/
Автор: Богуш А.А. Мороз Л.Г.
Теги: физика теория поля электродинамика теоретическая физика механика сплошных сред
ISBN: 5-354-00553-1
Год: 2004
Текст
А. А. Б()r;yш
Л (.'.MQp:09:
В,ВЕ,ДЕНIИ[Е'
' .В ; . ' r . .' Е Ш"" .О ' ' р ШШ, .' И ",Ш': Ю Ш' ' . '. ..' . "
,- - -. ,: '-- ) .- . ::' .
-.- -,
.... .Ш'" "ш.> . I11III .
КЛJ\.С С2ич'r::'с :ки'х
Пr()П:ЕЙ ..........,.. ,'. . ...
. .."... "'., . :::", .' ,. . { "..:... .;
:: :.. . , .': <......";". >.. . :..,:..:': .::: '.:' ...
[!J
УРСС
А. А. Боryш
л. r. Мороз
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
КЛАССИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ
Издание второе. стереотипное
Москва · 2004
УРСС
[)ЬК 22 111, 22 312
Боrуш Андрей Александрович, 'Iороз .1eB fjJИrорьевич
Введение в теорию классических полей. И J,], 2 c, сrсрсоrипнос
МЕдиториал УРс'с. 2004 384 с
15BN 5 3 4шОО553ш 1
в книrс и злаrаЮТС5! н д()( таточно доступноi1 и КО,lПактнои фОР\1С основы
К. ассическоЙ теории ВОflНОНЫХ полеи '!астиu с ра3ЛИЧНЫ"1И спинаVl}' Подро5f10
расс"ютрены важнеишие ИСХОЛ,lIые ПРИНllИПЫ на которых базируется ПОСJроение
)6шсЙ ТСОрНН полей Дано опиu\Ние конкретных ПО_lеtl, сопоставrшемых j'le
\\ентарным чаlJиuа\1 со СП!1НО\j О. 1/2 п 1 Оно нк.почает 13 се6я ИСПО.IЬ303ЮН1С
рс !}!ТИВI1СТСКИХ НОrIНопых уравнениЙ псрвоrо порядка е лое.1СДУЮUl!lМ ЛрИ\lСНС
""ие,! ковариантноrо подхода. в основе KOToporo .1СЖИТ общиЙ мстод ЛРОСКН1Вных
I)псраторов ИЗ.10жена I<.:lассическая ФОР\1У_lировка теории пынмоДеЙС1В\'ЮuШ""
полей, в ра\1ках котороЙ пропе'lено описаНl1е нею1ТОрЫ'l. конкретных процессоr)
'.IеКТрО\.1аrнитноrо взаимодсЙствия J'1с'V\снтарных частиц.
Книrа РdСС'lИтана на преподаВdте1СЙ и CTyдeHllJВ физичсеКlIХ епеШliLЛk
ностеЙ униперси тетоп. педаrоrи'rСlКИХ и 'J.руrих BYJOB Она БУДС1 ПО!1СJНОli нс
TOlbKO lL1Я '1I111 слеUШL1ИШРУЮUШХСЯ!J оБТ1асти теоретическоЙ физики но и iL1Я
широкоrо крута ЧИ1dте.lей интересы которых связаны с физикой J e\leHTapHbJ'\
час пш и ядерноi1 ФИЗllкоil. а также со lJсеми друпт,,!И разде_1а\1И СО13ре\1енноЙ
фишки, rдe псе шире ИСПО.1ЬЗ\1ОТСЯ I1'lеll1l \IaтематическиЙ аппарат J.-лассичесЬ.ои
и квантовоЙ тсории ПОlСЙ
ПОД редаКl\ией Ф И Федорова
И1Д,iтеЛЫ..:JDО (,L:rиториа...1 ур<. (,) 1173!7 r \ltKКnd np T 60 Лl'ТИЯ Октября 9
ТlипеН1"Н ид '" 0,175 01 250(, 21101 I ПО ,Л1IС<I"О К печаIll O 10 2003 ]
ФОР"J1 60х90/16 Т"раж 4B ,С3 П с. 1 4 3ah ,,, 2.1113,"'1
OrПt'"чапню в ПJПоrрафи.I ОО() <Ро\сн 11"73]J r Москва Пр Т 60 JI ПJ.Я ОК1я6рч
ИЗДАТЕЛЬСТВО УРСС
i , Д [ Й :.;' :::::":'::""" I
Каталor изданий !
в Jпteтet htlp IIURSS ru '
Тел Iфакс 7 (095) 1 З5ш44 2З I
Тел Iфакс 7 (095) 1 З5 -42 4
ISBN 5 354 00553 I
(() А, А Бо!уш. Л I 'v10РОЗ
196 , 2004
(t,. Е;:шториа:l урс С. ]004
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книrа представляет собой попытку систематн
ческоrо изложения основных вопросов классической теории
ПО.lеЙ, сопоставляемых элементарным частицам В ее основу
положен материал спецкурсов, прочитанных в Белорусском
университете им. В и. Ленина к.ниrа может служить посо-
бием ДЛЯ студентов и аспирантов, специализирующихся по
теоретическоЙ физике.
Содержание и струКтура книrи определялись прежде Bcero
стремлением к тому, чтобы она БЫ.lа доступной, дава.'1а доста-
точно цельное представление о предмете и моrла служить
основой для последующеrо более уrлубленноrо изучения Teo
рии элементарных частиц и квантовой теории по.'1я В силу
этоrо книrа не претендует на полное и всеобъемлющее осве-
щение специальных проблем классической теории поля в ее
современном состоянии.
Большое внимание уделено раскрытию содержания OCHOB
ных принципов, используемых при построении теории ПОJ1Я,
физической интерпретации ее ПО.'10жений и результатов, дe
тальному изложению применяе 1Оrо математическоrо аппара-
та. Включение связанноrо с этим вводноrо и вспомоrательноrо
материала имеет своей IIелью облеrчить работу читателя,
освобождая ero на первых порах от необходимости привлече-
ния дополнительных ИСТОчников.
Характерной чертой ПрИНЯ'fоrо в книrе способа изложения
является описание полей элементарных частиц на основе
уравнений перВОI"О порядка в матричной форме. Применение
этоrо подхода к частицам со спином О, 1/2 и 1 (включая фото-
ны) позволяет широко ИСПОДЬЗ0вать ковариантные методы
расчета. Сущность ПОСJlедних состоИ1 в том, что сведения об
элементарных частицах извлекаюtся из общих алrебраиче-
ских свойств матриц, входящих в соответствующие уравнения
поля, без использования их явноrо вида. В основе TaKoro под-
хода лежит развитыЙ Ф. И. Федоровым общиЙ метод проек-
тивных операторов, с помощью KOToporo решения уравнений
по.!!я и все появляющиеся в теории физические ве.'1ИЧИНЫ
3
(энерrия, импульс, заряд, вероянlOСТИ переходов и т. д) BЫ
ражаются в ковариантном виде, не связанном с частным вы-
бором базиса в пространстве функций поля.
В последних двух rлавах, посвященных описанию взаимо
действующих полей, рассмотрены некоторые процессы эле к-
тромаrнитноrо взаимодействия элементарных частиц без
явноrо проведения процедуры вторичноrо квантования и по-
строения матрицы рассеяния. При этом оказалось возможны !
уже в рамках классической теории поля получать сечения
раLсеяния (в первом неисчезающем приближении) в полном
соrласии с теми результатами, которые дает для них кван-
товая электродинамика.
Первые два раздела книrи написаны А. А. Боrушем, авто-
pOl\! TpeTbero является Л. [. Мороз.
Авторы считают своим долrом выразить rлубокую б,JIаrо-
дарность Ф. И. Федорову за постоянное внимание и исключи
тельно большую работу, проделанную им как научным редак-
торо:\-! настоящей книrи. Ero идеи в значительной мере опреде-
лили содержание и специфику кнши, а мноrочисленные
замечания, советы и указания ее структуру, характер II
стиль изложения
Авторы признательны А. Е. Левашеву, О С. Иваницкой.
Л. М. Томильчику, Л. И. Комарову и всем друrим товарищам,
оказавшим помощь и содействие в работе над книrой и в под-
[отовке ее к печати.
l
ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В МЕХАНИКЕ
И КЛАССИЧЕСКОй ТЕОРИИ ПОЛЯ
rлава I
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШErО ДЕйСТВИЯ
1. Лаrранжев формализм
Теория поля может быть построена по анало
rии с классической механикой системы MaTe
риальных точек.
Напомним, что состояние системы материальных точек по.rJ.
ностью опреде.тJЯется заданием обобщенных координат системы
ql (t), qz (t), qз и), ..., qn и) и обобщенных скоростей
Обобщенные
координаты
ql и)
dql (t) ,..., Qn(t) '=' 9n (t) ,
dt dt
[де п чIiСло степеней свободы системы. Обобщенные координа
ты qi (t) представ.'JЯЮТ собой некоторые не зависимые друr от дpy
l'а функции от координат всех точек системы и полностью опре
де.пяют конфиrурацию (взаимное расположение точек) системы.
Обобщенные скорости q, (t) определяют характер изменения кон-
фиrурации системы с течением времени,
В частном случае обобщеННЫ\fИ координатами и обобщенными
скоростями MorYT служить трехмерные декартовы координаты
х (t), у (t), z (t) и их производные по времени компоненты век-
dx dy dz
тора скорости. V x == . , V == , V z == .
dt у dt dt
Подобно тому как три декартовых координаты х, у, z опре-
деляют положение материальной точки в обычном простран
стве с тремя измерениями (относительно некоторой выбран
ной системы отсчета), совокупности значений обобщенных
координат qJ, Q2, .", Qn В данныи момент времени можно сопо-
ставить некоторую точку в условном, воображаемом прост-
ранстве, имеющем п измерений (координатных осей). Эту
точку будем называть изобраЖQющей точкой системы, или
проClО изображающей точкой. Каждой такой точке будет соот-
5
ветствовать своЙ определенныЙ набор обобщенных координаl',
т е. свое определенное состояние системы материальных то-
чек в целом Так как сОстояние этой механической системы
определяется конфиrурацией составляющих ее материальных
точек, и, следовательно, изображающая точка с заданными
обобщенными координа rdMH соответствует некоторой конфи-
rурации системы, то введенное мысленно условное простран-
ство n измерений называют nространством конфисураций,
или конфиеурационны.11. npocTpaHCTBOJt.
Точно так же, как функции хи), у(п, z(t) определяют в
обычном пространстве некоторую линию, траекторию ;хвижу-
щейся материальной точки, совокупность обобщенных коорди-
нат как функций времени, Чl (t), q2(t), ..., Чп (t) определяет
линню, описываемую при движении изображающеЙ точки в
l:онФиrурационном пространстве, Именно в этом смысле и ис-
пользуется в классической механике выражение «движение
C!lCte:l-lbl». rоворя так, мы имеем в виду движение изображаю-
щеЙ точки, которому соответствует определенное изменение
состояния, конфиrурации всей системы.
Для Toro чтобы найти явный вид функций
Qi(t), определяющих истинное движение си-
стемы, нужно знать закон движения этоЙ
системы, иначе rоворя, те уравнения, которые связывают меж-
ду собой функции Qi(t) и их производные и определяют этот
закон.
Эти уравнения называют уравнениями движения По отно-
шению к функциям qi(t) они представляют собой дифферен-
циальные уравнения BTOPOl'O порядка (наряду с первыми про-
ИЗIЮДНЫМИ по времени скоростями, они включают в себя
вторые производные ускорения). Решения этих уравнений
и Оl1реде,'JЯЮТ искомые выражения Д,15I обобщенных координат
и скоростей системы, т. е. определяют траекторию истинноrо
движения системы. Как извесТНо, в общем случае решения
дифференциальных уравнениЙ BToporo порядка относительно
п неизвестных определяются с точностью ДО 2п ПРОИЗВО.1ЬНЫХ
посrоянных интеrрирования Чтобы получить опредсленные
выражения для qi и), нужно предварительно задать значения
всех Qi и) и q; (t) в некоторый начальНый момент вре\Jени,
т. е, задать начальное состояние системы.
Таким образом, решение задаЧIl о движении механической
системы сводится к состанлениЮ уравнениЙ движения с после-
дующим решение 1 их при задаНIIЫХ начальных условиях.
В ряде случаев закон движения хорошо известен из дича-
МНЧ('СЮIХ соображений, и составление уравнений ДВИiКеНIIЯ не
представляет особых трудностеЙ В частности, простеЙшим
уравнением движения является соотношение, выражающее
второй закон Ньютона (До15I маТСРИа.1ЬНОЙ ТОЧКII):
6
Уравнения
движения
" дU
mx==F==
Х дх '
(1. 1 )
[де U (х) некоторая заданная Функция от координаты, опреде--
ЛЯlOщая потенциальную энерrиlO материальной точки.
Пример. В с.1учзе одномерных I армоничеrких колебаний материальной
1 дИ
точки, коrда U (х) kx 2 и, СЩ'ДОI<ательно. r x kx, со--
2 дх
rласно (1 1), ИlVlеем
тх kx, (1 2)
т масса, k коэффициент упруrости, роль обобщенной координаты q (t)
иrрает обычная декартова координата х (t)
Однако такой подход, основанный на использовании зако
нов механики Ньютона, при всех своих преимуществах с точ
кв 'зреНIIН наrлядности физической интерпретации не является
обrцим, так как распространение ero на случай сложных Me
ханических систем ПрИВОДИТ к известным трудностям и He
удобствам.
Эти трудности удается преодолеть на основе
использования общих принципов классиче
екои механики, каким, например, является
вариацион-н-ый прин-цип стацион-арн-ою дeй
ствия или прин-цип н-аи.иеньше20 действия. Этот принцип дает
общиЙ рецепт получения уравнении движения для весьма ши
pOKoro класса механических систем.
Каждая механическая система может быть охарактеризована
некоторой функцией от обобщенных координат qi (t) и обобщен
ных скоростей qi (t) TaK называемой функцией Ласран-жа L:
L == L (ql (t), ..., qn (t); ql (t), ..., qn (t), t) ==
== L (qi (t), qi (t), t), (1.3)
[де п число степенеЙ свободы системы. Вопрос о явном ви
де этои функции можно пока оставить в стороне. Для даль
неишеrо достаточно считать, что такая функция существует.
е ПОМОЩJ>Ю функции Лаrранжа L может быть определена
новая физическая ве.'1ичина S, которую называют функцией
действия, или просто действием.
Е,
S == S L !ql (t), qi (t), tl dt. (1.4)
t.
Принцип
иаимеНl,шеrо
действия
Эта величина предстаВJlЯет собоЙ некоторыЙ криво..тrинеиный
интеrра,1], взятый вдоль ,7JИНИИ В конфиrурационном простран
стве, задавае IOЙ набором функций ql(t), q2(t), ., qn(t) на He
котором ее конечно!\! учасrке от изображающей точки систе
IЫ с координатами QI(tJ), Q2(i J ), .,Qn(tl), определяющей co
стояние системы в момент времени t l , до точки С координатами
7
QI(t2), Ч2(t2) , ,qп(t2), опреДСJ!яюшей состояние с!lсrеыы в
\10:\1ент t 2 Очевидно, что при фиксированны\. значениях t) и t 2
ВС.1ИЧИllа Иllтеrрала S (1 4) будС'т ' ависеть от Toro, ВД(JсlЬ ка-
кой .1ИНИИ проводится интеrрирование, т е or вида функциЙ
q,(t)
В отличие от непосредственно измерясмых на опыте физи-
ческих весlИЧИН, какими ЯВJIЯЮТСЯ, например, энерJ'ИЯ, Иi\IIlУ.1ЬС
и т д, физическое содержание введеННОIО понятия «деЙствие»
раскрывается в том, что с помощью ero форму.тшруется фун-
дамента.1LНЫЙ принцип классическоЙ механики принцuп
стацион.арн.осо действия. Оказывается, что все истинные дви-
iКеНIIЯ (изменения состояния) механических систем протекают
так, что действие при этом ПРИНlIмает минимальное (экстре-
малыюе) значение I
Принцип стационарноrо действия пlасит.
IIстшшое движение системы в промежутке от t i до t 2 соот-
ветствует такому виду функций qi и), ДЛЯ KOToporo интеrрал
/.
S == J L {qj и), qi (t), t} dt
1,
имеет при этом Мl1ЫИМУМ (экстремум)
Требование минималыIOСТИ деЙствия наКс1ддывает жесткие
оrраНlIчения на ФУНКIlИИ qi (1). Действительно, как будет по-
казано ниже, решение задачи об определении МIIНимума ннте-
rрала (1.4) приводит к дифференциаЛЬНЫi\1 уравнениям, KOTO
рым должны УДOJ.злетворять функции qi (п, ОПifсьшающие
истинное движение системы Очевидно, эти уравнения будут
предс rавлять собой не что иное, как ур,шнения движения для
рассматриваемой системы.
Для Toro чтобы получить эти уравнения, буде7\1 рассматри-
вать ПрОliзвольные, но бесконечно малые отклонения TpaeKTO
рии движtння изображающей точки системы, полаrая состон.
1'!11Я системы (положения изображающей точки) в начальныЙ
(tl) и конечный (2) моменты времени фиксироваННЫl\!И Изме-
нения интеrрала действия, вызванные подобными бесконеч
но маЛblМИ ИЗ:>fенениями (вариациями) траеКТОрl1И можно
исследовать с помощью вариационноrо исчисления.
Вначале рассмотрим систему с одноЙ сте-
пенью свободы, т е систему, которая ОШI
сывается одноЙ обобшенной координатоЙ
q(t). Это может быть, например. движение
материальной точки ВДО,JJЬ оси Х, описываемое обычной декар.
?вой коор динатой x(t). Задача сводится к 01ысканию такой
1 ''''\aKCHMY 1 действии может имеJI, \епо при весь,,!а спепнrjтчеСl\НХ
УС.1ОВИЯХ, коrда речь идет о дви::кении на достаточно 60.11 Ш:);1 учас r,('
(С\1 , напри\!ер. Л Д Л а н Д а у, 1: .'\\ ,;1][ ф 111 И Ц Механика ,\1 ПП] Л.
1958)
8
Варьирование
функции
действИя
функции q(t), которая реализует экстремум криволинеЙНОl'()
ИН1еrра.ТI3
1,
S == .1' с {q(t), q (t), t} dt,
1,
(1.5)
взятorо вдоль кривой q и) на участке от t\ до t 2
Покажем, что решение этой задачи может быть сведено к
обычноЙ задаче дифференциальноrо исчисления на отыскание
эк тремума ФУНКЦИИ Для этоrо рассмотрим однопараметри
ческое семеЙство кривых q (а, t), одна из которых искомая, т е.
обеспечивает M\IНI!MYM интеrрала (1 5) Каждой кривой ce
меЙства соответствует свое значение введенноrо дополнитель
но непрерывноrо параметра а. На кривые семейства наклады-
вается требование, чтобы все они проходили через одни и те
же фJlксированные точки (t 1 , q\) И и2, q2), опреде.JJяющие со-
стояния системы в начальный иl) и конечный (t2) моменты
времени. Предположим, что искомая кривая определяется
значением параметра а==О Тоrда в качестве одноrо из ВОЗ-
",южных семейств, удовлетворяющих указанным выше усло
вия;>,!
q (а, t 1 ) la o == q (О, t 1 ) == ql; q (а, t 2 ) la O === q (О, t 2 ) == Q2, (1.6)
можно взять семейство, ОПJ{сываемое функцией
q (а, t) == q (О, t) + ач (t).
Здесь q tO, t) искомая кривая, а Ч (t) произвольная функция,
обращающаяся в нуль при t == t J и t == t 2 . Подставляя вместо
q (t) функцию q (а, t), интеrрал (1.5) можно записать в виде
1,
S == S (а) == 5 L ( q (а, t), q (а, t), t) dt.
1.
(1.7)
Условие экстремума для этоrо интеrрала как функции от пара-
метра а определяется по I{Звестным правилам дифреренциально-
ro исчисленИЯ:
( ) == о
да а o '
ИЩJ
1,
, ( ) dt =со О,
V да a O
1,
(1.8)
9
так как пределы инте,рирования фиксированы и не зависят от а.
Записав производную от интс,рала (1,7) по параметру а в виде
дS ( а)
да
1,
r { дL !!!I + дL дq l dt,
J дq д а дq д а f
1,
после инте,рирования второ,о сла,аемо,о по частям найдем
12 . 12 1,
S д dt j ' ( aq \ dt == (' ( д ) !!!Ldt,
дq д а aq dt ,д а ) J dt дq д а
1, 1, 1,
так как
дq \ 12 ==.о j 1'J (t) 1 11, =: о
vq д а 1, дq 1,
в силу ТО,О, ЧТО 11 (t 1 ) == '1'\ (t 2 ) == О. В ито,е имеем
12
==- (' { ( )} !l!Ldt. (1.9)
д а J дq dt дq д а
1,
Учитывая теперь, что, со,ласно ус.ТIOвню экстремума (1.8), про
изводные по параметру а нужно брать при а == О, и умножая
равенство (1.9) на дифференциа.l da, ПО.1УЧИМ
( ) da (2, J . Ш ( \) } ( ) dadt
д а ,a O J \ дq dt дq, a O д Il a O .
{,
Введя специальные обозначения для дифференциалов от функции
S, J , q, q по параметру а
( дS '
) da == БS;
д а a O
( L ) dа=-=бq,
, д а a O
( ) da == б L;
д а a O
( д' ,
.......!L.. ) d а == б q,
д а a O
(1.1 О)
будем иметь
12 1,
б S =-= S б Ldt == S { ( . ) l f б qdt. (1.11)
дq dt дq a O
1, 1,
10
Ввиду тот что функция 11 (t) может быт!> любой, величины
1')5, 1') L, 6 q и 6q можно рассмаТРl1вать как произвольные бес
конечно MaJlble i!3менения функций 5 (а), L (а, [), q (а, t), q(a., t),
оБУСJ10вленные бесконечно малым изменением параметра а в OK
рестности значения а == О Эти Вf'личины называют вариациями!,
а формулы (1.1 О) можно считать их аналитическим определением.
При этом в отличие от б q вариации б 5 и 6 L являются по cy
ществу вариациями от сложных функций (функции от функций).
Из определения вариации, как нетрудно видеть, следует, что
вариаIlИЯ от сложной функции определяется I'<aK дифференциал
от этой функции с последующей заменой символов дифференциа-
ла (d) на символы вариации (6). Так, например, мы можем сра
зу записать
. aL I aL .
б L (q, q) == 6 q т б q.
aq oq
Заметим, что различие между символами d и б сводится к тому,
что, например, дифференциал dq берется по одной И той же Tpa
ектории для различных моментов времени, в то время как вариа
ция 6q берется для одноrо И Toro же момента времени и опре
деляет бесконечно малые отклонения кривых семейства относИ-
тельно искомой.
1 ВЫВОД формулы (I 11) можно было бы сразу провести, не Вводя явно
произво.%нorо параметра а. Д.ТЯ этоrо достаточно рассмотреть вместо семейства
кривых q (а, t) семейство q (t) + о q (t), rде q (t) истинная кривая, а о q
некоторая бесконечно малая функция (вариация функции q (t»), для которой
(. q (tl) (. q (2) О.
За\!ена q на q + о q приводит К следующему изменению величины действия S.
1. 1,
S L(q+oq, q ! '(,q, t)dt S Цq, q, t)dt. Разлаrая эту разность в ряд
1. 1.
ОТНОС!!lел>,но бесконечно Ma. ЫX величии а q и oq, оrраничиваясь их первыми
степеня\П1, ЧЫ МОЖбl записать
I . I! 1: ( дL дL. )
'OS 'O \ I (q, q. t)dt [ oLdt \ oq+ oq dt.
v J.J дq дq I
t, 1, 1,
1,: дL. 1: дL d I! d дL )
Учитывая 1еперь, что \ oqdt \ (о q) dt == ( ( ""'7" oqdt
J дq . дq dt J dt дq)
1, 1, 11
дL 1 1,
(так как по условию aq О), сразу получае'\cl соотношение (I 11)
дq 1,
' t дL d I дL ) )
а s Ш ( r t oqdt.
J дq dt \ дq ) J
"
1 ]
Таким образом,
бq == . дС{. . d а
да
при фиксированном t, а
aq
dq -== . dt
дt
при фиксированном значении а. Отсюда сразу следует, что
. ( дq ) д2q
б q == d а == d а ==
, да д адt
== J! ( ) da == (!J!L da ' ) == д бq,
дt д а at \ д а . дt
т. е. операции дифференцирования и варьирования перестановоч
ны инезависимы.
Уравнения
Лаrранжа Эйлера
Очеви:дно, что условие (1.8) может быть те-
перь записано следующим обр азом:
БS О. (1.12)
или
S l2 { дL d' дL )1
f (, qdt == о.
aq dt \ aq
1,
(1. 1 3)
Это равенство дФлжно ВЫПО.1НЯТЬСЯ при юобых значениях oq.
Для этоrо необходимо, чтобы
:t ( ) =: о.
(1.14)
Таким образом, исходя из принципа наименьшеrо деЙствия,
т, е из требования экстремума интеrрала деЙствия S (1 5), l\1bI
получили дифференциальное уравнение, которому должны
УДОВ.1етворять функции q(t), описЬ/вающие Истинное ДВИЖе-
ние системы. Это уравнение носит название уравнения движt'-
I-lИЯ Л асранжа ЭЙлера.
Рассмотренный одномерный случай леrkо обобщается на
случай систем со мноrими степенями свободы
Пусть имеется некоторая система с п степенями свободы,
т е для описания ее требуется п обо щенных КООрДинат qi и)
И столько же обобщенных скоростей qi (t), Интеrрал деЙствия
будет И:\1еrь вид (1.4). Как и ранее, будем раСС:\1атривать ЭТ,JТ
интеrрал как ФУНКЦИЮ ш\раметра ц, т. е.
s (а) =-:. \ I !qi (а, t), q, (а, t), t) d t,
t
12
[де совокупность n функций qi (а, t) определяет семейство MHO
[омерных кривых в конфиrурационном пространстве. Эти функ
ции можно взять в виде
qi (ц. t) == q, (О, t) т all, (t),
причем функции q, (О, t) задают кривую, реализующую экстре.
мум интеrрала действия, а 11, (t) произвольные функции от t,
обращающиеся в нуль при 1 == t 1 И 1 == t 2 . Как и ранее, точки
с координатами
qi (а, (1) -== qi (О, t 1 ), qi (а, t 2 )== qi (О, t 2 )
являются общими фиксированными точками для всех кривых
семейства. Потребовав теперь, чтобы
, aS )
( dа==БS==О
, да. a O
и поступая так же, как в одномерном случае, получим
aS ' t, [ n aL
( )a /a. == \ {д:h
1, I I
d I aI )} (a q i ) d J dt О
& \ ik/: a O \ а;; a O а
или
t, [ n aL d' aL ) } ]
б S == (' { I б qi dt == О.
.J. aqi dt \ aql
1. , I
Отсюда в силу независимости всех п обобщенных координат
и с учетом Toro, Ч10 условия экстремума должны выполняться
для ПрОИЗВOJIьных значений каждой нз вариаций б qt, получим
систему из п дифференциальных уравнений
( ) == О, i == 1, 2,..., п, (1.15)
aqi dt aq,
,де п число степеней свободы.
Эта система носит название системы уравнений движения Лас.
ранжа Эйлера.
Поскольку уравнения движения непосредственно выража.
ются через функцию Лаrранжа L, то для каЖДоrо конкретно-
[О с.'1учая эти уравнения мо[ут' быть сразу записаны в явном
видс, ес.Т]И только функция L для рассматриваемой системы
известна. Оказывается, что функция Ла[ранжа, как правило,
д.rIЯ всех практически интересных задач может быть задана на
основе тех или иных соображений Бла[одаря этому изложен-
13
ныЙ ПОДХОД позволнет ПОJIУЧИТЬ уравнения движения для ca
\lbIX раЗJJИЧНЫХ случаев исходя из единоrо принципа Вместе с
[ем, очеВИДIIО, задание закона движения в виде интеrраJIьноrо
приш ипа ЯВ,IJяе1СЯ более общим, поскольку значение интеrра
/]а не зависит 01 выбора персменных интеrрированин.
В связи со сказанным выше рассМотрИМ
вкратце, как практически задаеrся функция
Лаrранжа для механических систем
Прежде Bcero в случае консервативных
систем, т. е мехаНflческих систе'У!, ДJ[Я которых СуЩСС1вуеr по
тенциальнаяфункцияU{q](t), ., Qi(t), ., qll(t)}, TaKa , что
J,еikтвующие силы определяются по формуле
Вид функции
Лаrраижа и ее
неодиозначность
F дU
,
дqi
И полная энерrия системы Н == Т + U, равная сумме кинетичес
коЙ (Т) и потенциальной (U) энерrий системы, сохраняется, функ
ция Лаrранжа определяется как разность этих энерrий
L Т И.
( 1 . 1 6)
Пример 1 В простейшем случае свободно движущейся вдоль оси х (q ({)
х ((» частицы потенциальная энерrия tJ (х) равна НУЛЮ и функция Лаrран-
1 .
жа принимает вид J" Т '2 Ш тх 2 , а уравнение Лаrранжа (1.14) дает тх o
Пример 2. Для одномернOIО lармоническоrо колебания Iатериальной точ-
1 1 "
КИ, Korд.a Т 2 тх 2. U (x) 2 kx 2 (q и) x и), q (t) хи», ф нкция
1 .
Лаrранжа L Т L' 2 (тх 2 kx 2 ). cor ласно (1 14). при водит к xopo
ша известному уравнению т kx
В общем случае выражение для функции Лаrраюка опре
деляется не всеrда по формуле L-==T U. ПримерО1\l можCl'
служить одномерное движение частицы с релятивистской CKO
ростью. В этом случае функuия vlаrранжа может быть взя
та в виде
/ х 2
L == т о с 2 1/ 1
J; 2 '
С
(1.17)
[де то масса покоящейся частицы, с скорость света. Отсю
.па, соrласно (1.14), для уравнения движения ПО,ТIучим
d
dt 1 (' х 2
t с 2
тох
О,
14
что находится в полном СОI'ласии с релятивистским обобщением
закона Ньютона для свободной частицы
dpx О
dt '
,де
V r
l
с 2
релятивистский импульс частицы.
Нужно подчеркнуть, что функция ЛаI'ранжа определяется
неоднозначно Это следует из TOI'O, что принцип наименьшеI'О
деЙствия задается в интеI'ральной форме, в то время как
уравнения движения, выраженные через функцию ЛаI'ранжCl,
представляют собой дифференциальные соотношения ЛеI'КО
по казать, что если к исходной функции L добавить полную
производную по времени от произвольной функции координат
и времени f{ qi (t), t} , то уравнения движения при этом оста
НУТСЯ неизменными Действительно, полаI'ая
дL
Р .=.= ==mх ==
.. дх
fnoX
L' == L + f(qp t),
dt
(1.18)
будем иметь
1, "
s S L' dt == S Ldt + f (qi, t) II I, f (qi' t) II II
1, 1,
и, следовательно,
t 2 t 2
б S == б J L' dt ::о б S Ldt,
1, 1,
так как вариации
б f (qi' t) II I, == б f (qi' t) II I, == о,
ПОСКОЛьку
п дf
б f == б qi
i==! q.
и по условию
б qi 11==1, =" о, б Qi!I==I, == о.
Таким образом, указанная неоднозначность функции .J laI'paH
жа, какова бы нИ была функция f (qj, t), никак не может CKa
заться на ВИ]l,е уравнениЙ движения, записанных в форме Лаr
ранжа
==o.
дQi dt дQj
15
Одним из основных критериев праВИJIЬНОСТИ выбора функ
ции Лаrранжа является то обстоятельство, что с помощью
этой функции из ПРИЮI.ипа наименьшеrо дейсrвия получаются
уравнения движения, которые уже известны или MorYT быть
получены из каких либо друrих соображений, например с по.
мощью законов Ньютона.
В связи с этим возникает вопрос, что HOBoro дает лаrран
жев формализм по сравнению с обычной системой уравнений
движения, получаемой в механике Ньютона. Это новое co
стоит в том, что, во первых, не всеrда уравнения движения
известны или MorYT быть получены на основе законов Ньюто
на. BO BTOpЫX, лаrранжев формализм позволяет получать на
основе единоrо вариационноrо принципа не только уравнения
движения, но и дает возможность найти общие выражения
через функцию Лаrранжа для таких динамических перемен
ных, как энерrия, импульс, момент количества движения и т Д
Эта последняя возможность, как будет ноказано ниже, обус
ловлена тем, что функция действия не зависит от выбора си
стемы координат и от вида функций Qi(t).
2. Преобразования систем отсчета
и законы сохранения
Законы движения механической системы в
принципе не MorYT зависеть от выбора той
или иной конкретной инерциальной системы
отсч та, который в значительной мере носит
произвольный характер. Это, как известно,
составляет содержание пршщuпа OTHocи
тельности Внерелятивистской механике этот принцип прuн,
цип относительности rалилея rласит, что законы движения
имеют тождественную форму во всех инерциаЛЬНblХ cиc
теЛiaХ отсч.ета, т. е. во всех системах отсчета, которые дви-
жутся друr относительно друrа с постоянной скоростью. Ина-
че rоворя, физические следствия из уравнений движения не
ДО.'lжны зависеть от произвола в выборе системы отсчета.
Отсюда следует, что интеrральный принцип наименьшеrо
действия как принцип, выражающий закон движения, должен
иметь одинаковую математическую формулировку, т. е. запи
сываться в одинаковой форме во всех инерциальных СИстемах
отсчрта В частности, условие экстремума действия
Принцип
относительности
rалилея
и преобразоваиия
инерциальных
систем отсчета
/,
б S -= б S Ldt == О
/,
Не должно меняться при переходе от одной инерциа,lЬНОЙ
системы отсчета к любой друrой инерциальной системе, т. е
16
должно быть uнварuантIiыJч (неизменным) относительно всеЙ
совок} пности преобрэзованиЙ, осуществляющих TaKoro рода
переходы. Такое требование действительно выполняется.
В 3 [ом можно убе,'J,ИТЬСЯ непосредственно, если учесть, что
подобное преобразование связано с переходом от системы,
движущейся с постоянной скоростью Vt, к друrой системе,
движущейся с ПОстоянной скоростью V2 относительно первой,
!! что при этом в рассматриваемом нерелятивистском случае
нмеет место обычный векторный закон сложения скоростей
V ==' Vl + V 2 ,
['де V скорость движения второй инерциальной системы
ТОl'да, как леrко проверить, рассматривая простеЙший случай
движения материа.1ЬН0Й точки., функция Ла['ранжа при таком
преобразовании будет изменяться на величину, представляю-
щую собой полную производную по времени от некоторой
функции координат и времени. При этом в выражении для
действия появятся дополнительные члены, в то время как
вариация действия, а следовательно, и уравнения движения
останутся неизменными 1.
Здесь нет необходимости останавливаться на том, к каким
физическим следствиям приводит инвариантность лаrранже-
вой формулировки принципа наименьшеrо действия относи-
тельно пре06разований fалилея обще['о вида. Следуя общепри-
нятоЙ в нерелятивистской механике традиции, достаточно or-
раничиться лишь теми допустимыми с точки зрения принципа
относительности fалилея преобразованиями, т. е. преобразо-
ваниями, осуществляющими переход от одной uн-ерцuальн-ой
системы к ДРУI'ОЙ, скорость движения которых дру! отНоси-
тельно Apyra равна нулю. Оказывается, что рассмотрение
тодько TaKoro типа преобразований позволяет получить основ-
ные следствия физическо['о характера, вытекающие из прин-
ципа относительности fали.rrея. Этот вопрос представляет
особый интерес, ПОСКО.'1ьку именно на таком пути оказывается
возможным в рамках ла['ранжевоrо формализма получить
выражения для основных сохраняющихся динамических ха-
рактеристик системы через функцию Лаrранжа L.
Если исключить из рассмотрения nреобразоваlШЯ Fалuлеfl
Х; == Xt + vit, t == {,
связанные с изменением величины скорости преобрззуемых ИНер-
циальных сисrем отсчета, то нетрудно видеть, что совместными
\ Встречающееся в литературе утверждеНИе о том, ЧТО в нереЛЯТИl\И-
СТСКОМ случае саМО по себе щ'иствие инвариантно относительио преобра-
зова нии rаЛИ.l('Я общеrо вида (связанных с изменением скорости двИжения
IIнерциалыIлл СlIстем), не ЯВ.lяется вполне строrим
17
с принципом относительности fалилея оказываются три типа пре-
образовании:
а) nреобразования сдвиса времени, осуществляЮщие пе.
ренос начала отсчета времени;
б) nреобразованuя TpeXAtepHblX трансляциЙ, осуществляю-
щие перенос начала системы отсчета в трехмерном простран-
стве (начала системы пространственных координат);
в) nреобразования сруnnы вращений трехмерносо прост-
ранства, осуществляющие поворот координатных осей в этом
пространстве.
Имея в виду, что в дальнейшем вопрос об
инвариантности теории относительно тех
или иных преобразований, допустимых с
точки зрения лринципа относительности, и
вытекающих отсюда следствиях будет рассмотрен в общем
виде для релятивистскоrо случая, здесь отметим лишь неко-
торые общие положения о весьма существенной связи между
допустимыми nреобразованиями, законами сохранения дина
мич.ескuх nеременных и свойствами симметрии пространства
ц времени.
Независимость физических следствий От выбора начала
отсчета времени означает, что все моменты времени равно-
правны, т. е нет каких-либо физически выделенных MOMeH
тов времени. В таком случае rоворят, что имеет место одно-
родность времени. Именно поэтому описание одной и той же
системы при отсчете времени по различным часам (с одина-
ковым ходом, но со сдвинутым началом отсчета) в нереляти-
вистском случае должно вести к одинаковым физическим ре-
зультатам. Разумеется, при этом должны быть сделаны опре-
деленные оrоворки о характере самой системы и тех условиях,
в которых она находится. Мы Можем rоворить о равноправии
всех моментов времени по отношению к данной системе в том
смысле, что не существует таких моментов времени, в кото-
рые бы эта система подверrалась каким-либо внешним воз-
действиям. Такие системы, как известно, называются замкну-
1ыми. Именно по отношению к замкнутой, изолированной от
внешних воздействий системе время будет однородным.
Резюмируя сказанное, можно утверЖДать, что из однород-
ности времени следует инвариантность действия относитель-
но nреобрctзований переноса начала отсчета времени. Оказы-
вается, что это влечет за собой существование сохраняющей-
ся во времени для замкнутых систем характеристики
полной энерсuu системы.
АнаJl0rнчным образом из однородности (равноправия
всех точек) пространства следует инвариантность действия
относительно преобразованuя переноса начала координат
(преобразований пространственных трансляций), что влечет
111
Симметрия
простраиства
и времени, зако-
ны сохранеиия
за собой сохранение полноса трех.нерносп вектора количества
движения (импУ_lьса) системы
Действительно, отсутствие физически выделенных точек в
пространстве означает, что при переносе системы отсчета или
С<iМОЙ механической системы как целоrо из одной области
пространства в друrую состояние системы не может изме
ниться ввиду отсутствия В какоЙ либо точке однородноrо про
странства тех причин, которые моrли бы вызвать такое
И'3менение. Поэтому переход к описанию системы в новых
hоорДНН3'Iах, осущеСТВ.lяемый с помощью преобразования
rраНс,пяции, Не должен сказаться на физических следствиях,
f\ыrеЮiIОЩИХ из математичеСКОII формулировки теории, т. е.
должна иметь место инвариантность теории относительно
I1рео6разований TaKoro типа. Причем оказывается, что, по-
добно тому как равноправие всех моментов времени влечет
за собой сохранение энерrии, равноправие всех точек однород-
Hor() прастранства связано с сохранением полноrо импульса
замкнутой системы как целоrо. Это можно рассматривать как
обобщение известноrо положения о сохранении величины и на-
правления скорости (а следовательно, и вектора количества
движения тУ при постоянной массе) свободно движущейся
частицы (закон инерции).
[аким же путем можно установить связь между инвариант-
ностью действия относительно преобразований сруппы враще-
ний трехмерносо пространства, обусловленной ero изотропно
пью (равноправием всех направлений в свободном простран-
стве) и законом сохранения полносо момента количества
движения для замкнутых механических систем
Приведенные качественные соображения подтверждаются
строrими математическими выкладками. Покажем это на
примере преобразований сдвиrа начала отсчета времени.
Чтобы убедиться в том, что сохраняющейся
величиной в данном случае действительно
является энерrия, рассмотрим бесконечно
малое преобразование пере носа начала ОТ-
Сдвиr времени
и сохраиеиие
энерrии
счета времени
t .... t' == t + б t
(2.1 )
для системы с одной степенью свободы.
После перехода к новым координатам соответствующl1М обра
30м будут изменяться и функции'
q(t) q' (t'), q(t) ш q' (t')
дq' (t')
д!'
L (t) --+ L' (t') == L' {q' (t'), (/ (t'), t'},
19
1,
S S L(t)dt S'
11
1 l
S, L' (t') dt' .
1 I
Обусловленное этим преобразованием бесконечно малое из
менение действия можно рассматривать как вариацию дейст
вия. При TaKoro рода вариации предполаrается, что в функ
ции Лаrранжа L==L {q(t), q(t), [} обобщенная координата
q (t) соответствует истинному движению системы, т е явля
ется решением уравнения Лаrранжа
==O.
aq dt aq
Поэтому вариация действия, обусловленная преобразовани
ем (2.1), связана по существу не с переопределением Функ
ции q и), приводящим к изменению формы описываемой ею
кривой Б конфиrурационном пространстве, а с описанием одной
и той же кривой, соответствующей истинному движению сис
темы, в различных системах отсчета времени. Остановимся
на этом подробнее. Поскольку функции q(t) и q' (t') описы
вают одну и ту же кривую, то между координатами этой кри
вой " q(t) в старой системе и координатами t', q'(t') в новоЙ
системе имеет место взаимно однозначное соответствие
В нашем случае, коrДа кривая описывается одной функцией,
это соответствие выражается тривиальноЙ формулой
q' (t') == q (t).
(2.2)
Изменения функции q(t), обусловленные заданным пре
образованием t t'==t+{jt, удобно рассматривать вдва этапа
Первое изменение сводится к переходу
q (t) q и'),
(2,3)
при котором формула, определяющая явную зависимость
функции от aprYMeHTa, остается неизменной, а в ней происхо
дит лишь замена aprYMeHTa t На t'. Это означает, Что кривая,
описываемая функцией q(t'), будет так же расположена от-
носительно преобразованной системы, как кривая, описывае
мая функцией q(t), относительно исходной системы Иначе
rоворя, в результате перехода от одной системы отсчета к
друrой форма кривой не меняется: вместе со сдвиrом системы
отсчета времени СДВИI'ается и заданная относительно e
кривая.
Второй этап
q (t) q' (t)
(2.4)
20
связан с изменением вида функции (т. е. формулы, выражающей
зависимость ФУНКЦИИ от aprYMeH1'a в одной и той же системе
отсчета). Но поскольку функция q', соrласно (22), описывает ту
же кривую, что и функция q, то изменение вида функции в дaH
ном случае также сведется к сдвиrу кривой по оси времени, но
в направлении, обраТIJОИ по сравнению с первым (2.3). Поэтому
при последовательном осуществлении обоих переходов, например
вначале q (t) ....... q (t'), а заrем q (п ... q' (п, кривые совместятся
в полном соrласии с формулой (2.2).
В соотвеТСТВИJI с ЭТИ 1 мы можем ввести в СJIучае бесКОНЕЧНО
малых преобразований рассматриваемоrо вида (2. 1) следующие
бесконечно малые изменення функциЙ вариации:
б (l == q' (!') q (t),
б q (t) ==: q' (t) q (t), (2.5)
'6 q (t) "==' q (п q (t) == L б t == q (t) {) t, (2.6)
at
причем очевидно, что
6 q == q' (t') q (1') + q (1') q (t) == б q (t') '+ б q (t). (2.7)
Из сказанноrо выше ясно, что в рассматриваемом слу ае,
коrда кривая описывается одной функцией, вариации '6 q и б q,
cor,1aCHO (2.2), связаны друr с друrом соотношением
6 q ==: б q (1') + 6 q (t) == О.
(2.8)
у читывая теперь, что с точностью до членов первоrо порядка
6 q(1') == 8q(t + {) t):::::; 6q(t),
из (28), используя (2.6), имеем
6 q (t) == 6 q (t) q (t) Ы.
(2.9)
в оrличие от проводимоrо ранее варьирования действия
(см' 1) при фиксированных пределах интеrрирования, на
основе KOToporo получалнсь уравнения движения, в данном
случае варьирование действия, связанное с преобразования
ми Bpe;\leHH (или координат), должно учитывать обусловлен-
ное этими преобразованиями изменение пределов интеrриро-
вания при переходе от одной системы отсчета к друrой.
Ввиду ЭТОl'О бесконечно малое изменение действия (вари-
ацию действия), обусловленное преобразованием (2.1), мож-
но представить следуюшим образом'
21
б 5 == 5' 5
, ,
12 12
S, {L' (t') L (t')} dt' + S, L (t') dt'
11
11
1,
J L и) dt
1,
' ([L'(t) L(t)] + - (L8t)}dt, (2.10)
at
тде ПРИНЯТО во внимание, что с точностью до членов первоrо
порядка малости по 6'
,
12 1,
S (L' (п L (t') ) dt' == S {L' (t) L(t)} dt
t; t:1
п
,
S L (t') dt' == J L (t + 6 t) dt == S [ L (t) +
, 1 дt 1
l' 1
1
1.
+ 6 t 1 ( 1 + :t б t ) dt == S [ L и) + :t (L Ы) J dt.
1,
Заметим, что изложенная процедура варьирования функ
ции действия, в результате которой получено соотношениЕ'
(2 10), эквивалентна следующему рассмотрению
Вариация действия складывается из двух частей: вариа
ции rюдынтеrральной функции (БL) и вариации пределов
l1нтеrрирования. Последнюю можно представить в ВIIде
1, 1,
\ L и) 6 (dt) == J L (t) (б t) dt.
1, 1, дt
(2.11 )
в свою очередь (см. (2.7)) вариация функции Лаrранжа б L TaK
же складывается из двух частей: 6L вариации, обусловлен-
ной изменением формулы, выражающей зависимость функции L
от времени как от aprYMeHTa (см. (2.5)),
БL == L' (t) L (t) (2.12)
и 6L вариации, обусловленной лишь изменением арrумента
{см. (2.6)),
б L == L (t') L (t). (2.13)
22
Таким образом, в полном cor ласин с (2.1 О) получим
1, 1, 1,
б S == б j' L (t) dt == J БL (t) dt + J L (t) б (dt) ==
1,
== J { 8"L (/) + 6' L (t) + L (t) (о t) } dt ==
т
S fБL (t) + (L (t) бt) } dt,
1, I at
[де учтено, что аналоrично (2.6)
БL ( t) == бt.
1 at
(2.14)
(2.15)
в соответствии с правилами варьирования функции от функции
можно теперь написать
. aL oL .
БL (" == б L Iq (t), q (t), t) == о q + бq. (2.16)
aq aq
Здесь 1; q и бq == б q опреде.1ЯЮТСЯ по формуле (2.5) Если
dt
теперь воспользоваться уравнением Лаrранжа, то вариацию б L
(2. 16) можно представить в более компактном виде
d ( 1 aL ) aL d
{) L (t) == ----; {)q + (бq) ==
dt aq aq dt
d ( al, )
===& дq б q .
(2. 17)
в результате вариация действия (2.14) (см. также (2.1 О)) с уче
том формулы (2.17) запишется следующим образом:
j t: d r aL J
б S === 8" q + L б t dt
dt aq
1,
или ПОСJ1е подстановки выражения для 8 q (2.9)
J t: d [ aL. 1
БS == q + L бtdt.
dt aq
1,
(2.18)
(2.19)
23
Требование инвариантности деЙС1 вия ОТНОСJ{тельно рассматривае
Moro типа преобразований означает, что
{: d l aL. J
б S J dt aq q L {) tdt О.
1,
(2.20)
Это условие будет выполнено при любых значениях {) t TorAa
и только тоrда, KorAa
:t ( q L ) О,
Отсюда следует, что величина
(2.21 )
aL .
q L const
aq
(2.22)
сохраняется во времени.
Используя известные из классической механики соотношения
(см. 4).
aL .
== р, pq L == Н, (2.23)
aq
мы видим, что полученное выражение (222) следует отож
дествить с функцией rамильтона, которая в с.lучае KOHcepBa
тивных систем представляет собой ПОЛНу'ю энерl'ИЮ системы
Таким образом, рассмотрев условие инвариантности дейст
ния относительно бесконечно малых преобразований време-
ни, мы приходи м не только к выводу о сохранении ПG.'IНоЙ
энерrии системы, но и получаем аналитиЧеское выражение
ДЛЯ этой величины через обобщенные координаты и скvрости.
Пример. В случае одномерноrо rармоническоrо осциллятора, кш'да
1 .
L =" Т U == (тх 2 kx 2 )
2
дL .
Р == == тх, q == х,
дq
cor ласно (2.22), будем иметь
[ 1 ] . 1 .
Н =" 2 (тх 2 kx 2 ) + (тх) х == 2 (тх 2 шlш kx 2 ) "",т + u Е== const.
и
в заключение следует подчеркнуть, что принцип HaHMeHЬ
шеrо деЙствия допускает обобщения, позволяющие дать опи-
сание немеханических систем, таких, например, как Э,lектро
маrНИТНОе и друrие поля Первый шаr к этому С'остоит В
осуществлении перехода от днскретных к непреРЫВНЫ\l сис
'reMaM.
24
3. Непрерывные системы
Аппроксимация Уже в рамках классическоЙ механики мы
непрерывной встречаемся с системами, которые следует
системы с пом?щыо рассматривать как непрерывные. В таких
дискретнои системах движение совершается не отдель
ными дискретными точками (число точек может быть как
конечным, так и бесконечным, но обязательно счетным, т. е.
их в принципе можно пересчитать) , а всеми точками непре
рывноЙ среды (здесь число точек будет всеrда бесконечным
1[ не будет счетным).
Для Toro чтобы применить к описанию движения таких
систем принцип наименьшеrо действия, необходимо предва
рительна вместо непрерывной системы ввести близкую ей
дискретную систему,
В качестве иллюстрации рассмотрим ставший уже класси
чески м пример продольных колебаний одномерноЙ системы.
Пусть у нас имеется бесконечно длинный однородный, упру
rий стержень, точки KOToporo совершают колебания, смеща
ясь вдоль оси стержня. l рубой моделью, аппроксимирующей
hолебания реальноrо стержня, может служить дискретная
система, представляющая собой совокупность бесконечноrо
ЧИС.lа точек одинаковой массы I1m, равноудаленных дру! от
друrа с интервалом I1x и связанных между собой невесомыми
упруrими пружинами с одинаковым коэффициентом упруrо
С1И k Предполаrается, что эти точки MorYT двиrаться только
BДO.'lЬ прямой, на которой они расположе}fЫ Указанная пря
мая выбирается в качестве координатной оси х. Для Toro
чтобы получить уравнения движения этой системы в лаrран
жевой формулировке, исходя из прннципа наименьшеrо дейст
вия, необходимо составить фуцкцию Лаrранжа. Считая дан-
ную систему консервативной. мы можем исходить из функции
.'lаrранжа как разности кинетической и потенциальной энер
rии системы (1,16)' L==T LТ. Выражения Д,lЯ кинетической
и потенциальной энерrии леrко ПО.1УЧИТЬ в приближении ма-
лых КО.lебаний. Введем в рассмотрение величину 'l'}i(t) , опре
;теляющую смещение i ой точки от положения равновесия
10rAa кинетическая энерrия для отдельной ой точки будет
определяться обычной формулой
1 . 2
Т ; == 11 т 'l'}i,
2
rде
. d'l'};
'l'}i==dT'
23
а кинетическая энерrия системы будет равна сумме кинетических
энерrий вс ех точек
'\.1 1 '2
Т .l.J ТI 2 .l.J т Ч, .
i i
Потенциальная энерrия U системы должна быть такова, чтобы
сюта, действующая на i ую точку и равная в случае малых KO
лебаний разности сил, действующих со стороны соседних пружинок'
F i == k (11т "1;) k (11i 11н),
определялась из условия
au
FI== '
д 111
Нструдно видеть, что удовлетворяющая этому условию потенци
а.1ьная функция U должна быть взята в виде
U == + k (11i+1 11;)2,
i
[де суммирование также ведется по всем точкам системы.
Таким образом, функция Лаrранжа для нашей системы
иметь вид
1 '2
L -с= Т U == 2 .t- { т 111 k (111+] 'I1;)2}.
i
бу дет
(3.1)
Отсюда по известным правилам, т. е. взяв вариацию от инте!'рала
1.
S == 5 L {11; (t), Чi (t)} dt,
1,
(3.2)
мы леrко можем найти систему уравнений Лаrранжа
aL d aL
== О, i == 1, 2, 3, н. (3.3)
д'l1; dt a'l1i
д.rIЯ рассматриваемой системы колеблющихся ТОЧеК.
Необходимо отметить, что в данном случае РО.1Ь ()б()бщеIl
ных координат иrрают функции 11i(t), определяющне сме.
щения точек, а роль обобщенных скоростей производные
flO времени от этих функций 11i(t). ЧИС,10 функций 11i (,t) ,
как и ЧИС.'10 уравнений движения, будет равно числу точек
введенной системы, аппроксимирующей непрерывный CTep
жень.
26
Переход
от дискретной
системы
к непрерывной
Перепишем функцию Лаrранжа (3.1) системы
отдельных точек в следующем виде:
\. 1 { !1 т . 2
L == .i..J!1 Х 2 11'
,
k!1 х ( 11i+ 11, )2} == !1 xL,.
,
(3.4)
TorAa переход от функции L (3.4) к функции Лаrранжа для
рассмзтриваемоrо непрерывноrо стержня сведется к такому
преде.1ЬИОМУ переходу в выражении (3.4), в результате KOTO
poro расстояние между соседними точками дискретной систе
мы будет стремиться к нулю, что можно написать, заменив
конечное при ращение !1х дифференциалом dx.
При этом, очевидно, после указанноrо перехода каждой
точке стержня будет соответствовать свое значение смеще-
ния 11. Это значит, что смещение, которое ранее рассматрива
лось как функция номера точки, будет теперь непрерывной
функцией координаты х
11; (t) == 11 (x i , t).... 11 (х, t),
(3.5)
т. е. вместо всей совокупности отдельных функций для каждой
дискретной точки: 111 (t), 112 (t), 11з (t),... мы получим одну непре
рывную функцию 11 (х, t) от х и t. В соответствии с этим OТHO
сительное удлинение стержня
== 11'+1 11;
!1х
будет представлять собой теперь предел
liт 11i4 1 . 11; == Нт
"'x o !1 х ...X O
11 (х + L1 х) 11 (х)
L1x
d 11 (х)
dx
Чтобы наЙТJI предельное значение ве.'IИЧИНЫ k!1 х, необходимо
использовать то свойство, что упруrий стержень должеН подчи
няться закону [ука:
F == У ,
соrласно которому относительное УД,l1инение пропорционально
растяrивающей СИ.lе Р, а коэффициентом пропорциональности
служит ве.1ичина У, называемая модулем Юнrа. Используя BЫ
раженис для силы Fi' деЙствующей на точку с номером i со
стороны отдельноЙ пружинки
F == F i == k (11'+1 11i)'
27
или
F ==kAx.
'Ili+1 'YJi
Ах
== kAx.G.
и сравнивая (' формулой F =о.. y , мы заключаем, что ПОС,lе пре-
дельноro перехода величину k А х с.lедует отождествить с моду-
дем Юнrа
kAx....Y.
Входящая в функцию (3.4)
ность (линейную) стержня:
lim А m ==
"'x o Х
Ат
величина в пределе даст плот-
Ах
dm
=== о.
dx .
Наконеп, очевидно, в результате предельноrо перехода от счет-
Horo числа дискретных точек к непрерывной системе суммирова-
ние по i следует заменить интеrрированием по dx:
. . А х 5 ... dx.
i
Таким образом, окончательно будем иметь
"1 r. ( d'YJ '2 1
L == j 2 LP '12 У ) dx,
(3.6)
rде, как уже отмечалось, смещение 'YJ будет являться функцией
координаты х и времени t, т. е. 'YJ == 'YJ (х, t). Оно иrрает здесь
роль обобщенной координаты. Кроме Toro, в отличие от функции
L (3.1) в функцию Лаrранжа непрерывной системы (3.6) наряду
с обобщенной координатой 'YJ (х, t) и ее производной по времени
d'YJ (х, t)
dt
,i (х, t) ==
d'YJ (х, t)
dx
параметры функции Лаrранжа.
Интеrрал (3.6) обычно записывают
входит также производная по координате х:
Так 11: м образом, здесь х и t входят как равноправные
в виде
L == S Ldx,
(3.7)
rде величину L:: L {'YJ,.q, x'YJ } называют плоmносmhЮ ФУНК-
ции Ласранжа, удельным лаrранжианом, иди просто ласран-
жианом.
28
Полученные результаты леrко обобщаются на случай плоской
или объемной непрерывных систем, коrДа каждая точка системы
определяется значением не одной (х), а двух (х, у) или трех
(х, у, z) декартовых КООрДИнаТ. В частности, коrДа рассматрива-
емая система описывается только одной обобщенной координатой,
зависящей от координат х, у, z и времени
У) "'" У) (х, у, z, (),
функция Лаrранжа запишется следующим образом:
L =.с \ \. \ Ldxdydz.
иу tJ
При этом, естественно, .'1аrранжиан L будет определяться не че-
рез одну, а через три пространственные производные от функции
YJ (х, у, z, t), Таким образом, в случае трехмерной СИСтемы лаr-
ранжиан можно написать в виде
L == L { У), , , , , х, у, z, ( } . (3.8)
дх ду д; at
Здесь учтено, что лаrранжиан системы может зависеть от х, у,
z, t не только через посреДСТВО функции '11 (х, у, z, (), но и явно.
у равнения движения для непрерывных систем
Уравнении Лarранжа можно получить как И в случае дискретных
для непрерывных' .
систем систем, исходя из принципа наименьшеrо деи-
ствия. Действие в этом случае запишется
следующим образом:
1,
S == S S S S Ldxdydzdt,
1, v
(3.9)
[де лаrранжиан L определяется по формуле (3.8), а интеrри-
рование производится по объему V, занимаемому системой,
11 по времени в интервале от (, до ( 2 .
Разумеется, формулировка принципа наименьшеrо дей-
ствня по существу не изменяется: истинное движение
системы в интервале от t 1 до ( 2 должно быть таково, чтобы
интеrрал (3.9) принимал минимальНое (экстремальное) зна-
чение, т. е. уравнения движения для системы будут по-преж-
нему опреде.1J:ЯТЬСЯ из условия обращения в нуль вариации
действия при фиксированных пределах интеrрирования'
1,
б S == б S 5 55 Ldxdydzdt == О
1, V
(3.10)
и варьировании по обобщенным координатам и их про из-
водным. Параметры х, у, z, t в варьировании не участвуют,
1. е. все вариацни берутся при фиксированных значениях пе-
2q
ременных х, у, z, t Это станет понятным, если ВСПОмнить, что
по определению варьирование здесь связано с малыми изме-
нениями кривых в конфиrурационном пространстве, т. е. с
изменением значений обобщенной координаты '11 при фикси-
рованных значениях параметров х, у, z, t. Иначе rоворя, речь
идет об изменении вида функций 11 п данной точке с коорди
натами х, у, z в заданный момент времени t. Кроме Toro, ва:
риация предполаrает фиксированные пределы интеrрирова-
ния не только по вре:Уlенн t, но и по остальным переменным
интеrрирования (х, у, z), т. е значения функции '11 (х, у, z, t)
(и ее производных) остаются неизменными не только на [pa
ницах промежутка времени (! и (2, но И на rраницах Toro
лространственноrо объема, для которorо определена функция
Лаrранжа системы. Это означает, что все вариации 6'11 об-
ращаются в нуль не только при t===t 1 И t,,=t 2 , но и при всех
значениях х, у, z, определяющих положение точек системы,
лежащих на rраницах объема интеrрирования 1.
В силу сказанноrо вариация действия определяется лишь
вариациями функций '11 (х, у, z, t) и их производных, входя
щих В L, т. е по существу сводится к вариации плотности
функции Лаrранжа лаrранжиана L. Поэтому, кзк И прежде,
мы можем написать
12
БS== ТТТТ БL{ 11, : ' дд: '
t, V
д11 д '11 }
ау' &' х, у, z, t dxdydzdt == О,
rде выражение для б L будет иметь вид
3
БL == БYf + б + L б ( д '11 \ ) . (3.11)
aYf дч k 1 д I ) дх"
\ дх"
(3.10а)
Здесь хl == Х, Х 2 == у, Ха == Z. Принцип наименьшеrо действия (см.
(3.10» требует, чтобы ДЛЯ истинных траекторий движения рас-
сматриваемой непрерывной системы выполнялось условие
t, [
.. aL aI .
8 s ") Н s a;J 8ч + д Ч 8ч +
\ Имеется в RИДУ, что интеrрирование ВЕдется по оrраниченному об ;,е
му В случае неоrраниченных систем обычно вводятся дополнительные
УС!IOвия относите. ЬНО поведения обпбщеrшых координат на БЕ'СКQнеЧ!lО'
сти, KoropbIe обеспечивают выполнение j словия CSТ] o при Х, у, Z ш;. ас
30
+ ,д ) 8 ( tx ) J dХldХ2dхзdt О.
k 1 дх R. '
K K И при выводе обычных уравнений Лаrранжа, интеrрируя по
частям члены, содержащие вариаuии производных от функuий 11
и используя перест новочность операций варьирования и дифферен
uирования, а также УС,'Jовие 611 О на rраниuах интеrрирования,
получим
(3.12)
t,
( д 11 ) \ t? d ( дL )
6 dtш 611dt
дt . dt д 11 ,
t,
" дL
j ( д11 Ш )
t, дt
и соответственно
r дL 6 ( ) dx
J д { ) дХk k
\ дх/i.
== S (д (8 ) dx, S [ ( aLa ) ] 611 dx k .
д ) дх" dX h д
, дХ k дХ k
Заметим, что появившиеся в правой части под интеrралом пол-
ные производные вместо частных означают, что дифференцирова
ние проводится по соответствующей координате, входящей в L
явно и через посредство функции 11. Итак, с учетом полученных
соотношений вместо (3.12) будем иметь
J,пs 8 I : :I :t
3 d [ дL )
1; ( ) \ dX 1 dX 2 dX sd t==O.
k l 11. д
дХ h
Равенство (3.13) будет иметь место при любых значениях вариа-
ций 611 независимо от значений Хl, Х2, Хз, t в случае, коrда вы-
полняется условие
(3.13)
d дL ,3d [ дL J дL
dt ш;ш dX k д ( ) дЧ == О. (3.14)
k l дХ k
31
Итак, для непрерывной системы, каждая точка которой ха-
рактеризуется одноЙ функuиеи 11 (Х, у, z, t), МЫ получим одно
дифференциальное уравнение в частных прои:зводных, которое
и является уравнением движения для рассматриваемой системы
в форме Лаrранжа.
В более общем случае, коrда каждую точку системы МОжно
характеризовать не одной функцией 11 (Х, у, z, t), определяющей
смещения в одном направлении, а п функциями 111 (Х 1 , Х 2 , Ха, t),
112 (Xl' Х2, Ха, t),..., 11" (Xl' Х 2 , Хз, t), лаrранжиан будет зависеть
не от одной а от п обобщенных координат 11Jx,., t) и от их произ-
водных (как по времени, так и по координатам)
д 11. (х,., t) .._.. _B J L
дt дХ2
L == L { 11. (X h ' t),
д 11. (X h ' t)
дХ2
д 11. (X h ' t)
дХа
1
X q , t(O
J
в этом случае мы получим столько уравнений движения, сколь-
ко имеется Bcero обобщенных координат 11. (X k , t), т. е.
d aL d [ aL ]
dt + dX h д ( )
\ aX h
== О, (3.15)
д 11.
rде s == 1, 2, 3, ..., п определяет число обобщенных координат
системы 1 .
Отметим, что уравнениям движения для непрерывных систем
(3.14), (3.15) можно придать стандартную форму уравнений
Лаrранжа Эйлера, если использовать так называемые вариаuи-
онные производные. Вводя обозначени я
дL f, d дL
дЧ . dх h Ш д ( ' \ )
\ дх,.
fJL
611 '
(3. 16)
дL
дrt
б l
= '
( 3. 1 7)
1 Разумеется, В качестве обобщенных hООрДllIf3Т непрерывноЙ ,исrе\]1"
MorYT быть взяты не ТОЛЬко функции смещения, но !! друrне характеРИСТlI'
!\!! системы (например. даваение, натяжение и т д)
32
вместо (3.14) получим уравнение
6L d БL
==O,
6'11 dt 611
по своей форме аналоrичное уравнению (1.14).
Необходимо подчеркнуть специфическую особенность He
Т'рерывных систем. Из сравнения соответствующих формул
следует, что в то время как уравнения Лаrранжа для дискрет
ных систем (см. (1.14), (1.15» выражаются через функцию
J1аrранжа L, уравнения движения Д.'IЯ непрерывных систем
(см. (3,14), (3.15), (3.18» через плотность Функшш Лаr
ранжа L (.'Iаrранжиан) Как будет видно в дальнейшем, это
относится не только к уравнениям движения, но и к выраже
ниям д.ЛЯ динамических переменных, которые в свою очередь
также выступают в виде плотностей соответствующих физи-
ческих величин (энерrии, ИМПУЛЬса, MOMeHra и т. д.) И BЫpa
жаются через плотность функции Лаrранжа L.
(3.18)
4. rамильтонов формализм
ПРИНЦИЛ наименьше Наряду с методом Ла2ранжа, т е. методом
ro Действия и урав- описания механических систем посредством
пения движения в обобщенных координат и скоростей, возмо
форме rамильтона жен друrой эквивалентный 1 ему метод опи-
сания этих систем метод Тамuльтона. В методе Лаrранжа
независимыми переменными являются только обобщенные
координаты qi (t). В методе rамильтона в качестве незави-
симых переменны,, необходимых для однозначноrо описания
системы с п степенями свободы, наряду с п обобщенными ко-
ординатами qi(t) испо.1ьзуется столько же обобщенных им-
пульсов Р; (t), определяемых равенствами
дL (qj, qj, t)
Pt ===
дqi
rде L (qj, qj, t) функция Лаrранжа системы. Увеличение числа
переменных приводит к увеличению числа уравнений движения
Вместо системы из п дифференциальных уравнении BToporo по
рядка (уравнений Лаrранжа) получаем 2п дифtJеренциальных урав-
нений первоrо порядка уравнений rамильтона, или каНОНИче
ских уравнений движения. При этом уравнения rамильтона вы-
(4.1)
1 Вопрос об эквивалентности ';!етода Лаrранжа и метода rамильтона
Здесь рассматрнваться не будет Как известно из классической мехаиИJШ.
эта эквивалентность вытекает из во,{можностн перехода от одиоrо форма-
лизма к друrому с помощью соответствующих преобразований в конфиrу-
рациЬю!Ом пространстве
33
ражаЮ1СЯ уже не через функцию Лаrранжа от переменных qi'
qi И 1, а через некоторую новую функцию от переменных qi (t),
Р! (1) и 1 функцию Fам.ильmона. Эта функция связана с функ-
цией Лаrранжа соотношением
п
Н (qi' Pi' [) == Р) qj L (qi' qi' 1).
j 1
У равнения fамильтона, как и уравнения Лаrранжа, Mc:rYT
быть получены из вариационноrо принципа наименьшеrо деист-
вия. Для этоrо в интеrрале действия S достаточно выразить
функцию Лаrранжа через функцию fамильтона, ИСПОJIЬЗуя соот-
ношение (4.2),
t. t.
s== j Ldl == S {EPJq; H(qj, Pj, I)}dt (4.3)
11 1,
(4.2)
и потребовать, чтобы для истинноrо движения действие было ми-
нимальным (экстремальным), т. е. чтобы выполнялось условие
t.
б S == б 1 PjQj н (qj, Pj, t) } dt == о. (4.4)
1,
Как и ранее, предполаrается, что варьирование производится
при фиксированных значениях всех координат qj (/) и импульсов
Р] (t) В моменты времени 1 == 11 И 1 == 12' 1. е. на rраницах облас-
ти интеrрирования
б qj(l) !I tl == б qj(I)lt 12 о,
б Р} (t) II tl == б Р} (1) IH. == о,
(4.5)
а TaКJКe ТО, что
. ( dq. ) d
бqj == б == (бqj).
dt / dl
(4.6)
Наконеи, поскольку теперь функции qj и Р} рассматриваются
как независимые переменные, варьирование по Этим переменным
производится независимо (это не имело места в лаrранжевом
формализме, rде вариации б q/ моrли быть CBeдeHЬ к вариациям
бqi путем интеrрирования по частям).
Осуществляя варьирование под знаком интеrрала (4.4), получим
бs {' { рjбqj +qjБРj
11 1
б Р} б Qj } dl. (4.7)
др) дqt
34
Далее, в соответстщIИ с (4.6) интеrрал от первоrо слаrаемоrо
можно путем интеrрирования по частям преобразffi3ать с учетом
(4.5) следующим образом
(: ; d (:
J Рiбqjdt.с= j Рi(F(бqj)dt 0= J рjбqjdt.
1, 1, 1,
в результате условие (4.4) принимает вид
' . { ( дН ) ( дН' }
БS == \ L qi p} l pj + ) бqj dt -==0.
. aPi , aqj
" 1
(4.8)
Поскольку вариации б qj и б Рj независимы и произвольны,
то интеrраJl (4.8) обратится в нуль только тоrда, коrда будут
обращаться в нуль коэффициенты при каждой из вариаций б qJ
и каждой из вариаций б Pj по отделыс11i,, т. е. коrда будут вы-
полнены ус.l0ВИЯ
дН дН
qj== , PjO=
aPj aqj
для всех j от 1 до n, rде n число степеней свободы системы.
Полученные уравнения (4.9) и представляют собой уравнения
r ам.ильтона, ию! так назыВЗемые канонические уравнения дви-
жения.
Уравиения Метод rамильтона, как и метод Лаrранжа,
rамильтона может быть обобщен на случай непрерывных
для непрерывных систем. Ход рассуждений совершенно анало-
систем rичен. Снова рассмотрим систему материаль-
ных точек с массами !1 т, равноудаленных друr от друrа на
расстояние !1 х и связанных между собой упруrими силами. Как
БЫ.lО показано ранее, функция Лаrранжа для этой системы мо-
жет быть записана в виде (см. (3.4»)
(4.9)
со
L === !1 xL i .
1 1
( 4.1 О)
Обобщенными координатами являются здесь смещения i-ой точки
'I1i' а обобщенный импульс, соrласно (4.1), будет равен
aL aL i
Р; == ==!1х . (4.11)
a'l1i a'l1i
В сtютветстВии с этим функция rамильтона системы (см. (4.2))
будет иметь вид
н -"=' Р; ; L == !1 х { д ! Чi L i } .
i i a'l')i
(4.12)
35
Отсюда, переходя к пределу А X О, LI..... L, 1']/..... Ч (х),
получим
п { дL' }
н === j dx 11 L .
( 4. 13)
При этом вместо импульса точки Pi' который при !'l Х..... О, со-
rлаСliо (4.11), обращается в нуль, вводИ1СЯ так называемый
удельный импульс, или плотность импульса Л, опредеJIяемая
соотношением
aL
Л==
дч .
( 4. 14)
Таким образом, для функции rамильтона непрерывной OДHO
мерной системы можно записать
н == 5 dx (лri L) == 5 dxH.
( 4. 15)
Ве.пичину Н == ЛЧ L называют удельным е.амильmонианом, или
плотностью фуНКlJрU r амильтона системы
Полученные результаты леrко обобщаются на трехмерный
случай с несколькими обобщенными координатами
'1')5 == 11s (х п , t).
Тоrда
н == 5 S 5 Hdx] dх 2 dх з ,
[де
Н=== л L
8"'8 ,
S
( 4. 16)
а
дL
л s == .
дчs
При этом удельный rамильтониан Н будет функцией обобщен-
ных координат Чs (Xk, '), удельных канонических импульсов
Л S (х п , t), производных д 11в (х/<, t) и, возможно, времею{ t, т. е.
дх!
н == н { Чs (Xh' (), Л S (x h ' t), , t } .
дх;
( 4. 17)
Поступая как в случае дискретных систем, можно теперь,
исходя из вариационноrо принципа наименьшеrо действия, полу-
чить уравнения движения в канонической (rамильтоновой) форме
для непрерывной системы.
36
Принцип наименьшеrо действия в этом случае требует, чтобы
t 2
6S == 6 JS 5 J { Лsris Н} dХldХ2dхз dt == О.
t, s
( 4. 18)
После варьирования под знаком интеrрала (пределы интеrриро
ванИЯ по прежнему фиксированы) получим
2
SSj ' S { . . ан ан
'1s 6л s + л s 6'1s а 1]$ 61')8 д Л$ 6л s
I 5
3
(; . ) 6 ( $ )} dXl dX2 dхз dt == О. (4.19)
\ aXi
Проведя теперь стандартные преобразования, будем иметь
2 2
S Л$ 6 ( dd $ ) dt == s п в 61]$ dt,
I I
S ) c!.. (611$) dXj == S ( ( ) ) б 1]$ dXj,
а ( dXj dXj д
aXj aXj I
тде УЧ1ено, что варьирование проводится при фиксированных t
и Xj (блаrодаря чему операции варьирования и дифференцирова-
ния по Xj и t перестановочны), а также то, что на rраницах
интеrрирования (по времени И по пространственным координа-
там х,.) величины б1')5 обращаются в нуль.
В результате УСJювие экстремума Д.1Я действия (4.18) прини-
мает вид (d 3 x == dXl dX2 dх з )
\ " "r j ! I . ан )
БS<J,) ( ' д бп,
[ Лs +- {1 ( ( ) )] 6'18 ) d3xdt==0.
а 115 dx} а
j ] ах.
}
Это УСЛОВI1е будет выполнено при тобых 61')! и 6л s , если
( 4.20)
. : , ; п,о ( : ш :., ( д ( .ш ) Х (421)
37
Полученные уравнения и представляют собой канонические
уравнения движения, И.1И уравнения rамильтона, для непрерыв-
ных систем. Эти уравнения MorYT быть также записаны более
симметрично, если ввести вариационные производные.
БН 3
ан d ( ан )
бчs ачs i 1 dXj а ( : ) ,
(4 22)
БН ан
бn s аn в
( так как a ,t s не входят в н) т or да мы получим урав-
ах)
нения.
БН БН
Чs == ' Л Б == '
по своей форме совпадающие с обычными каноническими
нениями rамильтона для дискретных систем (см. (4.9)).
(4.23)
урав-
rлава IJ
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
И ТРАНСФОРМАЦИОННЫЕ СВОЯСТВА ФУНКЦИЯ ПОЛЯ
5. Принцип относительности Эйнштейна
Поле одно из основных и наиболее pac
пространенных понятий в современной фи
зике. rоворят, что задано поле (в MaTeMa
тическом определении), если каждой точке пространства CTa
вuтся в соответствие одна или несколько величин. Эти
еличины, рассматриваемые как функции координат (и BpeMe
ни), называют функциями поля (полевыми функuиями). Диф
ференuиальные уравнения, решениями которых являются
функции по.'Iя, называют уравнениЯJrtи поля
Соrласно указанному общему определению, можно CKa
зать, что совокупность функuий 1]i (r, t), введенных выше при
описании смещениЙ точек непрерывной механической систе
МЫ, задает некоторое поле поле смещений, а сами функции
иrрают роль функuий поля Аналоrичным образом вводятся
поля давлений, полq температур и т д. Функции поля во всех
этих случаях имеют прямой физический смысл они опреде
ляюr доступиые непосредственному измерению значения co
ответствующих физических ве.Т)ИЧИН (смещения, давления,
температуры и т. д) В каждой точке системы.
Предметом изучения Б излаrаемой теории полей ЯВЛЯются
поля иноrо типа. Это поля, используемые для описания эле
ментарных частиu Поведение этих частиц как микрообъектов
подчиняется законам квантоВОЙ механики, и поэтому для опи
сания их используются квантовомеханические волновые Фун
кции 'P(r, О. ЭТИ функции, отражая волновые свойства микро
частиц, заданы во всех точках просrранства и времени и в
этом смысле определяют некоторое квантовомеханическое BOk
новое поле, Роль уравнений ПО,lЯ иrрают при этом KBaHTOBOMe
ханические уравнения типа уравнения Шрединrера, на pe
шеюш которых функции поля обычно накладываются
Общее поиятие
о поле
39
'1ребования квадратичной ИlIтеrрируемости, обеспечивающие
статистическую (вероятностную) интерпретацию функций по
.'IЯ Хотя ЭТИ функции и не MorYT быть в принципе непосредст
р,енно измерены на ОlIыте, тем не менее они дают маКСималь
НО ПО.1ное описание частицы, поскольку с их помощью по изве.
CTHbIl\! правилам квантовой механики опредеJ1ЯЮТСЯ все
:жспериментально измеряемые физические ве.1ИЧИНЫ, xapaKre
ризующие состОяние частицы
Хорощо известным Примером поля ЯВЛ51ется также Э.'Jек
тромаrнитное поле 1. Уравнения Лlаксвелла (ИJ1И эквивалент
вые им уравнения ДаJlамбера для элеКТРОмаrнитных потен
циалов) иrрают здесь роль уравнений поля, а их решения
потенциалы (и напряженности) электромаrнитноrо поля
роль функций поля.
В рамках рассматриваемой теории классических полей
электромаrнитное поле и поля квантовомеханическоrо типа,
используемые для описания частиц вещества, выступают как
равноправные. Такое равноправие достиrается за счет фор
мальноrо введения одночастичной квантовомеханической ин
терпретации решений уравнений электромаrнитноrо поля
как функций, описывающих состояния отдельноrо фотона
частицы, сопоставляемой электромаrнитному полю. Матема-
тической основой TaKoro рассмотрения служит однотипность
)- равнений электромаrнитноrо поля (уравнений Даламбера)
и уравнений квантовомеханическоrо типа (например, ypaBHe
ния I1lрединrера) как дифференциальных уравнений BToporo
порядка rиперболическоrо типа, общие решения которых в
обоих случаях MorYT быть представлены в виде суперпозиции
монохроматических плоских волн При квантовомеханиче
ской интерпретации этих решений отдельные плоские волны
.'\IorYT рассматриваться как волны де Бройля, описывающие
«чистые» состояния частицы вещества или фотона с опреде
денными значениями энерrии и ИМПульса. Такая интерпрета
ция отражает корпускулярно,волновую двойственность прояв
лений свойств частиц вещества и электромаrнитноrо поля. За
метим, что свое cTporoe и ПОС.1еДовательное выражение этот
корпускулярно волновой дуадизм НахоДИТ лишь в теории KBaH
тованных полей, rДе частицы вещества (ЭJJектроны, нуклоны
и т. д) И фотоны выступают как кванты соответствующих по
.'lей элементарные частицы В этом смысле классическая
теория полей может рассматриваться как введение в теорию
квантованных полей основу современной теории элементар'
ных частиц.
1 Собственно rоворя, теорин поля в ее современно\! понимании B03
никла в физике как результат развития идей Максвелла в созданной им те-
ории электромаrнитных явлений
40
Все мноrообразие различных по своей при
роде полей объединяется не только общ
НОСТhЮ cBoero математическоrо определе
ния, но и, что весьма существенно, общ
ностью математическоrо аппарата. Основы
Э10rо аппарата по существу изложены при математической
формулировке вариационноrо принципа в применении к He
прерывным механическим системам (см. rлаву 1). Таким
образом, мы приходи м к принципиальной возможности ис
пользования хорошо разработанноrо математическоrо аппа
рата аналитической механики непрерывных систем при
построении К.'Iассической rеории полей, сопоставляемых эле-
ментарным частицам.
Вместе с тем эти поля (в том числе и электромаrнитное)
нельзя отождествлять с какими либо механическими систе-
мами. Они имеют свою физическую специфику, которая при
водит, в частности, к тому, что математический аппарат, раз-
витый для непрерывных механических систем, должен быть
существенно модифицирован, прежде чем ero можио будет
hспользовать при построении теории рассматриваемых полей.
Необходимость такой модификации вытекает прежде
Bcero из Toro, что уже в теории электромаrнитноrо поля Te
ряет свою силу принцип относительности rалилея. Известно,
что уравнения Максвелла не инвариантны относительно пре-
образований rалилея. В частности, переход от одной инер-
циальной системы к друrой, осуществляеМЫI! с ПОМОЩLЮ пре
образований rалилея, влечет за собой изменение величины
скорости света, явно фиrурирующей в уравнениях Максвелла.
Между тем независимость скорости распространения света от
выбора инерциальной системы отсчета является твердо уста-
новленным экспериментальным фактом (об этом свидетельст-
вуют результаты большоrо ЧИСла наблюдений, начиная с изве-
стных опытов Майкельсона . Мерлея ). Скорость распростра-
нения света в вакууме во всех инерциальных системах
ооинакова и равна с==3. 1010 см/сек. Вся СОЕОКУПНОСТЬ экспе
риментальных данных убедительно свидетельствует о том, что
уравнения Максвелла правильно отражают основные зако-
номерности электромаrнитноrо поля независимо от выбора
пнерциальной системы отсчета.
Таким образом, принцип относительности rалилея, уста-
НОВ.1енный для тех физических явлений, которые описывает
!еханика Ньютона, не отражает равноправие инерциальных
систем при описаНии электромаrнитных явлений, т. е. имеет
свои rраницы применимости.
Неприrодность Принципа относительности rалилея в тео-
рии электромаrнитноrо поля Максвелла привела к установ-
лению более общеrо принципа относительности, четкая и
Принцип
относительиостн
и Теория
9лектромаrнитноrо
поля
41
Jаконченная формулировка KOToporo была дана А Эйнштей
ном в 1905 r
П ринцип относительности Эйнштейна требует равноправия
инерциальных систем отсчета при описании физических зако-
номерностей для значительно более широкоrо Kpyra явлении
природы С математической точки зрения зтот принцип Tpe
бует введения преобразований, которые так Же, как преоб-
разования l алилея, осуществляли бы переход от одной инер-
циальной системы к друrой, обеспечивая при этом неизмен
ность скорости света.
Преобразования TaKoro рода были введены Лоренцом в
t904 [. и получили ero имя. В простейшем с.lJучае прео6разо-
uания Лоренца, связывающие системы, движущиеся ВДЩIЬ
оси х С постоянной скоростью и х == V друr относительно друrа,
имеют вид
, x vt
х ==
"/1
V с 2
Вытекающий из (5.1)
, у' == у, z' == Z,
u
t+ x
, с 2
t
I и 2 '
Т 1
t' с 2
(5.1)
закон слоzкения скоростей
Vl и
1 V1V
с 2
свидетельствует, как это и требуется, о том, что скорость
свет а в системах, связанных преобразованием Лоренца (5.1),
бvдет одинаковой.
. Очевидно, преобразования Лоренца (см. (5.1)) обеспечи-
вают постоянство скорости света во всех инерциальных сис-
1емах за счет одновременноrо изменения как пространствеи-
ных координат, так и времени.
Разумеется, формулы (5.1), определяющие преобразова.
ния Лоренца Д.'IЯ частноrо случая, MorYT быть обобщены и на
случаЙ, коrда системы двиzкутся друr относительно друrа в
произвольном направлении
Таким образом, принцип относительности Эйнштейна Tpe
бует инвариантности основных соотношений теории относи-
тельно преобразований Лоренца Это требование, которое
носит TaKzкe название требования релятивистской ИН8ариан
тости, приводит к необходимости введения для каzкдой инер-
циальнои системы cBoero времени вместо еДИНОI'О одинаковоrо
для всех систем времени, как это предполаrает принцип
относительности rалилея.
Из определения преобразований JIоренца как преобразо-
ваний, обеспечивающих неизменНость вида уравнений Макс-
и2 ==
(5.2)
42
пелла в различных инерциаЛЬНblХ системах отсчета, следует,
что теория электромаrнитноrо поля является релятивистски
инвариантной.
С Принцип относительности Эйнштейна леr в
пециальная теория u u
относительности основу созданнои им спеl{иальнои (част
ной) теории относительности 1. Сущность
этой теории сводится к тому, что ЭТОТ принцип, справедли
вость KOToporo была установлена первоначально для электро
маrнитных явлений, распространяется на все явления при
роды (первый постулат А. Эйнштейна). Тем самым требование
релятивистской инвариантности накладывается на все физи-
ческие теории, преrендующие на правильное описание физи-
ческих закономерностей материальноrо мира. Второе основ-
ное положение теории относительности, тесно связанное с
первым, состоит в том, что постулируется независимость
скорости света в вакууме от скорости движения инерциаль
ной системы отсчета и направления распространения
световых сиrналов (второй постулат)2. Эта скорость
c==3.10 10 см/сек, соrласно теории отиосительности, является
предельно возможной, максимальной скоростью в природе
некоторой универсальной (мировой) постоянной. В частно-
сти, то, что скорость относительноrо движения инерциальных
систем отсчета не может быть больше скорости света, зало-
жено в самих преобразованиях Лоренца. Действительно, из
формул (5.1) следует , что при v > с они теряют смысл, так
как корень V 1 V2!C2 становится мнимым.
Распространение принципа относительности Эйнштейна на
механическое движение привело к возникновению новой ме-
ханики, так называемой релятивистской механики. При этом
существенное изменение основных соотношений старой клас
сической механики, обусловленное требованием релятивист-
скоЙ инвариантности, т. е. неизменности относительно пре-
образований Лоренца, сводится в основном к следующему.
Масса частицы оказывается зависящей от ее скорости по
закону
m==
то
V 2- ,
1
с 2
(5.3)
1 Мы не будем касаться общей теории относительности теории тяJ o
тения (rравитации), создаиной также А. Эйнштейном (1916 r.) В да,%.
нейшем, rоворя о ТfОРИJl относительности, мы будем нметь в виду лищь
специальную теорию fравитационные эффекты в теории полей, сопостав-
ляемых элементарным частнцам, ввнду своей малости, как правило, lre
учитываются
2 Иноrда в качестве TpeTbero постулата специальной теории отво('и
теJ1ЬНОСТИ вводится требование однородности н Изотропности четырехмер'
lIoro пространства
43
[де то масса покоящейся частицы, т масса движущейся
частицы, v скорость движения частицы, с скорость света
Из вырl1жения (5.3) следует, что существенное изменение
массы будет иметь место лишь для частиц, движущихся с
несьыа большими, близкими к скорости света скоростями
При обычных, не слишком больших скоростях поправка к
массе оказывается столь незначите,1JЬНОИ, что этим эффектом
можно пренебречь и пользоваться обычной механикоЙ Нью
тона. Поэтому старую классическую механику можно рас
сматривать как частный случай более общей теории реля
тивистской механики. Столь же частным случаем по отноше
нию к принципу относите.1ЬНОСТИ Эйнштейна ЯВ.lяется принцип
относительности [алилея. Действительно, из формул (5.1),
ПО.'1аrая и« с и пренебреrая величиной и/с, сразу получаем
преобразования [алилея
х' == х vt, у' == у, z' === Z, t' t.
(5.4)
Соответственно при том же условии и «с вместо релятивист
CKoro закОНа сложения скоростей (5.2) будем иметь закон
сложения скоростей, справедливый в механике Ньютона
и2 == иl и.
т аким образом, условие и« с можно рассматривать как
условие, определяющее I'раницы применимости механики
Ньютона и справедливоrо для нее принципа относительности
[аЛИ.lея.
Теория, призванная описывать специфиче
ские свойства элементарных частиц, прояв
,1яющиеся при движении с БО.1ЬШИМИ CKOpO
стями, должна быть прежде Bcero реляти
вистски инвариантной, т. е. в соответствии с принципом
относительности Эйнштейна все основные соотношения теории,
и в первую очередь уравнения поля, не должны меНять своей
формы при преобразованиях Лоренца, осуществляющих пе-
реход от одной инерциальной системы к друrой.
Необходимость использования релятивистски инвариант
ной теории для описания элементарных частиц, вытекающая
из общих принципиальных соображений и специфическоЙ
природы этих микрообъектов, полностью подтверждается
всем ходом развития физики элементарных частиц. Именно
в этой области науки накоплен боrатейший эксперименталь,
ный материал, подтверждающий все ОСНОВНЫе положения и
предсказания специальной теории относительности. Эта Teo
рия не только стала мощным и надежным орудием познания
nвлений микромира, но и все в большей степени превраща-
ется в инженерную науку. Достаточно, например, сказать, что
Релятивистская
инварнантность
и теория поля
44
ни один современный ускорител!> элементарных частиц не
может быть рассчитан и построен без учета релятивистских
эффектов при движении этих частиц, в частности таких, как
изменение массы, определяемое формулой (5.3). Отметим
также, что современная теория Э.1ементарных частиц возник
Jla именно на базе синтеза двух основных теорий ХХ века
квантовой механики и теории относительности. Нерелятивист-
ская квантовая механика IUрединrера не смоrла дать вполне
у довлетворительное описание такой давно известной частицы,
как электрон.
Таким образом, чтобы применять математический аппарат
классической механики непрерывных систем в классической
теории поля, прежде Bcero необходимо этот аппарат привести
в соответствие с требованиями релятивистской инвариант-
ности.
Поэтому нам придется остановиться на некоторых необ-
ходимых для дальнейшеrо свойствах преобразований Ло-
ренца.
6. Преобразования Лоренца
Преобразоваиия Лоренца, как уже отмеча-
лось, изменяют не 10ЛЬКО пространствен-
ные координаты (х, у' Z), но и время (t)
(см. формулу (5.1)). Следуя Минковскому, удобно объеди-
нить пространственные координаты и время в ОДНо четырех-
мерное мноrообразие, rде временная переменная пропорци-
ональна четвертой координате:
Пространство
МИНКО8скоrо
Хl == Х, Х2 == у, Ха == Z, х'! == ict.
(6.1)
п'о аналоrии с обычным трехмерным пространством вве-
денное, соrласно (6.1), мноrообразие Минковскоrо (простран-
ственно временной континуум) можно рассматривать как
некоторое линейное векторное пространство четырех измере-
ний. Скалярное произведение двух четырехмерных векторов
Х == {Xl, Х2, Ха, Х4 == ixo} == {XIA-}'
(6.2)
у == {Yl, У2, Уз, У4 == iyo! == {YIA-J
в этом пространстве может быть опредедено по правилуl
1 Здесь и в дальнейшем по повторяющимся rреlfеским индексам, которые
пробеrают зиачения 1, 2, 3, 4, предполаrается су мироваиие
Введенное определение скалярноrо произведения соответствует выбору в
качестве базисных (координатных) векторов пространства MHHKOВCKoro системы
ОртоНОр"lИрованиых четырехмерных векторов e '
x Х", el-l'
е е /)
1-1 '11 1-1'11'
01A-'II о при р, =1= '1,
01A-'II 1 при р. '1.
45
(х, у) == ху == ХIУl + Х2У2 + ХзУз + Х4У4 =со ху ХоУо. (6.3)
В частном случае, коrда х == у, скалярное произведение
(х, х) -== х 2 := xl.1xl.1 == х 2 x =со r 2 с 2 [2 (6 4)
определяет квадрат длины (нормы) четырехмерноrо вектора х.
В зависимоСти от численноrо значения величины х 2 (6.4) (ко-
торую также называют пpocтpaн.cтвeHHo-вpeMeHHЫ_t€ интервалом)
различают следующие три типа четырехмерных векторов в про-
странстве инковскоrо:
х 2 < О времени-подобные векторы,
х 2 > О пространственно-подобные векторы,
х 2 == О
световые векторы
(6.5)
(6.6)
(6.7)
Как известно, rеометрическое место всех световых векторов
(х 2 == О) образует так называемый световой конус. Все времени-
подобные векторы (х 2 < О) лежат внутри cBeтoвoro конуса, а все
пространственно-подобные векторы (х 2 > О) вне ero.
Предположим, что в начале четырехмерной системы
координат, т. е. в точке с координатами x==y==z===cO В момент
времени t == О, находится точечный источник света. Тоrда при
условии, что свет распространяется по всем направлениям
одинаково с постоянной скоростью С, rеометрическое место
точек, к которым дойдут световые сиrналы в любой момент
времени t, будет представлять собой некоторую сферу, опи-
сываемую уравнением
r 2 c 2 t 2 == О.
в соответствии с принципом относительности Эйнштейна это
соотношение, выражающее основную закономерность рас-
пространения света в пустоте, должно иметь такой же вид и
в любой друrой инерциальной системе координат, т е. можно
написать
r,2 с 2 {" ::= О,
rде с та Же скорость света, одинаковая для всех систем.
Метрнческий теНЗ0Р пространства МинкоВ<'коrо в этом случае представляет со-
бой единичную матрицу
( ОН
021
1 О == (о ,,) == .
IA. 0З1
041
012 ОИ 014 ) ( 1 О О О )
22 23 24 == О 1 О О .
032 0зз 084 О О 1 О
042 043 044 О О О 1
При этом четвертая координата (компонента четырехмерноrо вектора) всеrда
будет мнимой
46
Условие
r" с2[" == r 2 с 2 (2 ::::: О
(6.8)
можно рассматривать как частный случай общеrо соотношения
Х;Х; == r" с 2 (' 2 == r 2 с2[2 == Xj.lXj.I == const, (6.9)
выражающеrо требование неизменности квадрата длины
произвольноrо четырехмеРllоrо вектора (пространственно
BpeMeHHoro интервала) во все'{ инерциальных системах OT
счеТа в пространстве Л1UНКОВСКО20. В соответствии со сказан
ным выше это требование можно рассматривать как непо
средственное следствие принципа относительности Эйнштейна.
Если теперь в пространстве Минковскоrо ввести линей
ыe преобразования
Х; == LIA-р Х р (6.1 О)
и потребовать, чтобы они обеспечивали выполнение условия
(69), то очевидно, что эти преобразования следует отождест
вить с преобразованиями Лоренца Поэтому вытекающее из
(6.9), (6.10)
X;X == L щ ) Х р Lj.lv Xv == б рv xpxv ::::: xvxv
условие
(6.11 )
:можно считать определением преобразований Лоренца. He
трудно показать (это будет сделано ниже), что введенные
таким образом преобразования L в частном случае, коrда
они затраrивают только изменение координат Х 1 и Х4, совпада
ют с приведенными ранее соотношениями Лоренца (5.1),
описывающими переход от одной инерциальной системы к
друrой, движущейся с ПОСТОЯННОlI скоростью вдоль оси Х
Из постоянства пространственно временноrо цнтервала,
так же как из формул (5.1), определящих преобразования
Лоренца, непосредственно вытекает, что при переходе от
одной системы к друrой изменение пространственноrо интер
вала (r2+r'2) обязательно влечет за собой вполне опреде-
"lенное изменение интервала времени ((2=1= ('2). Это находит
свое выражение в том, что каждая инерциальная система в
теории относительности характеризуется своим временем.
Н . В соответствии с приведенным выше опре
еКОТорые своиства
матриц Лоренца делением преобразование Лоренца (6.10)
определяе1СЯ 16 величинами LIA-V' Они об
разуют квадратную 4Х4-матрицу
( L11 L 12
L == (LIA-V) == L 21 L 22
L:11 L 32
L-l 1 L-l 2
Lj.lp LIA-v == 6 pv
L 1З
L 2З
L33
L jз
L]4 )
L 2 \
,
L34
L44
(6.12)
47
на матричные элементы L[.t\1 которой, соrласно (6.11), наложено
условие
LJ.tp L[.t\1 ==" Б Р \1'
или с учетом правил перемножения матриц
LJ.tp LJ.t\1 -== (L)pl-L 1'1'\1 == (L L)p\1 ==- (I)p\1'
т. е.
LL == 1, [== L l,
(6. 11 а)
((L)I-I\1 == L\1I-1)'
имеем
rде знак означает транспозицию матрнцы
С друrой стороны, умножая (6.11) слева на Lap,
Lap (ЦРI-L LI-I\1 == Lap Б Р \1 "'" L O \1 ==" БОI-L Ll-lv'
откуда
LOp (L)pl-I -== бо[.t == L(jp Ll-lp, (L L == 1 == [ц.
(6.116)
Условия (6.11) означают, что преобразования Лоренца в про
странстве Минковскоrо (при выбранной метрике) задаются opтo
еон.аЛЬНblми матрицами L (1 == L l). Подобно тому как opToro
нальные преобразования в трехмерном пространстве представляют
собой преобразования поворота, преобразования Лоренца
также можно интерпретировать как преобразован.uя HeKOTO
рых поворотов в четырехмерном пространстве, оставляющих
неизменной дл у четырехмерноrо вектора.
Поскольку LL==LL, то (611) представляет собой paBeHCT
во двух симметричных 4 Х 4 матриц и поэтому содержит 10
независимых условий Это означает, что только 6 величин
L[.t\1 из 16 будут независимыми. Отсюда СJlедует, что любое
преобразование Лоренца будет определяться б независимыми
параметрами.
Совокупность всех f[реобразований Лоренца образует
еруппу, так как для матриц L выполняются основные cpynno
вые аКСиомы:
а) определена операция аССОЦИа1ивноео у.tfноженuя (в
обычном матричиом смысле)
L2Ll == L з , (6.13)
т. е. если матрицы Ll и L 2 являются матрицами Лоренца, то и
матрица L з также определяет преобразованне Лоренца. Иначе
rоворя, если
Ll Х == х'
и
L 2 х' == х",
то существует такая матрица Лоренца L з , что
L3 Х == L2Ll Х == х";
48
б) совокупность матриц L содержит тождественное nреобра
зование 1
Ix х
(6.14)
для .rJюбоrо х;
в) для каждоrо L существует обратное преобразование L 1.
ILействительно, если
L х =со х' ,
L х' =-= L 1 х' ==: х.
Поскольку каждое преобразование Лоренца определяется
набором значений шести независимых параметров, т. е. каж
дому такому набору соответствует определенное преобразо
вание Лоренца, то различные матрицы L можно рассматри-
вать как различные значения одной и той же функции пара-
ыетров. Эта функция является непрерывной, так что можно
записать
то, соrласно (6.11),
L == L (00),
(6. 15)
rде 00 == (OOs) == (001,002, ООз, 004, 0)5, 0)6) определяют совокупность
шести пара метров rруппы Лоренца. Блаrодаря этому COBO
купность преобразовйний Лоренца образует шестипараметрu
4ескую непрерывную еруnпу. Эта rруппа относится к так Ha
зываемы:м rруппам Ли 1. Исходя из общих свойств rрупп Ли,
каждому пара метру rруппы Лоренца можно сопостаВить не.
который оператор бесконечно малоrо преобразования так
называемый инфинитезим.альный оператор. Соrласно общему
определению, эти операторы MorYT быть найдены по формуле
1 ==: ( д L (00) ' )
s д 008 ы:»О'
Iде s в случае rруппы Лоренца пробеrает значения от 1 до 6,
а 0)==0 означает, что 0)1==0)2==0)3==...==0)6=-0.
Условие ортоrональности матриц Лоренца
(6,11) накладывает оrраничения на опре
делитель матрицы L. Из (6.11) сразу сле
дует, что
(6.16)
rруппа Лоренца
н преобраЗ0вания
отражения
т. е.
det (L [) == det L det [ == (det Ц2 == 1,
det L == == 1.
(6.17)
Введем в рассмотрение следующие матрицы преобразований
отражения (изменения знака) пространственных координат и
времени:
( I О )
Ir О
1 I
I См, напричер, Л ю 6 а р с к И й [. Я. Теория rрупп и ее применеlll1е
в физике М, rостехиздат, 1957.
49
матрица отражения пространственных координат (Xl--+ Xt, Х2--+
--+ Х2, Хз Х з , Х4 --+ Х4);
1I == ( 1 )
матрица отражения времени (Х4 --+ Х4);
( ' o l
1, == 1, 1I == ,
1 )
матрица полноrо отражения (Xl --+ Хl, Х2 --+ Х2, Х з --+ Х з ,
Х 4 --+ Х 4 ).
В СВЯЗИ С этим можно определить четыре типа преобразова-
ний Лоренца:
а) собственные ортохронные
L (det L == + 1),
б) собственные неортохронные
L' == 1, L (det L' == + 1),
в) несобственные ортохронные
L" == 1, L (det L" == 1),
[) несобственные неортохронные
L'" == 1I L (det L'" == 1).
Таким образом, преобразования с det L== + 1 относятся к
собственным преобразованиям, а преобразования с det L ==
== 1 к несобственным. Преобразования, включающие ОТ-
vажение времени, называются неортохронньо.щ в противопо-
ложность ортохронным, не содержащим отражения временн.
Совокупность всех четырех типов преобразованиЙ назы-
вают общей rруппой Лоренца.
В дальнейшем мы оrраничимся рассмотрением 2руппы
собственных ортохрОННЫХ преобразованuй Лоренца, которые
обычно называют просто преобразованиями Лоренца. Ска-
занное выше о непрерывности преобразований Лоренца от-
носится лишь к этой не включающей отражений rруппе, по-
скольку преобразования отражения являются дискретными
преобразованнями.
Инфнннтезимальные
операторы rpYnnbl
Лоренца
7. Бесконечно малые преобраЗ0вания Лоренца
Непрерывность преобразований Лоренца
означает, что любое преобразование Лорен-
ца можно рассматривать как результат
последовательноrо выполнения совокупно-
малых преобразований. Бесконечн.о малое
стн бесконечно
50
преобразованuе Лоренца это такое преобразование, которое
изменяет координаты точки в четырехмерном пространстве на
бесконечно малую величину
X === LI!V Х.." == ХI! + б xl!'
(7.1)
в соответствии с этим матрицу TaKoro преобразования удобно
представить в виде
(7.2)
L == 1 + 0),
т. е. вместо (7. 1) написать
X :: (1 + О))/.!.." Х.." :::::: бl!V Х.." + O)Jj.V Х..".
(7.1 а)
rде 1 единнчная матрица в четырехмерном пространстве, а
О) некоторая матрица, определяющая бесконечно малое изме
нение координат (О)\1" Х.." === б xJj.).
Матрица (7.2), как и всякая матрица Лоренца, должна быть
ортоrональной, т. е. (см. (6.11))
c_........
L L == (1 + 0)) (1 + 0)) == 1.
Отсюда, оrраничиваясь величинами первоrо порядка малости,
имеем
О) == 0),
или
O)Jj.V == O)VI!'
(7.3)
т. е. матрица О) является анmuсuмметричной.
Учитывая это, нетрудно выде.IIИТЬ независимые параметры,
определяющие бесконечно малое преобразование. Представим
матрицу О) через так называемые элементы полной матричной
алеебры el!v в четырехмерном пространстве. Последние опреде-
ляются соотношениями:
(eI!V)p(1 == 6J1p 6'1/(1'
.,I!V е Р (1 6 el!(1
'" .."p
(7.4)
(7.5)
н представляют собой такие 4 ><4-матрицы, у которых имеется
только один отлнчный оТ нуля, равный 1 матричный элемент,
лежащий на пересечении Jt-ОЙ строки и '\'.ro столбца.
Матрицу 0), как н всякую 4 Х 4 матрицу, можно записать
в виде с..'Jедующеrо разложения:
4
'" "" 11 + 12 I
О) == ..,;. O)'l"" е :: (1)11 е 0)12 в 'т'" ==
,,",v""'l
51
ООц и
,О
о + 00" О
1 О
О О
О О
О О
О )
О +
о
О
(7.6)
содержащеrо Bcero 16 слаrаемых. Но по определению величины
О)/,!" не все являются независимыми, так как на них наложены
условия (7,3). Поэтому, переписав разложение (7.6) в виде
4
О) == I О)l!l!е!Чt + O)I!\I 81'-\1 + I O)I!\I e/.L\I (7.7)
/.! l I!<V /.L>\I
и учтя (7.3), будем иметь
О) == O)/.L\lel'-\I I 0)\l1! 81'-\1,
/.L>\I 1'-<\1
J!ли после замены немых индексов v .... f.!, f.t .. v во второй CYM
ме
'" ( I!\I V/.L )
О) == "'" O)I!\I е е .
t>\I
(7.7а)
tlведя обозначеНJ!е
I!\I "I! 1
е е ::= [/,!\I] ,
(7.8)
можем написать
О) == 0)[1'-'1'] 1 [I!\!] ,
[I!\I]
L == 1 + O)[I!\I] I[/.L\I]'
[11\1]
(7.9)
rде суммирование ведется по шести независимым значениям KOM
БИНИРJванноrо индекса: {f.tvJ == {23J, [31J, (12J, [14], [24], [34].
Величины 0)[11\1] можно выбрать в качестве шести независимых
параметров бесконечно малоrо преобразования Лоренца общеrо
вида. Стоящие при них матрицы 1 [I!\I] (7.8), cor ласно (6.16),
будут представлять собой инфинитезимальные операторы rруппы
Лоренца.
Исходя из представления (7.8) и используя свойства (7.4),
(7.5), леrко получить общие перестановочные соотношения, опре-
деляющие алrебру этих операторов:
[I!I!\I], I[pa]] == I[I!\'] I[paJ I[pa] I[I!\'] ==
== (8/.1\1 8\11!) (ера еар) (ера еар) (el'-\I eV/.I)
== б\lР I[l!a! + б llа I[\lP] бl!V I[\la) б\lа I[I'-P]'
(7.10)
52
Параметры rруппы Фнзический смысл операторов 1 [1-1'1'] И стоя
Лоренца щих при них параметров 0)[11'1'] можно леrко
выяснить, рассмотрев частные бесконечно Ma
.1ые преобразования Лоренца.
Прежде Bcero заметим, что, как и в случае конечных пре
образований Лоренца, величины
Ш[23]' 0)[31]' 0)[12] вещественные,
а
(7.11)
0)[14]' 0)[24]' 0)[34] мнимые,
т. е. преобразования Лоренца определяются тремя вещественны
ми и тремя мнимыми параметрами.
