a- sh
Я. « аЕНИН
. СТЁТ
НО, У *¥*-
a T P О *
CB 3 fe A ' • 1 9 -^ 3

Я. А. СОБЕНИН
РАСЧЁТ
ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ
ФИЛЬТРОВ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО ВОПРОСАМ СВЯЗИ И РАДИО
МОСКВА 1963

УДК 621.372.54.001.24
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие • 3
Основные обозначения ... . 5
Глава 1. Некоторые соотношения из теории
линейных электрических цепей
§ 1.1. Введение "7
§ 1.2. Понятие о положительных вещественных функциях . . 9
§ 1.3. Реактансные функции . 23
§ 1.4. Рабочее затухание реактивного четырёхполюсника .... 37
§ 1 5. Коэффициент несогласованности и входные сопротивления
нагруженного реактивного четырехполюсника 42
§ 1.6. Определение параметров реактивного четырёхполюсника ... 47
§ 1.7. Определение элементов схем полиномиальных реактивных
четырёхполюсников . . 52
Глава 2. Расчёт полиномиальных фильтров
без учёта потерь в элементах
§ 2.1. Нормирование расчёта . . 55
§ 2.2. Полиномы, используемые для расчёта фильтров. Классификация
фильтров .... 56
§ 2.3. Расчёт прототипов при использовании полиномов Чебышева . 69
§ 2.4. Расчёт прототипов при использовании полиномов Баттерворта . 82
§ 2.5. Порядок и примеры расчёта фильтров без учёта влияния потерь
в элементах 85
Глава 3. Полиномиальные фильтры с одинаковыми
потерями в элементах
§ 3.1. Эквивалентные схемы элементов с потерями 98
§ 3.2. Нормирование расчёта фильтров с потерями 101
§ 3.3. Общий порядок синтеза фильтров с потерями в элементах . . 103
§ 3.4. Расчёт прототипов с чебышевскими характеристиками . . . ПО
§ 3.5. Расчёт прототипов с баттервортовскими характеристиками . . 118
§ 3.6. Особенности расчёта полосно-пропускающих фильтров . . . 120
§ 3.7. Особенности расчёта узкополосных фильтров 141
Приложение 163
Литература . . . . 207
Предметный указатель . 208
Яков Андреевич, Собенин
РАСЧЁТ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
Отв редактор Н. С. Кочанов Техн. редактор В, А. Чурагпза
Редактор В. В. Визирова Корректор М. Д. Чвялева
Сдано в набор 6/II 1963 г. Подписано в печ. 25/IV 1963 г.
Форм, бум 60X90/i6 13 печ. л. 11,56 уч.-изд. л.
Т-03824 ' Тираж 5000 экз. Зак. изд. 10151 Цена 7S коп.
Связьиздат, Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2
Типография Связьиздат а, Москва-центр, ул. Кирова, 40. Зак. тип. 79

ПРЕДИСЛОВИЕ
Широкое использование электрических фильтров в различных
областях радиоэлектроники и постоянное усложнение
радиоэлектронных устройств заставляет искать новые и
совершенствовать уже известные методы расчёта электрических фильтров.
Среди известных методов расчёта особенно большой интерес
представляют строгие методы синтеза фильтров, которые
позволяют реализовать заданную характеристику фильтра при
минимальном числе его элементов. Чаще всего заданной
характеристикой фильтра является частотная характеристика его рабочего
затухания. Решение задачи синтеза фильтра с заданной
частотной характеристикой рабочего затухания приводит к схеме
фильтра, имеющего всплески затухания на конечных частотах
в полосе задерживания. Чтобы определить элементы схемы
такого фильтра, требуется преодолеть довольно значительные
трудности вычислительного порядка. Особенно сложен расчёт
фильтра в случае, если требуемая частотная характеристика его
рабочего затухания должна быть получена при наличии потерь в
элементах фильтра. Поэтому пока что такие расчёты электрических
фильтров выполняются сравнительно узким кругом
специалистов, изучивших методы синтеза фильтров и имеющих
достаточную практику в выполнении требуемых вычислений. Такое
положение вряд ли можно считать нормальным, особенно если
учесть, что внедрение методов синтеза фильтров в практику
конструирования позволит в ряде случаев существенно улучшить
характеристики радиоэлектронной аппаратуры.
В настоящее время имеется возможность для некоторых
частных типов фильтров, рассчитываемых при помощи общих
методов синтеза, в значительной степени обойти трудности
теоретического характера и существенно упростить расчёты, расширив
тем самым область использования этих фильтров.
При расчётах можно использовать для одних фильтров
расчётные формулы, позволяющие достаточно просто определять
величины элементов, для других — заблаговременно
рассчитанные таблицы элементов фильтров (табулирование фильтров),
Для третьих — наиболее рациональные алгоритмы, позволяющие
после выполнения определённых операций найти элементы
фильтра.
Наиболее экономичным в смысле затрат времени на расчёт
элементов конкретного фильтра является, конечно, использова-
3

ьие таблиц заранее рассчитанных элементов. Но такие таблицы
имеет смысл составлять только в том случае, если нет
возможности получить формулы для определения величин элементов и
нужно пользоваться довольно сложными алгоритмами. С другой
стороны, составление таблиц может оказаться нерациональным,
если их будет требоваться слишком много, а пользоваться ими
нужно будет довольно редко.
Весьма интересными с этой точки зрения оказываются
полиномиальные фильтры, у которых частотные характеристики
затухания после приведения к низкочастотным эквивалентам
имеют всплески затухания только на бесконечно большой частоте.
Во-первых, характеристики полиномиального типа довольно
широко распространены. (Такими характеристиками обладает,
например, большинство селективных систем радиоустройств,
многие элементы аппаратуры дальней проводной связи, селективные
системы в устройствах СВЧ, устройства для согласования
сопротивлений и т. д.) Во-вторых, для элементов полиномиальных
фильтров достаточно просто можно получить таблицы и в
некоторых случаях даже расчётные формулы. Настоящая книга и
посвящена вопросам синтеза полиномиальных фильтров по
заданным частотным характеристикам рабочего затухания.
Чтобы облегчить ознакомление с основным материалом
книги, автор счёл целесообразным привести в виде отдельной
главы самые необходимые сведения из теории линейных
электрических цепей.
Во всех случаях, где это оказывалось возможным и
целесообразным, автор стремился проиллюстрировать полученные
теоретические выводы и основанные на этих выводах
предположения примерами расчёта фильтров.
Книга предназначена для специалистов, работающих в
области электро- и радиотехники и непосредственно занимающихся
расчётами электрических фильтров, а также для студентов и
аспирантов соответствующих специальностей, изучающих вопросы
синтеза электрических цепей.
Автор выражает глубокую благодарность профессору
доктору технических наук А. Ф. Белецкому, доктору технических наук
Н. С. Кочанову и кандидату технических наук А. П. 'Удалову
за ценные замечания, позволившие существенно улучшить
изложение материала книги.
Автор приносит также глубокую благодарность инженеру
В. В. Антоновой за большую помощь в проведении необходимых
расчётов и экспериментов и при подготовке рукописи к печати.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а — относительное затухание четырёхполюсника
ае —затухание несогласованности
аман —минимальное затухание четырёхполюсника
амаКС —максимальное затухание фильтра в полосе
пропускания
ан —затухание напряжения
ар —рабочее затухание
ат —затухание тока
аэдс— затухание эдс, 118 ')
b — фазовый сдвиг четырёхполюсника
с0 — старший коэффициент полинома знаменателя в вы.
ражении для квадрата модуля коэффициента
несогласованности, 46
d0— старший коэффициент полинома числителя, 44
Д1...Дп —величины в выражении для коэффициента потерь
мощности, 107
/_! , /i—нижняя и верхняя частоты среза фильтра
/_ » /<р — нижняя и верхняя граничные частоты эффективно
пропускаемой полосы частот, 26
g — активная составляющая проводимости
конденсатора, 101
h — величина, определяемая неравномерностью
затухания в полосе пропускания чебышевского,фильтра
М — минимальное значение полинома, 107
М((о2) —полином в числителе выражения для
коэффициента потерь мощности, 40
п — класс полиномиального фильтра
Л^со) —чётный или нечётный полином в знаменателе коэф-
циента потерь мощности, 40
р—'Комплексный параметр
Q — добротность
Qc —добротность последовательного контура, 125
Qp —добротность параллельного контура, 125
Т\ — нормированное сопротивление источника
5 — рабочий коэффициент передачи четырёхполюсника
1) Здесь и далее цифры означают страницы

S' — рабочий коэффициент передачи прототипа с
потерями, 104
Т — коэффициент несогласованности реактивного
четырехполюсника, 43
Тп (х) — полином Чебышева
t — время задержки
u'i~^vi —полином в числителе коэффициента
несогласованности, 45
iii + Vi — полином числителя коэффициента
несогласованности, 47
u2-\-v2 — полином знаменателя коэффициента
несогласованности, 46
W— множитель в выражении т,ля коэффициента потерь
мощности
3i2, 322 —нормированные параметры четырёхполюсника
3ev—нормированное входное сопротивление
четырёхполюсника
Z(p)—операторное сопротивление двухполюсника
Z(ici))—комплексное сопротивление двухполюсника
av —'Элемент прототипа
у—■ величина, определяемая классом и
неравномерностью затухания чебышевского фильтра, 71
Yi — величина, определяемая классом,
неравномерностью затухания и отношением нагрузочных
сопротивлений фильтра, 72
б — потери в элементах фильгра, 101
Sмакс — максимально возможная величина потерь, 112
Аа— неравномерность затухания фильтра в полосе
пропускания
т| — величина, определяемая отношением нагрузочных
сопротивлений фильтра Баттерворта, 83
о — вещественная часть комплексного параметра, 10
Q — нормированная частота, 55

Г лав а 1
НЕКОТОРЫЕ СООТНОШЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
§ 1.1. Введение
Настоящая работа посвящена фильтрам, расчёт которых
основан на использовании теории реактивных четырёхполюсников.
Рассмотрение фильтров как частного случая именно реактивных,
а не пассивных четырёхполюсников общего вида объясняется
тем, что в большинстве практических случаев от фильтра
требуется достаточно малое затухание в полосе пропускания,
которое может быть получено только в том случае, если фильтр не
содержит в своём составе активных сопротивлений, т. е. состоит
из чисто реактивных элементов. В том же случае, когда влияние
собственных потерь в элементах фильтра на его характеристику
настолько велико, что им нельзя пренебречь, расчёт путём
использования специальных преобразований частоты приводится к
расчету фильтра из чисто реактивных элементов. При этом
вследствие несовершенства используемых преобразований
иногда возникают трудности при реализации элементов фильтра, но,
с другой стороны, такое приведение позволяет использовать
почти один и тот же порядок расчёта и одни и те же формулы при
расчёте фильтра как без учёта, так и с учётом потерь в его
элементах.
Синтез реактивных четырёхполюсников и, в частности,
фильтров — достаточно сложная задача, которая в процессе решения
распадается на три в значительной степени самостоятельные
задачи.
Первая из этих частных задач вытекает из того очевидного
факта, что далеко не любая частотная характеристика рабочего
затухания может быть получена у реактивного
четырёхполюсника, состоящего из определённого числа элементов. Поэтому
необходимо провести анализ реальных соотношений, связывающих
между собой характеристики и параметры четырёхполюсника.
При этом можно установить возможный вид функций, которые
позволяют выразить зависимость рабочего затухания от часто-
7

ты для реактивного четырёхполюсника, составленного из
физически осуществимых элементов. Такое определение условий
физической реализуемости характеристик четырёхполюсников и
даётся в первой главе.
Далее можно приступить ко второй задаче —
воспроизведению с необходимой точностью (аппроксимации) требуемой
характеристики рабочего затухания (заданной, как это обычно
делается, в виде таблицы или графика) путём использования
полученных при решении первой задачи реализуемых функций.
Дальнейший расчёт четырёхполюсника можно будет вести уже
для новой, полученной в результате аппроксимации,
характеристики затухания, которая не только с требуемой точностью
отображает заданную первоначально характеристику, но и
обязательно является реализуемой. Допуски на отклонение этой
характеристики от заданной обычно либо задаются в начале
расчёта, либо устанавливаются в процессе расчёта до решения
задачи аппроксимации.
Третья задача состоит в определении параметров
четырёхполюсника по известной частотной зависимости его рабочего
затухания и в определении элементов его схемы. При переходе от
характеристики рабочего затухания четырёхполюсника к его
параметрам и элементам получаются такие характеристики
четырёхполюсника, как входное сопротивление и коэффициент
несогласованности сопротивлений на входе, которые, конечно, могут
представлять и самостоятельный интерес при расчёте. Из
найденных соотношений также сравнительно просто получаются
формулы для рабочего сдвига фазы и времени задержки
реактивного четырёхполюсника, работающего между активными
сопротивлениями.
Следует отметить, что, как правило, каждая из указанных
выше частных задач имеет неоднозначное решение. Особенно
это относится ко второй и третьей задачам. Поэтому в
результате синтеза реактивного четырёхполюсника по известным его
характеристикам можно получить большое число самых
разнообразных по схемам четырёхполюсников, каждый из которых
будет удовлетворять одним и тем же требованиям к
характеристике рабочего затухания. Различаться они будут способами
аппроксимации заданной характеристики и схемными решениями,
при помощи которых реализуются аппроксимированные
характеристики.
Решение первой задачи по выявлению условий физической
реализуемости частотных характеристик рабочего затухания
реактивных четырёхполюсников проводится в данной главе путём
использования имеющейся связи между характеристикой
затухания четырёхполюсника и его входными сопротивлениями. В
свою очередь, ограничения, накладываемые на функции,
выражающие частотные зависимости входных сопротивлений любых
8

многополюсных цепей, в том числе и четырехполюсников,
рассматриваются в теории двухполюсников, поскольку при таком
рассмотрении интерес представляет только соотношение между
током и напряжением для вполне определённой пары клемм
четырёхполюсника при заданных нагрузках на остальных клеммах.
Поэтому целесообразно привести те из основных положений
теории двухполюсников, которые необходимы для вывода или
пояснения соотношений, связывающих характеристики и элементы
схем четырёхполюсников, и , кроме того, достаточно очевидны.
Основное внимание при этом уделяется не столько строгим
доказательствам свойств функций, выражающих частотные
зависимости сопротивлений двухполюсников, и ограничений,
накладываемых на эти функции условиями физической
осуществимости, сколько иллюстрации действительного наличия этих свойств
V конкретных схем двухполюсников.
Наибольший практический интерес представляют пассивные
двухполюсники, в схемы которых не вхот,ят источники тока,
напряжения или зависимые источники. Рассматриваться будут
только линейные пассивные двухполюсники, элементы которых
не меняют своих величин при изменении подводимых к ним
напряжений или проходящих по ним токов. Именно из таких или
почти из таких элементов и состоят в большинстве случаев
рассматриваемые нами электрические фильтры. Небольшие
нелинейности элементов фильтров, как правило, не влияют на расчёт
и ^^штываются, если только это оказывается
необходимым, особо.
§ 1.2. Понятие о положительных
вещественных функциях
Выше было указано, что ограничения, накладываемые на
характеристики четырёхполюсников, определяются возможностью»
реализации схемы каждого данного четырёхполюсника из
физически осуществимых элементов, входящих в него в виде более
или менее сложных двухполюсных цепей Поэтому, прежде чем
перейти к рассмотрению характеристик четырёхполюсников,
целесообразно определить свойства тех функций, при помощи
которых можно выразить частотные зависимости сопротивлений
двухполюсников, составленных из физически осуществимых
элементов, и найти те необходимые и достаточные условия, при
выполнении которых данная функция может выражать сопротивление
Двухполюсника.
^При этом для установления возможности реализации
заданной функции сопротивления двухполюсника большое значение
имеет частотная зависимость вещественной части этой функции.
9

Если, например, обратиться к функции сопротивления
Z(io))=/? + i^L--^j, (1.1)
соответствующей двухполюснику, схема которого приведена на
рис. 1.1, то можно придти к заключению, что
вещественная часть этой функции ReZ(ico)=# не может быть
отрицательной при вещественных значениях
частоты со. В рассмотренном простейшем
случае вещественная составляющая
функции не зависит от частоты. Для других,
более сложных функций Z необходимо Рис. 1.1
будет рассматривать частотные
зависимости вещественных частей функций, чтобы сделать заключение
о возможности реализации этих функций, об их особенностях
и свойствах.
Более полно свойства функции Z можно определить, если в
качестве независимой переменной в выражении для Z(ico) взять
не ico, а более общий комплексный параметр р = о + \ы [3], [13].
Иногда этот параметр называется также оператором или
комплексной частотой [1], [5]. Если в комплексное сопротивление
Z(ico) вместо ico подставить р, получим операторное
сопротивление Z(p). Формально вместо о и со в комплексном параметре
р, входящем в операторное сопротивление Z(p), можно
подставлять любые вещественные величины и получать, таким
образом, для каждого комплексного значения переменного р
соответствующее ему сопротивление Z(p). При этом любое значение
комплексного переменного может быть изображено точкой на
плоскости р, осями которой являются ±а и
ll + 'w ±ico. Эта плоскость изображена на рис. 1.2.
Из рисунка видно, что все значения р, име-
+ б ющие положительную вещественную часть
** (а>0), располагаются в правой
полуплоскости р, а все р, имеющие отрицательную
вещественную часть (а<0), — в левой по-
рис 12 пуплоскости. На границе между правой и
левой полуплоскостями р принимает чисто
мнимые значения ±ico.
Если параметр р принимает значения, которые расположены
на мнимой оси, то выражения для операторного Z(p) и
комплексного Z(ico) сопротивлений двухполюсника совпадают.
Отсюда видно, что в плоскости комплексного параметра р
вещественным частотам со соответствуют мнимые значения р и
наоборот. Видно также, что Z(p) является более широким
понятием сопротивления, чем введённое для стационарного
гармонического режима комплексное сопротивление Z(ico), являющееся
частным случаем Z(p) при p = ico. В дальнейшем под сопротив-
10
-6

нем двухполюсника 'понимается операторное сопротивление
7%) а комплексное сопротивление Z(ico) в каждом случае
оговаривается. (
Посмотрим, какими же свойствами обладает функция сопро-
ления дВухполюсника, изображённого на рис. 1.1, если её
яссматривать в плоскости комплексного параметра р. Замена
1о на Р в выражении для сопротивления (1.1) даёт
Z(p)--=R + pL+-±- (1.2)
рс
илй после подстановки р = о + ш
Z(p) = R + aL+ l_ + ia,L
v^ (02-f со2) С
1
LC (a2 4- со2)
(1.3)
Анализ соотношений (1.2) и (1.3) позволяет сделать
некоторые выводы о свойствах выражения для операторного
сопротивления Z(p) рассматриваемого двухполюсника.
1.Выражение для операторного сопротивления
двухполюсника Z(p) является рациональной функцией от параметра р.
После приведения выражения (1.2) к общему знаменателю оно
будет представлять собой отношение двух целых функций
(полиномов), т. е. будет рациональной дробью.
2. Функция Z(p) является вещественной функцией от
параметра р. Такая функция характеризуется тем, что она
принимает чисто вещественные значения при вещественных значениях
независимого переменного р(о принимает любые вещественные
значения, а со равно нулю). Очевидно, что функция (1.2)
является именно такой вещественной функцией, так как все
входящие в выражение для Z(p) коэффициенты R, L и С
вещественны, а параметр р имеет только целые степени.
Свойство вещественности функции Z(p) может быть
записано в следующем виде:
Z (p) — Real при р — Real
или, что то же самое,
lmZ(p) = 0 при1тр = 0. (1.4)
3. Из выражения (1.3) видно, что вещественная часть Z(p) не
может принимать отрицательные значения при неотрицательных
величинах вещественной части сг параметра р. Это свойство
записывается в виде
ReZ(p)>0 при Rep>0 (1.5)
11

и может быть сформулировано следующим образом:
вещественная составляющая сопротивления пассивного линейного
двухполюсника не может принимать отрицательных значений в правой
половине плоскости комплексного параметра р, включая и ось-
мнимых р. Причём, как это следует из выражения (1.3), знак
равенства в соотношении (1.5) может иметь место только при
а = 0 и R = 0.
Рациональные функции, удовлетворяющие одновременно
соотношениям (1.4) и (1.5), называются положительными
вещественными функциями (ПВФ). Используются и другие
наименования таких функций: положительные действительные или
положительные реальные функции.
Известно, что положительными вещественными функциями
являются не только функции операторных сопротивлений
простейших двухполюсников, но вообще функции сопротивлений
любых сколь угодно сложных двухполюсников, состоящих из
пассивных линейных элементов. Для любых схем пассивных
линейных двухполюсников доказать это можно, анализируя либо
энергетические соотношения в двухполюснике [1], [5], либо
возникающие в нём собственные колебания [4], [5].
Для некоторых частных схем сложных двухполюсников
свойство положительности и вещественности функций сопротивлений
можно установить непосредственно из их схем, не прибегая к
сложным доказательствам. Такое рассмотрение полезно тем, что
позволяет на конкретном примере показать справедливость
сделанных выше общих выводов.
Достаточно просто, например, может быть решён вопрос о
положительности и вещественности функции сопротивление
сложного лестничного двухполюсника, если известно, что
входящие в его схему более простые двухполюсники выражаются
функциями, представляющими собой положительные
вещественные функции от р. Схема такого лестничного двухполюсника
изображена на рис. 1.3.
2/7-2
Zn-з
Рис. 1.3
Этот двухполюсник представляет особый интерес, поскольку
большинство электрических фильтров, в том числе и
полиномиальные фильтры, которые будут рассмотрены ниже,
реализуются в виде таких схем.
Установление положительности и вещественности функции
входного сопротивления двухполюсника Z, изображённого на
12

1 3 в случае, если Zb Z2 Zn представляют собой поло-
Рис'ельнЫе вещественные функции от р, основывается на двух
'ЖЙтаточно очевидных свойствах этих функций [1]:
"^Свойство 1. Сумма нескольких положительных вещественных
. нк1шй также является положительной вещественной функци-
" Убедимся, например, в том, что сумма двух положительных
6 шественных функций есть не что иное, как положительная
вещественная функция. Действительно, если Z1 = rl-\-\X1 и Z2 =
__r 44X2 представляют собой положительные вещественные
функции, то и их сумма
Z' = Z1 + Z8==r1 + r8-H(X1+*2)==r' + iX' (1.6)
даёт положительную вещественную функцию, поскольку при
г^0иГ2^>0 обязательно будет г'- г\ \-г2 ^> 0. Вещественность
функции 7J также не вызывает с мнений. Таким же образом
можно убедиться, что сумма любого числа положительных
вещественных функций даёт в результате положительную
вещественную функцию.
Свойство 2. Функция, обратная положительной вещественной
функции, также является положительной вещественной
функцией. Пусть имеется положительная вещественная функция
Z=r+[X. Так как в наиболее общем случае Z — рациональная
функция от р с вещественными коэффициентами, то и обратная
ей функция Y также является рациональной функцией от р с
вещественными коэффициентами, т. е. представляет собой
вещественную функцию от р. Функция Y может быть записана в виде
K=-L=—L_=^i*.. (1.7)
z г + i х г2 4- х2 к '
Вещественная'часть этой функции
—L~9>0t (1.8)
поскольку г^>0, что и требуется для того, чтобы считать функ-
Дию Y положительной. Тем самым доказано, что Y является
положительной вещественной функцией (ПВФ), если Z —ПВФ.
Применяя к схеме рис. 1.3 указанные свойства ПВФ, можно
Достаточно просто показать, что функция, выражающая
зависимость входною сопротивления Z от р, является ПВФ.
Действительно, согласно свойству 1, сумма двух функций Z' = Zi + Za
является ПВФ. Функция У-^--у (проводимость), согласно
свойству 2, также является ПВФ Проводимость У3= — также ПВФ.
13

Сумма двух проводимостей Yff=Y/-\-Yi есть тоже
положительная вещественная функция. Сопротивление Z" = — ... и т. д.
Продолжая эти процессы суммирования и перевода в обратные
величины и переходя от Zx к Zn, нетрудно установить, что Z
является ПВФ.
Основное определение положительных вещественных
функций (1.4) и (1.5) позволяет установить ещё ряд важных их
свойств, кроме приведённых выше.
Свойство 3. Положительная вещественная функция (ПВФ) не
мджет иметь нулей и полюсов в правой полуплоскости р. Для
доказательства допустим, что положительная вещественная
функция Z(p) в точке Ро = а0 + 1оэ0 (рис. 1.4а) правой
полуплоскости имеет m-кратный нуль. Тогда выражение для Z(p)
можно записать в виде
Z(p) = (p-pQ)m-Z1(Pl
(1.9)
где функция Zi(p) уже не имеет нулей в точке р = Ро и на
достаточно малом расстоянии от точки р0 её можно считать
постоянной величиной, которая в общем случае будет
комплексной. Величина (р—р0) представляет собой комплексное число
р- е 9, модуль р и угол ф которого определяются взаимным
расположением точек р и р0. Точка р может находиться в правой
полуплоскости с любой стороны и на любом расстоянии от р0.
а/
(.ш0
Рассмотрим для простоты только те точки р, которые
располагаются вокруг точки Ро на окружности настолько малого
радиуса р (рис. 1.4а), что можно считать
г1(р) = Ле{-\
где А и ij) — постоянные величины.
В этом случае в зависимости от положения точки р
относительно ро угол ф может принимать все значения от 0 до 2я.
14

Перепишем выражение для Z(p) в непосредственной
близости от точки ро
Z (р) = (Р - Ро)т ■ Zx (р) =■ Л р» е'<^+ф>. (1.10)
Вещественная часть этого выражения равна
ReZ(p) = A pm ■ cos (tnv+ <!?). (1.11)
Учитывая, что при указанных условиях угол if можно
считать постоянным, а ф меняется от 0 до 2я, нетрудно видеть, что
cos (/Лф + 'ф), а следовательно, и ReZ(p), может при изменении
положения точки р в окрестности р0 менять знак с плюса на
минус и с минуса на плюс. Количество перемен знака определяется
значением величины т. Знак ReZ(p) обязательно будет
меняться при тф 0, т. е. при наличии нуля Z(p) в точке р0, и не будет
меняться при т = 0, т. е. при отсутствии нуля в точке р0. Так как
по условию Z(p) является положительной вещественной
функцией и, следовательно, ReZ(p) !> 0 при Rep ,> 0, то получается,
что величина т может быть равна только нулю, т. е. Z(p)
действительно не может иметь нулей в правой полуплоскости р.
Для двухполюсника, схема которого изображена на рис. 1.1,
этот вывод следует непосредственно из рассмотрения
соотношения (1.3), откуда видно, что нули Z(p) не могут находиться в
правой полуплоскости р. При наличии нулей Z(p) в каких-то
точках ReZ(p) должна в этих точках обращаться в нуль. А
этого не может быть в правой полуплоскости р, так как при
о>0 ReZ(p) равна сумме заведомо положительных
вещественных величин. Этот же вывод может быть получен
непосредственно из соотношения (,1.2). Действительно, решая уравнение
Z(p) = R+pL + ± = 0, (1.12)
рс
можно получить его корни
* = -*- +l/—-(-У" а-13)
2L ~ у 4L2 \LC) V '
Эти корни могут быть или вещественными отрицательными
или комплексными сопряжёнными с отрицательной
вещественной частью. При R = 0 вещественная часть последних будет
равна нулю. Из соотношения (1.2) нетрудно также установить, что
сопротивления Z(p) для крайних значений L и C(L = 0 или
00 ) также имеют нули в левой полуплоскости р.
Но если Z(p) — положительная вещественная функция то и
обратная ей функция
15

согласно свойству 2, также должна быть положительной
вещественной функцией. Нули и полюсы Z(p) и Y(p) связаны между
собой строго определённым образом: нули Z(p) являются
полюсами Y(p) и наоборот. Получается, что Z(p), а следовательно,
и любая положительная вещественная функция не может иметь
в правой полуплоскости не только нулей, но и полюсов.
Свойство 4. Если на мнимой оси плоскости комплексного
параметра р имеются нули и полюсы положительной вещественной
функции, ю все они должны быть простыми, а вычеты
относительно полюсов и производные в нулях должны быть
вещественными и положительными.
Наиболее просто это свойство можно доказать, как и
предыдущее. Нужно только иметь в виду, что в данном случае
интерес представляют не все точки р, расположенные вокруг
мнимого корня р0, а только те, которые находятся справа от мнимой
оси. Это объясняется тем, что знак вещественной части
положительной вещественной функции ограничивается только в правой
полуплоскости р. Следовательно, угол ф вектора (р—р0), как
это видно из рис. 1.46, может меняться не от 0 до 2я, как в
предыдущем случае, а только от —я/2 до +я/2. Из соотношения
(1.11) сразу же можно установить, что условие положительности
функции Z(p) при наличии нуля Z(p) в точке р = ро будет
соблюдаться только при условии, если пг=\ и г|) = 0, т. е. нуль в
точке ро, расположенной на оси мнимых р, может быть только
простым, а оставшаяся после выделения корневого сомножителя
(р—ро) функция Zi(p) должна при р = Ро принимать чисто
вещественное положительное значение (^ = 0). Из соотношения
(1.9) можно также получить, что для т=\ производная
г'(Р) = Ц& =zx(P) + (p-p*)z\(p) (i.i4)
dp
при р = Ро равна величине Z\(p) и, следовательно, принимает в
этой точке вещественное положительное значение.
Доказательство того, что полюсы положительной
вещественной функции на мнимой оси плоскости комплексного параметра
должны быть простыми, можно осуществить таким же образом,
как это сделано при доказательстве свойства 3. При
рассмотрении полюсов функции приходится иметь дело не с её
производными, которые представляют интерес в нулях функции, а с
вычетами функции относительно её полюсов. Из того факта, что
вычет функции Y(p) = [/Z(p) относительно её простого полюса
р = Ро обратен производной —— в нуле Z(p) при р = р0 [1],
dp
[16], следует, что вычет положительной вещественной функции
относительно её простого полюса, расположенного на мнимой
оси р, должен быть положительной вещественной величиной.
16

Свойство 5. Степени полиномов (наибольшие показатели
стерней р) в числителе и знаменателе положительной веществен-
ой функции не могут отличаться более, чем на единицу.
Для доказательства предположим, что степень числителя
рациональной функции Z(p) на п больше степени знаменателя, и
найдём, чему может быть равно п. Пусть р = о + ш= \р\ е1у •
Увеличим вещественную часть о величины р так, чтобы можно было
в числителе и знаменателе Z(p) считаться только с высшими
степенями р. Тогда можно записать
Z{p)\lp]^^a>p" = a'\p\«^\ (1.15)
!де а/ — положительный коэффициент, полученный в результате
деления коэффициентов при наибольших степенях р в
числителе и знаменателе Z(p).
Если сг —любая положительная величина, стремящаяся к
бесконечности, и со меняется от — ос до + оо, то угол ф будет
меняться от —я/2 до +л/2. Вещественная часть Z(p), равная
ReZ(p) ■= a' \p\ncosno,
при таких условиях будет положительной в правой
полуплоскости р только в том случае, если п = 0 или п=\, что и требовалось
установить. Из свойства 2 сразу же следует, что и степень
знаменателя может быгь выше степени числителя не больше, чем
на единицу.
Свойство 6. Наименьшие показатели степеней р в числителе
и знаменателе положительной вещественной функции не могут
отличаться более, чем на единицу.
Это свойство можно доказать совершенно так же, как
доказывается свойство 4, если принять, что р стремится к нулю, и
рассматривать таким образом только члены числителя и
знаменателя Z(p), имеющие наименьшие степени р. Пусть, например,
наименьшая степень числителя на п превышает наименьшую
степень знаменателя. Тогда, считая, что о стремится к шгулю, и
сохраняя члены с наименьшими степенями р, можно функцию Z(p)
преобразовать к виду
*(P)Uo-*'/>".
где Ь' — коэффициент, полученный в результате деления
коэффициентов при наименьших степенях р в числителе и
знаменателе Z(p). Полученная функция имеет нуль при р = 0. Полагая
Р— 1 P 1 е 9 и Давая р ряд значений в правой полуплоскости
вблизи от точки р = 0, можно, как и при доказательстве
свойства 4, показать, что п не может быть больше единицы.
2-79 17

Свойство 7. Действительная часть положительной
вещественной функции не может быть отрицательной при мнимых
значениях переменной.
Доказательство этого свойства основано на том, что
активная мощность, потребляемая пассивным двухполюсником, не
может быть отрицательной.
Все перечисленные свойства оказываются полезными при
определении, является ли данная рациональная функция
положительной вещественной и, следовательно, может ли она выражать
сопротивление пассивного двухполюсника. Причём наличие у
рациональной функции одного свойства или какой-то
произвольной комбинации приведённых выше свойств ещё не означает, что
она является положительной вещественной функцией. Чтобы
рациональная функция была положительной и вещественной,
она должна иметь совершенно определённый комплекс свойств.
Наиболее приемлемыми для практического использования
считаются следующие необходимые и достаточные условия,
которым одновременно должна удовлетворять рациональная
функция, чтобы её можно было считать положительной вещественной
функцией [1], [2], [4]:
1) все коэффициенты полиномов числителя и знаменателя
функции должны быть вещественными;
2) функция не может иметь полюсов в правой
полуплоскости;
3) полюсы функции на мнимой оси, если они имеются, дол-
жны быть простыми, и вычеты функции относительно этих
полюсов должны быть вещественными и положительными;
4) вещественная часть функции на мнимой оси не может
быть отрицательной.
Три последних условия эквивалентны одному условию
неотрицательности вещественной составляющей функции в правой
полуплоскости, включая и мнимую ось, но по сравнению с этим
одним сложным условием для проверки их выполнения
требуется существенно меньше вычислительной работы.
Из приведённых четырёх условий самыми трудными для
проверки являются условия 2 и 4. Объём вычислений для
определения, выполняется ли функцией условие 2, может быть уменьшен,
если не вычислять положения всех полюсов функции, а
ограничиться определением положения только тех полюсов, которые
находятся на оси мнимых р, поскольку для них в соответствии с
условием 3 необходимо находить вычеты. Порядок таких
вычислений будет дан в конце следующего параграфа.
Необходимость проверки выполнения функцией всех четырёх
условий может быть показана на примере. Пусть дана функция
/ (п) = Рз + 8р2 + 35р
р4 -f 6р3 4- 23р2 -f 34p -f 26
1?

Она удовлетворяет условию вещественности. Все полюсы её
/ 0рни полинома знаменателя) расположены в левой
полуплоскости р 'рь2 = —1±1-1.Рз,4 =—2±i-3), в чём легко убедиться
оямой подстановкой. И, несмотря на это, она всё-таки не яв-
яется ПВФ. Действительно, вещественная часть этой функции
Re/(p) = 2р°-60р*-982р2
. (Р4 + 23р2 + 26)2 - р2 (6р2 + 34)2
рй — оо-<р2<; —12 принимает отрицательные значения, что
противоречит четвёртому условию.
Следует учесть, что при проверке положительности
вещественной части любой рациональной функции на оси мнимых р
необходимо проверять только шолином числителя Ref(p), поскольку
полином знаменателя, равный разности квадратов чётного и
нечётного полиномов от р, принимает только положительные
значения при мнимых р = ш. Некоторое облегчение вычислительной
работы по определению значений полинома числителя Re/(p) на
оси мнимых р в ряде случаев может быть получено путём
использования теоремы Штурма [2], [12]. Но практически почти
всегда оказывается достаточным использовать
непосредственную подстановку в полином числителя Ref(p) ряда мнимых
значений р для определения знаков полинома при этих значениях р.
Предварительно полезно определить ориентировочные границы
возможных значений корней полинома, пользуясь, например,
приёмами, изложенными в работах [12] и [14], и затем брать
значения р уже в пределах полученных границ. Определение
значений полинома при заданных величинах переменной легче всего
производить по схеме Горнера [12], [15].
Для иллюстрации этого способа определения знака
вещественной составляющей функции рассмотрим два примера. Пусть
в результате выполнения необходимых преобразований
(умножения числителя и знаменателя на полином, сопряжённый
полиному знаменателя) получился следующий полином числителя
вещественной части функции f(p):
fx(— р2) = р8 —Зрб—lip4 —15p2 +12,
Этот полином обязательно будет -иметь только чётные
степени р. Для дальнейших вычислений целесообразно произвести
замену переменной р'г=-— х, чтобы определить знак полинома
при положительных вещественных значениях х. После такой
замены получим
fi(x) = х* + Зх3 — 1 \х2+ 15х + 12.
Ориентировочные значения величин положительных
вещественных корней любого сложного полинома могут быть опреде-
19

лены путём вычисления корней более простых полиномов,
каждый из которых представляет собой расположенные подряд два
или три члена сложного полинома. Каждая группа
выбранных членов обязательно должна содержать члены с
положительными и отрицательными коэффициентами. Таких простых
полиномов можно получить, вообще говоря, достаточно много, в
зависимости от того, какие корни желательно определить. Для
определения верхней границы положительных корней полинома в
большинстве случаев достаточно взять два—три члена,
расположенные подряд, возможно ближе к старшему члену 'полинома
(если можно, то в том числе и этот старший член) и
удовлетворяющие приведённому выше условию: они должны иметь
коэффициенты с разными знаками. Такая же группа членов,
расположенных возможно ближе к свободному члену полинома, даёт,
как правило, достаточно близкое к истине значение нижней
границы положительных корней.
Выполняя указанные преобразования с полиномом/i(V),
получаем для определения верхней границы положительных корней
уравнения
Ъх> — 11х2 = 0
или
х* + 3хн — 11х2 = 0.
Положительные корни этих уравнений равны соответственно
Л'! = 3,7 и x2=2,l. Видно, что определение верхней границы по
формуле их трёх членов даёт существенно меньшую величину х
и, значит, в дальнейшем потребует меньше времени на
уточнение значения корня. Для определения нижней границы
положительных корней можно использовать уравнения
— 11х2+15х = 0
или
— Их2 + 15*+12 = 0.
Полученная нижняя граница будет, соответственно, при
Л'3=1,4 или при x4=l,9. Видно, что формула из трёх членов даёт
несколько лучшие результаты.
Найдём значения полинома f\(x) при изменении величины х в
пределах от хъ(х4) до х1(х2)
X
fl(*)
1,5
24,9
2
38
3
120
4
344
Полученные результаты показывают, что полином fi(x)
принимает при положительных значениях х только положительные
-20

чения и, следовательно, он может быть числителем вешест-
зна 0g части положительной вещественной функции. Такой ре-
Вбльтат можно было ожидать ввиду очень малой разности ме-
3\у значениями х2 и *4 при сравнительно простом виде поли-
ома /iW (всего 0ДИН член с отрицательным коэффициентом),
д если ещё учесть, что в этом малом интервале должно было
уложиться, согласно правилу Декарта [121, [I4]. 2 корня
(конечно если таковые имеются), то после определения границ корней
можно было с высокой степенью уверенности предсказать, что
положительных корней у полинома f\(x) нет. Подстановка
нескольких значений х только подтвердила такое предположение.
рассмотрим ещё один полином, у которого уже произведена
замена р2 на—х:
/2 (х) = xi + З*3 + 36*2 — 48* + 12.
Определяя, как и в предыдущем примере, границы корней,
получаем для верхней границы уравнения
36*2 — 48* = О
З*3 + 36*2 — 48* = О
и, соответственно, значения верхнего предела *i = l,33 и *2=1,2.
Для нижней границы получается *з = 0,25 и *4 = 0,32 в
результате решения уравнений
— 48*+ 12 = 0 и 36*2 — 48* + 12 = 0.
Видно, что в данном случае существенной разницы между Х\
и х2, а также между *3 и х4, нет, т. е. можно определять границы
ьорнсй при помощи простейших уравнений из двух членов. Но
трёхчлены дают, конечно, более точные результаты.
Подстановка в J2(x) нескольких значений * в пределах
полученных границ корней даёт следующие результаты:
X
М*)
0,3
0,929
0,4
— 1,222
0,5
—2,562
0,6
-3,062
0,8
— 1,414
1,0
4
Из этой таблицы видно, что полином J2(x) не может быть
числителем вещественной части положительной вещественной
Функции. Он принимает отрицательные значения при
изменении * примерно в пределах, ограниченных полученными выше
границами. Больше у полинома /гС*) не может быть корней при
положительных значениях * и, следовательно, не может быть
областей с отрицательными значениями /г(Х), так как по пра-
21

вилу Декарта указанный полином может иметь либо 0, либо 2
положительных вещественных корня (число перемен знака в
ряду коэффициентов полинома равно двум).
Можно привести ещё вспомогательные признаки, которые
оказываются полезными при первоначальной оценке функции [4].
Один из этих признаков заключается в том, что все
коэффициенты полиномов числителя и знаменателя любой
положительной вещественной функции не только должны быть
вещественными, но и не могут быть отрицательными. Только при условии
неотрицательности коэффициентов рациональной функции нули
и полюсы её могут находиться в левой полуплоскости или на
мнимой оси. Действительно, два расположенных в левой
полуплоскости сопряжённых корня — gv + i<ov полинома числителя
или знаменителя рациональной функции (где ov может
принимать либо положительные значения, либо равна нулю), дают
сомножитель полинома
(р -|- av -f i о);) (р + ov — i cov) = р2 4- 2av p 4- о? 4- «ч
коэффициенты которого не могут быть отрицательными. Точно
так же не может быть отрицательным коэффициент у
сомножителя
Р + \,
имеющего корень на отрицательной вещественной оси р. Только
из этих двух видов сомножителей и могут состоять полиномы
числителей и знаменателей положительных вещественных
функций. Произведение же таких сомножителей, имеющих
положительные или равные нулю коэффициенты, может дать только
полином с неотрицательными коэффициентами. Но этот признак
не является достаточным и могут быть полиномы, имеющие
корни в правой полуплоскости при положительных коэффициентах.
Например, полином
р3 4- 4р2 4- 6р + 4 = (р2 4- 2р + 2)(р 4- 2)
имеет все три корня в левой полуплоскости и, следовательно,
может быть числителем или знаменателем положительной
вещественной функции, а полином
р* + р2 4- 2р + 8 - (р2~-р 4- 4)(р + 2)
имеет один корень в левой полуплоскости и два — в правой, хотя
коэффициенты у него тоже положительны и вещественны.
Видно, что этот признак несколько конкретизирует и дополняет
условие вещественности функции, но не заменяет проверку
условия 2. Дополнительная конкретизация условия 1 получается,
22

если ещё отметить, что у полинома числителя или знаменателя
положительной вещественной функции могут быть равны нулю
некоторые коэффициенты. Могут быть равны нулю либо
свободные члены, либо все коэффициенты при чётных степенях
переменного, либо все коэффициенты при нечётных степенях
переменного. Например, полином а0р4 + а1р3 + а2р2+а3р + а4 при
я0>0 можег быть числителем (знаменателем) положительной
вещественной функции только при выполнении одного из
следующих трёх условий:
1. аг>0, а2>0, а3>0, а4>0.
2. at > 0, а2 > 0, а3 > 0, а4 = 0.
3. ах = 0, а2 > 0, а3 = 0, а4 > 0.
Но соблюдение функцией этого вспомогательного признака
опять-таки не заменяет проверку условия 2. В свою очередь,
несоблюдение функцией вспомогательных признаков
показывает, что она не является ПВФ и у неё не выполняется условие
положительности вещественной части в правой ^полуплоскости
комплексного параметра р.
§ 1.3. Реактансные функции
Важным частным случаем положительных вещественных
функций являются реактансные функции, все нули и полюсы
которых в отличие от общего случая положительных
вещественных функций располагаются на мнимой оси плоскости
комплексного параметра р. Именно в виде таких реактансных функций,
как будет показано ниже, выражаются сопротивления холостого
хода и короткого замыкания четырёхполюсников (фильтров),
предназначенных для передачи энергии с достаточно малыми
потерями в определённых полосах частот. Синтез таких
четырёхполюсников существенно упрощается, если пренебречь
имеющимися в них потерями и тем самым привести реальный
четырёхполюсник, в котором, конечно, потери всегда есть, к
четырёхполюснику, составленному из чисто реактивных
элементов — индуктивностей и ёмкостей. При современном уровне
развития производства катушки индуктивности и конденсаторы
могут иметь настолько высокие добротности, что имеющиеся в
них небольшие потери могут практически не сказываться на
характеристиках четырёхполюсника, составленного из таких
катушек и конденсаторов (если исключить из рассмотрения
некоторое конечное число узких частотных полос). В силу этого и
оказывается возможным в задачах синтеза четырёхполюсников
23

с малыми потерями пренебречь наличием последних без
существенного снижения точности решения. Четырёхполюсник, при
расчёте которого можно совершенно не учитывать влияния потерь
в его реактивных элементах, называется реактивным.
Все свойства реактансных функций могут быть получены из
приведённых выше свойств положительных вещественных
функций. Учитывая, что реактансная функция, как и любая ПВФ,
должна быть рациональной функцией переменного р с
вещественными коэффициентами, найдём, каким может быть полином
числителя (или знаменателя) этой функции. Пусть искомый
полином имеет вид
Q (Р) = Рп + ахрп~{ + а2рп-2 + . . . + ап-Ф + ап. (1.16)
Этот полином может быть числителем или знаменателем
реактансной функции в том случае, если все его коэффициенты
вещественны и неотрицательны и все его корни расположены
на оси мнимых р, причём все корни должны быть простыми.
Каждый мнимый корень рч полинома Q(p), имеющий
конечную величину, даёт при разложении полинома на простые
множители сомножитель вида (р—pj. Но pv является мнимой
величиной и поэтому для соблюдения условия вещественности
полинома в его составе должен быть ещё сомножитель (р + рJ с
сопряжённым корнем. Два таких простейших сомножителя с
мнимыми коэффициентами дадут при разложении полинома
более сложный сомножитель (р—pv) (p + pv )=Р2—Р2,, имеющий
два мнимых корня, расположенных симметрично относительно
р = 0, и не содержащий в своём составе мнимых величин. Это и
требуется для получения у полинома Q(p) вещественных
коэффициентов. Отсюда следует, что все корни полинома Q(p)
должны располагаться на мнимой оси плоскости р симметрично
относительно точки р = 0, а сам полином Q(p) может быть либо
чётным
<?1 (Р) = (Р2 ~ Р?) (Р2 - Р22) • • • (Р2 - Р'т) =
= р*т 4- а2р2т-2 + а,р2т-' + . .. + а2т-2р* + а2т (1.17)
— при конечных величинах всех его корней pv, либо нечётным
Qt(P) = P(P2-P2l) (P2-Pl) • ■ ■ (P2-Pl) =
= p2m+l + а,р2т-' + азР2т-3 + .. . + а2я|_,р (l .18)
— если Q(p) содержит ещё корень р0 = 0.
24

