Стабилизация летательного аппарата бесплатформенной инерциальной системой - Лебедев Р.К.

Автор: Лебедев Р.К.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника информатика машиностроение системы управления
Год: 1977
Похожие
Системы автоматического управления летательными аппаратами
Динамика полета беспилотных летательных аппаратов
Системы электроснабжения летательных аппаратов
Наведение баллистических летательных аппаратов.
Текст
                    Р. к. ЛЕБЕДЕВ
СТАБИЛИЗАЦИЯ
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ
ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Москва
«МАШИНОСТРОЕНИЕ»
1977

УДК 629ч.7.054.001
Рецензент
заслуженный деятель науки и техники РСФСР,
д-р техн. наук, проф. А. С. Шаталов
Лебедев Р. К. Стабилизация летательного аппарата бесплатформенной
инерциальной системой. М., ^^Машиностроение», 1977, с. 144.
В книге изложены теоретические основы одной из важнейших частей
:истемы управления летательным аппаратом — системы стабилизации, в ко¬
торой в качестве инерциального координатного базиса на борту исполь¬
зуется не реальная гиростабилизированная платформа, а результаты вы¬
числений, производимых бортовой вычислительной машиной непосредст¬
венно в полете. Такие системы получили наименование бесплатформенных.
Рассмотрены принцип управления без гиростабилизированной плат¬
формы, математическое описание летательного аппарата и его структурная
устойчивость как объекта стабилизации в бесплатформенной системе.
Описаны методы определения текущей ориентации летательного
аппарата относительно инерциального пространства, а также методи¬
ческие ошибки алгоритмов, используемых для построения инерциального
координатного базиса. Подробно изложен метод формирования управля¬
ющих команд в системе; дано полное математическое описание управля¬
ющего канала, включая его частотные свойства и способы защиты от по¬
мех. Изложение материала позволяет при формировании динамических
свойств системы использовать известный аппарат теории управления.
Книга предназначена для инженеров и научных работников, работаю¬
щих в области инерциальных систем управления. Она может быть также
полезна преподавателям и студентам высших учебных заведений.
Табл. 2, ил. 32, список лит. 24 назв.
31808-197
J1 	 197-77	©	Издательство	«Машиностроение»,	1977	г.
038(01 )-77	^

ПРЕДИСЛОВИЕ
Управление летательным аппаратом с помощью любой инерци-
альной системы, в том числе и бесплатформенной, может рассмат¬
риваться как взаимодействие двух процессов: решения навигаци¬
онной задачи и решения задачи стабилизации. Первая задача за¬
ключается в определении требуемой траектории летательного
аппарата и в вычислении фактической траектории, вторая — в уп¬
равлении аппаратом для поддержания требуемого курса с задан¬
ной точностью. При автоматическом управлении беспилотными ле¬
тательными аппаратами вторую задачу принято называть задачей
стабилизации аппарата относительно задаваемой траектории полета.
В предлагаемой книге изложены теоретические основы систе¬
мы стабилизации, в которой инерциальный координатный базис
строится не с помощью гироплатформы, как в обычных системах,
а на основе математических расчетов, производимых бортовой
вычислительной машиной непосредственно в полете. Такая систе¬
ма получила название бесплатформенной системы стабилизации
(БСС).
Основные вопросы теории БСС в той или иной степени нашли
отражение как в отечественных, так и в зарубежных периодических
изданиях. Некоторые теоретические проблемы, связанные с прин¬
ципами построения бесплатформенных инерциальных систем
(БИС), рассматривались и в монографиях [1, 3, 5]. Наибольшее
число публикаций посвящено определению ориентации летатель¬
ного аппарата в инерциальном пространстве, где сконцентрирована
основная специфика бесплатформенных систем управления. Алго¬
ритмы вычисления параметров ориентации и возникающие при этом
ошибки рассматривались в работах [8, 9, 15, 18, 19, 20, 24]. Значи¬
тельное число работ посвящено проблемам измерительных систем
БИС, а также фильтрации помех [13, 14, 16, 18, 20].
В значительно меньшей степени в литературе нашли отраже¬
ние такие вопросы, как специфика математического описания ле¬
тательного аппарата как объекта стабилизации [12], методы фор¬
мирования управляющих команд [23], а также комплексное опи¬
сание динамики управляющего канала БСС. К сожалению, в на¬
стоящее время нет работ, в которых были бы систематизированы
основные вопросы бесплатформенной стабилизации.
2267
3

В данной книге рассмотрены принцип управления летательным
аппаратом без гиростабилизированной платформы и на этой осно¬
ве общий подход к анализу БСС и выбору ее параметров и ал¬
горитмов. Дано математическое описание летательного аппарата
как объекта стабилизации в бесплатформенной системе и опреде¬
лена его структурная устойчивость.
Приведены методы определения текущей ориентации летательно¬
го аппарата относительно инерциального пространства. Значитель¬
ное внимание уделено обоснованию алгоритмов для вычисления па¬
раметров ориентации, а также характеру методических ошибок по¬
строения инерциального координатного базиса. Подробно рассмот¬
рены методы формирования управляющих команд в БСС, а также
дано полное математическое описание управляющего канала,
включающее характеристику входных сигналов, анализ частотных
свойств и методы защиты от помех.
Все методы анализа и формы математического Описания БСС
соответствуют своим аналогам, принятым для обычных (гироинер-
циальных) систем стабилизации. Это позволяет использовать для
формирования динамических свойств системы известный аппарат
теории управления.
Обозначения систем координат и основных коэффициентов в
уравнениях движения летательного аппарата даны в соответствии
с новым ГОСТом, однако из-за отличия формы записи уравнений
от принятой для обычных систем часть коэффициентов введена в
ходе изложения.
Автор благодарит канд. техн. наук Ю. В. Чумакова, который
принял участие в написании разд. 2 гл. 1, а также за ряд ценных
советов, данных при обсуждении рукописи.

ВВЕДЕНИЕ
Инерция является наиболее универсальным фактором, позво¬
ляющим создать приборы для регистрации изменения скорости
тел в пространстве. Такие приборы называются акселерометрами
или датчиками ускорений. Акселерометр измеряет проекцию на
свою ось чувствительности ускорения той точки летательного ап¬
парата, где он установлен. Акселерометр реагирует только на си¬
лы, прикладываемые через посредство летательного аппарата.
Если одна из составляющих общей силы, определяющей ускорен¬
ное движение аппарата, обусловлена действием тяготения, то со¬
ответствующая ей составляющая ускорения не может быть изме¬
рена акселерометром. Силы же тяготения действуют одинаково
как на прибор, так и на аппарат и поэтому при отсутствии других
сил с помощью акселерометра не могут быть обнаружены.
Таким образом, при движении летательного аппарата в поле
тяготения измеряемое акселерометром ускорение отличается от
действительного и поэтому получило название кажущегося ускоре¬
нияИзмерение кажущегося ускорения позволяет определить ис¬
тинное положение летательного аппарата относительно центра
тяготения с помощью интегрирования навигационного уравнения:
dm	d U .
 — г
dfl	d R 1
где R — вектор положения центра массы аппарата относительно
центра тяготения; ак — вектор кажущегося ускорения центра мас¬
сы аппарата; U — вектор-потенциал поля тяготения.
Для управления необходимо знать три ортогональных состав¬
ляющих вектора ак> т. е. иметь три датчика, установленных в цент¬
ре массы летательного аппарата, с тремя взаимно перпендикуляр¬
ными осями чувствительности. Эти оси чувствительности должны
быть ориентированы по тем осям координат, в которых задан век¬
тор R. Триэдр осей чувствительности акселерометров будем в
дальнейшем называть осями измерительной системы, а оси, в ко¬
торых задан вектор R — инерциальным координатным базисом,
т. е. базисом, относительно которого отсчитывается абсолютное
ускорение. Оси инерции (или* оси формы) летательного аппарата
не совпадают с инерциальным базисом, а вращаются относитель-
5

но него в зависимости от направления вектора скорости центра
массы летательного аппарата и угла атаки. Следовательно, для
управления с помощью измерения кажущихся ускорений или, как:
его называют, инерциального управления необходимо либо совме¬
щать оси измерительной системы с инерциальным координатным-
базисом независимо от движения аппарата, либо в каждый момент
времени знать взаимное расположение осей измерительной систе¬
мы и инерциального базиса. В последнем случае составляющие
вектора кажущегося ускорения с осей измерительной системы дол¬
жны быть перепроектированы на оси инерциального координат¬
ного базиса.
По ряду причин, подробно рассматриваемых в теории полета из
аэродинамике, наиболее выгодным расположением измерительной
системы для второго из названных выше вариантов инерциально>-
го управления является совмещение ее осей с осями формы аппа¬
рата.
Таким образом, техническая реализация метода инерциально¬
го управления возможна в двух вариантах. Первый — это созда¬
ние устройств, которые не вращаются вместе с аппаратом и, со¬
храняя свое положение относительно инерциального базиса, слу¬
жат опорой для измерительной системы. Второй вариант — созда¬
ние устройств, которые обеспечивают в течение полета вычисление
параметров, определяющих углы между осями измерительной си¬
стемы и инерциального базиса, а также проектирование измеряе¬
мых компонент ускорения на оси этого базиса.
Первый вариант привел к появлению приборов, физически мо¬
делирующих инерциальный базис на борту летательного аппара¬
та,— гиростабилизированных платформ, второй — к созданию бес-
платформеиных систем.
Создание бесплатформенных систем не явилось случайностью,,
а было обусловлено общим ходом развития отдельных отраслей
техники. Исторически они появились позже платформенных.
В 50-е годы уровень развития гироприборостроения позволил со¬
здать высокоточные трехосные платформы, по массе и габаритам
пригодные для установки на летательном аппарате. В то же время:
возможности вычислительной техники были недостаточны для со¬
здания малогабаритных вычислительных машин, способных в ре¬
альном времени решать сложные уравнения связи двух координат¬
ных систем.
Иная обстановка сложилась к началу 70-х годов. Во-первых,
бурно развивающаяся техника электронных цифровых вычисли¬
тельных машин вышла на уровень требований, предъявляемых
бесплатформенными системами. Во-вторых, по мере развития плат¬
форменных систем проявилась их ограниченность в некоторых ас¬
пектах использования и в перспективе дальнейшего совершенство¬
вания. Стали заметными такие их недостатки, как чувствитель¬
ность к большим перегрузкам и углам вращения летательного
аппарата, что характерно для космических полетов. Возникли
6

трудности с обеспечением требуемой надежности, особенно мето¬
дами резервирования. Да и перспектива дальнейшего увеличения
точности оказалась связанной со значительным ростом массы и
габаритов платформ из-за необходимости размещения все более
тяжелых акселерометров.
Все это привело к появлению и быстрому развитию реальных
образцов бесплатформенных инерциальных систем. Постепенный
переход к БИС вызван не только необходимостью преодолеть не¬
достатки систем с платформой, но и общей тенденцией развития
техники — постепенно все большее число самых различных функ¬
ций перекладывается^ на вычислительные машины. Этот процесс
не может быть равномерным во всех областях применения инер¬
циальных систем управления. БИС, в первую очередь, применяют
там, где возникают особые трудности при Использовании систем с
платформой или применение бесплатформенных систем не встре¬
чает никаких затруднений. Ко второму случаю относятся объекты,
не требующие высокой точности стабилизации, или объекты с ма¬
лой длительностью работы, так как на данной стадии развития
БИС имеют пока меньшую точность по сравнению с платформен¬
ными системами, а ошибки их растут с увеличением длительности
функционирования.
По мере развития техники вообще и техники инерциальных си¬
стем управления, в частности, последние будут все более широко
основываться на аналитическом построении инерциального базиса
с помощью вычислительных машин.
БИС, как и любая инерциальная система управления летатель¬
ным аппаратом, состоит из двух подсистем, которые, в свою оче¬
редь, именуются навигационной системой и системой стабилиза¬
ции. Задача навигационной системы — определить начальное по¬
ложение летательного аппарата и программу полета (курс, вы¬
соту, скорость, угол тангажа). Задача системы стабилизации —
обеспечить управление рулями и тягой таким образом, чтобы вы¬
полнить задаваемую программу полета с требуемой точностью.
Проводя аналогию с неавтоматической системой управления мож¬
но сказать, что навигационная система выполняет функции штур¬
мана, а система стабилизации — функции летчика. При автомати¬
зации функций летчика прежде всего он освобождается от задачи
демпфирования колебаний аппарата, возникающих при изменении
программы полета и действии Енешних возмущений.
Возможно, это и послужило причиной неправильного представле¬
ния о том, что к этому сводится задача системы стабилизации. На
самом деле эта задача гораздо сложнее. Теория полностью авто¬
матизированной системы стабилизации, как и любой системы авто¬
матического управления, содержит математическое описание дви¬
жения летательного аппарата, рассматриваемого как объект управ¬
ления. Центральной задачей этой теории является обоснование
выбора законов управления, т. е. соотношений, связывающих раз¬
ность между измеренными текущими и программными значениями
7

параметров движения летательного аппарата с командами на ор¬
ганы управления. Законы управления в современных системах
стабилизации летательных аппаратов, помимо обеспечения точно¬
сти, устойчивости и определенного характера переходного процесса
в системе, должны экстремизировать определенные критерии. По¬
этому эти законы все чаще становятся не только неголономными,
но и нелинейными.
В платформенных системах физически реализуются углы меж¬
ду осями инерциального базиса и осями измерительной системы.
Эти углы непосредственно и являются параметрами управления,
т. е. функциями, служащими основой для получения команды на
рули после преобразований в соответствии с законом управления.
В БСС связь между инерциальным и измерительным базисами вы¬
ражается в процессе вычислений через параметры, которые не
могут непосредственно служить параметрами управления, поэтому
теория БСС содержит методы получения параметров управления
как функций вычисляемых параметров связи.
Специфика БСС в отношении математического описания объ¬
екта стабилизации состоит в том, что уравнения движения лета¬
тельного аппарата должны быть записаны через измеряемые дат¬
чиками параметры и через параметры связи. Это упрощает замы¬
кание систем уравнений стабилизации. И еще одна особенность
теории БСС — необходимость разработки методов синтеза алго¬
ритмов, обеспечивающих вычисление параметров связи в реальном
времени, а также анализа системы ошибок, сопровождающих эти
вычисления.
В целом разработку теории БСС целесообразно строить таким
образом, чтобы несмотря на ее специфику математическое
описание отдельных частей системы позволило бы при выборе за¬
кона управления использовать эффективные и хорошо разработан¬
ные общие методы теории автоматического управления и, в част¬
ности, методы, применяемые в платформенных системах. Этот
принцип автор и старался выдержать в предлагаемой книге.

ГЛАВА 1
ИНЕРЦИАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ БЕЗ
ГИР0СТАБИЛИЗИР0ВАНН0Й ПЛАТФОРМЫ
1.1 Принципы инерциального управления
Системы координат. При математическом описании БСС будем
использовать следующие системы координат: инерциальную, свя¬
занную, измерительную, скоростную, связанную программную.
Инерциальная система координат (ИСК) — прямоугольная пра¬
вая система с началом в точке старта летательного аппарата. Оси
ее неподвижны относительно мирового пространства. Первая
ось является касательной к геоиду в момент старта, вторая — есть
вертикаль в этот же момент. Обозначение системы: начало Ои, оси
X*, Ун, 2И.	.
Связанная система координат — прямоугольная правая систе¬
ма с началом в центре массы летательного аппарата. Оси ее сов¬
падают с осями инерции и параллельны осям симметрии формы.
Первая ось совпадает с продольной осью инерции, вторая ось па¬
раллельна главной плоскости симметрии аппарата. Обозначение
системы: начало О, оси X, Y, Z.
Связанная программная система координат определяется так
же, как и связанная, но вместо текущего положения осей инерции
рассматривается их программное положение. Обозначение системы:
начало О, оси X*, У*, Z*.
Измерительная система координат может быть получена пово¬
ротом связанной системы относительно некоторого центра, не сов¬
падающего с ее началом. Обозначение: начало оь оси Х\, У\, %\-
За исключением случаев, оговариваемых особо, при дальнейшем
изложении считается, что связанная и измерительная системы сов¬
падают.
Скоростная система координат — прямоугольная правая систе¬
ма с началом в центре массы летательного аппарата. Первая ее
ось совпадает с вектором скорости аппарата, вторая находится в
вертикальной плоскости, проходящей через первую ось. Обозна¬
чение системы: начало О, оси Ха, У«, 2„.
Параметры углового положения. Относительное угловое поло¬
жение систем координат при математическом описании БСС опре-
9

Л (л/i я с гея с помощью линейного оператора, представляющего собой
квадратную матрицу вида
и обладающего следующими свойствами:
detА= 1, АТА = ААТ=Е.
Первый индекс у элемента аг-7- относится к невращающейся (исход¬
ной) системе, второй индекс — к повернутой системе; номер ин¬
декса соответствует номеру оси системы. Таким образом, если
ющими обозначениями элементов оператора А будут в\j и [л/;-
С учетом введенных обозначений становится очевидным соот¬
ношение
Направляющие косинусы ац могут быть выражены через другие
параметры вращения. В БСС практическое применение нашли два
семейства параметров: трехпараметрическое семейство или углы
Эйлера и четырехпараметрическое семейство или параметры
Эйлера.
Собственно углами Эйлера обычно называют углы, полученные
следующим образом. Пусть задано начальное положение ’некото¬
рой прямоугольной системы координат Хооу0г0 (рис. 1). Новое по¬
ложение этой системы можно получить с помощью трех последо¬
вательных вращений:
— поворота вокруг оси Z на угол Эйлера G;
— поворота вокруг нового положения оси У, обозначенного У',,
на угол Эйлера i|);
элементы оператора А заданы,,
то относительное угловое положение
двух систем определено.
Геометрически девятипараметриче¬
ское семейство аг?- представляет собой
косинусы углов между соответствую¬
щими осями рассматриваемых базисов.
Рис. 1.
При дальнейшем изложении эле¬
менты оператора А обозначаются сле¬
дующим образом: Хц — для связи из¬
мерительной системы с инерциальной;
еij — для связи скоростной системы с
инерциальной; \Hj — для связи изме¬
рительной и скоростной систем.
Если рассматривается связанная
программная система, то соответству-
е = Мшт.
(1.1)
10

— поворота вокруг последнего положения оси х, обозначенного
X"t на угол Эйлера у.
Матрицы, определяющие правые вращения относительно поло¬
жительных направлений указанных выше осей, имеют следующий
вид:
/10	0	\	/	cas^OsinA	/cos б— sin 60\
А1=( 0 cosy—sin y ); А2 = (	0	10	I;	А3	=	|	sin б cos б 0 I.
\0 sin ycosy /	\	—sin<]>0cos6/	\0	0	1/
(1.2)
Матрица произвольного поворота в трехмерном пространстве
А(0, г|), у) может быть получена в виде произведений матриц А* в
соответствии с числом возможных перестановок. Некоммутатив-
ность матричного умножения (в которой отражается некоммута-
тивность конечных поворотов в трехмерном пространстве) опреде¬
ляет неоднозначность системы углов Эйлера. При дальнейшем из¬
ложении будет (в случаях, когда это не оговорено особо) исполь¬
зована матрица
А (б, ф, у) = А3 (б) А2 (ф) Ах (y).	(1.3)
Эйлеровы углы будут обозначаться следующим образом:
— углы между инерциальной и измерительной системами Оь
■фг, У и
— углы между инерциальной и скоростной системами 0С;
фс; Ус\
— углы между скоростной и измерительной системами а, р, 0.
Если рассматривается связанная программная система, то со¬
ответствующие углы обозначаются 0i*, ф!*, yi*, а*, Р*.
Четырехпараметрическое семейство Эйлера геометрически
представляет собой три направляющих косинуса, определяющих
положение некоторой произвольной оси вращения относительно
неподвижного базиса и угол поворота подвижной системы относи¬
тельно этой оси. Связь параметров Эйлера с элементами ац оп¬
ределяется следующими соотношениями:
/Ю0\	/е\ ехе2ехе3\	/ 0 — е3е2\
A = cos£4I 0 1 0 ) + (1 — cos£4)| е2ех е\ е2е3 J-|- sin е\ е3 0 — ех I
\00 1/	\е3ехе3е2 е\)	\ — е2ех 0 /
(1.4)
или в неявной форме
a^ziSte. в2 = М^. e ^zaai. cose4=-T [Тг А — 1],
2 sm £4	2 sin £4	2	sin	е4	2
€i (i= 1, 2, 3, 4) — параметры Эйлера.
Применение соотношений (1.4) для вычислений нецелесообразно
из-за значительной сложности. Практически более выгодно исполь¬
11

зовать симметричные нормированные параметры Эйлера — Род¬
ригеса, которые в дальнейшем будем обозначать q* (/=1, 2, 3, 4).
(В некоторых источниках их называют параметрами Родрига —
Гамильтона.) Связь между параметрами q7- и ei определяется фор¬
мулами:
^=—4=; е2=—Ш=; е3==—JL=; e4=arccos(2e*— 1);
VI-<£ Vi-qI Vi-qI
/=4
где использовано соотношение ’V q?== 1.
ишА
/ = 1
Параметры Qi могут рассматриваться как действительные ког
эффициенты алгебры кватернионов. Кватернион или гйперкомп-
лексное число может быть представлен в виде
6 = Qi® 4“ £Ы +	4"	Q4=	(Q4	4“	*Qi)	4~ (Q2 4" >£з) h
где Qi — действительные числа, a i, j, К — элементы кватернионно-
го базиса, подчиняющиеся следующим правилам умножения:
i2==j2==k2= —1; ki = — ik = j; jk= — kj = i; ij = — ji = k.
Определив сопряженный кватернион как е'=— Q\i — g2j — Q3k+Q4,
получаем
I Q|2=Q'e=e6'=Qi+t2+G3+d=i;
<T1 = Q'-
Связь между направляющими косинусами и параметрами Q*
определяется следующими формулами:
*11=61—J—ts+d; *12=2(6162—6364); *13=2(6163—6264);
^21 = 2 (Q1Q2 “Q3Q4)» ^22= —Cfl —К Q2 — Q3 + G4; ^23 — 2(С2^3 — C1C4)»
^31 = 2 (Q1Q34“^2^4)? ^32 = 2(СгСз-1Q4)» ^зз= —Qi—
1	^-1	i	^5>
Ql — ~ (1 Н“^11 — ^22 — ^3з) 2 у Q2— ~ (1 —^11 4~^22 ^зз) 2 i
63 = Y (1 - ХП - Х22 + *эз4 ; С4 = Y (1 + ХП + ** + *3з)^-
При представлении векторов и вращений роль ортонормированно-
го кватернионного базиса могут играть комплексные (2X2) мат¬
рицы (иногда выступающие под названием спин-матриц Паули):
011 с  / 0 * V о _/1 О

Если рассматривать линейные комбинации матриц вида Е, iSb
iS2t iS3, то при действительных коэффициентах hk=Qi получим ал¬
гебру кватернионов при следующих правилах умножения образую¬
щих:
S? = s!=S!=E; S1S3=-S3S1 = /S2;
^2^3= —S3S2— tSjj S,S2 = S2Sj= £S3.
Комплексные матрицы наиболее эффективны при использовании
еще одного семейства — двух комплексно-сопряженных парамет¬
ров, называемых параметрами Кэли-Клейна. Эти параметры выра¬
жаются через углы Эйлера, определяемые матрицей вида
А(&, v, у) = А3 (ср) А2 (v) А3 ($):
(cosy— sinу0\ / cosvOsinv\ /cosft — sin&O/
sin у cosyOj.j 0 10 J.|sin& cos&Oj.
0	0	\J	sin	vO	cos	vj	у 0	0	1/
Параметры Кэли-Клейна образуют унимодулярную матрицу
(2X2)
U(»,v,y)=^_®	(1.7)
fr+<P	<р
где а = е 2 C0S “J Ь=е 2	I	а\2~\~	I	b\2= 1
(а и b — параметры Кэли-Клейна).
Таким образом, если задано любое из описанных выше семейств
параметров, относительное угловое положение двух систем коор¬
динат в пространстве определено.
Первичная информация о параметрах углово¬
го д в и жениялетательного аппарата. Эта информация
в соответствии с законами механики может быть получена в виде
ускорения точки установки измерительного прибора или интегра¬
лов этого ускорения. Так как проблема измерения — это проблема
по преимуществу техническая, то в качестве источников первичной
информации надо рассматривать либо реально существующие, ли¬
бо перспективные датчики. К таковым относятся датчики линей¬
ных ускорений, датчики приращений линейной скорости, датчики
угловой CKopocfH, датчики приращений угла и, наконец, датчики
углов Эйлера. Необходимо отметить, что на любом движущемся
объекте можно непосредственно (без связи с другими телами)
измерить только ускорение. Все остальные снимаемые с датчиков
величины представляют собой интегралы от ускорения. Исключе¬
ние составляет случай, когда для измерения углов Эйлера (но не
для размещения других датчиков!) на борту физически модели¬
руется инерциальная платформа. Поэтому с позиций общей ком¬
поновки функциональной схемы БСС, а также для удобства фор¬
мирования требований по точности целесообразно разбить ее на
13

три подкласса в зависимости от соотношения непосредственно
измеряемых и вычисляемых величин:
— системы, где измеряются только линейные ускорения, а все
остальные параметры вычисляются;
— системы, где измеряются, кроме линейных параметров,
и угловые скорости;
— системы, где измеряются любые параметры, включая и уг¬
лы Эйлера.
Рассмотрим более подробно некоторые свойства названных си¬
стем.
Система на основе датчиков линейных ускоре-
н и й. Для того чтобы вычислить параметры углового положения
летательного аппарата, необходимо знать его угловую скорость
относительно инерциального базиса, которая может быть задана
тремя проекциями на оси этого базиса или на оси измерительной
системы. Последняя форма задания компонентов угловой скорости
является в БСС предпочтительной, так как измерения производят¬
ся относительно этих осей. Приращение угловой скорости тела
относительно оси вращения может быть представлено как инте¬
грал отношения разности ускорений двух различных точек этого
тела к расстоянию между ними:
где согк — приращение угловой скорости относительно i-й оси на
интервале (tk — 4-i); U — расстояние между точками измерения
ускорений; а,ц — измеряемые ускорения.
Так как величина Ц — практически постоянна, то от пропорцио¬
нальна разности показаний акселерометров с интегральным выхо¬
дом. Максимальная точность таких приборов характеризуется
ошибкой около 0,001% масшт&бного коэффициента [13]. Следо¬
вательно, ошибка на одном такте вычислений угловой скорости
будет порядка 10-4 с-1 для плеча длиной 1 м. При величине шага
дискретности 0,1 с, которая близка к максимально допустимой для
летательных аппаратов, ошибка вычислений уже за 2—3 мин поле¬
та накапливается до величин, сравнимых с измеряемыми зна¬
чениями, что приводит к необходимости иметь датчик с нестабиль¬
ностью масштабного коэффициента не более 10-6%, на что рассчи¬
тывать даже в перспективе трудно. Таким образом, система на
основе одних датчиков линейных ускорений пока представляет
только теоретический интерес.
Система на основе датчиков, измеряющих
углы Эйлера. Как было указано выше, отсчет углов Эйлера
производится от инерциального базиса, поэтому его физическое мо¬
делирование является неизбежным. Однако в этом случае в отли¬
чие от обычных платформенных систем моделируются только изме¬
14

рительные оси, а не платформа для размещения датчиков линей¬
ных ускорений. Таким образом, для получения инерциальных ком¬
понентов вектора скорости необходимо измерения, производимые
относительно связанной системы координат, пересчитывать к
инерциальному координатному базису (ИКБ).
Элементы ац оператора А вычисляются в такой системе на ос¬
нове непосредственно измеряемых углов Эйлера. Если начальная
ориентация измерительных осей гироскопической системы выбра¬
на так, чтобы гироскопические углы совпадали с определенной
системой углов Эйлера, то вычисление элементов ъц можно про¬
изводить по формулам (1.2) и (1.3).
Порядок умножения матриц Аг- в
этом случае однозначно определяет¬
ся выбором начальной ориентации
осей измерительной гиросистемы.
Например, если в начальный момент
оси измерительной системы распо¬
ложены, как показано на рис. 2, то
при использовании матрицы вида
(1.3) получаем требуемые соотно¬
шения:
eir=9i; 'hr^i! Yir=Yi. (1-8)
где индексом «г» обозначены гиро¬
скопические углы. Преимуществом
подобной системы по сравнению с
системами предыдущего класса является экономия вычислитель¬
ных ресурсов при аналитическом построении инерциального бази¬
са. Значительным недостатком является ограничение максималь¬
ных углов поворота и допустимых перегрузок из-за наличия сво¬
бодных гироскопических систем на борту летательного аппарата.
Система с измерением углов Эйлера может рассматриваться как
граничный случай между платформенным и бесплатформенным ва¬
риантами: по наличию физических моделей ИКБ на борту эту сис¬
тему можно отнести к категории обычных инерциальных, а по ха¬
рактеру расположения датчиков ускорения — к категории бесплат-
форменных систем.
Отмеченный недостаток системы со свободными гироскопиче¬
скими приборами на настоящем этапе развития инерциальных си¬
стем управления сводит до минимума преимущества БИС. Дей¬
ствительно, по сравнению с гиростабилизированной платформой
сохраняется преимущество в обеспечении надежности, а также в
возможности использовать датчик ускорения больших весов и га¬
баритов. Недостатком является необходимость иметь на борту
мощный вычислитель, увеличивающий к тому же суммарную ошиб¬
ку построения ИКБ. Поэтому основные теоретические и практиче¬
ские разработки связаны с системой третьего типа, к рассмотрению
которой мы и переходим.