Рассмотрим простейшие бесконечно малые преобразования
Лоренца, коrда только один из параметров отличен от нуля.
Возьмем, например,
L === 1 + 0)[12] 1[12] == 1 + W12 (е 12 е 21 ). (7.12)
В этом случае, соrласно (7.4), будем иметь
LI.\V == (1 + W[12] 1[12])11'1' == (\'1' + W[12] (6111 62'1' 621.\ 61,,),
что д eт
X == LI.\V Х" == x l1 + 0)[12] (6 1u 62" 62!! 61'1') Х"
или
Х; == Х1 + 0)[12] Х 2 ,
Х; === О)[12] Х! + Х 2 ,
X == Х1,
Х; == Х 4 ,
(7.13)
т. е. изменяются только две координаты Х1 и Х2. Поскольку при
этом по определению длина вектора не меняется, то указанное
преобразование представляет собой не что иное, как HeKOTO
рый бесконечно малый поворот в плоскости (Х1, Х2). НО, С дpy
I'ОЙ стороны. любое преобразование TaKoro рода можно за
rисать через yroJI поворота t} BOKpyr оси Хз:
Х; == Х1 cos {} + Х2 sin 1't,
Х; ==. Х1 sin it + Х2 COS 1't,
X == Хз,
(7.14)
Х; == Х".
fi:J
Полаrая теперь уrол t} малым и оrраничиваясь в разложении
sin t} и cos {} величинами первоrо порядка малости, т. е. считая
cos {} 1 и sin {} {}, будем иметь:
Х; ==-' Хl + {} Х 2 ,
X == {} Х} + Х2,
(7.15)
X == X;j,
X == Х4'
Очевидно, (7.13) совпадает с (7.14), если положить
t} === 0)[ 12]'
Следовательно, параметр 0)[12] равен уrлу поворота {} в плоскос
ти (Х}, Х2)' а оператор 1[12] может рассматриваться как HeKOTO
рая матрица, определяющая бесконечно малый поворот в этой
плоскости. Аналоrичные результаты получим и для однопара
метрических преобразований, определяемых параметрами 0)[31]
и 0)[23]"
Обращаясь к случаю мнимых параметров, рассмотрим преоб
разование
L == 1 + О)[14] 1[14] === 1 + 0)[14] (814 8 4 }).
В этом случае, с одной стороны, будем иметь:
Х; == Хl + 0)[141 Х 4 ,
х; === Х2,
(7.16)
X == Хз,
(7.17)
X == 0)[14] Х} + Х4.
С друrой стороны, конечное преобразование Лоренца, затраrи-
вающее только координаты Хl и Х 4 , В силу постоянства про-
CTpaHcTBeHHo BpeMeHHoro интервала также можно формально рас-
сматривать как некоторый поворот на уrол q:> в ПЛОскости (Хl.
Х 4 ), т. е. можно написать (сравн. (7.14)):
Х; == Хl cos q:> + Х4 sin <р,
X === Х2,
Х; === Хз,
(7. 18)
X ссс Х 1 sin q:> + Х4 cosq:>.
54
Д,;JЯ Toro чтобы выяснить физический смысл преобразования
(7.J8), раСС\10ТрИМ ero частный случай, коrда точка с KOOp
днна131\!И х==- (х;, О, О, Х4) в старой системе переводится в
точку с координа rами х' ==- (О, О, О, X ) в новой системе. За
Х(
пись X= (Xl, О, о, Х4) означает, что в момент времени t по
'с
ложение точки определяется пространственной координатой Х!.
ОТl'юдз следует, что эта точка движется в старой системе со
u В .
скоростью и, определяемои отношением v == . новои системе
t
та же точка неподвижна, Чl0 возможно лишь В том случае,
коrда новая система координат дВижется относнтельно OTa
рой системы вдоль оси Хl СО скоростью и. Таким образом, в
этом частном случае преобразование (7.18) описывает пере
ход от непоДВИЖНОЙ системы к движущейся. Свяжем теперь
введенный формально уrол <р со скоростью и. При Х; ==0
первая строка в (7.18) принимает вид
О == Хl COS q> + Х4 sin ер,
откуда следует, что Хl == 1 == tg ер, т. е.
Х4 tct
t . v
g<p==t .
С
(7.19)
Поскольку в рассматриваемом случае уrол ер будет мнимым (это
следует из (7.18», т. е. ер == i а, то (учитывая, что cos ia ==
== ch а, siп ia :::= i sh а) будем иметь tg Ip == tg 1 а == i th а :::= i 3.... .
с
или
th а == .
с
Таким образом, мнимый уrол <р, определяющий так назы
ваемый ёunерболuческuй поворот в пространстве Минковско
101 непосредственно связан со скоростью относительноrо дви
А<ения систем координат. Отсюда следует, что преобразова.
нне Лоренца рассматриваемоrо типа описывает переход от
одноЙ инерциальной системы к друrой, движущейся вдоль
оси Х; со скоростью v == ctha относительно первой Подставляя
(7.19) в (7.18), получнм нзвестные преобразования Лоренца
(см. (51»:
+ . v
Xl t Х 4
С
, Х; == Х2' X == Х з . X :::=
и 2
1 C2
(7.20)
x; /
. v
1 Хl + Х4
с
Уl
и 2
(;2
55
НО'3вращаясь теперь к формулам (7.18) и поступая, как в слу
чае преобразования (7.13), т. е. полаrая ер (а) малым, ПО.'IУЧИМ:
Х; == Хl + Х 4 ер,
Х; == Х 2 ,
Х; == Хз,
(7.21)
X == Х) ер + Х4,
откуда после сравнения с (7.17) находим
0)[14] == ер == i а. (7.22)
Апалоrичные соотношения получаются и для параметров 0)[24]
и 0)[341'
Очевндно, и в общем случае три вещественных параметра
прео6разования Лоренца (0)[23]' 0)[31]' 0)[12]) определяют HeKoтo
рый пространственныЙ поворот, а величина их связана с величи-
ной УёЛов поворота в соответствующих координатных плоскос-
тях (Х з, ХЗХl, XIX2)' Аналоrи:чно три мни.ЧЫХ параметра
(0)[14]' 0)[24J' 0)[34J) определяют некоторый ёиперболический пово-
рот, а величина их связана с величшюй соответствующих KOM
понент скорости поступаmеЛЬНОёО движения одной системы от-
t;чета относительно дрУёой 1 .
В самом общем случае преобразование Лоренца можно
рассмаrривать как наложение двух типов преобразований:
Ilреобразования TpexMepHoro вращения, осуществляющеrо
П'Jворот пространственных осей координат, и преобразования
rиперболическоrо поворота, соответствующеrо переходу от
одной инерцнальной системы координат к друrой, движущей
ся с некоторой скоростью относительно первой
1 Заметим, что выбор параметров преобразований .'10ренца не одJOО-
значеп и может быrь произведен по-разному Например, Ф И ФеДОРОВЫ\1
показано, что шесть параметров конечноrо преобразоваиия Лоренца можно
записать в виде HeKoToporo комплексноrо TpeXMepHoro вектора
q=-=a+ib
При этом рассмотрение мноrих вопроtов теории rруппы ЛореIЧЩ сущест-
венно облеrчается В частности, получается за lечате.1ЬНЫЙ по проrтuтЕ'
закои композиции параметров rруппы Лоренца, соrласно которому, ееJJИ
L (q2) L (ql) L (q),
то
qz + ql + [qzqll
q
1 Qzql
См Ф И. Федоров ДАН ВССР, 5,101,1961; 5, 194,1961, дд.н СССР,
143,56, 1962.
56
8. ТеНЗ0рные предстаВЛения rруппы Лоренца
Инварианты Квадрат пространственно-временноrо интеро
вала является примером величины, оста.
ющеЙся неизменной при любых преобразованиях Лоренца.
Такие величины называют инвариантами относительно пре.
обрi130ваний Лоренца Таким образом, можнО написать 1
х2 == X!.'X tl == r 2 c 2 t 2 =::: inv.
(8.1)
Ос()бый интерес представляют инварианты, составленные
как из самих координат, так и И3 некоторых функций от ко-
ординат. К числу первых, кроме х 2 (8.1), KdK можно показать
(используя равенство еДИНИЦе якобиана бесконечно малых
преобразований Лоренца), отнОсится элемент четырехмерноrо
объема
d 4 Х == dX 1 dX2 dхз dxo == inv.
(8.2)
Инварианты, остающиеся неизменными при преобразова-
ниях координат, ДО.1JЖНЫ иrрать фундаментальную роль во
всякой теории. Но для Toro чтобы уметь строить такие инва-
риантные комбинации из функций 01' координат, нужно знать,
как ведут себя эти функции при преобразованиях координат,
т. е. знать их трансформационные свойства относительно дан-
Horo типа преобразований.
Векторы и ска,1ЯРЫ Рассмотрим сперва обычное трехмерное
в трехмерном пространство.
пространстве КО;\fпоненты раДиуса-вектора r любой
точки в ЭТО1\! пространстве
r== {Х, у, z}
(8.3)
при переходе от одной декартовой системы к друrой преобра.
::tуЮТся с помощью ортоrональных 3Х3.матрнц а
а r == r' (aik X k == х;; i, k == 1, 2, 3), (8.4)
образующих, как известно, 2руппу преобразованuй вращения
1 реХЛ1.ерНО20 пространства. Формула (8.4) определяет закон
преобразования, или, как rоворят, трансформационные свой-
ства трехкомпонентной величины r вектора в рассматри-
ваемом пространстве.
Вектор r определяется своей длиной и направлением, ко.
10рые однозначно характеризуются значениями ero компо-
fleHT Х. у, Z. В физике известен ряд величин, которые можно
рассматривать как трехмерные векторы: каждая из ннх за-
I Как уже отмечалось, здесь рассматриваются лишь собственные орто-
хронНые преобразования Лоренца (без отражений), и поэтому речь иДет об
инвариантах лишь относительно этИх преобразований
57
дается своим значением и направлением в пространстве
Примерами являются. вектор силы р, вектор тока j, вектор
импульса р и т Д
Все величины TaKoro рода, так же как и вектор r, Mory r
быть заданы компонентами в декартовой системе координат,
например,
р.= {Fx, F ц , Fz),
(8.5)
причем три проекции рх, Ру, Р: будут преобра30вываться по
тому же правилу, что и координаты Х, у, z.
а F ==: р'
(8.6)
(a ik Fk -== Р;).
Вместе с тем нужно учитывать, что величины р, j, р явля.
ются некоторыми функциями от координат Х, у, Z, т. е., Ha
пример,
р(х, у, z) == {Рх(Х' у, z), Fy(x, у, z), Fz(x, у, z)}. (8.7)
В общем случае если каждой точке с координатамн х, у, z
ставится в соответствие совокупность трех однотипных величин
Rx (х, у, z), R y (х, у, z), Rz (х, у, z),
преобразующихся по правилу (8.4)
aik Rk ==: R; ,
(8.8)
rде а матрицы преобразования rруппы вращений TpexMepHoro
пространства, то rоворят, что совокупность функциЙ R == {Rx,
R y , Rz) образует некоторое линейное mpeXAtepHoe пространство
векторов R, обладающее всеми теми же rеометрическими свой.
ствами, что И обычное пространство векторов r (Х, у, z)
Разумеется, трансформационные свойства величин р, j, ..., R
как функций координат х, у, z необходимо рассматривать в тес-
ной связи с преобра30ваниями этих координат. Обычно заданш'
определенноrо преобразования координат х, у, z автоматически
влечет за собой вполне определенное преобра30вание величин
F (Х, у, z), j (Х, у, z), ..., R (Х, у, z), точнее rоворя, ВСЯКОf
преобразование координатноrо вектора
а r == r' (aik Х п == Х; )
(8.9)
индуцирует определенное преобра30вание вектора-функции R (r)
58
а R (r) -== R' (r') (a ift 1<k (r) == 1<: (r')),
(8. 1 О)
определяемое в данном случае той же матрицей 1 а.
Возможна такая ситуация, коrда каждой тоЧке TpeXMep
Horo пространства с координатами х, у, z ставится в COOTBeT
ствне H три, а друrое 'IИСJЮ функций В частности, представ
J1яет интерес тривиа.1ЬНЫЙ случай, коrда такая функция толь
:ко одна. Примером может служить плотность электрическоrо
заряда р(х, у, z), потенциал электростатическоrо поля
q;( х, у, z) и т. д. Из физическоrо смысла описываемых этими
функциями велнчин в соrлаС!IИ с принципом относительности
fалилея следует, что их значения (в одной и той же точке)
не ДО.1ЖНЫ изменяться при переходе от одной системы к
друrой, осущеСТВ.1Jяемом с помощью преобразований Tpex
lI:ерных вращений, т е. можно написать, что, например,
р (х, у, z) ""' р' (х', у', z'),
<р (х, у, z) == <р' (х', у', z').
Таким образом, наряду с наборами из трех функций R x >
Ry, Rz, преобразующихся при преобразованиях координат
х, у, z как трехмерные векторы, можно rоворить о классе
функций, которые при всевозможных преобразованиях rруп
пы вращt'НИЙ трехм:ерно\'о пространства не изменяют своих
значений. Такие функции называют скалярными функциями,
или просто скалярами относительно данной rруппы преобра
. 2
зовании .
(8.11 )
Теория относительности, как мы видели,
приводит к естественному объединению KO
ординатноrо вектора r и временной KOOp
динаты (являющейся скаляром относитель
но трехмерной rруппы вращений) в четырехмерный коорди
t!атный вектор
Векторы
в четырехмериом
простраистве
х == {x,J ::::: {х, Х4} == {х, iXo} == {r, ict}.
(8.12)
1 Соотношение (8.1 О) означает, что функции R; (r') и Ri (r) определены
в одной и той же точке простраиства векторов r, но записанной через ее KOOp
динаты в разных системах. По определению поворот в простраистве векторов
R, осуществляе\!ый с помощью матрицы а, сопровождается аналоrичным по-
воротом в пространстве векторов r, в результате KOТOporo координаты точки
r ==. (х, У, z) в повериутой системе будут иметь уже вид r' ==.а r== (х', у' , z').
В связи с этим в литературе вместо (8.1 О) часто используется и иная форма
зали<:и: R' (r') ==. а R (a l r') или R' (а r) == а R (r),
R дальнейшем повсюду мы будем придерживаться записи (8.10).
2 Отдельную компоненту TpexMepHoro вектора, разумеется, Нельзя счи-
тать Сfiалиром при преобразованиях координат ее зиачение изменяется ,3
счет изменения ориентации вектора отноеитеJlЬНО координатных oceii: в
трехмерно\! пространстве
5f}
Компоненты этоrо вектора определяются относительно четы
рехмерной системы координат и при переходе от одной такой
же системь! к ;J.руrой преобразуются с помощью ортоrональ
лых преобразований Лоренца
Lx==x' (LJ.LvxV x , f.t, ,,==1,2,3,4). (t.13
Подобно рассмотренным выше наборам функции с опре-
деленными трансформационными своиства:\1И относите.'IЬН')
rруппы вращений TpexMepHoro пространства, ,иожно соворить
О наборах функций от nространственных координат и вре,не-
hИ, обладающих определенными трансфор.наЦИОННblА-tU cвoй
ствами относительно nреобразований 2рУnnЫ Лоренца. При
меры raKoro рода величин дает теория элеКТРОl\1аrнитноrо
поля Максвелла, основные соотношения которой в COOTBeTCT
вии с принципом относительности Эйнштейна не должны
менять cBoero вида при преобразованиях Лоренца.
Прежде Bcero в этой теории можно выделить ряд ве.1JИЧИН,
которые описываются функциями, естественно объединяющи
l\1ИСЯ в четырехмерные векторы.
Рассмотрим, например, вектор плотности электрическоrо тока
j (х, у, z, t) и плотность электрическоrо заряда р (х, у. z, t),
::Jвязанные между собой известным условием непрерывности
..... 1 др
vj+ ==0.
с at
( 8.14)
Поскольку пространственные координаты х, у, z и время t
входят в каждую из функций j (х, у, z, t) и Р (х, у, z, t) рав-
ноправно, можно ввести для них четырехмерные обозначения
(8.12):
j (х, у, z, t) j (х 1 , х 2 , Х3, xJ) == j (xJ.L)'
Р (х, у, z, t) """* Р (x/.l)
(8.15)
и записать соотношение (8.14) в виде
jk (xJ.L) + J.a р (xJ.L) == О
aX k дХ 4
(k == 1, 2, 3).
(8.14a)
Прежде BCero заметим, что входящие в (8. 14а) четыре диффе-
ренциальных оператора
{ l ' 2 ' ;3 ' J == { a: t }
(8. 16)
60
преобразуются как компоненты четырехмерноrо вектора, т. е.
д д
д-' == L llv . (8.17)
x ll дх"
В этом леrко убедиться, записав частную производную по пре
образованной координате
д дх ", д
дx =0= дx дх ",
(8.18)
и подставив сюда соотношение
дх
v L
дх' Ilv'
1'-
вытекающее из определения обратноrо преобразования Лоренца
х'" (L l)VIl x === (L)Vi1 x == L llv x .
(8. 19)
Учтем теперь, что соотношение (8.14) выражает опреде
ленную физическую закономерность электромаrнитноrо поля
и, поскольку теория этоrо поля релятивистски инвариантна,
оно не должно менять cBoero вида при преобразованиях Ло-
ренца. Простейшей инвариантной комбинацией, включающей
четырехмерный вектор, является скалярное произведение
двух таких аекторов. Следовательно, стоящие при компонен
а
т ах четырехмерноrо вектора - ве.'IНЧИНЫ «('м (8.14а) )
aX Il
j (x ll ) и P(XIl) (вектор и скаляр по отношению к rруппе трех-
мерных вращениЙ) в своей совокупности должны составлять
четырехмерный вектор тока заряда. Таким образом. мы MO
жем написать 1
j (х) == (jll (х) J == {j (х), ijo (х») == [j (r, t), i Р (r, t)}, (8.20)
причем
L j (х) == j' (х') (L llv jv (х) == j (х'»),
(8.21)
rде L матрица Лоренца.
Соотношение (8.14а) при этом принимает вид
aj (х) == О
axlJ. .
(8.22)
I При ЭТО I величина p(XJ.) (ска.1ЯР по отношенню к трехмерной rруппе
вращений) при преобраЗ0ваннях Лоренца будет изменяться наравне с
оста,1ЬНЫ\Щ компонентами четырехмерноrо вектора
От\!<'тим, что трансфор\!ационные свойства функции р (х) как четвертой
Il
KOMnO!iCHrbl Чt'тыреХ'Jерноrо вектор<\ вытекают из Toro, что оиа входит в иива-
риантнос выражение для заряда d(' .=о. р dХldХ2dхз точно так же, как коорди-
ната dX(I в инваrИ81lТ d 4 x dХ(ldХldХ2dхз.
61
Релятивистская инвариантность соотношения (8.14) в записи
(8.22) очевидна'
д .' ( ' ) L д L . ) д . ( ) д, , О
дх' ]/lx == !!y !!р]р(Х ==uvp ]p,X == ]p(X)== c=cconst.
!! дх у дх у дх р
В этом случае rоворят, что соотношение (8.22) записано в явно
выраженной релятивистски инвариантной или просто ковариант
ноЙ форме.
Аналоrичным путем, исходя нз соотношения Лоренца
1 д<р
V А + == О,
с дt
(8.23)
СВЯЗЫВ<lющеrо векторный А (х, у, z, t) и скалярныЙ <р (х, у, z, t)
потенциалы электромаrнитноrо поля, леrко показать, что эти Be
личины в своей совокупности также образуют четырехмерный
вектор:
А(х) =={А!!(х)}== {А (х), iAo(x)}-=={А(r, t}, i<p(r, t)}, }
L А (х) == А' (х') (L!!v Ау (х) == A (х'»). (8.24)
При этом соотношение (8.23) записывается в следующей кова
риантной форме'
дА!! (xL == о.
дх!!
(8. 23а)
с помощью описанной процедуры можно установить транс-
формационные свойства относительно преобразований Ло-
ренца всех основных величин, используемых в клаССI1ческой
электродинамике, и на этой основе записать соотношения
этой теории, имеющие физическиЙ смысл в релятивистски
инвариантноЙ форме, т. е. дать ковариан.тн.ую формулировку
теории электромаен.итн.О20 fЮЛЯ. В частности, уравнения ЭТОI'О
поля:
( еР д2 д 2 1 д 2 ' )
+ - + А (r, t) =:z j (r, t),
дх 2 д у 2 дz 2 с 2 at 2
iд 2 д 2 д 2 1 д 2 '
( дх 2 + д у 2 + дz 2 Ш 7' дt 2 ) <р (r, t) == Р (r, t)
(8.25)
при этом принимают вид
[J АI.\ (х) == ( ) АI.\ (х) == il.\ (х).
дх р дх р
(8.25а)
62
rде
д 2 д 2 д 2 1 д 2
+ + =O=
дх 2 д у 2 az 2 с 2 at 2
д 2 д 2 д 2 д 2 д д .
=== + + + ==- ===C]
дх 1 дх:;; дх з дХ 4 дх дх
1.\ 1.\
представляет собой так называемый оператор Даламбера.
Соотношение (8.25а) удовлетворяет основному критерию
релятивистской ковариантности, соzласно которому левая и
правая части ковариантноzо соотношения должны обладать
одинаковыми трансформационными свойствамИ относительно
преобразований Лоренца. В данном случае левая и правая ча
сти уравнения (8.25а) преобразуются как четырехмерные BeK
10рЫ (произведение скаляра О на четырехмерный вектор
A/l(X) есть четырехмерный вектор).
Отметим, что трансформационными свойствами четырех
MepHoro вектора обладает также величина
р == !P/l) == {р, ipo} === {р, i ; },
(8.26)
которую иазывают чеmырехмерным ВЕктором энерzии uмпульса.
В соответствии с этим, например. величина pr 8t (фаза волны
де Бройля) будет представлять собой скалярное произведение
двух четырехмерных векторов р == {Pll} и х === {X/l}:
/'. ( /'. \
pr /'.t === pr ct == pr + t } (ict) ==
== pr + Р4Х! === P/lx/l == рх === const == inv.
В пространстве векторов P Il (импульсном пространстве), как и
в любом четырехмерном пространстве, можно ввести инварианты:
квадрат длины четырехмерноrо вектора импульса (сравн. (8.1»
/'.2
р2 == р2 == р2 р2 == р2 === inv (8.27)
l' о с2
и ЭJlемент четырехмерноrо объема d 4 p == dpl dp2 dpa dpo == inv.
Наряду с четырехмерными векторами MorYT
быть определены друrие величины, закон пре
образования которых выражается через матрицы Лоренца более
сложным образом Примером TaKoro рода величин являются так
наз:ываемые тенэоры,
Теизоры
63
Величина Т J.L,J.L, J.L N (х) носит название тензора N-20 ранса,
если она при преобразованиях Лоренца е пространстве коорди
нат х преоб разуется по закону
T 'J.L2' "'N (х') == LJ.L1V, LJ.L,V,
L Т
fJ- N " Л' у,у.
Vл- (х).
(8.28)
Простейшим тензором является тензор нулевосо ранса, или
скаляр (относительно преобразований Лоренца). При преобразо-
ваниях Лоренца скаляр не меняет cвoero вида, т. е.
и (х) ""+ и' (х') == и (х).
В этом смысле скаляр ИНОI'да отождествляют с инвариантом.
Примерами скаляров MorYT служить величины:
xJ.LxJ.L == x x '
д д
д д
д-шш '
J.L xJ.L
дхJ.L дхJ.L
а также
.k
't'JA.' , ...,
дхJ.L дХ rL axJ.L
построенные из четырехмерных векторов xJ.L' a/axJ.L' 'i'r L (х) и
ди (х)
, rде и (х) - скадярная функция. Иначе rоворя, скадяром
дхJ.L
можно считать любую инвариантную относительно преобразова-
ний Лоренца комбинацию функций от координат х.
Тензор переосо ранса, соrласно (8.28), представдяет собой
величину TJ.L (х), преобразующуюся путем однократноrо приме
нения преобразования Лоренца
T (х') == LJ.LV Ту (х),
(8.29)
(8.21 ) ,
т. е. является чеТblреХмерliblJ11 вектором (см., например,
(8 24) ) .
Можно привести примеры тензоров и более высоких ран
rOB: тензора BToporo paHra Т [iV (х) (например, такими свойст-
вами обладает тензор электр маrнитноrо поля FJ.LV(X»' тензора
TpeTbero paHra Т J.LVp(x) И т. д.
Очевидно, из любых тензоров, т. . из любых функциЙ,
трансформационные ('войства которых относительно преобра-
зований Лоренца известны, всеrда можно ПОСТРОIIТЬ инвариант-
ные комбинации, не из !еняющие cBoer'o вида и значений прн
этих преобразованиях:
Т J.LV (х) Т J.LV (х) == inv,
TJ.LV (х) TVJ.L (х) == inv,
TJ.LVP (х) TJ.LVP (х) == inv "0
64
Рассмотрим I10дробнее тензоры еmороео ранеа Т iJ.v (х). По
определению (8.28) для них справедлив следующий закон пре-
образования:
( ТН
Т == (T!.Lv) == ;::
Т 41
T a (х') == Lp!.L Lav Т iJ.v (х).
В общем случае имеет 16 компонент
виде квадратной матрицы
Т 12
Т 22
Т З2
Т 42
(8.30)
Этот тензор
быть записан в
и может
Т 1з Т14 )
Т 2з Т 24
Т 33 Т34 '
Т43 Т44
rде первый индекс (,...,) определяет номер строки, а второй (v)
номер столбца матрицы. Тоrда, используя свойства матриц Ло-
ренца L (La.. == Lva == (L l)'\Ia)' формулу (8.ЗО) можно предста-
вить в виде так называемоrо преобразования подобия
T a == Lp!.L Т jJ.V (L l)va == (L Т L 1) Ра'
или
Т' == L Т L l.
(8. Зl)
Преимущество такой записи состоит в том, что, используя
ее, мы можем при менять стандартные правила перемножения
матриц Такая запись, однако, не является общей, она приме
ним а только к тензорам BToporo paHra, поскольку лишь они
MorYT быть представлены в виде квадратных матриц.
Попутно заметим, что введенный ранее символ Кронекера
бiJ.V по своим трансформационным свойствам также определя-
ет тензор BToporo paHra. Ero специфическая особенность со-
стоит в том, что этот тензор инвариантен относительно преоб-
разований Лоренца
б =с= LpiJ. Lav бl-tv == Lpl-t Lal-t == бра,
как это и требуется для тензора, определяющеrо метрику про-
странства Минковскоrо То, что данный теНЗ0Р является ин-
вариантом, есть простое следствие ero матричноrо представ-
ления, rде он имеет вид единичной матрицы (см. сноску на
С'Тр. 46) . 1 == (8iJ.V)'
В частности, используя матричное представление тензора
бiJ.'" соrласно (8,31), сразу получаем
L' == L 1 L l =с= 1 LLш 1 == 1,
поскольку единичная матрица коммутирует с любой матрицей,
Формулу преобразования (8.30) можно представить и в
друrом виде, допускающем обобщение на случай тензоров
произвольноrо раиrа (см. (828»
65
Компоненты тензора BToporo paHra Т J.LV (как и .rJюбоrо TeH
зора) всеrда :\10ЖНО записать в виде HeKoToporo /'!liОсОКОМnО
неНТНО20 вектора стол6ца, определенноrо в соответствую-
щем МНО20мерном лuнейно.Н пространстве, например
ТН Тl \
T 12 Т 2
Т == (TJ.Lv) ==
TJ.LV
ТА
(8.32)
Т и I \ T 16 J
Здесь А собиратедьный индекс, который пробеrtlет значении
от 1 до 16 и определяет порядковый номер компоненты векто-
ра ТА == Т jJ.V при принятой последовательности расположения
компонент тензора в столбце (8.32)
При такой записи тензора Т J.LV (8.32) соответствующим об-
разом видоизменяется и форма записи ero преобразования
(8,30) :
T (х') == SBA ТА (х),
(8. 33а)
иди
т' (х') == S Т (х),
(8.33.б)
"де S представляет собой 16Х 16-матрицу преобразования век-
тора Т (8,32), матричные элементы которой при принятом ра(>
положении компонент тензора в столбце (832) выражаются
через Э.lементы матрицы Лоренца С, как это следует из cpaB
ненпя формул (8,33) и (830), следующим образом:
SAB == S/.LV,P<1 == CJ.Lp LV<1'
(8.34)
Отсюда следует, что матрицу S в данном случае можно рас-
сматривать как прямое произведение матриц Лоренца 1
S == L0L.
(8. 35)
1 Пря ым произведением двух матриц. например
М ==о (M ik ) И N == (N cd )
(не обязательно одинаковой размерности). называется такая faтрица W M0N,
элементы которой MorYT быть определены по правилу
Wr,s =с= M ik Ncd == W ic . kd , (8,36)
т, е, каждый элемент матрицы 1\-1 умножается на каждый элеменr матрицы N
66
То MHoroMepHoe пространство (в данном случае 16 MepHoe), 3
котором определена совокупность величин Т (8.32), называют
TeH30DflblM пространство.М (в данном случае пространством
тензороn BToporo paara) Матрица S является матрицей линей
Horo преобразования, определенноrо в этом тензорном (также
линейном) пространстве. Она определяет закон преобразова
ния 16 к()мпонентных векторов Т (8.32) (как функций четы
рехмерных координат x ) при преобразованиях коордииат х,
осуществляемых с помощью преобразований Лоренца. При
этом, как следует из определения (8.34), (8.35), .маТрИца S
выражается непосредственно через элеменТы матрицы L \I'
иначе соворя, она является некотороа функцией .матрицы npe
образованuяЛоренца
Таким образом, всякое преобразоваfIие координат x == L ...xv
в пространстве МJ1HKoВCKoro влечет за собой (индуцирует) впол-
не определенное преобразование в теНЗОрНОМ пространстве
т' (х') ::::; S т (х), т. е. каждой матрице L в пространстве- Мин-
KOBCKOro соответствует вполне определенная матрица преобразо-
вания S в тензорном пространстве:
L --+5 == f (L)
(8. 37)
Очевидно, сказанное выше справедливо ие
Представления
rpYnnbl Лоренца только для рассмотрениоrо случая теНЗОров
BToporo paHra Т ...' но и для тензоров
TJL1 '... /J. N (х) любоrо paHra N. ДЛЯ каждоrо из них можно по
аналоrии с (8.32) ввести запись в виде мноrокомпонентноrо BeK
тора столбца
Т(х) == (ТА (х)) ==(T/J.l ' .. N (х»),
(8.38)
N
число компонент KOToporo в общем случае будет равно 4 . Co
вокупность мноrокомпонентных функций Т (х) (8.38) будет опре
делять некоторое тензорное пространство раз.dерности 4 N . Пре
образования MHoroMepHblx величин Т (х) в соответствии с общим
определением тензора (8.28) будут задаваться матрицами 5.
5 == f(L) == L(:)L(:)... (:)L,
(8.39)
число строчек и столбцов которых будет равно 4 N . При этом, со-
r ласно (8.39), будет иметь место взаимнооднозначное COOТBeT
ствие между матрицами преобразования КООрДИНат в пространст
ве Минковскоrо (матрицами Лоренца L) и матрицами преобразо
вания S в тензорном пространстве, т. е.
L --+ S == f (L) == L (:) L (:) ... (:) L.
(8.40)
Поскольку матрица 5 является некоторой функцией от L,
то она так же, как и матрица Лоренца L, будет определяться
67
набором шести параметров rруппы Лоренца Ы (Ш')-=-=(W[/.1vJ).
При этом матрица 51 соответствующая данной матрице L, бу
дет определяться теми же значениями пара:\1етров ы" что и L.
СледоватеЛЬНО,если
то
L == L (ю),
5 == 5 (L) == f (ю)
(8.41)
(8.42)
Леrко видеть, что матрицы 5 в любом тензорном простран-
стве функций Т /.1./1.2 l' (х) будут некоторыми непрерывными
N
функциями от шести параметров rруппы Лоренца.
Наличие соответствия между преобразованиями rруппы Ло-
ренца L и матрицами преобразования 5 позволяет при рас-
смотрении свойств матриц 5 воспользоваться общими положе-
ниями теории представлений непрерывных срупп.
[оворят, что в некотором линейном пространстве R (п) (п
размерность пространства) задано представление Т (g) 2руппы а,
если
а) каждому элементу g rруппы G отвечает в пространстве R
линейный оператор Т (g)
g Т (g)
так, что
б) произведению glgZ элементов gl и gz rруппы G отвечает
в пространстве R произведение операторов Т (gl) и т (gz) , т. е.
g1g2 Т (gд т (g2) == т (glg2),
[де
gl т (gl), g2 »- Т (g2);
в) единичному элементу е rруппы G отвечает в пространстве
R единичнЫЙ оператор Е == Т (е):
e Т (е) =о. Е;
r) элементу g l, обратному по отношению к элементу g
rруппы а, отвечает в пространстве R оператор Т (g l) ]1 (g),
обратный оператору Т (g):
g I T(g l) ==T l(g),
причем
g lg == gg 1 =-со е, Т (g) Т (g l) == Т (gg l) == Т (е) =ОС. Е.
Пространство R(n), в котором определена СОВОКУПНОСТh
операторов T(g), реализующих представление rруппы а, на.
зывают пространством представлений, а размерность 3Toro
пространства п размерностью представления. Нетрудн() про
верить, что введенная СОВОКУШ!ОС1 ь матриц преобразования S
в тензорном пространстве действитс.тIЬНО удовлетворяет всеч
68
ЭТИМ условиям и, следовате.I'JЬНО, образует представление i!PYIl
пы Лоренца. В самом деле:
а) каждому преобраэованию Лоренца L В пространстве
Минковскоrо соответствует определенное преобразоваНI1 S в
теНЗ0РНОМ пространстве
L S; (8.43)
б) произведению двух преобраэований Лоренца L 1 и L. отве.
чает произведение соответствующих преобраэований st и . т. е.
если
L == Ll .
то
L S ::::: 515\1.
(8.44)
rде
LI ... 51. а L......,.. St;
В) тождественному fJРеобразованию в пространстве
1 соответствует тождественное проо6разование J в
пространстве
координат
тенэорном
L == 1 S == J;
r) обратному лреобраэоваJlИЮ L l
обратное преобраэование S l
L J S I.
(8. 45)
координат соответствует
(8.46)
Тензорное пространство, в КОТОрОМ заданы матрнцы S пред-
ставления rруппы Лоренца, является простра.нством rензорно-
ео представления 2руппы Лоренца. Размерность теНЗОрНоrо
представления rруппы Лоренца равна 4 Н (N paHf темза-
ров).
В общем СЛУЧqе представ.'1ения rруППЫ Лоренца MorYT быть
конечномерныluu и бесконечномеРНЫAlU в зависимости от раз-
мерности пространства преДставлений этой rруппы Впредь мы
будем рассматривать ТOJIько конечномериые представления
В свою очередь конечномерные представлеНJlЯ rруппы Ло-
ренца подразделяются на два типа: однозначные и двузначные.
В п рвом случае каждому преобраэованию Лоренца COOTBeTCT
вуеТ только одно преобразоваllне представления'
L.....,.. 5, (8.47)
Во втором слуЧае каждому 'преобразованию Лореица ставят-
ся в соответствие два о'rJJJ1чающихся по знаку преобразования
преДСТ8влен,ИЯ:
L.....,..:t 5.
(8,48)
Введенные выше преобразования тензоров определяют oдHO
Jначные (НХ называют также тензорны.+tU) представления сруп.
пы Лоренца.
59
Двузначные представления ['ру""'" Лоренца называют сnи-
нирными, а величины, преобраэующиеся по этим I1редстаВJlС-
ниям. спинорами 1. Простейwнм СПИIЮрОМ является спинор
nepBoro paHra
и (х) =- ( и) (х) )
и2 (Х)
(8.49)
двухкомпонентная функция, используемая для описания
двух возможных спивовых состояиий частицы со спииом 1/2.
Конечномерные представления rpYnnbI Ло-
ренца MOryт быть nри80дuмы.ми и неприво-
дu.мьши. Представление называется приво-
димым, если в пространстве. в котором оно
()пределено. можно выделить такое подпространство. что при-
Н8ДJ1сжащие ему компонеиты функций при преобразоваинях
Лоренца будут преобразовываться TOJtbI{Q друr через друrа,
не затраrивая компонеит функций, ие принадлежащих этому
подпространству. Если этоrо сделать нельзя, представленне
называется непривоДИМЫМ.
Изучение всевозможиых представлений rpYnnbI Лоренца
I\fОЖет быть сведеио к изучению неприводимых представлений
этой rpYnnbl.
Примерам приводимоrо представления rруппы Лоренца мо-
жет сдужить лредстамение этой rpYnnbl, определенное в Про-
<,:транстве тензоров BToporo paHra Т".у обще['о вида (см. Прило-
жение В, Обобщеииые символы Кронекера). Накладывая на
индексы тензора определенные требования симметрии относи-
те.'1ьно их пересТановок, мы можем производьиый теизор ВТО-
poro раиrа Tjl.v разбить на Три части (см. (Б.55) (Б.57»:
1
Tjl.y:::: Те..у) + T(tLy) + б ру Т МJI
4
ПрИIОJl.ИМые
и lIеИРlllOДlIМwе
пре.ст...вenиа
(8.50)
rде
Т рр == брО' Т 110 === SpT
пре,;ставляef собой след (свертку) теиэора,
1
T[pV} == Т[УIi) .. (ТР'll Т,.."')
,
антисим qныR тензор марат рвиrа,
t Более ПОIlРФ6ио теории ClIИНОРlllblх преас:tам киii rpYUnbl ЛОРЕ'ItЩI
мы здесь Kacatltcil Не будем, СоотвеtctDуюutие СРеДе!!'''', к.к н И3JIQЖ{!lfII
06щеА ТЕ'орин представлеииli rруnлl.,/ ДореJЩа, ШIlРОКО освещеlfЫ в юне-
ратуре (СМ., напрвмер, И. М r е л ъ Ф а н Д, р, А. М н н л о с, 3. Я Ш /1-
n JI р о, nредстаамиия __руппы вращений н rРУПIIЫ п0ренца, М., Фи мuт'
rиз, 1958; М. А. Н а iI м а р 1<. Линейные прМсrаел.еНIIR rpYnnbl Лоренца,
М., ФИ3Nатrиз, 1958). '
(8.51)
(8,52)
70
1 1
T(I!'I)) == T('I)I!) == (Tl!v + T"I!) бl!V Т рр , T(I!I!) С:= О
2 4
(8.53)
симметричный тензор BToporo paHra со следом, равным нулю.
Проведя затем соответствующие операции над соотношением
(8.30)
Sp.''I)', р." TlJ.v == L I1 '11 Lv'v TlJ.v == T ,v" (8.54)
определяющим закон преобразования тензора Т I1ОУ' леrко прове
рить, что при пре06разованиях Лоренца компоненты симметрич-
ной части преобразованноrо тензора T;IA-'V') будут выражаться
только через компоненты исходной симметричной части T(IJ.V)'
компоненты антисиммеТРИЧНОI'О тензора TiJ.l.'V'1 через компонен-
ты исходноrо тензора с теми же свойствами симметрии (T[J.l.V1),
а след тензора будет инвариантом (Т;,!,-, == TJ.I.,;) по определению.
В результате можно написать (см. (Б. 65) (Ь. 70)):
,
1 .
S[IJ. 'v'], [l1v1 T[I1V1 === 2 (Lp.'11 Lv'v L I1 ,v Lv'J.I.) T(!,-v) == T'I1'V'], (8.55)
S(I1'V'), (р.") T(l!v) == [ + (LIA-'11 Lv'v + L I1 ,v Lv'J.I.)
+ 81J.'v' 811vJ T(lJ.v) == r;P.'V')'
1 1,
81A-'V'ТfJfJ == 8 11 ,v, Тр.'р."
4 4
(8, 56)
(8.57)
Заметим, что эти соотношения вытекают из возможности вы-
бора TaKoro базиса в пространстве тензоров Т == (T l1v ) (8.32) об-
щеrо вида, при котором закон преобразования (8.54) может быть
записан в следующей матричной форме (см. (Б. 72) (Б. 74)):
о
о )( T(I) ) ( Т'О) )
О т(2) == т'(2)
S(3) Т(3) Т'(3)'
(8.58)
С"
S(2)
о
[де
S(1) == (SLIA-'V'], f!-'V1)' S(2) == (S(p.'V'), (JA.V))' S(3) == 1,
Т О) (Т ) Т (2) (Т ) Т (3) S Т
== [p.v], == (I1V)' == Р .
Таким образом, одним из признаков приводимости представ-
ления ЯВ.1яется возможность приведения матрllЦЫ преобразования
представления S к так называемому квазидиаrональному виду,
71
(8.59)
при котором она расщепляется на независимые матричные блоки
S (l) , еоб
определяющие закон пр ра30вания
S(i)T(i) === т'(;) (8.60)
в подпространстве тензоров 1'(1). Каждый из полученных б.ТЮКОВ
S(i) матрицы S является НепривоДИМЫМ представлением преобра
зованиЙ rруппы Лоренца в соответствующем подпространстве
приводимоrо тензорноrо пространства. Подпространства представ
лениЙ, в которых определены неприводимые представления rруп
пы, называют инвариантными подпространствами. В частности,
в рассмотренном случае тензоров BToporo paHra TlJ.v мы имеем
три неприводимых представления rруппы Лоренца, которые за
даются соответственно матрицами S(1) === (S[/L'\"], [/LV]), S(2) ==
== (S(/L'V'), (/LV») И 1, определенными соответственно в инвариант
нам подпространстве антисимметричных тензоров BToporo ранп\
1'(1) === (T[/LV]) размерности 6, симметричных тен30РОВ т(2) ==
== (T(IJ.V») размерности 9 и в одномерном инвариантном ПОДпро
странстве скаляров 1'(3) === SpT.
Инфинитезимальные Поскольку всякое представление rруппы Ло
операторы ренца является непрерывноЙ функцией пара
преобразований метров этоЙ rруппы, можно ввести в paCCMOT
представления рение бесконечно малые преобразования пред
ставления. Это означает, что бесконечно малому преобра30ваниК'
координат (7.1)
X == LlJ.v Хо; == (1 + Ш)I1V Хо; ===
6
== (1 + Ш S 18 )!lV Хо; == Х;' -+ о Х l1
s l
(8.61)
можно сопоставить бесконечно малое преобразование представ.lе-
ния
T (х') == SBA Т А (х) == (J -+ Q)ВЛ т А (х) ==
(8.62)
6
== (J + (t)8 J s )ВА Т А (х) == Т В (х) + б т в (х),
s 1
А, В == 1, 2, ..., п, п размерность пространства представлений.
J единичная матриuа в пространстве Функu ий Т А tx). Иначе
rоворя, бескСШечно малому преобразованию Лоренuа (см. (7.9))
6
L = 1 -+ (t)s 18 == 1 -+ Ш[/LV] 1[ y]
S l llJ. v ]
(8,63)
72
соответствует бесконечно малое преобразование представлення
6
S == J + (t)s J s == J + (t)[/.1V] J[J,I\I]'
s l [11 "]
(8.64)
определенное в пространстве функций Т А (х).
Из формул (8.61), (8.62) следует, что
6 6
{j ХI! == ( (t)s 1в )I!V Х" == (t)s (ls)I!V Xv'
s l s l
(8. 65)
{j ТА (Х)
6 6
( (t)s J s )АВ Т В (х) == (t)s РВ)АВ ТВ (х). (8.66)
s l s 1
Здесь в обоих случаях числа (t)s == Ш[I1\1] определяют одни и те
же параметры преобразования Лоренца, а Is==I[/.1V] и J g == J[J,I\I]
инфинитезимальные операторы в пространстве Минковскоrо и в
пространстве представлений соответственно. Важно подчеркнуть,
что в каком бы из пространств представлений ни были опреде
лены инфинитезимальные операторы J [/.1\1] rруппы Лоренца, они
обязательно должны удовлетворять одним и тем же перестано
вочным соотношениям (7. I О), характеризующим данную непре
рывную rруппу Ли 1 .
Таким образом, будем иметь
[J[J,lV]' J[paj] == {jI!P J[\l3] + {jva J[I!P] {jJ,la J[\lO] {j\lP J[l!a]. (8.67)
I Это следует из общей теории rрупп Ли [см, например, Н r у е н В а н
Х ь е у. Лекции по унитарной симметрии. М, изд-во «Наука», 1967), к '(ис-
лу которых принадлежит и rруппа Лоренца Совокупность 4 Х 4-матриц
Лоренuа L в пространстве Минковскоrо может рассматриваться как ча<,:т-
ный случай представления rруппы Лоренца Поэтому перестановочные
соотношения (710) для инфинитезимальных операторов 1[/.1VJ rруппы Ло-
ренца предстаВ,lЯЮТ собой частный случай общих перестаНОВОЧIlЫХ сооТ-
ношений (867) для инфинитезимальных операторов J[/.1\1] произво.1JЬно;о
представления этой rруппы, В самом деле, соотношения (867) (как
и (7 10» MorYT быть записаны в стандартной форые перестановочных ':0-
отношений, опреде.1ЯЮЩИХ алrебру ИНфИнитеЗИ\1аJ1ЬНЫХ операторов rруп-
пы Ли
rде
"
[J J J С fХЧ J
[11V]' [Ра] [I!V], [ра] [ХА]'
с[ХА] {) ( 6 ;) {) {) . ) ( h ;) -;) а )
[/.1\1], [ра] ал I!P "Х [lX "Р , Рл I!X "Х tJ.a "Х
:так называемые lТPYKTypHыe постоянные rруппЬ! Ли (в данном С1учае
,tРУП1JЬ! .10ренца) Значения этих поеТОЯШIЫХ ПО определению не заВllС5!Т
ОТ выбора представлений rруппы, что и объясняет прНведенное в TeKcre
УТВерждение.
73
Заметим, что так же, как и в случае пре06разований Лорен
ца (см. (6.16» в пространстве Минковскоrо, общее определение
для инфинитезимальных операторов представления имеет вид
J == ( дS(о» ' )
r д<о, ш о '
(r == 1, 2, 3, ..., 6), о> == (<О,) == «(1)1, (1)2, ..., (1)6)' (8.68)
э 9. Релятивистская формулировка прииципа
наименьшеrо действия
Релятивистская инва риантность является
обязательным требованием, предъявляемым
к теории, призванной описывать такие реля-
тивистские объекты, какими являются поля,
сопоставляемые эле lентарным частицам.
Указанное требование и обусловливает необходимость cooTBer
ствующей модификации релятивистскоrо обобщения ма-
тематическоrо аппарата классической механики прежде, чем
этот аппарат будет использован при построении теории pac
сматриваемых полей
Исходным принципом при построении теории ПОJIН НВJ!яет-
ся основной метод классической механики вариационны!!
принцип наименьшеrо действия, который, как известно, допу-
скает две эквивалентные формулировки: лаrранжеву и rамиль
тонову, в принципе одинаково применимые для описания по
лей. Однако, поскольку первая из них оказывается бо.тrее удоб
ноЙ с точки зрения возможностей релятивистскоrо обобщения,
ей обычно и отдается предпочтение в теории поля 1.
Формальным признаком, определяющим применимасть тех
или иных соотношении к описанию релятивистских систем, как
мы видели, является возможность их записи в ковариантной
форме, для чеrо, в частности, необходимо, чтобы в эти СООТ-
ношею\я пространственные и временные координаты, так же
как и производные по ним, входили симметрично. Такое paB
ноправие, как следует из приведенноrо в первой rлаве описа
ния непрерывных меха.нических систем, имеет место в лаrран-
жевом формализме. В то же время одной из особенностей ме'
тода rамильтона является то, что время t и пространственныс
координаты х, у, z выступают здесь неравноправно. Время ЯВ
.'Iяется основной незавиrимой переменной, а КООрДИНаты Х, Ч,
z выступают в качестве параметров (см. 4).
Формальная анаJlоrия между классической механикоЙ и
теориеЙ полей, выступающая блаrодаря общности используе
Лаrранжев
н ,'аМИJJЬТОНОВ
формализмы
в теорИИ поля
I См' Н. Н о о r о л ю б о в, Д В. Ш и р К О в, Введение в теорн.о
квантованных ПО.1еи М, rитт J1, 19.'37
74
MOI'O В них математическоrо аппарата, обусловливает возмож
ность естественной физической интерпретации тех величин, KO
торые в теории ПОЛЯ строятся подобным же образом, как xo
рошо известные динамические характеристики (энерrия, им
пульс, момент количества движения и т. д) механических си
стем. Эти ве,'IИЧИНЫ приобретают смысл соответствующих
динамических переменных, иrрающих роль основных xapaK
теристик поля,
С этой точки зрения известными преимуществами обладает
raMIJ.'IbТOHOB формализм. здесь аналоrия между классической
механикои и теорией поля выступает более наrлядно, чем при
использовании .'Iаrранжевоrо формализма, и в принципе MO
жет быть прослежена на всех этапах построения теории. При
описании механических систем в рамках rамильтоновоrо фор
мализма обычно достаточно прозрачно выступает физическиЙ
смысл самой функции rамилыона как функции от обобщенных
координат и импульсов и непосредственно выражаемых через
них динамических характеристик системы Динамическая же
интерпретация величин, получаемых в механике на основе
лаrранжевоrо форма.'Iизма, как инвариантов при COOTBeTCT
вующих преобразованиях координат и времени требует зача
стую (как было показано, например, выше в 2) обращения
к rамилыоновому формализму
Поэтому в дальнейшем, взяв за основу при построении
классической теории поля лаrранжеву формулировку принц.{-
аа наименьшеrо действия, мы в отдельных случаях будем при-
беrать и к использованию соотношений rамилыоновоrо фор
мализма.
Переходя к вопросу о возможности ковари
антноЙ формулировки принципа наименьше
[о действия в лаrранжевой форме, обратимся
к данному в первой rлаве описанию непре-
рывных механических систем
Такая система в простейшем случае характеризуется одной
обобщенной координатой 'Il (Xk, t). Поскольку в эту функцию,
как специально подчеркивалось ранее, координаты Xk===X, у, Z
fI время t входят равноправно, мы сразу можем написать
'Il (X k ' t) == '1'} (XI!) == '1'} (х).
паrранжиан рассматриваемой системы (см, (3,8» имеет вид
L L f ( t) д1] (X k ' t) д '1'} (X k ' t)
[1] Xk" дt aX k
ричем, как мы видели, производные д 1] и д тj входят здесь
I д t aX k
rакже равноправно. Поэтому мы можем функцию L (9.2) запи
Релятнвистское
обобщение метода
Лаrранжа
(9.1)
Х п ,
t},
(9.2)
75
сать в четырехмерных обозначениях, что с учетом (9.1) дает
Lc=-L (1'] (х),
д 11 (х)
дх!!
, х}
(9.3)
Поступая аналоrично с уравнениями Лаrранжа уравнения
ми движения системы
aL д aL д aL "'- О,
дТ} at д (ai ) aX k д ( д 11 )
,дХ п
По.тrучим
aL д aL o. .
д ( l)
д 1'] дх!!
дх!!
(9.4)
(9.5)
Разумеется, из формы заПИСИ соотношений (9.2) и (9.4) в
виде (9.3) и (9.5) мы ничеrо не можем сказать о том, реляти
вистски инвариантны они или нет, пока нам неизвестно пове
дение функций 11 (х) и L (х) при преобразованиях Лоренца.
По опреде.lению принцип наименьшеrо действия требует,
чтобы вариация от функции действия (в случае непрерывных
систем)
s == S L (X k ' t) d 3 xdt,
(9.6)
обусловленная варьированием обобщенных координат '11 (х/<, t)
при фиксированных пределах интеrрирования, для истинноrо
движения 06ращалась в ну ль
б S == б J' L (X k ' t) d 3 xdt == О.
(9.7)
Очевидно, для релятивистских систем соотношение (9.7) должно
быть релятивистски Инвариантным.
Входящая в (9.7) величина d 3 xdt, как известно, представляет
собой элемент четырехмерноrо объема d 3 xdt == d 4 x, являю-
С
щийся инвариантом относительно преобразований Лоренца. По-
этому вместо (9.7) можно написаТь
б S == б .\ L (х) d 4 x == О
(9.8)
'1 )
(постоянная включена в L (х) . В силу Toro что операция
варьирования носит здесь ИНВариантный, не зависящий от выбо-
ра системы отсчета характер, релятивистская инвариантность со-
отношения (9.8) будет обеспечена лншь Torдa, коrда функция
76
Цх) БУДе1 инвариаllТUМ ОТНОСИТ('ЛЬНО прroбразований Лоренца,
т. е.
[{11(Х),
д 1] (х) } [ ' { ' ( ' ) д 1]' (х') '1 .
, х 1] х, д' , х J IПv.
aX I1 x l1
(9.9)
в свою очередь очевидно, что лаrранжиан как инварIlант
ная комбинация обобщенных координат 1] (х) (и их производ
ных) И координат Х может быть построен лишь в том случае,
коrда сами функции YJ (х) будут обладать опреде.lенными
трансформационными свойствами относительно преобразова-
ний Лоренца.
Отсюда вытекает, что лишь те непрерывные системы мосут
расслtатриваться как релятивистские, для которых наборы
функций, uzрающие в лаzранжевом формализме роль обобщен
НЫХ координат, реализуют некоторое (приводимое или Heпpи
водИJюе) представление сруппы Лоренца.
В частности, в рассматриваемом случае системы, описывас-
мой одной обобщенной координатой, это будет лишь тоrда, Kor-
да функция 1](Xk,t) 1](x) будет скаляром относительно пр е-
образований Лоренца, т. е.
1] (х) == 1]' (х') == const
(9.1 О)
в любой инерциальной системе отсчета, На данном примере
леrко видеть, что при этом автоматически обеспечивается ре-
лятивистская инвариантность (и ковариантность) уравнений
движения в форме Лаrранжа (95).
Таким образом, требование релятивистской инвариантности
соотношения (9.8), накладывая жесткие оrраничения на транс-
фор !ационные свойства лаrранжиана L(x) и функций 1]i(X),
обеспечнвает редятивистскую инвариантность основных соот-
ношений лаrранжевой формулировки принципа наименьшеrо
действия и позволяет записать эти соотношения в ковариант
ном виде
Л Возможность описания полей как непрерыв-
аrранжнан поля
ных релятивистских систем на основе ис
пользования ковариантной лаrранжевой формулировки прин-
ципа наименьшеrо действня очевидна. Как и в механике, pe
тающую роль при этом описаНИII иrрает задание функции
[(х) лаzранжuана поля.
В С.lучае механических систем эта задача, как правило, pe
тается без особых затруднений_ Функция Лаrранжа почти
всеrда может быть задана как разность кинетической и потен-
циальной энерrий В теории поля такая возможность отсутст-
вует - эти ПОНЯ'fия здесь неприменимы (см. раздел III) Кро-
ме Toro, полученные с помощью вариационноrо принципа
77
уравнения движения для механических систем обычно MOrYT
быть сравнены с известными уже уравнениями движения, най
,Ценными из каких либо друrих соображений В теории поля.
аналоrичная ситуация также возможна. Так, например, при
описании электромаrнитноrо поля в рамках .'Iзrранжевоrо
формализма полученные уравнения поля можно сравнить с из
вестными уравнениями Максвелла.
Нередко в теории поля не только заранее не извеlТНЫ ypaB
нения поля, но, более Toro, отсутствует какая .'1ибо информа
ция экспериментальноrо характера о реальном существовании
тех или иных полей и сопоставляемых им элементарных ча
стиц. Здесь типичной является такая картина, ко!'да теорети
ческое описание предшествует экспериментальному обнаруже
нию соответствующих микрообъектов Например, теория полей,
С'опостаВ.'Iяемых таким частицам, как позитрон, пи-мезоны, BeK
торные мезоны и совсем недавно открытый омеrа,!\!инус,rипе-
рон, была построена задолrо до Toro, как существование этих
частиц было обнаружено на опыте.
Разумеется, j{ в настоящее время теория поля должна опи,
сывать не только известные объекты, но и предсказывать по
ведение еще не открытых частиц, на основании чеrо Mor бы
быть поставлен эксперимент по их обнаружению.
В связи с вышеизложенным обычно при определении вида
ла2ран иана поля исходят из некоторой совокупности требо
ваний, которые отра ают в себе то общее, что объединяет
Me дy собой МН0200бразие различных полей, u в.месте r; те.М.
допускают вОЗМО ftoСТЬ учета специфики каждою конкреТНО2!)
/юля. Желательно, чтобы эти требования в своей совокупности
были достаточно жесткими и тем самым насколько возможно
оrраничиваJIИ произвол при выборе лаrранжиана Toro или ино
ro поля.
Некоторые из этих требований очевидны и MorYT быть сфор-
мулированы сразу, друrие же находят свое оправдание в том,
что ОНИ приводят К формулировке теории ПО.1Я, наХОДЯLIl,еЙся в
сопIасии с опытом.
Первое и основное требование, предъявляемое к лаrран
жиану поля, вытекает из Toro, что теория ПО.1JЯ ДО,lжна быть
релятивистски инвариантной. Как уже отмечалось, оно будет
выполнено для лежащей в основе теории поля лаrранжево(!
форму.'шровки принципа наименьшеrо действия лишь в тоы
с.ТIучае, коrда ла2ран иан поля будет скаляро,н. Отсюда, как
уже упоминалось, следует, что ФУ1fкциu поля (обобщенные ко-
ординаты) дол нbt реализовать некоторое представление 2pyп
пы Лоренца. Это обстоятельство иrрает весьма важную роль
в теории поля, поскольку оно существенно оrраничивает К.1асс
тех полей, которые подлежат изучению. Вместе с тем необхо-
димо отметить, что выбор Toro или иноrо представления rруп
78
пы Лоренца по существу определяет специфику данноrо KOH
KpCTHoro поля.
Второе требование состоит в 10М, что ла2ранжиан поля дол
жен быть вещественной функцией (функции поля, вообще [o
воря, MorYT быть комплексными), Оно вытекает из формаль
ноЙ аналоrии между теорией полей и классической механикоЙ
и связано с тем, что (как мы увидим ниже) через лаrранжиан
линейно выражаются основные динамические характеристики
поля. Эти величины как измеряемые непосредственно на опы
те по СБоему смыслу должны опредеJJЯТЬСЯ действительными
числаМIi.
Указанные два треuования являются обязательными при
любой формулировке теории поля,
Наряду с ним}! на лаrранжиан поля накладывается ряд
OI'раничений, обусловленных в основном соображениями допу
стимоЙ простоты математическоrо аппарата, хотя ОНН и име
ют также определенное физическое содержание. Последнее в
первую очередь связано с тем, что они отражают определен
ную степень точности построенной при этих допущениях Teo
рин поля.
К TaKoro типа оrраничениям следует отнести требование
линейности теории поля, которое находит свое отражение в ли
нейности уравнений поля В этом случае rоворят, что мы orpa-
ничиваемся линейным приближением теории поля. Линейность
уравнений поля обеспечивается за счет Toro, что лаrранжиан
ПО.1Я выбирается в виде некотороЙ линейной комбинации чле-
нов, квадратичных относите.'IЬНО функций поля и их производ
ных.
с.'Iедующее специфическое оrраничение TaKoro типа свя
зано с тем, что в ла2ранжиан поля включаются лишь произ
водные от функции поля не выше чем пеРВО20 порядка, Блаrо
даря этому уравнения поля будут дифференциальными ypaB
нениями не выше чем BToporo порядка
В СJIучае взаимодействующих полей существенную роль
Иrрает условие локальности теории поля С формальной точки
зрения оно находит свое выражение в том, что в лаrранжиан
поля не MorYT входить ПрОllзводные, ВЗ5пые в различных точ
ках ПОJIЯ Иначе rоворя, лаrранжиан поля должен быть функ
цией четырехмерных координат одной точки. Это требование
связано с вытекающим из теории относительности ус.тювиеl\i
точечности микрообъектов и также отражает определенную CTe
Пень приб.lижения в теории поля.
Последние три требования не являются обязательными при
построении теории поля, о чем свидете.rrьствуют мноrочислеН
1tbIe попытки создания нелинейных и нелокальных Теорий, а
также теорий, основанных на использовании уравнений поля,
содержащих высшие производные.
7
Релятивистская формулировка принципа
наименьшеrо действия в применении к Teo
рии полq сводится, таким образом, к слс-
дующему
Под.lежат рассмотрению лишь такие ПО.1Я, которые описы-
ваются одной или неСКО.1ЬКИМИ функциями, иrрающими в .1ar
ранжевом формализме pO.lIb обобщенных кооrдинат, функ
циями поля, реализующими некоторое представление rруппы
Jlоренца Это MorYT быть скаляры, четырехмерные векторы,
1еНЗ0РЫ или спиноры. Введем для них общее обозначение
и.(х).
Из функций поля и их ПРОИЗВОДНblХ с учетом траНСфОР1\1а
ционных свойств в полном соответствии с приведенными выше
требованиями строится некоторая инвариантная комбина-
ция лаrранжиан поля L(x). Он будет иметь в общем сл}
чае следующий вид J.
Лаrранжев
формализм
и теория поля
L (х) === L {U i (х),
aU i (х) } .
дх",
(9.11 )
Затем по известным праш!лам определяется функция действия
s :=: 5 L (х) d 4 x.
R
(9. 12)
Из условия экстремума этой функции
б S := б S L (х) d 4 Х === О
R
(9.13)
находятся уравнения движенин уравнения поля Эта проце-
дура в явно ковариантной формулировке по существу не отли
Чпется 01' приведенной ранее Варьирование проводитсн при
фиксированных Преде.'Iах интеrрирования, так что
БS == б.l L(x)d 4 x=== S БL(х)d 4 х ==
R R
\ 1 aL б и[ +
aU i
.
R
дL б ( диl )) d4X.
д ( диЕ ) aXI1
дх"
(9.14)
1 ТОТ факт, что в .'\аrранжиан поля не входят координаты х в явноы
ви;(е, вытекает из сущности полей как некнх кваНТОВО'llеханических си-
СТеМ Состояние TaKoro рода сИстем ПОЮlOстью определяется заданиl'М
BO:IHOBbIX функции, которые в даНIIОМ С.lучае иrрают ро.% обобщенных
координат Обычные четырехмерные координаты х выступают здесь как
пара метры, ОТ которых зависят эти Функцри.
00
После перестановки операций варьирования и дифференциро
вания и последующеrо интеrрирования по частям вторая часть
интеrрала (9.14) принимает вид
5 д ( ) б ( ::; ) d'x r д ( д Ui ) д : (6 U i ) d 4 x==
,дх!! ' J дх!!
R R
== \ ( д ) ] б Ui d4 Х +
дх!! д (
, \дх!!
R
+ .\ д . [ д rk) бu,]d'Х
R
(9.15)
Последний интеrрал по некоторому четырехмерному объему
R в соответствии (' теоремой raycca может быть преобразован
в интеrрал по трехмерной поверхности, или, как rоворят, rH-
пер поверхности 0', оrраничивающей этот объем
5 д , [ д rk) б и,] d' Х 5 d о" [ д (k) б uJ
R а
Здесь d а!! проекщ!И Э.lемента поверхности, ортоrональные со-
отвеТСТВУЮЩI1М КООРДl1натным осям четырехмерноrо пространст-
ва Минковскоrо
(9.16)
d 0'== {d а!!} == {d 0'1, d 0'2, dО'з, d 0'!1 == {dХ 2 dХ з dxo,
dx] dхз dxo. dX1 d dxo. + dXj dX2 dХ з } .
(9.17)
Так как по условиям варьироваНI1Я Вариации функции и ; (х) на
,поверхности а повсюду обращаются в нуль, интеrрал (9.16)
,также будет равен нулю и, следовательно (см. (9.15»,
iil J ' дL 6 ( дИ ; ) d4X == \ " [ дL ] б u,cJ4x (9.18)
11 д ( :: ) дх!! ,дХ!! д ( J l'
1 1 R
,,1 В соответствии с этим условие зкстремума (9.13) примет вид
li(CM. (9.14) И (9.18»
1,
81
БS SI , д:. ( д ( ) )) бu,d'х, О
R
Оно будет выполняться при любых значениях вариаций б и; (х)
для каждой из функций и ; (х) по отдельности и для любоrо
объема интеrрирования лишь тоrда, коrда
(9.19)
дL J дL _ ) о
ди дx l д ( : ) .
Это и есть уравнения Лаrранжа в ковариантной записи.
Релятивистская ковариантность уравнений (9.20) очевидна,
если учесть, что функции И; (х) реализуют представление rруп-
пы Лоренца, а J1аrранжиан L (х) является скаляром.
Подстановка в (9.20) явноrо вида лаrранжиана данноrо
KOHKpeTHoro поля приводит К дифференциальным уравнениям
относительно функций поля И; (х) _ Решение этих уравнениЙ при
::;аданных rраничных (начальных) условиях позволяет найти
явный вид функций И; (х), полностью характеризующих pac
сматриваемое поле.
В заключение отметим, что, несмотря на приведенные вы
ше оrраничения, лаrранжиан поля остается неоднозначным
Эта неоднозначность непосредственно вытекает из математи'
ческой формулировки ПРИНlJ,ипа наименьшеrо действия как на-
риационноrо принципа В нерелятивистском случае дискрет-
ных механических систем это ПрИВОДИJ10 к тому, что функция
Лаrранжа определял ась с точностью ДО полноЙ производной
по времени от произвольной функции обобщенных координат
и времени. Подобно этому в релятивистском случае, как леr-
ко проверить, условие экстремума функции S и уравнения по-
.1Я не меняются при замене
L---+L' == L + дfv . (9.21)
дх .;
(9,20)
Здесь fv==4v{ И; (х)} произвольный набор четырех функциЙ
от обобщенных координат, преобразующихся в своей совокуп-
ности как четырехмерный вектор. Эта неоднозначность в вы-
боре лаrранжиана нередко используется в теории поля.
rлава ш
ТЕОРЕМА НЕТЕР
10. ПРИНЦИП относительности и симметрия
четырехмерноrо пространства
До СИл пор вытекающее из П р инципа OTHO
Преобразовання
трансляций сительности Эйнштейна требование реляти
вистской инвариантности теории поля ис
пользовал ось .1ИШЬ для определения вида тех полей, которые
поддаются релятивистскому описанию Было показано, что ре-
лятивистское обобщение лаrранжевой формулировки принци-
па наименьшеrо действия, лежащее в основе теории поля, воз
можно лишь Д.1Я систем, описываемых функциями, которые
реализуют представления rруппы Лоренца.
Однако как в механике, так и в теории поля использова
ние лаrранжевоrо формализма позволяет извлечь из принципа
относительности и друrие весьма важные следствия принципи
альноrо, физическоrо характера.
Прежде чем перейти к рассмотрению данноrо вопроса, He
обходимо дополнить математическую формулировку принципа
относительности Эйнштейна. Этот принцип, как известно, BЫ
ражает равноправие всех инерциальных систем отсчета с точ-
Ки зрения описания физических закономерностей материально.
ro мира Такое равноправие находит свое математическое
выражение в том, что теория, претендующая на правильное
Описание этих закономерностей, должна быть инвариантной
Относительно всех преобразоваhИЙ, осуществляющих переход
T одной инерциальной системы к друrой.
1'" Между тем введенные выше преобразования Лоренца
k L .
11: I.t" Х" == Xj.t,
рписывающие повороты в четырехмерном пространстве Мин
OBcKoro, еще не исчерпывают всех тех преобразований, допу
Itтимость которых вытекает из принципа относительности
йнштейна. Так же, как и в нерелятивистском случае (см. 2),
8.3
преобразования поворота можно дополнить преобразоваНИЯМ:t
сдвиrа всех четырех координ ат
X -+ x == x + ajl'
(10. 1 )
Здесь aV. четыре (произвоJIьны)) постоянных чиc.rТ8, опреде
J1ЯЮЩИХ смещения (трансляции) вдоль соответствующих коор-
динатных осей. Преобразования (10.1) называют прео6раЗО6Q
Iшями четырехмерных трансляций В своей совокупности онн
образуют непрерывную четырехпараметрическую rруппу, па-
раметрами которой служат числа ajl'
Таким образом, объединяя преобразования Лоренца и прс
образования траНСvlЯЦИЙ (10 1), можно сказать, что из прин-
цrша относительности Эйнштейна вытекает инвариантность тео-
рии ПО"lЯ относительно следующих (неоднородных) преобра
зований 1.
Xjl x == J I1V XV + a .
(10.2)
Нетрудно видеть, что в предельном случае малых CKopocTei\
(и« с) (коrда справедлив принцип относительности rали-
Jiея) из (10.2), как это и следовало ожидать, вытекают все
четыре типа преобразований, с помощью которых осущеСТВШJ-
ются переходы от одной инерциалыюй системы к друrой R
нерелятивистской механике: 1) собственно преобразования ra
.'шлея (х ==X i + Vit); 2) преобразовани я rРУППbl трехмерны у
вращений (х; ==ail,Xk); 3) сдвиr начала пространственных KOOj1
динат и 4) сдвиr начаJlа отсчета времени 2 (t'==t+M).
Требование инвариантности теории поля от
носительно преобразований (10.2) можно
рассматривать как выражение свойств сим-
метрии четырехмерноrо пространства Мин
T\OBCKoro ero изотропности 3 и однородности В основе этоЙ
симметрии лежит однородность времеhИ, однородность и изо
Симметрия
и законы
сохранения
! Преобразования (102) образуют IO-параметричt'СКую Непрерh!ВН\'Ю
rруппу, которая в ОТЛИ'lие от ,руппы однородных преобразований носи"
название неоднородной ;;руппы Лоренца, И.1И сруппы Пуанкаре
2 Заметим, 'ITO преобразования 2), 3), 4), не связанные с нзменение :
скорости отl!осите.1ы!rоo движения инерциальных систем, J3 ре.1ЯТИВI1СТСКО\I
СЛУ'Iае имеют такой же характер, как и в нере.1ЯТИВИСТСКОМ
3 Поскольку пространственные и временная координаты физически 'IC
равноправны. изотропность 'IeTblpeXMepHoro пространства N\инковско[о
можно рассматривать ЛИШЬ в специфическом, форма.%I!ОМ СМЫс.lе, а имен
ио в применении к каждоЙ из об.1астеЙ, на которые разделяетс</ светов!" \1
конусом 'Iетырех'>!ерI!ЫИ пространствешю-временной континуум (см стр 46)
Иными с.l0Вами, можно rоворить о равноправии всех пространствевно-пп
добных направлениЙ (х 2 >0) (об НЗО1ропности об. асти вне свеТОВШ(1
конуса). всех вре !ени.подобиых направленнй (х 2 <О). ле)hащнх BHYTPII
конуса, l! всех направлениЙ на поверхности cBeTOBoro конуса (x2 O) н"
отделыIOСТН,
84
тропность обычноrо TpexMepHoro пространства с учетом той
связи между пространственными координатами и временем,
К010рая вытекает из основных постулатов теории относитель-
ности
На примере описания механических систем (см. 2) ранее
было показано, Что свойство одНородности вреМtНИ, которое
находит свое математическое выражение в инвариантности
теории относите.'IЬНО преобразований сдвиrа начала отсчета
времени, приводит к закону сохранения энерrии. Аналитиче-
ское соотношение, выражающее этот закон, получается как
сле:J,ствие обращения в нуль вариации действия, обусловлен-
ной бесконечно малым преобразованием t t'==t+{jt.
Там же указыва.'IОСЬ, что из свойств симметрии трехмерно-
ro пространства ero однородности и изотропности следует
инвариантность теории относительно преобразований сдвиrа
нача.lа отсчета координат и поворотов координатных осей. Это,
как можно показать, влечет за собой сохранение полноrо им-
пульса и момента количества движения соответственно. Одна-
ко математические выкладки, связанные с двумя последними
законами сохранения, при рассмотрении нерелятивистских ме-
ханических систем проведены не были. Ниже мы все эти за
коны сохранения выведем из более общеrо релятивистскоrо
Dассмотрения.
Существует фундаментальная теорема, дo
казанная Ветер и носящая ее имя, которая
устанавливает общую связь между свойст-
вами симметрии и вытекающими отсюда законами сохранения.
Она позволяет, исходя из инвариантности теории относительно
преобразований, отражающих те или иные свойства симмет
рии, дать математическую форму.rrировку соответствующих за
конов сохранения.
В применении к теории полей теорема Нетер rласит'
Всякому непрерывному преобразованию координат и обу
словленному им преобразованию функций поля, обращающе
му в HYJlb вариацию действия, соответствует определенный ин
вариант, т. е. некоторая сохраняющаяся комбинация функций
поля и ИХ производных.
Заметим, что соД'ержащееся в приведенной формулировке
теоремы Нетер условие обращения вариации действия в нудь
по существу означает обращение в нуль малоrо изменения дей-
ствия, обусловленноrо бесконечно малыми преобразованиями
координат и функций, т. е_ инвариантность действия относи-
тельно этих преобразований.
Чрезвычайная общность теоремы Нетер состоит в том, что
она справедлива, вообще rоворя. для всех непрерывных пре
образований, оставляющих инвариантным действие при рас-
СМотрении ,тlюбых систем. Число и характер преобразований,
85
Формулировка
теоремы Нетер
для которых будут выполняться УС"10ВИЯ, содеРЖdщиеся в IIрИ
веденной формулировке теоремы, в каждом конкретном случае
должны устанавливаться дополнительно исходя из спеЦИфИКll
рассматриваемых систем или исходя ИЗ 1 аких общих ПрI!НUИ
пов, как принцип относительности rалилея И.111 Эинштеifна
В частности, в случае таких реляrивистских систем, каКИl\If1
являются поля, сопоставляемые элементарным частицам, тео-
рема Нетер может быть использована для всех тех преобра
З0ваний, которые вытекают из принципа отпосительносrи Эйн-
штеЙна Поэтому вариация действия
s == S L {U i (х), д X) } d 4 x,
(10.3)
ди. (х) }
l лаrранЖl1ан поля, составленный из функ-
axl.t
ций поля (и их производных) В соответствии с требованиями ре-
ляТl1вистской инварl1антности (см. Э 9), будет заведомо обра-
щаться в нуль Прl1 бесконечно ма.1ЫХ преобразованиях OДHOpOД
иой rруппы Лоренца и четырехмерных трансляций.
Что касается содержащеrося в теореме Нетер условия, co
rласно которому должен быть задан закон преобразованин
функций, то для указанных преобразований оно будет выполне.
но <!.втоматически. В случае однородной rруппы Лоренца это
С"lедует из Toro, что функции Ui (х) реа.JIИЗУЮТ некоторое пред
ставление этой rруппы, а при преобразованиях трансляцш"I. как
и в рассмотренном ранее случае преобразований с;:t.виrа нача-
.',а отсчета времени (см. 2), эти функции остаются неизмен
ными 1.
Следуя Н. Н. Боrолюбову и д. в Ширкову 2, доказатель-
(тво теоремы Нетер мы бу де!l1 проводить в общем виде, не кон
кретизируя Тlша преобразований, относительно которых пре,1,
полаrается инвариантность действия (103) ,'1,.151 рассматривае
J\lbIX полей Разумеется, в случае, коrда преобразования
функций поля обусловлены преобразованиями координат fj
пространстве Минковскоrо, мы не выйдем за рамки однород
ных преобразований Лоренца и четырехмерных трансляций
Однако указанное общее рассмотрение обладает тем преиму
ществом, что оно позволяет получить не тОлько математиче-
скую формулировку законов сохранения, вытекающих из СИ:\1-
метрии пространства Минковскоrо, но и при неоБХОДИl\ЮСТfJ
I'де L {U i (х),
! Последнее оправдывает использование для описания полей функциj\.
ре;мизующих предстаВ,J)ения однородчой rруппы ЛореНL\а, а не rрушl/o1
Пуанкаре. как этоrо требует приицип относите.1ЬНОСТИ Эйнштейна
2 См Н Н Б о r о л ю б о в. д. В ш и р к о в Введение в теори}{'
квантованных полей М. Физматrиз, 19.57.
86
11СllОJlьзовать опщие ре',у.lьтаты теоремы д,'!Н случаев, не свя
занны\: с просrранственно'вреМСНhЫМИ преобразованиями 1.
В частности, ниже '11'0 будет НСПО,lьзовано при выводе закона
сохранения заряда.
РаСС'V10ТРИМ теперь некоторую rруппу непре
рывных лреобразований С' конечным числом
параметров (В пространстве Минковскоrо
это мотут быть однородНые преобразования
Лоре!ща, четыреХС\-Iерные трансляции (10.1) или же объеди
няющне !lХ преобразозанин (] 0.2». Поскольку преобразова-
НИIl непрерывны, д.'rя них !\IОЖНО ввести бесконечно малые пре-
образования
XI.t X .== X + б X (1 + б(J))I!V xv' (10.4)
Приращения координат б X , которые определя ются матрицей
{)Ш, как и в случае преобразований Лоренца (см. 7), можно
записать в виде
5
{) XJ.l (б(J)l.tv Х" == ( б(J)а I,JI1V Х", (10,5)
a 1
Вариации
функций
поля
или
5 S
б XI.t == (I(J vX " {)Ша == Xl!a {)Ша'
a I a I
(10.6)
Здесь {)Ша - бесконечно малые параметры преобра30вания, число
которых равно s(a == 1, 2, 0'0' s), а lа -соответствующие им
инфйнитезимальные операторы rруппы. Кроме Toro, в соотноше
нии (10.6) выделены отвечающие каждому параметру БШа MaT
ричные ко йциенты
Xl!a == (1 a)l.t" Х". (10.7)
В соответствии (' условием теоремы Нетер будем считаТl"
что для даНl{Qrо преобразования координат Х задан закон пре
l Т"К, например, пользуясь теоремой Нетер, можно связать закон со-
хранения так называемоrо IIзотопическоrо спина с симметрией (изотрOi!-
ностью) HeKoToporo условноrо И30топическоrо пространства. Этот закон
выступает как следствие инвариантности сильных взаимодействий относи
те.%НО преобразований изотопичеСКОl1 rруппЬJ (Эта rруппа изоморфна rруп-
пе вращений rpeXMepHoro пространства и осуществляет повороты в ИЗОТf)-
пическо1V! пространстве). Он выражает независимость ядерНЫХ сид от
электрических зарядов взаимодействующих частиц Лаrранжнан поля в
этом случае строится из функций, содержащих дополнительные изотопиче-
tкие переменные, связанные со значениями электрических зарядов частиц
Наборы таких функцрй реализуют неприводимые представления изотопи
ческой rруrтпы и описывают так называе'v!ые изотопические мулыиплеrы
чаСТИ!1 Частицы, образующие такие мулыиплеты (например, протон н He.l-
трон IIЛ!1 три пи-мезона' 1{;+, 1{; , л О ), отличаются друr от друrа лишь "ша-
чени€'м э ектрическоrо заряда и при сильных взаимодействиях (при от-
сутствии электромаrиитных) ведут себя одинаково
87
образования зависящих 01 них п функций И; (х), описывающих
рассматрнваемое поле Иными Сl0вами, функции ПО.1Я Ui (х)
реализуют некоторое представление (размерности п) paC'CMaT
риваемои rруппы преобразований (см стр 86) Тоrда по об-
щему опреде.lению непрерьrвнOI'О представления непрерывноЙ
rруппы (см_ 8) бесконечно малому преобразоваНIIЮ коорди,
нат «(104) (106» будет соответствовать определенное бес
конечно малое преобразование функциЙ
п
и ! (х)--+а; (х') =:: (J -+ БQ)иUj (х) ="0. и! (х)+БU i (х). (10.8)
j l
Здесь J единичная п мерная матрица, а матрица преобразова-
ния БQ определяется теми же значениями параметров б(J)а, что
И матрица б(J) в (10.5). Поэтому по аналоrии со случаем преоб-
разов ю!й представления rруппы Лоренца (см. 8) можно на-
писать
п n s
б и! (х) == (БQ)и uj (х) =:: (б(J)а J,,)u uj (х),
i l i !a l
или (см. (10.6)
s п s
б и ! (х) == { (Ja);j uj (х) } б(J)а == у ia б(J)а'
a l i cl a 1
(10.9)
(10.1()
[де введены обозначения
п
Y ia == (Jа)UЩ (х),
i =!
(10.11)
а J а представляют собой инфинитезимальные операторы представ-
.1ения рассматриваемой rруппы преобразований В простраНСТВЕ'
функций и ! (х).
В свою очередь введенные величины
б и! == и; (х') и ! (х)
(10. 12)
можно рассматривать как вариации функций поля и! (х), обуслов
ленные преобразованиями (10.4). Для Toro чтобы раскрыть спе
цифику вариаций (10.12), необходимо в первую очередь подчерК-
нуть следующее. Из caMoro содержания теоремы Нетер следует.
что функции поля и ! (х) описывают истинное движение (состоя-
ние) поля, т. С. они удовлетворяют уравнениям поля (см. 9)
дL д \ дL )
дu, д< д ( : : ) ... о.
(10. 13)
88
С точки зрения принятой в лаrранжевом формализме rеометриче
ской интерпретации можно считать, что функции
и(х) ==(ui(x)1 =={u1(x), и 2 (х), ..., ип(х)! (10.14)
как обобщенные координаты в некотором п MepHOM конфиrу
рационном пространстве описывают некоторую вполне опреде
.'lенную (фиксированную) мноrомерную кривую. Естественно,
что rеометрическая форма этой кривой не должна зависеть от
выбоr-а системы координат. Это означает, что функции (1014),
как и полученные после преобразования функции
и' (х') { и; (х')} == {и; (х'), и; (х'), ..., и (х') J, (10.15)
описывают одну и ту же rеометрическую кривую.
С учетом этоro вариацию (10.13) перепишем в виде (см. 2)
б и ; == и; (х') и ; (х) == [и; (х') и ; (х')] +
+ [и ; (х') и; (х)] == б и ; (х') + б и; (х).
ОчеВИДНО, функции и; (х') и и ; (х'), представляющие собой раз
,,1ичные по своему виду ана:штические зависимосТl-! от одних и
тех же координат х', будут ою!сывать различные по своей фор
ме rеометрические кривые. Следовательно, изменение
б и; (х') == и; (х') и ; (х') (10_17)
(10.16)
(заданное в одной и той же точке пространства х') можно ин
терпретировать как изменение формы кривой, обусловленное из
менеш!ем вида функции (и ; и;) и индуцированное в свою оче
редь переходом от координат х к координатам х'.
В то же время бесконечно малое изменение
б и ; (х) == И; (х') и ; (х) == и ; (х + б х) и ; (х)
иО. 18)
связано непосредственно с изменением aprYMeHTa одной и той
же функции (x х'), обусловленным преобразованием (10.4).
Оrраничиваясь (как И незде) членами первоrо порядка малости,
из (10,18) найдем
.-=:- ди; (х) ди; (х)
{\ и ; (х) == и ; (х)+ д б xl.t и ; (х) == д бх!'. (10.19)
x xl.t
Что касается вариации б и ; (х) (10.17), связанной с изменени-
ем вида Функщ!й, то йз (10.16) следует БUi(х')==БUi(Х) ';SUi(Х)'
ИЛЙ
б и; (х) ==. б и ; (х) б и ; (х),
rде учтено, что в рамках принятоrо приближения
б и ; (х') == б и ; (х + б х) б и ; (х).
(10.20)
89
Используя теперь ПОJlученные выражения для о И; (10.1 (),
6'и i (10.19) и для 8xJ.l (10.6), соотношение (10.20) можно запи
сать через характеристики рассматриваемоrо преобразования Коор
динат и функuий
6' и ; (х) б и; (х) (5 и; (х) Y ia б(!)а
(10.211
ди. [ ди. J
Xvcx б (!)а с.= У ia. Xva. 8(!)а.'
aX v aX v
11. Общее доказате.'1ЬСТВО теоремы Нетер
Вариации
действия
Введенные изменения координат х и функ
ций ПО.rIя Иi (х) ПОВ.rIекут за собоЙ COOТBeTCТ
вующее бесконечно малое изменение (В9
функции действия
б S == б J L {и ; (х), д :X) } d 4 x.
R.
(11. 1)
риацию)
в связи с этим следует отметить существенное различие
характера варьирования функции действия в данном случае
и Toro варьирования, которое проводилось ранее IIРИ получе-
нии уравнений движения (уравнений поля) на основе прин
ципа наименьшеrо действия (см. 9).
В последнем случае вариация функции действия, Бо пер
вых, была обусловлена только изменением функций Иi (х) (11
IIХ производных) за счет изменения формы описываемых ими
кривых в фиксированных точках пространства. В этом смысле
TaKoro рода вариаuию функuий ОИ; ) можно было отожде-
ствить с введенной выше вариаuией OUi(X) (10.17).
Во-вторых, вследствие Toro что координаты х в варьиро-
вании не участвовали, пределы интеrрирования в (11.1) оста-
вались фиксированными. Б.'Iаrодаря этому можно было на
писать
б S == 8 S Ld 4 х== .\ (5 L) d 4 Х,
R. R.
т. е. вариация действия полностью определялась вариаuией лаr-
ранжиана
(11.2)
aL б ( ди; )
д ( aUi.. ) \axJj.'
axJ.l
Наконец, b-треТhИХ, сушественным было требование, что
) частвующие в варьировании функции Иi(Х) на rраниuал.
aL
б L (х) == б ut +
aU i
( 11. 3)
90
объема ннтеrрирования оставались фиксированными Это
приводило к тому, что интеrрал по поверхности а, оrраничи
вающей объем интеrрирования R (см. (9 16)),
S d., [ д (k) в и, (х) ]
а
( 11.4)
(lбращался в нуль.
В случае вариации, рассматриваемой в связи с доказа-
те.'1ЬСТВО1\1 теоремы Нетер, т. е. вариации действия S, обуслов-
ленноЙ преобразованием координат х, ситуация будет иной.
Все указанные выше оrраничения при этом снимаются.
Вследствие Toro что в варьировании участвуют не только
функции поля Ui(X), но И координаты, соотношение (11.2)
теряет свою силу, так как в результате варьирования коор-
динат будут изменяться пределы интеrрирования. Поэтому
резульrат варьирования следует записать в виде
БSо== S б L (х) d 4 x + 5 L (х) d 4 x. (11.5)
R R' R
Кроме Toro, входящая под первым интеrралом вариация ла-
!:.ранжиана БL(х) будет включать в себя наряду с вариацией
БL(х) (11.3), обусловленной изменением формы функций (и их
производных), дополнительную часть 5L (х) за счет преобразо
вания координат.
Наконец, очевидно, в результате Toro, что функции Ui(X)
не будут фиксированными на rраницах области интеrрирова-
ния, условие обращения в нуль интеrрала (11.4) также не
будет иметь места.
Основную роль иrрает требование, чтобы функuии U i (х),
L {и, . (х), aU aX i ) },
входящие в ... удовлетворяли уравнениям ПОЛя
д .!l.... aL О.
axJ.l д ( дUi ) '
\дхJj.
aUi
( 11. 6)
Обратимся теперь к определению указанных дополнительных
членов вариации действия б S. Прежде Bcero найдем выражения
Для BToporo интеrрала в (11.5), определяющеrо изменение дейст-
1i!ня за счет изменения пределов интеrрирования. Здесь по ан а-
Jl:orии с одномерным случаем (см. 9 2) можно написать
J L('()d 4 x== J L(х)б (d 4 X)=='.\ L(x) д :J.I) d 4 x, (11.7)
R' R R. R
91
rде учтено, что
6 (d 4 x) == 6 (dx}) dХ2dхзdхо + dx! 6 (dxz) dхзdхо +
6x ) d 4 x,
дx
так как, например,
6 (dx}) == d (6 х}) == J!J6 Xl) dx].
дх}
Выражение (11,7) можно получить непосредственно, используя
як06иан бесконечно малоrо пре06разования координат. Исходя
из соотношения (см. 2)
S L (х) d 4 x == -' L (x')d 4 x' S L (х) d 4 x .r L (х) (I ;: I 1 ) d 4 x,
R' R R' R R
мы получим (11.7). если учтем, что с точностью до членов пер-
вoro порядка малости як06иан I :: ). представляющий собой опре-
дх'
делитель матрицы, составленной из величин д , имеет вид}
х"
l ax I I д(x + 6x ) I I д(6x ) I д(6x )
д д 6 " + д 1 + д
х" х" х" x
Вариацию лаrраНЖlIана 6" L (х), оБУС,10вленную изменением ко
ординат. найдем, поступая аналоrично тому. как это было сде-
1 Действительно. ПОЛЬJУЯСЬ обычными правилами вычисления определите-
.'Jей и оrраиичиваясь членами первоrо порядка малости. получи:-.t
д (6 Xl) д (6 :1:2) д (о Х З ) д (о Х 4 )
I+
дх! дх! дх} дх}
д (о Х!) д (о Х2) д (о х з ) i!. (о х!!
I+
I дx I дХ2 дХ2 дхz дХ2
::::
дх'\) д (о Xl) д (0 1 1+ д (о х з ) д (о Х4)
дх з дх з дх з дх:!
д (r. х!) д (r. Х2) д (о х з ) ! t- Jo х.!!
дХ4 дХ 4 дХ 4 дХ 4
д (о x 1 ) д (6 Х2) д (о Ха) д (о Х4)
:::: 1 + + Ш _ Ш + .
дх! дХ2 дх з дХ4
92
лано выше при определении вариаций функций 6 и ; И бu t . 3a
писав ПО аналоrии с ОО. 16) вариацию лаrранжианз в виде
б L === б L + б L,
(11.8)
[де б L определяется по формуле (11.3), для второй части бу-
дем иметь
Jr' L L I ( ' ) ди; (х') } L { ( ) ди; (х) }
u lU t х , д x и ; х, дх",
==L(x') L(x) ==L(х+бх) L(х)== дL бх",. (11.9)
дх",
Таким образом, общее выражение для рассматриваемой вариа-
ЦJШ действия, соrласно (11.5), с учетом (11.7), (11.3) и (11.9)
можно представить в следующем виде:
{ aL
б S == б и;Т
. ди;
R
дL б ( ди; ) +
д ( ди; ') JxiJ,
дх", '
+ aL 6 х'" +L д (бх",) } d4X.
axiJ, дх",
(11. 1 О)
Отсюда после интеrрирования по частям Bтoporo слаrаемоrо 1
с последующим объединением слаrаемых, стоящих под знаком
д u
производных , наидем
дхiJ,
6s== J[ дL БUi ( дL ' )] БUid4Х+
ди; дх", д ( ди! )
,дх",
+ ) С) [ д;,) Ви, +LSx, ] d 4 X.
дх", д (
, ,дх",
R
(11.11)
ОчевиДНО, при наложении на вариацию 6 S (11.11) тех усло-
вий, которые вытекают из математической формулировки прин-
ципа наименьшеrо действия, второй интеrрал в (11.11) будет
обращаться в нуль.
( д Щ )
1 ЗаМ ТИ\l, что соотиошение о aXfL =с alax (о допустимо лишь для
вариаций 6 ut (а не для полных вариаций о u; =- oU;i"'if щ).
93
Вариация действия при этом принимает вид
s s и ; а :, ( д (1 ) )] бф,
R
а требование ,шстрему ма действия для нстинноrо движеНИ5Т
(БS == О) дает уравнения поля (11.6).
Если же мы снимем указанные оrраничения и предположим
что в лаrранжиан поля входят функции И; (х), уже удовлетво,
ряющие уравнениям (11.6), то из (11. 11) получим l
(11.12 i
8S== f [ (;) б u,+L х, ] d4Х,
дх", д
, дх",
R.
Перейдем теперь непосредственно к рассмотрению тех выво-
дов, к которым, cor.'IaCHO приведенной формулировке теоремы
Нетер, приводит обращение в нуль вариации действия (11. 13)
(11.13)
БS J д:, [ д ( ) б и, + Lбх'Jd'Х о
R.
при бесконечно малых преобразованиях координат и соотве1-
с:твующих им преобразованиях функций поля и;(х).
В соответствии с теоремой Нетер, если взять в качеСТВt'
преобразований координат те, относительно которых должен
быть инвариантен лаrранжиан, то из условия (11 14) мы
получим условие сохранения HeKoToporo выражения, завися-
щеrо от функций поля и их I1рОИЗВОДНЫХ 2
Подставляя в (11.14) приведенные выше ВЫРdTh.ения для
вариаций координат (10.16)
8 х'" == Х Щt 6 Ша
(11.14)
1 Это же соотношение можно получить НЕ'псх;реДСТБеННО из (l1.! О), если
провести замену
aL д ( aL \
дЩ'С дх, (д ) )
2 В связи С ЭТИМ нужно заметить, что )ослов!!е инвариантности Функцш!
S относительно тех или иных преобра30В31!ИЙ приводит к обращению в ну,,!>
вариации БS (/1.11) автоматически НО ТО.1ЬКО учитывая уравнения ДВИ
жения, мы можем ПО.1УЧИТЬ из этоrо те И.1И иные ф!!знческие сле СТВИj]
(см об этом также в разделе III)
94
и соответствующих им вариаций функций (10,21)
( ди. ' )
6и. == у. х 8(0
l <а; д vr а'
x
будем иметь
БS J tx,; I д ( :; ) [У 'а :х:'
R
Xva 1 +
.J
t\JJI1
+ LX,. I бro а d'x О,
6 S =--' д e a &u d 4 х == О
а; ,
. axiJ,
R
(11.15)
( 11 .16)
[де введено обозначение
aL r ди ! ]
( д . ) l Xva УЁа; LX a. == 8iJ,a o (11.17)
д...!!.!... ax v
дх!!
Так как условие (11.16) должно выполняться для любых
преобразований из рассматриваемой совокупности, т. е. для
любых значений параметров преобразования, и при любом
объеме интеrрирования R, то очевидно, что это будет иметь
]l.leCTO лишь тоrда, коrда
д ej1a == О. (11.18)
дx
Со()Тношение (11.16) может быть записано в друrой экви
валентной форме, если в соответствии с теоремой [аусса пе
рейти от интеrрирования по четырехмерному объему R к
интеrрированию по оrраничивающеЙ этот объем rиперпо
верхности а
6S == J8 a. 8(Oa.daj1 == О. (11.19)
rJ
Orсюда в силу независимости параметров преобразования б(Оа;
следует s соотношений (а == 1, 2, ..., s)
5 e a;do == О, (11.20)
rJ
отвечающих каждому из пара метров rруппы (s число пара
метров) .
95
Нетру;що видеть, что эквивалентные др)- r
дру!'у соотношенuя (11.18) и (1120) dаю!
соответственно дифференциальную и инте
2ральную формы законов coxpaHCHIUl, 8ыте
кающих из uнвариШlТНОСJи теории итноси
тельно соответствующих прео6разований
Обратимся сперва к инн:тралу (11,20)
Интеrральная
и дифференциаЛЬНdЯ
формы законов
сохранениSl
5 E>J.la.dO'J.I == О.
cr
Поскольку условие (11.14) долЖНо выполняться при любом
объеме интеrрировзния R, то и оrраничивающая Э10Т объе:v!
за :\о!кнутая трехмерная rиперповерхность о' также можеr ь быть
выбрана произвольно. Пользуясь этим, будем считать, что
такая поверхность образована двумя пространствеН!Iо-подоб.
ными rипеРПЛОСКОСТЯ1\!И 1 а! и а2, ортоrональными к неко
торому времени-подоБНО;'vIУ вектору, и rиперповерхностью аз,
соединяющей плоскости а[ и 0'2, ортоrональной все1\! содер
жащимся в них пространствснно-подоБНЫ1\[ НШ1раn 'JСИИЯМ,
Указанную rнперповерхность а (пользуяс'Ь формальноЙ ана.
JIOrиеи с обычным трех:\!ерным пространствоы) )('.106НО мож-
но предсrавить себе как поверхность HeKoToporo цитшдра,
верхним и нижним основаниями KOToporo с.тужат rипеРП.l0СКО-
сп! а! и 0'2, а роль боковоЙ поверхности иrрает аз
Таким образом, интеrрал (11.20) можно записать I:! вид.;,
суммы трех интеrраJlОВ
.1 d O'J.I E>J.la. === j' d O'J.I eJ.la. 5 d UJ.I E>J.la. + S (10',. E>J.I'L' (11.21)
D
Знак ( ) перед вторым ннтетра.10М следует из TOrO, что
на прО1 ивоположных основаlJИЯХ ци:шндра 0'1 И а2 норма.1И
к IШМ будут взаимно протнвоположчЬ! по направ.lсНИЮ
Осуществим теперь предельныЙ переход к такой поверх.
ности а, котда ее часть аз, оrраНf!чивающан этот объем в
пространственно подобlIЫХ напраВ.1ениях, будет устремляться
на бесконечность. Очевидно, такой предельныЙ переход бу-
дет означать, что для всех ПРОСТРdнствеIlно-подобных направ
.1ениЙ
х 2 == r 2 c 2 t 2 -+ 00,
1 Ilространсrвенно-подобнои rиnерплоскостью называют поверхность,
ортоrональную HeKoтopO\lY вре\lени.подобному 4-мерному Bef\ropy ПРИН'lдле-
жащие такой rиперповерхности 4-мерные векторы будут простр;;нсrвенно-подоб-
НbJМИ (см. стр 46).
96
Это 1З0змтыiO IIРИ оrраниченных значениях t лишь в том c.'1Y
чае, коrда
r 2 -+ Cf:j.
Следовательно, указанный предельный переход означает переход
к интеrрированию по всему бt'сконечному трехмерному простран
ству. При этом интеrрал по поверхности 0з в (10.2]) обратится
в нуль, если наложить условие \jJr "" == о.
Таким образом, в предельном случае, коrда 0з устремляется
к бесконечности, ус.'Iовие (11.21) принимает вид
S 811 а d 011 == ,) ej.!a d 011 S 8,.а d 011 == о. (11.22)
а <11 а2
Заметим, что при 'Этом rиперплоскости 0'\ н 02 также будут
простираться до бесконечности, т. е. будут охватывать все
точки обычноrо 1'peXMepHoro пространства.
По условию IIростраl!ственно подобные rиперплоскости 0\
и 02 MorYT быть выбраны совершенно произвольно, т. е. BMec
то данных 0\ и 02 можно взять любые две друrие rиперплос-
кости (и.'Iи rиперповерхности) пространстве.нио подобноrо
ТИПа, Поэтому на основании соотношения (11,22) можно на-
писать
s H l1a d А'" ==- S 8 J1a d 011- == const,
а 1 02
(11.23)
иди
s 8 11а d 011 == С " (о;) =: const,
а;
(11.24)
[де а; любая пространственно-подобная rиперплоскость (в
общем случае rиперповерхность). Иначе rоворя, значение
интеrрала (11 24) не зависит от выбора Oi.
Частным случаем пространственно-подобной rиперплос
кости является rиперплоскость, ортоrональная не произволь-
ному времени подобному направлению, а непосредственНI?
оси времени. Элемент площадки такой плоскости, очевидно,
будет определяться лишь одной проекцией
do {dO'I1J=={O, О, о, d0 4 },
т. е. он определяет элемент обычноrо TpexMepHoro ПРОС1'ранства
d 04 == dх 1 d Х 2 dх з ==..J. d 3 x.
i i
в соответствии с этим фОРМУvlа (1 ].24) принимает вид
S 8 4а d 04 == Са (Oi) == const.
a i
(11.25)
97
Ео по опре;;'С:I-:НИЮ каждой такой l'иперПJЮСКОСТИ а; в четы
рехмерном пространстве соответствует некоторое значение врем е
НИ t. Поэтому, исходя из (11.25), вме:то (11.24) получим
1 е 4а d 3 x == Са (t;) == const. (11,26)
t.
L
Таким образом, это соотношение, полученное в результате
варьирования функции действия, обусловленноrо бесконечно
малым преобразованием: координат х и функций поля Ui (х),
выражает сохранение во времени некоторой величины. по-
<ледняя представляет собой интеrрал по всему трехмерному
пространству от соответствующей данному преобразованию
комбинации функций поля и их производных е 4а (см. (11.17))
Иными словами, с каЖДЫМ параметром Ша рассматриваемоrо
непрерывноrо преобразования можно связать сохраняющу.
юся во времени величину (11.26).
Ясно, что соотношения (11.23) и (11_24) выражают этот
же закон сохранения в более общей пос.ледовательно КО
вариантной форме.
При выводе законов сохранения из теоремы Нетер основ-
ную роль иrрает предположение об обращении в нуль функциЙ
поля на бесконечности. Очевидно, это связано с тем, что зако-
ны сохранения MorYT быть сформулированы лишь для замкну-
тых систем. Поле, занимающее все бесконечное пространство,
может считаться замкнутой системой только в том случае, ко!
да оно рассматривается все в целом, и лишь при условии, что
На бесконечности оно исчезает.
Соотношение (11.18)
д 6 11а == О,
дХ I1
эквивалентное (11.20), очевидно, является дифференциаJIЬ.
ной формой закона сохранения соответствующей величины.
Важно подчеркнуть, что плотность этоЙ величины, как это
следует из (11.25), определяется комп('нентои е 4а выражения
в"а, По аналоrии с известным соотношением
д . ...... 1 др О
J.I == V J + ==
с at
(которое, кстати, является частным случаем соотношения
01.18)), уравнение (11.18) можно рассматривать как урав-
нение непрерывности Д.IIЯ величины 8"а.
Таким образом, мы доказади, что для замкнутой системы
каждому непрерывному s параметрическому преобразова
нию координат, для KOToporo задан закон преобразоваНI!Я
98
ФУНКLlИЙ попя, обращающему в нуль вариаIlИЮ действия, co
ответствует некоторый ИIIвариант Саи) (a 1, 2, , s), не за
ьисящиЙ от времени
Следует отметить, что полученная выше величина e a
(11.17) определена неоднозначно
Леrко провернть, что если к ней добавить полную дивер
rеНllИЮ or произвольноrо антисимметричноrо по двум индек
сам тснзора fa[pJl]
д
fa[pJ!]'
р
rде
fa[pJl] === fa[ p]'
то величина сохраняющихся интеrралов (11.24) и (11.26) при
этом не изменится Это следует из Toro, что
д: [ :Х Р f a[p ] J == дX ;Xp f a[pJl] == О,
т. е. для величин
, д
E>Jla == e l1a + д f a[pJl]
Х р
(11.27)
также будет
== д e ,! == о
axJ.l
упрощения величины e l1a , в частности для ее симметризации.
11 18) д e a
иметь место условие сохранения ( .
дХ I1
Эта неоднозначность может быть использована для
12. ТеНЗ0Р энерrИИ ИМПУ;lьса
В соответствии с доказанной выше теоремой Нетер обращение
в нуль вариации действия
8 S == 6 5 L (х) d x == О,
( 12. 1 )
вы3аннойй бесконечно малым преобразованием координат:
x ""+ x ==- Х'1 + б x , 8 Х l1 == X l1a БЮ а (12.2)
и индуцированным им преобразованием функций поля и/ (х)
и ! (х) --+ и; (х') == и/ (х) + б Ui (х), б и ; (х) == У/а бю а . (12.3)
влечет за собой существование сохраняющихся величин
Са (а) == .1 eJ.la d а l1 === const
а
( 12.4)
99
или
Са (t) == J 8 4а dЗх == const.
t
(12.5)
Здесь
aL
д ( au f., )
aX I1
удовлетворяет соотношению
д e l1a == О,
aX I1
е ==
J.1a
[ ди; Х"а Y ia ] LXJ.1a
дх"
(12 6)
(12.7)
L .1Jаrранжиан поля, (J' ПРОИЗБОльная пространственно подоб-
ная rиперповерхность. Входящие в (12.2) и (12.3) матрицы хна
и У {а имеют вид:
XJ.1a == (Ia)J.I"X'" У;а == (Jа)i/Щ,
тде la и J a инфинитезимальные операторы в пространствэх
координат и функций соответственно.
Фундаментальное значение теоремы Нетер состоит в том,
что она дает общую связь между ДОПУСТИМЫl\lff, т. е. не ИЗ\lе
няющими действия, преобразованиями координат и существо-
ванием соответствующих законов сохранения, При этом xa
рактер и физический смысл сохраняющихся величин опреде
ляется конкретным типом преобразований
Выше мы показали, что для релятивистских сист€м, како-
ВЫl\Ш и являются рассматриваемые пo.rIЯ, допустимые преоб-
разования, оставляющие инвариантной теорию поля, опреде-
.1ЯЮТСЯ свойствами симметрии четырехмерноrо пространства
ето однородностью и изотропностью (см. сноску на стр. 84)
Математическим выражением этих свойств является BbITL
кающее из прИНциПа ОТносительности Эйнштейна требоваЮI!с
инвариантности теории относительно однородных преобра-
зований Лоренца и четырехмерных трансляций в пространстве
Минковскоrо.
Таким образом, мы будем исходить из тото, что условие
(12.1 ) будет заведомо выполнено для этих двух типов преоб-
разований. Наша задача, следовательно, будет состоять в BЫ
я:снении вопроса о явном виде и физическом смысле ИНВар!l
антов типа (12.4) и (12.5) для преобразований четырехмер-
I1ЫХ трансляций и однородной rруппы Лоренца.
Обратимся сперва к простеiiшим преобразованиям KOOp
динат четырехмерным трансляция (см. (10.1»
Х,! ..... X == XJ.1 + a ll ,
r де произвольные постоянные величины aJ.1 определяют сме-
щения начала отсчета ВДО.1JЬ каждоЙ из осей координат. Co
100
ответствующие бесконечно малые преобразования тоrда
можно записаrь следующим образом.
xJ.1 x == xJ.1 + <') aJ.1 == xJ.1 + <') xJ.1' (12.8)
Очевидно, здесь в !(ачестве малых пара метров преобразова-
ния IIIOЖНО выбрать сами величины смещения, т е.
<')Ш а ОШJ.1 == О aJ.1 == о xJ.1'
Тоrда по определени ю (12.2) закон преобразования координат
в рассматриваемом случае будет определяться матриuей
XJ.1a --+ XJ.1V == 0J.1'"
т. е.
б XJ.1 == XJ.1a 6Ш а == X ltv б х" == 6J.1"0 Х".
