/
Автор: Фрадкин Б.М. Колли Я.Н. Соболева Л.П.
Теги: электротехника физика электроника теория поля задачник учебное пособие
Год: 1972
Текст
ЗАДАЧ
я. и. колли
Л. П. СОБОЛЕВА
Б. М. ФРАДКИН
ЗАДАЧНИК ’
по
ТЕОРЕТИЧЕСКИМ
ОСНОВАМ
ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ
(теория поля)
Под общей редакцией
доктора техн, наук
проф. К. М. Поливанова
Допущено Министерством высшего и
среднего специального образования
СССР в качестве учебного пособия
для студентов электроэнергетиче-
ских, электротехнических и радио-
технических специальностей выс-
ших технических учебных заведений
«Э Н Е Р Г И Я»
МОСКВА 1972
6П2.1
К 60
УДК 621.30 (076.1)
Колли Я. Н. и др.
К 60 < Задачник по теоретическим основам электротех-
ники (теория поля). Учебное пособие для вузов.
Под 1)бщ. ред. проф. К. М. Поливанова. М., «Энер-
гия», 1972.
168 с. с илл.
В задачнике даны примеры и задачи, соответствующие третьей
части курса теоретических основ электротехники. Наиболее харак-
терные и трудные задачи снабжены решениями или методическими
указаниями. Книга предназначена для студентов вузов всех элек-
тротехнических специальностей.
3-3-8
137-72
6П2.1
/
ЯКОВ НИКОЛАЕВИЧ КОЛЛИ,
ЛИДИН ПЕТРОВНА СОБОЛЕВА,
БОРИС МИХАЙЛОВИЧ ФРАДКИН
Задачник по теоретическим основам электротехники
(теория поля).
Редактор Б. Я. Жуховицкий
Редактор издательства В. И. Мучкина
’ Переплет художника Н. Т. Ярешко
Техн, редактор Н. А. Галанчева
Корректор 3. Б. Шлайфер
Сдано в набор 17/XII 1971 г. Подписано к печати 16/VI 1972 г.
Т-09130. Формат 84Х108У32. Бумага типографская № 2. Усл. печ.
л. 8,82. Уч.-изд. л. 10,81. Тираж 50 000 экз. Заказ 101. Цена 38 жоп.
Издательство «Энергия», Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типогра-
фия № 1 «Печатный Двор» им. А. М. Горького Главполиграф-
прома Комитета по печати при Совете Министров СССР, г. Ленин-
град, Гатчинская ул., 26г
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий задачник является учебным пособием по
третьей части курса теоретических основ электротехники
(ТОЭ) — теории. электромагнитного поля п в основном соот-
ветствует программе курса ТОЭ для инженерно-технических
специальностей вузов. ‘
Изучение основ теории электромагнитного поля часто вы-
зывает болыппе затруднения. Глубокое освоение идей теории
электромагнитного поля и методов- его расчета возможно толь-
ко при самостоятельном решении большого количества задач.
Помещенные в сборнике задачи включают в себя как
решаемые в аудитории с помощью преподавателя, так и
рекомендуемые для самостоятельного решения. В связи
с этим типичные задачи и задачи повышенной трудности
сопровождаются методическими указаниями и решениями.
Около номеров задач в этом случае сделаны соответствующие
пометки (М или Р).
Авторы считают, что обращаться к решениям, приведен-
ным в задачнике, следует только после v самостоятельного
решения пли основательной попытки найти его.
Принятый порядок расположения задач, безусловно, не
предопределяет порядок их использования на занятиях со
студентами. >
. Отметим, что в первой главе собраны простейшие задачи
на электрические, магнитные и электромагнитные поля, для
решения которых не требуется никаких специальных методов.
На подбор задач оказал влияние коллективный опыт
преподавателей кафедры ТОЭ МЭИ.
В сборник? помещены как оригинальные задачи, так и
известные из ранее опубликованных сборников задач.
В ряде задач авторы стремились дать размеры и пара-
метры, характерные для реальных технических устройств.
Многие задачи появились как результат обобщения и идеа-
лизации практических вопросов., с которыми представители
промышленности обращались на кафедру.
Часть задач поставлена так, что требуется идеализация
электротехнической формулировки, что преследует цель
научить студента переходить от реальных устройств к их
идеализированным расчетным схемам.
Глава Г и § 2-1 — 2-5 гл. 2 написаны Л. П. Соболевой.
Глава 3 п § 2-6 и 4-3 написаны Б. М. Фрадкиным. Глава 4
(кроме § 4-3) и § 2-7. написаны Я. II. Колли.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам
проф. М. С. Шебесу и доц. Н. В. Шленову, а также коллективу
3
кафедры ТОЭ Ленинградского кораблестроительного инсти-
тута, внимательно просмотревшим рукопись задачника и сде-
лавшим ряд ценных замечаний, многие из которых были
учтены при редактировании. Авторы также благодарят това-
рищей по кафедре, принимавших участие в обсуждении и
решении ряда задач.
Тщательная редакционная работа Б. Я. Жуховицкого
способствовала улучшению сборника, за что авторы выра-
жают ему свою признательность.
Авторы заранее благодарны за критические замечания и
пожелания, которые просят направлять в адрес издатель-
ства- пли кафедры ТОЭ МЭИ (Москва Е-250, Красноказармен-
ная ул., дом 14, МЭИ, кафедра ТОЭ).
Авторы
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВОДНЫЕ ЗАДАЧИ
1-1. СИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
’ Для решения задач этого параграфа необходимо знать опре-
деление основных векторов поля Е и В, связь между потенциалом ф
и напряженностью поля Е, определение емкости и индуктивности и
уравнения Максвелла в интегральной форме. Эти соотношения и
уравнения:
1. Закон Кулона: F = - •
4Л8807? 2 ’
2. Закон Ампера: F = O°xBZ;
4Л88о7?2 *
В = 2^10 Х ’'°-
3. ф = —^Edl + const.
4. С = q/щ L = W/i.
5. Теорема Tavcca: 5 EtZS= — JD
J 680 880
6. Закон полного тока: ф Н dl = У] f — J JcZS.
7. Закон электромагнитной 'индукции, или закон Фарадея:
3=b(fl=_^ = _i С BdS.
J vt д/ J
1-1. Определить силу, которая дей-
ствует в вакууме на каждый из точечных
нарядов системы, изображенной на рис. 1-1,
где Qa == 4-10~12 Кл, qb = 15-10-12 Кл,
qc .= 15 -IO"12 Кл.
Найти напряженность поля, создавае-
мую двумя зарядами в месте расположе-
ния третьего.
1-2. Три точечных заряда расположены
вдоль прямой линии на одинаковых рас-
стояниях друг от друга. Крайние заряды
одинаковы по величинё и знаку. Каково соотношение между вели-
чинами среднего и крайнего зарядов, если система находится в со-
стоянии равновесия?
1-3. Две одинаковые заряженные частицы находятся в вакууме
на расстоянии 5 см друг от друга. Заряд каждой частицы 2 • 10-10 Кл,
масса — 1 мг. Какую конечную скорость приобретут частицы,
разлетаясь под влиянием сил отталкивания?
5
1-4. Два одинаково заряженных бузиновых шарика подвешены
в воздухе на нитях, закрепленных в общей точке. Определить
угол между нитями, если длина нитей одинакова и равна 50 см.
Заряд каждого шарика 5 • 10~8 Кл, масса — 16 мг.
1-5. Определить напряженность поля в вакууме над плоской
металлической пластиной вдали от ее краев, на одной стороне
которой равномерно распределен поверхностный заряд q& —
= 10-1° Кл/м2. Рассчитать силу, действующую на положительный
пробный заряд q = 10~12 Кл, находящийся на расстоянии а от
пластины.
1-6. Найти напряженность поля, электрическое смещение,
поляризацию, свободный и связанный заряды и емкость для пло-
ского конденсатора с площадью пластин S = 25 см2 и расстоянием
’ между обкладками d = 2 мм в двух случаях: а) диэлектрик —
воздух, б) диэлектрик — текстолит с 8 = 4. Напряжение на кон-
денсаторе 1 кВ.
1-7. Рассчитать напряженность поля и потенциал: 1) внутри и
2) вне (в воздухе)'металлического шара, на поверхности которого
равномерно распределен заряд 20 мкКл. Радиус шара 25 см. По-
строить графики Е и ср в функции координат, считая потенциал
равным нулю в бесконечно удаленной точке.
1-8 (Р). Рассчитать напряженность поля Е и потенциал ф:
1) внутри и 2) вне шарообразного электронного облака. Построить
графики Е и ф в функции координат в двух случаях: А) объемная
плотность заряда р постоянна и равна — 2,5 -10-9 Кл/см3; Б) объем-
ная плотность заряда электронного облака изменяется по закону
—2,5-НГ9 а/ (а + R).. Кл/см3.
Радиус шара Яо = 0,5 см; коэффициент а = 0,2 см.
1-9. Какой радиус должен иметь уединенный металлический
шар в воздухе, чтобы на нем можно было разместить заряд вели-
чиной в 1 К л? Какова емкость этого шара? Пробивная'напряжен-
ность воздуха ЕПр = 30 кВ/см.
1-10. Рассчитать напряженность поля и потенциал и построить
графики Е (г) и ф (г): 1) внутри и 2) вне, электронного луча цилин-
дрической формы с объемной плотностью заряда —2-10-13 Кл/см3.
Радиус луча 1 мм. Длина луча много больше его радиуса. Расчет
провести для области, удаленной от концов
луча. Принять потенциал равным нулю
на оси.
•1-11. Рассчитать напряженность поля
и потенциал: 1) внутри и 2) вне бесконеч-
ного цилиндрического проводника с коак-
сиальным отверстием, находящегося в воз-
духе. Линейный заряд 2 • 10-10 Кл/м. Радиус
проводника 3 мм. Изменится ли распреде-
ление потенциала, если отверстие некоак-
сиально?
1-12. На бесконечно длинную прово-
локу с зарядом т на единицу длины коак-
сиально надета металлическая труба (рис. 1-12). Определить вектор
электрического смещения D: 1) внутри и 2) вне трубы, а также
поверхностный заряд на проволоке и внутренней и наружной по-
верхностях трубы в случаях: А) труба изолирована; Б) труба за-
землена; В) проволока соединена с изолированной трубой.
6
1-13. Рассчитать напряженность Поля, распреДелёнйё потен-
циала и емкость воздушного цилиндрического конденсатора
(рис. 1-12), находящегося под напряжением U — 10 кВ, если
гх = 2 мм; г2 — 6 мм. Построить графики Е (г) и ф (г).
1-14. Две соосные проводящие цилиндрические поверхности
образуют конденсатор. Радиус внешней поверхности и напряжение
на конденсаторе заданы. '
При каком отношении радиусов внутренней и внешней поверх-
ностей наибольшая напряженность поля в конденсаторе минимальна?
1-15. Магнитная отклоняю-
щая системаюсциллографа состоит
из двух катушек (рис. 1-15).
Определить силу, действующую на
Рис. 1-16
Рис. 1-15.
электроны луча, движущиеся со скоростью v = 3 • 109 см/с в области,
где индукция равна 10 Гс. Заряд электрона —1,6 -10~19 Кл.
Как изменится сила, если электронный луч проходит под
углом 45° к оси катушек?
1-16. Рамка магнитоэлектрического прибора находится в воз-
душном зазоре постоянного магнита. Индукция в зазоре однородна
й фавна 8 000 Гс. По рамке, имеющей 100 витков, проходит ток 10 мА.
Размеры рамки даны на рис. 1-16.
Определить вращающий'момент, действующий на рамку. Чем
определяется равномерность шкалы этого прибора.?
1-17. Отклоняющая система электродинамического прибора
состоит из подвижной и неподвижной катушек (рис. 1-17). Пока-
зать, что вращающий момент про-
порционален произведению токов,
протекающих по катушкам.
Рис. 1-17.
/
-Рис. 1-18.
От чего еще зависит вращающий момент? Каков характер шкал
приборов: амперметра, вольтметра и ваттметра?
1-18. Определить магнитную индукцию в точках М± (8, 12, 0 см)
и -^2 (8, 12, 10 см), создаваемую током 100 А, протекающим по
°Роводу, изогнутому под прямым углом (рис. 1-18).
7
Целесообразно ли для решения этой задачи применить закон
полного тока?
1-19. Рассчитать магнитное поле в проводниках коаксиального
кабеля и в пространстве между ними (рис. 1-12), если по проводни-
кам кабеля проходит постоянный ток 10 А, радиусы гх = 3 мм;
г2 = 8 мм; г3 = 10 мм.
Вычислить внешнюю индуктив-
ность кабеля на единицу длины.
1-20. На кольцевой сердечник
заданных размеров (рис. 1-20) из фер-
ромагнитного материала ц = 1 000
нанесены равномерно две однослой-
ные обмотки = 20 и lp2 = 200.
Рис. 1-21.
0 ЧОмм-
Рис. 1-20.
Определить • собственную индуктивность каждой обмотки,
взаимную индуктивность между обмотками и коэффициент связи
(для однослойных катушек, намотанных на сердечник с большой
проницаемостью, потоком рассеяния можно пренебречь).
1-21. По трехпроводной системе шин (рис. 1-21) проходит
трехфазный ток с амплитудным значением 20 000 А.
Определить среднее значение силы, действующей на каждый
изолятор, построить на одном графике кривые изменения этих
сил во времени.
1-22 (М). Между проводами двухпроводной линии симметрично
ими расположена рамка, имеющая 100 вит-
ков (рис. 1-22). Через рамку проходит
ток 10 sin 500 t, А.
Вывести формулу коэффициента взаимной индуктивности*
Определить величину э. д. с., наводимой в линии, если а = 40 мм/
«х — 25 мм, I — 50 мм.
8
1-23. Определить взаимную индуктивность между двухпровод-
ной линией передачи энергии и линией связи (рис. 1-23). Провода
линии проходят параллельно, длина линий 7 км.
1-24. Плоская проволочная петля расположена вблизи про-
вода с током i = 100 sin 314г, А (рис. 1-24). Ось провода лежит
в плоскости, проходящей через петлю.
Вычислить э. д. с., наводимую в петле.
1-25. По контактному проводу электрифицированной железной
дороги протекает переменный ток I = 100 А частотой 50 Гц.
Какая э. д. с. будет наводиться на единицу длины проводов
линии связи, проходящей параллельно полотну железной дороги
при различном расположении проводов 1 и 2, указанном на
рис. 1-25? Расстояние между проводами линии связи 50 см.’
Решить задачу: а) считая, что ток в рельсах распределяется
поровну; б) заменяя рельсы одним эквивалентным проводником,
расположенным посередине между рельсами. Сопоставить реше-
ния. \
1-26. Для измерения магнитного- поля применяется плоская
катушка \ содержащая w витков; площадь, ограничиваемая/ вит-
ками (в плоскости витков), равна S. Провода катушки образуют
контур, замкнутый на прибор, измеряющий количество протекаю-
щего электричества (кулонметр). Поместив катушку в области поля,
подлежащего измерению (например, у полюсных наконечников
электрической машины), ее поворачивают на 180° и отсчитывают
показание кулонметра.
Дано: ш = 100, 5 = 0,2 см1 2, сопротивление всей измеритель-
ной цепи (включая катушку) R = 250 Ом, отсчет по кулонметру
q -= '8,8-КУ7 Кл.
Что можно определить на основании указанных данных?
Каких данных недостает и какие еще измерения надлежит произ-
вести для определения вектора магнитной индукции в заданной
точке (полагая, что в пределах катушки поле изменяется мало).
1-27. При измерении остаточной магнитной индукции постоян-
ных магнитов применяют следующий метод: на среднюю часть
магнита надевается однослойная катушка, плотно прилегающая
к сердечнику, цепь которой замкнута на прибор, для измерения
количества электричества (таким кулонметром обычно служит
баллистический гальванометр); после включения прибора магнит
выдергивают (или сбрасывают катушку) и фиксируют показание
прибора (рис. 1-27).
1 Плоской называется катушка, все витки которой расположены в од-
ной плоскости.
9
Чему равна остаточная индукция магнита сучением 2 см2,
если количество электричества, протекшее в цепи после сброса
*• катушки, равно к6 мкКл; число витков катушки 20; сопротивление
цепи (катушки, соединительных проводов
и самого кулонметра) 400 Ом?
1^28. Должно ли измениться количе-
ство электричества, протекшего в измери-
тельной цепи задачи 1-27, если в резуль-
тате нарушения изоляции между двумя
соседними витками один из витков изме-
рительной катушки оказался замкнутым
накоротко?
1-29. Должно ли измениться количе-
ство электричества, протекшего в измери-
тельной цепи задачи 1-27, при наличии
дополнительной короткозамкнутой об-
мотки (ключ К -на рис. 1-27 замкнут).
1-30, Плоский конденсатор с круглыми электродами, заполнен-
ный несовершенным диэлектриком (е = 5,5; о — 10~9 См/см), подклю-
чается к источнику 1 000 В и внутренним сопротивлением 100 кОм.
Определить закон изменения напряженности магнитного поля от
координат и времени (рис. 1-30).
1-31. Проволочное кольцо
(короткозамкнутый виток) охва-
тывает длинную катушку (соле-
нрид), намотанную на фарфоровый
цилиндр (ц = 1). В соленоиде
протекает переменный ток. К диа-
метрально противоположным точкам кольца и и к присоединены
три прибора для измерения напряжения — вольтметры V2, V3.
Провода, подводимые к Их, проходят с одной стороны соленоида,
а провода, подводимые к У2, проходят с другой стороны соленоида,
причем ни один из этих проводов внутрь соленоида не заходит.
Один из проводов, подводимых к У3, проходит по диаметральному
каналу внутри соленоида. Сопротивление всех вольтметров бес-
конечно велико. Кольцо выполнено из однородной манганиновой
проволоки о=2-104 См/см. Показание первого вольтметра
Рх = 0,01 В.
Что показывают второй и третий вольтметры?
1-32 (Р). Измерительные устройства — «вольтметры» — преды-
дущей задачи позволяют определять как модуль, так и фазу напря-
жения. (В качестве таких «вольтметров» могут служить вектормер-
ные схемы, компенсаторы переменного тока, осциллографы.) Пока-
зания приборов зависят от порядка присоединения зажимов (фаза
10
меняется на 180°). Один из зажимов вольтметра (рис. 1-31) считаем
началом (+), а другой — концом (—). Вольтметр К показывает
0,01 В.
Определить показания вольтметров V2 и У3, полагая, что все
начала обмоток вольтметров присоединены к точке н проволочною
кольца, а все концы — к точке к.
Вычислить магнитный поток в соленоиде, напряженность поля
и плотность тока в манганиновом кольце.
1-33. Определить показания вольтметров задачи 1-32 при
условии, что точка к, к которой присоединены концы всех вольт-
метров, передвинута на 4/4 окружности по часовой 'стрелке. Соеди-
нительный провод вольтметра П3 остается внутри диаметрального
канала. Магнитный поток сохраняет то же значение, что и в задаче
1-32, т. е. Ф = / 0,0636 мВб и направлен за плоскость чертежа1
(pic. 1-31).
1-34. То же, что в задаче 1-33, но после перемещения точки к-
вдоль кольца еще на 4/4 окружности (т. е. до совмещения с точкой н).
1-35 (Р). Определить показания вольтметров V2 и V3 задачи
1-32 при неоднородном кольце: верхняя половина кольца (рис. 1-31)
выполнена из манганина (gx = 2-104 См/см), а нижняя — из
нихрома (о2 — 104 См/см). Сечения манганина п нихрома одина-
ковы. Показание первого вольтметра Vx = 0,01 В.
Вычислить магнитный поток, напряженность поля и плотность
тока в кольце.
1-36. Определить показания вольтметров задачи 1-35 после
перемещения точки к вдоль кольца по часовой стрелке на г/4 окруж-
ности. Магнитный поток остается тем же, что и в задаче 1-35, т. е.
Ф = 7 0,0955 мВб, и направлен за^ плоскость чертежа.
1-37. То же, что в задаче 1-36, но после смещения на г/2 окруж-
ности /точки присоединения концов и начал вольтметров совпали).
1-38. Как нужно расположить точку присоединения конца
вольтметра V3 задачи 1-35, чтобь! он показывал нуль?
1-39 (Р). По бесконечно длинному ферритовому стержню
радиусом а проходит магнитный поток, равномерно распределен-
ный по сечению п изменяющийся во времени по закону
Ф = Фо (1 — е"а9.
Определить напряженность электрического поля внутри и вне
стержня. При решении пренебречь процессом распространения
волн и токами смещения.
1-2. АНАЛИЗ ПОЛЕЙ
В разделе собраны задачи, в которых требуется проанализи-
ровать данное решение для некоторого поля, т. е. определить харак-
тер поля, его вихри и истоки и сделать реальные предположения
о способе, которым оно может быть создано.
Для решения применяются уравненшгэлектромагнитного поля
в Дифференциальной форме
rotE = —гоШ = 1полн; divD = p; divB=0.
11
1-40 (Р). Определить характер поля, его вихри и истоки и сде-
лать предположения о способе его возбуждения, если известна
зависимость вектора поля А от координат в цилиндрической системе:
а) А = еаАа; Аа = сг, 0 < г < а;
б) А = егАг; Аг = сг, 0 < г < а\
в) А = еаАа; Аа = с/r, а < т < оо;
г) А = егАг; Аг = с/г, а < г < оо.
1-41. Определить характер поля, его вихри и истоки и сделать
предположения о способе его возбуждения, если дано выражение
вектора поля в декартовой системе координат:
а) А = ех ~ , а < х <~Ъ ;
-б) А = еус?/, 0 <?/<&;
в) А = еж а.2_)_г/2 + еу д.2 ^2, a2 Ж2+У2-
1-42. Определить истоки поля (заряды) в следующих случаях:
1) в области а < х <z b напряженность электрического поля Е изме-
няется по закону: ЕХ = Е$-— ; Ey — Ez — 0^
- 2) в области а2 х2 + у2 напряженность электрического поля Е
изменяется по закону
77 77 • F? __F • /7 _С) .
3) в некоторой области
Ф ~ cos пх s*n пу'
п
1-43. Определить характер поля (вихри и истоки), если:
1) Ех = — ст/; Еу — ex] Ez = 0;
2) Ёх = су] Еуex] Ez — 0.
Для потенциального поля написать уравнение линии поля п
эквипотенциален.
1-44 (Р). Определить, чем создано поле, если известно, что
, -в / о пх . . _ пу
ф — К In |/ cos2 —sh2 .
Построить картину поля (линии поля п
эквппотенциали).
1-45. В пространстве между двумя пло-
скими электродами (рис. 1-45) напряженность
электрического поля изменяется по закону:
Ех — Ео (1 — x2/2d2)] Еу = El = 0. Расстоя-
ние между электродами d много меньше раз-
меров электродов а и Ъ.
Определить объемный заряд и разность
потенциалов между электродами. Как изме-
нится напряженность поля, если электро-
ды подключены к источнику напряже-
ния Uq, которое отличается от найденной разности потенциалов?
1-46. Определить закон распределения плотности свободных
зарядов, который обеспечил бы постоянство модуля напряженности
12
электрического поля Е = Ег — 100 В/см во всех точках между
обкладками цилиндрического конденсатора (гх = 1 мм, г2 — 3 мм,
8- 1).
1-47. Определить характер поля, его вихри и истоки, сделать
предположения о способе его возбуждения, если в декартовой
системе координат внутри прямоугольника 0<я<я,0<г/<Ь
поле задано:
а) Е = ех/?х; = Ет sin -^-'у sin (со/ — kz)\
б) Н = ЪуНу + ezHz, Ely = Нту sin — у sin (со/ — kz)\
Hz = FI mz cos у sin (co/ — kz — 90°).
t
Во всем остальном пространстве поле равно нулю.
1-48. Найти div Е и rot Е шарообразного электронного об-
лака, рассчитанного в задаче 1-8.
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
2-1. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
В параграфе собраны задачи на расчеты электростатических
полей в вакууме, решение которых не требует применения диффе-
ренциальных уравнений поля. Однако вследствие отсутствия сим-
метрии применение интегральных уравнений сопряжено с труд-
ностями, которые преодолеваются использованием метода наложе-
ния п следствий из теоремы единственности. Для решения задач
параграфа применяются: а) принцип суперпозиции; б) методы изо-
бражений: смещение электрических осей, изображение точечного
заряда в проводящей сфере, зеркальные изображения, многократ-
ные отражения; в) связь между за-
рядами и потенциалами электродов
по формулам Максвелла с емкост-
ными и потенциальными коэффициен-
тами. о
2-1 (Р). Точечные заряды -\-2q
и —q находятся на расстоянии I =
= 10 см (рис. 2-1).
1) Считая потенциал бесконечно Рис. 2-1.
Удаленной точки равным нулю, найти
положение, размеры и потенциал эквипотенциальной поверхности,
имеющей сферическую форму.
2) Доказать, что заряд —q лежит в плоскости, которая про-
ходит через точки касания лучей, проведенных к сфере из точки
расположения заряда 2q.
13
2-2 (М). Точечный заряд q — 10-7 К л расположен в воздухе
на расстоянии а = 1 м от центра проводящего заземленного шара,
радиус которого R = 0,2 м (рис. 2-2).
Определить плотность заряда,
индуктированного на поверхности
шара в точках 7, 2, 3 и 4.
2-31 Решить предыдущую задачу
в предположении, что шар не зазем-
лен. Определить потенциал шара.
2-4. Определить силу, с кото-
рой точечный заряд задачи 2-2 при-
тягивается к шару в случае зазем- •
ленного п незаземленного шара.
2-5 (Р). Проводящая
диусом R находится в
чечного заряда д, расцоложенного на расстоянии а от
(рис. 2-2).
Показать, что для заземленной сферы отношение
части поверхности сферы, видимой из q, к остальному заряду сферы
равно У (a -{-R)l(a — R).
2-6. Пренебрегая краевым эффектом, определить зависимость
переменной емкости конденсатора (рис. 2-6), где размеры указаны
в миллиметрах, от угла поворо-
сфера ра-
поле то-
ее центра
заряда на
Неподвижная Подвижная
та а подвижных пластин относи-
тельно неподвижных.
Рис. 2-6.
Рис. 2-7.
2-7. Определить Частичные емкости двухпроводных экраниро-
ванных кабелей, сечения которых изображены на рис. 2-7, а, б и в.
Дано: R —10 мм; диаметр жилы d = 0,5 мм;
I = ДО мм; h = 3 мм; 8=1.
2-8 (Р). ‘ Рассчитать поле, построить эквипотенциали и линии
поля (последние качественно) для двухпроводного экранированного
кабеля задачи 2-7. Определить распределение плотности заряда на
внутренней поверхности оболочки кабеля. Между жилами кабеля
приложено напряжение С70 = 100 В.
2-9. Рассчитать потенциал п напряженность электрического
поля диполя р = ql = 12-10"9 Кл-см (рис. 2-9) в точках, достаточно
удаленных от него, т. е. R > Z, где R — расстояние от центра
диполя до точки наблюдения М.
Построить графики составляющих напряженности поля в за-
висимости от R при 0 = 0 и 0 = л/2. Сравнить эти графики с соот-
ветствующими графиками для поля точечного/заряда.
14
2-10. Рассчитать напряженность поля и потенциал в точках
М2, М3, Мл (рис. 2-10) вблизи двухпроводной линии, находя-
щейся под напряжением £7 = 10 кВ. Определить емкость системы.
Радиус проводов г0 = 2,5 мм.
Рис. 2-9. Рис. 2-10.
2-11. Для двухпроводной линии, изображенной на рис. 2-10,
построить (определить положение центра и радиус 7?0) эквппотен-
циаль <р = 0,4 U/2 и силовую линию, так чтобы между этой ли-
нией и линией, соединяющей оси проводов, проходила г/5 часть
общего электрического потока.
2-12 (Р). Предположив, что нить длиной I равномерно заряжена
с линейной плотностью т, найти составляющие вектора напряжен-
ности электрического поля и написать уравнение эквипотенциали.
2-1? (Р). Двухпроводная ли-
ния (рис. 2-13. где 2s = 25 мм;
г0 — 10 мм) находится под напря-
жением 1 кВ.
Найти распределение заряда
по поверхности провода и опре-
делить емкость системы на еди-
ницу длины. Построить график
распределения напряженности
поля в плоскости, проходящей Рис. 2-13.
через оси проводов.,
2-14. Двухпроводная линия состоит из двух медных цилиндров
радиусов 6 и 10 мм, находящихся на расстоянии 25 мм друг от друга.
Определить емкость системы.
2-15. Определить емкость и пробивное напряжение в системе
Двух некоаксиальных цилиндров, изображенной на рис. 2-15.
Между цилиндрами воздух. Пробивная прочность воздуха ^Проб =
30 кВ/см. 1
15
2-16. Определить заряды системы проводов, изображенной на
рис. 2-16, если потенциалы проводов относительно земли (рх = 10 кВ;
ф2 = _ 20 кВ; фз = 10 кВ. Размеры указаны на рисунке, радиус
проводов г0 = 5 мм.
2-17 (Р). Определить потенциалы и заряды системы проводов,
изображенной на рис. 2-17, где рубильники проводов 1 и 2
замкнуты, а провод 3 —'
разомкнут, U = 10 кВ, радиус
проводов г0 = 5 мм.
Рис. 2-17.
Рис. 2-20.
Как изменится решение, если сначала провод 2 отключается
от земли, затем провод 1 отключается от источника и, наконец,
провод 3 соединяется с землей.
2-18 (Р). Определить частичные емкости системы проводов пре-
дыдущей задачи.
2-19. Частичные емкости трехжильного кабеля равны: =
= С22 — Сзз — 0,£64 мкФ/км; С12 = С13 = С23 = 0,076 мкФ/км.
При испытании кабеля в лаборатории одна пз жил была зазем-
лена, вторая имела потенциал ср2 = 2 кВ, третья ср3 = —3 кВ.
Оболочка кабеля не заземлена. Найти потенциал оболочки и за-
ряды жил.
2-20. Между пластинами 7 и 3 площадью S = 10 hb парал-
лельно им вставлена пластина 2 (рис. 2-20). Ее толщина d = 0,5 мм,
высота h = 40 мм и ширина Ъ = 50 мм. Расстояние между наруж-
ными пластинами I = 4,5 мм. Расстояние между поверхностями
наружной пластины и внутренней f = 3,0 мм.
Найти частичные емкости системы, пренебрегая краевыми
эффектами. Диэлектрик — воздух.
2-21. Потенциалы наружных пластин 1 и 3 в задаче 2-20
(рис. 2-20) соответственно срг = +50 В п ф3 = —100 В. Найти
потенциал внутренней пластины.
2-22. Найти заряд внутренней пластины в задаче 2-20
(рис. 2-20), если ее потенциал ср2 = 0, а потенциалы наружных
пластин 1 и 3 равны cpt = 100 В и ср3 — —50 В.
2-23 (Р). Двухпроводная линия 1—2 находится в однородном
поле грозовой тучи с напряженностью Ео, направленной верти-
кально (рис. 2-23).
Построить график распределения потенциала вдоль осп т/ и
график распределения плотности заряда на поверхности земли
для случаев а и б, если 77 = 100 кВ; Е{) = 2 кВ/м; 1г = 5 м; d — 3 м;
радиус проводов г0 = 2,5 мм.
Определить емкость на единицу длины линии (см. рис. 2-23,а).
2-24 (Р). Рассчитать поле и построить эквипотенциали и
линии поля (последние — качественно) для бесконечного заря-
женного провода диаметром d, проходящего в воздухе между двумя
16
заземленными бесконечными металлическими пластинами (рис. 2-24),
если Z/2 = 50 мм; d = 4 мм. Потенциал провода <р0 = 100 В.
Определить емкость на единицу длины системы.
напряженность поля
2-25 (М). Рассчитать поле и построить эквипотенциалп и линии
поля (последние — качественно) для бесконечного заряженного
провода диаметром d, проходящего-в воздухе параллельно ребру
угла, образованного проводящими плоскостями (рис. 2-25), если
Zj = 30 мм; Z2 = 20 мм; d = 5 мм; т =
== 2-10~10 Кл.
Определить емкость системы на еди-
ницу длины и распределение заряда по
поверхности проводящих плоскостей.
2-26. Найти максимально допустимое
значение точечного (пробного) заряда, при
котором погрешность в определении на-
пряженности поля по силе, действующей
на пробный заряд, не будет превосходить
1%, а также величину силы, испытываемой
при этом пробным зарядом, в случае
определения поля протяженной плоской
пластины па расстоянии 5 мм от ее по-
верхности.
Истинная напряженность поля (т. е.
в рассматриваемой точке при отсутствии пробного заряда) равна
5 кВ/см.
Примечание. Напряженность электрического поля опре-
деляют, как отношение силы, действующей на пробный заряд,
к величине этого заряда. При таком определении дополнительно
требуется: 1) чтобы в пределах области, по которой распределен
пробный заряд, изменение напряженности поля было ничтожно
Малым («точечный заряд») и 2) чтобы не происходило перераспре-
деления зарядов, создающих поле из-за внесения пробного заряда.
Последнее требование всегда выполняется, если величина проб-
ного заряда достаточно мала.
2-27. То же, что в' задаче 2-26, но для поля, определяемого
и Центре плоского конденсатора. Расстояние до каждой из пластин
о мм, истинная напряженность поля Е = 5 кВ/см-
17
2-2. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ
Задачи параграфа можно разбить на три группы: 1) симметрич-
ные поля; 2) поля вблизи границы раздела двух разных диэлектри-
ков; 3) поля в неоднородных диэлектриках.
Для решения этих задач необходимо знать:
1) определение поляризации Р= lim
2) уравнение связи D = 80Е + Р, в частном случае D = 808Е;
3) теорему Гаусса в интегральной и дифференциальной форме
для Е и D
Е #связ. р _ Р "Ьрсвяз .
е0 ео ’
фБ dS = Яд; div D = р,
4) -выражение связанного заряда через поляризацию
ф Р dS = <7связ’> div Р == Рсвязj
5) граничные условия для границы двух диэлектриков
~ ^2ti Din — &2п-
2-28. Цилиндрическому конденсатору дважды сообщается на-
пряжение, доводящее конденсатор до пробоя. Первый раз, когда
диэлектриком был воздух, пробивная напряженность которого
7?1==30 кВ/см, и второй раз, когда диэлектриком было масло
с диэлектрической проницаемостью 8 — 2,4 и с пробивной напря-
женностью Е2 = 54 кВ/см. Определить соотно-
шение между напряжениями, прикладываемыми
к конденсатору в первом и во втором случаях,
и между зарядами конденсаторов в тех же слу-
чаях.
2-29. Плоский конденсатор с двумя слоями
диэлектрика (рис. 2-29) заряжен до напряже-
ния U и отключен от источника.
1) Найти электрическое смещение, напря-
женность поля и распределение потенциала в
обоих диэлектриках.
2) Как изменятся эти величины, если из
кондепсатора вынуть пластину второго диэлек-
трика? Дано: U = 100 В; d± — d2 — 1 см, 8Х = 3,
82 = 6.
3) Каковы будут эти величины, если кон-
денсатор останется подключенным к источнику?
полюс источника на левой обкладке конден-
сатора.
2-30. При сборке плоского конденсатора между обкладкамп и
диэлектриком (е = 4) образовался воздушный зазор. Расстояние
между обкладками 0,5 см. Толщина воздушного зазора 0,01 см.
Как повлияет наличие1 этого зазора на качество конденсатора, т. е.
как изменится его пробивное напряжение? Пробивная прочность
воздуха 30 кВ/см, диэлектрика 200 кВ/см.
2-31 (М). Между обкладкамп плоского конденсатора симмет-
рично расположена диэлектрическая пластина, занимающая по
18
№
Рис. 2-29.
П о л ожпте л ьный
толщине половину межэлектродного пространства. Диэлектриче-
ская проницаемость пластины 8=7. Расстояние между обкладками
2 см. Определить электрическое смещение, напряженность поля,
поляризацию и распределение потенциала в воздухе и диэлектрике
в случаях:
1) к пластинам присоединен источник с постоянным напряже-
нием 10 кВ;
2) пластины замкнуты накоротко, но поляризация в диэлек-
трике осталась прежней.
2-32. В поле плоского конденсатора потенциал изменяется,
как показано наХрис. 2-32 (ломаная а). Что можно сказать о диэлек-
трических свойствах изоляции конденсатора? Как изменится гра-
фик, если диэлектрик сделать однородным при неизменном прпло-
Рис. 2-33.
первом диэлектрике в не-
женном напряжении? Может ли график потенциала в плоском
конденсаторе иметь вид ломаной b на рис. 2-32? Чему соответствует
угол наклона ломаной?
2-33 (Р). Цилиндрический конденсатор заполнен двухслойным
диэлектриком с 8а = 1; % = 3 (рис. 2-33, где г± = 1 мм; г2 =
= 2 мм; г3 = 4 мм). Определить пробивное напряженно этого кон-
денсатора, сравнить со случаем однородного диэлектрика, умею-
щего свойства слоя а пли Ъ. Пробивная напряженность воздуха..
30 кВ/см, пробивная напряженность диэлектрика 60 кВ/см.
2-34. На плоской границе раздела двух диэлектриков (ех = 6,
е2-= 2) отсутствует свободный заряд. В
которой точке на границе раздела со-
ставляющие Е равны:
Е1Х = ЮО В/см, Е1у = 50 В/см (ось
ж лежит в плоскости раздела, ось у ей
перпендикулярна).
Найти составляющие векторов Е%,
О2 в той же точке во втором ди-
электрике, а также qs Связ на границе.
2-35 (Р). На высоте Л = 1 см над
плоской границей раздела двух диэлек-
триков (рис. 2-35) расположен точеч-
ный заряд q = 50 пКл.
Определить величину и направление силы, действующей на
3аРяд, и распределение поверхностного заряда по границе раздела
в Двух случаях: 1) ех = 1; е2 = 4; 2) 8Х = 4; 82 = 1. Нарисовать
качественную картину линий поля в обоих случаях.
Рис. 2-35.
19
2-36 (Р). Рассчитать поле и построить эквппотенцпалп и
линии поля (последние качественно) внутри диэлектрического
уголка, если в нем параллельно его ребру проходит бесконечно
Рис. 2-36.
длинный заряженный провод диамет-
ром d (рис. 2-36). Внешняя среда —
вакуум (е2 = 1).
Дано: I = 20 мм, d = 5 мм, т =
= 0,2 мкКл/км, 8Х = 20 >> 1.
2-37 (Р). В центре сферы из ди-
электрика с проницаемостью 8Х = 4 рас-
положен точечный заряд q = 1,2 • 10-8 Кл
(рис. 2-37). Окружающая среда име-
ет диэлектрическую проницаемость
82 = 1.
Требуется найти поток вектора на-
пряженности поля через поверхность
симметрично расположенного эллипсои-
да вращения, вырезающего па сфере два участка поверхности,
видимые из центра сферы под телесным углом со = л/2 каждый.
2-38. То же, что в задаче 2-37, ио при 8Х = 4,5 и 82 = 1,5.
Рис. 2-37.
Рис. 2-39.
поверхностп, видимые из центра
стороны плоскости раздела двух
2-39 (Р). То же, что в задаче 2-37, но эллипсоид пересекает
сферу так, что заряд q лежит вне эллипсоида (рис. 2-39). Эллипсоид
вырезает па сфере два участка
сферы под углом со = л/4 каж-
дый.
2-40. То же, что в задаче
2-39, но при 8Х = 1 и 82 = 4.
2-41. Найти поток вектора
смещения через поверхность
эллипсоида задачи 2-37.
2-42. Найти поток век-
тора смещения для условий
задачи 2-38.
2-43. Найти поток вектора
смещения для условий зада-
чи 2-39.
2-44. Два точечных заря-
да 7i = — q2 = 1,2 -10-8 К л рас-
положены симметрично по обе
диэлектрических сред с проницаемостями 8Х = 2, 82 = 5 (рис. 2-44).
Найти поток вектора напряженности поля через замкнутую
поверхность, охватывающую оба заряда и вырезающую на погра-
20
ничной плоскости площадку 5, видимую из точек расположения
зарядов под углом сох = со2 = л. _
2-45. То же, что в задаче 2-44, но углы со1 = со2 = 1,5 л.
2-46 (Р). Найти поток вектора напряженности поля (см. задачу
2-44), если заряды и q2 расположены несимметрично, причем
• телесные углы coj. и со2, под которыми площадка S видна из точек
расположения зарядов дг и г/2, соответственно равны сох = л и
о)2'=1,5 л. Дано: q1= 1,2 -10~8 Кл; q2 = —2-10~8 Кл; ег = 2; е2 = 5.
2-47. В рассматриваемой области цилиндрического конденса-
тора 1 см < г < 2 см с неоднородным диэлектриком е = / (г),
поляризация Р = Рг — (а + Ъг2) Ро, где а = 1, b = 0,05 см-2,
Ро = 3,5-Ю"10 Кл/см2.
Найти плотность связанного заряда.
' 2-48. В рассматриваемой области плоского конденсатора с не-
однородным диэлектриком е = / (ж) поляризация Р = Рх = (а 4"
+ bx2) PQl где а = 1, Ъ = 0,05 см-2, Ро = 3,5 -10-10 Кл/см2.
Найти плотность связанного заряда.
2-49. Плоский конденсатор заполнен неоднородным диэлектри-
ком, диэлектрическая проницаемость которого е = 4cZ/(cZ + х)
'Рис. 2-50.
(рис. 2-49). Обкладки конденсатора подключены к источнику по-
стоянного напряжения. 1 кВ. Определить зависимость от координат
напряженности поля, поляризации, связанного объемного заряда.
Рассчитать емкость системы. Расстояние между обкладками d = 2 мм.
2-50. В цилиндрическом конденсаторе, заданных размеров
Н = 1 см; г2 = 2 см; г3 = 4,5 см (рис. 2-50) диэлектрическая прони-
цаемость изменяется по закону 8 = А /г2, где А = 16 см2. При по-
стоянном напряжении 1 кВ определить напряженность поля, сме-
щение, поляризацию и связанный объемный заряд.
2-51 (Р). То же, что и в задаче 2-50, но при & — А г, где А — 1 см-1.
2-52. Определить, при каком законе изменения & в цилиндри-
ческом конденсаторе задачи 2-50 E = Er — const.
2-3. СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В
ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ
Задачи параграфа делятся на четыре группы: 1) симметричные
поля; 2) поля вблизи границы раздела двух проводящих сред;
3) поля в неоднородных проводниках; 4) задачи, для решения кото-
"Тых используется аналогия между стационарными электрическими
и электростатическими нолями.
21
Для решения этих задач необходимо, знать:
1) закон Ома в дифференциальной форме J = оЕ;
2) закон Джоуля—Ленца в дифференциальной форме р =
= JE = orE2 = J2/o; __
. 3) уравнение непрерывности плотности тока div J = div оЕ = 0;
4) граничные условия для границы раздела двух проводников
Ец ~ Jin ~ J^ni
5) аналогию между стационарными электрическими п электро-
статическими полямп.
2-53 (Р). Плоский конденсатор с двухслойным диэлектриком
б?! = d2 — 1 см; 8Х = 2; е2 = 4; ах = 2’10-10 См/см; о2 = 10-10 См/см
подключен к источнику постоянного напряжения 3 кВ.
1) Определить напряженность поля,, сопротивление конденсатора
и мощность, выделяющуюся в единице объема диэлектрика, а такжр
свободный и связанный поверхностные заряды на границе слоев.
2), Как изменится решение задачи, если диэлектрик будет
идеальным (ох — о2 = 0)? - ~~
2-54. Изоляция коаксиального кабеля пмеет проводимость
о = 10 9 См/мЛ
Определить плотность тока утечки у поверхностей внутреннего
и внешнего цилиндрических проводов коаксиального кабеля.
Определить удельную мощность, выделяющуюся в тех же точках,
и потери мощности в изоляции кабеля на единицу длины. Радиус
внутреннего провода 4 мм, внешнего 8 мм. Напряжение между
проводами 6(0 В.
2-55. Определить ток утечки на единицу длины коаксиального
кабеля с двухслойной изоляцией (задача 2-33), если еп = 1; о(г =
— 2-10-10 См/см; 8^ = 3; — 10~10 См/см. Кабель подключен
к источнику постоянного напряжения 10 кВ.
2-56 (Р). К плоской проводящей шайбе (рпс. 2-56) подводится
напряжение от источника постоянного напряжения 1,57 В при
помощи двух медных радиально распо-
Г 1 ложенных пластин, врезанных в шай-
4_ А бу. Проводимость материала шайбы
/I \ о = 2-106 См/м.
