И
ij
L (ф, '1ttjФ)
ij
(2.4)
В rл. IV было пон:азано, что Vi r == р+ (V М)о, rде (V М)о «rлубина»
потенциала, отвечающеrо силам Майорана. Выратение (2.4) уточняет эту
оценн:у. Сумма, стоящая в знаменателе, просто равна числу симметричных
пар п+. Введем тан:им те образом усредненное взаимодействие между анти.
симметричными парами V I, заменяя 7t на 7tij. При этом получим следу-
ющее выратение ДJIЯ математическоrо отидаНllЯ майорановской части потев"
Циальной энерrии:
(1jJ, V MIjJ) == Vkп+ V I п .
(2.5)
До сих пор не было сделано никан:их приблитений. В однородной модели
Витера предполаеаетс.я, что интее ралы усредненноео взаи.модействия V м
и y .между си.м.метричны.ми и антиси.м.метричны.ми пара.ми 'lacmalI
яел.яютс.я плавны.ми функци.я.ми .массовоео числа А и с хорошим приБАU"
1) Здесь для Sф*Vфd't ИСПОJIЬЗ0вано обозначение (ф. Vф).
,
.
J
!
]
j
,
,
;
3
i4
r.a, VII. Ноерн,ая спектроскопия. Моое.аи яоер
.жен,uем. ие за(Jисят от избытка нейтронов Т" == 1/2 (N Z) и друеих свойств
ядра. В таком приближении пренебреrается всеми специфическими особен
iНостщ\ш отдельных ядер. Следовательно, результаты, полученные с помощью
9ДНОРОДНОЙ модели, надо рассматривать скорее н:ан: уточнение результатов
полуэмпиричеСlшrо рассмотрения поверхности ядерной энерrии, а не как
детальное предсн:азание всех свойств ядер. Например, в однородной :моделп
даже не делается попытон: определить орбитальный момент количества дви
щения L ядра в основном состоянии ИJIИ ero маrнитный момент.
Обычно формулу (2.5) записывают в друrом виде:
1 " a 1 . a
(1jJ, V M ) == 2" (V м V м) (п++п )+2 (V 1If + V м) (п-!- пJ. (2.5а)
Н однородной модели первый член является одинюшвым для всех
изобар, в то время н:ан второй член определяет устойчивость в ряду изобар,
Разность метду числами симметричных и антисиммеТРIIЧНЫХ пар была
рассчитана нами ранее в l'JI. VI, g 3. .
Так I\aK координаты пары антисимметричных частиц должны быть
ОТJIИЧНЫ друr от друrа (волновая фунн:ция должна равняться нулю, коrда
частицы находятся в одной ТОЧI<е), то интеrрал усредненноrо ВЗ1;lимодей
ствия для антисимметричных па р должен быть по абсолютной веJIичине
обязательно меньше интеrрала взаимодействия для симметричных пар.
Из формулы (2.5а) видно, н:оrда пренебрежение изменением интеrралов
взаимодействия в ряду изобар может считаться законным. Величина n+ п
нвляется очень быстро меняющейся фунн:цией Те, а изменения интеrралов
взаимодейс.твия ДОJIЖНЫ быть значитеJIЬНО меньшими и более плавными,
ТЮ< что в первом приближении ими вполне мотно пренебречь.
В однородной модели не делается попыток вычислить интеrралы взаимо
действия. Однан:о можно оценить их изменение в зависимости от MaccoBoro
числа. Взаимодействие между парами частиц имеет место тольн:о на pac
стоян иях порядка величины радиуса действия ядерныХ СИJI. Вероятность
p(b/R) найти две частицы близко друr от друrа обратно пропорциональна
объему ядра при условии, что этот объем значительно больше эффектив
Horo объема, в н:отором происходит взаимодействие. Поэтому будем считать,
что ИНТeI'раJIЫ взаимодействия V пропорциональны А 1. В случае леrких
пдер объем ядра, н:онечно, не очень велИl< по сравнению с объемом, в KOTO
ром происходит взаимодействие. Поэтому в оценку интеrралов взаимодей
ствия необходимо ВRJJIОЧИТЬ поверхностный член, подобный поверхностному
члону D полуэмпирической формуле Вайцзен:кера ДJIЯ массы ядра. Однако
в большинстве работ по однородной модеJIИ этоrо сделано не было, хотя
'j'aJ\аЯ необходимость была выяснена еще в первой работе по этому вопро
(',у [808].
Отбросим теперь преДLJОJlожение о том, что ядерные силы являются
1'ОJIЫШ силами Майорана, и включим в теорию силы Виrнера. В выраже
нии для сил Виrнера, эн:вива.лентном (2,5), знак минус надо заменить
на плюс, так кан силы Виrнера не меняют знака для антисимметричных
пар. При этом получится следующее выражение для математичесн:оrо ОiНи
дания полной потенциальной энерrии:
1
j
I
{i
, 1
( , V )== L(п+ пJ, ,L 2"A(A 1),
(2.6)
!'де
1 " I a 1 " a
L == 2 (V Mi . VM) ' 2(Vw V w ),
1 " a 1 a
L' == 2(V.'II V M ) 2(V + V\v).
(2.7)
tJ Z. Оон,ороон,ая .моое.л,ь Виен,ера
215
" Знаки выбраны так, чтобы L и L' были полотительны для сил, под
чиняющихся требованиям насыщения. ИСП()JJьзовано также то обстоятель
ство, что сумма чисел симметричных 11 антисимметричных пар равна пол
ному числу пар 1/2A (А 1).
Перейдем теперь к опреДeJlениlO юшетичесн:оЙ энерrии на основе OДHO
рОДIlОЙ модели. Будем считать, что все ядерные частицы движутся неза
висимо (не учитывая принципа Паули) в сфере ядерноrо объема, Такой
«ферми rаз» предполаrается полностью вырожденным, т. е. частицы Haxo
дятся на неCIЮЛЫ,ИХ низших уровнях, совместимых с требованиями прин
ципа Паули. COrJIaCHO терминолоrии rл. VI, используя опредеJlенное там
(<нормальное расположение», мы получим число нейтронов со спинами, Ha
праВJleННЫМИ в одну сторону (п 1 + п 2 + па + п 4 ), число нейтронов со спинами,
направленными в друrую сторону (п 2 + па + п 4 ), и т. д. Bcero имеются
частицы четырех сортов, что дает следующее выражение для Jшнетической
энерrии ферми rаза (см. rл. 111, lИ масса одноrо lIунлона, R радиус
сферы).
Т 3 (36 ) 2/з п2 [( I + ) 5/з ( + ) 5/з .i
=== 110 7t М fl2 п 1 т п 2 + па п 4 + п 2 па + п 4 т
+ (па + п 4 )5/ з + (п 4 )5/ з ]. (2.8)
Эта величина не является J,инетической энерrиеЙ действительноrо ядра,
а только онреДeJlЯет ее нитний предел: норреляция положений частиц
делает волновую фунн:цию в конфиrурационном пространстве менее плавной
и поэтому приводит К увеличению кинетической энерrии. Однако мы будем
предполаrать, что этот эффект зависит' rлавным образом от MaccoBoro числа
и в хорошем приблитении остается одинан:овым для всех изобар. Такое
предполотение может оказаться несправl'ДЛИВЫМ. Однако мы не имеем
н:ан:оrо либо простоrо способа оценки кинетичеСI<ОЙ энерrии с учетом KOp
реляций. Обычно используют разлотение выражения (2.8), получающееся
в предполотении, что числа п 1 , п 2 и п з (и следовательно, нвантовые числа
размещения Р, Р', PII) малы по сравнению с массовым чиелом. Это дает
при условии, что R == roAl/3,
Т == ТоА [ 1 + 9 2 7J + . . . ] (2.8а)
l'ДU
3 2/3 1i
ТО == 40 (97t) Mr5 '
7J == -} [Р2 + (Р')2 + (PII)2].
(2.9)
Основной ЧJlен в (2.8а) пропорционален массовому числу А и совпа
дает у всех изобарных ядер. Член, отличающиЙся у различных изобарных
ядер, зависит от свойств симметрии волновой функции через параметр 71,
(2.9). Энерrия ядра будет наименьшей при условии, что параметр 7J мал.
Член, описывающий кинетичесн:ую энерrию, приводит к БОЛЫllей устойчи
вости ядер, имеющих малое значение I Те 1'.
Энерrия связи весьма чувствительна к оценке нинетической энерrии:
в реальных ядрах нинетичесн:ая энерrия нейтрализует больше половины
потенциальной энеРI'ИИ, тан: что наблюдаемая энерrия связи представляет
собой малую разность больших величин. Поэтому малая относительная
ошибн:а в оценке кинетичесн:ой энерrии приводит к большой относительной
ошибке в энерrии связи. При этом остается невыясненным, дают ли исполь
З0ванные нами rрубые приблитения достаточно точную оценку кинети
ческой энВрrии.
216
r.a. VII. Ноерная епех:троех:опия. Моде.аи яоер
Эффект заряда и ero влияние на энерrию в однородной модели учи
тывается точно танже н:ак в формуле Вайцзекн:ера [см. (VI, 2.3)J.
Для дальнейшеrо обсуждения полную энерrию ядра U в однородной
модели Виrнера удобно разбить на две части, первая из которых не зави
сит от Т, и поэтому ОДИНaJ\Ова для всех изобар:
U (А, Tr.) == и о (А) + [И (А, Т,) И О (А)]. (2.10)
ДЛЯ И О (А) мотно использовать выратение
Ио(А)==( A2 2A )L A(A 1)и+ATo+
+(1 2A 1)A5Iзac+ ; А(1I1 n с 2 +1I1 р с 2 ).
(2.11)
Нан: и в rл. VI, 2 мы считаем ro == 1,465.10 13 СМ. Постоянная
ТО 13 111 эв. Постоянная ис, равная 0,148 J.f эв, была введена в rл. УI в
связи с формулой Вайцзенлера. Зависимость И О (А) от н:вадрата MaccoBoro
числа является иатущейся, ТаУ{ IШН: интеrралы взаимодействия, Входящие
в L и L', предполаrвются изменяющимися по зан:ону A l.
Вторая часть (2.10) учитывает наличие изобар. Собирая различные
выражения и используя введенную в предыдущей rлаве величину ,
получаем
L т Т' (A 1 ':"Tr)
И(А, T,) Uo(A)==Al + A 1 "fj 4uc 'А1fз . +(Иnс2 1I1рс2)Тr.. (2.12)
Величина L 1 считается постоянной и определяется из соотношения
L =:::. Ll A l. Ее мотно найти из Э!{спериментальных данных по изобарным
ядрам. Величина 1\ =:::. (40/ J )To и по ОЦeIшам оказывается ПОРЯДI{а 60 Иэв.
Третий и четвертый члены представляют собой дифференциальный эффент
изобар, связанный с наличием кулоновсн:ой энерrии и разностью масс
протона и нейтрона (эффект заряда).
Тан кан нас интересуют лишь свойства основных состояний ядер, мы
оrраничимся наинизшим размещением (наименьшими значениями величин
и ""1) дЛЯ Н:ЮI{ДО1'0 ядра. Эти размещения и соответствующие значения
величин и ""1 БЬJJIИ определены в rл. VI, 4. Там те было получено
точное выратение для . Подобное точное выратение существует и для "fj.
Эти выражения имеют следующий вид:
== } T + 2/ Tr.! + (нечетные А),
== T + 21 Tr.1 + (чеТНО leтные ядра), (2.13)
== T + 21 Tr.1 + 4 (нечетно нечеТlIые ядра с N =/=.Z),
== 5 (нечетно нечетные ядра с N == Z),
.
...
'f) ==" T ..L
'1 2 .., 4
(нечетные А),
,
!
,
,1
j
J
1 Т 2
"fj==2 '
1 Т 2 1
"fj==2 '+2
1
"fj == 2
(четно четные ядра),
(2.14)
(нечетно нечетные ядра с N =/= Z),
(нечетно нечетные ядра с N == Z).
"
t
i
j
I
1 '--
.'
,
Z. ОопОРОО1lая .мооел,ъ Витера
217
. Выражения для энерrии симметрии даются в однородной модели пер
выми двумя членами формулы (2.12):
Е LIE+Tl"t)
симы. А
(2.15)
Последние два члена в (2.12) обусловлены эффектом заряда. Формула
(2.15) является уточнением формулы {VI, 3.20). Эти формулы становятся
очень похожими, еСJIИ пренебречь вкладом н:инетичеСIШЙ энерrии, т. е.
если (2.15) и в (VI, 3.20) положить Т 1 -== О. Следовательно, эперrия сим
метрии пропорциональна и обратно пропорциональна массовому числу А
Хотя величину L 1 можно в принципе найти с помощью волновой функции
ядра , однако на пран:тин:е она входит в расположение в начестве пара
метра, ноторый выбирается тан:им образом, чтобы получить наи.тJучшее соrла
сие с опытом.
Однан:о дате довольно rрубые оценн:и пон:азывают, что Т 1 отнюдь не
является пренебрежимо малым по сравнению с L 1 . Кю{ и в rл. VI, мы
мотем оценить Ll' пренебреrая вн:ладом антисимметричных пар и оценивая
вероятность взаимодеЙствия одних симметричных пар. Из формулы (V1,3.20)
получается следующая оценка:
L 1 kV o ,
(2.16)
rде k определяется (VI, 3.3) и имеет численное значение, зюшюченное
между 2 и 3, а V o можно оценить из задачи двух тел, что дает величину
ПОрЯДJ\а 20 Мэе. Таким образом, L 1 равно по ПОрЯДI{у величины !10 60-
Иэе; в то же врем'я Тl' соrласно (2.8') и (2.9), имеет величину порядн:а
60 Мэе.
Энерrия симметрии детально рассматривалась в rл. VI, S 4 в предПОЛО
жении, что Т 1 == О. Обратимся теперь к следствиям, получающимся в
результате учета нинетичеСIЮЙ энерrии. Величина 'f) (2.14) н:ачественно отли
чается от (2.13) отсутствием члена, пропорциональноrо I T 1. Количествен
ное различие связано с меньшей разницей между четно чстными и нечетно
нечетными ядрами. Отсутствие члена с I T I в 11 указывает на то, что при
Те == О нет (<выступа». Таким образом, помимо учета роли кинетичесн:ой
энерrии, в Е симм ., менее чем на н:ривых, приведенных на фиr, 48, 50 52,
rл. VI, выражен выступ при Т'!. == О.
Вторым эффектом, к н:оторому приводит учет н:инетическоЙ энерrии,
является уменьшение энерrетическоrо различия между приведенными на
фиr. 51, rл. VI н:ривыми ДШI четно чеТIIЫХ и нечетно нечетных ядер.
В этом можно убедиться, рассмотрев отношение расстояния между н:ри
выми (р) К коэффициенту при T в выратении для энерrии симметрии.
Соrласно (2.13) (2.15), это отношение равно
3L 1 +Тl
Р == L 1 +Тl . (2.17)
Так кан обе величины L 1 и Т 1 существенно положительны, то из (2.17)
следует, что наибольшая разница между двумя парабо.'шми для четно чет
ных и нечетно нечетных ядер получается при Tl -== О (сравниваются кривиз
ны парабол). В действительности Т 1 долтно быть Toro те порядка вели
чины, что и L 1 , поэтому разница между параболами заМетно YMeHЬ
шается.
Однородная модель основана на предположениях, которые, повидимому,
теряют свою справедливость н:ак для очень малых, так и для умеренно
больших массовых чисел. Весьма сом;нительно, чтобы в случае очень
деrI{ИХ ядер мотно было, не внося заметных ошибок, пренебречь индиви
дуальными свойствами отдельных ядер (такими кан:, например, эффект
218
rл. VII. Ноерн,ая спектроскопия. Мооми яоер
оболочек). Поэтому Виrнер применял однородную модеаь для изучения
ядер, более тятелых, чем 016.
Имеются различные причины считать однородную модель несправедли
вой и для очень больших массовых чисеJI. Во первых, в условиях увели
чения относительной роли н:улоновской энерrии неприменимо основное Пред
положение о зарядовой независимости ядернЫХ сил. Может оказаться, что
нулоновское отталкивание перепутывает члены, относящиеся н различным
размещениям, и своЙства пространственной симметрии волновоЙ функции
перестают иrрать прежнюю роль. BO BTOpЫX, с увеличением MaccoBoro
числа очень быстро возрастает число нуклонных пар; поэтому, например,
переход неСIШЛЫШХ пар ИЗ антисимметричноrо в симметричное состояние
приводит н незначительному эффекту. Средние н:оэффициенты L и L'
уменьшаются по величине, так что одна пара, обладающая специфически
ми свойствами (например, с чрезвычайно сильным взаимодеЙствием), моЖет
очень леrко нарушить статистическое рассмотрение. Для А == 50 число пар
равно 1/2 А (А 1) == 1225 и переход нескольких пар соответствует эффекту
порядка 1% или даже меньше. Поsтому возможность применения OДHOpOД
ной модели к ядрам с массовыми числами, превышающими А == 50, оназы
вается весьма сомнительноЙ. Кроме Toro, успех оболочечной . модели или
спин орбитальной связи делает однородную модель неснравеДJllIВОЙ даже
в остающейся области массовых чисел 16 А 50.
Основное содертание однородной модели состоит II ТОМ, что она дает
теоретичеСJше обоснование полуэмпиричесн:оЙ фОрМУJIЫ Вайцзен:нера для
масс, не пытаясь при этом предсказывать в деталях cBoiicTBa отдельных
ядер. Формула Вайцзекнера видоизменяется следующим образом:
1. Появляется член с I Tr.I, н:оторый приводит к В03НИJшовению BЫCTY
па у параБОJI при Т', == О. Однано этот выступ менее отчетливо выражен по
сравнению с I'рубой оценн:ой (VI, 3.20).
2. Существование отдельных парабол для четно,четных и нечетно не
четных ядер с одинаковым массовым числом является естественным след
ствием теории. Разделение парабол оназывается несн:олыш меньшим, чем
это следует из rрубых оценон: (VI, 3.20).
3. Нечетно нечетные ядра с Z==N (1\ == О) состав.;!Яют особый случай
(см. rл. VI, 4).
4. Постоянные L 1 и Т 1 В энерrии симметрии, соrласно тео етическим
оценкам, имеют соответственно порядок 40 60 и 60 lИэв.
5. Модель можно считать прю'одной для массовых чисел, занлюченных
метду 16 и 50.
"Д
1
Б. Сравнение с ОПЫТОМ
Сравним теперь результаты, полученные с помощью ОДIlОрОДНОЙ Moдe
ЛИ, с опытом. Эта модель оrраничена по своей природе довольно узкоЙ
областью значений А,' и мы иселедуем только ядра, зю{люченные в этой
области (16 А 50).
Начнем с разности энерrиЙ изобар. Разность [И (А, Tr.) U (А, Т' 1)J
мотно найти из эн:спериментальных данных по распаду (одно из двух
ядер Т' или 1\ 1 должно быть нестабильно по отношению к распаду).
После введения поправки на эффект заряда 1) мы получим эксперименталь
ную величину различия в энерrИJI симметрии
ДЕ,,;; == ECIIMM. (А, Те) Е симм . (А, Т'. 1) == LIil 1 T1 .1Yj , (2.18)
1) Эта ЩJПравка вводится в прсдположении, что КУЛОПОВСIШЙ радиус Вс дается фор
мулой R с ==l' о А 1 /з с l'o==1,465.1Q:---IЗ с .м(значение.R с для зеркальных ядер TI;==:!:lJ2 см. rл.
VI, 3 2).
}
Z. 0ОН0роон,а.'!, .мооелl, Виен,ера
219
l'де A разность между [см. (2.13)] соответственно
A1j определяется аналоrичным образом.
Из (2.18) СJlедует, что разность энерrиЙ
A ]. Это следствие ;'Iel'HO проверить, нанеся
<о
.5
\01
I.I.J
-..::J
4
дЛЯ T и T 1;
симметрии пропорциональна
экспериментальные значения
10
9
8
7
6
з
2
з I
Нечетные А, "Тt,='2 U"2
100
I
0,01
20
I
Q05
25
I
0,04
0,06
ФИ r. 57. Разность энерrий симметрии ДЕ" соседних изо-
бар n зависимости от обратной величины MaccoBoro ЧИСJIa
А для ядер с нечетными А и T ==1/2 И Т ==З/2'
Эиспериментальные точии поиазаны нруншами без стрелои. Н:руж-
нами со стрелиами поиазаны переходы. в ноторых известны тольио
верхний или ИИНlНий предел ДШI ilE",; стрелни направлены от соот-
ветстпующсrо предела в разрешенную область. Заштрихованные
площади IlCилючаютсн при рассмотрении условий устойчивости.
.Обычные» переходы поиазаны простыIии нруашами, а .маrичесние»
переходы (ноrда одно или оба из рассматриваемых ндер содержат
маrичсснпе ЧИСJlа нейтронов или протоиов) двойными иружиами.
Из ОДIIОрОДНОЙ модели следует. что все точни должны находитьсн
на прнмой линии, проходнщей через начало ноординат. Нанлон
этой прнмой долщен равнятьсн 3Ll + Тl. Поиазаны нан прнман.
наилучшим образом соответствующан известным данным. тан и
две пуннтирные прямые. соответств'ующие оценнам BepXHero и
НИЖН,еrо пределов длн Н3Iшона прнмой.
t!.E" для перехода данноrо типа (например, для ядра с нечетными А,
T == з / 2 Те == \/2' или наоборот) в зависимости от обратной величины
MaCCOBoro числа А. ЭI\спериментальные точки долтны ложиться на прямую,
проходящуlO через начало н:оординат, наклон RОТОрой равен
Lt M + T t A 1j .
220
r.л,. VII. Ноер1lая спектроскопия. Мооми яоер
Таная линия изобратена на фиr. 57 в случае разности симметричных
энерrий для ядер снечетными А, н:оrда 1' ==3/2 и 1' ==1/2. Более детальные CBe
дения относительно этих разностей энерrий мотно получить из направления
распада, даже не зная самой энерrии распада, тан: н:ан: направление распада
связано с существованием предеЛЬНОl'О значения (верхпеrо или нитнеrо, в
зависимости от рассматриваемоrо СJlучая) для действительной разности энер
rии, а следовательно, и с таним те предельным значением для разности энер
rий, исправленной на эффент заряда. Эти предельные значения танте изо
бражены на фиr. 57. Заштрихованные площади на ЭТОй фиrуре представляют
собой запрещенные области. Видно, что энспериментальные точн:и довольно
хорошо ложатся на прямую, причем она проходит тан, что не попадает в за
штрихованную область. Следовательно, ПРОСТ8е преДllолотение о том, что
энерrия симметрии пропорциональна A l, является вполне разумным.
(Необходимо заметить, что на фиr. 57 нанесены в основном блаrоприятные
случаи; дЛЯ ДРУ1'ИХ переходов наблюдаются большие отнлонения.)
На фиr. 57 нанесены тан:те точн:и, относящиеся н переходам, при н:оторых
одно из двух пдер содертит маrичесное число нейтронов или протонов (см.
rл. XIV). Маrичесние числа уназаны рядом с соответствующими точнами.
Видно, что точни, соответствующие мю'ичеСIПIМ числам 8,20 и 28, больше
друrих отнлоняются от прямой, проведенной наилучшим образом. В наждом
из случаев отн:лонение происходит вправо (маrичеСI{ое ядро имеет большую
стабильность, чем это должно быть по однородной модели). С друrой CTOpOHЫ ,
не наблюдается сильноrо влияния маrичесноrо числа 14; соответствующие
ему ТОЧI,И попадают на прямую. Наличие маrических чисел значительно за
трудняет проверну однородной модели. Так н:ан однородная модель не может
учесть значительную стабильность маrическИХ ядер, то эти точни следует
выбросить из rрафин:а. Однано в тю,ом случае слева остается очень мало
точен, т. е. существует очень мало переходов между соседними изобtlрами,
для н:оторых ни одно из изобарных ядер не содержиТ маrичесн:оrо числа ней
тронов или протонов.
Тан н:ю, на фиr. 57 представлена зависимость (L1L\ +1'1L\1))/A от 1/А дЛЯ
частноrо типа переходов, то теоретичесн:ое выратение для нюшона прямой
можно JIОЛУЧИТЬ из (2.13) и (2.14). Для типа переходов, приведенных на
фиr. 57, изменяется на 3, в то время ню, 1) изменяется на 1. Таним образом,
нанлон равен 3L 1 +1'1' Подобноrо рода анализ можно проделать и в случае
переходов различных типов, а полученные результаты использовать для
эн:спериментальноrо определения величин L 1 и 1'1 [309, 273]. К сожалению,
энспериментальные величины нанлонов не удается представить выражением
типа (LIL\ +1'11.\1,). Если выбрать L 1 и 1'1 так, чтобы получить значения разно
сти энерrий между изобарами с печетными массовыми числами, то разности
энер8ий MeJ1(';ay четно четны.ми и нечетно нечетны.ми изобара.ми, определеи
ные с по.моЩЬЮ теоретической фор.мУЛЫ, будут .меньше истинных 1 ).
Для объяснения этоrо отн:лонения разумно, повидимому, допустить,
что У отдельных пар нун:лонов существует тенденция, прИВОДящая н: тесной
связи их орбитальных двитений в ядре: Например, добавление н: ядру двух
нейтронов (при этом образуется изотоп первоначальноrо ядра с массовым
числом, увеличенным на две единицы) приводит, вероятно, R изменению ряда
свойств, почти одинан:овых у большоrо числа изотопов. ПОСНОЛЬRУ речь идет
о стабильности ядер, соединение одинановых нунлонов в пары при водит
1) Этот результат сейчас нельзя считать окончательным, тю, как современные дан.
ные не являются достаточными для Toro, чтобы точнее определить наклоны для переходов
соответствующих типов. Используя в полной мере имеющуюся неопределенность
в наклонах, ЫОжно получить удовлетворительное соrласие для отдельно выбранных зна.
чеIIИЙ Ll и Т 1 . Однюю весьма вероятно, что это соrласие будет исчезать по мсре получе.
ния более полных данпых. Лучшее соrласие бтзIЛО найдено в работах [811, 27].
I
s z. Оонорооная .м,ооелъ Bиeнl!pa
221
R тому, что нечетные частицы связываются в ядре менее сильно, нежели части
цы, входящие в состав пар. Таким образом, вследствие наличия одной He
парной частицы нечетно четные ядра в среднем оказываются менее сильно
связанными, чем четно четные ядра. Нечетно нечетные ядра связаны еще
менее сильно, так кан: в этом случае имеются две непарные частицы. Уровни,
введенные в rл. VI, в основном для учета числа симметричных и антисиммет
ричных пар, по видимому, имеют значение не толы{о для свойств симметрии.
Мотно, например, утвертдать, что два нуклона, находящиеся на разных
уровнях, взаимодействуют слабее, чем два нуклона на одном и том же «ypOB
не». Поэтому пары частиц с различных «уровней» долтны учитываться с MeHЬ
шим весом, чем пары с одноrо и Toro те «уровню>.
Если ядро аналоrично н:апле тидн:ости, в н:о орой движение происходит
хаотичесн:и и характеризуется частыми столкновениями между частицами,
1"0 трудно представить себе, чтобы понятие «уровней» имело нан:ой либо иной
смысл, н:роме чисто математическоrо (например, учета симметричных и анти
симметричных пар). С друrой стороны, если в перIjОМ приближении можно
считать, что катдый нун:лон двитется в среднем поле, обусловленном дpy
rими нуклонами, то уровни приобретают физичесн:ий смысл уровней одиноч
ной частицы в этом поле. В настоящее время еще неизвестно, наснолько спра
ведливо тан:ое объяснение. Одню{о есть целый ряд оснований полаrать, что
движение нун:лонов в тяжелых ядрах в значительной степени упорядоче
но, т. е. тятелое ядро менее подобно тидной н:апле, чем обычно считалось
до сих пор. Этот вопрос будет более детально рассмотрен в rл. XIV.
Вторая, более серьезная трудность однородной модели была JIодчерН:
нута Виrнером [811]: однородная модел не может объяснить наблюдаемую
полную энерrию связи ядра. Начнем с предположения (I\aI{ это мы делали
в rл. \'п, что антисимметричные пар:QI не дают внлада в потенциальную энер
rию У. В этом случае из (2.7) следует, что L==L', а из (2.6) получается следую
lЦая оценка потенциальной энерrии:
V 2п+L. (2.19)
Это выратевие обладает нен:оторым преимуществом по сравнению с oцeH
кой (VI, 3.4), тан: кан теперь мы имеем приближенное экспериментальное
значение дЛЯ L, приrодное ДJIЯ сравнения с результатами изучения разности
энерrий между изобарами.
Наилучшее значение L 1 совместно с n+ (3/16) А 2 приводит К следующей
оценн:е для потенциальной энерrии, приходящейся на одну частицу:
т
А 9 18 Мэе. (2.20)
:Из формулы (2.8') мотно определить нитний предел для величины
н:инетичеСI{ОЙ энерrии, так н:ан: J\орреляционные эффен:ты в волновой функции
увеличивают нинетичеСI{УЮ энерrию. I-\инетическая энерrия, приходящаяся
на одну частицу, имеет значение порядка
:> То 13 Мае. (2,21)
Сравнение (2.20) с (2.21) ПОI{азывает, что энерrия связи ядра ОI{азывается
меньше 5 Мэе на н:атдую частицу, хотя еще не введена поправна, учитываю
щая н:улоновский эффект. Это расхождение является очень серьезным, тан:
нан: и в наших оценках преуменьшена кинетичесн:ая энерrия и преувеличена
потенциальная.
Мы утверждали (без доказательства), что из (2.19) получаеТСЯ завышенное значение
IVI. Соrласно (2.7), отношсние L' /L уменьшается при антисимметричном майоранопском
взаимодействии и увеличивается при антисимметричпом виrперовском взаимодсйствии.
,
222
r.a. VII. Яоериая спектроскопия. Мооми яоер
Чтабы привести к насыщению, силы Майорана даJIЖНЫ примерно. в 4 раза превасхадит!>
силы Виrнер;. Таким абразам, учет вклада антисимметричных пар приво.дит к то.му, что.
атно.шение L /L стано.вится меньше единицы, т. е. меньше To.ro. значения, I{o.To.po.e мы при
НIIмали в (2.19). В рсзультате этаrа патенциальная эперrия, прихадящаяся на ад ну
частицу, будет мепьше, чем следовала бы из (2.20).
Мотно поI{азаты I ,, что расхотдение в полной энерrии связи устраняется
при учете тензорных сил, н:оторыми мы ДО сих пор пренебреrали. одню{о это
уточнение модели приводит н: уменьшению теоретичеСJ{ОЙ разности энерrий
метду чеТНО четными и нечетно нечеТIIЫМИ ядрами, увеличивая расхождени&
с опытом. Неприrодность однородной модели для описания полных энерrий
связи обусловлена тем обстоятельством, что основное состояние ядра (опре
деляющее энерrию связи ядра) должно Описываться не однородной моделью,
а моделью оболочен (моделью независимых частиц). Возможно, что OДHOpOД
ная модель опажется более подходящей для описания возбужденных состоя
ний ядер [394].
3. МОДЕЛЬ НЕ3АВПСИМЫХ ЧАСТИЦ
А. Введение
Основой модели независимых частиц служит предположение о том, что
каждый нун:лон двитется не зависимо от всех остальных НУJШОНОВ в общем
потенциальном поле. Это поле представляет собой усредненный эффеI\Т взаимо
действий с друrими нун:лонами и одинан:ово для всех частиц. При этом иат
дый нун:лон считается независимой частицей, и присутствие друrих частиц,
движущихся в том же поле, приводит н: необходимости учета принципа ПаУJIИ,
соrласно н:оторому тождественные частицы не MorYT находиться в одном и том
же квантовом состоянии. Следовательно, можно ожидать, что модель неза
висимых частиц ОI\3жется хорошим приближением, если будет обосновано
существование усредненноrо подя. Тю{ое предположение можно обосновать
в случае, н:оrда движения различных НУI\ЛОНОВ в ядре не J\оррелированы
между собой (оно неприменимо, например, в том случае, если имеется силь
ная тенденция н: объединению нун:лонов внутри ядра в (Х частичные rруппы).
Среднее поле, действующее на нун:лон и обусловленное двюнением дpy
rих нун:лонов, можно построить, еели известны движения этих нун:лонов.
Предполотив, что модель независимых частиц дает хорошее приближение,
можно найти среднее поле из волновой фунн:ции, отвечающей независимым
частицам. Полученное тан:им способом среднее поле в общем случае будет
отличаться от исходноrо среднеrо поля, н:оторое использовалось ДJIЯ нахожде
ния ВОЛНОВОIi функции. Блаrодаря требованию, по которому среднее поле,
построенное с IIОМОЩЬЮ волновой фунн:ции, должно быть идентично с исход
ным средним полем, метод «саМОСО1'ласованноrо полю> Хартри Фока дает
наилучшую (т. е. самосоrласованную) волновую Фунн:цию системы. CaMO
соrласовапное поле было построено тольн:О для ядра Не 4 [525] с весьма xopo
шими результатами, которые, однан:о, можно получить для Не 4 БОJlее простым
путем, используя вариационный метод с разумно выбранной волновой фунн:
цией. Для ядер, I{ I\OTOpblM обычно применяется модель незавиеимых частиц,
т. е. для облаети массовых чисел 5 <: А <: 16, рассчитать самосоrласованное
поле не llытаJ1ИСЬ. Вместо этоrо волновые функции выбирались с точки зре
ния математичесн:оrо удобства. Поэтому расчеты, основанные па модели неза
висимых частиц, MorYT он:азаться ошибочными по двум причинам: модель
может быть вообще неприrодной, и, н:роме T01'0, волновые функции мOl'УТ OKa
заться не «самосоrласованными».
Предположение о независимости движений нуклонов (отсутствие KOp
реляции) на язын:е математин:и означает, что волновые фующии ДJIЯ системы
1) Нео.публико.ванная рабо.та Виrнера.
.3. Мооел,ь иеаависи.мых частиц
223-
частиц MorYT быть записаны в виде произведения, :каж,1ЫЙ сомножитель :КOTO
poro описывает движение одноrо нунлона:
== СР1 (q1) СР2 (q2) .. . ер А (qJl)'
(3.1)
1'де qi н:оординаты i ro нун:лона (пространственные, сrшновые и изотопичесн:о
1'0 спина). Фун:кция ер (q) имеет вид
ср (q) == и (х, у, z) / ( , 1),
(3.2)
\'де х, у и z пространственные J{оординаты, ноордината обычноrо, а
1) координата изотопичесн:оrо спина нун:лона (см. rл. 111, g 5), Фующия
/ ( , 1) может, например, описывать нейтрон со спином, ориентированным
вверх: / ( , 1)) == а с:) '1 (1)).
Фун:кция (3.1) не представляет собоЙ волновую фующиlO частиц, под
чиняющихся принципу Паули, тат{ кан: она не является антисимметричноii
по отношению н: перестановке двух любых н:оординат q. Однан:о с помощью
.-тинейных н:омбинациЙ Фунн:ций (3.1) можно построить соотвеТСТJJующие
антисимметричные волновые фующии. Детали этоrо метода мы здесь об
еУifщать не будем.
Предположение () том, что среднее по.пе является центраJIЬНЫМ, ПО:JВО
JlЯет н:лассифицироriать одночастичные волновые Фунн:ции и (х, у, z), НЮ{ И
В случае атома, по значениям rJlaBHOro HBaHToBoro числа n и HBaHTOBoI'O
числа орбитальноrо момента количества движения l. rлавное н:вантовое
число п связано с числом узлов радиальной части R (r) волновоЙ фующии
и(х, у, z)==R(r)Y1т(B, ср):
Число узлов радиаJIЬНОЙ части == n l. 1. (3.3)
ПОСJlедоватеJIЬНОСТЬ урОJшей, соответствующая увеличению энеРI'ИИ"
зависит от при роды потенциала.
Приведем здесь последовательность уровнеЙ, для трех различных
центральных полей. 'Уровни записаны в обычных СПeI{ТРОСIюпичес:ких обо
значениях, а зню,и равенства соответствуют уровням с одинан:овыми,
энерrиями.
1. П отеНЦllал, соответствующий силе обратно nроnорциОllаЛЬ1l0Й
1>вадрату расстояния, при наличии эпранироваllllЯ. V == const r l e or:
(1s), (2s), (2р), (3s), (3р), (3d), (4s), (4р), (4d), (4Л, . . .
(3.3а)
11. Потенциал осциллятора V == const. r 2 :
(1s), (2р), (3d)===(2s), (4!) == (3р), (5g)==(4d) == (3s),
(3.3б)'
111. Потенциал в виде сферичеспой ямы 1). V == о для r < Ь, V == V o для
r>b, Vo........,.co:
(1s), (2р), (3d), (2s), (4/), (3р), (5g), (4d), (3s), . . .
(3.3в)
Сила, обратно ПРОlIорциональная Iшадрату расстонния при наличии
э:кранирования, иrрает важную роль в теории атома. Потенциал этой
силы отличается от двух друrих потенциалов большим отрицатеJIЬНЫМ
значением Ч начале координат, что приводит Н уменьшению энерrии тех
состояний, в I{OTOPblX частицы находятся преимущественно вБЛlIЗИ от центра.
Тан:ими состояниями являются состояния с малыми орбитальными MOMeH
тами Jюличества движения, особенно s состояния. Средняя потенциальная
энерrия в ядре должна начественно отличаться от потенциала первоrо.
1) Взято из работы [508], rде такжс рассмотрон случай копсчпоrо значсния V o .
r.a. VII. Яоерная спектроскопия. Мооми яоер
224
типа и скорее описывается одним из двух друrих потенциалов. Наиболее
характерное отличие состоит в том, что в случае этих потенциалов вторым
по порядку является 2р состояние, а не 2s состояние, J{Ю{ это имеет место
в случае aToMHoro потенциала. Вообще порядок уровней в (3.3в) и (3.3б)
весьма 'подобен, но полностыо отличается от порядна уровней в (3.3а).
ЕСJlИ мы теперь попытаемся построить (<периодичес:кую систему ядер»
по аналоrии с боровским объяснением периодичес:кой системы атомов, то
.следует ожидать, что первым будет заполнен уровепь (1s). На этом уровне
находятся четыре частицы, и он заполняется у ядра Не 4 , Следующим за
полненным уровнем будет уровень (2р). Так н:ак момент количества дви
жения, равный единице, имеет три ориентации, то (2р) орбита может co
держать 3 х 4 == 12 частиц и заполняется у ядра 016. Несвольн:о труднее
предсказать, н:ан:ая орбита будет заполняться после этоrо. В случае бес
конечно rлубон:ой сферической ямы (представление о которой, несомненно,
является СJIИШI{ОМ сильной идеализацией) возможно заполнение (3d) орбиты,
а в случае осцилляторноrо потенциаJIa может заполняться либо (2s),
JlИбо (3d) орбита. До сих пор еще не было сделано попыто:к распространить
I{онцепцию оболочеI{ на ядра, значительно БОJlее тяжелые, чем 016, так
кат{ в этом случае вряд ли можно ожидать, что :модель независимых час
тиц он:ажется подходящим приближением для описания ядер тяжелее 016,
если считать, что действуют обычно принимаемые ядерные силы. За послед
нее время получено большое число экспериментальных данных, rоворящИХ
в пользу Toro, что эта модель он:азьшается лучше любой друrой модели
(см. rл. XIV). Здесь мы оrраничимся ядрами с массовыми чисш:ми между
А == 5 и А == 16, наинизшие состояния н:оторых относятся К нонфиrурации
(1.'»4 (2p)A 4.
Б. Н:онфиrурации Р оболочеR
Исследуем теперь более детально вопрос о том, Iшн:ие н:вантовые co
стояния MOI'YT быть получены из н:онфиrураций (1S)4 (2p)A 4 для ядер со
значениями массовых чисел между А === 5 и А == 16.
Начнем с простейшеrо с;rrучая А 5. 3аМIШУТОЙ оболочкой (ls) для
наших целей можно пренебречь, так вак ее спин и момент количества
движения равны нулю. Поснолы{у частица сверх замкнутой оболочки
имеет момент :количества движения l == 1, то система будет находиться в
Р состоянии. Четность этоrо состояния равна 1, так н:ак (2р) состояния
являются нечетными и на (2р) оболочне находится нечетное число (одна)
частиц. МЫ можем приписать этому состоянию размещение (1/2' 1/2' 1/2)'
что соотпетствует нонфю'урации, в н:оторой вне заМIШУТОЙ rруппы из че
тырех частиц находится тольн:о одпа частица (см. l'Л. VJ).
ДЛЯ А == 6 на (2р) оболочке находятся две частицы. Соrласно правилу
BeI{TOPH01'0 СJlоження моментов н:оличества движения, орбитальныЙ момент
НОJIичества движения этих двух частиц может н:омбинироваться, давая
L == О, 1, 2. Определим теперь свойства симметрин (размещение) этих трех
термов. Момент ноличества движения частицы, находящеЙся в р состоянии,
может быть ориентирован одним из трех способов: т == 1, О, 1. COOTBeT
етвующие волповые фушщии имеют следующий вид:
x+iy Р iп
u (х, у, z) == у 2 g (r) == х у:/ у == р+ (т == 1),
u (х, у, z) == zg (r) == Pz
и(х, у, z)== x y g(r) ==Px ! PY==p
-.12 У2
(т == О),
(3.4)
(т== 1),
!
J
3. М ооел,ь неаависи.мых частиц
225
rде g (r) функция r == I r 1, а функция Рх, Ру, pz, Р+ и P определяюТ( ,я
СОFласно (3.4). Эти три одночастичные ВОJIИовые функции можно paCCMaT
ривать в качестве трех составляющих вектора р. Обозначим через р (1)
вектор, составляющие KOToporo представляют возможные волновые функции
первой частицы, находяшейся в р ссстоянии, а через р (2) соответствующий
вектор, относящийся н:о второй частице в р состоянии. Двух частичная волно
вая фунн:ция, которая описывает состояние, образованное двумя частицами,
является билинейной комбинацией составляюПlИХ векторов р (1) и р (2).
Волновая функция S состояния (L == О) получается, если два вектора CKOM
бинировать так, чтобы получился ска.пяр 1):
B == Р (1)р (2) (S состояние). (3.5а)
Три волновые функции Р состояния получаются в виде трех COCTaB
ЛЯIOщих BeKTopHoro l1роизведения
p == р (1) Х Р (2) (Р состояние).
(3,56)
Пятью волновыми Фунн:циями D состояния являются пять составля
ющих симметричноrо тензора
D,:l:2==P:I:(1)p:I:(2) )
D. :1: 1 == Р:I: (1) Р! (2) + Р! (1) Р:I: (2) (D состояние).
D,O ==3Pz(1)Pz(2) (p(1).p(2))
(3.5в)
s и D состояния симметричны по отношению к перестановке простран
ственных координат двух частиц, Р состояние антисимметрично. Нсе три
состояния являются четными,
Силы Майорана оказываются силами отташшвания в антисимметрич
ных состояниях и силами притяжения в симметричных состояниях. Поэтому
s и D состояния имеют более низкую, а Р состояние более высокую
энерrию. ,
Свойства симметрии s и D состояний MorYT быть выражены также
и в терминах Iшантовых чисел размещения. Сравним симметрию, о KOTO
рой идет здесь речь,' с условиями симметрии при нормальном расположе
нии (см. rл. VI, 3). s и D состояния симметричны по отношению
к перестановке двух частиц; поэтому их симметрия соответствует симметрии
нормальноrо расположения, при котором две частицы находятr:я на одном
и том же уровне. Таним образом, для чисе.П заполнения получаются значе
ния n 1 ==0, n 2 == 1, n з == О, что соответствует размещению (Р, Р', Р")==(1, О, О).
Свойства симметрии Р состояния также можно выразить в терминах
н:вантовых чисел размеrirения. 1 ак нак волновая функция Р состояния (3.5б)
антисимметрична по отношению У{ перестановке пространственных координат
двух частиц, находяшихся вне замкнутой оболочки, то симметрия CO()TBeT
ствует числам заполнения n 1 == 2, n 2 == О, n З == О, что дает размещение
(Р, Р', Р") == (1, 1, 1)2).
Случаи, коrда на (2р ) оболочке находится больше двух частиц, оказы
ваются неснольно более сложными [224, 225, 293], и мы не будем рассматри
вать их детально. Оrраничимся рассмотрением толы{о низших состояний.
1) ВОJlновые функции (3,5a) (3.5B) ненормированы. Правильно нормированные
волновые ФУНКЦИИ ОНРl'ДСЛЮОТСЯ в ПРИJlОЖl'НИИ I, 5 путем ИСПОJlЬ30ВЮШя выраЖl'НИЯ
с i==j'==1 и соответствснно J==O, 1,2.
2) 1I10Жl'Т В(\3IlИIШУТЬ не:l0разумсние, связанное с каЖУЩИ IСЯ протпворечисм меЖ;J;У
антисиммеТРИЧJJОСТЬЮ состояния и наличИl м 06еих частиц па том же самом (2р)'уровпе.
На самом деле (2p) YPOBCHЬ состоит И3 тррх подуровней (т== 1,O, + 1). ПОЭТОМУ вuзможна
антисимметричная комбинация ТИШI 0.56), отвечающая случаю, при котором Две частицы
находятся в различных подсостояпиях.
15 331133 м 396
'1
226
r.a. VII. Яоериая спектроскопия. Мооми яоер
Соrласно соображениям, приведенным в rл. VI, энерrия состояний в первом
приближении определяется их размещением, точнее, величиной (VI, 3.17),
относящейся к данному размещению. Б6льшие значения соответствуют б6ль
шим энерrиям, и наоборот. Мы перечислим только те состояния конфиrурации
(1 8)4 (2p)A 4, которые относятся н: наинизшему размещению (размещению с наи
меньшим значением Е), совместимому с этой н:онфиrурацией. Такие состояния
приведены в табл. 9. Считается, что они соответствуют низшим уровням ядер
с Тс, близн:им к нулю, И Массовым числом А между 4 и 16.
Необходимо подчеркнуть, что перечисленные в этой таблице состояния являются
низшими уровнями только для тех ядер, которые MorYT быть отнесены к размещению,
указанному в каждом случае. Например, для A 12 указано размещение (О, О, О). В таком
размещении содерЖИТСЯ равное число нейтронов и протонов (см. rл. VI), поэтому YHa
занные состояния относятся ТОЛЬКО к ядру С Н . Ядро N12, содержащее на ОДИн протон
больше (Tc 1), не имеет никакоrо отношения к этим состояниям. Низшие уровни
этоrо ядра скорее относятся н размещению (1,1, О) и соответствуют, повидимому, состоя
ниям, отвечающим размещению (1,1, О), получающемуся из конфиrур;щии (1 .1')1(2 p)A 4,
эти и подобные им состояния для друrих массовых чисел в данной области рассмотрены
в работе [225]. Мы не будем рассматривать их здесь.
При изучении таблицы бросается в rлаза ее симметрия по отношению
к значению А==10, стоящему в середине таблицы. За исключением знака
у р" наинизшие размещения и относящиеся н: ним состояния одинаковы для
ядер с А' ==х и А' ==12 x. Во втором случае х «дырою> оназываются вполне
аналоrичными х частицам, находящимся в первом случае на р оболочн:е. Это
обстоятельство хорошо известно из теории атомных спен:тров. Вследствие ero
ядра с А==10 имеют наибольшее число низших уровней.
Таблица 9
Низшие состолнил в конфиrурации (1.1')4 (2p)A 4
j
-t
1
I
j
I
В табл. 9 содержится опред ленное утвержд ние, доступное непосреД а j . .
ственной опытной проверке: в тои степени, в н:ан:ои все низшие уровни ядр
j
Состояния этоЙ
Число частиц Наиниашее Rонфиrурации,
А на р оБОЛОЧRе Четность отиосящиеСJ1
(А') раамещеиие R иаиниашему
раамещению
4 О + (0,0,0) s
5 1 ( + ) Р
6 2 + (1,0,0) S, D
7 3 (!,i, i) Р, F
222
8 4 + (0,0,0) S, п, G
9 5 ( + ) Р, D F, ,G,
10 6 + (1,0,0) S, п, п, F, G
11 7 ( + ) Р, п, F, G
12 8 + (0,0,0) S, п, G
(111) Р, F
13 9 2'2'2
14 10 + (1,0,0) S, D
15 11 ( , , ' ) Р
110 12 + (0,0,0) S
.
3. М ооел,ь неаависи.мых частиц
227
относятся к конфиrурации (1 S)4 (2р )A 4, все они должны иметь одну и ту же чет
ность (+1 в случае четных А и 1 в случае нечетных А). В настоящее время
известны три случая, н:оторые, по видимому, противоречат этому правилу.
Распад ядра С14 в N14 имеет очень большой период; столь медленный распад.
трудно объяснить, не делая предположения о том, что уназанный переход,
связан с изменением четности. В этоМ случае либо ядро С14, либо (что более-
вероятно) ядро N14 находится в нечетном состоянии [294]. Вторым примером
является возбужденное состояние ядра N13 с энерrиеЙ' возбуждения 2,4 Мэв,
изображенное на фиr. 55 в rл. VI. Это состояние неустойчиво по отношению
к испусканию протонов. Вероятность испускания (ширина уровня) оназы
вается СЛИШI\ОМ большой, если протоны вылетают в р состоянии, по имеет
разумное значение, если они вылетают в s состоянии. Ты( н:ан нонечное ядрО'
са, повидимому, находитсЯ в четном состоянии, то испуснание протона в.
s состоянии указывает на то, что мета стабильныЙ уровень ядра N13 является
тан:же четным, что противоречит данным табл. 9 ). Третьим случаем являетСffi
возбужденное состояние ядра Ве 9 с энерrией возбуждения 2,42 Мэв, в слу
чае KOToporo возможно испуснание нейтрона и превращение в ядро Ве В .
Относительно ядра Ве В известно, что оно находится в четном состоянии, так
как происходит распад на две (Х частицы (см. rл. IX, 5). Посн:ольну ней
тронная ширина уровня ядра Ве 9 очень мада (r n -< 5 пэв [754 ]), весьма Bepo
ятно, что из этоrо СОСТОяния испуснаются нейтроны, отвечающие D волне.
Следовательно, это состояние имеет ту же четность, что и состояние Ве В ,
т. е. является четным, что танже противоречит данным табл. 9.
Хотя эти apryMeHTbl и не являются окончательными, они все же свидетель
ствуют в пользу утверждения, что уровни, отвечающие различным конфиrу
рациям, не очень сильно отделены друr от друrа по энерrии, а скорее в зна
чительной мере перекрываются. Из теории атомных СПCIf1'ров [160] следует,
что в подобных случаях возможно заметное (<взаимодействие конфю'ураций».
В этом случае' наша модель не позволяет предсказать каких либо результа
тов, которые можнО было бы проверить на опыте.
Используя модель независимых частиц, можно получить величину :мo
мента количества движения L низших уровней, чеrо нельзя было сделать из
общих соображений, аналоrичных приведенным в rл. VI. Экспериментальные
значения L неизвестны, за исн:лючением основных состояний (ноrда их можно
получить из известных значений маrнитныХ моментов). В табл. 9 поназан
тольно один низший уровень для А == 15, н:оторый поэтому должен быть OCHOB
ным. Таким образом, ядро N15 должно находиться в р состоянии. Это очень
хорошо соответствует измеренному маrнитному моменту ядра N15 (см. I'Л.
VI, 5). Аналоrичным образом ядра' с «замкнутыМи оболочнамю> типа Не 4
и 016, соrласно расчетам, должны находиться в S состоянии; однако это
утверждение следует из более общеrо правила, относящеrося но всеМ четно
четным ядрам, и ero нельзя использовать кан aprYMeHT в пользу примени
мости модели не зависимых частиц2). Стабильных ядер с А == 5 не существует,
но интерпретация результатов опытов по рассеянию нейтронов и протонов
на Не 4 указывает на наличие низкоrо резонансноrо уровня c L== 1 (Р состоя
ние), что соrласуется с данныМИ, приведенными в табл. 9 [175, 312].
Для ядер с А в интервале от 6 до 14 трудно провести такое сравнение
с опытом, тан нан для каждоrо случая в таблице имеютсЯ различные низшие
уровни. До тех пор пока мы не знаем, нание из этих уровней, соrласно модели
независиМЫХ частиц, являются основными состояниями, мы не можем
1) Исследование зсркальноrо ядра С13 показало [737], что осповное состояние и co
стояние с энсрrией 3,1 lИав ядра С13 имеют противоположные четности.
2) 13 ряде исследований показано, что модель независимых частиц предсказывает
S состояния для четно,чстных ядер также и в той области, тде заканчивается заполнение
(3d) оболочки [408, 614].
15*'
'. .
t:'
228
r",. V1I. Яоерная. спектроскопия. Моое.аи ядер
.сравнивать эту модель с экспериментальными данными, касающимися OCHO
.ных состояний (в частности, маrнитные моменты). Для TaKoro сравнения необ
х:одимо знать оценку энерrетическоrо расстояния между низшими уровнями.
В. Энерrия основпоrо состояния
Мы установили харан:тер низших уровней по модели независимых частиц.
Для Toro чтобы определить, каной из этих уровней соответствует основному
состоянию ядра, необходимо несколько более точно оценить энерrиlO уровня.
Рассмотрим сначала случай А == 6, которому соответствуют два НУIшона
на (2р) оболочне. В этом случае все сводится к проБJlеме: какое из двух про
странственно симметричных состояний (S или D состояние) обладает MeHЬ
шей энерrией. Ответ на этот вопрос можно получить с помощью теории воз
мущений. Найдем среднее значение оператора энерrии для волновых функций
(3.5а) и (3.5в), относящихся Н этим состояниям, и посмотрим, какое из них
соответствует меньшей величине энерrии.
Кинетическая энерrия в этих состояниях одинаКова, так кан: в обоих слу
чаях частицы находятся на (2р) оболочне. Состояния отличаются только по
тенциальной энерrией взаимодействия между двумя частицами, находящи
мися в (2р) состоянии. Потенциал соответствует силам притяжения, так как
частицы находятся в симметричных состояниях. Поэтому меньшей энерrией
обладает то состояние, в нотором частицы находятся ближе друr н друrу,
'1'. е. в котором волновые функции двух частиц сильнее перекрываются. Pac
чет показывает, что таким состоянием является S состояние. Этот результат
можно понять следующим образом: сначала мы находим распределение в про
странстве нвадрата модуля волновой ФУннции одной частицы в р состоянии
относительно направления ее момента количества движения 1. За тем мы иссле
дуем состояние с т == 1, в нотором момент 1 ориентирован вдоль оси Z. При
этом оказывается, что нвадрат одночастичной волновой фуннции [первая
строка в (3.4)] пропорционален sin 2 О, rде О уrол между радиус вектором
и осью z.
Действительно, вектор l в состоянии с т == 1 ориентирован не cTporo по
оси z, а под некоторым уrлом () к ней, причем {} определяется соотношением
{). [, 1
СОБ == [ТI == 11 2 .
{Величина KBaдpaTa ' момента количества движения равна l (! + 1),] ., Таким
образом, размытие распределения по уrлу (j частично обусловлено тем
обстоятельством, что направление вектора 1 не является cTporo параллель
ным оси z. Сравним теперь степень перекрытия волновых функций двух
частиц в р состоянии для двух случаев: 1) моменты КОличества движения
складываются (D состояние), 2) моменты ноличества движения вычитаются
(S состояние). В первом случае два вектора 11 и 12 не являются cTporo
параллельными, так н:ак МaJ,симальное значение состав;шющей по оси z
полноrо момента равно 2, а не 2 , 2. ОДНaJШ во втором случае два BeK
тора 11 и 12 направлены Точно в противоположных направлениях; их
векторная сумма L равна нулIO. В этом случае распределение оказывается
менее размытым, что приводит к большему перенрытию,
В общем случае при наличии более чем двух частиц на (2р) оболочке
найдено также, что наинизшим из всех уровней является уровень с Haa
.41,еН/;'ШI1М значением .момента колuчества д8uженuя 1). При расчетах по
модели независимых частиц определяется среднее значение потенциальной
эперrии двух ча!;тиц, находящихся в (2р) состоянии. Результат этих pac
1) Очень простое доказаrеJIЬСТВО этоrо утверждении приведено в работе [690].
* 3. Мооель nеаависи.мых частиц
229
четов [393, 225, 690, 612] можно резюмирщшть следуlOПlИМ образом: раз-
ность энерrий двух низших уровней G моментами количества движения L
и L' дается выражением
E(L) E(L')== [L(L+1) L'(L'+1)]K, (3.6)
K Xlx2z1z2g( 1)g(r2)V(r12)d'tld't2' (з.7)
Интеrрирование проводится по конфиrурационному ПрfJстранству двух
частиц в (2р ) состоянии, волновые функции ноторых определены соrласно
(3.4). V(rI2) потенциальная энерrия двух частиц в си.м.метри1(1l0М состоянии
кан: Фунн:ция расстояния между ними. Тан: как V(r 12 ) соответствует силам при
тяжения, то интеrрал К положителен. ; I
Из результатов, приведенных в табл. 9, следует, что по модели независи
мых частиц для 4 <. А 16 ядра с четными массовыми числами А должны
находиться в S состоянии, а с нечетными А в Р состоянии. Иснлю
чение, по видимому, имеется только для А == 10, rде модель предеказы
вает два различных D СQСТОЯНИЯ с одинаковой энерrией. Весьма вероятно,
что в следующем приближении эти два состояния сильно взаимодействуют
и отличаются по энерrии. Так н:ак их возбуждение не очень велико, то вряд
ЛИ возможно, чтобы нижнее И:1 двух состояний опустилось по энерrии ниже
S состояния. Повидимому, это наблюдается и на опыте: измеренный спин
(ПОЛНЫЙ момент количества движения 1) ядра ВI0 равен 3, а маrнитный момент
уназывает на наличие D состояния (ем. rл. VI, 5). .,
Предсказания относительно величины момента количества движенип
основных состояний ядер являются вполне определенными и M01'YT быть леrко
проверены путем сравнения с опытом. Поэтому рассмотрим эксперименталь
ный материал, приведенныЙ 11 rл. УI (табл. 7 и 8). Для lle1(eт1l0 lle1(eтllЫX
ядер вообще нет хорошеrо соответствия: ядrо Li 6 находится, как и предска
вывается, в S состоянии, а ядра ВI0 и N14 находятся в D состоянии. Мы уже
видели, что свойства ВI0, по видимому, можно объяснить, однано эти apry
менты неприменимы к ядру N14. В случае 1lе1(етuых ядер положение оказы
ваетея лучшим: значение L== 1 хорошо соответствуе-1 Я)l,рам Li 7, Ве 9 , Bll,
С 13 И N15, т. е. для всех ядер с нечеТllЫМИ А в ЭТОЙ области, маrнитные моменты
которых известны. Имеются некоторые указания на примесь D состояния
у ядра Bll. Это обстоятельство является скорее У:Нlчей, чем недостатком
модели независимых частиц. Соrласно данным, привелеllllЫМ в табл. 9, низшие
D состояния у нечетных ядер должны иметь место тольно u случаях А "",9
и 11, следовательно, только в этих ядрах может в заметном ноличестве при
сутствовать примесь D сос'тояния. Для ядер с А==-7, 13, 15 на ()пыте не 'обна
ружено примесей иных состояний, н:роме Р состояния. Результаты для 1(eт1l0
1(етных ядер также свидетельствуют в пользу теории, ибо все эти ядра Haxo
дятея в S состояниях. Однако правило 1 ==0, повидимому. справедливо вообще
для всех четно четных ядер, а не ТОJ1ЬКО дЛЯ ядер, находящихся в рассматри
ваемом интервале массовых чисел. Вищтмо, это правило может быть получе
но из более общих соображений (которые пона неизвестны). Тюшм обраЗ0М,
сопоставление известных свойств ядер в рассматриваемом оrраниченном
интервале массовых чисел с результатами модели независимых частиц не
является aprYMeHToM В.пользу этой модели.
Были произведены оценни интеrрала К. При разумном выборе величины
.сил и радиуса их действия, а таюне волновой функции получается величина
K 1 Мэв. В настоящее время не существует возможности сопоставить эту
величину с экспериментальными данными.
Расстояние между основным состоянием и первым возбужденным ypOB
нем, получаемое соrласно (3.6), зависит от типа рассматриваемоrо ядра. Оно
будет наименьши для массовых чисел А == 9 и 11, rде основным состоянием
rде
230
r.a. VII. Яоериая спектроскопия. Мооми яоер
ДОЛЖНО быть Р состояние, а первым возбужденным D состояние, так что,
соrласно (3.6), величина расстояния должна быть равна 2К",2 Мэв (блаrодаря
связи спина с орбитой каждый из этих уровней распадается на два, ПрИВОДН
к наличию четырех уровней). "У ядер с четными массовыми числами основные
состояния должны быть S состояниями, а первые возбужденные состояния
D состояниями. В этом случае, соrласно (3.6), расстояние Оказывается paB
ным 3К ",3 Мэе. ("У ядер с А==4п, T .==O и А==4п+2, T ==::!::1 эти уровни не
расщепляются, а у ядер с А==4п+2, T ==O раСIJJ,епляются на четыре уровня
каждый.) Наибольшие расстояния между основными и первыми возбужден
ными уровнями получаются у ядер с массовыми числами А==5, 7, 13 и 15,
у н:оторых основным состоянием является Р состояние, а первым возбужден
ным F состояние, причем расстояние между ними будет равно 5К ",,5 Мэв
(каждый уровень опять расщепляется на два б.паI'одаря связи спина с op
битой). Так как связь спина с орбитой должна иметь большое значение для
струн:туры уровней, это утверждение можно всесторонне проверить. Однако
следует ожидать, что мы сумеем предсказать только числа уровней с малым
возбуждением, но превышающим, например, 5 Мэе.. Это число должно быть
большим (восемь) дЛЯ А==6, 10, 14 и T ==O, средним (четыре) дЛЯ А==9, 11
и очень малым (два) дЛЯ А==5, 7, 13, 15, так же н:ак и дЛЯ А==8,12 с Тс==О
и А==6, 10,14 с T ==::!::1. Наконец, у ядер Не 4 иО 16 совсем не долтно быть
уровней с малым возбуждением. Эти выводы теории подтверждаются неотидан
но хорошо. Среди четырнадцати ядер, низшие уровни ноторых сеЙчас доволь
но хорошо известны, имеется только один случай, не подчиняющийся этому
правилу (ядро N14 с заметно большим ЧИСJЮМ уровней). В частности полное
отсутствие низших уровней у ядра 016 является убедительным подтвержде
нием этих соображений.
До сих пор мы считали, что силы не зависят ни от зарядов, ни от спинов.
В то время коrда начинались эти исследования, кваДРУПОJlЬНЫЙ момент дей
трона еще не БыJI открыт. Поэтому было сделано преДПОJlожение, что все силы
являются центральными и что требуется небольшая примесь сил rейзенберrа
или Бартлета, или сил обоих типов, чтобы удовлетворить задаче двух тел.
В настоящее время известно, что переход системы, состоящей из нейтрона
и протона, в триплетиое и синrлетное состояния оБУСЛОВJ1ен преимущественно
тензорными силами. В модели независимых частиц теПЗ0рные силы учесть
трудно, и пока таких расчетов опубликовано не было 1 ). Это необходимо иметь
11 виду при сравнении результатов этой модели, полученных обычным обра
30М, с эн:спериментальными данными.
r. Маrнитные моменты ядер по модели
независимых частиц
ОрбитаJIьные моменты количества движения L основных состояний He
четных ядер хорошо соrласуются с ЭJ\спериментом. Чтобы предсказать вели
чину маrнитноrо момента, необходимо: во первых, знать, каним образом HOM
бинируются L и S, образуя полный момент ядра 1, и, BO BTOpЫX, знать вели
чину rиромаrнитноrо отношения gL, т. е. долю Момента н:оличества движения
[J, обусловленную протонами.
Первая проблема бы.па рассмотрена в работах [397, 181, 278] в предполо
iRении, что ядерные силы центраЛЫIЫ, еще до Toro, кат, был открыт Н:Baдpy
польный момент дейтрона. Связь спина с орбитой считалась релятивистским
эффектом. Было показано [397], что основной эффект (соответствующий
«TOMaCOBcI,OMY фаJ\ТОрУ» в атомной спентроскопии) заключается в том, что L
1) Было поназзно (23()], что теНЗ0рные силы иrрают большую роль и их учет заметно
изме!lнет тсорстпчес!ше результаты.
," ....7
, . '?
3. М ооель неаависи.мых частиц
231
и S параллельны друт друrу для ядер с массовыми числами, меньшими
А==10, и антипараллельны для ядер с А>10 (поведение (<дырою> противо
положно поведению частиц до тех пор, пока речь идет о связи спина
с орбитой). Знак тензорных сил, соrласно данным, относящимся к дейтрону,
таков, что они действуют в том же направлении.
Это условие, по видимому, выполняется довольно хорошо: единственным
нечетно нечетным ядром, для которото это можно проверить, является N14,
имеющее 1 == 1 == I L S 1, I{ан и ожидается. Нечетные ядра имеют 1 == 3/2 ==
==1, + S для А == 7, 9 и 1 == 1/2 == I L S 1 для А == 13, 15. Исключением является
А == 11, для KOToporo 1 == 3/2 == L + S.
Обратимся теперь I{ rиромаrнитному отношению gL [639]. Из общих
соображений (равенство сил, действующих между двумя нейтронами, силам,
действуюIЦИМ между двумя ПРОТOJ;шми) для нечетно нечетных ядер СJIeдует,
что gL== 1/2' Модель независимых частиц дает, конечно, такой же результат.
Более интересны нечетные ядра, так JШК здесь заранее нельзя ничеrо
сказать о gL. Для ядер с массовым 'Числом А == 5 весь момент количества
движения обусловлен внешней частицей, поэтому если внешней частицей
является протон (ядро Li 5 ), то gL == 1, а если нейтрон (ядро Не 5 ), то gL == О.
Оба указанных ядра нестабильны, вследствие чеrо это утверждение нельзя
проверить на опыте. Те же соображения применимы и 1{ н:онцу периода,
rде имеется одна «Дырка» в (2р) оболочке. В ядре N15 такой дыркой
является протон, поэтому gL должно равняться единице. Эта веJIичина
значительно лучше соответствует ЭI{спериментальному значению, чем CTa
тистическое значение gL== Z / А == 7/15'
Для ядер с массовым 'Числом А == 7 Р состояние можно построить из
комбинации трех векторов [по одному дЛЯ Щ1ЖДОЙ из трех частиц, Haxo
дящихся на (2р) оболочке]:
фр == (р (1) х р (2)) р (3) + (р (2) х р (3)) р (1) + (р (3) х р (1)) р (2).
(3.8)
в каждом члене этоrо выражения две частицы находятся в S состоянии,
3. третья обуеловливает остающийся момент количества движения. Так как
функция (3.8) симметрична относительно перестановки трех частиц, то момент
'Количества движения равномерно распределен между ними, в то время как
при статистическом рассмотрении считается, что он распреде.пен равномерно
между всеми семью частицами. Следовательно, в модели независимых частиц
gL для ядра Li 7 равно 1/3 [одна из трех частиц, находящаяся на (2р ) оболочке,
является протоном], а статистическое рассмотрение дает gL==3/ 7 . Оба этих
значения в пределах ошибок соответствуют экспериментальным данным,
касающимсЯ обменных маrнитных моментов и друrих возмущений. Для ядра
С 1З , в котором i1Be из трех дырок являются протонами, значение gL== 2/3 Ha
ходится в несколы{o худшем соответствии с опытом, чем статистичесная вели
чина gL== 6/13' Правда, такое сравнение может оказаться незанонным, так
I{ак ФУНI{ЦИЯ (3.8) приводит для ядра Li 7 к отрицательному значению Н:Baдpy
польноrо момента, что находится в прямом противоречии с опытом [452,
787, 603, 392, 404].
Для ядер с массовым 'Числом А ==9 волновая функция Р состояния зна
чительно сложнее, чем (3.8), так I{ак пространственная часть волновой Функ
ции не может быть симметричной относительно более чем четырех из пяти
частиц, находящихся на (2р) оБОЛОЧl{е. Расчет gL оназывается в этом случае
простым, но н:райне rромоздким. Если две из пяти частиц, находящихсЯ
на (2р) оБОЛОЧl{е, являются протонами, то gL==l/ з ; если три из этих частиц
протоны, то gL==2/ з , Для ядер Ве 9 и Bl1 не получается хорошеrо co
тласия с опытом, но в обоих случаях можно ожидать наличия примеси
D состояния.
r.a. V//. Ядерная спектроскопия. Моое.л,и ядер
1
d
J
232
В общем модель независимых частиц, по видимому, имеет определенные
успехи в объяснении моментов ноличества движения и маrнитных моментов
ядер. Однано тот фан:т, что она дает неправильный знан нвадрупольноrо MO
мента ядра Li 7, а танже трудности с четностями Состояний ядер N14, N18
и ВеР делают эти успехи неснольн:о похожими на необъяснимое совпадение.
С точни зрения нритичесн:оrо теоретичесноrо рассмотрения, н: ноторому мы
теперь переходим, было бы, нонечно, удивительно, если бы модель независи
мых чаСТИЦ,ОRазалась настольно успешной, насн:ольн:о это считалось до HeдaB
Hero времени.
Д. Нритическое рассмотрение модели
незаВИСИМblХ частиц
Оrраничения JIJобой модели независимых частиц связаны с тем, что в ее
рамн:ах нельзя учесть норреляции между положениями и спинами частиц
системы [2661. Особенно ярним примером является ядро Ве8 система, состоя
щая из восьми частиц. Известно, что это ядро динамичесни неустойчиво по OTHO
шению н распаду на нве а частицы. Волновая фуннция системы после TaHoro
распада будет сн:онцентрирована в двух совершенно различных областях Н:OH
фиrурационноrо пространства, соответствующих разным а частицам. Поло
жения четырех частиц одноЙ rруппы очень сильно связаны между собоЙ, но
не связаны с полотениями четырех частиц друrой rруппы (друrой а частицы).
Модель независимых частиц оназывается не в состоянии объяснить таную
ситуацию.
Конечно, нет необходимости переходитъ н таним нрайним с.пучаям. Даже
в динамичесни устойчивом ядре мотет существовать тенденция н образованию
rрупп; притяrивающиеся ча тицы находятся в среднем ближе друr н друrу,
чем отталнивающиеся. Волновая фуннция системы нан целоrо отличается
от волновой фушщии в моде.ЛИ независимых частиц . тем, что в ней точнее
учитываются силы притяжения и более эффентивно оrраничиваются силы
отталнивания. Таная фуннция соответствует равновесию метду тенденцией
н уменьшению потенциальной энерrии и получающимся при этом нетела
тельным увеличением НИIютичеСI,ОЙ энерrии, вследствие чеrо полная энерrИR
OCHoBHoro состояния системы OJ,азывается наименьшей.
Энерrия, обусловленная норреляцией, была подробно изучена в теории
твердоrо состояния в связи со свойствами свободных элентронов в металле
[805, 809]. Было поназано, что этой энерrией ни в ноем случае нельзя прене
бреrать: она составляет заметную долю (до 50%) энерrии связи. Тем не Me
нее основные начественные занлючения (например, наличие энерrетичесних
полос, «дырНИ» в почти заполненных полосах и т. д.) правильно предсназы
ваются моделью независимых частиц.
В ядре ситуация значительно менее блаrоприятна, если учесть наJIИчие
нан: сил притяжения, тю, и сил отталнивания метлу ядерными частицами
(обычные обменные силы подчиняются условию," васыщевия). При наличии
сил обоих ЗlIaJ,ОВ волновая фуннция cooTBeTcTByer значительной норреляции,
предотвращающей отталюrвание, ноторое приводит н росту полной энерrии.
В противоположность этому в случае сил одноrо знана значительно блите
н действитеJIЬНОСТИ оназывается предполотение о том, что на любую частицу
деЙствует НOIюторое «усредненное» поле. Это предполотение является един
ственным, необходимым для МО)Iели независимых частиц.
Для получения неноторых данных об ошибнах в вычислениях, oCIТoBaH
ных на модели независимых частиц, были проведены мноrочисленные pac
четы по теории возмущений, в ноторых модель независимых частиц использо
валась в начестве нулевоrо приблитения [398, 399, 556, 321, 322, 512,513,
768, 139, 751, 752, 446]. Было поназано, что изменения в волновой фуннции
')
'1
1
j
't
;
,
А
]
,i
f
8 4. АЛЪфll частичная .модель ядра
233
нулевоrо порядна, вносимые этими возмущениями, нельзя считать малыми:
если написать волновую фуннцию в виде суммы 'rrO+'rrB08M., то условие
\WB08M.12d't \W o \2d't (3.9)
выполняется весьма плохо, тан нан интеrралы имеют величины одноrо порядн:а.
Столь большое возмущение волновой Фунн:ции нулевоrо порядна обусловле
но двумя причинами: 1) волновая фуннция, используемая в начестве исходной,
не является самосоrласованной в смысле Хартри Фона, тан что часть Ч" ВО8М.
составляет (<поправну на самосоrласование» н Ч' о' ноторая не выходит
за пределы применимости модели независимых частиц; 2) остающаяся часть
поправни н 1J"u обусловлена норреляцией движений частиц в ядре. Разобрать
ея в этих двух различных поправнах довольно трудно [768].
Тан нан возмущение велино, то волновая фуннция нулевоrо поряДIШ,
используемая обычно в модели независимых частиц, представляет очень пло
хое приближение н действительной волновой фуннции при обычно используе
мых ядерных потенциалах. Поэтому любые занлючения, полученные с таной
волновой фуннцией (Нqпример, о природе низших уровней, расстояниях
между ними и т. д.), базируются на довольно неопределенной основе.
s 4. АЛЬФА.ЧАСТИЧНАЯ МОДЕЛЬ ЯДРА
't
I
А. Общие черты теории
Еще в ранний период развития ядерной физини было обнаружено, что
при распаде тяжелых радиоантивных ядер испуснаются а частицы. Сначала
считали;, что а частицы сущест'вуют внутри тятелых ядер до их распада нак
устойчивые образования. Сейчас эта точна зрения почти полностьюотвер
rается; изучение ядерных реанций поназало, что протоны и нейтроны, тан же-
нан и а частицы, MorYT вылетать из тяжелоrо ядра, находящеrося в сильно воз
бутденном состоянии, а при имеющихся сейчас данных о ядерных силах
трудно вообще допустить представление о том, что а частицы сохраняют в Te
чевие длителъноrо времени свою индивидуальность внутри нонденсирован
Horo ядерноrо вещества.
Однано идея а частичноrо строения ядра была позднее выдвинута в HO
вом варианте [775, 776, 791, 785, 216]. Недостатни простейщей а частичной
модели ядра были уте известны, поэтому было предложено рассматривать
а частицы не нан устойчивые, а нан норотнотивущие образопания внутри
ядра. Спустя неноторое время t после CBoero образования а частица распа
дается на составные частии остатни этой и друrих расцавшихся а частиц пере
стаиваются в новую а частицу и т. д. 'Уилер пытался поназать, что время t
велино по сравнению с периодами нолебания и вращения TaHoro а частичноrо
образования. В этом случае свойства а частичн()rо образования проявля
лись бы, нан если бы оно было устойчивым по нрайней мере в случае слабо
возбужденных состояний таной «моленулы».
Сейчас мы не будем наса ться нритичеСRоrо ра ссмотревия о: частичноfr.
модели, а вместо этоrо обсудим успешные предсндзания таной модели, отнла
дывая нритину на дальнейшее.
Первый и наиболее очевидный успех а частичной модели состоит в пред
сназании энерrий связи ядер, ноторые MorYT быть образованы из целоrо числа
а частиц. Будем, например, описывать ядро 016 ПРОСТQЙ моделью из четырех
а частиц, располотенных далено друr от друrа. Полная энерrия таной систе
мы в 4 раза больше энерrии отдельной а частицы, т. е.
k
4 Х 4,00391 == 16,01564 массовых единиц.
r д. V 1 1. Ядерnая спектроскопия. М оде.аи ядер
'. j . .........
\ ..,
,
'j
234
Наблюдаемая полная энерrия ядра 016 равна 16,00 массовых единиц (по опре
делению). Если из этих двух масс вычесть массы 8 нейтронов и 8 протонов,
то получится следующий результат: наша модель ядра 016 дает энерrию связи,
равную 113 Мэв, тоrда н:ан действительная энерrия связи равна 127 Мэв.
Отсюда видно, что при отсутствии связи .между са.ми.ми (J, 'ЧастиЦа.ми мы
получили почти 90 % наблюдаемой энерrии связи.
Конечно, модель, в ноторой ядро 016 состоит из четырех несвязанных
(J, частиц, не дает адэн:ватноrо описания этоrо ядра. Действительно, хотя ядро
016 В этой модели и устойчиво относительно отделения 8 нейтронов и 8 про
тонов, оно, очевидно, неустойчиво относительно распада на четыре (J, частицы.
Однано такой результат является удовлетворительным в том смысле, что
энерrия связи между (J, частицами, по видимому, должна быть малой (порядна
10%) в сравнении с энерrией связи нуклонов внутри самой (J, частицы.
V(r)"
V(r) I
I
I
I
\
r
\
'< КУ,Л.
.....
.....
r
а
,6
Фи r. 58. а схематическое изображение потенциала взаимодействия между
двумя нейтральными атомами в зависимости от расстояния r между ними; равно-
весное расстояние равно ro; при малых r кривая проведена пуш{тиром, чтобы
ноказать, что понятие потенциальной функции V (r) на таких расстояниях не
имеет смысла; 6 схематическое изображение потенциала взаимодействия
между двум н а-частицами, предполаrаемоrо в а частичной модели ядра, в
зависимости от расстояния между а-частицами r.
Таким образом, мы ВИl\ИМ, как далено можно продвинуться, предпола
тая, что (J, частицы достаточно долrо сохраняют в ядре свою индивидуаль
ность, тан что ядро 016 мотно рассматривать в виде «МНОI'оатомной моленулы»,
состоящей из четырех тесно расположенных (J, частиц. Не делая попытни
вычислить силы, действующие метду двумя (J, частицами, располотенными на
расстоянии r друr от друrа, мы будем предполаrать, что эти силы подобны
силам взаимодействия между двумя нейтральными атомами, на ноторые
нюшадывается нулоновсное отталнивание. Потенциал сил взаимодействия
между двумя нейтральными атомами, обусловливающий химичесную связь,
схематичесни изображен на фиr. 58, а. На больших расстояниях действуют
силы притятения (СИпы Ван дер Ваальса), обладающие довольно длинным
«хвостом» (потенциал уменьшается ню{ r 6). На расстояниях r, меньших HeHO
Toporo paBHoBecIloro расстояния ro, действуют силы оттаЛI{ивания. Нанонец,
на еще меньших расстояниях r два атома настольно пронинают один в друrой,
что представление о потенциале взаимодействия, зависящем от раССТОЯНlIЯ
межJl,У атомами, становится бессмысленным. На фиr. 58 это пон:азано пуннтир
ной линией.
В моленулярной фИЗИl{е справедливо утверждение о том, что дальнодей
ствующие силы притятения Ван дер Паальса метду различными атомами
в моленуле аддитивны. Это, нонечно, неверно для норотнодеЙСТВующих сил
оттаЛIшвания, ноrда близость TpeTbero атома заметно возмущает силы взаимо
действия метду двумя первыми атомами.
Добавим теперь l{ потенциалу взаимодействия метду (J, частицами нуло
lIовсн:ие силы (фИl'. 58, б) и будем считать, что потенциал взаимодействия
8 4. Альфа частиЧ1{,ая ,модель яДра
235
..
.между различными парами а частип на расстояниях, превышающих ro' обла
.дает свойствами аддитивности. В этом случае натдая а частичная «связы>
будет вносить примерно равную долю в полную энерrию связи между а части
цами в насыщенном ядре. Пусть U(а) полная энерrия а частиц, а И(па)
полная энерrия рассматриваемоrо ядра. Определим тоrда энерrию СВЯЗИ
.между '1. частицами В&. выратением
Во. -== пИ (а) U (па)
(4.1)
и разделим ее на полное число связей. Число связей находится из rеометри
'Чесних сообратений; например, ядро 016 считается праВИJIЬНЫМ тетраэд
ром, в наждой вершине HOToporo расположены а частицы С шестью co
'единяющими их линиями (связями), Результаты TaHoro рассмотрения даны
в табл. 10 (числа в нруrлых снобнах будут обсутдены позднее). Постоянство
величин, приведенных в последнем столбце таблицы, довольно хорошо под
твертдает а частичную модель ядра. Величина энерrии связи между а части
цами, приходящаяся на одну связь, имеет порядон 2,5 Мэе и на первый
взrляд натется разумной. Наибольшим расхотдением с действительностью
является в этоЙ таблице отсутствие устойчивоrо ядра Ве 8 . Это ядро должно
быть основоЙ теории, тю, нан из ню'о находится величина энерrии связи
а частицы, приходящаяся на одну связь.
Таблица 10
B . Эне рrия
Число Число свваи на
Ядро а. частиц Нонфиrурация свяней Мов одну свпзь.
Мав
Ве В 2 rантель 1 0,12 (), 12
са 3 Треуrольник' 3 7,33 2,45
016 4 Тетраэдр 6 14,5 2,42
Ne 20 5 Треуrольная бипирамида 9(8) 19,3 2,14(2,41)
M g 24 6 Октаэдр 12(11) 28,8 2,40(2,62)
S'29 7 Пятиуrольная бипирамида 16 37,8 2,36
.1
sa2 8 Шестиуrольпая бипирамида 19 46,8 2,1Л
Эти величины должпы быть еще исправлепы на кулоновскую энсрrию насыщенноrо
ядра [123]. О ДIШI{О В данном СJIучае эта поправка почти ничеrо не дает. В этой модели
кулоновская энерrия состоит из двух частей: внутренней кулоновск й энерrии каждой
а частицы, которая учитывается автоматически в (4.1), и энерrии I,УЛОНОВСКОI'О вааимодей,
ствия между самими а частицами, Последняя, однако, просто пропорциональпа числу
'СВЯЗЕЙ, дО тех пор, пока каждой связи отвечает одинаковое расстояпие между а'части
цами. Это справедливо для первых трех ядер в табл. 1 О и приблизительно верно для осталь'
ных. На первый взrляд кажется, что не следует вводить поправку на различие в длинах
'связей, так как подобпая, но пеизвестная поправка делжна быть введена при вычислении
потепциальпой ЭIIерrии, приходящсйся на одну связь (т. е. более длинпые связи будут
,давать меньший вклад и четвертая колонка табл. 10 уже не будет СОДl'ржать Цl'лых чисел).
Однапо J{УЛОНОВСJ{ая попраВI,а изменяет среднюю энерrию связи, приходящуюся в ядре
на одну связь, на величину
4с 2
1,8 Мае,
ro.a.
если считать, что расстояние между а частицами ПОРЯДJ{а r"""",3,0.10 13 см. С учет()м этой
поправюi ядерная связь Ве 8 ОJ{азывастся равной примерно 1,7 Мае, а эперrия, приходя
щаяся на дну связь в друrих пасыщ пных ядрах, увеличивается до 4,1 Маи. Тю,им обра
зом, расхождение все же ос'; ается, хотя и становится IIеСI{ОЛЫЮ мепьшим.
QIшзывается, что особенно СИJIьная связь ядра 016 может быть попята в рампах этой
модели, если учесть зависимость числа связей от числа Cl частиц п [335]. ОТНOIш'ние числа
<связей J{ числу Cl частиц равно 0,5 для Ве 8 , 1,0 для с а И 1,5 для 016; дальнейшее увели
236
r.a. V//. Ядер пая спектроскопия. Моде.аи ядер
чение происходит значительно медленнее: 1.8 для Ne 20 , 2,0 для Mg24, 2.1 для Si 28 И Т. Д.
Однако величина Ва для Ne 20 по этой модели ос а( тся I есьма малой, даже если принять
во внимание число связей. (Энерrия, приходящаяся на одну связь для Ne 20 , составляет
только 2,14Мае по сравнениюс2,35 и 2,47 Мае для друrих ядер.) Это можно оБыIнить,,
исходя из rеометрических соображений [7751: ядро Ne 20 является сдвоенной пирамидой
с треуrольным основанием. Частицы, расположенные вверху и внизу этОй конфиrурации,
совершенно разделены друr от друrа и «заэкранированы» одна от друrой внутренним Tpe
уrольником. Поэтому мы должны считать, что ядро Ne 20 имеет не 9, а 8 «эффективных!»
связей. Если это учrсть (числа в круrлых скобках в табл. 10). то энерrия связи, приходя
щаяся на одну связь, станет равной 2,41 Мае, что отлично соrласуется с энерrиями,
приходящимися на одну связь в друrих а частичных ядрах. Соответствующая поправка
для ядра Mg24 не столь важна, так как расположенные у основания и вершины частицЫ
восьмиrраншша отделены площадью с достаточно большим «отверстием» в ШЙ, вследствие
чеrо длина связи мrжду верхней и нижней частицами значительно меньше, чем в Ne 20 ,
и связь значительно более эффеитивна. Это таиже соrласуется с числами, стоящими в
скобиах в табл. 10.
Рассмотрим теперь н:ратно остальные теоретичесн:ие проблемы, связан
ные с а частичной моделью ядра. Попытаемся найти возбужденные
состояния а частичных ядер по аналоrии с моленулярной спентроснопией
(335, 1911. Будем подразделять состояния на нолебательные и вращатель
ные, хотя обычно рассматриваются тольно вращательные уровни, тан н:ак
они в основном обладают меньшими энерrиями. В этом случае в выражении
для энерrии возбуждения единственной неизвестной величиной оназываетСЯ
расстояние метду а частицами (оно определяет эффентивные моменты инер
ции «молен:улы»). Тан нан а частицы подчиняются стаТИСТИI{е Бозе, то pea
лизуются тольно те вращательные состояния, в случае ноторых волновая
фуннция симметрична относительно перестановни любых двух а частиц.
Этим иснлючается из рассмотрения ряд вращательных уровней с малой
энерrией, ноторые в противном случае долтны быЛИ бы присутствовать.
Следует, однюю, заметить, что ci частичная: модель по самому методу
построения мотет описывать тольно те возбужденные состояния, ноторые
принадлежат н самому низшему размещению (О, О, О) У ядер с А==4п. В допол
нение н предполотению о том, что волновая функция описывает rруппу
из четырех частпц, причем натдая rруппа обладает внутренней симметрией
по отношению н пространственной перестановне частиц, в а частичной модели
предполаrается, что эти rруппы действительно разделены в пространстве и
образуют самостоятельные единицы. Наоборот, менее симметричное размеще
ние обязательно прпводит н нонфлинту С а частичной моделью (неноторые
а частицы долтны были бы развалиться), и в этой модели не MorYT суще
ствовать возбужденные состояния, отвечающие та ним размещениям.
Исследовались танже ядра, содержащие I{pOMe целоrо числа а частиц
одну JIИШНЮЮ или недостающую частицу (335, 434]. Рассмотрение проводи
лось по аналоrии с моленулярной физиной. На этот раз аналоrия относится
н элентронным состояниям моленул: одна «дополнительнаю> частица, или
«ДЫрI{Ю>, рассматривается [\аН (<леrний» элеI{ТРОН в «тяжелой» струнтуре,
состоящей из «постоянных» а частиц. В случае нечетных ядер, для ноторых
модель пезависимых частиц предсназывала в начестве OCHoBHoro состоянин
Р состояние, бышi: получены Р состояния и в этой модели. С помощью а ча
стичноЙ модели были произведены детальные расчеты маrнитных моментов.
ядер [58, 650, 400 402]. Полученные результаты лишь частично соrласуются
с энспериментальныии значениями аналоrично результатам, найденным
по модели независимых частиц, хотя расхотдения получаются для иных
ядер. Величина gL, полученная из а частичной модели, более близна н стати
стичесному значению Z/ А, чем веJlИЧИНЫ, полученные из модели независи
иых частиц. Этоrо и следовало отидать, тан нан орбитальное двитение,
в а частичной модели оБУСЛОВJlено движением а частицы нан целоrо, пр1'Ь.
нотором один нейтрон увлен:ается вместе с двитущимся протоном.
"
.
,1
.
4. Альфа частиЧ1{,ая .модель ядра
237
Результаты, полученные по а частичной модели и по модели независимых
частиц, сильно различаются для ядер с массовыми числами А==4п+2[460].
В а частичной модели нет метода, приrодноrо для рассмотрения этих ядер.
Они MorYT быть описаны одним из двух различных способов: либо нан: n
а частиц и две дополнительные частицы, либо нан п+1 а частиц и две «дыp
ни». Тан: нан в этих двух моделях rеометричесная струнтура заметно раз
личается, то получить определенные занлючения о своЙствах тан:их ядер
нельзя l ). На основе а частичной модели мотно сделать, по видимому, одно
занлючение, насающееся ядер с А==4п+2: энерrии связи этих ядер заметно
меньше cpeMHero значения энерrий связи (насыщенных) ядер 4п и 4п+4.
В действительности, однано, энерrии связи всех этих ядер примерно равны.
Б. Критическое рассмотрение альфа-частичной модели
Основным aprYMeHToM в пользу а частичной модели являются энерrии
связи «насыщенных» ядер; однан:о этот aprYMeHT на самом деле не является
достаточно весн:им [210, 211]. Тот фант, что энерrии связи а частичных ядер
()чень близни н величинам, целочисленно нратным энерrии связи самой
а частицы, просто поназывает, что средняя энерrия связи, приходящаяся
на один нунлон, в а 'частице таная же, нан и в ядрах, состоящих из несноль
юiх а частиц. Даже в ядрах, не состоящих из целоrо числа а частиц, cpeд
няя энерrия связи на нунлон имеет rрубо ту те величину, что и в а частице.
Это поназывает, что ядерное вещество находится в довольно «жидном» co
стоянии, не имеющем специфичесн:ой струнтуры. Конечно, даже в ЖИДIЮСТЯХ
проявляются эффенты норотнодействия (нан поназывают, например, явления
диффранции рентrеновсних лучей); аналоrично мотно отидать, что и
в ядрах будут заметны эффен:ты лональной норреляции частиц. Это, однан:о,
не совпадает с предполотением о тестной а частичной струнтуре ядра.
Взаимодействующие на малых расстояниях «MrHOBeHHble» rруппировн:и
а частиц, несомненно, имеют место и непрерывно превращаются одна в дpy
rую, не сохраняя своей индивидуальности в течение снольно нибудь значи
тельноrо времени 2 ).
Чрезвычайно сильные aprYMeHTbl против а частичной модели следуют
из рассмотрения результатов опытов по рассеянию а частиц в rелии. Эти
данные были проанализированы 'Уиллером [793, 794], I{ОТОрЫЙ, нроме Bcero
прочеrо, уназал на наличие двух резонансных уровней 3 ) с полным моментом
ноличества движения J ==0. Оба уровня отличаются по энерrии Bcero на
несн:олыю Мэв, а это слишном мало, чтобы их мотно было считать за два
различных уровня, существующих в потенциале взаимодействия а частиц
'Типа, изображенноrо на фиr. 58. Кроме Toro, в случае TaHoro потенциала
верхний уровень был бы очень широн:, тоrда н:ан: в действительности он
довольно узон: (ширина уровня порядн:а 1 Мэв). Поэтому представление
() наличии потенциала взаимодействия между двумя « жест/i,ими» а частиЦами
не дает правильноео описания результатов э,..спериментов даже при энереиях
1) Можно попытаться найти волновую Фуннцию смеси этих состояний [7921 н виде
линейной J{омбинапии волновых функпий, опш.ывающих ДlJе указанные нарт ины. Но это
довольно быстро ПРИВl'дет нас н трудностям: без динамической теории движения частиц
Б а-частичной модели, т. е. бсз Дl'таЛЫlOrо уточненип сил взаимодсйстпип м{'жду а-части-
цами и сил. д{ йствующих между а-частицами И дополнит{'льными частицами или «дыр-
f\аМИ», мы не можем сназать, "ан велина J,оля I{аждой состаП:lПющей n этuй смеси.
2) Прежние aprYMelJTbl Уиллера н пользу длительнOI'О существованип а-частичных
rруппирOlЮК были ОСllопаны на довольно rрубых ОЦl'НI\ах, и в более поздних работах
было показано, что «степень диссоuнаuии» а-частиц внутри нонденсированноrо идерноrо
вещестна Дl'йстнительно Очень веЛИJ{а [323, 788].
3) Относительно смысла р('зонансных уронней см. rл. VIII. Имеются более позд-
вие данные, вызывающие сомнении в значениях J, полученных Уиллером [379].
238
rл. V//. Ядерная спектроскопия. Модели ядер
в llec,..o.ltblf,O Мэе. Сн:орее мы долтны интерпретировать по нрайней мере-
второй резонансный уровень при рассеянии с точни зрения разрушения
и перестройни а частиц в результате близних соударений.
Если а частицы не сохраняют своей индивидуальности дате в случае
столнновений при энерrиях в неснольно Мэе, то следует ожидать, что они
будут очень быстро диссоциировать и в нонденсированном ядерном веще
стве. Теоретичесние расчеты с обычно используемыми ядернымИ силаМIf
подтверащают этот вывод [323, 516, 788].
Существует и друrое сообратение, ноторое следует подчерннуть: даже
если бы изображенный на фиr. 58 потенциал мотно было использовать,
для описания взаИМОJ(ействия а частиц, то аналоrия с обычной теорией
моленулярных энерrетичесн:их уровней все еще не была бы удовлетвори
тельной. l'рубая оценна вероятной величины и радиуса сил, действую
щих между а частицами, поназывает, что амплитуда нулевых нолеба
ний в а частичной связи не очень мала по сравнению с длиной связи между
а частицами (энспериментальным подтвертдением этой оценни является
неустойчивость ядра Ве 8 по отношению н распаду на две а частицы). Это
означает, что энерrия нолебания имеет тот же порядон величины, что и энер
rия вращения, тан что разделение полной энерrии на эти две части CTaHO
вится бесполезным; при последовательном рассмотрении таной а частичной
модели необходимо предполаrать наличие сильноrо взаимодействия между
нолебательными и вращательными степенями свободы.
В случае ядер с одной дополнительной частицей (или «дырн:ой») сверх
a CTpYHTYpы аналоrия с молю,улами становится сомнительной. В борнов -
CI\OM приближении эта дополнительная частица рассматривается, l{aK
частица, обладающая пренебрежимо малым весом и двитущаяся с большой
СI\ОрОСТЬЮ. Это приближение соответствует члену нулевоrо порядна в CTe
пенном разложении норня четвертой степени из отношения масс и поэтому
справедливо для моленул, rде qтношение масс элентрона и ядра составляет
по нрайней мере 10 3. В а частичноЙ модели отношение масс дополнительной'
частицы и а частицы равно 1/4' норень четвертой степени из этоrо отношения
равен 0,71, и ero eJ(Ba ли мотно считать пренебретимо малым по сравнению-
с единицей.
Кроме перечисленных выше недостатнов а частичная модель обладает
танже значительно меньшей общностью по сравнению с моделью независимых
частиц, н:оrда речь идет о возмотных прилотениях. Мы напомним о TPYД
ностях, ВОЗНИНaJОЩИХ В этой модели при объяснении свойств ядер с Macco
вым числом А==4п+2, а танте то обстоятельство, что в друrих ядрах исн:лю
чаются состояния, относящиеся 1, размещению, отличному от наинизшеrо 1 ).
"
'j
э 5. МОДЕЛЬ ЖИДКОЙ КАПЛИ
Весьма заманчиво сравнить ядро с жидной наплей [88]. В таной модели
моленулы жидности соответствуют нунлонам ядра. Основой для таной aHa -
лоrии слутат следующие фанты: плотность в тидности почти не зависит
от ее размера, тан что радиус R тидной напли пропорционален нубичесному
норню из числа моленул А. Энерrия, необходимая для полноrо превра
щения н:апли в отдельные молен:улы, приблизительно пропорциональна
числу А (она аналоrична энерrии связи ядра). Поверхностное натятение
ЖИДI{ОЙ напли вносит поправну в эту зависимость, тан нан энерrия связи
моленул, находящихс я на поверхности, неснольно меньше, чем энерrия связи
1) 'Уиллером [792] было уназано, что существует в принципе более общий метод,
который был назван методом «рсзонансных rрупп». Одна но этот мстод приводит Н TPYДHO
стям при расчстах даже для простейших ядер [771], а рсзультаты этих расчетоВ пе очень
обнадеживающие.
'\
8 б. Модель :жидкой капли
239
внутренних моленул. Это приводит Н тому, что в выратении для полной
энерrии связи появляется член, пропорциональный А2/ з . Аналоrичный член
был введен в полуэмпиричесную формулу для энерrии связи ядра (rл. VI, S 2).
Вполне возмотно, что эта аналоrия является тольно чисто внешнеЙ.
Приведенные свойства жидних напель сводятся н следующему: на расстоя
ниях, преВJ?Iшающих размеры элентронных оболочен, моленулы притяrи
ваются друr н друrу, причем это притятение заменяется сильным оттални
ванием, н:оrда элен:тронные оболочни начинают взаимно пронинать друr
в друrа.
Потенциал таних сил принимает минимальное значение на расстоянии d MJlH .
порядна размера элентронных орбит. Таним образом, устойчивость дости
rается в том случае, ноrда моленулы располаrаются таним образом, что
расстояние между блитайшими соседними моленулами равняются d мин . .
В настоящее время имеется очень мало оснований считать, что ядерные силы
ведут себя подобным образом, хотя таное отталнивание на малых расстоя
ниях и было предлотоно в работе [411]. Друrое ватное различие между
динаминой тидности идинаминой ядерноrо вещества зюшючается в HBaHTO
вомеханичесной лонализации частиц. Средняя нинетичесная энерrия моле
нул в тидности порядна 0,1 эв. Соответствующая длина волны де Бройля
имеет величину порядна 5 .10 9 см, что значuтельно меньше, чем расстояние
метду моленулами. Средняя нинетичесная энерrия нун:лонов в ядрах по
рядн:а 10 Мэв, с соответствующей длиной волны 7\,,-10 lЗ см, НО'fорая нан раз
порядна внутриядерных расстояний. Следовательно, в жидностях движение
составных частей может быть описано в рамнах нлассичесних представлений
и полотения этих частей MorYT быть точно определены по сравнению с их
взаимными расстояниями, тоrда нан в ядре двитение имеет нвантовый
харантер, ибо неопределенность в лонализации составных частей ядра порядна
величины расстояний метду ними.
Несмотря на эти различия, были сделаны попытни описать динамину
ядра по аналоrии с двитением тидной напли. Наиболее важным видом дви
жений являются поверхностные нолебания. Деформация сферичесной напли
при водит н периодичесним н:олебаниям поверхности. Мотно проанализиро
вать эти нолебания и определить их частоты Ш l . Если модель тидной н:апли
правильна, то полученные при этом значения энерrии дадут примерную
схему уровней ядра.
Рассмотрим сферичесную наплю радиуса R. Любая деформация п()верх
ности мотет быть описана с помощью фуннции R'(6, <р), ноторая представляет
собой расстояние деформированной поверхности от центра в точн:е, xapaH
теризуемой уrлами Ь, tfi. Рассмотрим разность
q((), <p)==R' ( , <p) R,
(5.1)
ноторую МОЖно разлотить по сферичесним rармонин:ам
со 1
q ((), <р) == qiт Y lт ((), <р).
l O т l
(5.2)
Для простоты мы используем деформации, обладающие цилиндричесн:ой
симметрией. Поэтому всеми членами разлотения с m=l=O мотно пренебречь.
Мотно поназать, что Ql,O являются (<нормальными ноординатами», т. е. что
они изменяются со временем по rармоничесному занону
Ql, 0== Ql СОБ (шJ).
(5.3)
Харантеристичесная частота Ш 1 определяется динамин:ой нолебаний.
Возвращающая сила создается поверхностным натятением, ноторое пр
240
rд,. VII. Ядерная, сnеr;тросr;оnия. Моде.аи ядер
пятствует деформации поверхности. Поверхностная энерrия Еа равна
Еа == а8, (5.4)
rде 8 площадь поверхности (8 == 47tR2 дЛЯ сферичесной напли), а а коэ
фициент поверхностноrо натятения.
Формула для частоты Ш l впервые была получена Рэлеем [627]:
rде im масса JЙПЛР.
МЫ не будем воспроизводить здесь вывода Рэлея, а попытаемся лишь объяснить
Rачественные особенности этоrо вывода. На фиr. 5\1 поназана харантерная деформация.
Тан нан жидность (по предположению) несжимаема, то
наличие волн на поверхности предполаrает ВОЗНИIшове
ние движений внутри жидности. Амплитуда движения
внутри жидности пропорциональна амплитуде q 1 по
верхностных нолебаний, но множитель пропорциональ
ности быстро уменыuаf'ТСЯ при удалении от поверхнос
ти. Расстояние, харантерное дЛЯ ЭТОJ'О уменьшения,
имеет тот ще порядон величины, что и длина волны 7i:
поверхностных волн. В случае поверхностных нолеба
ний жидной напли радиуса R эта длина волны дается
выражением
Фи [. 59. Схематичесное изо
бражение поверхностной вол
ны жидной напли с l == 4.
: [ 4тrcx l (l 1 (l "':"" 2 J Ч2 '1
..Шl ::J Л ),)'j
(5.5)
j
,1,
R
7i:==T.
j
j
d
.J
'!
,j
i
1
(5.6)
Масса 11-, ноторая участвует в нолебаниях внутри
жидности, приблизительно равна массе, содержащейся
в наружном слое, толщина HOToporo имеет тот же
ПОрЯДОR величинЫ. Отсюда для массы 11- получаем
37i:
11- IOI. R ' (5.7)
а кинетичеt;ная энерrия Т приблизительно равна
1 .
Т 211-Ч '
(5.8)
Возвращающую силу можно оценить но изменению поверхностной энерrии. Под
действием волн с амплитудой q t и длиной BOJIНbl 7i: плосная поверхность S увеличи
вается на величину
1 ( Ч! ) 2
дS 2 Т s.
(5.9)
Это соотношение приблизительно справедливо и для сферичесной поверхности.
Из Hero получается изменение поверхностной энерrии напли
ДЕа== kq ,
k ; 4тrH2 cx
7i:. .
(5.10)
Из выражений (5.8) для нинетичесной энерrии и (5.10) для потенциальной энерrИII
'непосредствешIO получаетея частота Юl == (k/iJ.// 2 , отнуда следует с учетом (5.6)
( 4тrсхLЗ ) 1/2
ЮL 39'Л . (5.11)
При больших l это выражение энвивалентно (5.4). В силу свойств сферичесноi
поверхности [3 в соотношении (5.11) заменяется на l и 1) (l +2). СОl'ласно (5.4),
Юt О дли l 1. Это происходит потому, что деформации (5.2) с l == 1 соответствует
смещение напли нан цеЛОl'О.
Применим теперь формулу (5.5) н дей<:твительному ядру. Коэффициент
поверхностноrо натятения а мотет быть рассчитан с помощыо выражения
ДJIН поверхностной энерrии Е" взятоrо из формулы Вайцзен:нера (VI, 2.5):
Ев == и s А 2 / з , и з 13 Мае. (5.12)
>-
"
б. Мооель жидкой капли
241
Следовательно, из (5.4) получим
и A 2/3 U s
a
4тcR2 4и5 '
rде rо эмпиричесн:иЙ радиус ro "'" 1,4,10 13 СМ. В этом случае имеем
W l "'" [l (l 1) (l + 2) зr5 А ] Ч2 , (5.13)
rде М масса ОТl(еJlьноrо нунлона. Соответствующая энерrия равна
пW l 14,7 [ 1(l 1 (1+2) J1/2 Иэв.
(5.14)
Эта величина слишн:ом велина, чтобы объяснить самые низшие состояния
ядер. Известно, что первые возбужденныо состояния у ядер с массовыми
числами А в интервале 100. 200 имеют энерrию возбуждения порядна
100 пэв, тоrда ИЮ, из (5.14) получается величина, составляющая He
снольн:о М эв. .
'Учет IЧЛОНОВС1{ИХ эффеRТОВ приводит J{ неноторому уменьшению
частот ш/. В ТО' время н:ю{ при деформации ядра поверхностноо натяжение
1З0зрастает, нулоновсн:ая энерrия уменьшается. Этот эффеI{Т уменьшает
восстанавливающую силу J{олеGаниЙ и приводит вместо (5.13) н СJlедующему
выратению для частот [270, 271, 628]:
W l == { l (l 1) [ (l + 2) 2/ 1 ] 3r; A } 1/2 , (5.15)
rде 1 отношение н:улоновсноii энерrии
Е == (Ze)2
е 5 R
н энерrии поверхностноrо натятения
Е == 47taR2 == и А 2/3
S s
педеформироваНН01'0 ядра; таним образом, для 1 получается следующее
выратение:
е 2
3 ;:;; Z2 Z2
1 == 5и;А == 0,0474 А .
(5.16)
Выражение (5.15) можно начествонно получить следующим образом: поверхностная
волна с амплитудой '1 может образоваться па недеформированной сфере в результате
смещения половины поверхностноrо лоя rлубины '1 в направлении от центра сферы на
расстояние '1. Изменение нулоновснои энерrии при этом равно
Ze
ДЕ е == Ji2 (2тcR2qp) '1, (5.17)
rде Zе заряд напли, а р==3Zе/4тсR3 плотность заряда. Следовательно,
1 3Z 2 e 2
llEe==z keq2, ke== f[3 .
(5.18)
Полное изменение потенциальной энерrии в этом случае равно дЕз + ДЕ е .
а частота определяется выражениом
( [J. ) Ч2
(J)l \. k+ke '
с помощью HOToporo, учитывая (5.6), (5.8), (5.10) и (5.16), получаем
(J)l [ ; (l3 511) ] 1/2.
(5.19)
16 Заказ ;N', 396
242
rл. VII. Яоер'Ная сnектРОСК()71-UЯ. Мооми яоер
,
j
.
Эта формула явшrется асимптотичесной фQрМОЙ ВЫР\l,женип (5.15) ДШ! (::3> 1 при
условии, что для ноэффицирнта поверХПОСТllоrо натяжения а ИСПОJIЬЗ0вано значение
u s /47tr&.
Из формулы (5.15) следует, что БОJIее тяжелые ядра имеют меньшио
частоты, ОДНaIЮ она не дает еще правильноrо представления о дойствительных
расстояниях между уровнями. В действительности обнаружено rораздо боль
ше значительно БОJIее близ но раСПОJIошенных возбужденных состояний, чем
это предсназывается (5.15). Если аналоrия с жидной наплей все же справед
Jlива, то поверхностные JЮJIебания еледует считать весьма специаJIЬНЫМ
типом ядерных движениii. Весьма вероятно, что в действитеJIЬНОСТИ возбуш
денные еостояния ядер соответствуют значите:з.ыIO более С.'южным формам
; вижений .
Если раесмотреть ежимаемую анщность [(102, 229], то в напле МOl'УТ
танже вознин:ать ПРОДОJIьные волны сжатия. До тех пор пона ежимаемоеть
мала, чаетоты этих нолебаниЙ :шачительно больше частот поверхностных
колебаний. Мы не будем рассматривать здесь продольных волн.
Влияние нулоновсноrо поля на поверхностные деформации ядра (;Ta
. новится заметным при больших Z. Из (5.15) следует, что, если 1 превышает
неноторое предельное значение Iс' то частоты становятся мнимыми. Это зна..
чение оназывается минимальным ДJlЯ [==2, Н:ОI'да Iс==2. "
ЕСJIИ 1 больше, чем Iс' то отрицатеJIьная l{у:юновсная энерrия (5.17)
преобладает над поверхностной энерrией (5.12) и ядро неустойчиво по OTHO
шению н подобной деформации. Таним образом, из (5.16) получается уело..
вие устойчивости ядра по отношению I\ поверхностной деформации [27О,
271, 226, 838, 89, 786, 597]:
с 2
.. ro 3':" /' 2
5 и" А '"
ИЮI
.7.:2
, <' 11 2 2
А ' ,.
(;).20)
]
;
JIюбое ядро, не УДОВJIетворяющее этому условию, ДОJIЖlfО деформировать..
ея и в нонце нонцов разва:IИваться на две чаети. Интересно отметить, что
па раметр Z2/ А ДJlЯ наиболее тяжелых яде р вееьма БJIИ:ЗOI{ I\ указанному пре
дельному значению (Z2j .1==35,5 ; ля U 238 ). Условие (5.20) можно считать
l'лавной причиной Toro, что не существует ядер тюкелее наблюдаемых в дaH
ное время.
Ядра, у ноторых параметр Z2j А б.ТlИЗОН 1{ преде.т:rьному значению, имеют
очень малую частоту деформации (J)2' Амплитуда qo колебания OCHOBH01'0
состояния (НУJlеlюе НОJюба.ние) равна qo== (п/2 f1(J) )Ч2 и увеличивается с YMeHЬ
шением частоты. В такоМ случае i JIЯ развала ядра достаточно даже маJЮ1'О
внешнеrо возмущения. Из этой модели следует, что ядра, у 1{ОТОРЫХ пара..
метр Z2/ А БJIИЗОК К предеJIЬНОМУ значению, леrко делятея при сообще
нии им неБОЛЬШОf'О I{оличества энеРI'ИИ. Подробное рассмотрение Mexa
пизма деления на основе модеJlИ жидкой капли прове) еIlО Бором и Уилле..
ром [89].
Подведем итоrи ЭТОI'О паРaI'рафа. Модедь жидкой капли не приrодна для
описания возбужденных соетояний ядер. Она дает слишном большие раестоя
ния между уровнями. МЫ приходим К заключению, что динамика ядерных
движений, обуеJЮВЛИВaIОЩИХ свойства возбужденных состояний, оказы"
вается rораздо с;rюжнее движения жидной кашlИ. Эта модель дает хорошие
результаты при исследовании уетойчивости основных состояний ядер по
отношению к деформациям. Она хорошо предсназывает предел устойчивости
по отношению к делению; идеи, JIежащие в основе модеJIИ, хорошо подтвер"
ждаются тем фактом, что тяжелые ядра, раСПОJlоженные вблизи этоrо пре
дела, действительно испытывают вынужденное деление.
А
А'
Ь
B
d МIIИ .
Е"
Е
СИММ.
f (:, 1j)
qL
g (r)
1
J
k
k
kc
К
1
1
1
L
L
Ll
L'
L
m==т/
м
М п
Мр
юс
п
п
пl
п2
па
п4
П.
п
N
Р.
ОБОд1ЫJtte'nия
243
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Maccoпoe ЧИС.1U ндра (A==N +Z) ( 2).
чис.тrо llУНЛОНОJJ па Р оболочн(' у ядер с А -< Н! (А' == A o'I) (э :{).
радиус действия ядерных сил (э 2).
энерI'lfЛ связи между а частицами D ядре (4.1).
расстояние между днумя молену.тrами, нри HOTOpO l потепциа;I C/I.:! В:claШIO
действия между ними ПРПIlимает минимаJIЫlOе значение (э 0'1).
поверхностная ЭIIерrия ЖИДI\ОЙ напли (5.4).
энерrин симметрии ядра по ОДнородной моде.1Л (2.15).
ФУШЩИiJ, :'!ависнщая от спина и изотоппчеСНОI'О спипа нуюroпа (3. ).
орбитаJlьпое пrромаrпитное ОТНОШСНIIC; относительно ero определеrlllН
см. rл. 1, Э 7 (э 3).
радиапьпан часть во;шовой фушщии частицы па Р оБОJlOчне и и (х, у, z) (3.4.).
НВЮIТопое число полпоrо момента rШ;'Jичества днижеНИiI (спин) ндра D осиов
ном состоянии (э 3).
HBaHTOBoe число полноrо мо rепта ношrчества Движепип ндра (не обпзате;rыю
в осповно [ состоянии) (э 4).
. ПОСТОНlшан веЛПЧl1на, опрr'1саенпан в rл. VI, Э 3; ее значrпие Ж'ЩИТ в пр<'
деJШХ от 2 до 3 (2.16).
ноэффициент пронорционаiЬПОСТII в выражении Д.:ш !J.E s (;j.IO).
ноэффициепт D выражении для !J.E c (kc==3Z 2 e 2 /Ra) (5.18).
ИНТCl'рал взаимодействип между двумя ПУН;'Jопами, паХодпщишrсп па Р об()
лочr,е (3.6), (:И).
ПОрпдон повеРХНОСТПОI'О l\олебанип жщщой r'11ншr (э 5).
орбитаJlыюе нвантовое число отдельпоrо нунлона (3.3).
пентор момента НОЛl1чества движенип отдеJrыrorо пунлона (э 3).
орбпталыюе нвантовое число ядра (э 2).
ноэффициент при члене с Cп. п ) D выражешш дш[ ПОТClщиа.тrыю.й
эперrпн 17 в ОДНОрОДНОЙ модеJIИ (2.6), (2.7).
. величина, равная AL; считаетсп, что она пе зависит от MaCCOBor'o чис:ra
А (2.12).
НОЭффИЦl1ент нри члене с (n. +1l ) н выражении ДЮJ потrнциаJlЬНОЙ
энерrип 17 в ОДНОрОДНОЙ моде.:тн (2.6), (2.7).
шштор орGитальноI'О момента НОличества движенип ядра (э а).
НВЮ!ТОВОе число проеНЦИII момента НО.тIичества движенин на ось Z
нунлона р.4).
масса нунлона (э 2).
Macca нейтрона (2.11).
Macca протона (2.11).
Macca ЖИДНОЙ напли (5..5).
. r.тraBHoe нвантовое число орбиты в модели не зависимых частиц (:!.:!).
ЧИСJlО а частиц В пдре (4.1).
ЧИСJro «уровней», на I\OTOpblX находитсп по одному нуrШОJJУ; см. rп. V [,
э 3 (э 2).
число «уровней», lIа ноторых находитсн по два нунлона; см. [:Т. VI, Э 3 (э 2).
число «уровней», на ноторых находитсп по три НУRлона; см. [Н. VI, Э 3 (э 2).
число «уровней», на ноторых находитсп ПО четыре НУКJlона; см. rл. VT,
Э 3(э 2).
число симметричных пар в пдре (2..5).
число антисимметричных пар в ядре (2.5).
число нейтропов в пдре (э 2),
простраНСТDенпап часть ВОЛНОВОЙ фушщии нунлона на Р о60ночне (l == 1)
с т== +1 [P.== (px+ipy)/V2== (x+iy)g(r)/V2] (3.4).
16*
244
rA. VII. яаер'Ная спектроскопия. Модели я ер
вероятность взаимодействия симметричной пары НУIШОПОВ ( 2).
пространствепная часть волновой фушщии IIУIшона на Р оболочке
(l==1) с т== 1 [p ==(px iP!l)/V2==(x iy)g(r)/v'2] (3.4)
простраНСТВ()lIпая часть волновой фушщии нуклона на Р оболочке
(l==1) с т==О [pz==zg(r)] (3.4).
р (Ь! R) вероятность найти два нуклона на расстоянии, мепьшем Ь друr от друrа (92).
р BeKTOp с состаВJIЯЮЩИМИ рх, ру И pz, которые являются пространственными
ВОJШОВЫМИ функциями отделыюrо нукпона на Р оболочке (3.4), (3.5 а), (3.5 б).
KBaHTOBoe число размещения; опредеJIение см. rл. VI, 3 ( 2).
HBaHTOBO() число размещения; определепие см. rл. VI, 3 ( 2).
KBaHTOBoe число размещепия; определение см. rл. VI, 3 ( 2).
обменный оператор Майорана для частиц i и i (2.1).
координаты (прострапствеШlые, СПИlIовые и изотопичесноr;о спина) отдель
Horo пуклопа (3.1).
амплитуда поверхностных КОJIебаний жидкой капли в основном состоянии
(аЮ1JIитуда нулевых I<олебаний) (s 5).
амплитуда поверхностных КОJIебапий жпдкой IШШlИ порядка l (5.3).
деформация поверхности, связанная с поверхностными I\ОJlебаниями жидкой
нюши поряДIШ [, т (5.2).
q (6, '1') мrповеппая деформация поверхности жидкой нашrи во время поверхностных
нолебi1НИЙ (5.1). ·
расстояние между а частицами В а частичной модеJIИ ядра ( 4).
ПОСТОЯНIlая в выражении для радиуса ядра R==roA1f3 (2.9).
равповесное расстояние между а частицами В а частичной модели ядра (9 4).
расстояние между нунлонами i и i (2.1).
cpeДHee расстояние между а частипами В а частичной модели ядра ( 4).
радиус ядра (s 2).
НУЛОIIОВСКИЙ радиус ядра ( 2).
радиальная часть волновой фУШЩИИ и (х, у, z) ( 3).
MI'HOBeHHoe расстояние поверхности жидной капли от ее центра при поверх-
ностных Iшлебаниях (5.1).
КВЮIтОвОе число спина ядра (9 3).
поверхность жидной капли (5.4).
время жизни данноrо а частичноrо образования в ядре (9 4).
кинетическая энерrия ядра (2.8).
кинетическая энерrия поверхностных колебаний жидной капли (5.8).
кинетичеСIШЯ энерrия, ПрИходящаяся на одну частицу в ядре в случае
размещения (О, О, О) (2.8'), (2.9).
40
== '9 то; по порпдку величины составляет около 60 11-1Э{J, (2.12).
избыток нейтропов [Tr.== (N Z) 1 ( 2).
ПОСТОЯIшая в члене формулы Вайцзеlшера, описывающем кулоновскую
энерrию ядра; определение см. rJI. VI, S 2 (2.11).
постоянная в члене формулы Вайцзеккера, описывающем поверхностную
энерrию ядра; определение см. I'JI. Vl, 9 2 (5.12).
и (ж, У. z) пространственная часть волновой фуннции отдельноrо пуклона (3.2).
И ПОЛlIая эперrия ядра, DIШIOчающал массу покоя [И ==u (А, Т,)] (2.10).
U о (А) часть энерrии И, пе зависящая от избытка нейтронов т,(2.10), (2.11).
И (па) полная энерrия ядра (шшючающая массу ПOJюя) , состояще о из п а частиц (4.1).
U(а) ПОJIIlая энерrин а частицы, включающая ее Mac y покоя (4.1).
V средняя потенциальная энерrия, действующан на нуклон в модели незави-
симых частиц (s 3).
оператор потенциальной энерrии ядра вак neJIoro (9 2).
Р+
p
1'%
р
Р'
Р.
Pr{
q
qo
ql
qlm
r
ro
ro
rij
r....
R
R"
R (r)
П' (О, <р)
s
s
t
Т
Т
То
Т]
Те
и с
j
1
'1
1
'А
ив
v
I
..
j
I
Обоапачепuя
245'
V математическое ожидание оператора потенциальной энерrии ядра
[V==(<];, V<];)] ( 2).
v м часть полной потенциальной энерrии ядра V, оБУСЛОDленная обменными
силами Майорана (2.1).
V (rlZ) потенциал ядерных сил взаимодействия между двумя нуклонами, находи-
ЩИМися на расстоянии r12 друr от друrа (3.7).
V м (rij) зависимость потенциала обменных сил Майорана от расстояпии между
двумя НУIшонами и j, находящимися на расстоянии rij друr от
друrа (2.1).
(V М)О rлубина потенциала прямоуrольной формы для двух нуклонов в случае
обмепных сил Майорапа ( 2).
vt средняя энерrия взаимодействия нуклонов в антисимметричной паре в слу-
чае обменных сил Майорана ( 2).
У м среДНЯЯ энерrия взаИМОДействия НУЮIОНОВ в симметричной паре в случае
обменных сил Майорана (2.4).
a
V W средняя энерrия взаимодействия НУIШОНОВ в антисимметричной паре в слу-
чае сил Виrнера (2.7).
V w средпля эперrия ВЗЮIмодействия нуклонов в симметричной паре в случае
сил Виrнера (2.7).
Ylm (6, If) сферическая rармоника; относительно определения см. приложение 1,
2 (р).
Z число протонов в ядре.
а коэффициент поверхностноrо натяжения жидкой капли (5.4).
а ( ) спиновая фушщия нуклона ( 3).
"1 отношение кулоновской энерrии к поверхностной энерrии ЖИДI{ОЙ капли
(5.15), (5.16).
"(С критическое значение "(, при котором лдро с,тановитси неустойчивым по
отношению к делепию ( 5).
r n нейтроннал ширина; относительно определения см. rл. VIIl, 3 ( 3),
{j,Ec изменение кулоновской эперrии жидной капли при поверхностпых колеба-
нилх (5.17), (5.18).
{j,Ea изменение поверхностной энерrии жидкой капли при поверхностных коле-
банилх (5.10).
{j,E't разность энерrий симметрии двух соседних изобар (2.18).
{j,S изменение поверхности жидкой капли при поверхностных колебаниях (5.9).
{j,'IJ разность параметров yj двух соседних изобар (2.18).
{j,e разность параметров е двух соседних изобар (2.18).
'IJ == [Р2+(Р')2+(Р")2] (2.8'), (2.9) и (2.14).
'IJ координата изотопичесноrо спина нуклона (3.2).
6 уrол между направлением вектора 1 и осью нвантованил (осью z), ( З).
J;. длина волны поверхностных нолебаний жидкой капли (деленнал на 211:) (5.6).
1'- часть массы ЖИДI{ОЙ напли ЮС, ноторал участвует в поверхностных коле-
баниях (5.7).
'i ('IJ) волновая функция ИЗ0топическоrо спина нейтрона ( 3).
часть выражения для n+ n , завислщая от размещения; определение
см. rл. Vl, 3 (2.12), (2.13).
'lttj оператор длл выбранной части волновой функции <];, симметричной по отно-
шению н перестановке частиц i и i (2.2).
'ltij оператор для выбранной части DОЛНОВОЙ фУIШЦИИ <];, антисимм:етричиой по
отношению н перестановке частиц i и j (2.2).
246
rл. VII. Яоерпая сnектросr.опия. Мооми яоер
р
р
ер (q)
у
'fD
'fp
'fs
\]>'
\{!"о
\{!"DОЮI.
Шl
отношение разности энерrий мсжду четно четными и Ilечетно нечетнЫМtI:
пдрами R коэффициенту при Т! в Формулс Д.'JЯ энерпш по однородной
модели (2.17).
плотность Rарпда ЖИДI{QЙ наПJIИ (p==3Zej47tR3) (5.17).
волноваlI фушщип отдельноrо IlУIШОIЩ в МОДСJШ IЮЗ3ВИСИМЫХ частиц ( ).1).
ВОЛНОDаlI фУIШЦИЯ пдра ( 2).
lJолновап функцип двух НУЮIOнов, находищихсн в V состошши (L==2) на
Р о60лочке (З.5в).
волноваи фующии двух НУЮIOнов, пзходнщнхсп IJ Р СОСТОНRlШ (L== 1) на
Р о60JIOЧI\е (3.56).
ВОЛНОDаи фушщип двух ПУ1;;ЮНОВ, ШIХОДflЩIfХСiJ в S СОСТОЯlШII (L==O) па
Р о60JIОЧI\С (3.5а).
волновая ФУIIlЩИЯ ядра ( 2).
волновап ФУIПщип пдра НУЛСDоrо ПОрПДl\а (3.9).
раЗIlОСТЬ между деЙСТВИТСJIЬНОЙ ВО.JПIOIJОЙ ФунrЩIlСЙ 'l' 11 ВО.'1новой Фупн
цией IТУЛСlJоrо IТоридна W o (3.9).
I;РУI'ОВl1И частотз ПОDСРХIIОСТНЫХ Iюло6зний: Ж ию\Ой IШШIН IlОрПДI\а l ( 5).
.:
r л а в а VHI
ЯДЕРНЫЕ РЕАНЦИИ. ОБЩАЯ ТЕОРИИ
1. ВВЕДЕНИЕ
А. Описание ядерной реакции
Ядерная реакция пртlСХОДИТ при тесном СОПРИlюсновении двух ядер
ных частиц. ЬОЛЬШИН('ТI!О известных ядерных реакциiI вызывается путем
()блучеюш различных веществ пучками усноренных ядерных частиц, Обычно
при реанции происходит интенсивныЙ обмен энеРJ'иеЙ и ИМПУJIЬСОМ, в pe
зультате чеl'О обра зуется одна, две ипи БО:Jьше ядерных частиц, покида
lOJЦих в раз.тшчных направлениях место теСПU1'О соприносновения. Продукты
реанцни по бо.пьшеЙ чаети отличаются от J1СХОДПЫХ частиц, В настоящеЙ
rлаве содержится 1шантовомохаЮlчеСIЮО описание ядерных реашщii и общиЙ
анализ связанных с ними явлений.
Мы будем рассматривать ядерныо реalЩl1JI типа
a : X Y :b, (1.1)
или в болое !{омпантном обозначении Х (а, Ь) У. Тюшя запись означает,
что частица а соударяется с ядром Х, в результате чеrо образуется ядро У
и вылотает частица Ь. « чаетицы>> а и Ь MorYT быть элементарными части
цами (неЙтроны, протоны), но они M01'YT таЮI\О преl1;ставлять собой ядра
(например, деilТроны ИJШ а. частицы),
Реанция (1.1) не нредставанет собоii ядерноii реaIЩИИ наиболое общеl'О
'Типа. В обще:'>! с.пучао может ИСНУСJ{аться произвольное чиеJJO частиц.
Однано эта реаrЩИЯ является ДQстаточпо общеЙ д.ТlЯ Toro, чтобы охватить
большинство известных ядерных реющиЙ при малых энерrиях. При этом
имеется одно исюпочение процесс радиационноrо захвата, при I\OTOpOM
ядро Х И частица а остаютея евязанными, образуя новое ндро W, а испу
снается I HBaHT:
a+X \V'1 пш.
(1.2)
Тю{ую реан:цию можно было бы отнести у, типу (1.1) при условии, что
I Jшант считаJIСЯ бы част:ицеii Toro же pOl1;a, что и частица а. Однан:о имеет
{Ш Бесное основание не AOJIaTb зтOl'О. ВзаимодеЙствие I HBaHTOB с ядрами
является слабым п можот считаться ма.Т1ЫМ возмущением, в то время нан
взаимодействие ядерных частиц (неЙтронов, протонов, деЙтронов и т. д,)
С ядрами нельзя трантовать подобным образом. БОJlее тоео, еСJlИ считать
I HBaHT (пш) частицеЙ, то в (1.2) чис.ПО «чаетиц» на нротяжепии реанции
не будет оставаться поет()янным, тю, нак I HBaHT рождае'тся во вреМЯ про
цесса. По этим причинам реющии типа (1.2) будут рассматрива'rься в этоЙ
l'лаве отдельно от реанциil типа (1.1). Реющия, обратнан (1.2), называется
ядерным фотоэффентом (но ана.'Iоrии с ФОТОЭЛе!,тричесним эффеJ{ТОМ). Тание
реакции будут рассмотрены в r.JJ. ХН, 7.
Обычно мы интересуемся вероятностыо процессов типа (1.1) И.Т/И (1.2)
Б зависимости от эперrии падающей частицы а, а танще энерrиеi1: и папра
п.пением движения вылетающих частиц.
248
ТА. VIII. Я8ерпые реакции. Общая теория
Возвращаясь н реанциям типа (1.1), отметим, что соотношение (1.1)
символизирует Bcero лишь одну из большоrо ЧИСJIa возможных реанций,
ноторые MorYT происходить при столнновении частицы а с ядром Х. Поэ
тому следует рассмотреть всю совонупность возможных реанций:
(х +а,
I Х*+а,
a+X { У +Ь,
I z +с
l и т. д.
(1.3)
Первая и вторая реющии отличаются от прочих тем, что в результате их
вновь испуснается частица а. Первая реанция описывает упруеое рассеЯlluе:
падающая частица а вылетает (в системе центра масс) с первоначальной
энерrией, а ядро мишень Х остается в исходном состоянии. Вторая реющия
описывает 1lеупруеое рассеЯlluе: ядро Х Ilереходит в возбужденное состоя
яние Х*, а падающая частица а испуснается с энерrией, меньшей перво
начальной на веJIИЧИНУ энерrии возбуждения, переданной ядру мишени,
К упруrому рассеянию удобно относить тольно тание ,события, при HOTO
рых начальное и нонечное состояния ядра мишени оназываются совершенно
идентичными (например, не должна меняться ориентация спина ядра Х
даже при отсутствии передачи энерrии на возбуждение). Поэтому н неупру
l'OMY рассеянию будут относиться и тание реанции, в результате ноторых
ядро Х меняет свое внутреннее состояние при неизменной энерrии, т. е,
НOl'да не происходит перераспределенпя энерrии между ядром Х и части
цей а (см. 10).
Б. Навалы реакции 1)
Все реан:ции (1,3), ИСНЛIочая ynpyroe рассеяние, можно тю,же нласси
фицировать СOI'ласно нвантовым состояниям I\Онечноrо ядра и испуснаемоЙ
частицы. Обозначим состояния ядра через а', ', 1', ..., а состояния пада
ющей или испуснаемой частицы через а", ", 1", .. . Если частицы а, Ь и т. д,
являются алементарными, то состояния а", " и т, д, относятся н ориента
циям их спинов. В этом случае возможные реанции записываются в следу
ющем виде:
( Х,,'+аи. Н ,
, I X ,+a H,
аи.Н'I Ха' {
I у у' + Ь у Н
l и т. д.
(1.3')
Здесь а' и а" состояния ядра мишени и падающей частицы, а ' и " ИJIИ
l' и 1" MorYT обозначать любые нвантовые состояния соответственно Х и а
ИJIИ у И Ь, в I\OTOpblX эти ядра MorYT он:азаться в результате данной peaH
ции. Возможные пары ' и " или l' и 1" и т. д. Оl'раничивюотся, нонечно,
занонами сохранения энерrии, момента ноличества движения и четности,
1) Понятие <пшпала реакции» ВIIерпые было пведрно в используемом здесь СМЫСJШ
Виrнером и Айзрнбадом (не опубликовано), а таюне Брейтом [109]. (Термип (<капал реак,
цию> не является общепринятым в нашей литературе. ПОСI{ОЛЬНУ, однако, он чр€звычайно
широко используетсн авторами книrи, мы сочли DО3МОЖНЫМ сохранить ero при переводе. '
Прu.м. nepe!J.
:1
!
jl
,jj
,
I
I
;
,
-t
/
1. BIJeoeпue
249
"
,
,
,
'.... х с\
l --"C.I
Ц.....
)( d
__f!..... __ 1
.....,
,
,
,
,
"
,
"
,
,
"
ф и 1'. 61. У пруrое рассеяние в системе
центра масс (ц.м.).
I
Х /
/
0/
Каждую из этих возможных пар, состоящую из конечноrо ядра и испуска
емой частицы в определенных квантовых состояниях, мы будем называть
,.ан,алом реа"ции. Обозначать каналы мы будем rреческими буквами а, , ...,
подразумевая под каждой из них оба индекса а' и а" или ' и ". Канал
Ха' + аа" называется входным или
исходным ,.аналом реакции (1.3').
Особое' расположение частицЫ
а и ядра Х в ( 1. 3) соответствует
УСJIOВИЯМ экспериментов, при KO
торых ядро Х бомбардируется oд
нородным пучком частиц а (кан
это показано на фиr. 60, ИJIЛЮСТ
рирующей едиНИЧНЫЙ а!,т упру
roro рассеяния). Вначале ядро Х Фи r. 60.
покоится (или движется очень
медленно по сравнению с падаю
щей частицей а), а все частипы а движутся с одинаковоЙ скоростыо (пока
занной стрелн:ами на фиr. 60).
Будем рассматривать реющию в системе координат, в которой центр
масс системы, включающей падающую частицу и ядро мишень, покоится.
На фиr. 61 проиллюстрирован случаЙ упруrоrо рассеяния. Тю, как полный
\
\У
\
\
\
\
......\....... )(
/1' ,-.
I \
a ..J !
\ I
, /
......-...."'.....
\
\
\
\
\
\Ь
\
\
,
...
... ............
..
-..
"-
,
,
,
а',
,
"
Упруrое рассеШlИе в Jlабораторной
системе координат.
,-
Ф.М 1'. 62. Ндервая реarщия в систе-
ме центра масс.
импульс системы должен быть равен НУJ1Ю как до, так и после столннове
ния частицы приближаются с противоположных сторон навстречу друr друrу
и разлетаются в ПРОТИВОПОJIОЖНЫХ направлениях. Поскольку масса ядра Х
обычно превосходи'l' массу частицы а, скорость ядра Х значительно меньше
скорости частицы а. Расстояние d называется параметром столкновенин.
На фиr. 62 показан обший случаЙ реакции (1.1) в системе центра масс.
BOKpyr области, в которой происходит реarщия, очерчена сфера. Д.ля деталь
Horo описания реанции (1.1) мы должны были бы определить движение
всех частиц (внлючая все частицы, входяшие в состав Х и У) внутри этой
области. Однано это оказывается невозможным, да и не нужным. Мы инте
ресуемся лишь вероятностью TOI'O, что в результате реакции образуется
ядро у и частица Ь.
В. Энерrетические соотношения
Рассмо'rрим энерrетические соотношения, выполняющиеся при ядерной
реакции. Если падающая частица а и ядро Х находятся еще очень далено
друr от друrа, то энерrия взаимодействин между ними равна нулю, D
2i>O
Тл. vпt. Яоерные реапции. Общая теория
полная энерrия Е моте1' быть записана в виде суммы трех членов: нипети
чеСRОЙ энерrии Е. относитеJJьноrо движения ндра Х и частицы а в нанале IX,
внутренней энеР1'ИИ Е., Яl ра Х и внутреннеЙ энер1'ИИ Е." частицы а 1):
Е == Е. + Ea.' : Еа. Н . (1.4)
Тю, I,aJ, центр маее всеrда еЧl1тает(;я ПUl\Оящимея, то основной внлад в Е.
вносит более .пепшя частица а. С,:'1едовательно, основную часть энерrии Е..
\остаВJIЯе'L; I\Инетиче(;lШЯ энерrия падающеii частицы а. Энерrию Е.. мы будем
танже назьшать «энерrией нанала» для входноrо нан ала а и иноrда будем
()бозначать ее просто через Е без индеш:а, I,инетичесная :энерnfН падающеЙ
частицы (E.)п o. В лабораторной (;истеме 1,оординат равна
. Ма+МХ
(Еа.)JIаб. == М Е., (1.5)
" х
l'де il1a 11 Лf x co(JT13eTCTBeHH() мас(;ы частицы а Jl ядра Х, АнаJIOrичным
путем опреде.тшется энерrия 11 для тобоrо друrоrо нанала, 1\ ШJТорому
-Моп{ет привести реющия. Рассмотрим, например, HaHaJI , отвечающиЙ
нонечному ядру У в состоянии ' и ИСlIУСlшемоЙ частице Ь в состоянии ",
Полная энерпJЯ системы должна равняться пошIOЙ энерrии Е в исходном
I,анале. ЕCJШ ядро У и чаетица Ь достаточно удалены ДРУ1' от дрУl'а, то Е
можно :запиеать в виде суммы юшетичеСJ\ОЙ энеРl'ИП E н внутренних энер
.'иЙ E , и E <
:fJ
,
'
.
-;
'1
:j
I
Е== E +E ,+E ".
ЭнеР1'ИЮ E мы тю,же будем называть энерrиеЙ ВЫХОДНО1'О lшнаJIа; она пред
ставляет собоЙ сумму :КИIютичеСIШХ энерrиЙ вылетающей частицы Ь и нонеч
Horo ядра У в системе центра масс. Энерrия выходпоrо HaHa. 7 ra E связана
,с энерrиеii пходнOl'О Iшна.ТIa Е.. соотношением
.J
-'1
j
j
'j
:!
'!
E == Е. + Q. ,
(1.6)
rде
Qa. == Е.. ] Еа" E , E "
(1.7)
ссть «теШJOIюii эффен:т Q» l,апааов (J. 11 . ВеШfчина Qa. равняетсн разности
энерrиЙ ВХОДНОl'О и выходноrо l\анаJfOП. Величина Q. == Q . ЯВJIяетсн
харантеристиной I,aHa.тrOB а и и не эависит от энерrии наждоrо из HaHa
,аов.
Значение Q можно выразить через энеРПfИ 8а и ,s\, необходимые для
()тделенин чаетиц а и Ь от состаШIOI'О ндра, а также энерrиЙ возбуждения
Е:. и E " ядра Х IJ частицы а в Iшнале а и соответствующих энерrиЙ
возбуждения E , и E и в. нана.'1е :
Q. == Sa . 8/, : (E , + E и) . . (E . + E ,,). (1.8)
.
. ' ... ' . - . 1
'
'<J
-/1
'
Ес,ли зна'юние Е. тarюво, что, сопшсно (1,6), энерrия HaHaJta E OHa
:JblВaeTCH отрrщательноii, то I,aHa 1 будет называться «зю,рытым». В этом
,случае реarщия (а, ) не может иметь места. Еели E > О, то :канал будет
наэьшаться «отнрытым»; в этом саучае возможна реющия (а, )
На прar,тине нак ядро мишепь, тю, и бомбардирующая частица Haxo
днтся в своих основных состояниях. Часто нас интересует минимаJIьная
J:\инетичеСIШН энерrин частицы а, необходимая для осущеСТВ,lения реанции
Х (аЬ) У независимо от ОJJределеннOl'О нанала, но НОТОРОМУ происходит
н епуснание вылетаlOщ е i частицы. Эта минина.льнан энерrия соответствует
1) Тю, кан число нейтронов II протонов в процессе реакции остается, конечно, постоян
ным, то нет необходимости ВIшючать в эперrию реакции ВIшад массы понон. В выражении
(1.4) Е ц ' pa\Jl1o взятой с обратным ;шаном энерпш связи ядра Х в Iшантовом состоянии а'.
:1
:2. Се'Чепия
251
каналу, в нотором вылетающая частица Ь и нонечное ядро У
в основных состояниях. Будем обозначать такой I{анал через o.
эффеJ{Т Q» реаНЦИII Х (аЬ) У определяется соотношением
QaiJ == Еа"+ E",,,, Ео, Eo",
, о о -о _ о
находятся
« ТепловоЙ
(1.9)
rде Еа" Еа" и т. д. представ,тlНЮТ собоЙ соответственно ЭНОр1'IПJ OCHoBHoro
о о
состояния Х, а, У II Ь.
Если величина QUb ПОЛ(1житольна, то роакция Х (аЬ) У называотся ЭI{зо
энерrетичеСI{ОЙ; она происходит даже в том случае, Iюrда J{инетическая
энерrия в исходном нан але равна нушо. КинетичеСI{ая энерrля, отвечающая
выходному I{аналу o, представляет собоЙ МaI{сима.'ТIЬНУЮ нинетичесную
энерrию, НО'1'орую MorYT иметь вылетающая частица Ь и Iюночное ядро У.
;)та энерrия часто ИСПО.ньзуется в теории, и мы будем обозначать 00 через €bY,
Она определяется соотношением
€ o == €bY == € + Qab,
( 1.1 О)
1'де € == €ао нинетичеСI{ая энерrия ВХОДIIOI'О l\aIIaJIa, в н:отором частица а
п ядро Х находятся в своих основных состояниях.
Если тепловой эффы{т QUb реaIЩИИ Х (аЬ) У отрицате.тюн, то реaIЩИП
называется эндоэнерrетичеСl\ОЙ и не может ПjJОИСХОДИТЬ до тех пор, иона
энерrия входноrо нанала € не нревзоидет опре;:J,еленной воличины. СОl'ласно
соотношению (1.1 О), дЛЯ Toro чтобы нанал o был ОТI{РЫТЫМ (т. е. чтобы
€bY было положительно), € должно быть БОJIьше QUiJ' МинимаJIьная энер
l'ИЯ Quu, необходимая для осуществления эпдоэнерrетичеСIюlt реющии,
называется также пороrом роанции Х (аЬ) У J).
2. СЕЧЕНИЯ
А. rеОl\IeтричеСКlIС оrраничения,
на.'Iаrаемые на сечеНlIЯ реакции 11 сечения рассеЯIlIlЯ
Рассмотрим пучOI{ частиц, падающих на слоЙ вещества. il БО.1]ЬШИlIстве
flдерных реанций эффент слоя аддитивно снладьшается из эффонтов IПIДИ
нидуальных ядер (рассеивающих центров) слоя; отдельные ядра u слоо
вещества действуют кап: независимые рассеивающие центры. В эттf С.'lучао
('ечение реакции а определяются следующим образом:
Число событий данноrо типа в единицу времени,
а == отнесеННое к одному ядру вещества
ЧИСJJО частнц, падающих в единицу времени па
единицу поверхности
(2.1)
Таное определенио сочения неприrодно, если БОJIьшое ЧИСJIО ндер дей
с:твует JШrорентно. Это происходит ТОЛhJ{О при одном типе ядерных рею{
ций: прн рассеянии (но но иоrдощении) очень медленных нейтронов в кри
еталле. Во всох друrих случаях сечение (2.1) имеот вполне Оllределенныii
смысл.
Рассмотрим ПJIOСКУЮ волну, представляющую частицы а, падающио
на ядро Х (входной I{aIШЛ (1.). Частица можот быть испущена вновь по
тому же KaHaJIY ИJIИ может вызвать ядерную реакцию, которая приведет
l{ друrим нанасlaМ. Мы будем отделять случаи упруrоrо рассеяния от всех
1) Иноrда проводят раЭЛllчие между пороrом, I\ОТОрый равен минимальной шшеТJI
ческой энерrии частицы а в лаборатОРIЮЙ системе, и отрицательной веJJИЧИНОЙ тепловоrо
эффекта Q. который равен минимальной кинетичесной :шерrии в системе центра масс.
lы не будем эдесь проводить этоrо раэличия.
252
r,л,. VIII. Ядерные реакции. Общая теория
.
остальных реакций (1.3) и (1.2), тан что полное сечение О! (а) для всех
событий, ноторые MorYT иметь место, будет определяться выражением
0t (а) == Ов (а) + От (а).
(2.2)
Здесь О. (а) обозначает сечение упруrоrо рассеяния, а От (a) CYMMapHoe сече
ние всех прочих процессов, отличных от упруrоrо рассеяния. (В О, мы
включаем различные сечения неупруrоrо рассеяния.) Мы будем rоворитъ
о От' нан о сечении реанции.
Будем считать для простоты; что ядро мишень Х II падающая части
ца а лишены спинов. Это предположение справеДJ1ИВО только в том случае,
если в начестве бомбардирующих частиц используются а частицы, а в каче
стве мишеней ядра с четным А. Оно совершенно неприrодно для реакций
с нейтронами или протонами. Однако это предположение, сильно упроща
ющее рассмотрение, не оказывает влияют на большую часть результатов,
Теория, учитывающая наличие спинов, будет изложена в 10.
Каждый. канал а можно разбить на подканалы (а, 1), отвечающие дaH
ному моменту количества движения 1 З). Падающую плоскую волну удобно
разложить по сферическим rармонин:ам; в этом разложении н:аждая сфери
ческа я rармонин:а Y t , О (В) соответствует шаровой волне в отдельном BXOД
ном канале (а, 1). Сечения таюн:е MorYT быть представлены в виде суммы
сечений:
00
00
0s(a) == Ов. !,
!==О
От (а) == От, !,
!==о
(2.3)
rде os.! И от. ! сечения упруrоrо рассеяния и реакции, отвечающие пада
юшим частицам с моментом ноличества движения 1. Сечение О[ определяется
соrласно (2.1) при условии, что числитель содержит члены, соответствующие
толы\О тем реакциям или актам рассеянии, ноторые вызваны падающей
частицей с данным 1, а знаменатель сохраняется прежним. Подразделение
сечения (2.3) на аддитивные вклады с данными 1 возможно только для
сечений, интеrрированных по уrлам вылета продунтов реющии. Так как
в падающей волне существуют определенные фазовые соотношения между
вкладами различных величин 1, то дифференциальные сечения реакции или
рассеяния, отвечающие вылету частицы в определенном направлении 6,
будут содержать интерференционные ЧJrепы этих вкладов. В результате
интеrрирования по полному те.лесному уrлу эти интерференционные члены
исчезают.
Из rеометричесноrо рассмотрении следует, что имеется верхняя rpa
ница для величин парциальных сечений реющий 0т,!. Прежде чем вычис
лить значение этой rраницы, приведем общие арrумеНТБI, подтверждающие
ее существование. Смысл момента ноличества движения дли случая пло
ской волны можно наrлидно представить, разделив падающий пучок на
цилиндрические зоны (фиr. 63). Внутренняи зона содержит частицы с пара
метрами столнновения, меньшими 'л == Лj21t (), длина волны де Бройля,
отвечающая относительному движению). Следующая зона содержит все
частицы с параметрами СТОJ1Rновения от 'л до 2'л. Зона с номером 1 oдep
жит частицы с параметром столкновения, заКлюченным между l'л и (1 + 1) 'л.
Тоrда, соrласно нлассической механине, падающие частицы, движущиеся
в зоне с номером 1, имеют моменты количества движения (т. е. импульс Х
Х параметр столкновения), заключенные между Иvl'л и lI1v (l + 1) 'л, т. е.
между hl и п (1 + 1).
I
.1
J
1) Здесь и в последующих параrрафах момент J{ОJIичества движения измеряется
в единицах п. Выражение «момент J(Оличества движения [» означает, что состояние харак-
Тl ризуется квадратом мОмента количества движения равным пЧ (l+1). '
2. Сечения
_-:",' ""
253
В квантовой механике допускаются ТОЛЫ\О целочисленные значения
момента количества движения 1. Можно было бы думать, что квантование
момента количества движения предполаrает также нвантование параметра
столкновения (т. е. допуснает движение частиц только с определенными,
квантованными параметрами столкновения). Подобная интерпретация яв
ляется слишном rрубой, так кан в случае ПУЧКа, частицы KOToporo имеют
определенную снорость, нельзя l'ОВОРИТЬ о cTporo определенном параметре
столкновения. Однако в ненотором приближении можно считать, что час
тицы с моментом н:оличества движения 1 движутся в I й зоне.
Площадь I й зоны равна (21 + 1) 7tл 2 . Так нак из пуч:на не может BЫ
быть больше частиц, чем их первоначально в нем имеJIОСЬ, мотно ожидать,
что сечение реакции <J r , Z не будет пре
восходить площадь этой зоны:
МаМх
И(J. == м +М '
а Х
rде И а. приведенная масса частицы а и ядра Х. Волновое число
ko. == I ka. \ и длина волны нанала 7... связаны с энеРI'ией канала €",
шением
r
<Jr.z«21+1)Тo7.. 2 . (2.4)
Следует отметить, что соотношение (2.4)
lleпpuMelluMo к сечению рассеяния.
Приступим теперь к более фор
мальному выводу соотношения (2.11).
Падающий пучок описывается ПЛОСНОЙ
волной. Расстояние ra. является длиной
вектора, соеДИНЯIOIЦеrо центр ядра ми
шени Х и падающую частицу а. Пло
ская волна может быть записана в виде
e ika. r " e ikz
- ,
"
если ось z выбрана параллельно k".
Волновой вектор k" связан с относи
тельной скоростью
V" == ra соотношением
Ma v "
k. == '
Фи r. 63. Падающий пучок направлен
перпендикулярно к ПЛОСI\оСТИ фиrуры.
Частицы, имеющие данное значоние 1,
попадают в основном в соответствующие
кольцевые области.
(2.5)
нанала
COOTHO
k V 2M a €a
а т." 1i .
Плосн:ая волна может быть разложена по сферичесн:им rармоникам.
Для больших .значений kr это разложение принимает вид (в оставшейся
части этоrо параrрафа индеI\С а. опущен) 1)
сх)
e ikz ;; }/ 21 t 1 il+l { ехр [ i ( kr { /7t ) ]
z==o
(2.6)
exp [ +i(kr /7t) J} Yz,o. (2.7)
Это выражение описывает невозмущенную плоскую волну. В результате
ядерной реакции оно изменяется. Однан:о меняется тольно расходюцаяся
волна, которая пропорциональна e ikr . Следовательно, действительная
1) Относительно подробностей разложения t ikZ И определения Yl т см. приложение 1.
254
r,л,. V/П. Ядерные реl%/щии. Общая теория
волновая функция имеет асимптотичеСl\ое поведение, отличающееся от Bыpa
же-ния (2.7) только коэффициентом при e ikr .
Напишем для волновоЙ: функции исходноrо канала при kr 2> 1 следу
IOщее выращение:
00
'f (r) . п V 2! + 1 i 1 +] { ехр [ i ( kr [те) ]
l O
111 ехр [ + i-( kr [те) ] } Yl,o, (2.8)
l'де номплексное число "YJl flвляется коэффициентом при расходящейся волне,
отвечающей моменту ноличества движения [. Рассеянная ВОJша s опре
деляется разностыо между действительноЙ волной (2,8) и падающей вол
ной (2.7):' .
00
.; == (r) eil'z == ; V 2l + 1 il+1 (1 "YJl) ехр [ + i ( kr. { lтe) ] Yl,o. (2.9)
l==O
j
.
Деля число частиц N s , рассеиваемых в 1 сен., на ЧИСJIО частиц N, падаю
щих в 1 сен, на 1 см 2 поверхности мишени, получим сечение рассеяния.
Для нахождения N 8 занлючим рассеивающиЙ центр в сферу большоrо
радиуса ro 11 при равняем N 8 потону " через поверхность этой сферы:
, у ' \ ( u<j;s ,1,* u<j;; ,1, ) 2 . () d () d
" s 2iM J fJr' 1'8 ar 1'8 ro sш 9,
(2.10}
)
i
'/:.1
.
.
1 . ' . . . . .
.
1
':
.
.
,1:
1
rде интеr'ра.'l распространяется на всю поверхность сферы. Вследствие TOI'O
что У/,О ортоrональны и нормированы, получим
00
N s == : (2! + 1) 11 11112,
1 0
..
1'де l' снорость частиц. Величина потока N, соответствующая плоскоЙ
волне eil!z, равна спорости v, так что для сечения рассеяния получаем
аВ.l == те,,2 (2! + 1) 11. "YJ11 2 .
(2.11)
j
Сечение реанции определяется числом частиц N a , выбывающих из
пучка за 1 сек.
По определению, N а есть число частиц, проходящих внутрь сферы pa
диуса "0, описанной BOHpyr центра, и не выходящих за ее пределы по
ВХОДНОМУ HaHaJlY. Таким образом, N a равно потоку через поверхность
этоЙ сферы, подсчитанному из полной волновой Фуннции (2.8):
N 'h \ ( дф ,* дф* '1' ) 2 . () d CJ d
а== 2iM J ar\fl 7ir т rоsш Ij 9.
(2.12)
j
j
(Минус, стоящий перед ЭТИМ выражением, делает потоп N a положитель
ным.) Сечение реанции <J r дается отношением N а/ N; таким образом, вклад
l й парциальной волны равен
<Jr,l == те,,2 (2l 1) (1 111/ 12). (2.13)
, . '?;
Соотношение (2.13) обеспечивает формальное доназательство существо
вания rоометрическоrо предела (2.4) для сечения реанции, ПОСIЮльку
111/12 никоrда не бывает отрицательным. Более Toro, до тех пор, пока
J
j
,
'1
2. Сечен.ия
255
l1Jzl 2 меньше единицы, расходящаяся волна в выражении (2.8) имеет MeHЬ
шую интенсивность, чем с.ходюцаяся. 'УС.JIовие
11J11 2 <1
rарантирует нам то, что сечение (2.13) не станет отрицатеJIЬНЫМ.
Исследование (2.11) и (2.12) при водит у, неравенству, связывающему
ав.l и crr.l. Чтобы получить максимаJJЬНО возмотное сечение рассеяния, мы
должны ПО.JIожить 1J1 == 1, а это пред 4
полаrает, что аТ.1 обращается в нуль.
С друrой стороны, мю,сималыюе выбы
вание из пучка ПОilучается при 1Jz == О,
что приводит у, crS.I==cr".I==(21 ; 1)7t7\2,
Это выражение в точности соответствует
предельному значению (2.4), качествен
но найденному ранее, .В общем случае
для JIIобоrо значения сечения рассеянин
существует мансимально возможное 3Ha
чение сечения реакции. Это пон:азано
на фиr. 64, rде заштрихованная об
пасть содерiЮ!Т допустимые значения
а в 1 и а т [.
. Из 'фиr. 64 видно, что невоаможна
накая бы то ни была реакция, не co
провождающаяся рассеянием, хотя cy
ществованйе рассеяния при отсутетвии
реющии оназывается возмотным. Это
можно понять, непосредственно иссле
дуя основные особенности расчета. ДеЙ
ствительно, любая реющия ЭI{Вивалент
на поrлощению падающей волны в ис
ходном канале. Реакция может при
вести к испусканию частицы толы,о
в друrом канале, В исходном же Ha
нале она представляет собой попlоще
ние, которое состоит в ослаблении pac
ходящейся части плоской волны. Это
эквивалентно добавлеНИIО к плоской
волне расходящейся волны, фаза KOTO
рой противоположна фазе плоской вол
ны. Такая добавна и проявлЯ:ется нак рассеянная ВОлна. Рассеяние, JЮ
сопровотдающееся поrлощением, происходит в том случае, коrда pacxo
дящаяся часть плоской волны не ослабевает по интенсивности, а ЛИШJ.
испытывает сдвиr по фазе.
Максимальное значение сечения рассеяния в 4 раза превосходит Ma
ксимальное значение сечения реакции. Из формулы (2.11) видно, что вели
чина а в зависит от фазы "fj, в то время кан в выражение для а т входит
.JIишь 111 i 2 . При упруео.м рассеЯllии сходящаяся и расходящаяся волны Kи
еереllmны. Они MorYT интерферировать, усиливаясь или ослабевая. Упомя
нутый выше фактор 4 оБУС.JIовлен возможностыо аддитивноЙ интерфереНЦИII
и поэтому отсутствует в сечении реакции а т (а) 1).
з
'"
t:::
Ь'; -:::- 2
+
.....
/
00
1,2
0,4 0.6 0.8
(J' r. l
(21 +1)пх 2
1,0
ф н 1'. fJ4. Верхний и нижпий нределы'
дш! значений сечения рассеяния при
данноЙ веJIИчине сечения реаI\ЦИИ.'
Заштрихованная область соответствует дo
ПУСТИМЫМ значенинм СР-ЧСНПЙ; значенип,.
раСПOJlOшенньн' вне этой области. HeBoa
мошны.
1) Различие между расходящимися волнами, I\ОI'ерептными и некоrерентными с IЩ,
дающей ВОЛНОй, дает ОСНОIjание для ВIшючения в сечепие «реакции» всех событий, при
ноторых ядро мишень меняет свое состояние; в этих случаях все расходящиеся волны
HeI<OrepeHTHbl с падающей волноЙ и друr с друrом.
256
r,л,. VIII. Ядерные реакции. Общая теория
Уеловое распределение рассеянноrо пучка также определяется с по
мощью 11/. Вычислим сечение а " (8) dQ рассеяния в телесный уrол dQ,
составляющий Уl'ОЛ в с направлением падаlOщеrо пучка (направлением
оси z). Число частиц N s (8) dQ, рассеянных в элемент dQ в 1 сек., мы оп
ределим, приравнивая ero потоку через поверхность элемента сферы pa
диуса ro:
N s (8)dQ== 2 l1 ( aa ' д : B) r dQ. (2.14)
Это выражение можно подсчитать с помощью (2.9); после деления на Ha
чальный ПОТОI{ N == v получим
00
<J s (О) dQ == ; I V 21 + 1 (1 'YJi) Y1,0 (8) 12 dQ. (2.15)
1==0
Из этой формулы видно, что вклады различных 1 интерферируют между
-собой, так что <J s ('1) уже нельзя записать в виде суммы, I{атдый член
которой отвечает определенному значению 1.
ВеJIичина 'YJl не определяет подразделение сечения реющии на сечения
различных процессов, ведущих 1{ всевозможным ОТI{РЫТЫМ I{аналам =1 а..
Чтобы опредеJ1ИТЬ это подразделение необходимы специаль'ные предполо
жения.
Интересно рассмотреть предельный случай «черноrо» ядра, радиус
KOToporo R значительно больше длины волны 'л. Будем считать, что все
частицы, попадающие в ядро, поrлощаются им и таl{ИМ образом приводят
R реакции. Соrласно предыдущему рассмотрению, в ядро попадают все
частицы с 1 < R/K. Поэтому сделанное выше предположение выратается
-следующим образом:
11/ == О для l'л < R,
l1l == 1 для больших величин 1.
Torдa из (2.11) и (2.12) следует, что
i
j
,1
'
.';1
j
';<
(]
(2.16)
R/J:.
<J r == <J s == (21 + 1) 7t'л 2 :::::: 7tR2.
1==0
Таким образом, получается кажущийся параДОl{сальным результат: полное
-сечение равно удвоенному rеометричеСI{ОМУ сечению ядра
<J t == <J s + <J r :::::: 27tR2. (2.17)
.этот результат подтвержден экспериментально.
Кажущийся параДОI{С можно объяснить, если рассмотреть характер
рассепнип. Картина, рисующая эффект «чеРНОJ'О» ядра, rрубо изображена
на фиr. 65.
Предположим, что пуЧОl\ содержит N нейтронов, падаlOШИХ в 1 сек.
на 1 см 2 . Поскольку длина волны мала по сравнению с радиусом ядра, то
СТОЛIшовение падающей частицы с ядром можно рассматривать квазиклас
сичеСIШ; при этом оказывается, что за 1 сек. в ядро попадает и поrло
щается им N a == N7tR2 нейтронов. Имеется, однако, дополнительный про
цесс: черное ядро отбрасывает позади себя тень. Эта тень не может быть
абсолютно резн:ой из за наличия диффракционных эффектов. При удалении
{)т черноrо объекта на расстояние L в оБJIaСТИ фраунrоферовой диффрющии
Rрай тени размазывается на всем ее протяжении и сама тень исчезает.
Расстояние L имеет порядок R2/'л или больше. Это расстояние оказывается
чрезвычайно большим для большинства черных объектов, изучаемых в оп
тике, и является причиной Toro, что, приближение резкой rеометрической
тени оказывается в этом случае очень точным. С друrой стороны, в ядер
ной физике R2!'л даже для очень энерrичных частиц мошет составлять Bcero
лишь несколько ядерных диаметров. Поэтому часть частиц N s будет OT
клоняться от прямолинейноrо
пути. Число таких частиц
можно определить с помошыо
следующих рассуждений: тень
позади ядра можно создать,
заменив ядро диском пло
щади rcR2, который испуснает
вправо нейтронную волну с ин
тенсивностыо, равной интен
сивности падающеr'о ПУЧIШ, но
с противоположной фазой. Ми
нуя расстонние R2 j'л, во,'ша,
испускаемая диском, будет OT
клоняться от первоначальноrо
направления. Тень эн:вивалент
на испусн:аемой вправо волне,
и поэтому N s равно числу нейтронов N",R2, испуснаемых вообрашаемым
диском. Следовательно, полное число рассеиваемых в 1 сек частиц равно
N s == NrcR2. Вследствие этоrо кроме сечения реакiщи существует и сечение
рассеяния, равное а . == rcR2. Тrол, на которыЙ происходит «теневое pac
сеяние», весьма мал, порядка 'лj R. Тем не менее, соблюдая надлежащие
предосторожности, можно отличить теневое рассеяние от падающеrо пучка.
2. Сечения
257
R 2
Х
Фи r. 65. Теневое рассеяине.
Б. Определение сечений из условий,
налаrаемых на поверхности ядра. Нейтроны с 1 == О
Ядерные сечения можно подсчитать тольно в том случае, если известнО
внутреннее строение ядра. Формулы (2.11) и (2.13) показывают, что вся
информация, необходимая для подсчета
сечения упруrоrо рассеяния и сечения
реакции, содержится в величинах 'YJt;
эти величины полностыо определяют
оба сечения. Поэтому мы исследуем
связь меШДУ'YJ1 и внутренними свойст
вами ядра.
Однако мы не будем для этоrо
делать специальных предполотений OT
носительно строения ядер. Введем толь
ко одно общее предположение будем
считать, что у .яДра существует то'Чно
определеюия поверхность. Будем также
считать, что падающая частица а и
ядро Х не испытывают ядерноrо вза
имодействия, если расстояние метду Фи r. 66. Определение радиуса канала.
ними r превышает « радиус канала» R ==
== Rx ., Ra (фиr. 66). Назовем область r > R внешней областью, а область
r < R внутренней областью ядра 1).
1) Радиусы для различных каналов отличаются друr от друrа. Поэтому, рассматри-
вая раЗЛИЧIIЫ(; каналы, мы будсм обозначать радиус кайада черсз Ва. адалоrи'IНО обозва
чедию координаты канала'\,. В этом нараrР!lфе индекс опус:кается.'
17 3аназ .N'. 396
258
r.л,. VIII. Ядерные реакции. Общая теория
Оrраничимся случаем, коrда падающей частицей является нейтрон. Это
упростит вычисления и поможет продемонстрировать наиболее существенные
моменты расчета. Относительное ДБитение а и Х при r > R описывается
в этом случае волновой функцией (r), которая отвечает относительному
движению двух невзаимодействуюших друr с друrом частиц:
V'2 + A2 == О, r> R. (2.18)
Здесь k волновое число в иСходном канале. При r < R уравнение (2.18)
неприменимо, ибо двитение частицы внутри ядра нельзя описать с по
мощью волновой функции, зависящей только от одной координаты.
Нак видно из (2.9), при больших зна,\ениях I r I волновая фунн:ция
состоит из суперпозиции падающей ПЛОСной волны e ikz и расходящейся
сферической волны. В настоящее время нас интересует не только асимпто
тическое поведение , определяемое при больших r == I r I выражением (2.8),
но и ее поведение при меньших r на всем протяжении вплоть до значе
ний радиуса канала r == R: Волновая функция может быть записана в виде
суперпозиции парциальных волн с данным моментом количества двите
ния l:
сх)
(r) == (r, е) == uzr(r) YI,O (е),
Z O
(2.19)
rде Yz,O сферические rармоники, определенные в прилотении 1. В раз
ложении (2.19) участвуют ТОЛЬJ{О парциальные волны с т == О, так как
падающая плоская волна fikz не содержит зависимости от азимутальноrо
уrла ер. Более Toro, в настоящее время мы оrраничимся рассмотрением
нейтронной s волны, т. е. члена с 1 == О в (2.19).
Подставив член с 1 == О из (2.19) в (2.18), найдем, что функция и о (r)
удовлетворяет уравнению:
k 2 О R
:+- и о == , r>- .
(2.20)
Если не заданы rраничные условия, то и о (r) не определяется полностью
из решения уравнения (2.20). Общее решение этоrо уравнения имеет сле
дующий вид:
и о (r) == ae ikr + be ikr ,
r>-R,
(2.21)
rде а и Ь постоянные. Эти постоянные определяются из асимптотическоrо
поведения волновой функции, т. е. из (2.8). Сравнение (2.21) и (2.8) при
водит It соотношению
i1f;
а == , Ь== 'Y/oa..
(2.22)
Величина 'У/о и, следовательно, коэффициент Ь при расходящейся
волне в (2 21) не определяются из rраничноrо условия на бесконечности,
за исключением Toro, что I 'У/о I <;: 1. Она должна быть найдена из теории
ядерных реющий. Эта теория зависит от условий, характерных дЛЯ BHYT
рен ней области, при r < R. Поэтому мы должны связать величину 'У/о,
определяющую сечение, с условиями на ядерной поверхности. Будем опи
сывать поведение и о (r) вне ядра вблизи поверхности ядра с помощью
[ dU O ]
10 == R dr . (2.23)
и О I'==R
Величина 10 и аналоrичные ей величины для более высоких значений
момента количества движения будут очень часто использоваться в ЭТОй
':/
,
2. Сечтия
25tf
rлаве. Так как функция а о (r) и ее производная должны быть непрерывны
на поверхностuи ядра, то значение /0 полностью определяется условиями
во внутреннеи области ядра. Целью развиваемой здесь общей теории
ядерных реаIЩИЙ является нахотдение приближенноrо выражения для f
в зависимости от энерrии канала €. Зная /, можно непосредственно опре
делить 1J и найти сечение. В настоящее время мы не будем заниматься
определением /, что составляет отдельный раздел теории. Мы дадим скорее
лишь правило, показывающее, нак с помощью / можно определить 7),
т. е. как найти асимптотическое поведение волновой функции при больших
r, если известно ее поведение при r == R.
ДЛЯ простеi1шеrо случая нейтронов с моментов количества двитения
l == О это можно проделать чрезвычайно леrко. Подставим решение (2.21)
с коэффициентами (2.22) в определение (2.23) и решим относительно 1j .
Получим следующее соотношение:
10 + ikR 2ikR
1Jo jo ikii.e .
Если лоrарифмическая производная /0 является действительным чис
лом, то из соотношения (2.24) следует, что 1"1)012 == 1. В этом случае сечение
реакции O'r.O (2.13) обращается в нуль. ДеЙствительное значение f приво
дит, таким образом, к наличию чистоrо рассеяния, не сопровождающеrося
какими либо реакциями (отсутствует удаление частfЩ из входноrо канала).
Подстановка соотношения С .2/1) в (2.11) дает парциальное сечени'е
рассеяния, отвечающее частицам с l == О. Оно может быть записано в сл
дующем виде:
(2.24)
О' S. О == 1tl\ 2\ А реэ . + Апотенц. \2,
(2.25)
rде
2ikR
А реэ . == 10 ikR '
Апотенц. == e 2ikR 1.
(2.26)
(2.21)
Будем называть А реэ . амплитудой (<внутреннеrо» или «резонансноrо:.
рассеяния (этот член появляется только при определенных условиях,
см. 9 7), а Апотенц. амплитудой «потенциальноrо» рассеяния или рассея
ния от (шепроницаемой сферы». Природу этих наименований можно по--
нять, заменив ядро абсолютно отражающей сферой Toro же радиуса Я.
Такая сфера заставляет волновую функцию при r == R обращаться в нул:6.
Соrласно определению /0 [см. (2.23)], это предполаrает, что /0 == оо. ФормУ
ла (2.26) показывает, что амплитуда BHYTpeHHero рассеяния для непрони
цаем ой сферы равна нулю; рассеяние от ненроницаемой сферы описывается
Апотенц. [см. (2.27)].
Разделение амплитуды рассеяния А на внутреннюю и внешнюю части
зависит от предположения относительно величины радиуса канала R. ТаК
как величина радиуса R является в некоторой степени неопределенно:й
(вследствие Toro, что ядерная rраница не является абсолютно резкой), то
в такой те степени приближенным оказывается и это разделение 1). Более
Toro, следует иметь в виду, что разделение амплитуды рассеяния н:а
эти два вклада имеет лишь теоретический смысл, т. е. оно не можм
быть обнаружено экспериментально. Единственной измеряемой на опыте
,
1) Так как до сих пор единственным условием для R было отсутствие ядерноrо взаи
Модействия при r':?R, то в принципе в качестве радиуса можно выбрать любую величину
R' >R. На практике единетвенным приводящим к физически полезному результату BЫ
бором R является наименьшее значение R, удовлетворяющее этому условию и покаааи-
ное на фиr. 66. См., однако, (819]. ,,/
17-
,Щ)О
r.a. VIII. Ядерные реакции. Общая теория
величиной является сумма А реэ ."+ Апотенц. Несмотря на эти оrраничения,
разделение амплитуды рассеяния на внутреннюю и внешнюю части является
очень важным для понимания теории ядерных реакций.
Из (2.24) и (2.13) можно найти сечение реакции для S нейтронов.
Оказывается, что
(jr.O == 7tli,2 4kR 1т 10
(Re /0)2 + (1т /0 kR)2 ,
(2.28)
rде Не /0 и Iш /0 означают соответственно действительную и мнимую
части /0'
Так как сечение реакции является существенно положительной вели
чиной, то мнимая часть лоrарифмической производной /0 должна быть
отрицательна 1):
Iш /0..;;;;0.
(2.29)
Это можно также показать с помощью соотношения (2.24), ИСПОJIЬЗУЯ
Эквивалентное у ловие I "fjo 12 <: 1.
В. Определение сечений из условий,
налаrаемых на поверхности ядра. Общий случай
Соотношения, при еденнЬ!е в S 2, Б, оrраничены одним специальным
;случаем l == О и отсутствием КУЛОНОВС1\:ИХ сил. Распространим теперь pac
смотрение на случаЙ любых значений момента количес.тва движения l
и (или) реа1\:ЦИЙ с участием заряженных частиц. Волновая функция ljI (r),
описывающая относительное движение падающей частицы а и ядра мише
'ни Х, удовлетворяет уравнению
,
( ,
V 2 1j1+ [A2 2:; V (r) ] ljI == О,
(2.18а)
rде М приведенная масса системы, а V (r) потенциальная энерrия а и Х
'при r> R. Радиальная функция и/ (r), определенная соrласно (2.19), yдo
,влетворяет дифференциальному уравнению, которое находится подстановкой
,(2.19) в (2.1Sa):
d2иl + [ А2 l (l + 1) 2 V ( ) ] ( ) о
dr2 r2 п 2 r и ! r .
Потенциальная энерrия V (r), Входящая в (2. 18а) и (2.30), представляет
собой электростатическую энерrию:
(2.30)
Za Z x e 2
V (r) ==
r
(2.31)
('де Za И Zx заряды соответственно частицы а и ядра Х. 'Уравнение (2.30)
справедливо лишь для r.> R, тан ка1\: двитение внутри ядра не мотет
быть описано волновой функцией, зависящей ТОЛЬ1\:О от одной координаты.
'Ураннение (2.3И) имеет Два линейно независимых решения: «pery
пярное» Р, (r) и (шереrулярное» С( (r). Эти функции определяются следую
щим образом. Функция Р! (r) представляет собой действитеJiЬНУЮ функцию,
1) Эта теорема, а также общие СООТНОшения между / и сечениями хорошо известны
во МIlоrих друrих областях и, в частности, в несколько ином обозначrнии в элrктротех
иике. С БОJ!<)С общей точки зрения эти результаты будут обсуждаться в 1'.11. Х. / соответ-
стнует ИМllеданцу сю'мы, cr" И crr I{оэффициентам отражl'НИЯ и Прохрждепия (однако соот-
oeTCТlHH' имест место с точностью до мно:,штелн). Соотношенис (2.29) эквиваJIСНТНQ утвер-
. 2Jl'дению о том, что СОПРОТИlJЛение пассивной линейной цепи ДОШЮlо'быть положительнЫJl
или равным нулю. ' ", ,
,
2. Сечения
261;
которая удовлетворяет уравнению (2.30) и обращается в нуль при r == О.
Она полностыо определена, за исключением численноrо коэффициента,
который выбирается так, чтобы асимптотическое поведение F! (r) в случае
нейтронов имело вид
F, (r) ;::::; sin ( kr 'те )
(нейтроны),
kr :?> 1.
(2.32)
Для заряженных частиц асимптотическое поведение оказывается боле&
сложным. В случае, коrда можно пренебречь экранирующим действием,
атомных электронов, асимптотическое поведение реrулярноrо решении
F! (r) имеет вид
F( (r) ;::::; sin [kr 'те ,1n (2kr) + а! ] (заряженные частицы), kr:?> 1, (2.33)
rде , па раметр, определяющий роль кулоновских эффектов 1) (v скорость
канада):
ZaZxc t
1 == 1iv
(2.34)
и а! кулоновский сдвиr фазы, обусловленный чисто электростатическим
(резерфордовским) рассеянием. Он определяется следующим образом: :
e2icr( == (1 + ij)! (l + ij) (l 1 + ij) ... (1 + ij) 2iJo (2.35)
(l ij)I (l ij) (l 1 ij)... (1 ij) е .
«Нереrулярное» решение С( (r) уравнения (2.30) характеризуется сле .
дующим асимптотическим поведением при больших r:
С! (r);::::; СОБ( kr } 'те) нейтроны, kr:?> 1; (2.36)
С! (r) ;::::; СОБ [kr теl ,1n (2kr) + а( ] заряженные частицы, kr l. (2.37);
Дифференциальное уравнение (2.30) предполаI'ает, что детерминант'
BpoHcKoro G (dF jdr) F (dGjdr) не зависит от r. Поэтому ero можно опреде
лить из асимптотическоrо вида ДJIЯ БОJIЬШИХ r, что приводит :R следую
щему результату:
С! ( d;l ) F! ( dZ 1 )==k.
Д.ля щйтРОflов [V (1") == О] решения F! (r) и С ! (r)
через бесселевы функции:
Р, (r) == V 7t r J!+lJ2' (kr),
V 7tkr
С, (r) == 2'"" N Z + lJ2 (kr),
(2.38
MorYT быть заш:саны
(2.39)
(2.40)
rде J р (z) и N р (z) соответственно функции БессеJIЯ и Неймана порядка р,
определенные соrласно [409]. ТаБJIИЦЫ F L (r) и С( (r) для нейтронов можно
найти в ряде работ, например в работах [541] и [470].
Соответствующие функции ДJIЯ заряженных частиц не MorYT быть
выратены через элементарные функции. Табулирование F! (r) и С ! (r) для
зарятенных частиц услотнено тем фarпом, что эти Фушшии запися'l',
1) Этот параметр в литературе обычно обозначается через 1] и обозначался подобным
образом в rл. 11, \\ 4. Значок j и()пользуется здесь для Toro, чтобы избежать IJутаницы
с параметром рассеяния 1](. ' i
262
rл,. V///. Ядерные реакции. Общая теория
I!e только от kr, но такте и от параметра аряда 1. Обширные таблицы
тих функций, выполненные в связи с рассеянием протонов на протонах
[836,837, 796], не охватывают, за исключением очень JIеrких ядер, обла
сти, ватной для ядерных реакций. Ряд ,величин будет приведен в этой
rлаве. Более подробные таблицы величин, сушественных для ядерных peaK
ций с участием заряженных частиц, даны в работах [84] и [154] З).
. В теории ядерных реакций нам потребуются линейные комбинации
ЕI (r) и С 1 (r), соответствующие расходящимся и СХодящимся сферичеСJШМ
волнам. Определим ui+) (r) и ui ) (r) соотношениями
ui+) (r) == С 1 (r) + iF 1 (r) нейтроны,
ui+) (r) == e icrl [С/ (r) + iF I (r)] зарятенные частицы, (2.41)
ui ) (r) == выражению, комплексно сопряженному с uf+) (r),
Для нейтронов с l == О
J
i
i
иь+) (r) == e ihr ,
· в общем случае асимптотическое поведение uf+) (r) при больших r имеет
вид
uf+) (r) ехр [ i (kr l1C ) ],
kr l.
(2.42)
Радиальные функции и 1 (r) во внешней области всеrда MorYT быть
записаны в виде
и 1 (r) == а uf ) (r)+ Ь ui+) (r).
(2.43)
Для нейтронов с l == О это выратение сводится к формуле (2.21). Постоян
IJble а и Ь снова получаются в результате сравнения с поведением волно
Вой функции на больших расстояниях, определяемым формулой (2.8). Это
дает
а == il+1 V 2l + 1 ;;: ,
ь == 111 а.
(2.44)
.
j
.
J
.
1
.
.,1
Величину 111 мотIIО связать с условиями на поверхности ядра. Для
8Toro введем лоrарифмическую ПрОИЗВоднуrо fl волновой функции и 1 (r)
на rранице ядра
r dUI ]
===R
fl иl r==R
(2.45)
в полной аналоrии с формулой (2.23).
Чтобы получить обп:ее выражение, связывающее 111 с fl' введем вели
v:ины:, которые полностыо задаются условиями вне ядра. Определим дей
ствительные числа АI и Sl С помощью соотношения
[ dU(+) ]
R T =:::A 1 + is 1 ,
и(+)
1 r==R
i
;
J
']
:1
,)
!
(2.46)
rде Аl и Sl зависят от волновоrо числа k, радиуса канала R, момента
Rоличества движения l и параметра заряда 1 [см. (2.34)]. Сравнение (2.46)
1) См.таRжеFrееmаn, McHale, Phys. Rev., 89, 223 (1953); Barfield,
В r о у 1 е s, Phys. Rev., 88, 892 (1952). пpll.м. перев.
8 2. Сечения
263
и (2.41) показывает, что Д! и S, связаны с табулированными реrулярными
и нереI'УЛЯРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ F! (r) и С! (r):
д ==R [ G! ( а;! )+Рl ( а;! ) ]
! Gr+Ft r==R' (2.47)
Sl == R [ Gl ( а;! ( a ! ) ] . (2.48)
G! + F! r==R
Соrласно (2.38), числитель выражения (2.48) в действительности
не зависит от R и равен k. Знаменатель Gt + Ft равен единице для ней
тронов с 1 == О и больше единицы для l *' О и (или) для заряженных
частиц. Так как это выражение встречается очень часто, то удобно ввести
величину V!l):
1
v===
1 Gt (В) + Ft (В) .
Как будет показано в 5, эта величина исключительно важна для
анализа данных по ядерным реанциям. Малое значение V l 1 IJодразу
мевает, что частицы заметно не проникают через ядерную поверхность,
и, следовательно, приводит к малоинтенсивной ядерной реакции. - Поэтому
мы будем называть V t проницаемостыо.
С помощью проницаемости V t величина St, входящая в (2.46) и (2.48),
записывается следующим образом:
S! == kRv!. (2.50)
Нроме Д! и St необходимо также знать фазу и ) (r) при r == R. Эта
фаза, Е!, определяется соотношением
(2.49)
е ЩZ == f ) (R) == G! (R) iF! (R) e2io!
uf+)(R) G!(R)+iF!(R) ,
rде а! == О для нейтронов; в случае заряженных частиц а! дается выраже
ни ем (2.35). Для нейтронов с l =F О эти фазы протабулированы в работе
{541] 2). Таблиц Е! ДJIЯ заряженных частиц не имеется.
Величина е! для нейтронов с уменьшением проницаемости l'! YMeHЬ
шается по абсолютной величине и стремится к нулю при очень малых
значениях V/. Предельные значения е ! для очень больших энерrий (V t близко
к 1, kR l) и очень малых энерrий (v! близко К О, kR 1) имеют сле
дующий вид [мы используем обозначение (2l + 1)!! == 1.3.5 .. . (2l + 1)]:
(2.51)
kR l:
kR l:
! ( kR - l1t) ) u
(kR)2t +1 для неитронов.
е! (:2l 1)!1(2l+1)!!
(2.52)
т
1) Проницаемость RУЛОНОПСRоrо барьера С 2 , припеденная n rл. IТ, 4, соппапает
с выражrпием (2.49), пычислеЩIЫМ при R==O и l==O. Иноrда ПРОIlицаемостыо называют
величину [G!(R)] 2. Величина V/, определенная соотношением (2.49), отлична от V!, ис
пользованной в работах [248, 250]. В них символ V! использован для обозначения функ-
ции и( l )И.
2) Значения Оп, полученные в работе [.541] для сферичеСRоrо случаи (табл. 10 в ука-
занной работе), И;J;rнтичны с отрицательпьши Зlшqениими е n , приведенными в этой Rвиrе.
Авторы работы [541] используют обозначение Х ==kR и табулируют on== en В rрадусах.
В работах [248, 2.501 также используется обозначение О! для e!, однако в их обозначе-
нии x==kR и X==KR.
rл,. V///. Ядер1tые реакции. Общая теория
264
Для заряженных частиц ! стремится к тому те пределу при высоких
энерrиях (V l близко к 1, kR l), однако для малых энерrий (1)1 близко
к О, kR l), I превращается в чисто Кулоновский фазовый сдвиr a l
[см. (2.35)].
Теперь мы можем. написать соотношение между '1)l и лоrарифмической
производной Il на rранице ядра. Подстановка (2.43) с ПОСТОЯнными (2.44)
в (2.45) дает' (после некоторых преобразований)
fl tч+iS l 2i<l ( 2.53 )
'1)l == fl д, iSl е
Для нейтронов с l == О выражение (2.53) тождественно выражению (2.24).
Вновь оназывается, что в случае действительноrо значеIYIЯ Il 1'1)112 == 1,
т. е. имеет место чистое рассеяние, не СОПровождающееся каной либо
})еакцией.
Так как I '1)l12 -< 1, то, соrласно (2.11), максимальное значение сечения
рассеяния получается при ' l == 1. Непосредственный расчет пока ывает,
что это ведет к следующему выражению для лоrарифмической производной
Il В (2.53):
Il == Д! + Sl tg !
для '1)1 == 1.
(2.54)
Значение 11' приводящее н мю{симальному сечению рассеяния, оказывается
чисто действительным и, таким образом, соответствует рассеЯНИIО при
отсутствии какой бы то ни было реанции. 8Toro следовало отидать. Дело
в том, что мансимальное значение сечения рассеяния получается тоrда,
коrда расходящаяея волна имеет ту же интенсивность, что и СсХодяшаяся,
но смещена По фазе точно на 1800. Иепользуя соотношения (2.11) и (2.19),
можно из (2.53) для 1Il подсчитать соответственно сечения рассеяния
и реакции. Обозначим опять действительную и мнимую части 11 через
Не Iz и Iш Il' Результат для сечения рассеяния может быть паписан в сле
дующем виде [по аналоrии с выражениом (2.25)]:
а з . l == (2l + 1) 'ltl- 2 1 А ез. + Аhотенц.j2, (2.55)
rдо амплитуды BHYTpOHHero (резонаНСН01'0) и внешнеI'О (потенциальноrо)
рассеян!'..' llмеют вид
А ! == 2isz (2 56)
рез. (Refl"':'A)+i(Imfl Sl)' .
А ! 2i;z 1 (2 57)
потенц. е . .'
Для случая нейтронов с l == О оба эти выражения приводят COOTBeT
ственно к формулам (2.26) и (2.27). Амплитуда потенциальноrо рассеяния
снова оказывается такой же, как при рассеянии от неПроницаемой сферы
радиуса Я, так нан в этом случае А рез . исчезает и! == со).
Сечение реющии дается выражением
2 1 ...2 4S1 Iш fz ( 58
a r , z ( l + ) 'ltI\ ( Re f l .L\1)2 + (1ш f l Sl)2 . 2. )
Из формулы (2.58) следует, что, нак и прежде, мнимая часть Iz должна
быть отрицательноЙ или равной нулю. Более Toro, наличие S, в числителе
обеспечивает справедливость сде.ланноrо ранее утверждения о том, что
малая Проницаемость V 1 [и следовательно, соrласно выражению (2.50),
малое S.] приводит к очень малой величине сечения реанции.
Хотя формулы для общеrо случая выrлядят более сложными по cpaB
нению с приведенными ранее формулами для нейтронов с l == О. в них
не заключено HOBOI'O физическоrо содержания. Свойства BHYTpeHHero CTpoe
ния ядра входят в эти сечения только через посредство лоrа рифмической
производной Ic волновой фунrщии и ! (r) на rранице ядра (r == R).
'!
i
I
!
}
,
i
')
I
l
:1
i
.,.
8 2. Сече1tuя
265
в последующпх параrрафах будут сделаны определенные предположе--
ния относительно фуннпий 11 и их зависимости от энерrии падающих
частиц. Эти предположения дадут возможность с помощью вычисленных
в этом параrрафе выражений рассчитать сечения рассенния и реющии.
r. "Уrловое распределение упруrо рассеянных частиц
Уrловую зависимость упруrоrо рассеяния танже можно выразить через
амплитуды рассеяния А ез. и А;Iотенц. [см. (2.56) и (2.57)]. ПодстаВЛЯ!l 11/,
определяемое формулой (2.53), в (2.15) и переrруппировывая члены,
получим 1)
ro
do s (е) == "/tl-2\ V 2l т 1 е Щl (А ез. + A OTeHЦ.) Y l , О (О) 12 dQ.
1==0
В случае А ез. == О формула (2.59) описывает уrловое распределение,
наблюдающееся при рассеянии отражающей сферой, окруженной тем же
потенциальным полем, что и ядро. Специфические для ядра эффекты
заюпочены в Л ез., а эффы{ты внешних полей содержатся в А отепц.. Эти
эффекты действуют KorepeHTHo, т. е. интерферируют между собой.
В случае заряженных частиц формула (2,59) определяет танже pac
сеяние в кудоновсном поле ядра. Само по себе потенциальное рассеяние
в этом случае идентично с рассеянием от непроницаемой сферы, онружен
ной кулоновсним полем. В результате этоrо вознинает рассеяние, которое
отличается от резерфордовскоrо ДJШ малых параметров столкновения,
т. е. для актов рассеян:ця, происходящих вблизи поверхности ядра. Так
как такие столкновения происходят только при больших уrлах рассеяния,
то потенциальное рассеяние для малых уrлов соrласуется с обычным резер
фордовским рассеянием, но отклоняется от резерфордовскоrо для больших
уrлов рассеяния.
Для заряженных частиц ряд (2.59) СХОДИТСЯ медленно, так нак каж
дый член ряда вносит существенный вклад в нулоновское рассеяние.
Поэтому обычно используют эквивалентное выражение, в котором основная
часть амплитуды потенциальноrо рассеяния (амплитуда чисто резерфордов
cKoro рассеяния) не предстаВJIена в виде разложения по различным l. Такое
выражение имеет вид
do s (е) ==1 Z; :2 СОБес 2 ( е) ехр [ 2i11n sin ( е) ]
il- y v 2l + 1 e2ial 2iao {1 e2i,! 2ial [1 + А ез.]} Y z , О (е) \ 2 dQ (2.60)
/==0
(2.59)
с дополнительными соотношениями
2ia l 2ia (l + i"() и 1 + i'()
е 0==
(l i'f) (l 1 i"()
e2i'l 2ia! == С, (R) iF! (R)
С! (R) + iF, (R) I
(1 + i"()
(1 i"() ,
(2.60а)
(2.60б)
1) Эта формула показывает, что А ез. и A OTeHЦ. не являются совершепн() точными
«амплитудами рассеянию>. В действительнОсти амплитуды равны e 2i ', А ез. и е 2i'I Х
Х A OTeHЦ. Постоянные фазовые множители не меняют полное сечение, но выявляются
в дифференциальном сечении (2.59) в членах, содержащих произведения, относящиеся
к различным l. Однако мы будем попрежнему рассматривать А ез. и A OTeHЦ. в качестве
амплитуд соответственно BHYTpeHHero (резонансноrо) и потенциальноrо рассеяния.
266
rл,. V/П. Ядер1tые реа"ции. Общая теория
"
rде Ft u G t табулированные реrулярная и нереrулярная кулоновские
функции.
Как (2.59), так и (2.60) не учитывают зависимости сечения рассеяния
от спинов частиц и ядер МИlUени.
Представление об уrловой зависимости сечения реакции лишено всякоrо
смысла. Величина этоrо сечения соответствует числу частиц, удаляемых
из первичноrо пучка, без различия Toro, что происходит впоследствии.
Можно интересоваться уrловой зависимостыо конкретной ядерной реакции,
например У1'ЛОВЫМ распределением нейтронов, испускаемых в реакции
(р, п), относительно направления падающеrо пучка. Однако сечение peaK
ции, соrласно данному здесь определению, включает все происходящие
реакции. Проблема уrловой зависимости отдельной ядерной реакции (иду
щей по определенному каналу) не обсуждается в деталях в этой книrе.
Некоторые общие теоремы относительно уrловоrо распределения продуктов
реакций будут доказаны в rл. Х.
Д. Теорема взаимности для ядерных реакций
До сих пор мы рассматривали волновую функцию только в исходном
канале а: реакции, ведущие к различным каналам, были собраны в сече
нии реакции а т (а). Проведем теперь более детальное опиМние возможных
реакций.
Рассмотрим реакцию, при которой канал а служит входным и которая ..:
приводит к каналу . Сечение а (а, ) этой реакции определяется, соrласно . ' , ' , J . " .
(2.1), соотношением 1)' 1
а (а ) == Число вылетов по наналу в единицу времени на один рассеивающий центр . :1
, Число падающих частиц в нанале CL в единицу времени на единицу
поверхности
(2.61)
Сечение реакции а т (а) для канала а дается соотношением
aT(a)==}j а(а, )+ac(a).
*
(2.62)
Оно содержит сумму сечений, отвечающих всем возможным каналам
(сумма, конечно, не внлючает канал а) и сечение захвата ас, отвечающее
реакциям, при IЮТОрЫХ, как показывает (1.2), поrлощение ядром Х
частицы а не приводит к испусканию какой либо частицы.
Целью этой rлавы является нахождение способов подсчета или оценки
сечения а (а, ). Прежде чем приступить к обсуждению этих теорий, мы
установим важное соотношение между сечениями обратных реакций а (а, )
и а ( , а):
aq." + Xq.' == у ' + b "
и
b " + y , == Xq.' + ао.".
Это СООТНОIПение является
);,,. и li. . Оно записывается
универсальным и зависит только от длин волн
следующим образом:
a(a, ) a( ,a)
==
Л Л
rде li.,. и li. длины волн каналов, определенные в (2.6). До Toro как при
ступить к обоснованию этоrо соотношения, опишем реакцию более детально,
...
(2.63)
<,
.
;1
1) Это сечение иноrда называетсн сечением перехода от нанала CL 1{ I{авалу или
просто сечением перехода. При.м. перев.
1
; ,:<7""':,.;:;::' "[', ' ;:,c"""::,.:.;i\: ":":;.'''' ' '': ;:::/': -'7 "1-', ' :;'E, .'
2. Се'le1tuя
267
епециализируя относительные направления движения падающей и вылета
ющей частиц. Введем дифференциальное сечение
cr (А, В) '=" cr (а; , в, 9) dQ,
(2.64)
представляющее собой сечение пропесса, при нотором падающая частипа а
движется параллельно оси z, а вьшетающая частица Ь движется в элементе
телесноrо уrла dQ, направление ROToporo задается полярными уrлами б
и ер. Имеется соответствующее дифференциальное сечение и ДJIЯ обратноrо
процесса:
a( B, A),="a( , в, 9; a)dQ,
(2.65)
при котором падающая частица Ь движется в напраВJIении в, 9, а испу
екаемая частица вылетает в телесном уrле, элемент dQ ROToporo расположен
параллельно отрицательному направлению оси z. Между этими двумя диф
ференциальными сечениями существует соотношение, аналоrичное (2.63),
(2.6t3)
а(А, В)
А2
"
а ( B, A)
12
11
Отметим следующие равенства:
cr (а; , в, 9) dQ '=" cr (а, ), cr ( , в, 9; а) dQ '=" cr ( , а),
причем интеrрирование распространяется по всему телесному уrлу. Эти
равенства ПОRазывают, что соотношение (2.63) следует из (2.66).
Приступим 'теперь к ДОRазательству соотношения (2.66). Рассмотрим
реакцию, которая описывается дифференциальным сечением (2.64) и пред
тавляет собой переход RвантовомеханичеСRОЙ системы из состояния А
в состояние В. Состояние А отвечает частице а в данном квантовом COC1'O
янии 'а" и ядру Х в состоянии а', ноторые движутся иан: свободные частицы.
Энерrия заключена в интервале от Е" дО Е" + ДЕ, а движение частицы а
по направлению н ядру Х происходит в пределах маЛО1'0 элемента телес
Horo уrла dQ параллельно оси z. Состояние В отвечает частице Ь в нванто-
вом состоянии " И ядру У в нвантовом состоянии ', ноторые движутся
как свободные частицы с RинетичеСRОЙ энерrией, заRлюченной между Ер
и EII + ДЕ; частица Ь движется по направлению от ядра в элементе телес
Horo уrла dQ, RОТОРЫЙ задается уrЛами U и 9.
Сравним переходы А В с переходами В А, rде под А или
В мы понимаем состояние А или В, «обращенное во времени», т. е.
таное, 'IТО все движения происходят в обратном ПОрЯДRе. Переходу В A,
очевидно, отвечает сечение cr ( В, А).
Связь между нереходами А В и В А мощно леrче Bcero
установить, заRЛЮЧИВ всю систему в большой объем V и рассмотрев OTHe
сенную R единице времени вероятность Р (А, В) перехода из А в В
и соответствующую вероятность Р ( В, А) обратноrо перехода. Эти
вероятности связаны с сечениями (2.64) и (2.65). Величина Р (А, В) пред
ставляет соб,RЙ вероятность Toro, что частица, наХОДящаяся внутри объема V,
попадет в иницу времени в мишень и, следовательно, связана с cr (А, В)
соотношением
V а ( А В )
P(A,B),=,, v '
(2.67)
l'де v. относительная снорость в Rанале а. Аналоrичным образом
P( B, A),=" Vlla( :, A ).
(2.68)
rл,. V/П. Ядерные реакции. Общая теория
1
"j
"
j
J
J
1
!
,
268
. Между вероятностями переходов Р (А, В) и Р ( В, А) ИМ«:Jется
фундаментальное соотношение, основанное на обратимости переходов
между элементарными состояниями системы. Рассмотрим общую KBaHTOBO
механическую систему в состоянии р. Предположим, что имеется друrое
состояние q с той же энерrией. Пусть Т Р1 будет вероятностью перехода
из р в q отнесенной к единице времени. Если оба состояния р и q явля
ются невырожденными (<lTO означает. что статистический вес кажцоrо COCTO
яния равен единице), то вероятность перехода из р в q равна вероятности
перехода из q в р, rде знак минус вновь означает обращение времени.
Состояние q отличается от q только тем, что в нем все движения COBep
шаются в обратном порядке.
Рассмотрим теперь два состояния Р и Q, определенные таким образом,
что они включают в себя соответственно gp и gQ простых состояний (gp и gQ
являются их статистичесними весами); вероятности переходов из Р в Q
и наоборот удовлетворяют соотношению
т Р. Q Т o. p
gQ gp
(2.69)
,]
J
Статистичеснио веса gA и gB состояний А и В равны числу состояний
свободной частицы, энерrия и напраВJlение движения которой заключены
соответственно в интервалах ДЕ и dQ:
V 2М; Еа
gA == V (21<)3 п 3 ДЕ dQ,
V 2M E
gB V (21<)3 п 3 ДЕ dQ,
(2.70)
так что, соrласно (2.69), получаем
V И V Еа. Р(А, B)==vr M J/ E P( B, A). (2.71)
Вводя (2.67) и (2.68) в (2.71), мы немедленно придем к соотноше
нию (2.66), I\oTopoe должны были доназать.
Соотношения (2.63) и (2.66) называются теоремой взаимности для
ядерных реакций. Теорема показывает, что между сечениями обратных
реакций существует связь, имеющая общий характер. Полное доказатель
ство этой теоремы будет приведено в rл. Х.
i
!
3. СОСТАВНОЕ ЯДРО; НЕРЕ30НАНСНАЯ ТЕОРИЯ
А. Предположение Бора
Ядерная реакция в действительности не начинается до тех пор, пона
исходные частицы а и Х не приблизятся друr к друrу настолько, что онажут
ся в пределах радиуса действия ядерных сил. Ядерные превращения пре
кращаются, если продунты реанции удаляются друr от друrа на расстояние,
превышающее радиус действия ядерных сил. Во время взаимодействия обра
зуется составная система, свойства ноторой имеют решающее значение ДJIЯ
хода ядерной реанции.
Бор [87, 88] впервые ун:азал, что ядерную реанцию можно считать co
стоящей из двух стадий: образование составной системы С и распад COCTaB
ной системы на продунты реанции. Во мноrих случаях выполняется или
приближенно выполняется следующее предположение: обе стадии MorYT
рассматриваться нак независимые процессы в том смысле, что способ pac
пада составной системы зависит только от ее энерrии, момента количества
движения и четности, а не от харантера пути, по ноторому оно было создано.
,1
.
s 3. Составное ядро; нереаонансная т('орuя
269
Таrшм образом, обе стадии реакции можно считать самостоятельными про
цессами, следующими один за друrим. Будем ссылаться на это положение,
нак на предположение Бора. В основе ero лежит представление о ядре нак
системе частиц, характеризуемой очень сильным взаимодействием и KOpOTKO
действующими силами. Если падающая частица попадает в область действия
ядерных сил, то ее энерrия успевает распределиться среди всех входящих
в состав ядра частиц задолrо до Toro, кан сможет произойти вылет накой
либо частицы. Поэтому состояние составной системы уже не будет зависеть
от пути ero образования.
Применимость предположения Бора и ero пределы можно выяснить
следующим рбразом. Вследствие сильноrо взаимодействия между нуклонами
энерrия, принесенная частицей а в ядро Х, всноре после столкновения pac
пределяется среди всех НУI\ЛОНОВ. ЭТО связано с тем, что «средний свободный
пробеr» <\ падающей частицы в ядерном веществе оказывается rораздо MeHЬ
ше радиуса ядра, если энерrия падающей частицы Е не слишком велика
(Е < 50 Мэв). Средний свободный пробеr rрубо оценивается следующим обра
30М: .1",0,4 .10 13 СМ, если падающий нуклон имеет кинетическую энерrию,
не превышающую Е::::, 20 Мэв. С увеличением энерrии .1 возрастает и опреде
ляется приближенно следующим выражением: <'. (в см) ",1,8 .10 15. Е (в Мэв).
Принеденная оцепка для А получаеТСiI следующим обрilЗОМ: средний свободный
пробеr ,\ == 1рр. ,де O" сечение СТОJIRнонения с друrими нуклонами и p ПЛОТIIOСТЬ
нуклонов внутри ндра. Современные измереНИiI ПОIШЗЫНaIОТ, что сечение рассеЯНИiI
нейтронов на протонах приближенно выражается соотношением О" '"" (4 Мав/Е) .10 24 см!
для Е> 10 Мав, ,де Е отпосительнаiI кинетическая ЭRсрrип. р можно подсчитать из
приближенной формулы (1, 4.1) для радиусOD ядер p==3j4и3. Относительная ЫJCрrИiI
Е имеет порядок величины Е (1/2) (Ео ' Е), ,де Ео,"" 20 Мае ЯВЛiIетсп средней кине
тической ЭНl'рrией нуклона внутри ядра (см. стр. 278). Таним образом, А '"" 1,8.10 lб Х
Х (Е + Ео) см, ,де Е и Ео выражены в lИэв. .
