Текст
Г.И.Шипов
ТЕОРИЯ
ФИЗИЧЕСКОГО
ВАКУУМА
/Каей tftefre УКъ/па^е
аа&
МЕЖДУНАРОДНЫЙ ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И
ПРИКЛАДНОЙ ФИЗИКИ РАЕН
г.и.ШИПОВ
ТЕОРИЯ
ФИЗИЧЕСКОГО
ВАКУУМА
ТЕОРИЯ, ЭКСПЕРИМЕНТЫ
И ТЕХНОЛОГИИ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
6
МОСКВА «НАУКА»
1997
I >1 >1. T.' 31 I
111 63
УДК 530 1, 530 12, 530.145; 513.731; 533.9.01
Рецензенты:
доктор физико-математических наук,
профессор Р.Н.Кузьмин,
доктор физико-математических наук,
профессор А.А.Рухадзе.
Шипов Г.И
ПТ 63 Теория физического вакуума: Теория, эксперименты и тех-
нологии. 2-е изд., испр. и доп. - М.: Наука, 1996. - 450 с.
ISBN 5-02-003682-Х
Настоящая книга представляет собой второе издание (пер-
вое вышло в 1993 г.) монографии автора, дающее более де-
тальное изложение основ теории физического вакуума. Кро-
ме того, приводятся теоретические и экспериментальные след-
ствия теории вакуума и торсионных полей. Большое внимание
уделяется технологиям, которые возникли благодаря новым те-
оретическим и экспериментальным результатам.
Для специалистов по теоретической физике, преподавателей
вузов, аспирантов, студентов, а также для всех тех, кто интере-
суется новыми физическими теориями, экспериментами и тех-
нологиями.
1ТТ1604030000—167 с к rrvooqh
Ш—042(02)—96— Без объявления ЬЬК 22.311
ISBN 5 02 003682-Х © Г.И.Шипов, 1996
© Международный институт
теоретической и прикладной
физики РАЕН, 1996
ПРЕДИСЛОВИЕ К ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во второе издание вошли материалы лекций, прочитанных ав-
тором осенью 1993 и весной 1996 г. на физическом факультете Мо-
сковского государственного университета им. М.В.Ломоносова. Да-
но более подробное изложение идей и принципов, лежащих в осно-
ве теории физического вакуума. Основные дополнения коснулись
экспериментальных работ, описывающих воздействие статических и
динамических торсионных полей на различные физические объекты.
Большое внимание уделено торсионным технологиям, т.е. экспери-
менту в промышленных масштабах. Эти материалы, предо ставленые
автору А.Е.Акимовым, изложены в гл. 5.
Автор выражает особую благодарность Л ,М.Грушиной, без ак-
тивного содействия которой книга не увидела бы свет.
Геннадий Шипов
Москва, июнь 1996 г.
3
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Насгонщан книга представляет собой краткое изложение идей и
методой, использованных автором для развития программы Клиф-
форда-Эйнштейна по геометризации уравнений физики, а также для
решения различных фундаментальных проблем современной теоре-
тической физики с позиций всеобщего принципа относительности и
теории физического вакуума. Проводя исследования, автор попытал-
ся объединить, казалось бы, различные по своей природе явления и
нарисовать обозримую картину современной физики.
Автор выражает благодарность В. Ю. Татуру и всем тем, кто
прямо или косвенно способствовал появлению этой книги. Особо
хочу отметить большую помощь моих друзей и единомышленников:
Е. А. Губарева, А. Н. Сидорова, И. А. Володина.
Многие идеи, развиваемые в этой книге, были обозначены в моей
первой монографии, изданной в 1979 г. в Московском государствен-
ном университете им. М. В. Ломоносова благодаря поддержке
М. А. Адаменковой и И. С. Лакоба.
Весьма плодотворными были беседы с доцентом Словацкого по-
литехнического института В. Скальским, который высказал ценные
мысли относительно различных вакуумных состояний материи. По-
лезные замечания А. Е. Акимова во многом стимулировали мои ис-
следования в области торсионных полей и взаимодействий.
Все это сыграло большую роль в написании предлагаемой чита-
телю книги.
Геннадий Шипов
Москва, май 1993 г.
4
Принятые обозначения
Трехмерные тензорные индексы обозначаются греческими буква-
ми а,Р, 7 и пробегают значения 1, 2, 3.
Трехмерные вектора (например, линейной и угловой скоростей)
обозначаются как: v и ш или v и ы.
Четырехмерные тензорные индексы обозначаются латинскими бу-
квами I, j, k ... и принимают значения 0, 1,2, 3. Буквы из первой части
алфавита (а,6,..., Л) используются в качестве тетрадных индексов,
например е‘а (а = 0, 1,2,3) .
Спинорные индексы в спинорном Д-базисе обозначаются заглав-
ными буквами А, В,... ,С,..., D и пробегают значения 0,1 или 0,1.
< нинорные индексы в Г-базисе обозначаются греческими буквами
<>,/?,.. .,7,6, . .
Симметризация и антисимметризация пар индексов:
^(»7) ~ 2^*-’ %’)> ‘-’[«Я = 2^’J ~
Исключение индекса из симметризации или антисимметризации:
5(>ы*) = 5[*|лм = - 5ч«)-
Переход к локальным (тетрадным) индексам: Sabc = eaiS']к&ъекс.
Внешнее произведение: е“ А ес = а“ес — есе“.
Дуальный тензор: Sij— ^£ijkmSkrn.
Псевдотензор Леви Чивита
Матричная запись тензорных величин: Sabk или, опуская матрич-
ные индексы а и b, Sabk —► Sk; спин-тензорных: SAB с^к —» Sk
Матричное произведение: [Tm,7jt] = ТтТк — ТкТт. Эрмитово co-
ni именные матрицы: S+ • .
ВлЭкп
Производные
Частные производные по трансляционным координатам х’ обозна-
чены запятой перед индексом, т е. f к = df/dxk = dkf\ ковариантная
производная относительно символов Кристоффеля r*jJt обозначается
। и-. Vjt или Vки' = дки' 4- Г’и}.
J К
Локальная ковариантная производная: S7aiib = даиь + Г6сакс.
5
Ковариантная производная относительно связности Д’ jk = eiaeajik
геометрии А^: Vjt и* = дкиг + A'yjtiP.
Внешняя производная: d.
Спинорная производная: дАВ.
Трансляционная метрика и тетрады
Трансляционные координаты: ж°, ж1, х2, х3.
Сигнатура метрики: (н-----).
Трансляционный линейный элемент:
ds2 — T)abeaiebjdxtdx:>, i]ab — T}ab = diag(l - 1 - 1 - 1).
Структурные уравнения группы трансляций геометрии А4:
V[oVb]ar* = -QabcVcz‘.
1-форма тетрады: еа = e^dx*.
Вращательная метрика и кручение
Вращательные координаты: ^2, <Рз, #1> #2> $з-
Вращательная метрика: dr2 = d%badxab = TabiTbajdx'dxi,
d%ab — dXab-
Кручение геометрии A4:Q;fc* = etae%j] = 1е*а(е\, ~
Тензор конторсии геометрии Л4 (коэффициенты вращения Риччи):
rjt = -Яд‘ +?т(9„ад +
1-форма конторсии: Tab = Tabkdxk = Tabcec, Т^аь) — 0.
Структурные уравнения группы вращений (матричные индексы
опущены): V^V^e* = \Rkme', где Rkrn = 2V[^7jt] + [Tm,Tfc] .
Связность и кривизна геометрии Д4
Связность: Д<* = Г‘д + Т<к = ёаеа^к,
ДЬ*] = ~ Гljk + 9im(9j&mk + 9kS^mj)-
Кривизна:
S'jkm = 2Д}[гп 4- 2Д*[А Д^|т] =
= R'jkm + 2V[*7|j |m] + 2Т'с[к Ту |= 0,
где R'jkm = 2Г’[тЛ] + 2r‘(Jkrf.)rn] - тензор Римана.
6
1-форма связности: Д“ь = Aabkdxk = ДаЬсес.
Структурные уравнения Картана:
1) dea -ес ЛТас = 0;
2) R°b + dTab + Тсь Л Тас = 0.
Тождества Бианки:
1) Racfdec Ле' Aed = 0;
2) dRab + Rfb Л Taf - TJb Л Raf = 0.
Спинорный Д-базис
Символы Ньюмена-Пенроуза: (rfB.
Трансляционная метрика: gij = eAc^BDafBafD > где £АВ ~ фунда-
ментальный спинор
гав _ с _ Ccb _ с . . _ ( 0 1 \
£ — t-AB — с. — bCD — I 0 / '
Коэффициенты вращения Риччи: ТАвсЬк ~ к<тABi-
Коэффициенты вращения Риччи в матрицах Кармели: ТАВ с ма-
тричными элементами (TAB)Dс-
Риманова кривизна в матрицах Кармели: RAbcd •
Уравнения физического вакуума
В векторном базисе:
= о, <Л)
= 0. (В)
В виде расширенной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса
V^e°;] + rWa» = 0’ И)
Rjm ~ ^9jmR — (^-1)
C'jkm + 2^7[fcr’>|j|m] + = -vJ'jkm, (^-2)
с геометризированными источниками:
Ът = --{(V[,T|iH + - ^9jrngpn^Mn] + rs[iT^n])},
7
Jijkm — ^9[k(iTj^m] ^^9i[m9k]j
В виде обобщенных уравнений Гайзенберга-Эйнштейна-Янга-Милл
а) геометризированные уравнения Гайзенберга
'V Рх°а = 7 ОаОрд^ — a OaOpl* — 0 OalpOx + £ OaLpl^ — Т L0OpO^ +
р LaOpC^ “I- <7 1а1рОт£ К -1)
^Рхса — V ОаОрО* — А ОаОр1^ — р OaLpO^ + % Oalpl^ — 7 LaOpO^ +
“Ьо? laOp “f- 3 LalpOx € j .2)
a,0... — 0,1, x, p... = 6,1;
б) геометризированные спинорные уравнения Эйнштейна
2&abcd + &£ав£сЬ — vTacbd’’ (В‘ -1)
в) геометризированные спинорные уравнения Янга Миллса
^ABCD ~ ^CD^AB + ^AB^CD + (^C£»)^F^FB + (^+рС)^В^ЛЕ~
~^ab)cF^fd ~ BA)Fi)TcF ~ [Tab >-^ср] ~ ~у^авсЬ> (В ’ .2)
Д С... = 0,1, В,Ь... = 6, i
плюс спинорные уравнения для левой материи А я+, В ,+ и для правой
+ - + - — _
и левой антиматерии А , В 3 , А3 ,В!
Часть 1
ВСЕОБЩАЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ
И ТЕОРИЯ ФИЗИЧЕСКОГО
ВАКУУМА
Введение
Начало теоретическим исследованиям, ставшим темой этой кни-
ги, было положено в 1967 г., когда я, заканчивая Московский государ-
ственный университет им. М В.Ломоносова, написал дипломную ра-
боту под руководством Л. В. Келдыша. Применяя диаграммную тех-
нику Фейнмана для описания взаимодействия сильного электромаг-
нитного излучения с веществом, я столкнулся с проблемой расходи-
мостей в квантовой электродинамике, которую П. Дирак [1], Р. Фейн-
ман [2] и некоторые другие теоретики, считали одной из основных
проблем современной теории поля.
Начиная с третьего курса я стал посещать семинары по теорети-
ческой физике известного физика-теоретика Д. Д. Иваненко. Тогда
я впервые познакомился с программой единой теории поля, выдви-
нутой в начале нашего века Альбертом Эйнштейном [3]. В качестве
одной из первых задач на пути ее реализации великий ученый счи-
тал проблему геометризации уравнений электродинамики [4]. Пока
чисто интуитивно, не имея на то достаточных логических оснований,
я ощущал, что проблема расходимостей квантовой электродинами-
ки должна быть связана с эйнштейновской проблемой геометризации
уравнений электродинамики.
Чтобы иметь возможность заниматься эйнштейновской програм-
мой единой теории поля профессионально, я поступил в 1969 г. в
аспирантуру Университета дружбы народов им. П. Лумумбы и по
ее окончании в 1972 г. написал диссертацию под названием «Обще-
релятивистская электродинамика с тензорным потенциалом» [5].
Это был геометризированный вариант электродинамики (см. гл.
3), в которой в качестве систем отсчета использовались не только
инерциальные лоренцовы системы отсчета, но и ускоренные локально
лоренцовы системы, подобные свободно падающим лифтам теории
гравитации Эйнштейна, но связанные с зарядами.
Большинство теоретиков, с которыми я обсуждал принципы об-
щерелятивистской электродинамики, возражали против предложен-
ного мной подхода к геометризации электродинамики, считая, что
для электромагнитных явлений нарушается принцип эквивалентно-
сти (равенство инерционной и гравитационной масс). Они счита-
ли, что при геометризации уравнений гравитационного поля А.Эйн-
штейн исходил именно из этого принципа. Однако мне удалось до-
казать теорему (см гл. 2), согласно которой риманова геометрия
пространства событий возникает всякий раз, когда взаимодействие
любой природы приводит к ускоренному локально инерциальному дви-
жению систем отсчета
Общерелятивистская электродинамика представляла собой прин-
11
ципиальное изменение основ электродинамики Максвелла-Лоренца.
В ней допускались преобразования координат, соответствующие пе-
реходу из инерциальной системы отсчета в ускоренную локально ло-
ренцову систему, при этом электромагнитные поля, подобно симво-
лам Кристоффеляв теории Эйнштейна, имели нетензорный закон пре-
образования. Конечно, в частном случае, когда мы ограничиваемся
преобразованиями Лоренца, электромагнитные поля вновь приобре-
тали тензорный закон преобразования.
По внешнему виду уравнения поля геометризированной электро-
динамики напоминали уравнения Эйнштейна
Rik - ^gitR = ~Tlk (0.1)
2 тс1
с новой константой, стоящей перед тензором энергии-импульса мате-
рии Сильные электромагнитные поля, удовлетворяющие урав-
нениям поля (0.1), искривляют пространство событий геометризи-
рованной электродинамики. При этом потенциал электромагнитно-
го поля оказывается симметричным тензором второго ранга a,jt [5],
образующим совместно с метрическим тензором плоского простран-
ства T]ij метрический тензор общерелятивистской электродинамики
д1} = r]ij + к a{j, где к = е/т - удельный заряд пробной частицы.
Как только были осмыслены основные принципы и уравнения об-
щерелятивистской электродинамики, я заметил целый ряд ее необыч-
ных свойств.
Во-первых, уравнения (0.1) переходили в уравнения электродина-
мики Максвелла
4тг .
□At = —jk
с
с векторным потенциалом вида
1 2dx° л ^dx0 с2 dx@
А) = zaooc -3— > А» = ааос —--h — аад——,
2 ds ds0 I ds0
a,0 = 1,2,3
в приближении слабых полей (Е, Н «С Ю16 ед. СГСЭ) и при не слиш-
ком больших скоростях1.
Во-вторых, в ней допускалось ускоренное безызлучательное дви-
жение зарядов в поле центральных сил (общерелятивистский аналог
1 Отметим, что отклонение от кулоновского рассеяния a-частиц на ядрах бы-
ло обнаружено Э.Резерфордом [6] в полях 1016 ед. СГСЭ, а при больших
скоростях электронов отклонение от кулоновского рассеяния на ядрах было об-
наружено Э.Кизингером [7] и Р.Хофштадтером [8]„
12
принципа Бора [9]), т.е. один из основных квантовых принципов со-
держался как следствие в ее уравнениях.
В-третьих, решения вакуумных уравнений (R,k — 0) общереляти-
вистской электродинамики позволяли получать не только потенциал
Кулона, но и новые статические потенциалы, образующие потенци-
альные энергии вида
г2
U = —тс2 W , , гдг = const,
г2 +
тс2 гг е + 2г?г 2 . 2
U ----------~re = ±2Zze2 /тс2 = const.
2 г2 +
Эти потенциалы обобщают кулоновский и имеют короткодействую-
щий характер.
В-четвертых, энергия электростатического кулоновского поля за-
ряда в геометризированной электродинамике оказывалась конечной
величиной, поскольку интервал
ds2 — (1 — —) c2dt2 — (1 — —) dr2 — r2(d02 + sin2 Gdip2),
описывающий взаимодействие заряда — ze массы т с центральным
зарядом Ze, показывает, что взаимодействие начинается с трехмер-
ной сферы радиуса re — 2Zze2/mc2. Этот радиус представляет собой
аналог гравитационного радиуса rg = IMG/с2 теории гравитации
Эйнштейна. При взаимодействии электрона с позитроном эта сфера
имеет величину двойного классического радиуса электрона (пример-
но 5,6 х 10-13см). Полученное таким образом «обрезание» устраняет
расходимости из уравнений электродинамики при интегрировании
собственной энергии заряда, сохраняя при этом ее релятивистскую
инвариантность.