'! \ Определить наибольшее и наимень-
I \ I шее значснпя плотности тока в шайбе
I I / и ток через источник. Размеры шайбы:
\ ri ~ 50 мм; г2 — ^0 мм; толщина 1 мм.
И У __ Потенциал каждой медной пластины
у считать во' всех точках ее постоян-
| I ным.
2-57 (М). Два цилиндрических па-
Рис. 2-56. р аллельных провода проходят через
мраморный щит, толщина которого
а = 3 см. Расстояние между осями отверстий для проводов 20 см.
Диаметры проводов 0,4 см.
Считая плоскость щита неограниченно большой, найти ток
утечки через мрамор между проводами при напряжении между
ними 240 В. Проводимость мрамора 10“10 См/м.
2-58. Ток короткого замыкания I = 1 000 А проходит в землю
через фундамент опоры, который можно рассматривать как полу-
сферический заземлитель. Проводимость земли 2-10~4 См/см.
Найти шаговое напряжение на расстоянии 5 м от центра опоры.
Длина шага 0,8 м.
22
2-59 (Р). Полусферический заземлитель диаметром 4 м нахо-
дится в земле с проводимостью ох = 5 -10~4 См/см (рис. 2-59). На
расстоянии h — 50 м от заземлителя проходит плоская граница
раздела, за которой земля имеет проводимость о2 = 10~4 См/см.
С заземлителя растекается ток I =
2 000 А.
Рис. 2-60.
1) Построить зависимость шагового напряжения (напряжение
между точками, находящимися на расстоянии 0,8 м) от коорди-
наты х. Как будет меняться эта зависимость при изменении отно-
шения проводимостей сред?
2) Построить ту же зависимость при о2 = 10-3 См/см.
2-60 (Р). Сферический заземлитель радиусом 7?0 — 2 м рас-
положен в земле с проводимостью = 2 • 10-4 См/см на расстоянии
h = 10 м от ее поверхности (рис. 2-60). В за-
землитель втекает ток I = 1 000 А.
Определить распределение шагового на-
пряжения и поверхностного заряда на гра-
нице.
2-61 (М). Определить проводимость утеч-
ки на единицу длины двухпроводной линии,
провода которой расположены в средах с раз-
личной проводимостью (рис. 2-61). Дано:
ох = 2 • 10“10 См/см; о2 = 10-10 См/см; а = 40 м;
6= 60 м; радиус проводов г0 — 10 см.
2-62 (Р). 1) Составить схемы для опре-
деления частичных емкостей трехфазной ли-
нии над землей (рис. 2-17) при помощи электролитической -ванны,,
глубина которой h = 20 мм.
2) Подобрать приборы с необходимыми пределами измерений,
если проводимость электролита о = 2 • 10~2 "См/см и при моделиро-
вании размеры линии уменьшены в 10 раз. В распоряжении экс-
периментатора имеется источник напряжения с э. д. с. 50 В.
3) Определить необходимую проводимость-электролита, если
в распоряжении экспериментатора имеются приборы: вольтметр
на 50 В и миллиамперметр на 300 мА.
2-63 (Р). Рассчитать поле (найти напряженность и потенциал)
Двухпроводного экранированного кабеля, применяемого на линиях
Дальней связи (рис. 2-7). Найти сопротивление утечки г между
жилами.
Определить, какая часть тока утечки протекает по изоляции
Кабеля, минуя оболочку. Задачу решить для сечений кабеля, изоб-
23
раженных на рис. 2-7, а, б, в. Дано: R = 10 мм; диаметр жилы
d = 0,5 мм; I = 10 мм; h = 3 мм; о = 10-12 См/см.
2-64 (Р). Плоский конденсатор заполнен диэлектриком с 8 = 5
и проводимостью о = о0 — кх, где п0 = 10“10 См/см, к = 0,5 X
X 10-10 См/см2, х — в см — координата, перпендикулярная пло-
скости пластин (рис. 2-49). Расстояние между обкладками d — 1 см,
конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения
U — i кВ.
Определить распределение свободных и связанных объемных
зарядов.
2-65. Решить предыдущую задачу при условии 8 = 5—Зя и
о = 10~10 См/см.
2-4. КВАЗИСТАТИЧЕСКОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
В РЕАЛЬНОЙ СРЕДЕ ‘
Задачи этого параграфа можно разбить на три группы:
1) симметричные поля; 2) поля вблизи границы двух разных сред;
3) поля в неоднородных средах/ Кроме того, следует отметить,
что могут встречаться два разных типа реальных сред: вязкие
диэлектрики и диэлектрики с проводимостью. Квазистатические
переменные поля также рассматриваются двух видов: переменные
поля, возникающие в переходном процессе при скачкообразном
изменении постоянного поля, и синусоидальные поля в установив-
шемся режиме.
При решении задач дополнительно к указанному в предыдущих
параграфах требуется знать следующее.
1. Выражение полного тока через напряженность поля
^ПОЛН = (ТЕ -f- ИЛИ 1полн = О’Е +/й)880Ё = оЁ»
2. Уравнение непрерывности полного тока
Jnojin = 0 и div Jjiojih — 0.
3. Граничные условия
^11 — J ПОЛН1П — J П0ЛН2П*
4. Уравнение вязкости
dP
ТаТ = МэЕ-Р.
5. Выражение комплексной диэлектрической проницаемости
вязкого диэлектрика
-J । h = 8+/СОТ
~1“(1+/С0Т) (1+/С0Т)'
2-66 (Р). Плоский конденсатор заполнен вязким диэлектри-
ком, у которого статическая электрическая восприимчивость
/сэ — 6, постоянная времени вязкости т = 5 мс. Конденсатор под-
ключен к источнику синусоидального напряжения с U — 1 кВ;
расстояние между обкладками d = 0,5 см.
Построить график зависимости от частоты вещественной
(е') и мнимой (8") частей комплексной проницаемости. Найти
24
ч
напряженность поля, смещение, поляризацию и плотность поверх-
ностных свободных и связанных зарядов у обкладок Лпри частотах:
1) f = 0, 2) f^oo и 3) частоте, при которой 8" = с"акс. Для послед-
него случая построить векторную диаграмму и определить актив-
ную мощность конденсатора. При расчете пренебречь излучением
и неоднородностью поля в диэлектрике.
2-67 (М). Плоский конденсатор (d — 1 мм, S = 10 см2), запол-
ненный вязким' диэлектриком (7сэ = 4, т = 5 мс), подключается
к источнику постоянного напряжения 100 В через резистор с со-
противлением г — 1 МОм.
Рассчитать и построить зависимости от времени напряженности
поля, смещения, поляризации и тока. Составить баланс энергий.
2-68 (Р). Плоский конденсатор (5 — 4 см2) с двухслойным
диэлектриком подключается к источнику постоянного напряжения
U = 1 к-В. Слой а — диэлектрик (8а = 2), толщина а = 1 см;
слой Ъ — вязкий диэлектрик: кэ = 4, т = 5 мс, толщина b = 1 см.-
Рассчитать и построить зависимости от времени плотности
свободных и связанных зарядов на границе диэлектриков, напря-
женности поля, смещения, поляризации и плотности тока смеще-
ния. Определить потери энергии на вязкость.
2-69 (Р). Плоский конденсатор заполнен двухслойным диэлек-
триком (рис. 2-69). Слой а — диэлектрик (еа = 7; оа = 0; а = 1 мм).
Слой Ъ — реальный диэлектрик (8& = 3, = 10-10 См/см; Ъ = 1 мм).
Площадь пластин S = 100 см2. Конден-
сатор подключается к источнику по-
стоянного напряжения U = 1 кВ через
резистор с сопротивлением г = 1 МОм.
Определить закон изменения на-
пряженности электрического поля в
слоях, связанного и свободного зарядов
на границе и тока в зарядной цепи.
Вычислить энергию, выделяющуюся в
реальном диэлектрике, энергию, запа-
сенную в электрическом поле конден-
сатора, и энергию, отданную источником. Составить баланс энергий.
2-70. Плоский конденсатор с двумя слоями а и b реального
диэлектрика подключается к источнику постоянного напряжения
100 В. Даны параметры: га — 5,5; 8^ = 3,5; Ga = 10-14 См/см;
Gb = Ю-16 См/см и размеры: S = 400 см2; а = 0,5 см; Ъ = 0,5 см.
Определить зависимость от времени плотности свободного п
связанного зарядов на границе диэлектриков, плотность токов
проводимости и смещения, энергию, выделяющуюся в каждом
диэлектрике за время переходного процесса, и мощность, выделяю-
щуюся в установившемся режиме.
Длительность переходного процесса считать приблизительно
равной трем постоянным времени. Источник постоянного напряже-
ния считать источником бесконечной мощности (его внутреннее
сопротивление равно нулю).
2-71. Проводимость реального диэлектрика 1 См/м; диэлек-
трическая проницаемость 80.
Определить, при какой частоте амплитуда синусоидально
изменяющегося тока смещения окажется равной амплитуде тока
проводимости.
2-72. Для высокочастотного нагрева в плоский конденсатор
помещены два слоя полупроводящего материала.. Толщина слоев
25
Рис, 2-69.
da ~ di, — 1 см, параметры sa = 2; е& = 4; Ga = 2*10-6 См/см;
Ci, = 10-6 См/см. Напряжение на конденсаторе 10 кВ, частота тока
1 МГц.
Определить зависимость от времени свободного и связанного
зарядов на границе раздела диэлектриков. Сопоставить временную
зависимость зарядов с временной зависимостью приложенного
напряжения. Найти активную мощность, выделяющуюся в полу-
проводящих слоях.
2-73. Плоский конденсатор заполнен реальным диэлектриком
(е = 5,5; о = 10-9 См/см). Толщина диэлектрика d = 1 см. Кон-
денсатор подключен к источнику синусоидального напряжения
с действующим значением U — 100 В.
Построить график зависимости от частоты вещественной (o')
и мнимой (о") частей комплексной удельной проводимости о. Найти
напряженность поля, смещение, поляризацию, плотности тока про-
водимости и смещения и построить векторные диаграммы для трех
частот: 1) /х, при которой о' = о"; 2) /2 = 0; 3) / оо, не учитывая
излучения и неоднородности поля внутри диэлектрика.
х 2-74. Слой а плоского конденсатора — реальный диэлектрик
(da = 1 см; 8О= 2; иа = 1,3-10-10 См/см); слой b — вязкий ди-
л ~ . . Ач
1 см; еь = 1 ,
1+/С0Т’
1 электрик
dj) —
кэ = 5; т — 5 мс . Кон-
денсатор подключен к синусоидальному напряжению с амплитудой
1 кВ. Площадь пластин конденсатора S = 12,5 см2.
Определить частоту, при которой в слое Ъ тангенс угла потерь
равен единице. Для этой частоты найти комплексные амплитуды
напряженности поля, смещения и поляризации в обоих слоях и
построить их векторную диаграмму. Найти комплексную прово-
димость конденсатора на этой частоте и мощность, выделяющуюся
в диэлектрике конденсатора. Определить, в какие моменты времени
обращаются в нуль свободный и связанный- заряды на поверх-
ности раздел^ диэлектриков.
2-75. Между жилой с радиусом гх = 3 мм и оболочкой коак-
сиального кабеля для крепления жилы вставлены изоляционные
кольца (рис. 2-75). Толщина
колец d = 5 мм; проницае-
мость 8 = 2,2; проводимость
о = 10~14 См/.см. Расстояние
между шайбами D = 50 мм,
радиус оболочки г2 = И мм.
Определить усредненные
емкость и проводимость кабеля
на единицу длины. Построить
график распределения заряда
вдоль поверхности централь-
ного проводника при заданном
напряжении U. Найти зависи-
Рис. 2-75.
мость усредненного по длине тангенса угла потерь от частоты.
Потерями в проводах пренебречь.
2-76 (Р). В неограниченном реальном диэлектрике (е = 2;
о = 10~6 См/см) находится сферический электрод радиусом а = 1 см,
из которого растекается синусоидальный ток i = 10 sin coZ, мА
при' частоте / = 1 МГц. Проводимость электрода много больше
проводимости диэлектрика. z
26
Определить плотность заряда на поверхности электрода и
плотности тока проводимости и смещения в любой точке диэлектрика.
2-77 (Р). Определить заряд на 'поверхности сферического
электрода и напряженность поля в любой точке диэлектрика
в условиях предыдущей задачи, если ток, растекающийся с элек-
трода, изменился скачком от нуля до постоянного значения I.
2-78 (Р). Для прогрева земли в парниках применяют двух-
проводную линию из неизолированного провода радиусом г0,
проложенную в земле (рис. 2-78).
Определить емкость, проводимость и активную мощность на
единицу длины линии, если: d = 60. мм; h — 20 мм; г0 = 2 мм;
8i = 82 = 1; Ci = 10-3 См/см; о2 = 0, напряжение питания и —
= 100 sin (Щ, В, где со = 2,26-109 с-1. Построить поле в воздухе
и в земле, созданное такой линией, для t = Т/4, где Т = 2л/со.
77777777777777777777777
; в г
Рис, 2-79.
2-79 (Р). Двухпроводная линия (рис. 2-79), расположенная
в воздухе над реальным диэлектриком (е2 = 10; ст2 = 10~8 См/см),
находится под синусоидальным.напряжением, Um = 500 В. Дано:
радиус проводов г0 = 0,5 мм; d = 20 мм; h — 10 мм.
Определить емкость, проводимость и потери мощности на
единицу длины линии. Задачу решить для следующих частот:
а) 50 Гц; б) 5 кГц; в) 50 кГц; г) 50 МГц. Потерями в проводах
пренебречь.
2-80. Однопроводная линия подвешена над землей на высоте
4 м, диаметр провода 2 см. Напряжение провода по отношению
к земле изменяется по закону и — 6 000 sin 314z, В. Определить
плотность тока смещения в точке у нижней поверхности провода и
У поверхности земли в точке под проводом. Землю считать идеаль-
ным проводником.
2-81. Линия задачи 2-79 подключается к источнику постоянного
напряжения U = 50 В. Определить заряд на проводах и поверх-
ностные свободный и связанный заряды на границе раздела.
2-82. У конденсатора задачи 2-49 диэлектрик обладает по-
стоянной проводимостью о = 10“10 См/см.
< Определить объемную плотность свободного заряда и мощность,
теряемую в диэлектрике.
2-83 (Р). Плоский конденсатор, заполненный реальным неод-
нородным диэлектриком, включается к источнику постоянного
Напряжения U (бесконечной мощности). Определить свободный и
связанный заряды, образующиеся в диэлектрике: а) в начале
процесса и б) в установившемся режиме. Задачу решить в следую-
щих случаях:
1) е=2-=^—; а = 10-1» см/см;
27
2) 8 = 2,2; а = • <у0 = 10 14 См/см; Л = 0,5 см х;
. 1-4-/сг ’ °
3) а = <7еах; 8 = &еал';
4) <j = а-\-Ьх\ г = а-\-Ъх.
Расстояние между обкладками конденсатора d = 1 см.
2-84. Плоский конденсатор заполнен неоднородным реальным
диэлектриком и подключается к источнику постоянного напряже-
ния U (бесконечной мощности).
Указать, какое соотношение должно быть между зависимо-
стями 8 (ж) и о (я), чтобы внутри реального диэлектрика: 1) обра-
зовался только свободный объемный заряд; 2) образовался только
ввязанный объемный заряд; 3) образовались оба заряда одновре-
менно; 4) не образовалось ни свободного, ни связанного заряда;
5) общий объемный заряд был бы равен нулю при неравенстве
нулю свободного и связанного зарядов.
. Задачу решить для: А) начала процесса и Б) для установив-
шегося режима.
/ а3 \
<p = F0 (я —Л2) соё®
2-5. УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
Параграф содержит задачи, требующие интегрирования урав-
нений Лапласа п Пуассона. Задачи, в которых требуется интегри-
ровать уравнение Лапласа, основываются на известных решениях
для сферы и цилиндра в однородном поле и сводятся к определению
постоянных интегрирования при различных условиях. Условия
различаются параметрами сред и заданием поля. Среды при этом
могут быть диэлектриками, проводниками или реальными диэлек-
триками.
Поля рассматриваются постоянные (в переходном и установив-
шемся режимах) и синусоидальные (в установившемся режиме).
2-85. Незаряженная проводящая сфера радиусом а внесена
в однородное поле Е{)1 направленное по оси z. Для такой сферы
известно, что
(начало координат —
в центре шара).
1) Проверить, удовлетворяет ли это решение уравнению Ла-
пласа и граничным условиям? 2) Определить поверхностный заряд
на сфере. 3) Как изменится решение для потенциала в случае заря-
женной сферы (заряд д)?
2-86. Незаряженный проводящий цилиндр радиусом а внесен
в однородное поле Ео, перпендикулярное его осп (рис. 2-86). Для
такого цилиндра известно, что ср = Ео (г — а2/г) cos а.
1) Проверить, удовлетворяет ли это решение уравнению Лап-
ласа и граничным условиям. 2) Определить поверхностный заряд
па цилиндре. 3) Как изменится решение для потенциала в случае
заряженного цилиндра (линейный заряд т)?
2-87 (Р). Шар радиусом а из диэлектрика проницаемостью &t
находится во внешнем поле Ео (рис. 2-87). Внешняя среда —
воздух.
Найти распределение потенциала внутри и вне шара, напря-
женность поля внутри и поверхностный заряд на шаре. При реше-
28
нйи пользоваться известным решением уравнения Лапласа в сфе-
рических координатах:
С
^ = 0^ cos 6 + cos 6+#.
2-88. Цилиндр радиусом а из диэлектрика проницаемостью
находится в однородном постоянном поле Ео, перпендикулярном
его оси (рис. 2-86). Внешняя среда — воздух (8е = 1).
Найти распределение потенциала внутри и вне цилиндра, напря-
женность поля внутри и поверхностный заряд на цилиндре. При
решении воспользоваться известным решением уравнения Лапласа
в цилиндрических координатах:
С
ф = Crr cos а Н—- ;cos а + К.
2-89. Построить качественно линии векторов напряженности
поля, смещения и поляризации для цилиндра предыдущей задачи
при Eq = 1 кВ/см, если:
1) Sj = 5; 8е = 1; 2) sL = 1; se — 5.
Определить в обоих случаях плотность поверхностного заряда
в точке на поверхности цилиндра при а — 60° (рис. 2-86).
2-90. В диэлектрике плоского конденсатора (е = 7) имеется
нитевидное воздушное включение, параллельное пластинам, диа-
метром 0,02 мм.
Найти пробивное напряжение конденсатора, если толщина
Диэлектрика 2 мм, а пробивная напряженность воздуха
В = 30 кВ/см.
2-91. Для увеличения пробивной прочности масляных кон-
денсаторов масло перед заливкой подвергается сушке, очистке и
обезгажпваншо. Наличие примесей ухудшает изоляционные
свойства масла.
В плоский конденсатор, заполненный маслом (е = 2,2), с рас-
стоянием между обкладками 10 мм попала капля воды диаметром
0>2^мм. Определить, при каком напряжении на обкладках про-
изойдет пробой масла у поверхности воды. Пробивная прочность
Масла 60 кВ/см. Воду считать проводником.
Как изменится ответ, если вместо капли воды в масле образо-
вался пузырек воздуха тех же размеров? Пробивная прочность
в°здуха 30 кВ/см.
При каком напряжении произойдет пробой масла, если нет
включений?
29
2-92 (Р). В электростатической машине для усиления поля
в области 2 (рис. 2-92, а) в воздушное пространство внесен диэлек-
трик в форме шара с большим 8. Через достаточно длительное время
картина поля изменилась (рис.' 2-92, б).
Проводимость воздуха ое больше
проводимости диэлектрика сц вследствие
ионизации воздуха. Дать объяснение
изменению картины поля.
2-93 (М). Шар с диэлектрической
проницаемостью 8^ = 10 и проводи-
мостью Oj = 10-16 См/см, . радиусом
а — 1 мм находится в вакууме, в одно-
родном внешнем электрическом поле,
напряженность которого в момент
t = 0 скачком изменяется от нуля до
Ео =• 1 000 В/см (рис. 2-87).
Определить геометрические места
точек вектора напряженности поля за
время переходного процесса в соседних
точках (А и 5), лежащих по обе сто-
роны поверхности шара. Угол 0 = 45°.
Найти зависимости от времени соста-
поля в этих точках. Рассчитать закон из-
б)
Рис. 2-92.
вляющих напряженности
мененпя поляризации шара во времени и удельную энергию, вы-
деленную в шаре в виде тепла за время переходного процесса.
2-94. В кварцевой сфере радиусом а = 1 мм, находящейся
в реальном диэлектрике (се = 2; ое = 10“14 См/см), скачком воз-
никла поляризация Ро = 5 мкКл/см2, которая в дальнейшем
остается постоянной.
Определить свободный и связанный поверхностные заряды на
сфере: 1) в начале процесса (t = 0) и 2) в установившемся режиме.
2-95 (Р). Цилиндр радиусом а — 1 см из вязкого диэлектрика
(с?. = 10; — 1 мкс) находится во внешнем однородном поле,
напряженность которого в момент t = 0 скачком изменяется от
нуля до EQ = 1 000 В/см (рис. 2-86). Внешняя среда — воздух.
Определить поверхностный заряд цилиндра при а = 45°
в начальный момент (t = 0) и в установившемся режиме (t оо).
2-96 (Р). Диэлектрический цилиндр (8^=3; = 10-9 См/см)
радиусом а = 1 см находится в однородном синусоидально изменяю-
щемся поле Ео = 2 кВ/см, /=1 кГц (рис. 2-86).- Внешняя среда —
воздух.
Определить закон изменения во времени поляризации цилиндра
и активную мощность на единицу его длины.
2-97 (Р). Диэлектрический цилиндр предыдущей задачи нахо-
дится во вращающемся поле .(Ео = 2]/ 2 кВ/см, со = 2л -103 с-1),
которое можно разложить на два синусоидально изменяющихся
взаимно перпендикулярных в пространстве поля, сдвинутых по
фазе на 90°.
Пользуясь решением предыдущей задачи, определить поляриза-
цию цилиндра и действующий на него вращающий момент.
2-98 (Р). Во вращающемся поле (Ео = 2 кВ/см, со = 2л -106 с”1)
находится цилиндр радиусом а = 1 см из вязкого диэлектрика (е^ =*
= 10; т = 1 мкс). Поле перпендикулярно осп цилиндра.
Определить поляризацию цилиндра, действующий на него вра^
щаюший момент и мощность потерь в цилиндре.
30
2-99 (Р). Между двумя'плоскими электродами, подсоединенными
к источнику постоянного напряжения U (рис. 2-49), распределен
объемный заряд
р = Ро (а2 — х3}1а3.
Определить закон изменения напряженности электрического
поля и потенциала. ^Построить графики Е (х) и ф (х).
2-100. Два плоских электрода расположены на расстоянии d друг
of друга и присоединены к источнику постоянного напряжения U
(рис. 2-49). Между электродами распределен объемный заряд плот-
ностью р = роеах.
Найти распределение потенциала и напряженности поля
между электродами.
г 2-101. В условиях предыдущей задачи, но при р = 300 еогг,
Кл/см3, d =- 40 мм, U = 500 В найти распределение потенциала и
напряженности поля и их значения при х — 20 мм.
Определить, как изменится распределение потенциала, если при
х = 20 мм параллельно пластинам расположена металлическая сетка:
1) не соединенная с электродами, 2) имеющая потенциал —100 В.
2-102. Может ли потенциал электрического поля в области про-
странства, где р = 0, выражаться
функциями:
1) ] ..
динат
в декартовой системе коор-
Ф = Ъх3у — у3 + 5я;
К цилиндрической системе
i 2)
координат
Ф = Зг2 cos а — cos3 а + 5г.
2-103. Найти закон распределе-
ния объемного заряда, если в сфери-
ческой системе координат потенциал
Ф = К cos a/R.
2-104 (Р). Область, ограниченная
Двумя цилиндрическими поверхно-
стями, заполнена зарядом с объемной
__________________х - ___________ плотностью р (рис. 2-104).
Радиус внешнего цилиндра радиус внутреннего Я2. Расстояние
между осями цилиндров а. Длина цилиндрических поверхностей
весьма велика по сравнению с их радиусами. Диэлектрическая
проницаемость среды е = 1.
Доказать, что поле внутри малого цилиндра однородно.
2-6. ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО К РАСЧЕТУ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЕЙ
Параграф содержит задачи по расчету плоскопараллельных
электрических полей, для решения которых целесообразно приме-
нение понятия комплексного потенциала. При этом рекомендуется
Решать более сложные задачи, используя полученные ранее реше-
ния для более простых задач. Построение картин поля помогает
нучше понять существо метода и анализировать структуру полей
При заданном расположении электродов.
31
2-105; Определить, поля каких электродов Описываются ком-
плексными потенциалами вида:
a) w = ]А In z + С\ б) w = A In z + С, где С — комплексная
постоянная; z — х + j-y.
Получить выражения для функций потенциала и потока. Найти
постоянные А.
2-106 (Р). Считая известным выражение для комплексного по-
тенциала заряженной оси, расположенной в начале координат,
w = — In z + С, найти: 1) комплексный потенциал, описы-
вающий поле двухпроводной линии (рис. 2-106); 2) функцию потен-
циала и функцию потока; 3) уравнения эквипотенциал ей и линий
поля; 4) какая часть полного потока вектора напряженности про-
ходит через отрезок оси у (на единицу длины двухпроводной линии)
от у — 0 до у = а?
2-107 (Р). Найти выражение для комплексного потенциала
поля, создаваемого п параллельными заряженными осями (нити
сетки электронной лампы). Оси проходят через точки окружности,
лежащей в нормальной к ним плоскости, и расположены на равных
расстояниях одна от другой и центра
окружности (рис. 2-107). Подобрать
постоянную так, чтобы потенциал
в центре окружности равнялся нулю.
Найти уравнения эквипотенциал ей и
линий напряженностей поля. По-
строить несколько эквипотенциален
и линий поля при п = 6.
2-108. На цилиндрической по-
верхности радиусом а на равных
расстояниях друг от друга располо-
жены п положительно и п отри-
цательно заряженных проводов
(рис. 2-108). Радиус провода г0
много меньше расстояния между
9 то проводами.
Рис. 2-108. Найти: 1) комплексный потен-
циал электрического поля, функцию
потока и функцию потенциала; 2) емкость системы на еди-
ницу длины; 3) уравнения семейства эквппотенциалей и семейства
линий поля.
32
2-109. На цилиндрической поверхности радиусом а на равных
расстояниях друг от друга расположены п положительно заря-
женных проводов. Отрицательно заряженные провода (их тоже п)
расположены на цилиндрической поверхности радиусом b и сме-
щены относительно положительных на
угол р (рис. 2-109). Радиус проводов г0
много меньше расстояния между про-
водами.
Найти: 1) комплексный потенциал
электрического поля, функцию потен-
циала и функцию потока; 2) емкость
системы на единицу длины.
| ч 2-110 (Р). 1) Найти комплексный
потенциал электрического поля, созда-
ваемого центральным положительно за-
I ряженным (4-пт) проводом и п парал-
I дельными отрицательно заряженными
(-—т) проводами, ’ которые расположены
на равных расстояниях друг от друга
и симметрично • относительно центрального провода (рис. 2-110).
Напряжение между центральным проводом и остальными (имею-
щими общий потенциал) равно U. Радиус каждого провода г0 много
меньше расстояния между проводами.
I 2) Определить емкость системы на единицу длины и сравнить
ее с емкостью, цилиндрического конденсатора, образованного тем
же центральным проводом и оболочкой радиусом а при rQ/a = 1 /40
и п = 6. 3) Найти уравнения эквипотенциал ей и линий поля; по-
строить их при rja = 1/40 и п = 6.
I 2-111 (Р). На оси проводящей трубки радиусом Ъ расположен
уровод радиусом гх. Симметрично на расстоянии а от оси располо-
жены п проводов радиусом г0 (рис. 2-111). Радиусы проводов много
Меньше расстояний между проводами. Линейная плотность за-
Нда центрального провода тх, каждого из периферийных прово-
дов т.
Определить: 1ркомплексный потенциал электрического поля
^Утри трубки, считая потенциал трубки равным нулю; 2) потен-
*Мл центрального проводника и потенциал периферийных провод-
ников; 3) потенциальные коэффициенты и частичные емкости системы
урн п = 6; bla = е\ a/r-i = 20; 7*0 = гх; 4) как изменится решение
°аДачи, если убрать центральный провод с зарядом тх.
2 Колли я. н. и др, 33
2-112 (Р). Найти напряженность электрического ноля задачи
2-111 (Р). Построить графики зависимостей напряженности электри-
ческого поля: 1) от радиуса при а = — т (рис. 2-111, в меридиан-
ной плоскости, проходящей через оси центрального и периферий-
ного проводов); 2) от радиуса при а = (рис. 2-111, в ме-
ридианной плоскости, делящей пополам угол между соседними
периферийными проводами); 3) от угла а при г = Ъ (на поверхности
проводящей трубки).
Расчет произвести для двух случаев: А) тп = 2тг и Б) тп = — 2тР
2-113 (Р). Считая известным выражение для комплексного по-
тенциала заряженной оси, найти комплексный потенциал, описы-
вающий электрическое поле бесконечного ряда одноименно заря-
женных осей, которые распо-
ложены на оси х на равных
"J У расстояниях Ъ друг от друга
(рис. 2-113). Определить функ-
Т Т сс цпю потенциала и функцию
—о—о———О о—Ю—потока. Найти уравнения эквп-
J потенция л ей и линий поля.
<--Построить несколько эквипо-
тенциал ей и линий поля.
2-114 (Р). Поле бесконеч-
Рис. 2-113. ного ряда одноименно заря-
женных осей, лежащих в одной
плоскости (см. задачу 2-113), можно рассматривать как предель-
ный случай поля осей, расположенных на поверхности цилиндра
(см. задачи 2-107 — 2-111), если радиус цилиндра г стремится
к бесконечности.
1) Что нужно изменить в задаче 2-107, чтобы предельным пере-
ходом г —> оо непосредственно получить решение задачи 2-113?
Осуществить предельный переход. 2) Решение какой задачи полу-
чится, если предельный переход применить к задаче 2-107?
2-115 (Р). Считая известным выражение для комплексного по-
тенциала бесконечного ряда одноименно заряженных осей, распо-
ложенных на осп х на равных расстояниях Ъ друг от друга (см.
Рис. 2-115.
Е;-7 >67 = 0 X
Рис. 2-116.
задачу 2-113), найти комплексный потенциал знакопеременного
ряда заряженных тонких проводников радиусом г0 (г0 << Ъ), расхЮ'
ложенных на осп х на равных расстояниях Ъ/2 друг от дру£а
(рис. 2-115).
Определить: 1) функцию потенциала и функцию потока; 2) ctf
кость, приходящуюся на шаг системы (6); 3) составить уравнен^
34
эквипотенциален; и линий поля. Дополнительно получить комплекс-
ный потенциал рассматриваемой задачи предельным переходом от
задачи 2-108.
2-116 (Р). Для прогрева плохо проводящего материала (е2,
<т2 ф 0) в нем уложены две системы проводов («+» и «—»), изобра-
женных на рис. 2-116.
1) Определить комплексный потенциал и напряженность эле-
ктрического поля в проводящем материале. 2) Определить проводи-
мость системы на единицу длины вдоль осей проводов и на расстоя-
ние Ъ вдоль оси х. 3) Найти среднюю мощность, приходящуюся на
квадратный метр граничной поверхности. 4) Построить графики за-
висимостей потенциала и напряженности поля: а) от х при у = 0;
б) от у при х = 0 и в) от
у при х = -±ЬЦ. kjy
Напряжение между поло-
жительными и отрицательными £ /=7; 6;=<9 гг
проводами и = 100 sin 314 t, В. 1 777 ~q Т 777
Радиус проводов г0 = 4 мм; " 1 ь*/ >4>4 2 5 2
~ 60 см; h = 20 см; е2 = 6---O---Q---О---О----О—
= 10; о2 = 10-3 См/см. — — -f-
2-117. Решить задачу 2-116 I
для системы проводов, изобра-
женных на рис. 2-117. Рис. 2-117.
2-7. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ
Задачи параграфа делятся на три темы: 1) вычисление энергии
системы; 2) работа сил поля в изолированной и не изолированной от
источника питания системе; 3) работа против сил поля в изолиро-
ванной и не изолированной от источника питания системе.
При определении сил поля (механических сил и вращающих
моментов) целесообразно исходить из закона сохранения энергии:
энергия, отданная источником А И7и, равна сумме приращения энер-
гии поля А И7 и произведенной работы АЛ, т. е.
АИ7и= АТЕ + АЛ.
В тех случаях, когда определение энергии, отданной источни-
ком, затруднительно, следует пользоваться правилом «джоуль за
джоуль»: если работа происходит за счет энергии, отдаваемой ис-
точником, то приращение энергии поля и произведенная работа
равны: А И7 = АЛ. Если же источники отсутствуют, то работа
происходит за счет убыли энергии поля: АЛ = —АН7.
2-118. Во сколько раз изменится энергия электрического поля
уединенного металлического шара радиусом 2 мм, который нахо-
дится в воздухе и потенциал которого равен 500 В, если шар по-
крылся слоем воды (е = 80) толщиной 0,2 мм? Как изменится ре-
шение задачи, если учесть электропроводность воды? Куда делась
энергия? С какой силой (на единицу поверхности) электрическое
поле стремится растянуть тиар (до его покрытия росой)?
2-119. Определить энергию электрического поля, создаваемого
шаром с радиусом 0,1 м и объемной плотностью заряда 10~6 Кл/м3.
Диэлектрическая проницаемость окружающей среды п материала
Шара равна единице.
2*
35
2-120 (Р). Определить работу, которую нужно произвести про-
тив сил поля, чтобы расстояние между обкладками плоского кон-
денсатора увеличить пли уменьшить вдвое. Работу подсчитать в двух
случаях: 1) конденсатор-подключен к источнику э. д. с.; 2) конден-
сатор заряжен и отключен от источника э. д. с.
Постоянная э. д. с. источника Е = 10 кВ. Первоначальная
емкость конденсатора С = 10-9 Ф.
2-121. Найти зависимость силы взаимодействия двух пластин
плоского конденсатора от расстояния х между ними. Дано: площадь
пластины S = 20 см2, напряжение U = 5 000 В = const. Между
пластинами — вакуум.
2-122. Найти зависимость силы взаимодействия двух пластин
плоского конденсатора площадью S = 20 см2 от расстояния х между
пластинами при условии, что пластины были подсоединены к источ-
нику с U = 5 кВ при расстоянии между пластинами d — 3 мм,
а затем источник был - отключен. Диэлектрик — масло с 8—2.2.
2-123. Конденсатор переменной емкости состоит из семи под-
вижных пблудпсков и восьми неподвижных. Радиус каждого
полудпска 10 см. Зазор между подвижными и неподвижными
полудпскамп 1 мм._ Диэлектрик — воздух.
Найти зависимость момента, действующего на подвижные
диски, от угла а перекрытия пластин, если напряжение между
дисками U = 10 В при а = 30°. При этом угле поворота подвиж-
ные диски отсоединены от источника.
Предполагается, что угол перекрытия остается в таких пре-
делах, при которых можно полагать емкость прямо пропорциональ-
ной углу.
2-124. Решить задачу 2-123 при условии постоянства напря-
жения U = 10 В.
2-125. Емкость конденсатора задачи 2-123 С — (40 + 100 а) пФ,
где а — угол перекрытия в радианах.
Определить вращающий момент, действующий на подвижные
пластины, если к обкладкам конденсатора приложено напряжение
U = 1 кВ.
2-126. Емкость конденсатора задачи 2-123 С — (20+ 50 сс2) пФ,
где а — угол перекрытия в радианах.
Определить вращающий момент, действующий на подвижные
пластины при а = л/6, если напряжение на конденсаторе U = 1 кВ.
2-127. Найти величину и направление
силы, испытываемой средней пластиной за-
дачи 2-20, при распределении потенциалов,
указанном в задаче 2-21.
F 2-128. Найти значение потенциала средней
А £;-/ пластины задачи 2-20, при котором испыты-
ваемая ею сила равна нулю, если дано фх =
I = 100 В, ф3 = —50 В.
/7 77/7/ 2-129. Изменится лп сила, действующая
на среднюю пластину (см. задачу 2-20), при
^2=^ изменении знака потенциала пластины 5, если
потенциалы: а) фх = 50; ф2 = —62,5; ф3 ==
= —100 В; б) ф! = 100; ф2 = 0; ф3 = —50 В?
2-130. 2-130. Вертикально расположенные пла-
стины плоского конденсатора погружаются
в жидкий диэлектрик с диэлектрической проницаемостью 82 = 4
(рис. 2-130).
т
ф
X
V |
Рис.
36
Найти зависимость силы f притяжения между пластинами и
вертикальной силы F от глубины погружения х. Ширина пластин
b == 30 см, высота h = 20 см, расстояние между пластинами d =
= 5 мм.
Напряжение на конденсаторе постоянно: U — 10 кВ.
2-131. Решить задачу 2-130 при условии, что конденсатор был
заряжен до напряжения U = 10 кВ при х = ft/2, после чего кон-
денсатор был отключен от источника.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МАГНИТНОЕ ПОЛЕ
3-1. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ОДНОРОДНОЙ
НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
В параграфе собраны задачи, которые решаются применением
интегральных уравнений поля. В ряде задач используется извест-
ное распределение магнитного поля на оси кругового витка с током;
при помощи метода наложения получается распределение поля в бо-
лее сложной системе проводников с током.
3-1. Определить закон изменения магнитной индукции вдоль
оси витка радиусом а с током I (рис. 3-1).
Рис. 3-1.
Рис. 3-2
3-2. Пользуясь решением предыдущей задачи, определить
индукцию на оси соленоида радиусом а и длиной I (рис. 3-2) с чис-
лом витков на единицу длины w0.
Каково должно быть отношение диа-
метра соленоида (2а) к его длине, чтобы
индукция в центре соленоида отличалась
от.индукции в бесконечно длинном соле-
ноиде не более чем на: а) 10%; б) 5%;
в) 2%?
3-3 (Р). Тонкое диэлектрическое не-
. Магнитное кольцо, заряженное с объем-
ной плотностью- заряда р, вращается
вокруг оси, проходящей через центр
Кольца перпендикулярно его плоскости
(рис. 3-3). Частота вращения кольца
в секунду равна п.
’ Определить магнитную индукцию в
точке, лежащей на оси вращения на
Расстоянии у от плоскости кольца.
* Радиусы кольца равны т\ и г2, толщина его &у. Магнитная про-
ницаемость окружающей кольцо среды равна единице.
3-4. Длинный диэлектрический цилиндр, заряженный с объем-
ной плотностью р = 4-10-6 Кл/м3, вращается вокруг оси z, совпа-
дающей с осью цилиндра, со скоростью п = 100 об/с.
Определить магнитную индукцию внутри цилиндра в средней
его части в зависимости от расстояния г от оси.
Радиус цилиндра г0 — 0,05 м. Магнитная проницаемость мате-
риала цилиндра и окружающей среды равна единице.
3-5. На коническую поверхность по окружности плотно намо-
тана изолированная проволока (рис. 3-5). Число витков, приходя-
щихся на единицу длины образующей конуса, равно wQ. Высота
конуса /г. Радиус окружности основания конуса а.
Рис. 3-5.
Рис. 3-6.
Определить магнитную индукцию в центре окружности основа-
ния (точка М), если ток в обмотке равен I. Магнитные проницае-
мости материала конуса и окружающей среды одинаковы и равны
единице.
3-6. Обмотка катушки расположена на боковой поверхности
усеченного конуса (рис. 3-6). Высота конуса h. Радиусы оснований г2
и Число витков на единицу длины образующей конуса wQ. Ток
в обмотке I. Магнитная проницаемость ц = 1.
а) Определить магнитную индукцию на оси конуса.
б) Из полученного решения определить магнитную индукцию
на оси цилиндрической катушки длиной h и радиусом г0.
3-7. В плоской однослойной катушке (рис. 3-7) протекает по-
стоянный ток I. Число витков на единицу радиуса катушки ш0.
Магнитная проницаемость ц = 1.
Определить магнитную индукцию на оси кольца: а) непосред-
ственно; б) считая известным решение задачи 3-6.
3-8. На сферический каркас радиусом а = 0,1 м виток к витку
намотана изолированная проволока (плоскости витков параллельны
друг другу). Число витков, приходящихся на всю поверхность шара,
w = 200. Магнитная проницаемость каркаса и окружающей среды
равна 1.
Определить магнитную индукцию в центре сферы при постоян-
ном токе в обмотке I = 5 А.
3-9 (Р). Проводящая сферическая оболочка радиусом а = 10 см
вращается вокруг оси z, проходящей через ее центр со скоростью
100 об /с (рис. 3-9). Заряд оболочки q = 10-8 Кл. Магнитная прони-
цаемость равна единице.
38
Найти непосредственным интегрированием напряженность маг-
нитного поля на оси вращения z внутри (7) и вне (2) шара, считая
известным поле на оси кругового витка.
3-10. Вдоль длинной тонкой ленты, ширина которой а = 0,2 м,
протекает постоянный ток I = 40 А (рис. 3-10). Определить магнит-
ную индукцию в воздухе в точке М, отстоящей от средней линии на
расстояние h = 0,05 м.
3-11 (Р). Найти магнитное поле в точке М, создаваемое током 1
J длинной тонкой ленты (рис. 3-11).
На каком расстоянии от оси ленты поле можно считать прак-
тически таким же, как и поле тока Z, сосредоточенного на. оси
I ленты?
3-12. Провод с током I — 360 А расположен на оси стальной
трубы.' Радиус проводника г0 = 0,4 см. Внутренний радиус трубы
гх == 4 см, внешний радиус г2 = 5 см. Магнитная проницаемость
стали трубы при заданном токе pi = 200.
Определить значения напряженности магнитного поля в точ-
ках г = 2 см; 4,5 см и 6 см. Изменятся ли найденные значения
напряженности поля, если убрать стальную трубу?
3-13. Для системы задачи 3-12 определить значения магнитной
I индукции В и намагниченности М в тех же точках: а) при наличии
и б) при отсутствии стальной трубы.
3-14 (Р). Определить индуктивность коаксиального кабеля
с радиусом жилы гг и радиусами оболочки г2 и г3, считая, что плот-
ность тока постоянна как в жиле, так и в оболочке. Магнитная про-
ницаемость ц = 1.
3-15. Определить длину соленоида радиусом а = 2 см с н. с.,
равной 10 А/см, если в точке, расположенной на оси внутри соле-
ноида и отстоящей на 10 см от одного из его концов, напряженность
поля равна 8 А/см.
Чему равнялась бы напряженность поля внутри такого же
• бесконечно длинного соленоида?
3-16 (Р). Определить напряженность магнитного поля, созда-
ваемого током I в плоском кольце шириной г2 — = а и малой
толщиной б (рис. 3-3), в произвольной точке М оси кольца. Плот-
ность тока: а) обратно пропорциональна радиусу J = К/г; б) во всех
точках кольца одинакова.
39
3-17. Два круговых контура, оси которых совпадают, отстоят
один от другого на расстояние 2h — 1 м. Радиусы контуров а =
— 50 см. Ток в каждом контуре I = 200 А.
Построить зависимость магнитной индукции на оси контуров
от расстояния х до середины между ними.
3-18. Круговые контуры задачи 3-17 расположены под углом
друг к другу так, что их оси пересекаются в точке М, образуя угол
в 60°. Расстояние от точки М до центра первого контура 0,25 м,
до центра второго контура — 0,75 м. Для наблюдателя в точке М
ток первого контура направлен по направлению движения часовой
стрелки, ток второго контура —
-0 против направления движения часо-
вой стрелки.
0 Определить значение индукции в
точке М по величине и направлению.
3-19. Двухпроводная линия
длиной I ;> d (рис. 3-19) замыкает-
ся проводом. По линии и проводу
протекает ток I.
Показать,, что при указанных условиях продольная составляю-
щая силы (направленная вдоль линии), действующей на провод,
не зависит от его формы.
Рис. 8-19,
3-2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОГО
ПОЛЯ. ВЕКТОРНЫЙ И СКАЛЯРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛЫ
В этом параграфе помещены задачи, которые могут быть решены
интегрированием дифференциальных уравнений магнитного поля:
закона полного тока, уравнения
Пуассона для векторного потен-
циала и уравнения Лапласа
для скалярного потенциала.
3-20 (Р). Провод с током I
спускается вертикально вниз
и оканчивается в земле полусферическим заземлителем радиу-
сом а (рис. 3-20).