Если принесенная частицей а энерrия распределилась среди друrих
нуклонов, то произойдут мноrочисленные перераспределения энерrии и,
таким образом, пройдет длительное время, прежде чем достаточное коли
чество энерrии сконцентрируется на одной частице, которая сможет выле
теть из составной системы. Это можно показать следующим образом: полная
энерrия возбуждения составной системы E==E+S a , rде S,, энерrия, необ
ходимая для отделения частицы а от cocTaBHoI'o ядра. Вследствие малости й
энерrия Е быстро распределится среди А составных частеЙ ядра С, так что
наждая из них будет обладать в среднем энерrией Е/А. Пока Е/А мало по
сравнению со средней энерrией S, необходимой для отделения нуклона от
ядра С(Е/ А S), произойдут мноrочисленные перераспрел:еления энерrии,
прежде чем она сконцентрируется на одной частице и последняя сможет
вылететь из ядра. Большое число пере распределениЙ энерrии и является
I'лавной причиной ВЫПОлнимости предположения Бора. Можно ожидать, что
энерrия падающей частицы пере распределяется полностью, так что до испу
скания друrой частицы состояние С не обнаруживает последствий, зависящих
от характера пути, по которому ядру была передана энерrия возбуждения.
В этом случае условия выполнимости предположения Бора заКJПочают
ся в следующем [заметим, что неравенство Е/А <.<;.,S может быть записано
в виде (E/A)+(Sa/A) S и что Sa",SJ:
A R, Е (A 1)S.
Оба условия выполняются для ядер с А>10 при энерrиях Е<50 Мэв,
так кан: S по порядку величины равно 8 Мэв. Следует отметить, что приве
денные выше условия Являются необходимыми, но не достаточными. Мотет
сущестuовать друrой механизм, действующий внутри составной системы и
,преПЯ1: СТВ УЮЩИЙ полному перераспредел,ению энерrии падающеrо нунлона
среди всех составных частей ядра. Одно из возможных оснований ДЛя HeBЫ
270
rл,. VI1/. Ядерные реакции. Общая теория
полнения предположения Бора может быть связано с принпипом Паули.
Будем описывать в первом приближении ядро как систему, состоящую И3
А частиц, каждая из которых находится в данном квантовом СОстоянии (MO
дель независимых частиц; см. rл. XIV). В этом случае скорость передачи
энерrии частицей составным частям ядра мишени будет меньше, чем можн()
было бы ожидать из сечения рассеяния свободных нуклонов, так как нукло
вы, входящие в состав ядра, MorYT приобретать энерrию лишь при
переходах в незанятые состояния, а большинство соседних состояний оказы
вается занятыми друrими нуклонами. Следовательно, средний свободный
пробеr может оказаться больше пробеrа, полученноrо на основе сделанной
выше оценки. Однако трудно уназать, насколько эти заключения останутся
справедливыми для действительных ядер.
В настоящее время накапливается все больше и больше фантов
(см. rл. XIV), обрисовывающих нартину BHYTpeHHero строения ядра, отлич
ную ОТ той, на ноторой основывается предположение Бора. Имеются уназа
ния, что у отдельных нунлонов внутри ядра существуют независимы
орбиты. Это при водит н занлючению о том, что взаимодействие между нукло
нами внутри ядра не является настольно сильным или эффентивным, как
ожидалось 1 ). Если подобное занлючение онажется правильным и если он()
приложимо к процессам, происходящим в течение ядерной реанции, то для
описания ядерных реакций потребуется иная нартина. Имеющийся в настоя
щее время энспериментальный материал не является в достаточной мере пол
ным для решения этоrо вопроса, и в этой rлаве будет предполаrаться полная
выполнимость предположения Бора. В дальнейшем мы будем считать, что
состояние составной системы и путь, по ноторому она распадается, не зави
сят от способа ее образования. П редполаrается, что процессы, следующи
за образованием cocTaBHoro ядра, зависят лишь от полной энерrии, момента
количества движения и четности составной системы. Эти (<интеrралы движе
ния» представляют собой единственные (<воспоминанию> системы, остающиеся
от пути, ноторым она была создана. Канал, служивший входным, является
«закрытым» .
")
....,
,
1
j
Б. Сечения и вероятности распада
Соrласно предположению Бора, сечение ядерной реанции Х (а, Ь) У
можно записать в следующем виде:
а (а, Ь) == ас (а) Се (Ь), (3.1)
j
'1
j
/.,1
"
rде ас (а) сечение образования составной системы частицей а, падающей
на ядро мишень Х, а Се (Ь) вероятность распада образовавшейся COCTaB
ной системы С с испуснанием частицы Ь и образованием конечноrо ядра У.
Се (Ь) является безразмерной величиной; составная система С в конечном
счете должна испытать распад; Се (Ь) представляет собой вероятность дaH
Horo пути распада. Эта величина может танже рассматриваться нан доля
реакций, приводящих к испуснанию частицы Ь. Очевидно, что Се (Ь) == 1,
ь
если сумма распространяется на все частицы Ь, которые может испустить
ядро С 2).
Оназывается удобным детальнее специализировать реанцию Х (а, Ь) У,
рассматривая сечение а (а, ), соответствующее определенному входному
каналу а и определенному выходному каналу . Друrими словами, будем
специализировать нвантовые состояния всех частиц, встречающи:х:ся до
1
j
1) Подробнее эти вопросы обсуждаются в приложении III. Прим. пере,.
1) Если "("кванты не рассматриваются как частицЫ, то сумма должна бытlo ..еВЪDlе
единицы.
8 3. Составпое .яДро,' 1tере801tа1tС1tая теория
27t
и после реакции. Напишем
а (а, ) == а е (а) Се ( ),
rде ае(а) сечение образования
распада ядра С по каналу .
Соrласно предположению Бора, распад составной системы по различ
ным каналам , 1, . '.' зависит только от энерrии Ее, момента J\оличества
двитения J е и четности составной Системы. При этом имеется одно важное
исключение, заключающееся в распаде ядра С по каналу а, по которому
произошло ()бразование ядра С. Такие процессы были классифицированы
в 1 как упруrое рассеяние. Волна, описывающая упруrое рассеяние,
KorepeHTHa с падающей волной, и наличие интерференционных членов,
возникающих в выражении (2.25) между А реа . и Апотенц., показывает, что
между падающей и рассеянной волной имеется внутренняя связь. Поэтому
мы не будем ПОльзоваться соотношением (3.2) для описания процессов
упруrоrо рассеяния а (а, а). Эти процессы будут рассмотрены отдельно.
В проводимом в этой rлаве рассмотрении пренебреrается в целях упро
щения зависимостью свойств составной системы от момента количества движе.-
ния J и четности П. Такой подход ведет к ошибиам, которые, однако, несуще.-
ственны с точии зрения чисто качественноrо характера нашеrо рассмотрения.
Введем теперь ряд величин, описывающих распад составной системы С.
Начнем со среднеrо времени Жизни 't (Ее) ядра С до распада и введем
величину
(3.2)
ядра С по каналу а, и Се ( ) вероятность
1i
r (Ее) == 't (Ее) ,
(3.3)
равную постОянной Планка п, умноженной на вероятность распада, отне.-
сенную к единице времени.
Величина r представляет собой энерrию и будет в дальнейшем иrрать
роль ширины уровня 1). Поэтому будем называть ее (<полной шириной»
уровня ядра С с энерrией возбуждения Ее. Ядро С может, распадаться
по нескольким каналам. Поэтому полную вероятность распада l' можно
разбить на вероятности, отвечающие отдельным каналам 2),
l' (Ее) == I' (Ее),
(3.4)
rде суммирование распространяется на все возможные наналы, по которым
'происходит распад С, т. е. на все открытые Rаналы. Отдельные вероятности
распада r (Ее) также являются ФУНRЦИЯМИ Ее и называются парциаль
ными ширинами, отвечающими распаду по каналу .
Величину r можно также определить следующим образом: если
имеется ансамбль, состоящий из N составных ядер С, причем N в среднем
остается постоянным во времени (т. е. число распадающихся Составных
систем равно числу образующихся), то число распадов по каналу , отне.-
сенное к еДинице времени, оказывается равным N1' /'h. .
Относите.льную вероятность данной реакции можно выразить теперь
с помощью вероятностей распада:
r
Ce( ) == у . (3.5)
1) Однако интерпретация [/п как вероятности распада является более общей, нежели
интерпретация r как ширины уровня. Существует MHoro случаев, коrда понятие .уровня»,
обладающеrо «шириной», не имеет смысла, однако [, определяемое соотНОшением (3.3),
сохраняет определенный смысл. В этом случае термин .ширина» для r может
ввести в заблуждение.
1) Иноrда r будет называться вероятностью распада, хотя в действительности она
равна 1i Х (вероятность распада).
272
ТА. VIII. Ядерные реакции. Общая теория
Предположение о независимости процессов образования и распад!!
составной системы позволяет найти связь между величинами а с (а) и r",
которые характеризуют вероятности обратных ЩJOцессов (образование и pac
пад cocTaBHoro ядра по каналу а). Эта связь выражается следующим COOT
ношением [778, 779]:
crc:, (а) == И ( Е )
'-т с,
" "
(3.6)
rде И (Ее) является функцией только энерrии возбуждения cocTaBHoro ядра,
не зависящей от канала а.
Соотношение (3.6) можно получить с помощью теоремы взаимно
сти (2.63), если для а (а, ) ВОСПОJIЬЗОВаться предположением Бора '(3.2)
и использовать выражение (3.5) дЛЯ С С ( ). Torдa (2.63) приобретает сле
дующий вид:
cr c (а) == cr c ( ) тт (Е )
, 2 L1 С.
1"1.,, r l.
Поскольку а и MOrYT представлять собой любую пару щшалов, ведущих
к составной системе С, то функция и (Ее) не должна зависеть от индекса
канала, и мы получаем выражение (3.6). 13 этом случае вероятность распада
С С ( ) по каналу может быть написана в следующем виде (k == 1/1\):
G ( ) == k cr c ( ) (3.8)
с 1 k cr c (1) ,
у
(3.7)
rде сумма распространяется на все каналы 1, по которым может pac
па даться ядро С. Следовательно, сечение (3.2) реакции а можно под
считать, если известны сечения образования составной системы ас (1) по
всем возможным каналам и если. выполняется предположение Бора. Все
величины, входящие в выражение (3.8), зависят от энерrиИ. Для COCTaB
Horo ядра с энерrией возбуждения Ее величина С С ( ) дается выраже
'нием (3.1::\), причем сечения ас (1) и волновые числа k y соответствуют той
энерrии канала Еу, при которой составное ядро образуется с энерrией Ее.
То же самое приложимо к ас ( ), k и E .
Ряд качественных выводов удается по,пучить без сколько нибудь деталь
Horo определения сечений [;)6, /140]. Можно ожидать, что в обшем случае
величина ас (а) будет значительно больше для нейтронов, чем для протонов
или друrих заряженных частиц, так как последние должны проникнуть
сквозь кулоновский барьер. Таким образом, соrласно выражению (3.7),
нейтронные ширины (т. е. парциальные ширины, ОТJ ечающие каналам,
связанным с испусканием нейтронов) оказываются rораздо больше ширин
для пrотонов и а частиц, за искшочением случая, коrда заряженная частица
обладает rораздо большей кинетической энерrией, чем неитрон. Если peaK
ция с испусканием нейтрона является энерrетически возможной, то в обшем
случае она оказывается наиболее предпочтительной по сравнению с любой
друrой реакцией. ИСКJfIочения найдены только вблизи пороrа реющий
с испуснанием нейтрона в тех случаях, коrда нейтрон имеет малую
энерrию. Таким образом, для реакций, вызываемых частицами а, сечение
ас (а) можно приближенно положить равным сечению а (а, п) реакции (а, п):
а (а, п) ас (а о ),
(3.9)
rде а о входной канал, отвечающий основному состоянию ядра мишени Х.
. 4. Опреое.аение сечений; 1lереаонансная теория
273
4. рПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ; НЕРЕ30НАНСНАЯ ТЕОРИЯ
Приступим теперь к вычислению приближенной величины сечен,ИЯ ас (а).
образования cocTaBHoro ядра. Используемый далее метод основан на сильном
упрощении действительной ситуации. Мы не будем принимать во внимание
каких либо индивидуальных свойств исследуемых ядер. В связи с этим и
результаты должны рассматриваться как дающие лишь первоначальную
ориентацию относительно ожидаемоrо порядка величины. Рассмотрение oc
новывается на трех общих предпО.ltожениях относите.ltЪНО стру"'туры ядра:
1. Предполаrается, что ядро имеет cTporo определенную сферическую
поверхность раДиуса R. Ядерные силы между частицей а и ядром не дей
. ствуют до тех пор, пока расстояние частицы а от центра ядра превосходит R.
2. Предполаrается, что после проникновения через ядерную поверх
ность частица а движется со средней кинетической энерrией Т вн ., которая
значительно больше ее энерrии E . вне ядра. В действительности Т вн . == Е" + То,
rде Т о имеет порядок величины кинетической энерrии внутриядерноrо
движения. В этом параrрафе будет поиазано, что То'" 20 Мэе, если а
является протоном или нейтроном, и несколько меньше для а частицы.
3. Предполаrается, что внутри ядра частица а испытывает сильное
взаимодействие, таи что происходит интенсивный обмен энерrией с друrими
нуклонами.
Сечение Qбразования cocTaBHoro ядра будет определено в этом пара
rрафе rрубым способом (< нерезонансная теорию», Приrодным лишь для
энерrий Е", составляющих по крайней мере несколько Мэе. Полученные
сечения не зависят от KBaHToB ro состояния или любоrо друrоrо специфи
ческоrо свойства ядра мишени; они зависят только от типа падающей час
тицы а (нейтрон, протон, а частица и т. д.) И ее энерrии Е"" а также ОТ
заряда и радиуса ядра мишени.
Для получения первой ориентации вычислим сначала величину ас на
основе классической механики, пренебреrая волновыми свойствами пада
ющеrо пучка. Будем предполаrать, что кащдая частица, достиrающая
ядерной поверхности, образует составное ядро. Если падающей частицей
является нейтрон (Za == О), то сечение, отвечающее попаданию в ядерную
поверхность, очевидно, совпадает с классическрй (<площадью мишени»
а с (п)=='Т'R2. (4.1)
в случае заряженных частиц падающий пучок испытывает отклонение
в поле потенциала V (r) == ZaZxe2/r и ядерной поверхности достиrают только
те частицы, для которых расстояние максимальноrо сближения с центром
ядра' меньше R. Простой расчет приводит к следующему реЗУЛJ.Тату:
{ 'Т'R2 r 1 V (В) ] '", > V (R),
а(:(а)== L Е"
О Е.. < V (R).
(4.2)
Таким образом, ас при энерrиях, меньших « высоты барьера» V (Л) ==
== ZaZxe2/R обращается в нуль и монотонно возрастает над барьером,
приближаясь к своему асимптотическому значению 'Т'R2. .
Приступим теперь к качественному квантовомеханическому обсуждению
этих сечений. Поправки к н:лассическим выражениям (4.1) и (4.2) можнО
описать с помощью двух тчпичных для волновой механики явлений:
а) Положение частицы является неопределенным в пределах длины
волны Ji.. Это можно уч сть, заменяя 'Т'Л2 на 'т' (R + Ji.? и допуская воз
ожность слабоrо проникновения частиц в ядро дате при Е" < V (Л).
18 Зана8 Х2 396' С
, ..1
-:
1"
274
rл,. V/П. Ядерные реа"чии. ОБЩQЛ теория
б) При прохотдении час:ицы через rраницу ядра происходит резкий
скачок потенциала, вызванныи тем, что частица попадает в область дей
ствия больших сил ядерноrо притяжения. Этот скачок привьдит к OTpaтe
нию падающей волны на поверхности ядра. Отражение уменьшает сечение,
особенно при малой энерrии.
Проиллюстрируем эффект TaKoro. отражения простым примером: пусть
пучок частиц с энерrией Е движется в положительном направлении х
. в поле потенциала V (х), заданноrо условием
Энерzuя , V (х) == О при х < О, V (х) == v о при х> О.
Е
.. Этот потенциал показан на фиr. 67. Волновое
,.
число частицы равно
k V2МE
1i
К V2M(E+Vo) > . О
== 1;, , при х .
:r
при х < О,
Vo
V(XJ
ф и r. 67. Резкий скачок
потенциала (от О при х < О
ДО величины V o при
х > О), ведущий к отраже
пию в месте скачка.
Проницаемость дается Форму .
пой (4.3.). При Е>.>УО она
БЛИ8на н единице.
В точке х == О волна испытывает частичное
отражение. Вычислим проницаемость Т, которая
определяется как отношение числа частиц, про
никших в область х > О, к числу падающих
частиц. Волновая функция Ф (х) имеет вид
t)i (х) == Ae ikx + Be ikx при х < О,
Ф (х) == Ce+ iKx при х > О,
а т дается выражением
т == I А 12 I В 12
I А 12
Приравнивая значения и производные Ф (х) при х == О, получим
4kK
Т == (К + k)2 .
Проницаемость т особенно мала, если k <{ К (для малых энерrий) и .CTpe
мится к единице для больших энерrий (k К).
Формулу (4.3) можно использовать в качестве приближенноrо BЫpa
жения для проницаемости 'пучка нейтронов в ядро. В результате учета
эффектов, . указанных в цунктах а и б, пОлучится приближенное выратение
для сечения ас (п) образования cocTaBHoro ядра С при бомбардировке ней
тронами:
(4.3)
ас (п) 1t (R + )2 (k )2 '
(4,4)
rде К волновое число, по порядку величины соответствующее волновому
числу внутри ядра (К'"'-' 1,0.1013 c.м \ см. стр. 279). Хотя формула (4.4)
является более точной по сравнению с классическим приближением (4.1),
однан:о она все же ,остается лишь rрубой интерполяцией, Более точные
значения ас (п) будут вычислены позднее; результаты приведены на фиr. 68.
При больших энерrиях сечение (4.4) стремится к классическому пределу
1tR2, а с уменьшением энерrии оно возрастает, однако медленнее, чем
,1t (R + )2, вследствие отратения, о котором шла речь в пункте б. При
малых энерrиях ( » R) ас (п) пропорционально СЧ2. ЭТО хорошо известный
ван:он 1/v для поrлощения нейтронов, который можно объяснить следующим
образом: если длина волны нейтрона велин:а по сравнению с размерами
ядра, то вероятность поrлощения нейтронной волны ядром может зависеть
только от плотности вероятности 1 == I ф /2, а не от длины волны нейтрона,
так как послеllНЯЯ в сущности бесконечна. Таким образом, Поrлощение
JI
rl
j
J
11
1/
)
J
J I J
I I
/ / / /
/ V J /
i7 V 1/ 1/
;"1:>
v j1 '" V 1/
/ f7f
/ /
,1 ,1 / :\-1:>
V / v / V
/ /
/
о о о о о о о It) C\I О 00
S? со- " t.6 It)" "",- СУ5 C'I;i C\I- ....- ..... ..... О'
zl1 ]J
Л
о
!JJ
1;:
'"
..
ISI
'"
ISI
1;:
ос>
ISI
""
ISI
ISI
11
с>
'1
.
=
:::i! '"
gJ t
о ...
j:>., '"
,1;;; I
ф
== ..
j:>., .."
1:1: ::.о"
1:1: ",j
g t
;
t а=
о ;S1Sl
,., "'
= '" '"
.-
: g;
о ""
ISI",
&-
о l",t=I
ф
= 00 о'
== =
:
i""
со 11
!t
. ..
=
= ISI
е g;
1;:
.,
'"
..
=
'"
iE
о
1;:
..
о
'"
'"
ISI
=
'"
10
'"
ISI
g
о
""
(.о
It)
"'"
с>:)
C\I
It)
,
О
.
00
О"
со
с:;,"
It)
с:;,'
"'"
с:;,'
О'
C\I
c::f
t:::S'
с-- О '
О'
18.
rJ7J. V/П. Яоерные реа1!:ции. Общал теория
276
нейтронов пропорционально 1; однако число нейтронов, падающих в 1 сек.
на единицу поверхности, пропорционально vI, так что сечение оказывается
пропорциональным 1jv.
В случае заряженных частиц не удается получить простое приблитенное
выражение, подобное (4.4). В табл. 11 показаны иллюстрирующие примеры.
При энерrиях падающих частиц E , превосходящих высоту барьера V (R),
можно пользоваться следующим выражением, представляющим собой rрубую
поправн:у к н:лассической формуле (4.2):
ос 1t (R + 1\? [ 1 V ( + л) ] .
дЛЯ Е.. j V (R) > 1,2 рассчитанные значения в пределах
(4,5)
Оно воспроизводит
15% ( M. фиr. 69).
120
100 ос для протонов
Z = 30
.... 80 R = 6 '1O 13c.м
,5 В = 7,17 Мэв
.
(;) 60
....
40
lO
...
00
7rR 2
Приближенное ....
вырашвнив (4.5) ............
.........
".....
2,2
.......-.
..........
".,.. .
/'
. -"'f{;ассическое
/" значение
/'
.
Фи {'. 69. При мер сечения образования COCTaBHoro ядра протонами.
Сплошная иривая теоретичесиая. дающая наилучшее соrласие; пунитирная ири-
вая соответствует приближенной формуле (4.5); штрих-пунитирная иривая со-
ответствует илассичесиому выражению (4.2). Приведено таиже асимптотичесиое
8начение, равное '1tR2. У==Е/В представляет собой энерrию протона в долях вы-
соты барьера.'
Приступим теперь к пвантово.механuчеспо.му расчету сеченuй. Используем
для этих целей выражения (2.55) (2.58), в которых сечение реакции и сече
вие рассеяния выражены через лоrарифмические производные на поверхности
ядра fl' катдая из которых отвечает определенному моменту количества
движения l. Функции fl зависят от условий внутри ядра, и для Toro, чтобы
получить приближенное выражение для fl' необходимо ввести предположе
вия относительно строения ядра.
Сделаем в добавление н: tIриведенным в начале этоrо параrрафа трем
основным предполотениям четвертое предположение [250] 1):
4. Предполаrается, что число открытых каналов чрезвычайно велико.
В, отличие от предшествующих это предположение свойственно исклю
чительно нерезонансной теории ядерных реаю ий и будет опущено впослед
фвии в этой rлаве. Предполотение 4 выполняется, если энерrия падающей
частицы E во MHoro раз превышает энерrию вонбуждения нескольких низших
уровней ядра мишени. Для не очень леrRИХ ядер (А> 50) это условие
выполняется, скажем, при E > 3 МЭб. Оно может также выполняться
1) HeCKo;IbRO иное предположение, также приводтцее к нерезонансной теории
ядерных реакций, БЫlIО сделано Бете [61]
"
4. Опреое.аение сечений; нереsонансная теория
277
и при более низких энерrиях, если падаюшая частица вызывает реющию
с высоким положитеш,ным пороrом Q (Q > 3 Мэв).
При этих условиях очень мало, вероятно, чтобы ядерная частица а,
достиrнув ядра мишени по каналу а. и проникнув внутрь ядра, вновь по--
явилась в I\анале а.. Частица может испытать отражение в исходный капал
па поверхности ядра, однако после проникновения сквозь поверхность
происходит интенсивный обмен энерrией с друrими нуклонами, и вероят
ность Toro, что частица покинет ядро по тому же каналу а., очень мала,
если тоЛько число открытых каналов велико.
Используем также тот факт, что частица, попав в ядро, движется.
внутри Hero с болыпой кинетической энерrией, и будем предполаrать, что
волновая функция падающей частицы, rрубо rоворя, содержит только
сходящуюся волну (поскольку частица не возвращается из ядра):
и/ '"'-' e iKr, r < R. (4.6)
В этом выражении К представляет собой волновое число, по порядку вели
чины равное волновому числу влетевшей в ядро частицы. Так как лоrа
рифмическая производная должна быть непрерывной при r == R, то сравнение
с (2,45) приводит к фундаментальному предположению нереаонансной теории
ядерных реаrщий:
fl == iKR
(4.7}
(независимо от l),
Следует подчеркнуть, что соотношение (4.6) является чрезвычайно
rрубым приближением. Движение падающей частицы внутри ядра нельзя
представить в виде функции только от r. Соотношение (4.6) выражает лишь
тот факт, что вследствие сильноrо взаимодействия частицы со всеми друrими
нуклонами они обладают в среднем кинетической энерrией, отвечающей
волновому числу К, и движутся тольно во внутрь ядра. Это соотношение
описывает в основных чертах зависим.vсl'Ь волновой фующии от r и будет
использовано лишь для получения оценки лоrарифмической производной f.
Намеченный выше путь определения сечений мы будем называть He
резонансной теорией, так нан он не дает возможности воспроизвести ядерные
резонансы. При переходе к изучению области более НИЗI\ИХ энерrий (см. S 7),
rде уже нельзя пренебреrать возможностью возвращения частицы в исход
ный канал, потребуется отличное от (4.6) выражение, описывающее поведе
ние и/ (r) при r < R.
Теперь мы можем воспользоваться для подсчета сечений выражениями
(2.55) (2.58). Вследствие предположения о том, что частица а не может-
быть снова иснущена составным 'Ядром в канал, являющийся исходным,
сечение реакции а т будет идентично с сечением образования cocTaBHoro>
ядра ас (а.). Следовательно, последнее можно подсчитать, вводя (4.7) в (2.58):
со
ас (а.) == 1tJi.2 (2l + 1) 4s 1 KR .
kJ A +(KR+SI)2
1==0
Единственной величиной, харан:теризующей в этом выражении внутреннее
строение ядра, является К. '!
Член, отвечающий l == О (S волна), вы'rлядит особенно просто в случае,
нейтронов ( o == О, 80 == kR):
ас, О == 1tJi.\k )2 (нейтроны с l == О) (4.9)
(4.8)
и леrко может быть интерпретирован как произведение ман:симально воз-
MomHoro сечения 1tJi.2 и проницаемости Т; рпределяемой формулой (4.3).
... ,
F.
278
rA. УIIl. Ядерные реа1!:ции. Общая теорШl
,
Сечение рассеяния находится подстановкой (4.7) в (2.55) (2.57). Это
дает следующее выратение:
сх)
. +2 "" (21 + 1) 1 2i81 + 2Щ 11 2
аз 'Т'л .C..J At + i (КВ + 81) е , .
1==0
Сечение рассеяния определяется двумя эффен:тами: отражением падаю
щей волны на поверхности ядра вследствие внезапноrо изменения длины
врлны при переходе из внешней области во внутреннюю и ОТР(l,жением
падающей волны внешним барьером вне поверхности ядра. Оба эти эффекта
RorepeHTHbl и поэтому в сечении (4.10) их нельзя точно разделить. Возможен
таRже третий ИСТОЧНИR упруrоrо рассеяния, не вносящий ВRлада в (4.10):
образовавшееся составное ядро может распасться по тому же Rаналу, по
{\оторому оно образовалось. Однано этот ВRлад совершенно ИСRлючен OCHOB
ным предположением нерезонансной теории ядерных реаRЦИЙ. ПОСRОЛЬRУ
все ВRлады в упруrое рассеяние действуют HorepeHTHo и, таRИМ образом,
lIе MorYT быть, CTporo rоворя, отделены друr от друrа, очень важно иметь
Б виду это Rачественное разделение на три эффеRта. В самом деле, осневное
различие между нерезонаНСlIОЙ теорией и теорией резонансных реан:ций
непосредственным образом связано с этим положением (см. S 7).
Теперь мы должны оценить волновое число К, входящее в ряд Bыpa
жений, Соrласно определению, К представляет собой волновое число, OT
вечающее частице, ПРОНИRшей через поверхность ядра, и ero величина
вавиеит от типа частицы и канала, по н:оторому она попала в ядро. Волновая
Фуннция частипы а внутри ядра не может зависеть только от ее собственных
Rоординат; поэтому понятие волновоrо числа К этой частицы сохраняет
лишь качественный смысл, Мы оценим К, исходя из Rинетичесн:ой энерrии
т ВН. == h 2 К2 / 2М, соответствующей этому волновому числу, приравняв Т ВН.
средней н:инетичеСRОЙ энерrии частицы а после ПРОНИRновения в ядро.
Предположим вначале, что частица а является НУRЛОНОМ' (протоном
или нейтроном). Для Toro чтобы получить приближенные сведения OTHO
сительно величины К, оценим н:инетическую энерrию НУRЛОНОВ внутри ядра
тем же методом, что и в rл. 111, 4. Средняя RинетичеСRая энерrия Т,
соответствующая ядру с радиусом R, содержащим А частиц, дается Bыpa
жением (111, 4.16). Однано эту среднюю величину нельзя приравнять А,
умнuженному на RинетичесltУЮ энеР1'ИЮ частицы, ТОЛЬRО что ПРОНИRшей
в ядро извне. Соrласно принципу Паули, влетающий в ядро НУRЛОН не может
попасть на один из занятых уровней; следовательно, он должен обладать
знерrией, соответствующей rранипе распределения Ферми, т. е. ero Rине
тическая энерrия долтна быть ПОрЯДRа /';' (111, 4.14). Сравнивая (111, 4.14)
с' (111, 4.14а), получим (при R==roAlJS)
2М/,;' == ( 97t ) 213 == К 2
k 2 8 r о'
Будем предполаrать, что (4.11) определяет порядок величины волновоrо
числа нун:лона а внутри ядра для случая, коrда он не приносит с собой
первоначально Rинетической энерrии, т. е. НУRлона, попадающеrо в ядро
с энерrией /'; /,;'. С. друrой стороны, если нун:лон обладает значительной
энерrией /';, то ero кинетическая' энерrия сразу же после проникновения
сквозь ядерную поверхность будет выражаться суммой /'; (н:инетической
энерrии, которую частица при обретает в TOl\-I случае, коrда она ПQпадает
Б ядро с ничтожной энерrией) и /'; (энерrии, RОТОРОЙ частица обладала
вне ядра). Поэтому волновое число К нуклона, находящеrося внутри ядра
вблизи ero поверхности, дается выр ажением
к== у K:+k 2 ,
(4.10)
(4.11)
(4.12)
rде Ко определяется соrласно (4.11), а k представляет собой волновое число
падающеrо нуклона вне ядра. Волновое число Ко не зависит от числа
нуклонов А (вследствие предположения о постоянстве плотности ндерноrо
вещества) и остается приблизительно одним и тем те для всех ядер. Ис
пользуя значение ro == 1,5.10 13 см, получим
Ко 1.1013 CM 1 (для падающих нуклонов). (4.13)
rораздо труднее получить оценку Ко в случае, коrда падающей частицей
является а частица или дейтрон. Повидимому" разумно считать, что Ко
совпадает по порядку веЛ}IЧИНЫ с обратной величиной расстояния между
нуклонами внутри ядра. Поэтому можно попытаться также положить
Ко'"" 1.1013 C.:U 1 (для а частиц и дейтронов). (4.14)
На фиr. 68 приведены сечения О'с для нейтронов, вычисленные на
основе (4.8), а в табл. 11 указаны сечения для протонов и а частиЦ 1).
Величина Ко входит в формулы для сечений только в комбинации ХО == KoR.
Нейтронные сечения дЛЯ ХО == 5, 7, 9, соответствуют элементам с радиу
сами, близкими к 5.1O 13 см (хлор), 7.1O 13 СМ (серебро) и 9.1O 13 см
(уран). Сечения для заряженных частиц собраны в табл. 11. В ней исполь
'зуются два различных значения радиуса R == r о А 1 /з с ro == 1,3.10 13 см
И ro == 1,5 .10 13 см. Величина сечений весьма чувствительна к значению
радиуса ядра.
В случае а частиц (в отличие от нун:лонов) радиус R равен cyMM€I
радиусов ядра мишени и частицы р:
R==r о А1Jз+ р . (4.15)
При расчете табл. 11 радиус а частицы был выбран равным р-=
== 1,2.10 13 СМ. Такой выбор величины р до некоторой степени произволен.
Выбранная величина несколько меньше радиуса а частицЫ (paBHoro, соrласно
{36], 2,3.1O 13 см). Подобное обстоятельство можно арrументировать тем,
что отталкиваюшие кулоновские силы продолжают действовать, даже если
1Х частица частично проникла в ядро мишень, тан: что радиус р должен быть
меньше действительноrо радиуса. а частицЫ. Сделанный выше выбор р при
водит к близким величинам радиусов, полученных с помощью нейтронов
и заряженных частиц (см. rл. XI, 4), и поэтому может рассматриваться
Б качестве полуэмпирической величины.
Сечение упруrоrо рассеяния (4.10) представляет интерес rлавным образом
Б случае нейтронов. Для заряженных частиц доминирующую часть упруrоrо
рассеяния составляет кулоновское рассеяние, не представляющее интереса
при ядерных реакциях. На фиr. 70 показано полное сечение 0'/ == О'с + 0'8
" для нейтронов в зависимости от энерrии. Очевидно, что q/ достиrает cBoero
асимптотическоrо значения 2rcR2 (см. стр. 256) лишь при очень высоких
энерrиях, Для энерrий, меньших 50 Мэв, 0'/ заметно превышает 2rcR2.
Теория предсн:азывает также уrловое распределение упруrо рассеянных
нейтронов. В предельном случае R рассеяние происходит rлавным
образом вперед. Оно представляет собой рассеяние, обусловленное наличием
тени, о чем уте rоворилось на стр, 25 , и поэтому оrраничено уrлами О,
имеющими порядок величины ,1 В. 'у rловое распределение этоrо рассеяния
было впервые вычислено в работе [57], в которой ПОRазано, что сечение
8 4. Опреоел,ение сечений,' нереаонансJ.tая теория
279
.
1) Расчет сечrний 0'0 для заряженных частиц па осн()ве нерезонансной теории и
сравнение с экспериментальными данными содержатся в работе S с h а р i r о, Phys.
Rev.. 90, 171 (1953). Прим. перев.
:з
ISI '"
00
OISI ф
:о ISI
ISI gJ
'" :>'
ISI ф
о
ф
08' ::f
>80 ISI
cr.> ...
Q
\&.1 CJ ;
1:1 "" I
=:
'.. "" t!:
""
Q,) 10 о;:
5
о
о)
е '" l'
I ;:
.., "=: .
:
=: 11
..,N.,.
1:1 wa..
ISI
." R:1
= iI.> g:
=: ...
:е 2-
ef
=: '" t!:
n >ISI
o
Ir
=: о.. ""
:е о . о
:2! о;: ISI >80
,=01
Q,) g
!Е t :>1 :;;
=: о: :е
"" ""ISI
са iI.> о;:
." о:
U ::;;: с
са ISI
о FЗ
"'1: Q .. ""
=: '"
о &
'- "
с 8 ;
з
c':t ::< :>1 о
iI.> I ""
8 ;
...
е + О
0':1 Ь
= ;=t.....
g
ISI :>-.
е ... ..
О О 11
: "=: gJ
1:1 ISI :>1:>'
= Ь
00
Q,) 'ISI S
U iI.> gr::r
Е3' ...
&1 о'"
g 5
t!:'"
о'"
'" ...1
tI:
[; iJ '"
t:i С
cr.> g :е
"=:
.....
.....
t:!
S
\о
t:!
е-.
:>-.
;;<
>:с:: +
L............J
А
:>-.
"'""
'"
;;<
+
"5-
?l
О
"
с>
...
;:
с>
с»
с>
00
с>
с>
""
с>
'"
с>
""
с>
'"
с>
.....
.. '" ..
I I I
000
"'"" "'"" "'""
oooot--
00",""
<':) "'""
'" '" ..
I I I
000
"'"" "'"" "'""
ООLJ";)О
0000<':)
"'""С'1С'1
"
,
о"'..
bb
<':)"'"""'""
ОС'100
"'"" 00-<1<
.. '"
I I
,,00
I "'"" "'""
О . .
"'"" -<1< 00
LJ";)OO
t-- <':) "'""
:i;
<.>
..
Ь
"'""
.. '"
I I
..00
I "'"" "'""
О .
"'"""'"" 00
"l
"'""
11
...
ФОС'1
-<I<",""C'1
.:а
=
е
Е-
е
'" ..
I I
00",
"'"" "'"" I
. . О
<':) 00 "'""
000000
<':) <':)-<1<
ь ь
I "'"" "'""
О . .
"'"" 00 "'""
OLJ";).....
-<1< "'"" "'""
....
r
.. '" о
bb
"'"" ",",,-<1<
000000
LJ";)t--С'1
с'1 О
OLJ";)<':)
"';--<1<- О
"'""
<':).-<1<.
000
'" ....
,1 I
00....
I
. . О
0000 "'""С'1 <':)
МОО--<i< ОО-
C"\J"<:"""IФ"<:"'"'IC"\J
'" ....
I I
00....
"'"" "'"" I
. . О
"<:""'I...oc:.. Ф.. ...
Ф"<:"""l Фr--
м c:.;r r-- "<:"'"'1 с'1
'" .... ...
О , I I
О О
Li";lФ
. . . ... ...
ООФ-<l<t--t--
LJ";)C'1 00 "'""С'1
'" .... ....
I I I
000
Cf:)ф
"'""oooooot--
00 <':)Ф"'""С'1
7
о....
"'"" ,
. о
ОО"'""-<I<t--оо
.... .. .. ...
-<1<00",",,0000
C"\J
....
I
о....
"'"" I
О
'"':'""t C"\J С':> Li";I
.... ... ... ...
C"JLJ";)<':)000
C"\JФ С'1C"\J
ЬЬ
"lr--
. . ... .. ...
.....00 LJ";)C'1 00
0о,,,",,С'1С'1
....
r
о
",""t--ОООLJ";)
. ... ... ... ..
t--С'100-<l<ОО
t'-- C'1C"\J
t--oo ООС'1 О
.. .. ... ... ...
ОООLJ";)ОО",""
"'""С'1С'1С'1<':)
"
LJ";)OOt--ооф
... ... ... ... ...
00000
00
00<':)-<1<-<1<<':)
<':)LJ";)OOt--ОО
00
ФО",""ОО
<':)LJ";)oot--оо
ФООфt--LJ";)
<,:)-<I<LJ";)ООt--
t--ОО LJ";)C'1 00
<':)-<I<LJ";)ОООО
00
ООLJ";)С'1ФLJ";)
<':)-<1< LJ";) LJ";) 00
00<':)00<':)00
<':)-<I<-<I<LJ";)LJ";)
1.1') 1.1') ф cf:)
<':)-<I<-<I<-<I<LJ";)
<':) "'""
М t--- о <':) 00
<':)<':)-<1<-<1<-<1<
-<1<-<1<00
<':)LJ";)t--0С'1
<':)<':)<':)-<1<-<1<
c:.",",,_ -<I<.
<':)
"'"" 00 -<1< О 00
ФФо
"'"" "'""
I
.
с'1
t--<':)Ф-<l< LJ";)
OQФФО "<:"'"'1
"'""
о
ф ф ...
00000000 "'""
00
LJ";)ф<':)t-- с'1
L.... со со
<.",
о
N
O-<l<t--O "'""
r-- t'-- r-- со
.
<':) 00 00 "'"" о>
ооооооt--
'"
00
N
ООФ"'""С'1 00
LJ";) LJ";) 00 00
,-;
LJ";)
-<1<
Ф",""C'J-<I< 00
LJ";)LJ";)LJ";)
00
о
LJ";)t--0C'J -<1<
-<I<-<I<LJ";)LJ";)
.......
'"
'"
--_.
LJ";)OOt--ОО
i:Q
.... .. ..
ЬЬЬ
............ .....
ф lr.) lr.)
lr.)'<j<t--
'" '" '"
I I I
000
.......... .....
м о""
'"
I
bb
с'1 ..... .....
Ф t-- С'1
"'l'<j<M
.. ..
'ЬЬ",
.......... I
О
мО.....
О lr.) О
С'1 ..... t--
::;
'"
"
ь i i
""""" 0'II1:II О
..... I .....
t--S'<j<
.....
11
...
[ .'
::а
U:I e-::I
Е-< I I I
0000
c..
t-- С'1 lr.)
'<j< м 00
C"\I cf:)
.. '"
I I
О О
..... .....
'"
I
О
Ф Ф.....
t--ОФ
..... .....0>
'" ...
I I
О'" О
..... I .....
О
м..... .....
"'1 о> 00
Mlr.)"'I
.. ...
I I
О О
..... ..... С'1
'<j< t-- О
t-- М .....
?
>']
'1
"'1 i:") '<j<
000
'" ...
I I
00...
..... ..... I
О lr.)
I./:IС'l ФОО
t--t--lr.)ф"'I Ф'<j<ФМlr.) Фt--t--lr.) '<j<
"<:"""I ф сУ) Фt'--ФО C'\]cY)
i
о... ....
"';ЬЬ
ф СУ)О
00"'1 lr.) 00"'1 ООМФООО
"'I"'It--.....М '<j<Фt--ООО
.....
'" .... ...
I I I
000
C"IJC"\J
t--Ф t--o> "'1
'<j<C'100.....M
Ф.....С'1М'<j<
'<j<Фt--ООо>
...
I
'" О
I .....
О
.....'<j<С'1О>Ф
. ... ... .... ...
Фlr.)ОО"'l lr.) 00 00 0000
t--M.....C'1M '<j<lr.)Фt--ОО
...
I
о....
..... I
О
cY) OcY)
.
"'1 0ОС'1 "'1 М
'o::""!C"\JC'f:)
'<j<lr.)lr.)'<j<.....
'<j<lr.)Фt--ОО
Ь....
..... I
О
М..... МО '<j<
..... Ф '<j< '<j<M
С'1Ф....."'IМ
M"'IOt--'<j<
'<j<lr.)ФФt--
....
I
о....
..... I
О
lr.) ..... "'1 '<j< 00
00..... t--lr.) М "'IОФС'1t--
МФ....."'IМ '<j<lr.)lr.)фф
....
I
О
.....Фt--'<j<Ф
ФС'10t--М
t-- ..... С'1 С'1 м
0>lr.)0lr.) 00
M'<j<lr.)lr.)lr.)
М О..... М
ФС'1t--.....lr.)
""''''1 С'1 ММ
о> "'1 Ф о> "'1
M'<j<'<j<'<j< lr.)
lr.)Фt--ООо>
... .. .. ...
00000
0....."'1 M'<j<
00>'<j<00 М
C'\] C"\J
м ..... t-- С'1
О C"\J
t-- М 00 С'1
0>00.....
.......... .....
о
t--
t'-- c'f:) ф
000>0>0
.....
lr.)
lr.)
Ф'<j<ООО 00
t-- 00 00 Ф
C'1lr.)t--00
t-- t-- t-- t--
о
Ф
lr.)
lr.)
lr.)
Ф 0>..... '<j< м
lr.)lr.) Ф Ф
lr.)Фr--оо
.....
о
.....
"'1
.....
о
.....
.....
r--
.....
r--
.......
'"
'"
........
i:Q
I
о
с»
.. '" '"
'" ... ...
I I I
О О О
..... ..... .....
o>mr--
"'1 '<j< о>
о
'" '"
i .... Ь 'i'
о о
..... ........,
'<j< 00 О.
lr.).....lr.)
о
'"
= C'J
'"' I I I
000
..... ..........
'"
'i'
CM.....r--
ф 00 L!";I
"l
.....
11
...
о
""
:i
=: i i
Е-<.... 00
I
=>' S "' 6
C'\Jo
lr.)..... .,..
о
""
ЬЬЬ
..... ..........
r--lr.)00
OO M
..... ..... С'1
о
....
..
I ...
.. О'"
I ..... I
О . С
..... lr.) .....
lr.)00'<j<
r-- "'1 00
"'1 M'<j<
С СС
.. ....
I I
i( 1
ti;,;;;SooS
"<:"'"'100 Q':) L!";I
фt'-- со
.. "'....
I I I
0'II1:II 00....
I I
О . О
L!";I Q':)
фr--lr.)ооr--
CY:I ф
'" '" ...
ь ь '" ь
'о::""! I
. с
ОО>.....МС'1
ООC'JФО
С'1 "'1 ММ"'"
ььь
b
OON .....-r
"'1 00 '<j< ,"" "'1
, I..i.)
'i'
'" l:iI о....
r I "<:"'"'1 t
СО С
ф
'<j< .,.. r-- lr.) м
ф ФC"\i t'--
....
I
'" о....
I ..... I
О О
ф C"\JОО
Li";I,О::,,"!ф
t"--N Ф
lr.)Фr--ооо>
,;; о с с.с
О
......
'....
....
ti i
"о ... со ..
t! '" ... ... CIO U:I О
i: с:> I I I bbb .
Q> 11:> 1:'1 000
...... ............ C'Ij 1'- о:
.., ООC'ljt"-'O:""I c<'J11:>c<'J0 00 ф <:'1 Ф c-i I:'I
;:j 1:'1 c<'J11:> ФОО 0>0......1:'1 1:'1 '<1'11:>1:'1 11:>11:> ФI1:> C<'J 1'- О "" C<'J '<1'
:t ............ ...... '<1' C<'J '<1' '<1' '<1' '<1"............ 1:'1 '<I'ф 000 ...... C<'J '<1' 11:> ""
'" ......
<:>
:1:::1
.. .. ...
'" '" Q I I I
.. ... ... .- 000
с:> ЬЬЬ I
"" о: О . . .
............ ...... ......0:""'<I'c<'J '<1' 1:'1
с:.о ф o ....00011:> C<'J '<I'ф C<'J ..:. ..; OQ O: о I1:>""ОФо> C'ljC'lj
"" C<'J '<1' ф 1'- 000:0:0 "" ......
.... C<'J C<'J Ф OOC"\l ""'<I'ФI'-ОО О......"" C<'J ""
i '" ., ...
... ., I I I
.. ... О О О.. О...
ьь ...... I I
с:> . . О . О
"" C<'J ф о> '9.. OOC'Q C'Ij ...... 11:>
.... ... .....
...... 1:'1 '<1''<1''''' 01'-'<1'0: 00 '<1'''''1:'1 '<1'1'-0>""'<1' 11:>0c<'JI1:>Ф ФI1:> ""...... Ф
"1 C<'J '<1' 11:> Ф 1'- 1'- 00 00 ...... .., ф ф...... "o:""IC'QC'Qф "1 '<1' 11:> Ф 1'- 000>0...... ......
...... ......
.,
i
с>
....
....
11
Q
..
.. ...
'" I r
:а... '" '" .. 00...
с:> О i:f I I I I I
'" о> C<'J 11:> =000 О . . О
E-t c:.oOO M 00 CJ:>
00>0011:>...... ф'O:""l Фа C<'J . .. ..... ...
"1 "1 C<'J '<1' 11:> 11:> Ф Ф 1'- ...... Q Ф 1'- CJ:> c<'J11:>c<'J00'<l' '<I'ф ф 11:> C<'J О c:.o с:.о ......
0:I1'-c<'J11:> c:.o li.) "'1 C<'J '<1' U? ф 1'- 1'- 00 00 ......
r;
t!
с:>
""
О
0>1'- "1
Ol'-'<I'V> '<1' CJ:>c<'JФCJ:> О
NN C<'J C<'J '<1' '<1'11:> 11:>11:> ......
с:>
00 1'- C<'J
с:.о ФФC"\l с:.оt"-с:.о
"1 "1 C<'J C<'J C<'J '<1' '<1''<1' '<1'
!
'""'
'"
O......Nc<'J'<I' 11:> Ф 1'-00 ;:;s
'--'
'O;:""'I 'O;:""'I
...
..... ...
ЬФЬ t:<IЬ
I I I I
О О О . О
ф ф 'O;:""'I
00'<1'11:> ......фl'-......U? '<I'С'? О I'-C"J 00"'00"1 о>
"111:>""" 11:>11:>"100""" ""C"J'<I''<I'11:> I1:>ФФI'-
... ...
I I
..... О O....t
Ь......Ь b b
'O;:""'Iф t"- Nфф ф
CJ:>1'-......CJ:>'<I'I'-NCJ:>U?......I'-NфОC"J11:>1'-11:>
l'-......фI1:>Nф............NC"JC"J'<I''<I'11:>11:>11:>11:>
'"
NC"J'<I' C"J'<I' ;:;s
OOOOOOOO 'O;:""'I'O;:""'I
9 5. Прони"новение череs потенциальный барьер
283
рассеяния в элемент телесноrо уrла dQ в направлении О определяется
выражением
da s (О) R21 J 1 ( e e ) 12 dQ
( 4.16)
для О 1 и ];, R 1).
8
7
в
bl
3
2
О 2 3 4 5 в 7 8 S Ю
х
Фи r. 70. Полные сечения для нейтронов.
По оси абсцисс отложено x==kR. {'де k волновое qисло нейтрона (в системе центра масс), а R
радиус ядра; х связано с энерrией нейтрона Е соотношением х==0.218 у. R, {'де Е выражено в Мао.
а R B 10 18 с.м. По оси ординат отложено полное сеqение 0t==or+os=='C+O" в единицах 1tR2. Две
верхние иривые отвеqают разлиqным знаqениям Xo=KoR R в единицах 1 0 13 см. Нижняя иривая
(00) приведена, для сравнения. 00 представляет собой сеqение для абсолютно отражающей сферы.
При высоиих энерrиях (kR>4) полное сеqение не qувствительно и велиqине Ко и мало отлиqается
от сеqения для отражающей сферы. иоторое соответствует велиqине Ко==оо. Таиим образом. вели-
qину полноrо сеqения при больших энерrиях можно испольsовать для определения радиуса ядра R
11 ,нельзя использоваТь для определения волновоrо qисла «внутри ядра. Ко. Следует таиже обра-
тить внимание на то, qTO асимптотиqесиое знаqение 0t==21tR2 достиrается лишь при OqeHb больших
энерrиях и поэтому не является хорошим приближением для нейтронов с энерrией меньше 50 Мво.
5. ПРОНИКНОВЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР
Сечение образования cocTaBHoro ядра по наналу fJ. (4.8) записывается
в виде CYMM членов, наждый из OTOpЫX соответствует определенному
моменту ноличества движения l падающих частиц:
00
аС (fJ.) == :L аС! (fJ.).
!==О
Наждое парциальное сечение можно интерпретировать следующим обра-.
зом. Напишем выражение для ас! (fJ.)
ас! (fJ.) == (2l + 1) 'Jt];, 2T t (а)
(5.1)
и будем называть Т! (fJ.) Проницаемостью, отвечающей частицам а в нанале fJ..
.
1) Относительно диффракционноrо рассеяния заряженных частиц см. А. А х и е з е р
и И. П о м е р а н ч у к, Успехи физич. наук, 39, 153 (1949). npUM. перев.
r.л,. VIII. Яоерnые реапции. Общая теория
" .
......
284
r.
в OITOM случае сечение представляет собой произведение максимальпо воз
можноrо сечения [см. (2.4)] и проницаемости.
Поскольку проницаемость Тl (а) исключительно важна и в ряде друrих
случаев, мы вычислим ее непосредственно, исходя из вида потенциала,
в поле KOToporo частица а движется в канале а. Рассмотрим частицы
с моментом количества движения l в канале а. Эффективный потенциал
и! (r) вне ядра дается выражением
и! (r) == V (r) + п2 1)
при r > R.
(5.2)
в этом выражении первый член представляет собой кулоновский потен-
циал, а второй является «центробежным» потенциалом, который возникает
в волновом уравнении при приведении к одномерному виду (2.30). Наличие
этих потенциалов препятствует проникновению частицы в ядро или вылету
из Ядра. В первом случае мы будем rоворцть о кулоновском барьере,
во втором о центробежном. .
с'Ь а и
и Е
r'
У=О, l=O
и
2 r
у= Za Zx e , l=O
r
Е
r
У=о, lf.O
Фи r. 71. Потенциальные барьеры.
а амплитуда падающей ВОЛНЫ; Ь аМПЛитуда отраженной ВОЛНЫ; с ампЛитуда ВОЛНЫ; про-
ниншей СНВО8Ь барьер. '
Силы, действующие на частицу внутри Ядра, нельзя охарактеРИЗQвать
с помощью потенциала. Однако приближенно можно предположить, что
при r < R существует потенциал, отвечающий волновому числу К,
п 2 К2
и 1 (r) иo== 2М О
при r< R.
(5.3)
Проницаемость Т! (11) определяет долю частиц, движущихся в наПравле
нии от r == +.00 и проникающих в область r < R.
Подсчитаем проницаемость потенциалъноrо барьера, характеризуеМО Q
выражениями (5.2) и (5.3) и представленноrо на фиr. 71. Предположим,
что наша задача может быть сведена к одномерной, в которой координата r
изменяется от 00 до + 00. Пучок распространяется от r == + 00 в Ha
правлении r == О и испытывает частичное отражение из за наличия скачка
потенциала; частично он проникает в область r < R и продолжает двиrаться
в направлении r == 00. в действительности частицы, попадающие в область
r < R, смешиваются о друrими нуклонами Ii образуют составное Ядро.
Предположим для простоты, что пучок, миновав скачок потенциала
при r == R, продолжает двиrаться невозмущенным в направлении r == 00.
Запишем волновую функцию и! (r) для r > R, являющуюся решением Y:eaBHe
ния (2.30), в виде
и! == aи ) (r) buf+) (r) для r> R,
а для r < R в виде оеrущей волны с волновым числом К
. , и! == ce iKr для r < R.
Функции и +) и и ) являются решениями уравнения (2.30) и определяют
ся соrласно (2.41), а К дается выражением (4.12). Проницаемость равна
1 I Ь/а 12, так кан I а 12 равняется интенсивности падающей волны, а I Ь 12 .
-,
\
, 8 ,5. Проnипnовеnие череа nотеnциалъnый барьер
285 .
интенсивности отраженной волны. Приравнивая значения функции и пер
вой производной ,и l при r == R, получим
ь /!"l isz+iКR 2i" (5.4)
== е '!
а AI+isZ+iKR
и, таким образом,
4sZKR
Tz(a)== A[+(sz+KR)2' (5.5
rде l и 8! определяются соrласно (2.46).
ПрЬницаемость отлична от единицы даже в том случае, коrда при
r> R отсутствует потенциал и (r), т. е. для нейтронов с l == О. При этом
o == О и 80 == kR, так что получается формула (4.3).
Для не слишком больших энерrий (k К) 8! И ! малы по сравнению
с KR. В этом спучае формула (5.5) сводится к следующему приближен
ному выражению [v z определяется соотношениями (2.49) и (2.50)]:
4k
Тl (а) К V z для k К. (5.6)
Следует отметить, что проницаемость Тl (а) не зависит от направления
двитения. Если в центре ядра находится источник частиц, то некоторые
из частиц будут испытывать отражение при достижении поверхности изнут
ри. Отношение потока частиц, проникших во внешнюю область, к потоку,
падающему изнутри на поверхность ядра, танже будет определяться Тl (11).
, В случае нейтронов Тl (11) можно подсчитать точно, используя (2.39)
и (2.40) совместно с определениями (2.47) и (2.48) и соотношением (2.fiП.
Вводя обозначения
x =:::. kR, X == KR,
vi =:::. k [ ( dZ I У + ( d%r z у J '
получим следующее выражение для Тl (а) (5.5):
4xXvz
Т! (а) == Х2 + (2хХ +x2v;) vz (нейтроны).
Для малых l фуцкции V z И v' пмеют вид
v o ==1, v ==1,
V 1 == 1 2x2 , V == x + (1 ;2 у,
V 2 == 9+;;2+ х 41 V == (1 x )2 + ( x ' ; у ,
х 6 v' == ( 1 21 + 4 ) 2 + ( 45 ) 2 ( 5.8 )
V З == 225+45х 2 +6х 4 +х 6 , 3 х 2 х 4 х3 Х '
В то время как для больших l асимптотически,е выражения для V z и v[
определяются следующим образом:
(5.7)
х2!
V z [(2l 1) IIj2'
Выражения (5.8а) приrодны при условии, что х [. Функции V z и Vl
протаБУ.IИрованы в работе [470].
Подсчет проницаемости Тl (а) в случае заряженных частиц оказывается
,более сложным. Функции Р! (х) и G z (х) трудно протабулировать, так как
они зависят от двух параметров [х == kR и параметра заряда 1 (2.34)].
:Ипоrда используется прцближенный метод Вентцеля Нрамерса
, "" l2 [(2l 1) 11]2
VZ"'" x2z.2
(5.8а)
,
. 2В6
/,,,,,. УlIl. Яоерн,Ы8 реа"ции. Общая m.eOpиiJ
Бриллюэна, однако следует иметь в виду, что это приближение не является
очень точным. Оно при водит К следующим результатам:
в, (kR) Rx( (R) \
( (kR) R [ i; ] J
1i 2 k 2
при l!( (R) < 2М '
(5.9)
В( (kR) Rx( (R) ехр [ 2 T х( (r) dr] 1
R
I
J
f,, 2 k 2
при и! (R) > 2М '
[ 1 ' (R) 1
! (kR) R х (R) + 2" (R)
rде х( (r) имеет вид
х! (r) == УI k 2 2 и( (r) 1.
(5.9а)
' (R) является производной этой функции, а ro классическая точка пово
рота для частицы с моментом количества движения l1i, определяемая из.
условия
х( (ro) == О.
Следует вновь подчеркнуть, что в некоторых случаях приближенные-
формулы (5.9) MorYT ОТЛИ'IaТЬСЯ от точных значений на порядок величи
1,0
о .
,1:: 0.8
06
'
\-...
9
10
0,4
'-::
<:;)
g. 0,2
о
KR=2
з 4 5 6
" Энер8UЛ, Мэв
Фи r. 72. Про ни цаем ость для нейтронов с различными значе
ниями 1; радиус ядра R==5.10 13 см.
На оси абсцисс стрелнами унаааны энерrии. соответствующие hRo=l и hRo=2.
В общем случае Т! длл нейтронов прибли;наетсл н единице при hR»l.
2
7
8
ны или более, особенно если энерrия оказывается rораздо меньше высоты
барьера. Таблицы Р! и С, дЛЯ заряженных частиц, основыва'lOщиеся на'
точных формулах, даны в работе [84].
Для иллюстрации общеrо поведения этих величин на фиr. 72приве
дены Тl (а) для нейтронов в зависимости от энерrии нейтронов при различ
ных значениях l и R == 5.10 13 см. Аналоrичные кривые для протонов и
R == 4,5.1O 13 см приведены на фиr. 73. Энерrия частиц, соответствующая'
высоте барьера, отмечена для каждой из кривых стрелкой. При энерrиях,
меньших высоты барьера, центробежный барьер для заряженных частиц
иrрает лишь второстепенную роль, так как он зависит от расстояния как:
9 5. Прони"новение чере8 потенциальный барьер
281
r 2, и представляет для протонов более «узкий» барьер, нежели кулоновское-
отталкивание, пропорциональное r l.
Ядерную реакцию можно наrлядно представить себе с помощью качественной ана-
лоrии с соединением волноводов, изображенным на фиr. 74. Каналы соответствуют вол-
новодам, ведущим к общему соединению (составное ядро). Для каналов, соответствующих.
нейтронам с l==O, в самом волноводе отсутствует отражение, однако оно наблюдаетсSl
0,20
cz)
<:;)
[ 0,15
t::
<t;;
..... О1О
"" '
1::
Q05
:::!"
<:;)
.g.. 00
Фи I'. 73. Проницаемость для протонов, отвечающих различным
значениям l; радиус ядра R==4,5.1O 13 см, заряд 2==20.
Стрелнами понаэаны значения энерrии нанала. равные высоте потенпиальноrо
барьера. Следует отметить, что в этих точнах величина Т! значительно меньше
единицы.
при прохождении отверстия, ведущеrо в центральную полость. Это отражение на языке-
радиотехники происходит вследствие рассоrласования наrрузки (т. е. 1=I= ikR соrласн()
нашей терминолоrии). Так как длина волны внутри cocTaBHoro ядра (K l) значительно
короче длины волны во внешней области (k l), то это рассоrласование наrрузки при l'==R
можно рассматривать как результат перехода падающей волны из узкоrо волновода
Фи r. 74. Аналоrия ядерной
реакции в отсутствие потен
циальных барьероВ с соедине
нием волноводов.
1«
Фи 1". 75. АналоrИJl ядерной pe
акции при наличии потенциаль
ных барьеров в каналах а и "'(
с соединением волноводов.
к широкому отверстию, ведущему непосредственно в центральную полость, как изобра-
. жено на фиr. 74.
Если в одном из каналов имеется барьер, то длина волны не остается в нем постоян-
ной; она непрерывно увеличивается при переходе из бесконечности в область барьера.
Если высота барьера превосходит энерrию канала Еа' то В конце концов достиrается
точка, в которой волновод «выключается" т. е. он становится настолько узким, что волна
с заданной частотой (энерrией) не может в нем распространять,я. В дальнейшем в пол-
НОЙ аналоrии с квантово механичеСКО.j картиной ядерной реакции ПОЛОС1И дости а( т лишь
экспоненциально затухающая волна. Схематически это показано на фиr. 75. Канал
попрежнему считается каналом, отвечающим нейтронам с [==0, однако два друrих канала
содержат барьеры и поэтому по мере приближения к соединению имеют уменьшающийся
диамеТр (большую длину волны).
2 8'
. r.л,. VIII. Яоерnые реапции. Общая теория
Отраженная волна, распространяющаяся в том же канале, что и падающая (на-
прqмер, ц), обусловлена тремя причинами:
1) волна частично отражается из-за конструкции волновода (барьер);
. ' 2) имеется отражение вследствие рассоrласования наrрузки на входе полости
(при r==R); ,
3) оставшаяся часть' падающей волны попадает в полость; полость возбуждаетса
и начинает посылать волны во все каналы сх, , "(, ..., в частности, и обратно канал сх.
При исследовании ядерных реакций мы до сих пор вообще пренебреrали вкладом,
обусловленным третьей причиной. Нерезонансная теория ядерных реакций предполаrает,
что число открытых каналов, п'о которым может происходить распад' cocTaBHoro ядра,
настолько велико (от соединения ответвляется столь большое число волноводов), что волна,
ПОСЫJIаемая из полос] и в исходный канал, имеет ничтожно малую амплитуду (преДПОJIО-
жение 4). В этом случае отраженная волна, распространяющаяся в канале сх, целиком
обуrловлена двумя первыми процессами и ее можно оценить, если известны войства
барьера, и величина рассоrласования наtрузки (отношение BHYTpeHHero BOJIHOBOrO числа
к внешнему K/k) на входе соединения.
Описанные выше эффекты 1 и 2 не являются cTporo аддитивными. За исключением
первоrо приближения коэффициент отражения, отвечающий каналу с барьером, не может
, быть записан в виде произведения коэффициентов отражения от барьера и отражения
за счет рассоrласования даrрузки. Это первое приближение дается формулой (5.6);
множитель VL предстаВJшет собой коэффициент отражения от барьера при отсутствии
рассоrласования наrрузки при r==R; множитель 4k/K является коэффициентом отражения
за счет рассоrласования наrрузки при r==R, если барьер в волноводе отсутствует. Срав-
нение (5.6) с точным выражением (5.5) показывает, что такое приближенное разделение
отражений двух типов возможно только в том случае, КОJ"Д1 обе величины Sl и Д! малы
.0 сравнению с KR.
9 6. РАСПАД СОСТ ABHorO ЛДР А
А. Конкуренция; модель испарения
В этом параrрафе рассматриваются процессы, происходящие после
образования cocTaBHoro ядра. Соrласно нашим предположениям, вероят
ность распада cocTaBHoro ядра С по каналу выражается формулой (3.8)
и, следовательно, может быть вычислена из сечений о"с.
Познакомимся вначале с энерrетическим распределением вылетающих ча
стиц. Кинетическая энерrия, отвечающая каналу , дается выражением (1.6).
Так как основную ее часть составляет кинетичесн:ая энерrия испускаемой
частицы Ь и лишь небольшая доля приходится на отдачу н:онечноrо ядра
У, то мы будем считать EjI кинетической энерrией частицы Ь. Можно Ha
писать
Ев == .ЬУ Е;,
(6.1)
rде Еьу [см. (1,10)] представляет собой максимальное значение E , отвеча
ющее случаю образования конечноrЬ ядра У в основном состоянии; Е; .
энерrия возбуждения ядра у после ре,акции, равная разности между энер
rией ядра У после реакции и энерrией OCHoBHoro состояния ядра У. Воз
можностыо образования частицы Ь в возбужденном состоян и мы пренеб
peraeM. Тоrда каждому уровню Е; конечноrо ядра будет соответствовать
энерrия E вылетающей частицы, если только E < Еьу. Таким образом,
. энерrетическое распределение вылетающих частиц оказывается состоящим'
из ряда пиков, соответствующих уровням конечноrо ядра, причем макси
мальная энерrия соответствует основному состоянию конечноrо ядра
(фиr. 76).
Относительные интенсивности пиков можно оценить с помощью (3.8).
В общем случае сечение образования cocTaBHoro ядра о"с увеличивается с
ростом энерrии канала (за счет большей проницаемости барьера), исклю
чая нейтроны с l == О, дЛЯ которых о"с уменьшается, однако, весьма Meд
ленно (пропорционально k l или E 1/2). Про изведение k 2 r:;c, входящее в
'(3.8), во всех случаях является' монотонно возрастающей ,функцией энер:-
9 6. Расnао составноео яора
289
rии канала. Таким образом, мотно ожидать увеличения пиков с ростом
энерrии е. Эта тенденция должна быть сильнее выражена для заряжен.
ных частиц, так как в этом случае потенциальный барьер препятствует
вылету из ядра частиц с малой энерrией e . Существует, конечно, большое
число отдельных флуктуаций интенсивности от пика к пику, н:оторые не
q;,
<:::>
!t
'::;'
<:::>
$!
6 ьу Ер
Фи r. 76. Эперrетическое распределение ИСПУСI\аемых
нейтронов в случае идеальной разрешающей способности.
учитываются тан:им рассмотрением. При достаточно большой энерrии может
быть нозбуждено большое число уровней конечноrо ядра. Если энерrии
E отстоят друr от друrа на расстоянии, меньшем энерrетическоrо интер
вала размытия падающеrо пучка или разрешающей способности экспери
ментальноrо устройства, реrИСТрирующеrо продукты реакции, то энерrети
<::>.
!t
'::;'
Q;)
::х:
<:::>
3
:5!
fW fp
ф и r. 77. Энерrетичесrше распределение испускаемых нейт-
роноп в случае конечной разрешаюrr:reй способности.
ческое распределение частиц Ь оказывается непрерывным (фиr. 77). В этом
случае вид функции распределения C ( е) d е, ОПИGывающей число частиц Ь,
испуснаемых с энерrией, заключенной в интервале от е ДО е + de, дается
выратением
С ь (е) de == С С ( ),
E<E <E+dE
rде суммирование распространяется на вс@ каналы , энерrия которых по
падает в энерrетический интервал de. Число членов этой суммы опреде-
ляется числом уровней конечноrо ядра у с энерrией возбуждения Ef Ji&
(6.2)
{9 Занав М 396
290
Fл.. VIII. Яоерnые реакции. Общая теория
интервале от Е до Е de, rде Е == ebY е. Обозначим это число череа
Шу (Е) de и будем называть Шу (Е) плотностыо уровней. Подставим (3.8) R
(6.2) и учтем, что знаменатель в (3.8) представляет собой сумму по всем
наналам и не зависит поэтому от e . Для Toro чтобы найти относительно
распределение вьшетающих частиц Ib (е) de, необходимо рассмотреть тольн(}
числитель выражения (3.8), откуда следует, что
1 ь (е) de == const. е ас ( ) Шу (еьу е) d е. (6.3)
Здесь ас ( ) == О'с (е) является фуннцией энерrии нанала е == e . Множитель.
е заменяет k . Произведение е ас ( ) является возрастающей фуннцией е.
ПJIOТНОСТЬ уровней Шу (еьу е) представляет собой резно убываюш;ую функ
цию энерrии е, тан н:ан: при увеличении энерrии возбуждения w (Е)
возрастает очень быстро. Поэтому 1 ь (е) обнаруживает ясно выраженныЙ
мансимум. Если частица Ь является нейтроном, то ас ( ) почти постоянно;
следовательно, быстрый рост w (Е) с энерrией Е сдвиrает максимум 1 ь (е)
В сторону энерrий е, малых по сравнению с мансимальной энерrией еьу.
fрубую оцею{у распределения Ib (е), rлавным образом для случая ней
тронов, можно получить, разложив лоrарифм плотности уровней
S (Е) == 1n w (Е)
в ряд Тейлора в окрестности мансимальной энерI'ИИ еьу возбуждения HO
He'lHOrO ядра У [88, 778, 779, 455]:
( d@) )
e;(ebY e)==S(ebY) e dE Е==ЕЬУ+".
(6.4)
Используя это разложение в начестве приближения для w (еьу е)
II формуле (6.3) и выделяя множители в выражении для S (еьу) n const.
ПОJIУЧИМ
Ib(e)de==const.eac(e) ехр [ e(e:y) 1 de,
(б.5)
rде е определяется соотношением
'1 d@)
\t') (Е) dE ' (6.6)
в имеет размерность энерrии и мошет быть интерпретирована кю{ ядерная
температура. Действительно, лоrарифм плотности уровней S (Е) (без учета
постоянной Больцмана k) мотно считать энтропией Iюнечноrо ядра, Haxo
дящеrосн в энерrетическом интервале dE в онрестности энерrии Е.
В таком случае соотношение (6.6) является хорошо известным термодина
МИ'Iеским соотношением между энтропией и температурой (отметим, что.
пренебрежение фан:тором k в определении е при водит н: тому, что темпера
тура оназьшается в k раз больше общепринятой и, следовательно, имеет
размерность энерrии).
Для нейтронов функция О'с (е) (исключая очень малые энерrии) меняет
ся очень медленно и распределение Ib (е) определяется rлавным образом
фактором е e E/fj, ноторый совпадает с максвеллопским распределением
молекул, испаряющихся с поверхности при температуре е. Макси
мум распределения 1 ь (е) расположен при энерrии е == е, которая
ДJIЯ законности разложения (6.4) должна быть малой по сравнению (}
еьу. Если частицы заряжены, то блаrодаря множителю ас (е), которыЙ
вследствие наличия потенциальноrо барьера сильно зависит от энерrии.
распределение искажается. Максимум распределения сдвиrается в этом
случае к энерrиям, превосходящим е == е, что соответственно ухудшае?
приближение (6.4).
Использование для ядерных реакций понятия температуры можно.
пояснить следующим образом: в результате попадания частицы в ядро
8 6. Распао составnоео яора
291
образуется сильно возбужденное составное ядро. Энерrию возбуждения
можно рассматривать как тепловую энерrию, сообщаемую ядру при
столкновении частицы а с мишенью. Наrревание составной системы ведет к
испарению нейтронов иди друrих частиц, и эперrетичеСJше распредеJ1СЮЮ
испускаемых нейтронов сходно с максвелловсним раепредеJICнием. На.пичис
потенциадьноrо барьера для заряженных частиц искажает маНСllОJIЛОВСКОС
распредоление, уменьшая число частиц, испускаемых с мадой энеРl'ией.
Температура, характеризующая маКСВeJ1Ловское распредсденио, опро)J.С
ляется величиной в (Еьу):
1
в (Еьу) == (d6 ) .
\,dE E fbY
Эта величина представдяет' собой температуру коночноrо ядра У с энор
I'ией возбуждения, равной Еьу. Под «температурой ядра с :шерrией BO:3
буждения Е» мы понимаем здесь температуру, при которой ядро имеет
среднюю энерrию возбуждения, равную Е. Следует отметить, что ЭlIерI'е
тическое распределение испускаемых частиц характеризуется не «ТСМlIсра
турой cocTaBHoro ядра до испусканию>, а «температурой конечноrо ядра
посЛе испусканию>, тан как Еьу очень близно н: энерI'ИИ возбужденин,
с ноторой ядро У остается в результате большинства СJlучаеll ИСI1уснаIlИН.
Дело в том, что испарение ОДНОЙ частицы связано с относительно большой
потерей энерrии, значительно уменьшающей температуру. Поэтому MaHC
велловсное распределение иепускаемых частиц харантеризуетсн теМIIерату
рой системы после испускания.
В ряде экспериментов не удается выделить канал, по которому чаети
ца Ь покидает ядро, или даже определить энерrию частицы Ь. В этом
случае представляет интерес только величина сечения реакции (а, Ь) без
относительно к отдельным наналам. Это сечение дается выражением (3.1),
причем
Се (Ь) == Се ( ),
rде сумма распространяется на все каналы , приводящие 1, испусканию
частицы Ь.
Если энерrия падающих частиц достаточно велин:а, тю, что I,оночное
ядро может оставаться в БОJIЬШОМ числе различных возбужденных еосто,
яний, то соотношение (6.7) можно записать с помощью плотности уровнсй
W. Введем для этой цели сокращенное обозначение
(() . 7)
Fb == k ас ( ),
(Н.В)
rде сумма распространяется на все отнрытые I\аналы ,
сканию частицы Ь.
Сумму можно за енить
водущио К иеIJУ
интеrралом
2М f ьу
Fb==Fъ(tbY)== п/ t "c(t )Wy(tbY t )dt .
О
Здесь "с (t ) сечение образования cocTaBHoro ядра при столкновении части
цы Ь с энерrией E с возбужденным ядром У*, имеющим энер1'I1Ю возбу
ждения Еьу E . ЭТИ сечения зависят только от энерrии н:анала E .
При упрощенном рассмотрении их можно ечитать. не зависящими
от специфичееких свойств каналов. F ь является функци ей максимаJ1Ь
1l0Й энерrии Еьу, приобретаемой частицей Ь в случае, ноrда нонечное
(G.9)
']!i*
,'
:)
292
rд,. V///. Яоерnые реапции. Общая теория
ядро У остается в основном состоянии. Фунн:ции F ь мотно подсчитать
для любых частиц, если известна плотность уровней wy(€). Соrласно (3.8)
и (6.7), сечение (3.1) реакции (а, Ь) в этом случае имеет вид
ас (а) Fb
а (а, Ь) == 2J (6.10)
Fc
с
rде суммирование распространяется на все частицы с, испускаемые в этой
реакции. СJIедует вновь подчеркнуть, что соотношение (6.10) дает лишь
очень rрубую оценн:у действительных величин, тю< как оно основано на
большом числе приближений. В тех случаях, коrда оно приводит к значе
ниям сечений, малым по сравнению с ас (а) (например, меньше ас (а)
в 103 раз), реакция (а, Ь) может протекать посредством механизма, отлич
Horo от испарения частиц из cocTaBHoro ядра.
Для подсчета ядерной температуры в и функции F ь необходимо иметь
некоторые сведения относительно п,потности уровнеЙ ядер w (Е). Однако
в настоящее время данные относительно расстояния между уровнями, oco
бенно при ВЫСOIшх энерrиях возбуждения, весьма скудны 1). fрубую оценку
энерrетической зависимости wy можно получить с помощью термодинами
ческоrо рассмотрения. Такое рассмотрение приводит к разумной зависи
мости ядерноЙ температуры от энерrии, откуда можно получить COOTBeT
ствующую плотность уровней.
Средняя энерrия системы Е является монотонно возрастающей фуНI<
цией температуры в. Если температура очень высока, так что возбуждены
все степени свободы, то Е пропорционально 8. Такой с,лучай, конечно,
не осуществляется при возбуждении ядра в процессе обычноЙ ядерной
реакции. Если очень rрубо рассматривать ядро как «rаз», состоящиЙ из А
частиц, заключенных в объеме 4'тcR3/ 3, то оказывается, что такой rаз будет
вырожденным, если энерrия возбуждения имеет порядок величины или
меньше чем
Ah 2 9А I/3 и
2МН2 ""'" Ш эв.
Следовательно, в этом приближении тяжелые ядра должны рассматриваться
как сильно вырожденные rазы.
Функция Е (8) имеет при 8 == О исчезающую производную (dE/d8)fiJ==o==0
(соrласно третьему началу термодинамики, тепловая энерrия равна нулю
при 8 == О). Поэтому если допустимо разложение Е (8) по степеням 8
вблизи 8 == О, то оно должно начинаться по крайной мере с квадратичноrо
члена. Будем предполю'ать, что:
1) функция Е == Е (8) ДОlIУСI<ает разложение в степенной ряд вблизи 8 == о;
2) первый неисчезающий член этоrо ряда пропорционален 82;
3) более высокими степенями в можно пренебречь.
В этом случае можн6 написать
Е == а8 2
(а неI<оторая постоянная), откуда следует
и окончательно для плотности уровней получим
w (Е) == <Зе 2 VaE.
(6.11)
,
j
1
!
'!
\ dE , I
== J е (В) == 2 v аЕ + const,
. 2) Относительно вычисления: НЛО'l'ности уровнеШ: из rрубоrо приближения: для: вол
новой функции я:дра см. [54,24,25,753,547,395,704].
8 6. Распад составноео ядра
293
Мотно попытаться подобрать постоянные а и G таким образом, чтобы
это выратение воспроизводило известные нам данные о плотностях уровней.
Расстояния между уровнями для возбуждений в области 1 М эв известны
из исследования спектров l лучей и а частиц. Резонансы, наблюдающиеся
в реакциях под действием .нейтронов и протонов, дают некоторые сведения
относительно плотности уровней при энерrиях возбутдения, равных или
несколько б6льших энерrии, необходимой для отделения бомбардирующей
частицы; эта энерrия обычно расположена в области 6 8 Иэе. 'Уровни,
наблюдающиеся при возбуждениях порядка
1 Иэе, имеют различные моменты количества
движения J и четности П. с друrой CTO
роны, все резонансы для медленных нейтро
нов обладают одной и той же четностью и
отвечают лишь двум значениям J (см. 10).
При определении величин G и а это разли
чие не принимается во внимание, ибо такая
процедура совместима с общим подходом,
используемым в этой rлаве, при котором
повсеместно Иl'норируются правила отбора.
Более Toro, приведенные ниже значения и
а приложимы только к ядрам с нечеmны.м А.
Относительно ядер с четным А не име
ется достаточноrо материала. Формула (6.11) воспроизводит плотность
уровней в области возбуждений порядка 1 Иэв, так как она была COB
мещена с экспериментальным материалом, относящимся к Этой области.
Однако ниже 1 И эв она приводит к быстрому изменению плотности ypOB
ней, не соответствующему экспериментальным фактам. Полученная из стати
стических соображений формула (6.11), очевидно, не приложима к области,
содержащей лишь небольшое число уровней.
Формулу (6.11) с численными значениями, приведенными в табл. 12,
нельзя считать количественно правильной. Она может слутить лишь в Ka
честве первоrо, очень rрубоrо приближения, рисующеrо общее поведение
плотности уровней ядра.
Температура ядра кю{ функция Е может быть выражена соотношением
8== y ' .
Таблица 12
А
I (1, Мэв l
I С, Мэв l
27 0,45 0,5
63 2 0,3
115 8 0,02
181 10 0,01
231 12 0,005
(6.12)
Для определения температуры, характеризующей максвелловсное pac
пределение вылетающих нейтронов, следует положить Е равным максималь
ной энерrии €bY. В табл. 13 приведен ряд значений 8 для различных
величин Е и А. Эти температуры MorYT быть получены при любом
процессе, приводящем . к образованию cocTaBHoro ядра с энерrией возбу
ждения Е такой, чтобы максимальная энерrия частицы имела величину €bY'
Последняя определяется соотношением Е == €bY + Sb, rде Sь энерrия нсоб
ходимая для отделения частицы от cocTaBHoro ядра.
Таблица 13
Некоторые типичные ядериые температуры (в Мэв)
I
25
55
115
181
231
5 3,3 1,6 0,8 0,7 0,6
10 4,7 2,2 . 1,1 1,0 0,9
15 5,8 2,7 1,4 1,2 1,1
rл. УIlI. Ядерные реапции. Общая теория
294
Следует подчерIШУТЬ, что формула (6.11) представляет собой не более
чем первую попытку в направлении отыскания плотности уровней ядер.
Совершенно невероятно, чтобы действительная плотность уровней описы
валась СТОJIЬ простым выражением. Экспериментально плотность уровней
10,2
10"
1070
109
108
10
! Z=9V 1 ,1
, V Z=70,
I kd so
I i ./' v
! I V
i /
i v 'l 2=30
/ / L,.....--- /
I ff / / z зо I /
И ..." / /' /
ir.V Х v v <1. 11' ./ / / /'
v /'
11 '/7 /(, / ./' / . ,
/.4 , . ) 1,'
/ 1.;"/ / 7 1/ . ,
" / I 1/ / / i
r.т I :/ / ,, =зо ,
.t! / ,: I .
'/' I / .1 Z 50 Z=70 2=90
'}' i/ I " ,
/: ,) / , I 1.
Z=301 /i/ /
I I I V ( п (неuтроны)
2=501 I Fp (протоны)
Z=70 /21=90 . Fa. (а. l/астuчы)
, I I I I I
2
4
6
8
107
106
705
ц-..с
104
103
702
10 '
1O 2
70 3
О
ю ю ю т и м
Е Ьу , МЭ8
Фиr. 78. Функции F п , Fp и.F(f. в случае конечных я:дер с Z, б,Т[из
I{ИМИ J{ 30, 50, 70 и fJO.
Эти фУШЩПII ДОЛНШЫ ИСПОЛЬ80ватьсн при вычислеюшх по формуле (6.1 О).
Нривые соответствуют оценнам величпн в случае нонечных ядер снечетными
А. Длп чстиых А И Z значенип фуннциЙ F' будут меньше на МНО,ЮIтель. HOTO
рый может онаэаТЬСFf порпдна 1 о; ДШI четных А инечетных Z значении фунн
циfI будут больше на тот ;не множитель. При расчетах использовались.следую
щие :JН:lченип постоянных: R roAl/3 С ro I,3.10 13 см 11 формула (6.11)
с @ 0.28; 0.015; 0,00811 0.0025 11 a 2; 6,5; 10 и 12 соответственно для Z ЗО.
!, О. 7 О 11 00. I'рафини фуннцип F преследуют 11снлючительно иллюстративные
ЦСJI1I; аНП не нвлпются прав ильными Rоличественно в силу Toro, ЧТО, во пер...
lОых, фuрмула (6.1 о) с используемымп ДШI определен ин плотности уровнеЙ по
стопиными иредстаплпется в высшеЙ степени rипотетичесноЙ и. естественно.
петочноЙ п, IJО ВТОрых. радиусы пдер выбраны. IJОВИДИМОМУ. СЛИШНО I малыми.
МОЖНО получить, сравнивая энерrетичесн:ое распределение частиц, вылета
JOЩИХ u результате ядерной реакции, с теоретической формулой (6.3).
lIаДGжнап ТGХНlща для нзмерения таких распределений развита лишь
в последнео время [325], и до сих пор собрано мало сведений.
Сподует ожидать, что особенно сильное отклонение действительной
П.ПОТIIОСТИ уровней от простоrо выражения (6.11) будет происходить при
ма.ЛЫХ значениях энерrии возбуждения, не превышающих нескольких мил
лионов элеКТРОН ВОJIЬТ, Современные измерения [432] уназывают, повиди
мому, на то, что ЧИС.ло уровней в интервале шириной 1 Мэе заметно не
1;
8 6. Распад составnоео ядра
295
увеличивается в первых двух или трех интервалах возбуждения. Быстрое
увеличение начинается при несколько больших возбуждениях 1). Это ведет
R более сложной зависимости w от энерrии и к отличным от (6.12) значе
пиям температуры ядра.
С помощью (6.11) можно найти функции Р ь , определенные соrласно
(6.8) и (6.9) и служащие д.ля подсчета сечении (6.10). HeI{OTOpble типичные
величины F ь показаны на фиr. 78. Эти величины приrодны толы{о в том
случае, ноrда 'Конечное ядро имеет нечетное массовое чис.ло А. В случае
конечноrо ядра с четным А F ь больше приведепных для нечетных Z
и меньше для четных z. Вследствие оrраниченности наших сводении OTHO
(;ительно плотности уровней это различие трудно определить I{оличест
еенно 2).
Б. Вторичные ядерные реакции
В результате большинства ядерных реакциЙ типа а + Х == у + ь I\Онеч
ное ядро У остается в возбужденном состоянии. В бо.тrьшипстве случаев
ядро У теряет этот избытOI{ энерrии, испуская один или неСI{ОЛЫЮ I Iшан
-ТОВ, ПОI{а не будет достиrнуто основное состояние. Иноrда возбужденив
ядра у может быть IШСТОЛЫ{О большим, что оно. окажется в состоянии
испустить частицу, например нейтрон или протон. В этом случае вслед за
первичной реarщие.ii будет происходить вторичная реarщия
у == z+c,
Б результате I{ОТОРОЙ испускается частица с: Наблюдающиеся в деЙстви
-тельности реarщии состоят в бомбаРДИРОШ{f) ядра Х частицеЙ а и после
дующем испускании частиц Ь и с с образованием конечноrо ядра Z.
В сонращенной записи это выrлЯДИТ как реакция Х (а; Ьс) Z. Наиболее
-общеЙ реarщиеЙ этоrо типа является реакция (а; 2п).
Наблюдаемая реакция Х (а; Ьс) Z может происходить за счет двух раз
JIИЧНЫХ механизмов:
Х+а == у + Ь,
Х+ а== У' +с,
у == z + с,
У' == Z + Ь.
(1)
(11)
Если промеЖУТОI{ времени между испуснанием первоii и второЙ частиц
-становится очень НОрОТI{ИМ, скажем, ИОРЯДI{а времени про лета НУI{.ЛОНОМ
расстояния, paBHoro размерам я!\ра, то уже неJIЬЗЯ rоворить об определен
ном возбужденном состоянии У или У', существующем между двумя
испусканиями. В этом случае реarщия должна записываться в виде З)
X+a==Z+b+c.
(11 1)
ПоследниЙ процесс соответствует одновременному распаду составной
системы на ядро Z и две частицы Ь и с. П роцессу 111 не соответствуют
1) Это поведение может быть связано с тем, что свОйства ядра при ШIЗКИХ возбужде-
:ииях описываются моделью оболочеI{ (см. rл. XIV). В области применимости модели
()болочек ожидается простая структура спектра ядра. СтатистичеСIШЯ теория сильноrо
IJз имодействия, приводящая к высокой плотности уровней, может оказаться примени-
мои при более высоких энерrиях возбуждения [394]. [См. также W е i n Ь е r g, в 1 а t t,
Аш. Journ. Phys., 21, 124 (1953). При.м. перев.]
2) См. В а й с к о п ф, Статистическая теория ядерных реакций, М., 1952, стр. 71.
При.м. перев.
З) В Iшчестве примера процесса 111 можно рассмотреть следующие реaIЩИИ:
n+d==p+n+n; р + Вl1==3а.
296
rд,. VII/. Ядерные реакции. Общая теорш/'
какие либо из использованных до сих пор каналов. Мало вероятно, чтобы
он происходил при энерrиях налетающих частиц, меньших 100 М эв, за
исключением наиболее леrких алементов. Будем поэтому предполаrать,
что реаIЩИЯ Х (а; Ьс) Z происходит либо за счет процессов 1 или 11, либо
за счет их обоих одновременно, но не за счет процесс а 111.
Обозначим сечение процесса 1 через а (а; Ь, с), а сечение процееса 11
через а (а; с, Ь). Наблюдаемое сечение реакции (а; Ьс) будем обозначать
через (а; Ьс). Оно представляет собой сумму сечений процессов 1 и 11:
(а; Ьс) == а (а; Ь, с) + а (а; с, Ь).
Обычно вклад одноrо из этих процессов оказывается более существен
ным. Однако MorYT наблюдаться случаи, коrда а (а; Ь, с) и а (а; с, Ь) имеют
одинаковый порядок величины. Если частицы Ь и с являются частицами
одноrо сорта, как, например, в реакции (а; пп), то провести раз.личи&
метду процессами 1 и 11, конечно, нельзя.
Соrласно определению (3.1), сечение а (а, Ь) учитывает танже и те peaK
ции, в результате которых конечное ядро претерпевает затем вторичную
реакцию. Поэтому будем различать сечение а* (а, Ь), отвечающее только
тем реакциям, при которых конечное ядро в дальнейшем не испуспает
частиц. Под а* (а, Ь) обычно принято понимать сечение реакции Х (а, Ь) У.
Имеет место следующее соотношение:
а (а, Ь) == а* (а, Ь) + а (а; Ь, с).
с
Сечение реющии (а; Ь, с) (процесс 1) можно записать следующим образом:
,
а (а; Ь, с) == ас (а.)] G c ( ) Cy , (с).
Здесь а обозначает входной канал, а штрих на знаке суммирования указы
вает, что оно распространяется только на те каналы , в которых конеч
ное ядро У оказывается достаточно возбужденным для испускания частицы с.
Величина С С ( ) (безразмерное число) представляет собой относительную
вероятность распада cocTaBHoro ядра С по каналу , а Cy , (с) является
относительной вероятностыо испускания частицы С ядром У в состоянии ',
отвечающем каналу . Все величины, входящие в (6.13), можно подсчитать
с помощью методов, развитых в ЭТОЙ rлаве, при условии, что имеется
достаточно сведений относительно величин Q для различных реакций и плот
ности уровней Ядер У и Z.
Будем для простоты считать, что при наличии у ядра достаточной
энерrии возбуждения оно всеrда ИСПУСI\ает частицу. Обозначим череа
S МИН. (У) минимальную энерrию, необходимую Д.ля отделения частицы
от ядра У. Тоrда сделанное выше предположение выразится с помощью,
соотношения.
(6.13)
] Cy , (с) """ 1 при условии, что €bY € >- Sмин. (У).
с
Это эквивалентно пренебрежению конкуренцией l излучения с испусканием
частиц, т. е. предположению, которое в большинстве случаев оказывается
приблизительно верным, за исключением области вблизи Пороrа. В таком
случае можно написать
"
а* (а, Ь) """] а (а, ),
,
11
j
i
1
I
!
1
,
f
8 6. Распад составноео ядра
297
rде Двойной штрих на знаке суммы указывает, что суммирование распро
страняется лишь на те каналы , в которых энерrия возбуждения ядра У
оказывается ниже Sмин.(У). Обозначим через €BTOp. максимальную энерrию
уносимую при' данной энерrии возбуждения исходноrо cocTaBHoro ядра
............. ....... ...... ...............
Испускание
частиц с
cpegu пРОIlЩ
втОРUЧН6fХ
частиц
У*(состоянuе
Р')
Испускание
вторичных
частиц
. Sc(Y)
SA!UHJY)
ИспУCl<ание
толы<о
вторичных
'У лучей
Основное
состолнuе лдра y
!'!
il l l ФИ r. 79. Схематическое изображение энерrетичеСI{ИХ соотношений при
11' вторичной я:дерной реющии: Х+а==У*+Ь, Y*==Z+c.
!i! Приведенные уровни принадлежат ядру У.
j
вторичной частицей из первоrо конечноrо ядра У. Эта энерrия является
также максимальноЙ энерrией частиц Ь, вылетающих в первичной реющии.
Х (а, Ь) У, в результате которой ядро У может вновь испускать частицы
(фиr. 79). Таким образом, €BTOp. определяется соотношением
€BTOp. == €bY Sмин. (У).
ДЛЯ «наблюдаемоrо» сечения а* (а, Ь) реarщии Х (а, Ь) У ПOJlучаетсm
следующее выражение:
r
1.,
а* (а, Ь) == cr (а, Ь)
для €BTOp. < О,
а* (а, Ь) cr (а,Ь)
Еьу
S Ib(€)d€
Е втор .
Еьу
S Ib(€)d€
О
для €BTOp. > О,
298
rд,. V///. Яоерные реа1S:ции. Общая теория
1'де функция Iь (Е) dE, определяемая соrласно
"Относительную вероятность испускания частицы
'вале Е и Е + dE.
Эти выражения приводятся к более простому виду для тех случаев,
,Rоrда частица Ь, испускаемая первой, оказывается нейтроном. Тоrда можио
lЮСПОЛЬЗОВаться приближенным максвелловским распределением (6.5). Будем
пренебреrать зависимостью ас (Е) от энерrии Е и предположим, что
.S МИН. (У) == ЕЬУ Ептор. значительно больше темпера туры 8 конечноrо ядра У.
В реЗУJIьтате получится приближенное выражение
а* (а, п) "'" а (а, п) (1 -+ EBT P' ) e 'BTOP./07 (6.14)
l'де 8 температура 13 (Еьу), характерная для испарения нейтронов. Энер
I'ию Е втор . можно также считать равной разности Еа Епороr между исход
ной энерrиеi1 Еа И энерrиеiI, отвечающей пороrу вторичной реarщии. Оче
видно, что (<наблюдаемое» сечение а* (а, п) становится rораздо меньше
{<деi1ствительноrо» сечения а (а, п), если Е втор . превосходит температуру 8.
При этом почти во всех случаях поеле испускания первоrо нейтрона будут
происходить вторичные реarщии.
В том /тю приближении можно записать сечение вторичной реакции
испуеI{анием частицы С, следующей за первичной реанцией (а, п) [энер
rин Ее опреJ еШIетсн соrласно (6.16) и показана на фИI'. 79]:
(6.3), представляет собой
Ь е энерrией E в интер
'с
S
а (а; п, с) а (а, п) о
Ee '/0 Cy ' (с) dE
'ьУ
S Ee '/0 dE
О
(6.15)
При условии ЕЬУ 8, Iщторое практичеСIШ вееrда выполняется, инте
rpaJI n знаменателе приближенно равен 82. Для вычисленин интеrрала,
стошцеrо в числителе, выразим относительную вероятность Cy ' (с) ИСПУСIШНИЯ
'Частицы с ядром У, находящимся в состоянии ', с помощью функций F,
<определенных еО1'ласно (6.8) и (6.9). Необходимые для этоrо функции F
<отвечюот испуснанию частиц не из ядра С, а из ядра У, а соответствующие
плотности уровнеЙ относятся к различным конечным ядрам, ВОЗНИКaIОЩИМ
D результате вторичной реакции Z, Z' и т. д.; энерrия Ес представляет
собоЙ пзбыт(ш энерПIИ над lIoporoM реакции (а; п, с) (см. фиr. 79):
Ес == EbY Sc (У).
В этом случае отпосительная вероятность cy ,(c) определяется выражением
G ( ) Fc (Ec E)
y ' С == ,
Fc' (Ес' Е)
с'
(6.16)
(6.17)
13 котором фушщии F вычислены для ядра У, а суммирование в знамена
еле распространяется на все частицы с', ноторые может испускать ядро У,
паходящееся в состоянии ' С энерrией возбуждения EbY Е. AprYMeHToM
qpУНIщии Fc является разность Ес Е, т. е. энерrия, с которой частица с
ИСПУСJ{ается из ядра У в состоянии '.
ПОСI{ОЛЬКУ В случае за ряженных частиц функции F сильно зависят от
энерrии, сечение, отвечающее испусканию вторичных заряженных частиц,
можно найти из (6.15) и (6.17) только с помощью непосредственной под
'с.тановкн и численноrо подсчета интеrрала в числителе (6.15). С друrой
стороны, для реакций типа (а; п, п), в которых и первичной и вторичной
частицами ЯВШIlОТСЯ нейтроны, получается чрезвычайно простая формула.
8 7. Реаонанснйя теория; Irшчественное ра(!См,отренuе
299
Предположим, что испускание нейтрона становится преобладающим про
цессом, как только это оказывается энерrетически возможным, т. е. что
Gy ,(п) 1, если только состояние ' ядра У отвечает достаточно боль
шому возбуждению, при котором возможно испускание нейтрона. В этом
случае
а (а; п, п) а (а, п) [ 1 ( 1 + ) e Ecl@.
(6.18)
Здесь Ее обозначает избыток энерrии над пороrом реarщии (а; п, п), опре
деляемый соотношением (6.16), в нотором Se (У) == Sn (У) энерrия, пеобхо
димая для отделения нейтрона от ядра У; 8 является температурой
е (Еьу) промежуточноrо конечноrо ядра У (а не последнеrо !юнечпоrо ядра Z).
Входящее в (6.14), (6.15) и (6.18) сечение а (а, п) обычно с достаточ
ноЙ степенью точности апроксимируется ас (а) сечением образования
cocTaBHoro ядра С ири бомбардировке частицами а.
Если энерrия падающей частицы становится достаточно большоЙ, то
()бразующееся после испускания вторичноЙ частицы Iюнечное ядро Z может
оказаться возбужденным достаточно сильно, чтобы испустить третью частицу.
В этом случае. будут происходить третичные реакции или даже реarщии
более ВЫСОЮIХ поряднов.
7. РЕЗОНАНСНАЯ ТЕОРИЯ; НАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ
А. СУlЦествование резонансов
В предыдущих параrрафах рассмотрение основывалось на предполо
жениях, блаrодаря которым сечение образования cocTaBHoro ядра ас (а)
монотонно зависело от энерrии. Излаrавшаяся теория не предсказывала
существования острых мar{симумов IФ:и минимумов (резонансов). Поэтому
для объяснепия наблюдающихся в ядерных сечениях резонансных явлениЙ
необходимо дальнейшее развитие теорни 1).
В S 4 6 было сделано предположение о том, что, прошшнуп внутрь
ядра, падающая частица не имеет заметноЙ вероятности ПОI\ИНУТЬ ядро
вновь через входноЙ I{анал а. Волна испытывает в нан але полное поrло
щение. Это предположение выполняется для достаточно БОJIЬШИХ энерrий
падающеЙ частицы, коrда распад cocTaBHoro ядра может происходить боль
тим числом способов. Н таком случае мало вероятно, чтобы распад про
исходил по каналу, служившему входным. В настоящем параrрафе мы не
делаем TaKoro предположения (предположение 4 в S 4, стр. 276) И тем
самым распространяем теорию на область меньших энерrий падающих
частиц. Одним из наиболее существенных следствиЙ является вознuпнове
llue резонансов в сеченuях.
R непосредственной близости от rраницы ядра, при r < R, волновая
функция U l уже не может быть представлена выражением (4,6), ноторое
описывает лишь сходящуюся волну. Необходимо также ш{лючить член,
предстаuляющий собой расходящуюся волну, возвращающуюся во внешнюю
(Jбласть. Это приводит к следующему выражению:
iKra + Ь iKra R
U 1 '"" е е при r < ,
(7.1)
('де Ь комплексная амплитуда расходящейся волны, зависящая от своЙств
cocTaBHoro ядра. Можно ожидать, что при высоких энерrиях Ь близко
#
1) ОСНОВНЫ:\IИ работами по резонансным реЮ{ЦЮIМ я:вля:ются: [87, 88, 102 и 422].
Проводимое здесь обсуждение следует работам [248, 781 и 3]. По теории резонансных peaK
ций имеется: значительная: литература. Ссылки на некоторые работы будут приведены
Jj тексте этой rлавы и rlI. Х.
rд,. VII/. Ядерные реапции. Общая теория
300
н нулю. По абсолютной величине Ь НИIюrда не превосходит единицы, так
нак число частиц, которые MorYT достиrнуть точки ru. == R из внутренней
области ядра по !{аналу а, не может превосходить число частиц, первона
чаль но проникших в ядро.
Вновь следует подчеркнуть, что (7.1) не является точным выражением
для волновой функции И l внутри ядра. При r < R волновая функция, опи
сывающая движение падающей частицы внутри ядра, зависит от перемен
\ ных, отвечающих всем остальным нуклонам; ее уже нельзя уподобить
функции И l (ro) из задачи одноrо тела. Соотношение (7.1) представляет
С9 бой чрезвычайно приближенное выражение, ноторое используется для
описания лишь осповных особенностеЙ зависимости действительной волно
вой фушщии от r вблизи поверхности ядра. Оно отражает тот факт, что
падаlOщап частица обладает в среднем волновым числом К и имеет конеч
нуlO вероятность вернуться в исходный канал, Мы используем (7.1) только
для Toro, чтобы определить лоrарифмическую производную /! на поверх
ности ядра. Использование (7.1) приводит к /1' ОТJIИЧНОМУ от (4.7), и,
тю{им образом, н иным выражениям для сечения; формулы (7.1) и (4.6)
становятся эквивалентными для очень малых величин I ь 1. у С.ловие I ь I 1
соответствует предельно высоким энерrиям, при которых частица прюпи
чески не может покинуть ядро по входному каналу.
Рассмотрим теперь друrой крайний случаЙ, I{Orцa энерrия падающей
частицы настолько мала, что отпрыт лишь один входной панал. В этом
случае составпая система может распадаться тОЛblfО путем испуснания
падающеЙ частицы с первоначальной энерrией. Примером может служить
реющия, при которой падающий пучок содержит нейтроны с энерrией €,
меньшей энерrии возбуждения низшеrо уровня ядер мишени и меньшей
пороrа любой ядерной реакции. (Если пренебречь радиационным захватом
и делением, то этому условию в общем УДОВJIетворяют энерrии € < 100 пэв.)
В этом случае нейтрон должен вновь ПOIшдать составное ядро с энерrией €.
Волновую фушщию внутри ядра можно аПРОI{симировать выражением
и ! "-' e iKr.. + e i ( Kr u.+ 2 ') , (7.2)
в котором сходящиеся и расходящиеся . BOJIНbl имеют ОДИНaI{овые ампли
туды (1 ь 1== 1), но расходящанся волна сдвинута по фазе на 2( (( деЙ
ствитеJIьное число). rраничное условие для волновоЙ функции при rq, == R
имеет СJlедующиЙ вид:
/! == R ( ! ) r==R == KR t g [KR + ( (€)]. (7.3)
Выражение (7.3) раДИIЙЛЬНО отличается от (4.7). Фаза ((€) возвраща
ющейся волпы весьма чувствительна к сложному взаимодеЙствию, llСПЫ
тываемому частицеЙ до испускания вблизи поверхности внутри ядра и
поэтому зависит от <JнерПIII падающеЙ частицы. Сечения, получаЮЩl1еся
из (7.3), будут подсчитаны в S 8. Здесь же мы оrраНl1ЧИМСЯ н:ачествен
ными рассуждениями и попытаемся объяснить наиБОJIее важные особен
ности резонансных ЯВJlений. КОJIичественные подсчеты п БОJIее строrие
ВЫЧИСJIения при водятся в последующих параrрафах и в rJI. Х.
ИСИУСI\ЮIие частицы ио исходному каналу при водит к вОЗllипновению
резонансов у состапной системы. Качественно это можно получить таким
образом 1): выражение (7.2) показывает, что ВОJIновая функция внутри ядра
вблизи ядерной повеРХНОС'fИ может быть записана в виде
u,,-,Ссоs[Кr+((€)] при r<R, (7.4)
.) Соответствующие расчеты приведены в 9 8,А.
8 7. Ревонансная теория; l>ачественное рассмотрение
301
rде С постоянная. Эта функция должна rладко сшиваться с волновой
функцией U вне ядра. Под «rладким сшиванием» мы понимаем наличие
у обеих функций при r == R равных значений и производных. Для coxpa
нения простоты будем рассматривать в качестве падающих частиц ТОЛЬкО
нейтроны с нулевым моментом количества движения. В этом случае вол
новая функция вне ядра будет периодической функцией А sin (kr + о) с вол
новым числом k, причем А выбирается таким образом, чтобы эта Функ
ция соответствовала падающей плоскоЙ волне e ikz единичной амплитуды.
Фазу о следует выбрать так, чтобы
А sin (kr + о) rладко сшивалось с функ I
цией (7.4). Волновое число k COOTBeT О
ствует нейтрону вне ядра и оказывает
ся во MHoro раз меньше К, k К.
Так как производится сшивание двух
периодичеСIШХ функций с большим вол
I
новым числом К и малым волновым О
числом k, то в общем случае ампли
туда С будет в К / k раз меньше А
(фиr. 80, а). (Это явление представляет
собой эффект, названпый нами в пре
дыдущем параrрафе « рассоrласованием
наrрузки».) Исключения имеют место
в том случае, коrда величина таIшва,
что при r == R фУНIщия U максималь
на или почти максимальна, т. е.
R (и' /U)Т'='R О. Тольно тоrда обе вол
ны MorYT сшиваться с равными или
почти равными амплитудами, как по
казано на фиr. 80, б и в. Следователь
но, волновая функция падающей ча
стицы в общем случае очень слабо про
никает внутрь ядра. Однако существует ряд значений энерrии €" так
называемые « резонансные» энерrии, для которых (€s) имеет такую вели
чину, что tg U l при r == R близOI{ к нулю. Вблизи этих энерrий падающая
волна сильно проникает внутрь ядра. Следовательно, частица ПРОНИI{ает
в ядро и приводит К образованию «cocTaBHoro ядра» толыш в том случае,
коrда ее энерrия € равна или близка к « резонансной» энерrии €s'
С помощью Этой картины можно получить несколько больше сводений
относительно сечения рассеяния. Малая величина С/А для энерrий, далеких
от резонансной, предполаrает, что в этом случае внешняя волновая функция
принимает при r==R малые значения. Приближенно она мош:ет быть запи
сана в виде функции А sin k(r R), которая при r==R обращается в нуль. Это
выражение является решением задачи о рассеянии от непроницаемой сферы
радиуса R, в случае которой волновая функция исчезает при r==R. Тarшм об
разом, можно сделать вывод о том, что вдали от резонанса рассеяние долж
но быть почти идентично с рассеянием от непроницаемой сферы радиуса Rl).
Можно ожидать, что заключения предыдущих параrрафов будут уточ
нены в следующих пунктах: если энерrия падающей частицы настолы{о мала,
что открыт ТОЛЬкО один или несколько каналов, то сечение образования
cocTaBHoro ядра ас уже не будет монотонной функцией энерrии (4.8). Для
определенноrо ряда ДИСI-\:ретныХ значений энерrии €s падающих частиц
сечение ас будет обнаруживать резонансы, оставаясь чрезвычайно малым для
всех энерrий €, не совпадающих или не расположенных вблизи от одной из
1) См., однако, работу [819].
A
,vV R
а
..
r
\Я /
U R
б
....
r
/
..
r
в
Фи r. 80. Схематическое представление
волновой функции нейтрона у поверх
пости я:дра.
Волновые фуннции представлены в 8аписи
моети от расстояния r от центра ндра. В слу
чае а 8нерI'ИЯ нейтрона расположена между
ре80нансами. в елучае б она БЛИ8Rа R
ре80наненой, елучай в еоответетвует pe80
нане}".
\
304
r.л,. VIII. Яоерпые реа/щии. Общая теория
сн:анию частицы а (ее называют та:кже частичной шириной). Ширина ypOB
ней с Е < 8 МИН. в:ключает толь:ко радиационную ширину.
Из этоrо рассмотрения непосредственно следует определенное условие,
на:кладываемое на время жизни для получения дис:кретноrо спе:ктра ypOB
ней при энерrиях возбуждения, превосходящих SМИН. Время жизни должно
быть достаточно большим, та:ким, чтобы ширина I'S о:казалась меньше pac
стояния между соседними уровнями Ds, т. е.
I,s<D s ' (7.7)
При достаточно большой энерrии возбуждения Е. ядро С может ис-
пус:кать частицы а с различными энерrиями, соответствующими различ
ным состояниям :конечноrо ядра. Поэтому 1' можно подразделить на пар
циальные ширины:
i
i
<
1
r == r G."
(7.8)
а'
причем l' a' соответствует вероятности испусн:ания частицы а при условии,
что I{онечное ядро останется в состоянии а.'.
Используем :концепцию :канала. Torдa :каждый а:кт распада при усло
НИИ, что для Hero проведена полная специализация прОДУI{ТОВ распада
(в:ключая их :квантовые состояния), будет соответствовать определенному
наналу, обозначаемому бу:квой а.. Введем вероятность . испус:кания или
ширину, отвечающую данному :каналу r , и запишем полную ширину в виде
l's 1" I '" r s
рад. T...:::::.J а,
(7.9)
"
,!
!
'
.1
i
1
1
а.
['де суммирование распространяется на все отирытые наналы, по :которым
может происходить распад состояния s. Ширину r можно определить сле
дующим образом: пусть имеется N s ядер, находящихся в возбужденном
состоянии s; тоrда число распадов, происходящих в единицу времени по
наналу а., равно Nsr /1i.
Возрастание полной ширины l's с увеличением энерrии возбуждения
происходит по нес:коль:ким причинам: во первых, с более высо:ких уровней
возможно испус:капие большоrо числа частиц; BO BTOpЫX, мотет образовы
ваться большее число возможных состояний а.' различных :конечных ядер,
та:к что увеличивается число ЧJIeНОВ в (7.9). По этим причинам число
от:крытых :каналов быстро возрастает с ростом энерrии возбуждения. Более
тоу'о, с ростом энерrии Es возрастает вероятность 11: любоrо отдельноrо
способа распада. Та:ким образом, при определенной энерrии возбуждения Е,
превосходящей S МИН., средняя ширина уровня 113 о:казывается больше cpeд
иеrо расстояния между уровнями D. Тольно В этом случае спе:ктр ядра
становится действительно непрерывным.
Существование нвазистационарных состояпий cocTaBHoro ядра нри энерrиях
Е> S МИН. можно нояснить И друrим нутем, обратившись н обсуждавшейся ранее аналоrии
с волноводами. Хорошо известно, что замннутая полость с абсолютно отражающими
Стеш{ами харar,теризуется онределенными частотами, ноторыми может обладать внутри
нее элентромаrнитное поле. Единственные энспериментальпые данные относитеJIЬНО эти:!
резонансных состояний ПОJIОСти ПОJIучаются в УСJIОВИЯХ, при ноторых ПОJIОСТЬ Не .мо:ж;ет
считаться замннутой: ДJIЯ Toro, чтобы произвести измерения, необходимо хотя бы однаж
ды разрушить cTeНI,y ПОJIОСТИ и ввести через отверстие зонд. При этом полость перестае7
быть замннутой системой, и можно думать, что она не будет иметь стационарных состоя-
ний. Находящееся внутри ИЗJIучение может проникать снвозь сдеданное нами отверстие.
Тем не менее хорошо известно, что тание измерения ВПОJIне возможны и разумны и что
состояния ПОJIОИИ С отверстием являются почти стационарными и очень БJIИЗНИМИ R ста.
ционарным состояниям идеаJIЬНОй замннутой ПОJIОСТИ. Условие маJIОСТИ возмущения,
создаваемоrо внесением зонда, состоит в том, что величина Q ПОJIОСТИ должна быть
веJIИRа по сравнепию с единицей. ВеJIичина Q опредеJIяется нак отношение энерrии,
9 7. Реаонапсная теория; качественное расс.мотрепие
305
запасенной ПIтутри полости, к энерrии. уходящеll через отверстие за один период колеба-
ний. Это условир можно lJыразить в слрдующ( М IJИДР: врсмя жизни состояния должно i)blTb
большнм 110 сраlJНСНИЮ с ПРРИОДОjl;[ колебаний IJНУТРИ полости. Ниже мы увидим, что это
эквиваm'IIТIЮ условию малости ширины по сравнснию с расстоянием между уровнями ДЛlt
резонансных ядерных реакций.
В. Интерпретация D и r
Интересно обсудить физичесн:ий смысл расстояния D между уровнями
и связь этой веnичины с нен:оторыми своЙствами движения составных
частей ядра. В общем случае это движение нельзя описать с помощью
:классическоЙ модеnи движушихся частиц. Однако, cornacHo принципу COOT
ветствия, :классическому описанию в значительной степени соответствуют
сильно возбужденные состояния. Можно построить линейную :комбинацию
волновых функций рЯДа соседних стационарных состояний тан:, что они
будут соответствовать в пределах, даваемых принципом неопредеnенности,
относитеnьно точно ОПредеnенной в пространстве rруппи ровн:и частиц с дaH
ными сн:оростями. Движение этих частиц (или, вернее, ман:симума н:вадрата
волно,вой фун:кции) соответствует в хорошем приближении движению, вычи
сnенному по :кnассичесн:ой мехаНИI{е, Нас интересует лишь одна ocof)eH
ность, а именно период движения Р. Величина Р представnяет собой
время, по истечении HOToporo повторяется исходная :конфиrурация частиц.
О:казывается, что время Р тесно связано с расстоянием между уровнями D,
отвечающими использованвым в линейной :комбинации состояниям. Допу
стим на мrновение, что энерrии Е п этих состояний (число :которых равно,
сн:ажем, N) расположены на равных расстояниях друr от друrа:
Е п == Ео т nD.
Torдa для линейной :комбинации N состояний, пространственная зависи
мость :которых описывается фун:кциями СРп, можно написать
N N
,', == "1 а CD е iEnt/h == e iEot/h "1 а со e in Dt/h
I L n,n L, nтn .
п==1 n==1
Очевидно, что I ф [t + (21t11./ D)] 12 == I Ф (1) i 2 , тан: что волновая
менты времени t и t -i 21th / D описывает одни и те же
Та:ким образом, период движения
Р 2пп
1J'
rде D расстояние между уровнями. Это ЗaIЩючение справедливо толь:ко
тоrда, :коrда уровни расположены на равных расстояниях, что приближенно
имеет место в простых системах при высон:их возбуждениях.
Приведем два элементарных примера. Рассмотрим вначале частицу
с массой И, находяшуюся в одномерной потенциальной яме шириной Ь
и rлубиной V o ' :которые удовлетворяют условию V o (Ь 2 М /п2) :?> 1. Это усло
. вие rарантирует существование большоrо числа стационарных состояний.
Энерrия Еn, расположенная выше дна ямы, опредеnяется для больших
:квантовых чисел п приближенным СООТНОlliением Е п 1t2п2h2/2ИЬ2, а pac
стояни е между уровнями D == 1t 2 nh 2 / и Ь 2 . Период Р, соответствующий клнс
сичесному движению (:колебаниям между двумя стен:ками ямы). равен
P==2b/v, rде V CROpOCTh частицы внутри ямы [V==I/2 Е п /М ==1tпh/ИЬ].
Таним образом, соотноn;ение Р == 21th/ D подтверждается. Друrой при мер
можно получить, рассмотрев движения электрона в атоме водорода по боров
с:ким орбитам, Леrн:о по:казать, что подсчитанное по формуле Бнльмера
расстояние между уровнями соответствует периоду обращения по COOTBeT
ствующей боровс:кой орбите.
20 3аиаз ;м 396
фуннция В MO
:конфиrурации.
(7.10)
,
306
rл,. V/lI. Яоерпые реакции. Общая теория
В сложных системах, подобных атомным ядрам, та:кое рассмотрение
в не:которой степени теряет свою точность, но мотно предполотить, что
оно остается :качес венно верным и может быть использовано для модель
Horo описания. В данном случае нет равноотстоящих друr от друrа ypOB
ней. Однано среднее расстояние между уровнями D можно рассматривать
в качестве хара:ктеристин:и периода ВНУ'l'риядерноrо движения, причем
период о:казывается очень большим, например значительно больше периода,
отвечающеrо движению одноrо тела в потенциальной яме ядерных разме
ров. Это является следствием взаимодействия нунлонов, н:оторое делает
движение чрезвычаЙно запутанным, та:к что промежуток вреC\iени между
повторениями одина:ковых :конфиrураций становится значительно больше,
чем при любом простом движении.
Распространим теперь это рассмотрение на случаЙ распадаюJЦИХСЯ COCTO
яниЙ. Тан :ка:к эти состояния не отличаются в существенной мере от CTa
ционарных, то для оцен:ки периода Р движения можно попрежнему поль
зоваться средним расстоянием между уровнями п. ИСПОJlьзуем :концепцию
периода для повторения весьма специальной н:онфиrурации. Известно, что
распадающееся состояние может быть создано частицей а, попадающей
в :конечное ядро по наналуа., Высерем :конфиrурацию, н:оторая реализуется,
н:оrда частица а тольн:о что влетела в ядро, и будем интересоваться про
межут:ком времени, по истечении RoToporo частица вновь появится
на поверхности ядра, способная вылететь из Hero по тому. же наналу а.,
o н:оторому она попала в ядро. На этот вопрос мотно ответить лишь
очень приближенно: время Р равно по поряд:ку величины периоду движе
ния и можно ожидать, что P",,21th/D.
Повторение ун:азанной :конфиrурации не обязательно означает, что
частица а действительно по:кинет составное ядро. Ядерная поверхность
эн:вивалентна большому и реЗJШМУ е:кач:ку потенциала, и весьма вероятно,
что, испытав отражение на этой поверхности, частица снова начнет дви
rаться внутрь ядра. Такое повторение движений оказывается 'Чрезвы'Чайно
важным для существования строео определенных состояний составною яДра.
Если частица а понидает ядро через промеЖУТ()l\ времени 21th/ D, то время
жизни Toro состояния 't s имеет порядон величины Р и ширина Р""" t,jP """
""" D / 2rr: оназывается по рядна п. Составное ядро имеет cTporo ОПредеJIен
ные состояния толыш при 1'3 D. Та:ким образом, время жизни 't s должно
быть большим по сравнению с Р; cTporo оп} еJ;еленные состояния не pac
падаются после ОДНОI{ратноrо возвращения частицы а н: поверхности ядра.
Вероятность r распада по :каналу а. можно интерпретировать сле
дующим образом: r /h есть отнесенная :к единице времени вероятность
распада системы по IшнаJIУ а. при условии, что все друrие :каналы Н:aIШМ
либо образом за:крыты. Поэтому 't a == hjl' представляет время жизни при
условии, что отнрыт тольно один :канал а.. Это время жизни, очевидно,
должно быть по :крайней мере порядна Р. Вследствие отражения частицы а
на внутренней поверхности ядра 't a может оназаться l'ораздо больше Р.
Обозначим через Т (а.) проницаемость во внешнюю область:
т ( з. ) == Число удачных попытон Dылета по каналу а ( 7.11 )
Чи\;ло попыток вылета
Та:ким образом,
,
I
j
'1
р
:t1J '"'v Т (а) ,
J
j
1
j
."
1.1.
r '"'v Т (а.) ' (7.12)
отн:уда следует, что парциальная ширина r должна быть меньше D/2rr:.
,)
J
,
,1
: ".....,
9 7. РеаО1lа1lспая теория; 1>ачествеппое расс.мотрепие
301
Для существовапия cTporo определенных уровней ядра необходимо, чтобы
т (а) было чрезвычайн() малым, блаrодаря чему движение в данном с6стоя
нии будет почти периодичеСf\ИМ.
Нояффициенты т сх) в точности совпадают с проницаемостями, ПОПА
считанными в 5. Резонансные явления происходят толы\О в той области
энерrий, rде волновое число k может считаться малым по сравнению с К.
В связи с этим можно пользоваться приблитенным выражением (5.6),
содержашим два множителя: проницаемость V l имеlOщеrося в н:анале барь-
ера и проницаемость 4li/ К, соответствующую рассоrласованию наrрузни
при r == R. Проницаемость зависит от момента ноличества движения выле
тающей (или падающей) частицы, ее заряда, массы и от значения волно '
Boro числа k, :которое частица имеет на больших расстояниях от ядра.
Из (7.12) и (5.6) получается следующая оцен:ка для ширины, отвеча '
ющей вылету по определенному каналу:
I' '" ik V ( 7.13 ) '
к 1 2т; ,
rде k волновое число частицы, вылетающей в результате распада COCTaB
Horo ядра по н:аналу а. Множитель { 1 li / К появляется вследствие отражениg;
на поверхности ядра, а множитель V l описывает общий эффент цeHTpo
бежноrо и кулоновсноrо барьеров. Для l == О и в отсутствие н:улоновсноrо
барьера (в случае нейтронов) имеем
I' '" 2 ; (для нейтронов с l == О), (7.14)
rде k волновое число нейтрона.
Из (7.14) следует, что нейтронная ширина мала по сравнению с рас'"
стоянием между уровнями толь:ко при k К. Поэтому резонансы не должнЫ
существова1'Ь, если энорrия возбуждения cocTaBHoro ядра настольн:о высока,
что волновое число k испусн:аемоrо нейтрона имеет порядон: величины К,
В действительности полная ширина уровня r s может о:казаться равной
или большей D даже при энерrиях, соответствующих k < К, тан: н:ак r s
состоит из суммы всех парциальных ширин r .
Ширину, отвечающую опреде.lIенному :каналу, удобно разбить на два
множителя:
r == (2kRv l ) 1 .
(7.15)
Первый множитель (2kRv() зависит от энерrии нанала и условий вне ядра.
Второй множитель (1 ) называется (<приведенной шириной». ОН объединяеl'
все величины, хара:ктеризующие внутреннее строение ядра. Порядон: БеJIИ
чины 1 может быть оценен соrласно (7.13):
в D
l a "' 1tKR ' (7.16)
в этом соотношении различные :каналы не отличаются друr от друrlt,
В действительности 1 может сильно меняться от канала :к :каналу, одна«"
следует ожидать, что порядо:к величины будет определяться соотноше
нием (7.16).
Приведенная ширина 1 . зависит O'f энерrии возбуждения Ев cocTaBHoro,.
ядра:
Ев == Eas+S a -+ Еа,
rде Sa энерrия отделения частицы, а и Еа, энерrия возбуждения :конечноrО'
ядра в н:анале а. Можно полаrать, что j не обнаруживает систематической
20"
Зn8
r.л,. VHT. Яоерпые реа1Оции. Общая теория
1
;
'
1
ааnисимости от Ем, пока Еаа E . При ЭТОМ возможны сильные флуктуа-
ции ддя различных уровней s и различных наналов а.
Зависимость частичной ширины r от энерrии частицы Еаа, испускаемой
соетавным ядром в состоянии s, определяется rлавным образом множи
телем 2kRv,. 13ыражение (5.8) дЛЯ V/ пон:азывает, что для нейтронов с l == О
частичная ширина пропорциональна E /2; дЛЯ 1 =F О она пропорциональна
E + 1/2, если энерrия Еа достаточно мала, тан: что действительные выраже
ПllЯ (5.8) для V l можно заменить соответствующими первыми членами.
В случае ширин I' , отвечающих вылету заряженных частиц, V l включает
цроницаемость кулоновсноrо барьера.
Необходимо специализировать уровни, среднее расстояние между KOTO
рыми D интерпретируется как величина, обратная периоду движения.
Принцип соответствия, использованный для интерпретации D, применим
лишь н: состонниям, удовлетворяющим следующему условию: все физиче
ские величины, за исключением самой энерrии, нвляющиеся интеrралами
движения, должны иметь одну и ту же величину. Тан:им образом, pac
стояние D доЛ/нно отсчитываться между уровнями содинановыми J (HBaH
товыми числами, отвечающими полному моменту КОJlичества движения
ядра) и одинаковой четностью. В общем случае предполаrается, что вслед
ствие сильноrо взаимодействия не еушествует друrих интеrраJIOВ движения,
отвечающих движению нун:лонов внутри ядра. Если харан:тер ядерных сил
допусн:ает большее число интеrралов движения, то смысл D должен изме
1iИ'l'ЬСЯ. При ведем несн:о.ПЬН:О примеров.
Если в ядре отсутствует взаимодействие спина с орбитальным дnиже
пием, то D представлнет собой расстояние между уровннми с ОДинан:овыми
h ,и S. в случае, KorAa можно рассматривать ядро нан систему независи
lr1blX нуклонов, движущихся В обшем потенциале, интеrралами движения
будут энерrии ИНДИВИДУЫIЬНЫХ нуклонов, так что .О оказывается расстоя
нием только между состояниями отдельноrо нуклона.
В любом из этих случаев D ЯВJlяется расетоянием между теми COCTO
яниями, которые создаютсн падаюшей частицей с определенным спином
и моментом ноличества движения. Если взаимодействие между частицами
отсутствует, то MOI'YT возниннуть ТОJIЬНО состояния, отвечающие возбужде
пию падающей частицы. При отсутствии взаимодействия спина с орбитаJIЬ
пым движением образуются только состояпия с квантовыми числами L
и S, получающимися в результате СJlожения вен:торов орбитальноrо момента
!\оличества движения и спина падающей частицы и ядра мишени.
1
'C
j
,'А
'
<1
'j
',1
i
"
r. Сечения я.с.ерных реакций
}\ачественные aprYMeHTbl предыдущеrо параrрафа можно использовать для
построения формулы, описывающей сечение ядерной реющии в резонанс
ной оБJIасти. В этом параrрафе нет математичесн:их вычислений, они приве
дены в 8, Б и в более общем виде в 9 и в rл. Х, 4. UеJlЫО HaCTO
ящеrо раздела является JIИШЬ ознюшмление с видом выражений для сечений.
Рассмотрим сечение а (a, ) реан:ции (а, ). Ожидается, что реан:ция
происходит с заметвой вероятностыо тольно при энерrиях падающих частиц,
близких к опредеJiонным резонансным значениям Ев, Так н:ак резонансные
Э:tIерrии зависят от момента количества движения l падающей частицы,
то вблизи даНIJоrо резонанса ядерную реакцию MorYT вызвать ТОJIЬНО
частицы а, имеющие подходящую величину 11). Сечение аС! образования
1) Если принять по пнимапие спин падающей части, то возбуждению одноrо резо
flаиса может отвечать более чем одно значение [. Этот вопрос ОUt:уждаетсн n S 10.
9 7. Реаопапспая теория; 1>ачественпое рассмотрение
309
cocTaBHoro ядра по н:аналу а., отвечаюшему моменту количеСТJ1а движения [,
явлпется, соrласно (5.1), произведением ман:симально возможноrо сечени.fl
(2l + 1) 7t1i. 2 И проницаемости Т! (а). В формуле (5.1) не учитываются резо-
нансные явления. Предположим теперь, что (5.1) справедливо и в том слу-
чае, н:оrда ас! усредняется по энереети'Ческо.му интервалу, который насто.А,ь14О
велик, 'Что содсржит несколько резонансов. Тоrда для получения сеченил
вблизи резонанса надо умножить (5.1) на фующию У (Еа), имеющую манси-
мум при Еа Еав И нормированную н: единице. Ширина ман:симума должна
соответствовать времени жизни образовавшеrося состояния cocTaBHoro ядра
и, таним образом, должна равняться n;и рине r s , определенной соrласно (7.9).
Вид У (Е,) вблизи данной резонансной энерrии Еа.э выбирается по ан а-
лоrии с теорией дисперсии cBeTa l ):
У (Еа) "" а 1 '2 (для Еа, близних К Еав).
(Е,, Еаз)2 + (2[$ )
Это распределение харантеризуется полушириной r s . Величина у становится
малой, н:оrда
(7.17)
I Еа Ем I r s .
Значение, усредненное по несн:ольн:им резонансам, может быть хорошо
со
апроксимировано интеrралом (1/D) Y(E)dE, rде D расстояние метду
co
уровнями. Постоянная а в числителе (7.17) должна быть выбрана таким
образом, чтобы :это усредненное значение равнялось единице, т. е. а Dr s /2'1t.
Используя (7.12), мы получим следующее выратение для сечения:
rsr s
аС! (а.) (2l + 1) 'It T! (а.) У (Еа) "" (2l + 1) 7t ; а ( 1 ) 1'
(E E )2+ rs
а as 2
(7.18)
Харантерно, что величина этоrо сечения пропорциональна ширине r:, кото"
рая является вероятностью обратноrо процесса распада cocTaBHoro ядра
по наналу а..
Для нахождения сечения отдельной реакции (cx, ) надо умножить
ас (а.) на С С ( ) r /rs вероятность распада образовавшеrося cocTaBHoro
ядра по каналу [см. (35)]. В этом случае получается следующее сечение
реан:ции а (a., ) вблизи резонанса Еав для частиц с моментом н:оличества
движения [:
2 r rз .
а (а., ) "" (2l + 1) 'It a 2..!.. ( S l'
(Ea Eao)' 2 r )
Формула (7.19) называется в теории ядерных реакций формулой Б рейт4....
Витера для изолированноео У ровня [102].
Следует отметить, что ширины r , п зависят от :энерrий каналов через
посредство Т ! (а) или Т" ( ). Все они являются фующиями Еа, так как,
соrласно зан:ону сохранения энерrии, все энерrии E в выходном н:анале
определяются значениями Е". Тан:им образом, величины r и r при энер-
rиях, скажем, меньше резонансной, несколько отличаются от тех же ве.ПИ-
чин при :энерrиях больше резонансной. В противоположность этому ширина,
определяемая соrласно (7.13), представляет собой вероятность распада
(7.19)
1) ОСНОВОЙ дЛЯ TaKoro выбора RШlЯ('ТСfI ЭRспон('нпиаЛЫIЫЙ характер распада. RaR
показано в работе Фока иКрылона [ЖЭТФ. 17, 93 (1947)1. закон распада связан е рас-
пределением энерпi.и в квазистаUИОlJаРliОМ состоянии. 'flрu.м. перев.
....
" '"
]
'j
,
.
j
'j
i
1
!
я 1:0
r.л,. VIII. Яоерпые реакции. Общая теория
состояния s cocTaBHoro ядра по :каналу а.. При ее вычислении k должно
РPIть взято при той энерrии, с :которой частица по:кидает распадающееся
состояние, т. е. при Еа == Еав.
Более строrая математичесн:ая теория ( 8 и 9 этой rлавы и rл. Х)
по:казывает, что параметр Еав, входящий В (7.19), не зависит от энерrии
J{анала Е" тольно в случае резонансов, отвечающих S нейтронам. В осталь
пых случаях ЕаВ является фун:кцией энерrии н:анала Еа. При сравнении фор
мулы Брейта Виrнера с э:кспериментальными данными энерrетичес:кой
зависимостыо ширин r и Еав обычно пренебреrают. Одна:ко имеются слу
I'.1аИ, :коrда та:кое пренебрежение не допустимо [739].
Формула (7.19) неприменима н: процессу ynpyroro рассеяния (а., а.)
вслеДСТJJие интерференции между испусн:анием частицы а составным ядром
п рассеянием ядерной поверхностью и потенциалами вне ядра. Сечение
упруrоrо рассеяния будет вычислено в 8, Б; оно имеет следующий вид:
йs,l == 01 (а., а.) == (2l + 1) 'ltl\
ir 1
1 + Апотенц.
(E", Ees)+"2irs
(7.20)
Первый член под зна:ком :квадрата модуля представляет собой амплитуду
резонансноrо рассеяния, а второй аМПJlИТУДУ потенциальноrо рассеяния,
определяемую (2.57). Амп.питуда Апотенц. соответствует рассеянию, происхо
ДЯIllему при замене ядра абсолютно отражающей сферой радиуса R; этот
процесс определяет cr (а., а.) вдали от ре:зонанса. Амплитуда резонансноrо
рассеяния описывает расееяние, происходящее при испусн:ании частицы
из cOCTaBHoro ядра по :каналу а.. Если бы для подсчета cr (а., а.) использо
!3алась формула (7.19), мы получили бы лишь в:клад первоrо члена. С изме
нениями, вносимыми в (7.19) и (7.20) учетом спинов, читатель позна:ко
)lИТСЯ в 10.
Очень ватным специальным приложением формулы (7.19) является
радиационный захват, определяемый (1.2). В этом случае составное ядро С
цспусн:ает 1 :КBaHT и переходит в более низ:кое состояние. Это состояние
!3 обшем случае он:азывается расположенным настольн:о низн:о, что даль
нейший распад ядра С мощет происходить тольн:о путем испусн:ания
j RBaHToR. ОБОЗНR'IИМ через I' ад. умноженную на п и отнесенную н: еди
JIице времени вероятность испус:кания 1 :КBaHTa составным ядром. Можно
ожидаТh, что вблизи резонанса Еев, отвечающеrо моменту :КОJlичества движе
пия 1, сечение радиационноrо захвата имеет вид
2 r r ад.
cr c (a.)==(2l+1)7tl\a 1 " ) 2'
(E", E"'B)2 + ( "2 r
/
1,
(7.21)
rде r s ПОJIная ширина, в:ключающая радиационную ширину
r s == r + I' aд. .
а.
Резонансные энерrии Е",в ЯВJIШОТСЯ энерrиями, в ОJ<рестности ноторых
падающая частица образует составное ядро в одном из возбужденных HBa
эистационарных состояний. Наждое состояние s COCTaBHoro ядра отвечает
резонансу в том нанаде, по :которому происходит ero образование. Между
резонансными энерrиями Е",в И E B дЛЯ :канадов а. и , ведущих н: одному
D тому те состоянию s cocTaBHoro ядра, существует еледующее соотноше.-
JIие:
E 8 Еаа == Qa. ,
J'де Q.. величина тепловоrо эффента, опредеJIенноrо в выражении (1.7).
9 7. Реаопапспая теория; качест(Jепное расс.мотрепие
311
Это соотношение идентично обшему соотношению (1.6) для :шерrий н:aHa
лов Е.. и E . Следовательно, в реан:циях (а., ) и ( , а.) участвует один и тот
же резонанс, если тольн:о энерrия входноrо н:анала в последнем случае
равна энерrии выходноrо HaHaJIa в первом. Формулу Брейта Виrнера
(7.19) удобнее записать в виде
2 r r
а (а., ) == (2l + 1) 7t1\. ( 1 ) 2'
(E Es)2+ Trs
rде Е энерrия возбуждения, отвечающая образованию cocTaBHoro ядра
при энерrии :канала, равной Е., а Es энерrия возбуждения :квазистацио
HapHoro состояния s cocTaBHoro ядра. Соrласно (1.8),
Е == Е($.+ Е.., + Е." +Sa'
(7.22)
I'де Sа энерrия отделения частицы а от cOCTaBHoro ядра, а Е., и Е."
энерrии возбуждения частиц в :канале а.. Из формулы (7.22) становится
более очевидным тот фа:кт, что наличие резонансноrо знаменателя обус
.повлено свойствами cocTaBHoro ядра, а не специфин:ой входноrо :канала.
Д. Поведение сечений ядерных реакций вблизи пороrа
В случае, :коrда энерrия одной из частиц Е.. или E близ:ка н: нулю,
ядерная реан:ция (а, Ь) обнаруживает хара:ктерные особенности [817]. Pac
смотрим сначала случай, н:оrда энерrия ВХОДноrо :канала Е.. мала. Пред
положим, что Е", < Ll, rде L'1 энерrетичес:кий интервал, в н:отором rce pac
сматриваемые величины, за ИСI{лючением обращающихся в нуль при Е.. == О,
MorYT считаться постоянными. Очевидно, что при Е. О сечение реакции
а (а., ) обращается в нуль, если реа:кцIlЯ является экзоэнерrетической, т. е.
Q. > О. в этом случае сечение а (а., ) можно записать, исходя из формулы
(7.22),
а (а., ) const. л;I' при Е" О,
rде все величины, не обращающиеся в нуль при Е.. == О,
const.
Используя
зан:лючены в
(7.13), получим
а (а., ) const. E;:1f2V/ (Е.) при Е. О,
причем проницаемссть V( (Е,,) зависит от природы падающей
падающей частицей являе1СЯ нейтрон, то с помощью (5.8)
а/ (а., ) == сопst. Е Ч2 при Е" О.
(7.23)
частицы. Если
найдем
· (7.24)
Это сечение приложимо только к реа:кциям, вызываемым нейтронами с MO
ментом н:оличества движения [. До тех пор по:ка существенную роль иrрают
правила отбора, наибольший вклад будут вносить нейтроны с l == О, та:к
что в этом случае для реакции под действием нейтронов получается
а (а., ) == const. Е;:Ч2 (при Е.. О В реакциях, вызываемых нейтронами),
(7.25)
представляющее собой хорошо известный закон 1/v.
Если падающая частица обладает зарядом Zae, то проницаемость
V/ (Е,,) будет быстро убывать с уменьшением энерrии Е". Поэтому основной
вклад будут вносить частицы с l == О. Асимптотичесн:ое выражение для V o
можно подсчитать из формулы (5.9): .
( Za zxe2 )
V o == const. E 1/2 ехр 'h при Е" О,
V..
312
r.л,. VIII. Яоерnые реакции. Общая теория
rде V a скорость частицы. Таким образом,
( Za z x e 2 )
О ((1, ) == const. Е;; 1 ехр (при ЕtЖ О В реан:циях, вызываемых
hV a
заряженными частицами). (7.26)
Следует отметить, что асимптотическое значение (7.26) достиrается только
при очень малых энерrиях Для всех ядер, исключая наиболее леrн:ие,
энерrии Еа, для которых справедливо выражение (7.26), настолько малы,
что суrпеСТВУЮlIl ая техника не дает возможности наблюдать реакцию.
Асимптотичесн:ое поведение о ((1, ) при E О имеет аналоrичный
характер. Этот случай осушеСТlЗляется только при ЭНДоэнерrетической peaн: ...;
ции, Qa < О. При этом из формулы (7.22) следует
0((1, )==const.I' ==const'E /2v!({ ) при E O. (7.27)
Если вылетающей частицей является нейтрон с моментом н:оличества
движения [, то
О! ((1, ) == const. Е +Ч2 при E О. (7.28)
Вблизи nopora реакции большая часть нейтронов испусн:ается в общем
случае с l == О, так что
о ((1, ) == const. Е lf2 (при E О для вылетающих неитронов). (7.29)
Если испускаемая частица заряжена, то
( Za zxe2 )
О (а., ) == сопst. ехр (при E О для зарятенных вылетающих
hv
частиц). (7.30)
В заключение рассмотрим асимптотическое поведение упруrоrо pac
сеяния. Сечение 0((1, (1) состоит из двух частей: резонансноrо и потенциаль
Horo рассеяний. При малых энерrиях потенциальное рассеяние в случае
заряженных частиц совпадает с резерфордовсним, тан: как оно энвива
лент по рассеянию заряжонной сфероЙ. Отражение от ядерной поверхности
не влияет при малых энерrиях на рассеяние; поэтому остается только r{уло
новское рассеяние. Это рассеяние rораздо больше любоrо ядерноrо эффекта
и не представляет для нас интереса. В связи с этим более интересен
случаЙ рассеяния нейтронов. Асимптотичесн:ое поведение Апотенц. опреде
ляется тем, что ! становится очень малым. Из (2.52) и (2.57) следует
2i (k R)2l+1
A OTeHЦ. 2i ! (21 i )!a! (21 t--1)!! .
Величина амплитуды, отвечающей l == О, значительно больше и равна
А (О) 2ik R.
потенц. а
, S
Амплитуда резонансноrо рассеяния А rез . пропорциональна ширине I\, н:o
торая также содержит множитель kaR. Суммарная амплитуда A . + A eHЦ.
пропорциональна ka, что после возведения в н:вадрат в формуле (7.20)
компенсируется множителем х;:
0((1, (1) const (при Еа. О для случая УПРУl'оrо рассеяния нейтронов).
(7.31)
Сечение рассеяния нейтронов стремится к постоянному пределу, козда
их энерзия стремится к нулю.
Асимптотические соотношения были получены из формул Брейта
Виrнера (7.19) и (7.20). Их можно тан:же получить и с помощыо нерезо
1 1 "
,
8. Реаопансная теория; опреое.л,ение сечений
313
нансной тезрии, и применимость
энерrий, в н:оторой наблюдаются
Из формулы (3.2) следует,
;T! ((1). Это же непосредственно
этих соотношений не оrраничена областью
резонансы.
что при Еа О О'с ((1) пропорционально
видно из (5.1). Зависимость от энерrии
а
а
'"
е
е
Фи r. 82. Попrдепие сечений вблизи пороrа.
Кривая l анзоанерrетичеснап реанция ПОД действием неЙтронов (п. а); RрИ
вая lI упруrое рзссеяние нейтронов (п. п); НJ'ивзя 1 1I зннознерrетичеснзя
реанцип под действием ззряженных частиц (р, а) или (о. а) (f!НСПОН НlIиаЛh
ная КрИRап); нривая IУ зндоэнерrетичеснап реакцин с испу!'каНI1ем нейтрона
(а, п) или Heynpyroe рассеяние нейтронов (п. п); кривая V андойнерrетичесная
реаНIIИЯ с испусканием зарпженной частицы (а. р) или (а. а) (3НСI10ненциаЛh
ная нривая). Энерrия Ео представляет собой пороr аНДО.анерrетических peaK
ций. Энерrия обозначает интервал. R нотором все величины. аа исключением
анерrии частицы. мосут считаться постоянными.
частицы содержится в множителе Се ( ), I{ОТОРЫЙ, соrласно
пропорционален Т, ( ). Следовательно,
{ const'7,:T,(a.) при Ea O,
0', ((1, ) == const. Т, ( ) при f О.
Эти выражения эюшвалентны соотношениям (7.23) и (7.27), из ноторых
были получоны все остальные. ЭI\вивалентность следует из Toro, что при
малых энерrиях
вылетаюшей
(3.8) и (5.1),
(7.32)
4k
Т, ((1) ; V, ((1).
АсимптотичеСI\ие свойства схематичеСI\И изображены на фиr. 82.
8. РЕЗОНАНСНАЯ ТЕОРИЯ; ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
А. Случай резонансноrо рассеяния
Сделанные в предыдущем параrрафе заI\лючения основывались на
I\ачественных aprYMeHTax. В этом параrрафе приводится I\оличественная
фОРМУЛИрОВI\а, а 'тан:же дается формальное вычисление результатов.
Рассмотрим сначала процесс, при нотором падаюшая частица вылетает
по тому же н:аналу, по ноторому она попала в ядро. В атом случае отлично
от нуля толы\o сечение рассеяния. Исследуем прежде Bcero случай нейтронов
с 1 == О, представлшощий наибольший интерес. Сечение рассеяния опреде
ляется формулами (2.25) (2;27),rде оно выражено нан фУНI\ЦИЯ лоrариф
314
r.л,. V///. Яоерпые реакции. Общая теория
мической ПРОИЗВОДНОЙ /0' Подставим теперь в эти формулы выражение (7.3)
для /0 и докажем утверждения, приведенные на стр. 300 301.
Общее поведение лоrарифмической производной /0 как функции EJНep
rии канала е мотно найти следующим образом. Функция u (r) внутри
ядра вблизи поверхности (r'" R) качественно описывается выражением (7.2)
u(r)'"'Ve iKr+ei(Kr+2!;)==2ei!;cos(Kr+C) при r<R. (8.1)
AprYMeHT косинуса зависит от энерrии е двояко: через К и через «BHYT
ренний'> сдвиr фазы С. Тем не менее мотно ожидать, что поведение
СОБ (Kr+ С) "ак функции энерrии е будет вполне реrулярным. Вследствие
1\ f\
'\ 1\
1\ 1\
I \ tgZ(E) 1 \
1 \ 1\
I \ 1 \
. I \ I \
SLnZ(E) I \ I \
1 --\ ....j \-
I I \
I i \
\
"!
:.'\
,
Е.
Фи r. 83. Волновая функция и (R) на входе канала (r == R)
пропорциональна cos Z (е) == cos [К R + (е)]. 11 роизводпая
и'R при r==R пропорциональна sinz(e). Следова-
ТШIЬНО, лоrарифмическая производная 10 == Rи' (R) I и (R)
пропорциопальпа tg z (е); эта величина ЮIR ФУНКЦИII
е, а следовательно, и 10 имеот чередующиеСII нули и
полюса.
",1
j
предполотения о том, что открыт только один канал, С является действи
тельным числом и косинус по абсолютной величине не превосходит еди
ницы. При заданном значении " например r == R, величина
z(е) == КR+Ч е ) (8.2)
долтна быть монотонно возрастающей функцией е 1). Таким образом,
[cos(Kr+C)]r==R==Cosz(e) при изменении е ПРОХОДит через значения + 1, О,
1, О, + 1 и т. Д., как показано на фиr. 83. Конечно, нули этой функции
располотены неравномерно по оси энерrии, однан:о качественно СОБ z (е)
ведет себя подобно обычной косинусоидальной волне.
Производная u (r), вычисленная при r == R, имеет вид
и' (R) '"'V 2e i !;K sin (KR + С) == 2e i !; К sin z (е); (8.3)
в общем случае при изменении энерrии она изменяется аналоrично u (R).
ОДНaIШ нули u (R) не совпадают с нулями и' (R). Косинус имеет нули в тех
точках, rде синус равен :::J: 1, и наоборот. Это тан:те показано на фиr. 83.
'1
,
1) Можно ПОI<азать, что в общем случае а/о/ае <О. Поэтому из (8.4) следует, что
dzjde .> О.
8. Реао1tа1tс1tая теория; опреоелепие сечений
315
Таким образом, лоrарифмическая производная /0 == Ru' (R)ju (R) ведет
себя в обшем случае как TaHreHc. Она имеет ряд нулей, которые COOT
ветствуют нулям и' (R), причем метду катдой парой нулей расположен
полюс, соответствующий нулю и (R), кан показано на фиr. 83.
Вычисляя /0' соrласно (8.1) и (8.3), получим
/o", KRtg(KR+C)== KRtgZ(E), (8.4)
rде функция Z (Е), определяемая (8.2), предполаrается достаточно rладкой
фунн:цией энерrией. Основные физические результаты развиваемой в Ha
сто.яЩАе врем.я теории завис.ят от этоео предположени.я о плавном и3MeHe
нии Z с энереией.
Нас особенно будут интересовать области энерrий, в которых /0 б.лизко
К нулю, ибо они соответствуют областям, в которых амплитуда резонанс
Horo рассеяния А ре :<., определяемая соrласно (2.26), становится очень
большой. Амплитуды волн вне и внутри ядра оказываются, rрубо rоворя,
одинаковыми только в том случае, коrда падающая волна имеет в точне
r == R близкий к нулю уrол нан:лона, т. е. близкую к нулю /0' Поэтому
определим «резонансные энерrию> Е8 с помощью условия
/O(ES)== KRtgZ(EJ==O.
(8.5)
Су!дествует целый ряд таких значений энерrий. Возьмем любое из них
и рассмотрим поведение амплитуды резонансноrо рассеяния А рез . при
энерrиях Е, близких к Es' Воспользуемся дЛЯ <JТОЙ цели методом, который
будем называть линейным приблитением 1). Разлотим функцию /0 (Е) он:оло
нуля при Е" В степенной ряд и отбросим все члены, кроме первоrо (ли
нейноrо):
/0 (Е) == ( d: ) s (Е Ев) + . . .,
(8.6)
rде ( o }. производная /0 по 'Е при Е === Ев, Введем положительную
величину (см. сноску на стр. 314)
1 ,,, 2kR
o== ( ) (8.7)
аЕ s
Тоrда амплитуда резонансноrо рассеяния вблизи резонанса оказывается
равной
А """' irg
рез. 1
(E EB)+ i '2 rg
Нвадрат модуля амплитуды резонансноrо рассеяния
I А 12 (rg)2
рез. I (Е Ев)2 + ( rg у
совпадает с хорошо известной «дисперсионной формулой», которая имеет
максимум при резонансной энерrии и характеризуется полушириной I' .
Заметим, что ВСJlедствие наличия мнотителя k I' зависит от энерrии.
Величину I'g мотно считать приблизительно постоянной при условии, что
(8.8)
\
1) этf1т метод называется таRже теорией возмущения для rраничных условий ([247],
С1l, таRже (31).
316
rA. V///. Яоерпые ретщии. Общая теория
в пределах ширины резонанса мотно пренебречь ее ,зависимостью от энер
rии. В обтем случае в начестве ширины резонанса будет исполь оваться
величина I' , вычисленная при е::::. ев
Ширина резонанса == [I' (Е)]е==Е з .
(8.9)
в области шириной r в он:рестности резонанса амплитуда резонанс
Horo рассеяния имеет порядок единицы. В резонансе она равна двум и,
тан:им образом, оназывается значительно больше амплитуды потенциалъ
Horo рассеяния Апотенц. (2.27), если kR 1. Сечение раесеяния принимает
в резонансе свое ман:сималь
ное значеНIIе, равное 41tл 2 .
Для энерrий, далоних от
резонанса, /0 (е) стаНОRИТСЯ
порядка KR и Болыl:e [см.
(8.4)] и, тан:им образом,
А рев . оказывается значительно
меньше Апотенц.1). В этом
случае рассеяние определяет
ся rлавны,м образом Апотенц.
И, следовательно, почти co
впадает с рассеянием от не--
проницаемой сферы.
cu
:::s
:х:
\
\
\
r
, z
,......(41fJt
.....
.........
.........
....
........
........
47fR 2
/ .
'C
О"потенц.
о
Es
Энерzuя
Фи '. 84. Сечение упруrоrо рассенния для нейтро
нов с l == О вблизи рсзонанса cocTaBHoro ндра.
Кривая вычислена в предположении, что ('пии ядра ми
шени 1 равен нулю. Если' IoFO. то следует ВОСПОЛJ,воватJ,СЯ
теорией. раавитой А 10. Момент }tоличества движения 8
COCTaBHoro ялра равен либо (/+1/2). либо (l 1/2)' в атом
случае приведеllнаfl нриваfl претерпевает слеДУIOшие ив
менсния: она умножаеТСfl на ПОСТОНIIНУЮ у(8) (10.6) и.
Броме Toro. ПОflвляеТСfl перевонансныЙ внлад, равный
ll g (8)] ",';2' I Апотепц.12 [I g (8)] 41tR2.
аз"" 1tл 2 I Апотенц. 12
(вдали от резонанса).
(8.10)
Это выратение ;r:r.остиrает зна
ения аз 41tR2, если liR 1.
В случае, н:оrда обе aM
плитуды рассеяния имеют
один и тот же порядок ве--
личины, метду ними обна
рутивается интерференция.
Нак видно из (2.27) и (8.8),
обе амплитуды имеют при Е < Е з ПРОТИВОПО.ТIожные знани и одинано
вые знани при Е > Eg, если пренебречь I' по сравнению с е Е.
И если kR 1. Следовательно, если Е == E,s' (r /2kR), то интерференция
метлу потенциальным и резонансным рассеяния ми носит разностный xapaH
тер, приводя к образованию минимума в сечении рассеяния. Поведение
сечения рассеяния в области резонанса ПОi\азано на фиr. 84. Соотношение
(8.7) позволяет получить rрубую oцeнr,y ширины r . Используя (8.4), имеем
== d( R) tg z (KR) Бес 2 (z) : ' (8.11)
Таним обраRОМ. для 1=1=0 высота Пllна умеиыuается, а ми
нимум стаповится менее rлубоним по сравнению с HpH
. ведеllНЫМ.
а, соrласно (8.5), z в резонансах должно быть щ:атным 1t:
z(e,,)==n1t (n целое число).
Следовательно, (8.11) дает для величины df/de в резонансе следующее
выратение:
C L ) == KR ( dZ ) .
dE . dE s
(8. 12)
1) Возможные ИСRлючения из этоrО правила обсуждались в работе [819].
6 8. Реаопапспая теория; опреоелепие сечений
317
Испо.пьзуем теперь сделанное выше предположение относительно rлад
Koro поведения z (Е) дЛЯ оценн:и критическоrо значения (dz/dE)s, При пере
ходе от одноrо значения Е. н: следующему z (Е) меняется на 'It. Поэтому
будем предпо.ltазать, 'Ч!nо
dz 11:
dE 1) ,
2де D расстояние .между дву.мя реЗО1-lI11lса.ми. Напишем теперь соотношение
( : ). == 1)"* , (8.13)
rде D* определяется из (8.13) и представляет собой энерrию, близкую
по порядн:у величины н: расстоянию метлу уровнями D. Вводя (8.13)
в (8.12) и используя соотношение (8.7), получим
rs k П ( 8.14 )
о К 2]1;
Если k К, то ширина оказывается-. малой по сравнению с D. Это
выражение совпадает с выратением (7.1t!) для ширины раепадающеrося
состояния cocTaBHoro ядра, полученным в 7, В с помощью качественноrо
рассмотрения.
Проведенное исследование свойств резонанса основано на законности
линейноrо приб.ТIиш:ения (8.6). Это приблитение ИСПОJ1ЬЗ0валось только
в очень у:шом интервале энерrий около резонансной энер1'ИИ Ев, Ампли
туда А рез . иrрает существенную роль тольн:о в интерваJlе, rде 10 (Е) < 1.
Если 10 (Е) больше единицы, то из (2.26) и (2.27) следует, что I Арез.1 <
< I Апотенu.l. Соответствующий энерrетический интерваJI E определяется
из условия
1
I tg z (Е) 1< KR
при 1 Е Езl < .1Е.
(8.15)
Так н:ак KR значительно больше единицы, то, н:ак видно из соотношения
(8.4), величина tg z (Е) остается малой в интервале E. 'Условие (8.1,,))
Б совон:упноети с (8.4) предполаrает, что I Арез.1 I АпотеIщ.1 для i Е Е, I > E.
Так иак z (Е) меняется на 'It при переходе от Es К следующему резонансу,
'То отсюда следует, что E D. Следовательнu, ра3ЛО/f,ение (8.6) должно
быть законным в анеРl'етическом интервале, малом по сравнению с pac
тоянием метду резонансами. С друrой стороны, при hR 1 E значи
тельно превосходит ширину [' . Это мотно поназать, разложив z (Е) в (8.15)
Б степенной ряд в окрестности Е == Es, что дает
( : )..1Е ;R . (8.15а)
Сравнив (8.13), (8.14) и (8.15а), приходим к приблитенному соотношению
l' 2kR E,
ноторое подтверждает правильность сделанноrо выше предположения.
Ширина [' определяет энерrетический интервал, в пределах HoToporo
I Ape . I 1, в то время как E характеризует энерrетический интервал,
Б н:отором I А рез .! I Апотенц 1.
Выражение (8.13) и соотношение П* D будут весьма часто ИСПОЛЬЗ0ваТЬСfI
ДЛЯ получения оцсно" типа (8.14) для ширин уровней. При этом необходимо cдe
лать несколы{o I{ритичеСI{ИХ замечаний. Выражение (8.1), опрсделшощсе волновую
ФУIII{ЩIIO внутри ядра, является в высшей степени ППIотетичеСIШМ. В действи
тельности ЭllерrетическаfI зависимость лоrариФмичеСI{ОЙ прои водной 10 (Е) следует
И3 решения полноrо ВОШJOвоrо уравнения ДЛfI ядра. Соr'ласно (8.4), ФУНI{ЦIIЯ z (Е) опре
.дешIOТСЯ на" z (Е) == ar'ctg (foIKR). Относительно ФУНI{ЦИИ z (Е) известно толы{o то, что
318
rA, VIII. Яоерные реакции, Общая теория
она принимает в резонансе целочисленные значении. RpaTHble 7t, и что ее ПРОИ:Jводнаи
положительна. При изменении aprYMeHTa от Е. дО Е. + D ФУНRЦИИ может нробеl'ать
значение от п7t до (п + 1) 7t таRИМ образом. что производнаи не будет принимать даже
близких н 7t/ D значений ни при Es, ни при Es+D. Два типичных случая поназаны на фиr. 85,а
и б. Первый случай представляет собой пример, коrда D* > D дли всех ре;юнансов,
а второй соответствует D* < D. Рассмотрение. следующее за формулой (8.1), I10назы
вает. что (dz/dE)s 'Не долж'На обнаруживать TaHoro реI'УШlрноrо поведении при значении
z==n7t. если тольно величина К выбрана пря.вильно. На освоваl1ИИ сделанных предпо
ложений можно ожидать, что Rолебания (dz/dE). оноло среднеrо значения 7t/D про
исходят хаотичесни, например HaR поназано на фиr. 85, в. Однано нельзя иснлючи:ть
Z(E;)
Z(E)
п11
(п +2) 11
(п+l)Л
Е.
Z(E)
(п+2)11
(п + 1) 11
п11
. Е.
С 5 +'
Es ,
Е,
ES+l
ES+Z
а
в
L
Фи '. 85. Схематичесное поведение
фуннции z (Е).
a B случае D*>D; б в случае D*<D;
8 B случае. D* D.
t S + 1
E. s + z
б
возможности 'roro. что наши предположения НВШIЮТСЯ слишном упрощенными и чт()
неноторые свойства BHYTpCIIHero строрния ядра будут приводить R систсматичесному
поведению (dz/dE)." I{aH поназано на фиr 85, а ИJIИ б. В этом случае оцеJша щирины
(8.14) оназываетси непрrIВИЛЬНОЙ. .
Вычисление амплитуды С волновой функции внутри ядра, определяемой
соrласно (7.4), позволяет получить ряд интересных заключений. Волновая
Фуннция вне ядра и о (r) может быть записана для нейтронов с l == О в сле
дующем виде:
и о (r) == А sin (kr + Во),
(8.16)
rде ВО фаза, получающаяся из условия, что 10 == R (и' /U)r R, определяется
соrласно (7.3). В этом случае значение и0 (r) при r == R можно' соrласно
(8.16) записать в виде и о (R) == Д[1 + (fo/kR?] 1f2, а соrласно (7.4) B виде
и о (R) == С [1 r (/0/ KR?] 1/2. Равенство этих выратений дает отношение
интенсивностей волн вне и внутри ядра
( 10 \ 2
I \ 2 == 1 + KH)" .
А 1 + ( )
. kR
Вблизи резонансной энерrии Е. можно вновь воспользоваться прибли
женным выратением (8.6), 01:куда с помощью (8.7) и после пренебретения
величиной (/0/KR)2 по сравнению с единицей получается следующее Bыpa
жение:
I с 1 2 ( + rg у
7;; ==(E Es)2+( rgy'
с
. ',:' r i, ) "1'''''''''''>' '<
.
8. Реаопапспая теория; оnреоелепие сечепии
319
Это выратение пропорционально I А реэ . 12 И обнаруживает тан:ие те резо
нансные пин:и, с теми же ширинами. Вне резонанса оно быстро спадает
до очень малых значений.
Таним образом подтвертдается представление, соrласно которому
частица в процессе рассеяния пронин:ает с заметной веРОЯТНОGТЬЮ в ядро
только вб.пизи резонанса, в энерrетическом интерваJlе шириной I' . Вдали
от резонанса частицы испытывают почти полное отратение на rранице
ядра и волновая фунн:ция внутри ядра очень мала. Блаrодаря этому сече
ние рассеяния вдали от резонанса хорошо аПРОI\симируется рассеянием
от непроницаемой сферы радиуса R. Таким образом, резонансное рассеяние
обусловливается внутренней областью ядра, а потенциальное рассеяние
поверхностью пдра.
Опустим на некоторое время сделанные выше предполотения и будем
считать, что пронин:новение частицы в ядро вызывает кан:ие либо реан:ции.
Тан:ими реанциями MorYT быть радиационный захват или испусн:ание дpy
rой частицы. Отвечающее этим реакциям сечение О" должно быть пропор
ционально отношению квадратов модулей амплитуд I С/ А 12 волновой фунн:
ции внутри ядра и волновой функции вне ядра. Это утверждение помоrает
понять, что резонансные энерrии являются такте ман:симумами а" И что
форма резонансов, наблюдающихся при реакциях, сходна с формой I А реэ .1 2
в случае рассеяния.
Обобщим теперь полученные выратения для сечения рассеяния на слу
чай более ВЫСОНИХ моментов НО.пичества двитения и частиц, отличных
от нейтронов. С помощью формул (2.55) (2.57) сечение рассеян ин Bыpa
тается через лоrарифмичесн:ую Производную f" Тю, н:ак мы оrраничились
процессами чистоrо рассеяния (невозможна ни одна из реакций; оп,рыт
, только один н:анал), то, соrласно (2А5), f, должно быть действительным
числом. Введем «формальные резонансные энерrии» Е8 с ПОМОЩЬЮ условия,
аналоrичноrо (8.5):
f{ (Es) == О.
(8.17)
Для нахотдения зависимости амплитуды резонансноrо рассеяния А еэ.
(2.56) от энерrии воспользуемся вблизи одной из формальных резонансных
энерrий Еа разложением
fl ( Е) == (Е EJ ( : ) s + . . .
и введем следующие сон:ращенные обозначения: будем называть шириной,
отвечающей каналу а, величину
1,8 ===:
u.
2в{ (Е)
( dtl \
dE ) s
(8. 18)
и «действительной резонансной энерrией» величину
, Д! (Е)
Е8 == Ев + dtl .
(d€)8
(8.19)
Обе величины r и E являются фунн:циями энерrии н:анала Е, первая
блаrодаря s, (Е), а вторая блаrодаря 8{ (Е). Амплитуда резонансноrо pac
сеяния (2.56) в этом случае записывается в виде
z ir
А реэ . == 1
(Е E ) + i "2 [;
(8.20)
(,
..
320
r.rt. VIII. Яоер1tые реа"ции. Общая meopиll
Рассматриваемый случай отличается от случая нейтронов с 1 == О Bыpa
жением для ширины I' , смешением мансимума от энерrии Е., н: энерrии t:.
. и тем, что E уте не постоянно, а зариеит от энерJ'ИИ канала Е [739].
В выражение для ширины входит проницаемость sjhR == v 1 (2.25):
I 'S r S'
а "-' V 1 О'
(8.21)
Следовательно, в общем случае ширина оказывается меньше СООТЕетствую
щей ширины для нейтронов с 1 == о.
Соrласно (2.11), сечение рассеяния для данной величины 1 оrpаничено
значением
[ IJs 1 ]
. == 4 (21 + 1).
1tл 2 мане.
(8.22)
Нак видно из (2.54), VTO ман:симальное значение достиrается при опред
ленном действительном значении 11' Тан: н:ан: в случае чисто резонансноrо
рассеяния 1I пробеrает при изменении энерrии все действительные значения
от + 00 до , oo (см. фиr. 83), то можно заключить, что мансимальное
значение (8.22) лействительно достиrается при нен:оторой энерrпи в пре
делах н:аждоrо шша резонансноrо раесеяния. Если резонанс узний, то
энерrия, прп н:оторой достиrается маНСИl\1УМ (8,22), близн:а, но не в точ
ности СОl3падает с E , определяемой (8,19), Энерrией E определяется только
1 '
ман:симуМ амплитуды резонансноrо рассеяния I А рез . i 2 , а не ман:сиМУМ Bыpa
жения I А ез. + A OTeHЦ. [2, которое подразумеl3ается в (8.22).
Б. Случай резонаНСllоrо рассеяния и резонансных реакций
Обобщим нап'е рассмотрение на случай, коrда поrлощение падающей
частицы нлром вызывает ядерную реан:цию. В этом СЛУЧl;lе волновая фунн:
ция u (r) внутри ядра описывается выражением (7.1), в котором Ь произ
Больное число, причем I ь 12..;;;: 1. . Предельный случай I ь 12 == 1 при водит
R чистому рассеянию, а Ь == О соотвеТСТl3ует случаю нерезонансной теории.
Рассмотрим теперь прометуточный случай
Ь == e2i e 2q. (8.23)
rде и q действительные числа, являющиеся Фунн:циями энерrии Е пада
IOщей частицы. Число q долтн.о быть БолыLe или равно нулю, поскольку
из ядра не может вылетать больше частиц, чем первоначально в пеrQ
попало. В БТОМ случае, соrласно (7.1), имеем
иl""'Ccos(Kr+ +iq) приr<R,
еде С постоянная, не зависящая от r. Следовательно,
fL == R [ dd L J == KRtg[Z(E)+iq],
и! т=оН
(8.24)
rде Z определяется соrласно (8,2) 1).
В данном случае 1I является номпленсным числом, что приводит К OT
личному ОТ нуля сечению реан:ции. Сечение рассеяния и сечение реакции
выражаются через IL по формулам (2.55) (2.58).
Пон:ажем, что если величина q мала по сравнению с единицей, то
сечения обнаруживаю т резонансы, сходные с обсуждавшимися ранее. Малость
J) JIUI'арl1фМИЧl'СRая производпая R [(dИZ/dr)/UL ]r==R зависит ОТ нанала, по ното-
рому была IJы;шана реанция. Определение (8.24) относится н лоrарифмичеСRОЙ llроизводноi
в исходном нанале реанции а.
8 8. 'рвsо1taН,с1tая теория; оnреое.л,епие сечен,uu
q соотвеТ9твует малой вероятности Toro, что пронин:новение частицы в ядро
может вызвать друrие процессы за время Р, необходимое ей для возвращения
к поверхности ядра по каналу а. Соrласно 7, В, это является необходимым
условием для существования cTporo определенных состояний cocTaBHoro ядра.
Будем теперь расс'матривать fl' определяемую соrласно (8.24), н:ак
фунн:цию Е и q, т. е. fl == f! (Е, q). Определим, как и претде, «формальные
резонансные ерrии» из условия: .
fl(Ep q==O)== KRtgZ(Es)==O (8.25)
и, разлаrая fl в окрестности Е. В степенной ряд 110 Е И по q, оrраничимся
только первыми членами:
f l( E)R=(E E) ( fll.) +q ( !A ) ==(E 'E )( ) iqKR. ( 8.26)
s дЕ / s iJq s s дЕ s
Под (afjaE)s понимается производная fl по Е при Е == Es И q == О. Эта произ
водная входит в (8.6) и (8.18).
Разлотение (8.26) можно ввести в формулы (2.56) и (2.58). В резуль
тате получим простые выратения, rодные в он:рестностях резонансов, При
этом используются следующие величины: «частичная ширИНа»
I'S=== 2Sl(E)
o; (!!.!.J... ) '
\ дЕ . s
(8.27) .
«ширина, отвечающая реакцию)
r -=
2qKR
(!А ) ,
\. дЕ s
(8 28)
(шолная ширина»
. '
r s == r + r
и «действительные резонансные энерrии»
, t'l(E)
Es===Es+ a ) .
(дЕ s
Сечение упруrоrо рассеяния определяется формулой (2.55), в которой
дается (2.57), а амплитуда резонансноrо рассеяния соотношением
ir
А еэ. == 1 (вблизи резонанса).
(E E )+i rs
2
(8.29)
(8.3С)
A OTeHЦ,
(8.31)
Сечение реакции принимает вид
2 . r: r
0r, 1 == (2l + 1) 1t ". , ( 1 ) 2 (вблизи резонанса).
(f fs)2+ yr S
Эти выражения подтверждают результаты качественноrо рассмотрения, при
веденноrо в 7, r.
Оказывается, что сечение рассеяния не значительно отличается от под
считанноrо в 8, А для случая чистоrо рассеяния. 'Ширина r определяется
прежним выратением, однако в данном случае знаменатель А реэ . содержит
? полную ширинуr s в то время как в случае чистоrо рассеяния в Hero входила
только частичная ширина. Максимумы сечений резонансноrо рассеяния
и резонансных реан:ций наблюдаются приэнерrиях Е == E И ширина резонансов
21 Занаs М 396
(8.32)
,
.-
f
322
rA. VIll. Яоерпые реа"ции. Общая теория
равна полной щи рине r s . Наличие мнимой чаии в выражении для f!
. приводит н: увеличению ширины резонансов.
Так н:ак 11 уже не является чисто действительной величиной, то сечение
рассеяния не будет достиrать в области катдоrо резонанса cBoero макси
мальноrо значения (8.22). Однан:о если ширина r значительно больше
ширины r , то сечение рассеяния оказывается чрезвычайно .близн:им к своему
ман:симальному значению. Поставленное выше условие предhолаrает, что
иные возмотные реан:ции несущественны по сравнению с процессом упруrоrо
рассеяния, тан: что рассматриваемый резонанс обнарутивает в сущности
свойства, харан:терные для случая чистоrо рассеяния, paccMoTpeHHoro в раз
деле А.
Полученные выше формулы содертат пара метр q == q (Е), который входит
В выражсние (8.28) и о поведении HoToporo известно пока еще очень мало.
Параметр q определяет вероятность поrлощения падающей частицы ядром
[см. (8.23) и (7.1)]. Ero величина зависит от Dнерrии и типа н:анала а,
по н:оторому вызывается реан:ция. Поэтому для использования выражения
(8.32) необходимо обладать большей информацией относительно ширины,
отвечаюшей реакции r . Воспользуемся для этой цели теоремой взаим
ности (2.63).
Будем интересоваться реан:циями, которые возникают по н:аналам а.
и и приводят К одному И тому те состоянию s cocTaBHoro ядра. В связи
с этим добавим индексы а и н: ширинам, отвечающим реан:ции r:, длинам
волн HaHaJIOB 'Л, энеРI'ИЯМ н:аналов Е и действительным резонансным энер
rиям E в обоих н:аналах а и . Тоrда, соrласно формуле (8.32), сечение
реакции, отвечающее каналу а., дается вблизи резонанса выратением
2 r r:a
Оат. 1 == (2l + 1) 7tJ;.a 1 '
( , ) 2 ( rS [В ) 2
E", Eoв +4 а+ та
(8.33).
в н:отором полная ширина (8.29) записана в развернутом виде. Сечение
реан:ции в канале определяется вблизи резонанса той же самой формулой:
(2l 1 2 [ r 1I
O T, 1 == +) 7tJ;. 1 (8.34)
(E E в)2 +7; (r + [; )2
Допустим вначале, что рассматрuва'!мой энереuи отвечают толыfo два
открытых канала: а и . Если пренебречь радиационным захватом, то
единственно возмотными являются реющии (а., ) и ( , а.). Сечение реан:ции
Оат, отвечающее каналу а, представляет собой в этом случае сечение Bcero
лишь одной реакции (а, ): Оат == Oa ; сечение реакции, отвечающее н:аналу ,
представляет собой сечение реан:ции ( , а): O T == O a. Оба сечения (8.33)
и (8.34) являются сечениями обратных реан:ций и ДОJIЖНЫ удовлетворять
теореме взаимности (2.63). Подставляя (?;.33) и (8.34) в (2.63), получаем
(:Q:РИ исполъзовании зан:она сохранения энерrии E == Еа + Q(J, )
[ [; [ [;а
{Е", + Q", E в)2 + 1 (r + [ )2 (Ea E в)2 + 1 (r + [: а )2
для всех значений Еа, блиiJlfUХ lf резонансу. В области резонанса все ширины
r нвляются медленно меняюrцимися Фунн:циями энерrии. Следовательно,.
соотношение ( .35) выполняется толыю в том случае, если: 1) в реаlfциях
(а, ) u ( , а) резонансы наблюдаютс.я при одной и той же (полной) энереии,
т. е. если
(8.35)
E в == E 8 + Q(J. '
(8.36) .
8. Рева'На'Нс'Ная теария; апределе'Нце сече'Ний
323
и 2) если имеют место соотношения
r a == r , r == r . (8.37)
Ширина, отве'Чающал реакции длл процесса (а, ), лвллетсл шириной вХООНО80
-канала при процессе ( , а), и наоборот.
Если подставить (8.37) в (8.33), то получится выратение (7.19) для
а(а, ) вблизи резонанса, которое было .!'Iведено в 7, r как формула
Брейта Виrнера для изолированноrо уровня. Следовательно, мы получили
это важное соотношение' для специальноrо случая реакции, отвечающей
двум каналам.
Проведенное рассмотрение мотно распространить и на случаЙ несколь
ких открытых нана лов. При этом ширина, отвечающая реан:ции в нана.ле а.,
будет иметь следующий вид:
s "' r s
/ rra == L , (8.38)
*..
rде сумма распространяется на все отн:рытые каналы, за исн:лючением
ВХОДноrо н:анала а. Соответственно сечение реанции разбивается на сечения
индивидуальных процессов (а, ), а последние, н:ак и в случае двух открытых
каналов, снова MorYT быть описаны с помощью формулы БреЙта Виrнера
(7.19). Если учесть радиационный захват, то в формуле (8.З?;) должна быть
добавлена радиационная ширина r aд.. Следовательно, предположения,
сделанные в 7, r, и при водящие к формуле Брейта Виrнера, являются
обоснованными. Обобщение на случай отличноrо от нуля спина ядер мишени
будет проведено в 9 10.
Рассмотрим более детально выратение (8.27) для ширины, отвечающей
определенному н:аналу. Выделяя, соrласно (7.15), приведенную ширину,.
получим
r: == 2kaRvla 1:, 1 == [ ( a ) s ] 1 (8.39)
Здесь использованы определение (2.5()) для Sla И обозначение V/ a
ницаемости V L в н:анале а. Приведенную ширину 1 мотно оценить с
формулы (8.13) для 1/1):
для пр
помощью
s D* D
1" == тcKR "" тcKR .
(8.40)
Это выражение совпадает с (7.16), и, следовательно, можно заключить,
что величина r , входящая в формулу Брейта Виrнера, тан:те предстаl3ляет
собой ширину, определяющую вероятность распада cocTaBHoro ядра по н:a
налу а. Более CTporo (без I3ведения D*) это соотношение будет доназано в 9"
Оценка приведенной ширины (7.16) не зависит от н:анала а. Она явJ'шется)
чрезвычайно приблитенной и слутит лиш для ун:азания отидаемоrо порядна
величины 1 ' Как следует из более точноrо соотношения (8.39), действительные
величины 1 для различных н:аналов отличаются друr от друrа. Величины
(al L / де)д MorYT существенно отличаться для разлиqных каналов. Аналоrич ,
ную оценн:у мотно получить и для r , использовав (8.13) и (8.28):,
s D* D
r r==4q 2 ",,4q 2 . (8.411
1t 7t
')
1) Соrласно определению (8.39), приведенная ширина "( является величиной, харю{-
т ризующей резонанс и канал а, И 'Не вависит от а'Нереии Еа' С друrой стороны, [
зависит от энерrии через величину 2k a Rv La . CTporo rоворя, величины D*, входящие в
формулу (8.40) и определенные соrласно (8.13), различаются для разных каналов а.
21*
324
rl&. V//l. Ядерные реаА:ц.ии. Общая, теорuя,
При помощи этоrо выражения можно непосредственно установить физичесн: и й
смысл ширины, отвечающей реакции. Обратимся для этоrо к уравнению
(7.1). Соrласно (7.1), к поверхности ядра по каналу а. возвращается лишь
часть проникших в ядро частиц, равная I ь 12. Друrая часть частиц, равная
1 I ь i 2 "'" 4q, за времн Р, необходимое частице для возвращения к поверх
ности ядра (ср. 7, В), обусловлинает возникновение иных процессов.'
Поэтому 4q / Р является отнесенной к единице времени вероятностью распада
cocTaBHoro ядра, любым путем, за исключением испускания частицы а по
каналу а.. БJIаrодаря соотношению Р '" 27th / D эта вероятность распада
он:азывается равной r /11-, как и следует из (8.41). Таким образом, ширина,
s
'отвечаюшая реакции r т, может быть интерпретирована как веронтность
распада cocTaBHoro ядра по всем каналам , отвечаюшим реакции ( =I= а.).
Это объясняет смысл приведенной выше формулы (8.38).
В зан:лючение параrрафа полезно повторить те предположения и упро
щения, которые были использованы при выводе формулы Брейта Виrнера.
Формулы (2.55) (2.58) ЯВJIЯЮТСЯ точными выражениями для сечений.
Формулы IJройта Виrнера (8.31) и (8.32) получены при помоши разложения
(8.26), которое справедливо лишь вблизи резонанса. Функция /1 (€), кан:
показывает качественное рассмотрение ее поведения, существенно меняет
свое значение на интервалах порядка расстояния между уровнями D. Следо
Бательно, разложение (8.26) для /1 является хорошим приближением тольн:о
Б преде,Лах области, размеры которой малы по сравнецию с D. Поэтому
формулы Врейта Виrнера применимы вблизи резонанса в области, про
тяженность которой MaJIa по сравнению с D. Они представляют собой точное
описание резонансноrо сечения только в том случае, если ширина резонанса
значительно меньше расстояния между уровнями D (см. rл. IX, фиr. 90).
Однан:о даже в этом случае теория надежно предсказывает только форму
резонанса. Значения постоянных определяются очень плохо. Выратения (8.27)
и (8.28) для ширин нельзя вычислить непосредственно, так как неизвестна
производная (д /, / д€),. Последняя была rрубо оценена путем подстановни
Б (8.13) D* '" D, приводящей к выратению (8.40). Следовательно, хотя
предсказания формулы Брейта Виrнера относительно формы резонанса
при r s « D MOl'YT рассматриваться как весьма надежные, оценка ширин
дает лишь первую ориентацию относительно ожидаемоrо порядка величин.
9. РЕЗОНАНСНАЯ ТЕОРИЯ; РАСПАДАЮЩИЕСЯ СОСТОЯНИЯ COCTABHOrO ЯДРА
А. Модель -потенциальной ямы
Проиллюстрируем существование распадающихся н:вазистационарных
состояний на примере потенциальной ямы. Тан:ая модель, конечно, является
лишн:ом большим упрощением в описании действительноrо ядра. Предста
БИМ себе частицу, двитущуюся в .ютенциале V, определяемом условиями
V (r) == V о при r < Ь,
V (r) == О при r> Ь,
и предположим, что 2MV o b 2 / 11-2 1. (В этом отношении такой потенциал
отличается от принятоrо в rл. II для взаимодействия протона с нейтроном.)
Более Toro, оrраничимся случаем l == О. Положим и (r) == rtf (r), rде tf (r)
БОJIновая фунн:ция. Волновое уравнение, описывающее движение частицы
с энерrией Е, имеет следующий вид:
d 2 и + К2 и == О
dr 2 .
d d 2 ,; + k 2 и == О
, r
(9.1)
при
r< Ь,
при
r> Ь,
.
9. Реаонансная, теория,,' расnадающиеся, состоя,ния, саставноео я,дра 32'5'
rде k волновое число вне ямы, а К волновое число внутри ямы, причем
k 2 == 2МЕ
п 2 ,
К2== 2М (Е + v o )
п 2
(9.2а)
Рассмотрим вначале связанные состояния частицы в яме. Энерr'иИ
этих состояний отрицательны Е < О, и движение частицы оrраничено BHYTpeH
ней областью ямы. Хорошо известно, что квантовые условия допускают
лишь дискретные значения энерrии Е 1 , Е 2 , ..., Es, " . . Дисн:ретные собствен
ные значения для отрицательных энерrий можно интерпретировать следующим :>:
образом: находящаяся внутри потенциальной ямы частица не может пон:инутъ
яму; она н:олеблется между стенн:ами, причем при r == Ь происходит полное
отражение. В этом случае допустимы только т кие энерrии Es, для н:оторых
волны ДО И после отражения находятся в фазе. Если это фазовое условие
нарушается, то в результате отражения возникает интерференция, не дающаR
стационарных состояний.
При Е > О положение меняется, так н:ак в этом случае частица
может проникнуть наружу. Соrласно классической механике, любая части
ца с положительной энерrией должна покинуть яму, достиrнув ее н:рая.
Однако, как показывает последующее рассмотрение, соrласно волповой
механике (швазисвязанные» состояния должны наблюдаться и в том слу
чае, коrда энерrия становится больше нуля, оставаясь при этом значитель
но меньше rлубины ямы, т. е. О < Е V o .
Соrласно полученным в 5 результатам, свободные частицы испыты
вают сильное отражение при падении на скачок потенциала, высота Н:OTO
poro близка к кинетической энерrии частицы, Интенсивность волны, про
ходящей скачок потенциала, в 4k/ К раз меныпе интенсивности внутри
ямы, причем К волновое число, соответствуюшее частице внутри ямы, а
k rораздо меньшее волновое число, соответствующее частице вне ямы.
Тан:им образом, при условии О < Е V o волна, описывающая движение
частицы с энерrией Е, испытывает сильное отражение при r == Ь и лишь
с малой вероятностью выходит за пределы ямы. Этот случай не отличаетса
существенно от случая Е < О, коrда частица совсем не может вылететь
из ядра. Следует ожидать существования дисн:ретных квазистационарных
состояний с положительной энерrией Es, находясь в которых частица
имеет малую вероятность проникнуть во внешнюю область. Волновые
функции сушествуют. при всех энерI'ИЯХ Е> О. Если, однако, Е =1 Es, то
отраженная волна интерферирует с падаюшей волной таким образом, что
интенсивность внутри ямы уменьшается. Следовательно, для всех энерrий,
за исн:лючением Е == Es, амплитуда волновой функции внутри ямы будет
малой по сравнению с ее амплитудой вне ямы.
Рассмотрим вначале действительно связанные состояния. Энерrия Е, отве--
чающая этим состояниям, отрицательна, и наиболее общее решение ураБ..:
нения (9.2) имеет вид (принимая во внимание, что и (r) == О при r == О)
.
и (r) == С sin (Kr)
и (r) == Ae ..r + Ве"Т
при r < Ь,
при r> Ь,
(9.3)
rде ('j" == ( 2М Е /п2)Ч2. Тан: н:ан: e"r возрастает до бесн:онечности с увели
чением r (а это недопустимо), то
В ==0.
(9.4)
Нак и (r), так и dи/dr должны быть непрерывны при r == Ь. Поэтому усло'
вие (9.4) удовлетворяется не при любых энерrиях Е. 'Уравнение (9.2) имеет
тан:ое решение только для дискретноrо ряда собственных значений энерrии
(н:оторые являются энерrиями связанных состояний).
,
'.326
rA. VH/. Яоерпые реа1>ции. Обща тeopи
Нартина меняется, если Е становится положительным. Тоrда решение
(9.3) . принимает вид
и (r) == Ae ihr + Be ihr при r > Ь. (9.5) ,
Оба члена решения при r > ь оrраничены дЛЯ БОJJЬШИХ r, и оснований
для введения дополнительноrо условия типа (9.4) нет. Решение сущест
'вует при любом значении Е > о; в данном случае мы попадаем в область
непрерывноrо спеRтра.,. Используем для определения Rвазистационарных
СОСТОЯНИЙ t;пособность частиц ПРОНИRать из ямы во внешнюю область.
,Решение (9.5) представляет собой при r> Ь суперпозицию сходящейся
и расходящейся волн. Квазистационарные состояния получаются, если по
стулировать, что при r> Ь решение содержит только расходящуюся волltу.
'"
'"
",'"
r=vT
r
r=R
....
...
Фи r. 86. СхематичеСlюе изображение волны, ИСПУСRаемой в слу
чае приближенноrо осуществления распадаЮlЦеrося состояния.
в точне r==vT не должно про исходить peSHoro обращения в нуль амплитуды
волны; снорее должна существовать не изображенная здесь переходная
область. Объяснение возрастания амплитуды волны с увеличением r (иsо
браженное в преувеличенном виде) приведено в нонце 9. А.
Это ::швивалентно условию В == О. Таное оrраничение снова при водит н: BЫ
бору вполне определенных решений, ноторые OflИСЫВaIОТ распадающиеся
ростояния и отвечающие им собственные значения.
Требованию наличия ТОЛЬRО расходящихся волн не соответствует 'в
точности RанаЯ ЛJlбо физичеСRИ реализуемая ситуация. До распада, сопро
вождаlOшеrося ИСПУСRанием расходящихся волн, долтно произойти образо
;Вани е этоrо состояния; В процессе образования участвует сходящаяся
волна, в то время иаи условие В == О вообше ИСRлючает еходящиеся волны
.130 все моменты времени. Л риближеltltое физическое о(;уществлеltuе pacпa
дающеi:ЮСЯ состОЯltUЯ (8 == О) можно получить, рассматривая систему, обра
,зопавшуюся за большой промеЖУТОR времени т до Toro, каи началось
наблюдение. В этом случае волновая фУНRЦИЯ и (r) при r > ь является
чисто расходяшейся волной e ihr для значений r vT (v снорость частицы
130 внешней области) и нулем при r> vT. Эта волновая фУНRЩIЯ отли
чается от волновой фУНRЦИИ чисто распадающеrося состояния лишь при
очень больших значениях r (r > vT) [99, 109, 696, 80]. Таное состояние
схематичеСRИ изображено на фиr. 86.
Оrраничение волновой фУНRЦИИ расходяшимися волнами можно за
писать в более удобной форме, использовав лоrарифмичеСRУЮ производнуто
f (Е) [см. (2.23)]. ПОСRОЛЬRУ и и dujdr долтны быть непрерывны, можно
получить условие, ЭRвивалентное (9.4), если предположить, что решение
нутри ямы
и == с sin К r
9. Реаоnаnсnая, теория,; расnадающиеся, состоя,nия, составnоео я,дра 327
удовлетворяет соотношению
Ь [ dи/d1' ] == f (Е) == ikb,
и т==Ь
(9.6)
правая часть KOToporo равняется кан: раз r (dиjdr)jи для решения во внеш.
ней области (9.5), в случае, коrда 8==0. Таким образом, мы приходим к
следующему уравнению:
f (Е) == Kbctg КЬ == ikb.
(9.7)
'Уравнение (9.7) можно решить численным путем,
но воспользоваться линейным приближением,
ранее в проблеме резонансноrо рассеяния.
Рассмотрим вначале rрЮIичное условие, более
однан:о более поучитель
н:оторое использовалосъ
простое, чем (9.6):
f (Е) == Kbctg КЬ == о.
(9.8)
Это условие не содержит мнимых величин. Обозначим положительные зна
чения Е, дЛЯ которых выполняется условие (9.8); через Е 1 , Е 2 , . . ., Е.,. . .
Для получения решения с rраничным условием (9.6) разлотим функ
цию f (Е) в ряд в окрестности точки Е. аналоrично (8.6). Обозначим через
W. значение Е, дЛЯ HoToporo выполняется условие (9.7); Torдa
f (W.) == ik.b, (9.8а)
rде k, == (2MW.j1i 2 )1f?,. соответствующее волновое число.
Предположим теперь, что энерrия W. близн:а н: одному из значений
Е.. Тоrда f (W.) можно разложить в степенной ряд (8.6):
f (W.) == ( ). (W. Е.) + .. . (9.9)
Вводя это разложение в (9.6), получим
W Е . 1 1"
.== . z2 '
(9.10)
['де ширина 1'" определяется соотно ением
r' == 2k.b
( ).
9.11)
а k. волновое число, соответствующее резонансной энерrии Е., т. е.
k == (2И j1i 2 ) Е.. В действительности следует подставлять k == (2М j1i 2 ) W g ,
однако мнимая часть k войдет лишь в следующее приближение.
Выражение (9.10) показывает, что W. отличается от Е, в первом при
ближении добавлением к энерrии мнимой части. Середина уровня (дей
ствительная часть W,) определяется соrласно (9.8) и, таним образом,
идентична с реаонансной энерrией в проблеме рассеяния, определяемой
(8.5) 1). Кроме Toro, ширина 1" виртуальных уровней совпадает с шириной
резонансных уровней, о 'JeM свидетельствует сравнение (9.11) и (8.7). Однан:о
(8.7) зависит от энерrии падаюших частиц через мнотитель k; в то же
время в выражении (9.11) следует взять для k значение, соответствующее
резонансной энерrии.
1) Так как \1Ы рассматриваем только нейтроны с l==O, то не существует разницы
между формальной резонансной энерrией е. и действительной резонансной энерrией е' g
(AI O при отсутствии заряда и для l==O).
328
r.л,. VIl/. Ядерцые реЩ.iцutt. Обща тeopи
Выясним вопрос относительно физическоrо смысла комплексной
энерrии 1). Временная зависимость волновой функции имеет следующий вид:
ljJ == ljJ (t == О) ехр ( i ,l ) ,
что приводит н: зависящей от времени плотности вероятности
( r8t )
IIjJ 12 == !1jJ (О) 12 ехр т .
(9.12)
Это монотонное уменьщение вероятности 0знача:ет, что состояние испыты
вает непрерывный распад с временем жизни 't == njrs. Экспоненциальное
уменьшение вероятности со временем является прямым следствием пред
положения о существовании тольн:о расходящейся волны. Нроме тоео,
необходимо, чтобы r s > о; в противном случае вероятность будет непр
рывно увеличиваться, в противоречии с предположением о наличии pac
ходящейся волны.
Дисн:ретные знерrетические уровни он:азываются н:ан: бы размытыми на
величину r s . ЭТО l'40ЖНО показать, разложив (9.12) в ряд Фурье по Bpe
мени и использовав обычное н:вантовомеханическое соотношение Е == поо.
Положим
+""
ljJ(t)==(21t) (1/2) (oo)eiU)tdoo,
""
тан: что
+""
(00) == (21t) (1/2) ljJ (t) e iU)t dt.
""
Этот интеrрал не сходится, если ero распространить до t == 00. Однан:о
разумно исходить не от t == 00, а от t == Т, rде Т означает нен:оторый
достаточно больщой промежутон: времени. Тоrда оказывается, что
(оо)"-' 1
(oo " )
Распределение по энерrии, т. е. по nоо, дается I (00) 12 И поэтому пропор
ционально .
[(nоо Е8)2+( rsY] 1
Полуширина этоrо распределения равна r s и связана с временем жизни 't
соотношением (7.5). Энерrия TaHoro распадающеrося состояния фин:сирует
ся с точностью до
п
дЕ "-' rs ==
't .
Это положение ни в коей мере :не является характерным лишь для
ядерной физин:и. Подходящим примером может служить любое возбужденное
состояние атома. Находясь в таком состоянии, атом может испустить н:вант
света, возвращаясь при этом в основное состояние. Ширина уровня r s точно
так же связана с временем тизни по отношению к испусн:анию света.
Существование волновой фующии, квадрат модуля которой уменьшается во
всем пространстве со временем по закону e( r8t/h), противоречит 3aIЮНу сохранения
вещества, который требует, чтобы интеrрал \ t \2 dV по всему пространству оставался
,1) См. примечание на стр. 309. При.м. перев.
9. Реаоnаnсnая, теория,; расnадающиеся, состоя,nия, состаl1nоео я,дра 329>
постоянным. Для чисто распадающеrося состояния этот интеrрал в действительности
расходится. Однако можно испольвовать обсуждавшуюся выше приближенную фиви
чеСRую Rар ину TaRoro состояния. В этом случае интеrрал I Ф 12 dV ОRавывается KO
нечным, тю, I\aR Ф == о для l' > vT. Более Toro, интеrрал не вависит от времени t, TaR
RaR ЭRспоненциальное у'меньшение I Ф (1', t) 12 для данноrо l' компенсируется COOTBeT
ствующим увеличением области интеrрирования.
Вылет ив ямы описывается волновой ФУНRцией в виде расходящейся сферичеСRОЙ'
волны, амплитуда RОТОРОЙ уесличиеается. с ростом l' (см. фиr. 86). Это увеличение'
обусловлено наличием мнимой части у волновоrо числа ks == (2MW в/n) 1/2. Оно Bыpa
жает тот фаRТ, что вначения волновой ФУНRЦИИ на больших расстояниях от ямы
соответствуют ИСПУСI{аниям в более ранние моменты времени, Rоrда интенсивность,
внутри ямы была больше. МаRсимальной амплитудой обладает фронт волны при
l' == vT, соответствующий частицам, испущенным в момент времени t == Т, Rоrда'
процесс распада ТОЛЬRО начался.
Б. Действительное ядро
До сих пор наше рассмотрение ОСНОВЫ13алось на примере частицы в:
прямоуrольной яме. Ero можно обобщить и на случай действительноrо-
ядра. Рассмотрим систему из А нуклонов, волновая функция н:оторых
чr (Ql' q2' . . ., qA) зависит от координат ql' Q2' . . . , QA всех нун:лонов,
с учетом пространственных и спиновых координат. Функция чr удовлетво
ряет волновому уравнению
нчr == Ечr,
(9.13}
rде Н rамильтониан системы, состоящей из А нуклонов,
Н == Т + v (Ql' . " , QA),
,;
т оператор кинетической энерrии всех А частиц и V потенциальная
энерrиЯ, зависящая от координат Ql' . . . , QA. Однако мы никоrда не будем
пользоваться действительным выражением для н. Энерrетическая шнала
выбрана таким образом, что Е == О соответствует основному состоянию ядра.
Предполотим, что минимальная энерrия, необходимая для отделения
частицы а, равна Sмин.. До тех пор пока энерrия Е меньше Sмин., части
ца а связана с остальной частью системы и решение уравнения (9. 13}
существует тольн:о для ряда диснретных уровней энерrии Ео == О, Еl' Е 2 , . . .
и т. д. Полотение изменяется при Е> Sмин., коrда частица а может BЫ
пететь из ядра, образуя конечное ядро Х. в этом случае не существует
оrраничений на кинетическую энерrию Еа == Е Sмин., которую может унести
частица а. Таким образом, энерrетический спен:тр для Е> Sмин. оказывает
ся непрерывным.
Оrраничимся вначале энерrиями возбуждения, при н:оторых отн:рыт
только один канал. Обозначим через r расстояние частицы а от центра
н:онечноrо ядра Х после их -разделения. Решение волновоrо уравнения
(9.13) принимает при r> R (R радиус канала) простой вид. В Этом случае
можно написать
W==;(o (r) при r>R,
(9.14)
rде ;(0 нормированная собственная функция конечноrо ядра в ero OCHOB
ном состоянии, не зависящая от r. Сделаем дальнейшее упрощающее пред
положение о том, что основное состояние ядра Х имеет нулевой момент
н:оличества движенин, так что состояние )(0 является невы рожденным . Вол
новая функция (r) описывает относительное движение Х и а в н:анале а..
v Она определяется из волновоrо уравнения (2.18а).
Разложим теперь (r), соrласно (2.19), на парциальные волны, COOT
ветствующие данному моменту количества движения 1, и воспользуемся
330
r.л,. VIlI.' Ядерпые реа1>ции. Обща тeopи
этим для аналоrичноrо разложения полноrо решения W. Таким образом,
W == W p
1
rде
W у и! (r) при r > R, (9.15)
1==;(0 1т (В, cp)
r
причем каждая функция W l , являясь решением уравнения (9.13), принад
лежит собственному значению Е и моменту количества движения 1. Решить
волновое уравнение (9.13) оказывается пран:тичесни невозможно. Однако
единственной величиной, входящей в наше рассмотрение, является лоrа
рифмичоская ПРОИЗВОДная по r, определяемая соотношением
о (r1l'1)
11 (Е) == R == R ( dиl/dr ) .
r1l'1 щ, r:=R
(9.16)
Функции 11 (Е) полностью определяются rамильтонианом (9.13), однан:о мы
не будем пытаться вычиелить их таким путем. Величина 11 (Е) служит
при r == R rраничным условием волновоrо уравнения (2.30) для и! (r) и,
Еан: бы.по показано в предыдущих параrрафах, определяет все сечения.
Введенное в модели потенциальной ямы Qпределение распадающеrося
1::0СТОЯНИЯ может быть непосредственно перенесено и на действительное
ядро. Рассмотрим решения уравнения (9.13) при энерrиях Е, превосходя-
щих энерrию отделения (Е> Sa)' Для каждоrо значения Е существует
решение, форма KOToporo при r> R определяется выратением (9.15).
Фунн:ция и l (r) представляет собой в общем случае линейную комбинацию
вида
и 1 (r) == AUl(+) (r) + Bui ) (r), (9.17)
причем отношение А/В является функцией энерrии; функции uf+) (r) и
ui ) (r) определяются соrласно (2.41) и (2.42). Для описапия распада'ющевося
состояпия системы nоэффициепт В в (9.17) должен быть равен нулю;
в этом случае и 1 (r) будет представлять собой только расходяшуюся волну.
Это условие выполняется для определенных зна'Jений Е, которые MorYT
быть найдены с помощью Il (Е). 'Условие В == О эквивалентно соотношению
11 (Е) == Дl (Е) + iS 1 (Е), (9.18)
тде Д! и Sl определяются соrласно (2.4.6) (2.48). Из (9.18) видно, что
11 (Е) должна быть равна лоrарифмической производной чисто расходящейся
волны ui +), взятой при r == R. Соотношение (9.18) является обобщением
(9.6) и удовлетворяется только для диснретных значений Е, например для
Е == И 1 s . Эти значения мы определим методом линейноrо приближения.
Найдем вначале значение энерrий Е., из условия Il (EJ == О. Воспользуемся
раЗJlОжением (9.9) для ft. Тоrда (9.18) может быть записано в виде
( )s(W$ Е$)==Дl+iSl' (9.19)
Введем определения (Ев == Ев Sa является формальной резонансной
:энерrией в канале а.):
.,
1 == [ ( )$ 1 1 ,
оЕ$ == Дl (EJ 1 ,
r; == 2s 1 (Е$) 1: == 2k$Rv 1 (Е$) 1...
(9.20)
(9.21)
(9.22)
-.'"'
C
",'i;
9. Реаонансная теория; расnадающиеся состояния составноео ядра 331
При помощи ;ЭТИХ постоянных приближенные значения ,W s ' найденные
из (9.19), принимают вид
w == Еэ + аЕ э i r:. (9.23)
Значения W s являются комплексными. ДействитеJJьная часть Е, + аЕ э
совпадает с действительной резонансной энерrией (8.19) в задаче рассея
ния 1 ). Мнимая часть W s соответствует ширине распадающеrося состояния
r:, н:оторая совпадает с шириной, отвечающей рассеянию r: (8.18), вычис
ленной при резонансной энерrии. Заметим, что ширина (8.18), входящая
в формулу Брейта Виrнера, зависит от энерrии Е" через ARv z Постоян
ная (9.22) равна величине этой функции при формальной резонансной энерrии.
Полезно найти выражение для частичной ширины, отвечающей раз
личным способам испускания частицы а. Ширина определяется из потон:а
частиц а в определенном н:анале: вероятность I' /n испускания частицы а,
отнесенная н: единице времени, равна числу частиц, вылетающих в 1 сек.
по определенному н:аналу. Это число можно подсчитать из потока через
сферу радиуса R:
== 2i " ( ui d;l и ! d::* )т==н I Y Zm 12dQ.
Здесь dQ элемент телесноrо уrла в направлении r. Интеrрирование pac
пространяется по всему телесному уrлу. ,
Используя нормировку Y zm , определение (9.16) и rраничные условия
(9.18), находим
r: == n212 : 12 и! fi) == :,, Sll и ! (R) 12.
В этом случае, соrласно (2.50), получается
1': == 2k,RvLI ,
rде приведенная ширина (9.20) записывается в виде
s n 2
1,,== 2М R lu l (R)j2.
"
(9.24)
Соотношение (9.2Lj) пон:азывает, что приведенная ширина полностыо опре
деляется условиями внутри ядра, в особенности мнотителем I и ! (R) 12,
который представляет собой вероятность найти частицу а на поверхности
ядра в канале r:J..
Этот результат можно чрезвычайно просто интерпретировать для ней
. s .
тронов с 1 == О, коrда v 1 == 1. Вероятность испускания I'a/n должна равняться
произведению вероятности I и о (Л) [2 найrи нейтрон при r == R и скорости,
с которой он вылетает из ядра v == nh/И". Это произведение совпадает с
выражением, полученным из (9.22) и (9.24). I
Попытаемся теперь вычислить I и, (R) 12, используя для и ! (R) внутри
ядра приближенное выра.жение (7.2). Для распадаютеrося состояния s
фазу можно определить из условия (9.18), налаrаемоrо на fl' Для этоrо
достаточно заменить условие (9.18) условием fl == О, которое является ис
ходным в линейном приближении для fl' Тоща выратение (7.2) может
быть записано в виде (С постоянная)
и э (r) "-' С [e iK (T Н) + е+ iK (т Н)] при r < R,
а интересующая нас величина I и э (R) 12 "-' 4С 2 .
