Б. А. ВОЛЫНСКИЙ
СФЕРИЧЕСКАЯ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Под редакцией
Д. Н. ПОНОМАРЕВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977

54
В 70
УДК 514
АННОТАЦИЯ
В книге рассматриваются вопросы геометрии на
поверхности сферы, сферические двуугольники и
треугольники, а также соотношения между осно-
ными элементами сферических треугольников. Вы-
водятся формулы, связывающие стороны и углы
сферических треугольников, и приводятся способы
решения прямоугольных, косоугольных и узких сфе-
рических треугольников.
Книга представляет собой учебное пособие для
лиц, изучающих астрономию, геодезию и маркшей-
дерское дело, методическое пособие для преподава-
телей астрономии, а также может служить целям
справочно-прикладного характера при вычислитель-
ных работах по астрономии.
«λλλο ляя © Главная редакция
ammo voo ^ фиаико-математическоя литература
053(02)-77 издательства «Наука». 1977*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . » ♦ 5
Введение, Этапы развития сферической тригонометрии 7
Глава I
Элементы геометрии на сфере <·.*··** 11
£ 1. Сведения из геометрии сферы 11
| 2. Дуги и углы на сфере , . t 17
§ В. Измерение дуг и центральных углов . ♦ . . « 22
Глава II
Свойства сферического треугольника ...... 25
§ 4. Сферические треугольники. Свойства сторон и углов
сферического треугольника 25
§ 5. Полярные сферические треугольники . 30
§ 6. Соотношения между сторонами и углами сфериче-
ского треугольника .«.·,,.,. 34
§ 7. Равенство и симметрия сферических треугольников 33
Глдва III
Основные формулы сферической тригонометрии » ♦ , 43
§ 8. Формулы косинусов сторон и углов Ψ · · . * 43
§ 9. Формулы синусов .**,.,.... 48
§ 10. Формулы пяти и четырех элементов , . . , 52
§ 11. Формулы половинных углов и сторон , · . 55
§ 12. Формулы Деламбра и аналогии Непера . . . 60
§ 13. Прямоугольные и прямосторонние сферические тре-
угольники 64
§ 14. Площадь сферического треугольника .... 69
§ 15. Узкие и малые сферические треугольники ... 75
§ 16. Дифференциальные формулы сферической тригоно-
метрии 81

Глава IV
Решение сферического треугольника ·«.·.. 85
§ 17. Общие замечания о решении сферического треуголь-
ника .г····* 85
§ 18. Элементы вычислительной техники , ♦ . · * 90
§ 19. Приближенные решения сферического треугольни-
ка. . 92
§ 20. Общие случаи решения сферического треугольника 106
§ 21. Другие способы решения косоугольного сферическо-
го треугольника 118
§ 22. Решение прямоугольного сферического треугольника 122
§ 23. Построение треугодьнцков на сфере · . « * . 129
Задачи и упражнения ·«·..*·,.* 132
Литература 135
Приложение. Стереографическая сетка Вульфа (вкладка)

ПРЕДИСЛОВИЕ
Без знания основ сферической тригонометрии невоз-
можно решить многие задачи практической и сфериче-
ской астрономии, задачи геодезии и картографии. По-
этому в большинстве учебников и других книг по этим
предметам приводятся наиболее употребительные фор-
мулы сферической ^тригонометрии, а иногда π вывод
этих формул. С другой стороны, некоторые задачи тре-
буют более углубленного ананвя сферической тригоно-
метрии.
Цель настоящей книги — дать более подробное из-
ложение предмета и шире осветить общие вопросы ото
применения.
Книги по сферической тригонометрии издавались й
раньше [1] —[8], но последняя из них вышла н свет
в 1948 г. Эти книги не только полностью отсутствуют-
в продаже, но и являются редкостью во многих библио-
теках. Кроме того, во второй половине XX в, сущест-
венные изменения претерпело практическое приложе-
ние сферической тригонометрии. Все это вызвало необ-
ходимость в настоящем издании.
К глубокому сожалению, цо время подготовки руко-
писи к печати Борис Алексеевич Волынский скончал-
ся, й завершение работы легло на Д. Н. Пономарева,
которым написаны параграфы 2, 3, 17—23, а также
часть параграфов 6 и 15.
В то время как <;ам предмет сферической тригоно-
метрии почти не претерпел изменений, практическое
решение задач сферической тригонометрии значительно
изменилось; если в первой половине XX в. все вычис-
ления выполнялись с помощью логарифмов, то в наше
время никто ими не пользуется. Все вычисления ведут-
ся о помощью электронных счетных машин, как кла-
5

вишных, так и быстродействующих ЭВМ, либо, в край-
нем случае, с помощью арифмометров. Это повлекло за
собой изменение вычислительных схем и вида формул,
выбранных для определения того или иного элемента
сферического треугольника. Поскольку все упомянутые
книги по сферической тригонометрии основное внима-
ние обращали на вычисления с логарифмами и на
приведение формул к виду, удобному для логарифмиро-
вания, автор и редактор сочли целесообразным сосредо-
точить все внимание на вычислениях с помощью элект-
ронных клавишных машин или арифмометров. Алго-
ритмы и формулы, приведенные в книге, вполне при-
годны для программирования вычислений на быстродей-
ствующих ЭВМ.
Другое отличие предлагаемой» книги заключается в
следующем. Авторы наиболее употребительных учебни-
ков по сферической тригонометрии [7], [8] излагают
только вопросы вычисления точного значения элементов
сферических треугольников, хотя во многих практиче-
ских · случаях требуется приближенное или быстрое
определение этих элементов. Поэтому в книгу включе-
ны описания приближенных методов решения сфери-
ческих треугольников (с точностью 1°—2°) с помощью
стереографической сетки и построения сферических тре-
угольников па сфере.
Поскольку предметом изложения является собствен-
но сферическая тригонометрия, конкретные задачи той
или иной отрасли науки (например, перевод систем
координат, определение моментов и точек восхода и за-
хода, определение угловых расстояний между пункта-
ми на земном шаре и т. п.) не рассматривались. Но чи-
татель, пользуясь общими приемами, изложенными в
книге, может сам решить ту или иную частную задачу.
Поскольку задачи сферической тригонометрии носят
общий характер и переходят из книги в книгу, автор
счел возможным привести в качестве задач и упражне-
ний несколько примеров, уя*е встречавшихся в литера-
туре [1] — [10].
Большую помощь при подготовке рукописи к изда-
нию оказал проф. Е. А. Гребеников.

ВВЕДЕНИЕ
Этапы развития сферической тригонометрии
Сферическая тригонометрия есть раздел сфериче-
ской геометрии, в котором изучаются метрические
свойства сферических треугольников и методы их ре-
шения. Сферический треугольник является элементар-
ной фигурой, к которой приводится сферический много-
угольник разбиением его на части.
Сферическая тригонометрия возникла и развилась
из потребностей астрономии, частью которой она пер-
воначально и была в науке древности и средневековья.
Новый стимул ее развития появился в XVII в. в связи
с запросами мореплавания и задачами геодезии и кар-
тографии.
Изучая видимые движения небесных светил, астро-
номы древности рассматривали их происходящими на
небесной сфере (что в качестве методического приема
сохраняется и в наше время), окружающей Землю и су-
ществующей в действительности. Древнегреческий ма-
тематик Евдокс Кпидский (IV в. до н. э.) разложил на-
блюдаемые движения Солнца, Луны, планет и звезд
на простейшие составляющие и качественно представил
их кинематику с помощью 27 концентрических сфер,
равномерно вращающихся вокруг осей, проходящих че-
рез центр Земли и пересекающихся под разными угла-
ми друг с другом.
Великий астроном древности Гиппарх (II в. дон. э) в
своем тракхате «Феномена» одним из первых положил
начало учению о сфере, рассмотрев замечательные точки
и круги небесной сферы, а также составив таблицу вели-
чин хорд окружности (по современной терминологии —
удвоенных синусов), необходимых для выполнения чи-
7

сленных расчетов на сфере. Менелай Александрийский
(I в. н. э.) в своих книгах «О вычислении хорд» (кото-
рая до нас не дошла) и «Сферика» рассматривает пред-
мет сферической тригонометрии п, в частности, вопро-
сы о равенстве и неравенстве углов и сторон в одном
или двух сферических треугольниках столь же подроб-
но, как это делает Евклид для плоских треугольников.
Клавдий Птолемей (Н в. н. э.) в известном труде
«Альмагест» дает доказательство нескольких теорем
о сферических треугольниках и приводит новую табли-
цу хорд окружности, вычисленную через 0°,5 централь-
ного угла в интервале от 0° до 180°, величины которых
представлены в 60-д долях диаметра круга; Но здесь
н заканчивается развитие сферической тригонометрии
в античной науке.
В средние века ведущая роль в развитии точных
наук перешла к арабским ученым. Багдадский матема-
тик Аль Баттани (850—929) уже пользуется тригоно-
метрической функцией «синус» (впервые примененной
индийским математиком Арьябхаттой около 500 г. н. э.)
вводит новую тригонометрическую функцию — тангенс
й дает вывод так называемой основной формулы сфе-
рической тригонометрии: формулы косинуса сторон
сферического треугольника.
Известный арабский астройом Абу-ль-Вефа (939—
998) усовершенствовал приемы вычислений синусов и*
тангенсов и дал доказательство важной теоремы о со-
отношениях меяеду синусами углов и синусами сторон
сферического треугольника (теоремы синусов).
Азербайджанский математик Насирэддин Туей
(1201—1274) впервые излагает сферическую тригономет-
рию уже как самостоятельную научную дисциплину.
Оп решает задачу об определении сторон сферического
треугольника по данным трец его углам, пользуясь по-
строением вспомогательного треугольника, полярного
данному (теорема о полярных треугольниках не стала
известной в Европе и была в XVII в. открыта незави-
симо).
Подобно тому как это имело место в античной нау-
ке, все зависимости между сторонами и углами сфери-
ческого треугольника, полученные арабскими учеными,
не выражались символами, а облекались в геометриче-
скую форму.
8

В эпоху Возрождения (XIV—XVI вв.) центр науч-
ной деятельности перемещается в Европу. Здесь разви-
тие сферической тригонометрии значительно ускори-
лось на фоне общего подъема производительных сил и,
в частности, благодаря изобретению книгопечатания,
логарифмов и десятичных дробей (XV—XVI вв.).
Первыми из европейских математиков вопросами
сферической тригонометрии занимались Пурбах
(1423—1461) и Региомонтан (1436—1476). Пурбах вы-
вел некоторые формулы для решения сферических тре-
угольников и вычислил новую таблицу синусов через
10' угда. Более значительный вклад в развитие сфери-
ческой тригонометрии внес Региомонтан. В 3-й и 4-й
книгах его труда «Пять книг о различного рода тре-
угольниках» он излагает сферическую тригонометрию
как самостоятельную науку. Опираясь на греческие π
арабские источники, Региомонтан развивает теоремы
синусов и косинусов и рассматривает различные случаи
решения сферических треугольников. Им были вычис-
лены также таблицы синусов через 1' (Региомонтан
принимал sin 90° = 60 000) и тангенсов, представлен-
ных в десятичном счислении (полагая tg 45°= 100 000).
Эти книги * Региомонтана, опублпкованпые Шёнером
лишь в 1533 г., π таблицы, опубликованные в 1§41 г.,
послужили основой для дальнейшего развития сфери-
ческой тригонометрии в Европе и легли в основу мно-
гих астрономических вычислений.
Второй важной работой Региомонтана, напечатан-
ной в 1474 г., были «Эфемеридыт), содержавшие коор-
динаты Солнца, Луны и пяти планет на каждый день
года в период с 1475 г. по 1506 г. Это был первый пе-
чатный астрономический календарь, которым пользо-
вались Колумб (1451—1506), Америго Веспуччи
(1451-1512) и Коперник (1473-1543).
В XVII в. шотландский математик Непер (1550—
1617) вывел своп знаменитые аналогии — формулы оп-
ределения двух углов сферического треугольника по
тангенсам через синусы или косинусы противолежащих
им сторон и котангенсу третьего угла и для определе-
ния двух сторон сферического треугольника по их тан-
генсам через синусы или косинусы противолежащих
им углов и тангенсу третьей сторопы. Позже голланд-
ский геодезист Снеллиус (1580—1626) заново обосно-
Θ

вал понятие о полярных сферических треугольниках и
доказал ряд теорем о них, давших вычислителям удоб-
ные методы для решения многих задач сферической
тригонометрии.
Современный вид придал сферической тригономет-
рии Эйлер (1707—1783). Установленное им «ограниче-
ние», состоящее в рассмотрении лишь таких сфериче-
ских треугольников, стороны и углы которых меньше
180°, упорядочивает основания сферической тригоно-
метрии и упрощает ее формулы. Французский астроном
и геодезист Деламбр (1749^1822) получил четыре важ-
ные формулы, дающие выражения для синусов и коси-
нусов полусумм и полуразностей двух углов сфериче-
ского треугольника через синусы и косинусы-противо-
лежащих им сторон и половинных значений третьего
угла* Формулы эти, независимо выведенные также Га-
уссом (1777—1855), служат вместе с аналогиями Не-
пера рабочими формулами для решения сферических
треугольников.
В практических приложениях сферической триго-
нометрии важную роль играет теорема Лежандра
(1752—1833), в соответствии с которой решение малых
сферических треугольников (стороны которых незна-
чительны в сравнении с радиусом сферы) без потери
точности можно производить по формулам плоской три-
гонометрии.
Французский математик' Модюи (1731—1815) сфор-
мулировал простые π удобные мнемонические правила
для решения прямоугольных сферических треугольни-
ков. Наконец, Люилье (1750—1840) и KaHbojyi разра-
ботали пзящпые одночленные формулы для вычисле-
ния эксцесса сферического треугольника и функции его
сторон, необходимого для определения его площади.
В XX в. применение сферической тригонометрии
значительно.расширилось благодаря усовершенствова-
нию программированных вычислительных схем и соз-
данию электронных вычислительных машин. В настоя-
щее время сферическая тригонометрия находит приме-
нение во многих отраслях науки и техники. Ее выво-
дами широко пользуются в астрономии, геодезии,
картографии, географии, маркшейдерии, мореплавании,
авиации и космонавтике.

ГЛАВА I
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЙ НА СФЕРЕ
§ 1. Сведелпя из геометрии сферы
Сфера представляет собой геометрическое место то-
чек в прострайстве, равноудаленных от некоторой точ-
ки, называемой ее центром, Часть пространства, заклю-
ченная внутри сферы, образует фигуру шара. Отрезок
прямой, соединяющий центр сферы с любой из ее то-
чек, называется радиусом, а отрезок црямой, проходя-
щий через центр сферы и соединяющий две ее точки,
называется диаметром сферы,
Гпс. 1.
Всякое сеченио сферы плоскостью является окруя;-
постыо. Пусть в пересечении сферы плоскостью К по-
лучилась некоторая замкнутая кривая линия (рис. 1).
11

Обозначив через С основание перпендикуляра, опущен-
ного из центра сферы О на плоскость К, и выбрав на
линии сечения две произвольные точки Ои£, соеди-
ним пх прямыми с точками О и С. Поскольку линии
CD и СЕ лежат s плоскости К, то CD±OC и СЕ1.0С.
Линии ОЕ и OD равны, так как являются радиусами
сферы. Поэтому треугольники OCD и ОСЕ прямоуголь-
ные и равны между собой. Из этого построения выте-
кает, что CD=CE, т. е. что точки D и Ε замкнутой
кривой ADEB паходятся на равных расстояниях от
точкп С секущей плоскости К} а значит, линия сечения
представляет собой геометрическое место точек, равно-
удаленных от точки С, т. е. окружность с центром
в точке С.
Если R — радиус сферы, г — радиус окружности се-
чения и d — длина перпендикуляра ОС, опущенного из
центра О сферы на секущую плоскость Ку то в каждом
из равных между собою прямоугольных треугольников
будем иметь
r = VR*-d\ (1)
Формула (1) показывает, что с изменением расстояния
d секущей плоскости от центра сферы изменяется так-
же и радиус г окружности сечения. Чем дальше от цен-
тра О сферы располагается секущая плоскость К, тем
меньше радиус г окружно-
сти сечения, В частности,
при d = R окружность се-
чения обращается в точку,
а секущая плоскость пре-
вращается в плоскость, ка-
сательную к сфере.
С приближением секу-
щей плоскости к центру О
сферы радиус г окружно-
сти сечения будет увели-
чиваться. Когда же секу-
щая плоскость пройдет че-
рез центр О сферы, ради-
Рис. 2. ус г окружности сечения
станет равен радиусу R
сферы. Такое сеченпо называется сечением по большое
му кругу сферы. Все окружности больших кругов дан-
12

ной сферы, как окружности одного и того же радиуса Я,
равны друг другу.
Все окружности, лежащие в плоскостях сечений,
не проходящих через центр О, называются окружностя-
ми малых кругов. Малые круги равны между собою,
если содержащие их плоскости сечений одинаково уда-
лены от центра О. Круги сечений, плоскости которых
параллельны между собой, например PFP\G и ADEB
(см. рис, 1), называются параллельными кругами.
Если из центра О сферы восставить к плоскости
ACBD одного из ее больших кругов перпендикуляр, на-
зываемый осью этого круга, то при неограниченном
продолжении его в обе стороны ,он пересечет сферу
в двух диаметрально противоположных ее точках Ρ
и Pi, называемых полюсами окружности данного боль-
шого круга (рис. 2). Очевидно, что оба полюса, Ρ и Р\,
лежат на концах одного и того же диаметра сферы и
находятся на одинаковых угловых расстояниях от всех
точек окружности ACBD большого круга, называемой
их полярой или экватором. Так как все душ РЛ, РСЛ
РВ, PD, Р\А, РХС, Р\В, PXD и др. окружностей больших
кругов стягивают каждая прямой угол с вершиной в
центре О сферы, то угловое расстояние каждой из то-
чек поляры от ее полюсов составляет -у или 90°.
Так как окружность ACBD (см. рис. 2) большого
круга отстоит от обоих полюсов Ρ π Pi на равных угло-
вых расстояниях, то она делит пополам все окружности
больших кругов (меридианы), проходящие через полю-
сы Ρ и Pi сферы. Отсюда следует, что каждая окруж-
ность большого круга разделяет сферу на две равные
части. Все окружности РАР\В, PCP\D и др. больших
кругов, проходящие через оба полюса Ρ π Pi сферы,
перпендикулярны к экватору ACBD этих полюсов, по-
скольку они лежат в плоскостях, содержащих ось РРь
по построению перпендикулярную к плоскости боль-
шого круга, содержащего поляру. Наоборот, если по-
строить ряд больших кругов, перпендикулярных к ка-
кому-либо большому кругу, то все они будут проходить
через полюсы этого большого круга. Так как СРАЖАВ,
то дуга СР является сферическим перпендикуляром
к дуге АВ, точка С которой является основанием сфе-
рического перпендикуляра.
13

Известно, что через три точки пространства, не ле-
жащие на одной прямой, можно провести плоскость
и притом только одну. Проведем через две точки Α π Ζ),
лежащие на сфере, и ее центр О плоскость (рис. 3).
Всякая плоскость, проходящая через центр сферы, пе-
ресекает сферу, образуя на ней окружность большого
круга. Следовательно, дуга AD на сфере есть дуга/
Рпс. 3.
окружности большого круга. Так как через три точ-
ки A; D π О проходит лишь одра плоскость, то лерез
две точки сферы А и D проходит лишь одна окруж-
ность большого круга. Если же такие точки лежат на
концах одного диаметра сферы (например, точки А и
В), то все три точки А, В и О будут находиться на од-
ной прямой π через них можно провести бесчисленное
множество плоскостей. Таким образом, подобно тому
как через две точки плоскости можпо провести прямую
и притом только одну, так и через две точки на сфере
(не лежащие на концах одного и того же диаметра)
можно провести.дугу окружности большого круга и
притом только одну. В геометрии доказывается, что
дуга окружности большого круга (меньшая 180°) есть
кратчайшее расстояние между двумя точками оферы.
Окружность ADE малого круга па сфере (частью
которого является* дуга AD) (рпс. 4) является геомет-
рическим местом точек, равноудаленных от некоторой
точки В сферы, называемой сферическим центром или
полюсом этого малого круга, в отличие от его центра С
14

как плоской фигуры. Расстояние на сфере, т. е. дуга
А В окружности ее большого круга, от сферического
центра В до любой точки А окружности данного мало-
го круга называется сферическим радиусом р.
Если R — радиус сферы, г — линейный и ρ — сфе-
рический радиусы окружности ADE малого круга на
сфере, а φ — угол между радиусами сферы, проведен-
ными пз ее центра О к сферическому центру В и любой
точке А окружности ADE, то длина этой окружности
будет равна
L = 2яг = 2лД sin φ. (2)
Как известно, площадь сферы радиуса R равна
S = 4лД2. (3)
Часть сферы, заключенная между двумя параллель-
ными плоскостями, ее рассекающими, называется4 сфе-
рическим поясом. Если же одна пз этих плоскостей не
рассекает сферу, а является касательной к ней, то часть
Рпс, 4.
сферы, находящаяся между параллельными плоскостя-
ми, является сферическим сегментом. Площади поверх*
ностей сферического сегмента π сферпческого пояса
пропорциональны их высотам (расстояниям между
плоскостями сечений) и не зависят от положения этих
фигур на сфере:
Sh=2nRH, (4)
15

где Л —радиус сферы и H=BC=R—OC есть высота
сферического сегмента или сферического пояса (см.
рис. 4).
Площадь сферического сегмента высотой Η = ВС
в выражении через сферический радиус ρ ==. АВ ма-
лого круга ADE равна
5А=2яЯ#=2яЯ(Д—R cos'p) =
= 2πΛ2(1 - cos ρ) = inR2 sin2 -|% (5)
Площадь сферического пояса между окружностямп
большого круга и параллельного ему малого круга мож-
но представить как разность площадей полусферы π
сферического сегмента:
2лД2 — 2jtfl2(l-cos ρ) = 2лД2 cos p. (6)
Так как угол в 1 радиан стягивается дутой окруж-
ности большого круга сферы, равной ее радиусу Я, то
Таблица 1
Плоскость
Прямая линия
| Между двумя точками про-
ходит только одна прямая
Прямая есть кратчайшее
расстояние между двумя
точками
Две прямые пересекаются
только в одной точке
Кривая линия
Сфера
Дуга окружности большого
круга на сфере
Между двумя точками про-
ходит только одна дуга ок-
ружности большого круга,
если эти точки не лежат на
концах одного диаметра
Дуга окружности большого
круга, меньшая 180е, есть
кратчайшее расстояние меж-
ду двумя точками
Две дуги окружностей боль-
ших кругов, меньшие 1809,
пересекаются только в одной
точке
Дуга окружности малого
круга
R° = -Tgp = 57°,3, а площадь квадрата на сфере со сто-
роной R° равна (R0)2 «= ("gf* J квадратных градусов,
16

Поэтому площадь сферы содержит S = 4л (Й°)2 =
—4ш-^-Г = 41252,96 квадратного градуса.
В заключение параграфа мы приводив ряд аналогий
между понятиями, относящимися к плоскости и к сфе-
ре, полезных при изучении сферической тригономет-
рии (табл. 1).
§ 2. Дуги и углы на сфере
В сферической тригонометрии рассматриваются
только такие фигуры, которые образованы дугами
больших кругов, поэтому здесь и далее в тексте под
словом «дуга» подразумевается отрезок дуги большого
круга. В тех случаях, когда речь идет о дуге малого
круга, это должно быть специально оговорено. Длина
дуги пропорциональна величине центрального угла, т. е.
угла, описываемого концом радиуса при перемещении
от одного конца дуги до ее другого конца, поэтому дуга
Рис. 5.
на сфере измеряется величиной угла между радиусами,
опирающимися на концы этой дуги.
Как правило, в сферической тригонометрии, по
предложению Леонарда Эйлера, рассматриваются толь-
ко те дуги, длина которых равна или менее половины
2 Б. А. Волынский
17

длины окружности. Это правило носит название «огра-
ничения Эйлера».
Рассмотрим сферу с центром в О (рис. 5). Пусть
есть две дуги, образованные сечением сферы плоско-
стями Μ и Ν, пересекающимися по диаметру РР\. Пло-
скости Μ η Ν образуют между собой двугранный угол ε,
измеряемый в плоскости К, перпендикулярной к линии
пересечения этих плоскостей. Так как линией пересе-
чения плоскостей Μ я N является диаметр сферы РР\,
а выбор точки, через которую проходит секущая плос-
кость, произволен, то мы можем совместить точку пе-
ресечения с одним из концов диаметра РР\ или с цент-
ром сферы О. В первом случае двугранный угол между
плоскостями будет равен углу между касательными к
дугам, образованным пересечением сферы этими пло-
скостями, во втором — центральному углу между дуга-
ми в плоскости поляры, полюсы которой совмещены с
точками Ρ и Pi. Поскольку и центральный угол и угол
Рис. 6, Рпс. 7.
между касательными к дугам в точке Ρ есть двугран-
ный угол между плоскостями Μ π iV, говорят, что угол
между дугами на сфере равен углу между касательны-
ми к этим дугам в точке их пересечения.
Две дуги, ВВ\ и СС\У пересекаясь в точке А на сфе-
ре, образуют сферический угол CAB. Тогда А является
его вершиной, а дуги АВ и АС — сторонами сфериче-
ского угла. Величина сферического угла измеряется
углом между касательцыми МА и NA к сторонам сфе-
18