(12.9)
Разумеется, функции поля в результате переноса начала коорди-
нат не меняют cBoero вида, т. е.
И ; (х) --+ и; (х') == и! (х),
и, следовательно,
<') и ! == О. (12.10)
Действительно, как уже отмечалось, наборы функuий (см.
(10.14) и (10.15»
и(х) == {и ! (х)] И и' (х') == {и; (х')} (i == 1, 2, ..., п)
описывают одну I ту Же кривую в п-мерном конфиrураuион
ном просrраНC'Iве Поэтому при фиксированных значеНИях
координат х и х' можно считать, что функции и;(х) и и;(х')
определяют составляющие HeKoToporo MHoroMepHoro вектора
в ЭТО!\! простр,шстве. При преобразованиях смещения нача,lа
системы координат,. коrда координаты одной и той Же точки
х и х' связаны соотношением (12.8), функции И; (х) и И; (х')
как о;:щнаковые составляющие одноrо и Toro Же вектора,
естественно, останутся неизменными Поэтому для каждой
из функциЙ щ(х) можно написать (см. 2) и{(х') ==и;(х).
Разумеется, здесь (см. (12.10» б и ! == б и ! + б и ; == О, причем
ди.
б и ! с= б и ; == б xJ.1' (12.11)
дхJ.1
Таким образом, в рассматриваемом случае (см. (12.3), (12.10»
Y ia == YiJ.1 '-'= О. (12.12)
ПодстаВ,lЯЯ теперь матрицы преобразования координат
(12.9) 11 ф) НКl\ий (12.12) в общее выражение для получен
101
ной, соrласно теореме Нетер, величины 8 a (12.6),
aL ди;
8 11а 811">' === ( д ) Ор">, L 0I1V'
д дх р
ax l1 ,
находи \1
(12.1 ::5)
или
т ===
J.1">'
дL
д ( ди; )
aX I1
aU i L "
UJ.1v'
дх "
(12 14)
в записи (12.14) введено новое обозначение 8 11а --+ 8J.1V == Т J.1v
С учетом Toro, что в рассматриваемом случае индекс (l === V про-
беrает значения 1, 2, 3, 4 и имеет ту же природу, что и ИН-
декс "". Очеви:дно, в силу этоrо величина 8 щt становится четы-
рехмерным тензором BToporo paHra TI1V' Тоrда соответствующие
четырем параметрам преобразования сохраняющиеся интеrралы
типа (12.5) будут преДС1авлять в своей совокупности некоторый
4-мерный вектор, компоненты KOToporo мы обозначим следующим
образом:
PI1 == а S T 4I1 dC1 4 == а S T411d 3 x. (12.15)
Здесь а некоторый числовой коэффициент. Для Toro чтобы вы-
яснить физический смысл величин (12.15), рассмотрим интеrра.l
Р4 ==: а S T 44 d 3 x. (12.16)
Прежде Bcero, соrласно (12.14), имеем
дL ди; L ==
д ( дUi ) дХ4
дХ4
дL .
== Ui L, Ui ==
ди ;
Но по определению (см.
Ту==
i
ди.
дt
(12.17)
(4.14»
aL
==ni'
aU i
т. е. представляет собой плотность обобщенноrо импульса. по-
этому можно написать
TY== niUi L == Н, (12.18)
т. е. Т44 (х) есть не что иное, каК плотность функции rами,1Ь-
ТОНа. Следовательно, по аналоrии с тем, как это делается в клас
сической механике, величину
Н == S Hd 3 x == Е (12.19)
102
естественно отождествить с энерrией систеМbI Е. Таким образом,
можно считать, что интеrрал (12 .16) (с точностью до HeKoToporo
постоянноrо коэффициента) определяет энерrию поля Е, а Т44
плотность энерrии поля.
Но, как известно, для релятивистской частицы энерrия е не
является инвариантом с точки зрения преобразований Лоренца, а
входит как четвертая компонента 4-мерносо вектора энерzии им-
пульса
р == {P I1 } == {Pt, Р2, Р3, Р4} ==' {р, + в} .
Поэтому можно принять!, что
Р4 == + s T4,4,d 3 x, (12.20)
т. е. введенный в (12.16) числовой множитель а следует поло-
жить равным а == ис, rде с скорость света.
Итак, мы приходим к выводу, что инвариантность действия
относительно преобразований четырехмерных трансляций (10.1)
влечет за собой сохранение 4 MepHOCO вектора энерzии-импульса
поля
PI1 == + s T411d 3 x == const. (12.21)
Тензор TI1" (12.14), для KOToporo выполняется соотношение
(12. 7)
aT l1v ===0 (12.22)
дх" '
естественно отождествить с тензором плотности энерzии,импуль
са поля.
11:' 1 Вопрос о траИСфоР\IЗЦИОННЫХ своиствах импульса и энерrии поля Отно-
'i ительно преобра30ваний Лоренца не является тривиальным
1II111 ДЛЯ электромаrнитноro поля эти величины образуют 4-мерный вектор, ана-
1 " { t }
I rичныи 4-мерному вектору энерrии-импульса р.с= {р } """ Р. е реляти-
,1' v. С
Ii!СТСКОЙ частицы лишь при определенных условиях. При отсутствии заряжен
частиц в по.,'1е это будет иметь место всеrда, а при наличин зарядов
лько тоrда, коrда выполняется так называемая Teope fa Лауэ. O:Irласно этой
реме, если поле создаеrся заряженной частицей, то велнчину Р (12.1.1)
"
жно. рассматривать как 4-мерныи вектор энерrии- импульса лишь в том слу-
,ае, коrда в систе\lе координат x ), относиreльно которой частица локоится,
!удет выполняться условие S Т (х(О))dЗх(О) о для всех компонент TI1'V (х(О),
, 11'11
'а исключением Т44 (х(О) , для которой интеrрал r Т44 (х(О) d 3 x определяет
, "
олную энерrию поля и является постоянной величиной. Обстоятельное изло-
ение этоrо вопроса можно найти в книrе. А А С о к о л о в, Д. Д. и в a
е н к о Классическая теория НОЛЯ. М.-Л., rИттЛ, 1949.
]()"
Следует при этом отметить, что в соответствии с общим По
ложением для величин 0J.1a тензор Т J.1v' вообще rоворя, опреде,
ляется неоднозначно, а именно с точностью ДО ПОлной диверrен-
ции от произвольноrо тензора TpeTbero paHra f Jl[pv] с двумя анти-
симметричными индеКсами ([pV]), поскольку замена
. afJl[PV]
TiIV..... TJ.1v + д ' (12,2:3)
Х р
I-ie изменяя условия (12.22), не сказывается и на значениях
сохраняющихся интеrральных величин (1221).
Подчеркнем, что из интерпретации интеrрала (1220) ка!;.
величины, определяющей энерrию системы, вытекает важное
требование к лаrранжиану поля. Из физических соображениЙ
следует, что полная знерсия и ее плотность должюл
быть положительно определенными величинами. Это, в част-
ности, означает, что плотность энерrии Т44 (х) как функция
координат ТОЧки не может принимать в одних точках отрица-
тельные, а в друrих положительные значения. Поскольку
тензор энерrии импульса TJ.1V выражается через лаrранжиаl1
поля L, то это требование в теории поля выступает как ОДИН
из решающих критериев проверки правильности выбора
лаrранжиана.
Заметим, что в рамках классической теории полеи требо-
ванию положительной определенности энерrии можно удов-
Jlетворить только для полей, описывающих частицы с целым
спином (см. 18, 23). В случае полуцелоrо спина это треБОВ;1
иие может быть обеспечено лишь после квантования ПО.rlЯ.
Орбитальный
и спиновый
моменты поля
13. ТеНЗ0Р момента количества движения
Рассмотрим второй тип преобразований -
однородные преобразования Лоренца, т. е
преобразования поворота в четырехмер-
ном пространстве-времени (в пространстве
Минковскоrо) .
Ранее было показано, что в этом случае бесконечно малы!.:
преобразования координат и функций определяются шестью
ма;rIЫМИ параметрами:
бсоа. .....бffi[ра], [ра] == [23], [31], [12], [14], [24]. [34]. (13.I 1
Поэтому в соответствии с (12.3) и (12.4) здесь можно написать
б XJ.1 == Xj1[f)a] бffi[ра), (132)
[ра]
б И j (х) == Yi[paJ БСО[ра] (13.3)
[Р(1)
104
N, слсдовательно, соrласно (12.7), будем иметь
е в "..., дL х
a --+ j.l[pa] "= ( диl )
i д
дхj.l
х [ дUi Х,,[Ра] Yi[pa] J l LXj.l[pa], (13.4)
дх"
Нетрудно опредеJIИТЬ явныЙ вид матрицы X [pa} Действи-
тельно, для rруппЫ Лоренца имеем (см. (12.2»
б х,. === (б(J)а Ia)j.l" Х" == БCU[ра] (I[pa])j.lVX",
а [ра]
ОТКУ да (см. соотношение (13,2» следует
Х [pa] == (I [ра]),." Х", (13.5)
Но инфинитезимальные операторы rруппы Лоренца Iа == I[pa]
имеют вид (см. (7.8) и (7.4»)
(1[м]),." == (в ра вар),." ==: ОР",Оа" ба,.б р ",
, так что (см. (13.5»
(13.6)
Х,,[рu] ==: (бр баv баj.lб р ,,) Х" == б р ,. Ха баj.l Хр. (13.7)
Подставляя теперь (13.7) ДJIЯ Х,.[Ра] и Xv[pa] в (13.4), имеем
aL
8j.l[pal ==-- д ( дUi ) Yi[pa] +
дх",
[ ди. J
.........2.. (брvХа Оа"хр)
дх"
aL
+
д ( aU i )
\ дх",
aL
L (б р ,. Ха ба,. Х р ) == д ( диl ) Yi[pa] +
axj.l
;. Lб..] x.
:: L б..] х.'
[ дL
+ д ( :J
I aL
д ( :J
(13.8)
105
Используя полученное выше выражение для тензора энерrИ;j
импульса TIl'V (12.14) и вводя обозначение еЩра] == МJ.1[rЮ]. БУf((;
иметь
M/L[pa] == TJ.1 p :x.(] TJ.1(]Xp ( )
дх,! .
В соответствии с общим определением (12.5) сохраняющеi;';;
величиной в этом случае будет антисимметрнчный тензор вторor'')
paHra
УiUЮ]'
(];) Э)
с s( (T"x,, Т"х,) д ( )
, дх,.
М[ра) == + S М 4 [ра] d 3 x ==
УН",]) d"x, (13,1"1
Учитывая данную выше интерпретацию ве.1ИЧIlН
Р", == + j' T41ld3X
как импульсов поля и вводя удельные плотности импульса
i
Р", (х) == 1'4'" (х),
С
мы можем для первой части интеrрала (13. 1 О) написать
о i S о d 3
М[р(]] == М 4 [р(]] Х
== + s (1'4pX(] T (]xp) d 3 x== S (РрХ(] Р(]Х р ) d 3 x.
Это означает, что величину
о t S
М{р(]] == 7
(Т 4р Х(] Т 4 (]Х р ) d 3 x
(13, 11)
можно рассматривать как релятИ8UСтскuй орбитальный момент
КОличества движения для поля, а сохраняющийся интеl'рал (13.1 (1)
естественно принять за полный момент количества движенUJ
поля.
Таким образом, можно сказать, что тензор М",[ра] (13.9) Of J
ределяет плотность полноzо момента количества движения. Тот
106
факт, что в выражение для сохраняющеrося полноrо момента
поля входит ДОПО.1ните.1ЬНЫЙ член
S/J.[pa) ==
дL
д ( ди; ) '
\ дх",
У,[ра],
(1 3. 12)
означает, что в общем случае орби:тальный момент не определяет
еще полный момент поля и не 51ВJJяется сохраняющейся величй
ной. Полный, сохраняюшийся момент наряду с орбитальным MO
ментом M [pa] включает в себя дополнительный момент Sf.t[pa] ,
который, как мы увидим НИЖе, представляет собой собственный
.момент количества движения поля, или, как rоворят, спиновый
.момент поля l .
В частности, для скалярноrо поля, опйсываемоrо однокомпо
нентной функцией u (х) скаи'IЯРОМ, для Koтoporo при преобразо-
ванНях Лоренuа ои == О (а значит, и Yi[pa] == О), соrласно (13.12),
будем иметь
SJ.I[pa) ::::: О.
Это означает, что спиновый момент скалярноrо ПОи'IЯ раЕеН НУи'IЮ
и полный момент поля совпадает с орбитальным
М[ра] == Mrpa] === + S (т 4р х а Т 4а х р ) d 3 x.
(13. 1 3)
Поэтому скаи'Iярное поле может быть использовано только для
описания часТ!щ, собственный момент которых (спин) равен нулю.
Итак, мы приходим к выводу, что в общем случае полный
момент количества движения для поля равен сумме
М[ра] == Mrpa] + S[pa],
1 Заметим, что тензор орбитальноrо момента
ио [ дL
j Jl[pa] д(дщ/дх/J.)
ди. 1
д< (I[pa])"h L (I[pa])J.I Х"
lf ' ределяется через инфинитеЗИ\lальные операторы I[pa] rруппы Лоренца в про
ранстве Минковскоrо (с'\!. (134) н (13.5», а теизор спиновorо момента (см.
!1312) и (10.13»
s дL ( J )
J.1[pa) д (дщ/дх/J.) [ра] аИi
[ !iчерез инфинитеЗИ 1альные оператпры J[pa] представ.1ения ЭТОЙ rруппы в прост
HCTBe функций поля Щ (х).
107
rде
. t>
МРра] == + J d 3 x (Т4р Х а Т 4а Х р ) орбитальный момент,
(1 3. 14)
S i S d 3 f aL
[ра] 7 Х 1 д ( au j )
axlJ.
При этом сохранение nОЛНОi!О момента количества дRИJICI'
ния является следствиелf. инвариантности теории поля OTHl'
сuтельно преобразованuй однородной сруппы Лоренца.
Y"'GI) сп""овый
момент
Теперь покажем, что полученное выше вы-
ражение для полноrо момента количеств j
движения (13.10) может быть написано 13
более компактной симметричной ФОР ,1<::,
dналоrичной той, которую имеет орбитальный момент (13 11).
если соответствующим образом переопределить тензор энер.
rии-импульса Т JlV'
Рассмотрим прежде Bcero, какие условия накладывает на ком-
поненты тензора энерrии-импульса TIJ.V требование сохранения
орбитальноrо момента количества движения M [pa]' Это требова.
ние, записанное в дифференциальной форме, как следует из (12.7),
имеет вид
Каионический
и метрический
теНЗ0РЫ энерrнн-
импульса
дM [pa] ==0
axlJ.
(13.1 Бj
Подставляя в (13. 15) выражение для тензора плотности орбиталь .
Horo момента (см. (13.12))
M [O<J) == Tf.LpX a Tf.Laxp
(13. 16 )
и предполаrая. что условие (13.15) имеет Место, найдем
дM [pa] д Т Т )
д == д (l.Ipx a f.Laxp ==
xlJ. xlJ.
== aTf.Lp Х + Т " aT Jla Т " О
д а , pUaJl д Хр lJ.a U PIL == .
xlJ. XIJ.
Отсюда следует, что
Т ра =:: т ар .
так как по условию (12.22)
aTIJ.P aTlJ.a o
axlJ. axlJ. .
( 1 3. 1 7)
(13.18)
108
Очевидно, справедливо И обратное.
Пусть тензор TIJ.V симметричен, т. е. TIJ.V == TVfJ. Тоrда сразу
получаем, что
дM [pa]
axlJ.
д
д (TlJ.pxa Tf.Laxp) == Tap Tpa==O'
xlJ.
(13. 19)
Таким образом, для тосо чтобы орбитальный момент M [pa]
сохранЯЛСЯ, необходимо и достаточно, чтобы теНЗ0р энерcuи-
импульса был симметричен: Т ра == т ар' В противном случае мо-
мент количества движения будет сохраняющейся величиной лишь
в том случае, коrда к орбитальному моменту M [pa] будет до-
бавлен спиновый момент поля Sщ ра] (13. 12).
Отсюда однозначно следует, что в общем случае, Korдa орб»-
тальный момент количества движения не является полнЫм Мо-
ментоМ и не сохраняется, тензор энерrии-импульса TfJ.V не будет
симметричным: TfJ.V=f. TvlJ.' Такой тензор TIJ.V' который полуЧ!.\Мся
непосредственно из лаrранжиана поля L по формуле (12.14) и не
удовлетворяет условию (13.18), носИТ название к.аноническоz() мен-
зара (TfJ.V == ':.,П) энерrии-импульса. Но, как отмечалось вьtше
(см. стр. 99), этот тензор определяется неоднозначно. Закон
сохранения TfJ.V не будет нарушен, если мы добавим к не-
му величину : f[fJ.AJV' rде f[IJ.A]V произвольный тензор тре-
Tьero раиrа со свойствами f[;AJ..]V :== f[AJ.l]V' В связи с этим пред-
ставляет интерес вопрос о том, нельзя ли, используя произвол
в выборе тензора f[IJ.A]V' привести тензор TIJ.V к симметричному
виду1.
Рассмотрим тензор
T .., == Т...., + f
... дх"}. [IJ.A]V'
Потребуем, чтобы он был симметричен, т. е. чтобы
(13.20)
,д д.
TlJ.v .0= Т".., + д f[/J"}.]v == TvlJ. + д f[VA]/i == TvlJ.' (13.21)
X ХА
Если окажется возможным так подобрать f [1LA]v' чтобы (13.21)
действительно имело место, то полученный таким образом сим-
метричный тензор энерrии-импульса T .. == T IL В отличие от кано-
1 Снммртри'!Ный теНЗ0р энерrии-импульса оказывается, в частности.
более удобным при переходе от классической теории поля к вторич 10-
1(зантопанноi[ ТЕ'ории (см., например, Н Н. Б о r о Л. ю 6 о в, Д. в ш и р'
1{ о в Введение в теорию квантованных полей М., Физматrиз, ] 957)
10g
Т , T lТ1elr
ническOI'О будем называть .метрическим теНЗ0рОМ ILV =со ILv
Формулы (13.20) и (13.21) можно переписать в ВИде
7 ' Т теl r ']'Сап, д f
V == IJ.V =..ос 1 IJ.V 7 д [/lл]v '
Х Л
(13.22,
причем
T metr Т сап 1 д f Т саn +
uv /l" ' д [lJ.л]v == "IL
Х')..
д f T metr
+ д [vл]/l == Vj.L .
Х')..
(13,2Э)
Очевидно, что в соответствии с указанной выше теоремой д.'!я
тензора момента количества движения M [pa], определенноrо че
рез симметричный тензор T tr (13.22)
М , T metr ",metr ']'Сап ']'Сап
/l[pa] == /lP Ха 1 j.La Х р == 1 /lP Ха 1 /la Х р +
+ ( :Х fиtЛ1Р ) Ха ( :Х f[/lЛ]О ') ХР'
').. ,')..,
(1з.24)
будет выполнено условие сохранения
дM [fIO]
дх\.1
О.
(13.25)
Это может быть лишь в том случае, коrда тензор M [PO I
(13.24), КаК и тензор Mj.L[pal
n ']'Сап S
М\.1[ра] == 1 /lP ХО 1 /ta Х р + /l[pa],
(13.26)
будет определять плотность сохраняющеrося полноrо момента
количества движения.
Отсюда следует, что или тензоры M [PO] (13.26) и M/t[paJ
(13.24) в точности совпадают друr с друrом, или же отшIчаются
на некоторую величину (см. (11.21»)
д
F(/lл](раJ'
дх')..
Таким образом, можно написать
, д
M/trPQl =со Mj.L[pa] + F[/ti.][pa].
дх')..
(13.27)
110
Сравнивая теперь формулы (13.24) и (13.26) в соответствии
с (13.27), получим
( :Х').. f[jlЛjР) Ха ( :X {[м,.]а ) Х р ==
д
== SJl[p(JJ + д F[r.J,I.][p(J] ,
Х')..
или
д
(f[jl(J]P f[l.J,p](J) д (f[jlЛ]Р ХО f[jlЛ](J Х р )
Х л
д
SIl[P(J] + д F[jlЛ][Р(J]' (13.28)
Х')..
Пользуясь произволом В выборе величин F[Jl')..][p(J] с учетом
симметрии тензорных индексов, на основании (13.28) естественно
принять
F[J.LЛ][Р(J] == (f[JlЛ]Р Ха f[JlЛ](J Х р ).
Тоrда из (13.28) вытекает следующее соотношение:
f[jl(JJp {[ма]р == SIJ.[p(J] ,
( 13.29)
(13.30)
связывающее тензор f[J.L(JJp' обеспечивающий условие симметрич
ности тензора T " -== T lr (13.22), с т{"нзором плотности спиновоrо
момента Sjl[p(J]'
Леrко проверить, что справедливо и обратное. Это означает,
что если мы будем исходить ИЗ условия (13.30) как заданноrо,
то, используя представление тензора Мм[ра] в виде (см. (1326»
М Т саn Т саn f f ( 13 31 )
м[ра] == мр Ха J.L(J Х р + [ма]р [jl()J(J' .
после подстановки последнеrо в (13.25) получим соотношение
,р3.22).
Таким образом, соотношение (13.30)
f[Jl(J]p f[Jlp](J == Sjl[p(JJ
является необходимым и достаточным условием тО20, ч.то тен'
зор
, "...сап д
т jlV :::::: J jlV + д f[jlЛ]V
ХА
будет симметричен, т. е. будет определять .метрич.еский тен-
зор энеР2llи.импульса
7 ,- T metr T metr Т ,
JlV == JlV == VJl == VJl'
111
3амеТИlYi, ЧТО H ti30p fu.ta]p' удовлетворяющии УС.l0ВJ1Ю (1 J 30\,
В свою очередь можНо прсдставить в ВИде линейной комбинации
спиновых тензоров 8J.t[pa]. Для этоrо, очевидно, достаточно Про-
вести в (13.30) циклическую перестановку индексов и из дву.\
полученных таким образом соотношений вычесть третье. В ре-
зультате, например, получим
t 1 ( 8 + 8 8 ) (13. ']')' ,
[aJ.tJp == 2 ,,[ра] a[J.tp] p[a/l], и"-.
и, следовательно, метрический тензор энерrщr-импульса мож(Ст
быть также записан в виде
T me!r "...сап 1 д S 8 S )
Q(J == J ар --r \.1 ( ,,[ра] + a[/lpJ p[(jfJ.]'
2
(13.3,5)
14. Заряд и вектор тока
Теорема Нетер, доказанная Д.'Iя случая, коrда преобразо
вания функций поля вызываЮТСя некоторыми преобразова
ниями координат, может быть обобщена и на случай, коrдCJ.
преобразования функций поля не связываются с каким либо
изменением координат. Примером MorYT служить так называ-
емые срадиентные (калибровочные) преобразования первосо
рода,
Как уже отмечалось ранее, функции поля, вообще rоворя
MorYT быть комплексными. Пусть, например, имеется неко-
торое поле, описываемое комплексной функцией и(х) с ком-
понентами Uj(x) о== 1, 2, ..., п). Очевидно, каждую из этих
компонент и ее комплексно сопряженную можно записать
Е виде.
и, (Х) == - J2 (qJj (х) + i1/'j (Х)!,
и (x) == r l l<pj(X) i1/'j(x)J,
1 V 2
[де <р' (х) и 1/'i (х) являются вещественными функциями. Послед-
ние MorYT быть выражены обратно через uj (х) (14.1), и; (х) (14.2)
соотношениями:
(14. 1)
(14.2)
qJj (х) == [щ (х) + и; (x)J,
2
1/' / ' (х) == V 1 [и / , (х) и (х)].
. i 2 I
(14.3)
(14.4)
112
дщ (х) ди; (х) }
дx дx '
ФУНКЦИИ uj (х) и и; (х) выступают при этом как равноправ-
ные независимые ФУНКЦИИ по.'Iя. Разумеется, это обстоятельство
НУЖIlО учитывать при варьировании функции действия, выражен-
ной через лаrранжиан (14.5). В частности, в случае комплексноrо
поля мы получим две системы уравнений Лаrранжа (уравнений
поля):
Таким образом, рассматриваемое комплексное поле фактиче-
ски характеризуется 2п вещественными функциями поля. В соот-
ветствии с этим при математическом описании комплексноrо поля
в рамках лаrранжевоrо формализма мы не можем оrраннчиться
лишь использованием функций и/ (х) как обобщенных координат,
а должны учесть также и наличие п Iюмплексно сопряженных
им функций поля и (х).
J
Лаrранжиан комплексноrо поля (как и динамические перемен-
ные этоrо ПОJ1Я) следует рассматривать как некоторую Функцию
дщ (х)
от величин И} (х), д
хм
ди; (х)
чин и; (х), д ' т. е.
X
L =: L {Uj (х), и; (х),
и КОМП.lексно сопряженных им вели.
(14.5)
aL д aL
дщ дx д ( ди} ) ==0,
дx
дL ==0.
д ( ди; )
дx
Очевидно, что если теперь вместо функций uj (х) мы возьмем
fuункции и: == и. (х) e ia и соОТВетственно вместо комплексно сопря-
I J / *
'Й{енной ей функции и (х) функцию и: (х) === и ( х) e ia, rде a
" J I I
' 1:юизвольное (одинаковое для всех компонент щ) вещественное
I I; ' C.'IO, то при этом билинейная комбинация Иjи (так же, как и
" J
,hUja u;) останется неизменной
( 14.6)
aL д
ди; дx
(14.7)
, , '" ... *
u j u j == щ&а u j e .a == Uju j .
Вследствие этоrо при замене
и} и: == Ujei a и и --+ и'.* == u e ia
I I I I
(14. 8)
(14.9)
,.аrранжиан комплексноrо поля, который строится из вещест-
ещ!Ых комбинаций функций поля и их ПрОН3БОДНЫХ (см
Тр. 79) указанноrо Типа, также Не будет менять СБоеrо вида,
113
Формулы (149), очевидно, можно рассматривать как ОПре
деление HeKoToporo преобразования функций поля. Это пре
образование ( в случае, КО2да велuчины а являются пОСТОЯ/i.
ными чuсламu, а не фУНКUИЯI\lИ от координат) называют ка-
лuбровочным (2padueHТ1tblAt) преобразованuем первО20 рода
Совокупность преобразований (14,9) (при всех возможны'
значениях величины а) образует некоторую непрерывную
однопараметрuческую <'руппу, параметром которой СЛУЖИl
число а. Неизменность лаrранжиана поля при всевозможны.\
преобразованиях (14.9) означает инвариантность 3Toro .па:
ранжиана относительно rруппы калибровочных преобразонн
ний первоrо рОДа.
В свою очередь из непрерывности этих преобразоваНИ j
следует, что лаrранжиан поля, как и динамические перемен.
вые поля, должны быть инвариантными относительно соо [.
ветствующих бесконечно малых прео6разований TaKoro род;!
Мы должны, очевидно, потребовать, чтобы действие такж\:'
было инвариантным относительно этих преобразований, иначе
rоворя, потребовать, чтобы вариация действия при бесконеч
не малых изменениях функпий поля, обусловленных калиб.
ровочными преобраЗОВ8НИЯ1\fИ первоrо рода, обращалась в
нуль. Тоrда, соrласно теореме Нетер, данному преобразова-
нию должна соответствовать некоторая сохраняющаяся Bt::.
личина. некоторыЙ закон сохранения.
Итак, пусть некоторое поле описывается функцией U (х) .
== ! Uj (х)} и комплексно сопряженной ей функцией и* (х) == [и;(х) .
Рассмотрим для этих функций бесконечно малое калибровочно,'
преобразование первоrо рода (14.9). Тоrда при предположении
что а ба мало, из (14. 9) будем иметь:
и == (1 + i ба) Uj == uj + I ба uj == Uj + б Иj,
* 1 ."!:. * . l' *' J::. '"
и. === ( I lба)u. ==и. tбаu. ==и. +uu ,
I I I I I I
(14 1(н
т. е.
б Uj == i ба Иj,
б и == i ба и .
I I
(14.11 )
в соответствии с общим определением (см. (12.3))
б uj == у il3 бffi в
можно принять, что для данноrо однопараметрическоrо преобр()
зования
бffi в ...". бffi == ба.
Отсюда следует, что
p4.I:?1
У J;:' .
б uj == j ба, u U j == У i ба.
(14.1,3)
114
Это означает, что, cor ласно (14 11) и (14. 12), матрица беско
нечНо малоrо преобразования функции У il'> в рассматриваемом
случае будет иметь вид'
У j == iUj, yj == iUj.
(1 4. 1 4)
в то же время, ПОСКО.'1ьку калибровочные преобразования первоrо
рода по определению происходят только в пространстве функций
поля Uj (х), и; (х) и не затраrивают координат, мы должны по-
ложить (см. (12.2))
Х\.113 Х\.1 == О.
(14.15)
Учитывая теперь то, что компоненты и ! (х) и и; (х) независи-
мы, и используя приведенные выражения для матриц преобразо
вания У/, У; (14.14) и Х\.1 (14.15), в соответствии с общей форму-
лой для величины 0\.1а (12.6) найдем
0\.1а --+ 8\.1 == \ д;;" )
/ al
\ дх\.1
или после введения обозначения 8\.1 == j\.1
( Уд +
aL
д ( ди; )
дх\.1
( y;))
. . J aL
J\.1 == L l д ( ди! ')
дх\.1
Uz
aL
д ( ди; )
axJ,t
+
(14. 16)
При этом, СОI'ласно (12.7),
a\.1j\.1 == О,
(14. 17)
'1'. е. полученный четырехмерный вектор j\.1 (14.12) удовлетворяет
уравнению непрерывности. Этот вектор с точностью До размерной
ПостоянноЙ отождествляется с 4 MepHЫM вектором плотности
mока заряда. Тоrда сохраняющийся в соответствии с общими
цравилами интеrрал
J[
Q i S j,d'x
aL aL
д ( дщ ) и/ д ( ди; )
\ дХ4 дХ4 ;
и; ] d"x
(14. 18)
yдeт представлять собой не что иное, как заряд поля.
J15
в случае, коrда речь идет об электрическом заряде l , это М("
жет быть явно отражено в формулах (14.16) и (14.18), eC.l\1
безразмерный параметр а представить в виде а == а' е! пе и ПfJ).
водить варьирование по параметру а'. При этом матрицы У! и у{'
(14.14) изменятся на множитель еЩе.
ie
У! == и
пс !'
. ie.
V == UI'
1 пс
(14.1 \<:
Тоrда формула (14.18) примет вид
Q== ;e S{ a( u;) и; д( ИJ и/} dЗх. (14.20)
Такая интерпретация выражений (14.16) и (14.18) как вел/'.
чин, связанных с током и зарядом, находит свое косвенное обо("
нование в том, что полученное из (14.16) выражение, как буде"
показано ниже при рассмотрею1И конкретных полей (напримеf'.
скалярноrо), совпадает с соответствующим квантовомеханическим
выражением
е ( д 'Ф * д 'Ф* '\
р inc 2 ili 'Ф iit 'Ф) .
(14.21 )
Попутно заметим, что при uj === uj, т. е. для вещественных
полей, вектор тока jJJ. и заряд поля Q обращаются в нуль. Эт.,)
означает, что только комплексные поля МО2ут описывать зарq
женные ч.астицы.
Следует также иметь в виду, что, ПОСКО.1ЬКУ калиБРОВОЧНОl
преобразование первоrо рода связано только с изменеЮI'
ем функций поля и не затраrивает пространственно времен
ных координат, закон сохранения заряда уже нельзя связы
вать с какими либо свойствами симметрии пространства.
времени.
1 Термин «заряд поля» не обязательно относится к Э.1ектричеСКО IУ 39
РЯДУ В теории элементарных частиц MorYT быть введены такие специфн-
ческие заряды, как например барионный и друrие.
11
СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
r л а в а IV
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
15. Вводные замечания
Приступая к построению теорИИ конкрет-
ных полеи, сопоставляемых элементарным
частицам, прежде Bcero следует иметь в
виду то обстоятельство, что понятие о сво-
бодном поле в применении к элементарным
частицам является определенной идеализацией. В реальных
условиях всякая элементарная частица всеrда испытывает те
или иные воздействия со стороны окружающих материаль-
ных объектов. Более Toro, основные свойства и характеристи-
ки частиц, соответствующих данному полю, проявляются
лишь во взаимодействии одних частиц с друrими (одних
полей с друrими). Именно поэтому источником сведений об
элементарных частицах является экспериментальное изуче-
ние процессов их взаимодействия, а основной задачей теориИ
элементарных частиц является описание этих процессов.
Таким образом, элемеНТdрные частицы и описывающие
ИХ поля MorYT рассматриваться как свободные не взаимодей-
ствующие лишь в некотором приближении (см. раздел HI)'.
Однако это приближение с точки зрения cOBpeMeHHoro
Состояния теории взаимодействующих полей (элементарных
\fЗСТИЦ) является необходимым и неизбежным. Всякий про-
цесс взаимодействия элементарных частиц в рамках обще-
принятой концепции ра членяется на следующие ТрИ этапа.
Первый этап состояние системы частиц (в простейШ€М
,случае двух) до взаимодействия. Вступающие в реакцию
Частицы находятся столь далеко друr от друrа, что их взап-
;модействием можно пренебречь и рассматривать эти частицы
'I{ЭК свободные Их состояния MorYT быть описаны на языке
tеории свободноrо поля и зафиксированы на опыте путем из-
iМерения соответствующих характеристик частиц.
Свободное поле
н взаимодействне
элементарных
частнц
117
ВrороЙ этап сам акт взаимодействия Детали ero l\Iex(;
низма пока не Поддаются определению Имеются лишь по
J1ЫТКИ интерпретации акта взаимодействия на основе тех ИсlН
иных модельных предстзвлений I
Третий этап состояние после взаимодеЙствия. Продук-
lЫ реакции исходные или образовавшиеся в реЗУЛЬТ;1Те
взаимодействия новые элементарные частицы также рассыС!,
риваются как свободные.
Задача теории взаимодействий в рамках рассматривае-
!\-:ой схемы состоит в том, чтобы определить (рассчитать), ка-
ковы будут продукты данной реакции и в каких состояНI!Я\
они будут находиться после реакции, если известны начаЛЬНЫl
состояния вступающих во взаимодействие элементарных час-
1ИЦ. Точнее rоворя, теория должна предсказывать вероят
IЮСТЬ Toro или иноrо возможноrо состояния системы после
процесса взаимодействия ПОСКОI]ЬКУ в процессе взаимодей
ствия может происходить превращение одних элементарны"
частиц в друrие и рождение новых частиц, то теория должНа
предсказывать вероятности каждой из таких возможностей,
или, как rоворят, вероятность Toro или иноrо возможноrо
h.анала реакции.
Сказанное свидетельствует о том, что, хотя основной за;lа-
чей теории элементарных частиц является описание их взап-
модействий, эта теория не может обойтись без представлениЙ
о существовании невзаимодеЙствующих частиц. Описание
допустимых состояний свободных частиц и призвана дать те-
ория так называемых свободных полей, сопоставляемых тем
или иным элементарным частицам.
Изложенный в первом разделе общий формализм постро
ения классической теории волновых полей на основе исполь-
зования вариационных принципов в форме Лаrранжа позво-
.'lяет рассматривать различные конкретные типы полей с
единой общей точки зрения. Ниже будут изложены основы
теории следующих свободных полей. а) скалярноrо (вещест-
BeHHoro и комплексноrо), б) BeKTopHoro, в) электромаrнит
Horo, [) дираковскоrо.
Основой для построения теории Toro или иноrо поля в
.lаrранжевом формализме является задание лаrранжиана
для данноrо поля L(x). Ранее уже отмечалось, что оБЩШСf
ЮIД лаrранжиана
L (х) == L { U i (х), aU i (х) }
ax)J.
может быть найден исходя из весьма общих соображений.
1 Рассматриваемая схе'-!а, связанная с разбиеиием процесса взаимо
действия на три этапа, по существу также представляет собой некоторую
МОДель
118
Напомним их
1 Релятивистская инвариантность.
Лаrранжиан поля должен представлять собой такую KOM
6инацию функций поля (и их производных) с заданными
трансформационными свойствами относительно преобразова
ний Лоренца, которая была бы скаляром относительно этих
преобразований. Функции поля, удовлетворяющие этому
'1'ребованию, реализуют некоторое представление rруппы Ло-
ренца (тензорное или спинорное) . Конкретные поля, которые
будут рассмотрены ниже, описываются функциями ПОJ1Я,
реализующими лишь самые простейшие такие представления
(скалярные, векторные, спиноров первоrо paHra). Оказыва-
ется, что подавляющее большинство известных в настоящее
время э.l1ементарных частиц охватывается этими полями.
2. Вещественность.
3 Так называемые условия простоты:
а) для Toro чтобы уравнения свободноrо поля были ли-
нейными и однородными, лаrранжиан поля должен быть
квадратичен по функциям поля и по их производным;
б) для Toro чтобы уравнения пОля были дифференциаль
ными уравнениями Не выше BToporo порядка, лаrранжиан
ПО.lIЯ ДО.11жен содержать наряду с функциями поля их произ-
водные не выше перsоrо порядка.
16. Скалярное веществениое поле
Скалярное вещественное поле описывается oд
нокомпонентной вещественной функцией поля
ер (х) -== <р (Xl' Х 2 , Ха. Х 4 ), которая при преобра-
SOваниях Лоренца не меняет cBoero вида: <р (х) === <р' (х'), т. е. яв-
яется скаляром. В соответствии со сформулированными выше
щи ми требованиями лаrранжиан скалярноrо поля L (х) будет
I которой скалярной функцией от <р и д\.1 <р, [де <р скаляр, а
q> преобразуется как четырехмерный вектор. Простейшей ска-
,ярной комбинацией, составленной из вектора д\.1 <р, будет квад-
т этоrо вектора (д\.1 <p)(a lL rv). Но любая степеНь скаляров <р и
a)J. <р) (д\.1 q.» также будет скалЯ!х>м. Следовательно, в лаrранжиан
поля в принципе MorYT войти члены вида:
Лаrранжиан
скалярноrо
ПОЛЯ
q.>n, «a)J. ер) (д\.1 q.»)m, epk «д\.1 q.» (д\.1 q.»)l
(n, т, k, l целые числа).
I ,
!Однако УС.'Iовие простоты, обеспечивающее однородность и
IlIцнейность уравнений поля, получаемых из лаrранжиана,
jhО3ВОJIяет оrраничиться лишь квадратичными членами q.>2 и
д\.1<P) (alJ.q.» , взятыми В Виде некоторой JIИнейной комбина
), I
119
ции Таким обраЗО:\1, мы приходи]\! к выводу, что лаrраНЖИi:JJ]
калярноrо вещественноrо поля может быть написан в оБЩЕ' 1
виде следующим образом:
L(x) ==a(a/lqJ)(a/l<P) +Ь<р2.
(16. 1 )
Заметим, что, не включая, соrласно второму УСЛОВf1!О
простоты (см. 3б, стр. 119), в лаrранжиан поля производны\
от функций поля выше чем первоrо порядка, мы оrраНИЧИВiJ
емся уравнеииями поля, содержащими производные не вышt'
BToporo порядка.
Вводя постоянную ",2>0, мы можем лаrранжиан (16.1)
переписать в виде
L(x) ==а(ЩJ.<р)(д/l<р)+х 2 qJ 2 1. (16.2)
Постоянные а и х 2 не MorYT быть определены из общи. \
соображений. Их числовые значения MorYT быть установлены
,lJИШЬ исходя из данных опыта. В частности, значение посто-
янной а может быть определено из требования, чтобы пол)
чаемые из даНноrо лаrранжиана выражения для динамиче.
ских переменных (энерrии, импульса, момента и т. д.) поля
{'оrласовались с экспериментальными данными в принятоЙ
{'истеме единиц В рассматриваемом случае скалярноrо поля
коэффициент а может быть взят равным a== 1/2 (Иноrда
пользуются и друrим выбором коэффициента а == 1/8л с
целью получения формальной аналоrии с электромаrНИТНЫ!\l
полем) .
Итак, оконча rельное выражение для лаrранжиана ска.1Яр.
f!oro вещественноrо поля примем в виде
L== - ((a/l<P)(a/l<P)+X 2 <p21. (16.3)
2
Уравнение
скалирноrо
поли
Следуя общим правилам, после варьирования
функции действия
S =о S L (х) d x
при постоянных пределах интеrрирования получим уравнение
скалярноrо поля, записанное в форме Лarранжа1,
д L д ( aL ) о (16.4)
д <р /l a(a/l <р) .
1 Здесь и в дальнейшем будеМ ПQJIьзоваться СИ'-'lволическнми обозначениями
производных по координатам и времени.
а - д =,Jt, ..2....==-д х . ==дy, ==Jz.
дХ 11, д! дх ду Jz
11
120
ИСПО.1ЬЗУЯ (16.3),
наХОДИМ
aL
д ер === х 2 ер,
aL
д (д ер)
, aL )
д ( д (aflep) ==
д ер,
(lб.5)
=== д ер,
что, соrласно (lб.4), дает
д ер х2ер == О,
или
(О х 2 ) ер (х) == О,
(lб. б)
rде
:J == a/la/l == д + д + д + д == V 2 д
с 2
(lб.7)
оператор Даламбера.
Таким образом, в каЧестве уравнения скалярноrо поля мы
получим дифференциальное уравнение Bтoporo порядка относи
тельно функции ер (х). Это уравнение релятивистски инвариантно,
в силу Toro что оператор О === a a/l И функции ер (х) являются
скалярами (д д === a a/l' ер' (х') == ер (х». Более Toro, уравнение
(16.6) это единственное дифференциальное уравнение BToporo
,:nорядка для скалярной функции, которое удовлетворяет требова
.JfИЯМ релятивистской инвариантности.
111' Уравнение (1б.6) хорошо известно из релятивистской
i:llшантовой механики. Оно является первым релятивистским
j!l:ЮЛНОВЫМ уравнением квантовой механики, полученным в
11' езультате релятивистскоrо обобщения квантовомеханиче
Koro уравнения Шрединrера, и носит название уравнения
лейна Фока.
Отметим, что если уравнение Шрединrера может БЫТh
I,олучено известным образом из нерелятивистскоrо COOTHO
ения, связывающеrо энерrию, импу.1ЬС и массу покоя CBO
одной частицы 1:
р2 li2 .....
Н == thдt'Ф(х) == V (x),
2то 2то
(16.8)
i 1 В основе соотношений (16.8) и (169) лежит следующее правило пере
ода от фоРМУJ! классической механики к операторным уравнениям квантовой
, ех IНИКИ: величины Pfl заменяются операторами Pfl =с iFi a{.J. (Е н === iFia t ) ,
ействующими на во:шовую функцию состояния .1 (х) - <J, (х. У. z, t). В даль
ейшем это будет использовано при введении взаимодействня между полями
см. раздел Ш)
121
то уравнение Клейна Фока аналоrичным путем получается из
соответствующеrо релятивистскоrо соотношения
т 2 с 2
p mgc 2 == О ..... д 'р (х) + 'р (х) ===0.
(16.9)
Из последнеrо соотношения (16.9) вытекает связь между
входящеЙ в уравнение (16.6) константоЙ х II массоЙ покоя то
частиц, которые сопоставляются данному скалярному полю
(см. (16,6»):
тос
X==
п
( 16.1 О)
rде с скорость света п постоянная Планка. В системе
8ТОМНЫХ единиц, rде n===с== 1, постоянная х просто отождест
вляется с массоЙ покоя частицы то.
Аналоrично случаю уравнения Клейна Фока и в да.1ьней-
шем, как правило, физическая интерпретация результатов,
получаемых в классической теории скалярноro поля (как и
друrих полеЙ), будет опираться на основные положения
квантовой механики.
Исходя из даrранжиана поля (16.3), по
известным правилам можно найти выраже-
ния для динамических переменных скаляр-
Horo поля: вектора энерrии импульса и момента количества
движения.
По определению тензор энерrии-импульса имеет вид (см.
(12.14»
Динамические
переменные
т :=.
"
дL
д" q> L O/l" .
д (д/lq»
В соответствии с (16. 3)
(16. 11)
в данном случае отсюда
чим
и (16.5) полу-
T/l V == (д/l q» (д"q>j + б/l" {(др q» (др q» + x 2 q>2}. (16.12)
2
Пользуясь (16.12), по общеЙ формуле (см. (12.20»
Е == S d 3 xT44 (х) (16.13)
находим выражение для энерrии скалярноrо поля
Е == s d 3 x {+ [(Vq»2 + 2 Щ q»2 + X 2tp2 ]) ,
(16.14)
причем, очевидно, это выражение будет llО.1Ожительно определен-
ным, т. е. Е '> О при любых q> (х).
122
Соответственно для нмпудьса поля (см. (12.21»
Р" "'" : S dSxT 4(j (х)
(16. 15)
бу дсм иметь
р -= S d3хЩ cp)(vcp).
c'l.
Анзлоrичным образом s сос ласни с общей формулой (1з.9)
иаi%дем I тензор MlACpo), определяющий плотность момента количе-
ства движения поля,
Мщ J == M po] """ Tl1pXo Т",аХР . (16.17)
При Э1"ОМ чтеltо, что 8 MJtHOM случае, как уже отмечалось
(см. стр. 107), выражение (13.12) для плотности соБС1'венноrо (спи-
Hoвoro) момента КОЛичества движения поля обращается в ну.'1Ь
aL
SJ.I(pO) == УО[ро} == О, (УО(ра] =: О)
д (ajl.CP)
(так как функuия поля q> (х) является по определению скаляром
и не изменяется при преобразованиях Лоренца).
Формальным признаком отсутствия спиноsoro момента у ска-
лярноro rюля является также то, что тенэор зиерrии-импульса
T..v, как 3то следует из формулы (16.12), оказывается эдесь сJnf-
метричным
(16.16)
(16.18)
Т..., == Т w. '
(16.19)
т. е. каноинческий тенэор энер1'Jlи-импулъса скалярноrо поля
Т.... == ТC:v n (16.12) соападает с метрическим тенэором r;::tt
(т: tr == tr). Orcюда, соrласио доказанной ранее теореме (см.
Э 13), блaroдаря соотношению (16.19) получаем, что для скаляр'
иоro поля выполняется условие сохранения орбита.'1ЬИОro момеита
КО.1JНЧества движения M pa1 (см. (13.15»
д", {pO) =: О, (16.20)
т. е. !10лвbtA момент КОЛИ'reCтва Д6Ижеи"S1 rщJIЯ M,,[pc:I] СQВпцд.ае1'
С оpбкrМl>liЫМ M [pa1 (см. (16.17».
'СожраJtяющиАся момент скал"риoro поля, таким образом, бу-
Д ОrJредe.nяты:я ИJiтеrрапом
. ,.. 1 S
М(ра) =о 7 J M t [pajd3x" (1' fopX. Т.ах р ) tJix ==
"' ..;-. s I(д с «J) Hдp ) Ха (до чJ) Х р ] +
+ L(х)(б ср Ха б.О' Х р ) } d 3 x. (16.21)
123
Отсутствиt> У скаляриоrо поля С!1ИНQ80rо момента коли-
чества движения означает, что этому полю, как уже указы
ва.'юсь, MOryT бы rb сопостаВ.аены лншь частицы, Не об.'1аД8JO..
щне спнновым, (обствениым моментом. Такие частицы со
спином, равным О, называют бесспиновыми, или скалярными,
частнцами, К '11 !СJlУ бесспиновых частиц среди известных
Э;1ементарных ча :тиц относятся, напрнмер, n мезоны, К-ме-
зоны и ряд КОр01 коживущих частиц резонанса!!.
Что касается четырехмерноrо вектора тока-заряда jJ1(x)
(14.16), то в сил ' вещественности поля он, разумеется, как н
за.ряд ПОJlЯ Q (14.18), будет равен ну.1Ю. Это означает, что
ра(сма rриваемое поле может быть использовано ТОJlЬКО для
опи ;аНIfЯ нейтральных частиц (напрнмер, нейтральных nO'Me.
зон)в и КО,мезон,)в).
t 17. Импульсное представление
Найденные выше выражения для динами-
ческих переменных скалярноrо поля (см.
(16.14), (16.16), (16,21» (как н для любоrо
друrоrо поля) приобрстают более иаrляд-
liЫЙ 1 удобныЙ для физической интерпретации вид, еми пе-
реЙТI к так называемому импульсному предстаВJIенню. (Кро-
ме Tcro, это 11ре..l.ставление окаЗblвается более удобным при
lIереходе к кваНТОВ8ННЫМ полям).
Во'JlIОВУЮ ФУНt.lUtЮ скапярноrо поля как функцию координат
н вреtJени q> (х) =-= <р (r, t) можно представить в виде ИНterрала
{или rяда) Фурье 1
<р (r, t) == 13/2 С <р (k, t) e'kr d$k,
(2.п) J
. fМПУЛbl:llое
представ"'еllие
фу dхциil пол.
( 17,1)
тде вслновой вектор k определяется известиым соотношением
k == 2 n " 2 == 1 ( 17.2 )
л' ,
i. длина волны, n единичный вектор в направлении рас-
IIРОСТf'янения волны,
'Ч'fСМ теп рь, что функция поля Ip(r, 1) предстаВJlяет
(обой общее решение уравнения кванrОвомеханичt'скоrо
Тllпа уравнения К)fеЙна ФОl<а, ЯВJ1яющеrося релятнвист
tКИМ обобщением уравнения Шрединrера. Поэтому рассмат-
J Из соображений lIаrДЯДНОСТII З;J;есь н D дальнейшсм мы Не б)'дем
CTpOI'O прНДерживаться I1ОС.1еДоваrст,I!О коварllаllТНО!\ заП"СII paCCM!TpI1
lIaeMblX СООТноше!шti.
124
риваемое поле следует считать квантовомеханическоЙ систе
мой и при ero интерпретации мы можем пользоваться OCHOB
f/ЫМИ положениями квантовой механики. Тоrда, очевидно,
разложение функции rp(r, е) в интеrрал Фурье (17.1) можно
рассматривать как разложение волновой функции системы
по собственным функциям оператора импульса
i
pr
'k h
е' r == е , р == Ii k,
rде Р значение вектора ИМПУ.lьса (собственное значение опера-
,
ратора импульса р == ili v).
В соответствии с общей квантовомеханической теорией
представлений разложение (17.1) задает переход от коорди
HaTHoro предстаВ,'1ения rp (r, i') к импульсному представлению
rp(k, t). Как известно, такой переход означает, что функции
qJ(k, t) так же полно описывают данную систему, как и функ
дии rp(r, t). В этом смысле амплитуды разложения Фурье
cp(k, t) можно рассматривать как фуикции поля в импульс
ном представлении.
Изложение несколько упрощается в случае использования
разложения функции скалярноrо поля rp (r, t) не в виде ин
теrрала (17.1), а в виде ряда Фурье. Это соответствует HeKO
торой приближенной картине связанной с аппроксимацией
поля системой, обладающей дискретным спектром собствен
Бых значениЙ импульса и заданной в некотором конечном
объеме.
Рассмотрим общее решение r.p(r, t) ==rp(Xi, t) (i== 1, 2, 3)
('йободноrо скаJlярноrо поля, удовлетворяющее условиям пе
риодичности по всем трем пространственным координатам
На rраницах куба (куба периодичности) с ребром L:
rp (X i , t) == ер (Х; "'t" L, t). (17.3)
Произвольная функция TaKoro типа может быть представ-
Щ: Еа в виде следующеr'о разложения в тройной ряд Фурье:
rp (r, t) == А (k, t) f (k) === L 7 2 А (k, t) e ikr (17.4)
k k
!QI1!!' функциям
f( k ) == 1 i kr . ( 17.5 )
L 3 / 2
I ecb вектор k пробеrает дискретный ряд наqений, которые од-
значно определяются ус:ювием периодичности (17.3), так что
k -== [k;! == { 2 L Л п i }, п i -==0, :i:: 1, ::1::2, 'н, ::i:: 00.
1:5
Это означает, что в раз"южении (17.4) проводится тройное CYM
2л
мирование по всем возможным значениям k; == n; от ос
L
до J.. 00, соответствующим n; == О, == 1, .." == 00. КоэффициеНf
L з1 / 2 обеспечивает ортонормированность функций (17.5) в обыч
ном смысле:
J '* (k') f (k) d 3 x == 3 S е i(k' k)r d 3 x == б k , ,k ,
V V
бk' ,k === 1 при k' == k, бk' ,k == О при k' =1= k,
(17.6i
rде интеrрирование проводится по объему куба периодичнос'!'!'
V == и. Входящие в (17,4) коэффициенты разложения Фуры:
А (k, t) определяются по обычному правилу
А (k, t) == S q> (r, t) '* (k) d 3 x.
v
в самом деле, используя (17.4), (17.5) и (17.6), имеем
А k S ( 1 А k ' ) ik'r ) 1 ikr d 3
( , t) == , е/ 2 (, t е L 3/2 е х
v
== }J А (k', t) 3 j " /(k' k)r d 3 x == }J А (k', t) б k , ,k.
k' V k'
Очевидно, между функцией q> (r, t) и набором функций А (k, {I
имеется взаимно однозначное соответствие: функции А (k, t) пол-
ностью определяют функцию ер (r, t) и наоборот. Функция ер (r, ti
дает описание системы (поля) в координатном представлении, <l
функции А (k, t) описание той же системы в импульсном пред
ставлении.
Заметим, что, осуществляя соотвеТСТВУЮЩliЙ предельный пе.
реходl в дискретном разложении в ряд Фурье (17.4), леrко переЙ-
ти к непрерывному разложению функции ер (r, t) в интеrрал (17.1).
1 Для этоrо разобьем сумму (17.4) на малые интервалы значений 11 n
== д nl n2 n 3 и буде 1 брать в каждом из них средни!' значения веЛИЧИ!1
k n и А (k n , t), т. е.
1 ikr
ер (r ') --= ..о;;;. А (k ') е n n==
, ]}/2 n п'
126
Для TOrO чтобы установить явную зависимость амплитуд
Фурье А (k, t) от времени, подставим разложение функции q! (r, t)
в виде ряда Фурье (17.4) в уравнение поля (16.6)
( у 2 2 д1 ,,} ) q! (r, t) == О.
в результате для каждоrо из слаrаемых получим уравнение
k2A(k, t) A(k, t) x2A(k, t) ==0,
с 2
или
c 2 k6A (k, t) + А" (k, t) с=о о,
(17.7)
rде мы ввели обозначение
k == k 2 + х 2 , ko == у k2 + х 2 .
(17.8)
Общее решение уравнения (17.7) может быть записано в виде
А (k, t) == А (k) e ick.t + В* ( k) i ck . t , (17.9)
1
(2п) 3/2
L
rде учте1iО, что n; d. ki и переопределены амплитуды. А' Ck n . ') z=
2;;
( 1. ) 3.2
А (k n , t). Отсюда после перехода к пределу L..... 00 и k ..... О
\ 2,
получим интеrрал (17 I)
C' '" .4' (k n , t) /knr k n ,. 1 ,1 ' А (k, t) i kr d 3 k,
(2;:)З/2 (2;:)3/2
k n
, iknr
А (k n . t) е k n '
rде тройное интеrрирование по k (k i ) (в импульсном пространстве) прово-
дится от 00 до + <х). Нормировка функций
f (k) == 1 e ikr ,
(2;:)3/2
ПО JЮТОрЫ\! проводится разложение (17.1). в этом случае задается интеrралом
I { (k') t (k) d 3 x . \' e i(k' k)r d 3 x (, (k' k)
. (2",)З
ПО B('E' IY бесконеЧНО\lУ трехмерному пространству координат r = {Xi} и опре-
деляется (),функцией Дирака
(, (k' k) (] (k; k 1 ) (] (k; k 2 ) б(k k з ),
(см. Приложение А). а не СИ\lВОДОМ КренеКЕ'ра (]k' ,k' как это имело место
для дискретноrо спектра значений k (с\!. (176».
127
и следовательно, ряд Фурье (17.4) для функции поля !f' (r, t j
принимает вид
1
qJ (r, t) == з72"' Х
L
х (А (k) e i(Ckot kr) + В* ( k) /(ckol+kr»). (17. J
k
Используя то, что суммирование по k ведется от 00 Де
+ 00, выражение (17.10) можно написать в более симмеТРИЧIЮ'"
виде, если изменИТЬ порядок суммирования для вторых слаI'а( ..
мых (заменить k на k).
1
qJ (r, t) == и!2 х
х {A(k)ei(kr ckot) + В* (k)e i(kr Ckol)).
k
(17.11)
Теперь учтем, что функция qJ (r. t) должна быть вещественно U!
т. е.
(p(r, t) == <p*(r, t),
(17.12\
rде <р* (r, t) имеет вид
qJ*(r, t) == х
L
х {А* (k) e i(kr ck.t) + В (k) ei(kr ckot) J.
k
(17.131
Сравнивая (17.11) с (17.13), находим
В (k) == А (k), А * (k) == В* (k).
( 17.14
Таким образом, окончательно общее решение уравнения (16.6,
для свободноrо скалярноrо вещественноrо поля можно предста-
вить следующим образом:
1
qJ (r, t) == е/ 2 х
х 1 А (k) i(kr ckol) + А* (k) e i(kr [kot) }. (17.15)
k
При этом нужно учесть, что величины k, ko связаны с Х r
== moс '
== соотношением (см. (17.8» k 2 kg == - х 2
п
128
Используя полученное разложение для Функ
циЙ ПОJ!я qJ(r, [) (17.15)
1
ер (r, t):== L J ;2 х
J А i(kr ckot)..L А * e i(kr ck.t) 1
/ \ k i k j,
k
Динамические
переменные ПО.1Я
в импульсном
представленин
можно выразить все динамические переменные скалярноrо
через амплитуды Ak == А (k) и A .== А* (k).
Рассмотрим в первую очередь выражение для энерrИИ
(16.14)
Е == } s d 3 x [(V <р)2 + :2 (a t <р)2 + %2ЧJ2].
в соответствии с (17. 16) будем иметь
1 (+)' ( )
VqJ == L3/2 (ik) (Ak е Ake f,
k
rде ввеДены сокращенные обозначения
e:f:.(kr ckot) == e:f:ikl x/l == e:f:ikx == e(:f:).
Тоrда, очевидно,
s (;qJ)2d3X 3 S d 3 x ik(Ae(+) A e( »)x
х ik' (A , е'(+) A : e'( ») :=. (kk') х
k' k k'
ic(k.+k;)t > ic(ko k;)t
Х r [Ak А' е б k " k А А' е бk.k' ] т
+ [ .,. ]"'},
(17. 16)
поля
поля
( 17.17)
( 17.18)
(17. 19)
ИШ!
S (VqJ)Zd 3 x:== k2 [[А A k e 2i(kor + А A ] + [...]*}, (17.20)
k
rде [ ..]* означает комплексно сопряженное выражение от пер
вой скобки Здесь учтено, что (см. (17.6)
1 S :f:i(k=Fk')r d 3 x $о
е -== Uk -Lk'
L 3 .
и (см. (17.?1))
ko "-о V k 2 + ,,2, k == / k,2 -+ %2.
(17.21)
Аналоrичным образом, исходя из
д 1 "" . k I А (+)
С t ер L3/2 -t t о 1 - k е
L А * е ( ) 1
! k J,
(17.2 '
найдем
S (at ер)2 d 3 x ==:
с 2
k ([ А A ke 2i.kot + Ak A ] + [...]"'),
.....
k
(17,2,5'
а из (17. 16) для TpeTbero слаrаемоrо в (17. 1 7) будем иметь
2 S ер2 d 3 x ==: )(2 (lAk A ke 2ickot + Ak A ] + [...]*\. (17.2,j
k
Объединяя теперь (17.20), (17.23) и (17.24) в соответствш,
с (17.17), получим
Е== !(k2 k6 +)(2)AkA ke 2iCkot +
2 k
+ (k 2 + k6 + )(2) А A ] + [...]*),
откуда с учетом Toro, что, соrласно (17.8),
k 2 +)(2 ==:0, k 2 + k6 +)(2 == 2k6 ,
имеем
1 "" 2 . " ""? .
Е ==: 2ko (A k Ak + AA k ) ==: 2k'O А Ak .
2 k k
(17.2,)\
в выражении для энерrmr поля (17.25) удобно
ШfТЬ амплитуды Ak и A следующим образом 1 :
( пc . I пс '"
Ak == V 2ko ak, Ak ==: V 2ko a k '
переопре;J.Е:'
(17.26)
так, что
1"" *.
Е ==: пck o (ak ak + ak ak),
2 k
(17,271
] Зачастую а:vrПЛИТУДЫ a k вводятся сразу при определении ИСХОДНOI'о ра о
ложения Фурье В этом случае оно будет иметь вид
ер (r, t) V _hC (a k i(kr ;kot}+a e i(kr ckot)}. (l716;J)
L k 2ko
130
Но, как известно, в квантовой теории величина
licko == Ii о) k == Ef{
( 17.28)
представляет собой не что иное, как энерrию частицы, описывае-
мой волной де Бройля:
(
(pr et)
е fz == ei(kr ck.t) .
(17.29)
Таким образом, выражение для энерrии поля принимает вид
1 ..
Е == ..о;;. Ek (ak ak + ak ak),
2 t..
(17.30)
или
Е == lick o ak a == Бk ak a .
k k
(17.31)
Здесь учтено, что при данном классическом рассмотрении ампли-
туды ak яв.1ЯЮТСЯ обычными числами l и можно написать
. .
ak Qk == akak .
Точно так же мы можем найти в импульсном представлении
импульс поля (16.16). В этом случае, соrласно (17.18) и (17.22),
будем имеТь
р == r Щ<р)(v<р)d 3 х ==
с 2 J
1 ..
== ..о;;. kok { Ak Ak + А А },
с k
или после введения новых амплитуд (17.26)
р == lik ak a == р ak a .
k k
(17.32)
(17.33)
l' ОбъединяSI формулы (17.31) и (17.33), можно написать реля-
jтивистски ковариантное выражение ДJШ 4-мерноrо вектора энерrии-
I импульса поля (р!-, == IiklJ.)
PJ.L == P t ak a . (17.34)
k
Очевидно, аналоrичные результаты можно привести не только
для дискретноrо, НО и для непрерывноrо импульсноrо представ-
Jlения, Т. е. пользуясь разложением функции <р (r, t) не в ряд, а
1 Во вторпчно-квантованных теориях амплитуды a k и a выступают как
,операторы, не оf)язаrелыIO коммутирующие дру! с друrом.
131
в интеrрал Фурье. Выражения Д.1Я энерrии и импульса поля б\
дут иметь такой же вид, с той лишь разницей, что повсю",
вместо суммирования появится интеrрирование по k
Мы уже отмечали, что уравнение К:IеЙН;I
Фока (см (166»
(д )(2) <р (х) == О
Интерпретация
резу.qьтатов
(17. ,
по существу предстаВJIяет собой квантовомеханическое ура:'
Iiение В квантовой механике оно описывает поведение одно!
скалярной (релятивистской) частицы, состояния которой по.!
Ностью характеризуются решением уравнения q: (х) как KBdl1
товомеханической волновой функцией В соответствии с эти'
общее решение уравнения (17.35)
( ) u 1 f пс ( ikx, , ikx
<р Х L 3/2 V 2ko 1 ak е "1 ak е )
k
представляет собой суперпозйЦИЮ «чистых» состояний скалярноi
часТlЩЫ. Каждое такое «чистое» состояние описывается ШlOСКCJJJ
волной де Бройля
; {
h рх 1 пс ikx
ljJ (р) е ==- L 3 / 2 2ko а (k) е ,
(17.зr,
(17.371
являющейся собственной функцией четырехмерноrо оператора
энерrии импульса р"", !р, iP:}, соответствуюшей заданному значе
нию энерrии (8) и импульса (р) частицы.
Разложение (1736) тоrда означает, что ска.ТJярная части
Щl может находиться в одном из таких состояний. Как извесr
но из квантовой механики, вероятность каждоrо из так!!:,.
состоянии определяется квадратом МОДУ,'lя коэффициенто!.>
разложения, в данном случае величиной
ak a == I ak 12.
Таким образом, мы можем дать следующую интерпрета
ШIЮ полученноrо выше выражения для четырехмерноrо им-
пульса поля (17,34). Это выражение как сумма произведениЙ
всех возможных собственных значений 4,импульсов Р на соот
ветствующие им вероятности а k a будет преi1.стаВ.1ЯТЬ собоЙ
Не что иное, как среДнее значение четырехмерноrо веКТОР;1
энерrии импульса скалярной частицы. Переписав (17.34)
13 ВИДе
Р iJ, == а; PJJ. ар ,
р
нетрудно видеть, что формула (17.38) соответствует об
щему определению среДНеrо от квантовомеханической ве.1ИЧИ
(17.38)
132
ны В И lf1уЛЫНО;Ч представлснии, [де РО.1Ь функций состояния
иrрают а1\lПЛIТУДЫ Фурье
а к "'= ар.
Дальнейшее развитие приведенной интерпретации будет
дано IЗ процессе рассмотрения комплексноrо скалярноrо поля.
На.ряду с указанной интерпретацией, в основе котороЙ
лежит истолкование уравнения Клейна Фока как KBaHTOBO
мехаНJIческоrо уравнения для одной частицы, возможна и
друrая, не столь строrая и последовательная с точки зрения
l\лассическоЙ теории по.тIЯ, мноrочастичная интерпретация.
ОНа основана на использовании формальноЙ аналоrии клас
СIfческой теории поля с вторично квантованноЙ теорией.
В пос.lсдней ЮШ.1ИТУДЫ Фурье а к и а: иrрают роль операто
ров рождения и поrлощения соответствующих частиц, а
собственные значения операторов а к а; и а;а к определяют
число частиц в данном состоянии, Роль функции состояния
иrраюr функции, определенные в так называемом простран-
стве чисел заполнения, т. е. чисел, определяющих число
частиц в каждом из состояний. Поэтому с формальной точки
зрения ПОЯВ.1Jяющиеся в классической теории величины а к а;
можно рассматривать как собственные значения операторов
числа сlастиц В данном состоянии ак а к +. в рамках этой интер-
претации классическое поле можно рассматривать как HeKO
торую систему частиц, находящихся в различных состояниях.
В соответствии с этим, например, выражение ДJ1Я энерrии поля
в этой условноЙ интерпретации можно считать как величину,
опреде.1ЯЮЩУЮ уме не среДнее значение энерrии одной части
цы, а ПО.1НУЮ энерrию системы частиц, складывающуюся
из C'yM:l-1bI энерrий частиц в каждом из возможных состояний:
Е == Бk ak a == Бk N k ,
k
rде ak a == N k число частиц в данном состоянии.
18. Скалярное комплексное поле
в соответствии с общим замечанием, при-
веденным выше по отношению к комплекс-
ным нолям (см. 14), скалярное комплекс
ное поле будет описываться не одноЙ
функцией поля, а двумя: функцией ер (r, [)
еЙ КО Ш.l('КСНО сопряженной ер'" (r, [) Напомним, что иеоо.
ОДЮ-IOсть введения двух таких функций вытекает из Toro, что
рдна КО IПJI(ксная функция q; (r. t) еЩе не определяет двух
I
11
ФУНКЦИИ, лаrран
жнан, уравнения
И динамические
переменные ПО.1Я
133
задающих ее вещественных функний ерl (r, t) и (Р2 (r, t) Д.l;'
определения последних нужны два соотношения В частноС1 и,
В рассматриваемом случае можно взять
1
q>(r, t)=== У2 !q>l(r, t)+iq>2(r, t)}
и
1
q>*(r, t)== (q>l(r, t) iq>2(r, t)J,
-,/2
откуда следует
q>l(r, t) == J2 {q>(r, t)+qJ*(r, t)i,
СР2 (r, t) == i 2 (q> (r, t) rp* (r, t»).
(18.1 i
(18.2)
(18.:3'
(18.4 ,
Очевидно, функции (18.1) и (18.2) дадут описание, экви
валентное описанию данной системы на основе использования
функций (18.3) и (18.4) лишь в том случае, если мы будем
рассматривать функции ер и ер* как незаВИСИl\lые обобщенные
координаты системы. (В этом :\южно убедиться непосредствен
но, проведя последовательно все выкладки на основе .1arpah'
жевоrо формализма параллельно для двух }казанных набо
ров функций).
В дальнейшем изложении, имея в виду сказанное выше
мы будем исходить из функций q> (r, t) и ' (r, t) Поскольк\
ьсе основные математические операции проводятся здесЬ
ана.l0rично, как в приведеННОi\l выше случае скалярнот'с'
вещественноrо поля, мы оrраничимся .'lишь сводкой ОСНОЕНЫ "
}Jезультатов в rOToBoM виде.
Лаrранжиан скалярноrо КОМП.1Jексноrо ПО.1Я с учето\
требования вещественности будет иметь вид (см. (16 3) )
L (х) == L i'f (r, t), ер'" (r, t), aj.t 'f (r, '), aj.t ер* (r, t)} ==
== ( aj.t ер aj.t ер:!' + )(2epq>* J. (18.))
Отсюда, проведя независнмо варьирование функции действия пс
ер (r, t) и ер* (r, t), получим два уравнения поля (см. (16.4) j[
(16.6»:
aL д ( aL ) o
д ер * j.t д Щ, ер Х) - ,
aL ( aL ' )
aq> aj.t a(aj.tep) ==0,
(: )(2) q> (r, t) == О,
(О )(2) ер* (r, t) == О.
134
( 18. 6 j
(18,71
ТеlIЗОр энерrии-импульса TIl'" (см. (16.11) и (16.12» сКаЛярноrо
ПО.1Я при этом запишется следующим образом:
Т === д * + д Lб ===
IlV д (aj.t(P*) ",ср a(all<P) ",ср j.I",
== щ,ср д",ср'" + a!-l<Р* д",ер) +
+ (дрСР" дрСР + х 2 срср*)бj.t",. (18.8)
Отсюда, соrласно (16.13) и (16.15) (см. (16.14) и (16.16», по.1Jу-
чаем выражения для энерrии и импульса поля:
Е == S d 3 x Т Н == S d 3 x Х
J -+ -+ 1 I
'< lVCP vcp'"' + с 2 at<p atcp* + х2срср* l' (18.9)
Р S d 3 X [at ср* V<P + a t ср Vcp*]. (18.10)
с').
Поскольку здесь по-прежнему имеет место условие симмет-
ричности тензора энерrии импульса (см. (18.8», то аналоrично
соотношениям (16.17) и (16.21) будем иметь следующее выраЖе
ние Д.1Я момента КО.lичества движения скалярноrо комплексноrо
поля:
М[iЮ] == Mrpa] == S d 3 x М 4 [ра] ==
с=. -+ S (Т4р Х а - Т 4а х р ) d 3 x==
S r [д 4 ср'" (др ср Ха да Ч) Х р ) + д 4 ср (др ср* Ха да ер* Х р )] -+
+ (б 4р Ха б 4а Х р ) L (х») d 3 x. (18.11)
с
в ОТЛИЧие от вещественноrо скалярноrо по.lЯ
в случае комплексноrо поля данноrо типа мо-
жет быть введена еще одна динамическая пе-
ременная четырехмерный вектор тока-заряда. В соответсТвии
с общей формулой (см. (14.16»
. ie ( ' aL
Jj.t (х) == h , д (ai-< ср)
бу дем иметь
Вектор
тока- заряда
aL
ер
д щ., ср:!')
ср* )
(18.12)
jll (х) == <: {(д., ср*) ср (д!-l <р) <р * \'
(18.13)
причем
aj.tjll (х) == о.
(18.14)
135
Очевидно, COr.1aCHO (14.20), получаем, что сохраняющийсн заря;-
КОМШIексноrо поля опреде.lяется выражением
Q == t J d 3 xji(X) =C
:== S ddx[(a4{P.;.)q; {p*(aiep)], (18.15;
I1c
или
Q r d3X[(atep*){ ep*(atep)],
il1c 2 J
(18,lbj
rде величина
е
р -== [(atep*) ер Ip* щ ер)]
[l1c 2
(18. 171
представляет собой плотчость электрическоrо заряда поля.
Аналоrичное выражение для плотности тока (18.13) получаеТС5-<
непосредственно из уравнений ДJ1Я поля (18.6) и (18.7). Умножая
уравнение (18.6) слева на ер *, а уравнение (18.7) справа на Ip ;1
вычитая друr из друrа полученные соотношения, будем иметь
Ip* ::J Ip Ip :=J Ip* == О,
или
ер* a/J.aJ). ер ер д,А. ер* == aJ). [ер* (aJ). ер) ер (aJ). ер*)]
[(aJ). ер*) (a l1 ер) (a l1 ер) (a/J. ер*)] == О,
aJ). [ер'" (д,! ер) ер (aiJ. ер*)] == О.
т. е.
(18.18)
Это уравнение естественно интерпретировать как уравнение Не-
прерывности (18.14), откуда следует, что
ju. (х) == а [ер* (aJ). ер) (aJ). ер"') ер],
(18.19 )
rде а некоторый постоянный коэффициент.
Таким образом, выражение (18 19) с точностью до посто
5JHHblX коэффициентов действите.1ЬНО совпадает с аналоrич
ным выражением для величины jJJ.(X) (18.13), полученноЙ на
основе теоремы Нетер как следствие инвариантности функ-
ции действия относительно калибровочных преобразованиЙ
перпоrо рода.
Важно подчеркнуть, что величина
1
рО (r, t) == I (д ! ер*) ер (д ! ер) ер* 1,
[пС
(18,20)
136
опрсдсляющая !Jсl0ПIOСТЬ заряда (18 17), не является ПО<10
Жите.1ЬНО опредет:нной 1. Вследствие этоrо в отличие от COOT
ветствующей ве.1ИЧИНЫ
Р О т*т
нерел '1' '1'
(18.21)
ро (1820) не может непосредственно интерпретироваться как
П.l0ТНОСТЬ вероятности местоположения чаСТИllЫ
Эти затруднения MorYT быть преодолены за счет специфи
ческой интерпрета ци!! решений уравнения Клейна Фока
и будут разрешены ниже ПОС.1е перех,ода к импульсному пред
став.'!ению
Мы здесь можем использовать результаты,
приведенные выше для вещественноrо
по.'!я, имея, разумеется, в виду, что условие
вещественности (17.12) должно быть снято
Блаrодаря Э1'ому в теории комплексноrо
поля соотношения (17 14) теряют свою силу, и мы должны
считать, что А (k) и В (k) независимы,
В резу лыате имеем
Импульсное
представление
комплексноrо поля
<р (r, t) == ;/2 {А (k) ei(kr ckot) + В* ( k) ei(kr+ckot) } , (18.22)
L k
или
ср (r, t) == зl/Z {А (k) ei(kr ckot) +
L k
+В *(k) e i(kr ckot) t'
(18.23)
и соответственно
ср* (r, t) == eli 2 {А* (k) e i(kr ckot) +
k
+ в ( k) e i(kr+ckot) },
(18.24)
или
ср" (r, t) == L3 2 {А* (k) e -i(kr ckot) +
k
+ В (k) ei(kr ckot)}.
(18.25)
1 Это следует из roro, что функция <р (х) удовлетворяет уравнению, co
держащеыу вторые ПjXJИЗВОдиые по времени И, следовательно, входящие в р
,величнны <р (r, t) и д ! <р (r, t) при данном t MorYT определяться незаВИСИ',10.
137
Соrласно общепринятой в квантовои механике интсрпрс:-
тации, каждое из этих соотношении представляет собой ра1
.10жение общеrо решения релятивистскоrо BO"lHoBoro уравне
ния на плоские BO,lНЫ Де Бройля'
!.. (pr et)
а) e'l
(18.26)
i t"
(рт+с!) [pr ( :)I]
б) e h == е" ,
(18.27)
(pr el) i [( p)r ( .)I]
в) е п ='= е п
(18.28)
- !... (pr+"t)
[) е 1i
!.. [( р )r EI]
е п
(18.2 )
Нетрудно ВИДеть, что'
волна а) (1826) описывает состояние частицы, движу-
щейся с положительной энерrией е в положИтельном направ-
лении, определяемом ее импульсом р;
волна б) (18.27) состояние частицы с отрицате.ТIЬНОЙ
энерrиеЙ ( e) с тем ЖЕ импульсом р;
волна в) (18,28) состоЯНИе частицы с отрицательноЙ
энерrией ( e), движущейся в обратном направлении ( p);
волна r) (18.29) состояние частицы с положитеЛЬНОf'
энерrией, движущеЙся в направлении p.
Квадраты модулей амплитуд А (k), А* (k), В (k), В* (k) опре-
деляют вероятности нахождения частицы в соответствующих
состояниях (см. ниже).
Таким образом, в разложении (18.22) мы имеем состояния
как с положительноЙ, так и с отрицательноЙ энерrиеЙ Суще-
ствование последних вытекает из релятивистскоrо соотношс
ния между массой, импульсом и энерrиеЙ, кот,орое является
следствием Toro, что П.l0СКl1е волны удовлетворяют уравне
нию (166), и имеет вид
62
p2 == т c2.
с 2
Отсюда получаем
6 == :t с 1 p + mgc 2 ,
или, что то же самое,
ko == :t V k 2 + ",2 .
В соответствии С этим ИНОI'да общее решение (18.23) уравнения
Клейна Фока записывают в виде суммы
<р (r, t) """ <р(+) (r, t) + <p( ) (r, t),
(18.30)
138
положительно частотной
<р ( r t) ==: "" А ( k ) ei(kr ck"t)
(,)' е/ 2
k
(18,31 )
и отрицательно-частотной
<p( ) (r, t) == L3 2 В* (k) e i(kr ck"t)
k
(18. 32)
частей.
Функциям состояния с отрицательной энерrией можно при-
дать опредеJlенный физический смысл, если относить ИХ не к
частицам, а к античастицам. В настоящее время существуют
два способа физической интерпретации состояний с отрица
те.1ЬНОЙ энерrией Первый был предложен Дираком и основан
на так называемой дырочной теории. Второй способ принадле-
жит Р Фейнману В отличие от первоrо, он приrоден для ча
стиц как с полуиелым, так и целым спином. Сущность ero
заКЛЮ'lается в том, что состояния с отрицательной энерrией и
импульсом p, описываемые функцией
!... (pr .t) .!.. [( p)r ( e)tJ
е Ii ==е п ,
трактуются как такие состояния частицы, коrда она движется
попятно 00 времени. В соответствuи с ЭТИм обратный знак
перед f.t можно рассматривать как следствие изменения на-
прав.lения отсчета времени f -4- t, Тоrда энерrия будет
положиТеJJЬНОЙ По тем же причинам импульс этой частицы
равен + р. а знак ( ) следует отнести за счет Toro же попят
I
,Horo течения времени, В свою очередь поп fI Т Н О е Д в и Ж е-
и е ч а с т и Ц ы во в р е м е н и, как можно показать в Teo
рии взаимодействующих полей (см. 32), с о о т в е т с т в у е т
р е а л ь н о м у Д в и ж е н и ю а н т и ч а с т и Ц ы с и м п у л ь-
сом р и энерrией е в прямо м направлении во
в р е м е н и Следовательно, СОСТОЯШfЯ с отрицательной энер-
rией будут описывать не что иное, как реально существующие
античастицы с «нормальными» ПО отношению ко времени
свойствами.
Обращаясь теперь к формуле (18,23), в соответствии
с обычной интерпретацией амплИТуд разложения Фурье (при
одночастичном истОлковании общих решений уравнений по.тJЯ)
мы можем сказать, Ч1'о квадрат модуля амплитуды А (k)
опрсделяет вероятность состояния частицы, а квадрат модуля
амплитуды В (k) вероятность состояния античастицы
Если мы теперь ВОСПО,lьзуемся разложения-
ми (182.3) и (1825) для общих решениi'!
уравнений комплексноrо скалярноrо ПО,lЯ
и проведем те же операции, которые были
описаны в случае вещественноrо поля, то,
исходя из выражений для энерrии (18.9) и импульса (18.10),
будем иметь соответственно
Динамические
перемеииые
в импульсном
представлении
и их интерпретация
Е == 2 k (A(k) A*(k) + B(k)B*(k)),
k
( 18. 33)
р == 2 O k (А (k) А* (k) + В (k) В* (k»).
Вводя новые амплитуды по формулам (см. (17.26»
А (k) == V : o a k , В* (k) ==]./ : b ,
(1 8. 34)
(1 8. 35 )
ПО,'!учим
Е == 8k (a k a + b k b ),
k
( 1 8. 33а)
р == P k (a k a + b k b ).
k
(18.34а)
Поступая аналоrично применительно к выражеиию для заряда
поля (18.16)
Q S ((дtq::*) q:: (дtq::)q::*j d 3 x,
tlic 2
найдем
Q == е (a k a b k b ) ==
k
== [е (a k a ) t ( e) (b k b )] .
k
(18.361
Полученные выражения Д,1JЯ динамических переменньJ'(.
КОМШlеКСНОI'О скалярною поля в импульсном представлении
указывают естественный выход из Toro затруднения, что при-
ведениая выше плотность ро (r, [) (1820) не является ПО.l0-
жительно определенноЙ величиной Для этоrо достаточно
заметить, что в выражениях (18.33а), (18.34а) и (18.36) вкла-
ды от положительно-частотНой <!J(+)(r, [) и отрицательно-
частотной <!JH(r, t) частей общеrо решения (см. (18.30)
(18.32» уравнения Клейна Фока в Этом случае явно разделе-
ны и пропо{щиональны заведомо ПОложительным величина1\J
lak 12 и Ibk 12 соответственно. Очевидно, аналоrичное раздепе-
140
ние '1lОжет Бы1ь осуществлено и в координатном предстзвлС'о
нии, если воспользоваться УКа3анным разбиением функ-
ции cp(r, п.
Соrласно соотношениям (18.30) (18.32) и (1835), имеем
cp(r, t)==cp(+)(r, t)+cp( )(r, t), (18.37)
(р(+) (r, 1) == L3 2 V :: a k ei(kr ck.t) , (18.38)
k о
1 V
m ( r t ) Ь . e i(kr ckot) ( 18.39 )
'Y( )' e/2 2k k
k о
И соответственно
ср" (r, t) == cpZ+) (r, J) + cp(. ) (r, t), (18.40)
т' ( r t ) == Y . i(kr ck.t) ( 18.41 )
'1'(+)' L3/2 ake ,
k о
ср' (r t) == V IiС Ь i(kr ck.t). (18.42)
( J' e /2 2k k e
k о
Обращаясь теперь к общему выражению для заряда поля
(18.16) и подставляя (18.37) и (18.40), можно написать
Q:::= е (СР(+)' ср(+») + (СР(+)' cp( »)
(CP( )' СР(--ч) (CP( )' cp( » !, (18.43)
rде введены обозначения:
(cp(:f:)' cp(:f:»)== *. ili 2 S !(дtСР;:f:»)СР(:f:)
(дtСР(:f:»)q;;:f:)1 d 3 x. (18.44)
(cp(:f:)' ср('!'») =--=:!: ili 2 S 1 (д/ Cp;:f:» ср('!')
(дtСР('F»СР(:f:)ld3х. (18.45)
Проведя теперь обычные вычисления с помощью (18.38), (18.39),
1(18.41) и (18.42), найдем:
(СР(,)' <i>(+J) == }: I a k 12, (18.46)
k
(CP( )' cp( » == }: I b k 12,
k
(cp(:f:)' cp('F) == О,
( 18 .4 7)
( 18.48)
141
al 0.-.I1.J, CI",)1"JlaCI10 (1 с. 40),
Q == Q(T) + Q( ),
Q(+) == е ((Р(+), ((><+») e \ a k 12,
k
(18.49)
(18.50)
Q( ) == е (Ч\ ), <p( ») == ( e) }: I b k )2.
k
(18.51)
Таким ,образом, как и следава.lа ,ожидать, полныи заряд
представляет сабои сумму вкладав палажительно чаСТОТНОlI
и атрицательна частотнай частей, как в импульснам (см.
(18 36)), так и в каординатном представлении.
Если теперь рассматривать обе эти части по аТДЕ>ЛЬНОСТlI
lJ последовательна придерживаться адначастичнай интерпре-
тации абаих решений уравнения К.lейна Фака, та естествен-
но будет принять, чта палный заряд, саатветствующий ПО.'lа-
жите.тIьна-частатнаи части 'Р(+) решения, равен заряду отдель
най скалярнай частицы, т. е. элементарному электрическому
заряду:
Q(+) == е.
Тоrда на аснавании (18.50) мы автоматически приходим к COOT
нашению
(<Р(+)' СР(+») }: I a k 12 =о 1,
k
(18.52)
которое МОЖНа рассматривать как условие нормировки функции
<Р(+)' Блаrадаря этаму, в частнасти, величины I a k 12 Палучают
естественную интерпретацию вераятности состаяния частицы
с энерrией 1\ == пck o и импульсам р =о nk, чем мы пальзовались
выше, не имея, cTpara rоворя, дастатачных ОСнавании. Очевидна,
что определяющее нарму функции выражение (<Р(+)' <Р(+)
(см. (18.44)) мажна рассм'атривать как скалярное произвl!дение
функции самай на себя.
Стаящее пад иитеrралом (18.44) выражение
p +) (r, t) == + [(дt<Р +») Ч\+) (at<P(+»)<P*(+)}
,не
(18.53)
в ,отличие от саатветствующеro выражения рО (r, t) (18.20) для
палной функции <р (r, t) будет положительна ,определенным и
мажет рассматриваться как релятивистский аналоr величины
P epe. == <p*(r, t) <р (r, t),
(18.54)
142
определяющей, как известно, в нерелятивистской квантовой Me
ханике плотность вероятности местоположения частицы. Леrко
показать, что внерелятивистском преде.пе величина (18. 53) пере
ходит в (18.54). Взяв в качестве <Р(+) (r, t) (см. (18.38)) одну из
плоских вол н
1
m (r t) V пс а (k) e i(kr ckot)
'1'(+)' ==
L 2ko
пс i т.е' t
V <P(k) (r, t) е f1
2 (Ео + пioe2)
(18.55)
[де
1 i t
ikr Ii
<Рщ (r, t) == е/ 2 ащ е е ,
а
1',0 == nck o moc 2 == 1', moc 2
определяет кинетическую энерrию частицы, найдем
д<р(+) (r, t) ==... / пс [ д <p(k)(r, t)
дt V 2ko дt
2 J . т.е'
. тос ' "-
( <Рщ (r, t) _ e t ==
I
I
I
I
IПереходя теперь к нерелятивистскому пределу
li тос 2 )
I
11 д <Р(+) (r, t)
1', дl
I <р (+) (r,
I
:'И подставляя Эти выражения
iрезультату
i т о с 2 t
. 11 1',0+тос2 ) п
== (с <P(k) (r, t е
2
(1',0 « moc 2 ,
1',::::::
11 i m.e' t
. 2 то Ii
(с т<Рщ (r, t) е
п i mOe' t
t) V <Рщ (r, t) е п
2то
в (18.53), придем к
ожидаемому
p +) (r,
t) == \ (д t <p +») <Р(+) (д t <Р(+») <Р;+>! --+
(нС
--+ <P;k) (r, t) <Рщ (r, t) == Р ерел (r, t).
143
Возвращаясь теперь к отрицателыю частотноЙ части cp( ) (r, t)
решения, мы из (18 51) видим, что для Toro чтобы приписать
величинам I b k 12 обычный вероятностный смысл, необходимо
принять для (p( ) следующую нормировку:
) I ь 12
(CP( ), cp( ) ..:- k I 1.
k
(18.56)
Тоrда из (18.51) будет следовать
Q( ) == е.
ЭТо означает, что функция cp( ) (r, t), удовлетворяющая тому же
самому уравнению, что и функция СР(+) (r, t), будет описывать
скалярную частицу с той же массои, но с противоположным по
знаку электрическим зарядом, что и является основным призна
ком античастицы. Заметим, что входящая в скалярное ПрОиЗВе
дение (CP( )' cp( » (см. (18.56» величина
p ) (r, t) == 1 (д t cp » cp( ) (a t cp( » cp )!,
tuC
так же как и p +) (r, t) (18.53), положительно определена и может
рассматриваться как релятивистский аналоr плотности вероят
насти местоположения частицы с зарядом ( e), т. е. античас
ТJ1ЦЫ.
Можно показать, что используемое разделение общеrо реше
ния уравнения поля ср (r, t) на (р(+) (r, t) и cp( ) (r, t) носит pe
лятивистски инвариантныи характер1. Кроме Toro, очевидно, что
УС,'Iовие (cp(:t:)' СР('!=) == О (18.48) можно рассматривать как усло
вие взаимной ортоrональности функций СР(+} и cp( } .
Таким образом, трудности, связаННJ->Iе с интерпретацией об
щих решений для комплексноrо скалярноrо поля, разрешаются
за счет разделения ero на положительно частотную <p( }(r, е)
и отрицательно часroтную cp( ) (r, t') части. Это позволяет KOp
ректно опреде.'IИТЬ нормировку функций и провести по
следовательно одночастичнуIO интерпретацию для каждои из
частей как функций, описывающих соответственно частицу
(СР(+) и античастицу (СРН)' Такое разделение физически впол/
не оправдано и естественно, поскольку в рассматриваемом
С.1учае свободноrо поля (при отсутствии взаимодействия)
частица сама по себе не может превратиться в античастицу
Превращение свободной частицы с ОДним электрическим за
10'1., например, Н. Н Боrолюбов, д. В. Ширков, Введение D
теорию квантованных по. ей_ М.. 1957.
144
рядо\\: В частииу с противоположным зарядом противоречит
абсолютному закону сохранения электрическоrо заряда,
Можно r!Оказать, что проведенное разделение общеrо решения
<r (r, t) на Т( t-) (r, t) и T( ) (r, t) приводит также к соответству-
ющему разделению на две части и друrих динамических пере-
менных как в импульсном, так и в координатном представлении.
Для ИJlЛюстрации обратимся к общему выражению для энер
rии комплексноrо поля (см. (18.9))
Е === S d 3 x l (V<r*)(V<P) + :2 (д! <р*) (д! ср) + х 2 ср*'Р J
После подстановки в это выражение Функuий ер (r, t) и <р* (r, t)
в ВИде (18. ,37) и (18.40) получим
Е === Е(+) + E( ),
[де
E(:t) === S d 3 x l (V<r;:t») (Vq>(:f:») +
+ :2 (at'P;:f:») (at'P(:t)H X2'P;:t) <r(:t) }
причем учтено, что, как показывает непосредственный расчет,
(18.57)
J d 3 x [(V<r;:f:») (V'P('t) +
+ 2- (д ! <r;:t») (д ! q>п) + X2<r;:f:) 'Р(+)] === о.
Используя очевидное соотношение
<r;:f:) (д& х2) <r(:t) === дlJ, ('P;:t)alJ, 'P(:t»)
(дlJ, 'P;:f:») (alJ,<r(:t») X2<r;:t) qJ(:f:) === о,
(18.58)
а также леrко доказуемое равенство
S d 3 x [alJ,(<r;::t)alJ,'P(:f:»)] ==0,
(18.59)
выражения Д,lЯ энерrии E(:f:) (18.57) нетрудно привести к виду
E(::t) == c S d 3 x [(atq>;:f:») (at'P(:f:») + (д ! 'P(:t»)(a t <r;:t»)J . (18.60)
Введя теперь в (18.60) оператор эиерrии
Е == ili }
at
145
и учитывая определение скалярно.rо произведения для фун кциЙ
CP(:f:) (см. (18.44)), имеем
E(:f:) '=' dC 2 S d 3 x [(д t CP x») (Е cp(:f:»)
(дtСР(:f:»)(ЕСР(:f:»)*1 = =t(CP(:f:I' Ecp(:f:»)' (18.61)
что после проведения стандартных вычислений приводит к сле
дующим результатам:
E(+)' (СР(+)' Еср(+»)о.= I\I a k 12,
k
E( ) == (CP( )' E(p( ») '=' 1\ibkI2. (18.62)
В частности, в СJlучае, коrда вместо СР<+) (r, t) и 'tJ( ) (r, t) взяты
соответствующие плоские волны, будем иметь:
E ) '=' (СР(+)' Е СР(+»)== IO k ('tJ(+)' 'tJ(+») == IO k I a k 12,
E ) ==. ('tJ( )' Ecp( )== ( lOk) l ('tJ( ), CP( »)] == E k l b kI 2 .
Это объясняет, почему, несмотря на отрицательные значения е
в экспоненте функции 'tJ( ) (r, t), среднее значение энерrии как
в одном, так и в друrом случае, оказывается положительным.
Совершенно аналоrичные рассуждения можно провести и для
импульса поля.
Таким образом, можно сделать вывод, чтО как сами общие
решения СР(+) (r, t) и 'tJ( ) (r, t) для комплексноrо поля, так и
соответствующие им динамические переменные поля, можно pac
сматривать по отдельности. При этом функции
l f
'tJ (T ' ) (r, t) == 1 а ei(kr ckot) ,
L з ,2 k / 2ko k
1 {
( r t) пс * i(kr ckot)
'tJ +)' 3/2 ...:.J a k е
L k 2ko
при нормировке
(СР(+)' СР(+») == ili 1 C 2 J d 3 x [(д t СР;+») СР(+)
(дtСР(т»)qJ;+)l [ a k l 2 '=' 1
k
будут описывать скалярную частицу с зарядом
Q(,) == е (СР(+)' 'tJ(+») == е I I akl2 == е,
k
146
со средней энерrией
E(t-) == (CP(+J' EIp(+J) == IOklak 12
k
( Е == iп :i )
и средним импульсом
Р(+> == (1p(+J' рср(+)) == P k I akl2
k
(р == iliv ).
в то же время функции
Ip( ) (r, t) !2 -. / IiС b e i(kr ck.I),
L k V 2ko
m ( r t) t I Ь i(kr ckotJ
'Y )' == LЗ 2 / 2k---: k е ,
удовлетворяющие нормировке
( rn т ) S d 3 X [( д rn* ) т
T( )' 'Y( ) ihc 2 t T( ) 'Y( )
(д ! Ip( )) Ip; )] == I b k 12 == 1,
k
будут описывать античастицу, отличающуюся от соответствую-
щей частицы знаком электрическоrо заряда.
Q( ) == е (Ip( ), tp( J) == е I b k 12 == е,
k
обладающую средней энерrией
Е ( т Ет )
( ) 'Y( )' 't'( J
IO k I b k 12
k
и импульсом
p( ) == (Ip( ») р 1p( J) == P k I b k 12,
k
Приведенная интерпретация для комплексноrо скалярноrо
поля леrко распространяется на случай вещественноrо поля
Вместе с тем нужно учесть, что вследствие отсутствия у
ПО.1Я Э.lектричсскоrо заряда нормировка отрицательно частот,
Нои и положительно частотной частей общеrо решения по за
ряду, как это делается для комплексноrо поля, не может быть
здесь проведена Однако нетрудно видеть в соrласии с при
147
веденными выше рассуждениЯМИ, что СО01 ветствующую про
цедуру нор;-,шровки можно реализовать исходя из выражения
для энерrии поля При ЭТОМ можно ВОСПО.lьзоваться по.lучен
ными для КОi'vlПлсксноrо ПО.1Я соотношениями, имея лишь
в виду, что в случае вещественноrо поля
Ip ::t) (r, t) == Ip(:;) (r, t), a k == b k , a == b ,
а выражение Д.1Я энерrии поля имеет вид (16 14)
Е == + I d 3 x [ (V C 4J) 2 + 2 (a t Ip)2 + х 2 1p2 j .
(18. 63)
Блаrодаря этому Д.1Я энерrий E(::t)' соответствующих состояниям,
описываемым функциями Ipн) и Ip( ), будем иметь
1 ' 1
Е(+) == Ш2llp(+), Е Ip(+») == 2 ( Ip( ),
1 '"'
""' 1\lakI2.
2 k
Отсюда, пользуясь анаJl0rией с комплексным полем, для функ-
ций Ip(+) И Ip( ) В случае их одночастичной интерпретации есте-
ственно принять следующую нормировку.
Е Ip( ») == E( ) ==
(18.64)
(Ч>(+), Ip(+» == in 2 Sl(аtСР(+»*СРН ) Щ<Р("t»Ip +)jd3Х=,"
...J S [( а (f) ) * (f) ( а сп ) С р ' 1 d 3 x
il1c 2 t 't'( ) 't'( ) t 't'( ) ( ):
== (CP( )' cp( » =о: .I I a k 12 == 1. (18.65)
Соотношение (1864), связывающее средние значения энер
rии частицы (Е(+») и античастицы (Е н ), показывает, что
в случае вещественноrо поля они одинаковы. Можно пока-
зать, что то же самое справед.1ИВО и для всех друrих динами
ческих переменных поля. Очевидно, что вклады положите.IJЬ
но-частотноrо и отрицатеЛЫIO частотноrо решении в динами
ческие переменныс БУДУ1 неразличимы и экспериментально
Поскольку при э1'ОМ частица не обладаеl электрическим (или
каким либо иным) зарядом, мы здесь не имеем в своем pac
ПОР\Iжении критерия, который бы позволил от.rlИчить ней-
тральную частицу от соответствующей ей античастицы. По-
этому нейтральная скалярная частица, описываемая вещест-
венным полем, совпадает с соответствующеи ей античастицей,
т. е. является античастицей По отношению к себе самой.
148
rлава v
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
19. Векторное вещественное поле
Поле, которое описывается функцией с че-
Лаrранжиан А
и уравиения поля тырьмя компонентами (х) == IA (x) !, пре-
образующимися как четырехмерный вектор,
называют векторным. В случае вещественноrо BeKTopHoro
ПОоlЯ функции A).t(x) удовлетворяют условиям:
А * (х) А (х), A (х) == Ао (х).
(19.1)
в соответствии с общими правилами (см. 15, стр. 119)
лаrранжиан BeKTopHoro поля может быть взят в виде HeKOTO
рой инвариантной билинейнои комбинации функций поля
А,,(х) И их первых производных (см случай скалярноrо поля,
16, формулы (16.1) (16.3»). В общем случае такое выра-
жение :\lOжет быть построено с помощью би,,/инеиной комби-
нации б-символов Кронекера (см. (5. 51»)
б l1v ,ар == а O vOap + ь 01J.<JOvP + с o pova (19.2)
(а, Ь, с произвольные постоянные) следующим образом 1 :
L==ol1v,ap(a I1 A a ) (дvАр)+аА , (19.3а)
Или
L == а (д" Ао)2 + ь (д A )2 + с (д Аа) (да Au.) + aA . (19.36)
Не нарушая общности, мы по аналоrии со случаем скалярноrо
ПО.l1Я (см. стр. 120) можем вынести одну ИЗ констант, например
а, как общий множитель и, ПО,lаrая
а == 1/2, Ь!а == 13, с/а == -у, а/а == %2,
I Сч' А О В а r u t Еlесtrоdупашiсs апd Classical Theory of Fields
and Particles. Thr Мастillап Сотрапу, N У, Соlli r Л1асшillап liшitt'd
London, 1964
149
переписа1Ь лаrранжиан (19.3) в виде
L ==' + { [ Щ, Аа? + (afl Af,)2 +
+y(aflA a ) (a a Afl)]+x 2 A:},
(l9.4a)
или
L == + { б:v.aр (afl Аа) (д" Ар) + х 2 АЧ '
( 19.46)
rде
б ""р == бfl"б ар + б",аб"р +убj.1 р б vа . (19.5)
По определению (см. (9.20)) уравнения рассматриваемоrо по-
дя в форме Лаrранжа будут определяться соотношением
aL . aL '
д ( ) o (19.6)
дА" 11 д (д 11 А,,) Ш .
ИСПОЛЬЗУЯ выражение ДЛЯ лаrранжиана (19.4), в соответствии с
этим находим
t " == х 2 А",
дL 1 { ,
дТ] == дТ] бjl",ар [б",Т]б а " (д" Ар) +
д (д 11 А,,) 2
+ б"11бр" (aj.1 Аа) J} == б l'-.лад11 (д", А а ),
(б 'i"" == б ",.),a).
Оrсюда для уравнений BeKTopHoro ПОЛЯ имеем
б u..)..а дчд" Аа х 2 А", == О,
И.1И (см. (19.5) )
д Ал + (у + ) д" (да Ас) х 2 А" == О.
(19.7а)
(19.7б)
Ради удобства физической интерпретации решения этих урав-
нений можно представить в следующем виде:
А", (х) A (х) + д", «р (х),
(19.8)
rде «р (х) некоторая скалярная функция, а на функции A (х)
наложено условие
aj.1A (х) == О.
(19.9)
150
Разумеется, соотношения (19.8) и (19.9) носят совершенно 06
uций характер и не накладывают никаких оrраНИ4ений на исход.
ные функции поля А!, (х).
Подставляя в (19.76) выражения для этих функций в виде
(19.8) и используя (19.9), получим
I [( x2) A (х) ] t [(1 + у + ) ] х2Jд!1lpiх)! == О. (19.10)
Дифференцируя эти уравнения по х!'
I [С] x2)д'AA (x)] + [(1 + у + ) с х 2 ) 'J Ip(х) J == о
и учитывая (19.9), имеем
[(1 +Y+ )D x2]x(x)==0, (19.11)
rде введено обозначение
х (х) == О Ip (х).
(19.12)
Очевидно, уравнение (1911) (при х(х)=т'=О) можно рас-
сматривать как уравнение типа I(лейна Фока, описывающее
некоторое скалярное поле. Это поле естественно исключить
из рассмотрения, для чеrо, используя свободу выбора произ
вольных коэффициентов у, 13, входящих в .1аrранжиан поля
(194 а), наложим на нИх условие
1 + у + == О.
(19.13)
Тоrда из (19.11) вследствие неравенства нулю массовой констан-
ты (х =1= О) сразу получаем, что
х (х) == [J Ip (х) == О.
(19. 1 4)
в свою очередь, продифференцировав по х!' соотношение (19.8)
и учитывая (19.9), находим
д!, А!, (х) =: lJ Ip (х).
(19. 15)
Orсюда, соrласно (19.14), следует, что условие (19.13) автома-
I'тически влечет за собой опред ленное оrраничение на исходные
li!!t>ункции поля А!, (х)
11 д!,А!,(х) ==0, (19.16)
1,
\ в этом смысле соотношения (19. 13) и (19. 16) можно считать
&КБИваJ1ентными.
i В то же время обuцее уравнение (19.1 О) при учете условия
\ 19.13) имеет вид .
11 C х 2 ) AJJ. (х) х 2 дj.t Ip (х) == О. (19.10а)
i [51
I
,
,
э 10 уравнение l!Осле введения в Hel'o допстните,lьноrо слаrаемо-
[о д <р (х), paBHoro, cor Jlасно (19.14), ну JIЮ, можно переПJj
сать следующим образом'
(1 1{2) [A;t (х) д <р (х) J == о,
что с учетом (19.8) дает
k i 1{2) AI1 (х) "'" О,
(19.1061
[де функции поля A (х) подчиняются ДО[JО,lните,lЬНО IУ СООТ-
нощению (1916). Последнее весьма существенно, так как и'
дальнейщеrо изложения станет ясным, что сва60ДНЫМ собст
вен но векторным полем следует считать ПG.'Iе, которое описы
вают четыре функции A (x), УДОв.lстворяющие уравнению
(19.10 б), ,1ИШЬ тоrда, коrда для них справедливо соотноше
вие (1916), т. е из четырех функций A (x) только три яв.
:lЯются независимыми
Таким 06разом, можно сказать, что в общем случае четы
ре функции А м ( х) описывают одновременно два поля: вектор
ное и скалярное Последнее, однако, может быть исключено
за счет соответствующеrо выбора ПРОИЗВО.1ЬНЫХ коэффициен
тов [3, у, входящих в лаrранжиан общеrо вида (19.4 а). Это
достиrается путем наложения на коэффициенты [3, V ус.l0ВИЯ
t 19.13), которае оказывается эквивалентным наложению ДО-
полнитеJlьноrо условия (19.16) на функции поля A (x).
Естественно ожидать, что ес.1И при определении Юlrран-
жиана поля исходить ИЗ условия (19.13), та получаемые с ПО,
мощью этоrо лаrранжиана уравнения не будут описывать до
ПО.lнительноrо скалярнаrо поля, а соотношение (19.16) для
функций BeKTopHoro поля Ам(х) будет выполняться aBTO la-
тически.
В этом случае, т е при учете условия (19 13), лаrран
жиан поля (см, (19.4а» и вытекающие из Hero уравнения
поля (01. (19,76) принимают следующий вид:
L == + {[ (дм Аа)2 (д Аа) (да A )] +
+ [(af1 A )2 (д l1 Аа) (да A IA ) ] + 1{2 АЧ
(19.17)
и
о А;.. (х) д;.. (да Аа (х) ) 1{2 А,. (х) == о.
(19.18)
Важно заметить, что выражение, стоящее в лаrранжианс
(19.17) при коэффициенте , не ВIIОСИТ ВК.lада в уравнение
подя (19.18) И, С.lедовательно, в данном случае является He
152
существенным J Это, очевидно, связано с тем, что, хотя в со-
отношениях (19.17) и (1918) условие (1916) явно не бы.'IО
ИСПО.lьзовано, оно фактически в них содержится блаrодаря
}чету соотношения (19.13) при построении лаrранжиана
(1917).
Действительно, продифференцировав уравнение (19.18)
по У), иMee !
u (д л Ал) О (дО' Аа) х 2 д л Ал O о,
откуда сразу следует (х 2 =1= о) соотношение (19.16)
д л Ал (х) о.
Это означает, что уравнение (19.18) эквивалентно уравнению
(19106) в совокупности с условием (19,16).
Леrко также видеть, Что слаrаемое с козффициентом 13
в лаrранжиане .(1917) можно отбросить, если учесть COOTHO
шение (19.16) и допустимую неоднозначность при определе
нии лаrранжиана поля (см. стр. 82), поскольку выражение
(д!, АО') (дО' А!') == av, (АО' дО' А!') АО' av, (да А!')
при д"А,,(х) ==0 представляет собой несущественную для вида
уравнений поля диверrенцию от HeKOTOpOrO четырехмерноrо
вектора.