, 1) Следует заметить, что здесь рассматривается случай, коrда открыт лишь. один
Rанал по анаЛОrии с Э 8,А, в противоположность Э 8,Б.
332
r,л,. УII/. Ядерные реа"ции. Общая, тeapиs
Нормировочную постоянную С можно оценить следующим образом.
Из 7 следует, что до повторноrо появления на поверхности частица а в
течение времени Fs "'-' 21t h jD находится в с'остоянии s cocTaBHoro ядра.
'Внутри ядра частица движется со средней скоростью V ",-,hКjИ и, таким
образом, в среднем ее (шробеr» L "'-' Fsv "'-' 21th 2 Kj DИ. Вследствие БОЛJзшоrо
числа отн:лонений, испытываемых частицей внутри ядра, эта длина он:азы
вается rораздо больше размеров ядра. Средняя вероятность найти частицу
на участн:е dr этоrо пробеrа равна drj L. Тан: н:ан: волновая функция на
длине пробеrа может быть представлена в виде Ce iKr , то dr j L "'-' С 2 dr,
C2",-,L I, и, следовательно lu s (R)1 2 ",-,4DИj(21th 2 К). Вводя это значение
в формулу (9.24), придем к соотношению
s D
1а. "'-' тcKR '
(9.25)
:которое совершенно аналоrично (8.40).
Проведенное рассмотрение можно обобщить на случай несколышх открытых K,aHa
лов. В этом случае rраничное условие (9.18)' должно быть наложено в каждом из
открытых каналов одновременно. Энерrию W можно рассматривать как функцию лоrа
рифмических проивводных Ila. в открытых каналах:
==W(f11,112' ...,ILN)'
(9.26)
rде N число открытых каналов; а==1, 2, '., , N. Определим формальную ревонансную
энерrию cocTaBHoro ядра Es, положив равными нулю все Ila.: , .
Es == W (О, О, ... , О).
(9.27)
Затем равложим выражение для энерrии W, определенное соrласно (9.26), в степенной
ряд в ОRрестности f1a.==0 И испольвуем выражение (9.18) для нахождения величин f1rJ.
в случае распадающеrося состояния. Ревультат можно ваписать, испольвуя следующие
обовначения 1):
s (OW )
Ia.l== \. 011". s'
N
'OEs == !lla. (Ea.s) I l '
а.==1
(9.28)
(9.29)
N
rf == r: l '
0.==1
(9.30)
r s ==? ( ) s ') k R ( ) s
а.l 81 Ea.s Iq.l '" a.s a.VIa. Ea.s 1a.1'
(9.31)
с помощью этих обовначений энерrия W S распадающеrося состояния $ приближен
JlО выражается соотношением
w s == Es+'8Es i r1.
(9.32)
Парциальные ширины r l равны парциальным ширинам, входящим в формулу Брейта
Виrнера (8.27) и вычисленным при формальной ревонансной энерrии Е AS == Es S rJ. В
каждом канале. Соотношение (9.24), устанавливающее свявь между приведенной шири '
ной I l 11 величиной вОЛНОвой функции на входе канала, остается справедливым для
каждоrо OTKpblToro канала.
1) Выраж ние (9.28) для парциальной приведенной ширины в канале а сводится
К (9.20) в случае, коrда открыт только один Rанал. Частная производная в (9.28) вы-
числяется в предположении, что все остальные II ==0 ( =i= а).
10. Момент ",оличества двиЖения и спин
333
10. МОМЕНТ RОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕН:ЦЛ. И СПИН
А. Неитроны с 1 == О
В предыдущих параrрафах было сделано важное упрощение. Предпол
rdJIOСЬ, что падаюшая частица и ядро мишени имеют равные нулю моменты
J,ОJIИчества движения ((спины») 1). Только блаrодаря этому предположению
оказалось возможным представить падающий пучок в виде ПЛОсной волны
e ikz . В действительности падающий пучок состоит из комбинации ряда волн,
н:аждая из которых отвечает отдельной ориентации спинов падающей ча
стицы и ядра мишени. В .этом параrрафе будет показано, что введение
спинов не меняет результатов нерезонансной теории, развитой в 3 и 4.
Оно приводит К некоторым изменениям только в резонансной области.
Если спины падающей частицы и ядра мишени равны нулю,] то полный
момент количества движения совпадает с моментом количества движения 1
падающей частицы. Это и является причиной, по которой сечение разлаrа
лось на вн:лады отдельных 1. Если спины отличны от нуля, то полный MO
мент ноличества двитения J являетс,Я суммой трех моментов: момента
н:оличества движения 1, спина s падающей частицы и спина 1 ядра (все
моменты выратены в единицах п).
Полезно ввести векторную сумму S вен:торов 1 и в. Сумма S называется
спином канала 2). Рассмотрим в качестве при мера нейтрон, падающий на
ядро со спином 9/2' В этом случае 8 == 1/2' а 1 == 9/2; спин канала может
принимать значевие 4 или 5. Если нейтрон описывается l й парциальной
волной, то полный момент н:оличества двитения J принимает значения
11 81,..., 1+8. Если 1==1, то для 8==5 J==4, 5, 6, в то время н:ан:
для 8 == 4 J == З, 4, 5.
Рассмотрим простейший случай, н:оrда в реакции участвует то.fl,ЬКО
дaп .мо.мепт КО.fl,uчества двuжеltUJl 1 == О. Это имеет место при очень малых
исходных энерrиях, тан: нак в таком случае частицы с более высокими
8начениями момента количества движения не приближаются к ядру ДOCTa
точно близко, чтобы вызвать реакцию. При этом полный момент количества
двитения J складывается из 8 и 1 и равен спину канала, т. е. J == 8. Orpa
ничимся рассмотрением случая 8 == 1/2' который соответствует падающим
нейтронам или протонам. Рассмотрение можно обобщить на случай произволь
ных значений 8. Спин канала может принимать два значения 8 == 1 + 1/2
и 8 == 1 1/2' за исключением случая 1 ==: О, дЛЯ HoToporo осуществляется
лишь первый вариант. Натдому значению 8 спина HaHaJJa соответствует
28 + 1 ориентации в пространстве, н:оторые определяются маrнитным
квантовым числом тв, причем тв == 8, 8 1, . .. , 8. Тан:им образом,
Бсеrо имеется
[ 2 (1 + ; ) + 1] + [ 2 (1 ; ) + 1] == 2 (21 + 1) == (28 + 1) (21 + 1)
состояний спина н:анала.
В рассматриваемом случае ltепО.fl,яризоваltltый пучок частиц, падающих
на ядро, уте не будет представлять единственный входной н:анал. Тан:ой
пучок скорее должен рассматриваться н:ак суперпозиция пеКО8ерептных
падающих волн во всех 2 (21 + 1) входных н:аналах. Наждая из возможных
ориентаций спинов падающей частицы и ядра мишени соответствует опреде
.ленному квантовому состоянию системы. В случае неполяризованноrо пучка
1) Мы используем для обозначения момента количества движения ядра мишени 1
"Термин «спин», хотя этот момент количества движения может быть обусловлен rлавным
<>бразом орбитальными движениями НУЮIонов внутри ядра.
2) В работе [816] спин канала S обозначен через is.
334
r.a. VH/. Яоерные реакции. Общая теория
все подобные состояния имеют одинаковую вероятность [2(21 + 1)] 1. Вклады
этих индивидуальных квантовых состояний HeKorepeHTHbl, так как фазовые
соотношения между ними являются случайными. Каждому значению спина
канала 8 отвечает 28 + 1 элементарных подсостояний. Таким образом, в
случае неполяризованноrо пучка относительная вероятность данной вели
чины спина нана.па 8,' получающейся в результате комбинации спинов
ядра мишени и падающей частицы, равна
28+1
g(8) (28+1)(21+1)
Это выражение представляет собой статистичеСI{ИЙ вес спина канала 8.
Рассмотрим в качеСТl3е примера рассеяние неЙтронов на протонах, коrда
8==1==1/2 и 8 может быть равно либо О (синrлетное состояние), либо 1
(триплетное состояние). Соrласно формуле (10.1), статистическнй вес синrлет
Horo состояния равен 1/4' а статистический вес триплетноrо состояния 3/4'
Сечение рассеяння неполяризованноrо пучка нейтронов с малоЙ энерrией
является взвешенным средним по синrлетному и триплетному рассеянию.
Рассмотрим теперь отдельный входной канал 8, ms. В этом канале
н:оординатная зависимость волновой функции, отвечающей l == О, может быть
записана в следующем виде:
R ( ) по (т)
о r r '
и о (r) == i r;- [e ikr 1)0 (8) e ikr ] у О. о (6) Х. (8, ms),
(10.1)
(10.2)
rде Х. (8, ms) волновая функция, отвечающая спину канала 8, с проекцией
на ось z, равной ms. Постоянные в этом выражении, аналоrично (2.22),
выбраны тю{им образом, чтобы сходящаяся волна была тождественна cxo
дящейся волне, отвечающей l == О в случае плоской волны e ikz . Постоянная
1)0 (8) зависит от спина канала 8; однако она не зависит от ms, так как
состояния с одинаковыми 8 и различными ms отличаются только своей
ориентацией в пространстве и поэтому отвечают одному и тому же отноше
нию амплнтуд расходящейся и сходящейся волн.
Величина 1)0 (8) может сильно различаться для двух возможных зна
чений 8. Из предположения о том, что l == О, следует, что спин канала S
равен полному моменту количества движения J cOCTilBHoro ядра. Резо
нансные уровни cocTaBHoro ядра, отвечающие различным значениям J,
расположены при разных энерrиях. (Если при одной и той же энерrии
были бы обнаружены два уровня с различными J, то этот фю{т представлял
бы собой случайное вырождение; однако причин, соrласно которым следо
вало бы ожидать TaKoro случайноrо вырождения, не существует.) Следо
вательно, если резонансу соответствуют каналы со спином 8, например
8 == / 1. 1/2' то друrие каналы (в нашем примере каналы с 8 == 1 1/2) уже
не будут соответствовать резонансу. При этом величина 1)0 (8) оказывается
существенно различной для обоих типов каналов. .
Таким образом, для нейтронов с l == О возможны два типа резонансов:
одни имеют место в каналах с 8 == 1 + 1/2' друrие B каналах с 8 == / 1/2'
В сечения 0"0' соответствующие моменту количества движения l == О, вклад.
(некоrерентный) вносят все (28+ 1)(2/ + 1) входных канала. Все входные
каналы, отвечающие одному и тому же спину канала 8, приводят I{ оди
наковым 1)0 (8) и, следовательно, к одинаковому полному сечению. Поэтому,
для сечения, соответствующеrо падающим частицам с l == О, можно написать
I+s
О"() == g (8) 0"0 (8),
Sc=II s1
(10.3) .
i
\j
'1
<
j
:
,j
с']
9 10. Момент количества овиж;ения, и спин
335
rде g (8) определяется соrласно (10.1), а 0"0 (8) представляет собой сечение
в одном ИЗ входных каналов, отвечающих спину канала 8. Сечение 0"0 (8)
связано с 1)0 (8) выражениями (2.11) и (2.13); величину 1)0 (8) можно опре
делить соrласно (2.24), используя лоrарифмическую производную /0 (8) на
поверхности ядра 'в каждом канале. Для случая 8===]/2 сумма. в (1О.3)
содержит только два члена.
В нерезонансной теории ядерных реющий (s 3 и 4) /0 определялось.
из выражения (4.7), которое в рамках этой теории не зависит от спина
капала. Следовательно, 0"0 (8) для всех 8 совпадает с величиной сечения,
подсчитанноrо без учета спинов. Учет налuчия спинов не .меняет #опонча
телЪ1tых результатов нерезонансной тео рии, тап кап L g (8) === 1.
в
В резонансной области положение меняется. Вблизи резонанса €s, про
исходящеrо, скажем, в каналах со спином 81' вклад в сечение реанции
вносят только эти каналы. Наналы со спинами 82 j 81 не дают сущест
BeHHoro вклада, так как в этих аналах пет резонанса в онрестности €1'
Включим в индекс канала а. специализацию спина 8 и ero проекции тв
на ось z. В этом случае сечение реакuии при энерrиях €, близних к €з'
будет описываться уже не (8.32), а скорее выражением
r r
iJ r .o===g(8 1 )7t1;,2 ( 1 ) 2'
(€ €S)2+ r s
2
(10.4),
В этом выражении ширина l' , отвечающая данному каналу, и ширина l' a,
отвечающая реакции в канале а., определяются соответственно соrласно (8.27)
и (8.38), rде величины /l' q, 8l И Т. д. относятся К каналам а. со спином .5\
(эти величины не зависят от тв проекции 8 на ось z). Формула (10.4)
ОТJIИчается от (8.32) статистическим весом g (81)' являющимся относитель
ной вероятностыо такой комбинации спинов нейтрона и ядра мишени,
которая соответствует величине момента количества движения резонансноrо
уровня cocTaBHoro ядра (8 === 8] === J).
При вычислении сечения рассеяния уже нельзя пренебреrать ВК.падом
каналов с 8 *' 81' как это делалось при вычислении сечения реакции.
В каналах с 8 =1= 81' не отвечающих резонансу, имеет место потеНЦИaJIьное
рассеяние (т. е. рассеяние от непроницаемой сферы). Поэтому вместо (2.25),
получим
а з . 0=== g (81) 7t1;,21 А з. + А тенц.l2 + [1 g (81)] 7t1;,2IА )тенц.12. (10.5).
В этой формуле второй член представляет собой вклад рассеяния, проис
ходящеrо вне резонанса. Амплитуда потенциальноrо рассеяния A )TeHЦ. не
зависит от спина канала и описывается (2.27). Резонансное рассенние про
исходит только в каналах с 8 ===.5\ [первый член в формуле (10.5)J. В этих
н:аналах амплитуда резонансноrо рассеяния A . определяется выраже
нием (8,31) с 'l === О.
Сечение рассеяния нейтронов с l === О качественно аНaJюrично сечению,
полученному в S 8 для случая частиц, не имеюших спина и l === О (см. фиr. 84).
При энерrиях . € < €з обнаруживается интерференционный минимум, пере
ходящий в максимум вблизи € === €З' Вследствие Toro что в каналах, не 0rBe
чающих резонансу, происходит потенциальное рассеяние, минимальная вели
чина сечения рассеяния увt'шичивается. Максимальная величина сечения OKa
зывается меньше получавшейся ранее приблизительно на множитель g (8]).
В случае, коrда спин падающей частицы 8 === ]/2' статйстический вес
g,(8) имеет простой вид:
g(8)=== (1х 21\1 ) для S===I:t: . (10.6}.
.' ..' "'."
." "..i::_,:<:.,;tt .;+
"",,';-'
"'-::-/:-'1','-'';
(10.7)
r'я'.Уln ' JIJ: 'Общая meорШt
Тот факт, что I(аналы с различными спинами отвечают различным
резонансным уровням cocTaBHoro ядра, следует из предположения о том,
-что [::= О. При этом J::= 5 + 1::= 5, так что по двум каналам с различными 8
.{)бразуются состояния cocTaBHoro ядра с различными полными момеlIтами
'количества движения J, представляющие собой разные резонансные уровни.
В общем случае, Коrда l отлично от нуля, образование одноrо и Toro же
резонансноrо состояния будет происходить по всем н:аналам, в которых при
учете момента количества движения l возможно образование составцоrо
ядра в резонансном состоянии с одним и тем же спином J, т. е. по всем
каналам, спин которых S заключен в пределах от I J [l до J + l и которые
приводят к соответствующей четности cocTaBHoro .ядра.
Б. Частицы с произвольными l
Обобщим теперь рассмотрение на случай ОТЛИЧНQrо от нуля момента
'количества движения l падающих частиц. При этом мы вновь будем иметь
дело с (28 + 1) (21 + 1) входными каналами, из которых данному спину
Rанала S соответствует g (8) каналоIr, в этом случае сечения уже не опре
,деляются формулами (10.4) и (10.5).
В н:аждом канале момент количества движения l данной парциальной
волны комбинируется со спином канала 8 так, ч'то полный момент коли
"Чества движения J удовлетворяет неравенству ! l 8 ! -< J < l + 8. Поэтому
:парциальную волну с данным моментом КО.пичества движения l можно
представить в виде линейной н:омбинации волн, отвечающих каждому зна
чениlO J.
Рассмотрим одну из таких волн, соответствующую данному набору
,.значений [, S, тв и J. Предполаrается, что, как и в случае плоской волны,
,т ! ::= О. Спиновая и уrловая зависимости такой волны описываются функцией
''):J s с Дl == т ! + тв::= тв, определенной в приложении 1. В принципе можп()
'построить сходящуюся волну TaKoro типа. Она имеет вид e i!lr '):J s. Такая
,волна отвечает точно определенному моменту количества движения [, т. е.
является. l волной. Однан:о получить одновременно сходящуюся и расходя
щуюся l волны не удается. Расходящаяся волна, возникающая блаrодаря
с.ходящейся l волне, является суперпозицией всех [' волн, совместимых
,С одним и тем же набором значений J, М и 81). ТакиМ образом,
;момент количества движения расходящейся волны [' может отличаться
,от l только при условии, что значения J и М остаются прежними.
Обозначим коэффициент при расходящейся волне, соответствующей
,значениям [', 8, J, через 1Jl!' (8, J). Тоrда волновая функция в канале а.,
.соответствующая сходящейся l волне, характеризуемой набором значений
l 8, J, М, определяется следующим образом:
и(l, 8, J, М; r)==a {ехр [ i(kr l1t)] '):JMs
J+S
1Jl!' (8, J) ,ехр [i( kr l'1t) ] '):J ,S} .
/':01 J S I
в случае частиц, не имеющих спина, формула (10.7) аналоrична (2.43).
:Новой особенностью является возможность упруrоrо рассеяния, сопровожда
1) Расходящиеся волны MorYT отвечать различным значениям спина канала S. Од-
нако, соrласно нашему определению, такие расходящиеся волны соответствуют различ-
ным каналам *' а И начественно не отличаются от расходящихся волн, отвечающих дру_
.rим продуктам реакции.
!} 10. Момент количества движения и спин
337
ющеrося изменением l. В предыдущих параrрафах расходяшаяся полна
вследствие закона сохранения ноличества движения, в нотором учитывлсяя
только момент l; имела тот же момент количества движения l, что и пада
ющая волна. Наличие спина н:анала 8 допускает изменения l без изменения
ПОJIИоrо момента ноличества движения J.
Рассмотрим пример. Пучок нейтронов падает на ядро с 1 == 1/2' Bxoд
ные каналы отвечают спинам 8 == 1 и 8 == О. Рассмотрим нейтрон с l == О
в канале с 8 == 1. Полный момент количества движения J == 1. Нейтроны
MorYT вылетать с l == 2 и 8 == 1 без нарушения закона сохранения полноrо
момента количества движения J и без изменения спина канала 8. Иоэф
фициенты 'YJll' (8, J) при расходящейся волне не зависят от тв, т. е. от
ориентации 8. Это непосредственно следует из общих свойств инвариант
ности задачи относительно вращения одновременно в координатном и спи
новом пространствах.
Постоянная а в (10.7) выбирается в соrласии со сходящейся частью
плоской волны eikzx (8, тв), характеризуемой набором l, 8, J, М (х спи
новая функция, отвечающая данному спину KaHaJla), поскольку присутствие
ядра может сказаться только на расходящейся волне. Разложение плосн:ой
волны на волны, отвечающие определенным наборам значений l, 8, J, М,
имеет при больших r следующий вид:
.... I+В
eikzx (8, тВ) == ; il+1 (2l + 1)1/2 Х
1==0 J==I/ S I
Х C1B (J, М; О, тв) { ехр [ i ( kr l7t ) ] ехр [ + i ( kr l7t ) ] } qJ}{s,
(10.8)
rде Czs (J, М; mz, тв) коэффициенты Илебша rордана, рассматриваемые
в приложении 1. Заметим, что повсюду М == тв. В этом случае из cpaBHe
ния сходящихся частей в (10.7) и (10.8) следует (и по определению равно r,
умноженному на радиальную часть волновой функции)
а == il+1 (2l + 1)1/2 п Czs (J, М; О, тв). (10.9)
Формула (10.9) является обобщением формулы (2.44).
Так как момент количества движения l не сохраняется в процессе
реакции, то оказывается удобным построить с помощью волн и (l, 8, J, И; r),
отвечающих одним и тем же значениям J и 8, но различным l, функцию,
которую мы будем обозначать через w (8, J, М; r). Функция w опреде
ляется соотношением
w(8, J,
J+B
И; r) == и(l, 8, J, И; r),
/==1 J B I
фУННЦИЙ и в сумме определяется соrлаСIIО (10.7)
(10.10)
11 нотором наждая из
и (1()9).
Причиной cOBMecTHoro рассмотрения всех значениЙ 1 является не ТОЛЬ1\()
то, что они в процесс е реан:ции преобразуются друr в друrа (это ДОllуенает
возможность различных значениЙ спина HaHaJla 8, HOTopЬJe пока будут
рассматринаться раздельно). Основная причина занлючается н том, что между
СХОДЯЩИl\1ИСЯ волнами содинановыми S, тв, J, но различными l имеются
определенные фааоные соотношения, содержащиеся в падающей плоской
BOJlНe (1().8). СJlедовательв:о, ннлады различных l коеерентны и должны pac
смаТРИlJатьсн совмеетно. С друrОli стороны, шшады, отвечающие различным
спинам нанала 8 и их ориентациям ms, неlюrерентв:ы и l\10rYT быть учтены
22 Заназ .м 396
r.l/;. VH/. Яоерные реакции. Обща." теория
338
в нонце расчета простым усреднением. Тю,им образом, рассеяние без изме
нения ЭlIерrии или 8, но с изменением l можно трантовать нак KorepeHT
ное УПрУI'ое рассеяпие. В то же время частицы, вылетающие с Jl режней
эверl'иеlI, но отвечающие друrому спину канала 8 (и возможно, но не обя
зателыю, друrому l), MorYT считаться ПРОДУJпами реанции, а соответствую
щие сечеНIIЯ MorYT быть (и будут) включены в сечение реакции.
Опре; еJIlIМ тепеРh сечение упруrоrо рассеяния, отвечаЮIПее данному
Hafiopy S, М, J (тБ == М), Рассеянная полна ш ' представляет собой разность
между фушщиеЙ Ш, опреде.тшеыоЙ соrласво (10.10), и членами в разложе
нии (1 () .t)) падающеЙ ПЛОСIШЙ волны, ОТ13ечающимн одному и тому же зна
чеШIЮ J. ТаЮIМ образом,
у;
ш о (8, J, И; r)==Tx
J+S
Х il+ 1 t l 2l 'i 1 С/ Б (J, И; О, тS)[Ot/' 1)11' (8, J)] х
1, 1'=01 J S 1
'1
J
'1
l
х ехр [i (kr 4l'7t) ] 3{'B.
(10.11)
Для простоты вьтчпслим толыш сС'чевпе, прОИl1теrриропанное по nсему
тетюпfO:vrу Уl'ЛУ и пр()су [мированное по ориентаПlIЯМ спина напала 8, OTBe
чаlOlнеI'О вылетающим частидам 1). ('У сре;ЦJCиие по ориентацпям спина
нана.па S в IICXO;J:HOM ПУЧI\е не прово;щ:юсь и будет выполнено ПО:1же.)
IIOT()J\, рассеЯНIIыii в данный телеСНl,lЙ уrол dQ, получается умножением
ПJIO'['!lОСТII веронтности I ш./r 12, отвечающей рассешшой волне 1J данной
ТОЧI(С r, на ЭJlемент поверхности r 2 d ? сферы радиуса r и С1ШрОСТЬ v, co
ОТIICтеТlIУЮ11tую раСхо,lJlще!iся волне. Полный поток ПOJlучается в резуль
тате 11llтеl'рllровашlН по dQ !l суммирования по ориентацням спина:
Расходящийся ПОТОI" соответствующий рассеянной волне ==
==v
1112 r 2 dQ.
(10.12)
по OpJleJlTfllIlIRM
СПl1на
Б.паrодаря спойетпам ортоrопа.пЪН()СТИ и нормированности ФУНIщий B
(см. ПРИ:lOжение 1) подстанопна (10 11) в (10.12) приводит н ;шачительным
УПрОlнеНIIНМ, Для получения сечения упруrОI'О рассенния рассеянный п()ток
необходимо разделить на потО!{, отвечаЮIIlНЙ падающей плоской волне (10.8),
т. е. на Cl\OpOCTb V. ЭТО дает
О'. (8, J, М) ==
./+В J+S
==7tr,2 I il+l V 2l-l 1 C IS (J, И; О, тa)[Oll' 1)Il,(8, J)]1 2
1'=01 ./ a I 1=01./ Б I
(10.13)
Формула (10.13) является ОfJобщением (2.11) и сводится к ней при 8 == О
и J == 1 == {'. в ре;!УЛl>Тате усреднения (не но СУММIIровашш) по псем во;!можным
орuе/llnаl{I/Я.ltтs == /11 спина I,анала S, отвечающе!'о падающей волне, это
СЛOlЮIOе В1чн\жеlше упр()щаетсн, Если шцаюlПИЙ !lУЧOI\ непо.тшриаОl3ан, то
[шла;!.I.! ра:!JIИ'ШЫХ тв неl\оrерентны; следопательно, сеченне можно усреднить
1) ()rР lI!(Чl'НИС сrчrll1!l'М раССl'ЯIIИЛ. Иf'пиптеrРПТ'''!Jа II!lЫМ пп всему телесному уrлу,
Д1ет реаУЛI,таты, П;JИrп;щы" то;ты{О дШТ IИН rp"IJlHJ. Et'JlII шцаlOЩПС частицЫ варЯЖl'IlЫ,
то IIП,lll'Н' с(',\ '11If( раССТОНlll!Я ПIlРl';rелнртея "У;IOlЮ!JСЮIМ (рrвеРфОРДПIJ['КИМ) рассеянием.
Обобщение ФОРМУЛЫ (2. (Ю) на случай наJlIIЧИн спинов IIриведеlIО в работах [401,081.
';
10. Mo.м Hт КОАичества дви:ж: ния и спин
.339
непос редственно:
в
а . (8, J) == (28 + 1) 1
cr s (8, J, М).
(10.14)
м ==тB== B
Воспользуемся соотношением между коэффициентами Клебша rордана
!If S
'\;l "*. . 2J+1
С/ Б (J, И, О, mB)C1.B(J, М, О, тв)== 2l+1 Оll',
M=; .! т6== Б
Оно представляет собой специальный случай формулы (5.10) приложенил 1.
Н'омGинируя (10,13), (1О,14) и(10.15), получим выражение для сечения
упруrоrо рассеяния, отвечающеl'О спину н:анала 8 и полному моменту
'количества двитения J:
(10.15)
Cis(8,J)== i 1tл2 101l' 1)11'(8, J)12. (10.16)
1. 1'==1 J Б I
Члены этой суммы с 1 == l' соответствуют упруrому рассеянию, не сопро
вождающемуся иамен('нием момента НОJlичества ДUИihСНIlЯ; члены с l -/= {'
соответстпуют УПРУI'ОМУ рассеяншо с иаменением момента ноличества ДВИ
женил.
Обrатимся тсп('рь н сечению реакции. Сечение реан:ции, соотпететпую
щее данному на60РУ ;шаЧ('НIIЙ 8, J, ЛI == тв, ПО.nуча('тся следующим оfiра;юм:
из формулы (1О.11) находится ра;нIOСТЬ ПОТОIЮ13 СХО,1Лlltоiiся сФсrической
волны, ОТIJечающей ш(8, J, М; r), и расходнщейсн СФ('I)](чеСlю i волны,
отвечающей той же саl\lОЙ ФУШЩШI. иту ра:шость СJlедует подеJll1ТЬ на
потон:, отвечающий падающей ПJIOСНОЙ волне, т. е. на снорость V. Потони
подсчитываются с помощью формул, аналоrичных (10.12). rезультат имеет
следующий вид:
J+B
J+B
Ос (8, J, ]И) == 1tл 2 (2l + 1) I С/ Б (J, И; О, тв) 12
1==1 J В I
J+B J+B
7;);.1 I i!+l 11 2' + 1 С/В (J, М; О, тБ) 1)ll' (8, J) \2. (10.17)
"==1 J B I 1==1 J Б I
Первый член получается из сходящсйся части ш; вторая (двойная)
сумма из расходтнейся части ш. Пропедем усреднение по всем ориента-
циям тБ спина нанала в падающем ПУЧI\е и воспольауемся соотношением
(10.15). В результате получим сеЧClluе реакции, отвечающее спину кана.;ш 8
и полному моменту КОЛllчества двUЖCllllЛ составuоео яДра J:
J+B
( 8 J ) 2J + 1 л 2 '\;l ( О I ' 2
ОС , ... 2 S+1 1t . lI' r;lt'.i)'
'l.il'==1 J S I
ДО сих пор не принимался во внпмание тот фант, что сушествует <!ще
одно НIJаНТОIJое число (помимо полноrо момента J\оличества движения J),
I\оторое должно сохраНflТЬСЯ в прпцессе реакции или рассеяния, а именно
'Четность П [799]. Любое квантовпе состояние системы должно харю\Тери
зоваться определенной четностью. При изменении знака у всех I\оординат
Х, у Z (операция инперСI1И не влияет на спины частиц) волнопая фующия
системы умножается или на ., 1, или на 1. ПО;JТому если волнопая
фУНКЦИЯ, описывающая падающую частицу и ядро мишени, была четной
,(10.18)
22*
340
rA. V[ Н. Ядерные реакции. Общая теория
либо нечетной . до столкновения, то она должна иметь ту же четность
и после столкновения. Четность волновой функции ядрамишени П (Х) оди
накова для всех ориентаций спина ядра 1. Четность волновой функции
падающей частицы П (а) также не зависит от ориентации ее спина s. Она
равна + 1 для протонов, нейтронов, дейтронов и сх частиц, наиболее часто
используемых в качестве бомбардирующих частиц при ядерных реакциях.
Четность волновой функции, описывающей относительное движение частицы
и ядрамишени, зависит от момента количества движения l; волновая функ
ция является четной для четных l и нечетной для нечетных l. Следова'тель
но, в процессе рассеяния l может меняться только на четное 'число: если
первоначально l брIЛО нечетным, то оно должно остаться нечетным; если
первоначально l было четным, то оно должно остаться четным.
Рассмотрим, например, рассеяние нейтрона ядром со спином 1 == 3/2
И предположим, что спин канала S == 1. В этом случае, соrласно закону
сохранения полноrо момента количества движения, нейтрон может налетать
на ядро с моментом количества движения l == О (] === 1) и вылетать с l== 1.
Однако такой процесс запрещается требованием сохранения четности. Нейтрон
может вылетать с l == 2 при условии, что моменты l и S складываются
таким образом, что J == 1.
Блаеодаря правилам отбора упруеое рассеяние с изменением lнесущест
венно. Это обусловлено тем, что при малых энерrиях чрезвычайно мала
вероятность любых процессов, в которых участвуют большие значения l.
Поскольку Ы:;;. 2, то поrJIощению или испусканию частиц соответствуют
значения l, равные или превышающие 2.
С друrой стороны, при высоких энерrиях большую вероятность имеет
неупруrое рассеяние, сопровождающееся изменением энерrии, так что в этом
случае процессами упруrоrо рассеяния с изменением l можно пренебречь.
Введем следующие обозначения. Будем обозначать через Пс четность
cocTaBHoro ядра, П", четность ядра Х в квантовом состоянии сх', По.- чет-
ность бомбардирующей частицы а в квантовом состоянии сх". Индексы сх'
и сх" определяют канал сх. Четность канала П", определяется соотношением
П" :=: П,,.П,,-. (10.19)
Связь между четностью канала и четностью COCTj1BHOrO ядра дается Bыpa
жением
п с ===( 1)1 П".
Введем также величину (!)I (П), которая равна
и равна нулю, если ( 1)1 === П:
(!)I (П) :=: [1 + ( 1)1 П]. (10.21)
Сохранение четности ведет к изменению формул (10.16) и (10.18) для
сечений. Рассматриваемый процесс необходимо подразделить на события,
харантеризуемые определенной четностьЮ (cocTaBHoro ядра): П С == + 1 либо
П С == 1. Таним образом, сечение упруеоео рассеяния, отвечающее спину
канала S, полному моменту количества движения J и четности ПС, при
нимает следующий вид:
S 2J + 1 2
О" ( , J, пс) === 2S + 1 'itK Х
J+S
(10.20)
единице, если ( 1)I===П,
Х (!)1(ПоПС)(!)I.(П"Пс)lаll' 1JII,(S,J,Пс)12. (10.22)
1.1'==1 J B 1
Тю\им же путем из формулы .(10.18) находим, что сечение реаr.цuл, отвеча-
ющее спину W,аuала S, пОЛ1l0МУ .моменту колuчества движения J и четности
''"'-.;. r::",'''''<.fr"
!} 10. Момент количества ови;ж;ения, и спин
341
составноео яДра По, принимает вид
J+B
а с (8, J, По)== ; '!tк2 S (!)/(ПаПО)(!)l'(ПаПо)(Оll, 11Ill,12). (10.23)
/, I'==IJ BI
Сеченин (10.22) и (10.23) еще не содержат ПОJIНоrо усреднения по ориен
тацИЯМ спинов в падающем пучке, поснолы<у мы Оl'раничились одним ;ша
чением спина канала. В случае неполяризованноrо пучн:а сечения выраша
ются формулой 1)
00 1+8
а 8 . с == g(8)cr s . r (8, J, по),
пс==тl J==O B==I 1 8 \
в которой g (8) определяется соrласно (10.1).
Простота формулы (10.3), полученной ранее для нейтронов с l == О, по
сравнению с формулой (10.24) достиrается только блаrодаря приближенному
предположению о том, что малые энерrии препятствуют не только сближе
нию с ядром частиц с l> О, но Т,ilкже и испусканию рассеянных частиц
с l' > О. Следовательно, из формулы (10.3) выпадают нак члены с l> О,
так и члены с l' > О.
Коэффициенты 1Ill' (8, J, по), определяющие сечения, представляют собоЙ
обобщение величин 111> входящих в формулу (2.8), описывающую рассеяние
без учета спина. Напомним, что 111/12 не может быть БОJIьше единицы,
иначе интенсивность расходящейся волны была бы больше интенсивнОсти
сходящейся волны. АнаЛОI'ичное условие имеется и для 1Ill' (8, J, по).
Суммарная интенсивность всех расходящихся волн в (10.7) не может превы
шать интенсивность сходящейся волны:
B+J
I 1Il!' (8, J, по) 12 -< 1. (10.25)
1'==\ B J I
В сумме (10.25) не требуется разделять значения l' по четности, по
скольку при нарушении сохранения четности "f/ll' == О.
Займемся теперь интерпретацией сечениЙ (10.22) и (10.23) с точки зре
ния нерезонансной теории. Так нак в этой теории отсутствует волна, испу
скаемая составным ядром, то ДJШ l =1= l' 1Ill' (8, J, по) == О. Значение "f/ll (8, J, ПО)'
определяется с помощью лоrарифмической производной f (8, J) при r == R
ОТ функции и (l, 8, J, И; r) (f не может зависеть от тв, таи нак состоя
ния с различными тв отличаются только ориентациеЙ в пространстве).
В рамках нерезонансной теории все лоrарифмические производные предпо
лаrаются равными и определяются соrласно (4.7). Таким образом, все
1Il! (8, J, по), отвечающие одному и тому же l, равны между собой
[см. (2.53)] и не зависят от 8,1 и четности ПО. Сечение упруrоrо рассея
ния, определяемое соrласно (10.22) и (10.24), оказывается равным:
1+8 00 J+S
cr s == '!t7\2 g (8) (28 + 1) 1 (2] + 1) 11 1I1l12.
В==[ 1 8 1 J==O /==1 J B I
( 10.24)
1) Следует отметить, что 0'8' определяемое (10.24), не является сечением упруrоrо
рассеяния, сели под упруrим рассеянием понимаете я рассеяние, не сопропождающееся
изменением энерrии падающей частицы. Формула (10.24) не учитывает случаев, при
которых n процессе СТОЛННОвения происходит изменение спина канала S. Соrласно нашему
определению, тание события включаются в сечение реанции. Далrе будет привrдено вы-
ражение для сечения, отвечающеrо столнновениям, не сопровождающимся пrреl1.ачей
энерrии (энспериментальное сечевие упруrоrо рассеяния) в специальном случае приме-
нимости формулы Брейта Виrнера для изолированноrо уровня.
ТА. VIII. Яд рные реакции. Общая теория
342
Посиольку В данном случае четность не иrрает роли, то сумма распростра
няется на псе уиа:lанные значения 1. И:lменим порядок суммирования по J
и по l и используем тот фант, ЧТQ 1Ju не зависит от J, а тан:же то, что
I+В
L (2) + 1) == (21 + 1) (28 + 1).
J==II S I
Э 1'0 при водит К следующему выражению:
I+з 00
а . == 1t1\2 g (8) 2: (21 + 1) 11 1J,[1 2 .
B==I 1 з I 1==0
(10.26)
Таи каи величины 1Jll не зависят таIоке и от 8, то Суммирование по 8
можно ВЫПОJ1НИТЬ непосредственно; суммирование статистичесних песов дает
единицу, так что окончательно
00
a s ==1t7\2] (21+1)11 1JuI2.
1==0
Это выражение совпадает с полученным в случае отсутствия спинов. AHa
лоrичное положение в нереЗОllаНСНОII теории имеет место и для сечения
реющии, Н али'Чие спинов не влияет на выводы нерезонаllСНОЙ теории ядер
ных реак:ций.
Приступим теперь н обсуждению сечениЙ в резонансной облаuсти. ()rpa
ничимся случаем, кот'да сущестпенен толы,о один реЗОllаlJСНЫИ уровень
СОСтапноrо ядра. Резонансная энерrия будет оf)озпачаться через Еn 13место Е"
чтобы не допустить смешения со Спином падающеЙ частицы. Резонансный
уровень харюперизуется моментом количества движения J и четностью ПО. _
Основное отличие выражений даННОl'О параrрафа от приведенных
в предыдутих парю'рафах пrоисходит и;з за T01'0, что момент НОJIичества
движения J резонаНСНОI'О уропня не определяет момента НО.тJичества движе
ния 1 падаЮIIlей ИJIИ 13ылетаЮlI]ей частицы. Момент J предстаIJJIнет со(jой
nеиторнуlO сумму 1 и спина нанала 8: J == 1 + S. Следовательно, 1 может
принимать значеНIIЯ I J 81, ..., ) + 8. В преДЫДУIIlИХ параrрафах счита
лось, что спин канала 8 == О, отиуда следовало, что 1 == J. В связи с ;этим
теперь необходимп отличать парциальные ширины I' l СОстояния п COCTaB
НОI'О ядра, соотпеТСТВУЮНlИе распаду по кана.ну а. с разными моментами
количества движения 1. В случае 8 == О специали;заПIlЯ 1 была излишней,
так нак l однозначно определялось МОментом COcTaBHol'o ядра.
Ширины I' I аналоrичны тем, которые исполь:ювались в предыдущих
параrрафах. Они MorYT быть разбиты, СОl'ласно (7.15), на внешнюю и nHYT
реннюю части:
I' l == 2kRv[ 1:1'
Прпведенные ширины I n l. наи и Прежде, можно опенить соrласно (7.16),
ИСПО.JЬЗУН расстояние между уровнями D. Упомянутые раССТОЯИlIR между
УРО13нями представляют собоЙ расстояния между урОllНЯМИ состапноrо ядра,
отвечающие онному и тому же значению J и одноЙ и тоЙ же чеТIЮСТИ Но.
Поэтому D оназыпается неснолько БО:1ьше расстояИllЯ между БШIжаiiшими
уровнями в спентре COCTaIJlI01'0 ядра.
Рассмотрим прежде ВСШ'О сечение специальной ядерной реаИЦИIl, Beдy
щей от oJlHoro ианала и друrому. Пусть ав будет Данным исходным HaHa
лом со спином S, а s, выхо;J.НЫМ наналом со спином S'. Най;tС>М сечение
реанции (а.в, Б')' Не проводя детальных вычислениЙ, можно поназать, что
(10.27)
\".","'C"".
":: ::' ;> '* , \ ':"",:T :,
s 10. Мо.мепт количества дви:ж: пия и спин
343
вблизи резонанса это сечение в случае неполяризованноrо пучка опреде
ляется выражением
2 2J+1
cr (ав, 8') == 'it7\a (28 + 1) (2.1 + 1) Х
J+8 J+8- [ n [ n
Х 2} Ш Z (Па По) Ш!, (Пр По) "1 ( 1'1 ) 2. (10.28)
1.=01 J S 1 1'==1 J S' I (е е n )2 + ""2 [ n
Здесь 1 и s представляют собой соответственно спины ядра мишеl!П II падауо
щей частицы. Ширины I' I и ";1' ШJЛяютея парциальными ШИjJlIнами, ОТIЮ
чающими расладу соответственно по HaHaJlY аБ ИJIИ 8' С моментами НОJIИ
чества движения l или l'. Ширина l'n представляет собой полную ширину
уровня]) .
Множители (!) rарантируют соблюдение правила сохранения четности:
( 1)I П/ll == ПО == ( 1)1' П .
(10.29)
Это правило можно выразить следующим оf)разом: еели четность ВХОДllоrо
и BblxojlHoro нанапов одна и та же (П. == П ), то выJ\тающиеe частицы будут
иметь четные (нечетные) моменты КОJlичества Д13ИЖОllИЯ 1', еСJIИ четными
(нечетными) были моменты НОJlичества движения падаЮIIlИХ чаетиц 1; с дpy
rой стороны, если П. ==. П , то нонечные l' будут нечетными, eCJllI четными
были исходные l, и наоборот. На прантине чеТllOСТЬ HaJJaJJa Па еОIJпадает
с четностью OCHOBHoro состояния ядра мишени, а четность BblXOjlHoro нана.па
П совпадает с четностью конеЧН01'0 ядра У, в наком бы состоянии оно ни
образовалось.
Общий вид (10.28) и особенно наличие статистическоrо множителя
(2J + 1)
(25+ 1) (21 + 1)
можпо пояснить следующим ofipaSOM: будем исходить из выражепия (7.19) для сечения
рею..:ции ((1" р). вызываемой чаСТI1ЦilМI1 с моментом КОJlичества ДIIЮI\СIIИЯ 1, 111'11 y(;:101I11II,
что .'II1IН канала раIJС'I] I]УJlЮ. ЕСJIИ Cl11111 l(aIlала S отличен от IIУJlН. ТО не IIсе чаПIlЦЫ
с моментом 1\0Jlиче!'Тllа ДШ1ЖСНИЯ t l1РIlП('ДУТ К образованию состоннип со Cl1l1110M Р (J).
Относительная веронтность JlaHHoro зна'IСНИЯ спина J раина
2.1+ 1
(21 + 1) (2S + 1) .
Далее надо учесть отпосительную в('роятность g (S) (10.1) Toro, что s и 1 дадут
спин канала S. CJJeJlOnaTCJlbHO, умножан (7.'19) па р (J) g (S). ПОЛУ'IИМ сечспис реaIЩИИ
((1" ), отвrчающее мом('пту 1{()Jlичества ДПИЖРIlИЯ l для случая S=cO. СР'l('lIIlр.реfll":ННИ
«(1,Б' Б')' Оllр('делясмое COrJJaCllO (10.28), 1I0J1учается ПрИ !'УММllроваllllИ ПОЛУЧl'Нlюrо
рсзультата по псе м ВО:JМОЖНЫМ знаЧРНIIЯМ [, которые приподнт н rоrТОНIIИЮ п состав-
Horo ядра, и по псем возыожным значснинм [', которые MorYT получаться в рсзультате
распапа.
В б()ЛЬПlинстве слу'!аев не удается различать каналы, отличающиесfl.
только своими спинами. Поэтому 06ратимся к сечению отдельноЙ яJtерной
реанции а + Х == у + ь, при которой ядро Х, тан же ню{ и ядро У, Haxo
дится в определенном кпантовом соеТОЯllИИ. Блаrодаря наличию у частиц
спинов нвантовое состоннпе ядра еJllе не задаст оп ределеlll!оrо I\nиала.
Имеется нес]{(шьно входных и пыходнЬ!х каналов, ОТIJечаЮЩIlХ различным
значениям и ориентациям спинов каналов. Обозначим через ;: псе входные
каналы, а через Bce выходные каналы. В этом елучае сечение cr ( , ),
р (J)
1) Более последовательно было бы добавить также инденсы S и S' и н ширинам,
напримср. писать [ !Б вместо r l' Однако ВО избежание псреrруЗI\И инденсами эти знач
ни в (10.28), (10.31) 'и (10.32) 01lускаЮ1СЯ.
344
Fл. VIII. Яоерные реакции. Общая теория
отпечающее переходу из а B/ , запишется вблизи резонанса в виде суммы
еечений (10.28) по всем спинам 8 и 8'. СJJедолательно, формула БреЙта
Виrнера для ИЗОJJиропанноrо уровня в случае реarщии (а, ) будет иметь вид
[+в ['+8'
а ( , ) ==) L а (ав, B')' (10.30)
S II sl S' II' s'l
rде 1 и s спины конечноrо ядра и испускаемой частицы.
Формула (10.30) предстапляет собой обобщение сечения а (а, ), полу
ченноrо в (7.19). ДеЙствительно, оно является суммой выратений типа (7.19),
соответствующих переходам из каждоrо канала а, входяшеrо в а, В каждый
канал п , совместимым с зан:онами сохранения количества движения
и четности. ФОРМУJlа (10.30) не дает, однако, какой либо информации
относительно уrловоrо распределения продуктов реакции. Некоторые обп ие
теоремы, l\асающиеся уrловоrо распределения, будут доказаны в rл. Х.
Формула Брейта Виrнера для изолированноrо уровня в случае радиа
Ционноrо захвата, сопровождающеrося образопанием состояния с моментом
количества двитения J и четностью П С , имеет следующий вид:
I+s ,J+B n n
. ,J.'1tC ( ) ].2 2J+1 ( П П ) rаlrрад. 3
ас а 7t a(2s+1)(2I+1) L.J L.J (!)l /J. С ( 1 ) 2' (10.1)
B II sll==i,J BI (€a €n)2 + 2 rn
rде r;:\Д. радиационная ширина рассматриваемоrо уровня.
Перейдем теперь н: рассмотрению упруrоrо рассеяния в резонансной
области. Для сравнения с экспериментально измеренными сечениями упру
roro рассеяния при ведем суммарное сечение всех процессов, в результате
которых падающий нейтрон испускается с перпоначальной энерrией. Это
сечение учитывает случаи изменения спина канала 8, прОИСХОДЯlllие в pe
зультате СТОЛЮIOвений и не включенные в формулу (10.22). Нас инте
ресует рассеяние, отвечающее такой rруппе входных каналов а, н:оторые
отличаются только спинами 8 и их Проекциями тв на ось z, но дЛЯ IЮТО
рых ядро мишени находится в определенном энерrетическом состоянии
(практически в основном состоянии). Формулу д.ШТ сечения рассеяния мы
приведем без вычислений [см. ниже формулу (10.32)]. ПОСКОJIЬНУ она "
ЯВJlяется весьма сложной, предпошлем ей разъяснение смысла отдельных
членов. Первая rруппа членов описывает резонансное рассеяние, не СОПро
вождающееся изменением н:ак момента количества движения 1, так и спина
канала 8. Эти члены обнаруживают наличие интерференции между резо
нансным и потенциальным рассеянием. Следующая rруппа членов относится
к резонансному рассеянию с изменением 1, но без изменения спина н:анала 8.
Эти члены по определению описывают упруrое рассеяние и содержатся
в формуле (10.22). Вклад рассеяния, сопровождающеrося изменением 1, но
без изменения 8, практически не имеет значения. Третья rруппа членов
(тройная сумма) описыпает рассеяние, сопровождающееся изменением снина
канала 8, не входившее в предыдущu:е формулы (при рассмотрении сече
Ния реакции). Этот вклад имеет большое значение в случае запрещенных
по четности 1) резонансов при рассеянии медленных нейтронов. Однако он
исчезает в случае разрешенных по четности резонансов, если существенный
вклад в сечение вносит только минимально возможное значение 1. Четвер
тая сумма в (10.32) представляет собой потенциальное рассеяние, присут
ствующее даже в том случае, коrда вблизи энерrии € нет резонансов.
1) Относительно определения разрешенных по четности и запрещенных по четно
сти резонансов см. табл. 15.
8 10. lИо.мент КОличества ови;ж;ения, и спин
345
Нанонец, ПОСJIедняя (пятая) сумма уменьшает потенциальное расееяние
на пели чипу внлада тех HaHaJlOB, Jюторые он:азываются эффективными при
резонансе. Формула Бреuта Витера для lIзолироваЮIОёО уровня, oппcы
вающая сечеlLUе рассеЯllИЯ в оп рест1l0стп резонанса с .Mo.Mellmo.M пОЛИ'lества
движения J, четностl Ю П е , поторый вОЗlшпает в lЩllалах с четностl Ю Па,
отвечающих частпцам, со спином s (праптичеспи s == 1/2) и яд рам мишени
со спино.М 1, и.меет следующий вид:
I +" J +8
о 2J + 1 ( '\.,
О. == 7tt, - (28 + {) ( 21 + 1) i (J)l (ПаЛе)
\ 8==II sll==IJ 81
ir l
. 1
€ €п +! 2
2
+ A OTeHЦ.
l'n
+
J
I
I+" J+8
r r
+ (J)l (П,,JIе) (J)l' (П Пс) 1 2 +
s==:I si 1*1'==IJ SI (€ €n)2+( 2 rn)
I+" J+8 J+S' n r n
+ Шl (ПаПе) (J)l' (ПаПе) r a1 (Jl 2 +
8*8'==II sll==IJ 81/' IJ 8' I (€ €n)2 + (2 rn)
00 .
+ (28 + 1) (21 + 1) (2l + 1 ) I A 1 2
2J + 1 Iпотенц.
1==0
I +. J+8
8== SII==I SI Шl (ПаПе) I А отенц.12} . (10.32)
Второе суммирование во второй rруппе членов (10.32) ПредстаIЗляет собой
двойную сумму нан по [, тан: и по [', причем наждый из инденсов пробе
raeT значения от I J S I до J + S, иснлючая члены с l == ['; равным обра
зом суммирование в третьей rруппе Ч.ленов представляет собой двойную
сумму по S и S', причем наждый из инденсов пробеrает значение от
I 1 S I до 1 + S, иснлючая члены с S == S' .
Формула (10,32) дает полное (ПРОИНТ81'рированное по всем уrлам,
а танже просуммированное и усредненное по всем ориентациям спинов)
сечение рассеяния в он:рестности ИЗОJшрованноrо резонанса. Она применима
тольно н упруrому рассеянию нейтронов. В случае заряженных частиц
полное сечение рассеяния содержит, нроме Toro, резерфордовсное рассеяние
и он:азывается бесн:онечно большим б.лаrодаря IЗнладу рассеяния на малые
уrлы. Выражение для дифференциальноrо сечения рассеяния оназывается
rораздо более сложным, чем (10.32), и не будет обсуждаться здесь (см. при
мечание на стр. 338). .
Представляет интерес определить мансимально IЗозможную величину
сечения рассеяния для следующеrо специальноrо случая: в рассеянии участ
вует толыю один набор значений спина нанала S, момента ноличества
движения J и четности П е ; при этом существенно лишь наинизшее значе
ние момента ноличества движения L, совместимое с данным набором S, J
и П е . Прантичесное значение этоrо специальноrо случая IЗытенает из aHa
лиза резонансов при рассеянии нейтронов, отвечающих определенному уровню
cocTaBHoro ядра (с определенным J и П е ), ноrда блаrодаря потенциальному
барьеру несущественны все моменты ноличества движения [, за иснлюче
нием наинизшеrо. Оrраничение одним значением спина нан ала S будет
обсуждаться позднее.
Определим прежде Bcero наинизшее значение L :Момента [, совмести
мое с данным набором S, J и П С . Если на неноторое время иrнорировать
правила отбора по четности, то наинизшее возможное l равно I J S 1. Эта
!
зи
rл. V/П. Ядерные рмrщии. Общая теория
величина ЯБляется действительно наинизшим [, если она разрешена по чет
ности, т. е. если ( 1)J S == ПаЛе. Если существует запрет по четности, то
наИIlJ1зшсе l fJаБНО I J S 1+ 1 при условии, что ни J, НlI S не раБНЫ нулю;
в противном случае Б рассматриваемом канаде вообще отсутствует рассея
ние. Эти положения СБедены в табл. 14.
Таблица 14
Минимальное :шачение L момента Т, совместимое с данным спином
канала S, моментом количества дР.иженил cOCTaBHoro ядра J,
четностью COCTaBHoro ядра П С и четностью капала Па
( 1/ S==II(JПе
L == lмин. ==IJ SI
( 1)J S== ПаПе
L == lмин. == I J S 1+1 при условии,
что ни S, ни J не равны нулю.
Если либо S, либо J, или же
оба выесте равны нулю, то DОЗ
ыожных значений l не суще
ствует
1
Если оrраничиться вкладом одноrо набора значений S, J и П е , то
необходимо рассмотреть только один член Б сумме (10,24). Кроме Toro, при
оrраничеш1И IJкладом наинизшеrо значения [, а именно l == [-', в сумме (10.22)
остается IJcero один ЧJlен. Этот член достиrает манеималыlrоo значения при
1I L L == 1 (остальные 1J ll " соrласно нашим предположениям, следует поло--
жить равными Оll')' Отрицательные значения 1IL L ' превосходящие по абсо
лютной веJ1ИЧJ1не 1, нееОБместимы с условием (10.2.'5). Если для рассеяния
сущестIJенно толы.о одно значение спина панала S и одно (наинизшее) З'l,а
'Чение .момента I<оличества движения l == L, то получается следующее .Maпcи
мальное значение сечения рассеяния, отвечающеео данному набору J и Не;
!
"'.
2J+1 2
О, <; (28 + 1) (и + 1) 4'1tЛ .
(10.33)
Для резонансов с данным J, отвечающих нейтронам, находюпимся
в S соетонниях (l == О), ВI\Лад может вносить только одно значение СlJина
канала S, а именно S == J. В данном случае удаетея определить, co
rласно (10.33), ман:симальный Бклад резонанса в выражение (10.5). Этот
мат\симум достиrается в резонансе только при УСЛОБИИ, что, I\poMe упру
roro расееяния, невозможна НИНaJ,ая иная реанция (и можно пренебречь
радиационным захватом). Определение мапсималutoео значения сечения в
случае резонансов, отвечающих нейтронам, наход.ящимся в S состОЯIlUЯХ,
позволяет оценить .момент 1',оличества движения J резонансноео уровня
составноео яiJра. Причем, прежде чем БЫЧИСЛЯТЬ максимальное значение,
необходимо Бliес:ти поправку на потенциальное рассеяние, имеющее место
Б каналах, не отвечающих резонансу.
Для БОJюе БЫСОН:ИХ значений 1 положение несколько усложняется, TaJt
нан: Б этом случае Б03МОЖНЫ процессы, сопровождающиеся изменением
спина канала S и реrистрируемые на опыте кан часть «УПРУ1'оrо» pac
сеяния. 13 табл. 15 СlJедсны относяшиеся к этому вопросу данные для случая
нейтронов, т. е. для s == 1/ а' Из этой таблицы видно, что в запрещенных
10. Момент количества дви:ж:енuя, и спин
347
по четности случаях (вторая строна в табл. 15) иапнизшее L ОUЯ:1ательно
больше ИЛИ равно единице. Резонансы, отвечающие нейтронам, находящимся
в S состояниях (L == О), всеrда разрешены по четности.
Таблица 15
Минимальное значение L nюм('нта l и воз южные значения спина
каналя S, совместимые с четностью канала По. и с данным состоянием
cocTaBHoro ядра, характеризуемы м J 11 П С
I + <J
2
I <J
2
РаRреШСПI1ые
по четности случаи
( l)J I lf2) ==Пu.Пс
L==J (I+ )
1
8==1+2
(8 принимает одпо
значение)
L==( 1 ) J
'- 2
1
8==1 2
(8 принимает одно
зна'Jеllие)
3апрещснные
по четности случаи
( l)J I (lf2) == Ilо.ПС
L==J (I )
8==I:I:{.
130ЗМОЖНЫ оба значения
в, если толыю 1 *' О
( в противном случае
возможно только
в== ) .
L==( 1+ {. ) J
1
8==I-3:.
'"
Возможны оба Зllаче
ния в, если только
J=I= О (в противном
случае возможно
только 8 == 1 + ) .
в случае разрешенных по четности резонансов (перпая строка табл. 15)
внлад в резонансное рассеяние вносит llcero лишь одно значение спина HaHa
ла S, если только можно пренебречь более высокими значениями 1 (нак
в случае медленных нейтроноп). Формула (10.33) применяется непосред
ственно, причем мансимум достиrается в том случае, KorLIa упруrое раесея
иие оназывается преимущественной реанцией. Измерение величины этоrо
максимума позволяет определить момент ноличоства движения J cocTaBHoro
ядра.
В случае запрещенных по четности резонансов (вторая строна в табл. 15)
внлад в резонансное рассеяние вносят оба значение спина нанала S==I -3:.1/2'
при этом возможно также рассеяние с изменением спина нанала S, но без
изменения энерrии. Следовательно, выражение (10.33) ужв ноприменимо.
Однако можно поназать, что ман:еимальное значение, ОПjJеделяемое (10.33),
оназывается праВИJJЬНЫМ в той степени, в каной можно пренебречь интер
ференцией между потенциальным и резонансным раесеяниями вблизи резо
HaHcHoro пина. Это мансимальное значение учитыпает процеесы, сопро
вождающиеся изменением спина. Оно достиrается в том случае, юч'да I1рВ
имущественной реанцией является рассеяние без изменения энерrии. Таким
образом, и в это;,. случае величину резонансиоrо пш,f\ можно иепользопать
для определения J уровня cocTaBHol'o ядра, если тольно резонансный пик
достаточно высок по сравпению с фоном потенциаJIьноrо рассеяния.
Запрещенным по четности резонансам отвечает неснолько большее зна
чение L, чем получаемое при рассмотрении только моментов количества
348
rд. V/П. Яоерные реа1>ции. Общая, теорuя,
движения. Для медленных нейтронов разница в проницаеМОСТИ VL в случае
разрешенных и запрещенных по четности резонансоIЗ он:азывается существен
ной. Таким образом, МOIIШО ожидать, что запрещенные по четности резо
нансы будут иметь необычно малую ширину.
аМIIJIитуда резонансноrо рассеяния, отвечающая волне с моментом
Iюличества движения l (2.55), (2.56).
I{Qэффициент при e ikr в выражепии для и о (r) (2.21), (2.22).
коэффициент при и;+) (r) II выражении для и/ (r) (2.43), (2.44).
IюмплеI{СПЮI амплитуда BO.TIНЫ e iKr , возвращающейся наружу из BHYT
репней области cocTaBHoro ядра (7.1).
вылетающая частица при ядерной реакции (1.1).
UJIТрина (радиус) прямоуrольной потенциальной ямы (% 7, В).
частица Ь в квантовом состояпии "(" (1.3').
высота ИУJIОllOВСI{оrо барьера [8== ZaZx е 2 / R] (% 4).
иоэффициент при е"Т или e ikr в выражениях для волновой фуниции
u (r) вне ямы (9.3) (9.;:;).
вылетающая частица при ядерной реarщии (1.3).
COCTaBHoe ядро (% 3, А).
постоянная, входящая в приближенное выражение для плотности ypOB
ней (6.11).
амплитуда u (r) внутри ядра вблизи от ядерной поверхности в случае
резонансных реакций (7.4).
C lS (J, М, ml, тs) J{оэффициенты КлРбша rордана (сложение векторов); относительно
их определения сы. приложение 1, % 5 (10.8).
параметр СТОЛIшовения (% 1, Б).
элемент TeJIeCHOrO уrла (% 2, А).
расстояние между уровнями состапноrо ядра в окрестности резонансноrо
уровня с номером s и энерrией возбуждения Ев (7.7).
а
а
а
а
а
аа.'
a .
А
А
а
А
Апотенц.
A OTeHЦ.
А реа .
A ea.
ь
ь
ь
ь
ь
Ь"(.
В
В
с
с
(g
с
d
dQ
пв==п
ОБОЗНАЧЕНИЯ
иоэффипиент при e ikr в выражении для ио (r) (2.21), (2.22).
коэффициеIIТ при и; ) (r) В выражении для и! (r) (2.43), (2.44).
постоянная в приближенном соотношении Е == af<j2 между энерrией воз
буждения и температурой конечноrо ядра (6.11).
нормировочная постоянная в выражениях для и (l, S, J, М; '1') (10.7),
(10. )),
падающая частица при ядерной реarщии (1.1).
чаСТИца а в ивантовом состоянии а" (1.3).
частица а в квантовом состоянии " (1.3).
амплитуда u (r) вне ядра в случае резонансных реакций, происходящих
по одному каналу (% 7, А).
коэффициент при e ,"T или e ik1 ' в выражении для волновой функции
и (r) вне потенциальной ямы (9.3), (9.5).
постоянная, входнщая в у (Еа.) (7.17).
MaCCOBoe число ядра мишени или COCTaBHoro ядра (% 2, А).
амплитуда потенциальноrо рассеяния (от Непроницаемой сферы), отве-
чающая S волне (2.25), (2.27).
амплитуда потенциальноrо рассеяния, отвечающая волне с моментом
количества движения l (2.55), (2.57).
аьшлитуда резонансноrо (BHYTpeHHero) рассеяния, отвечающая S волне
(2.25), (2.26).
.
п*
Е
Е
р;
Е
Ео
Е..,
Е(/.о
Е..,
О
Е(/. н
О
Е:'
Е:'
Е;
E ,
о
E "
о
Е;'
E '
Ес==Е
Еn
Ез
" Ез
'.
10
10 (8)
11
I Za
Fb==Fb (Е ьу )
Fl (r)
Обоаначения,
349
энерrия, определяемая соrласно (8.13); Toro же порядка величины,
что и расстояние между уровнями D (8.13), (8.14).
энерrия системы; Е== О соответствует случаю, ноrда все нунлоны
находнтсл далено друr от друrа в состоянии ПОIЮЯ (1.4).
относительная нинетичесная энерrия при столкновении двух нукло
нов (s 3, А).
энерrия возбуждения конечноrо ядра, отвечающая энерrии канала,
равной Е [E==EbY E] (s 6, А).
энерrия частицы в одномерной модели ядерной реанции (Е COOTBeT
ствует энерrии нанала Е, а не энерrии возбуждения cocTaBHoro ядра)
(9.2а).
средняя энерrия нуклона внутри ядра; соrласно оценке оноло 20 Мэв
(s 3, А).
энерrия ядра Х в нвантовом состоянии а' (взятая с обратным знаком
энерrия связи лдра в этом состоянии) (1.4).
энерrия частицы а в нвантовом состоянии а" (взятая с обратным
знаком энерrия связи частицы в этом состоянии) (1.4).
энерrия ядра Х в основном состоянии a [взятая с обратным знаком
энерrия связи ядра Х] (1.9).
энерrия частицЫ а в основном состоянии а; [взятая с обратным зна
ном энерrия свнзи частицы а] (1.9).
энерrия возбуждения ндра Х в нвантовом состоянии а' (1.8).
энерrия llозбуждения частицы а в нвантовом состоянии а" (1.8).
==E ' + В;н; энерrия возбуждения, отвечающая наналу ; обычно считают,
что вылетающая частица находlrтся в основном состоянии, так что
Е; == E ' энерrии возбуждения конечноrо ядра (6.1).
энерrия лдра У в основном состоянии [взятая с обратным знаком
энерrия связи ядра У], (1.9).
энерrия частицы в основном состоянии ; [взятая с обратным знаком
энерrия связи частицы Ь] (1.9).
энерrия возбуждения ядра У в квантовом состоянии ' (1.8).
энерrия возбуждения частицы Ь в квантовом состоянии " (1.8).
энерrия возбуждения cocTaBHoro ядра С, измеренная от OCHoBHorO
состояния (s 3, Б).
== Ео + пп; п й из ряда энерrетичесних уровней, расположенных на paB
ном расстоянии друr от друrа (S 7, В). '
энерrия возбуждения cocTaBlloro ядра (измеренная от OCHoBHoro еостоя
нин), соответствующая резонансному уровню с номером s (s 7, В и 9, А).
энерrия стационарноrо состояния с номером s в случае прямоуrольной
пот('нциалыюй ямы (s 9, А).
лоrариФмичесная производная Фунr::ции ио (r), ВЫЧИСJICшraя в точке
r==R (2.23).
значение лоrарифмичеСIЮЙ производной 10 в канале со спином Iшнала 8
(s 10, А).
лоrарифмическая производнаи функции uz (r), вычисленная в точне
r==R (2.45).
лоrарифмическая производная 11 в канале а (8.39).
ФУНКЦIIЯ, связанная с относительной вероятностью Се (Ь) испуснания
частицы Ь из cocTaBHoro ИJ\ра С (6.8), (6.9).
реrулярное решение радиальноrо уравнения шю ffJ\pa для случаи
столкновения с моментом Iюличсства движеllИН 1 (2.:\2), (2.3:1), (2.::)\).
350
.
rл. V///. Яоерные реаrщии. Общая теория
СА' Св, Ср,
g(S)
СЬ (Е) dE
С е (Ь)
С е ( )
С ! (r)
Cy , (с)
h(l)
/
/
/ь (Е) dE
1mll
J==J e
J p (z)
ks
k a , k.
ka
К
Ко
l
(21 1)!1
L
L
L
L
тв
111 ==Ма
1I1а
Мх
M
N
N
N a
N p (z)
gQ статистический вес состояния А и т. Д. ( 2, Д).
статистический вес спина канала S (10.1), (10.6).
относительная вероятность испускания составным ядром частиц Ь с эпер-
rией канала в интервале от Е ДО Е + dE (6.2).
относительная вероятность распада COCTaBHoro ядра С с испусканием
частицы Ь (3.1), (6.7).
относительная вероятность распада COCTaBHoro ядра С по каналу (3.2).
н('реrУЛНр[jое решение радиалыIrоo уравнения вне ядра для случая
СТОлюювения с моментом КОJ/ичества движения! (2.36), (2.37), (2.40).
ОТНОСИТ('JIьная вероятность распада ядра У в состоянии ' С ИСПУСI{а
ннем частицы с (6.13).
"('кпапт; энерrия "('кванта (1.2).
плотность вероятности, отвечающая падаюшей волпе ( 4).
MOMeHT ноличества движения ядра мишени Х ( 10, А).
относительное число частиц Ь. испускаемых с энерrией канала в ин
терпале от Е ДО Е + dE (6.3).
М[jимая часть 1I (2.28), (2.56).
ПОJIНЫЙ момент ноличества двпжения системы, равный моменту ноли
честпа движения cocTanHoro ядра ( 3,Б и 10,А).
бесселева ФУНКЦИЯ первоrо рода, порядка р; отнОсительно ее опреде
. ленин см. [409] ( 2,Б).
== (2МИ! ,/ lL2)1/2; волновое число распадающеrося состонния с номе-
ром s (9.8а).
== I k. I == }; 1; длина волны в нанале а ИЛИ (2.6).
полновой пентор, отвечающий относительному движению в нанале а (2.5).
ВОJщовое число частицы сразу же после ПРОНИIшовенин внутрь co
cTanHoro ядра (4.3), (4.12).
1.1013 CM l; волновое число пунлона сразу же после ПРОНИIшовения
внутрь cocTaBHoro ядра в случае равной нулю 9нерrии HaHaJIa (4.11).
(4.13), (4.14).
HBaHTOBoe число момента ноличества движения ( 2,A).
== 1.3.5 ... (2l 1) (<двойной фаюориал» (2.52).
расстояние от «черноrо» ядрn, па нотором «тены полностью расплы
вается блаrодаря диффракционным эффектаы [""=! R2/ л ] ( 2,А).
HBaHTonoe число орбитальноrо Моыента ноличества движения COCTaB
Horo ядра ( 7,В).
(тробеr» нуклопа внутри cOCTaBHoro ядра до Возвращения на поверх
ность ядра (% 9,Б).
наИНИ3IПее значение момента ноличества движения l, совместимое
с данным зпачением спипа канала S, полноrо момента ноличества дви
женин J и чртности (COCTaBHoro ядра) П е ( 10,Б).
маf'Нитное нвантовое число, связанное со спином нанала S ( 10,А).
приведенная масса М В случае относительноrо движения В нанале а
(2.5), (2.30). .
Macca частицы а (1.5).
масса ядра мишени Х (1.5).
приведепная масса М в случае относительноrо движ('ния в напале (2.70).
падающий потон, равный числу частиц, приходящийсн на 1 см 1
в 1 сен. ( 2,А).
число отнрытых наналов при рассматриваемой энерrии (% 9,Б).
число частиц, выбывающих в 1 сек. из пучка в pe3YJIbTaTe процессов,
ОТJIИЧНЫХ от упруrоrо рассеяния (2.12).
фУIIКЦИЯ IIеймана (бесселева фУННЦИЯ BTopClro рода) порядна р; отно,
сительно ее определения см. [409] (2.40).
7r:'rt':v ::?'ft:п : .;.':,"
"," 7"" ,>" . "\ :':С'
. . .
, "
' 7
,.
, ,
, ,."
Обоа1tач 1tия
351
N g
N g (6) dQ
р
р (J)
Р
Р
Р (А, В)
P( B, A)
РВ
q
q
Q
Qab
Qo
"
"0
"0
"0
"4
Т'"
R
R
Ra
Rx
Ra
Refl
8
8==81 (Е)
6
8
8
8
81
8.
Sa
8 с (У)
8 мин . (У)
число частиц, рассеиваемых в 1 ceIe (2.10).
число частиц, рассеиваомых в 1 сек. в элемонт толосноrо уrла dQ
в направлении 6 по отношонию падающоrо пучна (2.14).
невырожденное квантовое состоннио (s 2,Д).
вероятпость (статистичоский пос) состояпия с полным моментом I{ОJrиче
стпа движения J для систомы С моментом l и СIIИIIUМ (lшнаJJа) 8
[p(J)==(2J+1).(2l+1) (28+1)] (s 10,8).
вырождонное Iшантовое СОСТОНШIе (s 2,Д).
период движония в составном Я:1ре (7.10).
отнесенная к еДlПшце вромопи вероятность порохода из состояния А
в состояние В (2.67).
отнеС('НIIЮI к единице времени вероятность пер('хода из (обращенноrо
по вромони) состошrия B в состояние A (2.(;1).
период движения COCTaIJHOrO ядра в резонансном состоянии с HOMe
ром s (s 9,Б).
непырожденное IшаРТОlJое состояние (s 2,Д).
положительпое действительное ЧИСJJO, свнзапное соотпопюпием I ь 1== e 2q
с амплитудой Ь волпы e iKr , ВОЗlJращаlOщейся наружу из впутроппей
об.lасти cocTaBIIoro ядра; q ЗЮJl1СИТ от эперrlШ IШIIUJlа Е (8.23).
ВЫРОifщенпое квантовое СОСТОНlше (s 2,Д).
ВОJIИЧИIlа теIlловоrо ЭффОI{та Q РОaIЩИН Х (а, Ь) У (1.9).
ВОЛИЧИIlа Q реакции (а, ) (1.П), (1.7).
== I Та 1; расстош!Ие меЖ;rу чаСТlJl\а 1И Х и а в навало а (2.7).
ра::\иус большой сферы, о/{рущаlOЩUЙ ШIЧДJIО lШОР;Шllат, lJllУТРИ KOTO
рой ПРОИСХОДИТ реюшия (2.10).
постоннная, вхоrщщая в формулу для радпуса ядра R==rоА1/з (s :3,А).
,"""";"классичесная ТОЧIШ поворота для частиц с МОМPI,том IН)JlIIчеСТJJII дви
жС!шя [, опродеJlЯомая кю{ максимальный коронь ураШJOIIИЯ 'Х./ (r) == О,
(5.9).
==ITal (s 2,Б).
координата канала а, совпадающан с вектором, соеДИШllOЩИМ Х
и а (s 2,А).
радиус «чорноrо» ядра ( 2,А).
радиус напала (s 2,Б; см. танже фиr. 56).
радиус падающей частицы а (s 2,8).
радиус ядра миш('ни Х (s 2,Б).
радиус канала а (s 2,8).
дсйствительнаf1 часть f/ (2.28), (2.56).
спин падающей частицы а (s 10.А).
фунтщия энерrии нанала Е, используомая при расчете ширины (2.46),..
(2.48), (2.50).
== 19 w (Е); энтропия конечн()rо ЯJ\ра при температуре в, COOTBeTCTBY
ющаf! средпей энерrии возбужденшт Е (ПА).
энср['ия отделения нуклона от COCTanl!OrO ндра (* 3,А).
KnaHTonoe число спина состашюrо ядра ( 7,В).
спип Iшнала, получаЮЩИЙСf! в рсзультате С.l0ЖОНИf! вектороп спинпв
1 ядра мишени и 8 падаlOЩ()Й частицы (s 10,А).
значсние спина канала 8, для Iютороrо вблизи рассматриваемой энор
rии происходит розонанс (s 10,А).
значение спина HaHa.тra 8, для KOToporo вблизи рассматриваемой энер,
rии отсутствует рсзонанс (s 10,А).
энсрrия отделония частицы а от COCTalJHOrO f1JIpa (1.8).
эворrия отделения частицы с 01' нопечноrо f1дра У ( П.8).
минимальная энерrия отделения частицы от I{онечноrо ядра У (s 6,])).
352
rд. V///. Ядерпые реакции. Общая, теория,
энерrия отделения нейтрона от конечноrо лдра (9 6,Б).
проницаемость ядерной поверхности (4.3), (7.11).
проницаемость для случая СТОЛЮlOвения в канале а С моментом коли
чества движения l (5.1), (5.5), (5.6).
очень большой интервал времени (9 9,А).
средняя нинетическая энерrия нуклонов внутри ядра (9 4).
нинетическая энерrия частиц определенноrо типа внутри ядра;
ТО 20 Мае для нуклонов и несколько меньше для а частиц (9 4).
кинетическая знерrия падающей частицы сразу же после проникно
вения в составное ядро (9 4).
вероятность в единицу времени перехода из KBaHToBoro состояния р
в Iшантовое состояние q (9 2,Д).
вероятность в единицу времени перехода из состо!!ния Р В состоя
ние Q (2.69).
вероятность в единипу времени перехода из обращенноrо во времени
состояния Q в состояние p (2.69).
производная dujdr радиальной части волновой функции u (r) в точ
не R (8.3).
радиальная часть волновой функции, отвечающая S волне [ио (r) ==и! (r)
дЛЯ [==О] (2.19).
и (l, S, J, М;r) умноженная на r волновая функция, описывающая относительное дви
жение в канале со спином S в случае столкновений с полным момен-
том количества движения J, проекцией М полноrо момента на ось z,
в которых участвует сходящаяся волна с моментом количества дви
жения l (10.7).
радиальная часть волновой функции в исходном канале для столнно '
вения с моментом количества движения l (2.19), (2.30).
решение волновоrо уравнения вне ядра в форме расходящейся волны
с моментом количества движения l (2.41), (2.42).
решение волновоrо уравнения вне ядра в форме сход!!щейся волны
с моментом ноличества движения l (2.41).
rлубина схематическоrо потенциала в форме ямы, используемоrо для
расчета проницаемости (5.3).
функция, зависящая от энерrии возбуждения cocTaBHoro ядра.
эффективная потенциальная энерrия (кулоновская + центробежная) вне
ядра в случае столкновения с моментом количества движения i (5.2).
CKOpOCTЬ относительноrо ДВИЖeIIИ!! в канале а (92,А), (2.67).
проницаемость для случая столкновения в канале а С моментом коли
чества движения [; vi зависит от энерrии нанала Еа (2.49), (7.23). (8.39).
фУIIIЩИЯ, входящая в теоретичесное выражение для проницаемости
Тl (а) для нейтронов (5.7), (5.8).
CHOpOCTЬ относительноrо движения в нанале (2.68).
вектор скорости относительноrо движения в канале а (2.5).
БОJlЬШОЙ объем, включающий область, в которой происходит взаимо
действие (2.67), (2.68).
потенциал в случае одночастичпой модели ядерIIОЙ реакции (94).
rJIубина потенциальной ямы V внутри ядра в СJlучае ОДIIочастичной
модели ядерной реющии (s 4).
rлубина прямоуrольной нмы (9 9.1).
потенциальнан (электростатичесная) энерrия вне ядра (2.30), (2.31).
умноженная на r ВО.чнован ФУЮ{ЦИfI, ОIIисывающая ОТlJOситеJJьное дви
жение в канале со спином S в случае СТОЛЮЮВЩIИЯ с полным MOMeH
том количества двиЖt'IfИН J, проекциеЙ М ПОJJJlOrо момента ШI ось Z,
В IШТОром участвует подя,риз'оваНliал плосх;ал ВО.тша (1().1()).
Sn (У)
Т==Т(а)
Тl (а)
Т
Т
ТО
Т вн .
Tpq
Tp,Q
Т Q, p
u'(R)
ио (r)
щ (r)
uf+) (r)
uf ) (r)
U о
и (Ее)
U ! (r)
V==V a
Vl == vlix
V'
1
V
Va.
V
V
V o
V o
V(r)
w(S,J,M;r)
W S (S, J, М; r)
Wy (Е)
w
W s
х
Х
Х'"
Х
ХО
Х",
у(е,,)
У
У
Уzт(б, ер)
м
JIS
Уу'
z
z (е)
z
Za
Zx
а
а
а'
a
<Хо
а'
о
а"
o
а
'
.
o
jj"
1
l'
1"
1:
ОБО8начения
353
часть w (S, J, М; r), описывающая упруrо рассеянную волну (10.11).
плотность уровней конечноrо ядра У при энерrии возбуждения Е;
Wy (Е) аЕ равно числу состояний ядра У с энерrией возбуждения ме.
жду Е и Е+аЕ (% в,А).
ядро, образовавшееся в результате радиационноrо захвата частицы (1.2).
комплеКС1ШЯ энерrия распадающеrося состояния с номером s (9.811.).
==kR; произведение волновоrо числа канала на радиус канала (5.7).
ядро мишени при ядерной реакции (1.1).
ядро мишени Х, находящееся в возбужденном состоянии (1.3).
== KR; произведение «BHYTpeHHero» волновоrо числа на радиус канала (5.7).
KoR (% 4).
ядро мишени Х в квантовом состоянии а' (1.3').
ф'ункция, описывающая энерrетичесную зависимость сечении реакции
вблизи резонанса (% 7,r).
- 1юнечное ядро при ядерной реакции (1.1).
=== е I В; отношение энерrии канала 1{ высоте ну лоновскоrо барьера (% 4).
сферическая rармоника; относительно ее определения см. приложе
ние 1, 9 2 (% 2,А).
нормированная rармоника со спином; относительно ее определения
см. приложение 1, % 5 (10.7).
конечное ядро У в квантовом состоянии l' (1.3').
координата канала в направлении падающеrо пучка (% 2,А).
величина, связанная с радиальной частью волновой фУНIщии и(r) в точке
r==R (8.2)_
1юнечное ядро (1.3).
заряд (в единицах е) частицы а (2.31).
заряд (в единицах е) ядра Х (2.31).
- . индекс канала, включающий оба индекса а' И а" (% 1,Б).
.- IIостоянная в выражении для волновой функции и (r) связанноrо со-
стояния вне ямы (9.3).
квантовое состояние конеЧIIО1'О ядра или ядра мишени (% 1,Б).
1{IJaHTOBOe состояние падающей или вылетающей частицы (% 1,Б).
канал, в котором ядро мишени Х и падающая частица а. находятся
в своих основных состояниях (% 1,8).
OCHOBHoe состояние ядра мишени Х (% 1,В).
OCHOBHoe состояние падающей частицы а (9 1,В).
rруппа 1шналов а, отвечающих одному и тому же квантовому состоя-
нию а.' ядра Х и а" частицы а, но различным значениям спина ка-
нала S (% 10,Б).
HHдeKC канала, включающий оба индекса ' и " (% 1,Б).
KBaHTOBoe состояние конечноrо ядра или ядра мишени (9 1,Б).
- KBaHTOBoe состояние падающей или вылетающей частицы (% 1,Б)
нанал, D котором ядро мишени У и вылетающая частица Ь находятся
в своих -основных состояниях (% 1,В).
OCHOBHoe состонние конечноrо ядра У (% 1,В).
OCHOBHoe состояние вылетающей частицы Ь (% 1,В).
rруппа каналов , отвечающих одному и тому же квантовому состоя
нию ' ядра У и " частицы Ь, но различным значениям спина кв
пала S' (з 10,Б).
== ZaZxe2/'h v; параметр, определяющий относительную роль 1{УЛОНОВСl{ИХ
эффектов (2.34).
HBaHTOBoe состояние ядра мишени или l{онечноrо ядра (% 1,Б).
HBaHTOBoe состояние падающей или вылетающей частицы (9 1,Б).
приведенная парциальная ширина резонансноrо уровня с' номером а,
отвечающая испусканию по каналу <х (7.15), (8.39), (9.20).
23 3аназ .Ni 396
354
i:i
Fл. VIII. Яоерпые реакции. Обща,q, теория
1 !
[==[ (Ее)
rn
[8
r з
.
[ ""
r З
'"
r"
",1
rll "= r 11 (Ее)
f8
r
r;ад.
r ад.
r:",
r:
о
E8
А
ДЕ
ДЕ
Д/==ДI (Е)
Е
Е'
Еьу
Ее
Еn. Ев
fs
Е
приведенная парциальная ширина реЗОlшнсноrо уровня с номером п.
отвечаЮЩан испусканию по Kal!aJJY а С моментом Jюличества движе
ния l (s 10,Б).
нриведешшп парциаJJьнан ширина реЗОJJЮIСJJоrо уровнн с номером 8,
отвечающан испусканию 110 J{ЮШЛУ а С моментом количества ДНlliке
нин l (9.28).
пошшн ширина уровнн cocTaBHoro ядра С с энерrией возбуждения Ее
(3.3).
ПОJlная ширина резонансноrо уровнн с lIOM.epOM п (10.28).
ПОJIнан ширина резонансноrо уроння с номером 8 (7.5), (9.10), (9.11).
частичнан ширина (равная нарциалыlOЙ ширине розонаНСНОI'О уровня
с номером 8, отвечающей испуснаШ1l0 частицы а) (7.6).
па рциаJJЫШН
испусканию
нии а' (7.8).
парциальнан ширина резонаисноrо урошш с номером 8, отвечающая
ИСНУСIШПШО по напалу а (7.9), (9.22).
парциальная ширина резонаПСllоrо уровня с номером п, отвечающая
испуснапию по каналу а С моментом Iюличестпа движения l ( 10,Б).
парциальная ширипа урошш cocTaBHoro ядра С с энерrией возGужде
нин Ее, отвечающан испусканию но нанаJlУ i3 (3.4).
ширипа, отвечающан реarщии (равнан постоянной п, умноженной на
отнесенную I{ единице времени неронтность распада cOCTaBHOJ'O ндра.
находящеrосн в резонансном состоянии с номером 8 по любому Ha
налу, отличному от ИСХОДllоrо канада а) (8.28).
радиационнан ширина резонапспOl'О уровнн с помером п (10.31).
радиационная ширина (раннан парциальной ширине РОЗОJJансноrо
уровня 8, отвечающей ИСПУСIШПИЮ I KBaHTa) (7.6).
ширина резонансноrо уровнн с номером 8,
частицы а и образованПIО IюнеЧНОI'О' ядра
отв()чающан
в состоя
j
,
J
1
ширина, отвечающан реакции в случае реЗОШШСНОI'О уровня с ном(}-
ром для реакциЙ, вызываемых по каналу а (8.33).
ширина, отвечающая реarщни в случае резонаненоrо уровня с HOMe
ром 8 для реакций, вызываемых по наналу i3 (8.31).
сдвиr фазы и (r) вне ядра в случае резонансных роющий, СВНЗaIШЫХ
с одним каналом (s 7,А).
СДвиr резонансной энерrии распадающеrосн состоянин с номером s (9.21).
малый энерrетический интервал вблизи пороrа ндерпой реакции (s 7,Д).
малое приращение энерrии канала Е ( 2,Д).
малый энеРI'етический интервал в онрестности резонансной ЭlJерrии
f==Es. определяемый соrласно (8.15), (8.15а).
параметр, входнщий в «едвиr резонансной энерrИIl>} для момента KO
личестпа движенин l; !:ч зависит от энеРJ'ИИ нанала Е (2.46), (2.47).
энерпш входноrо капала (Е==Е",) (1.10).
мансимальнан юrнетическая энерrия НУЮIOпов внутри ядра (rраница
распредеJIения Ферми) (4.11).
мансималыraя энерrия нанала f В ДJIiI любоrо ВЫХОДlJоrо канала рею(
ции X(a, b)Y, соответствующая образованию Iюнечноrо ядра у
IJ основном СОСТОННIIИ o (1.10).
избы'тон энерrии над пороrом реarщии (а; Ь, с) (6.16).
энеРП1iI в исходном нанале, соответствующая резонансному уровню
с номером пили 8 (9 7,А; 10,Б).
«формаJlыraн» резонансная энерrия резонанса с номером 8 (8.17).
<<дейетвителыraш> резонансная энерrия резонанса с номером 8; эта
величина явлнетея функцией энерrии канала Е (8.19).
Е
Епороr.
EQt
(EQt) лаб.
EQtS
E 6
C o
E B
E .
с==с (Е)
, ("')
'I10
'110 (S)
'111
')lt,(S, J)
'I111' (S, J, Не;)
6
е == н (Е)
"f'l (r)
];==];Qt
];8
А
еl
П
П(а)
Не
н (Х)
Па
'"
Обоаначенuя
355
=о Еьу S IИН. (У); максимальнан энеРI'lIiI, с НО ТОрОЙ вторичные частицы
MorYT вылетать из нонечнorо ндра У (9 6,Б).
пороr вторичных реarщий (9 6,Б).
энерrия, отвечающая отвосительному движению н нанале а [paBHalI
«энерrии нанала») (1.4.)].
энерrин частицы а в лабора10РПОЙ системе ноординат, соответствую--
щан энеРI'ИИ канала Еа (1.5).
энеРI'ИН канала, соответствующан резонансу с номером s в нанале а;
эта величина оБО31шчается через €s, если подразумепаетсн, что нанал
задап (9 7,В).
«действительпаш> реЗОlIaпснан ЭIlерrия резонанса с номером s в на-
нале а; опа зависит от энерrии канала Еа и оБО31Ia.iается через Е;, если
подраэумеваетсн, что канал задан (8.33).
энерrия нанала [io (E o==Eьy) (1.10).
энерrия канала , соответствующеrо резонансному уровню cocTaBHorC1
ядра с номером s (97,r).
(<действитеJIьнаш> резонансная энерrин резонанса с номером s в на-
нале ; она зависит от энерrии канала E и обозначается через Е;, если
подразумеваетсн, что спин Iшнала задан (8.34).
деЙСТШIтеJlыюе число, опреДCJШlOщее фазу ноэффициента Ь полны
e iK1 ', возвращающейся из внутренней области cocTaBHoro ндра (7.2),
(8.23).
аМПJJитуда Фурье во:шовой фушщии су (t) распадаlOЩЕ'I'ОСЯ состоя-
ния (9 9,А).
==')1 для СJJучая [==0 (2.22).
коэффициент при e ikr в выражении Д.1JЯ ио (r) для спина капала S (10.2).
относитеJlыraя аМПJJитуда расходнщейся вопны с моментом l<оличе-
С1'ва движения [; "'il == 1 соответствует невозмущеllНОЙ BOJllIe (ири от-
сутствии реакции или рассеннин) (2.8).
ноэффициент при расходящейсн воЛIЮ с моментом ноличества дпиже
ния [/, оБУСJJОВJJенной СХОДJ1щейсн волной с моментом jЮШlчестна дви
жения [, причем обе волны отвечают навалу со спином S и ПОJШЫМ
моментом НОJJичества движения J (10.7).
коэффициент при расходнщейсн волне с моментом ноличества движе-
ния [/, оБУСJJОВJJеНlIОЙ сходящейся ВОJJНОЙ с моментом НОJIИчества движе-
нин [, причем обе вопны отвечают наналу со спином S, ПОJJНЫМ мо--
ментом 1\0JJичества движения J и четностью cocTaBHol'o ядра I/e (10.22).
yroJJ, нод I<OTOPblM в системе центра масс частицы ВЫJЮТaIОТ по отно..
шению н падающему пучну (9 2,А).
ТЕ'мпература I<опечноrо ндра (6.6).
вопновое число в дапной точне " входящее в приБJlИжение l3ент-
ЦЕ'JJя Крамерса Бриш[юэна длн проницаЕ'МОСТИ (5.!)/).
деJJенная на 2% длина ВОJПlЫ де Бройля, отвечаlOщан отпоситеJJЫJШIУ
движению в IшнаJJе а (9 2,А).
ДJJИlra вопны ]; в нанале (2.63).
средняя ДJIИна свободноrо нробеrа нукпона в ядерном веществе (9 З,А)
фазовый сдвиr в случае (шотепциаЛЫlOl'О» рассеяния с моментом I{ОЛИ
чества движения [ (2.51}, (2.52).
четность (93,Б; 10,Б).
четность падающей частицы а ( 10,Б).
четность cocTaBHoro ядра, совпадающая с четностыо системы до Иi
после реанции (9 1О,В).
":""'четность ядра мишени Х (9 10,Б).
четность нанала а (10.19).
23"'
356
ra. VIII. Яоерн,ые реах:ции. Общая теория
П""
П",п
р
р
а
а о (8)
а (а, Ь)
а* (а, Ь)
а(а;Ь,с)
а (а; с, Ь)
а (а; Ьс)
а (а, п)
а (А, В)
a( B, A)
ас (а)
О'с (п)
ас (11)
ас! (11)
ас (t )
ас (11)
а 'ПС (-;-)
а!
a r , l
a r (8, J)
а,,(8, .1, М)
a r (8, J, п с )
a r (11)
ав, о
а в , l
0'0(8, .1)
четность ядра мишени Х в квантовом СОСТОIIНИИ 11' (s 10,Б).
че'l:НОСТЬ частицы а в квантовом СОСТОIIНИИ 11" (s 10,Б).
плотность нуклонов внутри ядра (s 3,А).
разность радиуса канала R.. и радиуса ядра мишени Вх; р == о для
нуклонов, p 1 ,2 .10 13 см для 11 частиц или дейтронов (s 4).
сечение (2.1).
сечение столкновения с моментом количества движения l == О и спином
канала S (10.3).
сечение реакции Х (а, Ь) У (3.1).
часть сечения а (а, Ь), связанная с событиями, при которых конечное
ядро У образуется в настолько слабо возбужденном состоянии, что
дальнейшее испускание частиц (за ИСКJlючением 1 лучей) OKa3blBaeTcII
невозможным; эта величина преДС'l:авляет собой измеряемое сечение
реакции Х (а, Ь) У (s 6,Б).
сечение реакции Х+а==У*+Ь, Y*==Z+c (s 6,Б).
сечение реакции Х+а==(У')*+с, Y')*::Z+b (s 6,Б).
==J'(a; Ь, с)+с;(а; с, Ь); наблюдаемое сечение реакции Х(а, bc)Z (s 6,Б).
, сечение реакции, вызываемой частицами а И приводящей к испуска
нию нейтронон (3.9).
дифференциальное сечение реакции (11, ) (2.64).
диффереIIциальное сечение обращеmюй во времени реакции ( , (1) (2.65).
сечение обраЗ0вания COCTaBHoro ядра С частицами а (3.1).
сечение обраЗ0вания COCTaBHoro ядра С нейтронами (4.1), (4.4),
сечение обраЗ0вания COCTaBHoro ядра С по каналу 11 (3.2).
сечение обраЗ0вания cocTaBHoro ядра С по каналу 11 при столкнове
нии с моментом количества движения l (5.1).
сечение обраЗ0вания cocTaBHoro ядра С при столкновении между
частицей Ь и возбужденным ядром У*; состояния Ь и У* таковы, что
столкновению отвечает канал и энерrиям канала {' (6.9).
ссчение радиационноrо захвата в канале 11 (2.62), (7.21).
,сечение радиационноrо захвата в случае каналов, входящих в rруппу 11
и отвечающих обраЗ0ванию cocTaBHoro ядра в состоянии с полным
моментом количества движения J и четностью П С (10.31).
ку лоновский сдвиr фазы при рассеянии с моментом количества дви
жения l (2.35).
, сuчение реакции, отвечающее столкновениям с моментом количества
движения l (2.3), (2.13).
сечение реакции в канале со спином 8, отвечающее столкновениlIМ
с полным моментом количества движения.l в случае неПОЛЯРИЗ0ван
Horo падающеrо пучка (10.18).
сечение реакции в канале со спином 8, отвечающее столкновениям
с полным моментом количества движения J и проекцией М полноrо
момента ноличества движения на ось z (10.17).
сечение реакции в канале со 'спином 8, отвечающее столкновениям
с полным моментом 'количества движен:ия.l и четностью cocTaBHoro
ядра П с в случае неПОЛЯРИЗ0ванноrо паДающеrо пучка (10.23).
сечение для всех событий в канале 11, отличных от упруrоrо рассея
ния (<сечение реакции») (2.2).
сечение упруrоrо рассеяния, отвечающее s волне (2.25).
сечение упруrоrо рассеяния, отвечающее столкновениям с моментом
количества движения l (2.3), (2.11).
сечение упруrоrо рассеяния в канале со спином 8, отвечающее СТОЛR
новениям с полным моментом количества движения J в случае в:e
ПОЛЯРИЗ0ванноrо падающеrо пучка (10.14).
; \
а 8 (8, J, М)
а8 (8, J, П е )
а в (а)
а8(6)
at(a)
а (а, )
а (а; , 6, ер)
ао.т,l
а ( , 6, ер; а)
't=='t s
't (Ее)
<р
10
1.. (8, тз)
ф
ф
ф (О)
Фs
w
чr!
(1)
..
"'1 (п)
ОБО8начен,ия
357
сечение упруrоrо рассеяния в канале со спином 8, отвечающее столк-
новениям с полным моментом количества движения J и проекцией М
полноrо МОмента количества движения на ось z (10.13).
сечение упруrоrо рассеяния в канале со спином 8, отвечающее столк-'
новениям с полным моментом количества j' и четностью cocTaBHoro
ядра П е в случае неПОЛЯРИЗ0ванноrо пучка (10.22).
сечение упруrоrо рассеяния в канале а (2.2).
дифференциальное сечение упруrоrо рассеяния на уrол 6 (9 2,А),
полное сечение в канале а (2.2).
сечение реакции (а, ) (2.61).
дифференциальное сечение реакции (а, ); уrлы 6 и ер задают напра-
вление движения вылетающей частицы (2.64).
сечение реакции для реакций, вызываемых по каналу а С моментом
количества движения l (8.33).
дифференциальное сечение реакцИи ( , а);' уrлы 6 и 'f задают напра-
вление двюкения падающей частицы, в то время как вылетающие
частицы испускаются в отрицательном направлении оси z (2.65).
cpeДHee время жизни cocTaBHoro IIдра в состоянии с номером s (7.5).
cpeДHee время жизни cocTaBHoro ядра С с энерrией возбуждения Ее (з.з).
азимутальный уrол направления вылета частиц по отношению к на-
правлению пучка (s 2,А).
нормированная волновая функция конечноrо ядра (9.14).
спиновая функция, отвечающая спину нанала 8 с проекцией тз на
ось z (10.2).
волновая функция распадающеrося СОСТОЯНИII в случае прямоуrольной
потенциальной ямы (s 9,А).
== Ф (r) == Ф (r, 6); волновая функция, описывающаlI относительное движе-
ние в исходном канале (2.8), (9.14).
== Ф (t == О); волновая фуннция Ф распадающеrося состояния в момент
времени t==O (9.12).
волновая функция, описывающая упруrо рассеянную волну (2.9).
волновая функция, описывающая состояние действительноrо ядра
(9.13), (9.14).
волновая фуннция, описывающая состояние действительноrо ядра
с моментом количества движения l (9.15).
круrовая частота "(-кванта (00==21t'l) (1.2).
круrовая частота, входящая в амплитуду Фурье С (00) волновой функ-
ции Ф (t) и соответствующая энерrии Е== NОО (s 9,А).
функция, обеспечивающая сохранение четности; она равна еДИВ1ще
если П==( 1)L, и нулю, если П== ( 1)1 (10.21).
r л а Б а IX
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ
К ЭI\СПЕРИ1}IЕНТАМЧ
1. I3ВЕДЕНИЕ
Эта rлава посвящена применению теории ядерных реющий н отдельным
реанциям и сравнению энсперимента.льных результатов с предсназаниями
теории. В ней рассматриваются основные общие особенности реанций раз
личных типов без попытон учета детаЛLНЫХ эффентов, зависящих от специ
I!fJПчесних свойетв индивидуалыIхх ядер.
Претде Bcero ядерные реанции нлассифицируются соrласно природе
падающей частицы: будут рассмотрены реанции под действием нейтронов,
протонов, а частиц и дейтронов. Реаю ии, вызываемые I лучами, рассматри
l:Iаются отдельно в rл. ХII.
Область энорrий f падающих частиц разбивается, rрубо rоворя, на
пять интервалов.
1. Малые энерrии: О<Е<1000 эв.
11. Промешуточные энерrии: 1.пэв <Е< 500 пэв.
111. Большие энерrии: 0,5 Мэв<f<10 Мэв.
JV. Очень большие энерrии: 10 Мэв<f<50 Мэв.
V. Сверхбольшие энерrии: 50 Мэв<f<оо.
Нроме Toro, удобно разделить ядра мишени на три rpYIIIIbJ.
А. Лешие ядра: 1 < А -< 25.
Б. Ядра среднеrо веса: 25.< А -< 80.
В. Тятелые ядра: 80<;А-<,240.
Итан, ядерные реатщии будут нлассифицироваться по rpYIIIIaM, харю
теризуемым природой падюощей частицы, ее энерrией и натеrорией ядра
мишенн. Таная нлассифин:ацIIЯ определяет в общих чертах харантер peaH
ции, ИСIIуснаемые частицы, их энерrетичесное распределение и т. д. Конеч
)но, rруппыI значительно IIеренрываются и постепенно IIереходят одна в дpy
['ую. Мноrие свойства, харантерные для одной l'PYIIIIbl, можно встретить и
у соседних ядер из ДРУJ'ОЙ rРУПIIЫ.
Леrние ядра (rpYIIIIa А) дошины исследоваnся индивидуально. К ЭТОй
rРУIIпе IIОЧТИ невозможно применять нание либо общие правила, xapaH
териаующие ядерные реющии. Для преДСI,азания свойств и выходов БОЛk
шинстпа реющий требуется знание детаЛЬноrо строения ядер. В ЭТОЙ rРУIIпе
энерI'ИИ отделения и величины Q оТличаются для различных случаев rораздо
БОЛJ,ше, чем в любой друrой rруппе. К леrним ядрам неприменимы сделан
ные в предыдущей l'лаве предположеIIИЯ относительно BHYTpeHHero CTpoe
ния ядра. В лоrrшх ядрах содержится СЛИШном мало нуилонов, чтобы мотно
было rоворитъ о существовании точно определенной внутренней области.
Все нунлоны находятся на (шоверхности» ядра.
1) Более подробно с Эl{сперименталыrышт даННЫ !II по ядерным реакциям читатель
может 03НЮ{ОМIlТЬСП n IШИI'е <,Experimental nuclear physics», под редакцией Cerpe, т. П,
1953 (части VI и VII), а таюне в юшrе д. IO 3, Нейтронные исследования па ядерных
l\отлах, М., 1954. Прuм. перев.
,..' 'I/.'< 'j
: ' 1'i"':, lry;;;: ,'::sr> :,;
,9 1. Ввеоепие
359
I
Поэтому мы опишем лишь небольшое число харю{терных ядерных peaH
ций на леп{их ядрах, демонстрирующих неноторые особенности, отлич
ные от наблюдаемых на ядрах среднеrо веса и тяжелых ядрах. Чрезвычайно
подробное описание почти всех ядерных рею{ций на леrI{ИХ ядрах имеется
в обзорных статьях [378, 379] 1).
Реюаl,ИИ па ядрах срОДJIоrо воса или на тяжелых ядрах носят различ
нЫй харю,тер в ра:шых энеРI'ОТИЧОСЮIХ областях. ОСНОШlые особенности
этих областей таf{овы: области I и II оrраничиваются почти иснлючительнО
неЙтронными реанцинми, ибо заряжепныо частицы с малой энерrией не
MOI'YT ПрОВИIшуть В ядро. Обласп 1 (малыо энерrии) харюпеРИ;Jуется пре
оБJIаданием резонансноrо захвата нойтронов ТЯЖОJIЫМИ ядрами. В области 11
наиболее важноЙ реющпей является УПРУ1'ое резонаНСIlОО рассенние нейтро
HOlJ. l1,лн области 111 харю{терно то, что в :этом случае ноне'lПОО ядро мотет
обраэоваться в пеСI{ОЛЬЮIХ возбужденных состояниях. Блаrодаря этому
еталопятся ВОЭМОШНЫМИ неупруrое рассеание и реанции, при у{оторых
энорrия испуснаомых частиц принимает ра;зличныо зпачения. Области IV
отвечает наСТОJIЫ{О БОЛI>шая энерrия, что происходят вторичпыо реанции
[(р, 2п), (р, рп) и т. д.]. В области V средняя ДJIина свободпоrо проБОI'а нунло
на в ядерном веществе становится сравнимоЙ с размерами ядра и описание
при помощи модели cocTaBHoro ядра перестает быть справедливым. В этом
случао ПРОИСХОJ\ЯТ ядорныо реющии, в результато ноторых ИСПУСIшется БОJlЬ
шое ЧИСЛО нунлонов.
Отдельный участон малых энерrпii, а имонно «теплаваю> область,
имеет специальноо значенио. «ТеllЛОВЫМ» называется ПУЧОl{ нейтронов, об
ладающий энерrетичесним распределением, нотороо совпадает с мю{своллов
сютм распределением нойтронноrо rаза при I{омнатноЙ температуре. Тю{ие
ПУЧЮI MorYT быть леrно получены при помощи любоrо ИСТОЧНИI,а нейтронов,
в нотором нейтроны замедляются в неноторой среде и достиrают в ней paBHO
весия с тепловым двитением. "У'пруrое рассеяние тепловых нейтронов и ней
тронов с очень малой энерrией (t < 1 эв) часто обнаруживает чрезвычайно
слотную уrловую и энерrотичесн:ую ЗElВИСИМОСТИ, харю{теризуемые БОЛk
шим числом тесно располотенных мансимумов (фиr. 87). Эти явления
обусловлены интерференцией волн, рассеянных различными ядрами, BXO
дящими в состав н:ристалла, и аналоrичны диффранции рентrеНОВСI{ИХ лу
чей в н:ристаллах. Они не будут обсуждаться в этой ЮIиrе.
13 табл. 16 приведены различные типы реющий, причем они размощены
по соответствующим rруппам. Реанции с леrними ядрами не приведены,
ПОСI{ОЛЬНУ их не удается внлючить в l{аную либо общую схему. В натдоЙ
rруипе реанции располаrаются в порядне их значимости. Реанции, xapaH
теризуомые в общем случае более высоним выходом, предшествуют рею\
циям с более низним выходом. Опущены реан:ции, сечения н:оторых не пре
восходят 1 % сечения основной реанции. Слодует всеrда иметь ввиду, что
любая попытна систематизировать ядерные реанции должна натолннуться
на большее ЧИСJIО ИСJ\Лючений. В данном случае среди наиболоо резних ис
н:лючений имеются ню,оторые тяжелые ядра, подобные РЬ, Bi, и друrие,
обнарутивающие своЙства ядер средиеrо веса. '1'31\00 поведение связано,
повидимому, с оболочечным строением ядор (см. rл. ХIУ).
Более детально различные l'рУППЫ реат циЙ будут обсуждаться в IlО
.следующих параrрафах. Сравнение реЗУJIьтатов, получонных в l'Л. VIII,
{; ЭI{сперимептальным материалом ПОЗВОJIяет определит!, рад полуэмпириче
сн:их постоянных, введенных в теорию; У{ ним относятся расстояпие между
резонансными уровнями D и радиационная ширина r рад..
I
I
i
I
l)Сы. таюно А j z оп Ь о r g. L а u r i ts оп, nov. Mod. Phys., 24, 321 (1952); Е 11 d t,
Kluyver, Rov. l\Iod. Phys., 26, 95 (19J4). Прu.м. перев.
,
1:1:" .;<;
о "".
e
:« II:
1:s:I Q)
:g
:e s
I:f.,
;:« 11:0
Q)
"" . Ef
'
g: =o
O c5'
8
Og:JfoI
P-; f-o!S:lQ)
:g :i
:Ol=l .
:s "1:f1:1:
_Q) =!S:I
="i= =
&
=o..:s"
t::I!:ltQ)Q:>C!:S
"1:1:"""
,, '"
io 8
зt;tI:
:sg ii
QO IS:I
ctSl=:::a g о
:а 1>' ""11:
o. f-<
а;) Q) о о
!Е :« o
== f-o ;:p:( Q
!о< :s a
== IS:I
f-o ro
O
Ф ::;..
= ;a;
s.
ф с':) ""o
а ,,;"':O,,; .
ф a O(""
=- Ef
Q "" '" tI:
И '"'1:f=8 и
о:: , \Oo.,O(
=-o .""
I=COJIS:IQ)I:ltQ)
=: t; ":e
о:: :<: o ia
= з g.ОQ)
=: ":о "" :<:"
= l:fи "3
=-Ef I:«\О
:о:: tI: t; i:f,.:<:
о:: 0(., ..,.,
1>' Ei'''1I:
) g
8. a; EJ:[;J
=., . I>'
"I=( о
;ctS o =o8
=r="tl:I:fS
; g
Q)!:Il=CctSQO
'g
:о .:0" и 11:
: ::a
8 Ei'fa
tI: I>'
:o:S Itl:o
= Q) o.f-o
g(J:1
a;
z'tI: .. 11:"
= t;
a; 8
!S:Iro I:I"C";IC";I
.;z, ""1I:
C":!Q)oooQ)o
f-If-IQ 8=
I'Q а.8о o
;;: a
И,", ;п:<:
се
,..,
'"
::!
":
\Q
'"
е-.
...... ш
g.'i =
1=: !о<
>. t.>
'" =
ф о 10'
!о< = Ф
"'- =
"'- "'- о..ф
"'-<'1 '" Е-< 1=:
о
\о
...... =-
о.. = =
= 1=: !о<
t.>
>. =
t! ф 10'
., = ф
"" "'-"'- о..ф
о(
tI: "'- :--- <'1 "'- <'1 Ij Е-< 1=:
о
" \о
...... =-
" о.. о.. = =
:е = = 1=: !о<
tI: >. >. = t.>
Е-< '" '" '"
.::. = ф
"'-"'- =-Ф
"'- :--- <'1 "'- <'1 Ij Е-< 1=:
о
\о
...... ...... =-
ci........ = =
...... t.> ...... t.> ......0.. !о<
=- ci.. . = = . а t.>
=->. >.0..
= = = '" '" = 10'
Ь Ь о b .::.Ь = ф
о '" "'- 0..",
'" Ф
:--- '" :--- "'-:--- <'1 Ij Е-< 1=:
-s о
\о
...... =-
ci........ = =
= :21 !о<
>. 1=: t.>
"'. Ф О =
.. 10'
= = ф
"'- 0..",
"'- "'- "'-<'1 ",-", Е-< 1=:
о
\о
...... И ...... =-
=
о.. S и о.. = =
t.> = ..
,.Q t.> 1=: t.>
= >. = о::
" ф ф ... о:: ф 10'
.::. ::; o.. = ф
., . о '" о "'-"'-
" :--- "'- '" "'- Ij = '" "'- <'I Ij
" '" о.. '" '"
'" -s Е.. о.. о
о \о
'"'
"
11: ...... И ...... =-
о( ci.. = ci..
" S и =
"" = = = ..
" t.> ,.Q t.>
>. >. 1=: t.>
., '" "" '" = о:: '" =
"" -=- '" ... 10'
о( О ::; 0..0 -;;:"'-"'- = ф
t!: '" "'- Ij '" '" 0..<1>
:---'" '" = <1> <'1 <'I '" Е-< 1=:
о.. '" о.. о
Е.. \о
...... И ...... =-
......0.. = о.. ...... =
...... ...... s и = ..
t.> t.> . = = .
о.. о.. 0..>. :ij t.> >.0.. 1=: t.>
о::
= = = '" = !'iJ = 10'
Ь Ь b '" ... ""
о о ::; o.. "'- = ф
'" '" Ij '" о "'- Ij
:--- '" :--- '" = '" <'1 <'I
о.. '" '"
о.. о
Е.. \о
" '" == ==
:о '" =
Ef=r =
'" .... о..
I '" о..
о( ., == '"
., 1>' О '"
1=1 I:f '" = '"
== :21 '"
= о.. '" =
.. iI:
, " ... =' '" s
'"
., ., о.. о '"
= 1>' Ф .. '"
tI: И '" >'0 о о о
1Ео .... \о
'"' Е! gj I <Q
"'tr. ,.Q I
'" I <Q
11: ., t:: 1=: О <1> О
с':) о( 0...... о =' ....
::а 1::: u:i О
!
!
fi>
11
I
4
j jl
-[
I
J
'
:1
1
.
o.JU
I
Q8
.
о"
о It<j
О
О .
о....,
Xt;1f
.'f.
Х
:'.
76"-
.! 81
b. ./
(
'о
It':)
"'.............Х_
Х .."
Х y
Х XI .
"'1-
Z W:J 0/'
IrZ
':::'
!E
'::s 2.!:!
to
':::' to :::J
f}i
!;:
g
c:::s":z:
:.:: -...;.
,..............
. о Х
XOO
o
х
'@
'<..;. <:::1-"';:'
g>
;;;r to 1:';
0)'" ....... s2
!:)'
:i .... .
. ]
r-) у;
& &
:::t: "'i
<! о
>s"
.
.
........
.
.
Q
00
<с
""
'"
")
с\>
....
ос)
<с
""
"1-
<")
'" <n
со)
lt.J t::
....
c:.
со
<с
""
""
«>
'"
"
-=
'"
iSi
::r
1<1
'"
"'-
'"
€!>
""
'"
,..
1<1
iSi
::а
1<1
'"
I=t
"
о
о:
. Q
'8
Р.",
i'=J [1
о
:Q ;<;
:
»""
'-' с
>/!:I ::: .
2 '
C:
I:r' с"
lSi и
r:: tI:
@
lSi 1<1"'-
Р. со ;<;
:.:; =
ф ",-.
1Si5
:х= "
:Е
lSi :»
::;
о
r..: а
00 :Е
.... "
с:. ..: "
с:.' "i:
о() /!:I ,..
е "
"
<с "
iSi
v') :е
.
<:t ""
"
'" >о
о
"
=
'"
"
'"
'"
Q
'"
.... о
с:.
C) о:
"
cr 1:1'
362 r л. 1 Х. яаерпые реакции. Прилож:епие теории к экспери.мепта.м
2. РЕАIЩИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕЙТРОНОВ
Харатперной особенностью реющий под действием нейтронов является
существование cTporo определенноrо полноrо сечения (1{, иоторое предста
вляет собой сумму Сочения упруrоrо рассеяния и сечения реаиции. Полное
Сечоние получаетси в розультате непосредственноrо измерения ослабления
хорошо J\оллимированнOI'О пучиа нейтронов после прохотдения образца
материала иавестной толщины, в то время I\аи все друrие сечения Tpe
бую т опредсщопия выхода реаиции, а таито интенсивности падающеrо
пучиа.
В реаТЩIfЯХ под действием зарятенных частиц полное сечение опре
деляотсн плохо, тат\ нан: оно ВJшючает сечоние реЗОРфОРДОВСI\Оrо рассеяния,
иоторое при очеНJ, малых УI'лах рассеяния становится ИСIШlOчительно БОЛk
шим. РаеееЯIlИО па очень малые уJ'ЛЫ опродоляется иулоновсиим полем вдали
от Jlоверхности ядра и lIОЭТОМУ чрезвычайно чувствительно и эиранированию
ядорнOl'О эарЩl,а атомными элеитронами. Следовательно, в случае заряжен
ных чаииц нолное сечение является в основном атомной хараитеристииой.
А. Малые 11 промежуточные ЭflсрrIIII; ядра ('реднсrо веса
с пеiiтронами малых и прометуточных энерrий может нроисходить
ЛИПlь llебольшое число реаиций. Д:тя ндер среднеrо веса наиболее существен
ными реаюl,ИЯМИ являются упруrое рассеяние и радиационный захват. Все
друrио реатщии либо напрещены энерrетичесии, либо имеют пренебретимо
малую вероятность. Неупруrое рассеяние нейтронов невозможно, таи иаи
первый возбужденный уровень ядра мишени, в общем случае, располотен
на несиольио сотен ИИJIOВОЛЬТ выше OCHoBHoro состояния. Реаиции (п, р) или
{п, а) слабы вследствие наличия иулоновсиоrо барьера, иоторый препятствует
испуСI\аНИЮ зарятенных частиц с малой энерrией. Теоретичесиими выраже
пиями, описывающими УПРУ1'ое рассеяние и радиационный захват при пре
небрежении спином нейтрона, являются приведенные в rл. VIII, S 7, формулы
Брейта ВИПIера (VJII, 7.20) и (VIIJ, 7. 21). Влияние спина для случая
[==0 учитывается в (VIIJ, 10.5) и (VIII, 10.4). Можно отидать, что большая
часть наБJlюдаемых резонансов отвечаот нейтронам с моментами I\оличества
двитення l==O или l==1; резонансы с более высоиими значениями lимеют очень
малые нейтронные ширины r . Они слишиом узии, чтобы их мотно было
обнаружить па опыте.
Наиболее важными
ширины. Теоретичесиuе
получено при помощи
следующиЙ вид:
величинами в формулах Бреiiта Ви:rнера являются
выратение ДJIЯ нейтронной ширины может быть
(VIIJ,8.14), (VIJI,8.21) и (VJII, 5.8); оно имеет
["
n 1 !. 1 O 4 ( ) 1/2
J)* ,1' Е В эв и/,
(2.1)
)'де l' неiiтропнан ширина, ВЫЧИСJJенная из энерПIИ Е, БJlи:шоii и резо
наlIСIlОЙ ::шерl'ИИ Е,. Ве.личина D* определяется выражонием (2,1); соrласно
тоории, JJ* должно l1меть поря!(сщ ве.ТШЧИНЫ деiiствите.пьноrо расстояния D
меlIЩУ УРОВJJНМИ с OДHIТM И теи же моментом иоличества двиrн:еНl1Н J и
одной 11 Toii же чотностью Не, Проницаемость барьера для раЗJlИЧНЫХ ЭIIа
ЧOlшii l ПРl1lJодилась в (УП 1, 5.8). Для 1 === О, 1, 2 значония V l соответственно
равны
е
V O == 1, V l == '
ео+ е
е 2
и 2 === 9е 2 е + 3н + е2 ,
" о
(22)
2. Реакции под действием нейтронов
363
{'де Ео определяется соотношением
( Е ) 1/2 п2 21Мэв 10Мэв
kR == Е; , Е == 2МЮ (В в 10 13 см)2 А2/3 .
Энерrия Ео иrраот ватную роль в оценне внладов различных ;шаче
пий момента ноличества двитения 1. При этом xapaHTepHoii uе.JIИЧIIНОЙ
является kR == (Е / €o)1 /2. Нейтронные ширины, отвсчающие моментам н:оли
чества двитения 1> (Е/Ео)I/2, оназываются rораздо меньше ширин, OTBe
чающих 1 == О. Нейтронные шприны, отвечающие моментам !ЮЛИlJостuа дви
тения 1 < (Ч Е о)1/2, сравнимы с ширинами, отвечающими S ВОЛllе. Это
положение можно таюне сформулировать следующим обра:юм: Hei!'rpoHHbIe
ширины, отвечающие моменту ноличоства движения 1, ДОJJШНLI быть ыа.НЫ
по сравнению с шириноЙ, ОТБечающеЙ 1 == О, если энерrия неЙтрона Е суще
ственно меньше «высоты центробежноrо барьера» дли данноrо :нтаЧСIlИЯ 1,
причем
(2.3)
Высота центробежноrо барьера == 1 (l 1) Ео,
(2.4)
Хотя с увеличением 1 происходит последовательное умснъшеиио итриu
резонансов, это НИJюим образом не относится н: мансимальным сечениям
в резонансе. Если резонанс связан истшючительно с рассеяниом (шш в слу
чае нейтронов промету-rочных энерrий и ядер средпеrо веса), то МaJ{СИ
мальное сечение определяется соrласно (VIII, 10.33) и зависит лишь
от резонансноЙ энерrии (т. е. от 7\), момента ноличества движения J резо
паНСНО1'0 уровня и от спина 1 ядра мишени. Следовательно, в случае иде
ально моноэнерrетичесноrо пучна нейтронов и абсолютно поношцихся ндер
мишени независимо от высоты барьера будут наблюдаться ТОЛLНО резонансы,
отвечающие упруrому рассеянию. Однано резонансы, отвечающие неЙтро
нам с большими значениями 1, он:азываются очень узними, хотя манси
мальное сечение попрежнему определяется формулой (VIII, 10.33).
Поэтому, чтобы понять условия, при ноторых наблюдаются резонан
сные уровни, необходимо учесть влинние нонечной разрошающей способ
ности, с :которой имеют дело на опыте. Это связано с двумя основными
эффентами: во первых, падающие неЙтроны не бывают идеально моноэнер
rетичесними И, BO BTOpЫX, ядра мишени не находятся в абсолютном ПOIюе.
Второй эффент называется ДОППJюровсним уширением резонанса. ОН зави
сит от температуры мишени и может считаться пренебретимым для обсут
даемых в этом разделе результатов. Для Toro чтобы оценить первыЙ эффент,
мы будем считать, что распределение падающих нейтронов по энерrиям
)Писывается фуннцией, :которая является постоянноЙ в энерrетичосном
интервале E оноло средней энерrии f и нулем вне этоrо интервала. В слу
чае узних резонансов можно пренебречь изменением нейтронной ширины I'
В он:рестности резонанса, а танже пренебречь потенциальным рассеяниом.
Тоrда энсперимептально наблюдаемая высота резонансноrо пина оназы
вается в двух предельных случаях равной
(Омане.)энеперим. Омане. при E <t: 1',
(Омане.)энеllерим. 1t ( ) Омане. при € 1'. (2.5)
Наблюдаются тольн:о те резонансы, для ноторых величина (Омане,)знеперим.
превосходит энсперим ентальный разброс в измеряемых сечениях 1).
1) ОЦ(lШШ (2.5) прсдполаrает, что lIспользуемая в опытах по пропvсканию мишень
является тою{ой для всех нейтронов, включая реЗ0нансные. Бырюкrния" И3МСlJЛТСЯ, если
мишень оказывается толстой для pC30lIaHCHblX нсйтронов И тонной для нейтронов, дa
леких от реЗ0нанса.
364 r,л,. /Х. Ядерные реаlщии. При,л,ож:ение теории N 8NcnepиMeHmaM
Кроме Toro, в формулу Брейта Виrнера входит ширина, отвечающав
реакции r; и совпадающая в данном случае с шириной, отвечающей радиа-
ционному захвату (поскольку эта реакция является единственно возможной):
I == l' ад. (для нейтронов малых и промежуточных энерrий). (2.6)
Радиационная ширина была введена в теорию в качестве эмпириче
ской постоянной. Попытка теоретическоrо определения этой величины будет
сделана в rл. ХН. Радиационная ширина уровней, наблюдаемых в ядрах
13
12
11
10
.. Э
8
7
s2 6
5
4
3
2
1
О
5
Полное сечение
iI
I '
I '\ n. А А
t \ \ \ У\ I V '\,
1 \ \ '\ r-4\ 7Т 1 '"\/ '"
I k. "'" Vv
I 'tI
.
б
4 \J Сечение захвата
..
. \ rt
\ 2 Д f\ 1 Ib
"" \. ( j "\ .J \.., lJ\
о v
.>
>
20
""
t;. 15
I
с::>
.......10
b tt
00
50 100 150 200 250 300 850 400 450 500
3нереuя нейтРОН08, "КЭ8
Фи r. 88. Нейтронные сечения для алюминия [365].
среднеrо веса для нейтронов малых и промежуточных энерrий, практически
оказывается значительно меньше нейтронной ширины:
r ад. r (у резонансов, наблюдаемых на ядрах среднеrо веса для нейтро
нов с малой и промежуточной энерrией). (2.7)
Таким образом, эти резонансы практически оказываются исключительно>
резонансами рассеяния и для описания их можно воспользоваться теорией
rл. VIII, 8, А.
В качестве примера на фиr, 88 приведены полное сечение и сечение-
радиационноrо захвата алюминия для нейтронов промежуточных энерrий
[365], Прежде Bcero обнаруживается, что сечение захвата на три порядка
меньше полноrо сечения. Таким образом, полное сечение практически
оказывается равным сечению упруrоrо рассеяния.,'
Наблюдаемые при рассеянии нейтронов резонансы соответствуют D'.
rрубо rоворя, порядка 50 кэв. Эта величина D' не совпадает с «расстоянием
1
2. Реа,;цuu nоо оействuе.м нейтронов
365
между уровнямю> D, которое должно быть Toro же порядка, что и вели
чина D*, входящая в (2.1). Соrласно определению, D является расстоянием
между уровнями с одинаковыми J и четностью. Наблюдаемое расстояние
между уровня-ми D' можно следующим образом использовать для оценки
расстояния между уровнями D с одинаковыми J и четностью: из (2.1)
и (2.5) следует, что при имевшемся в опытах энерrетическом размытии
ДЕ"-' 5 nэв MorYT наблюдаться толыю резонансы, отвечающие s и р волнам.
у алюминия- существует только один стабильный изотоп, A127; следовательно,
все наблюдаемые резонансы соответствуют уровням одноrо и Toro же
,cocTaBHoro ядра A128, Спин ядра A127 1 5/2' а четность, обозначаемая
через п,,,, неизвестна (она совпадает с четностью н:анала, так нак свобод
ный нейтрон имеет четность, равную + 1). ЕСJ1И резонансу отвечают s ней
троны (l О), ТО уровни cocTaBHoro ядра MorYT иметь J 2 или 3 и четность
П С По:, Если неЙТРОН},I описываются р волной (l 1), то составное
ядро может иметь J 1, 2, 3 ИJIИ 4 и четность П С ПО:, Следовательно,
'существует шесть типов наблюдаемых резонансов, отличающихся значени
ями J или четностью, и поэтому можно сделать :заключение, что
D,,-, 6D' "-' 300 кэв.
Подставляя это значение D в (2.1), получим l' 13 nэв ДJIЯ резонан
сов, расположенных в области 100 nэв и отвечающц.х s волне; для резонан
.сов, расположенных в области 500 nэв и отвечающих s волне, l' 30 nэв.
Соответствующие значения для резонансов, отвечающих р волне, равны 1,2
и 10 кэв. Из фиr. 88 видно, что в области малых энерrий ширины имеют
порядок величины .5 10 nэв и достиrают несколько большеrо значения
(10 20 nэв) при более высоких энерrиях. Это находится в хорошем co
rласии с предсказаниями теории.
Сечение захвата ас (п) обнаруживает резонансы при тех же самых
энерrиях, что и полное сечение ( сечению рассеяния). Такое поведенио
.совпадает с ожидаемым по модели cocTaBHol'o ядра и служит подтвержде
нием этой модели. Отношение сечения резонансноrо захвата I\ сечению
резонансноrо рассеяния меняется от уровня н уровню. Поскольку теория
предсказывает только усредненные свойства резонансных уровней, а не
свойства индивидуальныХ уровней, то должны иметь место отклонения
-от предсказаний теории, Соrласно (VIII, 10.4), (VIII, 10.5) и (VIII,8.31),
,отношение сечения захвата к сечению упруrоrо рассеяния в резонансе
{Е Es) [если пренебречь потенциальным рассеянием и использовать Bыpa
:тение (2.6)] приблизительно равно
а т . О [ aд.
а при E Eo,
8,0 r n
(2.8)
Экспериментальное отношение сечения захва'l'а к полному сечению
еоставляет ОIЮЛО 10 З- Поскольку, соrласно опытным данным, нейтронные
ширины имеют порядон величины 5 20 nэв, мы получаем для l' ад. значе
ния порядка 3 30 эв. Оценки подобноrо рода приводят I{ следующему
.правилу:
l' ад. "-' 1 30 эв (для я-дер среднеrо веса).
(2,9)
.Более четкое разделение резонансных уровней cocTaBHoro ядра было
lЮJlучено для серы, полное нейтронное сечение для которой ( сечению
YlJpyroro рассеяния) изображено на фиr. 89 (данные взяты из работ [2,592]).
Наблюдаемое в этом случае расстояние между уровнями составляет около
100 nэв. Измерения на 23 V5I [72] указывают на величину расстояния, paB
ную 25 кэв.
с::,
с::,
с\]
,
2
со
с::,
с;)
:х:
с;)
c::,
c::,.
":tQ.)
:х:
""
с::,:Х:
с::,С')
с":)
:;i .
o.
ф'"
,-,,'"
'"
t!:: -
1=:'"
I::[
...
ф о
:s: 'о
'"
Ф Q.
'"
=
::о
ф ...
о D:
'"
'"
о '"
0.::0
, '"
ф
'"'
ф '"
о ::о
'"
3
.
ф
00 '"
Q.
. '"
.... 1::
:s: "
e J5
2. Реа,;цuu под действuем..пейтропов
;137
Большие изменения расстояния между уровнями при переходе от ндра
к ядру связаны,. повидимому, С изменениями в энерrии отделеНЮI неи
трона S от cocTaBHoro ядра. Наблюдаемые на опыте резонансы COOTBeT
ствуют состояниям cocTaBHoro ядра, имеющим энерrию возбуждения, paB
ную Е == €+S. При одной и той же энерrии нейтрона € у двух различных
ядер Е может оназаться совершенно разной. Большие колебания от ядра
1\ ядру в расстояниях между уровнями при одной и той же энерrии € можно
ожидать вследствие Toro, что расстояние между уровнями в ядре НВШlOтся
быстро убывающей функцией энерrии возбуждения Е. Однан:о имеется
и общая тенденцин к уменьшению расстояниЙ метду уровнями для fjоль
ших массовых чисел.
Для ядер среднеrо веса характерно то, что у всех наблюдаемых ypOB
ней нейтронная ширина I' оказьшается больше радиационной ширины.
Так как неЙтронная ширина 1' падает с уменьшением энерI'ИИ, то наи
более неблаrоприятная оценка получится при выборе низной резонанено:И
энерrии, скажем, равной 10 эв. Выберем также расстояние между НИ;ЗIllИМИ
уровнями D 10 кэв. В таком случае для резонанеоп, отвечающих S IЮ.ПlIе
(единственно наблюдаемых при столь малой энерrии), СОJ'ласно (2.1), ПОJlУ
чается r 5 эв, что все еще сравнимо с ЕeJlИЧИНОЙ радиационпой ширины
(2.9). ОДНaIЮ чрезвычайно маловероятно, чтобы при расстоянии между
уровнями, равном 10 кэв, уровень оказался располотепным в пределах
'10 эв в онрестности энерrии отделения неЙтрона. Следовательно, все резо
нансы, наблюдаемые на ядрах среднеrо веса, являются преимущественно
резонансами рассеяния. Взаимодеiiствие нейтронов с ядрами среднеl'О веса
при энерrиях ниже 200 кэв является примером почти ПОЛIIоrо YIIpyro1'0
рассеяния, описанноrо в I'Л. VПI, 8, А.
Теория предсказывает также характерное ПОlJедение сеченин УПРУJ'ОI'О
рассеянин вблизи резонанса, обязанное интерференции между потенциаль
ным и резонансным рассеяниями (см. rл. VIII, 8). Вблизи резонанса
с l == О сечение рассеяния ДОJ1ШНО иметь минимум со CTOpOIlbl меньших
анерrий и обнаруживать БОJlее медленныЙ спад в еторону больших ЭIIсрrий.
Приведенное на фиr. 89 полное сечение Д.ля серы оБУСJIOПJIUПО в OCHOB
ном УIIРУ1'ИМ рассеянием и поэтому должно обнаруживать эти особенности.
Нак видпо из фиr. 89, они совершенно ОТ'lOтливо вырисовьшаются у пер
B01'0, пятоrо и седьмоrо резонансов. Остальные резонансы отвечают, IIОВИ
димому, более высоким значениям l, для ноторых потенциальное рассеяние
оказывается СЛИШIЮМ слабым, чтобы создать заметную интерференцию.
В области между резонансами сечение рассеянин обус.повлипаетсн только
потенциальным рассеянием и, следовательно, должно совпадать с сечением
рассеяния от непроницаемой сферы ядерных размеров, которое при малых
энерrиях € €o достиrает !f7tR2. Однано не следует забьшать, что интер
ференция метду потенциальным и резонансным расееяниями оказывается
СИJlЬНОЙ даже при энерrиях, ОТ.пичающихся от резонапснl'Й на JЮJIИЧИНУ,
l'ораздо большую ширины 1'8 резонанеа. С.ледоватеJJЬНО, ()тшюпенин от
чисто потенциаЛЬН01'0 рассеяния обнаруживаются отноеитеJ1ЬНО даJlеко
от резонанса, на расстоянии порядка €, определяемом COl'JIaCHO (VIl[, 8.15а).
Максимальное значение сечения характеризует момент КОJlИчеСТIШ дви-
жения l резонансноrо уровня, В I'.Л. VIIJ, 8, было показан(), что в том
случае, коrда упруrое рассеяние является преимущественной реатщиеЙ,
сечение рассеяния достиrает в резонансе мансимально возможноrо зпачения.
Если пренебречь спином, то мансимальное значение сечепия оназывается
равным 41t];2 (2! + 1). Воспользуемсн более точным выражением (VJJI, 10.33),
определяющим мю,сималыюе сечение для энерrии € €o [€o опреl еJIOНО
в выражении (2,3)] для случая, КОl'да существенным1оназывается шшад
:368 r л. 1 Х. Ядерные pea цЦ,и. Прилож;ение теории э спери.мента.м
ТОЛЬКО наинизшеrо значения l == L. Так кан: спин 1 ядра мишени обычно
известен, то из максимальноrо значения сечения в резонансе с помощью
(VIII, 10.33) можно найти J. Если J и 1 известны, то по табл. 15 (см. rл. VIII)
находятся два возможных наинизIПИХ значения момента количества' движения L
резонансных нейтронов (зависящие от четности cocTaBHoro ядра).
Данные, приведенные на фиr. 89, относятся к сере, которая содержит
.rлавным образом (на 95,1%) четный изотоп 832 СО спином 1 == О И, пови
димому, четной волновой функцией. Для этоrо случая s нейтроны 'приво
дят к резонансам cocTaBHoro ядра 833 с 1 == 1/2 И четностью П С == + 1,
,Соrласно (VIII, 10.33), максимальное сечение для таких резонансов равно
4'1tJ;2; оно нанесено на фиr. 89 ПУН:RТИРОМ и помечено (<1 == 1/ , s волна».
По всей вероятности, s волне отвечают первый, пятый и седьмой резонансы;
р нейтроны при водят к резонансам, имеющим либо J == 1/2' либо J == 3/2
И четность П С == 1. Ожидаемые максимальные сечения также нанесены
на фиr. 89 (ЭТИ кривые включают rрубые поправки на наличие фона
,от потенциаЛЬНО1'0 рассеяния, который У TaKoro ядра отсутствует для
резонансов, отвечающих s волне). По всей вероятности, р волне отвечают
второй, третий, четвертый, шестой, восьмой и девятый резонансы. Большин
.ство из них разрешены лишь частично и поэтому не достиrают максималь
Horo значения.
Все три соответствующиХ s волне резонанса, приведенные на фиr, 89,
харюперизуются одним и тем же значением J (== 1/2) и одинаковой чет
ностью. Поэтому среднее расстояние между ними D == 300 "эв и является
той величиной, которую надлежит подставить в оценку (2.1). Получаемые
таким образом ширины совпадают с теоретической оценкой (2.1) в преде
лах множителя 5. Следует отметить, что соrласие между rрубой оценкой
(2.1) и отдельным экспериментом в пределах множителя 10 в любом слу
чае может считаться удовлетворительным; однако если имеется твердое
расхождение Toro же порядка величины с целым рядом экспериментов,
то формула (2.1) уже не может считаться приrодной.
Обратимся теперь к сечению захвата И' рассмотрим подробнее процесс
захвата вблизи резонанса, отвечающеrо l == О. В качестве сечения реакции
:мотно ИСПОЛl?зовать выратение (VIII, 10.4) и, подставив в Hero выратение
(VIII, 8.39) для нейтронной ширины, записать ero в следующем виде:
в [в
0c(n)==2'1tJ;Rg(S) I'n ё Д! У '
(E EB)2 + Trs
(2.10)
rде 1 приведенная нейтронная ширина. В противоположность сечению
упруrоrо рассеяния, достиrающему конечноrо значения при Е о, ос (п)
при очень малых энерrиях пропорционаJIЬНО J; или E 1/2. Хотя формула
(2.10) справедлива лишь вблизи резонанса, мы применим ее к тепловым
энерrиям Е тепл .. При этом мы предположим, что Ее соответствует ближай
шему к Е тепл . резонансу, для KOToporo формула (2.10) оказывается каче
ственно верной. Можно ожидать, что I Е тепл . Е" I ПО порядку величины
равно рассеянию между уровнями D и заведомо никоrда не превосходит
D/2. Следовательно, можно положить I Е тспл . Ев I =:. D/2 , rде > 1. Для
получения rрубой оценки будем считать g (S) 1/2 И используем для 1
оценку (VIIJ, 8.40). Кроме Toro, предположим, что I Е тепл . Ев 1 значительно
больше, чем I'В. Это приводит К следующему выражению для сечения
.захвата тепловых нейтронов:
[ос (п)]тепп. 4 2 'J:те;л. ( r д. ) С21100( r Д' ).1(Т24 с,м2.
(2.11)
2. Реа,;ции под действием нейтронов
369
Экспериментальные значения сечения захвата для ядер среднеrо веса
в области тепловых энерrий имеют порядок величины 10 25 с.м 2 или больше.
'Эта оценка показывает, что r рад.! D имеет порядок величины 10 4 в соrла
ии с приведенными на фиr. 88 измерениями, а также с аналоrичными
результатами. Для больших А имеется тенденция к увеличению С1 с ' что,
повидимому, связано с уменьшением расстояния между уровнями D с ростом А.
Б. Малые энерrии; тяжелые ядра
Для нейтронов малой энерrии на тяжелых ядрах возможны только
упруrое рассеяние, радиационный захват и, в очень реДI\ИХ случаях, деле
ние под действием нейтронов. Влияние кулоновскоrо барьера, препятству
IOщеrо вылету заряженных частиц с малой энерrией, оказывается еще
более сильным, чем в случае ядер среднеrо веса, Так как 7\ R, то в Этой
rруппе любую реакцию MorYT вызвать лишь нейтроны с 1 == О.
ДЛЯ реакции под действием медленных нейтронов на тятелых ядрах
характерно то, что сечения часто обнарутивают резонансы, расположенные
очень БЛИЗI\О друr от друrа. "у мноrих тяжелых элементов расстояние между
резонансами оказывается порядка 10 и 100 Э6. Однако у ряда ядер резо
нансы вообще не обнаружены и, повидимому, имеется большое число тя
желых ядер, у которых расстояние между резонансами rораздо больше,
чем 100 эв. В действительности eCTI> указания [722, 351], что это имеет
место у большинства ядер с четным А. Ядра с «маrичеСl\ИМИ» числами
протонов и нейтронов (см. rл. XIV), в особенности свинец и висмут [33],
определенно имеют очень большое расстояние между резонансами COCTaB
Horo ядра (несколько I>эв).
Малые расстояния между уровнями должны быть связаны с оченlO
малыми нейтронными ширинами. Действительно, из формулы (2.1) следует,
что нейтронные ширины должны быть в среднем значительно меньше 1 эв;
например, в случае резонанса, расположенноrо при энерrии 10 эв и для
D"" 30 эв, I' оказывается порядка 1<т 2 эв, что соrласуется с эксперимен
тальными данными, Это приводит К заключению, что полная ширина
в основном обусловлена шириной, отвечающей реакции, которая в данном
случае является радиационной шириной (за исключением неБQльшоrо числа
ядер, способных к деJIению)., Следовательно, можно сделать вывод, что
при малых энерrиях нейтронов резонансы у тяжелых ядер характеризуются
r рад. "" 0,1 эв. В противоположность ядрам с реднеrо веса у тяжелых ядер
нейтронная ширина при .малых энервиях нейтронов Оl>азывается .малой
'по сравнению с радиационной шириной. Резонансный захват преобладает
над резонансным рассеянием.
Сечение радиационноrо захвата [реакция (п, 1)] определяется формулой
. (2.10), которую мы перепишем в следующем виде (используя тот факт,
что r ад. 118):
( 1 ) [ 4(E+Es)2 J 1
С1 с (п) == 8",7\ R g(S) \[8 1 + (\'8)2 ,
(2,12)
rде 1 приведенная нейтронная ширина. Эта формула была количественно
. проверена с очень высокой степенью точности, На фиr, 90 приведен резуль
тат измерений, выполненных на кадмии при различных энерrиях, которые
'сравниваются с теоретической формулой Брейта Виrнера (2.12). Соrласие
является исключительно точным. Теория, положенная в основу формулы
Брейта Виrнера, должна давать вполне надежные результаты относи
тельно формы резонансов в том случае, коrда ширины резонансов малы
по сравнению с расстояниями между ними.
24 Занаа М 396
):,
370 r,л,. /Х. Ядерные реаlщии. Прu,л,ожение теории N Э1>сnери.мента.м
Так как l' ад. r [см. (2.8)], то вблизи резонанса сечение рассеянШI
оказывается rораздо меньше сечения захвата. Однако по мере удаления'
от резонанса a s переходит в сечение потенциальноrо рассеяния ФrсR2, в т()
время как ас (п) становится значительно меньше ФrсR2, исключая- энерrии,
очень близкие к нулю. Соrласно (2.12), сечение захвата содержит MHO
житель т.., обращающийся в бесконечность при нулевой анерrии. Следова
тельно, всеrда существует энерrия, ниже которой ас становится больше.а з .
104
8
6
5
4
а
2
103
8
N 6
8
' 2
102
8
6
5
4
8
2
10
8
6
0,001
1\
"
2345680,012345680,12845681 2 45в81O
Е п , эв
Фи r. 90. Сечение t1t для нейтронов на Rадмии (для естественной
смеси И30ТQПQВ).
Сплошная нривая получена иа формулы Брейта Виrнера для иаОЛИРО1)анноrо
уровня при Е з ==о,1 76 Э8, Омане. ==7,2. 1 0 21 с.м2, r S ==O,115 Э8 [31 О].
поскольку последнее стремится к постоянному значению. Эта энерrия ока-
зывается в общем чрезвычайно малой (меныре тепловой энерrии), за ис-
ключением случаев, коrда вблизи нулевой энерrии имеется резонанс. При-
веденный на фиr. 90 резонанс кадмия является примером TaKoro СЛУ1JaЯ.
ПОJIНое сечение вблизи резонанса приблизительно равно сечению за-
хвата ас (п). Вдали от резонанса полное сечение становится приблизительно
равным сечению потенциальноrо рассеяния s волны (41tR2), исключая очень
малые энерrии, rде сечение пропорционально E 1/2.
В результате сравнения экспериментальных данных с теоретической
формулой (2.12) можно получить значения постоянных Ев, 1 , r ад. ТВ,
характеризующих резонанс. В большинстве экспериментов измеряется пол
ное сечение (ПРОПУСКa,Rие). В противоположность резонансам у ядер cpeд
Hero веса в случае резонансов для медленных нейтронов у тяжелых ядер
необходимо вводить поправку на допплеровское уширение, обусловленное
тепловым движением ядер мишени, В результате тепловоrо движения относи-
тельная энеРI'ИЯ нейтрона и ядра не совпадает с соответствующей энерrией
для случая абсолютно покоящихся ядер, а оказывается размазанной
Таблица 17
Нейтронные ширины rезонансныx уровней и расстояния между уровнями *)
в первом столбце уиа?аны ядра мишени. Массовое число не приведено в тех случаях. иоrда
не было проведено отошдествление рассматриваемоrо иаотопа. В этом случае ширины мошно опре
делить лишь при условии. что рассматриваемые ИЗ0ТОПЫ имеют примерно одинаиовую распро
страненность. Во втором столбце приведены реЗ0нансные энерrии Еэ для нейтронов. Третий стол
бец содерщит нейтронные ширины r . Посиольиу в большинстве случаев g (8) остается неизвест
ным. то в действительности в этом столбце находятся значения 2g (8) r . приводящие и наиболее
(jлизиому результату. таи иан (g(8» == Ч2. В четвертом столбце содершатся радиационные ШИРИНЫ
r aд,' подученные самыми различными способами. Во всех этих случаях они почти равны пол
ной ширине rS r ад.. и приводимые значения представляют собой измеренные полные ШИРИНЫ.
В пятом столбце ссдершится произведение приведенной нейтронной ширины '( . определяемой со-
rласно (VHl. 7.15). и радиуса ядра. Шестой столбец содерЖИт величину D*. вычисленную И3
r по формуле (2.1). Пrедполатается. что блатодар" малости энертии Еэ все приведенные в TaO
лице реЗ0нансы отвечают нейтронам с 1 == О. в сеДIМОМ столбце уиаааны расстояния D мешду уров-
нями с одинаиовыми 'J и четностью. Иа имеющихся в настоящее время наблюдений очень трудно
получить оцснку 3Toro расстояния. Если у одноrо ИЗ0топа известно Несколько уровней, то pac
стояние D полатается raBHblM удвоенному cr еднему расстоянию мешду зтими уровнями в предпо
ложении. что J == 1 + (1/2) отвечает полnвина реЗ0нансов, а друтая половина отвечает J == 1 (1/2)
(I спин ядра мишенп). Если реЗ0нансы не 'удается отнести н определенным ИЗ0топам. то D очень
rрубо оценивается по числу наблюдаемых реЗ0нансов, Подобная или друтие большие неопределен
ности отмечены значком . Соrласно теории. D* долшно быть тото ше порядка величины. что и D.
Pe30HaHC Нейтрон Радиа Приведенная
ная ная цианная нейтронная Литера
Ядро мишени энертия ширина ширина ширина D* D тура
Еэ r S r ад. R'(
n
кав кэе I кэв . 1013 см I кэв кэв
Na 23 3 0,17 5,2 16 "",,50 [682]
Mg24 2540 150 214 670 1000 [504]
A127 155 10 63 200 300 [365)
832 115 25 167 530 300 [592)
Ni 15 3 60 190 200 [32)
Ni 70 5 43 130 200 (32)
эв эв lэв . 1013 сМ I эв эв
Мп 55 345 13 1600 5000 > 1000 [617)
Со 59 120 2,6 540 1700 1000 [827, 680]
Zn 520 5 500 1600 >500 [1а5}
эв 10 3 эв I эв эв . 1013 см I эв эв
Rh 103 1,3 0,33 0,14 0,65 2,0 >20 [91, 720)
Pd 108 24 49 0,14 23 73 50 [165]
A g I07 45 13 4,5 14 40 [354)
A g I09 5,1 11 0,17 12 38 40 [681) .
A g I09 13 4,8 3 10 40 [354]
Cd 1l3 0,18 0;8 0,115 3,2 13 >50 [617]
J n 1l5 1,44 2,4 0,09 4,4 14 "",,100 [3551
In 1l3 3,8 7 8,2 26 100 [355]
In 113 8,6 40 31 97 100 [355]
*) Большая часть приведенното в чой таблиuе материала взята И3 работы [731].
24-
372 r л,. 1 Х. Лдерные реакции. При.л,ож:ение теории к экспериментам
Таблица 17 (прооолж:ение)
Pe30HaHC НейтРОН Радиа Приведеннар
ная ная ционная неЙтронная Литера
Ндро мишени энерrия ширина ширина ширина D* D тура
'в r S r aA. H"(
n
Sb 5,8 1 1 3,2 20 [617]
Sb 15 8 5 16 20 [617]
1127 20 2,4 1,2 3,8 15 [417]
Sm 0,096 0,58 0,074 4,4 14 .......20 [91,720]
Еи 0,465 0,9 0,20 2,9 9 10 [720]
Gd 0,03 0,51 0,05 6,7 21 [720]
Та 181 4,1 1,4 1,6 5 6 [355]
Та 181 10 2,0 1,4 4,4 6 [355]
Та 181 13 0,3 0,2 0,6 6 [355]
Та 181 22 3,1 1,5 5 6 [355]
W 182 4,15 2,3 2,6 8 8 [355]
W183 7,8 1,6 1,4 4,5 8 [3,'55]
Аи 197 4,87 21,1 0,17 22 70 >100 [742]
на величину (tH)D, порядок которой определяется соотношением
( tl ) ( €kT ) 1/2
€D"'-' А '
(2.13)
rде kT энерrия тепловоrо движения (при комнатной температуре около
0,025 эв) и A MaCCOBoe число. Для резонансных энерrий' €B"'-' 1 эв доп
плеровская ширина мала по сравнению с r aA.' Однако для резопансов,
расположенных в области энерrий 100 эв, (tl€)D становится сравнимой
с r aA. у ядер с массовым числом А?? 1001),
В табл, 17 приведены неноторые экспериментальные данные относи
тельно резонансных энерrий и ширин.
Весьма примечательной особенностыо является тот факт, что у тяже '
лых ядер r aA. всеrда очень близко к 0,1 эв. Во всех случаях, коrда были
возможны непосредственные измерения, r aA' оказывалось раСПОJIоженным
в пределах
0,03 эв < I' ад. < 0,20 эв (тяжелые ядра).
(2.14)
Эти значения несколько меньше радиационных ширин для ядер cpeд
Hero веса.
Результаты измерении I' можно сравнить с формулой (2.1). В опытах
удается измерить лишь произведение g(S)r [см. (2.12)]2). В табл. 17 g(S)
положено' равным 1/2' что является средним между двумя возмотными
значениями g (S). и [] этой таблицы видно, что D* в общем случае имеет
1) Более подробное обсуждение допплеровскоrо уширения можно найти, например,
в юrиrе: А'. А х и с з с р и И. П о м е р а н ч у к, Некоторые вопросы теории ядра,
М. Л., 1950, rл. III. Прuм. пepeIJ.
2) f (q) известно, если ядро мишени является четнО.четным с [==0. В этом случае
g(S)==g( i2)==1. Существуют методы, позволяющие определить S из сравнения данных по
рассеянию и поrлощению. Например, для резонанса Cd 113 S оказалось равным единице.
. ' /-'>
2. Реа,;ции под действием нейтронов
373
nорядо'l> вмuчuны расстоянuя между уровнямu D, хотя среди тяжелых ядер
наблюдается ряд случаев, коrда D* оказывается определенно меньше,
чем D. Пока не ясно, находится ли это расхождение в пределах ожидаемых
флуктуаций, или же оно указывает на недостаточность
теории,
Блаrодаря множителю Е Ч2 сечение захвата может
достиrать в области тепловых энерrий заметной
величины' даже при отсутствии в непосредствен
ной близости резонансов. Снова воспользовавшись д.ПЯ:
оценки выратением (2.11), получим, полаrая D", 30 Э!J
И r s ", 9,1 эв, [ас (п) ]тепл. '" 4 2 .10 24 см 2 . Эта оценка
поназывает, что минимальная величина сечения захвата
имеет порядок 4.1 0 24 см 2 , так как 2 >- 1. Сечение
захвата тепловых нейтронов измерено почти для всех
элементов. У большинства элементов оно превышает
5. 10 24 см 2 . Имеется, однако, несколько поразительных
исключений, при которых сечение оказывается меньше
10 24 см 2 . К ним относятся Sn, Ва, РЬ и Bi, Все четыре
элемента принадлежат к rруппе «маrических» я:дер
(см. rл. XIV), причем имеются друrие дон:азательства,
свидетельствующие о наличии у этих ядер аномально
большоrо расстояния между уровнями.
В. Промежуточные энерrии; тяжелые ядра
Для области малых энерrий характерно то, что
ширины резонансов у большинства тяжелых ядер YДOB
летворнют соотношению r l' ад. С увеличением
энерrии r возрастает (пропорционально /12), в то
время кан r ад. не зависит от энерrии нейтронов Е,
если Е изменяется в интерваJlе от О до 0,5 Иэв. ПОСJIед
нее можно показать следующим образом: r ад. опре
деляет вероятность радиационноrо перехода из состоя
ния s cocTaBHoro ядра в более низкие состояния. Это
ПРОИЛЛlOстрировано на фиr. 91. Энерrия возбуждения
состояния Es == Ев + Sn значительно больше, чем Es,
И поэтому небольшое увеличение Es не должно суще
ственно менять r ад.
Следовательно, можно ожидать, что существует
энерrия Е 1 , при которой нейтронная ширина r , OTBe
чающая s волне (l == О), окатется в среднем равной
радиационной ширине r aд. состояния s cocTaBHoro ядра. Соrласно COOT
ношению (VIII, 8.14), соответствующее этой энерrии волновое число
дается выражением
<) 1/2 rs
k (..МЕ1) 1 К рад.
1== 1i 27t"D*
11
.
I
811
Фи r. 91. Иллюстра-
ция утверждения 1)
том, что величина
r ад.l1i представляет
собой сумму вероят-
ностей (ОТIICсеиныХ
н единице времени)
всех радиационных
переходов с уровня
Es cocTaBHoro пдра.
(2.15)
Используя те же числовые значения, что и при выводе формулы (2.1),
получим:
Е 1 (в Мэв) 50( ri д' )2. (2.15а)
ДЛЯ D* 20 эв и l' ад. 0,1 эв эта энерrия оказывается порядка 1 'l>эв.
Таким образом, в области промежуточных энерrий нейтронная ширИ1I8.
874 rл,. /Х. Яоерные pea ции. Прил,ож:ение теории Эf>спери.мепта.м
оказывается больше радиационной ширины и у тятелых ядер. Поэтому
характер нейтронных реакций в этой области аналоrичен случаю ядер
среднеrо веса, рассмотренному в g 2, А. Однако расстояние метду ypOB
нями у тятелых ядер оказывается rораздо меньше, таи что разрешить
резонансы при помощи имеlOIЦИХСЯ в настоящее время нейтронных пучков,
нак правило, не удается. Более Toro, в рассматриваемой области ДОППJIe
ровская ширина становится в ряде случаев сравнимой с расстоянием метду
fРОВНЮ1И. Поэтому выражения для сечений необходимо усреднить по
Бнерrетическому интервалу ДЕ, большому по сравнению с расстоянием
метду уровнями. Рассмотрим, например, усредненное сечение захвата
a (п) нейтронов с моментом количества движения l:
E+<lE
(o (n)cp. == (LlE) l o (n)dE.
Е
в rл. VIIT было показано, что усредненное по большому числу резо
нансов сечение имеет тот же порядок величины, что и сечение, получаемое
соrласно нерезонансной теории. Следовательно, из (VIII, 3.2) и (VlII, 3.5)
вытекает, что
1 r рад .. 1
(ос (п))ср. ОС.! (п) r ,
n,! рад,.!
(2.16)
I'де ос.! (п) сечение образования cocTaBHoro ядра нейтронами с моментом
Rоличестпа ДПИiнения l. Индекс l на ширинах r n И I'рад. означает, что ЭТИ 1
ширины усреднены по всем резонансам с данным l, попадающим в интер
вал ДЕ. Выражение (2.16) можно вычислить, воспользовавшись формулой
(2.1) для rn.l и формулами (VIII, 5.1) и (VIII, 5.6) для ос,!:
(о! (п)ср 4" (2! + 1) V! (2.17)
с . kK 1 +(E/E 1 / 12 V!
На фиr. 92 нанесено усредненное сечение захвата, просуммированное по
всем l:
00
(ос (п))ср. == ] (o (п).
! O
Сечение вычислено для нескольких значений E 1 , и на фиr. 92 приведены
также экспериментальные значения из области промежуточных энерrий.
Эти результаты пон:азывают, что веЛИЧИhа El имеет порядок 1 10 nэв, что
соответствует (r рад./ п*) "-' 1/150' Такая оценка совпадает с ожидаемым
поряДIЮМ величины, если r рад. занлючено между 0,03 и 0,20 эв.
Приближенное выражение для (ос (п)ср. получится, если мы Предпо
ложим, что V 1 1 для l < kR и V l О для l> kR (относительно пределов
применимости подобной rрубой оценки см. фиr. 72). В этом случае фор
ИУJIЫ (2.17) и (2.18) можно записать в следующем виде:
(2. 18)
4тck (R + 1<.)2
(ос (п) )ср. "-'""'7( 1 + (Е/ Е1) 1/2
При Е El это выражение оказывается приблизительно равным
2тcr рад
(ос (п)ср. "-'7t(R+7\)2 дЛЯ Е El' (2.19)
Мы наШJIИ, что rрад./D* для тяжелых ядер имеет порядок величины 10 2.
При этом сечение радиаЦионноrо захвата нейтронов с энерrией 1 jWaB
оъ
s? '" 1':
'" '"
...
II:
r:t\ "
:;: <>
'" :s= '"
""....
.... " I
с::з с>
c:::r <.J <.J
11 '" '" .;
j' "'
fi" о ....
...... i'>o .
r:t\ '" '"
... ii
<.J
...
" 1:.::
'"
'" ... .,
&: '" 1':
'" i'>o
. <.) :;:
со :s= ""
'" '"
о е-
'"
<:5 Е-< '"
11
. '" =
&:
:s=
1:.::
11 <.)
<.)
00 '"
.. ""
:t: \"i <'< <.)
с] Q с i'>o
::r 1:: 111 :s=
. х [] <J (1 . х i:f '"
:t: ). .... '"
8 ;<: !j р..
.... tц
C:J- >. м 8
>& :iI
II:
;<: CQ
C)b t'-S са :s=
;<: о: =:1
% oDOD C ::I со :;:
r:t\ '"
"" '"
<t q: .... "j c:t о '"
о tц tt: :s=
Х8 о 1': =
i:Ч '" '"
... i'>o
'1:: :;: ""
I '" tt: ..
tц '"
:s= <.)
са II: <.)
"
... .,
са '"
11 r:t\ II: ""
'"
ь'" .... м со .,
C:J са ::; о
со
[] C:J- :s= ::;
'" 5 :iI
8 1:: =
tц " =
'" .,
р< :s=
'" ..
'-' "
со 1;
'" '" '"
о .,
tц ..
1:<: .. i
'" Q '"
1:<: i'>o ..
1::( '" '"
...
'" .. ,.Q
i:Ч <.) 1':
..
'-' " i'>o
?> '" '"
.. ..
с3 '" ""
'"
<.)
t-. to """ с\') ф
c;_c:::r .,
,f:;;;;)- c:::r r::::J" C:J- \ C:J' :iI =
ею '"
1:: :s=
7i ""
е
37" rл,. IХ. Яоерпые pea ции. Прuлож:епие теории [тсnери.мепта.м
тяжелыми ядрами составляет по порядн:у величины 1'0 25 с.м 2 . Сечени&
захвата для тяжелых ядер измерялось в этой области энерrий Юзом [384.
386], и ero результаты находятся в хорошем соrласии с этими оценками
(см. фиr. 126). Однан:о существуют определенные исключения: сюда отно--
сятся Ва, РЬ и Bi, имеющие необычно малые сечения ас (п), порядн:а
10 27 с.м 2 . Эти ядра принадлежат к rруппе «маrических» и поэтому MorYT
иметь необычно большое расстояние между уровнями D. Сечения захвата
для ядер среднеrо веса должны быть в этой области энерrии rораздОо
меньше, так как у таких ядер велико расстояние между уровнями D.
При этом увеличение расстояния между уровнями лишь частично компен
сируется некоторым увеличением r рад .. Измерения Юза [386] отчетливо
демонстрируют это различие между ядрами среднеrо веса и тяжелыми
ядрами.
До сих пор мы обсуждали только сечение реющии и ero величину.
усредненную по большому числу резонансов. Усреднение полноrо сечения
(at)cp. приводит н: результату, совпадающему с полученным соrласно He
резонансной теории и приведенным на фиr. 701). Поэтому эту КрИВую>
можно использовать и в резонансной области в н:ачестве кривой полноrо.
сечения, усредненноrо по большому числу резонансов.
r. Большие энерrии; ядра среднеrо веса и тяжелые ядра
При энерrиях падающих нейтронов порядка 1 Иэв или выше начинают
ся новые процессы: неупруrое рассеяние и реакции с испусканием заря
женных частиц. Это связано с тем, что распад cocTaBHoro ядра может
происходить по каналам, отличающимся от исходноrо,
После Toro как произошло образование cocTaBHoro ядра, в иrру BCTY
пает Н:ОНl{уренция между различными способами распада. Блаrодаря куло
новскому барьеру испускание нейтронов оказывается более вероятным, чем
испускание заряженных частиц. При этом вылет нейтрона может сопровож
даться образованием конечноrо ядра в возбужденном состоянии, что COOT
ветствует неупруrому рассеянию нейтронов [реакция (п, п)].
При больших энерrиях Е падающих нейтронов, коrда открыто большое-
число нейтронных каналов, энерrетичесная зависимость сечениЙ упрощается.
Это становится возможным при энерrиях Е, превышающих HeCKOJIbKO Иэв.
ноrда ядро мишени может оставаться после вылета нейтронов в большом
числе возбужденных состояний. При этом вероятность Toro, что распад
cocTaBHoro ядра произойдет скорее по входному каналу, чем по одному из
большоrо числа друrих открытых каналов, чрезвычайно мала. Слодователь
но, выполняются условия применимости нерезонансной теории (rл. VIII.
4), и для представления о сечении ас (п) образования cocTaBHoro ядра
можно пользоваться фиr. 682).
Поскольну при энерrиях Е, превышающих несн:олько Иэе, наиболее-
вероятным процессом является испусн:ание нейтрона, то О'с (п) в этой об
ласти энерrий является одновременно хорошим приближением для сечениа
неупруrоrо рассеяния нейтронов.
Энерrетическое распределение неупруrо рассеянных нейтронов отражает
спектр уровней ядра мишени. СО1'ласно данным rл. VIII, 3, относитель
ные интенсивности, отвечающие каналам с различными энерrиями E , про
1) Детали можно найти в работе [250]. Относительно различия в обозначениях см.
примечания на стр. 263.
2) 'Уместно напомнить, что полученные в настоящее время экспериментальные дaH
ные ль полным сечениям в этой обдасти энерrии противоречат предсказаниям нерезонавс
ной теории. Относительно этих результатов и их интерпретации см. приложение III.
Прим,. перев.
''''' ' , :Jotr:",''''',',"
ёl"C"',' ,,?'; С , r :р::""' , ,' "<" ,:цт, щ
9 2. Реа1>ции под действием нейтронов
37Т
порциональны E ac ( ); сечение ас ( ) как функция энерrии канала EfI при
ведено на фиr. 68. Ожидаемое распределение схематически изображено на-
фиr. 76 и 77. Если энерrия падающих частиц велика, то распределение'
апроксимируется «максвелловским» распределением, обсуждавшимся в rл.
VПI, 6. Относительно энерrетическоrо распределения вылетающих ней
тронов имеется очень мало экспериментальных данных. Полученные до сих
пор экспериментальные результаты, повидимому, находятся в соrласии'
С предсказаниями теориИ [325] 1).
Выходы реакции (п, р) и (п, а.), естественно, очень малы вследствие
сильной конкуренции реакции (п, п). С помощью (VIII, 6.10) сечение
реакции (п, р) можно записать в следующем виде:
( ) ( ) Fp(E+Qnp)
а п, р ac п Fn(E)+Fp(E+Qnp)+F,.(E+Qna)
(2.20)
Здесь Qnp и Qn. являются тепловыми эффектами Q соответственно реакций
(п, р) и (п, а.), а значения функций F MorYT быть получены из фиr, 78.
Мы пренебреrаем КОНI{уренцией радиационноrо захвата и реакции (п, а).
Первым процессом можно пренебречь при больших энерrиях нейтронов;
второй пренебреiI';ИМО мал вследствие очень BblcoHoro пороrа реакции (п, d).
для большинства ядер. Функции F р и Fo. в знаменателе (2.20) обычно-
малы по сравнению с F n (испускание нейтронов является наиболее верояТ
ным способом распада cocTaBHoro ядра), Для сечения реакции (п, а.) полу
чается выражение, аналоrичное (2.20).
Если ядро мишени имеет большое Z, то сечения а (п, р) и а (п, а),
оказываются, соrласно (2.20), исключительно малыми. В этом случае BЫCO
кий кулоновский барьер препятствует сколько нибудь заметному испарению
заряженных частиц. Поэтому нельзя исключить возможности существования
иноrо, более сложноrо механизма, дающеrо малый выход реакции (п, р)
или (п, а.), н:оторый, однако, может оказаться больше предсказываемоrо на
основе (2.20). Имеется сообщение [579], указывающее на наличие TaHoro
эффекта 2).
При рассматриваемых энерrиях с процессом радиационноrо захвата
конкурирует не только испуснание нейтрона по входному каналу, кан это.
имело место в области малых энерrий, но также и испускание по друrим
каналам. Следовательно, сечение радиационноrо захвата может оназаться,
значительно меньше определяемоrо по формуле (2.19), ноторая OCHOBЫBa
лась на наличии КОНRуренции лишь со стороны входноrо нанала .
Д. Очень большие энерrии; ядра среднеrо веса и тяжелые ядра
В области очень больших энерrий нейтронные сечения обнаруживают'
чрезвычайно простое поведение. Полное сечение, так же кан и сече""
вие реанции, не должно зависеть от специфичесних свойств индивиду
альных ядер. Выполняются условия применимости нерезонансной Teo
рии, и поэтому должны быть справедливы результаты, приведенные на
фиr. 68 и 70.
Рассмотрим прежде Bcero полное сечение. Из фиr. 70 видно, что оно.
близно К асимптотическому значению 21CR2, хотя И неснольно превышает'
1) См., однано, G r а v е Б, R о s е n, Phys. Rev., 89, 343 (1953); G uge 10 t.,
Phys. Rev., 93, 425 (1954), а таRже С о h е n, Phys. Rev., 92, 1245 (1953). Прu.м. перев.
2) ТаRИМ механизмом может быть «прямое взаимодействие», аналоrичное (<прямому
фотоэффеRТУ» [167]; сы. М с М а n u Б, S h а r р, Phys. Rev., 87, 188 (1952). Прu.мr
перев.
i
378 r л. 1 Х. Ядерные pea ции. ПриЛО:JICение теории э сnеримента.м,
ero. В этой области энерrии (kR > 4) полное сечение чрезвычайно слабо
зависит от выбора волновоrо числа КО' связанноrо с предположением OTHO
,сительно BHyrpeHHero строения ядра. Действительно, уменьшение ko озна
чает увеличение сечения реющии; однако эта разница Iюмпенсируется co
'ответственным уменьшением сечения рассеяния. Поэтому наблюдаемые на
,опыте значения а ! оказываются особенно подходящими для определения
радиуса ядра R.
Таблица 18
Ради)'сЬI ядер
Эксперимент
Элемент Энерrия. Cit, R. 1 O 13 см То. 1 О lЗ см ЛитераТ'Ура
Мав
1 o 24 ем2
Ве 14 0,65 2,4 1,17 [9]
В 14 1,16 3,4 1,54 [9]
С 25 1,29 3,8 1,65 [(86)
.{) 25 1,60 4,3 1,71 (686)
М'" 14 1,83 4,5 1,57 [9]
,.,
Al 14 1,92 4,6 1,53 [9]
Al - 25 1,85 4,6 1,52 (686)
S 14 1,58 4,1 1,30 (9)
Cl 25 1,88 4,7 1,44 (686)
Fe 14 2,75 5,6 1,46 [9)
'Си 25 2,50 5,5 1,38 (686)
'Zn 14 3,03 5,9 1,48 [9)
Se 14 3,35 6,3 1,46 (9)
'Ag 14 3,82 6,8 1,44 [9)
Ag 25 3,70 6,9 1,46 (686)
Cd 14 4,25 7,2 1,48 (9)
Sn 14 4,52 7,4 1,52 (9)
:Sb 14 4,35 7,3 1,46 (9)
Аи 14 4,68 7,5 1,33 (9)
,Hg 14 5,64 8,3 1,42 (9)
Hg 25 5,25 8,4 1,44 [686)
РЬ 14 5,05 7,8 1,32 [9)
вi 14 5,17 7,9 1,34 [9)
в табл. 18 приведен ряд радиусов ядер, определенных при помощи
'Таких измерений при энерrиях 14 и 25 Мэе [9, 686]. Следует помнить,
''Что R может зависеть как от энерrии, так и от природы падающей части
сцы. Радиус R является расстоянием, на котором начинают действовать
:ядерные силы. Более точно он опредеШlется кан: расстояние, на котором
волновое число падающей частицы принимает значение К, являющееся xa
:рактерным для BHYTpeHHero строения ядра. Из TaKoro определения следует,
что R может флуктуировать на величину порядка K l "-' 10 13 СМ. Однако
.данные, приведенные в табл. 18, не дают указания на наличие подобных
Rолебаний в значениях R. У трех элементов (Al, Ag, Hg), для которых
.сечения были измерены при 14 и 25 Мэв, значения R он:азались очень
,близки друr к друrу.
Сечение реакции а т представляет собой сумму сечений всех реакций,
\Исключая упруrое рассеяние, и может быть измерено путем определения
'Числа нейтронов, удаляемых из пучн:а, за исключением нейтронов, испыты
8 2. Реа/щии nоо действием н'ейтроnов
379
вающих рассеяние, не сопровождающееся изменением энерrии 1). В paCCMaT
риваемой области энерrий а с остается почти постоянным. Соrласно фиr.
68, значение а с расположено между "R2 и 1,51tR2 В зависимости от радиуса
и величины KoR. Сравнение экспериментальных результатов с теорией
может быть использовано длЯ' определения Ко, поскольку радиус R неза
висимо определяется путем измерений ПОЛНО1'О сечения. В табл. 19 coдep
жатся результаты измерений, выполненых при энерrии 14 Иэв. Они пока
:вывают, что теоретическая оценка (VIII, 4.13) с Ко 1.1013 c.м 1 дает
хорошее совпадение с экспериментальными результатами.
Таблица 19
Сечения реакции для нt'йтронов С энерrией 14 М эв
(cr n . 1И 24 С.А!2)
'Элемент Энсперименталь Теоретичесиие Литература
ные измерения оцении
Аl { 0,90 } 1,0 { [9]
1,06 НеопуБЛИIшвано
Fe { 1,43 } 1,4 { [9]
1,45 НеопуБЛИIшвано
Cd 1,89 2,0 НеопуБЛИIшвано
Au 2,51 2,2 Неопубликовано
Hg 2,47 2,5 [9]
вi 2,56 2,3 Неопублиновано
{ 2,22 } { [9]
РЬ 2,29 2,3 [297]
2,56 НеопуБЛИl\овано
в области очень больших энерrий падающая частица обладает достаточ
ной энерrией, чтобы вызвать вторичную или третичную реакции. Имеются
в виду реакции (п,2п), (п,пр), (п,3п) и т. д. Испускание нейтронов обычно
является более вероятным, нежели испускание заряженных частиц. Поэтому
мы оrраничимся случаем, коrда испускается несколько нейтронов. 'Упростим
выражение (VIII, 6.18), сделав следующие приближенные преДПОJlOжения:
а (п, п) """ ас (п) """ 1tR2.
Первое приближение соответствует тому, что мы пренебреrаем испусканием
из cocTaBHoro ядра С заряженных частиц, а второе состоит в том, что
в качестве сечения образования cocTaBHoro ядра принимается классический
предел 1CR2. В таком случае получаем
а (п,2п) """ 1СЮ [ 1 (1 + ) e Ec!B ] .
(2.21)
Величина Ее является избытком энерrии падающей частицы Е над пороrом
реакции (п,2п): Ее == Е Sn, rде S,. энерrия отделения нейтрона от ядра
мишени. Температура е характеризует максвелловское распределение ней
тронов, испускаемых в первой стадии реакции е == е (Е) [см. (VIII, 6.12а)].
1) Рассеяние нейтронов без изменения энерrии, но СОПРОВОlI\'J;аЮЩееСJl изменением
спина нанала (rл. VIII, 910), оказывается несущественным в этой области.
380 r.п,. 1 Х. ЯдеР1/.ые pea цuи. При.п,о:исе1/.ие теории [тсnери.ме1/.та.м
Если Ее;?> е, то cr (п,2п) становится почти равным 1CR2. Относительно peaK
ции (п,2п) имеется очень мало экспериментальных данных. Некоторы8"
наблюдения, повидимому, указывают на то, что сечение реакции (п,2п,
иноrда оказывается меньше вычисленноrо по формуле (2.21). Необходимcf.
отметить, что для нейтронов больших энерrий предположение Бора может
оказаться уже несправедливым. Если Е > 10 JИ эв, то проницаемость ядерноlt<
поверхности (VII 1, 5.7) почти равна единице. Следовательно, весьма вероятно,
что нейтрон нокинет составное ядро до Toro, как ero энерrия успеет pac
пределиться среди друrих нуклонов. Таним образом, вылет нейтрона может
произойти прежде, чем установится «тепловое равновесие». В этом случае
средняя энерrия вылетающеrо нейтрона будет выше ожидаемой на основе
макспеЛЛОВСlюrо распределения. Соответственно конечное ядро окажется,
менее возбужденным и уже не сможет испуетить второй нейтрон. Таким
образом, выход реакции (п,2п) уменьшится. Хотя такой aprYMeHT и может'
объяснить малую величину сечения (п,2п), однако опыты еще не являются;
достаточно убедительными для отказа от предположения Бора 1).
э 3. РЕАКЦИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОТОНОВ И АЛЬФА ЧАСТИЦ
А. Большие энерrии; область ниже пороrа нейтронных реакций
Сечения ядерных реакций, вызываемых протонами или а. частицами,.
неизмеримо малы при энерrиях падающих частиц, не превышающих 0,1 Изе.,
за исключением несн:ольких случаев, имеющих место для очень леrких ядер.
Это обусловлено тем, что при малых энерrиях сколько нибудь заметному
взаимодействию заряженных частиц с ядром препятствует кулоновский барьер.
Поэтому мы оrраничим наше рассмотрение большими и очень большими
энерrиями.
Характер реакций, вызываемых протонами или а.:частицами, совершuенно,
различен при энерrиях выше и нище пороrа реакции с ИСIIусканием неитро,..
нов, т. е. соответственно реакций (р, п) или (а., п). Пороr реакции (р, п}
на стабильном ядре . Q рn всеrда превосходит 0,78 И эв ( Q рn > 0,78 И эв).
Если бы он был меньше этой величины, то ядро мишени, которое является
изобаром конечноrо ядра, было бы нестабильным и испытывало распад.
превращаясь в, конечное ядро. В действительности пороr реакции (р, п)
очень высок у леrких ядер и у наиболее леrких из ядер среднеrо веса. 'у всех
ядер, для н:оторых Z == N 1, Z == N четно или Z == N 2 четно, пороrи
по порядку величины даже несколько больше высоты кулоновскоrо барьера
для протонов.
Это можно показать следующим образом. В первом случае реакция
(р, п) ведет к зеркальному ядру, энерrия связи KOToporo отличается от энер:"
rии связи ядра мишени как раз на величину н:улоновской энерrии. Во втором
и третьем случаях замена нейтрона протоном добавляет кулоновскую энерrиlO
и, кроме Toro, нарушает симметрию (размещение), Оба фактора при
водят к увеличению энерrии ядра (см. rл, IV). Поэтому высокие пороrи
реакций (р, п) ожидаются у ядер вплоть до А 40, например Qpn == 4,5 ИдВ
для ядер Na 23 и . Qpn 6,6 Иэв для C135.
1) Следует отметить, что опубликованные экспериментальные данные по реакции
(п, 2п) (см. М а r t i n et al., Phys. Rev., 86, 565 (1952); 89, 1302 (1953); В r о 1 е у et al.
Phys. Rev., 88, 618 (1952); 89,877 (1953), а также [579]), повидимому, соrласуются с
формулой (2.21) и, таким образом, не подтверждают приведенных выше соображений.
Что же Iшсается выполнимости преДПQложения Бора, то этот вопрос обсуждаетея в при
ложепии III. Прu.м. перев. . ,
:-'у ,
. ,- -:, ,,:,,,,,,,,,, ;
;t ?,\" lI""":"-/, "'r r:-:v ,";':'; :';
3. Реакции под действием протопов и ал.ьфа-частиц
381
Протоны с энерrией меньшв пороrа этой реакции MorYT приводить лишь
I{ упруrому и нвупруrому рассеяниям, радиационному захвату и, повидимому,
J{ реакции (р, а.). Вслвдствие BblcoKoro кулоновскоrо барьера для а. частиц
.реакция (р, а.) оказывается rораздо слабве друrих рвакций, исключая очень
небольшое число случаев, коrда она сопровождавтся большим выдвлением
.энерrии, Блаrодаря тому, что испускание нейтронов невозможно, время
жизни cocTaBHoro ядра оказывается относитвльно большим и MorYT ожидаться
,острые резонансы. Такие реiЗонансы наблюдались во мноrих случаях при
в
75,5 J
л "" . . " lfi ": "'ё#
600
700
1200
1300
1400
::r
5
,
.'<1,)
,
.:t;
..0 4
<D
<::>
.,.;::3
';::'
.Q,)
".
,
?--2
.о
'1::;
'"
<::>
':Z:
""
i3
:Z:
Q,)
о
500
800 900 1000 1100
Энер2IJЯ протонов, 1f.эв
. и r. 93. ВЫХОД реющии (р, .'() на алюминии в зависимости от энсрrии протона [119].
.изучении зависимости выхода процесса радиационноrо захвата от энерrии
протонов. При помощи этоrо метода было обнаружено большое число острых
. резонансов при бомбардировке протонами следующих ядер: Na 23 , Mg25, A127,
рз1, С1З7. На фиr. 93 приведен выход l лучей в зависимости от энерrии
.протонов на алюминии [119].
Так как рассматриваемые реакции являются процессами захвата, то
.для определения сечеНИfI можно использовать формулу (VIII, 10.31).
Наблюдаемые на опыте резонансы оказываются слишком узкими и не раз
"решаются полностью. Однако можно ноказать, что площадь, оrраничиваемая
неразрешенной резонансной кривой, равна площади, заключенной под дей
.ствительным резонансным пиком (более высоким и более узким). МЫ BЫ
числим эту площадь (интеrральное сечение по энерrетической области, coдep
жащей интересующий нас резонанс) в предположении, что существенный
.вклад при процессе захвата вносят только частицы с наинизшими моментами
Rоличества движения lмин. == L, совместимыми с данными J и четностью
резонансноrо уровня. Значения этих моментов ноличества движения при
. ,ведены в табл. 15 (см. rл. VIII). Будем, кроме Toro, пренебреrать энер
wетической зависимостыо протонной ширины в пределах резонанса. В этом
382 r.л,. IX. Яоерпые реакции. Прu.дож:епие теории к экспериментам
случае мы получим из формулы (VIII, 10.31)
r ( ) d 2 2,,2 2J + 1 r r ад. ( 3 1 )
ас р E 1t (21+1)(2s+1) S .
rде r ад. радиационная ширина резонансноrо уровня в; r s ero полная
ширина и I ширина, отвечающаiI испусканию протона. Последняя является
суммой частичных ширин, отвечающих всем н:аналам а. из rруппы эффектив
ных входных каналов а. (т. е. отвечающих только l==L и 8==1:1:1/2):
j
[
r == LJ r SL'
В==[ х1/2
В табл, 15 приведены также значения спина н:анала 8, н:оторые MorYT
вносить вклад в u;ирину, Во мноrих случаях отличен от нуля только один
из двух членов суммы (3.2). Ширина r определяется соrласно (VIII, 7.13).
Блаrодаря проницаемос'l:И V l она очень быстро УВeJIИчивается с энерrией.
Например, используя расстояние между уровнями, приведенными на фиr. 93
можно оценить протонную ширину дЛЯ A127. Если предположить, что боль
шинство уровней на этой фиrуре соответствует S Протонам, то эксперимен
тальное значение D окажется порядка 100 кэв.
При Этом протонная ширина r при Е 600 кэв имеет порядок 1 Э8,
а при Е 1,4 Иэв становится порядка 200 эв (оба значения подсчитаны для
в протонов), Так как r ад. не должна обнаруживать сколько нибудь заметной,
зависимости от энерrии, то существует энерrия Е 1 , при которой r ад. <::< r ,
при энерrиях Е 2> Е 1 выражение (3.1) зависит только от радиационной шири
ны. Поскольку максимумы приведенных на фиr. 93 резонансов не обнаружи
вают сильноrо увеличения с энерrией, можно предположить, что эти резонансы
расположены выше Е 1 и что, следовательно, их можно использовать для
определения 1 aд., Сравнение &кспериментальноrо значения площади, orpa
ничиваемой резонансной кривой с теоретическим значением (3.1) для Z == о
или l == 1 (более высокие значения l маловероятны при этой энерrии), при
водит к rрубuй оценке r ад. "-' 1 эв, что находится в соrласии с соотноше
нием (2.9), а также с предположением о том, что для рассматриваемых
резонансов r 2> r ад..
Неупруrое рассеяние протонов имеет важное значение для определения
спектра уровней ядра мишени. Однако этот метод практически оrраничен
областью энерrий, не превышаюших пороr реакции (р, п). В противном
случае rораздо более вероятным, нежели испускание протонов, оказывается
испускание нейтронов, если только нейтроны MorYT вылетать из ядра с энер
rиями, превосходящими 1 Иэв. Таким образом, реан:ция (р, р) применима
для определения спектра уровней тольн:о у наиболее леrких ядер среднеrо
веса, которые имеют высокие пороrи реакций (р, п).
Более тяжелые ядра, кан: правило, имеют более низн:ие пороrи реакций
(р, п). Помимо Toro, протоны с большими энерrиями необходимы в этом
случае для преодоления кулоновскоrо барьера. Поэтому ниже пороrа peaK
ции (р, п) не ожидается заметных ядерных эффектов,
Аналоrичное рассмотрение можно провести и для реакций под действием
а. частиц при энерrИiIХ ниже пороrа реакции (а., п). До сих пор, однако.
экспериментально не установлен ни один случай, н:оrда бы резонанс под
деЙСТlием а. частиц наблюдался ниже пороrа реакции (ох, п), таи как энерrИJl
а частиц оказывается при этом слишком малой для проникновения череа
барьер. .
Несьма обешающим методом изучения резонансов под действием заряжен
ных частиц является наблюдение ynpyroro рассеяния вблизи резонанса.
(3.2)
,\
"
r
>1
I
f
I
!
r
,
1i
1r
11
11
11
,1
j:
fl
!
j
;
'j
:r
;,
"
'
:'
3. Pea ции nоо действием протонов и альфа-ttастиц
38з;'
Наблюдаемое отклонение от чисто резерфордовсн:оrо рассеяния происходит'
по двум причинам.
1. Вдали от резонанса ядро действует не как заряженная точка,.
а скорее подобно заряженной непроницаемой сфере радиуса В; этот эффект
можно учесть при помощи (VIII, 2.60), если положить Ahea. == О.
2. При резонансе имеется специфический вклад в рассеяние, описываемый:
выражением Ahea. в (VIII, 2.60), причем вблизи резонанса амплитуда pac
сеяния АЬеа. определяется соrласно (VIII, 8.31).
'Указанные формулы применимы лишь в том случае, коrда падающие'
частицы и ядра мишени не имеют спинов. Таким образом, они rпдятся для
описания упруrоrо рассеяния а. частиц на четно четных ядрах, но нсприrодны
для описания упруrоrо рассеяния протонов. Наличие спинов не сказывается
на рассеяв ии, происходящем вдали от резонанса, но ero следует учитывать
в оБJlасти резонансноrо рассеяния [461]. Анализ энерrетической и уrловой:,
зависимостей отклонений от резерфордовскоrо рассеяния вдали от резонанса
позволяет в принципе очень точно определить эффективный радиус ядра В.
Дальнейший анаJlИЗ энерrетичесн:ой и уrловой зависимостей рассеяния
в области резонанса позволяет в принципе установить значения моментов,
количества движения J и четностей П с различных резонансных уровней
cocTaBHoro ядра. До сих пор подобный анализ был ПрОЕеден лишь для очень,
небольшоrо числа резонансов у леrних ядер [640, 793, 794, 175]. Примеры
экспериментальных работ приведены в [43] и друrих работах висконсинсн:ой:.
rруппы.
Б. Большие энерrии; область над пороrом нейтронных реакций
Реакция с испуснанием нейтрона становится преобладающей, если COCTaB
ное ядро имеет энерrию возбуждения, достаточную для испуснания нейтрона
С энерrией 1 И эв ИJIИ выше. Большая вероятность 'испускания нейтрона
ведет также н уширению уровней состапноrо ядра. В этом случае для
определения сечений, усредненных по большому числу резонансов, можно.
использовать нерезонансную теорию. При этом мы получим значения сече
ний ас (р) и (J'c (а.), приведенные в табл. 11 (см. rл. VIII). Так нак реакции
с испуснанием нейтрона являются преобладающими, то сечения этих реанций.
почти равны сечениям образования cocTaBHoro ядра:
а (р, п) "'" ас (р), а (а., п) "'" ас (а.).
Сравнение с энспериментальными данными, н:ан: показывают примеры,.
приведенные на фиr. 94 и 95, оказывается в большинстве случаев удовле
творительным. Однако для получения соrласия с вид()м функций возбуждения
радиус ядра должен быть выбран несколыю меньшим, нежели получаемый,
из опытов с нейтронами. В том случае радиусы описываются скорее Bыpa
жением
B==1.3.1O 13.At/3 см,
нежели соотношением 1,5 .10 13. А 1/3 см, В настоящее время не ясно, носит ли
это расхождение истинный характер, или оно связано с неопределен
ностями опытов. Современные измерения [74] дают значения радиусов,
с6rласуюшиеся в большей степени с найденными из опытов с нейтронами.
Сечения реакций, в которых испускаются друrие частицы, ДОJ1ЖНЫ быть..
очень малыми. Они даются выражением (VIII, 6.10). Для проверки теориИt
нет достаточно подходящеrо энспериментальноrо материала 1).
1) В связи с ЭТИМ СМ. S h а р i r о, Phys. Rev., 90, 171 (195З). Прим. перев.
6 8 10 Н $ т ro и н
Энер3UR, Ма8
Ф и r. 94. Сечение о"с (р) для CU 63 .
о()lIлошные нривые соответствуют теоретичесним значениям
ro==l ,3. 1 O 13 см И 1,5. 1 O 13 см; точни соответствуют
. . (р. n)+. (р. 2n)+. (р, рп), полученным в работе [296].
120
110
100
90
80
70
60
s!
ь' 50
40
ЗА
20
10
00 2
5
s! 2
Ь
I
50
20
10
1
q5
q2
0,110
20
Фи r. 95. Сечение о"с (а) ДЛЯ Rh 103 .
iJИlIошная нривая соответствует теоретичесним зна че
.ИЯМ при r == 1.3 . 1 O 13 см; точни соответствуют
0==. ("-, n)+. (а, 2п), полученным в работе [733].
:i, , ':' "' ' P;7;<J:::'1 "Wl? <:7; c7;\ ;" ,,?,,, . ,r, ,:::' ' - /;,'"
-,.... ....у, -..' ,.,.'
",>- ,.,. ;:""' '"
> З"? :-, 3 , ':'- .. ':""" ,. -,. , " ; 'i. r, .. ,\ i:' .. )" ", ? _ c.,..----.-. . \:1'J'r'c!' i': :"':.or
, ,, ..,,,;П;j tl;! . l Ф' ' i} :' 'S: 'f {{ :' \' , !': ;:, ::' ,.:c;'!'r ,
3. Реакции поо оействие.м протонов и а.аъфа частиц
385
В. Очень большие энерrии
Область очень больших энерrий харан:теризуется появлением вторичных
реющий. Сечение реющии должно хорошо описываться нерезонансной Teo
рией, результаты ноторой приведены в табл. 11 (см. rJJ. VIII). Распад
COCTaBHoro ядра сопровождается rлавным образом испуснанием нейтронов.
При этом нонечное ядро может иметь достаточную энерrию ДJIЯ испуснания
70 25
10 27
Q (а.,2п)= 15,5t 0,5 Мэв
1О 2б
fII
5
о"
1O 28
8
10
18
20
22
Фи r. 96. Сечения реющий A g I09 (а., п) и A g I09 (а., 2п) [733].
Все сечения в 1 О раа больше приведенных на этоil фиrуре.
второй частицы. Вследствие наличия нулоновсноrо барьера наиболее общим
типом вторичных реанций являются реанции (р,2п) ИЛи (а,2п). При еще
более высоних энерrиях должны происходить и наблюдались третичные peaн:
ции типа (а,3п).
Реан:ции высон:их порядно в под действием заряженных частиц обнаружи
вают хорошее соrласие с предсназаниями теории. В н:ачестве примера мы
рассмотрим реанции (а,п) и (а,2п) на серебре и реанции (а,2п) и (а,3п)
на висмуте.
На фиr. 96 приведены нривые а (а, п) и а (а, 2п) для AgI09 в зависимости
от энерrии [733], а танте теоретичесная н:ривая ас (а) сечения образования
cocTaBHoro ядра а частицами. Нан и следовало ожидать, а (а, п) совпадает
с теоретичесн:ой нривой вплоть 'до пороrа реан:ции (а,2п). Затем сечение
а (а,п) уменьшается, а сечение а (а,2п) испытывает резн:ий подъем.
25 3анаа М 396
386 r.a. 1 Х. Ядерные реаl>ции. При.ао:ж:ение теории 1> Эl>спериментам
Сумма обоих сечений совпадает с теоретичесной нривой для о"с (а) при
ro == 1,3.1O 13 СМ.
Если для о" (а,п) и о" (а,2п) использовать соответственно формулы (VIII,
6.14) и (VIII, 6.18), то наилучшее соrласие получается при температуре
ядра в 1,8 Иэв. Величина в представляет собой температуру, COOTBeT
ствующую испарению nepBoI'o нейтрона, и, таним образом, должна даваться
выражением (VIII, 6.12а), в нотором Е равно мансимальной энерrии BЫ
летающих нейтронов. Для Е == 12 Иэв в == 1,3 Иэв, что находится в разумном
соrласии с опытом.
1,50
.......'" 1,25
1:::1(
C\jQ
.
ь 1,00
, ....
a5 0,75
'"'"
сь t:: 0,50
:t _
1j .
с:?5 -..;. 0,25
Bi (CL,Зп)Аt 21О
о
190
о
Bi(ct.,2пJAt 2J1 !I
сь2 O
е А I:ho ь.
0.4 00
с'Ь
8"
Q\
О"
g"
dh
ol!t. о оо
"
с
о
"
D
о
с4
о
ш м w w
Зl:leрZUЛ (Х. частuц, МЭ8
Фи r. 97. Сечения cr (а, 2п) и cr (а, 3п) для висмута в зависи-
мости от энеРl'ИИ [429].
Поведение сечений реанций под действием а частиц при более высоних
энерrиях поназано на фиr. 97, н:оторая содержит данные измерений о" (а,2п)
и о" (а,3п) на висмуте [429], Наблюдается харан:терный спад о" (а,2п) выше
nopora реанции (а,3п). Сумма обоих сечений [О" (а,п) при этих энерrиях
пренебрежимо мало] представляет собой монотонно возрастающую н:ривую
и совпадает с о"с (а).
Чрезвычайно поучительная серия измерений была проведена в работе
[296] при бомбардировне Си 63 протонами и Ni 60 а частицами. В обоих случаях
облучение приводит н: образованию cocTaBHoro ядра Zn 64 . Разница в э'нерrиях
ядер Си 63 и Ni 60 оназывает я таной, что протоны с энерrией Ер в первом
СJlучае и а частицы С энерrией Еа == Ер + 7 и эв во втором случае приводят
н образованию cocTaBHoro ядра Zn 64 в состоянии с одинан:овой энерrией
возбуждения. Следовательно, если предположение Бора выполняется, то
должны совпадать и последующие процессы. На опыте наблюдались реан:ции:
1. Ni 60 (а,п) Zn 63 , 4. Си 63 (р,п) Zn 63 ,
2. Ni 60 (а,2п) Zn 62 , 5. Си 63 (р,2п) Zn 62 ,
3. Ni 60 (a,ph) Си 62 , 6. Си 63 (р,рп) Си 62 .
Сечения этих реан:ций определяются выражением
о" (а,Ь) == о"с (а) С С (Ь),
в н:отором а обоз на чает протон или а частицу, а Ь продун:ты реан:ций п,
2п, рп. Соrласно предположению Бора, Фунн:ции Се (Ь) зависят тольно
3. Реакции поо оействие.м протонов и альфа-частиц
387
от энерrии возбуждения cocTaBHoro ядра и, таним образом, должны совпа-
дать для протонов и а; частиц, если толыш Еа. == Ер + 7 и эв. Следовательно,
отношение выходов реанций 1 3 ДО.пжно равняться отношению выходоп
35
120
110
100 1 .60 62
Nt (а.,рп)Си
во
80
70
I
t;:)
.......60
'u
:::!
:t
'u
:;,. 50
40
30
20
10
О 10 42
Фи r. 98. Сечения реакций, в которых участвуот составное ядро
Zn 64 [296].
Соrласно предположению Бора, следует ожидать, что при любоЙ энерrии
cocraBHol'o IIдра отношеНИII сечений реанций (а. п). (а, 2п) и (а. рп) не будут
аависеть от природы падающей частицы (в данном случае частица а была
Jlибо протоном. либо а.-частицей). Приведенные энспериментзльные ре-
зультаты подтверждают выполнимость этоrо теоретичесноrо предположеНИII.
реан:ций 4 6. Из фиr. 98 видно, что в действительности равными ОRазы-
ваются не тольн:о эти отношения, но, нроме Toro, и сами сечения для прото
нов И а; частиц. Это связано со случайным обстоятельством,' вследствие н:o
Toporo в рассматриваемой области энерrий о"с (р)при энерrии E он:азываетея
25*
388 r.a. 1 Х. ЯоерНQ е реа'щии. При.ао:»сение теории т; Э1:спери.мента.м
,"
почти равным о"с (а) при энерrии Ер +- 7 Иэв. Описанные энсперименты
являются хорошим доназательством выполнимости предположения Бора 1).
Тот фант, что реанции (а,2п) оназываются почти в 4 раза слабее peaн:
ции (а,рп), нуждается в объяснении. Можно думать, что реан:ции с испу
СI\анием протона будут более слабыми вследствие влияния нулоновсноrо
'барьера. Однано ядро продунт реанции (а,рп) Си 62 является нечетно нечет
ным ядром, в то время нан ядро продунт реaIЩИИ (а,2п) является четно
четным ядром. Весьма вероятно, что последнее имеет rораздо меньшую плот
ность уровней, тан что число н:аналов, ведущих н: реан:ции (а,2п), оназывает
ся уменьшенным по сравнению с числом наналов, ведущих н реанции (а,рп).
Этот эффен:т перенрывает пронинновение снвозь барьер. Часть наблюдаемоrо
сечения, связанноrо с образованием Си 62 , может быть обусловлена снорее
испуснанием дейтронов, нежели разде.льным испусн:анием Про:rона и нейтрона.
Подобный эффент тан:же приведет н увеличению н:ажущеrося сечения peaH
ции (а,рп).
4. РЕАКЦИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕЙТРОНОВ,
ПРОТОНОВ И АЛЬФА-ЧАСТИЦ ПРИ СВЕРХВЫСОКИХ ЭНЕрrиях 2)
Рассмотрение, проведенное в rл. VIII, 3, поназало, что при CBepXBЫCO
Н:ИХ энерrиях средняя длина свободноrо пробеrа ядерной частицы внутри
ядра становится порядна ядерныХ размеров. В этом случае уже нет OCHOBa
ний считать предположение Бора оправданным, посн:ольну промежутон:
времени до вылета частицы из cocTaBHoro ядра недостаточен для распределе-
ния энерrии среди всех составных частей ядра. Следовательно, второй
этап ядерной реан:ции будет во всех подробностях зависеть от первоrо
этапа.
При сверхвысон:их энерrиях МОжнО рассматривать анты индивидуально-
ro взаимодействия падающей частицы с отдельными нунлонами ядра ми-
шени. Это связано с тем, что вследствие малой в\:шичины сечений падающая
частица испытывает соударение лишь с одним или с небольшим числом нунло
нов, н:оторым В процессе ynpyroro рассеяния передается значительная доля
энерrии падающей частицы. При этом вторичный нунлон может не иопы'тать
дальнейших столнновений и вылететь из ядра, а танже может передать
часть СВОей энерrии третьему нунлону; таной процесс может повторяться до
тех пор, пона энерrия нунлонов не уменьшится настольно, что станет спра
ведливым предыдущее рассмотрение. С этоrо момента нун:лон будет переда
вать свою энерrию всему ядру в целом.
Таним образом, при столнновении частиц, обладающих сверхвысоной
энерrией, с ядром ожидаются следующие эффен:ты: небольшое число нунло
нов (и среди них, по всей вероятности, l1 частицы) будет П1Жидать ядро
с энерrиями, близними н: сверхвысоним энерrиям, сн:ажем с Ei>30 Мэв.
Остатон энерrии падающей частицы Ее будет передан нонечному ядру, ното-
рое онажется нан бы HarpeTblM до определенной ядерной температуры в,
зависящей от величины Ее. При этом из н:онечноrо ядра происходит испаре-
ние неснольн:их нунлонов с малой энерrией, соответствующей температуре е.
Следовательно, можно ожидать, что вылетающие в результате реанции ча
стицы'разделяются на две rpYnnbl: 1) быстрые частицы, н:оторые испуснаются
в результате непосредственноrо столнновения с падающей частицей или
1
'f
1) В работе S а g а n е, Phys. Rev., 85, 926 (1952), указанные опыты по образованию
возбужденноrо COCTaBHoro ядра Zn 64 были дополнены изучением реакций ("п), (,,2п),
("рп) и 'Так далее на Zn 64 в том же интервале энерrий. При.м. перев.
. 2) Подробнее см. обзор: r о л ь Д а н с к и й В. И., Л ю б и м о в А. Л., м е д-
,В еде в 13" В., 'Успехи физич. наук, 48,531 (1952); 49,3 (1953), а также сборник статей
«Ядерные реакции под действием тяжелых частиц», М., 1954. При.м. перев.
'!
J
1
]
J
5. Реalщии на .аееких яорах
389
друrой частицей, образовавшейся в результате столкновений, и 2) медленные
частицы, которые испаряются после установления в составном ядре тепло
Boro равновесия 1).
Блаrодаря чаетичной прозрачности ядерной материи полное сечение
для очень быстрых частиц оказывается меньше rеомстрическоrо предела
2r.R2. Очень быстрая частица имеет н:онечную вероятность пройти через
ядро, не испытав столкновения. Были предприняты подсчеты 1246], OCHOBaH
ные на приведенной в rл. VIII, S 3, оценке ередней длины свободноrо пробеrа
относительно столкновения. В этих вычислениях учитывалоеь ташне изме
нение волновоrо числа от значения k до значения К при персходе во BHY
треннюю область ядра. Ядро расематривалось в виде пре.ломляющей и ча
стично поrлощающей сферы, в то время нак при меньших энерrиях ядро
рассматривается нан преломляющая и полностью поrлощающая сфера.
Расчеты достаточно хорошо соrласуются с измерениями полных сечений
для нейтронов с энерrией «90 Мэв» [1621.
Число и энерrетическое распределение частиц, ИСПУCJ{аемых в резуль
тате ядерноrо столкновения при сверхвысокой энерrии, изучалось rлавным
образом с помощью фотопластинон и камер Вильсона. Сверхбыстрые части
цы, падающие на фотоэмульсию, вызывают в ней «звезды», в которых Ha
ждому лучу соответствует испущенная из центра заряженная частица.
Это же явление можно изучать и в камере Вильсона. Энерrия и заряд частицы
определяются по остаточному пробеrу, производимой ионизации, pac
сеянию частицы и по числу (<дельта лучей» (элентронов, выбитых из оболочки
атома) на единице пути. "Уназания о разделении частиц на быстрые и испа
ряющиеся были получены как в реанциях под действием искусственно YCHO
ренных частиц [1261, так и в космичесних лучах [376, 124, 138, 239 и MHO
rие друrие 1.
Реакции под действием н:осмичесних лучей являются rораздо более
сложными, чем любые из обсуждавшихся до сих пор реан:ций; в этой нниrе
ядерные взаимодействия в космичесних лучах рассматриваться не будут.
Основным фан:тором, вносящим усложнеНИе, является в большинстве слу
чаев неопределенность в энерrии, природе и интенсивности первичных
частиц, трудность детектирования -быстрых нейтронов с высоной эффентив
ностью, достаточной для их реrистрации, а также рождение мезонов при
ядерных столкновениях. Хотя при энерrиях, превосходящих приблизи
тельно 100 Мэв, сечение реанции становится меньше rеометричеСI{оrо, это
уменьшение не продолжается беспредельно.
Данные, полученные при изучении носмичесних лучей, пон:азывают
[6461, что при энерrиях, превосходящих 1 Бэв, сечение достиrает прибли
аительно постоянной величины. Эта величина составляет он:оло 40% reo
метрическоrо сечения для леrн:их ядер (воздух) и около 85% для тяжелых
ядер, подобных свинцу 2). Основным процессом, ответственным, rрубо
I'ОВОря, за постоянство сечения при носмических энерrиях, является рожде
ние мезонов. Однако обсуждение процессов, связанных с рождением меЗЩIОВ,
выходит за раМI\И этой книrи.