В-пятых, новые потенциалы позволили фундаментальным образом
описать (см. гл. 4) открытое Э.Резерфордом отклонение от кулонов-
ского рассеяния о-частиц на ядрах (ядерные взаимодействия), что
приводит к естественному объединению электромагнитных и ядер-
ных взаимодействий на уровне потенциалов.
Эти обнадеживающие свойства геометризированных уравнений
электромагнитного поля уверили меня в правильности избранного
пути, хотя я и понимал, что проблема единой теории поля еще дале-
ка от своего завершения. Дело в том, что тензор энергии-импульса
материи, стоящий в правой части уравнений (0.1), имеет феномено-
логическую природу и, подобно тензору энергии-импульса материи
13
в уравнениях Эйнштейна, фактически вводится в уравнения руками
А. Эйнштейн счи тал такое положение вещей временным и много сил
потратил на то, чтобы найти уравнения поля с геометризированной
правой частью. Геометризация полей, определяющих тензор энер-
гии импульса материи, является частью эйнштейновской программы
единой теории поля [10]. А. Эйнштейн также считал, что геометри-
зация полей материи позволит нам найти уравнения «совершенной
квантовой теории» [11].
Кроме этой идеи общего характера, выдвинутой А. Эйнштейном,
перед геометризированной электродинамикой встали проблемы, без
решения которых невозможно было бы развитие теории:
как описывать излучение заряда (например, при переходе с одной
стационарной орбиты электрона в атоме на другую);
каким образом связана общерелятивистская электродинамика, с
современной квантовой Электр один амикой (например, с уравнеНйем
Дирака);
как связаны между собой уравнения гравитации Эйншт'ёйна с
уравнениями электродинамики (0.1), т.е. существуют ли единые
уравнения, из которых следовали бы уравнения Эйнштеййа и урав-
нения (0.1) в виде частных случаев.
Но поскольку теория, созданная мной, была принята в то время
научной общественностью без особого энтузиазма, то и решать эти
проблемы, естественно, пришлось мне. Я понимал, что их решение
выходит за рамки римановой геометрии, на которой базируются тео-
рия гравитации Эйнштейна и общерелятивистская электродинамика
с уравнениями поля (0.1).
Изучая классические геометрии по работам Я. Схоутена, я при-
шел к выводу, что для решения возникших проблем более всего под-
ходит геометрия Римана-Картана, обладающая не только римановой
кривизной, но и кручением. В 70-е годы эта геометрия использова-
лась многими физиками-теоретиками в общей теории относительно-
сти.
Рассуждал я тогда следующим образом. Уравнения геодезиче-
ских пространства Римана-Картана после умножения на пробную
массу содержат дополнительную (по сравнению с геодезическими
пространства Римана) силу, порождаемую кручением. Когда эта
сила равна нулю, то мы получаем обычные уравнения движения те-
ории гравитации Эйнштейна или уравнения движения общереляти-
вистской электродинамики [5].
В данном случае система отсчета, связанная с массой или заря-
дом, - это ускоренная локально лоренцова система, а заряд или масса
движется хотя и ускоренно, но без излучения Излучение появляет-
14
ся тогда, когда ускоренная система отсчета, связанная с зарядом или
массой, перестает быть локально лоренцовой за счет действия допол-
нительной силы в уравнениях движения, определяемой кручением.
Доказательство того, что ускоренная система отсчета, движущая-
ся согласно уравнениям геодезических пространства Римана-Карта-
на, не локально лоренцова, следовало из тензорного закона преобра-
зования кручения относительно произвольных координатных пре-
образований. Поэтому при переходе к локальным (или нормальным
[12]) координатам символы Кристоффеля, описывающие сильные гра-
витационные или электромагнитные поля, локально равны нулю, а
тензор кручения локально в нуль не обращался.
Таким образом, получалось, что излучают только те массы и за-
ряды, с которыми связаны ускоренные локально неинерциальные си-
стемы отсчета, движущиеся под действием поля кручения; при этом
сила, порождаемая кручением, интерпретировалась как сила реак-
ции излучения.
Другим важным для моих поисков свойством геометрии Римана-
Картана являлась возможность представить тензор полной кривиз-
ны этого пространства в виде суммы тензора римановой кривизны и
определенной комбинации, составленной из квадратичных комплек-
сов тензора кручения и ковариантных производных тензора круче-
ния. Это позволяло (при определенном условии) рассматривать кру-
чение пространства как источник римановой кривизны.
Несмотря на такие интересные свойства геометрии Римана-Кар
тана она не годилась для решения перечисленных выше проблем по
следующим причинам:
в отличие от символов Кристоффеля тензор кручения не имеет
потенциалов, т.е. не может быть представлен в виде производных от
каких-либо геометрических величин;
кручение определяет риманову кривизну только в том случае,
если сделать дополнительное предположение о равенстве нулю пол-
ного тензора кривизны геометрии Римана-Картана.
Последнее из требований означало, что необходимая для построе-
ния теории геометрия должна обладать абсолютным параллелизмом
(по определению, пространство обладает абсолютным параллелиз-
мом, если его тензор кривизны обращается в нуль).
Я познакомился с работами А. Эйнштейна (их всего 13), в которых
он использовал геометрию абсолютного параллелизма (геометрию
А4 ) для поиска уравнений единой теории поля, однако они не решали
поставленных им же самим задач, о чем он сам неоднократно говорил.
Замечательным свойством геометрии абсолютного параллелизма
является то, что ее кручение = — £1к]' имеет «потенциал», в ка-
15
честве которого выступает тетрада еак
- е м)- (° 2)
Используя необходимые для моих исследований свойства геоме-
трии А4, я опубликовал в 1976 г. работу [13], в которой показал,
что проблема геометризации правой части уравнений Эйнштейна и
уравнений общерелятивистской электродинамики может быть успеш-
но решена, если в качестве пространства событий использовать гео-
метрию не Римана, а абсолютного параллелизма (см. ч. 2). Новые
уравнения поля записывались в виде
Rjm ~ = (0-3)
где тензор энергии-импульса материи
2
71m - + —
-|»jmffp"(Vtir|l)|n] + r>(,.r|p|n])}, 7bm] = 0 (0.4)
имеет геометрическую природу и посредством величин
Tjk = —+ g'm(9j,Vmk 3 + gk,Slm- 3) (0.5)
определяется через кручение (0.2) геометрии А4.
Поскольку величины (0.5), называемые в математике коэффици-
ентами вращения Риччи, определяют геометризированный тензор
энергии-импульса (0.4), то было бы разумно назвать их полями мате- 1
рии. Из формул (0.5) и (0.2) следует, что поля материи формируют-
ся кручением пространства абсолютного параллелизма. Легко ви-
деть, что формально уравнения (0.3) подобны уравнениям Эйнштей-
на, если положить v = vs = или уравнениям обще релятивист-
ской электродинамики (0.1), если считать, что и = ис = втге/тс.4. С
другой стороны, множитель v в уравнениях (0.3) сокращается после
подстановки соотношения (0.4) в уравнения (0.3), поэтому уравнения
поля (0.3) первоначально не содержат никаких физических констант.
Таковой оказалась цена за геометризацию тензора энергии-импульса
материи и полей, его образующих. Меня это нисколько не смутило,
поскольку вакуумные уравнения Эйнштейна R]m = 0 тоже не содер-
жат никаких физических констант. Поэтому уравнения (0.3) я стал
рассматривать как обобщение вакуумных уравнений в пространстве
с кривизной и кручением. Для случая вакуумных уравнений Эйн-
штейна Rjm — 0 левая часть уравнений (0.3) оказывается одинаковой
16
как в теории гравитации Эйнштейна, так и в теории, построенной на
базе геометрии А4. Однако левая часть уравнений (0.3) в этом случае
представляет собой уравнения
Vl*T’li|m] + Т'л[. Г ~ °’
которым удовлетворяет поле кручения (0.2). Подобных уравнений
нет ни в теории Эйнштейна, ни в общерелятивистской электродина-
мике.
Все эти необычные свойства уравнений (0.3) позволили заклю-
чить, что мной найдено принципиальное обобщение уравнений Эйн-
штейна и уравнений геометризированной электродинамики (0.1), при-
водящее к их естественному объединению. Как правило, принципи-
альное обобщение какой-либо фундаментальной физической теории
сопровождается выдвижением нового физического принципа Много
лет спустя я понял, что для физического обоснования уравнений поля
(0.3) необходимо дополнить эйнштейновский общий принцип относи-
тельности вращательной относительностью (см. гл. 1).
Для отличия от уравнений Эйнштейна и уравнений общереляти-
вистской электродинамики (0.1) мои друзья посоветовали называть
уравнения (0.3) с геометризированным тензором энергии-импульса
(0.4) уравнениями Шипова-Эйнштейна.
Как всегда, при решении какого-либо принципиального вопроса
вновь возникают проблемы, но уже другого, более высокого уровня,
а именно: каким методом решать уравнения поля (0.3); с каким фи-
зическим полем связано поле материи T'jk; какой физический прин-
цип, расширяющий общий принцип относительности Эйнштейна, на-
до ввести, для того чтобы дать физическое обоснование уравнениям,
(0.3) и т.д.
Занимаясь первым из этих вопросов, я нашел три метода для ре-
шения уравнений Шипова-Эйнштейна [13]. Это прежде всего мето-
ды спиновых коэффициентов Ньюмена-Пенроуза [14], внешних диф-
ференциальных форм Дебнея-Керра Шильда [15] и Вайдя [16]. В от-
личие от решения уравнений Эйнштейна любое решение уравнений
Шипова-Эйнштейна (0.3) позволяло найти не только риманову ме-
трику, но и явный вид тензора энергии-импульса (0.4), создающего
эту метрику. Кроме того, отдельно вычислялись компоненты тензора
кручения (0.2) для данного точного решения.
Далее, используя точное решение уравнений Шипова-Эйнштейна
с римановой метрикой типа метрики Шварцшильда и подставляя по-
лученные из решения Г1^ и T*jk в уравнения геодезических простран-
ства Л4
d2x' _ dx3 dxk , dx3 dxk
~,"n—Ь Г j k --——--i- T'jk ———— — 0,
ds2 1 ds ds 3 ds ds
(0.6)
17
описывающие движение пробной массы т в этой метрике, можно ис-
кать соответствия уравнений (0.6) известным физическим уравнени-
ям. Действуя таким образом, я установил, что частицеподобные ре-
шения уравнений Шипова-Эйнштейна приводят к потенциалам, со-
держащим константы гравитационного, электромагнитного и ядер-
ного взаимодействия.
В результате исследований удалось установить [17], что поля Т^к,
образующие тензор материи в полностью геометризированных урав-
нениях Шипова-Эйнштейна, оказываются полями инерции, вызываю-
щими силы инерции в ускоренных системах отсчета. Оказалось так-
же, что уравнения (0.6) описывают движение ускоренных локально
неинерциальных систем отсчета, которые становятся локально инер-
циальными лишь при условии, что сила инерции
dx3 dxk
ds ds
обращается в нуль [9]. Удалось также показать, что хотя в инерци-
альных (и локально инерциальных) системах отсчета силы инерции
равны нулю, поле инерции отлично от нуля (в силу свойств симме-
трии поля инерции Т']к, которые определяются соотношением (0.5)).
Этот результат заставил обратить внимание на проблему полей
и сил инерции в теоретической физике, начиная с классической ме-
ханики и кончая современной теорией поля. Оказалось, что эта про-
блема, сформулированная еще И. Ньютоном [18], до сих пор является
наименее разработанной частью современной физики [19]. Тогда я по-
нял, что найден не только правильный путь для поиска уравнений
единой теории поля, но и новый фундаментальный объект исследо-
вания теоретической физики - поле инерции. Основные результаты
исследований уравнений Шипова-Эйнштейна таковы.
Во-первых, пространство событий в теория поля, учитывающей
вращательную относительность, имеет структуру геометрии абсо-
лютного параллелизма.
Во-вторых, поля Материи - это торсионные поля2, являющиеся
источником нового вида взаимодействий - торсионных.
В-третьих, торсионные поля T’yjt в механике порождают силы
инерции.
В-четвертых, удалось установить существование ускоренных ло-
кально инерциальных систем отсчета второго рода и предсказать воз-
можность построения движителя принципиально нового типа (см. гл
4, 5).
2Название торсионные поля происходит от английского слова torsion, что
означает кручение.
18
В-пятых, появилась основа для фундаментального объединения
(на базе единых потенциалов) сильных электромагнитных и гравита-
ционных взаимодействий.
Новые представления о полях и силах инерции выводят нас за
рамки некоторых теорем, сформулированных ранее в классической
механике. Например, теорема сохранения импульса центра масс изо-
лированной механической системы принимает более общую форму-
лировку, если учитывать силы инерции, которые:
1) не удовлетворяют третьему закону Ньютона (в классической
механике);
2) являются одновременно как внутренними, так и внешними по
отношению к изолированной (в механическом смысле) системе.
На основе обобщенного закона сохранения центра масс изолиро-
ванной механической системы предложена модель движителя, позво-
ляющая перемещать его центр масс за счет управления силами инер-
ции, действующими на этот центр (см. гл. 5). В настоящее время
модель проходит всестороннюю экспериментальную проверку.
Интенсивный поиск окончательных динамических уравнений, ко-
торым подчиняются поля инерции закончился изданием в 1979 г. на
химическом факультете МГУ моей первой монографии [20]. В ней в
качестве динамических уравнений для полей инерции Т'^к была пред-
ложена следующая система уравнений:
V[*<) = V[te°n + T’[t>)C°,. = 0, (0.7)
S', km = R' jkm + ~ °> (° 8)
V [t P%]m = 0, (0.9)
i, j, k... = 0,1,2,3, a, b, c... = 0,1,2,3,
где - тензор кривизны пространства At, Vk ~ ковариантная
производная относительно связности абсолютного параллелизма
Д'jk = + Т']к1 V*, - ковариантная производная относительно
связности Г*]к и P'jkm = 2V(* Г|>|т] + 27"j[Jt T’|j|m].
Уравнения (0.7)-(0.9) обладали рядом интересных свойств:
из уравнений (0.8) следовали уравнения Шипова-Эйнштейна (0.3)
с геометризированным тензором энергии-импульса (0 4);
уравнения (0.7) и (0 8) совпадали с основными уравнениями фор-
мализма Ньюмена Пенроуза [14];
они допускали спинорную формулировку, подобную той, которая
используется в формализме Ньюмена-Пенроуза;
19
их можно было представить в виде SL(“2.C) калибровочной теории
Янга-Миллса;
можно было записать лагранжиан, из которого с помощью вариа-
ционного принципа эти уравнения выводились и т.д.
Было также показано (правда, в нынешнем понимании, не доста-
точно строго), что в инерциальных системах отсчета поля инерции,
образующие плотность материи, удовлетворяют волновым уравнени-
ям, подобным уравнению Шредингера современной квантовой меха-
ники [20]. При этом волновая функция квантовой теории оказывается
связанной с реальным физическим полем - полем инерции и получает
детерминистическую интерпретацию [21]
Изучение физических свойств полей инерции убедило меня в том,
что эти поля играют в физике первостепенную роль и что явление
инерции связывает классическую и квантовую физику не только на
формальном уровне, но и на уровне физических принципов. Это озна-
чало, что динамические уравнения для полей инерции (0.7)- (0.9) ре-
ализуют в себе эйнштейновскую программу - минимум по геометри-
зации электромагнитного поля и программу - максимум по геометри-
зации полей материи, т е. квантовых полей. В то время объявлять об
этом фантастическом результате я не решался, зная что А.Эйнштейн
несколько раз делал это ошибочно и тем самым дискредитировал в
глазах научной общественности саму попытку заявить о реализации
программы единой теории поля
Несмотря на ряд публикаций и многочисленные выступления на
научных семинарах и конференциях (и даже чтение лекций на хими-
ческом факультете МГУ и в Институте проблем нефти и газа им.
И. М. Губкина в 1980 - 1985 г.) специалисты в области общей теории
относительности и теории гравитации нашей страны хранили глу-
бокое молчание по поводу результатов моих исследований. Первое
сообщение о перспективности работы [22], опубликованной в 1977 г.,
было сделано Международной комиссией по общей теории относи-
тельности и гравитации [23]. Это была очень важная для меня мо-
ральная поддержка, и я продолжил исследования, опираясь на соб-
ственные результаты.
Уравнения динамики полей инерции (0.7)—(0.9), подобно вакуум
ным уравнениям Эйнштейна и уравнениям Шипова-Эйнштейна (0.3),
не содержат первоначально никаких физических констант. Поэтому
и те и другие можно было рассматривать как обобщение вакуумных
уравнений Эйнштейна.