Равенство нулю всех коэффициентов при чётных степенях
или всех коэффициентов при нечётных степенях р в выражении
(1.16) является, таким образом, необходимым признаком
наличия у полинома Q(p) только мнимых корней. Но одного факта,
что полином Q(p) имеет только чётные или нечётные степени
переменной р, ещё недостаточно для суждения о наличии у него
только мнимых корней. Могут быть чётные или нечётные
полиномы, имеющие корни не на мнимой оси р. Такие полиномы,
конечно, не могут быть ни числителем, ни знаменателем реактанс-
ной функции. Например, полином
р4 + бр2 + 25 = (р2 + 2р + 5)(р2 — 2р + 5)
имеет два сопряжённых корня в левой полуплоскости
рх = — \ +12, р2 = — 1—12
и два сопряжённых корня в правой полуплоскости
p3-l+i2, p4=l-i2
и не имеет корней на мнимой оси.
Реактансная функция не только должна иметь в числителе и
знаменателе полиномы вида (1.17) или (1.18) с простыми
мнимыми корнями, расположенными симметрично относительно
точки р = 0, но и должна быть нечётной функцией, т. е. если
числитель её является чётным полиномом, то знаменатель должен
быть нечётным и наоборот. Это положение можно доказать,
основываясь на том, что производная положительной
вещественной функции должна принимать положительные вещественные
значения для любого нуля этой функции, расположенного на
мнимой оси.
Предположим, что имеется функция вида
V1(P) = — > 0-19)
/я а
где Ш\ и т2 — чётные полиномы, имеющие на мнимой оси р
только простые корни.
Покажем, что такая функция не может быть положительной
и вещественной, а следовательно, не может быть и реактансной.
Действительно, производная функции (1.19)
V*(P)= ' 0-20)
(m2)2
представляет собой отношение нечётного полинома (mj и т
нечётны при чётных т{ и т2) к чётному и при любых мнимых р бу-
25

дет принимать только мнимые значения. Точно так же не может
быть реактансной функция вида
УЛР) = ^~, (1-21)
п2
где «1 и/12 — нечётные полиномы от р, так как после сокращения
числителя и зн-аменателя на р эта функция преобразуется к
виду (1.19) и для неё оказывается справедливым вывод,
сделанный относительно V\(p).
Если же функция является нечётной рациональной функцией
вида
Zx(p) = — или Z2(p) = ^-, (1.22)
п т
где т — чётный, а п — нечётный полином, то она может быть
положительной вещественной функцией и, следовательно, может
быть реактансной функцией. Действительно, производная
функции Z\(p)
7' . , т'п — тп' п по\
Z\ (P) = Т^ (1 -23)
имеет в числителе и знаменателе чётные полиномы и при
соответствующих величинах коэффициентов в полиномах тип
может принимать положительные вещественные значения при тех
значениях р, при которых функция Z\{p) имеет нули.
Совершенно аналогично можно рассмотреть вычеты
рациональной функции относительно её полюсов и убедиться, что
только для нечётной рациональной функции, имеющей простые
полюсы на мнимой оси, может соблюдаться условие
положительности вычетов.
Но если функция Z (р) является нечётной, то при мнимых
значениях параметра р она может принимать только чисто
мнимые значения, т. е. для реактансной функции
ReZ(p) = 0 при Rep = о = 0. (1.24)
Соотношение (1.24) (показывает, что, действительно, реактанс-
ными функциями могут быть выражены частотные
характеристики сопротивлений только чисто реактивных двухполюсников,
в схемах которых нет активных сопротивлений.
Полученные выше свойства реактансной функции позволяют
сделать вывод о том, что нули и полюсы функции должны
чередоваться на мнимой оси р. Действительно, реактансная функция
может принимать на оси мнимых р только чисто мнимые значе-
26

тшя и иметь в нулях положительные производные по
переменному р. Рассмотрение рис. 1.5 даёт возможность установить, что
два нуля у реактансной функции, обладающей указанными
выше свойствами, не могут быть рядом. Между этими нулями
обязательно должен быть полюс.
Точно так же у реактансной функции 2(;ы)/,
не может быть рядом двух
полюсов, не разделённых нулём.
Приведённых свойств вполне
достаточно для того, чтобы
определить, является ли заданная
функция парамегра р
реактансной или нет. Практически можно
не проверять все свойства, так
как не все они являются
независимыми. Ограничив критерии
оценки, можно дать следующее
определение реактансной
функции: реактансной является любая нечётная рациональная
функция параметра р с вещественными положительными
коэффициентами, имеющая простые нули, расположенные на мнимой
<.-си р, причём в этих нулях производная функции принимает
вещественные положительные значения.
Пусть, например, задана функция вида
Рис 1 5
Z(P) =
Р2+1
р(р2 + 4)
Эта функция удовлетворяет определению реактансных
функций. Действительно, она
— является нечётной рациональной функцией с
вещественными положительными коэффициентами,
— имеет только простые нули, расположенные на оси
мнимых р
Pi = + i l,
Рч=— И,
имеет производную
?(Р)
_р* + Р2-4
Р2(р2 + 4)2
ьоторая принимает при p = Pi — +il и р = Р2 = —il вещественные
положительные значения Z/(pi)=2/3 и Z'(p2) =2/3.
Функция
/(Р) =
Р2 + 4
Р (Р2 + 1)
27

хотя и похожа на предыдущую, но не является^ реактанснои и
вообще не является положительной вещественной функцией, так
как производная её в нулях pi,2=±i2 отрицательна:
В приведенном выше определении реактанснои функции
можно заменить нули полюсами при одновременной замене
производных вычетами.
Приведенное определение реактансных функций даёт
возможность сформулировать несколько полезных следствий. Одно
из них состоит в том, что сумма любого числа реактансных
функций также является реактанснои функцией. Действительно,
каждая из слагаемых функций может быть представлена в виде
суммы простейших дробей. Например, реактансная функция, как
и вообще любая рациональная функция, разлагается на сумму
простейших дробей следующим образом:
7(п\ QiP" + Q3p"~2 + Q5p"~4 + • • • _ л п, Л0
(Р) = „«-14-лпя-3 + Лп"-5+ ~ ОД Р + Т +
Р -г агР -г аф -г • • • Р
+ -А-+3-+..., (1.25)
р — Рх р — Рч
где р\, рг... — полюсы реактанснои функции Z(p), которые, как
доказано выше, должны быть мнимыми и попарно
сопряжёнными; Л^ , А0, A'v А'2 —вычеты функции относительно её
простых полюсов оо , 0, р\, р2 . . ., являющиеся (положительными
вещественными числами.
Значения вычетов можно определить, пользуясь, наоример,
методом неопределённых коэффициентов. В частных случаях
значения некоторых вычетов могут быть равны нулю. Например,
если у функции (1.25) «1=0, т. е. функция не имеет полюса при
р= со, то вычет Л 00 = 0.
Суммирование нескольких реактансных функций, каждая из
которых представлена в виде соотношения (1.25), приводит
также к функции вида (1.25), отличающейся только большим
числом слагаемых.
Справедливо также и обратное утверждение: любая сложная
реактансная функция всегда может быть представлена в виде
суммы двух и большего числа реактансных функций. Это также
непосредственно следует из соотношения (1.25), где каждая
.пара слагаемых, содержащая два сопряжённых полюса,
представляет собой совершенно самостоятельную реактансную функцию.
Точно так же самостоятельными реактансными функциями
можно считать А^ р и А0/р. Очевидно, что все эти простейшие
S

функции можно комбинировать любым образом при
разложении данной сложной реактансной функции на несколько более
простых.
Наконец, если функция Z(p) является реактансной, то и
обратная ей функция Y(p) = l/Z(p) также должна быть
реактансной, поскольку она удовлетворяет тем же условиям, что и Z(p).
Величины элементов схем физически осуществимых
реактивных двухполюсников, сопротивления или проводимости которых
заданы в виде реактансных функций, могут быть определены
различными методами. Как правило, реализация сопротивления,
заданного одной и той же реактансной функцией, может
привести к различным схемам двухполюсника в зависимости от тре-
боваиий к величинам его элементов, к соединению этих
элементов между собой и от других электрических и конструктивных
требований, причём число возможных схем резко возрастает с
увеличением степени заданной реактансной функции.
Общий принцип решения задачи реализации реактивного"
двухполюсника заключается в преобразовании заданной
реактансной функции к виду, в котором она выражает сопротивление
определённым образом соединённых друг с другом простейших
реактивных двухполюсников. Примерами подобных соединении
могут служить лестничные двухполюсники или двухполюсники,
образованные путём последовательного или параллельного
соединения простейших двухполюсников. Для практического
использования в схемах полиномиальных фильтров наиболее
подходящими являются лестничные двухполюсники. Поэтому
рассмотрим задачу реализации реактивного двухполюсника
лестничного типа с индуктивностями в продольных ветвях по
заданному в виде реактансной функции его сопротивлению. Именно
для таких двухполюсников приходится определять элементы при
расчёте полиномиальных фильтров.
Пусть для простоты заданная реактансная функция Z(p)
порядка п имеет полюс при р=оо; т. е. степень числителя Z(p)
выше степени знаменателя. Тогда, исходя из приведённого выше
следствия основного определения реактансных функций,
функция Z(p) может быть представлена в виде суммы двух более
простых функций
Z(p)^pL1+Z1(p). (1.26)
Здесь Ll представляет собой не что иное, как вычет Л^ из
соотношения (1.25), для которого в данном случае (степень
числителя Z(p) выше степени знаменателя) справедливо
неравенство А^ >0. Следовательно, первая полученная индуктивность
двухполюсника L,>0. Оставшаяся после выделения элемента/^
реактансная функция Zx(p) имеет порядок на единицу ниже
порядка заданной функции Z(p) и при р=оо обращается в нуль.
Тогда обратная ей функция Yx(p) — \\Zx(p) имеет при р= оо
29

полюс, и, следовательно, её можно, в свою очередь, представить
в виде суммы двух реактансных функций
Y1(p)^=pC2 + Y2{p), (1.27)
где С2>0.
Функция У%(р) вновь имеет нуль при р=оо. Поэтому можно
представить Z2(p) = l!Y2(p) в виде (1.26)
Z2(p)^pL3 + Z3(p), (1.28)
где L3>0.
Подобные преобразования по выделению элементов
двухполюсника можно повторять до тех пор, пока последняя
полученная реактансная функция Zn(p) или Yn(p) не окажется равной
соответственно pLn или рСп. Число ступеней (шагов) выделения
элементов, а следовательно, и число элементов в двухполюснике,
оказывается равным порядку заданной реактансной функции,,
поскольку после каждого выделения элемента порядок
оставшейся функции снижается на единицу.
Подставляя теперь в исходное соотношение (1.26) выражения
для Zr(p), Y2(p) и т. д., находим цепную дробь
Z(p) = pL1-\- -i- l
3 рс4 + •
л
7Гп' <L28>
все коэффициенты которой положительны и вещественны.
Последний член этой дроби написан для случая, когда заданная
реактансная функция имеет нуль при р = 0. Если заданная
функция будет иметь при р = 0 не нуль, а полюс, то последний член;
разложения будет равен .
рСп
Полученные цепные дроби выражают сопротивления
физически осуществимых лестничных реактивных двухполюсников, а
продольных плечах которых включены индуктивности Lu Lz>
L5 ..., а в поперечных — ёмкости С2, С4, С6... Схемы таких
двухполюсников представлены на рис. 1 6,а и б.
Схема рис. 1.6,а получается, если реактаисная функция имеет
полюс при р = оо и нуль при р = 0, а схема рис. 1.6,6
соответствует случаю, когда реактансная функция имеет полюсы при р=оо
и р = 0. Если заданная функция имеет при р= оо не полюс, а
нуль, то при разложении её в цепную дробь на первом шаге
будет выделяться не последовательная индуктивность Lb а
шунтирующую ёмкость С\. По существу, в этом случае в цепную
дробь разлагается не сопротивление, а проводимость искомого
двухполюсника. Полученные при таком разложении схемы
двухполюсников изображены на рис. 1.6,в и г.
30

Схема рис. 1.6,0 получается, если заданная реактансная
функция, выражающая частотную характеристику сопротивления
двухполюсника, имеет полюс при р = 0 и нуль при р=со, а
схема рис. 1.6,г — если функция имеет нули при р = 0 и р=со.
а)
Ln
о—^\-у_У^П-рЛ5Л-р
- тСг г т* г-1
о—^Р--г-^--р/7Д-г "P^S
о Т* Г Г Т
5)
ь ц
0Т У Т*
Ln-
_-—<^р—
-Г- £V?-2 "Г ^/7
£л->
Рис. 1.6
Чтобы определить элементы двухполюсника, возможные
схемы которого изображены на рис. 1.6, удобнее всего разлагать
заданную реактансную функцию в цепную дробь путём
последовательного деления полинома числителя дроби Z(p) на
полином её знаменателя, полинома знаменателя — на остаток ог
первого деления, остатка от первого деления — на остаток от
второго деления и т. д., до тех пор, пока не 'получится последний
член цепной дроби. Целесообразный порядок записи полиномов
числителя и знаменателя- Z(p), а также остатков, получаемых в
процессе разложения Z(p) в цепную дробь, легче всего пояснить
на конкретном примере разложения функции. Такой пример
полезно привести, так как в дальнейшем при практических
расчётах полиномиальных фильтров придётся применять разложение
реактансных функций именно в такие цепные дроби для
определения элементов схем фильтров.
31

Пусть требуется определить элементы лестничного
двухполюсника, сопротивление которого выражается следующей реак-
тансной функцией:
„ 0,873515р6 + 1,430185р4 + 0.58870592 + 0 ,035912
^Р'~ р7+2,17482р54- 1.40134р3 + 0,23471р
При записи функции следует для удобства дальнейших
вычислений расположить полиномы числителя и знаменателя по
убывающим степеням параметра р и оставить над числителем
и под знаменателем место для записи получаемых в процессе
деления остатков.
Найдём первый элемент схемы определяемого
двухполюсника. Это будет, очевидно, ёмкость, так как степень полинома
знаменателя выше степени полинома числителя, и, следовательно,
функция имеет нуль при р = со . Величину ёмкости можно
определить путём деления коэффициента при наивысшей степени р
(первого коэффициента знаменателя) на коэффициент при р,
имеющем степень, на единицу меньшую (первый коэффициент
числителя):
С,= = 1,1448 ф.
1 0,873515
Коэффициенты первого остатка, полученного в результате
деления знаменателя на числитель и имеющего пятую степень
[на 2 меньше степени делимого, которым в данном случае
является полином знаменателя Z(p)], определяются путём
вычитания из каждого коэффициента делимого (знаменателя)
произведения полученной величины С\ на тот коэффициент делителя
(числителя), степень р у которого на единицу меньше степени р
у взятого коэффициента делимого. Например, коэффициент при
р7 в первом остатке равен
1—0,873515^ = 0, .
что и должно быть, поскольку в результате выделения первого
элемента степень полученного остатка должна быть на 2
меньше степени делимого. Коэффициент при р5 у остатка
получается равным
2,17482 — 1,430185 Сх = 0,537545 и т. д.
Получаемые указанным способом коэффициенты первого
остатка целесообразно писать под соответствующими
коэффициентами знаменателя при тех же степенях р.
32

Следующим шагом является определение величины второго
элемента схемы двухполюсника: индуктивности. Величина её
вычисляется путём деления коэффициента при высшей
степени р числителя на коэффициент при высшей степени р первого
остатка
0,873515 625Ш ^
0,537545
Второй остаток вычисляется подобно первому. Только в
качестве делимого теперь выступает числитель Z(p), в качестве
делителя — первый остаток, а вместо С{ в формулы для
вычисления коэффициентов второго остатка подставляется L2.
Запишем полученные коэффициенты второго остатка над
соответствующими коэффициентами числителя. При определении
коэффициентов второго остатка нужно иметь в виду, что свободный
член числителя переходит во второй остаток неизменным.
Теперь можно приступить к определению третьего элемента
схемы: ёмкости. Для этого разделим коэффициент при высшей
степени р первого остатка на коэффициент при высшей
степени р второго остатка, после чего можно вычислить
коэффициенты третьего остатка и т. д.
Совокупность чисел, полученных при разложении в цепную
дробь заданной реактансной функции Z(p), может быть
представлена достаточно компактно
0,059085 /к
0,24817 0,274105 /
0,873515р6+ 1,430185р4 + 0,588705р2 + 0,035912
Z(P)
р7 + 2,17482 ръ 4- 1,40134 р + 0,23471р
0,537545 0,72739 0,19360
0,13367 0,115815
0,03457
В результате вычислений получим следующие величины
элементов схемы двухполюсника:
Сх = 1,1448 ф, L2= 1,62501 гн, С3 = 2,16604 ф,
L4 = 1,85659 гн; С5 = 2,26238 ф, L6 = 1,70914 гн,
С7 = 0,9626 ф.
Полученные величины элементов необязательно должны быть
с пятью—шестью значащими цифрами. Такие точности
практически всё равно невозможно реализовать. Но в процессе
самого разложения приходится записывать более точные значе-
3—79 33

ния, поскольку все величины элементов за исключением
последней необходимы для определения последующих элементов, а
расчётные формулы дают в некоторых случаях весьма
существенное ухудшение точности вычислений. Необходимость
получения хотя бы трёх верных цифр в значениях элементов
определяемого двухполюсника требует иметь исходные коэффициенты
в выражении для Z(p) с 'пятью—семью значащими цифрами.
Схема полученного двухполюсника представлена на рис. 1.7.
Рис 1.7
Разложение рациональных дробей указанного вида в
цепную дробь может оказаться полезным для получения ещё одного
удобного определения реактаноных функций [4] Рассмотрим цепь,
составленную из включённых последовательно активного
сопротивления 1 ом и реактивного двухполюсника с сопротивлением
Z\ — m\n, где т — чёпный, а п — нечётный полином от
параметра р. Схема такой цепи представлена на рис. 1 8.
Общее сопротивление полученного двухполюсника равно
сумме
у 1 ! 7 1 | т т-\- п
Z = 1 + Zj = 1 -f- — .
п п
Двухполюсник, изображённый на рис. 1.8, является
пассивным, и его сопротивление Z выражается положительной веще-
i ственной функцией параметра р. Но,
в4отличие от общего отучая положительной
вещественной фуньции, полученная функ-
Z-»- || 2» ция не может иметь н^лей не только в
правой полуплоскосш, но и на оси
мнимых р. Минимальная величина сопротив-
рис j g ления Z на оси мнимых р равна, как это
видно из рис. 1.8, одному ому.
Следовательно, стоящий в числителе выражения для Z полином, равный
сумме полиномов числителя и знаменателя реактансной
функции, имеет корни только в левой полуплоскости р. Справедлив
также и обратный вывод, являющийся одним из вариантов опре-
делеьия реактаесных функций [4]: реактансная функция пред-
34

ставгяет собой отношение чётной и нечётной частей полинома
с вещественными коэффициентами, имеющего корни в левой
полуплоскости р.
Полученные результаты могут быть использованы и при
определении расположения корней любых полиномов
относительно мнимой оси плоскости комплексного переменного. В
частности, если необходимо убедиться в том, что корни заданного
полинома т-\-п расположены только в левой полуплоскости,
достаточно разделить чётную и нечётную части полинома и
разложить в цепную дробь рациональную функцию, в числителе
которой стоит полином т, а в знаменателе — п (или наоборот).
Если в результате такого разложения все коэффициенты цепной
дроби получаются положительными и конечными, то полином
т-\-п имеет корни только в левой полуплоскости, причём число
полученных положительных коэффициентов цепной дроби
обязательно должно быть равно степени заданного полинома т+п.
При разложении функции — I или— ) в цепную дробь мо-
гут быть случаи, когда процесс разложения заканчивается
раньше, чем будет получено число коэффициентов цепной дроби,
равное степени полинома т + п. Это может случиться, если
заданный полином т + п представляет собой произведение полинома,
имеющего корни с отрицательными вещественными частями, на
чётный полином, корни которого могут относиться к одной из
следующих трёх категорий [2]:
1) сопряжённые пары на оси ico,
2) пары вещественных корней с противоположными
знаками,
3) группы четырёх комплексных корней, расположенных
симметрично относительно вещественной и мнимой осей плоскости
комплексного параметра р. В этом случае последний делитель,
на который производилось деление при разложении в цепную
дробь, как раз и содержит этот чётный полином, являющийся
одновременно множителем полиномов тип. Разложение на
множители выделенного таким образом чётного полинома
позволяет получить его корни.
Рассмотрим полином
т + п = р4 + р3 -t- Зр2 + 2р + I.
Составим функцию — и попытаемся разложить её в цел-
п
ную дробь
1
т _ pi + З/?2 +1 , 1
il P-r
?+±
35

Как видно, при разложении получились положительные
коэффициенты и их число равно степени заданного полинома
т + п. Следовательно, полином т + п имеет корни только в левой
полуплоскости р. Действительно, эти корни равны:
— 0,395 + i0,507 и — 0,105+ i 0,493.
В качестве второго примера найдём расположение корней
другого полинома
т + п = р6 + 4р5 -Ь 13р4 + 4р2 + 1бр 4- 52.
Этот полином в соответствии с последним из приведенных в
предыдущем параграфе вспомогательным признаком ПВФ не
может иметь корней, расположенных только в левой
полуплоскости р, поскольку коэффициент при р3 у него равен нулю.
Попробуем убедиться в справедливости этого утверждения путём
разложения функции — в цепную дробь.
п
Имеем
13 0
_т_ _ р6+13р4+4р2 + 52 ^ j^
п ~ 4р5 + Ор3 + 16р 4
0 0
Видно, что после выполнения двух шагов разложения
остаток от деления оказался равным нулю и процесс разложения
закончился. Это свидетельствует, как было указано выше, о
наличии у полиномов тип общего множителя, представляющего
собой чётный полином, равный последнему из использованных
при разложении в цепную дробь делителей. Этот последний
делитель 13р4 + 52 имеет корни ±1 ±-П, расположенные
симметрично относительно осей плоскости р. Остальные два корня
—2±i3 расположены в левой полуплоскости. Чётная т1 и
нечётная П\ части полинома, содержащего эти два корня с
отрицательными вещественными частями, определяются полученной
цепной дробью
^i = -Lp -|- х = Р2 + 13
«х 4 4 Ар
Тз"
Возьмём ещё один полином
m + п = рб + 6р5 + 24р4 + 52р3 + 100р2 -f 112p + 80.
36
13

На первый взгляд у этого полинома нет в отличие от
предыдущего явно выраженных признаков, свидетельствующих о наличии
корней не только в левой полуплоскости. Попробуем убедиться,
действительно ли корни этого полинома расположены только
слева от оси ко. Разложение — в цепную дробь дает
т
п
20 80
46 244
— 80
3 3
р64-24944- 100р24-80
6?54-52р24- 112/7
464 1856
23 23
0
1 , 1
= 6 Р+ 9 .
23 Р 529 1
696 Р_г 116
Процесс разложения закончился не на шестом шаге, как
должно быть при наличии у полинома корней только в левой
полуплоскости, а на четвёртом. Последний делитель 20р24-80
действительно имеет корни ±i2, расположенные на оси ico, а не
в левой полуплоскости.
Перемена местами тип при разложении в цепную дробь
не меняет получаемых выводов относительно расположения
корней полиномов.
§ 1.4. Рабочее затухание реактивного четырёхполюсника
Выше были получены ограничения, накладываемые
условиями физической реализуемости на функции сопротивлений
пассивных двухполюсников общего типа и реактивных
двухполюсников. Эти ограничения позволяют установить вид функций, при
помощи которых может выражаться зависимость ра'бочего
затухания реактивного четырёхполюсника от частоты. Решение
указанной задачи может быть осуществлено несколькими
способами [3], [9].
Одним из простейших способов является рассмотрение
передачи энергии от источника с активным внутренним
сопротивлением Ri к нагрузке R2 через реактивный четырёхполюсник с
параметрами Zn, Z22 и Z12. Рассмотрение несколько упрощается,
если его проводить для нормированных (относительных)
величин сопротивлений четырёхполюсника. Наиболее удобно это
нормирование может быть выполнено путём деления величин
всех сопротивлений, входящих в схему четырёхполюсника w
источника, на величину нагрузочного сопротивления /?2. Такое
изменение сопротивлений не оказывает влияния на частотные
характеристики коэффициентов передачи четырёхполюсника и,
37

следовательно, не нарушает общности решения задачи по
нахождению функций для выражения частотных зависимостей
рабочего затухания четырёхполюсника. Полученные после решения
результаты могут быть, очевидно, использованы для
четырёхполюсника, имеющего любую требуемую величину нагрузочного
сопротивления. Для такого перехода от нормированной
величины нагрузочного сопротивления /?2=1 ом к любой требуемой
величине R2 достаточно умножить полученные в результате
расчёта величины всех сопротивлений нормированного
четырёхполюсника, включая сопротивления источника и нагрузки, на
требуемую величину нагрузочного сопротивления /?2-
Для дальнейшего изложения обозначим нормированное
сопротивление источника через г\, а нормированные параметры
четырёхполюсника через зп, з22 и 3i2. Полученная в результате
схема включения нормированного по сопротивлению четырёхпо
люсника изображена на рис. 1.9.
Рис. 1.9
Уравнения передачи такого четырёхполюсника могу! быть
представлены в виде [3]
U1 = 3n/j + 512/2
U2 — 312'1 -f~ 322/2
(1.30)
Выразим рабочий коэффициент передачи четырёхполюсника
S(ito) через его параметры з1Ь 322 и з12 и сопротивление гх. Для
этого воспользуемся очевидными соотношениями (см. рис. 1.9)
E=U1 + 1ггг,
£/8 = — /„•!•
(1.31)
(1.32)
Подстановка величин из соотношений (1.30) — (1.32) в
выражение для рабочего коэффициента передачи
четырёхполюсника [3]
S(iu>) = —
V 2i/.
Vi
(1.33)
38

дает
<:/; \ (ri + 3n)(l + 322)-312
5(1Ш) = ^V7, • (L34)
Рассмотрение выражения (1.34) позволяет сделать вывод о
том, что в знаменателе S(ico) должен стоять либо чётный, либо
нечётный полином, а в числителе — полином, содержащий как
чётные, так и нечётные степени ш. Этот вывод основан на том,
что параметры холостого хода реактивного четырёхполюсника
з1Ь з22 и з12 являются нечётными рациональными функциями
комплексного параметра р [3]. Функции зп и з22) выражающие
частотные зависимости входных сопротивлений холостого хода
реактивного четырёхполюсника, т. е. сопротивлений реактивных
двухполюсников, представляют собой, как было показано выше,
реактансные функции, а з12 отличается от реактансных функций
тем, что вычеты функции з12 относительно её тюлюсов (которые
так же, как и у зи и з22, располагаются только на мнимой оси р)
могут принимать отрицательные значения.
Рабочее затухание четырёхполюсника ар связано с его
рабочим коэффициентом передачи S(ico) соотношением [3]
ар = In \S (i ш)| = — In \S (i co)|2 = — In 5(i со) 5 (— i со). (1.35)
Стоящий под знаком логарифма квадрат модуля рабочего
коэффициента передачи четырёхполюсника называется иначе
коэффициентом потерь мощности [8]. Этот коэффициент равен
отношению мощности, отдаваемой генератором (источником) в
согласованную с ним нагрузку, к мощности, отдаваемой тем же
генератором в требуемую нагрузку через четырёхполюсник, и
определяется из соотношений (1.33) и (1.35) следующим
образом:
e2a" = |S(i(o)|2 =
Е
и9
'-L. (1.36)
4ri
Учитывая соображения относительно возможного вида
функции S(ico), отмеченные при анализе соотношения (1.34), можно
прийти к выводу, что в знаменателе выражения для
коэффициента потерь мощности реактивного четырёхполюсника должен
быть квадрат чётного или нечётного полинома от со, а в
числителе— чётный полином от со [разность квадратов чётного
и'нечётного полиномов числителя S(ico)]. Кроме того, полином
числителя в 'соотношении (1.36) должен удовлетворять ещё двум
условиям. Во-первых, этот полином должен быть
положительным при всех вещественных значениях со, Такое требование не
39

будет вызывать сомнений, если учесть, что рабочее затухание
любого пассивного четырёхполюсника, работающего между
активными сопротивлениями, не может быть меньше нуля, а
знаменатель в выражении для коэффициента потерь мощности
"(1.36), является положительным полиномом при вещественных
значениях со. И, во-вторых, величина полинома числителя не
может быть меньше полинома знаменателя при вещественных со,
что опять-таки следует из того же условия положительности
рабочего затухания реактивного четырёхполюсника. Последнее
условие позволяет представить полином числителя в выражении
(1.36) в виде суммы полинома знаменателя и некоторого
неотрицательного для всех вещественных со чётного полинома,
умноженной на постоянный коэффициент, величина которого не
может быть меньше единицы.
Изложенные соображения позволяют утверждать, что
выражение для коэффициента потерь мощности реактивного
четырёхполюсника при работе его между активными нагрузочными
сопротивлениями должно иметь такой вид, чтобы его можно было
преобразовать в рациональную функцию
М(ю2) '
JV2((o)J *
где W — положительный вещественный коэффициент,
величина которого не может быть меньше единицы;
М (со2) — полином от со2, который не может принимать
отрицательные значения при любых вещественных
значениях со;
jV(co) —чётный или нечётный полином от со.
Такое представление коэффициента потерь мощности
реактивного четырёхполюсника в отличие от других представлений
позволяет при решении задачи аппроксимации хребуемон
характеристики фильтра использовать полином Л1(со2), значение
которого хотя бы на одной вещественной частоте равно нулю. В
свою очередь, это позволяет представить рабочее затухание
реактивного четырёхполюсника в виде суммы затуханий
ар^амин + а, (1.38)
е2аР = 1Г/^2(со) + М(со2) = w
Л'2 (со)
1 +
(1.37)
где первое слагаемое
YlnW О-39)
не зависит от частоты и равно минимальной величине пабочегэ
затухания четырёхполюсника на вещественных частотах, а
второе слагаемое
1 ,
а= —In
2
1 +
2\П
Д4(со2)
jV2(cd)
(1.40)
40

зависит от частоты и представляет собой по существу
превышение рабочего затухания четырёхполюсника на данной частоте
над минимальным затуханием его. Это второе слагаемое
целесообразно назвать относительным затуханием и дать ему
специальное обозначение а. Чаще всего, когда речь идёг о
селективных свойствах четырёхполюсника, имеется в виду имглно
превышение рабочего затухания на каких-то определённых:
частотах или в определённом диапазоне частот над минимальным
затуханием четырёхполюсника. Это и понятно, так как именно ; ре-
вышение затухания на одних частотах над затуханием на других
частотах позволяет производить разделение сигналов,
передаваемых в трактах связи, производить корректирование
частотных искажений, создаваемых линиями связи, и т. п. Если наряду
с требованиями к селективным или частотно-зависимым
характеристикам четырёхполюсника предъявляется ещё и требование к
величине минимального затухания четырёхполюсника, то, как
правило, эга величина минимального затухания амин задаётся
отдельно и не с такими жёсткими допусками, как величина
зависимого от частоты относительного затухания а.
Величина минимально возможного рабочего затухания амин
для реактивных четырёхполюсников определяется в
зависимости от соотношения нагрузочных сопротивлений
четырёхполюсника Ri и R2. Подробное рассмотрение этой зависимости будет
дано ниже при определении параметров реактивных
четырёхполюсников и при анализе конкретных типов фильтров. Здесь же
можно ограничиться замечанием, что затухание амин будет
равно нулю для симметричных и антиметричных
четырёхполюсников, дающих, как известно [3], на некоторых частотах [на тех
частотах, где М(со2)=0] идеальное согласование генератора с
нагрузкой и, следовательно, имеющих на этих частотах ар=0.
Можно также как частный случай рассмотреть работу фильтра
нижних частот, не имеющего в своём составе идеальных
трансформаторов, в условиях, когда нагрузочное сопротивление с
одной стороны фильтра равно нулю или бесконечно велико, а с
другой стороны имеет конечную величину. Очевидно, что в этом
случае ажнм=оо, W=ca , и при рассмотрении таких режимов
работы четырёхполюсника можно оперировать уже не с рабочим
затуханием, которое бесконечно велико, а с затуханием
напряжения или тока, определяемым для схем рис. 1.10, а и б по
формулам:
Vi
при гх = 0 (1.41)
и2
ан = In —г- при гх - оо, (1.42)
41

а для схем рис. 1.10, в и г по формулам:
а
т
= In
ат = 1п
1 г
\Uii
$11 Уи
},2
дг
а)
1 2
С,
J——•—
Jtl 6Т2
$12
2 h
В)
'2
}■
X
T
Рис
при rx
= OO
при rx = 0.
1 2
olT^
/
h fn
hi
•
/
~ , 2 1
I? 1
0 V f
h $a
1
*)
1 10
♦ '
4T
-0
V
-0
(1.43)
(1.44)
Могут быть, конечно, и промежуточные величины амт,
получающиеся при работе реактивных четырёхполюсников между
нагрузочными сопротивлениями, отношение которых отличается
от приведённых выше.
Определять элементы схемы четырёхполюсника
целесообразно таким образом, чтобы полученные величины элементов
выражались через W, и тогда их можно будет вычислить для
любых требуемых амин , в том числе и для амин—со.
§ 1.5. Коэффициент несогласованности
и входные сопротивления нагруженного
реактивного четырёхполюсника
Переход от полученной частотной характеристики
коэффициента потерь мощности реактивного четырёхполюсника к его
параметрам и, наконец, к элементам схемы можно наиболее
просто осуществить, используя связь между рабочим затуханием и
затуханием несогласованности реактивного четырёхполюсника.
Эта связь устанавливается известным соотношением [3], [6]
-2а,
+ е
-2а,
1
(1.45)
где ае — затухание несогласованности, характеризующее
отклонение входного сопротивления четырёхполюсника ьвх от
выходного сопротивления генератора Г\ (рис. 1.9), причём
42

ae = In 3fl-yJfri = In J±±*°x. = }n\T(i<u)|. (1.46)
Величина Т('т), входящая в последнее выражение,
называется коэффициентом несогласованности сопротивлений на
входе четырёхполюсника [3] и, как это следует из выражения
(1.46), определяется через входное сопротивление
четырёхполюсника и активное выходное сопротивление генератора
соотношениями:
T(i(o)= 3sr + ri или T(it»)= Г1 + Ьвх . (1.47)
Ъвх r\ ri — Ьвх
Соотношения (1.47) позволяют сделать вывод о наличии
определённой связи между знаком вещественной составляющей
входного сопротивления реактивного четырёхполюсника Re 3er
и величиной модуля коэффициента несогласованности этого
четырёхполюсника. Очевидно, что при Reoex—О |Т|==1. Если же
Re3ejr>0, то вещественная часть числителя Г, равная сумме
положительных величин, становится больше, чем вещественная
часть знаменателя Т, равная разности тех же величин.
Учитывая, что мнимые составляющие числителя и знаменателя равны
между собой и равны мнимой составляющей входного
сопротивления четырёхполюсника Im ъвХ, можно получить
|Г|>1 при Re3e^>0. (1.48)
Выше было показано, что сопротивления пассивных
двухполюсников являются положительными вещественными
функциями параметра р и не могут иметь отрицательных вещественных
составляющих сопротивления в правой половине плоскости
комплексного параметра р = о-\-ш, включая и ось вещественных
частот о)(а=0). Входное сопротивление реактивного
четырёхполюсника, нагруженного на активное сопротивление, также
является сопротивлением пассивного двухполюсника, и поэтому
для него справедливо соотношение (1.5), причём при а>0
обязательно и Re 3er> 0. Подстановка выражения (1.5) в (1.48) даёт
\Т\ > 1 при а > 0, (1.49)
причём, как и в (1.5), при о>0 \Т\>1.
Установленное таким образом ограничение величины
коэффициента несогласованности нагружённого реактивного
четырёхполюсника в правой половине плоскости комплексного
параметра р, определяемое возможностью физического
осуществления входного сопротивления четырёхполюсника, позволяет опре-
43

делить коэффициент несогласованности Т через коэффициент
потерь мощности е2а^ . Действительно, из соотношений (1.45) и
(1.46)
|Г(1ш)|^е2а^-^. (1.50)
е р — 1
После подстановки в (1.50) коэффициента потерь мощности
из (1.37) получается
|Т(1-)|' = **» + N*ia) . (1.51)
Выделение из полинома числителя (1.51) сомножителей,
входящих в состав числителя коэффициента несогласованности Т,
можно производить только при обязательном учёте ограничения,
накладываемого соотношением (1.49). Согласно этому
ограничению нули полинома числителя коэффициента
несогласованности не должны располагаться в правой половине плоскости
комплексного параметра р, иначе величина Т будет в некоторых
точках правой половины плоскости р меньше единицы, что,
согласно соотношению (1.49), недопустимо. Такое разделение
полинома числителя в выражении (1.51) на два сопряжённых в
комплексной плоскости полинома всегда может быть
осуществлено.
Для доказательства этого в полиноме числителя выражения
(1.51) переменную со заменим на —\р и представим получившийся
полином с вещественными коэффициентами от переменной р2 в
виде произведения сомножителей. При этом в соответствии с
основной теоремой алгебры [12] получим
М(-р*) + NH-ip) = d0 (р*-р\) О2 -р!)... (р2-^), (1-52)
где d0~~ старший коэффициент, а р2, р2, .. .ф2п— корни
полинома M{—p2)+N2(—\p).
Каждый сомножитель вида р2—р\ в последнем выражении
можно представить как произведение более простых множителей
Р2 — Р2. = (р~ Р*)(р + Р?),
из которых один обязательно имеет корень с отрицательной
вещественной частью. Этот последний сомножитель и нужно взягь
в числитель коэффициента несогласованности Т.
Обязательность наличия у одного из каждой пары простейших
сомножителей корня с отрицательной вещественной частью вытекает из
44

соотношения (1.37), откуда видно, что корни полиномов Л1(о2)
и N2((£>) не могут совпадать и сами эти полиномы не могут
принимать отрицательных значений на оси со= —\р. А это означает,
что числитель в соотношении (1.51) при любых вещественных со
может принимать только положительные вещественные
значения и, следовательно, его корни не могут располагаться на оси
<,)= —\р, а обязательно должны иметь не равную нулю
вещественную часть.
В соответствии с последним соотношением одну и ту же
величину вещественной части, но 'С разными знаками, должны
иметь по крайней мере два корня полинома (1.52). Отсюда
следует, что если полином (1.52) имеет степень 2п, то всегда есть
возможность выбрать п простых сомножителей с корнями,
имеющими отрицательные вещественные ча'сти. Собрав эти п
сомножителей вместе, можно составить необходимый полином
числителя коэффициента несогласованности реактивного
четырёхполюсника, который для дальнейшего можно обозначить в виде
У~сЦ{и\ -г v[), где и'{ — чётная, a v'{ — нечётная части
полинома u'x-\~v' Оставшиеся сомножители полинома (1.52)
образуют полином У d0 («1 — v{) , имеющий корни с
положительными вещественными частями. Интересно отметить, что
полученный полином У dQ («I + v{) числителя в выражении для
коэффициента несогласованности Т после замены в нём р на m
является в то же время полиномом числителя в выражении для
рабочего коэффициента передачи четырёхполюсника S(ico).
Действительно, при подстановке Ь2=—\-1% 'в соотношения
(1.30) можно получить
2
, И\ —х 312 л г^
Звх = — —*п — (1.53)
h 1 + 322
и
„ + ,.,= <" + '»"'+»->-й , (1.54)
1 + l 22
Сравнение ф-л (1.34), (1.47) и (1.54) подтверждает, что
числители Т и 5(ico) представляют собой один и тот же полином,
имеющий в соответствии с приведенными выше соображениями
корни только в левой полуплоскости р. Учитывая полученные
выводы относительно числителя в выражении для рабочего
коэффициента передачи S(ico) и соотношения (1.36) и (1.37),
можно представить S (ico) в виде
, , . и. (i со) + v. (\ со) ,
5 (i«,) = \S e>* = -Ji-JJlJl_i yWd0. (1.55)
/V(i со)
45

Отсюда получается выражение для рабочего фазового
сдвига четырёхполюсника Ь. Для чётного полинома iV(ico) из
соотношения (1.55) фазовый сдвиг определяется по формуле
v, (i со)
Ь = arc tg-V—— + г т:. (1.56)
i w, (i со)
В случае же нечётного полинома N (на) этот сдвиг будет
и, (i со)
Ъ = arc tg ', + rrc. (1.57)
i и, (l со)
На полином знаменателя u2-\-v2 коэффициента
несогласованности T, определяемый из полинома знаменателя в выражении
(1.51), не накладывается таких строгих ограничений, как на
полином числителя. Поэтому выделение необходимых
сомножителей из полинома
М (_ р2) + ^ N* (~ i Р) = С°("2 + ^("2 ~ Щ)> (1 -58)
где с0 — коэффициент при старшей степени переменной — для
г/2 + ^2 может осуществляться несколькими способами. Важно
только, чтобы из двух сопряжённых в плоскости р
сомножителей знаменателя (1.51) один входил в состав ii2 + v2, а другой
был отброшен. Отсюда ясно, что вариантов получения u2-\-v2 из
М(—р2) н N2(—\p) может быть достаточно много. Каждый
из этих вариантов в процессе дальнейшего расчёта может
привести к различным величинам элементов четырёхполюсника и
различным схемам их включения. Учитывая, однако, что число
элементов в схемах получаемых четырёхполюсников при разных
вариантах реализации получается одинаковым, а использование
всех возможных видов полиномов u2-\-v2 для расчётов может
существенно затруднить вывод формул для определения
величин элементов и составление вспомогательных расчётных
таблиц, в данной работе принято определять u2-\-v2 из знаменателя
выражения (1.51) таким же образом, как и и J-j-yj из числителя.
В результате в состав u2-\-v2 включаются только те сомножите-
ли М(—р2) -\ N2(—\р), которые имеют корни с
отрицательными вещественными частями.
Полученная таким образом величина коэффициента
несогласованности нагруженного реактивного четырёхполюсника
r=:_LJ_J]/ ^ (1.59)
46

может быть использована для определения его входного
сопротивления. Для этого достаточно выразить зв)г через Т из
соотношения (1.47)
hx = гху—| или net = rx -yj-^ . (1.60)
Подстановка в ф-лу (1.60) значения Т из (1.59) даёт
возможность выразить 3ev через полиномы числителя и знаменателя
коэффициента несогласованности следующим образом:
3a,^r1>i-+"2) + (ai + P2) (1.61)
(«! — Ы2) + (1>! — 1>2)
или
(их — ы?) + (ох — v2) . ,j ggv
(«1 + "2) + fa + Щ)
Здесь «! = m| l/^°_ и vx=v\ l/^_.
По этим формулам можно в случае необходимости вычислять
входное сопротивление четырёхполюсника. Выходное
сопротивление звыл. определяется также по ф-лам (1.61) или (1.62), но
вместо величины г\ в формулы необходимо подставить единицу.
§ 1.6. Определение параметров реактивного
четырёхполюсника
Полученные формулы для выражения входного
сопротивления нагруженного реактивного четырёхполюсника через
полиномы ии и2, V\, v2 позволяют найти параметры этого
четырёхполюсника. Действительно, нормированное входное
сопротивление четырёхполюсника связано с его параметрами известным
соотношением [1]
1 + -^-
^r=hi-7~* (1-63)
1+ З22
где #22 — нормированная проводимость короткого замыкания
четырёхполюсника со стороны клемм 2—2 (рис. 1.9 и 1.10).
Преобразование выражений (1.61) и (1.62) к виду (1.63) может
быть проведено двумя путями. Можно, например, в соотношении
(1.61) вынести из числителя чётный полином и{ + и2, а из зна-
47

менателя — нечётный полином V\—v2. Тогда соотношение (1.61)
преобразуется к виду
f 1 + Щ
г = Tl Ux + "2 "1 + "2 . (1.64)
1 +
Можно, очевидно, представить выражение (1.61) и в другом
виде
, ■ ц1 + ц2
О, + 0о 01 -+* 0о /1 СС\
"i — "а , , р1~ р2
1 +
^сли вынести из числителя нечётный полином, а из
знаменателя — чётный.
Отождествляя почленно выражения (1.63) и (1.64), можно
получить параметры четырёхполюсника-
, „ wl + "2 . 2 ul— w2 . „ _ wl + "2 /1 ££\
Зц = rx , з22 — , y22 — —- . (i .do;
vt — v2 vx — o2 vx + 02
Эти параметры получились в виде нечётных рациональных
функций, что необходимо для физической реализуемости
каждого из них в отдельности.
Покажем, что выражения (1.66) для зи, з22 и #22
представляют собой не просто произвольные нечётные рациональные
функции, а являются реактансными функциями и,
следовательно, могут быть реализованы в виде сопротивлений реактивных
двухполюсников. Для этого в соответствии с выводами,
полученными при рассмотрении рис. 1.8, достаточно убедиться, что
полином, равный сумме полиномов числителя и знаменателя
любой из этих функций, не имеет корней в правой полуплоскости р
[4] Рассмотрим, например, такой полином для зи
"i + "2 + »i -08 = ("1 + vjll + !*=?*) . (1.67)
V «1 + щ /
Первый сомножитель ui + vl этого полинома является
числителем в выражении для коэффициента несогласованности Т и
согласно соотношению (1.49) не может иметь нулей в правой
полуплоскости р. Модуль числителя дроби у второго
сомножителя может быть заменён равной ему величиной
\ui-v2\ = \u2 + v2\, (1.68)
48

поскольку замена знака у чётной или нечётной части полинома
или у обеих частей одновременно не меняет модуля этого
полинома. Но тогда из соотношения (1.59) и (1.49) следует, что в
правой полуплоскости р
u2 — v2
«1 + 01
=
«2+^2
Ы1 + У1
=
1
т
= ^г<1
(1.69)
Получается, что второй сомножитель (1.67) также не может
иметь нулей в правой полуплоскости р, что и доказывает
возможность реализации функции Зц в виде сопротивления
реактивного двухполюсника.
Применяя преобразования, подобные (1.67) — (1.69), можно
рассмотреть параметры 322 и у22 реактивного
четырёхполюсника и убедиться, что выражения для этих параметров также
являются реактансными функциями.
Чтобы получить параметр 312, можно воспользоваться
известными соотношениями, связывающими параметры реактивного
четырёхполюсника [1]
3Ц = #22|?|; I 31 = ?ll' 322— 312,
откуда
312 —
311 322"
#22
(1.70)
Это выражение может быть получено и прямо из ур-ний
(1.30), если рассмотреть входное сопротивление
четырёхполюсника со стороны клемм 2—2, замкнув клеммы 1—1 накоротко.
При этом U{ = 0 и
h
о 12 /
'2>
Зц
з2
U 2 — ^2 + 322^2>
Зц
и^ __ 1 _
'2 Уъъ
312 — 3
11 322
3_п_
Угг
49