Система с измерением линейных ускорений и
угловой скорости. Все существующие и перспективные высо¬
коточные датчики линейных ускорений и угловых скоростей позво¬
ляют получать информацию только в виде приращения интегралов
от названных параметров, т. е., по существу, являются датчиками
приращений линейной скорости и углов вращения летательного
аппарата. Но такие параметры, как линейное ускорение и угловая
скорость, имеют гораздо более глубокий физический смысл, чем
приращения их интегралов. Поэтому при дальнейшем рассмотре¬
нии мы будем придерживаться двух методов:
— строить математический аппарат параллельно для непосред¬
ственной и интегральной формы съема информации с измеритель¬
ной системы; /
— при решении теоретических вопросов считать, что информа¬
ция о параметрах движения доступна в истинной размерности по¬
следних, а практически интегральный ее характер учитывается
при разработке конкретных алгоритмов построения ИКБ.
Выше уже было показано, что для вычисления параметров дви¬
жения летательного аппарата необходимо знать вектор ускорения
его центра массы и вектора угловой скорости вращения около
центра массы. Таким образом, измерительная система должна
иметь, минимум три датчика линейных ускорений и три датчика
угловой скорости.
Если исходить из известного факта, что величины ухода совре¬
менных гироплатформ определяются ошибками датчиков угловой
скорости (ДУС), то величина ошибки в вычисляемом угловом по¬
ложении ИКБ в идеальном случае (т. е. если к ней не добавляются
ошибки вычислений) имеет тот же порядок, что и уход стабилизи¬
рованной гироплатформы. Таким образом, в БИС, наряду с общей
для всех инерциальных систем проблемой уменьшения дрейфа
измерительной системы, появляется проблема уменьшения величи¬
ны ошибки вычислений при аналитическом построении ИКБ. От¬
метим, что появление в БИС новой ошибки — ошибки вычисле¬
ний — в перспективе компенсируется значительно большими потен¬
циальными возможностями уменьшения дрейфа измерительной
системы (по сравнению с гироинерциальными системами) за счет
больших возможностей по увеличению массы и габаритов датчи¬
ков первичной информации.
В дальнейшем все изложение будет основано на рассмотрении
системы с измерением линейных ускорений и угловой скорости,
как наиболее реальной в настоящее время и в ближайшем буду¬
щем.
1.2.	Методы аналитического построения ИКБ
на борту летательного аппарата
Система автоматического пилотирования летательного аппара¬
та или, как ее принято называть для беспилотных аппаратов, си¬
16

стема стабилизации, представляет собой типичную автоматическую
систему, работающую по отклонению текущих параметров движе¬
ния аппарата от требуемых.
Требуемые параметры могут задаваться или как функции усло¬
вий конечной цели полета (например, координат места назначе¬
ния) и текущих параметров, или как, заранее известные функции
времени. Совокупности требуемых параметров называются про¬
граммами полета. Независимо от того, вычисляется ли программа
заранее или в полете, она представляет собой совокупность значе¬
ний как функций времени, векторов ускорения центра массы аппа¬
рата и его угловой скорости относительно центра массы, а также
интегралов от этих векторов. Таким образом, программа может
задаваться (вычисляться) в проекциях на любую систему коорди¬
нат, однако практически в этом смысле имеются определенные
ограничения. Суть их сводится к следующему: если программа вы¬
числяется (или корректируется) в полете, то она должна быть
задана в проекциях на тот же базис, в котором заданы условия
конечной цели полета; в противном случае весь математический
аппарат управления полетом непомерно усложняется. Если же вы¬
числение программы может быть проделано заранее и в полете ее
не надо корректировать, то программа может быть задана не обя¬
зательно в проекциях на оси ИКБ, а, например, в проекциях на оси
измерительной системы координат. В этом случае значительно
упрощается вычисление управляющих рассогласований, однако при
этом возникают трудности с обеспечением устойчивости, что в не¬
которых случаях имеет решающее значение.
Таким образом, в общем случае для вычисления управляющих
рассогласований системы стабилизации необходимо знание пара¬
метров движения летательного аппарата в проекциях на оси ИКБ.
Ниже излагаются математические основы и методы решения этой
задачи, называемые в дальнейшем для сокращения построение
Построение ИКБ при наличии в системе аксе¬
лерометров с обычным (т. е. не интегральным) вы¬
ходом. В этом случае измерительная система обеспечивает полу¬
чение компонентов вектора кажущегося ускорения центра массы
аппарата в виде
Если угловое положение измерительной системы относительно
ИКБ задано с помощью матрицы направляющих косинусов, то
инерциальные компоненты вектора ускорения определяются выра¬
жением
* Здесь и далее, если это не оговорено особо, векторы-столбцы обознача¬
ются строчными буквами, а квадратные матрицы — заглавными.
ИКБ.
(1.9)
17

Соотношение (1.9) по терминологии теории линейных векторных
пространств представляет так называемую пассивную точку зре¬
ния, в которой используется матрица вида
Дп л12 Х13\
А —( ^21^22^23 1-	(1-Ю)
^31 ^32 ^33 /
В (1. 10) первый индекс элемента относится к осям инерциального
базиса, а второй — к осям измерительной системы.
Если угловое положение измерительной системы относительно
ИКБ определяется с помощью кватернионов, то и измеряемый век¬
тор ускорения выражается в виде мнимой части кватерниона:
ii=axli -f aylj+azlk, a=axi + ayj+azk.
(Здесь и далее индекс кажущегося ускорения опушен.) Инерци-
альные компоненты ускорения находятся по формуле
a^aie'.	(1. 11)
Связь между элементами кватернионов р* и элементами матрицы
направляющих косинусов кц показаны соотношениями (1. 5); через-
р' обозначен сопряженный кватернион.
Если в качестве кватернионного базиса применяются спин-мат¬
рицы Паули, то вектор ускорения должен быть представлен в виде
комплексной матрицы, называемой матрицей Эрмита:
h=a1s1+a2s2+a3S3=( \ Л1+*Ч
Xh^ — Ih^ —h3)
где hk (k=\, 2, 3) —действительные компоненты вектора на лю¬
бом ортонормированном базисе, a Sj (/=1, 2, 3)—спин-матри¬
цы (1.6). Обозначив через Hai вектор с компонентами измери¬
тельных осей, находим вецтор с инерциальными компонентами по
формуле
Hfl=U'(0, v, T)-Hei-U(*, v, ср),
где U('&, v, ф) и U/('0’, v, ф) —унимодулярная (1.7) и сопряжен¬
ная с ней матрицы соответственно.
Построение ИКБ при наличии в системе аксе¬
лерометров с интегральным выходом. Сигнал акселе¬
рометра с интегральным выходом будем обозначать, в отличие от
соответствующей компоненты кажущейся скорости, через
U^ = ^andt,	(1.12)
to
где i=x, у, z. Таким образом, измерительная система доставляет
нам компоненты вектора
7
V?= Vyx
18

Описанные выше операции по построению ИКБ как матричного
(1.9), так и кватернионного типа представляют собой умножение,
которое ввиду нелинейности не коммутирует с интегрированием.
Поэтому для акселерометров с интегральным выходом необхо¬
димо вместо операции (1.9) интегрировать уравнение, учитываю¬
щее нелинейные члены преобразования координат.
Это уравнение целесообразно использовать в двух вариантах.
Первый вариант соответствует случаю, когда информация об уг¬
ловой скорости объекта снимается с датчиков также в интеграль¬
ной форме, а требования к точности построения ИКБ не позволя¬
ют использовать приближенные значения производных, в частно¬
сти А. В этом случае требуемое уравнение получаем следующим
образом. Из очевидного соотношения v = Avi следует
Vl = ATv.	(1.	13)
Дифференцируя (1. 13) по времени, получаем v = Arv-j-ATv.
Замечая, что ATv=<z1, а также ATv = QATv=2v1, получаем
требуемое уравнение в виде
vl = Qvl + al	(1.	14)
(справедливость замены Л=ЙА будет показана в гл. 3 при рас¬
смотрении уравнений связи угловой скорости объекта с парамет¬
рами ориентации).
Выражение (1. 14) представляет собой матричное линейное не¬
однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка с перемен¬
ным коэффициентом.
Его решение имеет вид [4]
t
У! = НТ(Й, и to)
(1.15)
ViOo) + \ Н(т, a, t0)a,x{x)dx
*0
где Н(Й, t)—матрица фундаментального решения однородного
уравнения.
Проектируя (1. 15) на ИСК, получаем искомый вектор инерци-
альных компонентов скорости:
у = АНт(й, t, t0)
v,(/0)+jH(t, Q, ^o)ax (t)flfT j =
to	J
=v(*0) + A(*0) ( H (t, й, t0) ai (t)rft.	(1-16)
to
В (1. 16) учтены тождества
АНТ(Й, U t0)yi(tQ) = y{tQ); АНТ(Й, U /0) = А(/0),
а также считается, что начальное значение матрицы направляющих
косинусов А(йо) известно. Остается показать, каким образом мо-
19

жет быть найден интеграл
t	t
jH(t, Q, t0) a! (x)dx = j a{t)dt.	(1- 17)
10	t0
Так как ai = ATa, то соотношение (1. 12)' принимает вид
v* = j Лта (/) dt.	(1.18)
to
Считая последнее уравнением относительно а(^), будем искать его
решение в виде
а (/) = A [t] (n0 —j— n^),	(1. 19)
где ах (/) = n0-f-n1^ т. е. аппроксимировано на шаге вычислений по
линейному закону. Подставляя (1.19) в (1.18), получаем
v?= f	clt.	(1.20)
to
Интегрируя (1.20) два раза, сначала с шагом T=t — t0, а затем
с шагом 2Т, получаем
v?(l_1) = n07’ + n1.-^-; уГ/ + у7(,_1)=2п07' + 2п1Л.	(1.21)
Решая систему (1.21), находим
n°=Jr Vi(i—1,	уГь П1= ± vn-yj	(1. 22)
Подставляя (1.22) в (1.19), получаем для одного шага
а/~1= ’~2ТГ" ^/~1 ^Vl/ Vl(i’“1)^
для удвоенного шага ai=-^r Лх- (3vn —v"(/_!>).
Теперь по формуле трапеций можем вычислить приращение инте¬
грала (1. 17):
AJ=^(a1-1 + ai).
Если принятая для вычислений точность не препятствует ис¬
пользованию производных по времени от матрицы направляющих
косинусов, то возможен следующий вариант построения ИКБ на
основе использования соотношения (1.9). Формально применяя
последнее, находим
vH = Avi,	(1.23)
где Vй — некоторый вектор, заданный на инерциальном базисе.
Дифференцируя (1.23) по времени, имеем
Vй = Av? + АV? = Av? + Aale	(1. 24)
20

Интегрируя (1.24) по времени и учитывая очевидное соотношение
Aai = a, получаем
t	t
Vй = j* Лаydt + ^ A\idt.	(1. 25)'
/о	to
Первое слагаемое правой части выражения (1.25) представляет
не что иное, как искомые инерциальные координаты вектора ско¬
рости летательного аппарата; второе слагаемое есть некоммута¬
тивный член, который может вычисляться на борту на основе име¬
ющейся там информации. Обозначая некоммутативный член через
Av, получаем
v=vH— Av.
Если ИКБ строится на основе кватернионов, то, формально при¬
меняя к вектору ViH преобразование (1. 11), получаем
vh = qv?q'.	^	(1. 26)-
Дифференцируя (1.26) по времени, получаем
vH=QvrQ'+ev?e'+evie'-	(i-27)
Учитывая, что QVie' = Qa1Q, = a и интегрируя (1.27) по времени, име¬
ем v=Vй — (Av)q,
t
где	(Av)0	=	j	qv?q'	+	OV?o')^-	(1.28),
* °
Особенности аналитического построения ИКБ
на борту летательного аппарата. Как это видно из вы¬
ражений (1.25) и (1.28), одной из операций построения ИКБ на,
борту является интегрирование. Это относится не только к систе¬
мам, имеющим акселерометры с интегральным выходом, но . и к
систёмам с обычными акселерометрами, так как по инерциальным
компонентам ускорения, определяемым соотношением (1.9), для1
получения управляющих команд необходимо находить соответст¬
вующие компоненты скорости, а в некоторых случаях — и пере¬
мещение.
Особенностью интегрирования в текущем времени на борту
является невозможность получать информацию об интегрируемой
функции без запаздывания минимум на один такт работы вычис¬
лителя. Действительно, если обозначим интегрируемую функцию
через x(t), а ее интеграл на (/ — /+1)-м отрезке времени через
(/), получим выражение
/-/+1
yi-j+1(0= f x{t)dt.
i-i
Если считать i-ю точку текущим моментом времени, то, как
видно из рис. 3, для вычисления yi+1(0 необходимо знать л:, и (О-

Иначе говоря, для получения команды в системе стабилизации в
(/+1)-й точке необходимо иметь измеренные для этой же точки
значения параметров движения, что в принципе невозможно. Дей¬
ствительно, допущение этого факта означает,’что время на все вы¬
числения равно нулю, а это абсурдно.
Считая, что все измерения функции x(t) вплоть до /-го нам из¬
вестны, и ограничиваясь линейной аппроксимацией x(t) на отрез¬
ке от (/ — 1) до /, можем записать
xi~ 1 (t)=xi-1+ ——~ ” U	(1.	29)
где Т=.ti — ti-\ — шаг интегрирования.	!
Так как в (1.29) значение x(t), соответствующее текущему мо¬
менту времени, рассматривается в
пределах произведенных измерений,
то получаемые на этой основе алго¬
ритмы будем называть интерполя¬
ционными.
Если учитывать интегральный
характер снимаемой с датчиков ин¬
формации, то сигнал с них будет
выражаться через
7=0
i-i
а алгоритм вычисления J\ — суть простое суммирование прира¬
щений
Jt=Jt^ + yt.	(1.30)
В замкнутых системах, к каковым относится система стабилиза¬
ции, любое запаздывание может вести к осложнениям при решении
проблемы устойчивости. Поэтому целесообразным является при¬
менение экстраполяционных алгоритмов, основанных на аппрокси¬
мации интегрируемой функции не на /-м, а на (/+ 1)-м интервале:
(1-31)
При этом в аппроксимирующем полиноме используется та же
информация, что и в выражении (1.29). Из (1.31) при t=T име¬
ем (xi+i)d=2xi — х{-1, где индексом «э» обозначено экстраполи¬
рованное значение в отличие от измеренного. Допуская ошибку
высшего порядка малости по сравнению с величиной приращения
(см. рис. 3), можем записать yi= (yi-i+//i+i)/2, отсюда сле¬
дует yi+l = 2y{ — у г-1, а также
J ?+1=J-f- yi + Hi+i=J i—i+3 yt — у i-1-	(1-32)
Нетрудно показать, что соответствующие (1.30)' и (1.32) алго¬
Рис. 3.
22

ритмы, записанные через x(t), имеют вид
Ji = JJSi+i=Ji—i-\-2TXi.	(1.33)
Для определения частотных свойств интерполяционного и эк¬
страполяционного алгоритмов рассмотрим соответствующие рекур¬
рентные зависимости в области дискретного времени. Имеем, отно¬
си выходную величину в обоих случаях к (г+1)-му моменту вре¬
мени
J(iT + T)=J(ir-T)+ L-x{iT-T)+^x{iT)t (1.34)
JB (гТ-\-T) = J(iT — T)+2Tx (гТ).
Переходя в уравнениях (1.34) по известным правилам [7] в об¬
ласть z-оператора, можем получить следующие передаточные
функции:
/(*)_ т	Уэ(2)= 2 Tz
у(2)~2(г-1У	у (г) г2 — Г
Соответствующие этим функциям амплитудные и фазовые ча¬
стотные характеристики могут быть получены из табл. 1. 1, в ко¬
торой значения фазового угла приняты в пределах 0^©Г^л/2,.
что соответствует пределу дискретности по теореме Котельникова.
Таблица 1. /
Тип алгоритма
Фазовый угол
0
rJ 16
л/8
тс/4
гс/2
Идеальный
интегратор
- ли
со
5,1
2,55
1,27
0,64
<Р
г
со
о
о
—90°
1
со
О
о
1
СО
о
о
—90°
Интерполяционный
алгоритм
Ь
0
0,1%
0,8%
2,3%
11%
А<р
0
—5°50'
—1Г10'
—2240'
о
ю
чер
1
Экстр аполяционный
алгоритм
Ь
0
0
2,3%
12%
56%
Д<р
0
0
0
0
0
Примечание, б
го интегратора, %; Дф
тегратором, град.
—	амплитудная погрешность от амплитуды идеалыш-
—	фазовая погрешность в сравнении с идеальным ин-
23

Рассмотрение частотных характеристик алгоритмов позволяет
сделать следующие выводы:
— интерполяционный алгоритм при сравнительно небольшой ам¬
плитудной погрешности имеет даже для средних значений фазо¬
вого угла недопустимо большую фазовую погрешность, сравнимую
с величиной запасов устойчивости системы стабилизации;
— экстраполяционный алгоритм имеет идеальную фазовую ха¬
рактеристику, однако при больших фазовых углах его амплитуд¬
ная погрешность быстро растет.
В БСС предпочтительным является экстраполяционный алго¬
ритм, но при выборе периода дискретности системы его амплитуд¬
ная погрешность должна быть учтена.
Ошибки построения ИКБ могут быть разбиты на три
группы:
— группа ошибок, от которой зависит искажение величины
проекций преобразуемого вектора, или так называемые ошибки по
модулю;
— группа ошибок, отражающая неортогональность построен¬
ного базиса, или так называемые ошибки перекоса;
— группа ошибок, определяющая поворот построенного анали¬
тически базиса относительно идеального, или так называемые
ошибки смещения.
Для получения формул, учитывающих влияние на величину
указанных выше ошибок элементов оператора А, рассмотрим пре¬
образование единичных векторов (ортов) измерительной системы
в инерциальную.
Представляя каждый из ортов в виде матрицы-столбца, имеем:
В этом случае преобразованные орты представляют собой
столбцы матрицы А с элементами а%у.
Ошибки по модулю определим как разность между вычисляе¬
мой величиной преобразуемого вектора и его идеальной величи¬
ной:
или, удерживая в тейлоровском разложении (1.35) только первый
ненулевой член, получим
£м/ = (ап"Ьа2/"1”аз/)1/2—1; (*=1» 2, 3),	(1.35)

Ошибки перекоса определим как разность между я/2 и величи¬
нами углов, связывающих попарно оси построенного аналитиче¬
ски И КБ:
е""=агс(!а*Л'))у12, 3, Ч.	“•36)
В последнем выражении использован факт равенства нулю
скалярного произведения идеальных ортов.
Если в тейлоровском разложении выражения (1.36) удержи¬
вать только первый ненулевой член, то получим следующее вы¬
ражение для ошибки
£n,7 = 2aK/aK/ (/=1, 2’ 3; •/==2, 3’ Ч-
Ошибки смещения определим как углы между осями идеаль¬
ного ИКБ и базиса, полученного аналитическим построением, при
условии, что ошибки перекоса отсутствуют:
8С=Л?Л,	(1.37)
где е — квадратная матрица (3X3) ошибок смещения с элементом
c,cij (t=l, 2, 3; /=1, 2, 3); Л — вычисляемая матрица направляю¬
щих косинусов; Лот — транспонированная матрица направляющих
косинусов идеального ИКБ. Вопрос о том, какую матрицу прини¬
мать в качестве Ло, рассмотрен в гл. 3.
1.3.	Общий подход к анализу БСС и выбору ее
параметров и алгоритмов
Для дальнейшего изложения основ теории бесплатформенной
системы стабилизации летательного аппарата необходимо опирать¬
ся на обобщенную функциональную схему этой системы. Как и лю¬
бая система автоматического управления, БСС имеет кроме объ¬
екта управления и программных устройств собственно автомат
управления — автопилот, который состоит из измерительных, уп¬
равляющих и исполнительных органов.
В бесплатформенном варианте системы автопилотирования
(стабилизации) летательного аппарата программное устройство в
БИС представляет собой навигационный вычислительный блок,
имеющий память, достаточную для хранения набора программ. По
отношению к автопилоту программное устройство представляет
собой источник управляющих воздействий.
Измерительным органом автопилота является система датчиков
первичной информации о параметрах движения аппарата: три
датчика линейного ускорения и три датчика угловой скорости. Та¬
кое количество датчиков является минимально необходимым; для
резервирования и повышения точности может применяться и боль¬

шее количество датчиков. Все датчики, как правило, компонуются
в единой конструкции, называемой измерительным блоком. Испол¬
нительные органы БСС теоретически и практически лишены ка¬
кой-либо специфики по сравнению с обычными системами стаби¬
лизации, имеющими бортовую цифровую машину в контуре
управления.
Наиболее специфическим в БСС является управляющий орган.
В связи с аналитическим построением ИКБ на борту возникает
целый ряд вычислительных проблем, превращающих усилитель
обычного автопилота (с дифференцирующей ячейкой и элементар¬
ным фильтром на входе) в информационно-управляющую машину
со сложной внутренней структурой. Информационно-управляющая
машина решает следующие задачи:
— осуществляет фильтрацию сигналов измерительного блока
по шести (и более)' каналам с помощью оптимальных или высоко¬
эффективных полосовых алгоритмов; роль фильтрации по сравне¬
нию с обычными системами возрастает, так как в дальнейшем ин¬
формация используется, для высокоточных вычислительных про¬
цедур;
— вычисляет текущие значения элементов матрицы направля¬
ющих косинусов, характеризующих угловое положение измери¬
тельной системы относительно ИКБ;
— вычисляет текущие значения инерциальных компонентов
всех программируемых параметров движения летательного аппа¬
рата;
— вычисляет текущие значения управляющих команд на ис¬
полнительные органы автопилота.
Функциональная схема БСС приведена на рис. 4; ихь иуи игь
ит — команды, подаваемые на исполнительные органы, обеспечи¬
вающие создание управляющих моментов относительно осей хи
Z\ соответственно и управление силой тяги двигателей.
Предметом дальнейшего рассмотрения является исследование и
выбор систем алгоритмов, по которым работают показанные на
схеме устройства, а также математическое описание движения ле¬
тательного аппарата как объекта стабилизации. Любая техниче¬
ская задача вообще, а такая сложная и многоплановая, как авто¬
пилотирование, в частности, не может решаться без введения обо¬
снованной системы допущений и ограничений. Любую сложную
техническую задачу в целях 'лучшего понимания ее физического
смысла, а также для удобства создания инженерных методов ана¬
лиза и синтеза целесообразно разбивать на несколько частных
задач.
Рассмотрим решение этих двух вопросов применительно
к БСС.
Система ограничений и допущений, используемая
в теории бесплатформенных систем стабилизации, состоит в сле¬
дующем:
— спектры входных управляющих воздействий считаются на-
26

('Только узкими, что динамическая ошибка отработки этих воздей¬
ствий мала по сравнению с ошибками от возмущающих воздейст¬
вии; при программных управляющих воздействиях эта ошибка мо¬
жет быть учтена и скомпенсирована программой;
— возмущения, действующие непосредственно на летательный
аппарат, можно представлять либо как детерминированные функ¬
ции со случайным масштабом (в большинстве случаев), либо ха¬
рактеризовать корреляционными функциями экспоненциального
типа;
— отклонения параметров возмущенного движения от их про-
|раммных значений малы настолько, что приращения функций от
них параметров, рассматриваемых как аргументы, можно вычис¬
лять по формулам дифференциалов;
спектры движений летательного аппарата около центра мас¬
сы и центра массы относительно задаваемой траектории таковы,
что характерные полосы частот отличаются примерно на порядок,
поэтому па определенных этапах исследования и проектирования
1>(1С эти движения можно рассматривать отдельно;
характер изменения коэффициентов уравнений движения
летательного аппарата как функций времени таков, что на перио-
\П

де эффективной длительности функции веса системы, описывающей
движение около центра массы, производные от коэффициентов по
времени практически не влияют на характер движения.
Основные этапы методики формирования си¬
стем стабилизации летательного аппарата:
а) этап аналитического (немашинного) исследования вклю¬
чает:
— линеаризацию уравнений движения летательного аппарата
как объекта управления;
— выбор наиболее критических моментов времени по програм¬
ме полета, для которых проводится остальная работа на этом этапе;
— обоснование и выбор параметров управления;
— обоснование и выбор типов измерителей;
— получение кинематических соотношений между измеряемыми
параметрами и параметрами управления;
— компоновка функциональной схемы системы;
— разделение системы уравнений движения на отдельно инте¬
грируемые группы (продольное движение, боковое движение, вра¬
щение, крен) и разработка соответствующих структурных схем;
обоснование частных схем, описывающих движение около
центра массы и центра массы относительно задаваемой траекто¬
рии;
— выбор значений коэффициентов передачи контуров управле¬
ния по критерию точности;
б) этап моделирования динамики системы с помощью устройств
аналогового типа включает:
— уточнение выбранных аналитически параметров по критери¬
ям точности и устойчивости;	"
— выбор закона управления с учетом требуемой формы пере¬
ходных процессов;
— уточнение результатов предыдущего этапа с учетом пере¬
менности параметров системы;
в) этап моделирования системы в полном объеме с помощью
аналого-цифрового комплекса включает:
— окончательное (на этапе разработки) уточнение всех алго¬
ритмов и параметров системы;
— учет влияния нелинейностей в исполнительных органах и
других звеньях системы;
— анализ точности системы с учетом действия на ее входах воз¬
мущений случайного характера.
Реализация изложенной выше методики для БСС предполагает
учет следующих специфических моментов:
— высокой сложности, нелинейности и большого числа пере¬
менных в системах уравнений, описывающих управляющий орган;
— значительного усиления роли алгоритмов предварительной
обработки (фильтрации) сигналов измерительной системы ввиду не¬
обходимости использовать эти сигналы для сложных и высокоточ¬
ных вычислений;
28

значительно более сложного характера связи сигналов с
датчиков с параметрами управления и командами на исполнитель¬
ные органы.
Перечисленные выше особенности БСС приводят к необходимо-
( III иметь еще один этап исследования, а именно: моделирование
ниформационно-управляющей машины на универсальной ЦВМ или
на аналого-цифровом комплексе отдельно от замкнутой системы.
Мри этом на вход машины должны подаваться сигналы, модели¬
рующие полезный сигнал и комплекс случайных возмущений, а в
качестве выхода рассматриваются математические ожидания и ди¬
сперсии команд на исполнительные органы. Основной задачей это-
к) этапа отработки системы является окончательный выбор всех
кинематических алгоритмов и алгоритмов фильтрации (включая
величину периода дискретности) по критерию точности.
Частные задачи, решаемые при анализе и синтезе бесплатфор-
мемной системы стабилизации летательного аппарата. Общая за¬
дача может быть разбита на следующие частные задачи:
- динамика объекта стабилизации — получение и анализ мате¬
матического описания объекта стабилизации в форме, когда неиз¬
вестными функциями в системе уравнений движения являются па¬
раметры, измеряемые датчиками; получение канонических струк¬
турно-матричных форм уравнений движения, анализ управляемо¬
сти п структурной устойчивости летательного аппарата для новых
параметров управления;
кинематика вращения около центра массы (кинематика) —
разработка системы алгоритмов, обеспечивающих построение ИКБ
с заданной точностью и интервалом дискретности; анализ системы
ошибок, сопровождающих построение ИКБ;
— управление — разработка оптимальных соотношений, связы¬
вающих измеряемые и задаваемые параметры с командами на ор¬
ганы управления, получение линейных аналогов этих соотношений
для приближенных оценок;
- точность — оценка влияния спектров сигналов измерителей
п помех на точность построения ИКБ, анализ частотных свойств
каналов информационно-управляющей машины, разработка алго¬
ритмов фильтрации для компенсации влияния помех.
Сформулированные выше частные задачи не касаются одной из
центральных задач любой системы стабилизации — выбора закона
управления по критерию устойчивости или формы переходного про¬
цесса. Это не случайно, ибо если решение этих частных задач фор¬
мализовано с помощью тех же методов, которые применяются в
платформенных системах, то задача динамики системы в целом в
качественном смысле перестает быть специфической для бесплат-
фпрменных систем и может решаться обычными методами теории
автоматического управления.
Дальнейшее изложение и посвящено именно такой формализа¬
ции задач динамики объекта, кинематики, управления и точности.

ГЛАВА 2
МА ТЕМА ТИ ЧЕСК0Е10ПИСАНИЕ ЛЕТАТЕЛЬНОГО
АППАРАТА КАК ОБЪЕКТА СТАБИЛИЗАЦИИ
2.1.	Полные уравнения движения летательного
аппарата
В зависимости от назначения летательного аппарата его форма*
движители и режимы полета могут быть различными. Это приво¬
дит к различным формам его математического описания. Однако
целесообразно и возможно записать такую систему уравнений дви¬
жения аппарата, которая обобщает различные варианты, получаю¬
щиеся как частные случаи.
Будем считать, что гипотетический объект стабилизации, соот¬
ветствующий обобщенной системе, всегда имеет некоторую (осе¬
вую или центральную) симметрию формы и что угол между векто¬
ром скорости центра массы объекта и осью симметрии формы мал
настолько, что синус его с точностью до порядка можно считать
равным углу.
Будем также использовать следующие предположения:
— объект представляет собой абсолютно твердое тело, масса
которого есть заданная функция времени;
— программная сила тяги Р есть величина постоянная, но мо¬
жет регулироваться в незначительных пределах;
— сила лобового сопротивления среды Ха не зависит от угла
между вектором скорости центра массы и осью симметрии формы;
— воздействие рулевых органов на объект учитывается только
в виде моментов относительно центра массы;
— подъемная Ya и боковая Za силы линейно зависят от углов
атаки а и скольжения (J:
Га(а) = Па; Za(P) = Z*8,
где Yaa и Zi — переменные аэродинамические коэффициенты.
Из обобщенной системы полных* уравнений будем выделять
два основных частных случая, называя их соответственно объект
1-го типа и объект 2-го типа.
* Т. е. не в отклонениях.
30

Объект 1-го типа характеризуется наличием тяги и значитель¬
ными но сравнению с влиянием среды моментами инерции; центр
инерции у этого объекта совпадает с осью симметрии формы; демп¬
фирование среды мало, а угловые скорости объекта относительно
невелики. Типичный представитель — сверхзвуковой самолет.
Объект 2-го типа характеризуется отсутствием тяги, неполной
осевой симметрией и относительно сильным влиянием среды; при
пом вес объекта оказывается малым по сравнению с силой сопро-
Iпиления. Типичный представитель — спускаемый космический ап¬
парат.
При записи уравнений движения летательных аппаратов как
объектов стабилизации в гироинерциальных (платформенных) си¬
стемах используются следующие функции:	v — скорость центра
массы (вектор-столбец); 0С и фс— углы, характеризующие поло¬
жение вектора скорости в инерциальной системе координат; 01; фь
Vi углы, характеризующие положение главных центральных осей
инерции (и совпадающих с ними измерительных осей) относитель¬
но инерциальной системы координат.
В гироинерциальных системах функции, характеризующие уг¬
ловое положение объекта стабилизации, а также инерциальные
компоненты приращений скорости могут быть непосредственно из¬
мерены и являться параметрами управления.
Сигналы измерительной системы БСС не могут являться пара¬
метрами управления (исключением служит случай, когда програм¬
мы задаются через проекции параметров движения на оси измери¬
тельной системы). Поэтому для замыкания системы уравнений
обьекта стабилизации, записанной через углы Эйлера, необходимо
вводить кинематические соотношения, связывающие сигналы дат¬
чиков с параметрами управления. Такой путь позволяет сохранить
в качестве параметров управления имеющие наглядный физиче-
екпй смысл углы Эйлера, однако приводит дополнительно к ряду
сложных нелинейных зависимостей. Возможен и другой путь —
запись уравнений движения объекта стабилизации через парамет¬
ры, непосредственно измеряемые датчиками. Такой вариант урав¬
нений позволяет значительно упростить кинематику, но является
более трудным на этапе аналитического исследования. Что же на¬
гнется этапов моделирования, то дополнительных трудностей этот
вариант не вносит. При решении вопроса о том, какие функции вы¬
брить для записи уравнений движения и что использовать в каче¬
стве параметров управления, необходимо учитывать не только осо¬
бенности конкретно решаемой задачи, но также и этап исследова¬
нии.
Уравнения движения, записанные через углы Эйлера, наиболее
известны и исследованы для определенных типов летательных ап¬
паратов [12]. Поэтому обратимся к получению обобщенных урав¬
нений движения на основе углов Эйлера для гипотетического объ¬
екта стабилизации. При дальнейшем изложении будем пользовать¬
31

ся следующими соотношениями между элементами матриц А, е и р
и углами Эйлера:
jj^rrizcosa-cos Р;	P-i2= — sm а>	[x13=cos a - sin P;
jx21 = sin a • cos p;	^22= cos ai	Р‘2з== sin a * sin ft
!*'3i= — sin p;	Рз2=0;	l*33=cosf!;
Xn=cos 0! • cos^;	X12 = cos 0! sin <I jX	X13=sin 0j-sin Yi-f-
XsinYi+cos OjCOSYii +cos 0t sin^cosYiJ (2.1)
X21=sin 0! cos<])t; X22=sin 0X sin^X X23= sin 0j sin cos Yi —
Xsin Yi+cos 0J-COS Yil	—cos	0j- sin Yil
X3i= — sin^; X32=cost()1- sin <1>X;	X33=cos'j)1 cos Yi-
Выражения для элементов матрицы г можно получить, заменив в
выражениях для матрицы Л угол 01 на 0С, угол ifi — на фс и поло¬
жив равным нулю угол уь
Матрица р (ввиду оговоренной выше малости углов атаки и
скольжения) может быть представлена в следующем упрощенном
виде:
/ 1; —a; р
р=( а; — 1; О
V—Р; 0; 1
Обычно при получении уравнений движения летательного аппа¬
рата основные векторные соотношения — уравнения сил и момен¬
тов — проектируются соответственно на оси скоростной и связан¬
ной систем координат, так как это приводит к наиболее простому
(из-за отсутствия центробежных членов) виду уравнений.
Таким образом, для перехода от углов 01; ipi; yi! Вс; фс к уско¬
рениям axi; avi; azi (или к скоростям vx\; vyi\ vz{) необходимо знать
элементы матрицы р, модуль вектора линейной скорости центра
массы	v	и	проекции на связанную систему координат	вектора уг¬
ловой	скорости	объекта юн (i=xь у\, z{). Иначе	говоря,	необхо¬
димо рассматривать кинематические зависимости следующего об¬
щего вида:
ai=/j(p, <°i);
Ц=/2(У1. Ф1. 9i. 0С. W;	(2.2)
®1=/з(У1> 8lf Ф1, Yi» Bj, фх).
Раскроем значение функций fz в выражении (2.2). Связь «ц с уг¬
лами Эйлера определяется системой дифференциальных уравнений,
известных в механике под названием уравнений Эйлера:
cV=Yi-0! sin Фх;
<V=i»i cos Yi+*Bi cos^ sin YiJ	(2.3)
= 0j cos (|>! cos Yi — sin Yi.
32

.4jibисимость элементов матрицы ji от углов Эйлера может быть
получена объединением соотношений (1.1) и (2. 1). Действительно,
in (1. 1) находим (учтя, что Л_1 = ЛТ)
Используя известные элементы матрицы jut, можем выразить век-
юр компонентов линейного ускорения центра массы объекта по
осям связанной системы координат через ас — вектор компонентов
линейного ускорения центра массы объекта по осям скоростной си-
помы координат:
И свою очередь, компоненты вектора ас могут быть выражены че¬
рез модуль вектора линейной скорости центра массы объекта, его
производную по времени и компоненты вектора сое, т. е. угловую
скорость вращения вектора линейной скорости центра массы.
Действительно, из известного соотношения кинематики
Компоненты вектора <ос могут быть определены ч,ерез компоненты
вектора (Oi по известным элементам матрицы \i:
Раскрывая соотношения (2.5), (2.6), (2.7) и объединяя их,
получаем
Ijikiim образом, выражения (2.8) определяют /1 из (2.2), а выра¬
жения (2.3) и (2.4) соответственно определяют f2 и /3, как опера-
юры.
Совокупность этих операторов и уравнений движения объекта
стабилизации в обычной форме записи дает полное математическое
описание последнего. Как видно из приведенных выражений, это
[описание является весьма сложным. Значительные упрощения мож¬
но получить на основе перехода от углов Эйлера к угловым скоро¬
стям и направляющим косинусам. В основе этих упрощений лежит
ю, что при подобной записи мы избавляемся от тригонометриче¬
ских функций.
Весилатформенный вариант записи уравнений
дпижения летательного аппарата. Как известно из ме¬
ханики, движение центра массы тела может быть связано с его
IV 2267	за
ц=[лт(б1; <h; Yi)-«(9c; Фс; Yc)]t-
(2.4)
а1==цтас.
(2.5)
и v — , — ч ,
 = v-f юсх v
dt
гледует, что
(2.6)
(2. 7)
ax=vYiwv + cro<fl2l;
+ «о„;
=	——WV
(2.8)

вращением около центра массы либо с помощью соотношения
(2.5), либо по проекциям угловых скоростей связанной и скорост¬
ной систем координат в соответствии с формулой
где ©р. — вектор угловой скорости главных центральных осей инер¬
ции относительно сопровождающего трехгранника.
Использование в качестве исходного соотношения (2.5), при-,
водит к форме записи уравнений движения, когда неизвестной
функцией является ускорение центра массы объекта, а использо¬
вание в качестве исходного соотношения (2. 9) приводит к форме
записи уравнений движения, когда неизвестной функцией-являет¬
ся скорость центра масс. Мы рассмотрим подробно оба варианта
записи уравнений.
1 вариант. Проекции уравнения сил на оси скоростной системы
координат:
/. maxc = P^n — Xa — G-s2l^-Exc;
2. tnayz = Р -\L2\-\-Y а —G‘t22~\~F ус>	(2* 10)
3. mazc = P'^3i~Za —G-b23-\-Fzc,
где m — масса объекта; G = mg — вес объекта; Fxc> Fy с и Fzc —
проекции суммы управляющих и возмущающих сил на оси сопро¬
вождающего трехгранника.
Проекции уравнения (рис. 5)' моментов на оси связанной систе^
мы координат следующие:
где / — компоненты тензора инерции объекта; D — коэффициент
демпфирования среды; h — линейная величина смещения центра
массы объекта относительно оси симметрии формы; Xd к хт — ко¬
ординаты центра сопротивления и центра массы соответственно,
отсчитываемые от носка объекта по оси симметрии формы; М5 —
коэффициент эффективности органов управления; 6 — угол откло¬
нения органов управления; Мй — суммарный возмущающий момент
относительно центра массы; /г<С(*<*— хт). Система уравнений
CD^CDc + Wjx,
(2.9)
Jxl^xl	{Jz\	b	^Al	+	^a*’C0S
0 /
J “*1 dt \ -
(2.11;
jу 1 wyl + {JX\ ~ Jzi) “rl^zl + Д/1Ш£/1 + Za iXd ~ Xt) —
jг\шг\ + {Jy\ ~ JXl) wylwxl + Asl^zl + ^a (xd ~ ^t) "Ь
+хаь=ми-ъл+м'л,