рического угла CAB в точке их пересечения, т. е. в
вершине сферического угла (рис» 6).
Теорема. Сферический угол ВАС (рис. 7) измеряет-
ся дугой ВС, заключенной между его сторонами, для
которой вершина угла А является полюсом:
сфер. UBAC = ^ВС.
Доказательство. Продолжим дуги АВ и АС до
их пересечения в точке А\, Так как дуги АВА\ и АСАХ
являются дугами больших кругов, то точки А и А\ ле-
жат на одном диаметре АО А и представляющем линию
пересечения плоскостей АВА\ и АСА\> Эти плоскости
образуют двугранный угол, который мы назовем соот-
ветствующим сферическому углу ВАС.
Проведем касательные МА и NA к сторонам сфери-
ческого угла АВ и А С в его вершине А. По свойству
касательных они лежат в плоскостях больших кругов
АВАХ лАСАх и
AMJLAAU AN±AA{.
Построим плоскость OCBD, перпендикулярную к
диаметру АА\ π проходящую через центр сферы О.
Пересечение этой плоскость*о сферы даст большой круг
BCD, для которого точки А и А\ являются полюсами.
Этот круг пересечется с дугами АВА\ и АСАХ в точ-
ках В и С. По построению ОВЛ-АА\ и ОС А-ААи Та-
ким образом, угол ВОС также будет плоским углом дву-
гранного угла MAA\N, а так как все плоские углы дву-
гранного угла конгруэнтны, то 4LB0C = 2-М AN *=
= сфер.АЯ4С.
Так как угол ВОС есть центральный угол дуги ВС,
то /—ВОС = \jBC, и мы можем написать:
сфер. Z.BAC = ^ВС,
что и требовалось доказать.
Эта теорема имеет несколько следствий.
Следствие 1. Сферический угол и соответствую-
щий ему двугранный угол имеют одну и ту же меру.
Доказательство. Так как мерой двугранного
угла является действительное число, равное мере каж-
дого его плоского угла, то можно написать:
Δ.ΜΑΑΧΝ = Ζ-ΜΑΝ = ΔΒΟ0 = сфер. А.ВАС,
2*
19

но, согласно теореме, сфер. ZJBAC = <иВС п, следова-
тельно,
ZJIAAXN = kjBC.
Следствие 2. Дуга большого круга, проходящая
через полюс какого-либо другого большого круга, пер*
пендикулярна к этому большому кругу, т. е.
vAB _L vBC.
Доказательство. По построению плоскость
CBD перпендикулярна к прямой АА\ в точке О. В сте-
реометрии доказывается, что если какая-либо прямая
перпендикулярпа к данной плоскости, то и каждая
прямая, лежащая в этой плоскости и проходящая через
точку пересечения, перпендикулярпа к данной прямой.
Плоскость CBD содержит прямую СО, пересекающуюся
с Л О, и поэтому прямая СО перпендикулярна к прямой
АО. Поэтому плоскость АСА\, содержащая прямую АО,
перпендикулярна к плоскости CBD. Следовательно,
двугранный угол АСОВ, составленный этими плоско-
стями, есть прямой угол, и сферический угол ABC, со-
ответствующий этому двугранному углу, также прямой,
а это означает, что kjAB _L kjCB.
Так как плоскость АСА\, содержащая прямую АА\,
была выбрана нами произвольно, то этим свойством об-
ладает любая плоскость, содержащая прямую АА\, и,
следовательно, любая дуга большого круга, проходя-
щая через полюс А, перпендикулярна к дуге большого
круга CBD.
Если угол между дугами АВ и СВ — прямой, то ду-
га АВ называется сферическим перпендикуляром к ду-
ге СВ.
Следствие 3, Сферический перпендикуляр к
данной дуге большого круга проходит через полюс это*
го большого круга.
Доказательство. Прямая ОВ лежит в плоско-
сти CODB, которая перпендикулярна к прямой ААи
Через две прямые АО и ОВ, пересекающиеся в точке О,
проводим плоскость АОА\В. Эта плоскость перпендику-
лярна к плоскости CODB. В пересечении со сферой
плоскость образует дугу большого круга АВА\. Соглас-
но следствию 2 дуга, проходящая через полюс какого-
либо другого большого круга, перпендикулярна к это-
му большому кругу, что и доказывает следствие 3.
20

Следствие 4 Вертикальные сферические углы
конгруэнтны.
Доказательство. Два сферических угла назы-
ваются вертикальными, если стороны одного из них
являются продолжением дуг, образующих стороны дру-
гого сферического угла. Например, на рис. 6 сфериче-
ские углы ВАС и В\АС\ являются вертикальными
углами.
Продолжим касательные AM и AN в противополож-
ном направлении. Они образуют лучи АМХ и ANX, ко-
торые составляют плоские вертикальные утлы MAN
и MxANh которые, по определению, равны: ΔΜΑΝ =
= 2-M\AN\. Но угол MAN является мерой сферическо-
го угла ВАС, а угол MXANX — мерой сферического угла
В\АС\, т. е.
сфер. /-BAC=£.MAN и сфер. Л-ВХАСХ = ΔΜΧΑΝΧ.
Следовательно,
сфер. АМАС = сфер. £ЯХАСХ.
Следствие 5. Смежные сферические углы равны
в сумме двум прямым.
Доказательство. Смежными сферическими уг-
лами называются такие сферические углы, которые име-
ют общую вершину и одну общую сторону, причем дру-
гие стороны лежат на одном большом круге. Например,
на рис. 7 сферические углы ABC и ABD являются
смежными углами.
Из рисунка видно, что дуга АС является мерой сфе-
рического угла СВА, а дуга AD — мерой сферического
угла ABD, т. е.
сфер. А.АВС = kjAC и сфер. ΔΛΒΩ = kjAD.
Складывая правые и левые части этих равенств, на-
ходим
сфер. /LABC + сфер. AABD = kjCA + <uAD = kjCD.
Но дуга CD есть половина окружности большого круга
и ее длина является мерой суммы двух сферических
углов ABC и ABD^ следовательно, сумма этих двух
углов равна двум прямым, что и требовалось доказать.
21

§ 3· Измерение дуг и центральных углов
Для измерения длин дуг и соответствующих им цен-
тральных углов применяются следующие единицы:
1) Радиан — центральный угол, опирающийся на
дугу, длина которой равпа одному радиусу. Так как от-
ношение длины окружности к длине радиуса равно 2π,
то окружность содержит 2π дуг, длина которых равна
по длине радиусу сферы. Число π равно 3,1415926536...
Хотя число π вычислено с помощью электронных вы-
числительных машин с количеством знаков, достигаю-
щим нескольких сотен знаков после запятой, практиче-
ские вычисления никогда не требуют в числе π более
десяти значащих цифр поело запятой. Углы меньше од-
ного радиана выражаются в десятичные долях радиана,
Раднанная мера пепользуется преимущественно в
теоретических выкладках и -аналитических формулах.
2) Градус — центральный угол, соответствующий
дуге в 1/360 часть окружности. Градус (с) делится на
60 минут ('), минута делится па 60 секупд ("), Иногда
доли градуса измеряются десятичными долями.
Градусная мера наиболее широко используется в
естествознании и технике.
Градусная и радианпая меры связаны между собой
следующими соотношениями:
1 радиан = г = 57°,29577951 =
= З437',746771 = 206264",80625;
1° = 3600" = 0Г,01745329, V = 60" =
= Or,Q0029089, 1" = 0Г,000004848.
3) Час — центральный угол, соответствующий дуге
в 1/24 часть окружности. Час (ь) делится на 60 ми-
нут (т), минута делится па 60 секунд (а).
Часовая мера используется тогда, когда вычисления
связаны с вращением Земли и счетом времени. Для раз-
личия единиц часовой и градусной мер часто поясняет-
ся: «минута дуги» — в градусной мере или «секунда
времени» — в часовой мере.
Часовая д градусная меры связаны соотношениями:
1° = 4й, lh = 15°,
γ = /д г = 15\
1" = 08,066..,, Is = 15",
22

4) Град — центральный угол, соответствующий ду-
ге в 1/400 часть окружности. Град (*) делится на сто
соток (с), а сотка в свою очередь еще на сто частей (сс).
Исчисление углов в градах предполагалось приме-
нять для замены сложной шестидесятерпчной градусной
системы десятичной системой. Был выпущен ряд ин«
струментов, оцифрованных в градах, но эта система
широкого распространения не получила.
10* = 9°; Iе = З',6; 1сс = 0",324.
5) Тысячная, или артиллерийское деление — цент-
ральный угол, соответствующий дуге в 1/6000 часть ок-
ружности. Принимая π равным 3, в этой системе счи-
тают радиан равным 1000 артиллерийских делений
/ " 6000 Пс- о „ч
(вместо -£jj- = У55 артиллерийских делении), поэтому
деление артиллерийского угломера называют «тысяч-
ной», подразумевая единицу, составляющую 0,001 ра-
диуса.
Таблица 2
Величина
угла
Радиан
Градус
Град
Час
Арт. деле-
ние
Мера угля |
| η радн-
1 анах
1
π
180
π
200
π
12
π
3000
I в граду-
| сах
57°,3
1*
«f
15°
0°,06 =
=3'.6
| в градах
63*,<>
18
"? i
Ιβτ
15
1 в часах
3\82
15
0h,06=3ra,6
1*
0h,004=
= i4*A_
1в арт. да-|
1 лениях
955^100
1G3
15
250
1
Эта система счета применяется в артиллерии, где
она удобна для быстрых приближенных определений
линейной величины предмета h или расстояния до
предмета L, если измерена угловая величина предмета
α в артиллерийских делениях. Величины ft, i иа свя-
заны простым приближенным соотношением
L = 1000 Λ/α,
23

Таблица 3
Мера угла
В прямых
углах
В радианах
В градусах
В градах
В часах
В арт. деле-
ниях
Величина угла |
полный
угод
(окруж-
ность)
ы
2π
360°
400g
24Q
6000
[разверну-
тый угол
(полуок-
ружность)
2d
π
180°
200я
12й
3000
и
6>5
d
π/2
90°
100g
6h
1500
треть раз-
вернутого
угла
π/3
60°
662/з*
4й
1000
четвертая
развер-
нутого
угла
π/4
45°
50*
3й
750
шестая
разверну-
того угла
h
π/6
30°
33V8s
2h
500
что позволяет просто и быстро определять расстояние
до цели,
В естествознании эта система практически не при-
меняется.
Соотношение различных систем и выражение неко-
торых: основных углов в различных угловых единицах
(прямой угол обозначается d) приводятся в табли-
цах 2 и 3.

ГЛАВАИ
. СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
§ 4. Сферические треугольники. Свойства сторон
и углов сферического треугольника
Часть сферы, заключенная между двумя полуокруж-
ностями ее больших кругов, пересекающимися на кон-
цах А ш Ai одного и того же диаметра, образует фигу-
ру, называемую сферическим двуугольником (рис. 8).
Сферический двуугольник есть простейшая'фигура, су-
ществующая на сфере. Его можно рассматривать и ,как
часть сферы, содержащуюся между дугами полуокруж-
ностей АЕАХ и AFA\ больших кругов, образующихся
на сфере в .результате пересечения ее грайями двугран-
ного угла, ребро которого совпадает с диаметром АА\
сферы, а грани содержат
точки1 Ε и F. Стороны
АЕА\ и AFA\ сферическо-
го двуугольника, состав-
ленного полуокружностя-
ми больших кругов, равны
180° каждая.
Часть-сферы ABC, за-
ключенная между тремя
пересекающимися дугами
окружностей ее больших
кругов, называется сфери-
ческим треугольником.
Точки пересечения дуг,
образующих сферический
треугольник, называются вершинами сферического тре-
угольника и обозначаются заглавными буквами Л,-5, С,
Рис. 8.
25

тогда к£к противолежащие им дуги, заключенные каж-
дая между двумя вершинами, ■ называются сторонами
сферического треугольника и обозначаются одноимен-
ными малыми буквами а, Ь, с.
Сферический треугольник ABC можно также рас-
сматривать как часть сферы, ограниченную дугами
а, &, с окружностей ее больших кругов, полученных при
пересечении сферы гранями трехгранного угла OABCf
вершина О которого совпадает с центром сферй, а гра-
ни содержат плоские дуги а, Ь, с, образующие стороны
сферического треугольника ABC (рис. 9).
Так как сферический угол и соответствующий ему
двугранный угол имеют одну и ту же меру, то двугран-
ные утлы трехгранного угла ОАВС служат мерой углов
сферического треугольника ABC при его вершинах,
а плоские углы а, 6, с того же трехгранного угла ОАВС
являются мерой его сторон. Поэтому как углы Л, В, С,
так и стороны а, Ь, с сферического треугольника изме-
ряются в угловой taepe, градусной или радианной. Отме-
ченная сейчас связь между
трехгранным углом и сфери-
ческим треугольником, ему
соответствующим, приводит
к заключению, что теоремы,
доказываемые в стереомет-
рии для трехгранных углов,
остаются справедливыми и
для сферических треугольни-
ков, что позволяет вывести
основные свойства сфериче-
ских треугольников.
Чтобы совокупность дуг
и углов на сфере могла об-
разовать сферический тре-
угольник, необходимо, чтобы -были соблюдены опре-
, деленные соотношения, составляющие условия су-
ществования сферического треугольника. Таких ус-
ловий шесть. Здесь мы докажем три из них,
четвертое доказывается в § 5, пятое и шестое — в § 6;
Из стереометрии известно, что каждый .плоский
угол трехгранного угла меньше суммы и больше разно-
сти двух других его плоских углов. Отсюда непосредст-
венно следует:
Рис. 9.
20

1. Любая сторона сферического треугольника мень*
ше суммы и больше разности двух других сторон^ т, е.
а + Ь > с, Ь + с> а,, с + а > Ь; (7)
b > а — с, а> b — с, с> b — а. (8)
Прибавив к обеим частям второго неравенства (7) а,
будем иметь а + Ъ + с > 2а, а разделив обе части
вновь полученного неравенства на 2, получим
*±}±i>e, (9)
т, е. половина суммы сторон (или полупериметр\ сфе-
рического* треугольника всегда больше любой из его
сторон. Так как в трехгранном угле сумма его плоских
углов больше 0 и меньше 360°, то для периметра
сферического треугольника является обязательным
условие:
2. Сумма сторон сферического треугольника болыае
нуля и меньше 360°, т. е.
0 <а + Ь + с< 360°. (10)
Иными словами, если мы будем уменьшать стороны
сферического треугольника, то в пределе он исчезнет,
превратится в точку и сумма его сторон обратится
в нуль, С другой стороны, если увеличивать стороны
сферического треугольника, то в пределе он превратит-
ся в окружность большого круга,, сумма его сто-
р(*н будет стремиться к 360°, и в пределе он также ис-
чезнет, т. е. сферический треугольник может существо-
вать только при выполнении условия (10).
Из геометрии также известно, что сумма двугран-
ных углов трехгранного угла всегда больше 180°, но
меньше 540°, поэтому для суммы углов сферического
треугольника будет обязательно условие:
3. Сумма углов сферического треугольника больше
180° и меньше 540°, т. е.
180° < А + В + С < 540°, (И)
Превышение суммы углов сферического треугольника
над 180° называется его эксцессом или сферическим из-
бытком и обозначается буквой е;. отсюда имеем
ε = Α +Β + С- 180°. (12)
- 27

Приведенные соотношения (7) — (11)* вместе с*со-
отношениями (16) (§ 5), представляют собой условия
возможного существования сферического треугольника.
Если фигура на сфере является сферическим треуголь-
ником, она должна одновременно удовлетворять всем
этим условиям.
Сферические углы α могут быть острыми (а < 90°),
прямыми (а = 90°) π тупыми (90° < а < 180°) π да-
же большими * 180°. Дуги окружностейГ А \ А % и
В\В2 двух больших кругов, пересекаясь между собой
в точке С сферы, образуют при ней четыре сферических
угла (рис. 10). Так как сферический угол измеряется
плоским углом между касательными, проведенными че-
рез его вершину, то сумма всех углов при вершине С
равна
•ΔΑ хСВх +' Z-BiCA2 + Z-A2CB2 + /-В2САХ = 360°,
Сумма двух'смежных углов равна двум прямым:
jLAxCBx + АЛХСВ2 = /_ВХСА2 + А.А2СВ2 =ч
= LA2CB2 + ZJ32CA, = £АХСВХ + AJBXCA2 = 180°.
Вертикальные углы, как и обычно, равны между собой:
А.АХСВХ = £.А2СВ2 и L.AXCB2 = £А2СВХ.
Построенный нами сферический треугольник ABC за-
нимает меньшую часть сферы. Большая ее часть также
представляет собой сферический треугольник, стороны
которого а, Ь, с являются общими со сторонами мень->
шего треугольника ABC, а утлы равны дополнениям
углов построенного треугольника до 360°.
В § 1 было доказано, что через две точки-Л и В сфе-
ры,,не лежащие на концах й^ного и того же диаметра,
можно провести лишь одну окружность большого круга
(рис. 11). Но точки А и В разделяют эту окружность
на две неравные части:
^АсВ< 180° и vBdA >l8ff>.
Поэтому сделанное ранее (§ 1) утверждение о том, что
дуга окружности большого круга является кратчайшим
расстоянием между двумя точками сферы, справедливо
лишь по.отношению к дуге Лс5, но не к дуге AdB. Для
избежания подобных оговорок в сферической тригоно-
метрии принято ограничение Эйлера: рассматриваются'
23

только такие сферические треугольники, стороны и
углы которых менШе 180°. Для краткости треугольни-
ки, удовлетворяющие условию Эйлера/называют тре-
угольниками Эйлера.
При соблюдении ограничения Эйлера две дуги ок-
ружностей больших кругов пересекутся на сфере толь-
ко в одной точке и она однозначно определяется двумя
Рис.40. · Рис. 11:
пересекающимися в ней дугами окружностей больших
кругов. В дальнейшем мы будем рассматривать только
треугольники Эйлера.
По форме сферические треугольники разделяются
на прямоугольные и косоугольные· В прямоугольном
сферическом треугольнике один из углов равен 90°, сто-
рона, ему противолежащая, называется гипотенузой,
а две другие стороны — катетами. Но существуют сфе-
рические треугольники с двумя и тремя прямыми угла-
ми. Например, на рис. 12 сферические треугольники
А\В\СУ A\B\D и A\CD косоугольные, у них все углы от-
личаются от 90°; сферические треугольники DHG
и СЕН — прямоугольные, один из углов прямой (это
углы 7?С#, СЕ//*соответственно); треугольники A\EF
и A\GE являются двояко прямоугольными, так как
имеют по два прямых угла; сферический треугольник
A\FG имеет три прямых угла, он заключает в,себе Vs
часть поверхности сферы, >
Наряду с прямоугольными существуют π прямосто-
ронние сферические треугольники, у которых одна из
29

сторон равна 90\ Но существуют н двояко прямосто-»
роннпе сферические треугольники, две стороны которых
имеют по 90°, а также и трояко прямосторонний сфе-
рический треугольник, все стороны которого равны 90°.
Например, сферический
треугольник A \FG (см.
рис. 12) является трояко
прямосторонним, a A\FE —
двояко прямосторонним.
В косоугольном сфери-
ческом треугольнике сто-
роны π углы его могут
иметь различные числовые
значения, удовлетворяю-
щие неравенствам (7)—
(11) π ограничению Эйле-
ра. Два сферических тре-
угольника, составляющие
вместе двуугольник, назы-
ваются сопряженными сфе-
рическими треугольника-
ми. Таковы, например,* сферические треугольники A\EF
riAzEF (см. рис. 12).;
Смежные сферические треугольники имеют с дан-
ным треугольником A\EF (см. рис. 12) но одной общей
стороне. Это треугольники A2EF (по стороне EF) π A \EG
(по стороне АЕ).
Рис. 12,
I § 5. Полярные сферические треугольники
Два сферических треугольника, лежащие на одной
и той же сфере, называются полярными, если верши-
ны одного из них являются полюсами сторон дру-
гого.
Пусть имеем сферический треугольник* ABC
(рис.13). Приняв его вершины Α, J? и С за полюсы,
опишем на сфере их поляры, т. е. дуги окружностей
больших кругов, отстоящие на 90° от соответствующих
полюсов. Построенные таким образом поляры попарно
пересекутся между собою в некоторых точках Ait B\
и С\ сферы, образуя новый сферический треугольник
А\В\С\, который и будет полярным по отношению к
данному сферическому треугольнику.
30

Докажем, что π стороны <z, Ь, с сферического тре-
угольника ABC также отстоят от вершин Аи В\ и С\
полярного треугольника ла 90° и что, таким образом,
сферические треугольники ABC и А\В\С\ суть тре-
угольники взаимно полярные.
Теорема. Если' сферический треугольник А\В\С\
является полярным по отношению к сферическому тре-
угольнику ABC, то сферический треугольник ABC так-
же будет полярным по отношению к треугольнику
АХВХСХ.
Доказательство'. Соедини» дугами больших
кругов вершину С\ с вершинами А и В. Вершина А
есть по построению полюс дуги В\С\, и поэтому дуга
АС\ равна 90°. Вершина В также по построению явля-
ется полюсом дуги А\С{
иг следовательно; дуга ВСХ
равна 90°. Если точка G\
отстоит от двух точек А
и В дуги А В окружности
большого круга на 90°; то
эта точка С\ и есть полюс
дуги АВ. Аналогичным об- *
разом· можно доказать, что
точка В\ есть полюс дуги
С А и точка A[s— полюс
дуги ВС. Таким образом,
вершины АиВ[ и С\ явля-
ются полюсами дуг СВ,
АС и АВ соответственно
и, следовательно, сферический треугольник ABC явля-
.ется полярным по отношению к треугольнику А\В\С\*
Докажем теперь, что соответственные стороны и
углы двух взаимно полярных сферических треугольни-
ков дополняют друг друга до 180°*
Теорема. Сумма угла данного сферического тре-
угольника и соответствующей ему стороны полярного
треугольника равна 180°.
Доказательство. Из вершин А, В ж С сфери-
ческого треугольника ABC (рис, 14), как из центров,
опишем на сфере на расстояниях, равных 90°, дуги
окружностей больших кругов, образующие сферический
треугольник А\В[Си полярный данному треугольнику
ABC. Продолжим стороны а и с данного треугольника
31

до пересечения со сторонами Ъ{ и с\ полярного ему тре-
угольника. Точки пересечения обозначим буквами D, F
и Е. Так как дуги BD и BF равны каждая 90°, то дуга
DF есть мера сферического угла 5, т. е,
Δ£ = vDF.
Помимо этого, в соответствии с рис. 14, имеем очевид*
нов равенс:во.
bi = AlD + DFi+,FCt;
Складывая почленао два последних равенства, находим
B + bi^AiD + DF + DF + FCu ·
Но так как вершина А\ находится от дуги EFt являю*
щейся ее полярой, на расстоянии 90°, так же, как и
вершина С\ от дуги BD, то
AXD + DF = DF±FCX = 90°,
и окончательно получаем
5 + ^=180°,]
А + аг=№\ (13)
С + с^Ш0 )
(два следующих равенства получаются аналогично}*
Далее, в соответствии с рис. _ 14, заключаем, что
32

дуга EF есть мера сферического угла A i, т. е.
ΔΛΧ = vEF%
π что
■ х Ai = BE + BC + CF.
Кроме того, очевидно, что
a = EF — BE — CF.
Сложив почленно два последних равенства и сократив
BE и CF, находим
А\ + а = ВС + EF = ~
= ЯС + Я5 + ДС + CF = ЕС + CF + ВС.
Но £С = 90°, поскольку А\В\ есть поляра точки С,
а БС + CF-= 90°, потому что Ь\ является полярой точ-
ки В и поэтому окончательно имеем (также применяя
метод аналогии)
^4-^=180°, ]
. ^Η-δ-ΙδΟ0, .(14)
. ■ J Cx + c^ieO0. J
Итак, системы равенств (13) и (14)' показывают, что
сумма соответственных углов и сторон двух взаимно
полярных сферических треугольников равна 180°.
Исследования показывают, что если каждая из. сто-
рон а, Ь, с данного сферического треугольника ABC
меньше 90°, то полярный ему^ сферический треугольник
A\B\Ci будет располагаться па сфере вне данного тре-
угольника ABC. Если же некоторые стороны данного
сферического треугольника ABC будут большими 90°,
то полярный ему сферический треугольник А\В\С\ бу-
дет пересекать стороны данного треугольника. Нако-
нец, когда каждая из сторон данного сферического тре-
угольника ABC больше 90°, полярный ему сфериче-
ский треугольник "А\В\С\ будет находиться на сфере
внутри данного треугольника.
Рассмотренными сейчас свойствами полярного сфе-
рического треугольника часто пользуются при выводах
различных формул сферической тригонометрии.
Докажем, например, справедливость неравенства
A+B-Q<,i№. .(15)
3 £. Д, ВодынскпЦ
»

Так как согласйо неравенству (Tf
А\ + Ьх > CU
то, заменяя эти величины их значениями из уравне-
ний (14), имеем
180° - А + 180° - В > 180° - С,
откуда окончательно получаем (выводя второе и третье
неравенство аналогично)
Л + 5-С<180°, |
Я + С-А<180°,
С + А — 5<180°, ]
(16)
что составляет четвертое ^условие возможности сущест-
вования сферического треугольника:
4. В сферическом треугольнике сумма двух его углов
без третьего всегда меньше 180°.
§ 6. Соотношения между сторонами
и углами сферического треугольника
Докажем* ряд теорем. . · ,
Теорема 1. Внешний угол сферического треугольник
на меньше суммы двух внутренних углов, с ним не
смежных, по больше их разности.
Доказательство. Продолжим в сферическом
треугольнике ABC одну из сторон, например α, π обра-
зуем внешний угол D (рис. 15). Из рис. 15 видно, что
ΔΛ) + ZJC = 180°. Так как А + В + С> 180°, то
A+B + OD + C, Отсюда получаем А + В > D.
Для доказательства второй части теоремы восполь-
зуемся неравенством (15): А + С — В < 180°, пли,
иначе, 4 + С — # < Z) + (7, откуда имеем А — В < D.
Теорема 2, Углы при основании равнобедренного
сферического треугольника равны между собой.
Доказательство. Пусть ABC есть равнобедрен-
ный сферический треугольник, в котором две его сто-
роны равны между собой: Ь = с (рис. 16). Допустим,
что Ъ < 90°. Проведем к вершинам Л, В и С радиусы
сферы СО, ВО и АО и достроим касательное SB и SC
к равным сторонам δ π с в вершинах В η С. Эти каса-
тельные пересекут продолжение радиуса ОА в одной ц
04

той же точке 5, длины их будут равны: ВС = С$. Про-
ведем к стороне а через .вершины В и С касательные
ВТ и СТ и соединим точку их пересечения Τ с точкой S
отрезком прямой TS.
В плосдих треугольниках STB и STC сторона TS
является их общей стороной, а две другие стороны по-
парно равны между собой, т, е. BS = CS и ВТ = СТ.
Очевидно, что эти треугольники равны между собой.
Отсюда следует, что /LSBT=ZiSCTf' Но поскольку
Рис. 15. Рис. 16.
этими углами измеряются сферические углы при вер-
шинах В ж С сферического треугольника,- отсюда за-
ключаем, что В = С.
Из доказанной сейчас теоремы вытекает, что в сфе-
рическом треугольнике против равных сторон лежат
равные углы, т. е. если Ъ = с, то В = С.
При доказательстве теоремы было принято, что сто-
роны Ъ и с сферического треугольника меньше 90°. Ес-
ли они больше 90°, то касательные к йим, проведенные
через вершины В и С, пересекут радиус О А сферы меж*
ду точками А и О, однако доказанная для частного слу-
чая эта теорема имеет общее значение. , '
Теорема 3. Против равных углов в сферическом тре-
угольнике лежат равные стороны,,
Докааателъство. Пусть имеем сферический
треугольник ABC, ρ котором А = С, Требуется дока-
3*
35