Подстановка в выражение (1.70) параметров
четырёхполюсника из соотношения (1.66) даёт
л^У{и\-у\)-(и1-4)
312-КГ1 7—7Г
(1.71
Выражая и2— и2 и и2— v2 через полиномы М(—р2) и
N2(—\р) из соотношений (1.52) и (1.58)
и\ - v\ = -i- [М (-р2) + yV2 (- i p)],
Со
2 2 1
и2— v2 = —
^0
можно получить
М(—р'
W— 1
7V2(— ip)
J/ W c0 vx — v,
(1 -72)
Из этого соотношения видно, что полином N(—\р) в данном
случае может быть только чётным (з12 должно быть нечётной
рациональной функцией, a vx—v2 является нечётным
полиномом). Справедлив будет и обратный вывод, которым и следует
руководствоваться при определении параметров реактивного
четырёхполюсника: если в выражении для коэффициента потерь
мощности четырёхполюсника полином N (со) является чётным
полиномом, то 'после получения полиномов ии и2, v{ и v2
определение параметров четырёхполюсника должно производиться
по ф-лам (1.66) и (1.70).
Преобразовав соотношение (1.65) так, как и (1.64), можно
прийти к выводу, что в этом случае полином N (со) должен быть
нечётным и параметры реактивного четырёхполюсника будут
выражаться следующим образом:
Vl + V2
и
#22
UX —
"l+ v2
Ux + «2
<-22
12
, /" rx iN(-ip)
у Wc0 ux — u2
(1.73)
Если в качестве основного соотношения для определения
параметров реактивного четырёхполюсника использовать не
выражение (1.61), а (1.62), то будем иметь ещё две возможные
группы параметров четырёхполюсника. Все четыре полученные
таким образом группы параметров холостого хода и короткого
замыкания реактивных четырёхполюсников представлены в
табл. 1.1.
50

Таблица 1.1
Исходная
формула

Полином
7V (со)
Параметры холостого
хода
Параметры короткого
замыкания
,7+1
'Г—1

четный
, lix + U-2
3l2
3 22 —
-V
их —
vx-
г\
Wc0
-v2
-и2
-v2
N(-
vi —
■ip)
»2
Уи
ux
r] (Vi + v2)
#22 —
«l + «2
У22,'
Vl + V2
~N(~ip)
(ci + v2) V r'.W c0

нечетный
3ll=^r
3 22 —
Wi — «2
З12 —
r\ iN(—\p)
У11
v1 — v2
У22 —
Г, («! + U2)
^1 + ^2
«/18 =
"l + «2
i N (- i p)
(«i + ujf r>c„
3ex —
Г—1
*r+i

четный
3ii=',i
»1 — »2
»l + »2
"l +"2
«1 + V2
" N (- i p)
№ Г0 °1 + °2
#22 =
«1 +«2
a(°l
«2
i/12
»! —Oa
yV(-ip)
(vi-vj VriWc»

нечетный
3n=^
З22 —
З12 —
/
UX + «2
Ol + °2
«1 + «2
77i7V(-
ip)
N7^ Wl+W2
Ol + Oa
г/12
11 —
Угъ
Г\ («1 "
— 1Л/(-
~"a)
»8
«2
-I»
(Ul - «2) /'l^ <V
4*
51

§ 1.7. Определение элементов схем полиномиальных
реактивных четырёхполюсников
Порядок реализации четырёхполюсника, заданного системой
параметров холостого хода зп, з22 и з12 или короткого
замыкания уцу г/22 'и #12, определяется в первую очередь
расположением нулей функции з12((/12) или, что то же самое,
расположением корней полинома М(~[р) [2], [3]. Для практического
осуществления электрических фильтров наиболее приемлемы
четырёхполюсники лестничной схемы без элементов взаимной
индуктивности. Необходимым условием для осуществления такого
четырёхполюсника является отсутствие корней полинома N(—[р)
или, как это следует из (1.34), отсутствие полюсов рабочего
коэффициента передачи вне мнимой оси плоскости комплексного
параметра р. На практике этот случай и находит наибольшее
применение. При таком расположении корней полинома
N(—\р) каждому полюсу коэффициента передачи в лестничном
четырёхполюснике соответствует или полюс сопротивления в
одной из его продольных ветвей или полюс проводимости в одной
из его поперечных ветвей. Например, если коэффициент
передачи имеет полюс при p=±io)0, то или в одну из продольных
ветвей лестничного четырёхполюсника входит параллельный
резонансный контур с резонансной частотой ©о, или в одну из его
поперечных ветвей входит последовательный резонансный
контур с той же резонансной частотой.
Поэтому реализация лестничного реактивного
четырёхполюсника сводится к задаче определения лестничного реактивного
двухполюсника с заданными сопротивлениями Зц и з22,
содержащего в своих ветвях реактивные двухполюсники, которые
обусловливают заданное расположение полюсов коэффициента
передачи четырёхполюсника. Разложение в цепную дробь той из
функций з22 или (/22, которая имеет наибольшую степень р, и
введение в процессе разложения элементов, определяющих
полюсы коэффициента передачи, позволяют получить все
элементы реактивного четырёхполюсника за исключением активного
сопротивления Г\. Первый элемент разложения в цепную дробь
сопротивления зи или проводимости (/п, имеющих меньшую
степень р, позволяет получить это активное сопротивление. Для
некоторых типов четырёхполюсников (симметричных, антимет-
ричных и др.) [3] величина сопротивления г{ либо может быть
известна до начала расчёта, либо может быть определена в
самом начале расчёта из других исходных данных. Тогда
полученная из Ъи{У\\) величина гх может быть использована для
контроля правильности выполненных расчётов.
Наиболее просто указанный порядок определения элементов
реактивного четырёхполюсника может быть применён для
полиномиальных четырёхполюсников, у которых все полюсы рабоче-
Б2

г0 коэффициента передачи находятся при р= со и,
следовательно, нет нулей з12 при конечных значениях р. У таких
четырёхполюсников рабочий коэффициент передачи и коэффициент
потерь мощности, как это видно из соотношений (1.34) и (1.37),
выражаются полиномами, поскольку N(—ip) = l. В продольных
и поперечных ветвях полиномиальных четырёхполюсников
должны быть включены такие двухполюсники, у которых полюсы
сопротивления и проводимости расположены только при р= со.
Это означает, что в продольных ветвях подобных
четырёхполюсников могут быть только индуктивности, а в поперечных —
только ёмкости. Значения элементов полиномиального
четырёхполюсника получаются, если разложить в цепную дробь ту из
а)
f-^T1
И 2
41-1
5)
Пу^.
Llj
т г .
Рис 1 11
функций з22 или у22, У которой степень р выше. Порядок
разложения реактансной функции в цепную дробь дан в конце
параграфа 1.3.
В дальнейшем, при расчёте полиномиальных фильтров, будут
использоваться схемы реактивных четырёхполюсников,
соответствующие случаю 2 табл. 1.1, для которого при N(—ip) = 1
41
= гл
"i — щ
°i + o2
(1.74)
53

Все элементы такого четырёхполюсника могут быть
получены разложением з22 в цепную дробь, а из зи получается
только значение сопротивления Г\. Схемы полученных
четырёхполюсников имеют вид, изображённый на рис. 1.11, а и б, где av —
значения индуктивностей в генри и ёмкостей в фарадах.
Из табл. 1.1 видно, что полученные параметры холостого
хода для первой исходной формулы при одном и том же полиноме
N((d) соответствуют параметрам короткого замыкания,
определённым для второй исходной формулы, и наоборот. Параметр з22
для второй исходной формулы оказывается даже равным
параметру г/22 Для первой формулы. Такое соответствие параметров
может получиться только для схем, в которых все
ёмкости заменены индуктивностями и наоборот, причём значения
ёмкостей при такой замене, измеренные в фарадах, равны
значениям соответствующих индуктивностей в генри. Полученные из
схем рис. 1.11, а и б в результате такой замены ещё две
возможные схемы полиномиальных фильтров приведены, соответственно,
на рис. 1.11, в и г. Очевидно, что при чётных значениях п можно
получить схемы рис. 1.11, а и в, а при нечётных — рис. 1.11,6 и г.

Глава 2
РАСЧЁТ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
БЕЗ УЧЁТА ПОТЕРЬ В ЭЛЕМЕНТАХ
§ 2.1. Нормирование расчёта
Нормирование расчёта фильтров даёт возможность
сократить количество математических операций, необходимых для
получения расчётных формул, по которым определяются элементы
схем фильтров. Нормирование приводит расчёт различного типа
фильтров, работающих между разными нагрузочными
сопротивлениями и на различных частотах, к расчёту фильтра вполне
определённого типа, работающего на определённое сопротивление
нагрузки и имеющего вполне определённые частоты среза. В
качестве такого нормированного фильтра чаще всего принимается
фильтр нижних частот, работающий «а нагрузку 1 ом и
имеющий частоту среза coi = l рад/сек или /'1 = 1/2я гц. В дальнейшем
этот нормированный фильтр, принятый и в данной работе, будем
называть прототипом.
Как уже было показано выше (см. § i.4), для перехода от
одной величины нагрузочного сопротивления к другой
необходимо увеличить (или уменьшить) величины всех сопротивлений
данного фильтра, включая и выходное сопротивление источника,
во столько раз, во сколько новая величина сопротивления боль-
ше( или меньше) прежней. При переходе от прототипа,
имеющего нагрузочное сопротивление 1 ом, к требуемому фильтру с
заданным нагрузочным сопротивлением это отношение просто
равно величине заданного сопротивления в омах.
Переход от низкочастотного прототипа к требуемому типу
фильтра и наоборот осуществляется при помощи
преобразований частоты. Такие преобразования, дающие возможность
связать частоты реальных фильтров / с частотами прототипов Q,
достаточно хорошо известны [3], [6]. [10]. Для наиболее часто
используемых типов фильтров они представлены в табл. П.1.
Приведённые в таблице преобразования даюг возможность
рассчитывать те типы фильтров, для аппроксимации частотных
характеристик рабочего затухания коюрых используются полиномы.
55

Рассчитываются фильтры нижних и верхних частот (ФНЧ и
ФВЧ), полосно-пропускающие и полосно-запирающие фильтры
(ППФ и ПЗФ). При этом частотные характеристики затухания
ППФ и ПЗФ должны быть симметричны относительно средней
частоты
/о= УТЛ- (2-1)
В формулах табл. П.1 приняты следующие обозначения:
/ — частота, которую необходимо преобразовать в частоту
нормированного фильтра — прототипа;
/_1— нижняя частота среза. Полоса пропускания фильтра
расположена выше этой частоты, а полоса
задерживания — ниже,
/i — верхняя частота среза фильтра. Полоса пропускания
расположена ниже этой частоты, а полоса
задерживания — выше.
В таблице приведены также формулы для перехода от
элементов прототипа а к элементам L и С указанных выше типов
фильтров при заданных частотах среза и сопротивлении
нагрузки. Конечно, кроме изменения величин элементов при
переходе от прототипа к реальному фильтру, необходимо изменить
нагрузочные сопротивления: вместо одного ома поставить
/?2 ом и вместо Т\ поставить R\ = riR2 ом.
§ 2.2. Полиномы, используемые для расчёта фильтров.
Классификация фильтров ^
Коэффициент потерь мощности полиномиального фильтра
после приведения его при помощи преобразований частоты к
прототипу получается из соотношения (1.57), если положить
#((0) = 1,
e2aP=W[l+M(a)2)]. (2.2)
В качестве полинома М(со2) может быть взят, вообще
говоря, любой полином, удовлетворяющий условиям, полученным
при анализе соотношения (1.37), но в практике расчётов
полиномиальных фильтров преимущественное распространение
получили полиномы Чебышева вида Тп (х) = cos (ftarccos х) и
полиномы Баттерворта вида F(х)=х п , и поэтому задаче их
использования будет уделено в дальнейшем изложении
наибольшее внимание.
Функция Тп (х) = cos (narccos х) при изменении х от —1 до
+ 1 изменяется в пределах от —1 до +1, переходя через нуль
п раз и принимая крайние значение — 1 пли +1 п#\ раз. При
56 —

IxI > 1 ITn(x)| > 1 и при увеличении \x\ \Тп(х)\ монотонно
растет. Ценным свойством полиномов Чебышева, обусловившим
широкое их применение для синтеза фильтров, является то, что
при любом |*| (1 < | х | < со ) значение | Тп (х) | больше, чем
значение любого другого полинома той же степени, величина
которого при изменении аргумента в интервале от —1 до +1 не
превышает единицы. Другими словами, если частотные
характеристики коэффициентов потерь мощности прототипов
аппроксимируются при помощи полиномов Чебышева, то это даёт
возможность получать более высокие величины затухания
фильтров в полосе задерживания при одинаковой неравномерности
затухания в полосе пропускания, чем использование любых
других полиномов. В качестве примера на рис. 2.1 приведены
зависимости Тп (х) от х при л = 3 и гс = 4.
*~х
Как видно из рис. 2.1, нельзя в выражение (2.2) подставить
вместо М(со2) непосредственно полином Чебышева, поскольку
при вещественных величинах х он принимает отрицательные
значения. Для такой подстановки может быть использован этот
полином после возведения его в квадрат и умножения на
произвольный коэффициент.
Выражение (2.2) после подстановки полинома Чебышева
преобразуется к виду
e2ap=W[l -f кт1{Щ). (2.3)
У'прототипа с такой характеристикой полоса пропускания будет
от Q = 0 до Q = l, полоса задерживания — от Q = l до Q = oo,
Минимальная величина коэффициента потерь мощности
прототипа в полосе пропускания получается при Tn(Q)=0
е2амин = w,
(2.4)
или минимальное затухание прототипа в полосе пропускания
составляет
In Г.
(2.5)
57

Максимальная величина коэффициента потерь мощности в
полосе пропускания будет при [ Тп (Q) \ = 1
^макс =Щ\+Н), (2.6)
или максимальное затухание прототипа в полосе пропускания
равно
^Ma,c=~^W(\+h). (2.7)
Неравномерность затухания прототипа в полосе пропускания
связана с величиной h соотношениями
Aa = aMaKr-aMUH = ±\n(l+h) или /г = е2Аа-1. (2.8)
Затухание прототипа будет равно амин при частотах
2 = cos ^^^ тг, (2.9)
2/г
где т=\ ,2,..., п.
Затухание прототипа будет равно амакс при
q = cos^—U. (2.10)
Для фильтра с чебышевской характеристикой затухания
может быть установлена связь между минимальным затуханием
амин > неравномерностью затухания Аа и отношением
нагрузочных сопротивлений. В самом деле, при подключении нагрузки
/?2 к генератору с выходным сопротивлением Ri за счёт
несогласованности Ri и R2 нагрузка будет получать сигнал с
затуханием
а0 = 1п Rl,±Jk=- = \nl-3£-. (2.11)
Если теперь между генератором и нагрузкой включить
фильтр, то затухание, равное а0, этот фильтр будет иметь при
Q = 0, что для нечётного п соответствует минимальному
затуханию aMtlH, а для чётного п — максимальному затуханию амакс.
Таким образом, для нечётного п:
амин = — In W = — In (1+ri)2 , (2.12)
мин 2 2 4лх
W= (1 + ri)2 , (2.13)
58

а для четного п
алакс = -L InlF(l +Л)=-^-1п-^-^-, (2.14)
У = JL±^ = _<!±г£ е-Д (2Л5)
4^(1+Л) 4п '
Полиномы Баттерворта вида F(x)=x n также находят
достаточно широкое применение для аппроксимации частотных
характеристик затухания полиномиальных фильтров. При их
использовании получаются фильтры с монотонными частотными
характеристиками затухания в полосе пропускания. Если
сравнить полиномы вида Т2 (х) и F(x) одинаковой степени, дающие
фильтры с одной и той же неравномерностью затухания в
полосе пропускания, то полиномы F(x) обеспечивают меньшее
затухание в полосе задерживания и дают меньшую крутизну роста
затухания на частоте среза фильтра, чем полиномы Т2п (х).
Поэтому при аппроксимации заданной частотной характеристики
затухания степень полинома F(x) может потребоваться более
высокая, чем степень полинома Т2п (х). Вместе с тем фазовые
и переходные характеристики фильтров получаются лучшими
при использовании полиномов F(x). Поэтому последние и
находят известное применение при расчёте фильтров,
предназначенных для пропускания импульсных сигналов.
Коэффициент потерь мощности прототипа при использовании
полинома г (х) — х можно записать в виде
e2ap = W(l + Q2"). (2.16)
Минимальное затухание такой прототип имеет при Q = 0
a*uH = YlnW' <2Л7)
Максимальное затухание в полосе пропускания будет при
Q=l, т. е. на частоте среза
"макс = y In2 W = амин + 0,346 неп. (2.18)
Для фильтров такого типа соотношение между W и гх имеет
вид (2.13).
Классифицировать полиномиальные фильтры будем по типу
используемого полинома и примем, что номер класса фильтра п
равен половине степени полинома М(со2). Такая классификация
Удобна тем, что номер класса фильтра равен числу элементов в
прототипе. Например, для фильтра третьего класса, у которого
частотная характеристика коэффициента потерь мощности после
59

нормирования частот (приведения к прототипу) описывается
полиномом Чебышева третьей степени
e2af> = W[l]+hT23(Q)),
п=1
а,неп
0,2
а,неп
0,2
а,неп
0,2
а.нвп
0,2
0,4
п=2
,п=3
0,4
прототип состоит из трех элементов.
0,1 а'неп
9,05
0.1
005
О
0,1
0,05
О
' Q1
0,03
о
0.1
0.05
0,6
0,8
0,6
0,0
ОА
0.6
0,8
0,4
0,6
0,8
(2.19)
\^
77= J
Л
У
/7=6
N
\
,
/
г
\
V
а
"N
\А
X
л=7
s~/
v..
/
/
\l
V
Частотные характеристики относительного затухания
прототипов различных классов, рассчитанные по ф-лам (1.40), (2.3),
(2.8) и (2.16), приведены для чебышевских прототипов на
рис. 2.2. и 2.3, а для баттервортовских прототипов на рис. 2.4. По
60

оси абсцисс на этих рисунках отложены нормированные
частоты Q или обратные им величины Q=l/Q, а по оси ординат —
относительное затухание а. Характеристики затухания чебышев-
ских прототипов на частотах полосы пропускания приведены на
а.неп п = 8 7 6 5 Ь
t 0,8 0,6 0,4 0,2 1J^
Рис 2 3а
рис. 2.2 для одной величины неравномерности затухания Да^
= 0,1 неп. При необходимости определения затухания для
других величин &а достаточно изменить соответственно масштаб
по оси ординат. Правда, такой путь получения характеристик
затухания для других величин Да не является математически
строгим, но для величин Да в пределах от 0,002 до 0,2 неп
получаются настолько малые погрешности, что ими можно пренебречь.
61

Q неп
n--8 7 б S «
9
в
7
б
6
3
2
1
Of
0,4
OJ
0,2
0,1
1
\ I
й а*0,005 неп
1
/ I
/
/
/ ,
/
/
/
/
п
0,8 0,6 0,4 0,2
Рис 2 36
I
/ 3,
' 1
12
= /
/
/
/
У
Q
62

Sft?
о
to
со
05
«а
-*
Л
<*
ч«а
о»
,<£>
**
чС1
ка
^ч:-*
,
1
\
О"
„сэ
►ч>
„сэ
Со
„СЭ
*»
~
са
с*
~»
•о
со
■ss
Сл
о»
>3
СО
«О
сэ
*
iJ
>1!
■ч
*
N>
О
Q
II
,<=!
с>
а-
со
О
to
5J
и
00
о»
«ч

-
*э
с
<ъ
II
)
'
>s,
CM
^
ir
-
.C:
со

So
N3
Oi
«О
тз
сю
—*
—1
NO
iNv,
сэ
II
„Cs
CD
tn

а, и en
9
в
7
в
5
4
О
2
1
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
О
/7=5 7 6 S 4 3
А а*0,1 неп
/ j
1 I
* j?
г
Пу1
0,8
0,6
Рис 2 3е
0,4
0,2
Го
66

й.неп
п=В 7 6
4 3
7
6
5
4
3
2
7
0,5
0,4
0,3
0,2
&а= 0,2 неп
.
/
/
/
/
/
/
/
1
12
П°1
0,8
0,6 0,4
Рис 2Ъж
0,2
fa
67

а.неп
oj
0,1
0,1
П*Ь -
Л-3 -
П=2 -
П*1 N
Л'5^
•^
•^
\
^
Л = 0
v^-
П-7,
^ Ч
^^
^"'^
<"<
\ч
N ч
V
,\
0,2
0,4 0,6
Рис. 2.4а
0,8
Q
а,неп
8
7
6
5
А
3
2
п--в.
П=7
п-6^
П =5
п=и
п=3
П=2^
П=1
/1
0,8
0,6 0,Ь
Рис. 2.46
0,2
1о
68

§ 2.3. Расчёт прототипов при использовании
полиномов Чебышева
Вывод расчётных формул для определения величин элементов
прототипов, характеристики затухания которых
аппроксимируются при помощи полиномов Чебышева, начнём с нахождения
выражений для полиномов и.\ и V\. Для этого нужно найти корни
полинома (1.52), т. е. решить уравнение
M(u>2) + W2(to) = 0. (2.20)
Подставив в это уравнение значение полинома М(о)2) из
ф-лы (2.3) и положив iV((o) = l, получим из соотношений (1.52),
(1.58) и (1.62):
d0 = c0, u[ = ult v\ = »ь
d0(uj~v$ = fiT2n(Q) + 1 =0. (2.21)
Аналогично для определения полиномов «2 и vi можно из
соотношений (1.58) и (2.3) получить следующее уравнение:
Со (и\ -и!) = hTl (Щ + ^—1 - 0. (2.22)
Чтобы упростить выводы расчётных соотношений для
определения всех четырёх указанных выше полиномов щ, иъ V\ и и2,
найдём корни уравнения
hTi(Q) + q = 0, (2.23)
w—\
где q=l при нахождении полиномов и\ и 0\ и q = при
нахождении ПОЛИНОМОВ Uo И V2.
Имеем
cos2 (n arc cos Q) = —
h
cos (n arc cos 2) = ± i \[ — • (2-24)
Пользуясь известной формулой
cos (х + i у) = cos x ch у + i sin x sh y,
можно убедиться, что
2m — 1
V
n arc cos Q = ^=J тг -f i Arsh i/ -?- , (2.25)
69

где т—\, 2,...,п или
Q = cos
^* + i — Arsh,/ -M,
2гс n
/f]
(2.26)
т. е. корни ур-ния (2.23) будут
2т— 1
Q.
cos
2гс
2т—1
тг-сЫ— Arshi/ -*-)+
и
1 sin ——- тс • sh, — Ar sh
2n \ n
Vt)
(2.27)
Переходя к комплексному параметру p = iQ, получим корни
p« = ±sin^"-sh(TArsh'y/iH+
-f icos
^-^•ch -LArshl/^
2n
V n
(2.28)
Из всех этих корней рт, число которых равно Ъх, для
полиномов и\ и Vi необходимо, а для полиномов «2 и ^2 можно, как
было показано в § 1.5, выбрать корни с отрицательными
вещественными частями. Число таких выбранных корней будет равно
п. Эти п корней в случае чётного п представляют собой я/2 пар
взаимно сопряжённых корней, а при нечетном я — (я—1)/2 inap
взаимно сопряжённых корней и один отрицательный корень,
равный
^±!=-sh ,-i-Arshi/^
2 V п
(2.29)
Каждая пара взаимно сопряжённых корней даёт два
сомножителя в полиноме «1 + ^1 или U2 + v2 вида
(Р — Р»)(Р— Pv)
/?+sin
2v
2п
+ icos
2v
2n
2v
- л • ch j — Ar sh
p +
sin тс • sh [ — Ar sh
2n \ n
2v — 1 . / 1 A ,
— icos 7r-ch —Ar sh
2/2
■Л(тА"Ут)+
V?)
(2.30)
70

Обозначив
Y2 = shf-^Arshi/-A (2.31)
получим из этих двух сомножителей один квадратичный
множитель с вещественными коэффициентами
<Р-РЧ)(Р-Р') =Р2 + 2р Y2 sin^—!■ « +f2 + cos2^—i «, (2.32)
In 2n
где при нечётном п v = l,2,..., , а при чётном п
v - 1 2 —
- 1, А .... 2
Таким образом, полином U\ + V\ при нечётном п может быть
представлен в виде
я—1
2
«i + ^ = (P + T)n(^2 + 2^Tsin^7r+T2+cos2^ic),(2.33)
а при четном я — в виде
v = l
где
"i + у1 = П(/2+2№т-—U-f T2 + cos2-—-Д (2.34)
т = sh( — Arshi/— \. (2.35)
Полином w2+^2 при нечётном п может быть записан в виде
я-1
2
"2+ v2=(p -f- Yi) П( ^2 + 2^ Ti sin^— ~ +T? + cos2-^r-^ TC
ж "V 2n 2n
(2.36)
а при чётном л— в виде
я
~2~
"2 + v2 = f](p2 + 2PTiSin ^U +Y? + с082^ *)• (2-37)
v = l
71

Здесь
Tl = sh(^Arsh^I). (2.38)
Рассчитанные по ф-лам (2.8) и (2.35) величины h и у для
некоторых значений я и Да даны в табл. П.2 и П.2а.
Определив таким образом полиномы U\ + V\ и u2 + v2, можно
по ф-лам (1.74) найти параметры холостого хода прототипа и
затем, представляя сопротивления в виде непрерывной дроби,
получить элементы прототипа. Проделаем указанные операции
для прототипа второго класса. Из соотношения (2.34) и (2.37)
имеем:
их + v, = р2 + 1,4142р т + Т2 + 0,5,
w2+ v2 = р2 + 1,4142pTi + Ь + 0,5.
Разделяя чётные и нечётные части полученных полиномов,
имеем;
"i = P2 + T2 + 0,5, ^ = 1,4142рТ,
"2 = Р2 + Т? + 0>5, о2 = 1,4142ртг
Из выражения (1.74) получаем параме!ры холостого хода:
_ _ Щ — иг т — 7i
11 — ' 1 ' 1 1
11 v1-\-v2 l ,4142 р
2р2+7а+7?+1,0 1,4142р 7я+1?+1,0
1,4142р(Т+ аГ~ T+Ti l,4142p(i+Ti) *
Отсюда видно, что зи — ёмкостное сопротивление
конденсатора, а з22 —■ сопротивление контура, представляющего собой
последовательное соединение катушки индуктивности и
конденсатора Схема прототипа соответствует рис. 1.11,а. Элем'нты
прототипа определяются из 322 и равны:
_ 1,4142(T + Ti) п _ 1.4142
,2 + 7i+l 7 + Ti
Из зп находим
_ 7'+ 7i-И
72-7? '
Полученные подобным образом формулы для определения
элементов чебышевских прототипов первых восьми классов
представлены в табл. П.З.
'22
«1 + «2
^1 + ^2
72

На основе приведенных в табл. П.З формул могут быть
получены общие формулы для элементов прототипов любых классов.
Для класса п эти формулы имеют вид:
а„ =
4 sin
те
2 sin —
Ъъ
7 + 7i
— 1
2п
2v-f 1
2п
гп-^\[ 72 + 7i +2ni«>s — теЧ-sin2
(2.39)
где v = 1,2,. . .,(я —1),
п =
2sin—■
2^
^(Т — 7i)
Здесь at обозначает индуктивность или ёмкость прототипа
в зависимости от того, какая схема прототипа выбрана и какое
место в схеме занимает данный элемент. Расчёт элементов
прототипа по приведенным формулам ведётся от последнего
элемента ап к первому а\. Проверка правильности расчёта
осуществляется путём вычисления величины нормированного
сопротивления генератора п. Совпадение полученной в результате
расчёта по последней формуле величины и и заданной в начале
расчёта [см. соотношения (2.12) — (2.15)] показывает, что элементы
прототипа определены верно.
Довольно важным частным видом фильтров являются
фильтры, минимальное затухание которых в полосе пропускания
равно нулю. В этом случае из выражений (215) и (2.38) Yi = 0> и со"
отношения (2.39), по которым определяются элементы
прототипов, существенно упрощаются:
2 sin
2п
Гх =
7
2,__1 24- 1
4 sin те-sin
2п 2«
*„_vHl(72 + sin2-^-7t)
2 sin —
2п
7ai
(2.40)
73

Для первых восьми классов полученные упрощённые
формулы представлены в табл. П.4.
Достаточно просто можно получить также формулы для
определения величин элементов прототипов при бесконечно
большой величине сопротивления Г\. В этом случае W=co, у = Ti» и
из соотношения (2 39) получаем:
а„ =
2п
г, = со.
2,-1 2;+1
4sin u-sin
2п
2п
}• (2-41)
WH(2f» + 2f»cos—* + sln« —
JO
ьо
30
го
ю
А а =0,2
i
й а =0,7
А а =0,05
А О =0,02^
А а =0,01
Г
\
\
\
\
N
\
\
\А
п =1
/\
\
\
/ N
\
\
\
О 0.2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 Л 1,8 Q
Рис 2 Ъа
74

Полученные после подстановки в соотношения (2.41)
значений тригонометрических функций формулы для определения
величин ап и an_v прототипов некоторых классов представлены
в табл. П.5.
Рис 2Ъб
Приведенные в ф-лах (2.33) и (2.34) (выражения для
полиномов «1 + с>1 прототипов с чебышевскими частотными
характеристиками затухания позволяют получить формулы для
расчёта фазовых характеристик этих прототипов. Наиболее
приемлемые формулы для тангенса рабочего фазового сдвига можно по-
75

лучить, если раскрыть скобки в выражениях (2.33) и (2.34) и в
соответствии с ур-нием (1.56) вычислить значения дроби, в
числителе которой стоит V\, а в знаменателе Ш\. Полученные
расчётные формулы для тангенсов рабочего фазового сдвига
прототипов с чебышевскими частотными характеристиками
относительного затухания представлены в табл. П.6, а вычисленные по
этим формулам частотные характеристики фазовых сдвигов для
нескольких значений величин л и Да изображены на рис. 2.5.
Соотношения (2.33) и (2.34) позволяют также получить
достаточно удобные выражения для времени задержки
фильтров с чебышевскими характеристиками затухания.
Действительно, из этих соотношений можно получить выражения для фазо-
q 0 (1,2 0,4 0,6 0,8 1,0 7,2 ;4 1,6 1,8 Q
Рис 2 5я
76

вых сдвигов прототипов соответственно при нечетных и четных
л в следующем виде:
"-1 2v — 1 ^
2 Q 2y sin
6 = arc tg 1- V arc Ц
2n
т
b — Varct*
v=l
2v —1
„ = 1 f + cos2—^— «-Q»
£3 2 sin
2-v —1
2«
>. (2.42)
2v — 1
I2 + cos2 —i те — Q%
2n
Отсюда, учитывая, что время задержки фильтра
определяется через фазовый сдвиг соотношением [3]
320
300
280
260
240
220
200
180
160
ПО
120
100
80
60
40
20
'
Г) = 4
\^
"л а =0,01
1
^Л а = 0,02
1
"Л а = 0,05
1
^йа=о,1
I
"Л я =0,2
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 - 1,6 Я
Рис 2.5г
77

/ =
db
1 db dQ
day 2n dQ df
можно получить для времени задержки указанных выше
фильтров следующие выражения:
для нечётного п
п—_1
т
, = -L4°
+£
л,«2 + в,
2* df \ f + ^2 iJ Q4 + ^v &2-f#v
v=l
для четного п
t = ±dQ^ А*&+В*
I* df LA й4 +£v Q2+#v
(2.43)
где
2>°
J?0
2Я0
200
160
120
40
<tO
2v 1
^-2ysin-—— ic,
2n
Bt = 2t sin — ic ( t2 -f cos2
1 2n V 2«
2^-1 \
7C I.
n=5
хдя =o,oi
хДа =0,05
ХЛС =0,2
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Q
Рис." 2.5d
73

E =
(4sin2——U — 2
\ 2л
2 cos/
2n
# Нт
22v— 1 \2
-cos rc
2n
а производные определяются для разных типов фильтров
df
основании выражений для Q, приведенных в табл. П.1:
dQ 1
для фильтров нижних частот =—,
df fi
dQ f i
для фильтров верхних частот = -
Ъ*
500
460
420
380
340
300
260
220
180
140
'00
60
20
п = б
1
I
//
//]
и
/^
\
Ч
\
^А а -0,01
^& а =0,05
i
\&а =0,1
~*
!
1
О 0,2 0,4 0,6 ОД КО Ы {4 Ifi Щ Я
Рис. 2.5е

для симметричных полосно-пропускающих фильтров
dQ
/2+/5
df (/i-/_,)/2
для симметричных полосно-задерживающих фильтров
<ffl (/i-/_i )(/2+ /о2)
df
(f*~fl)
560
520
Ш
Ш
Ш
360
320
280
240
200
W
120
30
40
/7=7
■н
4
Ma =o,oi
-Да =0,05
-Да =0,2
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 ,1,8 ft
•10
Рис. 2.5лс

ъ°
640
600
560
520
480
440
400
360
зго
280
240
200
160
120
80
40
б
/7=8
iff ^
'ч
ч
1
1
у
/
//
и~
\
■—-~"""
йа = о,01
ч 1 .
АО = 0,05
. 1
^ Да = 0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 Q
Рис. 2.5*
81

§ 2.4. Расчёт прототипов при использовании
полиномов Баттерворта
В этом случае, как и в предыдущем параграфе, для
определения полиномов t.'1 + ^i и u2+v2 необходимо найти корни ур-ний
(1.52) и (1.58). Подставив в эти уравнения значения М(оо2) =
= Q n и JV((o) = l, получим соответственно два следующих
уравнения:
1 + Q™ = 0, ^=^ + Й2Л = 0.
w
Для обобщения найдём корни уравнения
q + 92Л = 0. (2.44)
Они имеют вид
i
W ( 2т— 1 , . . 2т—1 \
где т=\, 2,..., /г.
В плоскости комплексного параметра р эги корни
располагаются в точках
1
~2п~ I , . 2т—1 . . 2т— 1 \
р« = 7 (±sin~^r7C+1C0S^r7 <2-46)
Используем для полиномов u.\ + V\ и Wi + ^2 сомножи1ели
(2.44), содержащие корни р т с отрицательными вещественными
частями. Один из этих сомножителей при нечётном п имеет вид
р i-q
1
2л
Остальные сомножители при нечётном п и все сомножители
при чётном п можно сгруппировать в пары, причём каждая пяра
содержит взаимно сопряжённые корни Такую пару
сомножителей можно представить следующим образом:
__!_ _1_
(P — PJ(P—PI) =P2 + 2pq 2n sin2^~Tz-\-qn ,
где (i=l, 2,..., (п—1)/2 при нечётном п и (1=1, 2,..., /г/2 при
чётном п
82

Полученные в результате выражения для полиномов U\-\ o{ и
«2+^2 при нечётном п имеют вид:
«—1
"i + fi = (p + l)fl P2 + 2psin^—-17r + l), (2.47)
2п J
и = 1
п— 1
2
. 2а — 1
"• + о.=(р + Т|)П( ря + 2рг,8т^_iTC + V \ (2.48)
ж ж \ 2п у
а-1
где
i = m = /V- (2-49)
а при четном /г:
"i + ^i = nfp2 + 2psin2^7r + l), (2.50)
i*=i
2
U2 + v2 = Щp2 + 2prism2^ж+r^ , (2.51)
Подставив в равенство (2.49) значение И? из соотношения
(2.13), можно получить
лез
(2.52)
Для определения элементов прототипов используется
приведенная выше методика. Проделав необходимые операции,
получим формулы для определения элементов прототипов различных
классов, представленные, в табл. П.7.
83-

По формулам этой таблицы могут быть получены общие
формулы для определения элементов прототипов любых классов.
Эти формулы имеют вид:
а_ =
а =
п—v
2 sin
^
2п
1 + 1
2v—1 2/+.1
4sin тс-sin
2п
2п
«n_^i(l+2TCOS-^-«+7i"j
2 sin
2п
«id ~ -Ч)
(2.53)
где v=l, 2,..., (л— 1).
Для частного случая минимального затухания прототипа
(ажа* = 0> Т1==0) эти формулы преобразуются к достаточно
простому виду
/i = l). (2-54)
а
о • 2>—1
. v . = 2 sin тс,
л-»-, 1 2
где v= 1, 2,..., /г.
Рассчитанные по этим формулам элементы прототипов
некоторых классов представлены в табл. П.8.
Для второго частного случая прототипов, рассчитываемых
при /*i = оо, из выражения (2.52) имеем т]= 1. Подставляя это
значение в ф-лы (2.53), получаем:
2v — 1 2v + 1
2 sin —: «-sin —: тс
а„ = Sin
2п
2п
2п
*„_» + ! ( 1+COS — ТС
(2.55)
Полученные из выражений (1.56), (2А7) и (2.50) формулы
для определения фазовых сдвигов прототипов с монотонными
характеристиками затухания по Баттерворту представлены для
наиболее часто встречающихся величин п в табл. П.9, а
вычисленные по этим формулам частотные характеристики фазового
сдвига изображены на рис. 2.6.
Для фильтров с монотонными характеристиками затухания
можно из соотношений (2.47) и (2.50) получить формулы для
частотных* характеристик времени задержки подобно тому, как
84

были получены соотношения (2.43) для фильтров с чебышевски-
ми характеристиками. Эти соотношения для фильтров нечётных
и чётных классов имеют соответственно вид
/ =
J_dQ
2к df
1
п—\
2
1 + Q2
+
2а — 1
2 sin- u-(Q2^ !)
2/г
1)
ix=i &-¥ (4
2а— 1
sin*^ it — 2 Q2-f 1
2п
1 dQ
2а — 1
2sin- u.(Q4-l)
2а v '
2* df Ы ! 2а — 1 \
' ~ Q4 + 4 sin2 те — 2 Q»-fl
\ 2г2 )
, (2.5*)
где производные dQ/df определяются по тем же формулам,
которые используются в соотношениях (2.43).
п
70
60
50
40
30
20
W
п=2-
п=Зл
п=д^
\ ^
Ч\
N
^
V7=S
41=3
41=2
41=7
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 *1 /4 1,6 7,8 Q
Рис. 2.6
§ 2.5. Порядок и примеры расчёта фильтров
~^ без учёта влияния потерь в элементах
Полученные выше расчётные 'соотношения и графики
позволяют определить элементы полиномиального фильтра по
заданной частотной характеристике рабочего или относительного
затухания и по заданным величинам нагрузочных сопротивлений
85

с обеих сторон фильтра. Частотная характеристика затухания
фильтра может быть задана либо графически с указанием
допустимых пределов изменения затухания, либо в виде таблицы
требуемых значений затухания на определённых частотах.
Нагрузочные сопротивления фильтра задаются, как правило, чисто
активными.
Кроме указанных двух основных требований к электрическим
характеристикам фильтра, может быть предъявлен ряд
дополнительных требований и пожеланий. Например, могут быть
отмечены пожелания или требования к частотным характеристикам
фазового сдвига, времени задержки, переходным
характеристикам фильтра. Могут быть указаны особенности нагрузочных
сопротивлений фильтра, жела]ельные типы элементов и др.
Каждое из этих дополнительных требований учитывается при
расчёте фильтра.
Расчёт фильтра по указанным основным требованиям
начинается с определения частот среза и класса фильтра. При этом
предполагается, что тип полинома для аппроксимации
требуемой характеристики затухания фильтра уже выбран (см.-§ 2.1).
Для наиболее часто предъявляемых к характеристике
затухания фильтра требований, когда задаётся полоса эффективно
пропускаемых частот, можно в начале расчёта принять, что
граничные частоты этой полосы (/ _г /> для ППФ и ПЗФ, /для
ФВЧ и /для ФНЧ) равны частотам среза фильтра /_, и /i. Or
требований к частотной характеристике затухания фильтра в
пределах его эффективно пропускаемой полосы частот будет
зависеть, нужно ли будет в процессе дальнейшего расчёта
уточнять полученные величины /_1 и /ь Например, для фильтров с
чебышевскими характеристиками затухания частоты /_ и/,
будут равны соответственно частотам f_{ и /1 в том случае, если
в пределах эффективно пропускаемых фильтром частот
задаётся максимально допустимая величина затухания Да или если
задаётся 'плоская характеристика затухания с допустимыми
отклонениями не более, чем на ±Да/2. Для фильтров с баттервор-
товскими характеристиками затухания такое совпадение частот
получается, если под эффективно пропускаемой полосой частот
понимается такая полоса, на границах которой затухание
превышает минимальное затухание фильтра ча 0,35 неп.
Прежде чем перейти к определению класса фильтра, нужно
посмотреть, какие из предъявленных к фильтру требований
являются более жёсткими, чтобы на них ориентироваться при
расчёте. Особенно это относится к требованиям на величину
неравномерности затухания фильтра в полосе пропускания Да (у бат-
тервортовского фильтра — относительного затухания на
граничной частоте) и на величину минимально допустимого затухания
несогласованности входного сопротивтения фильтра ае. При
86

предъявлении к фильтру одновременно как требований по Дя,
чак и по ае нужно проверить, не противоречат ли эти
требования одно другому. Для этого по ф-ле (1.45) необходимо найти
для заданной величины ае максимально допустимое значение ар
Если окажется, что ар <Аа, то расчёт фильтра придётся вести на
более жёсткую величину неравномерности затухания Аа' = ар,
чтобы удовлетворить требованиям по затуханию
несогласованности.
Полученные ориентировочные (или точные) частоты среза
/_! и /i позволяют преобразовать все частоты в полосе
задерживания фильтра / , / , • •., / , /Wf i • • ., на которых заданы
относительные затухания а . a t ,..., а , а ,... , в соответствую-
щие нормированные частоты fi±«v (частоты прототипа). Формулы
для такого преобразования представлены в табл. П.1.
Класс п полиномиального фильтра с чебышевской
характеристикой затухания определяется по кривым рис. 2.3 в
зависимости от заданных величин Да, а±н и от полученных значений
нормированных частот Q± =1/Q±H . Класс баттервортовского
фильтра определяется в зависимости от а±н и 2±н по кривым
рис. 2.4. Для каждой пары значений а±н и- Q±H в результате
такого определения будет получаться свой класс фильтра.
Дальнейший расчёт придётся вести, ориентируясь на наибольший из
всех получившихся классов, чтобы фильтр удовлетворял всем
заданным значениям а ,и и / , и .
Если для определения класса фильтра были использованы
ориентировочные частоты среза, то придётся сразу же уточнить
правильность их выбора. Как это делается, показано ниже на
примере расчёта фильтра (см. пример 2.2). В результате
уточнения часют среза может измениться и класс фильтра, равный
числу элементов в прототипе.
Расчёт частотных характеристик рабочего фазового сдвига
фильтра (если таковой требуется) целесообразно проводить после
уточнения класса фильтра до определения величин его элементов,
поскольку несоответствие получаемых фазовых характеристик
ребуемым может привести к изменению типа полинома,
аппроксимирующего частотную характеристику затухания фильтра, к
изменению класса ультра и неравномерности затухания его в
полосе пропускания. Характеристика рабочего фазового сдвига
фильтра может быть рассчитана путём вычисления значений
фазового сдвига прототипа для ряда значений нормированных
частот по формулам табл. П.6 или П.9 и последующего перевода
частот прототипа в частоты фильтра по формуле табл. П.1. Для
определения фазовых сдвигов прототипов некоторых классов
можно использовать также графики рис. 2.5 и 2.6. Аналогично
87

характеристикам фазового сдвига могут быть рассчитаны и
характеристики времени задержки полиномиальных фильтров по
ф-лам (2.43) и (2.56).
После окончательного уточнения класса фильтра можно
перейти к выбору схемы прототипа. Возможные варианты этих
схем изображены на рис. 1.11. Для чётных классов прототипов
используются схемы рис. 1.11, айв, а для яечётиых^^^^биг^
Выбор схемы прототипа зависит от услови"и~^абЪты фильтра в
цепи, в которую этот фильтр входит как составная часть.
Например, при наличии в цепи паразитной ёмкости, включённой
параллельно одному из нагрузочных сопротивлений фильтра,
целесообразно при расчёте ФНЧ и ППФ иметь с этой стороны вход
прототипа, начинающийся с параллельно включённого
конденсатора, чтобы при расчёте фильтра учесть влияние паразитной
ёмкости. При выборе схемы прототипа имеют значение также
соображения по вопросу возможности шунтирования входом
фильтра сигналов с частотами, лежащими в глубокой полосе
задерживания рассчитываемого фильтра. Например, при
нежелательности шунтирования таких сигналов со стороны
какой-либо нагрузки прототип со стороны этой нагрузки должен
начинаться с индуктивности.
Следующим этапом расчёта фильтра является определение
величин элементов прототипа. Выбор расчётных формул для
такого определения зависит от заданных нагрузочных
сопротивлений фильтра и от других равноценных им требований. Очень
часто, например, задаётся величина нагрузочного сопротивления
рассчитываемого фильтра со стороны одного из его входов и
требуется получение возможно меньшего затухания фильтра на
частотах полосы пропускания (амин=0). Определение величин
элементов прототипа и нормированного нагрузочного
сопротивления со стороны второго входа в этом случае производится по
ф-лам (2.40) и (2.54) или по формулам табл. П.4 и П.8.
Необходимая для этих расчётов величина у находится по ф-ле (2.35)
или в табл. П.2. Для наиболее часто используемых классов
прототипов и величин Да в табл. П. 13 и П. 18 даны уже
рассчитанные значения элементов прототипов (см. 6 = 0). С этим же
частным случаем расчёта почти всегда приходится иметь дело, если
необходимо обеспечить возможно большее затухание
несогласованности ае.
Если требуется обеспечить работу фильгра между
существенно отличающимися друг от друга нагрузочными
сопротивлениями, то получить от фильтра минимально возможное затухание в
полосе пропускания амия =0 и достаточно высокие величины ае
можно в большинстве случаев только при расчёте ППФ и ФВЧ,
поскольку в этих фильтрах можно путём использования
автотрансформаторного включения катушек индуктивности (см.
пример 2.3) осуществить внутри самого фильтра переход от одной
88