Считая проводимость земли постоянной и второй электрод
находящимся на расстоянии, много большем л, найти магнитное
поле в земле и в воздухе при постоянном токе.
40 '
3-21 (Р). На глубине h под поверхностью земли (рис. 3-21)
находится сферический электрод (проводимость о3) радиусом
a (h ^> а), к которому подводится постоянный ток I по изолирован-
ному вертикальному кабелю.
Найти магнитное поле в земле и воздухе, считая проводимость
земли о*! постоянной.
Второй электрод расположен далеко от первого — на расстоя-
нии, много большем h.
3-22. По проводнику, выполненному в виде трубы с радиусами
г2 = Згх = 1,5 см, протекает постоянный ток I. Для охлаждения
проводник помещен в жидкость. При этом температура различных
точек сечения проводника различна и вследствие этого различна
плотность тока JJz. Известна напряженность магнитного поля
внутри проводника:
Н = Ясс — 25 (4г2 +9 — 5/г), А/см, где г — в см.
Найти распределение плотности тока по сечению проводника
п зависимость проводимости от радиуса, если напряженность эле-
ктрического поля в проводнике Е = Ez~ 1,2 -10-3 В/см.
3-23 (Р). Плотность тока в плазме газового разряда
J о
г/а~\Л
в цилиндрической системе координат. Здесь г — текущий радиус,
Jo и а — постоянные.
Определить магнитное поле. Построить на одном графике за-
висимости J (г) и Н (г).
3-24 (Р). Решить задачу 3-4, интегрируя дифференциальное
уравнение магнитного поля.
3-25 (Р). Считая" известным, что магнитный потенциал ср —
4 = + ^2jc°s б удовлетворяет уравнению Лапласа (7?
сферические координаты), найти магнитную индукцию
точке внутри и вне сферической обо-
лочки, для условия задачи 3-9.
3-26 (Р). В цилиндрическом'про-
воде радиусом а имеется цилиндри-
ческое' отверстие' радиусом г0, рас-
положенное на расстоянии d от оси
провода (рис. 3-26). По проводу течет
ток постоянной плотности J.
Определить векторный потен-
циал, магнитную индукцию и урав-
нения линий магнитной индукции:
1) внутри отверстия, 2) в проводе и
3) вне провода. Построить линии,
. проходящие через точки: а) х = 0;
и 0 —
любой
в
у ~ 0; б) х = d — г0; у = 0; в) х = d\
{/ = 0; г) х = d + г0; у = 0; д) х = а; у — 0 при а = 2 d = 4г0
н график зависимости Ву (х) при у = 0.
3-27. Определить векторный потенциал коаксиальной линии,
внутренний проводник которой диаметром 2гх = 2 см выполнен
из ферромагнитного материала (цх = 100), а оболочка — из нефер-
ромагнитного материала. Внутренний радиус оболочки /2 = 2 см,
41
внешний радиус оболочки г3 = 2,24 см. По линии протекает ток
I = 1 000 А.
3-28 (Р). Определить векторный потенциал двухпроводной ли-
нии (рис. 3-28), провода которой сделаны из неферромагнитного
материала. Найти максималь-
ный магнитный поток (на еди-
ницу длины линии), создавае-
мый током I в линии, у ко-
торой отношение расстояния
между осями проводов 2d
к их радиусу а равно 4.
Как расположить контур,
чтобы он охватывал макси-
мальный поток?
Построить несколько ли-
ний поля, которые проходят:
а) только вне проводов, б) только внутри провода, в) частично
внутри, частично вне провода.
3-29 (Р). Определить магнитную индукцию вне проводов двух-
проводной линии задачи 3-28 и внутри первого провода. Построить
график В (х) при у = 0.
3-30. Пользуясь выражениями векторного потенциала, найден-
ными в задаче 3-28 (см. решение), определить магнитный поток
на единицу длины, который пронизывает соседнюю двухпроводную
линию, расположенную параллельно рассматриваемой (рис. 3-30).
Соотношение размеров 4а = 2d = b = 4^ = 21г. Провода второй
линии тонкие — их радиус много меньше расстояния d±.
3-31. Определить зависимость векторного потенциала от коор-
динаты у при х = 0 (рис. 3-31) для поля, которое создается током /,
протекающим по отрезку провода длиной I.
3-32. Магнитное поле создается двухпроводной длинной линией
с током I = 5 А.
Определить величину векторного потенциала в точке, отстоя-
щей от первого, провода на расстоянии = 0,25 м, а от второго —
на расстоянии г2 = 0,5 м. Считать, что в средней точке между про-
водами линии векторный потенциал равен нулю.
3-33. Ток протекает по кольцу круглого сечения (тороиду).
Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет векторный
потенциал магнитного поля этого тока?
3-34. Для поля предыдущей задачи фдрмулу А == -^dV
записать подробно в цилиндрической системе координат.
42
3-35 (Р). Многослойная обмотка бесконечно длинной катушки •
обтекается током плотностью J =-const. Внутренний радиус об-
мотки г1? внешний — г2.
Считая обмотку равномерной и пренебрегая толщиной изоляции
между витками, определить векторный потенциал А и магнитную
индукцию В внутри катушки, в обмотке и вне катушки. Построить
графики В (г) и А (г).
Как изменится решение задачи, если плотность тока J = Kir-?
3-3. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПРИСУТСТВИИ
МАГНИТНЫХ ТЕЛ
В параграфе сосредоточены задачи, в которых имеются границы
раздела между магнитными средами с различными значениями
магнитной проницаемости. Такие задачи рекомендуется решать либо
интегрированием уравнения Лапласа для скалярного магнитного
.- потенциала ср, связанного с напряженностью магнитного поля выра-
I жением П = —grad ср, либо методом отображений от плоских и
цилиндрических поверхностей. В этом же параграфе помещены за-
дачи по определению медленно меняющегося магнитного поля
в средах с магнитными потерями.
3-36. Пользуясь известными выражениями для поля диэлектри-
ческого цилиндра п шара, помещенных в однородное электриче-
ское поле, вычислить размагничивающий ф-актор N и магнитную
проницаемость тела для шара и цилиндра.
Построить график зависимости проницаемости тела цт =
== В /Bq от ц, где В — индукция внутри тела, Bq — индукция внеш-
него однородного поля до внесения в него тела, pt — магнитная про-
ницаемость материала тела.
3-37 (М). На оси х катушки находится образец, однородно
намагниченный параллельно осп с М = Мх = 8 000 А/см.
Чему равен магнитный поток, обусловленный образцом и сцеп-
ленный с витками катушки? Известно,\ что в отсутствие образца
напряженность поля, создаваемого током, проходящим по обмотке
катушки, II = IIх — Icwq!, во всех точках области, занятой образ-
цом (Iwq — 100 см-1, если ток выражен в амперах и напряженность
поля — в А/см). Образец: А) цилиндр с сечением 5 = 1 мм2 и дли-
ной I = 2 см; Б) тонкостенная трубка, толщина стенок 1 000 А,
диаметр трубки d = 2 мм, длина
I = 2 см; В) вытянутый эллипсоид
вращения с полуосями а = 1 см (ось
вращения, параллельная оси катуш-
ки) и Ь — 1 мм; Г) диск толщиной
6 = 2 000 А, диаметром d = 2 см
(диаметр диска совпадает с осью ка-
тушки); Д) сплюснутый эллипсоид
вращения с полуосями а = 2 -000 А
(ось вращения перпендикулярна оси
катушки), Ъ = 1 см.
3-38 (Р). Рассчитать магнитное
поле внутри, вне и в стенке ферро-
магнитной трубы, находящейся во
внешнем однородном поле с индукцией BQ (рис. 3-38). Проницае-
мость материала трубы ц2 = ц. Определить коэффициент экраниро-
вания К = BJBq, где Bjl — индукция внутри трубы.
В о (рис. 3-38). Проницае-
4:
3-39. Параллельно поверхности толстого листа с магнитной
проницаемостью, много большей единицы, на расстоянии h = 10 см
протянут провод с постоянным током I = 100 А (рис. 3-39).
Определить закон изменения индукции от координаты х при
г/ = 0 и от координаты у при х = 0. Вычислить силу притяжения
провода к листу на единицу его. длины.
3-40 (Р). Параллельно оси бесконечно длинного цилиндра ра-
диусом г0 на расстоянии Ъ от оси расположен провод с постоянным
током I (рис. 3-40). Магнитная проницаемость цилиндра цх, окру-
жающей среды — ц2. Определить векторный потенциал магнитного
поля внутри и вне цилиндра.
3-41. Определить вектор магнитной индукции (в цилиндриче-
ских координатах) внутри и вне цилиндра предыдущей задачи.
3-42 (Р). Считая известным решение задачи 3-40, определить
уравнения линий вектора магнитной индукции внутри и вне ци-
линдра. Построить линии, проходящие через точки: 1) г/г0 = 5/4;
ГсЛо “ 7/4; 2) ri/r0 = 1/2; г/г0 = 1; 3) г/г0 = 0; гх/г0 = 1/2; 4) г/г0 =
= 1/4; гх/г0>= 1/4, если цх/ц2 = 1/2, 6/г0 = 1/2.
3-43. В ферромагнетике (,р2 > 1) просверлено цилиндрическое
отверстие радиусом. г0 (рис. 3-40). Параллельно оси отверстия па
расстоянии Ъ от нее проходит провод
с постоянным током I.
Определить векторный потенциал
магнитного поля внутри отверстия и
найти уравнение линий магнитной ин-
дукции. При b/rQ =1/2 построить
линии, проходящие через точки:
1) гх/г0 = -5/4; г2/г0 = 11/4; 2) rx/r0 = 1;
г2/г0 = 10/4; 3) гх/г0 = 3/4; г2/г0 = 9/4;
4) ri/ro = 2/4; г2/г0 = 8/4; 5) гх/г0 =
= 1/4; г2/7-0 = 7/4 (см. рцс. 3-40Р).
3-44 (М). Проводник с током I про-
ходит параллельно осп бесконечно длин-
ного цилиндра (рис. 3-44) на расстоянии а от нее. Магнитная
проницаемость цилиндра цх, окружающей среды — ц2.
Определить векторный потенциал магнитного поля внутри (Ах)
и вне' (А2) цилиндра, принимая Ах = 0 на оси цилиндра.
3-45. Определить вектор магнитной индукции внутри и вне ци-
линдра задачи 3-44.
3-46. Считая известным решение задачи 3-44, определить урав-
нения линий магнитной индукции: 1) внутри и 2) вне цилиндра.
Для случая, когда цх/р2 = 5 и а/г0 = 2, построить несколько линий.
44
3-47 (Р). Между проводами двухпроводной линии симметрично
расположен ферритовый цилиндр радиусом г0 с проницаемостью
(рис. 3-47). Проницаемость окружающей среды ц2. Расстояние между
проводами 2а, радиус проводов р0 <С г0.
1) Пренебрегая магнитным потоком внутри проводов, опреде-
лить: а) индуктивность линии £0 на единицу ее длины; б) насколько
Рис. 3-48.
\ индуктивность этой линии больше индуктивности такой же линпп
без ферритового цилиндра.
2) Повторить расчет при условии, что цх > ц2.
3-48 (Р). Провода линии расположены параллельно осп цп-
’ линдра (рис. 3-48). Магнитная проницаемость цилиндра ц1? окру-
I жающей среды — р2. Радиус провода р0 много меньше радиуса
цилиндра г0 и расстояния между проводами 2Ъ.
а) Пренебрегая магнитным потоком внутри проводов, опреде-
лить индуктивность линпп Lo на единицу ее длины.
б) Определить индуктивность Ло, если магнитная проницае-
мость среды, окружающей провода, всюду будет равна
3-49 (Р). На кольцевой ферритовый сердечник (рис. 3-49)
с комплексной магнитной проницаемостью ц = 400 — /20 нанесена
обмотка с числом витков w = 100. Размеры
сердечника; = 15 мм; г2 20 мм; dt'\
h = 5 мм. Обмотка подключена к псточ- ’ *
нику синусоидального напряжения ' с
U,n = 10 В; / = 1 000 Гц.
Определить активную мощность, вы-
I деляемую в единице объема сердечника
в зависимости от расстояния г (от осп). р „
f Сопротивлением обмотки и рассеянием Гис'
пренебречь.
3-50 (Р). Определить мгновенное значение силы, действующей
на 1 м провода с током i = 20-104 sin 1 000 Z,A, который находится
на высоте h — 20 см над непроводящим магнетиком (феррит) с ком-
плексной проницаемостью ц = 100 — / 10.
К Построить на одном графике зависимость от времени ^ока,
индукции на оси провода и силы.
3-51. В какой момент времени магнитная индукция поля,
создаваемого синусоидальным током двухпроводной воздушной
линии, которая проходит параллельно плоской поверхности магне-
тика с комплексной магнитной проницаемостью р = 10 — /4,
совпадает с полем другого тока z2 в той же линии при отсутствии
I Магнетика? Найти значение тока i2 и намагниченности магнетика М
в момент времени tr, если — 100 sin (104£ + 30°), А.
45
3-52. Определить потери на 1 м в непроводящем магнетике
с комплексной магнитной проницаемостью ц = 4-/5, если над
его плоской поверхностью на расстоянии 0,5 см проходит двухпро-
водная воздушная линия. По линии пдет ток i = 2j/2 sin 10% А.-
Расстояние между проводами линии 10 см. Потерями в проводах
линии пренебречь.
. Определить, насколько комплексное сопротивление этой ли-
нии больше комплексного сопротивления такой же линии при от-
сутствии магнетика.
3-53. Длинный ферритовый цилиндр радиусом г0 = 0,25 мм
с комплексной магнитной проницаемостью = 400 — /4 помещен
в однородное магнитное поле Яо = 0,1 sin 2л-10% А/см, перпен-
дикулярное оси цилиндра (рис. 3-53).
Рис. 3-53.
Определить индукцию В внутри цилиндра и мощность, погло-
щаемую в цилиндре на единицу его длины. Построить геометриче-
ское место концов вектора В за период в точке А, лежащей у по-
верхности цилиндра в окружающей среде.
3-54 (Р). Внутри ферритового сердечника с магнитной прони-
цаемостью |i2 = 3,5 — / 3 находится сферическое включение из
диэлектрика (цх = 1). Диаметр включения 2/?0 много меньше раз-
меров сердечника. Вдали от включения поле в сердечнике одно-
родно: HQ = 1 - sin 2л • 10е/, А/см.
Построить геометрические места концов векторов В и Н за
период в точке А, находящейся в феррите у поверхности сферы
.(рис. 3-54). Па построенных кривых обозначить точки, соответст-
вующие одним и тем’ же моментам времени.
3-4. ЭНЕРГИЯ И СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В этом параграфе помещены задачи на расчет энергии магнит-
ного поля п сил, возникающих в нем.
3-55. Индуктивность однослойной короткой катушки на низ-
кой частоте приближенно определяется выражением
0,04г2^2
Ь=9г + 10/’
мГ,
где г — радиус витков, м; Z — длина катушки, м; w — число вит-
ков катушки.
Определить силу, стремящуюся растянуть катушку, и силу,
стремящуюся разорвать витки катушки, при токе I — 2,45 А,
если г = 0,05 м; I = 0,2 м; w = 100 витков.
46
3-56. Две катушки вариометра соединены последовательно.
Индуктивности катушек Lr = 90 мкГ и Ь2 = 160 мкГ. Коэффи-
циент связи между катушками определяется выражением к —
= 0,4 cos а, где а — угол между осями катушек.
Определить вращающий момент, действующий на каждую из
катушек, при к = 0,24 и токе через катушки I = 10 А.
3-57. На кольцевой стальной сердечник нанесена обмотка,
содержащая w = 600 витков. В кольце сделан поперечный зазор
длиной — 0,4 мм. Средняя длина магнитной линии в кольце
Z2 = 0,4 м. Поперечное сечение кольца S = 10-3 м2. Магнитная
проницаемость стали ц = 800.
Определить энергию магнитного поля в стали Wc и в зазоре WB
при токе в обмотке 1 = 1 А. Зная полную энергию магнитного
поля, определить индуктивность катушки и силу, стремящуюся
уменьшить зазор.
3-58 (Р). При поражении молнией трубчатого’ молниеотвода
труба оказалась сплющенной. Определить давление, дейсгвовавшее
на трубу при токе молнии I = 200 000 А, в предположении, что ток
протекал лишь в тонком поверхностном слое трубы (скин-эффект).
Наружный радиус трубы г0 = 1,25 см.
3-59 (Р). Можно ли вычисление силы в предыдущей задаче
производить так: поле тока В = ц07/2лг0; на единицу периметра
приходится ток IQ = Ц2пгв и сила F = В10?
3-60. Электромагнит (рис. 3-60, а) имеет обмотку, содержащую
1 000 витков, по которой проходит ток 10 А. Зависимость между
Рис. 3-60.
магнитным потоком и н. с., приходящейся на сталь, т. е. Ф =
= / (2HCZC), представлена на рис. 3-60, б. Сечение воздушного
зазора и стали S = 16 см2. Якорь, притягиваясь к сердечнику,
совершает механическую работу против внешних сил.
Перемещение якоря из начального положения (зазор равен
2 мм) в конечное (зазор равен нулю) происходит настолько быстро,
что магнитный поток в течение всего перемещения остается неиз-
менным. При этом происходит соответствующее уменьшение тока
(вследствие наведения э. д. с.). После прекращения движения ток
возрастает до прежнего значения.
Определить: а) совершенную механическую работу JTMexT
б) силу притяжения якоря в начальном Fr п конечном F2 положе-
ниях; в) количество энергии, поступившей от источника WH; г) из-
менение энергии магнитного поля в стали Д1УС и в воздушном за-
зоре ДИв.
47
(рис. 3-62).
состоит из
3-^61. Решить задачу 3-60 в предположении настолько медлен-
ного перемещения якоря (при тех же начальном и конечном поло-
жениях), что можно полагать неизменной величину тока в обмотке
в течение всего процесса перемещения.
3-62. Равномерное магнитное поле в воздушном зазоре магнито-
электрического гальванометра направлено радиально
Индукция поля В = 1 500 Гс. Рамка гальванометра
w — 200 витков, длина активной сто-
роны рамки I = 2,5 см, ширина рам-
ки Ъ = 2 см. Момент сопротивления,
развиваемый питью подвеса при повороте подвижной системы на
1 деление шкалы, Мо — 61,2-10-6 г-см/деленпе.
Определить постоянную гальванометра по току С, т. е. вели-
чину тока, вызывающего отклонение системы на одно деление
шкалы.
3-63 (Р). На рис. 3-63 схематически показан якорь электриче-
ской машины, имеющей всего один виток. Продольная длина якоря
I = 50 см, наружный диаметр якоря D = 20 см, диаметр окруж-
ности, на которой расположены провода, d = 16 см. Магнитная
проницаемость стали ц = 500. Ток в витке I = 50 А.
Считая поле под полюсами однородным с индукцией В =
= 10 кГс (при токе в витке, равном нулю), определить значение
вращающего момента М, действующего на якорь, оценить силу F,
действующую на провода, и момент, обусловленный давлением про-
водов, Мо. '
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
4-1. ТЕОРЕМА УМОВА—ПОЙНТИНГА
В параграфе собраны задачп по вычислению потоков мощности
и энергии стационарных и квазпстацпонарных полей в реальных
средах.
Для решения задач применяется: 1) понятие о векторе Пойн-
тинга П = Е X И п в комплексной форме П = Е X И; 2) теорема
Умова — Пойнтпига
- & П<®= pE?dV + С
J J J di J dt
48
а в комплексной форме
— (^ndS=6, = P+/Q = Z2Z = r2y.
4-1. По уединенному алюминиевому проводу радиусом 1 см
I протекает постоянный ток 1 000 А. Проводимость алюминия
32-104 См/см.
Пользуясь теоремой Умова —Пойнтинга, определить поток
| мощности, входящий внутрь провода длиной 1 м. Сравнить эту мощ-
!ность с мощностью, определяемой по известной из теории цепей
формуле Р = 12г.
Показать, что известная формула сопротивления провода
г = 1/oS получается при применении теоремы Умова — Пойн-
I тинга.
4-2 (Р). По двухпроводной линии постоянного тока передается
I мощность Р при напряжении U и токе I. Пренебрегая сопротивле-
нием проводов, построить кри-
I вую зависимости вектора Пойн-
тинга от координаты х вдоль
> линии, соединяющей осн про-
водов.
4-3. По двухпроводной линии, радиус проводов которой 2 мм
I (рис. 4-3), передается мощность Р = 44 кВт при постоянном напря-
жении 110 В.
К ’ Пренебрегая сопротивлением проводов, найти величину и
В направление вектора Пойнтинга в точках Мг, М3.
Как изменится решение задачи, если задано не напряжение,
а сопротивление нагрузки (при той же мощности)?
I 4-4 (Р). По двухпроводной линии, диаметр проводов которой
3 мм и расстояние между осями 300 мм (рис. 4-2), протекает постоян-
D, ный ток 100 А при напряжении в начале линии 110 В. Проводимость
I материала проводов в = 57-104 См/см (медь). Определить вектор
Пойнтинга по величине и направлению в воздухе у поверхности
левого провода, в точке М, на расстоянии 10 м от начала
В линии.
Нарисовать качественную картину распределения векторов
I Пойнтинга по направлению вдоль прямой, соединяющей провода
£ (оси х).
4-5 (Р). Пренебрегая сопротивлением проводнпков коаксиаль-
*• кого кабеля (рис. 4-5), построить зависимость величины мощности,
I передаваемой внутри цилиндрической поверхности радиусом г, от
| величины этого радиуса.
4-6. По коаксиальному кабелю (рпс. 4-6) с размерами гх — 2 мм;
г2 = 10 мм передается при постоянном токе активная мощность
- Р = 100 кВт; сопротивление нагрузки 80 Ом.
49
Пренебрегая потерями в проводниках кабеля, определить век-
тор Пойнтинга в точках М1? ТИ2, М3 (точки М± и М2 в диэлектрике
у поверхности проводника; г3 = 6 мм).
Рис. 4-5.
100 м от начала
кабеля
Рис. 4-6.
4-7. Коаксиальный кабель состоит из медной трубки и рас-
положенной на ее оси медной проволоки (рис. 4-6). Дпэлектрпк —
воздух. Проводимость меди 57 • 104 См/см. По кабелю течет постоян-
ный ток 50 А при напряжении в начале кабеля 100 В.
Найти величину и направление вектора Пойнтинга в точ-
ках М1У М2 и М3 на расстоянии 100 м от начала кабеля (точки М±
п М2 в .воздухе у поверхности проводника).
4-8. Коаксиальный кабель длиной 100 м, заполненный диэлек-
триком с проницаемостью с — 4 и проводимостью 10-11 См/см,
питает нагрузку с сопротивлением 50 Ом. Радиус жилы 3 мм, ра-
диусы оболочки 10 и 11 мм.
Пренебрегая потерями в проводниках, определить мощность,
выделяемую в изоляции, ток в начале и конце кабеля, мощность
на входе кабеля и к. п. д. линии передачи, еслп: 1) кабель подклю-
чен к источнику постоянного напряжения 10 кВ; 2) кабель подклю-
чен к источнику синусоидального напряжения 10 кВ с частотой
100 кГц.
4-9 (Р). Определить вектор Пойнтинга на поверхности тороида
с равномерно распределенной обмоткой в переходном процессе при
включении цепи к источнику постоянного напряжения U = 300 В
через резистор с сопротивлением г = 300 Ом. Средняя длина маг-
нитной линии в тороиде Zcp = 30 см, сечение тороида S = лг§ =
= 0,8 см2. Магнитная проницаемость материала тороида ц = 100,
ЧИСЛО ВИТКОВ W = 316.
Пользуясь полученным выражением, определить энергию, за-
пасенную в магнитном поле, и сравнить се с энергией, определенной
по формуле W — Ы2/2.
4-10. Комплексное сопротивление тороидальной катушки с фер-
ромагнитным сердечником Z — 20 + j 100 Ом, число витков w =
= 400, средняя длина магнитной линии в тороиде 30 см, его сече-
ние 0,8 см2. Активное сопротивление проводов обмотки 10 Ом.
Определить мгновенное значение вектора Пойнтинга на поверхности
тороида, еслп к зажимам обмотки приложено напряжение и =
= 50 sin (10 000 t + 30°), В, и поток комплексного вектора Пойп-
тпнга через поверхность сердечника.
50
4-1 Г. Определить вектор Пойнтинга па поверхности диэлект-
рика, помещенного в плоский конденсатор при переходном процессе
.цепи (рис. 4-11). Емкость части конденсатора, заполненного диэ-
лектриком, С = 4 мкФ, сопротивление г = 333 Ом, постоянное
напряжение U =f 100 В. Диэлек- Н~1гм
трическая проницаемость диэлек-
трика 8 = 104.
Пользуясь полученным вы-
ражением, определить энергию,
запасенную в диэлектрике кон-
денсатора.
4-12 (М). По двухпроводной
. линии передается энергия от гене-
ратора к приемнику. Расстояние
между осями проводов 1 м. Ра-
диусы проводов 5 мм. Напряже-
ние между проводами 'линпп рав-
но 104 sin coz, В. Ток в линии
Рис. 4-11.
100 sin («£ — л/3), А.
Найти среднее значение вектора Пойнтинга в двух точках,
I лежащих на линии, соединяющей осп проводов. Первая точка нахо-
I дится у поверхности одного из проводов, вторая — посередине
Н между провЪдами. Влиянием земли и сопротивлением самих прово-
дов можно пренебречь.
4-2. НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В ПЕРЕМЕННОМ ПОЛЕ И В ПРИСУТСТВИИ
ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ
ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Задачи параграфа делятся на трп группы: 1) вычисление на-
пряженности переменного электрического поля в неподвижной
среде Е = —grad ср — дК/дЦ 2) вычисление напряженности пере-
менного электрического поля в движущейся среде при скорости
движения, много меньшей скорости света; 3) вычисление траекто-
рий движения заряженных частиц в электромагнитном поле и силы
F — qE + qv X В, действующей на частицу с зарядом q, движу-
щуюся со скоростью V.
4-13. В линии длиной 20 км, состоящей из двух медных парал-
лельных проводов (р = 17,6 Ом-мм2/км) радиусом 0,5 см при
расстоянии между их осями 2 м, проходит ток 40 А, возрастающий
со скоростью 30 кА/с. В конце линия замкнута накоротко.
Найти напряжение в начале линии.
4-14. При некотором токе в прямолинейном проводнике про-
дольная скорость электронов в проводнике v. Магнитная стрелка,
расположенная вблизи провода, отклоняется под влиянием тока
на угол а.
Как изменится угол отклонения магнитной стрелки, если ее
перемещать с той же скоростью в направлении движения
электронов и в направлении, противоположном движению элект-
ронов .
4-15 (Р). Металлический диск, насаженный на вал, вращается
с постоянной скоростью 3 000 об/мин в однородном магнитном поле.
51
индукция которого 1 Тл и перпендикулярна плоскости диска.
Радиус диска R = 10 см.
Определить э. д. с., возникающую между валом и внешней
окружностью диска. Указать качественно распределение зарядов
на диске и на валу.
4-16. Металлический диск, насаженный на вал эксцентрично,
вращается в однородном магнитном поле с индукцией В (рис. 4-16).
Линии поля перпендикулярны плоскости диска. Радиус внешней
окружности диска R. Число оборотов диска в секунду п. Расстоя-
ние между осью вала и осью диска равно d.
Найти э. д. с., возникающую между щетками, одна из которых
скользит по окружности диска, а другая — по валу. В диске про-
делано множество радиальных тонких щелей и поэтому токами
в диске можно пренебречь. Получить приближенное выражение
для э. д. с. в случае d/R < 1.
4-17 (М). Индукционный виброграф состоит из неподвижного
постоянного магнита (рис. 4-17), вставленного в массивный сталь-
ной стакан, и из подвижного соленоида, йехапическп связанного
с той системой, вибрацию которой надлежит измерить. Магнитный
поток постоянного магнита Ф = 1,2 -10“4 Вб замыкается через
стальной стакан так, что п нижний и верхний концы соленоида ока-
зываются вне зоны магнитного поля. Соленоид намотан равномерно
и имеет 50 витков на 1 см длины. Вибрация соленоида происходит
в продольном направлении по закону х — 0,2 sin со£, мм, где со
= 2л-200 с-1, в поперечном направлении — по закону у ~
= 1 sin со£, мм.
Найти э. д. с., индуктируемую в соленоиде.
4-18 (Р). Стержень AD движется в магнитном поле (рис. 4-18)
со скоростью v = 0,25 м/с. Магнитная индукция между полюсами
электромагнита (т. е. на площади 500 мм X 200 мм) изменяется
во времени но закону В = Во (1 — kt), где Во = 1 Тл, к = 5 с"1,
t — время, отсчитываемое от момента, когда стержень AD распо-
ложен, как показано на чертеже. В остальной части проводнико-
вого контура, замкнутого вольтметром, магнитным полем можно
пренебречь.
Определить э. д. с., наводимую в контуре (показание вольт-
метра V).
4-19 (Р). Медная цилиндрическая труба малой толщины 6 при
среднем радиусе гСр коаксиально надета на провод с током i и дви-
52
Зависят ли показания
рических свойств трубы?
жется со скоростью v в направлении, .совпадающем с осью провод-
I ника (рис. 4-19).
Определить показания вольтметра, присоединенного к в'нутрен-
I ней и внешней поверхностям трубы посредством щеток.
вольтметра от магнитных и элект-
Возникают ли в трубе напряжен-
ность поля, ток и заряды?
4-20. Определяется ли полностью
сила, действующая на движущийся
заряд, заданными значениями v, В,
Рис. 4-18.
л
ср и их производными во времени (токами смещения и излу-
, обте-
& grad (ж
? чением пренебречь). Иллюстрировать на примере соленоида,
I каемого переменным током.
4-21. Внутри щели в соленоиде при я2 + у2 < г2 (рис. 4-21) .
времени (в рассматри-
В4 индукция В = Bz= 1 Тл и изменяется во
ваемый момент) со скоростью dB/dt =
К..= 10 Тл/с; при х2 4- у2 > 7’5 индукция
5 = 0 и dB/dt = 0.
Определить составляющие силы fx и fy,
у действующие на электрон с зарядом у,
Н обладающий скоростью v = vx в зависи-
мости от координаты х при у — 0.’
4-22. То же, что в задаче 4-21, но для
R скорости электрона v = vy в зависимости
от координаты х при у = 0.
4-23. Траектория электрона с зарядом
q и массой тп, движущегося в магнитном
поле В = 8 • 10~4 Тл; направленном нормаль-
но к его направлению, окружность радиуса
г — 1 см. Определить скорость электрона.
4-24. Известны три проекции траектории
-
4-24. Известны три проекции траектории электрона в камере
Вильсона с магнитным полем В = Вх = 10~3 Тл- а) в плоскости ху
траектория у = 2 sin кх\ б) в плоскости yz траектория у2 + z2 — 4z =
== 0; в) в плоскости xz траектория z = 2 (1 — cos кх). Все размеры
даны в сантиметрах, к — 6,28 см-1.
Найти составляющие начальной скорости электрона.
4-25. Электроны с энергией 8 000 эВ вылетают пз точки а,
лежащей па оси х под углом а = 0 4- 8° к ней, и движутся в одно-
родном магнитном поле В = Вх = 10“2 Тл.
На каком расстоянии I от точки а электроны вновь пересекут
ось х?
53
4-26. Частпца с зарядом q я массой тп движется в области, где
существует как электрическое Е, так и магнитное В ноле, причем
Е 1 В.
Найти траекторию движения заряженной частицы, пользуясь
системой координат, движущейся со скоростью v, при которой
v X В = — Е.
4-27. У плоского конденсатора расстояние между пластинами h
и разность потенциалов между ними U. Электроны с зарядом q
и массой ш движутся от отрицательной пластины к положительной,
обладая нулевой скоростью у отрицательной пластины.
Найти значение индукции В поперечного магнитного поля, при
котором электроны не смогут достичь положительной пластины.
4-28 (Р). Электрон с энергией 100 эВ, зарядом—q и массой m
влетает в поле между пластинами плоского конденсатора у края
положительного электрода (рис. 4-28) и образует угол а = 45°
с нормалью к пластине. Расстояние между пластинами d = 1 см,
их ширина Ъ = 3 см.
а)
Найти, при каких значениях напряжения между пластинами U:
электрон попадет на
отрицательную пластину конденсатора:
б) электрон попадет на положитель-
ную пластину конденсатора; в) элект-
рон пролетит через конденсатор.
Рис. 4-29.
4-29. На рис. 4-29 показан униполярный генератор, диск кото-
рого имеет радиусы = 10 см, г2 = 50 см и вращается в однород-
ном магнитном поле, направленном перпендикулярно диску. Дано:
п = 1 000 об/мин, В — 2/л, Тл, сопротивление цепи тока в диске
В{} = 1 Оы, сопротивление нагрузки R — 1 Ом, момент трения
М = 0,12/л, II-м.
Определить э. д. с., мощность двигателя, вращающего генера-
тор, РМех и к. п. д. генератора, считая полезной мощность, выде-
ляемую в сопротивлении нагрузки. (При вычислении не заменять л
числовым значением.)
4-3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ПРОВОДЯЩЕЙ СРЕДЕ.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ЭФФЕКТ
В параграфе помещены задачи по определению электромагнит-
ного поля в проводящих телах с плоскими и цилиндрическими
поверхностями. При решении этих задач применяются уравнения
электромагнитного ноля в комплексной форме для проводящей
54
среды. Во многих задачах определяются интегральные характери-
стики: активные и реактивные сопротивления, средние (эффектив-
ные) комплексные проницаемости.
4-30 (Р). Для защиты от воздействия электромагнитного поля
низкой частоты прибор помещен в ферромагнитный экран. Наимень-
ший радиус кривизны поверхности экрана много больше толщины
* стенки экрана. При этом в стенке экрана электромагнитные волны
можно считать плоскими. Толщина экрана d = 6 мм, проводимость
стали о=5-104 См/см, магнитная проницаемость ц = 300. Ча-
стота волны / = 400 Гц.
Найти мгновенное значение вектора Пойнтинга на глубине,
равной глубине проникновения, если на внешней поверхности век-
торы Е и Н параллельны поверхности стенки и напряженность маг-
нитного поля Но = 10 sin (coi + 20°), А/см. Найти отношение
длины волны в стенке экрана к длине волны в воздухе. Определить,
во сколько раз векторы поля на внешней поверхности стенки больше,
чем в середине стенки.
4-31. В задаче 4-30 условия изменены следующим образом:
экран медный с проводимостью 5,8 -105 См/см и толщина стенки 3 мм.
Частота поля 50 кГц.
Определить, при каком поле (Е^, Но) на внешней поверхности
экрана напряженность электрического поля на глубине, равной
глубине проникновения, Е = 1,85-10“? sin (Ш — 27°20'), В/см.
Во сколько раз меньше при этом напряженность электрического
поля прямой волны на внутренней поверхности экрана?
4-32. По плоскому угольному пласту с проводимостью о =
г = 500 См/см протекает ток промышленной частоты (50 Гц). На
поверхности пласта среднее значение вектора Пойнтинга
0,2 Вт/см2.
Найти мгновенные значения напряженностей электрического
и магнитного полей на глубине 1,5 м, считая начальную фазу на-
пряженности электрического поля на поверхности равной нулю.
Сопоставить количество выделяющегося тепла в 1 см3 у поверхности
пласта и на глубине 0,5 м.
4-33, В проводящей среде в направлении оси z распространяется
плоская волна. Магнитная проницаемость среды р, = 200, про-
водимость о = 0,5-105 См/см, частота волны 50 Гц. Напряженность
, магнитного поля в точке, координата z которой выбрана равной
нулю, Н = Нот sin coZ = 20/2 sin со£, А/см.
Определить мгновенное значение дивергенции вектора Пойн-
тинга, мгновенное значение мощности, преобразуемой в тепло, и
мгновенное значение мощности, с которой изменяется энергия маг-
нитного поля.
4-34 (Р). Тороидальный сердечник изготовлен из стальной
ленты толщиной 2а = 0,35 мм и шириной Ъ = 50 мм. Число витков
ленты п = 50. Магнитная проницаемость ленты ц = 1 000, прово-
I димость о = 105 См/см. Средняя длина магнитной линии Zcp =
’ = 80 см. На сердечник нанесена обмотка w = 400 витков. Сопро-
тивление обмотки г — 2 Ом. По обмотке протекает ток I = 0,4 А
частотой / = 400 Гц.
Определить эффективную комплексную магнитную проницае-
мость (среднюю проницаемость) сердечника цср, среднюю по' сече-
нию индукцию в ленте ВСр и напряжение на зажимах обмотки U.
* Потоком рассеяния и магнитными потерями пренебречь.
Какова должна быть толщина ленты из того же материала,
чтобы поверхностный эффект практически не сказывался, и каково
при этом будет напряжение на зажимах обмотки (общее сечение
стали сердечника остается тем же)? Считать, что поверхностный
эффект практически не сказывается, если мнимая часть (обуслов-
ленная гихревыми токами) средней проницаемости составляет но
более 3% проницаемости материала: при этом вещественная часть
средней проницаемости не отличается от проницаемости материала.
4-35 (Р). Определить комплексное сопротивление катушки за-
дачи 4-34. Считая, что магнитная проницаемость материала сталь-
ной- лев ты не зависит от частоты, построить частотные характери-
стики индуктивности, активного и реактивного сопротивлений ка-
тушки, вещественной и мнимой частей средней комплексной прони-
цаемости сердечника. Определить, при какой частоте мнимая часть
средней комплексной проницаемости достигает максимального зна-
чения. Построить зависимости тех же величин от толщины лепты
при частоте 12,8 кГц и при неизменном общем сечении сердечника.
4-36. Комплексная магнитная проницаемость материала сталь-
ной ленты, учитывающая гистерезисные потери р, = 1 000 Z —4° =
= 1 000 — /70 при частоте 12,8 кГц. Проводимость о = 105 См/см.
Рассчитать и построить зависимость вещественной и мнимой
частей средней комплексной проницаемости ленты от ее толщины 2а
для указанной частоты. Сравнить эти зависимости с соответствую-
щими из задачи 4-35, построенными для той же ленты, но без учета
потерь па гистерезис.
4-37. Сердечник трансформатора с массой <7 = 1,5 кг изготов-
лен из ферромагнитной ленты толщиной 2а = 0,016 мм. Магнит-
ная проницаемость материала ц = 400, проводимость g = 105 См/см,
плотность стали у = 7,2 г/см3. Трансформатор работает на частоте
10 кГц.
Чему равна средняя комплексная магнитная проницаемость
ленты и мощность потерь на вихревые токи Р, если действующее
значение напряженности магнитного поля токов обмоток 2 А /см?
Как изменятся эти величины, если сердечник изготовить пз
ленты толщиной 0,06 мм или из листов того же материала толщи-
ной 0,2 или 0,5 мм?
4-38. Сердечник трансформатора набран из листов трансформа-
торной стали толщиной 0,5 мм. Проводимость стали 105 См/см,
проницаемость — 400. Трансформатор работает на частоте 50 Гц.
Определить среднюю комплексную проницаемость листа.
Как изменится эта проницаемость, .если трансформатор будет
работать прп частоте 10 кГц? Как надо изменить толщину листа,
чтобы средняя проницаемость осталась равной проницаемости при
частоте 50 Гц?
4-39 (Р). К первичной обмотке трансформатора приложено
напряжение иг = 100 sin 12 000/ + 50 sin 60 000/, В. Сердечник на-
бран из листов трансформаторной стали толщиной 2а = 0,2 мм;
проводимость стали о = 104 См/см, проницаемость ц = 800, сечение
стали S — 2 см2, средняя длина магнитной линии /Ср = 10 см.
Первичная и вторичная обмотки имеют по 100 витков. Можно счи-
тать, что сопротивление каждой обмотки г = 2 Ом и индуктивность
рассеяния Ls — 0,5 мГ не зависят от частоты.
Определить напряжение на вторичной обмотке и ток в первич-
ной обмотке при сопротивлении нагрузки: a) Zn = оо и б) ZH =
— гн — 100 Ом.
56
4-40 (Р). В прямоугольном пазу машины, открытом сверху, за-
Иложена медная шина (рис. 4-40). Высота шины h = 1,5 см, ширина
Ъ = 0,5 см. Толщина изоляции между шиной и пазом мала и можно
? .считать, что ширина паза практически равна ширине шины. Про-
ницаемость стали велика: ее можно считать бесконечно большой.
Поверхностный эффект в стальных листах отсутствует, так как они
достаточно тонкие. Проводимость меди о = 5,7 -10^ См/см. Ток
в шине I = 100 А; его частота / = 50 Гц.
Определить: а) распределение плотности тока в шине; б) коор-
совпадает по фазе с общим
динату zr точек, где плотность тока
током в шине и величину этой плот-
ности тока; в) активное и внутреннее
.►реактивное сопротивления шины на 1 м длины; г) мощность, теряе-
мую в шине на 1 м длины.
4-41. Для шины задачи 4-40 -определить, при какой высоте ее
активное сопротивление минимально и чему при этом равно ком-
плексное сопротивление шины.
4-42 (Р). В прямоугольном пазу машины находятся две медные
шипы (рис. 4-42). Размеры шин и допущения те же, что и в за-
даче 4-40. Трк в каждой шине I = 100 А, / — 50 Гц.
Определить: а) распределение плотности тока в каждой шине,
б) активное и внутреннее реактивное сопротивления шин на 1 м
Длины; в) мощность, теряемую в шинах на 1 м длины; сопоставить
эти величины со случаем, когда в пазу расположена одна шина
Двойной высоты, по которой протекает двойной ток. Решить допол-
нительно задачу для случаев: А) высота шин уменьшена в 2 раза;
В) высота шин увеличена в 2 раза.
4-43 (Р). Построить зависимость сопротивления г2 двух после-
довательно соединенных шин задачи 4-42 от их высоты. На этом же
графике построить зависимость от высоты сопротивления шины
Двойной высоты, а также отношение мощности потерь Р2 в двух
Шинах к мощности потерь Р± в одной шине двойной высоты (при
Двойном токе). Определить, при какой высоте щин сопротивление г2
: -Минимально.
I 4-44 (Р). Сравнить комплексную мощность, выходящую из
нижней грани верхней шины (длиной Z), с комплексной мощностью,
входящей в верхнюю грань нижней шины задачи 4-42. Объяснить
причину неравенства этих мощностей..
57
Определить, при какой высоте шин активная мощность, выхо-
дящая из нижней трани верхней шины, равна нулю и каковы при
этом мощности, проходящие через горизонтальные грани шин, ц
комплексные сопротивления каждой шины.
4-45. Определить активное и внутреннее индуктивное сопро-
тивления 1 м медного провода диаметром 2 мм при частотах: 1) 50 Гц;
2) 5 кГц; 3) "50 МГц. Проводимость меди 57-104 См/см.
Найти отношение комплекса плотности тока на поверхности
проводника к комплексу плотности тока на оси проводника при
частоте 5 кГц.
4-46. При каком диаметре алюминиевого провода плотность
тока на его оси противоположна по направлению плотности тока
на поверхности в любой момент времени, если частота тока 500 Гц?-
Проводимость алюминия 35*104 См/см.
Каково при этом отношение амплитуд плотности тока на по-
верхности и оси?
4-47. Для провода задачи 4-46 определить отношение радиуса
провода к глубине проникновения и разность фаз напряженностей
электрического и магнитного полей на поверхности провода.
4-48. Сравнить активное и внутреннее реактивные сопротивле-
ния стальной проволоки, определенные по точной формуле и по
приближенной формуле для случая резко выраженного поверхност-
ного эффекта, если радиус проволоки 1 мм, магнитная проницае-
мость 100; проводимость 10^ См/см, частота тока 4 550 Гц.
4-49 (Р). Определить, при каком отношении радиуса г0 к глу-
бине проникновения z0; 1) активное сопротивление и 2) реактивное
сопротивление цилиндрического провода можно считать по формуле
для резко выраженного поверхностного эффекта, если погрешность
должна быть меньше: а) 10%; б) 5%; в) 2%.
4-50 (Р). Определить, при каком отношении радиуса г0 к глу-
бине проникновения z0 активное сопротивление цилиндрического
провода можно считать по формуле для постоянного тока, если
погрешность должна быть меньше: а) 10%; б) 5%; в) 2%.
Какое значение при этом имеет внутреннее реактивное сопро-
тивление (по отношению к сопротивлению постоянному току)?
4-51 (Р). Бесконечно длинный ферромагнитный цилиндр радиу-
сом г0, магнитная проницаемость материала которого ц и прово-
димость о, находится в однородном переменном магнитном поле
напряженностью Яо, параллельном оси цилиндра.