зать, что а = с. Возьмем полярный данному сфериче-
ский треугольник А\В\С\ со сторонами аи Ьи с\. Так
как по условию А = С, то на основании свойств поляр-
ных треугольников имеем, что а\ = с\ и что полярный
данному сферический треугольник А\В\С\ является
равнобедренным. Но по доказанному в теореме 2 про-
тив равных сторон лежат равные
углы, а потому Δ-Α\ = Z_Ci. Но
если это так, то и дополнения их
до 180° также равны между собой,
т. е. а = с. f
Теорема 4. В сферическом тре-
угольнике против большего угла
лежит болъи?ая сторона.
Доказательство, Пусть
угол В сферического треугольника
ABC будет больдпеуглаС (рис. 17).
Проведем через вершину В дугу
BD окружности большого круга
под углом DBC, равным углу* С.
Так как треугольник BCD^ имеет
'два равных угла, то он является
равнобедренным и по доказанному
ранее его стороны BD и CD равны
между собой. Но для треугольника ABD будет справед-
ливо неравенство ч ,
,w_- AB<AD + BD.
Заменяя сторону BD равной ей стороной DC, имеем
АВ < AD + DC, -
т. е. АВ <АС.
Теорема 5. В сферическом треугольнике против
большей стороны лежит больший 'угол.
Доказательство. Пусть в сферическом тре-
угольнике Ъ > с. Требуется доказать, что для его углов
имеет место неравенство В >С Построим для данного
треугольника ABC полярный ему треугольник AiBjCu
для которого неравенство Ъ > с обратится в неравен-
ство 180° — В\ > 180° — Ci, или, что то же самое,
В\ < Си Отсюда на основании предыдущей теоремы
имеем Ъ\ < с\. Переходя затем от полярного сфе-
Рпс. 17-
36

рического треугольника к . данному; можем напи-
сать 180°—В < 180° — Су на основании чего нахо-
дим: В > С.
Треугольники Эйлера обладают так называемым
свойством однородности, которое заключается в том,
что если сумма двух сторон сферического треугольника
больше, равна или меньше 180°, то и сумма противоле-
жащих им углов больше, равна или меньше 180°, Спра-
ведливость приведенных положений
можно доказать геометрически.
Теорема 6. Если сумма двух сто-
рон сферического треугольника удов-
летворяет одному из условий а -{- Ь<Ц
< 180°, a + b =480° или а + b >
> 180°, то и сумма противолежащих
им углов, удовлетворяет соответству-
ющему условию А + В <; 180°,
А +В = 180° или А+В> 180°.-
Доказательство. Продолжим
стороны b и с данного сферического
треугольника ABC так, чтобы образо-
вался двуугольник АА\. При этом од-
на из сторон сферического треугольни-
ка ABC, например а, будет содержать-
ся внутри двуугольника (рис. 18).
*.- Если дано, что а + b < 180°, то а < 180° — b или
а < kjA\C, и согласно теореме 5 в сопряженном сфе-
рическом треугольнике А \ВС будем иметь; A\<2jCBAx%
Но так как Z.CBAX = 180° — В и At = А, то
А < 180° — В и, следовательно, А + В < 180°,
Если Дано, что а + Ъ = 180°, то α = 180° — δ и
fl = v_/^iC, т. е. сопряженный ^сферический треуголь-
ник является равнобедренным и по теореме 2 угол
Ах = /-СВАх или, так как·^ = А, А — 180° — В и,
следовательно, Л + В = 180°.
Если дано, что а + Ь > 180°, то тогда α > 1δ0° — b,
или о> *иА\С, поэтому согласно теореме 5 в сопря-
женном сферическом треугольнике А\ВС будут спра-
ведливы^ неравенства А\ > Z,CBAu или А > 180° — В
и, следовательно, А + В >· 180°.
Аналогично доказывается обратная теорема:
Теорема 7· Если сумма двух углов сферического тре-
угольника больше, равна или меньше 180°, то и сумма
37

противолежащих им сторон должна быть соответствен-
но больше, равна или/меньше 180°.
Теорема 8. Если разность двух сторон сферического
треугольника больше, равна или меньше 0Т то и раз-
ность двух противолежащих им углов больше, равна
или меньше 0.
Доказательство. Пусть две стороны сфериче-
ского ' треугольника а и Ь связаны соотношением
а — Ъ > 0. Перенося Ъ в правую часть, находим: а >· ЪЛ
Тогда согласно теореме 5 А > В или А — В > 0.
Таким образом, если α — Ь > 0, тои4-В >0. -
Аналогично доказываются два других утверждения:
если α — Ь = 0, то и Л — 5 = 0,
и
если а — Ъ < 0, то и Л — В < 0.
Совершенно так же, только на основании теоремы 4,
доказывается и
Теорема 9· Если разность двух углов сферического
треугольника больше, равна или меньше 0, то и раз-
ность двух противолежащих им сторон больше, равна
или меньше 0.
Соотношения между сторонами и углами сфериче-
ского треугольника, выраженные в теоремах 4 и 5, или,
в другой форме, в теоремах 6 и 8, составляют пятое
и шестое условия существования сферического тре-
угольника, Иногда свойства, описанные в теоремах
4—6 и 8, рассматривают как 5—8 условия существова-
ния. Последнее недостаточно строго, поскольку теоре-
мы 6 и 8 и 5 и 4 соответственно взаимосвязаны.
§ 7» Равенство и симметрия
- сферических треугольников
Сферические треугольники, лежащие на одной и
той же сфере, равны между собой, если они при нало- *
жении совпадают. Это будет тогда, когда данные равные
части сферических треугольников расположены в них
одинаковым образом и выполняется хотя бы одно из
нижеследующих условий:
1) сферичеокие треугольники имеют по две соответ-
ственно равные стороны и по равному углу, заключен-^
ному между этими сторонами;
88

2)' сферические треугольники имеют по равной сто*
роне и по два соответственно равных угла, прилежа-
щих к этой стороне;
3) сферические треугольники имеют по три соот-
ветственно равные стороны;
4) сферические треугольники имеют по три соот-
ветственно равных угла.
Доказательство выполнения первых трех условий
осуществляется методом наложения. Обозначим углы
одного сферического* треугольника Ау В, С, а противо-
лежащие им стороны а, Ь, с; углы и стороны другого
сферического треугольника — соответственно Аи Б и С\
и flti, Ъи с\. Если сферический треугольник А\В\С\, пе-
ремещая его но сфере, возможно наложить на сфери-
ческий треугольник ABC таким образом, чтобы были
совмещены все их одноименные элементы (углы и сто-
роны), то доказательства равенства обоих совмещен-
ных сферических треугольников производятся так же,
как это делается в геометрии для плоских треуголь-
ников.^
Доказательство четвертого случая равенства произ-
водится методом построения двух сферических треуголь-
ников, полярных относительно данных сферических тре-
угольников. Пусть даны два сферических треугольника
АВР и А\В\Си для которых осуществляется четвертое
условие, т. е. А = А\, В = В и С = Си Для доказатель-
ства равенства данных сферических треугольников
между собой построим полярные им сферические тре-
угольники AfB'Cf и А[В[С\,
На основании известных свойств полярных сфери-
ческих треугольников (§ 5) будут справедливы сле-
дующие равенства:
Л + а'=180в,- 4x + flI="180V
В + V = 180°, В1 + Ъ[ = 180°,
C + c'-180°f Сг + с[= 180°,
Так как, по условию, А = Аи В = В\ π С = Си то бу-
дут справедливы равенства: б! = аи V — Ъ\ и & = с[,
т. е. сферические треугольники А'В'С* и А\ВхСи по-
лярные данным сферическим треугольникам ABC и
.39

"AiBiC\t будут равны друг другу до трем соответствен-
но равным сторонам (по третьему условию равенства
сферических треугольников).
Из равенства полярных сферических треугольников
ArBrC\ft А[в[С\ следует, что соответственные углы
их равны между собой, т. е. * *
Л' = Л1, В'^В'и С' = С[.
Так как углы полярных сферических .треугольников
Рис. 19.
являются дополнениями до 180е сторон данных
сферических треугольников, то можно написать со-
отношения -
У
А* + а =* 180°, А[ + аг = 180°,
Я' + Ъ = 180°, В\ + bt = 180°, ^
Cf + c=*i80*, Cl + Ci=i80of
Из этих соотношений следует, что a=ai, b = bin
с = ci, т. е., что данные сферические треугольники
ABC и А\В\С\ имеют также и соответственно равные
стороны. Отсюда на основании третьего условия равен-
ства сферических треугольников, заключаем, что дац-

яые сферические троу^ольншси ABC и А\В\СХ равны
между собой.
- Два сферических треугольника ABC и А\В\С\
(рис, 19) могут иметь соответственно равновеликие
элементы:
А *= 4i, В = Ви С = Си β =s fli, Ь = bi, с = ci,
но расположенные на- сфере в различном порядке: ну-
мерация вершин в треугольнике ABC идет по ходу ча-
совой стрелки, а в треугольнике АхВ\С\— против хода
часовой стрелки. При таком расположении элементов
сферический треугольник А\В\С\ не может быть нало-
гжен на сферический треугольник ABC ни в-результате
его перемещения по сфере (при совмещении вершин С\
и'С и .сторон ci не вершина А\ должна'.совмещаться
с'В} а вершина В\ с А, но А \ФВ π-Β\φ А)9 ни в
результате вращения его вокруг стороны А\В{(АВ),
так как при этом стороны а, Ъ и с не совместятся с со-
ответствующими им сторонами а\ч Ъ\ и си выпуклости
которых будут попарно противоположны; не произой-
дет и совмещения поверхностей^ сферических треуголь-
ников А\В\С\ и ABC
Для совмещения соответствующих сторон и по-
верхностей сферических треугольдиков А\В\С\ и ABC
потребуется еще их выгибание. Но выгибание по-
верхности сферического треугольника равносильно
перемещению, центра сферы. Равновеликие, но не
41

налагающиеся друг на друга сферические треугольники
называются симметричными сферическими треуголь-
никами*
Сходный пример можно привести и для плоских
треугольников. Так, например, равновеликие прямо-
угольные треугольники А\В\С\ π ABC (рис, 20), сим-
метрично расположенные относительно вертикальной
оси Оу, нельзя совместить друг с другом без вращения,
т. е. без выхода из плоскости их расположения. Однако
плоские (и сферические) равнобедренные сим-
метричные треугольники могут быть совмещены без
вращения, хотя, перемещая их по плоскости, нельзя
добиться совпадения в них соответственных элементов
(вершин А с Аг и С с С\, а также сторон а с at hccci).

ГЛАВА III
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ1 СФЕРИЧЕСКОЙ
ТРИГОНОМЕТРИИ
§ 8. Формулы косинусов сторон η углов
Теорема косинуса стороны является основной тео-
ремой сферической тригонометрии, так как из нее мо-
гут быть выведены все последующие формулы. Она
устанавливает зависимость между тремя сторонами и
одним из углов сферического треугольника. Эта теоре-
ма была впервые доказана Альбатегнием в X в. '
Рис. 21,
Пусть имеется сферический треугольник ABC, сто-
роны Ъ и с которого меньше 90° (рис. 21). Соединим
все его вершины отрезками прямых с центром сферы О
и через вершину А проведем касательные к сторонам
\43

b и с до пересечения их с продолжением ^радиусов ОВ
π ОС в точках Μ я N. Соединим точки Μ η Ν отрезком
прямой. По формуле косинусов для плоских треуголь-
ников ΑΜΝ и ΟΜΝ паходим
ΜΝ2 = АМ2 + AN2 — 2АМ - AN < cos Л,
Μ Ν2 = ОМ2 -Ь CW2 - 2<Ж · CW · cos α,
откуда, приравнивая правые части, получаем
ΑΑΡ + ΑΝ2 — 2AM-AN>co$A =
= ОМ2 -fcOtf*- 20М-ON-cosa,
ОМ2 + ON2 - AM2 - AN2 + 2AM-AN-cosA =
= 20M-ON-cosa. (17)
Но из плоских прямоугольных треугольников А ОМ
и AON следует: ОМ2 = ОА2 + АМ2 и 0#2 = ОЛ2 +
+ AN2. Подставляя эти значения в левую часть равен-
ства (17), получим
20М · ON- cos a = О А2 + ЛМ2 + О А2 + AN2 -
, -ЛМ2-ЛЛГ2 + 2ЛД/.ЛЛГ-созЛ
и далее: 20Л/· ON- cos а = 20Л2 + 2ЛДГ-Л;У'Соз Л. На-
конец имеем
ОМ ON · cos α = ОЛ2 + AM · Л# · cos Л Г
Из последнего равенства найдем выражение для cos a:
ОА-ОА . AM . AN , „
C0S α β ШТТ^У + OSTToiv ' C0S A-
Согласно рис. 21 мы можем написать
ОА ОА ,, AM .AN . ,
Ш7 = cosc' ЗУ β cos6' o¥ = sinc' on e вш*·
Подставив эти значения в предыдущее равенство, по-*
лучим окончательную формулу: "
cos α = соз^созс + БШ&зтссозЛ. (18)
Методом круговой перестановки элементов *) ана-
*) При круговой перестановке элементов сферического тре-
угольника каждая из сторон и каждый из углов заменяются в
формуле последующими по ходу сторонами и углами (считай в
любом направлении), при этом последний элемент всегда за-'
меняется первым.
44

логичные формулы находятся также для сторон Ъ и с
сферического треугольника ABC:
cos b = cos a cos с + sin a sin с cos B, (19)
cos с = cos a cos Ь + sin α sin Ь cos С (20)
Полученные формулы читаются: косинус стороны сфе-
рического треугольника равен произведению косинусов
двух других его сторон, сложенному с*произведением
синусов тех же сторон, умноженным на косинус угли
между ними.
Теперь покажем, что формулы (18) —(20)* косинуса
стороны, выведенные для частного случая, когда две
стороны сферического треугольника меньше 90°, оста-
ются справедливы и для любого сфе-
рического треугольника Эйлера..
Пусть дан сферический треуголь-
ник ABC, стороны которого Ъ и с
больше 90° и меньше 180° (рис. 22).
Значения стороны а и противолежа-
щего ей угла А при выводе формулы
(18) не были ограничены и поэтому
в треугольнике Эйлера они подчиня-
ются условию: 0° < а < Д80°, и
0° < А < 180°.
Продолжим стороны Ь и с сфери-
ческого треугольника ABC до их вза-
имного, пересечения на сфере в точ-
ке Ль В сопряженном данному тре-
угольнику сферическом треугольнике
А\ВС будем иметь
£ = 180°-Ь<90!;
С1 = 180°-с<9(П
ε-ΑΧ = Δ.Α.
Для сферического треугольника А\ВС справедлива фор-
мула (18), поэтому для него можно наппсать равенство
_ cos a\ = cos b\ cos C\ + sin Ъ\ sin c\ cos A\. (21)
Но так как- d\ = a, cos Ьх = —cos δ, cos cx = —cos с,
sinbi = sinb, sin c\ = sin с и cos-4i = cos4, то напи-
санное выше равенство примет вид
cos a = cos Ь cos с + sin Ъ sin с cos Л, - "** [
что и требовалось доказать. * N
45

Приведем еще доказательство теоремы косинуса
стороны сферического треугольника, выполненное ме-
тодами векторной алгебры.
* Пусть имеем сферический треугольник ABC, распо-
ложенный на* сфере единичного радиуса (рис. 23). Из
центра О сферы проведем к вершинам 4, В и С сфери-
ческого треугольника ABC радиусы-векторы, соответ-
ственно равные Zi, h и Z3 и примем, что их длина рав-
на единице. Дополним
каждую из сторон АВ π
Л С до 90° и проведем к их
концам D и Ε радиусы-
векторы Г\ и г2. Обозначим
проекцию вектора h на век-
тор 1\ какпр/^2, а на век-
тор г2 как прг^2 и т. д. Тог-
да в соответствии с рис. 23
можйо написать соотно-
шения:
npZlZ2 = cosc; (
ДРгА = sinc5
np;1Z3= cosb;
πρΓΙΖ3 = sin b.
Пользуясь формулой
разложения" вектора по
двум неколлинеарным век-
торам и рассматривая векторы Zi, rx и г% как единичные,
устанавливаем, что
h = h cos с + r2 sin с и Z3 = l\ cos Ъ -f* *Ι sin b, *
Перемножив почленно оба послодних равенства, по-
лучдм
hh = iicos с· h cos Ъ + h cos с · Г\ sin Ь -f·
«+- r2sinc -./i cos δ + ^2 sin с · risinb.
Но так как
hh = cos a, l\ = 1, Z^! = 0, Ζ^2 = 0,
rir2 = cos4, то на этом основании приходим к форму-
ле (18),

Переидем теперь к выводу формулы косинуоа угла
сферического треугольника. Пусть имеются два вза-
имно полярных сферических треугольника со сторона-
ми π углами а, Ь, с, Л, В, С и аи Ь\, сь А\7 В\, d.-Ha-
пишем формулу косинуса для стороны ах полярного
треугольника AiBiCi:
со^ й\ = cos bi cos cj'+ sin Ъ\ sin C\ cos A\. .
В § 5 было показано, что для двух взаимно поляр-
ных сферических треугольников справедливы следую-
щие соотношения;
-N N fll = 180° - а\ Ах = 180° - α,
bl=l80°-B, ВХ = ШР—Ъ,
сх = 180°-С, Cl = 180°^c.
Пользуясь этимп соотношениями, формулу косинуса
стороны а{ полярного сферического треугольника мож-
по представить в виде
cos(180o-Л) = cos(180o-β)·cos(180o-C)+,
-l+sm(180o-5)/sin(180o-C^cos(180&-α)■
вди, после упрощения,
— cos A £= cos В cos С — sin В sin С cos α,
или, окончательно:
cos А =' — cos В cos С + sin β sin С cos α». (22)
Пользуясь методом круговой перестановки элемен-
тов сферического треугольпика, можно получить ана-
логичные формулы также и для его углов В и С:
cos В = — cos A cos С + sin 4 sin С cos δ, (23)
cos С = — cos Л cos В Hr sin Л sin В cos с. (24)
Формулы (22)*-(24) читаются следующим образом:
косинус угла сферического треугольника равен отри-
цательному произведению косинусов двух его других
углов, сложенному с произведением синусов тех же
углов, умноженным на косинус стороны^ противолежа-
щей первому углуъ ; * · .
47

§ 9. Формулы синусов
Теорема синусов, записываемая с помощью формул
синусов, выражает зависимость между двумя сторона-
ми сферического треугольника и противолежащими им
углами, ш *
Пусть имеем сферический треугольник ABC, все
углы и стороны которого имеют значения, меньшие
90° (рис. 24), Вершины Л, В и С сферического треу-
гольника соединим с центром сферы О радиусами
Рпс. 24.
О А = ОВ β ОС π из вершины В опустим перпенди-
куляр BE на плоскость А ОС, Центральные *углы ВОС,
СО А и АОВ численио равны соответствующим им ду-
гам^, Ь и с. Проведем еще через прямую ВЕ'плоска-
стп, перпендикулярные к прямым ОА π ОС. Они пере-
хекут прямые ОА и ОС в точках D и F. Линейные углы
EFB и EDR равны соответственно углам прц верши-
нах С η А сферического треугольника ABC.
Непосредственно из рис. 24 следует, что
BE = BF sin С и ВЯ = BD sin Л.
Но BF = ВОвта и BD = ВО$тс. Подставляя эти
значения Bi7 и J5Z? в первые два равенства, получаем
BE = ВО sin α sin С π BE = ВО sin с sin 4f '
4a

Приравнивая правые части, находим, что ВО sin a sin С=*
= ВО sin с · sin Л. После сокращения на J50 имеом
1' . sin α sin С = sin с sin Л
или окончательно:
^ sin а sin с
ч sin A ~~ sinC?"
Рассуждая аналогичным образом применительно к
сторонам а и Ь, а также к углам А и В того же сфе-
рического треугольника Л5С, будем иметь
sina __ sin 6
~· ' sin Л "~ sin Б*
Наконец, объединяя последние два равенства воедино,
получаем формулу синусов:
sin a $\nb sine
sin A sin В sin С'
(25)
которая читается та^: в сферическом треугольнике си-
нусы его сторон пропорциональны синусам противоле-
жащих им углов. ■ "
Докажем теперь, что формула (25), выведенная
ддя частного случая, когда а < 90°, Ь < 90°, Ь < 90°,
А < 90°, В <3 90° и С <С90°, будет справедлива также
и для любого треугольника Эйлера. Пусть треугольник
Эйлера удовлетворяет условиям:
90° < а < 180°, 90° < Ъ < 180°, 90" < с < 180°.
90° < А < 180°, 90° < В <180°, 90° < С < 180°,
при соблюдении которых формула (25) запишется так:
sin (180° — a) sin (180° — Ь) _ sin (180° — с)
sin (180° — А) ~7 sin (180° — В) sih(180a — С)*
Применяя же * известные из плоской тригонометрии
формулы приведения функций к острому углу, полу-
чим формулу (25).
Формулу синусов можно вывести, также из основ-
ной формулы. (18) сферической тригонометрии, Запи-
сав формулу (18) в виде
„ Л cos a — cos b cos с
С03Л=- :—:—: ; ,
sin & sin с ? ч
4 б. А. Волынский · 49

ЙЫЬОДИМ
Bin'A = 1 - cos'Л = 1 - (cos'- c°shrsс)'
sin2 b sm2c
или *
sin2 A =a
sin2 6 sin2 c—cos2 a +2 cos g cos fr cos с —cos2 6 cos2 с ^
' sin2 6 sin2 с
__ (1 — cos2 b)(i — cos2 с) — соз2д
- sin2 b sin2 с
cos2 b cos2 с — 2 cos α cos & cos с __
sin26sin2c .
1 — cos2 a—cos2 b — cos2 c-\~2 c^s a cos b cos с
~~ * v - , sin26sin2e ч *
Разделив затем обе части равенства на sin2 а, найдем
sia2 А 1—cos2 а—cos2 &—cos2 сЦ-2 cos a cos b cos с
sin2 α sia2 a sin2 6 sin2 e
и, по извлечении квадратного корня, получим
sin А "t/l — cos2 a— cos2 b — cos2 c-f-2 cos a cos & cos с
sina sin a sin fc sin с
Перед знаком корня ставим только один знай
«плюс» , так как углы и стороны сферических тре-
угольников всегда меньше44180°, и, следовательно, их
синусы всегда положительны.
Правая часть полученного выражения'симметрична
относительно косинусов π синусов трех* сторон, следо-
вательно, она не меняет своего значения, от перестанов-
ки сторон и поэтому
sta^sinS S_in£
sin a sin b sine ' v '
где t
M~[/l — cos2 a — cos2 b — cos2 с +2 cos a cos b cos с
= - . .——-—! , 1_
sin a sin b sine 7
называется модулем сферического треугольника.
Теорема синусов может быть доказана т&кже
с помощью векторной алгебры.
5а

В соответствии с принятыми на рис. 23 обозначе-
ниями имеем
1$2 = cos с, hh = cos a, l\h = cos b
π, кроме того, I [ij/2] I = I [hh] I = sin с, | [/2/3] | =
= | [hh] | = sin a, ] [tzti] \ = \ [hh] | = sin b. Но так как
[hh\ — это вектор, перпендикулярный к плоскости
ОАВ, а вектор [1\1г\ перпендикулярен к плоскости
ОАС, то угол между ними равен двугранному углу
между плоскостями ОАВ н ОАС, т. е. углу А сфериче-
ского треугольника ABC. '
Теперь составим векторное произведение векторов
[hh] н [hh]. Пользуясь известной формулой разло-
жения двойного векторного произведения, получим
[[W2][We]]=ii(WA).
которое можно написать в виде
[[ад{Мз]]=тшз],
или через тригонометрические функции, как
[hhh] = sin с sin b sin A.
Рассуждая аналогично предыдущему, получим еще
два соотношения для углов В ж С сферического тре-
угольника ABC:
[hhh] = sin a sin cjsin 5 и [hhh] = sin b sin a sin С ,·
Приравнивая между собой правые части всех трех по-
следних соотношений, получим
sin с sin b sin A = sin a sin с sin В = sin b sin a sin С
Наконец, разделив все члены последнего выраже-
ния на sin a sin b sin с и поменяв местами члены отно-
шений, придем в итоге к той же формуле (25).
Запишем выражение для модуля сферического тре-
угольника:
п* V"l — cos2 a—coss b — cos2 c-\~2 cos a cos b cos с ' .
sin a sin b sin с "
Возводя в квадрат обе части этого равенства и осво-
4* ч .51

бождаясь от знаменателя, получим
М2 sin2 a sin2 b sin2 с =
= 1 — cos2 а — cos2b — cos2c + 2 cos α cos b cos с
'или, иначе, " '
2 cos a cos b cos с =
= Ж2 sin2 α sin2 b sin2 с — 1 -f cos2 a + cos2 b + cos2£.
Прибавляя и вычитая в правой части sin2 a sin2 b sin2 с,
будем иметь 2cosa cos Ъ cos с = (Л/2 — 1) sin2 α sin2 b Χ
X sin2 с + sin2 a sin2 δ sin2 е.— 1 + cos2 α cos2 6 cos2 с , или
в другом виде: *
2 cos a cos Ь cos с = (Л/2 — 1) sin2 a sin2 & sin2 с +'
|+cos*a(l — sin2 & sin2 с) + cos2 b cos2 с (26)"
В правой части формулы (26) два последних члена
суть величины всегда положительные, поэтому левая
ее часть будет положительна тогда, когда модуль
Л/^1. Но в твой части формулы (26) содержатся
три сомножителя, которые могут быть величинами как
положительными, так и отрицательными. Чтобы левая
часть формулы (26) не была в этом случае отрицательной,
нужно, чтобы ни- один из косинусов не был отрица-
тельным, либо чтобы отрицательными были два из них.
Таким образом, мы доказали такую теорему:
Теорема. Если модуль сферического треугольника
больше единицы (или равен eu)f то или все три сторо-
ны его меньше 90°, или же. только одна из сторон
меньше 90°.
Из этой теоремы путем построения сферического
треугольника, полярного данному, можно, доказать
теорему, аналогичную теореме относительно углов
сферического треугольника: если модуль сферического
треугольника меньше единицы (или равен ей)> то или
все три угла его больше 90°, или же только один из
углов больше 90°,
§ 10. Формулы пяти и четырех элементов
Формулы пяти элементов дают зависимость между
пятью элементами сферического треугольника. Возь-
мем формулы косинусов для сторон а и b сферическо-
52