величины сопротивления цепи к другой. Получается, что
определение величин элементов прототипов для ППФ и ФВЧ можно
осуществлять по указанным выше формулам для амин=0. Если
же на разные нагрузочные сопротивления рассчитывается
прототип для ПЗФ или ФНЧ, то тогда элементы такого прототипа
придётся определять по ф-ллм (2.39), (2.41), (2.53) и (2.55) или
тю формулам, приведенным в табл. П.З, П.5 и П.7. Величины
Y, Yi и Л. входящие в эти формулы, могут быть получены из
соотношений (2.35), (2.38) и (2.49). Для некоторых классов
прототипов величина у может быть взята из табл. П.2. Для частного
соотношения нагрузочных сопротивлений гх= со и некоторых
величин п и Да величины элементов прототипа представлены в
табл. П.14 (см. 6 = 0). Конечно, согласование входных
сопротивлений с нагрузочными без использования трансформации
сопротивлений в фильтре будет тем хуже, чем больше отличаются одно
от другого нагрузочные сопротивления фильтра.
Переход от элементов прототипа к элементам фильтра
осуществляется по формулам табл. П.1, причём в качестве R2 в эти
формулы должно подставляться то из нагрузочных
сопротивлений фильтр.а, которое у прототипа соответствует одному ому.
Рассмотрим несколько примеров расчёта полиномиальных
фильтров с чебышевскими характеристиками затухания.
Пример 2.1
Требуется рассчитать фильтр нижних частот, включаемый между
нагрузочными сопротивлениями i?i = 600 ом и R2=S00 ом, причём в полосе
пропускания от /=0 до /=/i=1000 гц затухание фильтра может отклоняться от
постоянной величины не более, чем на ±0,01 неп (Да=0,02 неп), а в полосе
задерживания на частоте /Я]1=1440 гц затухание фильтра должно превышать
минимальное затухание в полосе пропускания не меньше, чем на ah = 3 неп.
Кроме того, на частотах от fW2=3000 гц и выше относительное затухание
фильтра должно быть не меньше aH„ =8 неп.
Рассчитаем фильтр с чебышевской частотной характеристикой затухания.
Расчёт проводится в следующем порядке.
1. Определяем нормированные частоты QH и QH . Поскольку частоты
/i> !Hi и fn2 заданы, то по формуле из габл. П.1 для фильтров нижних
частот получаем:
^яl = 7L = l,44, ^н1 = -~ = 0,695,
/1 "Я1
^я> = 7^-=з ,о, ~йм-=о,ззз.
/1
2. Определяем из соотношения (2.3) или по кривым рис. 2.3г класс
фильтра п для заданных величин ан и ан и полученных выше значений
Qnt (QHJ и qH2 (Чу2) Из Рис- 2-3г Для Да=0,02 неп имеем:
пг = 6, гс2 = 6.
89

Можно отметить, что и при определении по этим же требованиям числа
элементов оптимального фильтра [3], имеющего один всплеск затухания в
полосе задерживания, получается также шесть элементов, т. е. в данном случае
полиномиальный фильтр по числу элементов равноценен оптимальному
фильтру. Этот пример показывает, что иногда и неоптимальный с точки зрения
числа элементов тип фильтра может оказаться приемлемым для реализации.
Но оптимальный фильтр со всплеском затухчпия будет иметь меньшее число
элементов, чем полиномиальный фильтр, если несколько увеличить требуемую
величину a Hi или уменьшить
18735 1865 0.8932
/7П-
частоту fHl или затухание ан»
Немаловажным соображением
при принятии решения о
расчёте именно полиномиального
фильтра может быть большая
простота расчёта такого
фильтра по сравнению с расчётом
фильтра, имеющего всплески
затухания. Последнее
соображение будет иметь силу,
конечно, только до тех пор, пока
не будут получены приемлемые
расчётные формулы или
таблицы для определения
элементов фильтров со всплесками
затухания. После получения
таких формул или таблиц
можно будет во всех случаях
получать фильтры с
минимальным числом элементов, если это, конечно, требуется и нет каких-либо других
более важных требований, которые противоречат условию получения
минимума элементов.
Для определения класса фильтра из ф-лы (2 3) найдём
,2а
Arch
— 1
J2±a
— 1
Ar ch и
(2.57)
В это выражение подставляется требуемая величина относительного
затухания а, которую необходимо получить от рассчитываемого фильтра на
нормированной частоте Q. Полученный класс фильтра округляется до
ближайшего большего целого числа.
3. Определяем г{ и W. При определении г, следует иметь в виду, что
сопротивления Ri и R2 должны быть связаны соотношением R\ > R2.
Получаем
„--Ь-,.0.
По ф-ле (2.15) для чётного п имеем W= 1,081.
4 Определяем h и у из табл. П.2 или из соотношений (2.8) и (2.35) и
из выражения (2.38):
Yi
-( = 0,39326, h =0,04081, -^ = 0,18624.
5. Определяем элементы прототипа по формулам табл. П.З:
о! = 1,2501, а2= 1,8736, о3=1,6836,
а4= 1,865, 05=1,447, ав = 0,8932.
£0

Схемы прототипов в соответствии с рис. 1.11 могут иметь вид,
показанный на рис. 2.7 а и б,
6. Определяем элементы фильтра по формулам табл. П.1. В соответствии
с двумя возможными схемами прототипов получаем две схемы фильтров,
изображённые на рис. 2.8, где показаны также нагрузочные сопротивления.
89,5 мги " 8 9мгн
■ЛП—т—ПР*
300
ом
Пример 2.2
Необходимо рассчитать полосно-пропускающий фильтр с симметричной
■частотной характеристикой рабочею затухания и минимальным затуханием
в полосе пропускания по следующим данным:
— Полоса пропускания от / =6000 гц до / =9000 гц, причём в
пределах основной части этой полосы неравномерность затухания не должна
превышать ±0,01 неп (Да=--0,02 неп), а на краях полосы пропускания
затухание фильтра может возрасти, но не больше, чем на 0,35 неп по сравнению
с затуханием на средней частоте.
— На частоте /Я=Ю000 гц фильтр должен вносить затухание,
превышающее на ан=3,2 неп минимальное затухание на частотах полосы
пропускания.
— Нагрузочное сопротивлений, фильтра с одной стороны должно быть
равным 2000 ом, причём со стороны нагрузки 2000 ом фильтр не должен
шунтировать сигналы с частотами, расположенными за пределами полосы
пропускания.
Расчёт требуемого фильтра будем вести в следующем порядке.
1. Определяем ориентировочную нормированную частоту Qh, принимая
/_! = /_f и f1=f9 .
\н — /_7 _,
Qh = —=1,533 или Ин= 0,653.
2. По кривым рис. 2.3г находим ориентировочный класс фильтра п'=6.
Испытываем, нельзя ли будет ограничиться фильтром меньшего, пятого клас-
1
са. Для этого по кривой п=5 рис. 2.3г находим, при какой величине
Qf
затихание фильтра равно а „=0,35 неп. Имеем £2^=1/^=0,904. По
формуле табл. П.1 находим минимально возможную ширину полосы
пропускания для фильтра пятого класса, обеспечивающего на частотах /„и /ш
величину относительного затухания а =0,35 неп при Да = 0,02 неп.
/i-L,=V/?-Lf) = 0,904-3000 = 2710 гц.
91

3. Нормированная частота QH для фильтра пятого класса
fn—f-н - 1
а„ = т -f =1,7 или QH=—=0,59.
fi —l—i . Qw
При йн =0,59 фильтр пятого класса имеет относительное затухание
ан =3,26 неп, что удовлетворяет требованиям. Можно даже взять QH =0,596,
/2—/_1 = 2740 гц, а =0,29 неп, что будет лучше, так как желательно иметь
некоторый запас по затуханию на частотах / и / . Этот запас будет
израсходован либо в результате недостаточно точной первоначальной настройки
элементов фильтра, либо в результате старения элементов.
В процессе расчёта могло получиться и так, что испытание фильтра
меньшего класса (в данном случае пятого) не дало бы никакого выигрыша в
числе элементов фильтра. Тогда лучше не использовать имеющиеся
возможности по увеличению затухания на крайних частотах полосы пропускания до-
0,35 неп и не производить пересчёта фильтра на более узкую полосу
пропускания. Такой значительный запас по затуханию на крайних частотах
полосы пропускания может существенно помочь при реализации фильтра на
элементах с потерями. Наличие потерь в элементах фильтра приводит к
увеличению затухания его сначала на крайних частотах полосы пропускания, и
потом уже, при дальнейшем росте потерь, начинается существенный рост
затухания и на средних частотах фильтра.
4. Определяем величину у для п — 5 по табл. П.2. Для Да=0,02 неп
получаем y = 0,47697.
5. По формулам табл. П.4 определяем элементы прототипа и выбираем
его схему, учитывая последнее требование к фильтру. Полученная схема
прототипа с указанными величинами элементов и сопротивлениями нагрузок
приведена на рис. 2.9.
6. Схема фильтра, элементы которого рассчитаны по формулам табл. П.1,
приведена на рис. 2.10.
150,5 мгн
1,296 2,122 1,296
245, 7мгн
150,6 мгн
Рис 2 9
Рис. 2 10
Пример 2.3
Произвести расчёт цепи для согласования линии, имеющей постоянное
выходное сопротивление 75 ом, с усилителем, первая лампа которого имеет
входную ёмкость 4 пф. Согласование должно быть осуществлено в
диапазоне частот от 12 до 24 Мгц. Коэффициент несогласованности Т между
входным сопротивлением согласующей цепи и линией в этом диапазоне частот не
должен быть меньше 10. Частотная характеристика рабочего затухания
согласующей цепи в диапазоне частот 12—24 Мгц должна быть возможно более
плоской, и отклонения этой характеристики от плоской не должны
превышать ±0,001 неп (Да=0,002 неп). Усиление по напряжению сигналов,
поступающих на вход согласующей цепи, желательно иметь возможно большим.
Для расчёта таких согласующих цепей могут быть использованы
различные исходные предпосылки и соответствующие им способы расчёта.
Можно, например, рассчитать такую цепь как низкочастотный полиномиальный
92

фильтр с ограниченной полосой пропускания [31. Часто именно так и
делается. Можно также рассчитать полосно-пропускающий фильтр с
симметричными или несимметричными частотными характеристиками затухания.
Достаточно просто необходимая согласующая цепь может быть получена, если
рассчитывать её в виде симметричного полосно-пропускающего фильтра на
элементах без потерь. Расчёт без учёта влияния потерь в элементах
оказывается возможным, поскольку требуемое устройство должно пропускать
достаточно широкую полосу частот.
В задании на расчёт требуемой согласующей цепи не указано
максимально допустимое число элементов в ней и не приведены какие-либо
данные, которые бы позволили однозначно определить число этих элементов.
Поэтому в результате расчёта могут быть получены только возможные
варианты схем согласующих цепей, из которых в дальнейшем, если появятся
дополнительные данные, можно будет выбрать окончательную схему.
Произведём расчёт согласующей цепи в виде симметричного полосно-
пропускающего фильтра. В этом случае можно принять следующий порядок
расчёта.
1. Определяем, какая из двух заданных для расчёта величин (Т > 10 или
Аа<. 0,002 неп) предъявляет более жёсткие требования к рассчитываемой
цепи. После определения этой величины можно будет рассмотреть два
варианта расчёта. Один вариант расчёта проведём так, чтобы полученная в
результате цепь удовлетворяла наиболее жёсткому из двух поставленных
требований и имела бы в то же время минимально возможное рабочее
затухание амин = 0 неп в полосе частот 12—24 Мгц Второй вариант можно
сбудет попытаться рассчитать таким образом, чтобы возможно более полно
удовлетворить как требованию к величине коэффициента несогласованности
Т, так и требованию к неравномерности затухания в полосе пропускаемых
частот Да.
Подстановка вместо T'(ico) в соотношение (1.46) величины ^=10
позволяет получить минимально допустимую величину затухания
несогласованности
* * ае = \п \Т (i а)\ = 1п 10 = 2,303 неп.
Из соотношения (1.45) получается, что максимально допустимая
величина рабочего затухания согласующего устройства ар, состоящего из чисто
реактивных элементов, равна 0,00502 неп.
При таких достаточно больших величинах коэффициента
несогласованности Т(Т> 3) и соответственно малых величинах ар(ар< 0,05 неп) можно
привести соотношения (1.45) и (1.46) к более удобному для вычислений виду
1
Получается, что каждая из заданных величин Г и Да предъявляет свои,
несколько отличные требования. Если бы для расчёта была задана только
величина допустимого коэффициента несогласованности Т> Ю, то
согласующее устройство можно было бы рассчитывать на неравномерность
затухания в полосе пропускаемых частот не 0,002 неп, а 0,005 неп. Вместе с тем,
задание только одной величины Да ничего не говорит о точной величине
коэффициента несогласованности Т и даёт представление только о возможном
минимуме его величины, определяемом из соотношений (1.46) и (1.45) или
из (2.58) по известной величине Да = а^. В этом частном случае
минимальное затухание согласующего устройства ажмн=0 неп. При о. минф О
минимальное значение Т будет меньше, чем при амин=0.
Из приведенных результатов расчёта видно, что при а мин = 0 более
жёстким из двух предъявленных к рассчитываемой согласующей цепи
требований является требование по неравномерности затухания Да, а при до-
98

пущении произвольной величины амин более жёсткие требования
предъявляет величина Т.
2. Принимая амин = 0 и Да = 0,002 неп, произведём расчёт нескольких-
классов симметричных полосно-пропускающих фильтров для использования
их в качестве согласующих цепей, чтобы получить представление о влиянии
класса фильтра на величину усиления по напряжению согласующей цепи.
Возьмём для расчёта входную ёмкость усилителя не 4 пф, а 5 пф, чтобы
учесть ещё увеличение ёмкости на выходе согласующей цепи за счёт
элементов этой цепи и её монтажа.
Расчёт начнём с определения элементов полосно-пропускающего фильтра
второго класса. Для этого в табл. П.2 по известным величинам п=2 и
Да=0,002 неп находим необходимую для расчёта величину у=2,7224.
Подставляя найденную величину v, в,,формулы табл. П.4, находим элементы
прототипа DK<^ii'dfcfW
сопротивления гх = 1,135 ом. Наиболее удобно в данном случае взять схему
прототипа в соответствии с рис. 1.11, а, ввиду того что заданным является
сопротивление источника (75 ом). Полученная схема прототипа
представлена на рис. 2.11.
0,52
0,458'
Рис. 2.11
75 ом 0,517мкгн 170 пф
:«7|Utf5
1.085 С~^
мкгн Ц
*~2т81пф П 85>10М,
т
Рис 2 12
Элементы фильтра определяются по формулам табл.(%Л. При этом в
соответствии с заданием полагаем f_{ =12 Мгц, Д=24 Мгц и R2=75 ом.
Следует отметить, что вместо сопротивления R2 в формулы табл. П.1 следует-
подставлять то из сопротивлений оассчитываемого фильтра, в которое
преобразуется сопротивление 1 ом прототипа. Это может быть как
сопротивление источника сигналов, так и сопротивление нагрузки. Схема полученного
фильтра с указанными на ней величинами элементов и нагрузочных
сопротивлений изображена на рис. 2.12.
Из рис. 2.12 видно, что ёмкость С] = 81 пф конденсатора фильтра,
включённого параллельно нагрузке, превышает заданную в начале расчёта
величину Cj =5 пф. Это позволяет осуществить, автотрансформаторное
включение катушки индуктивности Lx и тем самым получить усиление по
напряжению поступающих на вход фильтра сигналов. Предел возможному
усилению по напряжению ставит величина заданной входной ёмкЪсти усилителя
Cj . Для осуществления автотрансформаторного включения индуктивности
Lx достаточно увеличить общую индуктивность её во столько раз, во сколько'
нужно уменьшить включённую параллельно катушке ёмкость Сх и во
столько же раз увеличить нагрузочное сопротивление фильтра. Отвод у катушки
индуктивности для подключения расположенных слева от этой катушки
элементов фильтра должен быть сделан от той же индуктивности Llt которая
была получена при расчёте по формуле табл. П.1. При таком
автотрансформаторном включении индуктивности Lh все стоящие слева от неё элементы,
в том числе и сопротивление источника, не изменяют своих величин.
Полученная в результате схема фильтра с указанными на ней величинами элементов
изображена на рис. 2.13.
Максимально возможное усилецие по напряжению согласующего
устройства, представляющего собой симметричный полосно-пропускающий фильтр.
94

равно минимальному затуханию фильтра по напряжению, взятому с
обратным знаком. Это усиление определяется из соотношения
1 #«
— ан = — амин -f —- In — .
Соотношение (2.59) получается из (136), если учесть, что
Ё
(2.59)
ч
Рис. 2.13
Класс
фильтра
Нагрузочное

сопротивление RH, ом
Усиление
по
напряжению —ан, неп
1378
1865
2080
2190
1,456
1,607
1,661
1,687
Рассчитанные аналогично фильтру второго класса при С{ =5 пф
величины нагрузочных сопротивлений R н и максимального усиления по
напряжению для фильтров некоторых
классов представлены в табл. 2.1. Таблица 2.1
Данные табл. 2.1 показывают, что
увеличивать число элементов в
согласующей цепи имеет смысл только
до определённого предела.
Увеличение, например, в рассматриваемом
случае класса фильтра выше
четвёртого даёт незначительное увеличение
величины усиления по напряжению.
Следовательно, для получения
возможно большей величины усиления
по напряжению вполне можно было
бы ограничиться четвёртым классом
симметричного полосно-пропускающе-
го фильтра.
3. Заданные требования к согласующей цепи, как уже было показано,
допускают и второй вариант расчёта, когда определяющим будет
требование к величине коэффициента несогласованности Т. При этом
рассчитываемый симметричный полосно-пропускающий фильтр полностью удовлетворит
всем предъявленным требованиям и не будет иметь запасов ни по одному из
заданных параметров. Полученное выше максимально допустимое для
заданной величины коэффициента несогласованности Т рабочее затухание
о» = 0,005 неп нужно будет разбить между амин и Да следующим образом:
Аа=0,002 неп (заданная величина) и амин = 0,003 неп (остаток от ар после
вычитания Да).
Определение элементов прототипов для разных классов по величинам
амин и До можно осуществить, используя полученные выше расчётные
соотношения. Из соотношения (2.4) для всех классов прототипов определяется
величина W= 1,00602. Величина уь необходимая для определения элементов
прототипа, может быть получена из соотношения (2.38). Величина ^ и у
могут быть для данного случая получены из табл. П.2. Далее остаётся по
формулам табл. П.З найти для данного класса прототипа его элементы и по
формулам табл. П.1 — элементы фильтра. Автотрансформаторное подключение
последней индуктивности фильтра с целью получения величины ёмкости,
95

включенной параллельно нагрузочному сопротивлению и равной 5 пф,
позволяет получить максимально возможную величину нагрузочного
сопротивления согласующей цепи RH. Величина усиления по напряжению полученной
согласующей цепи может быть определена из соотношения (2.59).
В данном случае расчёты можно несколько упростить, поскольку нет
необходимости определять все элементы согласующих устройств, а требуется
тслько найти величины нагрузочных сопротивлений и усиления по
напряжению при использовании в качестве согласующих цепей симметричных полос-
но-пропускающих фильтров различных классов. Действительно, для
определения величин RH и —а^ необходимо знать только величины гх и ai
прототипа. Величина Г\ может быть получена из соотношения (2.11).
гх = ( еа" + V е2а" — О2, (2.60)
где а-й = амин—Для нечётных классов прототипов и ^ = амингк-^а— Для
чётных классов.
Величина ai определяется по формуле табл. П 3 через гх. Далее по
формулам табл. П.1 находятся величины нагрузочного сопротивления полосно-
пропускающего фильтра и ёмкости, включаемой в этот фильтр параллельно
нагрузочному сопротивлению. По отношению определённой таким образом
величины ёмкости к заданной в начале расчета емкости 5 пф может быть
пересчитано нагрузочное сопротивление-полосно-пропускающего фильтра, что
даёт окончательную величину нагрузочного сопротивления RH согласующей
цепи.
Проиллюстрируем такой упрощенный расчет на примере определения RH
и- ан согласующей цепи в виде полосно-пропускающего фильтра класса я=4.
Для Ао = 0,002 неп и али«=0,003 неп получаем W= 1,00602, А = 0,00401,
Y = 0,97474, yi = 0,261, r1 = 1,22, ai = 0,878. Величина ёмкости на выходе ППФ
определяется по формуле из табл. П.1
ах 0,878-1012
С, = "s—п~71—~1—Г — Г = 155,4 пф.
1 2«/?а (/! — /_!) 6,28-75-12-10е
Чтобы довести эту ёмкость до 5 пф, её придется уменьшить в 31,1 раза
путем соответствующего автотрансформаторного включения последней
катушки индуктивности полосно-пропускающего фильтра. Следовательно, во
столько же раз придется увеличить нагрузочное сопротивление фильтра.
В результате это сопротивление получается равным
#„ = 31,1 -г^а = 31,1-1,22 75 = 2850 ом.
Максимальное усиление по напряжению согласующей цепи, в основу
расчета которой положен полосно-пропускающий фильтр четвёртого класса,
определяется из соотношения (2.59)
1 , 2850
— ан =.— 0,003.4- In = 1.812 неп
Подобным же образом можно рассчитать величины нагрузочных
сопротивлений и максимальные значения усиления по напряжению согласующих
цепей, в основу расчёта которых положены полосно-пропускающие фильтры
других классов. В табл. 2.2 представлены результаты вычислений при
использовании полосно-пропускающих фильтров второго, третьего и четвертого
классов. Приведенные в табл. 2.1 и 2.2 результаты расчетов показывают, что
при более высоких требованиях к величине неравномерности частотной
характеристики усиления согласующей цепи, чем к величине коэффициента несогла-
96

сованности её входного сопротивления имеется возможность получить большие
величины усиления по напряжению при том же числе элементов, если расчёт
цепи вести не на амин=0, а на такую величину амин, которая в сумме с за-
Таблица 2.2
Класс
фильтра
2
3
4
Нагрузочное

сопротивление RH, ом
1715
2470
2850

Максимальное усиление
по
напряжению —ан, неп
1,563
1,744
1,812
данной величиной Да обеспечивает выполнение заданного требования к
величине коэффициента несогласованности Т. Если же более жёсткие
требования к цепи предъявляет величина коэффициента несогласованности её
входного сопротивления, то тогда расчёт можно вести только для амин=0.
97

Глава 3
ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ С ОДИНАКОВЫМИ
ПОТЕРЯМИ В ЭЛЕМЕНТАХ
§ 3.1. Эквивалентные схемы элементов с потерями
Элементы фильтра практически всегда имеют потери, и из-
хмеренная частотная характеристика затухания фильтра,
рассчитанного по формулам предыдущей главы, обязательно
отклоняется от требуемой. Отклонения получаются тем большими, чем
большие 'потери имеются в элементах фильтра. Поэтому при
необходимости получения достаточно хорошего совпадения
характеристики затухания изготовленного фильтра с заданной
характеристикой расчёт без учёта потерь в элементах можно вести для
весьма ограниченного числа фильтров. Такие расчёты можно
проводить, например, для фильтров нижних и верхних частот и
полосно-пропускаюших фильтров с большой относительной по
лосой пропускания, если элементы, из которых предполагается
изготовлять фильтр, имеют достаточно малые потери. При рас
чёте же по заданной характеристике затухания узкополосных
фильтров или фильтров, в которых из соображения уменьшения
габаритов и веса приходится применять элементы, имеющие
повышенные потери, учёт потерь в элементах при расчёте
становится обязательным.
В настоящее время при расчёте четырёхполюсников с
потерями по заранее заданным характеристикам обычно полагают, что
потери в реальных элементах могут быть отображены в схемах
замещения элементов постоянными активными сопротивлениями
или проводимостями. Применяя преобразования частоты,
четырёхполюсник с потерями, который необходимо рассчитать,
преобразуют в четырёхполюсник без потерь и определяют элементы
последнего. Потери, на которые производился расчёт, в конце
расчёта добавляются к элементам полученного реактивного
четырёхполюсника. Этот метод компенсации влияния потерь
достаточно подробно изложен в литературе [2], [3J и
применительно к полиномиальным фильтрам дан ниже. Однако расчёт
сложных фильтров с учётом потерь в элементах по этому методу
связан с определёнными трудностями: требуется освоение довольно
98

сложной теории расчёта таких цепей и проведение трудоёмких
вычислений с большим числом зиаков и, как правило, с
решением алгебраических уравнений высоких степеней.
Как будет показано ниже, для наиболее употребительных
классов полиномиальных фильтров возможно составить
вспомогательные таблицы, рассчитав один рал величины элементов
прототипов для нескольких значений потерь.
Составить такие таблицы возможно не только для
полиномиальных фильтров, но и для фильтров с частотными
характеристиками затухания другого типа. Несомненный интерес
представляли бы, например, таблицы
для фильтров с характеристика- °-
ми затухания по Золотарёву [3]
или с характеристиками,
аппроксимация которых осуществлена
при помощи дробей Чебыше-
ва [3], но расчёт таких таблиц ы
потребует значительно больше Рис 31
времени.
Для некоторых частных случаев расчёта и использования
фильтров представляет интерес не столько получение заранее
заданной частотной характеристики затухания при расчёте с
учётом потерь в элементах, сколько определение влияния потерь на
характеристику фильтра, рассчитанного без учёта потерь в
элементах. Получающиеся при этом выводы для полиномиальных
фильтров приведены ниже.
Рассмотрение эквивалентных схем элементов с потерями
начнём с катушек индуктивности. Потери в них определяются
потерями в намоточном проводе, в сердечнике и в других
составных элементах. Для характеристики всех потерь катушки
используется величина отношения её индуктивного сопротивления
к активному, называемая добротностью катушки Q=—■ , где г
г
включает все указанные выше потери. Примерный вид
зависимости добротности катушки от частоты приведен на рис. 3.1.
Из рисунка видно, что на низких частотах зависимость Q от
со приблизительно линейна, и наклон этого прямолинейного
участка характеристики к оси абсцисс равен — . На этом участке
эквивалентная схема катушки может быть представлена в виде
последовательного соединения индуктивности L и постоянного
активного сопротивления г, как это изображено на рис. 3.2, а. По
мере роста частоты линейный характер зависимости Q от со
нарушается, ввиду того, что начинает проявляться зависимость
сопротивления потерь катушки от частоты. На достаточно
высоких частотах можно считать, что сопротивление потерь
катушки растёт пропорционально квадрату частоты и добротность пя-
7*
99

дает с увеличением частоты примерно по гиперболическому
закону. Эквивалентная схема катушки с потерями в этом случае
показана на рис. 3.2,6.
Более общие эквивалентные схемы, объединяющие схемы
рис. 3.2, а и б, приведены на рис. 3.2, <? и г, и с их помощью
можно отобразить частотную характеристику добротности любой
катушки индуктивности в достаточно широком диапазоне частот.
Сложная зависимость добротности реальных катушек индуктив-
д)
па
■О Q =
2JTfl
61
4о^_
Г 0 =
*—о
27ffL *
Рис. 3.2
но'сти от частоты и разбросы характеристик отдельных катушек
весьма затрудняют, а в ряде случаев делают даже невозможным
точный учёт потерь в элементах фильтра. Поэтому можно
говорить только о большей или меньшей степени приближения
измеренных частотных характеристик к расчётным, получаемым при
вполне определённых предположениях о распределении потерь в
элементах фильтров.
Достаточно точная компенсация влияния потерь в катушках
на частотную характеристику относительного затухания фильтра
возможна не для всех эквивалентных схем катушек с потерями,
а только для тех, которые представлены на рис. 3.2, а и б. Такое
ограничение числа эквивалентных схем катушек индуктивности
наряду с требованием получения определённой величины
добротности усложняет изготовление фильтров. Поэтому
определённый интерес будет представлять выяснение возможных
отклонений измеренных частотных характеристик относительного
затухания фильтров от расчётных при разных характеристиках
добротности катушек индуктивности, применённых при
изготовлении этих фильтров.
100

Добротность конденсаторов на сравнительно низких частотах
/д0 сотен килогерц), как правило, значительно выше
добротности катушек, и поэтому потерями в конденсаторах можно
пренебречь по сравнению с потерями в катушках индуктивности.
При необходимости введения потерь можно последовательно
или параллельно с конденсаторами включать активные
сопротивления, величины которых определяются при расчёте фильтра с
учётом потерь в его элементах. В большинстве же случаев
можно пересчитать эти потери в катушки, что более приемлемо, так
как позволяет существенно уменьшить габариты фильтра или
затухание в полосе пропускания его. Иногда, правда, такой
пересчёт потерь приводит к искажениям частотной характеристики
относительного затухания рассчитываемого фильтра, как это
показано ниже на примере фильтра нижних частот.
§ 3.2. Нормирование расчёта фильтров с потерями
Наиболее важный для практики случай учёта потерь в
элементах низкочастотного фильтра получается 'при одинаковых
потерях в его элементах когда включённое последовательно с
каждой индуктивностью L активное сопротивление г и включённая
параллельно каждой ёмкости С активная проводимость g
связаны соотношением
f=f = 8- <зл>
где б—потери.
В этом случае сопротивление каждой катушки индуктивности
и проводимость каждого конденсатора могут быть выражены
следующим образом:
ZL = r -f i u) L — (3 + i со) L,
Yc = g + i а) С = (8 -f i с») С.
Выражение для сопротивления любого двухполюсника,
составленного из реактивных элементов, путём замены в нём ico = p
на б-f ico = p.+ 6. можно преобразовать в выражение для
сопротивления двухполюсника, составленного из тех же элементов, но
с введёнными потерями б, так как зависимость сопротивления
сложного двухполюсника от частоты выражается через
сопротивления и проводимости отдельных его элементоз при помощи
операций сложения и умножения.
Параметры холостого хода четырёхполюсника Zlb Z22, Z12
акже выражаются через сопротивления елдельных входящих в
го схему двухполюсников при помощи операций сложения и
У ножения. Следовательно, и для этих параметров приемлема
101

указанная выше замена переменных при переходе от элементов
без потерь к элементам с потерями. Наконец, соотношение (1.34)
позволяет сделать вывод, что и рабочий коэффициент передачи
четырёхполюсника, состоящего из элементов с потерями, можно
получить из рабочего коэффициента передачи
четырёхполюсника без потерь путём замены в последнем р на р + д.
Пусть в результате расчёта низкочастотного прототипа из
элементов без потерь получились следующие величины элементов:
индуктивность av и ёмкость aa. Используя преобразования
частоты, можно получить элементы фильтров с потерями. В
табл. П.10 приведены преобразования частоты, дающие
возможность получить из прототипа без потерь низкочастотные,
высокочастотные, полосно-пропускающие и полосно-запирающие
симметричные фильтры, состоящие из элементов с потерями. В
формулы для расчёта элементов фильтров включено нагрузочное
сопротивление R2. По этим же формулам могут быть выполнены
и обратные преобразования.
Как видно из табл. П. 10, эквивалентные схемы элементов с
потерями для каждого типа фильтров должны иметь строго
определенный вид, чтобы можно было получить требуемую
частотную характеристику затухания фильтра. Например, для
фильтров нижних частот и для последовательных контуров полосно-
пропускающих фильтров, согласно таблице, надо использовать
катушки индуктивности, добротность которых меняется прямо
пропорционально частоте, а для параллельных контуров полос-
но-пропускающих фильтров — катушки, добротность которых
меняется обратно пропорционально частоте. При других
методах учёта потерь в элементах фильтров (и соответственно
других методах расчёта) потери в элементы должны вводиться
другим, но тоже строго определённым образом.
Однако далеко не всегда эквивалентные схемы реальных
элементов с потерями имеют такой вид, какой необходим для
данного типа фильтра. Например, элементы полосно-запирающи\
фильтров должны при принятом методе расчёта иметь
эквивалентные схемы, какие у пассивных элементов практически не
встречаются. В таких случаях приходится либо мириться с теми
искажениями характеристики фильтра, которые получаются
вследствие несоответствия эквивалентных схем реальных
элементов с потерями и требуемых эквивалентных схем, либо
специально 'подбирать элементы с потерями, эквивалентные схемы
которых имеют вполне определённый вид, позволяющий
произвести достаточно хорошую компенсацию указанных выше
искажений. Одной из разновидностей такого подбора можно
считать расчёт на заведомо большие потери, чем имеются в
предполагаемых к использованию элементах, с последующим введением
дополнительных потерь (включением активных сопротивлений)
таким образом, чтобы окончательная эквивалентная схема каж-
102

ого элемента фильтра была возможно ближе к требуемой.
Практически, например, для ППФ и ПЗФ достаточно вести рас-
ёт на потери, в 2—3 раза превышающие потери, имеющиеся в
альных элементах. Другие возможные способы подбора
эквивалентных схем даны ниже при рассмотрении примеров расчё-
га фильтров.
§ 3.3. Общий порядок синтеза фильтров
с потерями в элементах
Для расчёта фильтра с потерями в элементах задаются те
же основные исходные данные, которые необ-содимы и для
расчёта фильтра без потерь. Вплоть до определения схемы
прототипа порядок расчёта в обоих случаях одинаков Различия
начинаются с определения величин элементов прототипа, когда
становятся необходимы дополнительные исходные данные:
величины добротностеи элементов, ча которые желательно
ориентироваться при изготовлении фильтра. Характеристики фильтра,
изготовленного по полученным в результате расчёта данным,
будут наиболее полно соответствовать заданным
характеристикам, если в процессе расчёта будут учтены также и частотные
характеристики добротностеи элементов фильтра. Поэтому до
определения элементов прототипа жетательно иметь частотные
характеристики добротностеи элементов, предполагаемых к
использованию в фильтре.
Как будет показано ниже, от заданного значения
отношения нагрузочных сопротивлений фильтра существенно зависит
сложность определения элементов прототипа для фильтра с
потерями. Наиболее просто вычисляются значения элементов
прототипа, если нагрузочное сопротивление с одной стороны
рассчитываемого фильтра равно нулю или бесконечно велико. Рас
чёт усложняется, когда задана величина одного из нагрузочных
сопротивлений, а второе сопротивление должно быть выбрано в
процессе расчёта, исходя из условия получения минимально
возможного затухания фильтра в его полосе пропускания. Оба эти
случая в практике расчёта фильтров встречаются наиболее
часто.
Самый трудный и редко встречающийся расчёт получается,
если задаются величины обоих нагрузочных сопротивлений.
Учитывая, однако, что последний случай является наиболее общим,
Рассмотрим для него порядок определения элементов прототипа
■при расчёте полиномиального фильтра с потерями в элементах.
Для расчёта (как и в случае фильтров из идеальных элемен-
св "ез потерь) задаётся коэффициент потерь мощности прото-
103

типа, причём действительные частоты фильтра приводятся к
нормированным в соответствии с табл. П.1:
eap = W[l +M(Q2)\. (3.2)
Здесь, в отличие от фильтров без потерь, минимальное
значение величины W, определяющей минимально возможные
затухание фильтра амин и нормированное сопротивление ги
обязательно больше единицы (W>\). Это значение W находится
в процессе расчёта в зависимости от величины потерь в
элементах фильтра. В начале расчёта можно задаться только
частотной характеристикой относительного затухания фильтра с
потерями, определяемой полиномом M(Q2).
Коэффициент потерь мощности прототипа, в соответствии с
соотношением (1.36), может быть представлен в виде
произведения рабочего коэффициента передачи S'(iQ) на сопряжённую
ему величину на-оси вещественных значений частоты 5'(—\Q):
1а
е p = S' (i й) • S' (—i 2) = S' (р) ■ Sf (— р). (3.3)
Для определения S'(р) из е йр необходимо, как и в случае
фильтров без потерь, найти корни уравнения
е2Яр = 0 (3-4)
и составить полином, содержащий только половину корней
ур-ния (3.4), имеющих отрицательные вещественные части. Это
и будет требуемый рабочий коэффициент передачи фильтра с
потерями
S'(р) = YWd* (p-Рх){р-р^...{р-Рп)у (3.5)
где dQ — старший коэффициент полинома М (Q2).
Полученное выражение для величины S'(p) ничем, за
исключением значения коэффициента W, не отличается от выражения
для коэффициента передачи фильтра без потерь (1.55).
Поэтому частотные характеристики фазового сдвига и времени
замедления у фильтра с потерями будут такие же, как и у
фильтров без потерь, имеющих те же частотные характеристики
относительного затухания.
Имея величину рабочего коэффициента передачи фильтра с
потерями S'(p), можно путём подстановки р—б вмгсго р в S'(p),
где б — величина потерь в элементах рассчитываемого фильтра,
найти рабочий коэффициент передачи чисто реактивного четы-
104

пёхполюсника, получившегося из требуемого четырёхполюсника
*, потерями в результате исключения потерь из его элементов:
S(р) = 5'(Р- *) = V^doip-p, - 5) (р-р2- Ъ)...(р-ра - 8). (3.6)
Определить элементы реактивного четырёхполюсника с
рабочим коэффициентом передачи S(p) можно, пользуясь
методикой, изложенной в гл. 2. При практической реализации
рассчитанного реактивного четырёхполюсника остаётся только к
каждому его элементу добавить потери. В результате такого
добавления, как было показано выше, рабочий коэффициент передачи
рассчитанного реактивного четырёхполюсника преобразуется к
виду
S(p + 8) =S'(p -8 + 8) = S'(p), (3.7)
т. е. получается равным требуемому рабочему коэффициенту
передачи рассчитываемого фильтра с потерями.
Величина потерь в элементах рассчитываемого фильтра б
определяется для каждого типа фильтра по формулам табл. П. 10.
Но предварительно должны быть выбраны катушки с
подходящими частотными характеристиками добротности. Если же не
удастся подобрать соответствующий тип сердечника катушки,
выбрать для него оптимальные размеры и способ намотки
катушки или если все эти данные уже определены условиями
производства, то придётся оценить возможные отклонения
получаемой частотной характеристики реального фильтра от расчётной
При неблагоприятных результатах оценки может оказаться
целесообразным пойти на добавление последовательно или
параллельно катушкам активных сопротивлений, чтобы получить
более приемлемые частотные характеристики добротностей
катушек. И только с учётом этих дополнительных
сопротивлений должны определяться потери 6 для расчёта элементов-
фильтра.
Полученный после подстановки р—б вместо р в соотношение
(3 5) полином (3.6) должен иметь корни с отрицательными
вещественными частями. В противном случае он не может быть-
рабочим коэффициентом передачи реактивного
четырёхполюсника Но отсюда следует, что фильтр можно рассчитать не на
любые потери, а только на те, величина которых не превышает
величины вещественной части ни одного из корней полинома
Полином е р имеет вещественные коэффициенты, и
поэтому комплексные корни его, если таковые имеются, должны быть
попарно сопряжёнными. Отсюда и в выражении для рабочего
105

коэффициента передачи реактивного четырёхполюсника S(p)
также получаются попарно сопряжённые корни. Действитель-'
но, пара сомножителей в полиноме е р с сопряженными
корнями даёт биквадратный множитель
(р2 -Р2) {р2 -/Й) = Р" + £ Р* + С (3.8)
который и определяется при решении ур-ния (3.4). Полученный
из соотношения (3.8) квадратичный множитель, который
должен быть включён в состав S'(p), имеет корни с
отрицательными вещественными частями
(Р ~ Р,) (Р — Ps) = Рг + «v Р + К, (3.9)
где 6V =]/ b', и а,=|/ 26v—а[
Полученный после подстановки р—б вместо р в S'(p)
соответствующий квадратичный множитель S(p) будет иметь вид
pt + a^p + b^ (ЗЛО)
где а =а'—28, b =6'4-82—а Ь.
Аналогичным образом для положительного вещественного
корня р£ полинома е р можно получить линейный
сомножитель в S(p):
р + а^р-р^-о, (3.11)
где р и — отрицательный корень полинома е р .
Если общее число вещественных корней S(p) равно т, то
выражение для S(p) будет иметь вид
тл п
т 2
S{p)-VWl^\[{PJtav) Jj (? + ачр + Ьч), (з.12)
tJ- = I v—m + l
Раскроем скобки в этом выражении и представим полученный
рабочий коэффициент передачи реактивного
четырёхполюсника в виде
Sip) = VwTo ("2 + v2) = VWT0{pn + AlPn-l+... + An). (3.13)
106

Коэффициент потерь мощности четырёхполюсника может
быть получен путём умножения S(p) на сопряжённую ему
величину S(—p):
£аР = 5 (p)S (-р) = Wd0 (- 1)» (р2" + Дх р2п~2+
+ ...1 Дя_1Р»4-Дя). (ЗЛ4)
Величины Дь Лг,..-, Л„ выражаются через Л0, Ль..., Лл,
где Л0=1 по формуле
m = 2v
Д> = 2Am\-J~nn, (3-15)
m=0
которая для некоторых классов фильтров представлена в
развёрнутом виде в табл. П.11.
Полученный коэффициент потерь мощности реактивного
четырёхполюсника должен, очевидно, удовлетворять требованиям,
изложенным в связи с соотношением (1.37). Для этого величи-
2ар *
на е должна быть не меньше единицы при всех
вещественных значениях о) (отрицательных значениях р2). Определим
наименьший минимум
М = Мин—— ^ (3.16)
1 2а
полинома ■—— е р на оси отрицательных вещественных
величин р2. Для этого находим те значения р\, при которых
производная по р2 полинома
J_ 2% ^ (_ 1)Я {р*п + Дг р2п~2 + ^ + д^рЛ + Дя)> (ЗЛ ?)
равная
(- 1)'[пр2п~2+ (п~ 1)MlP2n~4 + ... + Дп-Л,
обращается в нуль. Подставив эти значения р2 в полином (3.17),
находим наименьшее значение полинома М и, приравняв в
соотношении (3.16) величину ар нулю, определим возможные для
Данного фильтра и для данной величины потерь б пределы
изменения величины W:
№>—. (3.18)
Md0
107

Знак равенства в этом соотношении соответствует случа*о
минимального затухания фильтра с потерями, какое только
может быть получено при данной характеристике
относительного затухания и при данных потерях в его элементах. Этот
частный случай представляет наибольший практический интерес.
Но расчёт может быть выполнен и для любой другой
величины W, удовлетворяющей условию (3.18). При выборе требуемой
величины W в процессе расчёта полиномиального фильтра с
потерями может оказаться полезным то, что величина W и
нормированное сопротивление источника гь которое иногда задаётся в
начале расчёта, связаны между собой вполне определённым
соотношением. Действительно, из выражения (3.14) при р = 0 следует
2а
е p = Wdonn{-\y. (3.19)
Вместе с тем, для низкочастотного прототипа, состоящего-
из реактивных элементов, при р = 0 коэффициент потерь
мощности определяется исключительно отношением нагрузочных
сопротивлений и составляет
е**р== 0 + 'i)a . (3.20>
Приравнивая правые части выражений (3.19) и (3.20), можно*
получить соотношения, связывающие между собой W и гх:
W= {l + ri)2 , (3.21)
гх = 2 Wd0 \Дп\ - 1 + К(2 Wd0 \ДЛ\ -1)2 - 1 ~. (3.22)
Величину W по ф-ле (3.21) целесообразно определять
только для тех низкочастотных и полосно-запирающих фильтров, для
которых задаётся значение гь Для полосно-пропускающих
фильтров и фильтров верхних частот определять W из
соотношения (3.21) нецелесообразно. Более правильно в этом случае
из соображений получения возможно меньшего затухания в
полосе пропускания определять W из соотношения (3.18),
используя знак равенства. Это объясняется тем, что рассматриваемый
порядок расчёта ППФ и ФВЧ приводит к лестничным схемам
фильтров, в шунтирующих ветвях которых обязательно (при
п>1) включаются катушки индуктивности.
Практически в подавляющем большинстве случаев при
реализации катушек индуктивности удаётся использовать
автотрансформаторное включение их, в результате чего оказывается
возможным получить довольно широкий диапазон отношений
наше

узочных сопротивлений фильтра. Ниже эти возможности ил-
юстрируются на конкретных примерах расчёта.
я зыбрав величину W, можно из соотношения (1.39) найти ве-
ичину минимального затухания рассчитываемого фильтра в
полосе пропускания амин.
На основании соотношений (1.52), (1.62) и (3.14) можно
определить полином и{2—t>i2 по формуле
и\ - *5 = "^Г (Л -!)=-(- 1)" (Р2п + Дх Р2П~2 + ...+ Дп^Р2 +
+ Д„)-^. (3.23)
Группируя вместе сомножители правой части этого
равенства, имеющие корни с отрицательными вещественными частями,
получим
«1 + vx = рп 4- Л{ рп~х + А'2 рп~2 + .. . +
+ An-ip+An- (3-24)
Элементы прототипа для произвольной величины W можно
определить из выражений (3.24), (3.13) по ф-лам (1.74).
Переход от элементов прототипа к элементам фильтра с потерями
•осуществляется по формулам, приведенным в табл. П. 10.
Правильность расчётов прототипа [начиная с соотношения (3.16) и
кончая определением величины г{ при разложении (1.74) в
цепную дробь] проверяется путём сравнения полученного
значения п с вычисленным по ф-ле (3.22). Совпадение первых двух-
трёх цифр в обоих значениях Г\ позволяет судить о правильности
проведенных вычислений.
Одной из самых трудоёмких операций при выполнении
расчётов в соответствии с изложенным порядком является переход
от соотношения (3.23) к (3.24), когда приходится находить
корни алгебраического уравнения степени п.
Вычисления упрощаются, если фильтр рассчитывается на
минимально возможное затухание в полосе пропускания, что
соответствует знаку равенства в соотношении (3.18). Практически
именно такой сличай представляет наибольший интерес. При
этом в соотношении (3.23) заменяется наМи полином
Wof0
(3.23) оказывается вместе со своей первой производной равным
нулю, т. е. он имеет двойной нуль в точке, где полином (3.14) име-
<ei минимальное значение. Исключение из соотношения (3.23)
множителя, содержащего этот двойной корень, сразу уменьшает
Степень «!2—Vi2 на 4, облегчая нахождение остальных его
корней.
109

Расчёт существенно упрощается, если выбранная величина
W равна бесконечности, т. е. фильтр может иметь бесконечно
большую величину минимального рабочего затухания амин. {$,
этом случае из выражений (3.23), (3.13) и (3.14) следует, что
их2—v{2 = u22—v22, «1 + ^1 = ^2 + ^2 и определение элементов
рассчитываемого прототипа может быть осуществлено сразу же
после получения величин А^ из соотношения (Д13) путём
разложения (1.74) в цепную дробь, минуя все последующие самые
трудоёмкие операции. Нормированное сопротивление г{ такого»
прототипа получается бесконечно большим, что даёт
возможность рассчитывать фильтры, нагрузочные сопротивления с
одной стороны которых равны нулю или бесконечности, а с другой
стороны имеют вполне определённые, заранее заданные
конечные значения.
Учитывая, что у полиномиального реактивного
четырёхполюсника в случае ri = co и р — 0 при передаче напряжения и эдс
Е=02, а при передаче тока Л = /г, можно из (3.13)
непосредственно установить, что затухание тока, напряжения или эдс-
при введении в четырёхполюсник потерь будет при р = 0
определяться из соотношения
«от-Аоя= «О эдс = 1п -~- > (3'25>
"чгЪ
где Ап0 —коэффициент Апиз (3.13) при 6 = 0,
А —тот же коэффициент при б, равном требуемой для
расчёта величине.
Нужно учесть, что полученное затухание не обязательно
является минимально возможным при данной величине 6. Это
зависит от частотней характеристики относительного затухания
конкретного рассчитываемого фильтра. Например, для
прототипов с чебышевской характеристикой относительного затухания
при нечётных значениях п и с монотонной баттервортовской
характеристикой, как это следует из рис. 2.2 и 2.4, затухание при:
р = 0 будет минимальным. А для прототипов чётных классов с
чебышевскими частотными характеристиками относительного
затухания перейти к минимальному затуханию можно путём
вычитания неравномерности затухания Да из а0т> а0гили аоэде-
§ 3.4. Расчёт прототипов с чебышевскими
характеристиками
В соответствии с изложенным порядком расчёта, при
использовании полиномов Чебышева коэффициент потерь мощности
фильтра определяется выражением (2.3)
ПО