(2. 10) и (2. 11) содержит 11 неизвестных функций, если учесть, что
р-п = 1;	а-21 = сс; {^31=
Добавляя кинематические соотношения между Л и <oi [10]
^21= °^1^22 — °Vl^23*
^22 = t0jcl^23 — wzl^2l’>	(2*	12)
^23 = ш//1^21 — ^х1^22
и три необходимых соотношения между элементами матриц г и jx
S21 = ^1Л21 “Ь Iх 12^22 ~Ь РЧ3^235
e22 = fA21^21“h 1*22^22 "Ь»Н'23^2з5	(2. 13)
£‘23 = ^31^21	^32^22	4~ !а33^23»
получим систему из 12 уравнений с 14 неизвестными функциями*
Для перехода от ас к ai добавим выражение (2. 5), которое не из¬
меняет соотношения между числом уравнений и числом, неизвест¬
ных функций:
^лТ“^лгс“ЬаЯч/с
Я'у1==	~\~	&УС1	(2. 14)
Я*1 = Ря*с + Д*с-
Для получения недостающих двух уравнений используем соот¬
ношение (2.8). Таким образом, совокупность выражений (2.8),
(2. 10) — (2. 14) составляет систему из 18 уравнений с 18 неизвест¬
ными функциями, в число которых входят векторы компонент аг
п о)ь непосредственно измеряемые датчиками БСС. Несмотря на
полученные упрощения по сравнению с записью через углы Эйле¬
ра, эти уравнения остаются нелинейными и анализ их связан со
значительными трудностями.
2 вариант. Проекции векторного равенства (2. 6) на оси коор¬
динат связанной системы следующие:
2*
:v:

(2.15)
Имея выражение (2.15) для проекций ускорения можем записать
уравнения сил в следующем виде.
{*>z\Vy\) = PJrXaV‘\\-{-Y1^21 + FxU
Для проекций уравнения моментов остаются выражения (2. 11).
Система из шести уравнений (2.11) и (2.16) содержит 11 неиз¬
вестных (если учесть, что рп = р22 = Цзз=1, Мч2=а, Ц21 = —а, Цз=
=—Р, Цз1 = Р). Добавляя кинематические соотношения между А и
о>1 (2. 12), получаем систему из 9 уравнений. Если еще использовать
соотношения между модулем скорости, его компонентами по осям
связанной системы координат и углами атаки и скольжения
то получим замкнутую систему из 12 уравнений с 12 неизвестными
функциями: (2. 11), (2. 12), (2. 16), (2. 17).
В этой системе вместо компонент ускорений в качестве неизве¬
стных функций выступают компоненты скорости по осям связанной
(измерительной) системы координат. Такая система является пред¬
почтительной с точки зрения связи с величинами, которые изме¬
ряет акселерометр с интегральным выходом.
Действительно, пусть Vi11 — вектор величин, представляющих
собой выходы таких акселерометров:
Тогда для замыкания системы (2. 10) через измерители необходимо
вводить кинематическое звено в виде дифференциатора. Если же
используется система (2. 16), то замыкающее кинематическое звено
содержит интеграл, что для вычислительной машины является
предпочтительным. Чтобы это показать, запишем связь между век¬
торами v nvi через матрицу Л:
Дифференцируя последнее соотношение по времени, имеем:
^	у 1	1х 1	°*хl^zl)	X$*12 ~f" ^dh.2	®ч22	^	у	1»
т (vzl + <*>xlvyl ~ ®ylvxl) =	31	—	Za(l33	—	GX23
(2.16)
vyl==—va\ vzl = v?; v2=v2xl-]rv2yx-\-v2zu	(2.17)
у=Лу,.
—=Av14-Av1.
dt ill
(2.18)
36

Умножим равенство (2. 18) слева на Лт и проинтегрируем по вре¬
мени:
Цлт dt=\x + ^ ЛтX\xdt.	(2.	19)
to	to
В (2. 19) левая часть не что иное, как интегральный выход акселе¬
рометра, так как
А т dx * т
Л — = A a = aj.
dt
Таким образом, акселерометр с интегральным выходом измеряет
не компоненту скорости объекта, а интеграл от проекции полного
ускорения на его ось чувствительности.
Заменим в выражении (2. 19) производную по времени от мат¬
рицы направляющих косинусов Л ее выражением из кинематиче¬
ского соотношения между Л и ©1 [10]:
А = ЛО,	(2.20)
где
/ о —С0г1	\
Q = | «*1	0	—®л),
\— %1 ®*1	0 /
получаем
t
ЛТ(Л£2) v1 = Qv1;	j	Q\xdt.
to
*
Раскрывая последнее соотношение через проекции на оси связан¬
ной системы координат, имеем:
t
(°Vi®*i — ^ziVyJdt;	(2.21)
to
t
®Jx=®ifi+J Kfti-V2i) dt;
to
t
Vzi = v2l + j (a>xlvyl - *alvxl) dt.
to
Выражения (2.21) должны быть добавлены к основной системе
уравнений при замыкании последней через акселерометры с инте¬
гральным выходом. Система уравнений второго варианта является,
как и предыдущая, нелинейной и не менее сложной.
Полное уравнение движения для двух основ¬
ных типов объектов стабилизации. С учетом описан¬
ных выше особенностей объектов каждого типа полные уравнения
движения для них будут иметь следующий вид.
37

Объект 1-го тип а: /г = 0; D^O; (/г-н — /?)согСОг+i=0; уравне¬
ния 1-го варианта (2. 10) и (2. 12—2. 16) принимают бедующий
вид:
тахс = Р — Х<а — Gz2l-\-Fxc\
та,
у с
= Ра	—	Gs^-j-/7ус,
mazc=—P$ —Z$ — Gz2-3-{-Fzc;
== Ч” Mxl\
Jzi^zi — —Mazi a-j^Mh'bzl -\-Mlu
^21 = ^zl^22— %1^23’»
X22 = CO clX23 — 0)zl^421 >
^23“ 0)^/1^21
E21 — ^21 — a^22 — ^23 5
£22 = a^21"i“^22i
S23 = — t^21 “h ^23>	^
ax i= a xc -j- aayc $а,2Сч
ayl = — aaxc-\-ayc;
&zl=	С &z С »
axl = v + vwzi +
ayi=v Ki — i4ci)—av;
azl= — v (uyl + a^i) +
Система 2-го варианта принимает вид
1. mvx j = tnuzlvyl — m^ylvzl -f P — X a — GX21 -f /\*i’
2. mvyl = muxlvzl — muzlvxl-\-Yla — GX^-f-/7
3. mvzl = m<»ylvxl — m&xlvyl — Zjp — GX23-f F2u
4. У^^Ж^+^ь
5. J^yl= -M^? + M^yl + MByl;
6. Jzi<*>zi = Mazi • а + Ж^-й^ + ЖгГ,	(2.23)
7. X21 = о)(г1Х22 —
8* X22 = со^iX-23	«>^1X21;
9.	X23 = co^1X21 - «>^iX22;
10.	vyl=—v-a;
38

11. vzl=.v-$;
12. v2 = v2xi-\-,v2yi-\-v2zi.
Объект 2-го типа: Р=0, G^O; система 1-го варианта при¬
нимает следующий вид:
М*хс	*а + Рлс,
mayc = Yia-^Fyc;
maZC — 	 ^
J+ {Jг\ — Jуl) ^zl^yl + Avl^-rl
• cos [ Г соxXdt) —
a \
—ra-Asin|j шх1са\ = Мх1-Ъл1-\-М*1;
Jyi^yiH~ [Jxi ~-^zi) “jAi + DyX®yl-f- Mli • $=M$yi ■ 8^1 -f-MByi; (2.24)
J zl^zl + {J xl ~ Jу l) mxlmy 1 +-^zlAsl	+ X ah — M\X • 8zl -f- M\\;
axi = ©+®au>*1H-t>p<oJ,1;
a„i = ®Ki-f4ri) —«®5
a2l=—v (a>yl -f аи)ж1) + (to;
axi=axc-i-aayC — pa2C;
ay\— —aaxc-\-ayC\
azl — ^axcJrazz-
Система 2-го варианта принимает вид
m (4vi + Aa^i —“Л)= —Xa+Fxil
m{vyl-\- uzlvxX — <oxl® 2l) = K“a + Fyi\
m {'VziJr{s>xivyi — myivxi)= —Zl$+Fzi;
Jyl^yl^iJ X\~J Zl) Шдг1ш21 + Dyl^yl + м\$ MSyl -byi-\-MByl\
J zit02i + OV— J x\) шлг1шух + AziAzi -\-Mxi-a-\-X ah=M\xb2i -j- М*й
vyl=—va;
vzX = v[i;
i»2=^i + ^i + ^i.
39

Переход к уравнениям движения для объектов конкретного ти¬
па упрощает системы уравнений, но они остаются нелинейными,
что весьма осложняет анализ и синтез системы стабилизации.
В практике работы с гироинерциальными системами широко
используется метод линеаризации уравнений движения летатель¬
ного аппарата на основе допущений и предположений, изложен¬
ных в разд. 1.3 и в начале настоящего раздела. Так как все эти
предположения сохраняют силу и для БСС, то целесообразно весь
аппарат анализа и синтеза этих систем строить по той же схеме,
что и хорошо разработанный аппарат гироинерциальных систем.
Перечень задач, которые при этом надо решать, дан в разд. 1.3.
Одной из таких задач является разработка линейной модели си¬
стемы стабилизации.
2.2.	Линеаризованные уравнения движения
летательного аппарата
Линеаризация уравнений движения летательного аппарата про¬
изводится по известному в теории автоматического управления ме¬
тоду— заменой приращений нелинейных функций их дифференциа¬
лами на основе разложения в ряд Тейлора с удержанием членов
не выше первой степени.
Для выполнения линеаризации необходимо иметь значения не¬
линейной функции в точке разложения, т. е. требуемую или пред¬
полагаемую траекторию движения летательного аппарата. Чтобы
эта процедура давала уравнения, отражающие основные свойства
динамики объекта с требуемой точностью, необходимо на интер¬
валах разложения обеспечить достаточно быструю сходимость ря¬
дов и малую величину остаточных членов.
В уравнениях движения (см. разд. 2. 1) нелинейными функция¬
ми являются произведения, как функции сомножителей, и триго¬
нометрические функции. Для реальных объектов в подавляющем
большинстве режимов полета ошибка линеаризации произведения
составляет величину от долей до единиц процентов, если величины
отклонений не превышают установленных допустимых пределов.
Что касается тригонометрических функций, то соответствующие
ошибки будут еще значительно меньше [12]. Для 1-го этапа ана¬
лиза динамики системы стабилизации такая точность является
вполне удовлетворительной.
Более сложным является вопрос о выборе так называемых
опорных траекторий, относительно которых ведется разложение,
ибо этим выбором определяется, будут ли отклонения возмущен¬
ной траектории от программной малыми или нет. Если нельзя
ограничиться одной опорной траекторией, то рассматривается не¬
которая область возможных движений объекта стабилизации и
опорные траектории выбираются из такого расчета, чтобы рас¬
стояние между ними в пространстве основных параметров движе¬
ния были не больше двойной величины допустимых отклонений.
40

Линеаризация проводится для каждой из выбранных траекторий,
что дает несколько систем уравнений, отличающихся величиной
и характером изменения коэффициентов. Каждой из этих систем
соответствует определенный закон работы автопилота или вели¬
чина параметров в одном законе.
В случаях, когда до полета известно, в какой части области
возможных движений он будет происходить, соответствующая на¬
стройка автопилота осуществляется заранее. Если предполагаемая
траектория заранее неизвестна, выбор требуемого закона или его
параметров осуществляется в полете с помощью автомата само¬
настройки.
Другим решением является отказ от линеаризации, но такой
подход является эффективным для весьма ограниченного числа
нетиповых задач и не позволяет разработать сколь-нибудь обоб¬
щенного аппарата исследования.
Помимо общих для всех автоматических систем условий и ог¬
раничений, определяющих принципиальную возможность линеа¬
ризации, имеется две характерных особенности движения лета¬
тельного аппарата, позволяющие значительно упростить процеду¬
ру линеаризации и получаемые на ее основе уравнения.
Необходимость стабилизации крена, т. е. вращения аппарата
относительно оси симметрии формы — первая особенность. Эта
необходимость, помимо важных причин, не связанных с решением
задачи стабилизации,-вызвана специфическими для этой задачи
причинами.
В платформенных системах такой причиной является огра¬
ниченная возможность платформы по углам вращения. В БСС
принципиального ограничения в этом смысле нет, но с помощью
стабилизации вращения достигается компенсация влияния кони¬
ческого движения на рост ошибок вычисления матрицы направля¬
ющих косинусов, поэтому такая стабилизация является необхо¬
димым условием улучшения точностных показателей системы.
В количественном выражении стабилизация крена равноценна
выполнению условия coxi = 0. Из уравнения Эйлера (2.3) видим,
что этого можно достигнуть только за счет собственного вращения
объекта по закону у\ = 0 isin фь
Вторая особенность — слабая зависимость модуля вектора ско¬
рости аппарата от вариаций таких параметров движения, как углы
Эйлера или направляющие косинусы. Формально это означает,
что в первом уравнении системы (2.10) можем считать
е21 — £2Ь ^11= 1-
Так как aXQ = v (2.6), то первое уравнение системы (2. 10) ин¬
тегрируется отдельно и модуль скорости v = v(t) может быть най¬
ден как известная функция времени, благодаря чему общий поря-'
док системы понижается на единицу.
С учетом изложенного линеаризация уравнений движения объ¬
екта в форме (2.10), (2.11) может быть проведена следующим
•II

образом. (Здесь и далее индексом «*» обозначаются программные
значения.)
В системе (2. 22) первое и четвертое уравнения интегрируются
отдельно и получаемые при этом функции v(t) и wxi(0 являются
известными коэффициентами для других уравнений, среди кото¬
рых уравнения сил и моментов являются линейными. После при¬
менения к остальным двенадцати уравнениям описанной выше
процедуры линеаризации получаем следующую систему (программ¬
ные значения здесь обозначены квадратными скобками, за откло¬
нениями для простоты записи сохранены символы полных значе¬
ний) :
1. Х21 = [Х22] cozi -f- KJ Х22 — [Х23] wyl — [шу1] Х23;
2. Х22= — [Х21] сог1 — KJ Х21;
3. Х2з=[Х21] со^ -f- [о>у1] Х21;
4. г21 = Х21 — [Х22] а — [а] Х22 — [Х23[ р — [В] Х23;
5- ®22= [^2l] а~Ь[аЗ ^2г"Ь^22»
6- ^23= —[^2l]P—[Р] ^21 "Ь^2з!	(2.26)
7. ах1 = [аус) а + [а]а#с —[а,с]р —[р]а,с+ажс;
8- a„i= —[вхс]о + ^с;
9. аг1 = [ахс] Р+агс;
10. ах1 = [гков1] а + [тех] и>л -f [гк^] В -f [zip]
11. а„г = М<охх —[ахс]о;
12. аг1=— [v}<»yl-\-[ax№.
Уравнения сил и моментов после приведения к каноническому
виду (нормирования и приведения подобных членов) принимают
вид
1. аус =
йгс.
Р + У
т
P + Z,
4. ч)21—
т
М9'
J yi
ЛГ
(2. 27)
а +
м
у 1
>у 1
М
Z1
Ъу1 +
8*1 +
’ zl
Полученная система (2. 26) и (2. 27) содержит пять дифферен¬
циальных уравнений первого порядка, поэтому может быть сведе¬
на к системе из пяти уравнений в нормальной форме. Так как в
этом случае в качестве неизвестных не будут выступать проекции
42

ускорения на оси связанной системы координат, то к такой систе¬
ме должны быть добавлены алгебраические соотношения, харак¬
теризующие зависимость
a1=/(©i; А),
где f — некоторая линейная функция. Для получения описанного
выше результата необходимо проделать следующее. Функции 822 и
е23 из выражений (2.26), п. 5 и (2. 26), п. 6 подставляются в (2.27),
п. 1 и (2.27), п. 2 соответственно; функции аус и azc, определяе¬
мые из соотношений (2.26), п. 8 и (2.26), п. 9, подставляются в
уравнения сил (2.27), п. 1 и (2.27), п. 2 соответственно; углы атаки
и скольжения, определяемые из уравнений (2.26), п. 11 и (2.26),
п. 12 подставляются в уравнения сил, моментов и в (2.26), п. 10;
последнее при этом становится выражением ах\ через угловые ско¬
рости и линейные ускорения ауХ и azU для которых получены соот¬
ветствующие выражения через уравнения сил, поэтому выражения
для ау 1 и аг\ также подставляются в выражение для ах\.
Таким образом, получена система из пяти дифференциальных и
трех алгебраических уравнений:
1. axl=an^yl-\-al2^z\Jra\^2\+я14Х22 ~-а15Х2з-—#1/^yc-{-(iii*gFzc;
2. Ciy\= —^22^г1 — а23^21 — #24^22 a2Fy^ у с»
3. а7Л= ^31шг/1 “f" #33^21 — #34^23 4“ #3 Fz^ z с»
4. %1= — ^41%l + a43^21+^45^23 + ^468i/l— aAFz^zz + а4Му^у1> (2- 28)
5- iozl= ~^а52^г1~аЬг^21^^5ЛК22^Га5б^г1~\га5РуРr/c + ^bMz^zU
6, Х21 = — #ei°V ~f~ аь2{Лг1 a64^22 — #65^23i
7. X22=	^72^1	^73^21»
8- ^23 —Л81%1~1~<283^21-
Выражения для коэффициентов a^=aij{t) даны в приложении 1,
п. 1. Двухындексная нумерация этих коэффициентов произведена
с учетом перехода к матричной форме записи системы (2.28).
Для матричной записи введем следующие обозначения:
xi — вектор-столбец координат системы (2.28), пп. 4, 5, 6, 7, 8;
8i — вектор-столбец управляющих воздействий в этой же си¬
стеме;
Bi — вектор-столбец возмущений в этой системе;
43

^41»	^43’	^45»	'
^52»	^53 »	^54»
— #ei>	^62 5	0;	#в4*,	—л65,
0,	#*72 >	^73»
i ^82»	^83’
А — матрица системы;
As — матрица управляющих воздействий системы;
А#[ — матрица возмущений системы;
(а46 0
0
0
°\
/ а4 Fz
&4Му
0
О
0
0
0
0 \
0
0
а5 Fy
а5 Mz
0
0
0
о ;
' АВ1 —
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 /
V 0
0
0
0
0
As =
aj — вектор-столбец координат, измеряемых датчиками линей¬
ных ускорений; В2 — вектор-столбец возмущений, влияющих на
координаты xi; Аа\ — матрица датчиков; Ав2 — матрица возмуще¬
ний;
jaxi\
ау\
а,= ал
0
\0 j
аП’
0;
Aai= —а31;
0;
\ 0;
/
В,
Я)2) Я*
— Л22> —®2з
Ад2 —
а33 >
0;
0;
/ — alFy alFz 0 0 0
a2Fy 0	0	0	0
0	a2Fz	0	0	0
0	0	0	0	0
\ 0	0	0	0	0
\
/
44

С учетом введенных обозначений система (2. 28) может быть за¬
писана в компактной форме:
хх=Ах, + А5 • 6j + АВ1 • В1;
ai= A<zix\ “Ь Ае2 Вг-
(2. 29)
Рассмотрим линеаризацию второго варианта уравнений движе¬
ния (2.23). Уравнение вращения (2.23), п. 4 интегрируется отдель¬
но, следовательно, в других уравнениях функцию co.vi можно не
варьировать, считая <oxi= [coxi] =0. После применения к осталь¬
ным уравнениям процедуры линеаризации и приведения их к ка¬
ноническому виду, получаем
Ki] - Kil v*i - Kil +Kil w*i -
^i= - Ki] - Ki] “«l+[У a—[~] x22+[	Fyl;
Vz\ — K/l] Vx\ “Ь [vxl] Ш1/1 —	j ? —	j ^23 + ^ —j	Fzl>
‘•'= Ч^НИ8'1 +йКл
“■‘=_lzr[°+[^r]8'I+[i]'M',:	(2'эд
^21 = [^22] ®zl “f Kzl] ^22 — [^2з] <V “ [%l] ^*23»
^22 = ““ [^2l] wzl l^zl [ ^21J
^23 = [^2l] ^yl 4“ [%l] ^21»
“—[vMvl*
v'>+[¥\v>'
Vz 1
Определяя из последних трех уравнений системы (2. 30) функции
аир через функции vxU vy\ и vzU имеем
«■—И--
р—lt?b-
V + avyl
1/2
pWj/l
Ф
Vy 1-
avzl
V2
vylJr
V— №z 1
1/2
®*i;
®*i-
(2.31)
-15

Пренебрегая в формулах для коэффициентов выражения (2.31)
величинами, малыми по сравнению с номинальными значениями,
получаем
Подставляя полученные значения углов атаки и скольжения в
уравнения сил и моментов, получаем систему из восьми линейных
дифференциальных уравнений 1-го порядка:
Как было указано выше, компоненты вектора Vi, определяемые
решением системы (2.33), не измеряются датчиками линейных
ускорений. Для перехода к измеряемым датчиками величинам ис¬
пользуются соотношения (2.21), которые, будучи нелинейными,
также должны быть линеаризованы. Применяя к ним стандартную
процедуру, получаем
Значение коэффициентов Ьц = Ьц(1) в системах (2.33)’ и (2.34)
даны в приложении 1, п. 2. Нумерация коэффициентов произведе¬
на с учетом перехода к матричной форме записи уравнений.
Для перехода к матричной форме введем следующие обозна¬
чения:
хц — вектор-столбец координат системы (2. 33);
6н — вектор-столбец управляющих воздействий в этой системе;
Ви — вектор-столбец возмущений;
Б — матрица системы;
Б$ — матрица управляющих воздействий;
46
(2. 32)
VA-l — b\2vyl — bldPzl — ^140Уу1 “Ь ^150)г1 — .^16^21 ~\г b\pFxl’y
vyl = ^2l4rl — b22Vyl b2^zi Ь27^22 “Г b2FFyl\
^zi== b3lvxl b33vzl - j- b3^yl b38X23 “h b3FF zl;
i0yi= — b43vzl -f b49byl -j- ЬшМвуи
v0zi= bftfQyx + ^Ai +
k2\ = — b^yi + b^z\ + b^k22 ~ ^68^23’
^22= — b^zi — b16i 2i;
*23 = ^84%1 + ^86*21-
(2. 33)
t
Vxl — vxl + j ( ~ b92vyl + ^93^*1 + bd^yi — btfWgi) dt\
0
0
(2.34)
о

матрица возмущении;
/
о
— ^21
hi
О
о
о
в1Т=
>
rzl
о
о
о
Аг
о
о
^52
о
о
■ Ь:а
■^43
о
о
о
hi
о
о
~hi
— ^25
о
о
о
hs
—bis
О
о
о
о
о
Бб =
1
О
О
О
О -
Аз
— hi
О
О
\
О
О
0
hi
О
he
О
О
О
О
О
0
О
0
О
О
h Р
О
О
О
О
О
О
О
0
О
О
О
0
О
О
О
О
hp
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
b'iF
О
О
О
О
О
^49
0
О
О
О
О
О
О
; Б в
О
О
О
hp
О
О
О
О
О
hi
О
0
О
О
О
О
О
О
О
О
bbF
О
О
О
0
0
0
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
0
0
О
0
О
О
О
О
О
0
О
О
О
О
О
О
О
О
0
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
ViH — вектор-столбец координат, измеряемых датчиками линей¬
ных ускорений;
Би — матрица датчиков;
v?=
V*1
<1
О
; Бн=
О
О
О
О
О
— ^92
hz
hi
— ^95
0
0
0
^101
0
0
0
bios
0
0
0
-Ап
0
0
— ^114
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
С учетом этих обозначений система (2.33), (2.34) может быть
записана в компактной форме
X,, — БХц + БаВц + Бд-Вц;
t
Vi = V! + [ Б"\ndt.
! 2.35)
47

Линеаризад и я уравнений объектов 2-го типа.
Для объектов этого типа целесообразно различать два режима
полета: первый при ыхЛ = 0 и второй — при (йх1=юх1(t) =^=0.
При первом режиме полета система уравнений, записанная че¬
рез ускорения, существенно упрощается. Уравнения моментов в
(2. 24) могут быть записаны следующим образом:
(где Ji = Jz{ — Jyi). Из первого уравнения сил (2.24) можем най¬
ти известные функции времени
о
и использовать их в качестве коэффициентов в остальных урав¬
нениях:
Линеаризуя систему (2.24) с учетом (2.36) и (2.37)’, получаем:
J 1ш£/1ш2г1 — Za'fy- h — MiX i ■	+
Wi + A/1%1 + M[’ • P:= Mil * V + Ml J	(2.36)
JzЯ14-	+	м*-а + Xah = Mbz, • 8, + Ml,
o-x\=M + M (mz\ + M ? • <v;
“ri=-[®Ki+WP:
«л = [«лс] + a^c-Ba2c;
ayl = — [axAaJrayc'i
a*i = Iaxc]?+a«-
(2.37)
6. axl = [m] «ож1 + [w2l] a -f [г£] шу1 + [mtfl]
7.	=	—[axcla;
8. a,i=-[®]a>yl + [axc]'P;
(2. 38)
48

9. а,, = [а] аус + [а„с] а — Щ azc - [az<\ ?;
10.	[^jtc]	u	“T®i/c>
И. аг1 = [аже]р=<*«с-
Система (2.38) содержит всего девять неизвестных функций:
бус; °2с; «; Р; <%ь u>zi; fl*i; 0yi; Оч\. Следовательно, уравнения п. 5
и п. 9 могут быть опущены; оставшиеся (кроме шестого) могут
быть проинтегрированы, а результаты использованы для опреде¬
ления функции ах\ по шестому уравнению. В канонической форме
система принимает следующий вид
В (2. 39) коэффициенты пронумерованы с учетом перехода к мат-
жении 1, п. 3.
Для перехода к матричной форме записи введем следующие
обозначения:
f—с и	0	0\
С'= о — с55 0 —матрица системы;
\	0	0	0/
/£46 о 0\
^5= 0 с56 0 )—матрица управляющих воздействий;
\о о о/
/	0	0\
С^=	0	с'ъру	0 —матрица возмущающих сил;
\	0	0	0/
ах\~С^у\~\~ £l5<-°2l —	C\FzFzc’’
C<ZFijFyz\
(2. 39)
az\ — £34%i -\-CzfzF zc;
0Jyl— £44% 1 — C^pzF 2C +£46^/1 + C4MyMlu
== —£550^l + C5PyFyc + £56^1 + CsMz^Mzl-
ричной записи. Значение коэффициентов £/у=£/; (^) даны в прило-
[ Ъг1 I -вектор-столбец управляющих воздействий в системе;
V0 /
возмущающих сил;
49

с'ьмг 0 —матрица возмущающих моментов;
О о,
в>= -вектор-столбец возмущающих сил;
| — вектор-столбец координат, измеряемых датчиками ли-
\ I нейных ускорений;
/^14 ^15 0\
сд1= 0 с25 0 — матрица датчиков.
\С34 О О/
С учетом введенных обозначений система может быть записа¬
на в компактной форме:
У i = с'у 1 + СьЬ[ +	+	СжВж;	(2.40)
al = Cfliyi + c>B>.
При втором режиме полета система уравнений объекта, запи¬
санная через ускорения, оказывается после линеаризации более
сложной, чем при первом режиме. Действительно, единственным
упрощением является определение скорости из первого уравнения
сил (2. 24) и подстановка в виде коэффициента в остальные урав¬
нения; так как управление в этом случае осуществляется поворо¬
том относительно оси Х\, то принято:
Z\=Y°a И а=^р.
Далее обычная процедура линеаризации дает:
ах\ — С 14^1 “Ь С15% 1 С16^ + с 1 FyPу с С1FZFz с ;
it	п	TT	R	п
ау\ — —С24^x1 — ^25^1 — ^26^1 + C2FyFjyZ “ C2FzFzz\
azl~C^xlJTC^{£iyl'~\~C^z\—c3FyF yc-\~C2FzF zcy	(2.41)
м	n	it	i	9	a	"	я	В
CO — ~	■'	1 ~	•'	1	~	*	I -	£7	~	Z?	I	~	Л/1
,.rl = ^44(0jrl4_^45a)£/l“t~t45(ti2l"h^47^i4_C4*F£//7 yc~\~ c4FzF zc -f-C4MM x\ \
>yl = C54^xl + ^55%l + С56<*>*1 + i + CbFyFy c — CsFzFzc -f C5mMyi J
,21 = С64а)д*1	“Ь^67^1	-\~CQFyFyc -j- CqFzFzc ~\~ СQMi .
Нумерация коэффициентов c]j = Cij[t) произведена с учетом
перехода к матричной форме записи уравнений. Выражения для
коэффициентов приведены в приложении 1, п. 4. Для записи урав¬
нений в матричной форме введем следующие обозначения:
50

yi = l Ш(/1 ) —вектор-столбец координат системы;
\<йг1/
. f^xl \
61 = g ) —вектор-столбец управляющих воздействий в системе;
\Кг)
о' /М
В/г= /^с --вектор-столбец возмущающих сил;
\о'7
. (м*Л
Вл1 =[ М%1 -вектор-столбец возмущающих моментов;
\М^ )
/С44 С45 ^4б\
с"= Съ4 с'зз С'ы -матрица системы;
\Сб4 Сб5 CqgJ
IС4~! О 0 \
Сз —( 0 ^57 О I —матрица управляющих воздействий;
\0 0 с\7)
гг	п	\
/ С4Fy	С4pz 0 \
С/? = ( CbFy —cIfz 0 —матрица возмущающих сил;
\CbFy Cq>Fz О/
/С4М 0^ 0 \
сЛ1 = I 0	сбм 0 —матрица возмущающих моментов;
\0т	0	Cgm /
(
ai = \ау\ I — вектор-столбец координат, измеряемых датчиками ли-
\azlJ нейных ускорений;
(£14 ^15 Ci6\
с24 с25 с26 } —матрица датчиков;
^34 £35 Сзб/
(CiFy C\Fz о \
в	п	\
C2Fy — C2Fz 0 —матрица сил в уравнении датчиков.
— СзРц СзРг О /
С учетом введенных обозначений система (2.41) принимает вид
УI — c"yi T C5S1T с рВл' T с мВм;
(2. 42)
я	я я	я	-я
ai = Caiyi -f- CFa&F•
Рассмотрим вариант записи уравнений движения через комио-
51

ненты скорости для общего случая <*bci = u>xi {t) Ф 0. При этом для
линеаризации можно использовать некоторые полученные выше
результаты, а именно, соотношения (2.32) для углов атаки и
скольжения и линейную форму уравнений моментов, полученную
для первого варианта, так как эти уравнения для обоих вариантов
аналогичны. Используя указанные выше соотношения, а также
линеаризуя уравнения сил из (2.25) и уравнения кинематики
(2. 21), получим следующую систему уравнений:
vxi= d\2vyi — d i3^zl — d 15co|/1 -f- d 16^1 4~ d\FF x\;
Vy\ = —d<i\V x\ — d22'vyl "\~d23vzl "h d24Pjc 1 4" ^260)г1 4" d2pF yl;
‘vzi==:dzifvxi — d&Vyi — dssvzi — ^34(*)jci 4~ dssPyi 4~ d^pF zl;
^xl-d^zl 4“dypx 1 — dq&byi — dq$bz14“dA1b xl-\-dAMMbx\\
®yi — —d$zVzi — dwPx i ^55%i— d5tf&zi -\-d57byl -f- d5MMyi;
wzi — d^Vyi + d64«>xl — d65^yi — d^z\ + d67bzl 4" d§MN[\\\
t
Vxl — Vxl 4“ J {—d-j2vy\ — dr^zi 4“^74%1 — ^76w*l} dt;	(2.43)
0
‘Vyl = ‘Vyl + Г {^81^1 — ^83^1 — ^84^14-^86^1}^;
0
t
^1 = ■VZ14- J {—d9lvxl + d92vyl 4- d^xl - dxPyi) dt.
о
Нумерация коэффициентов dij = dij(t)' произведена с учетом пере¬
хода к матричной форме записи уравнений. Выражения для коэф¬
фициентов приведены в приложении 1, п. 5. Для перехода к мат¬
ричной форме записи системы (2. 43) обозначим:
Удх — вектор — столбец координат системы;
6ц — вектор — столбец управляющих воздействий;
Вп — вектор — столбец возмущений;
Д — матрица системы;
Д s — матрица управляющих воздействий;
Дв — матрица возмущений;
VIй — вектор — столбец координат, измеряемых датчиками;
Vi — вектор — столбец компонент скорости по осям связанной
системы координат;
, Ди — матрица датчиков.
/^1\ /о

Вп =
/ v
V,
V,—
—d
^24 О
d
15
35
JCl.
*yi
*zl
0
0
\ 0
^16
^26
0
d$4 —^45 —d4§
db 3 —^54 —^55 —^56
^64	^65	d\
66 i
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	d47	0	0
0	0	d$7	0
0	0	0	dffl)
ди==
\
id\p 0
0 0
0
0
\
0
diP 0 0
0
0

0
0
d3p 0
0
0
1
0
0
0 diF
■ 0
0
0
0
0 0
d$p
0
i
\ 0
0
0 0
0
d&p
/
0
1 —
■d-n
^73
djA
0
d
d$i
0 -
— <^83
~dw
0
d
—а
•91
d§2
0
dgi 0 -
-d
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
95
С учетом введенных выше обозначений система (2. 43) может
быть записана в компактном виде
Уи=ДУп+Д«*,1+ДвВи;
t
v?=Vj +^"УцЛ.
(2.44)
Если летательный аппарат не вращается относительно оси сим¬
метрии формы, то становятся равными нулю коэффициенты rf2a,
Г,.4

^32, Дзе, d8з, o?92; это несколько упрощает систему, но не понижает
ее порядка.
Таким образом, совокупность выражений (2.29),	(2.35),
(2.40), (2.42), (2.44) представляет собой линейные уравнения
движения летательного аппарата с переменными коэффициентами
для различных типов аппаратов, режимов полета и вариантов
съема информации о параметрах движения.
Такая форма уравнений служит основой для исследования ди¬
намики БСС с помощью аналоговых вычислительных машин, т. е.
для реализации второго этапа анализа и синтеза БСС по приве¬
денной выше классификации. Однако, эти уравнения еще слишком
сложны для работы на первом этапе, т. е. при аналитических ис¬
следованиях.
2.3. Уравнения и структурны? схемы
для случая плоского программного движения
летательного аппарата
Дальнейшее упрощение уравнений движения для получения
возможности их аналитического исследования может быть выпол¬
нено на основе еще двух ограничений: плоского программного
движения и допущения о постоянстве коэффициентов. Рассмотре¬
ние плоских программных траекторий имеет под собой вполне
реальную базу, например, полет с постоянным курсом (траекто¬
рия в вертикальной плоскости), полет с постоянной высотой (тра¬
ектория в горизонтальной плоскости). Что касается второго допу¬
щения, то используется оно следующим образом. Выбирается не¬
сколько наиболее характерных моментов времени по траектории с
точки зрения отражения главных особенностей изменения коэффи¬
циентов. Например, если движение происходит в вертикальной
плоскости и переменность коэффициентов обусловлена, главным
образом, изменением сопротивления воздуха, то будет минимум
четыре характерных точки: начало полета, максимум скоростного
напора, минимум плотности воздуха и, наконец, участок перед
приземлением. Для каждой из этих точек определяется значение
всех коэффициентов и проводится полный цикл анализа.
Если выбранные для одной точки значения параметров закона
управления не удовлетворяют требованиям в другой точке, то вы¬
бираются значения для каждой точки отдельно, а изменение вели¬
чины параметров производится программным устройством в опре¬
деленные моменты времени.
Итак, рассматриваем один из наиболее характерных типов
плоского программного движения: программная траектория нахо¬
дится в вертикальной плоскости. Так как рассматривается два ти¬
па объектов и два варианта записи уравнений, то возможны всего
четыре случая.
54

1.	Объект 1-го типа, уравнения записаны через
ускорения. Так как юг/1==р* = х5з==0, то, очевидно, имеют места
соотношения:
аП = а\Б = 0'\Рг~аЪЪ = а'4Ъ = а'61==а6Ъ~а'ЪЪ — О*
При этом система (2. 28) распадается на две отдельно интегри¬
руемые системы продольного и бокового движения. Система
продольного движения:
Рис. 6.
ах\ —al2^zl +#13^21 +#14^22 — alFyFyc;
ayl= a22®zl — #23^21 — #24^22 “f" a2Fy^yc>
wzl— аБ2^г\ ““ #53^21 #54^22 + Л56?>г1 Cl5FyFyc-\- d5MzM^ь
^21 = а62^г1 + #64^22i	^9	^
^*22 == '~#72a)(zl —#73*21*
Система бокового движения:
az\ — #31— #34^23 "T #2Fz^z с »
cot/l == #41w//l “1“ #45^23 4"a46^1 — #4Fz^zc H~ a4MyMyU	(2. 46)
^•23 —,<281%1*
Системы (2. 45) и (2. 46) — линейные, порядок их относительно не¬
высок. Применительно к таким системам эффективными являются
частотные и структурные методы анализа.
Структурная схема, соответствующая уравнениям продольного-
движения, показана на рис. 6, а уравнениям бокового движения —-
на рис. 7.