Итак, лаrранжиан BeKTopHoro поля можно взять в Виде
L == 1/21 [ (д!, АО')2 (д!, АО') (дО' А,.) 1 + х 2 A 1, (19.17а)
откуда следуют уравнения поля (см. (19.18))
,Ш, Ал (х) д л (дО' АО' (х)) х 2 Ал (х) == О. (19.18а)
Лаrранжиан поля (19.17 а) можно представить в более KOM
пактном ВJще, если воспользоваться тривиальным соотношением
(д!, АО')2 (afJ. АО') (дО' Av,) === (д!, АО' дО' AIl)2
2
(19. 19)
и по аналоrии с классической электродинамикой ввести услов
ное обозначение
Р!,О' д!, АО' дО' АIl (F fJ.0' -== F О'!')'
(19.20)
1 В случае КОмплексноrо BeKTopHoro ПО.1Я, взаимодействующеrо с
злеКТРО\lаrннтным, постоянная В ( 1 + у), вообще rоворя, не ИСЧЕ'зает,
она входит в .1аrранжиан взаимодействия (построенный на осНове тре).).
ваний ка.lиБРОВCJЧ!iОЙ инвариантности) и можеl интерпретироваться как
веЛНЧИI'd, ХdрактеРllзующая :'lаrНИfНЫЙ момент векторной частицы (см
сноску на стр 149)
153
ИСПОЛЬЗУЯ (19.19) и (1920), вместо (19.17a) 6удем иметь
L с:= ( д А д А ) 2 J.. 1(2 A ==
4 !' О' О' 11 2
,:: J.. р 2 0' 1(2 А;,
4 j.1 2 ,
а уравнение поля (1918а) МОжНО переписать следующим об
разом:
дО'(дО' А;.. д;.. АО') 1(2 Ал == дО'РО'').. I(2 Ал:=: О. (19.186)
(19176)
Разумеется, запись лаrранжиана и уравнений векторното
поля в виде (19.176) и (19.18б) не вносит ничеrо HOBoro по
сравнению с (19.17а) и (19.18a) (кроме использования ;ха
полнительных обозначений).
Однако возможен и несколько иной подход Он сводится
к тому, что вместо (l917а) и (19.176) в качестве ла!'ран
жиана поля 6ерется эквивалентное выражение
L(x) 0== - P a J.. F!,О'(дj.1АО' дО'Аj.1) J.. I(2А2, (19.17в)
4 2 2 l'
в котором уже явно содержится соотношение (1920), Сущест-
венное отличие от предыдущеrо рассмотрения сводится здесь
к тому, что величины А!, и Fj.1O' при варьировании функuии дей-
ствия рассматриваются как независимые переменные (Функ
ции) ПОJ1Я ЭТО означает, что .1аrранжиан ПОЛЯ L (х) НУжНО
считать функцией вида
L (х) == L ! А!! (х), др АО' (х); Р л.v' д1] Р л.v}'
При варьировании по Р ')..... (и arJ л..) (полаrая А!, и др АО' фик-
сированными) найдем
_ д ( ' дL ) == о
дFл.v 1] д (д1] F 'Аv) . ,
(19.21)
что ПрИ использовании (19,17B) дает соотношение (1920),
в то время как, варьируя действие по А!, и дрАО' (при фикси
рованных Р лv и дТ]F лv ), ПОЛУЧИМ уравнения Лаrранжа (196),
р соответствии с которыми ИЗ (19.17B) следую уравнения
ПО.1Я в виде (19.186).
Таки.\1 06разом, ИСПО.1ЬЗУЯ тот или иной вы60Р .'1аrраюкиа-
на (см. (19.17а), (19.176) или (19.17B), мы приходи м h C"le
дующим эквивалентным системам уравнений для BeKTopHoro
вещественноrо поля:
154
<1) (см (19.106) и (1916))
С] 1(2) А1-. (.х-) =о о, д1-. А1-. (х) о;
б) (см. (19.18а))
(с:] 1(2) А1-. (х) д1-. (дО' АО' (х)) ==: о;
в) (см. (19.186) и (19.20))
дj.t F/.1" 1(2 А" ==: о, д , А" д" А/1 == F/1v'
в случаях а) и 6) используются уравнения BToporo порядка,
в С,lучае в) за счет введения дополнительных переменных
ПО,lЯ F /1V система 10 уравнений первоrо порядка.
Существенно заметить, что во всех трех случаях явно (а))
и.1И неявно (б) и в)) содержится условие (19.16).
Следует еще раз подчеркнуть, '1TO свой физический смысл
условие (19 16) находит в том, что оно является необходимым
условием для ИСК.'Jючения скалярноrо поля, которое наряду
с векторным полем описывают в 06щем случае функции
А/1(Х)' Оказывается, что только после Toro, как на эти функ
ции наложено УС.10вие J",AfJ.(X) ==0, т. е. только тоrда, коrда
из четырех функций А",( х) можно считать лишь три независи
МЫl\lИ, описываемое ими поле можно сопоставить частицам,
которые называют векторными. Это связано с тем, что, как мы
увидим Ниже, векторные частицы обладают тремя допол
нительными (спиновыи)) степенями свободы и для их описа
ния требуется не более чем три независимые функции.
Обратимся теперь к вве.ценному выше теНЗ0рУ Fj.t" (19.20).
Как и ана,ТIOrичное выражение в теории электромаrнитноrо
ПО,lЯ, этот тензор с формальной точки зрения может рассмат-
риваться как тензор BeKTopHoro поля. Таким образом, для век-
TopHoro поля формально можно ввести величины, которые
определяются теми же соотношениями, что И векторы НаПря
женности электрическоJlO (Е) и маrнитноrо (Н) ПОлей:
Е! == iFl4 =о. i (д 1 А4 д 4 Ад,
.... 1 .
Е -== VAo A,
с
(19.22)
1 1
H i =:о Б Uk Fjk ==:: Б Z J ' k (д) Ak д k Aj),
2 2
--+
Н:=:: [V А}.
(19.23)
Здесь i, j, k, l ==- 1,2,3, а СИМВОЛ Б Uk определяет с060Й пол-
НОСТL>Ю антисимметрнчный единичный тензор в трехмериом про-
155
странстве, так называемый тензор ЛеВI! ш Чивита, отличные от ну-
.ля компоненты KOToporo равны + 1 или 1.
6123 1, 6312 1, 6231""'" 1 ,
6213 1, 6132 1, 6321 Ш 1.
(19.24)
с помощью тензора 0ijk може'I быть опрсделена матрица 1
I О аз а2 \ )
а< {(aX)jk) == (бukа i ) == ( аз О а1,
Gz а} О
(19.25)
которая носит название матрицы, дуальной вектору а, [де а
произвольнЫй трехмерный вектор. Блаrодаря этим свойствам
действие матрицы аХ на ,1юбой вектор Ь дает векторное произ.
ведение двух векторов а и Ь:
аХЬ == [аЬ], [ab]j == 6 щ Gjb k .
(19.26)
Учитывая (19.24) (19.26), соотношения (19.22) и (19.23) мож-
но написать в ма тричном виде
( Р1l Р12
(Р",,,)== Р 2] Р 22
F 31 F 32
F 41 F 42
F 1з Р14\ ( ' О Н3 Н 2 i Е1' )
F 2з Р 24 ) == нз О Н 1 E2 . (19.27)
Р33 Р34 Н 2 H1 О LE3
Р43 Р Н / i El i Е 2 i Ез О
Динамические
переменные
BeKTopHoro поля
Тензор энерrии-импульса BeKTopHorO ПО,1Я
(см (12.14))
T",v ==
дL
д (д",А р )
(19.176)
и обозначений (19.201
(д"А р ) L б",v
(l9.28}
при использовании лаrранжиана
с учетом Toro, что
имееТ вид
дL
== F
д (d",Ap) PiJ.'
TiJ." == FpiJ. (д "Ар) 6",,,1..
(19.29)
(19.30)
Этот тензор, как леrко убеДИ1ЬСЯ, не яВляется симметричным. По-
этому ИЗ общей теории (см. стр. 109) следует, что векторное пож
обладает собственным моментом количества движения спином
J См ФИФ е Д о р о в Теория упруrю.. BO. H в кристаJl.lа Х ,\\,
-<НаУ''а>>, 1965.
156
По определению (см. (13.12)) плотность спиновоrо момента
5у[ра] находится по формуле
5 aL У дL
\'(ра] == д (дvА,J /.1(ра] д(д'Лl) (J[ра])l1л А л. (19.31)
у чтем прежде Bcero, что в С.'1учае BeKTopHoro поля матрица
бесконечно малоrо преобразования У I1[ра] функций ПОЛЯ AI1 (х)
определяется так же, как и матрица преобразования координат
X I1 [P<J] (сч. (13.5) (13.7)):
Xrt[pa] Ш (l[rJ<J])j1.", х", == (ера E a P)I1V Х", == 8j1.p Ха бj1.(J х р .
т. е.
у 11[ рО'] == (J [ра] )j1.V A V == (1 (р:> ])l1у А ". --== б l1р А а 8j1.a A p. (19.32)
Подставлня (19.32) в (19. il) и учитывая (19.29), находим
5 у [ра] == F Ц-", (J [!ю])ц-л А )., == F 'l/oAcr F ,-,аАр. (19.33)
Отсюда следует, что спиновЫй момент BeKTopHoro поля опреде.
ляется формулоЙ (см. (13.14))
S[pa] == S 54[ра] d 3 x == r (Р 4р А а F 4а А р) d 3 x. (19.34)
с с J
Uбычно для описания спиновых свойств полей (частиц) исполь
зуются ЛИШЬ три компоненты: S[23], S[31]. S[12j ковариантноrо
выражения для тензора спиновоrо момента S[pcr], образующие
в своей совокупности трехмерный вектор:
S == (Sa} == f +- 8 аьс S[bC]} (а, Ь, с == 1, 2, 3). (19.35)
в рассматриваемом случае BeKTopHoro поля, cor ласно (19.34)
и (19.27), вектор спина S (19.35) будет Иметь вид
S == [Sa} == { . ;с S баьJ4ьА,d3х } == s [ЕЛ] d 3 x. (19.36)
'Зная теперь выражение для спина поля (19.34) и учитывая уста-
новленную ранее связь между тензорами 5 v [pcr] и f[/.1Л]V (см. (13.32)
1
'[/.1,.]v:O= 2" (5 V (I11..] 5 чvl1 ] 5 rt (лv]) == Fц-лАv, (19.37)
нетрудно получить симметричный (метрический) тензор энерrии
импульса (см. (13.20))
T ". == T tr == Тц-". + дJ[/.1Л]V'
]57
Подставляя СЮДа (19.37), найдем
T tr F Р!, дvА р б v L' + (a')..F !, .) Av + F 1l .длАv ==
== Fr..Fvp 1(2A!,Av б llv L', (19.38)
rде учтено, что, соrласно уравнениям (19.186),
a;..F!,;" -== 1(2 А!'.
Леrко проверить, что полученный тензор действительно симмет-
ричен, т. е. T v == T IJ.'
Исходя из полученноrо выражения для тензора энерrии-им-
пульса T v (19.38), найдем энерrию и импульс ПОЛЯ.
Плотность энерrии ПОЛЯ определяется компонентой Т44 тен-
зора энерrии- импульса Из (19. 38) имеем
Т44 ==: F 4 ')..F'}..4 + 1(2 A + J... (F!'v)2 + (A2. А6).
4 2
Отсюда после простых ВЫ<Jислений с учетом (19.27) получаем
т == J... ( Е 2 ..L. Н2 + 1(2 А 2 + 1(2 А2 )
Ц 2 I О
и, следовате.'1ЬНО, для энерrии поля Е (см. (12.20))
Е == S T 44 d 3 x == s (Е2 + Н2 + 1(2 А2 + 1(2 А6) dJx. (19.39)
Леrко видеть, что в этом случае выражение для энерrии ПОJ1Я
будет полОжительно определенным (Т м:> О).
Аналоrичным образом (см. (12.21)) находим импульс BeKTopHoro
поля
или
Ра == s T4ad3X === + J {[ЕН]а + 1(2 Ао Аа} d 3 x,
р == + S ([ЕН] + 1(2 Ао А J d 3 x.
(19.40)
Импульсное
представление
Поскольку каждая из компонент BeKTopHol'O
ПОЛЯ А!, (х) удовлетворяет уравнению Клей-
на Фока (см. (16.6)), по аналоrии с фу нк-
скалярноrо поля можно написать (см. 17.15)):
A(r, t)== L )2 {А(k)е(+)+А*(k)е(-)}, (19.4])
k
(r, t)=== 72 {Ао(k)е(+)+А (k)е(-)}, (19.42)
L' k
циями
158
ИЛИ (см. (17.16а»)
1 / - пс
А(т, t) == 32 1 2k (a(k)e(+) +a*(k)e( ) J, (19.43)
L k О
Ао (r, t) == 1 r пс ( (k) е(+) + а* (k) e( »), (19.44)
L3/2 V 2ko о
rде введены обозначения:
ei(kr ckoi) .=с е(+), e i(kr ckoi) == e( )
( 19.45)
и
A(k) :=. V ; o а (k), A*(k) == V ; a*(k),
Ао (k) == 1( ::0 ао (k), A (k) == V ; a (k) (19.46)
и учтено, что рассматриваемое поле вещественно (см. (19.1»
А (х) == А * (х), Ао (х) == A (х).
Примем во внимание, что четыре компоненты поля A (х) не He
заВИСИМЫ, а связаны условием (19 9) aJlA Jl (х) == О, т. е.
1 .
VA(x)== Ao(x). (19.47)
с
Используя (19.41) и (19.42) с учетом обозначений (19.45),
находим:
v А (х) i {kA (k) е(+) kA * (k) e( ) J,
L k
A (х) == , i ko (Ао (k) е(+) A (k) e( ) J.
с о L3/2
k
Поскольку все плоские волны (19.45), отвечающие различным
значениям (k, iko) , ( k, iko), независимы, из (19.47), (19.48)
и (19.49) следует, что между компонентами векторных амплИТУД
(А (k), Ао (k» и (А * (k), A (k» ДОЛЖНЫ иметь место соотношения:
Ао (k) == kA1,(kL , A (k) == kA * (k) . (19.50)
><о ko
Таким образом, вместо (19.42), учитывая (19.50), можно Ha
писать
(19.48)
(19.49)
Ао (r, t) ==
== ' { е(+) + A*(k) e( ) 1.
L3/2 ko k(l r
n
В соответствии с (19.22), (19.23) для Н и Е п()Лучим 1
Н =ос- Iv А (х) I
== L;/2 i ![kA(k)] е(+) [kA*(k)] е(ш)\
k
.... 1 .
Е == 'V Ао (х) А (х) ==
с
1 . ( k.k '
== L З / 2 tko 1 k2) (А(k)е(+) А*(k)е(-)}.
k о ,
(19.51)
(19.52)
(19.53)
Поступая теперь так же, как в случае скалярноrо поля, мож
но перейти к выражениям для динамических переменных вектор-
Horo поля в импульсном представлении. При этом нужно еще
учесть условия нормировки функции, по которым проводится
разложение (19.41), (19.42):
J ' e,l:i(k=Fk')r d 3 x == б '
L 3 k . :tk,
(19.54)
что приводит К соотношениям:
3 S ф (k, ko) е(х) ф' (k', k ) e'(:t)d x ==
k k'
== Ф(k, kо)Ф' ( k, ko)e1' 2iCk ol, (19.55)
k
S Ф(k, kо)е(:t)Ф'(k', k )e(:f)d3x==
L k k'
== Ф(k, kо)ф'(k, ko), (19.56)
k
[де Ф (k, ko) и ф' (k', k;,) общие обозначения для коэффициен'
тов при экспонентах в формулах (19.48) (19.53). Например,
для (19.53 ) будем иметь:
1 Здесь и в дальнейше l ,j используются следующие обозначения: k. k
представляет собой составленную из двух трехмерных векторов маТРИЦУ-ДIIdДУ
«k k)iJ kikJ; i, j 1, 2. :3»; однократное действие матрицы-диады на
треХ"lерный вектор А дает (k k) А == k. kA , а двукратное А (k k) А *
== kA. kA *, rде kA и kA * скалярные произведения трехмерных векторов
(см. Прилож"ние 5).
160
ф (k, ko) е(+) iko ( 1 \t ) А (k) е(+),
Ф(k', k )e'(+) c=ik; (1 k' ) A(k')e'(+) и т. д.
Рассмотрим выражение для энерrии (19_ 39). Используя по-
лученные выражения для функций поля (19.50), (19.51), для
величин Н (19.52) и Е (19.53), а также соотношения (19.55) и
(19.56), после простых вычислений найдем
Е == 2k J [ A (k) А * (k) kA (k). A * (k ) } .
k ko
При 'ном необходимо учесть, что
k6 == k 2 + х 2 .
(1957а)
Если же использовать разложение (19.43), (19.44) или, что то
же самое, учесть соотНошения (19.46), то выражение для энерrиИ
принимает вид (a k == a(k))
'-. ...., [ . ka k . ka J
Е ==: Bk a k a k ,
kJ
(19. 57б)
[де величина Bk == пck o соответствуеl энерrии частицы в состоя-
нии, описываемом ВОЛНОЙ
i (pr e 1)
el(kr ckot) == е f1 k .
Аналоrично в соответствии с общей формулой для импульса
поля (19.40) вычислим по установленным выше правилам выра-
жения для интеrра.тlOВ \ [ЕН] dJx и l' .40 А d 3 x. Используя (19.41),
(19.51) (19.53) и суммируя полученные выражения, после
простых, но довольно rромоздких вычислений найдем!
р == 2kok { А (k) А * (k) kA (k) A * (k) } , (19. 58а)
k о
или С учетом (19.46)
{ . ka k . ka }
р ш= 11 k a k a k 2 .
k k(}
(19.586)
, 1 При ,том !IYJhHO учесть. что СУ Il'..lИрование ПО k ведется от 00 ДО
+00, ВС,lСЛС'ТВI!е чеrо нену.lев.ыми оказываются тJШЬ слаrаемые, ЧСТ,lI,'е
относительно за\lенЫ k на k (т е не меняющие при такои замене свое!'о
знака)
161
Пропедя подобную процедуру для спина поля (19.36), по.'ТV-
чим
s ссш.i.. ko f2 [А (k) А* (k)J
с t,
k
kA (k). [kA;k)J kA * (k). [kA (k)] } ,
k6
(19.59ii]
или в соrласии с (19.46)
S == i \ /i { [ak a ]
kak.[ka ] ka .[kak]
k6
1
2
} .
(19.59б)
Интерпретация полученных выражений для динамических
переменных BeKTopHoro поля в импульсном представлении
(19 57) (19.59) требует более детальноrо рассмотрения спи
новЫх свойств частиц, описываемых этим ПО.'Iем.
20. Спин BeKTopHoro поля
Из выражения для спина BeKTopHoro поля в
импульсном представлении (19.59) следует, что
для отдельной плоской волны, описывающей
состояние частицы с заданным значением им.
пульса р == (р, ipo) == (п k, ilik o ), спиновый момент будет опреде-
ляться выражением
Разложение
векторных
амплитуд
, . { . 1 kak.[ka ] ka .[kak] }
s tli [а ", ak] ""2 kJ .
(20. 1)
Направление движения векторной частицы с импульсом р == h k
определяется единичным вектором n
n==
р
I р\
k
\ k I
(20.2)
Спиновое состояние этоЙ частицы, как обычно, характеРИ3Jет
ся проекцией вектора спиновоrо Ivюмента, т, е. собственноr()
момента количества движения частицы на некотор.ое выделен-
ное направление. Очевидно, для св,ободной частицы единст-
венным таким направлением будет n (20.2) Проекция 1II0:'\lен-
162
та s (20 1) н а напра вление n будет определяться ска.1ЯРНЫ м
произведением этих двух векторов
или
Sn 0== (S"),
Sn == (s") == ili (" [a k a J).
(20.3)
(20.4)
Однако полученное выражение не является удобньш Д.1Я
физической интерпретации. Для Toro чтобы сделать эту ИIlтер
претацию наr.1ЯДНОЙ, введем трехмерную систему координат,
непосредственно связанную с движением частицы. В качестве
базисных векторов системы возьмем с.lедующие:
е' + ie"
V2
е2 ==
I ."
е e
/2
k
" .
Ik I
(20.5)
еl ===
Поскольку единичные векторы е', е" и n взаимно ортоrональны:
е' е' == е'" 0== е"" -== О,
е,2 == е'" == " 2 == 1
,
(20.6)
(20.7)
комплексные векторы e 1 и е2 будут обладать следующими свой-
ствами:
ei == e == О, ele2 == 1, eln 0== е2" == О,
или с учетом Toro, что е] == е;. e z == е;,
(20.8)
eieZ :::= {)ih (i, k == 1, 2).
(20.9)
Векторы е\, е2 (205) называют круrовыми векторами. Послед
нее название связано с тем, что они используются для описа-
ния круrОБОЙ поляризации электромаrнитных волн J. В част-
ности, еl соответствует правой круrовой поляризации ВО,lНЬ!,
а е2 левой круrовой поляризации.
Разлаrая векторную амплитуду ak по связанным с данной
ВО.lI10Й базисным векторам (205), получим
ko
a k == G 1 el + а2 ez + аз п, (20.1 О)
х
ko
rде в третьей компоненте ради удобства выделен множитель
х
из соображений, которые станут ясными из даJIьнейшеrо нзло
жения. Соrласно (20.10), комплексно сопряженная амплитуда a
с учетом свойств векторов еl и е2 (el:;:; е;) будет иметь вид
*. ,* + *ko
a k == а ! е2 т G 2 e l аз ".
(20. 11)
1 См ФИФ е Д о D О В Оптика анизотропных сред М УРСС. 2004
163
Обратимся теперь к выражению для проекпии спиновоrо MO
мента 5п (20,4). Используя (20.10) и (20,11), наХОДJ1М
[aka 1 == (ala; а2 а ;) [ele2] +
т- 1 (a1a; аза;) [ejn] + (а2а; а;аз) [е2 п lj,
х
откуда
(n[aka ]) == (ala; a2a;) (n[e 1 e21)'== i(ala; a2a;).
Здесь учтено, что, cor ласно определеНJ1Ю (20.5),
[ele2] ==' -+ [(е' + i е"), (e'. i е")] == пе' е"] == i п.
TaKJ1M образом, окончательно в соответствJ1И с (20.4) имеем
Д,1Я проекции спиновоrо момента поля следующее выражение:
Sn == 1i(ala; l12a;), (20.12i
k
которое можно также записать в виде
Sn== [(+lп)ala;+( lп)a2a;j. (20.13)
k
Аналоrичным образом, используя (20.10) и (20.11) и учиты-
вая, что
ko I k I
ka k == аз . Ш ,
Х
k a * == а*
k 3 '
Х
получим из (19.57) и (19.58) следующие выражения для энерrии
и импульса векторноrо по,тIЯ (при выборе для каждой из вектор-
ных амплИТУД своей системы координат по правилу (20.5)):
Е == ek (аl (k) а; (k) + а2 (k) а; (k) + аз (k) а; (k)j, (20.14)
k
Р == Р (а 1 (k) а; (k) -1 а2 (k) а; (k) + аз (k) а; (k)j. (20.15)
k
Перейдем теперь к установлению физическо-
ro смысла полученных выражеНJ1Й для энер
rии, импульса и проекции спина векторноl'O
поля в импульсном представленИИ (20.14),
(20.15) и (20,13).
Как и в случае скалярноrо поля, будем исходить из интерпре-
тапии общеro решения
Состояиия
поляризации вол-
ны с векторной
амплитудой
164
А (r, t) == "1 / I1с I а (k) i(kr ckot) +
L 3 / 2 k V 2ko
+ а *(k) e i(kr ckot) J
(20. 16)
уравнений BeKTopHoro поля как общеrо выражения для волновой
функции свободной векторной частицы. Иначе rоворя, уравнения
BeKTopHoro поля будем рассматривать как квантовомеханические
уравнения для одной частицы (см. 18).
В этом случае каждая из монохроматических волн (волн де
Бройля)
1 ( & i(kr ckot)
е
L 3/2 2ko
(20.17)
может рассматриваться как волновая функция состояния BeKTOp
ной частицы с заданными значениями энерrии Bk == Ii ffik == lick o и
импульса P k == I1k. Квадрат модуля амплитуды а (k), стоящей при
(20.17), в разложении (20.16) определяет вероятност» нахождения
векторной частицы в данном состоянии.
Соrласно данной выше интерпретации векторОв еl, е2, n (20.5),
представление векторной амплитуды a(k) в виде
a(k) == a k == а) е) + а2 е2 + a n
(20.18)
coorBeTcTByeT разложению волны
a(k) ei(kr и'ot)
на следуЮЩllе три составляющие:
1) волну с правой круrовой ПОЛЯРИЗdцией, которой соответст-
вует амплитуда а);
2) волну с левой круrОБОЙ поляризацией, которой соответст,
вует амплитуда а2, и
3) продольную волну, амплитуда которой определяется Вели-
"' ko
чинои а з 7 аз .
х
Тоrда входящие в формулы (20.14) и (20.15) вырщкения
a a;, а2а;, аза;
следуст интерпрrтировать как вероятности состояний вектор-
ной частицы при заданных значениях энерrии I! импульса, опи
CbIB<:Ie;\lbIX соответственно ВО.'III0Й с правой круrовой, левой
круrовой и продо.1ЫIOЙ поляризациями,
165
Таким образом, выражения (20.14) и (20.15)
Е 00.... e k (а1а; + а2а; + аза;),
k
. . . )
р == P k (а1 а l + a2az + Gз а з
k
можно рассматривать как суммы произведений собственны'
значении энерrии (ек) и импульса (Рк) на соотвеТСТВУЮJЩК
вероятности с учетом тою, что амплитуды а к носят векторныЙ
характер и определяются тремя независимыми ко;\шонентаМJf
аl, az, аз. Следовательно, формулы (20.14) и (20.15) опреде-
ляют средние значения энерrии и импульса векторной
частицы,
Напомним, что при получении выражений (20.14) н (2015)
было использовано разложение векторной амп:штуды a
(20.18) относительно базисных векторов ej, е2 и n == k//kl, непо-
средственно связанных с движением векторной частицы в дан-
ном состоянии, т. е, с движением в некотором направлении n
Отсюда следует вывод, что состояние векторной частицы
еще не характеризуется полностью значениями энерrии и им-
пульса. Тот факт, что амплитуда волны, сопоставляемой век-
торной частице, носит векторный характер, т. е. определяется
тремя независимыми компонентами, свидетельствует о том,
что эта частица обладает, очевидно, тремя дополнительными
степенями свободы, каким-то образом связанными с поляри
зацией волны.
Эта связь находит свое выражение в том, что векторно(;
поле обладает ненулевым собственны!\! момен'юм количества
движения спиновым моментом.
Аналоrично данной выше квантовомехани,
ческой интерпретации выражений для энер-
rии и импульса (20.14) и (20 15) как сред-
них значений ве.1ИЧИ!J выражение для про-
екции спиновоrо момента (20.13)
Поляризация
ВОЛНЫ и спиновые
состояния
векторной частицы
Sn == (а 1 (k) а; (k) (., 111) + а2 (k) а; (k)( 111))
k
также нужно рассматривать как среднее значение этой величины.
Тоrда величину
а1 (k) а; (k) (+ 111) + а2 (k) а; (k) ( 111)
(20.19)
следует рассматривать как среднее значение проекции спиновоrо
момента векторной частицы в состоянии с заданным значением
энерrии и импульса, т. е, в состоянии, описываемом каждой
166
(pr e t)
монохроматической ВО.1НОЙ а (k) е h k При этом, как уже
отмечалось, для каждоrо состояния берется проекция вектора
спиновOI'О момента на направление движения частицы (" == I 1).
Таким образом, можно считать, что величина al (k) а; (k) опре
де.,1яет вероятность 1'oro, что проекция спиновоrо момента равна
т Ii, а величина а2 (k) а; (k) вероятность Toro, что в состоянии
с теми же значениями энерrии и импульса векторная частица
будет иметь проекцию спина на направление движения, равную l1.
Сопоставляя привсденную интерпретацию величин а)аl *
и а2а2* с тои, которая бьша дана выше на основе представле-
ний о ПО.lяризации волны, описывающей векторную частицу,
мы приходим к следующему выводу: состоянию векторной ча
стицы, описываемоЙ волной с правой круrовой поляризацией,
соответствует значение проекции спиновоrо момента на
направление движения частицы, равное + 11, а в случае левой
круrовой поляризации проекция спина, равная 1I.
Следовательно, мы приходим к необходимости введения
для векторной частицы дополнительных квантовых чисел
проекций СПИНQвоr,о момента на направления движения. Пока
нами установлено, что проекция этоrо момента может прини
мать два значения: + 1i, Ii.
Но, как известно из общей квантовомеханической теории
орбитальных моментов, состояНия частицы (системы) при
этом характеризуются двумя квантовыми числами. числом 1,
определяющим собственное значение квадрата момента
1i21(1 + 1),
(20.20)
и числом т, которое определяет собственные значения проекции
момента на выделенное направление и принимает значения
пm== nZ, 1i(l I), ..., Ii, О, +11,
+1i(l I), +nZ,
...,
(20.21 )
или B единицах 11)
т == {, (1 1), 'н,
I, О, + 1, ..., 1 1, 1,
(20.22)
т. е. Bcero 21 + 1 значений.
В соответствии с этим в нашем случае квадрат спиновоrо
момента векторной частицы будет определяться максимальным
значением проекции, т. е. числом
l==s l,
167
отку да следует, что существует '1 ри проекции этоrо моме!! [;1
(25 + 1 -== 2 . 1 + 1 '=' 3).
т === 50 + 1, О, 1
(в единицах 11).
Таким образом, наряду с указанными двумя СПИНОВЬ!l\1!!
состояниями, д,'!я которых проекции спина равны + 1 и 1,
существует еще третье, для KOToporo проекция равна О. Это
состояние, очевидно, отождеСТВ.'lЯется с тем состоянием, кото
рое определяется волной с продольной поляризацией и аМП.1И
тудой аз. Вероятность TaKoro состояния будет равна азаз-i'. По
скольку произведение (азаз*) . о исчезает, оно не вносит вкла.
да в среднее значение проекции спина (20.13). Однако OHl'
входит в выражение для средней энерrии и импульса, посколь
ку вероятность Toro, что частица находится в состоянии с за
данным значением энерrии и импульса, будет определяться
суммой вероятностей для всех трех возможных спиновых со-
стояний векторной частицы.
Наличие двух терминолоrий для обозначения состояний
векторной частицы является отражением КОРПУСКУЛЯРНО ВОJI-
HOBoro дуализма при математическом описании элементарных
частиц как квантовомеханических объектов. Рассматривая
спиновые состояния частицы как состояния, соответствующие
определенным значениям собственноrо момента количества
движения спина частицы, мы на первый план выдвиrаеl\l
корпускулярные свойства частицы. rоворя же о СОСТОЯНИЯХ
с определенной поляризацией волны, мы отдаем предпочтеНИt
проявлениям волновых свойств частицы.
Изложенное описание вещественноrо BeKTopHoro поля, со
ответствующее нейтральным векторным частицам, может
быть распространено на случай комплексноrо BeKTopHoro поля,
hOTopoe описывает заряженные векторные частицы. Flосколь-
ку эта процедура аналоrична той, которая Бы.1a нроведена
при рассмотрении скалярных полей, l\lbI на ней здесь оста на в-
.'!иваться не будем.
21. Электромаrнитное поле
Уравнения
и динамические
переменные поля
Электромаrнитное поле описывается, как
известно, четыреХКQМПОН€НТНОЙ функцией
А (х) === {A (х)} ==
-=={А(х), iAo(x)} == {А (х), irp(x)}, (21.1)
образованной из TpexMeplIoro BeKTopHorO потенциа.'Iа А(х) п
ска.lярноrо потенциала ((' (х). Совокупность ЭТИХ функциЙ об
разует четырехмерный веюор, СТlсдоватсльно, Э.lектромапIИТ-
168
НОС ПО.'IЕ' может рассыа rриваться как частый СJlучай вектор.
нorо действительноrо поля (Потенциалы электромаrНИТНОI'О
поля УДОВ.1етворяют УСЛОВИЯ"I А'< (х) А (х), <р* (х) <p (х»),
Своеобразие описания электромаrнитноrо поля в рамках
общей тсории классических полей связано прежде Bcero с тем,
что :\racca частиц, соответствующих электромаrнитному полю
в квантовой rеории, т. е масса квантов электромаrнитноro
поля фотонов, равна нулю 1 Как известно, равенство нулю
laccbI фотонов, соrласно специальной теории относитель
ности, непосредственно следует из Toro, что эти частицы рас-
ПРОLТраняются со скор остью света (из релятивистской форму-
/ v 2
"'ТЫ mo m V 1 при v==c с.1Е'дует,
с 2
частицы равна нулю).
Таким 06разом, следует ожидать, что теория элеКТрО:\lаr'-
нитноrо поля получается из изложенной выше теории Вектор-
Horo поля, если положить В СООТВетстВующих соотношени
ях 2 Х == Пlосjli == О. Действительно, используя выражения для
лаrранжиана BeKTopHoro поля (19 176) и ПО,ТIученных на ero
основе уравнений BeKTopHoro поля (19186), а также выраже-
ний для динамических переменных (энерrии (1939), импульса
(1940», будем И\1еть следующее соответствие 3
Векторное поле (х =1= О) Электромаrнитное поле
1 { 1 2 2 А 2 } 1 2
L == 2 2 F/J-\ + Х р, L == "4 F/J-v,
F /J-" С= д l1 А" д"А I1 ,
д"F I1 " + 1-(2 AI1 .=с О,
E,, 1 S dJx (Е2 + Н 2 +
+ х 2 (А2 + A ) ! ,
1 j '
р =со c d'jx (IЕН] + 1-(2 АоАI ,
что масса покоя
(х == О)
(21.2)
F 11" ;O д/J-А" д"А/J-'
д"Р 11" == О,
(21.3)
(21.4)
Е == \ 1' d3X(E2 + Н2), (21 5)
2 .
Р == J; S d 3 x [ЕН]. (21,6)
1 В дальнеЙшем под теРМИНО'1 «ве!\ТОрIlое попе» мы буДе 1 И\lеТЬ в
ВИДУ попе частиц с ненулевой массоЙ покоя
2 Следует ОТ lеТИl ь, что переход к ) равнениям эпектромаrнитноrо поля
Путем приравнивания к нулю массы '/, осуществляется корректно лишь прн опи-
,сани И этих по.лей иа основе уравнений второто порядка (см. ннже 22)
! 3 Вместо обычно ИСПОЛhЗуемоii в электродинамике системы единиц мы
iПОЛЬЗУС\lСЯ здесь рационализованной системой единиц [аусса (системой Ло-
,ренца Хевисайда) Ввиду Э70rо, напрнмер, вместо обычноrо выражения для
, Е2+Н2 ЕЧ..Н2
плотности энерrиИ электромаrнитноrо поля мы имеем "2 .
16q
Леrко видеть, что стоящие справа соотношения дают правит,
ные, известные уже из классической электродинамики выраЖl
ния для уравнений поля и динамических переменных электр,
маrнитноrо поля. Так, например, в соответствии с (21.3) и (21 ;t,
мы получаем уравнения Максвелла для свободноrо электрома'
нитноrо поля (в ковариантной записи)
дрР /!" + д,.,F р", + д/tF "р == О,
д"Р/!оу == О,
(21",
(21.8:
ИЛИ В трехмерной записи
IV Е] t l.. н == О,
с
.... 1.
Iv н) - Е == О,
с
Выражение для энерrии свободноrо электромаrнитноrо поЛ5,
(21.5) также является хорошо известным
Изложенный выше подход позволяет отчет-
Калибровочная
инвариантность ливо уяснить то своеобразие электромаrнит
Horo поля, которое связано с равенством ну.
.!JЮ масс квантов ЭJ1ектромаrнитноrо поля фотонов, Эта спе-
цифика теории электромаrнитноrо поля находит прежде
Bcero свое выражение в том, что, как это сле;I.ует из Форму,
(21.2), (21.4) . (21.8), во все основные соотношения теории
этоrо поля входят только величины Р",... и не входят сами по-
тенциалы А,," за счет Toro, что х==о Поскольку величины Р , )\,
как следует из их определения (21 3),
F llv == д/tА v дvА/t
v н == О,
(21.7iJ'
....
v Е == О.
(21.8;1 ,
выражаются через производные от потенциалов A Il , а сами по.
тенциалы в теории не фиrурируют, в определении потенц:иалоп
электромаrнитноrо поля имеет место Нtоднозначность. Нетруднп
проверить, что если произвести замену
, , дf (х)
А", (х) ---+ A/t tx) == A/t (х) т ,
дх",
[де f (х) произвольная скалярная функция от r и t (от x ll ), ТО
компоненты тензора F 11\" а следовательно, и все выражаемые
через Р и... соотношения теории не J1зменятся. Замену потенциа-
лов электромаrнитноrо ПОJ1Я по правилу (219) можно paCCMaT
ривать как некоторое преобразование функций ПО.1Я. ЭТИ пре
образования носят название калибровочных, или rрадиентных
преобразований BTOpOI'O рода для потенциалов электромаrНlIТ
Horo поля.
(21.91
170
Неизменность соотношений теории электромаrнитноrо по-
ля при TaKoro типа преобразованиях функций поля можно ин-
rерпретировать поэтому как инвариантность теории этоrо поля
относительно калибровочных преобразований BToporo рода для
потеНIlиалов поля, или, как иноrда rоворят, калибровочную ин-
вариантность Сдедует еще раз обратить внимание на то, что
калибровочная инвариантность теории электромаrнитноrо по-
ля является прямым следствием равенства нулю массовой кон-
станты х и не имеет места для BeKTopHoro поля сненулевой
массой покоя, коrда x mocl!i=l=O.
Блаrодаря калибровочной инвариантности и
связанному с ней произвольному выбору
функций f (х) оказывается возможным Ha,lo-
жить на потенциалы электромаrнитноrо поля некоторое до-
полнительное условие. Действитедьно, из уравнений avF f,tV == О
д,,!я свободноrо электромаrнитноrо поля не С.'Iедуют какие ли
бо оrраничения Д,1JЯ потенциалов в отличие от Toro, что получа-
лось для BeKTopHoro поля, коrда из уравнений a V Ff,tv+x 2 A I1 ==O
автоматически следова,lО соотношение дjJ.А I1 ==-О. Поэтому в об-
щем случае потенциалы электромаrнитноrо поля не будут
удовлетворять условию aI1AIl O, т е
Условиl."
Лоренца
д l1 А Il =1= О.
(21.10)
Но ,'IerKO видеть, что, пользуясь неоднозначностью в определе-
нии потенциалов Af,t (х), мы всеrда можем для описания элект-
ромаrнитноrо поля выбрать по правилу (21.9) такие новые по-
теНIlиалы А/ (х), чтобы для них выполнялось соотношение
дl1А == О.
(21.11)
Очевидно, что для этоrо нужно подобрать соответствующим
образом произвольную функцию f (х). Нетрудно установить,
какие при этом оrраничения должны быть на нее на,ТIOжены.
В самом деле, подставляя выражение дЛЯ А/ (х) (21 9) в
(21 10), имеем
дllА == д l1 А I1 д l1 д l1 f == О.
Отсюда следует, что если д l1 А I1 =1= О, то функция f (х) должна
удовлетворять следующему уравнению:
о f (х) == д f (х) == дvА v (х).
(21. 12)
Решение этоrо уравнения (притом не единственное) всеrда
существует Поэтому, взяв какое либо частное решение f (х)
уравнения (21 12), мы получим потенциалы А 11' (х), удовлетво-
ряющие ДОПО,lнительному условию (21.11). Это условие носит
название УС,lОВИЯ Лоренца. Разумеется, что оно не является
единственно возможным условием, которое может быть на,'!о-
1 i!
жено на потенциалы электромаrнитноrо поля исходя из кали
бровочной инвариантности. Существенно, что условие (21.11)
релятивистски инвариантно и линейно относительно A (x).
При условии (21.11) уравнения поля JJI1\ O (21.8) при
мут вид уравнений Даламбера
2' , ,
дf.tА" == D А" == о, д A О. (21.13)
Характерно, что если в случае BeKTopHoro поля с)( *- (1
условие д",A (х) === О содержится в уравнениях поля (20.18б)
д"P " + )(2 A == О, (21.14)
то в случае электромаrнитноrо поля это условие необходимu
наложить дополнительно, и ТО,1ЬКО тоrда соотношения (218)
и (21.13) будут эквивалентны друr друту. Поэтому при запи-
си уравнений электромаrнитноrо поля в ВИДе (21 8) необхо-
димо обязательно писать два типа соотношений
д"P " == О, д A (х) == О.
(21. 15)
Так же как и в случае BeKTopHoro поля с )( *- О, условие
(21.11) означает, что четыре компоненты AIt(x) потенциалов
электромаrнитноrо поля нельзя рассматривать как незаВИСlIмые
независимых компонент три.
В действительности, в С'.lучае свободноrо
электромаrнитноrо ПО.1Я ЧИС.10 независи
мых КОМIIонент потенциала оказывается еще
меньше. Это связано с тем, что, наК,'1адывая
на потенциалы A (x) дополнительное ус,товие Лоренца (21.11),
мы еще не исчерпали всето произво.та в выборе потеНЦИ3.10В
электромаrнитноrо поля, который вытекает из ero ка,'1ибровоч
ной инвариантности. В самом деле, как было показано выше,
на.'10жение условия Лоренца означает, что в качестве калибро
вочных функций f (х), аходящих в формулу (21.9), следует
брать такие функции, которые удовлетворяют неоднородНОМУ
уравнению (21.12). Но решение 3Toro уравнения не единствен
ное. Мы можем ПО,1УЧИТЬ целое семейство решений f (х), пре,-
ставляющих собоЙ сумму '<Iа('тното реIllения '1 (х) урав'нения
(21.12) и совокупности всевозможных решений дифференци
альноrо уравнения Ofo (х) =е О. Иначе rоворя, общее решение
уравнеНI1Й (21 12) определяет('я с точностью до решения fo(X)
однородното уравнения
LJ 10 (х) == О.
Кулоновекая
калибровка
потенциалов
(21. 16)
Нетрудно видеть, что соотношения (21.13) не меняют CBoe
то вида при замене
A (х) ---+ A (х) == А;l (х) + д/t/о (х). (21.17)
172
Это означает, что уравнения (21.13) инвариантны относитель
но преобразований (2117). Такие преобразования называют
иноrда специализированными калибровочными преобразова
НI1ЯМИ BToporo рода для потенциалов электромаrнитноrо поля.
Соотношение
aI1A (x) д l1 [A (x) + дl1fо(Х)] о (21.18)
можно ИСПО.тIьзовать для на.'Iожения BToporo оrраничения
(в дополнение к условию Лоренца) на потенциалы свободно
ro электромаrнитноrо поля В частности, используя ПРОИЗВО.1
в выборе функций fo (х), последнюю всеrда можно взять Ta
кой, чтобы одна из четы,рех компонент преобразованноrо по
теНЦi1ала А/' (х) обращалась в нуль. Обычно полаrают
A (х) == (х) + д 4 fо (х) == О,
откуда следует, что (А 4 i <р)
<р" (х) == О
<р' (х) ==с afo (х)
с дt
(21. 19)
(21.20)
при
(21.21 )
После TaKoro вторичноrо переопредеJJения потенциалов элек
тромаrнитноrо поля вместо условия Лоренца будем иметь
V А" (х) == о. (21.22)
Это УСJlOвие инor'да называют УС.l0вием кулоновскои кали
бровки потенциалов Из формулы (21 22) следует, что кулонрв
екая калибровка не является релятивистски инвариантной, а
справедлива лишь Д.'IЯ частной системы отсчета После пере
хода к друrой системе отсчета у потенциалов может ВIЮВЬ
появиться четвертая компонента, однако в любой новои систе
ме отсчета можно выбрать новую функцию fOI (х) так, чтобы
<p o. В принципе, конечно, кулоновскую калибровку можно
написать в ПОС.'Iедовате.тrьно ковариантной форме 1.
...
Б.'Iаrодаря условию V А(х) ==0 (21 22) независимыми ока-
Зываются только две компоненты потенциалов свободноrо
1 Для этоrо необходимо перейти от описаиия потенциалов свободноrо поля
А (х) в rиперплоскости, ортоrоналыюй оси времени (обычное трехмерное про-
странство), к заданию их в произвольной пространственно-подобной rнперпло-
скости, ортоrональной единично",у четырехмерному времени-подоБНО\IУ вектору
п (n, iп o ) (п 2 ]) в ЭТО"I случае вместо (21 22) будем иметь JIJ.A "'"
"'" О, пl1A О В частиости, как показали авторы (см. А. А. Б о-
rуш, .1, [' Мороз Весцi АН БССР, сер. фiз-тэхн навук, 4, 60,1961),
ковариаюная формулировка кулоновской калибровки потенциалов может быть
получена как прямое следствне ковариантноrо описания спина элекrромаrнит-
lIoro поля (фотона).
173
'J.1ектромаrнитноrо поля Это соответствует тому, что, как бу
дет показано ниже, свободное элект'ромаrНИТlIое поле может
обладать только поперечноЙ поляризацией, откуда в свою оче
редь следует, что свободные фотоны MorYT находиться только
Е двух спиновых состояниях.
Импульсное При отыскании динамических переменных
представление электромаrнитноrо поля можно использо
электромаrнитноrо вать реЗУ.1ьтаТbJ, полученные в 19 и 20 при
поля рассмотрении BeKTopHoro поля с x=l=O.
При этом нужно иметь в виду два следующих соотношения
k 2 kg == О, т. е. ko == !kl,
v А(х) == О,
(21.23)
(21.24)
определяющих специфику электромаrнитноrо поля как BeК10p
Horo поля, сопоставляемоrо частицам (фотонам) с НУ.1евой
массой покоя (х==О).
По-прежнему напишем
AJ.L (r, t) == L;/2 IAJ.L (k) i(kr ckot) +
k
+ A (k)e i(kr Ckot)). (21.25)
Поскольку в силу сказанноrо выше всеrда можно выбрать сис-
тему отсчета так, чтобы (см (21.20)) четвертая компонента по-
теНI иала электромаrнитноrо поля обращалась в нуль (А 4 (х) ==
== iqJ (х) == О), достаточно учесть только три пространственные
компоненты потенциала
A(r, t)== L;/2 IA(k)e(+)+A*(k)e( )i. (21.26)
k
Соотношение (21.26) пос,пе перехода к амплитудам (см. (19.36))
A(k)== V :;0 а (k)
можно написать в ВИДе
(21.27)
A(r, t) == ,..., 1( IiC -lа(k)е(+)+а*(k)е( )i.
L " 2ko
k
(21.28)
-+
Далее из условия V А =- О (21.22) следует, что
1
vA(r, t)== L:O/ 2 i(ka(k)e(+) ka*(k)e( ):==o,
k
(21.29)
174
т. е.
ka (k) О,
ka * (k) ==: О.
(21.30)
Это и есть условие поперечности электромаrнитноro поля (ампли-
туда а (k) каЖДОЙ монохроматической волны ортоrональна Ha
правлеНI1Ю распространения волны k). Таким образом, выраже
ЮfЯ для динамических переменных BeKTopHoro поля, полученные
выше (см. (19.50) и (19.52»'
{ . ka k . ka: }
Е "'" koпc a k a k 2 '
ko
{ . kak.ka= )
Р == ...:. п k a k a k о f
1< k 2
в случае свободноrо электромаrнитноrо поля существенно упро
щаются:
Е == koпc a k а: '
k
(21.31)
Р == Ii k a k a .
k
(21.32)
в результате, перейдя к разложению векторных амплитуд
по векторам поляризации (см, (20.5) (20.8», мы будем
иметь только две составляющие (см. (20.11»
ak==a(k) аl (k) еl + а 2 (k) е2. (21.33)
так как условие (21.30) означает, что продольная поляризация
отсутствует. Действительно, если мы возьмем
ak == a(k)== аl (k) еl + а2 (k) е 2 + аз (k) k,
то в соответствии с (21.30) ПD.'IУЧИМ, что ak k == аз (k) k 2 == О,
т. е. аз (k) == О, поскольку здесь k 2 == kg =F О.
Таким образом, для динамических переменныx свободноrо
электромаrнитноrо поля будем иметь:
Е == 11 == ek (ala + a;),
k
(21.34)
Р == :S Pk (ala т а 2 а;),
Sn == п (ata а2а;).
(21.35)
(21.36)
в соотве1 ствии с данной выше интерпретацией величин а]
и а2, входящих в Р<1зложение (21 33) с учетом связи, YCTaHOB
175
леннои выше (c'V! 20) МЕЖДУ СОСТОЯНИЯМI\ nC)1яризации BO.'J-
I!Ы и СПИIIОВЫМИ СQСТОЯНИЯМИ частицы, мы должны сделать вы-
вод, что фотоны MorYT находиться 01ИШЬ в двух спиновых СО
стояниях С проекцией спина на направление движения частrI-
цы, равной 1 + 1 или 1 Это, очевидно, является ПРЯМhI \1
следствием равенства ну,Т]ю массы фотона, поскольку именно
блаrодаря этому на потенциалы свободноrо электромаrнитно
[о поля можно наложить наряду с условие.\1 дJ.АIl(х) o yc.ТJo
.....
вие V А(х) '=0 Такие УСТlOвия приводят К TO!lIY, что векторное
поле будет ОПИСЫваться лишь двумя незаВlIсИМЫМИ функция-
ми, что и соответствует наличию у фотона лишь двух (а не
трех, как в случае векторных частиц с '1(,*0) дополнительных
степеней свободы, с}зязанных с ВОЗМОЖНЫми СПИНОВЫ!l1И СО
СТОЯНИЯМII этой частицы Указанным двум спиновым состоя-
НИЯIII отвечает правая и левая KpyroBbIe ПОоlяризации электро,
маrнитной ВОЛНЫ
Разложение (21.33) можно представить И в друrой, часто
используемой форме, если в качестве векторов IIОЛЯРНзации вы-
брать не KpyroBbIe векторы el, е2 (20.5), (20.8), а линейные век-
торы е' е(1), е П == е(2) (20.6), (20.7):
a(k) == а' (k) е' + d' (k) е П === a(I) (k) еО) +
+ а(2) (k) е(2) == ! e(r) a(r) (k).
r I,2
(21.33а)
Тоrда с учетом (21.33а) выражение для потенциалов приобретает
вид (см. (21.28»
1 (
А(х) == ш , пс ,., e(r) Х
L 3 / 2 2ko
k r I,2
х (а") (k) e ikx + a*(r)(k) e ikx ) .
(21 . 37)
Как в случае ска,lярноrо поля, потеНциал А (х) можно раз-
бить на положительно-частотную и отрицательно-частотную части,
ортонормированные в смысле (18.44), (18.52), (18.56). В частно-
сти, для потенциалов, описывающих фотоны с определенным
импульсом и поляризацией
A(:f:) ( Х k r ) V r IiС e(r) e:f:ikx ( 21.38 )
" Lз,2 2k '
о
I Это означает, что вектор спина сво60дноrо фотона '\10Жет 6-,JТЬ
ориентирован лишь по И.1И против направления движения чаСТИЦbI
176
имее\1 С,lЕ'ДУЮЩУЮ НОрМНрОБКУ,
(А(:!:)(х, k', r'), A(,l:){x, k, r)) =0=
'(т') (т)
е е Ok',k Orr' Ok',k'
(21 39)
Соотношения (21 39) являются обобщеннем условий норми
рОБКИ (18.44) Д.1Я ска.lярноrо поля Дополните.1ЬНЫЙ множитель
б rr , поввляется З,'J,есЬ за счет Toro, что векторные функции про
порциональны векторам поляризации е(Т) (r == 1, 2) и e,(T')(r' == 1, 2),
для которых при k' == k справедливы условия ортонормировки
(20 6), (20.7):
е( 1) е( 2) == О, (е( l »)2 == (е( 2))2 == 1, или е(Т') е(Т) == Or'T'
Динамические перемениые электромаrнитноrо поля будут Te
перь выражаться через аМП.1ИТУДЫ a(l) (k) и i 2 ) (k) (см. (21.33а)),
причем la(r) (k)i 2 будет определять вероятность состояния фотона
не с круrовой, а с линейной поляризацией.
r л а в а VI
ОПИСАНИЕ ПОЛЕй НА ОСНОВЕ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОf'О ПОРЯДКА
22. Общие свойства релятивистских волновых уравнений
в изложенной выше форму.пировке теорш
скалярных и векторных полей .lаrраНЖИ3fi
поля определялся таким образом, что ПО:l:_
чаемые из Hero уравнения поля представлн
.тш собой дифференциальные уравнения BToporo порядка И,
общей теории дифференциальных уравнений известно, чт(;
уравнения высшеrо порядка MorYT быть сведены к система \;
дифференциа.тIЬНЫХ уравнений первOI'О порядка за счет ввеДi "
ния дополнительных пере:\lенных, выражающихся через про-
изводные от компонент исходных функций.
В общем случае сисrема дифференциальных уравнениЙ н
частных производных nepBoro порядка с постоянными коэф
фициентами, к котороЙ сводятся уравнения любоrо СПИНОВОI"
поля, соответствующеrо частицам как с нену.lевой, так и нупс
воЙ массой покоя, может быть представ.lена в виде одн()[ (
матричноrо уравнения типа j
Обобщенные
релятивистские
уравнения
(аl-tдl1 + ?ШО) ф (х) == О, (f-t 1, 2, 3, 4),
(22. J,
которое носит название обобщенноС!о реЛЯТИ8UСТСКОС!О уравне
ния. Здесь 'ф (х) мноrокомпонеНтная функция, заданная р
некотором линейном пространстве представлений rруппы Ло
ренца. a l1 и ao KBaдp(!THыe матрицы, элементы которых ЯВ:JЯ
ются постоянными числами, а количество строчек и столбцоf'
определяется размерностью пространства функциЙ 'Ф (х), х
некоторая постоянная
1 См ФИФ е Д о р о в ДАН СССР, 82. 37, 1952, ЖЭТФ. 31. НО
1956. ДАН СССР. 179.50,1968. А А Боrущ Ф И Федоров ДАН
БССР. 12,21,1968. А. А БОI"Уш. Б. В. Кры.l0Н, Ф И ФеДОрОfJ
Вссцi АН БССР. сер фiз 'мат навук 1.74, 1968
[78
Рассмотрим некоторые общие свойства уравнения (22.1) в
зависимости от Toro, равна или не равна нулю масса покоя
(то) соответствующих частиц 1 (Мы не будем воспроизводить
здесь все ВЫкладки, связанные с получением и доказательст-
вом общих соотношениЙ, а оrраничимся рассмотрением от-
дельных иллюстраций на при мере кшtкретных полей).
В случае частиц с ненулевой массой покоя (то *- О) входя-
щая в уравнение (22. 1) константа х связана с массой частицы
( те \
х == ..I!...... ) , а матрица ао, удовлетворяющая соотношению ag ==
\ Ii,
== ао, является неособенной (det ао == lao] *- О) и имеет обратную
матрицу ао I Поэтому
l 2 1 1
ао ао === ао ай ==- ,
т. е.
I 1
ао == ао == .
(22.2)
Уравнение (22.1) в силу Toro, что здесь матрица ао пред-
ставляет собой единичную матрицу, принимает вид
(а,," д,," + х) 'Ф (х) == О. (22.1а)
Если же масса частицы равна нулю (то==О), то величина
х уже не будет связана с массой частицы, а будет представ-
лять собой некоторую постоянную размерности обратной дли
ны. Матрица ао в этом случае ЯВ.lяется проективной особен-
ной матрицей (ао 2 == ао. I аоl ===0), среди собственных значений
которой наряду со значениями + 1 имеются значения, равные
НУ.1Ю (см приложение Б). Д.'1я этой ма rрицы справедливы
следующие соотношения 2;
аз === ао, jaoi == О,
а,," ==аоа,," + a l1 a o , al1ao == (а о 1) a l1 , a l1 (ао 1) === aoa l1 , (22.3)
aoal1ao == О, a l1 a"ao == a o a l1 a".
В частности, если принять х == 1, то вместо уравнения (22.1)
получим
(а l1 д l1 + ао) 'Ф (х) == О.
(22.1б)
Уравнение
nepBoro порядка
Д.1Я скалярноrо
поJIЯ
в качестве иллюстрации рассмотрим с этой
точки зрения уравнение скалярноrо поля
уравнение К:лейна- Фока (см. (16.6»
(д х 2 ) fP (х) == О.
(22.4)
Для Toro чrобы привести это уравнение BToporo порядка к
системе уравнений первоro порядка, в качестве ;:t.ополнительных
1 Ф И Федо р ов ДАН СССР, 82, 37,1952
2 Ф И Федоров ЖЭТФ, 31,140,1956
179
переменных введем четыре производные от скалярной функции
<р (х) и обозначим их
Ipj.t === aj.t 'Р, (aj.t <Р Ipj.t === О).
Подставляя это соотношеНИе в уравнение (22.4), получаем
tJj.t Ipj.t х 2 1р === О,
т. е. уравнение первorо порядка относительно функции Ip (х) :.
ДОПОЛНИтельных переменных <Pj.t (х).
Таким образом, мы приходим К системе пяти дифференциаJIЬ
ных уравнений первоrо порядка:
aj.t Ip Ipj.t === О,
tJj.t Ipj.t х 2 1р === О,
эквивалентноЙ исходному уравнению BToporo порядка (22.4)
для скалярноrо поля.
Пользуясь теперь однородностью этих уравнений, дереоП
реде.'1ИМ следующим образом функции q; и <pj.t:
(22.5'
'1'0 === <р,
1
'Pj.t == Ipj.t'
х
(22.6)
(22..5) примут более
tJj.t 'фо 7 х'фj.t === О,
tJj.t 'фj.t + x'l'o === О.
Эту систему можно записать в виде одноrо матричноrо уравне
ния типа (22 1), если ввести пятикомпонентную функцюо
Тоrда уравнения
симметричный вид:
(22.7)
'1' (х) -== {'фА (х)} === { (I (х) ), (А === О, fl; fl === 1, 2, 3. 4), (22.1<)
'1'11 (х) J
заданную в пятимерном пространстве представлений rруппы Л0
ренца. (Это пространство является приводимым оно распада
ется на два неприводимых' векторное ('I'j.t) И скалярное (фо)).
Введем теперь в уравнения (22.7) вместо индексов О и fl
собирательные индексы В компонент пятимерной функции 'Ф в(Х)
(22.8) (В == О, f.t). Используя обобщенные СИмволы Кронекера!
б ов и бj.tВ (см. Приложение Б), перепишем систему (22.7) в виде
(a Jl i)j.tB -+ хб ов ) 'Р в == О,
(aj.t <\в + бj.tВ) 'Ф в == О.
(22.9)
! См А А Б о r у Ш, Ф. и Ф е Д о р о в ДАН БССР, 12, 21, 1968
180
Индекс В можно отождествить с номером столбца матриц,
действующих на функцию ЧJ (х) (228). Введем второй индекс
(А), определяющий НО:\1ер строки матриц. Этот номер eCTeCT
венно отождествляется с номером уравнений в системе (22.9).
Пос.1еднюю, пользуясь символами Кронекера БОА и бjJ.В, можно
написать в ВИде
БОА (ajJ. б/l В + ",баВ) ЧJв == О, бjJ.А (ajJ. б ов + ",б/l В ) 'Ф в := О.
Эту систему леrко объединить в одно уравнение, учитывая, что
индексы О и !.А. взаимно исключают друr друrа,
{БОА (a/l б/l В + ",бав) + 0/lA (ajJ. б ов + "'О/lВ)}'Фв == О,
или
{ajJ. (БОА бjJ.В + б/l А б ов ) + '" (БОА БОВ + б/l А б ltв )} ЧJв == О. (22.10)
Входящие в (22.10) выражения БОА б/l В ' бjJ.А БОБ' БОА б ов , бj1А б/l В
можно рассматривать как матричные элементы некоторых матриц.
Вид этих матриц сразу следует из Toro, что для каждой из них
при фиксированном значении индекса I-L имеется лишь один HeHY
левой матричный элемеНТ. Так, например, БОА б/l В можно рассмат-
ривать как общее выражение для матричноrо элемента матрицы,
у которой единственный, равный единице, матричный элемент
лежит на пересечении строки с номером А == О и столбца с но-
мером В == 1-1. Но по общему определению такие матрицы преД
об .. .... б АВ
ставляют с ои Э.1ементы полнои матричнои алrе ры е ,ДЛЯ
которых (см. (7.4»:
(еАВ)со -=с б АС б но
(22.11)
В соuтветствии с этим имеем:
БОА бjJ.Б == (eo,jJ.)AB'
1304 бов ...= (ео,О)АВ'
б/l А БОБ == (eJl'O)AR'
б/l А б/l В == (eM.IJ.)AB ,
(22 12)
в резу,'Iыате чеrо уравнение (22.10) принимает вид
lajJ. (100,<1 + eJl'O)AB + "'(100,0 + ejJ.,Jl)AB! ЧJВ О.
(22. 13)
Далее леrко видеть, что
100,0 + eJl.jJ. === 1(5) == 1,
(22, 14)
т. е. эта матрица представляет собой единИЧНУЮ матрицу в пя-
тимерном пространстве и, следовательно,
( 0,0 + Jl,/l ) JI
е е АВ == u АВ'
(22. 15)
181
Исполиуя общие правила перемножения элементов ПОJIНОЙ мат-
ричной ашебры (см, (7.5)):
е АВ I',CD == О "AD
Ве'" ,
(22. 16)
леrко проверить, что для матриц
Р == 100,0, Р === eJl,j.t
(22. 17)
справедливы соотношения.
2
Р. === Р, Р =-- Р, j5p === рр== О, Р + Р == 1,
(22.18)
т. е. матрицы Р и Р представляют собой проективиые опера-
торы, выделяющие соотВетственно скалярную и векторную части
пятимерноrо пространства для функции 1/1 (х) скалярной чаСТИllЫ
(см. Приложение Б).
Вводя теперь обозначение
j.t==-еО>Il+еll>О (22.19)
для матрип, стоящих при производных В уравнении (22.13), по
следнее с учетом (22.15) можно переписать следующим образом:
ja).t ( j.t)AB + хб АВ) 'I J B === О,
или l
{ j.t aj.t + х} 1/1 (х) == О,
(22,20)
Полученное уравнение предстаВ./Iяет собой стандартную фор-
му записи релятивистскоrо волновоrо уравнения для час тип с не-
НУ.lевои массой покоя (х == т c , то *0) (см. (22.1а))
С помощью соотношений (22. 11) и (22. 16) леrко показать.
что входящие в уравнение (22 20) для скалярнorо поля маТРИllЫ
j.t (22.19) удовлетворяют следующим перестановочным COOTHO
шениям:
j.t ... P + P v j.t == бltv Р + брv j.t,
(22.21 )
ЭТИ соотношения носят название соотношений Даффина Кем-
.мера. Они полностью определяют алrе6ру матриц Il' из которой,
1 Входящую В (2220) 5-компонентную ФУНКЦИЮ t (х) можно также пред-
ставить в матричном виде, а именно
i (х) == фо ЕО '] + It E Jl ,I.
rде .0,1, c ll .! элементы полной матричной алrебры с отличным ОТ НУЛЯ пер-
вым столбцо\!.
18'2
как мы увидим НИже, можно извлечь большую информацию о
скалярных частииах, не прибеrая к решению уравнения поля
(22,20) в ЯlШОМ виде.
Можно таким же путем показать, что матрицы j.t и проек
тиВные матрицы Р и Р связаны МеЖДу собой следующими COOT
ношениями (см. (22.3):
р j.t + j.t р ==о Р j.t + j.t р j.t' j.t р '=' р j.t,
р j.t р .== р j.t р === О,
j.t ,,]5 ==- р I' '" j.t " Р === Р j.t ,,'
j.t р ==о Р j.t' (22.22)
Р j.t " Р === р j.t " р === о
Поступая аналоrично, можно привести к MaT
ричному уравнению первorо порядка и ypaBHe
ния для BeKTopHoro поля как с ненулевой, так и
с нулевой массой поля (электромаrнитное поле).
Дифференциальные уравнения BToporo порядка
для BeKTopHoro поля, как было показано ранее (см. стр. 153 155,
формулы (19.186) и (19.20», MorYT быть записаны в ВИде системы
10 уравнений первоrо порядка:
a"Fj.t" + х2 А. == О,
дl' А" д" Aj.t === Fj.tV'
Перепишем (22.23) в более симметричной форме:
Уравнения
первоrо порядка
для BeKTopHoro
поля
(22.23)
д" 'Ф[JlvJ + Х'Фj.t === О,
д" 'Фj.t aj.t 'Ф" + Х'Ф[Jl"J === О,
(22.24)
rде
'Ф[l === Aj.t'
1
'Ф[Jl"J === F j.t" .
Х
(22.25)
в то же время уравнения для Электромаrнитноrо
лентны системе (см. (21.3) (21.4»
д" 'Ф[j.t"J === О,
д,,'Фj.t aj.t 'Ф" ::= Х'ФЕj.t"J .
поля эквива-
(22.26)
i rде 'Фj.t и 'Ф[[L"J определяются по прежнему формулами (22.25), но
под Х следует подразумевать некоторую константу размерности
,обратной длины. Как будет показано ниже (см. Приложение П,
ее можно связать с константой так называемоrо взаимодействия
Паупи. В теории же свободноrо электромаrнитноrо поля она
никакой роли не иrрает и может быть взята любой. Полу
ченная система (22.26) существенно отличается от системы
183
(22.24) тем, что блаrодаря равенству нулю массы фотонов в
правую часть уравнении входят не все компонеН1Ы ПОо1я 1 .
Системы (22.24) и (2226) можно записать в (Jбщей форме,
если ввести вспомоrательные константы Хl И Xz следующим об
2
разом .
д" 'Ф[IJ."] === ХI'Ф[l'
д,,'ф[l a[l 'Ф" Х2'Ф(J.1\],
Очевидно, что при
(22,27)
Хl ==о Х 2 == Х ==
тос
Ii
(22,28)
мы получаем уравнения поля (22.24) для векторных частиц с
массой покоя то, в то время как при
Хl === О, Х2 Х (22.29)
получим уравнения для электромаrнитноrо поля (22.26), KOTO
рому соответствуют частицы с нулевой массой фотоны.
Вводя 1 О-мерную функцию
'Ф == {'фА} == { 'Ф[l (,
'Ф [/.1v] f
(22.30)
rде
А ==о 11, [11 \'}; 11 == 1, 2, 3, 4;
[11\'] '= [23], [31], [12], [14], [24], [34},
вместо (22.27) можно записать З
бjJ.А д ... б[jJ.V]В 'Ф В "O Хl бjJ.А бlJ. В 'фВ'
1
2 б[lJ."lА(д"бj.tв д'Lбvв)'фв==
1
== б б 11,
2 [IJ."]A [I',,]B 'УВ'
или
д ... (бlJ.-1 б [1'''] В) 'Ф В == х1бjJ.А бj.tВ 'Ф В '
1
д" (б[IJ.V]А БIJ. В ) 'Ф в == Xz 2 б[/lV]А б[IJ.V]В 'Фв'
1 ОПlетим. что система (2226) не "fOжет быть ПО,1учена аВТО\JаПI-I€'
СКИ И3 (2224) наложением условия x o
2 См ФИФ е Д О Р О В ДАН СССР, 82, 37, 1952
3 Здесь мы УЧliтываем ШIШЬ независнмые компоненты аНТИСИМ Jетрич
Horo тензора 'Ij;[lJ.vJ' 06ший случай раССМОТрен в работе' А А. Б о r у I.J,
Ф И Федоров. ..1АН БССР. 12, 21. 1968
184
СК"lздывая эти уравнения, получим
д" (бjJ.А O[jJ.v]B ...\..- O[jJ.\']A О/1В) 'Ф в -+ %1 0jJ.A О/1В 'Фв -
1
+ %2 2 (O[ L"]A O[jJ.v]B) 'Ф в == О,
или
{д ., (sjJ.,[jJ.V] + s[/1V],/1)AB f %1 (sjJ.,jJ.)AB +
I % (s[jJ.V],[/1V]) ! 'ф О (22.31 )
2 2 АВ В .
Отсюда следует, что соотношения
ejJ.,[/1vl + 6[ tV] ,jJ. " (22.32)
определяют четыре основные 1 Ох 1 О-матрицы jJ. уравнеЮfЯ, а
eJ.1. L 14 == Р, (22.33)
e[/1V],[/1V] == 16 Р (22.34)
2
будут единичнымIf матрицами COOTBeTCTBf>HHO в 4-мерНОМ вектор-
ном и б-мерном тензорном подпространствах 10-мерноrо прост-
ранства. При этом сумма
14 + J 6 == Р + р == 1(10) == 1
(22.35)
предстаВ.lяет собоЙ единичную MaTpНl Y в 10-мерном простран-
стве. В соответствии с этим уравнения (22.31) MorYT быть Пере-
писаны в виде!
( jJ. дjJ. + %1 Р +)(2 Р) 'Ф ..= О. (22.3б)
Отсюда для BeKTopHoro поля (коrда %1 ==)(2 == %) получается
уравнение
( IL дjJ. + %) 'Ф (х) == О, (22.37)
а для электромаrнитноrо (Korдa %1 == О, )(2 == %)
фjJ. дjJ. + )( Р) Ф (х) == о.
(22.38)
При этом в обоих с.lучаях основные матрицы jJ. определяются
одной и той же формулой (22.32). Леrко проверить, используя
1 для 10-КО\fПонентной функции ,:., (х) BeKTopHoro и электромаrнитноrо
ИOJJЯ. входящеЙ в (22 36), так же, как и в случае скалярноrо поля (см
,сноску на стр 182), можно написать
t1 (х) -== 1jJ. (х) elJ.,l + t rlJ.v] (х) E[I<,,],1.
185
правила перемножения элементов полной матричной алrебры
(22.16) и соотношения l\lVJ[PU] == 0lLr/)vu бlLuб vр , что матрицы
O) (22 32) УДОВ.'1етворяют тем же перестановочным соотноше-
ниям Даффина Кем мера (22.21), что и матрицы ) (22.19)
Кроме Toro, матрицы IL' Р, Р И В этом С.'1учае УДОВ.lетворяют
соотношениям l (22.18) и (22.22).
РассмО1 ренные выше скалярное и вектор
ное поля относятся к случаю, коrда функции,
описывающие поле, заданы в пространствt'
теНЗ0РНЫХ представлений rруппы Лоренца.
Вторым характерным примером, положившим по существу
Нача.'10 описанию элементарных частиц на основе уравнениЙ
первоrо порядка типа (22.20), является уравнение Дирака
Это уравнение было введено П. А Дираком для описания ре.
.'1ятивист('коrо электрона 2. Исторически ПОЯЫlение 3Toro уран.
нения было связано с тем, что релятивистское обобщение
уравнения Шрединrера уравнение Клейна Фока (16.6)
оказалось неприrодным для описания релятивистскоrо э.'1ектро-
на прежде Bcero потому, что в нем не учитывались установ-
ленные на опыте спи новые степени свободы электрона Чтобы
устранить указанную трудность, Дирак осущесi'ВИЛ ЛИнеари
зацию уравнения Клейна Фока. Эта ПрОilеДура схема-
тически сводится к С.Т'lедующему, Входящий в уравнение
Клейна Фока дифференциальный оператор, содержащиЙ
ПРОИЗВОДные BToporo Порядка, разлаrается на два линейных
оператора, содержащих производные первоrо порядка'
Уравнение
Дирака
D '== (alLa lL х 2 ) == (Y IL a lL х) (У ... д v + х), (22.39)
[де Y IL некоторые коэффициенты. Они не MorYT быть обычными
Ч:lслами, так как из условИ5J
2
д == alLa V Y IL У...,
вытекающеrо из (22.39), следует, что Y У" ==: О при fJ. =F ,\7 И
vi == 'Y == Y === vJ '== 1, а эти условия ПРОТИворечат друr друrу.
Если же считать Y IL не коммутирующими матрицами, то
2 1
a lL == д дv(у v... +vvy )"'= д дvб v,
2
1 Обшие своЙства а.lrебры матриц 13 с учетом введеНIJоrо выше прс,1
ставления их через элементы матричной алrебры рассмотрены в рабан'
А А. 60rущ Ф. И Федоров ДАН БССР, 6,.!\Q 2, 81,1962. См такж'"
А А Б о r у ш. ДАН БССР, 5, 155, 1961, А. А Б о l' У Щ А И. Б о л с у м
Весцi АН БССР, сер фiз -мат навук, 4, 65, 1966
2 Мы не будем здесь детально И3.1аl ать теорию Дирака ВВИДУ Toro, ч [И
она раСС\fатриваетсн во мноrих руководствах
166
т. е.
1
2 (Yj.t У" +- У" Yj.t) == oj.t",
(22.40)
Можно показать, что в качестве величин Yj.t И У" нужно взять
некоторые матрицы с четным числом строк И столбuов 1 .
Из квантовой механики известн0 2 , что соотношениям типа
(22 40) удовлетворяют матрицы Паули, введенные ИМ для опи-
сания спиновых свойств электрона. Эти матрицы имеют вид
0'1 ( о 1 )
1 О '
( O i )
0'2
i О -
О'з == ( 1 О ) .
0 1
(22.41)
Однако набор матриц Паули включает только три матрицы. Для
Toro чтобы ПО.1УЧИТЬ четыре незаВИсимые матрицы с теми же
свойствами, нужно переити к четырехмерному пространству, т. е.
ввести 4;< 4-матрицы. Такие матрицы Уц' называемые матрицами
Дирака, MorYT быть взяты, например, в виде
( O ЁO'\ ( 1 О )
Уа== ЁО' а Оа)- У4=== O I '
[де О' а матрицы Паули (22.41), 1 == ( ), а == 1, 2, 3.
Таким образом, Дирак показал, что для релятивистскоrо элек-
трона может быть ИСПО.lьзовано уравнение
(22.42)
(Yj.t aj.t + х) 1р (х) == О,
[де 1р(х) четыреХКОl\!понентная функция (биспинор)
(22.43)
Лlы привели ряд примеров описания полей, соответствую-
щих СПИlIОВЫМ частицам, на основе ИСПО.7Iьзования матрично
ro ур авнения первоrо порядка в виде (22.1)
Существует общая теория релятивистских вопновык урав-
нений, которая ПОЗВОJlяет описывать поведение частиц с лю-
бым целым или полуце.тIЫМ спином на основе уравнений вида
(22 1) исходя из теории представлении rруппы Лоренца и уче-
та опредеJlенноЙ совокупности требований физическоrо харак-
тера з. Такои подход, кроме своей общности, обладает тем
преИ:\lуществом, что позволя\'т при построении теории спино
вых частиц использовать ковариантные методы, не связанные
с частным выбором системы отсчета и базиса в пространстве
волновых функций. Блаrодаря этому все основные соотноше-
I C !., !lаПрВ'v!ер. Ш в е б е ре, Б е т е [., r о Ф I а н Ф Мезоны Il
поля, r 1 ИЛ, 1959
2 Сч, например. Д И Б.1 О Х И !I Ц е Б Основы квантовой механнки
М., '<Высшая ШКО,1а», 1963
3 См, I1Clпричер, И r е.1 ь Ф а нд, А Яr л о м ЖЭТФ. 18, 703, 1948
187
ння теории МOI'ут быть СфОрС\IУЛllрованы без ИСПО.'!ЬЗ0вания
явноrо вида функций и матрин 1.
Последовате.1ЫlOе изложение всех этих вопросов выходит
за рамки данной книrи. Ниже будут раСС'\10трены лишь HeKO
торые основные особенности TaKoro подхода на при мере про
стейших ПО,lей.
Релятивистская
инвариантность
уравнений
nepBoro порядка
Поскольку входящая в уравнение
(ajJ.aj.t + х) Ф (х) с= О
(22.44)
мноrокомпонентная волновая функция ф(х)
реализует некоторое представление rруппы
Лоренца, всякое преобразование координат, осущеСТВ.lяемое
с помоЩью матрицы Лоренца С,
x "'" Lj.tv х",
(22.45)
будет индуцировать в пространстве функцИй'Ф (х) соответствующее
преобра30вание представления (см. Э 8)
L )- S :== f (L), S'Ф == 'Ф'. (22.46)
Таким образом, после преобразования координат (22.45) ypaB
нение (22.44) с учетом (22.46) примет вид
(al'a + х) ф' =:::: О,
(22.47)
причем предполаrается, что матрицы а!,- в результате указанных
преобразований не меняют cBoero вида,
Подставляя (22.45) и (22.46) в (22.47)
(ajJ.L Jl " доу + x)S 'Ф о
и умножая слева на S l, получаем
(S l aJl SLjJ." д\, + х) 'Ф == о.
(22.48)
Очевидно, требование релятивистской инвариантности будет
выполнено, если уравнение (22.48) будет СОВПадать с исходным
(22.44). Это будет иметь место при условии
Lj.t" S lalL S :== а",
которое после умножения на ер" С учетом OCHoBHoro свойства
матриц Лоренца 1,р" Lj.tv OPIl (С L 1) (см. (6.11» принимает
вид
S lapS = Lp"a v .
(22.49)
1 С'>I ФИФ e;J. о р о в ЖЭТФ, 35, 493, 1958
188
Условие (2249) является необходимым и достаточным
) словием лоренц-инвариантности уравнений 1 (22.44).
Jlсловие релятивистской инвариантности (22.49) может
быть выражено через инфинитезима.ТIьные операторы rруппы.
По определению для бесконечно малых преобразований L и S
имеем (см (79) и (864))'
L == 1 + б Ш[ра] l[paJ,
[ра]
S == J + БШ[Ра] J[pa],
[ра]
S l == J ! БШ[Ра] J[pa].
[ра]
rде числа БШ[ра] определяют 6 малых параметров rруппы ло
ренца, а '[ра] И J[pa] соответствующие им инфинитезимальные
операторы в пространстве Минковскоrо и в пространстве функций
поля. Подставляя эти выражения в (22.49) и оrраничиваясь чле-
на и первоrо порядка малости, будем иметь
(22.50а)
(22.50б)
(22.50в)
J[Ра]ал + ал J[pa] == (I[ра])л"а,,, (22.51)
откуда, учитывая, что (см. (7.4), (7.5) и (7.8))
(I[ра])л" а" == (ера еаР)л"а,,==(брлба,, бал б р ,,) а",
получим
{ал, J[pa]] == алJ[ра] J[Da] ал == Орл аа б а 1-. ар. (22.52)
Соотношение (22.52) иrрает основную роль во всей теории
релятивистских ВО.'IНОВЫХ уравнений.
Условие (22.49) , или эквивалентное ему
условие (22.52), позволяет строить необходи-
мые для дапьнейшеrо инвариантные комби-
нации из функций поля, их производных 11
матриц aj.t. Прежде Bcero введем так называемую 6илинейную
Билинеиная
инвариантная
форма
1 За !етиМ, что неизменность матриц (11'- при преобразоваииях Лоренца cooт
ветствует неИЗ\1енности базиса в простраtfстве представлеиий, отиосительио
KOToporo заданы функции Нх). Если же принять, что преобразоваиие S влечет
за собой преоGразование базиса в пространстве предстаВ.'Iеиий, оставляя компо-
ненты фуикций H ) неизменны"!и, то в соr.'lасии с (22.49) можно написать
S l а S (1'
р р
и, сле.'l.овательно,
(1 - L pv а..
Это означает, что совокупность четырех матриц (J.j.t об,1адает трансформацион-
ны\1И свойствами четырехмерноrо вектора.
189
инвариантную фор,иу 1. Она определяется слсдующим обра
зом 2; ,
(ЧJ, '11) =='Р+ 11 '11 .: \р* 11 'Р,
(22.53)
rAe 11 представляет собой матрицу, которую называют Аштрu-
цей бuлuнейной инвариантной формы.
Требование релятивистской инвариантности выражения (22.53)
(ЧJ', 'Р') == '11+ s+ 11 sф -== 'Р+ 1']'11 == ('1', '1')
накладывает следующее оrраничение на матрицу 1']'
s+ 11 S 11,
(22.54 )
которое может рассматриваться как определение матрицы 3 1'].
Условие (22.54) можно представить в иной форме, если в
качестве S использовать бесконечно малое преобразование (см.
(22.50б) )
S == J + б (i)[u.vJ .1[l'-v] .1 r б Ш[аЬ] .1 [аЬ] +
[I'V] [аЬ]
+ б Ш[а4] J [а 4 ] (22.55)
[а4]
(а,Ь == 1,2,3; [аЬ] == [23J, [31J, [12]). Соответствующее эрмитовски
сопряженное преобразование S+ будет иметь вид
S+ == .1 б(i)[аЬ].1[аЬ]+ б(i)[а4].1[а4], (22.56)
[аЬ]
rAe учтено, что при данном выборе параметров rруппы Лоренца,
KorAa (см. (7.11) ):
б Ш аЬ} б (i) [аЬ]' б Ш;а4] б Ш[а 4 ]'
операторы .J [ v] антиэрмитовы 4
+ .
.1[j.I\,]== .1l!.tV] == .1[!.tV]'
1 Всякая числовая ФУНКЦИЯ (rp, х) называется брлинейпой формой, если
она удовлетворяет УСЛОВИЯ\I (\Р, Ай1 + A2X ) == л'1 (\Р, хд +;'2 (\Р, ;:2),
(Л 1 \р1 ;";2\Р2' х.> == л; ('Р1, х) + ";(\Р2' 1.> для всех мноrокомпонеНТНblХ ФУНК
ций \Р их' принадлежащих HeKQТOpoMY векторному пространству, и для всех
чисел ;'1 и "2 (СМ., иапример, А Н а й м а р к. Линейные представления rруп-
пы Лоренца. М., Физматrиз, 1958). Скалярное произведение представляет
собой частный случай билинейной формы, коrда эта ФОР',18 яв. яется положи
тельно-определенной.
2 Здесь и в дальнейшем ('ИМВО,1 + указывает на операцию ЭРМНТОВ-
cKoro сопряжения, вкточаюшую в себя одновременно траН('ПО3НЩIЮ ( )
11 комплексное сопряжение (*)
3 См, например, И rельфанд, А. Яr.YJОМ ЖЭТФ, 18,703,1918
А Н а й м а р к. Линейные предстамения rруппы Лоренца. М , Физ ral'
rиз, 1958.
190
Попутно заметим, что, как это следует из сравнения (22.56)
и (22.50в): s+ i= s l, т. е. преобразования представления сруппы
Лоренца не являются унитарными 1 (матрица S называется уни
тарной, если для нее выполняется соотношение S+S === SS+ == 1,
т. е. S+ == Sш 1 ).
Подставляя (22.55) и (22.56) в (22.54) и оrраничиваясь чле
нами первоrо порядка малости по параметрам б (J)(/.t\'J с учетом
независимости этих параметров, получим условия
1'] J[ab] == J[ab] 1']. 1'] Jl a4 ] == J[a4] 1']. (22. 54а)
которые эквивалентны соотношению (22.54).
БилинеufШЯ инвариантfШЯ форма (22.53) обычно записывает-
ся в виде
(ЧJ.'iJ) ==='iJ1jJ (22.57)
за счет введения функции
== ф+т) == *Т).
(22.98)
Нетрудно видеть, что. как это и требует инвариантность выраже-
ния (22.57), функция (22.58) преобразуется по закону 'Р' ==
== S l.
Из физических соображений очевидно, что билинейная инва-
риантная форма (22.53) (используемая в дальнейшем для постро
ния лаrранжиана поля) должна быть вещественной, т. е.
(1jJ+ Т) '1')+ == '1'+ Т)+ЧJ == '1'+ Т) ЧJ.
откуда следует
Т)+ ==Т).
Кроме Toro, можно так выбрать базис в пространстве функций
'ф (х), чтобы выполнялось условие
1']2 == 1, т. е. '1(1 == Т),
(22.59)
что в сочетании с (22.59) ПРИБОДИТ к соотношениям 2
Т) == == Т)* == Т)+ == l1 I.
(22.60)
Условия (22.54) и (22.60) еще не определяют полностыо
матрицы Т), ПОСКО.1ЬКУ они не учитывают Toro, что функции
1 Это cor ласуется с те'\!, что rруппа Лоренца относится к так называемым
некомпактным rруппам Ли и не может иметь уиитарных конечномерных пред-
ставлении (см., например, Н r у е н В а н Х ь е у. Лекции по теории унитар-
ной симметрии М, Атомиздат, 1967).
В свою очередь неунитарность представлении rруппы Лоренца (5+ + 5 !)
npиводит К необходимости введения матрицы 'fj при определении инвариантной
ОТносиrельно этой [руппы билннеиной формы 0/+ 'fj 0/.
2См Ф И Федоров ЖЭТФ,35,593, 1958.
191
(х) ЯБ.1яютсн решениями уравнения (2244) Чтобы найти дo
полнительные оrраничения, накладываемые блаrодаря этому
на матрицу т] (22.57), учитывая определение фУНКЦИЙ
(2258), проведем последовательно над уравнением (2244)
операции комплексноrо сопряжения, транспозиции и умноже
ния на матрицу т] В результате ПОЛУЧИМ
(да '1'+ аа д 4 'Ф+ а 4 +- 'Ф+ %) т] === О. (22.61)
Здесь учтено, что матрицы a (по краЙней мере для рассматри-
ваемых полей спина 0,1 и 1/2, как это следует из приведенных
выражений для матриц Даффина Кем мера (22.19) и (22.32) и
матриц Дирака (22.42)) MorYT быть выбраны самосопряженными
(эрмитовскими), т. е.
+ .
a/.t === а", === a .
(22.62)
Используя теперь допустимую неоднозначность в опредеоlении
матрицы т] (см. (22.54) и (22.60)), мы можем наложить на нее
дополнительные оrраничения, потребовав, чтобы (' ее помощью
можно было перей от уравнения (2261) к уравнению отно-
сите.'!ЬНО функции , удовлетворяющему требованиям реляти
RИСТСКОЙ инвариантности. Очевидно, для этоrо достаточно по-
требовать, чтобы матрица т] об.13дала слеДУЮЩИ\1И перестано-
вочны!\IИ свойствами относительно матриц (X :
аа т] == т] аа' а4 т] === т] а 4 , (а == 1, 2, 3).
При этом из (22.61) сразу получаем уравнение
д 111а/.t + %111 == о,
(22.63)
(22 64)
которое, как нетрудно проверrrть, учитывая, что -ф' == 'lJ S 1 .
д с=. L "a", удовлетворяет условию релятивистской инвариантности
(22.49).
Таким образом, матрнца билинеЙноЙ инвариантной формы
(22.53) определяется соотношениями 1 (22,54) (или (22.54а)),
(22.60), (22.63)
s+ т] s == т], аа т] == т] аа> а.4 т] == т] а4,
т] == Ч * == ч -== т]+ -== '11-1.
(22.65)
После введения билинейной инвари.:lНТНОЙ формы \IJ '1' == '1''' т] '\-)
(22.53) можно построить дополнительные инварианты из функ-
1 Общий метод построения матриuы 1] применитеJ1ЬНО к уравиеIlЮI,1
д:ш часJИЦ произвольноrо спина ИЗJ1ожен в раБОТе Ф. И Фс,.ЩРОВd
(см Becui АН БССР. сер фiз -мат навук, 2, 85, 1967)
192
ций поля, их производных И матриц a>t. Так, например, соt'ласНО
(22 49), выражение
'Ф aJ.l 'Ф
(22.66)
преобразуется как четырехмерный вектор:
'iJ' U>t 'Ф' -ф S l а l1 S 'Ф == LJ.lp 'iJ ар 'Ф.
(22.67)
Поэтому величина
дJ.l ('Ф aJ.l 'IjJ) == (aJ.l 'ф) aJ.l 'Ф + aJ.l (дJ.l 'Ф),
(22.68)
так же как и 'Ф (22.53), будет инвариантом относительно пре-
образованиЙ .лоренца.
Лаrраижиан Использование для описания полей, соответ-
С80бодноrо ствующих любым спиновым частицам, урав-
ПО.1Я и динамиче- нений перВОI'О порядка в универсальной
ские переменные форме позволяет унифицировать ИЗ.Т(ожен-
ную выше Jlаrранжеву формулировку теории ПО.Т(Я. Так как
для любых спиновых полей уравнения (22.44) и (22.64)
(aJ.l д!! + х) Ф (х) == О,
(дll ,p(x))UJ.I + x (х) === О
имеют одинаковый вид, то, очевидно, и лаеранжиан поля, из
KOToporo MorYT быть получены эти уравнения, также будет
Иметь одинаковую af/.5l всех полей форму. При таком оПисании
специфика каждоrо KOHKpeTHoro поля связана со структурой
функциЙ поля ч. (х) (для полеЙ с раЗ.1IИЧНЫМИ спинами функ-
ции 'ф (х) будут содержать различные наборы неприводимых
представлений rруппы .лоренца) и матриц a ll (подчиняющихся
для разных полей, вообще rоворя. различным перестановоч-
ным соотношениям).
При построении лаrранжиана свободиоrо поля, оцевидно,
остаются в силе сформулированные ранее (см. Э 9) общие тре-
бования инвариантности, вещественности и линейности. Вместе
с тем очевидно, что так называемое условие простоты (см. 3а,
стр. 119), определяющее порядок дифференциальных уравне-
ниЙ, используемых для описания полей, должно быть видо-
изменено Для Toro чтобы уравнения поля не содержали про-
из водных выше чем Первоrо порядка, лаrранжиан не только
Ilе должен содержать членов с высшими производными ОТ
функций поля в каждое из таких слаrаемых MorYT входить
первые производные либо от функции 'Ii (д JA.Ф )' либо ОТ функ-
ции 'Ф (дJA.Ч')' но не обе производные одновременно.
193
Выше было оказано, что, ИСХОДЯ ИЗ трансформационных СВОЙСТВ
функций 'Ф и 'Ф, можно ввести следующие инварианты (скаляры)
(см. (22.53) и (22.68)):
'Ф, ;j;аJl(дJl'Ф), (дJl'Р)аJl'Ф, дf!( Jl'Ф),
причем три последних не НЕ'зависимы, а связаны СОО1ношснием
(22.68). Нетрудно видеть, что эти выражения удовлетворяют всем
требованиям, предъявляемым к лаrранжиану поля.
Таким образом, общий вид лаrранжиана поля будет опреде
ляться некоторой линейной комбинацией приведенных инвариантов
L == а 'Фа l-l(дJl 'Ф) + Ь (дJl 'Ф) аJl'Ф + c-:;j;'Ф, (22.69)
которую с учетом соотношения (22.68) можно также представить
в виде
a b
L ==- ['Фа!! (д!!'Ф) (д!!'Ф) а!!ф] +
2
а+Ь -,
+ О!! ('ФаJlф) + СФ'Ф,
2
или после отбрасывания несущественноrо члена, имеющеrо вид
четырехмерной диверrенции (см. стр. 82 ):
L а Ь [ a!! (дJlф) (д ) аJl'Ф] + Сфф
2
(22.70)
Этот лаrранжиан приводит к правильным выражениям для урав,
нении и динамических переменных поля при использовании обыч
Horo вариационноrо метода, если положиты l
a b== l, c== x.
(22.71)
Итак, лаrранжиан для полей, соответствующих любым спина.
вым частицам, может быть взят в следующем виде
1
L == ф (allal-l + х) 'Ф
2
1
( (дJl'Ф) а ll + Х'Ф) ф.
2
(22.72)
Варьируя в соответствИИ с принципо наименьшеrо действия
функцию действия (считая функции фИф независимыми), мы при-
дем к следующим уравнениям поля в форме Лаrранжа Эйлера.
1 3деLЬ по прежнему ИСПО.1ьзуется СlIстема едИlНЩ ЛоrеН!lаш Хеви-
сайда
194
aL aL
a>t == == О,
д'Ф д(А'Ф)
(22 73)
aL -,
ш 011
дЧ J д (д>t'Ф)
При использовании лаrранжиана L (22.72) первое из них дает
Iравнение дЛЯ ФУНКЦИИ 'Ф (х) (22.44), а второе для функции
'Ф (х) (22.64)
Динамические перемениые поля определяются из (22.72) по
общим qюрмулам, вытекающим из теоремы Нетер
Канонический тензор энерrИИ ИМПУJ[ьса поля будет иметь видl
(см. (12.14))
aL
;:= О.
(22 74)
aL дl
T " ш (д,,'Ф) + (д\l ) ,
д (a J1 'Ф) д (д 'Ф)
(22.75)
rде учтено, что в выражения для динамических переменных вхо-
дят функции 'Ф и , уДовлеТВОРЯЮЩllе уравнениям поля (22.44)
и (22,64), т. е. обращающие лаrранжиан (22.72) в нуль. При
исподьзовании (22.72) соотношение (22.75) дает
T v== ..J l\tJаJ1дv'Ф (дv )аJ1'ф] 'i'"аJ1д,,'Ф. (22.76)
2
Orсюда, соrласно общим праВИJlам, находим для сохраняю-
щеrося 4 MepHoro вектора энерrии-импульса (см. (12.21))
PJ1 == S T4j1d3X =с= \ [\tJU4 д J1'Фj d 3 x. (22.77)
С с ...
Для тензора момента количества движения поля используем
соотношение (см. (13.9))
MJ1[Pol == TJ1p X 6 - T I16 x p
aL
у у дL
[р6] [ро1 д (д ЧJ)
(22.78)
д (д l1 'Ф)
1 В выра ениях типа (2275) соблюдается такой порядок распо.1оже-
ния функций 'Ф и '1-\ который соответствует обычным правилам переМнол<:е-
ния матриц при предположении, что функция 'Ф(х) представлена в ви:(е
матрицы-сто.1бца. а функция ,р(х) * (х) 1') (вследствие операции транс-
позиции) в ви.1е матрицы-строки, т е , например (см (Б 80»
н == ( +2'" i .
Т,) (lJ ", ., + ;ii" +« + М, l' « ' + ;:;," ,.
195
В частности, для S[J.[fJi\] тензора спиновоrо момента (см.
( 1 3. 12))
aL
SJ.I[p6] =0=
д (дJ.lЧJ)
учитывая, что (см. (10.11))
aL
У[р6] У[р<,\] ш ,
д (aJ.l'l')
(22.79)
и (см.
У [р<'\] == J[pi\] ЧJ,
(22.72))
дL 1
д (дJ.l '1') == 2 aJ.l '1',
У[Р6] == ЧrJ[рi\]
дL 1 .
д (дJ.lЧJ) == 2ЧJа 1'
получим
SJ.I[еб] == ("Р J[рб] аJ.lЧJ + \jJaJ.l J[fб] '1'\.
2
Отсюда следует, что
S[pi\J == S 'IJ[J[Рб]а4+а4J[Р6]J'РdЗХ,
2с
(22.80)
(22.81)
rде J[рб] инфинитезимальные операторы, заданные в простран
СТБе функций поля.
Наконец, для четырехмерноrо вектора плотности тока, поль
зуясь общей формулой (см. (14.16))
{е { aL дL }
11J. == J;; д (aJ.l'l') '1' ЧJ д (д!! '1)) (22.82)
из (22.72) найдем
. {е
11J. == NаIJ. ЧJ ),
пс
е S
Q == ЧJа 4 '1' dЗх.
пс
(22 83)
Полученные выражения для энерrИИ (см. (22.77)) и зарЯДа
поля (см, (22.83)) можно переписать в следующем виде:
Е == S т 44 dЗх "'" ;с 5 ф а 4 (i na t ) '1' dЗх ==
"--= : с I 1р а 4 Е 1jJ dЗх, (22.84)
rде Е iliд t обычный квантовомеханический оператор энерrии, и
1 S
Q == '1' a4e'l' dЗх.
lic
(22,85)
196
Orсюда следует, что если величину
1
пс 'фа 4 '1'
ПрИНЯТЬ за плотность вероятности, то выражения (22.84) и
(22.85) МОЖНО расематрива1h как средние значеНИЯ COOTBeTCT
вующих ве.1ИЧИН I (см. 18).
Леrко показать, что в таком же виде MorYT быть написаны
и все остальные динамические переменные поля.
Так, например, если учесть, что обычно для описания спи
новых своЙств полеЙ (частиц) (см, 20) используются лишь
три пространственные компоненты S[ab] ({аЬ]==[23], [31], {12])
тензора S[PG] и учесть вытекающие из (22.52) COOTHO
шения
(22.86)
a 4 J ra bj === J[a/J] а4,
то, соrласно (22.81), можно написать
S[ab] == S 'Ра4 ( i/i J[ab] ) 'ф d 3 x ==
пс
== r \ра4 (<1[аЬ] ) 'ф d 3 x.
I1с J
Отсюда следует, что операторы проекции спина имеют вид
<1[аЬ] == ihJ [аЬ] . (22.89)
Из приведенных соотношений очевидны преимущества дaH
Horo подхода. лаrранжиан, уравнения поля, динамические пе
ременные Д.'IЯ любых полеЙ записываются в универсальной
форме. Вся специфика конкретных полеЙ связана при этом СО
структурой и алrебраическими свойствами матриц aJ.l.
(22.87)
(22.88)
Импульсное
представление
для уравнений
nepBoro порядка
23. Метод проективных операторов для уравнений
свободноrо поля в импульсном представлении
В общей теории релятивистских волновых
уравнениЙ доказывается, что решения ypaB
нений первоrо порядка
(aJ.l al-l + х) '1' (х) == О (23.1)
обязате.1ЬНО должны удовлетворять уравнениям типа ypaBHe
ния КlеЙна шФока 2, т, е.
(д х 2 ) 'ф (х) == О.
(2з.2)
, Разумеется, приведенные рассуждении носят пока лищь иллюстраТJ4В
выЙ характер, поскольку (>ще Не установлена ПО. ожительная определеч-
ность веЛIlЧИНЫ ЧЮ4Ф и не uпределена нормировка функций 1jJ Правоме')
ность TaKoru расс 'отреIlИЯ будет обоснована в ' 23.
2 См, наf1ример, Х У м J Д З а в а Квантовая теорНЯ ПО:IЯ ил, 1958
197
Д.1Я скалярных и векторных попеЙ это) словие очевидно, по.
СКО.1ЬКУ уравнения (23.1) н (232) по существу ЭКВИВ3.1ентны
Apyr друrу (см вывод уравнениЙ (2220), (2237) и (22.,'38).
В применении к уравненню Дирака это также является оче
видным, ибо пос.тrеднее было получено непосредственно из
уравнения Клейна Фока (см. стр 186, 187).
ИЗ сказаННоrо следует, что общее решение уравнениЙ пер-
Boro порядка (2.3.1), так же как и в случае уравнений (23.2),
может быть представлено в виде некотороЙ суперпозиции (ин
теrрала или ряда Фурье) монохроматических волн де БроЙля
рх (pr ,1)
'Рр (х) === '1' (Р) е h '1' (р) е n (23.3)
Здесь '1' (р) мноrокомпонентная функция, обладающая теми же
трансформационными свойствами, что и функция 1р {х).
Переходя к ,так называемым атомным едиющам, т. е., ПО.1аrая
n===с===1,
вместо (23.1) (23 3) будем иметь соответственно'
(а\.lдl-l + m)'I'(x) === О, (23.1а)
(д т 2 ) '\1 (х) -=:с О, (23.2а)
'Рр (х) === '1' (р) е'РХ == '1' (р) el(pr EI) . (23.3а)
Каждая из плоских водн (23.32) может рассматриваться как
частное решение уравнений (23.1) и (23.2), соответствующее co
стоянию частицы с заданными значениями энерrии 8 и импуль-
са р.
Подставляя в (23.1а) и (23.2а) функцию (23.3а), получим
(23.4)
(ia P\.l + т) '1' (р) eip == (ip + т) '\10 (х) == О,
JL
(p + т2) чес (х) === О,
(23.5)
(23.6)
rAe введено обозначение Р === a. L PJL' у равнения (23.5) и (23.6)
представдяют собой уравнения поля в импульсном представлении.
Из (23.6) следует известное ре.тlятивистское соотношение для
четырехмерноrо импульса
p === р2 == р2 Pg .... р2 1',2 == т 2 , (23.7)
которое указывает на существование двух типов решениЙ урав-
HeHия (23.5), соответствующих состояниям с положительной и от-
рицательной энерrией (частотой):
е == + l' р2 + т 2 и t === v р2 + т 2 .
(23.8)
198
Следуя инт('рпретаwш состояний с отрицательной энерrией, кото-
рая была дана Р. Фейнманом (см стр. 139), мы можем отнести
знак энерrии (частоты) за счет изменения направления отсчета вре
мени и рассматривать два типа решений уравнения (23.5), которые
имеют вид
'Ф::!:р (х) 'Ф (::1:: р) e otiPx == 'Ф (:!: р) eoti(pr t) , (23,9)
считая величину е в обоих случаях положительной. В соответ-
ствии с этим уравненпе (23.5) можно написать отдельно для функ
ций 'Ф ( + р) и 'Ф ( р)
А
iр'Ф(+ р) т'Ф(+Р), iр'Ф( р) ==т'Ф( - р),
или
, ,
iр'Ф(+ р) ==- +т'Ф( р), tр'Ф( р) == т'Ф( р). (23,10)
Здесь функция 'Ф (+ р) относится к положительно частотному
решению, а 'Ф ( p) к отрицательно частотному (см. (23.9».
Эти функции можно рассматривать как собственные функции
оператора i Р (иrрающеrо роль Maccoвoro оператора), отвечаю
щие двум различным по знаку собственным значениям: + т и
т, причем знак массы (+ или ) в этом с.ТIучае определяет
знак энерrии (23.8). Поэтому в дальнейшем под массовыми со-
стояниями, соответствующими значениям массы т т и т,
следует подразумевать состояння, с различными по знаку вели-
чинами Е.
Попутно заметим, что в системе, относительно которой части-
ца покоится, т. е.
р == О, р == (О, ipo), р2 == рб == 1',2 == т 2 , (23.11)
уравнения (23.1 О) принимают вид
ро а4'Ф (шr ро) == т'Ф (+ Ро), ро а4'Ф ( ро) == Ш т 'Ф ( po), (23 12)
rде (с!\!.(23.9»
'Фotр.(х) == 'Ф (::1:: Ро) e=Fipoxo .
(23.13)
(22.64)
(23.14)
Аналоrичным образом, чтобы получить уравнение
д Ф (х) а!! + т f(x) == О,
в импу.1ЬСНОМ f!редстаВ,lении мы до.тl/КНЫ взять
'PotP (х) 'Ф (т р) e+ iPX , 'Ф (::!:: р) -== 'Ф+( р) 1'],
(23.15)
что да ет
'Ф:tр (х) (с ip + т) == О.
(23.16)
199
При расс.мотрении веК10рНЫХ чаСТИfL (см
20) отмеча:юсь, что значении знерпш Е !
импулы;а р еще не определяют ПО.1fюстью
состояние частицы, об.1адающей собп BeH
ным моментом количества движения - СПИНОl\l. Кроме этил
квантовых чисел (Е ир), требуется введение ДОПО.lнительноrо
KBaHToBoro числа, характеризующеrо СПlIновые состояния ча
етицы. Это означает, что для каждой спиновой частицы l\Iожет
-+
быrь введен оператор спиновоrо момента а с тремя проек
циями:
Спиновые
свойства
частиц
...;.
а == {аа}' а+ == а, (а 1, 2, 3).
(23.17)
Как было показано выше (см. (22.89», операторы проекции
спина в общем случае имеют вид
i ...;.
аQ== 2баьсJ[ЬСJ' а=={ iJ[2з), iJ[Зl), и[щ}, (23.18)
[де 8 аьс тен30Р Леви Чивита, т. е. непосредственно выража
ются через инфинитезимальные операторы представлений rруппы
Лоренца, J[ab), соответствующие пространственным поворотам.
Операторы <Уа удовлетворяют общим перестановочным соотноше
ниям для операторов проекций момента
[аа' а ь ] == i 8 аь ,а с ,
(23.19)
в чем можно убедиться непосредственно, ИСПО.'IЬЗУЯ перестано-
вочные соотношения для операторов J[Jl.V] (см. (8.67». Отсюда
следует, что если ввести оператор квадрата момента
J =:;; ai + <Y + a ,
коммутирующий со всеми <Уа'
[-;2, аа] == О, (23.21)
то одновременно измеримыми величинами будут собственные зна
...;.
чения операторов а 2 (23.20) и oAHoro из <Уа' например аз. Tor да
в соответствии с общими положениями теории моментов в кван-
товой механике можем написать
(23.20)
....
а 2 -фs,sз (х) ==s(s+ l)-фs,s, (х), (23.22)
(1З'Ф,,<, (х) == 8з 'Фs", (х), (23.23)
[де -фs,s, (х) общая собственная функция операторов и аз, от-
вечающая их собственным значенИЯМ s (s + 1) и
8з == О, jш 1, ..., :::t: s
(23.24)
200
в С,1учае цслоrо спина (5 Ш целое), или
, 1
5з == -
2 '
3
1 ::t:: 5
2 ,..,
(23.25)
в случа" полуuе,10r о спина
МаКСlIмальнос значение проекции 5з, равное 5, определяет
(обств.:ннос значение квадрата спиновоrо момента 5(5+ 1)
и является важнейшей (постоянной для данноrо типа частиц)
характерIlСТИКОЙ спиновой частицы. Ero называют спи новы м
KBaHToBbf'V! чис.10М, или просто спином. В этом смысле, напри
мер, rоворят, что (ПШI векторных частиц равен 1 (8== 1), а спин
дираковских частиц равен 1/2 (8== 1/2). Формулы (2324) и
(2325) показывают, что величина 8 полностью определяет Ha
бор возможных СПИ новых состояний частицы, соответствующих
раз,'rичным значениям проекции 5з на выде.Т]енное направ,Т]е
ние, выбранное в качестве оси z (общее число таких состоя
нии равно 28+ 1). в качестве этоrо направления для свобод
ноЙ частицы естественно выбрать направление ее движения,
т е. направление TpexMepHoro вектора ИМПУ.'lьса
n === , п 2 == 1.