величина W, характеризующая минимальное затухание
Ультра, находится в процессе расчёта. Величина h связана с
равномерностью затухания в полосе пропускания фильтра Аа
соотношением (2.8).
Рабочий коэффициент передачи фильтра с потерями в эле-
тах в соответствии с выражениями (3.5), (2.33) и (2.34)
для нечётного значения п имеет вид
п—\
2
2v —1
S' (р) = VW d0 (р -f 7) П( Р2 + 2р т sin 2L_1 тс + т« +
4=1
+ cos2?^A (3.26)
а для чётного п
п
S' (р) = 1/НП(р2 + 2П'sin Ь=±« + т» + cos2 ?^I «J.(3.27>
v = l
Исключив потери, получаем следующие выражения для
коэффициентов передачи реактивных четырёхполюсников:
при нечётном значении п
п—\
2
5 (р) = VWTo (ut+vj= VW~do (р + Y - 8) П(Р2 + а, Р+К), (3-28)
v = l
при чётном значении п
п
S(p) = VwT0(u2 + v2) = VWJ0 [\(p*+aj+bj. (3.29),
Здесь
2/if sin
2v —l s
Ti 0
2n
b = cos2 -—- n + r2 — S a — 82.
2« '
Максимально допустимая величина потерь в элементах филь-
тРа ®макс, которая ещё позволяет создать фильтр с требуемой
астотной характеристикой относительного затухания, опреде-
111

ляется требованием, чтобы наименьший из коэффициентов а ц
Ь^ был больше нуля. Поскольку минимальную вели глну имеет
коэффициент а\ , то максимально допустимая величина потерь
должна определяться из условия
^Wc^Tsin^-. (3.30)
Величины av, 6v и5жа/ссдля некоторых классов фильтров
приведены в табл. П. 12.
Дальнейший расчёт ведётся в том же порядке, как показано
в предыдущем параграфе.
Величина d0 в ф-ле (3.18), необходимая для определения
значения коэффициента W, равна
d0=22n-2h. (3.31)
В качестве иллюстрации применения общего порядка
расчёта рассмотрим пример расчёта чебышевского фильтра.
Пример 3.1
Требуемся рассчитать фильтр нижних частот со следующими данными:
а) полоса пропускания от 0 до 10 000 гц;
б) колебания затухания в полосе пропускания не должны превышать
Ла = 0,05 неп;
в) в полосе задерживания на частоте fH = 20 000 гц затухание фильтра
должно быть больше затухания в полосе пропускания на величину ан = 7 неп;
г) фильтр должен работать параллельно с фильтром верхних частот,
причём частота среза последнего значительно превышает частоту /i
Сопротивление нагрузки со стороны параллельного включения фильтров равно
600 ом;
д) фильтр желательно изготовить на катушках индуктивности,
добротность которых на частоте /i=10 000 гц равна 25, зависимость добротности от
частоты линейная.
Расчёт фильтра ведём в следующем порядке.
1. Определяем нормированную частоту QH. Для этого нужны только
частоты fH и /i. В данном случае /i = 10 000 гц и /w=20 000 гц. По формуле
табл. П.1 для фильтра нижних частот имеем
/я -
QH = JJL = 2,0, f2К = 0,5.
fx
2 Класс фильтра выбираем, пользуясь кривыми на рис. 2.3. Из графика
на рис. 2 3(3 для Он=0,5 и а = ан =7,0 неп находим п = 7.
3. Определяем потери, на которые должен рассчитываться фильтр.
Учитывая, что частотная характеристика добротности катушек индуктивности,
на которых предполагается реализовать фильтр, удовлетворяет требованиям,
предъявляемым к ней фильтром нижних частот (линейная зависимость
добротности от частоты), будем при расчёте потерь исходить из величины
добротности катушек индуктивности на частоте среза фильтра. При этом, как
видно из табл. П.10, придётся при изготовлении фильтра вводить в элементы
дополнительные потери, включая параллельно конденсаторам активные про-
112

имости, что, конечно, весьма нежелательно и говорит о несовершенстве
Б°нного способа расчёта Возникает мысль о том, нельзя ли избежать вклю-
Да я активных проводимостей параллельно конденсаторам и вести расчёт
Ч° величину добротности, вдвое превышающую добротность катушек на ча-
Н3 те" среза фильтра, как это делается для фильтров нижних частот, рассчи-
сТтваемых по характеристическим параметрам [3]. Мы пока это соображение
ТЬ примем во внимание и будем считать, что добротность конденсаторов на
Нястоте среза равна добротности катушек. При реализации же фильтра по-
\ютрим, как меняется его частотная характеристика затухания, если
исключить потери в конденсаторах и соответственно увеличить сопротивления
потерь в катушках.
Принимая добротности всех элементов фильтра Q=25, по формулам
табл П.Ю для ФНЧ получим
8 = JL=0,04.
Q
4. Определяем у и h из табл. П.2 для Да = 0,05 неп и л = 7
' 7=0-26657, /1=0,105 17.
5. Находим полином u2 + v2 По ф-лам (3.28) и табл. П.12 получим
и2 + v2 = (р + 0,226 57) (р2 + 0,038 635р + 1,018 398)X
X (р2 + 0,252 407р + 0,670 623) (р2 + 0,400 343р + 0,241 701).
Приведём u2+v2 после раскрытия скобок к виду (3.13):
"а 4- v2 = Р1 + 0.917955р6 + 2,213 638р5 + 1,499 449р* + 1,440 974р3 +
+ 0,615^243р2 + 0,242516р + 0,037 40.
6. Определяем коэффициент потерь мощности фильтра после вычитания
потерь. Из ф-лы (3.14) и табл. ПИ имеем
А = — Wd0 (р14 + 3,584 635р12 +5,029 288рЮ + 3,486 744р8 ^
+ 1,236 377р6 + 0,208 236р* + 0,012 794р2 — 0,001 399).
7. Определяем производную по ф-ле (3.17) и приравниваем её нулю для
2а
нахождения минимального значения полинома е Р. После деления всех
коэффициентов производной на коэффициент при старшем члене имеем
уравнение
Ф (р2) = pi2 ^ з ,072 545р10 + 3,592 350р8 + 1,992 427р6 + 0,529 875р4 ■&
+ 0,059 496р2 + 0,001 828 = 0.
Решение этого уравнения по методике, изложенной в работах [14] и [15],
а также с учетом соображений, приведенных по этому вопросу выше
(см. параграф 1.2), даёт следующие величины корней:
Р? = —0,04757, Р22 = — 0,19774, р§ =—0,374 29,
р2 = _0,64284, р| = — 0,79806,
р2 = _ 1,012036.
113

8. Определяем минимально возможное значение коэффициента потр
2й 1еРЬ
мощности е р , для чего подставляем в полином в правой части соотнощ
ния (3.17) полученные значения корней производной. Заметим, что для дан"
ного типа фильтров всегда минимально возможное значение е Р соответст
вует наибольшему по величине корню производной. При аналогичных расчё"
тах в дальнейшем можно будет находить только один наибольший по
величине корень уравнения Ф(р2)=о. Расчёты несколько упрощаются, если
также учесть, что этот наибольший по величине корень находится вблизи
отточки р2 =—1,0. Это значение и можно использовать в качестве первого
приближения при определении корня производной в дальнейших расчётах
полиномиальных фильтров.
Минимально возможное значение полинома (3.17) получается равным
0,000225 в результате подстановки вместо р2 в этот полином
величины —1,012 036
Будем рассчитывать фильтр на минимально возможное затухание в
полосе пропускания, что, правда, не оюваривается в требованиях, но чаще
всего именно такое затухание является наиболее желательным. В этом
случае, согласно (3.18),
1
Wd0 = ■ = 4440.
0,000 225
9. Определяем минимальное затухание фильтра в полосе пропускания по
ф-лам (3.31) и (2.5)
1 , 4440 , ,
аман = —'In = 1,17 неп.
мин 2 40960,10517
10 Определяем полином "i + fi. Для этого необходимо найти корни
полинома (3.23), который в данном случае имеет вид
и\— и\ = — р14 — 3,584б35Гр'г— 5,029 288^— 3,486744р« _
— 1,236 377р6 — 0,208 236р4 — 0,012 794р2 -f 0,001 174.
2 2
Для случая минимально возможного затухания фильтра полином и{ — v{
имеет двойной корень в точке, где е Р имеет минимально возможное
значение. Как было указано выше, это существенно облегчает задачу нахождения
корней полинома u?.— v2{, понижая его степень на 4. Легко видеть, что если в
соотношении (3.18) взять знак неравенства при определении W, то так про-
2 2
сто найти два корня и^—с^не удается.
Разделив и\ ~и\ на корневой сомножитель (р2+1,012 036)2,
соответствующий двойному корню р2= —1,012 036, получим частное
Фх (р2) = — pio — 1,560 563р8 — 0,846 379р6 — 0,175 257р4 —
— 0,014768p2^ 0,001 157
и небольшой остаток, который не получился равным нулю за счёт неточного
значения корня р2. Но ошибка в определении корня не превышает единицы
последнего знака, и поэтому можно считать, что деление произошло без
остатка.
114

Полученное частное Ф\(р2) можно разложить на множители в соответ*
i
с методикой, изложенной в работе [15]. Полное представление полино-
2_^2 как произведения сомножителей может быть получено в виде
и2 и\ = (р2 + 1,012 036)2 (-р2 + 0,046 466) (р1 + 1,276 999р2 +
+ 0,443 454) (р4 + 0,330 ОЗОр2 + 0,056 149).
В каждом из сомножителей нужно произвести разделение корней между
и u\—V\. Деление первого сомножителя на два не вызывает
трудностей"'один сомножитель р2+1,012 036 следует включить в ux + vx, а другой
такой же — в Щ—vx. Второй сомножитель есть не что иное, как произведение
— р2 + 0,046 466 = (р -f 0,215 560) (— р + 0,215560).
Ясно, что первый член этого произведения содержит отрицательный
корень и его следует включить в ui + v\, а второй имеет положительный корень
и его следует включить в щ—и,. Выделение из третьего и четвёртого
биквадратных множителей квадратичных множителей, содержащих корни с
отрицательными вещественными частями, осуществляется при помощи
соотношений (3.8) и (3 9)
Собирая вместе половину корневых сомножителей и^—^.имеющих
корни с отрицательными вещественными частями, получаем
Ui + Oi = (p2+ 1,012036)(р+0,215560)(р2 + 0,379323р +
+ 0,236 958) (р\+ 0,234 194р + 0,665 923) = р7 + 0,829077р6 +
-f- 2,136 002р5 + 1,360 924р4 -f- 1,361 702р3 + 0,562 164р2 +
+ 0.226 907р +0,03442.
II. Определяем элементы прототипа и нормированное сопротивление г1ш
Для этого потребуются полиномы щ-\-и2 и V\ + v2, чтобы путём разложения в
цепную дробь выражения для сопротивления З22 из ф-лы (1.74) получить
величины элементов прототипа, и первый член полинома Щ—Щ, при помощи
которого из Зц можно определить величину гх. Из полиномов «i + yi и u2 + v2
получаем
ux + «2= l,747 03p6 + 2,860 37p4+ 1,177 41р2+ 0,071 824,
Ч + v2 = V + 4,349 64р5 + 2,802 68p3 + 0,469 42р,
Ul — u2 = 0,088 88р6+ ...
Параметр З22 прототипа, состоящего из реактивных элементов, после
деления всех его коэффициентов на два может быть представлен в виде
0,873 515р6+1,430 185р4 + 0,588 705р2 +0,035 912
322 —
р7 + 2,174 82р5+ 1,401 34р3 + 0,234 71р
луче еНИе это" ФУНКДИИ в Цепную дробь приведено выше в § 1.3. По-
Зц ННЬ1е в результате разложения элементы прототипа имеют следующие
а7=1,1448, а6 = 1,625 01, «5 = 2,166 04,
«4 = 1,856 59, «3 = 2,262 33, «2 = 1,70914,
«!= 0,962 64
115

Для определения гх запишем в соответствии с выражением (1.74)
члены числителя и знаменателя Зп
Зц= г\
0,088 88р6ф
Первый член разложения Зи в цепную дробь должен быть равен
последнему члену в разложении З22, т. е.
1 0,088 88гх '
откуда гх = 23,376.
Проверка полученной величины гх по ф-лам (3.22) и (3.18) показывает
что она отличается от истинной на 2,5—3%. Это свидетельствует о
недостаточной точности выполненных расчётов.
Схема прототипа должна быть выбрана с учётом пункта «г» требований
к фильтру.
Из всех возможных схем прототипов, представленных на рис. 1.11,
наиболее подходящей является схема рис. 1.11, г. Эта схема с указанными на ней
уточнёнными величинами элементов приведена на рис. 3.3.
0,9653 2,263 2,167 1,146
го- — "- —
\ 0,04336
,1,706
1,856
1.625 t\
Рис. 3.3
12. Переход от элементов прототипа к элементам фильтра осуществляем
по ф-лам П 10. Полученная схема фильтра с указанными на ней величинами
элементов и нагрузочных сопротивлений приведена на рис. 3.4.
Реализация элементов фильтра в соответствии со схемой рис, 3 4
позволяет получить частотную характеристику относительного затухания фильтра в
соответствии с рис. 2 2 и 2.3 и характеристику фазового сдвига в
соответствии с рис. 2.5.
21,6 мгь
9,21мгн 23,2om15U,14om 20,7мг» 52ом 10,94нгн 27,5on
26,40»
U5S00
пф
8080
ОМ '
43200Т
бООон
19230 ом
Рис. 3.4
Как было указано в начале расчёта, представляет интерес определить
отклонения характеристики затухания фильтра от идеальной характеристики,
на которую вёлся расчёт, в случае, если при реализации фильтра все потери
будут сосредоточены в катушках индуктивности, а конденсаторы не будут
иметь потерь. Новая схема фильтра, которая получится, если увеличить
потери в каждой катушке индуктивности вдвое и совершенно убрать потери
в конденсаторах, показана на рис. 3.5.
116

результаты проведенного расчётным путём сравнения схем рис. 34 и 35
««ведены в табл. 3.1.
Из табл. 3.1 видно, что при сосредоточении всех потерь в катушках ин-
ивности и при исключении потерь в конденсаторах получаются довольно
9,21нгн иб,«ом21,6мгн 10816он20,7мгн10Ьо» Ю,94мгн 55ом
Рис. 3 5
Таблица 3.1
существенные отклонения частотной характеристики рабочего затухания от
оасчётной. Но всё-таки при достаточно малых величинах потерь и,
следовательно, малых величинах минимального затухания фильтра можно при
расчёте фильтра нижних или верхних
частот считать все потери
сосредоточенными в катушках индуктивности.
Определять потери для расчёта
элементов прототипа в этом случае
нужно по формуле табл. П.10
1
2<2л Qc
где
Q =
Ql+Qc '

Нормированная частота
прототипа £2
0
0,222
0,434
0,624
0,782
0,901
0,975
1,0
Затухание, неп,
фильтра по схеме
рис. 3.4
1,165
1,215
1,165 -
1,215
1,165
1,215
1,165
1,215
рис. 3.5
1,318
1,244
1,145
1,233
1,159
1,212
1,169
1,224
причём QL —добротность катушек
индуктивности на
частоте среза,
Qc—добротность
конденсаторов на той же
частоте.
Если Qc = оо , то потери, на которые можно вести расчёт фильтров
нижних и верхних частот, определяются из соотношения
1
2QL
Приведенный пример показывает, что определение величин
элементов прототипов, рассчитываемых с учётом потерь,
требует довольно сложных и длительных вычислений.
Чтобы избавить разработчиков от необходимости выполнять
эти сложные расчёты, в табл. П.13 и П.П сведены все данные
прототипов наиболее часто используемых классов фильтров.
Данные рассчитаны для ряда величин неравномерности зату-
ания в полосе пропускания Да и значений потерь б в элемен-
^ах фильтров. В табл. П. 13 величины элементов прототипов
v нормированного сопротивления гх и затухания а мия приве-
117

дены для случая минимально возможного значения амин. g
табл. П 14 вместе с величинами элементов прототипа av
приводится минимально возможное при данных потерях б
затухание эдс фильтра аэдсшн, которое равно минимальному
затуханию тока атман и напряжения анмич Чтобы сохранить четыре
значащие цифры, некоторые величины в табл. П.13 и П.14
увеличены в 10 раз. Истинное значение такой величины можно
получить, разделив табличное значение на 10.
Порядок пользования габл. П.13 и П.14 весьма прост и легко
усваивается из приведенных ниже примеров расчёта полосно-
пропускающих фильтров.
Для двух первых классов прототипов можно получить
расчётные формулы, с помощью которых определяются элементы
прототипа, имеющего минимальное затухание в полосе
пропускания. Эти формулы имеют вид:
при п= 1
при п = 2
Ч- г; гх = \\ амин=\п—!—; (3.32)
1 5 ..х
(3.33)
2(0,7071 7— в)
(1 + Т)2
(1 + Т)2
2(0,7071 т — о)2 ' ~мин ^ 0,70717—5
амин '
2 0
— 1п-
=1п-
,7071
0
Т .
1
7 — 0
,70717
Для случая расчёта элементов прототипа, предназначенного
для включения на бесконечно большое или равное нулю
сопротивление нагрузки с одной стороны, можно достаточно просто
получить расчетные формулы. Эти формулы представлены для
некоторых классов прототипов в табл. П. 15. Величины av и Ь„
которые нужно 'подставить в формулы табл. П. 15, вычисляются
для каждого класса прототипа по формулам табл. П.12.
Коэффициент clq определяется из соотношения aQ/=y—б.
§ 3.5. Расчёт прототипов с баттервортовскими
характеристиками
Коэффициент потерь мощности в данном случае
определяется соотношением (2.16). Рабочий коэффициент передачи
фильтра с потерями из (3.5), (2.47) и (2.50) для нечётного значения ч
получается в виде
п— 1
2
S' (р) - /Г5о(р + 1 )Щр2 + 2р sin ^=1 * + 1) , (3.34)
v = l
118

ДЛЯ
чётного значения п — в виде
z
S' (р) = VW~Io J] [р2 + 2р sin^^ тг + 1V (3.35)
v = l
После исключения потерь соотношения (3.34) и (3.35)
преобразуются соответственно к виду
л-1
2
S{p) = VW d0(и2 + v2) = У W d0(p + 1 - 8) П (P2 + «VP +K),
v=l
(3.36)
S (p) = VW d0 (u2 + v2) = /Г do П (P2 + «v P + *v), (3.37)
v=l
где
a = 2(sin-—-* — 8]; 6 = l+82 —28sin
2« ; v ■ 2a2
1Г.
Максимально возможная величина потерь может быть
определена из соотношения
8^ = sin-f. (3.38)
Для некоторых классов фильтров величины av, Ьч и Ьмакс,
приведены в табл. П. 17.
Для первого и второго классов прототипов в соответствии с
изложенным выше порядком расчёта могут быть получены
формулы для определения величин элементов прототипов в случае
минимально возможного затухания амик. Эти формулы имеют
вид:
при п= 1
ai==irhr; ri=1; амин=]п\~ь'' (3-39)
при п = 2
1
«! = 1,4142 — 28; а2 =
0,7071—В '
1 1 1
ri = т.—. . ; амин =1п
(1 — 1.4142 5)2 мин 1 — 1,41425
(3.40)
Рассчитанные для некоторых классов прототипов элементы
пРи минимальной величине амин представлены в табл. П. 18.
119

Расчётные формулы для определения величин элементов
прототипов, предназначенных к включению на крайние значения
нагрузочных сопротивлений, представлены для некоторых
классов прототипов в табл. П. 16. Величины а^ и Ь^, подставляемые
в эти формулы, вычисляются для требуемого класса прототипа
ino формулам табл. П.17, а величина а0' определяется из
соотношения ао/==1—6.
§ 3.6. Особенности расчёта полосно-пропускающих
фильтров
Наиболее важным для практики типом фильтров, расчёт
которых требует учёта потерь в элементах, являются полосно-
пропускающие фильтры. Основная трудность при расчёте этих
фильтров — обеспечение достаточно близкого совпадения
требуемой теоретической частотной характеристики затухания и
экспериментальной характеристики, получаемой при реализации.
Этой трудности можно было бы избежать, если бы распределение
потерь между элементами фильтра полностью соответствовало
требуемому. На практике в большинстве случаев оказывается
весьма затруднительным удовлетворить последнему условию с
необходимой точностью. Иногда имеется возможность так
подобрать материал сердечника катушки индуктивности, её
конструкцию и способ её намотки, что получается требуемая
частотная характеристика добротности катушки (линейная или
гиперболическая зависимости от частоты). Но этот подбор требует
проведения большой исследовательской работы, затраты на
которую далеко не всегда могут быть оправданы. Гораздо проще
видоизменять частотные характеристики потерь имеющихся
катушек индуктивности, подключая к ним дополнительные
активные сопротивления. При этом также оказывается возможным
получить приемлемое совпадение теоретических и
экспериментальных характеристик фильтров. Чтобы показать, как
различные частотные характеристики добротности используемых в
фильтре катушек индуктивности влияют на величины отклонений
экспериментальной частотной характеристики рабочего
затухания фильтра от теоретической, рассмотрим пример расчёта по-
лосно-тфопускающего фильтра и результаты его макетирования.
Пример 3.2
Требуется рассчитать полосно-пропускающий фильтр с симметричной
частотной характеристикой рабочего затухания по следующим данным:
а) полоса пропускаемых частот от f =3500 гц до L =4300 гц\
б) неравномерность затухания фильтра в полосе пропускания не должна
превышать Да = 0,02 неп,
в) на частоте fKl=4500 гц относительное затухание фильтра должно быть
не ниже aKi = l,0 неп, а начиная с частоты /Н2=4800 гц и выше,
относительное затухание должно быть не ниже ан2 =4,0 неп,
120

1 затухание фильтра на частотах полосы пропускания желательно иметь
возможно меньшим;
\ нагрузочное сопротивление фильтра с одной стороны должно быть
ьш ЮОО ом, Со стороны второй пары клемм величина нагрузочного
сопротивления может быть любой,
е) ориентировочная величина добротности катушек индуктивности на
рпней частоте фильтра f0=3880 гц равна Q0=60 Могут быть использованы
°^ тушки индуктивности двух видов с разными частотными характеристиками
К боотности, аппроксимация которых в диапазоне частот 3—5 кгц может
быть осуществлена либо функцией вида Q = Qof/fo (линейная зависимость Q
/), либо функцией вида Q = Q0 (величина добротности катушек
постоянная);
ж) фильтр не должен шунтировать сигналы с частотами, далеко
отстоящими от полосы пропускания
Расчёт фильтра по указанным выше требованиям осуществляем
следующим образом.
1 Определяем частоты сре^а и полосу пропускания фильтра. Ввиду того,
что неравномерность затухания 0,02 неп задана по всей полосе пропускания
от f_ A0 ftp > считаем эти частоты частотами среза f—] и f\, соответственно, и
получаем теоретическую полосу пропускания фильтра
A f1 = fx — f_j = 4300 — 3500 = 800 гц.
2. Определяем нормированные частоты QWv (частоты прототипа),
соответствующие частотам fщ и fH2, на которых задано затухание фильтра. Для
симметричного ППФ перевод /н в Q может осуществляться либо по формуле
табл П 1, либо по формуле
Подставляя в эти формулы значения f\, f^_\ и fH, можно получить
3500 4300
/ н , = = 3345,
Hl 4500
4500 — 3345 , 1лл
QH . = = 1,444;
wl 800
1 =0,693;
ft*i
3500 4300 n,or
/ ~ = = 3135;
'~н2 4800
4800 — 3135 п пп
&м „ = = 2,08;
*2 800
= 0,481.
"Я 2
121

3. Учитывая, что намеченные к использованию катушки индуктивности
имеют зависимость Q от f, не позволяющую осуществить точную
компенсацию потерь при включении катушек в параллельные контуры ППФ, возьмём
для расчёта неравномерность затухания в полосе пропускания не 0,02 неп, а
вдвое меньше:
Да —0,01 неп.
4. Полученные величины Да, 1/Q«i, анг, 1/Q«2> ая2 позволяют определить
класс полиномиального фильтра. По кривым рис. 2.3е можно найти, что
заданным требованиям полностью удовлетворяет только фильтр пятого класса.
Если бы были заданы только величины ан1 и fHl, то, как это видно из
рис. 2.3в, можно было бы удовлетвориться фильтром четвёртого класса.
5. Величину потерь определяем по формуле из табл. П. 10
где Qo — средняя величина добротностей контуров рассчитываемого
полосового фильтра, измеренных на его среднегеометрической частоте /"<>• ^
При этом предполагается, что частотная характеристика добротностей
контуров имеет вполне определённый вид, оговоренный при рассмотрении
табл. П. 10 в параграфе 3.2. Имея в виду, что для данного рассчитываемого
фильтра важно получить возможно меньшее затухание в полосе
пропускания, попробуем вести расчёт на среднюю добротность Q0=60, т. е. на
заданную ориентировочную добротность катушек, и посмотрим, какие же
искажения частотной характеристики рабочего затухания фильтра получатся из-за
несоответствия характеристик добротности катушек требуемым. Полученная
по приведенной выше формуле величина потерь равна
/о 3880
В = —— = = 0,0808.
Qo-A/i 800-60
6. Элементы прототипа для я=5 и Да = 0,01 неп можно определить из
табл. П.13г. Правда, в таблице нет значения потерь б, равного рассчитанной
выше величине 0,0808, но ошлонение имеющегося в таблице ближайшего
значения 6 = 0,08 от требуемого настолько мало, что им можно пренебречь и для
дальнейшего расчёта принять 6 = 0,08. Это тем более оправдано, что
заданное значение добротности катушек индуктивности было ориентировочным, и,
следовательно, для изготовления фильтра могут быть использованы катушки
с несколько большей добротностью. Можно, конечно, взять и ближайшую
большую величину потерь 6 = 0,1, но в эгом случае придётся вводить в схему
фильтра дополнительные сопротивления, что нежелательно.
Учитывая, что фильтр не должен шунтировать сигналы с частотами,
расположенными за пределами его полосы пропускания, необходимо выбрать
схему прототипа, соответствующую схеме на рис. 1.11, г. Подставив в схему
рис. 1.11, г значения элементов из табл. П.13г, можно получить прототип
рассчитываемого фильтра, изображённый на рис. 3.6.
7) Чтобы преобразовать прототип в полосно-пропускающий фильтр,
воспользуемся ф лами табл. П.10 В результате получается схема
рассчитываемого фильтра (рис. 3.7), все контуры которого должны иметь на средней
частоте добротность Qu=60,6
Теоретическая частотная характеристика затухания рассчитываемого
фильтра изображена на рис. 3.8. Здесь же кружочками показаны результаты
измерения рабочего затухания фильтра, изготовленного на катушках
индуктивности, добротность которых меняется по закону Q=Q0— , а крестиками —
tfo
результаты измерения затухания фильтра на катушках с Q = Qo=const.
122

QJ539 0,835 1,892 0,8253
-ПР 1—<ЧР-
п
±%7t5 ф
1 Т
J,7fS В /.55»
Рис. 3.6
1Б6,1мгн 10130пф 376,4нги№7<пф 164,2»ен IOZ50n^
L3 ^3
153,9ом L, С, ^ ^__
^5 С5
HZH 1 MlWnfo А\308600пф
7 Пф '
1000 ОМ
Рис. 3.7
а,мел
0.9
0,8
0,7
0,6
-f
1
4
>о
1
о
о
<
)
— ■■ ' ■'
U"
0'
о
-—ж—'
/о
)
3,4 3,6 3,8 *,0 4,2 /,кгц
Рис. 3.8
123

Из рис. 3.8 видно, что в полосе задерживания оба фильтра ведут себя
более или менее одинаково и дают затухания, почти совпадающие с
теоретическими. В полосе же пропускания фильтр на катушках с постоянной
величиной добротности даёт значительно более приемлемую частотную
характеристику рабочего затухания, чем фильтр на катушках с линейно
изменяющейся от частоты добротностью. Но на основании изготовления и испытания
всего двух макетов фильтров (по одному фильтру с каждым типом катушек)
весьма трудно установить, насколько один фильтр лучше другого и насколько
точно можно удовлетворить заданным требованиям к характеристике
затухания фильтра при использовании катушек с разными частотными
характеристиками добротности. В процессе такого макетирования на получаемые
характеристики фильтров могут оказать влияние неучитываемые и неконтро-
Т а б лица 3.2
Частота,
гц
3500
3575
3685
3880
4085
4215
4300
Затухание, неп

теоретическое
0,675
0,675
0,667
0,665
0,667
0,675
0,675
/
при Q=Q0—
/о
0,734
0,707
0,683
0,665
0,653
0,648
0,625
при Q = Q0
0,677
0,676
0,667
0,665
0,668
0,675
0,678
лируемые погрешности при
изготовлении и измерении
как отдельных элементов,
так и фильтра в целом.
Более строгое сравнение
характеристик фильтров, при
изготовлении которых
используются катушки
индуктивности с разными
частотными характеристиками
добротности, может быть
проведено, если использовать
методы анализа
электрических цепей. Рассчитанное
для нескольких частот
полосы пропускания рабочее
затухание фильтров,
собранных на двух указанных вы
ше типах катушек,
представлено в табл. 3.2.
Из табл. 3.2 видно, что катушки, имеющие плоскую частотную
характеристику добротности Q = Qo, действительно позволяют получить частотную
характеристику затухания фильтра, весьма близкую к теоретической, тогда
f
как катушки с характеристикой добротности Q = Q0 ~r~ без дополнительной
/о
коррекции не позволяют получить фильтр с характеристикой затухания,
близкой к теоретической. Таблица 3.2 и рис. 3.8 позволяют установить, что
отклонения рассчитанных характеристик фильтра от измеренных лежат в
пределах точности эксперимента.
Полученным выводам о влиянии частотных характеристик добротности
катушек на характеристики затухания фильтра можно дать физическое
истолкование. Действительно, если считать, что потери в катушках индуктивности
распределены так, как показано в табл. П.10, то тогда последовательно с
каждым последовательным контуром LC и параллельно каждому параллельному
контуру LC включаются постоянные активные сопротивления. Ввиду
симметричности полных сопротивлений получившихся контуров частотная
характеристика затухания собранного из таких контуров фильтра также должна
быть симметричной. Если же постоянные сопротивления включены
последовательно с катушками индуктивности (что имеет место при линейной
зависимости добротности катушек от частоты), то в последовательных контурах
получается полное соответствие с требуемым распределением потерь, а в.
параллельных контурах эквивалентное сопротивление потерь, включаемое
параллельно контуру, как это видно из рис. 3.2, меняется пропорционально
квадрату частоты. В результате нарушается симметрия сопротивлений потерь
в контурах фильтра, причём нарушение симметрии получается таким, что по
мере повышения частоты активные сопротивления в последовательных ветвях
124

схемы остаются неизменными, а в параллельных ветвях довольно
существенно растут. Это приводит к некоторому уменьшению затухания фильтра по
мере роста частоты, что и видно из рис. 3.8 и табл. 3.2. При плоской
частотной характеристике добротности катушек сопротивления потерь в
последовательных конторах возрастают пропорционально частоте, сопротивления
потерь, включаемые параллельно параллельным контурам, также растут
пропорционально частоте. В результате в определённом диапазоне частот
характеристика затухания фильтра оказывается почти симметричной
относительно его средней частоты.
Предположение о том, что катушки индуктивности с плоскими
частотными характеристиками добротности могут быть использованы в схемах по-
лосно-пропускающих фильтров, было проверено на ряде других фильтров и
можно считать, что оно оправдалось.
Полученные результаты позволяют высказать более общее
предположение о том, что приемлемые частотные
характеристики рабочего затухания полосно-пропускающего фильтра могут
быть получены при условии, если частотные характеристики
добротности последовательных контуров фильтра обратны
частотным характеристикам добротности параллельных контуров.
Иными словами, если частотная характеристика добротности
последовательного контура имеет вид
a = Qo(-^)m, (3.41)
то частотная характеристика добротности параллельного
контура должна иметь вид
Qp==Qo(i)"m (3*42)
Показатель степени т в этих выражениях может принимать,
вообще говоря, любые вещественные значения. Например,
если основным элементом последовательного контура, содержащим
потери, является катушка индуктивности, то в соответствии с
рис. 3.1 можно считать, что по мере повышения частоты
показатель степени т в соотношении (3.41) будет меняться от +1
до —1. Важно только иметь в виду, что по мере удаления
величины т от значения т= + 1 частотная характеристика рабочего
затухания фильтра будет всё более и более отклоняться от
теоретической характеристики, причём эти отклонения при
соблюдении соотношений (3.41) и (3.42) будут скорее всего
симметричны относительно средней частоты фильтра.
Для проверки последнего предположения определим,
например, на нескольких частотах полосы пропускания рабочее
затухание фильтра, схема которого изображена на рис. 3.7, при
условии, что частотные характеристики добротности его контуров
имеют следующий вид:
Qc = Qo(^-)"1; Qp = Qo(j-). (3.43)
125

Как следует из табл. П. 10, эти характеристики добротности
ещё больше отличаются от теоретических, чем плоские
характеристики. Результаты расчёта величин затухания для этого
случая представлены в табл. 3.3.
Приведенные в табл. 3.3
данные показывают, что даже
такое существенное
отклонение частотных характеристик
добротности контуров от
идеальных, какое приведено в
соотношении (3.43), может в
ряде случаев оказаться
приемлемым. Во всяком случае
частотная характеристика затухания
фильтра получается весьма
близкой к симметричной.
Для иллюстрации
зависимости возможных отклонений
экспериментальной частотной
характеристики затухания
фильтра от теоретической при
других величинах Да и амин
в табл. 3.4 приведены результаты расчёта рабочего затухания
фильтра, имеющего тот же класс и ту же полосу частот
пропускания, что и фильтр, схема которого изображена на рис. 3.7, но>
несколько отличающиеся
другие величины:
Да=^ 0,2 неп; о = 0,06;
а*вк = 1.826 неп.
Из табл. 3.3 и 3.4 видно, что
отклонения частотной
характеристики затухания фильтра от
теоретической характеристики
при использовании катушек с
существенно отличными от
идеальных частотными
характеристиками добротностей не
очень сильно зависят от вели-
Частота
гц
3500
3575
3685
3880
4085
4215
4300
Та
блица 3.3
Затухание, неп

теоретическое
0,675
0,675
0,667
0,665
0,667
0,675
0,675
при доброт -
ностях
контуров в
соответствии с
ф-лой (3.43)
0,684
0,681
0,668
0,665
0,669
0,678
0,688
чин Да и а,
Можно также
Частота
гц
3500
3575
3685
3880
4085
4215
4300
Т,
а б л иц а 3.4
Затухание, неп

теоретическое
2,026
2,026
1,884
1,826
1,884
2,026
2,026
при доброт-
ностях
контуров в
соответствии с
ф-лой (3.43)
2,038
2,024
1,886
1,826
J.884
2,033
2,049
сделать вывод, что чем
меньше допустимая величина Да у
фильтра, тем более жёсткие
требования должны быть 'предъявлены к частотным
характеристикам добротностей используемых в фильтре катушек индук-
гивности.
126

Полученные соотношения (3.41) и (3.42) позволяют в ряде
случаев существенно облегчить процесс подбора катушек
индуктивности, допуская более широкий диапазон изменения
частотных характеристик добротностей последовательных и
параллельных контуров полосно-пропускающего фильтра. Некоторое
упрощение выбора катушек получается также, если учесть, что
небольшие отклонения добротностей контуров от расчётной
величины почти не сказываются на частотных характеристиках
относительного затухания фильтра. Например, увеличение
добротностей всех последовательных резонансных контуров и
уменьшение добротностей всех параллельных контуров в фильтре,
затухание которого рассчитано в табл. 3.2, на 10% приводит к почти
постоянному на всех частотах изменению затухания этого
фильтра в сторону уменьшения па 0,02—0,03 неп, что в
большинстве случаев можно считать допустимым.
Для иллюстрации возможности практического подбора
катушек индуктивности с более или менее приемлемыми для
использования в фильтрах частотными характеристиками
добротности рассмотрим пример расчёта фильтра.
Пример 3.3
Требуется рассчитать полосно-пропускающий фильтр по следующим дач-
кым:
а) полоса эффективно пропускаемых частот от / = 14 900 гц до
Ар = 18 800 гц. В основной части полосы характеристика затухания
фильтра не должна отклоняться от плоской больше, чем на ±0,03 неп. На
крайних частотах полосы пропускания / и /ш допустимо увеличение
относительного затухания до а^ =0,35 неп;
б) на частотах ниже /_Hi=13 000 гц и выше fH = 22000 гц относительное
затухание фильтра должно быть не ниже ан =4,2 неп;
в) затухание фильтра на частотах полосы пропускания желательно иметь
возможно меньшим;
г) нагрузочные сопротивления с обеих сторон фильтра можно иметь в
пределах от 10 ом до 10 ком.
Расчёт полиномиального полосно-пропускающего фильтра будем вести в
обычной последовательности.
1. Выбираем величину неравномерности затухания в теоретической
полосе пропускания с некоторым запасом на возможную неточность подбора
величин добротностей контуров и на неточность получения частотных
характеристик добротностей Аа=0,05 неп.
2. Определяем, исходя из требований к величинам затухания а^ и ан , класс
фильтра п и теоретические частоты среза f_{ и /j. Для этого сначала
положим, что /_<р= /Lj и fv—fv Здесь f_t и /^представляют собой
ориентировочные теоретические частоты среза фильтра, которые нужно уточнить,
используя возможности, связанные с несколько большей величиной затухания
а по сравнению с неравномерностью затухания Да. Тогда по формуле из
табл. П.1 можно найти ориентировочные нормированные частоты границ
полосы задерживания фильтра
!нх~/_„i 21500—13000 п tn 1
о — ;—- = =2,18; —г—=0,459;
н[ bft 18 800—14 900 ^«i
127

/«2—/_„2 22 000—12 730 1
ft«2= Г7 ■ = 2,38; —г—= 0,421.
н2 А/, 3900 й«2
Ввиду небольшой разницы между величинами Qw и Qw можно будет
дальнейший расчёт вести на более жёсткие величины f_н и /н и считать,
что фильтр должен иметь симметричную частотную характеристику
затухания.
Принимая QH = QHl и ан =4,2 неп, найдём по графикам рис. 2.3d
ориентировочный класс фильтра по затуханию. Получается с большим избытком
по затуханию класс п = 5. Класс « = 4 намного не удовлетворяет требованию
к величине ан (примерно на 0,3 неп). Имея в виду, что сокращение числа
элементов в фильтре весьма желательно, рассмотрим возможность
получения от фильтра четвёртого класса необходимой величины ан. Для этого
используем возможность некоторого увеличения затухания на частотах /_в
и /9> и по кривой для п = 4 на рис. 2.3d находим, при какой величине Q =
=2 фильтр имеет затухание а =0,35 неп. Имеем
1 A/i
Q- = -sr=0'91-
Отсюда может быть определена минимально возможная ширина
теоретической полосы пропускания фильтра четвёртого класса
Д/1=0,91 ДДр =(18 800— 14 900)0,91=3550 гц
и теоретические частоты среза фильтра
/_! = 15050 гц; /х = 18 600 гц.
Посмотрим, какое же затухание может дать фильтр с п=4 и Да=0,05 неп
при Д/i =3550 гц. Нормированная частота границы полосы задерживания,
этого фильтра получается равной
bfH1 8500 1 Л „
ая = -^ = =2,39; — = 0,418.
Д/i 3500 QH
По графику рис. 2.3d получаем ан = 4,2 неп, чем и подтверждается
возможность использования в данном случае фильтра четвёртого класса.
3. Определяем возможные типы катушек индуктивности для данного
фильтра. Естественно, что при выборе катушек может быть много
различных вариантов, если число этих вариантов специально не ограничивать
какими-то вполне определёнными соображениями, например желанием
применить имеющиеся или используемые в других элементах разрабатываемого
устройства типы сердечников. Ввиду того, что для рассчитываемого фильтра
требуемый тип катушки индуктивности не был задан, рассмотрим
возможности использования в рассчитываемом фильтре катушек индуктивности на
оксиферовых сердечниках ОБ-20 с jj,=2000 и зазором 0,4 мм и на альсифе-
ровых сердечниках ВЧК-22-36Х25x0,38 (2 кольца). Измерение нескольких
катушек индуктивности, в которых применены указанные типы сердечников,
позволило определить возможные частотные характеристики добротности
катушек, представленные на рис. 3.9.
128

Сплошными линиями на этом рисунке изображены характеристики
добротности для катушек на сердечниках ВЧК-22, а пунктирными — на
сердечниках ОБ-20. Анализ полученных характеристик добротностей позволяет най-
60 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 6 8 10 12 U 16 18 20 22 f,KZU
Рис. 3.9
ти по крайней мере два возможных варианта реализации катушек
индуктивности, удовлетворяющих условиям (3.41) и (3.42):
а) использование для последовательных контуров фильтра катушек
индуктивности на сердечниках ОБ-20 с L=169 мгн, а для параллельных
контуров на сердечниках ВЧК-22 с L = 51 мгн. Этот вариант наиболее приемлем
с точки зрения приближения к оптимальным частотным характеристикам
добротностей контуров (1>т>0), но несколько неудачен из-за разных величин
Qa у последовательных и параллельных контуров, что затрудняет точное
определение минимального затухания фильтра амин\
б) использование для всех контуров фильтра катушек на сердечниках
ВЧК-22 с L = 40,8 мгн. В этом случае получается почти плоская
характеристика добротности и одинаковая величина Q0 для всех контуров (если,
конечно, удастся подобрать совершенно идентичные сердечники и одинаково
изготовить катушки). Недостаток этого варианта в несколько меньшей
величине добротности на средней частоте фильтра по сравнению с предыдущим
вариантом.
Нужно сразу же оговориться, что полученные выводы сделаны на
основании измерения катушек, изготовленных в единственном числе специально
для иллюстрации указанных выше положений. Для изготовления фильтра
необходимо после принятия ориентировочного решения о приемлемости
какого-то определённого типа катушки индуктивности изготовить несколько
таких катушек, чтобы получить уже усреднённые данные по характеристикам
добротности и убедиться, что эти усреднённые данные являются
приемлемыми. Для некоторых типов сердечников определение частотных характеристик
добротностей катушек индуктивности, необходимых при расчёте практических
фильтров, может быть осуществлено и расчётным путём, но это всё же не
снимает желательности проведения измерений добротностей. При
изготовлении одного фильтра можно, конечно, ограничиться простым выбором
наиболее подходящих катушек из нескольких изготовленных.
129

Возвращаясь к примеру расчёта и полагая, что приведенными
характеристиками добротности обладает по крайней мере несколько однотипных
катушек, можно оценить возможные варианты катушек индуктивности и
принять наиболее оптимальный вариант. Учитывая, что фильтр на катушках с
плоской частотной характеристикой добротности уже рассчитывался в
предыдущем примере, а также то, что вариант За должен дать несколько
меньшее затухание в полосе пропускания фильтра, выбираем для
дальнейшего расчёта вариант За.
Определяя по характеристикам рис. 3.9 для £=169 мгн и L = 51 мгн
величины добротности на средней частоте фильтра
/„ = ]/ f-\fx =1^15050-18600 = 16730 г^,
получаем для катушек последовательных контуров Qc=180, а для катушек
параллельных контуров Q^=156. Для расчёта берём, в соответствии с [3],
добротность
2QcQp 2180156
+ Qp 180 + 156
= 167,3,
хотя, как показал расчёт предыдущего фильтра, при этом получается
некоторое отклонение рассчитанной величины а мин от теоретической.
4. Величину потерь 6 находим по формуле из табл. П. 10
/о 16 730
5=—^— = -=0,0281.
Qo-A/i 167,3-3550
5. Примем схему прототипа, изображённую на рис. 1.11,6, и найдём её
элементы по табл. П.13в. Учитывая, что в табл. П.13в нет элементов
прототипа для 6 = 0,0281, можно либо увеличить потери в катушках
индуктивности до ближайшей большей величины, имеющейся в таблице (6 = 0,04), либо
применить интерполяцию.
Практически наиболее часто приходится пользоваться первым способом
и уменьшать добротности катушек индуктивности до требуемых величин,
вводя дополнительные сопротивления потерь. Второй способ менее удобен,
так как в ряде случаев для получения величин элементов прототипов из
имеющихся в табл. П.13 значений приходится прибегать к использованию
довольно сложных интерполяционных полиномов. В данном примере достаточно
ограничиться квадратичной интерполяцией или, что более наглядно и точно,
построением графиков для всех величин, имеющихся в табл. П.13в, вблизи
от точки 6 = 0,04. Полученные путём построения графиков значения
элементов прототипа при 6 = 0,0281 приведены на рис. 3.10. Величина clmuh для
6 = 0,0281 получается равной алгш=0,168 неп.
6. Определённые по формулам табл П. 10 величины элементов фильтра
приведены на рис. 3.11. При этом принято, что индуктивность L3 равна
требуемой величине 169 мгн, и отсюда определена величина нагрузочного
сопротивления фильтра. Действительно, по формуле из табл. П.10
I аз#2
3 ~ 2тсД/х
Выражая нагрузочное сопротивление Rz через величину индуктивности,
получаем
2-3,14-3550-0,169
Да = — = 2490 ом-
1,515
На рис. 3.11 видно, что остальные три индуктивности не имеют тех
значений, для которых были определены добротности и которые были приняты
как индуктивности катушек последовательных и параллельных контуров рас-
130

считываемого фильтра. Возникшая трудность может быть преодолена путём
использования автотрансформаторного включения катушек индуктивности в
параллельных контурах фильтра. Рассмотрим возможности такого преобра-
0,335
-CZD-
0,930
-/TV-
1,515
-» ' о 1——
~Jl,953
Щ
Рис. 3.10
зования на примере полученного фильтра. Проще всего привести величину
индуктивности катушки £4 к требуемой величине 51 мгн. Для этого необхо-
632 ом 103,1'мгн 873 пф
I, С,
2,57
мгн
169мгн 538пф
h с3\
^35200г1фЛ p^ffll
Рис. 3.11
димо увеличить индуктивность L4 до величины Z-4 =51 мгн, сделать у неё
отвод от требуемой по расчёту L4=3,9 мгн и уменьшить в k раз
L>4 51
k= — = =13,1
U 3,9
ёмкость конденсатора С4. Включение полученного таким образом контура в
схему фильтра производится по схеме рис. 3.12. На этом же рисунке
показан и первый этап преобразования схемы контура Ь2—С2) произведенный
аналогично преобразованию контура L4—С4.
832 ом 103,7 мгн 873 пф
169мгн 536 пф
2,57мгн\}51мгйГ 1770пф1^]51»гнП77о
^ 3.9мгн>-*—' пт
пф
2490,
ом
Рис. 3.12
Для получения требуемой величины индуктивности Zi придётся у
катушки /Сделать ещё один отвод, куда и следует подключить контур Lx—Сь Ин-
дуктивность между этим вторым отводом и началом катушки L2 должна
быть во столько же раз больше индуктивности между её первым отводом и
началом, во сколько раз требуется увеличить индуктивность Lb При гаком
подключении контура Ll — C[ не только меняются элементы Lx и С\ (Li уве-
131