2.	Объект 1-го типа, уравнения записываются
через скорости. Имеют место соотношения:
^13 = ^14 ~ ^31 = ^64 = ^68 = ^86 = ^93 = ^94 = ^111 = О-
При этом система (2. 35) распадается на две отдельно интегри¬
руемые системы.
Система продольного движения:	*
'vxi —	+	Ь1Ъыг1 — й16Х21 + blPF л1;
vyi= b2lvxl ~ b22vyl — b2bu>zl — b21k22 -f- b2FF yl\	(2.47)
wzl= ^52^1 “i" ^59&zl b$ M^zl;
^*21 = b^zi ~h b67k22;
^22 = — b75U)zi -|- b76k2l.
Vyl
Fzc
&56
O-SFy
aSMZ
\ _
р
Q>Z1
~(&31P +aMa8l)
	w
Г-**
pZ-h(Lif1p -а^а.81
P
' 4
0-Z1
°-lFZ
\fzc
Puc. 7.
Система бокового движения:
Vzl ~ ft33^zl ~\~ ^34% 1 — ^38^23 b2FFz\ ;
®y\ — —b^pzi “b b4gbyl b4MMyi;
^23— ^84% 1-
(2.48)
Кинематические уравнения замыкания (2.34) также разделяются
на две группы; первая
v*! = vxl+ f {-b92vyl-b95uzl}dt;
о
t
+ f { &lOlVxl + *105°>*1} dt
0
дополняет систему продольного движения; вторая, состоящая из
одного уравнения,
t
^1=^1 + j {—bn^y\}dt
о
дополняет систему бокового движения.
56

Системы (2. 47) и (2. 48) также достаточно просты для эффек¬
тивного использования структурных представлений. Структурная
схема, соответствующая уравнениям продольного движения пока¬
зана на рис. 8, а структурная схема, соответствующая уравнениям
бокового движения — на рис. 9.
3.	Объект 2-го типа, уравнения записаны через
ускорения. Система (2.39) при £* = 0 и <o*i=0 несколько уп¬
рощается за счет обращения в нуль двух коэффициентов:
Ci4 = 0 и с\гг=0. Это, хотя и незначительное упрощение, позволя¬
ет разделить общую систему уравнений на уравнения продольного
движения:
ClPyF уС,
#</1 = С25<*21 — CzpyFу с ;
0)zl =—С 55^*1 + C56&Z1 + CsFyFy с + CsMz^zl \
Ы

(2.49)
уравнения бокового движения:
Uzl — CwPyi-^ CzpgF zc;
Шу1 = r44®yl — CiFz^zc ~f" c46^l -f* C4MyMHyi.
Соответствующие структурные схемы приведены на рис. 10 и
рис. 11.
4. Объект 2-го типа, уравнения з аписа ы через
компоненты скорости. В такой системе для ри сматривае-
мого случая обращаются в нуль следующие коэффициенты: rf13,
^15» ^24> ^31» ^46> ^73» <^74> ^84» ^9Ь ^23* ^32> ^56» ^65> ^64>К^831 1^92-
Система (2.42) распадается
на отдельно интегрируемые:
систему продольного движения:
Рис. 10.
Рис. И.
vxl= dyflyl “Ь ^ 16®г! “Ь d\pFх\*
=	d 2i^xi ~~ ^22^1 “Ь	“h d^F у\\
о>г1 = d&Uyi — dtfPzi “b ^67^21 4*	;
^1 = ^1+ ^ {—di^0y\ — ditfsz\} dt',
0
t
tv'yl = ‘Vyl~\m [ {d^xl^td^zi) dt
58

и систему бокового движения:
vzl — —dtfPzl + ^35%1 + ^3/^ zU
)}У 1
— ~^53Vzl — ^55°Vl “h ^57 V + d5MM* l;
Соответствующие структурные схемы приведены на рис. 12 и
рис. 13.
d6i ct1Fd-ii
Fyr
ti-62 d-zrP
pu&ziP+d)
Wr
$zr-
pzi-tinp+ii12(i21
р}Нйгг+*м)Рг
dE2^ii)p+
f(d-2r.dr:	0-1£ dy)
-eHTKbr
. i
d2Fu
,Гн’
Рг>*пР+йпйа\
I
Puc. 12,
Использование приведенных выше структурных схем при анали¬
зе БСС практически не отличается от структурных методов, при¬
меняемых в платформенных системах.
В заключение необходимо рассмотреть с точки зрения коррект¬
ности один распространенный метод упрощения и линеаризации
уравнений движения объекта стабилизации. Этот метод состоит
в непосредственной замене проекций угловых скоростей на оси
связанной системы координат производными по времени от углов
Эйлера. Такая замена в некоторых случаях может приводить к
значительным ошибкам. Рассмотрим этот вопрос более подробно
на примере бокового движения, так как для него, не внося прин¬
ципиальных ограничений, можно значительно упростить выкладки.
Оценку корректности замен вида
tyi = <*yu = %с; z^—vbc^-VLoyc = az
(2. 50)
можно провести следующим образом. Рассмотрим две системы
уравнений бокового движения: систему (2.46), полученную с по¬
мощью последовательно корректных операций, и систему, получен¬
55>

ную из линеаризованных уравнений, записанных в обычной форме
(т. е. для платформенных систем) путем замен вида (2.50).
Обычная форма линеаризованных уравнений бокового движе¬
ния имеет вид [12]
(2.51)
м,
d 5М
Fzj
d'53 d-3F
Р + *зз
1Л
5ЙК
djs
p2Hd3^cC55)p^{cC3jd55^j5d53)
Wyt
P + djj
d at
~У
&S7
d3F
Ггг
Рис. 13.
Используя выражения (2.50), а также последнюю строку выраже¬
ния (2. 14)', получаем из (2. 51)
, \P + Z9a~ G sin вх Л* г	Г	p	+	zl	Г/
ж J \a**dt=-\_ ~ J (2,52)
V
+
[ С ] imyidt [ ] ia~dt-[ С ]
t	t
azl = [axc]	\^azzdt~\-az
0 0
Запишем выражения (2. 52) в операторной форме:
(р + а \	Ъ
Ч—г~**'
v
р2 4- с \ [c]v]*
[*г-)
(2.53)
[a*c]* ... I (Р + faxcM*)

В (2. 53) обозначено:
л* 1*
а=
р + z{-a sin et '
*• b-\p + zf‘]
mv
’ —
L m
Определим из (2. 53) передаточные функции
шу 1 (Р)   dp (р — а)
(Д)	Р3 + ар2 + ср + с (а — 6/к)
_р sin Ьгахс	I* ( »Г av + g sin 9! — ахс 1»	+
вг\ (.Р) _	L av	J I L <*хс g sin 6г J	['	(2.54)
“ill (Р)	/1ч
(i'+j
Если записать эти же передаточные функции и в таких же обо¬
значениях, но на основе уравнений (2.46), то получим следующие
выражения:
^yi(p) 	dp
hi (р)
d L	J
(2.55)
Г ^£c£sin0i_l* Г , Г	+ Л
ggi (/0 L gp J I I sin et J I'
Шу1 (p)	P
Видим, что выражения (2. 54) и (2. 55) не идентичны, хотя и весь¬
ма сходны друг с другом.
Для того чтобы оценить ошибки, вносимые использованием
выражений (2.50) поступим следующим образом. Передаточную
0)^ I (
функцию 	,	полученную	из корректного выражения (2.46),
hi(P)
умножим и разделим на оператор (р+а); получим следующее вы¬
ражение:
(Р) 	dp	(р + а)
byi(p) 0 п( с \ Г eg sin 0! I*
Р3 + Р2 i — + aJ -\- Р \ с — ——	 +	с	(а	— b/v)*
Оно отличается от передаточной функции, полученной на основе
замен (2. 50) слагаемыми во втором и третьем коэффициентах зна¬
менателя. Выражая эти слагаемые через реальные физические
величины, имеем
с	Cyitnv	'	Cg	sjn Qj	Cyimg	sin 0i
a Jyi	Zq—Gsin0!) ’ av	Jyi (P +	—G sin 0i)
(2. 56)
Численные оценки выражений (2.56) показывают, что дополни¬
тельные слагаемые могут быть не только сравнимы по величине с
основными, но и значительно превышать их.
61

Сравним передаточные функции - • , полученные по выра-
ыу\ (Р)
жениям (2.46) и (2. 53).
Сравнивая соответствующие формулы видим, что (2. 54) отли¬
чается от полученной с помощью корректных операций формулы,
во-первых, слагаемым [v/ax с]* в постоянной времени форсирую¬
щего звена, и, во-вторых, наличием сомножителя в виде аперио-
1
дического звена:	 .
а
Численные оценки показывают, что постоянная времени Т=\/а
может достигать нескольких десятков секунд, а «дополнительное»
слагаемое в постоянной времени форсирующего звена по величине
имеет один порядок с другими слагаемыми.
Таким образом, идентичность передаточных функций (2.54) и
(2. 55) является весьма условной, а использование выражений ви¬
да (2. 50) в БСС может приводить к ошибкам.
Структурная устойчивость. Из общей теории стабилизации ле¬
тательного аппарата известно, что последний должен обладать
структурной устойчивостью. Иначе говоря, необходимо наличие
таких областей значений коэффициентов передачи стабилизирую¬
щих обратных связей, для которых система стабилизации являет¬
ся устойчивой. Анализ структурной устойчивости тесно связан с
решением вопроса об эффективности обратных связей по тем или
иным параметрам движения аппарата с точки зрения устойчиво¬
сти системы.
Анализ структурной устойчивости и эффективности отдельных
обратных связей наиболее удобно проводить с помощью алгебраи¬
ческих критериев. Однако для общего случая выражения для ко¬
эффициентов характеристического уравнения и тем более выра¬
жения’ для определителей становятся практически необозримыми.
Поэтому целесообразно сразу исключить все второстепенные фак¬
торы, оставив только наиболее существенные для анализа. С этой
целью для решения поставленной задачи примем следующие допу¬
щения:
— рассматривается боковое движение, так как его динамика
весьма сходна с динамикой продольного движения, а математиче¬
ское описание значительно проще;
— переменность параметров не учитывается, а скоростной на¬
пор предполагается равным нулю;
— привод органов управления считается усилительным зве¬
ном;
— считается, что коэффициенты обратной связи по основным
программируемым параметрам (скорости центра массы и ее инте¬
гралу) определяются из соображений точности в установившемся
режиме при разомкнутых стабилизирующих связях по угловой ско¬
рости и линейному ускорению.
62

С учетом перечисленных выше предположений из (2. 46) полу¬
чаем следующую систему уравнений в операторной форме:
РЯ 31 + ^81д34, ш
Р
Р®у\ — #46^/15
=	kaCLzi^
(2. 66)
где (Оу\ и azi — отклонения от программных значений.
Так как бесплатформенная система стабилизации в принципе яв¬
ляется системой дискретного действия, то система (2. 66) должна
быть отображена в область дискретной переменной г:
г2 {1 +а4б [k* + ka (а31 -f а81а34)]> — г [ г+а43 (Аш+Мз1)]+1 = 0. (2. 68)
Рассматривая выражение (2.68), мы можем сделать следующий
вывод: так как коэффициент передачи по линейному ускорению
ka входит в выражения для коэффициентов характеристического
уравнения системы с множителями, могущими во время полета
менять знак, то использовать эту связь как стабилизирующую не¬
целесообразно.
Таким образом, в бесплатформенной системе стабилизации,
кроме обратных связей по программируемым параметрам, можно
использовать только связь по угловой скорости.
Рассматривая объект 2-го типа, описываемый уравнениями
(2.49), получаем для принятых выше допущений следующую си¬
стему (в операторной форме):
Рассматривая выражение (2.70), видим, что коэффициент обрат¬
ной связи по ускорению, как и в предыдущем случае, входит в вы-
(&31 + ^81 g34) 2 ~~ Д31
Z — 1
~ Шу1 — а46^у1 >	|
^/i= kaaz 1 -j- k^y\.
Характеристический полином системы (2.67) имеет вид
(2.67)
dz\ —
^yl = kadz, -f“
Характеристический полином системы (2. 69) имеет вид
z [ 1 -|- С44 -)- C46 [kac%\ -f- k&j\ — 1=0.
(2. 69)
(2. 70)
63

ражение коэффициента характеристического полинома с множите¬
лем, знак которого может изменяться во время полета. Таким об¬
разом, и для этого типа летательного аппарата стабилизирующей
связью может быть только связь по угловой скорости. Заметим,
что этот вывод относится только к параметрам движения, измеряе¬
мым в бесплатформенной системе. Что же касается связей по уг¬
ловому положению аппарата, то введение их в принципе зависит
от дополнительных условий, накладываемых на характер полета.
Однако из общей теории стабилизации летательного аппарата
известно, что отсутствие стабилизирующих связей по угловому
положению приводит к значительным затруднениям с обеспечени¬
ем устойчивости. Вопрос о методах введения таких связей в бес-
платформенных системах подробно будет рассмотрен в гл. 4.

ГЛАВА 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРИЕНТАЦИИ ЛЕТАТЕЛЬНОГО
АППАРАТА
3.1.	Уравнения, связывающие угловое положение
и угловую скорость летательного аппарата
В теории гироинерциальных систем управления математиче¬
ское описание связи углового положения летательного аппарата
и его угловой скорости осуществляется с помощью уравнений
Эйлера (2.3). Это вполне естественно, так как в таких системах
основными параметрами управления являются углы Эйлера. В бес-
платформенных же системах углы Эйлера не являются параметра¬
ми управления, а уравнения Эйлера весьма неудобны для вычис¬
лений из-за несимметричности и нелинейности. Поэтому при мате¬
матическом моделировании инерциального базиса на борту лета¬
тельного аппарата применяются линейные симметричные системы
уравнений связи, получаемые с использованием направляющих ко¬
синусов или параметров Эйлера-Родригеса. Для получения линей¬
ных уравнений связи введем в рассмотрение единичный вектор е,
неподвижный относительно инерциального пространства. Выраже¬
ние этого вектора через его компоненты по осям связанной систе¬
мы координат имеет следующий вид:
e=Aei.
Так как вектор неподвижен, то его производную по времени
можно приравнять к нулю:
ё=Ае! +Ае!=0.	(3. 1)
Если изменение вектора ei происходит только за счет враще¬
ния с угловой скоростью (о, то выражение для производной векто¬
ра ei имеет следующий вид:
^=(0 X ех.	(3.2)
Последнее выражение может быть представлено в виде опре¬
делителя
л j
(О Хех=	иу	Шг1	.
V i j к/
3	2267
65

Компоненты вектора, получаемого, как произведение матрицы
направляющих косинусов на вектор (3.2), могут быть вычислены
с помощью матричного произведения AQ, где Я — кососимметрич¬
ная матрица вида
/ 0	0)г1 — <v\
й= -<0,1	0	0)ж1 ].	(3.3)
V <v —шх1 о /
Используя выражение (3. 3), можем переписать (3. 1) в следую¬
щем виде
Aej + AQe^O.	(3.4}
Из (3. 4) следует
A+AQ=0.	,	(3.5)
Последнее выражение представляет собой матричное однород¬
ное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с пере¬
менным коэффициентом в ранге тензора. Его общий интеграл опре¬
деляется следующим выражением:
Л(*) = Л(0)е*,	(3.6)
а матрица ев может быть найдена по формуле
» и sin 60п |	1	—	cos	90
е+-	;2	°	62;	(3.7)
о
о 0*1 —	\	9+1
6 = 1 —вг1 0 ег1 I; 0^— I —(б^-х —(— 6^1 —|—
V 0,1 —0+1 0 /
Не трудно видеть, что при £2=const
Л(/)=Л(0)<?2('‘+1-9>,	(3.8)
а выражение (3. 7) принимает вид
(1 — т ((V+<4i) nmzl -f тшу1шх1 тшг1шх2 — ту1
т%1тх1 — nu>zi 1 — т (<°*1 + <4i) tnu>ziu>yl 4- гашх1
+ Пшу1 m<>>zlMyl — «ш+1	1 — tn («*1^0
1 — cos QoT	sin	QnT
где m—	n=	5—;
Ql	2o
T = tl+l — ti\ 20 = (со^1-|-а)^1 -j-tt^i)1/2.
Можно показать [10], что к такому же виду решение может
быть	приведено и	в	случае, когда Q как вектор сохраняет постоян¬
ное направление, но	может меняться по модулю:
— = С2; ^=С3.	(3.9)
0)^1	(Ог1	и>х1
66

Для реального характера движения летательного аппарата условия
(3. 8) и (3. 9) могут считаться выполненными только в пределах
интервала дискретности вычислений.
Отметим еще одну особенность уравнения (3. 5). Для этого при¬
ведем его к нормальному виду и раскроем значение производной по
времени от матрицы Л и значение произведения AQ; получим
^ll=0)zl^l2 —^21=(0zl^22—	^31=tozl^32 сог/1^33^
Xi2 = (,)^iXi3 — WzlXn;	^22 = 0)jc1^23 — 0)zl^2O	^32	= ^1^33 —	(3.	Ю)
Xi3 = о)ylkn — «>^42 J	X23 = % iX2i — а)Л-1^22 5	^33	= °V^31 — 0)лТ^32*
Рассматривая (3.	10), можно заметить, что общая	система	из
девяти уравнений распадается на три отдельно интегрируемые си¬
стемы из трех уравнений каждая. Первая система имеет перемен¬
ные Яц, Я12 и а третья — Язь Л32 и Я33. вторая — Я21, ^22 и Х2з,
В дальнейшем это свойство будет широко использоваться и отдель¬
ные системы будем называть триадами; номер триады соответству¬
ет первому индексу производной направляющего косинуса.
В ряде случаев удобнее представлять решение уравнения (3. 5)
не в конечном виде, а записывать его в виде бесконечного ряда сле¬
дующим образом:
A(/) = A(0)H[q;o; *1	(3.	И)
t	t	t
где H[Q (0; *] = Е+^ Q V)dt + ± jfi [t)dt\(I (f)dt+...
t0	to	tо
носит название матрицанта. Нетрудно видеть, что выражения (3. 7)
и (3. 11) совпадают:
Н[й(*); /] = E + e+-i-lH... + ^-e*+...=ee.
Ниже будет показано, что обе формы записи решения уравне¬
ния (3. 5) могут служить основой для получения вычислительных
алгоритмов.
Для определения ориентации летательного аппарата могут при¬
меняться не только направляющие косинусы, но также и парамет¬
ры Эйлера-Родригеса в форме кватернионов. В этом случае также
может быть использовано линейное симметричное уравнение связи.
Для получения такого уравнения запишем выражение единич¬
ного неподвижного относительно инерциального пространства век¬
тора через его компоненты по осям связанной системы координат-,
используя кватернионное соотношение (1. 11): e=geig-1.
Так как вектор является неподвижным, то его производную
по времени можно приравнять к нулю:	-|-
+ QCiQ 1=0.
3*
1)7

Учтя, что е~1==— ее-2, получаем
eeiQ-1 + eejQ-1=Qe^e-2
и после ряда тождественных преобразований
ёе1 + её1=е1ё.	(3.12)
Так как ei = Qeb то из (3. 12) имеем
ё=^йе.	(3.13)
Выражение (3. 13) представляет собой кватернионное однород¬
ное линейное дифференциальное уравнение первого порядка с пере¬
менным коэффициентом в виде гиперкомплексного числа с действи¬
тельной частью, равной нулю. В общем виде решение такого урав¬
нения в	конечной	форме	может быть записано	только	для	случаев,
когда выполнены	условия (3.8) или (3.9).	В	этом	случае	решение
имеет вид
в W = e(0) ет\
t
где Ъ=Ъх11-\-Ъу1]-\-Ълк,\ 0/ = ^<00,
. во
1	sin	—
е 2 = (0*1**+<W+e*i*) —jjjj	hcos Y*
где 6o = (02ri + 62,i + 0zi)T.
3.2.	Свойства решений дифференциальных уравнений
связи
Рассмотренные в разд. 3. 1 решения уравнений связи угловой
скорости летательного аппарата с его угловым положением непо¬
средственно не могут вычисляться на борту, так как содержат
трансцендентные функции или бесконечные ряды. Но на основе вы¬
ражений (3.6), (3. 11) и (3. 14) могут быть получены вполне при¬
годные для вычислительных процедур алгоритмы. Однако прежде
чем приступить к описанию таких алгоритмов, необходимо иметь
представление о характере и свойствах решений уравнений связи,
так как от знания этих свойств во многом зависит правильный под*
ход к анализу методических ошибок рекуррентных процедур вычис
ления параметров ориентации. Так как качественное изучение ха'
рактера и свойств решений не требует высокой точности,' то для
этой цели можно использовать операторный метод в сочетании с
методом замораживания коэффициентов.
(3.14)
(3.15)
68

Источниками ошибок при определении ориентации летательно¬
го аппарата с помощью уравнений связи могут быть:
— ошибки в измерении угловой скорости;
— ошибки за счет приближенности методов решения;
— ошибки вычислительной машины.
Из названных трех групп ошибок только первая зависит, в основ¬
ном, от свойств самих уравнений. Что же касается двух послед¬
них групп, то величина и характер изменения ошибок определяют¬
ся, главным образом, выбором метода приближенного решения и
свойствами конструкции вычислительной машины. Поэтому зада¬
чу можно поставить следующим образом: установить влияние ха¬
рактера изменения угловой скорости объекта на ошибку вычисле¬
ния направляющих косинусов. Для решения этой задачи целесо¬
образно от уравнений в полных значениях переменных перейти к
уравнениям в отклонениях. В основе такого перехода лежит впол¬
не естественное предположение, что ошибки элементов матрицы
направляющих косинусов представляют собой величины высшего
порядка малости по сравнению с самими элементами. Будем обо¬
значать ошибки элементов символом 6Л, а отклонения угловой
скорости — символом 6Q. Переходя от уравнения (3. 5) к уравне¬
нию в вариациях, получаем:
Это — матричное неоднородное линейное дифференциальное уравне¬
ние первого порядка с переменными коэффициентами. Решение
такого уравнения имеет вид [4]
где Ло(Я, /)—матрицант; К(/, т)—матрица Коши. Однако для
наших целей удобнее развернуть матрицы в уравнении (3. 16)
&A-f&AQ*=-A*&Q.
(3.16)
8Л=8Л(дЛ0(й, Л + т) [A8Q (t)] dx,	(3.17)
и записать его в виде системы
8Хц — &Х12сог1 — Ъ\13наУ1 -\- (Xi2?koz1 —
^12 = ^1з10л'1 — йХпи)г1 -|- (XiaSo)^ — Хц8и>г1);
^i3 = ^ii(0i/i —	-)-(Xn&o^i — X128co v1);
^21 = ^22i0zl —	4“	(^22^<0^1	—	ХгЗ^О,^);

^л22~ ^23шлг1 — ^21C02l	(^23^^ — ^21&*>zl);
^23 ==^21а)1/1	^22со-г1	"1“ (^21^(0г/1 — ^22^ vl)?
^31= ^32^1 — ^^33wt/l ~\~ (^32&сог1 — ^33^%i)j
SX32 = ^gtojrt — ^3i^zl (ХзЗ^СОxl — ^31^2l) >
^33=^31^1 — ^32OJ^ri ~\~ (X3iStt)^i — Хзг^а)^).
Последняя, как и для исходного уравнения, распадается на три
отдельно интегрируемые системы вида
ЬХп = Ъ\;2юг1 — ^/3°V ~\~ (^/2^сог1 —
SX/2= SX^lOjci — 8X^0)^! -\- (Х/з&а)^ — ^n^zl)\	(3.	18)
»/3 = Л/1«)^х — Лх-2а)д-1 -J- (XiiSco^i — Х/2^0)^),
где i — номер триады (/=1, 2, 3).
При переходе к операторной форме уравнений (3. 18) для просто¬
ты записи введем следующие обозначения:
h&»zi — h?№yi=fn\
Х/з5а>^х — X/iS(D2l = //2»
^'iHl	= //3.
Кроме того, для обозначения изображений будем использо¬
вать те же буквы, что и для обозначения оригиналов. Аргументы
р или t будем вводить только в тех случаях, когда это необходи¬
мо для однозначного понимания излагаемого вопроса.
Уравнения (3. 18), записанные в операторной форме, имеют
вид
ьхпр=ьх12u>zi — ^/з%1 ~г/л;
b\i2p = b\i3^xl — SXncozl f 12’,
ь\зР — Л/	fit-
На основе последних выражений можно относительно любой из
трех переменных получить уравнение третьей степени, исключив
остальные переменные.
Например, для переменной 6Хц имеем
Xi[p{P2+Q2o)} = Ki(p)u1 + K2(p)ti2-\-K3(p) Из,	(3.19)
где	Ъ\ц	= Х11 и>Х1=аг; ^n — bi] ^0)^! = #!;
Л/2=^2> ш*/1=#2? ^/2=^2» bd)yl==U2\
Л/з = ^з5 a)zl=#3» ^/3=^з» ®(0г1 = ^3»
Ql=ai+al+al

К2{р)= — ь3р2 — bxa2p + с о;
К3(р) = Ь2р* — афхр + с0;
с q—CL\— CL^ci^b с о—сь^аф^ ^\Ь^\
Со =	^1 ==&2^2 &Фъ*
Выше уже было отмечено, что в данном рассмотрении нас ин¬
тересуют ошибки, обусловленные свойствами самих уравнений
связи, т. е. ошибки, связанные с ошибками измерения или аппрок¬
симации угловой скорости. Поэтому при получении выражений
для ошибки — как функции времени будем рассматривать два слу¬
чая: когда вариации угловой скорости постоянны и когда эти ва¬
риации являются линейными функциями времени. Первый случай
соответствует наличию постоянной ошибки в измерении угловой
скорости; второй случай может быть использован для оценки влия¬
ния переменности коэффициентов уравнения (3. 16) на интервале
осреднения.
Рассмотрим оба эти случая более подробно.
1 случай. Исследование влияния постоянных ошибок в измере¬
нии угловой скорости на ошибку вычисления параметров ориента¬
ции.
Рассматривая собственный оператор уравнения (3. 19), мы ви¬
дим, что решение уравнения должно содержать составляющие
двух типов: монотонные и периодические. Поэтому необходимо
рассматривать, как минимум, два типовых режима полета: с мо¬
нотонным и периодическим изменением коэффициентов уравне¬
ния (3. 16).
В качестве первого режима используем типовой маневр: набор
высоты с одновременным координированным разворотом. Будем
считать, что в начальный момент оси связанной системы коорди¬
нат совпадают с осями ииерциального базиса. Угловые скорости
разворота по всем осям будем считать постоянными, это допуще¬
ние не является принципиальным, но в то же время сильно упро¬
щает вычисления. Значения направляющих косинусов Ckij)k в кон¬
це маневра определим, пользуясь постоянством угловых скоростей,
из соотношения (3.8). Так как величины щ в данном случае по¬
стоянны и равны ошибке в измерении угловой скорости, то их
изображения имеют вид
«1 (/’)=—; «2 (/>)=—; и3 (/>)=—•	(3-20)
р	р	р
Подставляя (3. 20) в выражение (3. 19), получаем выражение
для изображения ошибки в виде суммы элементарных дробей:
, ч 1 мшс1—к2061й2— Изо61^3	,	1	и10е0	+ tt20c0 + tt30c0 ,
*M=J  pj	<-Ц Щ +
71

,	/;	—	+ M20^lfl2 H“	,	120
' p2 -|- U*	ujj	/>2-И2?)
^ — M,0c„ - u20 (Co + Q.20ba) + и30 (4212o - <>o)
X	Й2
Переходя с помощью стандартной процедуры от изображения
к оригиналу, получаем следующее выражение:
т	/	п	/
w10c0 + и20с0 “ а30с0	. кюс0 + и20с0 + и30с0 ^ ,
Х\ \Ч =	q2	1	п2	1	+
, ^20^1^2 — м10с1 + и30д3^1	~	,
Н	^2	C0S S0^ +
“о
гг30(Ь2&\—со) ~	—	м2о(со + йо^з) . 0	,	,Q	01ч
+	Г2	Sin	Й0/.	(3.	21)
wo
Для количественных оценок принимаем в качестве исходных сле¬
дующие данные: /=1000 с; ai = 0,0006 с-1; а2 = 0,001 с-1; а3=
= 0,0004 с-1; Ь\ (0) = 1; 62(0) =63(0) =0; и10=и2о=и30=Ю“5 с-1.
По формуле (3. 8) получаем следующие значения направляю¬
щих косинусов в конце разворота: (bi)h=—0,49; (b2)h=—0,036;
(63)а=0,865. Подставляя все числовые значения в выражение
(3.21), получаем:
x\(t) =—0,42-10-2 (/=1000 с).
Этому значению соответствует следующая приближенная формула
для оценки ошибки из-за ошибок в измерении угловой скорости
при первом режиме полета:
SXz/=0,42-8соизм/.
В качестве второго режима будем рассматривать полет по пря¬
мой с набором высоты и колебаниями относительно всех осей свя¬
занной системы координат. Для количественных оценок в качест¬
ве исходных примем следующие данные:
(ai)cP=0,15 с-1;	(a2)ep=(a3)cp=0,08	с-1;	t=l	с;	(&i)cp=0,9;
(^г)ср—0>44; (6з)ср=0; iiw=U2o—Изо— Ю 5 с
Подставляя все числовые значения в выражение (3.21), получаем
х\ (0 = 0,55-10-5 (/= 1 с).
Таким образом, ошибка параметров ориентации из-за ошибки
в измерении угловой скорости не имеет тенденции к росту при
периодическом изменении переменного коэффициента уравне¬
ния (3. 5).
2 случай. Исследование влияния ошибок аппроксимации угло¬
вой скорости на ошибку вычисления параметров ориентации.
72

Для данного случая нет смысла исследовать режим монотон¬
ного изменения угловой скорости, так как в общем случае нельзя
выбрать более или менее обоснованный интервал осреднения пере¬
менных коэффициентов. Можно лишь утверждать, что при первом
режиме ошибка от неучета переменности коэффициентов будет воз¬
растать в лучшем случае со скоростью не меньшей, чем за счет
ошибок в измерениях. Это следует из анализа структуры выраже¬
ния (3. 21).
Больший интерес представляет оценка ошибки при периодиче¬
ском изменении коэффициентов. В этом случае и ошибка будет
иметь периодический характер. Для оценки ее максимального зна¬
чения примем в качестве интервала осреднения четверть периода
изменения переменного коэффициента. Как уже отмечалось, будем
считать, что на интервале осреднения вариация угловой скорости
изменяется линейно. Считаем, что скорость изменения всех вариа¬
ций одинакова. Для ее изображений получим следующие выра¬
жения:
оЛр)=-^\ ъ{р) = ^\ 4{р)=2з$-.	(3.22)
pi	рг	рг
Подставляя (3.22) в формулу (3.19), получим выражение для
изображения ошибки:
1 и0з (Мо - Со) - “02 (*з20 - со) - “01^0 .
х1{р) = -
+Л
и01с1—м02д2^1—И<в*#1 .	1	u01c0	“I"	u02c0	+	и03с0
Р2	Qg	Рг	2Qg
I р Цр1Ср + Ц02 (Ь3&1 — Ср) - Ц03 (b2Ql - с0)
Р2 + 20	й0
| («03*3 + «02*2)	—	и0\с1
Р2 + 2о
Переходя от изображения к оригиналу, получаем следующее
выражение:
-«1 (o=-Vi
UQз (62Qo — со) — «02 (6320 ~ со) — и0\С0 "I ,
ц I
I 1	"	и	и	•>	J	I	/	a°,C0	+	и02с0	+	“03с0	\	,9	.
-f- («01е 1 — ЩцО-Фх — и^афх) ^	   у	+
Г u0lc"0 + U02 (63£^ - С о) — ц03 (62йо — со) 1 г, , ,
+ 	  I	cos 2^ +
+
tr
01 (итаг + #02«2)—«01е 1
й.
о
sin 20/[.	(3.23)
73