Определить электромагнитное поле внутри цилиндра, магнит-
ный поток в цилиндре и среднее значение комплексной проницае-
мости цилиндра цСр — Вср/Цо^о* Построить график цср (| qr0 |).
Задачу решить: а) непосредственным интегрированием уравне-
ний поля, б) считая известным распределение электромагнитного
поля в цилиндрическом проводнике, обтекаемом током
—V/-т Зо(.чг);
2nroaJx (gr0)
Н = —г Ji (lr),
2nr0Jj (qr0) ’
где g = V— /со|1[л0о.
4-52. Насколько изменятся активное и реактивное сопротивле-
ния цилиндрической катушки длиной I = 20 см, если в катушкУ
58
поместить медный цилиндр диаметром 2г0 = 2 см. Частота тока
/ = 5 кГц. Проводимость меди сг = 57-104 См/см. Число витков
катушки w = 1 000. Комплексное сопротивление катушки до вне-
сения цилиндра Zo = 4 + /100 Ом. Считать, что длина катушки
и цилиндра много больше диаметра катушки.
4-53. Решить задачу 4-52 в случае цилиндра из: а) свинца
(ц = 4,9-104 См/см); б) нихрома (о = 9,1-103 См/см); в) сверхпро-
‘ водника. Исходя из решения для случая и. «в», определить отношение
сечения сердечника к сечению катушки SC/SK.
4-54. Тороидальный сердечник катушки изготовлен из сталь-
ной проволоки диаметром 2г0 = 0,4 мм, проницаемостью ц = 2 000,
проводимостью о = 105 См/см. Число витков проволоки п = 2 000.
Отношение сечения стали к общему сечению сердечника = 0,6.
Число витков обмотки w = 1 000. Средняя длина магнитной линйи
I = 30 см.
Определить комплексное сопротивление катушки при частоте:
а) 50 Гц; б) 500 Гц, пренебрегая сопротивлением обмотки.
4-55. В переменном магнитном поле катушки параллельно ее
оси расположены изолированные друг от друга проволоки.
-Определить, при каком значении радиуса проволок и неизмен-
ных проводимости, магнитной проницаемости, частоте и амплитуде
к тока средняя по объему удельная мощность, поглощаемая прово-
. локами, будет максимальна. Найти величину этой максимальной
мощности. Считать, что длина катушки и проволок много больше
/диаметра катушки.
4-56.' В катушку с числом витков w = 1 000 вставляется фер-
ромагнитный цилиндр диаметром 2г0 = 1 см. Магнитная проницае-
•мостъ материала р, = 5, проводимость о = 5-104 См/см. Длина
I катушки Z = 20 см и цилиндра много больше диаметра катушки.
При какой частоте тока в катушке ее индуктивное сопротивле-
ние не изменится в результате введения цилиндра? Как при этом
изменится активное сопротивление?
4-57. Решить задачу 4-56 при магнитной проницаемости
ц = 500.
4-58. Определить полное сопротивление Zo на единицу длины
двухпроводной воздушной линии при частоте тока 16 кГц. Выделить
составляющие Zo, обусловленные: а) полем в воздухе между про-
водами и б) полем в проводе.
Расстояние между осями проводов 2а = 50 см настолько велико,
что влиянием магнитного поля одного провода на другой (эффект
близости) можно пренебречь. Радиус провода г = 1 мм. Материал
проводов — бронза, о = 3,6-105 См/см; р, = 1.
4-4. ВОЛНЫ В ИДЕАЛЬНОМ И РЕАЛЬНОМ
ДИЭЛЕКТРИКЕ. ВОЛНОВОДЫ, РЕЗОНАТОРЫ,
ИЗЛУЧЕНИЕ
Задачи параграфа делятся на следующие темы: 1) распростра-
нение волн в неограниченном диэлектрике; 2) отражение волн от
I Плоской границы раздела сред при нормальном падении; 3) воз-
буждение волн ТЕ и ТМ в волноводах, критическая длина волны,
. приближенный учет потерь; 4) возбуждение поля ТЕ и ТМ в резо-
наторе, резонансные частоты, добротность; 5) мощность излучения
Диполя.
59
4-59 (Р). Приемная антенна выполнена в виде прямоугольной
рамки (рис. 4-59) с размерами а — 20 см, Ъ — 10 см.
Рассчитать э. д. с., наводимую в рамке при частоте 5 МГц
в поле с напряженностью Н = 150 мкА/м. Найти самую низкую
частоту, при которой можно при-
менить эту рамку, если макси-
мальная чувствительность прием-
ника 10 мкВ.
Почему размер рамки в на-
правлении распространения вол-
ны не может быть равен целому
числу длин волн? Какое зна-
чение имеет размер рамки в на-
правлении, - перпендикулярном
b направлению распространения
волны? -
4-60 (М). Круглый виток диа-
метром 20 см находится в электро-
магнитном поле частотой 1 МГц.
Напряженность электрического поля в месте расположения витка
100 мкВ/м.
Расположить виток так, чтобы э. д. с., наводимая в нем, была
максимальна, и определить величину этой э. д. с.
4-61. Антенна сделана из ферритового цилиндрического стержня
сечением 0,25 см2 и имеет в средней части катушку из пятидесяти
витков. Магнитная проницаемость стержня (с учетом формы тела —
отношение средней индукции внутри стержня к внешнему полю,
деленное на р0) ц = 16. Напряженность электрического поля в месте
расположения антенны 30 мВ/м.
Определить величину э. д. с., наводимой в катушке приемной
антенны, если передающая станция работает на частоте 600 кГц.
Считать, что ось катушки совпадает с направлением вектора напря-
женности магнитного поля.
4-62. Энергия плоской волны, падающей в воздухе на нормаль-
ную к ней абсолютно поглощающую площадку в 1 см2, составляет
2,2 кал в 1 мин.
Найти амплитуды напряженностей электромагнитного поля
волны.
4-63. Плоская электромагнитная волна падает на поверхность
воды (е = 80; о = 0,1 См/см) нормально к ней. Напряженность
электрического поля в воздухе у поверхности воды 1 мВ/м.
Определить длину волны в воде и напряженность магнитного
поля на глубине, равной длине этой волны. Расчет провести для
двух частот: 1) 10 МГц; 2) 50 ГГц.
4-64. Решить задачу 4-63 в том случае, если задано значение
напряженности поля падающей волны в воздухе у поверхности
воды 1 мВ/м.
4-65. Для уменьшения отражения света от поверхности линз
оптических приборов их покрывают слоем лака («просветленная
оптика»). Действие этого слоя можно уподобить четвертьволновому
трансформатору, согласующему входное сопротивление стекла
(равное его характеристическому сопротивлению при отсутствии
отраженной волны) и характеристическое сопротивление воздуха.
Найти толщину слоя лака и его диэлектрическую проницае-
мость, если диэлектрическая проницаемость стекла равна 7-
60
Расчет провести для средней длины волны видимой части спектра
0,6 мкм.
. 4-66. Для уменьшения отражения от проводящих поверхностей
применяется двухслойное покрытие этих поверхностей. Первый
слой, прилегающий к проводящей поверхности, — диэлектрик
с е = 2,25, второй слой — проводник с о = 103 См/см.
Определить толщины диэлектрика и проводника, если нужно
получить неотражающее покрытие при частоте ЗГГц.
4-67. На рис. 4-67 изображены различные способы возбуждения
прямоугольного волновода. Зная, что штырь помещается в области
Рис. 4-67.
концентрации электрического поля, а рамка — в области концен-
трации магнитного >поля, определить, какие типы волн могут при
этом возбуждаться. Написать уравнения для электрического и маг-
нитного полей. Указать, какие должны быть фазы токов в штырь-
ках на рис. 4-67, б и е.
4-68 (Р). Какие типы волн могут возникнуть в прямоугольном
волноводе с поперечными размерами 34 X 72 мм при частотах:
1) 3 000 МГц; 2) 9 000 МГц? Найти при этом длину волны в вол-
новоде.
К- Возбуждение производится: а) электрической антенной (шты-
рем), расположенной в середине широкой стенки волновода
(рис. 4-67, а); б) рамкой с током (расположенной в середине узкой
стенки), плоскость которой параллельна широкой стенке волновода
(рис. 4-67, г).
* 4-69. Определить потери в стенках медного (о = 56 • 104 См/см) >
прямоугольного волновода с поперечными размерами 34 X 72 мм, .
Длиной 50 см при частоте 3 ГГц, если по волноводу бегущей волной
типа ТЕ01 переносится мощность 1 кВт. Определить коэффициент
затухания для волны этого типа в данном волноводе и уменьшение
(в процентах) амплитуды бегущей волны на длине 50 см.
4-70. Решить предыдущую задачу для волны ТМИ при частоте
6 ГГц.
4-71 (Р). Часть прямоугольного волновода с поперечными раз-
. Мерами 34 X 72 мм заполнена диэлектриком (8 = 2,5 — / 0,02).
Определить мощность, проходящую в волновод за диэлектри-
ком, если мощность падающей волны до диэлектрика Ро = 1 кВт,
‘ Частота 3 • 109 Гц, тип колебаний ТЕ01 в обеих частях волновода,
Длина заполненной диэлектриком части волновода 0,2 м.
61
4-72. Определить потери в диэлектрике, заполняющем волно-
вод с поперечными размерами 23 X 10 мм, при частоте 1010 Гц для
волны ТЕ01. Длина волновода, заполненного диэлектриком (е =
= 1,5 — у 0,015), равна 50 см. Мощность на входе волновода 1 кВт.
Потерями в стенках волновода прене-
бречь.
4-73. Решить предыдущую задачу
для волны ТМП при частоте 2-1010 Гц.
4-74. Определить резонансные ча-
стоты прямоугольного резонатора с раз-
мерами 10 X 23 X 30 мм при возбуж-
дении колебаний типа:
а) ТЕ0П; б) ТЕ012; в) ТЕ021.
4-75 (Р). Прямоугольный резонатор
имеет размеры а = 10 мм; Ъ = 23 мм
(рис. 4-75). В резонаторе возбужда-
ются колебания типа ТЕ012.
Определить составляющие векторов Е и Я, а также размер
с резонатора вдоль оси z, если резонансная частота должна быть
1010 Гц.
4-76. Решить предыдущую задачу для колебаний типа ТМШ
при частоте 2-1010 Гц.
4-77. Радиостанция излучает мощность 500 кВт на волне
1 744 м. Передающая антенна расположена вертикально и имеет
высоту 150 м.
Считая, что антенна со своим зеркальным изображением может
рассматриваться как электрический диполь, определить ток в ан-
тенне.
4-78. По круглому витку диаметром 20 см проходит ток 10 А
при частоте 1 МГц.
Определить мощность и сопротивление излучения.
4-79. Вдоль короткого прямолинейного проводника (диполь
Герца), • длина которого равна Z, протекает синусоидальный ток
i == /т sin coZ (рис. 4-79). Предполагая, что
длина волны много больше длины провод-
ника и что ток по всей длине проводника
один и тот же, определить векторный потен-
циал электромагнитного поля в точке наблю-
дения М при 7? > I. Задачу решить, восполь-
зовавшись декартовой системой координат.
4-80. Пользуясь уравнением связи между
векторным и скалярным потенциалами элект-
ромагнитного поля и данными задачи 4-79,
найти значение скалярного потенциала в
точке М (рис. 4-79).
4-81. Пользуясь ответами задач 4-79 и 4-80, найти составляю'
щпе напряженности электрического и магнитного полей в декар'
товой системе координат.
4-82. Пользуясь ответом задачи 4-81, найти напряженности
электрического и магнитного полей в ближней зоне. Ближней зоной
считать область (рис. 4-79), для которой R %, где % — длин0
волны при частоте тока со = 2л/. Доказать справедливость формулы
Био — Савара в этой области.
4-83. Пользуясь ответом задачи 4-81, найти напряженности
электрического и магнитного полей в дальней зоне. Дальней зоной
Рис, 4-79,
62
считать область (рис. 4-79), для точек которой R :> %, где % — длина
волны при частоте тока со. Найти выражение вектора Пойнтинга
в дальней зоне.
4-84. При решении задачи 4-83 выяснилось, что вектор Пойн-
тинга в дальней зоне направлен вдоль радиуса-вектора R (рис. 4-79)
и среднее его значение за период численно равно:
co2poZ2Z2 sin2 6 co2po/2Z2 (х2-\-у2)
Mx&cR2 ifa&cRb
Определить среднюю за период мощность, излучаемую дипо-
лем Герца.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
Методические указания и решения к гл. 1
1-8. А). Из симметрии задачи следует, что напряженность поля
имеет только радиальную составляющую, зависящую только от
радиуса, и, следовательно, остается постоянной на сфере данного
радиуса и нормальной к ее поверхности. Задачу рационально ре-
шать, применяя теорему Гаусса ф Е dS — $ р dV/e0, выбрав в ка-
честве поверхности интегрирования сферу.
При R < Ro в сферической системе координат
Д-4л^ = (4/3)яДЗР- и Е=^;
е0 Зе0
<Р=-§ EdR+C=-£5-a+Ci.
Если ср = 0 при R — 0, то Сг = 0.
4 ' oR8
Для R > Ro имеем А • 4лА2 = р—n/?g/80 и Е = ~—а
При R — Ro должно быть равенство потенциалов, откуда
С2 = — р2?2/280.
1-22. При решении учесть, что Мтп = Мпт.
1-32. По закону электромагнитной индукции ф Е d\ = —/соФ
в кольце возникает напряженность поля Е и течет ток плот-
ностью /. При магнитном потоке, уходящем за плоскость чертежа
I рис. 1-31, выберем положительные направления напряженности
поля и плотности тока по часовой стрелке. При этом Е = — /оФ/2ла
и j = — /соФо72л&.
Для определения показаний вольтметра обходим любой кон-
тур, содержащий соответствующий вольтметр. Направление обхода
-Должно быть согласовано с направлением магнитного потока, про-
лизывающего площадь, ограниченную контуром, по правилу пра-
воходового винта. Тогда, проходя через вольтметр от зажима « + »
I к зажиму «—» и верхнее полукольцо от точки к к точке к, получим:
, Ux — Епа = 0 (контур не охватывает потока) и Ъ\ = Е па =
63
— —/сдФ/2, откуда Ф = — 2t71//co == 0,0636 / мВб; Е = Ujna =
= 1,59 мВ/см; j = оЁ = 31,8 А/см2. Аналогично 1/2 + Ёпа'— 0
и U2 — Ёпа = /соФ/2, т. е. U2 = — = 0,01 В; U3 + Ёпа =
= —/(оФ/2 или U3 — — Ёпа — 7 соф/2 = 0.
1-35. По закону электромагнитной индукции в кольце возникает
напряженность поля Ё (см. решение задачи 1-32) п течет ток плот-
ностью j; при этом ток и плотность тока по кольцу будут одина-
ковы, а напряженность поля Ё — J/о различна на двух половинах
кольца с разными проводимостями.
На основании закона электромагнитной индукции ф Ё dl =
— — /соФ, обходя по кольцу в направлении движения стрелки
часов, получим Ё±па + Ёгяа — — /еоФ, где Ё± — напряженность
поля на верхней половине кольца (рис. 1-31), Ё2 — на нижней.
Плотность тока на всем кольце одинакова, отсюда огЕх — g2E2i
т. е. Ё2 — 2ЁГ.
Из двух уравнений находим Е± — — /соФ/Зла, Е2 —
= — 2/соФ/Зла.
Для определения показаний вольтметров обходим любой кон-
тур, содержащий соответствующий вольтметр, согласуй направле-
ние обхода с направлением потока по правилу правоходового винта.
Тогда (см. решение задачи 1-32):
Ux — Ёхпа — О; £*! = С/1/ла = 1,59 мВ/см; Ё2 = 3,18 мВ/см;
U2-\-E2na=Q\ Ё2=- — Е2па =—2Ё±па = —2Ux —— 0,02 В;
и3+Ё2па~— /соФ/2;
£73 = —0,25л«А2 или С7з = —t/10,5 = —0,005В.
* 1,5ля л Зла аппгг. т-г
Поток Ф = — Е2 -Ц— = — Ех —— = 0,0955; мВ б. Плотность тока
/со /со
J = = о2Ё2 = 31,8 А/см2.
1-39. Для решения воспользуемся законом электромагнитной
индукции ф Е d\ = — дФ/dt.
Направим ось z вдоль оси цилиндра и выберем положительное
направление индукции по оси z. Вследствие симметрии задачи
Е = Еа.
дФ г2 _ , г2
При г < а получаем Еа2пг = —— =— Фоае -% откуда
О и CL CL
£«—’’«"'“sb-
При г > а получаем Еа2пг = — дФ^/dt = — Фоае“а*, откуда
1-40. а) Записывая rot и div заданного вектора в цилиндриче-
ской системе координат, получаем: rot А — ez • 2с; div А = 0, т. е.
вихревое поле без истоков. Таким вектором может описываться,
например, магнитное поле внутри провода с постоянным
током.
64
1-44. Определим напряженность поля по уравнению Е ~
= — grad ср:
. 2ла? _ 2л?/
, sin— _ sh—-
& _Ал_______ а __ кл а
х а 2лх t 2 л?/ ’ у~~ а 2лх , , 2л?/ ’
cos----Hch —- cos---kch —-
a a a a
Записывая rot n div в декартовой системе координат, получаем:
rot Е = 0; div Е = 0, т. е. потенциальное поле без объемного
заряда.
Рис. 1-44Р.
Прп у — 0 имеем Ех = — tg —; Еу = 0;
. 2ла?
sin
прп у = а/2л получаем Ех —------------;
cos-----Ь-1,54
- kn ^18
а 2ла? . . е.1
cos-----Ь1,54
3 Колли Я. Н. и др.
65
при у -» оо соответственно Ех -» 0; Еу -> — кп/а.
На рис. 1-44Р, а представлены графики зависимости напряжен-
ности поля от координат. На рис. 1-44Р, б дана качественная кар-
тина распределения сил, действующих на положительный пробный
заряд, на основании которой можно утверждать, что такое поле
.создается системой одноименно заряженных осей, расположенных
на расстоянии а друг, от друга; линейный заряд осей т = — 7сеол.
По уравнению линий поля Е X dl = 0 получаем:
tg (лх/а) — С • th. (пу/а), '
Уравнение эквипотенциален ф — const, т. е. = cos2 — +
, , о ail/ Л л ny . 71Х
+ sh2 , причем ф = 0 при sh = ± sin —.
На рис. 1-44Р, в представлена качественная картина эквппо-
тенциалей и линий поля.
Методические указания и решения к гл, 2
2-1.
1) При выбранных осях координат (рис. 2-1) для любой точки,
находящейся в плоскости расположения зарядов, получим:
ф = 217______________I • #
4л.8о У х^ + у2 4ле0 У (х — Z)2 у2 ’
Приравнивая это выражение для ф нулю, получаем уравне-
/ 4 \2 4
ние окружности: ( х—у I \ + у2 — ~у12-
Итак, эквипотенциаль, потенциал которой равен потенциалу
бесконечно удаленной точки, имеет форму окружности (рис. 2-1Р).
Радиус окружности R = 21/3 =
Рис, 2-1Р,
= 6,7 см, центр ее лежит на осп х
на расстоянии «=47/3 = 13,3 см
от начала координат. Отметим, что
остальные эквипотенциалп имеют
более сложную форму.
2) Проведем касательные из
точки расположения заряда 2q (на-
чала координат) к сфере и плоскость
через' точки касания (рпс. 2-1 Р)«
Так как треугольник OBD подобен
треугольнику BCD, то Ъ/R = R/a
или Ъ — В?/а', кроме того, b
— R2/а = 4Z/3 — Z/3 = Z; таким обра-
в точке С и действительно лежит а
— а — ОС, откуда ОС = а
зом, заряд — q находится
плоскости, проходящей через точки касания.
2-2. Проводящий заземленный шар и точечный заряд q можно
заменить двумя точечными зарядами с разными знаками (см. реше-
ние задачи 2-1). Один пз зарядов q дан, величину q± и расположение
второго можно найти, приравнивая потенциал заземленного шара
нулю. Из двух уравнений для двух любых точек на поверхности
шара получим: = — qR/a = — 0,2#; а — I = R2/a — 0,04 М»
где Z — расстояние между зарядами q и qr, Далее решаем задачу?
зная величину и расположение двух точечных зарядов.
66
2-5. Из решения задач 2-1 и 2-2 следует, что проводящую сферу
можно заменить точечным зарядом qY = — qR/a, лежащим внутри
сферы в плоскости, которая проходит через точки касания сферы
и лучей, проведенных к сфере из точки расположения заряда q.
Отсюда по теореме Гаусса поток вектора D через видимую часть
.сферы, равный заряду на ней дв, и поток через невидимую часть
сферы, равный заряду на ней q[}, соответственно равны:
qB = ¥в = q±/2 — qa/fal\ qB = Тн = £«/4л + ft/2,
о /л
где со = 2л 1 1 — -----г .
' I а )
г. Отношение q^lqn — Ya-]~R/]f a~R*
2-8. а) Заменим кабель системой четырех заряженных осей
так, чтсбы оболочка кабеля была эквипотенциальной поверхностью
(рис. 2-8Р, а). Для этого должно быть s — а = 1/2 и s2 — а2 + R2-
Отсюда а = R2/I — Z/4 = 7,5 мм; s = R2/l 4- Z/4 — 12,5 мм;
s + а = 2R2/l = 20 мм.
Рассчитываем потенциал любой точки от двух двухпроводных
линий (1 и 2), принимая ср = 0 прп х = 0;
ср = 7,9
In
(х — 0,5)2Ч~2/2
(^+0,5)2 + 2/2-Н
fo + 2)2-m
(я-2)2 + ?А]
В.
3*
67
Напряженность поля
Е = — grad ср;
77 _ л г о Г я^ + 0,5___х 0,5___________,
х~ ’ 1(^ + 0,5)2-Н2 (х — 0,5)2 + г/2 ‘
х-2 х+2 1
* (а? —2)2 + ?/2 (а? + 2)2 + г/2 | ’ Ь/СМ’
Г 1 1
Еу = 15,8?/ [(ж + 015)2+г/2 ~ (ж_0,5)2 j/2 +
1 1 |
+ (ж_2)2 + г/2 - (ж + 2)2 + г/2 |, В/см-
Плотность заряда на оболочке кабеля
?s = -e0Z?,. = e0 (рис. 2-8Р),
где Er = Ех cos а + Еу sin а;
п л /Л [1 — 0,5 cos а 1 + 0,5 cos а ,
$s = 1,40 ,-т—------------+~р ’------р
11,25 — cos а 1,25 +cos а
. 1 + 2 cos а 1 — 2 cos а 1 2,1 cos а т_ , о
+ Н~'| "/-------Е----7---- = , ПКл/СМ2,
5 + 4 cos а 5 — 4 cos а 1,56—cos2 а’
где х, у — в сантиметрах;
б) ср = 8,05
[1п (^-0^)2 + (?/-0,3)2
L (^ + 0,5)2 + (?/-0,3)2
(^ +1,47)2 + (т/ —0,884)21
(а=1,47)2 + (?у-0,884)2]’ ’
г =16 1 Г________х 1~0,3_______________х 0,5__________
JX ’ L(^ + 0,5)2 + (7/-0,3)2 (^-0,5)2 + (т/-0,3)2"Г
а?-1,47 х + 1,47 1 п/
(х —1,47)2 + (?/ — 0,884)2 (я + 1,47)2 + 0/-0,884)2_| ’ ' 1;
Е =16 1 Г________в,3___________________у 0,3__________
v ’ L(^+0,5)2 + (t/-0,3)2 (^-О^ + Оу-О,^2^
у-0,884 у~ 0,884 1
(z-l,47)2 + (?/-0,884)2 + 1/17)2 + 0/-0,884)2] ’ Ь/СМ;
q уго ГО,3 sin а —0,5 cos а —1 0,3 since + 0,5 cos ос — 1
S ’ ° L 1,34 + cos a + 0,6 sin а . 1,34 —cos а+ 0,6 sin а
0,884 sin cz +1,47 cos а —1
3,93+ 2,94 cos а —1,76 sin а
0,884sin cc —1,47 cos ce — l 1 Tf, , o
— —-•---- , ПП.Л/СМ2;
3,93 —2,94 cos a —1,76 sin a J ’ ’
68
в) <n=8 05 Г1П (^-0.3) 2+г/2 , (ж+1,43)2+г/2 1
) <р ,05^ш (ж+0 7)2+г/2 4 In (ж_3>33)2+?/2 + 1>69], В,
е = 161Г—t2iZ_______________х 0’3 ।
* ’ I (* + 0,7)2 + ?/2 (о;-0,3)2 + 7/2ф
я? —3,33 .т + 1,43 |
Н'(^-3,33)2 + ?/2 (а? +1,43)2+ ?/а J ’ В/СМ;
I 1 1
Еу = 16,iy J (а.+ 0 7)2 + г/2 — (а;-0,3)2 + ?/2 +
I 1 1 1 г>/
+ (х —3,33)2 + 2/2“ (»+!,43)2+1/2]’ В/см;
, /о Г 1 — 0,3 cos а___1 +0,7 cos а
Уs ’ 1/Ц09 —0,6 cos сс 1,49 + 1,4 cos а
1 + 1,43 cos а 1 — 3,33 cos а 1 9
+ 3,05 +2,86 cos а ~ 12 — 6,66 cos а | ’ пКл/см •
2-12. Выберем начало декартовой системы координат в сере-
дине заданного отрезка (рис. 2-12Р). Введем, кроме того, перемен-
ную хг — координату элементарного заряда dq = xdxt. Тогда
4л80 |Л (х — ^1)2 + «2’
где а2 = у2 + z2
и
Z/2 + х
т г dX}
4л80 J V (х — а;1)2 + а3
1/2—х
1\У
о х
.
Рис. 2-12Р.
После интегрирования находим, что
т ]n (l/2-x) + Y(x-l/2)2 + y2 + Z2 _ _г_
4л80 (—Z/2 — х) + |/(а? + Z/2)2 + ?/2 + z2 4ле0
Далее, положив К = е4л80ф/т == const, получим уравнение
эквипотенциален в виде
из которого видно, что эквипотенциальные поверхности имеют
форму эллипсоидов вращения. Составляющие вектора напряжен-
ности поля
т Г 1 1 1
4л80 у2 + (х — I)2 у2 + х2) 9
х .( х
4Л802/ 1У у2 + х2
I—X
Уу2 + (х_1)2
69
2-13. Два металлических провода заменяем двумя заряженными
осями (рис. 2-13Р). Положение заряженных осей определяем по
выражению а — — г § = 7,5 мм. Здесь 2 а — расстояние между
электрическими осями проводов.
Емкость между проводами на едпнпцу длины Го = т/(ср1 — <р2),
где т — заряд на единицу длины провода, срх и <р2 — потенциалы
левого и правого проводов соответственно.
Как видно пз рис. 2-1ЗР, для точек 1 и 2
т ' г- т — /’о
v 2ле0 г_|_ 2ле0 а — $ + г0
' т г_ т а — $ + г0
ср9 = -— In — = х----In —;--------.
г- 2ле0 г_|_ 2я80 а + $ —г0
Тогда
Со — Л80/1п -z°- = 0,4 пФ/см;
а — s ~г го
т = С0С7== 0,4 • 10“9 Кл/см.
Поверхностный заряд на проводе (рис. 2-1 ЗР)
cosa1+^- cosa2},
где r2 = r2 + (s — a)2 — 2r0 (s — a) cos0; rl = r2 + (s7}-a)2 — 2r0 ($ + «) X
л ГО — (S — a) COS 6 (S + a) C0S 6 — Г0 rx
X cos 0; cos = —— -------------; cos a2 —1! 4. Оконча-
rl ' r2
тельно
_ т J r0— (s — a} cos 6_________
2л (гб + ($ — a)2 — 2r0 (s — я) cos 0
ro — ($ + cos e 1 .
ro + (s + a)2 — 2r0 (s 4~ a) cos 0) ’
Ex=2лё7 {o,75 + + 0,75 - 4 ’ B/CM’
где x — в сантиметрах.
2-17. Потенциалы проводов 1 и 2 определяются по заданной
схеме: <рг = 10 кВ, ср2 = 0; заряд т3 = 0.
70
Остальные потенциалы и заряды определяются из системы
уравнений с потенциальными коэффициентами:
Ф1 = «1Л И- «12^2 4“ «13^3,
ср2 = «21И 4“ ^22^2 «23^3 >
Фз ==: «зЛ 4" «32^2 4” «ЗзЪ
ИЛИ
104 = ацТ! + а12т2; (1)
О = «2!?! + а22т2; (2)
ФЗ = «31И + «32^2, (3)
где а11 = а33 = ^--1п600==115 • 109 м/Ф; а22 = In 900 = 123 X
4<3T8q Z3T8q
X 10е м/Ф; а12 = а21 = «аз == «за = 4—1п ^7,52~Н22.=20 • 10е м/Ф;
2ле0 у 1752-J-22
1 У 624-42
«и = «3i= 2^7 In =1О>6 • 10» м/Ф.
Решая совместно (1) и (2), получаем: Tj = 80,0 мкКл/км; т2 =
' = — 12,0 мкКл/км. Из (3) находим ф3 = 605 В.
После переключений т[ = тх, т2 = т2, фо = 0. Далее из той
же системы уравнений с потенциальными коэффициентами опреде-
ляем: <р[ = 9 950 В; фз = — 88,0 В; Tg — — 4,76 мкКл/км.
2-18. По определению
£11 — (Р11 4“ Р12 "И Р1з)’, £12 “ £*21 = — Р12 — — р21,
£*22 ~ (Р22 4“ Р21 4“ Р23)» £13 ~ £31 “ — Р13 “ — p31i
' £33 ~ (РзЗ 4" Рз2 4“ Рз1)> £23 “ £32 = — P23 = — р32»
где емкостные коэффициенты f
ные
коэффициенты а:
можно выразить через потенциаль-
Pii
Р2З
Тогда
«22 «23
«32 «33
“и 1
«21 1
А
Р12
«13
«23 ,
Р22
«11
«21
«31
«12 «13
«32 «33
«11 «13
«31 «зз
«12
«22
«32
«13
«23
«33
Рзз
«12 «13
«22 «23 .
«11 «12
«21 «22
А
Д ; ₽13
А
А
А
А =
£ц — 7,05 пФ/м; С22 = 5,8 пФ/м; С33 == 7,05 пФ/м;-
£12 = 1,38 пФ/м; С13 = 0,59 пФ/м; С23 = 1,38 пФ/м.
Вычисление потенциальных коэффициентов — см. в решении
Задачи 2-17.
71
2-23. Случай б.По условиям задачи фх = 0 п <р2 = к^-
Запишем формулы Максвелла с потенциальными коэффициен-
тами:
ЧЛ = т-jOCn + т2ос12 + (h + с/);
ф2 “ П^21 ~Ь ^2^22 4~
откуда тх = 22,1 -Ю”9 Кл/м и т2 = — 736-10"9 Кл/м.
т г—
По формуле ср = н— In — получим:
ZKEq г ।
При х = 0
<р(0, i/) = 3961n — 13 220 1n|^i| |ч-2 • 10sv .
Заряд
//Л ч /а х Л133 000 6350 о
Qs-"— soEy (0, #) —ео ду (°’ я) £°\<25 + ^2 64 + ^2 /
Зависимости ср (у) и qs (х) построены на рис. 2-23Р.
Емкость
Со = 1/(ац + а22 + 2а12) — 3,93 пФ/м.
2-24. Провод между двумя проводящими заземленными пла-
стинами по методу зеркальных изображений заменяется бесконеч-
ной решеткой знакопеременных осей, расположенных на расстоя-
нии I друг от друга. Тогда <р = In z, где
/(Z_x)2 + ;/2 |/ (г+ж)2 + у2 / (Зг _ Ж)2 + у2 / (3г + ж)2 + у2
/х2 4-1/2 |<(2Z — ж)2 4-1/2 у (2Z4-a;)2 4-i/2 |/ (4Z —^-(-i/2
у (5Z-x)24-i/2 _ cos 2l + sh“ 2Z~
Л V(4Z + x)24-2/2 ’ ” COS2 +sh2 пУ'
21 +s 21
7U
тогда т — 2ле0170/1п т. е. Со = 2зте0/1п —— = 0,32 пФ/см, и <р =
ЗТЙ ЗТЙ
/ . ля . . „ ли \
/ COS2^7+sh2 -f- \
=29 In ------г------------ |, В.
л (Z — х) ш/ г
\COs2-^T^ + sh 21/
2-25. Провод, проходящий параллельно ребру угла, следует
заменить четырьмя проводами, образующими две двухпроводные
линии с равными и противоположными зарядами. Необходимость
четырех проводов определяется граничными условиями на проводя-
щих поверхностях, образующих прямой угол.
2-31. 2). Если при замыкании пластин накоротко остается
поляризация, следует пользоваться уравнением D = 80Е -}- Р.
2-33. По теореме Гаусса:
Е = т • Е = г
а 2л80еаг ’ ь 2ле0е^г ’
Еслп допустить £макр = Бамако при г = гх или 30 = ,
то Т = 6Л80.
Если 7?мак с = ^дмакс ПРЯ г — г2 пли 60 = 2^8 0 2 ’ т0 =
= 72л80. Во избежание пробоя надо взять меньшее значение за-
ряда, т. е. т = 6л80, тогда
2л80
= 2,76 кВ .
Если имеется только диэлектрик а, то Тумаке = 30 кВ/см =
т
2 л 18-0^
Если
т
2л3807’1
2-35.
и т = 6л80, при этом С7Проб = —In - 3 = 4,14 кВ.
^Л8о80 7’1
имеется только диэлектрик Ь, то Тумаке = 60 кВ/см =
и т = 36л80, при этом 17проб= к-——In -,3 = 24,8 кВ.
<^Л8д8^ 7’1
По методу Сирла (неполное отражение) для расчета поля
в диэлектрике с 8 = 8Х введем, кроме заданного заряда q, фиктив-
ный заряд <?1 = q (8г — ea)/(ei + 82^ — Для расчета поля
в диэлектрике с 8 — 82 введем фиктивный заряд
282 ,
Сила взаимодействия заряда q с нижнпм диэлектриком F =
=-----зависит от кг, т. е. от соотношения 8г п е2; при
4Л8р81 (2/а)^
81 > 82 заряд отталкивается от диэлектрика. Распределение потен-
циала в 1-й и 2-й средах записываем соответственно от двух или
одного точечного заряда
д [_______1______ ( ______kj_____1 ___
4)1 = 4леое1 [ |<(?/-А)2 + ж2 + K(?/+A)2+®2 J при 52 0:
<ра=-------7^- ---- при У 0.
4л8082 V(у — /г)'2 + х2
73
Связанный заряд на границе диэлектриков ищем как разность
нормальных составляющих поляризаций qs связ = Р1п — Р2п, или,
так как свободный заряд на границе диэлектриков равен нулю и,
следовательно, Dln = Z)2n, можно записать, что qs связ = 80 [Е2п —
— Е1п], где
Е1п=- (*, 0), Е2п = - ^ (х, 0).
Окончательно
__qh 1'—82/gj 1
(Zs связ 82 + ет (Zz2 + ^2)3^2
Знак связанного заряда на границе, конечно, зависит от соот-
ношения 8j и 82 и совпадает со знаком фиктивного заряда qt. При
8t = 1 и е2 = 4 заряд q притягивается ко второму диэлектрику
с силой 3,37 -НУ8 Н, а
4s связ
q • 0,6 h
2л (Л2 + х2)3/2
1
0,478 • IO'11-----=—7^, Кл/см2.
(1-1-я2) У2
При ех = 4 и е2 = 1 заряд q отталкивается от диэлектрика
с силой 0,842 • 10~8 Н, а
^бСВЯЗ
= 6? • 0,15 h =
~ 2л (7i^ + x2)3/2
0,12 • 10-11---Утг, Кл/см2.
(1+«2)о/2
Качественная картина линий поля показана на рис. 2-35Р.
2-36. По методу Сир ла (см. также решение задачи 2-35) прп
81 >> 82 имеем А?! ~ 1.
Внутри уголка поле рассчитывается от четырех одинаково
заряженных осей с линейным зарядом т = 0,2 мкКл/км:
1 2л8081 4Z4
где r1 = j/'(a? —2)2 + (?/ —2)2;
^=И(®+2)2+(?/+2)2;
— 0,089 In В,
64
r2=V(^+2)2+(y-2)2; r3 =
74
напряженность
/г —__о I?»/___________х ________I_____ж-[-2_____
х дх и’ I (а? —2)24-(?/ —2)2 1 (х + 2)2 + (2/-2)2
ж ос | 2 1
+ (Ж-2)2 4^+2)2 +(я+2)2+ (2/+2)4’ В/СМ;
Е'у = —^=0,!78/.?--44т-----9>2-+
у ду W — 2)2 + (ж — 2)2
2/4-2
(2/ + 2)2 + (а;-2)2
।______У —%_______।_______2/4-2 )
Ф fo-2)2 + (a; + 2)2^ (т/4-2)2+(* + 2)Ч ’ Ь/СМ*
Потенциал (р = 0 при х = у = 0.
2-37. По теореме Гаусса для однородной среды напряженность
поля точечного заряда Е = .
fal&Q&R2
Электрический поток, пронизы-
вающий поверхность эллипсоида, частично проходит по 1-му ди-
электрику, частично по 2-му. Поэтому
<£ Е dS = ~— .(4л.—2а>) + - 2<а = #4— + — = 5,9 • 104 В/см.
j ^neogjЛ 4л8082 4е0 \8Х 82/
2-39. По теореме Гаусса
' ^>EdS=7-^——2ш =
J 4Л8082 4Л808!
= 7^- 2<в (— — —) = 1,27 • 104 В/см
4ле0 \е2 е1)
(см. объяснения к задаче 2-37).
2-46. По методу Сир ла поле в диэлектрике с проницаемостью бх
можно рассчитать как поле трех точечных зарядов в 1-й среде:
, 8i — 8о 3
— q± — —у 7Х, который расположен зеркально относитель-
814-82 ‘
„ 281 4
но qr, и q^---j—72 = v 7г, который находится там, где в деист-
81 “Г е2 /
вптельности расположен заряд 72-
Поле в диэлектрике с проницаемостью е2 рассчитываем как
поле трех точечных зарядов во 2-й среде: 72; q2 == —-~£- q2 —
e2-i-ei
3
== -у- 72, который расположен зеркально относительно q2, и q[ =
2е2 10
== —qi — -n- 711 который находится там, где в действительности
е1 4" е2 <
расположен заряд qt.
Поток от трех зарядов через левую поверхность
f EdS = T-^-(4jr-co1) + /i^-+/^-.-
J 4Л808! 4л8081 4Л8О8Х
Поток через правую поверхность
С ЕЙ8 = 7-^-(4л-со2) + 7-?2-ш2+7-^-со1.
J 4Л8О82 4 Z/ 4Л8О82 4Л8082 Х
75
Поток через замкнутую поверхность
3
8
Е dS = ~-
ео
1+1'
56 ‘14
1,5 , 2,5 , 4,5\_
~14 -и 20 + 140 J----------------6 450 В ’ ° •
2-51. По теореме Гаусса Е = ----=
1 J 2Л808Г 2л80Лг2
Зная разность потенциалов между обкладками конденсатора
г2
С т /1 1 \
U = \ Е dr = -----------, получаем т = 740 мкКл/см.
J 2Л80А V’! г2/
Тогда Е — 133/г2, В/см; D = &0&Е = 118/г, пКл/см2; Р —
/ 1 1 \ 1 д
— 80 (8 — 1) Е = 118(— Т2- L пКл/см2, и рсвяз = — div Р = —- — ~Q~r X
X (гРт) =— 118/г3, пКл/см3, где г — в сантиметрах.
2-53. По определению напряжение U = + С72 = Е^ +
+ E2d2\ граничное условие Jln = J2n (т- е- == ^2^271)• Из двух
уравнений находим Е± = 1 кВ/см; Е2 = 2 кВ/см; J± = J2 =
==0,2 мкА/см2; D± = SoS^ = 80 • 2 000 Кл/см2; D2 = е082£2 =
= е0 • 8 000 Кл/см2; Рг = 80(8! — 1)^ = 80 • 1 000 Кл/см2; Р2 = е0(е2 —
— 1) Е2 = 80 • 6 000 Кл/см*2.
Тогда qs = Р2 — D1 = 80 • 6 000 Кл/см2; ^Связ = Pi — Р2 =
= — 80 • 5 000 Кл/см2, где 80 — в Ф/см.
Потери активной мощности в единице объема рг = О!^2 =
= 0,2 мВт/см3 и р2 — g2E22 = 0,4 мВт/см3.
Сопротивление конденсатора на единицу площади пластин
Яо = u/J = 1,5 • 1010 Ом/см2. .
При (Ji = о2 = 0 по-прежнему U = L\ + U2 = Е^г + E2d2,
граничное условие Dln = D2fl (т. е. 8!^ = 82А2). Из двух уравнений
получим Е± = 2 кВ/см, Е2 = 1 кВ/см, D± = D2 = 4 000 80, Кл/см2;
Pi = ео(8 ~ 1)^1 = 2 000е0, Кл/см2; Р2 = 80 (s2 — 1)Е2 = 3 000е0,
Кл/см2; qs = D2 — Dr = 0; qs связ = — 1 000e0, Кл/см2.
2-56. Счптая, что линии плотности тока и напряженности поля
совпадают с полуокружностями п напряженность поля зависит
только от радиуса, из уравнения U = JE d\ получаем:
Е = U/лг п J = gE = Ud^r.
Тогда /макс= Udnr-^ = 2 • 107 А/м2; /мин = Г/о/лг2 =
г
=1,25 ЛО7 А/м2; ток/ = 2 J dS = 2 = In = 940 А.
J J лг л гх
2-57. Рекомендуется воспользоваться аналогией электростати-
ческих и стационарных полей.
2-59. Задача решается методом отражений. Для расчета поля
в 1-й среде введем, кроме тока /, фиктивный ток
71 = 7
О1 — о2
а1 + а2
для расчета поля во 2-й среде — фиктивный ток
2о2
а1 + а2
76
Тогда в первой среде
и = °>8 1f 1________________________'
Ш1 2лOi (а; (х + 0,8) (2/г— х— 0,8) (2А —а;)
во второй среде
_ V 0,8
Ш2 2ло2 ^(^ + 0,8) ’
Прп х = h
Uпи о2 Л , /г—|—0,8\ $2
^-0,8^ а?
1) Если оi = 5 • 10~4См/см, о2 = 10-4См/см, то
ГШ1=0,51 • 10* [ж(2. + 0)8) - (ЮО —»—0,8) (100 —ж)] ’ В’
/7ш2 = 0,85 104 о<~, В (кривая 1 на рпс. 2-59Р).
х \х —U,о}
При х *= h получим С7Ш1 = 0,67 В и [7Ш2 = 3,35 В. На рпс.
2-59Р построена (пунктир) кривая 2® для случая о2 = 10“3 См/см.
2-60. Для расчета поля в земле введем фиктивный ток 1Г ==
= j Q17~g2 = i — 1 000 А, так как о2 = 0; для расчета поля
+ о2
в воздухе введем фиктивный-заряд q2 = 2I^!g1 ~ 0,886 • 10-6 Кл.
Выражения тока 1Х и заряда q2 через ток I получаются пз
граничных условий:
= °2^2п п
Шаговое напряжение (учитывая токи I и Ц):
2ло Ц/а?2 + Л2 (х -1- 0,8)2 + А2
У х2+100 V (а? + 0,8)2+100,
77
поверхностный заряд (учитывая, что Е1п = •= 0)
Qs — 80 (-^271 ^1п) ~ еЬ^271 =
<727г ' ' 2I^h 0,7 т„ 2
= ------—-----о7о =---------------ч79 =-----------W7? > МККл/м2,
4л (7г2 + а?2)3/2 4ло (7г2 + а;2)3/2 (х2 + 100)3/2
где х — в метрах.
2-61. По методу отражений поле в среде 1 рассчитываем от
токов (рис. 2-61Р, а): -
7; 1\ = 1 СТ17?2 И г:, = 1 2°х ;
Oa + orj - Oi + <T2
, поле в среде 2 рассчитываем от токов (рис. 2-61Р, б):
I- ц = 1 и j;=z .