личивается, а С{ во столько же раз уменьшается), но и во столько же раз
меняются (в данном случае увеличиваются) все сопротивления слева от
контура L j—Су Следовательно, сопротивление источника R\ также необходимо
увеличить в 1,624 раза. Получившаяся окончательная схема фильтра
изображена на рис. 3.13.
1352 ом 169мгн 536т)ф 169мгн 536 пф
L,
4,176 »?н
Hh
L3
2490ом
LfZ,57»2H
пф3,9»гн
1770лф
Рис. 3.13
а,неп
1.2
to
0,8
0,6
ОА
0,2
0,1
>
•
\
о
!
о
о/
о/
#
7J
/6 17
Рис. 3.14
18
/,кгц
Результаты экспериментальной проверки изготовленного фильтра и
сравнение полученной характеристики рабочего затухания с рассчитанной
теоретически для идеальных частотных характеристик добротностей контуров
приведены на рис. 3.14 и в табл. 3.5 В табл. 3.5 затухание рассчитано только
132

Частота,
гц
15 050
16 730
18 600
Затухание, неп
Iизготовлен-
теоретичес-
^ „ ного
кое ,
| фильтра
0,218
0,218
0,218
0,226
0,216
0,220
для трёх частот полосы пропускания, чтобы сравнить эти данные с
результатами эксперимента и с теоретической характеристикой. На рис. 3.14
изображена теоретическая характеристика затухания. Полученные
экспериментально величины затухания изображены кружочками, а рассчитанные исходя
из реальных элементов схемы отме-
чены крестиками. Таблица 3.5
Как видно из рис. 3.14, полученный
фильтр удовлетворяет предъявленным
к нему требованиям. Он имеет даже
несколько большее затухание на
частотах полосы задерживания, чем
должно быть теоретически.
Проверка показала, что такое расхождение
экспериментальной и теоретической
характеристик объясняется
неточностью использованных измерительных
приборов, вследствие чего величины
индуктивностей отводов в катушках L2 и Z,4 получились несколько меньше
теоретических.
Приведенный пример подтверждает возможность подбора
катушек с подходящими для использования в схемах полосно-
пропускающих фильтров частотными характеристиками доб-
ротностей. Вместе с тем, из эксперимента можно сделать
вывод о том, насколько сложно проверять теоретические
предположения и выводы, пользуясь изготовленным макетом фильтра.
Трудности заключаются в необходимости измерять и подгонять
одновременно несколько характеристик элементов фильтра.
Значительно проще оказывается в этом случае провести анализ
рассчитанной схемы фильтра и на основании этого анализа
судить о правильности или неправильности выдвинутого
теоретического предположения или вывода. А эксперимент необходимо
проводить, как правило, не для проверки правильности расчёта
элементов фильтра (для этого проще провести определение
элементов ещё раз другим вычислителем), а для установления путей,
реализации полученных в результате расчётов характеристик
отдельных элементов фильтра, для нахождения наилучшего
взаимного расположения этих элементов с целью устранения
взаимного влияния между ними и для решения других задач,
возникающих при практической реализации рассчитанного фильтра.
При изготовлении большого числа одинаковых фильтров
далеко не всегда удаётся достаточно просто обеспечить
идентичность частотных характеристик добротностей отдельных
элементов фильтра. Поэтому на практике более приемлемы расчёт
фильтра на несколько большие величины потерь, чем дают сами
элементы фильтра (в частности, катушки индуктивности), и
дальнейшее искусственное увеличение потерь в элементах до
расчётной величины путём введения дополнительных внешних
сопротивлений. При включении таких сопротивлений, очевидно,
нужно стремиться получить наиболее подходящие частотные
характеристики добротностей всех катушек индуктивности, чтобы
133

искажения частотной характеристики затухания фильтра,
вызванные неудачными характеристиками доброгностей катушек,
были, по возможности, сведены к минимуму.
Выше было показано, что наилучшими в этом смысле
являются катушки индуктивности, частотные характеристики
добротности которых удовлетворяют соотношениям (3.41) и (3.42),
где т=1. Но получение таких характеристик добротности
требует, как правило, значительного снижения добротности
исходных катушек. Например, для катушек, частотные
характеристики добротности которых изображены на рис. 3.9,
добротности в диапазоне сравнительно низких частот (до 14 кгц)
возрастают с ростом частоты и поэтому при использовании этих
катушек в параллельных контурах придётся довольно
существенно снижать их добротность при помощи внешних сопротивлений.
Значительно меньшее снижение исходной добротности катушек
требуется, если стремиться не к т=\, а к т = 0, т. е. к плоской
частотной характеристике добротности катушки индуктивности
в пределах полосы пропускания ППФ. При этом, в соответствии
с изложенным выше, придётся делать плоскими частотные
характеристики добротностей всех катушек, используемых в фильтре.
Прежде чем переходить непосредственно к получению
плоских частотных характеристик добротностей катушек,
целесообразно по имеющимся характеристикам определить ожидаемые
величины добротностей, которые можно будет иметь после
приведения всех характеристик к плоским. Такое предварительное
определение добротностей позволит рассчитать основные
параметры фильтра и оценить приемлемость его характеристик.
Может оказаться, например, что величины добротности катушек
индуктивности после приведения к плоским характеристикам
недостаточны для получения фильтра с требуемыми
характеристиками затухания или фильтр будет иметь недопустимо большое
затухание в полосе пропускания. Тогда придётся либо искать
другие катушки индуктивности для изготовления требуемого
фильтра, либо идти на компромисс между получением точных
частотных характеристик относительного затухания фильтра в
полосе пропускания и получением приемлемой величины
минимального затухания аМий.
Частотные характеристики добротностей реальных катушек
индуктивности в большинстве случаев могут быть достаточно
хорошо аппроксимированы в сравнительно широком диапазоне
частот характеристиками схем рис. 3.2, виг. Добротность
катушки для обеих схем получается примерно одинаковой и равной
Q = t l - = 1——, (3.44)
1 , 1
1Г + 7Г
Qr QR
r u>L
—гЛ-~
<*L R
134

где Qr — добротность, обусловленная последовательным
сопротивлением потерь г;
QR — добротность, обусловленная параллельным
сопротивлением потерь R.
Максимальное значение добротности
<ь~-т/т- , \*,„l (3-45)
2KfMaKcL
+
получается при частоте
'—-ёт- (3-46)
Приведение имеющейся частотной характеристики
добротности реальной катушки к такой характеристике, у которой
максимальное значение добротности имеет место на требуемой
частоте (например, на средней частоте фильтра), осуществляется
путём включения параллельно катушке или последовательно с
ней дополнительного сопротивления. Дополнительное
параллельное сопротивление придётся включать в том случае, если
максимальное значение добротности исходной катушки имеет место
на более высокой частоте, чем требуемая, а последовательное —
если максимальное значение добротности имеет место на частоте,
ниже требуемой. Возможную величину максимальной
добротности катушки Qq на средней частоте /о 'после введения
дополнительного сопротивления можно определить, если известны
добротности Qa и Qb исходной катушки на двух частотах f_x и fx,
расположенных симметрично относительно средней частоты
/0= ~l/~ f_xfx> Если приведение добротности к плоской
характеристике осуществляется для определения целесообразности или
возможности использования данной катушки индуктивности в
схеме полосно-пропускающего фильтра, то лучше брать
частоты f_% и fx ближе к теоретическим частотам среза фильтра
/_, и Д.
Пусть Qa — меньшая из двух добротностей, измеренных у
исходной катушки на частотах f_x и fx, a Qb — большая.
Кроме того, пусть f_x — нижняя, а /х — верхняя частоты
диапазона, в пределах которого желательно иметь возможно более
плоскую частотную характеристику добротности. Тогда отношение
максимально возможной добротности на средней частоте Q0,
которая может быть получена у данной катушки после
подключения к ней дополнительного последовательного или параллель-
135

ного сопротивления, к минимальной добротности Qa, которую
имеет исходная катушка без дополнительных сопротивлений на
одной из крайних частот, определяется из соотношения
-(1?)
Qa 2l/J=5[l-^.^ <3-47>
/-fe-l'-lft)
f-x
При изменении отношения -— в небольших пределах ве-
IX
личина — почти не меняется. Поэтому можно заранее рассчи-
тать и построить графики зависимости -^- от — . При этом вме-
Qa Qb
сто того, чтобы измерять добротность катушки на частотах /—1 и
fi, можно определить и подставить в выражение (3.47)
добротности Qa KQb измеренные на частотах f_x и /Л, отношение которых
заранее известно. Такие графики для нескольких значений—-^
IX '
вполне достаточных для практического использования,
представлены на рис. 3.15.
Определение на частоте /0 добротностей Q0r и QQR,
обусловленных сопротивлениями г и R, зависит от того, на какой
частоте f_x или fx измерена у исходной катушки добротность Qa.
Если меньшая добротность Qa исходной катушки измерена на
нижней частоте f_x До
Q0r = 2Q0, (3.48)
где Qo определяется из соотношения (3.47), и
Q0R = Qa _ У I* t • (3.49)
Л/~!=1(Ъа___Ь=Л
V \fx \$Ъ fz )
Если же Qa измерена на верхней частоте /_,., то
Q0R - 2Q0 (3.50)
136

1 —
Qor ■= Qa Г=
V 17 ( Qb fx)
(3.51)
Ввиду того что Q0R и Q0r в выражениях (3.49) и (3.51)
определяются по одной и той же формуле, можно построить гра-
йо/90
10
0.9
08
0.7
0.6
m
/-,//, «<W
f-x/h =0'\
Ulfx - °<\
K*lh--0<\
f-x Ih = 0,9
1
/
/
f
0,5
0.6
0,1 0,8
Рис. 3 15
0,9
Qa/Qi
фик зависимости
<?,
Or(R)
Qa f-x
0T — для нескольких величин
Qb fx
f-x
Целесообразно взять те же величины , что и на графике
fx
рис. 3.15. Полученные зависимости п от —- изображены
VOr(R) Qb
на рис. 3.16.
137

Имея добротности Q0r и Q0 , можно по формулам
= WoL Q = ^_ (3-52)
определить величины сопротивлений г и ^ входящих в состав
эквивалентной схемы исходной катушки. Те же сопротивления,
которые должны стоять в окончательной эквивалентной схеме ка-
Qa/Qor(fi)
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Qg/Qb
Рис. 3.16
тушки после подключения дополнительных сопротивлений, оп- -
ределяются из добротностей QQr и Qo#' полученных из (3.48)
и (3.50), где Q0 уже полагается равной окончательно
выбранной величине добротности катушек индуктивности фильтра на
его средней частоте. Видимо, эта величина Q0 будет равна
наименьшей из всех Q0, определённых для намеченных к
использованию в фильтре катушек из соотношения (3.47). Отсюда могут
быть определены дополнительные сопротивления, которые,
должны быть включены последовательно или параллельно катушкам.
Определим, например, на какие добротности катушек
можно будет вести расчёт фильтра, если желательно использовать
138

для него катушки на сердечниках ОБ-20 с индуктивностямч
Li=169 мгн и L2 = 39 мгн. Средняя частота рассчитываемого
фильтра /0=12 кгц и полоса пропускания его Afi=fi—f__x —
= 2000 гц. Частотные характеристики добротности исходных
катушек представлены на рис. 3.9.
Возьмём следующие три пары частот fx и fx, дающие
f-x
близкие к /_j и fi значения, но отношения которых
fx
равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7, и определим по графику
рис. 3.15 величины добротностей катушки Z>i = 169 мгн для
частоты /о. Полученные результаты сведены в табл. 3.6. Здесь же
даны величины —— и — .
Qbl Qax
Таблица 36
f-x
fx
0,9
0,8
0,7
f-x • гЧ
11390
10 740
10 050
fx, гц
12 640
13 400
14 330
Qax
146
141
134
Qbi
156
1 2
168
Qbi
0,936
0,87
0,798
Qoi
Qal
0,632
0,662
0,691
Qoi
92,2
93,2
92,5
Из табл. 3.6 видно, что для определения добротности Qoi
катушки L{ на частоте /0 нет необходимости жёстко связывать от-
f-x
ношение с отношением граничных частот рассчитываемого
IX
фильтра. Это же подтверждается и расчётом добротности Q0r
катушки L2 = 39 мгн для той же частоты и для тех же величин
f—x
—- в табл. 3.7.
fx
Таблица 3.7
f-x
fx
0,9
0,8
0,7
f-x - гЧ
11390
10 740
1ЭС50
fx> гЧ
12 640
13 400
14 330
Qa2
116
ПО
104
Qo2
127
132
139
Qa2
Qb2
0,913
0,832
0,748
Qo2
Qcn
0,56
0,60
0,635
Qo2
65,0
66,0
66,1
Из табл. 3.6 и 3.7 видно, что добротности обеих катушек
довольно существенно отличаются одна от другой. Если к
величинам Да и амт фильтра не предъявляется жёстких требова-
13Э

ний, то можно не обращать внимания на то, что добротности
разные, и вести расчёт на среднюю величину добротности,
равную
л = IQoiQo^ = _2_^L =77. (3.53)
Qoi + Po2 93 + 66
Если же необходимо возможно точнее контролировать
величины Да и амин, то следует уравнять добротности катушек,
уменьшив добротность катушки L\ до величины Qo = 66.
Определим для последнего варианта величины сопротивлений,
которые нужно добавить к катушкам, чтобы привести частотные
характеристики их добротности к одной и той же характеристике,
имеющей максимум на частоте /о= 12 кгц. Сначала найдём
сопротивления потерь катушек L\ и Ь2, рассчитанные 'по
измеренным характеристикам добротности. Для L\ из табл. (3.6) и
ф-л (3.48) и (3.52) получаем
Q0rl = 2Q0i =186,
г;«_^i_ = б^211о!1олб9_ = 685
Qon 186
f-x
а по графикам рис. 3.16 для отношения < , равного, <соответ-
IX
ственно, 0,9, 0,8, 0,7, имеем Q0R =811, 810, 837. Для расчёта
можно принять Q0 =810 и тю ф-ле (3.52) найти
R[ =6,28-12- 103- 0,169 -810= 10,3 Мом. Точно так же для L2
находим г2 =22,2 ом и R2 =4,4 Мом, Окончательные величины
сопротивлений, которые должны стоять в эквивалентных схемах
катушек индуктивности, определяем по ф-лам (3.48) (3.50) и
(3.52) при Q0 = 66
г'\ = 96,6 ом, r[' = 1,68 Мом,
г2 = 22,2 ом, R2 = 0,388 Мом.
Дополнительные сопротивления, которые должны быть
включены последовательно и параллельно > катушкам,
определяются следующим образом:
г[" =// — г\ = 96,6 — 68,5 = 28,1 ом,
R\r\' 10,3-1,68
Ri = -^-^тт = = 2,01 Мом,
Rx-Rx 8,62
r'2" = 0, R2"= 0,426 Мом.
Но

§ 3.7. Особенности расчёта узкополосных фильтров
В ряде практических случаев синтеза фильтров ставится
задача рассчитать фильтр, который должен пропускать
возможно более узкую полосу частот и обеспечивать требуемое
относительное затухание для частот, расположенных достаточно
далеко от полосы пропускания. В качестве примера можно
привести расчёты фильтров для выделения сигналов контрольных
частот или отдельных гармоник сигнала, имеющего достаточно
сложный спектр. Величина нормированной частоты границы
полосы задерживания для таких сравнительно узкополосных
фильтров может быть порядка пяти и более.
Как правило, для этих фильтров не требуется очень точно
контролировать частотную характеристику затухания в полосе
пропускания и достаточно ограничиться ориентировочной
оценкой ширины полосы пропускания. Получение же вполне
определённых наперёд заданных характеристик затухания
требуется весьма редко. Да и в этих редких случаях требования к
точности получения заданных затуханий на всех частотах полосы
пропускания бывают настолько низкие, что для расчёта фильтра
вполне можно задать только частоты среза, на которых
затухание на 0,35 неп (3 дб) или на 0,69 неп (6 дб) выше
минимального затухания фильтра, и указать на желательность
монотонного изменения затухания в пределах полосы пропускания.
Последнее требование часто просто подразумевается, поскольку оно
является целесообразным из чисто практических соображений,
вследствие возможности небольших изменений частот
настройки контуров фильтра под воздействием температуры и просто с
течением времени. При наличии таких изменений наилучшей
будет возможно более плоская характеристика затухания на
частотах вблизи средней частоты фильтра. Как будет показано ниже,
именно такие характеристики затухания и получаются при
расчёте узкополосных фильтров. Это не будут монотонные баттер-
вортовские характеристики затухания, но все-таки затухание
фильтра будет монотонно возрастать по мере отклонения
частоты от резонансной частоты контуров.
Рассмотрение соотношений (3.30) и (3.38), а также табл. П. J 3
и П.18, позволяет установить, что возможности реализации узьо-
полосных фильтров с наперёд заданными частотными
характеристиками относительного затухания, не зависящими от
величины потерь в элементах, ограничены максимально допустимыми
потерями. Этот вывод справедлив не только для приведенных
выше частных типов фильтров с чебышевскими и баттервортов-
скими характеристиками, но и для любых других типов
фильтров с определёнными, заранее заданными и физически
осуществимыми характеристиками относительного затухания.
Действительно, из соотношений (3.9) и (3.10) следует, что и при других
141

величинах коэффициентов а[ и Ь\ по мере роста потерь
в элементах фильтра обязательно наступает такой момент,
когда один из коэффициентов в выражении (3.12) становится
отрицательным и, следовательно, заданная частотная
характеристика затухания перестаёт быть осуществимой. Для устранения
этого препятствия, затрудняющего расчёт фильтра, наилучшее
решение состояло бы в том, чтобы найти такие исходные
характеристики рабочего коэффициента передачи, для которых
величины а\ и Ь\ имели бы меняющиеся при изменении потерь 6
значения. К этим коэффициентам а\ и Ь\ должны быть
предъявлены два требования: они должны обеспечить
получение возможно большего относительного затухания фильтра при
возможно меньшей величине минимального затухания и ни при
какой величине потерь б эти коэффициенты не должны быть
меньше значений, однозначно определяемых величиной б.
Общее решение поставленной задачи пока что не получено.
Частные же решения, основанные на выборе из какого-то
определённого числа типов фильтров наилучших с точки зрения
удовлетворения приведенных выше требований, по-видимому, могут
быть получены и использованы при расчётах. Например, для
полиномиальных фильтров, рассчитываемых без учёта потерь в
элементах и реализуемых на элементах с потерями, такой выбор-
может быть сделан достаточно однозначно.
Рассмотрим для начала фильтры с чебышевскими
характеристиками рабочего затухания. Применительно к этим фильтрам
найдём такие исходные величины неравномерности затухания
на частотах полосы пропускания и такие значения ширины
полосы пропускания, рассчитываемые без учёта потерь в
элементах фильтра, которые бы обеспечили после введения потерь в
элементы рассчитанного по этим исходным данным фильтра
получение возможно большей величины относительного затухания
на данной частоте при определённой величине минимального
затухания фильтра. Для решения этой задачи необходимо
рассмотреть те изменения частотных характеристик затухания,
рассчитанных без учёта потерь в элементах фильтров, которые
получаются после введения потерь в элементы.
Чтобы не вводить новых обозначений и новых терминов,
будем считать, что для данного случая относительное затухание а
равно превышению затухания на данной частоте фильтра над
затуханием^его на средней частоте полосы пропускания,
которое, в свою очередь, будем считать минимальным затуханием
фильтра амин. Строго говоря, такое предположение может быть
и "не совсем правильным. При достаточно малых величинах
потерь, вводимых в элементы фильтра, и больших неравномерностях
затухания в полосе пропускания исходного фильтра чётного
класса может быть, очевидно, такое положение, когда действи-
142

тельное минимальное затухание фильтра будет меньше
затухания на его средней частоте. Но для оптимальных решений,
которые будут получены ниже, фильтр с введёнными в элементы
потерями будет иметь минимальное затухание на средней частоте.
Найдём выражения для определения величины а и амин
прототипов после введения потерь в их элементы. Учитывая, что
для прототипа N(Q) = l u\ =щ и V\=V\, можно из выражения
(1.55) установить, что рабочий коэффициент передачи
прототипа S, рассчитанного без учёта потерь в его элементах,
пропорционален полиному щ + Vi. Коэффициент пропорциональности
YWdQ не зависит ни от нормированной частоты Q, ни от
величины вводимых в элементы прототипа потерь б. Поэтому, если
интересоваться для определения величины амин отношением
рабочих коэффициентов передачи прототипа с потерями в
элементах и прототипа без потерь, а для определения величины а —
отношением рабочих коэффициентов передачи при данной
нормированной частоте Q и при £2 = 0, то коэффициенты
пропорциональности сокращаются. Получается, что для определения
затуханий а и амин можно воспользоваться имеющимися
выражениями для полиномов U\-tV\. Подстановка р + б вместо р в
соотношения (2.33) и (2.34) даёт возможность найти полиномы
U\ + V\ прототипа с чебышевской характеристикой затухания
после введения потерь б в его элементы. Для нечётных классов
прототипов получается
п—\
u1 + v1 = (p+ Х0) П (Р2 + \ Р + PJ, (3-54)
v = l
где
8= 82 + 72 + 2 87 sin ^-^ тг + cos2 ^—- те,
а для чётных классов
п
И1 + 01 = ПС°2 + \Р+Р^ (3'55>
v=l
ГДе Xv и pv определяются аналогично предыдущему
соотношению.
143

Умножив полученные полиномы щ + Vi на сопряжённые
полиномы ti\—Vi, получим полиномы, пропорциональные
коэффициентам потерь мощности прототипов, соответственно нечётных
и чётных классов после введения потерь в их элементы
п—\
и] (i 2) - v\ (i Q) = (& + Xjj) П [24 + (^-2?v) Й2 + pj] > (3.56)
v = l
H?(i2)-rf(iQ) = П [^4+(^-2Pv)ft2+^J. (3.57)
v = l
Отсюда можно определить затухание амин прототипа для
^нечётных и чётных классов:
я—1
2 „
v = l
2 г
PvO
v = l
Здесь Да — неравномерность затухания прототипа без
потерь, а величины Аоо и Pv0 представляют собой ко и Pv из
соотношения (3.54), полученные при 6 = 0.
Величина относительного затухания а определяется из
соотношений (3.56) и (3.57) для нечётных и чётных п,
соответственно, в виде
а = — In -^—11 * -2 , (3.60)
1 Ло К
v = l
я^^^ (аи)
Рассмотрим полученные вофажения для затуханий амин и
а. Для начала можно отметить, что затухание амин растёт по
мере увеличения величины потерь б и становится равным беско-
144

нечности не при конечной величине потерь б, как у прототипов,
при расчёте которых требуется сохранять чебышевскую
характеристику затухания после введения потерь в элементы, а при
бесконечно большой величине потерь. Затухание а для
достаточно больших значений Q не остаётся неизменным с изменением
б а по мере роста величины б падает, поскольку знаменатели в
выражениях для затухания а растут при увеличении б быстрее,
чем числители. Для малых значений Q такое утверждение не
соответствует действительности.
На частотах глубокой полосы задерживания (й>1),
представляющих наибольший интерес для расчёта, можно в
числителях полученных выражений для а пренебречь всеми
членами кроме старших и тем самым получить приближённые
соотношения для а в виде
а = а' + а" = п In 9 + а\ (3.62)
где при нечётном значении п
га—1
а"=-1пХ0П К <3-63)
v= 1
а при чётном значении п
п
«" InftpV С3'64)
v = l
Из выражений (3.62) — (3.64) видно, чго на частотах,
достаточно далеко отстоящих от полосы пропускания, относительное
затухание прототипа с введёнными после расчёта элементов
потерями может быть разбито на два слагаемых, первое из
которых определяется только классом прототипа и частотой, на
которой определяется затухание, а второе зависит как от класса
прототипа, так и от вводимых в его элементы потерь. Ввиду того,
что одним из основных вопросов, который должен быть решён,
является определение путей получения возможно больших
величин затухания а, казалось бы на первый взгляд естественным
стремиться увеличить величину а" или, с учётом соотношения
(3.54), стремиться уменьшить величину y при расчёте исходного
прототипа без потерь.
Но если при этом желательно также получить возможно
меньшие величины затухания амин, то решение усложняется.
Действительно, из соотношений (3.54), (3 58) и (3.59) следует,
что для данной величины потерь б при уменьшении y затухание
.145

амт будет расти, поскольку величина числителя в выражении
для амин падает медленнее, чем уменьшается величина
знаменателя. Для чётных классов прототипов дело усложняется ещё
и тем, что при изменении величины y меняется соответственно и
неравномерность затухания Да. Всё это свидетельствует о
сложности нахождения оптимального решения.
Поскольку аналитическое решение задачи представляет
определённые трудности, рассмотрим приближённое её решение.
Для этого можно воспользоваться предварительно
рассчитанными по ф-лам (3.58), (3.59), (3 63) и (3.64) и построенными
графиками зависимости амин и а" от у и б. Примеры таких
графиков для прототипов классов л = 3 и я = 4 представлены на
рис. 3.17 и 3.18.
Из графиков можно найти ряд пар значений y и б, дающих
одну и ту же величину затухания амин. Для всех найденных
таким образам пар у и б можно по графикам рис. 3.17 и 3.18
найти соответствующие значения а". Принимая одну из пар
(любую) y и б в качестве основной, можно прототипы,
соответствующие другим парам значений y и б, сравнить с прототипом,
имеющим основную пару значений y и б. При сравнении нужно
учесть, что при изменении величины потерь б несколько
меняется и^начение нормированной частоты Q. Действительно, при
сравнении прототипов необходимо обращать внимание на то,
чтобы сравниваемые прототипы реализовывались на элементах
с одинаковой добротностью, а не с одинаковыми 'потерями.
Поэтому при наличии у двух сравниваемых прототипов разных
допустимых величин потерь необходимо пересчитать полосы
пропускания фильтров, чтобы их можно было реализовать на
элементах с одной и той же добротностью. Это изменение полос
пропускания может быть учтено дополнительной поправкой а"\
добавляемой к затуханию а сравниваемого прототипа:
а'" = п In — ,
где бо — потери в элементах прототипа, принятого в качестве
основного для сравнения с ним других прототипов по величине а,
а б, — потери у сравниваемого прототипа.
Лучшим можно считать тот прототип, у которого получается
большая величина а"-\-а'", поскольку затухание а' у всех
прототипов будет одинаковым (пересчёт величин Q учитывается
поправкой а'").
Введение поправки а'" прямо вытекает из рассмотрения
табл. П.10, откуда следует, что при одной и той же величине
добротности Q0 теоретическая полоса пропускания полосно-пропус-
кающего фильтра и его потери связаны соотношением
8 Д /2 = Q0 /0 = const.
*I46
(3.65)

а0,а','неп
-г —
-з—
У=0,5 ■
1=0,6 '
1=0,7
1=0,9
1=1,0 •
do
а"
>е? \
4v1
\^ х
х=о,и
Г =0,5
X=0,6
X =0,1
1 = 0,6
Х-0,9
1 = 1,0
S».
^
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 1,0
Рис. 3.17
И7

1
D
7
2
Од, а," нen
3
2
11=0,1'
У=0,6
X=Q,5
7=0,4
Jr*0,3
Г=0,2
j-0,2
11=0,3
У-0,4
У=0,5
У=0,7
'//
/ /
V
/
^\
\
/
<*0
4\a"
0.2
0,4 0;S
Рис 318
0,8
'.0
148

Получается, что при увеличении допустимой величины потерь
в прототипе придётся во столько же раз уменьшить ширину
полосы пропускания его. Если для расчёта задаётся вполне
определённая частота /„, начиная с которой должно быть обеспечено
требуемое затухание ан, то при уменьшении теоретической
полосы пропускания фильтра придётся во столько же раз увеличить
нормированную частоту границы полосы задерживания. Это и
учитывается вводимой поправкой а'".
Проиллюстрируем предлагаемый поряяок определения
оптимальных значений y и б для прототипов с чебышевскими
характеристиками затухания. Пусть, например, желательно найти
пару значений у и б для я = 4 и а мт= 1 неп, позволяющую
получить наибольшее затухание на частотах глубокой полосы
задерживания фильтра. Для определения этой пары находим по
графикам рис. 3.18 несколько пар значений у и б. дающих
амин = I неп. и соответствующие им значения а" Полученные
данные приведены в табл. 3 8 В этой же таблице приведены
результаты вычисления величин а!" и сумм а"+а'", полученных
в результате сравнения всех прототипов с прототипом, имеющим
Y = 0,2 и 6 = 0,21.
Таблица 3.8
№№
пп.
1
2
3
4
5
6
Т
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
5
0,21
0,275
0,315
0,347
0,378
0,407
а"
а'" == 4 In —
h
а" 4- a'"
неп
1,21
0,68
0,26
—0,13
—0,49
—0,83
0
1,08
1,62
2,01
2,35
2,65
1,21
1 ,76
1,88
1 ,88
1 ,86
1,82
Из табл 3.8 видно, что максимально возможные величины
относительного затухания для прототипов с исходными
чебышевскими характеристиками получаются при вполне
определённых величинах у и S. Использование неоптимальных пар
значений y и б может иногда существенно уменьшить величину
относительного затухания по сравнению с оптимальным случаем.
Вместе с тем, можно заметить, что небольшие отклонения от
оптимальных величин y и ^ приводят к несущественному
уменьшению относительного затухания прототипа.
Аналогично рассмо!ренному примеру могут быть
определены оптимальные группы значений у, б и а" для других классов
149

прототипов п и других величин допустимото минимального
затухания амин. Эти значения приведены в виде зависимостей
каждой из них от амин и п на рис. 3.19, 3.20 и 3.21,
соответственно. Необходимая для расчёта относительного затухания а
величина
а' — п In 2
приведена в виде зависимости от 1/Q на рис. 3.22.
Чт
tf
05 •
\
\
\
-
П=2
/
П=3
/
1
/
П=5
/
г
1мин
неп
FHC '6 14
Сравнение частотных характеристик затухания прототипов,
имеющих оптимальные величины у, б и а", с
характеристиками, полученными, если в качестве исходных взяты прототипы с
баттервортовскими характеристиками, показывает, что
прототипы с исходными чебышевскими характеристиками затухания при
оптимальных величинах v и б дают в полосе задерживания
несколько большие величины затухания а при одних и те\ же амин.
Например, для п = 5 это увеличение затухания достигает 0,6—
0,7 неп.
150

ь
%
П = 2
\
п=3
\
\
П =4
\
п=6
\
\
\ч
V
,
У
/
аниннеп
Рис. 3 20
♦ 7
-7
-Г
а" неп
— —
—
■
И
П* 2 П
z:
2
7^
L
-3 п
/-
-4 пшЗ
V
■
/
——«.
1
Рис. 3 21
2 амин,неп

Преимущества использования полученных зависимостей для
расчёта узкополосных фильтров могут быть
проиллюстрированы следующим примером расчёта.
а', неп
Рис. 3.22
Пример 3.4
Пусть требуется определить возможность реализации симметричного
узкополосного фильтра, рассчитываемого по следующим исходным данным:
а) пропускаемая частота /0=10 кгц. Фильтр предназначается для
выделения частоты от полосы пропускания фильтра затухание его возрастало;
поэтому ему не требуется предписывать какую-то вполне определённую
ширину полосы пропускания;
б) фильтр должен задерживать сигналы с частотами ниже /—н=9,5 кгц и
выше fH=\0,5 кгц;
в) относительное затухание фильтра на частотах полосы задерживания
не должно быть ниже ан =7 неп, причём желательно, чтобы по мере
удаления частоты от полосы пропускания фильтра затухание его возрастало;
г) минимальное затухание фильтра на частоте /0=10 кгц должно быть не
более а лшН= 1,0 неп;
д) добротность контуров, на которых желательно реализовать фильтр,
равна Q= 150 на частоте /о=Ю кгц.
Для начала попытаемся рассчитать фильтр по методике, изложенной в
предыдущем параграфе для полосно-пропускающих фильтров, считая, чго
частотные характеристики добротности имеющихся контуров наилучшим
образом удовлетворяют требованиям, выдвигаемым ППФ. В данном случае
такое допущение возможно, поскольку вообще никаких требований к
неравномерности частотной характеристики затухания рассчитываемого фильтра в
полосе пропускания не предъявляется. Определяя по кривым рис. 2.3
нормированные частоты границы полосы задерживания для разных классов
прототипов и разных величин неравномерности затухания Да, находим по
формулам табл. П.10 ширину теоретической полосы пропускания и потери, на
которые следует проводить расчёт прототипа. Сравнивая полученные таким
152

образом потери с максимально допустимыми для данных п и Да, можно
убедиться, что фильтры с чебышевскими характеристиками затухания,
удовлетворяющие изложенным выше требованиям, получить нельзя.
Попытаемся ещё рассчитать фильтры с монотонно возрастающими бат-
тервортовскими характеристиками затухания. Вычисления, проведенные так
же, как для фильтров с чебышевскими характеристиками на основании
кривых рис. 2.4 и формул табл. П. 10, позволяют сделать вывод, что такие
фильтры можно реализовать, начиная с пятого к пасса, если увеличить затухание-
фильтра на частоте /0=Ю кгц. Например, при п = Ъ фильтр может быть
реализован, если увеличить минимальное затухание его до алцч.= 2,68 неп.
И, наконец, попробуем провести расчёт, пользуясь полученной выше
методикой для расчёта узкополосных фильтров. Для этого по кривым рис. 3.20
и 3 21 найдём величины б и а" прототипов разных классов при амач = \ неп-
Далее, для каждого класса ППФ определим по формулам из табл. П.1 и П. 10
"'для известных б, Q и /\fH теоретическую полосу пропускания Afi и
нормированные частоты границ полос задерживания QH. По этим нормированным частотам-
из графиков рис. 3.22 определяем а' и, складывая а' и а", получаем искомую
величину относительного затухания а. Результаты вычислений для
нескольких классов прототипов приведены в табл. 3.9.
Таблица 3.9-
Класс
прототипа
2
3
4
5
о
0,85
0,46
0,34
0,25
а",
неп
— 1,06
—0,37
+0,05
+0,77
кгц
0,0784
0,145
0,196
0,267
1/Ан
0,080
0,148
0,20
0,272
а',
[ неп
5,1
5,75
6,4
6,5
а = а' + а",
неп
4,04
5,38
6,45
7,27
Приведенные в табл. 3.9 данные показывают, что предъявленным
требованиям удовлетворяет фильтр пятого класса. Теперь можно по графиками
рис. 3.19 найти для амин= 1 неп величину у и по формулам табл. П.4 и П.1
определить элементы прототипа и фильтра. Эта часть расчёта была уже
неоднократно проделана для других фильтров.
Конечно, при расчётах- практически требуемых фильтров нет
необходимости записывать для каждого класса прототипа промежуточные результаты,-
как это сделано в табл. 3.9. Можно сразу же после определения б найти-
последовательно Д/ь QH, а' и, добавив а", получить а.
^Представляет интерес сравнить число элементов фильтра с баттервортов-
ской ^характеристикой затухания при п = 5 и аман = 2,68 неп и фильтра,
который может быть рассчитан по графикам рис. 3.19—3.22 при а мин, равном
примерно 2,68 неп. Возьмём максимальную имеющуюся на графиках
величину амин =2,5 неп и посмотрим, какой класс фильтра может удовлетворить
тем же требованиям к величине а(а=7 неп). Испытание прототипа класса
"=3 даёт следующие величины: 6=1,05, Afi = 0,0635 кгц, 1/£2н = 0,0648,
а'=8,25 неп, а''=—1,15 неп, а=а'+а"=7,\ неп.
Видно, что расчёт узкополосных фильтров путём введения
потерь в элементы фильтров, рассчитанных без учёта потерь,
позволяет существенно сократить число элементов в сЬильгре или
реализовать его по таким высоким требованиям, которые
невозможно выполнить при желании получить вполне определённые
частотные характеристики затухания в полосе пропускания.
153;

а,нвп
/79
0,15 -
0,1
0.05 -
^
0
0.05 -
-
n=2
S =2,0
S =0,8
8 =(7,4
ч
S =0,2
S =o,i
\
\\
0 0,1 0,2 OJ 0A 0,5 0,6 0.7 0,8 0,9 Q
Рис. 3 23a
154

а,неп
П=2
8=0,1
8=ол
8=0,4
8=OJ8
N
8=2^0
\
II
1
/
д
I
//
/ 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1/q
Рис. 3.236
155

а.неп
OS
0,3
)
0,2
0,1
п=3
8 =1,0 -^
8=0А -ч.
8=0,2 -\
8 = 0,1 -^
^
О 0,1 0,2 0,3 Q4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Q
Рис 3 24а
156

о, «еп
п=3
6=9]
6=0.2
6=0,4
\
6=0,6
М*
6=ю
\
к ч
\
ч N
ч ч
} 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 -L
Рис 3 246
157

а.неп
0,5
DA
0,3
0,2
0,1
•oj
-
л=4
8-0,8
8 = >,o
6=0*
8=0,2
b«o,i
\
y
h
11
1
0 0,1 0,2 OJ 0,<* 0,5 0,6 0,7 0,8 Of ft
Рис. 3.25a
158

а.неп
6=0,1
д=у
V
8 = 0,4
8=0,8
<?=//?
\
Л = 4
\
/
/
У
/
1
1
1
г
7 0,9 0,8 0? 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 1/Q
Рис 3.256
159

а неп
0.7
0,6
ot
0,4
OJ
0.2
0.1
n=5
8=0,1
8=0,2
8 = 1,0
8=0,4
8 = 0,8
nJ
\
0 ' 0.1 0,2 0,3 Qtk 0,5 0,6 0,7 0,8 ^ 0,9 Q
Рис 3 26a
16a

а неп
п=5
8=0,1
3=0,2
8=0,4
6=о#
8=1,0
1
//
/
1
1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,U 03 0,2 0,1 1/q
Рис 3 2С6
161

В ряде случаев необходимо обеспечить прохождение »ерез
узкополосный фильтр полосы частот, причём требования к
характеристике затухания фильтра на частотах полосы
пропускания если и задаются, то только в виде допустимого превышения
затухания над минимальным на крайних частотах полосы
пропускания. В этом случае задача нахождения оптимального
решения, при котором фильтр данного класса пропускает возможно
более широкую полосу частот при заданном минимальном заг\-
хании на средней частоте полосы пропускания и заданном
затухании на определённых частотах полосы задерживания, ещё
более усложняется.
Чтобы найти решения, близкие к оптимальным, были
рассчитаны частотные характеристики относительного затухания для
ряда фильтров по ф-лам (3.60) и (3.61). Характеристики
определялись для данного класса фильтра при нескольких зна юниях
Y и б, причём для каждой выбранной величины амин подбирались
две 'пары значений у и б, чтобы получить у обоих этих фильтров
одно и то же значение затухания на средней частоте полосы
пропускания амиН и одну и ту же величину затухания а в глубокой
полосе задерживания. Лучшим из пары фильтров счигалсл тот,
который имел более широкую полосу пропускания. За полосу
пропускания принималась полоса частот, на границах которой
относительное затухание фильтра было равно 0,35неп. При ->гом
ширина полосы пропускания одного из сравниваемых фильтров
пересчитывалась по ф-ле (3.65).
В результате расчёта характеристик ряда фильтров
оказалось возможным сделать вывод о том, что в большинстве
случаев лучшие результаты дают фильтры, первоначальный расчёт
которых производился на большую величину неравномерности
затухания Да, чем это необходимо для получения оптимального
решения по пропусканию одной частоты. На рис. 3.23—3.2R
представлены такие, близкие к оптимальным, частотные
характеристики относительного затухания прототипов, рассчитанных
на неравномерность затухания Аа = 0;2 неп. Характеристики
даны для второго, третьего, четвёртого и пятого классов прототи^
пов.

~ ПРИЛОЖЕНИЕ
№
пп
Преобразование
частоты
прототип в
ФНЧ
а
U
ФВЧ
Таблица П.1
переводит
в элемент фильтра
ч
о—1|——о
о—||~~о
ь
^ 2xfx
С
"* 271/^2
С- 1
L- *' ■
* 2*/_|%.