Заменяя материю кручением пространства Аа, мы тем самым пе-
реходим к чисто пространственному описанию полей материи и внеш-
них полей. Следуя У. Клиффорду [24], можно теперь сказать, что в
20
мире не происходит ничего, кроме изменения кривизны и кручения
пространства. Эту идею еще в большей степени реализуют дина-
мические уравнения для полей инерции (0.7)-(0.9). Они не содержат
ничего, кроме геометрических характеристик пространства с геоме-
трией А4, частным случаем которой является геометрия Г. Минков-
ского.
В 1985 г я отмечал [25], что уравнения (0.7) и (0.8) представля-
ют собой структурные уравнения Картана геометрии абсолютного
параллелизма, которые, как оказалось [26], являются одновремен-
но структурными уравнениями соответственно группы трансляций
(группа 74 ) и группы вращений (группы 0(3.1)).
Структурные уравнения геометрии А4 не были использованы А.
Эйнштейном и его последователями в качестве новых физических
уравнений. Правда они рассматривались Э. Ньюменом и Р.Пен-
роузом только как вспомогательные уравнения для поиска решений
уравнений Эйнштейна [14], однако Э.Ньюмен и Р.Пенроуз не замети-
ли их связи с геометрией абсолютного параллелизма.
Теперь надо было дать физическое обоснование для введения
уравнений (0.7) и (0.8) в качестве новых фундаментальных уравне-
ний физики. Было ясно, что их утверждение как новых физических
уравнений требует расширения не только общего принципа относи-
тельности, но и принципа вращательной относительности. Поиски
этого нового принципа продолжались в течение 1980 - 1989 гг. В
результате удалось установить:
1) уравнения (0.7) и (0.8) описывают структуру десятимерного
пространства событий произвольно ускоренных четырехмерных си-
0 12 3
стем отсчета с четырьмя трансляционными координатами х , х , х ,х
и шестью угловыми координатами: тремя пространственными угла-
ми tp1 ,<p2,tp3 и тремя псевдоевклидовыми О1, в2,63;
2) кроме четырех уравнений движения (0.6), описывающих движе-
ния начала О произвольно ускоренной системы отсчета, в геометрии
А4 существуют еще шесть торсионных уравнений движения [25, 27]:
d2e’ ...
—+ (Г’^т + T'jkim - Г’,*Г<т - V,kT‘jtn - (0.10)
_rjii pa _rrii rps ._ pt pa __ /pi ps _
ale1 jm J зк-L jm 1 jsL km * jsL km
dxk dxm
-Г‘ ,Пт - rJ37;m) —— e\ = 0,
J as as
описывающих изменение ориентации четырехмерной системы;
3) кроме трансляционной римановой метрики ds2 = eale]adx'dx1, в
геометрии А4 существует вращательная метрика Киллинга-Картана
dr2 = dxkadXab = TabiTbakdxidxk, (0.11)
21
характеризующая квадрат бесконечно малого поворота векторов,
образующих четырехмерную систему отсчета;
4) источником полей инерции Т1^ является четырехмерное вра-
щение системы отсчета, при этом в группе трансляций Т4 эти поля
преобразуются как тензор, а в группе вращений 0(3.1) они имеют
нетензорный закон преобразования;
5) уравнения (0.9) представляют собой тождества Бианки геоме-
трии и являются следствием уравнений (0.8), а их запись в общем
случае имеет вид [27]
+ ЛСфтТ°с|п] + - 0. (0.12)
Уравнения вращательного движения (0.10) и вращательная метри-
ка Киллинга-Картана (0.11) до сих пор в теории поля никем не ис-
пользовались, поэтому их исследование применительно к наблюда-
емым явлениям представляло для меня особый интерес. Оказалось,
например, что первый интеграл вращательных уравнений (0.10), за-
писываемый как
de* dxk
—± + Vjke> —
ds ds
t dxk
’3 ----= 0
° ds ’
в локальном базисе переходит в четырехмерные уравнения Френе [12].
Использование этих уравнений в электродинамике, которая следует
из динамических уравнений для полей инерции (0.7) - (0.9), позволяет
теоретически предсказать существование электроторсионной компо-
ненты Екх в излучении заряженных частиц со спином [28] вида (см.
также гл. 5)
„ 2е
= 3^«Х,
где к - кривизна траектории заряда, определяемая внешним электро-
магнитным полем, а % - кручение траектории, задаваемое спином.
Этот теоретический вывод блестяще подтверждается многочислен-
ными экспериментами, проводимыми с использованием торсионных
генераторов Акимова [29].
Поскольку точные решения динамических уравнений для полей
инерции (0.7) и (0.8) позволяли вычислить не только трансляционную
метрику Римана, но и вращательную метрику Киллинга-Картана
(0.11), то стало ясно, в каком направлении надо расширять эйнштей-
новский принцип обшей относительности. Необходимо было доба-
вить к трансляционной относительности Эйнштейна вращательную
относительность, связанную с преобразованиями в угловых коорди-
натах в группе 0(3.1) и с метрикой (0.11). Для уравнений (0.7) и (0.8)
22
группа 0(3.1) является группой «внутренних» калибровочных сим-
метрий. Кроме того, вращения учитывают киральные симметрии,
позволяя различать правое и левое вращения.
Исходя из этого, в 1988 г. я выдвинул принцип всеобщей отно-
сительности [30], который требует относительности всех физических
полей и включает в себя поступательную, вращательную (калибро-
вочную, киральную) и конформную относительность.
Вращательная относительность привела к относительности полей
материи (поле материи Т'-к может быть обращено в нуль с помощью
преобразований в группе 0(3.1)), поэтому в уравнениях (0.7) и (0.8)
относительными являются не только внешние поля (гравитационные
и электромагнитные), описываемые символами Кристоффеля, но и
поля материи (квантовые поля). Для выполнения всеобщей относи-
тельности необходимо было добавить конформную относительность,
делающую относительным тензор кривизны R'jkm, через который вы-
числяются массы, заряды и другие характеристики частицеподобных
решений. В результате все физические объекты становятся относи-
тельными, приобретая возможность менять свои массы, заряды, спи-
ны и т.д. при рождении из вакуума. Именно это понимание принци-
па всеобщей относительности позволяет воспринимать пустоту (или
пустое пространство А4) как физический вакуум - источник любой
материи.
Простейшая геометрия А4 - геометрия Минковского - обладает
равной нулю римановой кривизной и равным нулю тензором круче-
ния. Поэтому возникла идея, что именно геометрия Минковского
описывает на языке геометрии основное низшее состояние всех фи-
зических полей - абсолютный вакуум.
Завершением эйнштейновской единой теории поля явилось выдви-
жение в 1988 г. новой научной программы - программы всеобщей
относительности и теории физического вакуума [31] с уравнениями
вакуума следующего вида [32]:
^е°т] - еVi*!"] = °- И)
Rabkm + 2VIfcT*ji|m] + 2ТсфТС|4|т] = О, (В)
= 0,1,2,3, а, Ь, с... = 0,1,2,3,
допускающими также конформную инвариантность. В работе сло-
вацкого физика и философа В. Скальского [33] они впервые были на-
званы именем автора.
Уравнения (А) и (В) записаны в векторном базисе. Фактически
это матричная запись уравнений (0.7) и (0.8), в которых матрицы
е“т, ТаЪт и Rabkm выступают как основные калибровочные потен-
циалы и поля теории физического вакуума. Далее я заметил, что
23
если в качестве системы наблюдения выбрать комплексную свето-
вую тетраду zak [14], связанную со световой волной, то уравнения
вакуума (А) и (В) могут быть записаны в спинорном базисе в виде
геометризированной системы фундаментальных физических уравне-
ний - уравнений Гайзенберга-Эйнштейна-ЯнгаМиллса
Рх@ oi -— @ОсхLpOy -j- COoiLpL^ T~ZaOpO-^~i~
+piaOpLx + Vt-aLpO* — Klalplx, (A ’ 1)
VPx^a “ l^OaOpOx \oaO@t>x P^a^P^x A TTO^Lplx У^сх^Р^х~^~
~^~(XtaOpLx “I" @LaLpOx E'l'al'Pl'Xi (-4 2)
^ABCD + ^AB^CD ~ V^ACBD’
CaBCD ~^CD^AB + ^AB^CD + (^Сё)л TFB + (^+£)C) B^AF~
~(Tab)cFTfd ~ C^+ba^dTcf ~ [TAb >^сЬ^ ~ ~u^abcd> 5 2)
a,/3.. =0,1, x,p... = 6,i; Л.С... = 0,1, B,D... = 6,i,
которые описывают рождение квадриг Я.Терлецкого из вакуума [34].
Когда физик-теоретик предлагает новые физические уравнения,
претендующие на обобщение уже известных, проверенных на опыте,
он должен предъявить к новым уравнениям целый ряд требований.
1. Необходимо проверить, удовлетворяют ли новые уравнения
принципу соответствия, т.е. переходят ли они в старые уравнения в
некотором предельном случае. Такая проверка была проведена для
уравнений вакуума (А), (В) и было показано, что соответствие основ-
ным фундаментальным уравнениям физики для них выполняется (см.
гл. 3).
2. Если предлагаемые уравнения носят фундаментальный харак-
тер, то для их обоснования необходимо ввести новый фундаменталь-
ный физический принцип, обобщающий старые принципы (или прин-
цип). Уравнения вакуума базируются на всеобщем принципе относи-
тельности, который объединяет принципы квантовой теории с прин-
ципами общей теории относительности (см. гл. 2, 4).
3 Новые уравнения должны описывать не только изученные фи
зикой явления, но и предсказывать новые, еще неизвестные. Более
того, новые уравнения должны объяснять наблюдаемые явления, ква-
лифицированные наукой, базирующейся на старых уравнениях, как
аномальные. Уравнения (А), (В) удовлетворяют и этому требова-
нию (см. гл. 4, 5), поскольку они, например, предсказывают суще-
ствование новых физических объектов, которые по своим физическим
24
Номер уравнения
Рис. 0.1. Появление фундаментальных уравнений физики
свойствам могут претендовать на роль посредника в психофизиче-
ских явлениях.
4. Новая теория должна снять трудности, существующие в ста-
рой. Теория вакуума решает эту проблему (см. гл. 1, 3, 4).
5. Новая фундаментальная теория требует нового математическо-
го аппарата.
Уравнения теории физического вакуума базируется на геометрии
абсолютного параллелизма, обладающей спинорной структурой.
Если осмелиться предположить, что уравнения, найденные мной,
относятся к числу фундаментальных уравнений физики, то можно по-
строить график, отражающий вклад автора в развитие фундамен-
тальной физики (рис.0.1).
Нет ничего практичней хорошей теории. Теория вакуума в пол-
25
ной мере подтверждает этот тезис, поскольку она описывает не толь-
ко известные эксперименты, но и предсказывает целый ряд новых
неизвестных ортодоксальной науке явлений. Более того, возникли
новые физические инструменты - генераторы и приемники торсион-
ных полей, которые привели к появлению суперсовременных, весьма
эффективных технологий (см. гл. 5). В настоящее время некоторые
торсионные технологии доведены до уровня коммерческого продукта
с высоким уровнем прибыли. Такое в науке происходит впервые, по-
скольку ни одна из фундаментальных физических теорий прошлого не
смогла за относительно короткий период времени стать «теорией под
ключ», т.е. включить в себя все звенья цепочки теория-эксперимент-
технология-коммерческий продукт.
Наши современные представления об источнике всех частиц и по-
лей связываются с физическим вакуумом - основным состоянием лю-
бого вида материи. С моей точки зрения, проблема создания единой
теории поля получила свое решение в теории физического вакуума
Как появляются фундаментальные уравнения современной физики из
уравнений вакуума (Л) и (В), какие новые явления предсказывают и
способны описать эти уравнения, какова новая картина мира? На эти
и многие другие вопросы будет дан ответ в последующих главах кни-
ги. Прочитав ее, многие найдут подтверждение своим интуитивным
догадкам, а главное получат стимул для дальнейших исследований
в различных областях современной физики.
Глава 1
Нерешенные проблемы современной
теоретической физики
1.1. Проблема сил инерции
Проблема сил и полей инерции в классической механике и в других
разделах физики является одной из запутанных. Дело в том, что си-
лы инерции не удовлетворяют третьему закону Ньютона [35]. Кроме
того, возникают трудности в разделении их на внешние и внутренние
по отношению к изолированной системе. Наши знания об этих си-
лах почти не изменились со времен И. Ньютона. В знаменитой книге
А. Пайса «Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна» ав-
тор замечает: «По моему мнению, проблема происхождения инерции
была и остается наиболее темным вопросом в теории частиц и полей»
[19].
В нашей стране дискуссии по проблеме сил инерции периодически
возникают через 20-30 лет. Основные вопросы, которые при этом
обсуждаются, следующие:
1) реальны ли силы инерции;
2) что является их источником;
3) являются ли они внешними или внутренними силами по отно-
шению к изолированной механической системе.
Анализ учебников по теоретической механике показывает отсут-
ствие единого мнения по этим вопросам. Например, по вопросу, ре-
альны или нереальны силы инерции, мнения распределяются (при-
близительно) следующим образом:
60 % авторов считает, что силы инерции нереальны [36];
20 % - что они реальны [37];
10 % - что часть сил инерции реальна, а часть нереальна;
10 % авторов вообще обходят этот вопрос.
27
Силы инерции наблюдаются в ускоренных системах отсчета, по-
этому И. Ньютон, Л. Эйлер, Э. Мах, А. Эйнштейн и многие другие
исследователи рассматривали эти силы как реальные.
Из опыта также следует, что при ускоренном движении в протя-
женном теле возникает поле сил инерции, равнодействующая кото-
рых приложена (иногда) к центру масс данного тела. Поэтому це-
лесообразно поставить вопрос об изучении физических свойств поля
инерции, порождающего силы инерции. Полагаю, что вопрос о си-
лах и тем более о полях инерции выходит далеко за рамки не только
механики Ньютона, но и классической механики вообще.
1. 1.1. Четыре типа сил инерции
В настоящее время в нерелятивистской механике ускоренных си-
стем отсчета известны четыре типа сил инерции. Три силы связаны
с вращением в трехмерном пространстве, а именно
центробежная
Fi = —m[w[wr]], (1.1)
сила Кориолиса
F2 = —2m[wv] (1.2)
и сила, связанная с вращательным ускорением,
F3 =-т[шг]. (1.3)
Четвертая сила инерции
F4 = -mW (1.4)
возникает при поступательном ускорении тела W и также связана
с вращением в пространственно-временных плоскостях (рис.1.1), по-
этому единое описание всех сил инерции требует релятивистского
подхода [38]. Например, ускоренное движение тела вдоль оси х пред-
ставляется через псевдоевклидов угол О в виде
W = v - c(tg6),
где с - скорость света.
Мы уже отметили, что силы инерции вызваны полями инерции,
поэтому проблема сил инерции в классической механике не может
быть успешно решена без исследования такого важного вопроса, как
динамика полей инерции.
Эту проблему не решает и общая теория относительности, пред-
ложенная А Эйнштейном Он считал [39], что геометрия на вращаю-
щемся диске изменяется и вместо евклидовой становится геометрией
28
Рис. 1.1. Поступательное ускорение W = dx/dt = c(tg6) вдоль оси х
есть вращение в плоскости ct — х
поверхности отрицательной кривизны в трехмерном евклидовом про-
странстве. Из формул (1.1)—(1.3) видно, что всякое вращение материи
вызывает в ней действие сил инерции. Кроме того, вращение пред-
ставляет собой движение в угловых координатах (например, в углах
Эйлера). Поэтому представления А.Эйнштейна о вращении не явля-
ются полными, так как риманова геометрия не учитывает движение
в неголономных координатах описывающих реальное (а не
координатное, как у Эйнштейна) вращение.
1. 1.2. Силы инерции и вращательня относительность
Общая теория относительности Эйнштейна, специальная теория
относительности и относительность Галилея- Ньютона представля-
ют собой класс теорий, в основу которых положена поступательная
относительность. В таких теориях рассматривают преобразования
голономных поступательных (или трансляционных) координат. В не-
релятивистской физике это преобразования координат х, у, г, а в ре-
лятивистской соответственно ж1, ж2, ж3 и ж0 = ct. Однако при опи-
сании вращательного движения к преобразованиям трансляционных
координат необходимо добавлять преобразования угловых (или вра-
29
щательных) координат. В трехмерном пространстве ими могут быть
три пространственных угла y’l, ^>2, У’з- Производные этих углов опре-
деляют компоненты угловой скорости в формулах (1.1)—(1.3). Для
описания силы инерции (1.4) необходимо ввести дополнительно три
псевдо евклидовых угла 0], 02, 0з , поэтому полное описание сил инер-
ции требует расширения теории относительности путем включения
в нее теории вращательной относительности и десятимерного про-
странства событий.
В отличие от голономных (интегрируемых) трансляционных ко-
ординат вращательные координаты, неголономны. Об этом свойстве
вращательных координат часто забывают при исследовании пробле-
мы сил и полей инерции.