о2 + ах - Oi + a2
2-62. По определению частичных емкостей:
Си = ^/(фх — фо); с22 = Мф2 — Фо); cS3 = т3/((р8 — <рс) при фг =
= ф2 = фз! ’С12 = G1 == Тг/(Ф1 — Фг) при Фг = Фз = Фо! С1з =
= CS1 = — Фз) при Ф1 = ф2 = Фо; с2з = С82 = т2/(ф3 — <ps) при
Ф1 =Ф2 = Фо-
1) Вместо частичных емкостей будем измерять частичные про-
водимости g; затем вычислим емкости по формуле С = g880/o.
Рис. 2-61Р.
Рис. 2-62Р.
Схемы для измерения проводимостей gu п g12 приведены на рис.
2-62Р, а и б.
2) Наибольшие из частичных емкостей данной системы Сп =
= С33 = 7,05 мкФ/м (см. задачу 2-18).
Следовательно, наибольшая проводимость (рис. 2-62Р, a) gu =
I th
= Спо/80 = -jj-. Отсюда наибольший ток при заданном напря-
жении источника
^макс — С7^С11о'/80 = 1,59 А.
3) При заданном максимальном токе /макс — 300 мА прово-
димость электролита находится из того же соотношения
а = 2максео=317710-з См/см_
78
2-63. а) Заменим кабель системой четырех линейных токов так,
чтобы оболочка кабеля была эквипотенциальной поверхностью
(рис: 2-8Р). Для этого должно быть: s — а = Z/2 и $2 = а2 + Я2.
Отсюда а = R2/l — 11к = 7,5 мм; s — R2/l + Z/4 = 12,5 мм;
s + а = 2/?2/Z = 20 мм.
Рассчитываем потенциал любой точки от двух линий токов
(Z и 2), принимая ф = 0 при х — 0;
= /о ]п K(^+2W)2+y2 , A in xA-w+y2=
2лст |/(a;-2W)2+?/2 2ла У\х+Ц2у+у* _
= O,159/o 1012 Яп
/(Ж+2)2+г/2 ,
У(х-2У+у^
у-одч-^
|/>+0.5)г + »!Г
где /0 — ток утечки между жилами на единицу длины.
При этом ф = 0 также на оболочке кабеля.
Напряженность Е = — grad ф, т. е.
я —0 159 • 10i2Z 1______Х 0*5______I #4-0,5
W (гг_0}5)2 + 2/2 -т- (^+о,5)2+2/2
✓jp । 2 оо___2 1
- (гр+2)2 + г/2 + (ж-2)2+у2) ’ В/СМ;
Еу = 0,159 • Ю12701/ (т-. А Н\~2" I 2 ~ 7-п с\2 J-2 ’
у ((х + 0,5)2 + у2 (х— 0,5)2 + ?/3
1 1 1
- (ж+2)2+1/2 + (Ж-2)2+2/2) ’ в/см’
Сопротивление утечки г = UJIQ — 1012 Ом • см, где Uo — напря-
жение между жилами, т. е. С70 — Фх Фг-
Ток, протекающий по изоляции кабеля, минуя оболочку,
Z' = j gEx (0, у) dy = Ofi37!o (arctg 2 — arctg 0,5) =O,413/o.
~~R
4
Всюду x и у — в сантиметрах.
б) ф = О,159/о1О12Х
у Л /(ж-0,5)2 + (у-0,3)2 ln /(g+l,47)2 + (j/-0,884)2| в.
Л1 |/'(«+0,5)2 + (?/-0,3)2’^ К(ж-1,47)2 + (г/-0,884)2/’ ’
р __0 159/ • 1012 •!___ж-|-0,5______________ж 0,5____________
IV + 05) 2 + (у _ од)2 (а._0>5)2 + (г/__0;3)2
ж+1,47 X —1,47 ' ) .
(®+1,47)2 + (?/-0,884)2 + (ж—1,47)2Ч-(г/—0,884)2 f ’ ь/см:
р ___0 1597 1О12 I_____0’3__________________У 0’3__________1_
Лу—о,1ЭУ/0-j(a,+Oi5)2 + (2/_.Oj3)a (ж_0,5;2 + (у-0,3)2 Н
, -у—0,884 у—0,884 |
"г (х— 1,47)2 + (у-0,884)2 (®+1,47)2 + (г/—0,884)2J ’ /СМ;
+ г = 0,98 • 1012 0м • см; I'Q — 0,363ZQ.
79
в) ср = О,1597о • 1012 X
X j,„Г<»-о.з)-+»’ 1 в
I /(»+0,7)2+?/2 у (Ж-3,33)2 + ?/2 J
£х = О,1597о • Ю12 (, +5>’7, о - ЖГо°'23, 5 +
х и [ (х + 0,7)2 -\-у2 (х — о,3)2 + ?/2
х — 3,33 х-(-1,43 \ -о/
+ (^-3,33)2 + ?/2 “ ++1,43)2 + ?/2) ’ /СМ;
Еу =0,1о9/0 • Ю12г/ |(а,+0;7)2_|_2/2 ~ (а; —0,3)2+г/2 +
+ (а? — 3,33)2 Н-2/2 “ (х +1,43)2 +?/2} ’ В/СМ’
г = 0,995 1012 Ом см; Го = 0,42 /0.
2-64. По дифференциальному закону Ома Е — //о; в посто-
янном поле div J = 0 или в декартовой системе координат (прп / =
= Jx) djxldx = 0 и, следовательно, J = const. Выразим напря-
d
жение на конденсаторе через напряженность поля: U =^Edx=
о
d
С J dx J , . 7 \ ld гт J 1 О’о J
= \ ------г- =--r In (о0 — кх}\ , откуда £7 = In-----
J ог0 — кх /с v ° 7 0’ J к OQ — kd g0
0
где g0 — проводимость конденсатора на единицу площади пластин.
В пашем случае
g0 = 7c/ln—^!Ц-=0,5- 10“10/1п2 и 7 = 0,722 • 10“7- А/см2.
Оо — kci
Тогда
у-. гр 3 610е0 , 9
D = ----т—+ , Кл/см2;
и 1—0,5а?’
Р = е0(е-1)Е = ^^, Кл/см2; •
р = = 3 610е0 °’5 = - 8+ , Кл/см2;
r dx (1 —0,5ж)2 (1 —0,5а;)2 ’ \
_ dP _ 1450е0 ™ ч
Рсвяз- <гж— (1—о,5ж)2 ’ Кл/
2-66. По определению комплексной проницаемости вязкого ди-
электрика при к = кд
~ 1 I _L_ = (* + 1) + (<от)а _ . /«от , _
Ш+Усот 1 + (сот)2 ' 1 + (сот)2 ° 7 •
Зависимости б' (сот) и в" (сот) показаны на рис. 2-66Р, а,
80
При со = 0 получаем &' = к + 1 = 7; е" = 0; 8 = 7, а при
со —> оо соответственно е' = 1; е" = 0; ё = 1.
тт [1 + (сот)2] к — 2 (сот)2 к
Из уравнения --- =0 находим, что
е" = 8макс ПРИ со = 1/т = 200; при этом е' = 4; 8" =3 и е =
= 5 L - 36°50'.
а)
Рис. 2-66Р.
Прп любой частоте Е = UId = 2 кВ/см.
1) Прп со —* 0 получаем D = &0&Ё = 1 4OOso, Кл/см2 = qs- Р = .
= к&цЕ — 1 2ООео, Кл/см2 = — qs Связ, где 80 —- в ср/см.
2) При со — оо соответственно D — = 2 00080, Кл/см2 — q's',
Р — 0; qs связ = 0.
3) При со = 1/т = 200 Vc получаем:
Ь = 80 ъЕ = 10 000ео Z — 36° 50' Кл/см2 = qs\
*Р — гькЁ — г^(3— 3j)E = Z— 45° Кл/см2 — —д5связ>
J—jcub =802 • 106 Z 53° 10' А/см2.
Векторная диаграмма построена на рис. 2-66Р, б.
Комплексная мощность:
S = UI = 1О38о2 -106£ Z — 53° 10' = 2 • 109 • &0S Z — 53° 10' = Р+/Q.
Иначе, S = UI = EdS J = dSE^zQ (s" - /е') = P+/Q,
откуда
P = VE2w&"e0 n p0 = E’2coeo8" = 24 • 108e0, Bt/cm3.
g
2-67. Прп т =5 мс > t0 = r = 8,86 мкс корни pi =
1 1 / 8 , 1 \ 1
8T0-pT T ’ \т To; To
81
В этом случае
и
Р = Рпр {1 - е-t,x + е~ г/То|
2-68. Напряжение U = Un + f7p = Еаа + ЕЬЪ. Из граничных
условий: Da = е,огаЕа = Db = е0Еь + Рь.
ЛР
Дополнив эти уравнения уравнением вязкости т-^=е0А*7?&—Рь,
получим систему трех дифференциальных уравнений с тремя неиз-
вестными, где к = к%.
Любую из искомых величии представим как сумму принуж-
денной и свободной составляющей, например
Pb — Рь пр + Ръ св-
В принужденном режиме Рь Пр = ^кЕь Пр и Пр = ео (& +
+ пр = Р>а пР = WaEa пр, т. е. 5ЕЬ пр = 2Еа пр, откуда
Еа пр = 712 В/см, Еь Пр = 285 В/см, Рь Пр = 1 140б0, Кл/см2 и
т. д.
Корень характеристического уравнения получим, приравняв
нулю определитель системы уравнений:
____ а (&+ 1)
Р (а + Ь&а)ъ
466 с”1.
Тогда Р& = 1 140е0 + й так как при t — 0 должно быть
Ръ = 0, то А = — Ръ пр и Ръ = 1 140е0 (1 — Кл/см2.
Из уравнения вязкости получим:
Еь = тг (т + рь\ = 285 (1 + 1,ЗеР<)Г В/см;
пор \ di ]
Db=e0Eb + Pb=Da’= еоеаЕа = 1425s0 — 77ОеоеР<, Кл/см2;
Еа=-^ = 712,5 — 385е^, В/см;
еоеа
Ра = (712 - 385еР() е0, Кл/см2;
/осм=JdCM = dDaldt = dD b/dt = 317 • 10“10е₽«, А/см2.
. Плотность зарядов
Qs=Db — Da = 0; д6Связ = Pa — pb=— 427e0—755еоеРг, Кл/см2.
Здесь e0 — в Ф/см.
ОО
Энергия источника WH — Ui dt = 2,72 • 10~? Дж. Энергия,
о
запасенная в электрическом поле в установившемся режиме,
п₽ = wa 8. пр + wb э. пр = Sd\^^+ =2,52.10-’Дж.
52
Энергия электрического поля в -начале процесса!
жэ.(0)=жаэ (0)+1Уьэ(0)=
Sd (°) + <°) f ь (0) U !,1б . 10-7 Дж.
За время переходного процесса в электрическое поле поступила
энергия:
ДЖэ=И7э.пр-И^(0) = 1,36.10-7 Дж.
Энергия, потерянная в вязком диэлектрике,
И\==Жи-ДЖ0==1,36.10~7 Дж = Жи/2.
2-69. Применяя второй закон Кирхгофа
U Q — ir-\-Eaa-\-Ebb = ir -f- U a-f- U
где i = /Полн^, п из условия непрерывности полного тока
j dE & j. dEfo . - „
^аполн — 8о8а JЪполы = ео8Ь “г
получаем два дифференциальных уравнения с двумя неизвестными.
Определяя обычным путем корни характеристического уравнения
Рх — — 110 с-1 и р2 = — 5 650 с-1, запишем:
Еа = ^апр + Ле“110' + Л2е~ 5 = В1е~^ + В2е~ * 650f.
В принужденном режиме тока нет и U = Еа + Еь пр6,
где Еъ пр = 0, так как аь Ф 0; Еа пр = Ыа — 10 кВ/см.
Начальные условия: при t — 0 имеем: Ua = Еъ = 0; i =
,— U/r=l мА; Ja = Jb = i/S = 0,01 мА/см2; ^S = A.=
= 1615 • 10* B/c • см; ^ = -^- = 3 760 • 101 В/с • см.
dt еоеь
Определяя постоянные, получаем:
Еа = 104 — 7 280е~110( — 2 720 В/см;’
Еъ = 6 790 е~110( — 6 790 <г6- , В/см; •
i = aSEb+5е0е6 = 5еоеа = (0,0496e-uo' + 0,951e-se5o/)i мА;
qs^Db—Da = e0 (71,4 • lOSe-iiot — i^. io8e-6ewt_7 . Ю4), Кл/см2;
?seBH3 = Ра-Pb = e<> {60 • 103-57,2 • 108е-110(-2,8 • 103е~М50«}, Кл/см2.
Здесь е0 — в Ф/см.
Энергии:
И7и==С7 ( idt — 620 мкДж;
о
Wr = ri2 dt = 108 мкДж;
о
ir8=^S^^ = 310 мкДж.
83
Потери энергии в реальном диэлектрике
WG = j oEfrSb dt = 202 мкДж;
0
суммарные потери
Р7г + ТУа = 310 мкДж = 1¥и/2 = Жэ.
2-76. Из-за сферической симметрии плотность тока имеет только
радиальную составляющую. Полная плотность тока состоит из
плотности тока проводимости и плотности тока смещения:
Ю 2
JR полнГ 4ЙД2 = R + jw&ER = oEr ,
• 10 6 7- IO-2
отсюда Er. = —L- 48°, В/см,
где о = 1,49-10“6 /48° См/см.
Поверхностный заряд на сфере
qs = еиеЁп = =0,095 • IO"? Z — 43° мкКл/см2.
4тш2о
Плотности тока проводимости и смещения на расстоянии R
от центра электрода соответственно равны:
• h 6,7 L— 48° А/ 9 • . л 7,44 / 42° .. 2
J = gE =-----------мА/см2; JCM = = , мА/см2,
где R — в сантиметрах. Расчет сделан в комплексных амплитудах.
Из решения видно, что напряженность поля и заряд, совпа-
дающие по фазе между собой, отстают по фазе от тока.
2-77. Плотность тока п напряженность поля имеют только
радиальную составляющую (сферическая симметрия). Полная плот-
ность тока состоит из плотности тока смещения и плотности тока
проводимости
JR поли = //4яБ2 = cEIi + ео8 dER!dt.
Решение дифференциального уравнения представим в виде при-
нужденной и свободной составляющих:
Я = Я1]р + £св = /?11р + ЛеР‘',
где Pi = — о/с80 — корень характеристического уравнения, а
Е11р — I/4л/?2о. Постоянную А определим из начальных условий.
Прп t = 0 напряженность Е = 0, так как в первый момент заряд
на электроде равен нулю (для его накопления нужно время).
Тогда
Поверхностный заряд па электроде
qs = еое.Еп = (1 — ) •
84
2-78. По методу отражений для расчета поля в земле, кроме
растекающегося тока Z, вводим фиктивный ток Д = /q/; для расчета
поля в воздухе вводим фиктивный ток Z2 —
Из граничных условий Elt = E2t н Oi#ln = о2Ё2п получим:
+ O2 al+a2
При cq = Cl + /CO8OS1 = (io + 2/)10~4 =
= 10,2 • 10-4 Z — ll°20' Cm/cm; <j2 = o2 + /coeo82 = /2 • 10”4 См/см.
= 0,935 Z — 21°50'; /72 = 0,375 Z 68°10'.
Для вычисления комплексной проводимости линии да единицу
длины Уо = g0 + ./соСо = 1/U запишем связь между напряжением
п током, стекающим с проводов на единице длины линии:
и = Ё— 111 — + In Kd2+4^2 = i . 10? . 1,34 Z — 39° 20',
Л O'! r0 ЛО1 2/z
откуда
Yo = (0,576 + /0,473) • IO"3 Cm/cm.
Мощность потерь
Ро = U2g0 = 5,76 Вт/см.
Далее для расчета поля определяем:
/ = £7У0 = 7,45 . Ю-4 Z 39° 20' А/см.
Тогда распределение потенциала в земле
|п /(Ж-Д/2)2 + (у + /г)2 ~ In|/(a-d/2)2+(y-/i)2)
. l^x+d/2^ + (y+hr 1 +
2ло1
= {0,116 Z 28°Л7(ж, j/H-0,1085 Z 6°10'Л(®, i/)}, В;
в воздухе
<р2=-Е-М(х, у) = 0,223 Z 17°20'М(х, у), В;
2л(72
прп t — Т/4, т. е. (at — 90°, получаем:
<Pi (*, у) = {0,И6 sin 118° М (х, у) + 0,1085 sin 96°10' N (х, у)}, В;
ср2 у) = 0,223 sin 107°20' М (х, у), В.
Для построения экви потенция лей рекомендуется применить
метод наложения. Эквппотенциали в воздухе строятся, как для двух-
проводной линии, эквипотеицналп в земле — (по методу наложения),
• как для двух двухпроводных линий.
2-79. По методу
отображения (см. решение задачи 2-78).
0 й
, d , r . |/ d2 + 4A2
In - + *1 Ini---- I------
r0
85
/
о1=/сое0е1 = /10 11 —,
7х Oi — СГо
где
Qi + Сг
““•О+'я
См/см;
О'2 = О2 + /й)8082 —
10 2 , См/см.
Значения g0, См/см, и Cq, пФ/см, при заданных частотах соответ-
ственно равны: а) 1,5 • 10“12; 0,835; б) 150 • 10-12; 0,085; в) 15 • 10~12;
0,085; г) 0; 0,085.
Потери мощности на единицу длины вычисляются по известной
проводимости Ро = Ug0.
2-83. 1) При t = 0 свободный заряд в диэлектрике отсутствует,
так как для его накопления необходимо время: р = 0; div D = 0;
D = const; Е — D/£8o — const/880. Напряжение на конденсаторе
Е dx =
d
С D(d-\-x) D [ x2\d 3Dd
3 2е0с/ dx~2^d rd+ T/o ~ 4e0 :
0
‘ 4 Z7s0 „ 2 U ... .
отсюда 0 = £ = JT2(d+^)
И
Рсвяз = — div P = e0 div E = у .
При t -> оо (в установившемся режиме) ток смещения отсут-
ствует и, следовательно, div J = 0; J = оЕ — const; Е = UId =
= const; D = еое£ = и Р=е0 (е -1) Е=е0 [2 -1 ].
Отсюда
2е0£/
(d-]-x)2 ’
р = div D
_ л- »_ dP
Рсвяз — div 1 — - (<г+ж)2 - - Р.
2-87. Запишем выражение потенциала для внутренней ф^ и
внешней фе областей:
cos6 + jj| cos6 4-Zfi;
фе = С37? COS 6 + COS 6 + K2 .
При R -> 0 должно быть Е^= — grad ф^ #= оо, следовательно,
С2 = 0. Положим, cpj = 0 при R = 0, тогда — 0. При R -> оо
поле становится, однородным и сре = — Eoz = — EQR cos 0. Сле-
довательно, — E0R cos 0 = C3R cos 0.+ K2 при любом 0, т. e.
C3 = — Eq] K2 = 0. Итак, фг — (\R cos 0; фе = — EqR cos 0 +
+ cos e.
При R — а должно быть ф$ = фе, т. е. С±а = — EQa-[-
и D(>ni т. е.
^d^ildR — sedqe!dR и — 8е (EQ + 2С4/а3).
86
о™д.е1_-Во
Окончательно
^=-fi»drirPcose:=-£°drfrz:
Ъ? -j- Zice ьг -f- Z6e
лЗ р.__р
<pe — —E0R cos 6 +Z?0 ~2 -ДДД cos e.
-Zt i -
Зее.
Так как (p$ = дд (z), то внутри шара
Ei = Eiz = — = Eo —,
dz °вг+2ее’
вне шара
Г'!- дЯ К(|соз й + 2£,0 е'+2^ cos0;
ТГ * — Е” й йж “ ’
По определению
связ ^in ^cn eo (^к-^гв) приЛ = а,
T- e* ^зсвяз — Зе0Л0 cos 6 2 „ p .
bj i 4Ъе
2-92. В первый момент после внесения шара из диэлектрика
в поле свободный заряд на его поверхности отсутствует п линии
поля втягиваются в диэлектрик .-Со временем изменения поля пре-
кращаются, ток смещения становится равным нулю, в пространстве
остается только ток проводимости, линии поля совпадают с линиями
плотности тока, соответственно они стремятся огибать сферу, про-
водимость которой меньше проводимости окружающего простран-
ства.
2-93. Геометрическое место вектора напряженности в точке
А — прямая — получается из выражений EiR и Ei0; вектор на-
пряженности в точке А в течение переходного процесса не изме-
няется дю направлению.
Геометрическое место вектора напряженности в точке В —
кривая — получается из выражений EeR и Еев; вектор напряжен-
ности в точке В в течение переходного процесса изменяется по на-
правлению п в установившемся режиме направлен по радиусу.
2-95. В условиях задачи свободный заряд образоваться не может,
так как среды не обладают проводимостью. Связанный заряд в на-
чальный момент также не образуется, так как внешняя среда не
поляризуется (ве = 1), а поляризация сферы из вязкого диэлектрика
в течение переходного процесса нарастает с нуля.
В установившемся режиме qs связ (со) = Pini где Pin =
2 (g.________________
= е0 (8^—1) Eir = e0E0 — - -г - 7 cos а, так как Eir = Eix cos а, а
8г“Г
2е
Eix = Ei=E0—~—(cM. задачу 2-88).
Г
При а = 45° имеем gs связ = 1,12 мкКл/см2.
87
2-96. Принимая <р$ = 0 на оси цилиндра, напишем выражение
для потенциала во внутренней и внешней сре областях в комплекс-
ной форме (см. задачу 2-88):
В
ср- = Аг cos ос, <ре = —ЕцГ cos сс + — cos а.
Напряженность поля
^=Дг=- ^ = - А; £ей = ё0 cos а + ~ COS а;
• •' • , В .
Ееа =-Ео sm а + sin а.
При г = а должно быть ф£ = фе, т. е. Аа — —Еоа-{-В/а, и
Аюлнмг == ^"пОЛНеп ПЛИ е^еп-» т* —A(Ji = ^Po“F ~2^
где 3^ = Ог + /(0808|; Ос = /С0808е.
Подставляя числовые значения, получаем:
А = — 0,91 Z 24° 10' кВ/см; Ei = 0,91 L 24° 10' кВ/см;
Рг = Е0 % -1) Ег = 280 • 0,91.103 L 24° 10' = 1,82- 103e0 Z 24° 10' Кл/см2,
т. е.
Р, = 1,82- 1О3ео/ 2 sin (со£ + 24° 10'), Кл/см2,
где 80 — в Ф/см.
Потери активной мощности на единицу длины цилиндра
р0 = o'/Е? л а2 = 2,6 мВт/см.
2-97. Разложим вращающееся поле на два взаимно перпенди-
кулярных в пространстве синусоидальных поля, сдвинутых по
фазе на 90°:
Ё = exEo-]-eyEQe~~^00, кВ/см,
или
Е = ех2 \/~2 • sin сЩ + ey2si;i (соЛ — 90°), кВ/см.
Поляризация цилиндра в синусоидальном поле получена в
задаче 2-96. Пользуясь методом наложения, запишем поляризацию
во вращающемся иолс::
Р = ех1,82/2 • 10380sin (coz+ 24°10') + еЛ,82/2 • 10380sin(c^ +
+ 24°10' — 90°), Кл/см2,
где 80 — в Ф/см.
Вектор поляризации цилиндра вращается в пространстве со
скоростью со, опережая внешнее вращающееся поло на угол 24°10'.
На единицу длины цилиндра теряется мощность РО = 5,2 мВт/см и
действует вращающий момент
Ро = Ро/со = 83 мкН.
2-98. Разложим вращающееся иоле па два взаимно перпендику-
лярных в пространстве синусоидальных поля, сдвинутых по фазе
на 90°:
Ё = ехЛ’о + е!у/?о^3'90”.
88
Решим сначала задачу для цилиндра, находящегося в поле
Ех = Eq (см., например, решение задачи 2-96):
Р'гх ~ Eq ~ ~~~ J Ргх — ео (ег 1) Е^х = EqEq —;
Е.+ 1 8^+1
~ = = ! 85 Z _ 48° 50' = 1,22 - /1,4=е' - /е";
г 1 + /сот ’ ' 7
Eix = 1,525 Z 32° 20' кВ/см; Pix = eQ • 2,16 • 103 L — 49э 35' Кл/см2,
где е0 — в Ф/см.
Для цилиндра, находящегося в поле Ёу = Ео L — 90°, ком-
плексы напряженности поля и поляризация будут сдвинуты на —90°.
Для цилиндра, помещенного во вращающееся поле, получим:
Ё; = [ех1,525 L 32° 20' + ^1,525 Z (32° 20' —90°)], кВ/см;
Pi = [ехе02,16 • 103 L — 49°35' + е^Дб • 103 Z (— 49°35'
— 90°)], Кл/см2.
Вектор поляризации цилиндра вращается со скоростью со,
отставая от внутреннего поля на угол 81°55', а от внешнего одно-
родного поля на угол 49°35'.
Цилиндр испытывает вращающий момент на единицу длины:
Lq = P{Eq sin 49°35' • ла2 = 9,1 • 10“? Дж/см.
Мощность потерь на единицу длины
Pq = L0co = 8ое"со£2^хла2 = 5,72 Вт/см.
2-99. По уравнению Пуассона в декартовой системе координат:
с/2ф •V2<P=^2 = p po a2 — x2
e0 — e0 aa ’
откуда dtp dx Po^ । Po^ , r 80 3a280 1
и ю Po*2 1 . I c x 1 Cci
ф 2e0 1 12a2e0 1
При х = 0 (рис. 2-49) ф = С7, т. е. С2 = U{ при х = d задано <р = 0,
т. е. 0 = — ^- + ^^ + C1d+U,
2е0 1 12а280 1
откуда
С =Ро^ U
1 2е0 12а280 d
Окончательно
_P^4 . Po^4 _ Po^ , Ptl^ — — + £/•
Ф“ 2e0 12cz2e0 12a2e0 2e0 d +U’
£ = _^ = _ Po^ । Po^- _ Po^ , E
dx 8^ 3a2e0 12«280 2e0 ' d '
89
2-104. Будем искать поле в любой точке М отверстия, не
заполненною объемным зарядом, как результат наложения поля
Е± в большом цилиндре, равномерно заряженном по объему ..зарядом
+ р, п поля Е2 в малом цилиндре, равномерно заряженном по
объему зарядом — р (рпс. 2-104Р):
Рис, 2-104Р,
Е - Е! + Е2 - Д (Г1 - г2) - ех -2Ре‘ .
Иначе, * 1
ф = ф1 + ф2 = Д (—4 + г!)»
где = rj + а2 2агх cos а, т. е.
ф = (а2 — 2ах)
Ч8()
и
— _9<? — Р2а — р±
х дх 4б0 2е0 ’
2-106.. 1) Комплексный потенциал оси (+ т), проходящей через
т
точку z = х + jy = а, равен ---------- Ln (z — а) + Сх, а оси
Z3T8q
(—т), проходящей через точку * z — — а, соответственно w_ —
'jj
== л—— In (z + а)С2. Комплексный потенциал поля двух осей:
ZJTSq
1 1 т . z-\-a . _
w = w+ + = 7.— In —!--h Co.
+ 2ле0 z — a * d
2) Полагая при | z | = г -> оо комплексный потенциал рав-
ным нулю, получаем, что С3 = 0 и
i-i 17 , Z р CL 17 -• Zn
^ = ф + 7ф = й-1П—— = й------In—,
т т 2л80 z — а 2ле0 z± ’
где z2 = r2e:)a2 и z1 = r1e3ai^
Отсюда функция потенциала <p = Re In — и функция
2JT£q
потока
^-оаа-
3) Уравнение семейства эквппотенцпалей:
r2/z*i = const = К.
Это семейство окружностей с центрами на осп х.
Уравнение семейства линий поля:
ф = const или — а2 = а0 = const.
Это семейство окружностей, проходящих через точки z = а и z =
= — а с центрами на оси jy.
90
Л) Значение функции потока Для линии поля, проходящей
через точку М (х, у),
. । т , 2уа
-ф = + т;— arctg —----±.
Y 2ле0 6 а2 — х2 — у2
Поток вектора напряженности через отрезок оси у (на единицу
длины двухпроводной линии) от у = 0 до у = а:
, , . т / .2а2 0 \ т
^=а> —= + 2^ ^ctg - arctg .
Это составляет l/4 часть полного потока.
2-107. Комплексный потенциал оси, расположенной в начале
координат (см. задачу 2-105):
Wl = ~2^lnz + Cl-
Комплексный потенциал оси, расположенной в точке zr=
. 2л
Э — т
— аеп :
7 2л \
Т | э—т\
“’2=~!2^1п \г~ае п '+с*
где п — общее число осей; т — порядковый номер оси.
Комплексный потенциал всех осей
2L 7 .'2л \
и,=-й 2 InC-<7n m)+c=-2^in(z”-a”)+c'-
т — 1
Так как при z = 0 должно быть w == 0, то
откуда С=2^-1п(— ап).
При этом
Представляя z. в виде z — геза, получаем:
w = — In [1 - (r/a)n eina] =
= — к— in [1 — (r/a)n cos na — j (r!a)n sin па].
Функция потенциала
ф = Re w == — —2— In [1 + (r/a)2n — 2 (r/a)n cos na],
4t3T8g
91
Функция потока
т t sin па
ф = Im iv = я— arctg 7—----------
2лс0 (аг)п— cos па
Уравнение семейства эквипотенциален (ср = const):
1 — К + (г/а)2/г
C0SW-= 2(г/Ь)»
4эте0
--------------Ф
где /Г = е т = const.
Уравнение семейства силовых линий (ф = const):
(Г/Л) (gin пау0 _|_ cos 7Ж»
где C=tg^^ чр).
На рис. 2-107Р, где ф' = еотр/т, показаны некоторые эквппотен-
циали и линии поля при п = 6.
Рис. 2-107Р.
2-110. 1) Комплексный потенциал можно представить как сумму
потенциала (ш-J, обусловленного зарядом (пт) на центральном
проводнике, и потенциала (ш2), обусловленного зарядами (— т)
на остальных проводниках (см. решение задачи 2-107):
u, = u,1 + i,2 = _^-lnz+^-ln(z»_an) + C1 =
т , zn — ап
= -— In--------------—
2ле0 zn
С.
Постоянную С легко определить, еслп задаться потенциалом,
например, периферийных проводов, равным нулю. Тогда на поверх-
. 2л
j т
ностп этих проводов, т. е. при z = ае п + гое^ и г0<^а,
можно считать:
92
Следовательно, С = а!пг$ и
т , (zn — an а\
w==o---1п ---77----•
2ле0 \ z)l nr0J
Комплексную переменную z представим в виде z = reja. Тогда
откуда определяется функция потенциала
т , ( а1 2 [[а \2”* . _ / а \п Ъ
ф=4^1пЫйЫ +1-2Ы cos4i
п функция потока
, т f sin /га
ф = о— arctg ...------.
2ле0 (rja)11 — cos па
2) Потенциал центрального проводника (г = г0) с учетом г0/а<<1:
т Г а2 / а \2П1 т/г Г, а 1 а 1
<р+“4ле0 \ r0) J 2ле0 [ П г0 + п П «rj'
Емкость системы на единицу длины
„ —ПТ _пт; _ 2ле0 _ 2ле0
°~и « . 1 . 7Г~3^37’
‘ In---------In--
/’о п пг0
Емкость цилиндрического конденсатора
2ле0 2ле0
= ? а =3^69
го
Отметим, что при п — a/rQ емкость рассматриваемой системы
равна емкости цилиндрического конденсатора с радиусами г0 и а.
3) Уравнение семейства эквипотенциалей (ср = const):
1 + (1-If2) (г/а)2"
2 {г/а)п
cos па —
где К = (а/>0)
(п +1) ® 1^1
93
Уравнения семейства линий поля (ф = const):
где
(r/a)n = cos па + (sin па)/С,
. 2Л8д
На рис. 2-110Р, где ф' = 14ср/17 и
Рис. 2-110Р.
ф' = 12еоф/т, представлено се-
мейство эквипотенциалей и
линий поля (пунктир).
2-111. 1) Для решения за-
дачи можно применить ме-
тод зеркальных изображений.
Тогда поле внутри трубки
будет определяться всеми
реальными проводами, распо-
ложенными внутри нее, и фик-
тивными проводами (изображе-
ниями проводов радиуса г0),
расположенными вне трубки
на расстоянии №/а от оси на
продолжении радиусов, проведенных из начала координат через
эти провода:
w — — In z — к^— In (zn —ап) + тД— In (zn— + CX =
2ле0 2л80 2л80 \ an / 1
= т Jn ((z/a)n — (b/a)2n 1
2л80 (zT1/T [(z/a)n — 1] J
Постоянная С определяется из условия, что при z = beja
потенциал равен нулю:
т С—(Ь/а)пе^[(Ь/а)пе^па—1]С'\_
I bx^xe^/x[(b'a^e^-l\ J
Т ! 7 ь \п I С I 1
=----- 111 — ' -44; ,
2л80 a / ЬХ1/Х_
откуда
|C| = aVT1/T-n).
Аргумент постоянной С определяет начало отсчета
потока и не имеет существенного значения.
При этом
функции
w= Т ]п ЫЪГ-ЩаГ
2л80 [(z/«P-1](z/6)^/t’
2) На поверхности центрального провода, т. е. при
с й и П < 6)
^=75----In — ,
1 2Л8О l\aj \b j ]’
z =
откуда потенциал центрального провода
П [\ а / \гх/
94
и
На поверхности периферийного провода
. 2л
j —т
z — ae п (т — порядковый номер провода).
Так как г0 а, то
Г 7*П 3 (3 — ~
zn __ ап 1 I п _0_ е V П 7
L я I
Т 7
— -— In
2л80
. /2 Л _ 2л Т1\
(а/Ь)п^(Ь/а)п 1 т-0- -т
(а/Ь)Х1/хп
Потенциал периферийного провода
ф2=_Е,]ПГ..(ь./?)п-(^)та
Т2 2ле0 п_гд \а]
а
3) Представляя выражение для срг в виде
тп I / Ъ \ , т , / Ъ \
Ф1==7г2“ М— + о— In — ,
т 2ле0 \ гг) 2л80 \ а / ’
находим потенциальные коэффициенты
а“=Д1п
1 ] 1Ь\
и «12 = о— Ш — .
2л80 \ а )
Аналогично из выражения для (р2:
1 .
«21 = п--- 1П
21 2ле0
<^22
1 in[(&/g)n~(g/6)n~
2ле0п г0
я
По известным потенциальным коэффициентам легко определя-
ются частичные емкости:
Г а22 а12 . р р а12 . р а11 а12
и11 ~ —д , ^12 — С21 д" , ^22= д“
где А — «ц«22 — о^12* - 4
При указанных в условии параметрах
11 1
“11 = 2^4; a22 = 2Sr01’2; ai2 = 2^ 1;
1 15 5
Сц=2п80 —; С22 = 2Л80 ; С12 = 2л80уд.
4) Прп отсутствии центрального провода во всех формулах
следует положить гх = Ои'тх = 0. При этом емкость между осталь-
ными проводами и трубкой
1 ' 2л80тг
L «^0
95
2-112. Комплексное выражение напряженности поля
/ 2п 2п\
z \Ь — а )
п\[/ *\п
(г —a / ivzz; —о
1) При z — re п
. 2л
_ ТП (Ь2П_а2П)гП Э - ™
2л80г 1тп ' [&2Л —(аг)"] (гп — ап)}
dw %п
dz 2ns0z
Вектор напряженности электрического поля направлен по
дну су. Для данных задачи
*1
ра-
Ег = ^----
2ле0г
2..|
1-(Я/гН’
где знак «+» соответствует
Рис. 2-112Р.
случаю Л, а знак «—» — случаю Б.
Эти зависимости представлены на
рпс. 2-112Р, а, где N = 2л80/тп.
.2л/ . 1\
j — I m + о"
2) При z = re п ' 2 '
е= ™ (л+
2ле0г (та
. 2л
(Ь2П_Й2Н)ГП
[Ь2п+(аг)п](гп+ап)
В этом случае вектор напря-
женности направлен по радиусу.
Для данных задачи
Т1 Гл _j_ 2 1
2л80г L ~ 1 + («A)6J ’
Смысл знаков тот же, что и в первом случае. Эти зависимости пред-
ставлены на рис. 2-112Р, б, где 7V = 2л80/та.
3) При z — be™
Е— тп . I 11 _i_____&2П — а2п___I eja__eja
2л80& [т7г ~ Ь2па2п—2buan cos naj r
Для данных задачи
Е,. (тх + Ъг) = -л-Л- (1 ± 2),
2л80д к ' 2л806
т. е. величина напряженности поля практически не зависит от угла а.
2-113. Комплексный потенциал оси, проходящей через точку
z = ± mbi
ш1 = —2^о ln(z +тЬ^ + С-
96
Комплексное выражение напряженности поля оси
*
_ dwr т 1
1 —------------*------•
' dz 2л80 z Т mb
Комплексное выражение напряженности поля бесконечного
ряда осей
т
2ле0
1
*2 2 2
z —т b
' ' эт
Вводя переменную z1~ — z1 получаем:
со
Т Л 1 * VI 1
—-------* Л
2ле0 Ъ zL 77^1т2л2~г1
Выражение в скобках есть разложенный в ряд ctg zf. Таким
образом,
т зт л *
2ле0 b С % b Z
m Т Л *
£ = х-----Г ctgzl
2ле0 b ®
Комплексный потенциал бесконечного ряда осей
С * , т С, л , / л \ . т . . / л
w = — \Е dz = — ---- \ ctg — z d -у- z = — - In sin — z .
J 2ле0 J b \b J 2л80 \ b J
Постоянная интегрирования здесь отброшена, что соответ-
ствует выбору точек нулевого комплексного потенциала: z = b/2 +
+ mb.
Представим sin2 z^ в виде
• о Л • о {Л Л \ Г 1 / -1 q j-. лх\ "| •.
sm2 — z = sm2 — « + = hr ch2 — Cos2-v-ч ^2Y,
b \6 d /L2\ b b /J
th^
. b
где tg?=—
При этом функция потенциала
ф = — 7 In Ну- ch 2-^- —COS 2-7- ,
Y 4л80 [2 \ b b /J
и функция потока
th^
. т х Ъ
l|’ = “2SrarCtg
lS~r
4 Колли Я. Н. и др»
97
Уравнение семейства эквипотенциален (ср = const):
. Л га/ « rar .
ch 2 ~ = cos 2 + 2К,
Ъ b
_ 4ле0(р
где К — е х
Уравнение семейства линий поля (ip = const):
,, га/ ~ х ях
th^=ctgT,
„ х 2леогЬ . .,
где С = — tg—~ = — tg-ф •
На рис. 2-113Р построены линии поля (пунктир) п эквипотен-
циали. Интересно заметить, что уже на расстоянии (по осп у) мень-
Рис. 2-113Р.
тем, чем шаг ряда &, поле практи-
чески однородно.
2-114. 1) Поле задачи 2-113
симметрично относительно оси х\
половина всего потока идет в сто-
рону положительной полуоси у, по-
ловина — в сторону отрицательной
полуоси у. В задаче 2-107 анало-
гичной симметрии относительно ок-
ружности радиуса а нет: через ок-
ружность радиуса, большего а,
проходит весь поток, а через окруж-
ность радпуса, меньшего а, общий
поток равен нулю. Эта асимметрия,
естественно, останется и при пре-
дельном переходе. Чтобы после пре-
дельного перехода получилось реше-
ние задачи 2-113, в задаче 2-107
следует половину общего потока на-
править внутрь окружности радиу-
са а, т. е. в центре окружности по-
местить ось, несущую заряд проти-
воположного знака, численно равный половине общего заряда
всех остальных осей. При этом комплексный потенциал, обуслов-
ленный всеми зарядами (п — число осей, т — номер оси)
w =-— In (zn — ап)Inz + С± =-— In С.
2л80 4яе0 2л80 zn/"
Пусть потенциал равен нулю в точках z=^ae п 4 ~ т. е.
иа окружности радиуса а посередине между зарядами. Тогда в этих
точках zn = — ап и С = (—ап)х^[—2а1*
Комплексный потенциал
w =_____ъ ln (z/a)n-l =_________т ln (z/a)"/2 — (z/a) та/2
2л80 —2/ (z/a)n^ 2л80
— 2/
98
Введем новые переменные zr = z — а и z2 = х2 + jy2 = 7\,
тогда
Z1 + <ЛП/2
71/2
Если расстояние по окружности
зарядами одинаково^ и равно &,
Л . 2лг2\п/2 / 2z3\n/2
’где
При неограниченном возрастании
радиуса а между 'соседними
' z \л/2
то 2ла — rib и
23 = —Лу.
п
л
>*з
IV
\ ^n/2j
Окончательное выражение для комплексного потенциала
т . . л
----In sin — z9
2Л8О Ъ 2
не отличается от полученного другим путем в задаче 2-113.
2) В задаче 2-107 было получено выражение для комплексного
потенциала п заряженных осей, расположенных на окружности
радиуса а:
т 1-
п--- In
2ле0
Аналогично тому, как было
w
lim
.n
получено выше,
. 2л
где z2 = a;2 + /2/2, и
. 2л \
' ~b *2 j
I ~~3
-In \ 1 — е
'о \
т (1 . л
— — о----{In Sin
2л801 Ъ
Первое слагаемое соответствует
Второе слагаемое — это однородное
ность которого
т
W 2ле(
Д-1П
. л
3 ь %. . л
е 2/ sin у г2
Z2
Z2—
полю, рассмотренному выше,
поле, комплексная напряжен-
dive
т . л . т
направлено вдоль оси
образом, общее поле
заряженными осями
£1 _ _<^2.„
c?z2
т. е. поле
z/2. Таким
создается
(+ т), расположенными на оси я2
на расстоянии Ъ друг от друга,
и заряженной плоскостью, парал-
лельной оси х<ь и несущей за-
ряд — т/& на единицу длины вдоль
находится на расстоянии h от осп ж2 большем, чем Ъ,
осей практически однородно (см. решение задачи 2-113).
4*
*2
Рис. 2-114P.
OCII
x2 (pnc. 2-114P). Плоскость
где поле
99
Если z/2 < — 6, то
. 2л
е~’уг2
2л
1
и w = 0, т. е. потенциал всего этого пространства (у2 < — Ь)
равен нулю — поле отсутствует.
Если у% = h > 6, то
“5Т72
2л
у*
| = еь > езя > 1;
при этом
т 1
W = — я----In
2Л80
и потенциал заряженной плоскости:
т/г
(р““ 6е0 ’
Еслп осп заменить тонкими проводами радиусом г0 (г0 6), то
при z2 = mb + гое^
, / .2л \
1 ~bZ2\ Т , Ь
ср+=— о— Rein 1 — е = ~—in -—.
2ле0 \ / 2ле0 2лг0
Напряжение между проводами и плоскостью
тт т / 1 , b I h \
с/ = ф+—•(£_ = — hr-In -к-Нт.
Y 80 \2л 2лг0 Ъ)
Емкость системы, приходящаяся на единичную длину вдоль
проводов и на ширину Ъ вдоль осп я2,
р __ ___£0_______
0 и ~ h i ъ । А ‘
2л П 2лг0 Ъ
Это выражение для емкости можно получить и предельным
переходом из формулы и. 4 задачи 2-111.
2-115. Комплексный потенциал ряда положительно заряжен-
ных осей
т 1 .л
-- тг— In Sin -у- Z.
+ 2л80 Ъ
Ряд отрицательно заряженных осей сдвинут относительно
ряда положительно заряженных осей на 6/2, поэтому комплексный
потенциал этого ряда
т , . Г л / , Ъ \1 т . л
==75--In Sill — Z + — = ---In COS -7- Z.
2Л8О Lh \ 2 /J 2ле0 b
Комплексный потенциал всех осей
^ = ^++^_=-5^-ln tg£Z.
100
Его можно получить и предельным переходом из w для системы
задачи 2-108.-
1) Отделяя действительную часть w от мнимой, получаем
функцию потенциала и функцию потока:
Ф= — —E—ln
4ле0
т
ф
ch 2 ^-у—cos2 х
о b
ch2-^-i/ + cos2y х
sh 2л
t Ъ
_— arctg------------.
2ле0 ъ х
sm 2л -zr-
Ъ
2) Потенциал положительно заряженных осей получаем, по-
мещая точку наблюдения на поверхности этих осей, т. е. полагая
z = mb + r0^P (г0 ^)*> ПРИ этом
т , Ъ
Ф+ = И--In --- .
2Л80 лг0
Аналогично определяется потенциал отрицательно заряжен-
z
ных осей при z = mb + + r0^₽:
&
Ф- = — Ф+-
Напряжение между противоположно заряженными осями
и = <р+ - <р_=2ф+=~ In .