Для количественных оценок в качестве исходных примем те же
числовые данные, что и для второго режима в первом случае.
Подставляя эти значения в выражение (3.23), получаем
*,(0=0,95-К)-2 (t= 1 с).
Это — оценка максимальной величины периодической ошибки от
неучета переменности коэффициентов.
В дальнейшем монотонную составляющую ошибки будем назы¬
вать регулярной ошибкой, а максимальное значение периодиче¬
ской составляющей — локальной ошибкой. Из проделанной чис¬
ленной оценки для второго случая можно сделать вывод: неучет
переменности коэффициентов уравнения связи даже для незначи¬
тельных по величине интервалов осреднения приводит к недопу¬
стимому росту ошибки определения параметров ориентации.
Весь проделанный в разд. 3. 2 анализ ошибок основан на рас¬
смотрении уравнения связи вида (3.5). Однако можно утверж¬
дать, что сделанные при анализе выводы относятся в равной мере
и к уравнению в форме кватернионов. Действительно, поскольку
оба уравнения описывают один и тот же процесс и имеют один и
тот же вид, такой вывод является очевидным.
Напомним, что в любых случаях использования уравнения
(3. 16) как исходного при анализе ошибок должно быть соблюде¬
но условие малости всех вариаций по отношению к основным дей¬
ствующим значениям неизвестных функций и коэффициентов.
3.3.	Алгоритмы определения параметров ориентации
летательного аппарата
Задачи создания алгоритмов для конкретных типов объектов
и бортовых вычислителей выходят за рамки настоящей книги и
относятся к кругу проблем, связанных с созданием бортовых вы¬
числителей для БСС. Однако есть общие вопросы алгоритмизации
решения уравнения связи, относящиеся к проблеме стабилизации.
К ним относятся:
— выбор типа исходного выражения решения;
— выбор числа членов аппроксимирующего ряда;
— выбор характера и точности аппроксимации угловой ско¬
рости.
Если к названным вопросам добавить наличие и вид способов
компенсации погрешности на шаге, то в настоящее время насчи¬
тывается несколько десятков алгоритмов, вид которых определя¬
ется различным подходом к решению этих вопросов.
Прежде чем начать рассмотрение основных типов алгоритмов,
отметим, что к любому из них относятся выводы, сделанные при
рассмотрении особенностей использования вычислительных проце¬
дур при работе в текущем времени (см. разд. 1.2). Следовательно,
каждый из алгоритмов должен рассматриваться в двух видах: как
интерполяционный и как экстраполяционный.
74

При дальнейшем изложении примем следующие обозначения
(рис. 14): (/+1) — точка, в которой используется информация,
вычисляемая бортовой машиной; i — точка последнего съема ин¬
формации с измерительной системы; i— 1, i — 2 — пределы памя¬
ти бортовой машины.
Наиболее распространенным исходным выражением для полу¬
чения алгоритмов является ряд, с помощью которого [4] может
быть записано общее решение уравнения связи. Форма записи это¬
го ряда дана выражением (3. И). Реализация этого ряда с помо¬
щью вычислительной машины невозможна, так как, во-первых, он
содержит бесконечное число членов, и, во-вторых, включает й(/)
как непрерывную функцию времени.
Как показано выше, й(£) доступна
только в виде отдельных значений в
точках ti. Поэтому для создания ал¬
горитмов необходимо ограничивать
ряд (3.11) конечным числом членов и
аппроксимировать Я(/) на интервале
T=ti——	выражени¬
ем, содержащим только измеряемые
значения угловой скорости Q*. Для этой
цели разложим й(/) в ряд Тейлора в
начале (i—1)-го интервала дискретно¬
сти для получения интерполяционного
алгоритма и в начале i-го интервала
дискретности — для получения экстраполяционного алгоритма:
(3.24)
й9 (0=0,+ [о (О]/-/, (*—*/) + Y [а (*-0)2 + • • •	(3.25)
Будем в дальнейшем в рядах (3. 11), (3.24) и (3.25) удерживать
только первые нелинейные члены, а текущее время отсчитывать
от начала интервала дискретности. Выражая производные в рядах
(3. 24) и (3. 25) через конечные разности, имеем
Рис. 14.
Qj — Q/-i 	 &+	.	д	—	2Q/-i	+	Q;-2	 А2
.	(3.26)
Подставляя выражения (3.26) в ряды (3.24) и (3.25), получаем
(3. 27)
он(0=о,_1+
O.W=а,+^г*+-^/.
(3.28)
Интегрируя (3.27) и (3.28) на интервале дискретности, находим
выражения для вторых членов ряда (3. 11) через измеряемые зна¬
чения Q (0:
75

I
0
T
,Qe(/)d/=Q,7’+-±2: +iaL.	(3.30)
0
Теперь вычислим третьи члены ряда (3. 11):
т /
j'
уон w at J qh (/) dtU J (о,_, + Al	t +-A. (j (Q^t+-^*+
0 v	о	0
г
-L _*!. M dt= [ (Q?_1> + -Al9i=l_ /2	I	A2Q.-1	t3 -f	Q,~lAl	fl 4-
1 qT2 ) J \	т	2Г2	2Г2	1
0
4--^Lzf3_|__A2ALj!4j Qi-1A2. /3 I	^4_J_	—
1	2Г2	1	4ГЗ	1	буг	1	6ГЗ	1	12Г4	/
2Г2	1	47-3	1	бУг	1	6ГЗ '	12Г4
й/_, rpn I AjQ/_i rp2 A2Q/_j rp2 I Й/—lA, T2 I ^
rp2 _|_ AiLi/—i rp2 Ag-iif—i *p2	^/—1^1	^2	_|	L 7^2 _j_
2	1	3	8	6	8
A2
I ^2^1 pi. Q/-1^2,y-2 I A1A2 jT2 I *Lj2	(3	3П
~ 20	24	'	30	~	72	v	•	/
Последнее выражение записано для инерполяционного варианта
вычислений; заменяя в (3.31) £2i_i на йг, можем записать выра¬
жение и для экстраполяционного варианта:
Q2
\ Й9 (t) dt \ Йэ (t) dt=—- Г2 + Т2 + Т2 +	Т2 +
J	J	2	3	8	6
о	о
д2	д 2
I 1 ^п2 I А2^1 I	у2	I	^1^2	у-2	I	Ч f2 (3 32)
'	8	'20	*	24	30	~	72
Подставляя (3.29) и (3.31) в (3.11), получаем выражение для
интерполяционной формы матрицанта:
Ни(й, T) = QMT + ~(3A1 + A2) + ^"(36Q/_i + 9Ai + A2) +
Н (2AiQ/—j. -j- iAi) -j" (ЗАгй/—i. ~r Q/-iA2) -f-
+ -^(3^ + 2^).	(3.33)
60
Подставляя (3.30) и (3.32) в (3.11), получаем выражение для
экстраполяционной формы матрицанта
Нэ (Я, T) = QtT + "7- (ЗАх + А2) + ^- (36Я? + 9А? + Д2) +
О	72
Н~ ~г- (2AiQx- + й/Ai) -j- —- (ЗА2йд- -f- Йд-А2И—(3A2Ai -j- 2AiA2). (3.34)
О	24	01)
76

Раскрывая значения разностей, можем получить различные фор¬
мы интерполяционных и экстраполяционных алгоритмов. Так, при
использовании только текущего значения угловой скорости и без
учета разностей получаем
н°„ (О, Г)=Е+амт + Q?_1 -у -;
2 гг	(3-35)
Нэ(Й» Г)= E+QJ’ + Q?-^-.
Ясно, что для этого случая первый алгоритм из выражения (3. 35)
практического смысла не имеет.
При использовании текущего значения и первых разностей име¬
ем для интерполяционной формы:
Hi (Q, Т)=Е + -L (QM + Q,)+С1 (Ob + Q?) +
+ g-(5QA-i + 0,-A).	(3.36)
Последнее выражение с помощью тождественных преобразований
может быть представлено в симметричном виде
Hi А л=Е+у A +
(3.37)
LZ .f	J	,
Формула (3. 37) является бо,лее экономной с точки зрения расхо¬
да машинных ресурсов при вычислениях.
Для экстраполяционной формы имеем
Hi (Q, Т) = Е+-^;(ЗЙ, - О,-,) + g- (27Q? +,ЗЙ?_! -
— 11Q,_ А — 7Q А-i)	(3.38)
или в симметричном виде
н;=Е+7-(»^)+^(®^)’+
+^(0,0,_1-0<_,0,).	(3.39)
В случае необходимости аналогичным образом могут быть полу¬
чены алгоритмы, учитывающие вторые разности, однако практи¬
чески они пока применения не нашли. /
Сравнительные свойства интерполяционных и экстраполяцион¬
ных алгоритмов вида (3. 36) и (3. 38) аналогичны описанным для
подобного типа алгоритмов в разд. 1. 2.
В рассмотренных алгоритмах в качестве исходной использова¬
на информация в виде измеряемых значений угловой скорости
77

объекта. Однако значительная часть прецизионных ДУС дает ин¬
формацию в виде приращений интеграла от угловой скорости.
Практически этот интеграл представляет собой число накоплен¬
ных за интервал дискретности работы бортовой машины импуль¬
сов, следующих с датчика с частотой, пропорциональной угловой
скорости. Вид алгоритма при этом будет зависеть от соотношения
интервала дискретности и цены импульса. Если это соотношение
таково, что величина -интеграла учитывает изменение угловой ско¬
рости на интервале, то величины 0Z могут рассматриваться как
показания датчика. При этом алгоритм вычисления матрицанта
резко упрощается и принимает следующий вид:
н,(0, n=E+0,+-Le?.
Если измеряемые датчиком значения приращения интеграла
представляют собой произведения среднего на интервале значения
угловой скорости на величину интервала, то алгоритм может быть
получен по методике, описанной ниже.
Выразим приращения интеграла 0 (см. рис. 14) через основа¬
ния прямоугольных трапеций; для интерполяционной формы алго¬
ритма получаем
(о,+о,-2); в,=
®*-i—'у (Ц-i +	г)»
откуда
0/=^: (30, —0/-1);	О,_1=^Г(0,+в/_х);	(3.40)
для экстраполяционной формы имеем:
Q, + l = 2Qi Qi—l'y 0, + 1 = 20; — 0,-1»
<W=■Y	+:О,); 0,=у (Й,+«/-,).
откуда Й,=^г(30,-О,-1). Q/_1=^r(0i + 0,_1).	(3.41)
Подставляя найденные значения Я* и Sli-i в любой алгоритм,
записанный относительно угловой скорости, получим соответству¬
ющий алгоритм для случая съема информации в интегральной
форме.
Например, для. алгоритмов, учитывающих первую разность
(3. 37) и (3. 39), получаем соответственно:
— интерполяционная форма
Hi (о, г)=Е+0,.+^-
78

— экстраполяционная форма
н' (0, Т)=е+20,. -	+-L (26,. -	+	-L	-	е,._А).
Выше мы рассматривали два крайних случая работы ДУС с инте¬
гральным выходом: или сигнал представляет собой точное значе¬
ние приращения интеграла угловой скорости, или среднее значение.
Для случаев, когда сигнал является некоторым приближением
приращения интеграла, более удобным является использование в
качестве исходного выражения для получения алгоритма — конеч¬
ной формы (3. 7) решения уравнения связи. Для получения алго¬
ритма трансцендентные коэффициенты
1 — cos 0n	sin	0П
m —	s—- и п= -
во	во
аппроксимируются рядами Маклорена, содержащими k членов и
соответственно обозначаются Ck и S&. При удержании квадратич¬
ных членов имеем
1
C2=-±-l 5*=1—Г'	(3-42>
2.	О
Подставляя (3. 42) в (3. 7), получаем алгоритм
Н(0, г)=Е-^+-| ^—j е?.
Конечная форма решения является удобной для получения ал¬
горитма ив случае, когда для определения ориентации объекта
используются параметры Эйлера-Родригеса в форме кватерионов.
Исходным служит выражение (3. 15). Трансцендентные коэффи¬
циенты cosи (—sin —) также разлагаются в ряды Маклорена.
2 \ 0О 2 /
При удержании в рядах членов не выше второго порядка полу¬
чаем следующее выражение для кватерниона е1/2°:
+ _V j + AL k+l_l,
2 2 2 ~ 8
где
Таким образом, кватернион, определяющий параметры ориента¬
ции для (/+1) момента времени, может быть вычислен с помо¬
щью соотношения
e(*/+i) = e(*/)R|,	(3.43)
где	R/ = (R/)i i + (R/)г j + (^/)з k 4~ (R/)^
(Ri)3=^-; (R,)4=i—
79

Описание вращения объекта с помощью четырехпараметрического
семейства не исключает использование алгоритмов, основанных на
измерении угловой скорости.
Такие алгоритмы могут быть получены на основе аппроксима¬
ции	выражений	0	через	интеграл от й. Выше	мы	имели	выраже¬
ние	(3.40)	и	(3.41)	для	0	через й. Учитывая	только первую раз¬
ность, получаем:
— для интерполяционной формы
(0/ + П*-х);	(3.44)
— для экстраполяционной формы
-f- (30, — 0,-0.	(3.45)
Подставляя (3.44) и (3.45) в (3.43), получим соответственно
интерполяционный и экстраполяционный алгоритмы для вычисле¬
ния кватерниона R*:
т
R" = — l(®jrli+®jrl(/-l))i + (uVu + “)ifl(*-l)) j + Ksli+^zl(*-!)) 4 +
+ |l — ~	+	2	(®ш®дг1	(/-!)	+	aVl/t°i/l(<-l)+	(/—!))])	;
T
R? = — [(3®.ш — ®*i (£-i)) • + (3“Vn ~ шг/1 (i-i)) j + (3“*u — “д (г-i)) k]+
—32 [9®? +	6	(®jri/®*1(i-i)	+	®0n®yi(/_i)	+	®2i/®*i(«-i))]j	»
где учтено	6o=6* 1 +	1 +
Вычисление параметров ориентации с помо¬
щью цифровых дифференциальных анализаторов
(ЦДА). Уравнения связи по своей структуре весьма удобны для
интегрирования с помощью ЦДА. Поэтому одним из рациональных
вариантов вычислителя БСС является комбинированная машина с
процессорами на основе ЦДА. Для получения соответствующего
алгоритма запишем уравнение (3.5) в полуразвернутой форме
(/=1,2,3):
^il — wzl^i2 —
^•2==и)лА,з —	(3*	46)
^/3 = Mylh 1—
Выражая производные через первую разность и считая й на ин¬
тервале T=th — tk-1 постоянной, получаем:

Объединяя (3.46) и (3.47), получаем искомый алгоритм
(Xil)*=(^l)ft-l + (^0«l)ft-l	(^/з)л-1»
(^/2)л= (^2)а~1 ~Г ( Д^л'Л-1 (^/з)й-1 — {kQzl)k-l (^л)л—1>
(^/з)й=(^з)а-1 + (Д0|/1)*-1 (^л)л—1	(^*/2)л—1*
Если в качестве уравнения связи используется выражение
(3. 13), то, разворачивая его, получаем
Qi= ~ (a)^riC?4 “f“ ^гОз
fc=y KiQ4 + ^iQi — WjriGe);
Q3="~	+	—	“i/iGi);
Q4— ”	(^jriCi + ^^ + ^ziQs)*
Переходя к разностной форме с помощью того же приема, что и в
предыдущем случае, получаем алгоритм вида
Qi, —Pi(/-i)+	[A9jri(/-i)C4(/-i) + №yi(/-1)Рз(/—1) — A62i(/_i)Q2(/—1)];
С2/=б2(/-1) + “— [Д^1(/-1)С4(/-1) + A6zi(/_1)рГ(/—1) — A0*l(/-l)Pa(/-l)];
Сз/ —СЗ(/-1) + "у [Д®г1(/-1)С4(/-1)+ Д®лг1 (/—1)б2(/—1) —■ Дву1(/-1)С1(/-1)];
C)4/r=Q4(/-l)			 [ Д (г—1 )Ql( /—1) “b Д^1(/-1)Р2(/-1)+ Д^Г(/-1)Р1(/-1)]*
3.4.	Методические ошибки определения параметров
ориентации
В разд. 3.2 были рассмотрены ошибки, вызываемые ошибка¬
ми в измерении угловой скорости или неучетом ее переменности.
Это позволило определить характер и структуру группы методи¬
ческих ошибок, а также дать их количественную оценку. Вторая
группа методических ошибок сопутствует процедурам приближен¬
ного решения уравнений связи методами, описанными в разд. 3. 3.
Источниками ошибок в этой группе являются ограничение числа
членов ряда матрицанта и неточность аппроксимации закона из¬
менения угловой скорости на интервале дискретности. Таким обра¬
зом, обе группы ошибок имеют один принципиальный источник:
неточный учет закона изменения коэффициента Q(t) уравнения
связи. Однако, если в разд. 3.2 нас интересовали общие
закономерности изменения ошибки, то сейчас мы рассмотрим, как
зависит ошибка от вида алгоритмов, полученных в разд. 3.3,
4	2267
81

а также от наличия или отсутствия тех или иных членов в этих
алгоритмах.
В указанном смысле методическую ошибку будем разделять
на ошибку усечения, обусловленную конечностью числа членов
ряда (3. 11), и ошибку аппроксимации, обусловленную учетом ог¬
раниченного числа разностей в разложениях (3.33) и (3.34).
Ошибка усечения. Рассматривая ошибку усечения, мы можем
полагать на интервале дискретности угловую скорость постоянной
и равной ее среднему значению. При этом ряд матрицанта прини¬
мает следующий вид:
Если мы ограничиваем ряд k-м членом, то выражение для оста¬
точного члена имеет следующий вид
где 0<^< 1 принято равным 1/2.
Для k=l, 2, 3 соответственно остаточные члены имеют следующий
вид:
Разлагая показательные функции в степенные ряды и удерживая
только линейные члены, получаем
Оценив величину остаточных членов, а следовательно, и ошибки
усечения для значений угловой скорости и шага дискретности,
близких к максимальным для реальных летательных аппаратов:
<0т—0,2; Г=0,1 с, получаем:
еаг=Е+ЯТ+± (07?+ ^-(077 + •. . + -^7+ + ...
2 1	о I	П I
R3=mV“^
R1 = -^P (Е + QT);
R3
(E + 2Q7+
24
r1=^-(l + 0>02)s0)2-10-s;
r2 = °^L (1 + 0,03) ^0,13.10-Б;
б
гг=~^- (1 + 0,04) = 0,1 • 10-е.
82

Эта оценка позволяет сделать два важных вывода: во-первых,
величина ошибки с точностью до единиц процентов определяется
нелинейными степенными сомножителями, и, во-вторых, реальное
число членов ряда соответствует k=2, так как при большем чис¬
ле членов ошибка на два порядка меньше, чем ошибки остальных
групп, а при меньшем числе членов ошибка недопустимо велика.
Знаки элементов матрицы, определяющей остаточный член,
зависят от характера изменения угловой скорости. Следовательно,
характер изменения ошибки усечения как функции времени полета
является таким же, как и ошибки от неучета переменности угло¬
вой скорости: она состоит из регулярной и локальной составляю¬
щих, обусловленных соответственно постоянной и переменной со¬
ставляющими угловой скорости.
Ошибка аппроксимации. Эта ошибка может быть оценена сле¬
дующим образом. Из выражения (3. 34) следует, что, ограничивая
ряд для Н(Я, Т) учетом определенного числа разностей, мы допу¬
скаем ошибку ДН. Так как неучтенные члены Н (£2, Т) есть функ¬
ции Я(/), то ДН можно рассматривать, как результат ошибки в
угловой скорости ДЯ. С другой стороны, ошибка ориентации 6Л
пропорциональна времени работы системы и ошибке ДЯ. Таким
образом, зная ДН, можно оценить ее влияние на 6Л. В дальней¬
шем будем обозначать ошибку из-за неучета первых разностей
ДНЬ а ошибку из-за неучета вторых разностей ДН2. При числовых
оценках для упрощения выкладок будем рассматривать плоское
движение, а в качестве закона изменения угловой скорости исполь¬
зовать выражение со(/) =0,2 sin 0,5/^ёО,1/(1 — 0,04/2).
Подставляя его в соответствующие формулы, получаем следу¬
ющие числовые значения:
— для первой разности (/=7=0,1 с): Д1 = 0,02(1 —0,0016) —
— 0,01 (1 — 0,0004)^0,01;
— для второй разности:	Д2	=	0,02(1	—0,0016)—2-0,01Х
X (1—0,0004) +0^—0,24-10~4;
— для оз (/=0,2) имеем: 0,02(1 — 0,0016)^0,02;
— для произведений разностей на угловую скорость и друг на
друга: Д1(о=0,2-10~3; Д2о) = —0,48-10~6; AiA2=0,24-10-6.
Используя приведенные выше данные, можем вычислить ошиб¬
ки (значения 1-х и 2-х разностей подчеркнуты соответственно од¬
ной и двумя чертами):
дн,=-^- (0,3-10-1 —0,24-10-*)+	(0,9-	10-3-f 0,58-10-9)+
+ (0,4 • 10-3+0,2 • 10-3) +	(0,05 • 10-6 -0,14-10-») +
+ Tj- (0,72-10-»+ 0,48-10-6)1 = 0,5-10-3 - 0,4-10~6+ 1,2- 1р-*+
+ 0,8-10~13 + 10~6+ 10+ + 0,15-10-9 ^0,5-103;
83

ДН2=— (-0,24-10-*)+ ^-0,58-10-4-— X
1	6 v	1	72	6
X[ ~ (0,05 • Ю-5 - 0,14 • 10-5) + ^ (0,72 • 10~6+0,48 • 10~6)] =
= -0,4-10~6 -{-0,8 • 1Q—13 -j- 10-9-fQ,15- IQ-9 ^-0,4-10“6.
Анализируя структуру выражений для AHi и ДН2, мы видим,
что, формально учитывая все члены с первыми разностями и затра¬
чивая таким образом значительные ресурсы на вычисления, полу¬
чаем незначительное (порядка десятых долей процента) увеличе¬
ние точности. Более рациональным является учет только линейно-
Т	1
го члена	—	Д1в	Более того, член — 2?Г2 также нет	смысла учи¬
тывать,	ибо	его	порядок не ниже, чем у нелинейных	разностных
членов.
Получаем следующий вид алгоритма, который будем называть
рациональным:
— для интерполяционной формы
НРИ(Й, Г)=Е+-£ (0,4-»,-,);	(3.48)
— для экстраполяционной формы
Нрэ (О, Т)=Е + ±- (30,-0,-,).	(3.49)
Если	необходимо получать более высокую точность, то следует
учитывать все члены с первыми разностями и линейный член со
Т .
второй разностью — Д2, имеющий порядок, одинаковый с члена-
6
ми, содержащими первые разности. При этом получаем следующие
виды рациональных алгоритмов:
— для интерполяционной формы
н;и (О, 7’) = Е + -£ (4Q, + Q,-i + 0,-2) +
4- ~(30?-90?_,+110,0,_, + 70,-А);	(3.50)
24
— для экстраполяционной формы
Н;э(0, 7’) = Е + -^(100,-50,_1 + Ог_2) +
4- ^ (270?4-30?_1-70,П,_,- 110,_,0,).	(3.51)
Для случая, когда информация об угловой скорости снимается
с датчиков в интегральной форме, соответствующие алгоритмы
можем получить, используя выражения для приращений интеграла
(3.40)	и (3.41); подставляя эти выражения в алгоритмы (3.48) и
(3. 49), имеем:
84

— для интерполяционной формы
Нри(0, 7’) = Е+в/;
— для экстраполяционной формы
Нрэ (0, Г) = Е + 20/-е1._1.
Для алгоритмов вида (3.50) и (3.51) получаем соответственно:
— для интерполяционной формы
н;и (0, Г)=Е+0,+1 (90? - 30?_1 - 0,0,—х - 50,-10,);
— для экстраполяционной формы
Н;э(0, 7*) = Е+ 20,-©,_! +1(210? +90?_! —130,©,-! —
Как видно из приведенных выше числовых оценок, учет нели¬
нейных членов со вторыми разностями уменьшает методическую
ошибку на величину того же порядка, какой имеет ошибка вычис¬
лений, поэтому практическое применение находит редко.
Аналогичный результат получаем при добавлении членов
3-го порядка в разложении (3. 11). Поэтому нелинейные разности
н члены порядка выше 2-го могут эффективно использоваться толь¬
ко в сочетании с методами, обеспечивающими достаточно малую
ошибку вычислений.
Так как ошибка аппроксимации по своей сущности есть ошибка
из-за неполного учета закона изменения угловой скорости, то оче¬
видно, что она, как и ошибка усечения, состоит из регулярной и
локальной составляющих.
В заключение оценим величину методической ошибки, которую
можно ожидать при использовании рациональных алгоритмов 1-го
п 2-го порядков. Для оценки выпишем члены разложения, которые
не учитываются каждым из этих алгоритмов:
— для алгоритма 1-го порядка
ДНрЭ = -^- А2 + ^- (36й/ + 9А?+ Дг) +	(2A1S/	+	^/Ai)	+
^4	+	—j- (ЗА2АХ + 2AiA2);
— для алгоритма 2-го порядка
^рэ= 72	+	(ЗА2А1 + 2А1А2).
Подставляя соответствующие числовые значения, получаем
дн;э=ю-6; дн;э^ю-7.
Для сравнения вычислим, какую точность может обеспечить a.L
горитм, вообще не учитывающий никаких разностей:
Н0(Й, 7’)=E + Q7’ + fi2^-.	(3.52)
85

Из проделанной выше численной оценки видно, что основную
т
долю ошибки составляет линейный член с первой разностью —
Поэтому ошибка алгоритма вида (3. 52) может быть найдена еле-
Т	0 1
дующим образом: — Дх= ^—0,01 = 0,5* 10-3. Проделанный ана~
лиз позволяет сделать следующие выводы:
— алгоритмы, не учитывающие разностей, практически мало
пригодны;
— при учете линейных членов с первой разностью даже рацио¬
нальный алгоритм 1-го порядка обеспечивает методическую ошиб¬
ку не более, чем существующие образцы гиростабилизаторов.
Простые формулы для оценки методической ошибки. На осно¬
ве использованных и полученных выражений могут быть сконструи-<
рованы простые формулы, позволяющие быстро оценить максимум’
локальной ошибки при рекуррентных процедурах вычисления на-j
правляющих косинусов. Для получения таких формул поступим:
следующим образом. Обозначим Н (q) —матрицант, определяемый)
бесконечным рядом (3.11), a H(q*)—матрицант, определяемый'
через конечный ряд (3. 11) и некоторую аппроксимацию интегра¬
ла от угловой скорости на интервале дискретности:
t.
fi-l
При этом точное значение матрицы А* будет определяться выра¬
жением	(
Л/ = Ао ^ П	(3.53):
а вычисляемое значение — выражением
1
а;=а0"
П (Н*+ДН) ,	(3.54).
ft=0	J
где Ао—матрица начальных значений косинусов, АН — ошибка
вычисления матрицанта. Определяя ошибку, как разность левых,
частей выражений (3. 53) и (3. 54), имеем
дл,. = л, —л;=л0 Г1Г1Н,-*П1 (НЛ + АН)1.
L А=0	Л-0	J
k=i—1
Представим функцию /7(НЛ+ДН)= f\ (Нл-]-ДН) в виде ряда
£=>0
F (н.+ АИ)-Лад+[;й^]1м.«+...	(3.55,
86

Объединяя выражения (3.54) и (3.55), полагая Ло=Е (что не
меняет общности рассуждений) и ограничиваясь линейным при¬
ближением, получаем
ДН;
ДЛ,=
л=/-1 a=i
п н,+ 2
A=0 Ь=0
ll=i Г k=i—1
• k=i-1
п
Л=0
в 1фк
2 П (H.+AH)
l/-oL кф1
ДН.
Оценивая максимальное значение ошибки, можем считать:
П(Н,+ДНК*2..
Л-0
Таким образом, общая формула для методической ошибки имеет
ипд
(3.56)
ошибка в вычислении
(3.57)
(ДА,)гаах=^- /ДН,
где i — число рекуррентных операций; ДН
матрицанта на интервале дискретности:
ДН=Н (q) —H(q*).
Наибольший практический интерес представляет получение фор¬
мул для локальной погрешности, т. е. составляющей ошибки, обу¬
словленной периодичностью изменения Q(0 , так как источники ре¬
гулярной погрешности и соответствующие формулы исследованы в
большей степени. Для определения локальной погрешности доста-
тз
точно рассматривать промежуток времени ^=~> гДе т — период
изменения Q{t). Отсюда находим число операций и формулу для
ошибки:
‘■-4у; (iAU-^дн.
Раскрывая значение матрицанта в (3. 57), получаем
ДН (q; q*) = (q — q*) +	[q*-(q*)»].
(3.58)
При гармоническом характере изменения элементов матрицы
Li, (/) =S2wsin cat можем найти точное и приближенное значения
выражения gj
=	}{t)
dt.
87

Рассматривая элементы отдельно, мы не учитываем разность
некоммутативных членов матрицанта, но, как выше было показа¬
но, эти величины малы и ими можно пренебречь.
2jt
Учтя, что Ы——/ = <р, получаем для точного значения матри
%
цанта
т/4	л/2
• 2/nU
2я
о
Для вычисленного значения при Qj = const на шаге имеем:
k=l—1	k=i—1
sin JVL=7’9- 2 siniT=:rQ-/o(9; (3.59
k=0	k=Q
а для линейной аппроксимации —
*=/-i
VT TQm Г . 2nkT ,	.	2n(k—\)T'\
- У -5= S.n — + Sin '--2- I =
ft=0
=74, -i. 2 [ sin ^ + sin «<*^J=7Ч,/г (i).	(3.
Выражая приближенные значения (3. 59) и (3. 60) через точное,
получаем
0/0=0/;§-/<>(*); ?л=<77 f-/i(*)> где 22™*Г . (3.61
Объединяя выражения (3. 58) и (3. 61), имеем
A//„=*,[i	/„(/)]+-*- ,;[! —g-/Sw];
.=?,[! -f /,'■']+Y 9i[i-4Y/;«i] ■	(3.62;
Объединяя, в свою очередь, выражения (3.56) и (3.62), находим
общие формулы для локальной погрешности:
(AA0)max= а^г/2 {[1 -/о (/)] +	[ 1 - f2 /о (О
(4A.U={[' — /. w ]+«v [1 -g /? (/)]} •
Заметим, что величина i может изменяться только в узких преде:
лах из-за ограниченности ресурса ЭВМ и роста инструментально!
88

ошибки. Практически /=2...3; принимая /=3, можем получить
простые формулы для ошибки..Находим:
Ы3) = 1,366; Ы3) = 1,878
и далее
(АА0)1МХ=1,152я7’ + 5>92*Г«;	(3.63)
(AA1)iex=0,082m7’ + 0,362iP.	(3.64)
Неличины ошибок, вычисленных по формулам (3.63) и (3.64) для
реального диапазона изменения произведения ЙтГ, приведены в
габл. 3. 1.
Таблица 3.1
Q
!щТ
Вид аппроксимации
10-3
10-2
10-1
■10°
Qj—const
1,0-10-3
1,0-101-2
0,175-10°
о
с-
о
Линейная
0,8- 10"4
0,84* 10"3
0,12-Ю"1
0,44-10°
Как видим, они согласуются с полученными выше числовыми
оценками. Они согласуются также с расчетами, проведенными на
с)ИМ по точным формулам.
Оценка методических ошибок с помощью ЭВМ. Для оценки
можно применять два метода: решение уравнения в вариациях
(3. 16) совместно с основным уравнением связи и сравнение вы¬
числяемой матрицы направляющих косинусов с ее точным значе¬
нием. Недостатком первого метода является его приближенность,
а положительной стороной — универсальность; положительной
стороной второго метода является его точность, а недостатком—
ограниченность определенным классом типовых движений лета¬
тельного аппарата.
Мри реализации первого метода основное уравнение связи
служит источником текущих значений переменного коэффициента
Дф уравнения (3. 16), а решение последнего и представляет собой
искомую методическую ошибку.
Мри реализации второго метода рассматриваются некоторые
i n новые движения летательного аппарата, при которых происхо¬
дит наиболее быстрый рост методической ошибки и которые в то
/кс время позволяют записать в конечной хорошо обозримой фор¬
ме выражения для направляющих косинусов. Найдя выражения
дли компонентов угловой скорости, определяющих эти движения,
производят вычисления направляющих косинусов с помощью ис¬
следуемого алгоритма, а затем, сравнивая результаты вычислений
с точными значениями, находят методическую ошибку.
89

Определение формул, выражающих угловую скорость чере;
направляющие косинусы, может быть сделано на основе уравнение
связи (3. 10):
^ 11^32^22 + ^11^21^31 + ^21^33^13 ..
V'
vzl-
л 11^23^32— ^12^-21^33
^12^32^22 ~Ь ^23^32^13 + ^12^21^31
^11^23^32— ^12^21^33
^•12^33^-22 + ^11^23^-31 + ^23^33^13
^ 11^23^32 “ ^12^21^33
Одним из типовых движений, позволяющих эффективно оце-
нить составляющие методической ошибки, является так называе¬
мое коническое движение. При коническом движении ось Х\ дви¬
жется в инерциальном пространстве по некоторой конической по;
верхности; в частности, она может описывать круговой конус. Од¬
новременно плоскость X\OZ\ вращается относительно оси х\ с не¬
которой угловой скоростью.
Наиболее характерными с точки зрения структуры методиче¬
ской ошибки являются два типа конического движения: плоское
коническое движение и коническое движение со скручиванием,
Первый тип характеризуется нахождением осей z\ всегда в плоско
сти xoz инерциальной системы координат; второй тип характери
зуется вращением плоскости x\OZ\ относительно оси х\ с угловой
скоростью, по величине и знаку совпадающей со скоростью вра
щения этой оси относительно инерциального пространства. Для
описанных типов движения матрица направляющих косинусог
может быть получена без интегрирования уравнения связи мето
дами аналитического конструирования на основе свойств матриц
элементарных вращений и общих свойств квадратных матриц
При этом элементы матрицы косинусов выражаются через пара¬
метры конического движения: угол раствора конуса а и угловую
скорость вращения со оси Х\. Не приводя подробных выкладок, за¬
пишем конечные результаты:
— для плоского конического движения
^	^   —sin a cos coif в ^   —tgasinwtf
At, = cos a; A to—— — .	=:—: Atd=—; .
У1 + tg2asin2otf	У1-f-tg2 a sin2a>tf
X21=sin a cos a)/; X22 = cos ay 1+tg2a sin2co^; X23=0;	(3.65
.	.	.	»	\	sin	a tg a sin at cos ut
X31 = sin a sin соt\ a32 =	1
X _	1
A33-
У 1 + tg2a sin2 ait
Y\ + tg2 a sin2 a
— для конического движения со.скручиванием:
Xu = cosa; Х12= — sin a; Х13=:0;
Х21= sin а соз со/; X22 = cos a cos шt\ X23= —	(3.66)
X3i= sin a sin со/; X32 = cos a sin arf; X33=cosa)t.
90