1.2. Неголономные координаты
Известно, что в классической механике произвольно ускоренная
система отсчета имеет шесть степеней свободы, поэтому взаимное
положение трехмерных ускоренных систем задается шестью коорди-
натами: тремя трансляционными координатами Х1,х2,хз, задающи-
ми положения начала О системы отсчета, и тремя углами Эйлера
‘jC’i > 9^2, У’з> определяющими их взаимную ориентацию. Этим шести
степеням свободы соответствуют шесть уравнений движения меха-
ники твердого тела:
три уравнения Ньютона для центра масс твердого тела
dv
= p (1.5)
и три уравнения Эйлера
dcj
JdT = M- х (16)
at i
описывающие вращательное движение твердого тела.
Уравнения (15) и (1 6) могут быть заданы на шестимерном мно-
гообразии координат xj, х2> а^з, V2i ¥>3 В этом случае для создания
теории относительности, описывающей динамику твердого тела не-
обходимо, кроме преобразований Галилея Ньютона для трансляци-
онных координат х вида
х' = х —V/, V = const, (1.7)
ввести преобразования для угловых координат
Геометрия такого шестимерного многообразия должна отличать-
ся от евклидовой геометрии механики Ньютона тем, что координаты
30
Рис. 1.2. Два последовательных поворота на угол 180°
а - поворот на 90° по часовой стрелке вокруг оси z; 6 - то же,
вокруг оси х, в - результат двух последовательных поворотов
^1,22,^3 образуют полярный вектор, а координаты %>i, %>2, <рз не обра-
зуют вектора вообще. Вектор (аксиальный) образуют бесконечно
малые приращения углов dipi, dips, dips
В общем случае полярный и аксиальный вектора имеют различ
ные законы преобразования; если любая из координат полярного век-
тора является скаляром, то координаты аксиального вектора явля-
ются псевдоскалярами. Это означает, что аксиальный вектор при
поворотах преобразуется как полярный вектор при трансляциях, т е.
знак проекций этого вектора на координатные оси не меняется; при
дискретном преобразовании, соответствующем инверсии координат-
ных осей, проекции аксиального вектора не меняют своего знака, в
то время как проекции полярного вектора меняют знак.
Координаты ^1,^21 У’з с указанными свойствами называются не-
голономными координатами (матрицы преобразования поворотов на
конечный угол не коммутируют друг с другом) в отличие от голоном-
ных координат Х1,Х2,хз- При движении в неголономных координатах
результат двух поворотов на конечные углы, вообще говоря, зави-
сит от последовательности этих поворотов. Для иллюстрации это-
го утверждения, рассмотрим два последовательных поворота вокруг
осей х и z на углы 90° (рис. 1.2, 1.3).
Из рисунков видно, что результат двух конечных поворотов во-
круг осей х и z зависит от последовательности этих поворотов (по-
31
a
б
в
Рис. 1.3. Смена порядка последовательных поворотов на угол 180°
а - поворот по часовой стрелке на угол 90° вокруг оси х\ 6 - то же,
вокруг оси z, в - результат двух последовательных поворотов
ложения квадрата со звездочкой в верхнем правом углу на рис 1.2, в
и рис.1.3, в не совпадают).
Аксиальные вектора различаются ориентацией, и для их полного
описания необходимо задавать ориентируемые многообразия, харак-
теризуемые правыми и левыми системами отсчета. В ориентируе-
мых многообразиях появляются правые и левые аксиальные вектора
и всякий нулевой аксиальный вектор можнц представить как пару
аксиальных векторов, проекции которых различаются знаками.
Примером аксиального вектора является трехмерная угловая ско-
рость ы, входящая в уравнения Эйлера (1.6). Этот вектор преобразу-
ется не только в группе Галилея-Ньютона (1.7), но и в группе трех-
мерных вращений 0(3), действующей на многообразии угловых ко-
ординат $01,^2, <Рз-
Если теперь мы захотели бы построить теорию относительности,
совмещающую поступательную относительность Галилея-Ньютона
с вращательной относительностью, нам необходимо было бы расши-
рить наши представления о геометрии пространства событий такой
теории.
32
1.3. Ограниченность специального
принципа относительности
в электродинамике
В современной физике электродинамика считается наиболее разра
ботанной теорией, которая представляет собой образец построения
других теорий поля. Однако еще В.Паули заметил, что уравнения
Максвелла «строго справедливы только ля равномерно движущих-
ся тел и степень их точности, вообще_говоря, тем больше^_чем мень-
ше ускорение материи» [40]. Ограничение на ускорение движущихся
зарядов приводит к ограничению применимости специального прин-
ципа относительности в электродинамике [5, 38].
Наиболее просто доказательство ограниченности специального
принципа относительности проведено в работе А Эйнштейна «К
электродинамике движущихся тел» [41]. Здесь А. Эйнштейн пока-
зывает, что специальный принцип справедлив только при медленном
~~-------.--------------— - - - ——..............- *•“
ускорении заряженных частиц.
Утверждение, что четырехмерная формулировка уравнений элек-
тродинамики, данная впоследствии Г Минковским, снимает требо-
вание медленного ускорения зарядов при доказательстве ковариант-
ности ее уравнений, несостоятельно. Это мы и покажем ниже.
1.3.1. Теорема Эйнштейна-Пуанкаре
Ввиду важности поднятой проблемы и из-за отсутствия в совре-
менной научной литературе работ в этом направлении приведем по-
дробно основные положения теоремы Эйнштейна-Пуанкаре, в кото-
рой требование малости ускорения выступает основным пунктом при
доказательстве ковариантности уравнений электродинамики.
Доказательство релятивистской ковариантности уравнений дви-
жения
££ - А-рф (18)
авц me2 aso
невозможно провести без дополнительного условия
их = v = const, (1.9)
означающего, что скорость движения заряда их вдоль оси X равна
скорости v инерциальной системы отсчета, т.е постоянна. Действи-
тельно, плотность заряда ре в некоторой инерциальной системе от-
счета S связана с плотностью р'е в системе отсчета S', движущейся
2 Г И Шипов
33
относительно S с постоянной скоростью v, следующим образом [41]
р'е = ре(1 - -^)/3, (1.10)
где их - скорость заряда в системе S и
<‘П)
- релятивистский множитель.
Инвариантность заряда е в системах S и S'
е' = е - inv (1.12)
выполняется при условии, когда плотность заряженной материи пре-
образуется согласно соотношению [41]
= (1.13)
Эта формула совпадает с равенством (1.10) лишь тогда, когда
справедливо соотношение (1.9). Иными словами, инвариантность за-
ряда (1.12) существует только при движении зарядов с постоянной
скоростью
Пусть в системе отсчета S заряд е с массой покоя т движется
согласно уравнениям
d2x d2y d2z
mdt2=eE^ mdt2=eEV’ mdt2=eE2 (114)
Перейдем в систему отсчета S', которая движется со скоростью
v = const вдоль оси X. Полагая, что в системе S' уравнения (114) не
меняют своего вида, запишем
= = = (115)
Вычислим в этих уравнениях производные
dx' dy' dz' d2x' d2y' d2z'
dt7' ~dV' dt7’ ~M2' Iv2’ d^2'
используя преобразования Лоренца
x’ = (x-vt)P, у -у, z'-z, (1.16)
2’
34
Вычисляя компоненты скорости заряда в системе S', имеем
/ __ I^X V / __ "Uy f __ Uz
1 l — Uxv/c2’ У /?(1 — Uxv/c2) ’ 2 /3(1 — uxv/c2)
Соответственно для компонент ускорения находим [41] (1.17)
d2x' du'x 1 Ux(l - uxv/c2) + (ux — v)uxv/c2
dt'2 ~ dt1 P (1-Uiv/c2)3
d2y' du'y 1 u„(l - uxv/c2) + UyUxv/c2 (118)
dt'2 dt' P (1 - uxv/c2Y
d2z' du'z 1 uz(l - uxv/c2) + uziixv/c2 (1.19)
dt'2 dt' P (1 — Uxl>/c2)3
где
йх = dux/dt, йу — duv/dt, uz = duz/dt. (1.20)
Пусть теперь в системе отсчета S' заряд «мгновенно покоится»
[41], тогда выполняются соотношения
и'х — 0, их = v = const, е' = е = inv, т' — т, (1.21)
где т - масса покоя заряда. Поскольку движение идет только вдоль
оси X, то составляющие скорости вдоль осей У и Z равны нулю
= uz = 0.
(122)
Выражение «мгновенно покоится» означает, что система отсчета
S' связана в данный момент с самим зарядом. Для заряда, движу-
щегося прямолинейно и равномерно, S' является системой отсчета, в
которой он «мгновенно покоится» во всех точках траектории Поэто-
му для рассматриваемой ситуации, когда выполняются условия (1 21,
1 22), обращаются в нуль как производные (1.17)—(1.19), так и про-
изводные (1 20), поскольку заряд движется относительно системы S
прямолинейно и равномерно со скоростью их = v = const Очевидно,
что прямолинейное и равномерное движение зарядов происходит в
отсутствие внешних полей, поэтому уравнения движения (1 15) стро-
го ковариантны относительно преобразований Лоренца (1 16) только
для свободных зарядов.
Предположим теперь, что заряд движется, согласно уравнениям
(1.15), с малым ускорением, вызываемым внешним электрическим по-
лем с напряженностью Е. Теперь условия (1-21) выполняются лишь
приближенно
и'х ~ 0, их ~ v = const, е' = е = inv, т' = т. (1.23)
35
Используя первые два условия (1.23), можно записать производ-
ные (1.17-1.19) в виде
d2x' „-\d2x d , ~d&~p Цр - dt2^1^’ (1.24)
d2y' _ д2 <Ру dt>2 p dt2’ (1.25)
— - !32 d2z dt'2 P dt2' (1.26)
Первое из этих соотношений доказывается следующим образом.
Из условия малости ускорения ux(t) ~ и = const вместо (1.11) можно
записать
Р — ,---? .. ~ const,
0 - ^)А2
(1.27)
поэтому
d и2 fu2
= рйх + ихр = 0йх + Р3йх-^ = Р3йх ( -f + - ) = р3йх.
at с‘ \с‘ р J
Здесь было использовано соотношение
которое следует из (1-27). Подставляя (1.24)-(1.26) в уравнения (1.14)
и учитывая соотношения (1.23), а также преобразование полей
Q) 9 1 -=
Е'Х = ЕХ, Е'у = (Е„--Нг)(3, Е'г = (Ег +-НУ)Р,
91 9 1
Н'Х = НХ, Н'у = (Ну +-Ег)Р, Н'г = (Н, - -сЕу)Р,
запишем уравнения (1.15) в виде
о d х d
~ ^TnUx^ ~ еЕх’ (1-28)
36
Поскольку v ~ их и иу = иг = 0, то мы можем переписать уравне-
ния (1.28) как
^-(тихр) = е(Ех + Ч - ^Ну),
fit, с с
^-(muy/З) = е(Еу + ^-Нг - ^Я2),
(Ц С/ L
^-(тиг/3) = е(Ег + — Ну - —Нх).
dt с с
(129)
1.3.2. Четырехмерная запись уравнений движения
Далее, следуя Г. Минковскому, можно записать уравнения (1-29)
в четырехмерном виде. Для этого введем четырехмерное псевдоев-
клидово пространство Минковского с интервалом
dso = c<tt|l - — |^(—)+(-)+(-) jj _
/ o2\1/2
— cdt ( 1-= )
\ c /
четырехмерный вектор скорости и' с компонентами
и0
и* = (/? , —Р), а = 1,2,3
с
(1.30)
(1.31)
и четырехмерный тензор электромагнитного поля Flk с компонента-
ми
Используя соотношения (1.30)-(1.32), перепишем уравнения (1.29)
следующим образом:
d с
^-(тпиа) = — F,aUi.
asQ с*
(1.33)
Добавляя к уравнениям (1.33) уравнение для мощности электри-
ческих сил, которое через величины (1.30)-(1.32) запишется как
-у-—(т7Ш°) —
aso с2
37
получим уравнения движения классической электродинамики (1.8),
записанные в четырехмерном виде. При получении этих уравнений
мы нигде не вышли за рамки приближенных равенств (1.23), поэтому
четырехмерная запись уравнений движения сохраняет условие мало-
сти ускорений заряда.
1.4. Пределы применимости специального
принципа относительности
в электродинамике
Выше было показано, что четырехмерная запись уравнений дви-
жения ничего не изменила относительно условия малости ускорения
заряда. Более того, можно утверждать, что без этого условия четы-
рехмерная запись уравнений электродинамики в ковариантном отно-
сительно преобразований Лоренца виде вообще невозможна. Совре-
менные теоретики забыли об этом весьма важном обстоятельстве.
Величину внешних полей, для которых справедлив специальный
принцип относительности в электродинамике Максвелла-Лоренца,
можно определить следующим образом.
Умножим уравнения движения (1.8) на ге — е2/тс2 - классический
радиус электрона (характерный параметр классической электроди-
намики)
е2 d2x' _ е3 ^ik dxk
тс2 dsg m2c4 dso
Условие малости ускорения означает, что безразмерное ускоре-
ние в левой части этих уравнений мало, откуда следует
е3 Fikdxk
т2с4 dso
(134)
« 1
Ускорение, удовлетворяющее неравенству (1.34), как раз и опре-
деляет границы применимости специального принципа относительно-
сти в электродинамике.
В структурном виде неравенство (1.34) можно записать как
е3 F
т2с4 У1 - v2/c2
(1.35)
Из этого неравенства следует, что специальный принцип относи-
тельности в электродинамике нарушается: в больших по величине
38
электромагнитных полях и при ультрарелятивистских скоростях за-
ряженных частиц. При нерелятивистских скоростях из (1.35) следует
Подставляя сюда заряд и массу электрона, имеем следующую
оценку для сильных электромагнитных полей
1016ед. СГСЕ (1.36)
Электромагнитные поля, удовлетворяющие неравенству (1.36), яв-
ляются слабыми, и для малых времен наблюдения специальный прин-
цип относительности для таких полей выполняется с достаточной сте-
пенью точности. Для заряда, равного заряду электрона, поля Е и Н
появляются на расстояниях
г > ге - е2/тс2 ~ 2,8 х 10-13 см. (1.37)
Сделанные нами выводы оказываются справедливыми как для
классической, так и для квантовой электродинамики. Вот что го-
ворит П. Дирак о границах применимости квантовой электродина-
мики: «Существующая квантовая теория хороша до тех пор, пока
мы не пытаемся распространить ее слишком далеко, а именно когда
мы не пытаемся применить ее к частицам высоких энергий, а также
в области малых расстояний» [1].
1.5. Некоторые следствия нарушения
специального принципа относительности
в электродинамике
Условие применимости специального принципа относительности
в электродинамике (1.34) накладывает ограничение на допустимые
ускорения и скорости зарядов, поэтому, как только мы попытаемся
использовать уравнения электродинамики для ситуаций, где нера-
венство (1.34) нарушается, возникает целый ряд трудностей.
1.5.1. Бесконечная собственная энергия заряда
Единственная модель заряда, которая следует из линейных уравне-
ний электродинамики, - это модель точечного заряда с плотностью
Ре = еб(г),
39
где 6(г) - трехмерная 6-функция Дирака.
Электромагнитное поле такого заряда простирается по координа-
те г от О до оо, однако уже на расстояния г ~ ге — 2,8 10-13см от
центра заряда, равного заряду электрона, специальный принцип от-
носительности нарушается. Попытка применить уравнения электро-
динамики на расстояниях меньше те приводит к результатам, проти-
воречащим здравому смыслу. Действительно, вычислим энергию W
электростатического поля Е заряда, радиус которого равен а
W = -?- [ E2dV =
О7Г J
2а
(138)
Для точечного заряда а —♦ 0, поэтому из (1.38) следует W —оо.
По формуле т = W[<? масса такого заряда бесконечно большая,
и, следовательно, его невозможно было бы сдвинуть с места. Понят-
но, что противоречащий здравому смыслу результат получился из-за
неправомерности применения формулы (1.38) на расстояниях г < ге.
1.5.2. Проблема излучения заряда
Нарушение специального принципа относительности при больших
ускорениях заряда (в сильных полях) возникает и при изучении про-
блемы излучения ускоренно движущегося заряда. При ускоренном
движении заряда в уравнениях движения (1.8) появляется дополни-
тельный член, связанный с силой реакции излучения. Эту силу на-
ходим из решения уравнений Максвелла
ОАк = — jk, i,*=0,l,2,3,
с
в которых скорость источника переменна. Рассматривая заряд как
жесткую сферу радиуса а с равномерным распределением заряда на ,
ней, М. Абрагаам и Г. Лоренц нашли следующие уравнения движе-
ния заряда с учетом силы реакции излучения [40]
\ с 2е2
т + -—х ) х = еЕ + - [хН] + —х +. . . , (1.39)
oacz / с
dx
х =
dt
Остальные невыписанные члены этого уравнения, содержащие че-
твертую и другие производные х по времени, умножаются на возра-
стающие степени радиуса а.