I pl
(23.26)
Оператор проекции спина на это направление можно написать
в:виде (см. случай BCKTopHoro поля S 20)
-+ О'Р i
О'р == О'п == о' n == == б аьс PaJ[bc]'
I р I 21 Р I
Соответственно уравнение (23.23) принимает вид
(23.27)
а п 'Ч's,Sп == sn 'Ч's,Sп'
(23 28)
[де sn по прежнему пробеrает значения (23.24) или (23.25). Функ-
ция состояния частицы, соответствующая заданным значениям
энерrии с:, импульса р и проекции спина 5 п , до.:Jжна быть общим
решением уравнений (23.5) и (23.28)
ip 'Ч'р,S п (х) == т 'Ч'Р'Sп (х)
и
О'п 'Ч'Р'Sп (Х) == sn ФР'Sп (х).
в соответствии с общими пo.rюжепRЯМИ квантовой механики
Необходимым и достаточным условием существования таких реше
НИЙ являеТся условие коммутации операторов о'п И (р, т. е
л л
100п, р] "'" aпp PO'п ==0.
(23.29)
201
В этом случае величины р, е и S" будут одновременно измеримыми.
Подстамяя в (2329) операторы ар (23.27) и ip (Р!! a!l' с
учетом (22.52) получаем
, , л 1
[ip, ар ] ip ар ар ip ==' баьсРаР!l [а!! J[bc]
21Р\
1
J[bC] a!l] =ос б аьс РаР!! (БЬ!lас БС!l(/.Ь) ==
2!р\
1
== (баЬсРаРьu. с б аьс Рарсаь) == О.
2\рl
Отсюда следует, что для движущеЙся частицы условие
(23.29) будет выполнено, ес.'lИ в качестве направления, на KO
торое проектируется спин, взять направление движения части
цы (п== p/\pl).
Аналоrичным образом в случае покоящейся частицы (см.
(23.11) (23.13)), коrда роль оператора ip==ip!l(/.!l иrрает MaT
рица (/.4, используя (23.29) и (22.87), леrко показать, что
[а4, а[аЬ]]== О. (23.30)
Это означает, что здесь в качестве оператора проекции спина
может быть взят любой из трех операторов (23 18) Таким об
разом, в случае покоящейся частицы направление п, на кото-
рое проектируется спин, может быть выбрано прОИЗВО.'lЬно и,
следовательно, в качестве оператора проекцин спина можно
взять
i
оп == б аьс па J[bC]'
2
(23.31)
rде n любой единичный вектор.
Оператор проекции спина (см. (2з.27) или (23.31)) может
быть представлен и в друrом виде. Д,'!я 3Toro используем обо
значение (см. (19.25))
б аьс па == (ПХ)Ьс'
rде п х матрица, дуальн.ая вектору п, и введем в рассмотре-
ние векторы el и , образующие с n правую систему ортов (см.
(20.6) (20.8))
eleZ eln === ezn == О,
е 2 == е 2 == п 2 == 1
1 2 '
n === [elezl.
в соответствии с этим можно написаты l (см. (19.26))
(ПХ)Ьс == ([el ]X)bC б аьс (б аkl е 1k е 2 д == (el,e2 e2,el)bc,
1 См.' Ф. И. Ф е Д о ров. Теория упруrих ВО.1Н в криста.1.1ах. NI.,
«Наука», 1965
202
т. е.
П Х (е],е2 e2,el)' (23.32а)
Здесь использованы обозначения для матриц диад «el.e2)ik ==
== e li e 2k ) и учтено, что
б аi б аj б аk
б аьс Б Uk == бы Б Ьj Б Ьk .
б сi б сj бсk.
Если же мы воспользуемся круrовыми векторами «20.5), (20.8»
e(:f:) == 12 (еl 1: ie2). (e(:f:»2 == О, e(:f:)e('I=) =с 1.
то будем нметь
П Х .=о i (e( ) .е(+) е(+) 'e( ». (23.32 б)
Таким образом, оператор проекции спина (23.31) с учетом
(23.32а) и (23.32 б) может быть написан в следующих трех экви'
валентных формах:
i 4
О'п == '2 О'аЬс naJ[bCJ ПО' == [ele2] а,
i i
О'п == (ПХ)Ьс J[bc] -== (еl.е2 e2'el)bc J[bc], (23.31 б)
2 2
(23.31 а)
1
О'п =с (e\ ) .е(+) е(+) 'e( »ьc J[bc]'
2
(23.31 в)
Приведенные выражения Д.1Я оператора проекции спина не
являются релятивистски ковариантными, поскольку при преобра.
эованиях Лоренца общеrо вида они MorYT изменять свою форму.
': звестно], что эти операторы можно привести к явно ковари'
нтной форме. Будем считать, что оператор проекции спина О'"
'23.31) задан в такой четырехмерной системе координат, относи.
ельно которой частица поко:ится (р "-= (О, ipo) == (О, imo», и, сле.
овательно, единичный вектор n может быть взят в произволь.
ом направлении (см. стр. 202). Выражение (23.31) можно пере.
'исать в виде
1
О'п == б 4аьс P4 п a J Cbc]'
2т
1 См, наПрИ\lер, 10 lvI.. Ш и р о к о в. ЖЭТФ, 21, 748, 195], А А Б о-
У Ш, ФИФ е Д о р о в Весцi АН БССР, сер. фiз -тэхн навук, 2, 26, 1962
n приведенную там биб,lиоrрафню Специфическое ковариантное описание
Iспина Д<1НО в ра601е Ф. И Федоров и Е. Е Тхарев, ЯФ, 7,189,
,1968.
203
Очевидно, в случае произвольной четырехмерной системы KOOp
динат, коrда р == (О, ipo) --+ р' == (р', ip ), п == (п, О)..... п'
== (п', in ), оператор (23.31) 6удет иметь следующую ковариант
ную форму:
1 " J
а п == ul!vpa P/J. п " [ра]'
2т
(23.33)
Здесь б/J.vра полностью антис}{мметричный единичный тензор
в четырехмерном пространстве (!-t, "', р, а == 1, 2, 3, 4).
Указанный переход можно осуществить с помощью матрицы
Лоренца 1
( r' .r'
L == 1 + 1 '
tr
i,r' ) '
'о
(23.34)
преобразующей 4-мерный вектор' === (О, i) в r' == (r'. i' ), (,2 ==
== ,'2 ::. 1) и соответствующих преобразований в пространстве
представлений,
В результате вместо (23.31 а), (23.31 б) и (23.31 в) придем к
следующим ковариантным выражениям Д/IЯ оператора проеКЦЮI
спина:
1 " J
а l1 ' -=со u!lvpa Р п " [ра].
2то /J.
(23,35 а)
i ( " I ' ) J
а п '== е[.е 2 e2.el ра [ра) ,
2
1 ( ,( ) ,(+) ,(+) ,( » ) J
а п ' == е .е e .е ро [ра] ,
2
(23.356)
(23.35 в)
rде е;, е;, е'(Х), как Н р', п', четырехмерные векторы, которые
получаются при действии на векторы e 1 == (el' О), е2 == (е2, О),
е(х) == (е(х), О), р === (О, ipo) и п == (п, О) прео6разованием Ло-
р'
ренца L (23.34). При этом принято, что (' == , rде то мас-
то
са частицы.
Аналоrичный подход при соответствующей модификации MO
жет быть использован также для ковариантизации оператора
проекции спина частиц нулевой массы покоя 2 , например фото-
нов. В этом случае система покоя не может быть введена и
нужно ИСХОДИТЬ ИЗ оператора проекции СПИна (23.27) на направ
! См, например, А А Б о r у Щ ФИФ е Д о р () в ДАН БССР, 5.
241, 1961
2 См. А. А. Б о r у Щ л r. 1\1 о роз Becцi АН БССР, сер фiЗ.-ТJХН
навук, 4,61, ]96].
204
k
(rде k == (k, iko) четырехмерный им
ление движения n ==
ko
пульс частицы, k 2 О), а вектор r', входящий в преобразование
(23.34), определить независимо от n. В результате получим
n' :=: L n ==' J.... ( k' + r' k' . ,' ) k' 1" ==' k' n' ==- kr ==: k o ,
r'k' ,
а оператор проекции спина принимает вид
1 " J 1 "
ап' === ak' === 2 U/.L\lpa n/.L r \1 [Р<1] "'" 2n' k' U/.L\lpa kfJ. r \1 J [ра].
(23.36)
Очевидно, выражения (23.35 б) и (23.35 в) имеют одинаковый
вид при то =1= О и то == О.
Поскольку физическое состояние частицы в
Минимальные конечном счете не зависит от Toro, как выб
полиномы
Дv1Я матриц ip и (J п рана система отсчета, существует принципи
альная возможность найти общее решение
уравнений (23.14) и (23.28) в ковариачтной форме, не связан
ной с конкретным выбором базиса пространства представле
ний, т е. без ИСПО.1Jьзования явноrо вида матриц a!l' Эта зада
ча была поставлена и решена в самом общем виде для частиц
с произвольными спинами Ф И Федоровым 1. Разработанный
им общий метод nроеКТИ8НЫХ операторов позволяет сразу по
.1УЧИТЬ решения уравнений (235) и (2328), т е. описывать
состояния любой спиновой частицы и строить на этой основе
общую теорию элементарных частиц последовательно ковари
антным путем. TaKoro рода ковариантныЙ подход придает co
отношениям теории общность и компактность, приводит к зна.
чительиому сокращению и упрощению выкладок и расчетов,
устраняет элемент произвола, связанный с выбором базиса в
пространстве Функuий 'ф (х).
В основе ковариантноrо подхода в теории полей, сопостав
.пяемых э.пементарным частицам, JIежит описание их с по.
мощью матричных уравнений первоrо порядка, при котором cy
щественные свойства частиu опреде.пяются не зависимыми от
выбора базиса (в пространстве функций поля) свойствами ос.
ИОВНЫХ матриц уравнею!,й. Появ.пяющиеся при таком описании
матричные операторы ip и О'п, как и всякие квадратные мат.
РИДЫ. удов.петворяют своим х а р а к т е р и с т и ч е с к и м
р а в н е н и я м и, следовательно, для этих операторов MorYT
ЫTЬ введены м и н и м а л ь н ы е по _1 И н О м ы (см Приложе.
li e Б) .....Фун д амеНта.1ьная роль минимальных полиномов опера
I o p и а п заключается в том, что именно знание вида этих
11\: 1 Ф. И Ф е Д о р о в ЖЭТФ, 35, 493, ]958.
11: 205
ПО.1ИНОМОВ (по своему определению инвариантных оrНОСlIтель.
но преобразований базиса) ЯВJlяется достаточным для IiO,'IY
чения основной информации о физических свойствах частиц,
без привлечения ЯВIIоrо вида матриц и функций состояния 1
На использовании этих МИНИl\lа.1ЬНЫХ полиНомов и базируется
метод проективных операторов 2.
Перей ем к определению минимальных ПОJ1ИНОМОВ для опе
раторов iP == ipv.al1 и О'п'
Следует л подчеркнуть, что м и н И м а л ь н 'о е у р а в н е н и е
матрицы ip == ipv.av. получается автоматически, если известны
перестановочные соотношения для матриц a l1 . Так, например, в
случае уравнения Ltирака
коrда (см. (22.40))
(ipl1'Yv. + т) 1.Р р (х) == О,
(23.37)
(23.38)
'У!! у" + 'У" 'У!! == 2811'"
умножив это соотношение на Pv. P ", будем иметь
у читывая теперь, что
2ii == 2р 2 .
р2 == т2,
(23.39)
(23.40)
вместо (23. 39) можно написать
р2 + т2 == О, (ip)2 т2 о, (ip + т) (ip т) == О. (23.41)
Полученное соотношение (23.41) л представляет собой минималь
ное уравнение Д.'lЯ оператора ip == iP I1 'У!! в теории уравнения
Ltирака.
Аналоrичным образом в случае уравнений Ltаффина Кем-
мера
(iP I1 PI1 + т) СРр (х) ==0,
коrда матрицы P I1 подчиняются соотношениям (см. (22.21))
PI1PVPP + РрР"Р!! == бv."РР + 6 pv PI-t'
умножая их на Pl-tРVРР' получим
р з -== р2р == щ2 р ,
т. е.
или
л Л 2
Р (Р + т 2 ) =::0,
ip [(ip?' т 2 ) О, ip ир + т) (ip т) == О.
(23.42)
1 См.. ФИФ е Д о р о в, ДАН СССР, 79, 787, 1951
2 См ФИФ е Д о р о в ЖЭТФ, 35,493, 1958.
206
Это есть минима,']ьное уравнение для матриц ip == iPv. !! в слу
чае Да{МJИна Кеммера.
в частности, заметим, что из (22.40) вытекает минимальное
уравнение для каждой из четырех матриц Дирака
'\' == 1, (у!! 1) ('\'!! + 1) == О, (23.41 а)
а из (22.21) минимальное уравнение для каждой из матриц
Даффина Кеммера:
== v.' !! Фv. 1) ( !! -+ 1) == О, (23. 42 а)
(в (23.41 а) и (23.42 а) суммирование П0!-t не проводится). Из
(23.42 а) следует, что матрицы !! имеют нулевые собственные
значения, т. е. являются особенными Ш v.1 == О).
Ф. И. Федоровым было показано 1 в общем виде, что если
потребовать, чтобы среди возможных состояний частицы отсут-
ствовали состояния, отвечающие нулеJ30Й плотности энерrии или
нулевой плотности заряда, то минимальный полином матриц а!!
(а следовательно, и операторов ip" == iPv. av.) не будет содержать
ненулевых кратных корней.
В частносп{, в рассматриваемом случае частиц с одной мас-
сой покоя т минимальное уравнение матрицы ip для любоЙ
сппновой частицы имеет вид
(i р)' [(i р)2 т 2 ] == О,
(23. 43)
[де r целое число Минимальный полином имеет здесь два
простых нену,']евых корня + т и m, блаrодаря чему указан-
'ное выше УСJ10вие будет выполнено Что касается собственно-
[о значения матрицы ip, paBHoro нулю, то оно может быть и
кратным корнем уравнения (2343). Однако это не имеет су-
щественноrо значения, поскольку этим корням не соответст-
вуют состояния частицы, имеющие физический смысл.
Минимальное уравнение для оператора проекции спина О'п Б
случае целоrо спина (s == О, 1, 2, ...), коrда собственные значе-
нИя S k) оператора О'п определяются формулой (2з.24), заПl:JСЫ-
I,i ется следующим образом 2 :
Q (О'п ) -== О'п [(О'п )2 12] [(ап )2 22] ... [(а п )2 (s k»)2]
[( О'п )2 S2] == О, (23.44 а)
1 1 1 то время как в случае полvuелоrо спина (s == 1/2, 3/2, . ..),
r rда проек ции спина принимаю т значения (23.25), будем иметь
1 ФИФ е Д о ров. ДАН СССР, 79, 787, 1951.
2 ФИФ ед о ров. ЖЭТФ, 35,493, 1958
207
Q (а n ) == [(оп)2 (112)21 [(а л )2 (3/2)2] ...
... [(ал)2 (5 k»)2J. . [(а л )2 52) == о.
(23.44 б)
Здесь 5 максимальное значение проекции спина. Существенно
подчеркнутЬ, что минимальные уравнения (23.44 а) J{ (23.44 б)
для оператора проекции спина ал не имеют кратных корнеЙ 1
Так, например, при 5 == 1/2, коrда 5 п == + 112 и 1/2, со-
rласно (23.44б), имеем
( 1 ' 1 )
а п ) ( ал +
, 2/ . 2
== О,
(23.45)
а при s == 1, коrда su :.=; 1, О, + 1, в соответствии с (23.44 а)
получим
ап(ап 1)(ап+ 1)==0.
(23.46)
Перейдем теперь к изложению сущности метода проективных
операторов 2.
Проективные
матрицы- диады
Перепишем минимальное уравнение
(23.43) матрицы i Р следующим образом:
(ip:t т) РСХт) ( ip) ир :t т) [ир)' ир + т)) == О,
или
ipP:f::т( ip) == :t mP:rт( ip),
(23.47)
rДе матрица
P:i:т ( ip) == иР)' ир + т)
(23.48)
представляет собой так называемый урезанный минимальный по-
лином, соответствуICЩИЙ массовым состояниям + т и т час
тицы с 4 импульсом р- (р, ipo) (см, стр. 199). Из (23.47) следует.
что каждый столбец матрицы Р хт, если ero рассматривать ка!'
вектор, будет удовлетворять уравнению (23 10)
i Р '" (:t р) == :t т", (.:t р),
(23.49)
1 Отсутствие кратных корней у минимальных ПО.'JIIНОМОВ ;J}IЯ маlРИЦ
ал, а следовательно, и Д.,я матриц а[аЬ] iJ[ab}(23 18) Ю,Iтекает из об
щей теорни представлений rруппы трехмерных вращений (см., наприме;!
И. М r е л ь Ф а н д. р А М и н л о С, 3 Я. Ша пир о Представления
труппы вращений и труппы Лоренца М. ФИ'1rawтrиз, 1958). Напомним, ЧТО
инфинитезимальные операторы J[ab] труппы Лоренца, определяющие оп'с
раторы проекций спина (J [аЬ] (23 ] 8). соответствуют пространственным по.
воротам и являются одновременно инфинитезима.%ными операторам!!
rруппы вращений подтруппы rруппы Лоренца
2 В дальнейшем мы будем следовать работе: Ф. И. Ф е Д о р о в Про
ективные операторы в теории элементарных частиц, (ЖЭТФ, 35. 493. 19581.
отраничиваясь случаем частиц с одной массой покоя
208
т. е. будет пропорционален соответствующей функции 'Ч'(:f:Р)'
Важно подчеркнуть, что урезанный минимальный полином
P:f:m ( (p) (23 48) из-за отсутствия в минимальном уравнении
(23.42) кратных ненулевых корней (а только они соответствуют
физическим состояниям частицы с неНУ.'Iевой массой покоя), как
показано Ф. И. Федоровым 1, содержит в себе все линейно неза
висимые решения уравнения (23.49).
Естественную нормировку урезанноrо минимальноrо полинома
P:f:m (23.48) можно получить, если учесть, что, cor ласно (23.49),
дей ствие ero на любой полином f( i р) дает
Рхт ( ip) f ( ip) === P:f:m ( ip)f ( т)
и в частности
P:f:m ( ip) P:f:m (ш ip) == Р :f:m(-i: т) P:f:m ( /p),
откуда в силу Toro, что полином P:f:m ( ip) (23.48) не содер-
жит ненулевых кратных КОрНеЙ и, следовательно, P:f:m (::t т) за-
ведомо отлично от нуля, можно написать
Р .Л ) P:f:m( ip) } ) ( .Л )
:f:m ( tp == Р ( ) :f:m tp .
:f:m ::+:т
Таким образом, исходя из урезанноrо минимальноrо ПОЛИНО-
u
ма P:f:m ( ip) (23.48), можно ввести нормированныи оператор
( .Л ) Рхт ( ip)
a:f:M tp Р ( +т ) '
:f:m
(23.50)
для KOToporo, как леrко проверить, будет выполняться соотно-
шение
r a:f:m ( ip)]2 == ахт ( ip).
(23.51)
В соответствии с общим определением (см. Приложение Б) опе
раторы ахт (23.50), удовлетворяющие условию (2з.51), будут
представлять собой nроектuвные операторы, выделяющие соот-
ветственно состояния частицы с положительной (+ т) и отри-
цательной ( т) массой (энерrией, СМ. стр. 199). Леrко про-
верить, что для этих операторов справедливо соотношение 2 {см.
(Б.14»
а+ т a т == О.
1 Ф. И. Ф е Д о р о в ДАН СССР, 79, 787, 1951.
2 Ввиду Toro что минимальный полином (2343} для оператора ip мо-
жет иметь нулевые (в том числе кратные} корни, не соответствующие 'PI1-
зичеСКЩI состояниям, условие (Б.l7} дЛЯ операторов ат{ в общем случае
не будет иметь места.
209
Из физических соображений С,1едует, что в слу ае свобод н ы \
полей (частиц) содержащиеся в матрицах P+т( ip) и P т( irJ)
(23.50) различные состояния, отвечающие одним и тем же Зна.
чениям импульса р == (р, ipo) и массе (энерrии) с определенным
знаком, MorYT отличаться только значением проекции спина 5(k).
Соrласно современным представлениям, не существует ДРУI'ИХ
характеристик, кроме р, т l и 5(kJ, за счет которых моrли бы
различаться состояния одной и той же свободной частицы.
Для выделения состояний с различными проекциями спина
также можно использовать соответствующие проективные ОПе
раторы.
Поступая таким же образом, как в случае операторов iр, из
минимальных уравнений (23.44 а) и (23.44 б) для оператора про-
екции спина а п , переписав их в виде
Q (а" ) == (а" 5 k») Qk (а" ) == О,
(23.52)
можно выделить урезанный минима.1ЬНЫЙ полином
Qk (а" ) == ап [a 12)... [а" + 5 k)] ... [(а п )2 52]
в случае целоrо спина или
Qk(a n ) == [a (+ YJ... [an+s;j')] .., [(an)2 S2]
в случае полуцелоrо спина, соответствующий данному значению
S(k)
n .
Вводя, как и в предыдущем случае, нормированные опеРа"
торы
R R ( ) Qk (а" )
t-'k t-'k а п Qk (S k)) ,
получим! (см. (Б. 15) (Б. 17)):
(23.53)
28+]
==со k' k l ==со О, (k =f= 1), " == 1
k 1
Это означает, что операторы k == " (а п ) (23.53) являются про-
ективными (см. Приложение Б) и с их помощью можно любоС'
(23.54)
1 Здесь использована теорема, соrласно которой для любоrо ПОЛИНО\1J
f (х) степени п, не имеющеrо кратных корней. имеет место соотношение
п
{(х)
(X Xk)
k !
J
, J,
tk (х,,)
( f (х)
f,,(x) =р О ) ,
X X" '
rдехk простыe корни уравнения f(x) == О (см. Ф. И. Федоров. ЖЭТФ,
35, 493, 1958).
210
сосrояние 'Ч' разложить по состояниям, соответствующим всем
значениям проекции спина:
'Ч' =.со 'Ч'h' 'Ч'k -== h'Ч" аа'Фh ==оs k)'Ч'k'
k
(23.55)
в сипу Toro что операторы ip и а п по определению (см.
(23.29» коммутируют друr с друrом, любые их комбинации, а
следовательно, и проективные операторы а ! ир) (23.50) и 1> (а п )
(23.53) будут также коммутировать, т. е.
al k ==' 1>al' (23.56)
Отсюда следует, что оператор
LI1> ==о al h (23.57)
обладает свойством LZ k ==о 't 1k (см. (Б. 9»), т. е. является проек
тивным.
Таким образом, по определению оператор LI1>' представляю
ЩИЙ соБОЙ некоторую матрицу, удовлетворяет уравнениям:
а п 't 1h -== s k) 't 1k ,
(23.58)
ip ТlI, ==о т 1 T'k'
т. е. определяет общее решение 'Ч'11> уравнений.
а п 'Ч'lh ==о S k) 'Ч'lk'
(23.59)
ip 'Ч'11> =0= т 1 'Ч'11>'
соответствующее фиксированным значениям 4 MepHoro импуль
са Pl' массы тl и проекции спина s k). Поскольку, как уже oт
мечалось, все корни минимальных уравнений для i;; (23.43)
(здесь имеются в виду ненулевые корни тm и т) и для а о
(23.44 а) и (23.44 б) являются простыми, И урезанные минималь
ные полиномы Рm! ( ip) содержат все линей/Ю незавuсuмые
решения, функция 'Ч'11>' отвечающая фиксированным собст
венным значениям т 1 и Sh k ) операторов ip и а о (при заданном р),
будет единственной.
Поэтому из (23,58) и (23.59) вытекает, что все столбцы MaT
рицы Llk должны быть пропорциональны одному и тому же
мноrокомпонентному вектору 'Ч'lk' И, следовательно, матрица Llk
представляет собой (см. (Б.81) и (Б. 87}) матрицу диаду
'11, ==О'Ч'lk'ср 'Ч"q)..=: 't,
(23.60)
211
составленную из вектора Ф == Фll. И HeKoToporo пока неизвестно
ro вектора 'р. Элементы этой матрицы определяются по правилу
(Б. 82):
(')ir == фjСРr'
причем (см. (Б.88) (Б. 90))
(2з.61)
't == (ф'ср) == ср'ф, 1;+ == 1;* ='"" qJ*'ф*, SpT == срф. (23.62)
Для определения функции 'р, входящей в матрицу диа ду:
т ==- -Ц, == aZ k == Фlk . ср == ф . ср, (23.63)
воспользуемся свойствами маrрицыI тj (см. (22.65»)
Тja4 == a 4 Тj, aaТj == Тjajl (а == 1, 2, 3),
которые с учетом эрмитовости матриц Ct!J. (Ct;t == Ct!J.) И мнимости
четвертой компоненты импульса (р: == Р4) ПрИБОдят к COOTHO
шению
ipТj == тj (ip)+. (23.64)
Кроме Toro, соrласно (22.54 а), (23.17) и (23.18), имеем
Тja с::: aТj == a+Тj. (23.65)
Из (23.64) и (23.65) следует, что
TZk тj == ТjTh;, (23.66)
или
ф 'ЧJТj == Тjcp*. ф*.
(23.66а)
Умножая равенство (23.66 а) (с учетом приведенных в Приложе.
нии Б правил (см. (Б. 84) (Б. 86))) слева на некоторыЙ про-
ИЗВОJ1ЬНЫЙ вектор Х, а справа на матрицу Тj, будем иметь
хФ 'IpТj2 == XТjcp* 'ф*Тj. (23.67)
Если мы учтем, что матрица тj удовлетворяет условиям (22.60)
тj == rJ* тj == Тj+ == Тj \
а zф и XТjIp* являются скалярами, то из (23.67) получим
. *
Ip == ;ТjЧJ . ф*'У] == с ф*Тj == с -ф,
zф
rде С некоторое число.
Таким образом, подставляя (23,68) в (23.63), ИМеем
Tlk == Сф.ф.
(2 1.б8)
(2з.69)
212
Нормировка
функций
состояний
Для определения коsффициентов С, ВХОДЯЩИХ
В матрицу диаду (23.69), воспользуемся тем,
что 1: с /! является проективной матрицей, т. е.
(С1jJ'ф)(С1jJ'lР):; С 2 (ф1jJ)1jJ'ф;; С1jJ.ф. (23.70}
Пос.'Iе взятия следа от выражения (23.70) (см. (23.62» получим
С 2 (1J;p)2 == С ф\jJ,
откуда следует C,p1jJ == 1. Очевидно, поскольку фф по опреде
лению вещественно, С также является вещественным числом.
Поэтому если теперь перейти ]{ функции 'Р' == 1/ ICI 'Р, то
для нее будут справедливы С.'Jедующие условия нормировки:
'Р' ф' :; + 1 при Ф\jJ>О
и
1Р' ф' == 1 при 'Р'!' < О.
Итак, опуская штрИХ при Ф == 1jJ1/!' можно написать
1: 1 /! == al k ::t 1jJlk . 'Фlk'
ФСkФlk == z 1
(23.71,
(23.72}
(23.73}
причем
Sp Тс/! == ::t Фlk 1jJlk == 1,
т. е.
определяет нормировку ФУНКllИЙ 1jJ1/!' которая носит название
нормировки по эн.ерсии; или инвариантной нормировки.
Наряду с ЭТим применяется И друrая нормировка, так назы
ваемая нормировка по заряду
1jJа 4 ф :t 1 .
(23.74,
Эти две нормировки связаны друr с друrом соотношением
Ро
ф а 4Ф ос"' 'фф.
т
Действительно, переписав уравнение
(23.75)
..
(ip + т) 1jJ (р) о
в виде
А
'фiрф mфф==iР!t(фаl!1jJ) (23.76)
и учитывая, что это выражение является инвариантом, можно
принять
фа/.! 'ф == r;' P!l' (23.77)
213
поскольку единственным четырехмерным вектором, содержащим-
ся в 'Фа l1 'ф, является 4-мерный вектор импульса Ptl' от KOToporo
зависят функции данноrо состояния 'Ф == 'Ф (Р) и Ф =сс 'Ф"'(Р) '1']. Из
(23.77) следует
iPI1 ('Р U I1 'Ф) с=. iC' р2 iC' т 2 "'" т ф'ф,
т. е.
С' 'ф .
[т
(2з.78)
Таким образом, (см. (23.77)) имеем
, Ф'Ф ipo Ро
)а4'Ф С Р4 ==- Р4 im == im 'Ф'ф """ т 'Ф'ф,
что и тре60валось доказать. При нормировке (23,75) вмест(;
(23.71) получим
т
Tll< == 'фll< ''Фll< ==::t al R' (23.79)
Ро
Стоящие при условиях нормировки (2373) и (23.74) два
знака (х) можно связать с индефинитностью энерrии или
заряда 1. Энерrия положительно определена (дефинuтна), eC,JJII
для всех состояний 'Фо l (соответствующих Bce l ВОЗМОЖНЫ'\l зна
чениям энерrии, импульса и проекции спина 2), взятых в си-
стеме покоя частицы (коща Р -==- (О, ipo) (О, ie)), билинейная
инвариантная форма \jJо l'Фоl>О. Для дефиниrности заряда необ-
ходимо, чтобы 1р о lщ'Фо l >О д,'!я всех 'Фа l . Существует фундамен-
тальная теорема теории элементарных частиц, доказанная
В. ПаУJIИ 3 и носящая ero имя, соrласно которой для частиц с
полуцелы.'.t спином плотность энерzuи (а СJIедовательно, и по.'I-
ная энерrия) не .I,!ожет быть положительно определенной, в то
время как для частиц с целым спином не может быть дефиNUТ
ной плотность заряда. В общей теории релятивистских ВQЮЮ-
вых уравнений доказывается 4, что в случае частиц со спина t/
1/2, коrда, соrласно теореме Паули, энерrия индефинитна, за
ряд будет положите.zьно определенным, и, напротив, в С,lучае
частиц со CпUHO/..r. О и 1, KorAa индефинитен заряд, дефиНUТНОll
будет энерсuя (мы оrраничиваЕ'МСЯ полями (частицами) со
спинами О, 1/2, 1, поскольку в данной книrе поля с более вы-
I См и. rельфанд, А Я'I'ЛО>.! ЖЭТФ, 18,703,1096,1948
2 Здесь учитывается, что в состоянии покоя все проекции спина равно
l1равны и их значения не влияют на знак динамических переменных (см
Ф И. Федоров. ДАН СССР, 79,787,1951, ЖЭТФ, 35,493,1958).
3 См В_ П а у л и Ре.1ятивистская теория элементарных чаС'Тнц [ос-
техиздат, 1947
4 См И [e. ь Ф а н д, А 511'.1 О М ЖЭТФ, 18, 703, 1096, 1948
214
СОКИl\1I! спинами не рассматриваются) При этом оказываеТС\I,
что знаки t и в условии нормировки (23 73) COOTBeTCTBY
ют знаку энерrии, а в уСЛОВИИ нормировки (23 74) знаку
заряда
Таким образом, можно написать:
а) при нормировке по Эllерl'ИИ (см. (23.73»
(для спина 1 /2) (для спина О и 1)
ф(+р)ф(+р)== + 1, ф(+Р)Ф(+Р) == + 1,
ф( р)ф( р)== 1, Ф( Р)Ф( Р) == + 1
(23.73а)
(23.736)
и соответственно (см. (23.75»
:;р (+р) a 4 1j) (+р) + Ро , Ф (+р) а4Ф (+ р) ;= + Ро , (23. 75а)
т т
ф ( р)а4ф ( p) == +- , '1) ( p) а 4 ф ( p) == , (23.756)
т т
б) при нормировке по заряду (см (23.74»
ф ( + р) a41j) ( + р) == + 1,
ф( р)а4Ф( Р) == +1,
и соответственно (см. (23.75»
, (+ Р) 1j) (+ Р) ==. + .!!::.,
РО
т
'р ( p)1j) ( p) == - ,
ро
'1) (+р) a41!J (+р) == +1, (23.74а)
'1) ( p) а4'Р ( p) == 1 (23.7 4б)
т
1(+p) 1 (+р) ==+- , (23.75в)
ро
ф ( p) 1\1 ( р) ==..j .!!::., (23. 75r)
РО
rде ро повсюду полОжительное число.
Используя метод проективных операторов, можно показать 1,
ч;rо для положительной определенностн энерrии необходимо и
Достаточно, чтобы для любых состоянин выполнялось условие
Sp (a ! Тj) > о,
!, для положительной определенности заряда условие
Sp (a4a ! Тj) > о, (23.81)
I е a l проективный оператор (23.50) для MaccoBoro состоя.
ця в системе покоя частицы, тj матрица били ней ной инвари
,JlТНОИ формы.
(23.80)
1 См ФИФ е Д о р о в ЖЭТФ, 35, 493, 1958
215
После определения условий нормировки для функций 1\) (= р),
представляющих собой амплитуды плоских волн
ЧJр/ ,m,,5 k (х) == 'Фm/,5k (ра е'Р/Х,
мы можем перейти к рассмотрению общеrо решения \jJ (х) ypaB
ненИЯ (23.1) в координатном представлении. Запишем это реше
иие в виде следующеrо разложения в ряд Фурье:
'1' (х) == L 12 V : [а в (р) '1'5 (р) &рх +
Р,5
+ ь: (р) '1'5 ( p) e ipx),
(23.82)
(23.83)
или
'iJ (х) == '1'(+) (х) + 'Ф( ) (х),
[де произведено разделение на положuтелыto часmоmftую
1 1 (
'Ф(+> (х) == J]72 V : а в (р) '1'5 (р) е'РХ
Р,5
(23,84)
и отрuцаmеЛЬftо частотftую
1 1т * .
'1'( ) (х) == 312 1 / Ь 5 (р) "'5 ( p) e lpX
L V ро
Р,в
(23,85)
части (сравн. случай скалярноrо поля, 18). Здесь
'1' (р) мноrокомпонентная функция с теми же трансформацион
ными свойствами, что И функция '1' (х); a s (р) и ь: (р) безраз
мерные амплитуды, s спиновый ИНДеКС. Суммирование прово
дится по всем возможным значениям импульса (от oo до +00)
и всем спиновым состояниям.
При этом коэффициенты разложения выбраны так, чтобы OT
дельные плоские волны
1 f т :1:'
1/' (:1:) (х, р, s) == L 3 / 2 1; Ро '1'5 (::t р) е <рх
при нормировке функций 1/' (::!:: р) по энерrии (см. (23.73а),
(23.73 б», т. е. коrда (см. (23.75а), (23.756»
"Р 5 (:!: р) а 4 1/'5 ( I Р) == + J?.!!.... (для спина 1/2),
т
(23.86)
"Р 5 ( :!: р) а4 ф5 C:t р) ==:J:: ро (для спина О и 1)
т
216
удовлетворяли следующим условиям нормировки.
(ф(:i:) (х, р', 8'), ф(:i:) (х, р, s» == 6 рр ' 655' ==
CC + S 'P(:i:) (х, р', S') (t4ф(:i:) (х, р, s) dJx
(для спина 112), (23. 87а}
== :t S ф(:I..) (х, р', s') (t4ф(:f:) (х, р, s) d 3 x
(для спина О и 1). (23.876)
Блаrодаря этому для функций фн) (х) (23.84) и ф( )(х) (23.85)
получим
s 'Р(+) (х) (t4Ф(+) (х) d 3 x == + I а; (р) а в (р)
р.5
(23.88}
и
S ф( ) (х) (t4'ф( ) (х) d 3 x ==
== + Ь: (р) Ь . (р) (для спина 112),
.......
p,s
(23. 89 а).
== ь: (р) Ь 8 (р) (для спина О и 1).
.......
P.s
(23.896)
в соответствии с этим, исходя ИЗ нормировки функций состоянИя
(23.86) в импульсном представлении, в соrласии С теоремой
Паули моЖно ввести нормировку на +1 для ПОЛОЖИ1'ельно
частотной ф(+) (х) (23.84) части и на + 1 или 1 для отрица
тельно частотной части ф( ) (х) (23.85) общеrо решения 'ф (4
(23,82) уравнения (23.1) в координатном представлении:
S 'P(:f:) (х) (t4'Ф(:i:) (х) d 3 x == + 1 (для спина 1/2) (23.90}
и
s 1P(:f:) (х) (t4'Ф(:f:) (х) d 3 x == :t 1 (для СПИна О И 1). (23.91}
При этом, очевидно,
S 'Р(:::!:) (х) (t4'Ф('F) d 3 x == О, (23.92}
поскольку по определению ФУНКЦИИ 'Ф(+р) и ф( р) opToro
нальны друr друrу (это следует из условия (t+т(t т == (,р (+ р).
'iJ(+р»(ф( Р)'ф( р» == (f(+р)'Ф( Р»('ф(+Р)',р( р»==о).
в результате для каждой из функций 'Ф(+) (х) И фн (х) по OT
дельности можно принять одночастичную интерпретацию (см.
18), которая позволяет рассматривать отдельные плоские вол-
ны (23.86) как функции СОСТОяния свободной частицы с им
пульсом р, энерrией е == :t .,/ р2+ т 2 и проекцией спина s ==
==s "), а квадраты модулей амплитуд а 8 (р) и ь; (р) как вероят-
217
ности соответствующих состояний. Однако подобная интерпрета
ция имеет физический смысл только дv']я частиц с целым спином.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим выражения для Динамиче
ских переменных (энерrии и заряда).
Раздеvlение общеrо решения 'ф (х) (23.82) на ф( +) (х) И 'Фн (Х),
как и в случае комплексноrо скалярноrо поля (см. 18), при
водит к разделению выражений Д.'JЯ динаМИческих переменных
на две части. Так, в соответствии с общими формулами (22.84)
и (22.85), используя введенные условия нормировки функций co
стояний, для энерrии И заряда поля получим
Е с=: Е(+) + E( ),
Q с=: Q(+) + QH,
[де энерrия Е(+) и заряд Q(+) В состояниях, описываемых функ
цией Ф(+) (х), определяются одинаково в случае целоrо и полу
целоrо спина:
Е(+) == + Х Ф(+) (х) а4 (Щ) Ф(+) (х) d 3 x == + РО la B (р)/2, (23.93)
Р ,s
Q(+) == + е \ (+) (х) а4 Ф(+) (х) d 3 x == + е la s (p)1 2 ==: + е, (23.94)
v .oioe/
P,s
а выражения дЛЯ E( ) и Q(ш)' отвечающих отрицательно-частот
ной части ф( ) (х) (23.85), в случае сшша О и 1 имеют вид
E( ) =осе + 5 'P( ) (х) а4 (Щ) 'tH (х) d 3 x == + I Ро Ib 8 (р)[2, (23.95)
tJ .s
QH с=: + е 5 1Р н (х) а4ФН (х) d 3 x == е I Ib s (p)1 2 == е, (23.96)
p,s
в то время как для спина 1/2 они имеют прОТИВОПОJ10ЖНЫЙ знак:
E( ) == + 5 ( ) (х) а4 (Щ) Фн (х) d 3 x == I Ро Ib 8 (p)12, (23.97)
p,s
Q(ш) == + е.\ фн(х)а4'Ф( )(Х)d3х==+е iЬs(Р)12 == + е. (23,98)
P,s
Таким образом, в полном соответствии с вышеИЗJIоженным в
случае спина О и 1 энерrия оказывается положительно опреде
леннон как в состояниях ф(+) (х), так И в состояниях ф( ) (х), в
то время как электрический заряд для по.дожительно-часrотнои
части имеет один знак, а для отрицательно-частотной части об
щеrо решения противоположный знак. Эти результаты пол-
ностью cor ласуются с теми рассуждениями, которые были при
ведены ранее для комплексноrо скалярноrо поля (см. 9 18). Сле-
218
Довательно, при принятои ОДIIочастичнои интерпретации можно
сказать, что функция 'Р(+) (х) (23.84) описывает СОСТОЯlше cвo
бод ной частицы (со спином О И.1JИ 1) С зарядом Q(+) + е и
средней энерrией Е(+) == "i ро la s l 2 , в то время как функция
.....
p,s
'Фн (х) (23.85) состояние соответствующей античастицы с про
тивоположным по знаку зарядом Q(Ш) == е и средней энерrиеи
E( ),== + Pu Jb s l 2 , имеющей, как и в С,1]учае частицы, положи
.oioe/
p,s
тельный знак.
Вместе с тем, очевидно, подобная интерпретация в случае
частиц с полуцелым спином оказывается неприеМ.1Jемой ], по
скольку современная физика не знает таких дираковских ча
стиц, которые имеJ1И бы одинаковые зарядЫ И противополож
ные по знаку энерrии, как это получается в рассматриваемом
случае (см. (23 93), (23.94), (23.97) и (23.98».
в заключение следует подчеркнуть, что хотя проективная
матрица диада
1:/11.== Ct/ II. == 'P/II. .,'11/11.
дает не саму функцию 'Фlk, а некоторую билинейную комбина
цию из ее компонент, тем не менее все входящие в теорию oc
новные величины, имеющие прямой физический смысл, как
энерI'ИЯ, нмпульс, заряд, плотность тока и т. д., MorYT быть не-
посредственно выражены через 1:111..
Так, например, в соrласии с (23.93) и (23.94) для энерrИ!f
и заряда отдельной плоской волны можно написать
Е(+) ==,р+ а4 Е 'Ф+ .:= Sp[ а4 Е 'Ф+ .f+) == Sp !а4Е 1:+J, (23.99)
Q(+) == e'i) l-а4'Р+ ==Sp [ е Ct4'Ф+ '1Р+ ) == Sp [ е а4 1:+}. (23.100)
Метод проективных операторов О,казывается весьма эффек
тивным при проведении расчетов сечений для процессов взаи
модеиствия элементарных частиц (см. rлаву IX и Приложе
ние В).
9 24. ДираКОDCкое поле
Характерные особенности дираковскоrо поля при описании
ero с помощью уравнении первоrо порядка (23.1) (Ii == с == 1)
(YI-t д/1 + т) 'Р (х) = О (24.1)
! :::JTa труДНОСТЬ находит СБое разрешеиие во вторично,квантованной Teo
рин за счет введения специфических правил квантования, учитывающих
статистику частии с полуиелым спином (См: В. П а у л и Релятивистская
теория элементарных частиц. М, rостехиздат, 1947).
219
определяются тем, что 4 х 4-матрицы уравнения Дирака )1\.1 (мат-
рицы Дирака) подчиняются перестановочным соотношениям
{см. (22.40»
)I\.I)lv + )lv)l\.l 2б\.lV'
(24.2)
После перехода к импульсному представлению уравнение
{24.1) принимает вид
(ip+ m)'iJ== О, ip==ip\.I)I\.I' (24.3)
,
тде оператор ip удовлетворяет минимальному уравнению (см, (23.41»
(ip т) (ip + т) == О. (24.4)
01: сюда сразу получаем урезанные минимальные полиномы
р :J:т( ip) (23.48) для дираковскоrо поля
, ,
р :J:т( ip) ::::: ip + m
и проективные операторы a:i:т ( ip) (23.50)
(24.5)
" ip + m
а+ т ( ip) ==
2т
( .' ) ip m ( 24.6 )
а т ! р == ,
2т
выделяющие два массовых состояния (с + m и т), т. е. со-
<:тояния с положительной и ОТРИIJ,аТeJIЬНОЙ энерrией дираковской
частицы.
Покажем, что дираковское ПOJIе действительно описывает
частицы со спином 1/2. Для этоrо необходимо найти выражения
для спиновых операторов (23.18)
i
IJ а == 2 баьсJ [Ьс]'
т. е. определить вид инфинитезимальных операторов J[abJ в
пространстве четырехмерных функций 'iJ (х), удовлетворяю
щих уравнению Дирака (24 1). Очевидно, эти операторы, как
}\ всякие матрицы в четырехмерном пространстве, MorYT быть
выражены через 4Х4 матрицы Дирака 'У \.1, т. е. MorYT быть
представлены в виде некоторой линейной комбинации 16 He
зависимых матриц 'УА (А==1,2, . , 16), образующих так назы-
ваемый базис алrебры Дирака. Матрицы 'УА Можно найти, ес-
:ш воспользоваться перестановочными соотношениями (242)
и с их помощью выделить независимые пронзведения матриц
'У \.1 , содержащиеся в выражениях
1'\1' 1'\11'", 'Y 11 'Yv'Yp, )lj.I'YvYpVa' (24.7)
(Произведения более чем четырех матриц Дирака 'Y\.I будут
обязательно содержать одинаковые матрицы 'YIJ. (,..t, '\1, р, а. . .==
220
== 1, 2, 3, 4) и в соответствии с (24.2) MOrYT быть сведены к
приведенным (247»). Величины (24.7) можио рассматривать
соответственно как тензоры 1, 2, 3 и 4-ro paHroB. В качестве
первых четырех независимых элемеН10В ,\,А базиса алrебры
Дирака естественно взять сами матрицы '\'11' Следующие неза-
висимые комбинации получим, разбивая тензор BToporo раю'а
'\'11'\" на независимые части (см. стр. 70, 71):
1
2 ('\'11'\''' '\''''\'11)'
t ('\'11'\'" + '\''''\'11) : «')11"'\' '
1 «') 2
4 \1V'Y p .
(24.8а)
(24.86)
(24.8в)
Используя (24.2), сразу находим, что все матрицы (24.86) обра-
щаются в нуль, а выражение (24.8в) определяет единичную мат-
рицу. В результате из тен30ра '\'11'\''' выделяется 7 элементов ба-
зиса: шесть независимых матриц (24.8а) и матрица 1. Проведя
аналоr.ичные операции над всеми возможными парами индексов
для величин '\'\1'\''''\'Р и '\'11'\''''\'P'\'O' леrко убедиться, что новые,
не учтенные до сих пор комбинации матриц '\'\1 мы получим,
выделив антисимметричные по всем индексl1м произведения, т. е.,
например,
'\'1'\'2'\'з, '\'4'\'1'\'2, ,\,з'\'4'\'1, '\'2'\'з'\'4
и
'\'1'\'2,\,з'\'4.
Таким образом, в качестве базиса алrебры матриц Дирака '\'11
можно взять следующие 16 независимых 1 матриц '\' А :
1
1, )'11' 2 ()'\1)'" ,\,,,'\'11)' '\'&'\'11' )'&, (24.9)
[де введено, как обычно, обозначеиие
'\'& == )'1'\'2)'з'\'4' (24.10)
Отыскание матриц J[I'-"] теперь не представляет труда, если
учесть, что среди элементов базиса (24.9) TO.1JЬKO матрицы (24.8а),
как и матрицы J[j.t"]' имеют два тен30РНЫХ индекса и обладают
одинаковыми свойствами симметрии отноСИТельно перестановки
ЭТих индексов. Поэтому можно принять, что
1
J[I1"] == a2 ()'I1'\',, )'v'\'I1)' (24.11)
1 См, например, G о о d R Н. Rev Mod. Phys., 27, 187, 1955.
221
rде а некоторый числовой коэффициент. Подстав.'1ЯЯ (24.11) н
общие перестановочные соотношения (8.81)
[J[/!V]' J[PCl]J == б/!р J[VCl] + 15'0 J[u.P] бl!О J[vP] б.;р J[/!O] (24.12)
для инфинитезимальных операторов представлений rруппы .пo
ренца и учитывая (24.2), найдем, что они будут выполняться
для матриц (24.11) при а == 1/2. Поэтому инфинитезимальные
операторы J[/!V] представления rруппы Лоренца в пространстве
Дирака будут иметь следующий вид:
1
J[I!V] 4 (YI!Yv YVY/l)'
Таким образом, операторы спина (24.6) Д.IJЯ дираковскоrо
поля с учетом соотношенИЙ (24.2) можно написать в виде
(24.13)
i i
аа == 2 баьсJ[ьс] == 4 б аьс УЬУ с '
(24.14)
или
-;; == ja,,} == { + У2'Уз, + УЗУ1, + У1У2}. (24.15)
.пеrко проверить, используя (24.2), что в данном случае опера-
тор квадрата спиновоrо момента (23.20) будет п редставл ять
собой скалярную матрицу
..... 3
0'2 0"2+a2+a2 == I (24.16)
1 2 3 4'
собственные значения которой по определению (см. (23.22» свя-
заны со спиновым числом s соотношением
3
5(5+ 1) == .
4
(24.17)
Orсюда следует, что спин дираковских частиц, как и пред-
полаrалось, равен 1/2 (5 == 1/2). Следовательно, дираковская час-
тица может находиться в двух спиновых состояниях С 5 п
== + 1/2 и с 5п == 1/2.
Введя оператор проекции спина на направление n (для дви-
жущейся частицы
n == l) (см. (23.27»
Ipl,
i i
о"п == ар == 4 ОаЬс па УЬУ с == 4ТР\ б аьс Ра 'Уь'Ус (24.18)
222
или
i ......
ал == 2 У5'\'4 П == па,
(24. 19)
rде
n == Уа па' -;; == {+ У5'\'4'\'1, + '\'5'\'4'\'2, + '\'5'\'4УЗ}'
нетрудно убедиться, что
1
a == I.
4
(24.20)
Это означает, что минимальное уравнение для оператора проек-
ции спина ал (23.18), (2з.19) в случае дираковских чаСТIЩ имеет
вид (см. (23.45»
( ал )( ал + +) == о. (24.21)
Отсюда в соответствии с общими правилами (см. (23.53» Ha
ходим выражения для проективных операторов
1
р. ( a ) == + a
1" --J.. л 2 л'
2
(24.22)
1
(ал) 2 ал,
2
ВЫДеляющих состояния диракоьской частицы с проекцией спина,
u 1 1
равнои + и - соответственно.
2 2
(24.23)
Таким образом, комбинируя попарно операторы ахт ( i р)
(24.6) и операторы -t 1/2 (ал) (24.22) и 1/2 (ал) (24.23) в соrла-
сии с общим определеНlIем матриц Tlh. (23.57), мы получаем сле-
дующие четыре проективных оператора:
't--J..m.+l/2 == a-tm ( ip) +1/2 (ал) ==
1 Л ( l )
== 2 (т ip) 2 + ал '
(24.24)
'Т'Тт. 1/2 == а+ т ( ip) P J/2 (ал) ==
1 л
== (т ip)
2т
( 1 '
a )
2 n '
(24.25)
223
T т,+1/2 == a т ( ip) +I/2 (а п ) ==
1 . '1 '
== (т + tp) ( + а п ) ,
2т , 2
,
1: == а ( Ш i p) р. 2 ( а ) ==
т 1/2 т I-' I/ n
1 .' '1 '
== ?;;;(т +lp) (2 а п ),
(24.26)
(24.27)
определяющих четыре возможных состояния дираковской частицы
с четырехмерным импульсом р == (р , i е), дву мя знач еШfЯМИ
массы :t m (энерrии е == + V' р2 + т 2 и е } р2 + т 2 ) и дву
1 1
мя значениями проекции спина Sn == + и Sn == для
2 2
каждоro из массовых состояний.
Используя различные возможные представления для оператора
проекции спина а п (см. (23.31а), (2з.316) и (23.31в)), в рассмат
риваемом случае дираковских частиц (учитывая (24.2)) 6удем
иметь
i i л
а п == 40ab,пaYbYC=- 2 У5У4 П ==пи,
i i
и == ele2 == e2el,
п 2 2
1 (1 Л(+-)Л( » ) 1 (1 Л( )'(+» )
и== e е , e е
п 2 2'
е == 'Уа е а , (а == 1, 2, 3)
(24.28)
(24.29)
(24.30)
и соответственно для проективных операторов (24.22) и (24.23)
р. == + и == ( 1 п ) ==
1-':,: 1/2 2 n 2
1 ( . Л )
== 1 + t 'У5'\'4П ,
2
1 1 л ) '.L
Р. == + а == е ( е ( , )
1-'+1/2 2 n 2 '
1 1 л ,
р. =-= и == е (+)е (_ш)
1-' 1/2 2 n 2 '
224
(24.31)
(24.32)
1 1 .
:t!/2 == 2: ал == (1 + (еlе2) ==
2 2
1
== (1 :t ie2el)' (24.33)
2
Аналоrичным образом при ковариантном описании спина (см.
(23. 35а), (23. 35б), (23.35в)) можно написать
а , == '\'5 р'п', (24.28а)
п 2т
i " i "
а п , == е!е 2 == е 2 еl'
2 2
(24. 29а)
а , == (1 e'(+)e'( ») == .J.. (1 eт( )e'(+)) (24.30а)
п 2 2
и соответственно
1 1 ( 1 1 Л )
::!:!/2 == 2 ::i:: а п ,== 2" l::t '\'5Р'n' ,
R .J.. (1 ..1... Л'М )
t-'::!:1/2 2 :!: aп' 2 Ее 2 е 1 '
р. 1 + ',( ) 'Ч+).
t-'-t 1/2 2 а п , 2 е е ,
р. 1 1 Л,(+) ,( ) )
t-' 1/2 == 2 а п ,== те е ,
, " ) '" ,( ) ,(+)
[Де р == (р, (ро' n, е!, е 2 , е , е четырехмерные векторы,
полученные в результате преобразования векторов р == (О, i),
n == (п, О), е1.2 == (el,2, О), е(::!:) (e(::!:), О) с помощью матрицы
Лоренца L (23.34), е' == e '\'IL'
Подставляя полученные выражения для :i: 1 /2 (а n) в формулы
(24.24) (24.27), мы наЙДем проективныеоператоры для четырех
возможных состояний дираковской частицы. Эти операторы, как
было показано в общем случае, можно наШlсать в. вцде проек-
тивных матриц-диад (см. (23.71))
T::!:т.::!:1/2 == 'Фd::lj2 (:!: р) , 1:l:1/2 (:!: р), (24.34)
(24.31а)
(24. 32а)
(24. 33а)
rДе (р) == -Ф+1l, а 1] матрица билинейной инвариантной формы.
Используя общее определение (22..65), леЩQ проверить, что
в случае дираковских частиц в качестве матрицы 1] следует
5ЭЯТЬ матрицу '\'4, т. е.
1] == '\'4'
(24.35)
22S
с учетом изложенноrо Д,lЯ проективных матрнц диаД (24.24) .
(24.27) можно написать.
л (т р) == 't т,:r1/2 'P 1/2(:t P)''P''-1!2(::\: р) ==
1 ' ,
== (т =+ ip) (1 =+ i 'У5'У4П)
4т
:J:
Л (::\: р) .== 'Ф:t:l/2 (::!:: P)''P 1/2(::t р) ==
1 ( " )(l 'Л' )
== m + t Р + tele2 ,
4т
:t: -
Л (::!: р) == 'Ф:J:1/2 (::!:: р) ''P:J:l/2 (::!:: р) ==
1 л л л (
== (т ::с ip) e('f)e )
4т
и соответственно при ковариантном описании спина:
л:J:(::\: р') =='Ф:J:l/2(::\: р') .1jJ 1/2(:!:: р')==
1 .л, . л,
== (т + Ер ) (1 + t 'У5п ),
4т
Л:J: (::!:: р') == 'Ф::!: 1 /2 (::\: р') . ::!: 1 /2 (::!:: р') ==
== (т =+ ip') (1 + i ;;;),
4т
Л ::!: (+ ' ) .I' ( .L ' ) . ( .L ' )
Р 't' :J:l/2 --'. Р 'P:J:l/2 Р
1 ( . л, ) ",('f)',(:J:)
== m + Ер е е .
4т
25. Уравнения Даффина Кем мера
(24.36)
(24.37)
(24.38)
(24. 36а)
(24. 37а)
(24.38а)
Выше (см. стр. 179 186) было показано,
что уравнения скалярноrо и BeKTopHoro
полей MorYT быть написаны в стандартной
матричной форме релятивистских волнов Х
уравнений первоrо порядка
( Il д ll + т) 'Ф (х) == О. (25.1)
При этом в случае скалярноrо поля функция 'IjJ (х) (22.8) Ii MaT
рицы 5) (22.19) определены в пятимерном пространстве:
'Ф (х) == { 'Ф о (х) } , 5) :="0,,,. + e ll . O , f.t =со 1, 2, 3, 4, (25.2)
'Ф1l (х)
Некоторые
свойства
алrебры матриц
Даффина КеммеР:l
226
а для описания вектор Horo поля используется десятимерное
представление (см. (22.30) и (22.32»:
'Ф (х) ==- f'Ф1! (х) l, O) 0= eP,[Pfl] + e[P/l],p, (25,3)
l 'Ф[/lV] (х) J
rде [/-Lv] .== [23J, [31J, [12J, [14J, [24), [34J.
Матрицы А(5) и: (lO) подчиняются общим перестановочным
t' IJ. fl
соотношениям Даффина Кеммера (см. (22.21»
I! " P + PP V I! == el!vPp + eP" I!' (25.4)
что позволяет мноrие вопросы теории скалярноrо и BeKTopHoro
полей paCCMaTpffвaTb с общей точки зрения: целый ряд основных
соотношений имеет одинаковый вид для обоих полей. При этом
мноrие общие свойства этих полей MorYT быть непосредственно
получены из перестановочных соотношений (25.4), определяющих
алrебру MaTp}lti ДаффJlна Кеммера I!' В дальнейшем ради упро
щения изложения мы широко будем использовать представление
матриц (5) и (lO) через элементы полной матричной алrебры
fl fl
АВ 5
е (см. (2 ,2) и (25.3».
АВ
Напомним, что для матриц 8 справедливы следующие оп
ределяющие их соотношения (см. (22.11) и (22.16»:
( АВ ) АВ CD AD
е CD == е АС e BD , 8 е =о. е ВС е ,
(25.5)
причем в рассматриваемом случае, КOI'да учитываются только
независимые компоненты тензора 'Ф[Il V ] (см. (25.з»
e[/lv][PO] == el!p15"o ejJ.a8vp' (25.6)
Пользуясь этими правилами, исходя из определения матриц
fI 5) (25.2) и IO) (25.3), можно построить базис алrебры матриц
Даффина Кеммера в 5. ff 10-мерном пространстве СооТветственно
В первом случае в качестве 25 независимых матриц можцо
взять:
80.0- == + ( 2 1),
eO,j.t == + /l ф2 l),
(25.7)
8 1t ,O =- + I! ( ? 4),
B/l,V == + PIl V ( 2 4),
227
rде 1 (см. (22.17) и (22.18)) 2 I! I!' И
1:;0,0 Р === + ( 2 1), Р ==е).!,1! == + ( 2 4) (25.8)
проективные операторы, выделяющие соответственно скалярную
и векторную части 5 MepHoro пространства.
Аналоrичным образом базис алrебры 10 MepHЫX матриц Даф
фина Кеммера 10) (25.3) может быть задан в виде следующих
100 независимых матриц2:
81-'." == (бl!V V Il) Р,
е,,[а р ] === ( a v p (\CI P) Р,
в[РО],,, == (ба'V р p " a)P,
e[I-'V],[рО] == (б'V(! I! Р 1! o 'V p) Р,
(25.9)
rде (см. (22.33) (22.34))
Р == 8""'1'- === 2 2, Р == e[U.V],[I-' ] == 3 2
2
(25. 1 О)
проективные операторы, выделяющие из 10 MepHoro прост
ранства Даффина Кеммера векторное и тензорное подпрост-
ранства соответственно.
Очевидно, любая 5x5 или 10х 10 матрица, определенная
в соответствующем пространстве Даффина Кеммера, может
быть представлена в виде некоторой линейной комбинации
элементов соответствующеrо базиса (25.7) или (25.9).
Так, например, исходя из общих условий, определяющих
матрицу т) (см. (22.65)), можно показать, что матРИца били
нейной инвариантной формы в пространстве Даффина Кем"
мера (как 5 , так и 10 MepHoM) имеет вид
т) с::::: 2 1.
(25.11)
Необходимые для дальнейшеrо ИНфИlIитезимальные опе-
раторы J[I!'" представления rруппы Лоренца в 10 MepHOM
пространстве наЙдем, взяв единственную возможную (анти-
симметричную относительно двух свободных ее тензорнь]'(
1 См. А. А Б.оrуш, Ф И. Федоров. ДАН БССР, 6,81,1962.
А А. Б or у ш ДАН БССР, 5, 155, 1961.
2 См А А Б о r у ш. ДАН БССР, 6, 22, 1962; А А Б о r у ш, А И
Б о л с у н Весцi АН БССР, сер фiз -мат. навук, 4, 65, 1966
228
индексов) комбинацию элементов базиса (259) следующеrо
вида
J[I'-\'] ==- а (еР е \",1) + ь (e[I1P],[V p ] е [\'Р] ,[iJ.p]), (25.12)
которая, соrласно (25.9), при использовании (25.4) дает
J [11\'] (аР + ЬР) ( 11 \' , \' I1)' (25. 12а)
Подет авляя тепер ь (25.12а) в общие перестановочные co
отношения (8.81) для инфинитезимальных операторов rруп
пы Лоренца, с помощью (25.4) нетрудно проверить, что они
будут выполнены, если в (25.12а) положить
аР + ЬР == 1, (а == Ь == 1),
т. е. взять
J[I1'\1] == 11 '\I vI311'
(25. 13)
vчевидно, такоЙ же результат мы получим и в пятимерном
пространстве Даффина Кеммера.
Описание скалярноrо и BeKTopHoro полеЙ
Проекrивные
матрицы диады с помощью матричных уравнений первоrо
для скалярноrо порядка уравнений Даффина Кеммера
и Be TopHoro (25.1) позволяет использовать при ПОСТрО
полеи (т>;ьО) ении теории этих полей последовательно
ковариантньiй подход, основанный на при мене нии метода
проективных операторов (см, 23). Это, в частности, озна-
чает, что, как и в случае дираковскоrо поля, возможные
состояния скалярной и векторной частицы в импульсном
представлении MorYT быть заданы с помощью соответствую
щих проективных Матриц диад.
Уравнение Даффина KeMMepa (25.1) в импульсном представ-
лении, т. е. коrда решение берется в виде монохроматической
ВОЛНЫ 'Фр (х) == 'Ф (р) e ipx , соответствующей заданному значению
4-мерноrо импульса р == (р, ipo) == (р, i в), имеет вJЩ
I
А А
(ip + т) 'Ф (Р) == О, р == Р I1 11. (25.14)
ри этом минимальное уравнение для оператора /р ВВJЩу общ
flости перестановочных соотношений (25.4) будет одинаковым для
калярноrо и BeKTopHoro полей (см. (23.42»
ip(ip m)(ip+ т) == о. (2з.15)
Отсюда, соrласно общим правилам построения проективных
ператоров (см. (23.50», для двух и:меющих фи:зически:й смысл
aCCOBЫX состояний (+ т и т) получим
а+ т == а(+ р) ==
ip (ip т)
2т 2
(25. 16)
229
a т а ( р) ==
ip (ip + т)
2т
(25.17)
Операторы а+т и a т имеют одинаковый вид для скаляр-
Horo и BeKTopHoro полеЙ. Однако в случае скалярных (бес-
спи новых) частиц эти проективные операторы будут пол-
ностью определять состояния этих частиц, соответствующие
фиксированным значениям 4 MepHoro импульса р и двум
возможным значениям массы (энерrии). Это означает, чт()
каждыЙ из операторов (25 16) и (25.17) будет выражаться
только через одну функцию состояния Ф ( + р) или Ф ( p) соот-
ветственно. Отсюда следует, что эти операторы MorYT БЫТh
пред ставлены в виде соответствующих проективных маТРИll
диад (см. (23.71»:
а+ т == щ +р) ==
,
ip(ip m) ===ф(+р)'ф(+р).
2т2
(25.16а)
a т === а ( p) ==
, л
ёр (ёр + т) ='-Ч' ( p) 'ф( р).
2т2
(25. 17а)
в случае векторных частиц, обладающих спином, проек-
тивные маТРИllЫ (2516) и (25.17) будут содержать не одно,
а все три линейно не зависимые решения уравнения (25 14).
соответствующие всем ВОЗМОThНЫМ спиновым состояниям
{см. 23) векторноЙ частицы Для выделения этих состояний
необходимо ввести соответствующие проективные операторы
h(O'n) (23.53).
Оператор проекции спина О'" для векторной частицы, со.
rласно (23.31) и (2513), будет определяться выражением
О'" === б аьс пaJ[bc] == i баьспа ь с'
2
(25.18)
Путем непосредственных вычислений, наПРffмер с помощью
представления 10х 10 матриц Даффина Кеммера Р!' в виде
(25.3), можно убедиться, что минимальное уравнение ;:L.1Я
оператора проеКllИI( спина <Тп (25.18) имеет вид
<1" (<1" 1) (<1" + 1) == о.
(25.19)
Это означает, что векторная частица, как 9ТО и требуется.
может находиться в трех возможНых спнновыл состояниях,
соответствующих трем различным корням уравнения (25.19),
определяющим собственные значения оператора а" (25 18)
230
Таким образом, в соответствии с общими правилами (см.
(23.53)) из (25.19) находим следующие три просктивню.
оператора:
1
(+l) =:;= 2 ал (ал 1),
1
( l) === ал (ал 1),
2
(25.20)
(25.21)
(O) == 1 a ,
(25.22)
выделяющие из функций сос тояния с заданным значением им
пульса р и энерrии 8 == :t V р2 + т 2 , т. е. из 'ф (+ р) и 'ф ( p)
или из соответствующих проективных операторов а (+ р) (25.16)
и а ( p) (25.17) состояния с проекций спющ равной + 1, 1
и О соответственно.
В результате, комбмнируя попарно операторы ;(25. 16) и (25.17)
с операторами (25.20) (25.22), мы ПОJIУЧИМ шесть проективных
матриц-диад A(Sk) (рд:
A(+l) (::1: р) == ал (ал + l)ip(ip z т), (25.23)
4т 2
1 А А
A( l) (::!: р) == ал (ал 1) ip(ip =+= т), (25.24)
4т
Л(0)(:t р) == 2 2 (l a ) ip ир +- т),
(25.25)
определяющих 6 возможных независимых решений уравнения
(25.14) для векторной частицы.
Так же, как и в случае дираковских частиц, оператор проек
,Ц}fИ спина (25.] 8) векторной частицы можно выразить с помощью
бщих формул (23.31б) и (23.31в) в следующем ВИДе:
ал == i (eleZ e2el)' е == е а a'
(25. 1&)
ал === ( ( )e (+> (+>е ( ». (25,186)
В частности, для состояний с прO€кцией спина, равной + 1
Или 1, особенно удобным оказывается описание спиновых
Iсвойств векторной частицы с помощью оператора (25.] 86), по-
iСКО.пьку в этом случае прO€ктивные операторы (25.20) м (25.21)
принимают простой вид
=: а (а I 1) === (е (+»2 (e( »2 (25.20а)
(+1) 2 л л" ,
231
== о" ( О" 1) c= ( ;( »2 ( (+)2.
( 1) 2 n n
(25.21а)
Кроме Toro, используемые при таком описании KpyroBbIe векторы
е(:!:) =-.о 12 (el::t ie2) естественным образом связываются с Kpy
rовой поляризацией волны, соответствующей этим спиновым co
стояниям векторной частицы (см. 20).
Если перейти к релятивистски ковариантному описанию спи
новЫХ свойств векторной частицы!, то, cor ласно общим фОрМУ.'IaМ
(23. 35a) (23. 35в), операторы проекции спина для этой частицы
с учетом (25. 13) можно написать следующим образом:
1 "А
О"п'== б llvрй Pll n'll Pt'a'
m
(25.26)
ап' == i (е; е; е; е;), (е' о=- e Il)'
( -,( )-,(+) -,(+)-,( »
aп'== e е e е ,
(25.27)
(25.28)
[де используются обычные обозначения (см. стр. 204). В частности,
при использовании оператора (25.28) проективные матрицы диады,
определяющие состояния векторной частицы с положительной
энерrией и проекциями спина + 1 и 1, будут иметь ВИД (см.
(25.23), (25.24), (25.20а) и (25.21а».
л(:!:I) (+ р') =='Ф(:1:1) (р') .1j)(:1:1) (р') ::::;:
P ' (p ' im )
== (e,(:f:»2(e,('f'»2
2т2
(25.29)
Разумеется, как для скалярноrо, так и BeKTopHoro полей,
общее решение уравнений Даффина Кеммера в координат-
110М представлении можно представить в ВИДе суммы поло-
жительно- и ОТр'ицат льно частотных частей '\1(+)(х) и '\1н(Х)
(см. (23.82) (23.86) ). Эти функции при справедливоЙ для
частиц целоrо спина нормировке (см. (23.87б), (23.88),
(23.896), (23.91» 6удут описывать состояния свободной ска-
лярной или векторной частицы и соответствующих им анти-
частиц, энерrия и заряд которых будут определяться cOOТ
ветственно формулами (23.93) и (23.94) и (23.95), (23.96)
(причем повсюду в этих выражениях вместо матрицы а.\
нужно взять матрицу Даффина I(еммера {14),
1 А А. Б о r у ш ДАН СССР, 149, 1286, 1963, А А. Б о r у Щ А. Ii
Б о д с у н ДАН СССР, 155. 1046, 1964
232
Как было показано в 22, уравнения CBO
БОДНОI'О электромаrнитноrо поля MorYT
быть представлены в виде обобщенно.
ro уравнения Даффина Кеммера (см
(22.38) )
( !' д!, + тР) Ч' (х) О. (25.30)
Здесь Il 1 Ох 1 О матрицы Даффина :К:еммера (22. 32), P про
ективный оператор (22.34), выде.rJЯЮЩИЙ из 10 компонентной
функции электромаrнитноrо поля Ф (х) шесть тензорных компо
нент Ч'[Il\1]' соответствующих напряженнастям поля, а m HeKO
торая константа (см. ПРИ.rJожение П.
В импульсном представлении (Ч' (х)==ф(р)еipХ) функции электро.
маrнитноrо поля Ч' (р) в соответствии с (25.30) удовлетворяют
уравнению
Проективные
матрицы
диады для
9лектромаrнитнOI'О
поля
или
ир + m Р) Ч' (р) == О, (р == PIL f')'
В Ф (р) == О,
(25.31)
(25.32)
rде
А
В == ip+ тР.
(25.33)
23) при
с нулевой
Применение метода проеКТИВt:lых операторов (см.
решении этоrо уравнения (как и для любых частиц
массой покоя) имеет свои особенности l ,
Найдем минимальное уравнение для оператора В (25.33) урав-
нения (25.32). Пользуясь свойствами матриц Il и Р (см. (22.18),
(22.22» и учитывая, что в случае электромаrнитноrо по.rJЯ тУ==о,
имеем
В2 == (ip)2 + im (Рр + рР) + m 2 P==(ip)2 + тВ,
(B2 mВ)2 == (ip)4 == ТУ (ip)2 == О,
B2(B т)2 О.
или
(25.34)
Таким образом, в отличие от минимальноrо уравнения
(25.15) для векторных частиц с ненулевой массой покоS! ми
.Нимальное уравнение (25.34) для оператора В (25.33) урав'
. ения электромаrнитноrо поля (25.32), описывающеrо час
m.ицы с нулевой массой (фотоны), имеет кратный корень,
оответствующиiI интересующему нас нулевому собственно
y значению оператора В. Вследствие этоrо, хотя столбцы
(урезанноrо минимальноrо полинома (см. (23.48»
1 См Л r 1\1 о р u з, ФИФ е Д о р о в Труды Ин-та физики и мне.
Iатики АН БССР, 3, 154. 1959,
2ЗЗ
B(B т)2 и удовлетворяют уравнению (2532) (см (2534)
и (2347)).
(ip + тР) [В (В т)2] В [В (В т)2] О,
они MorYT содержать в себе TO.тJbKO нефизические решения,
т. е. такие решения, которым соответствует нулевая энерrия 1.
Используя введенные в случае BeKTopHoro поля операторы
проекции спина на направление движения ао (25.18)
i
СТО СТр б аьс naJ[bcJ
2
i б аЬс Па b c I i I баьсРа b c
РI
и учитывая (25.33), можно показать, что
СТО В (В т)2 О.
(25.35)
Отсюда следует, что нефизическим решениям, содержащимся в
матрице В (В т)2, отвечают спиновые СОСтояния фотона с про
еКllией спина, равной нулю,
Для О1'ыскания физических решений уравнения (25. 32) необ
ходимо рассмотреть маТРИllУ (В т)2. Прежде Bcero заметим,
что эта матрица не удовлетворяет уравнению (25.32), так как,
соrласно (25.34),
B[(B т)2] ,*0.
Тем не менее окаЗl;>Iвается, что матрица (В т)2 содержит в себе
решения уравнения (25.32). Чтобы убедиться в этом, нужно
взять не саму матрицу (В т)2, а те матрицы, которые выделя
ются из нее с помощью проективных спивовых операторов (+l) (сто)
(25.20) и H) (сто) (25.21), т. е.
+ СТО (сто :t 1)(B т)2. (25.36)
Действительно, учитывая очевидное соотношение (см. (2з.29) 11
(22.3))
СТО В == СТО ир + rrIP) == В ()о
И используя (25.35), будем иметь
В СТО (сто :t 1) (В т)2 == (сто :i 1) СТО В (В т)2 == О.
1 Ф И. Ф е Д о р о в ДАН СССР, 79, 787. 1951.
234
Отсюда следует, что удовлетворяющие уравнснию (25.32)
матрицы (25.36) содержат в себе решения этоrо уравнения,
соответствующие проекциям спина, равным + 1 и 1.
Сравнивая минимальный и характеристический полиномы
матрицы В (2533), можно показать 1, что уравнение (25.32)
не можеr иметь больше чем три независимых решения. По
скольку содержащиеся в матрицах (25.36) и в матрице
B(B т)2 решения независиМы (они соответствуют различ
ным спиновым состояниям фотона), эти три решения исчер
пывают все возможные 1fезависимые решения уравнения
(25.32). Отсюда следует, что каждое из трех выражениI"r
(25.36) и B(B т)2 содержит только по одному решению
уравнения (2532) и поэтому является матрицей диадоЙ.
Таким образом, окончаТ 1ЬНО полуЧИМ
л(:i:l) (р) == (:i:I) (p).1j;(:i:I) (р) ==
== О'п (О'п 1) (В т)2,
2т2
(25.37)
А (о) (р) == -ф(о) (р) .;р(О) (р) ===
== (I О'п)2В(В m)2 == B(B т)2
т 2 ро т 2 ро
(25. 38)
Нетрудно проверить, что матрицы A(:i:1) при выбранном коэффи-
циенте (11т2) являются проективными ((л(:i:I»2 ==A(:i:1». В то
же время для матрицы А(О), которая удовлетворяет условию
(А(0»2 == О и не является проективной, коэффициент может быть
выбран произвольным образом Он взят в виде l/т2ро лишь из
соображений удобства. Условие (А(0»2 == О свяqaно С тем, что
функции -ф(0) (р) в отлИчие от функций (:i:I) (р) представляют со-
:бой нефизические решения уравнения (25.32). Поэтому они MoryT
il1pe учитываться. Заметн , что входящие в (25.37), (25.38) 10-
li омпонентные функции -ф(s) (р) определяются обычным образом
,ICM. (22.58) и (25.11 »:
1I)(S) (р) == (-ф(S) (р»)+1); 1) === 2 ; 1. (25.39)
1 Леrко проверить, что характеристическое vравнение ДJIЯ матрицы В
(2533) имеет вид B4(B m)6 O, Из сравнения этоrо уравнения с мини
альным уравненае-м B2(B т)2=O (25 34) (, 1eдyeT. что маТРШIa В может
eTb не более че три клетки >Корда на (одну BToporo и две первоrо по-
рядка), отвечающих собственному значению матрнцы В, равному иулю.
Число же клеток Жордана определяет число независимых собствеННf,fХ
I:BeKTopoB матрицы, отвечающих данному собственному значению (О'..
,'Р Ф. r а l! т м а хер Теорня матриц. М., rИТТ Л, 1953, см. также сноску
IHa стр. 233)
235
ОчевИДНО, п роективные спиновые операторы фотона (:!: J) 'C
1
== О'п (О'п 1), которые имеют тот же вид, что и в случае
2
векторных частиц с ненуJIевой массой покоя, MoryT 6ыть запи
саны с помощью векторов круrовой поляризацйИ е(:!:) (20.5),
(20.8). В соответствИИ: с этим, подставляя выражения (25.20а) и
(25.21 а) в (25.37), получим
л(:!:!) (р) === ф(:!:!) (р) .1jJ(:!:I) (р)
=== ( ( »)2 ( (=+'»)2 (В т)2. (25. 37а)
2т 2
Отсюда, используя представление (22.32) для 1 ох 10- матриц
Даффина Кеммера Il' можно найти Функции: состояния фотона 1
-ф(:!:!) (р):
ф<::l:1)(р) == ( ip+ т)е а . 1 e :!:) (а === 1, 2, З) (25.40а)
т
и соответственно
'ф(:!:l) (р) == e:(:!:)el,a ( ip + т).
т
(25.406)
З а I ! а u u еб 10
десь е' и ь' элементы полнои матрнчнои алr ры в -
мерном пространстве Даффина Кеммера. Нетрудно проверить,
что функции Ф и 1jJ связаны соотношением
1jJ(+S)(+р)(Р Р)===ф(шS)( р), (s==::t 1). (25.41)
Общее решение уравнения электромаrнитноrо поля (25.30) в
координатном представлении записывается в стандартном виде
l См А А. Б о r у Ш, л. r м о р 03. Весцi АН ВССР, сер. Фiз.-вхн
навук, 4, 60, 1961. В аналоrичной форме MorYT быть представлены и функ-
ции BeKTopHoro поля (см, А А Б о r у Ш, А, И. Б o. с у н. ДАН СССР, 15:).
1046, 1964) Можно получить (см А. А Б о r у Ш, А. И Б о л с у н, л. r
м о р 03 Весцi АН БССР, сер фiз.-мат навук,4, 120, 1966) общую ФОР IУ-
ЛУ дЛЯ B\eKTopHoro и электромаrнитноrо полей
'r(S)(p) ... 1 ( ip +m).V,le(s) (s O, ::1: 1),
У т2 р2 11 11 v
r де в случае векторной частицы т ее масса, а в случае фотона т вве-
денная в уравнение (25.30) константа; e(:!:J) е(:!:), е(О) п ( ..PJL ..Е...,
т IP\
i I 1 ).
236
(см. (23.82» с тем отличием, что здесь в силу веществениости
поля вместо ь: (р) фиrурируют амплитуды а; (р), комплексно со-
пряженные амплитудам a s (р):
'ф (х) "'" v m (ав(р)'Ф(S) (;:1) e ipx +
L P.s 2ро
+ а; (р) 'Ф(s) ( p) e ipx}. (25.42)
Ilри этом для отдельных плоских волн
1 I
.1, (:1:) ( Х Р S ) 0== V т .1,(5) ( + р) e:l:iPX ( 25.43 )
't' " L3/2 2ро 't' ,
входящих в (25.42), имеет место нормировка (см. (23.876»:
J 'Р(+) (х, р', s') 4'Ф(+) (х, р, s) d 3 x == {jp,p {j5'S ,
(25.44)
s ( ) (х, р', s') 4'Ф( ) (х, р, s) d 3 x == {jp,p 8s,s ,
rде
;p(::I:) (х, р, s) === L 2 V 2;0 ;p(S) (:t р) e'FiPX. (25.45)
Используя (25.45) и (25.41), леrко показать, что
'Ф (х) == (Р P) 'Ф (х). (25.46)
111
ВЗАИМОДЕйСТВУЮЩИЕ ПОЛЯ
r л а в а VII
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОЛЕй
26. Основные предпосылки введения
взаимодействия между полями
Понятие о взаимодействии между полями появилось в pe
зультате обобщения представления о взаимодействии между
материальными телами, сложившеrося в ньютоновской Mexa
нике. Однако прямой перенос этоrо понятия из ньютоновской
мехамики в теорию классических полей оказался невозмож
ным. Взаимодействие материальных тел в ньютоновской Me
ханике определяется с помощью понятия силы. Через поня
1ие силы непосредственно выражаются динамические законы
движения материальных тел, а такие характеристики, как
энерrИЯ и импульс, являются чем то ВТОрИЧН,ым, ПРОИЗВОДным
от силы. Широко используемые понятия близкодействие и
и дальнодействие также первоначально возникли и выража
ЛИСЬ через силу. Близкодействие это такое взаимодеЙствие,
коrда тела испытывают действие силы при непосредственном
соприкасании дру! с друrом; дальнодействие проявляется
10rда, коrДа тела деЙствуют дру! на друrа на некотором
расстоянии. Известными примерами даЛЬНОдействия в клас
(ической физике являются rравитационное притяжение, вза.
имодействие между электрически заряженными телами.
В теории взаимодействующих полей представление о силе
Езаимодействия оказывается настолько искусственным, что
от Hero приходится отказываться В связи с этим для обобще-
ния понятия взаимодействиЯ на случай классических полей
на основе использования математических методов классиче
('J{ОЙ м хйIПНШ ИУЖlJа ТЮШя формулировка механики, в кото-
рой сила иrрает второстепенную роль. Именно таким и явля-
ется лаrранжев формализм, который был использован при
построении теории свободных, невзаимодействующих полей.
Б этом формализме основную роль иrрает понятие энерrии.
В частности, взаимодействие материальных тел в классиче-
238
екой механике характеризуется потенциальной энерrией, KO
торой об,1адают материальные тела в окружении друrих тел,
способных деЙствовать на них тем или иным образом, а сила
взаимодействия оказывается производной от этой энерrии.
С ПОМОLЦью потенциальной энерrии в классической механике
можно описывать как близкодействие, так и дальнодействие,
не прибеI'ая к понятию силы. Эта особенность лаrранжевоrо
формализма оказалась решающей при ero распространении
на теорию взаимодействуюLЦИХ классических полей.
Введение взаимодействия в теорию классических полей
можно осуществить, обобщая понятие потеНllиальнои энерrИИ
классической механики Представление же о силе взаимодей
ствия будет привлекаться только д я установления соответст-
вия между теми или иными понятиями В теориях взаимодей
СТВУЮLЦИХ материальных тел. Прежде Bcero речь будет идти
о потенциальноЙ энерrии дальнодеиствия в дискретных систе-
мах, ПОСКЩIЬКУ 060БLЦения будут касаться электромаrнитноrо
ЕзаимодеЙствия частиц.
При рассмотрении взаимодействуюLЦИХ материальных тел
потенциальная энерrия взаимодействия задается как функ
ция координат взаимодействуюLЦИХ тел, а rрадиент этой
функции по координате одноrо из них определяет силу, с
которой окружаЮLЦие тела действуют на данное тело. О со-
вокупности сил, определенных в каждой точке пространства,
'rоворят как о поле сил. Таким же образом вводится поле
"потенциальной энерrии. Однако эти поля носят формальный,
'условный характер и являются одним из способов математи-
,ческоrо описания взаимодействия между материальными
i телами.
;" Понятие о поле как физическом объекте сформировалось
11 тесной связи с возникшей на базе классической электроди-
I амики специальной теорией относительности. Соrласно по-
ледней, скорость любоrо физическоrо ПрОllесса, включая
аспространение физическоrо поля, не может превышать ско-
ости света в вакууме. В то же время в классической меха-
ике допускается распространение взаимодействия с любой
КОрОС1'ЬЮ. В самом деле, потенциальная энерrия в механике
исн:ретных систем зависит только от кординат взаимодей-
'ТВУЮLЦИХ тел, составляющих эту систему, причем любое
зменение координат окружаюLЦИХ тел в тот же момент вре-
, ени скажется на потенциальной энерrии рассматриваемоrо
ела, в какой точке оно бы ни находилось. Ес,'!и считать, что
"ела являются источниками физическоrо поля, то изменение
IПоля передается к друrим телам MrHoBeHHo.
Таким образом, если поле потеНllиальной энерrии в клас-
Сической механике и отражает каким-то образом физическое
rюле, то в значительной мере приближенно, ибо оно не учи-
2З!)
тывает конечности скорости распространения взаимодейст
вия. Вследствие этоrо место потенциальной энерrии в теории,
учитывающей физические свойства поля, должна занять He
КОТОР<=lЯ новая Величина. По своему смыслу эта веЛичина
1 акже должна быть энерrией, характеризующей взаимодейст
вие. За ней укреПИ[lОСЬ в литературе название «энерrия взаи
модействия», которое по своему содержанию шире понятия
IIотенциальной энерrии, а по своим свойствам в отношении
зависимости от времени радикально отличается от нее.
Однако не только потенциальная энерrия как форма опи
с.ания взаимодействия должна быть заменена друrим поня-
тием, более адекватным характеру взаимодействия. В само
понятие материальноro тела также необходимо вложить новое
содержание. В .1Iаrранжевом формализме классической Mexa
ники каждое из взаимодействующих материальных тел pac
сматривается как материальная точка. Отсюда следует, что
F математическом описании движения этих тел и их взаимо
действий фиrурируют только массы, координаты и скорости
центров масс этих тел. Реальное материальное тело, облада
ющее определенными размерами, при таком описании BЫCTY
пает как единое целое, откликающееся на внешние воздейст
вия одновременно всем своим объемом, всей своей массой.
Поэтому тело должно быть абсолютно твердым, т. е. такое
тело, получив импульс со стороны внешнеrо объекта (физи
ческоrо поля, например) в одной свой точке, должно MrHo-
венно передать этот импульс всем своим частям, каждой
своей точке. Иначе rоворя, внутри этоrо тела передача
импу.'1ьса взаимодействия должна происходить MrHoBeHHo, т. е.
с бесконечной скоростью, что противоречит теории относи
те.lIЬНОСТИ. Поэтому материальные тела, обладающие разме
рами, не MorYT быть описаны в лаrранжевом формализме,
J-1спользующем в качестве характеристик этих тел только
массы, координаты и скорости.
Таким образом, мы приходим к выводу, что в латранже-
вом формализме классической механики при учете теории
О1носительности возможно введение взаимодействия с физи
чески м полем r о л ь к о Д л я т о ч е ч н ы х, н е и м е ю Щ их
раз м е р о В ч а с т и ц. Такой парадоксальный вывод свиде
тельствует о том, что классические представления о матери-
альных объектах невозможно совместить с требованиями
теории относительности.
Следует, однако. отметить, что оrраничение точечными
частицами при введении взаи одействия не исключает опи
сания в лаrранжевом формализме реально существующих
протяженных материальных тел. По современным представ
лениям такие тела состоят из элементарных частиц, связан
ных между собой теми физическими полями, источниками
240
которых являются сами же частицы. Эта связь между эле
ментарными частицами в материальном теле и является
одним из проявлений их взаимодействия. Так что не только
взаимодействие протяженноrо тела с внешними объектами,
но и различноrо рода взаимодействия внутри caMoro тела
можно описать в рамках лаrранжевоrо формализма, предва
рите.'IЬНО расчленив всю совокупность взаимодействий (что
можно сделать с некоторыми приближениями) на отдельные
взаимодействия между элементарными частицами.
В свете вышеизложенноrо при описании взаимодействия
между двумя частицами в .паrранжевом формализме можно
исходить из следующей наrлядной схемы. Взаимодействие.
осуществляется таким образом, что одна из частиц выступа-
ет в роли источника поля, а вторая частица испытывает воз-
действие со стороны первой, двиrаясь в этом поле. При этом
взаимодействие между частицей и полем происходит в той
точке четырехмерноrо пространства, в котороЙ находится
частица. (TaKoro типа взаимодействия носят название ло-
кальных). Влияние частиц друr на друrа сказывается не
сразу; запаздывание связано с реальным физическим про-
цессом распространения поля, и в этом смысле процесс взаи-
модействия частиц причинно обусловлен. Под причинным
характером процесса понимается такая поurедовательность
событий, коrда изменение поля в источнике происходит рань-
ше, чем это изменение скажется в точке нахождения частицы,
испытывающей воздействие этоrо поля. Таким образом,
дальнодействие между частицами, которое в классической
механике описывается с помошью потенциальной энерrии, на
самом деле окажется состоящим из процессов близкодейст-
вия, связанных друr с друrом причинным образом.
В . Рассмотрим переход от описания взаимо-
заимоденствие двух .
электрически деиствующих частиц к описанию взаимо-
заряженных частнц действующих полей. Для этоrо определим
в лаrранжевой В лаrранжевом формализме взаимодейст
формулировке вие двух заряженных частиц посредством
реальноrо физическоrо электромаrнитноrо поля в COOTBeT
('твии с изложенными выше представлепиями О характере
взаимодействия. Мы покажем, как, опираясь на уравнения
:Максве.7Jла, можно ПОС1рОИТЬ основные выражения в лаrран-
'жевом формализме (в первую очередь функцию действия), из
1(0TOPbIX эти уравнения следуют Пусть одна частица является
liСТОЧНИКОМ электромаrнитноrо поля, а вторая движется в этом
'поле. Мы пока не учитываем Toro, какое действие оказывает
электромаrнитное поле на частицу, которая это поле создает
(самодействие) , и как поле второЙ частицы возмущает движе
иие первой. Под частицами будем подразумевать точечные
объекты, обладающие электрическим зарядом и массой, т. е.
241
по существующей терминолоrии скалярные заряженные Э.lе
ментарные частицы 1.
Воспользуемся известными из классической электродина-
мики уравнениями Максвелла при наличии зарядов (11 ==с== 1)
'11' F",J.I (х) == j", (х). (26.1)
.sдесь в отличие от случая свободных полей напряженности
электромаrнитноrо поля FI''''(X) определяются через четырех-
мерный вектор плотности тока jJ.l(X) точечной частицы, KOTO
рый выражается с помощью б-функции Дирака (см. При
ложение А) :
. ( х ) == { j (х) ==ос е у' б (х х')
J \L . ( ) . ( ' ) ,
J 4 Х == te u ,х х
(26.2)
rде у' СКОрОСТЬ частицы в точКе х'. ПрJi таком определении
i l1 (х) ведет себя как четырехмерный вектор, причем следует иметь
в виду, что х' == х' (t) является функцией времени t, а у' ==
d х' О v об
::=: пределенныи TaKJiM разом вектор плотности тока
j (х) удовлетворяет уравнению непрерывности V\Lijl (х) == О (см.
Приложение А), чем обеспечивается coXpaHeHJie заряда чаСтJiЦЫ.
Напряженности электромаrшrrноrо поля Н и Е фиrурируют В
уравнетrи (26.1) в ковариантной записи (так что На == баье Р Ье ,
E j == iF j4 ). Как и в случае свободных полей, их можно BЫpa
зить через потенциалы поля А!! (х)
F "'J.I (х) == '1", АI' (х) '11' А", (х). (26.3)
Будем нумеровать координаты частицы той же цифрой, что и
саму частицу. Тоrда
j(r) (х) == { j(r) (х) == e r У, б (х x r )
\L jY) (х) == ie r б (х х,) ,
(26.2а)
rде Т== 1 для первой частицы и ,==2 для второй.
Электромаrннтное поле, порожденное первой частицей как
источником, можно определить из уравнения (26.1), если в Hero
подставить плотность тока j ) (х), создаваемоrо первой частицей,
1 Следует заметить, что в рамках классических представ.1ений, в Koro
рых пока мы остаемся, ни о какой друrой (обладающей ненулевым спином)
частице не может быть и речи, поскольку, как это было отмечено ранее,
в пространственно-времениом описаиии классическая точечная частица Xk
рактеризуется только координатами и скоростями. В свою очередь это
означает, что классическое описание таких элементарных чаСТIЩ, как эле"-
трон, протон и т. д., справедливо лишь в том приближении, в котором 1\'(
спиновыми свойствами можно пренебречь.
242
и решать ero при соответствующих начальных условиях По
лученное таким образом решение будет определять электро-
маrнитное поле, создаваемое первой частицей во всех точках
четырехмерноrо пространства, в том числе и в той точке Х2, в
которой находится вторая частица. На вторую частицу, как
lледует из классической электродинамики, действует сила Ло
ренца
f (Х2) == е2 Е (Х2) + е2 [V2, Н (Х2)],
(26.4)
rде Е (Х2) и н (Х2) напряженности электромаrнитноrо поля, co
здаваемоrо первой частицей в точке Х2. Пользуясь выражением
(26.4), уравнение движения второй частицы в поле первой можно
написать в ВИДе
d Р2 (Х2) == f (Х2)' (26.5)
dt 2
Здесь
Р2 (Х2) == m2 v 2
1/ 1 V2
2
релятивистский импульс второй частицы, m2 ее масса.
Уравнения (26.1) и (26.5) определяют взаимодействие
частиц с полем и посредством этоrо поля между собой.
В лаrранжевом формализме оба эти уравнения должны BЫ
. 'reKaTb из соответствующей функции действия. При BЫ
!Iборе функции действия мы будем исходить из Toro,
,'1ТО уравнения, определяющие взаимодействие, по существу
l влЯЮТСЯ инвариантными по отношению к преобразованиям
iJ10ренца (уравнение (26.5), как и (26.1), можно записать
t явно ковариантной форме). Поэтому требование реляти
! истскай инвариантности, сформулированное для свободных
олей, остается в силе и для случая взаимодействия. Как уже
тмечалось, в этом случае функция действии должна быть
нвариантом по отношению к преобразованиям Лоренца, и в
ex случаях, коrда функция действия выражается в виде
eTbIpexMepHoro интеrрала от лаrранжиана. это требование
: водится к тому, чтобы лаrранжиан был скалярной по OTHO
ению к преобразованиям Лоренца комбинацией переменных
fl'ОJIЯ и частицы.
. Построим вначале функnию действия. иq которой варьирова-
ием получались бы уравНЕ!lIИЯ (26.1). Она должна, очевИДНО,
держать плотность тока Ilервой частицы j (х). Прежде вcero
!)'rметим, что уравнения (26.1) при jlJ. (х) == О превращаются в
[Ьrравнения для свободноrо электромаrнитноrо поля. Поэтому ис
kомая функция действия должна совпасть с функцией действия
-ЛЯ свободноrо поля, если в ней положить j\L (х) == О. Ее
243
можно представить в виде суммы функций действия для свобод
HOrO Поля (см. (21.2))
SЪ Jl м (А) == - s F , (х) d 4 x
И ФУНКЦИИ деЙствия, превращающейся в О при i\L (х) == о. Про
стеЙшим выражением для последней, удовлетворяющим требова
нию релятивистской инвариантности, является следующее!:
S ) (А, j) == S A\L (х) i (х) d 4 х,
rде A\L (х) потенциал электромаrнитноrо поля.
Ниже будет показано, что А", (х) i/l (х) простейшая из CKa
лярных комбинаций четырехмерных векторов А... (х) и i\L (х) явля
ется основной величиной, характеризующей взаимодействие электро
маrнитноrо поля с полями, несущими электрическиЙ заряд.
Построенную. таким образом функцию действиЯ представим
следующим образом:
S(l) == sgJl М (А) + S 1) (А, j) =о' S [(1) (х) d 4 x, (26.6)
rде лаrранжиан [(1) (х) состоит из лаrранжиана для Сlюбодноrо
электромаrнитноrо поля Ч Jl М (х) И лаrранжиана взаимодействия
Ч ) (х):
L(1) (х) =-= Ч Л м (х) + Ч;) (х) ==
== + F v (х) + А... (х) j ) (х).
Варьирование (26.6) по AIL (х) приводит К уравнениям Лаrранжа
Эйлера
д ( дL(l) (х) ' ) дL(l) (х)
дх .,. д (Vv АIL (х)) дА... (х) == О,
которые совпадают с (26.1), если в них подставить выражение
(26.7). Проводя аналоrичные рассуждения, приходим к следую
щей функции действия, соот ветству ющей уравнению (26.5):
S(2) == S&2) + S ;) == m2 S V 1 V dt + J' А... (х) i ) (х) d 4 x. (26,8)
(26. 7)
Здесь Sb 2 ) функция действия релятивистской свободной частицы
(см. (1.17)), а S ;) составлена в полной аналоrии с S ). Такиw.
образом. мы ПО,ТIarаем, что независимо от Toro, явJIЯется ли
I Выбор коэффициента, с точностью до KOToporo определяется фу,;',
IЩR S ;), равным 1, обусловлен те!\!, что при варьировании функции дейст
вия (266), как мы увидим НИЖе, получаются прави.1Jbные уравнения дви
жения
244
частица источником электромаrнитноrо поля или она испытывает
воздействие со стороны поля, в лаrранжевом формализме ее
взаимодействие с полем описывается одним и тем же выраже
нием. Справедливость этоrо предположения следует из Toro, что
варьирование действия (26.8) действительно дает уравнение (26.5).
Интеrрируя по трехмерному пространству во втором члене (26.8)
с учетом выражения для плотности тока (26.2а), получим
S(2) == s и2) dt,
(26.9)
rДЕ
L(2) -== m2 V 1 v + е2 (ёА4 (Х2) +v 2 A (Х2)).
Условие минимума функции действия (26.9) приводит к уравнению
( ди2) ) ди2) == О
(1 == 1, 2, 3),
dt дV2i I д Х 21
что после подстановки выражения для с<2) дает
[ m2V2i + е2 А ; (Х2) ]
dt V 1 v
е2 ( У 2 дА (Х2) + i дА 4 (Х2) ') == о.
д Х 2! дХ21 I
Здесь при взятии частных производных в соответствии с общими
положениями V2 и Х2 считаются независимыми. Подставляя вместо
полной производной по времени от А ! (Х2) выражение
А ( х ) == дА, (Х2) + V2. дА ; (Х2)
dt '2 дt J дХ2.
I
получим следующее уравнение'
d m2V2.
1
dt 1" 1 v
......
==ie2(ViA4(X2) V4Ai(X)) + [vz[VA(x2)]]i'
которое, если учесть (26.3), совпадет с (26.5).
Таким образом, функция действия S(1) приводит к уравнению
(25.1), а функция действия S(2) к уравнению (26.5). Очевидно,
для получения полной функции действия следует объединить S(l)
И S(2) в одно выражение.
Однако из TaKorO объединения получается нечто большее,
чем (26 1) и (26.5). Выше мы оrоворнлись, что при построе
нии функций действия S(l) и S(2) вопросы самодействия (об
paTHoro действия поля на частицу) и влияние второй частицЫ
На первую не будут рассматриваться. Сейчас при Отыскании
24'5
полнои функции деЙствия эти вопросы всплывают сами собоЙ
Объединение S(I) и 5(2) В одно выражение автоматически при
водит к уравнениям, которые учитывают не только взаимо-
действие между частица1\Ш в описанном выше приближении,
но и одновременно обратное воздействие электромаrнитноrо
поля на частицу, которая ero создает. Действительно, при
этом вместо уравнения (26 1) получим следующее уравнение'
V V FlJ.v (х) == j ) (х) + j 2) (х), (26.10)
в то время как уравнение (265), оставаясь по виду неизмен-
ным, будет содержать напряженности поля, удовлетворяю-
щие уравнению (26.10). Это обстоятельство выражает тот
факт, что вторая частица, создав BOKpyr себя электромаrнит-
ное поле, будет не только испытывать воздействие со CTOpO
IIЫ первой частицы, но и воздействие по.тIЯ, ею самой создан -
Horo ( самодействие) .
Следует учесть также, что из соображений симметрии как
одна, так и друrая частица должны входить в функцию дей
ствия совершенно равноправно Иначе rоворя, функция
действия должна быть симметрична относительно характе-
ристик этих частиц. Следовательно, к сумме 5(1) и S(2) нужно
добавить еще функцию действия .sJ, соответствующую пер-
вой свободноЙ частице. В результате общая функция деЙст-
ЕИЯ приобретает вид
S == S b 1 ) + Sb 2 ) + S gJJ м + S ;) + 5 ;) ==
== тl S VI vf dt т2 S VI v dt i- J F v(x)d4X +
+ J j l) (х) AIJ. (х) d 4 x + S j:;> AJl (х) d 4 x. (26.11)
Варьируя функцию действия (26. 1 1) по А", (х) и переменным
первой и второй частицы соответственно, мы приходим К следу-
ющей системе связанных между собой уравнений:
V v F Jlv (х) == j l) (х) + j 2) (х),
d
dt
тlVl
1 v
== еlЕ (Xl) + еl [v1H (хl)],
(26.12)
d т2V2 [
== е2 Е (Х2) + е2 V2H (Х2) ] .
dt V 1 V
Функция действия (26.11) содержит три Ч,lена, соответст-
вующие трем свободным объектам (деум частицам и по.1Ю).
и два члена взаимодействия. Сравнивая ее с соответствующей
246
функцией действия в классической механике, описывающей
взаимодействие двух частиц с помощью ПОнятия потенциаль
ной энерrии, можно сде.lать вывод, что учет реальноrо xapaK
тера Ilопя, осуществляющеrо взаимодействие, сводится к за
мене потенциальной энерrии дальнодействия на сумму двух
выражений, описывающих локальНое взаимодействие каждой
из частиц с электромаrнитным полем в духе близкодействия,
и введению функции дейс;твия свободноrо электромаrнитноrо
поля наряду с функциями действия свободных частиц. В этом
смысле ПОJIе и частицы в (26.11) выступают совершенно paB
ноправно Уравнения движения (26.12), вытекающие из
(26 11), являются системой взаимосвязанных уравнений для
двух заряженных частиц и электромаrнитноrо поля, которые
в принципе MorYT дать ответ на следующие вопросы: а) Ka
ково электромаrнИТ!Iое поле, создаваемое обеими частицами,
б) как это поле влияет на Щвижение самих частиц, в) как
с помощью поля осуществляется взаимодействие между ча
стицами.
Функция действия (26.11) описывает замкнутую систему
трех объектов, взаимодействующих между собой. Однако
один из объектов, а именно электромаrнитное поле, иrрает
двойную роль: во первых, как самостоятельный, равноправ
ный с частицами, материа.1JЬНЫЙ объект, вступающий с ними
во взаимодействие; BO BTOpЫX, как носитель взаимодействия
между заряженными частицами. Исключив поле из функции
действия (26.11), т. е, положив F I!V (х) == О, А I! (х) == О, мы при
ходим к системе двух свободных невзаимодействующих ча
стиц, Исключение же одной из частиц приводит к функции
действия S', которая описывает систему взаимодействующих
между собой заряженной частицы и электромаrнитноrо
ПО.'IЯ.
S' == т S J;/ 1 v 2 d t
S F2 (X)d4X+ UI!(x)AI!(x)d 4 x. (26. 11 а)
4 I!V ,
ДеЙСТВ\1тельно, из функцЮI действия S' получается система двух
уравнений типа (26.15)
V" F)J.v (х) == il! (xl,
d mv
dt V """'V2 ==eE(x)+ervH(x)], (26.13)
первое из которых определяет поле, создаваемое частицей,
а второе отвечает на вопрос, как это поде обратно воздейст
вует на частицу. Функция действия (26.11а) описывает
систему, состоящую из одной частицы и поля, в то время как
(26.11) описывает систему из двух частиц и поля. Тем не
247
менее как (26.11), так и (26.11а) описывают замкнуrы('
системы.
27. Взаимодействие скалярноrо и электромаrнитноrо полеЙ
в лаrранжевом формализме
Функция действия S' (26.11 а) описывает взаимодействую-
щую с ЭJlектромаrнитным полем релятивистскую классиче
скую частицу (Термином «классический» в применении к ча
стице мы будем пользоваться в том случае, коrда поведение
частицы описывается в рамках классической механики). По-
скольку элементарные частицы являются на самом деле KBaH
товомеханическими объектами, следует перейти от классиче-
CKoro их описания к квантовомеханическому.
Соrласно принятым в квантовой механике правилам, урав-
нения движения для функции, описывающей частицу KBaHTO
вомеханическим образом, получаются путем замены COOTHO
шения, связывающеrо функцию rамильтона с обобщенныlJ
импульсом частицы, на соответствующее ему операторное
уравнение для волновой функции <р(х). При этом, как уже OT
мечалось (см. (16.8), (169)), функция rамильтона Н, пред
ставляющая собой энерrию описываемой частицы, и обобщен
ный импульс pj частицы переходят в следующие операторы
(n==с==1):
H.....H==i
дt'
Р) -+ Pj== i (j == 1,2, 3). (27.1)
дх}
Оператор координаты частицы в том представлении, в котором
операторы Н и Р! адаются формулами (27.1), совпадает с ca
мой координатой: х == Х. ТО же самое, разумеется, относится к
любой функции от координат: t (х) ==- t (х) она, как и х, дейст-
вует на <р (х) как оператор умножения.
Проде.'1аем этот переход для случая свободной релятивистской
частицы. Функцию rамильтона для такой частицы можнр полу-
чить из соответствующей функции Лаrранжа по общему прави
лу (см. Э 4): Н == Р} Х} L, если Х} всюду (в том числе и в L)
выразить через импульс частицы Pj. В результате будем иметь
н == v р2 + т 2 ,
(27,2)
rде т масса частицы. Это не что ИНое, как известное реля-
тивистское соотношение между энерrией, импульсом И массой
частицы. Из (27.2) по qюрмулам (4.9) находятся классические
248
уравнения движения частицы, которые в данном случае сводят
dp.
ся к == О. Как и следовало ожидать, они совпадают с ypaB
dt
нениямИ движения, полученными ранее для этоrо случая из
функции Лаrранжа (см. стр. 15). Выражение (27.2) после перехода
(27.1) превращается в операторное уравнение
н ер (х) == V р2 + т 2 -<р (х) ,
(27.2а)
rде <р(Х) функция координат и времени: х== (х, it'). KBaHTO
вомеханическое уравнение (27.2а) должно служить ypaBHe
нием движения ДJIЯ релятивистской частИЦЫ, описываемой
функцией <р(Х). Однако в связи с затруднениями в определе
нии квадратноrо корня из дифференциальноrо оператора BMe
сто уравнения (27.2а) используют квадратичное по отноше
нию к нему уравнение, которое получается из квадрата Bыpa
жения (27.2):
fp ер (х) == (р2 + т 2 ) <р (х).
(27.2б)
Блаrодаря замене выражения (27.2) ero квадратом ypaB
нение (27.2Ь) имеет решения с отрицательной э нерrией,
соответствующие отрицательным значениям корня 11 р2 + т 2 .