Определяя с помощью выражений (3.65) и (3.66) формулы
для компонентов угловой скорости, получаем:
— при плоском коническом движении
—со sin2 a cos2 соt
cos а (1 -f- tg2 а sin2W)
—со sin а cos tot
1 4- tg2a sin2 u>t
—со sin a cos сat
(3.67)
иг1 — 7ч
У 1 + tg2a sin2 tot
— при коническом движении со скручиванием
(0^ = 00 cos a; %i = —со sin a; cozl = 0.	(3.68)
Выражения (3. 67) определяют периодический характер изме¬
нения элементов матрицы Я(/), поэтому данный тип движения мо¬
жет быть эффективно использован для оценки локальной состав¬
ляющей ошибки. Регулярная составляющая, в свою очередь, мо¬
жет быть исследована с помощью движения, определяемого вы¬
ражениями (3.68) с монотонным характером изменения элемен-
Iпн матрицы Я (/).
В случае необходимости коническое движение может быть за¬
дано и в более общей форме на основе использования параметра
Ни (3. 7). Действительно, определяя 0 как матрицу вида
0	—0О sin со^	0ocosco/\
0О sin ш/	0	0	>
^— 0О cos со/	0	0	/
■до 0о — угол раствора конуса, со — угловая скорость вращения
оси яд, можем получить матрицу направляющих косинусов по фор¬
муле (3. 7).
Выполняя соответствующие преобразования, находим
Xn = cos 0О;	X23 = sin со/cos со/(1—cos 0О);
Х12 = — sin со/ sin 0О;	х31 = — cos со/ sin 0О;
Х13=cos со/ sin 0О;	X32-=cosco/ sin со/ (1— cos 0О);
Х21= sin со/ sin 0О;	^зз= sin2 со/-[-cos2 со/cos 0О.
Х22 = cos2 со/-f- sin2 со/ cos 0О;
< помощью однократного дифференцирования по времени элемен¬
та матрицы 0О можем определить проекции угловой скорости на
пси инерциальной системы координат
(»„>-<>;
(в„) =—0osinarf;
91

= ’^r(°*) = 0ocos «*•
— On Sin I
— 60cos 0O sin о)/ 1=1 ш
6n cos 6n COS (i)/
dt
\
Переход к связанной системе может быть осуществлен по формуле
Щ = Атсо.	(3.69)
Раскрывая (3. 69), получаем:
f ^и^2Лз1 \ ! О
( ^12^22^32 | ‘ I —0q sin О)/
\ ^13^23^33 /	\	®0C0S J \ u0 uo	/	\шг1 >
Обозначая co*=0ocos0o, можем записать окончательное выражение
для связанных компонентов угловой скорости:
o)^i = _а)* tg в0;
%i = —to* sinW;	(3. 70)
CDzl = (i)* cos О)/.
Рассматривая выражение (3.70), видим, что сол-i изменяется моно¬
тонно, а изменение co^i и co2i имеет периодический характер. Сле¬
довательно, при задании конического движения подобного типа
_ faej 1
7
Qrn =0,1;
7=0,/
Ь
<,
9m =0,0?
Т =0,005
о	:—
[Mijl
w7
ю~3
10
[ та у
1
Т-0,1С
Ш=0.1,С
Хгбб
ю ^
10
(1\С
Рис. 15.
Ю
Рис. 16.
/О'1
ах
будут иметь место как локальные, так и регулярные составляю¬
щие методической ошибки.
Рассмотрим некоторые результаты вычислений, проделанных
по вышеописанной методике с целью определения зависимости ве¬
личины и характера изменения методической ошибки от парамет¬
ров движения летательного аппарата и параметров алгоритма, ис¬
пользуемого для вычисления матрицы направляющих косинусов.
Характер движения объекта определялся тремя параметрами:
периодом изменения угловой скорости т, наибольшей ее амплиту¬
дой сотах и полным временем работы системы /раб- Алгоритмы так¬
же характеризовались тремя параметрами: шагом вычислений Т,
порядком аппроксимации компонентов угловой скорости I и чис¬
лом членов в разложении матрицанта k.
92

Оценка влияния параметров движения объекта производилась
на основе выражения (3.17). Считая на /-м интервале дискретно¬
сти матрицы Л* и £2* постоянными, а матрицу Коши — функцией
только текущего времени, получаем
8Л(^)=8Л (/;_,) ЯЙ/(Я*. Т, ^-i)+7’Л (tj) 8Й (tj).
Объединяя последнее выражение с исследуемым алгоритмом, полу¬
чаем систему, позволяющую вычислить 6Л по задаваемой матри¬
це угловой скорости.
Результаты расчетов, проделанных на ЭВМ, показаны на рис.
15, 16 и 17.
Анализ этих графиков позволяет сделать следующие выводы:
— если выполнены условия, ограничивающие величину ошибки
квантования по времени (в данном эксперименте они были выпол¬
нены), то частота изменения £l{t) не оказывает существенного
влияния на локальную ошибку;
Рис. 17.	Рис.	18.
— локальная ошибка пропорциональна амплитуде угловой
скорости;
— при увеличении времени работы системы скорость нараста¬
нии локальной ошибки увеличивается.
Оценка влияния параметров алгоритма производилась по ме¬
тодике типовых движений на основе выражений (3.65), (3.66),
(3.67)	и (3.68). В качестве алгоритма применялось выражение
Н*/ = Е + £2г7'+... + -^,
I иг А1-—2, 3; i=0, 1, 2;
Q0 {t})=Q {tj) = const;
й2{tj) = 2fi{tj)- j-Й(Aj-i) —La(A,-_2);
93

j — момент последнего измерения
элементов матрицы Q(t).
Результаты вычислений гра¬
фически показаны на рис. 18 и
19. На рис. 18 показан характер
изменения величины регулярной
ошибки как функции шага вы¬
числений при различных зна¬
чениях параметров k. Точное зна¬
чение матрицы косинусов оп¬
ределялось для а = 0,2; (о = 3 и
^раб = 100 С.
На рис. 19 показан характер изменения величины локальной
ошибки как функции шага вычислений при различных порядках
аппроксимации элементов матрицы Й(^).
Анализ приведенных зависимостей позволяет сделать следую¬
щий вывод: величина шага Т существенно влияет на уменьшение
регулярной ошибки при переходе от матрицанта Н2о к матрицанту
Н30; при правильно выбранном шаге ошибка может уменьшаться
на 2—3 порядка; при слишком большом шаге выигрыш в точно¬
сти при переходе от Н20 к Н30 может стать вообще практически не
заметным; порядок аппроксимации Q(t) оказывает сильное влия¬
ние на величину локальной погрешности, особенно при переходе от
Н*о к Н/и-

ГЛАВА 4
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ УПРАВЛЯЮЩЕГО КАНАЛА БСС
4.L Вычисление управляющих команд
Задание программы полета осуществляют либо в инерциаль-
imii, либо в связанной системах координат, поэтому и вычисление
управляющих команд должно быть предусмотрено для обоих слу¬
чаен задания программы (см. разд. 1.2).
Рассмотрим сначала более общий случай, когда программа за¬
дана через координаты инерциального базиса. Задача стабилизации
летательного аппарата относительно программной траектории со¬
стоит в выполнении в течение всего времени полета следующих
условий:
v=v*; R = R*,	(4.	1)
где R — радиус-вектор центра массы аппарата в инерциалыюн си¬
стеме координат, определяемый как интеграл по времени от век-
гора скорости центра массы:
R(/)=fv«tf-|-R(0).
Кроме того, должна выдерживаться определенная ориентация
снизанной системы координат относительно скоростной программ¬
ной системы.
Таким образом, для стабилизации необходимо определять сле¬
дующие рассогласования:
Av=v —v*; AR = R —R*; ДА = [Л*]ТЛ,
а также создавать управляющие силы и моменты, с помощью ко-
юрых эти рассогласования могут быть сведены к нулю.
При дальнейшем изложении будем исходить из следующих
принципов создания управляющих сил и моментов:
непосредственно управляющая сила может быть создана
ном,ко н направлении оси симметрии формы летательного аппа¬
рата;
95

— управляющие силы в направлении других осей могут быть
созданы только как результат поворота аппарата относительно
сопровождающего трехгранника под действием моментов;
— непосредственно управляющие моменты могут быть созданы
только относительно главных центральных осей инерции аппа¬
рата.
Как это принято в теории платформенных систем стабилиза¬
ции, будем общую задачу разбивать на две частных: стабилизация
центра массы аппарата относительно программной траектории и
стабилизация его углового положения относительно центра мас¬
сы. В соответствии с этим будем и вычисляемые управляющие ко¬
манды разделять на два вида: команды для стабилизации аппа¬
рата относительно траектории и команды для стабилизации поло¬
жения аппарата относительно центра массы.
Для получения команд первого вида введем следующие обозна¬
чения:
Fyxc\
/гус I —вектор компонентов управляющей силы по осям со-
/ провождающего трехгранника;
(М\х 8 Л
Му = | УИ^15 ! —вектор компонентов управляющего момента по
\ Wzi ^ \ / осям связанной системы координат.
Сила Fxс в соответствии со сделанными допущениями (см.
гл. 2) не зависит от углов атаки и скольжения' и определяется
изменением тяги по принятому закону управления:
F^C=	= kp^pl
где kv — скалярный коэффициент пропорциональности; Ьр — от¬
клонение органа управления величиной тяги.
Силы Fyyс и Flс пропорциональны углам атаки ау и скольже¬
ния ру, определяемым величиной управляющего момента Му. Для
нормальной работы системы стабилизации необходимо, чтобы уп¬
равляющие воздействия F>7 и Му обращались в нуль при выполне¬
нии равенства (4. 1).
Для наибольшей эффективности управления необходимо так¬
же, чтобы величина управляющих воздействий (команд) была
пропорциональна величине рассогласований, а максимально допу¬
стимой величине рассогласований соответствовали максимально
возможные величины управляющих воздействий.
Из сказанного выше следует, что формально необходимо найти
следующие соотношения:
8Р=/р(Ду; ДК); оУ=/«(8х1; Ы РУ=/?(8*г; V; 8*i);
8д-1 = /д-1 (Ду! ДК); V=/w(Av; AR); 8г1=/г1(Ду; AR).
96

Однако формальный подход приводит к сложным и неудобным
для использования выражениям. Действительно, использование
рассогласований непосредственно в виде векторов-столбцов инер-
цпальных компонентов приводит к весьма сложному виду функ¬
ций /, так как компоненты вектора рассогласования должны про¬
ектироваться на касательную к траектории аппарата и на линию
пересечения нормальной плоскости и плоскости, проходящей через
векторы, образующие рассогласование (случай плоского программ¬
ного движения изображен на
рис. 20).
Для получения простых и
удобных формул будем в ка¬
честве управляющих рассогла¬
сований использовать не про¬
екции векторов на нормаль
и касательную, а разность
модулей рассматриваемых век-
трон и угол между ними:
A|R| = |R|-|R*|;
Ay>/? = arccos(v*-v),
*	Рис.	20.
I це v+ и v — матрицы направ¬
ляющих косинусов рассматри¬
ваемых векторов в инерциальной	системе координат. Учтем	также,
Mm практически с достаточной	степенью	точности	углы	атаки	и
емоп.жепия зависят соответственно только от 621 и бу i и в стати¬
ке определяются балансировочными зависимостями
Q‘y==ka$z\’>
II частности, если рассматривается вектор скорости, то в каче-
• им* v надо использовать матрицу г и угол Xi;=(v^ v*). При таком
представлении рассогласований для формирования команд может
оыи, использована информация, получаемая при построении ИКБ,
в частности, матрица направляющих косинусов Л.
II « общей формулы для представления векторного произведения
« leaver, что модуль последнего может быть выражен через угол
mi /кду векторами, причем, если этот угол ограничен определенны¬
ми пределами, то зависимость достаточно близка к линейной. Для
и мгедьиых аппаратов реальные значения углов А%я и А%1} не пре-
и'.мннют сотых долей радиана; линейность при этом выдерживается
  	  	до	0,1%,	что во много раз превышает требуемую.
И соответствии с приведенными выше рассуждениями составим
• ■«мирное произведение для случая управления по координатам:
I |w - (R* XR)=i0 [R*yRz - RlRy] + j0 [rIRx- R*XRZ] +
+ k0 [/£/?,-/&?,].
I l|M’Acr;innM последнее выражение в более удобной форме, для
97

чего введем в рассмотрение тензор программных значений инерн
альных координат в виде кососимметричной квадратной матриц
/ о -/?;	r;
**=	£ о -R*x |.	(4.
\-Rl R*	О
Очевидно, что аналогичная матрица может быть записана и дл
программных значений инерциальных компонентов скорости:
( 0 -ю\	vy\
V*=	t,; 0 -«;)■	(4.
\-v, v,	О
Используя выражения (4.2)’ и (4.3), управляющие рассоглаа
вания можно представить в следующем виде
n* = R*R; nv = V*V,	(4.
где- Пд и llv — векторы-столбцы компонентов управляющих раса
гласований в ИСК, R и V — векторы-столбцы инерциальных коо
динат и скоростей центра массы аппарата
Для получения выражений для отклонений органов управлени
соответствующих найденным рассогласованиям (4.4), может бы
использована матрица Л, получаемая при определении ориента'цй
аппарата. Для компактной записи дальнейших соотношений вв
дем вектор отклонений органов управления
6=
где kb —диагональная матрица коэффициентов передачи канал
управления.
Через kR и kv обозначим скалярные коэффициенты линейнс
формы от управляющих рассогласований. С учетом введенных об'
значений выражение для вектора б может быть записано следуй
щим образом:
— 6 = h.rkvl\v-\-	(4.
5
Последнее выражение полностью определяет требуемые стат
ческие соотношения между отклонениями контролируемых коорд
нат от их программных значений и отклонениями органов управл
ния аппарата, создающих моменты.
Для получения зависимости, связывающей рассогласование
отклонением органа управления, создающего силу, можно неп
средственно сравнивать модули программного и текущего знаЧ
ний рассматриваемых векторов:
г- т -1**1) v+(И - И)	(4-
98

in;i.iяры \R\ и \v\ в (4.6) вычисляются по формулам
|A>|2 = Rl + /$ + Rl; |г»р=г£ +	+ vl
мvi п. Flc с уравнением (2.10, п. 1) осуществляется на основе
ыражения
Д«* /’’"с— суммарная проекция возмущающих сил: Fxc = kpbp.
Команды, стабилизирующие угловое положе-
1И' летательного аппарата. В обычных (гироинерциаль-
ы\) системах параметрами управления по угловому положению
м.ииотся углы Эйлера, что позволяет относительно легко развя-
iiii. каналы тангажа, курса и крена и определить стабилизирую-
ин' команды как разности программных п фактических значений
I и ч углов.
В ВСС в качестве первичной информации выступает угловая
кпрость аппарата или приращение ее интеграла и, кроме того, из-
<• ты из вычислений направляющие косинусы, определяющие
мшюе положение летательного аппарата. На основании этих дан-
ы\ требуется сформировать параметры управления.
Формальный подход к решению этой задачи требует прежде
in о выразить рассогласование между осями связанной системы
• •ординат и их программным положением через направляющие
опшусы hij. Обозначая направляющие косинусы углов между
• чч11 названных выше систем через ДАг> можем записать:
АЛ=(Л*)ГЛ.	(4.7)
I/iн того чтобы ликвидировать рассогласование между осями
mi шиной системы координат и их программным положением,
т/мю осуществить один поворот аппарата относительно оси, оп-
• И’лнсмой параметрами Эйлера (1.2), на угол ф=в4
cp=arccos (Tr А — 1)J
• own’ представляющий собой один из параметров Эйлера.
Млн рассматриваемой задачи роль элементов ац играют AUj.
‘in крыини матрицу АЛ (4.7), получаем выражения для этих эле-
о пIом:
>м>.. I XmjXji —1“ ^31^-31.); (^*11^12 4“ ^-21^22 4~ ^31^зг)) ( ^lAl3”b ^21^23	^зАзз) !
n 11 I Л 'J'Aj 1 4“ ^32^31) > ( ^12^12 4~ ^22^22 4“ ^32^32 ); (xt2x
13 4~ ^22^23 4” ^32^33 ) г
1 1 I I
^‘| | *• д | ' woi/l \ м*	|	'	**	|	' w ’Ой/? \ **iO | ** iO I	ОО
(4.8)
Л. I 7 ^21 4” ^3;Аз1) I (^13^12 4“ ^23^22 4“ ^ЗЗ^зг)» (^13^1з4"^23^2з4”^33^зз)«
111 м>11 «ведение угла поворота ср на единичный вектор оси, опре-
ип'мой параметрами ег-, может рассматриваться как векторное
• 'ч лнеоиание осей связанной системы координат и их программ-
99

ного положения. Проекции же этого рассогласования на оси свя<
занной системы, определяемые как произведение угла поворота н
соответствующий параметр Эйлера, и представляют собой искомы!
параметры управления, на основе которых могут быть получен
стабилизирующие команды:
„/   <Р(ДХ23— ДХ32)	<Р(Д^31—Д^1з)		 <р(ДХ12—AX2i)
их\— —	;	Щ\=	—	;	иг\ —	—	.
2sin <р	2sin	2sm <p
(4.9
Выражения (4.9) могут быть значительно упрощены, есл]
учесть реальные диапазоны изменения углов рассогласования
а также требуемые точности стабилизации углового положени
летательного аппарата. Для рассматриваемой задачи можно счи
тать справедливым соотношение sin ф^ф. При этом выражениз
для параметров управления принимают следующий вид
„	  ДХ2з	—	ДХ32	.	„		 ДХ31—ДХ13	ДХ12—ДХ21 (А 1Л
Ux\	  ,	и	у	\	=	  ,	uzi—	-	.	(4.1U
Используя в (4. 10) выражения для АХц из (4.8), получаем
Их\ = — (^12^13 + Х22Х23	^32^33 — ^13^12 — ^23^22 — ^33^32)’
Uy\ = Y (^13^11 Н“ ^23^21	^33^31 — ^11^13 — ^21^23 — ^31^3з0	(4- 1
Uz\ — ^ (^11^12 "1“ ^21^22	^3^32 — ^12^11 — ^22^21 — ^32^3l)*
Формулы (4.11)' и представляют собой полные выражения длз
параметров стабилизации летательного аппарата по угловому по
ложению.
Если программное движение летательного аппарата являете
плоским, то выражения (4. 11) упрощаются. Действительно, дл
случая расположения программной траектории в горизонтально
плоскости имеем
^22— 1; ^12 = ^21 = ^23 = ^32-0-	(4.12
Выражения для параметров стабилизации принимают вид
11x1 = — (^23 — ^13^12 — ^33^32);
#г/1= “ (^13^11 “h ^33^31 — ^11^13 — ^зАзз)»
llz\ = Y (^11^12 ^зАз2 — ^21 )•
Если программная траектория находится в вертикальной пло
скости, то из условий
^33=1; ^13 = ^31 = ^23 = ^32=0	(4.1с
100

получаем следующие выражения для параметров стабилизации:
Таким образом, в статике вектор отклонений рулевых органов,
паоилизирующих угловое положение летательного аппарата, име-
п следующий вид:
• до (/*лл 1; foy\\ hz\) —статические коэффициенты передачи.
Iвозможен и другой подход к формированию параметров ста-
онлмзации. Он является целесообразным в том случае, когда не
! |м'Оустся стабилизировать вращение аппарата относительно про-
i",'iMioii оси или такая стабилизация обеспечивается только за счет
• "inроля соответствующей компоненты угловой скорости и ее ин-
I г! р;|ЛИ.
И #том случае для стабилизации углового положения летатель-
  » аппарата достаточно совмещать только первую ось связанной
• и» Iгм 1,1 координат с ее программным положением. Если при этом
I» и • млтрнвать текущее и программное положения осей как век-
|"рм, то в качестве параметра стабилизации можно использовать
|\ Л1, их векторного произведения, как это было сделано для ста-
Miiiiiiiiuiii вектора скорости (здесь также используется допуще-
миг, ч К) sin X—х) •
• н'м)значим единичные векторы программного положения свя-
• | • 111• и! системы координат через ii*; ji*; ki*, единичные векторы
• • I \ 111 г г <) положения этой системы — через ii; ji; кь а единичные
• " мири ц|1с|)циального координатного базиса — через i0; jo; k0.
Ипсгоры i|* и ii в проекциях на инерциальные оси имеют соот-
• " • < • ИПМК) вид
(4.14)
’01

а их векторное произведение определяется выражением
>о Jo ko
АА = | xTi XSX I	(4.15)
^11 ^21 XsV
Введем в рассмотрение тензор программных значений направляю¬
щих косинусов вида
/ 0 — Хз! &
Л*=	&	0 -Хи
\-Хя xTi о
Вектор ii будем записывать в виде столбца Хл> где /=1, 2, 3. При
этом векторное произведение (4. 15) может быть записано в виде
произведения матриц:
(4. 16]
Проектируя вектор (4. 16) на оси связанной системы координату
получаем искомый вектор параметров стабилизации
СХ12X31X21 — Xi2X2iX3i Xi2Xi 1X31—Х22Х31Х11 -{-X32X2iXii—Х32ХцХ21 \ ^
X13X31X21 — Xi3X21X3i -[-ХззХцХз! — X2JX3lXn 4"X33X21Xii — ^33^11^21 }
{нулевая первая строка выражения (4. 17) соответствует OTcyTCTJ
вию стабилизирующей команды относительно продольной оси ле^
тательного аппарата). Если программное движение объекта стаби¬
лизации является плоским, то, как и в предыдущем случае, выра^
жения для параметров стабилизации упрощаются.	i
При расположении программной траектории в грризонтальной
плоскости на основе соотношений (4. 12) получаем
Va\ /	0
Uy\ I I	Х22Х11Х31 — X12X2iX3i — Х22Х31Х11 —j— Х32Х21Х11
\tizi/ \ ХгзХцХзх — Х1зХ21Х31 — Х23Х31Хц -J- Х33Х21Хц
102

Если программная траектория находится в вертикальной пло¬
скости, то из условий (4. 13) получаем следующие выражения
для параметров стабилизации:
\
Myl I	^12^31^21 — ^22^31^11 Н“ ^*32^21^11 — ^32^11^21
\UzlJ	N^13^31^21 — ^23^31^11 Н" ^33^21^11 ”1“ ^33^11^21 >
Гм Ким образом, в статике вектор отклонения рулевых органов,,
стабилизирующих угловое положение летательного аппарата, име-
гт для данного метода формирования команд следующий вид:
All ^21 \
Ь=кы
\^13 ^23 ^33/
Корректирующие операторы и дополнитель-
и i.i е обратные связи. Известно, что статические соотноше¬
ния, как правило, не обеспечивают требуемых запасов устойчиво-
с|ц и качества переходных процессов в системе стабилизации. По¬
лому в управляющую команду могут быть включены корректиру¬
ют, но связи. Отображая выражение (4. 14) в г-область, имеем:
Ь(г)=кыи (г).
Включая последовательно с командой, необходимой для получе¬
ния требуемых динамических свойств системы, оператор, имеем
6(г) = £б/В(г)и(г),
• и- 1>(г) — представляет собой матрицу вида
(dn(z) О	0	\
D(z) = ( о d22(z)	0	•	(4.18)
Vo о dm(z)J
in мстим, что в принципе корректирующие операторы могут ис-
Ц" п. и жаться также и в командах, стабилизирующих положение
имирн массы летательного аппарата относительно программной
ip и мории. Выражение (4.5) при этом принимает следующий вид:
1 - ft (z)=D' (z) kv\T (z) П, (z) + D" (г) kRAT (z) П* (z),
■ ■ • I>'<.“) и D"(z) —матрицы;
fdn{z) 0	0	\	idn	(z)	О	0
’‘'(■I	( 0 d'22{z) 0	I?	D"(«)	=	l	0	d’22{z)	0
0	0	dzs	[z)J \ 0	0	d2з [z);
(4. 19)
103

Однако эффективность операторов с точки зрения влияния на
устойчивость системы не одинакова: как и в обычных системах,
операторы, включаемые последовательно с командами по углово¬
му положению, значительно более эффективны; что касается кор¬
рекции команд, стабилизирующих положение центра массы, то
последняя, в основном, преследует цель обеспечения требуемого
вида переходного процесса по отклонению вектора скорости. Вид
операторов D(z) определяется теми же методами, что и при про¬
ектировании гироинерциальных систем.
Кроме корректирующих операторов, включаемых последова¬
тельно с основными стабилизирующими командами, в БСС, как и
в обычных системах, используются обратные связи по отдельным
параметрам движения летательного аппарата. Общий характер
влияния этих связей уже рассматривался в гл. 2. Было установ¬
лено, что из числа измеряемых параметров движения летательно¬
го аппарата целесообразно для стабилизирующих команд исполь¬
зовать компоненты вектора угловой скорости. Считая, что про¬
граммные значения этих компонент нам известны в виде вектора
можем найти управляющее рассогласование по угловой скорости
в виде
Теперь на основе полученных выше частных выражений (4.5),
{4.11) и (4.20) можем записать общую форму зависимости от¬
клонения органов управления в БСС от параметров программной
траектории и текущих параметров движения летательного аппа¬
рата:
Здесь F — некоторый нелинейный оператор, конкретный вид
которого определяется, во-первых, приведенными выше статиче¬
скими соотношениями и, во-вторых, характеристиками летатель¬
ного аппарата и критериями, которым должно удовлетворять дви¬
жение последнего. В линейном плане вид этогоюператора в ^-обла¬
сти определяется выражениями (4. 18) и (4. 19)’, конкретный вид
элементов которых находится с помощью методов, общих для всех
систем автоматического управления полетом.
Задание программы полета в связанной системе координату
Если требуемая траектория летательного аппарата может быть!
104	\
(4.20)
[**(*); **(*); VW; V*W; AW; ®i(<); ®?(0Ь

полностью рассчитана до начала полета и в течение последнего
остается неизменной, становится возможным задание программи¬
руемых параметров в проекциях на связанную систему координат.
При этом выражения для управляющих команд определяются зна¬
чительно более простыми, чем в предыдущем случае, формулами.
'Гак, для команды, регулирующей тягу аппарата, имеем 6vX =
c.-=kv\(v — о*), где все величины представляют собой скаляры.
Для команды, определяющей управляющие моменты, получаем
DJCl
Jzl .
\=k.
<Яг1 — «,1
(Xiyi (1)^1
dt.
Н последнем выражении kXvy k\
Vyl — Vyl
Wzl — <*>*i /
>ч A'loi — скаляры.
1 +
4.2.	Уравнения управляющего канала
При рассмотрении функциональной схемы БСС, а также в
разд. 1.2 было установлено, что управляющие команды и и ит в
(/-|-1)-й момент времени формируются на основе имеющихся в
памяти вычислителя значений Vi-\ и сог-ь соответствующих
(/ - 1)-му моменту времени, а также текущих значений vt и
*•>,, измеренных в /-й момент времени. На основе материала, из¬
ложенного в гл. 3 и в разд. 4. 1 настоящей главы, мы можем ch¬
i’гсматизировать уравнения, определяющие названные выше ко¬
манды. Система этих уравнений имеет следующий вид:
Hi(Q. Л = Е + г(^-)+^(£^^)2+
(ВД-А-А);
2. A1+1 = A,Hi(Q, Т)\
3. v?+1 = A/+1 (v,)/;
4. Av1+1=AV/ + -|. [2Л;+А (v^-AA-HvO,-!];	(4.21)
Г,. vl+1 = v?+1 + Avt+1;
(ui)i+i = ^/?Aj+i [R/+i] R/+1 “Ь [v,+i] vi+1-f-
-J-AxA/+1 [a,+i]	+
105

7- Rл-i — R/+—(2V; —v^i);
8.
Уравнения 4 и 7 системы (4.21) получены на основе выражений
(1.30), (1.32) и (1. 33), в которых принято:
yf+i = Av/+1 или R/+1; Jt = Av, или R,; д:/ = А/+10/ (v^ или v/e
Если в качестве параметров ориентации используются параметры
Эйлера-Родригеса, то уравнения 1 и 2 системы (4.21) принимают
вид:
1- Q*+i = 6/R(0);
2. R (0)=-1 [i(O,1),- + j(0,1)i + k(0,i)/] + (l-|}
-2а. Xn=gf — qI — Q3"bC4i ^21=2 (QiQ2~bQ3Q4)i
^12= 2 (Cife — Q3Q4)» ^22= — Qi 4"Q2 — Q3 4"Q4i
^13=2 (Q1Q3 — Q2Q4) i ^23—2 (Q2Q3 — Q1Q4)»
^31 —2(QiQ3 + feQ4)i
^32 = 2 (Q2^3 4“ Q1Q4) 5
^33= —Gl —(я4~6з4"б4-
В окончательном виде система получится, если к этим уравне¬
ниям добавить уравнения 3—7 системы (4.21), которые остаются
без изменений.
Имея полную систему уравнений (4.21)’, можем подсчитать
потребное быстродействие бортового вычислителя для реализации
расчетов команд по этой системе в полете. Для этого зададимся
следующими исходными условиями: будем считать, что для выпол¬
нения одной операции умножения необходимо время, соответству¬
ющее четырем базовым операциям; число операций на шаге Г,
необходимое для реализации расчетов но системе (4.21), будем
обозначать п\ при этом потребное быстродействие вычислителя N
находится по формуле
N=n/T.
Графики N как функции шага Т приведены для алгоритмов
1-го и 2-го порядков на рис. 21. Здесь же даны графики роста
методической ошибки этих алгоритмов при увеличении шага Т.
Рассмотрение всех этих графиков позволяет сделать следующий
вывод: существует некоторая оптимальная зона величин шага,
центр которой расположен примерно при 7"=0,05 с. Эта зона ха¬
рактерна тем, что в ее пределах величина ошибки не превосходит
10~6, а потребное быстродействие не больше, чем 105 базовых опе¬
раций в секунду.
106

Приведенные выше оценки потребного быстродействия вычис¬
лителя показывают, что последнее значительно возрастает при
использовании алгоритмов 2-го порядка. Поэтому целесообразно'
рассмотреть другие виды ошибок и, в частности, инструменталь¬
ную ошибку и установить, насколько обоснованным является при¬
менение алгоритмов высокого порядка с точки зрения суммарного
выигрыша в точности.
АН
Ж■
Ж5
W~R
10~7
Ж8
Ж9
Ж10
ю~11
70~12
Ж3	Ж2	0,05	10'1	0,5	10	Т
Рис. 21.
Инструментальная ошибка существующих приборов при изме¬
рении угловой скорости равна А£2 = 0,1 дуговой минуты в минуту
времени или 0,3 -10~4 рад/мин. Таким образом, для оптимальной
зоны величин шага инструментальная ошибка примерно в 30 раз
больше методической ошибки алгоритма 1-го порядка, в котором
учтены разности. И наоборот, если разности не учитываются, то
методическая ошибка в 15 раз больше инструментальной. Что
касается экономии ресурсов вычислителя при отказе от использо¬
вания разностей, то она весьма невелика: от общего ресурса со¬
ставляет всего 5%.
Таким образом, теоретически универсальным алгоритмом, по¬
лученным на основе разложения матрицанта (3. И), является ал¬
горитм вида
Н^О, 7') = E+-|l(30,-Q<_1).
Он имеет достаточно высокую для практики точность и хорошую
фазовую характеристику. В зависимости от конкретного типа вы¬
числителя он, конечно, может быть модифицирован.
В литературе, посвященной использованию кватернионов для
вычисления параметров ориентации тел в пространстве [3], [24],
имеются указания на то, что вычислительные ресурсы для числен¬
107

ного решения уравнения связи в форме (3. 13) на 40—45% мень¬
ше, чем для решения этого уравнения в форме (3. 5).
Однако практически этот выигрыш может быть реализован
только в случае, если использование получаемой при решении
уравнения информации производится реже, чем вычисление пара¬
метров ориентации. Действительно, если на каждом шаге решения
кватернионного уравнения связи строится ИКБ по выражению
(1. 11), то необходимо учитывать дополнительный ресурс на реа¬
лизацию соотношений (1.5), так как направляющие косинусы
представляют собой не что иное, как коэффициенты кватернионов,
получающихся при разворачивании соотношения (1.11).
Расчеты показывают, что выигрыш от использования уравнения
связи в форме (3. 13) становится равным десяткам процентов при
соотношении шага решения уравнения и периода построения ИКБ
не менее, чем один к пяти. В практических же задачах стабилиза¬
ции летательных аппаратов такая возможность встречается редко.
•Вычисляемые в БСС параметры ориентации в ряде случаев исполь¬
зуются и в других системах. Поэтому принятие решения об ис¬
пользовании в системе того или иного вида параметров ориента¬
ции должно осуществляться на основе комплексного рассмотрения
всей задачи управления.
Линейная модель управляющего канала. Системы уравнений
управляющего канала, записанные выше в форме алгоритмов, не
всегда удобны при исследованиях, а также на начальных этапах
проектирования системы стабилизации. Поэтому практический ин¬
терес представляет получение линейной модели управляющего ка¬
нала, которая позволит на основе использования структурных
представлений исследовать частотные свойства последнего, а так¬
же проводить аналоговое моделирование.
Для получения такой модели вернемся к функциональной схе¬
ме канала (см. рис. 4) и исходным уравнениям, описывающим его
работу; уравнению связи (3.5), формальным соотношениям для
перехода от измерительной системы координат к инерциальному
базису (1.9) и выражениям для учета поворотных ускорений (1.25).
Разворачивая все эти выражения и объединяя (1.9) и (1.25),
получаем
Рассматривая последнее выражение совместно с системой урав¬
нений связи, получаем новую систему уравнений, в которой неизве-
t	t	t
t	t	t
t	t	t
0
0
0
108