В уравнениях (1.39)
еЕ + -[кН]
С
40
представляет собой внешнюю силу, под действием которой происхо-
дит ускорение заряда,
2е2
з? х
и является силой реакции излучения. Дополнительная к массе покоя
т электромагнитная масса
для точечной частицы (при а—» 0) становится бесконечно большой,
поэтому никакими разумными внешними силами ускорить такой за-
ряд невозможно. Этот результат получается как следствие того, что
мы продвинули уравнения электродинамики в область малых рас-
стояний, где поля становятся сильными и неравенство (1.34) для них
нарушается.
Обычно при переходе к точечной частице член, содержащий массу
6т, отбрасывают и записывают уравнения движения излучающего
заряда в виде
е 2е2
гпх = еЕ + -[хН] + —— х. (1.40)
с Зс5
Этот прием отбрасывания бесконечно больших величин из урав-
нений квантовой электродинамики получил название «процедура пе-
ренормировки» [42]. Однако прием подобного рода только маски-
рует существующую в электродинамике проблему - ограниченность
специального принципа относительности и, как правило, приводит,
к другим бессмысленным результатам. Например, при отсутствии
внешней силы уравнения (1.40) принимают вид
.. 2е2 ...
ШХ “ Зс3 Х
Эти уравнения имеют два решения:
а) тривиальное, когда х = 0;
б) самоускоряющееся, когда
(1.41)
где а - ускорение в момент времени t — 0. Из решения (1.41) следует,
что достаточно самого небольшого начального ускорения для того,
чтобы заряд начал самоускоряться под действием силы реакции из-
лучения. Таким образом, в электродинамике существует проблема
излучения ускоренного заряда, которая опять-таки связана с огра-
ниченностью специального принципа относительности. Это следует
( Зе3 м
Х = ,И<Р(2^')’
41
из уравнений, которые представляют собой четырехмерную запись
уравнений (1-40)
= + (1.42)
asq тс‘ a so тс
где д' - четырехмерная сила реакции излучения. Явный вид силы д'
у различных авторов различен (нужно только, чтобы трехмерная не-
релятивистская часть силы д' совпадала с (2е2/Зс3) х), что является
указанием на неоднозначность понимания авторами проблемы излу-
чения в электродинамике. Условие малости ускорения для уравне-
ний (1.42) запишется в виде неравенства
Й « (1.43)
Если взять д' из известного учебника Л.Д. Ландау [43] и произ-
вести ее оценку, то из неравенства (1 43) следует неравенство (1.35),
которое дает ограничение на применение специального принципа от-
носительности при исследовании проблемы излучения в электроди-
намике.
1.5.3. Мнение авторитетных физиков
Все приведенные выше оценки в полной мере относятся и к кван-
товой электродинамике, поскольку в ее основе лежит специальный
принцип относительности. В квантовой теории заряды и фотоны рас-
сматриваются как точечные частицы, поэтому в интегралах, соответ-
ствующих собственной энергии электрона и фотона, интегрирование
по координате (или импульсу) ведется в пределах от 0 до оо, в резуль-
тате чего соответствующие интегралы обращаются в бесконечность.
Чтобы устранить бесконечно большие величины из уравнений
квантовой электродинамики, теоретиками была проделана поисти- I
не титаническая работа. В ней принимали участие такие известные
физики, как В. Паули, В. Гайзенберг, Дж. Оппенгеймер, Р.Фейнман
и др. Все работы в этом направлении представляли собой различ-
ные непринципиальные модификации квантовой электродинамики и
поэтому оказались не в состоянии окончательно решить проблему
расходимостей По мнению Р. Фейнмана [2], «теории перенормиров-
ки - это просто один из способов заметать под ковер трудности элек-
тродинамики, связанные с расходимостью».
Еще более радикальную позицию в этом вопросе занимал созда-
тель квантовой электродинамики П Дирак. В работе [1] он писал:
«Правильный вывод состоит в том, что основные уравнения невер-
ны. Их нужно существенно изменить, с тем чтобы в теории вообще
42
не возникали бесконечности и чтобы уравнения решались точно, по
обычным правилам, без всяких трудностей. Это условие потребует
каких-то очень серьезных изменений: небольшие изменения ничего не
дадут».
Богатый экспериментальный материал, с большой точностью под-
тверждающий справедливость уравнений квантовой электродинами-
ки (кстати, при условиях, когда справедлив специальный принцип
относительности), не может служить аргументом в пользу оконча-
тельной завершенности этой теории, поскольку опыт является всего
лишь критерием истины, а не самой истиной.
Ограниченность уравнений электродинамики прекрасно осозна-
вал А.Эйнштейн, когда писал: «Теория Максвелла описывается на
обширном материале как полевая теория первого приближения; не-
льзя упускать из вида, что линейность уравнений Максвелла мо-
жет не соответствовать действительности и что истинные уравнения
электромагнетизма для сильных полей могут отличаться от максвел-
ловских» [44].
1.6. Завершенность квантовой механики
Современная квантовая теория вещества - еще одна «загадка» те-
оретической физики. Многие ее положения до сих пор дискуссион-
ны. Пожалуй, наиболее точно современное положение дел в кванто-
вой механике охарактеризовано в работе создателя кварковой моде-
ли строения материи М. Гелл-Манна [45]: «Квантовая механика, это
полная загадок и парадоксов дисциплина, которую мы не понимаем
до конца, но умеем применять» Эти слова находят подтверждение
во многих публикациях по квантовой механике. По мнению их авто-
ров, различные обобщения должны привести к разрешению наиболее
спорных вопросов.
После того как были сформулированы основные принципы и урав-
нения квантовой механики, физики-теоретики разделились на сторон-
ников А. Эйнштейна и копенгагенскую школу.
ЭЙНШТЕЙН
ПЛАНК
ЛЕ БРОЙЛЬ
ШРЕЛИНГЕР
р = hk
Е = hw
= V’o exp - jfPr)
43
БОР humn = Ет — Еп
ГАИЗЕНБЕРГ qmn — атп ехр(гсЛ)
БОРН W = -0*^
ДИРАК (7n^_ + m£)^, = o
Обе группы внесли большой вклад в развитие квантовой теории,
о чем свидетельствуют введенные ими в теорию формулы (справа от
фамилий).
Возникновение этих групп характеризует глубокий кризис в пони-
мании физической реальности, который длится вот уже более полуве-
ка. Наиболее дискуссионны следующие вопросы: что такое волновая
функция ip в уравнениях Шредингера и Дирака, т.е. какое физическое
поле она представляет; существует ли детерминизм и причинность в
области микромира; каков образ квантовой частицы; полна ли кван-
товая механика?
Представление Л. де Бройля о квантовой частице как о волне [46]
вида
ip-ipo exp ~(jEt - |pr) (1 44)
п п
было обобщено Э. Шредингером, выдвинувшим предположение о
квантовой частице как о волновом пакете, локализованном в малой
области пространства [47, 48]. При нормированном на единицу поле
ip плотность заряда квантовой частицы определяется в виде
рс = ечр* тр — e\ip\2. (1.45)
Опираясь на эту формулу, Э. Шредингер рассматривал ip как ре-
альное физическое поле и называл его полем материи.
Такой же точки зрения интуитивно придерживался и А. Эйн-
штейн. Как известно, он до конца жизни не мог смириться с веро-
ятностной трактовкой волновой функции, предложенной М. Борном
[49], считая такую интерпретацию временной и подлежащей пересмо-
тру при последующем развитии теории
Интерпретация волновой функции, данная Э .Шредингером, сразу
же столкнулась с рядом трудностей, поскольку не могла объяснить
следующие факты:
1) волновой пакет, удовлетворяющий уравнению Шредингера для
свободной частицы
+ У- = °’ С1 46)
dt 2т
с течением времени расплывается [50], а реальная квантовая частица
оказывается стабильной;
44
2) в квантовой теории, так же как и в классической, частица явля-
ется точечной, причем в стационарном состоянии ее плотность не
зависит от времени и имеет двойное определение
ре(г) - е^*^ , Ре(г) = еб(г),
(147)
отражающее корпускулярно-волновой дуализм квантовой частицы.
Если же заряженная частица, скажем электрон в атоме, переходит
(излучая) из одного стационарного состояния в другое, то
ре(г ,t) = = ^CnC^exp — (Еп - Em)t - e6(r,t),
(1.48)
т.е. плотность заряда перестает быть постоянной по времени, осцил-
лируя с частотой u>nm = 2тг(Е„ — Em)h.
Этот вывод противоречил классическим представлениям о неиз-
менности плотности излучающей частицы.
На первых этапах создания квантовой теории подобные вопросы,
не находящие ответа в рамках детерминистических представлений,
возникали сплошь и рядом. Именно поэтому потребовалась такая
интерпретация волновой функции, которая бы избавила теорию от
целого ряда «неудобных вопросов». Более всего для этой цели под-
ходила вероятностная трактовка функции чр, данная М. Борном [49].
Величина
—= (1.49)
е
была им интерпретирована как плотность вероятности найти частицу
в некоторой точке пространства в некоторый момент времени.
Спрашивается, изменилось ли что-либо при переходе к вероят-
ностной трактовке волновой функции? Ответ такой: и да и нет. В
самом деле, при вероятностной трактовке отпали основные вопросы,
которые следовали из интерпретации Э. Шредингера, а именно: ка-
кие детерминированные физические процессы связаны с полем чр и
что это за поле?
С другой стороны, вероятностная трактовка не объясняет многие
содержательные вопросы. Например, волновой пакет, удовлетворя-
ющий уравнению (1.46), расплывается с течением времени незави-
симо от того, какую интерпретацию имеет волновая функция. При
вероятностной трактовке это означает, что через некоторое время
свободная квантовая частица обнаруживается равновероятно во всех
точках пространства, причем с вероятностью близкой к нулю.
Дальнейшее развитие квантовой теории шло по двум направлени-
ям; с одной стороны, возрастало число экспериментов, подтвержда-
ющих справедливость ее уравнений и методов расчета наблюдаемых
45
данных, а с другой возрастали трудности, связанные с созданием
физически наглядных образов, которые соответствуют этим экспе-
риментам. В такой ситуации вероятностная трактовка представляла
собой удобный способ избежать указанные трудности за счет отказа
от образности мышления в квантовой теории.
Надо отметить, что в математическом отношении уравнения кван-
товой теории не представляют особой сложности. Уравнения эйн-
штейновской теории гравитации в этом смысле гораздо сложнее,
однако в ней образное мышление ничем не отличается от осталь-
ных «классических» физических теорий. Это объясняется тем, что
в «классические» уравнения входят поля, которые могут измерять
ся непосредственно в эксперименте, чего нельзя сказать о волновой
функции квантовой механики в ее вероятностной трактовке.
Отсутствие образного мышления является источником индетер-
минизма в квантовой теории, что составило основной предмет дис
куссии между сторонниками А. Эйнштейна и Н Бора Наиболее точ-
но позицию детерминистов в этом вопросе сформулировал П. Ланже-
вен [51], который характеризовал отказ представителей копенгаген-
ской школы от детерминизма, как «интеллектуальный разврат». Он
отметил, что «ничто в переживаемых нами трудностях не оправдыва-
ет и не требует изменения наших установок, что было бы равносильно
отречению».
Однако ни А Эйнштейн, ни его сторонники не смогли достаточно
убедительно обосновать детерминистическое представление о волно-
вой функции, поскольку в то время невозможно было указать реаль-
ное физическое поле, претендующее на роль поля материи
Теоретическое решение этого вопроса А. Эйнштейн видел в геоме-
тризации тензора энергии-импульса материи [52], стоящего в правой
части его уравнений. По мнению ученого, геометризация тензора
энергии-импульса материи приведет нас к геометризации полей ма-
терии, т.е. квантовых полей и позволит построить полную, детер-
минированную квантовую теорию. В одной из последних работ он
писал [11] «Мои усилия пополнить общую теорию относительности
путем обобщения уравнений гравитации были предприняты отчасти
в связи с предположением о том, что, по-видимому, разумная общере-
лятивистская теория могла бы дать ключ к более совершенной кван-
товой теории»
Причину непонимания квантовой теории А Эйнштейн и его сто-
ронники видели в ее незавершенности, причем к такому же выводу
приходили впоследствии (каждый по-своему) некоторые представи
тели копенгагенской школы, в частности В. Гайзенберг и П. Дирак.
В результате титанической работы по осмыслению противоречий со-
46
зданной им же квантовой электродинамики П Дирак пришел к заклю-
чению, «что Эйнштейн был прав, поскольку существующая форма
квантовой механики не является окончательной» [1].
К сожалению, у большинства современных ведущих физиков взгля-
ды А. Эйнштейна и П Дирака на квантовую теорию не находят долж-
ной поддержки. На вопрос автора, заданный одному известному те-
оретику, понимает ли он квантовую теорию, ответ был следующий:
«Да, я понимаю эту теорию, поскольку умею решать ее уравнения,
сравнивать результаты теоретических расчетов с экспериментом и
получать в ряде случаев согласие между тем и другим»
Такая позиция может трактоваться скорее как установка, кото-
рая исключает рассмотрение каких-либо вопросов, обсуждавшихся
сторонниками А.Эйнштейна и Н.Бора. Неокторые теоретики рассма-
тривают дискуссии на эти темы как неуместное в «серьезной физике»
философствование. Полагаю, что подобная точка зрения не приводит
ни к чему конструктивному.
1.7. Попытки возврата к детерминизму
Некоторые соотношения, аналогичные соотношениям квантовой
теории, были получены в процессе развития классической механики.
Механика Ньютона, которая рассматривает все тела как точечные
объекты, сводит все измерения к измерению и описанию движения
всего лишь одной выделенной точки тела - его центра масс. Для это-
го оказалось достаточным записать три уравнения движения центра
масс, задать начальные условия и с помощью решения этих урав-
нений полностью определить будущую историю движения тела. В
механике Ньютона предполагается также, что тело не вращается во-
круг какой-либо собственной оси
Дальнейший существенный шаг в развитии классической механи-
ки был сделан Л. Эйлером, который ввел в механику еще три уравне-
ния [53], описывающие собственное вращение твердого тела. В меха-
нике Ньютона Эйлера теперь уже шесть уравнений движения и че-
тыре начальных условия полностью определяют будущую историю
вращающегося абсолютно твердого тела.
У абсолютно твердого тела расстояние между любыми двумя его
точками остается неизменным. Если отказаться от этого условия,
то мы приходим к механике «пластичного тела переменной формы»
Это означает, что граница тела может как угодно менять свою фор-
му, но при этом тело остается единым целым. Характерным при-
мером такого тела может служить капля ртути. Для измерения и
описания различных физических характеристик капли уже недоста-
47
точно уравнений механики Ньютона, а также механики Ньютона-Эй-
лера, поскольку каждый бесконечно малый элемент капли движется
самостоятельно, подчиняясь лишь гидродинамическому уравнению
Эйлера.
Движение капли как целостного образования описывается движе-
нием ее плотности р и удовлетворяет уравнению непрерывности для
несжимаемой жидкости
= 0, + div(pv) = 0, (1.50)
at ot
причем вычисление координат центра масс производится с помощью
соотношения хс = f рх dx, где х - координаты бесконечно малого объ-
ема капли, dx - бесконечно малый объем. Ясно, что такой объект (хо-
тя и ведет себя как единое целое) обладает бесконечным числом сте-
пеней свободы. Кроме того, его масса определяется через интеграл
т = J pdx и каждый бесконечно малый элемент обладает импульсом
р = Amv = pvAx.
Набор координат х каждого бесконечно малого элемента капли
образует конфигурационное пространство (или пространство конфи-
гурации). Добавляя к конфигурационному пространству капли на-
бор импульсов р каждого бесконечно малого элемента, мы получим
фазовое пространство конфигурации. Теперь для описания движения
капли как целостного объекта вместо уравнений (1.50) можно ввести
совместную плотность вероятности W(a7, р,t) и уравнения Лиувилля
для этой функции [35]
dW 8W
^=0, ^ + IW,H] = O,
(151)
где квадратными скобками обозначены скобки Пуассона, а Н - функ-
ция Гамильтона, которая для нерелятивистской капли, движущейся
в потенциальном поле U, имеет вид
р2
Заметим, что вероятностная трактовка динамики такого класси-
ческого объекта, как капля жидкости, в механике Лиувилля обусло-
влена тем, что протяженный объект переменной формы имеет беско-
нечное число степеней свободы. Связь между плотностью капли р в
уравнениях (1.50) и плотностью вероятности VV(xr), трактуемой как
вероятность найти всю каплю в объеме Дг пространства конфигура-
ции, имеет вид
= mW(x,t) = т I W(x,p,t)dp.