Как известно (см. Э 18), решения уравнения (27.2Ь), отвечаю
щие отрицательной энерrшr, нашли свое истолкование в виде
rипотезы о существовании античастиц, .впоследствии полностью
подтвержденной экспериментально
Уравнение (27.2Ь) представляет собой не что иное, как ypaB
нение Клейна Фока для свободноrо скалярноrо поля (см. (16.6)
(О т 2 ) <р (х) == О.
(27.3)
Здесь состояние частицы характеризуется не координатой и
импульсом, как это имеет место в классической механике,
, а квантовомеханнческой волновой функцией скалярной части
[' ЦЫ ер (х), которая в свою очередь задает некоторое поле,
;' отвечающее рассматриваемой частице. Можно показать, что
,1 (
1, средние значения динамических переменных в данном слу
I чае импульса), целиком и полностью определяющиеся через
I функцию ер( х) как решение уравнения поля (здесь уравнения
, (27.3)), подчиюtются классичесkИм уравнениям движения (Te
оремы Эренфеста в кванroвой механике).
Аналоrичным образом можно перейти к уравнениям для
скалярноrо поля, взаимодействующеrо с электромаrНИтным.
Будем исходить из функции действия в форме (26.9) для ча.
стицы в электромаrнитном поле. Функция Лаrранжа, через
249
которую определяется функция действия (26.9), как бы//с
YCTaHoBo'leHo выше, имеет вид
L == m " 1 y2 + е (у А (х) + i А! (х) ). (27.4)
Обобщенный импульс Р частицы в поле будет отличаться от
обобщенноrо импульса р свободной частицы. Действюельно, cor-
ласно выражению (4.1)
aL mv.
P i ==' - == + е Аl (х). (27.5)
aV i V 1 у 2
Функция rамильтона в соответствии с опред лением (4.2) при
использовании (27.4) и (27.5) будет равна
Н "'-= V 2 i eA,t(X). (27.6)
1 y
Отсюда получим
Н + i е А4 (х) == V (Р i е А (х»2 + т 2 . (27.7)
Из сравнения формул (27.7) и (27.2) следует, что формально пе-
реход от свободной частИЦЫ к частице в электромаrнитном поле
можно осуществить путем замены: р --+ Р [е А (х), Н --+ Н +
+ie А4 (х). При этом нужно lIМеть в виду, что если в случае сво-
бодной частицы обобщенный импульс р совпадает с динамичес-
ким импульсом, то в случае частицы, взаимодействующей с
электромаrнитным полем, такое совпадение не будет иметь мес-
та. Так, например, внерелятивистском СоТIучае для свободной
частицы имеем р == m У, а для частицы в электромаrнитном по-
ле Р ie А (х) == m У, т. е. обобщенный импульс Р отличен от
Динамическоrо импульса m У, rде y скорость частицы. Одна-
ко, как известно из квантовой механики 1 , при переходе от клас-
сическоrо описания к квантовомеханическому именно обобщен-
ный импульс сопоставляется с оператором импульса частицы
,.. л
(р р == i V для свободной частцы и р -.+ Р == i V для час-
тицы в электромаrнитном поле), поскольку только в этом слу-
чае получается правильное соответствие между квантовомехани-
ческими и классическими уравнениями движения частицы.
Совершая такой переход в выражении (27.7), предварительно воз.
ведя ero Б квадрат И используя ковариантные обозначения, при-
ходим к уравнению
[ (') J.I. ie AJ.I. (X)j)2 т 2 ] q> (х) == о. (27.8)
У равнение (27.8) формально можно получить из уравнения
(27.2) заменой '7 J.I. ...-r \! J.I. [е AJ.I.' которая соответствует аналоrич-
1 См Д. И. Б л о х и н Ц е в ОсновЬ! квантовой механики М, «Высшая
ШКола», 1961
250
ной замене выражений для импульса и энерrии классической час
ТИliЫ. Отсюда можно предположить, что введение взаимодействия
между полем заряженной элементарной частицы, обладающей лю-
бым спином, и электромаrнитным ПО.1Jем сводится к вышеуказан
ной замене в уравнении для ПОЛЯ этой частицы. Такое предпо
.10жение можно обосновать, если обратиться к более детальному
анализу описания полей и частиц в rамильтоновом формализме.
Однако здесь нет нужды заниматься таким анализом, поскольку
в теории пОлей можно сформулировать принципы, столь же уни'
версальные по своей общности, как и принцип наименьшеrо дейст-
вия, которые позволяют вводить взаимодействие без ссылки на
соответствие между классической и квантовой мехаНИКОЙ. К та-
Koro рода принципам в с.1Jучае электромаrнитных взаимодействий
относится, например, требование rрадиентной инвариантности, из
Koтoporo введение взаимодействия путем замены V I.L \/ I.L ie '\
следует автоматически (см. 28), на зависимо от TOro, в какой
форме записано уравнение.
В частности, леrко проверить, что замена v I.L V I.L ie AI.L в
уравнении первоrо Порядка для свободноrо скалярноrо поля (см.
(22.20) )
( I.L V I.L + т) Ф (х) =ш О,
(27.9)
которая приводит к уравнению
[tll.L (\/ I.L ie AI.L (х» + т! Ф (х) == О,
(27.10)
эквиваJ1ентна осуществляемому' с помощью той же замены пере-
ходу от уравнения (27.2) к уравнению (27.8). Воспользовавшись
представлением (22. 19) для матриц I.L' уравнение (27. 1 О) можно
переписать в ВИде следующей системы уравнений:
(\7 I.L ie AjL) 'ФI.L + т '$0 == о,
(\/ I.L ie AJl) 'Фо + т 'Ij.)1.L == О.
Исключая 'ФI.L' приходим к уравнению для 'Фо
[ (\/ I.L ie AI.L)2 т 2 ] 'Фо (х) == О,
(27.11)
которое полностью совпадает с уравнением (27.8). Это озна
чает, что уравнение (27.10) так же, как и уравнение (278),
описывает поле скалярной частицы, взаимодействующей
с э.чектромаrнитным полем.
При построении функции действия для взаимодействую
щих скалярноrо И электромаrнитноrо полей можно с равным
правом исходить как из уравнения (27.8), так и из уравнения
(27.10). В дальнейшем будем основыва rься на последнем.
Если сделать переход от системы классических уравнений дви-
251
жения (26.13) д.тIЯ частицы в электромаrнитном поле к си-
стеме уравнений для взаимодействующих скалярноrо и элек-
тромаrнитноrо полей, 1'0 становится ясным, чro уравнение
(27.10) приходит на замену BTOPOI-O из уравнений системы
(26.13). Первое же из этих уравнений остается по форме
неизменным
\7 V FjJ.v (х) "= jjJ. (х),
(27.12)
но под jjJ. (х) здесь следует подразумевать плоТНость тока для
скалярноro поля заряженной частицы (см. (22.83»:
jjJ. (х) ie 1р (х) jJ.1jJ (х).
(27. 13)
Искомая функция действия должна быть такова, чтобы из нее
получались как уравнение (27.10), так и уравнение (27.12).
Построение этой функции не представляет затруднений. Так,
замечая, что в случае .отсутствия взаимодействия между по-
лями уравнения (27,10) и (27.12) должны перейти в уравне-
ния для свободных полей (27.8) и (21.4) соответственно, при-
ходим к заключению, что функцию действия можно предста-
вить в виде двух частей: 50 соответствующей своБОДНЫ1\!
полям и 5 вз , исчезающей при е==О (что равносильно jjJ.(x) ==0).
Объединяя выражения (21,2) и (22.74), имеем для 50
50 == S d 4 x { F;v + jJ. '\7jJ.1jJ + + (\7jJ. ) jJ.1jJ
tn 1P1jJ}. (27.14)
Выбор 5 вз в форме
5 вз :=о S jjJ. Av. d 4 x :=: S ie jJ.1jJ AjJ. d 4 x
приводит К функции действия
5 === 50 + 5 вз S Ld 4 x,
[де .паrранжиан L выражается следующим образом:
1 2 1 1
L "4 FiJ-v "2 1jJ jJ. \7jJ.1jJ+"2 (\7 jJ.1jJ) jJ.1jJ
т 1P1jJ + ie :;P jJ.1jJ AjJ.' (27.16)
Очевидно, выражение (27. 16) является скаляром по отношению
к преобразованиям Лоренц
Варьируя 5 по AjJ.,1jJ и 1jJ, получаем следующую систему урав-
нений для взаимодействующих полей:
(27.15)
252
\/ ( aL ) о
v д (\\,A I1 ) д ,
v ( 1 aL ) =:: О (27.17)
11 д (VI1'/') a'J, ,
( aL ) aL
'J I1 д (v l1 '/') ==0,
которая после подстановки явноrо вида лаrранжиана (27.16) при-
водит к уравнениям (27.10), (27, ]2) и к уравиению относитель-
Но '/':
v v F l1v (х) ==- ie'P IJ'/"
[ I1(vll iеАI1)-+ т],/, ==0, (27.18)
(v 11 + ie A I1 ) -;р 11 т1Р == о.
Заметим, что здесь, как и в случае свободноrо поля, функции
'/' и 1р (;j; == '/'*ч (см. (22.58») выступают как независимые переменные.
28. rрадиентная инвариантность в теории
взаимодействующих полей
Так же как и в случае свободных полей, лежащий в основе
построения теории взаимодействующих полей, постулат pe
.1ЯТИВИСТСКОЙ инвариантности является очень сильным orpa-
ничением. Однако одноrо этоrо постулата еще недостаточно.
Например, выше при построении функции действия взаимо-
действующих скалярноrо и электромаrнитноrо полей было
использовано соответствие между классической и кваНТОВЫМИ
теориями. По аналоrии с введением взаимодействия в класси-
ческой теории заряженной релятивистской частицы введение
взаимодействия в теории ПШIЯ, соответствующеrо этой частИ-
це, свел ось к замене
V I1 V I1 ie (х)
в уравнениях движения и в лаrранжиане.
Покажем, что такой способ введения взаимодействия
с электромаrнитным IIo.1JeM вытекает из требования сохране-
ния электрическоrо заряда в системе взаимодействующих эле-
ктромаrнитноrо поля И поля частицы, несущей электриче-
ский заряД. Тем самым введение взаимодействия указанным
способом будет надежно обосновано, ибо сохранение электри-
ческоrо заряда является одним из самых фундаментальных
Положений теории, вытекающим из всей совокупности уста-
НОВ.lенных экспериментально фактов.
253
Соrласно теореме Нетер, закон сохранения Э.lектрическо-'
[о заряда будет выполняться, если .ТIаrранжиан взаимодейст-
вующих полей будет инвариантен по отношению к соответст-
вующим этому закону сохранения преобразованиям Для
свободных полей закон сохранения заряда вытекает из ИНва-
риантности лаrранжиана поля, отвечающеrо заряженным ча-
стицам, по отношению к rрадиентным (калибровочным) пре-
образованиям первоrо рода (rрадиентная инвариантность).,
Эти прообразования сводятся к следующему (см. 14)'
'1' '1" == '1' e ie \ (28.1),
rде л некоторая произвольная постоянная, а е (электри-
ческий) заряд в безразмерных единицах. Для соободноrо'
электромаrнитноrо поля также существует rрадиентное пре-
образование, оставляющее лаrранжиан Э1'оrо поля инвариант :
ным (см. (21.9»:
AI.L --+ A == AI.L + VI.LA (х),
(28.2)
rде Л(х) произвольная функция от координат и времени
Закон сохранения, связанный с этой инвариантностью, имеет
место TOJlbKO в теории взаимодействующих полей В этой тео-
рии' оба преобразования (28 1) и (282) снекоторой l\ЮДИфИ-
кацией становятся частями более общеrо rрадиентноrо преоб-
разования, а инвариантность по отНошениЮ к последнему не-
посредственно связывается с законом сохранения заряда при
наличии взаимодействия. rрадиентное преобразование для
взаимодействующих полей '1' и AJ.I в общем виде записывается
следующим образом:
'1' 'Ф' == '1' ieA(X) (28.3)
AI.L A == AI.L + VI.L л (Х). (28.4)
Здесь в отличие от (28 1), rде "л не зависело от координат,
в показателе экспоненты и в выражении для измененноrо по-
тенциала фиrурирует одна и та же функция А(х). Эти преоб-
разования называют rрадиентными преобразованиями второ-
[о рода.
Нетрудно убедиться, что выражения \jJ (VI.L ieA,.) '1' и
«VI.L + ieAI.L);P) '1' инвариантны по отношению к преобразованиям
(28.3), (28.4). Orсюда сразу же следует инвариантность лаrран-
жиаНа (27. 16) по отношению к этим преобразованиям.
Обобщая этот результат на поля с ПРОИЗВОЛЬНЫI\1И спино-
выми свойствами, можно утверждать, что для непротивореча-
щеrо rрадиентной инвариантности введения электромаrнит-
Horo взаимодействия достаточно в лаrранжиане для свобод-
254
иЬ!Х ПО.lей каждую частную производную V 11, действующую
на функцию поля, несущеrо заряд, за \fенить на комбинацию
VI1 ie , а производную, действующую на ей сопряженную
функцию, комбинацией V I1 + ieA I1 .
Написав лаrранжиан системы не взаимодействующих меж
ду собой электромаrнитноrо поля и скалярноrо поля в виде
суммы лаrранжианов соответствующих свободных полей
(см. (21.2) и (22.72))
Lo === F v 1jJR V 1/1 + (V ,р) А 1/1 т 1jJ",
4'" 2 1-'11 11 2 11 1-'11
11 производя замену VI1 --+ V I1 :+: ieA I1 . получим лаrранжиан взаимо-
действующих полей (здесь 1PV I1 == V I1 ,p):
1 2
L == Lo + L вз == F).tv
4
l l +--
2 1/1 11 (V I1 ie ) 1/1 + 2 1/1 11 ( V I1 + ie,4J '"
1 2 1
т 1/11/1 == р"" 1/1А V 1/1 +
4'" 2 1-'11 11
1 .
+ Ф 11 VI1 1/1 т 1/11/1 + te 1/1 11 1/1 . (28.5)
2
Как видно из сравнения с (27.16), он совпадает с получен
Ным друrим путем лаrранжианом.
Правильный результат получается и в том случае, коrда
скалярная частица описывается уравнением BToporo порядка.
. Lсйствительно, если лаrранжиан свободных полей имеет вил
ICM. (18.5))
L == P " [(%fP*) Vl1fP + т 2 q>*fP].
4
Т(), производя замену V I1 -+ VI1 1: ieA I1 , получим:
[' == L + L з = Fl1v F I1'1
4
[( (V I1 + ieA I1 ) <р*) (VI1 ie ) <р + т 2 fP*<p]
== F v r (V I1 <P*) (V I1 <P) + т 2 <р*<р] +
+ ie ((V I1 <P*) <р <P*V I1 <P) AI1 e2A <р*<р.
(28.6)
255
Теперь, воспользовавшись связью (27.11) между Ф и ер, мож- '
Но показать, чro (28.6) совпадает с (27.16). Такиы образом,
использование rрадиенпюй инвариантности для введения
электромаrнитноrо взаимодействия действительно приводит
к правильным результатам для скалярноrо поля. В да.тrьней-
шем это требование, возведенное в принцип rрадиентной ин-
вариантности, наряду с принципом релятивистской инва-
риантности положим в основу построения лаrранжианов,1
взаимодействующих электромаrнитноrо поля и ПОJIЯ чаСТИЦ,1
с произвольным спином.
Покажем теперь, что rрадиентная инвариантность в форме
(28.3), (28.4) для взаИмодействующик полей действительно
соответствует закону сохранения электрическоrо зарЯда. Рас-
смотрим бесконечно малое rрадиентное преобразование Для
этоrо достаточно считать А(х) бесконечно малой произво,'!ь-
ной функцией. Тоrда преобразование (28.3), (28.4) может
быть записано в виде.
ф ... '1" == Ф + бф == Ф + ie А (х) '1',
;р --+ -ф' == 'ii + б;Р == ;Р ie А (х) ;р.
(28.7)
Функция действия для взаимодействующих электромаr-
нитноrо и скалярноro полей имеет вид
s ""- f Ld 4 x,
(28.8)
[де лarранжиан L определяется формулой (28.5). Приравнивая
нулю вариацию от функции S, обусловленную бесконечно малым
преобразованием (28.7), получим
БS == S БLd4х == r' d 4 x [ бф + aL б (\711'1') +
J дф д (\7I1Ф)
aL aL
+ бф + б (\7I1Ф) +
дф д (V l1 ф)
+ БА v + aL б (\711 A v ) ] ==0. (28.9)
aA v д (V I1 Av)
Используя теперь уравнения движения (27.17) и перестано-
вочность операций варьирования и дифференцирования, имеем
Б S== S \7 I1 { aL б'\1+бф L -t
д (\7 I1 Ф) д (\711'1')
+ Б А v } d4x О.
д (V I1 Av)
(28.10)
255
Раскрывая подынтеrральное выражение с помощью (28.5) и
(28.7), после некоторых преобразований приходим к следующему
окончательному выражению:
б S == S d 4 x I Л (х) VI.L [iе I.L'Ф]
(VI.L Л (х») [\\, F"I.L -+- ie \j) I.L'Ф) J =: О. (28.11)
При ПРОИЗВОЛЬRЫХ Л (х) и ее частных производных вариация
действия б s будет равна нулю ТОЛЬКО тоrда, Коrда по отдель-
ности равны нулю выражения, стоящие при Л (х) и при каждой
ее частной производной.
Таю{м образом, из (28.11) следует:
VI.L liе;Р I.L'ФJ == О,
V" F"I.L == iе;Ррl.L'Ф.
(28.12)
(28. 13)
Второе из полученных ураВНеНИЙ есть Не что иное, как ураВ-
нение для электромаrнитноrо поля (27 12), и ничеrо HOBoro
поэтому не дает. Уравнение же (28.12) есть уравнение непре-
рывности для плотности электрическоrо тока частицы. Таким
образом, инвариантность лаrранжиана для полей, взаимодей-
ствующих с электромаrнитным (285), по отношению к [ра-
диентному преобразованию (28]) действительно означает
закон сохранения заря а.
29. Лаrранжев формализм для полей со спином 0,1/2,1,
взаимодействующих с электромаrнитным полем
Принципы релятивистской и традиентной
Лаrранжианы инвариантности позволяют построить ла-
взаимодеiiствующих .
подеii rРdнжианы для заряженных полеи, взаимо-
действующих с электромаrнитным, в единой
форме, не зависящей от спиновых характеристик поля, если
основываться на теории, использующей для описания частиц
с любыми спинами уравнение первоrо порядка для соответст-
вующих полей. Лаrранжиан свободноrо поля для частицы
с произвольным спином В этой теории имеет вид (22.73),
(22.74). Присоединяя к нему лаrранжиан свободноrо электро-
маrнитноrо поля, По.'1учим 1
1 2 1
Lo == ""'4 FI.L" 2 'Ф I.LVI.L'Ф +
1
+ (VI.L'Ф) РI.L'Ф М 'Ф'Ф. (29.1)
2
I С этоrо момента массу частицы будем обозначать через М
257
Произведя замену V I1 ..... V I1 .:t ieA I1 в соответствующих выражениях
(см. (28.5», приходим к лаrранжиану для взаимодействующих
полей
1
L === Lo + L вз ===
, 4
1
+ (V I1 1jJ) 11 1jJ м 1jJ1jJ + ie 1jJ 11 1jJ AI1'
2
2 1
F l1v '2 1jJ I1VI11jJ +
(29.2)
Принципы релятивистской и rрадиентной инвариантности
допускают и еще одну форму лаrранжиана взаимодействия,
выражающеrося непосредственно через напряженности элек.
тромаrнитноrо поля F I1V' Действительно, выражение
ie
4т 1jJ (PI1 Y v l1) 1jJ' F I1V'
rде т некоторая константа размерности обратной длины,
является так же, как и выражение i е'Ф I1'ФАI1' релятивистски
и rрадиентно инвариантным. Взаимодействие, обусловленное
этим выражением, называют взаимодействием типа Паули,
поскольку он впервые ввел ero в лаrранжиан взаимодействую.
щих дираковскоro и электромаrнитноrо полей. В настоящее
время лаrранжианы взаимодействий типа Паули используют
ся для феноменолоrическоrо описания электромаrнитных вза
имодействий, возникающих за счет пока еще не до конца
исследованной динамической CTPYKrypbI различныIx элемен
тарных частиц. В частности, у нуклонов эта структура в элек.
тромаrнитных взаимодействиях проявляется в наличии ано-
мальноrо маrнитноrо момента. В этом случае константа т
выражается непосредственно через аномальный маrнитный
момент нуклона.
Таким образом, учиты.6яя возможность взаимодействия
типа Паули, общее выражение для лаrранжиаНа взаимодей
ствующих полей следует писать в виде
1 2 1 1
L === "4 F l1v '2 'Ф I1VI1'Ф + 2 (\7I11jJ) PI11jJ М 1jJ1jJ +
. ie
+ [е 1jJ 11 1jJ AI1 4т 1jJ ( I1 V V I1) 1jJ F I1V'
(29.3)
Это выражение для лаrранжиана 'обычно ИСПО.lьзуется при
феноменолоrическом описании электромаrнитноrо взаимодей
ствия нуклона. В таком случае под 1jJ подразумевается биспи
нор, под 11 матрица Дирака, а константа т связывается
258
( величиной аномальноrо маrнитноrо момента нуклона. Ла
rранжиан (293) с десятимерными матрицами I.L (см. (23.32))
10ЖНО использовать для описания векторной частицы, взаимо
действующей с электромаrнитным полем В этом случае возни-
кает необходимость различать выражения Р ( I.L V V I.L) И
P(l3l.Ll3v vl3l.L)' Тоrда лаrранжиан (29.3) приобретает следую-
щий вид:
1 2 1 1
L == 4 F)J.v "2 1/1 I.LVI.L1/1 + 2 (VI.L1/1) 1.L1/1 м 1/11/1 +
+ ie ;P I.L 1/1 AI.L : ;р {Р ( I' V V I.L) +
т }
+ т' Р ( I.L V V I.L) 1/1Р I.LV'
(29. За)
Такое усложнение связано с тем, что векторная частица на-
ряду с аномальным маrнитным моментом может обладать
электрическим квадрупольным моментом. !<IoHcTaHTbI т и т'
можно связать с этими двумя различными характеристиками
векторной частицы В дальнейшем в случае векторной части-
иы это усложнение лаrранжиана будет подразумеваться.
Таким образом, оrраничиваясь полями со спинами О, 1/2
и 1, мы можем пользоваться для описания их взаимодействия
с электромаrнитным полем лаrранжианом (29.3).
Выражение для лаrранжиана (29.3) может быть представ-
лено в друrой форме, очень удобной для решения методом про
ективных операторов различных задач об электромаrнитном
взаимодействии частиц, обладающих дополнительными внут-
ренними характеристиками, например аномальным маrнит-
ным моментом. Речь идет об использовании теории, в кото-
рой уравнения Максвелла записываются в виде уравнений
первоrо порядка типа (22.38). Введем лаrранжиан свободноrо
электромаrнитноrо поля в форме, соответствующей теории
уравнений первorо порядка (см. (22.38»:
л т (
ц M== qJ (lI.LVI.L+ mP)qJ,
2
(29.4)
rде CXI.L десяти мерные матрицы Даффина Кеммера, <p
Десятикомпонентная функция электромаrнитноrо поля (2230),
т некоторый пара метр.
Воспользовавшись (22.32) и определением (2225) для
компонент десятимерной функции (р, можно ПОКазать, что
(294) с точностью до полной производной совпадает с ла
r р анжианом свободноrо электромаrниrноrо поля p2 .
4 I.LV
259
Введем десяти мерный вектор [, каждая компонента KOTO
poro является матрицей.
r == I r А} == l - I! J .
[I1\']
(29.5)
Здесь А == 1, 2, 3, 4; [23], [31J, [12}, [14J, [241, [34], а матрицы
["\'] определяются формулой
1
[I1\'] == 2" (B,, \' '? 11)'
(29.6)
Воспользовавшись формулами (2225)....... (29.5), (29.6) и оп ре
делением проективных операторов Р и Р (см. (22.33) и (2234»)
имеем
. ie
,е 'Ф 11 'Ф АI1 4т 'Ф ( ,, \' \' 11) 'Ф' F ,,\' -==
== ie ( r А'Ф (Р<Р)А Wr AW (P<p) ) ==
== ie'i'r А'Ф [(P Р) <Р]А == ie rW (Р Р) <р.
(29.7)
Подставляя теперь в лаrранжиан (293) вместо лаrранжиана
свободноrо электромаrнитноrо поЛя выражение (29.4), а BMe
сто членов взаимодействия выражение (29.7) и учитывая то,
что (P P) ср==ср (см. (25.46», получим
m 1
L == <р (а l1 V I1 + тР) <p W I1VI1'Ф +
2 2
1 ie
+ (V I1 W) 11'Ф МЧпР + 'Фr'Ф (P P) <Р+
2 2
ie
+ WrW.<p.
2
(29. 8)
Поля раз.1ИЧНОЙ природы, несущие электрический заряд,
способны взаимодействовать между собой через посредство
электромаrНИТНQ[О поля Простейшая система взаимодейству-
ющих таким образом объектов состоит из трех взаимодейству-
ющих полей, одно из которых является электромаrнитным.
Требования релятивистской и I'радиептной инвариантности
приводят в этом случае к следующему выражению для ла-
260
rраижиана, соответствующему
IiИЮ 1 (26.11):
L == p J... ;j;lP v 11 1 +..!. (V 1i 1 ) '1
4 2 2
1 1
М 1 'l'11Pl 2' 'Ф.'У Ii V",'Фl + 2" (V I'Фs) 'У","Фs м. 'Ф2'\'1 +
классическому
выраже.
. iel .
+ tft 1I'1 jI. 1 А'l - 4 '1'1 @jI. '\I J '1'1' F y +
т.
'е,.
+ie. 'Ф.'У II 1's 4 '1'2 ('Y II 'Y'I 'YY'\'Ii) 'Фs F",\и (29.9)
т.
Здесь ИНДt't<<,ами 1 и 2 обозначены различные поля заря-
женных частиu, а для матриц первоrо и BToporo полеи введены
разиые обозначения д. и у",. ПОСКО,IJЬКУ оод полями 1 и 2 мы
будем подразумевать поля элементарных части!!, электронов,
нуклонов, мезонов, то заряды е, и е. равны по абсолютной
84'.JJИЧИНе заряду электроНа и MorYT отличаться лишь зна-
ками .,
Как н в случае двух полей (сравните (29.3) и (29.8», сн-
стема NЗ трех взаимодействующих полеЙ, ОДЩ) из которых яв-
ляетсй электромаrинткым, может быть опнсана лаrраижиа-
1Юм, в котором электромаrнитиое поле задается уравнением
nep80ro порядка в десяти мерной формулировке. При ЭТОМ па-
rраJtжиаи свободиоrо электромаrииrиоrо поля следует взять
I ДлSl сnеu,иальноrо случаи скаЛSlрноrо ПОЛЯ, В38ИМОl1еtlСТ8ующеrо с
I1руrими IIОЛЯМU, лаrракж.нан может быть запяc.tн н в друrоii, ЧВС'У'О 11("
пользуемой форме, основанноА на уравнениях Bтoporo порядка для Ck:1
JlJlpHOrO nOЛII (см. (28,6»: '
I
L -= '4 E ", [(VII(P*) (V",CP) + M cp.CPJ
J I
'2 'h'" V",o/+"2 (V",'f)Yllo/ M,H+
+ iel [(V",CP.)cp cp.V",CPJA",.' ef!A CP*cp +
it,
+ 'е, 'i-Y I1 + AJI. -;; '" ("JI. У" У", У) +FIIo""
, Иск.'1ЮЧСllнем из этоrо является нейтрон, ДЛII KOToporo з.пектрНчtcКlIА
зарJlд рааен нулю. Тем не )leH lIеАтрон будет вэаимодеl!С'У'вовать с дру'
rими 311ряжеliНЫМИ Ч8С'У'нu,ами. так как он обладает МзrНитным момеитом.
Это взаимодеl!ствие будет Описываться соответствующим ч, еuоМ ТllПа
Пзу.,н в выраженяи ДJlЯ Jlзrранжианв (29.9).
261
в ВlJде (29.4), .а члеиы взаимодеЙСТВИSJ, фиrУРlJрующне
8 (29,9), объсди..ить ПО 8наJJОI'ИИ с (29.7). В результаТе .H.I-
rранжиаи (29.9) при ведется к следующему выражению:
т
L === 2 qJ (a"V/t + тР) qJ
1 I
2" l'v,,'Фl +"2 (V,,1\'l) ,,'I'I
1
Мl'Фl'Рl "2 'PtV\l.v"Ф,+
1
+ 2" (V,,'P,) 'Vj1'Ф, м.'Фt1{1s +
k l ( т )
+ 1{1 l r р Р 'Фl'qJ +
2 т.
iet ( т )
+ 'Фlr р + р фl'qJ +
2 т,
ies ( т )
+ Ф2r р p 'Ф,'1p +
2 т.
iel ( m )
+ r р + р 'Ф2'<Р'
2 т,
(29.98)
Здесь nвеДены, кроме константы т, связанной со свободным
злектромаrнитиым полем, НОВЫе константы т, н тz, имеющие
тот же СМЫCJI, что Н В лаrраижиане (29.9).
Построениые Выше лаrраижианы взаимодействующих по-
лей (29.3), (29,8), (29.9), (29.9а) охватывают подавляющее
большинство спучаев чисто электромаrнитиоrо взанмодейст-
вия элементарных частиц' н составляют осиову теории элек-
тромаrиитиоro взаимодействия. Поэтому В дапьнеАшеы при
рассмотрении ЭJ1ектромаrнитноrо взаnмодействия мы ими
оrраничимся.
Вариационные методЫ, ПрИМенеННЫе к фун-
кции действия, выражающеlkя через тот
иnи иной из построенных лаrранжмаков,
ПрИ80ДЯТ к уравнениям двИ>t.еиия в форме Лаrранжа тнпа
(27,17), тде под , ., А ледует подразумевать ФУИКUflИ поля,
встречающиеся в лаrрвнжиаиах (29.3), (29.8), (29.9), (29.9а),
)'рааиеи..
JJ;8I1ЖeJlИ.
I nOCKOJloKY '.аес!> не рассматриваЮТСR КОРОТКОЖli8Уl11ие частицы [О Р '
зокаасы, эпеК1'ромаfИНТRое аэанмодеiiстsне частиtt с более высокими CIIII'
вами (312. 2 н т. 11.) выходит аа рамки данноА КRиrи. Не раС'сматриваютсЯ'
Эl1есь 11 взаимодействия типа э,lектромаrиитноrо распада 3.'IeMellTaptiblJt
частиц,
..
j
262
Подставляя в выражение (27.17) явный вид этих :lаrраи-
l' !иlНOB, приходим К следующим системам уравнений,
В случае взаимодействия, описывемоrоo лаrранжианом 1 (29.3);
. ie
'1,Jv.v == le 1jJ v.1jJ + '1" (1jJ [v/.tJ 'Р),
т
[ v. ('1110 ieAJI.) + : [)!v] Fv." + м] 'Ф == О, (29.10)
'р t v. (i: + ieAv.) : [j!vJ Fv.v М J == о.
в случае же лаrранжиана (29.8), ОПИСЫБающеrо то же ВЗ8имо--
действие, уравнения принимают вид:
т (а!! '1j! + тР) qJ == ie ф-r'Ф. (29.11а)
....
т qJ ( av.Vv.+ тР) == iе'Фr (Р Р) 'Ф. (29.1Ib)
( )! Vv. + М) 'Ф == ie rф (Р р) rp, (29.1 1с)
(Vv.;P j! М 'Р) == ie:;pr (Р Р) qJ. (29. 11d)
Можно показать, что система уравнений (29.11) эквива-
lE'HTHa системе (29.10). При этом следует учесть, ч то блаrо-
даря существующей связи между функциями <р и <р (25.46)
первое и второе из уравнений (29,11) совпадают. Однако си-
стема уравнений (29.11) в отличие от уравнений (29.10) .обла-
дает тем преимуществом, что она симметрична .относительно
полей 'Ф и q:> и, что особенно важно, позволяет при ее решении
Т1рименять единый метод как к электромаrнитному полю, так
и К полю частиц с ненулевой массой покоя.
В уравнениях (29.11) выражение iе фr ф можно условно
рассматривать как некоторый десятикомпонентный вектор
lШОТНОСТИ roKa, первые четыре компоненты KOToporo совпа
дают с плотностью обычноrо тока, а Шесть остальных появ-
ляются из-за Toro, что частица, описываемая функцией ф, об-
ладает дополннтельными внутренними характеристиками,
I В CJJучае скадярноrо подя уравнения ДLижения можНо подучить и в
уrой часто используемой форме, если исходить из лаrранжиана (28.6):
11 v Fv.v == + ie [(У' v. <р*) <р <р" (\1 11'f')] 2е 2 Av.<P*<P'
[(Vv. ieAv.)2 М2] <р == О,
(29.10а)
....
Ч'* !(VI! + ieAv.)2 М2] == О.
263
кроме заряда. Производные от этих шести компонент тока по
5:I3.IЯЮТСЯ и в ооответствующем уравнении системы (29.10)
Система уравнений, соответствующая .1аrранжиану (299),
ИМС'Е'т БО.lее сложный ви.ц, чем система уравнений (29.1 О), так
как первая связывает три различных вида полей. Однако
структура этих уравнений совершенно ясна. По существу это
уравнения типа (29.10), с тем лишь отличием, что потенциал
('пределяется плотностью токов обоих ПО.'Iей, соответствующих
раЗНЫ\l частицам, и наряду с уравнениями для поля одной
заряженной частицы появляются уравнения для поля, COOT
ветствующеrо друrой частице:
. 1
Vv F v.v 0== tel 'l\'1 v. '1\'1 + V v ('Фl [VIL]'I\'I) +
тl
. 1
+ te2'1\'2'Vv.'P2+ V.., ('ф2'У rV j.l.]'V 2 ),
т2
[ v.(Vj.I. ielAJ + rv.V] F!J.v + МI ] 'Фl О,
2тl
[ 4--- 1 ]
'1\'1 j.I. (Vj.I. + ie1AV.) r"v] Fv.v М 1 == О, (29.12)
2тl
['Vj.I.(VV. ie2Av.) + 2 2 'V[j.l.v JF v.v+ M 2] '/12 == О,
[ 4--- 1 j
'Ф2 'Vj.I. (Vv.+ ie 2 Aj.I.) 'Vrv. v ] Fj.l.v М 2 == О.
2т2
УраВН ЧllЯ (29 12) можно представить и в друrоЙ эквива
,пет tfОЙ форме, исrюльзующеЙ десятимерную формулировку
Э.lеI\тромаrНН 1 110ro поля, если исходить из лаrранжиана
(299а):
+ ie2.;P2 r ( Р +
(Р + :1 Р) '1\'1
Р ) '1\'2,
т2
m (av.Vj.I. + тР) <р Ёе1 lr
т q;( av.;:+ тР) == iel lr (Р :1 Р) "'1 +
( т )
+ Ёе2 'Ф2 r р ; р '1\'2,
264
( V + М 1 ) '1'1 ='" ie 1 r (Р :1 Р) 'Р1'<Р,
1 ( V: M 1 ) === iel 1P 1 r (Р Р) <р,
(Yj.l.V + М 2 ) Ф2 == ie2 r (Р Р) 'Ф2'1p,
2(Yj.l.V: M2)== ie21j)2I'(P Р)<р.
(29.13)
Ураtшения \29.13) находятся в том же соответствии с ypaB
неflпqми {29.11), как и уравнения (29.12) с уравнениями
(29.10)
Так же, как и в случае уравнений (29.11), уравнения
(29.13) можно свести к уравнениям (29.12), используя яв
ный вид матриц a . Система уравнений (29 13) ПОЗволяет
в общем виде решать задачи, связанные со взаимодействием
частиц, обладающих аномальными особенностями типа ано-
мальных маrнитных моментов
В даrранжевой форму.rшровке теории взаи
l\!одействующих полей, так же как и в слу
чае отсутствия взаИ'.10действия, вполне Пр!l
менима теорема Нетер (см. 11). Cor.'IaCHO
этой теореме, в замкнутой системе взаимо
действующих полей будут сохраняться такие величины, как
ЭlIерrия, импульс, момент к'оличества движения и заряд Эти
законы сохранения, как и в случае свободных полей, являются
прямым следствием инвариантности лаrранжиана ПО отноше
ЮIЮ к преобразованиям трансляции И поворотов в 4 MepHOM
пространстве Минковскоrо и инвариантности по отиошению
к rрадиентному преобразованию BToporo рода типа (28.3),
(28.4). Математическая формулировка этих законов вытекает
из общих формул (11.16), если в них подставить COOTBeTCT
вующие .'Iаrранжианы взаимодействующих полей. (Фактически
"JПI форму.'IыI фиrурировали при доказате.1ьстве в 28 закона
сохранения электрическоrо заряда для взаимодействующих
ПО.'Iей) ,
Следует, 'Однако, отметить, что в случае взаимодействую-
щих полей в отличие от свободных полей возможна передача
энерrии, ИМПУJ1ьса и т. Д ОТ одной подсистемы, описываемой
одним из полей, к друrой, соответствующей друrому полЮ.
В соответствии с этим динамические величины системы взаи
модействующих ПОлей не будут просто равны сумме соответ-
ствующих величин ДJIЯ отдельных полей. CTporo rоворя, иедь
зя даже распределить ту или иную динамическую ве.rIИЧИНУ
Сохранение
динамических
величин в теории
взаимодеiiствующих
полей
?f1:;
в системе взаимодействующих полей по ее подсистемам. Тем
не менее в тех случаях, коrда взаимодействием можно прене
бречь (например, коrда взаимодействующие частицы дocтa
точно удалены друr от друrа), такое распределение вполне
осуществимо. Обычно это и д'tлается при решении задач
о рассеянии частиц друr на друrе. В соответствии со схемой
рассмотрения таких процессов (см. 15) частицы вначале
не взаимодействуют, находясь далеко друr от друrа. Затем
они вступают во взаимодействие и, наконец, расходятся, 1 ак
что их можно считать снова свободными. Поскольку законы
сохранения динамических величин, в соrласии с вышеизло-
женным, для взаимодействующих полей имеют место на всех
трех этапах процесса, то сумма соответствующих динамиче-
ских величин для подсистем (в данном случае вступающих
в реакцию частиц) A(J взаимодействия равна сумме этих вели-
чин после взаимодействия.
На этом мы заканчиваем обсуждение общих свойств си-
стемы взаимодействующих полей и переходим к методам ре-
шения систем уравнений (29.10) (29.12).
r л а в а VШ
МЕТОД функции rРИНА
ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИй ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОЛЕЯ
30. Уравнения движения и функция fрина
Исследование конкретных процессов взаи
Определенне модействия элементарных частиц в рамках
функции rрина классической теории поля связано с реше
нием уравнений движения типа (29.10)
(29.12) с надлежащей физической интерпретацией получае
:VlbIX результатов. Несмотря на большие различия между раз
..1ИЧНЫМИ процессами взаимодействия, которые описываются
уравнениями движения, существуют едиНые методы решения,
позволяющие не Только решать эти уравнения в соответствую
щем приближении, но уже при постановке задачи дать четкую
физическую интерпретацию Toro или иноrо решения. Наиболее
распространенным из этих методов блаrодаря своей общности
и просroте интерпретации является метод функции rрина.
в применении к задачам теории полеЙ этот метод основан на
отыскании функции, которая является решением уравнения
с делыаобразным источником.
Проил.'Iюстрируем это на уравнениях (29.10а). Воспсльзо
!3авшись rрадиентным преобразованием (28.3), (284), относи
тео1ЬНО KOToporo уравнения (29.10а) инвариантны 1, выберем
потенциал А!! так, чтобы выполнялось условие Лоренца
V JA AJ.l === О. (30.1)
Тоrда уравнения (29.10а) примут вид:
:J AjI. == ie [(VIJ.<p*) <р <р* (VJ.l<P)] + 2е 2 А!! <р*<р,
([] М 2 ) <р == (2ieAJ.l VJ.l + е 2 A ) <р,
+-- ......
<р* (С М 2 ) === <p* (2ie VJ.l AJ.l е 2 A ).
(30.2а)
(30.2Ь)
(30.2с)
1 Это является прямым следствием инвариантности лаrранжиана (286)
01Н()( ИП'<1!.,но преобразований (283), (284)
267
(Правые части уравнении (30.2) можно рассматривать как источ
ники полей AJA' ер). При ИСПО,IJЬзовании метода функции I'рина
вместо уравнении (30.2) решаются уравнения с точечными источ
никами:
J G o (х х') == б (х х'),
(l M2)GM (х x') == б (x x').
(30. За)
(30.3Ь)
Здесь б (х х') четырехмерная б-функция Дирака (см. При
ложение А), а функции G (х х') носят названия функции [рина l .
Затем с помощью функпий I'рина записываются общие решения
уравнений (30.2)
АI! (х) == AJAo (х) + S G o (х х') \Ёе [(V qJ* (x')qJ (х')
qJ* (х') V qJ (х') J 2е 2 А!! (х') qJ* (,.;') ер (х') j d 4 x'. (30.4)
qJ (х) == qJo (х) S G M (х х') [2ЁеАм (х') V +
+ е 2 A (х') J ер (х') a x' ,
rде AJAo (х) и qJo (х) решения соответствующих свободных ypaB
нений
с Амо (х) == О,
(CJ М2) qJo (х) О.
Леrко показать, что функции (30.4) удовлетворяют уравнениям
(302а), (302Ь), (30.2с). Действительно, подстаВ.1ЯЯ (304)
в левые части этих уравнений, получим'
С= АI! (х) == J L: G o (х x') (Ёе [(V qJ* (х')) qJ (х')
qJ* (х') V <-р (х')] 2е 2 А!! (х') qJ* (х') qJ (х'») d 4 x' .==
== Ёе [( VJAqJ* (х») qJ (х) qJ* (х) VJ.LqJ (х) J +
+ 2е 2 А!! (х) qJ* (х) qJ (х),
(О М 2 ) qJ (х) == S б (х х') [2ЁеА!! (х') V +
+ е 2 A (х')] qJ (х') d 4 x' == [2ЁеАм (х) V JA + е 2 A (х)] qJ (х).
Однако (30.4) нельзя считать окончательным решением ypaB
нении (30 2а), (30 2Ь), (30 2с). По существу (304) НБ.1яется
ново и записью этих уравнений в ИlIтеrральнои форме, ТаК как
I Уравнение (За 2(') ЯвЛяется комплеКСНО-СОПРЯ1{t'НI!Ы\! по ОТI!()шеНlf,{)
к (.за 2Ь), 11 ero функция rрИНа ПО_1УЧIIТСЯ комrr.lексньщ С()ПРЯ)hение\1
функции о.'! Поэтому В дальнейшем мы ее раССМ<lТРПВа1Ь не буде\!
268
под знаком интеrрала стоят искомые функции. Тем не менее, по
CiЮ"lЬКУ правые части этих уравнений пропорциональны малой
величине е ( в принятой атомной системе единиц е =0= V i 7 ),
приближенное решение для A I1 (x) и I:p (:с) можно найти из (30.4)
с помощью теории возмущений.
Запишем теперь уравнения для функции fрина, соответствую
IlJ.ие уравнениям движения (29.10) и (29.11). В Отличие от G o и
G,'vl' которые являются ска.'1ЯРНЫМИ функциями aprYMeHTa х х',
функпли fрина для (29.10) и (29.11) будут уже некоторыми
I;штрицами. Действительно, с учетом условия Лоренца (30.1)
уравнения (29.1 О) можно переписать сл(:'Дующим образом:
с l Av (Х) == ie1j; (Х) v'Ф (х) + V I1 ' (х) [vJ.t]'i' (х)], (30.5а)
m
( I!VI1 + М) 'i' (х) == [ieA I1 (х) I!
ie 1
2т [J.tV] F J.tV (х) 'ф (х),
Ф (х) ( 11 v: M) == Ф (х) [ ieA I1 (х) 11 +
(30.5Ь)
ie R F ) 1
+ 2 1"[J.tv] I1V(X l'
m ,
По определению функции fрина уравнений (ЗО.5а) и (ЗО.5Ь) (мы
Не рассматриваем функцию fрина для уравнения (30.5с) по выше
!!ЗJ10женным причинам) lfаходятся из уравнений'
(30.5с)
G o (х х') =0= 8 (х х'), (З06а)
( 11 V I1 Т М) О (х х') =0= о (х х'). (30.6Ь)
ЗДf'сь О (х х') квадратная матрица той же размерности, что
11 матричный оператор ( I!VI1 + М), так что уравнение (30.6Ь)
u индексной записи имеет вид
( I!VI1 + М)АВ ове (х х') =-- 6 АС' 8 (х х').
Аналоrично MorYT быть записаны уравнения для
функций fрина уравнений (29,11)'
m (u l1 V I1 t т7») О' (х х') с=. 8 (х х'),
( IVI1 f-- М) О (х х') == 8 (х х').
(30.7)
матричных
(30.8а)
(ЗО.8Ь)
269
Как и в случае скалярноrо поля, взаимодействующеrо с элект-
ромаrнитным (см. (30.4), решения уравнений (30.5) и (29.11)
MorYT быть теперь представлены через соответствуюшие функции
[рина (30.6) и (30.8) (если существует решение уравнения (30.8а):
А" (х) == А\о (х) + ie S G o (х х') { :;р (х') v1\1 (х')
- v [:;Р(Х') [VI-t]1\1(Х')]} d 4 x',
(ЗО,4а)
'Ф (х) == 'Фо (х) + ie j G (х х') [AI-t (х') J.I
2 [I-tV] F!LV (х') J 1\1 (х') d 4 x',
<р (х) == <Ро (х) + ie .) G' (х х'),р (х') [1\1 (х') d 4 x',
rзо.4Ь)
1\1 (х) == 'Фо (х) + ie J G (х х') r'Ф (х') (Р - Р) ер (х') d 4 x'.
Функции [рина для уравнений (29.12) совпадают с функциями
G и а, поэтому мы их здесь не выписываем.
Скалярная Найдем вначале явный вид функцииО м (x x').
функция rрина Будем в дальнейшем обозначать ее просто
через О (х х'). Прежде Bcero заметим, что
О (х х') как решение неоднородноrо уравнения (ЗО,3Ь) будет
определяться неоднозначно с точностью до ПРОИЗВО.1ьноrо
решения соответствующеrо однородноrо уравнения. Действитель-
но, сумма функций
О (х х') == 0(1) (х х') + 0(0) (х х'), (30.9)
[де G(1) (х х') удовлетворяет (30.ЗЬ), а 0(0) (х х') любое
из решений однородноrо уравнения
(О М2) 0(0) (х х') с= О,
(30.10)
будет являться решением уравнения
(О M2) G (х х') == 6 (х x').
(30.11)
Поэтому в решении уравнения (30,11) существует произвол, ко-
торым мы в дальнейшем воспользуемся для определения функпий
[рина, удовлетворяющих различным начальным условиям.
270
Найдем функцию G(l) (х х'). Для этоrо представим ее в виде
четырехмерноrо интеrрала Фурье по плоским волнам l
G(l) (х х') == S G(l) (k) eik(x x') d 4 k, (30.12)
(2л )4
[де G(l) (k) можно рассматривать как функцию rрина в импульс-
ном представлении. Используя разложения Фурье для четырех-
мерной б-функции (см, Приложение А)
б (х х') S eik(x x') d 4 k (30.13)
(2л )4
и подставляя (30.12), (30,13) в (30.11), подучим
(Q М 2 ) r G(l) (k) eik(X X') d 4 k ==
(2л)4 J
== (2 )4 S e'k(x x') d k.
Производя теперь дифференцирование по х под знаком интеrрала,
имеем
S (k2 + M2)G(l) (k) eik(x x') d 4 k == S e'k(x x') d 4 k,
откуда следует уравнение для функции rрина в импульсном
представлении
(k 2 + М 2 ) G(l) (k) == 1. (30.14)
В тех точках, в которых k 2 + М 2 == О, (}Р) (k) не определено со-
оrношением (30.14). во ьсех друrих точках
G(l) (k) == 1 (30.15)
k 2 + М2
Таким образом, G(l) (х х') можно написать в следующем явном
виде:
1 r eik(x x')
G(l) (х х') == d 4 k ==
(2л)4. k 2 r- М2
== S eik(X X')d3kP S e iko(Xo X;) dko, (30.16)
(2л)4 kg + k 2 + М 2
['де при интеrрировании по ko точки, определяющиеся СО01НО-
ш('нием ko2+k2+M2==O, следует рассматривать особо, так
Как они являются полюсами подынтеrральной функции Обыч
'JbfM приемом, придающим смысл инrеrралам типа (30.16),
которых возникает необходимость проходить через полюса
1 По всем компонентам вектора k ИJlтеrрал (30 12) и в равной мере
НllТеrрал (3013) ВЫЧИС.1ЯЮТСЯ 8 бесконечных пределах в смысле rлавноrо
lllачения
271
о.
Зт!
.
: R
+ ,....!el.I<"
I
с t 1mz
L7+
. .ш Rel=k o
-
Lz
z= .c+M2 Z=+ Kl+Ml
1т 1 11
,
I
I Rez-k"
Lz_ L z +-
L t 1ml q
z 1.
.....rX..J..... . Re 2-k(J
,;;:
Ll+
z= чкZ",м2 Z=+ K2+M2
Рис. 1 Контуры L/ на плоскости комплексноrо пере'>lенноrо
при интеrрировании, является замена интеrрала eI'o rлавным
значением. Очевидно, что в четырехмерном интеrрале (30.16)
достаточно взять лишь один из интеrралов в смысле rлавноrо
значения, например интеrр'а"l по ko Символ Р в правой части
форму.1Ы (3016) как раз и означаеr, что интеrрал по ko сле
дует брать в смысле r.laBHoro значения Для вычисления
IfНтеrрала по ko удобно перейти к контурному интеrра.1У по
комплексной переменной z, действительная часть которой со-
[<падает с ko
2л S
L i
е iz(xo x )
Z2 + k 2 + М 2
dz
(i == а, в, с, d),
(30.17)
Здесь L i контуры, идущие по действительной оси комплексной
плоскости, исключая точки, в которы х расположены полюса
z == l: 1 k 2 +М2,
лежащие на действительной оси. Вблизи этих точек контуры
L i выходят за пределы действительной оси, обходя их тем или
иным ВОЗМОЖНЫМ способом, как показано на рис, 1. Выбирая
форму контуров обхода в виде полуокружностей с радиусом "
С'тремящимся к нулю (см. рис. 1), .1юбой из интеrралов (3017)
можно представить в виде суммы интеrрала по ko в смысле
rJlaBHOro значения, содержащеrося в (30.16), и двух интеrра
лов по полуокружностям с радиусом " обходящих полюса.
КаЖДЫЙ из интеrралов (30.17) леrко вычислить с помощью
теории вычетов, если дополнить ero равным нулю интеrра.IOМ
272
по полуокружности с бесконечным радиусом. Пользуясь лем
мой Жордана из теории функций комплексноrо переменноrо,
можно показать, что при Xo Xo' <О интеrрал от подынтеrраль
Horo выражения в (30,17) по верхней полуокружности (т. е,
по полуокружности бесконечноrо раДИуса, лежащей в верхней
полуплоскости комплсксноrо переменноrо И составляющей
вместе с контуром L i замкнутый контур) равен нулю И COOT
ветственно при Xo Xo'>O равным нуJIЮ будет интеrрал по
нижней полуокружности. Дополняя контур L i соответствую-
щими полуокружностями, будем иметь во всех четырех слу
чаях, показанных на рис 1,
1 S е Щх. Х;)
dz ==
2л Z2 + k 2 + М 2
L i
J ;л J e iz(xo xo) dz, ХО X < О
Z2 + k 2 + М 2
(30.18)
11 п e {Z(Xo Xo )
2;ф Z2 + k 2 + М 2 dz, XO X > О.
\ Li+
Здесь L + побозначает замкнутый контур, составленный из
L и верхней полуокружности, а L + \J замкнутый контур
из L и нижней полуокружности. Сохраняя направление ин
rеrрирования по контуру L от содо + 00, при интеrрирова
НИИ по контуру L + п следует идти против часовой стрелки,
а при интеrрировании по контуру L + 'J по часовой стрелке 1.
Вычислим теперь с помощью (30.18) интеrрал (30.17) по
одному ИЗ возможных контуров L i например по контуру La
(см. рис 1). Соrласно (30.18), этот интеrрал равен интеrралу
по одному из контуров, изображенных на рис, 2. При xo xo' <О
С\lедует интеrрировать по замкнутому контуру а (см. рис 2).
Поскольку единственные полюса ПОДЬJНт еrральной функции, co
ответствующие точкам z==:i: Vk 2 +М2, остаются вне контура,
ЭТОт интеrрал будет равен нулю, При XO XO/>O контур ин-
теrрирования Ь (см. рис. 2) содержит внутри себя оба полюса
подынтеrральной функции.
1 Иптсrра.1Ы типа (30 17) являются прнмерами интеrралов по беско-
'IСЧНЫМ незамкнутым контурам, для которых характерно отсутствие непре-
РЫвности (см (30 19)) Замыкание контуров Li на ту или иную полуокруж-
lJиl'ТЬ связано с приемом расчета и лишь подчеркивает особенность, не-
Ч\1кнутоrо контура, так как в зависимости от знака aprYMeHTa xo xo за-
\Ii,Iкающую полуокружность приходится брать то в нижней, то в верхней
НО,IУ П.l(JСКОСТИ комплексноrо перемеНJlоrо z
273
По теореме вычетов значение интеrрала в данном случае
будет равно сумме вычетов в обоих полюсах, умноженной на
коэффициент 2ni (знак «минус» связан С тем, что обход кон-
тура совершается по часовой стрелке). Поскольку вычеты функ-
iy' k'+M' (Xo X;)
е
ции
1
Z2 + k 2 + М 2
ЩХО Х )
. е равны
iJ1' k'+M' (x. x;)
е
и
2У k 2 +М2
в полюсах z-'=' + Vk 2 + М2 и Z == V k2+M2
2 V k 2 + М 2
соответственно, имеем
C
2л J
La
iz { x x' )
е о о
dz
Z2 + k 2 + М 2 XO <>O
== 2л
s
La+
iz { x x' )
е о о
dz ==
Z2 + k 2 + М2
а
6
Rez '" ko
Rez"" К.,
..........
Рис 2. Замкнутые контуры для ИlIтеrрал;
(3018) при различНЫХ знаках aprYMeHTa xo x О
274
2 v k 2 + М2
r ;y' kJ+M2 (X. X ) ;1' k2+M' (X. X;) ]
е e .
Таким образом, интеrрал (30.17) явлпется разрывной функцией
aprYMeHTa хо X
1 S e iZ(X. X;)
dz "'"
2л Z2 + k 2 + М2
La
I О,
== 2 V k 2i + М2
ХО X < О,
l ' е iJlr k'+M2 (xo X ) е i V k'+M2 (X. X;) )
,',
ХО X > О.
(30.19)
rлавное значение интеrрала по ko в выражении (30.16) полу
чится из интеrрала (30.19), если из Hero вычесть сумму интеrра
,1Ов по полуокружностям Lr . Lr+ радиуса r в пределе r..... О
(см, рис. 1):
р S е ik.(X. X;)
kб + k 2 + м 2
== (J
La
dko== S
L
j' J) е iZ(xcx;) dz.
L r + Lr Z2 + k 2 + М 2
iz( xo x:)
е
Z2 + k 2 + М2
dz ==
(30.20)
Здесь контур L действительная ось комплексной плоскости пе
peMeHHoro z за вычетом точек, в которых имеются полюса,
условную запись операции вычисления интеrрала по контуру L
следует понимать так, что вначале вычисляются интеrралы по
контурам La, Lr+. Lr , а затем из интеrрала по контуру La вы-
читаются интеrралы по контурам Lr+ и Lr , Таким образом, на
языке контурных интеrралов 0(1) (х х') (30.16) может быть
представлено в виде
G(l) (х х')
S ik(x x ) d 3 k 1 х
(2 )3 2;
S iz(Xo X;)
Х dz.
L ;2 + k 2 + М 2
(30.21)
275
Займемся расчетом интеrрала (30.20). На ПО.'Iуокружностях
Lr+ и Lr переменную z после перехода к полярной системе
координат можно представить в виде
z === 11 k2 + М2 + re irp
и
z == V k 2 + М2 + re irp
соответственно. Подставляя эти выражения в интеrралы по кон-
турам Lr+ и L, , будем иметь:
2 .f
L,+
n .
;л l' 2 ;; ;ei d I, o
о
iZ(Xo X;)
е
Z2 + k 2 + М2
dz I
,.....0
4 Vk 2 +М2
e ; V k2+M2 (XO <) ,
1 (' щхо х;)
J е
2л
L Z2 + k 2 + М 2
,
dz I
,.....о
(30.22)
i
j i( t;k' .Lм, +,/fjJ)(хшх')
е о
d ==
2 Vk 2 + М2 + ; if!
о
2л
i
4 V k 2 + M2
е' 1' k2+M' (xo X; )
(30.23)
Аналоrично можно найти соответствующие интеrралы по конту-
рам L;+ и L; , входящие в состав контуров Lb.c,d (рис. 1):
S е ЩХО Х;) dz I ==
2л Z2 + k 2 + м 2 ,.....0
L;+
4 V k 2 + М 2
i V kl+M2 (xo .!.')
е о
,
(30.22а)
е ЩХО Х:) dz
- 2 1 п S
L;
I, о
Z2 + k 2 + М2
276
eIYk2 +Мi (XD X;)
4 Vk 2 + М2
Сравнивая (30. 22а), (30.23а) с (30.22), (30.23), замечаем, что
интеrраЛЫ по контурам L;=/: отличаются от соответствующих
интеrралов по контурам Lr:l: ЛИшь знаком.
Подставляя выражения (30.19), (22.23) в формулу (30.20),
получим l :
i
(30. 23а)
j е ЩХО Х;) dz
2n " Z2 + k 2 + М2
L
i
4 V k 2 + 1\12
( e i Vk2TM2 (Xo X;) eiY k'+M2 (Xo X;) ), Xo X < О
1
(30.24)
i y ' ' )
( e 1 k2+M2(xo xo) r!} k2+M2(XO XD) , хо X > О.
4Vk 2 +M 2
Формула (30.21) в совокушюсти с выражением (30.24) дает нам
явный вид синrулярной части решения уравнения (30.1 1), rлав
ной особенностью KOToporo является отсутствие непрерывности
по aprYMeHTY Хо X . (Блаrодаря этому она и удовлетворяет
уравнению (30.11) с правой синrулярной частью).
Общее решение уравнения (30.11), как уже отмечалось выше,
(см. (30.9)) содержит G(O) (х х') произвольное решение ypaB
пения (30.10). Явный вид G(O) (х х') можно записать по aHa
.1Оrии с (21.25) общйм решением уравнения (21.13), по суще
C1BY совпадающеrо с уравнением (30.10):
G(O) (х х') == j > ik(x x') Х
(2лУ
>< [G+ (k) e ikD(XD X;) + G (k) /ko(Xo X;) J ' (30.25)
rде ko V k 2 М 2 , а функции G+ (k) и G (k) можно paCCMaT
ривать как две разлиqные функции [рина в импульсном пред
ставлении. Вид этих функций не определяется уравнением (30.10)
1 Формулу (30.24) можно записать в бо. ее ко шактном виде
1 е ЩХD Х;) sin V k +M2 l xo x 1
2т. S z2+k2+M2 dz ==' 2 Yk2+W
L
IA(' IXa X I абсолютное значение Ха X
(30,24а)
277
и может быть выбран совершенно произвольно, Интересно отме-
тить, что при соответствующем подборе функций G+ (k) и G (k)
функцию rрина G(O) (х х') можно представить в той же фор-
ме (30.21), что и G{l) (х х') с заменой контура L контурами
LrT' Lr , L;+ или L; . Действительно, выбирая, например, в 1
i i
первом случае G.. (k) == G (k) == О и во втором ' 1
4 Vk 2 т- М 2 '
G+ (k) ==: О, Gш (k) =--
4! k 2 -+- М 2
i
соответственно, имеем
+ . j ' :;:V k2+M2 (xo X;)
G(O)(x x')== ik(X x') d 3 k.
::1:; (2л)3 4 1/ k 2 + М2
в свою очередь G ) (х х'), соrласно (30.22), (30.23),
и (30.23а), можно переписать в следующем виде:
(30.26)
(30. 22а)
G{ ) (х х') == (2 )3 j' ik(X X') d 3 k 2 Ш S
Lr:!:
e iZ{Xo <)
Z2 t k 2 + М 2 dz==
1
(2л)3
s eik(x x') d 3 k 2 f
L
T
dz. (30 27)
Z2 + k 2 t- М 2
iz(xo x')
е о
в дальнейшем для получения различных функций rрина,
удовлетворяющих тем или иным начальным условиям, оrрани-
чимся линейными комбинациями функций G(I)(X X') и G )(x x').
С помощью (30.26), (30.24) и (30.21) определим следующие функ-
ции rрина:
G ret (х х') == G{l) (x х') +.. G ) (х х') + G ) (x х') =о
{ о,
(x x'), xo x >o,
G adv (х х') == G{I) (х х') G ) (х х') G ) (х х') ==
== { (х х'), хо x < о,
.. (30,29)
о, хо x > О,
хо X < о,
(30.28)
G C ' ) G {l) ( ' ) G {O) ( ' ) G (O) ( ' )
(х х == х х х ш Х + -+ Х Х с=
iV' k2+M' IXo x'l
== 2(2 i Jt)3 r eik(x x') _ d 3 k,
J t- M2
(30.30)
278
G ac (х х') :=.: G(l) (х х') + G ) (х х') G ) (х x') "=
,.. {V k'+Л \2lх. х;1
2 (2 )3 J eik(x x') е y12 d 3 k.
Поскольку любая из функций rрина (30.28) (30.31) является
выражением типа (30.9), она удовлетворяет уравнению (30.11),
J{.1И, что то же самое, уравнению (30.3Ь). Поэтому, будучи под-
ставлен Ной в формулу (зо.4Ь), она даст решение для <р, удов-
летворяющее уравнению (30.2Ь). Однако при решении конкретной
задачи относительно поля ер не безразлично, какую из этих функ-
ций выбрать. Все задачи, связанные с определением поля <р, по-
явившеrося после действия источника (роль источника иrрает
правая часть уравнения (30.2Ь», следует решать с помощью
функции G ret (х х'). Действительно, поскольку G rtt (х х') от-
.'IИчно от нуля для моментов времени хо > x , то интеrрирование
в (30.4Ь) автоматически учтет лишь то действие источника на
поле ер, определенное в момент BpeMeHII хо, которое происходило
до этоrо момента, т. е. запаздывающее действие. ПО этой при-
чине G ret (х х') носит название запаздывающей функции rрина
(обозначение ret сокращенное от retardatioп (aHr л.) запазды-
вание). Функция rpHHa G adv (х ш х') применяется в том случае,
коrда ставится обратная задача, а нменно, каково должно быть
поле ер, чтобы заставить источник функционировать заданным
образом (<<источник» в данном случае служит объектом воздей-
ствия со стороны поля). Ясно, что на «источник» будет действо-
вать лишь то поле, которое существовало до рассматриваемоro
отрезка времени, на котором задано функционирование источника,
r. е. поле в опережающие моменты времени. Функция Gadv(X X')
как раз и обладает нужными свойствами (она отлична от нуля
ТО,1ЬКО дЛЯ моментов времени хо < x ) для определения поля в
опережающие моменты времени. Она носит название опережаю-
Щf'Й функции rрина, (adv сокращенное от advaпce (анrл.)
опережение).
Функщm rрина G ret (х х') и G adv (х х') удовлетворяют
l'равнительно простым начальным условиям, которым, как уже
было показано выше, можно придать определенный физичесюrй
сМысл. Для выяснения физическоrо смысла начальнЫх условий,
которым удовлетворяют функции rрина G с (х х') и G ac (x x'),
рассмотрим более дета.1ЬНО интеrрирование по времени в правой
части соотношения (30.4Ь). Обозначая функцию источника через
J (х), соотношение (З0.4Ь) можно переписать следующим обра-
зом'
(30.31)
ер (х) == S G (х х') J (х') d 4 x'.
(30.32)
279
Здесь под G (x х') мы будем подразумевать вначале GC(x x'),
которую (см. (ЗО.зо» представим в виде
G C (х х') == S d 3 k G C (k, х х') е i]f k'+M' 1X, <I, (за. 33)
а для J (х') запишем ero разложение В интеrрал Фурье
J ' 1 S J ' iPox; d
(х ) == (Ро, х) е Ро.
2л
Формула (за. 34) представляет собой не что иное, как разложе-
ние функцJ{И источника по возможным энерrетическим состоя-
ниям, причем положительным РО отвечают состояния источника
с положительной энерrией, а отрицательным состояния с отри
цательной энерrией. Подставляя (ЗО. ЗЗ), (ЗО. З4) в (30.22) и ин
теrрируя вначале по x , а затем по Ро, ПОJIУЧИМ
(за. 34)
<р (х) ..= S d 3 х' .\ d 3 k G C (k, х х') J (Ро -== :t /k2 + М 2 , х') Х
х e'FiY k 2 +M2 х, ,
(ЗО, З5)
rде верхние знаки относятся к случаю хо x > о, а нижние
к случаю хо x < о. Из формулы (за. З5) можно сделать вы-
вод, что при хо x > О поле <р (х) определяется только через
энерrетические состояния источника с положительной энерrией,
а при хо x < О только через состояния с отрицательной
энерrией. Как будет в дальнейшем показано (см. З2), состоя-
ния источника с положительной энерrией (при x == QO, т. е.
при хо x > о) определяются полями элементарных частиц, а
состояния с отрицательной энерrией (при x == + 00, т. е, при
хо x < о) полями античастиц, поrлощаемых в результате
решщии, т. е. таких частиц и античастиц, которые существовали
до взаимодействия. Таким образом, <р (х), рассчитанное с помощью
функции [рина G C (х х'), причинным образом учитывает влия-
ние взаимодействия элементарныx частиц на последующее состоя-
ние поля. Блаrодаря этому GC(x х') носит название причинной
функции rрина (с сокращенное causality (aнr л.) - прuчuнносmь).
Следуя вышеприведенным рассуждеНlfЯМ, можно показать, что
G ac (х х') отвечает анТlfПРИЧИННЫМ решениям уравнения (ЗО.2Ь).
Вышеприведенные функции [рина, кроме Gac (x x'), ис
пользуются для получения решений, отвечающих тем или
иным физически обусловленным начальным условиям В свя-
зи с этим важно иметь такую математическую запись для
функций [рина, которая позволяла бы проводить расчеты
в наиболее подходящей ДJIЯ математических операций
280
форме Для решения задач взаимодействия элементарных
частиц наиболее подходящ й формой для функции rрина ЯВ-
ляется их разложение в четырехмерные интеrралы Фурье. Ta
кое представление может быть получено на ОСrюве контурных
интеrралов. Заметим, что любую из приведенных функций
[рина можно выразить через интеrрал по одному из приве-
денных на рис. 1 контуров. Действительно, рассмотрим, Ha
пример, функцию Gret (x x')
Соrласно выражениям (30.21) и (30.27), oTct (х х') есть не
что иное, как
oTet (х х') == 1 , r eik(x X')d3k Х
(2л)4 I
Х (j ' + S + J " ) e iZ(X X') dz
Z2 + k2 , + М2
L Lr+ Lr
== S e ik(x x') d 3 k S e iZ(X X')
(2л)4 Z2 + k 2 + М2
La
Т очно так же
1 r> S
Ga<it' (х х') == (2л)4 j ik(x x') d 3 k
Lb
dz,
(30.28а)
e"Z(X X')
Z2 + k2 + М2 dz,
(30. 29а)
1 J ' r> iz(x x')
G C ( ' ) еik(Х -Х') d3k j d ( ':\030 )
х х == (2л)4 Z2 + k 2 + М 2 Z, у. а
Lc
О ас ( ' ) == S ik(x x') d 3 k Х
х х (2л)4
('
xj
Ld
e iZ(X X')
Z2 + k 2 + М2 dz.
(30.31а)
Результат интеrрирования по любому из контуров L i не за
Висит от формы контура вблизи полюсов. Иными словами,
ес\1И, например, выбрать контур L' (вместо контура La), кото-
рый вблизи полюсов имел бы произвольную форму, НО обхо-
ДИ.1 эти полюса сверху, так же как и контур La, то при вычис-
лении интеrрала по L' можно получить тОт же результат, что
и при вычислении интеrрала по контуру La. Сами полюса
Можно сместить с действитеJlЬНОЙ оси в нижнюю ИJЩ верхнюю
ПОJJУПЛОСКОСТЬ комплексноrо переменноrо z так, чтобы кон-
Тур, идущий ВДОЛЬ действительной оси, обходил их соответст-
ВУЮЩИМ каждому из четырех случаев образом Возвращая по-
.'IЮс после выполнения расчета KOHTypHoro интеrрала снова
281
на действительную ось в каждом из ЧСТЫрЕ-Х с.l)'Чаев бла
rодаря независимости значения интеrрала от формы контура
вблизи полюса, получим тот же результат, ЧТЮ и при интеrри
ровании по контуру L i
Воспользуемся этим обстоятельством для сведения раЗJ[ИЧ
ных контурных интеrралоВ, содержащихся в (30.28) ........(3031),
к интеrралам по контуру, представляющему собой деЙст
вительную ось
Для этоrо, заменяя во всех четырех случаях контуры L i
контуром, ИДущим вдоль действительной оси (что позволяет
вместо z писать просто ko), следует одновременно сделать С.'1е-
дующую замену в знаменателях подынтеrральных выражений:
( k5 + k 2 + M2 i В (ko) для G ret ,
k5 + k 2 + М2 + i в (ko) для G adи ,
Z2 + k 2 t М 2 --+ (30.36)
k5 + k 2 + М2 i в дЛЯ G C ,
t k +k2+M2+iB дЛЯ G ЙС ,
тде в бесконечно малая положительная величина, а
в (ko) == { + в при ko > О,
в при ko < О.
При этом полюса подынтеrральной функции, опреде.lяемые
из условия равенства нулю знаменателей, будут смещены
нужным образом. Действительно, например, для Grp/ ПО.'1юса
будут находиться в следу ющих точках:
ko == ::+:: 1 k 2 + М2 i е (ko):::::;
:::::; + ( k2 + М2 i 8 (ko) )
Y k 2 + М2
j Vk'+M' i :
k: + М2
yk 2 + М2 i
11 k 2 + М2 '
т. е. оба полюса смещеljЫ в нижнюю полуплоскость. ПОС,1е
этих преобразований формулы (30.28а) (30.31 а) приобретут
.следующий вид:
1 S ik(x x')
G re ! (х х') == (2л)4 k2 + 2 i в (ko) d 4 k, (30.28Ь)
1 S eik(X x')
G adи (х х') == (2л)4 k2 + М2 + i е (ko ) d 4 k,
(30.29Ь)
282
G C (х х') ==: (2 )4 S
G ac (х х') ==: (2 )4 S
eO'(x x')
k 2 + М2 i е
d 4 k,
(зо.З0Ь)
d4f .
k 2 +М2+ i8
ik(x X')
(ЗО.31Ь)
Здесь, как обычно, прмняты обозначения
k 2 ==: k 2 kg ,
k (х х') == k (х х') ' o (хо x ),
d 4 k == d 3 kdk o
и предполаrается, что е устремляется к нулю только после
выполнения всех операций расчета, включающих интеrралы
типа (30.28b) (30.31b).
Резюмируя полученные результаты, можно сказать, Ч'Ю
функции rрина (30.28) (30.31), отвечающие неоДН'ОрОДНОМУ
уравнению (30.11) для скалярноrо поля с 6 образным источ-
ником (скалярные функции rрина), есть не что иное, как син-
rулярныe решения ЭТО1'о уравнения, 'отличающиеся друr 01
д;руrа на то или иное решение однородноrо уравнения (30.10),
ч'ю соответствует различному выбору начальных условий.
Функции rрина, отвечающие физически обусловленным на-
ча:IЬНЫМ условиям, можно задать в виде четырехмерных ин-
теrралов Фурье от одноrо и Toro же выражения G(k) ==
1
k2 + М2, иrрающеrо роль скалярной функции [рина в им-
ПУJ1ЬСНОМ представлении. То или ин начальное условие для
функции rрина обеспечивается выбором пути обхода полюсов
функции G(k) при интеrрИрQвании, что можно осуществить.
двумя способами. Один из этих споообов заключается в заме-
не действительной оси переменноrо ko соответствующими кон-
турами L i , обходящими полюса G (k) нужным образом (см.
(30 28а) (30.31 а) ). Друrой способ связан с бесконечно
малым смещением полюсов с действительной оси, обеспечива-
ющим тот или иной путь обхода полюсов. При этом слеrка
изменяется в каждом отдельном случае выражение G (k)
(см. (3028b) (30.31b».
Функция rрина Go(x x') уравнения второ-
1'0 порядка для потенциалов электромаr-
нитноrо поля отличается от функции [рина
скалярноrо поля G M (x x'), как это сле-
дует из уравнения (30.3а) и (30 3Ь), только тем, что она под-
чиняется уравнению поля с равной нулю массой. Поскольку
8стIчина М при решении уравнения (303Ь) Не иrрает суще-
сТВенной роли, то Go(x x') можно получить из GM (x x'),
283
Функция rрина
J1ля электро-
маrнитноrо поля
ПО.1аrая М равным нулю во всех выражениях дЛЯ GM (x x').
Поступая таким образом, имеем
G i ( ' ) 1 j ik(X X') d 3 k Х
о x x е
(2п)4
iZ(Xo X')
е о
х S
L'.
!
dz.
(30.37)
Z2 + k 2
Здесь индекс i при G o (х х') означает ret, аЬи, с, ас, что соот-
ветствует контурам L , L , L;, L c. Каждый из этих кон-
туров отличается от соответствующих им контуров L i
(см. рис. 1) тем, что он обходит полю са, расп оложенные в точ-
ках z :t Ik , а не в точках z == :t Vk 2 + М2 .
В друrой форме, которая связана со сдвиrом полюсов с дей-
ствительной оси с помощью небольшоrо изменения подынтеrраль-
Horo выражения, функции rрина Gb (х х') имеют вид:
G ret ( , 1 J ' eik(x x')
о x х) == (2п) 4 2 d k,
k i е (ko)
1 r ik(x X')
G dv (х х') .== (2п) J k2 + i е (ko) d 4 k,
1 S ik(x x')
GC(x x') ( 2л)J 2 ie dJk,
1 S ik(x x')
G ac (х х') == (2п)4 ;2 + те d 4 k.
(30. 38а)
(30. 38Ь)
(30.3&)
(30. 38d)
Разумеется, что ФУНКЦЮI Gb (х х') удовлетворяют тем же на.
чальным условиям, что и аналоrичные ФУНКЦЮI G:'>\ (х - х'), и
оrО'ЧlачЕ'НИЯ ret, adv, с и ас соответствуют тому же физическому
смыслу начальных условий, что и в случае функций G, (x x').
31. Функции rрина уравнений Дирака и Даффина Кеммера
Функции rрина, УДОВJlетворяющие уравнениям (30.6Ь) и (30.8),
MorYT быть определены как некоторые матричные производные
от уже найденных выше функций GM (х х') и G o (х х'). Для
этоrо, так же как и в работе Ф. И. Федорова!, воспользуемся
операторами, обратными матричным операторам уравнений (30.6Ь)
1 C I ФИФ с Д о р о в ДАН СССР, 65. 813, 1949
284
и (30.8).Действите,ТJЬНО, пусть, например, для уравнения (30.БЬ)
мы знаем матричный дифференциальный оператор' ' ( jJ. VjJ. + M) l,
который обладает следующим свойством:
( jJ. VJ! + M)'( IL V IL +M) l:::: M2.
(31.1)
Тоrда, представляя функцию [рина G (х х') в виде
G (х х') == '( !! VJ! + M) l а м (х х'), (31.2)
мы сведем уравнение (30.6Ь) к уравнению (30.3Ь). Отсюда сле-
дует, что G (х х') может быть выражено через G M (х х'),
если существует оператор , ( jJ. Vy, + M) l.
Аналоrично для уравнения (;:Ю.8а)
а' (х x') == '«(11' VJ! + тP) lGo (x x'), (31.3)
т
если существует такой маТРI1ЧНЫЙ дифференциальный оператор
'(a lL V IL + тP) l, что
(a lL V IL + тР) '(ajJ. V IL + пiJ» 1 == D. (31.4)
Для полей со спинами О, 1/2 и 1 с отличной от нуля массой
такие операторы существуют, и их можно найти в явном виде.
Естественно, что для различных полей, матрицы f31L которых
отличаются друr от друrа размерностью и различными алrеб
рами, обратные матричные операторы '( I1Vи+M) 1 будут
раз,rшчны.
Наиболее простой вид имеет обратный оператор ypaBHe
НИЯ Дирака. В Э 22 показано, что через матрицы Дирака
(в Э 22 они обозначаются символами 'YJ!) с алrеброй
IL V + V IL == 26 ILV (31.5)
или
оператор LJ M2 можно представить в вмде (см. (22.39))
CJ М 2 == ( и V 1')2 М 2
[J М 2 == ( IL V IL М) ( " Vv + М).
(31. б)
(31.7)
Orсюда следует, что
, ( IL V!L + M) 1 == ( IL V IL М).
(31.8)
1 Матричный оператор '( vJ! + M) l, удовлетворяющий (31.1), не
ЯВЛяется в полном СМЫСЛе обратным оператором по отношению к ( IL VIL + М)
(он не обладает нужными свойcrвами как дифференциальный оператор)
"'то и отражено в ero обозначении индеJ<.СОМ «штрих» перед СИМВOJJОМ
стератора. Тем не менее мы ero иноrда будем иазывать «обратным»,
ПОдразумевая под этим, что оператор '(3!! VIL + М) 1, рассматриваемый как MaT
рИЦа, пропорционален оператору (B IL VIL + M) l.
285
I
Применяя оператор (31.8), находим, что функция rрина G Д.'1я :1
дираКО8скоrо поля (т. е. для поля со спином 1/2) имеет вид '1
0(1/2) (х х') =ос ( IL V;t M) а м (х х'). (31.9) ':
Подставляя в (31.9) выражение а м в виде (30.28b) (30.31b), по '
лучим:
G(l/2)tet (х x') == S м ik eik(x x') d 4 k, (31.10а)
(2л)4 k 2 + М2 i Е (ko)
adv , 1 j М ik ,
0(1(2) (х Х ) == . eik(X x )d 4 k,
(2л)4 k 2 + М2 + t е (ko)
(31.10Ь)
с 1 S М ik
а(1,2) (x x') eik(x X')d4k, (31. 1 Ос)
(2л)4 k 2 + М2 i е
ас 1 S М ik
0(1/2) (x x') == eik(x X')d4k. (31.10d)
(2п)4 k 2 + М 2 i Е
Здесь осуществлено дифференцировани под знаком интеrрала
по х и применено обозначение k == k lL ;o.' Леrко проверить, что
функции О(lт' (х х') удовлетворяют тем же начальным усло
виям, что соответствующие функции G (х х').
Обратные операторы для полей с НУ,llевым спином (5 MepHыe
матрицы IJ.) и со спином 1 (lO MepHыe матрицы IJ.) имеют более
сложный вид. Пользуясь алrеброй этих матриц (22.21), которая
для обоих полей совпадает, имеем
( IL V;,)3 =ос IL y p V IL \l v V р ==
1
"'" ""'2 ( IL V P + P \' ;o.) V IL V v V Р ==
== + (б;о.v Р + БРV IL) V IL V" V р =ос :J' ;o. V;o.'
(31.11)
Отсюда следует
1
М [[J М 2 IJ.VIL ( "Vv M)]( pVp + М) ==
== [(О M2)( IJ.VIL t М) [.:::- ;o.VIL + М2 IJ. V;o.] == [J М 2 ,
М
т. е., соrласно определению (31.1), для полей со спином О и
, ( ILVIL + M) l == [С, М2 IJ. V'I1 ( vVv M)] (31.12)
286
Подставляя (31.12) в (31.2), получим
а(О,]) (х х') ==
== [ V ( "V" M) == + л.р] GM(X x'),
(31.13)
rде в случае а(О) следует подразумевать под пятимерные мат-
рицы Даффина l(еммера, а в случае G(l) десятимерные.
Используя дЛЯ G M (x x') явные выражения (30. 28b) (30. 31 Ь)
и производя дифференщrрование по х под знаком интеrрала,
имеем:
== (2 )4 S
== (2 )4 S
(2 )4 S
== (2 )4 S
G(o.l)ret (х х') .::::
ik(ik M) + k 2 + л-р
М (k 2 + М 2 i е (ko»
G(o.l)adv (х х') ==
ik (ik 'M) + k 2 + М2
м (k 2 + М2 + i 8 (ko»
G(O.I)O (х х') ===
ik(ik M) +k2 + М2
M(k 2 +M2 ie)
G(O.I) ас (х х') ==
ik (ik М) + k 2 + М2
М (k 2 + М 2 + i 8)
e;k(x x') d 4 k, (31. 14а)
e;k(x X')d4k, (31.14.Ь)
e;k(x x')
,
(31.14с)
e;k(i x')d4k. (31.14d)
Разумеется, и в этом случае G(O,I); (х х') удовлетворяют тем
же начальным условиям, что и соответствующие им G (х х').
Что касается функции [рина для уравнения (30.8а), то опе.-
ратора, обратноrо оператору a V'" + mР, не существует, так как
в выражении для этоrо оператора присутствует проективный опе-
ратор Р, который является особенной матрШI.ей (det Р == о).
Однако выражение, иrрающее роль «обратноrо» оператора
'(a v + mP) l в системе уравнений (20.11), можно найти, исполь-
зуя эквивалентность систем уравнений (29.10) и (29.11). Для этой
цеJIИ рассмотрим первое из уравнений системы (29.1 О)
. ie
V F,, (x) == lе'ф(Х) 'V'ф(Х) VjA.{ 'ф(х) ("",]'ф(Х)}. (31.15)
т
287
Поскольку (31.15) может быть записано в виде (30.5а), то er
решение естественно представить (ана.rюrично (30.4» следующи
образом: ,1
F"1l (х) V" AIl (х) V u А" (х), (31.16)1
rде
А" (х) == ie S а о (х х') [ ;р (х') " 1J.1 (х')
+V {1Р(Х') [VIl]ф(ХI)}] d 4 x'. (31.17)
Запишем уравнение (31.15) и ero решение (31.16), (31.17) с по-
мощью элементов ПЩlНой матричной алrебры ДаФtJИна :Кеммера:
me"!VjJ.qJ[VIL](x) ==
==ie(exx e X [X(J]Va)1P(X)f1J.'(X), (31.15а)
1 1
2 e[ILV]! qJ[I.1V] (х) == e[plJ.]PvllevJqJ" (х), (31.16а)
eV1qJ" (х) -= ie J а о (х 1;;') ( e x -
1 I \
eX[x<J]Va )'Ф(Х')f ф (Х')d 4 Х', (31.17а)
rде f и <р совпадают с соответствующими величинами, определен
ными в системе уравнений (29.11), с тем лишь отличием, Что ком-
поненты qJ[!,-v] определяются здесь, как и в случае свободноrо
электромаrнитнor'о ПОЩI, формулой
1
qJ[/.1v] == F IlV'
m
Выраженные через элементы полной матричной алrебры, f и qJ
принимают видl.
1
f === e IL1 IL + 2 e[ILV]! [ILV]'
(31. 18)
1
qJ == e ll ! <Pll + e[lJ.v]I <p[IJ.V] .
2
(31. 1 9)
Используя представление (31 19) для q:, десять уравнений
(31.15а) и (31.16а) можно объединить в одно десятимерное
1 Л. [' м о р о 3, А А. Б о r у ш Becцi АН БССР, сер фiз .тэхн навук,
3, 46, 1964
288
уравнение (С1\!. 22). (Связь (31.16а) между потенциалами и
напряженностями ЭJlектромаrнитноrо поля в данном случае
рассматривается как система из шести уравнений, дополняю
щих снстему (31.15a) из четырех уравнений. При объединении
систему уравнений (31.16а) следует умножить на т 2 для при
едения членов с производными от компонент функции <р к
одинаковой размерности). Части функции <р (31.17а) и
(31.16а) после объединения по формуле (31.19) можно pac
сматривать как решение этой десятимерной системы ypaBHe
пий. Проведя соответствующие преобразования, десятимерное
уравненне и ero решение получим в следующей форме:
т (aj.81J. + тР) <р (х) ==
='"ie (eXX ех[ха]vа)'Ф(х)r'Ф(Х), (31.20)
<р (х) =с.. ie S (е РР e[plJ.]p V", ) Go (х х') >'
«(e;<x l ex[xa]y )1Р(х')r'Ф(Х')d 4 х', (31.21)
3амеrпм, что выражение
(е РР e[Pj.l]O v lL ) Go (х х')
в (31.21) выполняет роль функции [рина уравнения (31.20),
в чем .1erKo убедиться непосредственно. Решение в форме (31.21)
не совсем удобно для приложенlIЙ. Ему мОжно придать бо.'iее
удобный вид, проделав ряд простых преобразований над правой
частью (30.21), предварительно записав ее в импульсном преk
ставлении:
<р (х) == ie 5 (е РР е[Р"']Р V IL ) (е хх ex[xa]vo) х
Х Gо(х х').1jJ(х')r'Ф(х')d4х'. (31.22)
В этом виде решение уравнеш{я (31.20), как следует из cpaB
нения с (30.4а), напоминает по форме решение ему эквивалент
Horo уравнения (29.11 а), если под функцией [рина уравнения
(29.11 а) понимать выражение
а' (х x') == (е РР e[pj.t]p v lL ) Х
/' (е хх ex[xa]Va),Go (х х'). (31.23)
289
При такой интерпретации роль оператора
1
'(aJ!VJ! + mP) l
т
в выражеНИИ (31.з) иrрает матрица
( е РР e[/1 ]p V ) ( е ХХ . ex[xa[V а) ==
1
== (т й,J. VJ!) Р (т a V ),
т 2
(31.24)
хотя она и не удовлетворяет соотношению (31.4).
Обобщая полученные результаты, приходим к следующему
полезному в отношении приложений теории выводу, что реше-
ние системы уравнений (29.10) можно представить как фор-
мальное решение эквивалентной ей системы уравнений
(29.11). в таком случае для записи этоrо решения следует
пользоваться формулой (30.4а), rде под O'(x x') понимает-
ся выражение (31.23).
При решении конкретных задач электромаrнитноrо взаи-
модействия частиц, обладающих внутренней структурой, бу-
дет использоваться решение уравнений (29.10) в указанной
выше форме. Для этих целей «функцию [рина» (31.23) деся-
тимерноrо уравнения МаксвеЛ.1а (29.11 а), так же как и функ-
ции [рина' Д.'Iя векторных ПО.'Iей, удобно задать в импульсном
предстаВ.'Iении. Используя Д.'IЯ различных функций [рина
Go(x x') их явные выражения (30.38) и производя диффе-
ренцирование по х под знаком интеrрала в фОРМУJlе (31.23),
имеем:
=- (2 )4 S
O're! (х х') ==
( еРР e[PJ!]/1 kJ! ) ( е ХХ .J.,;; 8 1фЮ ] ka)
k 2 i 8 (ko)
х
х eik(x x') d 4 k,
(31.25а)
(2 )4 S
G'adv (х х')
( 8 РР 8[PI1]P kJ! ) ( е ХХ Ех[ха] ka )
х
k 2 + i 8 (ko)
х eik(x x') d 4 k,
(31.25Ь)
О'с (х х') ==
290
== (2 )4 S
1 J ...
=" (2л)4
( ' еРР 8[PJ!Jp kJ! ) ( ' 8)\1< еФl<lJ k(J )
т т I Х
k 2 i е
х eik(x x') d 4 k,
О'ас (х х') ==
( е РР 8[PJ!]P kJ!) ( е ХХ ех[ха] ka) х
k 2 + lе
(31.25c)
х eik(X x') d 4 k.
(31.25d)
rлава IX
ПРОЦЕССЫ ЭЛЕКТРОМАrнитноrо В3АИМОДЕRСТВИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
32. Физическая интерпретация состояний частиц
в рамках классической теории поля
В классической теории поля состояния частиц определяют.
ся функциями поля, подчиняющимися волновым уравнениям.
Операторы уравнений дJопускают наряду с состояннями с по.
ложительной энерrией состояния с отрицательной энерrией.
В теории свободных полей уже была дана надлежащая интер.
претация состояниям свободных полей с отрицательной энер-
rией (см. 18). Суть ее заключается в том, что состояния
с отрицательной энерrией ответственны за частицы, имеющие
положительную энерrию, но движущиеся попятно во времени.
Вместе с тем попятное движение частиц во времени можно
представить как движение античастицы (т. е. частицы с дру'
rим знаком заряда, ио с той же массой) в прямом направле-
нии времени. Однако эта интерпретация опиралась на лаrран-
жев формализм в применении к теории свободных полей и,
естественно, требует модификации в случае взаимодействую-
щих полей, Такая модификация, в частноtтИ, необходима
для установления правил, по которым античастице в теории
взаимодействующих полей ставится в соответствие Функuия
состояния поля. Чтобы пояснить, о каком соответствии идет
речь, напомним общепринятую схему описания взаИМОдlей-
ствия Как уже отмечалось в 15, такая схема основана
на том, что частицы до и после взаимодействия считаются
свободными, и при описании взаимодействия оrраничиваются
определением вероятности переходов из одноrо свободноro
состояния в друrое. {П() существу эта схема есть не что иное,
как ме110Д матрицы рассеяния). Вероятности различных про-
цессов взаимодействия опреде:тяются с помощью функций co
стояния свободных частиц, взятых в моменты времени до
и после акта взаимодействия В качестве этих моментов вре-
мени обычно выбирают t'== се и t + 00 .
292
Функции состояний поля с положительной энерrией при
описании взаимодействия в вышеуказанной схеме сопостав
ляются элементарным частицам, движущимся в прямом Ha
правлении по времени, причем частице ДjO реакции (в началь
н 0:'.1 состоянии) соответствует функция, определенная в MO
:'.1енТ времени t== oo, а частице после реакции ( в конечном
состоянии) функция, определенная при t""", +00, Это Haxo
ДИТСЯ в соответствии с тем, что классическая траектория части'
L(bI также начинается в момент времени t =::: 00 И кончается
при t== + со.
ЧТО касается античастиц, квантовомеханические состоя-
ния которых задаются функциями поля с оrрицателъной энер-
rией, то для них следует установить друrие правила сопостав
.1 eJlИ я. Для этоrо выясним вначале, какой классической
частиuе при наличии взаимодействия соответствует квантово-
механическое состояние поля с отрицательной энерrией.
В классической механике заряженной релятивистской ча-
стице в электромаrнитном поле, движущейся попятио во Bpe
Аlени, сдедует сопоставить уравнение движения типа (26.5), в
котором изменен знак времени. При этом меняет знак импульс
(скорость) частицы и напряженность электрическоrо поля.
В результате уравнение (265) примет вид
d[ p(x)J == f(x), (32.1)
d ( t)
rДе сила f (х) определяется формулой (26.4). Однако это измене
ВНе знака времени эквиваJ1ентно изменению знака электрическО!'о
заряда частицы. Действительно, формулу (32.1) с учетом Bыpa
жения (26.4) можно переписать с.lедующим образом:
dp (х)
=::: еЕ (х) е [уН (х)].
dt
(32.2)
в такой форме уравнение совпадает по существу с (265)
( той .1I1ШЬ разницей, что частице с импульсом р (х), дви
Жущеися уже в ПО.'lOжительном направлении времени, сле-
дует ПрИПl\сать обратныи по ве.'1Ичине электрический заряд.
Отсюда можно сделать вывод, что частица, движущаяся по
пнтно во времени с импульсом р и с электрическим заря-
дом +е, COOTBercTByeT частице с импульсом +Р, но с обратным
"dРЯДОМ e, движущейся в прямо;',! направлении врем ни
Таким образом, приходи м к тому же выводу, что и для
свободноЙ частицы. Движение античастицы в прямом направ-
,Jе;нlИ врсыени 'I1атематически эквивалентно движению ча
(rицы в обратном направлении времени. В частности, каж
ДОИ 1()чке траектории попятно движущейся во времени клас
293
сической частицы, соответствующей моменту времени t,
следует сопоставить точку траеКТОрИИ античастицы, COOTBeT
ствующую моменту времени + (. Отсюда, опираясь' на соот-
ветствие между классическим и квантовомеханическим описа
нием движения частиц, можно сформулировать следующие
правила. Античастице o реакции (в начальном состоянии)
с положительной энерrией и с импульсом + р ставится в СО-,
ответствие волновая функция частицы с отрицательной энер-
rией и импульсом Р, определенная в момент времени t== + 00,
в то время как античастице после реакции (в конечном оостоя-
нии) с импульсом р функция частицы с отрицательной
энерrией и с импульсом р, определенная при ,t== oo.
Эти правила справедливы для поля частиц любоrо спина, ,
так как любое такое поле сопоставляется одной и той же ре- '
лятивистской кл ассической частице (см. 27).
В случае электромаrнитноrо поЛя или поля скалярной не-
заряженной частицы следует принять во внимание, что каК
фотон, так и незаряженная скалярная частица являются сами
себе античастицами (см. 18). Поэтому фо'I1OН И незаряжен-
ная скалярная частица, описываемые функциями с отрица-
тельной энерrией, означают те ж,z самые фотон и незаряжен-
ную скалярную частицу, но движущиеся попятно во времени.
Отсюда следует, что если функции с положительной энерrией
соответствуют фотону инезаряженной скаJ1ЯРНОЙ частице
l3 начаJ1ЬНОМ состоянии, то функции с отрицательной энерrией
соответствуют фотону и незаряженной скалярной частице
в конечном состоянии. В дальнейшем при конкретных расче-
тах реакций, связанных с поrлощением и испусканием этих
частиц, будем описывать поrлощаемую частицу функцией
с положительной энерrией так как ДJ1Я тоРо, чтобы быть по-
rлощенной, она должна присутствовать в начальном СОстоя-
нии, а испускаемую частицу функцией с отрицате.!JЬНОЙ
энерrией 1.
33. Амплитуды и сечения процессов взаимодействия
Решая уравнения (29.10), (29 12) или эквива.ттентные им
уравнения (29.11), (29.13), можно в принципе определить ве-
роятности тех или иных процессов взаимодействия элементар-
ных частиц. В соответствии с основными ПО.l0жениями кван-
товой механики вероятности процессов рассеяния определя-
ются как квадраты модулей амплитуд разложения в ряд
Фурье функций взаимодействующих полей.
I Подобная интерпретация впервые была предложена Р Фейнманом
для электронов См' Р. Фей н м а н Квантовая электродина\lllка. Л1,
«Мир», 1964
294
в этом параrрафе будут кратко изложены общие приемы
определения амплитуд, соответствующих тем или иным про-
пессам взаимодействия, и будут намечены основные пути ре-
шения конкретных задач, связанных с рассеянием друr на
друrе частиц, представленных волновыми функциями взаимо-
действующих полей. Решение уравнеиий будет проводиться
методом функции rрина в рамках теории возмущений. В свя-
зи с этим вместо уравнений (29.10), (29.11), (29.12), (29.13)
будут использоваться соответствующие им интеrральиые
уравнения (см. 30).
Запишем интеrральные уравнения (30.4 а), соответствую-
щие уравнения 1;1 (29.1 О), в следующем виде:
А)! (х) == А"о (х) +- S Gg (х х') j)! (х') d 4 x',
'11 (х) == '110 (х) + S ос (х х') R [А (х'), ] 1jJ (х') d 4 x',
(33.1 а)
(33.1b)
[де
ie
j)! (х) == ie1jJ (х) )! '11 (х) V\I f'Ф (х) [)!\I] 'ф (х)], (33.2а)
т
R [А (х), ] == ie (x) )! [)!\lJ F)!V'
2т
(33.2Ь)
причем
V)!AJ.t (х) == О.
(33.2с)
Здесь в качестве ядер интеrральных уравнений выбраны при
чинные функции rрина для тою, чтобы взаимодействие было
причинно обусловлено как для частиц, так и для античастиц
(см. 30). Поскольку выражения (33.2а) и (33.2Ь) пропор-
циональны безразмерной константе е, меньшей, единицы, ин-
ТеrраЛЬные части функций 'Ф'(Х) и А)!(х), предстаВJтяемых
формулам!! (33.1), по порядку величины меньше А)!о(х)
11 фо(х) решений свободных уравнений. Это дает возмож-
ность использовать при решении уравнений (33.1) творию
возмущений.
При этом (см, 15) мы будем исходить из Toro, что в Ha
чальный (ХОllач-== ОО) И конечный (XOKOH +(0) моменты Bpe
мени частицы не взаимодействуют между собой, т. е. являют
ся свободными. ДJ1Я Toro, чтобы это было явно отражено
в математическом аппарате, использующем плоские волны
в качестве функций состояния свободных частиц, необходимо
ДОПОJlНите.IЫIO предположить, что взаимодействие включается
н нача.'JЬНЫЙ С\10мент вреl\lени и выключается в конечный мо-
мент времени. Обоснование этоrо предположения вытекает из
стедующих наr.lЯДIIЫХ соображений. В условиях эксперимен-
[а частицы в начальный и в конечный моменты времени на-
СТО.1ЬКО удалены друr от дJpyra, что взаимодействие между
295
ними практически отсутствует. Для описания ситуации, воз-
можно близкой к условиям эксперимента, функции состояния
частиц можно задавать в виде волновЫх пакетов, каждый из
которых представляется в виде суперпозиции соответствую-
щих плоских волн, причем пространственное распределение
пакетов в любой момент времени оrраничено областью лока-
лизации соответствующей частицы Волновые пакеты двух
сталкивающихся частиц строятся таким образом, чтобы в на-
чальный момент времени они не перекрывались. ЭТО соответ-
ствует полному отсутствию взаимодействия между частицами
в этот момент времени. При ХО>ХО нач пакеты перекрываются
и происходит столкновение частиц. К моменту времени Хо'-+
ХО КОН образовавшиеся в результате столкновения частицы
разлетаются насroлько даJlеко, чтю они также MorYT быть
описаны неперекрывающимися между собой волновыми паке-
тами, что будет снова соответствовать полному отсутствию
взаимодействия между частицами Здесь предполаrается, что
расплывание пакетов за время взаимодействия пренебрежимо
мало. Это всеrда выполняется для частиц, движущихся с до-
статочно большими скоростями.
Для плоских волн, составляющих волновые пакеты взаимо
действующих частиц, дело обстоит так, как если бы взаимодей
ствие включалось в момент времени Хо нач И вык-люча-
лось в момент времени ХО!ЮН. В теории, использующей в ка-
честве функций состояний частиц плоские волны, а не
волновые пакеты, операция включения и выключения взаимо-
действия в соответствующие моменты времени является
идеализацией описанной выше экспериментальной ситуации.
Приведеиные соображения носят не ВПО.'lне строrий ха-
рактер. В частности, нельзя считать, что взаимодействие
включается одновременно для всех плоских BOJ1H, состав-
ляющих волновые пакеты. Кроме 1'0ro, само предположеilие
о том, что есть такие моменты или промежутки времени, коrда
между пакетами, описывающими заряженные частицы и фо-
тоны, взаимодействие полностью выключено, cTporo rоворя,
неверно 1. Тем не менее мы будем использовать плоские вол-
J Полное представление об этом может быть получено после переход а
к теории квантованных полей Оказывается, что в соответствии с основ-
ными положениями этой теории часть взаимодействия между полями c.le-
дует отне<:ти за счет Toro, что заряженные частицы в отсутствие фотонов
взаимодействуют с флуктуациями электромаrнитиоrо поля в вакууме, а
фотоны (в отсутствие заряжеиных частиц) с флуктуациями полей чаСl нц
в вакууме Эксперимеитально наблюдаемая масса покоя заряженной ЧdС-
тицы обусловлена частично этими взаllмодействиями (Аналоrичные сооб-
раженИя с несколькО друrой интерпретаЦllеи применимы к фотона,,!)_
Таким образом, мы никак не можем избавиться от этой частИ взаимодей-
ствия Таким образом, включение и выключеНие взаимодействия следует
рассматривать Bcero лишь как искусственный приеl\l.
296
ны В качестве ФУНКЦИЙ СОСliOЯНИЯ свободных частиц и исхо
;J.иrь из преДПО.1JОЖСНИЯ о MfHoBeHHOM включении и выключе
нии взаимодействия в соответствующие моменты времени
Такой подход оправдывает себя, поскольку при этом получа
ются те же самые результаты для вероятностей и сечений
процессов рассеяния (по крайней мере в первом неисчезаю-
щем приближении), что и в теории, в которой с CaMQfO начала
используются во:тновые пакеты 1.
Поскольку выключение взаимодействия ооответствует
обращению в нуль выражений (33.2), описывающих взаимо
действие между полями, а все эти выражения ПРОПiорциональ
вы констаите электромаrнитноrо взаимодействия е, опреде
лим операцию включения и выключения взаимодействия
следующим образом. Будем с 31'oro момента считать, что
В:\lесто константы е в уравнениях (30.4), (30.5) и (33.1) BXO
.1ИТ функция е(Ха), обладающая свойствами
1 0, XO---+ХОнач. == oo,
е (Х о ) == е, 00 <ХО < + 00,
о, ХО ---+ ХОнов + 00,
Функция е (ха) автоматически обеспечивает включение и вы-
К.lючение взаимодействия в соответствующие моменты Bpe
мени.
При решении уравнений (33.1) методом теории возмуще
ниЙ возникает необходимость в разложении функций взаимо
действующих полей по некоторой системе ортонормирован-
НЫХ функций. В случае поля со спином 1/2, пользуясь полно-
той системы функций свободноrо поля (23,86) с условием нор-
ЛlИровки (23.87 а), функцию 1jJ (х), подчиняющуюся уравнению
(з.3.1Ь), можно записать в виде ряда
'Ф (х) == C q (х о ) 'Фз (Х, q).
q
(33.3)
(33.4)
Здесь введены сокращенные обозначения для ортонормированных
функций свободноrо поля (23.86):
'Фо (х, q) == (:I:) (Х, р, s), (33.5)
rде собирательный индекс q обозначает р, s и принадлежность
функции к ПО,10жительному или отрицательному спектрам энерrии.
При этом условие нормировки (23.87а) примет вид
('Фq (Х, q'), 1.\lo (Х, q» ==
== jфо (х, q') 4 Фа (Х, q) d 3 x ==. {)qq" (33.6)
1М rольдберrер и К Ватсон Теория СТОЛКНОВРIIИЙ 1\..\,
'.,\1ир", ]%7
297
Что касается функций поля \jJ (х) спина О или 1, а также :i!
функции электромаrнитноrо поля Af1(X), удовлетворяющих i
уравнениям (33.1), то они не МО2УТ быть разложены в ряд по'
соответствующим ОРТО/iормированным функциям свободных
полей.
Рассмотрим вначале случай электромаrнитноrо поля.
Функции A I1 (x), (!t=' 1, 2, 3, 4) подчиняющиеся уравнению
(33.1 а), удовлетворяют условию Лоренца (33.2с). в то же вре-
мя для каждой из ортонормированных ФУНhЦИЙ свободноrо
электромаrнитноrо поля (21.38) с нормировкой (21.39), по KO
торым предполаrается вести разложение, четвертая компонен
та А4 раВна нулю, а на три пространственные отличные от
нуля компоненты, образующие трехмерный вектор, наложено
дополнительное условие условие кулоновской калибровки
(21.22), отражающее свойство поперечности электромаrнит-
Horo поля, В силу этоrо ортонормированные функции (21.38)
не образуют полной системы векторных функций в четырех-
мерном пространстве, в котором задана функция AIJ,(X)' Таким
образом, во-первых, А4 (х) четвертая компонента функций
Af1(X) не может быть разложена по системе функций (21.38),
во-вторых, поскольку, соrласно (33.2с),
V А (х) -== v 4 А4 (х) О,
пространственная часть Af1(X) не может быть разложена по
функциям (21.38), так как любая из этих функций УДОВJlе1-
воряет условию (21.22) (Как уже отмечалось в 21, УСJIOвие
(21.22) оставляет независимыми только две компоненты
функций (21.38), в то время как для взаимодеЙствующеrо
электромаrнитноrо поля А (х) имеет три независимых ком-
поненты, так что даже в трехмерном пространстве, в котором
определена пространственная часть функции Af1(X), система
функций (21,38) не является полной).
Физической причиной этоrо обстоятельства является то, что
электромаrнитное поле, взаимодействующее с полем заряженных
частиц, наряду с поперечным полем, которое может быть описа-
но линейной комбинацией функциЙ свободноrо электромаrн:итноrо
поля, обязательно содержит кулоновское поле, которое проявляет
ся в наличии четвертой компоненты А4 (х) О и так называемой
продольной части А 11 (х) TpexMepHoro вектора А (х), которая не
подчиняется условию (21.22).
Для поперечной части функций Af1 (х) система ортонормиро
ванных функций (21.38) является полной. Поэтому, выделяя иg
Af1 (х) кулоновскую часть:
{А УЛ (х)} == {А 11 (х), А4 (х)},
имеем следующее частичное разложение Af1 (х)
(21.38) с норм:ировкой (21.39):
298
(33.7)
по функциям
(х) ""- А УЛ (х) + d/ (хо) А)!о (х, 1).
/
( 33. 8)
Здесь введены сокращенные обозначения, аналоrичные (33.5),
{А)!о (х, 1)} {A :i:)(x, k, r)} === {A(:i:) (х, k, r), О}. (33.9)
Условие нормировки (21.39) для функций A(:i:) (х, k, r) теперь
примет вид
(А)!о (х, 1'), Af10 (х, 1» == б/,/. (33.10)
Поскольку А УЛ (х) представляет собой часть функции А)! (х), которая
но своему смыслу не должна содержать поперечноrо поля, для
нее должно выполняться условие ортоrональности по отношению
к любой из функции Af10 (х, 1):
(А УЛ (х), Af10 (х, 1) == (А)!о (х, 1), А УЛ (х» == О. (33.11)
Дополнительные Для функции поля 1jJ (х) спина О или 1, вза
ус.човия уравиении имодействующеrо с Э,lIектромаrнитиым по-
nepBoro порядка лем, имеет место аналоrичная ситуация.