5. РЕАКЦИИ НА ЛЕrких ЯДРАХ
"Установить общие правила, которым подчинялись бы реакции на лсr
н:их ядрах, не удается. Поэтому мы рассмотрим в настоящем параrрафе
ряд характерных реакций, обнаруживающих особенности, отличные от Ha
блюдавшихся на ядрах среднеrо веса или тяжелых ядрах. Полную инфор
1) Описанные выше процессы бош'е детально рассматривались в работах [302, 377].
2) 'УRазанная величина является лишь очень rрубой оцеПRОЙ, таи иак опыты по кос-
мичеСRИМ лучам нуждаются в введении большоrо числа поправок.
1
390 r.a. IХ. Яоерные реаlщии. При.аОJ1Cение теории 'к экспериментам
мацию относительно большинства ядерных реан:ций на леrн:их ядрах можно
получить в прен:расных обзорных статьях [378, 379] 1). Впервые важность
специальных правил отбора для ядерных реющий на леrних ядрах была
подчерн:нута Оппенrеймером и Сербером [571].
А. I)еакцил ВI0 (п, ) LP
Если бор облучается медленными нейтронами, то основным процессом
является реанция (п, а) на В1О. Тепловой эффент Q реан:ции равен 2,78 Мэв.
Эта реющия имеет особенный Интерес, поснольну реанции (п, а) на Meд
ленных нейтронах наблюдато'тся не очень часто. В областях 1 и 11 на ядрах
среднеrо веса и тяжелых ядрах с нейтронами возможны реан:ции упруrоrо
рассеяния или захвата (в нен:оторых случаях деление). Реанции (п, а)
обычно исн:лючаются вследствие НУЛОНОВСI\оrо барьера. Однан:о в случае
бора испусн:ание с заметной вероятностью составным ядром а частиц
Бозмотно блаrодаря большой величине Q и НИЗIЮМУ нулоновсному барьеру
для а частиц у LP (он:оло 2,5 Иэв). Поэтому испусн:ание а частиц успешно
н:онн:урирует с радиационным захватом нейтронов; сечение радиационноrо
захвата составляет меньше 10 5 от сечения реанции (п, а). Реанцию (п, а)
на ВI0 можно рассматривать н:ан: деление бора под действием нейтрона
На Li 7 и Не 4 .
а Частицы испусн:аются по двум наналам, отвечающим основному co
стоянию LP (Q == 2,78) и первому возбужденному состоянию LP (Q == 2,30).
Для тепловых нейтронов вероятности распадов находятся в отношении
9'3: 7, соответствуя предпочтительному образованию возбужденноrо co
стояния.
На фиr. 99 поназана наблюдаемая энерrетичесн:ая зависимость сечения
реан:ции (п, а). При энерrиях нейтронов вплоть до 10 кэв сечение оназы
вается почти в точности пропорциональным 1/v. :Качественные особенности
этой н:ривой можно уяснить при помощи формулы Брейта Виrнера для
сечения реющии, в н:о'i'орой ширина, отвечающая реющии (в данном случае
ширина, отвечающая испуснанию а частиц), имеет порядон: 250 пэв, а
резонансная энерrия равна примерно 100 пэв. СТОJIЬ большая ширина не
являетея неожиданной, поснольн:у расстояние метду уровнями у Вll
велино, а НУЛОНОВСНИЙ барьер для а частиц мал. Зависимость сечения от
эперrии по занону 1/v нижо 1 пэв следует из формулы Брейта . Виrнера
(VIII, 7.25). Примечательным и чрезвычайно харантерным для этой peaн:
ции является то, что занон 1/v распространяется вплоть до энерrии 104 эв.
Это связано с большой величиной' ширины, отвечающей реанции r .
Поэтому резонансный множитель меняется очень медленно и энерreтиче
СIШЯ зависимость в основном обусловлена тем, что сечение пропорцио
нально 'Л.
Существует реаIЩИЯ, являющаяся зернальной по отношению н реатщии
(п, а) на ВIО:
В1О (р, а) Ве 7 .
Исследование этой реатщии представляет интерес для проверни зарядовой
симметрии ядерных сил. Более точно зерI\альной по отношению н: реанции
(п, а) на медленных нейтронах будет реанция (р, а) при таних энерrиях
падающих частиц Ер' ноrда ядерной поверхности достиrаlOТ медленные
протоны, т. е. при
Ze 2
Ер"" R "" 2,3 Иэв.
J) См. таиже примечание на стр. 359. п рим. пep в.
j
"
s 5. Реакции 'На .аееких яорах
391
в этом случае следует ожидать чрезвычайно сходных эффентов, например
существования двух rрупп а частиц, отличающихся по энерrии тю{же на
0,48 Иэв с аналоrичным отношением по интенсивностям. Ядро Ве? должно
иметь возбужденное состояние приблизительно при той же самой энерrии,
что и ядро Li7. В настоящее время получены данные, подтверждающие это
предположение [120, 465]. Сильная энерrеТИ'.Jесная зависимось относитель
ной вероятности образования двух состояний Не? позволяет надеяться, что
Е п , /{эв (кривая А)
3 4 5 6 7
7
2
8
9
.... 6
:.:J
5
...... .
э са i;'
;::, 4
S-
:::::
З
1:)..>0;
t::j
2
Ь ф 1
00
500 1000 1500
Е п , кэе (кривая В)
Фи r. 99. Сечение а (п, а) ДЛЯ бора.
Нривая соответствует произведению о VE, не содержащему Е Ч2. В области
знерrий между 1 "эв и приблизительно 1 О "эв надежные измерения OTCYT
ствуют. пунитирная ЧаСТЬ иривой А представляет собой разумную интерпо
ляцию. rОРИЗ0нтаЛhнан часть иривоЙ нюне 1 "эв (зависимость по занону 1 fv)
установлена чрезвычайно точно [310].
2000
аналоrичное поведение будет обнаружено и при зерн:альной реarщии
BIO (п, а) Li 7 . Если это онажется справедливым, то величине отношения
при наной либо определенной энерrии (например, для тепловых нейтронов)
не следует приписывать особоrо значения.
Б. Реакции на LP под действием протонов
При облучении лития протонами из ядра LP образуется составное
ядро Ве 8 . Поснолы{у даже основное состояние Ве 8 нестабильпо относительно
распада на две а частицы, ожидается следующая реанция:
р + LP == Ве 8 == а + а.
Тепловой эффент этой реанции Q == 17,2 И эв, тан что наждая а частица
обладает энерrией, по нрайней мере, 8,6 Мэв, что достаточно для преодо
ления ноннуренции любой друrой реанции. Несмотря на это, примерно
равную интенсивность имеют танже и друrие реанции: (р, п), (р, р)
и радиационный захват. 8нерrетичесная зависимость сечений этих реан:ций
изобратена на фиr. 100.
В случае радиаЦИОНIJоrо захвата испуснаются очень жостние 'Y HBaHTЫ
с энерrией NШ == 17,2 + Ер' отвечающие радиационному переходу непосред
ственно на основное состояние Ве 8 . Rроме Toro, при радиационном захвате
392 r.a. 1 Х. Яоерные реа/щuи. При.аож:енuе теории 1> Эl>сперu.метпа.м
испусн:аются 1 Н:BaHTЫ с энерrией NШ == 14,2 + Ер' отвечающие переходу на
возбужденный уровень Ве 8 . Процесс радиационноrо захвата обнаруживает
. при энерrии Ер == 0,37 Мэв резонанс 1). Реакция (р, п) имеет отрицательный
тепловой эффект Qpn == , 1,63 Иэв. Испусн:ание нейтронов возможно только
в том случае, если Ер> 1,63 Иэв. Энерrия канала, отвечающеrо вылету
нейтрона, равна Еn == Ер 1,63 Иэв. Действительная энерrия нейтронов
зависит от уrла вылета. Эта реакция является одним из лучших источ,
нин:ов моноэнерrетических нейтронов малых энерrий. При более высоких
энерrиях наблюдается вторая rруппа нейтронов, возникающая в результате
перехода на возбужденный уровень Ве 7 . Реакция (р, р) представляет собой
неупруrое рассеяние, приводящее к образованию ядра Li 7 в возбужденном
состоянии, с энерrией возбуждения, равной 0,478 Иэв.
......
::т
::!
:t:
Q)
р
:t:
ос
со
'"
::,
с:>
со
'--
1:>
2
Ер, Мэв
з
о
Фи r. 100. Энсрrетическая зависимость сечений реакций
(р, 'о, (р, п), (р, р) и (р, а) на Li7.
Нривые носят схематичесний харантер. Они харантеризуют общие
свойства и не MorYT использоваться для получения ноличест
венной инфоРмации [379].
Кан: уже отмечалось, при испусн:ании протонов, нейтронов и l лучей
были обнаружены острые резонансы. Однако для а частиц при этих же
энерrиях никаких резонансов не обнаружено. В связи с этим возникает
интересная проблема: почему составное ядро, образовавшееся в одном из
резонансных состояний, не испытывает MrHoBeHHoro распада на две быстрые
а частицы? При этом до испускания "y KBaHTa, нейтрона и.ли протона ядро
живет достаточно долrо, так что ширина уровня мала. Объяснение заклю
чается в том, что а частицы подчиняются статистике Бозе Эйнштейна [170].
Рассмотрим состояние системы, образовавшейся' в результате распада co
cTaBHoro ядра на две а частицы. Волновая функция такой системы должна
быть симметрична относительно перестановки двух тождественных частиц.
Эта перестановка эквивалентна двум операциям: 1) изменению знан:а всех
координат, т. е. операции инверсии, и 2) обмену спинами двух а частиц.
Поскольку спин а частицы равен нулю, вторая операция сводится н: YMHO
1) Эта величина представляет собой энерrию канала. Действительная энерrия про
тона в лабораторной системе E равна [1 + (Мр/Мы)l Ер, rде MLi Macca Li 7 .
5. Реакции 'На .аееких яорах
393
,"f.
-...
жению на единицу, и поэтому перестановна частиц оназывается полностью
энвивалентной операции инверсии 1).
Таним образом, из статистини Бозе Эйнштейна, которой подчи
няются а частицы, следует, что нонечное состояние должно быть четным.
Поснольну четность является интеrралом движения, оназывается, что на
две а частицы MorYT распадаться тольно четные еостояния cocTaBHoro ядра.
Четность системы, состоящей из двух а частиц, определяется ТОJIЬНО MOMeH
том ноличества движения, отвечающим их относительному движению, тан
нан внутреннее состояние наждой а частицы является четным. Следовательно,
а частицы должны испуснаться с четным моментом НО.личества движения 1.
Поснолы,у спин а частицы 1 =т О, 1 совпадает с полным моме.нтом ноличе
стпа движения J, ноторый является интеrралом движения. Следовательно,
состояние составноео ядра, которое может распадаться на две а частицы,
должно быть четным и иметь четный момент количества движения J.
Все прочие еостояния должны распадаться иснлючительно с испуснанием
l лучей, протонов или нейтронов. Тание состояния живут rораздо дольше
уровней, с н:оторых происходит испуснание а частиц, и поэтому прояпля
ются в виде острых резонансов. Обнаружено, что второй резонанс для
протонов не связан с заметным испуснанием l лучей. Это может быть
о бусловлено частично увеличением вероятности испусн:ания протона с
ростом ero энерrии, а частично правилами отбора для испуснания r лучей.
Следует отметить, что иноrда ядро Ве 8 , образующееся при радиацион
ном захвате протонов ядром LP, распадается на две а частицы, хотя исход
ное состояние cocTaBHoro ядра, предшествующее испуснанию 1 Н:BaHTa,
тан:ово, что этот процесс иснлючен. Дело в том, что испусн:ание 'Y HBaHTa может
привести н изменению четности ПС, или момента ноличества движения J,
или и Toro и друrоrо. Таним образом, состояние Ве 8 , обраЗУlOщееся в
результате испуснания 'Y Н:BaHTa, может иметь свойства (четное состояние
с четным J), допусн:ающие распад на две а частицы. В частности, два
низших уровня Ве 8 (основное состояние и состояние с энерrией 2,9 Иэв)
носят именно таной харантер [793, 794]. Следовательно, при радиационном
захвате LP (р, 1) Ве 8 в результате испуснания одноrо или более 'Y HBaHTOB
образуется Ве 8 в состоянии, приводящем н: распаду на две а частицы.
Детальное изучение этих и аналоrичных реанций на леrних ядрах в
:значительной мере пополнилось измерениями уrловоrо распределения pac
сеянных частиц и продунтов реанции. Интерпретация результатов во MHO
rих случаях позволяет достаточно точно установить величину J и четность
н:аждоrо еостояния cocTaBHoro ядра. В этой н:ниrе мы не будем приводить
наних либо деталей и оrраничимся доназательством обших теорем, ноторые
следуют из рассмотрения свойств симметрии (rл. Х, S 3). 'Уrловое распре
деление продун:тов реанции Li 7 (р, п) Ве 7 было измерено в работе [728]
и проанализировано с точни зрения возможных значений J и четности co
стояния cocTaBHoro ядра Ве 8 в работе [114]. Интерпретация' реанции
Li7 (р, а) при помощи резонансной теории была выполнена в работах
[170, 403, 369]. Аналоrичный анализ для реанции F19 (р, а) 016 можно
найти в работах [291, 148].
В. Реакции, приводящие к образованию COCTaBllorO ядра N15
В перечисленных ниже реанциях происходит образование одноrо и Toro
же составнorо ядра N15: N14 (п, р) са, N14 (п, а) Вll, Bll (а, п) N14, са (р, п) N14.
В последней реан:ци и ядро мишени нестабильно, однан:о Э;rIемент Са может
1) Это несправедливо для рОaIЩИЙ, В которых происходит рассеяние двух дейтронов
или двух протонов, поскольку в таком СJlучае в аависимости от спиновоrО состояния обмен
спинами может дать либо +1, либо 1 [444, 557].
394 r //'. 1 Х. Яоерные pea ции. При//,ож:ение теории э спери.мента.м
,быть получен в достаточных для облучения количествах, так как он имеет
очень большой период полураспада. Изучение этих реакций особенно инте
ресно в связи с тем, что во всех реакциях наблюдались резонансы, причем
нен:оторые из резонансов, наблюдавшиеся при различных энерrиях, можно
.ототдествить с образованием ОДНоrо и Toro же состояния cocTaBHoro ядра.
ато обстоятельство можно лучше Bcero про иллюстрировать с помощью энер
l'етической диаrраммы, апалоrичной введенным в работе [378].
17,47
16,7
сlЗ+d
i::
8,2
83
10,15
C 14 +p
11,03
в lI + а..
7,16
6,3
5,28
N I5
Фи r. 101. ЭперrетичеСRая диаrра ша COCTaBHoro ядра N15.
Упрощенный вариант диаrраммы, приведенной в работе [379].
На фиr. 101 средняя :колонна содержит энерrетичоские уровни ядра N15.
Числа обозначают энерrию в И эв над основным состоянием N15, :КOTO
роо СJIУЖИТ нуловым уровнем энерrии ДJlЯ всей диаrраммы. rоризонталь
ныо линии слева и справа УI\аЗЫВaIОТ энерrию системы в наналах N14 + п,
С 14 + р, Вl1 + а и С 13 + d, причем наждая из этих пар находится в OCHOB
ном состоянии И В состоянии покоя. Цифры тан:же обозначают энерrии
в Иэв. Эти энерrии служат в качестве нулевых уровней энерrии дЛЯ COOT
ветствующих :каналов. Например, если составное ядро N15 образуотся по
каналу С 14 + р с энерrией канала (;р (действительная энерrия протона
!} 5. Реакции 1/д лееких яорах
395
== 15/ Н Ер), ТО энерrия возбуждения N15 равна 10,15 + Ер' Начерченные
над нулевым уровнем кривые представляют собой сечения ядерных peaK
ций в соответствующих каналах. По rоризонтальной оси отложен выход
реакций, по вертикальной оси, начиная от нулевоrо уровня, в том же
масштабе, что и уровни ядра N15, энерrия канала. Буквы возле кривых
обозначают частицы, испускаемые в данной реакции. Например, кривая,
расположенная над JIИнией (C 14 + р), представляет собой сечение реакции
(р, п). Она обнаруживает несколько резонансов, отвечающих уровням co
CTaBHoro ядра N15; например резонанс при энерrии Ер == 1,92 Иэв COOTBeT
ствует уровню ядра N15 с энерrией 12,07 Иэв. Резонансы, наблюдавшиеся
в различных реакциях, собраны в табл. 20. Данные относительно реакции
С 14 (р, п) взяты из работы [691], относительно реаКций N14 (п, р) и N (п, а)
из работы [711] и относительно реакций Bll (а, п) из работы [762]. Резуль
таты последней работы получены при не очень высокой разрешающей спо
собности, в связи С чем для резонансных энерrий можно привести только
приближенные значения. '
Таблица 20
Резонансные уровни (в М эв) ядра N15, иолученные
из различных реакций *
N 14 (п, р) с 14 I N 14 (п, ) в ll 1 в ll ( . п) N 14
с 14 (р, п) N 14
10,77
11 ,22 11,23
11,36 11,38
11,52
12,07 12,11 12,07 ?
12,22 12,3:1:0,2
12,63 12,43 12,44 ?
12,82 12,84 12,9:1:0,2
13,7 13,7 13,6::1::0,2
14,1
14,6
. Данные взнты ИЗ работы [379].
Реакции N14(n, р) с а и са (р, п) N14 обнаруживают резонансы при
одних и тех же энерrиях возбуждения cocTaBHoro ЯДра, за исключением
двух случаев [опыты по реакции (р, п) не простираются до достаточно BЫCO
них энерrий, позволяющих провести сравнение с двумя последними резо
нансами в реакцИи (п, p)J. Отметим, что существование в этих реакциях
резонансов при одних и тех же энерrиях возбуждения cocTaBHOro ядра He
посредственно следует из теоремы взаимности (rл. VIII, 2). Соrласцо этой
теореме, сечения обратных реанций должны быть пропорциональны друr
друrу. Можно предполаrать, что резонансы, не наблюдавшиеся в реан:ции
(п, р), существуют и не были обнаружены вследствие ЭRспериментальных TpyД
ностей. Аналоrичным образом можно ожидать, что и в реан:циях NH (п, а.) B ll
и Bll (а, п) N14 резонансы будут наблюдаться при одних и тех же энерrиях
cocTaBHoro ядра. Это действительно имеет место у двух резонансов с маl{СИ
мальной энеРI'ией, приведенных в таблице. Весьма возможно, что уровень
с энерrией 12,3 :::1:0,2 Мэв в реакции (а, п) в действительности представляет
собой наложение двух неразрешенных уровней 12,07 и 12,44 Мэв, наблю
давшихся в обратной реакции.
396 r.a. 1 Х. Яоерпые pea ции. При.аож:епие теории /f, Э/f,спери.мепта.м
Следует подчеркнуть, что существование в сечениях обратных реакций:
резонансов при одной и той ж(') энерrии cocTaBHoro ядра не ЯВJIяется apry
ментом в пользу теории cocTaBHoro ядра, поскольку теорема взаимности
сохраняет силу даже в том случае, коrда не происходит образования Долrо
живущеrо состояния cocTaBHoro ядра. Подтверждение теории cocTaBHoro ядра
может быть получено только при условии, если резонансы будут наблюдаться
при одной и той же энерrии возбуждения cocTaBHoro ядра в случае двух (или
более) реакций, не являющихся обратными. Только в этом случае можно cдe .
лать вывод о том, что действительно происходит образование cocTaBHoro ядра.
В табл. 20 приведены четыре уровня cocTaBHoro ядра, которые pac
падаются по трем различным н:аналам (путем испускания нейтронов, прото
нов и а частиц), а именно, уровни с энеР1'ИЯМИ 12,1, 12,44, 12,83 и 13,7 Мэв.
Существование этИх четырех уровней можно рассматривать как доказательство'
деЙСТDительноrо образования cocTaBHoro ЯДра. При малых энерrиях такие
уровни не обнаружены вследствие Toro, что кулоновский барьер препят
ствует испусканию а частиц с заметной вероятностью. При более высокоЙ
энерrии различные реакции еще не изучены в достаточной степени.
Хотя уровни cocTaBHoro ядра, распадающеrося по трем или более JШ
налам, должны наблюдаться независимо от Toro, сколько каналов открыто>
из энерrетичеСJШХ соображений, до сИх пор обнаружено лишь очень неболь
шое число подобных случаев. Это сВязано с тем, что энерrетические COOTHO
шения, как правило, не блаrоприятствуют наблюдению. Основные уровни
каналов обычно различаются настолько, что при помощи имеющихся в Ha
стоящее время ускорителей Ван rраафа (которые являются основным cpeд
ством для получения точных данных относительно энерrетических уровней
ядер) не удается получить через различные каналы одни и те же возбужде
ния cocTaBHoro ядра.
s 6. РЕАКЦИИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ДЕЙТРОНОВ
Ядерные реакции под действием дейтронов имеют большое значение ДЛfI
ядерной физики. Выход этих реакций в общем случае оказывается rораздо'
больше выходов соответствующих реакций под действием друrих заряжен .
ных частиц. Поэтому дейтроны, ускоряемые в ЦИКлотронах, чрезвычайно
широко используются для получения радиоактивных изотопов.
Теоретическое исследование дейтронных реакций ЯВJIяется более СJIOЖ
ным, нежели исследование друrих реакций. С дейтронами происходят
новые типы процессов, которые не описываются при помощи схем, BBeдeH
ных в rл. VIII. Эти своеобразные особенности связаны со следующими
обстоятельствами: а) дейтрон представляет собой чрезвычайно слабо свя
занную систему; ero энерrия связи 2,23 Иэе значительно меньше средней
энерrии связи, приходящейся на один нуклон; б) распределение аряда в дей
троне чрезвычайно (<асимметрично»: центр масс и центр заряда (протон)
не совпадают друr с друrом, кан: это имеет, к примеру, место в а частице.
Расстояние между двумя центрами равно «радиусу» дейтрона.
Соrласно обычной схеме ядерных реакций, бомбардироВJШ ядра Х (Z,A) 1)
дейтронами должна приводить к образованию cocTaBHoro ядра С (Z + 1, А + 2).
которое затем распадается по различным каналам
r Y(Z+1,A+1)+п,
х (Z, А) + d == С (Z + 1, А + 2) == i у (Z, А + 1) + р,
у (Z 1, А 2H a,
l и т. д.
(1)
1) Мы будем использовать обозначение Х (Z,A) дЛЯ ядра Х с зарядом Z и массовым
числом А.
6. Реаl>ции nоо оействие.м оейтропов
397
Сечения ядерныХ реакций TaKoro типа MorYT быть подсчитаны при помощи
методов, использованных в rл. VII 1. Однако вследствие специфических
.свойств дейтрона схема (1) не является единственно возможной. С замет
ной вероятностыо происходят также следующие процессы:
(11) «электрическое» расщепление дейтрона кулоновским полем ядра
мишени [569] 1),
(111) Образование cocTaBHoro ядра
C'(Z, А+1) или C"(Z+1, А+1)
при поrлощении только одноrо из нуклонов, входящих в состав дейтрона.
Последний процесс при высоких энерrиях получил наименование процесса
< срыва», а при малых энерrиях он называется « пр(щессом Оппенrеймера
Филлипса» [570].
Опишем прежде Bcero процесс 11. Если дейтрон пролетает мимо ядра,
не задевая в действительности ero поверхности, то на Hero действует только
Rулоновское поле ядра. Таким образом, дейтрон движется в электрическом
поле, которое в системе координат, связанной с дейтроном, меняется во Bpe
мени. Воздействие этоrо поля на дейтрон аналоrично воздействию электро
маrнитной волны; оно может привести R расщеплению дейтрона
d+X==X+n+p.
(11)
Рассмотрим дейтрон, пролетающий вблизи ядра со скоростью v; в точке,
rде находится дейтрон, электрическое поле за промежутон времени t порядка
Rjv, rде R радиус ядра, сначала увеличивается до CBDero максимальноrо
значения, а затем снова спадает, Для дейтрона с энерrией 10 Иэв и
R", 0,6 .10 12 сом получается энерrия, отвечающая кванту с частотой [ 1,
равная nш'" 3,3 Иэв. Следовательно, в системе координат, связанной с дей
троном, кулоновское поле содержит достаточно высокие частоты, для Toro
чтобы вызвать расщепление дейтрона. Сечение TaKoro процесс а оказывается
весьма большим; для ядер с большими Z оно имеет тот же порядок вели
чины, что и сечения друrих процессов [332,303].
Механизм процесса 111 может быть описан следующим образом. Вслед
ствие конечных размеров дейтрона один из ero ну: лонов может испытать
столкновение с поверхностью ядра до Toro, как это случится с друrим
нуклоном. Поскольку энерrии ядерноrо взаимодействия rораздо больше
энерrии связи дейтрона, то нуклон, ДОСТИl'ший поверхности ядра первым,
быстро отделится от cBoero партнера и образует составное ядро С'. Если
несколько позже с ядерной поверхностью столкнется и второй нуклон, то
точно так те, как и при процессе 1, про изойдет образование cocTa.BHoro ядра
С (Z + 1, А + 2). Если же, однако, второй нуклон минует ядро, то будет
иметь место процесс 111:
d+X(Z, A)==C'(Z, А+1)+р,
d+X(Z, А) ==С" (Z+ 1, А+1)+п,
(IIIa)
(IIIб)
в результате KOToporo может происходить распад cocTaBHoro ядра С' или С",
сопровождающийся испусканием какой либо друrой частицы. Процесс IIIa
является более вероятным, особенно при малых энерrиях, так как куло
новское отталкивание удерживает протон вдали от ядра мишени.
Сечение этих процессов особенно леrко подсчитать при очень высоких
энерrиях дейтронов €V' коrда можно пренебречь кулоновским отталкиванием
1) См. также Л а н Д а у, Л и Ф ш и Ц, ЖЭТФ, 18, 750 (1948). Прим. перев.
398 F.lt. 1 Х. Яоерные реаlrции. При.аоrженuе теории к экспериментам
между дейтроном и ядром: €D Ze 2 /R [683]. В этом случае дейтроны до
СТОЛIшовения с ядром движутся ПРЯМOJJИнейно с постоянной сКоростью.
Сечение процесса, при котором один нуклон (скажем, протон) Испыты
вает столкновение, а второй минует ядро, в первом приблитении равно
1t
О"Ш == 2" Rd,
(6.1)
rде d среднее расстояние между нейтроном и протоном в дейтроне 1). Фор
мулу (6.1) можно пояснить следующим образом: рассмотрим дейтрон, у KO
Toporo вектор d (соединяющий нейтрон и протон) составляет уrол (j с Ha
правлением движения. Для TaKoro дейтрона сечение столн:новения с ядром,
происходящеrо таким образом, что сталкивается протон, а нейтрон проле
тает мимо, равно 2Rd 1 sin 61 (фиr. 102), если пренебречь нривизной п()
верхности ядра (R d). Тан как средняя величина I sin (j I равна тс/4,
. то мы и получаем формулу (6.1).
Неuтро ! '\ е Минующий ядро нуклон продол:
а . жает двиrаться со скоростью, равнои
ЛfXJ тон 4 О пер.воначальной плюс добавляющаяся
в процессе расщепления. Разумно
6 I . предположить, что получающиеся в
4 результате расщепления дейтрона
I нунлоны харантеризуются распреде
в .. лением по импульсам, соответствую
4 щим внутреннему состоянию дейтрона.
:Конечный импульс нуклона после pac
щепления равен веJ{ТОРНОЙ сумме им
пульса Ро == (И€D)I/2, связанноrо с
первоначальным движением дейтрона
(И масса од1l020 нуклона), и им
пульса, обусловленноrо внутренним движением. При больших энерrиях
можно не учитывать н:улоновское поле. Средний Внутренний импульс Ри
отвечающий основному состоянию дейтрона, имеет порядок величины
Pi "" (2ИВ)1/2 (B энерrия связи дейтрона). Следовательно, конечный )им
пульс вылетающей частицы, rрубо rоворя, заключен в пределах Po (2МВ1 /2
И РО + (2111B)I/2. Средний уrол между направлением вылета и направлением
падающеrо пучка дейтронов приблизительно равен (2ИВ)I/2/ ро . Это pac
пределение было подтверждено экспериментально для дейтронов с энерrией
200 Иэе [364].
При более низних энерrиях €D "" Ze 2 /R или меньше решающую роль
начинает иrрать эффект нулоновскоrо поля. В этом случае орбиту дейтрона
уже нельзя считать прямолинейной. Влияние электростатическоrо оттал
нивания на дейтрон усложняется тем, что элентричесние силы действуют
не на центр масс дейтрона, а тОлько на протон. Таким образом, нейтрону
леrче достиrнуть поверхности ядра, чем протону. Чтобы нейтрон получил
возможность прониннуть В ядро, протону необходимо приблизиться к цeH
тру ядра лишь на расстояние R + d. Поэтому процесс Пlа является rораздо
более вероятным, чем процесс IIIб. Действительно, если энерrия €D меньше
Ze 2 / R, так что, иснлючая квантовомеханичесное пронинновение через
барьер, протон не может достиrнуть поверхности ядра, то процесс IIIa
Фи r. 102. Процесс Оппенrеймера Фил.
липса.
Случай а B дeT н процесс у III б; случа'й б н
нроцессу 1 и случай в H процессу ПУ а.
1) d по порядку величины равно половине значения ностоянной (II,2.7), входяще!!
в волновую фУНIщию, описывающую относительное движение дейтрона, т. е. d==I/ 2 .4,31 х
х 10 13 смс2,2 .10 13 см. Собственно. r{)воря, d представляет собой «диаметр» дейтрона.
r
6. Pea ции под действие.м оейтропов
399
является наиболее вероятной реющией под действием дейтронов. Эта peaн:
ция называется процессом Оппенrеймера Филлипса 1).
В настоящее время не существует удовлетворительной теории, которая
давала бы возможность подсчитать сечение процесса IIIa даже на основе
упрощенных предположений относительно BHYTpeHHero строения ядра,
сделанных в rл. VIII. Основная трудность зюшючается в нахождении
математическоrо выражения для волновой функции 'дейтрона вблизи ядра.
В этом случае задачу уже нельзя разбить на две части, одна из которых
сводится к описанию движения центра масс дейтрона, а друrая к опи
санию BHYTpeHHero движения. Это связано с тем, что элет,трическое поле
действует асимметрично скорее на протон, нещели тольно на центр масс.
Несколько попыток получить приближенное решение было сделано в pa
ботах [.569, 756,59, 587, 134].
Рассмотрим теперь составное ядро С', образовавшоеся в результате.
процесса IIIa с энерrией возбуждения Ес" В противоположность реакциям
типа 1 энерrия возбуждения ядра С' (Z, А + 1) не определяется одной ис
ходной энерrией, так как часть энерrии может уносить срывающийся HYK
JIOH (протон).
Закон сохранения энерrии дает следующее условие:
Е D В В (Х) == Ер + Б.с' в (С'),
(6.2)
rде E D нинетическая энерrия дейтрона (точнее Кинетическая энерrия
относительноrо движения' дейтрона и ядра мишени Х в системе центра
масс), В == 2,23 Мэв представляет собой энерrию связи дейтрона, В (Х)
энерrия связи ядра мишени Х, Ер энерrия вылетающеrо протона, Ес-
i.Jнерrия возбуждения cocTaBHoro ядра С', ноторое образуется в результате
присоединения к ядру Х одноrо нейтрона, и В (С') энерrия связи ядра С'.
Это уравнение можно решить относительно энерrии возбуждения cocTaBHoro
ядра С'. Обозначая через S == в (С') В (Х) энерrию отделения нейтрона
от ядра С', получим.
Ес- == ED Ep B+S .
(6.3)
Минимально возможная энерrия возбуждения Ес, == О соответствует макси
мальной энерrии, с которой протоны MorYT вылетать в результате этой
реанции. Мансимальная энерrия возбуждения Ес- получается в том случае,
коrда протон вообще не уносит энерrии, т. е. коrда в уравнении (6.3) Ер == О;
Распределение избытка энерrии между захватываемым нейтроном' и
вылетающим протоном является сложным процессом. Наrлядно этот процесс
можно представить себе следующим образом: при соприкосновении нейтрона
с поверхностью ядра полная энерrия дейтрона частично представляет собой
потенциальную энерrию (связанную с работой по преодолению кулонов
cKoro барьера), частично кинетичесную (которая соответствует исходной
кинетической энерrии дейтрона), частично внутреннюю (движение ней
трона относительно протона внутри дейтрона).
При расщеплении дейтрона эта энерrия распределяется между выле-
тающим протоном и попадающим в ядро нейтроном. Пt>Тенциальная энерrия,
поснольку она обязана наличию заряда, остается за протоном. ПО.1Jовина
кинетичесной энерrии Е D центра масс дейтрона переходит к нейтрону,
половина к протону. Распределение внутренней энерrии на Ени. (N) и Ени. (Р)
может происходить большим числом способов, однако при условии, что,
1) См. обзор Н u Ь у, progress in Nпсlеаr Physics, 3, 177 (1953). При.м. перев.
400 r.lt. 1 Х. Ядерные реа/l;ции. Прuл.ож:ение теории /1; 8/1;сnери.мента.м
YMMa остается равной энерrии связи
Е ви . (N) + Е ви . (Р) == В == 2,23 Иэв.
Вероятность данноrо распределения эне рrии определяется внутренней фунн
дией дейтрона. Следовательно, возможные энерrии возбуждения ядра С'
перен:рывают большой интервал энерrий. При этом нейтрон может остаться
даже с отрицательной .нинетичесной энерrией. В нвантовой механине отри
цательная нинетичесная энерrия соответствует волне, ноторая экспоненци
ально затухает и, таним образом, не может существовать на больших
расстояниях в пустом пространстве. Однаl{О она может пройти малое pac
стояние между точкой расщепления дейтрона и поверхностью ядра. Сле
довательно, свободный нейтрон, образовавшийся в результате расщепления
дейтрона, может попасть в ядро с «отрицательной нинетичесной энерrией»
и образовать составное ядро с энерrией возбуждения Ес" меньшей, чем
энерrия отделения S нейтрона от ядра С'. Ядро С' может даже образо
ваться в основном состоянии. Это коренным образом отличается от случая
образования cocTaBHoro ядра свободным нейтроном, при котором Ес, должна
быть больше SN.
Наиболее вероятн,ое значение энерrии Ер вылетающеrо протона полу
чится, если предположить, что протон уносит половину той энерrии, HOTO
рой обладал дейтрон в точне расщепления, всю потенциальную (элентро
статичесную) энерrию дейтрона в этой точке и половину внутренней энер
тии дейтрона ( B). Пусть R' обозначает расстояние между дейтроном
и центром ядра мишени в момент расщепления дейтрона. Тоrда
1 ( Ze2 ) Ze2 1
(Ер)ср. т Ею ][' +R' 2 В. (6.4)
Мы считаем, что R' имеет порядок величины R + (d/2). Подстановка (6.4)
с таним значением R' в (6.3) дает наиболее вероятную энерrию возбуж
.дения Ес, составното ядра С' == Х + N:
(Ес.)ср. ;, ( ED' Ze 2 d В ) + S .
R+
2
Вероятные значения энерrии возбуждения Ес, лежат в интервале :f: В
.Qноло средней величины (6.5).
Величина энерrии Ес, иrрает решающую роль для процессов, следу
ющих за образованием cocTaBHoro ядра. Если, например, Ес, < SN, то
.составное ядро не сможет испустить нейтрон. Оно освободится от избытка
энерrии либо путем испускания I KBaHTOB, либо путем испускания друrой
частицы Ь, если энерrия отделения Srз меньше SN. В большинстве случаев
происходит испускание только , KBaHTOB. Следовательно, при (Ес,)ср. < Siv
составные ядра' образуются с энерrией возбуждения меньшей Siv и реакция
d + Х == С'.+ р является основной реанцией. Если (Ес,)ср. > Siv, то COCTaB
ные ядра С' в большинстве случаев образуются в состояниях, в ноторых
возможно испускание нейтрона, и поэтому таная реакция оназывается
наиболее вероятной. Следовательно, можно сделать вывод, что при энерrиях
(6.5)
Ze 2
Е > E D * === + B
D' d
R+ T
реarщия (d, рп) вытесняет реанцию (d, р). На фиr. 103 приведено сечение
реакции (d, р) на Си 63 , которое иллюстрирует харантерный спад сечения
реанции (d, р) вследствие конкуренции реанции (d, рп). Спад происходит
выше харантерной энерrии Е1), которая для меди составляет около 8 Иэв.
При энерrиях, значительно превышающих Ъ, пропессы типа 1 и IПб уже
не ЯВЛяются пренебрежимо малыми по сравнению С процессом IIIa, Beдy
щим 'к образованию cocTaBHoro ядра "С'.
Вследствие наличия процесса ОппеЙf'еймера Филлипса сечение О"С' OHa
зывается, при одинаRОВЫХ энерrиях" больше друrих сечений для заряженных
частиц, Блаrодаря этому дейтронные реаRЦИИ имеют большое праRтичеСRое
значение для получения радиоактивных'
изотопов. Однано имеется: лишь очень
l:JeMHOrO теоретичеСRИХ работ, дающих
качественное описание дейтронных рею{
ЦИЙ. В у:.аботе [13.5] был УRазан путь для
использования дейтронных реаRЦИЙ в цe
лях получения данных по спеRТРОСRО
пии ядра 1).
, Для' леrRИХ ядер известно неСRОJIЬRО
примеров, Коrда облучение дейтронами
приводит к образованию cocTaBHoro ядра С
за счет обычноrо процесса 1. В этом
случае RУЛОНОВСRИЙ барьер недостаточно
высон, чтобы воспрепятствовать непосред
ственному образованию cOCTaBHOf'O ядра.
Следовательно, должны наблюдаться резо
нансные явления, иак это имеет место
в реакциях с друrими частицами. На фиr. 101 приведены два примера
резонаНСQВ в реакции С13 (d, р), ноторые соответствуют состояниям COCTaB
,HOf'O ядра N15 с энерrиями возбутдения соответственно .17,47 и 16,7 Иэв.
Существование, резонансов показывает, что эта реан:ция в значительнои
степени обусловлена непосредственным образованием cOCTaBHOI'O ядра. Боль-
шое чицю резонансов было также обнар;утено в реаRЦИЯХ С12 (d, jJ) и С12 (d, п)
[/ i 5, 379] . Резонансы в этих реакциях наблюдаются при одних и тех же
энерrиях, как и должно быть в случае непосредственноrо обрааования
cOCTaBHoro ядра в результате процесса 1.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
MaCCOBoe число (g 1).
, амплитуда резонансноrо рассеннин, отвечающан моменту Rоличеетва
движенин [; относительно ее определенин см. rл. VIII, g 2 ( 2, А).
энерrин Свнзи ДE;Jйтрона (В==2,23 Мэв) ( 6).
энерrин свнзи COCTaBHoro ндра С', образованноrо в результате про
цесса Оппенrеймера Филлипса (6.2).
энерrин свнзи ндра мишени Х (6.2).
ядро (составное), имеющее 2 протонов и A 2 нейтронов (g 6).
COCTaBHoe ндро, образующеесн в результате процесса .'Оппенrеймера.....:
Филлипса (э 6).
. дейтрон (s 1).
ОБО8пачепuя,
v
/
А
.41'
. рез.
в
В (С')
В(Х)
С (2, А)
С'
d
d
4 !
3
'"
2
.,.,
t\J
'а
....
t;j1
о
о
4 6 8 10 12 14 16
Ed, МЭб
Фи {'. 103. Сечение реЭRЦИИ (d, р)
на CU 63 [587].
Спад сечеН/IЯ при энерrиях дейтроноа
выше 8 М.в обусловлен ноннуренцией
реанции (<1; рn).
радиус дейтрона (d==1,1.10 13 см) (он
1
составлнет 4"" постоннной,
входящей в волновую фУНRЦИЮ дейтрона) (6.1).
d BeKTOp, соединщощий, протон и нейтрон в дейтроне и равный по абсо
лютной величине половине расстояния между ними; ( 6).
1) В последнее время были опубликованы интересные соображения [В е t h е, В .u,t.-
. 1 е r, Phys. Rev., 85, 10.'15 (952); В u t 1 е r, Рдув. Rev., 88,685 (1952)1 о ВОЗМОЖНОСТII
проверRИ при помощи дейтронных реаRЦИЙ «модели оболочек», а также ЭRсперименталь
'вые реЗУ;Iьтаты, непосредственно 'подтверждающие эту Модель [Р а r k i n s о n и др.,
Phys. Rev., 87, 387; 88, 141 (1952), а таRже Н а r v е у, Сап; JourIi. Phy<;.. 31, 278
(1953)1. Прuм. перее.
26 ВанА а .м 396
: r д. 1 Х. Ядерные реа"ции. ПРУ,JЮ:JЮeиuе теориц " a"cпepидiHтa.м
,
D
D'
D*
Е
,Ес,
<Ес"ер.
F..
Р"
F-p
8 (S)
Се (Ь)
1iш
1
.1
k
!<
к
К.
, l
L
м
м
1t
N
Р
Р.
Pi
Q
Qnfl
Qnp
Qpn
l'R
.
среднее расстояние Между резонансными уровнями с одн:цм и тем же ' '
полным моментом Rоличества движения J и четностью (9 2, А).
наблюдаемое расстояние между резонансами. D' зависит от разреmaJD..
щей способности аппаратуры, а таRже от свойств ядер (9 2, А).
энерrия, определенная соrласно (2.1), Toro же ПОрЯДRа вел:цчиlUl
что и D (2.1).
энерrия возбуждения cocTaBHoro ядра (9 2, А).
энерrия возбуждения cocTaBHoro ядра С', образованноrо в результате
процесса Оппенrеймера Филлипса (6.3).
наиболее вероятная энерrия возбуждения cocTaBHoro ядра обраS€r
BaHHoro в результате процесса Оппенrеймера Филлипса (6.5).
функция, связанная с относительной вероятностью испускания а частиц
из cocTaBHoro ядра; относительно ее определения см. rл. VIII, 96 (2.20).
функция, связанная с относительной вероятностью испускания ней
тронов из cociaBHoro ядра; относительно ее определения см. rл. VllI
9 6 (2.20). '
функция, связанная с относительной вероятностью испуСRания про
тонов изсоставноrо ядра; относительно ее определен,Ия см. rл. VIII.
9 6 (2.20).
статистический вес спина Rанала S (2.10).
относительная вероятность испускания частицы Ь из cocTaBHoro
ядра (9 3, В).
энерrия l лучей (ВОЗНИRающих в результате радиационноrо захвата)
(9 5, Б). '
MOMeHT Rоличества движения (<спин ) ядра миШени Х (9 2, А).
полный момент Rоличества движения cocTaBHoro ядра С (9 2, А)
волновое число, отвечающее относительному движению до реаRЦИ8
[k== (2М f)lf2jh] (2.3)
постоянная Больцмана; kT равно средней тепловой энерrии при тeм:
пера туре Т (2.13). '
волновое число нейтрона внутри cocTaBHero ядра (2.11).
волновое число нейтрона внутри cocTaBHoro ядра в случае. Korдa
энерrия канала f == о; Ко 1.1013 Cм, l (9 2, Д).
MOMeHT Rоличества движения падающей частицы (9 2, А).
наинизшее значение момента КОJIИчества движения l, совместимое
с данной величиной полноrо момента Rоличества движения J и чет ,
ностью cocTaBHoro ядра Пе (9 2, А).
приведенная масса в случае относительноrо движения в Rанале
[М примерно равно массе падающей частицы] (2.3).
Macca нуклона (9 6).
нейтрон (9 1).
число нейтронов в ядре мишени (9 3, А).
протон (9 1).
импульс, приписываемый Rаждому нуRЛОНУ в дейтроне и обусловлеи
ный движением центра масс дейтрона [ро==(М fv)lf2 (9 6).
импульс, приписываемый Rаждому нуклону в дейтроне и обусло.
ленный внутренним движением (9 6).
тепловой эффеRТ Q ядерной реакции (9 5, А).
величина Q реакции (п, а) (2.20).
величина Q реакции (п, 1') (2.20).
величина Q реакции (1', п) (9 3, А).
постоянная, входящая в формулу Дl!Л радиусов ядер R==roA1f3 (92, Д);
радиус канала (2.3).
."
"d
,
.
1
\
.
:)
.'
R'
8
S
S
В.
в;.,
т
'1)
VI
х (Z, А)
Z
а
а
а
i
1
r == r.
fn.1
r s
n
r s
р
r SL
r рад.. I
r;
r ад.
r s == r
r:
.lf
.lE
(ДЕ)j;j
Е
Е
Е.
Е}
Ее
ОБО8/М<l.eНUЯ
4QЗ
расстояние между центрами дейтрона и ядра мишени в момент рас-
щепления дейтрона (6.4).
спин падающей частицы при ядерной реанции (3.1).
спин нанала (g2, А).
энерrия отделения частицы .(нейтрона) от cocTaBHoro ядра ( 2, .4.).
энерrия отделения частицы Ь от cocTaBHoro ядра С', обраsованноrо
в результате процесса Оппенrеймера Филлипса (g 6).
энерrия отделения нейтрона от cO,cTaBHoro ядра С', образованноrо
в результате процесса Оппенrеймера Филлипса (6.3)
абсолютная температура вещества мцщени в rрадусах (2.13).
CKOpOCTЬ дейтрона, пролетающеrо вблизи ядра Х (g 6).
проницаемость в случае столкновения с моментом количества дви-
жения 1 (2.1), (2.2).
ядро Х, содержащее Z протоноЬ и A Z нейтронов (g 6).
число протонов в ядре мишени (g 3, А).
а; частица (9 1).
канал при ядерной реанции; индекс нан ала а внлючает специализацию
спина канала S (g 3, А). .'
,rруппа эффективных входных наналов при реакции под действием
протонов (9 3, А).
l-квант (g 1).
приведенная парциальная ширина резонаНСIiOrо уровня с номером s,
отвечающая испусканию нейтронов (2.10).
полная ширина резонансноrо уровня с номером s (2.5),(3.1).
нейтронная ширина, усредненная по резонансам, отвечающим нейт[,о-
нам с моментом ноличества движения 1 (2.16).
нейтронная ширина резонансноrо уровня с номером s (2.1)
протонная ширина резонансноrо уровня с номером s (3.1).
парциальная ширина резонансноrо уровня с номером s, отвечающая
-испуснанию протона при условии, что спин нанала равен В, а момент
КОJlИчества движения равен L (3.2).
радиационная ширина, усредненная по резонансам, отвечающим ней-
тронам с моментом ноличества движения 1 (2.16).
ширина резонансноrо уровня с номером s, отвечающая реакции (2.6).
== r рад;; радиационная:ширина резонансноrо уровня с номером s (2.6), (3.1).
полная щирина резонансноrоуровня с номером s (2.5), (3.1).
парциальnая щирина резонансноrо уровня с номером s, отвечающая
, испуснанию а-частицы (g 5, А).
интервал энерrетичесноrо размытия падающеrо пучна (g 2, А).
энерrетический интервал, большой по сравнению с расстоянием между
уровнями D cocTaBHoro ядра (9 2, В).
энерrетическое размытие, оБУСЛОВllенное эффентом Допплера (2.13)..
энерrия канала (Е == энерrии относительноrо движения в системе
центра масс) (g 1).
средняя энерrия падающеrо пучна (g 2, А).
энерrия, связанная с выСОтой центробежноrо барьера для нейтро-
нов (2.3).
энерrия нанала, при ноторой нейтронная ширина, усреднеинаlJ.. 11:0 '
резонансам, отвечающим S-волне, становится равной раДЮЩИОRНQй,
ширине, усредненной по тем же резонансам (2.15), (2.15а).
избытон энерrии над noporoM реанции (п, 2п) (Ее== E Sn) (2.21).
26*
,(04 rA. 1 Х. Hдepн,ь e ретщии. ПРUllожен,ие теории" 8"спери.мента.м
сечение радиационноrо захвата нейтронов с моментом количества
движения l (9 2, В).
сечение радиационноrQ захвата нейтронов с моментом количеСТВ1:
движения l, усредненное по большому числу резонансов (9 2, В).
м ксимальное (полное) сечение в резонансе для нейтронов, в случае
идеальной разрешающей способности по энерrии (2.5).
a aHC., энсперим. мю{симальное (полное) сечение в резонансе для нейтронов, наблюдае
мое па, опыте в случае конечной разрешающей способности по энерrии,
равной ДЕ (2.5).
сеqение реакции (п, р) (2.20).
сечение реакции (р, п) (9 3, Б).
сечение реакции, не включающее сечение упруrоrо рассеяния (92, Д).
сечение реакции для частиц, ОПI):сываемых S волной (l==0) (2.8).
сечение упруrоrо рассеяния дли частиц, описываемых S волной
(l==0) (2.8).
полное сечение (сечение упруrоrо рассеяния + сечение реакции) (9 2, А).
сечение реющии (а, п) (9 3, Б).
сечение реакции (а, 2п) (9 3, В).
сечение реакции (а, 3п) (9 3, В).
Е п
Ei
Ер
f Q
(Ер)ср.
1:8
1: rепл.
1:0
I:
1:8
с
6
.t)
1\
П С
а (а, Ь)
ас. 1 (п)
ас (р)
ас (а)
, ас (В)
ас (п)
(ас (п»ср.
(ас (п»тепл.
a (п)
(a (п)ср.
а мане.
а (п, р)
а'!р,' п)
a r
a r . о
а о . о
а,
( .. (а,
, 11 (а,
а (а,
п)
2п)
3п)
энерrия, отвечающая дейтронному каналу (9 {j). .
энерrия в области «сверхвысокиц энерrий (свыше 30 Мэв) (9 4).
энерrия, отвечающая протонному каналу (g 3, В).
энерrия протона в процессе Оппенrеймера Филлипса (6.2).
наиболее вероятная величина энерrии протона в процессе Оппенrей
мера Филлипса (6.4).
Эllерrия канала Е, соответствующая резонансному уровню cocTaBHor
, ядра с номером ',8 (9 2, А).
тепловая энерrия (энерrия rщнала Е, имеющая порядок 0,025 эв) (92, А).
энерrия, отвечающая а чаСТИЧIlОМу каналу (9 3, В).
, ЭIlерrия в нанале (9 2, r).
часть ЭIlерrни, идущая в результате ядерной реакции на (<наrревание&
нонечноrо ядра (9 4).
== D/[ Е тепл . E81; действитеJlьное ЧИСJlО (БОJlьше единицы) (2.11).
уrол между вектором d и папраВJlением движения дейтрона (9 6).
температура конеЧlIоrо ядра после испускания из cocTaBHoro ядра
первоrо нейтрона (МЭfl) (2.21).
деJlенная на 21t ДJlина волны де БрОЙJlЯ, отвечающая относительному
движению (9 2, А).
четность COCTaBHoro ядра С (9 2, А).
сечение реющии (а, Ь) (9 3, В).
сечение образования cocTaBHoro ядра нейтронами с моментом коли
чества движения l (2.16).
сечение образования cocTaBHoro ядра протонами (9 3, Б).
сечение образования cocTaБRoro ядра а частицами (9 3, Б).
сечение образования cocTaBHoro ядра по канаJlУ (9 2, r).
сечение радиационноrо захвата нейтронов (9 2, А).
. сечение радиационноrо захвата нейтронов, усредненное по БОJlЬШОМУ
числу резонансов (2.18).
сечение радиационноrо захвата теНJlОВЫХ нейтронов (2.11).
rлава х
ФОРМАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАНЦИЙ
. ,
в этой rлаве при помощи более общих методов, нежели использован,
ные в rл. VIII, будет получен ряд разультатов теории ядерных реакций:
При этом мы оrраничимся обсуждением некоторых фундаментальных теорем,
часть которых была либо доказана, либо обоснована менее строrим путем
в rл. VIII.
Проводимое в этой rлаве формальное рассмотрение сделает более оче
видной область применимости и оrраничения теорем. В частности, формула
Брейта Виrнера для резонансных реакций будет получена в более
общем виде, чем в rл. VIII. Правда, эта формула содержит так MHoro про
из вольных параметров, что в наиболее практически важных случаях она
сводится к виду, используемому в rл. VIII.
Мы попытались в разумных пределах сохранить математический
аппарат теории, по возможности оrраничивая рассмотрение, простейшими
типами реющий, а именно реакциями с участием незаряженных и не име-
ющих епина частиц с нулевыми моментами количества движения.
s 1. МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
А. ОбlЦИЙ вид ВОЛИОRОЙ функции
Рассмотрим ядерную систему, возбужденную достаточно сильно, так
что расиад cocTaBHoro ядра может происходить по различным каналам, кото--
рые мы обозначаем rреческими буквами а., , 1 и т. д. Оrраничимся, для
сохранения простоты, рассмотрениями каналов, в которых отсутствует
«барьер», т. е. каналов, отвечающих s нейтронам, и будем пренебреrатi.
спинами ядерных частиц.
Волновая функция W системы, имен)щей определенную полную энерrию
Е, обнаруживает чрезвычайно сложное поведение в той части конфиrура
ционноrо пространства, которая соответствует области cocTaBHoro ядра,
т. е. области, в которой все координаты r 1 , r 2 , . . ., rA А ядерных частиц
оказываются близкими друr к друrу. С друrой стороны, в области конфи
rурационноrо пространства, соответствующей различным открытым каналам,
поведение функции оказывается весьма простым: волновая функция W опи
сывает относительное движение частицы а и конечноrо ядра Х в paCCMaT
риваемом канале, а также их внутренние состояния, отвечающие этому
каналу. Таким образом, в области КО фИl7рационноrо пространства, COOT
ветствующей, скажем, каналу а., волновая функция имеет следующий вид:
W == Ф (r ) Ха (в канале а.), (1.1)
rде Ха собственная функция конечноrо ядра Х в состоянии а.. Если
испускаемая чаСТИЦI1 а является сложной (например, .1I частицей), ТО х.
,', \'
40
rA. Х. Фор.мдд,ьuая теория яоерuых реа"ций
будет произведением собственных функций Х и а. Функция' Ф (r,,) описывает
ОТНОСIIтельное движение, а r" является (<Rоординатой каналю> (см. rJI. VIII).
Волновая функция Ф (ra) содержит каи сходящуюся, так и расходящую .
ся сферические волны. Пусть v.. будет скоростью в канале r:t, а k" волно
БЫМ числом канала, отвечающим полной энерrииЕ (лишь часть которой
является кинети,еской энерrией Е" канала). Тоrда Ф (r,,) мотно эаписать
в следующем виде:
А ik..r" + A' ik..r..
..е ..е
ф(r..)==
V 4тcv.. r"
(1.2)
Первый член суммы, стоящей в числителе, после умножения на COOT
ветствующийвременной множитель описывает сходящуюся волну; второй
член расходящуюся волну. Множитель V 4тт" может быть внесен в по
стоянные А.. и А; (до сих пор произвольщ.rе), однако БО.iIее удобно выписать
ero отдельно.
Б. Определение матрицы рассеяния
. Если при энерrии Е существует только один открытый канал, О
волновая функция будет однозначно определяться энерrией 1). В этом
случае СХОДЯJЦаяся волна данной интенсивности будет приводить к опреде
ленной расходящейся волне в том же канале. С друrой. стороны, если
имеется несколько открытых каналов, то сама по себе энерrия не будет
однозначно определять волновую функцию. Наиболее леrко это можно по
пучить, приняв во внимание, что сходящаяся волна может присутствовать
Б любом из отн:рытых каналов. При этом соответствующие волновые фУIlК
ции будут отличаться друr от друrа. Если имеется N открытых каналов,
то при одной и той же полной энерrии Е существует N таких волновых
функций.
И bi будем, использовать эти N вОЛllовых фую.ций в к,а'Честве базиСllОЙ
систем,ы 2). Волновую функцию, ОJIисываюJЦУIO реакцию, вызванную по Ka
налу r:t, будем обозначать через W". Поведение W.. в области конфиrурацион
Boro пространства, соответствующей некоторому каналу , описывается
выр.ащением [см. (1.1)]
W,,==ф. (r )х (в канале ). (1.3а)
Если =f::. а, то волновая функция относительноrо движения записывается
в виде только расходящейся вОЛllЫ (S.. постоянная):
S ik r
o e
ф.. (r ) == 1 / 4 '
" . ТCV r
, '
=/= r:t.
(1.3б
с друrой стороны, в канале r:t имеются обе волны: СХОДЯJЦIlЯСЯ и pac
ходящаяся; при Этом сходящаяся волна должна быть нормирована в COOT
ветствии с потоком частиц а в канале r:t. Мы будем нормировать Ф к еди
НИ:<lНОМУ сходящемуся потоку в полном телесном уrле, т. е.
4тcv" (ф* ф) r; == 1
1) 3а исключением постоянноrо множителя, который мы не будем принимать
во внимание.
2)u Этот частный вид базисной системы является наиfiолее удобным для об уждения
сечении. Однако он не является единственно возможным, и в 4 представится случай
использовать друrие базисные функции. В принципе любые N линейно независимых
волновых функций MorYT быть использованы в качестве базисной системы, и используе
мый частный выбор продиктован лишь соображениями удобства.
А 1: Матрица рассеяния
/
407
МИ сходящейся части ф"а (r<>.). Это дает
ik",Ta S ikaT"
е а"е
Ф"а (r,,) ==
v 4тcv a r"
== Cl..
(1. Эв)
Для полноrо описания асимптотическоrо поведения волновой функции
необходимо N постоянных S, ( == 1, 2, . . ., N) дЛЯ данноrо выходноrо
Rанала Cl.. Поскольку cl. может быть любым из N открытых каналов, то
получается N2 постоянных Sa . :Можно считать, что они образуют N ряд
ную квадратную матрицу, так называемую .матрицу рассеяния системы с
.внерrией Е [792, 361, 539, 816, 204].
Из определения матрицы рассеяния Sa очевидно, что она полностью
.описывает асимптотическое поведение волновой функции в различных Ka
палах даже в наиболее общем случае, коrда реакция вызывается в OCHOB
ном не через один канал и падающие волны присутствуют во всех каналах,
(соответствующая волновая функция представляет собой в этом случае ли
нейную комбинацию N функций чr" (1.3)]. Таким образом, результат
JIюбоrо измерения, произведенноrо над системой после разделения про
.дуктов реакции (например, сечения различных возможных реакций), может
ЫTЬ выражен через матрицу раесеяния. Однако, описывая лишь асимптО
тическое поведение волновой функции, матрица рассеяния не дает нам
<сколько ни6удь детальной информации относительно caMoro cocTaBHoro ядра.
3начение матрицы рассеяния заключается в следующем: можно. дo
Rазать, что матрица рассеяния должна обладать определенцыми свойствами
при самых общих предположениях относительно физическоrо процесса,
происходящеrо во «внутренней области» (cocTaBHoro ядра, полости или в
.любом друrом возможном случае). Оти свойства матрицы рассеяния связы
вают друr с друrом сечения различных реакций совершенно независиио
ОТ детальноrо механизма реакции.
В. Сечения, выраженные через матрицу рассеяния
Исходя из выражения (1.3б), мы определили величину потока, отвеча
ющеrо расходящейся сферической волне в канале *' Cl.. Этот поток пред
тавляет собой произведение плотности вероятности ф*ф, скорости канала
V и площади поверхности сферы 4тcr , через которую проходит поток:
Расходящийся поток в канале == : фа V (4тсrЮ == I Sa 12. (1.4)
Для нахождения падающеrо потока сравним сходящуюся сферическую
:волну в формуле (1.3в) с членом, описывающим сходящуюся сферическую
Е0ЛНУ с 1 == О в разложении (VIII, 2.7) плоской волны e ikz по сферическим
тармоникам. Поскольку в случае плоской волны e ikz -поток равен v, то
ходящаяся сферическая волна в выражении (1. 3в) для фа" соответствует
потоку плоской волны, равному
k 1
-; == тсл 2 .
а
">
,Деля расходящийся поток (1.4) на поток падающей плоской волны, МЫ
получим следующий результат для «сечения перехода» от канала cl. к Ka
.на.яу (Т. е. части сечения, отвечающей l == О):
C1a == ТC1\ J S,, 1\ =f=. Cl.. (1.5)
Сечение ynpyroro рассеяния С1",а для случая l == О было вычислено в
('П. VIII, 2. Сравнение определения S"", данноrо в (1.3в), с членом
формулы (VIII, 2.8), соответствующим l == О, показывает, что S,,« идентично
«" "
j
408
r.л,. х. Фор.ма.аьная теория ядерных реа"ций
введенной в rл. VIII величине 110' Следовательно, сечение рассеяния для
случая l == О дается формулой (VIII, 2.11), которая в наших обозначениях
приобретает следующий вид:
O"s.o==aG.G.==тeli. 11 SaaI2. (1.6)
Для формул (1.5) и (1.6), дающих сечения (<перехода» и рассеяния.
мотно ИСпользовать единую з пись:
a,, ==тeli. laG. s,, 12. (1.7)
Очевидно, что 'все эти сечещ1Я обращаются в нуль, коrда матрица pac
сеяния тождественна с единичной матрицей SG. == aG. ' Это оправдывает
выбор знака минус при определении SG. в (1.3б) и (1.3в).
«Сечение реакцию>, встречавшееся в предыдущих rлавах, представляет
собой сумму всех сечений переходов к каналам 4= а., т. е.
От == тeli. LJ I SG. 12.
*"
(1.8)
Это же сечение, выраженное в rл. VПI при Помощи. величины 11 == S."'.
ваписывается в виде
aT==тeli. (1 IS"",12). (1.9)
Эквивалентность выратений (1.8) и (1.9) является результатом первой
'теоремы СОх.ранения, которая будет доказана в следующем параrрафе.
При дальнейшем обсуждении мы будем повсюду пренебреrать возмож
ностыо радиационноrо захвата. Хотя в принципе такой процесс может
быть включен в матрицу рассеяния, однан:о это привело бы н: усложнению
. нашеrо рассмотрения, не облеrчив уяснения сути дела.
До тех пор, пока у частиц, участвующих в реан:ции, отсутствуют спины
(включая ядро мишени и различные нонечные ядра), формулы (1.5)
(1.9) можно весьма леrно обобщить на случай отличных от пуля моментов
количества движения l *' О. Длн этоrо следует просто заменить в опреде
лениях (1.3б) и (1.3в) дЛЯ SG еХР(::I: ikr) на ехр [::1: i(kr 1/2lтe)] и тeli.;
на (2l + 1) тeli. . .
Наличие кулоновсн:оrо барьера не вносит J\аних либо изменений, так
как мы рассматриваем лишь асимптотическое поведение волновых Функ:--
ций при больших значениях r. Если КУЛОНОЕское поле экранируетсл
'атомными электронами (н:ак это всеrда имеет место на практике), Т()
аСимптотическое поведение воЛ'Новой функции, отвечающей моменту коли
чества движения l, попрежнему имеет вид ехр [::1: i (kr . 1/2 lтe)]:
Формулы становятся rораздо более сложными, если в различных Ka
налах имеются спины. Мы не будем обсуждать здесь эти случаи, с K"TO
рыми читатель может познаномиться в работе [816] (в этой работе матри
ца рассеяния обозначается через И).
;.
5 2. ТЕОРЕМЫ СОХРАНЕНИЯ И ВЗАИМНОСТИ ДЛЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ
А. СХОДНlЦиесн и раСХОДНlЦиесн волны
Введенные в предыдущем параrрафе волновые фуннции описываюТ"
стационарный процесс, при котором сходящансн волна имеет во входном
канале постоянную амплитуду, т. е. происходит непрерывное пополнение.
частиц, вступающих в реанцию. Рассмотрим теперь случай, при I\OTOpOM cxo
дящаяся сферическая волна в канале а. « Включаетсю> на некоторый конеч
ВЫЙ промежуток времени т и затем снова «вьшлючаетсю>. Поясним xapaK
ep волновой функции путем аналоrии с соедине ием в лноводов, КОТОРО&
!,
2. Теоремы сохранения и 8ааимности для ядерных реапций
409 \
r
состоит из различных каналов а., , . . ., ве)3;ущих к соедцнениlO. В этом
случае волновая функция за некоторый промежуток времени .до реакции
будет отвечать картине, изображенной на фиr. 104,а. Волны отсутствуют
во всех каналах, за исключением канала а., в котором имеется волновой
пакет конечной длины, распространяющийся по направлению к соедин
нию (составное ядро). Длина этоrо волновоrо пакета равна L == v T, rде
V o скорость в канале а. 1 ). '
{J
I
"'
CL
а.
а
6
l'
Фи r. 104. Соединение трех наналов.
a дo реaIЩИИ в нанале присутствует волновой панет. распростраНfIЮ
щийся по направлению соединения (составное ядро); в остальных наналах
волны отсутствуют; б после реанции во всех наналах имеютсЯ раСХОI\Л
щиеся волны; амплитуды этих расходящихся волн определяютсл матри-
цей рассеяния S .
Рассмотрим теперь более поздний момент времени, коrда реакция уже
произошла. В этом случае волновая функция отвечает картине, изобра"
тенной на фиr. 104,6: во всех каналах, включая нанал а., имеются pac
ходящиеся волновые пакеты (конечной длины). Длина волновоrо пакета R
канале равна L == v T, так как промежуток времени, в течение KOTOpO
ro продукты реакции попадают в стационарный детектор одноrо из KaHa
лов, приблизительно равен промежутку времени Т, в течение KOToporo.
была ранее «включена» падающая сферическая волна.
Поскольку в настоящее время мы рассматриваем волновой пан:ет KO .
печной длины, волновая функция может быть нормирована Ix единичной.
полной вероятности
W*W dт. == 1.
(2.1)
Рассмотрим вначале нормировочный интеrрал ДJIЯ случая, изображен
Horo на фиr. 104,а, имеющеrо место до реакции. Волновая функция повсюду
равна нулю, исключая канал а., в котором она имеет следующий ви.ц.
'
1) Существование волновоrо панета опреДЕ'ленной длины L с реЗI{ИМИ rраницами, стр()--
ro rоворя, невозможно. Если в начальный момент ВРЕ'мени нрая являются резними . то по.
истечении HeHOToporo времени края станут менее резними; эффентивная длина L волновоrр--
панета с течением времени возрастает. Можно оценить ширину rраничной области: по по-
рядну величины она составляет неснольно длин волны де Бройля и увеличивается на то:У.
же порядон величины при прохождении волновоrо паI\ета через область cOcTaBHOrO ядра>
и испуснании через друrой нанал. ТаIШМ образом, если мы сдела м длину волновоrо-
па нета L большой по .:раВlIению с линОй волны де Бройля 'J:.==пjMv, то эффентом нраеlt
вообще можно будет пренебречь. В дальнейшем обычно будем поступать подобным.
образом.
[,
. .....t
. <410
r л,. Х. Фор.мад,r.наа теориll; ядВр1tыж реа"ций
{на длине L ,. rде функция отлична от нуля):
ikara
е . Ха
W.., СХОД. == С . , (2.2)
V 4Л:V а r а
"де С нормировочная постоянная. Интеrрирование Ха по внутренвии
Rоординатам Ха И а,," дает единицу, так что мы получаем
W:,сход. W a , СХОД. d't == 1 с 12 I e ihara \2 v: dr..== I с 12 a == I с 12Т== 1.
'Таким образом, постоянная С в (2.2) может быть выбрана в виде
1
С == ут ' . (2.Za)
rде Т промежуток времени, в течение KOTOpOro включена еходящаяся
:Iюлна.
По определению, матрица рассеяния описывает амплитуды расходящихся
-волн в различных каналах, если только задана амплитуда сходящейся
'волны. Соrласно (1.3б), расходящаяся волна в канале , изображенном
:на фиr. 104,6, описывается выражением
ik r .
е X
W", расход по == с ( SO ) 1/ 4 , (2.3)
v л:v r
"де С попрежнему дается выражением (2.2а). В таком случае вероятнесть
найти продукты реакции в канале равна
I W", расход по 12 d't == I с 121 Sa \2 : == I S.. [2. (2.4)
Между прочим, эти формулы приложимы также к случаю, коrда иы
интересуемся частицами, вылетающими по тому те каналу == (1., по KeTO
'рому раньше распространялась сходящаяся волна.
Б. Теоремы сохранения
Из ВОЛНОlJоrо уравнения
HW == i-n Oa
(2.5)
(W, W) ==
'Следует, что производная по времени скалярноrо произведения
'== w*w d't равна нулю:
а ( очr ) ( ачr ) i i
ot (W, W) == вТ, W + W, 7ft. ==}; (HW, W) };(W, HW) ==0,
(2.6)
-так как Н эрмитовский оператор. иёпользуем теперь это постоянство
нормировки волновой функции (т. е. постоянство полной вероятности
-обнаружить rде либо частицы) для получения теоремы сохранения для
ядерных реакций. Выберем W a , (2.2) и (2.2а) так, чтобы до реакции
(W, W) == 1. Такая нормировка должна быть справедлИIЮЙ также и после
реакции. Соrласно (2.4), каждый канал вносит в полную вероятность
('1, 4) ВIшад, равный I S.. 12. Следовательно, мы доказали первый аа,;он,
храllC1tuя:
ISa131 2 == 1.
(2.7)
:Это является формальным доказательством эквивалентности выражений
( 1.8) и (1.9) для сечения реакции.
А 2. Теорем;ы сохранения и вaau.м.Hocти aJWf, ядЦjНЬJХ реа"ций
4Н
Первый закон сохранения выражает сохранение вероятности. Левая
часть (2.7) представляет собой вероятность Toro, что реакция произойдет
:по одному из возможных каналов, и эта вероятность, конечно, равна
-единице. Имеется, однако, одно условие: при суммировании должны у'qИ
-тываться все возможные результаты реакции. Если блаrодаря ошибке
какой либо канал выпадет, то сумма (2.7) окажется меньше единицы.
'Практически, это может иметь место в связи с радиационным захватом,
который не учитывался нами на равном основании с н:аналами, отвечаю
щими вЬ!лету частиц. Чтобы учесть этот процесс, мы должны были бы,
,<:обственно rоворя, включить в определение матрицы рассеяния координа
"-ты электромаrнитноrо поля, что привело бы к усложнению, не внеся,
'Однако, ничеrо существенноrо.
Если две волновые фующии W и Ф удовлетворяют одному и тому же
волновому уравнению, то их скалярное произведение (W, Ф) не зависит
.от времени:
(W, Ф)==( Оо , Ф)+(W, ) == (HW, Ф) (W, НФ)==О.
lСохранение НОРМИРОВКI! (2.6) является специальным случаем этой
-теоремы.] В частности, если вначале W и Ф были ортоrональны, то они
:продолжают оставаться ортоrональными друr друrу и в последующие MO
:менты времени.
Применим эту теорему" к ядерным реакциям для получения BToporo
закона сохранения. Рассмотрим волновые функции чr" и W (а =1= ), описы
вающие реакции, про исходящие с одним и тем же составным ядром, но
I()тличающиеся исходными каналами, по которым распространяются сходя
щиеся сферические волны. До реакции волновые функции W" и W OpTO
I'ональны друr друrу: W" равна нулю всюду, кроме канала а (см.
фиr. 104,а), W равна нулю всюду, кроме канала ; таким образом,
:волновые функции не перекрываются и их скалярное произведение равно
1I ЛIО.
Рассмотрим те те самые волновые функции после Toro, как произошли
-обе реакции. Во всех каналах имеются в.олны, возникшие в результате
-обеих реакций. Тем не менее полное скалярное произведение должно быть
:попрежнему равно нулю. Например, канал 1 вносит следующий вклад в
{W,, W ):
W:, расход по r W , расход по r d't == с: с 8: у 8 y Т',
(2.8)
'l'де С", С нормировочные постоянные (2.2а) соответственно дЛЯ W" и W ,
3 Т' промежуток времени, в течение KOToporo продукты реакции, реrи
оСтрируемые стационарным детектором, возникают в результате обеих
реакций. Это «время перекрытия» одно и то же для всех каналов 1.
Просуммируем вклады (2.8) по всем каналам 1 и положим результат"
равным нулю. Это даст второй aalf,Oll сохраllеllИЯ:
8: у 8 y == О, а =1= .
r
(2.9)
Мы видим, что оба закона сохранения (2.7) и (2.9) MorYT быть co
:вместно записаны при помощи выражения:
S r8 r==3a. , (2.10)
r
В матричном обозначении выражение (2.10) принимает вид
88+== 1,
(2.10а)
< ,
,
412
rll,. Х. Фор.ма.аь'нал' теория яоерн,ы реапций
rде s+ матрица эрмитовсии сопрнженная с s, а 1 единичная матрица.
Таиим образом, оба заиона сохранения предполаrают, что матрица pac
сеЯllия является УllитаРllОЙ матрицей.
Унитарность матрицы рассеяния S приводит И значительному оrрани
чению числа параметров, необходимых для описания реаиции. Например,
для реаиции, идущей по двум ианалам, ма1:рица рассеяния является
двухрядной ивадратной матрицей С' иомплеисными иоэффициентами и,
следовательно, содержит 2. (2)2 8 действительных параметров. Однаио
соотношение (2.10) наиладывает три различных оrраничивающих. условиJI';
таи что остается тольио 5 независимых параметров. В общем случае для
реаиции, идущей по N ианалам, матрица рассеяния содержит 2N2 дей
ствительных параметров, связанных между собой 1/2 [N (N + 1)] соотноше
ниями (2,10).
.
В. Обращение времени
Во мноrие задачи физиии направление времени не входит в явном
виде. Это справедливо для большинства систем, в иоторых сохраняется
энерrия. Например, движение планет воируr Солнца инвариантно относи
тельно обращения времени: если данная орбита
X===/l(t), Y-==/2(t), z==/з(t)
удовлетворяет уравнениям Ньютона, то «обращенная во временю> орбита
X /l( t),
Y==/2( t),
z == /3 ( t)
таиже является возможной орбитой планеты, т. е. удовлетворяет уравне,..
нинм Ньютона.
Физичесная система инвариантна относительно обращения времени, если
для любоrо возможноrо состояния системы существует «обращенное во Bpe
меню> состояние, таиже удовлетворяющее уравнениям движения. ,
Исследуем операцию обращения времени длн ивантовомеханичесиих
систем [801]. Начнем с плосиой волны e ikz , распространяющейся в положи
тельном направлении оси z и х раитеризующей свободную частицу. «Обра
щенноЙ во времени» является волна, движущаяся в ПРОТИВОПОЛОi'кНОМ на,..
праВJlении e ikz. Оба решения являются иомплен:сно сопрятенными.
Поэтому мы ожидаем, что обращение времени связано в общем случае
с взятием НОМПJJенсно сопряженной волновой фуннции.
Предположим на неноторое время, что rамильтониан является не тольно
эрмитовсним (Н+ == Н), но таиже и действитеJIЬНЫМ (Н* === Н). Возьмем
номпленсно сопряженное от обеих частей волновоrо уравнения (2.5):
Н*Чf* . ow* . aw*
=== L1i75t==l1i a,( t)'
(2.11)
Таи нан, по предположению, Н* === Н, то выражение (2Д1) поиазывает, что
волновая фуннция Чf* ведет себя при изменении времени в отри
цательном направлении точно тан же, нат, W ведет себя при изменении
времени в положительном направлении. Действительность rамильтониана
предполю'ает возможность обращения времени, а волновой фуницией обра
щенноrо во времени состояния в этом случае является фуннция, номпленс
НО СОIJряженная исходной ВО.ЛНОБОЙ фуннции
W(обр.) (r, t) == Чf* (r, t).
Сделанное выше предположение является необходимым, но не достаточным
для возможности обращения времени. Нам следует лишь потребовать,
чтобы Н и Н* не отличались в «существенной мере» друr от друrа, т. ..
J
Теоремы сохранения и вааимности д.ая яоерных реа"ций
413.
чтобы они отличались, самое большее, на унитарное преобразование и
(и не зависит от времени):
'
Н* == и 1Hи.
(2.1,2)
Используя те же aprYMeHTbl, что и раньше, найдем, что обращенное во
времени решение имеет 'Вид
W(обр.) (r, t) == UW* (r, t). (2.13)
'Унитарность U необходима для Toro, чтОбы обращенная во времени функ
ция была нормирована к единице, если подобным ще образом была норми
рована исходная функция.
Наиболее важным практическим случаем, при котором обращение
времени не нвляется просто эквивалентным взятию I{Омплеl{сно сопряжен
ной ВО.лновой фующии, явлнется случай наличия спинов. Например, части
ца со спином 1/2 подчиняется волновому уравнению, которое содержит
спиновьfе матрицы Паули ах, ау, a z . Эти матрицы удобно записать такиМ
образом, чтобы ох и а , были действительными, а
ау==С )
чисто мнимой. Таким образом, Н* не равно Н. Матрицы Паули входят
в уравнение :в комбинации с друrими векторами типа (aL), rде L вектор
момента количества движения:
L == (r Х р) == {п (r Х v).
в этом случае
(aL)* == a Li + O Lt + O Ц == 0xLx + oyLy . ozLz.
Простой подсчет показывает, что унитарное прео?разование U ==- <;1у приводит
это выражение к первоначальному виду (aL). 1 аким образом, в этом случае
обращение времени означает не только взятие комплексно сопряженной
волновой функции, но и умножение ее, соrласно (2.13), на и == ау.
Это унитарное преобразование допускает простую интерпретацию. Оно
ведет к изменению направления, в котором был ориентирован спин час
тицы. Это можно объяснить тем, что спин во мноrих отношениях ЭRвива
лентен KpyroBoMY току. Если изменить знак времени, ток будет течь
в обратном направлении; следовательно, Иqменится и ориентация спина.
Такая ин:терпретация указывает на один важный случай, при котором
энерrия сохраняется, но обращение времени, тем не менее, невозможно:
это случай системы, находящейся во внешнем маrнитном поле. Маrнитное
поле может создаваться токами в катушке, находящейся за пределами
рассматриваемой системы. При обращении времени эти токи меняют свое
направление; одновременно меняется и направление создаваемоrо им ма-
rнитноrо ПОJШ. В системе, на которую действуют маrнитные поля, обра
,щение времени возможно только в том случае, если одновременно меняются
и направления этих полей. Обратно, если предполаrается, что внешние
поля сохраняют свои направления, то для' решений уравнений движения
обращение времени оказывается невозможным. Формально это можно пока
аать, вводя в rамильтониан маrll:ИТ:f!ое поле, как обычно, в форме членов
(LX) и (aJC). При обращении времени момент количества дВИЖения
L == (r Х р) меняет свой знак; следовательно, изменится также и знак (LJC).
.. если только не произойдет одновременноr,О изменения направления маrнит
Horo поля. При обращении времени спин а ведет себя совершенно анало
rично моменту количества движения L: ero направление меняется.
"
.414
r.л,. Х.Фор.малWtаа meopиа Jfдepnыx реаlщий
в занлючение м.ожн.о уп.омянуть, Чт.о в.озм.ожн.ость .обращения BpeMeHI[:'
п.одразумевает, чт.о' валнавые фуннции всеrда M.orYT быть записаны как
действительные фуннции. Если .обращенная в.о времени фуннция W* танже-
является решением в.олн.оЕ.оr.о у.равнения, та действительные функции
Фl::::' W + W*, Ф2 == i (W W*)
будут. представлять сабай в.озм.ожные решения и м.ожн.о п.остр.оить п.олный:
наб.ор действительных фуннций, .описывающих систему. При наЛИЧИJl:
спинав эти с.оатн.ошения .оказываются несн.ольн:а балее сл.ожными [801,..
816, 367, 66].
r. Теорема взаимности
Предпалажим вначале, чта возм.ожно .обращение времени и чта aTCYT
ствуют спины, т. е. I'амильт.ониап действителен. В ;этам случае .обращенным:
в.о времени решением па .отн.ошению R Wo. (см. фиr. 104, а и б) является
нан раз W:. Эта .обращенная в.о времени функция с.о.ответствует наличиJOo
до реакции сходящuхся в.олн в.о всех наналах, причем амплитуда в н:анале JS-
равна S: ; нт.оме T.or.o, .она с.оатветствует наличию посде реакции pac
ходяU{ейся в.олны самплитуд.ой, равнай единице, талька в :Канале а..
Функции W , == 1, 2, ..., N .образуют при энерrии Е полную CIl
стему функциЙ. Таним .образам, .обращенная ва времени функция W: мажет
ЫTЬ представлена в виде линейнай намбинации этих фунн:ций:
пr(обр.) пr* С )Т,.
'" ", L..J .
(2.14,
П.ост.оянные C можн.о леrна .определить, рассматрев .обе части Bыpa '
жения (2.14) в нек.от.орый мамент времени да реакции. Т.оrда в правай частИi.
выражения амплитуда схадящейся валны в канале 1 кан раз равна с"(
(ФУННЦJ!:И W не саатветствуют схадящиеся валны в каналах 1 при 1 =j=. »,
в та время нан, саrласн.о результатам предыдущеr.о параrрафа, левая часть. .
равна S:"(' Следавательна, С"(;: S:"( и выражение (2.14) принимает вид. ,
Wа(ОБР.) == W: == S W . (2.15
Для палучения те.оремы взаимнасти мы испальзуем теперь соотн.ошени&
между .обращенным во времени и исх.одным решением. Сравним амплитуды
расх.одящихся в.олн в нан але 1 в .обеих частях выражения (2.1fi) через.
некат.ор.ое время пасле T.or.o, нан пр.оизошла реанция. ,
Левая часть с.о.ответствует наличию расх.одящейся в.олны единичной
амплитуды в наналеа. и .отсутствию расхадящихся в.олн в любам друrои
ющале; следавательна, амплитуда расх.одящейся в.олны в канале 1 равна а."(.
Прав.ой части каждай из функций W саатветствует амплитуда расходя:....
щейся в.олны, равная в нанале 1 S "(. .
Праизвадя суммир.ование в (2.15), мы палучим с.о.отн.ошение
S: S "( == 80."('
Эта с.о.отн.ошение чрезвычайна п.ох.оже на усл.овие пал наты
Однана с.о.отн.ошения (2.10) и (2.16) не идентичны, чт.о видна из
индексав в них. На языке матриц с.о.отн.ошение (2.16) имеет вид
S*S == 1,
в та время нак с.оатн.ошение (2.10) 'с.одержит эрмит.овски
матрицу S+. Объединим с.о.отн.ошения (2.10а) и (2.16а) 1)
S*S == S+S
(2.16}
(2.10).
п.орЯДК8I
(2.16а)
сапряженну»
1) Мы используем тот факт, что соотношение S S + == 1, а также lIреДirола'Vаем, "...
.$+S==1. Это является общим свойством матриц конечноrо порядка.
,"
I 2. Теоре.м.ы coxpaнeH,u,,'u 88aи...кH cти для ядернbl3: реа"чuй
41'&
. исключим из обеих частей S (это возможно, ПОСRОЛЬRУ S является уни
тарной матрицей и обязательно имеет обратную матрицу). ТаRая процедура.
.-ает
S* == S+,
т. е.
S: == S ".
Беря в обеих частях RомплеRсно сопряженные величины, получим теорем:!!
,ваимности .
S,, == S ".
(2.17)
Эта теорема утверждает, что вероятность перехода, протекающеr()
определенным образом во времени, равна вероятности' обращенноrо во Bpe
мени перехода.
До сих пор мы пренебреrали спинами. При наличии спинов COOTHO
шение (2.17) должно быть HeCKOJJ.ЬRO изменено. Будем называть «обраmен
ным во времени каналом» Rанал (1., идентичный во 'всех отношениях
Rаналу (1., за исключением Toro, что ориентации спинов ИСПУСRаемой час
тицы и Rонечноrо ядра изменены на противоположные. В этt>м случае
теорема взаимности принимает вид
S" ==S , ,,. (2.18)
Из метода, ноторым была получена теорема взаимности, очевидно, что
применимость теоремы зависит от возможности обращения времени. Наобо
рот, в системах, включающих внешние электромаrнитные поля, в ноторых
обращение времени невозможно, теорема взаимности в общем случае не
имеет места. Примеры линейных схем, не удовлетворяющих теореме взаим
ности, были приведены в работах [502, 503].
Теорема взаимности (2.17) наRладывает на матрицу рассеЯНИJJ:
]/а [N (N 1)] условий. Однано эти условия не являются независимымВ:.
ОТ прежних условий, rарантировавших унитарность S. Число независимых
действительных параметров, входящих в матрицу рассеяния, можно наибо ,
лее просто определить, построив матрицу
.1 8
Х == l 1 +8 (2.19)1
Эта матрица в радиотехнической теРМИНОJlOrии называется матрицеЙt
реактанса». Непосредственные вычисления ПОRааывают, что Х эрмитовскаJl;
матрица, если S унитаI!на; очевидно, что Х симметрично, если симмет
РИЧНО S. Следовательно, если S и унитарно (зан:он (;охранения) и симмет
рично (закон взаимности), то Х является действительной симметр.ичной
матрицей. В такой матрице число независимых действительных параметров
,равно 1/2 [N (N + 1)] и, следовательно, тан:им же является число незави
симых действительных параметров, входящих в матрицу рассея ия S ]).
. Д. Взаимность и детальное равновесие
Очень часто утверждения о том, что вероятности обратных процессов
связаны между собой, обосновывают при помощи теории возмущения. Если
взаимодействие, вызывающее рассматриваемый переход, является «слабым»,
то члены S,, матрицы рассеяния, отвечающие (1. *- , оказываются пропор
1) Основной причиной использования в техничеСIШХ приложениях матрицы peaK
танса является то, что оrраничивающие условия проявляются в матрице реактанса более
просто, чем в матрице рассеяния. Относительно возможноrо способа подсчета независи....
МЫХ действительных параметров в 8 см. [8131.
16
r д. Х: Фор.мадьн,ая .теорlЩ лДерн,Ы1; реакциЙ
циональными «матричному элементу» H rамильтониана возмущения',
()твечающеrо переходу между состояниями r;1. и . (Такое рассмотрение непри..
менимо R ядерным реан:циям, происходящим в рассматриваемом в этой
fшиrе интервале энерrий; однако оно может быть применено, например,
R испусн:анию и поrлощению l лучей ядрами.) Поскольн:у rамильтониан
является эрмитовсн:им, матричные элементы обратных процессов связа
ны соотношением H == (H .)*,
отн:уда следует, что в прибли..
жении слабоrо взаимодействия
справедлив ПрИНЦIj:П дета,льноrо
равновесия
S. == S I1.'
о o . ..
\
О
Ао стОЛКновеllиll
(состояние а.)
. \
После стол/{новеиил
(состояние Р>
(2.20)
Из приведенноrо рассуждения
очевидно, что принцип деталь
HorO равновесия имеет .более
узкую область применимост'и,
нежели теорема взаимности.
Например, соотношение (2.18)
выполняется ДJlЯ ядерных реак"
ций. с учетом спинов, в то время
н:ак принцип детальноrо равно..
весия (в нотором ориентации
После столкновения спинов не меняются) в общем
(состояние a) СJIучае перестает быть справед
ливым.
. Соотношение между прин..
ципом детальноrо равновесия
и теоремой взаимности можно
наrлядно проиллюстрировать на
примере из классичесной меха..
ники. Рассмотрим столннове
ние, происходящее между бил..
После столкновения
лиардным шаром и предметом,
(состояние Ck)
имеющим треуrольное сечение.
На фиr. 105; а приведено на..
чальное состояние а. и конечное
состояние . Состояния характе..
ризуются векторами импульсов
сталн:ивающихся частиц, безот..
'носительно к их положению
в пространстве. Если'обратить
время, то мы получим « взаим '
ный процесс», пон:азанный на фиr. 105, б. Этот процесс ведет из состояния
в состояние а. (отметим изменение направлений импульсов). Вероят"
ности переходов (отнесенные R единице телесноrо уrла) равны друr друrу
для обоих процессов, тан как они MorYT быть получены один из друrОrQ
изменением знана времени. .
С' друrой стороны, изображенный на фиr. 105, в обратный (в смысл
принципа детальноrо равновесия) процесс а. мало похож на исходный
,процесс столкновения; вследствие этоrо вероятности оназываются COBep
eHHO различными и для случая TaKoro столн:новения 'принцип детальноro
равновесия не имеет места.
В статистичеСRОЙ механике чаще используется принцип детальноrо
равновесия, чем теорема взаимности. Однако при обсуждении ядерных
о
\
Ii /'
o
\\
Ао стол/(новения
(ClJстояние P)
'.'
\
б
lI!lДZZZZ,.,
o
'о
До, стОЛf<новенuл
(состояние Р)
,ф и r. 105. Иллюстрация взаимности и; деталь.
Horo равновесия.
4 толнновение сферы и объента неправильной фор
мы; I б О(jращенное во времени (взаимное) столнно
вение, ПрОИСХОДRщее с равной веРОRТНОСТЬЮ; в об
ратный процесс в смысле принципа детальноrо paB
повеСИR. Таное столнновение происходит с иной
В РОRТНОСТhЮ.
3. Уеловое распреоеление пРООУ1>тов реа1>цuи
417
реакций теоремы взаимности оказывается вполне достаточно, и имеются все
основания предполаrать, что соотношения (2,18) выполняются в природе.
Более Toro, в случае ядерных реакций вообще нельзя привести убедитель
ных aprYMeHToB в пользу принципа детаJIьноrо равновесия. Следует, однако,
подчеркнуть, что разница между взаимностыо и детальным равновесием
при ядерных реакциях становится, н:онечно, очевидной только при изме
рении ориентацией спинов во входном и выходном н:аналах. 'Усреднение
по направлениям спинов в большинстве случаев стирает это различие.
3. уrЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКТОВ РЕАКЦИИ
А. Амплитуда реакции
Рассмотрим реaIЩИЮ а + х == У + Ь, при которой все частицы Haxo
дятся в опредеJIенных квантовых состояниях. Это соответствует реан:ции,
ведущей от одноrо определенноrо нанала н: друrому определенному наналу,
в смысле rл. VJII, 1. В противоположность предыдущим параrрафам
этой rлавы мы не будем здесь оrраничиваться НaJшм либо одним значе
нием момента количества движения падающих или вьшетающих частиц.
Поскольну неноторое время нас будет интересовать толыю одна реан:ция, мы
опустим индексы а и у интересующих нас веJIИЧИП, за исключением
тех случаев, ноrда MOlНeT ПРОИЗ0ЙТИ путаница.
В исходном канале волнопая фунн:ция W ведет себя нан плоская волна,
нормированная на единичный поток:
e ikz
Падающая ПJIOская волна х., (3.1)
У V.
Расходятцаяся волна, присутствующая в канале , имеет вид
e ikr Х
Расходящаяся волна == q (О) ,/ (3.2)
r r V
Здесь в уrол между направлением падающеrо пучка (Ilапрапление оси z)
и направлением, под которым наблюдаются частицы Ь 1).
Внутренние волновые функции х., X участвующих в реакции частиц
описывают ориентации спинов частиц (если не все спины равны нулю).
Функции q (Ь) на 1ывается « амшIИТудой реакции» а .
Дифференциальное сечение реакции (а, ) дается выражением
da==lq(O) [2d(J). (3.3)
Если частицы обладают спинами, то это сечение будет соответствовать
определенным спиновым состояниям падающей частицы а, ядра мишени Х,
вылетающей частицы Ь и нонечноrо ядра У. ДЛЯ обозначения всех этих
состояний мы будем использовать один индекс р; таким образом, р вклю
чает четыре различных спиновых индекса. Если падающий пучон: неполя
ризован и детен:тор не реrистрирует ориентации спина, то наблюдаемое
экспериментальное сечение реакции получается в результате усреднения
по ориентациям спинов частицы а и ядра Х и суммирования по ориента
циям спинов частицы Ь и ядра У. Нан: и прежде, с'пин падающей частицы
обозначается через s, а спин ядра мишени через i. В 'l'aKOM случае наблю
даемое сечение реан:ции (а, ) дается выражением
da== (2S+1)\2i+1) Iqp(B, cp)1 2 d(J). (3.4)
Р
1) В этом обсуждении повсюду используется система центра масс.
27 3аВRЗ J'I'. 396
418
r./l,. Х. Фор.ма./l,ьн,ая теория яоерн,ых реакций
в формуле (3.3) амплитуда реющии была записана н:ак функция лишь
уrла е. Это связано с упрощенным предположением о том, чтО амплитуда не
зависит от азимутальноrо уrла ер, являющимся непосредственным следствием
Toro, что условия эксперимента симметричны относительно оси z, если только
в реан:ции участвует одно ядро мишени и частицы не имеют спинов. С друrой
стороны, если ориентации спинов заданы, то симметрии относительно оси z
уже не будет. Следовательно, отдельная амплитуда реакции qp в формуле
(3.4) зависит НЮ{ от б, так и от ер. Однако сечение реакции (3.4), полученное
для неполяризованноrо ПУЧI{а, не зависит от азимутальноrо уrла <:р, так кщ,
в результате усреднения по ориентации спинов симметрия относительнО
оси z восстанавливается.
Б. Сохранение четности
Если ВOJIНовая функция, описывающая реакцию, имеет определенную
четность, то появляется ряд оrраничений для возможноrо выбора вида
сечений. Однан:о прежде чем при ступить н: обсуждению этих оrраничений,
посмотрим, при каких условиях волновая фунн:ция имеет определенную
четность [799]. Существует три важных для ядерных реакций случая.
1. При малых энерrиях блаrодаря центробежному барьеру частицы с MO
ментом количества движения l>O не достиrают поверхности ядра. Реан:цию
эффентивно вызывают лишь частицы с l==O. Таким образом, несмотря на то,
что плосная волна (3.1) содержит все значения l и, СJlедовательно, не имеет
определенной четности, образующееся в реан:ции состояние COCTaBHoro ядра
имеет определенную четность, равную произведению четностей падающей
частицы а и ядра мишени Х (ибо парциальная волна, отвечающая l==O,
является четной).
2. Если мы имеем дело с резонансной реакцией в той области энерrий,
rде расстояние между уровнями cocTaBHorO ядра велико по сравнению с их
ширинами, то любой резонансный уровень cocTaBHorO ядра характеризуется
определенной четностью. Если для реакции cyrцecTBeHeH только один ypo
вень (т. е. если применима формула Брейта Виrнера для изолированноrо
уровня), то описывающая реакцию волновая функция будет иметь четность,
совпадающую с четностью этоrо состояния cocTaBHoro ядра.
3. Нанонец, в' случае реан:цИЙ на леrких ядрах может он:азаться, что
в действительности Х и а являются тождественными частицами или что
тождественны продукты реакции У и Ь. Примером первоrо типа являются
реакции d+d: d(d, п)Не З и d(d, р)НЗ; прпмером BToporo типа является рею\
ция Li7(p,a) Не 4 . Изменение знака пространственных координат (операция ин
версии) эквивалентнО в канале, отвечающем двум тождественным, не имею
щим спинов частицам, перестановке двух тождественных частиц. При такой
перестановке система, состоящая из двух тождественных частиц, обнаружи
вает определенные свойства: волновая функция системы либо совсем не M()
няется (статистика Бозе Эйнштейна), либо меняет знак (статистин:а Ферми
Дирю{а) 1). В первом случае система является четной, во втором случае не
четной; при этом предполаrается, что /частицы не имеют спинов.
Если частицы имеют спины, то ситуация становится более сложноЙ.
В этом случае изменение знака у одних пространственных координат не
эквивалентно перестановке двух частиц и четносТь системы остается CO'OTBeT
ственно неопределенной. Такое ПОJIожение имеет место в реакции d+d: двум
основным состояниям с 8==0,2 отвечает четная функция, в то время нак спи
1) На праRТИRе частицы, у моторых отсутствует спин, всеrда подчиняются t.тауи
стине Бозе Эйнштейна.
/
....,
3. 'J1еловое распреоемн,ие nрооуктов реакции
419
новому состоянию с S == 1 отвечает нечетная фунн:ция. Если ОТНОсительная
ориентация спинов неизвестна, то четность оказывается неопределенной.
Рассмотрим теперь последствия, ноторые оказывает на уrловое pac.
пределение продуктов реан:ции предположение о существовании у волновой
функции определенной четности. Операция инверсии соответствует в BЫ
ходном канале замене (J на '1t (J И rp на rp + '1t. В случае существования
определенной четности между амплитудами реакции имеется следующее
соотношение:
qp('1t (J, r.p+'1t)==Пqр((J, rp).
(3.5)
(Блаrодаря тому, что операция: инверсии не меняе'r ориентаций спинов,
индекс р будет одним и тем же в обеих частях уравнения.) П,== :!: 1 пред
ставляет собой четность относительноrо движения в Rанале , а не четность
волновой функции в целом. Последняя дается выражением
Четност.ь W == П Х (Четность У) х (Четность Ь). (3.6)
Подставляя (3.5) в (3.4), получим выражение для дифференциальноro
сечения реакции:
da ('1t . В, rp + '1t) == da (б, rp).
Из Toro факта, что усредненное по спинам сечение не аависит от
азимутальноrо уrла r.p, следует, что
da ('1t б) == da (б). (3.7)
Таким образом, если описывающая ретщию волновая фующия обладает
определенной 'Четностью, то дифференциальное сечение ретщии будет сим-
метри'Чным (в системе центра масс) относител'ыlO 0==900.
Если сечение записывается в виде разложения по степеням с.ОБ б,
то разложение будет сод.:ержать лишь нечетные степени СОБ б. Если же
сечение выражается через полиномы Лежандра, то в разложение войдут
тольн:о полиномы С четными индексами. Для теоремы не существенно,
равна ли четность + 1 или 1, лишь бы она имела определенное значение.
Вместе с тем, изучение дифференциальноrо сечения реакции при условии
существования определенной четности еще не ведет к ее определению.
В частности, из изучения уrловоrо распределения продуктов реакции
невозможно установить четность соответствующеrо изолированноrо резонанс
Horo уровня cocTaBHorO ядра.
В. Оrраничения, накладываемые на уrловое распределение
падаюIЦИМ ПУЧКОМ
Часто реакцию вызывает лишь оrраниченный набор моментов Rоличе
ства движения l L. При этих условиях имеет место следующая теорема;
если частицы в падающем пучке неПОЛЯРИЗ0ваны, то зависимость сечения
от уrла 6 оказывается не более сложной, чем уrловое распределение для
«эффективноrо» падающеrо пучн:а, т. е. da не содержит степеней СОБ (J более
высоких, чем (СОБ (J)2L.
Теорема оказывается тривиальной, если все спины i, S, i/, s/ ядра
мишени, падающей частицы, нонечноrо ядра и вылетающей частицы равны
нулю. Действительно, рассмотрим падающие частицы, обладающие MOMeH
, том количества движения l L. Вылетающие частицы также имеют 1 == L;
следовательно, амплитуда реан:ции q (б) ведет себя подобно сферической
rармонин:е У L, О (О) порядка L; наивысшей степенью СОБ б, ВХОДIПцей в эту
rармонику, является (СОБ (J)L. В этом случае сечение da, определяемое
соrласно (3.3), не содержит степеней СОБ О выше (СОБ 0)2L. Волны, отвечаIО-
27*
420
r л. Х. Формальная теория яоернЬ!х реакцu:Й '
щие значениям l, меньшим L, приподят к еще более низним степеням СОБ в.
Следовательно, теорема дона за на.
Доказательство теоремы для случая частиц, имеющих спины, оназы
вается rоразДО более сложным 1).
МЫ вновь начнем с вычислений для случая отсутствия спинов.
Их весьма лепю можно видоизменить в более сложном (и более важном)
случае, учитывающем наличие у частиц спинов. Поэтому рассмотрим
не имеющую спина частицу с моментом н:оличества движения l == L и будем
интересоваться волновой функцией W т, которая ведет себя в исходном
нанале кан сходящаяся волна:
ехр [ i ( kr Ln) 1
I}J'm== y YLm(O, rp).
r v",
(3.8)
Практичесни для реакции существенны лишь фуннции q:r т, отвечающие
т == О, однако мы рассмотрим все 2L + 1 фун.н:ции. Расходящаяся волна
в н:анале описывается выражением (3.2), причем амплитуда реакции зави
сит от значения т и обозначается через gm (О, rp) (при т 4= О она зависит
н:ак от О, тан и от 9).
Произведем вращение R системы координат, которое преобразует
на сфере единичноI'О радиуса У1'ЛЫ О, 9 в новые уrлы 6', rp'. Яудем обо
значать уrлы О, 9 одним символом (J) и аналоrично уrлы О', rp' символом ш'.
Рассмотрим вторую систему волновых фуннций Фт, обладающую сле
дующим свойством: зависимость каждой фуннции Фт от уrла ш', получа
IOщеrося в результате поворота, совпадает с зависимостыо I}J'm от начальноrо
уrла ш, т. е. падающая волна Фт записывается совершенно аналоrично
падающей волне I}J' т, определяемоЙ выражением (3.8), исключая замену
Y Lm (ш) на Y Lm (ш'). В этом случае расходJlщаJlСJl волна, отвечающая новой
фУНIЩИИ Фт, имеет в нанале следующий .вид:
, e ikr
Фт==qт((J)) ,/" (3.9)
r r v
с той же самой амплитудой реакции qm, что И раньше, исключая замену
aprYMeHTa qm, (J) на ш'.
Новые волновые функции Фт можно выразить через старые фунн
ЦИИ W m . Рассмотрим сходящуюся волну Фm. Зависимость этой волны
от упюв описывается величиной Y Lm (ш'). Ее можно записать в виде линей
пой комбинации сферичесн:их rаРМОНИR Y Lm (ш):
Y Lm (ш') == ЭJ L , тт' (R) Y Lm , (ш).
т'
(3.10)
Мы приписали н:оэффициентам разложения инденс L, н:оторый обозначает
участвующий в реанции момент н:оличества движения, и выразили в явном
виде зависимость этих коэффициентов от НОlшретноrо вида вращения R.
Из выражения (3.10) следует, что между новыми волновыми функ
циями Фт иста рыми волновыми фунн:циями q:r m существует соотношение
Фm== 3"J L . тт' (R) \V m ,.
т'
(3.11)
1) Мы следуе l работе [834]. Друrие способы дОказательства можно найти в работах
[554,170,207,821,205]. Обсуждаемые здесь теоремы JIИШЬ значительно оrраl1ичивают вид
уrловоrо раепределения, а приводимое доказательство не содержит ТОЧIlоrо определения
дифференциальноrо сечения с помощью матрицы рассеяния. Для получения точноrо
Вlllражения читатель отсылается к работам [816, 68].
r
I
s 3. J7еловое распреоеление продуктов реакции
42!
Чтобы получить связь между амплитудами реаRЦИИ qm (ш) при' двух
различных уrлах (J) и ш', мы используем выражение (3,11) для волновых
фУНRЦИЙ В выходном Rанале:
qm (ш') == 9J L , тт' (R) qm' (ш),
т'
(3.12)
Сечение (3.3) зависит от нвадрата модуля qo. Используем теперь COOT
ношение (3.12) для Toro, чтобы выразить qm O (ш') через qm' (О), причем
последнее представляет собой амплитуду реаRЦИИ, отвечающую определен
цому направлению (J) == О, скажем, полюсу единичной сферы, описапной
ОRОЛО центра. Обозначим через R вращение, перемещающее полюс в напра.
вление ш' на сфере. В таном случае (индеRС L опущен)
qo((J)')== 9Jom,(R)qm'(O), (3.13)
т'
а квадрат :модуля этой величины равен
I qo (ш') 12 == [9Jom' (R)]* 9J om " (R) [qm' (0)]* qm" (О).
т' т"
(3.14)
в полученном выражении УI'ловая зависимость в правой части цели
ном содержится в I<оэффициентах разложения :!f) (R). Эти коэффициенты
хорошо известны [800]. В частности, для вращения, переводящеrо полюс
сферы (J) == О в направление ш', н:оэффициенты :J)L, От' (R) ОRазываются HOM
плен:сно сопряженными со сферичеСRИМИ rармонинами Y Lm , (ш'). Следова
тельно, сечение da == I qo (ш) 12 d(J) не содержит более высон:их степеней СОБ е,
чем (СОБ e)2L. Это следует из Toro, что сферичесн:ая rаРМОНИRа не содержит
более ВЫСОRОЙ степени СОБ е, чем (cos е/, и из Toro, что наждый член
суммы (3.14) содержит не более двух множителей 9J. Таним образом, мы
еще раз дон:азали теорему, однан:о пона лишь для случая отсутствия у ча
стиц спинов.
Обобщим теперь это ДОRазатеЛhСТВО на случай наличия спинов у частиЦ.
Рассмотрим набор волновых функций I}J' то, зависящих от уrлов анало
rично (3.8). Иснлючение составляет индекс р, обозначающий ориентацию
спинов четырех частиц, участвующих в реанции (а, Х, Ь, У). Полученные
в результате вращения фУНRЦИИ Фmр аналоrичны прежним фУНRЦИЯМ Фт
И определяются таRИМ образом, что в преобразованной, полученной в резуль
тате вращения системе Rоординат эти фУНRЦИИ совпадают с фУНIщиями wт- р
в старой системе Rоординат. В частности, если, например, фУНRЦИИ I}J'mp
отвечали ориентации спина частицы а по направлению староЙ оси z, то Фmр
будут отвечать ориентации спина по направлению новой оси z'.
в этом случае переход от старых фуннций R новым ОRазывается более
сложным, чем преобразование (3.11). Выполним вначале врашение в HOOp
динатном пространстве, не мешIЯ ориентации спинов. Таное преобразова
ние описывается выражением (3.11). Одна но в данном случае мы должны
осуществить дальнейшее преобразование, с тем чтобы получить спины, COOT
ветственным образом ориентированные относительно новой оси" z'.
Комбинированное преобразование име т следующий вид:
Ф,пр ' LL9J L ,mm,(R)9pp,(R)l}J'm'p" (3.15)
т' р'
rде коэффициенты 9рр' (R) определяют перестаНОВRУ спиновых индеКСОD.
Эти н:оэффициены зависят от вращения R. Однако D противоположность
mm,qpp' не связаны с Rаним либо одним значением момента Rоличества
движения (на ЯЗЫRе теории rрупп .::f) L, тт' образуют нсприводимое пред
стапление rруппы вращения, в то nремя иан: gpp, образуют ПРИВОДИМ(f)
представление) .
F
r
422
rл. х. Фор.м.альная теория ядерных реакций
Единственным ИСПОJ!ьзуемым нами здесь свойством gpr' является Y1lи
тарность этих матриц:
g:r,gpp" == Ор'РР'
р
(3.16)
Это условие предполаrает, что усреднение по всем ориентациям спинов,
отвечающим старой оси z, дает тот те результат, что и усреднение по всем
ориентациям спинов, отвечающим новой оси z'. Мы не будем приводить
здесь формальноrо дон:азательства этоrо ПОJIOжения.
ДOl,азательство содержит более детальное определение коэффициентов q. Их вид
можно установить, считая спины различных частиц на некоторое время одинаковыми и
ориентируя их по отдельности по отношению новой Оси z'. Коэффициенты преобразования.
сответствующие изменению одноl'О спиновоl'О индекса, скаЖЕМ i, образуют при праще-
нии R набор Di"mm'(R) т. е. совпадают с I\оэффициентами преобразования для случая
вращения орбитальной части волновой функции. Исключением является только то,
что они отнОсятся к моменту количества движения i, а не L. Величины т и т' являются
в этом случае проекциями спина i соответственно на оси z и z'. Таким образом, коэффици-
енты qpp, представляют собой произведение четырех величин п, которые относятся к
спинам учаСТIJУЮЩИХ в реакции частиц. Поскольку IШЖДЫЙ из коэффициентов п тт '
представляет собой унитарную матрицу, прямое произведение чет-ырех таких матриц
D также будет унитарным. Это положение выражает тот факт, что усреднение по всем
ориентациям спинов с одинаковыми весами приводит к одному И тому же результату
nезависимо от оси z, относительно которой Ориснтированы снины.
Нас интересует аМПЛитуда реющии qтp (00), отвечающая т == О, Исполь
зуя вращение R, пореподящее полюс сферы u> == О в направление 00', мы
получим [по аналоrии с (3.13)]
qOP (00') == ::b L . От' (R) gr'p' (R) qm'P' (О), (3.17)
т' р'
Это выражение зависит от УI'ла 00', т, е. от вращения R не только
qерез ноэффициенты ЗJОт' (R), но тан:же и блаrодаря gpp, (R). Решающим
обстоятельством является то, что в результате усреднения по ориентациям
'спинов из выражения ДJIЯ сечения (3.4) последняя зависимость выпадает:
I qop (00') 12 == , fl)Oт,::boтPg;p,gpr P [qm'r' (0)]* qmPpP (О),
Р р m'p'т'rJH
Для упрощения результата мы сначала просуммируем по р и затем BOc
пользуемся унитарностью gpp, (3.16). Это дает
I qop (00') 12 == fl)Orп,,'i5 0m " I [Qm'p' (0)]* qm"pP (О)) . (3.18)
р т' т Н р'
Выражение (3.18) анаЛОI'ИЧНО (3.14); оно и доказывает теорему, так
нан сумма в скобн:ах в правой части но зависит от уrла 00', и вся уrJIовая
зависимость вновь содержится в коэффициентах 3). Rоэффициенты qpp,
ПОJIНОСТЬЮ выпадаЮ'f, Поэтому наивысшая степень СОБ О, входящая в Bыpa
жение для сечения (3.4), в случае неполяризованноrо пучна равна (СОБ B)2L.
Это утверждение справедливо, несмотря на то, что момент количества
движения L в результате комбинации со спинами s и i в исходном канале
может дать ПОJIИЫЙ момент н:оличества движения J == L + s + i, и несмотря
на тот фант, что обусловливающий реан:цию резонансный уровень COCTaB
Horo ядра может блаrодаря этому иметь такой же полный момент количе
ства движения. 'Усреднение по ориентации спинов пр и водит н: упрощению
зависимости расходящейся волны от уrлов. Эта зависимость оказывается
Эквивалентной не полному моменту количества движения J, а максималь
НОМУ моменту н:оличества движения L.
Дон:азанную теорему можно рассматривать кан соотношения неопре
деленности для уrлов. Если волновая функция, описывающая падающий
,
/
s 3. J1еловое распределение прооуктов реакции
423
пучок, не со.держиТ моментов количества движения, превышающих L и
если не проведена специализация ориентаций спинов, то уrлы в падающем
пучке можно определить лишь в пределах поточности O, определяемой
соотношением
LM d-'lt.
Можно считать, что неопределенность в уrле для вылетающих частИц имеет
этот же порядок величины. Следовательно, участие частицы в ядерной :peaK
ции не при водит к уточнению уrла.
Эта теорема имеет практическое значение для анализа реакций при
малых энерrиях, коrда центробежный барьер Оl'раничивает значения l,
участвующие в реакции.
r. Оrраничения, накладываемые на уrловое распределение
составным ядром
Из доназанной в S 3,В теоремы не следует, чтО члены порядка (СОБ O)2L
действительно содержатся в выражении для дифференциальноrо сечения.
В резонансных реакциях существует чрезвычайно важное исн:лючение.
Оно имеет место в том случае, н:оrда полный момент количества движения J
резонансноrо уровня cocTaBHoro ядра он:азывается меньше мансимальноrо
момента н:оличества движения L. В этом случае распределение вылетающих
частиц по уrлам не содержит степеней СОБ О, превышающих (СОБ &)и. Подоб
ное оrраничение обусловлено cI\Opee строением COCTaBHoro ядра, чем MOMeH
тами количества движения в падающем пучне, и поэтому оказывается чрез
вычайнО действенным средством для анализа возбужденных состояний ядер.
Допустим, например, что при данofIОЙ резонансной энерrии дифференциаль
ное сечение реющии не зависит от уrла, хотя близкие резонансы обнаружива
ют более СJIОЖНУЮ уrловую зависимость. Тоrда можно сделать вывод, что
участвующий в этой резонансной реакции уровень cocTaBHoro ядра имеет
полный момент количества движения J ==0, если составное ядро содержит чет
ное число частиц, илиJ==1/ 2 , если число частиц оказывается нечетным. В об
щем случае, коrда составное ядро имеет нечетное А, ман:симальный член
в уrловом распределении равен (СОБ 0)2J 1. ЭТО связано с тем, что волновая
фунн:ция имеет определенную четнОСТЬ и в распределение MorYT войти лишь
четные степени СОБ О.
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из выполнимости
предположения Бора для резонансных реанций. Рассмотрим вначале peaK
цию, при н:оторой все частицы имеют определенные ориентации спинов.
Разобьем введенный в предыдущем параrрафе спиновый индекс р на два
<:пиновых индекса х и Л, из которых х характеризует ориентацию спина во
входном канале а, а л в выходном канале . Обозначим через dao.x. РА(Ш) ce
чение реанции (a ), для н:оторой х И л имеют ун:азанное выше значение и
в результате которой испускание в канале происходит в данном направле
нии ш== О, rp В пределах элемента телесноrо уrла d(J).
Соrласно предположению Бора, это сечение можно разбить на два иножи
теля:
dao.x, A (ш) == ас (хх) G AMJ (ш) d(J).
(3.19)
При этом ас (ах) обозначает сечение образования через канал (ах) опреде
ленноrо состояния cocTaBHoro ядра, обладающеrо данным моментом коли
чества движения J, проекция Iштороrо на ось z равна 1IJ J , а G AMJ((J)) d(J)
представляет собой относительную веро"ятность распада этоrо состояния
оставноrо ядра описанным выше способом. Очевидно, что ас (ах) не зависит
01' уrлов О, rp. В момент образования составное ядро еще «не знает», в каком
'
424
['.n,. Х. Фор.ма'n'ЪNая теория ядерNЫХ реакций
";
направлении произойдет расщепление. Для применимости выр.ажения (3.19)
существенно то, что составное ядро образуется тольно в одном из (2] +1)
подсостояний с различными M J . Если в реанцию вносит внлад более чем
одна ориентация J, то выражение (3.19) должно быть просуммировано по
этим ориентациям. Однано проенция 1 на ось z всеrда равна нулю ввиду сим
метр ии плосной волны по отношению н вращению относительно оси Пучна.
Следовательно, ПрОeIЩИЯ полноrо момента ноличества движения M J на ось z
будет одной и той же для всех этих подсостояний: она полностью опреде
ляется ориентацией спинов х. в падающем пучне, ПОСНОЛЫ<у ориентация
момента Jшличества движения в исходном !{анале всы'да одна и та те.
Таним образом, если заданы ориентации спинов в исходном нанале, то этим
однозначно задается и состояние cocTaBHoro ядра; в любом случае это COCTO
яние (будучи определенным резонансным уровнем) имеет вполне определен
ное значение J. Кроме Toro, определенным является и M J .
Наблюдаемое для неполяризованноr:о пучна сечение получается в pe
зультате суммирования по ориентациям спинов в выходном нанале и ycpeд
нения по ориентациям спинов во входном нанале:
da,, (oo)== (2S+1)\2i+1) ac(a.x.)G '\MJ(oo)doo.
" ,\
(3.20)
Блаrодаря тому, что предположение Бора выполняется, это выражени(}
можно переписать в следующем виде:
da" (00) == (2s + 1)\2i + 1) ас (а.х.) [ ] G '\MJ (00) doo ] .
" ,\
(3.21)
Если наждое из выражений в нвадратных снобнах не содержит более-
высон:их степеней СОБ О, чем (СОБ о)и, то их взвешенная сумма (3.21) будет
иметь таную же уrловую зависимость.
Тан:им образом, доназательство теоремы сводится н доназательству
Toro, что н:аждая из нвадратных снобон в выражении (3.21) не содержит
более высоних степеней СОБ О, чем (СОБ fJ)2J Для целочисленноrо значения J
это утверждение является просто специальным случаем доназанной ранее-
теоремы: в этом случае составное ядро можно рассматривать по анаJюrии
с определенным входным наналом предыдущей теоремы, если соответственно.
произвести замену l и т == т l на J и И J И считать, что во входном
н:анале i == s =.о О. TorJIa уrловое распределение вылетающих частиц будет
содержать в начестве мансимаJ1ЬНОЙ степени (СОБ 0)21 == (СОБ о)и, что И Tpe
боваJJOСЬ доназать. Если J принимает полуцелое значение, то аналоrичное
рассмотрение приводит У{ таному же результату. ОДНaIЮ вследствие coxpa
нения четности, в формулу MorYT входить тольно четные степени СОБ О.
СледоватеJIЫIO, ДJIЯ полуцеJlOrо J маНСИМaJIЬНОЙ степенью в J\еЙетвительностп
будет (со:" о)2] 1.
В общем СJlучае вырашешIЯ в :квадратных сноБJ{ах (3.21) зависят
не ТОЛЫЮ от уrла 6, но и от азимутаJIьноrо уrла <р (ПОСНОЛЬНУ в общем
случае JYf J 7= О). Однано очевидно, что эта завиеимость от азимутальноr()
уrла должна исчезать после усреднения по ориентациям спипов х. В исход
ном нанале. Вращение относительно оси z (напраВJI()Ние пучна) не приво
дит Н изменению неполпризоваННОI'О падающеrо пучна; С.педоватеJIЬНО, pac
пределение вылетающих частиц тю,же не ДОJIЖНО зависеть от азпмутальноrо.
уrла <р.
Из этоro рассмотрения становится ясно, что вид Yl'J1OBOrO распределения
продунтов резонансной реанции, оБУСJIовленныЙ одним уровнем составною
r.. . . ""
,.7:.. А .,
, ,
r
1
'--".'
"C;-
8 4. Формула Bpeйтa Bиaпepa для мпоаих уротей
425
ядра, оrраничивается двумя фаRторами: падающим ПУЧRОМ (маRсимальным
значением l, эффеRТИВНО вызывающим реаRЦИЮ) и свойствами cocTaBHoro
ядра (полным :\fOMeHTOM Rоличества движения J). Более жеСТRое из этих
оrраничений и определяет действитеJJьное уrловое распределение вылетаю
щих частиц.
Это положение применимо 1. резонансным реаRЦИЯМ в той области энер
rий, rде в реаRЦИИ участвует тольн:о один уровень. Если существенна
интерференция между различными уровнями cocTaBHoro ядра, то уrловое
распределение ОRазывается rораздо более С.ножным [77]. Оно, Iюнечно,
попрежнему оrраничивается падающим ПУЧRОМ (напомним, что в ДОRазатель
стве, приведенном в 3, В, не использовались RаRие либо свойства COCTaB
Horo ядра). Однано утверждение о том, что ПУ'ЮR вылетающих частиц
хараRтеризуется определенной четностью, уже несправедливо. Поэтому
в распределении MorYT присутствовать нечетныE,J степени СОБ () и уrловое
распределение может содержать (СОБ e)2J MaHc ., rде J манс. . маRсимальный
из моментов J различных состояний cocTaBHoro ядра, вносящих cYIЦe
ственный ВRлад в реаRЦИЮ. Обсуждение уrловоrо распределения, OCHOBЫ
вающееся на нерезонансной теории ядерных реаRЦИЙ, можно найти в pa
боте [823].
4. ФОРМУЛА БРЕЙТА виrНЕРА ДЛЯ мноrих УРОВНЕЙ
,I i
,1
,1
А. Составное ядро как «закрытый ящик»
Концепция COCTaBHoro ядра в ядерных реющиях была детально иссле
дована в rл. VIII. В настоящее время мы рассмотрим один из возможных
более формальных способов введения этой нонцепции в теорию ядерных
реаRЦИЙ. Виrнером и ero СОТРУДНИRами развит метод, дающий более cTporoe'
обоснование дисперсионной формулы для резонансных реющий, чем методы
rл. VIII, 7 9 [813 819, 731, 732, 204, 300, 542]. Однано общая диспер
сионная формула Виrнера [816] ОRазывается неудобной для изучения
ядерных реаRЦИЙ в нерезонансной области (см. rл. VIII, 4). В резонанс
ной области она не приводит столь естественно R оценнам ПОрЯДRа вели
чины, иаи это получается в случае использования менее cTpororo подхода
rл. VIII.
Определение матрицы рассеяния Sa зависит ТОЛЬRО от аСИМlIтотичеСRоrо
поведения волновых фУНRЦИЙ в различных Rаналах. Для общих теорем
(полнота, взаимность), в ноторых не делается НИRЮ.их предположений OTHO
сительно харантера процессов, ответственных за протетшние реаЮЦfИ, суще
ственно лишь это поведение. Введем теперь в формальную теорию нонцепциIO
cocTaBHoro ядра. Будем приписывать составному ядру в Rаждом нанале (J.
радиус Rанала R., Если Rоордината J\анала r(1. Rry, то волновая фуннция
описывает движение частицы а и Rонечноrо ядра Х (в определенных HBaH
товых состояниях) под действием известных сил не ядерноЙ при роды (RУЛО
новсние и центробежные силы), С друrой стороны, при "(1.< Ra ЯI\ро Х и ча
стица а образуют составную систему, о динамичеСRИХ свойствах JЮТОрОЙ
мы знаем JlИШЬ очень HeMHoro. ТаRИМ образом, нам, по сути дела, IIеиз
вестно поведение ВОJIНОВОЙ фУНRЦИИ в той области нонфиrурационноrо про
странства, Rоторая соответствует составному ядру (т. е. области, в пределах
RОТОРОЙ все частицы расположены БШI3RО друr н друrу).
В действительности ОRазывается, что для полученин обширной ИН
формаuии относительно ядерных реаRЦИЙ вовсе нет необходимости иметь
сведения о всех деталях движения внутри cocTaBHoro ядра. Наи следует
из rл. VIII, единственно необходимой информацией относительно BHYTpeH
ней волновой фУНRЦИИ является величина лоrарифмичеСRОЙ производной
ii
';
,
,)
J
\
t
[,
f
t
.j'
426
r.l/,. Х. Фор.ма.l/,ЪNая теория я8ерNЫХ реакций
f (VIII, 2.23) в точне 'r==R на входе Toro нанала, по НОТОрому вызывается pe
анция. В rл. VIII ИСПОJIьзовалось танже предположение Бора (см. 3 и 4).
Развиваемый в настоящее время формализм отличается от ранее использо
BaHHoro большей общностью; мы не будем ПОЛЬЗоваться предположением
Бора, и даже, наоборот, получим ero из теории в специальном случае резо
нансных реанций. Таним образом, формализм он:азывается применимым и
н реанциям, для ноторых не выполняется предположение Бора. Тем не Me
нее следует подчерннуть, что большая общность вознинает за Счет потери
Iюннретности изложения.
Поведение вОлновой фуннции в любом нанале полностью определяется
апачением волновой фуннции и ее производной на входе нанала при r" ==Ra..
Следовательно, вся необходимая информация отнОСительно cocTaBHoro ядра
занлючается в значении волновоЙ фуннции и ее производной на входе Ha
ждоrо из наналов.
rоворя ва языне Э.лентротеХНИЮI, мы рассматриваем составное ядро
нан «зан:рытый ящию> , имеющий N внешних нлемм, по одной для наждоrо
нанала. Единственными величинами, харантеризующими поведение «за
HpblToro ЯЩИI{а» во внешней цепи, являются напряжение и тон на наждой
из нлемм. В частности, два различных « занрытых ящина», имеющих одни
и те же тони и напряжения на нлеммах, оназываются Энвивалентными для
наших целей. Можно думать, что значение ВО.тIновой Фунн:ции и ее произ
водной онажутся впОлне аналоrичными соответственно напряжению и
тону.
При этом нельзя произвольно задавать значение волновой фуннции
и ее uроизводной на входе наналов. Соrласно результатам 1, при любой
энерrии Е существует лишь N линейно независимых волновых фуннций;
следовательно, в нашем распоряжении имеется N номпленсных параметров
(например, ноэффициентов волновых фуннций W"). Таним образом, заданием
производной ВОЛНОвой фуннции на входе наналов (N номпленсных чисел)
будет однозначно опреде.тIЯТЬСЯ и значение волновой фунн:ци на входе Ha
налов. Элен:тротехничесная аналоrия состоит в том, что если заданы тони,
отвечающие наждой нлемме «занрытоrо ящина», то напряжения будут OДHO
значно определяться внутренними свойствами ящина. Поэтому напряжение
и тон на наждой из нлемм нельзя задавать произвольно.
Б. Производная матрица 1 )
. Для ПО.тIучения формальной связи между .шачениями волновой фунн
ции И ее производной на входе н:аждоrо из наналов необходимо ИСllОЛЬЗО
вать систему базисных фуннциЙ, отличную от фуннций \fi", введенных в 1
{см. (1.3)]. Новые базисные фуннции мы выберем таним образом, чтобы они
вместо npOCToro асимптотичесноrо поведения обладали простыми свой
ствами на входе наждоrо нанала. Все формулы будут написаны для спе
циальноrо случая [==о и при отсутствии спинов во всех наналах: спины i,
. , i', 8' ядра мишени, падающей частицы, нонечноrо ядра (в наном бы co
,Стоянии оно ни образовалось) и вылетающей частицы предполаrаются paB
ными нулю. Это делается лишь для сохранения простоты. Большинство
наиболее важных результатов выявится уже на этом простом примере.
Формула для мноrих уровней в случае произвольных значений [, i, 8, j',
8' была получена в работе [816],
Соrласно результатам 2, возможность обращения времени пред
полаrает, что в случае отсутствия спинов все полновые фунн:ции MorYT,
быть записаны нан действительные фуннции. Поэтому в начестве новых
1) См. первое примечание на стр. 427. При.м. перев.
8 4. Формула Bpeйтa Buaпepa для мпоаuх уровпей
427
базисных фУШЩИЙ Фа мы выберем действительные фУНRЦИИ. Для Этоrо
в выражениях (1.1) и (1,3) вместо беrущих волн во всех Rаналах будут,
использованы стоячие BOJIНbl. Наиболее' удобно выбрать стоячие волны
в виде cos[k(r R)] и sin[k(r .R)].
Первая из этих ФУНRЦИЙ имеет
при r == R исчезающую производ
ную, а вторая обращается в нуль
при r == R. СJJедовательно, исполь
;ювание этих ФУНRЦИЙ ПОRВОЛЯСТ
связать значение волновой фУНR
ции И ее производной на входе Rаж
ДOl'О Rанала.
ПОСRОJIЬRУ существует N ли
нейно независимых ФУНRЦИЙ W a , то
В базисной системе должно иметь
ея N линейно независимых волно
вых фушщий Ф"" соответствующих
стоячим волнам. Выберем Ф", таRИМ
образом, чтобы эта ФУНRЦИЯ вела себя
иаи cos[k (r R )], т. е. имела
равную нулю производную при
r == R во всех Rаналах, ИСRлючая
нанал (J.. В Rанале (J. фунн:ция Фа пред
ставляет собой линейную Rомбинацию
sin[ka(ra Ra)] и cos[ka(ra Ra)].
Коэффициент при первой фУНRЦИИ
нормирован для дальнейшеro удобства в соответствии с тем, RЮ, это cдe
лано в работе [816]. Новые базисные фУНRЦИИ 'определяются соотношениям
Фа == ф", (r ) X (в Rанале ), (4.1а) .
!'Д8
ос
Фи!', 106. «Закрытый ящию> с тремя
, каналами.
в наналах В И "( аернала помещены таним обра
аом. что проиаВОДf1аfI волновой фуннции обра
щаетсн в нуль на входе нанала. В атом случае
положение аернала в нанале а будет, СОI'ласно
(4.2), фуннцией анерI'ИИ.
у м
фаВ (r ) == ffia СОБ [k (r R )] V дли =t= (J., (4.1б)
l!1th.r
ф.",(r",)== { }sin[ka(ra Ra)]+ffiaacos[ka(ra Ra)] } : --: для ==(J..
а 4Kп.
(4.1в)
Здесь М В приведенная масса в J,анале и Хв внутренняя волновая
ФУНRЦИЯ дЛЯ этоrо Rанала. Коэффициенты ffi"'B ((J., == 1, 2. ..., N) образуют
N рядную нвадратнуlO матрицу, Rоторая названа Виrнером и Айзенбадом
«производной матрицей}> 1). ПОСRОЛЬRУ волновые фУНRЦИИ Ф", являются дей
ствительными фУНRЦИЯМИ 2), то действительными будут и элементы произ
водной матрицы эtо. .
Новую систему волновых фУНRЦИЙ можно наrлядно представить собе
при помощи аналоrии с соединением волноводов, приведенном на фиr. 106.
Состояние, хараRтеризуемое Фа, реализу{)тся путем помещения во все Rаналы
абсолютно отражающих зерRал. Это ведет I( появлению стоячих волн во всех
1) В нашей физической литературе нет установившеrося термина, который COOTBeT
ствовал бы анrлийскому «derivative mаtriх». Прuм. перев.
2) Определение (4.1) описывает поведение Фа лишь во внешней области, отвечающей
различным каналам. Во внутренней области (составное ядро) поведение волновой функ
ции полностью определяется необходимостью rладкоrо сшивания функций на входе каж
доrо канала. Если rамильтониан является чисто действительным (Н*==Н), то волновая
функция Ф (/, будет действительной повсюду, а не только во внешней области.
428
r л,. Х. Формал,ЬNая теория ядерNЫХ реакций
каналах. В наналах i= (J. зернала помещаются на расстоянии в четверть
длины волны от входа в полость, что приводит Н вознинновению узла волновоЙ
фуннции (радиус нан ала R ). Удалением зернала на четверть длины волны
мы rарантируем наличие в точне, соответствующей радиусу нанала, манси
мума волновой фуннции СОБ [k (r R )] (4.1б). Если в нанале (J. зерн:ало
помещается тан:же на расстоянии в четверть длины волны, ТО вся система
. в пелом (центраш;ная полость и Jюротние отрезни наналов, оrраниченные
зерналами) может рассматриваться нан новая расширенная полость. При
опредеJIенных энерrиях она будет иметь резонансные состояния. Чтобы
получить интересующую пас базисную систему волновых фуннций Ф<! при
произвольной энерrии Е, необходимо оставить в нанале (J. положение зер
кала реrулируемым. При данной энерrии Е зернало в этом нанале следует
поместить, во всяном случае, в том месте, rде волновая фуннция имеет
узел. Из соотношения (4.1в) видно, что это ПО.потение определяется ноэф,
фициентом ffiaa (диаrональным элементом производной матрицы):
1
(rаернала R)a === k arct.g (kaffiaa). (4.2)
а
Делая последовательно один за друrим реrулируемыми зернала в N
каналах, мы получим N различных действительных фуннций Фа, обра.
зующих при энерrии Е полную систему базисных фуннций.
Определение (4.1) системы Фа харантеризует поведение Фа при всех
значениях r > R в наждом из наналов . Одна н о можно ввести определе
ние Ф(f., содержащее лишь поведение волновой фуннции на входе наждоrо
из наналов: Фа имеет раllНУЮ нулю производную при r ==R для наждоrо
нанала =1= (J.,
[ д (r ф{J, ) ] == о для =1= (J.,
ar r ==R
(4.3а)
а производная Фа по ra в' точне ra == Ra дается выражением
[ д(rафа.о ) ] == V Ma для ==(J..
ar {J, r a==Ra, 4тсп
(4.3б)
Таное опредеJlение Фа не содержит наЮlх либо величин, относящихея
н внешней области (наналу), подобных снорости нанала или энерrии
канала, за ИСН:.шочением массы нанала И "' ноторая оставлена для после
дующеrо удобства. Таним образом, определение (4.3) содержит лишь вели
чины, относящиеся непосредственно н составному ядру, тание, нан uроиз.
водные волновой фуннции на входе наждоrо из наналов. Поэтому произ.
водная матрица Э1{J, оПисывает (<внутренние» своЙства cocTaBHoro ядра.
Составное ядро входит в теорию Виrнера тольно через riроизводную
матрицу. Все остальные харат\теристини cocTaBHoro ядра MorYT в рамнах
теории ядерных реанций не приниматься во внимание. Это соответствует
развитому в rл. VIП методу, при нотором ИСПОЛЬЗ0вались лишь лоrариф
мичесние производные fa на входе наналов 1).
. Введение (<внутренней» области, определяющей производную матрицу,
не является однозначным. Радиус нанала R(f. определялся условием, со.
rласно IЮТОрОМУ при любом "а> Ra в нанале (J. ДОШJШО отсутствовать ядер.
1) При IШЖJ\ОЙ энерrии имеется N раЗJIИЧНЫХ fa и 1/ 2 [N(N+1)] раЗJIИЧНЫХ матрич'
ных ЭJIементов тa (нак BCI,ope будет ноказано, матрица тa симметрична). Меныпее ЧИСJIО
параметров было необходимо в rл. YIII по следующим причипам: в области БОJIЬШИХ
энерrий (перезciш\Нсная теория) было введено преДПОJIожение Бора; в области малых
энерrпй (рсзопансная область) обсуждение сечепиЙ реarщии оrраничиваJIОСЬ онрестностью
резонансов.
1<
4. Формула Bpeйтa Bиaпepa алл мпоаих уротей
429
ное взаимодеЙствие между частицей а и ядром Х. Совершенно ясно, что
если этому УСЛОВИЮ удорлетворяет данное значение Ra, то любое большее
значение H также будет удовлетворять этому условию. Поэтому, не Hapy
шая условиЙ теории, к (<внутреннеЙ» области можно добавить в каждом
ющале произдольную ДJIИНУ. Производная матрица эt , отвечающая pac
ширенной внутреннеЙ области, отличается от производноЙ матрицы ffi. ,
отвечающей меньшеЙ области. Эта неопределенность в нашем представле
нии о внутреннеЙ области является следствием HaMepeHHoro иrнорирова
ния всех своЙств, характерных для внутреннеЙ области, за исключением
производной матрицы. Определение Ra, а следовательно, и внутренней
области может быть сделано однозначным, если потребовать, чтобы при
ra < Ra частица а и ядро Х испытывали ядерное взаимодеЙствие (это ЯВ
ляется использованным в rJI. VIII физическим опредеJlOнием cocTaBHoro
ядра). В татюм СJ1учае Ra. оказывается наимеНJ,шей возможноЙ величи
ной R., удовлетворяющей условиям теории (требованию отсутствия ядер
HOro взаимодействия за пределами R.).
В. Связь между ПРОИ3ВОДIIОЙ М81рицей и щтрицей рассеяния
Все внутренние своЙства cOCTaBHoro ядра, существенные для исхода
ядерноЙ реакции, содержатся в производной матрице Эfа. . Однако сечения
различных реакций и упруrоrо рассеяния более просто вырашаютсп через
матрицу рассеяния Sa (см. 1, В), нежели через производную матрицу.
Поэтому, чтобы от внутренних своЙств cocTaBHoro ядра переЙти н наблю
даемым сечениям, необходимо выразить матрицу рассеяния через произ
водную матрицу.
Волновые функции Ф. (числом N), определяемые соrласно (4.1), обра
зуют полную систему. Полную систему образуют и N водновых фушщиЙ чr а ,
определяемых соrласно (1.3). Следовательно, Фа можно представить в виде
линейной комбинации чr а :
Фа == Ca.i>W ,
(4.4)
Коэффициенты Co , входящие в эту сумму, можно определить, сравнивая
поведение левой и правоЙ частей (4.4) в произвольном канале 1 и исполь
зуя соответственно выражения (1,3) и (4.1). Прирашшем отдельно коэф
фициенты при eik,r, и e ik,r,. В первом случае после HeHO'l'OpblX упроще
ний получим
(Оа, + i V k. ffia, )l k, ) e ik,R, == i V ka C, S ,. (4.5)
Коэффициенты при e iI!y"Y приводят н уравнению
( . V k m / k ) 1 i/i R . / ' k С
O.y' l . ")' '2е' '== ' l. '. .у.
Подставляя значение С из (4.6) в (4.5), получим
(о().у+ i V k ))tay V k, )e ikyRy== (Oa i J/ ka ?H(). Vl'k )eil{i>R S y. (4.7)
Таким образом, у нас имеется система из N2 линейных уравнений
дЛЯ N2 неизвестных коэффициентов, входящих в матрицу рассеяния S.
'Уравнение (4.7) удобно записать в матричном обозначении, введя две сле
дующие диаrональные матрицы:
B(J. == O. -v ka
(4.6)
(4.8)
JI
ik R
Ша == иa e ()." .
(4.9)
430
rA. Х. Фор.маЛЬNая теория яоерNЫХ реа"ций
Torдa вместо (4.7) получим матричное Соотношение
(1 + iB1RB) ш == (1 iB1RB) ,
(j)
(4.10)
а, выразив матрицу рассеяния S через производную матрицу ffi, по,к,учu.м
1 + iВfЛВ
S == ш 1 iBfRB ш
(4.Н)
ФизичеСRая интерпретация членов, ВХодящих в (4.11), ОRазывается
следующей: множители ш появляЮтся вследствие Toro, что мы переходим от
поведения на ядерной поверхности (при r==R) R поведению в Rанале на бес
Rонечности. Эти множители учитывают простое изменение рассматриваемой
ТОЧRИ Rанала. Дробь в (4.11) может быть интерпретирована нан матрица
специфичеСRИ ядерноrо рассеяния, Rоторая СВЯЗывает раСХодящиеся волны
на ПОI\ерхности ядра со сходящимися волнами, досТиrающими этой поверх
ности. Матрица BiJtB представляет собой матрицу ядерноrо реантанса, HOTO
рая связана с матрицей ядерноrо рассеяния таRИМ же образом, иаи матрица
реантанса Х (2.19) связана с маТрицей рассеяния S. Коэффицш:iнты В пере
хода от Производной матрицы R матрице реантанса Появляются вследствие
Toro, что в определении производной матрицы мы использовали лишь вели
чины, ОТНосящиеся R внутренней области, тоrда иаи определение матрицы
реантанса содержит СRОрОСТИ Rаналов.
Соrласно теоремам, ДОRазанным в 2, матрица рассеяния S унитарна
и симметрична. Поэтому матрица ядерноrо рассеяния ш lSш l таRже ОRазы
вается унитарной и симметричной. Следо ательно, матрица ядерноrо реаи
танса }j1RB является ЭРМИТОВСRОЙ и симметричной, т. е. действительнои
и симметричной. ТаRИМ образом, пРОИЗ60дная матрица 1Ra 01f,азывается дeй
ствителыюй и симметричной. Действительный ха рантер ffia является
прямым следствием испОльзования в ее определении действительных волно
вых ФУНRЦИЙ (стоячих волн). ПОСНОЛЬRУ матрица 1Ra имеет 1/2 [N (N+1)]
независимых действительных элементов 1Jr(l. ' то иаи раз СТОЛЬRО же незави
симых действительных параметров будет входить и в матрицу рассеяния.
Использование предположения Бора Приводит R значительному СОRращению
этоrо ЧИСJJa параметров (до 2N). Однано мы не будем здесь пользоваться этим
предположением.
В оставшейся части этой rлавы мы обратимся R нахождению разлоте
ния элементов матрицы рассеяния по энерrии возбутдения Е COCTaBHoro
ядра. Тююе разложение дает простые результаты ТОЛЬRО в резонансной обла
сти, rде раССтояние между уровнями веЛИRО по сравнению с их ширинами.
Соотношение (4.11), связывающее матрицу рассеяния и ПрОИЗВодную матрицу, было
получено в специальном случае 1 0 при отсутствии спинов. Общае СООтношение между
маТрицей рассеяния и Производной матрицей оказывается несколько более сложным,
хотя важнейшие этапы вычисления остаются прежними. Этот случай был исследовав
в работе [816].
r. Резонансные уровни COCTaBHoro ядра
При определении действительных ВОЛновых фУНRЦИЙ Фа мы сохранили
возможность реrУЛИРОВRИ положения одноrо из «зерRаю>. Тем не менее
волновые фУНRЦИИ существуют при тобой энерrии Е. Наоборот, если все
зеркала заRреплены, то система будет обладать рядом ДИСRретных состояний
Ф s (8==1, 2, 3, ...), имеющих определенные энерrии Es. Обсуждение, про
веденное в rл. VIII, S 7, ПОRазаJIО, что волновая фУНRЦИЯ внутри cocTaBHoro
ядра веЛИRа ТОЛЬRО в том случае, Iюrда производные вОлновой ФУПRЦИИ
на входе различных наналов обращаются в нудь. Поэтому опреде,к,и.м
s 4. Формула Врейта Вuтера ОДЯ МНО2UХ уровней
431
собствеnnые
состояпия составnоео ядра Ф, при
НФ. == ЕsФ s ,
[ д(rаФs) ]
== О,
or a ra==Ra
Ф d1: == 1. '
помощи ус.ловий
r:J. == 1, 2, ... , N,
( 4.12а)
(4.12б)
( 4.12в)
f
I
Первое из них представляет собой волновое уравнение. Нан и прежде,
rамильтониан Н преДПОЛal'ается действительным, Н * == Н. fраничные усло
вия (4.12б) нанладываются на входе наждоrо нанала 1). Соi'ласно фиr. 106,
эти rраничные условия означают, что все зернала помещены точно на pac
стоянии в одну четверть длины волны от входа нанала. 3ернал с реrули
руемым положением нет. Тан нан, по предположению, rамильтониан дей
ствителен и, нроме Toro, действительными являются rраничные условия, то
волновые фунн:ции Ф, будут действительными во всем пространстве. Vсло
вие (4.12в) представляет собой нормировну. Интеrрал берется тольно по
внутренней области (составное ядро). Поснольну Фs является действитель
ной фуннцией, то необходимость записи через нвадрат модуля Фs отпадает.
Собственные состояния, описываемые Ф., определенноЙ соrласно
(4.12), образуют беснонечный ряд. С увеличением энер1'ИИ отнрытым CTa
новится все большзе число наналов. Кан тольн:о нанал он:азываетея OTHpЫ
тым, в Hero, соrласно (4.12б), помещается зернало. Следовательно, при
любом возрастании энерrии волновые фующии Ф, образуют дисн:ретную по
следовательность. Соответствующие собственные состояния nе являются
распадающимися состояниями; они соответствуют снорее СТОячим волнам.
Мы будем предполаrать, что набор Ф, образует полную систему волновых
фуннций cocTaBHoro ядра, тан что наждая волновая фунн:ция (в частности,
и фуннция Фа при произвольной энерrии Е) представляет собоЙ линейную
н:омбинацию Ф. 2).
Волновое уравнение (4.12а) вместе с rраничными условиями (4. 12б)
предполаrает, что Фуннции Фs ортоrональны друr друrу:
ФsФs' d1: == О, если Ев =1= Ев" (4.13)
I
t
i
1) Для сохранения кратности и простоты обсуждение сделано умышленнО упро
щенным. В закрытых навалах предполаrаются «естественные» rраНИЧIlые условия
(экспоненциальный спад волновой фуш{Ции). Расстояние, на I{OTOPOM затухает волна
В закрытом канале, харантеризует «внешнюю» область, так что наше онределение
cocTaBHoro ядра не является целиком не зависящим от поведения системы во (<внеш-
ней» области. Использованное Виrнером [816] cTporoe определение cOcTaBHorO ядра фор-
мулируется таким образом, что В. Hero СОвсем не входят величины, харю{теризующие
«внешнюю область. «Внутренняю> область ковфиrурационноrо пространства оrравичена
сферой в этом пространстве, причем на поверхности этой сферы накладываются rранич-
ные условия, аналоrичные (4.12б), а производная берется по нормали к поверхности
сферы. Хотя cтporoe определение позволяет избежать использовав ия величин, характе-
ризуюIПИХ поведение канала реакции, таних, как расстояние, на котором затухает ВОЛ-
новая функция в закрытом канале, однако последующее развитие теории оназывается
более сложным, так кан в этом случае следует учесть точное поведение ВОЛIIОВСЙ функции
ВО всех закрытых наналах, хотя можно было бы оrраничиться рассмотрением волновой
фушщии в отнрытых каналах. Вблизи пороrа, отвечающеrо новому типу расщеплений,
необходима более сложная теория [817].
2) Может поназаться странным, что для описания ядерной реаRЦИИ при любой энер-
rии Е требуется N фуннций Фа' rдс N число отнрытых каналов, в то время нак для опи-
сания собственноrо состояния cocTaBHoro ядра с энсрrией Е. необходима Bcero лишь одна
функция Ф s . Это противоречие возникает вследствие Toro, что В обоих случаях мы инте-
р суеМСII различными областями. В случае реакции нас интересует внешняя Gбласть,
имеющая N Iшналов. В случае собственных состояний канапы закрываются зеркалами,
находящимися в фиксированных положениях. В данном случае число каналов N не имеет
отношения к делу и IШЖДОМУ собственному состоянию cOCTaBHoro ядра с энсрrией Es
отвечает толы{О одна волновая функция ФS'
rл, Х. Фор.мдл,11ИЯ теория ядерных реакций
Интеrрирование, иаи и прежде, распространяется ТОЛЬRО на внутреннюю
область (составное ядро), по всем ra<R( 1 ). В даJIьнейшем, если ТОЛЬRО об
ласть интеrрирования не УRазана точно, инте1'рирование всеуда будет про
водиться лишь по внутренней области.
Д. ВЫВОД дисперсионной формулы для мноrих уровней
С целью получения RомпаRТПОЙ формулы для элементов Эi" производ
ной матрицы (а СJlедоватеJIЬНО, и сечений реющий) разложим N фУНR
ЦИЙ Фа при произпольноЙ энеРI'ИИ Е по беснонечному ряду Ф s . Таное раз
лощение зюшнно ТОЛЬRО во внутренней области (составное ядро). При этом
имеется два следующих отдельных этапа: необходимо найти разложение,
rодное во внутренней области (4.21), а затем путем rлаДRоrо сшивания
ВолновоЙ фУНRЦИИ во внутреннеЙ области с ВОлновой фушщиеЙ во внеш
ней оБJlасти (в наналах) определить поведение Фа. ВО внешней области
(и, в частности, элементы Производной матрицы Эi, ). Операция Сшивания
приведет н: онончательному выражению (4.22) для производноЙ матрицы.
В реЗУJlьтате ПРОизводная матрица (а через нее и сечения) будет полно
стыо записана с помощью параметров, связанных с различными собствен
ными состояниями cocTaBHol'o ядра, т. е. через действительные, не зави
сящие от энеР1'ИИ параметры.
При проиэнольной энерrии Е в области Rонфиrурационноrо простран
ства, соответствуюш:еЙ составному ядру, фУНRЦИЯ Фа, (4.1), мотет быть
записана в виде линейной Rомбинации собственных фУНRЦИЙ Ф S cocTaBHoro
ядра:
00
Фа == L; NаsФs.
s 1
(4.14)
Тан: н:аи фУНRЦИИ Ф s ортоrональны [см. (4.12в) и (4.13)J, то
ты N as ЭТОI'О разложения определяются при помощи обычных
N ц == С!\Ф S d'i..
Rоэффициен
уравнений 2)
( 4.15)
Исходя из ВОJШОВЫХ уравнений, н:оторым
и Фа соответственно НФs == Е/Р " и НФ а == ЕФ а ,
ние для Na.s при помощи (4.15):
(Е Es) N as == (ФsНФа ФаНФs) d'i..
удовлетворяют фУНRЦИИ Ф8
мы можем найти выраже
(4.16)
в целях упрощения правой части (4.16) используем теорему rрина
для сведения объеМНОI'О инте1'рала R поверхностному:
(u\/v v\/u)d'i.== (u v )dS. (4.17)
«Поверхность» в этой фОРМУJJе оназывается Rомбинированной. В Rаждом
Rанале интеrрирование по dS распространяется на сферу радиусом Rp,
1) СОотпошение (4.13), cTporo rоворя, имсет мссто в том случае, коrда интеrрирова,
ние распространястся не только на внутреннюю область, по и по всей ДЛине каждоrо из
аакрытых навалов. Если же для определения СОСТояний состаВПОI'О ядра, Описываемых
Фs, ИСПОJ1ЬЗУЮТСя более cTporllC rраНИЧl!ые условия, наложенные Виrнером [816], то СООТ'
ношение ортоrоналыIстии (4.13) выполняется при распрострапении интеrрирования лишь
на впутреннюю область.
2) 130ЗМОЖПОСТЬ раЗJlOжепия (4.14) отнюдь не очевидна. Функции Фs имеют на входе
всех каналов исчсзающие производНые, а функция Фа имеет на входе !,анала а конеч,
ную ПрОИЗВодную [ем. (4.3б)]. Т{'м не м{'нее разлож{'ние (4.14) оказывается возможным.
Оно апалоrичпо разложению функции sin О в ряд Фурье по косинусам.
8 4. Формула Bpeйтa Buaпepa оля мпоаuх УРО8пей
433
так что в этом канале dS == R dQ . Производная по нормали ди/дп является
производной по координате канала r при r == R . .
В канале , вБJIИЗИ входа в канал, при r == R , rамильтониан Н MO
жет быть разбит на внутреннюю энерrию конечноrо ядра X , внутреннюю
энерrию вылетающеЙ частицы a и кинетическую энерrию относительно
движения T == (п2/2M ) \ . Внутренние энерrии не дают пкшiда в по
верхностный интеrрал в (4.17). Поэтому после интеrрирования по BHYTpeH
ним координатам и по уrлам в каждом из наналов в результате неболь
ших преобразований получается следующее выражение:
" 2
== 41t 2М
Здесь Ф" является волновоЙ функцией, описывающей относительное
Движение в канале и соответствующей ПОJIНОЙ волновоЙ фуннции Фа;
она определяется выражением (11.1a). Фуннция фs ЯВJIяется волновой функ
цией, оПисывающей относительное движение в н:анале и соответствую-
щей полной волновой фуннции Ф S'
Выражение (/1.18) можно значительно упростить. Соrласно определе
нию собственных функций cocTaBHoro ядра, ПРоизводная d (r фв )/dr исче
зает при r == H . По определению (4.3) производная d (r фа )/dr при 1' == H
равна нулю во всех наналах 4= (J. и равна (И a/41t1i)lJ2 в канале == 17..
Тан:им образом, при суммировании по остается Bcero лишь один член,
и правая часть выражения (4.16) оназывается равной
(ФВНФ а Ф"ЛФв) dt == v УВ",
(ФsНФа Ф"НФв)dt==
[ ( Ф ) d (r Фа ) ( Ф ) d (r фв )
r s dr r a. dr
] r R .
( 4.18)
(4.19)
rде коэффициенты Ysa определяются соотношением 1)
./ 2пп 2
Ysa == V м Rафsа (Ra).
а
(4.20)
Величина Ysa, определенная Соrласно (4.20), оназывается параметром,
харантеризующим резонансное состояние s cocTaBHoro ядра, и не содержит
:каких либо величин, охносящихся н внешнеЙ области, например скорости
канала. Поснольн:у выратение (4.20) содержит значение ВОJIНОВОЙ фунн:
ции cocTaBHoro ядра на входе нанала 17. [величина Фsа (На)], относительно
которой известно очень мало, то в теории Ysa рассматривается в качестве
параметра. Тан как существует .бесконечно большое число резонансных
уровней s, то беСI\Онечным оказывается и число этих параметров.
Сравнение выражениЙ (4.14), (4.16) и (!1.19) приводит к следующему
разложению волновой фуннции Фа по собственным фуннциям Ф s COCTaBHO
ro ядра:
l/ Т
Фа == r 2 L,.'
s 1
у ВО Фs
Es E
(4.21)
Выражение (4.21) завершает первый этап доназате.льства; мы получи
ли раз.ложение для волновой Фуннции Фа при произвольной энерrии Е,
rодное во внутреннеЙ области (составное ядро).
1) Постоянныс Y sa . идснтичны С введенными Виrнероы и Айзснбадоы ПОСТОянныыи 'У л ';
8ТИ авторы ИСПОльзовали ИНД{'l{С л для обознаqения резонансных уровней, а индекс s для
обозначения наналов.
28 3анаэ N. 396
/
"
;
'1
434
r л. Х. Фдр.м.алъная теория яоерных реакций
.
Приступим теперь ко второму этапу: выразим матрицу рассеяния при
помощи параметров, характеризующих составное ядро. С этой целью BЫ
числим значение обеих частей разложения (4.21) на входе канала . Co
rласно (4.1б) и (4.1в), левая часть разложения (4.21) при r == R равна
т (И /41t1i)1f2Rf;lх , Из определения YB (4.20) следует, что волновая функ
ция. Фа при r === R пр\lнимает значение
Ф 1 rмf: } R
а Ya JI n.2 R при r == .
Подстановка этих значений в разложение (4.21) приводит к формуле
Витера Айаенбада для мноеих уровней, определяющей проиаводнуlO Mam
рицу ffi (Е):
00
YBOoYB
ffi (Е) == kJ Ез Е'
з==1
(4.22)
Соrласно (4.22), энерrетическая зависимость производной матрицы (а сле
довательно, и сечений) выражается через не зависящие от энерrии пара
метры cocTaBHoro ядра (т. е. при помощи Ув(/. И EJ. Нроме Toro, очевидно,
что матрица т" является действительной и симметричной (это было полу
чено в 4, В, исходя из общих евойств матрицы рассеяния).
Соrласно (4.1в), производная матрица имеет размерность длины, Сле
:,овательно, параметры Уа(/. имеют размерность
(Энерrия Х Длина)1f 2 .
Позже мы увидим, что определенная при помощи (VIII, 7.9) парциальная
ширина r состояния s cocTaBHoro ядра, отвечающая распаду по каналу 11,
равна в первом приближении 2k"y (J., Таким образом, параметр Ys(/. связан
с введенной в rл. VIII [см. (VIII, 7.15)] (<приведенной» шириной COOTHO
, шением
2
S У В (/.
1(1. R
(J.
(4.23)
Соотношение (4.23) является хорошим приближением только в резонансной
области, rде расстояние между уровнями cocTaBHoro ядра велико по'
сравнению с их ширинами. Внерезонансной об.пасти параметры YB не
имеют столь простой интерпретации, а разложение (4.22) в этой области
неприrодно.
Е. Обсуждение дисперсионной формулы для мноrих уровней
Несмотря на то, что в разложение (4.22) входит бесконечное число
параметров, при помощи этоrо разложения можно получить ту информацию
относительно производной матрицы т" , которую не удалось получить из
общих теорем 21). Эта информация может быть сведена к следующим
положениям:
1) 1 :олюса ffi" (Е), т. е. значения энерrии Ев, расположены на дейст-
витеЛЬНОI1 оси. Это положение не обязательно выполняется для любой
действительной функции Е: полюса MorYT образовывать и комплексно
сопряженные пары.
1) Пользуясь этим формализмом, Виrнеру [813] удалось получить танте определен-
ные зан:лючения относительно поведения сечрний рассеяния и реанции в нуле. Однано
полезно уназать, что эти занлючения следуют непосредственно из теорРм сохран('ния и
взаимности (определяющих число независимых, дсйствитрльных парам( тров в матрице
рассеяния) и не требуют для c13oero вывода более ДЕ:тальноrо рассмотрения.
s 4. Формула Врейта Виешра оля мноеuх уровней
435
2) Полюса JJJобоrо элемента матрицы т. (Е) расположены при одних
и тех те энерrиях Es, т. е. Es не заЕИСЯТ от 11 и (из обших теорем
можно было вывести заключение о тождественности полюсов лишь у ffi.
и ffi J.)'
3) Вычеты диаrональных элементов ffi.. (Е) в полюсах Е == Ев отри
цательны (равны у;..) и связаны с вычетами недиаrональных элементов
т. (Е) при Е - Es' (равны Ys'Ys )'
Соrласно третьему свойству матрицы рассеяния, каждыЙ ДИaI'ональный
элемент 1Л... (Е) повсюду имеет положительную ПрОИЗFОДНУЮ (исключая
Е == Es, rде производная не определена), т. е. элементы тоо. (Е) ведут себя
аналоrично танrенциальной фунн:ции, которая имеет нуль между любыми двумя
полюсами 1).
Хотя эти сведения и являются дополнительной информацией относи
тельно производной матрицы- (а следовательно, и относительно сечений), их
вряд ли достаточно для анализа действительных ядерных реакциЙ. Разло
жение (4.22) используется пран:тически тольн:о в резонансной области, rде,
за исключением одноrо или двух членов, мотно пренебречь энерrетической
зависимостыо остальных членов суммы.
Отдельные резонаnсные уровни составноео яДра вносят, сослаСl-lО (4.22),
аддитивные вплады в производную матрицу ffi. Преобрааопание (4.11) от про;..
изводной матрицы к матрице рассеяния является нелинейным. Сtrюдоваreльно,
вклад отдельных резонансных уровней cocTaBHo1'0 ядра в матрицу расееяния
не будет аддитивным. Результирующее сечение в случае двух урО13нсй, на'--
столько близких по энерrии, что их ширины перен:рываются, и оБJJaдающих
одним и тем же значением J и одинан:овой четностью, будет более сложной
функцией энерrии, чем сечение, получающееся в результа е сложения двух
формул Брейта Виrнера для изолированноrо уровня или даже в результате
сложения амплитуд.
Более ранние работы, посвященные получению дисперсионной формулы
для ядерных реан:ций [56, 57, 102],основывались на (незаКОНIIОМ) ИСПОЛьзо
вании теории возмущения. При тан:ом подходе, рассмаТрЮiаюшем вероят
ность реан:ции в связи с малым возмущением волновой функции падашщеrо
пучка, матрица ядерноrо реантанса BffiB должна быть мала в том смысле,
что (1 iBffiB) 1 можно приБJlиженно заменить через 1 + iBffiB. 13 этом
случае, соrласно (4.11), матрица рассеяния S выражается приближенным
соотношением
s ш (1 + 2iВ1ЯВ) ш (теория возмущений).
(4,24)
В той степени, в какой законно это приближение, мотно считать
аддитивным вн:лад отдельных резонансных уровней cocTaBHoI'o ядра не
толыю в производную матрицу ffi, но также и в матрицу рассеяния S.
Имеются, однако, весн:ие основания полаrать, что применсние теории воз:--
мущений к ядерным реакциям является в рассмаТРИЕаемой здесь области
энерrий незан:онным и что отдельные резонансные уровни не вносят адди
тивный вн:лад в матрицу рассеяния.
Сумму (4.22) не всеrда можно оценить, оrраНИЧИВII:ИСЬ лишь неболь
шим числ.ом членов. Один из поразительных примеров Gыл указан I3иrне
ром и Айзенбадом. Предположим, что в оЕласти, rде частицы находятся
близко друr к друrу, взаимодеЙствие Отсутствует, так что все сечения
обращаются в нуль. В этом случае матрица рассеяния S ТOJI\Дественна
1) Это положение можно обобщить следующим образом: сумма 2j c.т(. ) (Е) C ,
q
тде с. произвольные действительные числа, им{'f'Т положительную производную по Е
во всех точнах, rде ОПРf'дС'щна производнан. НрОМС' то о, СВ(1ЙСТВО (3) прсдполаrаrт щ
личие определенных неравенств для ВЫl'ших ПJ1f'ИЗВОДНЫХ (см. [81б]).
28*
436
ТА. Х. Формальная теория яоерных реакций
с единичной матрицей S,, == a,, . Переход н производной матрице )R. дает 1)
)R,, == a. k" tg (k"R,,) (при отсутствии взаимодеЙствия).
(4.25)
,,"
в этом случае разложение (4,22) идентично с хорошо известным разложе
нием танrепса на парциальные дроби. Кан: и следовало ожидать, сечения
обращаются IJ данном СJlучае в HYJlI,. Однано это получается вследствие
сон:ращенин результата, оБУСJIOвленноrо раЗШIЧНЫМИ (чисто формальными)
резонансными уровннми с результатом перехода (4.11) от производной Ma
трицы н матрице рассеяния.
ОсновноЙ причиноЙ успешноrо применения дисперсионноЙ формулы
н ядерным реанцинм является не етроrость матема'!:ичесноrо вычисления,
а физичесн:ие нреДпоеьшн:и теории. rлавные преДПОСЫЛЮI уже обсуждались
,в rл, VIII. Мы оrраничимся здесь II основном их повторением.
1. Для наждоrо нанала можно дать адэнватное, хотя и не совсем
точное физичесн:ое определение радиуса н:анала.
2. Для ядерных реан:ций в области малых энерrий существует тан
называемая резонансная область, ноторая харантеризуется тем, что в этой
области у cocTaBHoro ядра имеются cTporo определенные резонансы, paCCTO
яния между н:оторыми rораздо больше их ширин.
3" Для данноrо резонанса можно получить оценну порядна величин
парциальных ширин, отвечающих различным наналам. (Это эн:вивалентно
оценке параметра Ys" для данноrо уровня s в дисперсионной формуле для
мноrих уровней,)
Мы уже обсуждали различие в обозначениях, используемых в этой Iшиrе
и в ориrинальной работе [816]. Не вдаваясь в детали, унажем здесь на три O IIOBHblX
отличия:
1) в настоящей ЮIИrе наналы обозначаются инденсами <1, , ..., В то время нан
в работе [816] для наждоrо нанала использоваJIСЯ набор, состоящий из двух латинсних
БУI\В 1, s; навалы пазывались в этой работе (шозможностями»;
2) в настонщей ЮIИrе резонансные уровни обозначаются лаТИIlСНОЙ бунвой s, в то
время нан в работе [81 (i] ИСПОJIьзована rречесная бунва л.. Определения резонансных
Dнерrий соrласуются в обоих случаях (Es и Е;); величина Y s " тождественна 'Улl s '
3) при отсутствии снинов матрицы и и и, внедснные в работе [816], оназьшаются
идентичными и, нроме Toro, равны ИСПОJlьзуемой в этой ЮIИrе матрице рассеяния S. .
Vчет спинов частиц в различных наналах делает формулы ВИI'нера Айзенбада внешне
I'ораздо более сложными по сравнению со случаем отсутствин сшшов.
{,
Ж. Формула Брейта Виrнера для ИЗ0лированноrо уровня
Предположим, что существенный внлад в сумму (4.22) вносит тольно
один уровень s. Это предположение всеrда выполняется в достаточно малой
оБJIaСТИ энерrиЙ Е вон:рестности резонансноЙ энерrии Es этоrо уровня
eocTaBlIoro ЯДра. Однано в БОJlьшинстве случаев эта энерrетичесн:ая оБJIасть
опазываетсн СJIИНШОМ маJIОЙ и не имеет нин:аI\оrо прантичесн:оrо значения.
Тольн:о в области маJlЫХ энерПIЙ, rде расстояние между резонансными
уровнями с данным моментом НОШlчества движения J и данноЙ четностью
велин:о по сравнению с их ПОJIНЫМИ ширинами, формулы для изолирован
Horo уровня ведут н физичесни разумным и полезным результатам,
Сохраняя в разложении (4.22) тольн:о один IJJен, можно путем непо
средственноЙ подстаноВIШ в (4.11) пон:азать, что соответствующая матрица
"
.
j
f
r
!
r
1) Для выявления Toro, что в большинстве случаев существенную роль иrрают yдa
лснные уровни, мы выберем величину В" нопечной, хотя в данном случае можно было бы
считать В,,==О.
---.,"-'; ""':",J. ;
8 4. Формул.а Bpeйтa BиeHepa дл.я .мноеих уров.ней
43'l-
рассеяния S,, дается выражением
S e ih"R,, [ o 2' V Ys" V Ys ] ih R
,, ,, l . 1 2 е .
(E Es)+1 k,/ys'/
'/
Сумма в знаменателе распространяется на все н:аналы, отн:рытые при
энерrии Е. Суммирование по резонансным уровням отсутствует, так как
мы рассматриваем вклад TOJIJэHO одноrо уровня.
Непосредственная ПQдетаНОВJ\а этоrо' выражения дЛЯ S,, в формулу
(1.5) для сечения приводит к формуле Брейта Виrнера для изолированноrо
уровня, дающей сечение перехода a« (а. 1= ):
(4.26)
2 r r
a,, == 7t];" 1 2 . (4.27)
(E Es)2+( 2: r s )
Парциальные щирины r резонансноrо уровня Es, входящие в (4.27),
связаны с ноэффициентами Ys« соотношением
r == 2k"y;", (4.28)
а полн.ая ширина уровня r s представляет собой, нан 1I прежде, сумму
всех r . Формула (4.27) полностыо совпадает с вычисленной в rл. VIII,
7 и 8, менее строrим методом формулой (VIII, 7.19). Подставляя Bыpa
жение (4.26) в формулу (1.6) для сечения упруrоrо рассеяния, получим
результат, аналоrичный формуле (VIII, 7.20).
Тан нан параметры Ys« В формуле (4.28), харантеризующие составное
ядро, по определению не зависят от анерrии нанала, то пропорциональность
ширины l' волновым числам наналов k" (для нана.ла, отвечающеrо ней
трону с t == О) непосредственно следует из дисперсионной формулы (4.22).
Формула (4.28) служит обоснованием проведенной ранее интерпретации
параметров Ys« (4.23) при помощи приведенных ширин ' '
Если в н:аналах имеются барьеры, '1'0 в формулу (4.28) необходимо
ввести проницаемость барьера. При этом соотношение (4.23) не изменится.
Наличие барьера приведет также н сдвиrу «формальной» резонансной
энерrии (4.12) относительно «действительной» резонансной энерrии, ноторац
входит в формулу Брейта Виrнера (см. rл. VIII, 8, А).
Сечение перехода (4.27) может быть записано в виде произведения
двух множителей, один из н:оторых можно интерпретировать нан сечение
образования cocTaBHoro ядра по наналу а., а друrой ' нак относительную
вероятность распада по наналу :
rSr s r S
a,, == [ 7t]; (Е Ез)2: ( + r s у ] [r: J .
резонансной области
( 4.29)
Таким образом, в
Бора.
ФормаJIьная теория дает более cTporoe обоснование дисперсионной
формулы для ИЗОJIированноrо уровня, нежели методы, развитые в rл. VIII,
и позволяет доказать зан:онность предположения Бора для реанций,
в ноторых участвуют изолированные резонансные уровни cocTaBHoro ядра.
Однано в рамн:ах формальной теории нельзя произвести оценку приведен
ных ширин 1:. Напомним, что оценна (VIII, 7.16), служившая основой
для интерпретации данных по резонансным реан:циям, содержит величины,
отвечающие (<внутренней» области, в нее входит волновое число К частицы
внутри ядра вБJIИЗИ от входа нанала. Следовательно, формальная теория
cTporo выполняется предположение
43Н
rA. Х. Формальная теория яоерных реакций
ядерных реакций, рассматривающая внутреннюю область как «закрытый
ЯЩИIО> , не позволяет получить подобную оценку.
ФОрМУJIa Брейта . Виrнера для изолированноrо уровня (4.27) была
получена в крайнем предпо,тrожении, что - при энерrиях Е, близн:их к Es,
сумму (4.22) можно заменить одним членом. Это предположение не является
действительно необходимым, хотя ero вполне достаточно. Виrнер и Айзен
бад поЛучили формулу, Которая по виду оказывается чрезвычайно сходной
с (4.27), выделив из суммы (4.22) основной член и апроксимировав OCTa
тон: не зависящей от энерrии матрицей. В этом случае связь вели
чин r в формуле (4.27) с пара метрами Уза отличается от (4.28), и удален
ные уровни испытывают небольшой сдвиr по энерrии, хотя сама по себе
формула (4.27) остается применимой.
Виrнер [814] нашел точное выражение для сечоний в случае, КОl'да
два резонанса с одинаковыми J и четностью находятся в непосредствен
ной близости, так что уровни перекрываются, причем друrие резонансные
уровни с тем же J и той же четностью расположены ПОliрежнему далеко.
Этот случай является весьма необычным, и не ясно, можно ли обнаружить
подобныЙ пример в природе.
Относительно дальнейшеrо обсуждения формулы (4.22) для мноrих
уровней читатель отсылается н: работам [817 819, 730, 731].
а
А
Аа == А
A ==A'
В== Ba
C
С
Co
da
daa.x, л
d't
dw
!д) L, тт' (R)
Е
Ез
f==f a
G ЛМJ (оо)
ОБОЗНАЧЕНИЯ
частица в нанале а ( 1, А).
число нунлонов В системе (А, равное массопому числу ядра) ( 1, А).
ik r
ноэффициент при е а а В выражении ДJШ t (ra) (1.2).
ik r
ноэффициент при е а а В выражении для t (ro) (1.2).
диаrональная матрица с действительными элементами, определенная
COrJlaCHO (4.8).
ноэффициент при '1" в разложении '1": (2.14).
- нормировочная пОстоянная W a , СХОД. (2.2), (2.2а).
Iюэффициент в разложении Фа по чr (4.4).
дифференциальное сечение реанции (а, ) (3.3).
дифференциальное сечение реакции (а, ), при которой ориентации
спинов во входном и выходном наналах задаются соответственно-х.
!! Л. (3.19).
Э,1I( мент IюнфиrураЦИОНIIоrо пространства (2.1).
элрм('пт телесноrо уrла (3.3).
-ноэффициент в разложении сферичесной
у Lm (оо), rде "" == 6', '1" и w == 6, '1' связаны
пи('м R (3.10).
энерrип системы (cocTaBHoro ядра) ( 1, А).
формальная резонансная энерrия (резонансноrо) уровня S cocTaBHoro
ндра (4.12а, б).
лоrарифмичесная производная волновой фуннции на входе нанала (а),
ПО ноторому вызывается реющия; относительно ее определения
см. rл. УIII, 2 ( 4, А).
относительная вероятность распада COCTaBHoro ядра с моментом
количества движения J и проенцией М J момента ноличества движе
ния на ось z путем испуснания по наналу в направлении w == б, Ч'
по отношепию R падающему пучну; ориентация спина задается л
rармонИ!{и У Lm (оо') по
дру!' с друrом враще-
(3.19).
ОБО8начения
439
Нрр' (R)
Н
H
JC
i'
J
J маис.
kfJ.' k
к
l
L
L.., Le,
L
m
м
,M..,M(I
N
'Na.s
q (6)
qp (6, ер)
qm(6,ep)
т (О)
qmp (О)
qmp (ш)
.t'i
'",
1'(1
R
R..==R
R
R(I
т == т..
т;(I
$
1/'
s
Rоэффициент, определяющий (шеревертывание» спинов пр. вра-
щении R (3.15).
rамильтониан системы (2.5).
матричный элемент rамильтопиана возмущения Н', отвечающий пер"
ходу между состояниями а И ( 2, д).
BeKTOp маrнитноrо поля ( 2, В).
спин ядра мишени Х ( 3, В).
спин нонечноrо ядра У ( 3, В).
полный момент ноличества движения системы (J таиже момент
количества движения cocTaBHoro ядра) ( 3, В).
мar,симальное значение J, участвующее в реанции ( 3, п.
волновое число, отвечающее относительному движению в нанале а
или ( 1, Б).
волновое число, отвечающее относительному движению внутри ядра
вблизи от входа канала ( 4, Ж).
момент I,оличества движения, отвечающий относительному движениЮ
в данном канале ( 1, В).
мar,симальное значение [, эффективно вызывающее реанцию ( 3, В).
длинаволновоrо панета в нанале а (L..==v..Т) или (LII==VIIТ) ( 2, А).
оператор вектора момента (ноличества движения [L==(rXp)==
== iп (rxv)] ( 2, В),
HBaHTOBoe число проекции момента количества движения l на ось z
( 3, В).
приведенная масса в случае относительноrо движения в данном
канале ( 2, А).
приведенная масса в случае относительнЬrо движения в нанале а
ИJIИ (4.1 в).
число отнрытых каналов при энерrии Е ( 1, Б).
ноэффициент в разложении Ф.. по фs (4.14).
амплитуда, отвечающая реакции (а, ) (3.2).
амплитуда, отвечающая реанции (а, ), при которой ориентация спинов
специализируется р (3.4).
амплитуда реакции, соответствующая полной волновой ФУЮЩИИ
W m ( 3, В).
значение qm (6, ер) в полюсе сферы ( 3, В).
значение qmp (ш) В полюсе сферы (3.17).
_ амплитуда реанции, соответствующая полной ВОJIНОВОЙ ФУННЦИ.
'lJi'mp (3.17).
раДИУС ВeI{ТОр нукиона с номером i, i==1, 2, ..., А ( 1, А).
I{Qордината нанаиа а (расстояние между Х и а в нанале а) ( 1, А).
l{оордината нанала ( 1, Б).
IJращение системы координат ( 3, В).
радиус каНaJШ а ( 4, А).
возможное (увеJIиченное) значение радиуса нанала а ( 4, Б).
радиус нанала ( 4, Б).
производная матрица (4.1 а, б, в).
ПРОИЗВОДная матрица, отвечающая ВОЗМОЖНОМУ выбору радиуса
канала R ( 4, Б).
сппн шщаюшей частицы а ( 3, В).
спин вылетающей частицы Ь ( 3, В).
матрица рассеяния, с матричными элементами 8..[1 (2.10').
мо
s
r л. Х. Формальная теория яоерных реа"ций
Ba
t
Т
У"
T
и
иo
v'"
V
Х
Х
Y sйt
у
а
a
1
1:
r.
r , r,
"'
м
Е",
'ljo
6
'1.
)..
1...
II
Р
Q
ас (а'Х.)
ат
8, О
спин канала, ПоЛучающийся в результате BeKTopHoro сложения s и
( 3, Б).
матрица рассеяния (1.3 а, б, в).
временная координата (2.5).
промежуток времени, в течение KOToporo пакет падающих волн про
ходит через некоторую фиксированную точку канала а ( 2, А).
про межу ток времени, в течение KOTOpOI'O расХодящаяся волна в ка-
нале, обусловлена реан:циями (а, ,) И ( , ,) (2.8).
оПератор кинетической энерrии относительноrо движения в канале
( 4, д).
унитарная матрица, не зависящая явно от времени (2.12).
==Ba ; это обозначение ИСПОJIьзовали Виrнер и Айзенбад [816] ( 1, В).
CKOpOCTЬ относительноrо движения в l{анале а (1.2).
CKOpOCTЬ относительноrо движения в канале ( 1, Б).
конечное ядро в канале а (оно же ядро мишени) ( 1, А).
матрица реактанса (2.19).
параметр, входящий в формулу для мноrих уровней; связан с' при
веДенной шириной резонансноrо уровня с номером s в канале а (4.20).
Конечное ядро при реакции Х (а, Ь) у ( 3, А).
индекс l{анала ( 1, А).
индекс канала, обращенноrо во времени по отношению к каналу
(2, r).
индеl{С канала ( 1, А).
индекс канала ( 1, А).
приведенная ширина резонансноrо уровня с номером s, отвечающая
распаду по каналу а; относительно ее определения см. rл. VIlI, 7,
(4.23) .
полная ширина резонансноrо уровня с номером s (r s == r ) (4.27).
а
парциальная ширина резонансноrо уровня с номером s, отвечающаJl
распаду по каналу а или (4.27), (4.28).
символ Кронекера (oo ==1, если a== , o", ==O В противном случае
(1.7).
неточность в определении уrла б ( 3, В).
кинетическая энерrия относительноrо ДВижения в капале а ( 1, А).
==8",,,,; эта величина обозначалась в rл. VIIl, 2, через "fJo ( 1,В).
уrол между нап авлением вылета частицы и раправлением падающеr<>
пучка при реarщии (а, ) ( 3, А).
инденс, характеризующий ориентацию спина во входном канале а:
( 3, п.
индекс, характеризующий ориентацию спина в выходном канале
( 3, r).
деленная на 21t длина волны де-Бройля, отвечающая относительному
движению в канале а [л",==(k",) l] (s 1, В).
четность, характеризующая ОТНОсительное движение в канале (3.6).
индекс, харан:теризующий ориентации спинов а, Х, Ь и У в реакции
Х (а, Ь) у (s 3, В).
BeKTOp спина с составляющими о"х, ау и a z (s 2, В).
сечение образования cocTaBHoro ядра 110 каналу а при::-условии, что
ориентация спинов специализируется 'Х. (3.19).
сечение реакции в случае S-СТОЛКновений (l==0) (1.8), (1.9).
==0"",,,,; это обозначение иСПОльзовалось в rл. VIII, 2 (1.6).
ах, аУ' О':
ОБО8начения
44t
O'q.q.
O'a
ч'
фq. (r )
фs
Ф т
Ф тр
Ф s
Ф",
'I.а
'I.
tj1==ф (rq.)
tj1q.q. (r q.)
tj1 (r )
спиновые матрицы Паули; относительно их определения см. прило
жение 1, 4 ( 2, В).
сечение упруrоrо рассеяния в канале а., отвечающее частицам с l==O
(s волна) (1.6).
сечение реакции (а., ), отвечающее частицам с l==O (s волна) (1.5).
азимутальный уrол (3.4).
волновая функция, описывающая относительное движение в Iшнале
и соответствующая полной волновой фУНIЩИИ Ф", (4.1 а).
волновая функция, описывающая ...относительное движение в капале
и соответствующая полной волновой функции Фs ( 4, Д).
волновая функция, аналоrичная чr т , В новой (повернутой) системе
координат ( 3, В).
волновая функция, аналоrичнал: W тр В новой (пов рнутой) системе
координат (3.15).
волновая функция резонансноrо СОСтояния cocTaBHoro ядра с номером s
(4.12 а, б, в).
базисная функция в случае стоячих волн; она имеет отличную от НУЛJl
ПрОИ3ВОДНую В канале а. И равные нулю производные во всех друrих
каналах (4.1а, б, в), (4.3а, б).
внутренняя Еолновая ФУНКЦИЯ в Iшнале а (Х'" ==произведению волновой
функции ядра Х в состоянии а' И волновой функции частицы 11
в состоянии а") (1.1).
внутренняя волновая функция в канале (X == произведению волно
вой ФУНКЦИИ ядра у в состоянии ' и волновой функции частицы 1»
в состоянии ") (1.3а).
волновая фУНIЩИЯ, описывающая относительное движение в нанале 01.
(1.1), (1.2).
волновая функция, описывающая относительное движение в канале (J:
и соответствующая ПО'лной волновой функции чr", (1. 3в). ,
волновая фУНIщия, описывающая относительное движение в канале
и соответствующая полной волновоЙ функции чr (1.3б).
'11' волновая функция системы (1.1).
'11'", базисная функция в случае беrущих волн; она соответствует сходя
щимся и расходящимся волнам в Iшнале а. И сходящимся волнам в()
всех друrих каналах (1.3 а, б, в).
чr"" сход. сходящаяся волиа в нанале а (2.2).
'11''''' расход. по волновая функция, отвечающая волие, испускаемой через канал
(2.3).
W базисиая фуннция в случае беrущих волн, определенная анаш)...
rично чrа ( , Б).
полная волновая функция, соответствующая сходящейся волне с м:o
ментом Rоличества движения L и проекцией т на ось z ( 3, В).
полная волновая функция, соответствующая сходящейся волне с м:о...
ментом Rоличества движения L и проекцией т иа ось z, в случае
ориеитации спинов, специализируемой р ( 3, В).
волновая функция обращенноrо во времени состояния (2.13).
уrол, определяющий положение на сфере единичноrо радиуса; сокра...
щенное обозначение двух уrлов 6 и ер ( 3, В).
диаrональная матрица с матричными элементами, равными по абсолют
ной величине единице, определенная соrласно (4.9).
W т
W тр
W(Обр.)
\1)
1. \I)==\I)q.
r л а. в а ХI
'\
САМОПРОИ3ВОЛЬНЫЙ РАСПАД ЯДЕР
Тяжелые ядра оказываются в общем случае динамически нестабиль
пыми. Развал ядра на две части сопровождается выделением энерrии.
Однако обе части удерживаются вместе блаrодаря очень большим силам.
В действительности некоторые тяжелые ядра распадаются блаrодаря KBaH
товомеханическому ПРОникновению через потенциальный барьер. Однако
,для большинства известных тюнелых ядер время жизни оказывается
настолько большим, что до сих пор распад еще не наблюдался.
Динамическую нестабильность тяжелых ядер можно продемонстрировать
при помощи полуэмпиричесн:ой формулы Вайцзеккера для энерrий ядер;
н:оторая рассматривалась в rл. УI (VI, 2.6). Соrлас
но этой формуле, ядра с А > 85, стабильные OTHO
сительно распада, оказываются нестабильными
относительно расщепления на две приблюттельно
равные части, так н:ак сумма энерrий двух ядер
e/2 Z , З/ 2 А) оказывается меньше' энерrии ядра
(Z, А) 1). ДJlЯ ядер с А, превышающим А 191
энерrетичесн:и возможно испускание Il частицы. Пер
вый тип расщепления называется делением, BTO
r
рой Il распадом.
Чтобы испытать расщепление подобноrо рода,
ядро должно пройти qерез промежуточное состоя
ние, энерrия HoToporo оказывается rораздо боль
ше, чем энерrия начальноrо и конечноrо состояний.
Это можно показать следующим образом: обратим
процесс расщепления и рассмотрим два ядра (Z], А 1 )
и (Z2,A 2 ), сближающиеся друr с друrом из беско
нечности до полноrо СJlИЯНИЯ в ядро С Z == Zl + Z2'
А == А] + А 2 . На фиr. 107 схематично показана
потенциальная энерrия V (r) кан фУННЦИЯ pac
стояния между пентрами масс. В качестве нуля
на шкале энерrий принимается энерrия разде
ленных друr от друrа ядер, находящихся в состоянии поноя. При
r > R == R] + R 2 (R 1 и R 2 радиусы двух ядер) потенциальная энерrия
оБУСJIовлена иснлючительно электростатичесн:им отталниванием. Следова
тельно, при r> R V (r) == ZlZ2e2/r. На расстояниях r, меньших R, вклад
'в V (r) вносят силы ядерноrо притяжения, в связи с чем ожидается резний
спад в Н:рИI!ОЙ V (r). [В настоящее время нельзя однозначно определить.
V (r), так н:ак потенциальная энерrия зависит от специфичесних условий,
.при которых происходит слияние двух ядер.] Тан:им образом, максимум
потенциальной анерrии близок н V (R) == ZlZ2e2/R. Эта величина всеrда
R
'ф и r. 107. Потенциаль-
ная энерrия двух ядер
нан ФУЮЩИП расстояния
между ними.
-При r< R потенциальная
8нерrия V (r) точно не
известна.
1. ЭНЕРrЕТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
1) В этом параrрафе ядро Х с зарядом Z и массовым числом А сонращенно обо
начается (ZA).
s 1. Энереетичес"ое рассмотрение
443
больше разности !::.Е между nнерrией ядра (Z, А) и суммой энерrий ядер
(Zl' А 1 ) и (Z2' А 2 ), например, при делении пополам ялра Аи !::.Е == 132 Иав,
в то время н:ак V (R) == 173 Иае. В случае Il распада Ra 126 !::.Е == 4,88 Иав,
а V (R) == 25,7 Иав. Для наиболее тяжелых ядер !::.Е в случае деления
.r.тановится почти равным V (R). Это является причиной, по котороЙ неболь
тое возбуw.дение этих ядер, возникающее при захвате нейтрона или
Rаким либо друrим путем, может вызвать деJIение cocTaBHoro ядра.
Распад ядра (Z, А) происходит только в том случае, сели удается
преодолеть потенциальный барьер при r == R. Это может быть достиrнуто
передачей необходимой энерrии в процессе реакции (вынужденное деление).
При бомбардировке ядер мишени ядерными частицами с достаточной энерrией
происходит образование возбужденноrо cocTaBHoro ядра, энерrия возбужде
пия: HOl'oporo оназывается достаточно большой Д.ля преодоления потенциаль
Horo барьера. Одна но такой путь не является единственно возможным.
В этой rлаве мы рассмотрим самопроизвольный распад ядер, находящиХся
в своих основных состоя:ниях. Потенциальный барьер преодолевается бла
rодаря н:вантовомеханическому проникновению через потенциальный барьер
(281, 282, 328, 159]. Вероятность этоrо KBaHToBoro эффекта быстро YMeHЬ
шается с увеличением массы проникающей частицы. Поэтому самопро
извольное деление является чрезвычайно редним процессом, в то время: нак
самопроизвольное испускание Il частиц наблюдаеТl;Н довольно часто. Мы orpa
ничим настоящее рассмотрение явлением Il распада, хотя тот же формализм
может быть также приложен и к явлению самопроизвольноrо деления 1).
Энерrию Са Il частицы 2), испускаемой «материнсн:им» ядром (Z, А),
можно оценить при помощи полуэмпирической формулы (VI, 2.6) для
знерrии OCHoBHoro состояния Е (Z, А). Предполаrая, что материнсн:ое
и дочернее ядра (Z 2, А 4) до и после испускания находятся в OCHOB
ных состояниях, получим
ca(Z, A)==E(Z, A) E(Z 2, A 4)+Ba,
(1,1)
rде Во. == 28 Мае энерrия связи Il частицы. В этом случае, в предположении
E 1 и А 1, находим из формулы (VI, 2.6)
. Са (Z, А) == 4и" 16u'tT A 2 + 16u c ZA l/з
Z2А 4/з + А Чз + в ( 1 .2)
3 и с З и в а.
Поскольку полуэмпиричесн:ая формула Вайцзекн:ера является прибли
женной, мы не надеемся получить из выражения (1.2) точныЙ результат
после введения численных постоянных (VI, 2.12). Например, соrласно
расчету, энерrия Il частиц, испускаемых 88Ra 224 , Са == 4,7 Мав, в то премя
RaK в действительности ;}та величина равна 5,8 Иав. Однан:о формула (1.2)
может быть использована. для определения общеrо хода энерrий Il распада.
В качестве примера мы определим зависимость Са от числа нейтронов N
материнскоrо ядра, при условии, что Z остается постоянным:
( дСа )
\ BN z ca(Z, А) ca(Z, A 1)
T 4
16и TYA 2 ( 1 ) 16 и ( 1 ) ZA 1/3 U А 4/з ( 1.3 )
., А З С ЗА 98'
I
1) Теоретическому рассмотрению механизма дrления ядер посвящеНЫ работы: [270,89];
Wheel er, Н i 11, Phys. Rev., 89, 1102 (1953); см. также обзор W h i t е h о u s е,
Progress in Nuc1ear Physics, 2, 120 (1952). Прим. перев.
2) Са является кинетической энерrией в системе центра масс и равняется величине
тепловоrо эффекта Q реакции (2, A)==(2 2, A 4)+a.
t:= I I C'CS'
= О <.>
",=-=<:t
1:i 1:I::
==00
(r,) "''''
о:: о о
. :':1 @5
oo <.>t;;ag
=
o::=-
. с:: f-4 f-4
"'<.>00::
= = =-
е' ...0::
tl u r:;
<::)
'<;1--
...
::1
..с
1---
N С;::-:
,.1
JL,/ Е;;: N i
"'Е 7' u y o
E ,, ' / « g] :
t.>/ ,f '& &
'" Ei
::I /
gj o/ g: ,Р.,., "
::1 /'" "- /" '" "
gj / ?/;;'; /
::s / "- ",,,," ::,,;-
"-а'''' 13 :Ъ- '"
","';;;'i "'=> ::о
(jii"""" о 1tI
gj g] ",:::>
"" '" j;!..-'" ",..0"&
'f,. "''' .....
y '& ..... L
,,'" '"
о::. :<: ,, Е ,. ..-o.:1.
.....
...... .:t ",..... ..-o
'"
""""""';;; '"
« "''' 1::1 '"
1:j &
о)
'"
'"
=>
,f'
С
'<;1-
,N
Lr")
",;'.'
'"
'"
'"
..с
';:: .... " !::D
1---- ........
"'....
С
cv)
N
lt)
N
N
f
I
I
I
...
...
N
J: :
с
се
:Б
.t
tf
"'
t:)
::з
:>-
Ct\)
Nt:)
Nt:>
t:)
t5
-'
&
"'
i:i5
lt)
'"
;;;
"L ,
с:- .....
s :i
'
V
&
&.
С
2
"
т "7
E . i;s ","
; ёQ
i:i5
С
эеw
С
r--.-
'v
(!VШJOd 'Ю /fПzdэне
С
<Lj-
С
'<;1-'
. .' 'L
2. Общая теория альфа-распада
445
Эта величина отрицательна для всех значений Z и А. В области
радиоюпивНЫХ ядер она по порядку величины равна . 0,3 Мэв. Следо
вательно, при увеличении числа нейтронов в материнском ядре па единицу
энерrия а распада уменьшается на одну и ту те величину. Эта тенденция
отчетливо выявляется в природе. На фиr. 108 нанесены энерrиИ а частиц
в зависимости от MaccoBoro числа, Точки, соответствующие одинаковым Z,
соединены линией. Интересно отметить, что ожидаемое поведение наблю
дается только для А> 213 и А < 209. В промежутке имеется харю{тер
ный разрыв, который связан с «МaI'ичес!,имю> числами нейтронов и про
тонов 126 и 82 [298, 610). Эти факты будут обсуждаться в rл. XIV.
2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ АЛЬФА-РАСПАДА
Основное состояние ядра, нестабильноrо по отношению к а распаду,
можно сравнить с состоянием cocTaBHoro ядра, образованноrо в процессе
ядерной реакции; оба состояния распадаются с испусканием частицы.
Поэтому для квантовомеханическоrо описания а распада мы будем при
менять те те самые методы, которые использовались в rл. VIII дЛЯ опи
сания распадающихся состояний cocTaBHoro ядра.
Воспользуемся вначале качественным описанием, введенным в rл. VIII,
!i 7. Отнесенная к единице времени вероятность испускания а частицы
r /1i может быть записана, аналоrично (VIII, 7.12), в виде произведения
l' -== пыо Т (а), (2.1)
rде ЫО число (шопытою> ПРОНИI{новения а частицы сквозь поверхность
ядра во внешнюю область в единицу времени, а Т (а) проницаемость
потенциальноrо барьера. Вследствие Toro, что движение в свнзанном
состоянии носит периодический характер, мы отождествим промежуток
времени Р == ыо1 С классичеСJ{ИМ периодом движения. Использование
классических представлений для описания OCHoBHoro или низших возбуж
денных состояний l'ораздо менее обосновано, чем в случае сильно возбуж
денных состояний cocTaBHoro ядра. Таким образом, полученные в данном
случае заключения являются в еще большей степени качественными, чем
соответствующие заЮlючения rл. VIII. Соотношение (VIII, 7.10), связыва
ющее период и расстояние между уровнями, можно использовать только
в качестве чрезвычайно rрубой оцеюш порядка величины t156]:
P l D
ЫО == '"'-' 2пn '
(2.2)
rде D , расстояние между уровнями с одним и тем же моментом коли
чества движения и четностью. Величина Т (а) является проницаемостыо
nотенциальнOl'О барьера, изображенноrо на фиr. 107. На этой фиrуре ко-
ордината r обозначает расстояние между центрами конечнOl'О (дочерне1'0)
ядра Х и ИСПУСI{аеМОI1 а-частицы. Эта координата совпадает с (<l{оординатой
канала», использованной в rл. VIII. Радиус канала R соответствует pac
стоянию, на котором ядерное взаимодействие а частицы с J\онечным ядром
Х становится малым по сравнению с КУЛОНОВСI\ИМ отталкиванием, COOT
ношение между радиусом нанала R и радиусами ядра Х и а частицы
будет обсуждаться позже.
Предположим, что а-частица движется с определенной кинетической
энерrией Е к поверхности (cocTaBHoro) ядра. 13 точке r == R она достиrает
BHYTpeHHero края барьера и может проникнуть сквозь барьер. Если
частица проникает сквозь барьер, то вдали от ядра (при r СХ)) ее кине
тическая энерrия равна E . В рамках схематическоrо описания мы можем
заменить условия внутри cocTaBHoro ядра постоянным потенциалом
446
r/t. Х/. Са.мопРОШ180/tЬ'Н,ЫЙ распао яоер
V (r) == €a Е при r -< R. П роницаемость для этоrо случая была определена ,
в rл. VIII, 5. Она дается ФОРМУЛОЙ (VIJI, 5.5). В этой формуле волновое-
число К соответствует кинетической энерrии ЕНУТРИ ядра: К2 == 2Иа.Е/h'J..
Величины 8[ и CJ[ определяются из поведения волновой функции во внеш
ней области при помощи (VIII, 2.47), (VIIТ, 2.48) и (VIII, 2.50); l является
моментом количестра движения (в единицах п) испускаемой а. частицы.
В формуле (VJII, 5.5) для проницаемости Т[ (а.) можно пренебречь 61
по сравнению с KR, что дает
Т ( ) 4' IKR
а. "=:::
1 (KR)2+Llf'
(2.3)
В &том случае вероятность I'a./h распада cocTaBHoro ядра по каналу, OTBe
чающему ИСПУСI{анию а. частицы, может быть записана в следующем виде:
r" 4s l KR
Т == Ш О (KR)2 + Llr .
Условия внутри материнскоrо (cocTaBHoro) ядра входят в эту формулу
через величины ш о и KR; величины 81 и CJ 1 зависят от внешних условий
и от значения радиуса канала R.
Относительно величин ш о и К, характеризующих (<внутреннее» eTpoe
ние ядра, мошно делать только очень rрубые предположения. Для ш о мы
примем оценку (2,2) и используем значение
(2.4)
К'"'-' 1.1013 С.1с 1 .
(2.5)
Это значение соответствует кинетической энерrии а. частицы внутри
cocTaBHoro ядра порядка 5 Мэв. Некоторые вопросы, связанные с этой
оценкой, рассматривались в rл. VIII, 5.
Вероятность распада (2.4) очень сильно зависит от энерrии €" а. частицы
после вылета из материнскоrо (COCTaBHoro) ядра. Энерrия €. значительно>
меньше высоты барьера (Z заряд кот'l1l0ео ядра):
2Ze 2 l (l + 1)1/,2
Высота барьера == R + ')м R2 :== V В. (2.6}
"
При этих условиях 8[ оназывается чрезвычайно быстро меняющейся функ
цией €a, стремящейся к нулю при стремлении к нулю €".
На вероятность распада влияет также величина момента количества
движения. При прочих равных условиях большим значениям l COOTBeT
ствуют меньшие вероятности распада. Это следует из формулы (2.6):
с увеличением l увеЛИЧИЕается высота барьера. Возможные значения l
вылетающей а. частицы определяются законами сохранения момента ноли
чества движения и четности. Осозначим материнское ядро через С, дочернее-
ядро через Х (С == Х + а.); моменты количества движения и четности этих
двух ядер будут соответственно обозначаться через Ic, Ix ИПс, П Х .
Чтобы определить наинизшее возможное значение l, разобьем пере
ходы на «разрешенные по четности» и «запрещенные по четности». Резуль
таты приведены в табл. 21. Запрещенные по четности переходы, при
которых или Ic, или Ix, или оба момента равны нулю, оказываются
абсолютно запрешенными законами сохранения.
а. распад, которому отвечают оеновные состояния четно четных ядер
с 1 с == Ix == О, повидимому, является разрешенным по четности. Интересно
отметить, что такие распады были бы абсолютно запрещенными, если бы
П С == . п х . у естественных а. излучателей не найдено ни одноrо TaKoro слу
чая. На опыте бьши обнаружены все энерrетичесни возможные а. распады для
четно чеТIIЫХ ядер, имеЮIIlие предскаЗЫI армые (2.4.) времена жизни, кот()...
рые находятся в доступных для экспеr имента пределах. Это является
8 2. Общая теория альфа-распаоа
447
Таблица 21
Минимальное значение L орбитальноrо уrлоноrо момента 1 а-частицы
при переходе I с'П с > 1 х'"х
Разрешенные по чеТНОСТIl
Запрещенные по четности
ПсП х ==( l/C IX
[МIlИ. == L==I Ic Ix I
ПсП х == ( l/c I х+ 1
lмин. == L == 1 1 с 1 х 1+ 1,
при условии, что 1 с и 1 х не
равны нулю
сиЛЫlЫ.м ареу.меюпо.м в пОЛL3У предположения о то.м, что все четно четные'
ядра и.меют не толы,о равный нулю .мо.мент количества движения 1, но.
и одинаковую четность П (четные).
Выражение (2.4) и оценн:а (2.2) для (,1)0 предполаrают, что а. частичнан
ширина 1\ пропорциональна расстоянию между уровнями D распадаю
щеrося (cocTaBHoro) ядра, расположенными вблизи уровня, с KOTOpOro
происходит распад. Подобная зависимость выратает то обстоятельство,
что нероятность появления у поверхности ядра а. частицы, способной
'вылететь из ядра (причем остальные частицы уте сrруппированы соrласно
волновой функции конечноrо ядра Х), зависит от динамических свойств
ядерноrо двитения, отвечаюшеrо низшим состояниям составной системы.
Если движение является очень простым, то большим он:азываотся как
расстояние между уровнями D, так и а. частичная ширина l'а; если движе
ние запутано, то обе величины малы. Следует помнить, что соотноше
ние (2.2) является чрезвычайно rрубым и не принимает во внимание каких
либо специфических свойств уровней, с которых происходит распад. Можно
отидать, что сушествуют уровни, для которых вероятность образования
а частицы у поверхности ядра сильно отличается от определяемои D (2.2).
До сих пор мы иСпользовали качественные aprYMeHTbl rл. VIII, 7.
Пон:ажем теперь, что к тем же результатам приводят БОJlее точные методы.
9 той же rщlI3Ы. Материнское ядро находится при а: распаде В «распада
ющемся состоянию>, аналоrичном введенным в rJl. VIII. Поэтому восполь
эуемся непосредственно анализом, проведенным в 9. Энерrия W pac
падающеrося состояния является комплексной:
W == Ев } ira. (2.7).
Действительная часть И Т дает среднюю энерrию Ев распадающеrося состоя
ния; мнимая часть содержит а. части[шую ширину l'а, которая определяет
вероятность распада, I'./h. Распадаюшееся состояние описывается при
помощи rраничноrо условия (VIII, 9.18), щшладываемоrо на лоrарифми
чесн:ую про ИЗ водную fl (Е) в точке радиуса канала R. В данном случае
а частичная ширина l'а дается выражениями (VIII, 9.20) и (VIII,9.22):
J'a 281[( )J 1, (2.8)
rде 8, и производная (dfjdE)s вычислены при энерrии, равной действи
тельной энерrии Ев, входящей в (2.7) 1).