стными функциями являются инерциальные компоненты вектора
скорости центра массы летательного аппарата, а заданными счи¬
таются измеряемые компоненты его линейной и угловой скоростей.
Структура этой системы такова, что она распадается на три от¬
дельно интегрируемые системы: первая — с неизвестными функция¬
ми vx\ In; Я12; А,13; вторая — vy\ К2ь Х2г; Я23 и третья — vz\ Л31;
^32 i ^33-
Поскольку ввиду очевидной симметрии общие свойства и
структурные схемы всех трех подсистем одинаковы, достаточно
рассмотреть одну из них, например систему с неизвестными vx;
Х\2’у Л»13-
Для линеаризации этой подсистемы с помощью описанной в
гл. 2 процедуры, введем следующие обозначения:
(ovi = #i;	Хц=а4;	vx\ = а7;	Хц=а10;
* * $ ^ * *
^yl== &2у	^12 = ^5>	=	^12 = ^11^
0^1 =	Xi3=#6;	Vzi = ад!	^13=== ^12-
После линеаризации имеем:
vx=a4vxl -f- CLgOyi -j- agUzi + 2a1Xl x -(- 2a8X12 + 2a9X13 -(-
/	t	t
+ Я10 Г vxldt+an j vyldt + an j vzldt\
000
*11 = 02*18+ л6(|)у1— #3^12—	(4.	22)
X12=a3Xn -\-cl4®z\ — #iX13 — d^xi'y
X>13 == ^1X12 “|“ d^x\ — #2^11 —dtfbyl*
Для получения структурных схем перейдем к операторной форме
уравнений (4.22):
vx=2 (а7\п -J- а8Х12 -{- #9^13) +	^4	+	#10j +
+ vyl ^5 Н—J ан ) “Ь vzi (^aQ "Ь ~ а12 J у
р\t = а2Х13 -f- а^у1 — #3Х12— d5(az 1;	(4.	23)
ДХ\2 = d^n'\m(l^zl — а1^13 —
р\ 13=^1X12 -(- а5 о)^ — a2Xu — d4^yl.
На первый взгляд система (4.23) не очень сложна, однако по¬
пытка свернуть ее относительно одного выхода приводит к труд-
иообозримым выражениям. Поэтому для упрощения выкладок
используем симметрию и линейность уравнений (4. 23) и положим
••i.vi = ©yi = Pi/i = 0zisO; 'получим следующую систему:
109

vx—2	—[- Л8Х12 H~	Ч~ ^л-1 ^а4 4~ ~а10) 5
/Лц = Я2^13 — (1^12 — #5tozl>
12 = л3^11 — ^1^13“h^4t0zl>
/?Чз = #1^12 — #2^11-
Решая ее, находим выражения для направляющих косинусов и
инерциальной компоненты вектора скорости:
^ ___ Г (Д4Р2 + А\2Р + в12) (aia2 — агР)	аъР
11 I	Р	(Р2	+	Л2)	(р2	+	а2)	Р2	+	а\
] ®*i;
21 >
Чз—£
Д4Р2 + А\2Р + ^12 0)
р (р2 + А2)
(РаР2 + А12р + ^12) (а\Р + а2&з)
(4. 24)
а2а5
Р (Р2 + AZ) (р2 + 4)	Р2	+	4.
uzl>
_aio + а$Р f
Л‘1
2 (/?4/?4 -f 6я/7-3 4- fr2jp2 + Ьхр + Ьу)
uz 1*
р " ' р (р2 + л2) (/>2 + 4)
Коэффициенты bj определяются следующими выражениями:
Ь^ — CL\Cl2(l7^12 4~ ^8^2^12 4“ d2dzCi^/?i2 j
= did2d7Л12 — d^jX7B\2 4~ ^8^2-412 4“ #1^9^12 4" #2#3^9-4l2 — d2d$d§A?\
b2=axa2aAa7 — a3a7i412 — a3a7A2 4~ a8£12 + #8a4a2 4" ^1^9^12 + ci2d3d4dd;
bs — #8^12 — d^dAd7 + ^1^46X9 — Сl2CLcfL§;
^4 =:: ^4^8 — #5#7»
A2=a 14“ #2 4~ ;
-412= —
^12 = ^1^2% 4“ #4a2-
Для удобства последующего применения
оператор при оы в выражении для vx
разложим на элементарные слагаемые:
Ух(Р) _с\ ■ с2р + сг | сАр + с5
0izi (Р) Р Р2 + А2 р2 Л- а\
/Коэффициенты Cj в последнем выраже¬
нии определяются следующими форму¬
лами:
 	Л	  ЬаАа	—	Ь2А2	4“	^0
А2а22
АЩ—b,
А2—а:
С2'-
2 ’
А2 (А2-4)
62^2 — &4а2 — *0
«2 (л-«5)
Cr— ■
Рис. 22.
Ч — Ъгаг2
А2-а\
(4.25)
110

На основании выражений (4.24) и (4.25) можем построить
структурную линейную модель управляющего канала, показанную
на рис. 22. Полученные линейные системы уравнений и структур¬
ные модели могут служить основой для оценок частотных свойств
управляющего канала, а также для моделирования процессов в
системе стабилизации.
4.3.	Математическое описание сигналов
измерительной системы
В предыдущем изложении мы везде предполагали, что сигналы
измерителей содержат либо только полезную информацию, либо
ошибку измерения в виде постоянной величины. Фактически же
эти сигналы кроме информации о текущих значениях фазовых
координат летательного аппарата содержат составляющие, не свя¬
занные или слабо связанные с этими координатами. Они имеют
два принципиально различных источника:
— не учтенные при записи уравнений движения летательного
аппарата степени свободы;
— инструментальные и методические ошибки измерителей.
Помехи, связанные с первым источником, можно считать тако¬
выми лищь условно. Действительно, при учете дополнительных
степеней свободы в уравнениях, описывающих движение объекта,
ориентация связанной системы координат будет определяться всей
совокупностью степеней свободы, т. е. названные составляющие
будут играть роль полезного сигнала, а не помех. Практически
такими дополнительными степенями свободы являются упругие
колебания конструкции аппарата, а также влияния колебаний топ¬
лива в его баках. Следовательно, отнесение этих колебаний к кате¬
гории помех при сокращенном математическом описании объекта
стабилизации есть допущение, обоснованность которого может
быть подтверждена только количественными оценками для каж¬
дого конкретного случая отдельно.
Одним из наиболее значительных источников помех являются
вибрации корпуса аппарата. Формально они должны быть отне¬
сены также к первому источнику, однако практически записать
систему уравнений движения объекта, куда входили бы в качестве
неизвестных функций параметры вибраций, невозможно. Поэтому
составляющие сигналов измерителей, обусловленные наличием
вибраций, следует рассматривать как помехи. Такое допущение
является достаточно общим, и его справедливость нуждается в
проверке лишь в тех исключительных случаях, когда спектры ви¬
браций и других степеней свободы становятся близкими.
В отношении помех от вибраций и инструментальных ошибок
измерителей будем считать сохраняющим силу принцип аддитив¬
ности, предполагая, что в этом смысле бесплатформенная система
стабилизации не является специфической по сравнению с обычны¬
111

ми системами Однако этот принцип нельзя сохранять, когда речь
идет об упругих колебаниях конструкции аппарата и методических
ошибках измерителей. Ниже будет показано, что упругие колеба¬
ния являются одним из главных источников методических оши¬
бок датчика линейных ускорений.
При учете влияния вибраций в БСС есть еще одна специфиче¬
ская особенность — сильная связь между линейными и угловыми
вибрациями, обусловленная жестким креплением измерителей на
борту летательного аппарата. Характер этой связи определяется
конкретным типом измерителя. В частности, для наиболее распро¬
страненной схемы ДУС гироскопического типа эту связь можно
выразить через основные параметры прибора: коэффициент пере¬
дачи &<о (с) от угловой скорости к углу рамки, коэффициент об¬
ратной связи koc (г-см), статический дебаланс ml (г*с2), следую¬
щей формулой:
(4.26)
где а — линейное ускорение рассматриваемой точки; сов — угловая
скорость вибрации.
Формула (4.26) показывает, что угловые вибрации с размерно¬
стью 1/с имеют спектр, аналогичный линейным вибрациям.
Перейдем к конкретному математическому описанию аддитив¬
ных составляющих сигнала измерителей. Так как этот сигнал по
своей природе является случайной функцией времени, то необхо¬
димо установить в отношении него некоторые общие предположе¬
ния и допущения, на которых будет основан дальнейший анализ,
а именно:
— все помехи считаются нормально распределенными случай¬
ными функциями времени с нулевым математическим ожиданием;
— все случайные функции времени считаются стационарными и
взаимно некоррелированными;
— в отношении всех случайных помех эргодическая гипотеза
справедлива;
— любая случайная функция всегда относится к одному из
следующих трех классов: чисто случайный сигнал («белый шум»),
реальный случайный сигнал, закономерная функция со случайны¬
ми параметрами (масштаб, частота, фаза).
Принадлежность помехи к тому или иному классу будем ста¬
вить в зависимость от следующих условий:
— если энергетический спектр помехи в пределах эффективной
полосы пропускания системы имеет одинаковый уровень, помеха
считается «белым шумом»;
— если корреляционная функция помехи на интервале, соот¬
ветствующем времени работы системы, сохраняет постоянное зна¬
чение, то помеха является закономерной функцией со случайным
масштабом;
112

— если энергетический спектр и корреляционная функция по¬
мехи не соответствует ни одному из первых двух условий, то она
представляет собой случайный сигнал, корреляционная функция
которого может быть аппроксимирована выражением вида
/С(г) = 2^еНт'°'соз«0(.г,	(4.27)
i = l
где п=\, 2, 3...; о — среднеквадратичное отклонение.
Очевидно, что с точки зрения такой классификации полезная
составляющая сигнала измерителя также представляет собой слу¬
чайную функцию, содержащую детерминированную часть в виде
программы полета.
По источникам появления помехи будем классифицировать
следующим образом:
— помехи от упругих колебаний корпуса летательного аппара¬
та; они представляют собой закономерную функцию со случайны¬
ми параметрами вида
Фу (^) = Фут Sin (в>у/ + <ру),
где фут, 0у и фу — случайные величины, как исключение фУт и счу
имеют отличное от нуля математическое ожидание;
— помехи от вибраций корпуса летательного аппарата пред¬
ставляют собой случайные функции, корреляционная функция ко¬
торых имеет вид (4. 27);
— инструментальные ошибки типа порога чувствительности и
нестабильности масштабного коэффициента датчика представля¬
ют собой закономерные функции со случайным масштабом и ха¬
рактеризуются величиной дисперсии;
— методические ошибки измерителей, поскольку они выража¬
ются через параметры объекта стабилизации, характеризуются
корреляционными функциями вида (4. 27).
Кроме рассмотренных выше типов помех, БСС, как и любая
система дискретного управления, имеет ошибки квантования по
уровню. Рассмотрим характеристику этих ошибок.
При оценке ошибки квантования по уровню возможны два под¬
хода. Первый основан на предположении аддитивности ошибок
от шага к шагу в процессе работы вычислителя. Он позволяет
получить оценку ошибки сверху. В этом случае зависимость ре¬
зультирующей ошибки от ошибки на шаге имеет вид
о0 — йОдЛ,
т
где 60ft = eCij=AoA — ошибка смещения (1.37) на одном шаге
вычислений; п — число рекуррентных операций. Если (бО)тах —
максимальная допустимая ошибка, то допустимая ошибка на шаге
определяется выражением
=	•	(4.28)
5	2267
113

Второй подход основан на предположении о некоррелированности
ошибок от шага к шагу. В этом случае для равновероятного зако¬
на распределения и при условии выполнения центральной предель¬
ной теоремы получаем следующую зависимость вероятной величи¬
ны результирующей ошибки от ошибки на одном шаге:
а число разрядов вычислителя, необходимое для удержания ошиб¬
ки в этих пределах, — формулой
где т — число разрядов; Ощах — наибольший угол поворота лета¬
тельного аппарата.
Если число разрядов задано, то ошибка квантования по уров¬
ню определяется формулой
На основе же выражений (4.39) и (4.30) можем получить
Принимая 0щах=я/2; я=5000; (60 )тах=0,0003, получаем по фор¬
муле (4. 31)
В работе [7] показано, что при выполнении условий так назы¬
ваемого мелкого квантования ошибка от квантования по уровню
может быть заменена введением на вход канала случайной поме¬
хи, некоррелированной с другими сигналами и равнораспределен-
ной по амплитуде. Эта помеха, как и инструментальные ошибки,
характеризуется только дисперсией
(4. 29)
Допустимая ошибка на шаге определяется формулой
№U = (S0)max-!^- ,
У п
т = log2 [0,пах(50*)доп]	...	.
(о^А/ДОН
(4.30)
(4.31)
(4.32)
по формуле (4. 32)
°а=Л8/ 12,
где h — величина ступени квантования.
114

Для нашей задачи условия мелкого квантования имеют вид
7УГ>10; am/Tc = h/T,	(4.33)
где Т — шаг вычислений; Тс — период сигнала; ат—амплитуда
сигнала. Из (4. 33) следует необходимость выполнения соотноше¬
ния am/hZ^ 10.
Возможен более общий подход к описанию всех трех, рассмот¬
ренных выше типов случайных сигналов на основе получения пре¬
дельных выражений от дискретного энергетического спектра ре¬
ального случайного сигнала. Этот спектр определяется как линей¬
ная форма от г-преобразования корреляционной функции (4.27):
Д(,)-С<У(т))~	i (4-34)
S1- (г) = 5 (г) -{-S	1 (/=1).
Для получения энергетического спектра чисто случайного про¬
цесса необходимо в выражении (4. 34) устремить а к оо, а также
соо — к нулю (последнее соответствует устранению из процесса
закономерных составляющих). Справедливость этого перехода
можно подтвердить следующим образом. Пусть о2=а. Тогда при
т—функция /С(т)—кг, с другой стороны, она в этом случае
должна стремиться к бесконечности, так как нулевое значение кор¬
реляционной функции есть дисперсия, а дисперсия «белого шума»
бесконечна. Справедливость этого рассуждения подтверждается и
определением площади корреляционной функции при а—>-оо:
?0а= \ ае~ха cos со0тdx =	   ;
о	1-г—	'	*
50=lim(50a)=l,
что соответствует определению идеального импульса.
Для получения корреляционной функции детерминированного
процесса со случайным масштабом, устремим в (4. 34) а—>-0 и
соо—>■0; получим К(х) =а2=const, что соответствует данному вы¬
ше определению.
Основываясь на классификации и математическом . описании
сигналов измерителей, можем получить общую качественную; кар¬
тину аддитивного спектра сигнала, показанную на рис. (23^Здесь
при со = 0 имеем идеальный импульс, соответствующий ошибкам,
характеризуемым только дисперсией. Далее, в пределах, некото¬
рой эффективной полосы расположен непрерывный спектр полез¬
ного сигнала (он может иметь резонансный пик). Перекрывая
высокочастотную часть этого спектра, а также правее его могут
располагаться спектральные линии, соответствующие дискретным
частотам упругих колебаний летательного аппарата. Начцная с ча¬
стот в несколько десятков герц и выше, находится непрерывный
115

спектр вибрационных помех, который может иметь несколько
резонансных пиков. И, наконец, через весь рассматриваемый диа¬
пазон частот проходит спектр постоянного уровня, соответствую¬
щий флуктуационной инструментальной помехе.
Полученная таким образом общая картина спектрального со¬
става сигнала является достаточно сложной. Поэтому в дальней¬
шем мы широко будем использовать свойство аддитивности, учи¬
тывая только те составляющие общего спектра, которые соответ¬
ствуют поставленной задаче.
Методические ошибки датчика линейных уско¬
рений <ДЛУ). Рассмотрим методические ошибки более подроб¬
но. Для э^ого дополнительно введем следующие обозначения:
R— рддиус-вектор центра массы летательного аппарата в
инерциальной системе координат;
Rn — радиус-вектор центра массы инерционного тела датчика в
инерциальной системе координат;
г — радиус-вектор центра массы инерционного тела датчика в
связанной системе координат;
Уи zi — проекции радиуса-вектора г на оси связанной си¬
стемы.
Из очевидного соотношения RH=R-fr двукратным дифферен¬
цированием по времени можем получить выражение для абсолют¬
ного ускорения инерционного тела, т. е. для ускорения, измеряемо¬
го датчиком:
+ Г + х г + 2 К х г) + f’>i X ©iх г-
Проектируя это выражение на оси связанной системы, получаем
X г= i (^1^1 — ^гхУх) — j Кл —<*>*1*1) +к (<йХ1У\ —
116

2 (<0j x г) = 2 [i (CO^Z! — 0)^^) — j (^xlz{ —	+	к	(их1уг	—	(о^)];
(О! X	X Г = i	(%!<*>*! Z/i — «Vi*! + <*>*!<*>*!*! — Ш*!*!) —
—j (<*&0i—^iw//i^i—+°vi^/i) —
— к (4i Zi —	+	<4i*i	— ^l^ii/i)*
= #*1 + /“jrl — X\ (toyl + Щх) -f- yx (<^0)^ — 0)^2) -j-
+zi (^l^zi + <°yi) + 2 (^yxzx — ®ziyiY>	(4*	35)
rfi = ayi + ryi — Ух («>Ii + 4i) + гг {^zl — ^i) +
+ Xx (“Vi^-i + ^zi) + ^ [®zxXx —
oil=azi + rzi — ^ (a)Ji+<4i) + *1 (<*>^1^1 — <v) +
+ Ух Ov^zl + ^Jcl) + 2 (“jriyi ““ ^l-^l)*
При дальнейшем рассмотрении будем считать гравитационные
ускорения аппарата и инерционного тела одинаковыми, так как в
пределах размеров летательного аппарата их разность не превы¬
шает 10-9 м/с2. Будем также считать связи инерционного тела го-
лономными, а производные по времени от вектора г — равными ну¬
лю в режиме измерения, имея в виду конструктивные ограничения,
налагаемые на собственное движение измерителя.
Если летательный аппарат имеет дополнительные степени сво¬
боды, приводящие к появлению упругих колебаний относительно
осей у\ и Zi, то в выражении (4. 35) вместо щх и cozi надо ставить
<°yi и (o2i, связанные с соух и co2i следующим образом:
dlj (xi)	d?7(*i)	,	....
где 	 и	  характеристики	форм колебании /-и ча-
дх\	dxi
стоты;
•фу(t) и 07(t) — временные характеристики колебаний
/-й частоты.
С учетом принятых выше допущений выражения (4. 35) могут
быть записаны в следующей форме:
^ахх=a*i ах\ — — х\Ап "Ь У\Ах2 ~Ь zxA13\
Aa^i = ау 1 — ayi = —У\А21 4~ ^хА22 ~Ь x\A2z\	(4.36)
A0'Zx=Ozi — oz 1 =—^1^зх —f- -^1^4.32 -{-УхАзз*
117

В (4.36) использованы следующие обозначения:
Ап = ыу\-{-ы1и Al2 = ^xl^yX — ^zl\ -413=сог1о)г1-[-%1;
А2i = ^i + t0Ji; А22 = (оу1с»г1 — мх1;. Лз=с^1сод1 + а)^;
^31 = °il + wj/1; А2% = содг1°^1 ~ LOyb А 33 — ш^10)г1 + (0д-1 ■
Симметричность выражения (4.36) позволяет сделать предполо-
жение, что росту методической ошибки может способствовать ха¬
рактер расположения датчика относительно центра массы аппара¬
та. Действительно, если Xi=yi = Z[ — 0, то методическая ошибка
также равна нулю независимо от характера движения аппарата.
Если x\ = tj\ = Z\ = Xi и колебания аппарата относительно осей
связанной системы симметричны, то ошибка также равна нулю.
Действительно, пусть амплитуды колебаний составляющих угловой
скорости одинаковы и равна соfm, а амплитуды колебаний их про¬
изводных по времени также одинаковы и равны оцт- Подставляя
эти значения в выражения (4. *36), получаем
LaL = Xi (—2co/m_]_<jцт — oj/m-(-co/m-|-a)./7Z) = 0.	(4.	37)
Таким образом, важнейшим условием минимизации методической
ошибки является расположение датчика возможно ближе к центру
массы аппарата. Частичная компенсация ошибки возможна при
равенстве координат места расположения датчика в связанной
системе и симметричном характере движения аппарата. Однако
практически эти условия выполнить весьма трудно, особенно в от¬
ношении координаты х\. Поэтому необходимо оценить возможную
величину ошибки. Для такой оценки будем полагать yx — zi = 0;
Х1 = х\ф0, а движение объекта характеризуется теми же пара¬
метрами, что и в (4. 37). Получаем
АйхХ=-	A(Xyi	= Xi	=z {^im ®im)‘ (4.38)
Для численных оценок, как и в предыдущих случаях, принимаем:
o>im=0,12 с-1, согш^ОДб 1/с2, а также *1 = 0,2 м. Подставляя эти
значения в выражения (4. 38), находим
|Aa^i| = 0,56* 10~2м/с2; |= 0,91 - Ю^м/с2; |Дяг1|=1,5- 10~2м/с2.
Проведенная оценка показывает, что максимальной является
составляющая ошибки, вносимая производной от угловой скоро¬
сти. В этом смысле наиболее «опасными» являются высокочастот¬
ные составляющие движения летательного аппарата, в частности,
упругие колебания корпуса. Однако, учитывая периодический ха¬
рактер этих составляющих, можно сделать вывод об отсутствии
у них тенденции к накоплению. Наоборот, составляющие, вноси¬
мые квадратичными членами (коэффициент Ац), попадая на ин¬
тегрирующие звенья, накапливаются и потому фактически являют¬
ся наиболее опасными. Например, для рассматриваемого случая
уже через 100 с полета получаем:	= 0,56 м/с, а Ах=30 м.
118

Если х\ (t) известно, то методическая ошибка ДЛУ может быть
скомпенсирована. Действительно, имея на каждом шаге вычисле¬
ний значение xi(iT), а также информацию о текущем значении
компонентов угловой скорости, можем с помощью выражений
(4. 36) вычислить компоненты методической ошибки и внести кор¬
рекцию, суммируя их с сигналами датчиков.
Отметим ошибочность встречающегося иногда суждения, что
описанная выше методическая ошибка ДЛУ специфична для БСС.
Фактически она имеет место и в гироинерциальных системах, так
как выражение (4. 35) описывает сигнал точечного датчика неза¬
висимо от его вращения около своего центра массы. Более того,
в БСС возможности компенсации этой ошибки значительно больше,
чем в обычных системах.
4.4.	Частотные свойства управляющего канала
В разд. 4.2 и 4.3 рассмотрены полная и линейная модели уп¬
равляющего канала, а также математическое описание сигналов
измерительной системы. Процесс квантования этих сигналов по
уровню учтен с помощью введения на вход канала эквивалентной
случайной помехи. Дискретный характер работы канала нашел
отражение в использовании для формирования модели канала
2-операторов. Однако, для описания его частотных свойств по от¬
ношению к непрерывным входным сигналам необходимо учиты¬
вать характеристику элемента, квантующего эти сигналы по вре¬
мени.
Прибор (схемный элемент), осуществляющий квантование по
времени, называется прерывателем. Прерыватель работает следу¬
ющим образом: в определенные моменты времени, называемые
моментами квантования, он замыкается на промежуток времени тк
и передает без искажений сигнал, поступающий на его вход; так
как период, соответствующий частоте замыкания прерывателя,
значительно больше тк, то с момента окончания промежутка вре¬
мени тк до следующего момента квантования прерыватель разомк¬
нут и сигнал не передается. Таким образом, на выходе прерывате¬
ля сигнал имеет вид последовательности коротких импульсов, ве¬
личина которых равна величине сигнала в моменты квантования.
Период замыкания прерывателя, равный по смыслу рассмотрен¬
ному выше интервалу дискретности вычислителя Г, практически
выбирается постоянным.
Если квантуемый сигнал представляет собой гармонику вида
x{t) =w0cos(cooH“(po), то выходной сигнал прерывателя может быть
с помощью известных формул разложения в ряд Фурье представ¬
лен следующим образом:
П=°о
У {t)=YU°C0S ^2 Л‘nU° cos (“о* + ^ cos	— ?)].
П. —I
(4.39)
119

где тк — конечная длительность импульса;
При л —>оо и Ап—►0, но медленно. Например, при Тк/Т = 0,1 име¬
ем следующие значения:	1	=	0,984;	Л2 = 0,936; Л3=0,860; Л4=
= 0,766.
Процесс квантования по времени, реализуемый цифровой вычис¬
лительной машиной, не может быть описан с помощью только од¬
ного прерывателя. Действительно, величина сигнала, введенная в
машину в момент квантования, остается, с точки зрения использо¬
вания ее в процессе счета, неизменной в течение всего интервала
дискретности до следующего момента квантования. То же самое
справедливо и в отношении значений выходного сигнала ЦВМ.
Таким образом, при использовании прерывателя для описания
процесса квантования по времени, реализуемого ЦВМ, необходи¬
мо добавлять звено, описывающее процесс фиксации квантованно¬
го сигнала.
Кроме того, следует учитывать, что для ЦВМ величина
отношения тк/Т является практически настолько малой, что вы¬
ходные импульсы эквивалентного прерывателя могут быть пред¬
ставлены с помощью дельта-функций. Такое представление по¬
зволит нам получить передаточную функцию фиксатора.
Действительно, если некоторая непрерывная гладкая функция
времени f(t) квантуется по времени с периодом Г, а затем фикси¬
руется, то результирующая функция может быть представлена с
помощью выражения:
/' 0 = 2" / {kT) {\{t-kT)-\[t-{kp\)T)),	(4.41)
где 1 (t— kT)'— единичная ступенчатая функция.
Записывая изображение равенства (4.41) по Лапласу, полу¬
чаем
Fi (р)	^	/ {kT) е-кр.	(4.42)
Р k=0
В случае же, когда эта функция только квантована по времени,
но не фиксирована, ее изображение по Лапласу имеет вид
р(Р) = ] е-р‘ (*2 / (kT) 8 (t-kA dt=2 f m е~кТр- (4- 43)
0 U=o	j	fc=0
120

Отсюда, беря отношение выражений (4.42) и (4.43), находим
передаточную функцию фиксатора
F±(P)	Р
Находя с помощью обычной процедуры частотные характеристики
фиксатора, получаем следующие выражения:
А Л.Л_	Sin	(Я<о/соГ)	.
. >
toy (jTto/toy)
ч JtO)
ю) =	.
toy
(4. 44)
Здесь Иф(со) — амплитудная характеристика; Фф(со)—фазовая
характеристика. При /г (со) — —— и п= 1, 2, 3,. . ., аргумент в вьг-
toy
ражениях (4. 44) имеет вид: я, 2я, Зя, . . ., т. е. отличается от аргу¬
мента выражения (4.40) множителем xJT. Спектр сигнала вида
(4. 39) показан на рис. 24, это линейчатый, медленно убывающий
спектр. Здесь же штриховкой показан (условно) спектр некоторо¬
го более сложного гармонического сигнала, а пунктирной линией —
частотная характеристика фиксатора. Нули характеристики фик¬
сатора совпадают с осями симметрии дополнительных спектров,
иначе говоря, фиксатор является эффективным низкочастотным
фильтром. Фазовая характеристика фиксатора приведена на
рис. 25.
Полученная характеристика фиксатора позволяет оценить
ошибки, сопровождающие квантование сигнала по времени. Дей¬
ствительно, даже в случае, когда весь спектр неквантованного сиг¬
нала расположен в пределах от начала до первого нуля частотной
характеристики фиксатора, происходит его частичное подавление.
121

Для численных оценок рассмотрим значения отношения (о/озт, рас¬
положенные в промежутке от пуля до 0,3: со/сот = 0,01; 0,02; 0,05;
0,1; 0,3.
На рис. 26 сплошной линией показан график изменения отно¬
сительных частотных искажений, вносимых прерыванием и фик¬
сацией. Уже при (d/g)t = 0:05 ошибка равна 0,4%, что выходит за
допустимые для реальных задач пределы. С другой стороны, умень¬
ем
J инстр
ыос
Л
",г-ю
Р
г-ю-6
/ /
//
I
ю
-5
10
10'
10'
10~1 О)/(Or
Рис. 26.
шение этой ошибки за счет уменьшения шага квантования также
имеет свой предел, обусловленный ростом инструментальной ошиб¬
ки. Действительно, при фиксированном времени полета, уменьшая
шаг, мы пропорционально увеличиваем число рекуррентных опера¬
ций. На рис. 26 пунктиром показаны графики роста инструмен¬
тальной ошибки при уменьшении величины шага для оз=0,2 с-1
и времени полета /раб=5 мин. Уже при шаге 7=0,05 с и двадцати
пяти разрядах вычислителя ошибка становится недопустимо вели¬
ка. Заметим, что оценка сделана в предложении аддитивности оши¬
бок на шаге, т. е. сверху.
Имея передаточную функцию фиксатора, продолжим рассмотре¬
ние частотных свойств управляющего канала. Добавляя Ф (р) по¬
следовательно к передаточным функциям
КАг)=Щ
wzl (Р)	Vxl	(р)
получаем
ч)х (р) = v'x (р) -\-vx{p) = [tozl (р) Ка(р) + vxl (p)Kv (р)] Ф (р).	(4.	45)
Так как по характеру работы управляющий канал есть устрой¬
ство дискретного действия, то в выражении (4. 45) все р-операто¬
ры должны быть заменены 2-операторами. По известному прави¬
лу числитель передаточной функции фиксатора на основе замены
122

ev7 —2 принимает вид 1 —2г\ а сомножитель 1/р присоединяется
к остальным р-операторам. Получаем
“:1(г) г {р	1	(4.46)
VX(Z)	z	—	I	у	(	1
Vxl (*)	-2
Для использования табличных выражений при переходе в 2-об¬
ласть, разложим р-операторы в выражении (4. 46) на элементар¬
ные слагаемые:
1 IS ( п\  d\ I d2 I ^3Р -г ^4 I й$р + ^6.
/7	/72+ /7 +	+	+	р2 + а\ ’
i	(4.47)
где
Л2д2	Л2д2	Л2(д2	_ Л2)
,	2 [У12	— b4A2) _ £0]	2(V|-*i)	2[4(h	-	hab	-	Ь0]
и 4 —	д^=.	;	CIq	=	.
^2 (д2 __ ^42)	л|(Л2 — О*)	(Л2	—
“ (4.48)
Переходя в выражениях	(4.41)	и (4.48)	к	2-изображениям, по¬
лучаем
z sin АТ
К' (z\— d^Tz I d2* I	^3 (Z2	Z COS AT)	■	A	|_
101 } (z—iy" z- 1+	22 — z 2	cos AT + 1	+	z^ — z2 cos AT + 1 ”*
I	db (22 — г cos a<jT) . d6 {z sin a2T)	(4 49)
z? — z 2 cos Л27, + 1	^2 z2 — z 2 cos	+	1
/c;(z)= fl'0r^t—•	(4.50)
V ; (Z _ 1)2 1 z _ 1	v }
Умножая выражения	(4.49)	и (4.50)	на дискретную часть
передаточной функции фиксатора, получаем передаточные функ¬
ции линеаризованного управляющего канала:
Кш (г)=_*L+d2 +d3Z'2 + d'tZ + а*+а**2 +	+ а’6;	(4.51)
V	}	Z-1~ 2 ~ £2 — 2k\Z -+- 1 ~ ^2 — 2^г	+ 1	k '
а\0Т
Л*) —
В (4. 51) и (4. 52) принято:
= j5y+«4-	(4.52)
d\= — sin AT — d3cos ЛГ — d3\ d\—d3cos AT —— sin AT;
A	A
de=— sin a2T — d5 cos a2T — d5; dl=d3 cos a2T — sin a2T.
#2
123

Рассматривая выражения (4.51) и (4.52), видим, что они пред¬
ставляют собой сумму передаточных функций усилительного и ин¬
тегрирующего звеньев, а также двух звеньев 2-го порядка, имею¬
щих резонансный характер. Действительно, определяя корни по¬
линомов в их знаменателях, находим
Величины k\ и k2 по характеру таковы, что не могут быть больше
единицы. Таким образом, резонансные частоты соответственно рав-
Для определения асимптотических свойств звеньев 2-го порядка
учтем, что по рассмотренным выше подробно соображениям, нас
интересует диапазон частот О^-со^сот/4, где (ог = 2я/г = 2я/71; отку¬
да 0^соГ^я/2.
По выражению (4. 53) можем определить модуль и фазу переда¬
точной функции
Анализируя последние выражения, можем заметить, что вели¬
чины А и а2 имеют одинаковый порядок, равный 10~2—10“3 с-1,
а Г^ё0,05 с, откуда АТ и а2Т имеют порядок 0,5(10-3—10-4); по¬
этому
^1,2—k\ + ]/" £i— 1 ; £1,2 — ^2 i "j/" ^2— 1*
НЫ COi A \ 0)2 = ^2-
находим: при ш=0 z-l = e-lioT= 1; г~2=е~^шТ= 1;
при (о = я/2Г z~l=e 12 = cos —у sin ~=—У!
z~2=e~^=cos я — у sin я= — 1.
имеем .4,Vid'A2— d-^2\
Т 1 Т (И
йл = 0,05 d4 — 2^3,

С учетом (4. 54) получаем
-Дитт= \/~ 0,005^4 + 4^з-|- 0,2я?4д?3;
(4. 55)
Из выражений (4. 55) видно, что угол <pIIIt0 расположен в чет¬
вертой четверти.
Таким образом, линейная модель рассмотренной части управля¬
ющего канала представляет собой в дискретном плане параллель¬
ное соединение усилительного и интегрирующего звеньев, а также
двух звеньев резонансного характера, имеющих свойства высоко¬
частотных фильтров. Иначе говоря, управляющий канал как ди¬
намическое звено накапливает постоянную входную погрешность,
имеет нежелательные с точки зрения задач стабилизации резо¬
нансные свойства и не обеспечивает эффективного подавления вы¬
сокочастотных помех.
Все это в совокупности диктует необходимость достаточно на¬
дежной защиты входа управляющего канала бесплатформенной
системы стабилизации летательного аппарата от помех.
Получим формулы, связывающие величину дисперсии инерци¬
альной компоненты вектора скорости на выходе канала с пара¬
метрами статистических характеристик случайных помех, действу¬
ющих на его входе.
В предыдущем параграфе было показано, что энергетический
спектр реального случайного сигнала определяется выражением
(4.34). Придавая коэффициентам а{ и соог значения, соответству¬
ющие характеристикам случайных функций vx\ и оо2ь можем по¬
лучить выражения для энергетических спектров помех, имеющих
размерности угловой и линейной скоростей:
Имея выражения для передаточных операторов Kv(z) и /С> (г),
полученные выше, находим по известной формуле дискретный энер¬
гетический спектр инерциальной компоненты вектора скорости:
.	°1г(.г—е	a'rcos	т01Т)
z)=	\-
*2 _ 2ze~a'T cos ш01Г + е~2а'7
а^г-1 (г-1 — e~a,r cos со01Г)	,
О
(4. 56)
г—2 — 2г—1е агГ cos + е 2а‘‘т
# (z) = [Si (z) | Кш (z) р + 5^ (z) \KV (z) р].	(4.	57)
125