для частиц со спи- ф (х ) не может быть Р азложена в Р яд по
ном О И 1
ортонормированным функциям свободноrо
{iQ,'IЯ (23.86) с условием нормировки (23.87б), так как в этом
случае функции (23.86) не образуют полной системы функ-
IШИ в 5-мерном (для спина О) или 10-мерном (для спина 1)
пространстве, в котором они определены. Это связано с тем,
что основные матрицы )! уравнений, которым подчиняются
функции 'ф (х), имеют нулевые собственные значения, как это
следует из алrебры этих матриц (22.21). Наличие нулевых
(обственных значении у матриц )! приводит к тому, что в
равнениях поля для 1jJ (х) содержатся так называемые aOпOk
нuтеЛЬНblе условия.
Под дополнительны:v!и условиями в данном случае понима-
IOтся те уравнения-строчки матричноrо уравнения первоrо
порядка, которые не содержат производной по времени. За-
l!ишеl\1 уравнение из системы (29.10), решением которorо
ЯВ.lяеrся функция Ф (х), и соответствующее ему свободное
уравнение (22.44) в следующем виде:
)!V)!"'(x) === {R[A(x), ] M}1/1(x),
)! V)! 1/10 (х) == м 1/10 (х).
Здесь R [А (х), ] определяется формулой (33.2Ь), и для функции
свободноrо поля при-нято обозначение 1/10 (х).
в случае поля спина О или 1 матрицы )! уравнений (33.12)
и (33. 13) подчиняются аJIrебре Даффи-на Кеммера (22.21), от-
Куда, в частности, вытекает
(1 ) 4 н О, (1 ) a == a (а == 1, 2, 3).
(33.12)
(33.13)
(33.14)
299
Первое из соотношений (33.14) дает возможность, не прибеrая
к явному выписыванию уравнений (33.12) и (33.13) по строкам
разбить каждое из них на две части, одна из которых будет яв-
ляться совокупностыо уравнений строчек, представляющих допол-
нительные условия. Так, при умножении любоrо из уравнений
(33.11) и (33,12) слева на матртху (1 ) мы выделяем ИЗ
Hero часть, содержащую только дополнительные условия. это
следует из Toro, что произведение (1 ) на оператор 4V4'
пропорциональный производной по времени, соrласно (33.14),
обратится в нуль. При умножении слева на матрицу ; мы по-
лучим вторую часть уравнения, содержащую временную произ-
водную. Поскольку (1 ) == о и (1 ) + == 1, то обе
части в сумме дают полное уравнение, откуда вытекает, что
первая часть содержит все дополнительные условия l . Разобъем,
следуя этой процедуре, уравнения (33.12) и (33.13) на соответ-
ствующие частИ. В результате вместо уравнения (33.12) получим;
aVa 'P (х) '= (1 ){R [А (х), ] 7>.Ч'l' (х), (33. 15а)
4V4 'I'(X) == [ аVа(l- ) +
+ м ] '1' (х) + B R [А (х), В] '1' (х), (33. 15Ь)
и аналоrично вместо (33.13) имеем;
aVa 'l'о(х) == M(l )lPo(x), (зз.100)
4 \ 4 '1'0 (х) [ a V а (1 ) + м ] 'Ро (х). (33. 16Ь)
Здесь было использовано второе из соотношеНIIЙ (33.14),
ДОПО.ТIНительные условия (33.15а) (33 16а) сохраняют своЙ
вид для любоrо момента времени ( ao<xo< + 00), raK же как
и уравнения (33.12) и (33.13), из которых ОI:Ш получены, Бла-
I'одаря этому обстоятельству соотношение типа (334) для
функций поля со спином О или 1 оказывается пеВОЗl\10ЖНЫМ
пока взаимодействие ВК.lючено.
Действительно, преДПОЛОЖI:ll3, что разложение (33.4) имеет
место для этих функций, мы пришли бы к противоречию, так
как левая часть (33.4) удовлетворяла бы дополнительным
условиям (33 15а), тоrда как ПРавая - дополнительным усло-
1 3аl"lетим, что наличие ДОПО.Iнительных ус.товий имеет место ЛIIШЬ
в том случае, коrда матрицы уравнения (в частности, 4) И\lеют нулеВLlе
собственные значения Только тоrда Д.1Я матрицы 4 справедливо мию!
мальное уравнение типа Р(!34) 4 o, rде P( 4) некоторый полином
от 4, действие KOToporo lIа уравнеН!.е вЬ!делиет ДОПО.1lIительные услов;rq
В противном случае дополнительные условия не имеют места Примепо:,!
может служить уравнение Дирака, матрица 4 которorо УДО8лстворпеl
мини !альному уравнению B 1 o
300
виям (33.16а) при .'Iюбых значениях функций cq(xo) (в СИ.1У
10ro, ч [о в ФОРМУ.I1Ировке дополнительных условий не coдep
жится производной по времени). В то же время нетрудно
убедиться, что если оrраничиться Компонентами функций,
содержащихся в выражениях ф (х) и 'Фо (х, q). то раз.lО
жение
ф (х) 0= l': C q (хо) ЧJо (х, q)
q
оказывается возможным. (Здесь ЧJо (х, q) функцня свободноrо
поля спина О нли 1 в обозначеНИIf (33.5)).
В самом деле, подставляя (33.16а) в (33.16в), получим ypaB
ffение, которому удовлетворяет функция ЧJо (х):
(33. 17)
[ 4 V4 ( a Va)2 + м] ЧJо(Х) 0= О. (33,18)
Аналоrично подстановка (33.15а) в (33. 15Ь) дает
[ 4V4 ( aVa)2 +м ] ЧJ(Х) Х(Х), (33.19)
[де введена функция с тем же числом компонент, что и 1jJ (х):
I 1 '\
х(х) == ( 1 . М a Va) R[A(x), ]ф(х).
Уравнения (33. 18) и (33. 19) содержат одинаковые ДОПО.lнитель
ные условия, и разложение (33.17) им не противоречит. ПОk
ставляя (33.17) в левую часть уравнения (33.19) и учитывая
уравнение (33.18), которое справедливо для любой из функций
Фо (.л, q), будем иметь
i дС q (хо) ЧJо (х, q) 4X (х).
дхо
q
(33,20)
Очевидно, подбором C q (хо) этому соотношенИЮ всеrда можно
удовлетворить, так как функции 4ЧJо (х, q) И 4X (х) YДOB.leTBO
ряют одному и тому же «дополнительному условию»
(1 ) 4X (х) == (1 ) ЧJо (х, q) == О.
{дeCb :"I1bI имеем ситуацию, аналоrичную случаю электрома[
1fИтноrо поля. Как и для Последнеrо, функция ф(х) не может
быть разложена полностыо по системе функций свободноrо
поля Тем не менее Д.1Я тех ее компонент, которые coдep
л-:атся в 1jJ (х), такое разложение оказывается возможным.
301
Продолжая аналоrию с электромаrНIIТНЫМ полем, заме
тим, что, как нетрудно убедИ1 ься, действие матрицы ; на
функцню 'Ф (х) сводится к выделению двух компонент из пяти'
в случае спина О и шести компонент из десяти в случае спи- i
на 1. Между тем в импульсном приближении каждому волно-
вому вектору k для спина О соответствуют две независимые I
функции, описывающие состояние частицы с положительной!
и отрицательной энерrней, а для спина 1 шесть независи. 1
мых функций, относящихся К трем спнн овым состояниям,1
частицы с положительной энерrией И трем с отрицательной
энерrией. Вследствне этоrо оказывается возможным предста-
lmTb в виде разложения по функциям свободноrо поля не
больше двух (для спина О) или шести (для спина 1) незави-
симых компонент функции 'Ф( х) взаимодействующеrо поля,
что и реализуется в данном случае.
Компоненты функции, выделяемые маТРИQей , в отличие от
компонент, выделяемых матрицей (1 ), н()сят название дина-
мически не.зависимых компонент. Это связано с тем, что, как
следует из (33.16), зависимость от времени компонент функций
(1 ) 'Фо (х) целиком и полностью определяется временной за-
висимостью компонент функций 'Фо (х).
Соотношение (33.17) указывает на принципиальную воз-
можность построить систему ортонормированных функций,
удовлетворяющих дополнительным условиям (33.15а), что,
очевидно, решает проблему разложення функции Ф (х) для
спнна О илн 1, так как последняя удовлетворяет тем же усло
виям. Для Toro чтобы осуществить такое разложение, пред-
ставим 'Ф(х) с помощью (33.15а) в следующем виде:
'Ф == 'Ф + (1 ) ф =:: D 'Ф + К'Ф, (33.21)
rде
112
D == 1 a V а' К == (l 4) R [А, ].
М М
(33.22)
Поскольку оператор К пропорцнонален малой коистанте е (см.
2
(Зз.2Ь»), уравнение (33.21) для определения 'Ф через D 4 'Ф мож-
но решить методом последовательной подстан()вки правой части
уравнения (33.21) в выражение К 'Ф 1 . В результате имеем
ф==D 'Ф+К(D 'Ф+КФ)=:: ..0 ==
== D 'Ф + К{D 'Ф + К[D 'Ф + K(D 'Ф + о..} ==
00 00
=== D 'Ф + l': KnD 'Ф == ( 1 + кn) D ф. (33.23)
n 1 n 1
1 А А й н с а а р Диссертация Тарту, 1968
302
Подставляя (33.17) в (33.23), получим 1
00
'IJ (х) == ( 1 + к n ) D 'IJ (х) ==
n -l
00
== ( 1 + l': к n ) D C q (хо) 'lJo (х, q) -OO
n ' q
(33.24)
== l': C q (Хо) ( 1 т ! к n ) D 'lJo (х, q) == C q (Хо) 'P (х, q).
q n l q
Пользуясь дополнительными условиями (33. 16а), справедливыми
для любой из функций 'Ро (х, q), имеем
D 'lJo (х, q) == ( 1 I a va) 'lJo (х, q) == 'Ро (х, q), (33.25)
откуда получаем следующее выражение для введенных в (33.24)
ФУНКL.ий 2 'P (х, q):
'P (х, q) == ( 1 + ! кn) 'Ро (х, q). (33.26)
n 1
Функция, сопряженная 'P (х, q), определяется как обычно:
00
1j: (х, q) == 'P * (х, q) 1']4 == 'P (х, q) ( 1 + ! K n) 1']4.
n 1
(33.27)
Таким образом, мы получили разложение (33.24) для функции
поля со спином О (или 1) 'IJ (х) при наличии взаимодействия.
Функции 'P (х, q) по своим свойствам отличаются от COOT
ветствующих им функций состояний св060дноrо поля 'Ро (х, q)
] Изыенеllие последоват<ельНОСТИ суммирований в рядах оправдано, I'lK
;,i1K 06а ряда по q и п сходятся
2 В некоторых случаях ряд по степеням К, стоящий в определении
(3326) для (х, q), может превратиться в конечную сумму Так, напри\!ер,
коr;:щ выражение R[A, З] (см. (33.2в)), входящее в определение (332.2), не
1
содержит члена, проrюрциональноrо , т е Kor да частица, описывае\!аЯ
т
ФУllкцией 1, не обладает ДОПО,1нитеЛЬНblМИ характеристиками типа аномально-
10 \юмента (C I. 29), имеем K2 (1 4 2)A 3 (I 4 2)A 3 ="0 в силу
[l [l " "
00
( 33 14) В этом СJrучае р5!Д l': КN сводится к одному члену К (сравни с
n 1
фОР\IУJЮЙ (57.6) в KHHre А И. Ахиезер, В Б Берестецкий KBaH
ТОвая элеКТРОДИllзмнка. М , Физм.апиз, \ 959).
303
тем, что они, как следует ИЗ определения функц}ш "'О (х, q),
подчиняются друrим дополнительным условиям, а именно, усло
виям (33. 15a). Покажем, что для функций 'Ф (х, q) справедливы
те же условия нормировки, что и для функций свободноrо поля
"'О (х, q). Подставляя в (23.87 б) функции (33.26) и (33.27), по
лучим (здесь а4 == 4' 1'\4 == 2 - 1)
("' (х, q'), "' (х, q») c==:t 5 (х, q') 'Ф (х, q) d 3 x :::::
00 <»
== :t 5 ф (х, q) ( 1 + l: к+n) 114 4 ( 1 + l: к n ) "'О (х, q) dЗх.
n l n 1
Поскольку 4 К == К+ 4 == О (см. (33.14) н (33.22» и матрицы
114 и 4 коммутируют, отсюда следует
('Ф (х, q'), ф (х, q») == :t S (х, q') 4'Фо (х, q) dЗх ==
== :t 5 o (х, q') 4'Ф (х, q) dЗх == ::t 5 (х, q') 4ФО (х, q) d 3 x =: fJ q . q ,
или
('Ф (х, q'), 'Ф (х, q») == ('Ф (х, q'), '1'0 (х, q») ==
== ('Фо(х, q'), 'Ф (х, q») ::::; ('Фо(х, q'), 'Фо(х, -q)) == 6qq" (.:>3.28)
Таким образом, функции 'Ф (х, q) деЙСТВИТeJIЬНО образуют систе
му ортонормированных функций, причем, как следует из (33.28),
замена функции ф (х, q) соответствующей функцией свободноro
поля '1'0 (х, q) не влияет на условие нормировки. Это является
отражением Toro факта, что условие нормировки в действитель
ности определяется динамически независимыми компонентами
функций, которые у '1'0 (х, q) и ф (х, q) одинаковы. Разные ДОПОk
нительные условия приводят толькО К различию динамически зависи
мых компонент функций 'Фо (х, q) и 'Ф (х, q) И поэтому не CKa
зываются на условиях нормировки.
Р После этих предварительных замечаний при
ешение уравненни (33 1 ) П
для взаимодейству ступим к решению уравнении .. режде
ющих попей Bcero заметим, что, cor ласно (33.3), для Bpe
МеТоДОМ теор ии мени хо == хо НаЧ интеrральные части функций
в()змущении Ф (х) И AJ.L (х) обратятся в нуль, поскольку
они пропорпиональны е (хо). Отсюда следует, что функции вза
имодействующих полей Ф (х) и AIl (х) удовлетворяют следующим
начальным условиям:
AJ.L (х) Ixo oo == A llo (х),
Ф (х) \Xo OO == '1'0 (х),
(33.29а)
(33.29Ь)
304
Выберем в качестве A lio (х) и 'Фо (х:) функции каких либо опреде-
ленных состояиий свободных частиц из систем (21.38) и (23.86):
A/l o (х) с= A/l o (х, [1)' (33.30а)
'ljJо (х) == 'ljJо (х, q1)' (33.30Ь)
Если функции 'Фо(Х, ql} и А"о(х, [1) относятся к положительно-
му спектру энерrий, то задание начаJ1ЬНЫХ условий с помощью
(33.30а), (33.30Ь) в соответствии с 32 будет означать, что
до включения взаимодействия, т. е до начала реакции, имелась
свободная заряжеиная частица в состоянии q! И фотон В
состоянии [,. В случае принадлежности 'Фо(х, ql) и A/.Io(X, [1)
К отрицательному спектру энерrий начальные условия озна-
чают наличие заряженной античастицы в СОСТОЯнии ql И фо-
тона в состоянии [1 В момент времени Хо==Хо нон == + 00, т, е.
после Toro как реакция произошла.
ЕСЛI1 одна из функций относится к положительному
спектру энерrии, а вторая к отрицательному, то это озна-
чает соответственно задание начальными условиями одной из
частиц до реакции, а друrой после реакции. Таким обра-
зом, выбирая конкретные функции свободных полей в качест-
ве 'Фо(Х), А"о(Х) в уравнениях (33.1). мы задаем начальные
(цо взаимодействия), или конечные (после взаимодействия),
или смешанные состояния частиц, участвующих в реакции,
r. е. по-существу ставим конкретную задачу о взаимодействии
частиц. Начальные условия (33.30а), (33.30Ь) не полностью
определяют тот или иной процесс Для этоrо необходимо еще
задать состояния частиц, которые мотут появиться в
результате реакции или находиться в начал ном состоянии.
Это достиrается в процессе решения у равнений (33.1). Инте
rральное уравнение (33.1 Ь) может быть представлено в виде
ряда, соответствующеrо разложению 'Ф(х) по выражениям
разных порядков малости относительно константы взаимо-
действия е. Учнтывая соотношение (33.30Ь), задающее KOH
II.peTHOe начальное условие задачи, и подставляя вместо функ-
ции 'Ф (х') в ИIIтеrральную часть (33 1 Ь) ее выражение, зада-
вае.\10е правой частью (331Ь), получим
'Ф (х) 'Фо (х, ql) + J ОС (х х/) R [А (х'), ] 'Фо (х', ql) d 4 x' +
+ SSGr(x x')R[A(x'), ]OC(x' x")R[A(x"), ]'Ф(х")d4х'd4х",
Продолжая этот процесс подстановки, приходим к ряду
00
'ф (х) " 'Фо (х, ql) ш l': 'Ф(n) (х),
п 1
(33.31 )
305
rде
'I'(n) (х) == ХХ' . . s ас (х - х') R [А (х'), ] Х
n
х ос (х' х") R [А (х"), ] ... ОС (x(п l) х(n) ';.<
Х R[A(x(n»), ]'I'o(x, Q})d 4 x'.. dJx(n). (33.32)
Рассмотрим вначале на основании (33.32) процессы взаимо-
действия заряженной частицы с фотоном в первом порядке по
теории возмущений. Оrраничиваясь членами первоrо порядка ма.
лости по е в выражении (33,32) с учетом (33.30), имеем
'фJ (х) == "'о (х, q1) + 1,jP) (х) ==
== 1jJo (х, q}) + J ос (х х') R [Ао (х', 11)' ] '1' (х', ql) d 4 x'. (33.33)
Функция '1'1 (х), соrласно начальным условиям, отражает резуль-
тат взаимодействия заряженной частицы и фотона, характеризуе-
мых обобщенными индексама q1 и I}.
ДЛЯ анализа результатов этоrо взаимодействия разложим
'1'1 (х) по системе ортонормированных функций. Для этоrо в слу-
чае заряженной частицы со спином 1/2 следует воспользоваться
формулой (33.4), а в случае спина О или 1 формулой (33.24).
В случае спина 1/2, коrда дополнительные уС.'10ВИЯ отсутствуют,
подставим (33.4) в (33.33):
'1'1 (х) == '1'0 (х, q1) + 1jJ(1) (х) == [C tl. (хо) + C .I.(XO)] '1'0 (x,q) ==
q (33.34)
( 1 '
== '1'0 (х, qд + S оС "'2 \х: х') R [Ао (х', I}), ] '1'0 (х', Q1) d 4 x'.
Здесь амплитуды C q (хо) представ.rrены в ВИде суммы членов ну-
левоrо и первоrо порядков ОТНОСИТeJIЫ!О е И снабжены дополни-
тельными индексами, отражающими начальные условия задачи
и порядок приближения. Пусть нас интересует амплитуда со-
стояния с индексом q2' Умножая слева (33 34) на ;Р' (х, q2) 4 и
интеrрируя по х с учетом нормировки (33.6), по.rrучим в нуле-
вом и в первом порядках теории возмущений:
C ?) q.l. (хо) '" Oq.q1'
(33. 35а)
(1) ( ) r d 'j -:;t, ( )о (+)С ( ' ) .
Cq"q.l. хо == J Х'У Х, q2 x x /.
Х R[Ao(x', 11)' ]'I'o(X', q})d 4 x'.
(33,35Ь)
306
Из общих правил квантовой механики следует, что квадрат MO
дуля амплитуды c q,f, (хо) предстаВ,ТIяет собой вероятность Toro,
что в реЗУ,ТIьтате взаимодействия появится частица в состоянии
с Индексом q2 к моменту времени хо. Квадрат амплитуды нуле
13oro порядка c : q,f, (хо) можно интерпретировать как вероятность
Toro, что частица. не испытавшая взаимодействия, остается в
'Том же состоянии q1, поскольку В нулетюм порядке по теории
возмущений взаимодействие отсутствует.
Обычно, как уже отмечалось, представляет интерес результат
взаимодействия за все время, пока оно включено, от ХО на" о=:
;== 00 до хо НОН о=: + 00. Амплитуда (33.35Ь) в момент выклю
ченИЯ взаимодействия хо== + 00 приобретает, соrласно (А. 18), сле
дующий вид:
c ;: q,f, (+ 00) == i S -Ф (х', q2) R [Ао (х', [1), ] 'Фо (х', q1) d!x'. (33.36)
В случае принадлежности 'Фо (х, q1) и "'0 (х, q2) к положительно-
МУ спектру энерrий квадрат модуля амплитуды (33.36) в COOT
ветствии с общими положениями, ИЗ.'Iоженными в 9 32, можно
интерпретировать как вероятность процесса поrлощения или из
лучения фотона (в зависимости от Toro, относится ли состояние
с индексом [1 к положительному или отрицательному спектру
энерrии) свободной заряженной частицей спина 1/2, в результате
KOToporo последняя переходит из состояния с индексом q1 в co
стояние с индексом q2. Если же 'Фо (х, q1) и 'Фо (х, q2) относятся
к отрицательному спектру энерrии, то \c :: q,f, (т сх:) [2 дает Bepo
ятность поr лощения или излучения фотона античастицей, в pe
зу льтате KOToporo эта античастица переходит из состояния с ин
Дексом q2 в состояние с индексом Q1' Таким ооразом, уже в
первом порядке теории возмущений можно описать процессы по
f','10щения или излучения фотона свободной заряженной частицей.
Последние носят название процессов первоrо порядка. Подстав
JIЯя в (33.36) явный вид выражения R[Ao(X', [1)' ] (см. (33.2Ь»,
получаем
c, : q,l, (+ 00) :::;;: + i S! ie1jj (х', q2) Il 'ф (х', qr) AJ.L (х', [1)
ie
2т 'ф (х', q2) [IlV] 'Ф (х', ql) F Ilv (х', [1») d!x', (33.37)
r де, cor ласно (21.3),
FllV (х', 11) === V Av (х', [д V AIl (х', 11)'
(33.38)
Сравнивая (33.37) с выражением (29.3), заключаем, что ампли,
1 уды процессов в первом порядке по'\ еории возмущений по
307
существу представляют собой с точностью до множителя интеrрал
от лаrранжиана взаИ'Jодействия, в котором вместо A " '" И
фиrурируют функции состояний свободных частиц, характеризую
щие частицы до и после взаимодействия. ПОJIЬЗУЯСЬ явным видом
функций A (х', [1), '" (х', ql) и .;;; (х', q2) (см. (21.38), (23.86» и
свойствамИ {j функции, (см. ПРИJIожение А), после некоторых
преобразований выражению (33.37) можно придать друrой вид:
(1) (+ ) . SA ( ' [) .(1) ( , )d 4'
c q2 : q.l. 00 == ( [l Х, 1 11l Х, q1,q2 Х ,
(33. 39)
[де
j l) (х, q1, q2) == ie';;; (х, q2) '" (Х, q1)
ie
v" 1'" (х, q2) [ ,,]'Ф (х, ql)]'
т
(33.40)
При определении амплитуды c ;! q.l. ( + (0) мы по существу
использовали только нулевое приближение уравнения (33.1а) и
исходили из уравнения (33.1 Ь) в первом приближении. Из общих
соображений следует, что мы должны получить то же выраже
ние (33.39) для амплитуды процесса поrлощения или излучения
фотона исходя из уравнения (33.1а) в первом приближении и
используя нулевое приближение уравнения (33.1b), так как ypaB
нения (33.1а) и (33.1 Ь) описывают совместно одну и ту же сис
тему взаимодействующи:х: полей. Оrраничиваясь первым пр}!бли
жением, в уравнении (33 lа) при тех же начальных УС.1JОВИЯХ
(33,30) имеем
A[l\ (х) == A[lO (х, [1) + S G (х x')ji!) (х') d х', (33.41)
[де плотность тока в первом приближении j J) (х') может быть
выражена только через функции нулевоrо приближения, т. е. че
рез функции свободных частиц, ибо, как с.lедует из (33.2а), BЫ
ражение j (х) пропорционально константе взаимодействИЯ е, по
которой ведется раЗ.l0жение. Исходя ИЗ этOI'О И используя Ha
чальное условие (33.29), Ш) (х') можно Представить в следую
щем виде:
j !) (х) ='" ie c 9) (Хо)';;;о (х, q') 'Фо (х, q1)
....
q'
ie [ (О) ( ( , 1
V" C q ' ХО) "'О х, q) l[l"] "'О (х, q1) .
т q'
(33.42)
Здесь
, (О)
"'О (х) c q (хо) 'Фо (х, q),
q
( 33.43)
З08
rAe c O) (хо) в общем случае не равно C )q", (х о ). Разлаrая А,J.l(Х)'
cor.'JaCHO (33.8), и подставляя в (33.41), получим при хо == + CXJ:
AI11 (х) -.= А УЛ (х) + ! [dj2) ( (0) + d)P (+ (0») A llo (х, l"') ==
/.
== A l10 (х, 11) + S Gg (х х') j l) (х') d 4 x'. (33.44}
Здесь ИСПQ.lIьзованы обозначения А;О (х, l) == A l10 (х, l*) и учтено,
что A o (х, l) образует ту же систему функций, что и A l10 (х, l),
причем если A l10 (х, 1) относится к состоянию с положительной
энерrией, то A o (х, 1) Ш к состоянию с отрицательной энерrией
и наоборот. Пусть нас интересует процесс, который обусловлен
испусканием или поrлощеНием фотона с индексом 11. Тоrда, co
rласно 32, ero вероятность определяется квадратом амплитуды
d; ) (+ (0). Действительно, если, например, индекс 11 COOТBeT
1
ствует принадлежности функции A l10 (х, 11) к спектру положи
lельной энерrии, то функция A l10 (х, I ) == A o (х, 11) принадлежит
к отрицательному спектру энерrии, и амплитуда d;!)( + CXJ) cooт
1
ветствует процессу, который обусловлен наличием фотона в co
с roяшш 11 до момента включения взаимодействия, т. е.
i d( (+ 00 )]2 дает вероятность поrлощения фотона. Аналоrичные
1
соображения в случае принадлежности состояния 11 к отрица
тельному спектру энерrии: приводят к интерпретации 'd,' (+ 00) /2
,
как вероятности испускания фотона. ПОJ1ЬЗУЯСЬ условием норми
ровки (33.1 О) для функций свободноrо электромаrнитноrо поля
и форму.'10Й (А. 25), имеем
di;)(+ со) == J (А!10(Х' 1;), Gg(x x'») j l) (x')d 4 x' ==
. [' А ' ( , 1 , ) .(1) ( ' ) d 4' . S А ( ' 1 ) .( 1) ( ' ) d J' (33 45)
== t J J.lO Х, I 111 Х Х l "о Х, 1 1 , х х. .
Х1ля Toro чтобы амплитуда d(!) (+ 00) описывала тот же про
1,
uecc, что и c ; q,', (+ (0), плотность тока ih!) (х') следует BЫ
брать равной j l) (х, ql, q2) (см. (33,40». Это равносильно зада
нию своеобразных начальных условий, которые одновременно
uпределяют состояния заряженной частицы как до, так и после
взаимодействия, в то время как состояние фотона определяется
при решении уравнения (33.1а). Сравнивая (33 42) с (33. 40), Ha
ХОДИМ явный ВИД этих условий
'Фо (х) 0== 'Фо (х, Ql),
'P (х) == 2: C O) '. (Хо) o (х, Q) =со (х, Qz).
q
(33.46а)
(33.46Ь)
зоq
Таким образом, при использовании уравнения (33.1 а) состоя
ние заряженной частицы после выключения взаимодействия
задается начальным условием (33.46Ь), в то время как при
использовании уравнения (33,lb) это состояние определяется
путем решения уравнения.
В дальнейшем при рассмотрении друrих процессов мы
будем пользоваться каКИМ .lибо одним из уравнений (33.1)
исходя из соображений простоты задания состояний частиц,
I;ступающих в реакцию, хотя, разумеется, как одно, так и
друrое уравнение при надлежащем выборе функций состоя
ний, как мы убедились на при мере процессов первоrо поряд-
ка, приводит к одному И тому же выражению для амплитуды
KOHKpeTHoro процесса.
Выражение j J (х, q!, q2) можно интерпретировать как
плотность тока, обусловленноrо переходо1VI заряженной час-
тицы из состояния q! В состояние q2 (или переходом антича-
стицы из состояния q2 В состояние ql), а функцию А 111 (х)
как четырехмерный потенциал электромаrнитноrо поля, воз
никающеrо при таком переходе. Как и следовало ожидать,
потенциал A/.tl (х) (33.44), описывающий электромаrнитное
ноле, обусловленное переходом заряженной частицы из одно-
[о состояния в друrое, содержит как поперечную, так и He
равную нулю кулоновскую части. При решении задач, связан-
I1ЫХ с рассеянием заряженных частиц друr на друrе, мы не бу
дем специально выделять кулоновскую часть поля из A/.t' (х);
будем исходить из выражения (33.45) и начальных условий
(33.46) при задании плотности тока j (х) формулой и 3.42).
Процедура определения амплитуды первоrо порядка процес-
сов излучения и поrлощения фотона заряженной частицей со
спином О или 1 приводит к тем же результатам. Оrраничиваясь
первым приближением в функциях 'I\' (х, q) (33.26), по которым в
этом случае следует разложJfТЬ функцию '1\'1 (х) из (33.33), с уче-
том (33.22) и начальноrо условия (33.30а) найдем
'Ф;о (х, q) == '1\' (х, q) + (1 ) R [Ао (х, [1), ] 1\.'0 (х, q), (33.47)
'Ф1 (х) == [C )ql1l (хо) + C )ql1l (х о )] 11'0 (х, q) +
q
+ C )ql1l (хо) (1 ) R IАо (х, /1), ] Фо (х, q). (3З.48)
q
Подставляя (33.48) в (33.33), по.ТIучим
IC OJl1.(XO) + C I ,11 (хо)] 'Фо (х, q) C OJl11(XO) ><
q Q
310
1 2
Х (1 4) R (Ао (х, [1), ] 1/'0 (х, q) == 'Ро (х, ql) +
м
+'\GC(x x')R[Ao(x', [д, J'Po(x', qдd 4 х'. (33.49)
В нулевом приближении, как и в случае спина 112 , имеем
(О) )
Cq;ql1, (хо == б qq1 ,
(33 50а)
что после подстановки в (33.49) дает
, > J,ll(XO) 'Ро (х, q)+ (1 ) R [Ао (х, [1), ] 'Ро (х, q1) "---=
q
== \. Gc (х х') R [Ао (х', [1), Р! 'Ро (х', ql) d 4 x'.
(33.50Ь)
Второй член левой части выражения (33,50Ь) обеспечивает выпол-
нение дополнительных условий (33.15а) в первом приближении.
Как и в случае спина 1/2, квадрат амплитуды C 111 (+ 00) опре-
деляет вероятность процесса излучения или поrлощения фотона,
при котором заряженная частица из состояния ql переходит в со-
стояние q. Интересуясь каКИМ .lибо конкретным состоянием q2,
амплитуду C : q,ll (+ 00) находим, умножая (33.50Ь) слева на
1Ро (х, q2) и интеrрируя по х при хо == + 00. Вследствие (33.14)
второй член левой части (33.50Ь) при этом умножении аннулируется,
и мы получаем для амплитуды процесса, используя условие нор-
мировки (23.87) и с учетом (А. 18), то же самое по форме Bыpa
жение, что и в случае спина 1/2:
C : ql1l (+ 00) == s 'Ро (х', q2) R [Ао (х', [1), ] '1\:0 (x J ; ql) d 4 x'. (33.51)
Расчет той же амплитуды с помощью уравнения (33.1а) ничем
не отличается от проведенноrо для спина 1/2, так что мы можем
пользоваться формулами (33,45), (33.46) и (33.42) для частиц
с .'Iюбым из рассматриваемых спинов О, 1/2 и 1. Для определе-
ния амплитуд реакций рассеяния фотона на заряженной частице
или в общем случае для определения амплитуд таких реакций,
которые характеризуются наличием двух частиц (фотон мы также
рассматриваем здесь как элементарную частицу) в начальном и
в конечном состояниях, первоrо приближения теории возмущений
недостаточно. Вероятность для таких процессов отлична от нуля
начиная со BToporo приближения теорий возмущений. Поэтому
они носят название процессов BToporo порядка.
Пусть нас интересует процесс, заданный начальными yc
JJOВИЯ\!И (3329), (3330), в результате KOToporo появляется
I'аряду с заряженной частицей в состоянии q2 фотон В состо-
янин [2. Оrраничиваясь вторым приближением в уравнении
311
{31.1а), имеем с.lедующее выражение дilя функции A Il2 (x)
электромаrнитноrо поля, взаимодействующеrо с полем заря-
женных частиu, при учете начальных условий (33.30а) и
(33.46) .
AU2 (х) == A l10 (х, [J) + S Gg (х x')[j l) (х', ql, q2) +
.(2) ( , [ )] d 4 '
+ 111 Х, ql, q2, 1 Х ,
(33.52)
тде
j&2) (х', ql, q2, [1) == ie (х', q2) I1 -ф(l)(х,)
V" [\fo (х', q2) [11"] 'ф(1) (х')].
т
Здесь функция -ф( 1) (х') определ яется как первое приближение при
решении уравнения (33.1 Ь) (см. (33.33». Разлаrая AI12 (х), cor ласно
{33.8), получим
AI12 (х) ==А Л (х) + [d!2)(xo) + djP (хо) + dj )(Xo)]Al1o(x, [*). (33.54)
1+
(33.53)
Подставляя (33.54) в (33.52) и используя условие НОРМllровки
{33.10) при хо == + 00, получим для d z , (+ 00) с учетом (А.25):
d (O) ( ) d (l) ( )
1, +00 - UI,I" 1, + 00
== i S A o (х', [2) j !) (х', ql, q2) d 4 x',
d ;) (+ (0) == i S A o (х', 12) j};) (х', ql, q2, [1) d 4 x'. (33.55)
d ) ( + 00) соответствует вероятности процесса распространения
фотона без взаимодействия, d!;) (+ 00) вероятности процесса из-
лучения (или поrлощения) фотона в состоянии с индексом 12.
И только амплитуда dl:) (+ 00) может быть интерпретирована как
амплитуда интересующеrо нас процесса.
Действительно, пусть для определенности состояния ql, 11, q2
И [2 относятся К положительному спектру энерrий. Тоrда, как
следует из смысла амплитуды d :) (х) в раз.l0жении (33.54) и на-
чальных условий (33.30а) и (33.46), d},2) (х) ответственна за про-
цесс взаимодействия заряженной частицы и фотона, первоначально
находившихся в состояниях ql И 11, В результате KOToporo наряду
с заряженной частицей в состоянии q2 появляется фотон в состоя
нии 12.
Амплитуда d\;) (+ 00) не является единственной при описании
TaKoro процесса. В самом деле, воспользуемся тем, что, cor ласно
32, состояние фотона [2, появляющеrося в результате взаимо-
действия, можно задать начальными условиями, а состояние фо
тона 11, вступающеrо во взаимодействие с заряженной частицей,
312
можно задать при решении уравнения, как это было проиллю
стрировано На примере реакщ1И излучения и поrлощения фотона.
т оrДа, находя амплитуду процесса из уравнения
A 2 (х) == A llo (х, [;) + S Gc (х х') и ) (х', ql, q2) +
шL .(2) ( , [ * ) d 4 ,
I 1/l Х, q!, q2, 2] х,
(33. 56}
rде
j 2) (х', q., q2, [;) ==со ie o (х, q2) 1L'I\1(!)' (х')
V" [ o (х, q2) [ LV] '1\1(1)' (х')],
т
(33.57)
ф(1)' (х') == J ос (х' хН) R [Ао (х", [;), ] Фо (х п , ql) d 4 x' ==со
==со S ОС (х' х') R [A (х', [2), ] '1\10 (х", ql) d 4 x H , (33.58)
имеем аналоrично (33.55)
dФ (+ 00) ==со i j' A o (х', [ ) j 2) (х', ql, q2, [;) d 4 x' ===
11
==п А"о (х', [) j ) (х', ql' q2, [;) d 4 x'. (33.59}
Заметим, что амплитуда d;;) (+ 00) ОТ.'1ичается от амплитуды
!
d;2) ( + (Х) перестановкой местами функций A/l O (х, [1) и А:о(х, [2}
2
в подынтеrральном выражении для этих амплитуд,
С точки зрения динамики взаимодействия амплитуды d);) (+ оо)
и d(';) (+ 00) отвечают двум различным путям одноrо и Toro же
11
процесса. Например, если состояния Ql, q2, [1 И [2 относятся К
положительному спектру энерrии, аМПJIИтуда dl;) (+ 00) COOT
ветствует тому случаю, КOI'да фотон в состоянии [1 поr лощается
в точке четырехмерноrо пространства хп, а фотон в состоянии [2
излучается в точке х', в то время как выражение d;:;)( + 00) OT
1
ветственно за излучение фотона в сотоянии [2 В точке х п И по
пЮщение фотона в состоянии [1 В точке х'. (Интеrрирование по
х' и х" по всему четырехмерному пространству учитывает все
возможные конфш'урации точек х' и х", а функция [рина ОС (х'
х") обеспечивает причинный характер процесса). В связи с ЭТИМ
ilМП.1ИТУДЫ d(;) ( Iш 00) и dl;) (-т 00) не являются тождественными,
11
в ТО же время описываемые ими переходы независимы и поэтому
при расчете полной вероятности процесса в качестве амплитуды
следует взять их сумму.
d(2) ) d(2) ( 00 ) -+- d(;) ( 00 )
q,12,qll, (+ 00 1, + I + .
J
(33.60)
313
Здесь индексы Ql, [1, q2 И [2 введены для обозначения всех
состояний частиц, участвующих в реакции.
При одночастичной интерпретации состояний на основе
уравнения (30.5) для двух взаимодействующих полей можно,
не выходя за рамки теории классических полей, описывать
процессы не более чем BToporo порядка, т. е. те процессы, в
которых общее число частиц до и после взаимодействия не
превышает четырех.
Уравнения (29.12) для трех взаимодействующих полеЙ
представляют более широкие возможности для описания про
цессов взаимодействия. В частности, на основе решения этих
уравнений можно рассмотреть процессы взаимодействия двух
}Jазличных заряженных частиц между собой посредством
электромаrнитноrо поля.
Интеrральные уравнения, соответствующие уравнениям
(29.12), можно записать аналоrично (30.4а) в виде:
А",(х) == AlJ,o(x) + SGg(x x')[j",(x', 1) + j",(x', 2»)d 4 x', (33.61а)
'1'1 (х) == '1'10 (х) + S Gi (х х') R 1 [А (х'), У) 'i'1 (х') d 4 x', (33.61 Ь)
'I'2(Х) == 'I'20(Х) + 5 G (X X')R2[A(x'), ]'I'2(x')d4x'. (33.бlс)
Здесь
j", (х, 1) == Ёеl 'Рl (х') У",'I'1 (х') Ёеl v [-Фl (х') Y[lJ,v) '1'1 (х'»), (33. 62а)
тl
j", (х, 2) == ie2:;j;2 (х') JI.'I'2 (х') Ёе2 v ['Р2 (х') [J.!V] 'Ф2 (х'»), (33. 62Ь)
т2
R 1 [А (х'), У] == ёе 1 А", (х') У", Y[/Av) F 1.L V (х'), (33.62с)
2m l
R2 [А (x'), ] == ie2A1.L (х') '" ["'V] F "'\1 (х'). (33.62d)
2т2
Начальные условия для процесса взаимодействия двух различных
заряженных частиц зададим следующими соотношениями, анало-
ПIЧНЫМИ соотношениям (33.30), (33.46):
А",о (х) == О,
(1)
'1'10 (х) == '1'10 (х, ql ),
, (1)
'1'10 (х) == '1'10 (х, q2 ),
"'20 (х) == "'20 (х, q\2}),
(33.63а)
(33. 63Ь)
(33. 63с)
(33.63d)
[де учтено, что до взаимодействия процесс характеризуется со-
стояниями qP} и q\2) двух различных заряженных частиц, а после
314
uзaиМОДсйствия частица поля 1 нахОДИТСЯ в СОСТОЯНИИ q I). По-
теНЦНElJl ЭJlектромаrнитноro поля (33.618) обусловлен токами обеих
частиц. Выделяя в Ilервом приближении ЭJ1eJ<тромаl"l1ИТИое пом,
IIOзникающее при переходе nepвoli заряженной чаСТIШЫ из состоя-
НИЯ qi l ) В состоякие q l), ero потенциал с учетом начальных
УСЛОВИЙ (33.63Ь) и (33.6'3с) МОЖно записать в ВИДt'
Ajil (х, 1) == A I1 (x, чР), ч l) ==
=== J (х х') Jji (х', чР), q I» d4x',
rAe, соrлаСНQ (33.62а),
iji (х', q\'), ч \» "'" ie) 1 (х', q l) 'V 11 'Ф (х', ч{l»
ie 1 ' ( . ( ' (1) ( ' (1» )
Vv 'Фl Х . q2 ) 'У[$&\,)"'1 Х . ч. ).
тl
(33.64)
(33.65)
ПОДСТ88.'JЯЯ в (33.6lc) начальное условие (33.63) вместо 'l'z(x') и
выражеllие (33.64) ДЛЯ 1 (х, 1) вместо t1ji (х), получим функцию
'Фt (х), описывающую поле ,ВТОРОЙ заряженной частицы, воз-
никшее в результате ВЗ8ИМDдеАС1'ВИЯ этой частицы (нахОДИВ-
шеАся до включения взаимодеАствия в СОСТОЯНИИ qI2)} С электро-
маrнитныM полем, ВОЗНИКШИМ в результате перехода первой заря-
женной частицы нз СОСТОЯНИЯ ч 1) В состояние rA\):
'Фа (х) =""'30 (х, ч1 2 » +
+.fG (X X')RI(Al(X', 1), )'ФIO(Х, q 2»d4x', (33.66)
fAe второй индекс 2 снизу при ,\" (х) означает, что поле "1'2 (х)
ВЗЯТО во втором приближении по теории возмущеннА.
ПУСТЬ поле 1Р,(х) описывает частицу со спином О или 1. Тоrда,
р3ЗJ1аrая (х) по системе ФУНКЦИЙ (33.26), ВЗЯТЫХ во втором
приближении по коистанте е, t учетом (33.63а) и (33.64) получим:
, 1 2 .
'р2о (х, q) == '1'10 (х, q) + ""'"1 (1 р.) R (A i (х, 1), H'lt20 (х, ч) (33.61)
м
и
ф2!{Х)== (C O) (Хо) + 41) (х о ) +c 2) (хо») "'1.8 (х, ч) +
q
"" (О) ,1 1 g R
+ С " (хо) М ( р.) . (A 1 (х, 1), Р J "1'1.8 (х, ч). (33.68)
q
ПОДСТ8в."яя (33.68) 8 (33.66) и про80ДЯ аналоrичиые (33.49 33.51)
операции с испольэованиеt4 условИЯ нормировки (23.87б) ){ (А. 18).
315
по,'учим для амплитуды C g (+ (0) в нулевом, первом и 8Тором
порядках теории возмущений:
C O,} (+ со) == б Ф1ыт
1
ф l)( + со) -= О,>
Cq 2) . I) ;qP) ,1112) (+ ос) =:
... i J ,.. (х', ч 2» R2 (А 1 (х' qt'), q I», ) 'Фto (х', q(2»d4x', (33.69)
rде с е2 ) (+00) снабжеио индексами, отрежающими на'.\а.льJЩ усло-
вия И переход второА часТИЦЫ в результате взаимодеАствия в со-
<стояние %2).
Тшшм образом, аМПЛl1туда (33.69) ответственна за проаесс
В38имодеАстsия двух эариженных частиц, в ультате KOТOporo
{в случае принадлежности состояинА q<t) и q< ) к положительному
eктpy эиeprиA) первая частица переходит из состosrния qll) В I) ,
8 В1'Орая из СClCl'Ояния q12) В ч 2). Анa.тrorиЧJlО переходу от (33.36)
к (33.39) для амплитуд процесеов первоro порядка формулу (33.69)
путем преобразоваtIЯA с использованием свойства 6-Функции Ди.>
раха можио представить В виде
(2)
Cq 2). I);1112).411) (+ (0) ==
:.:: i J i l1 (х', qi 2 ), ч 2!) (х'. чР), q I»dCx'. (33.70)
Лодставляя в (33.70) соотношение (33.64), приходим к следующему
<симметричному выражению для амплитуды процесса:
е2) ( _L (0 )
Cq 2), I);q12);qiJ) ["
== i Jj J ) (х', ч1 2 ), q 2» Go (х' x") j ) (х", чР>' q I)d4x' d'X'. (33.71)
Заметим, что к этому же выражению (33.71) мЫ пришли бы, если
использовали бы друrой возможный выбор начальных условий:
A lLo (х) == О, "'20 (х) "" 'ho (х, qt a »,
. щ щ
"'20 (х) == (х, Ч2 ), '1'10 (х) -=- "'10 (х, ql )
И уравнение (33.61b) вместо (33.61c).
ИЗJlоженный на примерах уравнениА (29.10) и (29.12) ме-
ТОД опреде.1ения амптlТУД npOЦ( CCOB .,erKO переиосится иа
С"л}чай, коrда в качестве функций электромаrнитноrо поля вме-
сто потенциала А,. (х) используется десяти мерная функция
ср(х). Прн этом полученные выше выражения ДJЩ амплитуд
316
процессов записываются в компактном виде, удобном для pac
четов
В случае двух взаимодействующих полей для этой цели пе-
рейдем от уравнений (29.10) к уравнениям (29.11). Это соот-
ветствует переходу от интеrральноrо уравнения (30.4а), KOTO
рым мы ДО сих пор ПО.lьзовались, к (30.4Ь). Выбирая в (30.4Ь)
в качестве функций rрина причинные функции (31.25с) для
электромаrнитноrо поля и (31.IOc) или (31.14c) для поля спи-
на 1/2 или 0,1, приходим к следующим интеrральным урав-
нениям:
<fJ (х) ==- <fJo (х) + J ас' (х х') J (х') d 4 x', (33. 72а)
'Ф (х) "'" 'Фо (х) + J ас (х х') Q [<fJ (х'), П'Р (х') d 4 x', (33. 72Ь)
[де
J (х) == ie (х) r'Ф (х),
Q[<fJ(x), П ier(p p)<fJ(X).
(33.73)
(33.74)
Функция qJ (х) в отличие от ЧJо (х) подчиняется друrим допол-
нительным УС.'Iовиям и не может быть раЗ.'Iожена по системе
функций свободноrо электромаrнитноrо поля. Здесь ситуация
во MHoroM аналоrична случаю функции 'ф (х), описывающей
заряженную частицу со спином 1, и имеет прямую связь с Ча
стичным разложением четырехмерной функции взаимодейст-
вующеI'О электромаI'нитноrо поля A/.t(x) по функциям свобод
ншо поперечноrо поля A/.to (х, 1) .
Пользуясь уравнениями (29.] 1), дополните.lьные ус.'Iовия
.J,,1Я qJ(x) найдем аналоrично (33.1.5a).
aaV aa qJ (х) == (1 a ) !J (х) тР qJ (х) ). (33.75)
Здесь и в дальнейшем используются свойства (22.22) операторов
р и Р и свойства десятим'=рных матриц a/.t, подчиняющихся ak
rебре Даффина Кеммера. дополнительные условия для Соответ-
(твующих функций свободноrо поля находим из уравнения (22.38):
2 2 2
аа V aa4qJO (х) ::::: т (1 a4) р qJo (х) == т (1 а4) qJo (х), (33.76)
[де было использовано то, что для функций свободноrо электро
маrнитноrо поля qJo (х) (25.41), соответствующих физическим реше-
Ниям уравнения (22.38), СПраведливо соотношение
(1 a ) Р qJo (х) == О. (33.77)
С помощью ДОПО.ТIните,'IЬНЫХ условий (33.76) функцию qJ (х) можно
Представить в виде
\р (х) == a;qJ (х) + (1 a ) qJ (х) ==
2 2 2
==а4qJ(Х)шL(1 а4)РqJ(х)-t (1 a4)PqJ(X)==
317
I
( 1 ) 2 2 I I ] :
== ,1 aaVa a4'P(x)+(I a4) J(x)+P'P(X)' (зз.78 1
В отличие от функций 'I\J (х) функции a qJ(x) нельзя ПШ1Ностьюil
разложить по соответствующим функциям а Ч'о (х, 1), [де 'Ро (х, l) 1 1
функции (25.43) в обозначениях, аналоrичных (33.9). Чтобы этоI 1
показать, воспользуемся представлением (31.19) для функций I
'Р (х) и Ч'о (х, 1). Выражая матрицы а l1 через элементы ПОлной MaT I
ричной алrебры (22.32) и пользуясь правилом перемножения этих:
элементов (22.16), с учетом (25.43) получим:
2 ( ) аl ( ) + [а4]! ( )
а4Ч' х .== В Ч'а Х В 'Р[а4] х,
a 'Po (х, 1) == ва1Ч'Оа (х, 1) + в[а4]1Ч'О[й41 (х, 1),
[де, соrласно (25.41) и (f5.43),
( l) 1 11 I т (s) :!:lkx
Ч'Оа Х, L3/2 V 7i; е а е ,
(33.79)
(33.80)
(33.8Iа)
( 1) 1 V 1 7i; (5) :!:ikx (33 81Ь)
Ч'о[а4] х, ::t [3/2 т е а е. .
Здесь в отличие от (25.41) для обозначения четырехмерноro им-
пульса фотона ИСПОJIЬЗУется симво.'I k вместо символа р. Из OpTO
rональности векторов поляризации e(s) трехмерному импульсу фо
тона k вытекает, что как qJon (х, l), так и qJO[a4] (х, 1) подчиняются
условию
Va'PO(l (х, [) == VaqJO[a4] (х, [) =- О,
(33.82)
отражающему факт поперечности свободноrо э.'Iектромаrнитноrо
поля. В то же время для компонент ФУНКlU1и вза1Шодействующеrо
электромаrнитноrо поля Ч'а (х) И Ч'[а4] (х) условие (33.82) не имеет
места. Физическая причина этоrо, как уже отмечалось, заключается
в том, что функция qJa (х), соответствующая трехмерному потен
циалу электромаrнитноrо поля, содержит так называемую продоль
ную часть, ответственную за кулоновское поле. То же самое
можно сказать n о Ч'[а4) (х), соответствующей э.'Iектрической напря-
женности электромаrнитноrо поля.
Представляя qJa (х) И qJ[a4) (х) В виде суммы поперечной и про-
дольных частей, функцию (33.79) можно записать в виде
a qJ (х)== а Ч' (х) + a qJll (х), (33.83)
[де
a qJ I (х) == в а1 <Ра' (х) + в[а4]!Ч'[а4] (х),
а Ч' 11 (х) == B a1 tpd l (х) + в(а4] !<P( 4) (х),
318
(33. 84а)
(33.84Ь)
!lричем ЧJ; (х) и ЧJ[а4] (х) удовлетворяют условию поперечности
(.33.82). Здесь символы и 11 служат для обозначеиия попереч
ной и продольной части ФУНКIIИИ соответственно. Поскольку a qJ , (х)
2
И любая из функций а4ЧJо (х, 1) удовлетворяют одному J{ тому же
уСIIОВИЮ поперечности (33.82), для a cp.c(x) имеет место разло-
жение
a cpJ.. (х) == d/ (хо) a <1'0 (х, 1). (33.85)
/
Подставляя (33.85) в (33.83), а затем (33.83) в (33.78), получим
q; (х) == d 1 (хо) ( 1 аа Va) a cpo (х, 1) +
1
+ ( 1 аа V а ) a q; 11 (х) +
+ (1 a ) r J (х) + РЧJ (х)] . (33.86)
Сor ласно дополните.1ЬНЫМ условиям (33.76), справедЛИВЫМ для
"lюбоЙ из функций ЧJо (х, 1), имеем
(1 aaVa)a \f'o(x, 1) == qJo(x, 1), (33.87)
и разложение (33.86) принимает вид
( 1 '
ЧJ(х)== dl(XO)q;O(X, 1)+ 1 -ааVа)а срll(х) +
1
+O a ) [ J(x)+Pq;(x)]. (33.88)
Пr)CJЮЛЬКУ a q;:1 (х) по определению не содержит поперечных
составляющих электромаrнитноrо поля, она ДОЛЖНа быть opToro-
нальна в сМЫСле нормировки (25.42) к любой из функций ЧJо (х, 1).
Иными словами, должно выполняться следующее соотношение:
S % (х, 1) a4a cp 11 (х) d 3 x == s;po (х, 1) а4ЧJ 11 (х) d 3 x == О. (33.89)
Используя (33.89) и свойства матриц u/.t (22.21), имеем
5 q;-o (х, 1) ао1 ( 1 аа V а ) a qJ 11 (х) d 3 x ==
5 (ро (х, 1) ао1 (1 a ) l J (х) + Р qJ (х) J d 3 x = О. (33.90)
319
Отсюда вытекает, что, как и в случае функций поля частицы
с неравной нулю массой, амплитуды dl(xo) определяются обыч
ным образом:
d l (хо) == :t J СРО (х, 1) а4 ер (х) d 3 x,
(33.91)
rде знак «минус» соответствует состояниям 1, принадлежащим
отрицательному спектру энерrий.
При разложении функцни 'ф (х), ПОДЧИНЯЮЩейся уравнению
(33.72Ь), мы будем, как и прежде, пользоваться формулой
(33.4) в случае поля спина 1/2 и формулой (33.24) для поля
'ф (х) спина О или 1. В последнем случае раз жение осуще
ствляется по функциям (33.26) с тем лишь отличием, что в
операторе К (см. 33.22), через который определяются функции
(33.26), выражеиие R[A (х), ] следует заменить выражением
Q{ep (х), ] Необходимость такой замены становится очевид
ной, если сравнить формулы (33.1Ь) и (33.72Ь).
Определение амплитуд конкретных процессов с помощью
уравиений (33.72) принципиально ничем не отличается от их
определения на основе уравнений (33,1),
Задавая начальные условия соотношениями
еро (х) == еро (х, 11),
'фо (х) == '1'0 (х, ql)
(33. 92а)
(33.92Ь)
и решая с их помощью уравнения (33.72Ь) в первоМ порядке Teo
рии возмущений, Имеем
"1 (х) == '1'0 (х, 11) + j аС (х х') Х
XQ[epo(x', 11), Л'1'о(х', q1)d 4 x', (33,93)
откуда с помощью разложения (33.4) или (33,24) с учетом усло
вий нормировки (33.6) ИЛИ (23. 87б) для амплитуды процесса
первоrо порядка получим
C ; ql,11(+ 00) == i J'Po(x', q2);<
х Q [еро (х', 11)' r] 'Фо (х', ql) d 4 x'. (33.94)
Амплитуды процессов BToporo порядка находятся аналоrично
(33.56) (33.60).
Выбирая начальные УС.l0ВИЯ в ВИДе:
еро(х) == сро(х, 11),
'1'0 (х) = '1'0 (х, Q1)'
'P (х) == 'PG (х, ql)
(33,95а)
(33.95Ь)
(33.95с)
320
и подставляя их в уравнение (33. 72а), в котором прrr оrраниче
нии вторы м порядком теорrrи возмущений ПJlOтность десятrrмер-
Horo тока принимает вид
j2(X) ==ie'l' (x)f'\'l(X), (33,96)
r де '\'1 (х) дается формулой (33.93), получим
(j)2 (х) "'" ([о (х, 11) +
+ J G'C(x x")[j(l) (х", q2, ql) + j(2) (х", q2, q1, 1 1 )]d 4 x" (33.97)
Здесь
j(I)(X", q2, Ql)==ie'PO(x", q2)f,\,0(x", q1), (33. 98а)
j(2)(X", q2, Q1, 11) '"='ie;Po(x", q2) f SGС(хП х') х
х Q[(j)o(X', 11), [],\,о(х', Ql)d 4 x'. (33,98Ь)
Находя с помощью разложения (33.88) для (j)2 (х) И (А. 21)
амплитуду процесса, соответствующеrо появлению фотона в со-
стоянии 12' имеем:
d ;) (+ 00) == r q)o (х', 12) ]<2) (х', Q2, Ql, 11) d 4 x' ==
т J
== s s 1Ро (х', Q2) Q [(j)o(X', 1;), r] аС (х' х П ) Х
Х Q((j)o(x", 11)' []'\'0 (х", Ql)d 4 x' d 4 x". (33.99)
Здесь было использовано соотношенrrе
(р(х', 1 2 )r==(j)(x', 1;)(p p)r,
!'де ер (х', 1;) == (j) (х', 12) (Р 15) относится к одной rrз функций
набора (j) (х, 1), прrrчем, соrласно (25.41), если
(j) (х, 12) == [:/2 1/ 2 (j)(S) (+ k) e ikx , (33.100а)
то
q:> (х 1;) == ... ( т m( S) ( k ) e ikx. ( 33.100Ь )
, т}/2 V 2ko 't'
Второй матричный элемент, относящийся к этому же процес-
су, находится с помощью начальных условий вида:
'\'0 (х) == '\'0 (х, Ql)'
(j)o (х) == (j)o (х, 1;),
1P (х) == '1'0 (х, Q2)'
(33.101а)
(33.101 Ь)
(33.101с)
321
Повторяя рассуждения, которые привели к формуле (33.99).
имеем
d (2) i , · (2) I .
,* (+ ею) == (j)o (х , 11) J (х, q2, q1, I ) d 4 x' =с
1 т
::= j' j 1j; (х', q2) Q [(j)o (х', 11)' f] ас (х' х") х
х Q [(j)o (х', 1;), п 'Фо (х", q1) d 4 x' d 4 x". (33.102)
Полный матричный элемент равен сумме (33.99) и (33,102)
d(;) (4- 00 ) == d(l) (+ (0) + d(:) (+ (0 ) . ( 33.103 )
'2 Q " I,Q, 1. l!
Запишем теперь интеrральные уравнения, соответствующие
уравнениям (29.13) для системы трех взаимодействующих полей.
Они имеют вид, аналоrичный (33.61):
(j) (х) === (j)o (х) + S О'С (х х') [! (х', 1) + J (х', 2)] d 4 x', (33.104а)
'Ф1(Х) ==='ФlO(Х) + SG (x x')Q[(j)(X'), r 1 J'Ф1(х')d*х', (33.104Ь)
'Ф2(Х)=='Фzо(Х)+ SGHx x')Q[(j)(x'), r z l'Ф2(х')d 4 х'. (33.104с)
Здесь
( т )
J (х, 1) == ie 1 'Ф1 (х) r 1 р + т1 р "'1 (х),
J (х, 2) === ie z фz (х) r 2 ( Р + 75 ) 'Ф2 (х),
Q[(j)(x), r 1 J ::=ie 1 r 1 ( P 75) (j)(x),
Q [(j) (х), r 2 J == ie2 r 2 ( Р : Р') (j) (х).
(33.1 ОБа)
(33.105Ь)
(33.105с)
(33.105d)
Процесс рассеяния двух заряженных частиц друr на друrе
зададим начальным» уСЛОВИЯМ», аналоrичными (33,63):
(j)o (х) == о,
'Ф10(Х) === 1Р1О(Х, q\I»,
;o(x) == ф10(Х' q !),
'Ф20 (х) =со 'Ф20 (х, ч\2».
322
(33.106а)
(33.106Ь)
(33.1 Обе)
(33 106d)
Подставляя (33.106) в (33.104а), получим в первом приближеюш
дЛЯ ФУНКЦИИ электромаrнитноrо поля, обусловленноrо переходом
первой частицы из состояния q 1) в состояние q I):
'Рl (х, 1) == 'Рl (х, q 1), qP» ==
j ас' (х х') J (х', q I), q\lJ) d 4 x',
(33.107)
rде
J ( х' q ( I) q (I» -
, 2' 1
==ie 1 1P1O(x,' q l)rl ( р + !!.! p ) 'Ч'lО(Х,' q I». (33.108)
\ ml
Подставляя (33.107) в (33.104с) с учетом (33.106d), во втором
приближении Теории возмущений наЙдем
'Ч'22 (х) '== '\'20 (х, q\2» +
+ j' a (x X")Q[qJl(X', q I), qjl», r 2 ] 'Р20 (х', q 2»d4X'.
(33,109)
Это дает для амплитуды процесса взаимодействия двух заряжен-
НЫХ частиц, первая из которых переходит из состояния q\l) В q l),
а вторая из состояния q12) В q 2), В полном соrласии с (33.67)
(33.69)
(2) (2) )
C q (2) (+ 00) == C q (2) q (l) q (2) q (!) (+ сх) ==
2 2 . 2 ' I . 1
== i S1P 2 0(x, q 2»Q[qJl(X', q}I), qll», r 2 ]'\'20(X', qI2»d 4 x' ==
== iele2j'1P20(X', q 2»{r2(p Р)}А Х
Х 'Ф20(Х" q\2»aA'B(X' х")-ФIО(Х'" q l» х
х { r 1 ( р +' Р ) } '\'10 (х", q\ 1» d 4 x' d,lx",
\ ml; в
(33. 11 О)
rде проставлены явно индексы суммирования для десятимерных
матричных векторов и 1 Ох 1 О-матрицы аА'в (х' х").
В соответствии с квантовой механикой квад-
раты модулей амплитуд c п)( + 00) и d\п)( + (0)
определяют в n-ом по константе взаимодей-
ствия е приближении вероятности процессов
рассеяния за полное время взаимодействия.
При исследовании последних интересуются прежде Bcero вероят-
Ностью процесса в единицу времени (вероятностью за 1 сек)
W eA вр' так как ее можно связать с измеряемыми на экспери-
Вероятности
в единицу вреМени
и сечеиия
процессов
рассеяиия
323
менте ве.'lичинами, В дальнеЙшем для простоты оrраничимся сим
волом c п) (+ 00) для обозначения амплитуд процессов. Тоrда в
п OM приближении по константе е вероятность процессов в еди
ницу времени имеет вид
W (п) I c n) (+ 00) 12
ед ир т ·
(33.111 )
rде Т полное время взаимодействия. W ед вр определяет Be
роятность Toro, что при взаимодействии двух вступающих в pe
акцию частиц, находящихся в состояниях с определенными
импульсами и поляризациями, за 1 се1\, образуется ряд ча
стиц 1, каждая из которых находится в состоянии, характери
зуемом определенным импульсом и поляризацией.
Целесообразно рассмотреть вероятность перехода, в результате
KOToporo импульс k ой образующейся частицы лежит внекотором
интервале импульсов 3 p(k) (точнее rоворя, компоненты импульса
k ой частицы лежат в интервалах (p k), p k) -+ p k), а 1, 2,
3). КоличеСТЕО состояний k ой частицы, импульс которой "lежит
в этом интервале, равно (см. (17.2)):
3 п(k) == пjk) п&k) п k) 3 p(k).
(2л: )3
(33.112)
Вероятность TaKoro перехода в единицу времени определится
С.'lедующим образом:
We' 'BP== W e2 . BP 3п(1) 3п(2)... 3п(s), (33.113)
rДе s число образующихся в результате взаимодействия частиц,
Через WeД ВР определяется новая величина a, равная отноше
нию W eA вр К потоку вступающих в реакцию чистиц J:
a ==о L'l W ед вр (33.114)
J
Она носит название эФФе1\,тuвНОiЮ дuфференциаЛЬНОiЮ сече
ния реакции.
Чтобы выяснить физический смысл этой величины, обратим
ся к простейшей реакции взаимодействия частицы с рассеи
вающИМ центром, в результате которой частица нэменяет свое
I Под образующимися в результате реакции частицами будем подра
зумевать все частицы в конечном состояиии, в том ЧИС.'е рассеянную и
рассещзающую частицы, так как их можио рассматривать как вновь обоа-
зующиеся в результате взаимодействия Надо отметить, что излаrаемый
здесь метоД решения конкретных задач позволяет рассматривать и таhие
процессы, коrда ОДНа или обе вступающие в реакцию частицы исчеза'от
в результате взаимодействия, превращая('ь в чаС1ИЦЫ с иовыми свойства\!и
В таком случае они вообще не будут фиrурировать в конечном СОСТОЯНИ,!
324
направление движения (Под частицей и рассеивающим цeHT
ром можно подразумевать, например, электрон и кулоновскиЙ
центр, :n мезон и НУЮIOН И т. д). в экспериментах по исследо
ванию подобных реакций имеют дело не с одной частицей, а
с пучком одинаковых частиц, обладающих равнЫМИ импульса
МИ (значит и скоростями), который в случае ero OДHOpOДHO
сти характеризуется потоком J КО,1Jичеством частиц, проходя
щих через 1 см2 поперечноrо сечения пучка в 1 сек. Р азлич
ные частицы в пучке в зависимости от Toro, на каком расстоя
нии они проходят от рассеивающеrо центра, отклоняются от
первоначальноrо направления движения на различные уrлы,
т е. по разному меняют направление CBoero импульса Экспе
римент состоит в подсчете с помощью детектора, реI'ИСТрИрУЮ
щеrо каждую частицу, числа частиц, ОТК.Тlонившихся в интер-
вал уrлов ('1}, 'I}+ 'I}; ер, ep+ ep), иначе rоворя, в подсчете
числа частиц с ИМПУ.'Iьсами, лежащими в соответствующем
ЭТИ:'>I yr.'IaM интервале{ Pi, Pi+ Pi) и== 1,2, 3). Меняя поло-
А(ение детектора, получают информацию о количестве частиц,
рассеянных на различные уrлы. Обозначим число частиц, ре-
rистрируемых в 1 сек детектором, расположенным так, что он
фиксирует все частицы в интервале импульсов (Pi, Р; + Pi),
через N(p). Тоrда изменение функции N(p) в зависимости
от р дает представление о характере рассеяния. Однако по.'Iь
зоваться величиной N(p) для описания процесса неудобно,
так как она зависит от числа частиц, провзаимодействовавших
с рассеивающим центром за 1 сек А это ЧИС'.'IО может менять
ся от случая к случаю. Заметим, что N (р) представляет co
бой часть потока частиц, проходящую на определенном рас-
стоянии от рассеивающеrо центра. Поэтому количество ча-
спщ, попадающих в детектор за 1 сек, можно характеризовать
размером площадки ."i(J (р), выдеJlенной из попереЧIlоrо сече-
ННЯ потока первоначальных частиц, через которую ПРОХОДЯТ
ВСЕ> частицы, попа,;хающие в детектор. При этом
N (р) == J a (р). (33.115)
Величина a (р) не зависит от П.'Iотности потока первоначаль
ных частиц и может служить характеристикой caMoro процес
са взаимодействия рассматриваемой частицы с рассеивающим
центром. Просуммированная по всем импульсам рассеянных
частиц эта величина дает не что иное, как сечение той обла
([11 пространства, окружающеrо рассеивающий центр, в KOTO
роЙ происхо,;хит ОТК.l0нение частиц от первоначальноrо направ
:IСНI1Я под деЙствием рассеивающеrо центра В частности, если
рассеивающий центр характеризуется короткодействующими
(!f.lами, радиус действия которых оrраничен размером c3Moro
пентра (например, еС.rrи для потока JТ мсзонов рассеивающим
llС'НТрОМ является нук :1Он) , то просуммированная по всем им
325
пульса:\1 величина L'ia(p) совпадает с площадью поперечноrо
сечения caMoro центра (в случае рассеяния Jt :\lезона на нейтро-
не она будет просто совпадать с поперечным сечеНИL' l ней-
трона). Чтобы подчеркнуть, что сечение зависит и от типа рас-
сеивае1\1ЫХ частиц, ero называют поперечным сечением рассея-
ния, или просто сечением рассеяния. Поскольку это сеЧtние не
всеrда совпадает с поперечным сечением рассеивающей ча-
стицы, к термину «сечение рассеяния» добавляют термин «эф-
фективное)). Величина a (р), преДстаВ.'1яющая собой часть
этоrо сечения, носит название эффеК1ИВНО!'О дифференциаль-
Horo сечения рассеяния.
Формулу (33.115) после соответствующеrо обобщения мо-
жно принять в качестве опрсде.тrения эффективноrо дифферен-
циальноrо сечения для любых процессов взаимодействия ча-
стиц. Покажем, что определение (33.114) эффективноrо
дифференциа.'1ьноrо сечения является таким обобщением COOT
ношения (33.115) на случай, коrда учитывается возможность
движения самой рассеивающей частицы (рассеивающеrо цент-
ра) и возможность появления произво.1ьноrо КО.'1ичества новых
частиц после реакции В приведенном простейшем с.1учае рас-
сеяния частиц на рассеивающем центре L'iN (р) можно выра-
зить через W ед вр (р) вероятность перехода в единицу вре-
мени частицы из состояния, которое она имела в пучке до pac
сеяния, в состояние с импульсом, лежащим в интервале {Pi,
Pi + L'iPi }
L'i N (р) с= Weд. вр (р) N L'i 3 п, (33.116)
[де N число частиц в первоначальном пучке, L'i 3 п количе
ство состояний частиц в интервале импульсов (Pi' Р; + !1 Pi}'
Если все рассеиваемые частиuы сосредоточены в кубе с ребром
L, что соответствует идеализированной ситуации, коrда поле,
описывающее частицы, сосредоточено в этом кубе, то поток pac
сеиваемых частиц можно выразить следующей формулой:
N
J== v
L3 '
(33. 11 7)
rде v скорость частиц потока.
Тоrда, соrласно (33.115), эффективное дифференциальное се-
чение равно
!1а (р) == !1 N (р)
J
We 'BP(P) L'i3 n ,
J НоРм
(33. 118)
[де
J
норм L3
(33.119)
представляет собой поток, образуемый одной частицей, под-
верrающейся рассеянию. В бо.IJее общем случае, коrда рассеи-
326
!3i1ЮЩИЙ центр движется и коrда в результате взаимодействия
рассеивающей и рассеиваемой частиц образуются ряд но-
пых настиц, под W рд пр следует подразумевать вероятность,
(Jпреде.lенную ранее (см пояснение к формуле (33.111». При
310М BMecro ,1.3 п в формулу (33.118) будет входить произведе
ЮН' числа состояний всех образующихся в реакции частиц.
,1.3 n(l),1.3 п(2) '" ,1.3 n(S). (33.120)
Нормированный поток J HOPM (33.119) следует заменить потоком
вступающих в реакцию частиц J, опреде.'Iяемым по формуле'
1
.т ==' VOT11'
и
(33.121)
l,J,e Vо'Ш относите.1ЬН ая скорость сближения рассеиваемой и
рассеивающих частиu в направлении потока рассеиваемоЙ
Ч3СТlЩЫ ИНЫМИ С.10ва1\1И, и ОТII следует определить как алrе-
бранческую сумму абсолютноrо значения скорости v рассеи-
ваемой частицы и проекцин скорости рассеивающей частицы
ШI направление V.
Таким образом, обобщая формулу (33.118), с помощью
ЗЗ 111) и (33.120) выражение для эффективноrо дифференци-
а lbHoro сечения процесса можно представить в виде (33 114),
[Де под J следует подразумевать поток, определяемый форму-
.,оЙ (33121).
Просуммированное по всем конечным состояниям диффе-
ренциальное сечение (33.114) носит название полноrо эффек-
1!fBHorO сечения реакции В отличие от дифференциальноrо се-
Чl'!ШЯ, которое ЗIШИСИТ от величин импульсов частиц, появив
ШИхся В результате реакции, и от их конфиrурации, по/тое
Lечение
(J == ,1.и
(33.122)
\i]висит только от энерrии сталкивающихея частиц
Э :И. Расчет некоторых конкретных процессов взаимодействия
Процессы В первом порядке теории возмущений ам-
li3лучения П.'Iитуды нроцессов из.lучения или l!оr,10ще-
и поrлощения НИЯ фотона заряженноЙ частицей со спино'V\
фотонов О, 1/2 или 1 можно рассчитать исходя из
IjЮРJ\IУ'IЫ (.3.3 94) Выбирая для ОПРСДС,lеlШОСТИ функции со-
l'rояниi! чаСIИЦ, участвующих в реакции, СIJедующим образом.
'Фо(х', ql) "'= 1 . !2 1 // 'Ф(Sl)(РI)е iР1Х ',
. Рlo
327
-фо(х', q2)== L i2 У : (S')(Р2)е iР,х',
то (х', 11) == 1 f m тИ ( + k) e:l:ikx'
, L3i 2 V 2ko'
(34. 1)
и подставляя их в (33.94) после интеrрирования 1
чим
I
ПО х, полу-
(1) i М 1 ' т (2п)4 (s,)
c q ,: q,.l' (+ 00) == L 9 i 2 У 2k 'Ф (Р2) х
ОРlOР20
х Q [<p(r) (:t k), П 'Ф(s,) (рд б (Рl ::t k Р2),
(34.2)
rде знаки + или перед k относятся к случаям излучения и
поrлощения фотона соответственно. Амплитуда (34.2) пропор
циональна б-фуикции, и блаrодаря свойствам последней (см. При-
ложение А) она отлична от нуля только лишь при условии вы-
полнения закона сохранения энерrии-импульса в данном процессе:
Рl ::t k == Р2'
(34.3)
Для 4 MepHЫX импульсов свободных частиц, каковыми являют-
ся Р1, Р2 И k, выполняются следующие соотношеНJ{Я (см. (21.23),
(23.40»:
рт == pi РТа == P == p P a == M2, k 2 == k 2 k6 == о. (34.4)
Возводя в квадрат (34.3) ПрJ{ учете (34.4), ПОЛУЧJ{М
P1k == P1k ko I Рт + М 2 == о.
(34.5 )
Поскольку ko J pj! + М 2 > P1 k == I Pl! ko cos а при .1юбых значе.
НJ{ЯХ yr ла а между векторами Р1 и k, то закон сохранения энер-
rии-импульса (34.3) не выполняется, а амплитуда (34.2) и, сле-
довательно, вероятность излучения или ПOI'.10щения фотона сво-
бодной заряженной частицей равна нулю.
Таким образом, мы приходи м к заключению, что рассмот-
ренные nроцессы nерВОiЮ порядка между элементарными ча
С'тицами н.евоз.м.ожн.ы.
Рассеяние фотонов на заряженной частице,
Комптон-эффект
на протоне получившее название комптон-эффекта,
представляет собой процесс взаимодействия
фотона с частицей, в результате KOToporo как фотон, так и ча-
стица переходят в новые состояния с друrими импульсами и
поляризациями. В случае, коrда такой частицей является про-
1 При иитеrрировании длииа куба периодичности считается достаточно
большой (L -+ + 00) и ИСПОJlьзуется формула (А. 8)
328
тон, необходимо учесть ero аномальный маrнитный момент,
который мы обозначим через f.la (в единицах ядерноrо MarHe
тона ta 1,79).
Амплитуда комптон эффеI(та на протоне задается одной из
формул (33.60) или (33.103), еслИ состояния частиц ql, q2, 11, 12
относятся К положительному спектру энерrий. В этом случае
под J.t следует подразумевать дираковские матрицы, а константу
т выбрать равной (см. Приложение П. Будем ИСХОДИ1Ь
!J.a
из формулы (33.103) для амплитуды процесса. Пусть
фо(х, ql) == L /2 ./ Ф(5')(Рl)eiР,х,
V Рlo
.h ( ) 1 V М .;h(5.) ( ) e ip.x
'1"0 х, q2 == L 3/2 'У Р2 ,
Р20
ср о ( Х 11 ) == V / ' т ср (л,) (kl ) eik.x
, L 3 /2 2klO '
. 1 I .
СРО (х 12 ) == I / ср (,,) ( k2) e ,k.x.
, L 3 /2., 2k20
(34.6а)
(34.6Ь)
(34.&)
(34.бd)
Подставляя (31.10с) и (34.6) в (33.99) и (33.102) и днтеrрируя
по х', х" и k, получим 1 (а, Ь == 1, 2, 3)
d (2) (+ ) == d (2) р., 5., ",. '-. (+ 00) ==
q.I., q,l, '""" р., 5,. ".'-.
== ie2 J2л)4 М tJ (Р2+ k 2 Рl k 1 ) е ЛI) e ('-') М Ь ( 34.7 )
L 6 4 k k а ,
1 Рlo Р20 10 20
[де (!J., v == 1, 2, 3, 4)
MJl\l == ;р(5.) (Р2) {l " + :m (k2 " vk2)] х
х ; 12 [ Jl 2 (k 1 ! Jl k:) ] +
+ [ Jl 2 (k 1 Jl Jl k ) ] х
х 2 [ " + 2 (k 2 " " k 2 ) l} 1jJ(S,) (Pl)'
(34.8)
1 При расчете (34 7) предполаrалось, что С устремлено к + 00, т. е.
Ин Ie[ ра.1Ы 110 трехмерны\! координатам х' и х" были взяты в бесконечных
fl[Х' делах
329
Здесь было использовано то, что, соrласно (31.18) и (25.40а),
чР') (::t: k) (Р Р) r === е Л) [ a += 2 (k a ) ) ]
и введены обозначения
k ='= klJ. 11' {,== f l1 11; Л == Р1 + k 1 == Р2 + k 2 ;
f2 == Р1 k2 == Р2 kl'
Квадрат модуля амплитуды (34.7) дает вероятность рассеяния
фотона с импульсом k 1 И поляризацией Л1 на протоне с импуль-
сом Р1 И поляризацией 81' После рассеяния частицы переходят
в состояния k 2 , Л2 М Р2, 82 соответственно. Процесс, в котором
фотон М протон не поляризованы, будет описываться квадратом
модуля амплитуды, усредненным по поляризациям начальных
и просуммированным по поляризациям конечных частиц
(34.9)
I d(2) 1>" k, (+ (0 ) 1 2 == J... I d(2) 1',. 8" k,.I., (+ (0 ) [ 2,
1'., k, 4 1',,8., k., л,
81, 52.
л" л.
(34.10)
Здесь суммирование по поляризациям фотонов распространяется
только на векторы поляризации поперечных фотонов, так как
только они описывают реально наблюдаемые состояния поляри
зацmI фотона в свободном электромаrнитном поле. Для вычис-
ления (34.1 О) воспользуемся тем, что подстановка "1 вместо
л (л ) Л, (л \
е " равно как и подстановка k 2 вместо е', обращает ам-
плитуду (34.7) в нуль 1 . Действительно, рассмотрим выражение
k 1l1 M l1v ' Соrласно (34.8), оно имеет вид
() { м if2
k11J. M l1v ==:: \!J 8, (Р2) k 1
f + м 2
[ v + 2 п (k 2 v
\I k2)] + [ V + 2 (k " " k ) ] х
k1} ЧJ( 5,) (рд.
х
м ifl
'Т + м 2
и 1j;(5,) (Р2)
(34.11)
Поскольку 'Ф(5 J ) (рд
(см. (23.11), (23.17»:
у ДОВ,lетворяют
уравнениям
1 Этот факт является следствие", rрадиенТlЮЙ инвариаНТНОС1И теории
электромаrнитноrо поля. Подстановка klJ. вместо eК10pa поляризации е Л) соот-
ветствует переходу от потенциала AI1 (х) к потенциалу типа V 11 t (х).
330
(ipl + М) 1jJ(5,) (Рl) == 1j)( 52) (Р2) (ip2 + М) == О,
то с учетом формулы (34.9)
+ k Л 1 'Ф(5,) (рд == i , : [М + i (Рl + k 1 )] 1jJ(5') (Рl) ==
== i (M ;:1 (:2+it ) 1jJ(St)(рд -== i'Ф(S')(Рl), (34.12а)
1j;(S')(p)k M if2 ==i (S2)(p)[M+i(p k)J M it2
2 1 Л + М2 2, 2 1 ' + М 2
== i1j;(S,) (Р2),
Подставляя (34. 12а, Ь) в (34.11), получим
k 1 ..M.. v == i-:;j,(S,) (Р2) {[ v + 2 (k 2 ." )<2)]
[ y + 2 (k 2 ., y k 2 ) J} 1jJ(S,) (Pl) == о,
(34. 12Ь)
(34.13)
А на.'10rичные соображения дают
k 2v М.. ., ==- О.
(34.14)
Отсюда следует, что
nja ''И аv == iM 4v , П2Ь М.. Ь == i/И 114
(а, Ь == 1, 2, 3),
(34.15)
rде
k 1a
П 1а == '
k 2a
П2а == jk;Т
единичные трехмерные векторы в направлениях импульсов
фотона k 1 и k 2 соответственно,
В дальнейшем нам понадобятся следующие квадратичные
комбинации соотношений (34.15):
Мау П!а' n 1b М;а == М 4." М:а,
M lla П 2а П 2 а iИ d == M.. M 4'
(34. 16а)
(34.16b)
Определяя элемент M y, сопряженный матричному элементу
Af,t\" по формуле
M v == (M b, M 4' M:b, М:4)
(34.17)
331
и используя (34,17), можно привести квадрат модуля матричноrоi l
элемента е Лl) еь Л ') М аЬ ' просуммированный по /"'1 И "2, С учето
(34.16) к следующему виду: .
I е (Л,) е 'Л,) М \ 2 М М . e (J,,) e (J,,) . е '(Л,) е '(Л,)
а Ь аЬ аЬ ed а е Ь d
/0." Л, Л" /0.2
== MabM;d (e l) e l) + e 2) e 2» (e O) e (1) -+ е;(2) еР» ==
== MJ1"M <J [(e l) e l) -+ e 2) еУ) -+ пl a п1J бщ/>ср + Б J1 41'>р4] х
'(1) '(1) '(2) '(2)
Х [(еь е,' -+ еь ed -+ п 2b п2d) бь"б dG + б,,4 б cr4] ==
== MllvM (J Б J1р БV<J == Mf1" M v. (34.18)
Здесь использована взаимная ортоrональность двух троек
едИНИЧНЫХ векторов e(l), е(2), "1 и е'Щ, е'(2), "2, в результате
чеrо 1
(1) (1) (2) (2) s>
е а ее -+ е а ее -+ п 1a п lс u ac '
'(1) '(!) '(2) '(2)
еь . е{l -+ еь . ed -+ п 1b . п1'l == Б Ьd .
ПодстаВ.1ЯЯ (34.18) в (34.1 О), с учетом (34.7) имеем
1 d(2)P,.ko (+ 00 ) 1 2 ==
p"k,
е 4 (2л)8 М 2
== 152 (Р2 -+ k 2
4 L 6 4PIOP20 k 10 k 20
Р1 k 1 ) M llv M ". (34.20)
51> 82
(34. 19)
с помощью некоторых преобразований сопряженный матричный
элемент м;" можно представить в более удобной форме. Pac
смотрим матричный элемент
M s,* == (s,). (Р2) O v1j;(S')' (Р1), (34.21)
rде
[ i л л 1 м it !
°J1V == Il 2т (k 1 !! Il k 1 ) t + М2 ,,-+
i л Л ] l ' i л Л j
+ (k2 " .... k 2 ) -+ ,,-+ (k 2 \I .... k z ) >
2т 2т
М itl l i л л J
х 2 Il (k 1 f1 !! k 1 ) ,
fl +М 2 2т
(34.22)
1 ФИФ f' Д О Р О В Оптика ани'ютропНl,JX сред i'v\. Yrcc. 2004
332
Транспонируя матрицу о;" и учитывая, что ==- 'Ф* 4 И t ==
, (34.21) можно переписать в ВИДе
M ": == 1j)(Sl) (Р1) 4 o;t" 4'Ф(S') (Р2)' (34,23)
Рассмотрим матрицу 4 o;t" 4' Как следует из (34.22), ее мож-
но записать следующим образом:
4 ot" 4 == 4 {l " 2 (kt " ) t) ] х
М + i {! l i л + " + 1
х f r М2 I.L + 2т (k j Il p. k j ) +
+ l + 2 (kt Il kt) 1 ;<
, м + ifj+ r i Л+ hT J ' }
х fi +М 2 " 2п; (k z " " k z ) 4' (34.24)
Поскольку 4 р+ == р 4' rДе Р любой четырехмерный
вектор ИМПУЛЬса, и
А А ==о. f \I 4' 'v == 1, 2. 3
t"..JfJv \ '
( " 4' 'v 4
10, пере нося последовательно 4 через сомножители матрицы
O;I" и учитывая, что == 1, получим
т " ,
4 ОаЬ 4 == ОаЬ, 4 0;;4 4 0== Оа4,
, . + .
4 046 4 == 04Ь, 4 041 4 == 044,
(34.25)
rде
O tY == [ " + 2 (k 2 " "k2) 1 2 [ I.L
- 2 (k 1 Il - I.L k 1 ) ] + [ Il 2 (k 1 k 1 ) J >;
M if [ i, h J
;< f 2 М 2 " + 2 (k2 " ." k 2 ) .
lj! т
Подставляя (34.25) в (34.23) и сопоставляя зтот резУ,'1ьтат
с определением (34.17) сопряженноrо матричноl'O элемента M ",
имеем
(34.26)
M 2 == ;j;(Sl) (Рl)0 'V'Ф(S2) (Р2)'
(34 27)
333
Т аким образом, входящий в определение амплитуды комптон-
эффекта (34.20) квадрат модуля матричноrо элемента, просум-
мированный по 81 и 82, можно представwrь в следующем виде:
'55
. , М 51О 2 М ' 2
I1V I1V
5t 5 2
== (02) (Р2) O..v ;j;(5 1 ) (Рl) . (O') (Р1) 0 v1jJ(52) (Р2). (34.28)
Sl S :!
В соответствии с общими формулами приведения квадрата
модуля матричноrо элемента к следу от некоторой матрицы и
правилу суммирования По поляризациям частиц (см, приложе-
иие В) выражение (34.28) может быть записано через проектив-
ные матрицы Ар (см. (24.9) уравнения Дирака:
M v 52M 2 == Sp {А Р2 0I1V Л Р1 O v}.
51. 52
(34.29)
Подставляя в (34.29) формулы (24.9) для Ар, окончательно
имеем
,---, Miv 52 M 5, == Sp ((М ip2) 011" (М ip1) O v!. (34.30)
4М2
51, 52
Вычисление матричноrо элемента (34.30) приведено в прило-
женин В. После довольно rромоздких расчетов получается сле
дующий результат:
Miv52M; 'S' == {[ 4 ( + ) 2 4 ( + )
М ')(1 ')(2 ')(1 ')(2 ,
51. 82
( + )] + l1a [ 4 2 ( .!... + k ' )] +
')(2 ')(1 ')(2 ')(1
+ 11 [ 1 2 (')(1 + ')(2) J... ( ' + \ ] +
2 ')(2 ')(1 }
+ t-t [ 2 2(')(1 + ')(2) + + k ] +
')(2 ')(1
4 [ 1 1 1 ( ')(1 Z 2 ' ) ] }
+ t-t a (')(1 + ')(2) --t + ,
2 4 4 ')(2 ')(1
(34.31)
334
Здесь !1а == 1, 78 аномальный маrнитный момент протона в еди-
е
ницах
2М'
17 + М2
'Х; == М2
Определим эффективное дифференциальное сечение комптон-
эффекта. Как следует из (33.111) (33.113), ero можно записать
в ВИДе
I с(2) p,.k, (+ (0)/2 L6
aP,.k, == Р. ,k2 3 Р 3 k (34.32)
p.,k. JT (2л)6 2 2.
Здесь, соrласно (33.121), поток вступающих в реакцию частиц
можно записать в виде l
1
J === (1 lур,l COS{}l),
rз
rде v p , == скорость начальноrо нуклона, {}1 уrол между
PlO
направлениями векторов k l и Рl' Представляя COS {}1 через ска-
,1ярное произведение соответствующих векторов, имеем
J === ( 1 Pl k l ) === Ip l k 1 / . (34.33)
rз PIoklO L 3 p10 k]o
Произведение двух одинаковых 6 функций в выражении (34.20)
блаrодаря их свойствам (см. приложение А) может быть преД-
ставлено следующим образом'
62 (Р2 + k 2 Pl k l ) === 6 (О) 6 (Р2 + k 2 Pl k l ) ===
== S d4X 6 (Р2 + k 2 Pl kд ==
(2л)4
L3T
=== б (Р2 + k 2 Pl k l ). (34.34)
(2л)4
При подстановке (34.20) в (34.32) с учетом (34.33), (34.34) полу-
чим с.'Iедующее выражение для эффективноrо диqxpеренциальноrо
сечения процесса:
е 4
d a P1 . k , =с.
р, ,k, (4л)2
М 2 ( 1: M 2M S' ) 6 (Р2 + k 2
4 Iplkll P20k20
51,$2
Рl k 1 ) d 3 p2(Pk 2 ,
I В атомной системе едИНИЦ скорость света равна 1
335
тде вместо А 8 Р2, А 3 k 2 , Аа фиrурируют соответствующие диффе-
ренциалы, что связано с устремлением L к 00. После интеrри-
рования по Р2 И абсолютному значению TpexMepHoro вектора k 2 ,
что соответствует переходу к сечению процесса, в котором им-
пульс рассеянноrо фотона находится в телесном уrле d Q, а им-
пульс рассеянноrо протона является функцией импульса k 2 ,
соrласно законам сохранения энерrии и импульса в данной реак-
ЦИИ, получим:
d а к . э е4
d Q (4л)2
M2k
4lplklllp2 1
\1 МБ!Б, и'.,5 2 .
V 1 V
(34.35)
S'1,52
Здесь использованы следующие соотношения:
f (jk 2 i) . k
I l d (Р20 + k20) /
d Ik 2 1
d (Р20 + k 20 ) ==' 1 + аР20 1 (Рl + k 1 ) k 2 k == (34.36)
d \k21 d Ik 2 1 P20k20
== 1 (Р2 + k 2 ) k 2 k P2 k 2
P 2 ok 2 o P20 k 20 .
Замечая, что, соrласно (34.9),
1 М 2
Pl k l == P2 k 2 == 2 (fi + М 2 ) == 2 'Х1' (34.37)
и подставляя (34.31), (34.37) в (34.35), получим следующее окон-
чательное выражение для эqxpективноrо диqxpеренциальноrо сече-
ния комптон-эффекта на протоне:
d а к э Ш 2k
d Q (4л)2 М 4 Х х
{ [ ( 1 1 ' ) 2 ( 1 1 ' ) Х Х ) J
х 4 + 4 + I ....:!. .J_ 2 +
1..1 1..2 1..1 Х2 , \ ';(2 1..1 ,
+ !1а [ 4 2 (.!!. + l! ' )] + !1 [ 1 2 (1..1 + 1..2)
\ Х2 "/,1
( 1..1 +Ё. )] +!1 [ 2 2(X1+X2)+( 1 + Х 2 ) ] +
2 у 2 1..1 У..2 1..1 ,
+!1 r J... J... (1..1 + ;(2) -+ ( ' + Ё.. \ l} . (34.38)
2 4 4 1.2 11 )
d 3 k k2d l k [ dQ'
2 2 2 ,
J б (Р10 + k 10 Р20 k 20 ) f (lk 2 1) k d I k 2 1 ==
ЗЗб
Выражение (34.18) определяет искомое сечение в произвольной
системе координат.
Ero удобно выразить в системе координат, в которой протон
покоится (т. е. Pl -==0). Тоrда из закона сохранения энерrии и
импульса в этой системе следует:
k 1 == Р2 + k 2 .
м + klO == Р20 + k 20 == М 2 + (k 1 k 2 )2 + Jk2!.
что сразу дает формулу Комптона. выражающую зависимость
энерrии рассеянноrо фотона k 20 от энерrии начальноrо фотона k 10
и yr ла рассеяния 1't ( cos 1't == klk2 ) :
\ k 10 k 20
klO
k 20 == k .
1 + ..Е. (1 cos 1't)
М
В этой системе координат
klO
Хl == 2 М '
(34.39)
а сечению (34,38) с помощью
следующий вид:
k 20
Х2 2
м'
(34.39) и (34 40)
(34.40)
можно придать
d а к э
е 4
1
2 Х
2 (4л)2 М 2 l k J
1 + (l cos 1't)
х {( k 10 + k20 Sin21't ) ' + klO 20 [ 2!-tа(I СОS1't)2+
k20 klO М
+!-t ( 4 o cos1't) + + o cos1't)2) +!-t (2(1 cos1't)+ siп 2 1't)+
+ "" ( 1 + + sin 2 1't) ]} .
dQ
( 34 .41 )
При малых энерrиях фотона (k 1o « М, k 10 ;:::::; k 20 == ko) формула
(34.41) значительно упрощается и переходит в классическую
форму,'!у Томсона для рассеяния света на частице с массой М
и зарядом е:
d и т rб 1 2.<1.
( + COSu),
dQ 2
е 2 о
rде ro о.=- классическии радиус протона.
4лМ
(34.42)
.337
Формулы (34.18), (3441) и (34.42) приrодны также для опре-
деления сечении комптон эффе!(та на электроне в Первом неИС-
чезающем приближении, если подразумевать под М массу Э.7Jек-
трона и положить ""а == О в соответствии с тем, что электрон не
имеет аномальноrо маrнитноrо момента Это есть прямое след-
СТВИе Toro, что как электрон, так и протон являются частицами
со спином 1/2 и с одинаковыми по абсолютной величине элект-
рическими зарядами.
Амплитуда рассеяния электрона на скалярной
Рассеяние', частице может быть определена на основе
электрона на фо (33 71) П .
скалярной частнце рмулы . . ри этом под одним из полеи
(Ф2) бу дем подразумевать дираковское (спин
1/2), а под друrим (\Ы скалярное поле (спин О). Кроме Toro,
так как электрон и скалярная частица не обладают аномальным
1 1
маrнитным моментом, члены, пропорциональные и , сле-
т] т 2
дует опустить.
Функции состояний частиц, участвующих в реакции, можно
написать в следующем виде (см. (23.86)):
1Р2 (х, qj2») "'со L ;/2 У :: 1P S) (Р2) еФ'Х ,
(2) 1 У М2 (s') , iP;X
1Р2 (х, q2 ) == L 3 / 2 ....ш 'Ф2 (Р2) е ,
Р 20
(34.43)
1Pl (х, q\l)) == 1 1 М] 1Рl (PI) i PX , ,
L PIO
'Фl (х, q !») == L 312 .. / ] 'i'1 (р;) e iP X .
V P 10
Здесь Р2 и Pl импульсы электрона и скалярной частицы в Ha
чальном состоянии, а Р; и Р; импу.'Iьсы этих частиц в кОнечном
состоянии. Соответственно s и s' спин электрона до и после
рассеяния.
Подставляя (34.43) и (30.38с) в (33.71), с учетом определения
П, отности тока (Зз.65) получим после интеrрирования по х',
х и k:
(2) (2)р. S;P,
С (2) (1) (2) (1)(+ 00) с , , , (+ 00)
q2 ,q2 ,ql ,Ql Pl's ; Р2
(2л)4 M 1 M 2 Ms 6 ( , ' )
=с. е]е 2 / ; , " Pl + Р2 Р 1 Р 2 , (34.44)
I k PIOP20P lO Р 20
ЗЗ8
[Де, соrласно свойству б функции (см, Приложение А),
k == Р; Рl =ос Р2 P , (34.45а)
5 (5')' (5) ,
М5' == 4'2 (Р2) 'Y1l 'Ф2 (Р2) ''Фl (Pl) 11 'Фl (Рl)' (34.45Ь)
Квадрат модуля амплитуды (34,44), усредненный по поляри
заuиям начальноrо и просуммированный по поляризациям конеч-
Horo электрона,
I с(2) р, ,р, ( 00 )1 2 =: е 2 е 2 (2л)8 M7M '\1 I M S 2 1 2 Х
"1 1 2 12 4 "
Р2' Р! L k РI0Р20Р IO Pzo 2 5
52 ,S
х б 2 (Рl + Р2 Р; Р;)
(34.46)
определяет вероятность рассеяния неполяризованноrо электрона
на скалярной частице за все время взаимодействия.
Соответствующее эффективное дифференциальное сечение, co
[,1асно (33. 111 ) (33.114), будет иметь вид
Ic(2 P':P' (+ 00)12
A()'P; ; == Р2. lТ(2Л)6 L 6 А 3 Р; А 3 p ,
(34.47)
rде поток вступающих в реакцию частиц, определенный в нап
раВ,lении движения электрона, запишется через абсолютные вели-
чины скорости электрона V2 и скалярной частицы Vl (см. (33.121))
в ВИде
.1
J ::=:: (V2 Vl cos 1't 1 ).
L3
Здесь 1't 1 уrол между направлениями трехмерных импульсов
pz И Р1 (cos 1't 1 === Р2Рl ' ) .
- \ Iр 2 1!Рl!
Выражая V 2 , V 1 И cos tt 1 через импульсы Р2 и Рl, для J имеем
urедующее соотношение.
J == ( iP2/ !Рll Р2Рl \ ) ==
L 3 Р20 РI0 [Р21IРll, L 3 '
(34.48)
rде
РI0 . P Р20 . PzPl
р==
p 1 0pZO I pzl
(34.49)
Теперь, подставляя (34.46) и (34.48) в (34.47) с учетом Toro,
иТ4
Что одну ИЗ б-функций в (34.46) можно заменить на
(2л)
(см. (3434), получим
.зз!)
duP',P' "'" MTM ," j 5' '2
р' р' ( 2 ) 2 k4 2 -- М' ' 1 ' О(Рl + P2
'1 n PIOP20P 10 P 20 р s s' ,
, ,
, ' ) d3 ' d 3 '
Р 1 Pz Р 1 Pz,
(34. 50)
!'де превращение 11 в d связано с устремлением L !{ 00, И при
нято во внимание, что \ell 0= le 2 1 === е. Интеrрируя (ЗА. 50) по р;
и абсолютноЙ величине вектора р;, приходим к эффективному
дифференциальному сечению рассеяния неполяризованноrо элект-
рона в телесныЙ уrол d Q
2 2 '"
d а" == Pz M 1 M 2 1 /\15', 1 2 (34.51)
d Q (2:1)2 k 4 PIOP20P;OP;o рр' 2 , 5,.
82. S ,!
Здесь, как и в С,ТIучае комптон эффекта, использованы соотноше-
ния'
tf р; == р;' d !Р;I d Q,
S о (Р10 + Р20 Р;О p ) f (р;) p;'d Ip;! р;' f,(Pt , (34.52)
р
rде
d (р;о + р;о) 1 1 !р;1 I р;' (Pl t Р2) р;
d l ' 1 == I , I "
,Pz Pzo Р IО IPzi
(Р;о + Р;о)' р;' (Р; + Р2) р;. Р;О
P;oP o \Р; I
ПросуммированныЙ по ПО,lяризациям Э,1ектрона квадра т моду-
ля матричноrо элемента в выражении (34.51) может быть запи-
сан в виде произведения следов от матриц, содержащих проектив-
ные операторы Д,1]Я дираковскоЙ и скалярноЙ частиц (см. Прило-
жение В):
р' == I
(34.53)
, IM: 12 с-= Sp 1 Л 2 (Р2) Уv Л 2 (Р;) Y ) х
52,52
>:: Sp 1 Л 1 (Pl) VЛl (р) J.l),
rде приняты следующие обозначения.
1 .
Л 2 (Р) == ( ip + М 2 ),
2М2
1 "
Л 1 (Р) == ip (ip M l ),
2М!
(34.54)
(34.55а)
(34.55Ь)
340
причем Р в Л 2 означает Р',1 '\'11' а в Л 1 Р I1 11; '\'11 И 11 4 Mep
вые матрицы уравнений Дирака и 5-мерные матрицы уравнений
Даффина Кеммера соответственно. После несложных вычислений
следов в выражении (34.54) (см. Приложение В) получаем
? 2 '" I M S ' I 2
M 1 M 2 S :::=
S2 .S
+ \lРl (Р2 I р;Н2 -+ (M РIР;) (M + Р2Р;)]'
Таким образом, после подстановки (34.56) в (34.51) для эф
фективноrо дифференциальноrо сечения рассеяния неполярuзован
Horo электрона на скалярной частице в произвольной системе
координат имеем
dU M е4 р;'
d Q ( 4:"t)2 k 4 . PlOP;OP20P;O рр' х
х ([Рl (/J2 t р;)]2 + (МТ PIP;)(M + Р2Р;)]'
(34.56)
(34.57)
Рассмотрим это сечение в лабораторной системе координат,
в которой скалярная частица покоится (Рl О). В этом
с учае закон сохранения энерrии и импульса имеет вид
Р2 '== р; + р;, (Рl О),
М 1 -+ Р20 == Р;О + Р;О, (PlO == М 1 ), (34.58)
откуда с.lедует с учетом (34.49), (34.53)
PlOP20P;OP;o рр' ==
M !Р2! [ { 1 + р20 ' ) ip;1 p o !Р21 cos {} 1 ,
\ М 1 . М 1 J
r Рl (Р2 + Р;) j 2 Т (Mi PIP;) (M + Р2Р;) '==
М2 r ( + ' ) 2 ( ! 1 Р;О ' ) , 'М2 J
! Р20 Р 20 -+ \ + M 1 . (Р2Р2 Р20Р 20 -+ 2) ,
(34 59)
(34.60)
[ ,1е {} уrол рассеяния (уrол между трехмерными импульсами
Р2 и Р; началыюrо и конечноrо электронов соответственно).
В лабораторной системе координат удобно все величины выра-
жать через энер! ию нача.lьноrо электрона Р20 и уrол рассеяния {}.
Из законов сохранения (34.58) имеем (см. Приложение В),
Р;О == М 1 + Р20 (1 111), Р;О ==- P20111, Ip;1 = [Р2 1 112'
341
k 2 == 2 [t-t1 fl2 cos\'1 (l fll) i 1 == 2p f).,
(34.61)
rде
fll ==
l ( 1 + Р20 ) 11 + M ) + ( ' Р20 M ' ) х
М 1 \ М 1 Р20 \Мl M 1 P20 ,
Х /l M sin 2 {} .cos \'1 ] х
М 1
Х [ ( 1 + )2 cos 2 {} l l,
r 2 2
1 / 1 М2 . 2о.д. + ( Р20 1. М 2 )
V s1Пu' т
Mi М 1 Mi
) 2 2
( 1 + Р20 Р; COS 2 \'1
\ М 1 М 1
(34. 62а)
(I+ Р2О ' )
11 \ М 1
r 2
cos {}
. (34.62Ь)
Подставляя (34.61) в (34.59) и (34.60) и затем выражая с по-
мощью последних сечение (34.57), получим
d д 2 2 1
. Р20 Х
dQ (4л)2 p f).2 l ( Р20 ) Р20 1
fl2 1 + М 1 fll М] cos \'1
х { (1 + t-t])2 (1 + 1 fll Р20 ) <
4 2 \ 2 М 1 .
Х [fll fl2COS1't : (1 t-t2соs{})J}.
(34.63)
Выражение (34.63) имеет довольно С,IЮЖНЫЙ вид. Рассмотрим
в связи с этим два предельных случая; 1) коrда масса скаляр-
ной частицы очень велика (Р20, М 2 « М]), что соответствует рас-
сеянию электрона на кулоновском центре, и 2) коrда энерrия
электрона и масса скалярной частицы велики по сравнению
с массой покоя Э.lектрона (М 2 « Р20, М 1 ), что соответствует рас-
сеянию ультрарелятивистских электронов на бесспиновом ядре.
В первом С,Тjучае, как леrко ВИ)1еть, !-t1 == !-t2 1, и членами,
пропорциональными Р20/Мl, можно пренебречь, в результате чеrо
(34.63) переходит в формулу Мотта] для сечения рассеяния
электрона на кулоновском центре
1 Н М () т т и r м е с с и Теория атомных столкновений ИЛ, \95\
342
d а м е 4 1 V sin 2 {J/2
dQ (4л)2 4p v sin 4 {J/2
rде V2 ='" I скорость начальноrо электрона. Эта формула OT
Р20
личается от формулы д..1Я резерфордовскоrо рассеяния заряженной
частицы на кулоновском центре дополнительным членом (1
V siп 2 -&/2), обусловленным спином электрона.
Во втором случае
(34.64)
1
f.tl f.t2'::::; ,
1 + 2 Р20 sin 2 't't/2
М 1
4sin 4 't't/2
tl 2 -== ; , 2
(1+2 P20 sin 2 {J/2 )
\ М 1
I! (34.63) переходит в формулу для сечения рассеяния ультраре
,1ятивистскоrо электрона ( V 2 == Ip21 :::::::1 ) на скалярной частице
Р20
(34.65)
(ядре) с массой М 1
! a == е 4 1 cos 2 {J/2
d Q ( 4л)2 4p o sin 4 {J /2
. (34.66)
1 +2 Р20 sin 2 't't/2
М 1
Как формула (34.64), так и (34.66) имеют общий предел,
ДающИЙ сечение процесса в случае рассеяния ультрарелятивист
cKoro электрона на бесконечно тяжелой скалярной частице:
dU M е 4 1 cos 2 't't/2
d Q == (4л)2 4p o sin 4 't't/2
(34.67)
Рассмотрим процесс рассеяния электрона на
протоне Для определения амплитуды это
ro процесса воспользуемся выражением
(33./10) .
Как и в случае рассеяния электрона на скалярной части
не, будем относить поле "'2(Х) к электрону, поле "'! (х) будем
(IfHTaTb ПО.lем протона. При этом поскольку оба ПО/IЯ в COOT
Rrтствии с тем, что электрон и протон являются частицами со
спином 1/2, должны быть дираковскими, матрицы уравнений
Д.1Я этих полей не отличаются друr от друrа Примем для них
()дно и то же обозначение V!l' Поскольку электрон не обладает
аНомальным маrНИТIIЫМ моментом, то 11т2 следует положить
')ilBHbIM нулю, В то время как для протона Пl! 2M!/ ta (см.
343
Рассеяние
электрона
на протоне
Приложение П. Произвольную константу т можно также по
ложить равной 2M I /[.ta. (Выбор величины т не имеет в дaH
ном случае никакоrо значения).