1) Этот пункт является единственным отличием наСТОящеrо рассмотрения от про
ведснноrо в rл. VIJI, S 9. Там было сделапо дополнительное приближение: Sl и dll/dE
вычислялись при «формальной» резонансн<,й энерrии, для ноторой 1I (Е)==О. Такое при-
ближение является плохим для а-распада, поскольку tJ l , определяющее различи!' между
формальней» и «дrйствит!'льной» р( зонанспыми энерrиями, оказывается большой длl1
анерrий, значительно меньших высоты барьера. -
свою очере,!l;Ь, энерrия Es, входящая в (2.7), определяется условием
/1 (EJ == Ll l (Es). (2.9)
Эти значения Es соответствуют Es + aE s в (VIII, 9.23).
Формулы (2.8) и (2.9) нельзя ИСпользовать, пона не сделаны Heн:o
торые оценни для fl (Е). Мы воспользуемся той же оценной, что и в теории
резонансных реющий в ,rл. VIII, а именно:
и
/1 (Е) к R tg z ( Е)
(2.10)
dz 1t
dE D'
(2.11)
,
,.
!
('де D расстояние между уровнями с одинановыми значениями момента
Rоличестпа двитения и четностью.
Для вычисления ширины I'a, определяемоЙ (2.8), необходимо знать
ПрОИЗВОДную d/l/dE. Пренебреrая изменением К с энерrией, получим
, 1t R [1 +(iK У] . (2.12)
Эта величина подставляется в (2.8) и (2,9) и используется для опре
деления /11). Результат имеет следующий вид:
4s 1 KR D D
I'a (KR)2+L1[ 2п ==Tl(a.) 2п . (2.13)
Следовательно, ноличественное рассмотрение а. распада Приводит К тем же
реЗУJIьтатам (2.2) и (2.4), что и предыдущее начественное рассмотрение.
Фуннции Sl и С1 1 В (2.13) долтны быть получены из решения волно
Боrо уравнения во «внешней» области. Мотно поназать [194], что в pac
сматриваемой области для определения этих величин удовлетворительным
будет приблитенный метод Вентцеля HpaMepca. Бриллюэна. В этом
приближении проницае ость Тl (а.), (2.3), имеет следующий вид:
То
Т! (а.) 4K"f,,1 (R), 2 ехр [ 2 Х l (r) dr ] '
К2+ [ I(R)+ ; :i ] R
(2.14)
('де
2 ( ) 1(l+1) 2Ma2Ze2 2МаЕа
Хl r ==: ,2 + 7;:2"""""'7 h 2 ,
(2.15)
xj (r) пвляется производной Х 1 (r) по '", а ro определяется из условия
Х 1 (ro) =: O. (2.16)
Энспонента в (214) была впервые найдена в работах [281, 447).
Интеrрировапие распространяется по области, n НОТОРОЙ высота потен
циаJIьноrо барьера больше Iшнетичесной энерrии а. частицы. Соrласно нлас
сичеСl{ОИ механине, а. частица не может пронин:нуть в эту область. Фунн
ция (2.14) очонь чувствительна н энерrии Еа.
13 занлючение остановимся на значении радиуса нан ала R, ВХОДящеrо
в эти ФОРМУЮ>!. Поснольну (<поверхности cocTaBHoro ядра не является
аБСОJlIОТНО резной, этот радиус нельзя uпределить очень точно. Смысл
радиуса нанала продемонстрирован на фиr. 109. В теории действительная
потенциа.iIьная энерrия с ее зависимостью от r заменяется фю\тивной,
Rоторая резно спадает при r == R. Величина R выбирается ТaIШМ образом,
чтобы финтивный потенциал приводил н тому же среднему времени жизни,
1) В rл. VТII, S 9, tl опрсделялось при значсшш «формальной» резонансной энерrии,
т. е. полаrалось tl (Es)==O.
3. ОБСУ[)fCде1lие Э11спе ри.меnталъnых оаnnых
449
что и действите;rrьный потенциал. Расстояние R', на котором действитель
ный потенциал начинает отклоняться от поведения во «внешней» области,
должно быть суммой радиусов конечноrо ядра Х и а. частицы
R' Rx+R.. (2.17)
Радиус lX частицы можно оценить при помощи теоретичеСJ\оrо paCCMO
трения (см. rл. У) и по рассеянию нейтронов на а. ча(;тицах. Повидимому,
Ra б.тIИЗН:О К :....1(j 13 см. Расстояние R' больше радиуса у{анала Н. Лоэтому
мы напишем
\
R==Rx+p.,
(2.18)
rде ра «эффен:тивныЙ» радиус а. частицы, КОТОРЫЙ оказывается меньше ее
действительноrо радиуса На.
%
c'v
%-
::t::
:.:J
Е:
2 2
2 e + Щ+1)
2Mot.r
R R'
r
ф иr. 109. СПЛОПIнап нривап схrматичrсrш изобра-
жает дrIlСТВИТСЛЬНЫЙ потенциал, отнеЧЮОЩI1Й Cif-
лам, действующим между пдром Х и а частицей.
Пунктирная нривап представшrет собой фИI\ТИВПЫЙ
потенциал, используемый в теории а распада. Радиус
нанала R не совпадает с расстопнием В', на ното-
ром потеш иальнап энерrия вперпые ОТI\лонпется от
cBoero поведения во <{внешней» областп. АтомныЙ
номер Z соответствует I\онечному (дочернему) ндру.
Выбор величины р. для подсчетов несколько произволен, ПОСКОЛЬJ\У
кю, R, так и Rx MorYT быть определены лишь в пределах точноuш
0,5.10 13 см. Мы выбрали
р. == 1,2. 10 13 см. (2. Н,)
В нескольких случаях (РЬ и Bi) R известно из изучения а. распада,
а Rx из измерений с нейтронами (относительно последних см. rл. IX).
Экспериментальные значения не противоречат (2.18) и (2.19).
s 3. ОБСУЖДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Соrласно полученным в предыдущем параrрафе теоретичесн:им резуль
татам, вероятность испускания а. частицы чрезвычаино чуuствитеJIьна
к энерrии а. частицы. Иллюстрация этоrо утверждения приведена на фиr. 110,
на которой l'а нанесена в зависимости от энерrии Еа ДJIЯ различных ядер.
Изменение энерrии на 1 Иэв при водит к изменению ra примерно /.! 105 раз.
Это обстоятеJIЬСТВО позволяет использовать выражения, аналоrичные (2.4),
для предсказания экспериментальных величин L'a, несмотря на то, что HeKO
29 Заиаа;N', 396
450
rл. XI. СамопроиВ80ЛЪ1fЫй распао яоер
торые мнотители, как, например, шо, известны только по ПОрЯДКУ величины.
Оценка r.. по порядку величины имеет смысл, поскольку возможные зна
чения перекрывают диапазон, составляющий 16 порядков. Хотя r.. сильно
зависит от заряда Z нонечноrо (дочернеrо) ядра и радиуса. канала R,
однако общий вид зависимости от E остается одним и тем же для всех
значений Z и R, встречающихся у естественно радиоактивных ядер. Связь
8
4
О
4
"
"
1. -8
(\)
<..>
12
t.J1",
,з,
16
20
24
28
З2
3 4 5 6 7 8 9 10
Еа. ' Мэв
Фи r. 110. Вероятность испускания r" нак функция энерrии
а-частицы Е".
Rривые подсчитаны по теории при следующих УСЛОRИl1Х: нривая 1 для
Zдоч.==82. R==9.3 .10 13 см; нривая 2 для Zдоч. == 82. R==7.9 .10 13 см;
нривая 3 для Zдоч.==90. R==9.6.10 13 см. Длп всех нривых D==0.5 Мэ.
и К==1 013 CM 1. Точни соответствуют наблюдаемым вероятностям
испуснания: нружни в случае Zдоч.==82 и нвадраты в случае Zдоч.==90.
между лоrарифмом r" и энерrией может быть rрубо апроксимирована
линейной зависимостью 19 r" а + ь Е" или, несколько лучше, зависимостью
вида 19 r" а Ь Е;;Ч2 [71]. Эти соотношения обычно называются законом
rейrера Нэттола и впервые были найдены эмпирически. Теоретическое
объяснение порядка величины В""'1;ящих в Hero постоянных [281, 282] pac
сматривалось как большоЙ успе. Iеории ядра.
Нен:оторые постоянные, входящие в теоретические формулы (2.4}
и (2.13), можно определить при помощи наблюдаемых для а. распада Bpe
мен жизни п/r". Наиболее существенным из этих пара метров являетсл
3. Обсу;ж;депие эх;сперимепталъных данпых .
451
радиус нанала R. Теоретичесное значение r" очень чувствительно н I3ели
чине R. Харантерный пример приведен на фиr. 111. 'Увеличение радиуса
нан ала R на 1.10 13 см (rрубо rоворя, на 10%) увеличивает вероятность
распада для а. частиц с €" == 5 ]Иэв в 150 раз. СJНщовательно, из наблю
даемых величин r" и €" мошно со значительной степенью точности опре
делить радиус нанала R, несмотря на то, что ШО и KR в формуле (2.4)
известны лишь весьма приб.лиженно.
Зависимость r" от момента ноличе
ства движения l вылетающей а. чаетицы
является относительно несущественной
по сравнению с сильной зависимостыо
от R и €". ,Цля малых l центробежный
барьер в (2.6) MaJI по сравнению с HY
лоновсним барьером; их отношение
равно
Центробежный барьер 1,80
Rулоно в сiшй барьер .! (l + 1) ZR ' (3.1)
rде R выражено в единипах 10 13 СМ.
При разумных значениях R .10 13 СМ
И Z 85 это отношение равно
0,0024 l (! + 1), что пренебрежимо мало
для l -< 4. При больших значениях r это
отношение становитея даже еще MeHЬ
ше, тан нан центробежный потенциал
пропорционален ,.2, в' то время нан:
кулоновсний потенциал пропорциона
лен r l.
Табл. 22 иллюстрирует относительные
значений l при Z == 86 и R == 9,87 .10 13 СМ.
I
1O
....
6
14
18
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
( R 13 )
9,87'10 см
1,6
Фиr. 111. Вероятность иrпускаНИfl
а частицы IШR Фуннция радиуса R для
Zдоч. ==86 и € ==4,88 Мм.
По оси ординат отложена величина Ig (ra./п)
причем ra./п выражено в сеи. l.
величины r" для различных
Таблица 22
Отношения вероятности [" (1) испускания а частицы С моментом
количества движения 1 к вероятности ИlJпускания с 1==0, рассчитанные
для Zдоч. == 86, R == 9,87 .10 13 см, €" == 4,88 М эв
о
2
5
3
q
6
[а. (1) 1 . 0,7 0,37 0,137 0,037 7,1.10 3 1,1.1O 3
[,,(О) .
Изменение r а. от одноrо значения l н: друrому мало по сравнению
снеточностью теоретичесн:ой оценни (2.2). Развитая здесь теория не пред.
сназывает снольно нибудь существенноrо различия во временах жизни по
отношению н: а. распаду для значений l, отличающихся в неноторых слу
чаях даже на 3 единицы; например, из табл. 22 видно, что времена
жизни по отношению н а. распаду для 1 == О, 1, 2 и 3 в пределах точности
оценн:и (2.2) равны друr друrу.
Табл. 23 содержит сведения о ряде а. радиоантивных ядер. 11 нее
вн:лючены тольно естественно радиоантивные элементы. Материал таблипы
взят из работы [194] 1). В этой таблице наиболее важным результатом
1) Аналоrичное изучение было проделано в работах [589, 421].
291'
452
r/t. ХI. СамоnроиавО/tЬNЫЙ расnао яоер
Таблица 23
Данные об а активных ядрах
Первый столбец содержит материнсиое ндро, второй дочернее ндро. Симвом 83Bi212 обозначает
изотоп В1 (Z 83) с массовым число"! А 212 и числом нейтронов N A Z 129. lj! следующем
столбце приведено наблюдаемое время /Низни. Четвертый столбец содершит энерrию распада.
{]ятый Сl'олбец содершит rрубую оценн-у расстоянин мешду уровннми D вблизи OCHOBHOI'O состоя-
НИН материнсноrо ядра. Радиус нанала R ПОДСЧИТЫlJаетсн иа этих дапных по формулам (2.13)
(2.16). Радиус RX' приведеппый в предпоследнем столбце. представляет собой радиус иопечноrо
(дочернеrо) НДра Х и подсчитыпаеТСfI по формулам (2.18). (2.19). Последний столбец понааывает,
насиольио точно эти радиусы следуют простой зависимости RX roA 1/з.
Материн- Дочернее ПерпоД Энерrин I R. Rx. To
сное ядро полураСlIзда о распа D, Мэв 10 13 см RхА 1fз.
пдро да. Мэв I 1 0 13 см 1 0 13 см
п. 212 T1 208 11 6,20 0,06 8,0 6,8 1,14
83. ]129 81 127 час.
я. 214 T121 О 76 5,61 0,06 9,2 8,0 1,34
83 ]131 81 129 дн.
Р 210 Pl 206 138,3 ДИН 5,40 0,8 8,4 7,2 1,21
84 °126 82 )124
212 Р 208 3,O.1O 7 сек. 8,95 0,7 9,0 7,8 1,31
84 P ol28 82 Ь 1 26
214 рь 21О a,5,10 4 7,83 0,6 9,3 8,1 1,35
84 P ol30 82 128 »
Р 215 Р 211 1,8.10 3 7,50 0,2 9,5 8,3 1,40
84 °131 82 Ь 129 »
Р 216 Р 212 0.158 6,89 0,5 9,3 8,1 1,35
84 °132 82 Ь 1ЗО »
Р 218 рь 214 3,05 мии. 6,12 0,4 9,6 8,4 1,40
84 °1:J4 82 132
А 215 в. 211 10 4 8,15 0,2 9,3 8,1 1,35
85 L 1З О 83 ] 1 28 сек.
Ет 219 Р 215 4,7 6,94 0,03 9,6 8,4 1,39
86' 133 84 0131 »
220 216 54,5 6,39 0,25 9,7 8,5 1,40
86 Em l:J4 84 P ol32 »
Е 222 Р 218 З,83 5,59 0,19 9,7 8,5 1,40
86 m l :J6 84 0134 ДИН
223 219 20,2 5,82 0,3 9,7 8,5 1,40
88 Ra l35 86 Em l:J3 »
224 220 3,8 5,78 0,08 9,8 8,6 1 ,42
88 Ra l:J6 86 Em l:J4 I »
па 2 26 222 I 1700 4,88 0,07 9,9 8,7 1,44
88 138 86 ЕШ I;J6 лет
А 227 F 223 1810 5,04 0,06 9,6 8,4 1,39
$9 c l38 87 1'136 »
227 223 93 ДИН 6,16 0,04 8,8 7,6 1,26
\Jo Tll l37 88 Ra l35
, 228 224 2,64 rода 5,52 0,4 9,5 8,3 1,36
01hl:J8 88 Ra l36
23О 226 1.105 4,76 0,5 9,5 8,3 1,36
o Th l40 88 Ra l:J8 лет
232 "28 1,39.1010 4,05 0,5 9,8 8,6 1,43
o Tll l42 88 па 140 »
l,234 зо 2,35.105 4,84 0,8 9,5 8,3 1,35
92 } 142 90 T1J 14 U »
238 Th 234 4,51.109 4,2.5 0,73 9,6 8,4 1,36
92 U 146 90 144 »
является сводка радиусов канала R, определенных из естественных времец
жизни и энерrий, n предположении, что l О (которое, как мы только
что видели, вносит очень небольшое изменение). Там же приведены ради
усы Rx н:онечных (дочерних) ядер, определяемые из (2.18) и (2.19). Эти
радиусы удивительно хорошо подчиняются правилу
R А l/з
х == ro ,
"де rо ПОСТОЯНIJая, бли::шая к 1,4.10 13 см.
"
(3.2)
ОБQrтац,еnия
453
Из этоrо правила имеется несколько характерных исн:лючений. Ради
усы ядер T1208 и рЬ 2О6 оказываются необычно малыми. Столь малые зна
чения, повидимому, не являются истинными и обусловлены сильными
отклонениямидействит льных величин Ш О В (2.4) от оценки (2.2). В тан:их
случаях вероятность испускания а. частицы материнским (составным) ядром
чрезвычайно мала, вследствие чеrо частоты Ш О оказываются rораздо меньше-
оценн:и (2.2). В свою очередь, это приведет к аномально малой величине-
радиуса н:анала R, если использовать выражение (2.2). Такие ОТК.понеНИIJ
от правила (3.2), повидимому, связаны с тем фан:том, что в тих случаях
материнсн:ие (составные) ядра имеют на один нун:лон больше, а дочерние
ядра на один нуклон меньше «маrичесн:оrо» числа нун:лонов (см. rл. XIV).
а
А
А 1
А 2
Ь
В(/.
D
е
Е
R
Е.
E(Z, А)
f! (Е)
1
Ic
Ix
К
1
L == lмин.
М(/.
N
р
r
ro
ro
R
R 1
R 2
R'
Sz
T
ОБОЗНАЧЕНИЯ
постоянная, входящая в закон rейrера Нэттола (s 3).
MaCCOBoe число ядра (материнскоrо ядра при а распаде или делении) (s 1}.
MaCCOBoe число ядерноrо осколка (s 1).
MaCCOBoe число ядерноrо осколка (s 1).
постоянная, входящая в закон rейrера Нэттола (s 3).
энерrия связи а частицы (В(/. ==28 Мае) (s 1.1).
расстояние между уровнями составноро (материнскоrо) ядра с одинаио
выми моментами количества движения и четностью (2.2).
заряд протона (s 1).
кинетическая энерrия а частицы внутри составноро (материнскоrо) ядра (s2).
энерrия возбуждения составноро (материнскоrо) ядра (S 2).
действительная часть П' (Е. == средней энерrии распадающеrося состояния
(S 2.7).
энерrия основноро состояния ядра (Z, А) [Е (Z, А)==взятой с обратным
знаком нерrии связи] (1.1).
лоrарифмическая производная радиальной части волновой функции
на входе канала; относительно ее определения см. rл. VIП, S 2.
момент количества движения ядра (S 2).
MOMeHT количества движения составноро (материнскоrо) ядра (S 2).
MOMeHT количества движения конечноrо (дочернеrо) ядра (S 2).
волновое число а частицы внутри составноl'О (материнскоrо) ядра (S 2).
MOMeHT количества движения испускаемой а частицы (S 2).
наинизшее значение 1, совместимое с данным набором 1 с' 1 х' п с и п Х (S 2).
приведенная масса в случае относительноrо движения а частицы И конеч
НОI'О (дочернеrо) ядра (М(/. массе а частицы) (S 2).
число нейтронов в cdcTaBHoM (материнском) ядре (S 1).
== (1)0 1; классический период движения (S 2).
координата канала [r == расстоянию между ядерными осколками при развале
составноро (материнскоrо) ядра] (9 1).
классическая точка поворота для а частицы И конечноrо ядра (2.16).
постоянная, входящая в формулу для радиуса ядра R ==roAl/3 (3.2).
радиус канала (R==R1 +R 2 ) ( 1).
радиус ядерноrо осколка (21' А 1 ) (9 1).
радиус ядерноrо осколка (Z2' А 2 ) (9 2).
расстояние между а частицей И I{онечным (дочерним) ядром, на котором
начинают действовать ядерные силы (2.17).
функция, связанная с проницаемостью; относительно ее определения
см. I'л. VIlI, 9 2 (2.3).
избыток нейтронов r T =={ (N Z)== ; A Z J (1.2).
'454
r.л,. XI. Са.мопроиаво.л,ъпый распао яоер
Т(а)'==т! (а) проницаемость барьера для а частиц С моментом количества движения l;
относительно обсуждения см. rл. VIII, Э 5 (2.1), ( .З).
коэффициент при члене, учитывающем кулоновскую энерrию в полуэм
пирической формуле Вайцве1<Rера для массы ядра; см. rл. VI, Э 2 (1.2).
коэффициент при члене, учитывающем поверхностную энерrию в полу
эмпирической формуле Вайцвеккера для массы ядра; см. rл. VI, Э 2 (1.2).
коэффициент при члене, учитывающем объемную энерrию в полуэмпири.
чеСI\ОЙ формуле Вайцвеккера для массы ядра; см. rл. VI, Э 2 (1.2).
коэффициент при Ч.1Iене, учитывающем энерrию симметрии в полуэмпи,
рической формуле Вайцве1{Rера для массы ядра; см. rл. VI, э2 (1.2).
BЫCOTa потенциальноrо барьера в случае испуснания а частицы С MOMeH
том количества движения 1 (2.6).
потенциальная энерrия двух ядерных осколков (21' Аз) и (22' А 2 ), Haxo
днщихся на расстоянии r друr от друrа (э 1).
комплексная энерrия распадающеrося состояния: относительно обсужде
нил см. 1'.11. VIII, Э 9 (2.7).
' конечпое (дочернее) ядро при а распаде (э 2).
MOHOTOHHO воврастающая фунrщия энерrии вовбуждения Е; ПреДIlола
rается линейной функцией Е (2.10), (2.11).
число протонов в распадающемся (материнском) ядре (s 1).
число протонов в конечном (дочернем) ядре Х (э 2,3).
число протонов n лдерном ОС1,олке (э 1).
число протопов В ядерном осколке (э 1).
ядро сварядом 2 и массовым числом А (э 1).
ширина уровня cocTaBHoro (материнскоrо) ядра, отвечающая испусканию
а чаСТИJIЫ; rjп' отнесенная к единице времени вероятность испускания
а частицы (2.1).
«сдпиr уровню> распадаюшеrося состояния; см. rл. VIII, Э 9 (э 2).
теплопой эффект Q реакции (2, А) (21' Аз) + (22' А 2 ) (з 1).
функция, свяванная с проницаемостыо; относительно определения см.
rл. VIII, Э 2 (2.3).
== E (2, А); энерrия а частицы, испускаемой матtJРИНСКИМ (составным) ядром
(2, А) [Е.==ве.1Iичине Q реющии (2, A)==(2 2, A 4)+a] (1.1).
фушщия с равмерностью волновоrо числа, входящая n приближение
l3еllтцеля 'Крамерса Бриллюэна для проницаемости (2.14), (2.15).
четность ядра (э 2).
четность COCTaBHoro (материнскоrо) ядра (э 2).
четность конеЧНОI'О (дочернеrо) ядра (з 2).
эффективный радиус а частицы В случае а распада; предполаrается paB
ным 1,2.10 13 см (2.18), (2.19).
частота (шопытою> ПРОНИЮlOвения а частицы сквозь поверхность COCTaB
ПО1'О (матеРИНС1юrо) ядра (2.1), (2.2).
tl c
из
U D
и"
V B
V (r)
JV
х
z СЕ)
2
2
21
22
(2, А)
ro.
'БЕз
'АЕ
l1 l
Е.
'1./ (r)
1I
Не
П Х
Р.
(JJo
"
r л а в а ХН
В3АИМОДЕИСТВИЕ ЯДЕР С ЗЛЕВТРОМА.rнитныМ
И3ЛУЧЕНИЕМ
s 1. ВВЕДЕНИЕ
в развитии атомной физин:и первостепенное значени<? для понимания
троения атомов имело исследование взаимодействия атомов с элен:тромаr
нитным излучением. В противоположность излучению атомов при изучении
атомных ядер элен:тромаrнитное излучение уже не иrрало столь важной роли,
тан: н:ан: соответствующие длины волн он:азались настольн:о малыми, что их
нельзя было измерять при помощи обычных опт;ичесн:их средств. В используе
мых сейчас в значительной степени н:освенных методах энерrия определяется
весьма не точно по сравнению со спен:тросн:опичесн:ими стандартами, а дo
ступная разрешающая способность он:азывается низн:ой. Более Toro, в боль
шинстве случаев элен:тромаrнитное излучение ядер представляет собой
лишь один из большоrо числа н:онн:урирующих процессов (таких, нан: испус
н:ание частицы или иноrда даже распад), в связи с чем ero вероятность
соответственно уменьшается.
В силу этих причин исследование l излучения ядер развивалось очень
медленно. Теоретичесн:ий анализ результатов оrраничивался общей класси
фин:ацией возможных l переходов, rрубыми оценн:ами их времени жизни и
сравнением с имеющимися эн:спериментальными данными. Исн:лючением
является лишь взаимодействие элен:тромаrнитноrо излучения с ядерной
системой, состоящей из двух тел. В этом tтучае соответствующие матрич
ные элементы можно подсчитать более точно.
В 2 этой rлавы содержится введение в н:лассифинацию испусн:аемоrо
излучения по типам мультипольности и обсуждение правил отбора для
различных переходов. В 3 вычисляются вероятности переходов. Детали
вычислений, приведенных в S 2 и 3, даны в приложении 11. Эти результаты
применяются в 4 н: взаимодействию элен:тромаrнитноrо излучения с ядер
ной системой из двух тел: фото расщеплению дейтрона и обратному процес
су радиационному захвату нейтронов протонами. Информация, получае
мая при изучении этих процессов, уточняет и дополняет наши представления
о силах, действующих между протоном и нейтроном, полученные из рас-
сеяния нейтронов на протонах и исследования OCHoBHoro состояния дей
трона. В S 5 рассматриваются не радиационные переходы ядер, тан: называ
.емая внутренняя н:онверсия; 6 и 7 содержат основы теории изомерных
состояний ядер, радиационноrо захвата и ядерноrо фотоэффен:та. В них
провод.:ится различие между пере ходами с участием низших уровней ядра
(с энерrией возбуждения, не превосходящей несн:ольн:их Мэв) и переходами
,С участием более высон:их возбужденных уровней.
s 2. МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ И ПРАВИЛА ОТБОРА
А. ультипольное излучение
Для полноrо описания испусн:ания и поrлощения элен:тромаrнитноrо
излучения квантовомеханичесн:ой системой, подобной ядру, требуется Н:BaH
'Iовая теория излучения. Однан:о ряд существенных результатов можно
456 rл. XII. Вваи.моОействие яОер с эле1>тро.маепитпы.м ивлучепие.м
получить и при исследовании классическоrо поля излучения, создаваемоrо
меняющимся во времени распре;J;елением зарядов и токов. Рассмотрим слу-
чай, при н:отором источник излучения оrраничен объемом пространства,
малым по сравнению с длиной волны испускаемоrо излучения. Это справед
ливо для большей части электромаrнитноrо излучения, испускаемоrо ядрами:
даже квант с энерrией пш==10 Мэв имеет длину волны порядка 7\==л/21t;::::;
2.10 12 см; большая часть излучений ядер имеет энерrию ниже 10 Мэв.
Испускаемое излучение чрезвычайно удобно н:лассифицировать по Be
личине момента н:оличества движения 1, уносимой н:аждым н:вантом 1),
и по свойствам излучения при отражении относительно начала н:оординат
(при операции инверсии). В приложении 11 показано, что момент коли
чества движения 1 излучения определяется н:вантовыми числами l, т Toro
те типа, что и момент н:оличества движения частиD;ы, в частности: lz == т,
1112 == l (l + 1). Мы увидим далее, что вероятность радиационноrо перехода
быстро уменьшается с ростом l; следовательно, на, пран:тин:е в общем слу
чае приходится рассматривать тольн:о одно или два наименьших значения l,
совместимых с зан:оном сохранения момента количества движения.
Каждому значению момента Rоличества движения l MorYT отвечать
две различные волны «элен:тричесн:оrо» и (шаrнитноrо» излучений. Суще
ствование двух типов излучения можно объяснить следующим образом:
рассмотрим сферичесн:ую расходящуюся волну, испусн:аемую распределе
нием тон:а вблизи начала н:оординат. Тан: н:ак уравнение Ман:свелла для
одноrо маrнитноrо поля зе, полученное путем исн:лючения 8 из обычных
уравнений Максвелла [см. дриложение 11, (4.2а)], не меняется при изме
нении знака н:оординат, то, следовательно, JC (т) можно разбить на четную
и нечетную волны, н:аждая из н:оторых в отдельности является решением
уравнения Максвелла для зе,
Четная волна JC ( т) == Х(т),
Нечетная волна X( T)== X(T). (2.1)
Покажем теперь, что четность JC определяет четность 8. Уравнение
Ман:свелла для 8 (в свободном пространстве для периодически меня
ющеrося поля) имеет вид
iш 8 == с rot зе.
(2.2)
Из (2.2) видно, что четное Х(т) соответствует нечетному 8 (т), и наоборот.
Причина выбора зе, а не 8 при определении четности излучения будет
выяснена в дальнейшем.
Противоположная четность 8 и JC приводит н: следующему выводу.
Рассмотрим вектор Пойнтинrа
с
S == 41t (8 х Х).
(2.3)
Этот вектор описывает поток энерrии, переносимый ИЗJlучением. Тан: нан:
либо 8, либо JC (но не оба поля вместе) меняют знан: при замене r на т,
то меняется и направление S. В частности, для расходящейся волны S
направлено в сторону увеличения I r I кан: для т, тан: и для т.
Выражения для электрическоrо и маrнитноrо полей мультипольноrо'
излучения вычислены в приложении 11. Мы приведем здесь результаты.
Запишем поле 8 (т, t) в следующем виде 2):
8 (т, t) == 8 (т) e i(!)t + 8 * (т) ei(!)t, (2.4)
1) Момент количества движения измеряется в единицах п.
2) Такое определение отличается от общеприпятоrо множителем 2. Однако оно облеr
чает переход к квантовомrханическому случаю.
8 2. Му,л,ътипо,л,ъпое uв,л,учепие и правtt,л,а отбора
457
и соответственно опредеJIИМ зе (r, [), Оrраничение полями, меняющимися
во времени с определенной частотой '1 == ш/27t, окавывается удобным и не
ведет к какому Ji:ибо оrраничению общности. Нам понадобится дифферен
циальный оператор L и вен:торные сферические rармоники Х!т (8, ф), опре
деляемые выражениями
L== irXV, X 1m (8, ф)== LY! . (2.5)
V l (l+1)
В этом определении У!т обычная (сн:а ярная) сферическая rармоника,
определенная в приложении 1; векторные сферичесн:ие rармонин:и paCCMa
триваются в приложепии 11. Волновое число испусн:аемоrо излучения
будет обозначаться символом
(J) 2п'/
х.==с==с'
Используем тан:же фунн:ции uf+) (r), определенные в rл. VПI [(VIП, 2.32),
(VПI, 2.36) и (VПI, 2.41) для нейтронов] и представляющие собой pac
ходящиеся волны.
При помощи этих величин можно составить выражения, описывающие
элентричесн:ое и маrнитное мультипольные излучения порядка l, т
да предела.мu uстО'ЧllUl>а UдЛУ'Ченuя.
Поле электрu'Ческоео .мультuполя порядка [, т в точке r== r,8, Ф опре
деляется выражениями
i [ uj+)(r) ]
8Е (l, т; r) == rot "I.r Х!т (8, ф) ,
и(+) (r)
зеЕ ([, т; r) == ! Х!т (8, ф),
"J.r
(2.6)
(2.7)
а поле .маеllитllоео .мулътuполя порядка l, т выражениями
, и(+)и
8 м (l, т; r) == z X 1m (8, ф),
"J.r
i [ uz(+)(r) ]
JCM(l,m;r)== rot Х 1т (8,ф).
"J. %r
(2.8)
Поля элен:трическоrо мультиполя имеют отличные от нуля радиаль
ные н:омпоненты 8, а поля маrнитноrо мультиполя отличные от нуля
радиальные компоненты зе. Момент н:оличества движения, уносимый Н:BaH
том мультипольноrо излучения, равен Ы, с проен:цией на ось z, равной пт.
Элен:трическое и маrнитное мультипольные излучения порядка [, т уносят
один и тот те момент, но отличаются четностью. Используя определение
четности (2.1), получим
Четность электричесн:оrо МУЛЬТИПОЛJI [, т == ( 1)1.
Четность маrнитноrо мультиполя l, т == ( 1)1,
Тан:им образом, изменение четности, происходящее при испусн:ании элек
тричесн:оrо излучения порядн:а [, совпадает с изменением четности при
испускании частицы с моментом количества движения l.
Из выражений (2.5), (2.7) и (2.8) очевидно, что поля мультиполей
порядн:а l == О обращаются в нуль. Это является следствием поперечности
элен:тромаrнитных волн в пустом пространстве.
Поля излучения (2.7) и (2.8) можно умножать на произвольные ампли
туды. Выбранная здесь нормировн:а является удобной ДJШ наших целей,
а выражения (2.7) и (2.8) MorYT считаться в следующем смысле основными
выражениями для полей: элен:тричесн:ие и маrнитные поля мультиполей
образуют полную систему функций; любое произвольно взятое поле 8 (r)
(2.9)
'458 rл. XII. Вваи.мооействие яоер с эле1>тро.маепитпы.м uвЛУ'Чfтие.м
и ЗС (r), удовлетворяющее уравнению Максвелла в евободном пространстве,
может быть разложено в ряд по полям МУЛЬТИJJолей
сх) 1
8(r)==Lj Lj aE(l, m)8 E (l, т; r)+aM(l, m)8 M (l, т; r),
1 lm 1
сх) 1
ЗС (r) == Lj Lj аЕ (l, т) ЗСЕ,(l, т; r) + ам (l, т) ЗС м (l, т; r).
1 1 т l
(2.10)
Ноэффициенты аЕ (l, т) и ам (l, т) представляют собой амплитуды
излучения соответствующей мультипольности и зависят от источника
излучения. Связь между источник.ом излучения (ядром) и этими ампли
тудами будет исследована в следующем параrрафе. Однан:о для получения
ряда общих выводов относительно возможных радиационных переходов
ядра можно воспользоваться свойствами симметрии.
Б, Правила отбора
Ранее отмечалось (и будет дон:азано в приложении 11), что н:вант
мультипольноrо излучения порядн:а [, т уносит момент н:оличества дви
жения l с проекциеЙ на ось z, равной т (обе величины измеряются в еди
Rицах п). Если квант испускается ядром при переходе из состояния,
харан:тсриауемоrо a' В состояние, харан:теризуемое 'fb' то суммарный момент
количества движения ДОJlжен оставаться постоянным в процессе перехода:
J a == J b + 1, (2.11)
rдс под суммой векторов следует понимать обычное векторное сложение
моментов количества движения в квантовой механин:е. Следовательно,
МУЛЬТИJJольное излучение порядн:а [, т может быть испущено при пере
ходе между дпумя состояниями ядра a И b тольн:о при условии
IJa Jb 1 <"k:;;.Ja+J b ,
Ma Mb==т,
(2.12)
(2.13)
.....
rде J a и И а значения момента количества движения и eI'o проен:ции
на ось z, отвечающие состоянию ядра, харан:теризуемому a'
Так нак мультипольноrо излучения с l == О не существует, то COOT
ношение (2.12) предполаrает, что радиационные переходы между состоя
;ниями с моментами количества движения J a == J Ь == О абсолютно запрещены.
В 5 мы обсудим иной механизм, при помощи HoToporo ядро может поте
рять в этом случае свою энерrию возбуждения.
В добавление н: правилам отбора по моментам н:оличества движения
(2.12) и (2.13) существуют еще правила отбора, вознин:ающие вследствие
охрансния четности. Вероятность перехода ТаЬ между состояниями a И b
пропорциональна матричному элементу H b:
H b== 6(jAHad1:, (2.14)
rдс j оператор тон:а, А векторный потенциал испусн:аемоrо излучения.
В случае волны, обладающем опреде.ленной частотой, векторный потенциал А
пропорционалсн элен:трическому полю 8. Следовательно, А имеет ту же
четность, что и 8. Оператор тока j имеет четность, равную 1, так как
он ЯВ.ляется обычным (полярным) вен:тором и, следовательно, меняет знак
при отражении относительно начала н:оординат 1). Таким образом, чст
1) Точнее rоворя, это происходит вследствие Toro, что оператор j аНТИRоммутирует
.С оператором четности II: jП Пj.
9 2. Мулътиполъпое ивЛУ1fепие и правила отбора
459
насть (j. А) противоположна четности 8. Так кан: поля 8 и :JC в мульти
польном излучении всеrда имеют противоположную четность [см. (2.1)
(2.3)], то отсюда следует, что четность О.А) совпадает с четностью Mar
нитноrо поля испускаемой волны, Это и послужило основанием для ис
пользования :JC при н:лассификации четности (2.1).
Матричный элемент H b, а вместе с ним и вероятность перехода ТаЬ
обращаются в нуль, если
Па == П Ь В случае «четноrо» излучения,
Па == П,) В случае. «нечетноrо» излучения,
(2.15)
rде через Да П Ь обозначены соответственно четности начальноrо и конеч
Horo состоянии a И b. Четности излучений различных мультипольностей
определяются соrласно (2.9). Например, испускание элен:тричесноrо диполь
Horo ИЗЛУ'Iения (l == 1) связано с изменением четности ядра, в то время
н:ан: испускание маrнитноrо дипольноrо излучения возможно только в том
случае, н:оrда четность не меняется.
у атомов существенным он:азывается только правило отбора для элек
тричесн:оrо дипольноrо излучения, т. е. для испусн:аНИR электрическоrо
мультиполя с 1 == 1. Из выражений (2.12), (2.13) и (2.15) в этом случае
получаются еледующие правила отбора:
Ь.] == О, :f: 1 (исн:лючая О........,. О переходы),
ДИ == О, :f: 1;
четноети начальноrо и нонечноrо состояний противоположны.
Эти утверждения фан:тичесн:и являются правилами отбора и для aTOM
Horo излучения.
В следующем параrрафе будет пон:азано, что вероятность иепуснания
мультипольноrо излучения быстро уменьшается с ростом 1. Поэтому нам
интересно найти низшее значение 1, совместимое с персходом из состояния a
С моментом н:оличества движения J а и четностью Па В состояние b С MO
ментом J b и четностью П ь . Правила отбора (2.12) и (2.15) дают резуль
таты, приведенные в табл. 24. Вследствие отсутствия мультиполей с 1 == О
необходимо специальное рассмотрение переходов, при которых J a == J ь.
Таблица 24
Наинизший порядок lмин. == L мультипольноrо излучения, испускаемоrо
при переходе из состояния J а' Па R состояние J ь, ПЬ
(А) Ja*Jb
ЭлеRтричеСRое излучение
МаrНИТIlое излучение
Разрешенные по чет
ности переходы
ПаП Ь == ( 1)Ja Jb
L==IJa Jb 1
L==IJa Jb 1+1
за иснлючением случаев, HO
rда J a или Jb равно нулю
Запрещенные по четно
сти переходы ПаII ь ==
( 1)Ja JHl
L==IJa Jbl+1
за иснлючением случаев, HO
rда J а или J ь равно нулю
460 rл. XII. Вваи.мооействие яДер с эде1>тро.маепиrппы.м ивлучепие.м
Таблица 24 (п родОЛЖJепие)
(Б) J a==Jb,*O
Электрическое излучение
Маrнитное излучение
Па == П Ь
L==2
за исключением. случая J а ==
==Jb==1/2
L==l
П а == ПЬ
L==l
L==2
за исключением случая J а ==
Jb==1/2
f
i
,
t
Вероятность испусн:ания мультиполя будет оценена в 6. Он:азывается,
что для .одних И тех же значений l испусн:ание электрическоrо излучения
является rораздо более вероятным, нежели испускание маrнитноrо излуче
ния. Следовательно, в разрешенных по четности случаях излучение пран:
тичесн:и является чисто элен:трическим мультипольным излучением порядн:а
L == 1 J a J ь 1. Маrнитное излучение он:азывается более сла бым н:ак вслед
ствие маrнитной природы перехода, тан: и вследствие Toro, что оно связано
с мультиполями более BblcoHoro порядка. С друrой стороны, в случае за
прещенных по четности переходов оба эти эффен:та действуют в противо
положпых направлениях. Поэтому для таких переходов необходимы более
точные оценн:и вероятностей, и может он:азаться, что в некоторых случаях
электрическое и маrнитное излучения имеют один и тот же порядок. Однако
у большинства запрещенных по четности переходов ожидается преимуще
ственно маrнитное излучение.
Переходы, при н:оторых J a == J b , составляют исн:лючение из этоrо пра
вила. При этом переходы, при н:оторых Па == П ь , сопровождаются практи
чесн:и чисто электричесн:им (дипольным) излучением, в то время кан: пере
ходы, при которых Па == - - П ь , В общем случае должны сопровождаться
пран:тичссн:и чисто маrнитным (дипольным) излучением.
s 3. ВЕРОЯТНОСТЬ ИСПУСНАНИЯ И поrЛОЩЕНИЯ
мультипольноrо ИЗЛУЧЕНИЯ
r
1.
'\
А. Источники поля
До сих пор мультипольное излучение исследовалось вне той области,
rде оно рождалось, т. е. в свободном пространстве. Теперь необходимо
установить связь между н:оэффициентами аЕ (l, т) и ам (l, т) в (2.10) и свой
ствами источника, создающеrо это мультипольное излучение.
Рассмотрим вначале в н:ачестве источника н:лассичесн:ую систему ТОН:ОВ,
периодичесн:и меняющихся во времени
j(r, t) == j (r) e i",t + j* (r) ei"'t. (3.1)
Распределение тон:ов сосредоточено в малой области пространства с линей
ными размерами d. С этим распределением тон:а связана плотность заряда
р (r, t) == р (r) e i"'t + р* (r) ei(t)t,
причем уравнение непрерывности требует, чтобы
iwp (r) ==.div j (r).
(3.2)
(3.3)
9 3. Вероятиость испУС1>аиия и пое.аощеиия .му.аьтипо.аьиоео иа.аучеиия 461
Мультипольное излучение, создаваемое этой системой зарядов и тон:ов,
вычислено в приложении 11. Здесь в основном приводятся лишь резуль
таты. Амплитуда элен:тричесн:оrо излучения порядн:а l, m определяется
выражением 1)
(l ) 47t V I + 1 1+2 Q
аЕ ,т (21+1)!I 1 х. 1т,
(3.4)
I'де Qlm «элен:тричесн:ий мультипольный момент порядка l, т», н:оторый для
больших длин волн (x.d 1) дается следующим приближенным выраже
нием:
Qlm == rlYim (6, ф) Р (r) dV.
(3.5)
Интеrрирование в (3.5) распространяется на весь объем, занятый распре
делением заряда р (r).
В прилотении 11 дон:азывается, что амплитуда маl'нитноrо излучения
порядка l, m описывается следующим выражением 2):
( l ) 47t V 1 + 1 1+2 И
ам , 1ll (2/ + 1)11 1 х. 1т,
(3.6)
I'де Мlm «маrнитный МУЛЬТИJJОЛЬНЫЙ момент порядн:а
больших длин волн
l, т», равныЙ для
(' 1 * div (r х j)
M lm == rуlm(е,ф) c(I+1) dV.
(3.7)
Имея в виду дальнейшие приложения н: излучению ядер, существенно
отметить, что периодичесн:ое (во времени) распределение зарядов и токов
не является единственно возможным источнин:ом излучения. 'Учитывая
наличие маrнитных Моментов, связанных со спинами нуклонов, мы должны
тан:же рассмотреть н:лассичесн:ий аналоr излучения этоrо источника излу
чение, испускаемое при периодическом изменении намаrничения М (r, [):
М (r, t) М (r) Ci",l + М* (r) eiO'I. (3.8)
Излучение, обусловленное подобным распределением намаrничения,
тан:же Еычислено в приложении 11. Мы оrраничимся здесь привед ием
результата: электрическое мультипольное излучение дается выражением
(3.4) при условии, что Qlm заменяется на Qlm:
Qlm== l 1 r1Уim(е,ф)div(rх M)dV;
(3.9)
маrнитное мультипольное излучение дается выражением (3.6), при усло
вии, 'что И lm заменяется на j11 1m :
М[т== rlYfm(e, ф)divМdV.
(3.10)
Приведенные выражения нескольн:о упрощаются в случае дипольноrо
испускания. Рассмотрим сначала выражения для элен:тричесн:оrо и маrнИТ
Horo дипольных моментов, отвечающих системе тон:ов j (r) и зарядов р (r).
Начнем со случая, н:оrда излучение испускается с m == 03). Тоrда,
1) Используемый здесь «двойной факториал» определяется слРдующим образом:
(21+1)!! == 1.3.5...(21+1).
2) Выбор ПрОТИВОПОЛОЖНЫХ знаков в (3.4) и (3.6) приводит к физически разумным
знакам у мультипольных моментов QI.0 и М I . 0 [см. (3.11) и (3.12)].
3) В дрйствительности это и есть общий случай, тю{ как оба друrих значения m :i1
связаны с вращением системы координат.
9
462
rл. XII. Вэаи.мооейетвив яовр е элв1>тро.маепuтпы.м иэлучвпив.м
соrласно (3.5), получается следующее выражение ДШI элеRтричесн:оrо диполь
Horo момента:
QI,O == V 43)'; zp (r) dV.
(3.11)
Соответствующий маrнитныI1: дипольныЙ момент определяется при помощи
(3.7). Получающееся выражение можно упростить, выполняя интеrрирова
ние по частям, после чеrо
М 1 ,О == V Jc (xjy yjJ dV. (3.12)
Сравнение (3.11) и (3.12) приводит R заRлючению, что маrнитное
ДИПО.Тlьное излучение слабее элен:тричеСRоrо дипольноrо излучения. Плот
ность тон:а j имеет порядон: величины Ур, rде Y CHOpOCTЬ движения заря
дов. Следовательно, ам меньше аЕ на множитель по порядн:у величины,
равныЙ vjc, Хотя этот результат получен тольн:о для дипольноrо излуче
ния, он остается справедливым для мультиполей любых порядн:ов. При
одинан:опом ПОрЯДRе мультипольности l интенсивность маrнитноrо излуче
ния меньше ннтенсивности элен:тричесн:оrо излУчения на значительный
фю\Тор, оценп:а ROToporo будет приведена в 6. Однано следует подчерн:нуть,
что эти rрубые с точностью до ПОрЯДRа величины оцеIШИ MorYT быть
в отдельных случаях в значительной степени изменены правилами отбора
и друrими эффен:тами 1).
ДИlIольные моменты, отвечающие распределению намаrничения, MorYT
быть записаны при IIОМОIЦИ следующих простых формул, ноторые полу
II
1-';
f1
!1
[1
1)
1.
[!
!
tl
[1
[.:
'1
1;
п
1) Иноrда утверждают, что Отношение М 1. olQ 1. о маrнитноrо и элеRтричесноrо дишэль-
ных моментов имеет ПОрЯДОR величины "f.d, rде d ДЛИlIа порндна размеров излучающей
систрмы. Это, Ш1Rалось бы, следует из таRИХ рассуждений: излучаемая в 1 сек энерrия
пропорциональна нвадрату следующеrо выражения:
(s.iJ c iX1 ' dV,
rде s BeHTop полнризации и )t ВОЛНОВОЙ BeI{TOp IIСПУСRаемоrо излучения, а eixr MHO_
житеjЬ, учитывающий запаздывание. Если ero разложить в степенной ряд
e ixr == 1 + i ()tr) + ... ,
то первый член разложения отвечает дипольному элеRтричеСRОМУ излучению, в то вр('мя
нан второй член соответствует маrнитному дипольному и элеRтричеСRОМу Rвадруполь-
ному излучснилм. Следовательно, интенсивности, uтвечающие двум последним излуче-
нинм, меньше интенсивности элеRтричеСRоrо дипольноrо излученин на множитель порядна
('Y..d) 2. Однано эти рассуждения ошибочны. Член, отвечающий элеRтричеСRОМУ диполь-
лому излучению, можно записать в следующем виде:
(sj) dV == ixe (sr)'dV,
тан нан тон j представляет собой заряд в, умножепный на ПрОIIЗВОДНУЮ по времени от сме-
щения r. ТаRИМ образом, член, отвечающий элентричеСRОМУ дипольному излучению, имеет
порядон величины в'У..а. Члеп i (xr) в разложении ЭRспоненты приводит R следующему
интеrралу (нри использовании обозначения nO='Y../x для единичноrо вентора в направле-
нии распространения):
3
(r 2 j) dV + е'У.. 2 8iпh r;rh dV.
i, п 1
Первый член в правой части отв('чает маrнитному дипольному излучению и совпадает
с умноженным на 'У.. (а не на х 2 ) членом, отвечающим элеRтричесному динольному излу-
чению. По ПОрЯДRУ величины этот член составляет (ха) (еЩе). Второй член соответствует
элеRтричеСRОМу Rвадрупольному излучению. Он равен по ПОрЯДНУ величиНЫ e(-x.d)2.
(" (sj) ()tr) dV == ix (n х s)
с
r'
3. Вероятность uспусr.ания и. поелощенuя .мультиполъноео ивлученuя
463
чаются из
(3.9) и (3.10) в результате интеrрирования по частям:
/ V 3 \
И 1 . 0 == 47t JMzdV,
QI.0== V t/ (rx M)zdV.
Б. Энерrия, излучаемая в 1 сек., и уrловое расирсдслеllие
излучения
Потон: энерrии, отвечающей мультипо.пьпому излучению, опреде.шются
вен:тором Пойнтинrа S соrласно (2.3). Вдали от источнин:а и;шучения,
в тан: называемоЙ «волновой зоне», 8 и зс перпендин:улярны друr друrу,
а также радиус вен:тору r и равны по величине 1). Поэтому в волновой
зоне
I S I !!..., с' 2 'lfJ2
I ..... 47t О 47t '-''' .
(3.13)
Проведем BOKpyr излучающей систе;\1Ы сферу большоrо радиуса R.
В любой точн:е сферы 1 s I определяет энерrию, проходящуlO через 1 см 2
в 1 СOI\. ДЛЯ получения энерrии, излучаемой в паправлеиии (О, ф) в телес
ный уrол dQ, надо умножить I s 1 на элемент площади R2 (l , , вырезаемый
этим телесным уrлом на поверхности сферы. Обозначим этот потон: излу
чаемой энерrии через И (Щ dQ.
Н'падраты 82 и Х2 (3.13) являются быстро меняющимися во времени
фунн:циями. Нас интересуют их средние значения. ИСПОJIЬЗУЯ (2.4), полу
чим:
82 (r, t) == 28 * (r) 8 (r)
(3.14)
и соответствующее выражение для среднеrо значения jC2 (r, t).
В случае чисто эл'ектричесн:оrо мультипольноrо излучения порядн:а l, т
с амплитудой аЕ (1, т) энерrия И Е (l, т; Q) dQ, излучаемая в 1 ceI{. в эле
мент телесноrо уrла dQ, может быть найдена из выражений (2.7) (в OCHOB
ном при помощи BToporo из уравнений), (3.13) и (3.14). В результате.
получается
UE(I, m j ; Q)== 2:;: iZlm(8, ф)\аЕ(l, m)1 2 ,
(3.15)
rде фунн:ция, описывающая уrловое распределение Zlm (8, ф), определяется:
следующим выражением 2):
Zlm (6, ф) == (Xrm X lm ) ==
== [1 ++1 ) ] IY 1 . m + 1 \2+ [1 { 7+1 )J IY1,m 112+ 1(t 1) jY lm \2.
( 3.16)\
Энерrия ИМ (l, т; Q) d9, излучаемая в 1 сен:. в элемент телесноrо,
уrла dQ, в случае маrнитноrо мультипольноrо излучения може'f быть най
дена из выражений (2.8) (в основном из пеРВО1'0 уравнения), (3.13) и (3.14).
В результате получается
. с
UM(l, т; Q) == 47t-х.2 Zlm (6, ф) I aM(I, т) 12.
(3.17)-
1) Это утверждение вынолняется в волновой зоне только приближенно. Нарушение-
перпендикулярности 8 и JC в волновой зоне оказывается существенным при обсуждении-
вопроса о моменте количества движения, уносимоrо волной.
2) Это уrловое распределение отвечает только мультипольному излучению порядна-
1, т. Если источнин испуснаст излучения различных мультиполъност('й со сравнимыми
интснсивностлми, то уrловое распределение испускаемоrо излучения будет содержатъ..
интерференционные члены, отвечающие мультиполям различных поряднов.
t
t
I
f
t
j:
!
,
i
I
t
[
!
k
4
I
4
t
I
464
1'л. Х/ /. Вваи.мооейстеие яоер с а.мптро.мавнитны.м ивлучение.м
Мы видим, что уеловое распределение оказывается одинаковым для элек
трическоео и маенитноео Ji.fультипОЛЬНblХ излучений одноео а тоео же поряд
ка 1, т. Следовательно, измерения уrловоrо распределения излучения
позволяют определить порядок мультипольности, но не определяют чет
ности излучения. С друrой стороны, результаты будут совершенно различ
ными, если измеряется не излучаемая энерrия, а сами поля, т. е. если
измеряется ПОJlЯризация испускаемOJ'О излучения. Поляризации элен:три
чесн:or'о и мю'нитноrо излучений одноrо и Toro же порядка 1, т отличаются
в волновой зоне на 900. Это можно получить, еСJlИ вспомнить, что S и зе
направлены в IJОJIНОВОЙ зоне перпендикулярно друr друrу и что электри
чесюю излучение получается И3 маrнитноrо простоЙ перестановкой S и зе.
Следовательно, измерение уrловоЙ зависимости ПОJIЯризации позволяет
опреД Jll1ТЬ, кроме порядн:а МУЛьтипольности, еще и четность из.пучения.
Н частном случае дипольноrо излучения с т == О уrловое распределе
ние ZI.0 (О, ф) имеет вид
ZI,O (О, ф) == 8 3 rt sin 2 О.
(3.18)
Эта фующин обращается в нуль на полюсах сферы О '-=. О и 0== 1t. Таким
обра:юм, мы ПОJlУЧИЛИ хорошо известныЙ результат, СOl'ласно н:оторому
диполь не и:шучает в направлении своей собстненной оси.
Полная ЭН()Рl'ИЯ, излучаемая в 1 сек, получается при интеrрировании
(3.15) и (3.17) по всему телесному уrлу. ИСПОJlьзуем интеrрал (см. прило
жание ]1)
Zlm (О, ф) dQ == Х7т X1mdQ == 1.
При помощи этоrо реЗУJIьтата получаются следующие выражения для энер
rии, 113JIучаемой в 1 сек 1):
и Е (1, т) == 2:'/.2 1 аЕ (1, т) 12 (элен:триqеское излучение),
И м (1, т) == 2 I ам (1, т 1 2 (маrнитпое излучение).
7t'l,.
(3.19)
(3.20)
Связь между амплитудами а и источнин:ами поля обсутдалась в разделе А.
В. Переход к Iшантовои механике; испускание и поrлощение
Переход I{ квантовоЙ механике содержит два различных, этапа: во пер
вых, ИСПУСI\ание и поrлощение электромаrнитноrо излучения происходит
не непрерывно, а порциями энерrии nы; BO BTOpЫX, источнин: (или поrJJО
титель) И3JlУ'-ЮНИЯ является снорее квантовомеханичесн:ой системой, чем
Jшассичесн:им распределением токов и зарядов. Рассмотрим пон:а первый
этап, оста13ИВ второЙ на последующее рассмотрение.
1) в противоположность формулам для уrловоrо распредсления излучения из вы'
ражсния дЛЯ ПОЛНОЙ ЭIlсрrии И, излучаемой в 1 сек, вып.адают интерфереНЦИОНIlые члены,
ОТIJрчающие излучениям различной мультипольности. СледоваТСJIЬНО, И определястся
выражением
00 1
u== [UE(l, т)+uми, т)].
1==1 т== l
На прю{тине, до тех пор, пона размРры источнина малы по сравнрнию с длиной волны
ИСIIУСI{аl'моrо излучения, ОСНОВНОЙ ВIшад в И вносит один или два члена этой суммы.
8 3. Вероятность испускания и пО8лощения .мультипОЛЬНО80 ивлучения 465
Отнесенная н: единице времени вероятность испусн:ания н:ванта данной
мультипольности может быть получена из потон:а излучаемой энерrии,
н:оторый определяется, соrласно (3.19) и (3.20), делением на энерrию
н:ванта nы. Будем обозначать вероятности испусн:ания элен:тричесн:оrо
и маrнитноrо мультипольных н:вантов соответственно через ТЕ (l, т) и
ТМ (l, т). Объединяя уравнения g 3, А с формулами (3.19) и (3.20), полу-
чим в случае элен:тричесн:оrо излучения
81t(l+1) %2/+1 , 2
ТЕ (l, т) l [(2l + 1)!!]2 I Qlт + Qlт I (3.21)
и в случае маrнитноrо излучения
81t(l+1) %21+1 , 2
TM(l, т)== l[(2l+1)!!]2 IMlт+Mlтl.
(3.22)
rрубые оценн:и порядн:авеличин мультипольных моментов можно
получить следующим образом. В формуле (3.5) для Qlт сферичесн:ая rap
монина имеет порядон: единицы, в то время н:ан: интеrрал по распределению
зарядов р (r) равен по порядн:у величины полному заряду Е. Следовательно,
для порядна величины Qlm получается следующая оценна:
Qlm "-' d 1E , (3.23)
rде d обозначает линеЙные размеры источнин:а. Подставив эту оценну
в (3.21), наЙдем, что вероятность испуснания н:ванта МУЛЬТИПОЛЫlOсти l
пропорциональна (xdf. Если длина волны излучения велИIШ по cpaBHe
нию с размерами ИСТОЧНИIШ (xd 1), то вероят7юстъ испускания кватпа
мультипольности l будет быстро умenьшающеuся функцией l.
До сих пор мы рассматривали тольн:о испусн:ание, а не поrлощение
излучения. Поrлощение может рассматриваться н:ан процесс, обратный про
цессу испусн:ания, причем оба процесса будут связаны теоремой взаимности.
Будем предполю'ать, что направление распространения плосн:ой элентро
маrнитной волны совпадает с направлением оси z; в тан:ом случае проен:
ция момента н:оличества двитения на ось z равна нулю. НеПОJIЯризован
ную плосн:ую волну мотно разложить на две составляющие, ПОЛЯРИЗ0ван
ные по Hpyry. Одна из них отвечает мультипольному излучению с т == + 1,
друrая мультипольному излучению с т == 1. Отсутствие в плосной
волне МУЛЬТИПОJIьноrо излучения, отвечающеrо т == О, является с.ледствием
поперечности элен:тромаrнитных волн (т == О соответствовало бы продоль
ной волне). ПОCI ольн:у падающий пучон содержит толы о мультиполи
С т == ::f:: 1, постольн:у И поrлощаться MorYT тольн:о тан:ие мультиполи.
Рассмотрим немонохроматичесний падающий пучон, содержащий целый
интервал спен:тра частот. Будем считать, что этот интервал перен:рывает
диапазон нерrий н:вантов, н:оторые MorYT поrлощаться ядром при переходе
из OCHoBHoro состояния а в НeIюторое возбутденное состояние Ь:
nы аь == Е Ь Еа' (3.24)
Обозначим через S (ы) dw число н:вантов, падающих на 1 см 2 в 1 сен.
и занлюченных в интервале частот от ы до ы + dbl. В этом случае, н:ан:
пон:азано в прилошении 11, вероятность переход а ядра в возбуждenное
состояние Ь в реЗУЛlтате поелощения из этоео пучка элептричесноео мулъ
типОЛLНОi!О излучения порядка l равна
47t3(l+1)(2l+1)'1.21 1 , 2 ' 2
A::(l) S(Wab) l[(2l+1)!1]2 [IQl.1+Ql,11 +IQl, 1+Ql. 11]. (3.25)
Вероятность возбуждения в результате поrлощения маrнитноrо мульти
польноrо излучения может быть получена из формулы (3.25) COOTBeT
ственно заменой Q и Q' на м и И'. .
30 Заназ J'(, 396
466 rл,. Х//. Вааи.моОействие яоер с эл,е1>тро.маенuтны.м uал,ученuе.м
Выражение для вероятности поrлощения монохроматическоrо излучения нельзя
получить до тех пор, пока не учтены эффекты радиационноrо затухания. В действитель
ности возбужденное состояние имеет ширину, которая обусловлена возможностью испу
скани я Toro же или иноrо излучения. Сечение поrлощения для монохроматическоrо
пучка с частотой", чрезвычайно велико при "'=="'аЬ И стремится к нулю для частот, выхо-
дящих за пределы ширины возбужденноrо уровня. Вероятность поrлощения (3.25)
связана с интеrралом по всему этому интервалу частот. Хотя наш метод и не позволяет
найти сечение поrлощения монохроматических j-лучей, однако это не является серьезным
затруднением, поскольку на практике разброс по частотам в используемых пучках
j лучей оказывается ббльшим по сравнению с шириной исследуемых уровней ядра.
r. Переход к квантовой механике; матричные элементы
До сих пор элен:тричесн:ие и маrнитные мультипольные моменты Qlm
И M lm определялись при помощи н:лассическоrо распределения тон:ов,
зарядов и намаrничения. Учтем теперь тот фан:т, что излучающая система
(ядро) в действительности должна описываться н:вантовой механикой.
Начнем со случая отдельной частицы с зарядом е и массой И, не
не имеющей спина. Будем предполаrать, что частица' движется в HeН:OTO
ром потенциальном поле. Рассмотрим излучение, испусн:аемое тан:ой части
цей, при переходе из состояния СРа В (более низн:ое) состояние СРь. Вероят
ность излучения данноrо мультиполя будет попрежнему определяться eOOT
ношениями (3.21) и (3.22), однан:о при условии, что в выражениях (3.5) и
(3.7) для мультипольных моментов j (r) и р (r) заменены соответствующими
н:вантовомеханичесн:ими аналоrами 1)
j( а, Ь; r) == 2 [cp (РСРа) + (РСРь)* СРа]
(3.26)
и
р (а, Ь; r) == ecpt (r) СРа (r).
(3.27)
Здесь р == iVh оператор импульса частицы. Заменяя в (3.5) р (r) на
р (а, Ь; r), соrласно (3,27), и в (3.7) j (r) на j (а, Ь; r), соrласно (3.26),
получим элен:тричесн:ий и маrнитный мультипольные моменты, отвечающие
переходу а.........,. Ь:
Qlm (а, Ь) == е r1Yfm (О, ф) cpt (r) СРа (r) dt, (3.28)
M lm (а, Ь) == 1 1 2 c r1Yk (О, ф) div (r Х j (а, Ь; r)) d't. (3.29)
Выратение (3.29) можно упростить при помощи интеrрирования по
частям, н:оторое поназывает, что оба члена в (3.26) дают одинан:овые
реЗУJlьтаты. Используя оператор L, определенный соrласно (2.5), получим
M1m(a, Ь)== l 1 : r1Yfm(0, ф)div(ср L'fа)d't. (3.30)
До сих пор не учитывал ось излучение, обусловленное наличием спина
у рассматриваемых частиц. Если частица. имеет спин, равный 1/ 2 h, то
волновые фунн:ции СРа И СРь зависят н:ан: от r, тан: и от спиновой н:оорди
наты (н:оторая может принимать тольн:о два значения: + 1 и 1). В этом.
случае интеrрирование по d't в (3.28) (3.30) предполаrает танже сумми-
рование по обоим значениям спиновоЙ н:оординаты.
Наличие спина, н:роме Этоrо тривиальноrо изменения,
намаrничение М (а, Ь; r), ноторое тан:те может вызвать
обусловливает
радиационные
1) Симметризация выражепия для J(a,b;r) необходима, поскольку (3.26) и (3.27) удо.
влетворяют уравнению непрерывности дляплотн()сти заряда и плотности тока. При СРа==СРь
плотность заряда p(a,a;r) оказывается равной произведению заряда на плотность вероят-
ности cp СРа'
,.
3. ВеРfJЯтuость uсnуспаnия и nомощеnuя .м.у.яьтиnо.яьuоео иалучеuuя 467
переходы из состояния СРа В состояние СРь:
М(а, Ь; r)==' 2 ;с tJ-{'f аСРа}'
(3.31)
Здесь tJ- маrнитный момент частицы, выраженный в ядерных MarHeToHax
(например, для протона tJ- ==' 2,78), а a . оператор спина с составляющими
ох' Оу и ОХ' Фиrурные сн:обн:и в (3.31) означают суммирование по двум
значениям спиновой :координаты без интеrрирования по пространственной
н:оординате r. Выражение (3.31) для намаrничения долтно быть подста
влено в определения (3.9) и (3.10) соответствующих мультипольных
моментов.
В общем случае маrнитные мультипольные моменты И[т (а, Ь), обу
словленные наличием спина, имеют тот же порядон: величины, что и Mar
нитные мультипольные моменты M lm (а, Ь), обусловленные орбитальным
двитением (распределением тон:ов). Это можно пон:азать, замечая, что орби
тальный и спи новый моменты I\оличества движения по поряд:ку величины
равны постоянной Планн:а' 1i и что маrнитные моменты, соответствующие
спину и орбитальному движению, тан:же имеют одинан:овый порядон: вели
чины (е1ij2Ис).
Обобщение на случай системы, состоящей из большоrо числа частиц,
производится непосредственно путем суммирования выражении, ПOJIучен
ных для одной частицы, по всем частицам, входящим в систему. В ядрах
все нун:лоны имеют одинан:овую массу М, однан:о лишь протоны обладают
зарядом е. Пусть р" обозначает оператор импульса k ro протона в ядре,
а L" соответствующий оператор орбитальноrо момента :количества двите
иия (2.5). Волновые фун:кции СРа И СРь зависят теперь от пространственных
и спиновых н:оординат всех частиц в ядре, и под интеrрированием по d't
понимается интеrрирование по всем пространственным и суммирование по
всем спиновыМ :координатак Э.леr>тршчеСr>ие и .иаенитные мулътunолъные
моменты для ядерных переходов из состояния СРа в СОСТnОЯlше СРь равны
,
,
z
QLm (а, Ь) ==' е r Пт (011' ф,,) cptCPad't,
"==1
(3.32)
z
M 1m (а, Ь) ==' l 1 r Пт (011' ф,,) div (срБ LkCPa) d't,
"==1
А
Q[т (а, Ь) ==' l 1 2e c tJ-" rk Пт (О"' ф,,) div (срБ r" х а"СРа) d't, (3.34)
"==1
(3.33)
А
И[т (а, Ь) ==' 2е;;с tJ-" r Пт (О", ф,,) div (ср1i а t Ла) d't.
1<==1
(3.35)
Первые две суммы распространяются тольн:о на протоны, а последу
ющие две на все нун:лоны в ядре. Значения сферичесн:их rармоник BЫ
числяются последовательно для положения н:аждой частицы; tJ-" маrнит
ный момент, отвечающий спину k ro нун:лона, измеряемый в ядерных
MarHeToHax, а а" соответствующие спиновые операторы Паули. Выраже
ния (3. 32) (3.35) называются тан:же .матричными элементами различных
мультипольных моментов, отвечающих пере ходам между уровнями а и Ь.
30*
, 468 rл,. Х//. Вааи.модейстеие ядер с IмеБтро.мавнuт/-Ш,.м uалу'Wние.м
в специальном случае дипольноro излучения (1 == 1) с т == О матрич
ные элементы имеют следующий вид:
Z
Ql,O (а, Ь) == е V :1t 'ftzk'fa d't,
==1
Z
М 1 . 0 (а, Ь) == ; c 'ft Lkz'fa d't,
k==1
А
Q .o (а, Ь) == i c P-/t 'f (r/l Х ak)z 'Ра d't,
k==1
V A
M o(a, Ь)== 2:с :1t p. rr akzCPad't,
А==1
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
rде L/ lZ и a kr составляющие векторов соответственно L и a k на ось z.
Соотношения (3.37) (3.39) получаются из (3.33) (3.35) при помощи инте
rрирования по частям.
Уместно сделать несн:олько предостереrающих замечаний относительно
этих формул. Мы использовали для плотности тон:а j нерелятивистсн:ое
IЗыражение и предполаrали, что все электромаrнитные эффен:ты в ядре
обусловлены движениями отдельных нуклонов и их собственными маrнит
ными моментами. Оба предположения остаются отн:рытыми. Если в ядрах
существуют обменные силы, связанные с обменом ядерным зарядом метду
протоном и нейтроном, то этот «обменный ток» танже будем приводить
к наблюдаемым эффен:там. Блаrодаря ему вознин:нет маrнитный момент,
проявляющийся н:ан: дополнительный (обменный) маrнитный момент ядер,
находящихся в основном состоянии, матричный ЭJrемент HoToporo, отвеча
lOщий испусканию и поrлощению излучения, приведет н: добавн:ам н: муль
ТИПОЛЫIЫМ моментам 1). R сожалению, в настоящее время теория HaXO
дится в чрезвычайно неудовлетворительном еостоянии. При помощи общей
теории ядра мы имели бы возможность вычислить все тон:и в ядре, BMe
сто Toro чтобы вводить их в каждом случае в зависимости от ситуации.
Однако в настоящее время такая общая теория отсутствует.
4. РАДИАЦИОННЫЕ ПЕРЕХОДЫ В ЗАДАЧЕ ДВУХ ТЕЛ
А. Переходы между состояниями, относящимися
R непрерывному спектру; сечения
ФОРМУJIЫ (3.21) и (3.22) описывают испусн:ание излучения в резуль
тате перехода между двумя устойчивыми состояни'ями ядра. В случае He
связанных состоян.ий, RaK это имеет место при столкновении нейтрона
с протоном, вероятность перехода зависит от потон:а, отвечающеrо пада
ющей волне, и поэтому удобнее иметь дело с сечениями. Сечение равно
отнесенной н: единице времени вероятности перехода, деленноlr на потон:,
отвечающий падающей волне.
Найдем вначале формулу для сечения радиационноrо захвата нейтро
нов протонами, т. е. для сечения реан:ции
N +Р==D+hш.
( 4.1)
1) Соrласно [6571. эти неопределепности оназываются существенными для маrпит-
'поrо МУЛЬТИI10ЛЫlOl'О излучения и несуществепными для элентричссноrо мультипольноrо
!Излучения.
8 4. Раоиационные переходы в аадаче овух тел
469
Если падающие нейтроны не взаимодействуют с протонами, то волновую
фУНRЦИЮ начальноrо состояния СРа' входящую В матричные элементы
(3.32) (3.35), можно записать в СИСТЕ'ме центра масс в следующем виде:
СРа == e ikr .
Одна но эта фуннция не является решением волновоrо уравнения
чальноrо состоянии. Решение мы получим, если R этой фуннции
рассеянную волну; при больших r решение имеет вид
e ikr
СРа == e ikr + f (&) r при больших r.
(42)
для на
добавим
(4.3)
Выражение (Lj.:i) представляет собой волновую фуннцию начальноrо состоя
ния, н:оторую следует представить в (3. 32) (3.35). Torдa вероятность
т (l, т) радиаЦИОННО1'О перехода, сопровождающеrося испусн:анием мульти
польноrо излучения порядн:а [, т, будет определяться для элентричесн:оrо
и маrнитноrо излучений соответственно формулами (3.21) и (3.22).
Потон: частиц, описываемых фунн:цией (4.3), равен плотности, отвеча
ющей плосн:ой волне e ikr , а эта плотность, в свою очередь, равна единице,
умноженной на относительную сн:орость v == 21ik/ м (1ik . импульс, а
1/ 2М приведенная масса системы). Следовательно, сечение радиационноrо
захвата нейтронов протонами получается в результате деления вероятно
сти перехода на относительную сн:орость v. В случае радиационноrо за
хвата, сопровождающеrося элен:тричесним мультипольным переходом, сече
ние имеет следующий вид:
a (l, т) ==
81t (l + 1) 'х. 2i + t , 2
1 [(21 + 1)1112 hV I Qlm + Qlm I .
( 4.4)
Сечение радиационноrо захвата, сопровождающеrося маrнитным мульти
польным переходом, получается в результате замены Q и Q' COOTBeT
ственно на И и И'.
се До сих пор мы не принимали во внимание наличие спинов у протона
и нейтрона. Соотношение (4.4) применимо тольн:о н: чистому начальному
состоянию (например, н синrлетному спиновому состоянию). Если пада
ющий ПУЧОR неполяризован, то сечение (4.4) следует умножить на стати
стичесн:ий вес начальноrо состояния, например на 1/4 в случае радиацион
Horo захвата, происходящеrо из синrлетноrо состояния.
Формулу (4.4) мотно при менять и в случае радиационноrо захвата
друrими ядрами, т. е. реан:ции
а+Х==У+поо, (4.5)
при ноторой частица а захватывается ядром Х, в результате чеrо проис
ходит испусн:ание излучения. Однано блаrодаря тому, что в этой реан:ции
существенную роль иrрает образование cocTaBHoro ядра, предпочтительным
он:азывается применение друrих методов, обсуждаемых в 7.
Вычислим теперь сечение обратноrо процесса фоторасщепление
дейтрона
пш + D ==N +Р.
(4.6)
Для Toro чтобы получить это сечение, воспользуемся принципом детальноrо
равновесия для обратных процессов 1). Обозначим через Т 1 2 вероятность
1) Использование теории возмущений и принципа детальноrо равновесия являстся
зююнным, ПОСIЮЛЬКУ взаимодействие излучения с веществом может считаться слабым
(е 2 ,'пс <:g: 1). Однако сле ст иметь в виду, что принцип детальноrо равновесия устанав-
ливает связь между захватом из состояния, характсризуемоrо СРа [см. (4.3)], и распадом
в состояние, характеризуемое комплексно сопряженной функцией :p . Это комплексно.
сопряженное (обрашенное во времени) состояние характеривуется относительным ИМ-
470 r.l/" Х]]. Вааu.мооействие яоер с мектро.маенuтны.м имучение.м
перехода из состояния 1 в состояние 2, определяемую следующим
ражением:
BЫ
т 27t I Н , 1 2
1 2 A 12 Р2'
(4.7)
rДе Н;2 матричный Элемент возмущения, вызывающеrо переход, а
Р2 число н:онечных состояний на единичный интервал энерrии.
Соответствующая формула справедлива и для обратноrо перехода
2 1. Более Toro, Н;2 == (H 1)*' Тан:им образом, получается фундаменталь
ное соотношение между вероятностями пере ходов, отвечающих обратным
процессам,
Tl 2 T2 1
Р2 Р1
(4.8)
. Нан: и прежде, падающая волна нормируется к единичной плотности
[см. (4.3)], тан: что сечения получаются из вероятностей пере ходов путем
деления на скорость v. Подстановн:а в (4.8) дает
dal 2 == da2--+1
V2P2 V1P1
(4.9)
Чтобы иметь возмотность рассматривать одновременно н:ванты и HYН:
лоны, мы будем использовать релятивистсн:ие соотношения между энерrией,
импульсом и скоростью. Наша нормировн:а соответствует н:вантованию
в ящине единиЧноrо объема. Число н:онечных состояний, отнесенное н: еди
ничному интервалу энерrии для частицы, движущейся в пределах телес
Horo уrла dQ,
р (Е) == (2т:п) з р2 dQ.
(4.10)
Простой подсчет пон:азывает, что
vp == (2т:п) з р2 dQ.
Если это выражение подставить в (4.9), то
двух сечений:
(4.11)
получится следующая связь
(4.12)
p da H2 == p d'j2 1 .
в случае фоторасщепления и радиационноrо захвата импульс частицы
Р1 == hk, а импульс фотонов Р2 == пш/с == пх. Следовательно,
da,(l, т)== ( Yd(Jc(l, т). (4.13)
Полное сечение фото расщепления представляет собой интеrрал от da r
по всему телесному уrлу. Оно связано с полным сечением радиационноrо
захвата (4.4) соотношением
а, и, т) == ( ) 2 ас (l, т). (4.14)
Формула (4.4) справедлива тольн:о для полных сечений, а уrловое
распределение вылетающих н:вантов дается Zlт (8, 0) [см. (3.16)]. Соrласно
(4.13), то же уrловое распределение является характерным и для частиц,
вылетающих в результате фоторасщепления.
пульсом n.k, направленным противоположно относительному импульсу в состояние СРа'
I\роме Toro, расхооящаяся сферичеснан волна замснНlЗТСН схооящейся сферичесной вол-
ной, тан нан при фоторасщеплении должна быть нормировапа расходшцаяся часть пло-
сной волны, а при радиационном захвате сходящаясн часть плосной волпы. Для нахож-
дения вероятности фоторасщепления с испуснанием частиц, обладающих данным импуль-
сом, необходимо найти ее связь с вероятностью радиаЦИОНRоrо захвата частиц, движу-
щихся в ПРОТИВОПОlIОЖНОМ направлении.
''''
',
8 4. РаоuациОННые nерехооы в ааоаче овух тел
471
Эти выражения можно было бы использовать и при фоторасщеплении
ядер, отличных от дейтрона, например для нахождения сечений реакций
(1, п) или (1, р). Однан:о и' здесь существование cocTaBHoro ядра делает
предпочтительным использование друrих методов, н:оторые будут обсу
тдаться в S 71).
Соотношение (4.14) получено без учета наличия спинов. Если началь
ное состояние представляет собой смесь спиновых состояний, то для испра
вления сечений должны быть использованы соответствующие статистиче
сние веса. Аналоrичная поправн:а должна быть введена и в том случае,
если при фоторасщеплении падающий пучон: неполяризован.
Б. Радиационный захват нейтронов протонами; правила отбора
Для всех энерrий нейтронов, за исн:лючением низших, процесс радиа
ционноrо захвата (4.1) чрезвычайно мало вероятен по сравнению с упруrим
рассеянием нейтронов на протонах. При этом из различных мультиполь
ных излучений, иснуснаемых в процессе (4.1), наиболее вероятным является
дипольное . Для дипольноrо, ИЗJIучения . ха ран:терны следующие правила
отбора: д] == О, :i: 1 (за исн:лючением О О переходов), а таюке измене
ние четности в случае излучения элен:тричесн:оrо диполя и сохранение чет
ности в случае излучения маrнитноrо диполя.
Конечное состояние в (4.1) представляет собой основное состояние дей
трона. Оно является четным и имеет J == 1. Следовательно, дипольные пе
реходы MorYT происходить из таних начальных состояний, относящихся
н: области непрерывноrо спен:тра, н:оторым отвечает J == О, 1, 2 и н:оторые
явлются нечетными для элен:тричесн:их и четными для маrнитных перехо
дов. При малых энерrиях захват из нечетных состояний мало вероятен,
тан: н:ан: тан:ие состояния должны отвечать, по :крайней мере, l == 1 (P:'co
стояния). Однан:о при малых энерrиях нейтрон и протон в Р состоянии
не MorYT сблизиться друr с друrом настольн:о, чтобы это привело н: замет
ному процессу захвата. Таним образом, в этом случае :шен:трические ди
польные переходы он:азываются несущественными.
С друrой стороны, маrнитные дипольные переходы при водят н: наблю
даемому эффен:ту [241]. Начальное состояние долтно быть четным и по
этому может быть либо 8 , либо D состоянием. Захват из D состояния
оназыва.ется, н:онечно, несущественным. Тан:им образом, мы приходим
н: м'аrнитным дипольным пере ходам либо -Из 18 , либо из 38 состояния.
Сечение перехода 38 38 обращается в нуль по следующим причи
нам: матричный элемент М 1 ,0(а, Ь) [см. (3.37)] исчезает, тан: н:ан: момент
н:оличества движения протона Lp равен половине L == Ln + Lp, а последний
равен нулю, если система находится в 8 состоянии. Друrие матричные
элементы M ,o (а, Ь) [см. (3.39)] исчезают вследствие Toro, что операторы
спина не действуют на н:оординатную часть волновой фунн:ции, и СРа OpTO
rон:ально СРЬ, если оба состояния являются 38 состояниями И отличаются
тольн:о по энерrии.
Поэтому для процесса захвата существенны тольн:о переходы 18 38.
По тем же причина м матричный элемент М 1,0 (а, Ь) снова обращается
Б нуль. С друrой стороны, имеется излучение, обусловленное переверты
ванием спинов частиц [матричный элемент M о (3.39) отличен от нуля].
Свойства ортоrональности не иrрают роли, тан: кан: ядерн е силы в синr
летном состоянии отличаются от ядерных сил в триплетном состоянии,
блаrодаря чему пространственные части волновых фунн:ций не будут OpTO
rональными друr дру rу.
1) В ряде исключительных случаев, например при фоторасщеплении Ве 9 , методы,
аналоrичные ИСПОЛЬЗ0ванным при фоторасщеплении дейтрона, оназыпаются более под-
ходящими, нежели испольЗ0вание теории cocTaBHoro ядра [329 331. 551].
472 rл. Х//. Вваи.мооейстеие яоер с алектро.ма8нuтны.м uвлу'Ченuе.м
В. Радиационный захват нейтронов протонами;
расчет сечении и сравнение с экспериментом
Входящий в .матричный элемент И ,О (3.39) оператор мотно записать
в следующом виде:
1 1
[1 и + f1 p a p == 2" ([1и + [1р)(а и + ар) + T([1и f1 р)(а и ар). (4.15)
Первый член в правой части пропорционален полному спину системы, co
стоящей из нейтрона и протона:
1
S==z(aN+ap).
В случае синrлетноrо состояния ero величина равна нулю; поэтому необхо
димо рассмотреть тольн:о второй член. Интересно, что второй член Mor об
ратиться в нуль, если бы нейтрон и протон имели одинан:овые маrнитные
моменты.
Коночное состояние ь в (3: 39) представляет собой основное состояние
дейтрона:
== иы (r) Х
СРь -v 4п r 1,0,
rде U ot (r) радиальная часть волновой фунн:ции
ни ем
( 4.16)
с асимптотичесн:им значе
U ot (r) Ne ,r (4.17)
[при больших r, 1 тотдественна обратной величине постоянной (11, 2.7)],
нормированная следующим образом:
00
u t(r)dr== 1.
о
Начальное состояние СРа В (3.39) представляет собой lS состояние, OTHO
спщоеся н: непрерывному СПОI{ТРУ
ио > (r)
СРа == Хо, (4.19)
(4.18)
f'де k волновое число, отвечающее относительному движению нейтрона
и протона; и о < (r) выбирается тан:им образом, что асимптотичесн:ое значе
ние имеет вид
ио. (r) sin (kr+ 80В) при больших r, (4.20)
rде 80' фазовый сдвиr для ls состояния. Выбор выражений (4.19) и (4.20)
в I{ачестве начальной фУНI{ЦИИ соответствует (;ja исн:лючением несуществен
Horo мнотителя) выбору S волны в (4.3). Поэтому мы получим правиль
ное сечение для случая, I{оrда в начальном состоянии нейтрон и протон
находятся в синrлетном спиновом состоянии.
В этом случае маrнитный ДИПОЛЬНЫЙ матричный элемент (3.39) равен
00
1 V3 еп (' ( d
М 1 ,0 == 2 Mck ([1N f1p) и ов (r) Uot r) r.
о
Подстановн:а в формулу (4.4) (или, точнее, в тот член, I{ОТОРЫЙ
маrнитному излучению) дает
2п ,,2 ( п ) 4 ( k2 + "(2 ) 3
a (l == 1, т == О) == 3' hc , Мс ([1N f1p)2 12,
(4.21)
отвечает
( 4. 22)
'..,..:,
8 4. Раоиационные перехооы е ваоа'Че оеух тел
1173
rде
00
1 == и о , (r) и о ! (r) dr. (4.23)
о
РадиационныЙ захват, сопровождаlOIЦИЙСЯ испусн:апием нвапта с т == О,
представляет собой один из трех возможных маrпитных ДИПОЛЫIЫХ пере
ходов, причем остальные два сопровотдаются испуснанием н:вантов с т == 1
и т == 1. Испуснание н:ванта с т == 1 соответствует дейтрону в состоя
нии С т== 1, и наоборот. Леrн:о пон:азать, что сечения равны (4.22).
'Уrловое распределение испусн:аемоrо излучения описывается фунн:ция
ми Z/т, определенными в (3.16). Если реrистрируlOТСЯ все I HBaHTЫ, He
зависимо от н:онечноrо спиновоrо состояния, в н:отором образуется дейтрон,
то уrловое распределение он:азывается сферичесн:и симметричным:
+1
Z1,т (О, ф) == const. (4.24)
т== 1
Сферичесн:ая симметрия уrловоrо распределения излучения, испуснае
Moro в результате радиационноrо захвата, мотет быть предсн:азана при
помощи теорем об уrловом распределении продун:тов реан:ции, доназанных
в rл. Х. В нашем случае начальным является lS состояние, причем CYM
мирование производится по ориентациям спинов в н:онечном СОСТОШIИИ.
Поэтому уrловое распределение не содержит более высоних степеней СОБ О,
чем (СОБ О?! == (СОБ 0)0 == 1, т. е. является сферичеСЮf симметричным.
Нам необходимо еще вычислить иптеrрал (4.23). Для этоrо требуется
знание волновых фунн:ций дейтрона в основном состоянии и нейтрона
и протона в lS состоянии, относящихся Н непрерьшному спен:тру. В пер
вом приближении можно пренебречь радиусом действия ЯJ ерных сил.
Это предполотение позволяет использовать асимптотичесн:ие формулы
(4.20) и (4.17) при всех значениях r. ПодстаНОВRа (4.17) в (4.18) приво
дит н: следующей величине нормировочной постоянноЙ:
N == У 2"'[ (в приблитении нулевоrо радИуса деЙствия).
Подставив (4.17), (4.20) и (4.25) в (4.23), получим
1== У2 k cos 008 + "( sin 003
1 k2 + "(2 .
(4.25)
(4.26)
Посн:ольн:у нас интересует радиационный захват вблизи нулевой энер
rии, можно пренебречь k 2 по сравнению с 12 и использовать соотноше
ние k ctg 00' ':;о 1ja s , rде а з Длина рассеяния в случае синrлетноrо co
стояния системы, образованной из нейтрона и протона (см. rл. 11, S 3).
Введем тан:же энерrиlO связи дейтрона В h 2 12 j М И энерrию нейтрона
в лабораторной системе н:оординат EN == 2h 2 k 2 j И. Д.ТIя получения наблю
даемоrо сечения захвата умнотим (4.22) на 3 (посн:ольн:у с равной вероят
ностыо может происходить 3 перехода) и на вероятность синrлетноrо co
u 1
стояния неитрона и протона в случае неполяризованноrо пучн:а, равную 7;'
В этом случае результат для сечения радиаЦИОННоrо захвата имеет сле
дующий вид:
е 2 ( h ) 2 В 2 2 у 2В
ас == 1t пс Мс Мс2 (f1N f1p) (1 1 а в) EN
(в приближении нулевоrо 'радиуса действия).
( 4.27)
Энерrия падающих нейтронов входит в последний множитель, Н:OTO
рый обнарутивает харан:терную для процесса радиационноrо з'ахвата
"""
474 r.л,. XII. Вааи.модействие ядер с э.л,е1>тро.маеnитnы.м иа.л,учеnие.м
зависимость по за:кону 1/v. Вводя в (4.27) числовые значения, получим,
что сечение радиационноrо захвата для тепловых нейтронов (E N == 0,025 эв)
равно 0,3.10 24 см2, в хорошем соrласии с э:кспериментом.
Заметим, что множитель (1 ,аУ в (4.27) зависит от зна:ка длины
рассеяния в сию'летном состоянии. Предположение, что синrлетное состоя
ние является деЙствительным (положительное a s ), а не виртуальным, при
вело бы :к уменьшению сечения примерно в 2 раза, что определенно про
тиворечит эн:сперименту. В то время, :коrда были предприняты эти опыты
(1935 r.), още не было сделано предложение о про ведении э:ксперимента по
рассеянию в параводороде. Измерение сечения радиационноrо захвата ней..
тронов в водородсодержаших веществах послужило первым дон:азатель
ством отсутствия у системы, состоящей из неЙтрона и протона, связанноrо
>синrлетноrо состояния [241].
Приближение нулевоrо радиуса действия нуждается в поправ:ках по
двум ПРИЧI1нам: во первых, радИУС действия отличен от нуля И, BO BTOpЫX,
выражение (3.31) для намаrничения применимо тольн:о :к изолированной
частице, и нет I'арантии, что намаrничение, отвечающее системе из нейтро
на и протона, деЙствительно равно сумме выражений (3.31) для нейтрона
и протона, взятых в отдельности. Поправ:ку, учитывающую :конечный pa
диус действия, нельзя ввести точно, одна:ко в ряде работ [64, 252] были
получены приблитенные выратения, использующие эффе:ктивные радиу
осы ros и rot соответственно для синrлетноrо и триплетноrо состояний.
Эффе:ктивный радиус триплетноrо состояния известен из реЗУJIьтатов
опытов по рассеянию rл. 11, 3. Следовательно, если бы поправн:а, учи
тывающая :конечный радиус действия, была единственном для выраже
ния (4.27), то по ,измеренному сечению радиационноrо захвата можно бы
ло бы найти величину эффе:ктивноrо радиуса синrлетноrо состояния.
Полученная та:ким способом величина за:ключена в интервале 2 3.10 13 см
В чрезвычайно хорошем соrласии со значением (неСI{ОЛЬ:КО менее точным),
полученным из розультатов опытов по рассеянию. Та:кая величина ros не
противоречит зарядовой независимости ядерных сил, соrласно :котороЙ Be
личина ros для системы, состоящеЙ из нейтрона и протона, должна быть
равна r ;' 2,65 .10 13 см ДJIЯ системы, состоящей из двух протонов 1).
1{ сожалонию, в действительности имеется чрезвычайно мало OCHOBa
пий д.тrя Toro, чтобы пренебреrать поправ:кой, учитывающей эффе:кты об
MeHHoro маrнитноrо момента. Посноль:ку начальное и :конечное состояния
>совпадают, то члены, отвечающие обменному маrнитному моменту, он:азы
ваются :коrерентными с подсчитанными нами членами. Чрезвычайно rрубая
()ценна, основанная на Э!{спериментальном значении обменноrо маrнитноrо
момента у IP и Не 3 , приводит :к за:ключению, что за счет этоrо эффо:кта
-сечение может увеличиваться на 4% [15].
На:конец, существует поправ:ка, учитывающая влияние тензорных сил
на основное состояние дейтрона. Наличие тензорных сил в принципе зна
"Читольно изменяет анализ, одна:ко в :конце нонцов влияние тензорных сил
на сечение радиационноrо захвата о:казывается очень малым [622,366,252].
Сечение уменьшается на величину, пропорциональную доле, вносимой D
состоянием в основное состояние дейтрона.
r. Фоторасщепление дейтрона; маrнитные дипольные переходы
ФОрМУJJa (4.22) описывает сечение радиапионноrо захвата для случа.!.l,
ноrда начальное сост ояние является синrлетным, а l{ОJJочное триплетным
1) Иместся ПЕ'большая поправка, УЧИТЫlJающая пскоторое измспсшre эффективноrо
радиуса ядсрных сил вслсдствие наличия куЛОНОВСRоrо поля. В ПРОТИВОНО.тюжпость ана-
лоrично.й попраlJf,е в длине рассеяния (см rл. П, S 4) в случае эффеКТИlJноrо радиуса
эта попраш,а вссьма мала [150, 63 J.
r ")
t:....,
r
,
4. Радиационные переходы в вадаче овух тел
475
i
спиновым состоянием дейтрона с т == о. Поэтому формулу (4.14) можно
использовать непосредственно, не вводя поправон на статистичесние веса
спиновых состояний. С дрyrой стороны, необходимо учесть две ВОRможные
поляризации элентромаrнитной волны. При радиационном захвате маrнит
ное дипольное излучение с 1 == 1 и т == О, испуснаемое под уrлом 6 н: Ha
правлению пучна нейтронов, было определенным образом ПОJШРИЗ0вано
(в общем случае эллиптичесни). В случае фото расщепления волна, падаю
щая в направлении В, неполяризована; вероятность поляризации элентро
маrнитной ВОJIИЫ, при водящей н маrнитному дипольному переходу, paB
1 .
на "2. Тан:им образом, наблюдаемое сечение фоторасщепления составляет
лишь половину (4.14). Вводя уназанную поправну, получим
1 21t е 2 ( п ) 2 12
01;( (l-== 1, т == о) ==23 (f1N f1p)2 пс Мс (k2+ ,2) k . (4.28)
В общем случае дейтрон может быть не тольно в спиновом состоя
нии С т == о, но с равной вероятностью танже в спиновых состояниях
3
2
20
<'>
::;:
",С:З
<'>
I
1:::)
....
Ь.
1"
Фи r. 112. Сечение фоторасщепленил дейтрона.
(В. д.) обовначает влентричесное дипольное потлощение, (М. д.) маТIIИТ"
ное дипольное потлощение.
с т == 1 или т == 1. Одна но поснольну вероятность радиационноrо захва
'Та не зависит от т, то же самое должно быть справедливо и для вероят
ности фоторасщепления. Поэтому среднее сечение фоторасщепления, взве
шенное по трем возможным для начальноrо состояния дейтрона значе
ниям т, танже равно (4.28).
Интеrрал 1 (4.23) вычислялс.я в приближении нулевоrо радиуса дей
-ствия, и результат приведен в (4,26). В настоящем случае уже нельзя
пренебреrать k 2 по сравнению с 12. Однано еще можно использовать COOT
ношение k ctg 00' == 1/а" тан нан поправна н нему равна нулю в при
ближении нулевоrо радиуса действия. Поэтому получаем
М. д. 211: ( ) 2 ( ) 2 k, (l ,a ,;)
о, 3 пс МС f1N f1p (k2+,2) (1+k2a;)
(в приближении нулевоrо радиуса действия)
(11.29)
476 r.a. XII. Вваи.мооействие лдер с э.аектро.маенитны.м ив.аучение.м
На фиr. 112 это сечение, с учетом нонечности радиуса действия, при
ведено в зависимости от избытна энерrии I HBaHTa над энерrией связи
дейтрона (т. е. в зависимости от энерrии, приобретаемой вылетающими
нейтроном и протоном). Вблизи пороrа сечение пропорционально k HBaд
ратному норню из избытна энерrии; оно ДОСТИl'ает мансимума при k 2 ;::" а;2.
т. е. при энерrии, соответствующеii (<виртуальному» уровню системы, co
стояп ей из нейтрона и протона в синrлетном состоянии. Затем оно быстро
спадает, вначале нан: k l, а затем (при k 2 > ,2) нан k 3.
Из (4.24) видно, что испуснаемые нойтроны и протоны харантеризуют
ся сферичесни симметричным уrловым распределением. Этоrо и следоваЛО
ожидать в случае перехода между двумя S состояниями.
Д. ФоторасщеШIение дейтрона; электрические дипольные переходы
Из двух матричных элементов, участвующих в элентричесном диполь
ном поrлощении, матричный элемент, обусловленный нонвенционным TO
ном, оназывается rораздо больше элемента, обусловленноrо спинами 1).
Поэтому мы оrраничимся рассмотрением тольно первоrо матричноrо эле
мента. Тан нан QI.m не содержит операторов спина, то переходы осуще
ствлшотся из OCHoBHoro 3S состояния в триплетное состояние, относящееся
н непрерывному спентру, причем, соrласно правилам отбора, для диполь
ных элентричесн:их переходов это состояние должно быть 3Р состоянием.
Поснольну в этом пороходе спины не участвуют, наличие спиновых .
фуннций можно иrнорировать. Тан нан в дейтроне имеется Bcero один
протон, то сумма (3.36) будет содержать тольно один член. Значение HOOp
дина ты протона ZI равно половине расстояния между частицами z, от HO
Toporo зависят волновые фуннции.
В выражонии (3.36) фуннция СРа определяется соrласно (4.3), а 'Рь
является волновой фуннцией OCHoBHoro состояния дейтрона (4.16). Матрич
ный элемент (3.36) связывает основноо (S) состояние тольно с Р волной
(1 == 1) СРа' При малых энерrиях можно пренобречь взаимодействием между
нейтроном и протоном в Р состоянии, т. е. положить в (4.3) равной нулю
ту часть f (В), ноторая соответствует Р волне. В этом случае получим
(полаrан, что направление k совпадает с направлениом оси z)
Q 1/3 \" ikz иot (r) dV
1.0== e J ze .
(4.30)"
Интеrрирование по уrлам выполняетсн непосредственно и дает
со
.1/3 е ('
QI,O== l k и ot Ии Н (r)rdr,
о
(4,31)
rде и н (r) радиальная часть волновой фуннции, о?,вечающан 1 == 1 (Р вол
не) в разложении невозмущенной плосной волны e'kz,
( 3
и н (r) == kr СОБ (kr). (4. 2)
Леrно поназать, что при нашем выборе направления оси Z элентри
чесние дипольные матричные элементы QI,1 и QI, 1 обращаютсн в нуль.
1) Вклады Q и Q' в сечение фоторасщепления в общем случае KorepeHTHbl. Однако
если усреднить по ориентациям спинов, то смешанные члены выпадут. Таким образом,
вклад Q' в наблюдаемое на опыте сечение оказывается меньше вклада Q на множитель
порядка (nоо! Мс 2 )2. Столь малый Вlшад нельзя обнаружить при помощи имеющейся экспе
риментальной технИ1Ш
r'
4. Радиационные переходы в ваоа'Че двух тел
477
Так как происходят только переходы с т == О, то уrловое распределе
ние вылетающих частиц описывается Z1.0 (В, ф) [см. (3.18)], т. е. оказы
вается пропорциональным sin 2 В. Здесь В является уrлом между направле
ниями падающеrо нейтрона и вылетающеrо , KBaHTa при радиационном
захвате и падающеrо , KBaHTa и вылетающеrо нейтрона при фоторасщеп
лении.
Сечение электричесн:оrо дипольноrо фото расщепления можно получить
непосредственно из (4.4), (4.14) и (4.31). Результат имеет вид (включая
поправочный множитель ' учитывающий отсутствие поляризации падаю--
щеrо излучения)
(х)
o ,Д, == ; 2c (k2 +,2) [ и о ! (r)u H (r) rdrJ 2
О
Для вычисления интеrрала мы вновь воспользуемся приближением
нулевоrо раДИуса действия для волновой функции OCHoBHoro состояния
дейтрона. В этом случае интеrрал можно Вычислить непосредственно, что
дает
(4.33)
(х)
(' '/ 2k 2
и о ! (r) и н (r) rdr == JI 2, (k 2 + "(2)2
(в приближении нулевоrо радиуса действия). (4.34)
Подстановка (4.34) в (4.33) приводит к сечению электрическоrо диполь
Horo фото расщепления в приближении нулевоrо радиуса действия. В отли
чие от маrнитноrо Дипольноrо фоторасщепления в данпом случае чрезвы
чайно леrн:о ввести поправку, учитывающую конечность радиуса действия.
Прежде Bcero нет "необходимости рассматривать радиус действия сил
в ЗР состоянии, так как мы вообще пренебреrаем эффектом этих сил (по
лаrаем фазовый сдвиr 3Р состояния равным нулю). Кроме Toro, основной
вклад в интеrрал (4.34) обусловлен значениями r, выходящими за ПрОДОJIЫ
радиуса действия ядерных сил 1). Следовательно, распространня асимп
тотическое выражение (4.17) для и о ! (r) на все r, получим хорошее при
блитение для интеrрала; единственной поправн:ой является поправка
в нормировочной постоянной N, которая уже не равна V 2, .
Покажем теперь, что поправка для нормировочной постоянной N,
учитывающая конечность радиуса действия, содержит тот же самый эф
фективный радиус, с которым мы уже встречались в rл. 11, 3, при aHa
лизе рассеяния нейтронов на протонах. Для доказательства обратимся
к формулам (11, 3.16) и (11, 3.17) и воспользуемся в качестве и о волно
вой функцией ОСНOIшоrо состояния дейтрона вмосто волновой функции,
'отвечающей нулевой энерrии. Поступая соворшенно аналоrично, получим
вместо (11, 3.19) соответствующую формулу для k ctg 001:
kctgo O !== ,+ Pot(k 2 +,2), (4.35)
['де длина РО! дается выратением
(х)
РО! == 2 [e 2YT 2 Uб! (r) ] dr.
о
(4.36 )
1) В этом можно убедиться, разложив (4.32) в ряд при малых r. ОСНОВНОЙ член про-
IIорционален r 2 , и в интеrрале присутствуст еще множитель r, таи что Bcero получается r3.
Следовательно, «внутренняя» часть и о ! (r) вносит в 3S состояний'в интеrрал существешlO
меньший вклад, чем значения r, превосходящие радиус действия ядерных сил.
f
r
f'
l'
t
'
478 r.л,. Х//. Вааи.«о8еиствие яоер с Ме1>тро.«аепитпы.« UlJJI,учепие.«
Сравнив (4.35) с (11, 3,19), находим, что Ро! идентично эффентивному
радиусу rot (11, 3.20) с точностью приближения, не зависящеrо от формы
потенциала. Использование нормировни (4.18) позволяет разрешить Bыpa
жение (4.36) относительно N, что дает
N==V 2 1' 1 Y 21' .
11 l IPot Vl Yot
Подставив исправленное значение интеrрала (4.34) в (4.33), получим ce
'Ченuе элептрu'Чеспоео дuпольноео фоторасщепленuя дейтрона
Э.Д. 811: е 2 1 ( kl ) 3 1
ау ==ЗhC7 У+12 l lrot ' (4.38)
Вблизи пороrа (k близно н нулю) сечение ведет себя нак k 3 , т. е.
нан (пш В)3/2. Оно достиrает мансимума при k =.= 1', т. е. при пш == 2В ==
== 4,46 Мэв, а затем снова уменьшается. ЗависимОСТЬ сечения элентриче
cHoro дипольноrо фоторасщепления от энерrии нанесена на фиr. 112.
Нетрудно оценить порядон величины сечения дипольноrо электричесноrо
фоторасщепления вблизи мансимума. Множитель 1' 2 пропорционален
«rеометричесним размерам» дейтрона. Постоянная тонной струнтуры
(е2/пс) =. 1/137 входит потому, что мы имеем дело с радиационными про
цессами, а эта постоянная харантеризует взаимодействие вещества с излу
чением. Прочие множители в максимуме близки к единице.
Интересно сравнить порядок величины электричесних и маrнитных
дипольных эффентов. При энерrиях, для которых k 2 1'2 (т. е. пш В),
отношение обоих сечений остается постоянным и за иснлючением м:ножи
телей порядка едиНИцы определяется выражением
a ' Д. 2 ( n 2 в
'"'-' l' M(J == Мс 2 .
У
Это отношение оказывается порядна (v/c)2, rде v относительная CKO
рость во «внутренней» области, вносящей преимущественный вклад в сече
ния. Такой результат соrласуется с полученной в 3 оценкой порядка вели
чины отношения маrнитноrо и электричесноrо излучениЙ одной и той ж0'
мультипольности. С друrой стороны, при энерrиях, близких к пороrу, коrда
маrнитное дипольное фоторасщепление преобладает, оценка (4.39) оказы
вается неприrодной. Это является следствием правил отбора, блаrодаря
н:оторым переходы метду S состояниями MorYT сопровождаться только Mar
нитным, но не электрическим дипольным поrлощением. Последнее иллюстри
рует оrраниченность подобных оценок порядков величин.
Электрические и маrнитные дипольные эффекты можно эксперименталь
но различить по уrловому распределению продуктов раСlцепления. Экспе
риментальные значения отношения фотомаrнитноrо и фотоэлектрическоrо
сечений [553, 317, 459, 338, 825, 531, 70] в пределах ошибок теории и экспе
римента удовлетворительно соrласуются с теорией.
На фиr. 112 приведено полное сечение фото расщепления в зависимости
от энерrии. Кроме Toro, там нанесен ряд последних экспериментальных
значений [820, 705, 29]. Соrласие также оназывается удовлетворительным.
Следует отметить, что при энерrияХ 11.ш >4 Мэв ПОJIное сечение почти целиком
обусловлено электричесним ДИПОJIЬНЫМ эффектом. Следовательно, соrласие
в этой области (в особенности для 1' лучей 016 с энерrией 6 Мэе) подтвер
тдает применимость нонцепции эффективноrо радиуса для анализа опытов
по фоторасщеплению, хотя и не дает какой либо новой информации относи
тельно, сил, действующИХ между нейтроном и протоном. Критическое обсу
ждение этих, а также и друrих результатов [707, 69, 381, 593, 1401 ПрИI!еде
но в работах [659, 252].
(4.37)
(4.39)
\
s б. Вliутрсннлл 'КОliвlрсил
479
Е. Фоторасщепление дейтрона при энерrилх,
превЫшающих 1 О ]}} эв 1)
Применявшиеся до сих пор приближения не rодятся для энерrий, Пре
вышающих примерно 10 Мэв. В этом случае при подсчете сечения дипольноrо
фото расщепления становится существенным детальное поведение волновой
фун:кции в области действия ядерных сил. Более Toro, в случае ДИПОЛЬRЫХ
эле:ктричес:ких переходов уже нельзя пренебреrать фазовым сдвиrом 3P co
стояния (при та:ких энерrиях вероятность маrнитных дипольных переходов,
мала по сравнению с вероятностью электрических дипольных переходов).
Фазовый сдвиr 3Р состояния весьма чувствителен к обменным свойствам сил,
действующих между протоном и нейтроном. Например, он равен нулю в слу
чае сил Сербера и имеет противоположные знаки для сил Виrнера и Майо
рана. Наконец, нельзя совершенно иrнорировать переходы, обусловленные
поrлощением н:вадрупольноrо излучения по сравнению с пере ходами, обусло
вленными поrлощением дипольноrо излучения.
Еще более серьезные затруднения обусловлены пренебрежением тотш
ми, возникающими вследствие обмена зарядом и пренебрежением реляти
вистскими эффектами при вычислении вероятностей радиационных перехо
дов. Было показано [583, 657], что соответствующие поправочные члены малы
для электричесн:их мультипольных переходов. Однан:о этот aprYMeHT непри
меним н: маrнитному излучению.
Чтобы найти сечение фото расщепления при энерrиях, превышающих
10 Мэе, был предпринят ряд подсчетов, основывающихся на различных
предположениях о силах, действующих между нейтроном и протоном
[623,624,641,520,521,474,475,664,665]. Кан: и следовало ожидать, резуль
тат чувствителен н: зан:ону сил, и точное экспериментальное определение
сечения фото расщепления дейтрона в интервале энерrий 10 100 Мэв Mor
ло бы пролить свет на вопрос о харан:тере сил, действующих между нейтро
нами и протонами. К детальным особенностям СИJI более чувствительно
уrловое распределение испускаемых частиц, чем полное сечепие [623, 624].
К соталению, имеющийся экспериментальный материал недостаточен для Toro,
чтобы можно было сделать определенные зан:лючения. Полное сечение из
мерялось при энерrии l лучей n(J)==17,6 Мэв [29]. Полученная величина ce
чения o==(8,5X1,2).10 28 с.м,2 несн:ольн:о меньше той, н:оторую следовало бы
ожидать при данной энерrии, 'соrласно эн:страполяции по формуле (4.38).
Однан:о расхождение недостаточно велин:о, чтобы иметь возможность сделать
какие либо определенные заЮlючения. 'Уrловое распределение испускаемых
частиц в интервале 4< n(J)< 20 Мэв измерялось в работах [276, 277], но точ
ность этих измерений является слишком низ:кой для получения детальной
интерпретации.
s 5. ВНУТРЕННЯЯ КОНВЕРСИЯ 2)
А. Коэффициенты конверсии
Переходы из возбужденноrо состояния ядра в более низн:ие состоя
ния MorYT происходить не только в результате испусн:ания 1 Н:BaHTa,
но такте и путем поре дачи энерrии непосредственно окружающим
ядро электронам. В этом случае переход в более низн:ое состояние
связан с выбрасыванием электрона с ero устойчивой орбиты. Энерrия
1) Новейшие энсперимепты по фоторасщеплению дейтрона можно найти в сборнине
статей «Фотолдерные реакцию>, М., 1953. Прим. перев.
2) Подробное изложение результатов, насающихсл внутренней I\онверсии, а танже
более полнал библиоrрафил приведены в Нниrе Л. в. r р о ПI е в и И. С. Ш а пир о,
Спентроснопил атомных лдер, М. Л. 1952. При.м. перев.
480 r.a. XII. Вваи.модействие ядер с э.аектро.маенитны.м ив.аучение.м
испускаемоrо электрона равна энерrии, теряемой ядром, минус энерrия
связи электрона в атоме. Этот процесс называется (<внутренней конверсией».
В свое время ero ошибочно трактовали кан внутренний фотоэффент, про
исходящий следующим образом: испуснаемый ядром I HBaHT немедленно
поrлощается атомным электроном. Однако в действительности передача
энерrии от ядра н электронам представляет собой процесс, происходящий
независимо от испуснания , HBaHTa.
Кан поназано в работах [729, 730], полная вероятность Т (а, Ь) пере
хода ядра из состояния а в состояние Ь является суммой двух членов
Т (а, Ь)==Т(а, b)+T(i) (а, Ь), (5.1)
rAe Т (а, Ь) вероятность радиационноrо перехода, определяемая соrласно
(3.21) и (3.22), а T(i) (а, Ь) вероятность внутренней нонверсии. Коэффи
циент внутренней конверсии rJ. определяется следующим образом:
T(i)(a,b) rJ.T(a,b), (5.2)
тю{ что
Т (а, Ь) == (1 + rJ.) Т (а, Ь).
(5.3)
8порrия перодается от ядра н: элен:трону блаrодаря элентромаrнитному
взаИМОJl,еЙствиIO можду ними. Основной ВIшад в этот процесс вносит электро
статичесн:ое н:улоновсн:ое взаимодеЙствие. Подсчитаом T(i) (а, Ь), сделав ряд
упрощающих предполощениЙ:
а) БУJl,ем рассматривать толыю н:онверсиlO с К оболочки, т. е. передачу
энеР1'ИИ ::шеI\ТРОИУ, находящемуся на К оболочке атома;
б) Ol'раничимся электростатическим взаимодействием и qудем исполь
:ювать норелятивистское уравнение для элен:трона; это справедливо только
в тех случаях, Iюrда сн:орости всех рассматриваемых элы{тронов значительно
меньше сн:орости света;
в) воспользуемся для испусн:аемоrо электрона приближением плоских
волн. Это мотно делать только при условии, что энорrия ИСПУСIшемоrо
элентрона rораздо больше ero энерrии связи в атоме. Обозначим через a
И ь волновые функции ядра в состояниях а и Ь, причем эти функции
:3ависят от н:оординат нуклонов r 1 , ..., rA; предположим, что Еа > Е ь .
Помимо этоrо, введем V a И V b волновые фунн:ции электрона соответственно
на К оболочке и в области непрерывноrо спектра после испускания:
е Ща ао
V a == ,/ , а == Z ' (5.4)
JI паЗ
e ikR
v b == уУ . (5.5)
Здесь R радиус веJ{ТОр элен:трона, а о == п 2 /mе 2 боровский радиус атома
водорода, k волновой вектор ЭJlентрона после испускания и V объем
«IlЩИН:а», в н:оторый заключена система (из он:ончательноrо результата
этот объем выпадает). Вероятность перохода между начальным состоянием
СРа == aVa И н:онечным состоянием СРь == bVb равна
27t
Вероятность перехода == h I H ь 12 Z (k) dQ, (5.6)
В этом выражонии H ь матричный элемент энерrии взаимодействия Н'
(которая, по предположению, является электростатичесн:им взаимодействием
элен:трона с IlДрОМ) и Z (k) dQ число состояний испусн:аемоrо элен:трона на
единичный интервал ЭIIОрI'ИИ, причем электрон ИСПУСIшется в пределах эле
мента TOJleCHOro уrла dЪd. Величина z (lt) опредеJшется следующим образом:
m!ik
z(k) == V (2пh)З ' (5.6а)
s б. Внутренняя 'Конверсил
481
Нас интересует полная вероятность перехода T(i) (а, Ь) между состояни
ями ядра a И b' обусловлонноrо внутренней :конверсией с К оболоч:ки.
Поэтому выражение (5.6) надо проинтеrрировать по всем направлениям
испус:кания и умножить на 2, пос:коль:ку на К оболоч:ке имеется два эле
:ктрона, :катдый из :которых может быть в реsультате :конверсии выброшен
за пределы атома:
T(i)(a,b)==2 2 Z(k) IH bI2dg.
(5.7)
Предположим, что энерrия взаимодействия обусловлена э.пе:ктростати
ческим взаимодействием между электроном и протоном в ядре
z е 2
Н'== "'I;l ,
. I R ,ri 1 .
1== 1
(5.8)
в этом случае матричный элемент H b равен
z
Н , .' 1 \ d 3 R \" d ikR ".*' е 2
ab 11 'Ita3V .t:J j j "Се 'l'b I R ri 1
i==1
e R/a a'
(5,9)
)'де первое интеrрирование проводится по координатам ЭJlе:ктрона, а BTO
рое по всем н:оординатам, входящим в волновые фун:кции ядра. Для
приб;тиженноrо вычисления этоrо интеrрала учтем, что при интеrрировании
по :координате эле:ктрона R основной в:клад обусловлен значениями R I R 1,
превышающими ядерные :координаты r i == 1 r i 1. При r; < R мотно исполь
зовать следующее разложение для I R rtl l:
00 1 1
IR ril == 2l4 1 i+l Уlm(8,Ф)У[m(Оi'Фi)'
1==0 т== l
(5.10)
Здесь 8 и Ф полярные :координаты ве:ктора R, а 0i' Фi ПOJ1Ярные
координаты ве:ктора r j . Подстанов:ка (5.10) в (5.9) дает следующий pe
зультат:
00 1
H b -=== y y 2l4 1 Qtm (а, Ь) J ,m ,
1==0 т== 1
(5.11)
rде Qlт (а, Ь) матричный' элемент эле:ктричесн:оrо мультиполя
J 1m == cRlae ikR R (I+1) Y 1m (8, Ф) d 3 R.
(3.32), а
(5.12)
СОI'ласно сделанному выше преДПОJIOшению «в» нас интересует BHYT
ренняя :конверсия при энерrиях, значительно превосходящих ПОРQr этоrо
процесса. Поэтому можно предположить, что длина волны вылетающеrо
эле:ктрона J;. == 1/ k значительно меньше боровс:коrо радиуса а К оболоч:ки
атома, т. е. ka 1. В этом приближении e R/a:::::::, 1 и интеrрал вычисляется
непосредственно путем использования теоремы сложения сферичес:ких
rармони:к (см. приложение 1, 2).
Обозначим через ф, О полярные :координаты вектора k по отношению
к некоторому произвольному направлению в пространстве z. Тоrда 1)
kl 2
Jlm==41Ci (2l 1)1! Y1m(0, ф) при ka 1. . (5.13)
1) Относительно опреДС'JJенил ДВойноrо факториала см. примечавие на Сl'р. 461.'
31 3анзз;М 896
482 r,к,. Х//. Baau.мoдeйcтвиe I/,aep с ме"тро.маанитны.м иа.л,учение.м
Подстановн:а (5.13) в (5.11) дает следующее приближенное значение
матричноrо элемента Н b, отвечаЮЩel'О элентростатичесн:ому взаимодействию:
со 1
I (4п)2е ilkl 2
Hab== y LJ (2'+1)" Qlт(a, b)Ylт(O, ф).
1ta 3 V '..
1==0 т== !
Подставим (5.14) в (5.7). Блаrодаря ортоrональности и нормирован
ности сферических rармоник интеrрирование упрощается. Результат для
отнесенноР: н единице времени вероятности перехода, связанноrо с BHYT
ренней нонверсией, имеет следующий вид:
со 1
те2 k2l 3
T(i) (а, Ь) == 1287t n 3 а 3 -'J -'J [(21 + 1)1!]" I Qlm е а , Ь) 12.
1==0 т== !
(5.14)
(5.15) .
Вследствие правил отбора в суммировании участвуют только опреде
JleHHble значения [. Бо.лее Toro, практически существенный внлад дает
только наинизшее значение [. Эти значения приведены в табл. 24, в столбце
«Электричесное излучение». ' " .,'
Для получения rрубой оценки ноэффициента внутренней конверсии мы
оrраничимся разрешенными по четности переходами, которые имеют место
в. основном при испускании элен:трическоrо мультипольноrо излучения
Toro же порядка L === lмин., что И в (5.1.5). В этом случае формулу (5.15)
можно непосредственно сравнить с вероятностыо раДиационноrо перехода
(3.21), просуммированной по всем т (мы пренебреrаем вкладом Q/ ). Тоrда
коэффициент внутренней нонверсии а [см. (5.2)] равен
. [ Z3 k2l 3
а 16[ +1 a. ox."l+l , (5.16)
rде а о боровский радиус атома водорода.
В сделанном приблитении мотно пренебречь энерrией связи элен:трона
па К оболочке по сравнению с пш. Таним образом, получаем
n 2 k 2
2т === ПШ В К ПШ, (5.17)
rде В К энерrия связи aToMHoro электрона на К оболочке. Подстановка
(5.17) в (5.16) дает окончательное приближенное значение поэффициента
внутренней понверсаи ак (l) в случае понверсии с К оболоч,.и в результате
разрешеННО80 по четности перехода
ак ( l) Z3 ( ) 4 ( .3.. r: ) /+5/2 . ( 5.18 )
'Ас [+1 nоо
Эта формула является хорошим приближением тольно в одном очень спе
циальном случае при Ze 2 /nc 1 (в противном случае следует использовать
релятивистсние элентронные фуннции) и для энерrий переходов, значи
тельно превышаlOЩИХ энерrию связи электрона на К оболочне,
Еа Еь===пш BK.
Очевидно, что вероятность н:онверсии сильно возрастает с увеличением Z
и [, однако с увеличением энерrии перехода ПШ вероятность уменьшается.
Таким образом, внутренняя конверсия оназывается существенной для
переходов с малой энерrией и высокой мультипольностью l У ядер с большими
атомными номерами.'
При помощи упрощенных вычислений. нельзя описать внутреннюю HOH
версию в случае ядерных переходов, сопровождающихся испуснанием пре
имущественно маrнитноrо мультипольноrо излучения. Это. связано с тем,
Чt'О мы оrраничились элентростатистичесним взаимодействием (5.8) между
б. Внутренняя конверсия
483
ядром u элен:троном. Если мы введем в рассмотрение также и элен:тромаrнит
ное В;Jаим:одействие, то 11 формуле (5.16) появятся члены, содерЖащие, Кро-
ме э;дектричесн:их мультипольных моментов Qlm, также и маrнитные муль
типольные моменты M lm '
Рядом авторов [183, 358, 359, 197,494] были выполнены подсчеты,
основывающиеся на менее общих предположениях. Точные расчеты с ис
полыjваниемM релятивистских волновых функций для электронов проделаны
Шкала ОЛЯ .ма8нитных перехооов
5. 4, 3 2 1 О
100
\;:.
10
1O 1
10-2
1O 3
10-4
I
-5
100 1 2 3 4 5
Ii йJ \.о
Шкала оля электрических перехоDов тс 2
Фи r. 11З. :Коэффициенты внутренней конверсии
для элемента с Z==40.
Нижнял шнала соответствует элентричесному излучению,
верХЮПI маrнитному излучению. Величина 1 порядон
мультипольности. Значения Rоэффициентов взяты иа
таблиц. приведенных в работе [645].
f
1;
J] работах [387, 388, 729, 730, 257, 258] и позднее в работах [642,645, 320,
629]. Экспериментальное подтверждение точных расчетов было получено
в работах [760, 591]. С друrой стороны, сравнение точных и приближенных
расчетов коэффициентов конверсии с К оболочки указывает на то, что при-
ближенные расчеты оказываются менее точными; имеются эксперименталь
ные данные [308], уназывающие, что приближенные подсчеты коэффициентов
конверсии на друrих оболочн:ах также не дают достаточно точных резуль
татов.
На фиr. 113 в качестве примера приведенЫ коэффициенты внутренней
конверсии для элеl\lента с Z == 40. В случае разрешенных по четности переходов
З1*
f;
r
t
!
484 rA. XII. Вааи,м,одействие .яДер с а.л,еnтро,м,аеftитftы,м, иаАучеftue,м,
и;шучение прантичесни оназывается чисто элентричесним мультиполь":
ным излучением порядна L (см. табл. 24), и, следовательно, в этом случае
. мЬжно воспользоваться ноэффициентами внутренней нонверсии для элентри
ческих переходов. Эти ноэффициенты зависят от энерrии излучения N Ш ,
наинизшеrо допустимоrо порядна мультипольности L и заряда ядра z;
они не зависят от величины мультипольных моментов QLm. В случае запрещен
ных по четности переходов необходимы более точные оценки отношения
вероятностей маrнитноrо и элентрическоrо излучений. В следующем параrра
фе при водятся оценки, показывающие, что в этом случае излучение являет
ся преимущественно маrнитным, порядка L (см. таб. 24). Следовательно,
в случае запрещенных по четности переходов должны ИСПОJIьзоваться ноэф
фициенты конверсии для маrнитноrо излучения. Необходимо, однако, OT
метить, что преобладание маrнитноrо излучения в случае запрещенных по.
четности переходов предсназывается менее надежно, нежели преобладание
электрическоrо излучения в случае разрешенных по четности переходов.
В исключительных случаях электричесное и' маrнитное излучения MorYT
иметь вероятности одноrо и Toro же порядка величины. Тоrда в наблюдае'-
мый экспериментально коэффициент конверсии войдет отношение вероят
ностей электрическоrо и маrнитноrо излучений. Хотя подобные случаи
MorYT иметь место, однано проделанные в этой rлаве оценки, равно кан и
собранные в 6 экспериментальные данные, приводят нас к занлючению,
что у переходов с малой энерrией подобные исключения должны BCTpe
чаться чрезвычайно редко 1).
Возможно танже выбрасывание электрона с L оболочки атома. В общем
случае такой процесс ОRазывается менее вероятным, чем конверсия на
К оболочке, так нан вероятность найти элентрон с L оболочки вблизи от
ядра rораздо меньше вероятности найти вблизи от ядра электрон с К обо
лочки. Коэффициенты конверсии на L оболочне приближенно подсчитаны
в работах [359, 651, 197, 494, 290]. Отношение вероятностей нонверсии
на К и L оболочках уменьшается при увеличении порядка мультиполь
ности 1; для одноrо и TOro же значения 1 отношение в случае маrнитноrо
излучения больше, чем n случае элентрическоrо.
Б. O O переходы
Особый интерес представляют переходы между состояниями ядра,
имоющими спины 1 == о. Как быдо поназано в 2, поле изл.учения не
содертит мультиполя порядка 1 == о. Отсюда следует, что в этом случае
радиационные переходы оказываются невозмотными, т. е. для элентро
мю'нитноrо излучения О О переходы CTporo запрещены. Однако переходы
возможны, если энереия непосредственно передается электрону, находяще
муся на К == оБОJIOЧН() [264, 839]. .
Казалось бы, что матричный элемент (5.11), отвечающий внутренней
нонверсии, танже исчезает, ибо он пропорционален Qlт. Однано в этом
случае необходимо учесть вклад, вносимый в матричный элемент областью
ri> R. Эта область не принималась во внимание в (5.11), так нан мы
использовали разложение (5.10). Речь идет об области нонфиrурационноrо
пространства, в ноторой электрон находится внутри ядра. Вклад этой об
ласти в общем пренебрежимо мал, однако в рассматриваемом здесь случае
, 1) В шrтературе очень часто встречается ошибочное утверждение, что электрическое
alУJIЬТИПОJlъное излучение порядка l имеет примерно ту же вероятность, что и маrнитное:
МУЛЬТИlIольное излучение порядка l 1. Если бы это было так, то «смешанные» переходы
яВЛЯЛIlСЬ бы скорее правилоМ, чем исключением. В примечании на стр. 46? мы показали,
чтu это утверждение неверно. Более р;етальные оценки S 6 дадут дальнеишие примеры"
ПОI азывающие различие вероятностеи переходов этих двух типов.
.!, ' -;".,
9 б. Впутреппяя nопверсuя
485
он оказывается наиболее существенным. Поскольку при О Опереходах
вне ядра не возникает какоrо либо электромаrнитноrо поля, то передача
энерrии должна происходить внутри ядра, т. е. при R < ri. В этой области
мы должны заменить в правой части (5.10) ri на R, Следует учитывать
только член с l == О, который является единственным членом, вносящим
вклад в матричный элемент, отвечающий переходу между двумя состояниями
ядра с 1::::. О. В этом случае получаем
z
H ъ== r d't 6 a
у 1tа З V .) ri
i l
R<ri
d3Re Rja e ikR.
(519)
ПОСRОЛЬRУ интеrрирование по R распространяется ТОЛЬRО на область
малых значений R, то ЭRспоненциальные ФУНRЦИИ можно заменить. еди
ницей:
z
Н , 41t е * 2 d
аЪ ==3 yМ3V ..:::.J bri a ".
i 1
(5.20)
Сумма в выражении (5.20) по ПорЯДRУ величины равна нвадрату
радиуса ядра 1 ) и будет обозначаться через R2 . ПодстаНОВRа (5.20) в (5.7)
дает отнесенную 1i единице времени вероятность О О переход а
ТО""'О ( а b ) == 32 Z3 ( R2 ) 2 V 2!1E тс2 ( 5.21 )
, 9 пс а5 тс 2 h '
Fде а о == п 2 /те 2 боровский радиус атома водорода, а t:,.E == Еа Е Ъ В К ==
== h 2 k 2 /2m энерrия ИСПУСRаемоrо элеRтрона. ДЛЯ R2 ПОрЯДRа (6.10 13 см):!
получим
I
I
f
f
тО"'" (} ( а , Ь ) '"'-' 0 , 5Z З V !1Е 104 1
тс 2 сеи..
(5.22)
Более точные оцеНRИ матричноrо элемента R 2 на основе ЭКСllеримен
тальных да:нных были сделаны в работе [198]. Матричный элемент В2 OT
личен от нуля ТОЛЬRО В том случае, если a И Ъ имеют одинаRОВУlO чет
ность. Следовательно, О О переходы не MorYT происходить между состоя
ниями с различной четностью. Однано и в этом случае время жизни
состояния не он:азывается беСRонечно большим, таи аи возможны дрyrие
способы передачи энерrии, вероятность ноторых чрезвычайно мала и нотО:-
рыми пренебреrают во всех иных случаях (ИСПУСRание двух квантов, одн<r
временное испускание нванта и внутренняя Rонверсия; см. [652]).
В. Внутренняя конверсин с образованием пар
Если энерrии состояний ядра ffa И ffb отличаются больше, чем на 2тс 2 ,
то происходит новый тип Rонверсии: возможна передача энерrии элеRтронам,
находящимся в состояниях с отрицательной энерrией вблизи ядра. Сущест
вование этих состояний следует из реЛЯТИВИСТСRоrо волновоrо уравнения
для элеRтрона. Хорошо известно, что, соrласно теории позитрона ДираRа,
состояния с отрицательной RинетичеСRОЙ энерrией заняты элеRтронами.
Переход одноrо из этих элеRТРОНОВ из состояния с отрицательной энерrией
в состояние с 170ложительной энерrией выrлядит каи рождение пары
элеRТРОН + позитрон. ТаRОЙ процесс был преДСRазан в работе [558], а
подсчеты выполнены в ряде друrих работ [407, 637, 643, 736, 833].
.
1) Аналоrичное выражение будет получено в S 6 при помощи модели незавиеимых
"Iастиц. Из формул (6.7) n (6.7а) следует, что 'В2==3В2/5, rде R радиуе ядра.
.
486 rA. Х//. Вааи.мооейстеие //'оер с вм1I:тро.маенитны..м иаАучение.м
Если освобождающаяся ,энерrия превосходит 2тс 2 , то вероятность BHYT
ренней конверсии с образованием пары оказыаетсяя больше вероятности
испускания электрона с К оболочни. Существенный случай подобноro рода
имеет место при переходе метду первым возбутденным и основным ypOB
иями ядра 016. Уровни отличают по энерrии на 6 Иэе [465], причем электро
маrнитное излучение не наблюдается. В работе [572] было сделано пред
полотение, что отсутствие излучения связано с тем, что в данном случае
имеет место О О переход. При столь высоних энерrиях преобладает
внутренняя нонверсия с образованием пар. Пары электрон + позитрон были
найдены в ряде энспериментальных работ [718, 437] и весьма тщательно
исследованы rруппой Лауритсена [626, 147]. Друrой случай внутренней
онверсии с образованием пар был обнаружен у Na 24 [615].
Внутренняя нонверсия с образованием пар дополняет обычную BHYT
реннюю нонверсию в том смысле, что вероятность образования пар OHa
зывается наибольшей в тех случаях, ноrда вероятность внутренней HOHBep
сии является наименьшей, а именно в области малых атомных номеров Z
и больших энерrий переходов. В работе [380] было показано, что измерение
уrловой норреляции в направлениях вылета электрона и позитрона мотет
да.ть более точную информацию относительно мультипольности и типа
перехода (см. такте [643]).
6. ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ НИЗШИМИ УРОВНЯМИ ЯДЕР
А. Теоретические оценки
Расчет вероятности радиаЦионноrо перехода метду двумя состояниями
ядра а и Ь ПРf!.нтичесни невозмотен, за иснлючением случая дейтрона,
Для всех остальных Ядер неизвестны волновые фуннции этих состояний.
Однано, несмотря на это, имеется неноторая возмотность предсназать
порядон .величины вероятностей переходов, тан кан они очень сильно
эависят от порядка мультипольности перехода 1.
. В этом параrрафе мы оrраничимся рассмотрением переходов между
состояниями ядра, располотенными вблизи OCHoBHoro состояния и отли
чающимися по энерrии не более, чем на неснолы<о Иэе. Длина волны
электромаrнитноrо излучения == 1/'1. С энерrией 1 Иэв равна 1,97 .10 1l см
И во всех случаях оказывается большой по сравнению с размерами ядра.
Соrласно (3.32), элентричесние мультипольные моменты не превосходят
по порядну величины ZeR l , rде R радиус ядра. Кан поназано в 3,'
маrнитные мультипольные моменты оназываются меньше соответствующих
элентричесних мультипольных моментов на множитель порядка v/c.
Вероятности перехода, соответствующие мультипольным моментам Qlт или
M 1m , даются соответственно выратениями (3.21) и (3.22). В формуле (3.21)
произведение y'lQlm оназывается почти равным Ze (Y.R/, причем для pac
сматриваемых энерrий У.Н мало по сравнению с единицей. Поэтому следует
отидать, что вероятности переходов будут быстро убывать' с увеличением
lмин. == L (значения L приведены в табл. 24).
Более точно отношение элентричесноrо и маrнитноrо моментов мотно
оценить при помощи (3.32) и (3.33). Используя интеrрирование по частям,
преобразуем формулу (3.33) н следующему виду:
z
M Zm (а, Ь) == l 1 c r (L"Y 1m )*. (rp p"rpa) d't. (6.1)
"==1
Оценим интеrрал следующим образом: оператор импульса р" дает
в результате интеrрирования по порядку величины Иv, rде И масса .
..
9 6. Перехооы .м.еж:оу пuaши.м.и уровня.м.и I/,Bep
.t87
!
[
t
одноrо нуклона, а v снорость нунлона внутри ядра. При этом сравнение
формуJIЫ (6.1) с (3.32) показывает, что за иснлючением факторов, Иliеющих
порядон единицы, отношение И Zт Н Qlm выражается следующим образом 1):
:: "' . (6.2)
Кинетичесная энерrия, приходящаяся на НУI{ЛОН, СО1'ласно оценне
I'Л. Уll, 2, имеет порядон 10 20 Мэе. Величину (V/C)2 можно оценить, ..
сравнивая эту нинетическую энерrию с энерrией поноя нунлона М с 2 . Таним
образом, (V/C)2 по порядну величины равно 0,02 0,04.
Однако использование для оценни (6.2) полноЙ величины vjc не может
в общем считаться оправданным. Мы интересуемся переходами метду
состояниями а и Ь. Поэтому «эффентивнаю> сн:орость v, отвечающая этому
переходу, будет более близна н разности сноростей в начальном и нонеч
нои состояниях. Еще одну возможную и более удобную оценку порядна
\3еличины отношения маrнитноrо и электрическоrо моментов мотно полу
чить, заменив в формуле (3.33) оператор «div» на R l, rде R имеет порядон
величины радиуса ядра. Оператор L приводит н умножению на число
порядна [, что в оценне, имеющей смысл лишь по порядну величины,
компенсируется фантором (l + 1) 1. в таном случае получается
MZ m n 6 3)
QL;;; "-' М сН . ( .
в принципе это отношение не отличается от v/c в формуле (6..2). Соrласно
соотношению неопределенности, линейные размеры R нваптовомеханичесной
системы связаны со сноростью v соотношением R", 1Ч Mv. Соотношение (6.3)
допускает следующую простую интерпретацию: элентрическая поляризация Р
ядра имеет порядон величины элентричесноrо момента eR, деленноrо на
объем R3, Р ",-. е/ R2. Соответствующее намаrничение М по порядну вели
чины равно еп/Мс, деленно.му на объем ядра, М", (еп/Мс) R 3. Отношение
этих двух величин долтно иметь поря дон величины отношения мульти
польных моментов, и оно оназывается идентичным выражению (6.3).
Поснольну L/(l + 1) имеет тот те порядок величины, что и fIoCl', Mar
нитный мультцпольный момент Дf;т (3.35), обусловленный спинами, OKa
зывается сравнимым с маrнитным мультипольным моментом, обусловлен
. ным орбитальным движением. В действительности собственные маrнитные
моменты нунлонов fIO неснольно больше единицы, и поэтому fIoCl' оназывается,
повидимому, в 2 или 3 раза больше, чем L/(l + 1). Поэтому ИСПОЛЬ;Jуем
следующую оценну:
,
f"
1 M Zm + М/т 12 '" 10 ( n ) 2
I <.!lm '" McR
(6.3а)
Внлад спинов в элентричесние матричные элементы Qlm оказывается
существенно меньше внлада плотности заряда (3.32). Если, нан и прежде,
заменить оператор div на R 1 и пренебречь множителями, имеющими
порядок е)!иницы, то из формул (3.34) и (3.32) получим
Qlm "1.n nш
"""--'
Qlm Мс Мс 2 .
Для энерrий переходов, составляющих неснольно И Эв или меньше,
это отношение имеет порядон 10 3. Поэтому В оставшейся частИ данной
l'лавы мы будем пренебреrать матричными элементами Q[m'
(6.4)
1) Следует, конечно, иметь в виду, что вс.тrедствие наличия правил отбора по четности
для данноrо начальноrо и конечноrр состояний должны исчезать либо Ml m , либо Qzm.
Соотношение (6.2) относится к различным переходам ,при прочих равных условиях.
,::'
488 rA. XII. Вваи,м,ооействие мер с ВАептро.маенитны,м, U81lУЧ,ение,м,
"
Следует подчеркнуть, что оценки (6.3а) и (6.4) являются лишь чрез
вычайно rрубыми указаниями относительно порядка величины матричных
элементов. В отдельных случаях правила отбора и друrие эффекты MorYT
привести к результатам, которые в значител:t>ной степени будут отличаться
от указанных оценок (например, JЗ случае фоторасщепления дейтрона вблизи
пороrа; см. 4).
Чтобы получить оценку действительной величины мультипольных
моментов, необходимо принять какую либо модель ядра. Наиболее простые
результаты мотут быть получены из одели независимых частиц, причем
имеются экспериментальные данные, указывающие на то, что эта модель
достаточно хорошо описывает низшие уровни ядра. В рамках модели He
зависимых частиц состояние ядра описывается заданием квантовых чисел
отдельных нун:лонов. Мультипольные моменты (3.32) (3.35), отвечающие
переходам метду состояниями ядра а и Ь, отличны от нуля только в том
случае, если оба состояния различаются квантовыми числами только одноrо
нуклона. Если состояния а и Ь отличаются квантовыми числами двух
нунлонов, то все интеrралы обратятся в нуль блаrодаря ортоrональности
функций, так как операторы, стоящие под знаком интеrрала, содержат
лишь координаты одноrо нуклона.
Рассмотрим теперь переход, при котором меняет свое состояние один
протон (скажем нуклон с номером 1). Предположим, что орбитальный
момент количества движения протона равен. нулю в н:онечном состоянии
и равен l в начальном состоянии. В этом случае испускаемое электриче
ское МУЛЬТИlюльное излучение имеет порядон: l. Кроме Toro, будем считать,
что переход разрешен по четности, т, е. что спин протона в начальном
состоянии параллелен l. Тоrда волновые функции, отвечающие состояниям
протона, имеют следующий вид:
ш а ==u а (т')У Lm (l1, ф)l].,
Ш ь == и ь (r) / а I (6.5)
r 4т-
тде I'J. . спиновая фУНIщия частицы со спином, направленным вверх, а и а ,
и ь фующии, зависящие только от r== I r 1. Подставляя (6.5) в (3.32), по
лучим (учитывая, что в сумме по k вклад вносит лишь первый член)
Qlm == ,/ J L (модель независимых частиц), (6.6) ..
l' 41t
rде
00
J L == r!u a (r) иь (r) r 2 dr.
о
Приступим теперь к оценке порядка величины этоrо интеrрала. Про
стейшая оценка получается, если и а (r) и иь (r) положить равными одной
и той же постоянной величине при r, меньшем радиуса ядра R, и paB
ными нулю при r, большем R. Постоянная находится из нормировки фУНl{
ций Ш а И Шь И равна (3/ R3)1f2. С учетом этоrо значения получается следукr
щая оценна порядна величины интеrрала J l :
3Rl
J l ,,-, l+3 ' (6.7а)
(6.7)
Выражение (6.7а) является, очевидно, чрезвычайно rрубой оценкой.
Радиальные функции и а и и ь не остаются постоянными при r < R, а каким
то образом осциллируют, постепенно спадая до нуля при r > R. Поэтому
можно ожидать, что действительная величина Jz окатется неСКОЛЬКО
6. Переходы .цеж:оу ииашuми уровнями яоер
48!:Р
меньше оценки (6.7а). Оценна (6.7а) дает представление о порядне величин,
HOToporo можно ожидать для большинства переходов метду низшими ypOB
нями. Вполне возможно, что значения J l онатутся меньше оценни (6.7а)
примерно в 30 раз. В ряде иснлючительных случаев, ноrда волновые фунн
ции и а И и ь Перекрываются незначительно, интеrрал J l мотет оназаться
дате на неснольно поряднов меньше оценни (6.7а). Однано, пона приме
нима модель независимых частиц, J 1 не может быть rораздо больше оценни
(6.7а). Специальное предположение о. том, что в нонечном состоянии 1 == О
и переходы разрешены по четности, не существенно для результата в силу
rрубоrо харантера сделанных оценон.
Оценна маrнитных мультипольных моментов по модели независимых
частиц в еще большей степени зависит от деталей модели. Например, еСJIИ
отсутствует в.аимодействие спина с орбитой, то внлад спинов в мульти
польный маrнитный момент полностыо исчезает (пример можно найти в 4,Б).
Однано имеются достаточные основания преДПОJIаrать, что в модели незави
симых частиц таное взаимодействие существует (см. rл. XIV). Следовательно,
для отношения маrнитноrо и элентричесноrQ МУЛЬТИПОJIЬНЫХ моментов
можно использовать оценку (6.3а).
Если подставить оценни мультипольных моментов (6.7а), (6.6) и (6.3а}
в формулы (3.21) и (3.22) для вероятностей переходon, то получатся сле
дующие формулы для вероятностu uзлу'Ченuя электрu'ЧеСl>оео .мультuполя
порядка Р):
l ' 1) <'v 2 (1 + 1) ( ) 2 ( R 21
Е( '''"' [[(2l+1)!!] 2 [+3 nс х) ш
4,4(1+1) ( 3 ) 2 ( nш ) 2/+1 R 1O 13 . ) 21 1021 1
l[(2 l+ 1)")2 l + 3 197 Мав (в с.м. сен
. для вероятностu uз.лу'ЧеllUЯ .маенитноео .му.лътuполя порядка 1:
ТМ и) l [ / )1?!p ( [: 3 у : ( M:R у (xR)2l (j) ==
1,9 (/+1) ( 3 ) 2 ( nш ) 2/+1 (R 10 13 ) 2r 2 1021 1 (6. 9\
==l[(21+1)!!)2 1+3 197Мав в с.м . сон.. I
Формулы (6.8) и (6.9) представляют собой лишь чрезвычайно rрубые-
оценни. Действительные значения MorYT ОI\азатЬся меньше этих оценон, воз
мотно, в 1000 раз. Нельзя исключить случаи особых переходов метду двумя
состояниями, волновые функции которых перекрываются очень мало; в этих
случаях действительные вероятности переходов будут rораздо меньше пред
... сназываемых (на мнотитель, значительно превышающий 103). Тем не менее-
эти оцеНI\И MorYT слутить в I\ачестве первой ориентировки, тан нан для энер
rий l лучей, не превышающих 1 Мэв, как Tj;;(l), тан: и тми) меняются
(6.8}
1) Выражение (6.8) можно обобщить на случай, KorJIa величина 1 в конечном состоя-
нии отлична от нуля. В общем случае электрических пере ходов I-й мультипольности ИЗО
начальноrо состояния с орбитальным моментом количества движения 11 и полным момен-
том количества движения J 1 В конечное состояние с орбитальным моментом количества дви-
жения [2 и полным момептом количества движения J 2 выражение (6.8) должно быть умно-
жено на статистический множитель. Если предположить, что орбитальный и полный.
моменты количества движения обусловлены только одной частицей (такое предположение
обычно делается в модели ядерных оболочек), то статистический множитель будет
иметь вид:
[ ( 1 -, 2
(21]+1)(21 2 +1)(2l+1)(2J 2 +1)Pl(ll l 2 1 ;000)]2 W 1I J ]l2 J 2; 2' IJ '
rде неличины V связаны с коэффициентами Rлебmа rордана и определены в приложении'
1 [см. приложение 1,(5.8)], а W является коэффициентом, введенным в работе [613] [см.
уравнение (3.6) на стр. 444 этой работы]. Для рассматриваемоrо в тексте случая cTaTIL-
8тический множитель сводится к единице (J 1 ==ll+I/ 2 ==I+l/ 2 ; J 2 ==1/ 2 , 12==-0).
йcmеие ядер с 8д,еJl;тро нитны.м и8,л,учение.м
примерно в 106 раз при изменении 1 на единицу. В случае применимости Ио
дели независимых частиц выражение (6.8) для веРОЯТlIОСТИ электричеСRоrо '\
перехода можно рассматривать в начестве BepxHero nредеJIа.
. Эти оценки относятся н: вероятности перехода, связанноrо с испуснанием
'мультипольноrо излучения. Чтобы получить действительное время жизни,
ледует ввести поправку, учитывающую вероятность перехода, связаНRОI'О
'с процессом внутренней конверсии, т. е. умнотить выратения (6.8) и (6.9)
на (1+1X), rде lX коэффициент внутренней конверсии. 'Эта поправка чрезвы
чайно важна дЛЯ NШ в области 100 пэв у элементов среднеrо веса или тяже
лых элементов, особенно для мультиполей высоних порядков 1 [19]. ВО MHO
rих случаях ноэффициент внутренней Нонверсии известен экспериментально,
'raK что попраш<у можно вводить, не зная порядка МУЛЬтипольности и из
менения четности при переходе. .
Мотно поназать, что маrнитное мультипольное излучение порядна l
примерно в 100 раз менее вероятно, чем элентричесное МУЛЬтипольное из
лучение Toro же порядна. Однано при -данном ядерном переходе этИ излуче
ния никоrда не нонкурируют друr с друrом. Конкуренция метду электриче
сн:им и маrнитным излучениями может наблюдаться в случае запрещенных
по четности переходов у маrнитноrо излучения порядка 1 с электричесним
излучением следующеrо, более BblcoKoro порядна 1+1. Для нвантов с энер
rией 0,1 1 Мэв, соrласно оценкам (6.8) и (6.9), вероятности переходов в слу
чае этих излучений различаются примерно в 104 раз. Следовательно, соrласно
этим оценнам, в запрещенных по четности случаях излучение долтно
быть почти исключительно маrнитным. Это противоречит м.ноrочисленным
утверждениям, встречающимся в литературе, о том, что маrнитное мульти
польное излучение порядна 1 имеет ту те вероятность, что и элеRтричесное
мультипольное излучение ПОрЯДRа 1 + 1.
Выратение (6.6) было подсчитано на основе специальной модели (MO
дели независимых частиц), и поэтому СОМНИтельно, чтобы ero мотно было
использовать для оценни вероятностей действительных пере ходов. В пользу
применимости выражения (6.6) rоворит то обстоятельство, что мультиполь
ный момент сохраняет порядон величины в том случае, Rоrда действительное
СОСтояние ядра мотrю представить в виде линейной номбинации состояний,
отвечающих модели независимых частиц, причем фазы Rоэффициентов слу
чайны.
Имеются, однано, друrие модели, ноторые при водят н совершенно иным
выражениям для МУЛЬтипольных моментов. Например, переходы в случае
поверхностных нолебаний жидной напли с равномерно распределенным за
рядом приводят н испусканию элентричесних МУЛЬТиполей с [>2. Расчеты
для такой модели были проведены в работах [493, 254, 50], причем было полу
чено, что
Qlт (а, Ь) О для 1 0,1,
Qlт (а, Ь) V 3 1t VT V A '" ZeRI 1 для 1> 2, (6.10)
rде АМ полная масса ядра.
Имеется ряд характерных различий между этим выратением и Bыpaтe
нием, полученным на основе модели независимых частиц:
1) матричный элемент ПРОпорционален z; это является результатом
<roro, что в данном случае все заряды участвуют в ноллективном двитении;
2) Q содержит мнотитель V п/ АИоо, ЯВЛяющийся матричным элементом
.амплитуды колебаний осциллятора; следовательно, вероятность перехода
Пропорциональна 0021, а не 0021+1:
3) радиус ядра R входит в степени 1 1 вместо 1; элеRтричеСRИЙ диполь
ный момент и==1) вообще равен нулю.
6. Перехооы .меж:оу пиаши.ми уровня,м,и ядер
491
,
F
I
У:казанные различия MorYT быть объяснены тем, что модепъ тидкой
fшпли и модель независимых частиц Представляют собой два противо,.
полощвых аспе:кта ядерной динами:ки. В первой модели двитение нуtшонов
жазывается сильно :коррелированным, во второй нуклоны совершенно
независимы.
Сильная корреляция движений нейтрона и протона независимо от
используемой модели о:казывает чрезвычайно большое влияние на верояt
ность дипольных пере ходов метду низшими уровнями ядра. Мы по:кажем,
'Что предположение о существовании заметной Порреляции между движе
пиями нейтрона и протона приводит n уменьшенnю вели'Чиll элеnтри'Чесnих
Qиnoлыl!хx MOMellmoe QI, т, делая их зllа'чителыlo меньше оценnи (6.6) (по MO
(}ели llезависимых 'Частиц) 1. В модели тидкой I\апли, являющейся при
мером крайне 'сильной корреляции, дипольные моменты полностью исчезают.
Уменьшение дипольных моментов мотно понять, рассмотрев излучение,
ИМПУCRаемое системой одина:ковых зарядов, например ядра, состоящеrо
только из протонов. У такой системы центр зарядов совпадает с центром
масс. Та:к ка:к центр масс остается IJ ПОI\ое (отдачей ядра при испускании
1 :КBaHTa в этой rлаве пренебреrается), то каждому заряду, двишущемуся
. вправо, соответствует заряд, двитущийся влево. Следовательно, в та:кой
истеме дипольный момент всеrда равен нулю. Это справедливо :ка:к для
математическоrо ожидания Q в любом состоянии, так и для матричноrо
элемента, отвечающеrо переходу между двумя различными СОстояниями
системы.
Если предположить, что соседние участки ЯдерНО1'0 вещества движутся
совместно, аналоrично пото:ку жидкости, то радиационные эффекты, OTBe
чающие этим движениям, будут аналоrичны случаю двитения частиц с оди
на:ковым зарядом, причем «эффективный» заряд I\атдой частицы равен
.е' === (Zj А) е. ТаI\ая система вообще не ИСПУСI\ает дипольноrо ИЗЛУЧ,ения.
Следовательно, если подобные модели заI\ОННЫ в :качестве первоrо прибли
жения для описания внутриядерноrо двитения, то эле:ктричеСI\ие диполь
ные моменты долтны быть rораздо меньше получающихся из формулы (6.6)
при l == 1.
Из с:казанноrо видно, что следует ожидать значительно меньших вели
чин эле:ктричеСI\ИХ дипольных моментов по сравнению с преДСI\азываемыми
оценкой (6.6). Необходимо ПОДЧер:кнуть, что у:казанные aprYMeHTbl непри
менимtr I\ электрическим мультипольным моментам более BblCOI\Oro поряд:ка.
Связь между оператором, входящим в Qlт, И оператором координаты центра
масс существует толь:ко в специальном случае 1 == 1. Эти а pryмeHTbl непри
менимы танте и I\ маrнитным мультипольным моментам; в этом случае фор
мулу (6.3а) вместе с формулой (6.6) мотно использовать для всех значений
1, вfJ,Лю'Чая 1 == 1.
Б. Экспериментальный материал; изомерия атомных ядер 2)
Было обн'аружено большое число пере ходов Между энерrетичеСI\ИМИ co
стояниями ядра, сопровотдающихся испусканием эле:ктромаrнитноrо излу
чения или электронов внутренней конверсии. Большая часть та:ких раДИа
ционных переходов следует за распадом, в результате HoToporo ядро про
ду:кт остается в возбужденном состоянии, :ка:к изображено на фиr. 114.
Возбужденные состояния ядра MorYT возникать таюне в результате неупру-
rих стол:кновений и ядерных реакцпй, при :которых :конеЧное ядро остается
r
1) Впервые объяснение малости электрических дипольных моментов было дано в ра-
,боте Миrдала [ЖЭТФ, 15, 81 (1945)]. Прu,м,. перев.
2) См. также М. И. R о Р с у н с к и й, Изомерия атомных ядер, М., 1954 и
Л. в, r р о III е в и И. С. III а пир о, Спектроскопия атомных ядер, М.
j952. При,м,. пер,!/<.
ТЛ. XII. Вваи,м,оОействие .яДер с вмттро,м,аепитпы,м, ивлучепие,м,
возбужденным, или путем электромаrнитноrо возбуждения (поrлощеnие-
l лучей).
Вероятность перехода трудно измерить, если время жизни возqутден
Horo состояния чрезвычайно мало « 10 Э сек). Однако I>-теХ случаях, коrда
момент количества движения возбутденноrо состояния достаточно сильно
отличается от моментов количества движения всех более низких состояний,
блаrодаря сильной зависимости вероятности перехода от [ MorYT встречать
ся большие времена тизни. Действительно, в случае мультипольноrо излу
чения порядка [==3 или выше оценки (6.8) и (6.9) дают времена жизни, пре
вышающие 1 сек., если эnерrия
излучения порядка расстояния меж
ду низшими уровнями ядра (О, 1
0,5 Мэв).
Это обстоятельство является oc
новой теории изомерии атомных ядер,
развитой Вайцзенкером. Долrотиву
щие возбужденные состояния ядер
были найдены очень давно, и Вайц
зеКRер [784] выдвинул rипотезу, co
rласно RОТОрой такие состоянИя MorYT
представлять собой первые (над OCHOB
ным) возбутденные состояния, MO
мент количества движения которых
/ весьма сильно отличается от MO
мента количества движения /0 OCHoBHoro состояния. При этих условиях испу
скаемое излучение долтно быть порядка [== I / /o 1 или [== I / /o 1+ 1
(см. табл. 24).
Почему же в таком случае в лабораторных условиях не наблюдаются долrОЖIf
вущие изомерные электронные состояния атомов?
Атомы имеют большое число возбужденных состояний, а их энерrия может BЫ
делиться только в результате испускания мультипольноrо излучения более BblcoKoro
порядка, нежели обычное мультипольное излучение (электрич€ское дипольное). Дело
заключается в том, что в лабораторных условиях атомы не изолированы, а испытывают
частые столкновения друr с друrом, причем средний промежуток времени между двумя
СТОЛIшовсниями зависит от даВЛЕНИЯ. Атом, находящийся в одном из таких состояний,
может потерять возбуждение при столкновении с друrими атомами. Таким образом,
среднее время жизни мсжду двумя столкновениями определяет верхнюю rраницу ДЛJJ
времени жизни атомов, испытывающих радиационные переходы, отвечающие большому
времени жизни, с которыми конкурируют процессы столкновения. В связи с этим радиа
ционные переходы становятся более редкими, и их трудно обнаружить. Эти сильно за
прЭщенные линии оказываются более интенсивными в спектрах некоторых звезд и TY
манностей, так как давление там rораздо ниже наилучшеrо вакуума, достижимоrо в зем
ных условиях, и среднее время жизни между столкновениями атомов соответственно
сильно возрастает. Столкновения между ядрами оказываются совершенно Несуществен
ными, так как ядра защищены друr от друrа электронными оболочками и при сближении
в любом случае испытывают электростатическое отталкивание. Поэтому нерадиационные
переходы ядер оrраничиваются явлением внутренней конверсии. '
11
: ) ЭнераетUl/еСJ<uе
уровни ядра-
пpoдYKтa
а
Фи r. 114. -Распад может непосредствен-
но приводить к образованию ядра продук-
та в основном СОСТОЯНИИ а; однако ядро-
продукт может оставаться и в возбужденном
состоянии в. В таком случае возбужденное
ядро испускает ""(-лучи или элентроны
внутренней конверсии.
Оценки (6.8) и (6.9) вероятностей переходов подлежат проверке путем
сравнения с эн:спериментальным материалом. Для проверки необходимо
знать кан вероятность перехода, так и тип и порядок мультипольности каж
доrо перехода. Порядок и тип мультипольности ИЗJIучения можно в прин
циие получить из измерений коэффициентов внутренней конверсии для раз
личных элеRТРОННЫХ оболочек; для определения этих величин мотно исполь
зовать абсолютную величину коэффициента конверсии, а такте отношение
коэффициентов Rонверсии на К и на L-оболочках. К соталению, точный Teo
ретический расчет коэффициентов RОнверсии еще не завершен. В настоя
щее время (1951 r.) с необходимой ТОЧнОстью подсчитаны только коэффипиен
ты внутренней конверсии на К оболочке для энерrий, превышающих 150 'Кэ(t
6. Переходы ,м,еж:оу 'Н,uаши,м,и УРО6'Н,я,м,и яоер
493
1642, 6451. Поэтому все еще нельзя полностью исполь;wвать эти прямые
метоДЫ определения мультипольности.
Тип и порядок мультипольности можно также вывести из значений спи
нов и четностей начальноrо и :конечноrо состояний ядра. Спин OCHoBHoro
.состояния в общем случае извеС'l'ен, 'одна:ко спин возбужденноrо состояния
измерен толь:кО в очень небольшом числе случаев. Правда, во мноrих случаях
за:ключения относительно спинов и четностей состояний можно получить
из анализа распадов или ядерных реа:кций, при водящих н интересующему
нас состоянию. Ншюторые сведения дает та:кже изучение уrJJОВОЙ J{орреля
ции направлений испус:кания :каскадных 1 :КBaHTOB. В общем случае при по
мощи имеющихся в настоящее время методов тип и порядок МУJIЬТИПОЛЬНО
'сти удается надежно установить только для относительно небольшоrо числа
радиационных переходов.
В табл. 25 собран ряд хара:ктерных елучаев, для у{оторых, повидимому,
'установлена природа радиационноl'О перехода 1 ). В ней содержатся теорети
чес:кие оценн:и времени тизни начальных состояний этих переходов, pac
читанные при помощи вероятностей радиационных переходов (6.8) и (6.9).
Теоретические значения времени жизни сравниваются с ЭJ{сперименталь
ными.
Поведение эле:ктричес:ких пере ходов ОI{азываетСЯ близким :к отидае
МОМУ. Э:кспериментальные значения времен жизни у этих перехоДОВ иноrда
<Jтличаются от теоретичес:кой оцен:ки [на основе (6.8)1 почти в 100 раз. Это,
по видимому , означает, что в случае эле:ктричес:коrо :квадрупольноrо излуче
ния имеются переходы, 'оказывающиеся более :корот:коживущими, чем пред
о('.казывает теория. Наличие та:ких переходов может быть связано с некоторым
<Jтклонением от модели независимых частиц, ответственным за большую вели
'чину статическоrо :квадрупольноrо момента у ряда ядер. В табл. 25 имеется
Bcero один пример эле:ктричес:ких дипольных переходов, причем он относится
н леr:кому ядру N13. Теоретическая оценка времен тизни, ПОВИДИМОМУ, xo
рошо соrласуется с экспериментом; действительно, более детальные pac
четы .[7391 при водят к соrласию в пределах мнотителя 2. Следовательно,
в этом случае нет уназаний на то, что ДИПОЛЬRЫЙ мОмент о:казывается значи
тельно меньше предсн:азываемоrо соотношением (6.6). Этоrо, одна:ко, следует
<>жидать, так :ка:к в рассматриваемом случае протон в Nl 3:крайне слабо связан
о('. остатком С12, причем верхнее из рассматриваемых состояний энерrетичес:ки
нестабильно по отношению к испусканию протопа. Таким образом, протон
проводит значительную часть времени за пределами с а , и, следовательно,
.ето движение может быть хорошо апрон:симировано движением индивидуаль
ной частицы в потенциальной яме. Теоретичес:кое обоснование аномально
малых эле:ктричес:ких дипольных моментов в основном применимо толь:ко
н более тятелым ядрам; однано, :к сожалению, для таких ядер в настоящее
время нет подходящеrо ЭJ{спериментальноrо материала, :касающеrося элен
тричес:коrо дипольноrо излучения.
Маrнитные мультипольные переходы весьма хорошо соrласуются с oцeH
ной (6.9). В частности, маrнитные мультипольные переходы поряд:ка [==4,
.составляющие хорошо известную rруппу изомеров, обнарутивают удиви
тельно малые от:клонения от теоретичес:ких оценон:. Имеется большая
rруi:ша изомерных переходов, ноторым на основе модели ядерных оболочен
uриписывается мультипольность М4 (см. rл. XIV). Подобная идентифи:кация
не является столь же определенной, нан непосредственное подтвертдение
путем измерения ноэффициентов нонверсии. Поэтому тание переходы не YHa
.заны в табл. 25. Времена жизни всех этих изомеров очень хорошо соrла
суются с оценНОЙ (6.9) [372, 308, 5431. .
1) Более полная таблица ИЗ0мерных переходов составлена в работе [30R].
Ta6, иц/1, 25
I!ровер«а оценок времени жизни ( .8) и (6.9) 1)
в первом столбце приведены ядра. в ноторых происходят "( переходы. во втором анерrИIl
"(-лучей в Мэв. Следующие четыре столбца содержат даНные, использованные для определеНИIJ
иультипольности: ноэФФициент нонверсии на К-оболочне. . К, отношение ноэФФициентов HOHBep
спи на К и на L-оболочнах, спины Ji и J f начальноrо и нонечноrо состояния ядра соответствен-
но. В седьмом столбце уна за н порядон и тип мультипольности; 132 обозначает элеНТР!fчесний
мультипольный переход порядна 1 2, М4 маrнитный МУЛЬТипольный пере. ход порядна ( 4 и т. д.
ВОСJ,мой И девятый столбцы Содержат энспериментальные и теоретичесние значения периодов по
лураспада; теоретичесние значения получены из формул (6.8) и (6.9) с поправной на внутреННЮI<F
нонверсию. взятой по мере возможности И3 энспериментальных нозФФициентов нонверсии; радиуС-
ядРа предполаrаеТСII равным R I. 4. .'1.1/3. 1 0 13 см; большинство чисел ОНРУI'.лено до первой знача-
щей пифры. В поспеднем столбце приведено отношение теоретичесноrо и знспериментальноrо вре-
мен ЖИ3НИ дЛЯ нашдоrо случая.
Время жизни. сен.
Отноше-
ние тео-
ретиче-
cHoro
значенин
времени
ЖИ3НИ н
опытному
Ядро
п,",
Мэв
Тип
и поря-
дон
пере-
хода
опыт
К..
J.
t
Jj
.к
теория
А. 8леI<тричеСI<ие переходы
Nl3 2,38 1 1 81 7 .10 17 1.10-15 0,07
2' + 2'
Cd ll1 0,247 0,054 5,2 1 82 1 "10 8 8 .10 8 0,1
2
08188 0,137 0,35 0,6 2 О 82 5 .10 8 8.10 10 65
Hg1D7 0,133 0,53 0,3 83 3.10 8 7.10 B 5
H g 1D8 0,411 0,031 82 4 .10 10 <5.10 1l :;>8
J n 114 0,192 2 1 э4 3.104 4.106 0,008
рЬ 2О4 0,905 0,06 1,5 85 3.104 4.103 0,8
Ь. МаI'нитные переходы
Li7 0,478 1 3 М1 2 .1O 13 8.10-14 3
2' 2'
1 n 113 0,39 0,6 5,4 9 М4 2.104 6.103 3
. .2
I n l15 0,338 1 9 М4 6.104 2.104 3
5 2"
Хе 131 0,163 20 2,34 3 М4 2.106 1.107 0,2
2
Ва 133 0,276 2,4 3,2 I М4 1.105 1.105 1.
Ba l37 0,663 I 0,097 4,8 М4 2.102 1.102 1
1) Да нные. необходимые для определения му льтипольности и времен ЖИ3I1,И.. ВЗЯТЫ в ОСIIЩJНОМ
из сборнина [774]. RpoMe Toro, ИСПОЛЬЗ0вался ряд друrих источнинов. ДЛЯ N13 ИСПОЛЬЗ0ваны дaH
ные работ [379. 265, 737. 739]. Порядон мультипольности установлен однозначно. тан нац изуча
лась ноннерсия с обраЗ0ванием пар при зернальном переходе в С13. Приrшсывание начальному
состоянию Спина Ч2 основано на, измерениях протонной ширины 3Toro (cocTaBHoro) состояния.
Детальные теоретичесние подсчеты времени шизни С использованием подходящих волновых фунн-
ций протона в начальном и нонечном состояниях приводят н rораздо лучшему соrласию теорети-
чесних и знспериментальных значений. чем (6.8). Для друrих ИЗ0ТОПОВ использованы следующие
работы: Cdlll ([630. 496]. частное сообщение М. rольдrаоер). 0з186 [534, 497. 4991. HgID7, [268.
383]. Hg19R (частное сообщение Белла). Li 7 [379. 208. 209. 636, 482/; приписывание начальному
· нонечному состояниям одинановой четности определяется долей К-захвата в Ве7, Inl14 [631],
Inl15 [40] (данные о -распаде дают неноторые сведения относительно спина начальщ)rо СОСТОЯ-
..Я), Ва137 [761].
495
6. Перехооы J4е:ж:ду ftиашиJ4и уровМJ4и яоер
Переходы, наблюдающиеся у ядра Li 7, иллюстрируют сделанное ранее
замечание относительно запрещенных по четности переходов. П равила OT
бора допускают маrнитное ДИпольное и электриче.ское квадрупольное излу
чения LP. Однако'теоретические оценки вероятностей переходов показывают,
что переходы происходят в основном путем испускания маrнитноrо диполь
ното излучения, а электрическое квадрупольное излучение испуснается не
более, чем в 0,01 % всех случаев распада. Это является весьма типичным для
,запрещенных по четности переходов. Имеется большо число примеров пре
имущественноrо испускания маrнитноrо излучения (см" например, [372]),
и до сих пор не найдено ни одноrо исключения. Поэтому мотно пред
положить, что б6.льшая 'Часть ради.ационных переходов между низшими ypoв
нями ядра происходит путем испуспания му.льтипо.лЬНОЗ0 из.лу'Чения Haи
низшеео порядпа 1, разрешенноео прави.лами отбора, при 'Чем из.лу'Чение
яв.ляется э.лептри'Чеспим и.ли мазнитным в зависимости от иЗменения 'Четно
сти при ядерном переходе.
'о:.
Приведенные в табл. 25 вначения, так же как и друrие экспериментальные данные
покавывают, что маrнитные переходы имеют меньшие времена живни, чем дает оценка
(6.9), в то время как электрические переходы имеют большие вреМЕ'на жив ни по cpaBHe
иию с оценкой (6.8), ва исключением некоторых переходов типа Э2. Следовательно, при
одних и тех же энерrиях переходов пФ электрические и ыаrнитные переходы одинаковой
мультипольности 1 Чрf'ввычайно бливки друr I друrу (в пределах множителя 100) по cpaBHe
иию с временами живни в случае переходов равличной мульт-ипольности l' =1= 1. Это приводит
К rрубому эмпирическому правилу для классификации ивомеров по rруппам: каждой rpYIl
пе соответствует определенный порядок мультипольности [308]. Такая классификация
была впервые эмпирически проделана в работе [19]; однако в этой работе испольвовалась
иная теоретическая интерпретация равделения по rруппам. Хотя подобное ра деление
является чреввычайно приближенным, оно, тем не менее, полевно для быстрой ориенти
РОВКИ И в ряде случаев по воляет предскавать свойства новых ивом<>ров.
В то же время следует отметить, что оценн:а (6.10), полученная на OCHO
ве модели тидкой капли, оказывается в rораздо худшем соrласии с экспе
риментальными временами тизни.
Существование низших, долrотивущих (изомерных) состояний является
для большей части периодической системы исключением, а не правилом.
В общем СJJучае первое возбутденное состояние ядра не обнаруживает
значительноrо ОТJJИЧИЯ по спину И четности от OCHoBHoro состояния и
явление изомерии не наблюдается. Таким образом, любой анализ, OCHOBЫ
вающийся, в основном, на данных, связанных с изомерией, имеет дело
с долrоживущими состояниями. Относительно короткотивущих состояний,
к сожалению, имеется чрезвычайно мало данных. 'у некоторых очень тяже
лых Злементов найдены первые возбужденные состояния, распадающиеся
как с испусканием а. частиц, так и l лучей. В этом случае вероятность радиа .
ционноrо перехода мотет быть получена при помощи ОТНОСИТельнОй вероят I
ности испускания lI частиц и I KBaHTOB и оценки времени тизни по отноше
нию к а. распаду, приведенной в rл. XI. Анализ l излучения ТЬС' и RaC'
ПОказал, что вероятность радиационноrо перехода имеет порядок 1012 сек. 1
для энерrии NШ порядка 1 Мэв [56]. Соrласно приведенным здесь оценкам,
, эти переходы являются в основном маrнитными дипольными или электриче
скими квадрупольными.
В настоящее время имеется относительно мало доказательств существо
вания электрических дипольных переходов метду низшими уровнями ядра.
Существует ряд данных, ОТНОСЛlЦихся к леrким ядрам (ядро N13, повидимо
му, является лучшим примером) и несколько подобных случаев наблюда
лось у Тс Э6 [5301. Нроме Toro, соrласно частному сообщению М. I'ольдrабера,
ИСПОльзование метода Бете в случае более сильно B yтдeHHЫX состояний
Ядер, испытывающих а. распад, приводит к вероятностям l переходов по
рядка 1014 ceK. l, что может соответствовать электрическому дипольному
"
-'496
l'л,. Х//, Вааи,м,ооействие яоер .с ЭМiхтро,м,аеН,итН,ы.м иал,учеН,ие,м,
,излучению. Однако следует указать, что эта катущаяся снудносТь электри
чесн:их дипольных переходов не является истинной. Нак правило, эти пере
ходы имеют настолько короткие времена жизни, что их нельзя обнарутить
при помощи современной измерительной аппаратурьi; коэффициенты BHYTpeH
ней нон версии танте очень малы, и точное измерение этих ноэффициентов
,стало возмотным только в настоящее время. Поэтому мотно отидать, что
продолтение Э!{спериментальной работы приведет к обнаружению большоrо
'числа примеров электричесноrо дипольноrо излучения. Напомним, что Teo
ретическое рассмотрение, проведенное в S 6, А, указывает на аномально боль
шое время тизни [по сравнению с оценкой (6.8)] в случае таких переходов.
'Отсюда, однако, не следует, что электричtJские дипольные переходы долтны
,совершенно отсутствовать; просто им долтно отвечать большее время тизни.
В модели ядерных оболочек (см. rл. XIV) дипольные переходы метду
яизшимд состояниями ядра долтны ПОЛНОС'fЬЮ отсутствовать [528].
,Соrласно этОй модели, любые два низших состояния, различающиеся MOMeH
тами J на единицу, имеют одинаковую четоость. Вследствие ЭТО1'0 электриче
'ские дипольные переходы метду такими состояниями исключаются прави
.лами четю;)сти.
В. I\орреляции направлений испускания каскадных ramma-квантов 1)
Интересно рассмотреть корреляцию направлений испускания двух l-кван-
тов, испускаемых в результате каскадных переходов а.......,. Ь, Ь.......,. С. Проиллю-
,стрируем существование корреляций простым примером. Предполотим, что
три состояния а, Ь, с (Ea>Eb>EJ имеют следующие
спины: I""a==Ib==O, Ic==1. В этом случае происходит
два дипольных н:аскадных перехода, как показано
на фиr. 115. В случае перехода а.......,. Ь три возмотных
значения Дт== +1, О, 1 имеют одинаковую верояТ
ность. Однано в случае дт==О за переходом а.......,. Ь
долтен следовать переход Ь.......,. с с дт==О, в случае
дт == ::1: 1 последующие значения дт == =t= 1.
'Уrловое распределение для катдоrо из этих
переходов определяется соrласно (3.16). Оказывает
ся, что в случае электрических дипольных перехо
дов интенсивность в направлении в, Ф равна
u (В, ф) dQ == С (1 СОБ 2 В) dQ для дт == О,
И(В, ф)dQ ==-f(1+соs 2 В)dQ для Дт==::!:: 1. (6.11.)
. I a, = т e
состОЯ'luе
у. э.8.
. Ь, lb=t, нечетное
,1 'У. э состояние
I'a.
, с, /с= О, четное
состояние
'ф иr. 115. Два последо-
вательных перехода од-
Horo и Toro же ндра,
'приводнщие к уrловой
.J\оррелнции в направле-
НИИ испускания I KBaH'
тов.
Эдесь С "постоннная, не зависящая от уrлов. Из формулы (6.11) следует,
что, поскольку суммирование по трем возмотным значениям m при водит
к постоянной величине, первые кванты будут испускаться сферичесни сим
метрично.
Выбор оси z вполне произволен. Он определяет полярную систему
}{оординат, а такте подсостояния Bbcт==1,O, 1. Не теряя общности,
в качестве направления оси z мотно выбрать направление испускания пер
Boro I KBaHTa. В этом случае первый переход не мотет привести н состоя
нию Ь с маrнитным нвантовым числом т==О, так нак дипольное излучение
{ дт==О не соответствует испусканию какоrо либо излучения в направлении
'оси z [см. (3.18)]. Поэтому первому переходу а.......,. Ь долтно отвечать дт== ::1:1.
1) См. танже обзор F r а u е n f е 1 d е r, Annual Review of Nuclear Science, 2, 129
1953) и.п. в. r р о m е JJ и И. С. III а пир О, Спрктроскопин атомных ядер, М.,
1 952. . Прu.м. перрв.
6. Перехооы m-е:J1CОУ низшими уровнями ядер
497
Второму пе,реходу Ь с должно соответственнО Отвечать Дт== =t= 1. Любой
из них при водит R уrловому распределению, описываемому второй форму
лой В (6.11). Следовательно, мы нашли, что направление испуСRания BToporo
T HBaHTa не произвольно, а является статистичеСRИМ распределением, опи
сываемым следующим заRОНОМ 1):
W (612) d9 == 1 11: (1 + СОБ 2 612) dQ, (6.12)
rде W(812)dQ вероятность Toro, что. направление вылета BToporo I I{BaHTa
заRлючено в элементе телесноrо уrла dQ ОRОЛО уrла 8]2' отсчитываемоrо по
отношению R направлению испуСJ{ания первоrо T HBaHTa (ось z). СО1'ла
сно (6.12), вероятность ИСПУСRания двух Y HBaHTOB в одном и том же напра
влении в 2 раза больше вероятности ИСПУСRания их под прямым уrлом по
отношению друr I{ друrу; ИСПУСRание в том те самом и в противоположном
направлениях рапновероятно.
Рассмотренный здесь пример представляет собоЙ специальный случай
двух наснадных l перехоДОВ. В общем случае уrловая норреляция зависит
от ПОрЯДI{а мультипольности двух испусн:аемых T HBaHTOB, а тат{же от зна
чений спинов 1 всех трех состояниЙ. Исследование татшх уrловых J{oppeJJJI
циЙ в целях спеRТРОСН:ОПИИ ядра было предложено в работах [199, 341].
Ожидаемые J{орреляции, а таRже ЭJ{спериментальные результаты можно най
ти в работах [341, 299, 97, 213, 766].
В процессе упрощенноrо вычисления мы предполаrали, что промежуточ
ное СОС'rояние ядра Ь имеет достаточно у\Оротное время жизни, тю, что в про
межуТОR времени между ero образованием и ИСПУСJ{анием BTOpOI'O I IШЮIТа
это состояние не возмущается внешними условиями. Это может О!{а;заться
несправедливым для состояниЙ, испуСI{аюIЦИХ мультипо.льное излучение
BblcoRoro ПОрЯЦI\а l. В таком случае уrловая I\орреляция ОRазьшается в об
щем более слабой, чем рассчитанная на основе простой теории [5], и, нроме
Toro, может изменяться под влиянием внешних условий (например, при
наложении внешнеrо маrнитноrо поля).
При вычислении выратения (6.12) мы не воспользовались типом пред
полаrаемоrо дипольноrо излучения (ЭЛOI{тричеСI\Ое или маrнитное). В S 3, Б
было ПОRазано, что уrловое распределение ИСПУСRаемых I HBaHTOB не зави
сит от четности излучения. Следовательно, изучение уrловой норреляции
дает сведения относительно имеющихся моментоВ Rоличества движения, но
не относительно четностей. Свед.ения относительно четностей мотно полу
чить, измерив поляризацию, по Rрайней мере, одноrо из двух I HBaHTOB
[212, 343]. ТаRие опыты были проделаны в работе [533], причем результаты
находятся в хорошем соrласии с теоретичеСRИМИ преДСI\азаниями и с друrи
ми измерениями (см. [97]).
Дополнительное усложнение ВОЗНИRает в случае запрещенных по чет
ности переходов, при ноторых ЭЛeI{тричеСI{ое (l+ 1) и маrнитное (l) излуче
ния имеют сравнимые интенсивности [478, 845]. Однан:о оцеНl{И (6.8) и (6.9)
предполаrают, что запрещенные по четности переходы с энерrией пш, не
превышающей неСRОЛЫ(ИХ Мэе, в основном являются маrнитными с очень
небольшой (менее 1 %) примесью ЭЛeI{тричеСRИХ переходов ПОрЯЦI\а l +1.
Повидимому, «смешанные» переходы rораздо менее вероятны, чем это пред
полаrалось в литературе.
Теоремы относительно уrловоrо распределения продун:тов реющии при
ядерной реаRЦИИ (см. rл. Х) были получены применительно I{ рассматривае
мому здесь случаю в работе [834]. Мы не будем приводить их ДОI\азательств,
1) ПОСТОЯlшая 3/16 11: служит для нормирош{и полной пероятности ИСНУСI{ЮIИЯ вто-
poro 'ршапта: W (OI2)dQc==1.
32 Занаа;N', 396
rл,. XII. Вааи.мооействие яоер с эмттро.маенuтны.м uал,учение.м
так как они вполне аналоrичны доказательствам, приведенным в rл. Х, S 3'
в случае ядерных реакций. Результаты таковы:
1) уrловая корреляция направлениЙ испускания двух каскадных T KBaH
тов описывается полиномом, содертащим нече'];ные степени СОБ 812;
2) наивысшая степень полинома меньше или равна 2l 1 , а такте меньше
или равна 2l 2 , rде l1 и l2 порядки мультипольности (моменты количества
движения) т излучения;
3) наивысшая степень полинома должна быть такте меньше или равна
2Ib' rде Ib момент количества движения промежуточноrо состояния ядра.
Если состояние, испускающее T KBaHT, образуется в результате испуска
ния частицы из друrоrо (cocTaBHoro) ядра, то возможна уrловая корреляция
направлениЙ испускания этой частицы и I I{Ванта. Рассмотрим проетоЙ при
мер: предположим, что исходное состояние cocTaBHoro ядра имеет спин Ia == О
и что спин конечноrо ядра в возбужденном состоянии Ь 1 ь == 1, в то время
как спин OCHoBHoro состояния Ic == О. Предположим такте, что частица не
имеет спина (например, является lI частицеЙ). Соотношение метду спинами
совпадает с полученным в предыдущем примере испусканием двух I KBaHTOB.
Возможны три схемы распада, в соответствии с Подсостояниями Ь
(т == 1, О, 1). Если испускание частицы отвечает подсостоянию т, то для
выполнения закона сохранения момента количества двия,ения испускаемая
частица долтна описываться волновой функцией
R(r) УС т(8, ф)
K
(первоначально момент количества двитения равнялся нулю, и поэтому
сумма проекциЙ на ось z моменто'В количества движения I\Онечноrо ядра
в состоянии Ь и испускаемоЙ частицы долтна обращаться в нудь). 'Уrловое
распределение частиц дается 1 У 1 , т [2:
И,,-(8, фУ==Ссоs 2 8 для Дт==-О,
Ио.(8, ф)== Csin 2 8 для Дт :::f::1.
(6.13)
.
;1:
.
;
r
Оно отлично от уrловоrо распределения т из.лучения, испускаемоrо в резуль
тате соответствующих переходов. Следовательно, получается иная уrловая
корреляция направлений испускания частицы и последующеrо I KBaHTa.
В качестве оси z мы снова выберем направление движения частицы. В этом
случае MorYT происходить испускания частиц, отвечающие только !:: т == О,
так как Y 1 .:l:l(8==0)==0. Следовательно, соrласно (6.11), уrловое распре
деление T KBaHTOB имеет вид С (1 СОБ 2 8). В противополотность (6.12) мы
получаем
w (812) dQ == ;л sin 2 812 dQ,
(6.14)
'.
('де 812 уrол между направлениями испускания частицы и T KBaHTa.
П роведенное здесь упрощенное рассмотрение выполнено для случая,
ноrда испускаемая частица не имеет спина. Следовательно, оно применимо
1\ уrловоЙ корреляции в случае, если испусиание lI частицы Приводит и об
разованию возбужденноrо с.остояния н:онечноrо ядра. Такие уrловые иор
реляции наБЛlOдались при ядерных реакциях [12, 636]. Подобные измере
ния имеют большое значение для ядерной спеКТрОСI\ОПИИ.
Общие теоремы работы [83/1] применимы и .в этом случае, если под l1
понимается момент количества двитения вылетающеЙ частицы. Аналоrич
ные соотношения MorYT быть получены для уrловых корреляций частиц
и последующих I KBaHTOB [214], а таите электронов внутренней конверсии
и последующих (или предшествующих) I KBaHTOB [479, 47, 288, 289, 255,
483 487, 215, 205, 709].
':
7. Перехооы 8 случае сuлыtо 80вбу:жденных состояний
499
7. ПЕРЕХОДЫ В СЛУЧАЕ СИЛЬНО ВОЗБУЖДЕННЫХ СОСТОЯНИЙ
А. Общее рассмотрение
Радиационные переходы, в которых участвуют сильно возбужденные
состояния, иrрают ватную роль в случае двух явлений: при радиационном
захвате нейтроноВ и при ядерном фотоэффекте. В первом случас нейтрон за
хватывается ядром мишени и происходит образование cocTaBHoro ядра, Ha
ходящеrося в возбутдснном состоянии, энерrия возбуждения KOToporo Е
равна Е == E+S n , rде Е I{Инетическая энерrия нейтрона!), а Sп энерrия OT
деления неЙтрона от cocTaBHoro ядра. Из этоrо состояния совершаются pa
диационные переходы в более низкие состояния. до тех Пор, пока не будет
Нейтрон,
влетающий
8ЯОРО
I Bn
Нейтрон,
вылетающий
usядра
...............
Bn
hШ,
hШ z
hШ э
Ео
Ео
ф и r. 117. Схематиче-
ское юшбражение ядер-
Horo фотоэффеI{та с ис-
пусканием нейтрона
[реанция (-'(, п)).
Фи r. 116. Схематическое изо-
брал{ение раДИRционноrо захвата
нейтрона.
ЭнерrИR воабуждеНИR тернетсн путем
последоватеЛЬ1l0rо испуснаНИR 2 3
"(-нвантов.
достиrнуто основное состояние. Экспериментальные данные, полученные на
элементах среднеrо веса и на тятелых элементах, показывают, что при за
хвате медленноrо нейтрона происходит каскадное испускание примерно двух
или трех I KBaHTOB [549, 432].
При ядерном фотоэффекте ядра облучаются т-лучами с энерrией nоо,
превышающей энерrию отделения одной из составных частей ядра (нейтрона
или протона); T KBaHT поrлощастся, и образовавшсеся вовбужденное состоя
ние распадается с испуснанием частицы. Ядсрный фотоэффCIП представляет
собой ядерную реакцию под действисм т }шантов. В этом случае радиацион
ные перехоДЫ происходят между основным и возбутденным состояниями;
энерrия возбутдения послеДНel'О выше энерrии отделения Sn (см. фиr. 116
и 117).
Точное теоретичес}{ое описание этих процессов оказывается невозмож
ным, поскольку вероятности радиационных переходов MorYT быть под
считаны только в том случае", коrда известны волновые фуннции ядра.
1) CTporo rоворя, Е являrтся энерrией относительноrо движения нейтрона и ядра
мишени в системе центра масс (<<энсрrия канала» в rл. VH!). Отдачей ядра при поrлоще-
нии "(-нванта здесь пренебреrается.
32*
! "
'.....
,
t.
r
l'
l'
[:
500 rл. XII. Вааu.мооеuстеие ядер с алектро.маенuтны.м uалученuе.м
Мы рассмотрим ряд методов, которые MorYT быть .использованы для распро
етранения сделанных в S 6 оценок вероятностей переходов на область более
высоких возбутдений.
При описании обоих процессов мы воспользуемся предполотением Бора,
т. е. будем считать, что ядерную реакцию мотно разбить на две независимые
стадии: 1) образование cocTaBHoro ядра и 2) распад cOcTaBHoro ядра, сопро
вождающийся испусканием частицы или T KBaHTa. В случае этих процессов
радиационный переход представляет собой лишь одну из двух стадий: при
радиационном захвате нейтрона T KBaHT испускается составным ядром, при
ядерном фотоэффекте поrлощение I KBaHTa при водит к образованию COCTaB
Horo ядра.
Нан: в первом, тю, и во втором CJIучае составное ядро образуется в co
Стоянии с энеР1'ией возбуждения, llревышающей эперrию отделения накой
либо ядерной частицы. Следовательно, это еостояние не является в CTpOI'OM
смысле стационарным, а скорее представляет собой «распадающееся co
стояние», определенное в rл. VHI, S 9. В дальнейшем мы всеrда будем pac
сматривать эти сОстояния cocTaBHo1'0 ядра IШК стационарные, хотя тю,ое pac
смотрение является в значительной степени незан:онным в случаях, н:оrда
энер1'ИЯ возбуждения настолько велика, что расстояние между уровнями
состаШI01'0 ндра оказывается меньше их ширины.
Б. Правила еум:м
Величина матричных элементов, отвечающих радиационным переходам,
()]'раничена определенными соотношениями, HOTopь e называются правилами
сумм. Эти правила нрименяются к сумме нвадратов матричных элементов,
отвечающих переходам между одним СОСтоянием ядра а и всеми прочими
стационарными Состояниями Ь. Простейшим правилом сумм является IIра
вило (3.36) для элентричесних дипольных матричных элементов.
Прежде чем вычислить правило сумм, введем «эффен:тивный заряд для
z
ДИПОЛЫlOrо излучению>. Оператор 2; Zj, в (3.36) пропорционален проекции
п 1
па ось Z радиус вентора центра масс всех иротонов. Центр масс всех пyп
.лоnов с проен:цией на ось Z, равной
z
G z == 2: Zk'
п 1
остается в ПОlюе (если пренебречь отдачей ядра при поrлоi:цении Т I\Ванта).
Следовательно, матричный элемент перехода для G z исчезает и вклад в
элентричесное дипольное излучение вносят тольн:о относительные ноорди
наты п == Zh G z . Поэтому, не меняя результата, можно заменить сумму в
(3.36) СJlедующим образом:
z z А
е Zh 7 е п == e!"zk'
1<==1 1<==1 1<==1
rде эффективный заряд е{, для дипольноrо излучения равен
ei, == е С 1 ) для протонов,
, eZ
el<== A
(7.1)
для нейтронов.
(7.2)
Эти эффективные заряды применимы только в случае электричесн:оrо диполь
Horo излучения, поснольну только для этоrо излучения существует матрич
ный элемент, связанный с оператором центра масс.
"'-
.,
. 7. Переходы е случае сильно еовбу:ж:оенных состояний
501:
Для вычисления дипольноrо правила сумм образуем матричный элемент
Pkz (а, Ь) составляющей по оси Z импульса НУRлона с номером k, отвеча
JOщий переходам метду состояниями ядра а и Ь. Оператор импульса прсд
ставляет собой массу НУRлона М, умноженную на оператор скорости, при
чем ПОСJJСДНИЙ является производной по времени от оператора Rоординаты
Zk. НУRлона. Тан:им образом, мы получаем
( Ь) iM (Eb Ea) ( Ь)
Pkz а, == 1i Zk а, .
(7.3)
Испол})зуя перестановочные соотношения
[Zk (а, Ь) Pk'z (Ь, а) Pk'z (а, Ь) Zk (Ь, а)] == inOk/<',
Ь
(7.4)
находим правило сумм
А
2:; (Е ь Еа) I QI.0 (а, Ь) 12 == 4: (ek? == :п е 2 .
ь k 1
Аналоrичные правила сумм применимы и R друrим элеRтрическим диполь
ным матричным элементам QI.т С т== +1 и т== 1.
Сумма должна распространяться на все энерrетичеСRие состояния Ядра.
CTporo rоворя, в нее вн:лючаются таRже состояния, относящиеся у, непре
рывному спеRТРУ, в ноторых ядро может испытывать распад, сопровотда
ющийся вылетом частицы 1). В данном рассмотрении для состояний, OTHO
сящихся R непрерывному спеRТрУ (располотенному выше минимальной
энерrии отделения Sa), будут использоваться представления О' составном
ядре. ТаRИМ образом, сумма в выратении (7.5) распространяется на все
связанные стационарные состояния ядра и, нроме Toro, на РЯТ( Rвазистацио
нарных распадающихся состояний, ноторые образуются в том случае, Rоrда
ядро возбуждается достаточно сильно для Toro, чтобы испустить частицу
(см. rл. VIII, Э 9). ПОСНОЛЬRУ эти состояния имеют Rонечные времена
тизни, они не являются cTporo стационарными. СлеТ(ОIЗательно, и правило
сумм, полученное таким путем, буТ(ет справедливым лишь приf)лижепно.
Волновая фунrщия J{аждоrо распадающеrося состояния должна быть HOp
мирована R единицс:
(7.5)
I 'Рь 12 d't == 1, (7.6)
с
rде ИНТel'рирование распространястся на область нонфиrураЦИОIПlOrо про
странства, соответствующую составному ядру, т. е. на область, в ноторой
все нун:лоны находятся в пределах радиуса cocTaBHoro ядра (< внутрснняю>
область в смысле rл. Х).
Друrое дипольное правило сумм можно вычислить, если использовать
следующее соотношенис для произведения матриц:
PkZ(a, b)Pk,z(b, a)==(a!pkzpk'zla)==(pkzPk'z)a' (7.7)
ь
правая часть ROToporo представляет собой математичеСRое ожидание опера
тора PkzPk'z В состоянии а. В этом случае из выратения (7.3) получаем
А
(Еь Еа)21 QI,o (а, Ь) 12 == 4 ( У < ( ek Pпz )2)а' (7.8)
ь k 1
1) Если сумма берется подобным обраЗ0М, то состояния, относящиссп К н('прерыв
ному спектру, должпы быть нормированы на единичный интервал энерrии и суммирова
ние для этих состояний ДОЛЛШО быть заменено интеrрировапием по непрерывной пере
мепноЙ энерrии [51].
502 rл. XII. Вааимооействие яоер с элет;тро.Atаенитны.At uвлучение.м
в противоположность первому дипольному правилу сумм (7.5) соотно--
шение (7.8) содертит не толыю универсальные постоянные, но также и
математическое отидание оператора (п 1 eit Pnz)" для ядра в состоянии а.
Это математическое отидание мотет быть найдено только в том случае,
если известна волновая фунн:ция состояния а. Однако ero мотно оценить,
предположив, что между импульсами не существует Rорреляции, т. е.
(PkzPk'z)a О для k =1= k', и считая все нвадраты импульсов равными друr
друrу:
( 2 \ р2
. Pkz/a :3 '
rде р2 средний нвадрат импульса НУRлона в ядре. Это дает следующую
оценку:
2: (Е ь Еа)2\ Q 1.0 (а, Ь) [2", 4 е 2 Z: ( п:; у .
ь
(7.9)
Если между нуклонами действуют обменные силы, то полученные
правила сумм должны быть изменены [261, 79, 221, 695, 770]. В случае
обменных сил происходит обмен зарядом метду нун:лонами, так что поло
жение заряда меняется быстрее, что полотение НУRЛОНОВ. Снорость зарядов
уже не совпадает со скоростыо частиц. ПОСRОЛЬRУ скорость зарядов больше
СRОрОСТИ частиц, то увеличатся танте и суммы (7.5) и (7.8). Приблитен
ное выражение для этоrо увеличения было вычислено в работе [47f>]. OHa
залось, что в зависимости от относительной доли обменных сил и paCCMa
триваемоrо правила сумм суммы увеличиваются множитель, имеющий чис
Jlенпое значение между 2 и 10. Эти мнотители MorYT слутить лишь в Ha
честве иллюстрации, JIОСН:ОЛЬRУ в процессе вычислений в работе [475] были
сделаны чрезвычайно существснные предположения.
Аналоrичные правила сумм MorYT БЫ1Ь вычислены танте для матрич
ных элементов, отвечающих переходам более ВЫСОRОЙ мультипольности
[780]. Все эти суммы подобны выражению (7.8), т. е. содертат в правой
части величины, усредненные по состоянию а, а не универсальные посто
янные, нан в выражении (7.5).
Оназывается, что
z
L [ Qtm (а, Ь) i 2 == е 2 <\ r Ylm (Вп' Фk) 12\.
ь k 1
(7.10)
Друrие правила сумм, дополняющие выратение (7.10), были вычи-
слены в работах [16, 657].
Кан и Прежде, можно оценить среднее значение (7.10), пренебреrая
Rорреляцией и предполаrая равномерное распределение НУRЛОНОВ внутри
ядра. Это дает
I Q ( Ь ) ,2 3 Ze 2 R2l
L.J lm а, i "' 2t+3 '
ь
(7,11)
rде R радиус ядра. Следует подчерннуть, что соотношение (7 .11) пред
ставляет лишь очень ерубую оценку, ПОСRОЛЬНУ имеется мало оснований
Предполаrать, что !шрреляцией между НУRлонами в ядре [и, следовательно,
переRрестными членами, НОЗНИRающими при возведении в нвадрат в (7.10)]
в действительности можно ПОJIНОСТЬЮ пренебречь.
., , ."...,
.i'-'1
7. Перехооы 8 случае сильftо 80вбу:жоеftftых состояftий
503
Н. Оценки матричных элементов, содержащих сильно возбужденные
состолнил лдра
Оценки (6.6) и (6.10) мультипольных моментов, отвечающих переходам
между двумя низшими уровнями ядра, были получены на основе простых
моделей. Оценка (6,6) вычислялась для случая двитения одной частицы
(модель независимых частиц), оценка (6.10) для случая колебаний' жидкой
капли. Подобные модели неприменимы для описания переходов, в I{OTOPblX
участвуют сильно возбужденные состояния (с энерrией возGуждения, пре
вышающей несколько Мэе), поскольку число уровней при больших энер
rиях возбуждения оказывается rораздо больше предсказываемоrо любой
из этих простых моделей. Поэтому возможно, что матричные элементы,
отвечающие отдельным сильно возбужденным уровням, окатутся значи
тельно меньше любой из OlleHOI{ (6.6) или (6.10), так как вероятности
переходов долтны распределиться среди rораздо большеrо числа уровней.
Необходимость уменьшения матричных элементов становится очевидной,
если в правило сумм (7.10) подставить претние оценки (6.6) и (6.10);
оказывается, что в этом случае сумма даже не сходится. Это уменьшение
матричных элементов, содержащих сильно возбужденные состояния, можно
проиллюстрировать на упрощенном примере. Предположим, что ядро
содержит только одну заряженную частицу, а все прочие частицы являют
ся нейтронами. Будем пользоваться двумя моделями 1 и 11. В модели 1
метду нуклонами отсутствует взаимодействие; нуклоны движутся неаави
симо друr от друrа в общем потенциале V, что ведет н равноотстоящим
энерrетическим состояниям, разделенным энерrетическим интерваJIOМ Д 1).
'Уровни системы как целоrо оказываются сильно вырожденными, тю{ как
полная энерrия N д может быть получена из энерrий индивидуальных
нуклонов n:), большим числом способов (N и n целые числа). В модели
11 между нуклонами имеется взаимодействие, однако оно предполаrается
достаточно слабым, так что уровень всей системы, лежащий при энерrии Е,
имеет волновую функцию, которая может быт.ь представлена в виде JIИ
нейной комбинации волновых функций, взятых из модели 1 длн уровней
с энерrией Е' == N:J., расположенных вблиаи Е.
Рассмотрим радиационные переходы в модели 1. Переходы осуществля:
ются между двумя уровнями, которые различаются только состоянием
протона, но тотдественны в отношении состояний всех нейтронов. Pac
смотрим два выротденных энерrетических уровня А и В соответственно
с энерrиями Е А и Ев, причем Е А < Ев. Для каждоrо уровня, входящеrо
в состав нитней rруппы В, комбинирующий с ним уровень в верхней
rруппе А можно найти простым (ЕА Ев)! Д KpaTHЫM перемещением про
тона вверх. Следовательно, каждый уровень нитней rруппы комбинирует
с одним уровнем в верхней rруппе, но не наоборот. Схематически это
изображено на фиr. 118. Обозначим матричный элемент для TaKoro пере
хода данной мультипольности через Q. Предполотим, что ero величина
в первом приближении остаетсн одной и той те для всех переходов,
возможных в модели 1, независимо от разницы энерrий Е А Ев, а ты,же
будем иrнорировать правила отбора. Столь rрубые предположении делаются
для Toro, чтобы рассмотреть лишь самую сущность вопроса.
Перейдем теперь к модели П, введя взаимодействие метду нуклонами.
Предположим вначале, что взаимодействие нвлнется достаточно слабым, так
что расщепление вырожденных уровней rруппы А остаетси малым по cpa
внению с энерrетическим расстоянием Д. НаЖДЫII уровень в ТaIЮЙ rруппе
1) В настоящ<'м обсужд<,нии мы оставля<'м т<,рмип «состояпиr» для сбозначrния KBaH
TOBoro состояния отдrльноrо нуклона в поле пОТРJЩfтала V и используем термин «урОВРllЫ)
для обозначения KBaHToBoro состояния системы как пслоrо.
, .,,"'"
, " .
"','.
,о'", '
;,.
; ":
;;{.< "
/ .
f:i,
504 Fл. XII. Вааи.модействие ядер с алех;тро.мавнитны.м иалу1tеНие.м
,
..
имеет по модели 11 волновую ФУНКЦИЮ, которая является линеЙноЙ KOM
бинациеЙ волновых функциЙ соответствующих вырожденных уровнеЙ
в модели 1. Будем считать, что эти комбинации таковы, что в среднем
катдыЙ из уровнеЙ, ВХОДящих в состав rруппы А, дает одинаковы й внлад.
Предполаrается, что аналоrичное положение имеет место и в rруппе В.
В таком случае переходы будут происходить между всеми парами уровней
этих двух rрупп, ибо каждыЙ энерrетический уровень в верхнеЙ rруппе А
содержит небольшую долю тех уровней модели 1, которые комбинируют
с соответствующими уровнями rруппы В. Пусть gA обозначает число ypOB
неЙ (степень вырождения) в rруппе А. Матричный элемент Q (а, Ь), OTBe
чающиЙ уровню а в rруппе А и уровню Ь в
rруппе В, rрубо rоворя, удовлетворяет COOTHO
А шению
IQ(a, b)12rv 9 .
gA
(7.12)
,
, .
Таким образом, квадрат матричноrо элемента в
первом приБЛИJкении обратно пропорционален
числу состояний в верхней rруппе уровней. OTMe
тим странную асимметрию по отношению к CTe
В пени вырождения в обеих rруппах.
Если теперь допустить, что взаимодеЙствие
между нуклонами в модели 11 возрастает, то
можно все таки думать, что соотношение типа (7.12)
будет rрубо качественно выполняться в том CMЫ
сле, что квадрат матричноrо элемента будет обрат
но пропорционален числу уровней вблизи pac
сматриваемоrо BepxHero уровня. «Вб.лизи» озна
чает в пределах данноrо постоянноrо энерrетиче
cKoro интервала в окрестности рассматриваемоrо
уровня, В этом случае мы можем сформулировать правило следующим
образом: квадрат .матрu'Чноео эле.мента, отве'Чающеео дву.м уровнл.м Еа
U Е ь , ерубо еоворл, пропорцuонален средне.чу расстоЛlШlO .между уровllЛ.мu
D (Е*) при энерrии, соответствующеЙ верхнему уровню. Мы ввели здесь
обозначение
Фи r. 118. Упрощенный
пример схемы уровней
(gA ==7, gB==3)'
в модели 1 уровни. входпщие
в rруппу А. вырождены. нан и
уровни в rруппе В. В модели
II вырождение снимаетсп в
обеих rруппах уровнеЙ.
Е* == Еа, если Еа> Е ь ,
Е* == Е ь , если Е ь > Еа'
Это обозначение введено ТaJ{ИМ образом, что Еа может обозначать пак
верхниЙ, тан и нижний уровень,
И3 предшествующеrо рассмотронип ясно, что это правнло является
толы,о Jшчественным. Сущность ero можно выразить при помощи следую
щеЙ записи:
(7.13)
<1 Qlт (а, Ь) !2)ср. == (jlт (Е а , EIJ)!J L (Е*),
(7.14)
rде в левоЙ части стоит средниЙ квадрат мультипольноrо матричноrо
элемонта, отвечающеrо переходам межд более низким уровнем и большим
числом веРХН,ихуровнеЙ, расположенных вблизи верхней энерrии Е 1(. ,
а п ! (Е*) представляет собоЙ расстояние между уровнями, расположенными
вблизи Е* и комбинирующими при помощи рассматриваемоrо мульти
польноrо излучения с более низким уровнем. В этом случае наше правило
приводит J{ предположению, что определеннап выражением (7,14) функция
q будет медленно меняющейся функцией энерrий Еа и Еь по сравнению
с чрезвычаiiно быстрым (ЭJ{споненциальным) изменением расстояния между
уровнями D (Е*) вблизи верхнеЙ энерrии.