го треугольника ABC:
cos a = cos b cos с + sin b sin с cos Л,
cos & = cos a cos с + sin a sin с cos B.
Умножим первое равенство Ha'cosc: ч
cos a cos с = cos Ь cos2 с -f sin Ь sin с cos с cos A
и подставим получившееся выражение для cos a cos с
во второе равенство:
cos Ь-= cos Ь cos2 с + sin b sin с cos с cos Л +l
• t+ sin α sin c cos Я.
Перенесем слагаемое cos. b cos2 с в левую часть по-
следнего равенства:
cos b( 1 — cos2 с) = sin a sin с cos В +'
,-Ь sin Ь sin с cos с cos A-%
Так как 1 — cos2 с = sin2 с, то, сократив обе части по-
лученного выражения на sin с, найдем
cos Ь sin с = sin ^cos 5 + sin Ь cos с со^Л,
или, в окончательной форме,
sin a cos В = cos δ sin с — sin Ь cos с cos Л. "(27)*
Соотношение (27) называется формулой пяти эле-
ментов; она читается следующим образом: произведе-
ние синуса стороны на косинус прилежащего к ней
угла равно произведению косинуса на синус двух дру-
гих сторон минус произведение синуса на косинус
этих же сторон, умноженное на косинус угла между
этими сторонами. При этом в правой части первым
берется косинус стороны, противолежащей углу, ко-
синус которого находится в левой части. В формуле
пяти элементов выражается зависимость между тре-
мя сторонами и двумя углами сферического тре-
угольника.
Общее число таких формул равно шести, остальные
пять формул можно получить из формулы (27) путем
53

круговой перестановки в ней элементов (букв) сферп
ческого треугольника:
sin a cos С = cos с sin Ъ — sin с cos Ъ cos Л,
sin Ь cos С β cos с sin α — sin с cos α cos β,
sin b cos Л = cos α sin с — sin α cos c cos β, J- (28)
sin c cos Л = cos α sin Ь — sin α cos Ь cos С,
sin с cos В = cos Ъ sin α — sin Ъ cos α cos С.
Формулы (27) и (28)* однородны относительно
sin α, sin Ь, sin с, которые можно заменить в них вели-
чинами, им пропорциональными. Так как синусы сто-
рон сферического треугольника пропорциональны си-
нусам противолежащих им углов, то из формул (27),
'(28) можно найти зависимость между его двумя сто-
ронами и тремя углами. ^
Обозначим величину, обратную Л/, буквой JV. Тог-
да согласно, формуле (25')
sine _ _1 дг
sinC- Μ ™ '
УДа «
sin α
=
sin α
sin Λ ~~
Ν sin A,
sin
sin
sin
Ъ
В
Ъ
N sin β, sin с = N sin С.
Подставив эти значения sin a, sin Ь и sine в фор-
мулы (27) и (28) и сократив все члены на N, полу-
чим шесть формул, устанавливающих зависимость
между двумя сторонами и тремя углами сферического
треугольника:
sin A cos В = cos Ъ sin С — cos с sin В cos A,
sin A cos С = cos с sin В — cos Ъ sin С cos Л,
sin В cos С = cos с sin A — cos a sin С cos 5,
sin 5 cos 4 = cos a sin С — cos с sin Л cos β,
sin С cos A = cos α sin В — cos b sin A cos C,
sin С cos В *= tos Ь sin Л — cos α sin β cos C.
429)
Разделив почленно соотношение (27) на равен-
ство
sin a sin В = sin Л sin 6,
54

вытекающее пз формулы (25), будем имбтЬ
«шв-!Щ!т·
cos с cos A
sin A sin A *
Полученное выражение напишем в виде
ctg В sin A = sin с ctg Ь — cos с cos Л,
или, в окончательной форме,
cos с cos A = sin с ctg Ь — ctg 5 sin A. ' r(30)
Соотношение (30) называется формулой четырех
элементов. Оно определяет зависимость между двумя
сторонами ж двумя углами сферического треугольника.
Общее число формул четырех элементов также равно
шести. Пять остальных формул получаются в резуль-
тате круговой перестановки элементов сферического
треугольника в формуле (30):
cos a cos В = sin a ctg с — ctg С sin В, Jj
cos b cos A = sin Ъ ctg с — ctg С sin Л,
cos b cos С = sin Ь ctg α — 'ctg Л sin C\ > (31)
cos с cos В = sin с ctg α — ctg Л sin 5,
cos α cos С = sin α ctg Ь — ctg β sin С
§ 11. Формулы половинных углов и сторон
Формулы половинных углов выражают углы сфе-
рического треугольника в функциях его сторон.
Из основной формулы (18) для стороны а сфериче-
ского треугольника ABC выразим величину cos Л:
* * А cos a — cos b cos с
cos А = . , . .
sin b sine
Вычтем из.единицы обе части этого равенства:
А л * cos a — cos Ъ cos с
1 ~~ COS Α — 1 — ■ —,■-, -- ■ '· ,»>«·
§in&sinc
Применяя известные тригонометрические формулы,
получим
η . г А - sin Ъ sin с + cos Ь cos с — cos α
и Sin -"л~ -■*
2 sin 6 sin б
55

Но так как
sin Ъ sin с -р cos Ь cos с = cos(6 —с),
то - ·
οα:„2·^ COS (ft — С) — COS a '
ΔΒΙΩ -j-~ siDbsinc '
Заменяя в числителе последнего соотношения разность
косинусов и сокращая на два, будем иметь
sin2-й- =
а+Ъ — с . а—Ъ-\-с
sin 5 v sin 9
sin 6 sin с
Далее обозначим через 2р периметр сферического
треугольника ЛВС, т. е. α + & + с = 2р. Отсюда бу-
дем иметь α + £ — с -\-2с = 2р или α + b^r с =
= 2(ρ —с) или а о P~~ci точно так же как
а η"" = ρ — Ь. Подставив эти выражения в предыду-
щую формулу, получим , «ν
с?„ 'Л — l/sin(p — c)sin(p—Ь) ,q9
Sill r^ - J/ - sin6sinc · ("J
Затем путем круговой перестановки элементов сфе-
рического треугольника ЛЯС получим аналогичные
формулы и для двух других его углов:
sin -ξ- = l/8in(P~a)Si-0(P~C). (33)
2 У sin α sin с ' v '
Bln 4- = τ/»Ι"(ρΤ«)»;»(ρΞ1. . (34)
2*. V sin α sin b v 7
Выполнив преобразования, подобные предыдущим,
MoatHO получить формулы для косинуса половинного
угла:
А , 4 4 1 COS Д — COS Ъ COS С
1 + COS А = 1 А :—г—: j
, ' * sin b sm с '
откуда
л * г ^ sin Ь sin с — cos Ь cos с + cos g
^C0S 2 sin & sin с ' -
далее " ^ ^
9rnQ2 4 _ cosfl—\;оз(6 + с)
^cos T sin 6sin с '
56

π, наконец,
. 2aini+±±i.einL+£z^
2 cos2 4- 2 2
2 sin & sin с
Затем, введя периметр сферического треугольника и
выполнив необходимые преобразования, получим
cos 4 = Vsiap.si" {?-a\ (35)
2 V sin &sinc . х '
Произведя круговую перестановку элементов сфе-
рического треугольника ABC, можно получить анало-
гичные формулы и для двух других его углов:
cos В удцшичр-ь) (36)
2 г sin л sine ' ч '
cos 4 = у!ЕЁЦШЕК.. (37)
2 г sin л sin b K '
Теперь из отношений синусов половинных углов к
косинусам тех же самых половинных углов находим
выражения для тангенсов половинных углов сфериче-
ского треугольника:
t A e l/sinCp — 6)sin(p — с)
sin ρ sin tp—α)
\gJL=, 1 Asin (P — a) sin (p — c)
. (38)
sin ρ sin (p— b) '
(39)
Iff — » ]/sin(p-a)sin(p-6) Mn
lg 2 К sin ρ sin (ρ-с) . · (4U)
Во всех формулах (32) —(40) взяты лишь положи-
тельные корни, потому что для треугольников Эйлера
ЛВС „
величины углов -тр -у и — не могут быть больши-
ми 90°. '
Полученные выражения для синуса π косинуса по-
ловинного угла позволяют найти формулу синуса це-
лого угла сферического треугольника в функции его
сторон.
Так как sin А == 2 sin -у-cos -у, то, подставляя
Вместо сомножителей в правой части их значения из
57

формул (32) и (35), будем иметь
sin A =
2 " -
~ sin b sin с к sin ρ sin (ρ - α) sin (ρ — 6) sin (p - с) (41)
и, аналогично,
sin/?=*
" sin Дin с ~^Sin У Shl (f? - fl> Sin (f? " d) Sifl ^ ~ C) ' (42)
sin С = ' ^
g sin «fain b ^siQ * Sin (p ~ a> Sin ^ ~ b>Sin <P ~~ C>' (43)
Формулы половинных сторон дают выражения для
сторон сферического треугольника в функции его уг-
лов и эксцесса. . ' , *
Для сферического треугольника' ABC эти формулы
выводятся из формул его половинных углов на основа-
нии свойств полярного ему сферического треугольни-
ка. Пусть имеется сферический треугольник ABC и по-
лярный ему сферический треугольник А\В\С\. В со-
ответствии с формулами (13) и (14) можно написать;
4i = 180°-a, ai = 180°-4,
Вх = 180? — Ь, Ьх = 180° - Ви
£1 = 180°-с, ci = 180°-C.
Периметр полярного сферического треугольника
А\В[С[ можно представить в виде 2р\ = а\ + b\ +t
+ ci = 180°-~4 + 180° - В + 180°-С= 360° —
— {А +В + С - 180°) = 360° - ε. Отсюда
Л=3180Р--5-.
Разности между полупериметром р\ сферического тре-
угольника AiB\C\ и его сторонами а\% Ь\$ с\ будут -г-*
Pi-ax = ft-(180е-4) «4 L,
Л-с1в'Л-(180*-С)=.С--|..
63

Наконец, пользуясь формулами половинных углов
сферического треугольника, можно написать
sin^=* sin (90°--§-)=
_ / 4n(g-j-).i.(*-j-) _
~ 2 ~ V sin (180° — В) sin (180° — С)~
J Sin (δ—§-)sin(<7 —|-)
К sin Я . sin С v '
cos^ = cqs(90°--£-W
и далее:
— Sln z "V sin (180° — β) sin(180е—.С) '
sin -o" sin (A — —J
sin В * s\n С
Разделив sin ~ на cos -|-f получим формулу для
тангенса половины стороны:
sin-n- · sini Л— -г-]
*4—i/ , „Λ W (46)
sin
sin i В— — j sin (С— -Tj-j
Аналогичным образом выводятся формулы тех же
функций для двух других сторон Ь и с сферического
треугольника ABC: \
J ъ · 1 / 8in"Tsin(B*-T"]
sin — sinjc — -у'J
Vein 2 eui i/-γ
- '—ьташг^.-'· (48)
Б9

, / sinlA — -9-] sinffl—-5- )
/ . sin-«-· sinlfi — -5-1
■*t-i/ ,Λ1(, f <51>
J/ sin (л—rj8,n(c-~j
/ sin-s-. sin (С —-5-)
tg^ = l/ —( м f m' (52)
Формулы половинных углов (32) —(40) и половин-
ных сторон (46) —(52) могут быть использованы для
определения сторон сферического треугольника подан-
ным его углам. Эти формулы Ипироко применялись при
вычислениях с логарифмами, но в настоящее время ис-
пользуются редко.
§ 12. Формулы Деламбра и аналогии Непера
Формулы Деламбра (независимо от него получен-
ные Гаусеом и Мольвейде) выражают зависимость
между всеми. шестью элементами сферического тре-
угольника.
Подставим в известную формулу тригонометрии си-
нуса полусуммы углов
8lnd+j?e8In^-cos-|. + coB -^-eln-f·. .
выведенные в предыдущем параграфе значения сину-
сов и косинусов половинных углов: . . '
sin ^ —
2
_ -./" sin (ρ — Ь) sin (ρ — с) ^ -/"sin p sin (p — 6) ,
У sin & sin с- * У** sin a sin с * ■ .
4- -ш/"*№ Ρ *'№ (Ρ — а) , Ι / sin (-ρ — a) sin (p — с)
"* У sin b sin с ¥ · ^ sin a sin с
60

Полученное равенство преобразуем к виду '
sin d+J?= sin(p — b) . "I/sin (Ρ— с) sin ρ .
2 sin с ' г sin a sin δ '
4- sin (ρ—α) i/sin(p— с) sinp
"s~in с V sin a sin 6 f
Но так как по формуле (37)
· y^in(p-C)sinP= С
' sin β sin & ^ '
то предыдущее равенство упрощается:
sta±b?=sin(£-1)>cos с sMp-oi -с
2 sin с 2 l sin с 2
Преобразуем затем правую часть последнего ра-
венства, представив sin(p'—: Ъ) + sin (ρ — а) по фор-
муле суммы синусов, a sin с — по формуле синуса
двойного угла: " - -
2р — а — Ь я — Ъ
. А + В 251П 2 ■•cos-g- с
sin -j-^ -— ; cos Υ.
2 sin -τρ cos -n"
Наконец, замечая, что
с ^. 2р — а — Ъ
sin -J· = Sin-^—^ ,
выполним сокращение в правой части последнего вы-
ражения и црлучим первую формулу Деламбра:
. А + В cos 2 . С ,-оч
sin —I— = — · cos -у. (53)
cos -j-
Апалогичным образом выводится и вторая формула
Деламбра:
* * . а—6
. л_£ sin 2 С ,-,ч
sm __ = _ . cos -ψ. . (54
sin -1 г
2
Gl

Третья и· четвертая формулы Деламбра выводятся
из известйой формулы тригонометрии:
.А + В - А В . А , В
cos ^ ~ — cos -γ cos -γ τ sin -γ- sin -у.
Выполнив такие же преобразования, как и при выво-
де первых двух* формул, получим
а + Ъ
А + В cos 2 - . С /ГГЧ
cos —±— = ^- . sin-j, (55)
COS ~2~
. а + Ъ
cos —g— = — . smy, (56)
sin —
Пользуясь формулами Деламбра, можно вывести
свойство 'однородности сферического треугольника Эй-
лера (§ 6). Например, в третьей формуле Деламбра
. € с
величины sin~ и cos~ всегда положительны, поэ-
тому для существования равенства требуется, чтобы
косинус полусуммы сторон и косинус полусуммы углов
имели бы одинаковые знаки, т. е. если ^-γ— больше,
равно или меньше 90°, то и ■ g ■ больше,- равно или
меньше 90°, или если а + Ь больше, равно или мень-
ше 180°, то и А + В больше, равно или меньше 180°.
Из формул Деламбра выводятся важные соотноше-
ния, называемые аналогиями'Непера. Аналогии Непе-
ра выражают зависимость между пятью элементами
сферического треугольника: тремя углами и двумя сто-
ронами .или двумя углами и тремя сторонами. Ими
пользуются для решения сферических треугольников,
когда известны две етороны и угол между ними, или
два угла и сторона между ними.
Если разделить первую формулу Деламбра (53) на
третью (55), а вторую (54) на^четвертую (56), то по-
лучим две аналогии Иепера для углов сферического
треугольника:
а — Ь
-:· 44-й cos Т~ Г
*^ = —;гтьс*Нг· - <57>
cos 9
62

j— n -sin-'-π— r
ein-g-
Еоли же разделить вторую формулу "(54)' на первую
г(53), а четвертую формулу (56) на третью (55), то
получим две аналогии Непера для сторон сферическо-
го треугольника: -. ч ■
' sin/4"*
1е^-=-^ш4^' (59)
2
Л — В
-II COS π™
cos —2~
Здесь дан вывод лишь четырех аналогий Непера
/ А + В Л —В - а + Ъ
I для углов —j— и —^—, а также для сторон ~— и
^—1, общее же чйслЬ их равно двенадцати. Про-
' А+С А —С
чпе восемь аналогии для углов —^—, —^—,
B+O В—С α+σ а —с
—j— и —— , а также для сторон —~, —^—»
—тр и -^ получаются в результате круговой пере-
становки элементов (букв) сферического треугольника.
Почленное деление третьей аналогии (59) Непера
на четвертую (60) дает контрольную формулу Гаусса:
(61)
используемую для проверки вычислении, вьшолняемых
по формулам Деламбра и аналогиям Непера.
Эту же формулу (61) Гаусса можно получить из
формулы синусов (25) ·
sin а sin Л
' sjnfc " sin В'
.63
. a + b
а — Ь
А + В
"~ А —В'

Из членов написанных отношений составим производ-
ную пропорцию
в\па + в[г\Ъ sin A 4- sin В
sin а — sin Ь sin А — sii* В
и преобразуем ее к виду
а+ъ в-б 0 . л±в Л-в
2 sin—γ- cos—j— 2 sin—g— cos—g— *
" д + 6 , a_6 " " Л + Я . Л —Я'
- -2 cos 2 sin о cos —z— slu —2—
откуда и приходим к выражению (61)*·
§ 13. Прямоугольные и прямосторопппе
сферические треугольники
Рассмотрим прямоугольный сферический треуголь-
ник ABC, у которого угол А = 90° (рис. 25). Его сто-
рона а, противолежащая прямому углу* А, называет-
ся гипотенузой, а стороны Ъ и с — катетами.
Рис. 25. w
>, Напишем формулу косинуса стороны а:"
cos a = cos Ь cos с + sin Ъ sin с cos А.
Так как А = 90°, то cos A = 0, и формула принимает
вид
cos α ■= cos b cos с. . (G2)
Последнее равенство выражает теорему Пифагора сфе-
рической геометрии и читается так: косинус гипоте-
нузы равен произведению косинусов катетов,
64

Теперь напишем другие, известные уже нам фор-
мулы сферической тригонометрии, содержащие угол А:
cos А ==я —cos В cos С + sin В sin С cos я,
cos β = —cos A cos С + sin Л sin С cos &,
cos С = —cos A cosi? +. sm Л sin В cos c, *
'(формулы (22)-(24) § 8), ■
• » . sin В . . , sin 67
sin о = sin a ~r—г tf sin с = sin α -^—τ,
sm
(формулы § 9), и, наконец,
cos с cos A = sin с ctg b — ctg В sin Л,
cos Ь cos A = sin δ ctg с — ctg С sin/1,
cos & cos С = sin b ctg α — ctg Л sin (7,
cos с cos 5 = sin с ctg α — ctg Л sin Z?
{формулы (30), (31) § 10)---
Но так как cos A = 0, ctg Л = 0 и sin A = 1, то
все написанные формулы примут весьма простой вид,
удобный для решения ' прямоугольных сферических
треугольников:
cos a = cos b cos cf
cos В == cos b sin С,
cos С = cos с sin 5,
sinb"= sin a sin β,
cosa = ctg В ctg C,
sin b = ctg С tg c,
sinc = ctgZitgb,
cos 5 = ctg a tg c,
sin с = sin α siu C, cos С = ctg a tg b..
(63)
Так как из пяти элементов (углов 5, С и сторон я, &,
с) прямоугольного сферического треугольника моэрно
составить только 10 сочетаний по 3 fС|= ^ *2'з = 10 Ь
то формулами (63) исчерпываются все соотношения
между его элементами..
В первой.из формул (63)"*левая часть (cos а) может
быть как положительной, так и отрицательной вели-
чиной. Если cos a > 0, то косинусы обоих катетов
5 Б. А. Волынский
65

должны иметь одинаковые знаки, а это может быть,
когда обе стороны меньше 90° или когда они больше
90°, Если же cos а < 0, что может быть йри а > 90°,
то косинусы обеих сторон, входящих в правую часть,
должны иметь различные знаки, что может быть тог*
да, когда одна сторона больше 90°, а другая мень-
ше 90°.
На основании сказанного приходим к выводу, что
в прямоугольном сферическом треугольнике или все
W*-ff 904
Рис. 26.
три стороны меньше #0°, или только одна сторона
меньше 90°.
В седьмой и восьмой формулах (6£) tg Ъ =
= sin с tg В и tg с = sin Ъ tg С, sin с и sin Ъ будут всег-
да положительны, поэтому в преобразованных форму-
лах знак у tg Ь будет тот же, что и у tg Bt а знак у
tg с тот же, что у tg С. Отсюда можно заключить, что
катеты прямоугольного сферического треугольника и
углы, им противолежащие, всегда располагаются в од-
ной и той же четверти круга.
Французский математик Модюи предложил удоб-
ное правцло^для^аполшнания приведенных выще фор-
мул* Заменив катеты прямоугольного сферического
треугольника их дополнениями до 90°, и расположив
по окружности пять элементов- а7 С, 90° — Ь, 90° — с,
В (прямой угол А исключается из счета), получим
фигуру, каждый элемент которой имеет два соседних
элемента и два дальних (рис. 26). Тогда формулы· (63)
66

можно переписать в таком виде:
cos a = sin (90° — b) sin (90° — с),
cos Я = sin (90° — b)sinC,
cos С = sin (90° — с) sin B$ \ (64)
cos (90° — b) = sin a sin B,
cos (90° — c) — sm a sin C,
т. е. косинус каждого элемента прямоугольного сфери-
ческого треугольника равен произведению синусов
двух дальних элементов.
Далее:
cos α = ctg В ctg С, )
cos (90° — b) = ctg С ctg (90° — c),
cos (90° — c) = ctg 5 ctg (90° — b), | (65)
cos В = ctg a ctg (90° — c),
cos С = ctg α ctg (90° — b),
т, е. косинус среднего элемента прямоугольного сфери-
ческого треугольника равен произведению котангенсов
двух крайних его элементов, если все эти три элемента
лежат рядом.
Иногда это правило называется просто «правилом
Непера» или «правилом Модюи».
' Короче эти правила, называемые правилами Непе-
ра— Модюи (не путать с аналогиями Непера!), мож-
но сформулировать следующим образом: косинус каж-
дого элемента прямоугольного сферического треуголь-
ника равен произведению котангенсов смеэюных с ним
элементов или произведению - синуЪов дальних эле-
ментов.
Первое из уравнений (64) дает связь между гипо-
тенузой и катетами прямоугольного сферического тре-
угольника
cos о* = cos Ъ cos с (66)
Ζ называется сферической формулой Пифагора,
Между некоторыми формулами плоского и сфери-
ческого прямоугольного треугольников существует
большое сходство, которым можно пользоваться для их
запоминания:
5*
67

Прямоугольные треугольники:
а) плоские
sin В = -J-,
cos В = —,
tg5 = -ft
6} сферические!
sin 5 =
cos В =
tg-s =
sin h
sin α '
tgc
tgo '
tgb
tgo '
(67)
Сферический треугольник, в котором одна из его
сторон равна 90°, называется прямосторонним. Все за-
висимости между сторонами и углами лрямостороннего
сферического "треугольника выводятся или с помощью
полярного ему прямоугольного сферического треуголь-
ника или же из основных формул (18) —(20), если
принять в них одну из сторон равной 90°.
Ограничимся в качестве примера выводом одной
формулы для решения црямостороннего сферического
треугольника каждым из этих методов. Пусть нам дан
сферический треугольник ABC, одна из сторой кото-
рого, например, а'= 90°. Построим полярный данному
сферический треугольник A\BiCi (рис. 27).
По свойству взаимно полярных сферических тре-
угольников (§ 5) имеем: а + А\ = 180 « Но так как
63

а ="бО°, то и А\ = 90° и, следовательно, сферический
треугольник А\В\С\ является прямоугольным.
Далее, по правилу Непера— Модюи напишем:
cos а\ —ctg Вх ctg Си но так как й\ = 180° — Л,
Z?i = 180°— Ь и Ci = 180° — с, то предыдущее соот-
ношение^ принимает вид
cos(180° - А) =* ctg(180° - b)ctg(180° - с). .
или
cos A = —ctg Ъ ctg с.
То же самое получим, если положим в формуле (18)
а = 90°:
sin Ъ sin с cos A = —cos Ь cos с
или
cos Л = —ctg Ь ctg с. .
Применяя аналогичные методы, можно получить
десять формул, устанавливающих/ зависимости меясду
элементами прямостороннего сферического треуголь-
ника:
cos A =s— cos В cos С,
sin B = sin A sin Ь, *
sinC = sin A sin с,
tg 5 = — tg A cos с, tg В = tg b sin С,
tg С =s — tg Аъбв Ь, tg С = tg с sin β,
cos Л — — ctg b ctg с, ]
cosb = cos В sin c,
cos с = cos С sin b.
(68)
(70)
— § 14, Площадь сферического треугольника
Предварительно выведем формулу площади сфери-
ческого двуугольника САВВ (рис· 28). Непосредствен-
но из рис. 28 видно, что его площадь пропорциональна
дуге окружности АВ большого круга сферы и опреде-
ляется из пропорции
Q vAB°
4лда ~ 360° '
где Q — площадь сферического двуугольника CADB.