Продолжение табл. П.1
пп
Преобразование
частоты
переводит
прототип в
элемент
прототипа
в элемент фильтра
Q=-
/2-Й
M/i-/_i)
ППФ
/?=/J_i=^Lx
Q -= 5
/2-/§
fo=fif- l =fxf-.
ПЗФ
о—IH-o
О—j|- О
iy £V
4а
mm/ Q W
О— f-o
5*
Су
чн
о—nh—1|—о
R*
L., =
. С =
2«(/i-f.!) v (2^0)2Lr
°v 2nR2(f1-Ll)' * (2«/o)aC^
-. L,
C. =
; ^ =:
2nav/?2(L!-/i) * (2n/o)aC
Z... =
#2
. cu
^ 2na^(f_l-tiy v- (2nf0)*L^

CQ
с
О)
..
а
<j
s
ex
с
f
~~
(M
о
Ю
о
,_
о
о
о
о_
о
—
о
о
(М
о
,
о
ю
о
о
о
(М
о
о
СП
ю
(М
-*
—
со
о
СП
со
~
со
ю
CN
(М
со
со
оо
о
со
ю
со
-*
со
-*
,—1
CN
о
-*
о
in
СП
-*
со
со
о
t^
ю
t^
СП
СП
(N
СП
t^
ю
•—'
-
'
со
СП
00
о
vO
о
со
со
-*
СП
со
о
^
CN
,_
CN
оо
о
со
t^
оо
ю
о
~
гп
ю
,_
-*
^н
00
t^
со
ю
CN
—'
-*
о
со
С-4
-*
—'
-*
г^
-*
t^
-ч
CN
-*
^ 1
(N
-*
CN
CN
t^
CN
CN
-*
оо
со
гп
со
о
СП
ю
Щ
-*
-*
о
СО
-*
о
CN
ю
о
Щ
со
-*
Ю
со
о
1—f
CN
СП
СП
со
о
Tf
ю
00
40
t^
о
Щ
1—1
ю
-*
оо
о
-*
ГМ
о
о
—'
гп
СП
CN
г^
f—1
~
г^
оо
CN
CN
-*
^ч
со
<—
-*
CN
CN
СП
CN
о
CN
1^
гп
сч
со
о
(->
-*
го
00
со
о
г^
со
г^
г^
-*
о
-*
t^
00
с~>
LO
о
CN
-*
гп
-*
ю
о
г^
СП
г^
о
со
о
гп
t^
,—1
t^
о
fN
СП
с~>
CN
оо
о
-*
t^
-*
г^
СП
о
-*
•^
со
CN
со
С-4
о
со
■—'
CN
со
CN
о
г^
•—'
■*
С1
со
о
-*
со
г^
г^
СО-
о
г^
CN
,—1
CD
-*
о
-*
-*
<м
го
•^
о
г^
СП
со
г^
-*
о
00
СП
-*
ю
ю
о
-*
со
ю
го
со
о
г^
СП
со
-*
t^
о
ю
"
-*
СО
го
гп
^
о
гп
со
г^
CN
о
CN
со
CN
1Г1
CN
о
о
со
CN
со
о
CN
оо
>—1
го
со
о
г^
г^
m
со
о
СО
CN
го
гп
со
о
CN
о
со
m
-*
о
гп
CN
о
CN
ю
о
^
СП
г^
о
со
о
СО
1П
-*
in
со
-4
о
о
CN
со
00
^
о
00
со
ш
CN
о
N-
ю
со
со
CN
о
оо
о
со
00
CN
о
_|
ю
-*
С1
со
о
_,
СП
-*
со
со
о
со
ю
г^
оо
со
о
-*
,_
-*
■<*
о
со
со
со
ю
о
о
CN
со
-*
-*
о
CN
t^
CN
со
^
о
оо
со
оо
оо
^
о
CN
со
CN
со
CN
о
m
СП
со
-*
<м
о
^
1П
Щ
со
CN
о
<м
ОО
,—1
СП
CN
о
-*
CN
t^
со
со
о
t^
CN
со
оо
со
о
со
см
Щ
-*
-*
о
оо
CQ
0,2
0,15
о
0,05
0,04
0,03
0,02
о
о
0,005
0,002
0,49182
0,349 86
0,22140
0,105 17
0,083 29
0,06184
0,040 81
0,020 20
0,01005
0,004 01
•<
165

Таблица П.З
Класс
прототипа
1
Формулы
для определения элементов прототипов с
характеристиками по Чебышеву
2 2
ui — > гх —
7 + 7i Ч (7 — 7i)
2
3
1,4142 2 1,4142
"2 ~ 7 + 7i "** а2 (72 + 7? + О ' '1 «i (7 — 7i)
1 2
*3~7 + 7i' "2~«з(72 + 7? + 771 + 0,75) '
2 N l
W1_«2(72 + 7?-77i + 0,75) ' ;i~ax(7-7i)
4
5
0,7654 1,4142
"4~7 + 7i ' a3~ «4(72 + 7?+1-4142TTl + 0,50) '
3,4142 1,4142
"* ~~ «з (72 + 7? + 1) ' -1 ~ «2 (72 + 7? ~ 1 -4142771 + 0,50) '
0,7654
ai (7 — 7i)
0,6180 1
a5_7 + 7i' *'~ «5 (72 + 7? + 1-61877! + 0,3455) '
i 3,2361
'* "*~ «4 (72 + 7? + 0,61877! + 0,9045) '
3,2361
"*~ «з(72+7? -0,61877! + 0,9045) '
1
П_ Н (72 + 7?-l-61877i + 0,3455) '
0,6180
ai (7 — 7i)
166

Продолжение табл. ПЗ
Формулы для определения элементов прототипов с
характеристиками по Чебышеву
0,51764 0,732 05
о» = ■ • ; а* =
7 + 71 ' "" «в(72+7? + 1.732Ш + 0,25) '
2,7321 3,7321
^(72 + 7?+77х + 0,75) ' 3 ~ а4 (72 + 7?+0 '
2,7321
°Г2 = «з(72 + 71-771 + 0,75) ;
0,732 05 0,517 64
: гЛ =
1 а2(72+7?-Ь732Л1 + 0,25) ' х *i (7 ~ 7i)
0,445 04
7 ~~ к
7 + 7i
а5— "
а4 _
о.
а3 —
0-1
а
Ч (f + 7
• О' + Т?
1(72 + 7?
0,554 96
7(7а + 7? + 1-8019Л1 + 0,
2,247
5 + 1,247771 + 0,61126) '
3,6039
+ 0,445 04771 + 0,950 48)
3,6039
— 0,445 0477i + 0,950 48)
2,247
188 25) '
«з О2+ 7?~ 1,247771 + 0,61126) '
0,554 96 0,445 04
1 «2(72 + 1* -l,801977i + 0,188 25)' х ах (Т - 7i)
0,39018 0,433 55
a„ =
7 + 7i ' ? ~ «в (Y2 + 7? + 1,847877i + 0,146 45) '
1,8478
Ч= a7(72 + 7?+Ь4142ТТ1 + 0,5) :
3,2620
ав'(72+7?+°'7654П1 + 0>853 55) '
167

4 S
Продолжение табл. П 3
Формулы для определения элементов прототипов с
- s характеристиками по Чебышеву
3,8478 3,2620
«5 {f+ Т?+ 0 ' «4 (т? + 7?-0,7654T7l + 0,853 55)
1,8478
0,433 55 0,390 18
Гл =
1 а2 (Г2 + 7?-1'847877г+ 0,146 45) ' х ах (7 - 7l)

Таблица П4
Формулы для определения элементов прототипов с
характеристиками по Чебышеву при aWUH=0
1
2
3
2
«1 = — , гх = \
У
1,4142 1,4142у 1,4142
а2 _ ; аг _= : гг -- -
Y Y + 1 axY
1 2Y
1 3 у \2 + 0,75 х
0,7654 1,8478у 3,4142
Y2 + 0,5' a3(f+l)
1,4142 0,7654
1 «2(y2 + 0,5) ' х уаг
0,6180 1,618т 2 (?2 +0,3455)
15 7 72 + 0,3455 7 ((2 +0.9045)
гх = 1
6
0,5176 >,4142г 2,732
6 7 72+0-25 а5(,2 + 0,75)
3,732 2,732 0,7320
"3_М72+1)' а2_«з([2 + 0,75)' Ul~a2(f +0,25) '
0,5176
'i —
Tf«i
7
я1
0,4450 1,2470т
7 7 72 + 0,1883
3,6039
d*~ а5 ((2 + 0,9505) '
0,39018 1,11114?
"*'~ т ' "7 ~72 +0,146 45 '
2,2470
\ OL-, — Ctc = i
3 5 ав(,» + 0,6113)
'1=1
1,8478
Ue_a7(T» + 0,5) '
3,2620 3,8478
ал =
а6(Т2 + 0,853 55) ' 4 о6(^+1)'
3,2620 1,8478 0,433 54
а4(Т2 + 0,853 55) ' 2 а3(72 + 0,5) ' Х a2(f + 0 ,146 45) '
0,390 18
г\ = —
14
169

Таблица П5
Формулы для определения элементов прототипов с
характеристиками по Чебышеву при гг=оо
1
2
3
1
ч = —
7
1
0,7071 1
2~ 7 ' Х ' «2(72 + 0,5)
0,6667 2
' "*~ «з(72+.0,25) ' а1_а2((2 + о,75)
0,3827
0,4142
1,7071
3 М72 + 0,1464) '
2,414
«з(72 + 0,5)
«а (72 + 0,8535)
0,3090
0,2764
1,236
о-ь =
«5 (72 +0,0955) ' «4(72 + 0,3455)
^2,342 2,618
«з(72 + 0,6545) ' * а2(72 +0,9045)
0,258 82
7
1,8660
«4(72 + 0,5);
0,19615
0,91070
а5 =
«в(72 + 0,066 99) '
2,7321
~аз(,2 + 0,75)''
ал =
4_а5(72 + 0,25) '
2,732
а2(72 +0,9328)
0,22252
0,14597
0,692 02
«т (72 +0,049 514)
1,4740
ов (7я+0,188 25)
2,3177
4 а5(72 +0,388 74) '
2,9841
«4 (72 + 0,61126) '
2,8014
«з(72 +0,81177) ' х а2(72 +0,9505)
0,195 09
0,11268
0,54121
1,1796
ав(72 + 0,038 06) '
1,9239
а5 =
а7(Т2 +0,146 45)
2,6422
а6(Т2 +0,308 65) a5(f +0,5) ' а4(т2 +0,691 36)
3,1543 2,8486
а2~ «з(72 + 0,8535) ' Ч= а2(72 +0,962 22Г

Таблица П6
6
м Тангенс рабочего фазового сдвига прототипов с частотными
о g характеристиками относительного затухания по Чебышеву
Q
1 —
Т
1,4142тА
Т2 -Ь 0,5 — £2а
(2Т2 4- 0 ,75) Q — ft3
Т3 4" 0,75т — 2fU«
(2,6131т34- 1,6892])^ —2,61317^3
74 + 72 + 0-125 — (3,4142т2 4" 1) ^2 + &4
(3,2361т4 4- 2.927172 4- 0.3125) О — (5.236172 4- 1,25)Q3 4~ Q5
75 4- 1.2573 4- 0,31257 — (5,2361т3 4" 2,92717) Q24~ 3,2361ffl4
(3 , £637-,5 4- 4,4761т3 4- 1 0069 ,) D — (9 , 1416т3 4- 4,47617) О3 4- ->
7е 4- 1 -574 4" 0,5625-j2 4- 0,031 25 — (7,4641т44" 6,0981т2 + -+
-+4-3.86377Q5
^4-0,5625)О24-(7,4641724- 1-5) О4— Пв
(4,4940т6 Ч- 6,3400т4 4- 2,1963т2 4- 0. Ю938) П — ->
Y7 4- 1 >75 [ъ 4- 0,875т3 4" 0,10938т — (10,0978т5 4- 10,8204т3 -f -
- — (14,5918т4 -f- 10,8204т2 4-0.8750) Q3 4-(Ю 097872 4- 1,75)Q5 — Q7
-> +2,1963т) Г.2 4-(14,5918т3 4-6,34007) «4 — 4,4940т2в
(5,1258т7 4- 8,5202т5 4- 3,9978т3 4- 0,46046т) П — ->
Т8 + 2^в 4- 1,25(4 4- 0,25т\4- 0,007812 —(13,1371тв4- -^
-> — (21,8462у5 4- 21,6968т3 4- 3,S978t) Q3 4- (21,8462т3 + -»-
-> 4- 17,399(4 4- 5,5696(2 4- 0,25) Q2 + (25,6884т4 + ->
+4-8,5202т) П5 — 5,1258tQ<
^4-17,399т2 + 1 -25) Й4 — (13,1371т2 4- 2,0) Пв + Й8

Таблица П.7
Формулы для определения элементов прототипов с частотными
характеристиками относительного затухания по Баттерворту
1
2
2 2
1 + т, «i (1 — Ъ)
1,4142 2 1,4142
"*- i + ^ ' "1_а3(1,НУ '1— в1'(1—т()
1 + fj' *з(1+1 + 12) ' «a(l-1 + V)
1
ai(l — fi)
0,7654 1,4142 3,4142
а4 = ~n— '■> аз =*—„ , , tttn—; ~ ; а2 =
l + l' a4(l + l,4142rj + r2) ' a3(l + Tja)'
1,4142 0,7654
*1_ а2 (1 — 1- 41421 + т) ' ri_ai(l— г-)
0,6180 1 ]__ ' 3,2361
"""" 1 + 1 ' *4= «5(1+ 1,618*1+ V) ' а3=а4(1-Ь 0,61801-1^2 f
3,2361 1 0,6180
a3n-0,6180<hNa) ' 1 а2 (1 — 1 ,618тГ+f) ' * ^(l —tj)
0,51764 0,73205 2,7321
ая =
1 + 1 ' ae(l + l,732f|>7i») ' аБ(1 + т, + г») '
_ 3,7321 2,7321
вз=а4(1 + 7,»): ва- «3(1-7,+ 7,») ;
0,732 05 0,517 64
аа(1_ 1,732*1 + 71») ' х aiO-T,)
0,445 04 0,554 96 2,247
1 + т! ат(1+1,8019ч+12) ' ae (1 fl ,247т)+т|») '
3 ,6039 3,6039
4 ~~ а5 (1 + 0,445 04т] + т;2) ' Яз = а4 (1 — 0,445 04т| + т,») '
2,247 0,554 96 0,445 04
о3(1 — 1 ,247т] + 7,2 ' а2(1_1 ,8019т)+ т;2) ' х ох (1 —tj)
172
0,390 18 0,433 55 1,8478
1+1 ' ? «8( 1 + 1,8478ti+7i2) ' 6 а7(1 + 1 ,4142*1+712) ' )
3,262 3,8478 3,262
а5 = —;. . Л———:—— ; а, =
«6(1+0,7654/1+712)' а5(1+У)' а4(1-0,7б54*]+т;2) '
1,8478 0,433 55 0,390 18
03(1—1.414271+7!») ' Я1 = а2( 1-1,8478*]+7;2) ; Н= ^(l —tj)

Таблица П8
5s
Величины элементов прототипов с частотными характеристиками
относительного затухания по Баттерворту при амин~0
: 1
а =2,0
ах = а2= 1,4142
3
4
5
6
7
dj =-а3 = 1 ,0; а2 = 2,0
ах = а4 = 0,7654; а2 = а3 = 1 ,848
Я1 = я5 = 0,6180; а2 = а4 = 1,6180; а3 = 2,0
а1 = ав =0,5176; о2 = о5 = 1,4142; а3 = а4 = 1,9319
ах = я7 = 0,4450; а2 = ав = 1,2470; а3 = а5 = 1,802; а4 = 2,0
х1 = а8 = 0,3902, аа= а7= 1,1111; а3 = <76 = 1 ,663, а4 = а5= 1,962

Таблица П9
Класс
прототипа
1
2
3
Тангенс рабочего фазового сдвига прототипов с частотными
характеристиками относительного затухания по Баттерворту
Q
1.4142Q
1-Q2
2.Q — Q3
1—2Q2
2.6131Q — 2.613Ш3
1—3,4142Q2 + «4
5
3.236Ш — 5,236Ш3 + &Д
1 — 5,2361Q2-j-3,2361Q4
3,8637fl — 9,1416Q^-f- 3,8637fl3
1 — 7 ,4641Q2 + 7,4641Q4 — Qe
4,4940Q—14,5318fl>+10,09783*—Q7
1— 10,0978Q2+ 14.5918Q4 — 4.4940Q6
5,1258Q — 21,8462Q3 + 21,8462QJ — 5 ,1258Q7
1 — 13,137 Ш2 + 25.6884Q*—13,1371Q6 + Q8

Таблица П 10
Преобразование
частоты
переводит
прототип в
элемент прототипа
в элементы фильтра
iQ,
■л i
i— +
О)!
ФИЧ с частотой.
s среза, cj,
С* 1|—
L\> а у
L.. =
«* Я2
R = а Ь R2,
Q _. при щ __ ш^
в
5
При О) = «Dj
iQr=i
где
Lf Cf ^v
L =
а. #2
1
0 ^v
Q =
"i "—i
1 <0„ <°0 ^
ш1 — °"~l
При О) = (i>0
Я„
(О r(l> = Wj<*>_. = (Bq
La
I &*
T-cz>
-HI—J
c.. =
L.. =
1
1 ©o
/?.
1
5 ш1'—»_i ">o
ПрИ «й = (i>o
L, G,

Продолжение табл. П. 10
пп
Преобразование
частоты
переводит
прототип в
элемент прототипа
в элементы фильтра
iQXr=- +
ФВЧ с чистотой
среза Q-1
v (D^.) av R2 ' v v
-l ^
l
Д|
Q = ■—- при to = co_j
(0, (O
iQ,
+ 5,
где
Симметричный
ПЗФ
с частотами
среза CJi и Ш-1
<di (jJo U-t (J
С, =
«v /?2 (Ю_1 —
1
L*e*02Cv ''
/?v = a S Я2
wl)
R*
> aii(o>_1-0)1)
1
G =—^~

Таблица ПЛ1
п
1
2
3
4
5
6
7
8
Формулы для Дъ Д2, . . . , Дп
Дг = -А\
Д1 = 2Л2 - А2; Д2 = Л2
Д1 = 2Л2-Л2; Д, = А2-2А1А3; Д3 = - Л|;
Д1 = 2Л2-Л2, Д2 = Л^ - 2ЛХЛ3 + 2Л4; Д3 = 2Л2Л4-Л^
Д^А]
Д1 = 2А2-А\, Д2 = Л2-2Л1Лз + 2Л4;
Д3=.2Л2Л4-Л|-2Л1Л5; Д4 = Л2-2Л3Л5; Д5 = _л|
Д1 = 2Л2 — А2, Д2 = А22—2А1АЭ + 2А^,
Дз = 2Л2Л4 — А\ — 2А1А5 + 2Л6; Д4 = А\ — 2Л3Л5 + 2Л2Л6;
Д5 = 2Л4ЛЙ-Л2; Дв = А26
Д1 = 2А2 — А\, Д2 = Л2-2Л1Л3 + 2Л4;
Дз = 2Л2Л4 — А\ - 2А1АЬ + 2Л6; Д^А2- 2Л3Л5 + 2Л2Л6 - 2А1А7;
Д5 = 2Л4Л6-Л2-2Л3Л7; Д6 = Л2-2Л5Л7; Д1^-А2
ДХ = 2А2~ А2, Д2 = А2 — 2А1А3 + 2А4;
Дз = 2Л2Л4 -А23~ 2А,А5 + 2ЛЙ; Д^ = А2- 2Л0Л5 -HL424e~2iM7+2A,
Д5 = 2Л4Л6 - Л| - 2Л3Л7 + 2Л2Л8; Д6=А2- 2Л5Л7 + 2Л4Л8;
Д7=2ЛСЛ8-Л2; Д8 =Л2

Таблица П.12
Величины для расчёта прототипов с характеристиками
по Чебышеву
Кла
1
2
3
4
5
6
7
8
"v
аи= 1.4142Y—2о
ах = у — 28
а1=0,765 367у—2и;
а2 = 1,847 759у—28
а1== 0,618 034у — 28;
а2 = 1,618 034у—2э
а1 = 0,517 638 0у —28;
а2 = 1,414 213 6у — 25;
а3= 1,9318516у—2i
at = 0,445 041 9y — 2S;
Og = 1,246 979 6y — 2i;
a3= 1,801937 7V — 21
a1 = 0,390 180 64Y —2,;
a2 = 1,111 140 46y — 21;
a3= 1,662 939 22y — 21;
a4= 1,961 570 54у —25
*v
fe1 = 0,5+y2 —8ai —52
61 = 0,75 + Y2 — s«i — £2
ftx = 0,853 553 + Y2 — 5 «l — 52;
b2 = 0,146 447 + y2 — 8 a2 — o2
&! = 0,904 508 + y2 — 5 «i — &2;
62 = 0,345 491 + y2 — 5 o2 — o2
^=0,933 012 7+y2— 8 a!—52;
Ь2 = 0,5 + У2~Ьа2 — Ь*;
b3 = 0,066 987 3+y2—о a3—82
bt = 0,950 484 4+Y2—5 at—o2;
62 = 0,611 260 5+Y2—ъa2—V;
b3 = 0,188 255 1+Y2—8 a3—o2
^=0,961 939 77+Y2—о «i— ^
62=0,691 341 72+у2~Ьа2—:2;
63=0,308 658 29+y2—s «з—Ья;
64 = 0,038 060 25+y2—S a4—:2
макс '
лаке = 1
5 = 0,7 V
BJ.e« = 0'5Y
»,«««= 0-38 Y
Ьмакс = °'*У
*макс=0'ЯУ
»..««= 0.22 Y
»ж««=<М«^

Таблица П. 13а
Данные прстстипсв клссса г=2 с характеристиками по
Чебышеву при минимально возможной величине амич
Д а = 0,01 нег
ь
а2
10^
«.мин, неп
0
0,809
6,097
1,327
0
0,1
0,881
5,603
1.572
0,03
0,2
0,966
5,110
1,890
0,18
0,3
1,069
4,616
2,316
0 28
0,4
1,197
4,123
2,903
0 39
0 5
1,359
3,630
3,745
0 52
0,6
1,573
3,136
5,018
0.66
0,7
1,867
2,643
7,062
0,84
0,8
2,296
2,149
10,68
1,04
0,9
2,980
1,656
18,0
1,31
Л а = 0 02 неп
8
а2
10 ■я1
амин, неп
0
0,994
6,653
1,494
0
0,1 0,2
1,103
5,992
1,842
0,10
1,239
5,330
2,327
0,22
0 25
1,322
5,000
2,645
0,30
0,3
1,416
4,670
3,033
0,35
0 4
1,650
4,003
4,115
0,51
0,5 0,6
1,975
3,347
5,903
0,6Э
2,462
2,686
9,166
0,91
0,7
3,265
2,025
16,13
1,19
0,8
4,849
1,363
35,59
1,58
Д а — 0 ,05 неп
8
а2
10-Я!
0
1,336
7,060
1,892
0
0,1
1,542
6,117
2,520
0,14
0,15
1,671
5,645
2,959
0,22
0,2
0,25
1,823 2,006
5,174 4,702
3.522 4,264
0,31 0.41
0,3
2,229
4,231
5,269
0,51
0,35
2,509
3,759
6,676
0,63
0,4
2,868
3,288
8,726
0,76
0,5
4,022
2,345
17,15
1,10
0,6
6,728
1,402
48,08
1,62
Д а = 0 ,1 неп
0
а2
10-3j
амин> неП
0
1,722
6,936
2,483
0,0
0,05
1,884
6,339
2,973
0,03
0,1
2,080
5,742
3,623
0,19
0,15
2,322
5,144
4,513
0,30
0,2
2,626
4,547
5,777
0,42
0,25
3,024
3,950
7,657
0,56
0,3
3,563
3,353
10,63
0,73
0,35
4,335
2,755
15,72
0,92
0,4
5,535
2,158
25,64
1,17
0,5
12,40
0,964
128,2
1,97
179

Продолжение табл. П.13а
ъ
а2
10.ffx
Г\
амин> неп
0
2,322
6,282
3,697
0
0,05
2,628
5,553
4,733
0,12
0,1
3,025
4,823
6,274
0,26
Да
-0,2
чеп
0,125 0,15 0,2
3,273
4,458
7,342
0,34
3,564
4.094
8,703
0,43
4,337
3,364
12,89
0,62
0,25 0,3
5,538 7,659
2,635 1,905
21,0
0,87
40,2
1,19
0,35
12,41
1,176
105,6
1,68
0,4
32,71
0,446
734
2,64
Таблица П. 136
Данные прототипов класса п=3 с характеристиками по
Чебышеву при минимально возможной величина амин
Д а = 0,01 неп
ь
ч
а2
10-Я!
Г\
амин> неп
0
0,02
0,05
0,1
0,15
0,998 0,898 0,884 J0.904 0,946
1,142
9,976
1,0
0
1,259
9,122
1,319
0,04
1,312
8,602
1,605
0,11
1 377
7,866
2,124
0,23
1,442
0,2
1,003
1,519
7,172 6,484
2,803 3,778
0,36 0,52
0,25
1,078
1,620
5,777
5,297
0,71
0,3
1,172
1,764
5,025
7,918
0,94
0,35 0,4
1,292
1,998
4,183
13,2
1,24
1,451
2,461
3,184
27,0
1,66
Д а = 0 ,02 неп
0,01
0,05 0,1
0,15 0,2
0,25 0,3
0,32 0,35
а3
°2
10-ах
Г\
амин, неп
1,183
1,154
11,83
1,0
0
1,090,1,059
1,263 1,368
10,74 19,569
1,254 1,752
0,02 ;о,1з
1,096
1,449
8,560
2,446
0,28
1,163
1,536
7,643
3,436
0,45
1,258
1,644
6,730
5,030
0,6?
1,384
1,804
5,751
7 981
0,92
1,554
2,087
4,644
14,66
1,27
1,639
2,278
4,131
1,791
2,762
3,247
20,16 37,59
1,45
1,83
Д а =0,05 неп
0
а3
а2
10аг
Г\
амин< неп
0
1,528
1,111
15,28
1,0
0
0,01
1,411
1,247
13,18
1,332
0,03
0,02
1,389
1,295
12,47
1,516
0,06
0,05 0.1
1,392 1,474
1,384
11,16
2,035
0,17
1,494
9,614
3,149
0,37
0,15
1,617
1,619
8,231
5,061
0,62
0,2
1,826
1,818
6,763
0 25
2,136
2,265
4,957
9,183 '22,27
0,96
1,47
0,3
0,32
2,634 2,929
4,402 13,70
2,285
151,5
2,59
0,696
2000
3,86
180

Продолжение табл. П. 136
Д а = 0 ,1 неп
ь
а3
«2
10- «!
Гх
амин> неп
0
1,921
1,020
19,21
1,0
0
0,01 0,02 0,05
1,775, 1,755
1,173
15,81
1,228
14,73
1,413 1,652
0,04
0,08
1,782
1,330
12,78
2,373
0,22
0,1 0,15 0,18 0,2
1,947)2,233
1,464
10,57
1,655
8,496
4,163 8,230
0,49
0,87
2,484) 2,703
1,867
7,056
14,41
1,19
2,Ш
5,903
23,87
1,48
0,23 0,25
3,147
3,198
3,628
83,33
2,14
3.60Э
7,302
1,492
625
2,82
Д а = 0,2 неп
о 0
а3
«2
10-«i
амин, неп
2,539
0,870
25,39
1,0
0
0,01
2,347
1,032
19,76
1,526
0,05
0,02
2,332
1,090
18,04
1,854
0,11
0,04
2,379
1,169
15,89
2,544
0,23
0,06 0,08
2,479
1,232
14,33
3,416
0,37
2,620
1,295
12,96
4,649
0,53
0,1 0,12
2,804
1,372
11,64
6,553
0,72
0,14
3,043 3,355
1,481 1,665
10,23 8,595
9,862'16,72
0,95 1,25
0,16
3,772
2,054
6,537
35,97
1,69
Таблица П.13в
Данные прототипов класса п=4 с характеристиками по
Чебышеву при минимально возможной величине амин
Д а = 0,01 неп
0
«4
«3
а2
10-7х
амин> »е«
0
1,075
1,305
1,734
8,100
1,327
0
0,01 0,02 ' 0,05 0,1
1 I I
0,892
1,421
1,619
9,252
1,547
0,04
0,858
1,443
1,617
9,256
1,757
0,08
0,836
1,483
1,646
8,741
2,467
0,21
0,867
1,551
1,740
7,518
4,346
0,48
0,15
0,935
1,639
1,924
6,085
8,64
0,84
0,2
1,039
1,760
2,382
4,309
23,8
1,39
0,23 1 0,25
1,126
1,862
3,196
2,917
66,7
1,94
1,198
1,951
4,973
1,737
227
2,60
0,27
1,286
2,071
36,68
0,215
20000
4,85
Д а = 0 ,02 неп
о 0
о4
«3
1,25Э
1,292
0,01
1,051
1,450
0,02
1,012
1,486
0,05
0,991
1,549
0,1 0,15
1,043! 1,153
1,639' 1,752
0,18
1,251
1,846
0,2
1,335
1,928
0,22 0,23
1,440
2,038
1,502
2,109
181

Продолжение табл. П.13в
ъ
ч
10-Я!
Г\
амин, неп
0
1,930
8,427
1,494
0
0,01
1,752
9,568
1,751
0,04
0,02 0,05
1.73Э
9,538
2,014
0,09
1,765
8,879
2,969
0,25
0,1
1,895
0,15
2,22
7,350 5,463
5,914 15,04
0,58
1,03
0,18
i
2,731
4,018
35,84
1,55
0,2
3,608
2,809
90,1
2,00
0,22
0,23
7,289 30,03
1,263
588
3,00
0.2Э0
12500
4,56
Д а = 0 05 нсп
ъ
«4
ff3
«2
10-Ct!
Г\
амин< неп
0
1,602
1,212
2,294
8,468
1,892
0
0,01
1,345
1,426
1,994
9,580
2,246
0,06
0,02
1,299
1,484
1,959
9,506
2,640
0,12
0,04
1,280
1,553
1 ,£62
8,969
3,630
0,25
0,05
1,300
1,605
2,009
8,254
5,068
0,41
0,08
1,342
1,654
2,094
7,436
7,342
0 59
0,1
0,12
1,403 1,483
.1,705 1,763
2,233
6,518
11,34
0,82
2,471
5,463
19,53
1,1
0,14
1,586
1,834
2,947
4,204
41,15
1,45
0,16
1,722
1,928
4,284
2,608
140,8
2,14
Д а = 0,1 неп
ъ
«4
«3
а2
10-7!
Г\
амин, неп
0
0,01
1.9S61 1,679
1,095
2,718
8,041
2,483
0
0,02
1,627
0,03
1,614
0 04
1,620
1,342 1,415 1,464 1,503
2,276 2,216
9,100 8,987
3,002
0,07
3,622
0,15
2,204, 2,217
8,697 8,325
4,386 5,350
0,23
0 32
0,06 0,08
1,668
1,567
2,300
7,424
1,754
1,626
2,474
\6,347
8,299 14,12
0 53
0,80
0,1
1,878
1,691
2,828
5,049
28,49
1,17
0,12
2,052
1 774
3,749
3,395
85,47
1,74
0,14
2,301
1,902
10,27
1,063
1250
3,11
Д а = 0,2 неп
0
а4
^з
Ч
10-Я!
Г\
Омин> неп
0
2,619
0,922
3,410
7,084
3,697
0
0,01
2,198
1,186
2,734
8,038
4 627
0,10
0,02 0,03
0 04
0,06
0,08
2,144 2,145 2,176! 2,303 2,519
1,269 1 325 1 369 1,441
2,643
7,865
5,651
0,20
2,632| 2 668
7,498
7,519
0,32
7,023
9,891
0,45
1,513
2,885 3,483
5,825 4,246
19,19 50,5
0,78
1,27
0,1
0,105
2,860'2,976
1,614 1,653
1
6,223 9,484
2,005 1,244
. 357
2,27
1064
2,83
0,11
3,103
1,699
30,41
0,364
14300
4,08

Таблица П.13
Данные прототипов класса п=5 с характеристиками по
Чебышеву при минимально возможной величине амин
Да = 0,002 неп
0
8,273
1,338
1,654
1,338
8,273
1,0
0
0,02
5,926
1,297
1,576
1,504
9,396
1,690
0,094
0,05 0,08
0,10
0,12
0,15
0,18
0,20
5,784
1,297
1,598
1,547
8,792
2,595
0,259
5,886
1,320
1,635
1,594
7,979
3,939
0,458
6,014
1,341
1,667
1,637
7,378
5,323
0,615
6,182
1,367
1,705
1,699
6,724
7,456
0,797
6,501
1,414
1,780,
1,859
5,598
13,85
1,141
6,913
1,472
1,888
2,232
4,176
33,8
1,637
7,253
1,518
1,990
2,912
2,927
88,7
2,162
Да = 0,005 неп
0
10-*6
а4
«3
а2
10 ■71
Г\
«ли«. неп
0
9,722
1,372
1,802
1,372
9,722
1,0
0
0,02
7,035
1,407
1,687
1,558
10,16
1,839
0,111
0,04
6,878
1,413
1,705
1,591
9,612
2,581
0,238
0,06
6.S22
1,430
1,734
1,624
8,953
3,577
0,386
0,08
7,060
1,453
1,771
1,668
8,230
5,048
0,558
0,10
7,268
1,482
1,818
1,732
7,434
7,43
0,762
0,12
7,537
1,517
1,878
1,836
6,532
11,76
1,013
0,14
7,-871
1,558
1,957
2,025
5,465
21,15
1,337
0,16
8,282
1,605
2,065
2,444
4,119
49,04
1,797
0,18
8,789
1,662
2,226
3,951
2,264
229
2,620
Д а = 0,01 неп
0
10-15
ч
аз
а2
10-?!
Г\
аиин> неп
0
11,14
1,374
1,942
1,374
11,14
1,0
0
0,01
8,485
1,473
0,02
0,04
8,122 7,955
1,480 1,497
1,782 1,780
1,552
11,11
1,586
0,061
1,581
10,82
1,988
0,127
1,803
1,619
10,08
2,927
0,276
0,06
0,08
0,10
1 1
8.0401 8,253 8,565
l,52ll 1,551
1,587
1,841 1,892 1,959
1,658, 1,715 1,809
9,258 8,35l] 7,321
4,283
0,453
6,498 10,64
0,664
0,928
0,12
8,975
1,630
2,052
1,930
6,082
20,12
1,276
0,14
0,16
9,500 10,17
1,681
2,186
2,434
4,462
51,7
1,788
1,743
2,398
4,550
2,070
388
2,824
из

Продолжение табл. П.13г
& а = 0,02 неп
0
Ю-аб
а2
10-Я!
й-мин, неп
0
12,96
1,347
2,122
1,347
12,96
1,0
0
0,01
9,952
1,509
1,898
1,547
12,11
1,630
0,071
0,02
9,526
1,533
1,892
1,582
11,61
2,187
0,149
0,04
9,360
1,565
1,919
1,625
10,61
3,425
0,328
0,06
9,521
1,598
1,971
1,674
9,552
5,417
0,545
0,08
9,866
1,635
2,046
1,753
8,364
9,208
0,820
0,10
10,37
1,680
2,154
1,915
6,922
18,23
1,191
0,12
11,05
1,732
2,321
2,356
4,960
52,4
1,761
0,13
11,47
1,763
2,444
2,994
3,610
126
2,227
0,14
11,97
1,798
2,613
5,432
1,808
672
3,096
Д а — 0,05 неп
0
а5
«3
а2
10-Я!
Г1
а мин, неп
0 0,005 0,01
1,638
1,251
2,470
1,251
16,38
1,0
0
1,334
1,449
2,162
1,439
14,51
1,544
0,044
1,268
1,497
2,117
1,483
13,90
1,881
0,091
0,02
1,216
1,546
2,097
1,528
13,00
2,579
0,191
0,04
1,205
1,603
2,135
1,581
11,46
4,564
0,431
0,06
1,245
1,650
2,227
1,652
9,880
8,606
0,746
0,08 0,09 0,10
1,318
1,697
2,382
1,817
7,907
20,16
1,199
1,369
1,723
2,500
2,014
6,598
37,2
1,527
1,431
1,752
2,663
2,481
4,874
91,9
2,010
0,11
1,507
1,784
2,906
4,474
2,397
552
2,943
Д а = 0,1 неп
0
а5
Ч
Ч
Ч
10-Я!
Г1
ин> неп
0
2,032
1,124
2,888
1,124
20,32
1,0
0
0,005 0,01
1,657
1,356
2,452
1,324
16,93
1,660
0,055
1,577
1,420
2,381
1,374
15,90
2,0Э7
0,113
0,02
1,51
1,490
2,346
1,425
14,50
3,064
0,242
0,04
1,524
1,565
2,409
1,490
12,30
6,337
0,566
0,05
1,560
1,593
2,482
1,533
11,16
9,625
0,776
0,06
1,611
1,618
2,587
1,607
9,848
15,97
1,041
0,07
1,680
1,643
2,738
1,761
8,197
31,25
1,398
0,08
1,770
1,669
2,966
2,180
5,902
87,8
1,946
0,09
1,887
1,697
3,342
4,931
2,230
1014
3,210
184

Продолжение табл. ПЛЗг
Д а = 0,2 неп
ъ
«5
«4
^З
«2
10 •«!
/"I
смин> неп
0
2,656
0,942
3,584
0,942
26,56
1,0
0
0,005 0,01 0,02
2,157
1,192
2,933
1,145
20,65
1,833
0,072
2,056
1,267
2,823
1,199
18,95
2,437
0,150
1,994
1,351
2,775
1,253
16,78
3,939
0,329
0,03
2,006
1,400
2,819
1,291
15,02
6,390
0,547
0,04
2,062
1,435
2,932
1,337
13,24
11,12
0,824
0,05
2,157
1,461
3,125
1,435
11,06
23,09
1,206
0,06
2,296
1,483
3,455
1,754
7,839
74,1
1,824
0,065 0,07
1
2,386
1,493
3,716
2,317
5,400
212
2,375
2,495
1,504
4,099
6,048
1,834
2700
3,673
Таблица П. 13д
Данные прототипов класса п=6 с характеристиками по
Чебышеву при минимально возможной величине амип
Да = 0,002 неп
0
10 сг6
«4
а3
а2
10-?!
амин> неп
0
8,514
1,388
1,759
1,550
1,575
7,502
1,135
0
0,01
5,946
1,310
1,624
1,668
1,600
10,02
1,644
0,068
0,02
5,720
1,292
1,617
1,684
1,615
9,954
2,090
0,143
0,04
5,636
1,290
1,626
1,712
1,642
9,344
3,201
0,315
0,06
5,710
1,306
1,648
1,746
1,681
8,530
4,935
0,522
0,08
5,866
1,331
1,679
1,790
1,748
7,580
8,05
0,778
0,10
6,084
1,364
1,719
1,851
1,874
6,447
14,75
1,107
0,12
6,367
1,405
1,770
1,940
2,163
4,998
34,36
1,570
0,13
6,535
1,429
1,801
2,004
2,484
4,072
63,3
1,901
0,14
6,726
1,455
1,837
2,087
3,194
2,930
155
2,377
Да = 0,005 неп
0
Ю-зв
«5
а4
«3
«2
10-aj
fl
амин> неп
0
9,948
1,413
1,894
1,551
1,726
8,144
1,222
0
0,01
7,029
1,413
1,729
1,710
1,674
10,53
1,801
0,079
0,02
6,746
1,402
1,723
1,734
1,683
10,38
2,362
0,168
0,03
6,662
1,402
1,723
1,753
1,694
10,02
3,029
0,266
0,04
6,660
1,408
1,739
1,772
1,710
9,582
3,879
0,375
0,06
6,788
1,432
1,771
1,818
1,762
8,548
6,585
0,634
0,08
7,038
1,466
1,815
1,881
1,868
7,292
12,53
0,973
0,10
7,390
1,509
1,875
1,978
2,132
5,643
30,94
1,462
0,11
7,610
1,535
1,912
2,050
2,446
4,553
60,4
1,821
0,12
7,863
1,563
1,957
2,151
3,224
3,149
168
2,362
185

Продошение табл ПЛЗд
ъ
10-7,
<*5
я4
«3
я2
10-71
Гх
<*иит пен
0
11,35
1,408
2,025
1,526
1,869
8,550
1,327
0
0,01
8,086
1,480
1,818
1,725
1,740
10,83
1,981
0,090
0,02
7,755
1,479
1,812
1,756
1,740
10,62
2,671
0,192
Д а =(
0,03
7,664
1,484
1,820
1,781
1,750
10,18
3,541
0,307
),01 неп
0,04
7,680
1,495
1,835
1,805
1,767
9,655
4,713
0,437
0,06
7,883
1,525
1,877
1,863
1,836
8,389
8,941
0,756
0,08
8,256
1,566
1,940
1,951
2,014
6,738
21,0
1,208
0,09
0,10 0,11
8,503 8,802
1,591
1,980
2,017
2,220
5,652
38,3
1,530
1,619
2,029
2,111
2,680
4,260
91,2
1,991
9,156
1,651
2,091
2,255
4,366
2,316
449
2,821
5
Ю -ч
аь
Ч
а3
72
10-Я!
Гх
амин, неп
0
13,16
1,374
2,197
1,471
2,053
8,811
1,494
0
0,01
9,457
1,526
1,925
1,714
1,823
11,01
2,253
0,105
0,02
9,051
1,539
1,917
1,757
1,812
10,71
Д а =
0,03
8,969
1,552
1,928
1,788
1,819
10,19
3,152 4,364
0,225
0,363
0,02 неп
0,04
9,019
1,568
1,948
1,818
1,839
9,551
0,06 0,07
9,355
1,606
2,010
1,896
1,946
9,614
1,623
2,052
1,954
2,075
7,939 6,876
6,139 13,93 24,1
0,522
0,933
1,226
0,03
9,961
1,656
2,106
2,035
2,340
5,548
50,8
1,621
0,09
10,38
1,685
2,174
2,163
3,117
3,683
170
2,254
0,095
10,62
1,701
2,216
2,258
4,413
2,407
506
2,817
д а = 0,05 неп
0
''б
аь
ai
а3
«2
10-зг
П
амин, неп
0
1,657
1,271
0,01
0,02
0,03
| '
1,200 1,149, 1,146
1,529
2,536 2,126
1,341
1,644
2,405 1,988
8,760 10,85
1,892 2,934
0
0,134
1,569 1,594
2,109' 2,127
1,706 1,747
1,953
10,45
4,370
0,291
1,957
9,783
6,62
0,478
0,04
1,159
1,618
2,160
1,792
1,995
8,890
10,60
0,707
0,05
0,06
0,065
1,192' 1,235 1,265
1,641 1,666
2,212i 2,230
1,678
0,07
0,075
1,297 1,335
1,691 1,705
2,326 2,378 2,440
1,845 1,925 l,98l] 2,059' 2,170
2,0S0, 2,291 2,509
7,820 6,360 5,438
18,84
0,999
41,2
1,406
70,9
1,688
2,953 4,227
4,253 2,699
150) 510
2,076
1 2,705
186

Продолжение табл П 133
А а = 0,1 неп
8
«6
я4
«3
«2
10-otj
/"I
О
2,051
1,133
2,951
1,189
2,824
8,263
2,483
0
0,005 0,01
1,570
1,406
2,434
1,466
2,232
10,17
3,163
0,030
1,489
1,464
2,370
1,530
2,195
10,26
4,002
0,168
0,02
1,434
1,525
2,345
1,604
2,134
9,777
6,46
0,372
0,03
1,435
1,563
2 371
1,662
2,145
8,891
11,12
0,629
0,04
1,479
1,587
2,441
1,719
2,231
7,709
22,03
0,972
0,045
1,509
1,599
2,487
1,759
2,329
6,928
34,36
1,198
0,05
1,546
1,610
2,545
1,812
2,510
5,963
60,3
1,488
0,055
1,590
1,621
2,615
1,889
2,899
4,703
132
1,890
0,06
1,643
1,632
2,704
2,009
4,098
2,948
491
2,562
^ а = 0,2 неп
0
*6
«4
"з
72
о мин, неп
0
2,677
0,951
3,647
0,986
3,517
7,242
3,697
0
0,005
2,026
1,254
2,865
1,281
2,674
9,027
4,867
0,106
0,01
1,931
1,324
2,777
1.3Е0
2,544
9,055
6,457
0,225
0 015 0,02
1,894
1,366
2,751
1,395
2,484
8,819
8,72}
0,360
1,890
1,394
2,761
1,429
2,434
8,420
12,20
0,517
0,025 0,03
1,901
1,417
2,788
1,455
2,476
7,876
17,84
0,702
1,931
1,434
2,837
1,502
2,532
7,177
28,05
0,929
0,035 0,04
1
1,981
1,444
2,913
1,545
2,653
6,278
50,0
1,221
2,043
1,454
3,011
1,614
2,974
5,050
112
1,631
0,045
2,127
1,459
3,149
1,728
4,015
3,232
440
2,326
Таблица П. 13е
Данные прототипов класса п=7 с характеристиками по
Чебышеву при минимально возможной величине амин
Да = 0,002 неп
ъ
10 77
ч
ч
а2
0
8,664
1,227
2,092
1,419
2,092
1,227
0,01
5,755
1,298
1,632
1,727
1,769
1,629
0,02
5,560
1,279
1,623
1,735
1,783
1,649
0,03 0,04
5,518
1,278
1,625
1,746
1,799
1,663
5,539
1,284
1,634
1,759
1,820
1,681
0,06
5,687
1,310
1,663
1,794
1,876
1,749
0,07
5,801
1,328
1,682
1,816
1,918
1,815
0,08 0,09
5,940
1,349
1,705
1,842
1,973
1,931
6,103
1,373
1,731
1,873
2,050
2,162
0,10
6,295
1,400
1,762
1,912
2,164
2,756
187

Продолжение табл. ПЛЗе
ъ
10-Я!
амии> неп
0
8,664
1,0
0
0,01
10,82
1,846
0,095
0,02
10,57
2,559
0,205
0,03
10,12
3,459
0,329
0,04
9,572
4,691
0,470
0,06
8,272
9,31
0,820
0,07
7,477
14,16
1,045
0,08
6,534
23,70
1,325
0,09
5,354
47,0
1,696
0,10
3,772
134
2,256
Да = 0,005 неп
ъ
10-я7
а6
«5
«4
аз
«2
10-Я!
амин, неп
0
10,09
1,437
1,941
1,622
1,941
1,437
10,09
1,0
0
0,01
6,771
1,403
1,734
1,770
1,832
1,656
11,46
2,003
0,111
0,02
6,530
1,390
1,726
1,787
1,846
1,675
11,06
2.90Э
0,240
0,03
6,488
1,393
1,732
1,803
1,866
1,691
10,47
4,137
0,339
0,04
6,531
1,403
1,745
1,821
1,892
1,713
9,778
5,97
0,564
0,05
6,628
1,418
1,763
1,842
1,928
1,750
8,985
8,98
0,770
•0,06
6,770
1,438
1,786
1,867
1,977
1,814
8,058
14,52
1,024
0,07
6,952
1,461
1,813
1,898
2,046
1,942
6,907
26,74
1,352
0,03
7,178
1,488
1,845
1,937
2,151
2,241
5,376
63,7
1,817
0,035
7,303
1,503
1,864
1,960
2,226
2,589
4,356
120
2,154
Д а = 0,01 неп
0
10-а7
а5
°4
аз
«2
10 -ах
амин, неп
0
11,48
1,428
2,067
1,534
2,067
1,428
11,48
1,0
0
0,01
7,743
1,473
1,817
1,786
1,888
1,666
12,01
2,161
0,127
0,02
7,480
1,469
1,812
1,811
1,900
1,683
11,46
3,285
0,276
0,03
7,447
1,476
1,822
1,833
1,924
1,699
10,74
4,927
0,452
0,04
7,518
1,490
1,839
1,856
1,958
1,727
9,878
7,63
0,664
0,05
7,667
1,510
1,863
1,883
2,009
1,779
8,870
12,72
0,927
0,06 0,07
7,883
1,533
1,894
1,916
2,034
1,888
7,610
24,4
1,273
8,164
1,562
1,932
1,959
2,206
2,172
5,863
63,0
1,778
0,075 0,08
8,332
1,578
1,954
1,986
2,298
2,535
4,652
130
2,160
8,520
1,595
1,980
2,018
2,429
3,526
3,041
416
2,764
188

Продолжение табл. П.13е
Да = 0,02 неп
0
Ю-7,
а„
«5
а4
Ъ
я2
10-ях
«лгя«' неп
0
13,29
1,320
2,235
1,518
2,235
1,390
13,29
1,0
0
0,005
9,409
1,523
1,934
1,754
1,968
1,638
12,90
1,790
0,070
0,01
9,047
1,526
1,920
1,779
1,961
1,650
12,73
2,370
0,148
0,02
8,721
1,535
1,913
1,816
1,969
1,670
11,95
3,828
0,325
0,03
8,707
1,559
1,927
1,845
1,998
1,689
11,03
6,189
0,540
0,04
8,842
1,568
1,952
1,874
2,048
1,725
9,937
10,70
0,812
0,05
9,071
1,591
1,985
1,910
2,128
1,816
8,507
21,47
1,174
0,06
9,438
1,619
2,032
1,957
2,270
2,065
6,535
60,5
1,722
0,065
9,649
1,635
2,060
1,987
2,385
2,441
5,044
139
2,157
0,07
9,906
1,652
2,093
2,025
2,561
3,713
2,J948
600
2,916
Да = 0,05 неп
0
з7
аъ
амин> неп
0
1,669
1,282
2,569
1,373
2,569
1,282
16,6Э
1,0
0
0,005
1,217
1,510
2,154
1,659
2,154
1,542
14,76
1,987
0,089
0,01
1,132
1,548
2,096
1,725
2,103
1,535
13,84
2,783
0,188
0,015
1,115
1,562
2,094
1,749
2,104
1,600
13,39
3,761
0,299
0,02
1,107
1,575
2,098
1,772
2,113
1,606
12,82
5,06
0,424
0,03
1,108
1,601
2,116
1,816
2,157
1,643
11,32
9,71
0,730
0,04
1,145
1,625
2,166
1,856
2,262
1,708
9,636
22,75
1,166
0,045 0,05
1,168
1,638
2,196
1,883
2,349
1,811
8,360
41,2
1,476
1,201
1,651
2,237
1,914
2,486
2,043
6,686
95,3
1,917
0,055
1,238
1,666
2,284
1,957
2,713
2,941
4,019
436
2,699
Да = 0,1 неп
ь
я7
«6
а5
^4
<?з
«2
0
2,063
1,145
2,982
1,212
2,982
1,145
0,005
1,497
1,433
2,395
1,541
2,373
1,433
0,01
1,419
1,490
2,337
1,606
2,312
1,470
0,015
1,362
1,534
2,294
1,665
2,277
1,516
0,02
1,370
1,547
2,313
1,685
2,302
1,513
0,025
1,386
1,560
2,339
1,706
2,342
1,518
0,03
1,406
1,574
2,367
1,732
2,403
1,547
0,035
1,443
1,584
2,413
1,756
2,508
1,603
0,04
1,481
1,596
2,462
1,794
2,676
1,803
0,045
1,537
1,606
2,532
1,842
3,010
2,828
189

Продолжение табл. ПАЗе
ъ
10-Я!
амин> неп
0
20,63
1,0
0
0,005
16,60
2,211
0,111
0,01
15,57
3,298
0,237
0,015
14,22
4,773
0,382
0,02
13,59
6,99
0,551
0,025
12,76
10,68
0,754
0,03
11,62
17,67
1,007
0,035
10,24
33,77
1,342
0,04
8,018
87,7
1,838
0,045
4,234
605
2,831
Да = 0,2 неп
10-5
°7
«6
«5
«4
?3
°2
10-Й!
Ч
аМин, неп
0
2,690
0,957
3,678
1,002
3,678
0,957
23,90
1,0
0
0,025
2,064
1,221
2,937
1,275
2,898
1,197
21,05
1,898
0,071
0,05
1,929
1,295
2,798
1,355
2,750
1,258
19,48
2,57
0,147
0,1
1,847
1,355
2,729
1,422
2,671
1,290
17,98
4,23
0,320
0,15
1,816
1,395
2,708
1,471
2,654
1,311
16,52
6,93
0,530
0,2
1,820
1,422
2,721
1,510
2,691
1,330
14,97
12,14
0,796
0,25
1,860
1,436
2,774
1,541
2,800
1,360
13,19
24,76
1,155
0,3
1,922
1,444
2,852
1,577
3,022
1,490
10,36
73,1
1,713
0,325
1,964
1,447
2,906
1,600
3,225
1,717
8,076
180
2,175
0,35
2,015
1,447
2,971
1,631
3,562
2,6 2
4,439
1013
3,036
Таблица П. 13 ж
Данные прототипов класса п=8 с характеристиками по
Чебышеву при минимально возможной величине ачан
Аа=-- 0,002 неп
о ° °'005 °'01
10-*8
«6
«5
«4
а3
«2
10-Я!
?1
0-мин, неп
8,764
1,435
1,844
1,632
1,909
1,625
1,629
7,721
1,135
0
5,822
1,306
1,645
1,747
1,821
1,775
1,686
11,02
1,69
0,061
5,579
1,281
1,627
1,746
1,822
1,790
1,695
11,11
2,16
0,129
0,02
5,438
1,267
1,619
1,752
1,832
1,811
1,704
10,74
3,28
0,232
0,03
5,431
1,270
1,625
1,762
1,847
1,834
1,718
10,10
4,94
0,463
0,04
5,489
1,281
1,638
1,776
1,867
1,864
1,746
9,307
7,67
0,680
0 05
5,590
1,298
1,655
1,794
1,892
1,905
1,800
8,357
12,8
0,948
0,03 0,07 0,08
5,730
1,320
1,678
1,815
1,926
1,967
1,912
7,166
24,6
1,2Э7
5,904
1,347
1,705
1,841
1,970
2,068
2,193
5,533
62,7
1,799
6,122
1,379
1,73]
1,873
2,032
2,252
3,442
2,989
378
2,739
190