\
s 7. Переходы в случае силыiO воабу;ж:денных состоянии
505
С друrоЙ стороны, подстаНОВl\а выражения (7.14) в правило сумм (7.10)
показывает, что q не может считаться постоянной величиноЙ. Предположим
для простоты, ЧТО Еа соответствует основному состоянию (Еа == О). В Этом
случае мы можем заменить сумму в выражении (7.10) JlHTel'paJlOM
(х) 00
1 Q/т (О, Ь) [2 <\ Qlт (О, Ь) 1 2 )ср. D f b) qtт (О, Е ь ) dEb. (7.15)
ь о О
Соrла(;но правилу сумм (7.10), последниЙ интеrрал должен сходиться,
т. е. функция ql должна спадать при больших энерrиях Еь. Используем
для суммы оценку (7.11) и предположим, что ql не зависит от Еь для Е ь ,
не превосходящих некоторой максима.ПЬНОЙ энерrии Еманс..l, а затем обра
щается в нуль. Это приводит К приближенному соотношению между вели
чиной ql (по предположению постоянноЙ) и энерrетическим интервалом,
в котором ql может считаться постоянной:
3 Ze 2 21
ql Еманс.,! "-' 2l + 3 R .
(7.16)
Приступим теперь к оценке величины q, сравнивая оценку (7.14), которая
считается приrодной при всех энерrиях, с оценкоЙ (6.6), rодной лишь для
переходов между низшими уровнями 1). Обозначая через по расстояние
между низшими комбинирующими уровнями, получим оцеИJ,У
( 3 ) 2 е2В2!
ql "-' l + 3 4тtп o '
(7.17)
Чтобы найти порядок величины максимальноЙ энерrии, для которой
ql может считаться постоянноЙ величиноЙ (7.17), подставим оценку (7.17)
в соотношение (7.16). Заменяя (l + 3)2/[3 (2l + 3)] единицей, получим
Е
манс.,! "-' Z
D .
о
(7.18)
Для ядер среДIlеrо веса (Z,,--,50) можно считать п,,--,О,5 JYJэв, что
дает Е манс . ,! "-' 25 111 эв, тю, что аамена rJt ПОСТОШIНоii llеШlчиноii (7.17)
МOIнет считаться оправданноЙ вплоть до энерrиЙ ТaIшrо порядна величины.
Следует подчеркнуть, что aprYMeHTbl, лежащие в основе этой ОЦС'IШИ,
в значительной степени неопределенны. Прежде Bcero чрезвычаЙно rрубоЙ
являе1СЯ оцеЮ\а (6,6); кроме Toro, правило сумм (7.11) было получено из
формулы (7,10) без учета корреляции. Таким образом, впОЛllе вО3.АtйжltЫ
отклонения от оqею.u максu.мальной эн.ереиu (7.18) в обе стОРОllЫ на 31Ш
чителыlюю величину. Оценка (7,18) приведена здесь только ввиду OTCYT
ствия более точных данных.
До сих пор все .наши оценки относились к электрическим мультиполь
ным переходам, Оценка отношения вероятностей маrнитноrо и ЭJlектри
ческоrо пере ходов, равная 10 (п/ и cR)2, но зависит от энерrии перехода .
Поэ'ТОМУ мы будем оценивать вероятности маенитных переходов, исхоТ\я из
предположения о том, ЧТО они меньше вероятностей ЭJlентричеСI,ИХ пере
ходов тоЙ же мультипольности l на постоянный множитель порядка 10 2.
Отсюда, в частности, следует, что оценка (7.18) для максимальной энерrии,
при которой оказывается эффективным излучение данной мультипольности,
приrодна и для маrнитноrо излучения.
1) Мы не пользуемся оцеlШОЙ (6.10), получспной по модели )Ю1Дной IШПЮf, посноль,
ну она дает худшее соrласие с опытом, чсм оцепна (6.6) и ПОСIЮЛЬНУ имеются лсснне оспо'
вания считать (см. rл. XIV), что модель независимых частиц дает лучшее приближсние
для волновых Фуннций низших состояний ядра, чем МОДСJIЬ жидной lШI!ЛII.
506 rл. XII. Вваи.модеиствие ядер с элептро.маенитны.м ивлучение.м
Необходимо, однано, отметить, что оценн:и (7.17) и (7.18) неприменимы
н элентричесному дипольному излучению, тан нан существуют уназания,
'что в этом случае оценна (6.6) не соответствует действительности.
r. Радиационный захват нейтронов
После попадания нейтрона в ядро и образования cocTaBHoro ядра
в ненотором СОСТОЯНИИ а имеется определенная вероятность r рад./h испус
нания (в единицу времени) T HBaHTa. Эта вероятность является суммой
,вероятностей всех переходов в состояния Ь составной системы, располо
женныо нюне начальноrо состояния а. Разобьем- излучение на внлады
'различных МУJlьтиполей:
(х)
r рад. (rEl + r Мl ), (7.19)
1==1
rде r El та часть радиационной ширины уровня а, ноторая отвечает ис
пуснанию элентричесноrо мультипольноrо излучения порядна l, а r Ml co
ответствующая величина для испуснания маrнитноrо мультипольноrо излу
чения. r El мотно записать в виде суммы парциальных ширин, отвечающих
:элентричосним мультипольным переходам порядка l на отдельные низшие
уровни Ь cocTaBHoro ядра,
r El == r El (а, Ь) при Е ь < Еа, (7.20)
ь
rде rщ (а, Ь) ОТJIИЧНО ОТ нуля только в том случае, если состояние Ь имеет
требуемую четность и момент количества движения, так что переход в это
состояние из состояния а может быть осуществлен путем испускания
элентрическоrо излучения порядна l. Аналоrичное выражение имеет место
и для ширины r M1 , отвочаюri ей маrнитному излучению порядка l.
Наблюдаеман радиационная ширина резонансноrо уровня cocTaBHoro
ядра состоит из БОЛЬШОI'О числа парциальных ширин, отвечающих отдель
ным мультипольным переходам на более низкие уровни. Мы ожидаем,
таким образом, что радиационные ширины у одноrо и Toro же cocTaBHoro
ядра не испытывают сильноrо изменения от уровня к уровню. Это обстоя
тельство отлично от поведения ширин, отвочающих испусканию частиц
(напримор, неЙтронной ширины), н:оторые блаrодаря проницаемости и дpy
rим эффоктам меняются от уровня к уровню в широких пределах, Таним
образом, большие флуктуации от уровня к уровню относительных вероят
ностой испуснания нейтронов и т лучей должны быть связаны в основном
с флунтуациями нейтронных ширин.
Объединяя общее выражение (3.21) для вероятности перехода с oцeH
нами (7.1/1) и (7.17) для средней величины матричноrо элемента, получим
оценну парциальной радиационной ширины r El (а, Ь), отвечающей элеRТРИ
чеСJ{ОМУ излучению порядка l, возникающему в результате перехода метду
ворхним состоянием а и более НИЗI{ИМ состоянием Ь. Это приводит К сле
Дующему выражонию:
18(l+1) (2l+1) е 2 пш ( wR ) 21
<rEl(a, Ь))ср."-" l(l+3)2[(2l+1)!!]2 тс---п; С Dl(Ea). (7.21)
Множитель (2l + 1) в числителе введен вследствие Toro, что испускае
мое МУJIьтипольное излучение ПОрЯДI\а l допускает 2l + 1 различных зна
чений т, Несмотря на то, что этот множитель и не является точным CTa
тистичесним весом, ошибни, вносимые таким приближениом, меньше
ошиuон, возникающих за счет rрубых оценок, входяших в формулу (7.21).
Парциальная ширина r M1 (а, Ь), отвечающая маrнитному излучению,
он:азываетсн, соrласно оценне (6.3а), меньше соответствующей ширины,
отвечающей элентрическому излучению, на мнотитель 10 (h/ И cR)2.
"';'
7. Переходы в случае силь'Но вовбу:ж:де'Н'Ных состояний
507
Прежде чем оценить абсолютную величину радиационной ширины,
рассмотрим спеRтраJIьное распределение излучения, испусн:аемоrо непос peд
ственно после захвата 1). Для получения этоrо энерrетичеСRоrо распреде
ления необходимо умнотить усредненную парциальную ширину (7.21) на
число нижних уровней Ь, приходящихся на единичный интервал энерrии,
т. е. на [п! (Eb)] l. ТаRИМ образом, энерrетическое распределение И ! (пш) х
х d (пш) излучения мультипольности l, испускаемоrо непосредственно после
захвата, имеет следующий вид:
U l (п ш )d(пш)==С l (пш)21+1 DL(E: nw) '
(7.22)
rде С ! постоянная, не зависящая от пш. Множитель (пш)2l+1 блаrоприят '
ствует испусканию квантов с большой энерrией. С друrой стороны, pac
стояние между уровнями пl деJIaет предпочтительным испускание нвантов
'"
5
:t:
J3
си
?<
:i!
<:::>
:t::
з"
2
3 4 5
"ш, Мзв
6
Фи r. 119. Относительное спентральное
распределение перивчных , IШaIIТОD, испу
скаемых после захвата нейтрона ядром,
близким К индию.
Rривые представляют собой rрубую схематиче
сную оценну. усредненную по отдельным пи
нам. Это распределение нельян сравнивать
непосредственно со спентральным распреде
лением I лучей. получающихся при захвате
нейтрона. тан нан в этих теоретичесних нри
вых не учтены вторичные , лучи. и('нашаю
щие энспеРИ'lентаJJЬНЫЙ реэультат.
малой энерrии, так как оно является чрезвычайно быстро убываЮIПей функ
цией энерrии Еь == Еа пш. ЭнерrетичеСI\ое распределение (7.22) изображено
на фиr. 119. По мере возрастания порядна мультипольности l мансимум
распределения, кю\ это следует из (7.22), смещается в область квантов
с большей энерrией. Необходимо помнить, что в действительности это
энерrетическое распределение не является непрерывным, а представляет
собой rрубое усреднение ряда дискретных пинов, каждый из которых co
ответствует переходу в данное нижнее состояние Ь.
В частности, для квантов с большей энерrией, которые оставляют
ядро в низших, далеко отстоящих друr от друrа состояниях, плавная
кривая вообще не имеет смысла.
Приступим теперь к оценке абсолютноrо значения радиационных
ширин, соответствующих испусканию излучения данной мультипольности.
Заменяя в (7.20) сумму интеrралом и используя для эшштричосноrо
1) Это распределсние отличается от спектральноrо распредrлрния излучrния, наб-
людаемоrо в рrзультате захвата нrйтрона. Если составное ядро ИСIlуснаст ,-нвант с энrрrи-
ей nш, меньшей максимально возможной энерrии hw IЭНС. ==Еа, то ядро остается в возбуж-
денном состоянии. Это возбужденное СОСТОяниr БУJ\РТ продолжать испуснать ,-из:rуче
ние, которое также реrистрируется на опыте. Относитrльно энспериментальпых резуль-
татов по суммарному распределению пеРНИЧIlЫХ и ВТОРПЧlIЫХ ,-лучей см. [4;-\2, 339].
508 r.a. XII. Вааи.модействие ядер с а.аех;тро.мавнитны.м uа.аученuе.м
излучения оценну (7,21), получим следующий результат:
Еа
18(l+1)(2l+1) е 2 ( R ) 21 1 (' 21+1 пl(Е а )
r E1 "-'Z (i+3)2[(2l+1)!! Т 2 hC '1tё D; (1iш) DI(l"'а h(J)) d(1iш).
" О
(7.23 )
Этот интеrрал можно вычислить, еСJJИ известна ::JНерrетичеСRая зависимость
расстояния между уровнями. Соrласно оценне (6.3а), радиационные ширины,
отвечающие маrнитному излучению, отличаются от выражения (7.23) на
мнотитель 10 (п; ИсR)2.
В праRтичеСRИ наиболее важном случае l излучения, ВОЗНИRающеrо
при захвате медленноrо нейтрона, энерrия Еа cocTaBHoro ядра, ИСПУСRаю
щеrо излучение, равна энерrии отделения нейтрона S'(j (по ПОрЯДRУ вели
чины оноло 8 Иэе). Для получения rрубой оцеНRИ радиационной ширины
можно использовать приведенные в rл. VIП формулы (VПI, 6.11) и (VПI,
6.12) для плотности уровней. Оценна расстояния между низшими ypOB
нями Do для ядер среднеrо веса и тяжелых ядер дает по ПОрЯДRУ вели
чины 0,5 Иэе, а для леrRИХ ядер, R ноторым не приложима статистиче
СRая теория, оназывается неСRОЛЬRО больше этой величины. В табл. 26
содержатся оцеНRИ радиационных ширин, отвечающих уровням, образуJO
щимся в результате захвата нейтрона. Приведенные оценни подсчитаны на
основе уназанных предположений по формуле (7,23) для неСRОЛЬНИХ xa
рантерных энеРI'иli: отделения нейтрона Еа == Sn и величин а, входящих
в формулу (VIII, 6.11) для плотности уровней. Сделанный выбор rрубо
соответствует ядрам, БЛИЗRИМ R A1, Ag и W. Рассматривалось ТОЛЬRО
диполыIеe и Rвадрупольное излучение. И злучение высших МУJIьтиполей
имеет меньшие радиационные ширины, и поэтому ИМ можно пронебречь.
Таб.аuца 26
ОцеНЮI радиационных ширин уровней, обраЗУЮЩИХШI в результате захвата
неЙтрона и отвечюOIЦИХ ИСПУСIШНИЮ" отдельных мультииольных излучений
Расчет ПРОИ3Dснен на ОСПОDе статпстичесноЙ теории [формула (7.23)], при Do O, 5 Мэв
Ядро
Еа --,.: Вп'
Мэ"
а, 1\1 эв l
l'p;, 1, эв
[М.I. эв
l'E,2, эв
[1\1,2, эв
АI 8 0,45 680 14 0,36 0,007
Ag 8 6,5 47 0,6 0,04 3. 10 4
W 7 10 23 0,18 0,02 2. 10 4
Деiiствительная величина I'рад. радиационноЙ ширины уровня, отвечаю
щеrо эахвату нейтрона, является суммоЙ (7.19) ширин, отвечающих всем
МУJIЬТИlIОЛЬНЫМ излучениям. Эн:спериментальныо значения приведены
в rл. IX. ДЛЯ ядер среДнеrо веса r рад. заRлючено можду 1 и 30 эе, для тя
желых ядор между 0,03 и 0,20 Эе. Из табл. 26 видно, что элеRтричеСI{ие ди
польные ширины ОRаэываются rораздо больше наблюдаемых значений. Это
может быть связано со сделанным ранее предположением о том, что элонтри
чесние дипольные матричные элементы ОRазываются rораздо меньше оцеНRИ
(6.6), на основании RОТОРОЙ IIолучены данные табл. 26. Радиационные ши
рины llтолученные соrласно данным этой таблицы, при крайнем IIреДIIоложе
нии, чо элоктричеСRое ДИIIОЛЬНОО излучение не вносит СRолы{о нибудь
заметноrо шшада в I'рад., имеют правильныЙ ПОрЯДОR величины. Следует,
ОДIIЮ{О, учость, что ОЦ8lШИ радиационных ширин чрезвычайно сильно зависят
от испольэованноrо выражения для расстояния D(E) между уровнями.
Ввиду большой ноопределенности всох этих оценOl{ приходится считать, что
s 7. Переходы в случае сильно воабу:исденных состояний
5С 9
теория все же не дает обоснованных предсказаний абсолютной величины
радиационных ширин, отвечающих захвату нейтрона. Этот вопрос должен
быть пересмотрен после Toro, каи будет наиоплено больше сведений относи
тельно энерrетичесиих уровней ядра.
Д. Ядерный фотоэффект l )
Ядерный фотоэффект представляет собой поrлощение ядром I KBaHTa
с энерrией nш, превышающей энерrию отделения S какой либо частицы,
например протона, нейтрона или а. частицы. При этом соответственно Ha
блюдаются реакции (1, р), (1, п) или (1' а.). Простейшим примером ядерноrо
фотоэффекта является фото расщепление дейтрона, рассмотренное в S 4 сле
дующим образом: поrлощение I KBaHTa приводит и радиационному пере
ходу из OCHoBHoro состояния дейтрона в нонечное состояние, относящееся
н непрерывному спектру. Хотя в любом случае ядерный фотоэффю{т можно
в принципе рассматривать анаJlоrично, более естественно примениТI, н этому
процессу на ядрах среднеrо веса и тяжелых ядрах БОРОБСКУЮ теорию COCTaB
Horo ядра, разделив процесс на две стадии: 1) IJОrJlощетlИе 'j HBaHTa, при
во)тящее к обра; ОБанию cOCTaBHOI'o ядра с эпеРl'иеii: Rовбуждепия Е riш,
и 2) раепад состаВJI oro ядра по раВJlИЧПЫМ JШН алам 2). При этом сечение может
быть записано в виде [см. (VIII, 3.1)]
а (1' Ь) ас (1) С ь (сошасно преДПОJlожению Бора),
( 7 . 2/t)
rде ас (I) ' еечеllие ПОrJlOщения I HBaHTa данноЙ энерrии, а С ь отпоситеJ[Ь
ная вероятность распада cocTaBHoro ядра с испусн:аllием частицы Ь. Эти
вероятности распада детально обсуждались в rJl. VIII. В случае, JШ1'да
ядерпыЙ фотоэффен:т происходит BblCOI{O над пороrом, мы имеем дело с pac
падом сильно возбужденноrо составноrоядра, и для определенин С ь должны
использоватьсн формулы статистичесн:ой теории (теория испаренин; см. rл. VIII,
S 6). Напомним, что наиболее вероятным процессом ЯllJlЯетсн иепускаllие
нейтрона, приводящее н: реан:ции (1, п), При этом конечное ядро может
оказаться возбужденным настолько сильно, что за этои реакциеЙ последует,
испусн:ание друrих частиц, тан: что будут наблюдаться реан:ции (1,2п),
(1,3n) или (1, пр).
Следует отметить, что нюшторые эн:сперименты дают основания COMHe
ваться в применимости предположения Бора для ядерноrо фотоэффен:та.
Этот вопрос будет обсуждаться позже, в связи с эн:спериментальным MaTe
риалом.
В этом разделе мы в основном будем иметь дело (; первым этапом peaн:
ции . поrлощением I KBaHTa. Предположим, что источнин: l лучеЙ не является
монохроматическим, а испусн:ает I излучение в определенном энерrетичесн:ом
интервале ДЕ, достаточно большом по сравнению с расстоянием между
уровнями D eocTaBHoro ядра при энерrии возбуждения Еа nш. 'Учитывая
это предположение, вычислим сечение образования cocTaBHoro ядра ас (1),
н:оторое не обнаруживает резонансных явлений, а сиорее представляет собой
усреднение по большому ЧИСJlУ резонансных пин:ов.
Полученное тан:им образом выражение приrодно ТОJlЬН:О в области
резонансных ядерных реан:ций. Тем не менее мы используем ero для Toro,
. 1) См. обзор S t r а u с Ь, Annual Reviev of Nuclear Science, 2, 105 (1953), а также
сборник статей «ФОТОЯДЕ'рпые реакции», М., 1 С153. п рим. пе рев.
2) Составпое ядро может, вообще rоворя, распадаться и с испусканием излучения.
ПрактичЕ'СКИ же радиациоппая ширина оказывается малой по сравнению с ШИрИIIОЙ,
соответствующей испусканию частиц при тех энерrиях (rораздо выше Hopora), при KOTO
рых обычно изучается фотоэффект.
r.a. XII. Вваи.модействие ядер с э.аектро.мавнuтны.м ив.аучение.м
чтобы найти ас (1) также и в нерезонансной области (rораздо выше пороrа),
rде энерrия возбуждения настолько велика, что ширины уровней cocTaBHoro
ядра оказываются rорэ.здо больше расстояния между уровнями, и уровни
перекрываются. В этом случае законность рассмотрения состояний ядра
как cTporo определенных квазистационарных распадаlOЩИХСЯ состояний
ЯВШ lOтся весьма сомнительной. Однако в данном параrрафе мы будем пред
полаrать, что :по возможно, и в формулах для радиационных переходов
верхнее состояние является квазистационарным и имеет точно определенную
волновую функцию.
Вероятность возбуждения ядра при переходе из OCHoBHoro состояния О
в определенное возбужденное состояние а в результате поrлощения излуче
ния данной мультипольности дается формулой (3,25), с заменой а на О
и Ь на а. Соrласно сделанному выше предположению относительно энер
rетическоrо размытия падающеrо пучка i лучей, одновременно возбуждается
большое число состояний а, тан: что полная вероятность возбуждения равна
пШ+6Е
АЕ (l) == А Е (l; О а) == (А Е (l; О а))ср. '
Еа==nш
(7.25)
rде п, расстояние между уровнями при энерrии Еа == nш, номбинирующими
в результате поrлощения элентричесноrо излучения порядна l с основным
состоянием.
Сечение образования возбужденноrо COCTaBHoro ядра получается путем
деления полной вероятности перехода (7.25) на поток падающих I HBaHTOB.
Используем введенную в S 3 величину S (ш). Число квантов в пучне, падаю
щих на 1 см 2 в 1 сек, равно S (ш) (t.Ejn). Для получения усредlteнноео
се'Ченuя об разованuя составноео яДра в результате nоелощеНllЯ элеnтрu'ЧеСh:оео
.uультunольноео U.1лу'Чрнuя nорядnа l поделим (7.25) на этот поток Используя
(3.25) (и пренебреrая спи новыми матричными элементами Q'), получим
( ) 4тс 3 (l + 1) (2l + 1) 21 1 (1 Ql. 112 + 1 Ql. 112)cp.
аС! 1 l [(2l + 1) !!Р Х (DIHa)
Воспользуемся теперь оценной (7.14) для матричных элементов. Тоrда
расстояние между уровнями выпадет, Будем предполаrать, что величина qlm
не зависит от т, тан что онончательно
(7.26)
8п 3 (l + 1) (2l + 1) 2' 1
аС! Су) l [(2l + 1) !!]2 Х q, (О, Еа)'
(7.27)
r
l
Таким образом, сечение пропорционально (2l 1) й степени частоты, YMHO
женной на медленно меняющуюся фушщию энерrии Еа == NШ. Это выражение
можно таиже получить при помощи следующих начественных рассуждений:
энерrия взаимодеЙствия 2' польноrо момента, обусловленноrо распредеJlением
зарядов, с элонтричеСI,ИМ полем элентромаrнитной волны пропорциональна
производной l ro порядна от потенциала или производной (l 1) ro порядна
от напряженности поля. Элентричесное поле элентромаrнитной волны,
содержащей один ивант, пропорционально V;;;l). Каждая производная
добавляет множитель шjс, тю, что производная (l 1) ro порядна от f,
проПорциональна ш' 1/2. Сечение поrлощения пропорционально нвадрату
матричноrо элемента эперrии взаимодействия, т. е. ш21 1. Таним обра
зом, сечение поrлощения пропорционально ш2l 1, не считая медленно Me
lJяющеrося множителя, который зависит от специфических свойств ядра.
1) Плотность энерrии Ь2/4п пропорциональна пш.
,.
1
9 7. Переходы в с.аучае сильно вовбу:ж:денных состояний
51t
Это рассмотрение является независимым обоснованием соотношения (7.14)
для матричных элементов.
Используя оценку (7.17) для Ql' получим
2. (l+1)(2l+1) е 2 пш 2l 2 2
О'С' (1) "" 18" [(l+3)3[(2l+1) !!] 2hC (хН) R.
(7.28),
Эта оценна применима в случае поrлощения электрuчеrКО20 излучения.
Соrласно (6.3а), сечение поrлощения .ма2нитноео излучения меньше получен
Horo на множитель 10 (njИсR)2, Формула (7.28) неприrодна )щя ;jлеЮ'ри
ческоrо дипольноrо поrлощения по причинам, обсуждавшимся в 6, БJJarодаря
которым возможно, что электрические дипольные матричные элементы малы
в случае переходов с NШ 15 И эв.
Сле;:J;овательно, для nш 15 Jl;fэв основной вклад в сечение поrJIощения
I Jiучей, по видимому , вносит только маrнитное Дипольное и ЭJIентрическое,
квадрупольное поrлощение. Выражение (7.28) сводится для ЭтИ'Х двух слу
чаев к следующим 1):
маrнитное дипольное поrлощение
О'С (1) "" 4,8 (пш в Иэв) .10 28 с.м 2 ;
(7.29а)
электрическое н:вадрупольное поrлощение
О'С(I)",,1,2(h ш в Иэв)3( 6'10 зсм )4.10 30 с.м 2 .
(7.29б).
СOl'лаСllО этим оценнам, маrнитное ДИПОJIьное и электрическое HBaдpy
польное поrлощения имеют ОДИН и тот же порядок величины в окрестности
nш"'" 20 М эв; при более низних энерrиях маrнитное дипольное излучение
доминирует, хотя и не очень сильно. Полученные оценки не rод,Ятся длЯ'
энерrий, превышающих 20 JYlэв. Соrласно формуле (7.18), мансимальная энер
rия, для КОТОрОЙ Ql может считаться постоянной и равной (7.17), имеет по
\ рядок 25 Мэв. Следовательно, весьма вероятно, что при энерrиях. пре
вышающих 20 Мэв, поrлощение окажется rораздо меньше предсназываемоrо.
оценкой (7.29).
Однако при более высоних энерrиях поrлощение сильно возрастает за
счет элептрuчеспО20 дuпОЛЪ1iО20 пО2лоще1iUЯ. При энерrиях, превышающи х
15 Мэв, отсутствуют причины, при водящие к обсуждавшемуся в 6 YMeHЬ
шению электричесних дипольных матричных элементов. Внлад элентриче
сн:их дипольных переходов в ядерный фотоэффект можно оценить при по
мощи правил сумм (7.5) и (7.8) для дипольных переходов 2 ). В случае диполь
ных переходов (l==1) сумма в левой части (7.5) ПРОпорциональна интеrралу
по всем энерrиям от усредненноrо сечения (7.26). Комбинируя (7.5) и (7.20),
получим
е2 NZ п 2 NZ
О'Э'Д' ( "( ) d ( hш ) ==27t:2 6 .10 26 Иэв.с.м 2
с I пс А м А .
(7 30).
Таким образом, для ядер с А 100 площадь под I"РИВОЙ сечения, отвечаю
щеrо элентрическому дипольному llоrлощению, должна быть llоря;ща
10 24 Мэв.с.м 2 . Напомним танже, что если часть излучения обусловлена об
менными тон:ами, то. правило сумм (7.5) недооценивает деЙствительную
сумму. Оцею{а этоrо увеличения дана в работе [475], rде ПОI{азано, что дей
ствительная сумма может оказаться больше (7.30) на МIIожитель 2 или более,
!
i
I
1) Мы предполаrаем, что Do 0,5 Мае.
2) Правила сумм написаны для матричных элементоп Ql,O' Соответствующие CYMMbli
для I Ql,11 2 или I Q1. 112 дают тот же са!"'ый результат.
;)12 r л. XII. Вааи.модействие ядер с электро.мавнuтны.м uалученuе.м
в зависимости от относительной доли обменных сил по сравнению с обыч
ными силами.
Следуя работе [475], мы используем второе правило сумм (7.8) для
оценки средней энерrии дипольноrо поrлощения. Сумма в левой части (7.8)
пропорциональна интеrралу по всем энерrиям от пШ0'6'Д'(I). Следовательно,
отношение двух сумм (7.5) и (7.8) непосредственно дает среднюю энерrию
дипольноrо электричесноrо поrлощения (в смысле взвешеннOl'О среднеrо по
сечению). Используя (7.9), получим среднюю энерrию электрическоrо ди
польноrо поrлощения, равную примерно
4 р2
""3 2М '
Средняя кинетичеС1{ая эвеРI'ИЯ р2/2М нуклона внутри ядра имеет по
рЯДО1{ 15 Мэе (см. rл. VH, 2). Следовательно, средняя энерrия ЭЛCl{триче
cKoro дипольноrо поrлощения порядка 20 Мэе. Обменные силы приводят
п увеличению обеих сумм (7.5) и (7.8). Соrласно rрубым оценкам, сделаlI
ным в работе [475], сумма (7.8) увеличивается больше, чем сумма (7.5), так
что обмеШlые (:илы увеличивают также и среднюю энерrию элен:трическоrо
ЦИllОЛr,нот'о llоrлощепия.
СJТе; ОШIтеJТЬНО, предсназания относительно поrлощения ядром I ИЗЛУ
'lеIlИН с :JнерrиеЙ 1'tш 10 М эе можно сформулировать тю{им обраЗО:\I: сечения
J\ШI'НИТ110rо ДИ110.ЛЫIOl'О и элекrричеСI{Ol'О нваДРУIJОЛЬНOl'О ПOl'лощепия BJlJIOTb
до энеРI'ИЙ примерно 20 МЭ(! следуют оценке (7.29) и спадают при более BЫ
cOI\oii энер1'ИИ; элеIпричесъ:ое дипольное поrлощение становится суще
ственным н Оl\рестности 20 Мэе. Последнее сечение обусловливает весь
ш\Лад (всю llJIощадь под l{РИВОЙ сечения в зависимости от энерrии), опре
деляемый соrласно (7.30) с поправной на обменные силы. Этот вклад проис
ходит ири энерrиях порядка (7.31) (также с поправкой на обменные силы),
т. е. ири энер1'ИЯХ в OI{рестности 20 30 Мэе. На фиr. 120 схематически
изображено ожидаемое сечение поrлощения l лучей.
-..., Эксперименты не являются еще достаточно точными, чтобы провести
детальное сравнение с этими теоретическими предсказаниями. К тому же
и развитая здесь теория основывается на начественных aprYMeHTax стати
стическOl'О харантера, Tal{ что можно ожидать наличия фЛУJ{туаций от ядра
1{ ядру. Теоретические оцеНI\И содержат значительные ошибни и характери
зуют лишь общее поведение сечений.
Длп Toro чтобы иметь возможность интерпретировать эксперименты,
отметим, что в нашей модели при энерrиях ниже ПОрOl'а реакции (" 2п)
сечение реакции (1, п) оказывается практичеСI{И равным полному сечению
ПОI'Jlощения (испарение заряженных частиц из возбужденноrо cocTaBHoro
ядра rораздо менее вероятно, нежели испарение нейтронов). Имеющийся
в настоящее время экспериментальный материал, ОТНОСЯЩИIIСЯ к ядрам
среднеrо веса и к тяжелым ядрам, указывает, что сечение реющии (1, п)
быстро возрастает при энерrиях в интервале 1O 20 Мэе [92, 22, 495]. Воз
растание сечения в интервале 10 17 Мэв не противоречит закону ш 3 . Абсо
лютная величина сечения реакции (1, п) была измерена при энерrии 17 Мэе
[источником l KBaHToB является реан:ция Li 7 (p, 1)] рядом авторов [92,759,763].
Результаты несколько расходятся, однако для ядер среднеrо веса и тяжелых
ядер эти сечения имеют поряДOl{ нескольних единиц, умноженных на 10 26 с.м 2 ,
увеJIичиваясь с атомным номером А. Если большая часть сечения поrлоще
ния l l{ВaHTOB при энерrии 17 Мэе обусловлена поrлощением элентричеС1{оrо
нваДРУlIольноrо излучения, то Йз (7.29) следует, что сечение пропорцио
налыlo А4/ з (четвертой степени радиуса R).
При более высоних энеРJ'ИЯХ, а возможно и при 17 Мэе, следует ожидать,
что сущоственным станет элентрическое дипольное ПOl'лощение. Большин
(7.31)
s 7. Перехооы в случае сильпо вО8бу:ж:8еппых состояпий
513
СТВО измерений обнаруживает наличие большоrо максимума в сечении
поrлощения l лучеЙ, н:оторый расположен rде то в окрестности 20 Мэв,
в зависимости от MaccoBoro числа. В случае меньших массовых чисел макси-
мум сечения расположен при более высоких энерrиях [22, 469, 590, 717].
Для сечения, проинтеrрированноrо по энерrии, результаты дают величину
ПОРЯD,ка 10 24 Мэе. с.м 2 . Поэтому весьма вероятно, что теоретическое ОIlиса
ние является качественно правильным 1 ).
Обратимся теперь н: исследованию ПРОДУI{ТОВ ядерноrо фотоэффекта.
Если произошло образование cocTaBHoro ядра, то ero распад по различным
каналам не должен зависеть от способа образования (предположение Бора).
1,4
1.2
Полное
1.0
'"
5 О8
:(! .
I с)
....
0,6
-.....
ь<'>
0,4
0.2
ПОрО8
% 5
Электрическое
Випольное
30 35
Фи 1'. 120. Схе:,штичеснан иллюстрация IШ'lеСТIJ(ШНЫХ теорети-
чеСЮfХ предсказаний отпоситеClЬНО се'ШIJИН (ус (1) образ(шаНI1Н
возБУЖДСIIНО['О ядра в P03YJIbTaTe ПО1'JlОщошш j'Jlучей.
Отдельно понаааны Rнлады элентричесноrо дипольноrо. МaI'нитноrо ди.
польноrо и элснтричесноrо нвадрупольноrо излучений. Данные отно.
снтсл Н ядрам среднеrо Веса.
в частности, можно ожидать, что испускаемые нейтроны будут характеризо
ваться максвелловским распределением по энерrии с ядерной температурой,
получающейся в результате поrлощения I KBaHTa (rл. VIII, S 6). Следует
отидать, что блаrодаря нуноновскому барьеру испускание протонов проис
ходит рете. Последнее усуrубляется тем обстоятельством, что испускание
протона с ман:симально Возможной энерrиеЙ Rрайне мало вероятно. Вслед
ствие быстроrо увеличения числа уровней конечноrо ядра с уменьшением
энерrии вылетающеrо протона в среднем протон испускается с энерrией,
значительно меньшей, чем максимально возмотная. Соответственно возра
стает препятствующее действие барьера.
1) При обсуждении элонтричеСI{оrо дипольноrо поrлощения мы следуем работе [475].
При этом используются только правила сумм и не делается попытки копнротизировать
модель cocTaBHoro ядра, образующеrося в результате процесса поrлощения. Более де-
тальные результаты были получены в работах [306, 414, 712]. Авторы этих работ ИСПОль.
зовали специальные модели, описывающие механизм колебаний заряда в ядре. Имею.
щиеся эксперименты недостаточно точны, чтобы П('зволить такое детальное сравнение.
[См., однако, К а t z и др., Phys. Rev., 91, 659 (1953), N а t h а n s, Н а 1 ре r п. Phys.
Rev., 93, 437 (1954). При.м. перев.]
33 Заназ J';; 396
"
Ы4
r JI,. Х/ /. Вэаи.мооействие яоер с ЭJl,ектро.мае1tит1tы.м иэлуче1tие.м
В работе [373] было впервые пон:азано, что во мноrих случаях относи
тельные выходы реан:ций (1, п) и (1, р) не соrласуются с тан:им теорстиче
сн:им представлением. Бьшо обнаружено, что ИСПУСIшние протонов более
вероятно, чем это ОiRидалось. Результаты этой работы можно объяснить,
предполаrая, что, помимо образования и последующеrо распада cocTaBHoro
ЯДра, существует друrой возможный механИЗМ 1). Допустим, что этот B03
можный механизм делает предпочтительным испусн:ание протонов с энер
rиями, близкими н ман:симальщ) возможной
(€р)маис. == п Ю Sp,
rде Sр энерrия отделения протона. Значение проницаемости КУЛОНОВСI,оrо
барJ>ера, отвечающее ман:симально возможной энеРI'ИИ протона, rораздо
больше ее значения, отвечающеrо средней энерrии, ожидаемоЙ на основе
модели испарения. Следовательно, испусн:ание при помощи этоrо возмож
Horo механизма небольшоrо числа протонов может составить основную долю
процесса (1, р) и может поэтому привести н: сечению реющии (1, р), значи
тельно превышающему эффен:т испарения из COCTaBHoro ядра.
Выполненные в работе [196] опыты подтвертдают эту интерпретацию.
При изучении реан:ции (1, р) на серебре было обнаружено, что испусн:аемые
протоны можно разбить на дВе rруппы: с малоЙ энерrиеЙ и с большой энер
rией. Протоны малой энерrии обнаруживают общие свойства, харан:терные
для протонов, испаряющихся из cOCTaBHoro ядра: они испускаются с paB
ной вероятностью под всеми уrлами, а энерrетичесное распределение близн:о
н: предсназываемому статистичесн:ой теорией. Количество быстрых протонов
превышает ожидаемое при процессе испарения. Эти протоны обнаруживают
заметную уrловую асимметрр:ю с преимущественным испуснанием под уrлом
90° по отношению н: падающему пучку , Iшантов. Сходные результаты были
получены и для родия [180] 2).
В работах [373, 166] и друrих было сделано предположение, что воз
можныЙ механизм состоит в поrлощении 1 Н:BaHTa протоном, нахоДЯЩИМСЯ
на поверхности ядра; это приводит н: вылету протона из ядра до Toro, н:ан: ero
энерrия успеет распределиться среди составных частеЙ ядра. Подобный
процесс, н:онечно, противоречит предположениJO Бора, тан: нан: при этом не
происходит paBHoMepHoro распределения поrлощенной энерrии средИ всех
составных частей ядра. 8н:спериментальное уrловое распределение быстрых
протонов сОвместимо с ТЮПIМ механизмом прямоrо взаимодеЙствия. Следует
ожидать, что механизм прямоrо взаимодействия может обусловить тольн:О
небольшую часть сечения ПО1'лощения l лучей, основная часть HOToporo
связана с образованием н:вазистационарных состояний cOCTaBHoro ядра.
Тем не менее механизм прямоrо взаимодействия может OI,азаться более Baт
ным для реаtщии (1, р), чем испарение из COCTaBHoro ядра, тан: нан послед
ний процесс обусловливает в основнОм ИСПУСIшние нейтронов. Протоны
с большой энерrией, вылетающие в результате прямоrо взаимодеЙствия,
rораздо леrче преодолевают н:улоновский барьер, чем протоны, испаряю
щиеся с малоЙ энерrией.
Механизм ПРЯl\Iоrо взаимодейивия для протонов наиболее важен в слу
чае реан:ции на тяжелых ядрах, у н:оторых велю, н:улоновсн:ий барьер,
В случае лепшх ядер более пизкий Н:УЛОНОБСКИЙ барьер не он:азывает эффен:
тивноrо препятствия испусн:апию протонов из cocTaBHoro ядра; следователь
но, при фоторасщеплении леrн:их ядер харю,теристини мноrИХ (вероятно,
большинства) протонов объясняются на основе предположения Бора, без
1) Относительно друrоrо Dозможноrо объяснепи я см. [662].
2) Тюшо жо результаты получены для меди [В у е r 1 у, s t е р h е u в, PhyB. Rev.,
83, 5 (19.51)], молибдена [В u t 1 е r, А 1 m у, PhYB. Rev., 91, 58 (1953)] и друrих эле
меНТОD. Прuм. перев.
ОБО8наЧllния
515
Привлечения RаRоrо либо иноrо возмотноrо механизма. Измерения, выпол--
ненные на алюминии [196] и маrнии [745], MorYT быть пОлностью интерпре.-
тированы при помощи образования cocTaBHoro ядра.
На основе этой Rартины б6льшая часть нейтронов, ИСПУСRаемых в pe
зультате фотоядерных реан:ций, долтна быть связана с образованием со.
CTaBHoro Ядра. В работе [604] было измерено уrловое распределение всех
нейтронов, испусн:аемых из нен:оторых тятелых элементов. В соrласии
с предсн:азаниями теории распределение он:азалось изотропным. Однако
следует ожидать, что, н:роме Toro, долтна существовать небольшая rруппа
быстрых нейтронов, обусловленная механизмом прямоrо взаимодействия.
Эти быстрые нейтроны долтны составлять пзбытOI\ по отношению к числу
неЙтронов, отидаемых по статистичесн:ой теории, и обнарутивать анизо .
тропное уrловое распределение, с преимущественным испусн:анием под прямым
уrлом по отношению н: направлению пучн:а I лучей. Имеются предварительные
данные, ун:азывающ е на существование таRОЙ rруппы нейтронов [600]. у тя
телых элементов эта rруппа нейтронов, вознин:ающих в результате прямоrо
взаимодеЙствия, составляет небольшую долю от полноrо выхода нейтронов.
ПОСRОЛЬRУ процесс прямоrо взаимодействия не связан с образованием
CocTaBHoro ядра, R нему неприменима развитая здесь теория!)
.
.
.
..
а Е (1, т)
.М (1, т)
..э
(1
А
А
А Е (1)
.
в
В
В К
с
r.i
tla 1....2
tla2....1
tl<1e (1, т)
tl<1"( (1, т)
ОБОЗНАЧЕНИЯ
падающая частица при ядерной реакции (4.5).
KBaHTOBoe состояние ядра (9 5).
радиус К оболочки атома с атомным номером Z, равный aojZ (5.4).
соровский радиус атома водорода (а о == Л 2 /т е е 2 == 5,28.10 9 см) (5.4).
амплитуда, отвечающая электрическому мультипольному излучению
порядка 1, т (2.10).
амплитуда, отвечающая маrнитному мультипольному ИЗЛУ'Ieнию по
рядка [, т (2.10).
длина рассеяния, отвечающая IS состоянию системы, состоящей из ней-
трона и протона; см. rл. 11, 9 3 (9 4).
параметр, входящий в формулу ДJШ плотности уронней (VI1I, 6.11)
(9 7, табл. 26).
вырожденный энерrетический уровень (9 7).
вект()рный потенциал поля излучения (2.14).
отнесенная к еДинице времени вероятность перехода Фа Фь, сопровож
дающеrося поrлощением кванта электричеСlшrо МУЛЬТИlIOльноrо излу
чения порядка l (3.25).
KBaHTOBoe состояние ядра (9 5).
энерrия связи дейтрона (В== h 2 12jM ==2,226 Мав) (9 [,).
вырожденный энерrетический уровень (9 7).
энерrия связи электрона, lIаходящеrося на К оБОЛО'lне атома (5.17). '
CKOpOCTЬ света (2.2).
линейные размеры источника излучения (9 3).
дифференциальноесечение перехода 1 2 (4.9).
дифференциальное сечение перехода 2 1 (4.9).
дифференциальное сечение радиационноrо захвата нейтронов протонаци
с испусканием кванта мультипольноrо излучения порядна 1, т (4.13).
дифференциальное сечение фоторасщеплепия дейтрона в результа,те
поrлощения кванта мультипольноrо излучения порядна 1, т (4.13).
1) Попытнадать детальную теорию этоrо процесса содержится в работе (1671.
33.
516
rA. XII. В8аи.мооействие яоер с fI.аектро.маВ1tит1tы.м и8Ауче1tuе.м
элемент конфиrураЦИОННОl'О пространства (2.14).
элемент телесноrо уп:ra (9 3).
деЙТРШI (4.1).
расстонние между 1tu.JШU.м,u уровнями, которые Mory1' комбинировать
в результате испуснания мультипольноrо излучения данноrо типа
и порндна (7.17).
. расстояние между уровнями при энерrии возбуждения Е (9 7).
расстояние между теми уровнями при энерrии возбуждения Е, которые
в результате испускания мультипольноrо излучения порядна 1 комБИНIIl
руют С некоторым заданным более низним уровнем (7.14).
заряд протона (3.26).
эффентивный заряд нунлона с номером k по отношению к электриче-
сrшму дппольному излучению (7.2).
энерrия возбуждения cocTaBHoro ядра, измеренная от OCHoBHoro состоя
ния (9 7).
паибольшая из двух энерrий возбуждения Еа и Еь (7.13).
энерrия ядра в нвантовом состоянии <Уа (3.24).
энерrия вырожденноrо уровня А (9 7).
;шерrия ядра в квантовом состоянии фь (3.24).
эперrия вырожденноrо уровня В (9 7).
наибольшая энерrин возбуждения Е, дЛЯ которой qlm (О, Е) остаетс.
Toro же порядка величины, что и qlm (О, О) (7.16).
. энерrия падающеrо нейтрона в лабораторной системе координат (при
радиационном захвате нейтронов протонами) (EN==2'h2k2iM) (э 4).
вектор электричесноrо поля (9 2).
BeHTOp электрическоrо поля, отвечающеrо электрическому мультиполь
ному излучению порядка [, т (2.7).
8 м (1, т; r) вш{Тор электричесноrо поля, отвечающеrо маrнитному мультипольному
Ifзлучению порядка [, т (2.8).
. амплитуда рассеянин для случая рассеяния нейтронов на протонах (4.3).
. степень вырождения состонния А (7.12).
относительная вероятность испускания частицы Ь из cocTaBHoro ндра (7.24).
z ноордпната центра масс ядра (9 7). .
эперrия взаимодействин, оБУСJIOвливающая процесс внутренней KOH
версии (.'5.8).
матричный элемент для радиационноrо перехода ив состоя:ния 1 В co
стояние 2 (4.7).
матричный элемент ДJШ радиационноrо перехода из состояний 11
П состояние Ь (2.14).
:-----М тричный ЭJlемент для внутренней конвер ии IJ случае перехода
нз состояния (ндра) а в состояние Ь (5.6), (.5.9).
:JC вонтор маrнитноrо поля (9 2).
ЗС Е (l, т; r) BeHTOp маrнитноrо поля, отвечающеrо электрическому мультипольному
lIЗJlучению порпдна l, т (2.7).
Хм (l, т; r) веIПОр маrнитноrо поля, отвечающеrо маrнитному мультипольному
излучению порядна [, т (2.8).
интеrрал, входнщий в выражение для сечения радиационноrо захвата
нейтронов протонами (4.23).
MOMeHT количества движения ядра в основном состоянии (э 6).
MOMeHT количества движения ядра в состоянии а (9 6).
МШlент I{оличествз движенин ядра в состоянии Ь (э 6).
MOMOHT количества движения я:дра в состоянии с (э 6).
d't
d
D
D,
D(E)
Dl (Е)
е
.
,
еп
,
Ь'
Е",
Е
а
Е А
Еь
Ев
Еманс..l
BN
8
8Е ({, т; r)
f (О)
gA
Gb
G t
Н'
Н;2
H ь
H ь
1
10
Iа
Iь
Iс
'.'r,--: .'7;"':I.....;;:;i{:,.::,':"ti. ,, ..., ,\e:..:rn:j ,,;'-:-'::" ,!,;
, 1""" '''''\''
t'"
O . . . .. ' .. .
I
ОБО8начеliия
517
маrнитное квантрвое число ядра в состоянии а или Ь (2.13).
маrНИТlIЫЙ мультипольный момент порндка 1, т, обусловленный кон.
векционным током (з.7).
М,т (а, Ь) МaI'НИТНЫЙ мультипольный момент порядка [, т, обусловленный кон-
векцИоннЫМ током в случае перехода СРа срь; для одной частицЫ
определяется соrласно (з.29), (з.30); для системы, срдержащей большое
число частиц соrласно (з.зз).
И/т маrнитныЙ мультипольный момент порядка [, т, обусловленный
намаrничением (з.10).
.м;", (а, Ь) маrнИТНЫЙ мультипольный момент порядка [, т, обусловленный спв
g
j (4, Ь; r)
1а
1..
11
11т
J a
J..
k
lr
k
k
(2Е+1)1!
L == lмин.
L'H
L
4
m
т
М
МаМь.
М/т
м
м
м (а, Ь; r)
Ji
N
'1
'!
КQНЕекционныЙ ток и соответственно Щleратор, 01'ве чаю щий этой вели-
чине (2.14).
квантовомеханическая аналоrии классическоrо конвекционноrо тока.
отвечающеrо переходу СРа СРь (з.26).
KBaHTOBoe число момента Iюличества движении ядра в состоянИИ
а (2.12).
KBaHTOBoe число OMeHTa количества движения ядра в состоянии Ь (2.12).
==11 (а, Ь); интеrрал от радиальныХ функций, входящий в матричный
элемент для электричосноrо мультиполыюrо излучения порядка l
в случае перехода между состояниями ядра а и Ь по модели незави
симых частиц (6.7).
интеrрал в теории внутренней конверсии (5.12).
BeKTOp момента количества движения ядра в состоянии а (2.11).
вектор момента количества движения ядра в состоянии Ь (2 11).
==1 k \; волновое число, отвечающее относительному движению нейтрона
и протона (4.3).
== \ k \; волновое число
волновой вектор.
и протона (4.2).
волновой вектор электрона после испускания с К оболочкИ В резу ль-
тате внутренней коиверсии (5.5).
квантовое число момента I{оличества движения излучеиия (равное порядку
мультипольности) ( 2 и приложение П).
== 1.3.5 .., (2l + 1) (3.4).
наинизшее значение [, совместимое с 1 а' Па' '1ь, ПЬ ( 2, табл. 24).
проекция L,. на ось z (з.37).
дифференциальный оператор вектора момента I{оличества движения
[L== i ()' Х V)] (2.5).
оператор момента I{оличества движения k ro нуклона [L,. == i (r,. Х V,.)]
(3.33) .
квантовое число проекции на ось z момента количества движения муль
типольноrо излучения (2.5).
масса электрона ( 5).
масса нуклона (3.26).
электрона при ВПУТрОlШеЙ конверсии (5.13).
отвечающий отн()ситольному движению нейтрона
нами в случае перехода СРа срь (з.35).
намаrничение (М==\ М \) (9 6).
намаrничение (3.8).
эффективное намаrничение в случае норехода СРа СРь. обусловленвое
спином частицы (з.31).
нейтрон (4.1).
нормировочная постоянная в волновой функции дейтрона (4.17).
импульс падающей частицы в случае перехода 1 2 (4.12).
импульс падающей частицы в случае перехода 2 1 (4.12).
Pllz (а, Ь)
518 rA. XII. Вваи.мооействие яоер с flЛектро.маВ1tит1tы.м иOA!J'IlI1tue.lif
...
матричный элемент проенци;и на ось z импульса k ro нунлона в Gл;rчае
перехода между I{вантовыми состояниями ядра а и Ь (7.3).
оператор импульса нунлопа (р== i1i V) (3.26).
оператор импульса k ro нунлона ( 3).
протон (4.1)
элеI{тричеСI{ая поляризация ( 6).
средний нвадрат импульса нунлона внутри ядра (7.9).
QZm (Е а , Eb)==qz==q; медленно меняющаяся фуннция энерrий Еа, Е ь ; определяеТСII
соrласно (7.14).
матричный элемент в случае одночастичноrо радиационноrо пер&-
хода (7.12).
элентричесний мультипольный момент порядна 1, т; обусловлен KOH
ВeIЩИОППЫМ тоном (3.5).
электричесний мультипольный момент порядна 1, т; обусловлен HOH
веIЩИQННЫМ током в случае перехода СРа СРь; для одной частицы
определяется соrласно (3.28); для системы, содержащей большое число
частиц соrласно (3.32).
электричесний мультипольный момент порядка 1, т, обусловленный
намаrничением (спинами) (3.9).
Qjm (а, Ь) элентрический мультипольпый момент порядна 1,
намаrничением (спинами) в случае перехода СРа СРЬ
==1 r 1; расстояние от начала ноординат (2.7).
==] r [; расстояние между нейтроном и протоном (4.3).
эффентивпый радиус, отвечающий lS состоянию, в случае рассеЯНИII
нейтронов на протонах; см. rл. П, 3 ( 4).
эффективный радиус, отвечающий 3S состоянию в случае рассеяния:
нейтронов на протонах; см. (П, 3.20) ( 4).
==Iril; расстояние НУЮIOна с номером i от центра масс ядра (5.10).
== [rlll; расстояние нунлона с номером k от центра масс я:дра (3.32).
радиус вентор, обычно измеряющий расстоя:ние от центра масс ядра (9 2).
вш{Тор, соединяющий протон и нейтрон (4,2).
радиус вектор нуклона с номером i, отсчитываемый от центра масс
ядра (5.8), (5.9).
радиус вer{тор нуклона с номером k, отсчитываемый от центра масс
ядра (3.34).
радиус большой сферы, описанной около излучающей системы ( 3).
==1 R 1; расстояние aToMHoro элентрона от ядра (5.4).
радиус ядра (6.3).
радиус вектор aToMHoro электрона, отсчитываемый от центра масс
ядра (5.5).
интеrрал, равный по порндну величины нвадрату радиуса ядра
(5.20), (5.21).
поток элеКтромаrнитноI'О излучения (S (ю) равно числу I{BaHTOB в еди
НИЧlfOМ интервале частот "', падающих на 1 с.м 2 в 1 сен.) (3.25).
мIшималыIнH энерrия, необходимая для отделения частицы от ядра (9 7).
энерrия отделения нейтрона (9 7).
вептор Пойнтинrа (2.3).
nCJl{ТОр полноrо спина системы, состоящей из нейтрона и протона
[S== ; (ClN+<З Р )] (94).
ОтнесеIlная н единице времени вероя:тность перехода из состояния 1
в состояние 2 (4.7).
==Т (а, Ь) отнесенная к единице времени вероя:тность перехода между
состояниями <Уа и <Уь, сопровождающеrося испуснанием элентромаrнитпоrG
излучения (9 2) и (5.1).
р
PII
Р
Р
ре
Qo
QZт
Qlm (а, Ь)
Qlm
r
r
r0 8
rot
r.
t
rll
r
r
r.
t
rll
R
R
R
R
R8
S (ю)
Sa
Sn
S
S
Т 1 --+ 2
. Та.
т; обусловленный
(3.34) .
, '!. ;
Т(а, Ь)
ОБО8наченuя
519
отнесенная к единице времени полная вероятность перехода (обуслов
ленная излучением и внутренней конверсией) из состояния а в состоя:
ниеЬ (5.1).
т о..... о (а, Ь) отнесенная н единице времени вероятность перехода, сопровождающеrося
испусканием нонверсионноrо электрона с К оБОЛОЧIШ в результате пере
хода между состояниями ядра а и Ь с моментами НО.тrичества движения:
Ia==Ib==O (5,21).
Ti (а, Ь)
TE(l, т)
Тл(l, т)
ио в (r)
1I0! (r)
и1! (r)
« а (r)
иь (r)
uf+J (r)
и", (О, ф)
UE(l, т; Q)
и! (hФ)
UM(l,m;!f)
U (&2) dQ
V
V
v 1
V2
v a
Vb
V
V
W a
wb
W (012)
х
Xl m
у
Yl m (О, ф)
z
z (k) dQ
отнесенная к единице времени вероятность перехода между состояниями
а и Ь, сопровождающеrося испусканием ЭЛClпрона внутренней HOH
версии (5.1), (5.7).
,отнесенная к единице времени вероятность ИСПУСIШ1JИЯ кванта электри
ческоrо мультипольноrо излучения порядка [, т (3.21).
отнесенная к единице времени вероятность ИСПУСIШНИЯ нванта маrнит
Horo мультипольноrо излучения норядка [, т (3.22).
радиаJlьная часть волновой функции системы, состоящей из нейтрона
и протона в lS состоянии (4.19), (4.20).
радиаJIЫIaЯ часть волновой фушщии (основпOl'О) 3S СОС10ШIИЯ дей
трона (4.17), (4.18).
раднальная часть волновой фУНIщии системы, состоящей из нейтрона
и протона в 3 Р состоянии В преДПОJlожении, что СИJIЫ, действующие
между нейтроном и протоном, в этом состоянии пренебрежимо малы (4. :32).
радиальная часть волновой функции протона в начальном состоянии
ядра а (6.5).
радиальная часть волновой фуннции протона в конечном состоянии
ядра Ь (6.5).
радиальная часть волновой функции в случао расходящейся волны
с моментом количества движения [; см. (VIII, 2.41) (2.7).
уrловое распределение испуснаемых а частиц (6.13).
==и (Q) дЛЯ электрическоrо мультипольноrо излучения поряД[ш [, т (3.15)
энерrетическое распределение МУЛЬТИlIольноr() излучения порядка l,
ИСПУCIшемоrо сразу же после захвата (7.22).
==и (Q) дЛЯ маrнитноrо мультипольноrо излучения поряд[{а l, т (3.17).
энерrия, излучаемая в единицу времени в элемент телесноrо уrла
dQ (9 3).
== I v 1; скорость излучающих зарядов (9 3).
==2hkjM; относительная скорость нейтрона и протона до захвата ( 4).
CHOpOCTЬ падающей частицы при переходе 1 2 (4.9).
CKOpOCTЬ падающей частицы при переходе 2 1 (4.9).
волновая фующия элентрона, наХодящеrося на К оболочr{е атома (5.4).
волновая фУНIщия электрона после испуснания с К оболочки атома (5.5).
BeKTOp спорости излучающеrо заря:да (9 3).
объем (<ящика», в rЮ1'ОРОМ заключена система (5.5).
волновая фУНIщия протона в начальном состоянии ядра а (6.5).
ВОЛIювая фуrJ'iщия протона в Iюнечном состоянии ядра Ь (6.5).
функция, описывающая уrловую корреляцию двух насr,адно испускаемых
ядерных излучений (6.12).
ядро мишени при ядерной реющии (4.5).
==Х/ т (О, ф); векторпая сферическая rармониr{а; см. приложение II (2.5).
конечное ядро, образующееся в реЗУJIьтате радиационноrо захвата (4.5).
скалярная сферическая rаРМОlIика; см. ПРИJIOжение I (2.5).
проекция радиус вектора r на ось z (z == r cos О) (3.11).
число состояний ЭJIектрона, ИСПУСlшемоrо в элемент телесноrо уrла dQ,
на единичный интервал энерrий (5.6а).
'Q20
z,. (а, Ь)
Z
Zlm(O, ф)
а
а
1
r El
r ИI (а, Ь)
r Иl
rMl (а, Ь)
r рад.
°08
°ot
д
дЕ
АЕ
"\ ДJ
дт
дМ
Е
Е
(/1
О
О
012
О.
t
6,.
е
...
л
u.
fL,.
fLN
rл. XII. Вваи.м.ооействие яоер с 8JJ,ектро.м.ае1tuт1tы.м. uвлуче1tuе.м.
матричный элемент ноординаты z нунлона с номером k для перехода
между состояниями ядра а и Ь (7.3).
атомный номер (равный числу протонов в ядре) (3.32).
фушщия, описывающая уrловое распределение мультипольноrо излу.
чения поряДIШ [, т (3.16).
ноэффициент внутренней конверсии (5.2).
спиновая функция, описывающая спин, ориентированный вверх (6.5).
обратная веJIичина ПОСТNЯННОЙ, ВХодя:щей II волновую фуннцию OCHOB
Horo состояния дейтрона (1==2,32.1012 c.м, l) (4.17).
DI,лад в r рад. за счет испускания электричеСI,оrо мультиполыюrо излу
чения поря:дна l (7.19).
па рциаJIыraл ширина уровня а cocTaBHoro ядра, отвечающал переходу
на уровень Ь с НСНУСIшнием электрическоrо МУЛьтипольноrо излучения
порядна l (7.20).
llнлад в r рад. за счет испускания маrнитноrо мультипольноrо излучения
порлдна l (7.19).
парциальная ширина уровня а cocTaBHoro ядра, отвечающая переходу
на уровень Ь с испуснанием маrнитноrо мультиполыюrо ИЗлучения
порлДIШ l (9 7).
радиационная ширина HBaHToBoro состояния а COCTaBHoro ядра (7.19).
фазовый сдвиr для случая рассеяния нейтронов на протонах в
lS состолrrии (4.20).
фазовый сдниr для случал рассеяния нейтронов на протонах в
3S состолнии (4.35).
расстояние между уровнями в случае
==Ea Eь BK; энерrия элеRтрона
К оБОЛОЧI;И (5.21).
эперl'етичеСlше размытие падающеrо пучка l лучей (7.25).
==J а Jb; изменение момента количества движения лдра в результате
перехода а Ь (9 2).
измененис маrнитноrо RBaHTOBoro числа ядра т, связанное с ИСПУСRанием
l lшаl1Та (9 6).
==Ma Mь (9 2).
ПОJ1НЫЙ заряд (3.23).
нипетичесная энерrил нейтрона до радиационноrо захвата или после
реанции (" п) (9 7).
==zk Gz; Zk координата нунлона с номером k, отсчитываемая от центра
масс ядра (7.1).
поллрный уrол (широта) вен:тора r (2.5).
полярный уrол (цrирота) волновоrо вентора k испускаемоrо элентро
па (5.1:3).
уrол между направлениями испуснания первOl'О и BToporo нвантов
II случае каснадноrо ядерноrо перехода а Ь с (6.12).
ПОЛЯрllЫЙ уrол (широта) радиус вектора ri нуклона с номером (5.10),
полярный уrол (широта) радиус вектора rk <НУI{Лона с номером k (3.32).
поллрпый уrол (широта) радиус вектора R элентрона (5.10).
llOJIHOBOe число элентромаrнитноrо излучения (...==ы/с) (2.6).
ДЛина волны элентромаrнитноrо излучения (9 2).
== л./2rc (9 2).
ОДIЮНУЮЮННОЙ модели (9 7).
нонверсии после испускания
маrнитный момент НУIшона, выраженный
маrнитный момент нуклона с номером
маrпетонах (3.34).
маrнитный момент нейтрона, выраженный
в ядерных MarHeTOHax (3.31).
k, выраженный в ядерных
в
ядерных
MarHeToHax
(i N== 1,91) (4.15).
r
r
I
!
r
ОБО8liаченuя
52!
fLp
v
n
Па, П iJ
Р
ро/
Рl == р (Е)
Р2==Р (Е)
Р (а. Ь; r)
a и, т)
ас (l, т)
а М
с
ас ("()
a 'Д' ("()
а ш ("()
11 ("(, Ь)
а В ' Д '
У
ау (l, т)
.М
у
"/t.%
.
ak
"N
.р "
ф
ф
Фi
Фk
Ч'а
СР"
Ч'ь
'Р6
ф
маrнитный момент протона, выраженный в ядерных маrпетонаJC
(flp== +2,79) (4.15).
частота электромаrнитноrо излученют (v == ",/211:) (9 2).
оператор инверсии, определнемой условием Пf (r) == f( r) (9 2).
KBaHTOBoe число четности ндра в состоннии а, Ь (2.15).
плотность зарнда, или оператор, отвечающий этой величине (3.2).
длина, определеннан соrласно (4.36) и чрезвычайно бли3!{ан " эффектив
ному радиусу 7о! длн рассеннин нейтронов на протонах в 3S состонниvt
(4.35), (4.36).
число состонний первоrо типа на единичный интервал энерrий (4.8), (4.10).
число состояний BToporo типа на единичный интервал энерrий (4.7), (4.10).
квантовый аналоr классической плотности заря:да в случае перехода
а Ь (3.27).
сечение радиационноrо захвата, сопровождающеrося: испусканием электри
ческоrо мультиполыюrо излученин поря:дка l, т (4.4).
сечение радиационноrо захвата нейтронов протонами, сопровождающеrосЯ'
испу нанием кванта мультиполыюrо излучения порядна 1, т (4.14).
ПОJIНое сечение радиационноrо захвата, сопровождающеrося испусканием
маrНИТIIоrо МУJlьтиполыюrо излученИ!т (4.22).
сечение образования возбуждепноrо (испускающеrо частицы) СОСТПlJноrо-
ядра в результате поrлощения: I KBaHTa (7.24).
часть ас ("(), обусловленная поrлощепием электрическоrо дипольноrо,
излучения (7.30).
часть ас (1)' обусловленная поrлощением мультиполыюrо излучениЯ'
порядка 1 (7.26).
сечение фоторасщщшения ндра с испусканием частицы Ь (7.24).
сечение фоторасщепленин дейтрона в результате поrлощения: элеI{ТРИ
ческоrо дипольноrо излученин (4.33).
сечение фоторасщепления: в резуш,тате поrлощенин мультиполыюrо-
излучения порядка 1, т (4.14). '"
сечение фото расщепления дейтрона в результате поrлощения маrнитноrо-
мультипольноrо излученин (4.28).
проенцин <1k на ось z (3.39).
спиновый оператор Паули; см. приложение 1 (3.31).
спиновый оператор Паули для нуклона с номером k (3.34).
спиновый оператор Паули для нейтрона (4.15).
спиновый оператор Паули длн протона (4.15).
нолнрный уrол (долrота) волновоrо вектора k испускаемоrо электро
на (5.13).
полярный уrол (долrот ) радиус веRТора r (2.5).
полнрный уrол (долrота) радиус вектора ri нуклона с номером (5.10).
полярный уrол (долrота) радиус вектора rk нуклона с помер ом k (3.32).
волновая: функция ядра в квантовом состоянии а (3.26).
началыюе состояние системы, состоящей из ядра и aTOMHoro элеl{трона
(CPa==o/ava) (9 5).
волновая функция ядра в квантовом состоянии Ь (3.26), (7.6).
конечное состояние системы, состонщей из ядра и aToMHoro элеl{трона
(cpb==o/bvb) (9 5).
полярный уrол (долrота) радиус веюора R электрона (5.10).
I .. .'
,
. "
r
.522
'1..0
rл. XII. Вваи.мооействие яоер с эле;;тро.маенитны.м ивлучеНие.м
';(1,0
Фа
Фь
'"
"'аЬ
-'
в
t'
r
,
'.,
k
t
,
r
i
'
r.
f
р
t
-
f'
[..
[f
:...
спиновая функция системы, состоящей И3 нейтрона и протона, D синrлет
ном СНИIIОDОМ состоянии; см. приложение 1, % 4 (4.19).
СПИНОDая функция системы, состоящей И3 нейтрона и протона,
в триплетном спиновом состоянии т==О; см. нриложение 1, % 4 (4.16).
DОЛНОDая функция ядра D состоянии а [ 2 и (5.9)].
DОШlOвая функция ядра D состоянии Ь [% 2 и (5.9)].
круrОDая частота элеКТРОМЮ'НИТНОl'О излучения (",==211:'1) ( 2).
круrовая частота, отвечающая переходу между !{DаНТОDЫМИ состояниям.
а и Ь ("'ab==IEa Ebl/n) (з.24).
обозначсние направления; этот символ заменяет оба полярных уrла
6 и Ф ( 3).
\."1 \
r л а В а ХН!
БЕТА-РАСПАД
э 1. ВВЕДЕНИЕ
Каи известно, лучи представляют собой обычные ЭJIеI{Троны и поаJi(
троны. Величина отношения заряда н: массе е/т и заряд е у лучей в преде
лах эн:спериментальных ошиБОR те те, что и у ЭJIен:тронов (позитронов)
[128, 560,842, 843]. Захват орбитальных элеRТРОНОВ (процесс, I\OlШУРИРУЮ
щий с + распадом) ПОRазывает, что ядро мотет захватить обычный aTOM
ный элен:трон, чтобы осуществить переход. Это Является подтверждением
Toro фюпа, что + распад представляет собой ИС УСI\ание обьпшовенных по
зитронов (в теории дырон испусн:ание ядром позитрона энвивалентно за
хвату элен:трона, наХОДЯщеrося в состоянии с отрицательноЙ энерrией).
Позитроны, испущенные ядрами, аниrиллируют при столн:новении с обыч
выми элеRтронами, а вылетающие из Ядер ЭJIен:троны не захватываются на
занятые атомные орбиты, демонстрируя тем самым свою тождественность
с элен:тронами на орбитах [307].
Испусн:ание элеRТРОНОВ ядрами дало повод н: предположению, что
элеI{ТРОНЫ являются составной частью ядерноrо вещества. В то время
(до 1933 r.) нейтрон еще не был известен и протонно элен:тронная модель
ядра представлял ась разумной. По этой модели, например, ТЮ{ое ядро, н:ан:
,N14, состоит из 14 протонов (что дает правильную массу) и 7 элеJ\ТРОНОВ
(что дает правильную величину заряда).
Сильным доводом против TaHoro предположения является то, что ядро
N14 имеет момент н:оличества двитения J == 1. Если бы протонно элен:тронная
модель ядра была справедлива, то ядро N14 состояло бы из нечетноrо числа
(21) элементарных частиц, н:атдая из н:оторых обладает спином 1/2' Поэтому
полный момент I\оличества двитения ядра N14 долтен был бы иметь полу
целое значение. Это противоречило бы эн:сперименту. П риведенный пример
типичен для всех нечетно нечетных ядер.
Друrой довод против представления о постоянном наличии электронов
Б ядре следует иа соотнОшения неопределенности. Элен:трон, зюшюченный
в ядерный объем ПОрЯДI\а R3, долтен с необходи.мостью иметь распре
деление по импульсам, обрывающееся на импульсах порядна Рмаис.",h/R.
Соответствующая таиому импульсу н:инетичеСI\аЯ энерrия (в I{райне реля
тивистсн:ом приБJlитении) равна Е", -пс/ R. Если мы ВОзьмем радиус ядра R",
'" 10 12 см, н:инетичесн:ая энерrия элен:трона он:ажется порядн:а Е", 20 Мэв.
Для Toro чтобы элен:трон с такой эперrией удертивался в ядре, потснциаль
ная энерrия притятения между электронами и протонами (ИJIИ пейтро
нами) долтна быть достаточно велика, чтобы с избытн:ом СJ\омпепсировать
Rинетическую энерrию 1 ). Нин:ан:их дон:азательств наличия CTOJIb сильноrо
1) На самом же деле столь сильный потенциал притяжения не MOI' бы существоватlo
колыю нибудь заметное время. Он вызвал бы непрерывное рождение электронно-по-
зитронных пар, причем возникающиЙ при этом пространствеНIIЫЙ заряд стремился бы
кранировать потенциал (парадокс КлеЙна).
ТА. XII!. Вета-распад
524
!
!
!
,
притюнепия между электронами и ядерным веществом не имеется. Напротив,
существуют убедительные доказательства обратноrо (измерения взаимодей '
ствия между электроном и нейтроном). Тем не менее эксперимент ПOIшзы
вает, чтО элю,троны действительно вылетают из ядер. Казалось бы, мы здесь.
сталн:иваемся с противоречием.
Та!,ое же видимое противоречие уже встречалось нам в теории строения
атома при рассмотрении ИСПУСJ,ания и поrлощения света атомами. Электро
маrнитное излучение не является, повидимому, составной частью атома,
тем не менее оно испускается атомами. В теории атомных спектров это про
типоречие было снято при помощи допущения, что атом может изменить
спое состояние содповременным испусн:анием (или поrлощением) cBeTOBoro
Jшанта. Обычно считают, что световой квант рождается в а!,те испуска ,
ния. Однан:о этот взrляд является несн:ольн:о поверхностным. Элеl{'rРОМaJ'
нитное поле и атом взаимодействуют все время. Это взаимодействие прояв
ляется не только в испусн:ании и поrлощении света, но и в малых постоян
ных возмущениях в строении атома (лэмбовс'кий сдвиr уровней и связаННЫEr
с этим явления; естественная ширина спентральных JIИНИЙ). Таним обра
зом, мы можем сназать, что электромаrнитное поле, хотя оно и не является
составной частью атома, в ненотором роде постоянно существует в атоме.
Несмотря на то, что аналоrия между ИСПУСIшнием света атомами и ис.
пуснанием лучей ядрами кажется довольно естественной, мы должны пре
одолеть еще одну трудность, прежде чем использовать эту аналоrию. Tpyд
ность заключается в видимом отсутствии сохранения энерrии, импульса
и мОмента I,оличества движения при распаде.
}\оrда атом испускает квант света, он переходит из одноrо точно опре
деленноrо состояния в друrое. Вылетающий СIjетовой квант уносит Эllер
rию и импульс, освобождаемые при переходе. Следовательно, энерrия п
cBeToBoro н:ванта есть величина известная, а импульс кванта равен по вели
чине и противоположен по направлению импульсу отдачи атома. ПО анало
rии следовало бы предполаrать, что и электрон испусн:ается при переходе
ядра из одноrо cTporo определенноrо состояния в друrое. При этом вылета
щиЙ элюпрон должен уНОGИТЬ определенную долю энерrии, и ero импульс
должон быть равным и противоположным импульсу отдачи ядра.
Однано на опыте это не наБЩОДqется. Элен:троны испускаются из ядра со'
всеми энерrиями, меньшими некоторой максимальной энерrии EM HC. (Емане.
внлючает энерrию поноя тс 2).' Более Toro, электрон и ядро не обязательно
разлетаются в противоположных направлениях. Заметим, что было бы, н:o
нечпо, очень странн\о, если бы энерrия сохранялась без сохранения ИМПУJIЬ
са; теория относительности показывает, что энерrия и импулъс теснО связа
ны. ОI,азывается далее, что момент количества движения при распаде TaK
же не сохраняется. Рассмотрим распад С 14 N14+ . Спины ядер C 14 и N14
измерены; они равны соответственнО О и 1. Таким образом, спин ядра изме
няется при переходе на целую величину (.:lJ == 1). с друrой стороны, элентрон
кан частица полуцелоrо спина должен унести полуцелыЙ полный момент'
количества движения. Выходит, что момент КОJIичества движения не может'
сохраняться при переходе.
Ключ н объяснению этих явлений дается тем фантом, что мапсималь
ная энерrия СПeJпра (вн:лючая энерrию пон:оя электрона) равна полной
энерrии, освобождаемой при ядерном переходе. М апсимальный импульс
ядра отдачи соrласуется с вычисленным, еСШI принять, что элен:трон
энерrии Е манс . ИСПУСI,ается в направлении, противоположном направле
нию отдачи. Эти фюпы, естественно, объясняются при помощи неЙтРlllt
ной еипоте3Ы Паули.
Нейтринная rипотеза постулирует существование нейтральной ча
стицы (до сих пор не наблюдапшейся) с малой массои и полуцелым спинОМ.
..
.
8 2. Нейтринная eиnomeiJa и форма бета еnектра
525
Принимается, что эта частица, названная «щ йтрино», испускается OДHOBpe
менно с наБЛlOдаемой частицей. ЭнерпIЯ, импульс и момент количества
движения, выделяющиеся при переходе, распределяются между элентро
ном, нейтрино и конечным ядром. частица получает Ма!,симальнуIO энер
rию, если неЙтрино испусн:ается с нулевым импульсом. Это объясняет за
коны сохранения, эн:спериментально наЙденные для мансимальной энерrии
:и мансимальноrо импульса при распаде.
Разность между ман:симальноЙ энеР1"иеЙ час'fИЦЫ Е манс . И полнои
энерrиеЙ ядерноrо превращения Ео дает значение энерrии ПОI,ОЯ неЙтрино
.т,с 2 . Эн:сперименты ПОl\азывают, что энерrия пон:оя нейтрино меньше 25 пэв
и равна нулю в пределах ошиБOl, опыта. l\ажущееся отсутствие сохранения
момента н:оличества движения можно объяснить, если приписать неЙтрино
долуцелыЙ спин. Будем считать, что спин неитрино равен 1/ 2п 1).
До сих пор неЙтрино не удалось наб.шодать на опыте. Это не ЯВJIЯется
непредпиденным фактом. При помощи современных методов неЙтральная
"lастица не может реrистрироваться непосредственно. Она РOl'истрируется
только косвенно, по взаимодействиям с ;заряженными частицами, Нейтрино же,
повидимому, не очень сильно взаимодействует с известными нам частицами.
В самом деле, мы знаем тольн:о один процесс, н:оторый вызывает нейтрино,
процесс, обратныи захвату орбитальноrо электрона: нейтрино поrлощается
ядром, и при этом испускается электрон [52]. Сечение этоrо процесс а может
быть оценено. ОНО IШСТОJIЬКО маJЮ ("" 10 44 см 2 ), что неЙтрино может пройти
н:илометры плотноrо вещества без единоrо столн:новения. Попытн:и прямой
реrистрации нейтрино предпринимались неоднократно [169, 44, 661, 30
'и др.] 2). Косвенные сведения о нейтрино моrли бы быть ПОJIучены из явления
двойноrо распада [279, 280, 611, 506, 256].
2. НЕЙТРИННАЯ rИПОТЕ3А И ФОРМА БЕТ А СПЕRТI) А.
ПРАВИЛА ОТБОРА ДЛЯ РА3РЕШЕННЫХ ПЕРЕХОДОВ
Рассмотрим, каким образом энерrия, выдеЛЯlOщаяся при распаде
распределяется между частицей и нейтрино, т. е. исследуем форму СПeI,тра.
Сначала мы сделаем нен:оторые упрощающие преДПОJIOжения, Iюторые в даль
нейшем можно будет уточнить: пренебрежем н:улоновClШМ взаимодействием
между электроном и конечным ядром, а также энерrиеl1 отдачи ядра.
l\улоновсн:им взаимодействием можно пренебречь толыю для самых
.леrн:их ядер (Z 10) и достаточно больших энерrий элеIпрона. Энерrией же
'отдачи можно пренебречь во всех случаях; потому что масса ядра АИ
значительно больше массы электрона т. Энерrия отдачи мансимаJIЫIa в том
случае, н:оrда вся выдеЛЯlOщаяся при распаде энерrия передается элен:трону.
Если пренебречь массоЙ ПО1юя нейтрино, то ман:симальная энерrия (с учетом
.энерrии пон:оя), которую может получить ,-,пектрон при распаде,
Е манс . == Ео,
,
I
r'
t
,1'де Ео энерl'ИЯ, выделяющаяся при ядерном переходе, а максимальный
импульс электрона определяется равенством
( ) == 11 ( l'MaHC. ) :J 1.
те мане. тс 2
1) ПРОВОДlfЛИСЬ также вычислении [451] дли нсйтрино спина / 21 . Полученная И8
тих вычислений форма спектра исключает такой выбор.
2) В последнее время были сделаны попытни обнаружить свободные нейтрино.
{)тносительно результатов этих опытов см. R е i n е Б, С о w е п, Phys. Rev., 92, 830
(1953). Прuм, перев.
.
526
ТА. XlI Т. Вета-распад
Ман:симальный импульс электрона (Ре)маие. равен маI<симальному им
пульсу отдачи Р маие .. Поэтому мы получаем для максимальноЙ энерrии
f')тдачи Еотдачи (используя нерелятивистсн:ие формулы)
/Еотдачи""- т ( Е маие . т 2 ) (2.1)
""- E " / мане. 2АМ тc2 Е маие . .
Для всех иапестных переходов мнотитель в сн:обках не превышает 30.
Множитоль перед сн:обками меньше 3.10 4 в случае распада одноrо изо
лированноrо неЙтрона и обратно ПРОпорционален массовому числу А. ТЫI:ИМ
обрааом, наше пренебрежоние энеРI'ией отдачи ядра оправдано. Импульс
отдачи ядра Р в хорошем приближонии можно вычислить, если пренебречь
энеРl'ией отдачи и затем опредолить Р из закона сохранения импульса для
ядра отдачи, элоктрона и неЙтрино (предполаrая, что ядро вначале находи
лось в пOJЮО):
р + Ре + ру == о. (22,
Будем считать, соrласно Форми [240], что все вОзможные распределения
энерrии между тремя частицами равнопероятны. Это утверждение может
быть Jюличествонно сформулировано следующим образом, Рассмотрим фазо
воо простраНСТ130 для двух частиц элен:трона и нейтрино. Наша система
не может занимать любоЙ точн:и в фааовом пространстве, потому что сумма
энерrиЙ элонтрона и пеЙтрино опредолена зан:оном сохранепия энерrии
Ее + Е у == Ео. (2.3)
Мы постулируем, 'Что вероятность распада, ведущая п оnределеюiOМУ
доnусти.мо.му объему в фазовом пространстве, прямо nроnорцuональна веЛll
чuне этоео объема.
Рассмотрим н:оночное состтшие, в н:отором элеII:ТРОН распада находится
в элемеНте объема dV e и имеет импульс, зан:люченный между значениями
Ре и Ре + dPe; направление импульса элентрона определяется элементом
телеСПОl'О уrла d 2e' Аналоrичными величинами харан:теризуетея и состояние-
нейтрино (соответствующие воличины, отноенщиеся к нейтрино, будут обо
значаТJ,СЯ индексом '1), Объем рассматрипаемоrо состояния в фазовом про
CTpaHCT130 fiYJIeM измерять R единицах }t 6 == (2r.п)6 При этом получим
Объем в фааовом пространстве == (2 p' )R p dPedQedVep dpyd9;dV у. (2.4)
Используя закон сохранения энерrии (2.3), запишем dpy в виде
( .д Р у ) Еу
dpv == дЕ ' dEo == dEo,
O Р. с Ру
rде инденс при частноЙ производноЙ унааываот, что импульс элон:трона
при дифференцировании должон оставаться постоянным. Подставим это зна
ченно dp., в выражение для фазовorо объема (2.4); поеле подстановни (2.4)
ПРИIшмает вид р (Ео) dEo, rдо р (Ео) ЗНЫl:омое по теории возмущений число'
коночных СОСТОi1НИЙ на единичныЙ интервал ПО.Тlной энерrии. В продполо
жении, что масса нейтрнно равна нулю, имеем
1 .
Р (Ео) == ('> 1i)6 3 P (Ео Ее)2 dPedQe dV edQydV ",
"",п 1 С
rде энерrия неЙтрино Е у выражена череа энерrию элен:трона Ее и ПО.Тlную,
энорrиlO Ео, В СООТВОТСтвии С нашим допущениом, р (Ео) пропорционально
воронтности Toro, что распад ведет н: рассматриваемому частному конечному
состоянию.
Из последней формулы видно, что испуснание элен:трона и нейтрино
во всох нацравлениях равновероятно; между направлениями ИСПУСI\аНИЯ
,l;BYX частиц нет уrловой корреляции. Далее, если представить, что вся
"
8 2. Нейтринная еиnотеаа и форма бета спектра
527
система заключена в большом ящике объемом V, то вероятность найти
электрон и нейтрино в любой области ящика будет одинакова. Оба эти
вывода являются СJlедствием крайних упрощений, использованны.х в нашем
рассмотрении; в дальнейшем эти выводы будут уточнены.
Сейчас нас не интересует положение испущенных частиц в воображаемом
ящике. Поэтому мы проинтеrрируем последнюю формулу по dV e и dV".
Нам не понадобится также знать направление, в котором испущен электрон;
нас интересует тольн:о возможная уrловая корреляция между направлениями
ИСПУClшния электрона и нейтрино. Поэтому мы будем отсчитывать напра
вление вылета нейтрино от направления вылета элен:трона, т. е. заменим
dQy на dQey, rде ееу уrол между направлениями вылета ЭЛOlпрона и ней
трино. Интеrрирование по уrлам вылета электрона приводит к ОI\ончатель
ному выражению для фазовоrо множителя
р (Ео) == 16; 6сЗ P (Ео Ее)2 dPedQey. (2.5)
Если направление вылета нейтрино (нли, что практичеСI\И важнее, Ha
прапление отдачи ядра) не набшодаетсн в эн:сперименте, то следует про
интеrрировать (2.5) таюне и по dQey, что дает добавочный мноЖитель 4п-.
2
P""" р
а
P(P)
PMG1<C, Р
6
Фи r. 121. Вероятность Р (р) dp r3 распада, при котором
электрон ИСПУСlшется с импульсом между р и р + dp.
вид р (р) длfl значений Р. близиих Н маиеимальному, зависит от
велпчины массы ПОИОR неЙтрино т". а схематичесии И80бра;иает
случаЙ ту == О, б случай ту :j: О.
Величина V в выражении (2,5) имеет чисто формальное происхождение-
и выпадает из кснечных выражений.
rлавным результатом, соде жащимся в (2,5), яп.ляется форма спен:тра.
Соrласно (2,5), распределение испущенных ЭJ1ею'ронов по импульсам
описывается соотношением (индекс е опущен)
P(p)dp==Cp2(Eo E)2dp, (2.6)
rде С постоянная. Для малых импульсов это распределение пропорциональ
но р2, ДJIЯ больших импульсов (Е близко к Ео) оно пропорциональн(}
(Ео Е)2. Распределение исчезает на обеих rраницах и имеет ман:симум
в середине. Типичный rрафИI\ Р (Р) показап на фиr, 121, а.
Исследуем теперь, н:ак малая масса нейтрино ту =1= О влияет на форму
спектра. При н:райне релятивистсн:их энерrиях нейтрино (Е" 2> т"с 2 ) форма
спен:тра совершенно не зависит от массы нейтрино. j,оэтому рассмотрим
случаЙ нерелятивистсн:их энерrиЙ нейтрино Е у т"с 2 т,с 2 . Это HepaBeH
ство выполняется на верхней rранице распределения электронов, r)\e эперrия
элен:тронов Ее близка I, своему ман:симаJIЬНОМУ зпачению Е маис . == Ео т,с 2 .
Простое вычисление пон:азывает, что в этом случ ае р (Ео) пропорционально
импульсу нейтрино, т. е, величине V Е raис. - Ее' Поэтому распределение
электронов по импульсам вблизи верхнеЙ rраницы приближается!, оси абсцисс
по вертИIШЛИ, а пе по rоризонтали, кан в случае нулевоЙ массы нейтрино 1).
1) Хотя статистический множитrль правильно воспроизводит общее поведение 'спек
тра вблизи верхней rрапицы, детали 'спектра в случае конечной массы покоя нейтрино-
lIависят не толы{о от статистическоrо множителя, но и от вариантов теории.
tJ28
rA. ХН/. Beтa pacnaд
Схематичесн:и это ПOIшзано на фиr. 121, б. Лучшие известные измерения
дают распределение элен:тронов, которое в пределах эн:спериментальных
ошибок соrласуется с (2.6). Эти измерения можно использоваТh для
Toro, чтобы получить верхний предел значения ту [443, 609, 96]. В pe
зультате (на основе измерений спектра НЗ, см. [178, 179, 344]) по
лучается т у с 2 < 500 эв, т. е. меньше 0,01 от энеР1'ИИ ПОI\ОЯ электрона.
Этот метод определения массы покоя неЙтрино основан на определенных
допущениях, в частности: 1) на допущении, что испускается одно нейтрино,
и 2) на допущении о статистичесн:ом распределении выделяющейся энерrии
между продуктами распада. Масса нейтрино может быть более непосред
ственно определена путем независимоrо измерения энерrии ядерноrо пере
хода Ео и мю,симальной энерrии элентронов Е манс . И использования зан:она
сохранения энерrии Ео -== Е манс . + т"с 2 . Проведенные прямые измерения ту
во всех случаях в пределах ошибон энсперимента соrласуются с Y\OCBeH
ными измерениями по спентру. Это соrласие подтверждает сделанные
выше допущения.
Прежде чем сравнивать полученную формулу для спентра с резуль
татами измерений, необходимо учесть наличие нулоновсн:их сил, действую
щих между частицей и нонечным ядром. Для JTOrO следует пересмотреть
допущения, ноторые мы еделали выше, восполняя имеющиеся пробелы.
Ле1'НО видеть, что тан:ие пробеJIЫ действительно имеются. В самом деле,
.считая, что наша система занлючена в ящике объема V, мы не можем
утверждать, что элен:трон распада с данным импульсом Ре может с равной
вероятностыо быть обнаружен в любой области ящика. Положение и им
пульс элен:трона евязаны, потому что импульс элентрона направлен от ядра,
испустившеrо этот элентрон.
Тан:им образом, попытн:а в некоторых отношениях более точно опре
делить вероятность распада оказывается неудачной вследствие неполноrо
учета физически существенных фанторов в самих первоначальных допуще
ниях. В дальнейшем мы будем предполаrать, что вероятность распада есть
произведение четырех множителей:
1) исходной вероятности р (Ео) (2.5) (принимаемой без дон:азательств);
2) вероятности найти электрон в объеме ядра, т, е, интеrралу I О/е 12dVe,
RЗЯТОМУ по объему ядра;
3) вероятности найти нейтрино в объеме ядра, т, е. интеrралу 10/'112 dV у,
взятому по объему ядра;
4) HeI\OTopoMY множителю, отражающему свойства ядра, н:оторый еще
{\ледует онределить из более деТaJIЬНОЙ теории. Пона что предположим,
что этот множитель не зависит от Toro, каким образом распределена энерrия
между элен:троном и неЙтрино.
Необходимость множителей (2) и (3) можно уяснить, рассмотрев обрат
выЙ процесс, при н:отором в начальном состоянии элен трон и нейтрино
находится в ящин:е объема rт вместе с w,Оflе'ЧllЫМ лдром У. Вероятность
реан:ции У + е + '/ == Х, обратной распаду, пропорциональна вероятности
Toro, что ядро У одновременно взаимодеЙетвует с е и ,/, Следовательно,
множители (2) и (3) появляются при рассмотрении процесса, обраТНОI'О
распаду, еС.JIИ предположить, что взаимодеЙствия частиц с ядром и между
собоЙ ЯВJlЯются точечными. Так нан: вероятность распада и вероятность
обраТIIоrо процесса связаны между собоЙ соотношением взаимности (см. rл Х,
S 2), множители (2) и (3) он:азываются существенными и для распада.
Рассмотрим моменты количества двитения испущенных элентрона и ней
трино: le и ly. Так нан длины волн электрона и нейтрино значительно
8 2. Нейтринная еиnотеаа и форма бета сnектра
529
больше, чем радиус ядра, мы можем приближенно заменить интеrрал
I О/е 12 dV e по объему ядра выражением I О/е (О) /2 V N, rде V N объем ядра,
а О/е (О) волновая фунн:ция элен:трона, вычисленная в центре ядра. Такое же
приближение используем и для нейтринноrо мнОЖителя (3).
Волновая фунн:ция О/е свободноrо электрона с волновым числом ke == pJh,
испущеннOI'О с моментом н:оличества движения le, на малых расстояниях re
от начала координат (помещенноrо в центре ядра) пропорциональна (kere)lo.
Тан:им образом, О/е (О) исчезает, если момент н:оличества двитения испущен
Horo элен:трона отличен от нуля. Те же соображения справедливы и для
нейтрино. Поэтому мы ПРИХОl1.им -1\ выводу, что элен:трон и нейтрино испу
СRаются с нулевым моментом количества движения (постольку, ПОCJюльку
справедливы сделанные нами приближения). iiTO зан:лючение находится
в соrласии с интуитивным представлением, по н:оторому испущенный элек
трон должен наблюдаться uлетящим от' ядра. Нулевой момент Количества
движения означает нулевои параметр соударения, т. е. электрон вылетает
по прямой из центра ядра 1).
На самом деле средние значения I О/е (r) /2 и I О/У (r) 12 не равны значениям
этих величин при r == О. Это пон:азывает, что испусн:ание леrн:ой 'частицы
с моментом ноличества движения, отличным от нуля, возможно, хотя OT
носительная вероятность TaHoro Процесса во MHoro раз меньше. Мы будем
называть «разреUlенными перехода.ЛНI» такие переходы, при которых электрон
и нейтрино испускаются с нулевым моментом количества движения, а «за
прещенными переходами» относительно менее вероятные переходы, при
ноторых одна или обе частицы испусн:аются с моментами количества движения,
оТЛичными от нуля.
. Учтем теперь спин испуснаемых частиц. R'аждая из них имеет спин 1/2'
Эти два спина, номбинируя; MorYT давать полный спин, равный либо нулю
(синrлетное состояние), либо единице (триплетное состояние).
Теория в ее современном виде не может сназать, накое из этих нонечных
состояний Осуществляется в действительности при распаде. Леrкие ча
стицы MorYT он:азаться Испущенными либо в синrлетном или триплетном
состоянии, либо в номбинации этих двух состоЯний. Чтобы решить этот
вопрос, надо обсудить следствия, вытеI\ающие из различных возможностей
и сравнить их с эн:спериментальными данными.
Если элен:трон и нейтрино испущены в синrлетном спиновом состоянии,
то полный момент Н:Оличества движения, уносИмый этими двумя частицами,
есть орбитальный момент, т. е. нуль в случае разрешенных переходов. 3Ha
чит, в этом случае мОмент I\оличества движения I\онечноrо ядра должен
равняться моменту I\Оличества движения исходноrо ядра. Далее, посн:ольку
и элеI\ТрОН и нейтрино ИСПУСI,аются в S состояниях (/==0), ноторые являюТся
четными, четность волновой фУНI\ЦИИ ядра должна остаться неизменной.
ТаI\ИМ образом, в случае синrлетноrо испусн:ания мы получаем правило от.
opa Ферми для разреUlенных переходов:
д] == О, четность не меняется.
(2.7)
Для случая, I\оrда элеI\ТрОН и нейтрино ИСПУСI\аются в триплетном спи
новом состоянии, т. е. с параллельными спинами, правило отбора ОJ{азы
вается иным. Поскольну спин не определяет четности, правило отбора по
четности остается прежним. Тан:им образом, для триплетноrо испускания
1) Это утверждение, нонечно, оrраничено соотношением неопределенноати rейвеI.
берrа (см. rл. VIII, 2).
з4 3анаа М 39
.,.;, '
'. ,
530
Fл,. XIlI. Beтa pacnaд
мы получаем друrое правило отбора правило отбора rа.мова Теллера для
разрешенных переходов:
А! == О, :f: 1 (исключаются О О переходы), четность не меняется. (2.8)
Надо отметить, что наше разделение состОяний леrких частиц на син
rлетные и триплетные оправдано только в нерелятивистсн:ом приближении
Если частица имеет релятивистсн:ую энерrию, невозможно отделить орби
тальный момент от спиновоrо и определить четность состояния 1 ). С друrой
стороны, ядра, повидимому, не следует рассматривать в релятивистском
приближении. Поэтому мы еще можем использовать четность ядра и
конечно, полный момент количества движения J н:ак хорошие нвантовые-
числа. Более CTporoe релятивистсн:ое рассмотрение распада показывает
(см. 5), что имеет смысл сохранить правила (2.7) и (2.8), чтобы раЗJIИ
чать два характерных случаяиспусн:ания леrJШХ частиц в разрешенных пере
ходах; в нерелятивистском приближении эти два случая соответствуют син
rлетному и триплетному испусн:анию.
Правила отбора (2.7) и (2.8) пон:азывают, н:акие переходы разрешены
при синrлетном или триплетном испусн:ании соответственно. Переходы, в н:o
торых не выполняется условие (2.7) для СИНrJютноrо испускания или (2.8) для
триплетноrо испусн:ания, включают вылет леrн:ой частицы с моментом н:оли
чества движения, отличным от нуля. Поэтому тан:ие переходы запрещены
и предполаrается, что при прочих равных условиях разрешенные переходы
имеют большую вероятность, чем запрещенные 2 ). Этот фан:т будет использо
ван в пОпытн:е разделить эн:спериментально две rруппы переходов.
Выясним теперь, н:ан: влияют добавочные множители (2) и (3), введенные-
нами на стр. 528, на форму спен:тра разрешенных переходов. Сначала дoн:a
жем, что до тех пор, пOIШ можно пренебреrать кулоновсн:им взаимодействием
между электроном и конечным ядром, эти множители не влияют на форму
спеRтра. IIредставим, что элеRТРОН заRлючен в ящине объема V. ТО1'да
\ V N
J 1 О/е [2 dV e I О/е (О) 12 V N == .
(2.9)
81'0 выражение не зависит от энерrии. Подобное же соотношение имеет
место и для ИНТOl'рала I О/'! 12 dV. Поэтому форма спен:тра определяется
статистичесн:им множителем р (Ео) (2.5).
Если учесть влияние RУЛОНОВСН:ИХ сил на элентрон, то lo/e(0)1 2 будет
зависеть от энерrии. Рассматривая элен:трон нерелятивистски, можно полу
чить приближенное выражение для IIоправн:и на кулоновсн:ое взаимодействи&
н: форме спектра
F (Z, Е) == I e (о; 12
I e (о) !СВОО.
21t'l)
1 e 21t1)
(2.10)
Здесь 'ТI == Ze 2 (liv для элен:тронов и 'ТI == Ze 2 jпv для позитронов, rде-
l' сн:орость частицы вдален:е от ядра, Z . атомный номер -конечноео ядра.
Эта поправн:а увеличивает вероятность испускания элен:тронов и уменьшает
вероятность испусн:ания позитронов, особенно в области малых энерrий.,
1) Спин тан называемых «малых составляющих» волновой Фупнции Дирана всетда
противоположен спину «больших составляющИХ». Для релятивистсних энерrий и большие
и малые составляющие имеют одинаRОВЫЙ порядон величины. Четность волновой функ
ции становится неопределенной. Рассмотрение четности для случая частиц со спином 1/2'
см. Б работе [835).
2) Это утверждение вытекает из нерелятивистскоrо рассмотрения электрона И нейт
рино, Iюторое ведет R правилам отбора (2.7) и (2.8). Нерелятивистское рассмотрение не
может СJIУЖИТЬ доказательством, тап IШI{ нейтрино всетда есть реJIЯТИВИСТСIШЯ частица.
8 2. Нейтринная еиnотеаа и форма бета-спектра
531
#.
При больших энерrиях влияние кулоновсн:их сил на форму спектра умень-
шается и спен:тр приближается к вычисленному без учета кулоновскоrо
взаимодействия.
Поведение спен:тра при очень малых энерrиях позитронов или элен:тро-
нов ldОЖНО определить непосредственно из (2.6) и (2.10).
При отсутствии н:улоновских сил спен:тр при малых энерrиях про-
порционален р2. R'улоновсн:ий поправочный множитель F (Z, Е) при малых
импульсах элен:трона обратно пропорционален р. Поэтому в области энерrий,
настолы,о малых, что 27t7j;?-> 1, распределение элен:тронов по импульсам
Р(р)
а
...Е..
те
Р(Е)
6
Е
тс 2
Фи r. 122. Схематическая картина влияния куло-
HOBcKoro поля на форму спектров в разреmенных:
переходах.
а распределение по импульсам. Р (р) dp есть число ис-
пущенных алентронов в интервале импульсов от р до
р + dp; б распределение по энерrинм. Р (Е) dE обозна-
чает число испущенных алентронов в интервале анерrий
от Е до Е + dE. Кривые, обозначенные инденсами B
и В+. относнтсн соответственно н случанм алентронноrо
и позитронноrо распадов.
пропорционально р, а не р2. Для случая ИСlIуснания позитрона малой
энерrии н:улоновский поправочный множитель F (Z, Е) становится про
ПQрциональным (1/р) e clp, 1'де с постоянная величина. Поэтому распределе
ние по импульсам позитронов малой энерrии пропорционально pe cIP,
т. е. быстро стремится н: нулю с уменьшением р. На фиr. 122 схематичесни
изображены эти особенности спектров.
В некоторых случаях интерес представляет не распределение по импуль
сам, а распределение по энерrиям. Так кан: с 2 р dp == Е dE, распределение
по энерrиям получается из распределе ия по импульсам путем умножения
на Е / рс 2 . При энерrиях, близн:их н: энерrии пон:оя элен:трона тс 2 , и в OT
сутствие н:улоновскоrо поля энерrетический спектр пропорционален р. При
наличии н:улоновсн:оrо поля энерrетичесн:ий спен:тр для элен тронов малых
энерrий приближается к постоянному н:онечному значению. Для позитронов
малых энерrий спектр пропорционален e, clp. .
31*
..
532
rA. XIII. Beтa paenaд
Влияние :кулоновскоrо поля можно н:ачественно уяснить следующим
образом: 'в момент вылета из ядра энерrетичесн:ое раепределение для элек-
тронов и позитронов одина:ково. l\улоновсное поле ядра ускоряет позитроны
и замедляет элен:троны. Поэтому в энерrетичесн:ом спен:тре позитронов о:казы-
ваотся меньше медленных частиц, а в спен:тре электронов тат,их частиц
больше, чем при отсутствии КУЛОНОВСН:Qrо ПОJJЯ. Соrласно этому н:ласси
ческому объяснению, следовало бы ожидать, что в спен:тре позитронов
совсем не будет частиц с энерrиеЙ меньше нен:оторой определенной
)Зеличины (равной энерrии потенциальноrо ба рьера Ze 2 / R, 1'де R радиус
ядра). В действитеJJЬНОСТИ позитронныЙ спен:тр содержит позитроны Ma
лоЙ энерrии; это является результатом н:вантовомеханическоrо эффен:та
прониrшовония через потенциальный барьер. l\улоновский множитель
(2.10) уже знаном нам по теории рассеяния протонов на протонах (см.
rл. 11) и по теории ядерных реакций, вызываемых заряженными части
цами (см. rл. VIII). l\улоновспая поправн:а становится существенной, коrда
2'!t' I 7J/ == 2'!t'Ze 2 /пv 'CJ:. 1.
Выражение (2.10) ДJШ кулоновсноrо поправочноrо множителя должно быть уточнено
в двух отношениях:' неоGходимо учесть реШIтивистские поправки, а также экранирова.,
ние ЭЛCI{трическоrо поля ядра атомными электронами.
Если электрон описывается при помощи уравнения Дирака, интеrрал I e [2 dV
(по объему ядра) уже нельзя заменить на I в (О) 12 V N' потому что радиальная функция
Дирана обращается в бесконечность при r == О. Однако эта бесконечность очень слабая, и,
кроме Toro, волновая функция элен трона в ядре не растет до бесконечности, посколы,у
заряд в ядре не точечный, а распределен по объему ядра. Обычно интеrрал [ e 12 dV
заменяют на [ e (R) 12 V N' rде R радиус ядра. Такое приближение не приводит к заме
ным ошибкам [313]. В этом приближении релятивистский кулоновский поправочный
множитель (без учета экранирования) равен
F(Z, Е) Ss ]S; (2рр)2Не'Т'1j[(s 1+i'lj)!12,
(2.11)
rде s == Vl (Ze2/he)2, р == R/(h/тc), R радиус ядра, р импульс электрона или
позитрона в единицах те, 'Ij равно + Ze 2 jhv для Fiлектрона и Ze2/hv для позитрона,
V CKOpOCTb ЭЛeIпрона или позитропа, Z зарнд конечноrо ядра [240].
Последний мноЖитель в (2.11) представляет собой функцию, которая еще не табу
ЛИрована. Поэтому для представления (2.11) полезно простое аналитическое приближе
ние, выраженное через табулированные функции. Приведем выражение, которое спра
ведливо с точностыо более 1 % по абсолютной величине для всех энерrий и всех имею
щихся значений Z и с еще большей точностью воспроизводит форму спентра [336]:
F (Z Е ' ) "'" 41t (1 + в) ( 2 ) 2З 2 ( 2 2 ) S 1/2 l 'J ф 2 s ]
' '"'" [(28) ']2 рр S +'Ij ехр w 'fj S+6(S2+'fj2) ,
(2.12)
rде все обозначения те же, что и в предыдущей формуле, а величипа . Ф == arctg (sj'fj).
При Z==O эта формула дает 1,0046 вместо единицы, что позволяет получить некоторые
IIредставления о величине ошибки в приближении (2.12).
Труднее определить попраВRУ на экранирование ноля !{онечноrо ядра атомными
электронами. К счастью, эта поправка важна только при довольно малых энерrиях
(ПОрНДIШ 100 "ав или меньше). В работе [638] показано, что для электронноrо распада
поправна на энранирование совсем не иrрает роли; позднейшие вычисления [488, 629]
подтвердили это зан:лючение. С друrой стороны, при испускании позитронов поправка
Ба экранирование очень важна. Численные расчеты на ENIAC J) показывают [629], что
в этом случае поправка на экранирование дает множитель 2 при энерrиях, близких
к 80 "0&, И множитель 1О при 25 "0&.
1) Счетная машина. При.... перев.
8 2. Нейтриппая еЮl,Oтеаа и фор.мабета сnектра
533
Суммируя полученные сведения, можно считать, что епептр импульсов
ttaemиq в разрешенных переходах имеет вид
р (р) dp == СР (Z, Е) р2 (Ео Е)2 dp,
rде С поетоянная, зависящая, вообще rоворя, от свойств ядра, а фунrщия
F (Z, Е) приблизительно определяется выражением (2.10) (для Z, меньших
чем примерно 30, и н:инетичесн:ой энерrии Е, большей нескольких сот пэв)
и более точно выражением (2.12) (с учетом для позитронов поправн:и на
энранирование [629]).
Обычно при изучении распада энерrия измеряется в единицах тс 2 ,
а импульс, в единицах те. Поэтому в дальнейшем бупва Е будет исполь-
зоваllа длл обознач(тил безразмерной
велиttИНЫ Е /те 2 , а бупва р длл обо
зна ttенил р / те.
Распределение по импу.пьсам Р (р)
измеряется непосредственно по распре
делению радиусов н:ривизны частиц в
маrнитном поле. В 1936 r. Кюри [449]
пон:азал, что полученные тан:им образом
данные можно простым образом изобра
зить на rрафин:е. Из (2.13) сл едует,
что rрафик функции VP (р)/Рр2 В за
висимости от энерrии Е есть прямая,
пересен:ающая ось абсцисс при Е == Ео,
rрафик Кюри имеет то преимущество,
что для ero построения не нужно точ
Horo знания энерrии распада Ео, а при
помощи эн:страполяции ero можно даже
использовать для определения Ео. Этот
rрафик служит простым и эффективным способом проверн:и Toro, имеет ли
измеренный епектр форму разрешенноrо 1). fрафин: Кюри для распада
835 (взятый из [4, 161]) пон:азан на фиr. 123. Как видно из rрафика, всюду,
н:роме области нрайне малых энерrий, соrласие между теорией и эн:сперимен
том является превосходным. Отклонение от прямой линии при очень малых
н:инетичесн:их энерrиях объясняется различноrо рода эн:спериментальными
ошибн:ами и не является действительным разноrласием 2).
Чтобы убедиться в важности TaKoro соrласия с теорией, вычислим
форму разрешенноrо спен:тра в предположении, что при н:аждом распаде
испусн:аются два нейтрино. Объем, занимаемый в этом случае системой
в фазовом пространстве, определяется заноном сохранения энерrии Ее + Е у +
+ E[J. == Ео, rде индеI{СОМ [1. обозначено второе нейтрино. СоответствующиЙ
элемент объема в фазовом пространстве пропорционален p dPep dpyp dplJ.'
Исн:лючеНИfJ импульса BToporo нейтрино, подобное преобраЗ0ванию форму,;н,
(2.4) в (2.5), дает в этом случае
рЕо "-' p (Ео Ее Еу)2 p dPe dpy
(2.13)
[P(p)/F(Z,E)p 2 j'h
Энерzuя
Е
Фи r. 123. rрафик :Кюри споюра 835.
Точии уиладываютсл на прямую. что яв
ляется прианаиом раарешенноrо спеитра.
Пересечение прямой с осью аб()цисс дает
маисимальную энерrию элеитронов в спеит
ре. Неsначительные отилонения при малых
энерl'ИЯХ представляют собой аппаратурные
эффеиты.
(массы пон:оя обоих нейтрино считаются равными нулю). Поскольн:у ней
трино '1 не наблюдается, так же н:ан и нейтрино [1., интеrрирование по ру
приводится В пределах от нуля до (Ео Ее)/с. Это дает для формы пен:тра
1) Относительно orOBOpOI\, касающихся этой процедуры, см. [450].
2) Ранние измерения .спектров, I\азалось, противоречили теории Ферми. В 1939
1940 rr. Лоусон [467,468] и Тайлер [750] первые преодолели экспериментальныо TPYДHO
сти и провели достаточно точные измерения, допускающие обоснованное сравнение с Teo
рисй.
531
rл. XIII. Beтa pacnao
выражение
р (Ео) dpy '" p (Ео Ее)5 dPe:
(2.14)
Для распределения (2.14) характерно сильное увеличение спектра со стороны
малых энерrий, что делает стремление к нулю на верхней rранице rораздо
более быстрым, чем в спектре (2.6), вычисленном на основе представления
об испуснании тольн:о одноrо нейтрино. Нет нин:ан:оrо сомнения в том,
что спектр (2.14) противоречит эксперименту. Большое различие между
спен:трами (2.6) и (2.14) вместе с экспериментальным подтверждением спектра
(2.6) (исправленноrо на кулоновское взаимодействие) является значительной
поддертн:ой однонейтринной rипотезы Паули 1).
s 3. 3АХВА Т ОРБИТАЛЬНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ
Ядро н:аждоrо атома, радиоан:тивноrо или нерадиоан:тивноrо, всеrда
окружено электронами. Блаrодаря этому ядро, нестабильное относительно
позитронноrо распада, мотет вместо испуснания позитрона захватить .один
из орбитальных элен:тронов [840, 537], Это несимметричное свойство пози
TpoHHoro распада в сравнении с элен:тронным не противоречит фундамен
тальной симметрии меrН:ДУ электроном и позитроном. Если бы BoHpyr ядра
имелись позитроны, ноторые моrJIИ бы захватываться flДрОМ, захват пози
тронов ноннурировал бы с элен:тронным распадом так же, как захват
элен:тронов нонн:урирует с позитронным распадом, причем энеРI'етические
соотношения БыJIи бы точно тан:ими те.
MorYT иметь место такие необычные условия, в н:оторых ядра не OKPy
iНeHЫ электронами. В этом случае захват орбитальных электронов не про
исходит. Вообще rоворя, вероятность захвата орбитальных электронов за
висит не только от свойств ядра, но и от свойств элен:тронноrо облан:а,
ОКРУiНающеrо ядро [185]. Поэтому один и тот те распад может происходить
с различной вероятностью, если ядро онрутено CJJerHa различающимися
элентронными оболочн:ами (например, коrда ядро входит составной частью
в разные моленулы). Этот эффект наблюдался эн:спериментально [678, 474,
46, 93, 94].
При рассмотрении захвата орбитальных элен:тронов мы так же, н:ак
и в 2, будем исходить из статистических соображений. На этот раз статисти
чесн:ий множитель имеет друrой вид, тан н:ан элен:трон до захвата находится
в определенном квантовом состоянии. Поэтому объем фазовоrо пространства
полностью определяется энерrией испущенноrо нейтрино. Этот объем равен
(2;п)3 p dp" dQy dV у == Р' (Еу) dE y .
Кан и раньше, находим статистический множитель р (Е у ) из р' (Еу)
интеrрированием по всем возмотным положениям частицы внутри ящика,
т. е. интеrрированием по dV у. 'Уr.ТIOвая н:орреляция не иrрает здесь нин:акой
роли, посн:ольку нейтрино всеrда испускается в направлении, противополож
ном отдаче ядра, и интеrрировать можно по всем уrлам dQy. Проинтеrриро
вав, получим
р (Еу) == 2п2 3c3 (Ео + тс 2 Е в )2.
(3.1)
1) Совершенно невависимо от этих соображений было бы ватруднительно ввести два
нейтрино, ПОСRОЛЬRУ они не моrли бы быть одинюювыми частицами. Чтобы получить
сохранение момента Rоличества движения при распаде, спин одноrо нейтрино должен
быть целым, а друrоrо полуцелым.
[
s 3. Захват орбиталь1tы:v эмктро1tов
535
Здесь предполаrается, что масса нейтрино равна нулю. Через Ео обо-
.значена энерrия, выдеЛfIющаяся при рассматриваемом ядерном превращении,
а через Ев энерrия связи захваченноrо элен:трона с атомоМ.
Будем снова считать, что вероятность захвата определяется четырьмя
множителями, перечисленными в 2. Множитель (1) для случая элен:трон
Roro захвата определяется формулой (3.1). Мы оrраничимся рассмотрением
разрешенных переходов с захватом элен:тронов. Тоrда веронтность обнару
жить нейтрино в объеме ядра [см. (3) на стр. 52 ] равна, так же как
и в 2, VN/V. Однан:о вероятность обнаружить элен:трон в объеме ядра
{см. (2) на стр. 528] имеет теперь совершенно иной вид. Этот множитель
уже не пропорционален 1/V. Элен:трон до захвата СВfIзан с ядром. Поэтому
веронтность обнаружить элен:трон внутри объема ядра не зависит о]' размеров
ящин:а, в н:оторый заключена система. Эта вероятность зависит от Toro,
в каком н:вантовЬм СОСТОfIНИИ находится элен:трон. Вероятность нахождения
.элен:трона ВIIУТРИ ядра мала для электронов на внешних орбитах и сравни
"Тельно велин:а для электронов во внутренних оболочн:ах атома. Полная
вероятность захвата определяется в основном захватом элен:тронов с самой
нижней оболочки атома (эта оболочн:а называется К оБОЛОЧI\О:Й в физике
рентrеновсн:их лучей и 1s оболочкой в спен:тросн:опии). Если отвлечься от
релятивистских поправок, вероятность обнаружить К элеRТРОН (т. е. эл&-
нтрон К оболочн:и) внутри ядра равна отношению объема ядра V N I\ объему,
rраниченному первой боровсн:ой орбитой:
\ [ ,11 1 2 dV == ( Zтe 2 ) 3 V
J 'fe е 1t п2 N.
3ту величину следует умножить на 2, посн:ольну на К оБОЛОЧI\е имеется
два элен:трона, н:аждый из ноторых может быть захвачен ядром.
Вероятность К захвата может быть записана в следующем виде:
ln 2
13еронтность захвата == == С/к.
tK
(3.2)
ОпределеннаfI этим равенством величина tK есть период полураспада радио
активноrо ядра, если К захват единственный механизм распада Э'l'оrо
ядра, т, е. если энерrия Ео, выдеЛfIющаяся при переходе, оrраничена
неравенствами
.
I
f
(тс 2 Ев) < Ео < тс 2 .
Если Ео > тс 2 , то имеет место еще один конн:урирующий процесс
испусн:ание позитронов, и период полураспада меньше tK. Определим веJIИ
чину /к тан:, чтобы постоянная С в (3,2) имела тот же вид, что и в (2.13) 1).
Энерrии Ео и Ев измерfIЮТСЯ в единицах тс 2 . Энерrия связи К элек
"Трона Ев равна (в нерелятивистсн:ом приближении)
Е ве ==! 1==J e ze2 ) 2
тс2 J 2 пс (ДJIfI К элен:трона). (3.3)
Torдa для /к в (3.2) находим
/К == 21С е e: ) 3 [ Ео + 1 ; е e: у J 2 . (3.4)
Подчерн:нем, что в (3.4) Z заряд исходноео ядра.
i
f
1) Так н:ак направления спина электрона и нейтрино на опыте не, наблюдаются,
азовый множитель (3.2) или (2.5) следует умножить на статистические веса конечных
<спiшовых состояний. Статистические веса равны 2 в случае захвата электрона (испускание
одной частицы спина 1/2) и 4 для .распада (испускание двух частиц спина 1/2)' Это дает
множитель 2 в (3.4).
" "
i:::\_, _._
<:
\'1
"7:
:'
l'
::
2
tf,.
t:
'",
I
.
"
.
,
-'7.\
536
rд,. ХIl!. Вета-расnао
При больших значениях Z в это выражение следует внести реЛЯТИВИСТСRие no
IIраВRИ, а таRже попраВRИ на ЭRранирование RУЛОНWJСRоrо поля ядра внешними элеR
тронами. ЭRранирование МОжно приблизительно учесть, заменив заряд ядра Z эф
феRТИВНЫМ зарядом», RОТОРЫЙ обычно берется в виде Z O,3 [51]. Тоrда, с учетом еще
реЛЯТИВИСТСRОЙ попраВRИ, выражение (3,4) заменяется на
fK==27t(2p)2S 2 2 r 1 + 28 (Eo+S)2.
Обозначения в (3.5) те же, что и в (2.11) и (2.12), кроме r == Ze2:пc.
Ядро мотет захватить электрон не тольн:о с К оболочн:и атома, но
и с друrих оболочек, например с L оболочн:и, н:оторая вносит в вероятност:Ьо
захвата наибольший ВIшад после К оболочн:и. Так как вероятность найти
электрон внутри ядра для электронов L оболочн:и значительно меньше,
чем для электронов К оболочн:и, захват электронов с L оболочн:и значи
тельно менее вероятен, чем К захват. Однан:о тан:ой захват' .наблюдалсл
[598]. Если отвлечься от переходов с очень малой энерrией (Ео отрица
тельно и по абсолютной величине HeMHoro меньше, чем тс 2 Ев), можно
при оценке вероятности захвата электронов не учитывать захват с L обо
лочки. Может, однан:о, Случиться, что энерrия перехода настолько мала,
что захват с К оболочн:и энерrетически невозможен, в то время н:ан: захват
электрона с L оболочки еще возможен. В этом ИСн:лючительном случае
вероятность захвата электронов почти целин:ом обусловлена захватом
с L оболочки.
Захват орбитальных элен:тронов не может наблюдаться непосредствен
но, посн:ольн:у всё событие происходит внутри атома. Единственной испу
сн:аемой частицей является нейтрино. Кан: известно, все попытн:и обнару
ЖИ'l'Ь нейтрино до сих пор не дали успеха. Захват орбитальных электро
нов определяется по испусн:анию рептrеновских лучей из атома в нонечном
состоянии: атом остается с пустым местом в К оболочн:е, которое заполняется
одним из внешних элен:тронов. При этом испусн:аются реНТI'еновсн:ие лучи,
характерные для конеЧноrо атома. Наблюдение этих лучей и дон:азывает, что
К захват произошел [1]. Однако по рентrеновсн:им лучам нельзя определить
энерrию ядерноrо переХода. Эту величину следует Исн:ать друrими способами
[например, определяя величину Q в реан:ции (р, п), при помощи н:отород
стабильное ядро мОжно сделать радиоан:тивным]. Для большинства радио
активных ядер, распадающихся тольн:о с захватом орбитальных электронов,
энерrия ядерноrо перехода Ео неизвестна (или известна с весьма малой
степенью точности).
Поскольн:у при К захвате электроны не испусн:аются, весь импульс
отдачи ядра обусловлен испусканием нейтрино. Поэтому наблюдение ИМ
пульса отдачи в данном случае дает добавочные Подтверждения нейтрин
ной rипотезы [420, 6, 826, 700].
(5.5)
s 4. ПЕРИОДЫ ПОЛУРАСПАДА БЕТА-AlПИВНЫх ЯДЕР
И ОБОСНОВАНИЕ ПРАВИЛ ОТБОРА ДЛЯ РАЗРЕШЕННЫХ ПЕРЕ ХОДОВ
Вероятность Toro, что элен:трон при распаде получит импульс, лежа
щий в заданном интервале dp, определяется формулой (2.13). Чтобы по
лучить отнесенную к еДИнице времени полную веронтность распада aн:
тивноrо ядра, проинтеrрируем Р (р) dp по всем имПульсам. Зная полную
вероятность распада, мотно найти период полураспада aI{тивноrо ядра:
Вероятность распада== It 2 ==Cf (Z, Е о ),
(4.1)
".
'"',
s 4. Периооы nолурасnаоа бета а1!:тив1tых lioep
531
rде фунн:ция f (Z, EoJ) есть интеrрал
РО
f (Z, Ео)== F(Z, Е)р 2 (Eo E)2dp. (4.2)
о
Верхний предел интеrрирования РО, определяемый равенством РО == V E 1"
есть максимальный импульс элен:тронноrо спектра, выраженный в едини
цах тс. Интеrрал может быть вычислен точно при Z == О, т. е. без учета
Влияния н:улоновсн:их сил на форму спен:тра. В этом случае получаем
f (O, Ео) === 610 V E 1 (2E 9E 8) + 1 Ео 1n (Ео+ V E 1).
(4.3)
Для больших значений Ео эта функция пропорциональна E . Однано>
в интересующей нас области энерrий 1,1 <:Е()<: 10 фунн:ция f изменяется
не как E , а скорее как (Ео 1)4. В большинстве случаев мы не можем
пренебречь влиннием кулоновских сил на форму спектра, а следовательно.
и на время жизни ан:тивноrо ядра. Для значений Z =1: О интеrрал (4.2)
приходится определять численно. Таблицы и rрафин:и этой функции можно-
найти в [235, 545] и др. .
Подобным же образом определяется вероятность испусн:ания позитрона.
Б единицу времени:
Вероятность + распада== lп2 ==Сf+(Z, Ео), (4.4)
t+
rде f + тан:ой же интеrрал, н:ак и (4.2), с тем тольн:о отличием, что.
поправка на н:у лоновские силы берется для позитронов ('IJ == Ze 2 j1iv).
Вычислеnные значения f+ можно найти там же, rде и f .
В отличие от случая распада наблюдаемое значение периода полу
распада позитронно ан:тивных ядер не равно величине t+, определенной
равенством (4.4). Всеrда, н:оrда энерrетичесн:и возможно испусн:ание пози
трона, происходит также и К захват, что сон:ращает время жизни ндра.
Вероятность захвата электронов мы определили Б предыдущем параrрафО'
[см. (3.2), (3.4), (3.5)]. Если возможен ТОЛЬНО один ядерный переход, ero-
вероятность равна сумме вероятностей К захвата и позитронноrо распада.
В уте цитированных работах можно таите найти отношение вероятности
К захвата к вероятности позиТронНоrо распада для разрешенных переходов.
Радиоан:тивное ядро распадается, RaK правило, из OCHoBHoro состояния..
потому что для возбужденноrо ядра испусн:ание I KBaHTOB обычно во MHoro-
раз вероятнее, чем распад. Изомерные состонния (см. rл. ХII, 6}
иноrда дают исн:лючения из этоrо правила. Конечное ядро может оказаться
не только в основном, но и в Бозбутденном состоянии. В этом случае'
распад называется «сложным». Вероятность переход а в случае слотноrо-
распада есть сумма вероятностей отдельных переходов. По энерrетическим
соображениям К захват более выrоден, чем испуснание позитронов. Поэтому
позитронный распад может происходить наряду со сложным (т. е. ведущим
к несн:ольн:им н:онечным состонниям) захватом элен:тронов. Это Mome'J; при
вести R очень большим значениям отношения вероятностей К захвата-
и позитронноrо распада. Если или + распад является сложным,
наблюдаемый спен:тр представляет собой суперпозицию спен:тров различных
возможных переходов. Этот спен:тр наложения может иметь довольно слож
ную форму даже в том случае, Коrда все отдельные спен:тры являютсfl'
разрешенными [60]. В HeRoTopblX случаях мы можем установить наличнО'
слотноrо распада, разлаrая наблюдаемый спен:тр на н:омпоненты, н:аждаа
из которых имеет разрешенную форму (одна из н:омпонент может COOTBeT .
ствовать запрещенному спен:тру, см. 7). Однако однозначное доназатель
*
" .>
>,
"
""-
,
t
(:"
[':
.'
F
t
t',
1;;,
.,
;<!
t
i'
.
k
;-;.
>
;t.
::!!
-- ,]
.'5'38
rл. XIII. Вета.расnао
-ство сложности распада лучше Bcero устанавливается измерением совпаде
пий во времени между частицей, при испускании КОТОРОЙ ядро переходит
в возбужденное н:онечное состояние, и l квантами, которые испусн:аются
:при переходе конечноrо ядра в основное состояние (см. [535] и ссылки,
имеющиеся в этой работе).
Множители f , f+ и fK зависят ()if условий вне ядра, поскольн:у при
их определении мы лишь использовали статистичесн:ие сообратения и учли
Rулоновсное поле. Свойства ндра содертатся тольн:о в н:оэффициенте С,
1\0ТОрЫЙ имеет размерность, обратную времени. Пришiто определять
«ерапнительныЙ- период полураспада» ft данноrо перехода следующим
-образом:
J == f (Z, Ео) t ДЛfI раепада,
ft t == и+ (Z, Ео) + fK (Z, Ео)] t для + распада,
== fK (Z, Ео) t для К захвата без + распада.
(4.5)
l'де t период полураспада по отношению У{ данному переходу, измеренный
в секундах. В случае сложноrо распада t есть парциальныЙ- период полурас
пада ДЛfI одноrо н:ан:оrо нибудь рассматриваемоrо перехода (с таким перио
.дом полураспада распадалось бы ядро, если бы не было всех друrих пере
ходов).
Для спектров, имеющих форму разрешенных, сравнительный период
полураспада связан с величиной С, входящей в (2.13), (3.2), (4.1) и (4.4)
ООТНОIllением
ft == ln 2 .
С
(4.6)
Тю(им образом, переходы, равновероятные с точн:и зрения учета свойств
:ядра, имеют одинаковые сравнительные периоды полураспада (несмотря
на то, что действительные значения времени жизни MorYT он:азаться COBep
шенно различными в силу разных значений энерrии перехода Ео или заряда
ядра Z). Очень большая величина сравнительноrо периода полураспада YKa
.:зывает на то, что переход крайне мало вероятен. Это мотот быть вызвано
различными причинами, н:оторые будут обсуждены в последующих пара
rрафах данной rлавы.
На фиr. 124 изображена завиеимость числа ядер с данным значением
равнительноrо периода полураспада от величины этоrо периода (данные
взяты из работы [237 ]). Видно, что почти совершенно отеутствует какая бы
то ни было rруппировна по ft. В ранний период изучения распада (в 1933 r.)
-Сарджент [660] составил rрафин:и зависимОсти между временем жизни и Ma
Rсимальной энерrией спектра, причем обе эти величины откладывались
на лоrарифмической шкале. !-\азалось, что точки на rрафике ложатся на
несн:олько прямых, отделенных друr от друrа и нанлОненных к оси абсцисс
ПОД уrлом, TaHreHc KOToporo равнялся 5 (зан:он E для времени тизни).
С Toro времени собрано MHoro новых данных. Если бы кривые Сарджента
,'Соответствовали действительности, они проявились бы в острых пик ах pac
пределения на фиr. 124. Вообще rоворя, тан:их пИl(ОВ не существует, и по
, начениям величины ft невозможно разделить известные распады на «раз
решенные», «однон:ратно запрещенные», (<Двукратно запрещенные» и т. д.
Повидимому, единственным исключением из этоrо правила является
-острый пик в области 19 (ft)==3,5. Можно было бы предположить, что COOTBeT
-ствующие этому пин:у переходы (все они имеют место в леrких и средних
ядрах) являются разрешенными, а все остальные запрещенными. Однако
мы увидим в 6, что такая интерпретация неверна, если разрешенный пере
.ход определять так, как это сделано в 2, т. е. по изменению момента коли
;'
8 4. Периооы nолурасnаоа бета а"тив/{ых яоер
539-
'Чества движения и четности в ядерном переходе. В этОм смысле ЯВШIЮТСЯ
разрешенными мноrие переходы со значениями 19 (/t), близкими н: 5.
Из фиr. 124 видно, что для больших значений сравнительноrо периода
полураспада (ft больше 1010 сек.) имеется заметное падение числа ндер
с ростом ft. Вероятно, это не соответствует действительности. Дело в том,
что очень большие периоды полураспада трудно измерять, если имеются
Rонкурирующие переходы (на друrой уровень конечноrо ядра) с rораздо
85
30
25
<1:>
. 20
15
S
10
5
00 20
Фи r. 124. Распределение ar{тивных ядер по значениям величины
ft (t измеряется в сек.).
По оси абсцисс отлошены значении 19f1, по оси ординат число p;\c
падов с данным значение)! igfl. За иснлючением oCTporo пина вБJIИНИ
19f1 3,5 не наблюд;\етси rРУППИРОАНИ по 8Iшчениим fl. В частности.
оназывается невозмошным, исходи из времени ШИ8IIИ. эмпиричесни
нлассифицировать распады по «степеням запрета".
меньшим значением периода полураспада. К последним Относится большин
ство наблюдаемых в сложных распадах переходов. В БOJIьшинстве слу
чаев Н:Онн:урирующий переход с относительной вероятностью меньше 1 %
<замерить не удается. Чем больше сравнительный период полураспада, тем
больше (в среднем) деЙствительный период полураспада и тем больше вероят
ЕОСТЬ Toro, что имеется н:онн:урирующий распад с меньшим временем жизни.
Нескольн:о известных случаев распада, приведенных в таблице работы [2371,
Ее отражены на фиr. 124, потому что неизвестны веРОfIТНОСТИ КОНI{урирую
щих распадов (в этих случаях можно определить только нижнюю rраницу
для ft, а не действительное значение ft).
Рассмотрим теперь несн:ольн:о частных случаев распада, в н:оторых
спины ядра в начальном и н:онечном состояниях или известны из эн:спери
мента, или MorYT быть найдены при помощи следующих полуэмпирических
правил:
1. Четно четные ядра имеют /===0;
11. Зеркальные ядра имеют одинан:овый спин;
111. Нечетно нечетные ядра с N == Z имеют / *" О.
Правило 1 надежно установлено из эксперимента и имеет некоторое Teo
ретичесн:ое обоснование в модели оболочек (см. rл. XIV). Правило 11 OCHO
вано на важных соображениях относительно общеrо СХОДноrо поведения зер
Rальных ядер (см. rл. VI, 2 и 6), однако эти сообратения подтверждаются
540
r л. ХI П. Beтa pacnao
'
пона тольно в одном случае (пара зернальных ядер НЗ НеЗ). Правило IП
основано на измерениях спинов ядер Н2, Li 6 , ВI0, N14 И Na 22 . Теоретичесних
обоснований этоrо последнеrо правила не известнО.
Бета распад нейтрона [632, 706] (см. табл. 27) является пробным HaM
нем для теории распада, тан у,ан он позволяет определить величину взаимо
действия, вызывающеrо распад. Интересно сравнить распад нейтрона
и НЗ. Значения сравнительноrо периода полураспада в этих случаях YHa
зывают, что распад нейтрона в НЗ происходит тан:, н:ан: если бы два друrих
нун:лона отсутствовали. Оба распада являются разрешенными по правилам
отбора Ферми и raMOBa Теллера.
Тпблица 27
Некоторые распады с известными и-Змененинми спинов
Исходное
ндро
[.
t
Нонечное ндро
[/
19 (ft)
Нейтрон 1 ' Нl 11 3, 2хО, 2
/2 ,2
IP 1/2 Не 3 1/2 3,05
Не 6 О (1) Li 6 1 2,77
Ве' 3/2 (Щ Li' основн. 3/2 3,36
Li' возб. 1/ 2 ? 3,56
F18 *0 (IIl) 018 О 3,61
A126 * О (Ш) M g 26 О 3,3
Na 22 3 Ne 22 основн. О (1) 13,8
Ne 22 возб. ? 7,4
К40 4 Са 4О О 18,1
Ве 1О О (1) ВI0 3 13,7
С Н О N14 1 9,0
Следующие четыре распада в табл. 27 противоречат правилам отборе
Ферми (2.7). Если приведенные в таблице значения спинов правильны, все
эти случаи ра'пада (за исн:лючением . К захвата в Ве 7 , rде начальное и
нонечное состояния основные) запрещены правилами отбора Ферми.
С друrой стороны, значения сравнительных периодов полураспада во всех
этих случаях близн:и н величине jt для нейтрона. Это уназывает на то, что
все пореходы разрешенные. К сожалению, в этих четырех примерах все
приведенные значения спина можно поставить под сомнение. Спин Не 6 MO
жет оназаться равным единице, а. спины F18 и А126 нулю, Значение 1==1/2;
ДШI возбужденноrо состояния Li 7 основано на измерениях уrловой Hoppe
ляции между частицами и l нвантами ( I н:оррешщии) в реанции
ВI0 (п, сх) Li7. Измерения, произведенные в работе [636], не обнаружили Ha
личия уrловой норреляции. Хотя эти измереНИfI и дают важные ун:азания
о.том, что ДЛfI Lii* 1==1/2 они не MorYT считаться дон:азательством 1 ).
Тю,им образом, данные ун:азания на несправедливость правил отбора
Ферми весьма правдоподобны, но не MorYT считаться он:ончательными.
Измерение спина любоrо из ядер Не 6 , F18 или A126 полностью решит
вопрос. В дальнейшем мы в этой rлаве будем считать, что чистые пра
1) Спин Ве' (см. табл. 27) с этой точки зрения несущественеп. Если бы У Ве' спин
равНlIЛСЯ 1/2' переход из осповноrо состояния в основное был бы запрещен правилами
отбора Ферми; если бы спин Ве' был больше 3/2, оба перехода в таблице были бы запре
щены. Дополнительные aprYMeHTbl в ПОЛЬЗУ Toro, что Li'* имеет 1==1/2' см. в работе [4821.
8 4. Периооы nолурасnаоа бета а"тивпых .яДер
541
Била отбора Ферми не выполняются; электрон и нейтрино испусн:аются,
по н:райней мере частично, в триплетном состоянии (с параллельными
спинами).
Остается отн:рытым вопрос, всееда ли элен:трон и нейтрино в разрешен
ных переходах испускаются в триплетном состоянии, и не испусн:аются ли
они иноrда в синrлетном состоянии. В первом случае были бы применимы
правила отбора rамова Теллера. Из правил отбора (2.7) и (2.8) следует, что
на этот вопрос можно ответить, тольн:о рассматривая переходы 1==0 1==0
без изменения четности (о О переходы). Эти переходы разрешены правилами
отбора Ферми и запрещены правилами rамова Теллера. В настоящее Bpe
мя неизвестно ни одноrо случая, коrда можно было бы с уверенностью
утверждать, что тан:ой переход имеет мест0 1 ). ТаЮfМ образом, мы не
знаем, испусн:аются ли элы.трон и нейтрино исн:лючительно в триплетном
состоянии.
Следующий случай в табл. 27 (Na 22 ) поясняет применение правила OT
бора для изменения момента н:оличества движения. Переход из OCHoBHoro
в основное состояние происходит с изменением спина на три единицы и по
этому rораздо менее вероятен с точн:и зрения свойств ядра (ft rораздо больше),
чем переход в возбужденное состояние Ne 22 . В этом последнем переходе пред
полаrается меньшее изменение спина. Этот же распад иллюстрирует сделан
ное выше замечание о трудности наблюдения переходов с большими значе
ниями ft. Два Н:Онкурирующих перехода при распаде Na 22 характеризуются
значениями ft, отличающимися друrа от друrа на множитель, больший
чем 106. Переход из OCHOBHoro в основное состояние ПРОисходит с б6ль
тим изменением энерrии Ео, чему соответствует большее значение f. Тем
не менее время жизни ядра относительно распада из OCHOBHoro СОСТОнния
Б основное примерно в 200 раз больше, чем время жизни относительно
перехода в возбужденное состояние. Таким образом, переходы из OCHoBHoro
состояния в основное происходят примерно в 200 раз рете, чем друrие пере
ходы. Понятно, почему в ранних работах, посвященных распаду Na 22 ,
переходы в основное сОстояние Ne 22 не наблюдались 2 ).
Случаи распада К40 и Ве 1О также указывают на важность правил OT
бора. СоотвеТСТВУIpщие значения ft велин:и, кан: и предполаrалось, вследствие
больших изменений спина.
Следует отметить, что величина ft для запрещенноrо перехода, с Teope
тической точн:и зрения, является несн:олько сомнительным llонятием, по
скольку f вычислялось, исходя из формы спен:тра для разрешенных перехо
дов. Однан:о мы используем сейчас значение ft ТОлько rрубо качественно,
как общее ун:азание на запрещенность перехода. В дальнейшем тан:ое
оrраниченное использование будет оправдано в теории запрещенных
переходов ( 7).
Переходим к последней строке табл. 27. Большое значение сравнитель
Horo периода полураспада ндра СН показывает, что большие времена жизни
не обязательно связаны с большими изменениями спина. Возможное объяс
нение большоrо значения ft в данном случае (ft примерно в 106 раз
больше, чем для, нейтрона), повидимому, связано с нарушением правил
отбора по четности. Можно предположить, что волновые функции N14 и С14
имеют противоположную четность (волновая функция ядра N14, вероятно,
нечетна) 3.
1) Распад 014, ВОЗМОЖIIО, Относится R ЭТ<"П Rатеrории [687]. Однано нельзя YTBep
ждать с уверенностью, что Rонечное (возбужденное) СОстояние N14 есть «аналоr» OCHOBHoro
состояния са и потому должно иметь l==O (см. rл. VI).
. 2) ССЫЛRИ относительно приведенных случаев р3.спада см. в работах [237,
235, 379].
3) См. rл. VII, 93, rде определяется четность ядра в Модели свободных частиц.
542
rл. XIII. Beтa pacnao
5. УТОЧНЕНИЯ ТЕОРИИ БЕТА-РАСПАДА;
ПЕРЕХОДЫ НУЛЕВОI'О ПОРЯДКА
А. Матричный элемент
ТеОРИfI распада была впервые дана в классичесн:ой работе Ферми
в 1934 r. [240]. Ферми построил теорию распада в полной аналоrии
с теорией испусн:аНИfI элен:тромаrнитноrо ИЗJIучения по Диран:у. В послед
ней рассматривается переход системы (атома ИJIИ ядра) из начальноrо
состояния Фi в нонечное состояние Фj с испусн:анием н:ванта излучения
в определенном состоянии (в данном направлении и с заданной ПОЛfIриза
цией). Излучение (н:вант света) описывается веюор потенциалом А (r).
Переходы вызываЮТСfI взаимодействием системы с полем излучения. Bepo '
ятность TaHoro перехода за единицу времени даетсн формулоЙ
т == 2; I Hij 12 р (Е), ('5.1)
rде Hif матричный элемент взаимодействия, вызывающеrо переход,.
а р (Е) число н:онечных состоянии излученноrо н:ванта на единичныи
интерваJI энерrии. Матричный элемент в теории излучеНИfI ДираRа имеет вид
Hif== А (r n ) (ФfjnФi)dt (излучение), (5.2)
n
I'де А (r,,) вен:тор потенциал испущенноrо н:ванта в точн:е нахождения п й
частицы, а jn оператор тон:а для этой частицы, Сумма берется по всем
частицам системы. Вектор потенциал А (r) должен быть нормирован таким
образом, чтобы он соответствовал одному н:ванту в ящике объема V,
в который заНЛlOчена вся система.
Ферми описывает вероятность распада анаJIOrичным образом. Вероят
ность распада тан:же выражаеТСfI в форме (5.1). Плотность н:онечных
состояний р (Е) имеет вид (2.5) ДЛfI испусн:ания элеюронов или (3.1) для
захвата элентронов. В этом параrрафе мы оrраничимся вычислениями для
случая испускания элен:тронов; они MorYT быть леrн:о распространены на
случай захвата элен:тронов.
Матричный элемент Hif строится по анаЛОI'ИИ с (5.2):
Hif== F (r,,) (ФiК"Фi) d't ( раСllад). (5.3)
n
Здесь F (r n ) величина, зависящая от испусн:аемоrо «полю> (т. е. от вол':'
новых фунн:ций элен:трона и нейтрино), взятая в точн:е, rде находится п й
нуклон (тот, н:оторый распадается); Фi и Фf волновые Фунн:ции началь
Horo и нонечноrо СОСТОfIНИЙ ядра; К" нен:оторый оператор, СВfIзанный
с распадом п ro нун:лона.
Выражение (5.2) ДJIЛ матричноrо элемента радиационноrо переХОДIl!
получаеТСfI н:вантованием н:лассичесн:их уравнений, описывающих взаимrr
действие ДВИЖУЩИХСfI зарfIДОВ с элен:тромаrнитным полем. Классичесн:оЙ.
теории, из ноторой мы моrли бы вывести (5,3), не существует. Все же.
возможныЙ выбор величин F (r ") и К" весьма оrраничен нен:оторыми общими
соображениями (релятивистсн:ая инвариантность и требование «ПРОСТОТЫ>i) 1).
Выражение F (r ") ДЛfI элеН:ТРОНIю неЙТРИННОl'О поля должно быть ли
нейной фунн:цией н:ак от элен:тронноrо, тан: и от нейтринноrо полей. Обо
1) Тю, же кан и при обсуждении обменных сил в rл. III, Отметим здесь, что, в проти-
воположность общим требованиям инвариантности, требование (<простоты» в неноторой'
степени ис!,усственно, тан нан оно зависит от применяемоrо формализма. Одно и то же
взаимодействие может !,азаться «простым» при одном споссбе ero описания и «более слож .
ным» при друrом способе.
s 5. J7точпепия теории бета расnаоа
543.
значим волновую Фунн:цию испущенноrо электрона через Фе (r e ), а волновук.
Фунн:цию испущенноrо нейтрино через Фу (r '1)' Обе фунн:ции спинорны
волновые фунн:ции Диран:а с четырьмя составляющими. Torдa F (r n) пред
ставляет собой билинейное выражение вида
4 4
F (r n ) == i} Ф:i (r n) ф j (r n ), (5.4)
i==1 j==1
rде феi обозначает i ю составляющую спинорной волновой фунн:ции Фе' Фуj
j ю составляющую спинорной волновой фунн:ции Фу, а ij линейные опера .
торы, действующие на волновые функции электрона и нейтрино. Величина.
F (r n ) содержит н:омплеН:СНО СОПРfIженные состаВЛfIIощие Фе И Фу, потому.
что волновая фунн:ция н:онечноrо состояния всей системы входит в матрич
ный элемент (5.3) со звездочн:ой. Для простоты мы считаем, что операторы
ij не содертат никан:их производных. Это предполотение энвивалентн()о
исключению из рассмотрения таких взаимодействий, н:оторые зависят оТ"
импульсов двух леrних частиц 1). В этом случае н:атдая из величин ij
есть число, и мы можем переписать (5.4) в сон:ращенном виде:
4 4
F (r n ) == Ф (r n ) ;j ф j (r n ) == {Ф: (r n ), Ф (r n )},
i==1 j==1
rде матрица с чеТЫРЬМfI строками и четырьмя столбцами с матричнымИ'
элементами (постоянными числами) и' В выражепии (5.2) А (r) нормиро
вался на один н:вант в объеме V, в н:оторый зан:лючена БСfI система.
Соответственно этому сдедует нормировать волновые фующии Фе (re}
и Фу (r y ) на один элен:трон и одно нейтрино в ящин:е объема V. МОЖН()о
выбрать Фе и Фу, описывающие одно из возможных состояний элентрона
и нейтрино; тоrда (5.1) даст вероятность испусн:аНИfI пары элен:трон + ней
трино в заранее выбранном состоянии.
Оператор КN стоит между двумя вол овыми ФУНН:ЦИfIМИ Фi И Фf' KOTO
рые описывают разные ядра: один из неитронов начальноrо ядра превра
тился в протон или, наоборот, один из протонов в нейтрон. Чтобы,
интеrрал (5.3) получил смысл, следует считать, что в кn содержится опе
ратор, который, действуя на волновую фунн:цию ядра, превращает п ю.
частицу из нейтрона в протон или наоборот. Тан:ие операторы были введены;
в rл. 111, 5, и обозначены через 't (нейтрон протон) и 't+ (про--
тон не:йтрон). Поэтому мы полю'аем
К.. == 't n , K (для электронноrо распада),
КN == 't n . + К:,. (для позитронноrо распада).
Для простоты сделаем относительно к:,. то же самое предположение, KOTO
рое было сделано относительно : будем считать, что K не содержит нин:аких
производных; тем самым предполаrается, что взаимодействие не зависит от'
импульсов нун:лонов, так же н:ак и от импульсов испущенных леrн:их частиц.,
Итак К:,. действует только на спинорные состаВЛfIющие нун:лонной волно
вой фунн:ции. В общем рассмотрении мы должны считать нун:лоны реля
тивистсн:ими частицами; следовательно, K есть четыреХРfIдная матрица._
действующая на спиновые составляющие волновой фунн:ции п ro нуклона 2).
(5.4а)'
(5.5)
1) Теория 'Уленбека и I\онопинскоrо [439], в которую входят ПрОИЗDодпые от волно ,
вых функций электрона и нейтрино, дает значительно худшее соrласие с современными'
экспериментальными данными (хотя она хорошо соrласовалась с экспериментом D 1935 r.)..
Сейчас от этой теории отказались.
2) Мы полаrаем здесь, что нунлоны MorYT быть описаны ур3:.внением Дирака для ча ,
СТИЦ со спином 1/2' Значения маrнитных моментов протона и неитрона указывают на то,..
.544
r.д,. XIII. Beтa pacnao
Требование простоты значительно сутает возмотный выбор операто-
ров и K . Еще больше сутает выбор требование, чтобы величина
F (r n ) Ф7КnФi '
была релятивистсн:и инвариантной.
Б. НереЛЛТИВИСТСRое приближение
Перед обсуждением возможноrо вида операторов K и рассмотрим
_ распад в предположении, что испущенные эшштрон и неитрино являются
-не релятивистскими частицами со спином 1/2' Это предположение никоrда
не выполняется, посколы{у нейтрино двитется со скоростью света. Тем
не менее при таком упрощенном рассмотрении можно получить представ
ление о мноrих важных особенностях теории распада. Кроме Toro, от
полученных результатов леrко затем перейти к релятивистскому paCCMOT
рению.
Рассмотрим билинейное выражение (5.4а). В нерелятивистсн:ом при
ближении Фе и фу спиноры Паули, имеющие две составляющие, так что
суммирование по i и j проводится теперь не от 1 до 4, а от 1 до 2. Из
двух спиноров Паули можно составить либо скаляр (синrлетное состояние),
либо три составляющие вектора (триплетное состояние). Скаляр записы
вается следующим образом (см. приложение 1, 4):
РВ == Ф 1ф 2 ф 2Ф 1 == {Ф , Вф }.
(5.6)
Вектор Р, построенный из двух спиноров, имеет три составляющие,
обозначаемые через Р 1 , РО и P I:
Р 1 == -V2Ф IФ 1 == {ф , 0IВФ }'
РО == Ф 1 ф 2 + ф 2Ф 1 == {ф:, ооВф },
F I==V2ф 2Ф 2=={Ф:, О IВФ }'
(5.7)
['де обозначения те Же, что и в (5.4а). Матрицы R и От имеют вид 1)
В== ( О
1
) ,
I
01 == 2 (ox+ioy),
0 1 == ;2 (ох io,).
(5.8)
00 == oz,
Здесь величины Ох' Оу и Oz обычные спиновые матрицы Паули (см. при
ложение 1, S 4). Три составляющие F т вектора F можно записать в виде
F == {ф:, аВф }.
(5.7а)
что это предположение не сопсем пер но. Тем не менее мы надеемся, что описание НУRЛОНОВ
при помощи урапнения ДираRа даст n теории -распада хорошее первое приближение.
1) Матрица В cTporo определяется следующим образом:
';хВ== Bax, уВ== Bay, ';zB== Baz,
rде тильда над cr обозначает транспонированную матрицу. l3ыражения (5.6) и (5.7)
отличаются только множителем у'2 от (комплексно сопряженных) обычных волнопых
функций синrлетноrо и триплетноrо состояний. Это отличие не имеет значения, потому
что любой постоянный множитель в выражении для F можно ВRЛЮЧИТЬ В нонстанту
связи, которая будст вскоре введена.
s 5. Уточпепия теории Iбета-расnаоа
54&'
Будем определять «сферичесн:ие составляющие» А 1 , Ао, A 1 HeKoToporo
вектора А соотношениями, аналоrичными (5.8): .
А 1 == 2 (Ax+iAlI)' Ao===Az, A 1== ;2 (Ax iAlI)' (5.8а)
в этих обозначениях сн:алярное произведение двух векторов А 11 В запи
сывается в виде
(АВ) == . ( 1)f1 Af1B I"'
f1== 1
(5.86)
а СRалярное произведение векторов А * (звездочн:а означает н:омплен:сно со
пряженную величину, т. е. вектор с комплексно сопрятенными составляю
щими) и В в виде
(А*В) '=' A:Bf1'
f1== 1 .
Сферические составляющие вектора преобразуются при вращении как
три сферические rармоники Yl,т (6, <р) с 1 == 1, При рассмотрении свойств си
стемы относительно вращений сферичесн:ие составляющие более удобны, чем
декартовы.
Можно показать, что линейная н:омбинация (5.6) инвариантна относи
тельно вращений системы координат (преобразуется кан: скаляр), в то время
как три величины Р т при вращении преобразуются одна ЧJрез друrую,
подобно трем' составляющим вектора. Внерелятивистском приблитении
инвариантность' выражения F (r n ) ФiКnФi относительно вращений и OTpa
тений (но не относительно преобразований Лоренца) постулируется. По
этому если за F в выражении (5.3) принять скаляр РВ (5.6), то величина
ФiКnФi такте долтна быть скаляром. Если те в качестве волнщюй ФУНR
цИИ для леrких частиц выбирается вектор F, то величина ФiКnФi такте
долтна быть вектором, а выратение F (r n ) ФiКnФi долтно быть сн:аляр
ным произведением этих двух вен:торов. В предположении, что оператор Кn
действует тольн:о на спиновые координаты п ro нуклона, MorYT быть
построены только одна скалярная и одна векторная величины ФiКnФi. CKa
ляр получается при Кn == 1, а вектор при Кn == а'n' rде а'n вектор спина
п ro нуклона. Поэтому получается два различных варианта взаимодейот
вия синr.летный и триплетный 1 ) с матричными элементами:
д.пя сине.петноео взаимодействия
А
H'ij==G s {ф:(r n ), Вф (rn)}(Фi'tn, Фi)d't, (5.9)
n==!
(5.8в)
(jA-Я трипл,етноео взаимодействия
л
llij==G t {ф (rn), а'Вф (rn)}'(Фiа'11'tп' Фi)d't==
n==!
А
== С ! ( 1)т {ф (r n ), (jтВф (r n ) }(Фi(jn, т'tn> Фi) d't,
n==! т== !
(5.10,
1) Эти варианты взаИМОДействия следовало бы называть «СRалярным» и "венторным»,
потому что первое из них образуется из двух СRалярных величин, а второе является сна-
лярным произведением ДВУХ венторных величин. Мы придерживаемся друrой термино-
лоrии, чтобы не спутать эти взаимодействия с таи называемыми скалярным и ВеНТОрНЫМ
взаимодействиями в реЛЯТИВИСТСRОЙ теории.
35 ЗаНаа 396
[,
I
!
i
,
5i6
rA. XIII. Вета-расnао
rде составляющие О'п,т (т => 1, О, 1) вен:тора спина нуклона а'п опреде
лены в (5.8а). Постоянные С в и С ! определяют величину взаимодействий 1).
Пон:ажем теперь, что матричный элемент (5.9) соответствует испуска
нию пары электрон нейтрино в синrлетном спиновом состоянии, а матрич
ный элемент (5.10) соответствует испусканию такой пары в триплетном
состоянии. Покажем танже, что каждый член с фиксированным значением m
во второй сумме (5.10) соответствует испуснанию леших частиц в трип
летном состоянии с ориентацией спина m и что таное испускание одновре-
менно сопровождается (<перекидыванием» спина нуклона в ПрОТИВОПОJIOЖ
ное направление, обеспечивающим сохранение момента количества ДБиже..
ния всей системы. Так нак дон:азательства этих утверждений проводятrн
одинаново для всех значений т, рассмотрим ПОJ,J:робно только один случаЙ
испускания пары электрон нейтрино в триплетном состоянии со спинами,
направленными вверх (т == 1). В этом случае следует подставить в (5.9)
и (5.10) волновую функцию Фе (re), описывающую элентрон со спином, Ha
правленным вверх:
Феl (re) =f=. О, Фе2 (re) === О.
в таном же виде сленует взять и волновую функцию нейтрино. В COOTBeT
ствии с (5.6) величина {ф:, Вф } при этом тотдественно исчезает, тан: что
матричный элемент синrлетноrо взаимодействия равен нулю. Таким обра-
зом, синrлетное взаимодейстние не ведет к испусканию электрона и неЙт-
рино в рассматриваемом состоянии (т. е. с параллельными спинами,
направленными вверх). Леrко можно показать, что такой же результат
получается при рассмотрении любоrо из трех триплетных состояний ие-
пускаемой пары электрон нейтрино. Следовательно, синrлетное взаимодеЙ-
ствие ведет только к испусканию леrних частиц в синrлеТRом спиново:м:
состоянии; это оправдывает принятый нами термин «синrлетное взаимо-
действие». Подстановка BOJlПOBblX фунн:ций элентрона и нейтрино в рас-
сматриваемом состоянии в (5.10) и сравнение с (5.7) показывают, что един-
ственный неисчезаюrций член во внутренней сумме BToporo Быратения (5.10)
соответствует m == 1, Таним образом, член с m == 1 в сумме (5.10) относится
[ испус[{анию пары элентрон-неЙтрино в триплетном состоянии со спинамп,
направленными вверх. Оператор Кn, соответствующиЙ таному испускапшо,
имеет вид
Оп. m'tn. == Оп, 1 't п , .
Этот оператор переводит нунлон номера п из нейтрона в протон (еСJIII
частица номера п уже ЯВ.ляется протоном, этот оператор дает нуль) и по-
ребрасывает спин этоrо нунлона сверху вниз (или дает НУJIЬ, еслп спин
НУRлона уже направлен вниз). Таним образом, момент ноличества двитения
системы сохраняетсн, НЮ, ::)1"0 II должно быть 2).
1) Отметим здесь, что lJзаИМОЩJЙСТВИЯ, ответственные за -раСllад, ншш!{ пе связаны
(по Rрайней мере, по нашим теперешним представлешшм) с взаимодействием между ну-
Iшонами, I\OTopoe объяспяет ядерные силы. Например, синrлетное II триплетное взаи-
модействия, используемые lJ этОй rлаве, вызывают ИСПУСI\ание пары эле!{трон+нейтрино
с,оотвеТСТlЗенно в синrлетном и триплетном спиновых состОяниях If пе имеют видимой
связи с ядерными силами между двумя НУI{лонаМII lJ синrJIеТНОJ\I и триплетном спиновых
СОСТОНIшях. Точно тю, же «теНЗ0РНО(»> взаимодействие теории -Рflспада (см. S 5, В) не сви-
зано с теНЗ0РНЫМИ силами между нейтроном и протоном. Связи -распада с ядерными СII-
JIaMII НОСВlIщено мнОжество исследований, о.:\пано до сих пор тю{ая связь не установлена,
2) Требование инвариантности l)еJIПЧИНЫ F (r'п) ФiКnФi отнОсительно вращений
" отражениЙ ЭIШIШflJIеllТНО l'ребованшо сохраl1еIIПII. момента ноличества движении
и "епIOСТИ СIIСТРМЫ.
5. J7точпепия теории 6ета-расnаоа
547
Рассмотрим теперь явные выражения для волновых фующий Фе И Фv.
Пренебреrая влиянием кулоновскоrо поля, мотем положить
Фе(r е ) == ;v Ueei(pre), Фv (rv) == .)V Uvei(ql'V!,
(5.11)
rде V объем воображаемоrо ящика, в J\ОТОрЫЙ заключена система; и е
и и '! спиновые функции с двумя составляющими, нормированные к еди
нице и не зависящие от re и rv соответственно (например, и е может быть
спиновой фунн:цией частицы со спином, направленным вверх, а и '! спино
вой фунн:циеЙ частицы со спином, направленным вннз); р и q векторы
импульсов электрона и нейтрино; импульс измеряетсп в единицах т '"
длина в единицах Щтс. ДЛЯ Р. получаем
р == J.. { и* Ви* } e i(p+q)r
s V е. V .
\
Соответствующее выражение получается и для векторной величины F.
Во всех практичеСRИ ватных случаях импульсы р и q достаточно малы,
так что для r порядн:а размеров ядра aprYMeHT экспоненты мал по cpaBHe
нию с единицей. Поэтому мотно разложить эн:споненту по степеням apry
мента. Такое разложение иrрает очень ватную роль в классифин:ации
переходов. Различные ч.тrены разложения ведут I\ разным переходам.
Степень l aprYMeHTa ЭI\споненты называется (<порядн:ом [» перехода. Порядон
перехода определяет величину момента количества движения, уносимоrо
леrкими частицами.
В этом параrрафе мы оrраничимся пере ходами IIулевоrо порядна и по
этому будем заменять экспоненту на единицу. Таним образом, мы учи
тываем значения BO.тIHOBЫX функций ТОЛЫШ В центре ядра. Если бы мы
разлотили волновые функции по сферичесн:и:м rармонинам, внлады в значе
ние функций в нуле дали бы толыю l'армоники с l == О. Следовательно,
мы Оl'раничиваемся рассмотрением испускания леrних частиц с нулевым
моментом н:оличества движения.
Матричные элементы (5.9) и (5.10) в этом случао ;vrorYT быть записа
ны в форме
Hi f == ; {и , Bи } (1) (синrлетное взаимодействие),
Hi j == Чи:, O'Bи } (а) (триплетное взаимодrЙствие),
(5,12)
(5.1З)
rде ве.тrичины (1) и (а) определяются соотношениями
А
(1) == Фi't n . Фid't,
n==1
А
(0') == ФjО'n't n . (J\d .
n==1
(5.14)
(5.15)
в теории -распада выражения (5.14) и: (5.15) и им подобные назы
ваются «ядерными матричными элементамю>. Не следует путать ядерные
матричные элементы с полным матричным элементом Hi f . ВСlOду в этой
rлаве ядерные матричные элементы определяются тан:, что они зависят
только от характеристик ядра.
Как видно из (5.12) и (5.13), в рассматриваеМЩI нерелятивистском
приб.тrитении матричный элемент Hif не зависит от направления вылета
ЛeI'НИХ частиц. Следовательно, в нэрелнтивистсном приближении в разре
35*
/
rд,. XIIl.Bema-расnаВ
шенных переходах нет уrловой корреляции между электроном и нейтрино.
Релятивистсн:ое рассмотрение приводит к уrловой корреляции порядка и/с,
rде v скорость электрона. t
Правила отбора, приведенные в 2, MorYT быть проверены на матрич
ных элементах (5.14) и (5.15). Выратение (5.14) отлично от нуля только
В том случае, коrда выполняются правила отбора Ферми (2.7); матричный
элемент (5.15) не равен нулю тольн:о при соблюдении правил отбора
rамова Теллера (2.8). Это вполне естественно, так как замёна .
e--i(p+q)r
на единицу эквивалентна сделанному в 2 предположению, что леrкие
частицы не уносят с собой момента количества двитения.
Теперь мотно очень просто ввести поправн:у на н:улоновские силы
в выратение для матричноrо элемента разрешенных пер ходов. Замена
экспоненты на единицу соответствует замене Фа (r) на Фа (r == О). Последняя
величина при учете кулоновских сил определяется выратанием (2.10).
Следовательно, учет н:улоновскоrо поля сводится к умножению (5.12) D
(5.13) на V' F (Z, Й ).
Определим множитель С (2.13), зависящий от всех свойств ядра. Be
. роятность распада Р (р) dp мотно найти, подставив в (5.1) Hi j из (5.12)
[или (5.13)], а р (Е) из (2.5). Чтобы иметь реЗУJIьтат, удобный для cpaB
нения с экспериментом, надо полученное выратение просуммировать по
направлениям спинов элен:трона и нейтрино. Обозначим через .U k) спино
вую функцию электрона, соответствующую направлению спина k (k == 1, 2) 1);
тоrда
и (1) ( 1 )
е О '
( О'
и(2) == )
е l'
Такую те спиновую функцию введем для нейтрино, обозначив ее и It'),
I'пе k' определяет направление Спина нейтрино. Леrн:о видеть, что
{ О,
(U k)*, Bи k/)*} == 1,
1,
если k==k',
если k == 1, k' == 2,
если k == 2, k' == 1.
в результате получаем
2
I (и(k)*, Bи(lt')*} 12 == 2.
k. k'==1 а 'i
(5.16а)
Таним те путем находим
2
{u(lt)*, umBи(k')*}* {u(k)*, aт,Bи ')*} == 20 тт , .
k. k'==1 а 'i е .
Сравнивая найденные значения Р (р) dp с (2.13), получаем для постоян
ной С одно из двух . значений Cs или C t , в зависимости от T01'0, какое
взаимодействие синrлетное или триплетное рассматривалось. Введем по
стоянную времени t o для распада, определив ее следующим образом:
(тe2)2 ( ) 6 ,.
t 2 з те п
О " С2
(5.16б)
те 2 .
(5.17)
1) Эти две спиновые фующииобычно обозначаются через а ир (см. приложение 1, s 4),
:Мы используем друrие обозначения для Toro, чтобы удобнее было в дальнейшем перейти
и релятивистской теории.
5. J7точштUJJ тeopilи l;emO,-расnааа
549
Эта постоянная иrрает ватную роль в теории распада. Значения С для
синr.петноrо и триплетноrо взаимодействий мотно выразить через t o (5.17):
СВ == t 1(1)12 (синrлетное взаимодействие),
1
C t == \ (а т ) i 2 == 1(0')12 (триплетное взаимодействие).
t o .O::::.J t o
т== 1
(5.18)
Порядок величины постоянной t o мотно определить из распада нейт
рона простейшеrо случая распада. В этом случае Ядерный матричный
элемент (5.14) равен единице и величина С == lп 2/(//) равна примерно
6. 1 0 4 сек. 1. Следов а тельно, t o по порядн:у величины равняется 3000 сек,
или примерно часу 1). Таким образом, фундаментальная ; постоянная BpeMe
ни необычайно велика по сравнению с ядерным временем. Нак заметил
однатды Резерфорд, «с точн:и зрения ядра распад практически никоrда
\ не происходит». Столь большое значение постоянной времени t o ведет
к тому, Что сiпабuлъносmъ или несmаБUЛЪ1l0стъ лдра по отношению 1f, pac
паду не С1f,аЗblваеmся на дина.Atи-ческом поведении лдра (спин, маrнитный
момент, распределение уровней, поведение в ядерных реакциях и т. д.).
Нестабильные ядра отличаются от стабильных только случайным нали
чием соседнеrо изобара с меньшей энерrией. Малая величина взаимодей
ствия, вызывющеrоo распад, указывает на то, что это взаимодействие
вряд ли ответственно за ядерные силы.
Выписанные ранее формулы относятся к пере ходам метду двумя опре
деленными состояниями ядра. Тан:ие переходы редн:о наблюдаются на прак
тине, так как спины Ij. и If начальноrо и конечноrо ядра MorYT быть
ориентированы в любых направлениях, совместимых с правилами отбора.
Можно предполотить, что спин ядра в начальном состоянии направлен
по оси z, тан как вероятность распада не зависит от выбора этой оси.
Однако, сделав такое предполотение, мы должны еще просуммировать
по всем возмотным ориентациям If' чтобы получить вероятность на6лю-
даемоrо распада.
, Нерелятивистская теория ведет к двум возмотным вариантам ВЗЮIМО
действия (5.12) и (5.13), но не следует думать, что в действительности
мотет осуществляться только один из двух вариантов. Возможна, напри
мер, линейная комбинация этих взаимодействий с коэффициентами С..
о и' G t . В этом случае матричный элемент Hif в (5.1) есть сумма двух мат-
ричных элементов. Таким образом, в общем случае можно ожидать, нто
вероятность перехо'да не равна сумме вероятностей пере ходов для отдель-
ных взаимодействий, а внлючает в себя еще интерференционные члены.
Однан:о в данном случае эти интерференционные члены исчезают вслед-
,ет ие ортоrональности спиновых фуннций синrлетноrо и триплетноrо со-
tJтояний.
В. Релятивистское рассмотрение
Перейдем теперь от слишн:ом упрощенных допущений, сделанных
Б 5, Б, н коррен:тному рассмотрению леrких частиц как частиц со
епином 1/2, движущихся со сноростями, близкими н: СН:ОlJОСТИ света
r-'
:-
"
. 1) Для более точной оценни t o необходимы релятивистсная теория (s 5, В) и строrая
оценна величины матричноrо элемента (5.15) (см. S 6). РеJIiIтивистсное рассмотрение 'pac-
пада нейтрона ведет н таким же формулам, нан (5.18), если в этих фuрмулах заменитЬ
множитель 2 на 1. Множитель I (а) 12 В (5.18) для 'распада нейтрона оназывается равным
трем. Если предположи:rь, что взаимодействие, ведущее Н ,распаду, в основном является
(триплетным» (типа взаИМОДействия rамова Теллера), мы получим 3/t o 6.10 4 ceH. 1,
или to 5.103 H. Этой оценной для t o 1dbl и будем ПОЛЪ80ватъся в дальпейщем.
.
550
rA. Xlll. Вета-распад
(электроны) или равными скорости света (нейтрино). Эти частицы должны
описываться уравнением Диран:а.
Для правильной записи вариантов взаимодействия необходимо ввести
релятивистские волновые функции тятелых частиц (нуклонов). Однако
в дальнейшем мы будем пользоваться тольн:о нерелятивистскими прибли
жениями этих волновых фунн:ций, потому что сн:орости нуклонов малы
в сравнении со скоростью света с. Таким образом, наше рассмотрение
будет релятивистским только по отношению н леrним частицам.
При релятивистсном рассмотрении появляются следующие изменения
по сравнению с результатами 5, Б.
1) Имеется пять различных вариантов взаимодействия, а не два, кан
в нерелятивистском случае.
2) Переходы MorYT быть разделены на две rруппы «обычные» и «pe
лятивистсние». Обычные переходы представляют собой аналоrи переходов,
имеющихся в нерелятивистсном случае. Они удовлетворяют тем те пра
вилам отбора. Релятивистсн:ие переходы удовлетворяют правилам отбора,'
отличающимся от (2.7) и (2,8). Ядерный матричный элемент релятивист
сн:их переходов имеет порядон v / с, rде v снорость нунлона. Это новый
тип переходов, н:оторые отсутствуют в нерелятивистсном приближении.
3) В разреше ных переходах имеется l\орреляция между напраВ.1Iе
ниями вылета элентрона и нейтрино.
Во из(iежание путаницы в терминолоrии заметим, что мы будем назы
вать «раарешеЮlЫМU» обычные переходы поряд1f,а l ==0. Ко опинсний [441,
442] ВЮlIочает реЛЯТИВИСТСlше переходы порядна нуль в свои «однонратно
запрещенные переходы». Мы не будем здесь придертиваться ero клас
сифин:ации.
Посмотрим, накую форму принимает в релятивист сном рассмотрении
величина F (5.4), зависящая от волновых фуннцийэлентрона и нейтрино.
В релятивистоком случае Фе И фу спинорные волновые фуннции с четырь
мя составляющими, тан: что Е в (5,4а) есть четырехрядная матрица. Нроме
Toro, нас теперь интересуют трансформационные свойства величины F не
только по отношению R вращениям и отражениям в пространстве, но и
по отношению R преобразованиям Лоренца. Паули [582] показал, что
в форме (5.4а) можно построить пять и тольн:о пять релятивистсни HOBa
риантных величин. Первая из этих величин есть сналяр
рв == {ф:, Вф }, (5.19)
I'де матрица В получается обобщением двухрядной матрицы (5.8) 1):
C 1 О )
О О
B О (5.20)
О О
О О 1
1) Мы моrли бы ожидать увидеть в начестве В матрицу Дирана , поснольну, :как
извсстно, {ф* . ф} есть инвариант. Однано мы не должны забывать, что Фе И фу ВХОДЯТ В
(5.4а) со ЗВСЗДОЧIЮЙ. Это меняет трансформационные свойства. Комбинация Вф*=Qф*
преобразуется нан ф. Следует отметить, что н требованию инвариантности по отношеНl Ю
1, отражениям в реJIiIТИНИСТСНОМ рассмотрении надо подходить с осторожностью [83::>].
Форма (5.19) с матрицей (5.20) для В отличается от форм, ИСlIOЛЬЗ0ванных Маршаном [517]
и Кричфильдом [173], ибо Паули [582], с одной стороны, и ,Маршан и Кричфильд с дpy
l'ой, делают различные предположения о поведении Ф при инверсии (при применении опс-
ратора четности). Мы следуем Паули [582]. Матрица В связывает большие составляющие
волновой фУННЦИИ с большими же, а малые с малыми, что дслает значитеJIЬНО наrляднее
соответствие с нерелятивистсним приближением.
s 5. J1точпепия теории бета расnада
Чтобы получить БQлее симметричные формулы, введем матрицу
Q := B == B ,
I'де обычная матрица Дирака (точный вид матриц Дирака и волновоro
уравнениf,l Дирака см. в работах [51, 663]). Torдa скалярная величина Ра
принимает вид
(5.21)
Р а == {ф:, Qф }.
(5.22S)
ДJ1Н построения друrих н:овариантных выражений введем следующие
матрицы, представляющие собой номбинации из четырех матриц Диран:а
ах, 'J. y , (J.z И :
ах == i(J.y(J.z, ау == i(J.z(J.x, а, == i(J.x(J.y,
Р1 == , i(J.x(J.y(J.z, Р2 == (J.x(J.y(J.z ,
(5.23)
ЭТИ :\fатриды удовлетворяют следующим соотношениям:
(J.x==P1(jX' (J.u==Pl(jy, (J.z==P1(jZ' P1P2==i .
(5,24)
Сле; ует отметить, что матрицы (j и СВЯЗЫВaIОТ большие составляющие 1)
водновых функциЙ С большими, а малые с малыми, в то время н:ан
матрицы Pl и Р2 связывают большие и малые составляющие.
При помощи введенных матриц можно построить релятивистсниЙ четы
рехмерныЙ вен:тор РУ"" три пространственных и временная составляющие
Iютороrо имеют вид 2)
P Vi == {ф:, (J.iQф } == [ф:, Рl(jiQф }
F УО == {ф:, Qф } .
Следующее ковариантное образование является антисимметричным
тензором
(i == 1, 2, 3),
(5.22У)
Рт",'! == P TVfl
([1, '1 == О, 1, 2, 3),
у HOToporo шесть неисчезающих составляющих образуют два простран
ственных вен:тора
P Tij == РТji=={Ф:,
P ТiO == PTOi == {ф:,
(jkQФ )
P2(ji Qф }.
(i, j, k перестав.тIНlOТСЯ ЦИfшически) (5.22Т)
Мы можем тан:те
построить аксиаJIЬНЫЙ (псевдо) четырехмерный вентор
РРVi=={Ф:, (jiQф },
Ррvо=={ф:, РIQф }.
(5.22РУ)
Составляющие Рру", преобразуются при вращении и собственных преобра
зованиях Лоренца как составляющие четырехмерноrо вектора, но Не меняют
знака при отратении. Мотно тан:же построить псевдоскаляр PPS, которыЙ
преобразуется н:ак скаляр при вращениях и собственных преобразованиях
Лоренца, но меняет знан при отратении
PPS == {ф:, Р2Qф }. (5.22PS)
1) В паших обозначениях третья и четвертая составляющие волновых фушщий яв-
ляются «большими», а две друrие «малыми». При малых СRОрОСТЯХ v частиц малые
{)оставляющие имеют ПОрЯДОR v!c по сравнению с большими составляющими. Мы будем
использовать термины «большио> и «малые» составляющие даже для быстрых частиц,
коrда все четыре составляющие имеют один ПОрЯДОR величины.
2) Мы используем действительную временную состаВШIЮЩУЮ Хо == ct, а не мнимую
Х4== ict. В наших обозначенинх lшадрат четырехмерноrо всктора F У", записывается
3
n виде 2j (FVi)2 (Fvo)2.
;==1
"
552
r д; ХI 11. Вета-расnао
Имеется Bcero шестнадцать величин (считая J\атдую составляющую
отдельно), и они исчерпывают все возмотные ковариантные билинейные
'Выратения для формы (5.4а) 1). В нерелятивистском случае было тольн:о
четыре величины. Заметим, что все шестнадцать величин, приведенных
Выше, ЯВЛяются функциями F (r) от пространственных координат (ПОСКОJIЬКУ
волновые функции Фе И фу зависят, от координат). Эти фунн:ции следует
брать в точке r == r n , rде находится нуклон, испытывающий превращение.
. Чтобы построить матричный элемент Hif в виде (5.3), необходимо еще
определить матрицу Кn, т. е. найти, н:акой вид принимает эта матрица
для катдоrо из вариантов (5.22). Запишем Кn в форме (5,5). и потребуем.
чтобы величина
F (r n ) (ФjКnФi)
была инвариантна относительно вращений, собственных преобразований
Лоренца и отражений пространственных координат. Этому требованию
можно удовлетворить только в том случае, если выратение
ФjКnФi == ФjК 'Сn, Фi (5.25)
имеет по отношению к ун:азанным преобразованиям тание те трансформа
ционные свойства, кан и величина Р. Следовательно, мы долтны построить
l\овариантные образования вида (5.25), подобные выражениям (5.22) для
леших частиц. Потребуем, чтобы в K не' содершалось производных от
волновых фуннциЙ нунлонов. Разумеется, здесь речь идет о релятивист
ских волновых фуннциях. Операторы K очень похожи на операторы,
использованные в (5.22); отличие заключается тольно в том, ЧТО в K не
входит оператор Q (см. примечание на стр. 550). Введем индекс п у матриц
Диран:а, чтобы ун:азать, что они действуют на спинорные состав.ляющие
только п ro нуклона. Тоrда из (5.25) получаются ковариантные величины
при следующем выборе K :
Сналяр
K B == n>
(5.255) .
Четырехмерный вен:тор
K y, i == сх. n , i == Рn. 1 Оп, i' K y, о' == 1,
(5.25У)
Тензор
K T,ij == nOn, k (i, j, k переставляются циклически),
(5.25'1')
K T. iO == Рn, 2 ОП, i'
Псевдовы\тор K p У, i == О", i'
K py, 0== Рп, l'
(5.25РУ)
(5.25PS)
Псевдоскаляр K РБ == Рn, 2'
Таним образом, мы получаем следующие пять различных матричных
элементов взаимодействия Hif, в наждом из которых подинтеrральное
1) Доказательство Toro, что эти выражения имеют указанные трансформационные-
свойства, см. в работе Паули [582]. Отметим, что мы строим БИЛИНl'йные ковариантные вы-
ражения вида ф*...ф*, в то время как выражения, приведенные у Паули. имеют ви):\ ф.. .ф.
Этим объясняется изменение в порядке операторов [например, в (5.22'\1) стоит (чQ вместо
Q(ч у Паули]. Матрица В записывается в обозначеюшх Паули как B l и отличаеТСII
от последней множителем i.
s 5. J1точштия теории бета-распада
553:
выражение релятивистски инвариантно:
А
(Htt)S == С в ] рв (r n ) (ФiК ns Фi) d't, (5.26S}
n==1
А ,3
(Hit)v==G v ] [ ] FVj(rn)(ФiКnV.jФi)d't Fvo (rn)(Фj Кnv.оФ;)d't J
, n==1 j==1
(5.26У)
А
(НЫ1 С т ]
n==1
[
3
]
k==1
(ij k перест. ЦИRЛИЧ.)
F Tij (r n ) (Фi КnТ, ij Ф;) d't
.о!.
3
F TkO (rn)(Фi КnТ, kO Фi) d't]
k==1
(5,26'1')'
А 3
(H{t)pv == С ру 2l [ F pVk (r n ) (Фi К nРУ . k Ф;) d't
n==1 k==1
р руо (rrJ (Фi К nРУ . О Ф;) d't ] '
(5.26РУ}
А
(Hit)ps == С РБ ] F ps (rn)(Фi КnРSФi) d't.
n==1
Эти пять величин обыкновенно называют матричщ;[ми ЭJIементами
е.калярноrо взаимодействия, BeKTopHoro взаимодействия и т. д, Однако-
ледует ясно представлять, что цодинтеrральное выражение, например
в (5.26У), есть Не четырехмерный вектор, а сн:алярное произведение двух
четырехмерных векторов, т. е. скаляр.
. Мотно выбрать любое из этих пяти взаимодействий, но не сле
дует думать, что в действительности взаимодействие определяется
каким нибудь одним и только одним из них. Любая их линейная номби
нация есть также возмотное взаимодействие [253, 189, 95]. Виrнер и .крич
фильд предлотили следующий частный вид линейной комбинаЦIШ [171, 173]:
(5.26PS).
,
,;,
(Hit)BK == (Hit) S (Hit)pv (Hit)ps,
(5.27)
с одним и тем те значением константы G для трех матричных элементов,
(т. у. линейную комбинацию с С в == С ру == С РБ == G и С у == С т О).
Выбор TaKoro частноrо вида линейной номбинации обосновывается сле
дующим образом: распад мотно рассматривать как некоторую реан:цию
с четырьмя частицами (нейтрон, протон, электрон и нейтрино), н:оторые
имеют спин 1/2 и MorYT, повидимому, быть описаны спинорными волновыми
Фунн:циями Дирана. Мотно иснать таное выратение для матричноrо.
элемента Hit, в которое все эти частицы входят «на равных основаниях»,
т. "е. выражение, полностью симметричное. или полностью антисимметричное
по отношению н любым двум из четырех частиц. Полностью симметрич
ный сн:аляр из четырех волновых фующий Дирана построить нельзя.
Единственная остающаяся возможность есть ПОЛIj:ОСТЫО антисимметричное
выратение (5.27). Однано при та ной записи (Hi/)BH антисимметрия не
является очевидной. Недавно были высн:азаны предполотения о том, что.
взаимодействие TaHoro типа с одной константой G имеет место метду
любыми четырьмя частицами спина 1/2 [741, 472, 835].
.554
rл. XIII. Вета-распад
Переходим н вычислению вероятности распада (5. 1) Б релятивистской
теории. Допустим сначала, что влияние нулоновскоrо поля пренебрежимо
мало. Подставим волновые функции Фе И Ф'I (5.11) в выражения (5.22) для
величин поля F (r n ). На этот раа и е и и'! не спиноры Паули с двумя
-составляющими, а спиноры Дирана с четырьмя составляющими, но и е и и'!
все еще не зависят от fe И r" соответственно (кулоновсное поле не учиты
вается). Оrраничимся в этом параrрафе перехода.ма порядкд 1 == О, HOTO
рые получаются при замене e i(p+q)rll на единицу, При этом получим
матричные элементы (5.26), аналоrичные выражениям (5.12) и (5.13) в Hepe
ЛЯТИВИСТСRОМ приближении, Например, матричный элемент ДШI снаЛЯрНОI'О
взаимодействия (5.268) принимает вид
G
(Hit)S == Т {и , Qu } ( ),
(5.28)
rде ( ) .. ядерный матричный элемент оператора . Ядерный матричный
тeMeHT оператора О определяется равенством (Оп" оператор О, деЙствую
щий на п й нунлон)
А
(О) == ФiОn"п. Ф[ (""
nо=1
(5,29)
lIоскольну движение ПУНJЮНОВ в ядре можно считать нерелятивистским 1),
( ) (1).
(5.30)
Сналярное взаимодействие (5.268) дает тание же матричные элементы, нак
11 нерелятивистсное синrлетное взаимодействие, и, следовательно, подчи
няется таким же правилам отбора (2.7).
При исс.педовании друrих вариантов взаимодействия мы сталниваемся
(; новыми типами матричных ::элементов. Матричные элементы HOBoro типа
{)писывают релятивистсние эффенты, о которых rоворилось в начале этоro
раздела, «релятивистсние переходы», удовлетворяющие правилам отбора,
-()тличающимся от найденных в нерелятивистсном приближении. Понажем:
это на примере псевдовенторноrо взаимодействия (5.26 РУ). Оrраничимся
{)пять переходами порядна 1 == О (заменим e i(p+q)r" на единицу) и пре
небрежем влиянием нулоновскоrо поля на элентроны. Тоrда, по анало
l'ИИ с (5.28), получим
G .
(Hij)pv == ;v [{и:,а Qu }(a) {и:, PIQU }(Pl)]' (5.31)
Здесь (а) ядерный матричный элемент (5.15), а (Рl) определяется анало
rичным образом
А
(Рl) == ФjРt"n, Фi d".
nо=1
(5.32)
Первый член в (5,31) подобен выражению (5.13) для нерелятивистскоrо
'rриплетноrо взаимодействия. Он' ведет к «обычному» переходу, удовлетво
ряющему правилам отбора (2.8). Однако второй член оназывается' матриq
ным элементом совершенно иноrо типа. Он описывает так называемый
« релятивистсний переход». Оператор Pl связывает большие составляющие
нунлонных волновых функций С малыми составляющими, В нерелятивист
1) Приближение (5.30) достаточно точно, если,НУКЛОНЫ движутся настолько медлен-
110, что (V п ic)2 1, rде Vп СКОрОСТЬ нуклона в ядре.
8 5. Уточнения теории бета-расnада
555
IЮМ приближении можно выразить малью составляющие волновых функ
ций через большие (см. [51], 8 или [663], стр. 320). Сделав это, получим
\Pl) <'7> (в нереJIЯТИВИСТСНОМ приближении ля нуклонов), (5.33)
тде v нерелятивистскиЙ оператор снорости нуклонов. Соотношение (5.33)
поназывает, что (Pl) по абсолютноЙ величине меньше матричных элементов
(1) и (а) и отличается от них множителем порядна Vn/C, 1'де V n среднЯя
снорость нуклонов в ядре.
rораздо более важным, чем разница по порядну величины, является
различие правил отбора, Произведение (av) есть псевдосналяр; это Bыpa
жение инвариантно относительно вращений, но меняет знан при отражении
пространственных координат (операция инверсии). Следова'rельно, (5.33)
исчезает, если не выполнены следующие правила отбора:
I::,J == О, II; == П f ' (5.34)
Эти правила отбора отличаютсн от правил отбора Ферми (2,7), тю{ I\aK,
по (5.34), началь.ное (П j ) 11 нонечное (19 состояния пдра должны о ладать
противоположнои четностью.
Нарианты взаимодействия (5.26V) и (526Т) ведут I\ выражениям для
матричных элементоп, подобным (5.31).' в выражешшх для матричных
;шементов мы будем различать два типа членов; члены одноrо типа coдep
жат ядерные матричные элементы (1) или (а) и ведут к «обы'lНЫМ» пере
ходам, полученным в нерелятивистсноi1 теории и удовлетворяющим пра
вилам отбора (2.7) или (2.8). Матричные элементы друrоrо типа с'одержат
ядерные матричные элементы операторов Рl или Р2 И описывают «реляти
вистские» переходЫ, вероятность которых меньше, чем вероятность обыч
ных переходов, удовлетворяющих друrим правилам отбора. Ядерные матрич
ные элементы, соответствующие различным вариантам взаимодействия,
собраны в табл. 28. Мы видим из этой таблицы, что сналярное взаимо
действие не дает релятивистсних переходов, в то время нан псевдоскаляр
ное взаимодействие не приводит н обычным переходам. Матричные элементы
Таблица 28
Ядерные матричные элементы и праВИJIa отбора для переходов
порядка 1 ==0 1)
Вваимодействие
Ядерн!'!й матричн!'!й элемент
и правила отбора
обычные переходы I релятивистсние
переход!'!
Скалярное (5.26 S) .
Веюорное (5.26 V) .
ТеНЗ0рное (5.26 Т) .
Псевдовекторное (5.26 PV)
Псевдоскалярное (5.26 PS)
ф (2.7)
(1) (2.7) (р]о) (5.36)
( o) (2.8) (Р2 0 ) (5.36)
(о) (2.8) (Pl) (5.34)
(Р2 ) (5.34)
1) После lIашдоrо матричноrо элемента дана ссылна на соответствующие правила
отбора.
( ) 1I ( a) для обычных переходов в нереЛЯТ11ВИСТСНОМ приближении для
нунлонов MorYT быть соответственно заменены на (1) и (а) . Матричный
лемент (Pl а) для релятивиетсних переходов при венторйом взаимодействии
556
r",. XIII. Beтa pacnaд
можно оценить тем же методом, который применялся при выводе (5.33).
Оценка дает
(Р1 а ) == (ас) < : ) (в нерелятивистском приближении для нуклонов). (5.35)
Оператор снорости нуклонов v меняет знак при инверсии. Правила,
отбора для матричноrо элемента (5.35) отличаются от правил отбора,
raMoBa Теллера (2.8), поснольну теперь четности начальноrо и конечноr().
состояний должны быть противополотны
D.J == О, :!:: 1, переходы O О иснлючаются П i П f ' (5.36}
В приблитении, в нотором записано (5.33), матричный элемент (Р2) равеп
нулю 1). Поэтому мы можем считать, что порядон величины этоrо матрич
Horo элемента есть (V n /c)2, а не Vn/c. в отличие от матричноrо элемента
(Р1) матричный элемент (Р2) нельзя cTporo оценить без помощи последо
вательной релятивистской теории для нунлонов. Правила отбора для (Р2?
тание же, нан и для (Р1)' потому что как Рl' так и Р2 инвариантны OTHO '
сительно вращения и меняют знак при инверсии.
H1HoHen, матричный элемент (Р2а) в нерелятивистсном приближении
;р;ля нунлонов 2) принимает вид
/axv,,",
(Р2 а ) ""' -----с / (в нерелятивистсном приближении для нунлонов), (5:36а)
т. е. имеет порядон Vn/C' Ядерный матричный элемент (Р2а) подчиняется
тем же праВИJlам отбора, что и (Р1а), т. е. правилам (5.36).
Правила отбора (5.34) и (5.36) уназывают, что релятивистск,ие'пере
ходы порядк,а l == О ведут к, коnечnы.м состояnия.м С протuвоположnой п
сравnenию С nачалшы.ми состояnия.ми четностъю, в то время к,ак, обыч1tыt
переходы порядка l == О ведут к, I>оnечны.м состОЯnllЯ.м той же itетnости.
что и nачаЛЪ1tые. Таким образом, переход порядка l == О из определен:8:0rо
начальноrо состояния ядра i в определенное нонечное состояние f может
быть либо обычным, либо релятивистским, но не тем и друrимЪразу.
В 7 мы увидим, что это имеет место для любоrо заданноrо порядка пере--
хода l3).
Множители Vn/C и (V n /C)2, опредеЛяющие порядон величины матричных
элементов релятивистских переходов, значительно уменьшают вероятность
этих переходов по сравнению с веРОIiТНООТЬЮ обычных переходов. Поэтому
релятивистские переходы порядка l == О считались запрещенными перехо
дами. Конопинсний [441, 442] относил релятивистсние переходы порядна О
в нласс « однократно запрещенных» переходов.
Обратимся теперь н друrому следствию релятивистсной теории, о HO
тором мы rоворили в начале этоrо раздела, наличию увловой к,орреЛЯЦИ/l;
.между направления.ми испуск,анuя элек,трона и nейтриnо. Сначала мы
. пон:ажем наличие уrловой норреляции на примере скалярноrо взаимодействия
(5.26 S). Будем исходить из выражения (5.28) для матричноrо ;элемента
сналярноrо взаимодействия. Чтобы получить вероятность испуснания, надо
просуммировать I H ! 12 по ориентациям спинов элентрона и нейтрино.
Пусть И k) спиновая функция Диран:а для электрона положительной
энерrии в спиновом состоянии k (k == 1,2). Точные выражения для та них
функций можно найти, например, в книrе Шиффа ([663], стр. 315).
1) В работе [172] даны оценки, в которых по ошибке переставлены Рl и Р2.
2) То, что матричный элемент имеет порядок vjc, а не (V,lc)2, было уназано нам Ha
тафОIil: и независимо от Hero Финберrом (частные сообщения).
3) Однако иноrда вклад в один и тот же распад i -----+ f вносят обычный переход поряд
Ra l и релятивистский переход порядка [ 1. .
lIодобным же образом об означим спиновые фуннции нейтрино. Torдa в pe
..зультате суммирования по спинам мы получим релятивистское обобщение
,формулы (5.16а):
8 б. Уточнения теории бета-распада
557
2
I {и k)., Qи k').} 12 == 1 СОБ б е ,/,
k,k'==1
(5.37)
-rде v съ:орость элентрона, а ев'/ уrол между направлениями испуснания
,;элентрона и нейтрино.
Вычисление суммы (5.37) проводится прямым, но несколько rромоздким путем. Проще
Бсеrо сделать это так. Функция v'/ == Qи == Bи также удовлетворяет уравнению Ди
рака для нейтрино с положительной энерrией, но с противоположно направленными
импульсом q и спином (v,/ есть обращенная во времени волновая фующия и,/,
-см. rл. Х, 2). Поскольку нам надо суммировать по всем ориентациям спина, обраще-
ние спина для нас несущественно. Теперь нужно просуммировать выражение I{иt, V,} 12
по ориентациям спинов обеих частиц. Эту сумму можно свести к следу (сумме диаrо-
нальных элементов) HeKo'Ioporo оператора А +, вводя операторы, которые при умноже--
, нии на собственные функции состояний с положительной энерrией дают единицу, а при
,умножении на собственные функции состояний с отрицатеJIЬНОЙ энерrией дают нуль,
.эти операторы имеют вид
"\;==,E 1X.1) для Эllектрона с импульсом +р,
A == q lX.q) для нейтрино с импульсом ч,
!'де q == 1 q 1 есть (положительная) энерrия нейтрино в единицах тс!. Будем обозначатlo
индексами k==3,4 два решения с отрицательной энерrией. Тоrда
2
I {и k)., v k')} 12==
k.k'==1
2
{и k).,
k,k'==1
V k')} {V k')., и k)} ==
(,
== {и k).,
k,k'==1
A +и(k') } { и(k'). A+и(It) } :::IS p( A+A+ ) ==l iJМ!)
''/ '/ '/'" '/' Eq ,
('де мы использовали известные выражения для следов матриц Дирака и их произве-
.дений.
Этот метод вычисления средних значений по спинам связан с обычно встречаю-
щимсl'I в литературе введением «антинейтрино». Волновая функция v'/ может рассмат-
риваться как волновая функция воображаемой частицы, существующей до -распада.
{)тсутствие этой частицы после распада наблюдается как нейтрино.Мы предпочитаем обойти
такую формулировку теории -распада.
Следует отметить, что (5.37) не сводится к (5.16а) даже в пределе при (VjC) ...... о.
Разница на множитель 2 есть следствие нашеrо ошибочноrо нерелятивистскоrо рассмот-
рения нейтрино в 5, Б. Так кан нейтрино всеrда есть релятивистсная частица, боль
шие и малые составляющие волНовой функции нейтрино имеют один порядOI{ величины,
так что нормировка больших составляющих отличается множителем у2" от нереляти-
БИСТСКОЙ нормировки. Мы получили бы (5.16а) из (5.37), если бы нейтрино обладало
массой покоя т,/ *' О и если бы электрон и нейтрино двиrались со скоростями, малыми
11 сравнении со скоростью света.
Уравнение (5.37) указывает на наличие уrловои норреляции между
направлениями испуснания электрона и Нейтрино. Во мноrих случаях
?-распада отношение v / с для элентрона близко н 1 в значительной области
спен:тра. В этих случаях уrловая норреляция, пред называемая формулой
(5.37), становится заметной: элентрон и нейтрино испуснаются предпочти
тельно в противоположных направлениях. С друrой стороны, тан нан уrло
.пая Rорреляция пропорциональна первой степени cos б в ,/, она не сназывается
558
rл,. XIII. Вета-расnао
..
при усреднении по всем направлениям испуснания нейтрино. Таним
образом, форма спентра попрежнему определяется .статистичесним множ'и
телем (2.5).
Рассмотрим теперь уrловую норреляциlO lежду элентроном и нейтрино,
вытенающую из друrих вариантов взаимодеиствия. Неноторые новые oco
бенности появляются, ноrда леrние частицы испуснаются в триплетном
состоянии. В I,ачостве примера рассмотрим обычную часть псевдовенторно
ro взаимодействия [см. (5.31)]. Для получения уrловой норроляции надо<
просуммировать 1 Hit 12 по' ориентациям спинов элентрона и нейтрино.
Результат суммирования, определяемый в неролятивистсном случае форму
JIaМИ (5.16), в нашем случае имеет вид
2
'" /и(I1)* cr Q и(k')* } * /и(k)* cr , Q u Ut ')* } ==
\e,т "v \е,т у
k,1<'==1
(1 v CJ )+( 1) ffiP mqm,+q mpm'
Umm' . СОБ и е ,!
С Eq
(5.38,
Эта сумма также может быть llычис.тrена методом, который ИСПО.;IЬЗ0вался Прlf
по.тrучении (5.37). Так как в этом с.тrучае ВЫ'lИСJreния HCCKOJIbKO сложнес, мы здесь
TO.тrЬKo наметим их ход. Введем опять фушщию v'! == Bu , представляющую спиновую
фУНIщию неЙТРИIIО, обращенную во времени. Тоrда левая часть (5.38) примет вид
2 2
'\.' { u(l')* cr з v(k') } * { u(п)* а q v(k') } == { v Ut ')* ( а А ) + u(k) } { u(I1)' а q v(k') }
L..:. с' т, у е т' t" ! У , mt" е е' rп.' l' v '
/{,1<'==1 11,11'==1
rде (aт )+ есть эрмитовски сопряженная матрица aт . Последнее выражение имеет-
форму, удобную для применения проекционных операторов Ад и A' . Дальнейшие BЫ
числения совершенно аналоrичны проведенным ранее. И(шользуя соотношени
(aт)+==( 1)тa т, нолучаем
( l)т Sp ( a т c\t а т , Pt) == ( 41)т Sp (a т а т ,) +
+1
( l)т '" ( 1 IL+fJ.' S (
+ 4Eq .) PIL q IL' Р a т cr fJ. а т , afJ.')'
fJ.,fJ.'== t
причем мы ВОСПОЛЬЗ0вались общим соотношением (5.8Ь) дЛЯ скалярноrо произведеНИII
двух векторов А и В. Прямое вычисление с ИСПОЛЬЗ0ванием известных выражений для
следоВ матриц Дирака дает теперь соотношение (.1.38).
ВеJJИЧИНЫ Рт и qm В (5.38) образуются из денартовых составляющих
венторов р и q импульсов леrних частиц по формулам (5.8а). Если теперь
при помощи (5.38) вычислить I (Hit)pv i 2 , учитывая толыю первый член
n (5,31) (поснольну мы рассматриваем обычные переходы), то получится
следующее выражение для нвадрата модуля [Hit 12, усредненноrо по спинам
вылетающих элентрона и нейтрИНО,
( IH 12\ == ( С ру \ ) 2 [(1 ' ..с] ) I ( ) 1 2 + (P(cr)*)(q(cr»)+(q(cr)*)(p(а» ) ]
,/ I jcp. 2V с cos ие" 1 о' , Eq
(5.39):
в ОТJIИЧИО от нерелятивистсноrо случая результат (5 39) зависит от
ориентации вен тора (..) относительно направлений р и q. Для сравнения
с энспериментом следует еще провести усреднение по возможным ориен
тациям момента IЮЛJIчества Д13ижения исходноrо ядра. Это можно сделать
тан, нан еСЛIl бы вентор (о') был нлассичесним вентором (поснольну мы
9 5. J7точпепия теории бета-распада
55!}
\,
оrраничиваемся нерелятивиетсним рассмотрением нунлонов). Чтобы получиТI>
онончате.пьное выражение для уrловой норреляции между элентроном JI
нейтрино в случае обычных переходов с псевдовенторным взаимодействием.
используем Jшассичесное тождество (А и В два постоЯННых вентора)
Среднее от (S*A) (SB) по всем направлениям вентора S==+ (S*S)\(AB).
С помощыо этой формулы находим выражение для множите.ля, опрс
ДСJlЯющеrо уrловую норреляцию. ОН равен
1 v
1 , 3 c СОБ ееУ'
Подобными методами можно определить уrловую норреляцию д.НН
ДРУI'ИХ вариантов взаимодействия и типов переходов. Корреляция все]'lЩ
выражается множителем вида
v
1 + л СОБ ее У '
с
rде л , число, заЮIIоченное между 1 и 1. Значения ). приведены н
табл. 29. Вопросы, связанные с уrловой норреляцией, рассматривалиCl>
в работах [78, 342]; поправни на нулоновсное поле в работах [644, 319i;.
переходы l == О поправон не 'l'ребуют.
Таблица 29
Уrловая корреляция между направлениями испускания электрона
и нейтрино и величина постоянной С в формулах (2.13) и (4.6) для
переходов нулевоrо порядка
'У1'лован RорреЛlЩИН определяется множителем 1 +л cos ееу
с
Обычные переходы РеЛЯТИВИСТСRие
переходы
Нааимодейстпие
л 10 С л 10 С
СШlJIНрТlО() (5.26 S) 1 \ Ф 12
Векторное (5.26 У) +1 I (1) 12 1 i (Рl а) I
:
ТеНЗ0рное (5.261') 1 [ ( a) !2 1 I (Р2а) 12
+:\ +
з
ПсС'вдовекторное (5.2вРу) 1 I (а) 12 +1 1 (PI) [2
3
Псевдоскалнрное (5.26PS) 1 I (Р2) 12
Переi1дем теперь н опредеJlениIO вероятности распада. Вероятность
распада дается формулой (5.1), нуда следует подставить соответствующео
значение Hi,t. Чтобы вычислить вероятность Р (р) dp испуснания элентро
'на с импульсом р, надо не тольно просуммировать 1 Hij 12 по ориентациям
'спинов элентрона и неЙтрино, но еще и проинтеrрировать по направле
ниям импульсов обеих частиц. Направления вылета леrних частиц входят
явно TO.ТIЬHO В множитель уrловоЙ норроляции. ОнончательныЙ результат
llолучартсн в форме (2.13), причем постоянная С определяется вырате.
инем, аналоrичным (5.18). Например, для еналярноrо взаимодеiiстш1Н
1<13>121(1)[2
CB== ,
(о (о
:560
rл. XIII. Вета-распад'
,
тде 't o определено в (5.17). Сходные выражения имеют место для обычных
и релятивистс«их переходов и в друrих вариантах взаимодействия. Выра-
жения для Ct o сведены в табл. 29. Величина С определяет сравнительный
период полураспада в соответствии с фОрМУJIОЙ (4.6), применимой для всех
переходов с l == О. Элентронный спентр ддя всех переходов с l == О имеет
<форму разрешенноrо спентра (2.13) 1).
Результаты, собранные в табл. 28 и 29, можно сравнить с экспери-
ментальными данными и та«им путем определить, «акой вариант взаимодей-
,ствия осуществляется в природе. К сожалению, данные не настоль«о точны,
"Чтобы допустить с«ольно нибудь ясное разделение. На основе имеющеrосн
.сейчас материала можно сделать очень мало занлючений.
Относительно уrловой норреляции элентрона и нейтрино в разрешенных
переходах имеется очень мало энспериментальных данных. Есть уназание [7]
на слабую уrловую норреляцию, причем ноэффициент " отрицателен п по
абсолютной величине, по видимому , меньше единицы. Это несовместимо
ос чисто венторным ВЗ/J.имодействием и, вероятно, танже несовместимо с чисто
сналярным. Ввиду значительных'энспериментальных ошибон ни тензорный,
ни псевдовекторный варианты взаимодействия не противоречат энсперименту.
Взаимодействие Виrнера Кричфильда при водит к норреляции, танже co ,
вместимой с имеющимися энспериментами.