* * АВЬ
Отсюда Q = nR2-^p-, или
^лЯ1^ <71)
где С — сферический угол при вершине С. двуугольни-
ка, измеряемый дугой АВ.
Для определения площади S сферического тре-
угольника ABC (рис. 29) дополним его стороны АВ,
ВС и АС до полных окружностей, соответственно,
ЛВАхВи ВСВхСхъАСАхСи Тогда
ВС + СВХ = 180°, АС + АС{ = 180°,
. ВС + ВСг = 180°, Л С + СА{ = 180&, -
откуда следует: СВ\ = ВС\-та. АС\ = СА\. '
Выберем на сфере три двуугольника: 454jC, BAB\C
и двуугольник, состоящий из треугольников АВСт и
ABCXf ограниченный дугами окружностей большого
Рис. 28. * Рис- 29.
круга АА\ и ВВ\% равными по 180° каждая, пересека-
ющимися под углом С. Определим площади Qx, Q2 и @з
этих двуугольников:
Qx = ААВС + ААХВС - π*2 -А.,
. ρ, = АЛЯС + Δ АВгС =ЪД2 ^-, "
<?з = ААВС + А45СХ = π£2 -^
70

Теперь найдем общую площадь всех трех двууголь-
ников:
& + Qi + <?з = 2ААВС + ААВС + ААгВС +
+ ААВгС + ААВСг = uR\A\^+C.
Из рис. 29 видно, что \jAC\ = kjA\C, \jBC\ =
= \jB\C и /-АСВ = Z-^CiZ? = 2-AiCBi равны между
собой. Поэтому согласно §,7 сферические треугольники
АВС\ и А\В\С равны? Легко видеть (см. рис. 29), что
суммарная йлощадь сфери'ческих треугольников ABC,
А\ВС^АВ\С и ABG\ равна площади полусферы и по-
этому
2ААВС LJ^(A + B + С) — 2лЛ2 '
или . .
2ААВС =**L(A + B + C- 180°).
Но -из § 4 известно, что величина в скобках — это экс-
цесс сферического треугольника ε, поэтому окончатель-
но получаем* __
ААВС = ■?§-*. (72)
Следовательно, площадь сферического треугольника
пропорциональна его эксцессу. Таким образом, для вы-
числения площади сферического треугольника надо
(кроме радиуса R сферы) знать его эксцесс.
Из формулы (72) очевидно также, что площади
сферических треугольников, расположенных на одной
и той же сфере, относятся как их эксцессы. Иногда
у малых треугольников эксцесс удобпео вырайсать не
в градусахг а в секундах, т. е. 180° следует заменить
па 180.·60·60". Тогда формулу (72) можно переписать
в виде
A^g-180"y.V = &,/i?8sinlff·
Здесь площадь' сферического треугольника выражена
в квадратных единицах, принятых для R. Но прпД=1
выражение 18Q oq.qq представляет собой длину дуги
в 1". В этом случае формула (72) упрощается:
~ААВС = E"sinl" (720
71

и* площадь сферического треугольника выражается в
отвлеченных квадратных единицах или в радианнои
мере. Если радиус выражен в градусах (Л=57°, 2957...),
то площадь сферического треугольника будех выраже-
на в квадратных градусах. * _
Выведем две формулы, определяющие эксцесс сфе-
рического треугольника в зависимости: 1) от трех его
сторон и 2) от двух сторон и угла, между ними заклю-
ченного.
Возьмем первую формулу Деламбра (53):
• лцг. <«!=±
cos-£ cos-L.
С ♦ 180° · С
и, заменив в ней cos -тр на sin—^ . , составим про-
изводную пропорцию
. А + В . 180°— С ппа а—Ъ Гпа с
sin—Χ— — sin -—- cos __ —cos —
*] A + B , '. 180° — С ** a— b , с *
i sin д у +sm—-Ц—- - cos υ +co.C
Далее, используя формулу сумм и разностей триго-
нометрических функций, будем иметь
2cosl(A + B— С + iSQ°)sinl (A+ В + С — 180°)
4 4
2sin 1 {А + В— С + 180°)cosl (Л + 5 + С — 180°)
4 4
2 sin Α(α — & + с) siibA (a — & — с)
4 4
1 1
2 cos -- (α — Ь + с) cos -- (α — Ь — с)
4 4
Теперь, упростив полученное соотношение, найдем
ctg-i (Л + Я-С + 180°) tgjε = '
= -tgi(a-b + c)-tgl(a-b-c). (Й)
Но так как (Л + Я — С+480°) = Л + £ + <7 —
-180ο-2<7 + 360ο = ε-2£ + 360°, * а—Ъ+с=
72

= 2(ρ — Ь) ий-Ь-с ==-— 2(ρ — α)*, где ρ — полупе-
риметр сферического треугольника, то равенство (73)
принимает вид
tg-j ДО- ε) tg{ ε - tg| (/> - Ь) tg4 (Ρ - «)· (74)
Выполнив аналогичные преобразования третьей
формулы Деламбра (55), получим соотношение
ctg-J (2С- ε) tg| ε = tg I p tg i (p - с)Г (75)
Наконец, перемножив почленно два последние равен-
ства (74) и (75), находим окончательно
\g*±-B=\g±pigj(p-a)tgj (р-Ъ) tg±(p-c).
(76)
Соотношение (76), выражающее эксцесс сферического
треугольника через его стороны α, δ и с, называется
формулой Люилье,
Для вывода формулы эксцесса сферического тре-
угольника в зависимости от двух сторон и угла, между
ними заключенного, напишем формулы (46) и (51)
тангенсов подовинных сторон а и Ь сферического тре-
угольника:
ш. а
/■1п|.1п(л-«)
sin(*-!)sin(c-r)'
'Ζ" Sin-i.sin(g-|) ^
|/ -rtn(^)dn(C-|)'
Перемножив два последних выражения почленно, по-
лучим
sin 4 sin-
?2 ?2 ein(c^i) sia С cos JL - cos С sin | "
sinCctg^. —cos (7
73

Отсюда имеем
sinCctg — — cosC = ctg-| ctg —,
после чего находим конечную формулу : -
\ ' «*?- suTc · <77>
Чтобы сделать формулу (77) удобной для логариф-
мирования, вводят вспомогательный угол φ, полагая
ctg -| ctg j = sin C ctg φ,
после чего ее правая часть приводится к однрчленнои
форме:
pffT ε _ sin (С + φ) π~λ
CtgT" sin φ sin С" ·<78)
Наконец приведем еще простой вывод эксцесса ε
сферического треугольника в функции его трех сторон
а, Ь, с и угла С, лежащего против одной из них.
Возьмем две формулы, (45) и (47), для синусов по-
ловинных сторон J- и — сферического треугольника
/sin-i sin [Л — -S. ]
_3 \ U
- sin В sin С
sin
Δ ψ
Г
2 W sin A sin С
и перемножим их почленно:
1Т8Ш 2"= sinC " f sin^sinB
sin-
Hp так как согласно формуле (50)
/
.|,(чд-4)>;.(в-|) с
sin A sin В — cos "о"»
74

то предыдущее соотношение приводится к виду
sinIsmI=-itoc»C032'
откуда и приходим к рабочей формуле
а · Ь
sin — sin —
8 2 2 · η
sxn -- = - — 81П Сл
2 с
cos —
(79)
называемой первой формулой Канъоли.
§15. Узкие и малые сферические треугольники
Сферический треугольник называется узким, если
одна из 4то' сторон мала сравнительно с двумя другими
сторонами (рис. 30). В этом случае (§ 6) против малой
стороны с в сферическом треугольнике ABC будет ле-
жать также малый угол С. Узкие
сферические треугольники нель-
зя решать как плоские треуголь-
ники, но к решению их применя-
ются упрощенные формулы.
Опустив из вершины угла Ву
прилегающего к малой стороне с,
сферический перпендикуляр с\ на
противолежащую этому углу сторо-
ну Ь, разделим сферический тре-
угольник ABC на два прямоуголь-'
ных сферических треугольника
ABD и BCD.
Треугольник ABD со сторонами
с\, Ъ\, с решается как плоский
прямоугольный треугольник, по
формулам
bi=^ccosA; с\ = сзтЛ;
^ABD = $Q° — A.
Прямоугольный сферический треугольник BCD ре-
шается по упрощенным формулам сферической триго-
нометрии, выводимым в дальнейшем.
Напишем, применительно к нашемуч случаю, послед-
нюю из формул (63):
tg Ь2 = tg α cos С.
Ряс. 30.
75

Вычитая из обеих ее частей, а затем прибавляя it ним
величину tg α, получим
tg Ь2 — tg a = tg a(cos С — 1),
tg Ь2 + tg a = tg a(cos С + 1), *
Разделив почленно первое из этих двух соотноше-
ний на второе, получим выражение
tg&a — tga _ cos С— 1^ '
tg Ъг -f tg a ~" cos С + 1 *
которое можно представить в виде
— sin*iL '
sin (ft,— a) L —_♦»*-£. Χ
sin(62 + <x) ^ 2£ - lg 2·
2-
Но, поскольку угол С мал, cos С близок к единице
и катет Ь2 мало отличается от гипотенузы а, величины
sin(£>2 — ct) и sin(£>2 + #} мож'на заменить соответствен-
но величинами Ьг-ап sin2α, после чего предыдущее
равенство примет вид
Ьг — а = — tg2 -j sin 2α,
или, иначе,
(Ь2-а)" =
tg24jLsin2<z .
sin Г ■ *
Представляя для малого угла С величину tg2 -γ как
-^-sinM", окончательно находим
(а - Ь2)" = ^ sin Г sin 2а. (80)
Отсюда заключаем, что с точностью до членов первого
порядка малости гипотенуза а узкого прямоугольного
сферического треугольника BCD равна его катету Ь2.
Для того же треугольника BCD 'на основании фор-
мулы синусов (25) можем написать
sin с\ = sin a sin Ct
76

Но ввиду малости величину а и С можно заменить
sinci через ci, a sin С через С и тогда получим.
a = Csina * (81)
пли, заменяя гипотенузу а катетом Ь2, найдем
с\ = С sin b%m
Для вывода приближенной формулы .эксцесса сфе-
рического треугольника ABC обозначим его внешний
угол через А\ π тогда А\ = 180° — Д.Но так как
е=Л+Б + Сг —180°, то эксцесс можно выразить со-
отношением-
г = С + А+ 180° ^А{-180° = С^(АХ-А).
»
Но Ах-А = i80° - В - А = 180о-(В{ + 9<Г - А) -
-^ А = 90° — В\\ отсюда
e = <7-(90°-5i)\
В последнем равенстве угол В\ принадлежит прямо-
угольному сферическому треугольнику BCD и для него
по правилу Непера — Модюи можно написать
*
cos B\ = cos Ь2 sin С
или, иначе, \
sin (90° — Si) = cos b2 sin С —^
Но так как В\ мало отличается от 90°, то синусы
малых углов 90°~Sj и С можно заменить самими
углами и тогда
90° —J?! = Ccosb2.
Отсюда
ε =» С — С cos Ьа = С (1 — cos &2) = С (1 — cos α) =
• \ ~2<7sin2J-,
■т. е.
e = 2Csin2|f (82)
Приближенная формула (82), выражающая эксцесс
узкого сферического треугольника АВС% является точх
ной формулой для вычисления'эксцесса прямоугольного
сферического треугольника BCD. Пренебрегая при вы-
77

воде формулы (82) величинами второго порядка мало-
сти, мы пренебрегаем эксцессом элементарного прямо-
угольного сферического треугольника ABD.
Сферический треугольник считается малым, если
стороны его весьма малы, сравнительно с радиусом сфе-
ры, на которой он расположен. ·
В математическом анализег для тригонометрических
функций sinx, cos л:, %gx выводятся следующие беско-
нечные ряды:
sina:=:r — -fj-+ "ff-1- -fy+ ·<·. (83)
coe*-*i—£ + £-■£+..., (84)
tgx = x + ±x'+^x> + g-5Xi+..t (85)'
Если требуемая точность вычислений* такова, что
величиной ж3, как величиной третьего порядка малости,
можно пренебречь, то сферический треугольник можно
рассматривать как плоский, - а тригонометрические
функции малых сторон примут вид
sin х = х, cos x = 1 £-, tg x = x.
Тогда имеют место соотношения
siO = siO = ЦБ7?' ^86)
как в плоском треугольнике, при этом формула
cos a = cos Ь cos с + sin Ь sin с cos А обращается в
i~i-(i-4)(i-4)+»»i'·-
= 1 2 Г ~*~ "Т" "^ cos
Если пренебречь членом —— как величиной четвертого
порядка малости, то получим
а2 = Ь2 + с2 - 26с cos Л, · (87)'
как в плоском треугольнике,
78

Точно так же формула sin a cos В = cos Ь sin с —
— sin b cos с cos А обращается в
a cos В = с — & cos -4,
(88)
как 3х плоском треугольнике. Величина допускаемой
при этом ошибки зависит от задаваемой точности, ко-
торую можно определить из табл. 4.
Таблица 4
х—sin х
ОМ'
1'
*"
ОМ
0",01
0",001
при
х =
12°33'
654
146
0,49
0 23
011
tgx—х
ом
1'
1"
ом
0,01"
0,001
при
9°5Г
5 29'
124
0 39
018
0 8,5
i—COS*
од
0,01
.0,001
0,0001
0,00001
0,000001
при .
25°51'
807
234
049
015
0 5
Для малых треугольников имеет место теорема
Лежандра, дающая несколько более точное решение»
которую приводим без доказательств (рис. 31):
Малый сферический треугольник можно прибли-
женно вычислять как плоский, имеющий те же по
величине стороны, а каждый из его углов на треть экс-
цесса ε*) меньше, Чем соответственный угол сфериче-
ского треугольника.
*) Доказательство теоремы см. в книге Η. Н. Степанова
«Сферическая: тригонометрия», Гостехиздат, 1948.
79

Иными словами, если имеются малый сферический тре-
угольник с углами А, В и С* и сторонами а, Ъ и с и пло-
ский треугольник со сторонами а, Ь, с, а радиус яферы
равен единице, то углы плоского треугольника А\% В\
и С\ определятся из 'соотношений
А1 = А-±-,В1=В—j-nd-C g-, (89)
пли
При этом, поскольку Л + В + С== 180° + ε, а сум-
ма углов плоского треугольника А\ + Si + С\ = 180°,
. (Л+£ + С)-(Л1 + 51 + С1)=е.
Если радиус сферы равен R, то, поскольку эксцесс
связан с площадью сферического треугольника S фор-
мулой ε" = да8?д1»1 имеем Л -^ 5 + С — <4Х — Яг — Сх =
S
~ /iasinl" ' а т^кжо
3fl2sinlff ' "1_~ 3/22sinl" '
С-С * (90)
Вычисление πα теореме Лежандра сферических тре-
угольников со сторонами до 200 км, лежащих на зем-
ной поверхности, приводит к ошибке в углах, не пре-
вышающей 0/л,01.
^ *В геодезии при вычислении треугольников,■" отне-
сенных к поверхности сфероида вращения, можно ма-
лую часть его поверхности принять за часть -поверхно-
сти сферы, описанной радиусом, найденным по форму-
ле Грунерта, % i
^ Дср = у1Щ '- (91)
в которой Лср есть 'среднее геометрическое из радиусов
кривизны сечений сфероида Μ по меридиану νΓ Ν по
первому вертикалу, сделанных в средней точке сферо-
идического треугольника. Эти радиусы кривизны вы-
числяются по формулам: для сечения по меридиану
60 " ^

м "-ad— е-)
^ /г е2 * 2 Лз/2 ' Для сечения по первому вертикалу
N = — . 1У2 , где a — большая полуось сферой-
(1 — ва8ш2ф)1/
да вращения, е — эксцентриситет его меридианного сече-
ния, а φ — широта средней точки сфероидического тре-
угольника.
В картографии Землю вместо сфероида вращения
с полуосями а и Ь часто принимают за сферу радиуса:
R0 = VMN.
§ 16. Дифференциальные формулы
сферической тригонометрии
.' При решении сферических треугольников по данным,
полученным в результате измерении, бывает необходимо
рассматривать зависимость между малыми измерения-
ми величин различных элементов сферических тре-
угольников, например, учитывать влияние ошибок из-
мерений- на значение искомых величин. Пусть величины
Ъ9 А и В известны точно. Сторону а можно получить
по формуле (25), записанной в виде
sin a sin В = sin Ъ sin А. (25а)
Предположим теперь, что величины Ъ, А и В требуют
if оправок Δ6, Δ Л и АВ. Если производить вычисления,
используя значения b + АЬ, А + АА, В + АВ, то по-
лучим не искомую величину а, а некоторое новое зна-
чение а + Δα, определяемое из уравнения
sin (a + Δα) sin (В + АВ) = -
= sin (Ъ + Δ6) sin (Л + АА). (256)
Нам требуется знать, как величина Δα связана
с поправками Δ δ, АА, АВ. Эту связь мы получим, если
вычтем уравнение (25а) из (256). Но такое вычитание,
если пренебречь квадратами и произведениями малых
величин Δα, АЪ, АА и АВ, равносильно дифференциро-
ванию уравнения (25а) и замене диффоренциалов ма-
лыми конечными приращепиями. Для этого выводятся
дифференциальные уравнения сферической тригоно-
метрии.
6 Б. А. Волынский 81

Чтобы оценить влияние малых изменений того шгп
другого элемента, нужно определить коэффициент пе-
ред этим малым изменением. Для уменьшения влия-
ния этого изменения необходимо условия задачи
выбрать так (если это возможно), чтобы коэффици-
ент перед этим малым изменением имел наименыпеэ
значение·
I. Зависимости между малыми изменениями
одного угла и трех .сторон
сферического треугольника
Напишем формулу (18) косинуса стороны сфериче-
ского треугольника, выражающую зависимость между
четырьмя его элементами,
cos a ?= cos Ь cos с + sin Ъ sin с cos A
и продифференцируем ее, считая, что все .элементы
сферического треугольника изменяются независимо
друг от друга:
sin a da = (sin Ь cos с — cos Ъ sin с cos A) db +'
+ (sinccos b — cos csin bcos A)dc-\- sin, b sin с sin A dA.
Но по формулам (27) и (28) пяти элементов имеем
sin b cos с — cos b sin с cos A = sin a cos C,
sin с cos b — cos с sin b cos A = sin a cos 5,
поэтому, сделав замену величин, стоящих в круглых
скобках предыдущего равенства, получим
sin ada = sin a cos С db + sin a cos В dc +
+ sin b sin с sin A dA.
Разделим обе части полученного соотношения на sin а:
rfa^cos С db + cos В dc + 8ln *sl"''slDA dA. .
1 i sin a
Наконец, заменпв по формуле (25) синусов отношение
sin A
ρ— в третьем слагаемом последнего равенства на
82 —

βΤηΤ» на*°Дим окончательную формулу (и аналогично
две другие формулы)
da = cos С db-\-co$B dc + sin с sin В dA, 1
db = cos A dc-\-cos€ da-\- sin a sin С dB, > (92)
tfc— cos'5 da*+cos^ db + sinbsin^ dC J
И. Зависимости между малыми изменениями
одной стороны и трех углов
сферического треугольника
По свойствам полярного треугольника [формула
(14)] можно написать
а =
откуда
180°-
da =
-Ah
—dAi,
Ъ =
db
180°
=з 1_
-Si,
-dBu
с =
dc =
180°-;
-dCx.
(93)
Заменяя написанные значения дифференциалов ко*
нечными приращениями и учитывая, что мы не накла-
дывали никаких ограничений на полярный треуголь-
ник, который поэтому можно рассматривать как произ-
вольный, отбросим индексы при углах, подставим их
выражения в формулы (93) и найдем искомые за-
висимости: 1
. dА = — cos с йВ — cos Ь dC -f sin С sin Ь dai ]
dB = — cos a dC — cos с dA -J- sin A sine db, 4 (94)
dC = — cos b dA — cos a dB + sin В sin a dc. J
III. Зависимости между малыми изменениями
' угла и противолежащей ему стороны
сферического треугольника
Чтобы определить зависимость между малыми изме-
нениями угла А и противолежащей ему стороны а сфе-·
рического треугольника, напишем формулу (25) сину-
сов в виде произведения:
sin A sin Ъ = sin В sin a
И продифференцируем ее обе части, считая величины
А и а переменными;
dA cos A sin 6 = da sin В cos a.
6* 83

Разделив полученное соотношение на предыдущее,
найдем
ctg AdA = ctg a da. (95)
Аналогично выводятся формулы и для других · углов
и сторон: *
cigB dB^ctgb дЬЛ
ctg 6f dC = ctg c dc.j <96)
IV. Зависимости между малыми изменениями
'двух сторон и противолежащих им двух углов
сферического треугольника ^
Для получения зависимости меясду малыми изме-
нениями четырех . элементов a, i и Л, В сферического
треугольника, продифференцируем ту зке формулу (25)
синусов
sin A sin Ъ = sin В sin α,
считая все четыре элемента а, Ь, А, В переменными
величинами:
cos A sin b dA + cos b sin A db =
= cos В sin a dB + cos a sin В da.
Аналогичным образом получаются формулы для со-
четаний элементов а, с и Л, С, а также Ь, с и 5, С,
V. Зависимости между малыми изменениями
одной из сторон и трех углов
сферического треугольника
Наконец в астрономии имеет место случай, когда
две стороны сферического треугольника сохраняются
неизменными, тогда как все прочие его элементы изме-
няются. Считая, например, стороны а и b постоянными
величинами, можно из системы формул (92) найти
искомые зависимости в качестве их частных случаев:
dc = — sin ctg В dA, )
dc = -sinasi?CdB
cos Л
dc = sin b sin A dC%
(97)
84

ГЛАВА IV
РЕШЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
§ 17. Общие замечания о решении
сферического треугольника
Решить сферический треугольник это значит найти
все его элементы по заданным. Кроме того, иногда тре-
буется найти некоторые дополнительные элементы,
например, площадь сферического треугольника, сфери-
ческий избыток ит.п.
Каждый сферический треугольник содержит шесть
элементов; чтобы -решить треугольник, нужно знать
три из них» Общее число различных вариантов мо-
жет быть найдено как число возможных сочетаний из
шести элементов по три:
гз _ 6x5x4 оп
Ce~lX2x3-^'
Эти сочетания имеют вид: abc, аЬА% аЪВ, аЪС, асА, асВ,
асС, ЬсА, ЫВЩ ЪсС, ABC, ABa, АВЪ, АВс, АСа, АСЪ,
АСс, ВСа, ВСЪ, ВСс. Из этого перечисления видно, что
многие из этих двадцати сочетаний имеют одинаковый
геометрический смысл. Например, сочетания аЬС, ЪсА,
саВ есть сочетания двух сторон и угла между ними.
Понятно, что решение треугольников во всех этих слу-
чаях выполняется аналогично, а формулы получаются
круговой перестановкой. Поэтому эти двадцать сочета-
ний сводятся к шести основным вариантам решения
сферического треугольника:
1) по трем сторонам а, Ь, с;
2) по трем углам Ау В, С;
85-

3) по двум сторонам и углу между ними α, δ, С;
4) по двум углам и стороне между ними а\ Я, С;
5) по двум сторонам и углу, противолежащему од-
ной из них α,'δ, А\
6) по двум углам и стороне, противолежащей од-
ному из них а, А, В.
Варианты 5 и 6, строго говоря, представляют собой
по два варианта каждый, поскольку противолежащий
элемент может быть выбран двояко, однако это не вли-
яет на ход решения.
Прежде чем приступить к решению - сферического
треугольника, нужно проверить, соответствуют ли за-
данные элементы условиям существования -такого тре-
угольника. Эти условия были выведены в параграфах
4, 5 и 6. Кратко они могут быть выражены следующим
образам:
1) Сумма двух сторон сферического треугольника
должна быть больше третьей, т. е. α + & > с, b-\-c> a
й с + а > Ь.
2) Сумма трех сторон сферического треугольника
должна быть больше нуля и меньше 360 традусов, т. е.
0<а + Ь + с< 360°.
3) Сумма трех углов сферического треугольника
должна быть больше 180 и меньше 540 градусов, т. е·
180°<Л+В + С<540°.
4) Сумма двух углов без третьего должна быть
меньше 180°, т. е. А + В - С < 180°, В + С — А < 180°
пС + Л-В<180°.
5) Если сумма двух углов сферического треуголь-
ника больше, равна или меньше 180°, то и сумма двух
противоположных им сторон соответственно больше,
равна или меньше 180°, т. е. *~
если А + В > 180°, то и а + Ь > 180°,
если А + В = 180°, то и а + Ъ = 180°,
если А + В < 180°, то и а + Ъ < 180°.
6) Если разность двух сторон сферического тре-
угольника больше, равна или меньше нуля, то и раз-
ность противолежащих им углов соответственно боль-
ше, равна или меньше нуля, т. е.
если α — Ь > 0, то и 4 — -В > О,
если а — Ъ = 0, то и А — В = 0",
если α — & < 0, то и Л — В <0.
86

Кроме того, при решении следует помнить, что
в сферическом треугольнике против большего угла ле-
жит большая сторона.
При решении прямоугольного сферического тре-
угольника должны удовлетворяться еще два дополни-
тельных условия, выведепные в параграфе 13:
7) Число сторон, больших -90°, должно быть четное,
а меньших 90° — нечетное.
8) Катет и противолежащий ему угол, всегда ле-
жат в одной четверти круга.
По мере' вычисления искомых величин необходимо
проверять, удовлетворяют ли наиденные величины
вместе сданными всем указанным выше условиям су-
ществования сферического треугольника. Результаты
решения, не удовлетворяющие этим условиям, должны
быть отброшены. Может оказаться, что все решения
непригодны и при данных значениях элементов суще-
ствование сферического треугольника невозможно. На-
пример, при решении сферического треугольника по
двум сторонам а = 49°, Ь = 31° и углу А = 151°
для угла В находятся два значения: В\ = 39°23' и
В2 = 140°47'. Оба они непригодны, так как сумма
сторон а + Ь = 130° < 180°, тогда как сумма противо-
лежащих им углов в обоих случаях будет А + В\ =
= 190°23' > 180° и А+В2 = 291°47' > 180°, что
нарушает условие 5 существования сферического тре-
угольника.
Искомый элемент может определяться через раз-
личные тригонометрические функции. Если неизвест-
ный элемент определяется по тангенсу и котангенсу,
то, с учетом ограничений Эйлера, решение всегда воз-
можно, поскольку обе эти функции могут принимать
все.числовые значения в интервале от — оо до +оо.
При этом . решение будет единственным, так как при
положительных значениях тангенса и котангенса
(в первой четверти) искомый элемент будет мень-
ше 90°, а при отрицательных значениях (во второй
четверти)— больше 90°.
Когда искомый элемент вычисляется по синусу, то
решение возможно лишь в том случае, если синус
больше нуля, но не превышает единицы. Если это име-
ет место, то находятся два результату, поскольку поло-
жительному значению синуса удовлетворяют два угла:
87