Для процесса рассеяния электрона на протоне решение
уравнений (33.25) и выбор начальных условнй во MHoroM aHa
лоrичны предыдущему случаю рассеяния электрона на скаляр-
ной частице. В соответствии с поставленной задачей возьмем
функции СОСТОЯний взаимодействующих частиц в следующем
виде:
1 .. ; М 2 '
"'2 (х, qj2» == L3/2 V Р20 'P S2) (Р2) е ФlХ ,
( (2» .. ; М 2 (5;) ( ' ) CP;X
'Р2 х, q2 L З ,2 V P "'2 Р 2 е ,
1 У М1 '
.1, ( Х q (I» == .1,(5,) (Р ) elP,X
'1"1 , 1 L 3/2 РI0 '1" 1 1 ,
(1) 1.. ; М 1 (S;) . iP; Х
"'1 (х, q2 ) .= L3!2 V р;о "'1 (P I ) е .
Подставляя (34.68) и (31.25с) в (33.110) и интеrрируя
1
]{ k, получим при =о. О
m2
(2) (2) Р25" р,5,
С (2) (1) (2) (1) (+ ос:» == С . '. ' . (+ oc:»
q2 q2 ,q 1 q 1 Р2 52' Р 1 51
(34.68)
по Х, х'
(2л)4
== ele2
L 6 k 2
М 1 М 2
РI0Р20Р;О Р;О
M S'S' $: ( " )
5; 5; u Рl + Р2 Р 1 Р 2 '
k == Рl Р; == Р; Р2,
(34.69)
( 34. 70)
[де
MS: ': == 1j) 5 ) (р'2) '\'I'", S,) (Р2)' ф(:;) (Р;) х
2 ,
х l '\'1' + ;m (k '\'1' '\'1' k) J 'P\S,) (Pl)'
(34.71 )
Выполняя операции, аналоrичные случаю рассеЯН}IЯ электрона
на скалярной частице, переходИм к дифференциальному сечению
рассеяния неполяризованноrо электрона на неполяризованном
протоне (отличие лишь в том, что необходимо усреднять квадрат
модуля амплитуды вероятности как по поляризациям электрона.
так и по поляризациям протона):
344
d а я е4 р;' M M
d Q (2л)2 k 4 . РlOР20Р;о p opp' 4
1 М 5',51 1 2
S 5' ,
, 1
(34.72)
515.2
, ,
51 З..:
rде
1М S;;'s; 12 == Sp (Л 2 (Р2) У v Л 2 (р;) Y f х
5251
, ,
52 51
)( Sp {Л 2 (рд [ Y v 2 (;;, Yv Y v k) J Л 2 (р;) Х
Х r Y + 2 (k У!! Yv.k)]} . (34.73)
Здесь как для электрона, так и для протона проективные опе
раторы Л 2 определяются по формуле (34.55а), но отличаются
друr от друrа разными массами. После расчета следов (см. (8.82))
II,\{еем
MTM IM";;s,'s; 12 ==о { 2 (Р1р;)2 + 2 (PIP2)2 k 2 (M + M ) +
5251
5; s;
T Mlk2(k2 2M )+ k 2 rM k2+4PIP2' PIP;-
т т 2
rДе
4M M ]} . (34.74)
Рассмотрим ДI-Iфференциальное сечение (34.72) в системе,
в которой начальный протон покоится. Тоrда, пользуясь форму
лами (34.58), (34.59), (34.61), (3462), дифференциальное сечение
(:34.72) можно представить в следующем виде:
d а R е4 P o /1 1 х
dQ ==о (4л)2 p 2 [ [.t2(1 + Р20 ) /11 Р20 cos ,'t J
М 1 М 1
Х ( (1+ /1T) ( 1+ M ) L +
1 2 2 M P o
+ Ml : 2 1l1l 1 + 4Мт 2 ДД2 1 , (34.75)
т М 1 Р20 т 2 4М 1 Р20 f
м 2
: [.tl [.t2 cos,'t (1 [.tд pt ,
(34. 76а)
345
2
M z
11 1 == [.tl [.t2 cos,'t (2 [.t]) 2 '
Р2
2
11 2 -== 3[.tl [.t2COS,'t 3(1 [.tl) М 22 .
Р2
,
,i
(34. 76b
(34. 76с)
в пределе (М 2 « М 1 , Р20), который соответствует рассеянИЩ!1
ультрарелятивистскоrо электрона на протоне, справедливы ФОРJil 1
мулы (34.65) и в результате их подстановки в (34.75) получаем
формулу Розенблюта 1
d (J R _ е 4 1 cos 2 ,'t/2
dQ (4л)2 4p o siп 4 ,'t/2
1
х
(H-2 : SiП 2 ,'t/2)2
х 11+2 Р20 sin 2 ,'t/2 +
l М 1
+ sin 2 {}/2 12 (1 t-- [.ta)2 tg 2 /2+ [.t j } .
Как следует из сравнения с формулой (34.66), она является
обобщением последней на случай частицы (протона), обладаю-
щей маrнитным моментом 1 + [.ta' rде [.ta ero аномальная часть.
(34.77)
1 См, например, С Д р е л JJ, Ф Зах а р и а 3 е н ЭJ1ектромаrНИТНJЯ
структура нуклонов ИЛ, 1962
ПРИЛОЖЕНИЯ
А. о-ФУНКЦИЯ ДИРАКА И НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ
ДЛЯ ФУНКЦИИ ПИНА
Теория к. ассиqеских полей исходит из представления о TOqeqHbIX не.
и\!еющих размеров классичес'(их частицах Очевидно, для точечной части-
цы плотность распределения ее заряда и друrих характеристик До.lЖllil
быть равна нулю во всех точках пространства, за исключением той ТОЧ1,;j,
в которой находится частица В этой точке плотность распределения фН3 l !
ческих характеристик обращается в бесконечность, но так, чтобы интеrрпл
по любому объему, охватывающему указаииую точку, был конечной вели-
чиной (это соответствует конечной массе точечной частицы или коиечно;!у
заряду) .
МатематичеСКИ,\1 образом плотности распределения характеристик то-
чечной частицы (точечноrо источника) является о-функция, введенн lЯ
Дираком в 1926 [. Она определяется следующим образом:
{)(x) { О,
00,
х + о,
x О,
ь
S () (х) dx 1, а < О < Ь.
а
(А 1)
Такое определение не является строrим и по существу ему не соответствует
н'! одна из известных математичесь.их функций CTporoe математичеСi\ое
обоснование для подобных функций содержится 13 теории обобщенных
функций (в теории распределений). Основную роль при ЭТО1\! иrрае1 то.
Ч10 б-фу нкцню можно рассматривать как СИМВО.lическую запись неКОТОр.)11
операЦl1l!, связаннОЙ с предельным переходом. Эта операция приобретас
определенный смысл в выражениях, в которых б-функция входит под зн,]-
!(ом интеrрала С ЭТОЙ точки зрения б-фуикцию Днрака точнее бьшо бы
определить как ядро HeKoToporo интеrральиоrо оператора, сопоставляющсrо
.1юбоl1 интеrрируемой фу нкции f (х) ее значеиие в точке, {'де равен иу.IЮ
aprYMeHT б-функции'
ь
S () (х) f (x)dx f (О), а < О < Ь,
а
или
ь
.\' (, (х с) f (х) dx == f (с) , а < с < Ь.
а
(А.2)
,;lcrKO ви:(еть, ЧТО rj-функЦия, определенная по фоРМУJIе (А.2) , совпадает
с о-функцией, определенной по фоР Jуле (А 1).
347
Нетрудно найти явное выраЖС!lИt' для о-функции
ОplОНОр lИрованных функциЙ <Рп (х), по КОТОРЫ\1 t (х)
промежутке [а, Ь] Пусть
через ПО:1Ную систему
раЗЛОЖИ\1а в данном
ь
J cp , (х) ЧJп (х) dx Оп/!'
а
(А 3)
и
00
t (х) = а п Ipп (х) ,
п O
ь
ап == S t (х') Ip (х') dx'.
а
в таком случае
00 ь
t (х) == 5 Ipп (х) ЧJ (х') t (х') dx',
п Oa
(А.4)
ТДе существенио, что суммирование проводится после интеrрировання, После
N
введения функции 'ON (х х') == Ipп (х) <P (х') равенство (А А) может быть
п O
предстаВЛено в виде
ь
t (х) == lim S 'ON (х х') t (х') dx'
N-..:<>
а
(А.5)
Сравнивая (А 5) с (А 2), приходим К CJlедующему символическому определе-
нию б-функции
N
а (х х') == Iim Ipп (х) <P (х') ,
N-..ф
п O
(А.б)
причем предполаrается, что переход к пределу осуществляется лишь после
Toro, как в выражении (А.5) совершено интеrрирование. Пользуясь определе-
нием (А.б) , выразим а-функцию через систему Оplонормированных функций
вида
1 iknx 2..
ЧJп(Х)== L 1 / 2 е ,k п == Tп(п o, :t 1, :::2, ...), L==b a,
так что
N
'" 1 ik (x x')
а (х х') == Нm т е п .
N ф п N
Отсюда после перехода к непрерывному спектру значений k с помощью И1.
вестных формул
(А 7)
N
!1 п '" 1 e ik (x x')
_ !1 k, п .....
L 2" n N L L ",
1
2-:
х
к
х ikп(X X')!1 k
kп K
1 к
5 i!k(x x') dk
(2;:)
K
348
В СООТВетствии с (А 7) получим
1
о (x x') lim 27:
К......:о
+К
\' eik(x x') dk
'::К
(А8)
Иначе rоворя, на классе функций e ikX , заданных в бесконечном интервале
( 00. + 00), о-функция определяется интеrралом в смысле r лавноrо значе-
ния 1 Это обычно подра'3умевается при формальной записи о-функции в виде
о (х' x) (; (х х') 2 5 ik(x x'J dk
o:>
00
(А 9)
Очевидно, ПОСЛе предельноrо перехода к непрерывному спектру значений k n ,
который связан с переходом от коиечноrо про е)кутка [а, Ь] изменения apry-
мента к бесконечиому ( o:J, + 00), формула (А.2) для о-функции (А 9)
переходит в следующую:
+00
S о (х х') f (х') dx' f (х), (A.IO)
o:>
Здесь по сравиению с (А 2) aprYMeHT о-функции с обозначен через х и
использована четность о-функции (c , (А, 9»
Фор"'ула (А 9) леrко обобщается на случай любоrо числа переменных.
Так, В трех- и четырехмерных случаях имее\l'
j 03 (х х') f (х') d 3 x' f (х) ,
\' 04 (х х') t (х') d 4 x' f (х) ,
v
(А.! 1)
(A.12)
О1куда следует
03 (х х') = (; (Х1 х) о (Х2 х;) о (х з х;)
S e ik(,, ..') d3 k
(2;;)3 ,
04 (х х') о (Х1 х;) о (X2 X;) а (х з х;)о (х о x )
j . eik(x x') d 4 k.
(27:)4
(А 13)
(А 14)
Здесь, как обычно, интеrралы без указания пределов интеrрирования имеют
Пределы от ос до 1 00, а в формуле (А 14) под k (х х') подразумева-
f'тся четырехмерное СК8.Т1Ярное произведение. Часто вместо 03 (х х') и
04 (х х') пишут просто о (х х') и а (х х') соответственно.
Дифференцируя (A.lO) по х, можно определить производную от а-функ-
ЦJ1и 2 как ядро следующей интеrралыюй операцин
\ [ (;(X X') ] f(x')dX' f(x) (A.15)
. дх дх
1 С\I
1950
2 Бо.1ее подробно о б-функции см Д И в а н е н к о, А С о к о .1 О В
К.13С( ическая теория ПСJ'IЯ М, rиттл, 1948, А Ш в а р Ц Мате \атичест\ие
\!еТО.1Ы Д.1Я физических наук М, «Мир», 1965
в и с \1 И Р Н О В Курс высшей матеМdТИКИ, т 4 М, rиттл,
349
Сравнивая (A.15) с (А 10), имее\!
" дf (х') . д
j o(x x') dx' \ o('( x')t(x')d.1'.
дх' .J дх
(А 16)
Отсюда следует, что на а-функцию можно распространить 06ЬPJНыe правила
дифференцирования. Действите.1ЬНО. полаrая в (А.15)
д д
о (x x') 1) (x x')
дх дх'
(А 17)
и проводя интеrрирование по чаСl Я\l, мы автоматически приходим к соотноше-
иию (A.16),
В качестве примера использования соотношений (А 17) покажем. что плот
ность четырехмерноrо тока точечной частицы 111- (х), определенная формулой
(262), удовлетворяет уравнению непрерывности Подстав. яя (26.2) в уравне-
ние (18.14), имеем
, д д
V' j (х) еи 'о (х х') + е о (х х') ==
j.I j.I а дХа д!
. д д
== еи о (х х') + е .........,... о (х х') ==
а дХа д! дХа
д . д
еи а о (х х') еи 1) (х х') О,
дХа а дХа
что и требовалось доказать
Используя anш!рат о-функций, докажем теперь следующую формулу'
" J;(:t:) ( ) r G C ' )/ :;н) ( , )
j d 3 x'1- х, р, s 4 (X Х xo +oo = Ly Х, р, S ,
(A.l8)
rде G C (х х') причинная функция rрина для полей со спинами О, 1/2 и 1,
которую, соrласно (31,2) и (3030), можно представить в виде
. S ik(x x')
GC ( ' )[ ' ( 3 M ) l t е d3k
x x Xo' +OO j.lV'I1-Т 2(2,-;)3 ko .
Здесь принято обозначение ko 1/-k2 + М2 и учтено, что в этом случае
Iхо К:1 Xo < Отсюда с учетом (31.8) и (31.12) имеем следующие яв-
ные выражения для причинной функции rрИНа в случае поля со спином 1/2.
( I '
) С i S
G 2 (x x')lxo +"" (21:)3
M ik
2ko
eik(x x') dЗk;
(А 19)
в случае полей со спином О или l'
G(O,I)C ( x x')1 ш' .==
хо ш +00 (2;;:)3
, л
S i k (ik М) 'k ( x x' )
k е' d 3 k.
о
(А 20)
(:t:)
Пользуясь тем, что функция '1- (х ,р, s) имеет вид (см (22 58), (23.86»
(:t:)(Х,р,s) t(:t:)(p,s) e iPX .
350
при подстановке формул (А 19) и (А 20) в левую часть соотношения (А 18)
ПОЛУЧИМ
для поля СО спином 1/2
( I '
\ ' (+) 2") с
"d 3 x + (x,p,s) 40 (x x')lxo +;() "'"
'Т(:!:) , М + ip "(:!:) ( ' )
ty (х .P.S) 4 2 p х .р, s,
'Ро
для полей со спином О и 1,
Yd3X-; (:!:\х ,р .s) 4 G(O,l),(x х') \XO T,", ==
(=I:) ip ир + М) ' \ ' :!:) ,
t . I (х ' s) Q ..1.. (х s)
" .р, 4 2М C=.L.t'.:J .Р,
, Ро
Здесь были использованы следующие соотношения,
4 (М + i;) м ( 1 :!: : );34 :t 2ро
для спина 1/2
и
, л
ip 4 i Р == Poi Р
для спина О и 1.
[)ыло учтено также, что в обоих случаях
,(:!:) , J?. i(:!:) ,
'.;) (х, р, s) М т '+' (х, р. s).
Аналоrично можно показать, что в случае электромаrнитноrо поля в деся-
rимернои формулировке
, (:!:) 'с, i (=1:) ,
\ d 3 xqJo (х. k, s) "4 G (х x )I x + oo == i: qJo (х, k, s)
" l О т
(А.21)
По. ьзуясь формулами (31.23) и (30.30) при М * О с учето;\! (31 24), имееlv'
G'C(x x')ix ' (I " V )P ( I " V ' ) \ rfk(x x') d 3 k==
· ,'" \ т I т (27:)3 и 2ko
(' (1 ik ) Р ( ' 1 ik ) /k(X x') d3k (А 22)
(201:)3 J \ т \ т 2ko
Подставляя в левую часть СООlношеНIIЯ (А.21) явный вид функций <Рд=l:)(Х,k,s)
(25 45) и учитывая (25406), после инrеrрирования по х и k получим
' (:!:) 'с,
.1 d 3 x q;O (х. k, s) 4 G (x x )\X. =I:,",
V !!! ) e(S) sJa ( 1 :;: ) х
L 3 ;2 ko 2ko а т '
(1 ik ) (1 ik ) +ikx'
>< ". :;: т / Р , +' Ш m , е .
(А,23)
351
Исходя из представления матриц
(22.32), леrко показать, что
e S) la( 1.:;: ) 04 (1 1-
через элементы полной матричной алrебры
,
) р=
:: 2 !!.SL e(S) la
т а
( А.24)
Подстановка (А.24) в (А.23) дает формулу (А 21).
Соотиошение, подобное (A.l8) и (А.21), получается и для CJlучая, коrда
электромаrнитное П0,,1е описывается с пш.ющью потенциалов AfJ. (х) .
(A :f:)(x,k,r), Gg(x x')lx. +oo) == iA :!:)'(x',k, r). (А 25)
Действительно, подставляя в левую часть (А.25) явный вид функций
A :f:) (х, k, s) (см. (21,38) и (33.9» и функции rрина (30 30) при М == О,
получим с учетом (21.39) и (18.44) ('h==c== 1; {e )} == (e(r) , О}):
(A :f:)(x, k, r), Gg(x x')lx. +oo) ==
1 e(r) S
== :!: 3'2 fJ. d 3 x \(v 4e:::ikx) Gg (х х')
L I }/2ko
(V4 Gg (x x'» e::: ikx )
i =F ik 4 =1= ik4 1 (r) ikx'
:!: L 3 / 2 2ko Y2k o е.... е....
"
i е(п е::: а , х ' iA(:!:)* ( x'
1,3/2 Jt r2k o fJ. fJ.' k, r)
в соответствии с (А 25)
Б. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ЛИНЕИНОИ АлrЕБРЫ
И ТЕОРИИ МАТРИU 1
Пусть А квадратная \!атрица n-ro порядка с Э.Jе-
мента"и Aik (i, k l, 2, 3, . ,п) Для пхп,матрн-
цы А как HeKoToporo линеЙноrо оператора в n-мер-
нам B KTOpHOI\ol простраhстве \lOжно написать СlIстеыу
линеЙных однородных уравнениЙ'
A<jJ == Л/у, (A ik Wk == Ы,
или в развернутом виде
(Ан "> 'w 1 + Ан '.);2 +.. .+ А 1п +п == О,
А 21 '11 + (А 22 л) 'У2 +. . . т А 2п tn == О,
Характеристический
и мииимальиый
полииомы матриц
(6.1 )
(5.2)
А п1 't1 + А п2 t2 + .. + (А пп Ч ,J,n == О.
1 Здесь дана лишь краткая сводка используемых в кииrе сведениЙ (с I
соответствующие параrрафы в МОНОl'рафиях Ф И Федорова «ОПТИК<f aH'j-
зотропиых среД» Минск, 1958 и «Теория упруrих волн в кристаллах»
М, «Наука», 1965) Систеl\olатическое изложение основ линейной алrебры и
теории матриц можно нанти в книrах И М r е ль Ф а н Д Лекции по
липейноЙ алrебре М, rостехиздаl, 1951; А И М а .1 ь Ц е в Основы линей-
HOh алrебры М, rостехиздат, 1948, Ф Р r а н т м а хер Теория "oiатриц
М, rостехиздат, 1953
352
Эта система имеет НЕ'нулевые решения, KorAa определитель матрицы А л
(ЗДесь л скалярная матрица, т. е. л == л 1, rде I единичная матрица), KO
:roрую называют характеристической, равен нулю, т. е.
I А Ч == О.
Раскрывая соотиошение (В.З) , получаем алrебраическое уРавнение
Koтoporo совпадает с порядком матрицы) относительно неизвестных л-
Ап + aп 1 лП 1 +... +'щ л/ +...+ а1 л.+ а о == О, (54)
rде коэффициенты а/ выражаются через элементы Aik матрицы А Эrо
уравнение называют ха р а к т е р и с т и ч е с к и м (или вековым) у р а :>
н е н и е м матрицы А, а ero левую часть х а р а к т е р и с т н ч е с к и м
п о л и н о м о м матрицы А Характернстическое уравнение матрицы иН
вариантно относительно линейных преобразований базиса BeKTopHoro иро-
страиства. в котором определена матрица!
Корни характеристическоrо УРdвнения ЛI определяют с о б с т в е н н ы е
з н а ч е н и я матрицы А. Отвечающий i-MY собственно у значеиию n.ыcp
ный вектор ",<11 , До1Я KOToporo справеДЛИRО уравнение
А и) == Лi ,+,т ,
(Б.З)
(степень
(Б.5)
наЗЫRают с о б с т в е н н ы м в е к т о р о м матрицы А
Уравнение (Б.4) может иметь кратные корни, т е. среди собствениых
значеиий матрицы А MorYT быть одинаковые. ЕCJIИ все собственные значе-
ния матрицы А раз.1ИЧНЫ (их тоrДа называют про с т ы м и), то rОRОРЯТ,
что матрица А имеет про с т у ю с т р у к т у р у. Все n собствениых векто-
ров матрицЫ простой структуры' л. .,,,:ню независимы н MorYT быть выбраны
в качестве базиса П-УерНОrО векторно,'о пространства Матрица А в этом
базисе приобретает ,lиаrональный вид 2, причем по ее диаrонали стоят IJсе
корни характеристическоrо уравнения
В общем случае характеристическое уравнение (Б 4) может быть Н-ШИ-
сано в виде
(А л1)п, (А .А 2 )п, .,. (1, Лk) nk.. (А л s ) п з == О. (Б 6)
Здесь лk собственные значения матрицы А, целые числа nk определяют
храТlЮСТЬ каждоrо из корней лk, причем п1 + п2 +. . +ns == n, rде s число
различных корней. В случае матрицы простой структуры nk == 1, s == п.
Соr-ласно теореме [амильтона КЭJIИ, В С Я К а я к в а Д р а т н а я м а T
р Н Ц а у Д о в л е т в о р я е т с в о е м у х а р а к т е р и с т и ч е с к о м у у р а B
н е н 101 ю, т. е. в соответствии : (Б 4) и (Б.6) можно написать
Ап + aп l Aп ] +...+ щА/ +...+ а1А +00 ==
== (А л 1 )п, (А А 2 )п. ... (А лk)п k .. (А лs)п s == О. (Б.7)
Нередко, однако, бывает так. что пХn-матрица А удовлетворяет алrеб-
раическому уравнению, степень KOToporo п' оказывается ниже степени
характеристическоrо уравнения этой матрицы (т е ниже порядка ма1рИ
lI.ы n). Алrебраическое уравнение н а и м е н ь шей с т е п е н и, которому
удовлетворяет матрица А, т е уравнение вида
п' , п/ l ' l' ; ,
А + aп' 1 А +.. + a l , А +. . + а 1 А + а о ==
== (.4 Ч П) (А л.;{2 ... (А Лk/ k .., (А л,(" == О. (Б.8)
1 Коэффициенты Щ уравнения (БА) не изменяют своих числовых значений
при переходе от ОДНоrо базнса к друrому, т. е. являются инвариантами Maт
рицы А. В частности, коэффициент an 1 определяет след сумму диаrоналъ.
ны! элементов aп 1 == Sp А == А и , а а о О!Jреде.питель матрицы А:
а о det А == I А 1.
2 Необходимое JI достаточиое условие принодимости М/lТРИЦЫ к диаrонаJlЬ-
маму виду приведено ниже (см. стр. З54)
'353
rде n ,<nk, n;+п;+ ..+n;==n',<;:n, называют ми.нимальным
у р а в н е н и е м мa:rрицы А. Стоящий в левой части уравнения (Б.8) матрич-
ный полином называют м и н и м а л ь н ы м п о л и н о м о м матрицы А. Корнями
минимальиоrо полинома являются все без исключения различные корни харак-
теристическоrо полинома матрицы. Поэтому степень минимальнorо полинома
может быть ии степеии характеристическоrо, лишь еслн матрица А имеет
кратные собственные значения. В случае матрицы простой структуры характе-
ристический и мииимальный полиномы матрицы совпадают.
Минимальный полином, как и характернстический, инвариантен OTllO-
<:ительно преобразоваиий базиса. Зная минимальный полином матрицы А,
мы можем получить наиболее существенные сведения об основных свой-
-ствах этой матрицы, не прибеrая к заданию ее явноrо вида, связаиноrо с
выбором конкретиоrо базиса простраиства, в котором определена матрица.
Так, например, в линейной алrебре доказывается, что о т с у т с т в и е
]{ р а т н ы х к о р н е й у м и,н И М а л ь н О r о п о л и н о м а м а т р и ц ы
я в л я е т с я н е о б х о д и м ы м и Д о с т а т о ч 11 Ы М У с л о в и е м п р Н-
водимостн этой матрицы к диаrональному вид
Соrласно общему определению, квадратная матри-
ца а является про е к т и в н о й м а т р и Ц е й, ес.ш
она удовлетворяет условию
Проективиые
матрицы
а 2 == а.
(6.9)
Это сооrношение можно рассматривать как минимальное уравнение для
матрицы а.
а (а 1) == О,
(5.10)
следовательно, ее минимальный полином a(a l) имеет два простых корня
О и 1. Соrласно приведенной выше теореме, это означает, что матрица а
(5.11)
о
Такая матрица, действуя на любой вектор, будет выделять лишь часть
ero компонент, остальные обращая в нуль. Иными словами, такая матрица
иrрает роль про е к т и в н о r о о пер а т о р а, вырезающеrо из Bcero
BeKTopнoro пространства неКОТорое ПОДПРОС1ранство, размерность KOToporo
будет определяться числом ненулевых (единичных) собственных значений
этой матрицы,
Нетрудио видеть, что матрица а' "= l a, дополняющая матрицу а o
единичной,
а' + а. == 1,
(5.12)
также будет проеl\:ТИВНОЙ (см. (6.9»
,1 ,
а. == а.
(6.13)
Матрица а' отличается от матрицы а заменой ну. ей на едиНИЦЫ и единиц
на нули. Из (6.10) следует, что
а",' О.
(5.14)
354
Подпространства, выделяемые проективиыми матрицами а и а' 1 Il,
ортоrоналыlы Apyr друrу и в сумме составляют исходное векторное про-
странство.
Прим:ерами проективных матрнц типа а и а' являются матрицы ао
и I ao в случае обобщеиных релятивистских волновых уравнеиий (см,
стр. 179), а также введениые в алreбре Даффина Кеммера матрицы Р и Р
(см. стр. 182, 185).
В общем случае для BeKTopнoro пространства размерности п можно ввести
т (т п) проективных матриц а! (i === 1, 2, ..., т) с П! единичныМи элемен-
т
7ами в каждой (I п! '=' п), иаложив на эти матрицы условия:
' I
a -== rxi,
(5.15)
(5.16)
aiah ==' О, i =F k,
т
I а! == 1,
( I
(6.17)
еде i, k == 1, 2, ..., т. а 1 единичная матрица размериости п.
Специфическим примером проективных операторов TaKoro рода явля-
ются маТрНЦЫ, определяемые с помощью обобщенных символов Кронекера,
к рассмотрению которых мы переходим.
Общеизвестиый символ Кронекера Okl, определяе-
мый соотиошениями.
Обобщенные
СИМ80 Ы KpOHeKepa 1
ОВ: == 1 при k == 1.
'Ом == о при k =F 1,
(6.18)
()бычно рассматривается как выражение для произвольноro элемента единичной
матрицы In в HeKwopoM п-мерном простраистве
I n == (6hZ)' k. 1 == 1, 2. 3, .... п.
(5.19)
Одиако возможна и иная. более общая интерпретация символов 'Ом. Если при
пять, что число измереиий простраиства не исчерпывается числом значенИЙ,
J[aropwe Moryт прииимать индексы k, 1, то 0kl можно -рассматривать как сим-
вол эЛемента не единичиой, а проективной матрицы.
Используя вытекающие из определения символов Кронекера (6.18) извест-
ные свойства.
'Ом == 6l h ,
'Ом'Ои == 'O ki ,
'ОВiФ! == 4'",
'Ohh == Т,
(5.20)
(6.21)
(6.22)
(5.23)
сде i, k, 1 == 1, 2, "., r (т число ненулевых элемеитов), лerко видеть, что
соarиошение (6.21) равиосильио определенню (5.9) проективной матрицы
а. == (OhiJ: а 2 == а..
Например, в пространстве пятимериых фуикций (см. стр. 180)
( 4'( 1» )
<\; == (2) .
. 4'
<\;(1) == 4'0' <\;(2) == (4'/1)'
tJ-==1.2,3,4
(5,24)
1 См А. А. 60rуш, Ф И Федоров дАН 5ССР, 12,21,1968
1
матрицы
(1 О )
a(l) == (Ok,/,) == (О о . k 1 , 11==0; k 1 . 11""1. 2, 3. 4
, ..
и
(5.25)
(2) ( О О ) .
а == (ok,l) == 014 ' k 2 , 12== 1,2.3,4, k g . 12"" О
представляют собой проективные операторы, выделяющие соответственно ска-
лярную (0/0) и векторную (+/1) части функции (Б.24) (т, е. совпаl\ающне
с операторами р и Р (22.17»:
а(l)ф ==0/(1) ==+0' а(2)ч., == +(2) == (0//1)' (Б.27)
в формулах (Б.25) и (6.26) использована блочная запись матриц, rДе 1..
единичная, а 04 нулевая квадратные матрицы 4-ro порядка. Нетрудно также
видеть. что для матриц a(l) И а(2) выплняютсии соотиошеиия (Б.12) и (Б.14):
0k,/, 0/,k. == О, (а(!) а(2) == О). (6.28)
0k,/, + 0k,/, == 5kl, (а(1) + а(2) == 1.),
(6.26)
(6.29)
rде 0kl (k. ,== О, 1, 2, 3. 4) определяют единичную матрицу IIj == (Оkд.
Разумеется. приведенные соотношения (6.20) (6.29) сохраняют свою
силу для произвольноro числа т проеКТИВНЬ1х операторов а(/)== (о" 1)'
(k i , '1 == ]. 2, .... пi; i == 1. 2, ..., т), определенных в п-мерном прост н-
стве (см. (6.15) (6.17», т. е. можно написать:
Itl
ki 1
1C 1
11 1
{'де nl размерность подпространства, которое выделяет оператор аИ.
С 1I0МОЩЬЮ б-символов типа символов Кронекера можно ввести опера-
торы проектирования и в пространствах функций (например, rензоров),
компонеиты которых характеризуются не одним, а несколькиМИ иидексами
Рассмотрим, в частности, с такой точки зрения задачу о разбиеним
ПРН60ДИМОТО представления rруппы Лоренца на иеприводимые в 16-мерном
просrранств!' TeHlopoB BToporo paHra (TI/o"ll) к: Т (!1, '\> 1, 2, 3, 4) общето
п;
'" О k 1 01 5 == О k 5' k i , 11' Si == 1, 2, ..., nl'
ии li
li 1
0kil i OZjSj == О, i "" j, kj. '! == 1. 2, .... n;.
".,
( °kfl i ) == (okz) == lп, k,' == 1,2, ..., n.
i==1
npll'leM
0klfi == О/Л'
m n i т
fJ k . k . == NZ, '" 0k.k == '" пl == n,
11 1I
i l ki I ' l
0k./. 'tl. с= O/ .. ! ",и) t == ф(l) == (.],k , .» ) '
l t l ,
J5б
(Б. 30)
(Б.31)
(Б.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
вида (см В). Преобразовапие представления в этом с.1учае задает"я
16Х 16-матрицей
5== (51-1'v',/.Iv) (Lj.I'f.! Lv'v) , (Б.З6)
определяющей закон преобразования тензоров Т f.!V (см. (В.3О»
S1' == (L @ L) Т 0== Т', (5/.1'v',l-Iv Tj.lV == L/.I'/.I Lv'v 1'f.!V == 1' ,v')' (Б.37)
Приводимость рассматриваемоrо представления вытекает из существо-
вания инвариантных относительно преобразований JIоренца операций СаМ-
метризации, антисимметризации и свертки пар теНЗ0РНЫХ индексов. Это
означает, что компоненТЫ тензора с симметричными (антисимметричными)
относительно перестановки теНЗ0РНЫМИ индексами при любых преобра >а-
ваниях S (Б 36) переходя'f в компонеиты преобраЗ0ваиноrо тензора с темн
же свойствами симметрии.
В {;лучае тензоров BToporo paHra Т I-LV' имеющих ТО.1ЬКО два свободпых
индекса, каждая из ука1анных операций может быть проведена лишь один
раз. В результате тензор T (Т 1-1') распадается на следующие три части'
1'(1) (1'(I-IV]) ' 1'(2) (T(j.lV»' 1'(3) "= (1'{ /.IV}) ,
(Б.38)
rде
T(f.!V] 1'(V/.lJ' T(/.IV) T(VI-L)' 1'(I-If.!) О.
Т: f.!v} =0= + of.!V Ора Т ра== + °l-lv Т pp + 0/.lV Sp1'.
(Б.39а)
(Б 396)
причем
Т /.IV 1'(llvJ + T(f.!V) + 1'{ /.IV}'
Использование проектнвных операторов для выделения указаННbIХ трех
частей тензора Т JlV позволяет показать, что такое разбиенне действительно
носит инвариантный характер и автоматически приводит к расщеплеи/но
преобразований предстаВ.1еН!lЯ S (Б 36). (637) на неприводи>,\ые
Пусть
,,(1) "'" (ОА " в , ) == (O(/.IvJ,(pa]) о
,,(2) (DА,.в) 0== ('\/-tV).( J(J », ,,(3) == (ОАз.В.) (O{IlV/. {ра» (Б.40)
проективные матрицы о которые, действуя на тензор общеrо ВИда Т == (1'1''') ,
рассматриваемый здесь как вектор 16-мерноrо пространства (см. (8.32», вы-
деляют величины 1'(п (i == 1 о 2 о 3) (Б.38) , (Б 39), т. е.
,,(!) Т T(l) ( Т ) а(2) Т 1'(2) ( Т )
- (I-IV]' (I-IV)'
,,(3) Т == т(з) == (Т) ,) (Б 41)
,/.IV{
При это\{, со!' ласно общим свойствам (Б.30) (Б.33) о необходимо.
для операторов C!и) (OA i , в;) выполнялнсь следующие условия
и) (i)
ОА. В. ссо ОВ. А.о (" == а ),
t L t' t
, ' · ( ( т ) 2 т ) ( . 1 2 3)
0A.B.oB.C. uA,C.' а. a , == о' ,
" t " L " L
() О o ("т "Ш О) (i 4- j)
А; В; Bj,C i , , ,
чтобы
(Б.42)
(Б 43)
(Б.44)
357
3
[ o 1
БА. В. == O[p,\I],[pO'] + O(p,\I),(pO') + б{р'\I} , {РО': '=' (116)UV,<>0"
" l . t'
(Б 45)
3
( aи) == 116) ,
' 1
"'о Т ==Т
.4,8. В, А
8. 1 1 1 j
1
(Б.46)
Здесь 1 16 -единичная 16-мерная матрица, которую в данном случае можно рас-
сматривать как ПрЯМое произведение двух единичных матриц 14 с элементами
О (fJ-, '1 == 1, 2, 3, 4) (см сноску на стр 66 )
'
116 == 14014' (l16)" " РО' (14) <> (14) == О Р О .
... ' 11... а\> 11 "'0'
К:роме Toro, собирательные индексы A j , В ; символов ()А.,В 1 И ОА..8,
ДОЛЖНЫ соответствовать свойствам симметрии тензорных индексов величнн
T[p,v] и T(I1\», Т е. в соrласии с (Б.39а) мы должны потребовать, чтобы
o[/Lv),[pa] == o[Vp,],[(,t1] = o[I1\>].[O'p] б[\lI1],[t1р], (Б 47)
0r/L/L),[pa] o[/L\>J.(pp] О, (Б.48)
б(I1V).(Рt1) == o(Vp,),(PO) o(/LV),(t1P) O(\>I1),(t1P), (6.49)
О(/LI1),(;Ю) ==o(/LV) (рр) ==0 (Б 50)
(Б.4ОО)
Явные выражения ДЛ'l символов О А. В.' определяющих элементы матриц
" ,
проектирования a(i) (Б 40), можно получить из общеrо выражения Д.'IЯ били-
нейнои комбинации обычных символов Кронекера 011'"
б.4j'Вi==аjОI1\>oрО'+ЬjОI1Р O"t1+CjOI1O' О\>р' (i==l, 2, 3), (Б51)
которая аналоrично 1\/.IV инвариантна относительно преобразований Лореица.
Постоя иные коэффициенты aj, bj, С; при этом определяются из условий (Б.42)
(6 50).
НаКJIадывая на (Б. 51) условие (Б 47), а зате\l (Б 48), получим Ь 1 == С}
И а} == О, что с учетом ocHoBHoro требования (Б 43) дает Ь} == 1/2, следова-
тельНо,
" 1 , ,
0 .4 В == О [ ) [ ] == (о 1\ о о ).
., 1 /LV , рО' 2 I1P \>0' 110' \>р
(Б.52)
Аналоrичным образом, используя (Б.49) и (Б 50) , найдем Ь 2 == С2 и а2== b2/2,
а затем из условия (Б 43) получим Ь 2 == 1/2, т. е
" 1, ,.1,
о == (') == (о (') + о () ) б (') (Б 53)
А..8. (р''').(РО') 2 /.Ip "а /.10' "р 4 11\> рО"
Что касается оператора 0.4,.8. == О{р.,,}, ipO'}' осущесrвляющеrо свертку тен-
зора Т ,то из соотношений (6396), (Ь.40) и (Б.4I) сразу следует
11" 1
О А В == 01 '! \ == б о ( Б 54 )
.,. ,p.v{ \ра{ 4 11" рО"
Леrко проверить, что для операторов (Б.52) (Б 54) 6удут выполняться все
соотношения (Б 42) (Б 46), (8 частности, условие (Б.45) (см (Б 400» можно
испOJlЪзовать для отыскания по двум символам 0 .4 8 TpeTbero)
[' j
358
Действуя полученными операторами проектирования (Б.52) (Б. 54) на
rензор общеro вида Т ()(!' В полном cor ласии с (8.51) (8.5З) получим
'" т J.... ( Т Т ) т
(/Lv].[pcr] Р" 2 JtV VJt (/LV] ,
(Б 55)
, 1 1
ь Т ( Т + Т ) о т т
(/LV),(pcr) Ра 2 JtV VJt 4 Jtv рр (pv)'
(Б.56)
1) I ' { }Т J.... о т 1 1) S p T Т { ,
\11\'1' ра ра 4 fJ.V рр 4 fJ.V =о /LV/
(Б.57)
Нетрудно убедиться, что в сООтвеТС1ВИИ с общими соотношениями (Б.З4)
имеем
O(J,lV],(/.IV] 6, o(j.lV).(J,lV) 9, o{f.LV}.{J,lv} == 1
и (см (Б.45) и (Б.45а»
(I1s)J,lv.fJ.V 0J,lJ,l 0VV Q(J,lv].[j.lV] + O(fJ.V) ,(fJ.v) + о{ fJ.v}{ f.Lv} ==
==6+9+ 1 == 16,
(Б. 58)
(Б.59)
r де числа 1, 6 . 9 равиы размерностям соответствующих подпростраиств,
iJ сумме составляющих исходное 16-мерное пространство тензоров BToporo paHra
общеrо вида
Виеденные выше символы о А. В. (Б.52) (Б 54) бу дем назывэть о б о б.
,. ,
щеН!lЫ\!И символа'JИ Кроне кера
Рассмотрим теперь, как будет вести каждая из трех частей Т(О "т Т
теизора общеrо вида Т (TfJ.v) при преобразованиях Лоренца.
Очевидно, соотношение (6.З7) сохранит свою силу, если мы перепишем
ero в виде
3
SIT ш (S ,,(О) ("и) т) == т' .
i 1
(Б.60)
rде учтено, что, соrласно (Б.4З) (Б.45) ,
1 116 == ,,(1) + ,,(2) _+.- а(3) == (а(!»2 + (,,(2»2 + (а(3»2.
(Б 61)
Не нарушая общности, вместо (Б 60) можно взЯTh также следующие три соот-
ношения'
3
S(k,i) Т(О == T'(k),
i l
3
( (a(k)S ,,(О) (аи)Т) ,,(k)T) ,
i 1
(k 1, 2, 3).
(Б.62)
Они f!мучаются из соотношения (Б.60) после поочередноrо ero умножения
слева на '1(1), '1(2) и а(3) И В своей СОВОКУПНОСТИ составляют (Б 60) (а следо
ВdТельно, и (Б 37» В формуле (Б 62) введены обозначения
s(k.i) == з(k) S ,,(О , Ти) ,,(О т, T'(k) =о ,,(k)T' ,
и, k 1, 2, 3) .
(Б 63)
359
РаЗУ\fеется, из соотношений (Б.62) еще нельзя сделать какне-либо выводы
оприводимости рассматриваемоrо представления. Эти соотиошения справед-
ливы всеrда, при лю()ом выборе проективных операторов a(l). Однако ес.1И
воспользоваться явными выражениями для э, ементов матриц ат (Б.52) (Б.54)
и матрицы S (Б.36). то нетрудно показать, что
a(k) S a(i) -== О при i 1= k,
(Б.64)
в то время как
( 1
5(I) a(l)5a(1) -(5" ] ) I (L" , ,,L V ' v L"' v L v ".» )
[11 v ] [I1V \ 2 .. .. ....'
(Б.65)
, 1
(2
S(2) а(2)5 а(2) 7.0 ($(I1'V'),(I1V»
- 1
(L I1 ')A Lv'v + L)A'V Lv )А) '4
,
О)А'У' OI1 V ) ,
(Б.66)
5(3) "" a(3)S а(3) ( 5 ) ( - _ ) ( Б 67 )
{11'v'} {l1v} \ 4 °11'V' °\.lV' . .
в результате при указанном выборе операторов аи) (Б 52) (Б.54) , бла-
rодаря которому обеспечивается условие (Б.64), закон преобразования тензо-
ров BToporo paHra Т (Т ) будет определяться соотношениями
I1V
или
5(1)rtl) T'(l),
5(2) т(2) т,(2),
5 (3) Т(3) Т' (3) ,
5[!'-'v'],[I1V] T[I1V] "" T'[I1'v']
5(!'-'\I'),(I1V) Т()АУ) "" T'(I1'V')
5{I1'v'},{ILV; T{I1\1} Т'{!'-,у'},
(Б 68а)
(Б 69а)
(Б 70а)
(13.686)
(Б.69б)
(Б. 706)
rде элементы $ А.В. матриц $и) определяются формула>lИ (Б 65) (Б.67).
1 ,
Таким образом, проективные операторы a li ) (Б 40), элементы которых
определяются обобщенными символами Кронекера (Б 52) {Б 54), поз во.
JlЯЮТ осушествить расщепление пространства тензоров BToporo paHra Т
(Т JA.) на подпростраиства неприводимых предстаВ,lениЙ rруппы Лоренца.
Релятивистски инвариантныЙ характер TaKoro расщеП,lения, т. е. не-
зависимость ero от выбора базиса в прострапстве представ.lениЙ, BЫTeKa T
из Toro, что использованные обобщенные символы Кронекера, в чем можно
убедиться непосредственно, релятивистски инвариантпы, т е
5А,В бв,С sc.b "" о A,D'
(Б.71)
в частности, если записать тензор Т (Т 11\1) общеrо вида (8 32) следую
щим образом:
( T[I1\1] )
Т(О) Т
(\.1\1) .
Т
1111
(Б.72)
300
то нетрудно видеть, что матрица преобразования представления (Б 36) прини-
мает так называемый квазидиаroнальиый вид, расщепляясь на три независимых
матричных блока
( /5[/L'\1'J'[IL\1 J О
5(0) =со О 5(/L''\1'),(/L\1)
О О
:}
1 ,
(Б.73)
ОТКУ4а сразу следуют сооrНОllJения (Б.68) (Б. 70)
Представление тензора Т ==о (Т ) (830) в виде Т(О) (Б 72) и матрицы 5
1L\1
(836) в виде 5(0) (Б.73) можно также рассматривать как результат некоторото
преобраЗОВ8IШЯ в рассмаrриваемом тензорном пространстве. осуществляемоrо
с помощью неособенной 1\iIатрицы И, т. е
Т(О) ==- ИТ, 8(0) ==о USU l.
(Б 74)
Леrко видеть, что в таком предстаВJlении (соответствующем определенному вы-
бору базиса пространства тензоров TiJ.\1) проеЮНВНЫе операторы а(п прини-
мают следующий диаrональный вид
,,(1) ='= Св 09
, О
), '1(2) ==о ( Ов 10 ), '1(3) ==- ( Ов 09 ) . (Б.75)
I ,О I 1
тде 16' 19 и Ов, 09 соответствующие единичные и нулевые Мl!тричиые блоки.
Разумеется, все ВЫllJеизложенное можe'I быть распространено и на случай
Т< нзорных пространств более общеrо вида,
Пусть <1- (-+1' <1-2' ., ' п) И'Р ('Р1' 'Р2, ", 'Pп)
Матрицы-диады два произвольных п компонентных вектора, определен-
ных в не котором линейном векторном пространстве Бу-
дем их записывать в виде матриu-столбцов:
j, == ( Ф: ) , , ( ;: ) .
fп \ 'Рп
llроведя над матриuей-столбцом ер операuию транспозиции, обозначаемую сим-
ВО.10М '" (тильда), получим матрицу-строку
(р (<{J1 СР2 '" <Рп)'
(Б 76)
(Б 77)
Пользуясь обычными правилами перемножения матриu, мы можем paCC,\laT-
ривать два типа произведений величин 'f (Б,76) и (Б 77).
а) Произведение матрицы столбца -+ (Б.76) иа матрицу-строку ер (Б 77)'
( 1)""
( Ф1 ([11 61 <Р2
) . 'tz<{Jl 'f2<{J2
,. <Рп
'" "
'f п<{Jl ..) п<Р2
f1Ч'п )
Ф2'Рп
Ф <Рп
(Б 78)
;J.acт квадратную матриuу А, эле\lентЬ! которой, соrлаСIIО (Б 78), определяются
110 правилу
(A)ik Aik ==- }/ 'Pk (i. k ==о 1, 2" , п),
тде индекс определяет номер строки, а k lIомер столбuа матрицы
(Б 79)
361
б) Произведение матрицы-строки <jJ (Б.Т?) на матрицу-столбец + (6.76)
(lpl <Р2 .. 'Рn) ( : ) Ipl'11 + 1p2'f2 т .. + ЧJn 'tn t 1pi' 'Z (Б.80)
. t l
'1n.
дает матрицу единичиоrо порядка. т. е. число скаляриое произведение BeK
торов <р и ф,
Переходя к безындексной форме записи TaKoro рода СООТllOшеннй. усло-
вимся придерживаться следующих праВШI 1 .
В случае а) (см. (Б.78» пере'l1ножаемые величины будем разделять точкой,
В случае б) (см. (Б 80» перемножаемые величины будем ставить рядом
без всяких значков
В соответствии с этим матрицу, определяемую соотношениями
(Б.79), будем писать в виде
А <IHjJ,
(6.78) н
(6,81)
причем, соrласно (Б.79),
А п , (ф 'Ip)Zk '=о tzЧJk
(6.82)
Такую квадратную матрицу, составленную из двух BeKTopOB' и <р, называют
матрицей.диадой.
В то же время скалярное произведение двух векторов (Б.80). соrласно
правилу б), будет записываться в виде
n
ЧJt" Z Ip'} == tЧJ,
[ I
(Б 83)
rде знак транспозиции также обычно опускается.
Указанные правила распространяются на случай более сложных произве-
деl!ИЙ, и в частности при перемножеиин векторов и матриц или матриц между
собой. Приведем простейшие примеры TaKoro рода произведений (рассматри-
ваемых в смысле случая б»'
Произведение квадратной матрицы А на вектор Х
Ах (6.84а)
дает некоторую векторную величину и раскрывается так.
n
(Ах) z AZI< ХI<'
k 1
В частном случае, коrда А является матрицей-диадой А == +''1'
Ах == + ''1'1. (<jJ'X) '1',
(Б.846)
(Б 84в)
эта величина оказывается пропорциональной первому вектору (ф) диады, при-
чем коэффициентом пропорциональности служит скалярное произведение векто-
ров Ip и 1. (выделяемое с помошью скобок)
Произведение тех же величин в обратном порядке хА имеет смысл
n
ХI< Ан == ('j А)!
k l
(Б.85а)
1 См Ф И. Ф е Д о р о в Теория упруrих волН в кристаллах \1.
«Наука», 1965
362
и при А .== 'jHP:
I.А /-+ <р (-I:}) <р. (Б 85б)
т е мы получаем величину, пропорциональную второму вектору (9) диаДЫ
Наконец, при перемножении двух матриц А и В.
АВ C
(Б 86а)
будем иметь как обычно
n
(АВ)и Aih Впl (С)U
k !
(6.866)
11 соответственно при А .== ,} <р
АВ .== + <рВ. ВА 8+ <р
(Б.86в)
IlOCKOJILKY <рВ и В+ некоторые векторы, то произведение матрицЬ! диады
на любую матрицу всеrда является матрицей диадой. В частности, при А -
ф 'f и В - Х римеем
АВ .== 'f 'fX Р (<ру) + р.
(6.8бr)
с.1еДует обратить внимание на то, что во всех случаях TaKoro pOJi1
ПРОl1зведеииЙ, т е в C\lbIc.'re случая б), проводится суммирование по сме;к-
ным маТРИЧНЬ!),1 индексам
Отметим, что все столбцы матрицы А 'Ф' <jJ пропорциональиы BeKT(\
ру 'Ф (пеРВО'IУ вектору ;ша;tы), а коэффициентами пропорциональности
C,lYzКi1T ('оответствующие КО'lПоненты BToporo вектора Ч' Поэтому в,!есто
(Б 78) \IOжно также написать
AA.,(CJ., CJ., CJ..) (Б87)
Леrко видеть, что транспозиция 1\Iатрицы-диады определяется по правилу
А == ( ) <р +,
(Б 88)
а матрица диада А+ == А*, эрмитовски сопряженная матрице А==<], <р, имеет вид
А r (,}';)* == <р* .ф*.
c. eд матрицы-диады А == 't.'f' равси скалярному Пjюизведению (см
векторов <р и ':', из которых составлена эта диада.
(Б 89)
(6 80))
n n
SpA == Aii '1i'f'i 'f"1
i l i l
(Б 90)
В. РАСЧЕТ I(ВАДРАТОВ МОДУЛЕЙ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВl
Вычисление сечений рассеяния для процессов взаимодей-
ствия элементаРl'ЫХ частиц в конечиом счете сводится
к расчету вероятности перехода частицы из нача,льноrо
Состояния в конечное, пропорциональной квадрату модуля IMI 212 соот_
ьеrПВующеrо маrpичноrо элемента (амплитуды процесса) М l 2 (см, 34).
Как уже отмечалось, общий метод проеК1ивных операторов в теории элемен-
Общие
соотношения
I См ФИФ е Д о р о в ЖЭТФ, 35, 493, 1958.
363
тарных частиц (см. 23) ПОЗВOJIяет проводить расчеты величин I м 1 2 i 2 кова.
риантиым образом (без использования Яflноrо вида маrриц И функций со'
стояний).
Пусть
'!;l +(5,) (Pl) , +z CC '1(5,) (Р2)
(B.I)
функции, описывающие состояния некоторой частицы с 4- !ерными имп)' льсами
Рl, Р2 И проекциями спина 51, 52 соответственно. Тоrда общее выражение д.1Я
матричноrо элемента Ml 2 процесса, в результате KOToporo частица переходит
из состояиия ';'1 В состояние .12' будет иметь вид (см. 34)
м 1--..2 M L,:Sp, Q 11
(8.2)
Здесь Q некоторый матричный оператор (обычно ero называют вершинным
оператором), определяющий характер рассматриваемоrо процесс а (с\!. , напри-
мер, (34.8), (3455) и т. д), н
1 Ф+lI t1* , r; -', +, -r;2 1 ,
(В 3)
rде ,, матрица билинейной инвариантноЙ формы (с\! (2258), (2265».
Квадрат модуля маТРИЧl!оrо элемента (В 2) можно иаписать следующим
образом'
I Ml 2!2 (-Е;;а Qa/l' l/1)*(+;a Qa/l' l/'1)
==" ( lp Qpa <!.2а) (' ;a Qa/'l,t 1 /1)'
Здесь учтено, что (см (В.3»
(Ф2 а Qa/l l/!)* Ф;/I Q;a (Z'2)*
==" ..L;/'I Q;t 'YJ;io '+20 ==".J,; v "ур 'YJp/'l Qtx ":ao'f20 +lр Qpo '+'2а '
и введено обозначение
(В 4)
+
r, Q+ r, Q, ('ljp Q/la "аа Ш Qpo)'
(В.5)
Нетрудно видеть, используя определение матриц-диад (см. (6.78) и (6.79»
и следа матрицы, что выражение (В 4) можно также представить в виде
\ м 1 2 \2 Qpa (' 2 Ф2)аа Qa/l ('+1 '+l)/!р
(Q 0/2 . Ф2 Q +1 . +1) рр.
нли
IM1 2\2"",Sp{ +2 ф;QФ1' l} SfJ{QJ.,1 f1QФ2 f2}' (В.6)
Учитывая теперь. что по определению (см 23) матрицы-диады :-1
и .12 . '1; представляют собой проеКТIIвные операторы соответствующих состоя-
ний частицы (см. (В. 1) .
11 h 'i(5')(P1) 1(5,) (Р1) == rJ. (Р1) \, (J n ) A ', 1\1'
t2 Т2 "'" ,}(5') (Р2)' t(5,) (Р2) ==а (p ) t\s, (J n ) Л '. "'" 1\2' (В 7)
364
окончательно для квадрата :-.Iодуля матричноrо элемента (В 2) получим следу-
ющее выражение:
I Ml 212 Sp {Q"\lQ A 2 J.
(В 8)
Поскольку входящие в (В.8) проективные матрицы A ', и \ : (В.7) так
же, как и операторы Q и Q === r, Q+-r, , выражаются непосредственно через
основные матрицы '1)А реЛЯТl1вистскоrо волновоrо уравнения
(ip + т) ' p (х) О, ip === ip", Cl I1
для рассматриваемой частицЫ, то вычисление выражений вида (В 8) сво-
:J,ИТСЯ к взятию следов от некоторой линейной комбииации произведеш'й
матриц а l1 Преимущество TaKoro подхода при расчете величин IMJ 212
особенно сказывается при рассмотрении процессов с неполяризованиыми
частицами, поско.1ЬКУ в этом с.lучае суммирование и усреднение по началь-
ным и конечиым спиновым состояниям взаимодействующих частиц МОЖеТ
быть проведено в общем случае до взятия следов, Действительно, учнrы.
вая. что сумма проективных операторов Sk по всем возможны" СПИНОВЬРI
СОСТОЯНИЯМ частицы равна 1 (см 23)'
2s+1
8 ==1,
.. IS k
k 1
1 2. +1
\ MSl S, 1 2 ===
25 + 1 .. Pl P,
51,52
будем иметь
1
25+ 1
2s+1
Sp (Q CI (Р1) SIQ '1(';2) s. J ===
51 S2
1
2s + 1
Sp(QCI (Pl)QCI(P.JJ.
(В.9)
Так, наПрИ:>lер, в случае частиц со спином 1;2 (5 === 1/2), KorJIa (см 24)
, М /Pl М iP2
CI (Pl) === 2М ' CI (Р2) 2М P PIJ. 111 '
соrласно (В.9) , получим
1 2s+1 1 { 1 л Л }
2 I M ::;.12 с=т Sp 4М2 Q (М ipl) Q (М ip2) .
51,5:
(В.! О)
Аналоrично для частиц со спином 1 (s' === 1), учитывая, что здесь (С'\I 25)
а.' (Р;>
ip; (i Р; М')
2м,2
а' (р;)
/;'; ир; М')
2м,2
;;' р IJ. ,
365
25' + 1
25'+1
,' 5'
1М' 2 12 ===
" p --+ Р;
51. S..!
:!II
1,11
i
в соответствии с (В.9) найдем
1 { 1 ',', '," }
3" Sp 4M" RiPl иРl M')RiP2 (iP2 М') .
(В.1I)
Изложенные выше правила расчета леrко обобщаются на матричиые элемен-
ты более сложной структуры. Так, например, матричный элемент процесса
электромаrнитноrо взаимодействия двух различных заряженных частнц (описы-
s 51 ,
ваемых соответственно фуНКЦИЯ\lИ 0/1 '(Рд и <Р1 === <jJ '(р 1 ) , В начальном
s 5' ,
состоянии И функциями i 2 ',;, 2 (Р2) и <Р2 'f' 2 (pz) в конечном состоянии)
обычно записывается в виде
s' ---+5'
м м 1 2, 1'....2' === (Mf,:."p,)(M : :) (,12 Q '11) (q; 2 R <Р1)
Рl..... Р '
(8.12)
Здесь Q и R соответствующие вершинные операторы
Квадрат модуля матричноrо ЭЛ!'\1ента (8 12) в соответствии с изложенным
выше записывается в виде произведения соответствуюших двух следов В част-
ности, для процесса рассеяния неполяризованных дираковской ( s ) иа
, 2
векториой (s' 1) частице получи'\! просто произведеllие выражений (В 1 О)
и (811)
2s-H 25'+1
1 1 I I
2s + 1 2s' + 1
51,S2 I I
S1,5 2
, ,
\ Ms1..... 52 : St .....52
Pl P2' p .-.р;
12
Spf Q(M ipl)Q(M /P2)} Х
2 14М2
Х 1 Sp { 4 -;< Ш Яiр; (ip; М') Rip (ip; М')} ,
(B.13)
r де Р1' Р2 ИР" р: 4- мерные импульсы, SI, 52 И <, s, значения проекций
спина дираковской и векторной частицы в начальном и конечном состояииях, а М
и М' массы этих частиц
Вычисл!'ние выражений типа (В.10), (В.11) и (813)
Следы осущеСТВJIяется на основе использования общих Форму,
от произведений
для следов от произведений соответствующих матриц
матриц Отмети'v! некоторые общие свойства этих следов а) след
не ИЗ\lеняется при циклической перестановке матриц в произведении
Sp{CX1,a2 .aп lan} Sp{aпCX1Cl2 aп I) ' (BI4)
б) следы от произведений матриц a , как величины инвариантные, выражаются
непосредственно через иивариантные теи'юры (иапример, 011")
366
ДЛЯ получения выражений для следов от произведений дираковских мат-
риц буде'" рассматривать совокупность ПЯТИ матриц Дирака, 11, "(2, Уз, 14 И
"(& == У1)'2"'Зl4, для которой, как можно проверить, имеют место соотношения 1
I{'(k + 1/<1/ 2О/ п
(В 15)
и
1
I/I/< 1/ 0ik 11 Он "(k + O/k li '2' O/klPQ 'р Iч,
r де латинские индексы i, k, 1, . . пробеrают значения 1, 2, 3, 4, 5, а 0' 1</
z PQ
- пятимерный СИМВОJJ Леви Чивита. Вводя обозиачение
Sp {1' l' .. l' } 4Т.. /
1 tz ln 11 I i_' n
И умножая (В.16) справа на любое число матриц 11< ПOCJJе взятия следа, 11ОЖ-
но получить следующее рекуррентиое соотиошенне.
(В.16)
Т/./,/,., /, 0/./, Т/,/о. /п 0/.1, Т/ 2 / 0 ' п +
+ 0izi з T i1 '.
. ..!. О. . . kl T kl ' .
Ln 2 111zl3 1,,16
' п '
(В 17)
с помощью KOToporo след от произведения п матриц всеrда можно выразить
через следы произведений п 1 и п 2 матриц.
В частиОСТИ, используя (В.15) (В.17) , получим
1
Т / == S P У . == О,
· 4 1.
1
Т. . S P 1 . У . О. . , ( В 18)
1.112 4 11 12 Ll1;:
1
Т. . . S P У " ( 'v О. . Т. 0 / . т. + О. ' Т. o
ll t 2 L з 4 ' 1 i z lia LI L 2 L3 11.3 12 L21-з tl ,
(В.19)
1
Т. I . . Sp'V 'v 1 'v О. . Т. . О. . Т. . +
112 1 з t 4 4 'ft li 2 i з 4i" l1 1 2 tз 1 .. LIL3 1,21"
+ 'О/2iз T i1 [, === О, li 2 0i.'li 4 0i 1 i з 'Oi 2 i.. + 0i 2 i з Oi 1 i,,'
(В 20)
1 , ,
т. . . . . О. .. Т.. О. . . . .
11l2lэL4i 2 tl t z L зрq pqt.tr, 111.21з1..15'
(В.21)
Тlli2iзi4.i i. == °i 1 i.z Ti3i4i5i8 0i 1 iз T i2i "i!)i 8 +
1
+ о. . Т. .' О. '. т ...
t2 l э 111.(1518 2 tlt2tзрq pqZ"L5 I f.
(В 22)
При раСКРЫТИII этих общих соотношеиий полезно иметь в виду, что
\, 0is Он
О. о == 2 о (. (.
1 klpq fslpq k, 1<' ki
0/, (,/в 0и
(В.23)
I См Ф. И, Федоров Весцi АН БССР, сер фiз- raт навук, 1, 127,
1967
367
Выделяя теперь в полученных соотношрниях (B.18) (8.22) ДЛЯ пяти MaT
риц Ik обычные четыре матрицы Дирака I>L (t'- 1, 2, 3, 4) и матрицу 15,
найдем известные выражения!:
Sp I>L 1" =со 40>L'"
Sp 'I>L '" 'р '10 == 4 (a " а ро a>LP '0"0 + '0110 а"р) ,
Sp '>L 1" 'р У О 1" 11. 4 {a>L" (а ро ахl.. Ор" 001.. + а рл 00") a>LP (0"0 ахl..
а"" '001.. + '0,,1.. 00") + a>LO (а"р ОХI.. О"Х арl.. +'0"1. ар,,)
о (а а а а + а а ) +
>LX "р 01. "О Рл ,,1.. ра
+ 0>LI.. (о"р Оах а"а ар" + (\х ара)}; (В.24)
Sp { ia l 'а. 'Ia } o при п occ 2k+l, k==O, 1,2,3, ..,
п
а также
Sp 15 О, Sp 15i>L О, Sp 15Y '" == О, Sp 1'5'>L '", 'р =со О,
S P "/ 5 ' ( .., "/ "/ 4'0
, >L '" 'р 'а >L.,.Pa'
(В.25)
Отметим, что из (8.24) и (8.25) следует ( а у )
I! I!
S ра Ь == 4аЬ,
Sp b;d==4(ab cd ac.bd+ad Ьс),
(В.26)
" " '\, "
SPl'5a Ь с d == 40I!"pa аl! Ь" С р d a ,
Полезны также следующие соотношения для дираковских матриц
l' , 4, l' y 2 , , b y 2ab,
I! I! I! I! I! I!
(8,27)
Sp { b;d } Sp { . dcba}.
Для получения общих выражений для следов произведеннй 5 >< 5- матриц
(спин О) и 10Хl0-матриц (спин 1) Даффина Кеммера 2 ЗI! воспользуемся
общими соотношениями для матриц I\t, р и Р (см (22 3), (22 18) и (22 22»,
Тоrда нетрудно убедиться, что
р >Ll:'1l!. .., I! Р P?>Ll ?>L2' fl Р О
п п
(п 2k+1),
Р >Ll >L. l1п р == р >Ll >L.'" >Lп Р О (п 2k)
(k==O, 1,2, .)
(В.28)
(В.29)
I C'I!, наПрИ\Jер, А И А х и е з е р, В Б Б е р е с т е ц к и й Квантовая
электродинамика 1\01, Физматrиз, 1959
2 См, например, Л r м о роз Диссертация. Мииск, 1961, А А Б 0-
rуш, Ф И Федоров ДАН БССР, 6, 81,1962
368
и, следовательно,
" " '" :1" == p " /3" ,/3" p -
r-o-l r-o-2....n r-o-1......2 l"". J
+ р 11. l1z ... /311n Р, (п == 2k + 1), (В.30)
/3'! " ... /3" == P " /3" ...?" Р +
t' 1 r-o-! ....n ,....1 r-o-2 "",1
_ р;3.. р" ... " р, (п == 2k). (В.31)
1 ,...,1,....2 п
Из (В.30), учитывая соотношение (8.14) н условия рр ==, РР == О, сразу по-
лучаем
Sp ( 11. l1z ... Sl1 n ) ==
== Sp ( /311. ?l1z .., I1 РР}. +
n
+ Sp r (3).1. l1z ... Iln рр) == О, (п == 2k + 1),
(В.32)
т е. след от произведения лю60rо нечетноrо числа матриц ?I1 равен нулю.
При четном же п в соответствии с (В 31) можно написать
Sp { M' /3 11з '" /3 lL n) == Sp \Р 1L1 /3 lLz .., :ЗlLn lР] +
+SР(Р;З" /3" .../3" Р ) ==Sp ( Р/3" /3" .../3 р 1 +
,.....1,...2 r-o-n l""" r-o-l l!n l
1 Sp !Р/3I1' /3112' '/3l1 n Р j ==
==Sp ((Р/311 n (311») (P/3 1L2 /3J.!.p).., (P ;3lLn 2 /3l1n_J» I +
+ Sp ((Р /3111/3112 р ) (р ;311. /3 11 .Р) . . (р (3).1n l /311/')1 . (В.33)
rде учтено соотношение (В 14) и использован ы свой.ства матриц /31L , Р иР
(/:\.P P/3I1' /3I1 Р ==Р/3!!' p)I1/3V==/3""\'p, р2==р).
Для случая ПЯ1имt'рных матриц /3 . используя их представление через
11
элементы ПО.1НОЙ матричной алrе6ры (см. (22.16»
13.... ==gO,I1+ E I1.o, 1....==1,2.3,4
h ВЫlекающие отсюда соотношения
р /311 /3v p == Е 11 ",
Sp(p /311 (3)'\ == Sp { E I1 . V j == 011"<"
(В.34)
(В.35)
lП (В 33) получиы
S { А 3 3
Р t'J.!. I 112 I МЗ
./3" /3,,' I)" О"" ...0.. " +
......п l п J 1''' n J.tl ,....2,....з ,....п 2......п-l
(В.36)
i- 1) о а .
11111, 11.11.' ILn l I1n
Аналоrично для десятимерных матриц Даффина Кем мера , коrда (см
(22 32))
/311 == E P ,[PI1) r E[PIL).P
и
Р/3!.! /3v p == E[I1P).[v pj ,
Sp (Р/3 11 " Р) == o[I1P).[vpJ,
(В 37)
(В 38)
369
в соответствии с (В.33). будем иметь
Sp ( /!1 /!, /!з /!n 1 В/!п I
O[/!n P ],[/!l l1J ] О[J!з UJ ],[/!з'l1] ,.. 0[/!n 2't']'[/!n IP] + (В.39)
+ О[/!lР],[/!З"'] 1I[/!зw][/!.Т1] . . 6[/!n J't'],[/! p .
n
Отсюда, учитывая, что Ос/!.] ,[ра] == о /!р 0vC/ 6/!С/ Ovp' найдем
Sp В/! '\1 == 6011'\1' Sp В/! " p a == 3 (О/!" О (Ja + О/!а о "р) ,
Sp В/! В" ВI> a x '" == 0j.l'\l аРа ох'" + 0/..t.1 0111> Оах +
+ 2(o/!'\IlI p ", аах +- ара QIl'" 0'\lX + 0,0. ОIШ 0'\lX Ох" О/!а Ом), (В.40)
Еще раз подчеркнем, что при таком ковариантном расчете не ИСПО,lЬ-
зует('я явный вид матриц и функций, а величины, имеющие физический
СМЫС,1, выражаются через не зависящие от выбора базиса инвариан rbI
матриц их следы [.
Вычисление KBaд
рата модуля MaT
ричноrо элемента
комптон эффекта иа
протоне 2
Для расчета квадрата модуля матричиоrо элемента ком-
птон-эффекта на протоне (3430) необходимо вычислить
следы от произведений матриц Дирака, содержащихся
в правой части выражения (34.30) Виачале упростим
фиrурирующие В (34 30) выражения О/!" (34.22) и 0;'\1
(34.26). Cor ласно перестановочным соотношениям для
имеем ДЛ5! антисимметричных комбинаций, встречаю-
матриц Дирака (31 5),
щихся в О и О:.,:
IL" ,.
k f\t. /! k == 2k f\t. 2k IL == 2 .i + 2k IL ,
с помощью (ВА1) представим О/!", и O ", В следующем виде.
О == ( 1 kl ) В ( м iiz ) ( 1 + k2 ) В +
IL" М2Х2 т IL т 'У
+ ' ( I+ k ) ( M ih ) x
М2Хl т 'У
Х (1 kl) В/! +- Q11L k 2 '\1 + kl!1 Q2'\1'
(В.4I)
(В 42)
, 1 ( i )( , ) ( i, ) '
О/!'У 1 +- k 2 М if2 В"' 1 k 1 +
М2Х2 '\1 т ,. \ т
1 С помощью метода проективных операторов можно свести к взятию
('ледов от произведений матриц а/! и расчет самих МdТричных элементов,
а не квадратов их модулеЙ (C!\l., например, Е В е 11 о JП о 1\иоуо Сimепtо,
21,730,1961, А А Баrуш, Ф. И Федоров Becцi АН БССР, сер фiJ-
тэхн навук, 2, 26, 1962, А А Б о r у Ш, А И Б о ,1 С У н ДАН СССР, 159,
1046, 1964) ТакоЙ подход удобен при рассмотрсюrи процессов взаимодей
ствия поляризованных частиц (см, наприм('р, А А Б о r у 111, И С С а-
Ц у н к е в и ч. ЖЭТФ, 44, 303, 1963.43, 1953, 1962)
2 Л l' М о роз Диссертация Минск, 19б 1
370
+ М:1.1 p (1 : kl)( М if ) v Х
Х (1 + : 'Ч + Q; k2v т kl Q v'
( В.43)
rде
f -t м 2
1.1 ==
1.2 ==
f + М2
М2
(В 44)
После lIодстановки (В.42) и (В.43) в (3430) выражения Ql k2v' Q;J.t k 2v '
R 1 Q 2 И k 1 Q'"", обращаются в нуль. поскольку они ПРОlIорциональны k .
J.t v 11 '-v . 11
И k2v (сравни с (34.13) и (3414». и (3430) принимает следующии вид.
Ms,s'M's,s,== Sp ( А А' ) +
J.tv 11 v 4М6 I1V J.tv
51,52
i ( , ,
+ 4M6 Sp B l1v AJ.tv AJ.tv BJ.tv +
, , ) 1 r '
+ C I1V AJ.tv + A l1v CJ.tv + 4М6 т 2 Sp Al1v D J.tv +
+ ( B v CJ.tv)( B;.v + C y) + D l1v A vJ +
i ( , ,
s B D С D
+ 4М6 т 3 р v J.tV + I1V J.tv
, , ) 1 ( , )
D В 'D С I s D D
I1V v т I1v I1v ,. 4М6 т 4 р 11" J.tv
(В.45)
Здесь
' [ 1 л 1 , ]
AJ.tv == (M iP2) 'I pJ.t (M if2) v + v (M ifl)?J.t ,
'2 1.1
, Л [ I , 1 , ]
Al1v (M ipl) y {M if2)?11 + PI1 (M ifl) Pv .
/.2 '11
" [ 1" " 1 "- ]
B l1v ==' (M ip2) k 1 pJ.t (M if2) v + v (M Цl) k 1 pJ.t ,
'12 'Уl
, " [ 1 ", 1" Л ]
B l1v C=O (M iPl) v (M if2) ЗJ.t k 1 + ?J.t k 1 (M ifl) " ,
/.2 11
" [ 1 " 1, , ]
Cl1v (M iP2) 11 (M if2) k 2 з v + k 2 v (M ifl)?'J.t .
1.2 '1.1
, ' [ 1" л 1 ,, ]
CJ.tv . (M ip) у;" РУ R2 (M if2) J.t + у:; PI1 (M i/J) V k 2 ,
(В .46)
' [ 1' "- 1, ,, ]
DJ.tv (M iP2) k 1 11 (M if2) k 2 ?v + k 2 з v (M ifl) k 1 811 .
1.2 'Уl
, , [ 1 , " - 1 , " , ]
D l1v (M iPl) ! v k 2 (M .if2) J.t k 1 + J.t k 1 (M ifl) v k 2 .
'2 'j 1
371
В силу (В 24) (B.27) следы, встречающиеся в выражениях (В.45), в KOH
це концов выразятся через всевозможные скалярные произведення 4-мерных
векторов Р1' k 1 , Р2. k 2 , 11 И f 2' В СВою очередь, пользуясь с()()тношения 1И
(34.9), (34.4) и (В.44) , скалярные произведения 4-мерных веюоров можно
выразить через иивариантные величины '1.1 и '1.2:
Р 2 Р 2 1 1 М 2 k 2 k 2 О
I 2 12 ш , I 2 ,
fi с== М2 (1 /"1)' t с== М2 (1 X2).
Р1/1 с== Р2/1 с== М2 (1 1 ). Р1/2 с== Р2/2 =:с М2 (1 . 2 ), (В,47)
k 1 k 2 =:c + М2 (''/.1+'х'2); Р1Р2== М2 ( I + 1 + 2 ),
1
P1k1 =:с P2k2 =:с k 1 /1 k 2 /2 '==' М2 '1.1'
2
1
P1k2 =:с P2k1 '==' k 1 t2 '==' kJ2 '==' М2 '1.2'
2
Это дает возможность мноrие из выражений для следов матриц в (В.45) по-
лучать друr из друrа путе>.l простой подстановки '1.1 Z '1.2' Рассмотрим для
примера два следа.
i , ,
4М6 т Sp (BJ.tv AJ.tv + A l1 v BJLv)
и
i , ,
Sp(Cl1vAJ.tv + A l1 vC J.tv)'
4Мт
Сравиивая их между собой с Y'IeТOM (В. 46), леrко видеть, что второй след
получается из Первоrо, если сделать замену '1.1 Z '1.2 k 1 -+ k2' f 2 -z. 11' KO
торая в свою очередь после расчета первоrо следа сведется к замене
11 :.. Х2' k 1 P1::" k 2 p1' k1/1::" kJ2' k 1 P2 k 2 p2,
k 1 /2 'z k 2 /1' Р1! 1 'z p1f2, P2f1 -z Р2/2, f :::' ' .
Но, как следует из (В 47), такая замена сведется к единствеиной '1.1 '1.2'
если после вычислеиия первоrо следа выразить ero через Х1 и '1.2' Таким об-
разом, достаточно вычислить первый след, для Toro чтобы путем простой за-
мены Y1 X2 получить из Hero второй. Точно так же Sp(CJ.tvC v) и
Sp ( Bl1v D v DJ.tv B v) получаются соответственно из Sp (BJ.tv B v) и
Sp(CJ.tvD v+D vCJ.tv) путем замены X1 l.2' Кроме Toro, поскольку след
от любоrо произведения матриц Дирака совпадает со следом от произведения
тех же матриц в обратном порядке (см (В 27», имеют место равенства
Sp (A",vD v) с== Sp (DJ.tvA v)' Sp (BJ.tv C v) =:с Sp (С",,, B v)'
В результате (В 45) сведется к следующему выражению
,S,s 1 ,1 , ,
M ' м"," . 0= 4М6 Sp (Al1v AJ.tv)+ 2М6 т 2 Sp (DJ.tv AJ.tv+ CJ.tv BJ.tv) tш
SI.52
372
1 ,1 \
+ 4М6 т 4 Sp (DJ.tv D/!v) + 4М6 ( Sp (Т) + [Sp (T)!1.;-;>I,f'
i , , 1 ,
Т с= 4М6';;- (BJ.tv AJ.tv + AJ.tv B/!v) 4М6 т 2 в/!" в/!" +
( В.48)
i , ,
+ 4М6 т 3 (CI!V DJ.tv + D/!v Cl!v) ,
(В.49)
и под [Sp (Т) ]1.,:::1., подразумевается выражение. получающееся из Sp (Т)
после замены "1.1 Z '1..2'
Следует отметить. что подобные упрощения можно сделать также внутри
каждоrо из членов в выражении (В 48). Пользуясь циклической перестановкой
матриц под знаком Sp. а также формулами (В.24), (В.27) и (В.47) , следы
в выражении (В.48) можно свести к следам от произведений сравнительно
небольшоrо числа матриц:
Sp (AJ.tv A v) =со Sp (К) т [Sp (к) !1." "'x, '
, ,4М2 4М2 4М2
Sp (DJ.tv AJ.tv + CJ.tv BJ.tv) ш--т Sp (ш) + Sp (L) + ш--т [Sp (w)Jl" X"
'1..2 '11'-2 '1..\
, 8М4
Sp (DJ.tvDJ.tv) 4М2 Isp (1]) t [Sp ('1)]1,;::7,1 t Sp (N).
"1"-2
, ,4М [ !
Sp (BJ.tv AJ.tv + AJ.t , B/!y) - Sp (k 1 0 1 ) + iM Х 2 Sp (01) +
"2
2 2М I
+ Sp (02)+ ш--т ' 4 [Sp (k 1 0 1 )]X x + iM '1..2 [Sp (Од]х 7 .
'1.1'1..2 Х\ , , , ,
, 16
Sp (BJ.tv Bl!v) == Sp (р) +
'1..2
16М2 л 16 { S ( ' )]
+ Sp[p1k1.k1P2 kJ2.k1P1J +ш--т Р r X'; 1..
'1..1"1.2 '1..1
(В. 50)
, , 16iM P 1 k 2 л л л л
Sp (CJ.tv DJ.tv + Dl!v CJ.tV) '1.2 Sp (4p,\k 1 .p 1 k 2 + М2 k 1 k 2 k 1 P 1 k 2 P1) +
'2
32i MP2k2 л , л л Л 8i М3
+ .2 Sp (P2 k 2'P 1 k 1 + М2 k1k2 k1P2k2P2) Т УХ Sp (Q)
'1.1 '1 2
Здесь введены обозначения.
Х (M iP2) [ J.t (M if ) 'iv +
'1.1 '1..2
+ y (М it ) jJ.t 1 (М ip1) I! (М ijд О " ,
11
L '= М2 ( 2X2 P2k1 12 'P1k 1 t- 3/ 1 'P 1 k 1 - 2k 1 k 2 ) 8 (k1k2 Plf2 P1k2 k 1 f2) +
. 2 r (3k 1 k 2 +'1.1 P2 k l)' P2Pl + P1k 1 k f; k 1 k 2 p f; P1k 1 p k 2P1k2 P2 k 1]'
373
N"" ('1.1+ "2) (k P1k2P1 kJ 2P1P2) Х2.k k;k РЛ2'
01 (М ih) " (M iP1) " (M if2) ,
л л
02 "",-{(М if1) " (M iP2) k1+
" " " .... "
+ k 1 (М if1) " (M iP2)] Jl (M if2) з v (M ip1) Jl .
Q М4 '1.2 ('1.1 + 1.2) М2{(Х 1 + 1..2) (1.1 P1f1 P1 k 2) '1.2 k1k2 2'1. .k 2 f1]
... л .... л " .... л ,..
(1'1 + '1.2)' f1P1P2 k 2 + 2'1. 1 f1 k 2 k 1P1 + J 2 f1 k 1 k 2P2.
[ лЛ ЛЛ 1 лл ]
р == P2 k 1 2M2 .k 1 f2 + P1f2 k 1 f2 2 М 2 X 2 .k 1 P1 ,
.2 "..........л. 2 2 ....лАл
w M4X.2 M2(4k1k2+2J2 k1f2+8X2,k2f2+'l.2 f2)T4k1f2k2f2'
" " ..... л
М k 1 k 2 k1P1k2P1 (В 51)
Определяя с ПОМОЩЬЮ (В 26) следы от матриц (В.51) и выражая их,
соrласно (В 47), через '1.1 и '1.2' а затем подставляя полученные таким обра
зом выражения следов в (В 50). получим с учетом замены '1.1 '1.2 В C()()T
ветствующих членах выражений (В 50)
8М4 8М4
Sp (Ю (4 21.1 '1.11.2) + (4 '1.1 Х 2 ),
'у I Y. 1 1. 2
{ 1 1 ) 2 ( 1 1 ) ( Х 1. \ }
Sp(AJ.tvA v)==8M4 4 ( + 4 + ....::!.+...2., '
11 1..2 1.1 '1.2 1..2 '1'1 J
Sp (DJlV A " + C JlV 8 \I) 8M6 [2 +2 (,1т'l.2Н ( ;: + : )],
Sp (DJ.tvD v) == 64М8 [ I (1'1 + X2) ItX2 J ( 1L + '1.2 )} ,
2 4 2 Х2 '1.1
л ( 1 1 \
Sp (k 1 0 1 ) == 8iM4 ",(2+2 x + 2 1.1У.2) ,
Sp (01) сс= 8М3 (2 1..2) . (В 52)
Sp (8Jl\l A " + AJ.tv B ,) == 32iMo r 1 ,.1.!. + k' )] .
2 \ '1.2 '1.1
Sp (8Jl\l 8 \I) 16М6 (/1 +.Ы,
, , . [ '1 I '1.2 ]
Sp (CJ.tvDJ.tv DJlVCJl\l) 32!М? 2 2 (11+ '1.2)+ т
Х 2 '1..1
Подстаиовка (В.52) в (В.48) приводит к искомому выраженf'lЮ для
квадрата модуля !\IаТрИЧНоrо элемеита процесса комптон-эффекта на протоне.
М 5 1,5,м' 51,5, . {[ 4 i +...! ' ) 2 4 ( + )
JlV J.t\l М2 \ '1..1 '12 ",(1 '2
51.52
374
( l.!.. + k )] + 2М r 4 2 { .1 + :2 )1 +
'1-2 "11т L \ /..2 У 1
+ ( 2М ) 2 [ I 2 и.l + '1.2) _..!... ( 1 + \ ] +
т 2 12 I 1 )
+ ( 2М ) З l 2 2 ("11 + "12) + .1l. + .h ] + ( ' ) 4 [ J.... J.... (Х1 + 12)
т 12 '1-1 т 2 4
J.... "/1 "12 + (11.. + k )1} . (В,53)
8 4 \ '1.2 Хl
2М
Полаrая т rде f.ta аномальный маrнитный момент протона (см.
I-'a
Приложеиие [), приходим к формуле (34.31)
В процессах рассеяния частиц имеет eCTO закон
нення энерrии-импульса (см (3444) и (34.69».
Кинематические
соотиоwеиия
и расчет матричных
9лементов процессов
электромаrНИТноrо rде Р1, Р2 И Р;, Р' 4- черные импульсы частиц до и
рассеяния 2
а тн после рассеяния соответственно Кроме тoro, для каж-
двух ч с Ц доrо из 4-мерных импульсов выполняются соотношения:
сохра-
Рl + Р2 Р; + Р;,
(В 54)
2 2 2 ..2 ,2 f Z 2
Рl РI РIO РI === Рl PIO === М.'
2 2 2 ..2 , l , Z 2
Р2 Р2 Р20 Р2 === Р2 Р20 М 2 .
(В.55)
Здесь М 1 и М 2 массы первой и второй частицы.
В лабораторной системе координат, в которой первая частица покоится,
1>1 О, и, соrласио (В 55), РlО M 1 . При этом закои сохранения (В 54) при-
нимает вид:
Р2 === р; + р;,
М 1 + Р20 Р;О + P ,
(В.56а)
(В.56Ь)
Пользуясь (В 55) и (В.56), абсолютные величины трехмерных импульсов
/р;1 и Ip;t и энерrии Р;О и Р;О можно выразить через два независимых пара-
ме1 ра энерrию начальиоrо электрона PIO И уrол рассеяния е, определяемый
как уrол Me дy направлениями импульсов иачальноrQ и конечиоrо электронов:
Р2Р2
cos е . Действительно, подставляя выражение (В 56а) в (В.56Ь) с уче-
Ip211p21
10\1 (В 55), и еем
V 2 ,2 V 2 '
М 1 + Р20 М 2 + Р2 М 1 + (Р2 Р2)2.
(В 57)
Возводя соотношение (В 57) в квадрат и приводя подобные члены, приходим
к следующему соотношению
2 .' V 2 ,2
М 1 Р20 + М 2 + Ip2[ !Р21 cos е (М1 + Р20) М 2 + Р2 '
(В. 58)
375
откуда после повторноrо возведения в квадрат получим квадратное уравнение
относительно \p;1
(A2 p cos 2 U) р;' 2Ip2\ в cos 6 !p;l (В2 M А2) =со (В.59)
Здесь
А 11\1 + Р20; В"'" М 1 Р20 + M .
Решая уравнение (В. 59) и пользуясь тем, что соrласно (8,55),
В2 M2 А2 Р 2 ( м2 м2 )
2 2 l 2'
имеем
IP;' ==о Ip21 f'-2,
rде 1
в cos f) + А -V М7 M sin 2 е
f'-2
А2 p cos 2 О
Из формулы (В 63) с учетом (В.61) следует, что
{'де
Р;О"'" V M +p 2 P20!J-l,
АВ + P 2 2
cos 6 J М 1 М 2 sin 2 6
Р20 Р20
;J.1
А2 P cos 2 6
(В.6О)
(В.61)
(В.62)
(В 63)
(В.64)
(В 65)
Делая подстановку P = P o M в числителе выражения (В 65) и сокращая
числители и знаменатели в (В,63) и (В 65) на M , приходи м С учеТО 1 (В 50)
к формулам (34.62), приведенны\ol в OCHOBHO ! тексте, Из (В.56), (В 62) и (В,64),
а также выражения (34.45а) для передаваемоrо импульса k HerтocpeдcTBeHHo
следует
,. 9!' 2 f
PIO М 1 + Р20 (1 IJ. 1 ) , k" (Р2 Р2)2 2М2 2P2P2
. . 2 2 [ 2 1
2 (Р2 0 Р 2О Р2Р2 М 2 ) 2Р2 :J.l ?2 cos 6 (I !J-1) : .
(В 66)
При вычислении квадратов модулей 'VIaТРИЧНЫХ элементо!) процессов рас-
сеяния двух частиц друr на друrе полезны следующие соотношения,
вытекающие из закона сохранения энерrии-ИмпуЛьса (В.54), фор\olул (В.55)
и выражения (34 45а).
РIР2 РI Р2; Р1Р2 Р2Рl;
2 (M + Р2Р;) =..= 2 (M + РIР;) =со k 2 ,
. . k 2
Pl k P2 k == P2 k Pl k =00 2
(В.67)
1 При решении квадратноrо уравнения учтено. что TO,lbKO знак + пе-
ред корнем соответствует физическому решению Это леrко проверить в
предельно\ol случае рассеяния вперед (6 O)
376
ВЫчис.1ИМ квадрат модуля (34.56) матричноrо элемента рассеяиия элект
рона на скалярной чаСТице. Представим ero С по!\'ющью (34 54) и (34.55) в сле
дующем ВИДе
Mi,\1 1: 1М <;;/2, + Sp {(М 2 iP2) 1\1 (М 2 ip ) "i 11 } х
52,5'
х 1 Sp(ip1 (iPl Ml) )э; ир; M1) ",f'
4Mi
(В.68)
Пользуясь правилом ВЫЧИСJIения следов для диракоБСКИХ матриц (В.24) и
(8.26), леrко получи ! с учетом (В. 67)
1 . h .h, 2' "
4 Sp ( (М2 tP2)'(\I (М 2 tP2)"(",} 011\1 (М2 + Р 2Р 2) Р2\1 Р211 PZ\I p2j.t'="
k 2 "
2 О"''' Р2\1 P2/.L Р2\1 Р211'
Точно так Же, исходя из (8.36) для следов от пятимерных матриц Даффина,
Н\!еем
(В.69)
1 { h h h' Л
4м2 Sp ip1 иР1 М 1 ) \I iPl (ipi М 1 ) ?11}
1
1 , I "
4 (Pl\l Pl/.L + Р]\I Р111 + Р 1 \1 РФ + Pl\l P1 ')'
Пере\lножая выражения (В.69) и (В 70) и суммируя по повторяющимся индек
са\! iJ. и '1 С учеТО\l (В 67), ПРИХОДI!М к выражению (34.56)
2 2 s 2 1 i '
М! М 2 1'\1 ',1 [Рl (Р2 + Р2)]2 +
5, 2
(В.70)
82 ,s;
С, '2 '\
+ (МI' PI P l) (М 2 + Р2Р2) j'
(В.71)
Переходя к вычислению квадрата модуля матричноrо элемента процесса
рассеяния электрона на протоне (34 69), заметим, что
Sp r "12 (Р2)"( А 2 (р')"( ) k = Sp {Л 2 (р.)"( Л 2 (р')"( ) k О. (В.72)
\1 '[1 \1 - \1 2 '" 11
Это следует из тoro, что ЦИКлическая перестановка 'l!атриц ПОД знаком следа
Не меняет последнеrо, в ТО вре'l!Я как, соrласно (3450), (34,55а) и (24.4)
Л 2 (Р2) ik Л 2 (Р') '=" (1\12 i(2) ( iP2 + ip;) (М 2 ip;)
24М,
1 _ А
==' 4М: (1\12 iP2) (1\12 М 2 ) (1\12 ip;) о
Воспользовавшись соотношениями (3455а) и (8.72). квадраr модуля матрич-
НО[ о ЭJlе\lента процесеа рассеяния электрона на протоне (34 69) можно пред-
стаВиrь следующим образо\!
377
М:М:
I 5, 5. \ 2 1 h Л
, ' М,' == Sp {М 2 ip )"( (M ip') "( ) '<
sz.s: 4 ,, J.L
52,51,5: ,51
Х + Sp {(M 1 iPl) 1'11 (1 + k) Х
х (M 1 iP:) ( 1 + k) I Jl }'
(В.73)
Первый из следов в выражении (8.73) уже вычислеи (см. (В.69». Представим
второй слеД в виде
+ Sp {(M 1 ipl) Iv (1 + k) Х
Х (Ml ip;) (1 + k) I Jl } ==
I i 1 1 1
== 4 Sp (AvJ,t) + 4 Sp (B VJl ) т 2 4' Sp (C VJl ) ,
rде
л л
АV!! == (M 1 ipl) 1'11 (M 1 ip;) '(!! '
BvJ,t == (M 1 ip.) 1'11 [k (M 1 iP:) + (M 1 ш ip) k] IJl'
"..... ""
C'IIJ,t == (М ipr> 1'11 k (M 1 ip;) k IJl'
Сравиивая с (В.69) , имеем с учетом (В 67)
1 k 2
4 Sp (AvJ,t) == 2" °JlV P2V р;!! p;v P2Jl'
(В.74)
(В.75)
(В 76)
(8.77)
(В 78)
Что касается следов от матриц (В.76) и (В.77), то их можно свести к следам
от выражений, содержащих произведения не более четырех матриц Дирака.
Д.'lя этоrо заметим, что из перестановочных соотношений для дирако8СКИХ
матриц (22 40) следует с учетом (В.67):
"" л...." л
k (M 1 ip.) + (M 1 iP:) k == 2 (M1k ip;k) == ik 2 + 2 Mlk,
k (M 1 ip) k == k 2 (M 1 + ip;) + ik 2 .k = k 2 (M 1 + /р: + ik)
(В 79)
Используя (В 79) при вычислении следов от выражений (8 76) и (8 77) с по-
мощью формул (В 24), получим.
+ Sp(BVJl) == 2iMl( k20Jlv+PI'llkJl+kvPIJl}'
1 , .
4'" Sp (CvJ,t) == 2k 2 [М. °Jlv + Plv PIJ,t]'
378
(880)
(В81)
Подставляя (В 78), (В 80) и (881) в (В.74) , а затем вычисляя с помощью
получеНllоrо таким обраЗО'1 выражения и формулы (В 69) квадра1' модуля мат-
ричноrо элемента (В 73), получим с учетом СОО1ношений (867)
М:М: ,
52,51 St.51
I MS:':: \ 2 (2 (PIP;J2 + 2 (PIP2)2 k 2 (М: + М:) +
52' 1 I
2 .
+ M 1 k 2 (k 2 2М;) +
т
1
+ k 2 [М: k 2 + 4PIP2' PIP; 4М: M J.
т
(8.82)
r. ФИЗИЧЕСКИИ СМЫСЛ КОНСТАНТЫ т
В УРАВНЕНИЯХ ВЗАИМОДЕИСТВУЮЩИХ ДИРАКО8скоrо
И ЭЛЕКТРОМАrнитноrо ПОЛЕИ
Введение членов взаимодействия типа Пау,ти, пропорциональных KO'l-
1
станте в лаrранжианы взаимодействующих полей, СВЯ'Jано, как \'1/(е
т
отмеча.l0СЬ в Э 29, с фено\!енолоrИ'lеским способом описания аномальных
особенностей элементарных частиц В случае дираковской частицЫ, взаи lO-
действуюшеЙ с электромаl НИТНЫ\l полем, члены взаимодействия Паули
R лаrраН1/(иане (233) ОПИ(ЫВа!ОТ взанмодействие аномальноrо маrнитноrо
\10мента частицы с электромаrнитным полем Рассмотрим уравнеиие, ВЫ1С
каюшее из лаrранжиана (293) (см уравнения (29 10))'
[ (YJ,t - ieA (х») + 1 [J,tv] FlJ.v (х) + М ],;,. (х) О, (r.l}
ЗДЕ'СЬ под IJ. следует иодразумевать матрицы Дирака. Для выяснения физиче
cKoro смысла константы т рассмотри'>1 уравнение (r 1) внерелятивистском
приближении. С этой целью, как это 06ычl'О делается, перейдем от уравнения
(r,l) к уравнеиию Паули!. Умножая уравнен)!е (r.l) на матрицу 4 и выделяя
4ножитель е i"ЛХо из Фуикции '''' (х), получаем уравнение
i t' (х) [ 5 4 1 а ( i Уа еАа (х)) +
дх о
+ 41[JlV] F v (х) т еА о (х) + 04 1) М ] '1/ (х), (r 2)
[де
40' (х) = tf (х) /Мх о , Ао (х) iA4 (х)
Введем две взаимно ортоrональные функции
(r 3)
1
''!;:f: (х) = 2 (1 :i 4) ' (х), (х) '1 (х) - О
(r 4)
1 с',! Д И Б л о х и н Ц е в Основы квантовой механики М, «Высшая
щкола», 1964
379
1
Действуя слева на уравнени. е (f.2) матричными операторами '2 (1 :i 4)' при-
ходим к системе уравнений для введенных функций (f.4).
i д o '];+(х) [i a( i\7a eAa(x»)+ ?аF4а(х)]<J.; (хн--
+ [ ;: Ра Ь F аЬ (х) + еАо (х) ] t+ (х). (r.5)
t__(x)== 2 [ i a( i\7a eAa(X»)+ paF4a(X)]t+(X)
2 [ i д o еА о (х) +- ;: a Рь Раь (х) ] t.. (х). (f.6)
Здесь было учтено, что в случае диракОБСКИХ матриц
p[J,1V] == + ( IJ. Pv Pv PIJ.) == PJ,1 Pv' (f1 '* ).
в нерелятивиcrcком приближении. Kor да скорость частицы и MHoro меньше ско-
рости света с, вторым членом в правой части выражения (f.6) можно пренеб--
речь по сравнению с t.. (х), так как ero действие на функцию у.,. (х) пред-
ставляет собой ( С точностью до малоrо члена ВаРЬ Р аь (х» ) частное от
2т '
деления кинетической эиерrии частицы на ее удвоенную энерrию покоя. в ре-
зультате чеro этот член имеет порядок и 2 /с 2 . Учитывая это при подстановке
(f,6) в (f.5) , получаем следующее уравнение для + (х):
д. 't>+ (х)
дх о
J 1 [ ie ]
lт iPa( i\7a eAa(x»)+ PaF4a(X) х
х [ i Ь ( i \7ь еАь (х») + : РЬ Р 4 Ь (х) ] +
}
+ 2т Р.:: РЬ F IJ.V (х) + еАо (х) t+ (х).
(f.7)
Членами
2 Ра ( i \7а еАа (х») РЬ F 4 b (х),
М е ?а Р 4а (х) Рь ( i \7ь еАь) ,
2 m
е 2
2Мт 2 Ра Р 4а (х) РЬ F 4 b (х),
110лучающимися после перемножения выражений в квадратных скобках, МОЖНQ
пренебр чь, так как первые два имеют порядок и/с, а последний мал по
ie
сравнению с a Ь F аЬ (х)
2т
Вводя оператор проекции спииа на направление маrнитноrо поля
(см. (2331»
i _
о Ь Н ( х ) В Ь R
Н == 4 \ н (х) \ а с а ,I-'c.
(f.8)
380
из (r.7) после некоторых преобразований получим с точностью до членов по
рядка v/c:
дф+(х) [ 1
i == ( iVa eAa(x»)2
дх о 2М
(1 + 2: ) Он I н (х) 1+ еА о (х)] ф-,- (х).
(r.9)
Отсюда следует, что
стском приближении
частица, описываемая уравнениямн (r.l) ,
обладает маrнитН моментом ( 1
2М
в нерелятиви
2М )
7 ' rде
2М
е е., .,
== дополнительны н маrнитный момент, обусловленныи
m 2М m
членами Паули. В частности, для протона 11т выбирается из условия 1 +
2М
+ == 2,79, {'де 2, 79 экспериментально найденный маrнитный момеН1
m
протона в ядерных MarHeТOHax Бора.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1 А х и е з ерА.
мика М, ФИЗ'llатrиз,
2. Б ,п о х и н ц ев
шкода», 1963
3 Б о r о л 10 б о в Н Н, Ш и р к о в Д В Введение в теорию кванто-
ванных полей М, Физматrиз, 1957.
4 В е н т Ц е л ь r Введенне в квантовую теорию волновых полей М,
rостехиздат, 1947
5. f о л Д с т е я н f Классическая механика М, Физматrиз, ]957
6 Д а в ы Д о в А С КваНтовая механика М, Физматrиз, ]963
7 И в а н е н к о Д, С о к 0.1 О В А Классическая теория поля м.,
rиттл, ]951
8 К о м п а н е е Ц А. С Теоретическая физика М, Физматrнз, 1954.
9 Л а 11 Д а у JI Д, л и Ф ш и ц Е М Теория 110ЛЯ 1\1, ФНЗ\lатrиз,
1!;f3{)
]0 Л 10 б а р с к и й [. Я Теория rрупп и ее примеиение в физике М,
rостехи.3дат, 1957.
] 1 Ш в е б е р С, Б е т е [, f о Ф м а н Ф ,\r\еЗОIJbI и поля, т 1 ИЛ,
1959.
12. П а у л и В Ре.1ятивистская теория ,ле\lентарных частиц ИЛ, 1947
13 У м э Д з а в а Х. Квантовая теория поля ИЛ, 1958.
14 Ф е д о р о в Ф И Проективные операторы Б теории элементарных
частиц ЖЭТФ, 1958, т 35, вып 2, 493
15 Ф е р м и Э Э.1ементарные частицы ИЛ, 1953
16 В а r u t А Introduction to the Theory of Еlесtrоdупатiсs апd Clas-
sical Fields N У, В Р., 1964.
17.. С о r s о n Е Theory оУ tеП50rs, spinors апd Wdve equations N У,
В Р., 1953.
И, Берестецкий Б В
1959.
Д И
Квантовая j.Iектродина-
Основы квантовоЙ механики 1\'\., «Высшая
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. f а н т м а хер Ф. Р Теория матриц. М, rостехиздат, 1954
2 Д и р а к П А. М Принципы квантовоЙ механики ИЛ, 1960
3 К о ч и н Н Е Векторное исчисление и нача,lа тензорноrо исчисле-
ния М, fостехиздат, 1938.
3. Л а н Д а у Л. Д, л и Ф ш и ц Е М Механика М., Физматrиз, 1958
4. Л а н Д а у Л. Д, л и Ф ш и ц Е 1\'\ Квантовая \1еханика. М, Физ-
матrиз, 1963.
5. Л а н ц о ш К. Вариационные принципы механики М., «Мир», ]965
6 Л и ч ДЖ. У. Класснческая механика ИЛ, 1961
7. М а л ь ц е в А И, Основы линейной ащебры 1\1, fостехиздат, 1954
8 М о Р с Ф. М, Ф е ш б а х r Методы теоретической физики, т 1, 2.
ИЛ, 1958, 1959
9 П а у л и В. Общие принципы волновой ',Iеханики М, rостехизда1.
1947.
10 С м и р н о в В И Курс высшей математики, т 1 5 М, [остех-
издат, 1957 1959
11 С о к о л о в А. А, И в а н е н к о Д Д Квантовая теория поля М,
rиттЛ, 1952.
12 С о к о л о в А. А, Л о с к у т о в ЮМ, Т е р и о в И М Квантовая
механика М, Учпедrиз, 1962
13 Ш в е б е р С Введение в релятивистскую квантовую теорию ноля
ИЛ, 1963.
14 Фей н м а н Р. Квантовая ,лектродинамика М, «Мир», 1964.
15 Фей н м а р Р, л е й т () н Р, С э н д с М Фейнмановские .1еКЦllИ
по физике М, «Мир», 1966.
382
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
,3
1
ВАРИАЦИОННЫF ПРИНЦИПЫ в МЕХАНИКЕ
И В КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПOJIЯ
rЛАВА
ПРИНЦИП НАИМЕНL>ШЕrо ДЕПСТВИЯ
1. Лаrранжев фор\!ализм
2 Преобразования систем отсчета и законы сохранения
3. Непрерывные системы .
4. ['амильrонов форма.'IИЗМ
:5
16
25
33
r Л А В А [[ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
И ТРАнсформд.ЦИОННЫЕ СВОИСТВА ФУНКЦИИ ПОЛЯ
5. Принцип относите,lЬНОСТИ Эйнштейна 39
6 Преобразования Лоренца 45
7 Бесконечно i\la.%Ie преобразования Лоренца 50
8 Тензорные представления rруппы Лоренца 37
9 Релятивистская формулировка принципа IIаимеНЫIlеrо действия 74
r Л А В Д. III ТЕОРЕМ.\ НЕТЕР
10. ПРИЧЦIIП относите.1ЬНОСТИ и сим\!етрия четырехмерноrо про-
странства 83
11 Общее доказательство теоремы Нетер 90
12 Тензор энерrИИ-ИМПУJJьса 99
]3 Тензор момента КО.1ичества движения 104
у 14. Заряд и вектор тока 112
Jl
СВОБОДНЫЕ ПОЛЯ
r Л А В А IV СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
15 Вводные замечания
16 Ска.1ярное вещественное поле
17 Импу.1ьсное представление
18 Ска,1ярное комплексное поле
117
119
124
133
r JI а в а V. Векторное поле
19 Век roрное вещестяенное поле
20 Спин BeKTopHoro поля
21 Э.JеК1 fЮ'>lаrнитное ПО.1е
149
162
168
383
r Л А В А VI ОПИСАНИЕ ПОЛЕй НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИй
ПЕРвоrо ПОРЯДКА
22. Общие своЙства релятивистских волновых уравнеиий 178
23 Метод проективных операторов Д,lЯ уравнений свободноrо поля
в импульсном представлеиии \97
24, Дираковское поле . 2\9
25 Уравнения Даффина Кеммера 226
111
ВЗАИМОДЕЙСТВYIOЩИЕ ПОЛЯ
r Л А В А VIJ ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ
ВЗАИМОДЕйСТВУЮЩИХ ПОЛЕй
26 Основные преДПОСЬJJIКИ введеиия взаимодействия между полями 238
27 Взаимодействие скалярноro и электромаrнитноrо полей в ла-
rранжевом формализме 248
28 rрадиентная инвариантность в теории взаимодействующих полей 253
29 Лаrраижев формаJIIIЗМ для полей со спином 0,1/2,1, взаимо-
действующих с электромаrнитным полем 257
r Л А В А VIII МЕТОД ФУНКЦИИ rРИНА для РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИй
ВЗАИМОДЕйСТВУЮЩИХ ПОЛЕй
30 Уравнения движения и функция fрина 267
3\ Функции rрина уравнений Дирака и Даффииа Кеммера . 284
r Л А В А IX ПРОЦЕССы ЭЛЕ:к.ТРОМАrнитиоrо ВЗАИМОДЕйСТВИЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
32 Фнзическая интерпретация состояний частиц в рамках класси-
ческой теории ПО.1Я 292
33. Амплитуды и сечения процессов взаимодействия 294
34. Расчет некоторых конкретных процессов взаимодействия 327
ПРИЛОЖЕНИЯ
А б-функция Дирака и некоторые соотношения для функции fрина 347
Б Некоторые сведения из линейной а,lrебрL.! и теории матриц 352
В. Расчет квадратов модулей матричиых Э.lел!ентов З6З
r. Физическии смысл константы т в уравнениях взаимодействующих
дираковскоrо н элеКТРО:\lаrнитноrо полей 379
Основная литература . 382
Дополнительиая литература . 382
в книrе излаrаются в достаточно
доступной и компактной форме основы
классической теории волновых полей
частиц с различными спинами.
Подробно рассмотрены важнейшие
исходные принuипы, на которых
базируется построение общей теории
полей. Дано описание конкретных полей,
с{)поставляемых элементарным частицам
со спином О, 1/2 и 1. Оно включает в себя
использование релятивистских волновых
уравнений nepBoro порядка
с последующим применением
ковариантноrо подхода, . в основе
KOToporo лежит общий метод
проективных операторов. Изложена
классическая формулировка теории
взаимодействующих полей,
в рамках которой проведено описание
некоторых конкретных процессов
электромаrнитноro взаимодействия
элементарных частиц.
.rf.:"
' " " ,.... ·
ИЗДАТЕЛЬСТВО УРСС'
НАУЧНОЙ И УЧЕБНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
E mail: URSS@URSS.ru
Каталоr И'lданий
в /лtеmet: http://URSS.ru
Тел.lфакс: 7 (095) 135--44-ш23
Тел.lфакс: 7 (095) 135--42 46
2186 ID 17193
t JШltlllШ Ш Ш >
, ....с l'