Как видно из примеров, разобранных в 4, мноrие разрешенные пере
ходы не подчиняются правилам отбора (2.7). СлеД(Чlательно, истинное взаимо-
.действие, вызывающее распад, должно содержать либо тензорное, либо
псевдовенторное взаимодействие или их смесь. При этом смесь с CT== CpT
.определенно иснлючается, ибо такая смесь дает СПеНТр, сильно отличаю-
щийся от разрешенноrо спентра (2.13) [253,477], и, следовательно, противо
.речит энсперименту. .
s 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.
ОБЛЕrЧЕННЫЕ И ЗАТРУДНЕННЫЕ ПЕ ЕХОДЫ
Вероятность разрешенноrо -распада (обычный переход с l==O) вависит
'от величины ядерноrо матричноrо Элемента. Последний содержит только
'Операторы спина и изотопичесноrо спина. Для правил отбора Ферми соот-
ветствующий матричный лемент есть (1) [см. (5.14)]. Для правил отбора
rамова Теллера вероятность перехода пропорциональна I (а) 12, причем
ядерный матричный элемент (а) определяется выражениями (5.15)
,и (5.18).
Эти матричные элементы представляют собой сумму А членов, поэтому
мы можем ожидать, что величина ядерноrо матричноrо элемента пропор-
циональна массовому числу А радиоантивноrо ядра. Однано в действи
тельности это не имеет места, в чем леrко убедиться, рассматривая схемы
«уровней» ядра (rл. VI). РассмотриtJ: заполненный квантовый уровень в типич
_ ной схеме заполнения уровней ядра (.см., например, фиr. 38). Перенумеруем
все четыре частицы, занимающие этот уровень. Пусть частицами 1 и 2 будут
нейтроны, а частицами 3 и 4 протоны. Тоrда операторы "C3, ич. дают О.
Операторы "C1, и "C2. не равны нулю, но оба ведут н состояниям, не удовле
'творяющим запрету Паули: 3 нейтрона и 1 протон на одном и том же уровне.
Разумеется, в конечном ядре таких состояний быть не может. Таким обра
зом, частицы на «заполненных» уровнях не дают внлада в ядерный матрич
ный элемент. ВIшад в ядернЫй матричный элемент дают тольно сравни-
'тельно немноrие частицы, находящиеся выше заполненных уровней [562].
1) Это одна из причин, по которым мы совместно рассматриваем все переходы по-
==0, а не относим релятивистские переходы в rруппу «однократно запрещеннЫХ1>. ,
!J 6. Опреоелепuе .матрич,пых эле.мептов
.'ЮI
Схема уровней иллюстрирует таRже друrое важное свойство ндерных
матричных элементов, блаrодаря ноторому можно разбить все переходы на
:затрудненные и облеrченные. Таное разбиение можно более точно опреде
лить, исходя из свойств симметрии волновых фУНRЦИЙ ядра [810]. Но пре
жде, чем делать это, рассмотрим состояния RонеЧН01'0 и начаЛЬНОl'О ядра
с помощью схемы уровнеЙ. Мы назовем переход облееченным, еСJIИ нун:лон,
н:оторый меняет при переходе своЙ заряд, остается на том же самом уровне;
переход будет затрудненным, если нунлон должен перейти па ДРУ1'ОЙ ypo
вень. Подчерн:нем, что разделение переходов на облеrченные и затруднен
ные не следует путать с проведенной ранее н:лассифияациеЙ переходов на
разрешенные и запрещенные. К ан: облеrчеНllые, тан и :затрудненные пере
ходы являются разрешенными переходами . Разделение переходов на раз
решенные и запрещенные проводится по иэменению момента ноличества дви
люпия и четнОСТИ при переходе. Разделение же переходов на облеrченные
и эатрудненные проводится по изменениям в схеме заполнения уровней
(т. е. но возможным и:зменениям свойств волновоЙ фунн:ции при llерестановне
'l'олько пространственных н:оординат; см. rл. VI, 3). Разбиение переходов
на облеrченные и затрудненные про водится только для разрешенных пере
ходов, а не для запрещенных.
Пон:ажем теперь, что большинство разрешенных Ilереходов являются
затрудненными. Для случая элен:тронноrо распада это можно lIоназать
слеДУЮЩИМ рассуждением: превращение нейтрона в протон беа переход а
на друrой уровень привело бы н увеличению полноЙ энерrии ядра на Вf1ЛИ
чину, соответствующую добавочной н:улоновсн:ой энерrии, и поэтому таной
переход не cMor бы произоЙти спонтанно. ИСЮIючения из этоrо правила
обнаружены в немноrих случаях тольн:о для леrRИХ ядер типа A==4k +2
(k целое число), напрИмер в случае распада He6 Li6, ноторыЙ предста
вляет собой облеl'ченныЙ переход. Все подобные ядра обладают OДHOBpe
менно и тем своЙством, что для них спиновая зависимость ядерных сил
ведет 1\ отн:лонениям от общеrо правила, соrласно 1\ОТОрому наиболее C1'a
бильное ядро должно иметь наибольшее число нейтронов при заданном pac
нределении нун:лонов по уровням (см. rл. VI, 1 и 3)1).
При позитронном распаде избыток неЙтронов деJIaет разрешенный
переход затрудненным. Начальное ядро почти llсеrда находитvЯ в основном
состоянии. Следовательно, посн:ольн:у протонов в ядре меньше, чем нейтро
нов, все протоны находятся на уровнях, уже содержащих по 2 неЙтрона.
Поэтому протон, переходя в неЙтрон, должен ,одновременно перейти на
друrой уровень. Таним образом, переход в данном случае является за
трудненным, Из этоrо правила имеется две rруппы ИСНЛlOчениЙ:
1) позитронные переходы в ядрах с массовым числом А == 4k + 2
(k . целое число), при ноторых начальное или нонечное ядра имеют рЮШ()f'
число неЙтронов и протонов, например переходы
1<'18 018, A12G.......,.... M g 26, р30 SiЗО, С134 834, К38 А382);
1) Случаи [i'раооада Ве 1О ;. Ве 1О и С14 N14 указывают, что, I{pOMe распределения
НУRЛОНОll по УрОIJНЯМ, иrрают роль и друrие обстоятеJIЬСТlJа. Оба эти случая аналоrичны
случаю распада Не 6 > Li 6 (ядра Ве 1О и С14 отличаются от Не 6 одной и ДIJУМЯ а,частицами
соответственно). Тем не менее в обоих случаях сравнительный период ПОJIураспада ОIШЗЫ'
вастся весьма велик Большое значение ft ДJIЯ Ве 1О объясняется большим изменением
спина при переходе (см. табл. 27); поэтому тю,ой переход запрещеп. Будь ЭТО'f переход
разрешенным, оп ЮI' бы оказатьсл облеI'ченным. Большое значение сравнительноrо пе-
риода полураспада СИ до сих пор не имеет удовлетворительноrо объяснепия. Возможно,
оно связано с ТaIШМ изменением четности при переходе, что переход становитея запре-
щенным [294, 767].
2) В этой rРУПlIе также имеются примеры запрещенных переходов, например перехо,
дов пз OCHoBHoro сос.тоянил в основное СI0 > В10, 014 N14, Na 22 Ne 22 . Во всех трех
36 Заказ;N', 396
"!
562
r А. ХI П. Beтa pacпaд
2) переходы между парами зернальных ядер; все эти переходы пред
ставшпот собой позитронные распады, за ИСI{Jlючением НЗ ВеЗ.
Переходы, уназанные в пп. 1 и 2, являются облееченны,м'U, n то время
нан все остальные позитронные распады оназываются затруднеЮlЫ.ми,
Мы предполаrаем, что матричные Э.ТIементы (1) и (а) по порядну Be
личины равны единице, т, е. волновые Фуннции начальноrо и нонеЧН01'О
(после изменения заряда распадаlOщеrося нунлона) СОСТОЯНИ1I не оrлич<'l.
ются друr от друrа. [ТOl'да интеrралы (514) и (5.15) имеют порядOI{ 1]1)
Это очевидно в частном случае переходов между соответствующимп co
стояниями зеркальных ядер, ноrда привлечение схемы уропнеЙ не явлнет
ся необходимым для подобных заНЛIOчений. В этом случае начальное 11
нонечное состоянин представляют собой «зеркальные состояния», т. е,
отличаются только тем, что все протоны заменены на неЙтроны, а псе
нейтр )ны на протоны. Сходство двух волновых ФУНlщнй следует из pa
венства сил нейтрон неЙтрон и протон протон без наноrО JПlбо дополнит(тk
Horo предположения о силах между нейтронОм JI протоном, ЭнсперимеllТЫ
хорошо IIодтверждают эти соображения о подобии зерI\аЛЬНЫХ ядер
(см, l'Jl, YI, S ()) Д.пн выводов в случао А == 4k + 2 необходимо ПРИЩfечь
схему уровпей.
Затрудненные нерехоДЫ, повидимому, нмеют значительно MeHbIIlllC
матричные элементы. Действительно, если бы I\артина уровнеЙ была точноЙ,
матричные элементы вообще исчезали бы вследствие ортоrональности волно
вых ФУJШЦИЙ начальноrо и I{онечноrо состояний. Наблюдаемые значения
сравнительных нериодов полураспада ясно уназывают на различие между
облеl'чеllНЫМИ и затрудненными lIереходами. На фиr. 124 ПИl{ вблизи 19' (ft)
3,5 соответствует разрешенным и облеrченным нереходам. К этоЙ l'PYlIIlP
относится распад Heii:TpoHa. Для этой rруппы jt имеет нан раз таное значение,
HaHOl'o МОЖНО ожидать из соотношения.(4.6) и табл. 29, если принять, что
ядерные матричные элементы равны по порядну велИчИНЫ единице, а llO
стоянная t o БЛИ3Юl н 5.103 сен. Второй пин на фиr. 124 [вблизи Ig (ft)== 5],
несомненно, следует отнести I{ разрешенным, но затрудненным переходю\t,
Во всех случаях, КОl'да измерены спентры этих переходов, они оназывают('я
разрешенными. Сравнивая значения jt для типичных облеrчеНIlЫХ и заТРУJ\
ненпыx нерехоДОВ, мы приходим У{ 3 Ю\ЛlOчению , что в том СJlучае, J{Оl'да ВОJl
HOBbIe фУНIщии не перенрываются (затрудненные переходы), нвадрат MaT
ричнОI'О элемента уменьшается в 20 50 раз 2 ).
ПереЙдем теперь У{ более точному определению обле1'ченных и заТРУi'
ненных переходов и J{оличественному определению матричных элементов
оБЛО1'ченных lIереходов. тю, как операторы, входящие в выражения матри'l
ных эломентов (1) и (а), не зависят от пространственных координат,
они должны быть симметричными относительно перестановни пространствен
ных ноординат любых двух ПУЮIOнов. Поэтому ес.пп начальная волновая
СJIучалх распад ПрОI!СХОДИТ I'Jl<\ВIJЬШ образом па возбуждеННО!J состошIИС нонечноrо ядра;
в первых двух случаях прреходы на возбужденные СОСТОНШШ НВЛЯЮТСН разрсшенными
и облеrчеП!lЫМИ.
l) CTporo I'OBOpH, В()JШОJJые функции начальноrо и RОН!JЧIЮI'О состояний БЛИЗКlI ДРУl'
}{ друrу TOJIbl{O в том СJlу'ше, еслп оба эти состояиия нринадлежат 1{ одному суиермультип
Л!JТУ (см. I'JI. IVI, S Н). Это ,условие более точно, чсм введенное ранее условие (по I{OTOPOMY
оба состояния должны припадлсжать Н одному размещению). Например, ссли НУIШОН
переходиТ на ДРУI'УЮ орбпту (в модели независимых частиц), JJолновые фушщии МOI'УТ HP
перы{рыватьсн, даже если свойства симметрии ВОJIНОJJОЙ ФУПНЦIШ о;:носительно про'
страlIствеlIПЫХ перестановOl{ (размеЩРIШР) при этом не МРННЮТСЯ. Подооные сообраЖ РlJИЯ
выдвинуты ДJ1fI объяснения БО;IЫПОЙ веJIИЧИНЫ ft нри перrх()де С Н > N14. См. тю{ж!'
оБСУЖДl'ние праJJила отбора по 1 [504] в S 7, [.
2) Ипоrда в литературе встречается уТJJерждепис, что значения jt ВОJlИЗИ 103 сен.
относятся н ОДНОI{ратпо запрrщенпым переходам. Ъ'беДI!теJIЫIЫХ доводов в пользу TaKorO
уТDерждения пет.
r /: e ,
'.
(
>.-,;' 1"
J 6. Оnредемние Mampи1lHbtX эле.ментов
'5Н3
фуннция Фi :имеет определенную симметрию относительно пространствен
ных перестаНОВОJ\ (т. е. соответствует определенному размещению, см.
rл. VI), то J\онечная волновая функция Фt должна соответствовать тому же
размещению. Если Ф; и Фf относятся к различным размещениям, то матрич
ный элемент иёчезает 1). читывая это, мы приходим J\ точному определению
облеrченных и затрудненных переходов: разрешеНllЫЙ переход называется
облеечеllflЫМ, если вол.llовые функ,ции ядра в начаЛЬНО.Аt и 1>,онеЧllОМ состОЯllиях
относятся 1>, одному размещению; в противном случае переход называется
затрудненным.
Если бы 'представление о ядерных силах, I\Ю\ о силах, не зависящих от,
спина и заряда, было точным, матричные элементы разрешенных и оБJIеr ,
ченных переходов были бы порядка единицы, а матричные элементы раз
решенных, но затрудненных переходов исчезали бы.
На самом деле приближение Виrнера (в н:отором вее волновые фушщии
относятся I( тем или иным размещениям) не совсем верно. Поэтому разрешеп
ные, но затрудненные переходы происходят, однако соответствующие им
матричные элементы малы в сравнении с единицей. Сравнительные периоды
полураспада для этих переходов больше, чем для облеrченных переходов.
Можно ожидать, что различие между облеrченными и затрудненными
переходами наиболее ярно выражено там, rде приБJIижение Виrнера лучше
отражае'l' деЙС1'витеJIЬНОСТЬ, т. е. в случао Лel'КИХ ядер. По мере увеличения
числа протонов кулоновские силы становятся все более и более существен
ными, приближение Виrнера оказывается неприrодным и клаССИфИl\ацин
волновых функций ядра по размещениям теряет смысл. Поэтому можпо ожи
дать, что для больших массовых чисел различие между облеrченными и за
трудненными переходами становится не таним резким. Эти предположения
замечательно оправдываются на примере позитронноrо распада ядер с А==
==4k +2. Значения сравнительноrо периода полураспада p18 и А 26 типичны
для разрешенных и облеrченных переходов. В случае распада рзо /t==5 .104 сен.
ЭТО СЛИШI,ОМ большая величина для разрешенноrо перехода. ДЛЯ СР4 jt==
==3.105 сек. Эти случаи мало отличаются от типичных случаев разрешенных;
но затрудненных переходов.
При рассмотрении матричных элементов pa;JpeIIleHHhIx переходов мы
€>rраничимся переходами между зернальными ядрами. Вычисление матрич
ных элементов 1(1) 12 И I (а) 12 сильно упрощается, если учесть, что
они зависят то.льно от размещения (Р, Р', Р"), но не от числа «заполненных
уровней» (в терминолоrии rл. VI). Это и понятно, потому что частица, Haxo
дящаяся на ОДном из заполненных урОвней, не может испытать переход
оез нарушения принципа Паули в I,онечном состоянии Фt. Поэтому мы можем
вычислить маТРИЧI;!ЫЙ ЭJJемент, пренебреrая всеми заполненными уровнями.
В случае переходов метду зеркальными ядрами вне заполненных уровней
имеются либо одна, либо три частицы. В первом случае матричные эле
менты можно вычислить, рассматривая распад одноrо нунлона. Во вто-
ром случае можно поступить точно так же, ибо мы мотем рассматривать три
частицы на одном уровне н:ан заполненный уровень плюс «дырна». ,
Для случая распада одноrо нуклона матричный элемент < 1 > (5.14)
в точности равен единице, поскольку волновые фующии начальноrо и J,онеч..
Horo состояний одинаковы. В том случае, если орбитальный момент J\ОЛИ
чества движения L и спин S ядра являются «хороmимю> нвантовым:и
числами, правила отбора Ферми (2.7), ноторь1е всеrда выполняются для
матричноrо элемента < 1 >, MorYT быть дополнены друrими правилами
отбора. Тан мотет случиться, например, тоrда, ноrда момент ноличества'
1) Если ВОЛIIовая функция Ф, конечноrо состояния представляет смесь составляю-
щих, относящихея R различным размещениям, ядерный матричный элемент -распада
определяется тплыш частью Ф" которая соответствует тому же размещенnю, что и Фi.
36*
rл. Хll/. Беm4 распfl.а
двитония ядра определяется тольно одной частицей (остальные нунлоны
rруппируются попарно таним образом, что их суммарный момент ноличе
ства двитения равен нулю)!), или тоrда, ноrда мотно пренебрсчь связью
спина с орбитой. В этих случаях значения L и S должны ео.храняться при
lIереходе, тан нан: волновая Фунн:ция не меняется, и мы получаем
!J.L == О,
!J.S == о (правила отбора Ферми).
(6.1)
I3ЫЧИСШJНие матричноrо элемента I (а) 12 (5.15) и (5.18) ОI,а3ЬШ1Ается неСIЮJIЬНО
60лее сложным, ПОТШlУ что величина этоrо матричноrо элемента зависит от Toro.
каним образом полный момент НQ.1IИчества движения ядра (или частицы) J выражается
чероз S и L. Рассмотрим одну частицу с орбитаJIЬНЫМ нвантовым ЧИСJЮМ L и спином
8==1/2' Полный момент l{оличества движения может в этом слvчае иметь два значения:
1==L+l/2 и J==L 1/2' 130JIНовап фушщия в наждом случае имоот IШД
ФJМ== 2J CLS(J, М; m L . mS)u LmL (х, у, z)Y.s ms ' (п,2)
'lпL+ тв==М
rДе Сl"s lюэффициенты I\лебша Жордана (см. приложение 1, 5), и(х, у, z) фунн
ция, зависимость ноторой от уrлов определиется сферичесной rарМОIIИlЮЙ У Lm (О, ),
. L
а У.Sms спиновая фУШЩIIИ для спина 8==1/2 с проенцией тв на ось Z (тs==::J: 1/2)'
Мы опустили функцию изотопическоrо спина, уназывающую, что НУI{;ЮН ЛВJшетсн
нейтроном (имеется в виду распад). Рассмотрим матричный элемент (ах) (5.15).
В нашом случае сумма (5.15) СВОДИТСя }{ одному члену, содержащему оператор axT .
Оператор T переводит нейтрон в протон, а ах меняет направление спина:
аХУ.З.тз==ХЗ. тз'
Таким образом (отвленаясь от фуннции изотопич€Cиоro спина), ИМ('f'М
ах'I: ФJМ== 2J C LS (J, М; mL' тз) иun Хвт<
mL тB==M L
(6.3)
Пусть в ноне'IIlОМ состоянии полный момент КОJIИчества
()тветствии с правилами отбора (2.8) для этоrо матричноrо
одно из трех значений J' ==J + 1, J, J 1], а М' проенция
равна М + 1, либо М 1.
l3ыражение «().3) дает в этом случае
ф;'м' аХ'I: ФJМ d'l:==C L ,I/ 2 (J', М'; М + '
движе.ыия: равен J' ,[В (,'Q
элемента J' может иметь
на ось z П021ноrо момента
( * ( 1
J Ф] 'м' ах't ФJмd'l:==С L,1f2, '- J', JИ'; М 2 '
1 ) /' 1 1 )
'2 C L , Ч2 \.J. М; М+ 2 ' 2
(Д;IЯ М1==М + 1), ,
(6.'1)
)CL,1!2(J,M;M i, ; )
(д.тIИ М' ==M- 1).
3начения соответсшующих коэ;(>фициентов J{J1ебша ЖОРl{аlfа приuедены u при
пожении 1 табл. 5. Поеко.тrьну вероятность распада не .\южет заl3иееть от Toro,
IШIюе направление в пространстно выбрано в начсстве оси Z, МОЖНО без оrрани'!ения
общности положить М == J. Выражение (6.4) надо возвести в нв адрат и просуммиро
вать по двум JJ03.\IOЖНЫМ значениим М'. Соввршенно тан же проводптсп вычисление
матричных э.тrементов (ау) и (аz).Подробности см. В работах [324, 810).
Uеличина l(a)1 2 исчезает, если в ядерном переходе не ВЫПOJШЯЮТСR
правила отбора I'aMoBa Теллера (2.8). Если орбитальный момент коли
чо'Стпа двишония L и спиновый момент количества движения S хорошие
1) n тarюм случае L будет хорошим нвантовым ЧИCJIОм даже при нюшчии взаимодей
{:ТDlШ СIlIша е орбитой, поснольку два возможных значения ]J(L==J+1/ 2 и L J 1/2) co
()твеТСТDУЮТ СОСТОяниям е противоположной четностью и. следовательно, не MorYT иметь
моето одновременно. Предположение о том, 'ITO MOMellT количества движении ядра опре ,
ДСШlотея толы{о одной частицей, обычно припимается в .модели л-дерных n6.0,1l0че!i
(см. J'.,. XIV),
I 6. Onредем:ние' .мampи1fflblX Э,м.м,enтов
56:)
нвантовые числа, то а действует только на 8, и
тельные правила отбора:
дl == О 18 == о, :!: 1 переходы
мы получаем дополни
0""'"'"7 О исключаются
(правила отбора I aMoBa Теллера),
(6.5)
При этих условиях матричный элемент l<a)1 2 принимает значения, yн:a
эанные в табл, 30. При L 0== О матричный элемент принимает только одно
значение, приведенное .n левом верхнем уrлу таблицы.
Таблица 30
Значения I (о') 12 для переходон между
зеркальными ядрами
,/
J в нонечном состонНJIИ
J
n начальном
состоннии
L+J..
2
L !
2
1
L+
2
2L+3
2L+l
4 l-+ 1
2L+l
4L
2L+ 1
2L 1
2L+l
1
1' 2
Если нельзя иренебречь взаимодействием спина с орбитой, мы уже
не мотем таким простым путем определить значение матричноrо элемента.
Файнrольд и Виrнер (неопубликО'ванная работа, 1948) обратили внимание
на то, что в СJlучае заметноrо, но не слишком сильноrо взаимодействия
спина с орбитой данные табл. 30 MorYT быть использованы для получения
верхнеЙ и нижней rраниц величины матричноrо элемента, Действительное
значение t(a)1 2 должно быть в этом случае заключено между значеНI ЯМИ
l<a)1 2 для состояний с L==J+l/ 2 И Lo==J 1/2'
В свете этих результатов рассмотрим экспериментальные знаЧlНИЯ
сравнитеJIЬНЫХ периодов полураспада ряда зеркальных ядер 1). Если бы
правила отбора Ферми быди справедливы, значения ft для всех зерналь
ных ядер должны были бы равняться друr друrу (поскольку матричный
элемент (1) равен единице для всех таких случаев). Действительно, для
большинства случаев распада зеркальных ядер 19 (ft) занлючен между
3,5 и 3,7, если не считать немнО'rО'численных, но важных иснлючений.
НаиБOJюе важными исключениями являются распады нейтрона и НЗ.
В обоих зтих случаях jt имеет меньшие значения. Значение ft для ней-
трона известно сейчае недО'статочно точно, поэтому мы используем для
сравнения '!'олъю) раепад тритона, для KOToporo 19 (ft) == 3,06. Сравни-
тельный период полураспада НЗ отличается от сравнительных периоДОВ
полураспада некоторых друrих виrнеровсних ядер (например, N13) при
мерно в 4 раза, ТруднО' сказать, каким образом MorYT появиться различия
TaHOrO' порядна r если зеркальные ядра в действительности таи похожи
друr на друrа, нан: на этО' указывают друrие явления. Здесь мы стаЛR:И-
ваемся с еще одним сильным apryMeHToM против чистых правил отбора
Ферми (относящихся R: синrлетному испусканию).
Предположение о триплетном испуснании леrR:О объясняет припеденные
различия. В этом случае значения матричных элементов нужно брать
из табл. 30. Величина их зависит О'т спина ядра (при распаде зерн:а.пьных
1) Таблицу соатветсз:вyIOЩИХ значений ft см. Б работе [237J.
, (. '{'::, :\
r.л,. ХП/. Beтa pacnao
ядер спины начальноrо и конечноrо состояний ядра одинаковы). Малые
значения jt для нейтрона и Н3 объясняются тем, что для этих двух Ядер
орбитальный момент количества движения L равен Нулю, тоrда как для
остальных зеркальных переходов L ч= О. ИЗ табл. 30 видно, что при L == ()
1(0')12 == 3, а для высших значений I" (при переходах между COOTBeTCTBY
ющими СОСтояниями зеркальных ядер начальное и конечное состояния
имеют, разумеется, одни и те же значения J и L) матричный элемент
1(0')12 принимает заметно меНьшие значения. Подробное рассмотрение Виrнера
и ФаЙнrольда (не опублин:овано, 1948 r.) пон:азывает, что все значения jt не
противоречат чистому взаимодействию raMoBa Теллера l ), т. е, выбору матрич
Horo элемента 1(0')12. R тому же занлючению мотно прийти и друrим путем
[544], сравнивая значения jt для двух случаев распада Ве 7 (на ОСновное
и возбужденное СОстояния Li 7). Тем не менее нельзя полностыо ИСIШЮЧИть
возможность наличия небольшоЙ примеси взаимодействия типа Ферми.
Значение постоянной t o (харюперное время для распада), используемое
в этоЙ rлаве ио == 5.103 сек.), получено на Основе предположения Ct o ==
== 1(0');2 == 3 из значения сравнительноrо периода полураспада Н3.
Подобные сравнения MorYT быть сделаны и для дрУI'оrо I\ласса разре
шенных и облеrченных переходов переходов в леrн:их ядр ах с А == 4k + 2.
Значения 1(1)12 и 1(0')12 мотно и в этом случае определить при помощи
общих соображений, не зависящих от I\OHKpeTHoro вИда волновой фунн:ции
ядра, Сравнение с ЭI.спериментально определенным временем жизни дает
превосходное соrласие для распада Не 6 , несколько ХУJ шее соrласие для
распадов F18 и АРВ, И очень плохое соrласие для более тяжелых Ядер
этоrо н:ласса, Экспериментальные значения времени тизни оказываются
больше теоретичеСI\ИХ, и, следовательно, действительные значения матрич
ных элементов долтны быть меньше тех, кан:ие дает теория. Этоrо и надо
было отидать для тюкелых ядер, rде приближение Виrнера (на котором
основаны вычисления) становится неприrодным.
Прен:расное соrласие эксперимента с теорией в случае распада Неб
исн:лючает ВОзможность большой примеси взаимодеЙСТВИJI типа Ферми,
по('.r.OJJЬКУ такое взаимодействие давало бы вклад в вероятность распада
Н3, но не давало бы вклада в вероятность распада Не 6 в соответствии
с правилами отбора [544], Эти соображения позвОляют считать, что взаимо
действие типа Ферми, по н:раЙней мере, вдвое слабее взаимодействия
raMoBa ТеЛJшра и что предполотение о чистом взаимодействии raMoBa
Теллера находится в соrласии с данными по распаду Н3 и НеВ 2).
Теория Виrнера разрешенных и облеrченных переходов Подтвер
ждается эr.спериментом настолько, насколько этоrо можно ожидать 3). Наи
более важныЙ результат теории состоит в том, что большинство рl'lзре
шенных пepexoдoв являются затрудненными, и поэтому их сравиительный
период полураспада значительно больше, чем у lleumpolla. Второй, не столь
ОI\ончатеJIЬНЫЙ, вывод состоит в том, что для объяснения времени жизни
1) Однако в некоторых случаях приходится предполаrать такое значение орбиталь-
Horo момента количества движения L, которое трудно СОrласова ь с измсренным значе-
нием маrнитноrо момента, если не допускать существования больших об:\!еННЫХ маrнит-
ных моментов. Например, значение сраВнитеЛЬноrо периода полураспада для случая Cll
....Bll приводит, повидимому, Н ЗaIшючению о преобладании D-состояния (I,==2), в то время
кю маrнитпый момент Bll близor, к маrнитному моменту P-СОСТОнния (L== 1). Обс.ужде-
иие данных по маrнитным моментам см. в rл. VI, 9 5.
2) Интересно Отметить полное перекрывание волновых функций основных состояний
Не 6 и Li 6 , вытекающее из этих экспериментов. Поскольку эти состояния пе являются
«СООТI!СТСТВСШIЫМЮ> (не принадлежат к одному и тому же мулыиплету по изотопичесному
снину), полное перенрывание этих волновых функций является важным подтверждением
теориrl Супсрмулыиплетов Виrнера.
3) См., однако, случай слишком малоrо значепия ft [5881.
r '.O'
,,-" ,-
7. Вета-переходы высших порядlr06
567
в случае разрешенных и облеrченных переходов достаточно предполOlНИ'l'Ь
чистое взаимодеЙствие raMoBa Теллера, в то время н:ан большая примесь
взаимодействия Ферми повела бы к расхождению с эн:спериментом.
7. БЕТА.ПЕРЕХОДЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
А. Нерелятивистс«ая теория: правила отбора; матричные uлсменты
В предыдущиХ параrрафах мы оrраничивались рассмотрением перехо
ДОВ нулсвоrо порядн:а, т. е. таних переходоВ, в ноторых леrние частипы
испуснаются с ну.левым моментом ноличества движения по отношению
н ядру. Математичесни это означало, что при вычислении матричных эле
ментов Hif мы заменЯJIИ e ; (p+q) r n на единицу. Учет еледующих членов
разложения ведет Н переходам высшеrо порядна, ноторые в большинетве
случаев подчиншотея правилам отбора, отличным от (2.7), (2.8), (5.34) и
(5.36). Следовательно, переходы MorYT июи и тоща, ноrда выведенные
ранее правила отбора не ВЫПОJIИЯЮТСЯ. Однако таюю переходы, нан пра
вило, имеют знаЧИТeJIЫIO мсньшую вероятность, чем переходы нулевоrо
порядна.
Порядон перехода опреДСJшетен соотвеТСТНУЮЩIIМII ЧJlOнами в разложе
нии величины Р (rr,) (5.4а). В вычислениях этоrо параrрафа мы не будем
учитывать НУЛОНОВСНИХ сил. Результаты учета действия нулоновсн:оrо поля
на элю,трон будут ИЗJlOшены без вывода.
Подставим n выражение для Р (r n ) (Б.4а) волновые фуНJЩИИ Фе И Ф'I
В виде плосних волн (5.11). Введем пентор Р == Р + q, paBHblii сумме
импульсов леrЮIХ частиц, и разложим e iPrn по собственным Фуннциям
оператора момента ноличества движения. При этом мы воспользуемся фор
мулоЙ (1, 3.5) из приложения 1; направление вентора Р обозначим по
лярными уrлами 8, Ф, а направление вен тора r, уназывающеrо положе
ние распадающеrося нун:лона, уrлами ОП, СРn' Учтем еще, что ДЛJI изве
стных в настоящее время елучаев .распада волновое число Р == I Р I пары
:Jлен:трон нейтрино настольн:о мало, что Pr n 1 при всех значениях r n ,
меньших радиуса ядра R. Поэтому можно заменить фунн:ции Весселя
jl (Pr n ) на их приближенные значения для малых Pr n по формуле (1,3.3).
С учетом сназанноrо разложение (5.4а) принимает вид
00 1 I l
P(rn)== {u:, и } ( 1:7)!! pZY 1т (8, Ф)У;';n(Оn' CPr.}. (7.1а)
1==0 т== !
Оператор зависит от варианта взаимодействия. Для нерелятивистсной
теории он определяется формулами (5.6) и (5.7), для релятивистсной фор
мулами (5.22). Различным членам суммы (7.1а) можно дать простое истол
нование: член, харантеризуемый инденсами 1, т, соответствует испуснанию
пары элентрон неЙтрино с моментом н:оличества движения 1 и проенцией
момента т на ось z. В вычислениях 5 учитывался тольн:о первый член
разлотения (7.1а) с 1 == о.
Используем разложение (7.1а) для исследования синrлетноrо взаимо
действия (5.5) и запишем соответствующий матричный элемент (5.9) в виде
со l . l
Н , 4r.G { * В * } 1 P I Y Q Ф) l Y *
if==V Ив, И'I kJ kJ (21+1)!! lт(O, (r lm),
1==0 т== !
(7.16)
rде ядерные матричные элементы определены следующим 06разом:
А
(rlytm) == Фj r Ytт (ОП, СРn) 'tn. Фi d't. (7.2)
,.,==1
rл. Х/П. Вета-распад .
Будем называть момент количества движения l пары электрон ней
триио порядком пepexoдa 1). Порядок перехода l иrрает большое значение
в теории запрещенных переходов. Посн:ольну Pr n 1, ЧJIeНЫ С высшими
степенями Pr п В (7.1а) дают меньшие Вн:лады, поэтому можно учитывать
толы\О одно значение l наименьшее совместимое с правилами отбора 2).
Правила отбора можно сразу установить из вида матричноrо Элемента (7.2).
Обозначим через J i и П i епин и четность нача.льноrо соетояния, а через
J j и П j спин и четность нонечноrо состояния. Тоrда правила отбора для
нереЛЯтивистсноrо перехода порядна l и синrлетноrо взаимодействия (5.6)
примут вид
IJi Jtl<l<Ji+Jj' П i ==(.:.......1)zП j .
(7.3}
Минимальныii порядок l, длю{ oToporo Выполняются правила отбора (7.3),
равен либо I J i J j 1, либо [J i J f 1 + -1, в зависимости от четнестей П i и Пl.'
Правила отбора (2.7) представляют собой частный случаЙ правил (7.3)
для l -== О.
ДЛЯ получения вероятности распада (5. -1) надо просуммировать I Hi j p
по ориентациям спина элен трона и нейтрино и усреднить это выратение
по всем направлениям вен:тора импульса Р 3). Сумма по спинам находится
при помощи формулы (5.16); усреднение по спинам мотно произвести,
спользуя ОРТОI'ональность и нормированность ФУННЦИЙ Y z1n , Введем обо
значение
Z
l(rZY z ) 12 == l(r Z ytт)j2
1n !
(7.4)
и оrраничимся рассмотрением толы\О одноrо значения l. Тоrда среднее
значение I Hi j 12 равняется
(IHij(l)i2)CP.==81t( Y [(2l: 2 :)!!]2 I (r Z Y z )!2. (7.5)
Вероятность переход а леrко получить с учетом (7.5) и (5.1) и (2.5).
Рассмотрим теперь ТРИПJIетное взаимодействие (5.10). Поскольну при
таном взаимодействии леrние частицы испусн:аются n триплетном состоянии,
ПОЛНЫЙ момент ноличества двищония J, потерянный ядром, не обязательно
равен порядну порохода l, Используя те же приближения, что и paHь e,
получаем на этот раз
00
( 1) f.I. . ! '
l P II * В * }
(2l+1)11 (и е , (jf.l. и" Х
Н ' 4. 7tG '" '1.' "'"
'! == V L.J L.J L.J
f.I. 1Z O 1n !
Х Y Z1n (8, Ф) (r Z п1n (j f.I.)'
(7.6)
I'де ядерные матричные ;шементы определяются равенством
А
(r 1 Yt1n (j f.I.) == Фir Yt1n (Оп, СРn) аn, f.I. " n . Фi d't.
п 1
Каждый ЧJIOН в (7.6) соответствует переходу, в нотором пара элен
трон нейтрино УНО\5ИТ момент ноличества движения 1 с проенцией т на
ось z, и спиновыЙ момент, равный единице (триплетное состояние), с про
енциеЙ [1 на ось z . Чтобы получить простые правила отбора, введем
1) Следует отмстить, что порядок перехода l ОПЕеделяет момент пары электрон ней-
трино, а не момент одноrо электрона или одноrо неитрино.
2) Это утверждение изменяется при реЛЯТИВИСТСIЮМ рассмотрении. "
3) Мы усредняем, а не суммируем по направлениям Р, потому что статистичеСI{ИИ
множитель р (Ео) (2.5) уже просуммировап по возможным направлениям вылета испущен-
ных частиц.
(7.7)
.s 7. Beтa nepexoды высших nорядr;ов
569"
полный момент ноличества движения J, унесенный из ядра пароЙ Jlеl'I\ИХ
частиц, и проенциIO И этоrо момента на ось z. Определим ядерный матрич
ный элемент следующим образом:
(r l 1*> =."'= С/, 1 (J, И; т, [.L) ( 1)fJ. (r/ yrm cr fJ.>'
m+fJ.==M
(7.8).
l'де н:оэффициенты Клебша Жордана С определены в приложении 1, S 5.
Определим танже оператор (8, Ф, а), действующиЙ на лешие частицы,.
( (8,Ф, а) == C l . 1 (J, И; т, [.L)Y/т(8, Ф)crfJ.' (79)'
m+fJ.==M
Тан же, ню{ и раньше, оrраничимся в сумме (7.6) одним членом,
номера [. Тоrда с учетом (7.8) и (7.9), а танже соотношений ортоrональ
ности и нормировни ноэффициентов Клебша Жор дана получим
(+1 J
, 41tG i 1 '" '" !'.I М*
Н if (1) ==- v (2l + 1)1! р/ L..J L..J {и , " Jl Bи } (rl Jl >,
J==I/ 11 M== J
Каждый ЧJlен в (7,10) соответствует переходу, II нотором пара ЭJЮ[\
трон нейтрино вылетает из ядра с моментом нодичества движения l, спи
ном 1, полным моментом ноличества движения J и проенцией полноrо MO
мента М на ось z. Проведем опять суммирование по ориентациям спинов
элентрона и нейтрино и усреднение по направлениям вентора Р. Нведем:
обозначение
(7,10),
J
] (7,1 Jl) 12 I (r 1 1*> [2.
M== J
Тоrда результат суммирования по спинам и усреднения по направлениям р'
запишется в виде
(7.11),
1+1
(1 Hi f (l) \2)ср == 8т: ( y [(2l :2 )!!J2 I (r 1 Jl) 12.
J==i/ li
(7 12).
Вероятность перехода можно получить при помощи формул (7.12),
(5.1) и (2.5). Формулы (7.5) и (7.12) применимы н переходам метду ДВУМЯ
определенными состояниями ядра. Для сравнения с ЭJ{спериментом необ
ходимо еще просуммировать эти выражения по всем ориентациям епина
нонечноrо ядра. '"
Правила отбора для нерелятивистсноrо перехода порядна [, в нотором
элентрон и нейтрино испуснаются в триплетном состоянии, можно ПОJIУ
чить непосредственно из выражения для ядерноrо матричноrо элемента (7.8).
ll 1\<;1<;l+1,
IJi J/I<;J <;Ji+J/,
П i == ( 1)/ Н/. . (7.13)
Правила отбора raMoBa Теллера (2.8) представляют частныЙ случаЙ
(l == О) правил отбора (7.13). В дТОМ частном случае первое условие (7.13)
мотет быть выполнено толыю при одном значении J (] == 1); а второе и
третье УСJIOВИЯ (7.13) совпадают с (2.8).
Нам надо знать минимальные значения lмин. =::, L, возможные при aa
данных спинах и четностях начаJIьноrо и н:онечноrо состояний ядра. Эти
значения для правил отбора (7.3) и (7.13), а танже для правил отбора
при релятивистсних переходах (7.24) и (7.25) приведены в табл. 32.
Обычные (нерелятивистсние) переходы порядна l отнесены I\ОНОПИНСНИМ5
[441, 442] в нласс «l HpaTHo запрещенных» переходов.
570
rл. XIlI. Beтa pacnaд
Н. Нерелятивистская теория: уrловая корреляция: форма пеRтра;
время жизни
В формулах (7.5) и (7.12) содержится множитель
p2 1 == (р + q)21 == (р2 + q2 + 2pq cos (jey)l,
(7.14)
Этот множитель дает узловую корреляцию между направлениями вылета
ЭJlентрона и неЙтрино. При заданном распределении энерrии между двумя
частицами p2 1 принимает максимальное значение, если направления вылета
ЭJlOктрона и нейтрино параллельны. Это и понятно: в классическоЙ интер
претации момент ноличества движения, уносимыЙ из ядра при распаде,
равеп произвеJ ению импупьса леrН'их частиц Р на плечо, равное по по
рндну величины радиусу ядра R. Поснольку PR п,переходы с 1:> 1
представляют собой про хождение через квантовомеханичеСЮIЙ барьер, Этим
и объясняется маJlая вероятность переходов высшеrо порядна, Прохожде
ние через потенциальный барьер тем вероятнее, чем БОJlьше Pr n' УrJIOвая
норреJШЦИЯ отражает предпочтительность больших значениЙ р, С друrой
еТОрОIlЫ, основные шшады в ядерные матричные элементы (7,2) и (7.8)
дают облаети r", бли:зние н поверхности ядра. Оба эффекта становятся
БОJJее нрно выраженными е увеличением 1, РеЛЯТИВИСТСlюе рассмотрение
ВIIоеит поправни в выражение (7,14) для множителя уrлопоii норреляции.
Порндон веJ1ИЧИПЫ этих поправон: равен v / с, rде v снороеть электрона,
Форма епентра при переходах высшеrо порядна отличастся от формы
l'пентра при переходах ПУJlовоrо порядка. Разница ЗaIшючается в наличии
мпожителя (7.14). Если пренебреrать кулоновсними силами, то поправоч
Hbli1 мнотитель н: спентру (2.6) получается интеrрированием выражения
(7.14) по всем уrлам е су между направлениями вылета элентрона и ней
трино, Интеrрирование приводит н выражению (1 + 1) 181 (р, q), rде
81 (р, q) .поправочныЙ Множитель, на ноторый следует умнотить (2,6),
чтобы получить спентр перехода порядн:а 1:
8 ( ) (p+q)21+2 (p q)21+2 (7.15)
1 р, q === 4
pq
Выражение (7.15) еимметрично по отношению н р и q. СоrлаClЮ
(7.15), более предпочтителеп распад, в нотором одна из леrких частиц
получает большую часть выделяющейся энерrии; при р == q 81 принимает
минимальное значение, равное (2p)21. Приведем значения 81 для 1 == 0,1 и 2:
80 == 1, 81 == 2 (р2 + q2), 82 == 3 р 4 + 10p2 q 2 + 3q4.
..
Рассмотрим теперь способ учета влияния нулоновсн:оrо ПОJIЯ. COOTBeT
СТВУlOщие формулы будут даны без вывода, но обоснованы начественными
соображениями. Нозьмем переход порядн:а 1 == 1. Поправочный множител'ь
н форме спентра для этоrо перехода есп, 81 == 2 (р2 + q2). Члены в 81
имеют следующий смысл: 2 р 2 соответствует испусн:анию элентрона с MOMeH
том ноличества движения lc == 1 и испуснанию нейтрино с моментом ноли
чества движения ly == О, причем моменты НОЛIfчества движения обеих леr
н:их частиц, снладываясь, дают 1 == 1 для пары элен:трон неЙтрино; член
2q2 соответствует испуенанию элентрона с моментом ноличества движения
le == О и испусн:анию нейтрино с ly == 1, причем моменты обеих частиц снова
екладываются таким образом, чтобы 1 == 1. Для учета нулоновсноrо поля
ядра член 2 р 2 в 81 следует умножить на проницаемость нулоновскоrо и
центробежноrо барьеров для 1 == 1. Этот ноэффициент имеет вид
( ] + 2 ) 2п
тj 1 e 27t1J .
s 7. Beтa. nepexoды высших nорядr;ов
571
Член 2 q 2 в S 1 умножается на проницаемость нулоновсн:оrо барьера
для Z == О, определяемую формулой (2.10).
Аналоrично, член p2"q21 2" (k == О, 1, 2, .. . , l) в выратении Sl (р, q)
соответствует испуснанию элентрона с моментом ноличества движения
le == k и нейтрино с моментом ноличества движения ly == l k. Этот член
умножается на проницаемость нулоновсн:оrо и центробежноrо барьеров для
заряженной частицы с моментом н:оличества движения k 1)
v,,==[1+( i Y][1+( iY J... [1+( )2] 1 2e 21t ' (7.15а)
Поступая таним образом, получаем следующее выражение для Hepe
лятивистсн:оrо поправочноrо множителя SC 1 (р, q) С учетом I{JЛОНОВСl\оrо поля
1
S ( ) 1 . (2l+2)! V ( ) 21< 21 2"
С{ р, q 2 .2J (2k+ 1)! (:!.l 2k+ 1)! }, 'yj Р Ч .
"==0
(7.16)
13 отсутствие Н:УJIOНОВСlюrо ПОJlН, Т, е, при 'yj == О, это llыражение CllO
дится н (7.15) При l == О выражение (7.16) переходит n выражение (2. '10)
д.ля поправочноrо множителя F (Z, Е). МJIожитель
[1 +( iY J .., l 1 +( Y]
в выражении ДJШ V" ('Yj) заметно отличается от единицы толы\О ДJIН элен
тронов очень малой энерrии. В первом приБJlижении ()ro можно заменить
единицей; это энвивалентно препебрежению центробежным барьером, дей
ствующим на элю,троны, по сравнению с Н:УЛОRОВСНИМ барьером. В этом
приблитонии V" F (Z, Е) и не зависит от k, тан что
SC 1 (р, q) F (Z, Е) Sl (р, q), (7.16а)
В дальнейшем мы будем использовать это приближение. Следует
отметить, что релятивистсная теория во мноrиХ случаях ведет Н: спентрам
совсем иной формы, чем та, ноторая определяется при помощи SC I
(см. 7,r).
Попытаемся очень rрубо оценить величину сравнитеJIьноrо периода
полураспада в переходах высших ИОрЯДI\ОВ. Вероятность перехода дается
интеrралом по спентру от дифференциальноЙ вероятности (5.1). При инте
rрировании вместо I Hij [2 можно подставить либо выражение (7.5), либо
(7,12), в зависимости от выбранноrо взаимодействия. Последующие оценн:и
будут настольно rрубы, что выбор '1'01'0 или иноrо варианта взаИМОll:ей
ствия не приведет н заметным различиям. Мы выберем синrлетноо взаимо
действие. В этом случас
В ' 2 470 I 1 У \2 / ( Z Е ) 1 )
еронтность распада == t;; (l + 1)[(2l + 1)!!}2 I (r LI 1 1 ", О ' ( . 7
rде /1 (Z, Ео) величина, аналоrичная / (Z, Ео)' (4.2) и переходшцан
в / (Z, Ео) при l == 02). Фунн:ция /1 (Z, Ео) опроделяется равенством
'ро
/1 (Z, Ео) == SC 1 (р, q) р2 (Ео E)2dp.
о
(7.18)
1) См. выражение для проницаемости потенциальноrо барьера V e (VIII, 2.49) при
l==k и R==O.
2) Все формулы даны здесь для электронноrо распада. В случае позитроппоrо pac
пада необходимо еще учитывать К захват. Отношение вероятности К.захвата к вероят
ности испускания позитрона в переходах высших порядков отличается от переходов
вулевоrо порядка [517, 314}.
572
r.a. XIII. Beтa pacnaд
l
,
Величину интеrрала в (7.18) можно rрубо оценить следующим обра
зом. Используем приближение (7,16а) для Sc 1 . Далее, посн:ольну основноЙ
lшлад в интеrрал (7.18) вносит середина спентра, заменим фУННЦИIО
Sl (р, q) на ее значение при р == q, равное (2р)2! "'" (ро)2! == (E 1( Тоrда
интеrрал сведется н выражению для / (4,2), и мы получим таную оценну
/l(Z, Eo),,-,(E 1)! / (Z, Ep ' (7,18а),
Осталось еще оценить нвадрат модуля ядерноrо матричноrо элемента
(7 А). Эта величина имеет порядон p21, 1'де р радиус ядра R, выражен
ныЙ в единицах п/тс. Интеrрирование по уrлам наждоrо из членов суммы
(7.4) дает величину поряДIШ 1j41t. При этом неноторые из членов (7.4)
исчезают, тан нан они не удовлетворяют правилам отбора по т. Число
отличных от ну.пя ч.пенов меняется от 1 до 2l + 1, в зависимости от спина
и четности ядра в начальном и нонечном состояниях [517], и определяется
статистичесними множителями, подобными тем, ноторые имеются в теории'
мультипольноrо излучения (см. rл. Х II, 6). Тан: нан: нас интересуе'l'
весьма rрубая оценна, для получения среднеrо значения нвадрата модуля
матричноrо элемента можно считать, что в сумме (7.4) не исчезают 1 + 1
'lЛенов. Нанонец, из сравнения разрешенных и облеrченных переходов;,
с разрешенными, но затрудненными переходами следует, что отсутствие.
перенрывания волновых фуннций ядра в начальном и н:онечном состояниях
можно учесть, вводя поправочный множитеJIЬ, равныЙ примерно 0,05.
Таним образом, по нашеЙ оценне
I <1' ! У/) 12,,-, 0,05 (l +4 ) р2! . (7.18б)
I
!,
J:<:два ли надо подчернивать, что (7.18б) дает тольно порядон величин.
Истинные значеНИJI ядерных матричных элементов MorYT довольно значи
тельно отличаться от этой оценНИ.
Теперь мы можем оценить сравнительный период полураспада (веЛI1
чину ft) для пере ходов высших ПОрJIДНОВ. Следует отметить, что для i
в выражении ft берется не значение /и а значение /0' соответствующее-
переходам ну.левоrо порядна. Используя предыдущие 'Оцении, получаем
/t 20 [(2l + 1)!1]2 t [(2l + 1)!!]2 10 5
"-' "-' . сен
р2l(Щ 1)l О р21(Щ 1)l .,
I'де для t o принята оценна, вытенающая из распада нейтрона: t o "'" 5 .103 сек
Б табл. 31 приведены энспериментальные данные по форме СПектроВ'
и времени жизни для неноторых СJlучаев распада. Знание формы
спен:тра ПОЗВОJшет определить порядон распада [. Все ядра, приведенные-
в табл. 31, нроме р24, испытывают элен тронный распад. Время жизнw
р24 уназано с поправной на К захват, Из (7.19) следует, что по порядну
величины произведение
(7.19))
p21 (E 1)l
ft [(21, + 1)!1]2
I ОЛЖНО равняться 20t o ,,-, 105 СШС Эта оценна неожиданно хорошо оправ
дывается данными табл. 31. В таблицу внлючены танже СJIучаи распада.
для ноторых спон:тр, повидимому, имеет форму разрешенноrо, хотя сравни ,
теJIЬНЫЙ период полураспада значительно больше, чем 105 сен. Нереляти
вистсная теория не может объяснить таних случаев. Далее мы увидим,..
что эти примеры MorYT быть поняты на основе релятивистсной теории.
ТаБJI. 31 составлена по данным работ [237, 235, 829, 357 (Sn 125 ), 269 (N p 238).
844 (Kr 85 ) и 131 (Rb 88 )]. Более точное ВЫЧИС,сlOние величины /1 для l jo ()j
БыJlo проведено в работе [186].
s 7. Beтa nepexoды высших nоряд ов
57: .
ЭаС:\lент
С13 в
К12
Kr B5
Rb BS
RJ)BB
Sr B9
Sr 90
У90
У91
Р2.1
S1l12.i
CS 137
'1'1201
Пе 1О
срв
К40
са
Рт 147
Np2aB 1
Бета-распады высших IIОрНДКОВ
CI,ICHT{1
SCl
Sc]
SCl
Sc]
Sc]
Sc]
Sc]
Sc]
Sc]
SC 1
SCl
Sc]
Sc]
SC2
Sc 2 ?
Sсз
Sco?
Sco?
Sco?
1 ,'
o
1 О ,113
;),02
2,36
!1,57
11,05
3,93
2,0!1
5,40
4,02
5,31
5,57
2,02
2,51
2,10
2,40
3,64
1,30
1,44
3,72
Ig (ft)
7,44
8,02
9,09
8,59
7,39
8,59
9,20
7,98
8,68
8,05
8,57
9,62
9,69
13,65
13,49
18,05
9,05
7,58
8,35
Таблица 3l
/1[,21 (EE' I)l
19 2
[(21+1)!1]
11,75
5,13
4,59
:>,41
4,95
5,27
5,24
!1, 9/1
5,41
5,11
5,69
5,76
(5,19
4,03
4,93
6,02
9,05
7,58
8,35
Отметим, что форма спентра не BCerll:a ЯВJIЯетея верным нритерием
.для определения 1. Например, спентр распада СjЗ6 по форме хорошо совпа
лает ео спектром Sc 2 , но из релятивистсноrо рассмотрения с учетом извест
ных из щсперимента значений СПИНОВ нонечноrо и начальноrо ядер сле
дует, что это заНЛIочение неточно [275, 828, 830, 489, 7/[9, 1,1(\], Н' обсу
ждениlO ЭТOl'О случая мы еще вернемся.
В. Ре.:tЛТИВИСТСIШЛ теорил: праВИ.тIа отбора; матричные ЩIСl'Н НТЫ
РеJIЯтивистсное рассмотрение переходов высших ПОрЯДI\ОВ мощно ПОJ1У-
чить, обобщая формулы 5, В. На этот раз мы не будем подстанляТl,
н матричные элементы вместо волновых фуннций леrнИх частиц их зна
чония В начале координат. Тан ше, нан и в переJIЯТИВIJСТСНОМ еJJучае, пере-
XOI bl высше1'О порядка соответстнуют б6J1ЬШИМ орбитаJIЪПЫМ моментам
!{оличества I\вишения леrн:их частиц. Имеется два типа перехо;\ов порядна
L «обычные» и «реЛЯТИВИС1'сние», Они удовлетворяют различным праЛИJIaМ
,отбора. Тольно «обычные» переходы можно рассматривать 1\з1, прямое
обобщение нереJIЯТИВИСТСI>ИХ переходов. Ядерные матричные эломенты реля-
тивистсних переходов онааываЮТСJ1 моньше ядерных матричных элементов
.обычных переХОI\ОВ приблизительно в v /с раз, rде v снорость НУНЛОПОВ.
При релятивистском рассмотрении пере ходов высших ПОрЯl(IШIЗ мы
встрочаемсн е неноторыми особенностями, ноторых нет в Gолее простом
.случае переходов нулевоrо порядна: в выражение для формы спентра BXO
дят члены порядна v / С, rде v сн:орость элю,трона. Эти члены ПОНВJIНЮТСН
даже без учета нулоновсн:оrо поля. Учет НУJIОНОВСIШХ сил ПрИВОI И'l' 1\ со-
вершенно иному выражению, чем в релятивистсн:ом рассмотрении нерохо-
ЦOB нулевоrо порядна.
'"ЧI.
,
574
rл. X/lI. Beтa pacпaa
Используем снова разложение (7.1а) величины F (r n ), ноторая на этот
раз определяется одним из пяти релятивистсни инвариантных выражений
(5.22). Подставив (7.1а) в (5.26), получим разложение матричных элементов
по собственным фуннциям оператора момента НО.пичества движения леrних
частиц. При этом ДJIЯ простейшеrо елучая еналярноrо взаимодействия полу
чается формула, весьма похожая на выражение (7.1б) для матричноrо
элемента синrлеТНО1'0 взаимодействия в нереJJятивиетсной теории,
со 1
(Hij)S -== 4 C {и , Qи } (2l : 1Т P1Y 1т (8, Ф) ( rl Пт), (7,20)
I O т 1
rде ядерный матричныЙ элемент ( rl yrт) определяется в полном ана.пО1'ИИ
с выражением (7,2) и lIереходит в (7.2) в нерелятивистсном приближении
для нунлонов. Тан же, нан и раньше, можно оrраничиться наинизшим
порядном перехода 1, совместимым с правилами отбора (7,3) для ядерноrо
перехода. Соответствующие наинизшие значения приведены в табл. 32.
Для получения вероятности распада (5.1) следует просуммировать I Hij I
по ориентациям спинов элентрона и нейтрино и усреднить по направлениям
вентора импульса Р. Результат суммирования по спинам определяется фор
мулой (5.37), а усреднение может быть проведено точно тан те, нан это
было сделано при выводе (7.5). При этом ПОJlучаетсп следующее Bыpa
жение ДJlН ереднеI'О значения I Hij 12 в сналярном варианте взаимодеЙ
ствия [ноторое можно рассматривать нан рf'лятивистсное обобщение фор
мупы (75)],
(I[Hij(l)]sI2)cp.==41t( Y(1 COs8e'I) [(2l:2 )!!J2 I( rlYI)12, (7.21)
I'де ядерныЙ матричный ЭJlемент опредеJJен по анаJJоrии с (7.4) и перехо
дит в (7.4) в нерелятивистсном приближении для нунлонов.
ЕСJIИ таНIIМ ше методом раесмотреть псевдовенторное взаимодействие,
мы получи:'.'! два типа членов, соответствующих обычным и релятивистсним
переходам [ер. (5.31) для СJlучая 1 == О]. Матричный элемент Hij пеевдо
BeHTopHOI'O взаимодеЙствия ДJJЯ перехода порядна i записывается А виде
1+1 J
" , 41tG i 1 1
JI;j(I)Jpy v' с и + 1 )!! Р
{и;, Qu } (rl *) +
J ll 11 M== J
1
/!1tG i 1
+ v (2l + 1)1! ' рl {и;, PIQU } Ylm (8, Ф) (Рl r 1 yrт)'
т== !
(7.22)
Первый член в (7.22) аналоrичен нереЛЯТIШИСТСRОМУ выра жению (7.1 О);
Э!I.'OТ ЧJJен представляет «обычный» переход и удовлетворяет vправилам
отбора (7.13). ВтороЙ ЧJlен не имеет аналоrа в нерелятивистскои теории.
Ядерныi1 матричныЙ элемент, входящиЙ в выражение ДШJ BToporo члена,
II нерелятивпстсном приБJlижении записывается А В1ще
I
(p!r 1 yrт) . 2 «(ау) ,.1)'1,,,.; ,.ly n (a" »,
(7.23)
Выражение (7,23) предстаllляет собоЙ обобщение выражеНllЯ (5.33). Мы
видим, что (7.23) в еравнении с матрнчным элементом (7.2) «обычно[о»
перехода имеет порндOI\ v /с (v .?I\Орость нунлонов). Правила отбора,
ноторым УДОllJlетворяет матричныи элемент релятивиетсноrо перехода
JlJорядна 1, ОТJlИЧНЫ от (7.3) и записываются в следующем виде:
: J; , J j ! ,<;;.J <" J; + J j , П; ( 1)1 Л j . (7.24)
r
I
t
,
9 7. Beтa nepexoды высших порядков
57!>
.t
Эти правила отбора представляют собой обобщение праВИJI (5,3/.)
на случай переходов высшеrо порядка.
Нвадрат модуля маТРИЧНОI'О элемента : [Hij (l)pv 12 нужно не толы,\!
усредНить но направлениям Р и просуммировать по ориентациям спинов элеI\
трона и неЙтрино, но еще и просуммировап> по ориентациям И j спина коне'l
H01'0 ядра. Мы не будем здесь проводить этих вычислениЙ. Достаточно сназать.
что в реЗУJlьтате для обычноrо перехода ПОJIучается веJIичина, ПрОIIОрЦИО
НaJIьная I (1,1 ( JJl) \2 (7.11). Нонечный результат отличается от нерелятиlЗИСТ
сноп) выражения (7,12) в двух отношениях: множитель 27t заменяется'
на 7t (см. примечание на стр. 549) и в наждыЙ ЧJIен номера l суммы (7.12)
входит множитеJIЬ, учитывающий уrловую Rорреляцпю и имеюЩИЙ порядOl, l' / r
(v СfЮIЮСТЬ электрона), Точные выражения для обычноrо перехода поряДlШ
l == 1 ПО,Тlучены в работе [3<'12]. РеЛЯТИВИСТСRие переходы вносят в I [Hi j (l) ]I'V '12
ВRлад, отличаЮПlиiiся от (7.21) ТОJ1ЫЮ тем, что ядерныЙ матричный элемент
теперь есть 1 (P1r1y l ) \2, а множитеJIЬ уrJIОВОЙ Rорреляции равен [1 +- (vjc)cos ОеУ]
Интерференцин между обычными и реJIЯТИВИСТСКИМИ переходами ОДПОI'О
порядка l отсутствует, поскольну оба перехода удовлетворяют раЗJIИЧПЫМ
правилам oTuopa по четности и, следовательно, ведут н: разным нонеЧllЫМ
состоннипм. Однано в неноторых СJ1учаях может иметь местО интерфеРОll
ция между реЛПТИlЗИСТСЮfМИ переходами поряДIШ l п обычными переходам 11
порядка l + 11). Мы не будем учитывать этих интерференционных ЧJlеИОIJ.
Матричные элементы и правила отбора для пере ходов порядна l при
раЗJIИЧНЫХ вариантах взаимодеЙствия (5.26) УI,азаны в табл. 33. Эта пtб
лица представляет собой обобщение табл. 28 на случаЙ переходов ВЫСШП о
порядна; в частном с.ТJучае l == О табл. 33 сводится н табл. 28.
Таблица 32
Минимальный порлдOI\ lмин. Е L -перехода, совместнЫй
с заданными правилами отбора и значениями спинов (Ji, J j )
И четностей (П i , 11 j ) начальноrо и конечноrо состояний ядра
Верхние 8начеНИR в наждом случае соответствуют переходу бе8 И8
мепеНИfI четности (IIi +Пj). нижнпе переходу с И8менением чеТПОСТil
(lIi' llj). Приведенные значеНИR L верны при условии. что ДЛR ира
вил отбора (7.;,) и (7.2/,) L Ji +Jj. аДЛRправил отбора (7.13)и(7.2:J)
! L 1 ' J i + J j. В осталы'ЫХ случанх переходы вообще не Мо!'УТ
Il\юиеХОДИТh.
I Ji Jj I
I
I
\'
I
i
Правила отбо ра
обычные переходы I релн:ивистсние nepexoi l!'!
(7.3) (7.13) (7.24) (7.25)
4
() о 1 1
1 1 () ()
2 О 1 1
1 1 2 О
2 2 3 1
3 1 2 2
11 2 3 :
3 3 4 2
4 4 5 :
5 3 4 11
о
I
r
I
l
2
3
1) 3дссь IIмеется полная аналоrия с испусканием эш,ктромаrпитноrо МУЛЬТИI10пь
поrо излучепин: элсктричсскос и мапIИТНОС излучения Toro же порядка l ведут к раЗJ]I!Ч
пым состояниям, но существует I{ОННУРСНЦИЯ между маrнитныы излучсни( ы ПОрЯДl'Н l
и ЭJ\С!{ТрИЧСС!ШМ излучснием ПОрЯДJ{а 1+1. При персходе из заданноrо начаЛЬТIоrо в за.
.1i7G
rл. XIIl Beтa pacпaa
Таблица 33
Ндерные laтричные элементы и правила отбора для пере ходов порядна ll)
в ааимодействие
Ядерный матричный элемент и правила отбора
I реЛfIтпвпстснпе переходы
обычные переходы
:СIШJlЯрlIое (5.268)
ВеНТОРIlое (5.26V)
ТеllЗОрllое (5.26Т)
ЛсеlJдове!(ТОРllое (5.26PV)
.II ССlJдоснаЛЯрllое (5. 26Р8)
( rlY7m) (7.3)
1 * (7.3) (Plrl 1*) (7.25)
(r У/т)
( r/( 1* ) (7.13) . 1 М* (7.25)
(P2 r ( п )
(rl :P;* ) (7.13) (Pl,.lY7m) (7.24)
(P2 r1Y 7rп) (7.24)
1) После нашдоrо матрпчноrо элемента дана ссылна на соответствующпе правила отбора.
в табл. 33 в ядерньiх матричных элементах обычных пере ходов можно
, н!менить на единицу, поснольну нун:лоны считаются нерелятивистсними.
IIроизводя эту замену, мы получим те те матричные элементы, что П в He ,
ре.ЛЯТИВИСТСRОМ случае, а следовательно, и те же правила отбора (7.3)
ш (7.13) для СИНl'летноrо и триплетноrо взаимодеЙствий.
Ндерный матричный элемент (7.23) релятивистсноrо перехода .для псев
,довю,торноrо взаимодействии и соответствующие правила отбора (7.24)
уже обсуждались. ПсеВДОСНaJIЯрНЫЙ ядерный матричный элемент имеет
а.наJIOI'ИЧНУЮ струнтуру и удовлетворяет тем же правилам отбора. BeHTOp
ное и тензорное взаимодействия ведут н реЛЯТИВИСТСRИМ переходам. Ядер
вые матричные элементы, соответствующие этим переходам, lЗнлючают опе
ратор спина нунлонов а. Поэтому правила отбора, ноторым удовлетворяют
эти матричные элементы, отличаются от (7.24) и формулируются в с.леду
;ющем виде:
il 11<;:J<;:l+1, IJi Jjl<,J<;'Ji J j , I1i ( 1)lПf' (7.25)
Ндерный матричный ЭJlемент реJIЯТИВИС'fСНОl'О перехода при пекторном
шааимодействии приближенно записывается следующим образом:
<r)11,1 :p;*) 2 1 "" C l ,! (J, И; т, [1) ( 1)fJ. (V IJlY mi rlПтV I')'
c L.J
1n+IJ==M
(7.26)
Это выражение можно рассматривать JШI, обобщение выражения (5.35).
'ЕСJТИ Рl в левой части (7.26) заменить на Р2 (т. е. если рассматривать тензор
ное, а пе вен:торное взаимодействие), вентор v в правоЙ части следует заме
нить на [аХУ]. При ЭТОм мы получим обобщение формулы (5.36а). Оба
данное I\Онечпое состояние часто ОI{азывается, что реЛЯТИВИСТСIШЙ переход порядка 1 и
обычный нереход норядка {+1 дают сравнимые вклады IJ вероятность распада. При этом
Л!атричные элементы снладываются KorepeHTHo, так что в выражении ДiIЛ вероятности пе,
рехода ноявляется пнтерференционный член. Тюшми интерференционными членами мы
,будем пренебреI'ать; их выраженпя для чистых взаимодействий ПРИlJедены IJ работах [441,
1142, 318J. Если же ,нзаимодеЙСТlJие есть сумма пяти чистых IJзаИ 10деЙСТВIlЙ, появляются
донолнительные интерференционные ЧJIeНЫ [173]. Выраженин ДJIfI интерфереНЦИОIIIIЫХ
члеТlОВ, нриведенные в литературе, зависят от разности aprYMeHToB двух ядерных матрич,
IlЫХ ЭJlементов на комнлеI,СНОЙ плоскости. Соображения, основанные на инвариантности
уравнепиЙ по Отношению К обращению времени (см. rл. Х, S 2), дают для разности
,aprYMeIlToB либо О, либо п, Т. е. матричный элемент можно выбрать действительным.
Эти соображения [274, 490, 67] целиком аналоrичны соображениям [484], которые
lШСЮОТСЯ интерференции между маrнитным излучением порядна l и электрическим изпу'
lением порядка {+1 при мультипольном ЭЛeI,тромаrнитном излучении.
6 7. Бета-nе реходы высших по ряiJlrов
матричных элемента меньше ядерных матричных элементов обычных пере'
ходов TQro же порядка примерно в Vn/C раз, rде vn средняя скорость нукло-
нов в ядре.
В литературе, н сожалению, имеется разнобой в обозначениях этих матричных
элементов. В обозначениях rрейлинrа [318] I Qn (1', r) 12 эта величина, пропорциональ
ная нашему выражению для I (rnY n) \2, \ Qn ( r, r) 12 величина, пропорциональная
нашему выражению для I ( rnYn) 12 и Т. д. Rонопинсний [441,442] обозначает 1(1) \2,
I (rY j ) 12 через I S 1[2, I S r 12 и Т. д., Rричфильд вместо принятых нами обозначений
(r2Y2) 12, I (rЗУ з ) [2 использует обозначения [r, r], [r, r, r] и т. д. У различных aBTO
ров перед матричными элементами стоят различные численные ноэффициенты. Обозна
чения матричных элементов, соответствующих испусканию леrних частиц в триплетном
спиновом состоянии, тановы, что эти матричные элементы леrко перепутать. НаПрИМер,
ядерНЫЙ матричный элемент I (r 01) 12 часто обозначается через I S (ar) 12, I (r l l1) 12
обозначается через 1.\ (а х r) \2, а I (r 21) \2 записывается в виде тензора, для HOToporo
Rонопинсний [441, 442] применяет обозначение I j' Вц 12, а Rричфильд [172] обозначение
[а, r] (причем числеНН!iIе множители перед матричными элементами и на этот раз OKa
зываются различными). Чтобы установитч, соответствие между различными обозначе
ниями, проще Bcero посмотреть, каним правилам отбора удовлетворяет данный MaT
". ричный JЛемент. В обозначениях Rонопинсноrо и rрейлинrа не различаются матрич
ные элементы, внлючающие соответственно Р1 и Р2'
r. Релятивистская теория: уrловая корреляция; спектр;
время жизни
Для полноrо анализа наждоrо данноrо случая распада необходимо
знать спин и четность нан начальноrо, тан и нонечноrо ядер. Если эти Be
личины известны, можно использовать табл. 32 и 33 для определения матрич
ных элементов, описывающих переход, и наименьшеrо значения L порядна l
данноrо перехода. Эти данные, нонечно, зависят от варианта взаимодей
ствия. Подробное исследование наблюдаемых занономерностей формы спен
тра, уrл:овой I\орреляции элентрона и нейтрино и времени жизни позво
лило бы решить, накой вариант взаимодействия осуществляется в действи
тельности. К сожалению, спины и четности исходных ядер почти не известны,
тан нан исходные ядра радиоантивны. Тольно у очень немноrих радиоантив
ных ядер удалось измерить спины. Недавно для предсназания спинов и
четностей была со значительным успехом применена оболочечная теория
OCHoBHoro и близких н основному состояний ядра 1 ) (см. rл. XIV). Однано
тание предсназания еще не настольно надежны, чтобы служить основой
для занлючений о природе взаимодействия.
Обычно для данноrо варианта взаимодействия основной внлад в вероят
ность перехода вносит тольно один матричный элемент. Однано во мноrих
случаях оназывается, что два или более матричных элементов дают внлад
одноrо порядна в вероятность перехода. Это нередно происходит тоrда,
оrда наимепьший допустимый порядон I==L матричноrо элемента реляти
вистсноrо перехода на единицу меньше, чем значение L для матричноrо
элемента обычноrо перехода 2 ).
Перейдем теперь н рассмотрению уrловой норреляциИ, формы спентра
и времени жизни в рамках релятивистсной теории. Мы оrраничимся HpaT
ним изложением результатов, не приводя скольно нибудь подробноrо их
вывода. Читатель может найти все подробности в литературе [441, 442, 172,
173, 5П 519, 318].
Уеловая пор реляция элеnтрона и нейтрино в нерелятивистсной теории
.определялась выражением (7.14). В результате релятивистсноrо paCCMOT
рения появляются еще члены порядна v/c (v снорость элентрона).
1) См. [693, 564]. .
2) Напомним еще раз, что обычные перех()ды порядка l и релятивистсние переходы
прядка l 1 называются в литературе «1 KpaTHo запрещенными» переходами.
37 3анав N, 396
571
"
".,0'., '1
ТА. Х/П. Bema.-раСn(lа
Например, в случае скалярноrо взаимодействия выражение (7.21)дляквадрат
модуля матричноrо элемента содержит множитель p2L, определяющий уrло
вую корреляцию в нерелятивистсн:ом приближ нии [см. (7.14)], но, кроме
этоrо множителя, в (7.21) есть еще множитель
1 СОБ6 еу ,
KOToporo нет в нерелятивистском приближении. В переходах нулевоrо по
рядка уrловую корр.еляцию определяет только этот последний множитель.
В переходах же высших порядков определяющую роль иrрает первый MHO
\ житель р21, который дает преимущественное испускание элен:трона и ней
трино в одном направл нии. Этот результат получен для всех вариаНТОR
взаимодействия [342].
'Уrловая корреляция для обычных переходов порядн:а 1===1 в пренебре
жении кулоновскими силами исследовал ась в работе [3 2]. В работе [318t
проведен учет н:улоновскоrо поля ядра. .экспериментальные данные по этому'
вопросу см. в работах [688, 689]. '
Форма спектра в переходах высшеrо порядна оназывается более слож
ной, чем это следует из нерелятивистскоrо приближения 7, А. Большие-
и малые составляющие волновой фуннции электрона (ИJIИ нейтрино) с пол
ным моментом количества движения /е (или j..) соответствуют различны
значениям момента ноличества движения le (или 1,). Это значительно услож
няет форму спектра, соответствуюшую переходу данноrо порядна.
Разобьем переходы на две rруппы А и В. В еруппу А войдут пepe
ходы, д.ля которых основной (по вел,U'чине) ядерный матричный длеменm.
содержит ., при'Чем J == 1 + 1; в еруппу В войдут все остальные пepe
ходы. Физичесний смысл этоro разбиения танов: в rруппу А входят все-
переходы, в которых элен:трон и нейтрино испускаются в триплетном
состоянии со спином, параллельным моменту ноличества движения. Переход,
для KOToporo I J i J, I == 1, 1, всеrда входит в rруппу А, ибо все остальные-
ядерные матричные элементы исключаются как не удовлетворяющие пра
вилам отбора. Вообще, переход принадлежит к rруппе В, если I Ji' J I I=;i=Z + 1.
Форма спектров переходов rруппы А определяется произведением (2.6)
на поправочный множитель SCt (7.16) 1). Следует, однако, оrовориться, что
этот способ правильно учитывает влияние нулоновсних сил лишь постольку
поскольну выполняется неравенство
....
Ze 2 Z
h"ё== 137 1.
(7.27)
Если это неравенство не соблюдается, необходимо пользоваться точными
'релятивистскими выражениями. Повидимому, все переходы, приведенные-
в табл. 31, кроме С]36 и трех последних переходов, относятся к rруппе А,.
так что приведенные значения 1 правильно определены из формы спектроВ\
при ппмощи множителей SC t .
Спен:тр переходов rруппы В rораздо более сложен. В частности, куло--
новские силы влияют на форму спентра переходов rруппы В совсем иначе
чем на спен:тры переходов rруппы А. В одном предельном случае форма
спектра переходов rруппы В может быть' выражена в простом виде. Это
1) Обычно в литературе встречается утверждение, что форма спектра в переходах.
rруппы А определяется не (7.16), а (7.16а). Дело, однако, в том, что исполь.зуемое в ЛИ
тературе для упрощения точных релятивистских выражений так называемое приближеНИ8>
«малых Z» получается при отбрасывании не только членов порядка Ze 2 j1ic, но также и чле.,
пов порядка (Ze 2 /1iv)2, rде v скорость электрона. Если не отбрасывать члены ПОрЯДКIII
(Ze 2 J'hv)2, форма спектра для переходов rруппы А определяется множителем SCt(p,q)
до ТlХПОр, пока справедливо неравенство (7.27); см. [458}.
7. Beтa nepexolJы выешriх nоря81ЦJв
справедливо, ноrда, н:роме неравенства (7.27), соблюдается еще неравенство
Ze 2 Z 2 р 8
R 2ср или 137р те ' (7.2 )
Второе неравенство (7.28) выражает то же условие, что и первое, но в без
размерной форме. Условие (7.28), нан: правило, выполняется в случае
переходов ядер среднеrо веса, коrда высота потенциаЛЬНОI'О барьера Ze 2 j R
имеет порядон от 6 до 15 Иэв, а 2ср обычно в большей части спен:тра
меньше, чем 2 или 3 Мэв. Для переходов еруппы В порядпа l:;;;..1 при вы-
полнении условий (7.27) и (7.28) множитель SC L (р; q) заменяется на С ! (р, q),eae
l 1
С l (р, q) =:. ( 2 e:p у (2l 2k 1( !.(tk 2)! (2k + 2) V h (Тj) р2" q21 2h 2, (7.29)
п o ,
а величинЫ V h (Тj) определяются соrласно (7.15а). В том же приближении,
в наиом было получено выражение (7.16а), получаем для (7.29)
С l (р, q) F (Z, Е) с; (р, q),
' 1
с' ( ) ( Ze2 ) 2 " (2l + 2)1 2п 21 2h 2
1 р, q == 2hep L (2l 2k 1)1 (2k+2)1 (2k+ 2) р q .
п o
Приближение «малых Z», часто употребляемое в литературе, дает
(7.29а). Формула (7.29) получена из точных релятивистсних выражений
в результате пренебрежения членами порядка (Ze 2 jпc)2, но без отбрасыва
ния членов порядка (Ze 2 jhV)2.
в приближении (7.29а) множитель с; является постоянным. Таним
образом, спептры переходов первоео порядпа еруппы В, 6 поторых соблю,.
даются условия (7.27) и (7.28), имеют форму разрешенных спептров. Послед;-
ние три примера в табл. 31, повидимому, относятся именно к этой катеrориИj.
Множитель C имеет вид .
с; (р, q) == c e:p )2 (q2+ р2).
Множитель (q2 + 1 j 4 р2) увеличивает вероятность распада с большими
значениями q, т. е. блаrоприятствует испусн:анию электронов с малыми энер-
rиями. Поэтому было бы леrио отличить такой спектр от спектра, опреде
ляемоrо множителем SC 1 (р, q). До сих пор, однаио, спен:тр, хараитеризу
мый множителем С 2 , не наблюдался. Ниже мы еще вернемся к этому вопросу.
В связи с оцениой времени жизни нам понадобится значение с; (р, q)
при р == q. Определим числа Dl равенством
1 1
Dl == L 221 (2l 2k l) ; 2)1 (2k+2)' (7.30)
п o
(7.29а)
Первые три величины Dl суть
3 75 245
Dl ==2' D 2 ==З2' Dз==OO'
,.
Леrко видеть, что
с; (р, р) == D/ ('2 ) 2 (2р)2Н.
\.. ,.ер
Перейдем теперь и оценке времен жизни по отношению п pacпaдy.
Прежде Bcero приведем оцении вероятности распада для иаждоrо из
матричных элементов табл. 33. Эти опенн:и сведены в табл. 34.
37.
(В!t9
(7.31)
. ,:'j
580
rд,. X//I. Beтa pacnaд
Таблица 34
Оценки ft для -переходов, отвечающих отдельным матричным Dлементам 1)
А. Пер е х о Д ы пор Я Д Н а 1*0
tt
в ааимодействие
обычные переходы
релятивистсние переходы
СI{алярное (5.265)
Венторное (5.26V)
(7.34)
(7.34)
180А 2 /аХ(7.34) J==l, l l
180А 2 /аХ(7.19) J==l+l
180А 2 /аХ(7.34) J==l, l l
180А 2 /ах(7.19) J==l+l
180А 2/а Х (7.34)
Тсшюрное (.'5.26Т)
(7.34)
(7.19)
(7.34)
(7,19 )
J==l, 1 1
J==l+l
J==l, l l
J==l+l
Пс()вдовеI{Торное (5.26PV)
llсевдоскалярное (5.26Р5)
180А 2 /а х (7.34)
В. 3 а т р у д н е н н ы е пер е х о Д ы пор Я Д Н а 1 == О
It
Взаимодействие
обычные переходы
релятивистсние переходы
Скалнрное (5.265)
Векторное (5.26V)
1'еНЗ0рное (5.26Т)
Псевдовекторное (5.26PV)
Пссвдосналярное (.'5.26Р5)
105
105
105
105
1,8.10 7 .АЦа
1,8.10 7 .А 2 /а
1,8.10 7 .А 2 /а
3.10 9 .A 4 fa
1) Оценна (7.34) верна тольно при выполнении условий (7.27) и (7,28).
II действительности любой переход может определяться сразу несноль-
ними матричными элементами, причем наиболее существенна ноннуренция
между обын:новенными переходами порядка l и релятивистсними переходами
порядка l 1. Время жизни оценивается следующим образом: для данноrо
перехода ядра из начальноrо состояния с моментом ноличества движения J;,
и четностью П;, в конечное состояние с моментом количеств движения J I
1I четностью П t и для предполаrаемоrо варианта -взаимодеиствия опреде
JШЮТСЯ ядерные матричные элементы, совместные с правилами отбора. Это
делается при помощи табл. 32 и 33. Пос.ле этоrо по табл. 34 оценивается
uероятность распада для наждоrо из найденных ядерныХ матричных эле-
ментов. Сумма всех этих парциальных вероятностей д1fет вероятность pac
пада. Обычно вероятность распада, евязанноrо с наI\им нибудь одним ядер-
ным матричным элементом, значительно больше всех остальных. В тано.м
случае форма -спентра определяется этим доминирующим матричным эле-
ментом. Если же два или более ядерных матричных элемента дают cpaB
нимые внлады в полную вероятность распада, форма спентра зависит
от точных значений матричных элементов; кроме Toro, появляются интер-
ференционные члены, которых мы не учитываем в этом упрощенном рас-
смотрении.
i ,',"';.,
6 7. Вета-переходы высших nоряа ов
581 ..
Оценка времени жизни по отношению к обычным переходам rруппы А
проводится так же, кан: и в нерелятивистской теории, и приводит к фор
муле (7.19). .
Порядок времени жизни по отношению н: обычным переходам rруппы В
отличается от (7.19) вследствие ра3JIИЧИЯ в формах спектров. Если выпол
нены условия (7.27) и (7.28), то вероятность обычноrо перехода rруппы В
можно получить, заменив в (7.17) I1 на gl:
Ро
gl (Z, Ео) == С 1 (р, q) р2(Ео E)2dp. (7.32)
о
Величину gl можно оценить, заменив (7.29) на (7.29а) и подставив
вместо С[ (р, q) значение этой величины в середине спектра (в точке р q).
Это дает
gl(Z, Eo)""='CL(}Po, ; Po)/ (Z, Ео), (7.33)
rде С ! e/2PO' 1/2РО) имеет вид (7.31), а фунн:ция j (Z, Ео) определена в 4.
В результате всех этих приближений мы получаем оценку величины cpaB
нительноrо периода полураспада jt для обычноrо перехода rруппы В:
jt [( l+1)!IJ2to (1:>1), (7.34)
DI ( ') p2l 2 (E2 1)H
\.137.1 о
rде, н:ак и раньше, для н:онстанты t o принято значение, близное к 5.103 сек.
Если выполнено условие (7.28), то величина jt (7.34) для обычноrо пере
хода rруппы В оказывается заметно меньше, чем значение jt (7.19) для
обычноrо перехода rруппы А. Тан:им образом, если переходы обеих ерупп
одновре.менно разрешаютсл правила.мп отбора, .можно ожидать, что пepe
ходы еруппы В (] == 1, J == l 1) будут происходить с большей веролтностью,
че.м переходы еруппы А (] == 1 + 1), т. е. в этом случае переходы rруппы В будут
давать больший вн:лад в полную вероятность распада, чем переходы rруппы А.
Оценни времени жизни ядра по отношению к релятивистсним перехо
дам отличаются от (7.19) и (7.34) толыю постоянными множителями,
не зависящими от 1. За единственным иснлючением (матричный элемент (Р2)
дЛЯ переходов порядка 1 == О при псевдоскалярном взаимодействии) все ·
".матричные эле.менты реллтивистспих "ереходов .меньше соответствующих
.матричных эле.ментов обычных переходов в VnlC раз, rде v" сн:орость
нуклона в ядре. :в выражение для вероятности распада эти множители
войдут в н:вадрате. Матричный элемент (Р2) оценить труднее; мы будем
считать ero равным по порядн:у величины (V n lc)2. Для множителя Vnlc при..:
мем значение, использованное при рассмотрении элентромаrнитноrо муль '
типольноrо излучения (см. rл. ХII, 6),
V; :CR ' (7.35)
Тан:им образом, значения jt для релятивистсних переходов больше, чем
значения jt для соответствующих обычных переходов в (И cR Ih)2 ==
== 180А2/ з раз 1). .
Все приведенные нами оценн:и относятся к элен:тронному распаду.
Чтобы оценить величину jt для позитронноrо распада, надо j+ (Z, Ео).
умножить на время жизни ядра по отношению к данному распаду. Длц
оценки действительноrо времени жизни следует еще ввести поправку
на К захват. Во мноrих случаях отношение вероятностей нонн:урируюЩИх
К захвата и позитро нноrо распада известно из эксперимента.
1) Величина Vn/ c оценивалась мноrими различными способами. Однако ни однаиs
оценок, включая (7.35), не может претендовать на большую степень точности.
*
\ &2'
rJi,. X111. Бета раcnад
В табл. 34 содержатся оценки времени жизни переходов, определяемых
матричными элементами табл. 33. Следует подчерннуть, что, поснольку
все эти оценки, по необходимости, очень rрубы, действительные парциаль
ные значения ft MorYT сильно отличаться от приведенных в таблице.. Co
rласие между этими оценками и экспериментом в пределах множителя 100
в ту или друrую сторону следует считать удовлетворительным. Для обыч
ных переходов порядка l == О (так называемых разрешенных переходов)
оценни относятся к затрудненным переходом. Времени жизни по отношению
к разрешенным и облеrченным переходам соответствуют меньшие значе
ния ft (порядка 5. 103 сек.).
Чтобы пояснить на примере, нан надо пользоватся табл. 32 34, раз
берем неснольно подробнее распад C136. Это позволит нам танже получить
неноторые сведения о природе взаимодействия. Спины начальноrо ядра
C136 и н:онечноrо ядра А36 известны: J i == 2 [749, 415], J j == О (четно четное
ядро). Форма спентра близна к Sc 2 . Величина ft для этоrо раt;llада равна
3.1013 сен. [828, 830, 275].
В соответствии, с выводами 4 и 6, определяющим взаимодействием
в данном случае должно быть взаимодействие типа raMoBa Теллера.
Поэтому мы в первую очередь посмотрим, какие результаты дают в примене
нии к этому случаю тензорное и псевдовеН:ТОРН9е взаимодействия; затем мы
разберем все остальные взаимодействия. Поскольку четности начальноrо и
н:онечноrо ядер неизвестны, мы должны учитывать две возможности: пере
ход может идти н:ак с изменением, так и без изменения четности. Сначала
предположим, что четность при переходе меняется (П i == Пj)' Из табл. 32
и 33 следует, что в этом случае сн:алярное взаимодействие исн:лючено.
Вен:торное взаимодействие не дает обычных переходов, но допускает реля
тивистский переход с J ==l==2. Этот переход определяется матричным эле
ментом I (Р1 r2 22) 12. Форма спектра, соответствующеrо этом.}' переходу,
зависит от множителя С 2 (что не соrласуется с экспериментом), а ft для пере
хода, !,ан: следует из табл. 34, примерно равняется 1015 сен. Тензорное
взаимодействие допускает обычный переход с l== 1, J ==2 и релятивистский
переход с J ==l==2. Первый из них является преобладающим; значение ft
для Hero равно, по нашей оценн:е, 109 сек. (см. табл. 34). Форма спектра опре
деляется множителем Sc 1 . Как форма спектра, так и величина сравнительно
ro периода полураспада явно расходятся с экспериментом. К такому же pac .
хождению с экспериментом ведет и псевдовекторное взаимодеЙСТВ)Iе. .
Наконец, псе'вдосн:алярное взаимодействие допусн:ает переход порядка l==2,
матричный элемент KOToporo есть I (P2r2Y2) 12, форма спен:тра определяется
множителем С 2 , а величина ft оценивается в 1015 сек. И в этом случае форма
спектра не соrласуется с наблюдаемой. Тан:им образом, в предположении
изменения четности при переходе ни один вариант взаимодействия не может
объяснить эксперимента. При этом расхождение особенно велин:о для двух
вариантов взаимодействия, наиболее подходящих н: случаю распада C136
тензорноrо и псевдовен:торноrо.
Предположим теперь, что четнОСТЬ при переходе не меняется, т. е. чТО
пi==п,. Тоща скалярное взаимодействие дает переход порядка l==2 с матрич
ным элементом I ( r2Y2) 12. Форма спектра определяется множителем С 2 ,
а ft имеет порядок 7.1011 сек. Вен:торное взаимодействие дает н:ак обычный,
так и релятивистский перехоДЫ, причем оба перехода идут с примерно paB
ной вероятностью. Обычный переход имеет порядок l==2, матрnчный
элемент I (r 2 Y 2 ) 12, форму спектра С 2 и ft""V 7 .1011. Релятивистс!,ий переход
имеет порядон: 1==1, J==2 (следовательно, это переход rруппы А), матричный
элемент I (p1r 21) 12, форму спен:тра SC 1 и ft 2.1012 сен:. Посн:ольку оба пе
рехода имеют сравнимые вероятности, не удается однозначно определить
форму спектра: она зависит как от относительной величины обоих' матрич-
583
, 7. Бenta перехоаы высших пОРIlЭ"ов
:ных элементов, так и от знан:а ОДНОРО из НИХ по отношению н: друрому (знак
важен потому, что в выражении для спен:тра имеется интерференционный
''Член, который мы не учитывали во всех предыдущИх рассуждениах). TeH
:зорное взаимодействие тан:же дает в этом случае и обычные и релятивист
-ские переходы с примерно равными значениями tt и, следовательно, при
водит к такой же неоднозначности для спен:тра. Псевдовекторное взаимо
:действие дает только обычный переход с '-==] -==2, описываемый матричным
лементом I (r2l 22) 12. Спен:тр, соответствующиЙ этому матричному элемен
'Ту, определяется множителем С 2 (что прьтиворечит эн:сперименту), причем
jt"'>:!7.1011 сек. Наконец, псевдосн:алярное взаимодействие совсем не дает
переходов в рассматриваемом нами СJlучае.
Эти сведения можно использовать дЛЯ ТОРО, чтобы сузить выбор вариантов
взаимодействия. Прежде всеро, если мы сделаем простейшее предположение,
'Что Эfiспери.ментальные данные моеут быть описаны одним, и тОЛЬfiО одним,
uз пяти вариантов взаимодействия (5.26), толмо тензорное взаимодействие
о ажется совместным со всеми данными. Это можно. утверждать потому, что
правила отбора rамова Теллера, н:оторым, как известно из эн:сперимента,
удовлетворяют разрешенные переходы, допусн:ают ТОЛЬН:О псевдовекторное
'и тензорное взаимодействия, а в случае распада C13 6 псевдовекторное взаимо
действие исключается. Более подробное изучение спектра распада С13 6 по
.называет, что наблюдаемый спектр можно объяснить с помощью тензорноrо
взаимодействия, приняв для матричных элементов разумные значения
1830, 275]; противоположное мнение [488] оказалось неверным.
Рассмотрим теперь на том же примере распада С13 6 смешанные взаимо
действия. Априори наиболее обещающей номбинацией является взаимодей
ствие Виrнера Кричфильда (5.27). Данные по распаду С13 6 , повидимому,
исключают это взаимодействие. Действительно, если мы примем Il i -== ll"
'1'0 основную роль будет иrрать псевдовекторная часть взаимодействия
Виrнера Кричфильда (матричный элемент I <r 21) 12). В этом случае спектр
определяется множителем Scl' а порядок величинЫ tt оценивается в 109 сек.
Оба эти результата явно противоречат эксперименту. Если же мы примем
П i -==11" то распад будет определяться псевдовен:торным и сн:алярныМ взаимо
действиями (матричные элементы I (r2 22) 12 и \ ( r2Y 2) 12 соответственно).
Оба эти варианта взаимодействия дают поправочный множитель С 2 н: форме
спектра, что тан:ж противоречит эксперименту.
Обсуждение друrих типов смешанноrо взаимодействиЯ можно сильно
упростить, приняв во внимание результаты, полученные в работе [189].
Нак показано в этой работе, весьма разумные соображения симметрии при
:водят к заключению, что в смешанное взаимодействие вместе с тензорным
:может входить только векторное взаимодействие. Если мы примем этот pe
:зультат, нам достаточнО будет рассмотреть т(jЛЬКО смесь тензорноrо и
lIекторноро взаимодействий. О такоро рода смешанном взаимодействии ни
({аRЯХ выводов из данных по распаду C136 сделать неЛЬЗll, поскольн:у BeН:TOp
ное взаимодействие ведет к тан:им же результатам, н:ак и тензорное 1 ).
Хотя распад C136 является единственным случаем, позволяющим про.,.
sзести столь ясный анализ, имеются несн:ольн:О друrих случаев распада,
\Которые, повидимому, l'оворят в пользу тензорноrо взаимодействия. HOHO
пинС:н:ий и "Уленбек [441] исследовали спен:тр распада RaE. ОНИ смоrли co
rласовать теорию с экспериментом, используя тензорное взаимодействие,
и не смоrли этоrо добиться с помощью псевдовен:торноrо взаимодействия.
, 1) Соображения [544], ос:цованные на значениях времени жизни некоторых ядер,
,испю:тывающих разрешенные и облеrченные переходы (см. 6), повидимому, исключают
.БQЛЬШУЮ примесь BeKTopHoro взаимодействия. С друrой стороны, если спин возбужден.
Horo состояния ндра N14, образующеrосн при распаде 014, окажетсн равным нулю, такая:;
IIрИМООЬ была бы необходима для оБЪ/Jспев:lНl эксперимента (см. 4).
,:
581
rA. ХII/. Beтa pacnaд
Мотно еще упомянуть распады Тс 99 [8311 и СБ 137 [4571. Все эти три слу
чая распада харан:теризуются близн:ими значениями ft (порядн:а 1012 сен:.)
и спен:тром типа Sc 1 . Их мотно объяснить с помощью тензорноrо (или TeH
зорноrо и псевдовен:торноrо) взаимодействия, считая, что переходы происходят
без изменения четности и с изменением спина на две единицы 1 ). В этих слу
чаях имеется большое сходство с подробно рассмотренным нами распа
дОМ C1 36 . Псевдовен:торное взаимодействие исн:лючается; оно не мотет объяс
нить переходы со спентрами типа SC 1 и столь большими значениями jt,
поснольн:у в rруппе А имеются тольн:о обычные переходы. Обычный переход
rруппы А с l== 1 и J ==2 харан:теризуется величиной jt порядн:а 109 сен:.
Дальнейшие сообратения в пользу тензорноrо взаимодействия мотно полу
чить из анализа данных по распаду Rb 86 [550, 501, 7151.
Нордrейм [564, 565] и Майер [529] провели анализ распада,\ исхода
из оболочечной модели для нитних энерrетичесн:их уровней ядер. С по
мощью этой модели определялись спины и четности ядер, участвующих
в переходе. Было найдено, что различия метду значениями jt для обыч
. ных переходов rруппы А порядн:а l== 1 (J ==l +1 ==2, спен:тр Sc 1 , jt порядн:а
108 109 сен:.) и значениями jt для обычных переходов rруппы В Toro те
порядн:а l==1 (J==l==1 иJ==l 1==О, спен:тр С 1 , а ft порядн:а 106 5.107 сен.)
соrласуются с теоретичесн:ими предсн:азаниями. Ироме Toro, оболочечная MO
де ль дает ун:азания на существование приближенноео правила отбора по .мo
.менту 1>оличества движения. В модели оболочен: распад ядра снечетным А2)
рассматривается н:ан: распад одной «нечетной» частицы, н:оторая в началь.,
ном ядре сидит на оболочн:е с нен:оторым моментом н:оличества движения li>
а в н:онечном ядре он:азывается на оболочн:е с моментом н:оличества дви
тения lj' Нордrейм ун:азывает на то, что переходы порядн:а 1, для н:оторых
Ili lj I l li + lj'
(7.36)
имеют ядерные матричные элементы, совпадающие по порядн:у величины
с нашимц оценн:ами, в то время н:ан: переходы, в н:оторых (7.36) не выпол
няется, являются «l HpaTHo запрещенными», и матричные элементы тан:их
переходов имеют rораздо меньшую величину. Это правило мотно до HeН:OTO
рой степени обосновать, рассматривая выратения (7.2) или (7.7) для ядер
ных матричных элементов. Действительно, если распад объяснять pac
падом тольн:о одноrо нун:лона и если орбитальный момент н:оличества дви
жения этоrо нунлона есть хорошее н:вантовое число, матричные элементы
(7.2) и (7.7) в случае нарушения условия (7.36) исчезают. Нордrейм установил
это приблитенное правило отбора для частноrо случая переходов порядн:а
l==O. Им ун:азано, что переходы порядн:а l==O, для н:оторых Ili ljl==2 И
IJi Jj[==1, значительно менее вероятны, чем переходы Toro те порядн:а
1==0, для н:оторых условие (7.36) выполняется, Т. е. для н:оторых li==lj'
А
Аl' Ао, A 1
Ах, Ау, А; I
А (r n )
ОБОЗНАЧЕНИЯ
MaCCOBoe число (2.1).
сферические составляющие вектора А (5.Ба).
дeKapTOBЫ составляющие вектора А (5.Ба).
значение вектор потенциала cBeToBoro кванта в точке, rде наХОДИТСJl
п я частица (5.2).
1) Однако в данном случае анализ не так прост, потому что либо неизвестен спин;
начальноrо ядра, либо (в случае Св 137 ) не равен нулю спин конечноrо ядра. Поэтому здесь
приходится учитывать MHoro матричных элементов, которые в случае Ср6 исключались
по правилам отбора. .
2) Приложение модели оболочек к ядрам с четными массовыми числами более затруд
иительно, и результаты, полученные на этом пути, менее надежны [5651.
в
ОБО8начения'
585
матрица фиrурирующая в теории распада; в случае нерелятивистскоil
теории (5.8), в случае релятивистской теории (5.20).
сферические составляющие вектора В (fJ-==1, О, 1) (5.8б).
вектор (5.8б).
CKOpOCTЬ света ( 1).
постоянная, входящая в выражение для спектра и для вероятнос'fП'
распада (2.6), (2.13), (3.2), (4.1), (4.6).
поправочный множитель к форме спектра для переходов rруппы B
учитывающий действие кулоновекоrо поля (7.29).
полинОМ от р И q, ВХQДЯЩИЙ в приближенное выражение для попра
вочноrо множителя С р (7.29а).
СМ (J, М; mL' тs) коэффициенты Нлебша Жордана; см. приложение 1, 5 (6.2).
Св значение постоянной С в формуле (2.13) для случая синrлетноrо взаи
модействия (нерелятивистская теория) (5.18).
значение постоянной С в формуле (2.13) для случая скалярноrо взаи
модействия (релятивистская теория) ( 5, В).
значение постояннОй С в формуле (2.13) для случая триплетноru.
взаимодействия (нерелятивистская теория) (5.18).
элемент объема для электрона (2.4).
элемент объема для нейтрино (2.4).
элемент объема в конфиrурационном пространстве (5.2), (5.з).
элемент телесноrо уrла в направлении вылета электрона (2.4)"
элемент телесноrо уrла в направлении вылета нейтринО (2.4).
число (7.30).
электрон (или позитрон) ( 2).
средняя энерrия электрона, заключенноrо в объеме с размерами пOr-
рядка ядерных ( 1).
энерrия электрОН,а, обычно в единицах тс 2 (2.6).
полная энерrия, выделяющаяся при распаде ( 1).
энерrия связи орбитальноrо электрона в атоме (з.1).
полная энерrия (включая энерrию 'покоя) испущенноrо электрона...
обычно в единицах тс 2 (2.3).
максималъная энерrия электрона спектра' (равная Ео, если масса
покоя нейтрино равна нулю) ( 1). .
энерrия rипотетическоrо BToporo нейтрино ( 2).
эперrия испущенноrо нейтринО (2.3).
Е....
Е у
/Еотдачи "-
" Е )манс. максимальное значение отношения энерrии отдачи ядра к энерrии.
ЭЛ.
испущенноrо электрона (2.1).
функция, связанная с периоДОМ полураспада позитронно активноr()-
ядра (4.4).
функция, связанная с периодом полураспада электронно активноr().
ядра (4.1), (4.2).
функция, связанная с парциальным временем жизни ядра по отноше .
нию к К захвату (3.2), (3,4), (3,5).
функдия, определенная формулой (7.18).
сравнительный период полураспада (4.5), (4.6).
вен торная величина поля для триплетноrо взаимодействия (нереляти
вистсная'теория) (5.7а).
р. я составляющая (fJ-==0, 1, 2, 3) псевдовекторной величlШЫ поля дла
псевдовекторноrо взаимодействия (релятивистская теория) (5.22 PV).
сферическая составляющая векторной величины поля F (т==1, О, 1) (5.7)
псевдоскаJIЯрная величина поля для псевдоскалярноrо взаимодействия
(релятивистская теория) (5.22 РБ).
веЛИЧlШа (шолю> в теории распада, взятая в точке r n , rде наХОДИТСII.
п й нуклон (5.3).
В....
В
с
С
С! (р, q)
С; (р, q)
СВ
С!
dV e
dV v
d't
dQe
dQy
Dt
е
Е
Е==Ее
Ео
Ев
Ее
Е манс .
1 + (Z, Ео)
I (Z, Ео)
IK
I1 (Z, Ео)
It
F
F pV , ....
F m
F pS
F (r n )
!
j.
$3
,Fв
Fs
,FTIlV
,FVIl
,11' (Z, Е)
,gl (Z, Ео)
'о
OpV
'C pS
'С в
,{;s
-С !
'ст
'CV
.Ri,
l. H i,)pv
Bi, (l)
1Hi, (l)]pV
itHi, (l)]S
.(Hi,)ps
.(Hi,)s
o(Hi')T
,(Hi,)v
-<Нi/)BK
..[
Jl,
.[i
1ie
iv
3"
J
:т
.1'
.3,
.Ji
/(
./t
'/
r д. Х/ П. Бета-распад
величина ПОЛII F для синrлетноrо взаимодействия (нереЛЯТИВИСТСК8JI
теория) (5.6).
скалярная величина поля для скалярноrо взаимодействия (релятивист-
ская теория) (5.19), (5.22 S).
составляющая с индексами [1-, '1 ([1-, '1==0, 1, 2, 3) антисимметри,!ескоrо
тензора величины поля для теНЗ0рноrо взаимодействия (релятивист-
ская теория) (5.22 Т).
[1--Я составляющая ([1-==0, 1, 2, 3) четырехмерноrо вектора величины
поля для BeKTopHoro взаимодействия (релятивистская теория) (5.22 V).
кулоновский поправочный множитель для переходов порядка нулio
(2.10) (2.12).
Функция, определенная формулой (7.32).
постоянная -взаимодействия (9 5, Б).
постоянная псев)(овекторноrо взаимодействия (5.26 PV).
постоянная псевдоскалярноrо взаимодействия (5.26 PS).
постояннаlI синrлетноrо взаимодействия (5.9).
постоянная скалярноrо взаимодействия (5.26 S).
постоянная триплетноrо взаимодействия (5.10).
постоянная теНЗ0рноrо взаимодействия (5.26Т).
постояннаlI BeKTopHol'O взаимодейетвия (5.26 V).
'матричный элемент взаимодействия, вызывающеrо переход (5.2), (5.S).
матричный элемент псевдовекторноrо взаимодействия (5.26 PV).
часть матричноrо элемента Н';р соответствующая переходам ...
рIIДК& l (7.5).
часть матричноrо элемента псевдовекторноrо взаимодействия, соотве.,..
Gтпующая переходам порядка l (7.22).
часть матричноrо элемента скалярноrо взаимодействия, cooTBeTcTВYJl)oo
щая переходам порядка l (7.21).
матричный элемент псевдоскалярноrо взаимодействия (5.26 PS).
матричный элемент скалярноrо взаимодействия (5.26 S).
матричный элемент теНЗ0рноrо взаимодействия (5.26 Т).
матричный элемент BeKTopHoro взаимодействия (5.26 V).
матричный элемент взаимодействия Виrнера RРИЧфИЛЬ,да (5.27).
полный момент количества движения (спин) ядра в основном СОСТОJl-
нии (9 4).
полный момент количества движения (спин) конечноrо ядра (9 4).
полный момент количества движения (спин) исходноrо ядра (9 4).
полный момент количества движения испущенноrо электрона ( 7, r).
полный момент ноличества движения испущенноrо нейтрино (9 7,'r).
оператор тока для пой частицы (5.2).
долный момент количества движения внешнеrо нуклонц в цдч<!,льпом
состоянии (6.2).
полный момент количества движения, уносимый парой элентрон-ней-
трино (9 7, А).
полный момент количества движения внешнеrо нуклона в конечном
состоянии (6.4).
полный момент количества движения (спин) конечноrо (дочернеrо)
ядра (g 7, А).
полный момент количества движения (спин) исходноrо (материнскоrо)
ядра (9 7, А).
целое число (g 6).
целое число, равное моменту количества движения испущенноrо
электрона (7.15а).
Ite волновое число испущенноl"О электрона (s 2).
К п оператор, действующий на координаты n ro нуклона в ядр (5.з).
K часть Кn, не зависящая от изотопическоrо спина (5.5).
K Ру, i K ру, о оператор K для псевдовекторноrо взаимодействия (5.25 РУ).
K РБ оператор K для псевдоскалярноrо взаимодействия (5.25 PS).
K S оператор K для скалярноrо взаимодействия (5.25 S).
K T,HK T. iо оператор K для тензорноrо взаимодействия (5.25Т).
K T, i K 'V, О оператор K для Векторноrо взаимодействия (5.25 У).
l MOMeHT количества движения, уносимый парой электрон нейтрино, рав--
ный nQрядку перехода(s 5, Б и 7, А).
момент количества движения испущенноrо электрона (!\ 2).
момепт количества движения внешнеrо нуклона в конечном ядре (7.36).
момент количества движения внешнеrо нуклона в исходном ядре (7.36),
наименьшее значение порядка перехода [, совместное справилами
отбора (s 7, Б).
MOMeHT количества движения испущенноrо нейтрино (s 2).
орбитальный: момент количества движения ядра как целоrо или внеш
Hero нуклона (s 6).
== lмин. (s 7, Б).
оператор орбитальноrо момента количества движения для ядра как
целоrо или для внешнеrо нуклона (s 6).
Macca электрона (2.1).
квантовое число для z компоненты орбитальноrо момента количества
, движения, уносимоrо парой электрон нейтрино (7.1а).
Macca нейтрино ( 1).
Macca нуклона (2.1).
проекция на ось z полноrо момента количества движения внешнеl"О
нуклона в начальном состоянии (6.2).
проекция на ось z полноrо момента количества движения, уносимоrо
парой электрон нейтри;но (7.10).
проекция на ось z полноrо момента !шличества движения внешнеrо
нуклона в конечном состоянии (6.4).
HOMep нуклона в ядре; n 1, 2, .... А ,(5.2), (5.3).
число нейтронов в ядре ( 4).
импульс испущенноrо электрона (p Ре) (2.6).
макrимальное значение электронноrо импульса в спектре (4.2).
== I ре 1; импульс испущенноl"О электрона (2.4).
сферические составляющие вектора р (т 1, О, 1), образованные по
правилу (5.8а), (5.38).
максимальный импульс электрона, заключенноl"О в объем с разме
рами порядка ядерных (s 1).
импульс rипотетическоrо BToporo нейтрино ( 2).
== I p,/I; импульс испущенноrо нейтрино (2.4).
BeKTOp импульса испущенноrо электрона (P Pe) (5.11).
BeKTOp импульса испущенноrо электрона (2.2).
BeKTOp импульса испущенноrо нейтрино (2.2).
== I Р [; импульс отдачи ядра (s 2).
== I Р 1; импульс, уносимый парой электрон неЙтрино (7.1а).
KBaHTOBыe числа размещения; см. rл. VI, s 3 (9 6).
максимальное значение импульса отдачи ядра (9 2).
число электронов, испущеIшыx с импульсами от р до р + dp ( -спектр)
(2.6), (2.13).
.
r" '
.
:,
,
"/
,....,
П',.
le
ffi
(,
111...
1.,
L
L
L
..
...
"''/
М
IL
Jl
)1'
"
N
р
Ре
Ре .
"т
Р llаНС .
"...
Р"
Р'
Рв
Р"
Р
Р
Р, Р',.Р.
Р МаНС .
р (р) dp
ОБО8начения
587
588
rA. Х/1/. Вета-распад
Р
Р
q
qm
q
Q
re
I (r l Yl) 12
(rIYtm)
_ ( rly* а )
1т p.
М*
{r1qjJl }
I (r1qjJl) 12
rn
r n
R
s
S
S
Sl (р, q)
SCI (р, q)
t o
t+
. t
Т
t K
'.
и е
и(1<)
е
U LmL (х, у, z)
11,/
(1<')
и,/
V
V N
Vn,l'-
t),/
V
/!:..)
"'-С
V
V1<
V N
BeKTOp импульса отдачи ядра (2.2).
суммарный импульс пары электрон нейтрино (P==p+q) (9 7).
энерrия нейтрино в единицах тс 2 (q==lql) (9 5,В).
сферичеСRие составляющие вентора q (т== 1, О, 1), обрааованные по
правилу (5.8а), (5.38).
BeHTOp импульса испущенноrо нейтрино в единицах те (q==pv) (5.11)
четырехрядная матрица (5.21).
раССТОЯJ.Ulе элеRтрона от центра ядра (9 2).
величина, определяемая равенством (7.4).
ядерный матричный элемент (7.2).
ядерный матричный элемент (7.7).
ядерный матричный элемент (7.8).
величина, опре деляемая равенством (7.11).
расстояние n-ro нуклона от центра ядра (7.1а).
радиус-вектор n ro нуклона (5.2), (5.3).
радиус ядра (9 1).
величина, входящая в формулу для реЛЯТИВИСТСRОЙ попраВRИ на Rуло
новское поле в переходах ПОрЯДRа О (2.11).
спиновое квантовое число ядра как целоrо или внешнеrо НУRлона ( 6).
оператор спина для ядра как целоrо или для внешнеrо нуклона (9 6).
поправочный множитель R форме спеRтра в нереЛЯТИВИСТСRОЙ теории
беа учета КУЛОНОВСRоrо поля (7.15).
поправочный множитель к форме спектра в нерелятивистской теории
с учетом КУЛОНОВClюrо поля; этот поправочный множитель остается
и в релятивистеRОЙ теории для переходов rруппы А (7.16), (7.16а).
период полураспада в секундах, отвечающий ":переходу (4.5).
основная постоянная времени для -распада, имеющая порядок вели-
чины 5.103 сен. (5.17).
парпиальный период полураспада, свяаанный с испуCIшнием поаи-
тронов (4.4).
период полураспада, отвечающий электронному распаду (4.1).
вероятность перехода в единицу времени (5.1).
парциальный период полураспада, свяаанный с К-аахватом (3.2).
спиновая функция элеRтрона (не аависящая от r) (5.11).
спиновая ФУНRЦИЯ и е электрона с направлением спина k'; нерелятивиет
СRая теория ( 5,'Б); реЛЯТИВИСТСRая теория (см. [623], стр. 315) (5.37).
волновая фУНRЦИЯ внешнеrо нуклона, аависящая от уrлов как сфери
чеСRая rаРМОНИRа У LmL (6, '1') (6.2).
спиновая фУНRЦИЯ нейтрино (не аависящая от r) (5.11).
спиновая функция нейтрино с направлением спина k; нереJIЯТИВИСТ
СRая теория (9 5, Б); релятивиеТСRая теория (см. [623], стр. 315') (5. 7).
CHOpOCTЬ испущенноrо электрона (9 2); среднЯЯ снорость НУRЛОНОВ (97).
средняя скорость нуклонов в ядре (9 5, В).
fL-Я составляющая оператора скорости пой частицы в ядре (7.26).
обращенная во времени спиновая фУНRЦИЯ нейтрино (v,/ == Bи ) (9 5, В).
нерелятивистский опе.ратор скорости нуклонов (У == v) (5.33).
ядерный матричный элемент (5.35).
_ объем воображаемоrо ящика, в RОТОРЫЙ ааRлючена система (2.5).
ноэффициент прохождения череа куЛОНОВСRИЙ барьер для ааряженноii
частицы с моментом ноличества движения k (7.15а).
объем ядра (2.9).
, ""'o\
ОБО8начения
589
х
у
YZ m (6, <р)
qj}f (8, Ф, а)
Z
(1)
a 1l ,i
ах, ау, сх ;
(Ot)
+
J3n
< )
( a)
тт'
.6.J
"'1
"1
6 ву
6 п
е
л
А+
в
А+
у
IL
v
i;
П j
п.
.
р
Рl
Рк
р(Ео)
Р (Еу)
Рп,l
[ Рп,2
(Рl )
(PlrlYfm)
lqjM*
(Pl r Jl)
исходное ядро при -распаде (9 2).
конечное ядро при распаде (9 2).
сферическая rармооика; см. приложение 1, 2 (7.1а).
оператор, действующий на леrкие частицы ('7.9).
атомный номер (заряд) ядра; в случае электронноrо или позитронноrо
распада через Z обозначается заряд конечноrо ядра; [в случае захвата
орбитальных электроноВ Z означает заряд исходноrо 'ядра (9 2 и з).
ядерный матричный элемент (5.14).
i я составляющая Дирака матрицы 01 для п ro нуклона (5.25 V).
матрицы Дирака; выражение для них см. [51] или (623] (5.23).
ядерный матричный элемент (5.35).
матрица Дирака; выражение для нее см. [51] или [623] (5.21).
позитрон ( 1).
элеRТрОН (9 1).
матрица Дирака для n ro нуклона (5.25 Б).
ядерный матричный элемент (5.29).
ядерный матричный элемент, определяемый аналоrично (а) и перехо
дящий в (а) в нерелятивистском приближении для нуклонов (9 5, В).
символ Кронекера] (5.16б).
изменение полноrо момента количества движеIJ:ИЯ (спина) ядра при
переходе (э 1). .
==Ze 2 ;hv для электронноrо распада (2.10).
== Ze2(liv для позитронноrо распада (2.10).
уrол между направлениями испускания электрона и нейтрино (5.37).
полярный уrол (широта) точки r n (7.1а).
полярный уrол (широта), отвечающий вектору Р (7.1а).
число, заключенное между + 1 и 1, входящее в выражение для
уrловой корреляции между направлениями вылета электрона и ней-
трино (9 5,13).
оператор, отбирающий волновые функции электрона с положительной
энерrией ( 5, В).
оператор, отбирающий волновые функции нейтрино с положительной
энерrией ( 5, В).
rипотетическое второе нейтрино (э 2).
неЙ1;рИНО (9 2). -
матрица с (постоянными) матричными элементами Eij (5.4а).
линейный оператор, действующий на Феi и фуj (5.4).
четность конечноrо ядра (5.34).
четность исходноrо ядра (5.34).
радиус ядра в единицах п/тс (2.11).
,матрица Дирана, связывающая большие и MaJIble компоненты волно
вых фунrщий (5.23).
матрица .н.ирана, связывающая большие и малые !щмпонентЫ волно
БЫХ функций (5.23).
llеIOТНОСТЬ конечных состояний на едИНичный интервал полной энер
rии (2.5).
статистичесний множитель (плотность нонечных состояний) для случая
захвата орбитальноrо электрона (з.1).
матрица Дирака Рl для п ro нуклона (5.25 V).
матрица Дирана Р2 дЛЯ п ro нунлона (5.25 Т).
ядерный матричный элемент (5.32).
ядерный матричный элемент (7.23).
ядерный матричный элемент (7.26).
/
/'
rA. ХН/.Бета-расnад
( Р1 а )
(Р2)
(Р2 а )
lIт
"n. i
lIтт
IIх, 1111', II.
IIх, 1111' II.
""
IIХ
а
IIn
(а)
I (а) 11
/ау )
"с
< аху,,-
/
't+
't
't1l, .
'tn,
Ч'п
Ф
Фв1
Фв2
Фв (r e )
Фвi (r n )
Ф'/I
Ф'/2
Ф'/ (r,/)
Ф"i (r n )
Ф
Ф,
Ф i
Ф JМ
ФJfМ'
ХВта
о/в,
0/'/
ф
я;дерный матричный элемеит (5.35).
ядерный матричный элемент, определенный аналоrично (5.32) ( 5, ву...
ядерный матричный элемент (5.36а).
сферичесние составляющие (т==1., О, 1.) вентора а (5.7), (5.8).
дeKapTOBЫ составляющие (i==1., 2, 3) спиновой матрицы ап n ro НYK
лона (5.2.5 V).
сферичесние составляющие (т==1., О, 1.) спИновой матрицы Дирака "
п ro нуклона а п , обраЗ0ванные из денартовых по правилу (5.8а), (5.1.0)...
денартовы составляющие вектора спина а; см. приложение 1, 4 (5.8),_
спиновые матрицы Дирака (5.23).
транспонированная матрица (lx( 5, Б).
BeHTOp спина для леrних частиц (5.7а).
BeKTOp спина п ro нунлона (5.1.0).
ядерный матричный элемент (5.1.5).
HBaдpaT модуля ядерноrо матричноrо элемента (а) (5.1.8).
ядерный матричный элемент (5.33).
ядерный матричный элемент (5.36а).
оператор И30топическоrо спина, переводящий протон в нейтрон; СI&,.
rл. Ш, 95 (.5.5).
оператор ИЗ0топическоrо спина, переводящий нейтрон в протон; СМ.
rл. JII, 5 (5.5).
оператор ИЗ0топичесноrо спина 't+ для п ro нуклона (5.5).
оператор И30ТОпичесноrо спина 't для п ro нуклона (5.5).
полярный уrол (долrота) точки r n (7.1.а).
==arctg (8/'1) (2.1.2).
первая составляющая спинорной волновой функции испущеннOl'О элек
трона (5.6).
вторая составляющая спинорной волновой функции испущенноrо элек
трона (.5.6).
волновая функция нспущенноrо электрона (9 5, А).
i я составляющая спинорной волновой функции Фв (r e ) испущеиноI'O'
электрона, взятая в точке re==r n , rДе находится нуклон, испытыва
щий превращение (5.4).
первая составляющая СDИНОРНОЙ волновой функции испущеиноrо ней-
трино (5.6).
вторая составляющая СDИНОРНОЙ волновой функции испущенноrо He
трино (5.6).
волновая функция испущенноrо нейтрино ( 5, А).
i я составляющая спинорной волновой функции ф., (r ,/) испущенноro
нейтрино, взятая в точке r,/ ==r n , rде находится нуклон, испытыва
щий превращение (5.4).
полярный у.rол (долrота) вектора Р (7.1.а).
ВОлновая функция конечноrо ядра (5.2), (5.3).
волновая функция исходноrо ядра (5.2), (5.3).
волновая функция внешнеrо нуклона в начальном состоянии (6.2)'.
волновая функция BHeIIIНero нуклона в конеЧJlОМ состоянии (6.4).:
спиновая функция внешнеrо нунлова со СIiIИ1ЮМ S == 1/2 и: проенциеlJ
спина на ось .1;, равной тв (6.2).
волновая функция испушенноrо электрона ( 2).
волновая Фуикция испущенноrо нейтрино (\i 2).
круrовая частота (",==2пv) злеКТРОМ>JI"НИТ1'ЮI"О кванта ( t»)..
rлава XIV
:; .
ОБОЛОЧЕЧНОЕ СТРОЕНИЕ ЯДЕР 1))
,
/
'
1:
,
f.
.
"
р
jk."
,;.;
1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА НАЛИЧИЯ МАrИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
Еще в 1917 r. Харн:инс [348]2) отметил, что ядра с четным числом прото
нов или нейтронов более стабильны, чем ядра с соответствующим нечетныМl:
числом. В 1933 1934 rr. Эльз ассер [210, 211] нашел, что при определеНhОМц:
числе протонов или нейтронов образуются особенно устойчивые н:онфиrура
ции. В этом параrрафе мы приведем ряд фан:тов, ун:азывающих на то, что.
ядро является особенно устойчивым, если число протонов Z или нейтроноВ:.
N==A Z в ядре равняется одному из следующих чисел:
2, 8, 14, 20, 28, 50, 82, 126 (1.1р
,
f"
'
Эти числа обычно называются .маеu'ЧеСh:U.мu 'Чuсла.ми.
Хорошо известно, что ядра, у н:оторых Z И N равняютея 2, 8 или 14,
более стабильны, чем соседние ядра. Это ядра Не 4 , 016 и Si 28 . 'Указание на,.
иаrичесн:ие свойства чисел 20, 28, 50 и 82 мотно получить, если подсчитать.
числа Sz или SN стабильных ядер с данными значениями Z (изотопы) или N
(изотоны). В табл. 35 приведены числа стабильных ядер Sz и SN для различных
значений Z и N. Из этой таблицы видно, что стабильных ядер с маrичесн:имИ!
числами Z илиN несн:олько больше, чем остальных. ЧислаSz и SN'дают rрубуn.
:меру стабильности, связанной с величинами Z или N. Например, большое зна
чение величины Sz мотно рассматривать н:ан: указание на то, что н:онфиrу
рация, образованная Z протонами, ведет н: тан:ому увеличению энерrиИ\
связи, при котором ядро он:азывается стабильным, если дате число N ней
тронов значительно отличается от оптимальноrо.
Можно отметить, что' табл. 35 подтверждает справедливость правил&.
Харкинса, по н:оторому четные значения Z или N ведут к большей CTa
бильности, чем нечетные. Данные в пользу наличия маrичесн:их чисел по.
нейтронам более убедительны, чем для протонов. В самом деле, в табл. 35 н&,
содержится нин:ан:их ун:азаний на скольн:о нибудь б6ш,щую стабiшьностъ..
ядер с Z==82 по сравнению с соседними ядрами.
Ватное свидетельство большей стабильности ядер с маrичесн:имИ числа
'. :ми протонов или нейтронов дает распространенность различных ядер во Bce
ленной. Большая распространенность обычно сопровождается больше&
знерrией связи. Во всех случаях, н:оrда известны значения энерrии связи...
была найдена определенная н:орреляция метду величиной энерrии связВ
и распространенностью. Оказывается, что ядра с' маrичесн:ими числамВ1
нуклонов являются особенно распространенными [526Т.
Ватные ун:азания на маrичесн:ие свойства числа нейтронов N == 126 и чис .
ла протонов Z==82 мотно получить, исходя из величины энерrии С1 частиц.
испущенных нен:отор ыми радиоан:тивными ядрами [49 589, 610]. На фиr. 10&
1) См. таRже М. И. R о Р с у н с R И Й, УФН, 52, 3 (1954); обзор F 1 о w е r в, Progresв.,
in Nuclear Physics, 2, 235 (1952); сБОРНИR «Про@лемы современной Физики», вып. 3;.
(1953). При.м.. перев.
2) См. примечание на стр. 170. При.м.. пepell.
!
.
I
:
. 2
rA. ХIУ. ОБОJUJЧI!чное строение ядер
Таб.4ица 36
Числа стабильных ядер SN и Sz для различных значений величин
N и Z (а-активные ядра считаются стабильными)
с
16
17
18
19
20
21
22
23
24
S N при N == С 3 1 3 О 5 1 3 1 3
S z при Z == с 4 2 3 3 6 1 5 1 4
С 25 26 27 28 29 30 31 32
S N при N == С 1 3 1 5 1 4 1 3
S z при Z == с 1 4 1 5 2 5 2 5
с
47
48
49
50
51
52
53
54
S N при N == С 1 4 6 1 1 4 1 3
S z при Z == с 2 7 10 2 2 8 1 9
С 78 79 80 81 82 83 84 85
S N при N == С 5 1 3 2 7 1 2 2
Sz при Z == с 6 1 7 6 4 1 7
изображена зависимость энерrии С1 частиц от MaccoBoro номера Аматерин.
CHoro ядра [5891. Точн:и, соответствующие одинан:овым Z, на rрафин:е соеди-
нены. Нан: пон:азано в rл. XI, 1 [см. формулу (XI, 1.3)1, можно отидать,
что при фиксированном числе протонов Z энерrия С1 частицы увеличивается
с уменьшением числа нейтронов. Из фиr. 108 видно, что увеличение E
с уменьшением числа нейтронов имеет место дЛЯ А>213. Это увеличение
становится особенно ярко выраженным для Z==85(At) и Z==84(Po), кан: раз
Torдa, н:оrда число нейтронов N достиrает 128, т. е. для At 213 и р0212. В обо
их последних случаях С1 распада дочернее ядро.. имеет N == 126 (маrичесн:ое
число) и потому обладает особенно малой энерrией. Поэтому С1 частицы, ис
пусн:ание I{OTOPblX ведет н: образованию тан:их ядер, должны иметь особенно
большую энерrию. Если же исходное ядро является маrическим (N == 126),
следует отидать малой энерrии С1 частиц, посн:ольн:у распадается ядро с Ma
лой энерrией. Эти сообратения подтвертдаются опытом, что видно на при
мере Р 0 210, At 211 и особенно Bi 209 . Последнее ядро стабильно по отношению
к С1 ра(}паду, в то время н:ан: изотопы с большим числом нейтронов (Bi 210
и Bi211) являются С1 радиоан:тивными.
Имеются тан:же ун:азания на нен:оторое уменьшение энерrии ядер, для
которых N близн:о н: маrичесн:ому числу. Например, значения энерrии C1 pac
пада ядер At 214 и Р0213 необычно велин:и, хотя оба распада ведут н: дочер
ним ядрам с N == 127. Два материнсн:их ядра Р0211 и At 212 С N == 127 дают при
распаде С1 частицы относительно малых энерrий, хотя и не столь малых,
иан: при распаде Р0210 и At 211 (с N == 126). Сходные явления имеют местО
и в том случае, если число протонов в С1 радиоан:тивных ядрах ста новится
маrичесн:им или на единицу превышает маrичесн:ое [298].
Сравнивая значения энеРI'ИИ С1 распада изотопов At (Z =-= 85), Ро (Z==84)
и Bi (Z==83) (см. фиr. 108), мы отмечаем падение этой величины по мере'
приблитения Z н: 83. Это падение он:азывается еще более сильным при Z==82'
посн:ольн:у ни один из изотоцов РЬ (Z==82) не является радиоан:тивным'
Тarшм образом, I{онфиrурация с Z==82 долтна быть особен но стабильной'
о 1. Докааательства наличия .маеических чисел
,
593
Подобное ПOJlожение имеет место и в распаде. Значения полной энер
{'ии С1. перехода необычно велю,и, если ЧИСJIО нейтронов или протонов в нонеч
ном ядре равняется маrичесн:ому [721 J.
Количественное исследование ОТJ\лонений, имеющихся в области маrи
qесних чисел [773, 3521, приводит н: зюшючению, что энерrия ядра с маrиче
сн:им числом нейтронов и протонов меньше средней энерrии подобных л,е
ядер, у IШТОрЫХ, однан:о, ни Z, ни N не являются маrичесн:ими числами
1000
Ag. .1n .Lu
100 Rh..Ag J Lu .Аи
.Sb w. .Н!)'
81". .Те .Pt
Ga: 15 .Мо
"" .Rb
..5 Zn .Вr .Мо Рr
'" O Си I<r .
I Со · .Ni
s? .у La
b .Си .
к. .Мn I{r Се . Се Bi..
. .Ва
.У :81" РЬ.
А Rb Хе
1,0
. Mg Ct
.At
.Na 1 t
0,1 '30
10
Фи r. 125. Сечение радиационноr захвата нейтронов с :лшрrией 1 Мэв' I;aH фУШЩИЯ
числа неитронов в ядре мишени [386].
Ядра с :IIзrпчеСI\ИМП числзмп пеIIТ1JOПОВ. унззанные стрелнзми, обнарушивзют пеобычно малое
сечение ззхвата.
Разница по порядку величины составляет 1 2 Мэв. Тан:ое уменьшешrе MO
жет объяснить наличие при маrичеСI,ИХ числах большоrо числа изотопов
или изотонов, а также флун:туации энерrии С1. распада 1).
Замечательное ДOIшзательство наличия мю'ичесн:их чисел нейтроц.ов
найдено при измерениях сечений радиационноrо захвата неЙтронов. На
фиr. 125 ПОlшзаны реаультаты измерений сечениЙ захвата нейтронов со cpeд
неи энерrией около 1 Мэв [3861. Ясно видно, что ядра cN==50, 82 и 126 имеют
значительно меньшие поперечные сечения, чем среднее аначение сечений
в той же области. Нан: мотно видеть из (IX,2.19), малая величина сечения
ун:азывает на большие расстояния D между уровнями в составном ядре.
н:оторое образуется при захвате неЙтрона.
Подобное же дон:азательство мотет быть получено из рассмотрении
сечений захвата тепловых нейтронов. Формула (IX,2.11) пон:азывает, что
и в этом случае сечения должны быть малы для больших расстояний между
уровнями. Однан:о последнее обстоятельство может быть осложнено случаЙ
1) Однако исследование ЛОУ [492] наводит на неIюторые сомнения в сущеСТВСDi1111111
маrичеСRоrо числа 20.
38 Заназ;М 396
594
.ТА. XIV. Оболоче'Чное строение яде!!
ной близостью резонанса в области тепловых энерrий, в то время как захват
быстрых нейтронов зависит от усреднения по мноrИм резонансам. Следова
тельно, ДOl"азательство, полученное из захвата нейтронОв большой энерrии,
более надежно.
Наблюдаемые сечения захвата теплОВых нейтронОв для ядер с 'маrиче
'СНИМ числом нейтронов являются необычно малыми. Ядра с маrическими
числами протонов ;::;0 (8n) и 82 (РЬ) также дают значительно меньшие сечв
ния захвата, чем соседние по Z ядра. В случае свинца необычно большое
расстояние между уровнями, на которые прОИСХОДИТ захват нейтронов, было
цайдено непосредственно [33].
_ Малое сечение захвата нейтронов и:ак при больших, таи: и при тепловых
энерrиях дон:азывает, что маrичесн:ие числа нейтропов или протонов ядер
мишени связаны с необычно большим расстоянием между уровнями, возни
кающИМИ при захвате нейтрона. Покажем, что большое расстояние между
уровнями в составном ядре можно считать указанием на необычно BЫC()
ную стабильность (большую энерrию связи) яДра ,мишени [394].
На фиr. 126 приведена схема энерrетических уровней cocTaBHoro ядра С,
а танже сумма энерrий ядра мишени Х в основном состоянии и пон:оящеrося
нейтрона. rрафин: подобен употреблявшемуся в диаrраммах работы [379]
(см. фиr. 101): кривая, начинающаяся на уровне Х +п, схемаТИ'lески изобра-
жает еечение захвата нейтрона. Фиr. 126, а соответствует случаю, коrда
ни ядро С, ни ядро Х не являются маrичесн:ими. Фиr. 126, 6 соответствует
случаю, коrда ядро мишени Х имеет маrическое число нейтрОнов. Следова
тельно, предполю'ается, что энерrия этоrо ядра несколько меньше. В то же
время энерrИя CocTaBHoro ядра (н:оторое имеет на один нейтрон больше, чем
ядро Х) не уменьшается. Поэтому уровни cocTaBHoro ядра, на которые захва
тывается нейтрон данной энерrии, отвечают меньшей энерrии возбуждения
и, следовательно, расстояния между ними больше, чем в случае 126, а. Это
приводит и: малому сечению захвата.
На фиr. 126, в показан случай, IШI'да и ядро мишени и составное ядро
являются маrическими. Это имеет место, коrда число протонов маrическое.
Энерrия OCHoBHoro состояния eocTa oro ядра тан:же уменьшается по cpaB
нению со случаем 126, а. Однан:о пр!' этом сумма масс ядра Х и покоящеrося
нейтрона не меняется по сравнени со случаем 126,6. Следовательно, и
в этом случае можно ожидать большоrо расстояния метду уровнями и
малоrо сечения захвата.
Эта арrументация предполаrает, что маrические свойства ядра сказы
ваются только на одном или несколышх низших уровнях. П редполаrается
также, что более вы.сокие уровни не изме1j:'ЯЮТСЯ, т. е. их абсолютная энер
rия заметно не понижается. Доказател етва, полученные из сечений за
хвата нейтронов, а тю"же из HeKoTop IX друrих источников, подтверждают
эту качественную картину. Предположив, что вся система уровней маrиче
CHOI'O ядра передвиrается вниз по энерrии на постоянную величину, мы
пришли бы к совершенно ошибочным зан:лючениям.
Доказательства в подтверждение особой стабильности ядер с маrичесни
ии числами нейтронов или протонов мощно также получить из исследова
ния продуктов распада. Подробности можнО найти в превосходном обзоре
[526]. .
.;
2. ОБОдОЧЕЧНАЯ МОДЕЛЬ ЯДЕР " .
Считают, что замечательные явления, связанные с определенным числом;
протонов и нейтронов в ядрах, указывают на то, что нейтроны и протоны.:!
внутри ядра образуют оболочн:и, подобно элентронам в атомах. Каждая!
оболочна оrраничена определенным мансимальным числом НУЮIOноf
I
=nIIIIIШIJ
Z
JWIllillШIJ
(,t'uN
1 0
1 0
о О
t:I ""
О
a:
, 1,;
s g
. iJ:I
\с) '"
CtI О
'" о"
ф ""О
'" о! ""
a:
t:I" '"
О О"'
e- 1i1
.... ",,,,
...",
8
,-,О
ct! '-'
<i
g
,-,'"
е .s
о =0
t:= ""*
: ;
t; 8
о == i!t
'" S
2.
01if
о I
tt:
I""" I ....
g
::s :<:
ttlg
","
.s е
i:>I о'"
o
""
8.
:.с: о{
s tt:
::r' ; Q.)
g
$ g;;
'" ,-,..
ф <>
>< ISI <:>
U =<>
. $:::1
Ф 31st
0=
r..:
1st а:
e l
,.1"
38*
596
r,л,. XIV. Обмочечное строение ядер
данноrо сорта. Ноrда оболочка заполнена, получающаяся конфиrурация
особенно стабильна и, следовательно, имеет минимальную энерrию.
Все теории, предложенные для описания природы этих оболочек, OCHO
ваны на модели независимых частиц [356, 527, 234, 563]. Предположим, что
нуклоны движутся под действием общеrо потенциала V(r) и взаимодействие
между ними можно рассматривать кан: малое возмущение. Эта модель обсу
ждалась в rл. VII, rде было указано, что ее обоснованность весьма сомни
тельна. Поэтому н:райне удивительным (и до сих пор непонятым) является
то обстоятельство, что эта модель с успехом может быть использована для
объяснения не только rлавных черт явлений, связанных с маrическими чис
'лами, но также и для рассмотрения таких характеристик ядра, как спины,
маrпитные моменты и спен:тры уровней МНОrих ядер.
Существует три различных метода описания обол очечной структуры при
ПОj\fОЩИ модели независимых частиц. Здесь приводится только схема, пред
.тrоженная независимо Хакселом, Зюсом и Иенсеном [356] и М. r. Майер
[527]. Две друrие схемы (Финберrа [234] и Нордrейма [563]) в принципе
подобны первой.
Начнем с предположения, что потенциал V(r) является осцилляторным
потенциалом вида V == V o +ar 2 . 'Уровни в такой потенциальной яме были
рассмотрены в rл. VII (стр. 223). Каждая rруппа вырожденных (имеющих
одну и ту же энерrию) уровней рассматривается как «оболочка». Эти обо
лочки приведены в табл. 36; моменты количества движения, возможные
в каждой оболочке, приведены во втором столбце. Пусть п есть число BЫ
рожденных состояний внутри какой нибудь одной оболочки. Тоrда, СОI'лас
но принципу Паули, эта общrочка может содержать не более 2п нейтронов
и не более 2п протонов.
Следует заметить, что предположение о виде потенциала (осциллятор
ный потенциал) не имеет достаточных оснований. Потенциальная яма,
Rоторая отличается от осцилляторной тем, что становится более плоской
I{ центру и более н:рутой к краям (подобно прямоуrольной яме), также при
водит к оболочкам. Отличие от осцилляторноrо потенциала заключается
только в том, что СЦСТОЯНИЯ, принадлежащие к одной оболочке, но имеющие
раЗl1Ые значения орбитальноrо момента н:оличества движения l, уже не явля
ются CTporo вырожденными, а вырождение оказывается лишь приближен
ным. В этом случае б6льшим значениям l внутри оБОЛОЧI\И соответствуют
меньшие значения энерrии. Порядок, в котором записаны значения вели
чины l для каждой оболочни в табл. 36, соответствует порядку возрастания
энерrии в случае TaKoro измененноrо потенциала.
осцил 1 Число
лнтор
Ilые 1 Термы (lj)
обо в оболочне
лочни
I
1 О SЧ2 2
J( 1 Р3/2' Pll2 б
1II .) О d 512 , d З / 2 . SlJ2 12
,
IV 3, 1 17/2.1"/2. РЗi2. Рl12 :;!о
V 4, ? О g9/ 2 . g7/ 2 . d: 12' d з / 2 , ' l! 30
,
VI 5, 3, 1 h ll / 2 , h 912 , 17/2. 15/2. Рз/ 2 . PJ/ 42
УН 6, 4, 2, О i 1з / 2 , i ll / 2 , g912 И Т. Д. 56
Таблица 36
частиц
по всех
предыдущих
оболочнах,
внлючаff
paCCMa
триваемуlO
2
8
20
40
70
112
168
у,
f} 2. Оболочечnая .модель ядер
597
Третий столбец табл. 36 содержит более подробные обозначения
состояний. Здесь учитывается тот факт, что нун:лоны имеют спиН У2. Каждое
значение l, исн:лючая l==O, дает два состояния (уровня): j==l +У2 и j==l У2.
Для обозначения уровней применяется спектросн:опическая запись. Буква
определяет величину 1, а цифра внизу равна j. Следующий, предпоследний
столбец дает число состояний в каждой оболочке, а последний столбец дае'f
полное числО состояний во всех предыдущИХ оболочн:ах, включая рассматри
ваемую. Из таблицы видно, что числа в последнем столбце для несн:ольних
первых оболочек совпадают с маrическими, но далее соответствие нарушается.
Чтобы получить соответствие для больших маrическиХ' чисел, необхо
димо сделать новое предположение. Предположим, что и.меет .место взаи.мо
действие спина с орбитой, которое расщепляет уровни 1'==l+1/2 и 1'==l 1/2'
у.меньшая энереию тех уровней (j==l+1/2)' в которых спин параллелен орби
тально.му .мо.менту количества движения. Предполаеается, что этот эффект
возрастает с возрастание.Аt ll). Следовательно, уровни, выписанные первыми
для каждой оболочки в табл. 36, понижаются больше остальных. Считается,
что это уменьшение при l==2 становитСя порядка энерrетичесноrо расстоя
ния между двумя соседнимИ оболочками, а при l:> 3 больше этоrо расстоя
ния. Сделав такое предположение, мы получаем новую схему оболочен,
указанную в табл. 37.
Табл,Ulfа 37
Число частиц
во всех
Ядерпые Термы (lj) преДЫДУI1lИХ
оболо'ши оболочне оБОЛОЧН:lХ,
в внлючал
paCCMa
триваемую
/ : 1 2 2
81/2
Il Р3/2. Рl/2 6 8
IIa d 5 / 2 б 14
Ш 81/2, d З / 2 6 20
Ша 17/2 8 28
IV Р3/ 2 , 15/2 Pl/2. g9/2 22 50
V g7/2. d з / 2 , d з / 2 , $1/2. h l1 / 2 32 82
УI h 9 / 2 . 17/2. 15/2' Рз/ 2 , Рl/2, i 13 / 2 44 126
Первые две оболочн:н не изменяются, тан: кан: связь спина с орбитой при
[==1 является слабоЙ. Предполаrается, что уровень d 5 / 2 из третьей оболочки,
понижаясь, оназывается между оболочками 11 и 111. Этот уровень paCCMaT
ривают нак отдельную промежуточную оболо'fКУ, обозначаемую IIа. Пред
полаrается также, что аналоrичнЫЙ эффект вызывает появление оболочки
IIIa между оболочками 111 и IV. Начиная с этой оболочн:и, уровни с большими
значениями l' пони ются настольно, что уже не образуют промежуточной
оболочни и должны быть включены в предыдущую (1болочн:у. Это наблю
дается в табл. 37 для оболочек IV, V и VI. Третий и четвертый столбцы дают
coo eTCTBeHHO число частиц в оболочке и полное число частиц. Последний
столбец полностью воспроизводит маrические числа (1.1), что является пора
зительным успехом этой оболочечной модели.
Табл. 37 позволяет предсказать определенные зан:ономерности в спинах
ядер, если сделать е ще одно предположение [528]: четное число нуклонов
1) Теоретическое рассмотрение этоrо предположения см. [424, 5281.
"
598
rл,. XIV. Обмочечное строение ядер
одина,.;овоео сорта в состоянии с данным j всееда расnолаеается та,.;, что
результирующий спин о,.;азывается равным ну.lю 1 ). Поэтому момент ноличеетвtl
движения любой оболочни с четным заполнением равен нулю, а момент
н:оличества движения любой оболочни с нечетным заполнением должен paB
няться моменту нечетной (непарной) частицы. Таним образом, для ядерных
спинов получается следующий результат: 1==0 при N четном и Z четном;.
если N четно, а Z нечетно или N нечетно, а Z четно, то спин 1 зависит от
числа Снечетных нуiшонов (C := Z В первом случае и C := N во втором случае).
Число С опредеJшет, нание из оболочен: заполнены частично. Если
С <2, то таноЙ оболочной является оболочна 1; если 2<С <8 TO оболочна П
и т, д. Спин ядра может принимать тольно те значения j, ноторые xapaн:
терны для уровпеЙ этой обо.rroчни. Следовательно, при С < 2 можно ожидать
[==1/ , при 2<С<8 1:"=3/2 или 1/2' при 8<С<14 1==5/2 и т. Д.
ЭТО правило довольно хорошо выполняется на опыте. Имеется тольно
три иснлючения: два в оболочне IIа и одно в оболочне IIIa. Два ядра, FlIl и
Na 23 , имеют соответственно спины 1/2 и 3 / 2 вмеСТCJ 5 / 2 . а H)l;PO Мп 55 имеет спин
5/2' а не 7/2' Возможно, В этих случаях понижение уровней d 5 / 2 и 17/2 ОRазЫ
вается недостаточным для рассматривании отдельно оболочеR Па и IП или
оболочен IIla и IV2). Все эти три ядра, составлюощие ИСЮlючение, имеют
нечетное число протонов. Исн:лючений, свнзанных с неtIeтным числом нейтро
нов, не имеется. Замечательно, что при 28< С < 50 отсутствуют ядра со спи
ном 7/2' а при 50<C<82 co спином 9/2'
В табл. 37 уровни перечислены в порядне изменения их энерrий. Этот
ПОрЯДОR дает наилучшее соrласие с ЭRспериментальными данными. Напри
мер, ядро р31 с 15 протонами имее'l иан раз 1 протон в оболочне IП, а все
друrие нунлоны распределены по парам. Следовательно, спин р31 должен
равняться спицу низшеrо состояния оБОЛОЧRИ 111, т. е. j==1/ 2 . По той же при
чине у Si 29 с 15 нейтронами должен наблюдаться спин 1/2' Оба ядра действи
тельно имеют спин 1/2' 'у ядер, у ноторых оболочна IV содержит 1 нечетный
нун:лон, иан, например, у Cи 3, можно ожидать спина 3/2' Неснольно сложнее
положение в оболочне V, rде два нижних уровня g7/ 2 И d 5 / 2 , по видимому,
очень близни друr R друrу. Ядро Sb l2l с 51 протоном (1 протон в оболочн:е У)
имеет спин 5/2' В то время иан Sb 123 с тем же самым числом протонов имеет
спин 7/2'
Rоrда оБОЛОЧRа содержит более одноrо НУRлона, частицы не обязательно
должны заполнять нижние уровни оболочни. Это объясняется наличием тан:
называемой пар ной энереuи отрицательной потенциальной энерrии, связан
ной с парным заполнением уровня. Парная энерrия тем больше, чем больше
величина l, определяющая уровень. Например, ядро АБ75 с 33 протонами,
5 из ноторых находятся в оболочн:е IV, должно иметь спин 5/2' если протоны
заполняют нижние уровни в этой оболочн:е (4 протона на уровне рз/ 2 , 1 на
уровне 15/2)' Однано парная энерrия блаrоприятствует заполнению парой
протонов уровня 15/2 (l==3) и остаВ.ТIяет непарный протон на уровне P3/i'
1) Теоретическое рассмотрение этоrо правила можно найти в работах [528, 615,
448,726]. Это правило можно рассматривать как противоположно правилу Хунда в aTOM
lIЫХ спеI{трах. Правило Хунда указывает, что мулыиплетность caMoro нижнеrо уровня
вну'l;РИ данной конфиrурации наивысшая. Причиной этоrо явnястся существование OT
талкивания между электронами, особенно между электронами, находящимися в анти-
симметричном состоянии по координатам и, следовательно, в симметричном состоянии по
спинам. Ядерные силы представляют собой rлавным образом силы притяжения, и наи
более вероятным состоянием является состояние, симметричное по координатам. Следо-
ватедьно, НИ3Jпее состояние должно быть антисимметричным по спинам. В большинстве
случаев это дает спин-, равный нулю ДJIЯ четноrо числа частиц.
2) Однако маrнитный момент Мп 55 не соrласуется с таким объяснением. Друry18
причину можно искать внекотором смяrчении правила, по IЮТОрОМУ оБОЛОW8
С нечетным заполнением имеет момент количеетва движения непарной частицы 1'108].
s 2. Обмочечна.я .модель ;Дер
599'
Поэтому спин АБ75 равен 3/2' Тан же объясняется величина спина (3/2) У ядер
Br79 и Br 81 (7 протонов в оБОЛJчне IV).
Парная энеР1'ИЯ объясняет тан:же тот фант, что в основном состоянии
ядер не реализуются ВЫСOlше спины: 11 / 2 В оболочне V и 13/2 В оБOJlOчне VJ.
Всеrда энерrетичеСIШ более выrодно поместить на уровни с большимИ l
(соответственно l==6 или 7) пару нун:лонов, а непарный нунлон поместить на
уровень с меньшиМ [. Следовательно, ядра, У ноторых С на неСI,ОЛЬНО единиц
меньше 82 (оболочна V почти полностью заполнена), имеют спин 1/2 или 3/2'
а ие 11 / 2' Разница между значениями llарной энеР1'ИИ для пар с маJIЫМИ и
большими l не очень велин:а. Поэтому состояния, в I,OTOPblX непарный нун:лон
находитсЯ на уровне, харан:теризуемом большим значением спина, лежат
в числе неен:ольн:их первых возбужденных состояний ядра. иноrда при энер
rии возбуждения Bcero в неснолько сот кэв. Дли уровн'я g9/2 (l==5) оболочни
IV парная энерrия не тан существенна, нан: для уровнеЙ 111]/2 и i1З/ 2 оболочен:
V и VI, .вследствие меньшеI'() значения. l в оболочне IV. Пс.этому ереди ядер
с непарными нун:лонами в оБОЛОЧI,е IV имеются ядра со спИном 9/2'
Спин нечетно нечетных ядер не может быть преДCI,азан без ДОllолнитель
ных предположениЙ, ибо необходимu знать, нан:Им образом полныЙ спин
ядра выражается через спины двух нечетных НУНJIОНОВ разноrо сорта.
Неноторые обещающие попытни в этом направлении были сделаны в работе
1565].
Оболочечная модель предсн:азывает танже величины маrнИТНЫХ MOMeH
тов для четно нечетных и нечеТIfO четных ядер. Ранее было сделано предполо
жение, что момент ноличества движения обязан ТОЛЫ,О последнему нечетному
нунлону, спИны же всех остальных нунлонов попарно номпенсируются. ПОЭТО
му весь маrнитныЙ момент ядра танже должен определяться одним непарным
нунлоном. rиромаrнитное отношение g для маrнитнЫХ моментов, обязанных
орбитальному движению и спину отдельной частИЦЫ в центральном поле
(модель Шмидта), было выведено в rл. 1 [см. (1, 7.54) и (1, 7.55)]. Для дaH
Horo значения полноrо момента ноличества движения / возможны два значения
величины g соответственно двум возможным ориентациям спина 8 и орбиталь
Horo момента l: l +8==1 или [ 8==1. Понажем, что оболочечная модель ядра
ун:азывает, наная из этих двух возможностей осуществляется для данноrо /.
В этой модели полны!.\: спин ядра / равен значению j нсчетноrо нунлона.
Из таба. 37 BIlДHO, что в наждой оБОЛОЧI,е наждому значению j соответствует
тольно одно зна(lение 1 (обозначенное БУlшами 8, р, d, I и т. д.). Например,
,ядро, для HOToporo величина С (нечетное число нунлонов) относится 1, обо
-лочне IV (28<С<50) и спин /==3/2' должно иметь орбитальный момент 1==1
(p ypOBeHЬ; спин параллелен орбитаJIЬНОМУ моменту), а не [==2 (d ypo
вень; спин антипараШIелен орбитальному моменту), таи нан в оболочне IV
уровень dЗ/2 отсутствует. Следовательно, наблюдаемое значение 1 определяет
орбитальный момент [, и для вычисления rиромаrнитноrо отношения g можно
использовать формулы (1,7.54) или (1,7.55) с gL==1 для ядер, нечетныХ по
протонам, и с gL==O для ядер, нечетныХ по нейтронам.
Результаты этих вычислений не очень хорошо совпадают с наблюде
НIIЯМИ. В rл. 1 УI,азываJIОСЬ, что наблюдаемые значении маrнИТНЫХ моментоВ.
не совпадают ни с ОЩIИМ .из двух возможных значениЙ, предсназываемых
моделью UIмидта. ОНИ всеrда лежат rде нибудь между этими двумя теорети
чесни найденНЫМИ значениямИ. Этот результат трудно понять с ТОЧIШ зрения
оболочечной модели. Противоречие особенно трудно объяснить для ядер,
в ноторых число протонов на единицу больше маrичесноrо, например CU 83
(Z==29), Sb 12 \ Sb 123 (Z==51). В этом случае можно ожидать, что замн:нутые
оболочни с маrичесним числом протонов сферичесни симметричны и, следо
вательно, маrнитныЙ момент обусловливается иснлючительно' одним допол
нительнЫМ протоном. Следовательно, величинЫ, даваемые моделью Шмидта,
800
Fл,. XIV. Обол,очечное строение лоер
ДОЛЖНЫ В этом случае лучше соответствовать наблюдаемым. Однако это не
имеет места в действительности 1 ).
Если несколько ослабить точные требования теории, можно следующим
путем проверить предсказания оболочечной теории. Вообще rоворя, наблю
даемые величины маrнитных моментов лежат ближе н: одной из двух теорети
чесн:и вычисленных величин. Это обстоятельство можно интерпретировать
как УIl:азание на взаимную ориентацию спина и орбиталыlrоo момента.
Если наблюдаQмая величина лежит блите к теоретичесн:ому значению,
соответствующему /==l+s, то предполю'ается, что l==/ s, и наоборот. Это
(шриБJIИжеlfное» определение l является сомнительным, тан: кан: модель Шмидта
не ДОПУСlшет наличия друrих промежуточных значениЙ между двумя пред
сказываемыми значениями маrнитных мОментов. Смесь н:вантовых состоя
ний, которые соответствуют двум возможным взаимным ориентациям l и s,
исключена в силу противоположной четности этих двух состояний [515].
Соrласно [5281, величина l может быть определена этим методом IIрибли
зительно для 50 ядер с нечетными числами неЙтронов или протонов. Заме
чательно, что это приближенное определение l почти ПОЛНОСтью совпадает
с предсназапиями оболочечной модели. Майер [5281 ПOIшзала, что результи
рующие значения l являются нан раз теми, которые предсназываются по
спинам / для всех ядер с нечетным числом нейтронов и ДJIЯ всех (I{роме двух)
ядер с нечеТIIЫМ числом протонов. Исключение составляют ядро УЬ173,
I{OTOpOe должно было бы иметь l==3, но имеет маrнитный момент, более близ
IШЙ Н l==2, и ядро Еи 15 1, которое должно было бы иметь l==2, но имеет l==3.
Изучение маrнитных моментов ядер вснрывает друrое замечательное
явление. Хотя значения маrнитных моментов ТОльно BeCЬM приближенно
соответствуют предсн:азаниям оболочечной МОДели, иноrда имеется почти
пОлное совпадение маrнитных моментов для пар или трою{ изотопов С paB
ными СJIинами, отличающихся друr от друrа пароЙ нейтронов.' 'Укажем
эти rруппы: A g 107 и Ag109; СБ 133 , СБ 135 И CS137j Т12ОЗ И '1'1205; In 113 и In 1l5 . COBe.p
шенно независимо от объяснения действительной величины маrнитноrо
момента это явление свидетельствует о том, что добавление двух нейтронов
У{ ядру не изменяет распределения протонов, определяющоrо маrнитный
момент этих ядер. Этот фан:т трудно понять иначе, чем на основе модели неза
висимых частиц, в начестве rрубоrо первоrо приближения.
Имоются друrие примеры случаев, в I{ОТОРЫХ добавление двух неЙтронов
оставляет некоторые свойства ядра неизмещ:!ыми: каждый из двух изотопов
серебра Ag107 и A g 109 имеет изомерное состояние с почти одинановыми зна
ченинми эперrии возбутдения и времени жизни, хотя эти изотопы отличают-
ся двумя неЙтронами. Два изотопа индия In 1l3 и In 1l5 имеют не тольн:о оди
нановые маrнитные моменты, но тан:же одинаковые квадрупольные моменты
и изомерные уровни. Все три ядра Ре 56 , Ре 58 и Cr 54 имеют возбужденное co
стояние с энеР1'иеЙ возбуждения830::f:J5 кЭе [J93]. Эти ядра Отличаются парой
нейтронов или протонов. Подобные примеры существенно поддерживают
представление о наличии внутри ядра Относительно независимоrо движения
частиц. Приписывание в оболu'IOЧНОЙ модели определенных значений l для
ядер, нечетных по протонам ИJIИ нейтронам, может быть использовано в Teo
рии распада. Вероятность paCllaдa зависит от разности спинов распа
дающеrося и нонечноrо ядер. ПреДСI{аqание величины матричноrо ::темента,
входящеrо в вероятность распада, значительно уточняется, если известна
не ТОльн:о разпость спинов, но и разность орбитальных моментов количе
( ства движения l И ХОДноrо и н:онечноrо ядер (см. rл. XIIТ, 7). Следователь
но, определение l по полному спину / при помощи оболочечноЙ модели может
быть проверено сравнением результатов вычисления вероятностей распада
1) ПОПЫТI\И объяснения см. в работах [263, 85, 86, 83, 192].
9 2. 060.10'Че'!ная мооель ядер
601
с ЭI{спериментальными данными. Эта проверка была проделана в работах
[528, 529, 564, 565] и поназала, что результаты оболочечной теории Haxo
,цятся в хорошем соrласии с экспериментом.
В частности, значительным успехом является то, чтv при помощи обо
лочечных теорий удалось предсказать запрещенный харю{тер спектра
нен:оторых переходов. Это преДСI{азание зависит от Toro, кание значения
орбитальноrо момента I{оличества движения l приписываются двум уча
ствующим в распаде ядрам. Значение l для стабильноrо ядра (нонечное
ядро) получается путем измерения маrнитноrо момента, но нахт дение зна
чения l для исходноrо, нестабильноrо ядра представляет собои серьезное'
испытание для оболочечной модели!).
Оболочечная модель объясняет также тот фюп, что почти все изомер
ные состояния с большим временем жизни обнаружены у ядер, у которых
N или Z соответствуют почти достроенной оболочке (см. rл. ХII). Большин
ство таких ядер находится в области значений N или Z от 39 до 49 или
от 69 до 81 [563, 234J.
Эти (<остроВIШ изомеров» можно объяснить следующим образом. YpOB
ни в одной оболочн:е мало отличаются по энерrии. Переход из OCHOBHOl'O
состояния В первое возбужденное состояние, повидимому, соответствует
переходу (шечетноrо» НУlшона с одноrо уровня незаполненнОЙ оболочки
на друrой в той же самой оБОЛОЧI{е. Можно ожидать, что эти l1ерехоДЫ свя
заны с большим изменением спина, если соответствующие уровни в оБОJIОЧ
ке имеют сильно отличающиеся значения j. Основываясь на том порядне
уровней, I{ОТОРЫЙ дан в табл. 37, мы видим, что это имеет место в конце
оболочен IV (pl/2 и g9/ 2 ), V (Sl/2 и h ll / 2 ) и VI(PlJ2 и i13fz). ОС1'ровни изомеров
должны встречаться тоrда, коrда заполнение оболочни достиrает этих уровней.
Это происходит в об.оло ше IV (между 39 и 49), а таюне в оБОЛОЧI{е V (между 69
и 81). rруппа изомеров, соответствующих оБОЛОЧI{е УI (N или Z между 111
и 125), не очень велика и не так резно выражена, НЮ{ две друrие rруппы.
Эта схема также дает метод предсназания спина 1 и четности изомерных
'-\остояний [528, 20, 308, 543].
Рассмотрим, например, ядро In 115 . Оно содержит 49 протонов на один
меньше, чем полная оболочна IV. Основное состояние In 115 имеет спин 9/2'
Это уназывает на то, что в оболочп:е IV имеется свободное место на высшом
уровне g9/ 2 .-Тю{ое состояние имеет положительную четность (l == 4). Предпо
лаrается, что первое возбужденное состояние есть состояние, в котором
свободноо место имеется на более низном уровне РЧz' Таное состояние будет
1) На первый взrляд Iшжется странныы, что этот успех оболочечных ыоделей не за'
висит от IШНI,ретнOI'О вида ыодели. Модели Финберrа [234], Нордrсйыа [563] и М. Майер
(527) (последняя в точности подобна ыодели Хаксела [356)) n деталях совершенно отлич
ны друr от друrа. Теы не менее все три модели, насколько позволяет об этом судить ана-
лиз данных -распада, приводят к одинаковыы преДCIшзанияы во всех случаях за немно-
\'ими исключениями.
Причина этоrо, повидимому, лежит в том, что можно получить почти Та!{ое же хоро-
шее соrласие с данными [1-распада для ядер с нечетныы ыассовым номером при помощи сле-
дующих простых правил, которые не зависят от КОlшретноrо вида оболочечной модели ядра:
1) каждое ядро в основном состоянии характеризуется, кроме llолноrо момента
количества движения 1 и четности П, Iшантовым числом 'Орбитальноrо момента Iюличе-
ства движения I и Iшантовым числоы спина S 1!2;
2) эти величины зависят только от числа С нечетных нуклонов' Та!ШМ образом
I(C) может быть найдено исследованием любоrо одноrо стабнльноrо ядра с числом С не:
'JeTHblx нуклонов, для KOToporo спин измерен экспериментаlIЫIO;
3) величина L и четность для I{аждоrо С находятся сравнением известноrо маrнит-
поrо момента HeKoToporo ядра, имеющеrо такое же число С нечетных нуклонов с резуль-
татами модели Шмидта. Это сравнение дает l L и четность П (C) ( i)L.
Вследствие Toro, что все три модели построены так, чтобы дать соrласие с этими
uравилами, они естественно дают одинаковые предсказания по -распаду.
602
rA. XIV. ОБОАочечное строение ядер
иеt1(1ТНЫМ со спином 1/2' следователыl,, можно ожидать изомерных переходов
типа М4 из этоrо состояния (см. rл. ХII, 6), что соrласуется с энсперимен
тами, результаты ноторых приведены в табл. 25.
В I\ачестве друrOl'О примера рассмотрим ядра с нечетным числом нейтро
нов N в области 67 N 81. У таних, ядер первые два уровня оболочни V
заполнены и имеется еще не менее трех нейтроноВ, ноторые размещаются
на уровнях 81/2' dЗ/ 2 И 1111/2' В основном состоянии уровень hЩ2 заполняется
парами нунлонов вследствие большоЙ парной энерrии. Следовательно, ос":..
новное состояние этих ядер имеет спин 1/2 или 3/2 И является четным. Можно
предполаrать наличие следующих двух возбужденных состояний: четное
состояние со спином 3/2 или 1/2 соответственно и высшее нечетное состояние
со спином 11/2' получающеесн в том случае, ноrда нечетный нейтрон находится
на уровне hll/ 2 . Тюшм образом, если спин OCHoBHoro состояния равен 1,/2' то
можнО ожидать, что будет иметь CTO переход М4 с уровня h llJ2 на уровень
dЗ/2' сопровождаемый маrнитным дипольным переходом с уровня d З / 2 В oc
новное состояние на уровень 81/2' У ядер рассматриваемоЙ rруппы наблю
дается спен:тр именнО тю,оrо типа. Каждое из ядер 8n l17 , 8n 119 , Те 12 1, Те 123 ,
Те 125 и Хе 129 имеет в основном состоянии 1==1/2' В первом возбужденном.со
стоянии 1==3/2 и во втором возбужденном состоянии 1==11/2' При переходе
испусн:ается излучение типа М4, сопровождаемое излучением типа М1 [3081..
Эти примеры поназывают успех оболочечной модели в интерпретации ядер
ных спен:тров. ОНИ тю,же уназывают на большое сходсrво спентров ядер,
отличающихся парой нейтронов или протонов.
Одню,о имеются весн:ие уназания на то, что неноторые правила оболо ,
чечноЙ модели должны быть в отдельных случаях изменены, для объясне
ния неноторых изомерных переходов. В частности, нечетное число частиц
в оболочн:е не всеrда дает полный момент ноличества движения, равный
величине j непарноrо нунлона. Например, первое возбужденное состояние
ядра A g I07 имеет спин 7/ [308], хотя в оболочне, в нотороЙ находится не-
парный нунлон (оболочн:а IV), это значение не содержится. Поэтому считают,
что 3 нунлона на уровне gЗ/ 2 дают полный момент ноличества движения не
J==j==9/ 2 , а J==7/ 2 . Этот результат не является неожиданным, тан нан систе
ма, состоящая из трех частиц, наждая из ноторых имеет j == 9/2' може'l
обладать полным моментом, лежащим в широной области значений. Однан:о
это противоречит правилу , по IШТОрОМУ спины всех пар нунлонов, находящих
ся в нижних состояниях, взаимно номпенсируются. Тан:ое правило приводит
н значению момента ноличества движения J == j. Удивительно, что это правило
нар ушается тан: редн:о, хотя полный момент ноличества движения J может при
'нимать MHoro значений при заданных моментах j нунлонов на одном уровне.
В зюшючение обсудим связь между ядерными нвадрупольными MOMeH
тами и оболочечным строением ядер [316, 371, 748]. lllмидт[667] впервые
отметил определенную зан:ономерность в изменении I,вадрупольпых моментов
ядер Q. Эта зю,ономерность поназана на фиr. 127. квадруполыIеe моменты
имеют большие зпачения, I,оrда Z дален:о от маrичеСНОI'О числа, и относи
тельно малы, ноrда Z близно н маrичеСRОМУ числу. Были уназания на подоб '
ную же зависимость от N, однано последняя не установлена. Коrда Z нfЭ
MHoro превышает маrичесн:ое число, Q отрицательно, ноrда же Z HeMHoro
меньше маrичесноrо числа, Q ПОЛОЖiliтельно.
Модель независим х частиц наводит HI1. мысль, что мы моrли бы при
писать асимметричность заряда последнему, нечетному протону, в то время
нан все llарные НУIШОНЫ, ноторые образуют сердцевину ядра, расположены
сферичеСIШ симметрично. В этом случае нвадрупольные моменты ядер с нече'l'
ным числом нейтронОв должны обращаться в нуль или быть очень малыми,
а моменты ядер с нечетным числом протонов должны быть порядна HBaДP1
польноrо момента одной частицы в состоянии с орбитальным моментом НОЛИ
-
2. Оболочечная .модмь яоер
чества движения l и полным моментом ноличества движения 1. ПоследняЯ
величина имеет вид
Q == 2/ 1 2 R 2
2/ + 2 е ,
rде R средняя радиальная протяженность волнОВОЙ
(2.1)
фУННЦИИ [51,787].
70
176
Lu
о
9
LU 1 '75 Та'81
в
7
6
уь'71
х
'" .5
........
'"''' 4
0'7
<;?
З
.....
'-'"
Re'85
Re t87
2
\
\
\
.. \
,
1
"
"
1
2
о Sb'23
"\,
-,',>
з
о
Фи r. 127. Точки на rрафИR( дают квадрупольные моменты ндер, деJI8нные па нвадрат
их радиуса, R2==1,5.10', 13АlJз. l{ваДРУ110льные моыенты ндер с нечетным числом про ,
тонов (исключая IJi 6 и l.p6) обозначается КРУllшами и их абсцисса дает число протонов
в этих ядрах. l{вадрупольные ыоменты ядер с печетным ЧИСJ10М пейтронов и четным
числом протонов обозначаются крестинами и их абсцисса дает число нейтронов. Стрелни
указывают заполненные rлаВ!lые нунлонные об.олочни. Сплошная Rривап проведена
через область, l'де сведения, повидимому, ЯПJIЯЮТСЯ надежныМИ, пунктирная Rривая,
опрведена в области более соынптельных данных [7/18].
Выражение (2.1) не совпадает с энспериментальными данными. KBaдpy
польный момент обычно значительно больше, чем (2.1), и отнюдь не всеrда
{)трицателеп. Чтобы объяснить большие !{вадрупольные моменты, тание,
нан: у ядрр LU 175 или Та 18 1, нообходимо предположить, что, по нрайней Me
ре, 30 протонов находятся в несимметричнuм нвантовом состоянии.
Поэтому весьма вероятно, что форма ядра нан целоrо ОТIшоняется от
<:феричесной. В этом случае Нf'четные чаС"lИЦЫ в нечетных ядрах движутся
R сферичеСRИ несимметричном поле, и основания для неноторых схем ypOB
ней отпадают [85, 86]. Более детальные вычисления ([618] и М. Майер,
603
604
r л,. XIV. Оболочечное строение яДер
не опубликовано) показывают, что тан:ая модель действительно мотет объ
ЯСНИТЬ знапи и ПОрЯДКИ величин наблюдаемых квадрупольных моментов
93. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЛ
Большой успех оболочечной модеЩI ядер крайне удивителен и до сих
пор не понят с точки зрения имеющихся знаний о ядерных силах и дина
МИI\е ядер. В rл. VII, 3, на основе имеющейся теории ядерных сил были при
ведены соображения, соrласно которым модель независпмых частиц является
весьма' rрубой моделью.
'Уназания на существование оболочек не только rоворят о справедливо
сти тю,ой модели, но танже обосновывают некоторые из ее выводов при
помощи нонкретной формы потенциала V(r), общеrо для всех нуклонов.
Чтобы получить оболочки типов, указанных в табл. 37, ЭТОТ потенциал
долтен иметь промежуточную форму между осцилляторным потенциалом
и прямоуrольной ямой.
Требование отсутствия эффективноrо взаимодействия между нуклона
ми, необходимое для обоснования модели независимых частиц, н:ажется
наиболее существенно наРУШaIСЩИМ наши представления о ядре. Существо
вание в ядре орбит с хорошо определенными квантовыми числами возможно
только в том случае, если нуклон мож т совершить несr{QЛЬНО «обращений»
по орбите прежде, чем ero ДВШIЮllие будет возмущено соседними нукло
нами. Только Torдa, кан пон:азано в rл. VIII, 7, ширина уровня будет
меньше расстояния между соседними уровнями. Следовательно, модель
независимых частиц справедлива тольно при условии, что средний эффек
тивный свободный пробеr нуклона в ядерном веществе больше размеров
ядра. Может 1I0казаться, что такое требование противоречит предположе
ниям, сделанным в теории cocTaBHo1'0 ядра (см. rл. VIII, 3). Изучение
ядерных реакций показало, что нуклон, попав в ядро, быстро передает
свою энерrию друrим нуклонам.
Неожиданное проявление оболочечной структуры ядра поставило сле
дующий основной вопрос относительно природы ядерных сил. Можно ли
объяснить энспериментальные результаты на основе Toro же caMoro взаимо
действия между нунлонами, которое прииималось до сих пор? Это взаимо
действие харантеризуется большими коротнодействующими силами ча
стично обменноrо характера. Оно подтверждается энспериментами по pac
сеянию отдельных частиц, несмотря на то, что интерпретация взаимодей
ствия при больших энерrиях в значительной мере затруднена (см. rл. IV).
Не rоворит ли фю,т наличия оболочек о необходимости новых предположе
. ний о взаимодеЙствии между нун:лонами, плотно упакованными в ядерной
материи, которые бы отличались от предположений о взаимодействии между
отдельными нуrшонами? Индивидуальное взаимодействие может ослабляться
(например, коrда плотность нуклонов достиrает ядерной плотности)
до такой степени, что остается только потенциал, усредненный по всем ча
. стицам, без силЬноrо взаимодействия между отдельными частипами. Воз
можно, что HeI{QTopble подобные изменения в наших представлениях о ядер
ных взаимодействиях свидетельствуют о неудаче попытки объяснить Hacы
щение ядерных сил и плотность ядерной материи при помощи потенциалов,
Взятых из рассеяния (см. rл. IV). С друrОlr стороны, сведения, полученные
из ядерных реакций, противоречат любым доназательствам слабоrо взаимо
действия между нуклонами в ядре. Мы сталкиваемся здесь с одной из OCHOB
HЫX проблем строения ядра, которая до сих пор еще не разрешена.
Может оказаться существенным, что доназательства наличия оболо
чечной структуры базируются исключительно на свойствах основных и
слабо возбутденных состояний ядер. Рассматривая вопросы стабильности.
ОБО8наченuя
605
мы имеем дело с энерrией OCHoBHoro состояния. Захват нейтронов дает CBe ""
дения об энерrии OCHoBHoro состояния ядра мишени. Спин, маrнИтный MO
мент, а также нвадруiIольный момент являются свойствами OCHoBHoro co
стояния. В противоположность этому, сведения о сильных взаимодействиях
получают из ядерных реакций, которые обусловливаются свойствами co
CTaBHoro ядра, всеrда образующеrося в сильно возбужденном состоянии.
Энерrия возбуждения cocTaBHoro ядра равна, по нрайней мере, энерrии OT
деления кан:ой либо частицы (::;: 8 Мэе).
Это обстоятельство свидетеJIьствует о том, что указания на оболочеч
ную структуру ядер не обязательно противоречат данным о сильном взаимо
действии. Возможно, что, несмотря на сильное взаимодействие, движение
отдельной частицы в .основном состоянии возмущено относительно слабо.
Принцип Паули- препiпствует обмену энерrией и импульсом между двумя
нуклонами, если все нуклоны находятся на низших возможных уровнях,
тан: иак все состояния, ноторые MorYT вознинать при обмене, уже заполнены.
Следовательно, сильное взаимодействие при малой энерrии возбуждения
может оказаться мало эффективным, и модель независимых частиц может
получить некоторое обоснование. Н'оrда ядро сильно возбуждено, нуклоны
MorYT передавать друr друrу энерrию и импульс, и ядра MorYT проявлять
свойства, характерные для сильноrо взаимодействия, сопровождающеrося
обменом энерrии между нуклонами. Остается еще дон:азать достаточность
,этоrо эффекта для существования независимых орбит в нижних СОСТОШIИях
ядер, несмотря на наJlичие СИЛЬНOl'О взаимодействия l ).
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а коэффициент в выражении для ОСЦИJJ.1JЯТОрНОI'О потеНЦIlaJIa V (1') == V 0+ аТ2
( 2).
А MaCCOJJOe число ( 1).
с COCTaBHoe ядро ( 1).
С число НУ.Iшонов даннOI'О типа (НСЙТрОНОJJ ИJIИ протонов) ( 1).
С число нечетных нуклонов в чеТlIO нечетном или нечетно четном ядре ( 2).
<! заряд протона (2.1).
g rиромаrнитное отношение для ядра; см. танже rл. 1, 7 ( 2).
gL rиромаrнитное отношение, связанное с орбитальным ДJJижением; см. таиже
i
rл. 1, 7 ( 2).
Iшантовое число полноrо момента НО:JИ'Jества движения ядра в ero основном
состоянии (спин ядра) ( 2).
квантовое число полноrо момента КОJlичества движения нуrшона внутри
ядра (9 2).
нвантовое чис:ю l\lOl\IeHTa количеСТJJа
число состояний отдельных нуклонов
«оболочки») (9 2).
N число нейтронов в ядре (9 1).
Q электрический квадрупольный момент ядра; см. также rл. 1, 7 (2.1).
l' расстояние нуклона от центра ядра (9,2).
R средНЯЯ протяженность волновой функции протона (2.1).
S N число различнЫХ стабильных ядер с N нейтронами (И30ТОНОВ) ( 1).
S z число различных стабильных ядер с Z протонами (изотопов) ( 1).
V==V (r) потенциал, действующий на нуrшон внутри ядра ( 2).
V, значение V (1') при 1'==0 (в центре ядра) (9 2).
Х ядро мишени при ядерной реакции ( 1).
Z число протон ов в ядре (9 1).
1) Движение электрона в твердой кристаллической решетке дает поучительную ана-
лоrию этому явлению; см. [781, 782] [см. также приложение III. Прuм. перев.]
движения нуююна внутри ядра (9 2).
с одинаконой энерrией (внутри одной
1
п
.
Приложение 1
ОПЕРАТОРЫ МОМЕНТА RОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИИ
И СОБСТВЕННЫЕ ФУНRЦИИ
э 1. ВРАЩЕНИЛ И МОМЕНТЫ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЛ
.
\
Если уравнения движения инва риантны по отношению к вращениям
системы координат, то нак в н:лассичесной, тан и в квантовой механин:е
момент н:оличества движения системы сохраняется. Это верно для любой
замннутой системы, например для ядра. Но это утверждение несправедливо
для системы, находящейся под действием внешних сил, например таких,
н:ан: внешнее элентрическое или маrнитное поля (н:оторые создают в про
странство выделенное направление).
Пусть tf (х, у, z) является решением волновоrо уравнения для одной
частицы. Если волновое уравнение инвариантно относительно вращения,'
сн:ажем, BOHpyr оси z, то полученная II результате вращения фуннция
tf'(x, у, z)==tf(xcos{} .ysin{}, ycoS{} XSiIl{}, z) (1.1)
танже будет решением волновоrо уравнения, так нак различие между С{)
и tf' определяется только поворотом системы н:оординат BOHpyr 'оси z на
уrол {}. Как известно, разность двух решений линейноrо однородноrо диф
ференциальноrо уравнения танже, является решением этоrо уравнения.
Считая {} бесконечно малой величиной, получим
, " ( a'f a'f ) ''' L
tf tf == 1J У дх х ау == l1J Н.
(1.2)
Определенный этим равенством оператор Lz представляет собой Н:BaHTOBO
механический оператор момента н:оличества движения, выраженный в еди
ницах п. Таним образом, доказано, что LH является решением волновоrо
уравнения, если tf есть решение этоrо уравнения и если это уравнение
инвариантно относительно вращения системы ноординат. Следовательно,
Lz номмутирует с rамильтонианом Н,
Леrно распространить полученные результаты на системы, содержащие
более одной частицЫ, В этом случае оператор момента ноличества двитевиЯ
системы Lz представляет собой сумму операторов моментов ноличества дви
жения отдельных частиц.
Вращения около осей х и у дают соответственно операторы момента
нрличества двитения Lx и Ly, Три составляющие вентора L удовлетворяют
правилам порестановки
LxLy LyLX == iLz, ..., (1.3)
rде точни заменяют еще два уравнения, получающиеся из (1.3) цинлическоii
перестановкой инденсов, Эти праВИJIа определяют основные свойства опера
торов момента ноличества движения, т, е. любой вентор J, составляющnе
KOToporo J x , J y , Jz удовлетворяют правилам перестановки (1.3), может быть
интерпретирован нан: момент ПОJlичества двитения. Вентор J M тeT быть
2. Сферuчесн:ие еар.монин:и
оператором, действующиМ на произвольный набор пространственных или
IПИНОВЫХ координат одной или нескольких частиц.
Используя одни лишь правила перестановни, можно чисто алrебраиче
сшим путем получить рЯД важных соотношений (см. [635], rл. XHI, или
[160], rл. HI). J2 номмутирует с Jz, и можно показать, ЧТО' собственные
sначениЯ J2 имеют вид j (j + 1), rде j целое или полуцелое число, а соб
ственные значения Jz равны т == j, j 1, j 2, ..., j.
Кроме Toro, если обозначить через У jm любую фУИIщию, являющуюсн
одновременно собственной фуннцией операторов J2 и Jz, соответственно
I собственными значениями j (j + 1) и т, то имеют место следующие COOT
Iilошения 1):
(Jx f iJy)Yjm==V(j т)и т 1)Yj,m+l,
(Jx iJ y ) Y jт == уи + т) (j т+ 1) Yj, т l'
Здесь У jm есть фуннция от тех переменных, на Jюторые действует оператор J.
s 2. СФЕРИЧЕСКИЕ r АрмоНИRИ
Возьмем теперь в начестве оператора J 'диф еренциальный оператор I .
Последний может быть' записан в виде
L == i
z аФ ,
L . L :нФ ( д 1 . t (j д )
x ::!: L у е ::!: д6 r L с g u дф .
Трrда фУИIщии Y jm совпадают со сферичесними rармонинами. Действительно,
еферичесние rаРМОНИIШ Y 1m (в, ф) определяются кан нормированные собствен
ные фуннции операторов L2 и Lz одновременно, соответственно с собствен
ными значениями 1 (l..JI 1) и т. Сферическая rармонина с т == l удовле
творяет дифференциальным уравнениям LzY == lY и (Lx iLy) У == О.
Нормированное решение этих двух уравнений имеет вид
У ( 6 ф) "1i(2l+1)!I ( . 6 ) 1 ilФ
1, 1, V 4" (2l) 11 sш е. ,
rде ('двойной фанториал» п!! определяется следующим образом:
пl! == 2.4.6
п!! == 1.3.5
п
для четных п,
для нечетных п.
п
Полуц лые значения l не дают приемлемых решений, так нан в этом
случае имеют место токи вероятности, текущие от одноrо полюса сферы
н друrому, причем один полюс служит источникоМ тока вероятности,
а друrой с током 2).
1) Алrебраический вывод этих соотношений приводит к появлению в (1.4) неопреде-
ленноrо фазовоrо множителя. В соrласии с Нондоном и Шортли [160] и Виrнером [8001 .
выбирается знак плюс, поскольку эти авторы приводят точные выражения для коэффи-
циентов RЛ(бша Жордана. Наоборот, Бете [51 ],УПОТРЕбляет знак минус. Таким образом,
наши сферические rармоники для четных т совпадают с употребляемыми [51], а для не-,
,четных т противоположны им по знаку.
2) Обычная арrументация состоит в следующем: 1) Yl m С полуцелым l не однозначны
и 2) некоторые И3 НИХ ИМЕЮТ особенности у полюсов сферы. Первый apl'YMeHT ошибочен,
так как мноrозначные волновые функции не MorYT быть исключены заранее. Только фи
вически измеримые величины, такие, как плотности вероятности и математические ожи-
JJ;ания операторов, должны быть однозначными. Двухзначные волновые функции УПG-
требляются в теории частиц со спином. Второй aprYMeHT является непоЛВЫМ, так как,
наПР,имер, (2.2) не имеет особенностей в случае (==1/ 2 .
6-:'1
(1.4)
(2.1)
(2.2)
(2,.3)
008
При.аоженuе 1. Операторы .момента н;о.аuчества овиженuя,
Оrраничиваясь целыми значениями l, можно найти остальные сфериче
ние rармонини У/т из (2.2) последовательным умнотением на оператор
Lx+ iLy, соrласно (1.4), Ре зультат мож ет быть выражен в виде
У ( 6 ф ) ( 1)l+т V (21+1)(I т)! . в ) т dlrffi ( ", в ) 2! iтФ (2.4)
/т' (21) 11 47t(l+m)! (SШ (dcos8)lr m сШ е .
:Эти фующии удовлеТВОРЯIОТ соотношению
. пт == ( 1)т Y 1 , т.
Они следующим образом связаны с полиномами Лежандра:
Р ! (СОБ в) == V 214: 1 Y l . 0(6). (2.5)
Сферические rармонини У/т (в, ф) образуют полный набор фуннций на
сфере единичноrо радиуса. Это означает, что любая фуннция с интеrрируе
мым нвадратом (по всем сферичесним уrлам) может быть записана в виде
линейной номбинации сферичесних rармонин.
Кроме Toro, сферичесние rармонини образуют 9ртонормированную систему
фуннциЙ
Yt lll Уl' т' dQ == Отт' Ош,
(2.6)
I'де интеrрирование распространяется по всему телесному уrлу.
Нанонец, упомянем о теореме сложения сферичесних rаРМОJ;IИН (для
-справон: см. [160] или [51]). Пусть 6, Ф и в'ф' ДBe точни на единичной
сфере, а а yrOJl метду радиусами, проведенныии в эти точни. Тоrда Teo
рема сложения rласит, что
/
Y/,0(a)Yl.0(0)==V 214 1 Yl,0(a)== Пт(6, ф)уlт(в', ф'). (2.7)
т== !
s 3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСНИХ ВОЛН ПО СФЕРИЧЕСI(ИМ rАРМОНИИАМ
Волновая функция плоской волны с волновым числом k, распространяlO
щейс.я в положительном направлении вдоль оси z, имеет вид
e ikz == eikr СОВ е.
Эта фуннция может быть разложена в ряд по сферическим rармонинам.
Тан: нан она не зависит от азимутальноrо уrла ф, то в разложение войдут
1"ОЛЫЮ сферические rармонини Y l , О (в) с т == О. Используя (2.6), получаем
OJ
e ikz == Lj А/ (r) Y l , 0(6),
/==0
Аl (r) == Yt О (в) e ikr сов е dQ,
rде интеI'рирование производится по вс"ему телесному УI'ЛУ (но не по радиаль
.ной ноординате r). Коэффициент А! (r) может быть следующим образом
выражен через фун нции Бес селя:
А/ (r) == i l V 4'1t (2Н 1) i/ (kr) == i 1 V 4'1t (2Н 1) V 2;т J 1 + lJ2 (kr), (3.2)
rде J л (z) фуннция Бес селя первоrо рода порядна л, определенная в [409]
или в [795], а jl(z) == V'lt/2zJI+lJ2(Z) TaH называемая «сферичесная фунн:
ция БессеJШ» первоrо рода порядка l. Часто представляет интерес асимпто
. тическое поведение il (kr) при больших и Ma.'IblX значениях kr. Точной
раздела является здесь не kr == 1, а скорее kr == 1, т. е. термин «большие kп>
(3.1)
s 3. РааЛО:J1Cенuе плосr;uх волн по сферu'tесr;uм, еарм,онипам,
609
означает kr» l, а
имеют следующий
«малые kr» означает kr l. Асимптотичесние выражения
вид:
. (kr)l
II (kr) (2l+1 )1!' kr l, (3.3)
. sin( kr l1t)
II (kr) kr ' kr» l. (3.4)
«Реrулярное решение» F/ (т), использованное в rл. VIII, 2, для неи
тронов и в друrих местах, связано с 1'/ (Ат) следующим образом:
Fl (т) == krj[ (Ат).
Нанонец, можно использовать теорему сложения (2.7), чтобы получить
выражение дЛЯ ПЛОСНО11 волны, распространяющеися в произвольном Ha
правлени 8, Ф:
00 1
ei(kr) == 4'1t 2; Lj i1jl (kr) пт (8, Ф) Y l , т (в, ф).
/==0 т== !
(3.5)
Иноrда предстаВJшет интерес тольно s волна (член в разложении плосной
волны eikZ, соответствующиЙ l == О). Тан нан jo (z) == sin z/z при всех значе
ниях z, то этот член равен
'/4 sin(kr) У sin(kr)
V 'It kr O'O k '
(3.6)
s 4. СПИН
Алrебраичесное рассмотрение правил перестановни (1.3) дает для опе
ратора J2 собственные значония j (j 1), rде j может быть не тольно целым,
нан в случае сферичосних rармонин, НО и полуцеJIЫМ. Простейшим примером
полуцелоrо спина может служить спин нуклона, ноторому соответствует
в (1.4) значоние l' =0.1/2' Имеются: TOJIbKO две собственные функции, описываю
щие состояния спина нуклона и отличающиеся ориентациями спина, а именно:
у 1/2.1/2' описывающая частицу со спином ]/2' ориентированным вдоль поло
iI\ительноrо направления оси z ноординатной системы, и у 1/2. 1/2' ОПИСЫlЗаIO
щая частицу со спином 1/2' ориентировапным вдоль отрицаТОЛЫIOI'О напра
ВJlения оси z. Соответственно .:!Тим двум случаям мы rоворим, что спин
направлен (шверх» или (шниз». Для упрощения записи соответствующих
формул введены обозначения
У1/ 2 ,1/ 2 =:' а., УЧ2. 1/2 ' ' (4.1)
Обозначим танже
первое уравнение
вектор момента ноличества
(1.4) для т==1/ 2 имеет вид
(sx+ is y ) а. == О
движения J через s. Тоrда
и для т == 1/2
(sx + is y ) == а..
Можно рассматривать а. и как базисные ВOl,торы в двухмерном BOKTOp
ном пространстве, а sx и Sy как линеЙные операторы в этом пространстве,
выраженные в обычноЙ матричной форме. COr.iIaCHO написанным выше ypaB
нениям, оператор sx : is y в этом пространстlЗО, записанныЙ в матричной
форме, имеет вид
Sx ' is y == ( ) .
Тю, назьтаемые матрицы Паули 0-'" '1 И О' опроделяются СJIlJДУЮЩllМ
обраЗ0М: Sx == 1/ 20х, Sy == 1/ 20у и S, =-:: 1! "Oz, Ис'ПОJН.зуя эти опродеJleНИЯ, а таЮI,О
39 8ан!!з Х, 396
610
Приложепие 1. Операторы .мом,епта /j;оличества овижепия,
соотношения (1.4) и уравнения s2a == ; ( ; + 1) а, S2 == ; ( ; + 1 ) , sza ==
1 1
== уа и sz == 2 ' получим
oza == а,
(ох + io y ) а == О,
(ох io y ) == 2а,
(ох io y ) а == 2 ,
("х io y ) == О,
02а 3а;
02 == 3 .
(4.2)
°z == ,
Эти соотношения приводят к следующим точным выражениям для спиновых
матриц Паули:
ox==( ),
( О i )
Оу == i О '
oz==( )'
(4.3)
Нак видно, эти матрицы удовлетворяют следующим правилам умножения:
о; == o == o == 1,
ОхОу -== io z , ОуО" == io x , ozox == ioy. (4.4)
Эти соотношения справедливы тольно для случая спина j== 1/2' Из (4.4)
следует, что произведение любоrо числа матриц Паули может быть запи
сано в виде линейной номбинации этих матриц 1).
Волновая фуннция частицы со спином 1} записывается в виде
' ( ) О ( ) ! ( ) R ( 'fJ (х, у, z) )
==cp r, о ==СРl х, у, Z а! 2 х, у, z r-== ( ) .
. 'Р2 Х, y,z
(4.5)
Запись волновой фуннции в виде столбца облеrчает вычисления со спи '
новыми матрицами Паули. Н'вадрат абсолютной величины 1 (х, у, z) пред
ставляет собой вероятность найти частицу в точне х, у, z СО спином,
ориентированным вверх, а нвадрат абсолютной величины 2 (х, у, z) есть
вероятность найти частицу в той же точне со спином, ориентированным вниз.
Sz оператор, связанный с беснонечно малым вращением BOHpyr оси z.
Оператор цля нонечноrо вращения получается путем перемношения опера
торов беснонечно малых вращений; в частности, при повороте системы
координат BOHpyr оси z на нонечный уrол & спиновая фуннция ер меняется
следующим образом:
о i azl)
и == e'sz.q, == е 2 ер ==
== 1 + i 0z ;j ( )2 ер ! ( )3 ozCf + . . . == (СОБ + i sin Oz) ' (4.6)
Появление величин &/2 харантерно для полуцелоrо спина. В частности,
(4.6) поназывает, что поворот системы ноординат на 2'1t переводит ер в ,
т. е. что двухзначная фуннция. Однано плотность вероятности I cf 12
однозначна 2).
Теперь рассмотрим сложение спинов двух различных частиц для слу
чая, ноrда обе частицы обладаIОТ спином 1/2 (например, нейтрон и протон).
Спин системы двух частиц равен
Sz==sz(1)+sz(2) 0= ; oz(1)+ oz(2) (4.7)
и аналоrично для состаВJIЯЮЩИХ по осям х и у.
1) Это положение может быть сформулировано следующим образом: матрицы ах. ау. a z
вместе с единичной матриц<'й образуют базис rиперкомплексной системы чисел.
2) Поскольку двухзначные волновые функции допускаются при полуцрлом спине,
то днухзнаЧFfЫЙ характер I'iтф С полуцелым т не является веским aprYMeHToM против по-
пуцелоrо орбитальноrо момента Rоличества движения l.
,
4. Спин
6Н
Вследствие (4.4), а танте в силу Toro фанта, что спиновые операторы
двух различных частиц номмутируют друr с друrом, нвадрат абсолютной
величины 8
82 == 8 -+ 8 -+ 8
удовлетворяет уравнению
1
82==у[3+а(1)а(2)].
Повторное применение правил умножения (4.4.) дает
82 (82 2) == О,
тан что 82 имеет тольно два собственных значения: О и 2. В случае 82 == О
существует тольно одна собственная фуннция синелетная спUН06ая фунпцuя
(4.8)
1
Хо == у:!: [a;(1) (2) (1)a;(2)].
(4.9)
Соответствующее спиновое состояние называется синrлетным, тан нан
оно не вырождено. В вен торной модели сложения моментов ноличества
движения (см. 5) это состояние интерпретируется Е\ан состояние, в HOTO
ром два спина а 1 и а 2 противоположны друr друrу, тан что наждая из
составляющих 1;'2 (а 1 + а 2 ) == S равн!!- нулю и, следовательно, 82 == о.
Собственное значение оператора 82 имеет вид j (j + 1) и при j == 1
равно 2. Таное состояние имеет момент ноличества ДlЗижения, равный еди
нице, и соответственно степень вырождения, равную 2i -1 1 == 3. Это состоя
ние называется трuплетным спиНО6ЫМ состоянием. Собственные фушщии
одновременно операторов 82 и 8 z , соответствующие триплетному состоянию,
обозначаются через XI. т, rде т" 1, О, 1 собственные значения опера
тора 8 z' Эти фуннции имеют вид
1
XI. 1 == а; (1) а; (2), Хl. о l' 2" [а; (1) (2) -1 (1) а; (2)],
Хl. I -= (1) (2). (4.10)
В модели BeHTopHoro сложения триплетное состояние интерпретируется
нак состояние, в нотором два спина а 1 и а 2 параллельны друr друrу и,
складываясь, дают полный спин единицу.
Тан нан имеется три спиновые фуннции для триплетноrо состояниiI
и тольно одна для синrлетноrо, то статистичесние веса этих двух СОСтоянии
в случае неноррелированных спинов Соответственно равны 3/4 и 1/4'
Если спины двух частиц (например, нейтрона и протона при рассеянии'
нейтронов на протонах) ориентированы случайным образом, то вероятность
найти две частицы в триплетном состоянии равна 3/4' а вероятность найти
их в синrлетном состоянии равна 1/4' ,
Вначале нажется, что это противоречит модели BeHTopHoro слотения,
с точни зрения ноторой мотно ожидать, что два спина одинаново часто
встречаются параллельными и антипараллельными друr друrу, т. е. CTa
тистичесние веса двух состояний равны. Противоречие разрешается при
анализе нвантовомеханичесноrо смысла «параллельных» и «антипараллель
ных» спинов в этом случае. Тан нан: ах и ау не номмутируют с a z , напра
вление спина частицы не может быть определено однозначно, кан вентор
в пространстве. Действительно, если а : известно (снажем, спин направлен
вверх и а1; == 2т == --t 1), то ах и ау неизвестны и их MrHOBeHHble значения
с равной вероя!ностыo равны : 1 или 1. Таним образом, утвертдение
«спин направлен вверх» должно быть интерпретировано нан «вентор спина
направлен вдоль образующей нонуса, описанноrо BOHpyr оси Z». ЭТО иллю
стрируется схематичесни на фиr. 128.
612
Прuло;исенuе 1. Операторы момента r;олuчества двUJ1сенuя
Имеется четыре равновероятные возможности для относительноrо поло
жения спина двух частиц, IШН Уl,азано на фиr. 128. Фиr. 128, а и е, COOT
ветствуют полному спину i == 1 с т == 1 или 1.
Однан:о в случаях, поназанных на фиr. 128, б и в, имеется две возмош
ности. Два спина MorYT номбинироваться таким образом, что они всеrда
противоположны Jlpyr Jlpyry, или так, что оба будут направлены в ту же
самую сторону. В перпом случае они, СIшадываясь, дают точныЙ нуль,
во втором случае полныЙ спин, перпендин:улярныЙ оси z. ПервыЙ случай
а
Q
9
69
&
(3 &
9
сз&
6
::::
" v " Х,.,
=
= о ОХ,
сэ Х,.,
==
. s " X, ,
Фи 1'. 128. Два спина, равные 1;2' MorYT складываться четырьмя.
способами, три из которых дают триrшетное (параллельное) спиновое
состояние, в то Bpe IH нан четвертая lJ03МОJJ.ШОСТЬ соответствует СИН1'
летному (аптипарашJелы!му)) СОСТОЯНIпо.
соответствует синrлетному состоянию (j == О), второЙ случаЙ триплетному
состоянию i 0= 1, т == О. [Непосредственное rеометричесное рассмотрение
поназывает таюне, что скалярное произведение (а (1) а (2)) равно 3 в пер
вом случае и 1 1 1 1 1 во втором, в соответствии с (4.8).] Фиr. 128
указывает, что для отношения параллельных и антипараJшельных ориен
таций спинов получается вероятность 3: 1. Это происходит от Toro, что две
частицы с противоположными проенциями спина на ось z MorYT при сло
шепии дать полныЙ спин, равныЙ единице.
5. ВЕIПОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЛ
Рассмотрим два оператора момента н:оличества движения J 1 и J 2 , наш
дый из поторых В отдельности УДОВJIетворяет правилам (1.3); нроме Toro,
эти операторы RОММУТИРУЮТ Jlpyr с JlpyroM. Двумя такими моментами
поличоства движения MorYT, например, быть орбитальный момент ноличества
движония и спин тоЙ же саиой частицы или моменты I\ОJ1ичоства движения
двух различных частиц.
Рассмотрим произведепие Yjт (1) Yj'т' (2) двух concTBeHHblx фушщий
оператора момонта I\Оличества движения, относящихся соответственно
R следующим собственным значениям: i (j + 1) для J , т ! ля J 12 , j' (/' + 1)
/
9 5. Вепторное с.л.о;исенuе мом"снтов r;ОЛ!l.'1/'ства овu;исснuя
61'3
дЛЯ J , т' дЛЯ J 2Z ' ст) произведение является собственной Фуннцией
составляющеЙ ПОЛНО1'0 момента ноличества движепия по оси z
J z J 11 + J 2:
С собственныIM значением И == т + т'.
Однюю в общем с.чучае произве)l,ение ВОJIНОВЫХ фУИIщиii не является
собственноЙ функциеЙ оператора
J2==(JIX ' J 2X )2+(J 1y J 2 Y+(J 1Z +J 2 Y.
НО можно образовать таl\ИВ .линеiiные номбинацип ПРОИЗВOJ ений вида
Yjт (1) Yj'т' (2), ноторые однопременно будут еобственпыми фушщиями
операторов J2 lсоf)ствен}]ым значением J (] + 1)] и J 1 (с собственным зна
чением М). Эти соБСТ13енные фушщип ПОЛНО1'О момента н:оличества дuиже
ния обозначаются через
j j'
( J' ==
C Jj , (J, И; т, т') Yjт (1) Yj'т' (2).
(5.1)
m== j rп,'== j'
Численные ноэффициенты С в этой линеiiноЙ суперпозиции называются
.коэффициентами ЕJlебша Жордана или НОЭффlIциентами BeHTopHoro сло
шения 1). Они являютсн деiiствительными числами. .
Из предваРИ'l'ельнOl'О рассмотреНI1Я видно, что C jj , (J, Лl; т, т') обра
щается в ну,пь при М f:.m + т'. Следовательно, двоЙная сумма в (5.1)
является просто суммоЙ по т, rде т' определяете н из соотношения
т' == И т. Тем не менее удобнее записывать (5.1) в виде двоЙноЙ суммы,
чтобы выявить определенные формальные своЙства ноэффициентов 1\лебша
Жордана.
В начестве простоrо примера .коэффициентов Н:лебша Л{ордана pac
смотрим формулы (4.9) и (4.'10), дающие правила СJlOmения двух моментов
н:оличества двитения, наждыЙ из ноторых равен 1/?
Из рассмотрения Х1.l (4.10) В1IДНО, что соответствующиЙ ноэффициент
Клебша Жор дана равен
C jj , (J, J; j, j') == 1 при J == i + j' (5.2)
(для i == j' == 1/2 И .J == 1). Это уравнение обобщаетсн на случаЙ J == j + j'
и Jz == И == J. Тююе же обобщение справедливо в противоположном направ
лении, т. е. для .1 == j + j' имеем та.кже C jj , (.1, ..1; j, j') == 1.
В начестве друrоrо примера получаем из (1/.9) следующее уравнение:
С ч2 : 1/2 (о, о; , ) == С ч2 . 1/2 ( О, о; ' } ) == 2 .
Совершенно очевидно, что ноэффициенты Клебша Н\ордана не обя
зательно симметричны по отношению н перестановке j, т с j'm'. Действи
тельно они удовлетворяют соотношению
C j j'(.1, И; т, m')==( 1)J j j'Cj'j(J, И; т', т), (5.3)
ноторое может быть проверено та.кже на примере Хl.0 ес10). Соотноше
ние (5.3) есть частныЙ случай более общеrо соотношения СИММВТРИИ (5.9).
1) Напомним обозначения: Кондон [1fЮ] употребляет символ (l1' тт' I li' J М) нместо
паmеrо C jj , (J, jИ; тт') и ПОJшrает 1===/1' 1'==/2' J==I, т==т1' т'===т2 и М==т,
так что символ записывается в виде (/1/2т1т2 \ /1/2/ т ). Виrнер [800] употребляет
Sy т" Однано следует отметить, что сам по себе IШЭффllциент здесь такой же, как
и у Виrнера [800] иКондона [160], т. е. нормироВIШ и фазы сферически х rармоник
выбираются тем же путf'М.