Для дальнейших вычислений необходимо определить полюса функ¬
ции S£ (z). Пусть Zi — полюс, тогда вычет функции S£ {z) относи¬
тельно этого полюса определяется по формуле (п — кратность по¬
люса)
с_, =	lim	;
(л — 1)! z->-zl	dz(n-\)
а дисперсия Dcx находится как сумма вычетов по всем полюсам:
A>.r = 2res't5®
/ = 1
В качестве примера рассмотрим определение дисперсии DVXt
обусловленной наличием ошибки измерения приращения скорости
01й. Найдем диапазон изменения этой дисперсии при изменении
характера помехи от чисто случайного процесса до закономерной
функции со случайным масштабом.
Дискретный энергетический спектр чисто случайного процесса
можем получить, устремляя в выражении (4. 56) а2—>-оо и (.002—^0;
получаем:	(z)=<4b
Квадрат модуля передаточной функции Kv (z)находим следу¬
ющим образом:
I К. МР :=	+	«.,)	+	<■,)	=
 Д10 {^4 (1 - Т) Z2- [2д4 (1 — Т) + д10Г2] г - а4 (1 + Т)}
(г-1)2
Теперь по формуле (4. 57) определяем
S^z)=^\Kv{^)\2-
Дисперсию £>1ЛХ определяем как вычет функции Sy(z) относи¬
тельно двухкратного полюса z= 1:
£>сЛ = с_1=Нш— X
z-*-1 dz
{а4 (1 - Т) *2_ [2а4 (1 — Т) + аи7Ч] г — а4 (1 + Г)}
= 4^0 lim (2exz — е2) = 4i а10 (2е: — е2),
Z-+1
где ei = a4(l — Т); е2=2аА(\ — Т) +а{0Т2.
Для численных оценок, как и выше, полагаем: Ли =0,87; Лп =0,22.
Находим: а4=0,87; аю=0,02. Заметим, что а10=Лц имеет размер¬
ность (1], а не [1/с] за счет перешедшего к нему множителя [с]
от оператора у при отображении
Дю дДщ^-1[с]
р	z—	1	’
126

Таким образом, дисперсия продольной компоненты вектора ско¬
рости для случая, когда в пределах эффективной полосы частот ра¬
боты системы энергетический спектр помехи постоянен, равна:
£>«=4,. 10-е.
Теперь рассмотрим другой крайний случай, когда помеха пред¬
ставляет собой закономерную функцию со случайным масштабом.
В/^зак
этом случае дисперсия uvx определяется, как это следует из тео¬
рии случайных функций, как реакция на постоянную величину ov\:
Sv {z) = avl(4.58)
Очевидно, что выражение (4. 58) позволяет определить асимпто¬
тическое значение только для производной, но не для самой функ¬
ции; получаем
4ак= Нт [ (г ~1)2’ j£-j-	]	=	°viawT	=■-=	3vi10-3-
Для сравнения с последним выражением, находим среднюю
квадратичную ошибку для предыдущего случая; она равна
(bi*10“3. Таким образом и численная оценка подтверждает наи¬
большую «опасность» закономерных помех.
4.5.	Защита управляющего канала от помех
Защита входа цифрового управляющего канала от помех яв¬
ляется проблемой отнюдь не специфической для бесплатформен-
ной системы стабилизации, однако в отношении последней она
имеет ряд особенностей, которые для дальнейшего рассмотрения
целесообразно систематизировать.
Во-первых, количество и уровень помех в бесплатформенной
системе больше, чем в системе с гиростабилизированной платфор¬
мой. Действительно, мы уже отмечали, что платформа эффектив¬
но изолирует датчики первичной информации от вибраций, имею¬
щих размерность угла. Что касается вибраций, имеющих размер¬
ность поступательного перемещения, то дело обстоит следующим
образом: и платформа, и отдельно взятый измеритель (датчик
линейного ускорения или датчик угловой скорости) по отношению
к таким помехам представляют собой электромеханические фильт¬
ры, характеристики которых могут быть аппроксимированы коле¬
бательным звеном. Резонансные частоты таких звеньев значитель¬
но меньше, чем частоты максимального уровня вибраций (см.
рис. 23), поэтому звенья и обладают по отношению к высокоча¬
стотным помехам свойствами фильтров. Однако в связи с тем, что
резонансная частота отдельного измерителя выше резонансной
127

частоты гироплатформы, последняя обладает лучшими фильтру¬
ющими свойствами по отношению к линейным вибрациям и дру¬
гим высокочастотным помехам.
Во-вторых, в бесплатформенных системах стабилизации инфор¬
мация, получаемая с измерителей, используется не только как ос¬
нова для получения управляющих рассогласований, но и для вы¬
полнения сложных вычислительных операций с высокой точностью.
Что же касается обычных систем, то основные алгоритмы обра¬
ботки информации преследуют в них цель обеспечить необходимые
устойчивость и качество управления, представляя по характеру
линейные разностные формы, как правило, не выше третьего по¬
рядка.
В третьих, бесплатформенная система стабилизации, как пра¬
вило, имеет значительно более мощную и универсальную борто¬
вую вычислительную машину, чем обычная система. Это открыва¬
ет значительно большие, по сравнению с последней, возможности
в отношении использования эффективных алгоритмов фильтрации.
Таким образом, благодаря тому, что в бесплатформенных си¬
стемах и потребности и возможности фильтрации значительно вы¬
ше, чем в обычных системах, эта задача получает значительно
больший удельный вес.
В настоящее время есть практически две основных концепции
получения алгоритмов фильтрации; одна из них — подавление оп¬
ределенных участков спектра аддитивной смеси сигнала и поме¬
хи, другая — оптимальная обработка этой смеси, т. е. экстремиза-
ция какого-либо критерия, позволяющего получить минимальную
ошибку фильтрации. Первая концепция приводит к созданию поло¬
совых фильтров, вторая — к созданию оптимальных фильтров.
Следует отметить, что две названных концепции не равнозначны:
оптимальная фильтрация является универсальным аппаратом, в то
время как полосовые фильтры могут быть использованы лишь при
определенной структуре аддитивного спектра сигнала и помехи.
Действительно, если спектры сигнала и помехи перекрываются на
достаточно широкой полосе частот, то выбором ширины полосы
пропускания фильтра не всегда можно добиться удержания вели¬
чины ошибки в заданных пределах. Однако если полосовой фильтр
имеет характеристику, достаточно близкую к идеальной, то в ряде
важных практических случаев он может обеспечить необходимый
уровень подавления помех в требуемом диапазоне частот.
В то же время машинные ресурсы, затрачиваемые на реализа¬
цию соответствующих алгоритмов при полосовой фильтрации,
значительно меньше, чем при оптимальной. Поэтому мы рассмот¬
рим основные задачи, возникающие в связи с использованием в
бесплатформенных системах стабилизации как полосовых, так и
оптимальных фильтров.
Дискретные полосовые фильтры будем рассматри¬
вать, ограничиваясь линейными формами, так как только они раз¬
работаны до возможности эффективного практического примене-
128

ния. Введем следующие обозначения: х(пТ) — входи.-ш после¬
довательность фильтра как функция дискретного времени ( пГ\
у(пТ)—выходная последовательность фильтра как функция ди¬
скретного времени; а7 и bi— коэффициенты линейном формы, не
зависящие от текущего времени; s, г, т, / — числа натурального
ряда.
Если рассматривать линейное разностное уравнение общего
вида, связывающее вход и выход фильтра, то, записывая его н ус¬
ловно разрешенном относительно у(пТ) виде, получаем
у{пТ)= 2 b(x(nT — iT)+ ^ aiy{n-T — jT)-\-'^aiy{nT — jT).
i =—Г	j =—rn	у=1
(4. 59)
Если числа s, г, т, / выбраны таким образом, что процедура (4.59)
физически реализуема, то она представляет собой алгоритм фильт¬
рации входной последовательности х(пТ). Основная практическая
задача состоит в таком выборе коэффициентов а, и &*, а также чи¬
сел 5, г, m, U чтобы обеспечивалась необходимая частота среза
фильтра, а также достаточная крутизна характеристики фильтра
на этой частоте и требуемый уровень подавления.
Условиями физической осуществимости алгоритма фильтрации
являются следующие:
— запаздывающие члены выходной последовательности не
должны опережать запаздывающие члены входной последователь¬
ности;
— опережающие члены входной последовательности не долж¬
ны отставать от опережающих членов выходной последовательно¬
сти;
— если сглаживание осуществляется относительно текущего
момента времени, то опережающих членов вообще не должно
быть. Формально эти требования выражаются следующим неравен¬
ствами: s^/; r^/n; /'<0; т < 0, которые означают, что для опре¬
деления выходной величины в текущий момент времени нельзя
использовать информацию о значениях как выходной, так и входной
величин в будущие моменты времени.
Поскольку алгоритмы с опережающими членами обеспечивают
значительно лучшее приближение к характеристике идеального
фильтра, чем без них, то задача состоит в нахождении компромис¬
са между выигрышем за счет приближения к характеристике иде¬
ального фильтра и отрицательным влиянием запаздывания, так как
для введения опережающих членов сглаживание должно вестись с
отставанием от текущего момента времени.
Для связи с параметрами требуемой частотной характеристики
фильтра выражение (4. 59) отображается в г-область:
7=-(m+j)	-i=(z+s)
V(z), 2 a,zi=X{z) 2 bW.
j-(s-l)	'	1-0
Здесь	r^m;	b'i^bj.
129

На основе последнего выражения может быть записана пере¬
даточная функция фильтра:
х-(г+$)
2 ь\*1
Я (2)=Л1£> =_£=°	.	(4.60)
V ; X(z) j=(m+s)	i/t.	ии/
s *>'
J-is-l)
Основная задача при выборе параметров этой передаточной
функции состоит в том, чтобы установить соответствие между тре¬
буемой частотой среза фильтра сос и допустимым отклонением от
идеальной характеристики ДЛ(со), с одной стороны, и значениями
коэффициентов а/ и 6/, а также чисел s, г, т> I — с другой. При
переходе от передаточной функции к алгоритму важной задачей
является обоснование выбора интервала дискретности, а также
оценка ресурса БЦВМ, необходимого для реализации этого алго¬
ритма.
Обращаясь к выражению (4.59), видим, что для получения
одного значения сглаженной величины необходимо иметь
1) ячеек памяти, выполнить (г+5-|-т+/+1) обра¬
щений к. памяти, (r+s+m+Z-f-l) сложений и (r+s+m+H-l) ум¬
ножений. Если считать одну операцию умножения эквивалентной
по времени четырем базовым операциям, то всего для реализации
алгоритма (4.59) в одной точке теоретически необходимо
6(r+5+m+/-|-l) базовых операций.
При практической отработке формы частотной характеристики
фильтра числа опережающих и запаздывающих интервалов могут
быть неодинаковы, однако для предварительных оценок мы мо¬
жем полагать: r=s=m—l=N^f.
В этом случае находим общее число операций, необходимое
для реализации алгоритма как Агф=24Мф/+6. Для дальнейших
оценок введем дополнительно следующие обозначения:
Тт — максимально допустимый интервал дискретности управля¬
ющего канала, определяемый характером изменения мето¬
дических ошибок или допустимой величиной запаздывания
в замкнутой системе стабилизации;
Тц — такт работы БЦВМ;
Тф — интервал дискретности сглаживающего алгоритма;
/я — время, необходимое для реализации на такте всех алго¬
ритмов, кроме сглаживания;
tф—время, необходимое для реализации на такте алгоритма
сглаживания;
Л/к — число операций на такте, необходимое для реализации
всех алгоритмов, кроме сглаживания.
Учтем также очевидные соотношения:
Тт — ^ = /ф; h <7"т; h=NkTn.
130

Раскрывая значение величин U и /ф, получаем следующее соот¬
ношение:
Tn-NkTn=T^2AN'^),	(4.61)
где принято минимальное значение интервала сглаживания Тф =
= ТШ.
Выражение (4.61) может быть использовано двояко. Если за¬
даваться определенным быстродействием бортового вычислителя,
иначе говоря, величиной Гц, то можно найти количество операций
в пределах такта, которое может быть использовано для получе¬
ния опережающих членов алгоритма сглаживания. И наоборот,
если требовать наличия в сглаживающем алгоритме определенного
числа опережающих членов, что эквивалентно некоторому значению
Nф/) то можно найти требуемое быстродействие вычислителя в ви¬
де значения Тц.
Например, полагая Л^= 10000, Г/л = 0,05 и Гц=0,4*10-Г\ но фор¬
муле (4.61) получаем:
Так как обрабатываемый сигнал представляет собой вектор, то
в рассматриваемом примере может быть реализовано до 20 таких
членов.
Это позволяет получить характеристики фильтров, достаточно
близкие к идеальным.
Рассмотрим более подробно, как могут быть найдены пара¬
метры сглаживающего алгоритма, если заданы характеристики ре¬
ального желаемого фильтра в частотной области, т. е. если задана
А (со). В этом случае может быть применен один из следующих
способов:
— выбор интегрируемой аппроксимации для частотной характе¬
ристики Д (со) с последующим определением функции веса по
формуле:
оо
h{t)= е№А (со) ^М.	(4.	62)
и дальнейшим переходом к передаточной функции фильтра Н(z)
(4. 60) по общим формулам ^-преобразования;
— выбор аппроксимации для квадрата модуля передаточной
функции реального желаемого фильтра |Д(со)12, удовлетворяющей
требованию: при использовании подстановки	— jдолжны
получаться рациональные формы от г;
— переход к z-формам непосредственно от передаточной функ¬
ции желаемого фильтра с помощью метода частотной выборки.
131

Имеются описания применения этих способов для конкретных
аппроксимаций в литературе [7, И, 14, 16].
В качестве примера возьмем один из наиболее подходящих
для рассматриваемого, класса задач вариантов конструирования
цифрового алгоритма сглаживания.
В формуле (4.62) полагаем Л(ю) = 1, а пределы интегрирова¬
ния соответственно —сос и +сос, где (ос — частота среза требуемо¬
го фильтра, получаем:
А(0=— [ eiatd*= sin Мс*
2л j }	л	t
2л j
 О)
С
или для дискретного времени
h(nT) = sm и>сПГ.	(4.63)
лпТ
Коэффициенты веса (4. 63) позволяют определить параметры aj и
bi по основной формуле 2-преобразования: ctj=0; bi = Th(nT).
(;V 0)
Передаточная функция фильтра в z-области, определяемая на
основе формул (4. 59) и (4. 60), имеет вид
n^=yW (	(4	64)
Х(г)	;
i =—г
где	нулевой	член	находится по формуле:	h(0) = (со(Т)/я,	получае¬
мой	с	учетом	величины так называемого	золотого	предела.
Ряды (4. 64) имеют, как правило, довольно узкие области схо¬
димости, поэтому в фильтрах, полученных на их основе, могут воз¬
никать колебания, известные под названием колебаний Гиббса. Для
подавления этих колебаний к коэффициентам фильтра могут быть
добавлены множители, обеспечивающие ускорение сходимости
ряда (4.46). Наиболее частое применение находят множители сле¬
дующего вида:
— множитель Х&нна
множитель Кайзера
/ [а) Т]/г1 —(//S)2]	,	.
—Ц-1—v } J	при 11 ] <	5;
/ 0<ост>
0	при	| i | > 5,
где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода нулево¬
го порядка, т=sT; 10сост>1;
— множитель Фейера
132

— множитель Ланцоша
где т — положительное целое число.
Примеры экспериментальных характеристик фильтра вида
(4. 64) при г— — 1 приводится в [14],
Оптимальное сглаживание. Эта процедура должна
быть использована в случаях, когда при требуемом высоком уровне
подавления помех особенности спектра входных сигналов не по¬
зволяют применить полосовой фильтр. Здесь мы сразу должны
оговорить, что практически оптимальное сглаживание возможна
только для линейных систем, а уравнения бесплатформенной си¬
стемы стабилизации нелинейны. Поэтому все дальнейшие рассуж¬
дения относятся к линеаризованным моделям, иначе гогоря, уже в
самой постановке задачи мы допускаем определенную ошибку.
Наиболее эффективным и хорошо разработанным линейным
оптимальным аппаратом сглаживания является фильтр Винера —
Калмана. Применение этого фильтра в системах различного типа
достаточно широко описано в советской и зарубежной литературе
[6, 17, 22]. Однако использование такого фильтра налагает опре¬
деленные требования на полноту информации о векторе состояния
системы, ибо чем меньше координат измеряется, тем менее эффек¬
тивно сглаживание. Получение же недостающих фазовых коорди¬
нат с помощью кинематических или динамических соотношений*
которые могут быть реализованы только с помощью БЦВМ, сво¬
дит в общем случае процедуру применения фильтра Винера-Кал-
мана к серии последовательных приближений. Это значительна
повышает требования к быстродействию БЦВМ.
Для того чтобы представить сложность оптимальной обработ¬
ки сигналов в рассматриваемой задаче, проделаем некоторые ко¬
личественные оценки. Любая оценка условий применения опти¬
мальной обработки в конкретной системе должна начинаться с
определения вида вектора состояния идеально работающей систе¬
мы и вида зависимостей, связывающих недостающие фазовые-
координаты с сигналами измерителей.
Для рассматриваемого класса задач этот вопрос решается сле¬
дующим образом. Как было показано в гл. 2, в линейном плане
движение летательного аппарата описывается системой из девя¬
ти дифференциальных уравнений 1-го порядка (к системе (2.33)
добавлено уравнение вращения, интегрируемое отдельно). В разд..
4. 2 были получены четыре линейных уравнения, связывающих
одну из проекций скорости объекта на инерциальный базис с сиг¬
налами измерителей [см. (4.22)]. Дифференцируя уравнение для
компоненты скорости по времени и объединяя его с остальными
13&

тремя, получаем систему из четырех дифференциальных уравнений
1-го порядка с 10 неизвестными функциями. Для второй и третьей
компонент скорости можем получить аналогичные системы, т. е.
всего 12 уравнений, однако из них надо использовать только 9,
так как неизвестные 12ь ^22 и Х2з уже вошли в систему (2. 33). Если
к названным выше 18 уравнениям добавить 3 дифференциальных
уравнения, связывающих отклонения фазовых координат с откло¬
нениями органов управления (т. е. рассматривая приводы как
инерционные звенья), то получим систему из 21 линейного диффе¬
ренциального уравнения 1-го порядка с переменными параметра¬
ми. В этой системе непосредственно могут быть измерены только
9 фазовых координат: три компоненты линейной скорости, три
компоненты угловой скорости и три отклонения органов управле¬
ния'. Таким образом, матрица датчиков системы имеет нулевые
•столбцы и строки, т. е. является особенной. Как уже было отмече¬
но, в этом случае мы имеет дело с вариантом задачи с неполной
информацией и для повышения точности должны идентифициро¬
вать недостающие координаты, интегрируя остальные 12 уравнений
отдельно и считая все функции, кроме направляющих косинусов
и инерциальных компонентов скорости, известными.
Таким образом, алгоритм сглаживания, основанный на методе
Калмана, для рассматриваемой задачи характеризуется следую¬
щими особенностями:
— матрица системы имеет 21-й порядок;
— для идентификации недостающих фазовых координат необ¬
ходимо интегрировать систему линейных уравнений 12-го порядка
с переменными параметрами;
— если для идентификации используются несглаженные зна¬
чения измеряемых величин, то возникает дополнительный источ¬
ник ошибок;
— так как практически БЦВМ всегда требует защиты от помех
на входе, то общий потребный вычислительный ресурс увеличи¬
вается за счет дополнительных сглаживающих алгоритмов.
Рассмотренная нами идеальная модель объекта не включает
колебаний аппарата по дополнительным степеням свободы и опи¬
сания корреляционных функций возмущений. Если учитывать эти
факторы, то порядок матрицы системы возрастает не менее чем на
три единицы и трудности решения этой сложной задачи также рез¬
ко возрастут. Если учесть, что время на реализацию сглаживаю¬
щих алгоритмов на интервале дискретности, как было показано,
измеряется в лучшем случае сотыми и даже тысячными долями
секунды, то становится ясным, что без существенного упрощения
идеальной модели объекта оптимальная обработка нереальна.
С другой стороны, упрощения могут свести к минимуму или вооб¬
ще уничтожить все преимущества оптимального сглаживания по
сравнению с другими методами. Все сказанное в отношении труд¬
ностей реализации оптимальных процедур сглаживания призвано
не отвергнуть их, а показать реальную картину.
134

ПРИЛОЖЕНИЯ
1.
mv^yX	vGiozx
an— ;;	hw;	«12	=	bwx:
P + Yl-Gl2x	p + Yl-ОЦх
vG (аь>гх + Payj)	vGu>„x
«13 =~	. y«—-—;	a14	=	-
Р + Г'-ОХ21	”	P+Y%-Gl2l
vGuiyi	V<azx
^15 D _1_ V» /Г».. ’	«IF#
P + Y*-G\2 x	lrv	P	+	Yl-G\2l
vu>yx
a\Fz
P + Y*a- GX21 ’
_i>(maxc - P -Y*+ Gl2i) '	^	_	Gaaxc
#22 —	7Г~Г~Х71	’	^23	-
/> + Г‘-СХ21	P	-J-	—	GX21
~	с
°24 D , v«_ rt»..	’	a<2Fy
«31
#34
tf41
Р + Г“-СХ21	P	+	Y°a-[Gl2l
i; (P + z£ — GX2 i — /яд*с)
#4Ft/
#52
#54
a
P + ZP-GX21
> ^33
P + ZP_OX21 ’
_ Gayc
aZFz-
	 #rc
p + z|-gx21’
P + Z3_ ox21 ’
n . _ -
AlpGp
*43"
/^(Я + ZJ-GXm)
m9g
_ /,,i(P + ZP-OXm) ’
#46 =
tyl ’
Afp
_ 1
Jgi (p+zl- gx21) ’
#4 Aft/:
~ hi'
ГУ
MaGa
/г1(Я + Г“-gx21) ’
u53"
hi (я + г“-ох21)
iM“G
П
_ < _
Mp + K£- GXai) ’
a56
t*i ’
ЛГ
_ 1
' Mp+y2- gx21) *
#5Жг:
^г1 ’
hFy
#6l = ^23> #62== ^22 j #e4 = a)zb #65 = °V’
#72“ ^215 #73 = (0zl’	#81	—	^215	#83	= %1*
2.
^i2 = a)si» ^i3=co(/i? ^i4=^zi’ ^15 — ^yi’ ^i6 = G/tn\ blF=\lm;
135

Ya
*21=(Вл;	^22=—b2b=vxl\ b21=G!m; b2F=\/m; b31 = iо t;
TTLV
z$a
Азз=	» ^34 = ri; b^-=Q]n%\ Ь^=1//п\
tnv
и M* , Mli и i,r t Aie ,
43—у j ^49	}	»	^4M—^Py\\	Ь$2— “	 '»	^59	=
JylV	Jyi	JzlV
z 1
zl
^5/И—	^64	— '*'231 ^65 — '*'22? b67—mxl\	b6s — (0(/1;
675 = X2I; b76 = С0г1; &84==:^21> ^86==u,4fl'
3.
, mv2u>zi	,	v
—	7?	’ Cl5 к«	+г,а:	ci^i/—"pr ’
a	a	1	a
n vuiyi ,	mvaKC	’ axc
^IFz	\	C‘2o ^	—	I	C‘2Fy=~—\
a	1	a	1	a
X “xz . л' _mvaxс _
3f г —тГ ’ Гз4 — v’
Dyi + mv (xd— Xf)
^44—	"	)	C46
M
my\ .
Jyl	Jy\
r 	 Xd—XT	,	I	, Dzi -f- mv [xd— XT)
*C4Fz	  ;	с	4	My=—\	С 55=	   ;
Jy 1	J	yV	zl
xd—xT	Mbzl	,	1
CbFy =	  ;	C5Q=—	 ;	C$Mz= -—•
z\	J	z\	z\
4.
I  °brl
йл с + “л-1	МЛ-1	“лг1
IV=II-z>; v=l.w; VI = II; VII = V; IX=I; X = IV;
Vin = ^c + a^i , XI = — -axc; XII= —;
azx	m	171
XIII=ajrc_iL; xv=^2l; Ji=JA-Jyi\
TYl	J	x 1
XIV = — $tcos ^	$t	sin ^	;
XVI=ii coyl; XVII = ~7^sin (j "tid^-cosU Oxidt^j j;
136

XXVI=-^-(0
hx
XXIX=
a,=
XXVII=^; XXVIII= —;
J JCl	J	z\
z\
hx
XMX
A=
XIX
1 + XI-VI
XI-VIII
1 +XI-VI ’
XIX
s,=
£4 =
B2=
B,
1 + XI-VI
XIIM
1-XIIMI
XIIIV
1-XIIMI
AtBa +
1 -А,БХ
Ал
Б
В,
1
1 4- XI- VI
'о
хпып
2 .. ..
1 -XIIMI
XII
5
1-XIIMI
А\Б4 4- А4
Аъ=-
XII
1 —
> ^ 1 = ^1^1	Г2 =
В! =
*4 =
1+XI-VI
XIIMV
1-XIIMI
А\Б2 + А2
1 - Афх
АхБгл
1 - АХБ
1*>1
-Б1В2~\-Б3]
1 -АгБг
Г ■3 = Б1В3-\- Б4; Г 4=БхВ4-\- Ьъ\ Г ъ = Бг Въ\
c\A=vuzl (VI Вг- VIIГг - VIII) + wyl{I• Вх + II • Л + III);
^15 = ^а)г1 (VI-Я2— VII.Г 2—IX) ”|“	(I'-fig-f-II*/^2“Ь^);
Ci6=^i(VI.53-VII.r з —|— X) —(—	(I - II •	з +V);
c\Fy = vuzX(V\\-—	Въ) — ъыу1{\-Въ-\-\-Г 5);
c\fz=wtl СVI • В, - VII • Г4) + VMyi (I • В4+1 • Г4);
п	п	tf	п
с24=Вх\ с2ъ= Во'у С26=В'3; c2Fz = B4; с2гу = В5;
"	Т~*	"	Г-»	"	Т~Х	П	Г-'	п	Г-ч
^34— Б1, С 35 -— J 2у £зб Б з, CqFz *4’ ^3 Fy — *5’
Си= (XIV + XVII • III + XXIII • I • £х + XXIJI • II • Л);
с« = (XVII • IV - XV+XVII • I• В2 + XVII • II• Г2); с\м=XIX;
с«= (XVII • V - XVI + XVII • I • £3+X VII • II • Г3); с\7=XVIII;
c\Fy=(XVII • I • В5 + XVII • II • Г6); c\Fz=(XVII • I • В4 + XVII • II • Г4);

с;4=(ХХ + ХХИМ11 + ХХ11М-51 + ХХШ.Ц.Г1);
cl5=(XXI + XXIII • IV + XXIII • I • Я2+ XXIII • II • A);
сх= (XXII + XXIII ■ V + XXIII • I • Я3 + XXIII • II • Гз);
с5"л, = Х1Х; C57=XXIV; ^=(ХХИМ.Я5+ХХ11МЬГ8);
с:^=(ХХ11М1-Л4-ХХ11М-Я4); Сеж = Х1Х; C67=XXIV;
ей=(xxv+xxviii-viii-xxviii-vi-a+xxviii-vii-A);
ей=(XXVIII • IX - XXVI - XXVIII • VI • Я2 + XXVIII • VII • Г2);
с«=(XXVIII • VII • А - XXVIII • VI • Я3 - XXVIII- X + XXVIII);
c6Fe=(XXVIH • vi ■ я, - xxviii • vii • А);
c6Fz=(XXVIII • VII • а - XXVIII • VI • Я4).
5.
d]o — v>zi\ diz=^>y\\ d\^—(vz\\ diQ=‘vyl, dn=—,
Y°a
&2\== d\2\ d2Q==rUxi, fl?22 =	»	^23	^jcl*
mv
d2i=tvz\-> d2^ — vx^ d2F~ 5 dzi = ^y\\
m
Za
d$2==	<*33 = mv ’ ^34=^1» <*35=4*rl>
dsF^- — ; rf43=XVII — flf44; = XIV; fl?45=XV; [*/4e=*=XVI;
m	v
d47=XVIII; diM = \IX; rfM=XVIII--~; rfM=XX;
As = XXl; Ae = XXII; Ат= XXIV; dbM=diM\
Аг=XXVIII—- ; e4=XXV; d65=XXVI; </*=XXVII;
V
d67=XXlV; dGM = d4M:> d72=<*>zl; d^—
dw—'Vzii d1G = rvyi\ dG\ = d^\ rf83 = ^23> dQi=d^
dGG — d,2Qi d§ \:==-d73j ^92=^2з’> d%\—diG, d§b—d2G*

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
J 1. Андреев В. Д. Теория инерциальной навигации. М., «Наука», 1966, 579 с.
2.	Боднер В. А., Селезнев В. П. К теории инерциальных систем без ГСП. —
«Известия АН СССР», ОТН «Энергетика и автоматика», январь — февраль,.
1961, 62—68 с.
УЗ. Бранец В. Н., Шмыглевский И. П. Применение кватернионов в задачах
ориентации твердого тела. М., «Наука», 1973, 320 с.
4. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967, 814 с.
5. Захарин М. И., Захарин Ф. М. Кинематика инерциальных систем нави¬
гации. М., «Машиностроение», 1968, 236 с.
У6. Захаров В. Н., Шаталов А. С., Барковский В. В. Методы синтеза систем
управления. М., «Машиностроение», 1969, 326 с.
7. Кузин JI. Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления..
М., Машгиз, 1962, 682 с.
J 8. Лебедев Р. К. К вопросу об оценке и компенсации ошибок построения
инерциального координатного базиса с помощью БЦВМ. — «Механика твердого
тела», 1970, № 1, 168—172 с.
\/У 9. Лебедев Р. К. Простые формулы для оценки методической ошибки вы¬
числения направляющих косинусов в бесплатформенных системах. — «Приборо¬
строение», 1975, т. 48, № 11, 76—79 с.
10. Лурье А. И. Аналитическая механика. М., Физматгиз, 1961, 824 с.
11. Цыпкин Я. 3. Теория линейных импульсных систем. М., Физматгиз, 1963,
968 с.
'12. Шаталов А. С., Топчеев Ю. И., Кондратьев В. С. Летательные аппараты
как объекты управления. М., «Машиностроение», 1972, 238 с.
13. Alexander N. Miniature floated inertial platform. — AIAA Paper, No. 69—
835, p. 1—11.
14. Carrara N. Application of some nonrecursive digital filters to on-board
data processing. — 19 th Congress of the Internationale Astronautical Federation,
N. — Y., October 13—19, 1968, p. 1—12.
15. Contrackt NAC-8-2029 for G. C. Marshall Space Flight Center of NASA.
Look into Strap-down Guidance designe. Control engineering, 1966, v. 13., No. 10,
October, p. 312—318.
16. Holtz H., Leondes С. T. The synthesis of recoursive digital filters.—
Journal of Association of computational machinary, 1966, v. 13, No. 2, p. 262—280.
Vl7. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction prob¬
lems.— Transactions of ASME, Journal Basic Engineering, March, 1960.
18.	Matthews I. B., Taylor G. R. Development program for a general purpose
computer and strap-down inertial measurement unit. AIAA Paper, No 69—850„
p. 1 —14.
139

19. Quasius G. R. Strap-down navigation. Space Aeronautics, 1963, v. 40,
No 3, p. 89—94.
20. Rountree R. C. Rectification errors of the strap-down single-axis platform
under vibration inputs. —AIAA Guidance, Control and Flight Dynamics confe¬
rence, Passadena, California, August, 1968.
21. Sullivan I. I. Evaluation of the computational errors of strap-down navi¬
gation systems. — AIAA Journal, 1968, v. 6, No. 2, p. 312—319.
v> 22. Toda N. F., Schell F. H., Obsharsky P. Region of Kalman filter conver¬
gence for several autonomous navigation models. AIAA Journal, 1969, v. 7,
No 4, p. 58—66.
23. Vander Velde W. E. and others. Onboard computer requirements for na¬
vigation of a spinning and maneuvering vehicle. — Journal of Spacecraft, 1969,
v. 6, No 12, p. 3—18.
24. Whilcox I. C. A new algorithm for strap-down inertial navigations. —
IEEE transactions on aerospace and electronic systems, 1967, v. AES-3, No 5,
p. 796—802.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие .	.	3
Введение	  5
Глава 1. Инерциальное управление без гиростабилизированной платформы	9
1.1. Принцип инерциального управления	 9
1.2. Методы аналитического построения ИКБ на борту летательного
аппарата	16
1.3. Общий подход к анализу БСС и выбору ее параметров и алго¬
ритмов 	25
Г лава 2. Математическое описание летательного аппарата как объекта
стабилизации 	 30
2. 1. Полные уравнения движения летательного аппарата ....	30
2. 2. Линеаризованные уравнения движения летательного аппарата .	40
2. 3. Уравнения и структурные схемы для случая плоского программ¬
ного движения летательного аппарата	54
Г лава 3. Определение ориентации летательного аппарата	65
3.1. Уравнения, связывающие угловое положение и угловую скорость
летательного аппарата	65
3. 2. Свойства решений дифференциальных уравнений связи ....	68
3.3. Алгоритмы определения параметров ориентации летательного ап¬
парата 	74
3. 4. Методические ошибки определения параметров ориентации ...	81
Глава 4. Математическое описание и динамические характеристики управ¬
ляющего канала БСС	95
4. L Вычисление управляющих команд	95
4.2. Уравнения управляющего канала  	105
4.3. Математическое описание сигналов измерительной системы . .	.	111
4.4. Частотные свойства управляющего канала .	  119
4.5. Защита управляющего канала от помех  	127
Приложения .	.	.	135
Список литературы .	139

ИБ № 1077
Роман Кириллович Лебедев
СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА .
БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ
Редактор издательства JJ. А. Цветкова	Художник	Е.	И.	Волков
Технический редактор А. Я. Дубине кая	Корректор	Е.	П.	Карнаух
Сдано в набор 14/11—1977 г.	Подписано	к	печати	10/V—1977 г.	T—09224
Формат 60X90Vie	Бумага	№	2
Печ. л. 9,0	Уч.-изд. л. 8,75
Цена 45 коп.	Тираж	2000	экз.	Изд.	зак.	981
Издательство «Машиностроение», 107885, Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3.
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Хохловский пер., 7. Тип. зак. 2267

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МАШИНОСТРОЕНИЕ:
НОВЫЕ КНИГИ
ПО АВИАЦИОННОЙ ТЕХНИКЕ
Выпуск 1977 г.
Попов В. И. Системы ориентации и стабилизации
космических аппаратов, 12 л. Цена ориентировочно
65 к.
В книге рассмотрены методы проектирования си¬
стем ориентации и стабилизации космических аппа¬
ратов.
Проанализированы вопросы повышения точности
пассивных систем стабилизации вращением, систем
стабилизации при помощи светового давления сол¬
нечных лучей, систем гравитационной стабилизации,
а также активных систем, использующих газореак¬
тивные сопла.
Бердников В. В. Прикладная теория гидравличе¬
ских цепей. 10 л. Цена ориентировочно 95 к.
В книге дан анализ широкого класса гидравли¬
ческих устройств (механических, электрических,теп¬
ловых). Приведены методы теории цепей и теории
преобразователен энергии. Описаны примеры при¬
менения методов теории гидравлических цепей для
анализа систем регулирования расхода и давления
ЖИДКОСТИ, гидравлических усилителей и следящих
приводов.
Астросдодищие системы. 18 л. Цена ориентиро¬
вочно 1 р. МО к.
В книге наложены основы теории и принципы по¬
строения астроелгдищич систем. Описаны их свой¬
ства и области применения для управления различ¬
ными научными прнОорлми на космических аппара¬
тах.
143