JLCO JЬГо
Емкость, приходящаяся на шаг системы,
Со=^
Л8о
In —
Л 7*q
3) Уравнение эквипотенциал ей (ф — const)
ch 2л cos 2л .
Ъ Ъ ’
где tf=cth^2.
Уравнение линий поля (ф = const)
sh 2ц ~~ = С sin 2л ~.
b b 9
„ * 2леоф
где tg-^.
2-116. Для решения задачи можно применить метод зеркальных
изображений. Поле в проводящем материале (е2, о2) определяется
101
при этом истинными токами ± I (на единицу длины вдоль осей
проводов) и пх изображениями ± /1? причем
+
4~ 7 юе0е2 — 7 юео
о 2 + 7 о)Е0е2 -|- / соео
При указанных в условии параметрах практически ± Ц — ± I ♦
1) Комплексный потенциал ряда истинных токов определяется
так же, как зарядов ± т в задаче 2-115. Учитывая, что проводники
расположены не на оси ж,
а сдвинуты на расстояние — h
по оси у, п применяя ана-
логию расчета полей токов и
электростатических полей, за-
пишем комплексный потенциал
в виде
Рис. 2-116Р.
W1 = — —-- In tg ~ (z 4- jh).
2л о2 b
Аналогично для изобра-
жений
iv2=-------— In tg — (z — jh).
2ло2 b
Общее поле во второй
среде
, 7
+ ^2 =-----— X
2jTO2
X In I tg Y (z+jh) tg (z - 7Л)1.
b b
Напряженность электрического поля в комплексном виде
* dw
Б =-----
dz
I Г 1 _______1
sin (z+jh) sin (z — jh)
. у ch 2л ~ sin 2л ~
_ 4/ b b
ch 4л ~ — cos 4л -f-
b b
b u ° b
b ^fl 2лА\
2) Потенциал положительных проводов (z = mb — jh + rbe^)
r0 h и r0 b
ф+ — Re w —----Re In tg — tg — (— 2jh + roe‘^) ~
2ло2 [ & &
1 , I b ,. 2лА\
= —In I — cth------j.
2ло2
лг0 b
102 5
Потенциал отрицательных проводов — jh + rQe7$]
ф_ = Re w = — ф+."
Напряжение между положительными п отрицательными про-
водами
1 1 ( Ъ 2лк\
U = ф+— ф__ = 2ф+=In — cth---- .
ло2 \ЛЛ) b /
Проводимость системы на единицу длины вдоль осей проводов
и на ширину Ъ вдоль оси х
Уо = h = —--.я.(72 - — 0,0654 См/см=Go.
и 1 b 2лЛ\
и In — cth -г—
\лг0 b J
3) Ток,\ стекающий с 1 м провода,
2 = 5ГУ0=^ 0,0654 =4,61 А/м.
/2
Средняя мощность, приходящаяся на 1 м2 поверхности,
Р? = UHb = 271 Вт/м2.
4а) При у = 0 (рис. 2-116Р, а):
, ch 2л ~ sin 2л ~
--------2--------L_=£x;
ch 4л — cos 4л ~
Ъ Ъ
, с h , о х
•r ch 2л -г- + cos 2л -у-
• 1 1 о Ь
ф=—— In-----------------.
2ло2 ch 2л — cos 2л
b о
46) При х = 0 (рис. 2-116Р, б)
1 1 Г И / +
Ф = —— In cth л —— cth л -----
2ло2 L \ / J
4в) При х = ± 6/4 (рис. 2-116Р, б)
I 1 11.-
--------т тм +---------т2----г? ф=о.
а2Ь ± ch (2 л ± ch (гл^у-^)
.На рпс. 2-116Р А = //2ло2; В — Hojb,
103
2-120. Работа в электростатическом поле равна разности энер-
гий начального (7) и конечного (2) состояний. Если конденсатор
подключен к источнику э. д. с., то U = const и W == 01*12 =
= eoeSZ72/2:r, где х — расстояние между пластинами.
Работа
2 \ягх х2) 2 \ жа/
Если конденсатор заряжен и отключен от источника, то заряд
<2= const и ж = =
Решения и методические указания к гл, 3
3-3. ПлотЙость тока движущихся зарядов
J = ру = рсог = р2лпг.
Элементарный ток, приходящийся на элемент длины радиуса
dr,
di — JdrAy — Ay $2nnrdr.
По закону Био — Савара напряженность поля на осп, обуслов-
ленная элементарным кольцевым током di,
dH — dHy = di sin p = di - = Ay рлп sin3 p dr.
Искомая напряженность поля всего кольца на его осп
Н = Ну = j dH — Ay рпп sin3 р dr.
Радпус г легко выразить через Р:
г == у tg Р и dr = у - .
у 6 н у cos2 р
При этом
02.
Д^ршгг/I^J с?р = 2лАурп (r2 tg sin2 Ц — rx tg sin2 ;
J соь р \ di d di I
Pl
Если гг = 0, т. е. кольцо превращается в диск радиуса г2, то
Н = 2лAy pnr2 tg (ра/2) sin2 (Р2/2).
3-9. Поверхностная плотность заряда на оболочке
о = д/4ла2.
Элементарный поверхностный заряд, соответствующий элементу
adQ,
dq — a2nradQ.
104
Элементарный ток движущегося заряда dq
1Т . nqr _А
di = ndq = б?б.
2а
Напряженность магнитного поля на оси вращения в точке
М, обусловленная током di (см. ответ к задаче 3-1):
dH = dHz = dIS^^-.
2 2г
J Из рис. 3-9 следуют соотношения
z3 = acos6; sinp = r/p; г2 —а2 — z|; p2 = z2 + g2 —2zgz,
откуда
= — c?z3/r и zdz^ — — р с?р.
Поэтому
,д , , \ — p4 + 2p2(z2 + fl2)—(a2_L_z2)2
de = р dp/zr и г2 =-----———-—у-- —г--------.
* х
Подставляя эти значения в выражение для dH, получаем:
.и_ “ ™1 р4 —2р2 (z2 + a2) + (a2 -z2)2
16az3 р2 Р‘
Интегрируя это выражение по р, получаем:
Поле внутри оболочки (— а < z а) находим, подставляя
пределы интегрирования от р2 = а — z до р2 = а + z,
2/j = nq/3a.
Таким образом, поле внутри оболочки на оси не зависит от
координаты точки наблюдения z.
Поле вне оболочки (координата z изменяется от —оо до —а
п от -|-а до +оо) находим, подставляя пределы интегрирования
от_ р3 — (| z | + а) до р4 = (| z | — а) при отрицательных z и от р4 до
р3 при положительных z:
Я2 — nqa2/3 | z |3.
Поле на оси вне оболочки убывает, как куб расстояния от ее
центра.
3-11. Ток, протекающий в элементе ленты dyx (параллельно
оси z),
dl = ~a dyi.
Элементарное поле, Создаваемое этим током,
> dH = ^-= — ^,
105
а составляющая поля в направлении оси у
dHy = dH cos Р = i- -i- cos p.
y a 2nr 1
Из рис. 3-11 следует, что
г = я/cos Р; tg р = (т/ — у^/х и dy± — —a?c/p/cos2p.
При этом
^ — 25*
а
н» = S
02
Составляющая элементарного поля в направлении оси х
,TJ I sin Р Q
dHx~—-------с?Р
2яа cos Р
и
„ __ 1 . cos р2 _ I . х2-\-(у— а/2)2
х~"2м соГр;= 4ла х2 + (у + а/2)2'
На оси у при а/2у << 1
' I ( , , ! а2 \
х 2тД "Г" 12 ВН-
ЕСЛИ у 2а, то с погрешностью не более 2% Нх = — Ц2пу,
т. е. поле тока ленты на оси у такое же, кац поле тока, сосредото-
ченного на оси ленты.
На оси х прп а/2х 1
^у 2пх
£ а2 \
12 х2'")'
т. е. практически на таком же расстоянии^ как и по осп у, поле тока
ленты можно считать, как поле тока, сосредоточенного на оси ленты.
3-14. ’ Индуктивность кабеля целесообразно определить, вы-
числив энергию магнитного поля W (на единицу длины кабеля)
из выражения
W = Ь0Г2/2.
С другой стороны,
Гз
W = § у Poff2dV = Й С H22nr dr,
r=0
где V — об^ем на единицу длины.
Применяя закон полного тока, определяем напряженность
поля.
При 0 < г < получим Hl — Ir/2nri' прп гх < г < г2 на-
7’2 — /«2
ходим Я2 прп г2 < г < г3 напряженность Я3 = 1-^—------тг.
2Л7’ (Гд - Г2)
106
Тогда
ру= Но С С I±dL
4л J г/ 4л J г
о rt
Цо c’wf-r2)2 .
4л J (4~/1)2г
Г2
Индуктивность кабеля на единицу длины
Первое слагаемое обусловлено магнитным полем внутри жилы,
второе — полем между жилой и оболочкой, два последних слагае-
мых — полем внутри оболочки. Обратим внимание, что индуктив-
ность определяется отношениями радиусов, а не их абсолютными
значениями.
В случае, когда оболочка достаточно тонка (г3 — г2) г2>
Lq =
3-16. а) Элементарный ток
dI = J (6dr) = &~ dr.
Ток в кольце
г2
Z = tfS ? —=Zf61n-^.
J г И.
Г1
При этом
, I dr
di —-------
In-^ Г
ri
Элементарное поле на оси в точке 7И,
di (поле витка с током dZ),
обусловленное током
.пт sin3 [В 7Г
dll = dHv — -—;—- di
J Ar
I r dr
2 in — (г/2+'-2)3/2 ’
'1
Полное поле на оси
г2
Н___ I С г dr
J (^+^ =
ч 1
I / 1 1 \ I COS Рх — COS р2
2 In — \Г^2+',1 Vv^ + r'il 2111-^ V
Г1
107
В плоскости кольца (у = 0)
б) В этом случае
dI=J-dr
а
лтт I j sin3 ₽ 1 г2 dr
аН = — dr----— —-----------77-.
а 2г 2а(у2 + г2)3/л
Полное поле на осп
_£ С* r2= L /]п r_i+V^_±j^_ г2 r_i \
2« J (у^ + г^2 2а\ + Vy^+П Vy4^J
В плоскости кольца
3-20. Магнитное поле в земле удовлетворяет уравнению
rotH = J. (1)
В силу симметрии плотность тока в земле имеет только ради-
альную составляющую (в сферической системе коордпнат)
J = J п = 1/2пВ.\ (2)
а магнитное поле не зависит от координаты а. Прп этом для
//-составляющей соотношение (1) будет иметь вид:
1 г д 1 I
гоЬкн=д2 sin
Интегрируя это уравнение, получаем:
Т?8т0Яа=-1^+/(Я)+С. (4)
На оси симметрии, т. е. прп 9 = 0:
J? sin 6 Яа=0=- 4- + / (R} + C.
Следовательно, / (/?) не зависит от R п постоянная С — 1/2п.
Подставляя это значение постоянной в (4), получаем:
На = о " г/- —а (1 — COS 0) .
u 2nR sin 0 ' '
Замечая, что R sinO = г, можно последнее соотношение за-
писать в виде
^=2F/1-cos6).
108
В воздухе напряженность магнитного поля легко определяется
по закону полного тока
Н^=1/2иг.'
Нетрудно видеть, что на границе, т. е. при 0 — зт/2:
На —I/2кг — Н &
и удовлетворяются уравнения поля и граничные условия.
3-21. Для определения плотности тока в земле можно поль-
зоваться методом зеркальных изображений: влияние границы
« раздела сред (поверхности земли) заменяем током Г = I фиктив-
на л ожения, опре-
ного электрода (рис. 3-21Р). Применяя принцип
делим магнитное поле i в зей'ле. Поле истин-
ного тока, как найдено в задаче 3-20, с заме-
ной 2л на 4 л (так как теперь заземлитель
сферический)
^=^=4^(1-cos 6;).
Поле изображения тока
Нал — — (1 — cos 62).
Общее магнитное поле в земле
(2 — cos Gj — cos 62).
Магнитное поле в воздухе по-прежнему
Н'— 11^ — 1/2кг,
и должно
На границе, т. е. при 62 — л — 0Х, получаем, как
быть, На = 7/2лг = Н'а.
3-23. Поле находим, интегрируя уравнение закона полного тока
в дифференциальной форме rot Н = J., которое в^условпях задачи
перепишем в виде
1 д J
J = rotz н т= — J (гНа) = , ? 7
z z г dr4 г/а +1
Интегрируя это уравнение., получаем:
гЯа = a Jo [г — a In (г+а) С].
Постоянная С определяется из условия [Н = На — 0 при г = 0:
1
0 = — In аС = 1п .
аЬ
Тогда
Н=Яо=а/0[1-у1п(^-+1)].
3-24. Плотность тока
J — J&— ри — р2лгп.
109
Напряженность магнитного поля внутри цилиндра находим,
применяя закон полного тока в дифференциальной форме. Так как
иоле не зависит от координаты z (цилиндр длинный), то
rotaH = — dHz/dr
и
— dHz/dr = 2лгтгр.
Интегрируя, находим:
Hz = — л/грг2 + С.
Постоянную интегрирования легко определить из условия,,
что прп г = г0 должно быть Hz = 0 п С = nnprg.
Прп этом магнитная индукция внутри цилиндра
В = Bz — ролпр (г5 — ф.
3-25. Внутри оболочки (7? < а) (рис. 3-9) токи отсутствуют и,
следовательно, rot Нх = 0, т. е. магнитное поле потенциально.
Напряженность поля представляем в виде Нх = — grad срх, где
ф — скалярный потенциал магнитного поля.
Аналогично прп R > а, т. е. вне оболочки, Н2 = — grad ср2.
Решение задачи ищем в виде
= + cos 6;
<p2=(c,3R+^) cose.
Постоянные найдем’ из условий: 1) в центре оболочки (R = 0),
2) в бесконечности (R = оо) и 3) на поверхности оболочки (R = а).
1) Так как напряженность поля не может быть бесконечно
большой, то С2 — 0.
2) Так как в бесконечности поле отсутствует, то Cs = 0.
3) Из граничного условия В1п == В2п, т. е. HiR = H2R (так как
Pi = Ц2 = 1), пли dq-JdR = dcp2/dT? прп R — а, получаем Сх =
= — 2С4/а3. Из граничного условия H2t— Hlt = Jn0B, где /пов =
= dlladft — nqR!2a~ = nq sin Q/2a— поверхностная плотность тока,
плп — dq2/Rd® + d(p1/7^d0=JriOB прп 7? = а, получаем-}- С4/а3—С'1=
= nq/2a. Из двух уравнений для Сх и С4 находим: С1— — nq/За;
С^+’^а*.
Потенциалы
nq D п nq
ф = _ r cos б = — ~ z;
За За
• nq «2
<p2 = +-g jocose.
По известным потенциалам легко находится напряженность
поля
= Hlz = — dqjdz = nq/За;
тт d(p2 , nq a2
H2R 0Д h з“ ДЗ cos e;
rr dcp2 , nq a2 . л
~ Rift— + fl3sm0’
110
Это решение определяет поле внутри п вне оболочки в любой
точке, а не только на оси. Нетрудно видеть, что на оси решения
задач 3-9 и 3-25 совпадают.
3-26. Применим принцип наложения следующим образом.
Будем считать, что поле создано Двумя токами: 1) током плотностью
/; протекающим по сплошному цилиндру радиусом а, и 2) током
плотностью — /, протекающим по цилиндру радиусом г0 (по от-
верстию). Нетрудно видеть, что истинное поле равно сумме полей,
созданных каждым из указанных токов. Кроме того, каждое из
рассматриваемых полей симметрично относительно своей оси.
Сначала определим поле первого тока. Для этого решим урав-
нение Пуассона для векторного потенциала V2 А — — p0J.
Так как. плотность тока имеет только составляющую Jz — J,
то и А = Az. В сил^ симметрии поле не зависит от координаты сс
и не зависит от координаты z (краевой эффект не учитывается).
Поэтому уравнение Пуассона принимает вид:
г dr
— 1V-
Интегрируя это уравненпе, получаем выражение для 'вектор-
ного потенциала внутри цилиндра
Aj — — [IqJГ2 + Cl In Г -|- С2.
Вне цилиндра J = 0 и
Ае = С31п^
04-
Постоянные легко определить из условий на оси и на поверх-
ности цилиндра. Так как напряженность поля на оси цилиндра
конечна, то С± = 0.
т-r п л л /ту ту ч 1 dAP
При г = а: 1) A^Ae(Bin = B2n) и 2) — -^ = ——^
Эти условия приводят к уравнениям для определения посто-
янных: 1) — ц0/а2/4 + С2 = С31п (а/С^ и 2) — ц07а/2 = С3/а.
1 1 / а2 \
Отсюда С3 = —уцо^2; О2== --4-р0/«2 (1 —In L
Таким образом, векторный потенциал внутри и вне цилиндра
определяется выражениями:
Ci
,.2\
Ае = J Po^«2ln
при г^а.
Постоянную можно оставить неопределенной. Она легко
определится, как только будет'выбрана точка, где А = 0.
Ш
Поле второго тока определяется аналогичными выражениями.
Их легко получить из предыдущих, если заменить а на г0, г на г±;
С± на Съ и J на — /:
1 / г2 г2\
ai=—-^ ^oJrl (.1 -In при >1 < ГО;
«е = — 4 ИоJroln 7I ПРИ Г1 > го-
Истинное поле определяется наложением полей первого и
второго токов.
- 1) Точки внутри отверстия (гх г0) являются внутренними и
для первого и для второго цилиндра; поэтому
Выберем точкой нулевого векторного потенциала центр от-
верстия (гх = 0 и г — d); тогда
/7 2 ^2
0 = e2-d2-rS-a2 1n^ + r2ln^
И
A=4f'l“J((/2+',!~r2)-
2) Точки в проводнике (гх г0; г а) являются внутренними
для первого. цилиндра и внешними для второго цилиндра; поэтому
А2 = Ai + ас = МоJ Гт* (in £ +1 )+d2 - г2 1.
L \ '6 / J
3) Точки вне- проводника (г R) являются внешними и для
большого и для малого цилиндра, поэтому
1 / а2 г2 \
As = Ae + ae = -r-p.0J аз In-5-7-2 In ^+rl+d2_a2 .
Уравнения линий магнитной* индукции плоскопараллельного
поля А = const легко определяются при известной функции век-
торного потенциала.
1) Внутри отверстия (гх г0) это уравнение приводит к вы-
ражению:
' d2 + rl — г2 = С.
Имея в виду, что
г2 — rf = (х2 + у2) — [(х — d)2 + у2] = -\-2dx — d2,
получаем:
2d3 — 2dx — С пли х ~]d — CI2d.
Таким образом, линии магнитной индукции в отверстии — пря-
мые, параллельные осп у.
2) В проводе г0; г а):
г2 (1п^ + 1Н^2-г2 = С.
\ / z
112
3) Вне провода (г а):
а2 Ь 72—го Ь -5+И> + <&—а2=С.
r ri /
В обоих последних выражениях г2 = ж2 + у2 -и г| =• (х — d)2 +
+ у2-
Если требуется определить уравнение линии магнитной ин-
дукции, проходящей через заданную точку М с координатами г =
= г' и г± = г[, то следует определить значение постоянной С, со-
ответствующей этой точке, и подставить его в уравнение линии. При
этом уравнения линий индукции примут следующий вид:
Т»2 — (г/)2 Г2
1) х=х0 при risSr0; 2) -при г^Го^г^,
г^а^г'- 3) i In In ^Vj2. при
Все линии индукции, проходящие внутри отверстия, входят в
провод. Уравнение линии в проводе, проходящей через точку ж0
(в отверстии):
1 г\ г2 —г2-\-d2—-2dx0
In — — .
ro ro
Часть линий из провода вы-
ходит в окружающее простран-
ство. Точка а расположена в про-
воде (г' = 0; r[ = d).
Уравнение линии индукции,
проходящей через эту точку:
/•2
Т-2/,.2 = 1П . Для точки б (г' =
= d — г0; г\ = г0) уравнение ли-
нии индукции
- r2-(<Z-r0)2^In г?
го
или г2 . , , г2
- = l + ln-i.
го го
ния
r'i =
г2 —
Точка в находится в отверстии (х — а); соответствующая ли-
индукции пересекается с поверхностью отверстия в точке:
= г0 и (г')2 — cP + г%. Уравнение этой линии в проводнике
d2 — г2 , г2 г2 к , г2
------5=ln -1 или -зг=5+1п—*.
'о Ч) '() , Ч)
Для точки г (rf = d + r0; ri = 7o) уравнение линии индукции
Г2 - (d + 7’о)2 , г2
-----—— — In ~ или
гб
г-
'о
г2
9 +
о го
Для точки д (г' — а\ г\ — а — d) уравнение линии индукции
(она проходит вне провода)
/7 2 г2 7*2 7*2
— In—7 = 1п ----4^2* пли 161п—g- = in
г2 a2 (a — d)2 а2 а2
По этим уравнениям липин индукции построены на рис. 3-26Р.
113
Вектор магнитной индукции легко определить по известной
функции векторного потенциала:
В = rot А.
Так как векторный потенциал имеет только одну составляющую
А = Az, то Вх = дА/ду и Ву — —дА{д&. Внутри отверстия
Л = (rf2 + &—2dx),
так как г2 — rf = 2dx — d2, и
i
&iy — ~2
В проводе
Л2=1Ио/ In fc-^ + У2 +rg + <Z2_^_y2]
п
Bzx = Т Ио/ [Г“ (x-d)2 + ?/2 ~ У ] = 2" y°Jy [ (аг — й)2 + г/2 —1 ];
D 1 т Г 9 x — d 1
Biy - -2 Н(/ [г5 (х_ d)2 + у2 Х ] •
Вне провода
А-1 [- «.in qi+>5 in(»-^+^+r,+J,-a,-|
L U rQ J
И
Взх = ~2 НО-Л/ ['’о (ж_ й)2 + 2/2 “ “2 ж2 + 2/2 ] I
Взу = ~2 y«J [®2 ®2+2/2 — 'о (а: —^24.^2] •
3-28. Выражение векторного потенциала для одного цилиндри-
ческого провода с током плотностью J = Jz было получено в за-
даче 3-26:
1 Г я2
A’i = ~^ H0Ja211 — In — JI прп rt а;
1 С2
Ае = J |W°2 In прп rt а,
где Г! — расстояние от оси этого провода до точки наблюдения М.
Для тока второго провода
1 / cfi 7*2\
=— Цо^2(1—hl ДРИ
/1'' = — ii0Jrt2 In прп r2 a,
где r2 — расстояние от оси второго провода до той же точки наблю-
дения.
114
Вне проводов
Л = Л + Л' = |мо^31п'13.
За точку нулевого векторного потенциала примем начало коор-
динат (гх = г2). Тогда C3JCI = 1 и Ае — p0Ja3 In — при
Z гх
1—ц
а2
Внутри первого провода:
A1 = A[+A’' = ~lx()ja^
гх а и 2d — а г2 2d + ft.
Внутри второго провода:
1 / / -
-1+-I
Ц
а2
Уравнения линий магнитной индукции вне проводов определя-
ются из уравнения Ае — const, т. е. г2/гг — К*
Нетрудно видеть, что это уравнение совпадает с уравнением
для семейства эквппотенциалей электрического поля двух заряжен-
ных осей, совпадающих с осями рассматриваемых проводов. Таким
образом, линии магнитного поля вне проводов двухпроводной ли-
у нии совпадают с эквипотенциалями электрического поля той же
линии, если можно считать, что эквивалентные электрические оси
совпадают с осями проводов.
Уравнение линий магнит-
ной индукции внутри пер-
вого провода определяется из
уравнения Ах = const, т. е.
1— ~ + 1п = Если зада-
ft2 ft2
на точка координатами гх = г[
и г2 = г'2, через которую
должна пройти искомая ли-
ния, то это уравнение примет
вид:
'’I—'’ 1
—In
а2 г'2
Линии магнитной индук-
ции построены на рис. 3-28Р.
Магнитный поток на еди-
ницу длины лиции, пронизы-
вающий контур, продольные стороны которого проходят через
точки б и в\ Фбв = А в — Ав, что следует из уравнения Ф = $А d\.
Максимальный поток будет в том случает, когда стороны контура б
и в лежат на оси х симметрично началу координат внутри проводов
Срис. 3-28Р). При этом
а2
2Я L
где учтено, что на оси х имеем = (г2 — 2d)2.
115
Максимальное значение потока определяется пз условия
d&6e/dr2 = 0 пли г% — 2dr2 — а2 = 0, откуда r2 = d + Vd2 + а2-
В этой точке (б) максимальное значение имеет векторный потен-
циал, а магнитная индукция равна нулю. Таким' образом, макси-
мальный магнитный поток
Ио/Г Vd^-d Уа^+dl
©макс - — И —Г Ш .
При указанных в условии параметрах
Фмакс = ~~ •
л
3-29. Пользуясь решением задачи 3-28, получаем для магнит-
ного поля вне проводов:
и
1
Ае — -^ ц07а21в
(x + d)2 + y2
(х— d)2-\-y2
В 1 Ц,Уд2 - У________________У I.
ех ду ~ 2 W [(^ + ^24.^ (X__d)2 + y2 J,
д ___ дАе_____ 1 г 2 Г х — & x-\-d И
[(x-d)2+y* ~~ (*+^)2+зл1
Внутри первого провода:
В1Х = у fx°Jfl2 [ (х + й)2+2/2 “ а2] ’
Р _ 1 т 2 \х~d x+d 1
1г/- 2 [ й2 (x + d)2 + yz J-
В частности, при у — О
В. - в.’у- } Л ,'. ‘ И.Л. .
3-35. В цилиндрической системе координат с ось!о z, совпадаю-
щей с осью катушки, отсутствует зависимость поля от координаты
z, так как катушка бесконечно длинная. Кроме того, поле симметрич-
но относительно осп катушки, т. е. не зависит от координаты а.
При этих условиях векторный потенциал удовлетворяет уравнению
Пуассона
d [ 1 d t ’I т
где J = Ja и А = Аа.
116
Решение этого уравнения запишем отдельно для каждой из
областей:
1) при г т\ задано J\ = 0 и А± = СА г/2 + С5/г;
7*2
2) при т\ г г2 задано J2 == J — const и А2 = —р0^ '
4" С2т/2 -р С31г\
3) при г2 г задано-J3 = 0 и А3 = С^г/2 + С6/г.
Вектор магнитной индукции В = rot А имеет только одну со-
1 d
ставляюшую BZ = B — —-^ (гА), т. е. 1) Вг = Сх; 2) В2 = —p0Jr4-
4" ^2> 3) #3 £4-
Постоянные находятся из условий равенства векторных потен-
циалов и напряженностей магнитного поля при г = гх и г — г21
а также из условия, что вне катушки поле отсутствует, а на оси —
конечно:
С1 = (.ю-/(г2-'-1); Са=ц07гг; С3=_^гЗ;
С4=А = 0; Ce = ^-(rl-rl).
При этом
Л=^(г2— Г1) r', Br = \l0J (г2 — Г^-,
&
/ Г2 1 7’? \ .
А = + у В2 = p0J (r2-r);
A=Ey(^-rI))4; я3=о.
Если плотность тока J — KJr\ то изменится решение в об-
ласти гх =< г г2:
^2 = Ро^ + ^2 J + у .
Вид решения внутри и вне катушки останется прежний. По-
стоянные определяются из тех же условий, что и выше. Окончатель-
ное решение в этом случае:
„/1 1 \ г /1 1 \
А - р; r J у; В1 ~ ^°К ~ 7J •
А=Но^(1—2^— 2^; В2 = Р-оК^у ——у,
(г2-п4; А=о.
3-37. По теореме о потокосцеплении
V = HjMtZF.
Здесь интегрирование проводится по объему У, занятому намягни-
ченным телом с намагниченностью М, a //j — напряженность поля
117
в элементах dV в случае, если по катушке протекает ток / п намаг-
ниченное тело удалено.
По условию HjM = IIjM = const. При этом
Y = И? HjM У = ц0 (kw0) MV.
3-38. Так как в рассматриваемом объеме отсутствуют токи, то
rot Н = 0 и магнитное по/Ге потенциально. Вводя функцию скаляр-
ного магнитного потенциала (—grad <р = И) и применяя цилиндри-
ческие координаты, решение уравнения Лапласа для ср можно
представить в виде (выбирая ср = О при г = 0):
t С \
1) (pj == (С\г -]- . cos ос при г г±\
(С \ ***
С3г+-у 1 cos ос при
/ Сг\
3) (р3 = ( С5г + -у \ cos ос при г г2.
Так как при г — 0 поле должно оставаться конечным, то С2 ~ 0.
Труба заметно искажает внешнее однородное поле в точках,
находящихся вблизи трубы. Вдали от трубы (г оо) ее искажаю-
щее действие будет незаметно и поле останется однородным, т. е.
Н = Нх — Но 11 Фз — — HQx — —Hor cos а. Отсюда следует, что
С» = -я0.
Остальные четыре постоянные определятся из граничных ус-
ловий при а) т = и б) г = г2.
а) фх = ф2 и цх dqjdr = р2 dq2/dr;
^iri — и Сг — pi f С3 — С4 — V (1)
'1 ч\ '1/
б) аналогично С3г2+^ = — Я0г2-}-— и рх (С3 — С4 Д=
z*2 г2 \ Г2/
=(-яо-^)- (2)
Совместное решение четырех уравнений (1) и (2) дает:
<?i = 4pip; C4 = 2(pt —l)r‘fp; С3 = 2 (pi +1) р;
C6 = (pt2-1) (7i-7^)p,
ГДе Р + ’
Таким образом, скалярные магнитные потенциалы определены:
(рх = 4ppr cos ос = 4pipa?;
ф2 = 2р j(pi+l) г+(Ц — 1) ?7/|cos<x'’
Фз “ [ — ^о7' + (Н2 ~ 1) Р ? ? ~ jcos а-
Теперь легко определить напряженность магнитного поля в
каждой области.
118
1) Внутри трубы
Hi = Hlx = — д^/дх = — 4цр,
т. е. внутри трубы поле однородно (при однородном внешнем поле
Я°)- т.
2) В стенке трубы
Н2Г — — дф2/дг = — 2р [(р, +1) — (р, — 1) r-Jr2\ cos а;
H2a — — dtyjr да = 2р [(ц + 1) + (ц— 1) rf/r2] sin а.
3) Вне трубы
Я3г = — ду3!дг = | Но + (р2 — 1) р ?1 j cos а;
Н3а = — dq>3/rda = |^— Но + (р2 — 1) р sin а.
Коэффициент экранирования
__Hi __ — 4цр _ 4цгВ
“ Во ~ Но ~ “ >1 Ol+l)2-'! (И —1)2 •
Если р, > 1, то
Zf = 4rXri-r|).
3-40. Задачу можно решить методом изображений. Магнитное
поле внутри цилиндра представим как поле истинного тока I и фик-
тивного тока Zx, расположенного на расстоянии а от осп цилиндра
(рис. 3-40Р, а). При этом магнитная проницаемость во всем простран-
стве такая же, как и внутри цилиндра (цх). Фиктивный ток /х дол-
жен создать внутри цилиндра такое же магнитное поле, как и свя-
занные поверхностные токи на границе раздела рассматриваемых
сред.
Поле вне цилиндра представим как поле двух фиктивных то-
ков — одного Z2, расположенного там же, где и истинный ток
(рис. 3-40Р, б), другого Z3, расположенного на оси цилиндра. При
этом магнитная проницаемость во всем пространстве такая же, как
и вне цилиндра (р2). Суммарное действие токов /2 в /3 вне цилиндра
должно быть таким же, как суммарное действие истинного тока I
и связанных поверхностных токов на границе раздела.
1W
Величины токов 13 и 12 и расстояние а нужно выбрать, чтобы
были удовлетворены граничные условия. Векторный потенциал
магнитного поля в точке М внутри цилиндра (см. решение задачи
3-26)
А = - (I 1П + Л In Г2) +<?!. (1),
Вне цилиндра
A = -i^(/3lnr+Z2lnr1) + <72. (2)
Естественно, что векторный потенциал имеет только осевую состав-
ляющую (Л = Лz), так как поле плоскопараллельное.
На границе при г = г0
а) А1=-А2 и б) —-----=---------
ЦоЦ1 дг ц0ц2 дг
Первое условие соответствует равенству нормальных составляю-
щих вектора магнитной- индукции, а второе — равенству танген-
циальных составляющих вектора напряженности магнитного поля.
Второе условие приводит к уравнению
т 1-LZ _1<^1
1 гг dr 1 r2 dr 3 r -r 2 r± dr
при r = r0.
(3)
Из рис. 3-40P следует, что
— r2 _j_ ^2 _ 2rb cos cc; r| = r2 + a2 — 2ra cos a.
Следовательно,
drt __r — b cos a dr2 __ r — a cos a
dr rr ’ dr . r2
При этом уравнение (3) при г — г0 приводится к виду
(Z-Z2) Го-Ьсоза+/1 а cos a±=() (4)
Г1 Г2 Г0
Кроме того, можно сразу установить, что
/2 + Л = /. (5)
Это соотношение следует непосредственно пз закона полного
тока для контура, охватывающего цилиндр на рис. 3-40 и 3-40Р, б.
Подставляя (5) в (4), получаем:
<2=^-0. (в)
\ Г1 /о/ Г2
Это уравнение после замены гг и г2 приводится к виду
2rQab (Z3 — /х) cos2 а[/г (2r^b + r%a + ab2) —
Ъ2
—13 (2аЬ2 + Ъг2 — a2b)] cos а + /3 — (г* + а2) — 1^ (г2 + Ь2) = 0. (7)
"о
120
Так как равенство (7) должно удовлетворяться при любых а,
то должны быть равны коэффициенты при каждой степени coscc.
Следовательно,
(8)
Л (2rgb + r^a + ab?) — 73 (2а&2 + Ъг* — а2Ь) == 0; (9)
№
h ~ ('о2 + *2) - М) (?о + = 0. (10)
го
Из (10) и (8) получим:
а = гЦЪ. (И)
Уравнение (9) удовлетворяется при (8) и (11) и дает [тот же ре-
зультат, что и (5).
Условие а теперь можно записать в виде
— jV In In r2+—H i = — ц2/з In r0 — 1V2 ^п
ь Ho Ho
или с учетом (5), (8), (11) и равенства
Г2/Г| = 62/Г2 ПрИ Г==Г() (12)
условие а записывается следующим образом:
[(Н2 —Hi) J~ (Н2 + Н1) 7з] 1пгх +
+ (Н2 — Hi) 7з In г0 + Ц]73 In 6 = С2 - -1 2л. (13)
Но
Так как это соотношение не должно зависеть от гх, то
Ц = 1 (Н2 — Н1)/(Н? + Н1)- (14)
Приняв на оси цилиндра (гх = д, г2 = а) векторный потенциал
равным нулю, найдем постоянную
С / 1п ъ +Н2-И1. ]п .
2л \ Н2+Н1 /
Постоянная С2 определяется из (13)
^№.2L|7 ! + Е1\ ln L + ('И? +1 1п Го1
Н1+Н2 2л |_\ ц2/ го \Н1 / > J
В результате
л ИоН1Н2 /Г/ i + Ei\inA + ( l-fe'jln — 1; (15)
Н1+Н22зХ1\ Н2/ Г1 \ Н2/ r2 J
А2 - _L Г fEg _ 1 \ in '«- + 21П ^ + (И1+1)1ПА1. (16)
Ц1 + И22я[\Н / г Г1 \ц2 ) г0|
3-42. Уравнения линий вектора магнитной индукции внутри
цилиндра определяются уравнением = const пли в соответствип
с выражением (15) из решения задачи 3-40
(Ц2 + Н1)1п~ + (1-12~ |-11)1п~=£1. (1)
Г1 Г2
121
Если линия должна проходить через точку т\ = гх; г2 = г«, то по-
стоянная К± определится выражением
(ц2 + Н1) In-7- + (|х2 — Hi) 1П
' 1 Г2
После подстановки значения К± в уравнение (1) получаем уравне-
ние линии магнитной индукции внутри цилиндра
hlZj = EdLEiln а. (2)
'г !-Ч> — Pi
Уравнение линий вектора магнитной индукции вне цилиндра
определяется уравнением А2 = const пли с учетом выражения (16)
из решения задачи (3-40):
1п-? + 21п ^ = К2.
\R 1 r '•i
Уравнение линии вектора магнитной индукции вне цилиндра,
проходящей через точку г = г'; гх =
lnLi = fcEiln.^ (3)
2цх г k 7
Для заданного отношения цх/ц2 =1/2 уравнения (2) й (3) примут
вид:
На рис. 3-42Р изображены линии вектора магнитной индукции,
проходящие через заданные точки.
3-44. Задачу можно решить ана-
логично тому, как была решена за-
дача 3-40, вводя фиктивные токи Zx,
Рис. 3-44М.
Рис. 3-42Р.
12 и Л (рис. 3-44М, а, б). Величины токов Zx, Z2, Z3 и расстояние Ъ
определяются из граничных условий.
122
3-47. а) Для решения этой задачи используем результаты ре-
шения задачи 3-44. Векторный потенциал магнитного поля *
линдра обусловлен действием
истинных токов I и фиктив-
ных токов Z2 (рис. 3-47Р). Фик-
тивные токи Z3 (рис. 3-44М)
в настоящей задаче друг друга
компенсируют. Поэтому (ср.
рис. 3-47Р и 3-44М, б)
и 1 \ П
А = РоР2 2^ 'vln у2 +
, PiZLteln — V
M1 + M2 г1)
На поверхности правого
провода г4 ~ 2а; г2 = р0;
г2=:а-\-Ь=а-\- rg/a; i\ = а — Ъ = а — г21а (так как Ъ = г%/а —
см. решение задачи 3-40) и векторный потенциал
А -ни —fin 2а I Pi-Pajn а2 + '~оЛ
<^л \ pg Mi т М2 ^о/
[вне ци-
На поверхности левого провода
А 2- — А 2+.
Поток на единицу длины линпп
Фо — ^2+ — ^2 — 2Л2+.
Индуктивность на единицу длины линии
£ Фо _ Pofe А 2а
I Я \ р0 М1 + М2 о2 —
б) При отсутствии цилиндра (цх = ц2):
И
МЧ 1п 2а
я р0
дг г г'_М0М2 Mi М2
АЬ0 = Ь0 —Ьо ——1П
Л Ml “Г М2
а?-г2
Если р,х ц2, то
и
Л \ Ро ' a2 — г2)
Д£о=« 1П
л а2 —
3-48. а) Расчет векторного потенциала выполним аналогично
решению задачи 3-40. Векторный потенциал магнитного поля внутри
123
цилиндра обусловлен действием истинных токов I и фиктивных
1г (рис. 3-48Р). Аналогично выражению (15) в решении задачи 3-40
л р2№._£_Г/' 1+еЛ /inA-in
Pi + p22nL\ ' р2/\
7’2 =' а — Ъ =
На поверхности
как
= г^/Ъ — b (так
правого провода j\ р0,
решение задачи 3-40),
М
Pl
Zb
za
а = ryb — см.
г3 = 2Ь, ?’4 = а + Ъ = г$/Ъ + Ъ и
л Р0Р1Р2. П/ 1 + Р1\ ь 26 +
Ц1+р.22л[\ р.2/ Ро
4- (d>+fe2|
Ч Р2/ >1-б2Г
На поверхности левого про-
вода
Рис. 3-48Р. линии
Ai_-----Л1+.
Поток на единицу длины
Фо — ^1+ — А1- — 2Л1+.
Индуктивность на единицу длины линии
£ =Фо Р0Р1Р2 1
° 1 Pi + Р2 «
1 + Е1\ ]П—+
Р-2/ РО
\ Рг/ '"о — 62]
б) При рх = р2 получаем: Lo = In —.
эт Ро
3-49. Определим вначале мощность, выделяющуюся в цилинд-
рическом слое высотой h, радиусом г и толщиной dr.
Магнитный поток в слое
dib — hB dr — h\LQ\kH dr,
где Н — Iwl2nr,
Напряжение
току,
ц=ц' —7Ц".
на зажимах обмотки, соответствующее этому по-
7тт . ~ Jw 7 у
dU — ](Siw с?Ф = jawц0 ц 2~ h dr.
Комплексная мощность
dS = idU = a^№ (^' + 7^') dV^= So dV,
где So = Pq + ]Q0 — мощность, приходящаяся на единицу объема;
dV — объем слоя.
Удельная активная и реактивная мощности
Ро = соцоц,,7^2; Qo = copop'^2-
Эти выражения для удельных мощностей не зависят от формы
сердечника.
124
Для рассматриваемого сердечника
U = \ C?t/=/Cl)lP2Ll0U А1п —,
J 2л т\ ’
откуда
i = 2л£7/j(j)w2[L0[kh In — и Н = | Н | =--------—--------—
Г1 CD[lolV[lk In ~ Г
где р. = | и I-
Удельная активная мощность
y"U2 • 1 _J),38
® \2 ?*2 >«2
coiP2|iop,2A2 (in -yj
, Вт/см3,
где г — в сантиметрах.
3-50. Применяя метод изображения для определения поля в
среде, где расположен провод с током, находим фиктивный ток
= = Z-0°6,8'.
ц + 1
Магнитное поле на оси провода, обусловленное фиктивным
током /17П,
Atm = P'O^i т ~ Но •
Мгновенное значение индукции
в1 = /т. О,98цо sin (1 000* — 0° 6,8').
Мгновенное значение силы, действующей на провод,
/ == В±И = 0,98 «104 (1 — cos 2 000г) Н = 1 000 (1 — cos 2 000г) кгс.
3-54. Применяя известное решение для шара в однородном
поле к скалярному магнитному потенциалу в комплексной форме,
получаем для поля вне шара
откуда i2=-н0(r-А-Л2 cosе, \ Н1 + 2Ц2Л2Л Н2К=Но(1 + 2^3~Ъ cos6; я25=- н01 i-iizLb_Hsine \ Ц1+2И27?зу
а — Игноре.
125
Для рассматриваемой точки (R = Яп; 0 = 45°):
H2R = Но ~ 3gl~—U = 0,15 L 36° 50' А/см;
М1 + 2р2 Iх 2
Й..„ = —Йо ' 3|\ --U= — 0,69 Z — 3° 46' А/см.
26 °И1 + 2И2|/2
Мгновенные значения
H2R = 0,212 sin (со£ + 36° 50'), А/см;
= — 0,975 sin (со£ — 3° 46'), А/см;
В22? == р0.0,975 sin (coi — 3° 46'), Вб/см2;
В2В = ~ Но • sin № — 44° 22'), Вб/см2,
где р0 = 4л-10-9 Г/см.
При соответствующем выборе масштабов геометрическое место
для обоих векторов одно и то же (рис. 3-54Р, где указаны в граду-
сах значения Ш).
Рис. 3-54Р.
3-58. Силу, с которой магнитное поле действует на поверхность
трубы, определим из выражения Fr, == dW/dy\, где т) — обобщенная
координата, — составляющая силы по этой координате. Приме-
ним это выражение к силе, действующей на элемент поверхности,
dS = zrGda. Так как ток сосредоточен на поверхности трубы, то
магнитное поле отлично от нуля лишь вне трубы.
Если элемент поверхности под воздействием силы перемещается
на dr, то приращение энергии магнитного поля
dW=— Wo dV = — BHdS dr,
и сила, действующая на элемент поверхности dS,
dFr = dW/dr = — BHdS .
ал
Давление
dF>' 1 РП 1 Е7-2 1 [ 1 \2
Р dS 2 Вн 2 ИоН 2 '
Знак минус указывает на то, что сила стремится уменьшить радиус,
т. е. сжимает трубу. Подставляя числовые данные, получаем:
р = 407 -= 41,5 кгс/см2.
126
3-59. Таким путем силу определять нельзя. Это можно объяс-
нить следующим образом. Хотя практически ток протекает по по-
верхности трубы, толщина слоя тока не равна нулю. Если на внеш-
х ней поверхности токового слоя индукция равна указанному в усло-
вии значению В = ц0//2лг0, то на внутренней поверхности токового
слоя она равна нулю. Следовательно, не все элементы тока нахо-
дятся в одном и том же магнитном поле. Указанное значение индук-
ций является максимальным. Можно взять среднее значение ин-
дукции — максимальной и минимальной (равной нулю). При этом
получатся правильные значения силы и давления, найденные в пре-
дыдущей задаче. Интересно обратить внимание на то, что решение
не зависит от распределения плотности тока по толщине токового
слоя А, если она достаточно мала.
Действительно, сила, действующая на элемент тока,
d2F = BJdV = BJdS dr.