(1.52)
48
Согласно теореме Лиувилля, фазовый объем капли сохраняется,
поэтому имеет место соотношение
ApAz = const. (1.53)
Формула (1.53) напоминает соотношение неопределенности кван-
товой теории и имеет наглядную интерпретацию. Действительно,
если вытянуть каплю, например вдоль оси X, в виде тонкой бесконеч-
ной нити (идеальная ситуация), то все координаты капли становятся
равноправными, и в этом смысле ее координата не определена. Зато
все импульсы, составляющие фазовое пространство капли, направле-
ны вдоль оси X, и их сумма является вполне определенной.
Классическое описание протяженных, стабильных, чисто полевых
образований (полевых солитонов) еще больше напоминает описание
квантовых объектов, если представить классическое поле через поло-
жительные и отрицательные частотные функции [54]. В этом случае
уравнения Лиувилля (1 51) также справедливы, как и вероятностная
трактовка динамики полевого сгустка.
Пусть мы имеем электромагнитное поле без зарядов, удовлетво-
ряющее уравнениям Максвелла в вакууме, и пусть это поле пред-
ставляет собой протяженный волновой пакет. Плотность материи
(1.52) для такого объекта определяется через квадраты напряженно-
стей электрических и магнитных полей:
р=1(Е2 + Н2).
Здесь выбрана система единиц Хэвисайда, а также с — h — 1. Фа-
зовое пространство чисто полевого протяженного объекта образует
множество координат и волновых векторов к плоских волн, составля-
ющих полевой объект Для полевых объектов оказалось удобным за
писывать полевые величины в пространстве волновых векторов к В
частности, в пространстве волновых векторов уравнения Максвелла
для чисто полевого объекта принимают вид уравнений Шредингера
[42]
где - комплексная волновая функция фотона, связанная с элек-
трическим полем в пространстве волновых векторов с помощью
соотношения Ед, = N(k)(t[>k + I^J); й: - оператор Гамильтона с соб-
ственными значениями к. Плотность электромагнитного поля протя-
женного объекта определяется теперь так: р = uip*kil>k, где = к.
Полученное соотношение для классической плотности электро-
магнитной материи чисто полевого протяженного объекта формаль-
но совершенно идентично квантовому соотношению (1.49) Различие
49
состоит в том, что в случае электромагнитного поля волновая функ-
ция связана с реальным физическим полем. Совершив обратное
преобразование Фурье над функцией чр^.: ^>(х,<) = f Vt exp(ikx)d3A,
можно построить гильбертово пространство состояний, аналогичное
пространству состояний квантовой механики. Для этой цели обыч-
но вводится нормировочный объем V и считается, что внутри его
сосредоточено все поле В результате такой операции электромаг-
нитное поле представляется в виде бесконечного набора гармониче-
ских осцилляторов, каждый из которых соответствует плоской волне
с волновым вектором к.
В рассматриваемом примере теорема Лиувилля о сохранении фа-
зового объема полевого протяженного объекта приводит к соотно-
шению: ДагДА: = тг, которое скорее количественно, чем качественно
отличается от равенства (1.53).
Важно отметить, что преобразования, подобные тем, которые бы-
ли проделаны с электромагнитным полем, можно предпринять в отно-
шении любого классического поля, подчиняющегося линейным урав-
нениям волнового типа. Кроме того, в процессе выкладок нам нигде
не пришлось отказываться от образного мышления и в этом смысле
рассматриваемая квантовая физика остается детерминированной.
Попытки отойти от вероятностной трактовки волновой функции
Ф стимулировали работы, в которых авторы вводили детерминизм и
классическую причинность в квантовой теории. Одними из первых в
этом направлении были работы Л. де Бройля [55, 56], Б Маделунга
[57] и других авторов [58-60].
Наиболее интересна, с нашей точки зрения, гидродинамическая
модель Маделунга, развиваемая в работах современных авторов [60].
Согласно этой модели, уравнение Шредингера
~ ^(г)^ = 0 (1.55)
at 2.т
для частицы, движущейся в потенциальном поле С (г), эквивалентно
уравнениям «вакуумной гидродинамики»: уравнению неразрывности
(1.50) и уравнениям движения квантовой жидкости (квантовый аналог
уравнения Эйлера) вида
1 (^\
2 \ Р /
(1.56)
В этих уравнениях величины v, чр и р определяются как
. / ^5*. t * i 1,12 2 S
чр = вехр(—), р = чр чр — \чр\ — а , v = ---------
П 771
(1 57)
50
Уравнения квантовой жидкости (1.50) и (1.56) отличаются от урав-
нений классической жидкости добавочной квантовой потенциальной
энергией
*2
U4 =
4m2
Др _ 1 / Vp\2
Р 2 V р J
(1.58)
которая отлична от нуля, даже когда квантовая частица свободна.
Квантовую жидкость, описываемую уравнениями (1.50) и (1 56),
можно рассматривать как возбужденные состояния некоторой упру-
гой среды, называемой в квантовой теории поля физическим ваку-
умом. Отсюда следует очень важный вывод: детерминистический
подход в квантовой теории возможен в том случае, если мы сможем
построить теорию физического вакуума и будем рассматривать ча-
стицы различной природы как его возбужденные состояния.
К подобным взглядам пришли российские физики Я.Френкель [61]
и Д.Блохинцев [62]. Д Блохинцев, например, пишет [63]: «Согласно
этой точке зрения, частицы являются лишь возбуждениями вакуума
который продолжает жить и тогда, когда никаких частиц нет; в нем
флуктуирует электромагнитное поле и электрическая поляризация
Это - не покой, а вечное движение, подобно зыби на поверхности
моря... С этой точки зрения ясно также, что никаких изолирован-
ных, предоставленных самим себе ("свободных”, как говорят) частиц
не существует. Даже в случае значительного удаления частиц друг
от друга они все же продолжают принадлежать породившей ее сре-
де, находящейся в состоянии непрерывного движения. Возможно, что
в этой связи частиц и среды и скрывается природа той невозможно
сти изолировать частицу, которая проявляется в аппарате квантовой
механики».
Фактически Д.Блохинцев заметил, что в квантовой теории, осно-
ванной на специальном принципе относительности, предполагающем
существование изолированных (движущихся прямолинейно и равно-
мерно) частиц, в действительности таковых частиц не существует
из-за флуктуаций физического вакуума Это еще одно из серьезных
противоречий квантовой теории, которое А.Эйнштейн пытался пре-
одолеть путем построения «разумной общерелятивистской теории»
и в рамках ее «более совершенной квантовой теории» [11].
1.8. Феноменология микромира
Все физические теории можно разделить на три больших клас-
са: фундаментальные, феноменологические (или конструктивные) и
полуфеномено логические.
51
1.8.1. Фундаментальные теории
Эти теории базируются на физических принципах, имеющих все-
общую приложимость (конечно, в тех рамках, в которых эти прин-
ципы справедливы) Уравнения фундаментальных теорий обладают
«абсолютной» предсказуемостью, т.е. теоретические предсказания
явлений, сделанные на основании точных решений фундаментальных
уравнений, полностью подтверждаются экспериментальными факта-
ми Это свойство фундаментальных уравнений делает их бесценным
и наиболее совершенным орудием исследования природы.
Обобщение фундаментальных теорий - стратегическая задача те-
оретической физики - представляет собой наиболее трудоемкую ра-
боту для физика-теоретика. Физиков, которые создавали или обоб-
щали уже существующие фундаментальные физические теории, мож-
но-пересчитать по пальцам. Примерами фундаментальных физиче-
ских теорий являются: теории гравитации Ньютона и Эйнштейна,
электродинамика Максвелла-Лоренца, и т.д.
Здесь мы перечислили теории, которые позволяют описывать гра-
витационные и электромагнитные взаимодействия фундаментальным
образом. Действительно, точные решения уравнений только этих те-
орий приводят к потенциалам взаимодействия масс и зарядов (потен-
циалы Ньютона, Кулона, Эйнштейна, следующий из решения Шварц-
шильда). Все другие взаимодействия (сильные и слабые), обнару-
женные экспериментально как отклонения от законов фундаменталь-
ных теорий, имеют феноменологическое или полуфеноменологиче-
ское описание.
1.8.2. Феноменологические теории
В отличие от фундаментальных теорий, в которых применяется
аналитический метод, феноменологические используют метод синте-
тический. Эти теории возникают в физике под давлением экспери-
ментальных фактов и представляют собой скорее метод для система-
тизации данных опыта в тех областях физики, где фундаментальные
теории еще не созданы.
Потенциалы взаимодействия в феноменологических теориях под-
бираются искусственным образом так, чтобы удовлетворительно
описать феноменологические взаимодействия. Как правило, в фено-
менологические потенциалы входят одна или несколько подгоночных
констант, значения которых определяются путем согласования тео-
рии с данными эксперимента. Феноменологические теории облада
ют слабой предсказательной силой (образно говоря, предсказывают
на расстоянии вытянутой руки) и не раскрывают истинной природы
52
физического явления. Примерами феноменологических теорий явля-
ются теории ядерных сил, электромагнитных формфакторов и др.
Как известно, ядерные взаимодействия были впервые обнаружены
Э. Резерфордом [6] при исследовании упругого рассеяния а-частиц
(ядер гелия) в кулоновском поле ядер тяжелых элементов. Ученому
удалось показать, что на расстояниях г 10-12 4-10-13 см от центра
ядра взаимодействие а-частиц и ядер описывается фундаментальным
потенциалом Кулона. На расстояниях же порядка 10“12 -5- 10“13 см
от центра ядра было обнаружено отклонение от фундаментального
кулоновского рассеяния
Для феноменологического описания этого отклонения Э. Резер-
форд ввел понятие гипотетических ядерных сил, действующих на
малых расстояниях от ядра, поскольку в те времена (и по сей день)
не существовало фундаментальных уравнений для описания ядерных
сил1, пришлось вводить феноменологические потенциалы, позволя-
ющие хоть как-то описать и систематизировать ядерные взаимодей-
ствия. В ядерной физике существует несколько типов таких потенци-
алов. Приведем некоторые из них [64 66]
Сферически-симметричная прямоугольная яма конечной глубины
’/М={Т rin <159>
Экспоненциальный потенциал
V(r) = — Vq ехр(—r/a). (1.60)
Потенциал Хюльтена
= (1.61)
1 — ехр(—г/К)
Потенциал Вудса Саксона
<1Ю’
Оптический потенциал
U iW
1 + ехр ((г - гдЛ1/3)/ая) 1 4-ехр ((г — г, А1/3)/а1)
1 Известное решение уравнения Юкавы [64], приводящее к короткодейству-
ющему потенциалу взаимодействия, не описывает всего многообразия свойств
ядерных сил.
53
Все параметры, входящие в потенциалы (1.59-1.63) определяются
с помощью подгонки к экспериментальным данным. Они не являют-
ся константами, а варьируются в зависимости от внешних условий
(энергии частицы, зарядового и массового чисел ядер и т.д.) Есте-
ственно, что наилучшим образом воспроизводит экспериментальные
данные потенциал, имеющий наибольшее число подгоночных параме-
тров (в данном случае оптический потенциал, имеющий шесть пара-
метров).
Подобно ядерным взаимодействиям, феноменологическая теория
электромагнитных формфакторов была построена после того, как
Е. Кизингер [7] и Р. Хофштадтер [8, 67] обнаружили отклонение от
кулоновского взаимодействия при упругом рассеянии электронов на
ядрах (отклонение от формулы Мотта [68]).
Р. Хофштадтер [8] предложил смоделировать аномальное рассея-
ние электронов с помощью введения некоторого феноменологическо-
го распределения заряда ядра, отличного от точечного Таким обра-
зом, рассеяние электронов стало зависеть от формы распределения
заряда в ядре. Явный вид распределения зарядов вводится в теорию
искусственно, поскольку не существует каких-либо фундаментальных
уравнений, из которых его можно получить.
Приведем некоторые распределения заряда, используемые в тео-
рии электромагнитных формфакторов [69]:
однородное
ом={?; :: (i«)
гауссовское
р(г) = ро ехр(—г2/а2); (165)
экспоненциальное
р(г) = ро ехр(—г/а); (1.66)
модифицированное экспоненциальное
. . ехр(—г/а)
= (167)
В у дса-С аксона
Р(Г) = 1 + ехр((г - Я)/а) (1 68)
Однопараметрические распределения заряда (1.64- 1.68) применя-
ются в основном для легких и средних ядер Лля тяжелых - двухпа-
раметрические (1.68) и более сложные распределения заряда. Пара-
54
метры распределений (1.64 1.68) не являются раз и навсегда устано
вленными константами для одного сорта ядер, а зависят от внешних
условий, например от диапазона энергии рассеиваемых электронов.
1.8.3. Полуфеноменологические теории
Существующие теории элементарных частиц носят полуфеномено-
логический характер. В основе каждой из них лежит фундаменталь-
ная теория, усложненная добавочными предположениями феномено-
логического характера. Наиболее яркий пример полуфеноменологи-
ческой теории - теория электрослабых взаимодействий Вайнберга-
Салама-Глэшоу [70-73].
Создание феноменологических и полуфеноменологических тео-
рий - оперативная задача теоретической физики. Подобные теории
представляют собой всего лишь промежуточный этап при создании
фундаментальной теории, и основная цель теоретической физики со-
стоит в замене феноменологических и полуфеноменологических тео-
рий фундаментальными.
Следует отметить, что А. Эйнштейн никогда не занимался тео-
рией ядерных сил, электромагнитных формфакторов или какой-либо
другой феноменологической теорией. Для себя он считал эту рабо-
ту бесполезной, полагая, что «теории, которые постепенно приспоса-
бливаются к наблюдаемым данным, приводят к страшному накопле-
нию разрозненных утверждений» [74].
Опасения А. Эйнштейна не были напрасными, поскольку совре-
менные теории объединительного характера представляют собой пе-
струю картину многих аналитически трудно объединяемых явлений.
Идет процесс дезинтеграции науки, и теоретикам приходится больше
^запоминать, чем понимать физические явления Дело дошло даже до
того, что теоретикам приходится составлять словари для объяснения
многих понятий и явлений в области микромира.
Подойти к построению фундаментальной теории явлений в обла-
сти микромира А Эйнштейн предполагал следующим образом. В
левой части его знаменитых уравнений
Rjm ~ yBjmR — Tjm (1-69)
стоит чисто геометрическая величина, а справа феноменологиче-
ский, «введенный руками», тензор энергии-импульса материи Tjm
Таким образом, в теории А. Эйнштейна Материя выступает на фоне
искривленного пространства-времени как самостоятельная, незави-
симая от пространства-времени сущность
55
Феноменологическое представление тензора Tjm не устраивало
А. Эйнштейна [75]: «Правая часть включает в себя все то, что не
может быть пока объединено в единой теории поля. Конечно, я ни
одной минуты не сомневался в том, что такая формулировка есть
только временный выход из положения, предпринятый с целью дать
общему принципу относительности какое-то замкнутое выражение.
Эта формулировка была ведь по существу не более чем теорией по-
ля тяготения, несколько искусственно оторванного от единого поля
пока еще неизвестной природы».
Способ, с помощью которого можно избавиться от произвола при
выборе тензора энергии-импульса, А Эйнштейн видел в геометри-
зации тензора энергии-импульса материи, стоящего в правой части
уравнений Эйнштейна (1.69). По мнению ученого, геометризация тен-
зора энергии-импульса материи должна привести к геометризации
полей материи, образующих его. Для А Эйнштейна геометризация
полей материи означала построение фундаментальной теории явле-
ний в области микромира, согласованной с принципом относительно-
сти
1.9. Проблема вакуума
Мысль о том, что великая пустота (или вакуум) есть источник окру-
жающего нас мира, уходит в глубь веков. Согласно представлениям
древних философов Востока, все материальные объекты возникают
из великой пустоты, являются ее частью и в этом смысле иллюзор-
ны. В самой великой пустоте постоянно совершаются акты творения
реальных объектов. Например, вот как описан диалог о великой пу-
стоте между учителем и учеником (ученик задает вопрос) в древне-
индийских ведах [76]: «Каков источник этого мира? - Пространство,
- ответил тот. - Поистине все эти существа выходят из простран-
ства и возвращаются в пространство, ибо пространство больше их,
пространство - последнее их прибежище».
Подобные взгляды на пространство у европейцев возникли перед
созданием механики Ньютона. В конце XVI в. итальянский философ
Ф Патрицци по этому поводу писал [77]: «Итак, пространство есть
то, что было прежде мира и будет после него, что стоит во главе
мира, из него исходит и, наконец, обращается в нечто. . . Разве оно
тогда не является субстанцией? Если субстанция - то, что лежит в
основе, то пространство и есть скорее всего сущность».
Современная физика, начало которой положила механика Ньюто-
на, развивалась как теория измерения расстояний и моментов време-
ни движущихся относительно инерциальных систем отсчета матери-
56
альных тел. Полученное в результате измерений множество коорди-
нат и времени подвергалось обработке, после чего строились сперва
уравнения траекторий, а затем и уравнения движения в дифференци-
альной форме. Эта связь между геометрией пространства событий
и механикой была замечена уже И. Ньютоном [18], который писал:
«Геометрия основывается на механической практике и есть не что
иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказы-
вается искусство точного измерения».