Продолжение табл П 13ж
ь
10 -а8
а7
аб
а5
ai
аз
Ч
10-0!
'1
«кии. "е"
0
10,18
1,452
1,968
1,657
2,025
1,610
1,774
8,333
1,222
0
0,005
6,858
1,408
1,744
1,784
1,881
1,791
1,740
11,43
0,01
6,543
1,388
1,736
1,791
1,881
1,810
1,742
11,47
1.835 2,41
0,071
0,150
Ла =
0,02
6,369
1,378
3,005 неп
0,03
6,372
1,385
1,731, 1,730
1,804 1,819
1,893
1,836
1,745
1,913
1,866
1,762
10,97 10,16
3,88
0,332
6,32
0,553
0,04
6,472
1,401
1,748
1,838
1,941
1,906
1,800
9,166
11,0
0,831
0,05
6,635
1,434
1,772
1,861
1,979
1,970
1,893
7,868
22,25
1,201
0,06
6,860
1,452
1,803
1,889
2,033
2,082
2,163
6,011
62,9
1,753
0,065
6,993
1,469
1,822
1,907
2,069
2,175
2,548
4,659
143
2,186
0,07
J.149
1,488
1,842
1,926
2,115
2,318
3,805
2,777
598
2,924
Д а = 0,01 неп
0,005
0,01
0,015
0,02
0,03
0,04
0,05
0,055 0,06
10-а8
0.-2
аа
<*5
а4
а3
а2
10аг
'l
**мин> неп
11,57
1,440
2,0Э0
1,613
2,142
1,575
1,912
8,715
1,328
0
7,932
1,476
1,833
1,793
1,940
1,785
1,791
11,69
2,006
0,031
,471
,461
,807
,811
,933
,813
,787
,64
,70
,171
7,276
1,455
1,799
1,822
1,936
1,832
1,789
11,30
3,53
0,271
7,284
1,459
1,805
1,831
1,947
1,844
1,783
11,05
4,62
0,383
7,303
1,470
1,818
1,851
1,972
1,881
1,802
10,07
8,17
0,650
7,452
1,490
1,841
1,874
2,010
1,936
1,862
8,794
16,4
1,004
7.718
1,519
1,875
1,903
2,068
2,035
2,036
7,029
44,4
7,866
1,535
1,894
1,920
2,107
2,122
2,296
5,671
95,0
1,527 1,926
8,065
1,554
1,918
1,940
2,160
2,260
3,040
3,795
327
2,568
0
10-я8
а7
аь
а5
а4
0
13,37
1,400
2,256
1,541
2,302
0,005
9,242
1,521
1,935
1,778
2,015
0,01
8,736
1,521
1,908
1,808
2,002
Д а = (
0,015
8,540
1,523
1,901
1,825
2,005
),02 неп
0,02
8,479
1,528
1,903
1.839
2,015
0,03
8,553
1,546
1,922
1,865
2,050
0 035
8,667
1,558
1,937
1,879
2,075
0,04
8,807
1,571
1,956
1,894
2,108
0,045
8,989
1,587
1,978
1,912
2,152
0 05
9,218
1,604
2,005
1,932
2 210
191

ЮООЮ^-СО^-Ю^-Ю
*. Си ОО (О О (О Ь и- О
Оо ^ СЛ О СО Ю СО СЛ -si
СОмМОоООИШО^
о со
о ~
Ю м- Ю м- КЗ м- н-
Оз Ю ОТ
СО СО О
О) со
|^ СП 4^. 4^ ОТ
о
148
о
со
со
ю
4*.
о
СО
4>-
О
ю
220
ю
—
545
-
ю
392
ю
1—
577
-
ю
341
ю
н- 1-
456
- N.
со о)
ел ►—
00 00
СО 4^- СО
остзою^-ю^-ю^-^-
00 н- CD СО
со со о со
О -si О)
О) со сл со
4>- О О CD
ОсООЮ^-Ю^-Ю>— н-
ОТ -s) Ю О CD СО
СО CD 00 СО СЛ Ю
CD Ю СЛ СО
CD Ю СЛ СО
Л Ч 4^ Ю
СЛ 00 О СО
о
807
■vi
о
со
510
ю
0Э2
—
689
ю
353
—
718
ю
,293
—
556
>—
334
^-сооою^-ю^-ю^^-
MS)*
со со н-
-s) 00 Ю
ч оз сл
СО N3 CD
Ч ОТ 0О
м-ОСГ>Ю^-Юм-Ю>— *-
-si
-si - 0)COC»OTNWOT*>
C0-s)O4*.C0OOT-J00O
00 ШО)ЧО)ЧЮОСЛ
OT(O^N3^(0>-m
ю ю ю
CD СО ОТ
СО Ю -si
СО CD О
-s) * ОТ 4*-
о
о
057
о
—
892 2
со
00
ю
00
00
CD
4^
ИГ
СО
^
ю
439
ю
074
ю
_
,367
н-
627
-
ю
CD
Ю
ю
,223
ю
^-
,38Э
н-
655
-
ю
от
00
00
ю
179
ю
н-
68S
н-
,495 1,
,—
677
н-
241 1,
О CD
СО О
—I О
СО н-
н- ОТ н-
Ю Ю -.1
СО Ю О
о
254
О
4^
со
CD
1—
4^
^
—
996
-
—
724
-
ю
141
ю
1—
,756
-
ю
о
00
ю
1—
,551
-
1—
о
СО
00
-
СО -s)
4*- ОТ
со о
СО О
со от
м- -si О ОТ О
4й- 00 -si CD 00
4*- м- -si от О
— Ю I— Ю I— —
СО -si
со -si
00 ОТ
О ОТ О
00 "si -si
со оо -si
о
831
—
125
н-
533
4^
СО
О
ю
CD
-si
от
от
00
00
СО
,725
00
,770
-si
401
—
953
н-
997
ю
124
—
00
—
998
н-
929
ю
,182
ю
,223
ю
,281
—
822
н-
00
со
00
н-
00
от
00
ю
,093
ю
117
ю
146
—
591
н-
604
н-
618
—
о
00
о
н-
660
н-
125
ОТЮЮЮ^-Ю^-^-
КЗ н-
I— -si
00 О
от о
СО -si
м- CD
со оо
CD -si
4*- СО
м- CD н-
оо со от
ю со -si
о
о
О н- 00 Ю н-
4»- СО О ОТ
СО ОТ СО н-
4>- О ^ О
О Ю н- м- н-
"о "ю "оо "оо Vj
СО CD О CD ОТ
4>- 00 ОТ СО
О
199
о
318
о
со
135
4>-
,260
от
н-
-sl
CD
*~
4>-
4>-
О
*-
842
—
833
-
н-
793
^-
,814
-
* 00 (О ОО ОО
от м- со со со
СО ОТ ►— 4*.
О м- СО н- н-
-sl -si 00 00 00
со со н- от со
м- О ОТ н-
н- 00 СО н-
О 00 СО
СО СО н-
CD КЗ CD
н-
283
н-
649
о
CD
CD
00
00
092
CD
825
*-
962
ю
119
*-
996
ю
040
4». Ю Ю
00 4>- ОТ

Продолжение табл. П13ж
Да = 0,2 неп
10-5
ч
а7
Ч
Ч
Ч
ч
ч
10-<*i
"мин> неп
0
2,698
0,960
3,695
1,010
3,733
0,999
3,550
7,298
3,697
0
0,025
1,962
1,265
2,839
1,337
2.850
1,308
2,678
9,497
4,78
0,093
0,05
1,870
1,313
2,762
1,391
2,769
1,353
2,563
9,702
6,18
0,196
0,075
1,805
1,355
2,699
1,439
2,708
1,395
2,476
9,697
8,11
0,312
0,1
1,773
1,383
2,669
1,471
2,679
1,424
2,422
9,532
10,85
0,443
0,125
1,760
1,402
2,661
1,496
2,682
1,449
2,392
9,230
14,92
0,594
0,15
1,760
1,416
2,664
1,515
2,696
1,472
2,379
8,816
21,5
0,771
0,2
1,794
1,435
2,704
1,541
2,772
1,536
2,430
7,640
56,7
1,255
0,225
1,824
1,439
2,739
1,555
2,852
1,591
2,559
6,469
117,6
1,623
0,25
1,867
1,441
2,786
1,567
2,962
1,697
2,981
4,811
368
2,206

Таблица П.14а
Данные прототипов класса п = 5
с характеристиками по Чебышеву при г1 = оо
Д а = 0,002 неп
ь
10-26
10-7!
аэдс мин,
неп
0
4,137
1,022
1,338
1,444
12,40
0
0,02
4,316
1,052
1,361
1,449
12,01
0,059
0,05
4,614
1,100
1,399
1,458
11,36
0,149
0,08
4,957
1,153
1,442
1,471
10,62
0,239
0,10
0,12
5,216 5,503
1,192 1,234
1,476 1,514
1,484 1,502
10,04 9,397
0,29910,359
0,15
5,998
1,306
1,589
1,555
8,204
0,450
0,18
6,591
1,393
1,704
1,700
6,536
0,539
0,20
7,056
1,464
1,830
2,000
4,888
0,600
0,22
7,592
1,550
2,047
3,585
2,273
0,660
Да = 0,005 неп
ь
Ю Ч6
а4
а3
а2
10-О!
аэдс мин,
неп
0
4,861
1,138
1,449
1,527
13,10
0
0,02
5,110
1,173
1,476
1,530
12,64
0,064
0,04
5,385
1,211
1,505
1,535
12.13
0,129
0,06
5,692
1,251
1,538
1,540
11 СЗ
0,193
I
0,08
6,035
1,295
1,575
1,549
10,92
0,260
0,10
6,423
1,342
1,620
1 ,564
10,17
0,325
0,12
6,864
1,396
1,676
1,593
9,274
0,391
0,14
7,369
1,457
1,754
1,656
8,124
0,457
0,16
7,956
1,530
1,872
1,822
6,520
0,523
0,18
8,643
1,621
2,081
2,514
3,950
0,590
Да = 0,01 неп
ь
10 з5
а4
аз
а2
10 ах
эдс мин,
неп
0
5,568
1,230
1,537
1, 83
13,64
0
0,01
5,728
1,249
1,552
1,583
13,39
0,034
0,02
5,896
1,269
1,568
1,583
13,12
0,071
0,04
6,266
1,311
1,602
1,584
12,53
0,139
0,06
6,685
1,356
1,641
1,587
11,87
0,207
0,08
7,164
1,405
1,689
1,595
11,08
0,278
0,10
7,716
1,460
1,751
1,614
10,13
0,349
i
0,12
8,362
1,525
1,838
1,667
8,864
0,418
0,14
9,124
1,603
1,979
1,8 4
7, 00
0,492
0,16
10,04
1,707
2,259
2,806
3,678
0,565
194

-
R
(D
S. ^
л -г
s
о
о
о
ю
eo
о
о
*>.
ел
о
о
СО
со
о
н—
00
СО
о
ю
со
-ч
о
ю
0О
00
о
со
со
00
о
со
СО
*■*
о
о
я
, t
сп
СО
СО
^^
сп
_
00
^
СП
о
ю
^^
ел
ГГЗ
ел
^^
4>-
сп
СО
^^
4>-
о
^^
со
о
№
^^
*-
ГГЗ
со
СО
н^
00
о
4>-
я
^—
ггз
о
00
^
ел
СО
00
—*
ел
00
00
^
ел
СП
СП
*~
ел
ю
to
^
ел
о
ND
*~
4>-
СО
ю
^
СП
ю
—
ггз
*-
СО
ю
я
со
1—'
СО
£'
н-
СО
rrs
00
^
СО
00
СП
ю
о
ю
—J
ю
^-
со
ю
ю
ю
о
*-
ю
СО
о
о
ю
4>-
*-
ю
ю
СП
00
о
со
я
«к
^—
4>-
4».
~-J
к-
4».
ел
со
*-
4».
СЛ
СО
*-
4-
■ч
о
*-
4^
со
--J
*-
ел
со
к-
ел
со
4>-
*-
а
со
—
гт>
о
ел
н-
я
йп
^—
о
СП
*-
о
4>-
ю
^
о
—]
о
>-'
^
со
*-
ю
--]
ел
*-
со
СП
ю
*-
4>-
сп
*-
ел
—]
сп
н-
--]
*~
^-
С»
О
о
о
о
ел
о
о
о
о
ю
о
о
4>-
О
О
ел
о
о
сп
о
о
—]
о
о
00
о
S £
* О (О ►- О) ■(»
*■ СО (О Ч N Ч
ел оо оо со ю ю
>
II
о
а
о
о
021
о
,041
о
083
о
сп
00
0,253
о
,341
о
386
о
430'
о
— **
сп
ел
со
ел
о
4-
4^
00
00
4^
ел
4-
со
со
12.66
• н-
,00
СО
704
—]
725
4-
255
—
646
н-
,641
н-
636
н-
626
н-
605
ел
00
00
^
,601
н-
сгз
ел
ео
н-
829
ю
749
н-
785
н-
798
н-
810
н-
837
н-
006
СО
00
00
ю
,127
ю
241
ю
418
ю
740
—
,419
н-
428
н-
437
н-
456
—
,496
1,541
^-
,599
н-
637
н-
,686
н-
751
00
00
СО
00
360
00
539
00
920
СО
793
10,86
ю
00
ю
СО
со
00
4-
СО
о
с->
О
о
о
о
ел
о
о
^^
о
о
ю
о
о
4-
О
О
сп
о
о
00
о
о
СО
о
н^
о
о
_.
^^
л i.
о
о
о
со
—]
о
о
—]
ел
о
н-
4-
СО
о
ю
ю
ел
о
со
о
^—
о
со
—]
00
о
4-
ел
ел
о
4-
СО
ел
о
ел
со
ел
о
,_-
4-
Ю
ю
^^
со
СО
4>-
i.^
со
СП
4>-
^^
ю
со
^j
i.^
ю
,_-
^1
1.^
_
1^
00
со
00
ю
4>-
^1
СП
^1
со
ел
со
ел
00
со
ю
^j
ю
я
to
^—
СП
ю
сп
^-
СП
ю
со
^-
СП
ю
^-
^-
СП
сп
<-~
СП
со
^~
СП
СО
—
СП
ел
со
^-
00
о
СП
ю
о
—J
00
со
ю
(М
СО
я
^—
СП
со
со
^~
ггз
ел
^-
^-
СП
СП
СО
^-
—]
^^
^-
—]
ггз
ю
^-
00
ю
СО
—
СО
ю
00
ю
о
СО
00
ю
ю
4-
4>-
ю
4>-
00
со
я
*-
^^
CjO
ю
^—
^-
CjO
4>-
^
^-
со
ггз
ю
^~
4>-
о
СП
^-
4-
ел
4>-
^-
ел
о
00
—
ел
—j
^~
^-
ггз
СЛ
со
^~
—]
о
ел
^—
—j
ггз
00
1
о
я
йп
СП
4-
—]
00
СП
СП
СО
СП
СП
СО
ю
00
—]
4-
4-
со
00
о
4-
ю
00
—]
4>-
ел
СО
ел
00
со
^^
о
СП
о
^^
^~
н^
СО
, .
^^
00
ОЗ
с»
о
о
о
о
о
ю
о
о
4-
о
о
ОЗ
о
о
00
о
н-
о
о
^-
ю
о
н^
со
о
4»-

Продолжение табл П 14а
Да — 0,2 неп
ъ
-а5
о4
а3
а эос мин,
неп
0
1,328
1,391
2,224
1,486
18,38
а
t
0,005
1,374
1,389
2.255
1,468
18,25
0,027
0,01
1,423
1,388
2,288
1,449
18,10
0,054
0,02
1,532
1,385
2,364
1,410
17,73
0,109
0,03
1,659
1,384
2,457
1,369
17,19
0,168
0,04
1,809
1,386
2,582
1,331
16,35
0,228
0,05
1,989
1,397
2,767
1 310
14,87
0,288
0,06
2,208
1,425
3,100
1,383
11,83
0,352
0,065
2,337
1,451
3,405
1,610
8,872
0,384
0,07
2,482
1,489
3,953
3,409
3,422
0,419
Таблица П 146
Данные прототипов класса п = 6
с характеристиками по Чебышеву при гх = ос
йа = 0,002 неп
ь
Юа6
<*5
а4
«3
«2
10- <*!
аэдс мин у
неп
0
4,258
1,055
1,393
1,541
1,584
13,24
0
0,01
4,369
1,075
1,410
1,550
1,584
12,94
0,039
0,02
4,487
1,095
1,427
1,560
1,585
12,62
0,078
0,04
4,742
1,137
1,464
1,582
1,588
11,92
0,157
0,06
5,028
1,184
1,506
1,607
1,596
11,13
0,235
0,08
5,351
1,234
1,553
1,640
1,612
10,19
0,313
0,10
5,718
1,291
1,610
1,688
1,651
9,026
0,391
0,12
6,140
1,355
1,682
1,768
1,757
7,432
0,468
0,13
6,374
1,391
1,727
1,833
1,889
6,330
0 507
0,14
6,628
1,430
1,782
1,934
2,208
4,838
0,545
Да = 0,005 неп
ъ
Ю- з6
«5
я4
аз
аг
10 Я!
аэдс мин,
неп
! 0
4,974
1,168
1,498
1,616
1,656
13,71
0
о.оч
5,128
1,190
1,517
1,626
1,656
13,35
0,042
0,02
5,290
1,214
1,53-7
1,635
1,656
12,97
0,083
0,03
5,464
1,238
1,558
1,646
1,658
12,57
0,124
0,04
5,649
1,264
1,581
1,657
1,660
12,13
0,166
0,06
6,060
1,319
1,632
1,685
1,670
11,14
0,248
0,08
6,535
1,381
1,694
1,727
1,699
9,904
0,331
0,10
7,091
1,452
1,776
1,804
1,788
8,174
0,412
0,11
7,406
1,492
1,830
1,873
1.913
6,931
0,453
0,12
7,750
1,537
1,898
1,990
2,255
5,156
0,493
196

Продолжение табл. П.146
Да = 0,01 неп
ь
10 -ав
Ч
а4
аз
а2
10-^
эдс мин,
неп
0
5,676
1,257
1,582
1,666
1,712
13,99
0
0,01
5,876
1,282
1,604
1,674
1,712
13,58
0,043
0,02
6,090
1,308
1,626
1,683
1,712
13,15
0,086
0,03
6,321
1,335
1,651
1,692
1,714
12,68
0,129
0,04
6,571
1,364
1,678
1,703
1,717
12,17
0,172
1
0,06
7,133
1,425
1,740
1,733
1,733
10,96
0,257
0,08
7,801
1,496
1,823
1,789
1,786
9,328
0,342
0,09
8,184
1,531
1,878
1,842
1,858
8,182
0,384
0,10
8,606
1,582
1,949
1,933
2,044
6,578
0,426
0,11
9,075
1,633
2,045
2,115
2,822
3,976
0,468
Да = 0,02 неп
ъ
10-я6
а4
аз
а2
10 -ах
эдс мин,
неп
0
6,581
1,345
1,674
1,703
1,773
14,17
0
0,01
6,852
1,371
1,699
1,709
1,774
13,70
0,045
0,02
7,146
1,398
1,726
1,715
1,776
13,19
0,089
0,03
7,466
1,427
1,756
1,722
1,779
12,64
0,133
0,04
7,816
1,457
1,789
1,731
1,784
12.02
0,177
0,06
8,625
1,524
1,873
1,764
1,813
10,48
0,264
0,07
9,096
1,562
1,929
1,797
1,852
9,448
0,308
0,08
9,621
1,605
2,001
1,859
1,947
8,045
0,351
0,09
10,21
,654
2,101
1,989
2,273
5,854
0,393
0,095
10,53
1,682
2,167
2,113
2,874
4,112
0,414
Да = 0,05 неп
ь
Ю-ав
а5
ai
а3
а2
10-О!
эдсмин,
неп
0
8,288
1,439
1,822
1,714
1,880
14,10
0
0,01
8,721
1,463
1,856
1,712
1,885
13,52
О*, 045
0,02
9,203
1,488
1,894
1,711
1,892
12,87
0,091
0,03
9,741
1,514
1,939
1,710
1,902
12,15
0,135
0.04
10,34
1,543
1,993
1,714
1,916
11,30
0,179
0,05
11,03
1,574
2,060
1.729
1,944
10,26
0.223
0,06
11,81
1,612
2,150
1,769
2,013
8,835
0,266
0,065
12,24
1,633
2,210
1,811
2,034
7,850
0,287
0,07
12,71
1,657
2,283
1,884
2,277
6,514
0,308
0,075
13,22
1,684
2,378
2,018
2,852
4,501
0,329
197

Продолжение табл. П.146
Да = 0,1 неп
ь
а5
аз
а2
10-Oi
аэдс мин,
неп
0
1,026
1,464
1,984
1,669
2,012
1ч3,63
0
0,005 0,01 0,02
1,058
1,472
2,008
1,662
2,019
13,28
0,022
1,093
1,480
2,034
1,655
2,027
12,91
0,045
1,170
1,496
2,092
1,641
2,045
12,11
0,088
0,03
0,04
1,258 1,361
1,515 1,537
2,165 2,260
1,630 1,631
2,068 2,105
11,17 9,989
0,132 0,174
i
0,045
1,419
1,550
2,321
1,642
2,139
9,229
0,194
0,05
1,482
1,566
2,397
1,668
2,202
8,264
0,215
0,055
1,551
1,586
2,494
1,726
2,351
6,927
0,235
0,06
1,626
1,609
2,626
1,854
2,874
4,799
0,255
Аа = 0,2 неп
ь
ав
аь
ai
а3
10-G4
аэдс мин,
неп
0
1,339
1,404
2,257
1,538
2,256
12,48
0
0,005
1,395
1,403
2,298
1,522
2,275
12,05
0,021
0,01
1,456
1,402
2,344
1,504
2,295
11,59
0,041
0,015 0,02 0,025
1,522
1,402
2,395
1,487
2,317
11,09
0,061
1,595
1,402
2,453
1,471
2,341
10,55
0,081
1,675
1,403
2,521
1,458
2,368
9,936
0,101
0,03 0,035 0,04
1,764
1,406
2,603
1,449
2,402
9,218
0,120
1,862
1,412
2,706
1,452
2,455
8,323
0,138
1,972
1,421
2,841
1,482
2,570
7,088
0,157
0,045
2,096
1,437
3,035
1,582
3,000
5,041
0,175
Таблица П 14в
Данные прототипов класса п=7 с характеристиками по Чебышеву при г1 = оо
А а = 0,002 неп
5 0
10-а7
°ч,
а5
а4
а3
а2
эдс мин,
неп
4,332
1,075
1,423
1,587
1,669
1,662
13,88
0
0,01
4,468
1,099
1,445
1,601
1,678
1,658
13,47
0,049
0,02
4,612
1,124
1,468
1,616
1,687
1,655
13,02
0,098
0,03
4,766
1,150
1,492
1,633
1,698
1,652
12,54
0,148
0,04 0,06
4,930
1,178
1,517
1,650
1,710
1,651
12,02
0,197
5,296
1,237
1,574
1,692
1,746
1,658
10,77
0,295
0,07
5,500
1,270
1,606
1,719
1,774
1,673
9,998
0,344
0,08
5,720
1,304
1,642
1,751
1,815
1,706
9,046
0,394
0,09
5,959
1,342
1,682
1,793
1,880
1,788
7,789
0,443
0,10
6,218
1,382
1,730
1,850
1,997
2,036
5,931
0,493
19S

Продолжение табл. П.14в
ь
10-а7
аб
^5
а4
аз
72
10-О!
эдс jMuw,
неп
0 0,01
5,044
1,186
1,525
1,657
1,735
1,709
14,32
0
5,229
1,213
1,550
1,672
1,745
1,702
13,85
0,052
Да = 0,005 неп
0,02 0,03
5,428
1,242
1,576
1,687
1,755
1,696
13,34
0,104
5,642
1,273
1,604
1,704
1,768
1,692
12,79
0,156
0,04
5,874
1,305
1,634
1,722
0,05
6,126
1,340
1,667
1,745
1.7831 1,805
1,688
12,16
0,208
1,689
11,44
0,261
0,06
0,07
0,03
6,40016,700 7,030
1,377 1,41б' 1,460
1,704' 1,747
1,772 1,808
1,835
1,699
10,57
0,313
1,884
1,732
9,454
0,365
1,798
1,853
1,972
1,836
7,851
0,418
0,085
7,207
1,483
1,827
1,893
2,047
1,975
6,694
0,444
Да = 0,01 неп
0 0,01
0,02 0,03
0,04
0,05
0,06 0,07
,075
0,08
10-а7
ав
а5
а4
аз
а2
10-Я!
эдс мин,
неп
5,742
1,273
1,606
1,703
1,788
1,735
14,67
0
5,982
1,303
1,634
1,716
1,798
1,726
14,16
0,054
6,243
1,336
1,664
1,731
1,810
1,717
13,59
0,109
6,529
1,369
1,696
1,747
1,825
1,709
12,96
0,163
6,841
1,405
1,732
1,766
1,845
1,704
12,23
0,218
7,186
1,444
1,773
1,791
1,875
1,705
11,35
0,273
Да = 0,02 неп
7,566
1,486
1,821
1,826
1,925
1,724
10,18
0,328
7,989
1,532
1,880
1,878
2,022
1,814
8,425
0,384
8,219
1,557
1,916
1,917
2,111
1,956
7,074
0,411
8,462
1,583
1,956
1,970
2,254
2,401
5,031
0,439
0,005
0,01
0,02
0,03
0,04 0,05 0,06 0,065 0, 7
10 а7
а4
аз
а2
10 ах
аэдс мин,
неп
6,644
1,359
1,695
1 ,736
1,846
1,750
15,06
О
6,802
1,375
1,711
1,741
1,852
1,743
0,029
6,968
1,391
1,737
1,746
1,858
1,736
14,51
0,057
7,326
1,425
1,763
1,759
1,873
1,722
13,89
0,115
7,722
1,460
1,802
1,773
1,894
1,709
13,17
0,172
8,163
1,499
1,849
1,793
1,924
1,699
12,28
0,230
8,658
1,541
1,904
1,823
1,974
1,703
11,09
0,289
9,216
1,588
1,975
1,875
2,080
1,769
9,184
0,347
9,523
1,614
2,018
1,917
2,187
1,908
7,598
0,377
9,852
1,642
2,071
1,981
2,393
2,479
4,93
0,407
199

Продолжение табл. П 14в
Да = 0,05 неп
ь
10а7
Ч
а4
Ч
Ч
10-Я!
аэдс мин,
неп
0
8,348
1,450
1,840
1,742
1,950
1,734
15,82
0
0,005
8,599
1,465
1,861
1,743
1,959
1,722
15,53
0,031
0,01
8,866
1,480
1,884
1,744
1,970
1,709
15,22
0,062
0,015
9,150
1,495
1,908
1,746
1,982
1,696
14,88
0,0Э4
0,02
9,452
1,511
1,934
1,748
1,996
1,682
14,50
0,125
0,03
10,12
1,545
1,995
1,757
2,034
1,656
13,58
0,189
0,04
10,89
1,582
2,072
1,779
2,101
1,639
12,22
0,253
0,045
11,33
1,603
2,121
1,801
2,162
1,650
11,16
0,286
0,05
11,79
1,627
2,180
1,839
2,271
1,715
9,535
0,319
0,055
12,30
1,653
2,253
1,905
2,508
2,085
6 464
0,352
Д а = 0,1 неп
ь
а7
а6
а5
а4
а3
°г
10-</i
аэдс мин,
неп
0
1,032
1,473
2,001
1,693
2,082
1,670
16,82
0
0,005
1,070
1,483
2,031
1,687
2,098
1,651
16,54
0,034
0,01
1,112
1,494
2,064
1,682
2,117
1,630
16,21
0,069
0,015
1,157
1,504
2,100
1,677
2,139
1,609
15,84
0,103
0,02
1,206
1,515
2,141
1,673
2,164
1,586
15,39
0,138
0,025) 0,03 0,035 0,04 0,045
1 ' 1
1,259
1,527
2,188
1,672
2,196
1,563
14,84
0,174
1,317
1,540
2,243
1,676
2,241
1,542
14,09
0,210
1,381
1,556
2,309
1,689
2,311
1,531
12,99
0,246
1,451
1,574
2,392
1,722
2 43
1,565
11,11
0,283
1,528
1,596
2,502
1,795
2,786
1,977
6,875
0,320
А а = 0,2 неп
10о
а7
а6
а5
а4
а3
а2
10*!
аэЗс мин,
неп
0
1,345
1,412
2,273
1,558
2,329
1,527
18,76
0
0,025 0,05
1,377
1,412
2,299
1,550
2,346
1,511
18,65
0,020
1,411
1,411
2,325
1,541
2,364
1,496
18,51
0,039
0,1
1,485
1,411
2,383
1,524
2,402
1,462
18,18
0,080
0,15
1,566
1,412
2,449
1,509
2,448
1,427
17,74
0,120
0,2
1,657
1,414
2,529
1,497
2,506
1,390
17,09
0,162
0,25
1,759
1,418
2,627
1,495
2,591
1,355
16,02
0,204
о,з
1,874
1,426
2,756
1,514
2,759
1,349
13,85
0,248
0,325
1,938
1,432
2,839
1,542
2,935
1,412
11,68
0,270
0,35
2,006
1,440
2,940
1,594
3,310
1,826
7,351
0,292

Таблица П.14г
Данные прототипов класса п — 8
с характеристиками по Чебышеву при г1 = оо
Да =-0,002 неп
ь
10-а8
ь
ав
ч
ai
а3
а2
10-ai
эдс мин,
неп
0
4,382
1,088
1,443
1,613
1,708
1,739
1,725
14,23
0
0,005 0,01
1
4,460
1,102
1,456
1,622
1,715
1,741
1,722
13,96
0,030
4,541
1,116
1,469
1,632
1,722
1,744
1,718
13,68
0,059
0,02
4,712
1,146
1,497
1,652
1,737
1,750
1,713
13,08
0,117
0,03
4,897
1,178
1,527
1,674
1,754
1,759
1,709
12.41
0,176
0,04
5,096
1,211
1,559
1,697
1,775
1,772
1,709
11,64
0,234
0,05
5,313
1,247
1,593
1,725
1,802
1,793
1,717
10,73
0,293
0,06
5,549
1,285
1,631
1,757
1,838
1,830
1,746
9,574
0,351
0,07
5,807
1,326-
1,674
1,797
1,891
1,906
1,844
7,908
0,409
0,08
6,090
1,371
1,724
1,851
1,982
2,099
2,387
4,879
0,467
Да = 0,005 неп
0
Ю-а8
а7
аб
а5
а4
а3
Ч
10-ai
аэдс мин,
неп
0
5,090
1,197
1,541
1,680
1,770
1,780
1,771
14,50
0
0,005
5,196
1,213
1,556
1,689
1,778
1,782
1,767
14,20
0,030
>
0,01
5,306
1,240
1,572
1,699
1,785
1,784
1,764
13,88
0,061
0,02
5,542
1,264
1,604
1,719
1,802
1,789
1,757
13,18
0,122
0,03
5,798
1,301
1,638
1,742
1,823
1,798
1,753
12,39
0,183
0,04
6,081
1,341
1,676
1,768
1,850
1,814
1,754
11,45
0,244
0,05
6,392
1,383
1,720
1,800
1,888
1,846
1,773
10,23
0,304
0,06
6,736
1,430
1,770
1,845
1,950
1,922
1,858
8,406
0,365
0,065
6,922
1,455
1,798
1,871
1,998
2,004
2,008
6,955
0,395
0,07
7,120
1,481
1,830
1,906
2,068
2,168
2,575
4,599-
0,425
201

Да — 0,01 неп Продолжение табл П 14г
ь
10 а8
а7
Ч
а5
а4
«3
Ч
10 0Х
неп
0
5,785
1,283
1,621
1,723
1,820
1,804
1,808
14,64
0
0,005 0,01 0,015' 0,02
5,922
1,301
1,638
1,732
1,828
1,804
1,804
14,30
0,031
6,066
1,319
1,654
1,741
1,836
1,805
1,800
13,95
0,063
6,216
1,338
1,672
1,750
1,846
1,806
1,796
13,57
0,094
6,375
1,357
1,691
1,760
1,856
1,808
1,793
13,17
0,125
0,03
6,718
1,398
1,732
1,783
1,881
1,816
1,789
12,26
0,188
0,04
7,099
1,442
1,778
1,812
1,917
1,836
1,795
11,10
0,250
0,05
/,526
1,490
1,832
1,851
1,977
1,890
1,841
9,400
0,312
0,055
7,760
1,516
1,864
1,878
2,024
1,955
1,928
8,072
0,342
0,06
8,009
1,543
1,900
1,913
2,097
2,090
2,243
5,921
0,373
Да = 0,02 неп
о
10 а
Ч
Ч
С 5
ч
ч
ч
10 чх
аэдс мин,
неп
0
6,685
1,368
1,708
1,753
1,875
1,815
1,852
14,69
0
0,005 0,01
6,869
1,386
1,727
1,761
1,885
1,813
1,848
14,31
0,032
7,063
1,406
1,747
1,768
1,895
1,812
1,844
13,91
0,064
0,015 0,02
7,268
1,425
1,768
1,777
1,907
1,811
1,841
13,48
0,096
7,486
1,446
1,791
1,786
1,920
1,811
1,838
13,02
0,128
0,03
7,963
1,489
1,841
1,808
1,955
1,817
1,836
11,92
0,191
0,035 0,04
8 225
1,512
1,869
1,822
1,979
1,827
1,840
11,23
0,222
8,505
1,536
1,901
1,Р40
2,011
1,848
1,854
10,37
0,254
0,045
8,804
1,562
1,938
1,864
2,058
1,891
1,898
9,190
0,235
0,05
9,126
1,590
1,979
1,896
2,130
1,990
2,058
7,320
0,316
Д а = 0,05 неп
Ю-ь
10 а8
Ч
Ч
аъ
Ч
Ч
ч
10 ах
,аэдс мин,
неп
0
8,387
1,458
1,851
1,757
1,977
1,793
1,938
14,46
0
0,025 0,05 0,1
8,530
1,466
1,864
1,758
1,984
1,789
1,938
14,24
0,016
8,678
1,475
1,876
1,759
1,991
1,786
1,937
14,01
0,032
8,990
1,493
1,904
1,762
2,007
1,779
1,936
13,53
0,064
0,15
9,325
1,511
1,933
1,766
2,026
1,772
1,935
13,00
0,096
0,2
9,686
1,530
1,966
1,771
2,048
1,767
1,935
12,41
0,128
0,25 0,3 0,35 0,4
10,03
1,550
2,003
1,779
2,077
1,766
1,936
11,72
0,159
10,50
1,571
2,045
1,791
2,116
1,773
1,943
10,84
0,190
10,96
1,594
2,094
1,810
2,174
1,804
1,972
9,615
0,221
11,46
1,620
2,154
1,843
2,276
1,906
2,129
7,463
0,252
202

Продолжение табл. П 14г
д а — 0,1 неп
10 Ъ
ч
а7
Ч
Ч
с4
Ч
а2
10 ах
а эдсмин,
неп
0 0,025 0,05
1,036
1,479
2,011
1,705
2,108
1,725
2,057
13,88
0
1,058
1,485
2,028
1,702
2,119
1,717
2,060
13,62
0,016
1,080
1,491
2,047
1,700
2,131
1,710
2,062
13,35
0,031
0,075
1,104
1,497
2,066
1,698
2,144
1,702
2,064
13,07
0,047
0,1
1,129
1,504
2,087
1,695
2,158
1,694
2,067
12,78
0,062
0,15
1,183
1,516
2,132
1,692
2,190
1,680
2,072
12,13
0,093
0,2
1,241
1,530
2,184
1,692
2,232
1,668
2,077
11,36
0,123
0,25 0,3 0,325
1,306
1,546
2,246
1,698
2,291
1,668
2,088
10,35
0,153
1,378
1,564
2,322
1,717
2,389
1,706
2,139
8,730
0,183
1,417
1,574
2,368
1,735
2,472
1,776
2,260
7,298
0,198
Да = 0,2 неп
10 В
Ч
а7
Ч
Ч
iA
Ч
ч
10 ах
аэдс мин,
неп
0
1,349
1,416
2,283
1,568
2,356
1,575
2,291
12,65
0
0,025 0,05
1,386
1,416
2,313
1,559
2,378
1,560
2,301
12,34
0,014
1,426
1,417
2,344
1,550
2,401
1,546
2,311
12,01
0,029
0,075
1,468
1,417
2,378
1,541
2,427
1,532
2,321
11,67
0,044
0,1
1,512
1,417
2,414
1,533
2,455
1,517
2,331
11,30
0,057
0,125
1,559
1,418
2,454
1,526
2,486
1,503
2,340
10,90
0,071
0,15
1,610
1,419
2,498
1,520
2,523
1,490
2,349
10,44
0,035
0,2
1,720
1,423
2,604
1,516
2,626
1,478
2,371
9,242
0,112
0,225
1,782
1,427
2,663
1,522
2,708
1,492
2,402
8,313
0,125
0,25
1,847
1,432
2,744
1,538
2,837
1,557
2,537
6,748
0,138

Таблица П.15
Класс

прототипа
1
2
3
Элементы чебышевских прототипов с потерями
ДЛЯ Гх ~ оо
1
а1 —
7-5
1
"2~ 1,4142Т —2о'
1
а3 _: , ; иг ~
«0 + °!
1
1X1 ~~ (—1,4142 [5 + f + &2 + 0 ,5) а2
1 1
' ' ' ai —' '
ах + аг ' [— (Qi&a + a26j) а4 + axa2 + &i + *а] а4
(— asMa + QA + a2&i)*3a4 ' На**Ф\Ьг
Таблица П. 16
Класс

прототипа
1
2
3
Элементы баттервортовских прототипов
с потерями для гх = оо
1
«з— '
а2 =
1
+ «1
1 1
1,4142 — 25' а'~ ва(1 +о2_ 1,41421)
1 1
(—izaQbx + a0ai +• Ьх) а3 °гЧа(р1
а4 —
1
[— (°1&2 + «26l) а4 + «1«2 + &1 + Ьг] И4 '
1 1
(—a/A + Qi&a + aa&i)23»4 ' ЧЧ^-ФФч
204

Таблица П. 17
Класс

прототипа
2
3
4
5
6
7
8
Величины для расчёта прототипов с характеристиками
по Баттерворту
S 1 *V | Ьмакс
ai = 1,414 214 — 25
аг = 1 - 25
ах = 0,765 367 — 21;
аг= 1,847 759 — 25
^ = 0,618 034 — 25;
аг= 1,618 034—25
ах = 0,517 638 — 25;
о2= 1,414 214 — 25;
аг= 1,931852 — 25
Ql = 0,445 041 9 — 25;
а2= 1,246 979 6 — 25;
а3= 1,801937 7 — 25
ах = 0,390 180 6 — 25;
аг= 1,111 140 5— 25
а3= 1,662 939 2 — 25;
а4 = 1,961 570 5 — 25
Ьг= 1+52 — 1,414 2145
Ьх = 1 + 52 — 5
Ь1 = 1+52 — 0,765 3675;
Ьг= 1 +52—1,847 7595
61== 1 +82 — 0,618 0345;
Ь2= 1 +52— 1,618 0345
Ьх = 1 + 52 —0,517 6385;
b2= 1+52— 1,414 2145;
Ь3= 1 +52—1,9318525
Ьх = 1 +52 — 0,445 04195
Ьг= 1 + 52— 1,24697965;
Ь3= 1 +52— 1,801937 75
bl = 1 + 52 — 0,390 180 65;
Ь2= 1 + о2—1,111 140 55,
fcJ== 1 +52—1,662 939 25;
fc4 = 1 + о2 — 1,961 570 55
5ЖЛКС = 0'7
°иакс = 0,5
^макс — 0,38
3жакс=°.309
блакс=0 258
^.Mafcc—0'22
Wc=0,195

Таблица П. 18
Данные прототипов с характеристиками по Баттерворту
при минимально возможной величине амин
пг=3
0
аз
Н
Юй!
Г\
амию неп
0
1,000
2,000
10,00
1,000
0
0,05
0,838
2,020
11,43
1,333
0,11
0,1
0,870
2,105
10,53
1,723
0,24
0,15
0,920
2,214
9,542
2,261
0,38
0,2
0,25
0,984' 1,064
2,355
8,517
3,055
0,54
2,544
7,464
4,316
0,74
0,3
1,164
2,816
6,363
6,532
0,98
0,35
1,289
3,253
5,177
11,07
1,28
0,4
1,453
4,104
3,835
23,3
1,71
5
10а4
яз
Ч
10а,
Г\
оМин, не"
0
7,65
1,848
1,847
7,654
1
0
0,05
5,502
1,530
2,056
10,83
1,550
0,15
0,1
5,694
1,578
2,138
9,78
2,239
0,34
п
0,15
6,008
1,652
2,257
8,574
3,343
0,56
= А
0,2
6,422
1,748
2,442
7,279
5,368
0,84
0,25
6,946
1,871
2,770
5,848
9,862
1,20
0,3
7,614
2,032
3,505
4,167
24,04
1,71
0,33
8,110
2,157
4,627
2,942
56,5
2,19
0,35
8,493
2,256
6,532
1,979
140,
2,69
5
Юа5
а4
аз
а2
Ю'х
Г\
амин, ^п
0
6,180
1,618
2,000
1,618
6,18
1
0
0,02
4,073
1,173
1,778
1,999
10,97
1,339
0,07
0,05
4,065
1,170
1,783
2,044
10,53
1,804
0,20
п
0,1
4,222
1,209
1,836
2,138
9,237
2,944
0,46
-5
0,15
4,472
1,270
1,919
2,297
7,733
5,171
0,79
0,2
0,25
4,802 5,227
1,351
2,034
2,620
6,017
10,83
1,23
1,454
2,200
3,535
3,88
35,2
1,92
0,28
5,545
1,531
2,342
5,655
2,197
139
2,68
0,3
5,791
1,591
2,467
15,00
0,767
1430
3,89

Опечатки, замеченные в книге Я. А. Собенина
«Расчёт полиномиальных фильтров»
Стр.
5
6
85
85
90
94
96
114
192
202
Строка
20 св.
7 сн.
4 ев ,
знаменатель
4 ев
10 св.
14 ев
10 св.
16 CF.
13 сн.,
6-й столбец
11 сн.,
1-й столбец
Напечатано
... 56
макс
...(,*-\ .-2)...
(2 58)
..анг
прототипа в соответствии с
рис. 1 11,а, ввиду того что
заданным является
.. — а .
...—3,5846—,029288 р10...
9,414
5
Должно быть
...86
°макс
V 2« /
(2.56)
•••а«2
прототипа второго класса
ах = 0,458 и а2 = 0,52 и
величину нормированного
...— ан...
...—3,584635р12-5,029288р1<»...
0,414
105

ЛИТЕРАТУРА
1. Ат а беков Г. И. Теория линейных электрических цепей. Изд.
«Советское радио», 1960.
2. Балабанян Н. Синтез электрических цепей. Госэнергоиздат, 1961.
3. Белецкий А Ф. Теоретические основы электропроводной связиг
ч. III, Связьиздат, 1959.
4. Белецкий А. Ф., Кочанов Н. С Теоретические основы
электропроводной связи. Л., 1957.
5. Б о д е Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной
связью. Гос. издательство иностранной литературы, 1948.
6. Коган С. С. Теория и расчёт фильтров для установок дальней свя
зи. Связьиздат, 1950.
7. Корректирующие цепи в автоматике. Сборник переводов статей под
ред. М. 3. Литвина-Седого Гос. изд. иностранной литературы, 1954.
8. Под ред. Ремеза Г. А. Линии передачи сантиметровых волн. Изд
«Советское радио», 1951.
9. Тафт В. А. Основы методики расчёта линейных электрических цепей
по заданным их частотным характеристикам. Изд. АН СССР, 1954.
10. Листов В Н. К вопросу об обобщенной теории мостиковых и
цепочечных фильтров. Л., 1948.
11. Собенин Я. А. Расчёт элементов схем полиномиальных фильтров.
Научно-технический сборник. Вып. 1(11), ОНТИ, 1957.
12. Энциклопедия элементарной математики. Книга 2. Гостехиздат, 1951.
13. Гарновский Н Н. Теоретические основы электропроводной
связи, ч 1. Связьиздат, 1956.
14. С а л ь в а д о р и М. Д. Численные методы в технике. Гос. изд.
иностранной литературы, 1956.
15. Милн В. Э. Численный анализ Гос. изд. иностранной литературы,
1951.
16. Причалов И. И Введение в теорию функций комплексного
переменного. Гостехиздат, 1948.
207

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
^Автотрансформа горное включение
катушек, 94
.Аппроксимация, 8
Вещественная функция, 11
Время задержки сигналов, 77
.Всплеск затухания, 3
Входное сопротивление, 42
Вычет функции, 16
Границы корней полинома, 20
Добротность катушки, 99
Затухание напряжения, 41
Затухание несогласованности, 42
Затухание прототипа при Q = 0, 58
Затухание тока, 42
Класс полиномиального фильтра, 59
Комплексное сопротивление
двухполюсника, 10
Комплексный параметр, 10
Коэффициент потерь мощности, 40
Лестничный двухполюсник, 29
Максимальное затухание фильгра в
полосе пропускания, 58
Минимальное затухание, 40
Неравномерность затухания, 58
Нечетная рациональная функция, 25
Нормирование расчёта фильтров, 55
Нормирование сопротивления
четырехполюсника, 38
Нормированная частота, 55
Нормированное сопротивление
источника, 38
Операторное сопротивление, 10
Определение расположения корней
полиномов, 35
Относительное затухание, 41
Параметры четырёхполюсника, 38
Полином, 24
Полиномиальный
четырёхполюсник, 52
Полиномиальный фильтр, 4
Полиномы Баттерворта, 56
Полиномы Чебышева, 56
Положительная вещественная
функция, 12
Полоса задерживания, 56
Полоса пропускания, 56
Полюс коэффициента передачи, 39
Преобразование частоты, 56
Прототип, 55
Рабочее затухание, 39
Рабочий коэффициент передачи, 38
Расположение корней полиномов, 35
Рациональная функция, 11
Реактансная функция, 23
Согласующая цепь, 92
Уравнения передачи
четырёхполюсника, 38
Усиление по напряжению, 94
Условия положительности и
вещественности функции, 11
Фазовый сдвиг, 45
Цепная дробь, 30
Частота среза, 56
208