В качестве dS принимаем элемент цилиндрической поверхности
dS = Irda. Далее,
Т J тт 1 d , тг ч Н . dH
z z г dr х г • dr
Сила, действующая на элемент dS, равна:
Го •
dF=^lda -^(гЯ)й(гЯ)=У^[г0.Щ + (Я2)срД].
Го —А
Здесь применена теорема о среднем, и учтено, что на глубине, боль-
р. шей А, вектор Н = 0.
Если толщина токового слоя А -> 0, то
dF=ГоЩ = А ИоЯ* dS.
Давление
„ /Г }ЛО / у
р dS- ' 2. ° 2 \2лг0/
3-63. Обозначим индукцию в зазоре слева от проводника Вл, а
справа — Вп. Так как магнитная проницаемость стали много боль-
ше проницаемости воздуха, то в соответствии с законом полного
тока можно считать, что
(Вл — Вп) 6 — ,
где б — зазор между статором и ротором.
Пусть при отсутствии тока в якоре индукция в зазоре Во,
тогда В л + Вп = 2В0. Энергия магнитного поля в зазоре (в единице
объема) слева от проводника WOjI = В-л/2ц0, справа И/Оп= В£/2р0.
Приращение энергии АТЕ прп повороте якоря по часовой стрелке
на угол Аа
D /1
2Z6 Q Аа == ~ BQ
Л \ о
16D Аа = IBolDAa.
Изменением энергии в стали при повороте якоря на угол Аа можно
пренебречь, так как ц 1.
127
Вращающий момент, действующий на ротор, равен:
М = = Н-м=0,51 кгс-м.
Силу, действующую на провод в пазу, можно оценить, исходя
из следующих соображений. Если паз глубокий, то можно считать,
что напряженность магнитного поля в нем приблизительно равна
напряженности поля в. стали, а индукция в ц раз меньше, чем в
стали. Следовательно, сила, действующая на провод в пазу,
F=?oil=о,05 Н = 0,0051 кгс,
Р-
а момент этой силы
M0 = Fd = 1^-d=M = 8-10-? Н-м.
ц D ц
Таким образом, момент, действующий на провода в пазу, примерно
в р, раз меньше момента, действующего на ротор.
Методические указания и решения к гл, 4
4-2. На линии, соединяющей оси проводов (ось х}, составляю-
щие векторов как £, так и Я, обусловленные каждым проводом
в отдельности, или совпадают по направлению, или направлены
противоположно.
На основании теоремы Гаусса вне проводов получаем для век-
тора £, имеющего на оси х только составляющую Ех:
Е /1___________
х 21ле0 \ х х — dj ’
где т = UCOl a CQ = — емкость линии на единицу длины, г0 —
радиус провода.
По закону полного тока вне проводов
I / 1 1 \
Н = Ну = Аг —------Ц •
у 2п\х х — d)
Вектор Пойнтинга вне проводов на оси х
П-П -F И UI
Внутри проводов П = 0, так как Е — 0.
4-4. Напряжение между проводами С7М в сечении, где нахо-
дится точка М, меньше напряжения U в начале линпп из-за паде-
ния напряжения в проводах:
UM = U — IR,
где R — 21/g S — сопротивление проводов линии, I — 10 м.
Вектор Пойнтинга в точке М имеет две составляющие. Одна
составляющая, определяющая плотность потока мощности, пере-
128
даваемого вдоль линии, находится по формуле, полученной в ре-
шении задачи 4-2 после замены U на Z7M и х на радиус провода г0:
Йг -г ЕхНу
_ ЦМ1 1
/ 1 / d\ r%(d — rQ)2 / d \
4л In — 04 4л In — 0
\ го/ \ го/
(рис. 4-4Р).
Вторая составляющая определяет плотность потока мощности,
идущей на потери в самом проводе. Она определяется тангенциаль-
ной составляющей вектора Е на поверхности провода, которая, как
следует из граничного условия для на-
тинуа направлена по радиусу внутрь
провода Рис, 4-4Р.
Ilr^EzHy = Iz/2n*OJ*.
В диэлектрике коаксиального кабеля без потерь вектор Е
имеет только радиальную составляющую
• ' г
г In —
Г1
(см. задачу 1-13), а вектор ti — азимутальную:
112кг.
Вектор Пойнтинга в диэлектрике имеет только продольную
составляющую
п=п2=ягяа=--------.
2лг2 In —
Г1
В жиле и оболочке вектор Пойнтинга равен нулю, так как Е = 0.
Мощность, передаваемая внутри цилиндрической поверхности
радиуса г (г± < г < г$),
Р= ? П dS — ( --—---2nr dr =—In —.
r, 2№ In — * In (—) Г*
1 Г1 \ rj
4-9. При включении цепи пойдет, ток
i=z (1—е—
где I = U/г — ток установившегося режима; т = L/r — постоян-
ная времени цепи; L = рщ01Р25/2Ср — индуктивность обмотки, на-
несенной на тороид.
б Колли Я. н. и др.
129
Рассматривая, тороид как бесконечно длинный цилиндр, вы-
м систему координат так, чтобы ось z совпадала с направлением
вектора индукции В (рис. 4-9Р), т. е.
В = Вг. По закону электромагнитной
индукции
ф Е tZl = — d(&/dt,
выбирая в качестве контура интегри-
рования окружность радиуса г0, полу-
чаем:
Е2лг0 = — S dB{dt,
где Е = Еа.
Вектор Пойнтинга в любой точке
на поверхности тороида имеет только
составляющую, направленную по радиусу г:
П = П?. = ЕаЯ2 = /ГЯ,
где по закону полного тока
Тогда С₽ СР
В = f.ip.0 (1 — е~t/x) = В0 (1 — е~г/х);
*ср
dt т ’
Е = -^-^е~^х;
2 Л7*0 Т
П=— e-t/T (1
2лг0 ^срт
Знак «—» показывает, что мощность во время переходного процесса
поступает внутрь тороида.
Поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность тороида
j П dSQ — П2лг0£Ср —
= _ е-</т d _е-«л)=_ к2 e-t/r
Энергия, запасенная в магнитном поле тороида, за время пере-
ходного процесса
оо
Р с Г 72
W= \ dt \ ndS6=^-.
о
4-12. В решении задачи 4-2 получено выражение для вектора
Пойнтинга вдоль линии, соединяющей оси проводов. Подставив
вместо U и I мгновенные значения
u = £7wsinco^ и i = Zmsin(co£ — ф)
130
и взяв среднее значение произведения, получим:
/7 777 COS Q) d2
от / d \ x2 (a? — d)2
8л In — v 7
\ >’o/
4-15; Напряженность электрического поля определяется ’ век-
торным произведением Е — v X В. В системе координат, изобра-
женной на рис. 4-15Р,
Е — Ег = иаВ2 = ыгВ.
Электродвижущая сила
Рис. 4-15Р.
о
Поскольку со = 2nf = лп/30, то окон-
чательно
е — лтгД2В/60.
4-17. Задача может быть решена двумя
способами:
„ 1) сторонняя напряженность электрического поля в витке
Е — v X В, где v — скорость соленоида. Электродвижущая сила
определяется как интеграл от напряженности электрического поля
по всем виткам. При этом в правой части равенства получится по-
ток;
2) электродвижущая сила определяется как скорость измене-
ния потокосцепления. Потокосцепление изменяется из-за изменения
числа витков, сцепленных с магнитным потоком.
4-18. Электродвижущая сила, наводимая в контуре, определя-
ется по закону электромагнитной индукции:
dB dS\
S~d~t~ + B-di)-
d® d tv /
e =---- = — —-(BS)= — .
dt dtx \
В условиях данной задачи
В = Bq (1 — kt); S — a (I — vt); dB/dt — —BQk; dS/dt — —av2
где a = 600 мм; I = 50 мм, и
e = uBq (Ik + v — 2vkt).
Заметим, что часть э. д. с., обусловленная движением контура
(BdS/dt), может быть определена иным способом по напряженности
электрического поля, возникающей в проводнике, движущемся
в магнитном поле: aBQ (1 — kt)v.
4-19. Для решения задачи выберем цилиндрическую систему
координат с центром на оси провода. Вокруг провода с током об-
разуется магнитное поле, которое в трубе имеет значение В = Ва —
== ф0ц72лгСр, где гср — средний радиус тонкостенной трубы. При
Движении трубы со скоростью v — vz в магнитном поле Ва возникает
радиальная напряженность электрического поля Ест = vB, ко-
торую будем называть сторонней. В проводящей трубе под действием
электрического поля должен протекать ток плотностью J =
5* 131
= о(Е + Ес'т). Так как цепь тока разомкнута (считаем, что сопро-
тивление вольтметра бесконечно велико) и, следовательно, J = О,
то Е = —Ест, т. е. в трубе образуется радиальная составляющая
напряженности поля Ет — —vB.
Из общего выражения для напряженности поля Е = —V<p —
— dhjdt следует, что в условиях задачи Ет — —(Vcp)r = — vB —
= —рфц0/2лгср, так как ЭА/dt = 0. Вне трубы электрическое
поле равно нулю. На внешней поверхности трубы появляются по-
ложительные, на внутренней — отрицательные заряды.
Показания вольтметра вычислим, применяя закон электромаг-
нитной индукции ф ЕЙ! = — ЭФ/dt. Отметим, что под интегралом
стоит Е = —Vcp, не включающее Ест.
Выберем контур, проходящий через вольтметр,' по соединитель-
ным проводам и вдоль радиуса трубы между щетками, связанный с
направлением потока правилом правоходового винта. Тогда ЕГЪ +
+ V = дФ/dt или V — дФ/dt + vBS.
При движении немагнитной трубы поток, ‘ сцепленный с конту-
ром, не изменяется, т. е. дФ/d't = 0 и
V = vbB = i?6ip,0/2wCp.
При движении "магнитной трубы с проницаемостью ц поток умень-
шается со скоростью v. Тогда
дФ/dt = — Но (И — 1)
И
V — v6i Цо/2ягср.
Как видно из приведенного решения, показания вольтметра
не зависят от магнитных и электрических свойств трубы.
4-28. В системе координат, показанной на рис. 4-28, напишем
уравнения движения электрона:
mdPx/dt2, — — ; md^y/dt2 = 0.
Дважды их интегрируя, получаем:
а;=-Ёт+с1г + ^;
Начальные условия при t = 0 и выбранной системе координат:
я(0) = 0; z/(0) == 0, откуда С2 = С4 = 0, и
^1 (О)=г,о//2; =vy(0)=-^=t
dt\t=o ’ ° d<|;=o v у 2
откуда C-i = v0/y 2; Cs=
у 2
Окончательно
Ж=^/К2-^; г/=
2md У У 2
132
Исключая из этих уравнений время, получаем траекторию
потока электронов
mdv% '
а) Электроны попадут на отрицательную пластину, если ямакс
d. Определим а;макс обычным методом:
dx[dy = 1—=
mdvl
' откуда г/, при котором х — жмакс, равен:
mdvl
У~ 2qU
И
^макс = ™^о/4^-
Чтобы'#макс d'y должно быть
U
б) Электроны попадут на положительную пластину, если при
х — 0 получим у Ъ. Из уравнения траектории при х = 0 находим:
2/1 = 0; y^rndvl/qU,
т. е.
U ^mdvybq.
в) Электроны пролетят через конденсатор, если
mvy^q С U <.mdvybq.
• 4-30, Коэффициент поверхностного эффекта
у = а + /Р==)/г/соаццо = 21,8 Z 45°= 15,35 (1 + /), см-1.
Глубина проникновения zQ — 1/а = 0,065 см = 0,65 мм много
меньше толщины стенки экрана, и, следовательно, в стенке будут
распространяться только ’ прямые волны от внешней поверхности
к внутренней.
Если ось z направить от внешней поверхности внутрь стенки, то
Я (z) = Яоте-«2 sin(co* + 20° — £z).
На глубине, равной глубине проникновения,
Я(г0) = 10е-1 sin(co* + 20° — 57°20') = 3,68 sin (со* — 37°20'), А/см.
Так как встречные волны отсутствуют, то Е = Я7С, где Zc =
= у/о = 4,36 «Ю-4 Z 45° Ом.
Мгновенное значение
Е = 4,36*10“4• 3,68 sin(co* — 37°20' + 45°) = 1,6-IO'3 sin(co* +
+ 7°40'), В/см.
Мгновенное значение вектора Пойнтинга '
П = Щ = ЕН = 2,08 — 2,95 cos (2со* — 29°40'), мВт/см2.
133
Длина волны в стенке экрана
X = 2л/р = 2л/15,35 = 0,41 см = 4,1 мм|
длина волны в воздухе
А,о = df = 75-Ю6 см;
их отношение
Шо = 0,546-IO'8.
Отношение напряженностей поля на внешней поверхности и в
середине стенки экрана
я(°) _ д(°) _ л<г/2_ 4,6^, 100
Н (d/2) ~ Е (d/2) ~ ии'
4-34. По определению средняя проницаемость
„ - ^ср fchYa
Pop — —Т- Р ----,
Ро#о уа
где HQ — напряженность поля на поверхности;
у = V/соорр0 — 39,7 (1+/), см-1;
761 = 0,98 Z 45°.
Вычислим гиперболический тангенс комплексного аргумента
по формуле
thy а = th (аа + jfia) = ZW,
i Гch2aa — cos26a м . sin2Ba nr7o
где T= I/ -т-x---------jrH- = 0,92; <p = arctg ——= 27°40'.
V ch2aa + cos2[3a Y & sh 2aa
При этом i
pcp = 940 Z — 17°20' = 900 — /280.
Таким образом, средняя проницаемость существенно отлича-
ется от проницаемости материала, т. е. поверхностный эффект за-
метно влияет на процессы в сердечнике.
Напряженность магнитного поля на поверхности, ленты
Hq— Zu?/ZCp = 2 А/см.
Тогда
Z?cp = РоРср#о — 0,236 Z—17° 20' Тл.
Напряжение- на зажимах обмотки
= Zr+/cow?5Bcp = O,8 + 2O8 Z 72° 40'= 0,8+ (62 +/198), В.
Поверхностный эффект совсем не сказывается, если средняя
проницаемость практически не отличается от проницаемости мате-
риала. При этом thya « уа и цср ~ ц. Учитывая в разложении ги-
перболического тангенса второй член, получаем:
Рср _ th уа _ уа _ (уй)3/3 _ t (Vя)2 __ t J Уа I2
р уа уа 3 3
134
По условию
I уа |2/3 = 0,03,
откуда
2а = 2 -0,3/1 у | = 0,0107 см.
В этом случае напряжение на зажимах обмотки
U ==/г-^/фи?5р,ор-ср^Дср = О,8 + (6,6+/22О), В.
4-35. Комплексное сопротивление катушки
Z = 6r/Z = r + /a>L0|j.Cp = r + ^ + /a:,
где Lq = ^25p0/ZCp — 0,22 мГ — индуктивность катушки без сер-
дечника; У
ч , . „ thya
М'ср Нср Нср И уа
ц (sh 2аа + sin 2ад) — / (sh 2аа — sin 2сш)
2аа ch 2аа + cos 2ая
Следовательно,
J? = a>iop.;p и ^wLoHcp-
Индуктивность катушки с сердечником
L — x/cb — ЬоМ-ср •
Из этих соотношений следует, что р,рр, ц"р и L зависят от тол-
щины ленты так же, как от квадрата частоты, так как а = У соцц0о/2.
Рис. 4-35Р.
Рассчитанные по этим формулам зависимости представлены на
рис. 4-35Р.
Максимальное значение мнимой части средней проницаемости
достигается при частоте, определяемой из условия J^p/tZco =0;
135
Решение этого уравнения приводит к значениям: 2ад = 2,25 и
/ = 1 050 Гц. При этом р"р макс = 415.
4-39. Расчет можно вести отдельно для каждой гармоники. I
Уравнения для первичного и вторичного контуров: '
Ui == 11 (ri. + /coZis) + /со Фо^;
0 = -i— /2 (^ + г2 + /<^28)+/<0<^0м;2,
где основной магнитный поток
Фо~^оР'ОР'Ср1^
и
= /*1^1 —
Совместное решение этих уравнений приводит к выражению
/ 2 _ __ ^Н^21
^1“ U1 ~ ZuZn-Zl. ’
S
где Z11 = r1+/toLls+/co^2|xoIxcp^ ;
Z21 ==/СОг^11Р2Ро.М'Ср 222 = ^н + ^2-Ь-7Сй-^28Н~7(ЙМ;2Р'0Р-Ср j— •
Среднее значение магнитной проницаемости,
th у а
^р = Н~^-.
При сох = 12 000 с"1 получим:
у1==]/ /(о1оццо==34,8 £ 45° см”1;
У1а = 0,348 £ 45° = 0,246 (1 + /);
th^a = 0,348 £ 42° 40';
Hicp = 800 £ —2°20'; Zn = 11,6 + / 246 Ом:
Z22 = ZH + И,6 + 7 246 Ом;
Z12 = 9,6 + 7 240 Ом = 240 £ 87°42' Ом.
Ц2^ 0,975 £ 0°28' z
3,9 + /12 + ZH Н‘
Аналогично при соб = 60 000 с-1
Ибер = 760 £ -1Г20';
U2 0,97 £ 0° 14z z
4+760+Zh
а) ?72/Йг1=0,975 £ 0°28' при (» = (»! и С72/Йг1=0,97 £ 0° 14'при
©==со5.
Кривая u2(t) практически не отличается от кривой u^t).
136
При ZH — оо для каждой гармоники
ii = U2/Z21
и мгновенное значение первичного тока
i=406. sin(12 ООО* — 87°14z) + 42,5 sin (60 000* — 78°26'), мА.
б) U2I U2 =0,932 Z — 6° 07' при со = со1 и U2!= 0,808 Z—30°
при со = <о5 и и2 = 93,2 sin(12 000f — 6°07') + 40,4 sin(60 0002 —
— 30°), В.
При такош нагрузке кривая u2(t) заметно отличается от кривой
«1(0-
Для каждой гармоники тока
/ — ^22 ^2
1 ^21 %Н.
Мгновенное значение первичного тока
ix = 1 045 sin (12 000J — 22°05') + 423 sin(60 000* — 34°30'), мА.
4-40. а) Плотность тока (см. учебник)
J — J— Jо ch уи,
где Jq = — ly/b sh yh = — 118 Z — 46° 7' А/см2—плотность тока на ниж-
ней грани шины, т. е. при z = 0 (знак минус получен [потому, что
положительное направление тока выбрано навстречу направлению
оси я); /
у = рЛ/соогР'Р'0== Z 45° = 1,06 (1 +/), см-1.
- Максимальное по модулю значение плотности тока получается
при z — h:
Атаке = Jq ch yh =— 276 Z 45° 10' А/см2.
б) Пусть ch yz± = ch az± cos (3^ + / sh azt sin = A Z<px. Тогда
плотность тока в точке zr будет совпадать по фазе с общим током в
шине, если = 46°7', и
tgcpi = thazx tg = tg46°7' == 1,04 (а = (3 = 1,.О6 см-1).
Из таблиц тригонометрических и гиперболических функций
определяем azt = 0,95 и z± = 0,895 см. В этих точках
? = — 147,5 Z 0° А/см2.
в) Комплексное сопротивление шины длиной I = 1 м
Z=г+/а?в = cth yh = 3,41 • 10-4 + /3,43 • 10-4 Ом.
Сопротивление этой же шины постоянному току
Ro = i/bho = 2,34-IO-4 Ом.
г) Мощность, теряемая в шине длиной 1 м,
р = /V = 3,41 Вт.
6 Колли Я. Н. и др,
137
4-42. а) На распределение электромагнитного поля в нижней
шине наличие верхней шины не оказывает влияния. Действительно,
граничные условия для нижней шины остаются теми же, что и в
задаче 4-40: Н — 0 при z = 0 и Н = 1/Ь
при z = h. Поэтому в нижней шине (см.
учебник)
НИу b gh sh yz;
£Н=£Щ=__§_СЬТ,
Для верхней шины граничные условия
< другие:
Нв — 1/Ъ при z — h
и Нв — 21/Ъ при z — 2h.
Решение целесообразно искать в виде
Нв = Нву=Лг sh у (2Л — z) + Л2 sh у (г—/г).
Тогда при z = h
1/Ъ = А± sh yh
и при z = 2h
21/Ъ — А2 sh yh*
Из этих выражений находятся по-
стоянные
Лг = 1/b sh yh = Л2/2
и
Я]
[sh у (2л - z) + 2 sh у (z - /г)].
Напряженность электрического поля теперь находим по пер-
вому уравнению Максвелла
Ёв = Ёвх = — — = -г~г [Ch у (2/г — z) — 2 ch у (z — Л)1.
1 х о dz ub sh yh 1 ‘ к r к л
При указанных в условш-! параметрах: yh = 1,59 (1 + у);
У и = о£,н==(— 118 Z —46° 7') ch yz, А/см2;
jB = — (— 118 Z — 46° 7') [2 ch у (z — h) — ch у (2/г — z)], А/см2.
На границах шин:
(0) = — 118 Z — 46° 7' А/см2; JH W = — 276 Z 45° 10' А/см2;
JB (h) = 368 Z 85° А/см2; JB (2h) = 570 Z — 122° 52' А/см2.
138
Годограф вектора плотности тока показан на рис. 4-42Р.
б) Вектор Пойнтинга П = П2 = ЕХНу, т. е.
Пп = “т^-Д-г (1 — 2сЬуЛ) при з = 2Л;
в Gb2 sh yh4 । / ,
~ I2y
П' =--7^—. -^-т (ch Vh — 2) при z = h;
B Gb2 sh yh v r r ’
I2v
Щ= - J......- ch yh при z = /z;
H Gb2 sh yh r
Пн = 0 npii z — 0.
Комплексное сопротивление верхней шины
ZB=(ft'= .4 т (5 Ch yh-4',.
Комплексное сопротивление нижней шины
ZH= -Й’ 1~ = —4—7 chyh.
н I2 Gb sh yh r
Сопротивление двух последовательно соединенных шин^
z--z-+z-“sdU«i'=h*-4>-
При указанных в условии параметрах: ZH — 3,41 Ю-4 +
+ /3,43 • НТ4 Ом; ZB’= ИЛ • 10~4 + /23,3 • 10"4 Ом; Z2 =
= 14,8 • НТ4 + / 26,7 • 10"4 Ом.
в) Р2 — ^2г — 1^»3 Вт.
В случае однрй шины двойной высоты, по которой протекает
двойной ток . (см. решение задачи 4-40),
j — — ch yz = (50 Z 43°) ch yz, А/см2.
b sh 2yh £ v '
На границах шины:
j (0) = 50 Z 43° А/см2; J (2/^) = 600 Z 225° А/см2.
Комплексное сопротивление шины при Z = 1 м
Zx= /Уо Т-сЬ 2?А = 3,72 • 10-4+/3,72 • 1(Г4 Ом.
1 o' & sh 2yh r
Мощность, поглощаемая в 1 м шины,
Рг = (2/)2г = 14,9 Вт.
Таким образом, мощность, теряемая в шине в этом случае, равна
мощности, теряемой в обеих шинах в предыдущем случае.
6” 139
А) При уменьшении высоты шины в 2 раза:
уЛ=0,795 (1 + /); Ун = (— 266 L — 12°) ch yz, А/см2;
jB — (— 266 L — 12°) [2 ch у (z — h) — ch у (2Л — z)], А/см2;
ZH = 4,31 • 10~4 + j 1,74 • 10-4 Ом;
Zb = 5,95 • IO"4 + / 13,6 • IO-4 Ом;
Z2 = 10,26 • 10-4 + 7 15,34 • IO"4 Ом; P2 = 10,26 Вт.
При одной шине двойной высоты:
Zx = 3,41 • 10"4 + 7 3,43 • IO"4 Ом; Р± = 13,64 Вт.
В этом случае мощность, теряемая в одной шине, больше, чем
в двух шинах половинной высоты, т. е. разделение шины на две
половинной высоты приводит к уменьшению потерь.
Б) При увеличении высоты шины в 2 раза:
yh = 3,18 (1+7); 7Н=(25 Z 43?) ch yz, А/см2;
J в = (25 Z 43°) [2 ch у (z — h) — ch у (2h — z)], А/см2;
ZH = 3,72 • 10~4 + 7 3,72 • IO"4 Ом;
ZB = 19,9 • 10“4 + 7 19,8 • 10"4 Ом;
Z2 = 23,62 • 10-4 + 7 23,52 • IO"4 Ом; P2 = 23,6 Вт.
При одной шине двойной высоты:
Z1 = 3,72 • 10~4 + 7 3,72 • 10"4 Ом; Р± = 14,9 Вт.
В этом случае разделение шины на две половинной высоты
приводит к увеличению потерь.
4-43. Сопротивление двух последовательно соединенных шин
найдено в задаче 4-42:
У/
Z2=~5bsh^h(6 ch 7^-4) = г2+/^
Экстремальные значения г2 определяются из условия
dr2ldh = 0. (а)
Проще сначала дифференцировать Z2
dZ2 _ ly2 4 ch yh — 6
$h ~ ob sh2 yh *
После отделения вещественной части от мнимой выражение
(а) принимает вид:
sh ah sin ah (ch2 ah -f- cos2 ah — 3 ch ah cos ah) = 0.
Решениями этого уравнения являются:
ch ah == 2,62 cos ah и sin ah = 0.
140
Первое удовлетворяется значением ah = 0,96. При этом г2
минимально. Второе удовлетворяется при ah = кп. Из все^ послед-
них экстремумов заметен лишь максимум при ah = л. Уже при
ah = 2л сопротивление г2 практиче-
ски достигает предельного значения:
г»=6'-~=6щ,-
На рис. 4-43Р построены требуе-
мые по условию задачи графики
(г0 = l/obh — сопротивление постоян-
ному току).
4-44. Комплексный вектор Пойн-
тинга был определен в решении зада-
чи 4-42. Комплексная мощность, вы-
ходящая из нижней грани верхней
шины,
I^yl
т , . (2-ch-yfe),
Gb sh yh
а комплексная мощность, входящая
в верхнюю грань нижней шины,
Рис. 4-43Р.
Мощности равны только при постоянном токе, когда у = О
и ch yh = 1, при переменном токе мощности различны. Это объяс-
няется тем, что существует еще мощность, проходящая через торце-
вые зазоры между шинами при любой малости этих зазоров. Дей-
ствительно, мощность, входящая между шинами через задний зазор д
(рис. 4-42),
— ЕгНуЪЪ,
а мощность, входящая между шинами через передний зазор,
S'r^EzHybd.
Через оба торцевых зазора входит мощность
St = St 4- St = (Ez — Ez) Hyb6.
Разность напряженностей электрического поля в скобках легко
определить, применив закон электромагнитной индукции к контуру,
проходящему по нижней грани верхней шины, переднему торцу
зазора, верхней грани нижней шины и заднему торцу зазора:
Ёв1— Ёгд — Еп1 + ЁгЬ = 0.
В правой части уравнения — нуль, так как считаем, что зазор
очень мал и магнитным потоком через него пренебрегаем. Искомая
разность напряженностей электрического поля
и мощность
~ 2ll2y (ch уЛ—-1),
т Gb sh yh
141
Ясно, что теперь баланс мощностей полностью соблюдается
£ н ='S в + *$+
Активная мощность, выходящая из нижней грани верхней
шины, равна нулю, если
Re 5^0= Re
вЪ sh yh
После преобразований это приводит к уравнению -
sh 2аД + sin 2аД = 4(sh ah cos ah + ch ah sin ah).
Решение уравнения можно получить построением левой и
правой его частей. В точке пересечения ah = 1,49. При этом комп-
лексная мощность, входящая через верхнюю грань верхней шины,
8в=12г0 (4,12 + /6,51);
комплексная мощность-, выходящая через нижнюю грань верхней
шины,
3; = /% (—/2,53);
комплексная мощность* входящая через верхнюю грань нижней
шины,
Й = 7% (1,36+ /1,32),
где r0 = llubh — сопротивление шины постоянному току.
Комплексное сопротивление верхней шины
Z* = rQ (4,12 + / 9,04).
Комплексное сопротивление нижней шины
Zu = г0 (1,36 + / 1,32).
4-49. Комплексное (активное и внутреннее реактивное) сопро-
тивление цилиндрического провода определяется по формуле
z Д+/.Г = дг^ Jo fgrp)
Ло 2 Ji(Ko)’'
где 7?0 = 2/лгоа сопротивление постоянному току и q =
= ]/—/окт цно-
При резко выраженном поверхностном эффекте
Zoo _ Raz . -у0О_ . Ко _ Ко _ «Го+уа'-о
Во~ Вв+! Во 2 ~ 2 “ 2
Формулу (1) можно представить в виде
Z_ = H_ n Jo (Ко)
*оо ’ J1 (Ко) •
142
Для больших аргументов справедливы асимптотические представ-
ления Цилиндрических функций первого рода:
т , ' / 2 W2 Г/ л 12 • з2 , \ / л \
' \лх j L\ ‘ 3! (8а?)2 / \ * 4/
/ 12 42.32.52 \ / л\-|
( 1! 8х+ 3!(&с)3 4JJ;
т/. /2X1/2Г/. , 12-3-5 \- / Зд\
—(л»,) |\1+2!(8л:)2 •)cos\x 4 J
/1-3 12-32.5-7 , \ . / ЗяА]
(,!!&» 3!(&с)3 + •••/)sin 4)]-
Если мнимая часть аргумента х много больше единицы (2,5—3),
/ лД • п
то tg I х—-£) ~ — /. При этом
2 _ . 1 .3 3 63
Ro 1 2 + 4 1 16ж 16»2+/ 256яЛ+"’’
где х — а — ja = qrQ; а — ar0 = r0/z0.
Разделяя ряд на вещественную и мнимую части, получаем
_£ = aI7i+-1 + _§_______U
2 [\ ' 2а 16а2 512а4 ' ’'}
. / 3 3 63
16а2 16а3 512а4 /_]*
Следовательно,
А=1+1 + _з_______ез_
Rm 1'2а ' 16а2 512а4
И
X _ 3 3 63
1 R^ 16а2 16а3 512а4”’
1) Активное сопротивление можно считать по приближенной
формуле для резко выраженного поверхностного эффекта с погреш-
ностью не более 10%, если
— = 1,1 = 1-4- -1-1- ..X.....
’ ^2а^16а2
Решение этого уравнения дает r0/z0 = а = 5,35; при погреш-
ности 5% получаем r0/z0 = а — 10,35; при погрешности 2% полу-
чаем r0/z0 = а — 25,35.
2) Реактивное сопротивление можно считать по приближенной
формуле для резко выраженного поверхностного эффекта с погреш-
КП/ Л ПС л 3 3 63
ностыо до 5%, если -- = 0,95 = 1-^-^-^, т. е.
при r0/z0 = а = 2,4. При погрешности 2% получаем r0/z0 = а =
= 3,53.
142
4-50. При небольших значениях аргументов цилиндрические
функции первого рода представляются в виде рядов
6
Jo (*) = 1
Jl (*)
rV 1
2) (3!)2
Г+—f-
I ^2!3!\z
|2 + —
’ ^(2!)2
1 Л
1!2! V
При этом комплексное сопротивление цилиндрического провода
Z, отнесенное к его сопротивлению постоянному току 7?0,
в
2 1
1 2!3!
1
2!4!
Z _ х Jo (»)_.,
Ro 2 ^(or)
где x = qr0 = r0 V— ja = (l— j) r0/z0, t. e.
Z R . . X Г , , 1 / a V
Ro Ro+1 Ro L1+3W
а) Активное сопротивление можно считать по формуле для
постоянного тока с погрешностью не более 10%, если
Г=1,1,
1+4
откуда r0/z0 = а = 1,51.
б) При погрешности 5% получаем r0/z0 = а = 1,26.
в) При погрешности 2% имеем r0 lzQ = а = 1,0.
Внутреннее реактивное сопротивление при этом имеет значение:
X ( л. \2 Г . 1 / л. \4 13 f п.
0,536;
а) Ro 2 / L 1 6 \ 2 ) + 270 \ 2
б) X/Ro = 0,387; в) X/Ro = 0,248.
4-51. а) Направим ось z цилиндрической системы координат по
оси цилиндра. Из симметрии задачи следует, что вектор напряжен-
ности магнитного поля имеет только z-ю составляющую, а вектор
напряженности электрического поля только а-ю составляющую.
Кроме того, векторы поля зависят только от координаты г. Поэтому
уравнение поля в проводящей среде
V2H—у2Н = 0, где у—У /со|Х|л0о,
в рассматриваемом случае упрощается:
^_V2# = 0
dr / *
r dr
или
Й2Я 1 dH 2iT .
dr* + r dr УН-°-
Вводя обозначение q2 — — у2 и деля полученное уравнение
на q2, приходим к уравнению Бесселя:
d^H i dH
d (qr)2 ' qr d (qr) * ’
144
решение которого будем искать в виде
Я = Л^о(^) + ^0(?г),
где i0(qr) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка,
Y0(gr) — функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Функция
Бесселя второго рода стремится к бесконечности, когда аргумент
-стремится к нулю. Вместе с тем напряженность магнитного поля
па оси цилиндра конечна, поэтому А2 = 0 и Н = Hz= A1ip(qr).
На оси цилиндра (г = 0) имеем Я(0) = Alf так как J0(O) = 1.
Отсюда ясен смысл постоянной Аг — это напряженность магнитного
поля на оси цилиндра.
Следовательно, Н = Я(0)
На поверхности цилиндра (г0) напря-
женность магнитного поля задана
(Но), поэтому Но =Н(0) J0(gr0), и вы-
ражение для напряженности магнит-
ного поля можно представить в виде
H = HoJo (qr)/h (qr0)-
Напряженность электрического
поля теперь определяется из первого
уравнения Максвелла
. 1 L - 1 dHz
Ё = Ёа —— rotaH =---------~~ =
а о a о dr
Рис. 4-51Р.
Нод
oJo(^o)
Магнитный поток в цилиндре легко определяется при помощи
закона электромагнитной индукции
ф (го) 2яго „ 2лгоЯо|1|Ло Jt (grp)
— /со tfJo(^o)
Среднее значение магнитной' индукции в цилиндре
р = Ф 2ЛоЦцо31 (gr0)
’ Ср ml ^oJo(^o)
Среднее значение комплексной проницаемости цилиндра
#ср 2p,Jj (grp)
Но#о дг<Мдгр)
Графики вещественной и мнимой ц£р составляющих средней
комплексной проницаемости цилиндра в функции | qrQ | построены
на рис. 4-51Р.
б) Из симметрии уравнений Максвелла следует, что при одина-
ковых граничных поверхностях и аналогичных внешних полях
решения «электрической» и «магнитной» задач будут аналогичными.
Сопоставляя уравнения Максвелла для проводящей среды
rotH = oE; rot Ё= —/copigpH,
145
легко устанавливаем взаимно аналогичные величины для «электри-
ческой» и «магнитной» задач
Ё ХЙ; о 77—/соу,р,о;
/^7 — /соФ (/ = J a fec?S 77 — j 7сор,цоН dS = — 7*соФ).
Поэтому, заменяя в решении «электрической» задачи все вели-
чины аналогичными, получаем решение «магнитной» задачи, данное
в п. «а».
4-59. Выберем систему координат, как показано на рис. 4-59Р.
Примем Ех = Ех при z = 0; тогда при z ~ а напряженность Ех-^=
Ех e~ika, где к = 2л/% — вол-
новое число.
[Ч. № Электродвижущая сила, наво-
I димая в рамке,
ь у э = ф Е dl = — d®!dt.
к - I Поэтому задачу можно ре-
с шать двумя путями: либо интег-
Ч. С рировать напряженность электри-
Н ческого поля по контуру рамки,
либо определять производную по
Рис. 4-59Р. времени от магнитного потока,
пронизывающего контур рамки.
Решим задачу первым путем. Обходя контур, как показано
на рисунке, получим:
Э=ф Ё d\ = Ехв-^Ъ—ЕХЬ = Exb (e~iha — 1).
Если размер рамки а много меньше длины волны %, то в разло-
жении показательной функции в степенной ряд можно оставить
первые два слагаемые:
e-j ha
Тогда
9 = -jkabEx=-j~Ex.
4-60. Электродвижущая сила, наводимая в витке (рамочной
антенне), пропорциональна скорости изменения магнитного потока,
пронизывающего рамку. При неизменной частоте поля э. д. с.
будет максимальной при максимальной величине потока. Поэтому
плоскость рамки должна быть перпендикулярна направлению век-
тора Н (или В) поля.
При расчете величины э. д. с. учесть, что размеры рамки много
меньше длины волны и поэтому можно пренебречь различием фаз
напряженности магнитного поля в разных точках внутри витка.
4-68. В волноводе могут возникнуть те типы волн, у которых
критическая длина волны лкр больше длины волны в свободном
пространстве X. Критическая длина волны определяется попереч-
ными размерами волновода а и Ъ (рис. 4-67):
Хк 1
"Р |/ (т/2а)2-\-(п/2Ь)2'
где т и п —• целые числа.
146
В таблице приведены значения Хкр для разных значений тп
и п при а = 34 мм и Ъ = 72 мм.
m 0 0 1 1 1 0 1
п 1 2 0 1 2 3 3
^кр 14,4 7,2 6,8 6,5 5.1 4,7 4.0
m 0 2 2 2 1 0 3
п 4 О' 1^ 2 4 5 0
^кр 3,6 3,4 3,28 3,25 3,23 2,88 2,3
Из таблицы видно, что при / = 3 ГГц (X = 10 см) в волноводе
может распространяться только волна ТЕ01. При частоте f — 9 ГГц
(X = 3,3 см) в том же волноводе могут распространяться волны,
типы которых имеют индексы 01, 02, 10, И, 12, 03, 13, 04, 21, 20.
При возбуждении волновода штырем в середине широкой
стенки (случай а) могут возбуждаться типы колебаний с любым
индексом m и нечетным ин-
дексом т?, т. е. ТЕ01 при
X = ю см, пс индексами
01, И, 03, 13, 21 при X =
— 3,3 см.
П рн возбуждении рам-
кой (случай б) возбуждают-
ся ТМ-волны с нечетным
индексом /п. Следовательно,
при % = 10 см волны рас-
пространяться не будут, а
при % = 3,3 см могут быть
волны ТМП, ТМ12, _ТМ13.
4-71. Мощность, пере-
даваемую- по волноводу,
выразим при помощи по-
тока вектора Пойнтинга
через поперечное сечение
волновода. В системе ко-
ординат, изображенной на
Н(1.
Рис. 4-71Р,
рис. 4-71Р, а, для волны ТЕ01:
ХН)Й = ^, (1)
где Eq — напряженность -электрического поля в волноводе при
у = ъ.!2 (действующее значение); —j—(//ура — характерис-
147
тическое сопротивление волновода; /0 = с/2Ь — критическая частота
волновода при 8=1; с — скорость света в вакууме.
В рассматриваемой задаче волновод состоит из трех частей
(рис. 4-71Р, б).
.Отношение мощностей падающих волн в 1-й и 3-й областях,
как следует из формулы (1):
pi/pt=mE+^2,
где знаком плюс отмечены волны, движущиеся вдоль оси z. Отноше-
ние Е^/Е^ зависит от условий на границах раздела частей 1—2*
2—3 и/расстояния I между ними.
На границе 1—2:
Hi (0)+Д?(0)=д£ (0)+J?2 (0);
Hi (0) - нт (0) - Н$ (0) - (0)
или
Е± (0)-Д? (0) М (О)-Д-/ (0)
ZC1 ZC2
(равенство тангенциальных составляющих напряженностей элек-
трического и магнитного полей).
Аналогично на границе 2—3
(1)+ЁТ (1)=Ёз (Ш
пли
(0—Да (D _Дз (Q
Zc2 Zc3
Далее
Ё | (I) = ЁТ (0) е~*-, ЁТ (l) = E~i (0) eV*,
где т=а + /р.
Замечая, что в условиях данной задачи Zc3„ = Zcl, и обозначая
(Zcl — ZC2)/(ZC1 + Zc2) = TV, из написанных уравнений находим:
Д'01 _ eV (1 —№e~2Y9 . N 1 —га
Доз 1—№• ’ 1 + га
Здесь
и=1Л1Н(?^)!5=г=о 5
. V 8-(/о//)2 ’ ’
3 • 1010
гД^о//=2.7,2.3.1О^°’695;
Н = (1-0,5)/(1+0,5)=1/3;
yl = 2^- V 2,84 (1-/4,96 • «Г?);
Ло
-^i = l,3 Z— 62° 30'.
Доз
148
Отношение мощностей равно отношению квадратов модулей
напряженностей полей. Таким образом,
Р+== 1,3-2 592 Вт.
4-75. Если поперечное сечение волновода или резонатора совпа-
дает с плоскостью ху, то электрическое поле волны типа ТЕ может
иметь только составляющие по осям х иг/. Для волны типа ТЕ012, как
и для других волн типа ТЕ0П/, составляющая поля Ех не зависит
от координаты х. Из условия div Ё — 0 получаем, что в этом случае
Еу = 0. Кроме того, составляющая Ех должна обращаться в нуль
на тех стенках (четырех боковых) резонатора, где она будет танген-
циальной. Поэтому для волны ТЕ012 имеем:
• 7 . пу . 2jxz
» Ех = A sin sin —,
х Ъ с ’
где А — константа, определяемая мощностью возбуждения.
Поле Н найдем из второго уравнения Максвелла:
rot Ё = — /а>ЦоЙ,
откуда
• 2 л/Л . пу 2nz ' -т si]А пу . 2nz
= —-— sm cos —; — cos sin — .
и СОЦос Ъ с СОЦо& Ь с
Размер с резонатора для волны ТЕ012 должен равняться длине
волны в волноводе для волны ТЕ01:
с=. х° -------=39,6 мм,
/1- (W26)
где Хо — длина волны в вакууме при частоте 1010 Гц.
ОТВЕТЫ
Ответы к задачам гл. I
1-1. Fa = l,72 (4,22ех — еу), мкН; Fb = (6ex + 12,8eJ, мкН; Fa=
= (1,29ех— 14,52еу), мкН; Еа = 4,3 • 105 (4,22ех—ej, В/м; Еь =
= (4ex + 9,53eJ 105- В/м; Ес = (0,8ех — 9,7еу) 105- В/м.
1-2. 4.
1-3. 8,5 см/с.
1-4. 62°40'.
1-5. 11,3 В/м; 11,3 • 10~12 Н.
1-6. а) 5 000 В/см; 4,43 • 10~10 Кл/см2; 0; 4,43- 10~10 Кл/см2;
0; 11,1 пФ; б) 5 000 В/см; 17,7-10 10 Кл/см2; 13,3 • 10~Х0 Кл/см2;
17,7 • 10~10 Кл/см2; 13,3 -10 10 Кл/см2; 44,4 пФ.
. _ А 18-Ю6 18-Ю6 ю
1-7. 1) 0; 720 кВ; 2) - ,В/см; —, В.
1-8. А. 1) — 9,4-103Я, В/см; (4,7 -1037?2 —3,52 • 103), В.
2) — 11’p21°8, В/см; - 11,8)?10а, В. Б. 1) —2,82-108 Г 1-^ +
Л“ Л. [Л
+ °fln (1 + 5Я)], В/см; - 1 130 ^0,25-2,57? +(А4-1^ х
Х1п(1 + 57?)], В; 2) —В/см; —В, где Я—в см; <р=0
при R — со.
149
1-9. 54,7 м; 6 100 пФ.
1-10. 1) —11,3 г, мВ/см; 0,565 • IO"2 г®, В; 2)— 0,113 мВ/см;
0,565-10~4 (1 + 2 In 10г), В, где г —в см.
3 6 7* *
1-11. 1) 0; 0; 2) ~ , В/м; 3,6 In у, В, где г —в м. Не изме-
нится.
1-12. А) ДХ = + = Д2; +; т/2лг3; 6)^=^;
Р2 = 0; т/2лгх; —т/2лг2; Ф В) Z)1 = 0; D2 = T/2nr; 0; 0; т/2лг3.
1-13. Е = —^— = 2129., в/см; (р = -^-1п -2 =,9100кА,В;
г In-2 Г In-^ Г Г
Г1
С =2ле^ = 2,52 пФ; ф = 0 приг = г2.
In ~2
ri
1-14. е 2,7.
4 8 • 10~15
1-15. 4,8-10"+ Н; ш, Н.
|/2 ’
1-16. 64 мкДж.
1-17. Если угол закручивания пружины пропорционален мо-
менту, то у амперметра и вольтметра шкалы квадратичные, а у
ваттметра — равномерная.
1-18. 3,46- 10"4 Тл; 1,98- 10~4 Тл; нет.