Так же как евклидова геометрия механики Ньютона, геометрия ис-
кривленных пространств, созданная Н. Лобачевским [78] и Б. Рима-
ном, в своей основе содержит физический опыт измерения. В работе
«О гипотезах, лежащих в основании геометрии» Б. Риман отмечал
[79]: «Предложения геометрии не выводятся из общих свойств протя-
женных величин, напротив, те свойства, которые выделяют простран-
ство из других мыслимых трижды протяженных величин, могут быть
почерпнуты не иначе, как из опыта».
Еще большее сближение точек зрения восточных и европейских
ученых мы находим в высказываниях о природе материи английского
математика В. Клиффорда, который в философской статье «О про-
странственной теории материи» [24] прямо говорил: «В физическом
мире не происходит ничего, кроме изменения кривизны пространства,
подчиняющегося (возможно) закону непрерывности».
Согласно В. Клиффорду, материя представляет собой сгустки
пространства, своеобразные холмы кривизны на фоне плоского про-
странства.
Эти идеи в дальнейшем получили развитие в работах А. Эйнштей-
на, котороый рассматривал гравитационное поле как кривизну че-
тырехмерного пространства-времени. Пустое, но искривленное про-
странство в теории Эйнштейна удовлетворяет вакуумным уравнени-
ям
Rik = 0, (1.70)
решение Шварцшильда [80] которых находит подтверждение опыт-
ным путем (смещение перигелия Меркурия, отклонение луча света в
поле Солнца, запаздывание радиосигналов в гравитационном поле и
т.д.).
Заметим, что вакуумные уравнения Эйнштейна не содержат ни-
каких физических констант. Они являются чисто полевыми нелиней-
ными уравнениями, поэтому А. Эйнштейн считал, что правильное об-
общение именно этих уравнений приведет нас к уравнениям единой
теории поля. Он писал [81]: «Я считаю далее, что уравнения грави-
тации для пустого пространства представляют собой единственный
рационально обоснованный случай теории поля, который может пре-
57
тендовать на строгость (с учетом также нелинейных членов). Все
это приводит к попытке обобщения теории гравитации для пустого
пространства».
Опираясь на работу Г. Райнича [82], ученик А. Эйнштейна Дж. Уи-
лер предложил рассматривать уравнения Эйнштейна, в правой части
которых стоит тензор энергии-импульса электромагнитного поля
ftfc - 29tk^ =--^~Т,к = U-71)
как уравнения «исконно единой теории поля» [83]. Однако отметим,
что эти уравнения были известны А. Эйнштейну [84], и он не считал
их уравнениями единой теории поля, поскольку правая часть этих
уравнений отлична от нуля в пределе = R = 0, а левая обращает-
ся в нуль, неизвестно, каким образом в данном случае описываются
частицы материи спина 1/2, например электроны, создающие элек-
тромагнитные поля.
Трудности в геометрическом описании спинорных полей, по мне-
нию самого Дж. Уилера [83], состоят в том, что «мысль о получении
понятия спина из одной лишь классической геометрии представля-
ется столь же невозможной, как и потерявшая смысл надежда неко-
торых исследователей прежних лет вывести квантовую механику из
теории относительности».
Дж. Уилер произнес эти слова в 1960 г. во время чтения лекции
в Международной школе физики им. Э Ферми. Правда тогда он не
знал, что уже начал свои блестящие работы Р.Пенроуз [85, 86], ко-
торый показал, что именно спиноры могут быть положены в основу
классической геометрии и что именно они определяют топологиче-
ские и геометрические свойства пространства-времени, например его
размерность и сигнатуру.
1.9.1. Геометрическое описание спинорных полей
Р. Пенроуз записал вакуумные уравнения Эйнштейна (1.70) в спи-
норном виде [74]
флвс£> = °- А, В .. = 0,1, С, £>...= 0,1 (1.72)
58
и совместно с Э. Ньюменом предложил систему нелинейных спинор-
ных уравнений [14]:
а) ®ABa'CD ~ ®CD°'АВ = еРС^ТРАСОа'QB~
-TpcabV'qd) + е^^(ТвВОСа'as ~ TRDBAa'CS^’
б)
^ACDF^EB + ФдСВЁ£ГО + ^eb(£cd^af + ead^cf) —
~^DB^ACFE + ®FeTAcdB + £PQ ^APDB^QCFE^
^ACPB^QDFE '^APFE^QCDB AC P E^Q F D b)+
+£Й5(Тас£>я^£Вёг _ tacfrTsebd) = >
(173)
B) dPD^ABPc ~ д*сФлвувх - Wpr(abTc™d-
-Ф abcpTpr + 2Т^ав^Фс^рхр —
-^(дФвсГ-^(л%4о = 0-
39авЛ + дрхФАРВХ - е™(ФА* „ТЁхуР+
+Ф ХТ Р1 + Ф ХТ PR + Ф XTPR — о
т APB XWV ) v PRB А X APB RX
А, В. .. = о,1, С,О... = 0,1
для решения вакуумных уравнений Эйнштейна (1-72).
Метод спиновых коэффициентов [14], предложенный Э.Ньюменом
и Р.Пенроузом для решения уравнений Эйнштейна (1.72), оказался
столь плодотворным, что почти сразу был найден ряд новых реше-
ний, обобщающих решение Шварцшильда [80]. Это известные реше-
ния Ньюмена Унти Тамбурино (НУТ) [87], Керра [15], Киннерсли [88]
и т.д
Р.Пенроуз первым записал известную систему уравнений Эйн-
штейна-Максвелла (1.71) в спинорном виде
8ttG-
2®авсЬ + Л-еАве св — ~^~'^асвЬ' (1-74)
где спинорный тензор энергии-импульса TACBD выражается через
спинорное представление Фав и Фсе> тензора электромагнитного по-
ля Fit следующим образом [85]
Tacbd ~ 2^авФсе>- (1-75)
В соотношении Пенроуза (1.75) спин-тензор TA(^BD не имеет гео-
метрической природы, поэтому принципиально ничем не отличается
от тензора энергии-импульса в уравнениях (1 71).
59
1.9.2. SL(2.C) калибровочная теория гравитации
Используя 2x2 комплексные матрицы, М. Кармели записал уравне-
ния формализма Ньюмена-Пенроуза (1.73) в виде системы уравнений
[80-91]:
а) ^сЬа'лв ~ Зав^сЬ = ^сЬ^л^рв^
б) R-ABCD = ^CD^AB ~ ^АвТсе) —
-(Tcd)aFTFb ~ (t+dc}FbTaf + (We Tfd+
+(т+ва^ЬТсг + Рав >Tcd]. (L76>
в) dCD REFCD ~(Тс°)ае Rafcd —
frr+bC} В р , . 1(7* ЬхСР р . I
U ^EBCD + НР ) ^EFCD
+(т+с^ь rEECE) +[tcf> ,refcd] = o,
которая может быть представлена как SL(2.С) калибровочная теория
гравитационного поля с уравнениями поля [92]
Vn Rkn +[Я4п,Т"] = 0, (1.77)
Rkn + 2V(JkTn] - [Tt, Гп] = 0, (1.78)
- 7[ta*] - ab'T*] = 0. (1.79)
Здесь спинорные SL(2.C) калибровочные индексы у матриц <т\Тк и
Rkn опущены. Далее М. Кармели заметил, что уравнения (1.766) мо-
гут быть расщеплены на спинорные уравнения Эйнштейна:
^авсЬ + ^савссЬ — к^асвЬ (1.80)
и уравнения для спин-тензора Вейля САЕсЬ:
СавсЬ ~ ^сеТав + ^ав^сЬ + (181)
4Tce)aFTFb + {T^c)fbTaf - (TAE)cFTFb -
~(Т+ЕА) ^b^CF ~ Рлв>^св1 = ~к^авсЬ>
где к - эйнштейновская константа.
Необходимо отметить, что ни Р. Пенроуз, ни М. Кармели не про-
двинули вперед в содержательном физическом смысле теорию грави-
тации Эйнштейна, ограничившись лишь формальным развитием ме-
тодов для решения уравнений Эйнштейна.
60
В отличие от теории гравитации Эйнштейна в квантовой теории
поля не существует никаких уравнений (подобных уравнениям (1.70)),
которые описывали бы вакуум непосредственно. С другой сторо-
ны, в квантовой теории все частицы и поля рассматриваются как
возбужденные'состояния вакуума. Поэтому уравнения Шредингера,
Клейна-Гордона и Дирака описывают возбужденные состояния ва-
куума, т.е. оказываются простейшими «проявленными» вакуумными
уравнениями. Одновременно уравнения квантовой теории предста-
вляются как простейшие уравнения единой теории поля, в роли ко-
торого выступает волновая функция. В самом деле, с помощью вол-
новой функции можно с одинаковым успехом описывать электромаг-
нитные, гравитационные, ядерные и другие физические явления. Эта
идея была высказана впервые Д.Д.Иваненко [93, 94] и затем активно
развивалась В Гайзенбергом [95, 96]. Программа Гайзенберга-Ива-
ненко, предполагающая построить все частицы материи из частиц
спина 1/2, базируется на нелинейном спинорном уравнении [95]
7П — + 127*75Ф(Ф*7*75Ф) = 0
ОТ
(1.82)
с кубической нелинейностью. В этом уравнении, содержащем фун-
даментальную длину I, спинор Ф выступает как единое поле на фоне
плоского пространства.
Хотя нам уже известно достаточно много о возбужденных состоя-
ниях вакуума благодаря квантовой теории поля, тем не менее основ-
ной вопрос состоит в том, чтобы узнать, каким уравнениям подчиня-
ется основное состояние всех физических полей - физический вакуум.
Здравый смысл подсказывает, что эти уравнения могут быть най-
дены лишь на пути объединения программы Клиффорда-Эйнштей-
на-Пенроуза с программой Гайзенберга-Иваненко, т.е. на пути та-
кого обобщения спинорных вакуумных уравнений Эйнштейна (1.72),
которые бы привели к геометризированным уравнениям для полей
материи типа уравнений Гайзенберга (1.82).
Само собой разумеется, что новые уравнения должны разрешить
проблемы фундаментальных физических теорий, а именно классиче-
ской механики, электродинамики, квантовой теории и т.д., о которых
говорилось выше.
61
1.9.3. Геометризированные уравнения физического
вакуума
В основе нового подхода лежат всеобщий принцип относительности
и уравнения физического вакуума [31]:
V[*e“m] - = О, (Л)
Rabkm + 2V[tT]blm] + 2T“[JtTc|blm] = О, (В)
i, j, к... = 0,1,2,3, а, Ь, с... = 0,1,2, 3,
которые совпадают со структурными уравнениями Картана геоме-
трии абсолютного параллелизма [26].
Уравнения физического вакуума (Л) и (В) могут быть предста-
влены в виде расширенной системы уравнений Эйнштейна-Янга-
Миллса
^е“] + гие“- = °> И)
Bjm - \9jmR - vTjm, (B.l) (1.83)
C'jkm + 2V[fc7"| -|m] + 27%^ .lm] = -^кгп, (B.2)
В отличие от обычных уравнений Эйнштейна и Янга-Миллса, в
уравнениях (В.1) и (В.2) геометризированные источники Tjm и J'jkm
определяются через кручение геометрии абсолютного параллелизма
(геометрии Л4). Обобщение вакуумных уравнений Эйнштейна (1.70)
в теории физического вакуума имеет вид
Vt*e л + = °’ &
Rjm = о, (й) (1.84)
С<кт + 2V[tT* -|m] + 2T*j[t7’b|m] = 0. (i«)
С помощью спинорных 2x2 матриц Кармели уравнения физиче-
ского вакуума для правой материи (в теории различаются правая и
левая материя и антиматерия [97]) представляются как
®cba ав ~ ®АВа cb ~ а рв + а ar№ Ьс^ в ~
(А-)
^АВСЁ> + ^-ЕАВЕсЬ = уГ^АСВЬ< (В ’ .1)
Cabcd ~ ^cd^ab + ^ab'Bcd + + (7+^с)^д74р -
62
~^AB^cFTFi) - (T+-a)fdTc^ [Тль , ICD] - ^JAbcd< (B %)
где константа принимает значения v — (8ttG)/c4 = ид для случая гра-
витационного взаимодействия или и = (8яе)/тпос4 = ие - для слу-
чая электромагнитного взаимодействия [31]. Уравнения (Вл .1) пред-
ставляют собой спинорную запись полностью геометризированных
(включая тензор энергии-импульса материи) уравнений Эйнштейна,
при этом источник ТА^ВВ в общем случае определяется через двух-
компонентные спиноры оа,тр и их производные [98]. С другой сторо-
ны, уравнения (Bs+ .2) представляют собой полностью геометризиро-
ванные уравнения Янга-Миллса, в которых ток JABci> также опреде-
ляется через двухкомпонентные спиноры оа, ip.
Двухкомпонентные спиноры ia,o^ играют роль потенциалов тор-
сионных полей геометрии А4 и удовлетворяют системе нелинейных
спинорных уравнений вида [99]
Vp%Oa ~ У ОаОрО^ ОС ОосОр^х
(3 Оос^рО^ ~1" £ Р^х 1аОрОх~^~
~{~Р ^осОр^х "Р & ^а^Р^х ^а^р^х 1
УРх^о — О^ОрО^ ОосОр^х (1.85)
Р Оа^р^х Р ОоРр ^х ^а^р^х~^~
“Ьо ^а^Р^х Р” @ ^а^р^х
а,Р,у... = 0,1, х, р, и... — б, 1,
обобщающей нелинейные спинорные уравнения Гайзенберга-Ива-
ненко (1.82).
Спинорная запись уравнений физического вакуума (Л ’) и (В ,+)
совпадает с матричными уравнениями Кармели (1.76 а) и (1.76 б) и
эквивалентна спинорным уравнениям (1.73 а) и (1.73 б). Это означает,
что Э. Ньюмен, Р. Пенроуз и М. Кармели (при использовании уравне-
ний формализма Ньюмена-Пенроуза) вышли за рамки традиционной
геометрии Римана, лежащей в основе теории гравитации Эйнштей-
на и фактически имели дело со структурными уравнениям Картана
геометрии абсолютного параллелизма [97, 100].
С точки зрения теоретической физики такой шаг не может трак-
товаться чисто формально и требует весомых физических обоснова-
ний. Всеобщий принцип относительности только позволяет сделать
это, но и утверждает, что уравнения формализма Ньюмена-Пенроуза
можно рассматривать как новые физические уравнения.
63
Таким образом, теория физического вакуума, основанная на все-
общем принципе относительности предлагает реализацию програм-
мы Клиффорда-Римана-Эйнштейна-Пенроуза-Гайзенберга в рамках
геометрии абсолютного параллелизма со спинорной структурой.
При этом структурные уравнения геометрии абсолютного паралле-
лизма (Л) и (В) объявляются уравнениями физического вакуума.
Они обладают тремя особенностями, отличающими их от всех суще-
ствовавших до сих пор физических уравнений. Во-первых, они не со-
держат никаких физических констант, во-вторых, их решения скорее
конструируются, чем находятся (см. ч. 2), и наконец все входящие в
них величины носят относительный характер.
Перечисленные свойства уравнений вакуума потребуют от иссле-
дователей использования новой научной методологии.
Глава 2
Физические принципы и уравнения
теории физического вакуума
2.1. Основные понятия
«Все в мире относительно» - этот известный философский тезис
как нельзя лучше подтверждает развитие физики. Сперва на основа-
нии простейшего опыта некоторая физическая величина постулиру-
ется как абсолютная (т.е. не зависящая от системы отсчета), однако
позже (по мере накопления новых экспериментальных данных) вдруг
обнаруживается, что она относительна
Физическую величину (например, скорость, время и т.д.) называ-
ют относительной, если ее можно обратить в нуль путем перехода в
новую систему отсчета.
2.1.1. Системы отсчета
Физическая система отсчета представляет собой некое физическое
тело отсчета. Выберем, например, в качестве такового тело мас-
сы т и свяжем центром масс этого тела три взаимно ортогональных
единичных вектора ei, eg и eg. Эти вектора позволяют ввести систе-
му трех координат х, у, z и отсчитывать положение одной системы
отсчета относительно другой. Кроме того, необходимо задать вза-
имную ориентацию векторов ej, eg, eg, связанных с телами отсчета
Теория относительности утверждает, что любой физический экспе-
римент прямым или косвенным образом сводится к измерению от-
носительных координат различных систем отсчета Действительно,
экспериментатор производит свои измерения, находясь, например, в
лабораторной системе отсчета, связанной с Землей. Пусть он изуча-
ет движение камня, брошенного горизонтально поверхности Земли.