614
При.лжнсен,ие 1. Операторы .мо.мен,та количества овu:нcен,ия
Квантовое число J мотет принимать следующие значения:
J == j + j', j j' 1, j + j' 2, ..., I j j' 1.
(5.4)
Обратно, можно записать произведение Yjm (1) УРт' (2) в виде линей
ной суперпозиции J j':
j+j' J
Yjm (1) Yj'm' (2) == СИ' (J, М; т, т') ')j j" (5.5)
J=oJ j j' I M=o J
Сумма по М содержит тольно член с М == т т'. Определенные
соотношения ортоеонаЛl1lOсти следуют из Toro, что Фунн:ции Yjm образуют
ортонормированный набор фушщиil; то те самое можно сназать и о фунн
циях ')j j" IЗ самом деле, н:оэффиционты Клобша Жордана являются
матричными элемонтами унитарНОI'О преобразования, и тан н:ан: эти матрич
ные ЭJIемонты действительны, преобразование является ортоrовальным.
В результате имеем
j'
СИ' (J, М; т, т') СИ' (J', М'; т, т') == aJJ' амм"
(5.6)
т== ]" m'== j'
HP J
СИ' (J, М; т, т') Си' (J, М; т", т''') == 'Отто ат'т'''' (5.7)
J=ol j j' I M=o J
Несмотря на их очевидно несимметричное определение, ноэффициенты
Клебша rКордана являются почти симметричными по отношению н:о всем
трем моментам н:оличества Движония J, j, j'. . Соотношения симметрии
MorYT быть выявлены более ясно методом, предложенным в [613, 204].
Определим величину V Uj' J, тт' И) J):
V(jj'J, mm'M) == ( 1)J M(2J+1) If2Cjp(J, M; т, т'). (5.8)
Величина V обращается в нуль при т т' +М .0;60. Кроме Toro,
выполняются следующие соотношения симметрии
V(abc, a I)==( 1)a+b cV(bac, al)==( 1)a+b+cV(acb, ay )==
==( 1)a b+CV(cba, 1 a.)==( 1)2bV(cab, ,a )== (5.9)
==( 1)2CV(bca, Ta)==( 1)a+b+cV(abc, a I).
Кан частный результат этих соотношений симметрии унатем изменен
ную форму соотношений ортоrональности (5.6):
J
j"
Cjj"(J, М; т, т") Cj'j"(J, М; т', m")== ;::i ajj' а тт ..
(5.10)
M== J т"=-: !."
Общая формула для ноэффиционтов Н'лебша Жордана была получена
в работе [8СЮ], но она очонь rромоздн:а 2). В таБJI. 38 и 39 приводены
значония НОdффициентов КJIобша Жордана, взятые из работы [160].
1) Слсдует обратить пнимание на то, что в правой части равснства стоит М.
2) Относительно вывода общей формулы без IIримененил мстодов теории rpYIIII СК.
[613].
5. Векторпое сло:мсепие .мо.мептов r;олич.l'ства ови:мсепия
615
Таблица 38
Коэффициенты I{лебша Жордана
C jJ , (J, М; т, т') для /'==1/2
т'==+
1
т'== 2""
J==/ +
... / i+M++
v 2/ + 1
... r / M+
V 2/ + 1
... r / M++
v 2/ + 1
... / /+М+{
v 2, + 1
J . 1
==, +"2
Таблица 39
Коэффициенты Нлебша Жордана
C jj , (J, М; т, 'т') для /'==1
т'==1
т'==О
т'== 1
J==/+1 VU+M)U+ M + 1 ) V и M +1) и+М +1) VU M) (j M + 1)
(2, + 1) (2/ + 2) (2/ + 1) U + 1) (2/ + 1) (2/ + 2)
J==/ V(j+M)(j М+1) М y и M) и+М +1)
2/ (f + 1) V / (j + 1) 2, U + 1)
J==i 1 V и M) и M + 1) VU M) и+М) -v U + м + 1) (f + М)
21 (2/ + 1) / (2/ + 1) 2/ (21 + 1)
Рассмотрение оrраничено здесь случаями ,"' === 1/2 или j' == 1.
В н:ниrе Н'ондона и Шортли [160] табулированы тан:же случаи j'===3/ S
и j' === 2. Табл. 38 и 39 MorYT употребляться не тольн:о Rоrда j' == 1/2 или
j' == 1, но и Rоrда любая из величин j, j' и J равна 1/2 или 1 с OДHOBpe
:менным использованием соотношения симметрии (5.9).
Приведенные здесь таблицы достаточны для изучения рассеяния ней
тронов на протонах с учетом тензорных сил (для HoToporo j' === s == 1 три
плетное состояние) для анализа маrнитных моментов по модели Шмидта
(j' === 1/2) или в приблитении Виrнера Ма preHay и для мноrих энспери
ментов по ядерным реан:циям.
Если все величины j, j' и J превышают единицу, то нужно поль
З0ваться таблицами, помещенными в [160].
При анализах уrловых распределений в ядерных реан:циях или уrловых
Rорреющий в двух последовательных радиоан:тивНЫх распадах произведение
двух сферичесн:их rармонин:, зависящих от одних и тех те уrловых пере
менных, должно быть представлено в виде линейной н:омбинации сфери
чеСRИХ rаРМОНИR. Соответствующая формула имеет вид
Y1т(B, Ф)У1'т,(б, ф)==
.. ; (21 + 1) (21' + 1) С , ( l О . О о) " с ( L 111 ' ) У ( а
k.lL.JV 41t(2L+1) !l -, " и', ;т,т LM 1),
L М
ф).
(5.11)
616
Прuло;ж;ение 1. Операторы .мo.мeнrпa количества дви;ж;ения
Иноrда вознин:аот необходимость знать значения сумм, составленных
из произведений трех н:оэффициентов и просуммированных по трем из
шести маrнитных н:вантовых чисел. Тание суммы были вычислены II [613]
и неСI\ОЛЫ\О менее точно в [5541. Однано формулы слишн:ом сложны, чтобы
их здесь воспроизводить (см. [483, 485, 77]).
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Аl (r) RоэффициеIlТ в разложении плосной волны (3.1), (3.2).
C jj , (J, М; т, т') ноэффициеIlТ КлеБПIa Жордана (5.1).
dQ элемент телесноrо уrла (2.6)
g (О, ф) ПРОИ3ВОЛЫJaЯ фунrщия уrлов О и Ф с интеrрируемыи Rвадратом ( 2).
Н rамильтониап СИСТС'1!Ы ( 1).
i RBaHTORoe число момепта ноличества движения, опре,'(еллемое ypa
внениС'м J2'f == i (j + 1) 'f (1.4).
l'
il (kr)
J
J
J2
J x , J y , Jz
J л (z)
k
k
L
Lx, Еу, Lz
т
т'
М
пl!
1'1 (cos О)
r
s
Вх, ВУ' Sz
S
82
Sz
и
V(li'J, тт'М)
Yjт
м
'& J jj'
Yl m (о,ф)
а
а
Отт '
Rваптовое число момента Rоличества движения, ноторое, СRлады
вапсь с j, дает полный момент J (5.1).
сфеРИ'lCсная фушщия Весселя (3.2).
Iшаптовое число полноrо момента RОШlчества движения (5.1).
веIПОр обобщенноrо момента IШЛIIчества движения ( 1).
HBaдpaT абсолютной вели чипы BeRTopa J ( 1).
соста[]ЛflIощие вентора J ( 1).
фунrщил Бесселя от z первоrо рода ПОрЯДRа А (3.2).
ВОЛ1l0вое число IJЛОСRОЙ волны (3.1).
ВО.ПIlОПОЙ веI{ТОр ПЛОСRОЙ волпы (3.5).
Iшантовое число орбитальноrо момента Rоличества движения, опре
деляемое равенством П'f == 1 (1 + 1) 'f (2.2).
BeHTOp орбитальноrо момента количества движения ( 1).
состаВJ[яющие вектора L (1.2), (1.3).
Iша[jтовое число ПрОС'IЩИИ момента ноличества движения на ось z,
опр,щеляемое равенством J z'f m'f (1.4).
Iшантовое число проеRЦИИ момента ноличества ДВИЖения j' на ось z
(5.1).
R[]aHTOBOe число проеIЩИИ ЛОJШOl'О момепта ноличества движения
Ш\ ось z (М==т+т') (5.1).
двойной фанториал (2.3).
полипом Лежандра порядна l (2.5).
радиальная ноордината В сферической системе ноординат (3.1).
BeHTOp спина ( 4).
составллющие вентора s ( 4).
веIПОр спина системы двух частиц ( 4).
HBaдpaT абсолютной ве,чичины вентора S (4.8).
проею\ия ВCIП'ора S на ось z (4.7).
матрица, связанная с поворотом BOHpyr оси z на НОнечпый уrол 3-
(4.6).
петlчипа, свлзанпая с Iшэффициентом Клебша Жордана (5.8).
собствеюraя фУIШЦИЯ операторов J2 и Jz С собственными значениями
соответственно 1 и + 1) и т (1.4).
собствеНIIан фуннция оператора полноrо момента ноличества движе
ния (5.1).
пuрмированная сферичесная rаРМОНИI\а (2.4).
уrол между направлениями (О, ф) и (О', ф') (2.7).
слиновал фУННЦIШ частицы со СПИНШI, направленным вверх (4.1).
спиновая фуннцил частицы со спином, направленным вниз (4.1).
символ Кроненера (2.6).
Обозначения
617
{}
о
(3
О'х, ау, c;z
ер (х, у, z)
ер'
Ф
ер1 (х, у, z)
ер2 (х, у, z)
ф
'1..0
'1..1, т
уrол поворота (1.1).
полярный У!'ОЛ (широта), опрсдсляющий положепие частицы (2.1).
полярный уrол (широта) ВОЛIlOвоrо всктора k (:3.5).
спиновые матрицы llаулп (4.2), (4.3).
волновая Функцин (1.1).
IJОШIO[]ая фушщия ер послс поворота системы Ь:ООРДlfнат (1.1).
- азимутальный yroJ! (долrота), опредс:шющий ПО:ЮШСIIИС ча тицы
(2.1).
составляющая волновой Функцпи ер, соотвстствующая спину, IIа
праВ.тIенному вверх (4.5).
еоставляющая волновой фуШЩИII ер, соотвстствующан спипу, па
правлеюIOМУ ВЕша (4.:)).
азимута.тIЬНЫЙ yro;! (ДО.тIrота) волновоrо вектора k (3.5).
СПIIновая Функuия сипrлстноrо состояпин двух частиц СlIина 1/2 (4.9)
спииовая ФУННЦIIЯ Трl1плеТIIO!'О состояния двух частиц спина 1/2'
соответствующая ориснтацпи cYMMapHoro спина т (4.10).
Приложение Il
МУЛЬТИПОЛЬНОЕ И3ЛУЧЕНИЕ
1. ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ rАРМОНИlШ
Предположим, что дифференциальные уравнения и rраничные условия,
ноторым удовлетворяет неноторое классическое векторное поле А (r) (электро
маrнитное или каное либо друrое поле), остаются инвариантными при
вращениях и при отражении (операция инверсии) системы координат. Если
А (r) является решением, то, выполнив поворот BeHTopHoro поля около
.оси z на уrол &, мы получим друrое решение. Это поле, полученное
в результате вращения, имеет следующие составляющие:
A (x, у, z)==cos&Ax(xcos&+ysin&, ycos& xsin&, z)
sin&Ay(xcos&+ysi{l&, ycos& xsin&, z),
A (x, у, z)==sin&Ax(xcos&+ysin&, ycos& xsin&, z)+ (1.1)
+ СОБ &Ау (х СОБ & + у sin &, у СОБ & xsin &, z),
А;(х, у, z)==Az(xcos&+ysin&, ycos& xsin&, z).
ВслеДСТВlIе линейности (по предположению) уравнений поля можно
получить еще одно решение, взяв разность между полем А', полученным
в результате вращения, и исходным полем А. Допуская, что & становится
.бесконечно малым, получим новое решение в следующем виде;
А' А == i&J/'t.. == i& (Lz+ Sz) А, (1.2)
rде Lz оператор момента количества движения (см. прилотение 1, 1.2),
.а Sz определяется следующим образом:
( А х \ ( iAy )
S z Ау I == iAx.
А) О
(1.3)
Поскольку lzA является решением, если А решение, то оператор
'бесконечно малоrо вращения Jz должен н:оммутировать с дифференциаль.J'
ным уравнением, которому удовлетворяет векторное поле А. Леrко показать,
что lz номмутирует с операцией (v хА).
Запись Jz в виде Jz == Lz + Sz мотно интерпретировать как разложение
оператора момента количества движения lz 1) на орбитальный момент коли
чества движения и спин. Оператор Sz, не входивший в выражения (при
ложение 1, 1.2), появляется вследствие Toro, что составляющие в выраже-
ниях (1.1) преобразуются; сналяром является только составляющая по оси z
(направленная вдоль оси вращения). Таким образом, появление оператора
1) На данной стадии рассмотрения еще не очевидно, что оператор беСRонечно малоrо
вращения J. связан с мом«нтом количества движсния поля. Доказательство этоrо утверж.
дения для специальноrо случая электромаrнитноrо поля будет приведено в 3.
>..." /:
1. Be тopпыe сферичес ие eap.мOHи и
619
«спина» Sz является следствием венторной природы поля А. Операция
Sz (S 1) == О, представляюшая собой тотдество, поназывает, что Sz может
иметь тольн:о три сообственных значения: 1, О и 1. Следовательно, BeH
торному полю отвечает спин, равный единице. Собственные венторы, COOT
ветствующие этим трем собственным значениям Sz, имеют следующий вид:
1 ( 1' )
Х1::::: v2 exl..le y ,
Хо == e z , IX 1 == ;2 (е х ie1/)'
(1.4)
rде е х , е у и е , единичные венторы, направления ноторых совпадают
с направлениями н:оординатных осей. Вен:торы Хт нормированы на единицу
длины, а знани выбраны в соответствии с общим соотношением (см. при
ложение 1, 1.4).
Операторы J x и J y определяются соrласно (1.2) по аналоrии с Jz путем
врашения соответственно BoHpyr осей х и у. Составляющие вентора J
удовлетворяют правилам перестановни
JxJ y JyJ x == iJz и т. д.,
харантерным для операторов момента н:оличества двитения.
Определим теперь вептОРllые сферu'Чеспuе еар.мОllипи 1) У (О, ф) н:ан: BeK
торные фуннции, зависящие тольно от уrЛОБ (и не зависящие от ноорди
наты r) и являющиеся одновременно собственными фунн:циями операторов
Jz и J2 == Т;' + J f-- J . Тан нан операторы L и S номмутируют, то BeHTOp '
ные сферичесние rармонини можно построить, используя прапило пен:тор
Horo слотения (см. прилотение 1,5.1). Для наждоrо значения J2 == J (] ; 1)
при J>- 1 имеется три типа венторных сферичесних rармонин, COOTBeTCTBY
ющих l == J .+ 1, J, J 1. Они имеют следующий вид:
z 1
у}11 (О, ф) == Lj С ll (J, М; т, т') Y Zm (О, ф) Хт" (1.5)
m== Z т'== 1
Оназывается, что в разложение входят тольно целочисленные значе
ния J, причем это является необходимым требованием в случае нлассиче
CHoro поля, тан нан оно долтно быть однозначным. Для наждоrо значе
ния J, за иснлючением J == О, существуют три различные венторные сфе
ричесние rармонини. В случае J == О существует тольно одна венторная
сферичесная rармонина, соответствующая собственному значению L, рапному
О 1/
единице, и направленная рротивоположно S. В этом случае УОll == (47t) 2 e r ,
rде e r единичный вентор, направление HOToporo совпадает с направлением
радиус вентора.
Венторные сферичесние rармонини у:У;, харантеризуютея определенной
четностью, равной ( 1 )1. Тан:им образом, при данных значениях J и М
четность rармонини с l == J равна ( 1)J, В то время нан четность двух
друrих rармонин равна ( 1)J+'. Поснольн:у сн:алярные сферичесиие rap
монин:и Y zm образуют полную систему сн:алярных фующий, а Хт образуют
полную систему базисных венторов в трехмерном пространстве, то nel,Top
вые сферичесиие rармонини (1.5) тан:же образуют полную систему. Таиим
образом, любое вен:торное поле А (r) может быть записано в виде линейной
н:омбинации венторных сферичесиих rармонин Y I (О, ф), ноэффициенты при
ноторых зависят тольн:о от ноординаты r.
Мы будем использовать в основном венторные сферичесн:ие rармониии,
отвечающие l == J. Введем дЛЯ Y Т1 (О, ф) обозначение XJM (О, ф). Э.ти
, 1) Векторные сферичеСIше rаРМОНИI<И, аналоrичные определенным здесь, использо-
вались рядом авторов, например [163,299,47].
620
п рилжж:ение 11. М ультипольное излучение
фуннции можно таюне записать в следующем виде:
м LУJм(6,ф)
ХЛ:f (О, ф) === v JJ1 (О, ф) == ,
v J(J+l)
(1.6)
rде L. дифференциальный оператор . i (r х v), а У сн:алярные сфериче
сние rармонини, определенные в прилотении 1. Четность ХЛI равна ( 1)J
И ХО тождественно равна нулю.
Tar< I\al< оператор V Х НОМYlутирует с оператором J, то rot от выраже
ния, отвечающеrо опредеJIенным значениям J и И, должен предстаВJlЯТЬ
собой линеiiную н:омбинацию венторных сферических rармонин, отвечающих
тем щ() самым J и И. в частности,
V Х [/ И Хпн (О, ф)] == v х [/ (r) Y} 1 (О, ф)] ==
==/+(r)V} J+l.l(O' Ф)+/ ИV} J I,I(О, ф), (1.7)
rде /(r) произвольная фунн:ция r, а /+(r) и / (r) MorYT быть получены
из / (r). Вен:торная сферичесная rармонин:а в правой части (1. 7) хаРaI\тери
зуется четностью ( 1)J, В СО1'ласии с тем фан:том, что операция rot,
примененная н: выражению с определенной четностью, преобразует ero
в выражение с противоположноЙ четностью.
Тю\ н:ан вен:торные сферические rармонИI<Н образуют полную систему,
,то произволыlеo венторное. поле А (r) может быть раЗJютено в ряд
со J
A(r) == L 2.: A(J, М; r), (1.8а)
J==O M== J
причем
A(J, И; r)==r l[j(J, И; r)XJM : g(J, И; r)Vr,J+l, 1+
+ h (J, И; r) Vr, J .I. 1],
(1.8б)
rде /, g и lt являются фунн:цнямн тольн:о НООРДIlнаты. Каждый из членов
А (J, И; r) назьшается (шолем МУJ1ЬТИПОЛЯ» и является собственной фунн
цией операторов J2 и Jz:
J2A(J, .iVf; r)==J(J+1)A(J, М; r),
JzA(J, М; r)==MA(J, И; r).
( 1.9)
Кроме Toro, пеРВЫII член в (1.8б) харан:теризуется четностью ( 1/,
в то время нан оставшиеся члены харан:теризуются четностью ( 1)J.
Венторные сферичесн:ие rармонини удовлетворяют условиям ортоrональ
ности н нормнровн:и:
[Y 1 (О, ф)]* [Vr,;'1 (О, ф)] dQ == 8 JJ ,8 MM ,8 11 ,. (1.10)
Эти условия мощно использовать для получения в явном виде выражений
для фуннциЙ /, g и h в (1.86). Образуем сн:алярное произведение об06lЦен
Horo BeHTopHoro поля A(r) и величины [Y 1 (О, ф)]* И проинтеrрируем
по yrJIaM (по не по r). Это приводит н следующим результатам:
,. l/(J, М; r)== [XJJH(O, ф)]*А(r, О, ф)dQ,
r lg (J, И; r) == [Vr, J+l. 1 (О, ф)]* А (r, О, ф) dQ,
r lh и, И; r) === ) [Vr, J I. 1 (О, ф)]* А (r, О, ф) dQ.
(1.11)
s 2. Раало;ж:ение на электрические u .мавнитные .мультиполи
621
$ 2. РАЗЛОЖЕНИЕ НА ЭЛЕНТНIЧЕСНИЕ И мАrнитныЕ МУЛЬТИПОЛИ
в СВОБОДНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Используем теперь разложение (1.8) для элентромаrнитноrо поля в CBO
бодном пространстве. ОI'РЮIИЧИМСЯ полями, меннющимисн во времени перио
дичесн:и,
S (r, [) == S (r) ciwt : S * (r) e iwt ;
(2.1)
и аналоrичное выражение имеем для маrнитноrо ПОJIЯ ЗС. 13 :этом случае
уравнения Ма};свелла для свободноrо пространства имеют следующиЙ .вид 1)
{в смешанных rayccoBblX единицах):
с (v х ЗС) =-= iwS, с (v х S) ==- iw:JC.
(2.2)
Из этих уравнениЙ следует, что диверrенция S и :JC равна нулю.
Оба венторных ПОJJН S и ЗС, очевидно, можно представить в виде раз
ложения (1.8). С этоrо момента мы будем использовать в раЗJlOшении
по МУЛЬТИПОJJЯМ (1.8) НБантовые числа l, т вместо J, И. Кроме Toro,
элентромаrнитные мультипольные поля подразделяются на fJлектрuческuе
и .ма2ниmllые мультиполи. Это подразделение связано с четностью мульти
полеЙ. Соrласно rл. ХН, 2, имеют место следующие соотношения: в слу
чае fJлектрuчеСКО20 мультипольноrо излучения порядна l, т элентричеСlюе
поле имеет четность, равную ( 1/, а Мal'нитное ПОJIO четность, paB
ную ( 1)1. В случае .ма2нитliО20 МУЛЬТИПОЛЬНОI'О излучения порядн:а l, т
четности он:азываются противоположными.
Четность напряженностей поля позволяет непосредственно определить
их зависимость от уrлов. Рассмотрим сначала электрuческое мультипольное
излучение порядна l, m. В этом случае MarHHTHoe поле должно иметь чет
ность, равную ( 1)1, и, следовательно, фунн:ции g (l, т; r) и 11 (l, т; r),
входящие в разложение (1.8) этOl'О поля, должны обращаться в нуль,
посн:ольну YJ:\:!:I, 1 имеет противоположную четность:
ЗС==r 1 /E(l, т; r)X1m(O, ф) (элентричесн:ое и:\лучепие). (2.3)
Фуннцию /Е (l, т; r) можно определить, используя волновое уравнение для
вободноrо пространства (х == w /с)
(v х (v х ЗС)) x 2 JC == О, (2.4)
ноторое следует из (2.2). Подставляя (2.3) в уравнение (2.<'1), мы придем
R хорошо известному радиальному уравнению для / в свободном про
странстве:
[ d2 l (l + 1) 2 ] .
dr 2 +'X / (l, т, r) == О.
(2.5)
Поскольн:у нас интересует излученне, испусн:аемое источнином в начале
Rоординат, будем исн:ать решение (2.5), представляющее раСХ()ДJ1ЩУЮСЯ
волну. Оно совпадает с функцией ui+) (r) (VHI, 2А1), определенноЙ
в ПI. VIII. По условию эта фушщия нормирована таним образом, что
(+) ( ) i(zr I1t)
и! r е при r.......,. 00.
1) В дальнrйшЕ'МфУШЩИИ S(r) И ЗС(r), определенныс соrласно (2.1), будут обозна-
чаться через S И jC, тю, как ЭТИ ФУНКЦИИ нс завнснт ()т времсни.
622
Прило;нсен,ие 11. Мулътиполъное иалучен,ие
Следовательно, маrнитное поле в случае элептричеспоео мультипольноеQ
излучения порядпа l, т записывается в виде
:JC (r) == аЕ и, т) ЗС Е (l, т; r) )
и(+) (r) за пределами источнина.
ЗС Е (l, т; r) == Xlт (О, ф)
(2.6)
в этой записи поле харантеризуется амплитудой аЕ (l, т), умноженной
на стандартный безразмерный мнотитель, описывающий зависимость от про
странственных ноординат. Таним образом, амплитуда аЕ (l, т) имеет раз
мерность напрятенности поля (зарядjr 2 ).
Соответствующее элентричесн:ое поле для случая элептри'Чеспоео МУЛЬ
типольноео излу'Чения порядпа l, т можно подсчитать, применив н выраже
ниям (2.6) первое уравнение Мансвелла (2.2):
8 (r) == аЕ (l, т) 8Е (l, т; r) )
. i /"т за пределами источника.
8Е и, т; r) == V Х tJVE (l, т; r) )
, ')(.
Из формулы (1.7) видно, что элентричесному полю 8 соответствуют те ж0'
собственные значения операторов /z и /2, что И маrнитному полю ЗС.
Однано, будучи записанным в виде (1.8), элентричесное поле отвечает усло
виям: t (l, т; r) == О, g (l, т; r) =1= О, h (l, т; r) F О.
Элентричесн:ие и маrнитные поля, отвечающие маенитному мультиполь
ному излучению, можно получить аналоrичным путем, поменяв ролямц
8 изе. ДJJЯ .маенитноео излучения порядпа l, т за пределами источнИIШ
получаются следующие выражения, аналоrичные (2.6) и (2.7):
8 (r) == ам (l, т) ЬМ (l, т; r)
иi+) (r)
SM(l,m;r)== ')(.r Xlт(O, ф),
:JC (r) == ам (l, т) Х М и, т; r)
:JCM(l, т; r)== vxSM(l, т; r)
')(.
(2.7)
} "" пределами источвииа,
(2.8)
)
за пределами источнина; (2.9)'
J
таним образом, мы обосновали формулы (ХН, 2.7) и (ХН, 2.8) 1).
Нан леrно поназать, венторная сферичесная I'армонина X 1m (О, ф) пер
пендин:улярна во всех точнах сферы н радиус вентору r. Следовательно.
маrнитное поле, отвечающее элен:тричесному мультипольному излучению.
не имеет радиальной составляющей, в связи с чем это излучение иноrда
называют «поперочным маI'НИТНЫМ» излучением. Ero следовало бы назы
вать элонтричесним излучением, поснольну, нан: будет видно из дальней
шеrо, основная часть этоrо излучения обусловлена плотностыо элентричесноrо
заряда источнина, в то время нан: маrнитное (или (<поперечное элентри
чесное ») излучение обусловливается плотностью тона.
Следует отметить, что для l == О X tт == О. Поэтому мультипольноr()
излучения порядна l == О не существует.
3. ЭНЕРrия И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
мультипольноrо ИЗЛУЧЕНИЯ
Обратимся теперь н: энерrии и моменту ноличества движения, связан
ным с мультипольным излучением. Рассмотрим область пространства
в виде большой сфоричесной полости, онрутающей начало ноординат.
1) Выражения для элеRтричеСRИХ и маrнитных полей мультиполей вычислялись
в ряде работ, например [363, 345, 183, 163, 299, 267].
3. Эн,ереия и .мо.мен,т оличества дви:J1Cения .мультипольн,оео ивлучен,uя 623-
Энерrия элентромаrнитноrо поля, занлюченноrо в этой сферичесной полости"
дается выратением
Энерrия поля == 4: (8*8+ЗС*ЗС)dV. (3.1)
в этом выражении выписаны тольно члены, не заВИСЯЩие от времени,
тан: нан остальные члены не дают внлада в усредненные величины. Плот
ность ИМПУJIьса, связанноrо с полем, равна 1jc 2 , умноженному на вентор
Пойнтинrа (ноторый определяет потон энерrии), т. е. плотность импульса
равна (41tC) 1 (8 Х зе). Плотность момента ноличества двитения представ
ляет собой венторное произведение радиус вентора r и плотности импульса.
Следовательно, среднее по времени от полноrо момента ноличества дви
жения, связанноrо с полем, равно
G == (41tc) 1 r Х (8* х ЗС + 8 х ЗС*) dV. (3.2)
Нас интересует связь метду моментом ноличества движения поля
излучения и оператором беснонечно малоrо вращения, введенным в пре '
дыдущем параrрафе 1). Используя уравнения Мансвелла (2.2) и ряд BeH
торных соотношений, можно доназать следующее равенство:
x 1 [8* (J z 8) + ЗС* (JzЗС)] dV ==
==Проенция на ось z rх(8*хзе+ 8 х ЗС*)dV. (3.3)\
Для выполнения равенства (3.3) необходимо, чтобы все поверхноетные
интеrралы исчезали, т. е. напряженностн полей ДОJlтны обращаться
в нуль на rранице большоrо объема, в нотором зан:лючены поля. В наче
стве примера можно представить себе поле, внлюченное за нен:оторып
нонечный промежутон времени Т до рассматриваемоrо момента, и объем,
-выбранный таним образом, что ero радиус превышает сТ.
Рассмотрим, в частности, поле мультиполя порядна l, т. В этом случае
Jz8 == т8, Jz'JC == тзе и из формул (3.1) (3.3) непосредственно получается
следующий результат:
G z == : 4 1 п ([8 12 + I ЗС 12) аУ == ( ) х (Энерrия поля). (3.4)\
Следовательно, если поле содержит тольн:о 1 н:вант этоrо мультипольноrо из "
лучения, то этот нвант имеет энерrию, равную пш, и проен:цию момента ноли
чества движения на ось z, равную пт. Аналоrичное рассмотрение поназывает,
что в этом случае нвадрат момента ноличества двитения равен l (l-i" 1) п 2 .
Полученный результат доназывает утверждение о том, что наждому нванту
поля мультипольноrо излучения отвечает момент н:оличества двитения,
определяемый порядном мультипольности l, т, точно тан: же нан момент"
ноличества движения частицы определяется нвантовыми числами l и т 2).
1) Последующее доказательно, как и в основном оставшаяся часть этоrо приложения,
основываются на работе [267]. Единственные дополненил !{ этой работе имеются только в,
самом начале и конце этоrо приложения: вычисление оператора J из бесконечно малоrо вра-
щения и связь полей мультиполей с истОчником излучения (мультипольными моментами).
2) Из этих рассуждений следует, что момент количес"rва движения связан с полем
во всем пространстве, а не только с областью вблизи волновой зоны, как утверждал rайт-
лер [363]. Это нетрудно получить, если представить, что поле излучается в течение ко-
pOTKoro промежутка времени I::.t. В таком случае поле распространяется в виде сфериче-.
CKOro слоя и момент кОличества движения, связанный с полем, первоначально оказы-
вается локализованным в пределах этоrо расширяющеrося слоя.
Формулу (3.2) можно записать в следующем виде:
G == (4псr1 S [(r зе) 8 * (r 8 *) зе] dV + Н:омплеКСНО СОlIряженное.
ApryMeuTbl rайтлера основываются на том, что поля поперечны в волновой зоне.
624
ПриЛООtCенuе //. Мулътиполъное иалученuе
s 4. ИСТОЧНИКИ мУльтипольноrо ИЗЛУЧЕНИЯ;
МУЛЬТИIЮJlЫIЫЕ МОМЕНТЫ
Свяжем теперь п:шучоние с ero источнин:ами и определим амплитуды
аЕ (1, т), входнщпе в (2.6) и (2.7) н:ан: фунн:ции ПJlOТНОСТИ тон:а и HaMar
ничения источнина излучения. Имея в виду последующее приложение
1. ядрам, буде:v! предполаrать, что источнин: харантеризуется не тольн:о
распределением тон:ов j (r) и зарядов р (r), но и распределениом намаrни
чения М (r). В этом случае уравнения Ман:свелла ДJIЯ периодичесн:и
меняющеrося во uремени ПОJlЯ имеют следующий вид 1):
с (v х ЗС) == iwS + 47tj,
с (v х Ь) == iw (ЗС + 47tM),
div j == iwp.
(lI.1a)
(4.1б)
(4.1в)
(2.2).
полу
( 4.1).
За предолами источнин:а уравнения (4.1) сводятся н уравнениям
Кроме T01'0, нам потребуются уравнения для одноrо поля S или Х,
чаемые в реЗУJlьтате иснлючения одноrо из полей из уравноний
Эти уравнения имеr6т следующий вид ('1. == W / с):
((v Х v) х J'C) 'l.23С == 4тс [(v Х j) + С'l.2М],
с
tJтcix .
((v Х v) х b) 'l.2!; == c[J+C(V хМ)].
(4.2а)
( 4.2б)
Полученныо уравнения, очевидно, служат обобщением (2.4) при наличии
источнина.
Будем иснать решения уравнений (4.2), имеющие харю.тер мульти
ПОЛЫfЫХ излучений. НаЧНLJМ с ЭJlентричесноrо излучения порядн:а l, т.
В 2 БыJJo поназано, что мarнитное поле ДОШННО быть типа (2. )). Требо
ванне таIЮ1'0 СПLJциаЛЫI01'О шща поля вытенает из рассмотрениii свойств
еим:vIOТРИИ (момента Н:ОJIичества движения и четности) н поэтому не изме
ннетен при: наличии IТСТОЧНlшов поля. С ДРУ1'ОЙ стороны, фушщии fE (l, т; r),
онредеJIOНllые COrJJaCHO (2.3), уже HLJ будут У)ЩПJlетворять дифференциаль
НОМУ уравнению (2.5). Соответствующее данному случаю ДИффОрLJнциаJJьное
уравнение находится путем подстановн:и (2.3) в уравненио (4.2а), сн:аляр
llOl'() умножения X1'm (е, ф) на дифференциальное уравнение (4.2а) и интеrри
РО13ания по BCLJM уrлам (но не по r). В результато ПОJ1учается
[ d2 1 (l + 1) .2 ] . .
dr 2 + r 2 )( fE (l, т, r) К Е (l, т, r),
(4.3)
rде член, связанный с источНlШОМ, имеет следующий вид:
КВ (l, т; r) == : [xtm (8, ф)][(v + j) + сх2М] dQ.
(4.4)
Одпю\О эта поперечпость пе яплнстся полной. S или ЗС, или же оба поля, обладают ра-
диаJ1Ы1Ы IИ состапляющими, пропорциональными r 2, так что (r Ь) или (r зс), или же оба
эти пыражешш НрОНОрЦLЮ1ID.JlЫ1Ы r l, 11, слсдопательно, вносят конечный вклад в инте
rpD.J1 даже IJ ире делах IJOJlllОПОЙ воны.
1) Ура[JIJ('llИе пепреРЫПIlОСТИ (4.1п) не вависит от предшествующих уравнении.
Ив этих трех ураnТll'lШЙ ВИДIlО, что 11меют место следующие равенства:' divS==' тcp и
(iiv (JC+;, то JI:1) l!iv(B)==O, предстаIJJIiIющие собой остальпые уравнения !\Iю{свелла.
Т;шой СlТособ l!lJJlУЧl'Н ИН остаШПIlХСЯ уравнений МаСlшелла прп помощи трех ypaBHe
пий (1.1) ОСllOнап на Прl ДПО;JОЖl'IJИП, ЧТО Шор О, п, сJll'доватl'лыf,, неприrОДIlО n случае
статИЧСС1ШХ I10,iIl'Й (l{оторые не предстапляlOТ для пас интереса).
4. Источнипи .мулътиполъноео иалучения; .мулътuполъные .мо.менты 625
в выратении (4.4) инТ€rрирование проводится по всем уrлам (но не по r).
За пределами источнина К исчезает и Получается уравнение (2.5), реше
нием HoToporo служит (2.6).
Аналоrичные выражения имеют место и для .мar:щuтuоео излучения
порядн:а 1, т. В этом случае элен:тричесн:ое поле определяется выражением
типа (2.3):
8 == r llM (1, m;r) X 1m (Й, ф) (маrнитное излучение), (4.5)
У'Де 1111(1, т; r) ущ)влетворяет дифференциальному уравнению, ноторое отли
чается от (4.3) членом, связанным с источником и имеющим в этом случае
следующий вид:
47ti%r \ * й
KM(l,m;r)== J[Xlm( ,ф)] [j+C(VXM)]dQ. (4.6)
l\at\ и в выражении (4.4), интеrрирование ПРОВОДится тольно по У1'лам
(а не по r). За пределами источнина член (4.6) исчезает, и ЭJIентричесн:ое
поле, отвечающее маrнитному ИЗJlучению, определяется соrласно (2.8).
Уравнение (4.3) совместно с выражениями (4.4) и (4.6) ПОЗВОляет опре
делить амплитуды полеЙ аЕ (1, т) и ам (1, т) за пределами ИСТОЧНИI\а.
МЫ получим решение уравнения (4.3) с источнин:ами (4.4) и (4.6) для
всех r, а, затем найдем асимптотичесн:ое поведение IE и 1м при больших r.
Сравнение асимптотичесн:оrо вида IE с (2.6) позволит определить ампли
туду аЕ (1, т), в то время нан сравнение аСИМптотичесн:оrо вида 1м с (2.8)
позволит определить амплитуду ам (1, т).
Фунн:ция I'рина уравнения (4.3) может быть заПисана при помощи
решений однородноrо дифференциаЛЬНОI'О уравнения, :Кроме ИСПОЛЬЗ0ванпоrо
до сих пор решения в ниде расходящейся волны uf+) (/') [см, (VIII,2.41)]
нам потребуется таюне реrулярное решение Fl (r) [см. (VIII, 2.39)].
Обозначим через r < меньшую из величин r и r', а через r> большую
из величин r и r'. Тоrда фующия rрина уравнения (4,3), ОПисывающая
IIспусн:аемое излучение, имеет следующий вид:
1
G (r, r') == 'l: Fl (r <.) uf+) (r».
(4.7)
Решение уравнения (4.3) для ПРОИзвольных значений r есть
со
fE (1, т; r) == G (r, r') К Е (r') dr'. (4,8)
о
Нас интересует лишь аСИМПтотичесн:ое поведение этоrо решения при
больших r за пределами источнин:а. В этом случае в интеrрал (4.8) вн:лад
вносят значения r', меныпеe r, . тан: что r < в (4.7) можно отождествить
с r', а r> с r, что дает
со
(]:; (1, т; r) == [ P l (/") К Е (/") dr' ] ui+) (r), :за пределами ИСТОЧНlн,а. (4,9)
о
Сравнепие (4.9) с выражениями (2.3) и (2.6) приводит 1\ следующему
выражению для амплитуды элен:тричеСI{оrо ИЗJIучения:
со
а]:; (1, т)== FI(r)KE(r)dr== п FI(r)Xrm[(V х j)+cx 2 M]dV. (4.10)
о
Совершенно анаJ101'Ичные вычисления дают следующий реЗУJIьтат для
амплитуды маrнитноrо излучения:
со
aM(I, т)== \ F I (r)K M (r)dr=-= 47ti% \ FI(r)Xrт[j c(V Х M)]dV. (4.11)
с J r
о
10 Занаа,N, 396
626
Прилоэк:ение //. Мулътиполъное имучение
Последние интеrралы в формулах (4.10) и (4.11) распространяются
на весь объем, содержащий источнин:. Следует подчерн:нуть, что формулы
(4.10) и (4.11) являются точными выражениями. При выводе их не дела
лось нан:их либо предположений (подобных преДПОJlOжению о том, что ДJIина
волны велина по сравнению с размерами источнин:а). Мультипольные поля
и соответствующие части источнин:а идентифицировались соrласно свойствам
симметрии при вращении и отражении, т. е. соrласно свойствам,
ноторые не зависят от длины волны и непосредственно следуют из OCHOB
ных СllОЙСТВ инвариантности уравнениЙ Мансвелла. Эти соотношения были
независимо получены при помощи друrOl'О метода в работе [764].
Однано сейчас имеет смысл предположить, что длина волны ЭJlентромаr
НИ'I'НО1'0 излучения велин:а по сравнению с размерами и<.;точнин:а, Т. е. что
xr 1 для всех значений r, вносящих вн:лад в интеrралы, входящие
(1 (4.10) и (4.11). В этом случае реrулярное решение FL(r) можно заме
нить ero асимптотичесн:им видом при малых значениях r, а именно
(xr)L+lj(2li 1)!! Воспользуемся танте точным выратением (1.6) для X 1m
И используем эрмитовость оператора L, что позволит получить вместо (1.10)
следующее приближенное llыражение:
41t у) + 1 .
аЕ и, т) y r1ytт (О, ф)[L (v х j) + сх2 (LM)) dV. (4.12)
с (2l+1)1! l(l+1)
Используем теперь СJlедующие вен:торные тождества:
L (v х j) == i ([(rv) + 2](V j) V 2 (rj)},
(LM) == iV (rX М).
( 4.13)
lJ ри помощи уравнения непрерывности (4.1в) j можно выразить через
плотность тона р. В этом случае интеrрал в фОРМУJlе (4.12) принимает
следующиЙ вид:
r1ytm(O, ф) [ш(rv)р+2 ш р+iv 2 (rj)+iсх 2v (rМ))dV.
Приведем теперь интеl'рирование по час'l'ЯМ. Тоrда оператор (rv) ==
== r (8 j8r) даст множитель (l + 3), а лапласиан V 2 , примененный н: фунн
ции rlYfт, даст НУJIЬ. Тюшм образом, онончательно получим 1)
l 41t ( l+1 ) 1f2 1+2 (Q Q ' )
aE(,m) (ll+1)1! х Iт+ 1т,
( 4.14)
rде
Qlт == rzyrm (О, ф) р r) dv',
Q[m == l 1 r1ytm (О, ф) div (r хМ) dV.
АнаJlOrичные ВЫЧ1!(' ления позволяют получить из (4.11)
rrpиближенное выражение 2):
( 1 ) "'" 41t ( l+1 ) 1f:!..1+2 ( M LM' )
ам , т (2l+1)11 )( lmT' 1т,
(4.15)
(4.16)
следующее
( 4.17)
1) Может показаться странныы, что Iюнечный результат зависит от nJIОТНОСТИ тока j
только через посредство (Vj) (т. е. через посредство р), в то время кю{ точпое выражение
(4.12) содержало .i лишь в Iюмбинации (Vxj). ЕСJIИ, однако, div и rot BeKTopHoro полн
приниыают прОИЗIJОJIЫIЫС нсзанисимые значения, то поле на больших расстояниях будет
убывать лишь очень медленно, IШI{ r 2. И наоборот, если известнО, что .i тождественно
равно нулю за прсдr.пами источника радиуса В, то (V j) и (V х j) уже не будут незаВИСI1МЫМИ
друr от дру!':\.
2) Выбор противоположных знаков в (4.14) и (4.17) п:родиктонан необходимостью
получить физичеСIШ разумные ЗНaIШ у ЫУJIЬТИПОЛЬНЫХ моментов Q 11 М.
б. Равложенuе пЛОСIrОЙ волны по .мулътuполл.м
627
r)l;e
M lm == C(l 1) rlYrm(O, ф)div(rхj)dV, (4.18)
И[т== r1ytm(0, ф)divМdV. (4.19)
В противоположность формулам (4.10) и (4.11) выражения (4.14) (4.19)
()н:азываются JIИШЬ приближенными. Их занонность зависит от справеДJIИ
вости предположения о том, что длина волны испусн:аемоrо ЭJIентромаПIlIТ
Horo излучения велин:а по сравнению с размерами источнина.
5. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ВОПНЫ ПО МУ.i'IЬТИПОЛЛМ
Рассмотрим для удобства элен:тромаrнитное излучение, поляризованное
по Hpyry. Элен:тричесн:ий вен:тор в случае правой и левой нруrовоЙ поля
ризации элен:тромаrнитноЙ волны, распространяющейся в направлонии оси
z, дается следующим выражением:
( 1 ( . ) . .
8 r) == у2 ех:!:: le y e'"Z == + e'XZ Х:!: 1,
(5.1)
в н:отором верхний знан: отвечает правой нруrовой поляризации, а
знан: левой н:руrовоЙ поляризации. Маrнитное поле определяется
нием Ман:свелла (2.2) для свободноrо пространства:
JC (r) == (e z Х 8 (r)) == ie ixz Х:!: 1.
нижний
ураlЗне
(5.2)
Используем теперь ДJIЯ энспоненты разложение (приложение 1, 3.1)
и (приложение 1, 3.2) и выразим произведение Y l . O (О) Хт, используя (при
.ложение 1,5.51) с помощью вен:торных сферичесних rармонин y7t"l.
Результат имеет следующий вид 1):
ro J+I
8 (r) == +] ] i l f/ 47t (2' 1) C 11 (J, :f: 1; О, :f: 1) i[ (и) yJJ1 (О, ф), (5.3а)
J I I==J 1
ro J+I
:JC(r)== ] i lH V47t(2L+ 1)C I1 (J,:i: 1; О,:!: 1)i[(xr)YJJ1(0, ф). (5.3б)
J I I J 1
МЫ видим, что в' разложении участвуют толы\О мультиполи, отвечающие
М == :f: 1. Это является следствием Toro, что момент н:оличества движения
нвантовался относительно направления распространения пучиа, таи что
момент Н:ОЛИ[Jества движения имеет т 1 == О, а спин фотона хотя и равен еди
нице, однано ВСJIOдствие поперечпости элен:тромаrнитпоrо поля харан:теризует
ся толы\О двумя проеициями на ось, поснольиу вен:тор Хо == e z при тв == О
оиазывается продольным. Более Toro, в этом разложении участвует тольн:о
реrулярная сферичесн:ая фунн:ция il (и) == (и) 1 Р[ (r), поснольиу плосная
волна (5,1) является реrулярной фуницией во всем пространстве, вн:лючая
точку ,. == О.
Чтобы Щjивести разложение (5.3) и обычному llИДу, обратимся и членам,
содержащим вен:торные сферичесн:ие rармонин:и Y Т1 с l == J, т. е. BeН:TOp
ные сферические rармонин:и X JM , определенные соrласно (1.6). В табл. 39
(приложение J) приведены соответствующие н:оэффициенты Клебша ЖордаJJа:
C I1 (J==l, :f: 1; О,:!: 1)==+ V .
· "1) Член, отвечающий J==O, Отсутствует, ПОСкольку M==тt+тs ВИRоrда не раВIIО
кулю.
40*
li2S
Прило;жение 11. МулътипОЛЪное иалучение
Соrласно приведенным в 2 aprYMeHTaM, члены в выражении (5.3а) для
Б (r), пропорциональные XJM, мотно отождествить с маrнитным излучением,
а члены в выражении (5.3б) для JC(r) c элен:тричесн:им излучением. Mar
нитное поле в случае маrнитноrо излучения и элен:тричесное поле в случае
ЭЛOI\Тричесноrо излучения находятся из уравнений Ман:свеJша (2.2) для
.свободноrо пространства. В результате получается (при замене l на J)
ro
b(r)== i 1 V27t(2l+1) {:!:: rot иl (xr)Xl. cl lH ;1 (xr)Xl"t1 },
1==1
(5.4а)
ro
зс (r) == i l Y27t (2l + 1) { 1= ii 1 (и) Xl, J 1 f rot [jl (и) Xl,:I:1] }. (5.4б)
1==1
Таким образом, требуемое разложение плоскоЙ волны (5.1) и (5.2)
получено. Первый член в н:атдой сноБRе отвечает элеRтричесн:ому излуче
нию, второй маrнитному.
э 6. ВЕРОЯТНОСТЬ IIоrЛОЩЕНИЯ КВАНТА ЭЛЕКТРОМАrнитноrо
ИЗЛУЧЕНИЯ
Определим вероя'l'НОСТЬ перехода системы из низшCl'О состояния а
в более высон:ое состояние Ь, сопровотдающеrося поrлощени()м нванта
элен:тромаrНИТIЮJ'О излученин, ВХОДflJцеrо в состав неполяризованноrо пада
ющеrо пучна. Будем предполаrать, что пучон распространяется вдоль оси z
и не является монохроматичным. В нем содержатся все частоты, близн:ие
1\ резонансной частоте (J)ab == (Еь Еа)/п, причем число нвантов с частотой
в интервале от (J) до (J)+d(J), падающих на 1 см 2 в 1 сен:., равно 3 (ш)d(J).
ПреДПОJIОЖИМ танже, что четность и момент н:оличества движения состояний
а и Ь тановы, что переходы MorYT сопровотдаться тольн:о поrлощением
элО!,тричеСНОl'О МУJIЬТИПОЛЬНО1'0 излучения порядна ll).
НаЙдем связь вероятности поrлощения А Е (l) с вероятностью. самопро
ИЗВОЛЬНОI'О испуснания ТЕ (l, т), ноторая была введена в rл. ХН, 3 и
определяется СОl'лаСIlО (ХП, 3.21). В падающей плосн:оЙ волне содержатся
тольно МУJIЬТИПОЛИ с нвантовым числом т == :!:: 1; следовательно, поrлоще
ние представляет собоЙ обратныЙ процесс .по отношению н испуснанию
мультиполя порядна l с т == :!:: 1. Таним образом, вероятность поrлощения
А Е (1) пропорциональна сумме вероятностей испускания: ТЕ (l, т == 1) и
Т];; (l, т == 1); кроме 1'01'0, она пропорциональна потон:у падающеrо излу
чеllllН с частотоЙ, paBHoii: Ш аЬ ' Т. е. пропорциональна 3 (ш аь )' ПО::JТОМУ можно
написать
AE(I)==qj 3 (шаь)[ТЕ(l, 1).: l'E(l, 1)],
(6.1 )
1'т\е ql 1I0етошшая, н:оторую необходимо определить.
Для наХОIНдения ql используем тот фант, что вероятности двух обрат
ных процессов (ПОI'лощения и самопроизвольноrо, испускания) равны, если
ТОJIЫЮ интенсивность падающеrо элен:тромаrнитноrо излучения при ПОl'ЛО
щеIШИ тю\Ова, что наждому собственному н:олебанию поля излучения COOT
ветствует 1 квант. При ::JTOM условии статистические веса н:онечных состояний
обратных процессов равны: каждому собственному колебанию при иcпyc,.a
1lИи Iшанта соответствует одно собственное нолебание при пО3ЛОЩeflии нванта.
Обозначим через 30! (Ш аЬ ) поток элен:тромаrнитноrо излучения, отвечающий
1) Это предположение сделано для сохранения простоты и без труда может бы ь
.опущено.
8 6. Вероятность поелощения вaHтa эле1<тром,а2IЩlJIноео иалучения 629
мультипольному излучению порядн:а 1 и соответствующий поставленному
выше условию. В этом случае
А Е (/) == ТЕ (1, 1) ТЕ (/, 1) == qt SOl((I)ab)[TE>(/, 1Н ТЕ (/, 1)], (6.2)
тан: что н:оэффициент ql в (6.1) будет иметь вид
1
qt == Sol ("'аЬ) .
(6.3)
Тан:им образом, задача сводится н определению потон:а SOl ((1)), отвеча
ющеrо 1 н:ванту элен:тромаrнитноrо излучения в наждом собственном Jюле
бании поля излучения с МУЛЬТИПольностью порядна 1. Для определения
числа собственных н:олебаний занлючим поле излучения в сферу БОЛЬШО1'0
радиуса R с абсолютно отражающими стенн:ами (на н:оторых должны
исчезать танrенциальные составляющие элентричесн:оrо поля). Собственными
(нормальными) н:олебаниями поля излучения в этой сфере будут стоячие
вОлны определенной МУЛЬТИПОльности. ЭJшнтричесн:ие нолебания имеют
,следующий вид:
ЬЕ (/, т; r) == (V х иl (и) X 1т ]),
Ж Е (/, т; r) == it (и) X lт ,
rде it (и) бесселева фующия, ИСпользованная в прилотении У, 3. Mar
нитные мультипольные н:олебания получаются заменой :JC Ь, S Ж.
В любом случае rраничные условия при r == R оrраничивают возможные
8начения волновоrо числа х. Определим число нормальных н:олебаний,
отвечающих МУЛЬтипольности порядна 1, т и имеющих волновое число х
в интервале между х и х + ах. Обозначим это число через z (х) ах (оно не
зависит от 1 и т). В этом случае из асимптотичесн:оrо поведения бесселе
вых фунн:ций (приложение 1, 3.4) и rраничных условий на стеннах сферы
следует, что
(6.4)
R R C d "' )
z(x)dx== dx== .
7t 7t С
(6.5)
Построим теперь плосную волну, н:оторая соотвотствовала бы вначале
непрерывному спен:тру частот. Тан:ая волна представляет собой HeHorepeHT
ную суперпозицию волн типа (5.1) с частотами (1) в пределах HeHoToporo
н:оне,чноrо интервала частот. Обозначим амплитуды волн (5.1) с частотой (1),
отвечающих правой и левой HpyroBblM поляризациям, соответственно через
A l((I)) и A z ((1)). Интенсивность волны с правой н:руrовой поляризацией в
интервале частот d(l) равна I A;z ((1)) /2d(l). Выберем амплитуду АOl ТaJ.им образом,
чтобы число нвантов Мультипольности 1, т в интервале частот (1) до (1) +dФ
определялось соrласно (6.5). В этом случае потон: н:вантов (число Iшантов,
падающих на 1 см 2 в 1 сен:.) в интервале частот d(l), отвечающий этой
волне, равен Sol ((1)) d(l).
Определим амплитуды A;z и A;z. Элен:тромаrнитная энерrия, переноси
мая плосн:ой волной и связанная с данной Мультипольностью (например,
с элен:тричесн:ой мультипольностью порядн:а 1, т), мотет быть найдена
путем подстанов:iш соответствующеrо члена из (5.4а) в (3.1). Посн:ольн:у
входящие в состав пучн:а частоты, по предполотению, HeHorepeHTHbl, CMe
шанные члены выпадают и энерrия аЕ, связанная с интервалом частот от
(1) до (1) + d(l) и мультипольностыо порядна 1, т == + 1, он:азывается равной
R
dE(/, т== +1)==(2/-+ 1) Л(xr)r2drIА l((I))12d(l) ==(2/+1) 2:Э IA l«(I))12d(l),
о
( 6.С)
t52'3
Прuло;ж;енuе 11. МультuпОЛЬНое uалученuе
Соrласно приведенным в 2 aprYMeHTaM, члены в выражении (5.3а) для
Б (r), пропорциональные X JM , можно отождествить с маrнитным излучением,
а члены в выражении (5.3б) для ;]с (r) с электричесним излучением. Mar
нитное поле в случае маrнитноrо излучения и элен:тричесное поле в случае
электричесноrо излучения находятся из уравнений Ман:свелла (2.2) для
.свободноrо пространства. В результате получается (при замене l на J)
00
8 (r) == 2} i 1 V27t (2l + 1) { ::J: rot [fl (xr) Xl.:l 1 ]: ;1 (xr) XI..ll } ,
1==1
(5.4а)
00
JC (r) == 2} i l y27t (2l 11) { =F ijz (и) Хl, J, 1 + rot [jl (xr) X 1 ,:l:l] }. (5.4б)
1==1
Таким образом, требуемое разложение плоскоЙ волны (5.1) и (5.2)
получено. Первый член в натдой скобке отвечает электричесн:ому излуче
нию, второй маrнитному.
э 6. ВЕРОЯТНОСТЬ lIоrЛОЩЕНИЯ КВАНТА ЭЛЕКТРОМАrнитноrо
ИЗЛУЧЕНИЯ
Определим вероятность перехода системы из НИЗШО1'0 состояния а
в более высоное состояние Ь, сопровотдающеrося поrлощением н:ванта
элен:тромаrнитноrо излучения, входящеrо в состав неполяризованноrо пада
ющоrо пу'ша. Будем предполаrать, что пучок распространяется вдоль оси z
и не является монохроматичным. В нем содержатся все частоты, близн:ие
li резонансной частоте W ab == (Е ь Е а )/п, причем число нвантов с частотой
в интервале от W до w+dw, падающих на 1 см 2 в 1 сен:., равно 8 (w)clw.
Предположим тан:же, что четность и момент н:оличества движения состояний
а и Ь TaK013bl, что переходы MorYT сопровождаться тольн:о поrлощением
электричесноrо МУЛЬТИПОЛЬНО1'0 излучения порядна ll).
Найдем связь вероятности поrлощения А Е и) с вероятностью' самопро
ИЗВОJIЬНОl'О испуснания ТЕ и, т), ноторая была введена в rл. ХН, 3 и
определяетсн со!'Ласно (ХН, 3.21). В падающеЙ плосн:оЙ волне содержатся
только мультиполи с н:вантовым числом т == ::J: 1; следовательно, ПОl'лоще
ние представляет собой обратныЙ процесс 'по отношению н: испусн:анию
МУJIЬТИlIОЛЯ порядна l с т == ::J: 1. Таним образом, вероятность поrлощения
А Е (l) пропорциональна сумме вероятностей испусн:ания: ТЕ (l, т == 1) и
ТЕ (l, т == 1); н:роме Toro, она пропорциональна потон:у падающоrо излу
чеВllН с частотоЙ, рашюй W ab ' т. О. пропорциональна 8 (w ab ). ПО::JТОМУ мотно
написать
А Е и) == q, 8 (wab)[T E (l, 1): ТЕ (l, 1)],
(6.1)
I'де ql постоннная, н:оторуlO необходимо определить.
ДШI нахошдония ql используем тот фант, что вероятности двух обрат
пых ПРОЦС'ССОll (поrлощения и самопроизвольноrо испускания) равны, если
ТОJIЫЮ интенсивность падающеrо элен:тромаrнитноrо излучения при поrло
щешlИ ТaIюпа, что наждому собственному н:олебанию поля излучония COOT
BeTCT13yeT 1 нвант. При этом условии статистичесние веса н:онечных состояний
обратных процессов равны: наждому собственному нолебанию при иcnyc,.a
нии нванта соответствует одно собственное н:олебание при nоз'!/'ощеflии н:ванта.
Обозначим через 801 (ш аь ) потон: элен:тромаrнитноrо излучения, отвечающий
1) Это предположение сделано для сохранения простоты и без ,труда может бы!f.ь
опущено.
8 6. Вероятность nоелощения вaHтa эле1<трома2ниllтоео иалучения 629
мультипольному излучению порядн:а l и соответствующий поставленному
выше условию. В этом случае
А Е (l) == ТЕ (l, 1) + ТЕ (l, 1) == ql SOl ((I)ab)[TE,(l, 1Н ТЕ (l, 1)], (6.2)
тан: что н:оэффициент ql в (6.1) будет иметь вид
1
ql == Sol (ШаЬ) .
(6.3)
Тан:им образом, задача сводится 1\ определению потон:а SOI ((1)), отвеча
ющеrо 1 н:ванту элен:тромаrнитноrо излучения в н:аждом собственном ноле
бании поля излучения с мультипольностыо порядна l. Для определения
числа собственных нолебаний зан:лючим поле излучения в сферу большоrо
раДиуса R с абсолютно отражающими стенн:ами (на н:оторых долтны
исчезать танrенциальные составляющие элен:тричесн:оrо поля). Собственными
(нормальными) н:олебаниями поля излучения в этой сфере будут стоячие
волны определенной мультипольности. Элен:тричесн:ие н:олебания имеют
.следующий вид: .
ЬЕ (l, т; r) == (v х и! (xr) Xlтl),
%
ЖЕ (l,m; r) == il (и) X 1т ,
rде i l (и) бесселева фующия, использованная в приложении 1, 3. Mar
нитные мультипольные н:олебания получаются заменой Ж Ь, S Ж.
В любом случае rраничные условия при r == R оrраничивают возмотные
8начения волновоrо числа х. Определим число нормальных н:олебаний,
отвечающих МУЛЬтипольности порядна l, т и имеющих волновое число х
в интервале между х и х + dx. Обозначим это число через z (х) dx (оно не
зависит от l и т). В этом случае из асимптотичесн:оrо поведения бесселе
вых фунн:ций (приложение 1, 3.4) и rраничных условий на стеннах сферы
следует, что
(6.4)
( R R ( dш )
z x)dx== dx== .
7t 7t С
(6.5)
Построим теперь плосн:ую волну, н:оторая соответствовала бы вначале
непрерывному спен:тру частот. Таная волна представляет собой HeHorepeHT
ную суперпозицию волн типа (5.1) с частотами (1) в пределах HeHoToporo
ноне,чноrо интервала частот. Обозначим амплитуды волн (5.1) с частотой (1),
отвечающих правой и левой HpyroBblM поляризациям, соответственно через
A I((I)) и A ! ((1)). Интенсивность волны с правой н:руrовой поляризацией в
интервале частот d(l) равна I А;! ((1)) 12d(l). Выберем амплитуду АО! та ним образом,
чтобы число нвантов Мультипольности l, т в интервале частот (1) до (1) + dlJ)
определялось соrласно (6.5). В этом случае Потон н:вантов (число Iшантов,
падающих на 1 см 2 в 1 сен:.) в интервале частот d(l), отвечающий этой
волне, равен SOl ((1)) d(l).
Определим амплитуды A ! и A;z. Элен:тромаrнитная энерrия, переноси
мая плосн:ой волной и связанная с данной мультипольностью (например,
с элен:тричесн:ой Мультипольностью JIорядн:а l, т), мотет быть найдена
путем подстановi\и соответствующеrо члена из (5.4а) в (3.1). Посн:ольну
входящие в состав пучн:а частоты, по предположению, HeHorepeHTHbl, CMe
шанные члены выпадают и энерrия dE, связанная с интервалом частот от
(1) до (1) + d(l) и мультипольностью порядна 1, т == + 1, он:азывается равной
R
dE(l, т== +1)==(2l+ 1) jf(xr)T 2 dr[ A l((I))12d(l) ==(2l+1) 2:Э IA I((I))12d(l),
о
( в.С)
630
Прuлжж:енuе //. МультипОЛЬное uалученuе
причем при вычислении интеrрала использовано асимптотичесн:ое выраже
ние для il (и) (приложение 1, 3.4). Аналоrичное выражение получается.
для аЕ (l, т == 1).
Число нвантов определенной мультипольности в рассматриваемом интер
вале частот равно clЕj(пш). Приравнивая это выратение выражению (6.5),
получим
I А()l(Ш) 12 == I A l (ш) 12 == ( ncЫ ) %2 (2l i 1) l.
(6.7)
Теперь, ПОСI\ОЛЬНУ известны амплитуды, остается в основном опреде
лить потон нвантов, отвечающий этой плосной во,тше. Потон: Эllерзuu ОlJреде
ляется средней величиной вентора Пойнтинrа, т. е. выражениями (ХН, 3.13)
и (ХН, 3.14). Тан:им образом, IJОТОН: энерrии, отвечающий интервалу
частот dш, равен:
Поток энерrии в интерва.:Iе dш == ;тс [[ A l (ш) 12 + I А;l (ш) \2] dш.
(6.8)
ПОТОI\ нваlIТОВ получается из (6.8) путем деления на энерrию н:ваlIТОII
nш, причем результат следует приравнять 801 (ш) dш. В этом случае полу
чается следующее он:ончательное выражение для коэффициента ПрОIJОрЦИО
нальности qp входящеrо в формулу (6.1): .
1 тс 2
qL == Sol (ы) == (2l 1) 2%2 .
Выратения (6.1) и (6.9) вместе с формулой (ХН, 3.21) для вероят
ности перехода ТЕ (l, т) и приводят К выражению (ХН, 3.25) для вероят
ности поrлощения.
а
aE(I, т)
а м (1, т)
А (r)
А'
AE(I)
А (.J, М; r)
А(н (ш)
АОl (ш)
ь
в
с
G L1 (.J, М; т, т')
(6.9)
ОБОЗНАЧЕНИЯ
KBaHTOBoe состояние материальной системы до испуснания ИЗЛУЧi
ния (s 6).
амплитуда электричесноrо мультипольноrо излучения порядка
1, т (2.6).
амплитуда маrнитноrо мультипольноrо излучения порядка
1, т (2.8).
общая запись BeKTopHoro поля (s 1).
векторное поле А после вращения системы ноордина т (1.1).
отнесенная н единице времени вероятность перехода а Ь, сопро
вождающеrося поrлощением нванта элентричесноrо мультипольноrG
излучения порядка 1 (s 6).
часть BeHTopHoro поля А (r), отвечающая полному моменту НОЛИ
чества движения J и проенции Мполноrо момента на ось z (1.8).
амплитуда волны с частотой ю и правой нруrовой поляризацией,
входящей в состав падающеrо пучна (s 6).
амплитуда волны с частотой ш и левой круrовой поляризацией,
входпщей в состав падающеrо пучка (s 6).
квантовое состояние материальной системы после испуснаНИfI
излучения (s 6).
BeHTOp маrнитной ИIIДУНЦИИ (s 4).
CI(opOCTb света (2.2).
коэффициент Клебша Жордана; относительно ero определеНИiI и
СIJOЙСТВ СМ. приложение 1, S 5 (1.5).
0608на'Чения
6зt
dR(l, т)
dQ
е т
е х
е у
e z
Еа
Еь
8 == 8 (r)
8 (r, t)
8 в (l, т; r)
8 м (l, т; r)
f (r)
f+ (r)
f (r)
f(J, М; r)
f E (l, т; r)
1м (l, т; r)
Fl (r)
g(J, М; r)
G
G(r, r')
JI(J, М; r)
х==ж (r) .
JCE(l, т; r)
Хм (l, т; r)
j==j (r)
i L ('x.r)
.1
.12
J z
J
KE(l, т; r)
хм (l, т; r)
ЭIIерrия, содержащаяся в интервале частот от '" до '" + d", и свя
занная с мультипольным излучением ПОрЯДI{а [, т (6.6).
элемент телесноrо уrла (1.10).
единичный вектор в направлении радиуса (9 1).
единичный вектор в направлении оси х (1.4).
единнчпый вентор в напраплении оси у (1.11).
единичный вектор в направлении оси z (1.4).
энерrия системы в квантовом состоянии а (s Б).
энерrия системы в квантовом состоянии Ь (9 6).
вш{тор ЭЛе!{трическоrо нолн, меняющеrося во времени периоди
чески (2.1).
BCI{TOP электрическоrо ноля, мепяющсrося во времени произволь
ным образом (2.1).
эл('ктричесное поле в случае Э.'Iентрическоrо мультиполыюrо излу
чения порядна [, т (2.7).
ЭЛCIприческое поле в случае маrнитноrо мультиполыюrо излу
чения порядка [, т (2.8).
произвольная фушщия r (1.7).
фУНIщия, КОТОРУЮ можно получить И3 f (r) (1.7).
ФУIJКЦИЯ, НОТОРУЮ можно ПОJlУЧИТЬ из f (r) (1.7).
ноэффициент при венторной сферичесной I'a РМОНИI{е Х J М в разло
жении BeKTopHoro ПОШI по мультиполпм (1.8б).
радиа.тrьная часть поля электричесноrо му.lIЬТИПОJШ порядка
[, т (2,3).
радиальная чаеть поля маrнитпоrо мультиполп ПОРЯДI{а [, т (4.5).
реrулярное решение радиаЛЫlOrо уравпения, отвечающеrо моменту
ноличества движения [; отноеительно ero определения см. фор
мулу (УIII, 2.39) (4.7).
ноэффициент при векторной сферической rармонике у1 J+1, 1
в разложении BeKTopHoro поля по МУJIЬТИПОЛЯМ (1.86).
MOMeHT количества движения поля излучения в целом (3.2).
функция rрина для радиалыюrо уравнuния (4.7).
Iюэффициент при векторной еферической rармонине У J; J 1. 1
вразложепии BeKTopHoro поля по МУЛЬ'fиполям (1.86).
вектор маrнитноrо поля, менюощеrося во в ремени периоди
чесни (2.2).
маrнитное поле в елучае электрическоrо мультипольноrо излуче
ния поряДlШ [, т (2.6).
маrнитное поле в случае маrнитноrо МУЛЬТИПOJIьноrо излучения
порядка [, т (2.9).
ШIOТНОСТЬ тока, отвечающая источшшу излучения (4.1).
сферическая 6ееселеl!Э функция; относительно ее определения
и свойств ем. приложепие 1, 9 3 (5.3).
Iшантовое чиело полноrо момепта количества движеIПШ, опреде
ляемое уравнением РУ ==J (J + 1) у (1,5).
ЮJaдрат абсолютной величины Ве!,тора J (s 1).
проекция вектора J па оеь z (1.2)
опера'rор момента ноличества движения BeKTopHoro поля (9 1).
ЧJlCН В радиальном волновом уравнении, связанный с источником
поля электричесноrо мультиполя ИОРЯДI<а [, т (4.3), (4.4).
член в радиальном волновом уравнении, связанный с источником
поля маrнитноrо мультиполя порядка l, т (4.6).
632
Прило;ж;ение //. 1lfулътиnолъное ивлучение
L
Lz
т
т
т'
М
.
М==М (r)
M lm
М/т
ql
QlIn
Qlm
r
r<
r>
R
S
Sz
S (ю)
Sol (ю)
t
Т
ТЕ (l, т)
и[+)(r)
X JM (6, ф)
Ylт(6, ф)
Y}l;1 (6, ф)
z ('х.)
'БJJ'
квантовое число момента количества движения, определяемое
уравнением L2Y == l (l + 1) У (1.5).
квантовее число полноrо момента Iiоличества движения (исполь
зуеМое вместо J) (s 2 и далее).
векторный оператор момента количества движения [L== i (rx V)]
(s 1).
проеIЩИЯ оператора момента количества движения L на ось z (1.2).
квантОвое числО проекции момента ноличества движения па ось
z (s 1).
нвантовое число проеRЦИИ полноrо момента ноличества движения
на ось z (используемое вместо М) (s 2 и далее).
,нваптовое число проекции спина на Ось z (s 1).
KBaHTOBoe число проекции нолноrо момента I\Оличества движенип
на ось z, определяемое уравнением JzY==MY (1.5).
намаrничение, отвечающее источнику поля (4.1).
маrнитный мультинольный момент порядка [, т, обусловленный
НОНВf!КЦИОННЫМИ тонами (4.17), (4.18).
маrнитный мультипольный момент порядка [, т, обусловленный
распределением намаrничения 1\1 (4.17), (4.19).
мнОжитель пропорциональности, СВlIзывающий вероятность испус
нюшя и ПОrJlOщеНИЯ мультипольноrо излучения порядка l (6.1).
злентрический МУЛЬТИПОJIЬНЫЙ момент порядка [, т, обусловлен
ный IiОнвекционными токами (4.14), (4.15).
злентричесн:ий мультипольный момент ПОрЯДI\а [, т, обусловлен
ный распределением намаrничения М (4.14), (4.16).
радиус вен:тор (s 1).
наименьтее из величин r и r' (4.7).
наибольтее из величин r и r' (4.7).
радиус большой сферы с отражающими стеннами (s 6).
венторный оператор спина BeHTopHoro поля (s 1).
проеНЦИII S на ось z (1.3).
ПОТОI\ нвантов в падающем злеJ\тромаrнитном излучении в единич
ном интервале частот ю (s 6).
ПОТОJ\ злентромаrнитноrо излучения, соответствующий одному
Iшанту в наждом собственном Rолебании поля излучения с мульти-
польностью l ro порядка (6.2).
BpeMeHHi!II координата (2.1).
большой ПрО:\IOжуток времени (s 3).
отнесенная к единице времени вероятность самопроизвольноrо
испускания нванта злектрическоrо му льтипольноrо излучения
НОрПДJ\а [, т материальной системой, переходящей из состояния Ь
в состояние а (s 6).
радиальная часть волновой функции, отвечающей расходпщейсн
волне с моментом количества движения [: относительно ее опреде
ления см. (VШ, 2.41) (2.6).
векторная сферическая rармонИIЩ с l==J (1.6).
скалярная сферическая rармоника; относительно ее определеIIIIII
см. приложение 1, s 2 (1.5).
векторная сферическая rармоника (1.5).
числО нормальных нолебаний, отвечающих мультипольности по
рпдка 1, т, в единичном интервале значений волновоrо числа '1.
(6.5).
символ Кронекера (1.10).
....
Обозначения
63:J
At
3
е
(J)
корот!{ий промежуток времени (% 3).
уrол, на котором происходит вращение (1.1).
полярный уrол (широта) радиус вектора r (1.5).
волновое число электромаrнитноrо излучения ("f,. == (J) /,,) (2.,,).
плотность заряда источника поля (4.1).
ПОЛЯрlIЫЙ уrол (долrота) радиус вектора r (1.5).
собственная функция BeKTopHoro поля со спином, напраВ"f'Н 11 "' F
вверх (1.4).
собственная функция вш,торноrо поля со спином, напраВJlf'IПIЫ I
rоризонтально (1.4)
собственная фуНlщия BeKTopHoro поля со спином, напраВЩ'lJf!ЬЩ
вниз (1.4).
круrовая частота электромаrнитноrо поля, меняющеrося во времени
периодически (2.1).
резонансная частота, отвечающая поrлощению электромаrнитноrо
излучения системой при переходе из состояния а в состОяние Ь
[Ыab==(Eb Ea)/п] (% 6).
"f,.
P==P(r)
Ф
"1..1
1.0
X l
ООаЬ
При л о ж е н и е III
ОБОЛОЧЕЧIlАЯ МОДЕЛЬ И СТРОЕIIИЕ jJДРА 1)
Развитие ядерной физин:и за последние rоды сопровождалось неожи
данным и удивительным успехом оболочечной модели ядер. При помощи этой
модели оказалось возможным леrко понять и связать друr с друrом большое
число разрозненных до Toro времени фактов. Речь идет о свойствах основных
и ПJрВЫХ возбужденных состояниЙ ядер, спинах, маrнитных и электричеСJ\ИХ
н:вадрупольных моментах этих состояний и (' вероятностях и l пере
ходов между этими соетояниями. Несмотря на этот успех, основные причины
применимости модели оболочек пока не известны. Эта проблема составляет
часть более широной проблемы сил, деЙствующих между нуJ\лонами в ядре,
и строения ядра, обусловленноrо этими силами.
До настоящеI'О времени непосредственно исследовались тольн:о силы между
двумя нунлонами. Источником сведений о них является изучение дейтрона
и рассеяния нейтронов и протонов на протонах. Хотя в интерпретации резуль
татов, полученных при очень больших энерrиях, и существует нен:оторая
неопределенность, однако можно считать, что для относительных энерrиЙ
ПОрЯДJ{а энерrий внутри ядра, т. е. вплоть до 50 Мэв, взаимодействие между
двумя НУJшонами известно достаточно точно. Не вдаваясь в детали, подчерк
нем только одно обстоятельство: до сих пор не обнаружено наличие потенциала,
н:оторыЙ соответствовал бы в большей части области действия ядерных сил
силам отталнивания между нуклонами в S состояииях ИЛИ В любых друrих
<\остояниях.
Для объяснения свойств более сложных ядер естественно исходить из
предположония о том, чтО силы, деЙствующие между н:аждоЙ парой нун:лонов
в ядре, ТОждественны с силами, действующими между двумя изолирован
ными нуклонами. В этом случае полная потенциальная энерrия будет суммой
вкладов всех пар. Однан:о такОе предп6лол,ение приводит к серьезным за
труднениям в проблеме насыщения ядерных сил 2 ). Если бы силы являлись
В основном силами притяжения, то сложные ядра не были бы устоЙчивыми
при той плотности, которая существует в действитольности и отвечает pac
( ТОfIНИIO между соседними нуклонами порядна радиуса деЙствия ядер
ных сил.
Поэтому весьма вероятно, что на взаимодействие двух нун:лопов сильно
влияет близость друrих нуклонов. В действительности с'ледует ожидать,
что взаимодеЙствие ослабевает или появляются силы отташ{ивания, блаrо
даря чему реализуются наблюдаемая плотность и энерrия связи. Подобные
.эффекты, повидимому, не являются совершенно неожиданными с ТОЧЮI зрения
мозонноЙ теории ядерных сил и обсуждаются в настоящее время под назва
нием иелинейных ядерных потенциалов. Однако ПOJ,а еще нет прямоrо энспе
1) Перевод статьи ВаЙСI{Опфа: W е i s s k о Р f, Physica, 18, 1083 (1952) (добавлено
реданцией).
2) Подробнее см. rл. III. При.м. перев.
ПРUЛО[)fCенuе 111. Оболочечнал .маоель и стРОе7-ше лора
635
риментальноrо дон:азательства влияния соседних нун:лонов на силы, действуIO
щие между двумя нуклонами.
Проблема приобрела Дополнительный интерес блаrодаря успеху модели
оболочен:. В этой модели предполаrается, что двитение н:аждоrо нун:лона
мотно в первом приблитении описывать как движение свободной частицы
Б потенциальной яме, характеризующей воздействие на рассматриваемый
нун:лон всех прочих нуклонов. rлубина ямы составляет 30 40 Мэе, радиус
он:оло 1,4.10 13 АlJз СМ. Это предположение при допущении взаимодеЙствия
пина с орбитой А (1 s), rде А порядка 1 Мэе, позволяет предсн:азать б6JIЬШУЮ
часть характерных свойств ядер, находящихся в низших состояниях. Однано
имеется ряд существенных Отн:лонений от этой простой модели, ун:азывающих
на необходимость определенных обобщений. Приведем несколы{о примеров:
1) электрические н:вадрупольные моменты он:азываются больше ожидае
мых;
2) маrнитные моменты ОТКЛОНЯЮТСЯ от отидаемых значений (от линий
Шмидта);
3) обнарутены значительные вероятности радиационных переходов,
отвечающие электрическим МУЛЬТИПОJIЬНЫМ переходам нейтрона, несмотря
на отсутствие у Hero заряда;
4) ряд и l переходов в значительной степени отличается от предска
ЫBaeMЫX по этой модели;
5) обнарутен ряд уровней ядер, у н:оторых спин, четность и друrие
величины не соrласуются с идеальной моделью одноrо тела.
Имеются два пути, по которым возмотно улучшение и исправление
модели оболочек: один состоит в учете взаимодействия метду нунлонами,
находящимися вне заМIШУТОЙ оболочки, друrой в рассмотрении дефор
мации ядра, обусловленной двитением частиц, находящихся вне заМI{
нутой оболочки. Результирующая деформация определенным образом влияет
на СВОйства ядра, а такте на 'сами орбиты частиц.
В работе О. Бора и ero СОТРУДНИI{ов 1 ) показано, что большую часть
ОТJшонений от идеальной модели оболочек мотно устранить, используя
второй путь. На первом пути такте проделана значительная работа, поз
волившая пОнять большое число явлений. Учет взаимодействия между части
цами, находящимися вне оболочн:и, особенно пОлезен для понимания таких
фактов, нак, например, правило, соrласно н:оторому спины. OCHOBHOro и пер
BOrO возбужденноrо СОСТОяний четно четных ядер равны сООтветственно О и 2.
Модифицированная таким образом модель оболочек является хорошо
приспособленным аппаратом для объяснения большоrо числа свойств низших
состояний ядер. Однако основное предполотение модели существование
орбит у отдельных частиц попрежнему является существенным затрудне
нием. Существование таIi:ИХ орбит возмотно тольн:о в том случае, если движе
ние частиц внутри ядра подверrается чрезвычайно слабому возмущению со
стороны соседних нуклонов. Чтобы орбите каждOl'О нуклона можно было
приписать индивидуальные квантовые числа, нуклон должен проделать на
ней несколько оборотов, не испытывая при этом СИЛЬНOl'О возмущения. Это,
повидимому, невозможно, если силы СТОль же велики, как в случае изолиро
вапной пары нуклонов.
Существование орбит у отде.lIЬНЫХ частиц, несмотря на наличие больших
ил, можно, повидимому, понять, учтя влияние принципа Паули на движение
частиц2). Если система находится своем низшем энерrетичесном состоянии,
пли близка к нему, то , ПОСКОЛЬНУ все уровни, на н:оторые моrли БЫ,совершаться
1) В О hr А., М о t t е 1 s оп, Physica, 18,1066 (1952) [см. также В о h rA., Dansk.
Kgl. Mat. Fys. Medd., 26, N° 14 (1952), и В о h r А., М о t t е 1 s о п, Dansk. Kgl. Mat.
Fys. Medd., 27, N° 16. Прu.м. перев.]
2) W е i s s k о Р f V. F., Science, 113, 101 (1951).
636
п рUJ/жнсенuе 111. ОБОjЮЧ Ч1/ал .мооель и строение лора
переходы частиц, заняты, передача импульса от одной частицы н друr<:й
ОJ\азывается невозмОЖНОй. Это является причиной, блаrодаря Ноторои,
несмотря на сильное н:улоновсное взаимодействие элентронов, для элентрон
Horo rаза в металле применима теория, пренебреrающан этим взаимодей
ствием. До сих пор нет доназательств Toro, что эти aprYMeHTbl применимы
тан:же и н ядру. Силы, действующие между нунлонами, MorYT существенно
отличаться от нулоновсних сил, И этот aprYMeHT может оназаться неверным.
Для Toro чтобы понять насыщение, силы, деЙствующие между парой нун:лонов,
следует считать болео слабыми; можно думать, чтО это обстоятельство блаrо
даря уменьшонию вероятности взаимодействия сделает допустимым двитение
отдельноЙ частицы. Тан J<Ю<, однано, нет прямых или н:освенных ЭJ\сперимен
тальных ДOI\азательств существования TaHOrO эффента, любые теоретичесние
рассутдения на этот счет являются в настоящее времн чисто умозрительными.
В связи с этим следует обсудить еще один вопрос. Предположим, что нак
насыщение ядерных сил, тан: и орбиты отдельных частиц в ядре обусловлены
ослаблением взаимодействия между нун:лонами в ядерном веществе. Тоrда
имеется достаточно оснований для Toro, чтобы развивать модель оболочен,
учитывая преждо Bcero взаимодействие частицы с остатн:ом ядра и ero дефор
мацию и считая взаимодействие .между частицами вне заМJ\НУТОЙ оболо'JН:И
малым эффентом.
Существует целый ряд проблем, ноторые MorYT быть выдвинуты в настоя
щее время, хотя ответ на них не может быть получен без дальнеЙших Teope
тичеСЮJХ и эн:спериментальных исследований. Приведем нен:оторые из них.
Если силы, действующие между нунлонами внутри ядра, являются сла
быми, то ТРУДНО понять МНOl'ие из хорошо известных свойств ядра, ноторые
объясняются на основе образования cocTaBHoro ядра. Например, известно,
что нейтрон С,энерrией в неснольно Мэв, попадая в ядро, быетро IIерераспроде
ляет свою энерrию среди друrих нунлонов, в результате чеrо образуется
с оставное ядро.. Было наЙдено, что сечение неупруrоrо рассеяния нейтронов
с энерrиоЙ 15 Мэв равно rеометричеСJ\ОМУ сечению. Поэтому вероятность
Toro, что неЙтрон попадеТ в ядро и снова пОЮlНет ero, не потеряв при этом
энеРI'ИИ, пренебрежимо мала. Каним же образом можно примирить этот
фю<т С невозмущенным движением отдельноЙ частицы в модели оболочеJ\?
В ЭТОй связи следует иметь в виду, что в случае ядерных реющиЙ мы имеем
дело с ядрами, обладающими энерrиеЙ возбуждения, по н:раЙней меро,
в 8 Мэв (средняя энерrия связи падающей частицы). Следовательно, энерrия
частицы может передаваться поверхностным н:олебаниям или внутренним
движениям друrоrо типа, в то время нан в случае слабо возбужденных состоя
ниЙ вследствие отсутствия необходимоЙ энерrии возбуждения таная передача
энерrии невозможна.
В настоящее время имеется ряд ЭI{спериментов по рассеянию нейтронов
с малой энерrией, н:оторые обнаруживают определенные особенности, YI\a3bl
вающие на то, что в ндре существуют орбиты у отдельных частиц и что не обяза
тельно происходит образование cocTaBHoro ядра. Баршалл и ero сотрУДНИI\И
измерили полные сечения для нейтронов с энерrиеЙ вплоть до 3 Мэв на боль
шом числе ядер. Используя представление о MrHoBeHHoM образовании COCTaB
Horo ядра l ), можнО J\ачественно предсназать свойства этих сечений. После
усреднения по большому числу резонансов сечения должны представлять.
собоЙ фуннции, монотонно уменьшающиеся при увеличении энерrии нейтро
на (нан: E 1/2 при малых энерrиях) и ДОСТИI'ающИе величины 2.xR2 при больших
энерrиях. Энснериментальные результаты противоречат этимпредсназаниям 2 ).
1) Feshbach Н., Weisskopf V. F., Phys. Rev., 76, 1550 (1949).
2) В а r s с h а 11 Н., Phys. Rev., 86, 431 (1952) [C I. ТaI<же М i 11 е r и др., Phys.
Rov., 88, 83 (1952); W а 1 t и др., Pbys. Rev., 89, 127 (1953). Прu.м. перев.]
ПРUJ/,О[JfССНllе 111. Оболоче'l1/I/Я М60rль U стропще .чора
637
Существуют, повидимому, систематические отклонения; сечения при малых
энерrияхон:азываются малыми в особенности для ядер с 100<А<140 и при
увешiч1шии энерrии сначала возрастают, достиrая в районе 1 Мэв ПЛОСI{Оl'О
максимума!). Эта систематическая медленно меняющаяся зависимость от
размеров ядра указывает не влияние волновых фующий индивидуальных ча
<,;тиц в ядре. Действительно, неноторые особенности н:ривых Баршалла BOC
производятся при расчете рассеяния частицы в потенциальной яме ядерных
размеров и rлубиной 30 Мэв 2 ) (фиr. 129). Кю{ и следовало ожидать в :)Том
7
6
ДL
лR2 3
2
1-
О
\\)
\1
. .y6'
Фи r. 129. На верхней диаrрам:ме приведены полные сечения в зависимости
от энерrии и aToMHoro номера, взятые из работы Баршалла. На нижней
диаrрам:ме приведепы результаты расчетов (выполненных Портером) Д.ля
слу'шп рассеянип отдельноЙ частицы потенциальноЙ ю!ОЙ ядерных разме-
ров. Ряд ВЫСОI,ИХ И узких резонансов не приведен. ПУIштирные кривые
представляют собой полные сечения, рассчитанные в преДПОJIOЖеlIИИ MrlIo.
BeHHoro образованин cocTaBHoro пдра.
краЙнем случае, соrласно модели независимых частиц, обнаруживается
сильная энерrетическая зависимость и появляется ряд резонансов, н:оторые
не НОСПРОИЗВОJl:ЯТСЯ более плавными ЭI,спериметальными КрИВЫМИ. Было бы
интересно выяснить, нельзя ли объяснить наблюдаемые особенности при
помощи некоторой рациональной модели, в I{ОТОРУЮ внлючались бы оба
.аспекта и индивидуальных частиц и cocTaBHoro ядра.
Резонансы для медленных нейтронов являются сильным аРl'умептом
в 1l0;IЬЗУ предположения о том, что образование cocTaBHoro ядра происходит
(; заметной вероятностью; расстояние между резонансами слишком мало и не
объясняется в случае состояний индивидуальных частиц (в тятелых ндрах
это расстояние в 105 раз меньше). Кроме Toro, на то, что составное ядро обра
зуется с заметной вероятностью, указывает существование приближеНIIOl'О
1) Аналоrичное поведение ИОлных сечениЙ для нейтронов обнаружено и при более
высоких энерrиях в интервале от 3 до 14 Мав; см. N с r е s о п, D а r d е п, Phys. Rev., 89,
775 (1953). Прuм.. перев.
2) Подробнее см. F е s h Ь а с h, Р о r t е r, W е i s s k о Р f, Phys. Rev., 90, 166
(1953). Прим. перев.
А38
п риЛО[)fCенuе. 111. Оболочечная .мооель и строение ядра
соотношения между нейтронной шириной r" и расстоянием между уронн ими D
lf D
rn",,-,2 (1 )
к 1t
(k волновоо число нейтронов, К волновое число нуклона внутри ядра).
Соотношение (1) получено для случая MrHoBeHHoro образования cocTaBHoro
ядра 1).
Возможное ослабление сил, действующих между нуклонами внутри
ядра, ставит ДРУl'ую 'Проблему. Если наши представления о связи мезонов с
ядерными силами правильны, то влияние близости нуклонов на ядерные силы
приведет н деформации меЗОнноrо облака, онрутающеrо нун:лоны и иредстав
ляющоrо поло ядерных сил. Предполаrается, что мезонноо облан:о является
источнин:ом аномальнOl'О маrнитноrо момента нун:лонов 2 ) и, возможно, тан:же
источнИJ,ОМ части собственной энерrии нуклонов. СJlедовательно, деформа
ция мезонноrо поля, оБУСЛОВJlенная близостью нуклонов друr 1( друrу,
должна оказывать влияние не только на ядерные силы, но и на маrнитные
моменты, а возможно, и массы нуклонов внутри ядра. Движение нунлона
внутри ядра мотно сравнить с движением сферы в не вязкой тиДI:О:'ТИ
(невязной потому, что в низших состояниях невозможна передача энсрrии
частицы остатку ядра). В такой картине эффен:тивная масса сферы ДОJ:жна
отличаться от действительной массы. Часть жидкости принимает участие во
вращении сферы и, тан:им образом, меняет маl'НИТНЫЙ момент, тан: НЮ{ IIpeд
полаrается, что жидкость переносит аряд. ..,
В деЙствительности эн:спериментальные данные, повидимому, поддержи
вают ту точку зрения, чтО ни масса, ни аномальный маrнитный момент не раз
личаются в существенной мере вне и внутри ядра. Наклон линий Шмидта опре
деJlяет вклад орбитальноrо движения НУНЛОНОВ в маrнитныitмомент. Несмотря
на то, что мноrие моменты ОТКЛОНЯЮТСЯ оТ линий Шмидта, повидимому, все же
нот сомнений в том, что ТОЧJ,и соответствуют нан:лону, ноторыЙ дает величину
е/т, совпадающую с ожидаемой в случае неизмонноЙ массы.
Анализ, выполненныЙ О. Бором и 01'0 сотруднин:ами, поназал, что опшо
ненне МaJ'НИТНЫХ моментов от линий ПIмидта скорее следует' объяснять He
сферичностыо ядра, чем изменением BHYTpeHHero маrнитноrо момента 3 ).
ДейсТJШТОЛЬПО, параЛJIeЛИЗМ в Отнлонениях от линий Шмидта и ОТКJlOнениях
матричных элементов переходов от результатов модели независимых
час Тlщ 4) указывает на то, что отклОнения от линий Шмидта обусловлены
скорее уменьшением математическоrо ожидания оператора спина а, нетели
уменьшениом собствеНН01'0 маrнитноrо момента. Следовательно, вопрос о том,
наним образом можно понять изменение ядерных сил, не сопровождающееся
изменениом друrих свойств нуклона, ДОJlжен быть решон дальнеЙшим aHa
JШЗОМ.
у снех оболочечной модели и ее модификациЙ в описании своЙств низших
состояний ядер поназал, что в этих состояниях ядерные движения можно
оштсывать при помощи орбит индивидуальных частиц и нен:оторых простых
ТИПОВ НОЛJlCНТИВНЫХ движений остатна ядра, нан, например, поверхноетных
нолебапиЙ. CJIO;(yeT ожидать, что в СОстояниях с более высоним возбуждением
CTOJTI> IJроетая нартина может стать неприrодноЙ и эти состояния будут coдep
жать более сложные етепени свободы, в н:оторых н:оллективное движение уте
нользя описывать при помощи простых «макросн:опических» параметров,
подобных поворхностноЙ доформации. Природа сильно возбужденных co
1) См. j'Л. VIII данной ЮlИrи. Прu.м. перев.
2) d с S h а 1 i t, Hclv. Phys. Acta, 24, 296 (1951); В 1 о с h F., Phys. Rev., 83,
839 (1951).
3) W i n t h е r А., Physica, 18, 1079 (1952).
4) В О h r Л., М о t t с 1 s оп, Physica, 18, 1066 (1952).
"
Прило:исенuе 111. Оболочечная .мооель и строение яора
н:ш
стояний, повидимому, ближе соответствует статистической картине «бее
порядочноrо» тепловоrо движения, которая успешно используется в теории
ядерных реан:ций. Наиболее интересно изучать явления, происходящие
в области, являющейся переходной по отношению н: обоим аспен:там.
Следует надояться, что дальнейшее изучение этих явлений даст HeKOTO
рые сведенин относительно сил. которые действуют внутри ядра и нон:а еще
остаются полНОстью неизвестными. В большинстве наших исследований мы
оrраничиваемся индун:тивными методами анализа ЭJ{сперимонта, которые
следуют за самим эн:спериментом. В то время пак все прочие силы в природе
сводятся к электромаrнитным и rравитационным силам, представляющим
собой хорошо известные классические макросн:опические ЯВJICНИЯ, в ядерной
физике мы встречаемся с новым явлением: ядерные силы не имеют н:лассиче
CKoro аналоrа, н:оторый служил бы руководством в исследованиях и Teope
'f'ических рассуждениях.
ЛИТЕРАТУРА
1. А 1> е:l s о n Р. Н., Phis. Неу., 56, 753 (1939).
'2. А d а i r Н. К., В о с k е 1 m а n С. К., Р е t е r s о n Н. Е., ТЪУБ. Не\'., 76,
308 (1949).
3. А х и о 3 ерА. IИ., П о м е р а н ч у!{ И. Н., ЖЭТФ, 18, 603 (1948).
4. А 11> о r t Н. D, 'vV u С. S., Phys. Неу., 74, 847 (1948).
.1. А 1 d о r К., Phys. Неу., 83, 1266 (1951).
б. А 11 о n J. 8., Phys. Неу., 61, 692 (1942).
7. Аllеп J. 8., Panoth Н. H.,Morl'ish А. H.,Phys.Hov.,75,570,(1949).
8. Amaldi Е., Bocciarol]i D., Forretti В., Tra1>acC'lli G.,
Naturwiss, 30, 582 (1942); Ricorca sci , 13, 502 (1942).
Н. А m а 1 d i Е., В о с с i а r о 11 i D., С а с с i ар l! t о С., Т l' а 1) а с С]1 i G.,
Nuovo cimonto, 3, 203 (1946). .
10.Anderson Н. L., Novick А., Phys.Hov.,71,372(1947).
11. Arnold W. Н., Ho1>orts А., Phys. Неу., 71, 878(1947).
12. Arnold УУ. Н., Phys. Неу., 79, 170 (1950); 80, 34 (1950).
J:J. А s h k i n J., W u Т., Phys. Неу., 73, 973 (1948).
14. А s t о n Р. W., Proc. Ноу. 80С., А115, 487 (1927).
15. А u s t о r Il N., Chicago Meeting of the Physical 8ocicty, Nov. 24, 1В50, J6'.
[Н. А u s t е r 11 N., S а с h s Н. G., Phys. Неу., 81, 710 (1951).
17. А v о r у Н., 8 а с h s Н. G., Phys. Неу., 74, 1320 (1948).
18. А v е r у Н., А d а m s Е. N., Phys. Неу., 75, 1106 (1949).
19. А х о 1 Р., D а 11 с о f f 8. М., Phys. Не"., 76, 892 (1949).
20. А х о 1 Р., Phys. Неу., 80,104 (1950).
21. Bailoy С. D., Bonnett W. Е., Bel'gstralh Т., Nucko]lsH.C .,
Hichards Н. Т., 'vVilliams J. Н., Phys. НОУ., 70,583 (1946).
22. В а 1 (1 w i n G. С., К 1 а i 1> о r G. 8., Phys. Неу., 73, 1156 (НМ8).
2:\. В а r 11 о r W. С., Phys. НОУ., 80, 332 (1950).
24. В а r d о е n J" Phys. НОУ, 51, 799 (1937).
25. Bardoen J., l<'een1>erg Е., Phys. Неу., 54,809 (1938).
2(j. l3arkas W. Н., White М. G., Phys. Неу., 56, 288 (1939).
27. В а r k а s W. Н., Phys. Неу., 55, 691 (1939).
28. 13 а r k о r Р. С., Ре i е r 1 s Н. Е., Phys. Неу., 75, 312 (1949).
:Ш. Bar11es С. А., Stafford G. Н., Wilkinson П. П., NаlШР,16ii,
б9 (1950).
:)0, в а r l' о t t .J. Н., P]1Ys. Ноу., 79, 907 (19')0).
:\1. в а r s Cll а 11 Н. П., К а n n е r М. Н., PIIYS. H('\ ., 58, 5\JO (HJ!10).
:J2. Barschal1 Н. Н., Bockol111an С. К., 8eagondollar Т,. \\Т.,
Phys. НОУ., 73, б59 (1948) .
;J:J. в а r s с h а 11 Н. Н., В о с k с llll а n С. К., Ре t о r s оп Н. Е., А d а i r Н. К.,
Pl1YS. Но\'., 76, 1146 (1949).
;)4.l3arschall Н. Н.. Tascllok Н. Р., Phys. НОУ., 75, 181В (194В).
:15. 13 а r t 1 с t t J. Н., Phys. Неу., 49, 102 (193б).
:Ш. В а s h k i n 8., Р о t, l' О О В., М о о r i Il g 1<'. Р., Р с t о r s о Jl Н. Е., PIlYs,
Неу., 77, 748 (1950).
;Л. В е с k о r 1 с у J. G., Phys. НОУ., 67, 11 (1945).
:]8. В е с q u с r о 1 Н., COlllpt. rond., 122 (1896),
;]\J. 13 е с m а Jl 'vV. W., Phys. Неу., 72, 986 (1947).
!IO. Воll Р. Н., Ketelle В. Н., Cassidy J. М.. Phys. Hov.,76,574(1!J4\J).
111. Воl1 Н. Е., Elliott С, G., Phys.Hev.,74,1552(1948).
42. В 011 Н. Е., G r а h а m Н. Т...., Phys. Hev., 78, 490 (1950).
4:.:\. 13 е n d е r Н. S., S h о е m а k е r F. С., к а u f lJl а n n 8. G., В о u l' i с i
НБ G. М. В., Phys. Неу., 76,273 (1949).
.
Литература
641
44. В е n f i е 1 d А. Е., РЬув. Неу., 74, 621 (1948).
45. Bennett W. Е., Bonner Т. W., HudspethE., Richards Н.Т.,
Watt, В. Е., Phys. Неу., 59, 781 (1941).
46. 130110ist Р., BO\lchoz Н., Daudel Р., Daudel Н., Rogozin
s k i А., РЬув. Нсу., 76, 1000 (1949).
47. Б с Р е с т е Ц 1\ И Й В. Б., ЖЭТФ, 18, 1057 (1948).
48. В е rg s t r б т J., РЬув. Неу., 80, 114 (1950).
49. В е r t 11 с 1 о t А., Journ. (lе рЬув. ct rad., 3, 17, 52 (1942).
50. В с r t h е 1 о t А., Апn. d. рЬуэ., 19, 219 (1944).
51. В о t h с Н. А., Hand. d. РЬув., 24 (1933) (см. Пf'ревод: Б е т е, RваНТОJJая M[)
хаюша простейших еистсм, М., 1935).
52.Bethe Н. А., Pcicrls Н., Naturc,133,532(1934).
53. В с t h с Н. А., Р с i с r 1 s Н., Proc. Ноу. Soc., А149, 176 (1935).
54. В с t h е Н. А., РЬув. Нсу., 50, 332 (1936).
55. В с t h с Н. А., В а с h с r Н. Р., Нсу. Mod. РЬув., 8, 193 (1936) (см. персвод:
Б f' 'l' С 1'. А., Б 3 Ч С Р Р. Ф., Физика ядра, ч. J, Харьков, 1938).
5б. В с t, h с Н. А., Неу. Mod. РЬУБ., 9, 71 (19З7) (сы. перевод: Б с т с r. А" Физика
ядра. ч. JJ, М. Л., 1948).
57. 13 с t 11 С Н. А., Р 1 а с z с k G., Phys. Неу., 51, 450 (1937).
58. В е t 11 с Н. А., РЬув. Нсу., 53, 8/12 (1938).
59. В е t h с Н. .,А., Рl1УВ. Нсу., 53, ;19 (1938).
БО. Bctl1C Н. А., Hoylc Р., Peicrls Н., Naturc, 143,200 (1939).
fi1.Betl1c Н. А., РЬув.Нсу..57,1125(1940).
62. Bcthe Н. А., l'Ьув. Нсу., 57, 260, 390 (1940).
63. В с t 11 С П. А., РЬУБ. Нсу., 76, 38 (1949).
Н4. Betl1e Н. А., L011gmire С., РЬУБ. Нсу., 77, 647 (1950).
б5. Bicdenhar11 1,. С., Thcsis, М. 1. Т., 1950.
66. В i е d е 11 h а r n J,. С., РЬУБ. Нсу., 82, 100 (1951).
67. В i с d е n 11 а r n L. С., Н о s е М. Е., Рl1УБ. Нсу., 83, 459 (1951).
68. В i е d с n h а r n L. С., В 1 а t t, J. М., Нсу. Mod. РЬув., 24, 258 (1952).
69. Bishop G. Н., Collie С. Н., НаlЬаn Н., Hedgran А., Sicg-
ЬаЬп К., dп Toit S., Wilson Н., РЬУБ.Нсу.,80,211(1950).
70. Bisll0P G. Н., HallJan Н., Shaw Р. Р. D., Wilson Н., РЬув.
НСУ., 81, 219 (1951).
71. Biswas S., РЬув. Н.сУ., 75, 530 (19 f [!)
72. В 1 а i r J. М" \ту а 1 1 а с е J. Н., РЬув. Неу., 79, 28 (1950).
73. В 1 а 11 о h а r d С. Н., А v с r У Н., РЬУБ. Неу., 81, 35 (1951).
74. Blascr J. Р., ВоеЬт Р., Marmier Р., Peaslce D. С., Helv.l'IJYs.
Aota, 24, 3 (1951).
75. В 1 а t t J. М., РЬув. Нсу., 74, 92 (1948).
76. В 1 а t t J. М., J а о k s о n J, D., РЬУБ. Нсу., 76, 18 (194\1).
77. Hlatt J. М., Ric(lc11har11 J". С., РЬув. Неу.,82,123(1951).
78. 13100Ь 1<'., Мбllсr С., Nаtпrе, 136,911 (1935).
79. В 1 о с h Р., G а т о w G., РЬУБ. Нсу., 50, 260 (1936).
80. В 1 о о 11 Р., РЬув. Нсу., 58, 829 (1940).
81. 13100Ь, F'., Graves А. С., Packard М., Spcncc Н. \IV., РЬУБ.
Нсу., 71, 551 (1947).
82, В 1 о с 11 Р., N i с о d е т u s D., S t а u Ь Н. Н., РЬув. Нсу., 74, 1025 (1948).
83. В 1 о r, 11 Р., РЬУБ. Нсу., 83, 839 (1951).
84. В 1 о с 11 1., Н u 11 М. М., В r о У 1 с s А. А., В оп r i о i u s W. G., F r е е-
т а n В. Е., В r е i t G., Неу. Mod. РЬУБ., 23, 147 (1951).
85. Bohr А., РЬув. Нсу., 81, 134 (1951).
86. В о h r А., РЬУБ. Неу., 81, 331 (1951).
87. В о h r N., Nature, 137,344 (1936)
88. В о h r N., К а 1 о k а r F., Kgl. Danskc Vidcnskab. Sclskab, MatAys Ме 14,
10 (1937).
89. В о h r N., W h е е 1 е r J. А., РЬув. Rcv., 56, 426 (1939).
90. В о r n М., Орр е n h е i т е r J. Н., Аnn. d. РЬув., 84, 457 (1927).
91. Borst L. М., Ulrioh А. J., Osborne С. J ., НаsЬrопоk В.,
PllYS. Неу., 70, 557 (1946).
92. В о t h е W., G е n t n е r W., Zs. {. РЬУБ., 112,45 (1939).
93. В о u о h с z Н., D а п d е 1 Н., D а п d е 1 Р., М u ха r t Н., Journ. de рЬуs.
et rad., 8, 336 (1947).
94. В о u о h е z Н., D а u d е 1 Н., D а u d е 1 Р. , м u х а r t Н., R о g о z i n В-
k i А., Journ. de РЬУБ. et rad., 10, 511 (1949).
95. В о u о h е z Н., Compt,. rcnd., 230, 440 (1950).
96. В о w е r s W. А., R о s е n N., РЬУБ. Неу., 75, 523 (1949).
97. В r а d У Е. L., D е u t s о h М., РЬУБ. Неу., 78, 558 (1950).
98. В r е i t G., W i g n е r Е. Р., РЬуе. Неу., 48, 918 (1935).
-'1 3аиаз Х. 396
642
Литература
99.
fOO.
101.
102.
103.
104.
105.
10п.
107.
108.
109.
Но.
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
f35.
136.
137.
138.
в r е i t G., У о s t F. L., РЬув. Rev., 48, 203 (1935).
В r е i t G., С о n d оп Е. П., l' r е s с n t R. D., РЬув. Rev., 50, 825 (1936).
В r е i t G., F е е n Ь с r Е., РЬув. Rev., 50, 850 (1\'136).
В r е i t G., W i g n е r Е. 1'., РЬув. Rcv., 49,519,642 (1936).
В r е i t G., S t с h n J. R., РЬув. Псv., 52, 396 (1937).
В r е i t G., РЬув. Псv., 51, 248 (1937).
13 r е i t G., \'1 i g n е r Е. 1'., РЬув. Rev., 53, 998 (19:38).
В r с i t G., РЬув. Псv., 53, 153 (1938).
В r с i t G., Т h а х t о n Н. М., Е i s е n Ь u d L., РЬув. Псv., 55,1018 (1939).
В r е i t G., Н о i s i n g t о n I. Е. S h а r е В. В., Т h а х t о n Н. М., РЬув.
Пеv., 55, 1103 (1939).
В r с i t. G., РЬув. Пеv., 58, 506, 1068 (1940).
13 r с i t С;., в 1 о с h I., РЬув. Псv., 72, 135 (1947).
В r е i t G., РЬув. Псv., 71, 215 (19/17).
13 r е i t G., Z i 1 s е 1 Р. R., РЬув. ПРv., 71, 232 (1947).
13 r с i t G., РЬув. Псv., 71, 400 (1947).
В r е i t G., В 1 о с h I., РЬув. Rcv., 74, 397 (1948).
В r е i t G., А r f k е n G. В., С 1 е n d е n i n W. W., Phys. Rev., 78,390 (1950).
В r е i t G., У о v i;, s М. С., РЬув. Rev., 81, 416 (1951).
13 r о 11 е у J. Е., Jr., С о о n J. Н., F о w 1 е r J. L., РЬув. Rev., 79,227 (1950).
13rol1cy J. Е., Со оп J. Н., Fow1er J. L., РЬув. ПQV., 82,190 (1951).
Brostrom К. G., Huus Т., Tangen R., РЬуs. Rcv., 71, 661 (1947).
Brown А. В., СЬао С. У., Fow1er W. А., Lauritsen С. С., РЬув.
Псv., 78, 88 (1950).
В r о w n F. "У., l' 1 е s s е t М. В., РЬув. Rev., 56, 841 (1939).
В r о w n I . W., РЬув. Rev., 56, 1107 (19З9).
В r о w n Н., 1 n g 1 i s D. R., РЬув. Rcv. 55,1182(1939).
В r о w n П. Н., С а m е r i n i П., }<' о w 1 е r Р. Н., Н с i t 1 е r Н., К i n g D. Т.,
l' о w е 11 С. F., РЬН. Mag., 40, 862 (1949).
В r о у 1 е s А. А., К i v е 1 13., РЬув. Rcv., 77, 839 (1950).
13 r u с с k n е r К., l' о w е 11 "у. М., РЬув. Rev., 75, 1274 (1949).
В r u с с k n е r К., Н а r t s о ug h W., Н а у w а r d Е., l' о w е 1 1 \'1. И.,
РЬув. Rev., 75, 555 (1949).
В u с h с r е r А. Н., Ann. d. РЬув., 28, 513 (1909).
В u с k J. Н., РЬув. Rcv., 54, 1025 (1938).
13 u с k i ng 11 а m R., М. а s s е у Н. В. W., Proc. Roy. Вос., А179, 123 (1941).
В u n k с r 1\1. Е., L а n g'e r L. М., М о f f а t R. J. D., РЬув. Rcv., 81, 30 (1951).
В u r h о р Е. Н. В., У а d а v Н. N., Nature, 162,738 (1948).
В u r h о р Е. 11. В., М а s s е у Н. В. W., Proc. Roy. Вос., А192, 156 (1948).
В u t 1 е r В. Т., РЬув. Rev., 80, 1095 (1950).
13 u t 1 е r В. Т., Proc. Поу. Вос., А208, 559 (1951).
С а 1 d i r о 1 аР., РЬув. Rev., 69, 608 (1946).
С а m а с М., В с t 11 е Н. А., РЬув. Rcv., 73, 191 (1948).
Camerini П., CoC'r Т., Davies J.H., Fow1er Р.Н., Lock W.O.,
М u i r h е а d Н., Т о Ь i n N., РЬН. Mag., 40, 1073 (1949).
С а r r о 11 К. G., РЬув. Rev., 57, 791 (1940).
Carvcr J. Н., Wi1kinson D. Н., l\'ature, 167,154 (1951).
С а s е К. 1\1., l' а i s А., РЬув. Rev., 80, 203 (1950).
С а s i m i r Н. 13. G., Arch. м.ивсе Try1cr, 8, 201 (1936).
С а 5 s е n В., С о n d оп Е. U., РЬУ5. Псv., 50, 846 (1936).
С h а d w i с k J., Proc. Roy. Вос., А136, 692 (1932).
С h а m h с r 1 а i пО., "у i е g а n d С., РЬув. Rev., 79, 81 (1950).
Сhашhсr1аiп О., Segre Е., 'vViegand С., РЬув. Пеv., 81, 284
(1U51).
Cllao С.У., Tol1estrup A.V., Fowler W.A., LauritsenC.C.,
1'11YS. Пеv., 79, 108 (1950).
С h а о С. У., РЬУ5. Rcv., 80, 1035 (1950).
С h с w G. F., G о 1 <i Ь с r g е r М. L., РЬув. Rcv., 73, 1409 (1948).
С h с w G. F., G о 1 d h с r g е r М. L., РЬув. Псу., 75,1637 (1949).
С h r i s t i а n П. В., РЬув. Rev., 75,1675 (1949).
С h r i s t j а n П. S., н а r t Е. W., 1'11УВ. Псv., 77, 441 (1950).
С 11 r i s t i а n Н. В., N о У е s Н. 1'., РЬув. Пеv., 79, 85 (1950).
С h r i s t У П. F., L а t t е r R., Псv. M()d. РЬув., 20, 185 (1948).
Clapp П. Е., РЬув. Псv., 76, 873 (1949).
С о h е n 13. L., pllY5. Rcv., 80, 105 (1950).
СоЬеп У. W., Goldsmith Н. Н., Schwinger 1. S., РЬув. Rev., 55,
106 (1939)
С о h с n V. W., G о 1 d s m i t h Н. Н., Н а m е r m е s h М., РЬув. Rev., 57, 352
(1940)
139.
НО.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
15:3.
154.
153.
1fi6.
157.
{58.
Литература
643
{59. С о n d оп Е. U., G u r n е у И. W., Phys. Иеу., 33, 127 (1929).
160. С о n d о n Е. U., S h о r t 1 е у G. Н., Theory of Atomic Spectra, Cambridge
Univcrsity Prcss, London, 1935 (о\с перевод: R о н д о н К, Шор т л и r.,
Теорил атомных спсктров, ил, 1949).
{61. С о о k С.8., L а n g с r L. М., Р r i с е Н. С., Phys. Rrv., 73, 1395 (1948).
162. Cook L. J., McMillan Е. М., pcterson J. М., Scwel1 D. С., РЬуэ.
Иеу., 75, 7 (1949).
1ft3. С о r Ь е n Н. С., 8 с h w i n g е r J. 8., РЬуэ. Иеу., 58, 953 (HJ40).
164. Cork В., Johnston I ., Richman С., Phys. Rс:т., 79, 71 (1950).
1В5. Coster D., Groendijk Н., dc Vrics Н., Phys!ca, 14, 1 (1948).
1ВВ. Сопrапt Е. D., Phys. Неу., 74, 1226 (1948).
167. С о u r а n t Е. D., Phys. Rrv., 82, 703 (1951). . "
168. С о п r а n t R. Н i 1 Ь е r t D Mrthodcn dcr mathematlschen PhYSJk, BcrlIll, 1931
(см. перевод: 'к у р а н т Р.,'1' и л ь б е р т Д., Методы матсыатической физики,
М. л. , 1949).
169. С r а n е П. R., Rev. Mod. Phys., 20, 278 (1948).
170. Critcbficld С. L., Teller К, Phys. Ису., 60, 10 (НМ1).
171. Critchficld, С. L., Wigner Е. Р., Phys. Rev., 60, 412 (1941).
172. С r i t с h f i с 1 d С. L., Phvs. Rpv., 61. 249 (1942).
173. С r i t с h f i е 1 d С. 1,., Phys. Ису., 63, 417 (1943).
174. С r i t с h f i е 1 d С. L., Phys. Rcv., 73, 1 (1948).
175. Critchfield С. L., Doddcr D. С., Phys. Rf'v., 76, 602 (1949).
17В. С u r i c.J 01 i о t I., J 01 i о t Р., Compt. rend., 194,273 (1932).
177. С u r i e.J 01 i о t I., JOurn. dc phys. et rad., 6, 209 (1945).
08. С u r r а n 8. С., Ang u s J., С о с k r о f t А. L., Nature, 162,302 (1948).
179. С u r r а n S. С., А n g u s J., С о с k r о f t А. L., Phys. Rev., 76, 853 (1949).
180. С u r t i s N. W., Н о r n Ь о s t с 1 J., I, е е D. W., 8 а 1 а n t Е. О., РЬуэ. Rev.,
77, 290 (1950).
181. Dancoff 8. М., Inglis D. R., Phys. Rcv., 50, 784 (193ft).
182. D а n с о f f 8. М., Phys. Нсу., 56, 384 (1939).
183. D а n с о r r 8. М., М о r r i s о пР., Phys. Rev., 55, 122 (1939).
184. D а n с о f r 8. М., Phys. НС'У., 58, 326 (1940).
185. D а u d е 1 R., Rеvпе scl., Paris, 85, 1В2 (1947).
18IJ. Davidson J. Р., Phys. Rcv., 82. 48 (1951).
187. D а v i s L., F е 1 d В. Т., Z а h е 1 С. W., Z а с h а r i а s J. R., Phys. Неу., '13,
525 (1948).
188. D а v i s L., N ag 1 е D. Е., Z а с h а r i а s J. Н.. Phys. НС'У., 76,1068 (1949).
189. D е G r о о t 8. Н., Т о 1 h о е k Н. А.. Physica, 16,456 (1950).
190. D е J u r е n J., Phys. Неу., 80, 27 (19.'50).
191. D е n n i s о n D. М., Phys. Rcv., 57, 454 (1940).
192. De 8 h а 1 i t А., Неlу. Phys. Acta, 24, 296 (1951).
Н).1. D е u t s о h 1\1., Е 11 i о t t 1.. G., PllVS. Ису., 65, 211 (1944).
1%. D с v а n е у J., Thesis, М. I. Т., 1950.
195. D i е k е G. Н., Т о m k i n s Р. 8., Phys. Нсу., 76, 283 (1949).
19IJ. D i v е n В. С., А 1 m у G. М., РЬуэ. Rf'v., 80, 407 (1950).
197. D r е 11 8. D., I'hys. Rcv., 75, 132 (191,9).
198. D r е 11 8. D., Phys. Ису., 81, 656 (1951).
199. D unworth J. V., Rey. 80i. Instr., 11, 167 (1940).
200. Е h е 1 А., Thcsis, М. I. Т., 1950.
201. EhrenfestP., OppcnheimerJ.R., Phys. Rеv.,37,З3З(19З1).
202. Е h r m а n J. 13., Pl!ys. Rev., 81, 412 (1951).
203. Е i s е n h u d L., '" i g n е r Е. Р., Proc. Nat. Acad. 80i. U8A, 27, 281 (1941). .
204. Е i s е n Ь u d L., ТЬе Formal Propcrties 01 N uclear СоШsiопs, Thesis, Princctoo
1948.
205. Eiscnbud L., Journ Frankl. Inst., 251,231 (1951).
206. Е i 5 е n s t е i n J., R о h r 1 i с h Р., Phys. Ису., 73, 641 (1948).
207. Е i s n е r Е., S а с h s Н. G., Phys. Ису., 72, б80 (Н)47).
208. Е 11 i о t t L. G., В с 11 И. Е., Phys. Ису., 74. 18()9 (1948).
209. Е 11 j о t t L. G., В е 11 R. Е., Phys. Иру., 76. 168 (1949).
210. Е 1 s а s s с r W. М., Journ. de phys. ct rad., 4, 51,9 (1933).
211. Е 1 s а s s е r \У. М., Journ. de phys. C't !'ad.. 5, 389, 635 (1934).
212. F а 1 k о f f D. I.., Phys. Rrv., 73, 518 (1948).
213. F а 1 k о f f D. L., U h 1 с n Ь е с k G. Е., PllYS. Rev., 79. 323 (1950).
214. F а 1 k о f f D. L., U h 1 е n Ь с с k G. Е., Phys. Rev., 79, 334 (1950).
215. F а 1 k о f f D. L., Phys. Иру., 82, 98 (1951).
21В. F а по U., Nalurwiss., 25, 602 (1937).
217. F а r k а s А., F а r k а s L., Н а r t с с k Р.. Proc. Лоу. '80с., А144, 481 (1934).
218. F с с n Ь е r g Е., К n i р Р 1. К, I'hys. Нру., 48, 906 (1935).
219. F е е n Ь е r g Е., Phys. Rev., 50, 6,4 (1936). .
41*
644
Лurмратура
220. F е е n Ь е r g Е., S h а r е S. В., Phys. Пеу., 50, 253 (1936).
221. Fecnberg Е., РЬув. Пеу., 49, 328 (1936).
222. F е сп Ь с r g Е., РЬув. Пеу., 51, 777 (1937).
223. F е с n Ь е r g Е., Phys. Псу., 42, 667 (1937).
224. Fcenberg Е., Wigner Е. Р., Phys. Rcv., 51, 95 (1937).
225. Fcenberg Е., Phi11ips М., Phys. Псу., 51, 597 (1937).
226. F с с n Ь е r g Е., Phys. Пеу., 55, 504 (1939).
227. F е с n Ь е r g Е., Phys. Пеу., 59, 593 (1941).
228. F е е n Ь е r g Е., Phys. Псу., 60, 204 (1941).
229. F е с n Ь е r g Е., Phys. Пеу., 59, 149 (1941).
230. Feenberg Е., Phys. Пеу., 61,387 (1942).
231. Fccnberg Е., Gocrtzc1 G., Phys. Псу., 70,597 (1946).
232. F е с n Ь е r g Е., Р r i m а k о f f Н., РЬув. 1I.су., 70, 980 (19/16).
2:33. ]<' с сп]) с r g Е., Нсу. Мой. РЬув., 19, 239 (19lй).
234. F с с п]) с r g Е., Н а III ш а с k К. С., P]JYs. 11. су. , 75, 1877 (1949).
235. F с с n Ь с r g Е., Т r i g g G., ПСУ. Мщl. Phys., 22, 399 (1950).
236. F с i n g о 1 d А. М., W i g n е r Е. Р., Phys. 1I.еу., 79, 221 (1950).
237. 1<' с i n g 01 d А. М., 1I.еу. Mod. Phys., 23, 10 (1951).
238. F е 1 d В. Т., Nuc1car E1ectric Quadrupo1e Moments and Qиаdrпро1е Couplings in
Мо1ссп1сs, N ationa1 1I.escarch Council, Nuc1ear Scicncc Serics, Prcliminary 1I.eport.
;м 2, Мау 1949.
239. F е 1 d В. Т., L е Ь о w 1. Т,., О s Ь о r n с L. В., P1JYS. ПСУ., 77, 731 (1950).
240. р с r m i Е., Zs. f. Phys., 88, 161 (1934).
2М. F с r m i Е., Phys. 1I.еу., 48, 570 (1935).
242. F с r m i Е., Шссrса sci., 7, 13 (1936).
243. F с r m i Е., М а r s h а 11 L., РЬув. 1I.су., 71, 666 (1947).
244. F с l' Ш i Е., S t и r m VV. J., S а с h s П. (}., РЬув. 1I.су., 71, 589 (1947).
245. F с r m i Е., М а r S]l а 11 L., Pl1YS. 1I.('у., 75, 578 (1949).
246. F с r n Ь а с h В., S с r Ь с r 11.., Т а у 1 о r Т. В., РЬув. 1I.су., 75, 1352 (1949).
247. F с s h Ь а с h Н., РЬув. 1I.су., 65, 307 (1944).
248. Fcshbach Н., Pcas1ce D. С., Wcisskopf V. Р., PIJYs. 1I.су., 71, 145
(1947).
249. F с s h Ь а с h Н., 11. а r i t а VV., Phys. Псу., 75, 'l384 (194(J).
250. Р с s h Ь а с 11 Н., W е i s s k о Р f V. F., РЬув. П('у., 76, 1550 (1949).
251. F с s h Ь а С h Н., S с 11 \v i n g р r J. В., Н а r r .т. Л., Effect оС tpnsO]' rangc in пи.
c1car two body рrоblсшs, СОШРlltдt ion LaboratOl'y о! llarvarll Univcrsi1 у, Call1hrid-
gc, Massachus( tts, NоvсшЬсr, 1949.
252. F с s h Ь а с h П., S с h w i ng е r J. В., Phys. 11.<'\'.,84,194 (1951).
253. р i с r z М., Zs. f. Phys., 104, 553 (1937).
254. F i с r z М., Не]у. Phys. Acta, 16, 365 (1943).
255. ]i' i с r z М., Пе1v. Phys. Acta, 22, 489 (1949).
256. F i r с m а n Е. L., Phys. 1I.cv., 75, :123 (1%9),
257. Р i s k J. В., Proc. Поу. Вос., А143, Ы4 (HJ34).
258. Fisk J. В., Tay10r Н. М., Proc. Ноу. Вос., A146, 178 (1934).
259. F 1 и с g g с В. Zs. f. РЬув., 105, 522 (1937).
260. 1<' 1 и с g g е В., Ап Introduction to Nllc1ear Physics, II нниrс J. М а t t а и с Ь,
В. ]i' 1 tl С g g е, Nuc1par Physics ТаЫев, Ne\\' У ()J'k, 1946.
261. Ф о к В., Zs. f. РЬув., 89, 74/1 (1934).
262. F о 1 d У L. L., РЬув. Псу., 78, 636 (1950).
263. F 01 d у L. L., М i 1 f о r d F. J., РЬув. 11.<:,\"., 80, 7;:'1 (1950).
264. F о w 1 с r 11.. Н., Proc. 1I.оу. Вос., А129, 1 (1930).
.. 265. Fow1erW. А., Lauri tscnC С., РЬув. nf'v.. 76, 311 (1949).
266. F r а n k N. Н., РЬув. Псу., 51, 577 (1\Х37).
267. F r а n z W., Zs. f. РЬув., 127, 363 (1950).
268. F r а u е n f е 1 d е r Н., 11 и Ь с r О., dc S h а 1 i t А., Z ii n t j W., Phys. Пеу.,
79, 1029 (1950).
269. F r е е d m а n М. В., J а f f е у А. Н., W а g n (' J' 1-'., Р}1УВ. 1I.еу., 79, 410 (1950).
270. Френксль Л. И., Journ. РЬув. ussn, 1, 125 (1Ю9).
271. Фрснксль Л. И., Phys. Псу., 55, 987 (1939).
272. Frisch D. Н., РЬув. Псу., 70, 589 (1946).
273. F r i s с h D. Н., neport .N'2 43, Laboratory fOJ' Nuclcar Science and Enginecring,
М. I. Т., 1950.
274. F и с h s М., Thesis, University of Michigan, 1951.
275. F и 1 Ь r i g h t Н. W., М i 1 t о n J. С. D., РЬув. П('у., 82, 274 (1951).
276. F и 11 с r Е. G., Phys. Пеу., 76, 576 (1949).
277. F и 11 е r Е. G., Phys. Псу., 79, 303 (1950).
278. F и r r у W. Н., PhyS. Пеу., 50, 784 (1936).
279. F и r r у W. Н., Phys. 1I.еу., 51, 125 (1937).
280. F и r r у vV. Н., Phys. Пеу., 56, 1184 (1939),
Литература
645
281. G а m о w G., Zs. [. РЬув., 52, 510 (1928).
282. G а m о w G., Zs. [. РЬуэ., 51, 204 (1928).
283. Gamow G., Houtermans Р. G., Zs. [. РЬув., 52, 496 (1928).
284. G а m о w G., Zs. [. РЬув., 89, 592 (1934).
285. G а m о w а., Т е 11 е r Е., РЬув. Rev., 49, 895 (1936).
286. G а m о w G., С r i t с h f i е 1 d С. L., Theory о! Atomic N исlеиБ and Nuclear Ener-
gy Bources, Oxford, 1949.
287. Gardner J. Н., Purcell R. М., РЬуэ. Rev., 76,1262 (1949). '"
288. G а r d n е r J. W., Proc. РЬув. Вое., 62, 763 (1949).
289. G а r d n е r J. W., РЬуэ. Rev., 82, 283 (1951).
290. Gellman Н., Griffith В. А., Btanley J. Р., РЬуэ. Rev., 80, 866 (1950),
291. G е r j u о у Е., РЬув. Rev., 58, 503 (1940).
292. Gerjuoy Е., Bchwinger J. В., РЬуэ. Rev., 61,138(1942).
293. G е r j u о у Е" РЬув. Rev., 77, 568 (1950).
294. Gerjuoy Е., РЬув. Rev., 81,62 (1951).
295. G е s с h w i n d В., G u n t h е r М о h r R., Т о w n е s С. Н., РЬув. Rev., 81, 288
(1951). .
296. G h о s h а 1 В. N., РЬув. Rev., 80, 939(1950).
297. Gittiпgs Н. Т., Barschall Н. Н., Everhart а. а., РЬув. Rev., 75,
1610 (1949).
298. G 1 u е с k а u f Е., Proc. РЬув. Вое., 61, 25 (1948).
299. G о е r t z е 1 G., РЬув. Rev., 70, 897 (1946).
300. G о е r t z с 1 G., РЬув. Rev., 73, 1463 (1948).
301. G о 1 d Ь е r g е r М. L., В е i t z Р., РЬув. Rev., 71, 294 (1947).
302. G 01 d Ь е r g е r М., РЬув. Rev., 74, 1269 (1948).
303. G о 1 d Ь е r g е r М. L., F r е n с h В., РЬуэ. Rev., 87, 899 (1952).
304. G о 1 d Ь е r g е r М. L., РЬуэ. Rev., 82, 757 (1951).
305. Goldhaber G., РЬув. Rev., 81, 930 (1951).
306. G о 1 d h а Ь е r М., Т е 11 е r Е., РЬув. Rev., 74, 1046 (1948). .
307. G 01 d h а Ь е r М., В с h а r f f G о 1 d h а Ь е r G., РЬув. Rev., 73, 1472 (1948).
308. G о 1 d h а Ь е r М., В u n у а r А. W., РЬув. Rev., 83, 906 (1951).
309. Goldin I., Thesis, М. I. Т., 1950.
310. Goldsmith Н. Н., Ibser Н. W., Feld В. Т., Rev. Mod. РЬув., 19,259
(1947) (см. перевод: r о л ь Д с м и т r., и б с е р r., Ф е л ь Д Б., Нейтронные
эффективные сечения элементов, ИЛ, 1948).
311. G о 1 d s m i t h Н. Н., I n g 1 i s D. R., ТЬе Properties о! Atomic Nuclei, I. Spins,
Magnetic Moments and Quadrupole Moments, Brookhaven National Laboratory,
October 1, 1948.
312. G о 1 d s t е i n Н., РЬув. Rev., 79, 740 (1950).
313. G о о d R. Н., Thesis, University о! Michigan, 1951.
314. Good W. 1\1., Реаэlее D. С., Deutsch М., РЬув. Rev., 69, 313 (1946).
315. G о r d у "У., R i n g Н., В u r g А. В., РЬув. Rev., 74, 1191 (1948); erratum, РЬув.
Rev., 75, 208 (1949).
316. G о r d у W., РЬув. Rev., 76, 139 (1949).
317. Graham G. А. R., НаlЬап Н., Rev. Mod. РЬув., 17,297 (1945).
318. G r е u 1 i n g Е., РЬув. Rev., 61, 568 (1942).
319. G r е u 1 i n g Е., М е е k 51\1. L., РЬув. Rev., 82, 531 (1951).
320. G r i f f i t h В. А., В t а n 1 е у J. Р., РЬув. Rev., 75, 534 (1949).
321. G r 6 n Ь 1 о m В. О., Naturwiss., 25, 526 (1937).
322. G r 6 n Ь 1 о m В. О., Zs. [. РЬув., 110, 37 (1938).
323. Gr6nыom В. О., l\1arshak R. Е., РЬув. Rev., 55, 229 (1939).
324. G r 6 n Ь 1 о m В. О., РЬуs. Rcv., 56, 508 (1939).
325. Gugelot Р. С., РЬув. Rev., 81, 51 (1951).
326. G u i n d о n W. В., РЬув. Rev., 74, 145 (1948).
327. Gunther Mohr G. R., Geschwind В., Townes С. Н., РЬуэ. Rev.,
81, 289 (1951).
328. G u r n еу R. W., С о n d о n Е. U., Nature, 122, 439 (1928).
329. Guth" Е., Mullin С. J., РЬув. Rev., 74, 832, 833 (1948).
330. G '1 t h Е., М u 11 i n С. J., М а r s h а 11 J. Р., РЬув. Rev., 74, 834 (1948).
331. Guth Е., Mullin С. J., РЬув. Rev., 76,234 (1949).
332. G u t h Е., в печати.
333. G u t h r i е А., В а с h s R. G., РЬуs. Rev., 62, 8 (1942).
334. Н а d 1 е у J., к е 1 1 У Е. L., L е i t h С., В е g r € Е., W i е g а n d С., у о r k Н.,
РЬув. Rev., 75, 351 (1949).
335. Н а f s t а d L. R., Т е 11 е r Е., РЬув. Rev., 54, 681 (1938).
336. Н а 11 Н., РЬуэ. Rev., 79,745 (1950),
337. Н а 1 р е r n О., н а m е r m е s h М., J о h n s о n М. Н" РЬув. Rev., 59, 981 (1941).
338. Hamermesh В., Wattenberg А., РЬув. Rev., 75, 1290 (1949).
339. Н а m е r m е s h В., РЬув. Rev., 81, 487 (1951).
1
t.
", : f; :::: се
:
Литература
r;
340. Hamermesh М., Phys. Rev., 77,140 (1950).
341. Н а m i 1 t о n D. R., Phys. Rev., 58, 122 (1940).
342. Н а m i 1 t о n D. Н., Phys. Rev., 71, 456 (1947).
34 , Н а m i 1 t о п. D. R., Phys. Rev., 74, 782 (1948).
344. Н а n па G. С., Р о n t е с о r v о В., Phys. Rf'v., 75, 983 (1949).
345. Н а n s е n W. W., Phys. Rf'v., 47. 139 (1935).
341\. Н а n s t е i n Н. В., Phys. Rpv., 57, 1045 (1940).
7. Н а n s t е i n Н. В., Phys. Rev., 59, 489 (1941). .
348. Н а r k i n s W. D., Journ. Amer. Chf'm. Soc., 39, 856 (1917).
349. Н а r k i n s W. D., Phys. Rev., 19, 136 (1922).
35(). Н а r r i s S. Р., L а ng s d о r f А. S., S с i d 1 F. G. Р., Phys. Rf'v., 72, 866 (1947).
351. Н arris S. Р., Muehlhause С. О., Thomas G. Е., Ph y s. Rev. 79 11
(195(). ' ,
3;;2. Н а r v с у J. А., Phys. Rev.. 81, 353 (1951).
353. Н а t с h с r Н. D., А r f k е n G. В., В r е i t G., Phys. Rev., 75,1389 (1949).
3,14. Н а v е n s W. "У., R а i n w а t е r L. J., Phys. Неу., 70,154 (1946).
355. HavensW.W.,WuC.S., RainwaterL. J.,MeakerC. L.,Phys. Неу.
71, 165 (1947). '
35fi. Нахеl О., Jensen J. Н. D., Suess Н. E.,Phys. Rev., 75,1766 (1949).
3;-;7. Hayward R. W., Phys. Rev., 79,409 (1950).
35R. Н е Ь Ь М. Н., U h 1 е n Ь е с k G. Е., Physica, 5, 605 (1938).
359. Н е Ь Ь М. Н., N е 1 s о n Е., Phys. Rev., 58, 486 (1940).
31'>0. Hcisenberg W., Zs. f. Phys., 77,1 (1932).
3В1. Н е i s с n Ь е r g W., Z s. f. PI1YS., 120,513,673 (1943).
::\В2. Н (' i t 1 с r W., Н е r z Ь е r g G., Naturwiss., 17, В73 (1929).
3A . Н е i t 1 е r W., PrOc. Caтhr. РЫ1. Soc., 32, 112 (1936). .'
364. Н f' 1 m h о 1 t z А. С., М с м: i 11 а n Е. М., S е w е 11 D. С., Phys. Неу., 72, 1003
(1947).
3В5. Н е n k е 1 Н. L., В а r s с h а 11 Н. Н., Phys. Rev., 80, 145 (1950).
3ВВ. Н е р n е r W., Ре i е r 1 s Н., Proc. Ноу. Soc., М81, 43 (1942).
3В7. Н е r r i n g С., Phys. Rev., 52, 3п1 (1937).
368. Н е r z Ь е r g G., Molecular Spectra and Molecular Structure, N ew У ork, 19 9 (см.
перевод: r е р Ц б е р r r., Спектры и строение двухатомных молекул, ИЛ, 1949).
369. Heydenburg N. Р.. Hudson С. М., Tnglis D. R., Whitehead
W. D., Phys. Rrv., 74, 4()5 (1948).
37(). Hil1 R. D., Phys. Rrv., 76,333 (1949).
371. Н i 11 Н. D., Phys. Rev., 76, (198 (1949).
372. Н i 11 R. D., Phys. Rev., 81, 470 (1951).
37 . Н i r z е 1 О., W ii f f 1 е r Н., Hrlv. Phys. Acta, 20, 373 (1947).
374. Н б с k е r Н., Zs. f. Phys., 43, 236 (1942).
375. Hoisington Т. Е., Share S. S., Breit G., Phys. Rev., 56,884 (1939).
37В. Н о r n Ь о s t е 1 J., S а 1 ад t Е. О., Phys. Rev., 76, 859 '1949).
377. Н о r n i n g W., В а u m h о f f L., PllYS. Rev., 75, 370 (1949).
378. Н о r n у а k W. F., L а u r i t s е n Т., Rev. Mod. Phys., 20, 191 (1948).
379. Н о " n у а k W. F., L а u r i t s е n Т., М о r r. i s о n Р., F о w 1 е r W. А., Неу.'
Mod. Phys., 22, 291 (1950) (см. иеревоД: «'Уровни леших ядер», Сборник статей,
ИЛ, 1952).
380. Н о r t о n G. К., Proc. Phys. Soc., 60, 457 (1948).
381. R о u g h Р. V. С., Phys. Неу., 80, 1069 (1950).
382. Н u Ь е r О., S t е f f е n R. М., Н u m Ь е 1 F., Helv. Phys. Acta. 21, 192, (1948).
383. Н u Ь е r О., Н u m Ь е 1 F., S с h n е i d е r Н., de S h а 1 i t А., Z ii n t i W., Неlу.
Phys. Acta, 24, 127 (1951).
384. Н u g h е s D. J., Sp а tz W. D. В., G о 1 d s t е i n N., Phys. Rev., 75,1781 (1949).
385. R u g h е s D. J., В u r g у М. Т" R i n g о G. R., Phys. Rev., 77, 291 (1950).
386. НпghеsD. J., Sherman D., Phys. Rev., 78, 632 (1950).
387. Н u 1 m е Н. Н., Proc. Roy. Soc., А138, 643 (1932).
388. Н u 1 m е Н. Н., М о t t N. F., Орр е n h е i m е r F., Т а у 1 о r Н. М., Proc,
Roy. Soc., А155, 315 (1936).
389. Hulthen L., Phys. Hev., 61, 671 (1942).
390. Н u 1 t h (. n L., Arkiv Mat. Astron. Fysik, 35А, М 25 (1948).
391. Н u m Ь 1 е t J., Physica, 14, 285 (1948).
392. Н п m m с 1 Н. Н., 1 ng 1 i s D. Н., Phys. Hev., 81, 910 (1951).
393. Н u n d F., Zs. f. Phys., 105, 202 (1937).
394. Н u r w i t. z Н., В е t h е Н. А., Phys. Rev., 81, 898 (1951).
395. Н u s i m i К., Proc. Phys. Math. Soc. Japan, 20, 912 (1938).
396. Н У 11 е r а а s Е. А., Zs. f. Phys., 65, 209 (1930).
397. 1 ng 1 i s D. R., Phys. Rev., 50, 783 (1936).
398. Tnglis D. Н., Phys. Rev., 51,531 (1937).
399. 1 n g 1 i s D. Н., Phys. Rev., 53, 880 (1938).
!О,
':
.<'
;
j
Литература
6'7
400. J n g 1 i s D. R., Phys. Rcv., 55, 329 (.1$139).
401. I n g 1 i s D. R., Phys. Rev., 56,1175 (1939).
4()2. J n g 1 i s D. R., РЬув. R(v., 60,837 (1941).
403. J n g 1 i s D. R., РЬУБ. Rev.. 74, 21 (1948).
404. I n g 1 i s D. R., РЬУБ. Rev.. 81, 914 (НЭ51).
405. Irving J., РЬН. Mag., 42, 338 (1\'151)
406. J а с k s о n J. D., В 1 а t, t J. М., Неу. Mod. Phys., 22. 77 (1950).
407. J а е g е r J. С., Н и 1 т е Н. R., Proc. Roy. Soc., А148, 708 (1935).
408. J а h n Н. А., Proc. Roy. Soc., А201, 516 (1950).
409. Jahnkp Е., Emde F., Ftlnktionentaftln, Leipzig-, 1933 (см. перевод:
. Янке Е., Эмде Ф., Таблипыфункций (,формулаМИИlфИБЫМИ,м. Л., 1949).
410. Ja110ssy J,., Proc. Cambr. Phil. Soc., 35, 616 (1939),
411. J а s t r о w R , РЬУБ. Rev., 79, 389 (1950).
412. Jastrow Н., Phys. Rcv., 81,105 (1951).
413; J е а n М., Р r е n t k i J., Journ. de phys. ct rad., 11, 33 (1950).
414. J е n s с n J. Н. D., J е n s е пР., Zs. f. Naturforsch., 5а.343 (1950).
415. J о h n s о n С. М., G о r d у W., L i v i n g s t о n R., Phys. Hev., 83, 1249 (11151).
416. J о h n s оп У. Н., Phys. Rev., 81, 316 (1951),
417. J о n е s Wm. В., Phys. Rcv., 72, 362 (1947).
418. J о n е s Wm. 13., РЬУБ. Rev., 74, 364 (1948).
419. К а 1 с k а r F., Орр е n h р i m r r J. Н., S е r Ь р r Н., Phys. Rcv., 52, 279 (1937),
420. К а n С h а n g \У а n g, Phys. Rcv., 61, 97 (1942).
421. Карlап 1., Phys. Rev., 81, 902 (1951).
422. К ар u r Р. L., Ре i с r 1 s R., Proc. Roy. Soc., А166, 277 (1938).
423. К а t о Т., Phys. Rev., 80, 475 (НJ50).
424. к е i 1 s о n J., РЬУБ. Rcv., 82, 759 (1951).
425. К е 11 о g J. М. В., R а Ь i J. I., Z а с h а r i а s J. R., Phys. Rev., 50, 472 (1936).
426. Kellog J.M.B"Rabi I. I., Ramsey N. F., ZachariasJ.R.,Phys.
Rev., 56, 728 (1939).
427. К е 11 о g J. М. В., R а Ь i I. I., R а т s с у N. Р., Z а с h а r i а s J. R., Phys. Rev.,
57, 677 (1940).
428. К е 11 о g J. М., М i 11 т а n S., Rev. Mod. РЬУБ., 18, 323 (1946).
429. К е 11 у Е. L., S е g r е Е., РЬув. Rev., 75, 999 (1949).
430. К е 11 у Е. L., L е i t h С., S е g r е Е., W i е g а n d С., Phys. Rcv., 79, 96 (1950).
431. К е т т е r N., Naturc, 140, 192 (1937).
432. К i n s р у В. В., В а r t h о 1 о т е w G. А., W а 1 k е r W. Н., Phys. Rcv., 77,
723 (1950); 78, 481 (1950); 78, 77 (1950).
433. К i t t е 1 С., В r е i t, G., РЬув. Rev., 56, 744 (1939).
434. К i t t е 1 С., Phys. Rcv., 62, 109 (1942).
435. К о h т а n Т. Р., РЬув. Rev., 73, 16 (1948).
436. К о h n \У., РЬУБ. Rrv., 74, 1763 (1948).
437. К о j i т а S., Proc. Jmp. Acad. Tokyo, 19, 282 (1943).
438. К о 1 s k У Н. G., Р h i Р Р s Т. Е., R а т s е у N. F., S i 1 s Ь с е Н. В., Pbyв
Rev., 81, 1061 (1951). .
439. Копор inski Е. J., U hlenbeck G. Е., РЬУБ. Rev., 48, 7 (1935).
440. К о пор i n s k i Е. J., В е t h е Н. А., РЬУБ. Rev., 54, 130 (1938).
441. Konopinski Е. J., Uhlenbeck G. Е., Phys. R(v., 60, 308 (1941).
442. К о пор i n s k i Е. J., Rev. Mod. РЬУБ., 15, 209 (1943).
443. К о пор i n s k i Е. J., РЬув. :A.ev., 72, 518 (1947).
444. К о пор i n s k i Е. J., Т е 11 е r Е., РЬув. Rcv., 73, 822 (1948).
445. К о Р f е r т а n n Н., Кcrптотспtе, Michigan, 1945.
446. Kroeger W. J., РЬУБ. Rcv., 54, 1048 (1938).
447. Kudar J., Zs. f. РЬув., 53, 61, 95 (1929).
448. К u r а t h D., РЬув. R v., 80, 98 (1950).
449. К u r i е Р. N. D., R i с h а r d s о n J. Н., Р а х t о 11 Н. С., Phys. Hev., -49, 368
(1936),
450. К u r i е F. N. D., РЬув. Rcv., 73, 1207 (1948).
451. К u s а. k а S., Phys. Rev., 60, 61 (1941).
452. К u s с h Р., Phys. Rpv., 76, 138 (1949).
453. L а т Ь W. Е., S с h i f f L. 1., Phys. Rrv., 53, 651 (1938).
454. L а т р i Е. Е., F r е i е r G. D., W i 11 i а т s J. Н., Phys. Rev., 80, 853 (1950),
455. Л а н д а у Л. Д., Phys. Zs. SO\\j( ttlnion, 11, 556 (1937). . .
456. Л а н д а у Л. Д., С м о р о Д и н с к и й н. А., Journ. Phys. USSR, 8,154 (1944).
457. Langer L. М., Moffat R. J. D., Phys. Rcv., 82, 635 (1951).
458. Laslett L. J., Jensen Е. N., Pashkin А., Phys. Rcv., 79, 412 (1950).
459. L а s s е n N. О., Phys. Rpv., 74, 1533 (1948); crratum, Phys, Rev., 75,1099 (1949).
460. L а t i т е r W. М., Phys. Rrv., 51, 141 (1937).
461. L а u Ь е n s t е i n Н. А., Thesis, j'nivcrsiLy о! Wisconsin, 1950.
462. L а u е М., Zs. f. Phys., .'>2, 726 (1928).
)
1>,48
463.
464.
465.
466.
467.
468.
469.
470.
471.
472.
473.
474.
475.
47п.
477.
478.
479.
480.
481.
482.
483.
484.
485.
486.
487.
488.
489.
490.
491.
492.
493.
. 494.
495.
496.
497.
498.
499.
500.
501.
502.
503.
5Q4.
505.
506.
507.
508.
509.
510.
511.
512.
513.
514.
515.
' '51B.
517.
518.
519.
520.
521.
522.
523.
524.
525.
526.
I ' 527.
528.
529.
; >
.1"
Литература
L а u g h 1 i n J. S., 'К r u g с r Р. G., Phys. Rcv., 71, 736 (1947).
L а u g.h 1 i n J. В., К r u g е r Р. G., Phys. Rev., 73, 197 (1948).
Laurltscn Т., Thomas R. G., Phys. Rcv., 78, 88 (1950).
L а u r i t s с n Т., Encrgy Lcvcls of Light Nuclci, 1950, Nuclcar Scicncc Rcvicw.
L а w s о n J. L., Phys. Rev., 56, 131 (1939).
L а w s о n J. L., С о r k J. М., Phys. Rcv., 57, 982 (1940).
L а w s о n J. L., Р с rl m а n М. L., Phys. Rcv., 74, 1190 (1948).
L а хМ., F с s h Ь а с h Н., Journ. Acoust. Вос. Amer., 20, 108 (1948).
L а хМ., Phys. Rcv., 78, 306 (1950).
Lcc Т. D., Rosenbluth М., Yang С. N., Phys. Rev. 75 905 (1949)
Lcininger R.F., Scgre Е., Wicgand С., Phys. Rcv.,'76: 897 (1949):
L с v i n g с r J. В., Phys. Rcv., 76, 699 (1949).
L с v i ng с r J. В., В е th с Н. А., Phys. Rev., 78, 115 (1950).
Lcvinthal Е. С., Phys. Rev., 78, 204 (1950).
I е w i s Н., В о h m D., PllYS. Rev., 69, 129 (1946).
L i n g D. В., F а 1 k о f f D. L., Phys. Rcv., 74, 1224 (1948).
L i n g D. В., Thcsis, Univcrsity of Michigan, 1948.
Lippmann В. А., Schwingcr J. В., Phys. Rcv., 79, 469 (1950).
L i Р Р m а n n В. А., Phys. Rcv., 79, 481 (1950).
L i t t а u е r R. М., Proc. Phys. Вос., А63, 294 (1950).
L 1 о У d В. Р., Phys. Rev., 80, 118 (1950).
Lloyd В. Р., Phys. Rcv., 81,161 (1951).
Lloyd В. Р., Thcsis, Univcrsity of Illinois, 1951.
L 1 о У d В. Р., Phys. Rcv., 82, 277 (1951).
L 1 о У d В. Р., Phys. Rcv., 83, 716 (1951).
L оп g m i r с С., Brown Н., Phys. Rcv., 75, 264 (1949); 75, 1102 (1949).
L о u g m i r с С., W u С. В., Т о w n с s С. Н., Phys. Ксу., 76, 695 (1949).
L оп g m i r с С., М е s s i а h А. М. L., Phys. Rcv., 83, 464 (1951).
L о w F., Phys. Rcv., 74, 1885 (1948).
L о w W., Т о w n е s С. Н., Phys. Rev., 80,608 (1950).
L о w сп I. В., Phys. Rcv., 59, 835 (1941).
L о w сп I. В., Т r а 11 i N., Phys. Rcv., 75, 529 (1949).
McElhinney J., Hanson А. О., Becker R. А., Duffield R. В.,
D i v с n В. С., Phys. Rcv., 75, 542 (1949).
М с G i n n i s С. L., Phys. Rev., 81,734 (1951).
М с G о w а n F. К., Phys. Rcv., 79, 404 (1950).
М с G о w а n F. К., Phys. Rcv., 80, 482 (1950).
М с G о w а n F. К., Phys. Rcv., 81, 1066 (1951).
М а с k J. Е., Rcv. Mod. Phys., 22, 64 (1950).
М а с k 1 i n Р. А., L i d о f s k У L. I., W u С. В., Phys. Rev., 82, 334 (1951).
М с М i 11 а n Е. М., Journ. Acoust. Вос. Amcr., 18, 344 (1946).
М с М i 11 а n Е. М., Journ Acoust. Вос. Amrr., 19, 922 (1947).
М с Р h а i 1 М. R., Phys. Rcv., 57, 669 (1940).
М а j о r а n а Е., Zs. f. Phys., 82, 137 (1933).
М а j о r а n а Е., Nuovo cimcnto, 14,171,322 (1937).
М а n n L. G., А х с 1 Р., Phys. Rcv., 80,759 (1950).
М ar g с па u Н., Phys. Rcv., 46, 613 (1934).
М а r g с па u Н., W а r r с n D. Т., Phys. Rev., 52, 790 (1937).
Margcnau Н., Tyrrcll W. А., Phys. Rcv., 54, 422 (1938).
М а r g с па u Н., Phys. Rev., 53, 198 (1938).
Margcnau Н., Carroll К. G., Phys. Re v ., 54, 705 (1938).
М а r g с па u Н., Phys. Rcv., 55, 1173 (1939)
М а r g е n а u Н., Phys. Rcv., 57, 383 (1940).
!YI а r g е n а u Н., W i g n е r Е. Р., Phys. Rev., 58, 103 (1940).
Margenau Н., Phys. Rcv., 59, 37 (1941).
М а r s h а k R. Е., Phys. Rev., 61, 431 (1942).
М а r s h а k R. Е., Phys. Rey., 70, 980 (1946).
М а r s h а k R. Е., Phys. Rev., 75, 513 (1949).
М а r s h а 11 J. F., G u t h Е., Phys. Rcv., 76, 1879, 1880 (1949).
М а r s h а 11 J. F., G u t h Е., Phys. Rcv., 78, 738 (1950).
М а s s с уН.В. W., В u r h о р Е. Н. S., Н u Т., Phys. Rev., 73,1403 (1948).
М а s s е у Н. В. W., В u с k i n g h а m R., Phys. Rey., 73, 260 (1948).
Ма t h е r К. В., К а r r Н. J., В оп d с 1 i d R. О., Phys. Rcv., 78, 292 (1950).
М а t r i с о n М., Compt. rend., 206, 651, 1809 (1938).
М а у е r М. G., Phys. Rcv., 74, 235 (1948).
М а у с r М. G., ,Phys. Rcv., 75, 1969 (1949).
М а у с r М. G., Phys. Rcv., 78, 16, 22 (1950).
М а у е r М. G., М о s z k о w s k i В. А., N о r d h с i m L. W., Rcv. Mod. Phys.,
23, 315 (1951).
Литература
649
530. М е d i с и s Н., Р r е i s w е r k Р., S с h е r r е r Р., Helv. Phys. Acta, 23,299
(1950).
531. Meiners Е. Р., Phys. Rev., 76, 259 (1949).
532. М е 1 k о n i а n Е., Phys. Rev., 76, 1744 (1949).
533. М е t z g е r F., D е и t s с h М., Phys. Rev., 78, 551 (1950).
534. М е t z g е r F., Н i 11 R. D., Phys. Rev., 82, 646 (1951).
535. М i t с h е 11 А. С. G., Rev. Mod. Phys., 20, 296 (1948).
536. М о Ь 1 е у R. С., L а и Ь е n s t е i n R. А., Phys. Rev., 80, 309 (1950).
537. М о 11 е r С., Phys. Zs. Sowjetunion, 11,9 (1937); Phys. Rev., 51, 84 (1937). .
538. М о 11 е r С., R о s е n f е 1 d L., Kgl. Danske Videnskab. Selskab, MatAys. Medd.,
20, М 12 (1943).
539. М о 11 е r С., Kgl. Danske Videnskab. Selskab, MatAys. Medd., 23, 1 (1945).
540. М о r r i s о пР., Phys. Rev., 74, 1224 (1948).
541. М о r s е Р. М., L о w а пА. N., F е s h Ь а с h Н., L а хМ., U. В. N а v у, Depart
ment of Research and Inventions, Report N2 62, 1R, 1945.
542. М о s h i n s k у М. Phys. Rev., 81, 347 (1951).
543. Moszkowski В. А., Phys. Rev., 83,1071 (1951).
544. М о s z k о w s k i В. А., Phys. Rev., 82, 118 (1951).
545. М о s z k о w s k i В. А., Phys. Rev., 82, 35 (1951).
546. М о t t N. F., М а s s е у Н. В. W., ТЬе Theory of atomic Collisions, Oxford, 1933 (см.
перевод: М о т т Н. и М е с с и r., Теория атомных столкновений, ИЛ, 1951).
547. Motz L., Feenberg Е., Phys. Rev., 54, 1055 (1938).
548. М о t z L., S с h w i ng е r J. S., Phys. Rev., 57, 162 (1940); 58, 26 (1940).
549. М и е h 1 h а и s е С. О., Phys. Rev., 79, 277 (1950).
550. М и е t h е r Н. R., R i d g w а у S. L., Phys. Rev., 80, 750 (1950).
551. М и 11 i n С. J., G и t h Е., РЬУБ. Rev., 76, 682 (1949).
552. М u r р h У G. М., J о h n s t о n Н., РЬув. Rev., 46, 95 (1934).
553. М У е r s F. Е., V а n А t t а L. С., РЬУБ. Rev., 61,19 (1942).
554. М У е r s R. D., Phys. Rev., 54,361 (1938).
555. N а f е J. Е., N е 1 s о n Е. В., РЬУБ. Rev., 73, 718 (1948).
556. N а k а Ь а у а s i К., Sci. Repts. Tohoku Imp. Univ., 25, 1141 (1937).
557. N а k а n о У., Phys. Rev., 76, 981 (1949).
558. N е d е 1 s k У IJ., Орр е n h е i m е r J. R., Phys. Rev., 44,948 (1933).
559. N е 1 s о n Е. В., N а f е J. Е., Phys. Rev., 75, 1194 (1949).
560. N е и m а n n G., Апп. d. Phys., 45, 529 (1914).
561. N е w е 11 G. F., Phys. Rev., 77, 141 (1950).
562. N о r d h е i m L. W., У о s t F. L., Phys. Rev., 51, 942 (1937).
563. Nordheim L. W., Phys. Rev., 75,1894 (1949).
564. N о r d h е i m L. W., Phys. Rev., 78, 294 (1950).
565. N о r d h е i m L. W., Rev. Mod. Phys., 23, 322 (1951).
566. N о r d s i е с k А., Phys. Rev., 58, 310 (1940).
567. N о v е у Т. В., Phys. Rev., 78, 66 (1950).
568. О с h i а i К., Phys. Rev., 52, 1221 (1937).
569. Орр е n h е i m е r J. R., Phys. Rev., 47, 845 (1935).
570. Орр е n h е i m е r J. R., Р h i 11 i Р s М., Phys. Rev., 48, 500 (1935).
571. Oppenheimer J. R., Serber R., Phys. Rev., 53, 636 (1938).
572. Oppenheimer J. R., Schwinger J. В., Phys. Rev., 56, 1066(1939).
573. О s Ь о r n R. К., F о 1 d У L. L., Phys. Rev., 79, 795 (1950).
574. О s о Ь а J. В., Phys. Rev., 76, 345 (1949).
575. О v а d i а J., А х е 1 Р., Phys. Rev., 81, 332 (1951).
576. О v а d i а J., Thesis, Univrrsity of Пliпоis, 1951.
577. Р а d f i е 1 d D., Nature, 163, 22 (1949).
578. Рап о f s k У W. К. Н., F i 11 m о r е F. L., Phys. Rev., 79, 57 (1950).
579. Раиl Е. В., Clarke R L., Canad. Journ. Phys., 31, 267 (1953).
580. Р а и 1 i W., Naturwiss., 12, 741 (1924).
581. Р а и 1 i W., Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik, Handbuch der
Physik, vol. 24 (см. перевод: П а у л и В., Общие принципы волновой механики,
М. Л., 1948).
582. Р а и 1 i W., Апп. inst. Henri Poincare, 6, 109 (1936).
583. Р а и 1 i W., Rev., Mod. Phys., 13,203 (1941) (см. перевод: П а у л и В., Релятиви:
стекая теория элементарных частиц, ИЛ, 1947).
'584. Р е а с о с k С. L., М i t с h е 11 А. С. G., Phys. Rev., 75, 1272 (1948).
585. Р е а s е R. L., Thesis, М. I. Т., 1950.
586. Р е а s е R. L., F е s h Ь а с h Н., Phys. Rev., 81, 142 (1951).
587. Peaslee D. С., Phys. Rev., 74, 1001 (1948).
588. Ре r е z-M е n d е z V., L i n d е n f е 1 d Р., Phys. Rev., 80, 1097 (1950).
589. Ре r 1 m а n I., G h i о r s о А.. S е а Ь о r g G. Т.. Phys. Rev.. 77. 26 (1950).
590. Ре r 1 m а n М. L., F r i е d 1 а n d е r G., Phys. Rev., 74, 442 (1948).
591. Ре t с h Н. Е., J о h n s М. W., Phys. Rev., 80, 478 (1950).
W2. ,Р'е t 'е i' 5,0 n R. Е., В а r 5 с h а 11 Н. Н., В о с k е 1 m а n С. К., РЬУ5. Rev.,
79, 593 (1950).
593. Phi11ip5 J. А., Law50n J. 8., Kruger Р. G., РЬУ5. Rev., 80, 326 (1950).
594. Р h i 11 i Р 5 М., РЬУ5. Rev., 57, 160 (1940).
595. Р h i 11 i Р 5 М., F е е n Ь е r g Е., РЬУ5. Rev., 59, 400 (1941).
596. Р 1 е 5 5 е t М. 8., РЬУБ. Rcv., 49, 551 (1936).
597. Р 1 о s 5 е t М. 8., Ащеr. Journ. Phys., 9, 1 (1941).
598. Pontecorvo В., Kirkwood D. Н. W., Наnnа G. С., PhY5. Rev., 75,
982 (1949). ,
599. Р Q s 5 Н. L., The Propcrtie5 о! Atomic Nuc1ei, I. 8pin5, Magnetic Moment5 and Юе-
ctric Quadr11po1e M o mcnt5, Brookhaven Nationa1 Laboratory, Octohcr 1, 1949.
600. Р о s s Н. L., Phys. Rev., 79, 539 (1950).
601. Р о w е 11 С. F., О с с h i а 1 i n i G., Cambridge Conference (Physica1 80ciety,
London 1947), р. 150.
602. Р r е s с n t R. D., Р11У5. Нсу., 60, 28 (1941).
603. Presont Н. D., P11Ys. Rev., 80, 43 (1950).
604. Р r i с с G. А., К о r st D. W., Phys. Rev., 77, 806 (1950).
605. Р r i m а k о f f Н., Phys. Rev., 52, 1000 (1937).
606. Primakoff Н., Holstein Т., Phys. Rev., 55, 1218 (1939).
607. Р r i щ а k о f f Н., P11Ys. Rev., 72, 118 (1947).
608. РТ о с t о r \"1. G., У II F. С., Phys. Неу., 81, 20 (1951).
609. Р r 11 о t t J. R., Phys. Rev., 73, 1219 (1948).
610. Р r у с с М. Н. L., PI'OC. Phys. 80С., А63, 692 (1950).
611. R aca11 G., N110YO ciтcnto, 14,93 (1937).
612. R а с а 11 G., P11Ys. Нсу., 61, 186 (1942).
613. Н а с а 11 (}., Phys. Rov., 62, 438 (1942).
614. Н а с а 11 С., Hrlv. Phys. Acta, 23, 811рр1. III, 229 (1950).
615. Н а с а h С., PI1Ys. Rev., 78, 622 (1950).
616. Нас R. R., РЫ1. Mag., 40,1155 (1949).
617. ПаinwаL('r L. J., Havens W. \"1., VVll С. 8., D11nning J., PhY5. Rev.,
71, 65 (1947).
618. R а i n \У а t с r L. J., PI1Ys. Неу., 79, 432 (1950).
619. R а m 5 с у \У. Н., Proc. Cambr. Phil. 80С., 44, 87 (194R).
620. Н а r i t а W., Р r с s сп t R. D., Phys. Нсу., 51, 788 (1937).
621. Па r i t а \У., 81 а \у s k У Z. J., Phys. Псv., 54, 1053 (1\):38).
622. Па r i L а \"1.,8 с 11 w i n g е r J. S., P11Ys. НСУ., 59, 436 (19<'11).
623. Па l' i t а \"1.,8 с 11 \у i n g е r J. 8., PI1Ys. Rev., 59, 556 (1941).
624. Н а r i t а W., 8 с 11 \у i n g о r J. S., N У с Н. А., Phys. Rcy., 59, 209 (1941).
625. R а s с t t i Р., Zs. f. PI1Ys., 61, 598 (1930).
626. Н а 5 m 11 5 S С n У. К., Н о r n у а k \"1. F., I, а, 11 r i t s е n С. С., L а u r i t 5 е n Т .
РЪув. Rl'Y., 77, 617 (1950).
62 . R а У 1 с i g 11, Р1'()С. Ноу. Soc., А29, 91 (1879).
628. RaylciglJ, l'11il. Mag., 14,184 (1882).
629. R (' i t z .1. R., Phys. Н<у., 77,10 (1950).
630. R i n g о G. Н., В 11 r g у М. Т., Н 11 g h е s D. J., Phys. Rev., 82, 344 (1951).
631. R о Ь с l' t s D. М., 8 t е f f с n R. М., Plrys. Rev., 81, 332 (1951).
632. HobsOll J. :М., РЪуБ. Rev., 78, 311 (1950).
633. R о g с l' S Е. Н., 8 t а 11 Ь Н. Н., Phys. Rcv., 76, 980 (1949).
634. Н о h r 1 i е 11 1<'., Е i s е n s t е i n J., P11Ys. Rcy., 75, 705 (HJ49).
635. Н о j а II 5k У У., Introdllct01'Y Q11ant11m l\Iechanic5, N р\у У ork, 1942.
636. R о 5 е В., W i 1 s о II А. Н. \"1., P11Y5. Rev., 78, 68 (1950).
637. Н о s с М. Е., U h 1 е n Ь l' С k С. Е., P11Y5. Неу., 48, 211 (1935).
638. Ео 50 М. Е., PhY5. Ееу., 49,727 (1936).
639. R о 5 С М. Е., В е t h о Н. А., Phys. НАУ., 51, 205 (1937).
640. R о 5 е М., Е., P11Y5. Rcy., 57, 958 (1940).
641. НО5С М. Е., Coc1'tzel G., PhY5. Неу., 72, 749 (191[7).
642. R о 5 О М. Е., G о с r t z е 1 С., 8 Р i n l' а d В. 1., Н а r r J. А., 8 t r о n g 1'., PhY5.
Нсу., 76,188:3 (1949).
643. R о 5 С М. Е., P11Y5. Rev., 76, 678 (1949).
644. R о 5 О М. К, Phy5. Rcv., 75, 1444 (1949).
645. НО5С М. Е., Goertzcl С., 8pinrad В. I., Harr J., 8trong Р.,
PhY5. Ноу., 83, 79 (1951).
646. R о 5 5 i В., Rev., Мой. PhY5., 20, 537 (1948).
647. R 11 t h е r f о r rl Е., С с i g е r Н., Proc. Roy. 80С., А81, 141 (1908).
648. R utherford Е., Pbll. Mag., 21, 669 (1911).
649. 8ach5 Н. G., Mayer М. С., P11Y5. Неу., 53, 991 (1938).
650. 8 а с h 5 R. С., PhY5. Неу., 55. 825 (1939).
651. 8 а с h 5 R. С., РЬув. Rev., 57, 159 (1940).
652. 8 а с h 5 Н. G., PhY5. Пеv., 57, 194 (1940).
Литература
651
653. В а с h s Н. G., Phys. Rev., 69, 611 (1946).
1354. В а с h s R. G., Phys. Rev., 72, 91 (1947).
655. В а с h s R. G., Phys. Rev., 72, 312 (1947).
'656. Bachs R. G., Phys. Rev., 74, 433 (1948).
657. В а с h s R. G., А u s t е r n N., Phys. Rev., 81, 705 (1951).
658. В а 1 а n t Е. О., R а m s е у N. F., Phys. Rev., 57, 1075 (1940).
659. В а 1 ре t е r Е, Е., Phys. Rev., 82, 60 (1951).
-660. В а r g е n t В. W., Proc. Ноу. Soc., А139, 659 (1933).
'661. Вахоп D., Phys. Rev., 76, 986 (1949).
662. Bchiff L. I.,Phys. Rev., 73, 1311 (1948).
663. В с h i f f L. 1., Quantum Mcchanics, New York, 1949.
1364. В с h i f f L. 1.. Phys. Rev., 78, 83 (1950).
'665. В с h i f f L. 1., Phys. Rev., 78, 733 (1950).
666. В с h m i d t Т., Zs. f. Phys., 106, 358 (1937).
'667. В с h m i d t Т., Natur\viss., 28, 565 (1940).
668. Bchiiler Н., Zs. f. Phys., 107,12 (1937).
'669. В с h ii 1 е r Н., К о r s с h i n g Н., Zs. f. Phys., 105,168 (1937).
670. В с h w i ng е r J. В., Т е 1 I е r Е., Phis. Rev., 52, 286 (1937).
671. S с h w i n g е r J. 5., Phys. Rev., 52, 1250 (1937).
612. 5 с h w i n g lJ r J. 5., Phys. Rev., 58, 1004 (1940).
673. S с h w i n g е r J. 5., Phys. Rev., 60, 164 (1941).
674. S с h w i n g е r J. S., Phys. RlJv., 72, 742 (HJ47).
675. S с h w i n g е r .Т. 5., Phys. Rev., 78, 135 (1950).
676. 5 с а Ь о r g G. Т., Ре r 1 m а n 1., Rev. Mod. Phys., 20, 585 (1948). (см. перевод:
С и б о Р r и Пер л м а н, Таблицы изотопов, ил, 1951).
677. 5 е е g <' r Н. .т., Т е 11 е r Е., Phys. Но".. 62, 37 (1942).
678. S е g r е Е., W i е g а n d С. Е., l'lIYS. Неу., 75, 39 (1949).
679. S е g r е Е., Н о 1 m h о 1 t z А. С., Неу. Mod. Phys., 21, 271 (1949).
68(). S е i d 1 F. (1-. Р., Phys. Rev., 75, 1508 (1949).
681. S е 1 о v е W., Phys. НОУ., 77, 557 (19;)0).
682. S е 1 о v с W., частное сообщение, 1950.
683. S е r Ь er Н., Phys. Rov., 72, 1114 (HJ47).
684. S h а IJ i r о М., Phys. Rev., 90, 171 (1953).
6 5. S 11 а r е S. 5., 13 r е i t П., Phys. НОУ., 52, 546 (1937).
686. S h с r r Н., Phys. Rov., 68, 240 (1945).
687. В h е r r Н., М u е t h е r Н. Н., W h i t еМ. G., Pl:ys. Нсу., 75, 282 (1949).
688. 8 h с r w i n С. \У., Phys. НОУ., 75, 1799 (1949).
689. S h с r \у i 11 С. W., P/1YS. НОУ., 82, 52 (1951).
<690. 8 h i m о s е Т., Proc. Phys. Math. 8ос. Japan, 20, 83 (1938)
691.8 h о u Р Р W. Е., J е n n i n g s В., 8 u n К. Н., Phys. Rev., 75, 1 (1949).
692. 8 h u 11 С. G., "У о 11 а n Е. О., М о r t о n G. А., D а v i d s о n W. L., Phys.
Rev., 73, 842 (1948).
693. 8Ьиl1 F. В., Feenborg Е., Phys. Rov., 75, 1768 (19119).
694. 8 i eg е 1 А., Phys. Rcv., 82, 194 (1951).
695. 8 i е g е r t А. .т. F., Phys. Rev., 52, 787 (1937).
.696. 8 i eg е r t А. J. F., Phys. R('v., 56, 750 (1939).
697. 8 i m о n s L., Phys. Rev., 55, 792 (1939).
698. 8 i m о n s L., KgI. Danske Videnskab. 8clskah., Mat. fys. Medd., 17, М 7 (1940).
699. 8 1 е а t о r vV., PllYS. Rev., 72, 207 (1947).
700. 8mith Р. В., Allen J. 8., Phys. Rov., 81, 381 (1951).
'701. 8mith Н. V., Richards Н. Т., Phys. Rrv., 74, 1871 (1948).
702. С м о р о Д и II С 1. И Й Я. А., Journ. PIlYS. UDSR, 8, 219 (1944).
'703. С м о р о Д и п с к и й Я. А., Journ. Phys. USSR 11, 195 (1947).
704. 8neddon 1. N., Touscllek 13. F., Proc. Cambr. РЫ1. 8ос., 44, 391 (1948).
705. 8 n е 11 А. Н. , В а r k е r Е. С., 8 t е r n Ь е r g R. L., Phys. Rev., 75, 1290 (1949).
706. В n е 11 А. Н., Р 1 е а s а n t s о n F., 1\1 с С о r d R. V., Phys. Rev., 78, 310 (1950).
707. 8 n е 11 А. Н., В а r k е r Е. С., 8 t е r n Ь е r g R. L., Phys. Rev., 80, 637 (1950).
708. В n у d е r Н., М а r s h а k R. Е., Phys. Rзv., 72, 1253 (1947).
709. В Р i е r s J. А., Phys. Rev., 80, 491 (1950).
710. Bpruch L., Phys. Rev., 80, 372 (1950).
711. 8 t е Ь 1 е r А., Н u Ь е r Р., Hclv. Phys. Acta, 21, 59 (1948).
712. В t е i n w е d е 1 Н., J е n s е n J. Н. D., Phys. Rev., 79, 1019 (1950).
713. 8 t е i n w е d е 1 Н., J с n s е n J. Н. D., Zs. f. Naturforsch., 5а, 413 (1950).
714. 8 t е р h е n s W. Е., Phys. Rov., 57, 938 (1940).
715. 8ternheimer R., Phys. Rev., 80,102 (1950).
'716. 8 t е v е n s о n D. J., D е u t s с h М., Phys. Rev., 78, 640 (1950).
717. В t r а u с h К., Phys. Rev.. 81. 973 (1951).
718. В t r е i Ь J. F., F о w 1 е r W. А., L а u r i t s е n С. С., Phys. Rev., 59, 253 (1941).
719. В t u m р Н., F r а n k е 1 В., Phys. Rev., 79, 243 (1950).
652
Литература
720. S t u r mW. 1., Phys. Rev., 71, 757 (1947). .
721. S u е s s Н. Е., 1 е n s е n J. Н. D., М. Siegbahn Anniversary Уоlите, Stockholm,
1952, р. 589. ,
722. S u n у а r А. W., G 01 d h а Ь е l' М., Phys. Rev., 76, 189 (19.i9).
723. Sutton R.B.,Hall T.,AndersonE.E.,BridgeH.S.,DeWire 1.,
L а v а t е 11 i L. S., L о n g Е. А., S n у d е r Т., W i 11 i а m s R. W., Phys.
Rev., 72, 1147 (1947).
724. S v а r t h о 1 m N., Thesis, Lund, 1945.
725. S v а r t h 01 m N., Arkiv. Mat., Astron. Fysik, 35А, М 7, 8 (1948).
726. Talmi 1., Phys. Rev., 82, 101 (1951).
727. Т а s с h е k R. F., Phys.Rev., 61, 13 (1942).
728. Т а s с h е k R. F., Н е m m е n d i n g е r А., Phys. Rev., 74, 373 (1948).
729. Т а у 1 о r Н. М., М о t t N. F., Proc. Roy. Soc., А138, 665 (1932).
730. Т а у 1 о r Н. М., М о t t N. F., Proc. Roy. Soc., А142, 215 (1933).
731. Т е i с h m а n n Т., Thesis, Princeton Uпivю'sitу, 1949.
732. Т е i с h m а n n Т., Phys. Rev., 77, 506 (1950).
733. Т е n d h а m D. 1., В r а d t Н. L., Phys. Rev., 72, 1118 (1947).
734. Thellung А., Villars F., ,Phys. Rev., 73,924 (1948).
735. Т h о m а s L. Н., Phys. Rev., 47, 903 (1935).
736. Т h о m а s R., Phys. Rev., 58, 714 (1940).
737. Т h о m а s R. G., Phys. Rev., 80, 138 (1950).
738. Т h о m а s R. G., Phys. Rev., 81, 148 (1951).
739. Т h о m а s R. G., частное сообщение, 1951.
740. Т h о m s о n J. J., Rays о! positive Electricity, Longmans, Green, 1913
741. Т i о m n о 1., W h е е 1 е r 1. А., Rev. Mod. Phys., 21, 144 (1949).
742. Т i t t m а n 1., S h е е r С., R а i n w а t е r L. J., Н а v е n s W. W., Phys. Rev.,
80, 903 (1950).
743. Т о 1 а n s k у S., Proc. Roy. Soc., А170, 205 (1939).
744. Т о 11 е s t r u р А. У., F о w 1 е r W. А., L а u r i t s е n С. С., Phys. Rev., 78.
372 (1950).
745. Т о m s М. Е., S t ер h е n s W. Е., Phys. Rev., 82, 709 (1951).
746. Toraldo di Francia G., Phys. Rev., 78, 298 (1950).
747. Т о w n е s С. Н., Phys. Rev., 71, 909 (1947).
748. Т о w n е s С. Н., F о 1 е у Н. М., L о w W., Phys. Rev., 76, 1415 (1949).
749. Т о w n е s С. Н., А а m о d t L. С., Phys. Rev., 76, 691 (1949).
750. Т У 1 е r А. W., Phys. Rev., 56, 125 (1939).
751. Tyrrell W. А., Carroll К. G., Margenau Н., Phys. Rev., 55,790
(1939).
752. Т У r r е 11 W. А., Phys. Rev., 56, 250 (1939).
753. Уап Lier С., Uhlenbeck G. Е., Physica, 4,531 (1937).
754. Уап Patter D.M.,SperdutoA., Huang K.,StraitE.N.,Buech-
n е r W. W., Phys. Rcv., 81, 233 (1951).
755. V i 11 а r s F., Helv. Phys. Acta, 20, 476 (1947).
756. V о 1 k о f f G. М., Phys. Rev., 57, 866 (1940).
757. V о 1 k о f f G. М., Phys. Rev., 62, 126 (1942).
758. V о 1 k о f f G. М., Phys. Rev., 62, 134 (1942).
759. W ii f f 1 е r Н., Н i r z е 1 О., Helv. Phys. Acta, 21, 200 (1948).
760. Waggoner М. А., Мооп М. L., Roberts A.,Phys. Rev., 80, 420 (1950}.
761. Wa/;'goner М. А., Phys. Rev., 80, 489 (1950). '.
762. W а 1 k с r R. L., Phys. Rev., 76, 244 (1949).
763. W а 1 k е r R. L., М с D ап i е 1 В. D., S t с а r n s М. В., Phys. Rev., 79, 242 (1950)..
764. W а 11 а с е Р. R., Phys. Rev., 82, 297 (1951).
765. W а 11 а с е R., Phys. Rev., 81, 493 (1951).
766. W а 1 t е r М., Н u Ь с r О., Z ii n t i W., Helv. Phys. Acta, 23, 697 (1950).
767. W а r s h а w S. D., Phys. Rev., 80, 111 (1950).
768. Watanabc S., Zs. f. Phys., 112,159 (1939); 113,482 (1939).
769. W а у К., W h е е 1 е r J. А., Phys. Rev., 50, 675 (1936).
770. W а у К., Phys. Rev., 51, 552 (1937).
771. W а у К., Phys. Rev., 56, 556 (1939).
772. W а у К., W i g n е r Е. Р., Phys. Rev., 73, 1318 (1948).
773. Way К., Phys. Rev., 75, 1448 (1949).
774. W а у К., F а n о L., S с о t t М., Т h е w К., Nuclear Data, Natl. Bur. Standards
(U. S.), Circ. 499, Sept. 1, 1950.
775. Wefelmeier W., Naturwiss., 25, 525 (1937).
776. W е f е 1 m е i е r W., Zs. [. Phys., 107, 332 (1937).
777. Weinstock R., Phys. Rev., 65, 1 (1944).
778. W е i s s k о Р f У. F., Phys. Rev., 52, 295 (1937).
779. W е i s s k о Р f У. F., Е w i n g D. Н., Phys. Rev., 57, 472, 935 (1940).
780. W е i s s k о Р f У. F., Phys. Rev., 59, 318 (1941).
Литература
781. W е i s s k о Р f V. F., Helv. PhY8. Acta, 23, 187 (1950).
782. Wei88kopf V. F., Science, 113,101 (1951).
783. W е i z 8 ii с k е r С. F., Z8. f. PhY8., 96, 431 (1935).
784. W е i z s ii с k е r С. F., Naturwi88., 24, 813 (1936).
785. W е i z 8 ii с k е r С. F., Naturwi88., 26, 209, 225 (1938).
786. W е i z 8 ii с k е r С. F., Naturwi88., 27, 133 (1939).
787. Welle8 S. В., PhY8. Rev., 62, 197(1942).
788. W е r g е 1 а n d Н., Skrifter Nor8ke Viden8kap8-Akad. 0810, .N2 1 (1941).
789. W е у 1 Н., The Theory of Group8 and Quantum Mechanic8, London, 1931.
790. W h е е 1 е r 1. А., PhY8. Rev., 50, 643 (1936).
791. W h е е 1 е r 1. А., PhY8. Rev., 52, 1083 (1937).
792. Wheeler J. А., PhY8. Rev., 52, 1107 (1937).
793. W h е е 1 е r J. А., PhY8. Rev., 59, 16 (1941).
794. W h е е 1 е r 1. А., PhY8. Rev., 59, 27 (1941).
795. W h i t t а k е r Е. Т., W а t 8 О n G. N., Modern AnalY8i8, Cambridge University
Pre88 (см. перевод: У и т т е R е р и В а т с о н, Курс cOBpeMeHHoro анализа..
М. Л., 1934):
796. W i с h е r Е. R., Journ. Terr. Mag., 41, 389 (1936).
'797. W i с k G. С., Nuovo cimento, 11, 227 (1934).
798. W i с k G. С., PhY8ik. Z8., 38, 403 (1937).
799. W i g n е r Е. Р., G6ttinger Nachrichten, 375 (1927).
800. W i g n е r Е. Р., Gruppentheorie, Braun8chweig, 1931.
801. W i g n е r Е. Р., G6ttinger Nachrichten, 31, 546 (1932).
802. W i g n е r Е. Р., S е i t z F., PhY8. Rev., 43, 804 (1933).
803. W i g n е r Е. Р., PhY8. Rev., 43, 252 (1933).
804. W i g n е r Е. Р., Z8. f. PhY8., 83, 253 (1933).
805. W i g n е r Е. Р., PhY8. Rev., 46, 1002 (1934).
806. W i g n е r Е. Р., Proc. Nat. Acad. Sci., 22, 662 (1936).
807. W i g n е r Е. Р., PhY8. Rev., 51, 106 (1937).
808. Wigner Е. Р., PhY8. Rev., 51, 947 (1937).
809. Wigner Е. Р., Tran8. Farad. Soc., 34, 678 (1938).
810. W i g n е r Е. Р., PhY8. Rev., 56, 519 (1939).
811. W i g n е r Е. Р., Вicentennial Symp08ium, Univer8ity of Penn8ylvania, 1940.
812. W i g n е r Е. Р., F е е n Ь е r g Е., Report8 оп Progre88 in PhY8ic8, The Physica1 ,
Society, London, 8, 274 (1941).
813. W i g n е r Е. Р., Proc. Nat. Acad. Sci., 32, 302 (1946).
814. W i g n е r Е. Р., PhY8. Rev., 70, 606 (1946).
815. W i g n е r Е. Р., PhY8. Rev., 70, 15 (1946).
816. W i g n е r Е. Р., Е i 8 е n Ь u d L., PhY8. Rev., 72, 29 (1947).
817. Wigner Е. Р., PhY8. Rev., 73,1002 (1948).
818. W i g n е r Е. Р., Amer. Journ. PhY8., 17,99 (1949).
819. W i g n е r Е. Р., Proc. Cambr. РЫ1. Soc., 47, 790 (1951).
820. W i 1 8 О n R., С 011 i е С. Н., Н а 1 Ь а n Н., N ature, 163, 245 (1949).
821. W о 1 f е n 8 t е i n L., S а с h 8 R. G., PhY8. Rev., 73, 528 (1948).
822. Wolfen8tein L., PhY8. Rev., 76, 541 (1949); 75, 1664 (1949).
823. W о 1 f е n 8 t е i n L., PhY8. Rev., 82, 690 (1951).
824. W о 11 а n Е. О., S h' u 11 С. G., PhY8. Rev., 73, 830 (1948).
825. W о о d w а r d W. М., Н а 1 ре r n 1., PhY8. Rev., 76, 107 (1949).
826. W r i g h t В. Т., PhY8. Rev., 71, 839 (1947).
827. WuC.S.,Rainwater L. J.,Haven8 W. W.,PhY8. Rev.,71,174(1947
828. W u С. S., F е 1 d m а n L., PhY8. Rev., 76, 693 (1949).
829. W u С. S., Rev. Mod. PhY8., 22, 386 (1950).
830. W u С. S., F е 1 d m а n L., РЬУ8. Rev., 82, 457 (1951).
831. W u С. S., F е 1 d m а n L., PhY8. Rev., 82, 332 (1951).
832. W u Т., PhY8. Rev., 73, 934, 1132 (1948).
833. У а m а g u с h i У., Prog. Thcor. PhY8., 6, 443 (1951).
834. У а n g С. N., PhY8. 'Rev., 74, 764 (1948).
835. У а n g С. N., Т i о m n о J., PhY8. Rev., 79, 495 (1950).
836. У 08 t F. L., W h е е 1 е r J. А., В r е i t G., Journ. Terr. Mag., 40, 443 (1935)
837. У 08 t F. L., W h е е 1 е r 1. А., В r е i t G., PhY8. Rev., 49, 174 (1936).
838. У oung G., PhY8. Rev., 55, 1102 (1939).
839. У u k а w а Н., S а k а t а S., Proc. PhY8.-Маt. Soc. Japan, 17,397 (1235).
840. У u k а w а Н., Proc. PhY'.-Маt. Soc. Japan, 17, 48 (1935).
841. У u k а w а Н., S а k а t а S., Proc., PhY8.-Маt. Вое. 1apan, 19,542 (1937).
842. Z а h n С. Т., S Р е е 8 А. Н., PhY8. Rev., 62, 4 (1937).
843. Z а h n С. Т., S Р е е А. Н., Phy . Rev.. 53 357,365 (1938). /
-844. Z е 1 d е 8 Н., К е t е 11 е В. Н., В r о 8 i А. R., Phys. Rev., 79, 901 (1950)..
845. Z i n n е 8 1., РЬУ8. Rev., 80, 386 (1950).
65.з
.
оrЛАВЛЕНИЕ
О" Р е Д а R Ц И и. . . . . . . . .
Иа предисловия авторов
r .яма 1. Общие свойства ядер 9
'9 {. Введение . . . . . . 9
9 2. Квантовые состояния, энерrШI СВfIЗИ, среДIШЯ энерrИfI связи на один
НУRЛОН . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " Н')
'9 3. Стабильныр инестабильные fIдра, деление, альфа распад, бета распад 13
А. «ДинамичеСRаш> нестабильность. . " ............. 14
Б. Бета радиоаRТИВНОСТЬ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . " 15
:9 4. Размеры ядер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18
А. РассеЮIИе нейтронов большой энерrии ядрами . . . . . . . . .. 18
Б. Выход ядерных реющий нод действием протонов или альфа частиц 18
В. Время жизни по ОТНошению R альфа распаду. . . . . . . . 19
!'. Определение радиуса ядра по верхней rраНице бета спеRтра 19
9 5. КУЛОНОВСRИЙ барьер. . . . . . . . . 20
9 6. Момент количества движепия, спин . 23
9 7. Эле1\тричеСRИЙ и маrнитный моменты 25
А. ЭЛО1\тричеСRие моменты. 25
Б. Маrпитпые моменты 31
З 8. СтаТИСТИRа 37
Обозначения . . . . . . . . 41
r.яава 11. Задача двух тел при малых :шеРI'ИНХ 45
9 1. Введение ...... . . . . . . .... 45
s 2. Основное состояние дойтропа; упрощешIOО раССмотрение в случае
центральных сил . . . . . . . 46
9 3. Рассеяпие нейтронов на протонах . . . . . . . . . . . 51
А. 'Упрощенная 'те()рия. . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Б. СраDlюние с опытом. Спинован зависимость ядерных сил 58
В. ЭффеRТ химичеСRОЙ Связи. " ....... 62
r. KorepeHTHoe рассеяние нейтронов на нротонах 69
4. Рассеяние протонов на протонах. . . . . . . . . 74
:9 5. Тензорные силы. . . . . . . . . . . . . . . . . 80
А. Экспериментальное обнаружение нецеНТРШIЫIЫХ СИJI 80
Б. Общее выражение для нецентраш.ных сил 81
В. Свойства тензорных сил ............ . . 82
r. Основное состояние дейтрона; дипаМИRа . . . . . . 84
Д. основное состояние дейтрона; Rвадрупольный момент. 88
Е. Основное состояние дейтрона; маrнитный. момент . . . . . . 90
Ж. Рассеяние нейтронов на протонах при энерrиях пиже 10 Мэв 92
Обозначения . 95
r Аава 111. Ядерные силы . 99
:9 1. Ввrдение 99
9 2. }' СТОйчивость ядер по отношению 1\ «стяrиванию». Невозможностъ
существования сил i.ритяжения между всеми парами НУ1\ЛОНОВ 100
.9 3. Обменные силы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
А. Качественное рассмотрение . . . . 105
.в. Формальное определение обменных сил. 110
.
Оелав.аение
* 4. Условия насыщения. . . . . . . . . . . . . . . . . .
А. Теорема сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б. Условия насыщения для смещанных сил Майорана и
В. Полные у,СЛОВИiJ насыщения для центральных сил
r. Условия насыщения в случае тензорных сил. . .
5. Формалцзм изотопическоrо спина
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . .
rAaea IV. Задача двух тел при больших знерrиях
1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . .. .
s 2, Рассеяние нейтронов с энерrиями от 10 до 30 Мм на протонах
S 3. Рассеяние НcJйтронов на протонах при энерrиях, превыщающих 30 Мэв
4. Рассеяние протонов на протонах.
Обозначения " .......
Виrнера .
rдава V. Задачи трех и четырех тел
9 1. Введение . . . . . . . .
2. Основное состояние тритона; центральные силы
S 3. Основное состояние альфа частицы; центральные СЮIЫ . . . . . . .
. 4. НЗ и Не З . Равенство сил, действующих между двумя нейтронами
и двумя протонами . . . . . . . . . . . . . .
9 5. ОСНОШlOе состонние тритона; тензорные СИJIЫ. .
Обозначения . . . . : . . . .
r дава V 1. Ядерная спеI{ТРОСКОПИЯ .
1. Общан теорип. . . . . . . . .
s 1. Систематина стабильных ндер
А. 'УСJIОВИП стаБИJlЬНОСТИ
Б. Рассмотрение стабильных ядер
s 2. ПОJ1УЭМIlирическая формула Вайцзеккера длп масс ядер.
S ::1. Подробное рассмотренио эффекта симмотрии.
\\ 4. ЭНОРI"I1Н симметрии и систематИlШ стабильных ндер . . .
\\ 5. MarHHTHblo моменты лоrЮIХ ядер .............
s 6. СlIектроснопичеСIШЯ классификация энерrетичесних уровной ядер
Обозначонип . . . . . .
r лава V 1 1. Ядерная спеI{ТРОСIЮПИЛ
11. Модели ядер . . . . . . .
s 1. Впедение .......
s 2. Однородная модель Виrнора .
А. Тоорип . . . . . . . . .
]]. Сравноние с опытом. . . .
9 3. Модель незаuисимых частиц .
А. Введение . . . . . . . . .
Б. Конфиrурации Р оболочен
В. Энорrин OCIloBHoro состояния
1'. Ыаrнитныо моменты ядор по модели незаписимых частиц
Д. I Рllтичесное рассмотрение модели нозаписнмых частиц
.9 4. Альфа частичная модель пдра . . . . . . . .
А. Общие черты теории . . . . . . . . . . .
Б. Критичосное рассмотрение альфа частичной модоли
S 5. Модель жидкой капли.
Обозначенин . .
r давз V 1 11. Ядерные реющии. Обшая теория.
З 1. Введение .........
А. Описание ядерной реакции .
Б. Каналы реarщии . . . . . .
В. Эllерrотичесние соотношения.
2. Сечопин . . . . . . . . '.
А. rеометричесние оrраничения, налаrаемые на сечения реакции и ce
чения рассеянин . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б. Определение сечений из условий, наЛaJ"аемых на поверхности
ядра. Нейтроны с 1 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В. Определение сечений из условий, налаrасмых на поверхности ядра.
ОБIЦИЙ СЛУL.ай. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
;
,о,
7
655
114
114
119
121
122
124
132
136
1.36
138
147
151
153
155
155
156
163
164
167
168
1.70
170
170
170
175
182
188
195
198
204
209
212
212
212
212
212
218
222
222
224
228
230
2::12
233
233
237
238
243
247
247
247
248 #
249
251
251
257
260
,
856
ОЭАав.мние
r. 'Уrловое распределение упруrо рассеянных частиц. 265
Д. Теорема взаимности для ядерныХ реакций 266
3. Составное ядро; нерезонансная теория. 268
А. Предположение Бора . . . . . . . . . . 268
Б. Сечения и вероятности распада . . . . . 270
2 4. Определение сечений; нерезонансная теория 273
З 5. Пронишювение через потенциальный барьер 283
З 6. Распад COCTaBHoro ядра . . . . . . 288
А. КОНI уренция; модель испарения 288
Б. Вторичные ядерные реакции .. 295
9 7. РеЗ0нансная теория; начественное рассмотрение 299
А. Существование реЗ0нансов . . . . . . 299
Б. Качественное .описание cocTaBHoro ядра и ширин уровней 302
В. Интерпретация D и r . . . . . . . . . . . . . . . 305
r. Сечения ядерных 'реакций . . . . . . . . . . . . . 308
Д. Поведение сечении ядерных реакций вблизи пороrа 311
З 8. Резонансная теория; определение сечений ...... 313
А. Случай резонансноrо рассеяния . . . . . . . . . . 313 '
Б. Случай резонансноrо рассеяния и резонансных реанций 320
З 9. РеЗ0нансная теория; распадающиеся состояния cocTaBHoro ядра. 324
А. Модель потеНциальной ямы 324
Б. Действительное ядро 329
2 10. Момент количества движения и спин 333
А. Нейтроны с l O. . . . . . 333
Б. Частицы' с произвольными l . 336
Обозначения . . . . . . . . . . . . 348
r дава 1 Х. Ядерные реанции. П риложение теории н знспериментам 358
З 1. Введение ....................... 358
2 2. Реющии под действием нейтронов . . . . . . . . . . . 362
А. Малые и промежуточные энерrии; ядра среднеrо веса 362
Б. Малые энерrии; тяжелые ядра. . . . . . . . . . . . 369
В. Промежуточные энерrии; тяжелые ядра. . . . . . . 373
[. Большие энерrии; ядра среднеrо веса и тяжелые ядра. 376
Д. Очень большие эперrии; ядра среднеrо веса и тяжелые ядра 377
З 3. Реакции под действием протонов и альфа чаетиц . . . . . 380
А. Большие энерrии; область ниже пороrа нейтронных реакций 380
Б. Большие энеРI'IШ; область над пороrом нейтронных реакций. 383
В. Очень большие энерrии . . . . . . . . . .' ....... 385
З 4. Реакции под действием нейтронов, протонов и альфа частиц при
СDеРХВЫСОIШХ энерпlЯХ 388
З 5. Реакции на лепшх ядрах . . . . . . . . . 389
А. Реакция BIO (п, а) Li7. . . . . . . . . . 390
Б. Реакции на Li7 под действием протонов. 391
В. Реющии, ПрИDодящИе к обраЗ0ванию cOCTaBHoro ядра Nl5 393
З 6. Реющии под действием дейтронов 396
Обозначения . . . . . . . . . . . 401
r лава Х. Формальная теория ядерных реакций.
З 1. Матрица рассеяния " . . . . . . . .
А. Общий вид волновой функции ...
Б. Определение матрицы рассеяния
В. Сечения, выраженные через матрицу рассеяния
2 2. Теоремы сохранения и взаимности для ядерных реакций.
А. Сходящиеся и расходящиеся волны
Б. Теоремы сохранения
В. Обращение вреыени . . . . . . . .
[. Теорема взаиыности . . . . . . . .
Д. Взаимность и детальное равновесие
З 3. Уrловое распределение продуктов реакции
А. Амплитуда реющии. . . . . . . . . .
Б. Сохранение четности . . . . .
В. Оrраничения, накладываемые на уrловое распределение падающим
ПУЧIЮМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[. Оrраничения, накладываемые на уrловое распределение составным
ядром . . .. . . . . .. . . .. . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . .
405
405
405
406
407
408
408
410
412
414
415
417
417
418
419
423
-t
"
OeддвМ!Hи
.4. Формула Брейrа ВиrlJера для, мноrих уровней
А. Составное ядро {\:аН «занрытый ящин». . . .
Б. Производная матрица . . . . . . . . . . . .
В. Связь между производной матрицей и матрицей рассеяния
r. Резонансные уровни cocTaBHoro ядра ..........
Д. Вывод дисперсионной формулы для мноrих уровней
Е. Обсуждение дисперсионной формулы для мноrих уровней
Ж. Формула Брейта Виrнера для изолированноrо уровня .
Обозначения . .
r лава Х I. Самопроизвольный распад ядер
З 1. Энерrетическое рассм'отрение. . .
з 2. Общая теория альфа-распада. . .
з 3. Обсуждение экспериментальных данных
Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . .
r лава Х II. Взаимодействие ядер с электромаrнитным излучением
з: 1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . .
з 2, Мультипольное излучение и правила отбора
А. Мультипольное излучение. . . . . . . .
Б. Правила отбора . .. .........
з 3. Вероятность испускания и поrлощения мультипольноrо излучения
А. Источники поля. . . . . . . . '. . . . . . . . . . . . . . .
Б. Энерrия, излучаемая в 1 сек., и уrловое распределение излучения
,В. 'Переход к квантовой механике; испускание и иоrлощение. .
r. Переход к квантовой механике; матричные элементы . . . .
4. Радиационные переходы в задаче двух тел ... . . . . . . .
А. Переходы между состояниями, относящим:ися к непрерывному спен
тру; сечения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б. Радиационный захват нейтронов протонами; правила отбора.
В. Радиационный захват нейтронов протонами; расчет сеченпя и cpaB '
нение с экспериментом. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
r. Фоторасщепление дейтрона; маrнитные дипольные переходы.
Д. Фоторасщепление дейтрона; электрические дипольные переходы.
Е. Фото расщепление дейтрона при энерrиях, превышающих 10 Мав
З 5. Внутренняя конверсия. . . . . . . . . .
А. Коэффициенты конверсии . . . . . . . .
Б. О --+ О переходы . . . . . . . . . . . . .
В. Внутренняя нонверсия с образованием пар
6. Переходы между низшими уровнями ядер . .
А. Теоретические оценки . . . . . . . . . . .
Б. Экспериментальный материал; изомерия атомных ядер
В. Корреляции направлений испускания каснадных ['aMMa KBaHTOB
З 7. Переходы в случае сильнО возбужденных состояний . . . . . . .
А. Общее рассмотрение. '.' . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Б. Правила сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В. Оценки матричных элементов, содержащих сильно возбужденные
состояния ядра . . . . . . . .
r. Радиационный захват нейтронов
Д. Ядерный фотоэффект . . . . .
Обозначения . .
r лава 'Х I I 1. Бета-распад
З 1. Введение. . . . .. .......... ... . . . . .
з 2. Нейтринная rИIlотеза и форма бета.спектра. Правила отбора для раз-
решенных переходов . . . . . . . . . . . . . . .
з 3. Захват орбитальных электронов . . . . . . . . . .
з 4. Периоды полураспада бета.активных ядер и обосноваНИJ правил от-
бора для разрешенных переходов . . . . . . . . . . . .
з 5. 'Уточнения теории бета.распада; переходы HYJlenOI'o порядна
А. Матричный элемент . . . . . . . . . . . . .. ....
Б. Нерелятивистсное приближение .
В. Релятивистсное рассмотрение '" .
з 6. Определение матричных элементов. Облеrченные и затрудненные пе
реходы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42 3аназ ;м 396
)"' .,-" eo:t'''''', !t:
657
425
425
426
429
430
432
434
436
438
442
442
445 ,
449
453
.
455
455
455
455
458 .
460
460
463
464
466
468
468
471
472
474
476
479
479
479
484
485
486
486
491
496
499
499
500
503
506
509
515
523
523
525
534
536
542
542
544
549
560
658
Оi!лдвл ние
з 7. Бета переходы высших порядков. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 567
А. Нерелятивистсная теория: правила отбора; матричные элементы.. 567
Б. Нерелятивистсная теория: уrловая норреляция; форма спектра;
время жи;Jни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57()
В. Релятивистсная теория: правила отбора; матричные элементы . ., 573
r. Релятивистсная теория: уrловая корреляция; снектр; время жизни 577
Обозначения . . . . . . . . . . . . 584
rлаеа х IV. Оболочечное строение ядер. 59!
З 1. Доказательства наличия маrических чисел 591
З 2. Оболочечная МОДt"ЛЬ ядер 594
З 3. Общие соображения 604
Обозначения . . . . . . 605
.
п рuложенuе 1. Операторы момента lюличеt-тпа движения 11 собственные
фУНI'ЦИ1l . . . . . . . . . . . . . . . .
з 1. Вращения и моменты количества днижения . . . .
з 2. Сферические rармоники . . . . . . . . . . . . . .
З. Разложение плоских волн по сферическим rармонИIШМ .
4. Спин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
з 5. Векторное сложение моментов количества движения
Обозначения ..........
Прuложенuе 11. Мультипольное излучение
З 1. Векторные сферические rармонини.
2. Разложение на элентричесние и маrнитные мультиполи в СВ<IOодном
пространстве. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
з 3. ЭнерrИfJ и момент ноличества движения мультипольноrо излучения
З 4. ИСТОЧIlИКИ МУЛЬТИIlольноrо излученин; мультинольные моменты
З 5. Разложение плоской волны по мультиполнм . . . . . . . . . .
з 6. Вероятность IIоrлощения кванта элентромаrнитноrо излучения
Обозна)Jения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
::;1;-
П рuложенuе 111. Оболочечная модель и строение ядра
606
60&
607
60в.
609'
612
61&
61в.
618.
621
622
624
627
628.
63()
5з4
G4(),
Литература.