один меньший 90° и другой, служащий дополнением
первого до 180°.
Когда искомый элемент вычисляется по косинусу,
то решение возможно, если его величина заключается
в пределах от +1 до — 1. При возможности решения
оно будет единственным, так как положительному и
отрицательному значениям косинуса соответствует по
одному углу, лежащему в первой и второй четвертях
круга.
Следующим этапом является выбор формул для
решения данного сферического треугольника. Этот вы-
бор осуществляется как с учетом сказанного выше, так
и с учетом некоторых ф правил, изложенных в следую-
щем параграфе,
Перед выбором формул бывает полезно провести
приближенное оценочное решение сферического тре-
угольника с точностью до 1°—2°. Такое решение моя?-
но осуществить πη любым формулам с точностью до
3—4 знаков, например, с помощью логарифмической
линейки или стереографической сетки, описанной
в § 19. Приближенное решение помогает выявить, ха-
рактер определяемых элементов'и облегчает выбор <|>ор-4
мул для точного вычисления. Особенно полезно бывает
провести приближенное вычисление при массовом вы-
числении близких меягду собой сферических треуголь-
ников.
Иногда бывает выгодно преобразовать формулу. Ес-
ли, например, по данным элементам а, Ь, С надо опре-
делить с, то при условии, что сторона с не близка к 0
пли 180°, можно применить формулу косинуса стороны:
cos с = cos a cos Ъ + sin a sin Ь cos С.
При малых значениях с эту формулу можно преобра-
зовать:
1 — cos с = 2 sin2 -|* =
. =1 — cos a cos Ъ
= 1 — cos (а —
— sin a sin Ь 1 — 2 sin2 -
■-
- Ъ) + 2 sin a sinЪ sin2 -у =
= 2 sin2 ^~ f 2 sin a sin b sin2 -J:,
88

или, окончательно,
sin2 ~ = sin2 i^i + sin α sin b sin2 -£-. (98)
Но последняя формула (99) невыгодна, если с близко
к 180°. В таком случае надо вычесть обе части получен-
ного равенства (99) из единицы:
cos2 ~ = cos2 i~ - sin a sin Ъ sin2 -|-. (99)
Особенно часто приходилось совершать подобные
преобразования при вычислениях с логарифмами, когда
применение формул, содержащих суммы или разности,
представляло значительные трудности. Поскольку в на-
ше время все вычисления выполняются на электронных
счетных машинах или арифмометрах, к преобразовани-
ям формул прибегают реже. Однако метод преобразо-
вания основных формул сферической тригонометрии
остается в арсенале вычислителей и сейчас.
Для выполнения самих вычислений составляется
схема вычислений, т. е. удобное размещение чисел, ко-
торые в ходе вычислений должны участвовать в опера-
циях сложения, вычитания, а главное, умножения и
деления. Поскольку все вычислительные машины и
арифмометры имеют счетчик дамяти, в который может
быть помещен промежуточный результат, некоторые
промежуточные величины можно не вносить в схему.
Это, в частности, относится к таким операциям, как
тройное умножение и деление, т. е. операциям типа
х = а · Ъ · с или х = —'—, когда нет необходимости запи-
с
сывать произведение а · Ь. Наоборот, если в формуле
участвует операция сложения или вычитания, такое
промежуточное произведение бывает целесообразнее
записать. Впрочем, это чаще всего зависит от конкрет-
ных . свойств используемой вычислительной машины,
а также от того, что требуется вычислить.
Если в ходе вычислений определяемый элемент по-
лучается не однозначно, то бывает необходимо прове-
сти анализ полученных величин: нужно определить,
какое решение (или несколько решений) удовлетворяет
условиям существования сферического треугольника.
Заключительным этапом решения является конт-
роль вычислений. Его полезнее всего делать вычисле-
89

нием но формулам, которые не участвовали в получе-
нии неизвестных величин. Особенно полезен контроль
по таким формулам, в которые входят как полученные
в ходе вычислений величины, так и хотя бы некоторые
исходные, данные величины. Другим надежным спосо-
бом контроля является вычисление одной и той же не-
известной велпчины по двум разным формулам; этот
способ контроля применяется ччаще всего при решении
по аналогиям Непера.
Подобные методы контроля лучше убеждают в от-
сутствии ошибок, чем повторение вычислений во вто-
рой раз (во вторую руку). Однако расхождение резуль-
татов контрольных вычислений на одну-дае единицы
последнего десятичного знака, до которого ведутся вы-
числения, допустимо, так как оно может набежать
в процессе вычислений.
Таким образом, решение сферических треугольни-
ков включает следующую последовательность операций:
. 1. Оценка исходных данных.
2. Предварительное приближенное решение и оцен-
ка искомых величин.
3. Выбор формул.
4. Составление схемы и вычисления.
5. Анализ полученных результатов.
. 6. Контрольные вычисления.
В §§ .20—22 приводится ряд примеров решения
сферических треугольников и задач по сферической
тригонометрии. Некоторые из них заимствованы из
книги М. К. Вентцеля «Сферическая тригоно-
метрия».
§ 18. Элементы вычислительной техники
Существуют определенные правила производства
вычислений, соблюдение которых, обеспечивает боль-
шую точность получаемых результатов. Как указывает
известный советский - астрометрист, профессор
С. Н. Блажко, «Формулы сферической тригонометрии
служат в сферической астрономии для того, чтобы по
ним вычислять искомые величины, по данным. Для бе-
зошибочного и быстрого вычисления требуются спе-
циальные способности, которые не у всех есть, но по-
мимо их при вычислениях требуется соблюдение неко-
ей

торых правил, обязательных для каждого вычислителя:
умелое вычисление прежде всего и отличается от не-
умелого строгим соблюдением этих правил»*).
Не претендуя на полноту изложения, ниже мы ука-
жем некоторые из таких правил.
При обработке астрономических и геодезических
наблюдений принято выполнять вычисления с точ-
ностью, на порядок большей, чем точность наблюдений,
т. е., если наблюдения сделаны с точностью ±10", ±1",
±0", 1, то соответствующие вычисления нужно прово-
дить с точностью в десять раз большей (или, что то же,
с ошибкой в десять раз меньшей), т.е.,соответственно,
±1", ±0",1 и ±0",01 и соответственно этому использо-
вать табличный материал.
Но не нужно завышать точность, еще более увели-
чивая число значащих цифр, например, используя два
или трд знака сверх заданных наблюдениями. Точность
это не повысит, а только увеличит затраты труда и вре-
мени вычислителя. И никогда не следует вычислять
угловые величины точнее, чем 0",0001. В естествозна-
нии такая точность еще не достигнута.
' Когда в ходе вычислений или при пользовании таб-
лицами приходится отбрасывать лишние десятичные
знаки и производить округление, необходимо соблю-
дать следующее правило:
Если отбрасываемая часть меньше половины еди-
ницы последнего сохраняемого знака, то последняя со-
храняемая цифра остается без изменений.
Если отбрасываемая часть больше половины
единицы сохраняемого знака, то последняя сохраняемая
цифра увеличивается на единицу.
Если отбрасываемая часть точно равна йоловине
единицы сохраняемого знака, то последняя сохраняемая
цифра остается без изменений, если сша четная или
нуль, и увеличивается на единицу, если "она нечетная.
Например, отбрасывая две последние цифры в пяти-
значных числах и округляя их до трех знаков, будем
иметь:
0,23449 . . . 0,234, 0,32950 . . . 0,330,
0,44451 . . . 0,445, 0,56450 . . . 0,564.
*) Б лаж к о С. Н., Курс сферической астрономии, Гостех-
издат, 1954, стр. 29.
91

При решении сферических треугольников прихо-
дится вычислять дуги и углы по их, тригонометриче-
ским функциям: синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу
и т. т: Изменения этих функций при равном измене-
нии аргумента для различной величины углов не оди-
наковы. Поэтому предпочтительнее находить искомые
углы и дуги по их тангенсам, что можно делать всегда,
по синусу, если угол близок к 0 или 180°, и по косину-
су, если угол близок к 90°. Часто, хотя и не всегда, это
бывает возможным. Во всяком случае, следует пом-
нить, что определение элементов, больших 70°, по си-
нусу, и элементов, меньших 20°, по косинусу, может
привести к потере точности, что нежелательно*
Наоборот, выгодно применять формулы, в которых
данные стороны или углы входят под знаками таких
функций, которые мало меняются при изменении ар-
гумента, например, дуга пли углы, близкие к 0 или
180°—под знаком косинуса, а близкие к 90°—под зна-
ком синуса. При этом возможные ошибки в данных
величинах, которые чаще всего бывает получены из
наблюдений и отягощены ошибками наблюдений, бу,цут
меньше влиять па эти тригонометрические функции.
Такие формулы не во всякой задаче можно составить.
Во всяком случае, при точных вычислениях не нужно
вслепую брать первую попавшуюся формул^, а надо
стремиться выбрать ту систему формул, которая для
данной задачи выгодпее других.
§ 19. Приближенные решения
сферического треугольника
Во многих случаях, особенно при массовом решении
сферических треугольников, бывает удобно использо-
вать стереографическую сотку.
Стереографическая сетка (см. Приложение) пред-
ставляет собой стереографическую проекцию меридиа-
нов н параллелей некоторой сферы на плоскость. Цент-
ром проекции является точка экватора, равноудален-
ная от некоторого меридиана, принятого за основной
меридиан. При этом основной меридиан проектируется
на плоскость пррекции как окружность, внутри кото-
рой располагаются линии, отображающие проекции
параллелей и меридианов. Меридиан, проходящий че-
92

рез точку экватора, являющуюся центром проекции,
отобразится диаметром этой окружности, точки пересе-
чения которого с окружностью основного меридиана
будут соответствовать полюсам сферы. Эти точки назы-
ваются полюсами сети, а диаметр, их соединяющий,—
осью сетки. Проекция экватора сферы представляет
собой также диаметр окружности основного меридиана,
перпендикулярный к оси сетки; он называется эквато-
ром сетки. Проекции меридианов сферы отобразятся
дугами, соединяющими полюсы сетки, а параллели ду-
гами, перпендикулярными к оси сетки.
Стереографическая сетка обладает тем свойством,
что дуга любого большого круга на сфере отобразится
на ней также дугой круга. Такая сетка позволяет нахо-
дить приближенные решения почти всех задач сфери-
ческой тригонометрии: она часто используется при
решении практических задач сферической и прак-
тической астрономии, геодезии и картографии, разуме-
ется, в тех случаях, когда точность позволяет сде-
лать это*
В зависимости от характера поставленной задачи
основной меридиан стереографической сетки может
служить отображением самых различных кругов небес-
ной сферы. Например, он может быть отображением
плоскости небесного меридиана, его полюсы — зенитом
и надиром; тогда ось сетки будет соответствовать от-
весной линии и проекции первого вертцкала, а экватор
сетки явится проекцией истинного горизонта. Если
принять полюсы сетки за полюсы мира, то ось сетки
будет соответствовать оси мира, а экватор сетки явит-
ся (проекцией небесного экватора. Таких вариантов су-
ществует достаточно много. В нашем изложении мы
будем рассматривать применение стереографической
сетки к решению сферических треугольников на произ-
вольной сфере, для которой принята некоторая систе-
ма сферических координат: широта φ и долгота λ.
Рассмотрим ряд примеров применения стереографи-
ческой сетки, часть которых взята из брошюры
проф. Г. В. Вульфа*), по имени которого стерео-
графическую сетку иногда называют «сеткой Вульфа».
*) Вульф Г. В., Способ графического решения задач по
космографии и математической географии, Нижний Новгород,
1909.
93

Графические построения выполняются не на самой
стереографической сетке, а на кальке или листе про-
зрачной бумаги, на которую нанесены окружность, диа-
метр которой равен диаметру окружности основного
меридиана, центр окружности и два взаимно перпен-
дикулярных диаметра, один из которых называется
диаметром кальки и обозначается Д^г, другой —осью
кальки, точки пересечения которой с хэсновным мери-
дианом П\ и П% называются полюсами кальки. Для
краткости такой лист называется просто «калька».
Стереографическая сетка, приведенная в Приложе-
нии, представляет собой сетку меридианов и паралле-
лей, нанесенных через два градуса, внутри окружности
основного меридиана диаметром 20 см. Полюса сетки
обозначены буквами Pi и Рг, а экватор сетки пересе-
кается с основным меридианом в точках Q\ и @2.
Рассмотрим решение ряда задач сферической гео-
метрии и тригонометрии с помощью стереографической
сетки.
Задача 1. Определение длины дуги Ζ
между двумя точками. Пусть даны две точки Л
Рис, 32.
и В на сфере. Их сферические координаты <pi, λ1 и
Ф2» λ2· Требуется нграти кратчайшее угловое расстояние,
т. е. длину дуги окружности большого круга, соединя-
ющей этя точки (рис, 32). . \
Налощад к&вдку на стереографическую сетку так,
чтобы полюсы кальки П\ и Ц% совпали с щшюсами сет-
94

ки Pi и Р2. При этом совпадут и экваторы кальки и
сетки, т. е. совпадут точки R\ и R% с точками Q\ и Q%
соответственно. Поскольку мы можем выбирать основ-
ной меридиан по своему усмотрению, примем за ос-
новной меридиан меридиан точки Л* От точки Q\ эква-
тора отложим по окружности основного меридиана дугу
<pi, равную широте первой точки. Если (pi > 0, то дуга от-
кладывается по направлению к полюсу Pi, если (pi<0,
то по направлению к полюсу Рг.
От точки Qi по экватору сетки' откладываем раз-
ность долгот Δλ = Яг — Яь Если разность долгот боль-
ше 180°, то .откладывается величина λ: — Яг <180Q. По-
лучаем отрезок QiN. По меридиану точки N отклады-
ваем дугу, равную широте <рг· Получаем положение
точки В.
Затем калька поворачивается вокруг центра так,
чтобы точки А и В легли на один меридиан. Посколь-
ку точка А лежит на окружности основного меридиана,
это произойдет, когда тачка А сойместится с полюсом
сетки Pi (рис. 33),
Отсчитывая число клеток вдоль меридиана, нахо-
дим искомую длину I дуги большого круга между точ-
ками А и В в градусах.
В более общем случае, когда основной меридиан
задай заранее и не совпадает с меридианами точек А и
В% а отстоит от одного из них, например, от меридиана
Θ5

точки А на расстояние Δλο, построение нроизбодится
с учетом этого фактора (рис. 34), От точки Qi по аква-
тору сетки откладывается величина Δλο и находится
отрезок Q\N. От точки N по дуге меридиана отклады-
вается широта ф1 и определяется положение точки А.
Затем по экватору от точки N откладывается разность
долгот Δλ = %% — λ1 и находится точка Μ — основанием
меридиана, на* котором лежит точка В. Откладывая по
этому меридиану широту фг, находим положение вто-
рой точки В.
96

. Поворачиваем кальку вокруг центра так, чтобы точ-
ки Л и β легли на один меридиан (рис. 35). По дуге
этого меридиана определяем искомую длину дуги I
между точками А и В%
, Задача 2. Определение положения полю-
сов данного большого круга. Дана дуга АВ
большого круга. Требуется определить положение й
координаты полюсов В\ и Ζ?2 этого круга.
По определению, полюсами большого круга яв-
ляются точки, отстоящие на 90° от любых точек
этого круга.
Как и в[ предыдущей задаче, строим дугу АВ
(см. рис. 33). Находим точку пересечения Μ дуги АВ
(или ее продолжения) с экватором сетки Q\Q2* Откла-
дываем по экватору сетки от точки Μ отрезок, равный.
90°, и находим точку D\. Эта точка является полюсом
дуги АВ.
Для определения координат точки D\ вращаем
кальку вокруг ее центра, пока экватор кальки не сов-
падает с экватором сетки, т. е. возвращаем кальку в
начальное положение. Точка D\ займет какое-то новое
положение (см. рис. 32). По меридиану, проходящему
через точку D\f определяем ее расстояние от экватора
сетки, равное широте <ро4. Расстояние по экватору сет-
ки от точки пересечения меридиана точки D\ до точки
Q\ есть разность долгот полюса Z?i и точки Qx Δλβ, =
и λυ, — λ0, откуда нахвдим долготу полюса λ^:
%oi =* λ0 -|- Δλ.
Координаты второго полюса D2 определяются пз
выражений
λβ, = %dx4~ 180° и <pDa = — φ^.
Как 'правило, второй полюс "находится на противопо-
ложной части сферы.
Задача 3. Обратная задача: нахождение
большого круга и координат точек па
нем по заданному положению его полю-
с а. Пусть дана точка D с координатами φβ, λ*>. Тре-
буется найти большой круг, соответствующий этому
полюсу, т. е.* такой большой крут, все точки которого
находятся на расстоянии 90° от точки D. .
7 Б. А. Волынский
97

Примем, что основной меридиан, проходящий через
точку (?ь имеет долготу λο, причем Δλ© = KD — λο <
<90° (рис, 36).
Рис. 36.
* Рпс. 37.
Наложим кальку на стереографическую сетку π
совместим экватор кальки R1R2 с гкватором сетки QiQ$.
По экватору сетки отложим от точки Q\ отрезок Q\M,
равный разности долгот AXD = λΒ — λο* По меридиану
точки Μ отложим широту полюса <fD и найдем цоложе^
ние точки D.
98

Повернем кальку вокруг ее центра так, чтобы точ-
ка*!) легла на экватор сетки и отложим по экватору
отрезок ОЛГ = 90° (рис. 37). Меридиан, проходящий
через точку iV, будет искомой дугой большого круга,
полюсом которого является точка А Перенесем эт;у
дугу на кальку. Для определения координат'точек это-
го большого круга повернем кальку в исходное поло-
жение. Теперь каждой точке большого круга будет со-
ответствовать одно определенное пересечение дуг ме-
ридиана и параллели, которое определит широту точки
большого круга и разность долгот точки большого кру-
га и основного меридиана.
Задача 4. Определение угла между дву-
мя дугами; Даны дуги АВ и ЛС, пересекающиеся
в точке А. Требуется определить величину угла ВАС,
РМ)
Гпс. 38.
В общем случае, когда основной меридиан задан
независимо, а положение дуг фиксировано на-кальке
(рис. 38), поступают следующим образом. Калька на-
кладывается йа стереографическую сетку и поворачи-
вается вокруг центра так, чтобы вершина А легла на
экватор «етки (рис. 39). Отсчитывая деления сетки по
экватору, откладываем отрезок, равный 90°, получаем
точку Д которая лежит на меридиане, полюсом кото-
рого является точка Л. Переносим на кальку дугу ме-
ридиана, проходящую через точку Д до пересечения
с дугами АВ и АС в точках Μ и Ν, Дуга ΜΝ является
7*
99

мерой угла ВАС. Отсчитывая число делений вдоль ме-
ридиана, определяем величину угла ВАС.
Если отрезки дуг ВА или СА не пересекают мери-
диан точки Д то их следует продлить. Для этого пово-
рачиваем кальку вокруг центра до тех пор, пока дуга
ВА не совпадет с каким-либо меридианом. Тогда, про-
должая дугу ВА по меридиану, найдем точку пересе-"
чения Μ продолжения дуги ВА с дугой Р\ОРг.
Рис. Зр-.
В том случае, если вершина А располагается ближе
к основному меридиану, чем 90°, отрезок откладывается
в другую сторону по экватору, и измеряется дуга вер-
тикального угла, равного углу ВАС.
После того как будут освоены эти основные опера-
ции, выполняемые со стереографической сеткой,' можно
перейти к решению сферических треугольников. Соб-
ственно говоря, решение сферических треугольников
с помощью стереографической сетки сводится к опре-
делению положений вершин сферического треугольни-
ка ' на этой сетке, поскольку дальнейшее решение,
заключающееся в определении величины сторон и
углов, сводится к приведенным выше четырем
операциям.
Задача 5. Построение сферического тре-
угольника по трем заданным точкам на
сфере и измерение его сторон и углов·
Пусть даны три точки А(<р\, λ0, В(ф2, Яг) и С(фз, Яз),
100

являющиеся вершинами сферического треугольника.
Наложим кальку на стереографическую сетку так,
чтобы акватор кальки R1R2 совпал с экватором сетки
Q\Q2i а ось кальки Uittz — с осью сетки РЛ. Аналогич-
но тому, как это сделано в задаче 1, нанесем на кальку
точки А, В и С. Поворачиваем кальку так, чтобы две
точки, например А и В, легли на соответствующий ме-
ридиан. Перенеся на кальку дугу ?того меридиана, по-
лучим сторону с искомого сферического треугольника,
а сосчитав количество клеток по этому меридиану, на-
ходим длину этой стороны. Поворачивая дальше каль-
ку, находим две другие стороны Ъ и а. Полученный
треугольник ABC является стереографической проекци-
ей искомого сферического треугольника.
Поворачивая кальку вокруг центру сетки так, что-
бы вершина А легла на экватор сетки, аналогично то-
му, как это было сделано'в задаче 4, находим величину
угла А. Двумя дальнейшими поворотами находим ве-
личины углов В я С. Таким образом определяется по-
ложение и величина всех шести элементов сфериче-
ского треугрльника.
Поэтому решение сферического треугольника с по-
мощью стереографической сетки сводится к определе-
нию положения трех его вершин в стереографической
проекции. Рассмотрим несколько случаев построения
сферического треугольника в этой проекции.
Задача 6. Построение сферического тре-
угольника по трем его сторонам. Пусть
даны три стороны а; Ъ и с сферического треугольника.
Наложим кальку на стереографическую сетку так, что-
бы ось кальки П\П2 совпала с осью сетки Р1Р2. При-
мем, что вершина А совмещена с полюсом кальки Р\
(рис. 40.). Отложим от нее по дуге основного меридиа-
на одну из сторон, например, Ъ. Получим положение
другой вершины треугольника, в данном случае С Да-
лее переносим на кальку параллель MN, отстоящую от
вершицы А на расстояние, равное стороне с.
Поворачиваем кальку вокруг центра сетки так, чтобы
вершина С совместилась с полюсом сетки Pi (рис. 41).
Нанесем на кальку параллель FG, отстоящую от полю-
са Pi на величину а. Она пересечет дугу MN в точке В,
являющейся третьей вершиной. Дуга меридиана, сое-
диняющего точки В и С, есть сторона а. Повернув
101

кальку обратно до совмещения вершины А с полюсом
сетки Р\ по дуге меридиана* проходящего через бер-
шины А и 5, наносим на кальку сторону с (стороны а
Рис. 40*
и с изображены на рис, 40 прерывистыми линиями}.
Так осуществляется построение сферического тре=^
угольника по трем сторонам. После того как на кальку
Рис. 41.
нанесены вершины ■ сферического треугольника ABC,
приемами, описанными в задачах 4 и 5, находим вели*
чины углов А, В и Cf
102

Задача 7. Построение сферического тре-
угольника по двум сторонам и углу
между ними. Пусть даны две стороны Ь*и с и
угол А. Накладываем кальку на сетку и совмещаем
полюсы П\ и Ри П2 и Р%. Примем, что вершина А сов-
падает с полюсом Пи По дуге основного меридиана
откладываем одну из сторон, например, Ь, и получаем
вершину С (рис. 42). По экватору сетки отложим от
Рис. 42.
основного меридиана дугу QiM, равную Л. Найдем ме-
ридиан сетки, проходящий через точку Μ и перенесем его
на кальку. По этому меридиану от точки А отложим
вторую данную сторону с и находим положение треть*
ей вершины #. Поворачиваем кальку так, чтобы вер-
шина С совпала с полюсом сетки Pi. По меридиану,
проходящему через точку С, строим третью сторону а.
После того как сферический треугольник прстроен,
приемами, описанными в задачах 1 и 4, находим неиз-
вестные стороны и углы.
Задача 8. Построение сферического тре-
угольника по двум сторонам и противо-
лежащему углу. Пусть дащл_две стороны Ь и с и
угол С. Как и раньше, накладываем кальку на стерео-
графическую сетку и совмещаем полюсы П\ и Pi, П2 и
Рг, и принимаем, что вершина А совмещена с полюсом
Пи По основному меридиану от полюса Pi откладыва-
ем дугу, равную &, и находим вершину С. Переносим
103

на кальку параллель ΜΝ, находящуюся на расстоянии
с от вершины А, Поворачиваем1 кальку до совмещения
вершины С с полюсом Р\. По экватору сетки от точки
Qi откладываем отрезок Q%S, равный С, и переносим на
кальку, меридиан, проходящий через точку S. Отрезок
дуги меридиана от вершины С до пересечения с дугой
MN является второй стороной сферического треуголь-
ника а, а точка пересечения— вершиной В, Возвра-
щая кальку в исходное положение, совмещаем точку А
с полюсом Ри По меридиану, проходящему через точ-
ку В, проходит третья сторона с, совпадающая с отрез-
ком дуги АВ.
После того как треугольник построен, приемами,
описанными в задачах 1 и 4, находим неизвестные
стороны и углы.
Путем различных комбинаций приемов, олисарных
выше, можно построить сферический треугольник по
любому варианту заданных элементов. Некоторую
сложность представляет только случай построения сфе-
рического треугольника по трем углам, но его всегда
можно упростить, рассматривая треугольник, поляр-
ный данному. Поскольку стороны полярного треуголь-
ника равны дополнениям углов данного сферического
треугольника до 180°,% можно -построить треугольник,
полярный дапному, по-трем сторонам, а затем перейти
к искомому, построив полюсы дуг больших кругов,
совпадающих'со сторонами полярного треугольника.
Различным упрощениям могут быть подвергнуты и ре-
шения сферических треугольников, в зависимости от
конкретных условий, которые здесь не рассматриваются.
Из других задач, сферической тригонометрии рас-
смотрим здесь только две: построение окружности за-
данного углового' радиуса вокруг данной точки и опре-
деление площади фигуры на сфере»
Задача 9. Построение окружности задан-
ного радиуса вокруг данной точки. Дана
точка Α (φ, λ) и угловой радиус, равный дуге а
(рис. 43). Как в задаче 1, находим положение точки А.
По меридиану точки Л, вверх и вниз, откладываем ду-
гу α и находим две. точки Μ и /V, которые соответст-
вуют заданному расстоянию а. Поворачиваем кальку и
переводим точку А на другой меридиан и спова откла-
дываем ругу а и находим новые точки. Повторяя эту
104

Таблица 5
φ
0°
2°
4
6
8
10
12
14
I 16
S Ι φ
4,005
4,005,
4,005
3,972
3,956
3,939
3,906
3,874
16°
18
20
22
24
.26
28
30
-32
s
3,841
3,775
3,742
3,677
3,611
3,578
3,513
3,447
φ
32°
34
36
38
40
42
44
46
48
Ι
's
3,348
3,283
3,184
3,119
3,020
2,922
2,823
2,725
φ
48°
t
50
52
54
56
58
60
62
64
s
2,626
2,528
2,396
2,265
2,167
2,068
1,937
1,806,
Φ
64°
66
68
70
72
74
76
78
80
s
1,707
1,576
1,313
1,169
1,103
"1,037
0,899
0,768
операцию несколько раз, находим положение множест-
ва точек, определяющих искомую окружность.
В,случае, если заданная точка, например, А\% нахо-
дится на окружности кальки, задача упрощается. Нуж-
но только совместпть ^точку А\ с полюсом -сетки Р\ и
в,
в,
Рг Ъ
Рпс. 43.
скопировать параллель, находящуюся на заданном уг*
ловом расстоянии а. Полученная параллель будет ду-
гой искомой окружности,
■105