1___г2 j 5Q
1-19. 17,7г, А/см; 4,42—-—, А/см; —у , А/см, где г — в см;
0,196 мкГ/м.
1-20. 0,116 мГ; 11,6 мГ; 1,16 мГ; 1.
1-21. 150 Н; 0; 150 Н.
1-22. 1^-In ^±£1 = 2,93 мкГ; 0,0147 cos 500/, В.
л d —
UnZ ^Г'7 * \f>')
1-23. —- In ;—- = 4Г,5 мкГ, где б/— расстояние между соот-
2 л “12й 1'2'
ветствующи ми п роводамп.
1-24. — 0,874 cos 3.14Z, мВ.
1-25. Для первого расположения проводов:
а) 31,2 мВ/км; б) 31,2 мВ/км.
Для второго расположения проводов:
а) 0,628 мВ/км; б) 0.
1-26. Индукция Вп = 0,055 Тл. Нужно измерить другие состав-
ляющие вектора. '
1-27. 6 000 Гс = 0,6 Тл.
1-28. Изменится, так как уменьшится число витков катушки.
1-29. Не изменится.
1-30. (1,26 + 1,29 е~ 4,15*Ю3/) г, мкА/см, где г —в сантимет-
рах, t — в ’секундах.
1-31. 0,01 В; 0.
1-32. См. решение.
1-33. 0,015 В; —0,005 В; 0,005 В.
150
I
1-34. 0,02 В; 0; 0,01 В.
1-35. —0,02 В; -0,005 В.
1-36. 0,02 В; —0,01 В; 0,005 В.
1-37. 0,03 В; 0; 0,015 В.
1-38. Сдвинуть на л/4 по часовой стрелке.
1-39. Е = — Фоссе~к/ 6 -% при г < а;
Е = — Ф0ае-а//2лг при г > а,
1-40. a) 2 С; 0; вихревое поле без истоков, например магнитное
поле внутри провода с постоянным током, б) 0; 2С; потенциальное
поле с истоками, например электрическое поле цилиндра, равно-
мерно заряженного по объему; в) 0/, 0; потенциальное поле без
истоков, например магнитное поле вне провода с током; г) 0; 0;
’ потенциальное поле без истоков, например электрическое поле вне
заряженного цилиндра.
1-41. а) 0; —67я2; потенциальное поле с истоками, например
электрическое поле объемных зарядов р = — С7я2; б) 0; С\ потен-
циальное поле с истоками, например электрическое поле равномерно
распределенного объемного заряда; в) 0; 0; потенциальное поле
без истоков, например электрическое поле заряженного цилиндра
радиусом а.
1-42. 1) р =— 2) р = 0, поле создается заряженным
— цилиндром радиусом а; 3) р = 2в0 Апп2 cos пх sin пу.
1-43. 1) rotE = 2Cez; divE=0; 2) rotE = 0; diyE = O; x*—
— y2 = K; cp = C1 — Cxy.
1-44. Потенциальное поле без объемных зарядов См. решение.
х 5
1-45. —6(A) у dE0; добавится слагаемое E — U/d.
1-46. 100 е0/г.
1-47. Вихревое поле без истоков; такое поле создается в волно-
воде (полой металлической трубе прямоугольного сечения), если
возбуждающая антенна расположена в середине большой стороны
трубы или возбуждающая рамка расположена так, что ее плоскость
параллельна торцу волновода.
1-48. A) divE = —=—? В/см2, при R < /?0; divE=0
So 8о
при Я > Rq, Поле всюду потенциально (rotE = 0); Б) divE =
р 2,5 • 10“9tt „ ту ту j-тпл ту ту
= — =-------—, п— . В/см2, при 7?<7?О; divE=0 при R>RQ.
е0 а + R
Поле всюду потенциально (rotE —0).
Ответы к задачам гл. 2
X
т 2-1. См. решение.
2-2. —0,0746 мкКл/м2; —0,0360 мкКл/м2; —0,0360 мкКл/м2;
—0,0220 мкКл/м2.
2-3. —0,0348 мкКл/м2; 0,0038 мкКл/м2; 0,0038 мкКл/м2;
0,0178 мкКл/м2; 900 В.
151
2-4. 19,5 мкН; 1,5 мкН.
2-5. См. решение.
2-7. а) Сп — С22 = 15,2 пФ/м; С12 == 1,11 пФ/м; б) Сг1 =
= С22 = 16,2 пФ/м; С12 — 0,940 пФ/м; в) Сп = 17,5 пФ/м; С12 =
= 0,945 пФ/м; С22 = 14,5 пФ/м.
2-8. См. решение.
2-9. Е„ =2,16 • 10* В/см; Ей = 1,08 • 10* , В/см; <р =
л XI - dtv*
= 1,08-10* В.
2-10. 620 В/см; 700 В/см; 350 В/см; 435 В/см; 0; 0,98 кВ;
1,95 кВ; 0;'7,80 пФ/м.
2-11. Эквипотенциаль xQ = 5,ОЙ см; RQ = 2,28 см; силовая
линия у0 = 1,49 см; /?0 = 4,78 см.
2-12. См. решение.
2-13. См. решение.
2-14. 26,6 пФ/м.
2-15. 0,524 пФ/см; 21,8 кВ.
2-16. 82,5 мкКл/км; —152 мкКл/км; 104,5 мкКл/км.
2-17. 10 кВ; 0; 605 В; 80 мкКл/км; —12 мкКл/км; 0; 9,95 кВ;
—88' В; 0; 80 мкКл/км; —12 мкКл/км; —4,76 мкКл/км.
2-18. Сп = 7,05 пФ/м; С22 = 5,8 пФ/м; С33 = 7,05 пФ/м;
С12 = 1,38 пФ/м; С13 = 0,59 пФ/м; С23 = 1,38 пФ/м.
2-19. —333 В; 97 мкКл/км; 682 мкКл/км; —779 мкКл/км.
2-20. С12 = 5,9 пФ; С13 = 35,4 пФ; С23 = 17,7 пФ.
2-21. —62,5 В.
2-22. 2,95 нКл.
2-23. а) ф = Г7 500 In у+-86- - ^=|-2 000 у], В;
L У—0,8 у+5 •']’ v
[/99 9П \ 1
3750 (^+64-^25)+2 000 ]е°’Кл/см2;
Со = 3 930 пФ/км; б) См. решение.
2-24. См. решение.
2-25 ф = Т In [ (*-гг)2 + (у + Ц2] [ (^ + /г)2 + (У-Ц21 .
2ле0 Г + + + + ’
С — 4ns /1П^ + Г°)^ + Г»)-
Со - 4Л8О / In 8ro(Z| + Zf) —,
9s = ~2п [z? + (+ Z2)2+Z| + (х 4- Z2)2] ПрИ 2Z=0;
Т/ Г* Zq 1 Zo ~]
= - 2“n b + Czz-Zi)2 + Zi + Ciz + ZJ2] при x = °-
2-26. 55,8 пКл; 28 мкН.
2-27. Заряд любой.
2-28. 0,556; 0,232.
2-29. 1) 17,7 мкКл/см2; 17,7 мкКл/см2; 66,7 В/см; 33,3 В/см; ’
(—66,7я+Ю0), В; (—33,3^+66,6), В; 2) 17,7мкКл/см2; 17,7 мкКл/см2;
66,7 В/см; 200 В/см; (—66,7ж + 267), В; (—200а: + 400), В;
152
ff
3) 6,64 мкКл/см2; 6,64 мкКл/см2; 25 В/см; 75 В/см; (—25а: + 100), В;
(—75а: + 150), В; <р = 0 при х — 0, х — в см.
2-30. Без зазора 100 кВ; с зазором 4,05 кВ.
2-31. 1) 775 мкКл/см2; 775 мкКл/см2; 1 250 В/см; 8 750 В/см;
рг = 664 мкКл/см2; 0; (10—8,75а:), кВ; 0 < х < 0,5 см; (6,25—
—1,25а:), кВ; 0,5 см < а:< 1,5 см; (17,50—8,75а:), кВ; 1,5 см < х <
< 2 см; 2) 332 мкКл/см2; 332 мкКл/см2; —3 750 В/см; 3 750 В/см;
—3,75а:, кВ; 0 < х < 0,5 см; (—3,75 + 3,75а:), кВ; 0,5 см < х <
< 1,5 см; (7,5—3,75а:), кВ; 1,5 см < х < 2 см.
2-32. 8i < 83 < 82; ф = ^гя:; диэлектрик слоя 3 имеет остаточную
поляризацию; напряженности поля на данном участке.
2-33. 2,7 кВ; 4,14 кВ; 24,8 кВ;
2-34. 100 В/см; 150 В/см; 6ООео, Кл/см2; ЗООе0, Кл/см2, где
е0=8,86 • 10-14 Ф/см; 20Оео; Кл/см2; ЗООео, Кл/см2; 1ОО8о, Кл/см2.
4,78
2-35. 1) 3,37 • 10“8 Н, притягивается; — пКл/см2; .
1 2
2) 0,84 • 10-8 Н, отталкивается; ------—пКл/см2.
. (1-|-а;2)3/2
2-36. См. решение.
2-37. 59 кВ-см.
2-38. 45 кВ-см.
2-39. 12,7 кВ-см.
2-40. —12,7 кВ-см.
2-41. 12 нКл.
2-42. 12 нКл.
2-43. 0.
2-44. 20,3 кВ-см.
2-45. 10,1 кВ-см.
2-46. —6 450 В-см.
2-47. — 350 0~ + 0,15г j, • пКл/см3, где г — в сантиметрах.
2-48. —35а:, пКл/см3, где х — в сантиметрах.
2-49. 16?7 (0,2 + а:), кВ/см; 147 (0,6 — а:), пКл/см2; 147 пКл/см3;
1,18 пФ/см, где х — в сантиметрах. ч
1 890
2-50. 133г, В/см; ——, пКл/см2; где г —в сантиметрах;
ц,8 , пКл/см2; 23,6 пКл/см3.
\ г ]
2-51. См. решение.
2-52. А /г.
2-53. 1) 1 кВ/см; 2 кВ/см; 1,5 • 1010 Ом/см2; 0,2 мВт/см3;
0,4 мВт/см3; 80 • 6 000 Кл/см2; —80 • 5 000 Кл/см2, где 80 — в Ф/см;
2) 2 кВ/см; 1 кВ/см; 0; 0; 0; 0; —80 • 1 000 Кл/см2.
2-54. 216 мкА/м2; 108 мкА/м2; 46,5 мкВт/см3; 11,6 мкВт/см3;
32,5 мкВт/см.
2-55. 6,06 мкА/см.
2-56. 2 • 107 А/м2; 1,25 • 107 А/м2; 940 А.
2-57. 4,9 • 10-10 А.
2-58. 220 В.
2-59. См. решение.
153
2-60. 8 ‘ •/;:;=== , кВ; -------------- ’ „у,
\/ж1 24-Ю0 И(^+0,8)2+100/ (.г2 4-100)3/2
мкКл/м2, где х — в метрах.
2-61. 5,39 • 10“10 См/см.-
2-62. 1) Рисунок 2-62Р; 2) 7макс = 1,59 А; 3) 3,7*7 • 10-3 См/см.
2-63. См. решение.
2-64. 1 8ООео/( 1 -0,5а;)2, Кл/см3; . — 1 45Оео/(1 - 0,5а;)2, Кл/см3 * *.
2-65. — 256 Кл/см3; + 256 Кл/см3.
2-66. См. решение.
2-67. • (1 — е~113'1(W) • 10s В/см; (4 470 — 3 541е~ 20“ —
— 920е~113’103(), пКл/см2; (3540—3 541е~200' 4-6,27e~I13'I(w),
пКл/см2; (О,708е"20М4-1О4е'113'103'), мкА;
Жист —446 нДж; ГИЭ = 216 нДж; И7г = 50 нДж;
И7,. = 180 нДж; WHCT = W9 + Wr + Wx.
2-68. См. решение.
2-69. См. решение.
2-70. 605 (1 - е~'/79), пКл/см2; (—4314-417e“'/79), пКл/см2;
10~14(19,84-758е~г/79), А/см2; 10-le (1 980 — 758е—*779), А/см2;
(—468-10~ие~'/79), А/см2; 298 • 10"«е~(/79, А/см2; 11,6 нДж;
1 160 пДж; 790 нВт; 79 нВт.
2-71. 225 МГц.
2-72. 1,67 sin (со* +132°), нКл/см2; 1,45 sin (со* — 35° 35'), нКл/см2,
если начальная фаза напряжения равна нулю: > 58,6 Вт/см3:
25,8 Вт/см3.
2-73. о'= 10 9 См/см; о" = 4,86 • 10-1?со См/см. При всех часто-
тах: Е = 100 В/см; D = 550е0, Кл/см2; Р = 45Оео, Кл/см2;
/ = 328 Гц, «7 = 0,10 мкА/см; «7см = 0,1 мкА/см;
/ = 0, «7 = 0,10 мкА/см; «7см = 0;
х /->со, «7 = 0,10 мкА/см; «7см->оо.
, 2-74. 6001/с и 4001/с. При со = 400 1/с: 0,41 L 9° 30' кВ/см;
73 Z 9° 30' пКл/см2; 36,5 L 9° 30' пКл/см2; 0,6 L— 6° 30' кВ/см;
150 Z — 51° 30' пКл/см2; 119 L — 69° 55' пКл/см2; (5,88+/4,68) X
X Ю"10 См; 0,294 мВт; при co£x = 80°40'; при со/= 68° 20'.
2-75. 0,48 пФ/см; 0,483 • 10~14 См/см;
Z7e0
в воздухе qs =---------—;
- Г1 In
Г1
в диэлектрике qs = <
гг In -2
'l
. о Gd
g со (ed + Z)) 8о ~ ЮОсо •
__ о (1 — е)
7 s связ Z >
rjn^
-Г1
1
20
1 1
2-76. 0,095 Z—48° нКл/см2; - 6,7 Z —48° мА/см2; X
4 л/12 t 4nR2
X 7,44 Z 42° мА/см2, где R — в сантиметрах (расстояние от центра
электрода).
154
2'77- 4Ж(1-еР1/)’где
2-78. 0,209 пФ/см; 0,576 См/см; 5,76 Вт/см.
2-79. См. решение.
2-80. 2,49 • IO"8 cos 314£, А/см2; 1,24 • 10~10 cos 314г, А/см2.
2-81. 4 160 — 76,бе-104, пКл/м; 13,2 (l-e~1(w) х
'1 __104Z
х о,о12+(о,о2—х)2 — о,о1а+ж2 ’ пКл/м2; — 10-62е х
Х 0,012+(01,02-х)2--0Ж+^]’ ПКЛ/М2; где Ж’ М’ 0ТСЧИТЫ'
вается от точки, лежащей на поверхности земли под проводом.
2-82. ---0,354 нКл/см2; 2,5 мВт/см3.
• 2-83. 1) См. решение;. 2а) 0; 0; 26) 0,321 нКл/см3; — 0,177 нКл/см3;
За} 0; £7eoa2ea(d~x); 36) совпадает с п. За; 4а) 0;--—
(а -|- 6я?)21п —~—
45) совпадает с п. 4а. >
2-84. А. 1) Всегда равен 0; 2) 8 =£ const; 3) в ф const, но сво-
g________________________________________________________
водный заряд равен 0; 4) 8 = const; 5) невозможно. Б. 1) ----=
= const; 2) const; e/cr = const; 3) 8/а#= const; 4) s/o = const;
g___
---= const, t. e. 8 — const и о = const; 5) о = const' e/a^ const.
G
2-85. 2) 3e0E0 cosO; 3) добавится слагаемое #/4л807?.
T Cl
2-86. 2) 2soEo cos a; 3) добавится слагаемое — In —.
2-87. См. решение.
2-88. = — Eo 2?e— 2 cos a; = — Eor cos a + EoX
I &ir&e
X cos a; E^ — Eo ; q<^ связ — 2sqEq cos a .
2-89. 1) Линии D и E втягиваются в цилиндр, число линий Е
внутри цилиндра уменьшается. Линии Р существуют только внутри
цилиндра. Поле внутри цилиндра однородно; 59 пКл/см2. 2) Линии
D и Е выталкиваются цилиндром. Число линий Е внутри больше.
Линии Р существуют только в окружающем цилиндр диэлектрике.
‘Поле внутри цилиндра однородно; — 59 пКл/см2.
2-90. 3,42 кВ.
2-91. 20 кВ; 25 кВ; 60 кВ.
2-92. См. решение.
2-93. Eir=250 j,— , В/см; - Е№=- Ее6 = - 250^Д еР«.
Еег = 3 000^^ — 500 Ц- ePt> в/см, где Р = —(У1/е0(&г + 2&е) =
= — 0,943- Ю^с"1; /\ = Р^ = 196е^; Ре = 0; 3,3 • 10"8 Дж/см3.
2-94. 1) 0; 3 cos 0, мкКл/см2; 2) 5 cos 0,- мкКл/см2; 5 cos 0,
мкКл/см2.
2-95. 0; 112 мкКл/см2.
2-96. 1,82 • 10^ 80 j/ 2 sin (со£-|-249 10'), Кл/см2, где’ 80 —в Ф/см;
2,6 мВт/см.
155
2-97. ez • 1,82/2 • 103e0sin (at + 24° 10') + е„ • 1,82/2 х
X 10% sin (со£ + 2491О' — 90°), Кл/см2, где е0—в Ф/см; 83 мкН.
2-98. См. решение.
2-99. См. решение.
2-100.
. а ®о
fiad_4
—-—я+1 — еах
Р£о
d а2
X ( аеах------— ।. ч
\ /
2-101. (-50я3 + 675я + 500), В; (150гг2 — 675), В/см, где
х — в см; 1 450 В; — 75 В/см; 1) Ничего не изменится; 2) (—50я3 +
+ 500), В, при х d/2;
(-ЮОя3 — 130я + 1 160), В,
при х d/2.
2-102. 1) Да. 2) Нет.
2-103. KsQ cos а/Д3 sin20.
2-104. См. решение.
2-105. а) Поле двух элект-
родов — полуплоскостей разно-
го потенциала, сходящихся в
начале координат (рис. 2-1050):
<р=Ф1-<Р1~<;Р2”;
сх0
^)=Ф1=ф21п^
а0 С2 сс0
б) поле заряженной оси, проходящей через начало координат:
т , Сх , т
ф = о---In--; -ф =
• "тте. ?• 1 т
Здесь
2-106.
2-107.
2-108.
2Л8О г 1 Y 2ле0 а + ^2» 2ле0 ’
Ct и С2 — постоянные.
См. решение.
См. решение.
“, = 2^1П
_ т , 1 + (г/а)2п + 2 (r/a)n cos па .
. 4ле0 П 1 + (г!а)2п — 2 (r/a)n cos па ’
2) пле0/1п-^-; 3) семейство эквипотенциален: cos па —К/2 [(г/а)71—
пго
— (а/г)71}, где Д' — th ; семейство линий поля: sin па —
= С[(а/г)«-(г/в)’>], где C=Atg^~.
т , 1 —(z/6/е^’Р
W — — In ------—— -------•
2ле0 1 —(z/a)« ’
_. 1 + (г//2п - 2 (r/Ь)" cos п (а + р).
4ле0 1 + (г/а)2" — 2 (г/а)п cos па ’
. _____sin пр — (a/ry^ sin п (а 4- Р) + (Ь/г)п sin па_.
аГС ® cos «Р — (a/r)n cos п (а + Р) — (b/r)n cos па + («6/г2)п ’
о ,1 («2n + b2nj—2anbv cosnP
П2Я8“/1П ’ (J/-in2r2--------•
, т х 2 (г/a)71 sin па
^=2^arCtg .1-(г/а)2»
an — z'
ф
2-109. 1)
т
2ле0
2).
156
2-110. См.
2-111. См.
2-112. См.
2-113. См.
2-114. См.
2-115. См.
2-116. См.
2-117. 1)
решение,
решение,
решение,
решение,
решение,
решение,
решение.
W —---~---
2ло2
1п I (г+?Л) 2 <г -/Л) (:
*
Е
и
Ъо2
. л
S1H -г Z
_______6
, 2л. 2л J
си —Л —cos— z
о о
л
cos — z
+ -Л________________
, 2л, . 2л
ch -г h + cos -г- z
о о
3) РО = 187 Вт/м2.-
= 0,912; Wz/W1 = 0,910; 0,276 Н/м2.
94,8 -10"8 Дж.
1) 2,5 -10-2 Дж; 2) 5-10"2 Дж.
F = 2,22-10"? ж"2, Н.
F = 5,4-IO"2 Н = const.
17-Ю"9 а-2 Н-м/рад.
3,1-10"8 Н-м.
5-10-5 Н-м.
2,62-10'5 Н • м.
12,4-10“6 Н.
1) —12,5 В; 2) —125 В.
а) Изменится; б) не изменится.
1,06 (1 + 0,15а:), Н; 532-10"6 Н/см2.
668
1 + 0,15а? ’ Н;
2) Уо=-
1п
ЗТСУ2
= 0,045 См/м;
2-118.
2-119.
2-120.
2-121.
2-122.
2-123.
2-124.
2-125.
2-126.
2-127.
2-128.
2-129.
2-130.
2-131.
Q QQ
(1 + 0,15.г)2 1 н/см2-
Ответы к задачам гл. 3
а2
3-1. B = ^/sin3p = Ho/--------
2a 2 (z2 + a2)3/2
£
2
I 1
X 2
l-£(a? +Z/2)2 +a2 V{x — H2)2 + a2\
X (cos pi - cos p2). a) 0,485; 6) 0,329; в) 0,204>
3-3. См. решение.
3-4. В = Bz = 1,58 (г? — г2) • IO"9 Тл.
3-5. = +
3 2 B==[W£p
2
p,oZ^o
2
I -9 1 tg (Т/2 + л/4) 1
cos y—sm у + sm2 у In
tgy
157
В — Bz — p0
7ip0 ~
cos (y — p2) — cos (T ~ Pi) + sin2 Y X
3-6.
a)
3-7. В — Bz— p0
б) B = Bz=[i0^[cos$2 — cospj.
+[sin ₽2—sin px + In
tg (л/4+Р1/231
tg (n/4+ p2/2) ] •
3-8. B = p,0/u?/4a = 3,14 • 10 3 Тл.
3-9. II1 = nql3a\ H2 — nqa2/3z3.
'3-10. В =^- arctg “ = 8,9 • 10’6 Тл.
rca & 2h
3-11. См. решение.
3-12. 28,6 А/см; 12,7 А/см; 9,55 А/см; не изменятся.
3-13. а) Вг = 36 • 10~4 Тл; В2 = 0,32 Тл; В3 = 12 • 10"4 Тл;
Мх = М3 = 0; М2 = 2 530 А/см.
3-14. Е> 11+in Е2 . <3 in Z?_____
2л| 4' * rt b(rji-'i)2 r2z 4(rj —r|)J‘
3-15.. 11,6 см; 10 А/см.
3-16. См. решение.
347. _в=Е^ 1 —-|---- 1 -1=2,51 10-*х
2 I Гй2 + (к-Л)23 V а2 + (х+Л)23 I
1 11
х , ....4== +..............- ., , тл.
]/ 1 + (2х — I)23 I' 1 + (2х +1)23
3-18. Вх = —46,5 • IO-6 Тл; Ву = 155 • 10"6 Тл. Ось х —
ось второй катушки; ось у лежит в плоскости, определяемой осями
катушек, и направлена от точки М к первой катушке.
3-20. См. решение.
3-21. См. решение.
3-22. 75 (4г + 3/г), А/см2; 25 • 104 (г + 3/4г), См/см.
3-23. Я = /7а = а/ор — ~ In (-E-f 1
3-24. См. решение.
3-25. См. решение.
3-26. См. решение.
3-27. Ay = (- 100r2/rf + 101,5). 10~6 Вб/см при г < rf, А2 =
= (—2 In т/ту +1,5) . 10^6 Вб/см при Гу < г < r2; А3 = (r2/rf —
— 10 In r/r-y + 3,05)10~6 Вб/см прп т2 < г < г3; А4 — 6 при г > г3.
3-28. См. решение.
3-29. См. решение.
о о0 1П [(Ь+<02+/г21 [(Ь-^+г^+Л2! _ Е/ о QRR
4л [(d-rf)2+A2][(i> + d + 2.71)2+/l2] ~ 4л ,1566,
з-з1. л=лж=^ьL-+ |/Дн-1 )•
х 2л \2у 1 I 4у2 1 J
3-32. 0,693 • 10"6 Вб/м2.'
Q _ д2А . 1 дА А . о2А т т т А А
3“33- + г ~дг ~ г2 + -^2==— Но+ где J==Ja и Л = Ла.
158
3-34. A = y^- - .c^.sa dV, где 7?2 = r2 — 2rrf cos a' + r'2 +
4л J n
-p(z— z')2; r', a', z'— координаты точки наблюдения; г, 0, z— коор-
динаты элемента dV.
3-35. См. решение.
1 ц>
3-36. Цилиндр: N=^-\ Нт=:--т-*------; Нт-макс=2.
1+А(р-1)
1 1
Шар: 7Y=-^-; Нт =-----з-----; Нт. макс=3.
1+А (р-1)
3-37. A) ib = 2 • 1(Н Вб; Б) ib = 12,5 • 1СГ8 Вб; В) 1|> =
= 4,2 -КН Вб; Г) ф= 6,28 • 1(Г’ Вб; Д) i|> = 8,37- 10-’ Вб.
3-38. См. решение.
3-39. В—Ву=--------ПРИ и=0;
« п(п2-{-х2)
В = ВХ=-^-^ „ при Ж=0; A = h</WA==10-2 Н.
х 2л ИР—у2
3-40. См. решение.
3-41. Brt = -^^^sina[(l + ^4 + (l-^“l;
Мг+М1 [\ М2/ 7’1 \ р2/ r2J
Bal= Р0И1В2 -СГ 2+( 1+H1\ x
В2 + В14:Г1Г1 \ Н2/
D = B0H1H2 / ГН1 | Г2 —fe2l
a2 Ba+Hi^rLHi^ rl Г
Wife ' 2^sina;
М2 И- Mi r 1
J?r2 —
r2 — b2 , / . mA r2 — a2 1
x—r- + 1-— “tH;
ri \ М2/ r2 J
3-42. См. решение.
Рис. 3-430.
Рис. 3-460.
3-43. A = ^-ln r--: ri7’2 = £; линии вектора магнитной ин-
2л rrr2 1 z
дукции построены на рис. 3-430.
3-44. 2-In Л2 = НоН2оЧ1п -+til~M'2ln -Y
Н1 + Н2 2л га ™r22n\ r2 Н1 + В2 ri)
159
п ТУ 2цоН1Н2 1 a sin a D I . (а ,
3-45. ВГ1 - - И1+И2 : Bri - - Иоц2 2л sm а ^ +
, Hi-P-2 feV о_________ap.Qfap.s I г —geos а. _„„±±v
И1 + Н2 ri/’ М Цх + Иг2^ 4 ’ “2 2л 2гХ
/г^-а? Их—Ц2 г2 —Ь2 2р2 \
\ rl М-1 + Н2 Г1 Р1+Р2/
3-46.
1) г2 = С; 2) r2 = 6(r')4n
4-«2+^__________
« (п)2 ('•з)2”—(а—Ъ) г2п (г’)2 ’
Lli + Lio , , ,
где п = г -г ; г, i\ и г2—значения соответственно г, гх и г2 вне
Pi— Иг
цилиндра для точки, через которую должна пройти линия маг-
нитной- индукции. На рис. 3-460 показано несколько линий ин-
дукции.
3-47. 1а)
№ (in — + И1—Е2 In ; 16)
л \ Ро Р1+Рз «2 — гЦ’
X In
aa + rg.
a2-r2’
2а)
3-48. а)
б) №ln —
л Ро
Р0Р2 Pi —Из х
л Р1 + Р2
»(1П—+1п4±4\- 26)
л \ р0 а2— r^j л а2 — г2
Р0Р1Р2 1 I ( 1 | Р1\1П 2Ь |
Ц1 + Р2Л LA pJ Ро \ Иг/ >0 — &3 J
3-49. 0,38/г2, Вт/см3.
3-50. 1 000 (1 — cos 2 000 г), кгс.
3-51. (о^ = — 26°; 6,98 А; М = 0.
3-52. 0,74 Вт/м; AZ=/coZ ^=^1п
п р + 1
X (1 + 4/), Ом/м.
V
= 0,185х
3-53. Blw = 2,51 • 10“!? Тл; Р = 0,775 • 10“10 Вт/см. В заданной
точке Б2г = Цо 0,173 sin со£, Вб/см2; _В2а — — ц0 0,25-10“3Х
X sin (со£ + 0°34'30"), Вб/см2, где ц0 = 4л • 10“9 Г/см.
3-54. См. решение.
о dW 2г2иМЧ0-* тт
3-55. 1<1 = -~— =---(97"JjTiozj2 ——0,005 Н, где знак минус
указывает направление силы: она стремится уменьшить размер Z,
п дW 2w42r (9r + 20Z) 10“5_
т. е. сжимает витки катушки; =
. =0,0071 Н. ____
3-56. М = — /2 уЛ£х£2 • 0,4 sin а = — 3,84 • 10“3 Дж. Знак минус
показывает, что сила стремится уменьшить угол а.З
3-57. = (++/ = 0,14 Дж; Жв = ^?х5х
\^2 “Г Р^1 /
X (+|X.-')2;=o,112 Дж; L=0,504 Гн; F=E^ 5 (и-1) (-{^ Y =
V2+P^i/ 2 V2+P/1/
= 279,5 Н = 28,5 кгс.
3-58. 407 Н/см2.
3-59. Нельзя.
160
3-60. a) WMex = B2o5Zb+o = 22,1 Дж; б) Л=В§5/ц0=11050 Н ==
= 1 130 кгс; F2=B25/p,0 = 25 900 Н = 2 640 кгс, где BQ и Вк—ин-
дукция соответственно в начальном и конечном положениях якоря;
в) РГи = рбй|> = 8 Дж; г) дтгс=8 Дж; ДЖВ=—22,1 Дж.
3-61. а) РГмех= 39,1 Дж; б) F± = 11050 Н = 1130 кгс;
F2 = 25 900 Н — 2 640 кгс; в) WK = 25 Дж; г) Д Wc = 8 Дж; Д WB =
— ___22,1 Дж.
3-62. 4 • 10“? А/деление.
3-63. 5 Дж; 0,05 Н; 8 - 10"3 Дж.
Ответы к задачам гл. 4
4-1. 100 Вт.
, о тэ тт ~ Uld2
4-2. Вне проводов П =------------------—
4лх2 (х — с?)2 In —
го
4-3. 0,432 Вт/см2; 0,331 Вт/см2; 0,076 Вт/см2.
4-4. Щ - 7 200 Вт/см2; Пг = 0,264 Вт/см2.
4-6. 9,9 кВт/см2; 248 кВт/см2; 27,4 кВт/см2.
4-7. 1) = 456 Вт/см2; Пп = 5 • 10"4 Вт/см2; 2) П, =
= 11 400 Вт/см2; Пп = 28 • 10"3 Вт/см2; 3) П, = 2 850 Вт/см2;
Пп = 8 • 10“3 Вт/см2.
4-8. 1) 52,4 Вт; 200 + 5,24 • 10"3 А; 200 А; 2 000 кВт; 1/(1 +
+ 2,62 • 10-5); 2) 52,4 Вт; 231 Z 29° 50' А; 200 А; 2 000 кВт; 1/(1 +
+ 2,63 • 10-5).
4-9. 3,1Й(1 —е-895оо*)е-895оог? Вт/см2; 1,657-Ю"3 Дж.
4-10. 12,65 • 10~3 — 0,1265 cos (2со* — 13°), Вт/см2; 1,2+
+12 В • А.
4-11. 0,12е"^(1—е"™*), Вт/см2; 0,2 Дж. .
4-12. (15 + 7 26) 103 Вт/см2; 6 + / 10,4 Вт/см2.
4-13. 1 800 В. ~ /
4-14. 0; 2 а.
4-15. 1,57 В. _____________
4-16. ппВ (В2—-2с? cosco^ ]Лй2 — rf2 sin2 со^ + с?2 cos 2со£, со = 2лп.
4-17. 151 cos со£, мВ.
4-18. 0,25—1,25 t.
4-19. См. решение.
4-20. Нет; F=#(E+vxB), где Е = — grad ф—dA/dt.
4-21. 0; | е | [vxBz + ~ при г < R- 0; | е | при г >В.
4-22. | е | vyBz, при г<Я; 0 при г>Д.
4-23. v = qBr/m =1,41 • 106 м’/с.
4-24. vx = 2,8 • IO6- м/с; vy = 3,52 • 106 м/с; vz = 0.
4-25. а = 0, = 19 см; а = 8°, = 18,7 см.
4-26. Окружность радиуса г = mv/_qB.
161
6-27. B = K 2mUq-4h.
4-28. a) U mvl/6q‘, б) V mdv^lbq', в) mv^J6q <Z U < mdvl/bq.
4-29. Э=^(г|-г|) = 8 В; Рмех=Э1+соМ = 12 Вт; г] =
= 58,2%, где (о = 120лтг.
4-30. 2,08—2,95 cos (2coi — 29°40'), мВт/см2; 0,546 . 10~8; -100.
4-31. 5 • 10“Lsin (со£ + 30°), В/см; 0,584 sin (со£ — 15°), А/см;
4-32. 65 • IO’6 sin (со* — 270°), В/см; 0,73 sin (со* — 315°),
А/см; 1,26 • 10"2 Вт/см3; 5,5 • 10-4 Вт/см3.
4-33. div П = - =- Я*тсор.1лое-2“ [1 -J-sin х
X (2coi—20z) j = — 0,315е~8,88z [l+2sin (2co< —8,88z)],. Вт/см3; pa =
= 0,315e~8,88z [l + sin(2wf-8,88z)], Вт/см3; Рм=-^“- =
= 0,315e“ 8’88z sin (2co£ - 8,88z), Вт/см3.
4-34. 900 — j 280; 0,236 Z — 17°20' Тл; 208 z 72°40' B;
0,107 mm; 7,4 + j 220 B. •
4-35. См. решение.
д Qfi ' — I H I P sk ^aa ~l~ a s*n __ 15 s11 ^aa+sin 2$ a
^CP | y|2a(ch2aa + cos2pa) a (ch 2aa + cos 2$a) ’
" — । H-l ash 2aa — p sin 2pg _ 2,3 sh 2aa — 2,15 sin 2Pa
^cp— 1^)2 a (ch 2aa + cos 2pa) ~~ a (ch 2aa -f- cos 2Pa) ’ Где
= a 4-/P = /coo|i|io = 232+/217 см-1.
Эти зависимости представлены на рис. 4-360, где пунктирные
кривые соответствуют проницаемостям без учета потерь на гистере-
зис.
162
fl
4.37. P = <o Ио -
2а, мм 0,016 0,06 0,2 0,5
М'Ср 400-/2,7 397-/38,2 198—/163 63,6 — 7’63,6
Р, Вт 0,071 1,0 4,3 1,67
4-38. 400-/13,4; 63,6(1—/); 2a2 = 2a± ]/co1/o)2 = 0,0353 мм.
4-39. См. решение.
4-40. См. решение.
4-41. При 7г/г0 = л/2 или 7г = 1,48 см; Z — R^ (1+/) th-^- =
= 0,917 (1+/), где jRoo = -^-=37,2 • 10“5 Ом/м — сопротивле-
ние при резко выраженном поверхностном эффекте, z0 —глубина
проникновения. В других экстремальных точках сопротивление
практически не отличается от R^,
4-42. См. решение.
4-43. См. решение.
4-44. См. решение.
4-45. 1) Яо(1+/0,0028); 2) Ro (2,05+/0,555); 3) RQ (53+/53),
где 7?0 = 56 • 10-4 Ом; 1,077 L 31° 11'.
4-46. 2,7 см; 6,33.
4-47. 3,55; 41°.
4-48. По точной формуле: R = 0,76 • 10-3 Ом/м; X = 0,665 X
Х10“3 Ом/м. По приближенной формулё: R = X — 0,675 • 10-3 Ом/м.
4-49. 1) 5,35; 10,35; 25,35; 2) —; 2,4; 3,53.
4-50. а) 1,51; б) 1,26; в) 1,0; а) 0,536; б) 0,387; в) 0,248.
4-51. См. решение.
4-52. AZ=/coiP2Jir§ (р,Ср —1) = 5,86—/56,1 Ом, где р,ср =
_2p.Jt (grp)
«"Ыо (qr0) ’
4-53. а) 16,8 — j 42 Ом; б) 20,5 — j 12,1 Ом; в) — j 62 Ом;
SC/SK ='— Дж/*о = 62/100.
4-54. Z=Z0(hcp —^ + 1), где Zo=/<oy р050 и р.Ср =
^2^, Ji (£o| а) Z=26,4+/660 Ом; б) Z = 2 060+/5 510 Ом.
4-55. При r0=l,77z0, где — глубина проникновения,
Рмакс ~ 0,378 (O|i0lu/Zg, где Яо — напряженность магнитного поля,
создаваемого током катушки.
4-56. 10 200 Гц; 28,4 Ом. ~
4-57. 1,016 МГц; 3 140 Ом. -
4-58. (19,3 + / 257) 10~3 Ом/м; а) / 248 • 10"3 Ом/м; б) (19,3 +
+ / 8,9) 10"3 Ом/м.
163
4-59. 39,4 мкВ; 1 265 кГц.
4-60. 0,0657 мкВ.
4-61. 7,5 мкВ.
4-62. 10,75 В/см; 0,0284 А/см.
4-63. 1) 31,4 см; 0,665 мкА/м; 2) 0,67 мм; 20,7 мкА/м.
4-64. 1) 31,4 см; 0,00985 мкА/м; 2) 0,67 мм; 4,16 мкА/м.
4-65. 92,5 Н • м; 2,64.
4-66. 1,67 см; 2,65 • 10’3 см.
4-67. a) TEwn, т — любое; п = 2р + 1; б) ТЕ т — любое,
п — 2р; в) TEwn, т = 2р, п — любое; г) TMwn, т = 2р + 1,
п — любое; д) TMwn, т = 2р + 1, п = 2q + 1; е) TMmn, т =
— 2р + 1, п = 2q\ в случаях бив токи в штырьках в противофазе.
4-68. а) 1) ТЕ01; 2) TEmn при тп = 01; 11; 03; 13; 21.
б) ^Распространяющихся волн нет; 2) TMwn при тп — И; 12; 13.
4-69. 4,64 Вт; 4,46 • 10~6 Нп • слг1; на 8,92 • 10-2%.
4-70. 4,85 Вт; 4,85 • 10’3 Нп • см”1; на 0,24%.
4-71. 592 Вт.
4-72. 772 Вт.
4-73. 936,4 Вт.
4-74. а) 8,2; б) 11,9; в) 13,96 ГГц.
4-75. См. решение.
4-76. 13 мм.
4-77. 207 А.
4-78. 3,8 • 10"? Вт; 3,8 • 10~9 Ом.
4-79.
4-80.
4-81.
_ ja^Ilzy /
4nR3 \
3 f
X av
= j/a:2+y2 + z2.
4-82. Ё-
— (
ф 4nR
Ьх 4я7?3 \
^jk0R k2R2
1 1 '
1+/M
iikfo /
4л7?
---д— • где k0 = м/с J R = Vx2+y2+ z2.
1 1
jk0R k2R2)e 3k°R^o-Oi/c;
3 3
//с0Я
e—jk0R.
е— ik0R.
,/? k2R\
ktf?
_7co|xo/Z Г z2/
2 4nR L-R2\
fr _1Щу!
x~4nR V
Л g—jk0R,
Ёу —
3
ikoR
_i______q x
jkvR k2R2) X
k^u/c, {R =
. a________Sllzy . • Ilz
4jame0R^’ y 4f(one.0R&. ’ z 4/<oneoR?
rr _ My . TT . . if __fl
“x~ 4НЙ’ й^-4лДЗ’
i^llzx jkoR. л iWoIlzy jkoRi
4nR3 e . ' 4лЛ« e ’
-1\ e—ik0R. л _Hkay _ Ilkax
1,e ’ •И““4Л7Д2 6 ’ ----4л/Д2><
co2po^2 (я2 + 2/2)
4-83. Ёх
__ / z2
“"4KR"\^2
y e—3k0R' TT _Г). TT ______________________
X e , и- 16я2(,д4
4-84. 80 jt2Z2(Z/X)2, где X = 2лс/со.
1
164
ЛИТЕРАТУРА
1. Поливанов К. М. Теоретические основы электротех-
ники, ч. 3, М., «Энергия», 1969.
2. Нейман Л. Р. и Демирчян К. С. Теоретические основы
электротехники, ч. 2, М., «Энергия», 1966.
3. Говорков В. А., Купалян С. Д. Теория электромагнит-
ного поля в упражнениях и задачах. М., «Высщая школа»,
1970.
4. Купалян С. Д. Теоретические основы электротехники,
ч. 3, М., «Энергия», 1970.
5. Гольдин О. Е. Задачник по курсу теоретических основ
электротехники, М.—Л., Госэнергоиздат, 1960.
6. Даревский А. И., Кухаркин Е. С. Теоретические
основы электротехники, ч. 2, М., «Высшая школа», 1965.
7. Говорков В. А. Электрические и магнитные^ поля.
М., «Энергия», 1968.
ПРИЛОЖЕНИЕ
СП
Декартовы, цилиндрические и сферические координаты. Операции векторного анализа
Элемент длины
d\ = i dx + j dy -f- k dz
rfl = er dr + ear dcc-f-k dz
d\ — eR\ dR + e07? d$ + ea7? sin 6 da
grad ф = i dqldx + j dy/dy + k d(p/dz = er dq/dr + ea — dcp/da + k dqjdz = eR dq/dR + e0 "L dq/dQ + ea - Эф/da
г л л sm и
dFx dFv dFz ld(r Fr) i dF„ dFz id(R^FR) 1 d (F. sin 6) 1 dFn
dx ' dy ' dz r dr da * dz R*1 dR ‘7? sin 0 <90 ’ ^7?sin0 da
Продолжение приложения
> j к 1 а oN еД < ee \®a
r a r Й2 sin 6 R sin 6 к
rot F = v X F = dx dy dz = д д d dr da dz = L d dR dB ~R
F F F Л x у Л z F rF F r et 1 z Fr R sin 0 • Fa
div grad Ф=v2 Ф=д Ф=- -7г +92 Ф = - д±ы 4. 1 1 /ч1п А 4-
g <р УФ Ф dx2 тг QyZ-r gz2 г дг\ dr I + г2 да.2 + dz2 R OR2 ^"R^sin 6 56 \Sm 6 д 6 /
. 1 д2 ф
' ' +R2sin2 в5а2
, divrot F = y X ух F = 0; rot grad ф = у x у ф=0
div(AxB) = v(AxB) = Brot A —ArotB
rot rot F,= у X (v X F) = grad div F—y2 F
<§FdS=$divFrf7; dl = $rotFdS
05
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие....................................... 3
Глава первая. Вводные задачи...................... 5
1-1. Симметричные задачи....................... 5
1-2. Анализ полей.............................. И
Глава вторая. Электрическое поле....................... 13
2-1. Электростатическое поле в вакууме.............. 13
2-2. Электростатическое поле в диэлектрике.......... 18
2-3. Стационарное электрическое поле в проводящеисреде 21
2-4. Квазистатическое электрическое поле в реальной
среде ....’................................... 24
2-5. Уравнения Лапласа и Пуассона................... 28
2-6. Применение функций комплексного переменного к
расчету потенциальных полей.................... 31
2-7. Энергия и силы в электрическом поле............ 35
Глава третья. Магнитное поле........................... 37
3-1. Магнитное поле в однородной неограниченной среде 37
3-2. Дифференциальные уравнения магнитного поля. Век-
торный и скалярный потенциалы.................. 40
3-3. Магнитное поле в присутствии магнитных тел ... 43
3-4. Энергия и силы в магнитном поле............... 46
Глава четвертая. Электромагнитное поле................ 48
4-1. Теорема Умова—Пойнтинга......................., 48
4-2. Напряженность электрического поля в переменном
поле и в присутствии движущихся сред. Движение
заряженных частиц в электромагнитном поле' ... 51
4-3. Электромагнитное поле в проводящей среде. Поверх-
ностный эффект................................. 54
4-4. Волны в идеальном, и реальном диэлектрике. Вол-
новоды, резонаторы, излучение.................. 59
Методические указания и решения ...................... 63
Ответы................................................ 149
Литература .......................................... 165
Приложение. Декартовы, цилиндрические и сферические коор-
динаты. Операции векторного анализа................166
Цена 38 кон.