Задача 10. Определение площади фигуры
на сфере. Площадь топ или иной фигуры на сфере
выражается в квадратных градусах. Чтобы определить
площадь какой-либо фигуры на сфере, в том числе сфе-
рического треугольника, нужно нанести эту фигуру на
кальку, наложить кальку на стереографическую сетку
д сосчитать количество клеток, занимаемое этой
фигурой.
Каждая клетка имеет площадь, зависящую от уда-
ления этой клетки от экватора, т. е. от ее широты φ.
Зависимость площади этих клеток' S в квадратных гра-
дусах в зависимости от широты φ приводился в табл. 5,
заимствованной из книги «Астрономический кален-
дарь. Постоянная часть», изд. 6-е, М., «Наука», 1973,
стр. 198.
§ 20. Общие случаи решения
сферического треугольника
Задача 1. Решение сферпч'еского тре-
угольника по трем сторонам.
Пусть дано:
а = 38°15'13",
Ъ = 19 47 32,
с = 44 50 49.
Проверяем, соответствуют ли заданные стороны ус-
ловиям существования сферических треугольников. По-
скольку заданы только стороны, таких условий будет
два: сумма всех сторон должна быть больше 0° и мень-
ше 360° и сумма двух сторон должна быть больше
третьей. Эти условия удовлетворяются:
а + Ъ + с = 102°53'34" и а + Ь = 58°02'45" (>с),
Ъ + с = 64°38'21" (>а), с + а = 83°06'02" (>&).
Предварительное приближенное решение с помощью
стереографической сетки дает (рис. 44): А & 60°,
В ж 28° иС« 100°. Величины этих углов таковы, что
углы А и. С лучше определять по косинусу, а угол В —
по синусу. Поэтому для нахождения Α π С используем
основные формулы косинусов (18) и (20), а для про-
Требуется найти:
Л, Я, С.
106

межуточного контроля ц вычисления В — формулу си-
нусов (25):
cos a = cos Ъ cos с + sin Ь sin с cos Л,
cos с = cos α cos Ь + sin α sin b cos С,
sing __ sin b ^ sine
sin A ~~ sin θ ~~ sin C"
Преобразуем первые две формулы, перенося косинус
угла в левую часть формулы и разделив ее на произве-
дение синусов;
cos Л =
cos a — cos Ъ cos с
sin b sin с
= cos a cosec b cosec с —
— ctg b ctg c?
^, cos с — cos a cos Ь
COS (7 = : :—; =5
sin a sin b
= cos с cosec a cosec Ь —
— ctg a ctg fc.
Эти формулы можно ис-
пользовать и в том, и в рпс. 44.
другом варианте. Для кон-
троля используем формулу пяти элементов, а именно
первую формулу группы (29):
sin A cos В = cos b sin С — cos с sin В cos А.
Решение.
Вычисление угла А:
cos α = 0,785278
cosec b = 2,95325
cosec с = 1,418007
cos" α cosec b cosec с = 3,288532
—ctg b ctg с = 2,793676
cos Л = 0,494856
Л = 60°20'23"
Решение однозначное.
- ■
Промежуточный контроль:
sin a = 0,619143
sin A = 0,868975
sin α
sin Л
0,712498
Вспомогательная схема:
Ctg a = 1,268330
ctg Ъ = 2,77879
ctg с = 1,005357
Вычпсленпе угла С\
cos с = 0,708993
cosec a = 1,615135
cosec b β 2,95325
cos c cosec a cosec Ь = 3,381824
—ctg a ctg 6 = 3,524423
cos С = -0,142599
, С = 98°11'54"
Решение однозначное.
107

Контроль:
sin A = 0,868975
cos В = 0,879854
Левая = 0,764571
cos Ь '== 0,940927
sinC = 0,989780
cos с = 0,708993
sin Ь = 0,475244
cos A = 0,494856
cos & sin С = 0,931311
—Ч?озс sin В cos A = 0,166739
Правая = 0,764572
Контроль сошелся нор-
мально.
. Поэтому решением является угол В\ = 28°22'31",
Проверим, удовлетворяют ли найденные величины
условиям существования сферического треугольника:
3. Сумма углов *):
.' "* 180° <А+В + С= 186°54/48,/ < 540°,
4. Сумма двух углов без третьего: ~
А + В - С = -9029W < 180°,
В + С-А=* 66 1402 < 180,
С + А — В = 1300946 <180. . .
5. Суммы двух углов соответствуют суммам проти-
волежащих сторон:
А + В = 88°42'54" < 180° иа + Ъ «δδ^^δ" <С180°,
Я + С=1263425<180 и Ь + с = 643821 < 180,
С + А = 1583217 < 180 и с + а = 830602 <180.
*) Здесь и далее указываются номера условий, под кото-
рыми они приведены в § 4—6.
sine = 0,705215
sin С = 0,989780
sin с
s-Ec-=°>712497
Вычисление угла J5:
sin Ъ = 0,338610
sin С = 0,989780
sin с = 0,705215
sin 2? = 0,475244
В{ = 28°22'31"
В2 ='151 37 29
Анализ;
Второе решение В% не удо-'
влетворяет тому условию су-
ществования сферического
треугольника, которое требует,
чтобы сумма двух углов без
третьего была меньше 180°:
С + В2 - А = 189°29,00/,>180°
108

6. Разность двух*" сторон соответствует разностям
противолежащих углов:
а — Ь= 18°27'41">0 и А-В-
Ь-с = -250317 <0 и В-С
с — а= .6 35 36 > 0 и С-*Л
31°57'52" > О,
-69 49 23 <0,
37 5131 >0,
Таким образом, найденные величины углов соответ-
ствуют всем условиям существования сферического
треугольника.
Ответ: А = 60°20'23", В = 28°22'31" и С = 98°11'54'Y
Задача 2. Решение сферического тре-%
угольника по трем углам.
Пусть дано:
Л= 126°55'18",
В= 29 5914,
С= 33 40 50,
Требуетсй найти
а} Ь% с*
Проверяем, соответствуют ли заданные угли усло-
виям существования сферических треугольйиков, По-
скольку заданы только углы, таких условий будет
только два: сумма углов долж-
на быть больше 180° и меньше
540° и сумма двух углов без
третьего должна быть меньше
1809. Эти условия удовлетво-
ряются: ,
А+В + С= 190о35'22",
Л+Я-С= 1231342,
#.|-С-Л = -631514,
С + Л-Я = 130 36 54.
Предварительное приближен-
ное решение с помощью стерео-
графической сетки дает: а ^64°,
Ь«34°, с» 38° (рис. 45).
Все величины достаточно
удалены и от 0°, и от 90°, по-
этому можно применять практически любые формулы
и определять неизвестные как по синусу, так и по тан-
генсу. Используем основные формулы угла косинуса.
Ъ*Ък
109

сферического треугольника (22), (23) и (24):
cos A == —cos В cos С + sin В sin С cos α,
cos В = —cos С cos A + sin С sin Л cos Ь,
cos С = —cos A cos i? + sin Л sin Л cos с,
которые преобразуем, перенося косинус неизвестной*
стороны в левую часть:
cos α
__ cos А + cos В cos С
~" sin В sin С *
Λ τ cos JB + cos С cos Л
COS О = :—7Г-: 3 »
sin С sin Л '
cos С + cos A cos Л
COgC^ sin A sin Д '
В случае, если какая-либо из сторон^оказалась бы мала,
то для ее определения лучше было бы использовать
формулу пяти элементов (29), перенеся косинус неиз-
вестной стороны в левую часть.
Для контроля используем формулу синусов (25):
sin α
sin Ь
sin A sin В '
sine
' sin С
Решение:
Вычисление стороны а:
sinfl = 0,499807
sin С = 0,554562
cos£= 0,866137^
cos С = 0,832142
cos Л =—0,600723
cos В cos С = 0,720749
cosA+cos£ cosC= 0,120026
sin β sinC = 0,277174
cos а = 0,433035
Решение однозначное:
a = 64e20'23"
Вычисление стороны Ь:
slnC= 0,554562
sin Л = 0,799458
cos С = 0,832142
cos A = —0,600723
cos 5 = 0,866137
cos В cos A =* —0,499887
Σ = 0,366250
* sin В sin A « 0,443349
cos b = 0,826099
Решение однозначное:
6= 34°18'00*
Контроль:
sin α ■
sin Л
0
Μη α
smA
0,901378
0,799458
1,127486
НО

Вычисление стороны с:
sin A « 0,799458
sin 5= 0,499807
cos A = —0,600723
cos£ = 0,866137
cos С = 0,832142
cos A cos В = —0,520308
cos С + cos A cos В = 0,311834
sin Л sin 5 = 0,399575
cos с = 0,780414
Решение однозначное:
с =38°42'05"
sin Ъ = 0,563526
sin В = 0,499807
sin Ь
sTn-β- - 1,127487
sin с = 0,625262
sin С = 0,554562
sine
sin С
Контроль
мально.
= 1,1274S8
сошелся нор-
Поскольку все искомые величины получены одно-
значно, делается не анализ, а только проверка, удов-
летворяют лп найденные величины условиям существо-
вания сферического треугольника. Действительно
1. Суммы двух сторон больше третьей:
а + Ь = 98°38,23,/ > с,
&-{-<? = 73Q0O5 >а,
с + а= 1030228 > Ь. ~
2. Сумма сторон:
0<а + Ь + с= 137°20'28" < 360°.
5. Суммы углов сортветствуют суммам, сторон:
А + В = 156°54'32"< 180° и а + Ь = 98°38'23" < 180°,
В + С= 634004 < 180 и Ъ + с = 730005 < 180,
С + А = 1603608 < 180 и с + а= 1030228 < 180.
6. Разности двух сторон соответствуют разностям
противолежащих углов:
а _ ь = 30°02'23" > 0, и А - В = 98°56'04" > 0,
Ъ — с = — 42405 <0, и В — С = — 34136 <0,
с —а =.—2538 18 < 0, и С — А = —931428 < 0.
Таким образом, найденные результаты соответ-
ствуют условиям существования сферического тре-
угольника.
Ответ, а = 64°20'23"; Ъ = 34°18'00"; с = 38°49'05".

Задача ^3. Решение сферического тре-
угольника по двум сторонам π углу ме-
жду ними.
Пусть дано: Требуется найти:'
а = 64°20'25", с, Л, В.
Ь = 34 18 01,
С = 334050. ·
*
Предварительное рассмотрение показывает, что данные
элементы аналогичны элементам сферического тре-
угольника в задаче 2. Поэтому искомые величины бу-
дут: с & '39°, А « 126° ий« 30°.
Задача может быть решена двумя способами: пря-
мым, т. е. с использованием основных формул сфериче-
ской тригонометрии, пли по формулам аналогии Непе-
ра. Первый способ удобнее в тех случаях, когда иско-
мые величины достаточно далеки от 0, 90 или 180°,
и аргументы получаются и по синусу и по косинусу до-
статочно уверенно.
Решение по основным формулам. Так как угол
А ж 126°, а его дополнение до 180° составляет пример-
но 54°, а две другие искомые величины также сущест-
венно отличаются от 0 и от 90°, то точность их опреде-
ления по косинусу и по синусу примерно одинакова;
только для В, не превышающего 30°, несколько пред-
почтительнее синус. Поэтому решение по формулам
синуса (25) было бы наиболее предпочтительным. Од-
нако при этом нам не хватает одного элемента в про-
порциях, и.его нужно определить по основным форму-
лам. Угол А для этого не годится, так как для его вы-
числения требуются все три стороны. Поэтому мы оп-
ределяем сторону с по формуле (20)
cos с = cos a cos Ь -у sin a sin Ь cos C%
а затем по формулам синуса (25) ищем остальные эле-
менты:
sin a sin о sin& sin с
sin A ** sin С sin В = sin С*
откуда получаем искомые элементы:
. a sin б? sin α . D sin C sin Ь
в!пЛ = г- . sin/7=—-τ——i
sine ' sine
112

Для контроля используем формулу пяти элементов (28):
t sin Ь cos Л = sin с cos α — cos с siira cos В.
Поскольку элементы сферического треугольника
почти совпадают с элементами сферического треуголь-
ника из задачи 2, численное решение здесь не приво-
дится. В ходе решения определяются sin Л =0,799456
и sinB = 0,499807. Углы Л и В, которые находятся по
синусу, получают по два значения: Αλ = 53°04/42//,
Л2= 126°55'18", Вх = 29°59'14", В2 = 150°00'46".
Анализ решения. Для каждого из искомых углов
получено по два значения: А\ л Л2, В\ π Вг. Значения
А\ и В\ совместно существовать не могут, так как при
этом сумма углов Αγ + Bt + С = Ив°44'46лг < 180°, и не
соблюдается: третье условие существования сфе-
рического треугольника. Зпачения At и В% так-
же совместно существовать не могут: А% + В% — С =
= 243°15'14" > 180° — нарушено четвертое условие.
Для определения того, какая пара, А\ π В^ или Л? и Ви
составляет решение или обе составляют решения, вос-
пользуемся шестым условием существования Сфериче-
ских треугольников. Так как а — Ъ = 30°02'24", что
больше нуля, то и разность Л — В должна быть боль-
ше нуля. Этому условию удовлетворяет разность'пары
ЛгВ^Лг —Bi « 96°. Другая пара не годится: А\ — Вч?&
«-97°<0.
* Вычисляя сторону с (конкретные вычисления и кон-
троль предоставляем сделать, по аналогии с предыдущи-
ми задачами, читателю), находим: cose = 0,780412.
Так как решение однозначное, то с = 38°42'06".
Ответ: с = 38°42'06"; Л = 126°55'18"; В = 29°59'14".
Решение по формулам аналогий Непера.
Пусть дано: Требуется цайти\
а = 38°15'13", ' с, Л, В.
Ь = 1947 32,
С = 98 И 53.
Заданные элементы аналогичны элементам сфери-
ческого треугольника в задаче 1, поэтому проверка ус-
ловий существования сферического треугольника и
предварительное решение выполняются аналогично и
вдесь опускаются (см. рис. 46).
8 Б. А. Волынский
ИЗ

Для вычисления углов А л В мояшо применить
аналогии Непера (57) и (58):
а— Ь
♦„ Л + В .t~ C СЮ~
tg-1- = ctg^r-TTF>
cos —η—
гх sin
tg ^V? = ctg
А — В ^ С sin 2
2 . a+'bm
Для определения правильности найденных углов
(промежуточный контроль) используем формулу Га-
усса (61)
А + В а + Ъ
, tg-JT _ * 2~
Л —£ я— £>·
. tg—2~ ti-g-
Сторона с определяется с помощью аналогии Непе-
ра для сторон сферического треугольника (59) и (60),
преобразованных к виду
а+Ь А+В
*тг-
с
tg-5--
А —В
cos —у -^
α—δ А + В
tg —я— · sin —к—
2 , Л —5 ' ·
sin—2~ ^
причем для определения стороны с может быть исполь-
зована каждая из этих формул, а другая —для парал-
лельного контроля.
В результате решения, которое предоставляем сде-
лать читателю, находим
с = 44°50'48", 4 = 60°20'25" и В — 28°22'ЗГ.
Задача 4. Решение сферического тре-
угольника по двум углам и стороне
между ними. Как и задача 3, данная задача ре-
шается двумя способами: по основным формулам и по
формулам аналогий Непера*
114

Решение задачи по основным формулам.
Пусть дано: Требуется найти:
А = 60°20'£5", ' С, а, Ь.
5 = 282231,
с = 44 50 49.
Как и в предыдущем случае, данные элементы ана-
логичны элементам сферического треугольника по за-
даче 1. Поэтому не будем повторять приближенно-
го решенпя π последующей проверки условий сущест-
вования сферического треугольника.
Угол С близок к 90°, поэтому для его определения
целесообразнее применить основную формулу косину-
са (24)
cos С = —cos A cos В + sin A sin В cos с.
Стороны а и Ь невелики и для их определения пользу-
емся формулами синусов (25):
sing _sinc sin Ь sine
sin A ~sin С sin В ~~ sin С
откуда
sincsin-Л . , sin с sin β
sin a = :—-p,—, sin о —
sine ' sinC '
Для контроля годится формула пяти элементов (28):
sin a cos С = sin Ь cos с — cos Ь sin с cos А.
Поскольку элементы данного сферического тре-
угольника близки элементам сферического треугольни-
ка в задаче 1, численное решение здесь не приво-
дится.
Ответ. С=^98°11'53", а=38°15'13" и Ь=19°47'32".
Решение по формулам аналогии Непера.
Пусть дано: Требуется найти:
А = 126°55'18", а, Ь, С.
В= 295914,
с== 384206.
Заданные элементы аналогичны элементам сфериче-
ского треугольника в задаче 2, поэтому предваритель-
ное приближенное решение и проверка соответствия
^могут быть проконтролированы там (см. рис. 45).
8* ' 115

Стороны а и Ь вычисляются по формулам аналогий
Ненера (60) и (59), записанных в виде
. а-\-Ъ . с
*ч^'-*4-
cos
COS
sin
A~B
2
A + B'
2
Л — В
2
A + B'
sin——
Из решений по этим формулам находим величины
тип:
л + 6 " а — Ь
т = ~1Г И П = "2"»
откуда получаем а ц Ь.
Промежуточный контроль выполняется по формуле
Гаусса (61).
Для определения угла С используем две другие ана-
логии Непера (57) и (58), одна из которых служит
для определения величины С, а другая — для контроля:
* С
А+В а+Ъ
tg —2— " cos —2—
а~^Ъ
cos—γ-
А—В . а + Ъ
С *δ —~ ' 8Ш ~Т~
ctg-= -.-*— ·
sin—g-
Численпое решение читатель может провести сам.
Искомые величины равны:
а = 64°20'24", Ь = 34°i8'00" и С = 33°40'50".
Задача 5. Решение сферического тре-
угольника по двум сторонам и углу,
лежащему против одной из * них.
Пусть дано: Требуется найти:
а = 64°20'23", с, В, С.
♦ &= 341800,
А = 126 55 18.
116

Предварительное приближенное решение и заклю-
^чительная проверка соответствия углов и сторон усло-
виям существования сферического треугольника — как
и в задаче 2 (см. рис· 45).
При решении этой задачи применяется комбиниро-
ванный выбор формул. Угол 5, который по приближен-
ному решению примерно равен 30°, можно определить
по одной из основных формул синусов (25),
/-*
sin a sin Ъ
sin A sin Я'
откуда
. η sin δ sin A
Sin В =_с : ,
sin α f
й проконтролировать по формуле Гаусса (61J.
Для вычисления величины угла С и сторопы с пс«
.пользуем формулы (57) —(60) аналогий Непера.
Две формулы используются для нахождения угла С
и стороны с, две другио — для контроля.
* Поскольку сферический треугольник в этой задаче
аналогичен сферическому треугрльнику в задаче 2, чис-
ленное решение опускается. Вычисление угла С прово-
дится аналогично тому, как это было сделано в преды-
дущей задаче и здесь не приводится.
Ответ. с=38°42'06", β=29°59'14" π C=33°4G'50".
Задача 6. Решение сферического тре-
угольника по хдвум углам и стороне,
Лежащей против -одного пз них.
*
Пусть дано: Требуется найти:
А = 126°55'18", ' .&,<?, С.
5= 29 59 14,
а= 64 20 23.
Предварительное приближенное решение и заклю-ν
чительная проверка соответствия углов и сторон усло-
виям существования сферического треугольника — как
и в задаче 2.
По характеру решения задача близка к задаче № 5.
ЗдеЪь также применяется комбинированный выбор
формул, только вместо угла в данном случае по одной
117

из формул синусов (25)" находится сторона Ь:
in a sin b
sin A sin β1
откуда
. τ sin α sin В
Sin О = г—-j— *
SUM
Для контроля определения стороны используется фор-
мула Гаусса (61)*
Угол С и сторона с, как и в предыдущей задаче, оп-
ределяются по формулам (57) —(60) аналогии Непера.
Поскольку формулы, исходпые данные π конечный ре-
зультат полностью идентичны формулам, исходным
данным и конечному результату задачи 5, мы их здесь
не приводим.
Искомые элементы равны:
Ь = 34°18'00", с = 38°42'06" и С = 33°40'50".
§ 21. Другие способы решения косоугольного
сферического треугольника
Так как при вычислениях с логарифмами операции
сложения и вычитания, входящие в основные форму-
лы, были весьма Неудобными, то вычислители прошло-
го прибегали к разнообразным приемам, чтобы упрос-
тить рабочий формулы и привести их к виду, удобному
для логарифмирования. Таких приемов было довольно
Много и иногда они были весьм^ изощренными. Пос-
ле перехода к вычислению с помощью арифмометров,
а позднее — к вычислениям на электронных вычисли-
тельных машинах — необходимость в таких преобразо-
ваниях в значительной мере уменьшилась. Поэтому
здесь будут приведены только описания трех основ-
ных приемов вычислений сферических треугольников
с помощью определенных преобразований, которые мо-
гут быть применены и в настоящее время.
А. Решение сферического треугольника путем
использования полярного ему сферического
треугольника *
По свойству полярных треугольников, описанному
в § 5, соответствующие стороны и углы взаимно по-
лярных треугольников дополняют друг друга до 180°,
118

Согласно формуле (13)'
Л+ai = 180o, # + ^ = 180°, C + CI = 180Q,
Эти формулы позволяют перейти от сторон сфери-
ческого треугольника к углам и наоборот. Если по ка-
кой-либо причине нежелательно решать данный сфери-
ческий треугольник по заданным элементам, то по
этой формуле можно перейти к полярному треуголь-
нику, у которого известны противоположные элемен-
ты, и решать задачу по другому варианту, а потом
снова перейти к данному. ■
Например, в задаче 2 предыдущего параграфа даны
три угла:
А = 126°55'18", В = 29°59'14" иС= 33°40'50".
Если почему-либо -неудобно применять способ реше-
ния, описанный в этой задаче, всегда можно. перейти
к полярному треугольнику, у которого известны три
стороны:
ах = 180° -4 = 53°04'42",
Ь, = 180-5 = 150 00 46,
d = 180 — С = 1461910,
и решать сферический треугольник по способу, приве-
денному в задаче 1 предыдущего параграфа. В резуль-
тате решения будут получены три угла полярного тре-
угольника Л1 = 115°39г37//, Вх = 145°42'00" и Сх =
= 141°10/55//, 'зная которые, по формулам (14) можно
определить ^искомые стороны данного треугольника:
а = 180° - А1 = 180° - 115°39'37" — 64°20'23",. *
Ь = 180 - Bi = 180 - 145 42 00 =-34 18 00,·
. с= 180 -Ci = 180 -1411055 =384905.
Так можно поступить π во всех других случаях.
Б. Решение сферического треугольника
с помощью разделения на два
прямоугольных треугольника
Пусть даны две стороны и угол между ними: а, Ь
и С. Требуется найти с, А и В.
Опустим сферический перпендикуляр AD из вер-
шины А на основание ВС (рис. 46). # Получим два
119

прямоугольных сферических треугольника A CD n
ADB* Обозначим высоту AD буквой h4 отрезок от
основания перпендикуляра D до вершины С буквой.
т, а углы СЛЬ и Д45 буквами оси β так, что А = α + β.
Подобное построение всегда возможно, поскольку
высота может быть опущена как на саму сторону
CD, так и на ее продол-
жение, только углы а и β
будут иметь разные знаки·
Теперь по одной из
формул (65) правила Не-
пера — Модюи находим
cos С = ctg Ъ ctg (90°—т),
откуда ,
tgm = cosCtgb. '
Для стороны h находим
sin Л = sin Ь sin С. .
Для угла α по первой формуле (65):
cos Ъ = ctg α ctg Cy
откуда
ctg α =а cos Ъ tg С,
Для прямоугольного сферического треугольника ADB
аналогичным образом находим, принимая сторону
DB = а — т и считая от и Л известными,
ctg 5 = ctg h sin(a — τη),
ctg β и ctg (α — m)sin hK
Зная теперь углы α π^β, получаем угол Л, так как
по построению 4«а+|,
Для контроля могут быть использованы, как и обыч-
но, формулы синусов .(25):
Bin α sin 6 sine
sin A ~~ sin В ~ sin C*
В случае, если перпендикуляр AD опущен на про-
должение стороны ВС, аргумент тригонометрических
функций-меняется на т — а, а угол β на — β.
120
Рис. 46.

В. Решение сферического треугольника
путем введения вспомогательного угла
.Пусть даны две стороны и угол между ними а, Ъ
и С. Требуется найти с, А и В.
Преобразуем основную формулу косинуса сторо-
ны (20):
cos с = cos a cos Ь + sin a sin Ь cos С =
. = cos a (cos Ь + sin btgacosC),
Введём вспомогательный угол ξ, определяемый соот-
ношением
tg \ — tg a cos С.
Поскольку сторона а и угол С заданы, легко можно
вычислить величину вспомогательного угла. Теперь
cos с = cos a (cos Ъ + tg ξ sin Ь) —
cos α (cos Ь соз ξ + sin b sin ξ) _ cos a cos (Ь —ξ)
ws eos | ~~ cos ξ · ,
По этой формуле легко находим сторону с, так как ξ
известно.
Для определения углов А и В используем основ-
ные формулы четырех элементов с котангенсами (31),
cos b cos С = sin Ъ ctg a — sin С ctg At
cos α cos С = sin α ctg b ·— sin С ctg B,
откуда
ctg Л sin С = sin Ь ctg4i — cos b cos C,
ctg 5 sin С = sin α ctg 6 — cos a cos C·
Г Выше было принято, что tg a cos С = tg ξ * или
ctg α = cos С ctg ξ. Для определения второго угла вве-
дем другой вспомогательный угол £, определяемый из
равенства ctg Ь = cos С ctg ξ или, что то же, tg £ β
*= cos С tg Ь. Заменим в первом уравнении ctg a, a во
втором ctg b их значениями, выраженными через вспо-
могательные углы ξ и ξ и преобразуем формулы (Для
краткости преобразуем только одно первое уравнение.
121

Второе преобразуется аналогично.):
ctg A sin С ~ sin Ь cos с ctg ξ — cos Ь cos С =
= cos С (sin b ctg ξ — cos b) =
соэ С (sin fr cos ξ — cos b sin ξ) __ cos С sin (6— ξ^
~~ sin | ~~ sin | '·
t * _ cos С sin (b —ξ) _ sin(b —ξ)
С1ёЛ- sinlsinC ~ tgCsinfc'
ш, окончательно,
igA sin (6- ξ)'
Преобразования второго уравнения приведу! к вы-
ражению
+ст р__ sinStgC
Пп этим коротким формулам достаточно просто вы-
числяются величины углов А я В.
Для контроля могут
служить, как это чаще
всего бывает, формулы си-
нусов (25):
sin a
sin Л
sin Ъ
sin В '
sin с
sin С"
Следует отметить, что
введение вспомогательно-
го угла имеет определен-
■ ный физический смысл,
Есйи опустить из верши-
ны В перпендикуляр BD
к стороне АС = Ь, то он
разделит сторону Ъ в отношении —г—* и образует два
прямоугольных треугольника ABD и BDC со сторонами
с» Λ и Ъ — ξ и α, Α, ξ, где h — ΒΩ (рис. 47).
§ 22* Решение прямоугольного
сферического треугольника
Решение дрямоугольного сферического треугольни-
ка подчиняется тем же правилам, что и обилий случай
решения сферического треугольника.,Различие заклю-
122

чается только в том, что в прямоугольпом сфериче-
ском треугольнике однп угол (принимается, что это
угол А) всегда равен 90°; косинус его всегда равен
нулю, синус — единице, и формулы для решения пря-
моугольных сферических треугольников имеют * суще-
ственно более простой вид.
Так как в прямоугольном сферическом треугольни-
ке прямой угол всегда задан, то для решения прямо-
угольного сфе2ического треугольника достаточно знать
два других его элемента. Комбинации этих пар эле-
ментов определяют шесть вариантов решения прямо-
угольных сферических треугольников: 1) по двум ка-
тетам, 2) по гипотенузе и катету, 3) по катету и про-
тиволежащему углу, 4) по катету и прилежащему
углу, 5) по гипотенузе и одному углу и 6) по
двум углам.
Для решения прямоугольного сферического тре-
угольника бывает полезйо составить схему, соответ- *
ствующую рис. 26, и по правилу Непера — Модюц
выбрать из групп (64) и (65) формулы, связывающие
искомые элементы с данными. При этом вовсе не обя-
зательно, чтобы искомый Элемент сразу находился в
левой части формулы, потому что эти формулы легко
поддаются преобразованиям.
• При решении прямоугольных сферических тре-
угольников следует стремиться определять искомые
величины только через данные, без использования пай-
денных в ходе решения неизвестных. Для прямо-
угольных сферических треугольников это почти всегда
возможно, хотя в общих случаях для косоугольных сфе-
рических треугольников такая возможность предостав-
ляется далеко пе всегда.
До при этом следует помнить, ято выбранные фор-
мулы доляшы учитывать правила § 17 и не приводить
к потере точности.
Контроль решения прямоугольного сферического
треугольника, как правило, осуществляется по форму-
Tie, связывающей все три найденных элемента.
Проверку того, удовлетворяют ли полученные ре-
шения условиям существования сферического тре-
угольника, предоставляем читателю выполнять само-
му. При этом можно испрльзовать примеры, приведен-
ные в задачах 1 и 2 § 20.
/
123

Задача 1* Решение прямоугольного сфе-
рического треугольника по двум катетам·
Пусть дано: Требуется найти:
Ь = 150°07', а, В, С.
с = 114Л6.
Приближенное решение показывает, что гипотену-
за а « 70°, а углы В « 150° иС« 102°, поэтому для
α и С лучше пользоваться косинусом или тангенсом,
но не синусом. По правилу Непера — Модюи для ги-
потенузы а по формуле группы (64) имеем
cos а « sin (90° — Ь) sin (90° — с) = cos Ь cos с.
Для угла В по формуле группы (65) находим
cos(90°-c) = ctgSctg(90°-b), или tg£ = —?δ
Точно так же для угла С находим
cos(90° — Ь) = ctgCctg(90° — с), или tgC = gin6-.
В качестве контрольной используем формулу, со-
единяющую все три найденных элемента:
cos a = ctg В ctg С.
Искомые величины определяются по косинусу и
тангенсам, следовательно, решение будет однозначным.
Решение.
sine i
tgc
Вычисление гипотенузы α:
cos Ъ = —0,86704
cos e = —0,4J 098
cos α
0,35634
69W
Вычислений угла С:
tg с = —2,2182
sin b = 0,49824
tg С = -4,4521
С = 102°40'
Ответ: а = 69β07',
Вычисление угла В:
tg 6 = -0,57464
sinc= 0,91164
XgB
в-.
- -0,63034
шчг
Контроль:
ctg 5 = —1,58645
ctgC = — 0,22461
ctg В ctgC = 0,35634
cos a = 0,35634
Контроль полностью
шелся.
В = Ш°47' и С = 102°40'*
со-
124

Задача 2. Решение прямоугольного сфе-
рического треугольника по гипотенузе
н катету.
Пусть дано: Требуется найти:
а== 83°04', с, В и С;
Ь = 142 17.
Приближенное решение дает С та 96°, с & 100°
(для "их определения целесообразнее использовать ко-
синус) и В & 142° (для его определения удобнее
tHHyc)·
По правилу Непера — Модюи ддя угла С по пя-
son формуле группы (65) находим
cos С s= ctg a ctg (90° — Ь), или cos С = ψ\.
Для угла В по четвертой формуле группы" (64) пишем
cos (90е — Ь) = sin α sin 5, или sin В = ^*£-L#
х ' ' sin α
Для стороны с по первой формуле группы "(64) имеем
cos α = sin (90° — Ь) sin (90е — с), или созс=«|^.
Для контроля применяем третью формулу группы
(64), соединяющую все три найденные величины:
cos С = sin В sin (90° — с) = sin В cos с.
Ρ е щ е н и е.
Вычисление угла С:
tgb = — 0,77335
t£ α = 8,2234
cos С = —0,09404
С =» 95°24'
Анализ. Поскольку для угла В получено два зна-
чения, необходимо определить, какое из этих значений
удовлетворяет условиям существования сферического
треугольника. По пятому условию, если а + Ъ > 180°,
Вычисление угла В:
sin Ь = 0,61176
sin а = 0,99269
sintf — 0,61626
Вх «= 38°03' -
125

то и А + В должно быть больше 180°. Мы имеем:
α + Ь = 225°21' > 180е,
Л + В! = 128 03 < 180.
Л+^ = 23157 > 180.
Отсюда видно, что величина В\ не удовлетворяет ус-
ловию существования сферического треугольника, и ре-
шением является В%.
Для того чтобы сферический треугольник был воз-
можен, необходимо, чтобы sin S был меньше единицы,
a cos с и cos С были меньше единицы, но больше — 1.
Это возможно тогда, когда sina>sin£>, tga>|tgb|
и | cos 61 > cos α, что равнозначно требованию,
чтобы гипотенуза а была меньше катета с, но боль-
ше его дополнения до 180°, если с лежит во вто-
рой четверти, или больше катета с, но меньше его до-
полнения до 180°, если с лежит в первой четверти. Как
мы видим, это условие выполняется.
Вычисление стороны с:
cos a = 0,12071
cos Ь = —0,79105
cos с ·
с =
-0,15259
98°47'
Контроль:
sin В ··
cos с 1
sin В cos с
■ 0,61626
> -0,15259
- -0,09404
cosC = — 0,09404
Контроль полностью со-
шелся.
Ответ, с = 98°47'? В = 141*57', С = 95°24'.
Задача 3. Решение прямоугольного сфе-
рического треугольника по катету и про-
тиволежащему углу.
Пусть дано:
Ъ = 38°28',
В = 56 00.
Требуется найти:
а, с к С.
Приближенное решение дает а & 48°, с ж 32° и
С ж 45°. Все угловые величины достаточно удалены от
0 или 90°, поэтому для их определения мы можем при-
менять любые формулы.
126

По правилу Непера — Модюи находим из формул
группы (64) для определения а
cos (90° — b) — sin α sin В, или sin a =* ^-g·
Из формул групп (65) и (64) для определения В л С
cos(90°—c) = ctg5ctg(90°— Ь), или sinc = i£|,
sin (90° — Ъ) sin С = cos 5, пли sin С =* 2^5.
4 ' ' cos b
Для существования сферического треугольника
необходимо, чтобы синусы искомых элементов были
больше нуля и меньше единицы. Для этого требуется,
чтобы, когда Ь лежит в первой четверти, удовлетворя-
лось неравенство Ь<В<90°,
а когда Ъ лежит во .второй
четверти, неравенство 180°—
—Ь<5<Ь. Кроме того, из
формулы для вычисления С
вытекает требование, чтобы
sin С был больше пуля.
Поэтому необходимо, чтобы
В и Ъ лежали в одной чет*
верти. Последнее обстоятель-
ство вносит ограничение в
последнее неравенство, пре-
вращая его в 90°<$<Ь·
Решение, в котором аргу-
мент получается по синусу,
дает два значения неизвест-
ной величины, 'В данном
случае все три неизвестных
имеют по паре решений,
определяющих два сфериче-
ских треугольника с заданными углами В и стороной Ь
(рис. 48). Второй сферический треугольник получим,
если продолжим стороны α и с до образования двууголь-
ника ВАВ\С. Угол Bi при этом будет равен углу 5,
а стороны равны 180° — а и 180° — с.
Для контроля применим последнюю формулу груп-
пы (64)
cos (90° — с) = sin a sin С, или sm с = sin a sin С.
ШГ-ш
Рпс. 48.
127

Решение.
Вычисление гипотенузы а:
sin Ь = 0,62206
sin В = 0,82904
sin а = 0,75034
а, = 48°37/
а2 = 131 23
Вычисление угла С:
cos В = 0,55919
cos Ъ = 0,7829^
sin<7*= 0,71419
Г,= 45°35'
С2 = 13425
Вычисление катета с:
tgb = 0,79439
tgJ3 = lr4
sin с = 0,53589
ct= 32°24'
с2=*14736
Контроль:
sin a = 0,75034
sinC» 0,71419
Sin α sin £ = 0,53588
sin'c = 0,53589
Контроль сошелся нор*
мально.
Анализ. Из рис. 44 следует, что сферический тре-
угольник образуется либо при комбинации сторон а\%
Ъ и Си либо а%) Ъ и Сг. При этом угол С определяется
в соответствии с шестым условием существования сфе-
рического треугольника: если разность двух сторон
больше, равна или меныцр нуля, то и разность двух
противолежащих им углов больше, равна или меньше
нуля. У нас имеется:
Ъ - а = 6°04' > 0,
Ъ-С2*=-109Ж <0,
В - Сх = 10°25' > 0,
В ~ С2 = -78°25' < 0.
Эти неравенства говорят о том, что значение С\ соот-
ветствует прямоугольному сферическому треугольнику
со сторожами а\9 Ъ и с\, а значение С* — прямоуголь-
ному сферическому треугольнику со сторонами аг, й, сг.
Ответ. Прямоугольный сферический треугольник
ABC:
ах = 48°37', сх = 32°24' и d = 45°35'.
Прямоугольный сферический треугольник АВ\С\
а2 «з 131°23', с2 = 147°36' и С2 = 134°25'.
Для решения прямоугольного сферического тре-
угольника по катету и прилежащему углу, по гипоте-
123

нузе и углу и по двум углам пользуются формулами,
найденными по правилу Непера — Модюи, аналогично
уже рассмотренным. Осуществить эти решения прак-
тически мы предоставляем читателю.
§ 23. Построение треугольников на сфере
При решении ряда задач сферической тригономет-
рии требуется построить сферический треугольник не-
посредственно на сфере, например, на небесном или
земном глобусе. Поэтому рассмотрим несколько вариан-
тов построения на сфере. Примем, что построения про-
изводятся на сфере произвольного радиуса, а все эле-
менты выражены э угловой мере.
Не исчерпывая всех возможных случаев построения
на сфере, ограничимся * только несколькими, дающими
представление о подходе к ре-
шению этого рода задач.
Задача 1. Построить
плоский радиус окру-
жности, начерченной
на сфере. Пусть дана сфе-
ра произвольного, но неизмен-
ного и конечного радиуса
(рис. 49). Поставив ножку
циркуля в некоторую точку
сферы, которую примем за по-
люс Pi, проведем окружность
малого круга ME. Расстояние
Р\М между ножками цирку-
ля является сферическим ра-
диусом ρ окружности малого круга, а расстояние МО\ —
плоским радиусом г малого круга.
Выберем на окружности ME три произвольные, но
достаточно удаленные-друг от друга по окружности точ-
ки А, В и С. Измерим циркулем расстояния АВ, ВС и
С А. Нанесем эти расстояния на лист миллиметровой
бумаги и построим, по ним плоский треугольник. В слу-
чае, если сфера имеет большой радиус, то эти расстоя*
ния нужно пропорционально уменьшить.
Построим по правилам.геометрии на плоскости опи-
санную окружность вокруг этого плоского треугольни-
Рис. 49.
9 Б. А. Вольщский
129

ка. Ее радиус г и будет искомым радиусом нашей ок-
ружности малого круга.
Задача 2. Построить и определить ра-
диус R данной сферы. Опишем произвольным
сферическим радиусом р=МР\ окружность на сфере и,
как в задаче 1, найдем ее плоский радиус г.
Построим плоский прямоугольный треугольник
Р\МР% (см. рис. 49), один катет которого МР\ равен
сферическому радиусу р, а высота,, опущенная на гипо-
тенузу, равна плоскому радиусу г. Найденная по по-
строению гипотенуза Ρ\Ρς будет равна диаметру нашей
сферы. Следовательно, R=PiP2l2.
Задача 3. Построить па сфере треуголь-
ник, если даны три его стороны а, Ь и с.
Прежде всего найдем, как в задаче 2, радиус данной
сферы R и опишем им на листе миллиметровой бумаги
окружность, соответствующую окружности большого
круга на сфере. Отметим на ней отрезки AXBU BXC\ и
С\Оц соответственно равные данным сторонам с, Ъ и а
сферического треугольника
(рис. 50). Измерив циркулем
хорду А\В\ >дуги с, отметим
на сфере две точки Ли/?,
расстояние между которыми
равно Л#=с. Дуга Л В боль-
шого круга равна стороне с,
так как равным хордам одной
окружности соответствуют
равные углы.
Теперь на сфере опишем
сферическим радиусом В\С\
окружность из центра А и
сферическим радиусом C\Di—
окружность из центра В. Эти
окружности пересекутся на сфере в двух точках С и С*·
Проведя через точки А, В, С, а также через точки Л, В,
С* на сфере окружности больших кругов, получим два
сферических треугольника ABC и ABC*, одинаково
удовлетворяющих условию дайной задачи. Соответствен-
ные элементы обоих треугольников попарно равны, но
они симметричны и поэтому не могут быть совмещены.
Задача 4. Построить па сфере треуголь-
ник по данным его углам Л, J5, С. Согласно
Рлс. 50.
130

§ 6 дополнения данных углов Л, β, С до 180° равны
сторонам полярного данному треугольнику ABC сфери-
ческого треугольника Α\ΒγΟ. Построим, в соответствии
с задачей 3, сферические треугольники AiB\C\ по его
сторонам 180° — Л, 180° — В и 180° — С, а также поляр-
ный ему искомый треугольник ABC. Вершину А послед-
него найдем, построив полюсы большого круга, прохо-
дящего через точки В\ π С\ на сфере, а вершины В и С
установим, построив полюсы больших кругов А \С\ и
А\В\ соответственно. Наконец, выбираем.три полюса из
шести построенных, которые не лежат на тех же полу-
шариях, что и соответственные им вершины полярного
искомому треугольника А\В\С\ (т. е. выбираем А на
полушарии, не содержащем Ль и т. д.).
Задача 5. Построить на сфере треуголь-
никподанным двум его сторонам а, Ьиуг-
луСмежду ними. Определим (по задаче 2) радиус Л
сферы и опишем им на плоскости окружность большого
круга. На ней отметим дуги, равные а, Ь, С. Затем на
сфере строим две точки Ρ и Q, расстояние между кото-
рыми по прямой равно хорде, соответствующей дуге С.
Сферическим радиусом р, равным ДУ2, описываем из
точек Ρ и Q на сфере окружности, которые пересекут-
ся в некоторой точке С. Из тачки С через точки Ρ я Q
проводим большие круги, угол между плоскостями ко-
торых равен С. Далее из точки С радиусом, равным
хорде, соответствующей дуге Ь, опишем на сфере ок-
ружность, которая в некоторых точках А\ и Л пересечет
большие круги, проходящие через Ρ и Q. Сделаем так-
же построение и для дуги а и получим точки В\ и В
пересечения построенной окружности с большими кру-
гами, проходящими соответственно через точки Ри^.
Наконец, соединив дугами большого круга точки Л и Ву
а также А\ и Ви получим сферические треугольники
ABC и А\В\С\, соответствующие условиям задачи. Сход-
ные элементы этих треугольников равны, а сами тре-
угольники будут симметричны.
Решение каждой из задач 3, 4, 5 приводит к построе-
нию двух сферических треугольников, сходные элемен-
ты которых равны. Сами же треугольники располага-
ются на сфере симетрично и поэтому несовместимы
друг с другом. Другие задачи решаются либо анало-
гично, либо методом полярных треугольников.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
I. Исследование треугольников.
А. Возможен лп прямоугольный сферический треугольник,
если известны его элементы (если невозможен, то почему?):
1. 5 = 22037'35",
2. 5=1725420,
3, 5 = 147 3829,
4. 5= 1837 29,
5. 5=17359 25,
6. 5= 4738 29,
7* Ь = 58 39 17,
8. & = 158 39 17,
9. 5= 118 37 29,
10. Ь= 48 5454,
С = 137·28'19"?
С= 354530 ?
С = 12619 37 ?
6= 783543 ?
Ъ = 1654010 ?
С= 261937 ?
а= 492756 ?
а = 149 27 56 ?
Ъ = 78 35 43 ?
с = 12 16 42 ?
Б. Возможен ли сферический треугольник, у которого:
11. а = 30°05', Ь = 70β09' π А = 40°07'?
11. Решите сферические треугольники, если даны
A. Три стороны:
12. а = 79°33,2()Л\ Ь = 65°28'20", с = 37°52'40".
13. а = 100°00'00", Ъ = 80°00'00", с = 60°00Wt
Б. Три угла:
14. А = 107в45'34*, В = 69°41'40", С = Ш'ОЭЧв*.
15. А = 114°19'40", В = 130°42'45", С = 13Г54'37".
B. Две стороны и угол между ними:
16. а'= 96°00'00", Ь = 80ο00'00", С = 100e00O0".
17. Ь = 112°57А10", с *= 86°03'13'V ^ β 56°03'00"#
Г, Два угла и сторона между ними:
18. а « 64°02'41", В = 22°48'09", С = 1Q8°43'40".
19. Ь — 22°04'47", Л = 74°32'10", С = 61°09'30",
132

Д. Две стороны и угол, лежащий против одной нз них:
20. а = 20°16'38", Ь = ЗбЧО^О", А = 20°09'55'\
21. а = згог'оо", ъ = 4о°07,оо"| а «21°ю'(хг.
Е. Два угла и сторона, лежащая против одного из них:
22. А « 46°37'36", В « 109°29'18", α « 40°53'24".
23. А = 59°30,40,,f Я =. 73°13'22", α = 61°05'12".
IIL Решите прямоугольные сферические треугольники, если
даны:
24. Гипотенуза и катет: а = 6io07O8"f Ь « 33°18'17".
25. Гипотенуза и катет: а = 22ПЖО0Г, Ь = 23°50'48".
26. Два катета: Ъ = SOWOO", с« 52°55'26".
27. Два катета: Ъ « 57°13'00", с = 98°47'00".
28. Катет и противолежа-
щий угол: ■ Ъ = 35в03'00", В = 49o07O0ff,
29f Катет и противолежа-
щий угол: Ь .== 108в41'36", В « 102в35'40".
30. Катет и прилежащий
угол: Ь- fflWlO*, С- ββ19'25*
31. Катет и прилежащий
угол: 6= 64в30'09", С — «МОТ?*
32. Гипотенуза и угол: а = 87°16'00", С =« 76°57'43".
33. Гипотенуза и угол: α = 120°38'43", С — 135°05'16".
34 Два угла: Я — 70°05'02"( С — 140°10'04'V
35. Два угла: В « 13°19'00",. С =» 87°16'00",
IV. Другие случаи решения сферических треугольников
A. Узкие сферические треугольники:
36. Дано: Ь «= 30°00'00", с = 1°00,00,/, А — 45°00'00". Найти
сторону а и угол С,
37. Дано: А -» 50°00'00", Ь = 40o00O0", с=* 0в48'06". Репшть
узкий сферический треугольник.
Б. Дифференциальные соотношения:
38. Дано: α = 40ο42'23"Ι А = 52°17'54", <L4 = 0°2а'13". Най-
ти da,
B, Сферический избыток:
39. Дано: а = 35°41'28", Ь = 56°16'40", с « 29в18'10".
С = 29°47'01", йайтп сферический избыток.
40. Дано: а = 36014'28", Ь = 128°17'22", с = 107°15'55".
С ■- 132°20'34',| найти сферический избыток.
133

Ответы.
I. 1. Невозможен. 2. Невозможен. 3. Невозможен. 4. Невозмоясен,
5. Невозможен. 6. Невозможен. 7. Невозможен. 8. Возможен. 9,
Невозможен. 10. Возможен. 11. Невозможен.
IL 12. Л = 105ο11'38", В = 63°13'16", С = .37°02'58" (6 зн.
13. Л = 107в46'58", В = 72°13'02", С = 56°51'48" (6 зн.
14. а = 139°03'28", & = 40°11'24", с = 148°47'47" (6 зн.
15. "а = 87°35,20/,1 b = 123°47'10", с = 125°18'52" (6 зн.
16. Л « 94°15'35", В = 80°55'48", с = 100°50'57" (6* зн.
17. 5 = 119,°03'34", С = 71°16'00", а = 60°54'34" (6 зн.
18. δ = 22°40',6, с = 72°18',0, ■ Л = * 64°40',5 (5 зн.
19. а = 28°ЗС'А с = 25°47',8, В = 49°10',3 (5 зн..
Может быть два, одно пли ни одного решения. Исследуйте,
20. В = 55°52'30", С = 114°20'1С", с = 66°20,44" (6 зн.
л В = 124 07 30, С = 42 38 40, с = 42 55 36 (6 зн.
21. В = 26°49'38", С = 140°04'35", е = 66°23'21" (6 зн.
π 5=1531022, <7 = 65605, с = 95536
22. δ = 58°06',0, с = З1041',8, С = 35и41',47 (5 зн.
и δ = 121 54,0, с = 116 04,4, С = 9408,0
23. δ = 76°33',0, , С = 100°23'А с = 92°55',5 (5 зн.
и δ = 10327,0, С = 14330,2, с = 14249,8
III. 24. С = 68°45'9"( В = 3S°50',lf с = 54°41',8 (5 зн.
25. с = 22°12'Д Я = 49°28',4, 6* = 45°16',3 (5 зн.
26. а = 67°12'00",. 5 = 56°11'56", С = 59°56'10" (6 зн.
27. а = 94°44'34", β = 57°31'24", С = 97°24'05" (6 зн..
Может быть два, одно или ни одного решения. Исследуйте,
28. а = 49°25'44", с = 37°23'43", С = 53°05'0О"
и а «= 130 34 16, с = 142 3617, С = 126 55 00 (6 зн/
29. с = 41°19,,5, α = 103°55',7, С = 42°52'09" (5 зн.
π с = 13840,5, а = 76 04,3, С = 137 07 51
30. а = 28°22'20", с = 3°56'41", 5 = вг^^З" (6 зн:
31. а = 107°56'18", с = 135°40'57", Я = 7Г34'20" (6 зн.
32. δ= 78°03'04", с= 76°41'00"f 5= 78с21'49" (6 зн.
33. с = 142°35'49", δ = 50°05'04", В = 63°03'43" (6 зн.
34. а = 115β44'42", δ = 57°52'21", с = 144°45'47" (6 зн.
35. а = 78°21'49", δ = 13°02'17", с = 78°03'04" (6 зн.
IV. 36. 1а = 29°18'02"\28 С = . 1°26'41",81 (7 зн.)
37. В = 129в15'23*< а = 40°00'14", С = 0о57'56//,7 (6 зн.)
38. da = 13'26",6 (4 зн.)* 39. ε = 8°30'40" (5 зн.)
40. е = 50°14'03" (5 зн.)

ЛИТЕРАТУРА
L С е ρ ρ е Ж., Сферическая тригонометрия, пер. с франц,
М. В. Пирожкова, Спб., 1902.
2. Веб ер и Вельштейн, Энциклопедия элементарной ма-
тематики, т. 2, «Матезис», Одесса, 1910,
3. Глазенап С. П., Тригонометрия, (часть III — решение
сферических треугольников, ГИЗ, М.— П., 1923,
4. Гассенберг Г., Сферическая тригонометрия и сборник
задач, библиотека Гашен, Берлин — Рига, 1923.
5. Дитц О. Г., Записки по сферической тригонометрии, М.,
1930.
6. К ρ а н ц П., Сферическая тригонометрия, ГТТИ, М,—Л., 1932,
7. Вентцель М. К., Сферическая тригонометрия, Геодезиз-
дат, М., 1948.
8. Степанов Н. II.» Сферическая тригонометрия, Гостехиз-
дат, изд. 2-е, М.~ Л., 1948.
9. Б л а ж к о С. Н., Курс сферической астрономии, изд. 2-е, Гос-
техиздат, М., 1954.
10, Астрономический календарь. Постоянная часть, изд. 6-е, «На-
ука», М., 1973.
П. Вульф Г. В., Способ графического решения задач по кос-
мографии и математической географии. Нижний Новгород,
1909.
12. В о л ы н с к и й Б. Α., Элементы сферической трцгонометриц,
Учпедгиз, М., 196 L

Борис Алексеевич Волынский
СФЕРИЧЕСКАЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ
М., 1977 г.» 136 стр. с илл.
Редактор Г. С. Куликов
Технический редактор Е, Я. Морозова
Корректор Л. С. Сомова
Сдано в набор 08.02.1977 г. Подписано к печати
30.05.1977 г. Бумага 84х108Уэ2. Физ. печ. л. 4,25 п. л.+
+ 1 вкл.(0»125 п. л.) Условн. печ. л. 7,35. Уч.-изд. л. 6,21,
Тираж 17000 экз. Т-08471. Цена книги 20 коп. Заказ Η 443
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука».. 630077, Новоси-
бирск, 77, Станиславского, 25