3 Г. И.Шипов
65
Имея в своем распоряжении часы и устройство, которое может изме
рять расстояние до камня в каждый момент времени, он получает в
результате эксперимента множество координат и моментов времени,
которое содержит всю необходимую информацию о движении камня.
Производя различные эксперименты подобного рода, наблюдатель в
конечном итоге находит уравнения движения камня.
2.1.2. Системы координат
Необходимо азличатъ_систему_отсчета и систему координат В
одной и той же системе отсчета можно выбирать различные систе-
мы координат. Исторически сложилось так, что основной системой
координат, используемой в нерелятивистской физике, оказались де-
картовы координаты х, у, z. Поэтому физическая интуиция в основ-
ном оказалась связанной с физическими процессами, описываемыми
в декартовых координатах Например, уравнения движения свобод-
ной частицы с массой тп в декартовых координатах запишутся как
d2xa
т = 0, а =1,2,3.
at2
Эти же уравнения в произвольной криволинейной системе коор-
динат принимают вид
d2xa о dx& dx& „ , л
m~dt^~+mr ^~dT~dT=°' a>0-=lM (2 1)
где символы Кристоффеля
о loooo Э
Г Pi ~ 2 9 + 5тх.х — 90t,x)> >а — (2-2)
о
определяются через производные от метрического тензора дах плос-
кого трехмерного пространства.
Появление символов Кристоффеля в уравнениях (2.1) связано с
тем, что они имеют нетензорный закон преобразования
° а> _ д2ха дх° дх& дх1 дх°‘ о °
Г р,'1‘ ~ дхР'дх-r' + Г
и могут быть введены в уравнения или исключены из них с помощью
преобразования координат. Уравнения (2 1) формально напоминают
уравнения движения под действием внешней силы, однако соотноше-
3
66
представляет собой всего лишь некую фиктивную «координатную си-
лу», которая не имеет физического смысла. Поэтому выбор различ-
ных систем координат в одной и той же системе отсчета не меняет фи-
зической картины исследуемого процесса, хотя и усложняет внешний
вид уравнений. Р Пенроуз назвал такие преобразования координат
пассивными [86].
Совсем иное дело, если преобразования координат соответству-
ют переходу из одной системы отсчета в другую Как правило, та-
кие преобразования содержат физический параметр. Например, пре-
образования Галилея-Ньютона
х' = (а: — vt), у1 = у, z‘ = z, t' = t,
содержат в качестве физического параметра скорость v инерциаль-
ной системы отсчета. Подобные преобразования называются актив-
ными.
2.1.3. Пространство событий
Подпространством событий подразумевается множество относи-
тельных координат различных систем отсчета. Каждая точка этого
множества представляет собой некое событие. Например, в случае
брошенного камня точка М, принадлежащая множеству и характе-
ризуемая координатами а:о, соответствует положению камня отно-
сительно системы наблюдателя. Теория относительности занимает-
ся изучением геометрических свойств пространства событий различ-
ных систем отсчета, не только получая таким образом известные из
опыта законы, но и открывая новые. Этот подход приводит нас к
геометризации физических взаимодействий, причем основные законы
физики вытекают в виде следствий из общих геометрических соотно-
шений, определяющих геометрию пространства событий.
2.1.4. Классификация систем отсчета
По своим физическим свойствам все известные системы отсчета
можно разделить на пять классов
1) инерциальные,
2) ускоренные локально инерциальные первого рода,
3) ускоренные локально инерциальные второго рода;
4) ускоренные локально неинерциальные;
5) ускоренные конформные.
Наша задача состоит в том, чтобы найти геометрию пространства
событий для каждого класса систем отсчета Расположение систем
67
идет в порядке возрастания сложности их движения, считая инерци-
альное движение наиболее простым
2.2. Физика как теория относительности
Наблюдения за движениями планет во времена Аристотеля при-
вели к мысли, что существуют абсолютный покой и абсолютная си-
стема наблюдения, связанная с Землей Представления Аристотеля
и Птолемея о Земле как об абсолютно покоящемся центре Вселенной
владели умами ученых до тех пор, пока не накопилось достаточное
число опытных фактов, противоречащих такой точке зрения. Под их
давлением Н. Кузанский впервые осознает кинематическую относи-
тельность покоя и движения Знание опытных фактов, показывающих
относительность покоя и движения, позволило Н Копернику сформу-
лировать новую кинематику следующим образом «Когда корабль
идет по спокойной воде, все, что находится вне его, представляется
морякам движущимся в соответствии с движением корабля, сами же
они со всем, с ними находящимся, будто бы стоят на месте» [101].
Иначе говоря, выбирая систему отсчета, связанную с кораблем,
можно рассматривать в этой системе корабль неподвижным, а берега
движущимися относительно неподвижного корабля. Если бы моряки
не знали заранее, что отчалили от «неподвижного» берега, они бы
посчитали, что сами неподвижны, а движутся берега.
2.2.1. Относительность равномерного движения
Галилей первым заметил физическое равноправие покоящейся и
равномерно движущейся систем отсчета Под физическим равнопра-
вием систем отсчета понимается одинаковое протекание в них фи-
зических процессов. Галилей приводил в качестве примера экспе-
риментальные наблюдения, предпринятые в каюте корабля, который
движется прямолинейно и равномерно.
Выберем в качестве тела отсчета системы наблюдения, которая
покоится или движется прямолинейно и равномерно без вращения,
некое тело массой т и свяжем с телом отсчета три взаимно ортого-
нальных вектора ej, ег и ед. Эти три вектора позволяют ввести си-
стему трех координат х, у, z и отсчитывать положение одной системы
отсчета относительно другой. Такие системы называются инерциаль-
ными Наблюдая взаимное положение двух или более инерциальных
систем в различные моменты времени t, ученые установили связь ме-
жду их относительными координатами и временами следующего вида
х' = х — vt, у' — у, z = z, t' = I, (2 3)
68
। де
v = const
относительная скорость инерциальных систем S' и S Соответ-
ственно, штрихованные координаты z'.i/.z' и штрихованное время
t' относятся к системе отсчета S', а нештрихованные к S
Соотношения (2 3) связывают между собой координаты и время
систем отсчета, движущихся свободно (по инерции) вдоль оси X
Если тело движется по инерции со скоростью v, то его кинетическая
энергия запишется как
О
(24)
Покажем теперь, что энергия (2.4) является величиной относи-
тельной, т.е может быть обращена в нуль с помощью преобразо-
ваний Галилея-Ньютона (2 3) Действительно, с помощью преобра
зований (2.3) можно перейти в систему отсчета, связанную с самим
телом отсчета Очевидно, что в этой системе тело покоится, т.е. его
скорость равна нулю и, следовательно, равна нулю его кинетическая
энергия
2.2.2. Относительность времени
В механике Ньютона в качестве систем отсчета используются
инерциальные системы, для которых справедливы преобразования
Галилея-Ньютона (2.3) Из этих преобразований следует, что время
во всех инерциальных системах отсчета течет одинаково (/' = t) По-
этому в механике Ньютона время является величиной абсолютной. И
это действительно так, до тех пор пока мы исследуем движение тел со
скоростями v много меньше скорости света, с = 3 х 101Осм/с. В при-
роде мы наблюдаем движение элементарных частиц - электронов,
мезонов и т.д. - со скоростями, близкими к скорости света. Пусть
теперь в качестве тела отсчета выступает элементарная частица, ко-
торая движется прямолинейно и равномерно со скоростью, близкой
к скорости света Тогда, как показывает опыт, относительные ко-
ординаты инерциальных систем отсчета, движущихся с постоянной
скоростью v вдоль оси X, связаны преобразованиями Лоренца
XV
х' = (х - vt)p, у' = у, г - г, t' = (I-(2 5)
с
где
В = г
>J\ - v2/c2
релятивистский множитель
69
Из соотношения
/' = (/- -у)/?
Cz
преобразований (2.5) видно, что время в механике Лоренца зависит
от относительной скорости систем наблюдения, т.е. является, во-
обще говоря, величиной относительной. В научной литературе уже
много лет обсуждается так называемый парадокс близнецов, суть ко-
торого состоит в том, что время в космическом корабле, движущемся
относительно Земли со скоростью, близкой к скорости света, течет
медленнее, чем на Земле, в соответствии с формулой
Тр
з/1 - v^/c2 ’
(2.6)
где г = t2 — ti - время, измеряемое по часам Земли, тл Тр — t'2 — t'x -
время, измеряемое по часам космического корабля. Такой вывод сле-
дует из преобразований Лоренца (2.5) и проверен на опыте в экспе-
риментах с элементарными частицами. В этих экспериментах было
показано, что время жизни нестабильной частицы - мезона зависит от
скорости его движения. Если мезон движется с большой скоростью,
то он живет дольше (т е. не распадается на три стабильные частицы:
электрон, нейтрино и антинейтрино), чем покоящийся мезон.
Из формул (2.6) также следует, что частицы света - фотоны, ко-
торые, как известно, движутся со скоростью света, должны иметь
бесконечное время жизни, т е. быть стабильными для наблюдателя
на Земле. В самом деле, при v = с время т обращается в нуль, что
означает очень медленный распад для световых частиц, даже если
они в принципе нестабильны.
Тот факт, что с помощью преобразований координат (2.6) мож-
но перейти в систему отсчета, в которой время обращается в нуль,
указывает на относительную природу времени.
При больших скоростях энергия тела отсчета, движущегося пря-
молинейно и равномерно, запишется как
тс2
2
, пи/
- гпс Ч--z—F • ••,
у/1 — г2/с2 2
(2.7)
где мы произвели разложение корня по степеням г>/с и ограничились
первыми двумя членами. Переходя с помощью преобразований коор-
динат (2.6) в систему наблюдения, связанную с телом, которое дви-
жется с большой скоростью, мы получим из (2.7): Е = тс2, где т -
масса покоя тела. Эту массу в механике Лоренца невозможно обра-
тить в нуль преобразованиями (2.6), поэтому в специальной теории
относительности энергия (2.7) является величиной абсолютной.
70
2.2.3. Относительность сил в механике Д’Аламбера
В основное уравнение механики Ньютона
= F (2 8)
от2
входит внешняя сила F, действующая на тело. В механике Ньютона
эта сила является абсолютной величиной, поскольку преобразовани
ями координат (2.3) ее нельзя обратить в нуль. Если сила абсолютна,
то абсолютно и ускорение, которое она вызывает, поэтому в механике
Ньютона и в специальной теории относительности ускорение оказы-
вается величиной абсолютной. Это утверждение сохраняется до тех
пор, пока мы ведем наблюдение за движением физических объектов,
находясь в инерциальных (неважно, в релятивистских или нереляти-
вистских) системах отсчета. Однако опыт показывает, что при пере-
ходе в некоторые ускоренные системы отчета, называемые локально
галилеевыми (или локально лоренцовымив релятивистском случае),
сила и ускорение локально могут быть обращены в нуль.
Примером ускоренной локально галилеевой системы отсчета яв-
ляется свободно падающий вблизи поверхности Земли лифт. У рав
нения движения массы т, свободно падающей вместе с лифтом, запи
шутся в инерциальной системе наблюдения (согласно механике Нью-
тона) в виде
= mg, (2.9)
где g = const - ускорение свободного падения.
Перейдем теперь к ускоренной системе отсчета, связанной с самим
свободно падающим лифтом Для этого используем координатные
преобразования Д’Аламбера
Wt2
х' = х---——, W = g - const, (2.10)
которые связывают координаты ускоренной системы отсчета х', дви-
жущейся с ускорением W, с координатами инерциальной системы
х. Из преобразований Д’Аламбера (2.10) видно, что они нелинейны
по времени и, конечно, обобщают преобразования Галилея Ньютона
(2.3). Если теперь подставить х из соотношения (2.10) в уравнения
(2.9), то получим
</2х’
m = mg — mW = 0, (2 11)
at2
Соотношение (2.11) отображает опытный факт, который заключа-
ется в том, что лифт и тело внутри него падают с одинаковым ускоре-
нием, т.е. ускорение лифта W равно ускорению свободного падения
g тела.
71
Из уравнения (2 11) также хорошо видно, что локально в ускорен-
ной системе отсчета на тело действуют две силы: гравитационная
сила Fs — mg и сила инерции Finer — -mW, компенсирующие друг
друга. Ускоренные системы, которые локально не отличаются от
инерциальных, называются локально инерциальными системами от-
счета. В нерелятивистском случае их иногда называют локально га-
лилеевыми системами. Механика, в которой, кроме инерциальных
систем отсчета, допускаются ускоренные локально галилеевы систе-
мы и нелинейные преобразования координат между ними типа (2.10),
называется механикой Д’Аламбера.
Уравнения (2.11) показывают, что относительно ускоренно движу-
щегося лифта свободно падающая масса либо покоится, либо движет-
ся прямолинейно и равномерно. Именно это наблюдается на опыте
(состояние невесомости в кабине свободно падающего самолета или
в кабине спутника, движущегося по стационарной орбите). Таким
образом, при свободном падении (без вращения) в гравитационном
поле ускорение и гравитационная сила, которая его вызывает, носят
относительный характер и могут локально обращаться в нуль.
2.2.4. Относительность гравитационного поля
в теории гравитации Эйнштейна
Релятивистским обобщением механики Д’Аламбера является об-
щая теория относительности, созданная А. Эйнштейном. Он ввел
принцип общей относительности, который, кроме линейных орто-
гональных преобразований координат, связывающих между собой
инерциальные системы отсчета (типа преобразований Галилея-Нью-
тона или Лоренца), допускает нелинейные координатные преобразо-
вания, связывающие между собой координаты ускоренных локаль-
но лоренцовых систем отсчета (типа преобразований Д’Аламбера
(2.10)). В дифференциальной форме (неявным образом) эти коорди-
натные преобразования записываются как
> дх*
dx' = d^dxk’ k,i> = °’1,2,3 (2 12)
Теперь А. Эйнштейну нужно было найти такое релятивистское об-
общение уравнений движения (2.9), которое допускало бы обращение
в нуль гравитационной силы с помощью координатных преобразова-
ний (2.12). Эта задача решается, если предположить, что простран-
ство относительных координат ускоренных локально лоренцовы'
стем отсчета образует многообразие, наделенное римановой геоме-
трией. При этом движение локально лоренцовых систем отсчета про-
72
исходит согласно уравнениям геодезических риманова пространства
[12]
d2x' dx3 dxk
>*-;—у— = °>
ds2 J ds ds
(2 13)
где
F’ = mVjk
dx3 dxk
ds ds
- четырехмерная гравитационная сила, а символы Кристоффеля Г’у*
выступают в роли напряженности гравитационного поля. Относи-
тельно координатных преобразований вида (2 12) величины Г‘-4 име-
ют нетензорный закон преобразования
д2хк дхк дх' дх3 дхк .
дх'‘дх3' дхк + дх'“ дх3' дхк 3"
поэтому выбором «нормальных» координат, которые физически со-
ответствуют локальным координатам ускоренной локально лоренцо-
вой системы отсчета, поле Г*д может быть (локально) обращено в
нуль. Поэтому в локальных координатах уравнения движения (2 13)
совпадают с уравнениями движения свободно движущейся частицы
Таким образом, впервые в физике в теории гравитации Эйнштейна
реальное физическое поле - поле гравитации - оказалось относитель-
ным!
В теории Эйнштейна относительным является не только напря-
женность гравитационного поля, но и гравитационный потенциал, а
также потенциальная энергия тела в гравитационном поле. Действи-
тельно, из решения Шварцшильда уравнений Эйнштейна, которое
описывает гравитационное поле сферически-симметричной массы М,
находим следующее выражение для полной энергии массы т, движу-
щейся в этом поле [43]
тс2 тс2 ip
Д ,. ,=0оо = , =(1 + -j),
\/1 — г2/с2 — V2/c2 С2
где joo — (1 + ^/с2) - компонента метрического тензора, <р = — -
ньютоновский потенциал.
Эта энергия записана в инерциальной системе отсчета и для не-
релятивистских скоростей массы т может быть представлена в виде
2
тс
2
+ + ™+с,+ - <215>
73
где U — —mMG/r - ньютоновская потенциальная энергия. Первые
три члена в данном разложении представляют собой энергию покоя,
кинетическую и потенциальную энергию массы т соответственно.
Используя нелинейные координатные преобразования (2.12), можно
перейти из инерциальной системы отсчета в локально инерциаль-
ную. При этом компонента goo метрического тензора становится рав-
ной единице (локально пространство теории гравитации Эйнштейна
является плоским) и потенциал у>, а также потенциальная энергия U
в равенстве (2.15) обращаются в нуль. Поскольку локально масса т
движется прямолинейно и равномерно, то с помощью преобразований
. 2.3) можно обратить в нуль и кинетический член mti2/2 в равенстве
'2.15).
Следовательно, втеории Эйнштейна кинетическая и потенциаль-
ная энергия является величиной относительной и лишь энергия покоя
абсолютна.
Из приведенных выше примеров, показывающих развитие принци-
па относительности в фундаментальной физике, видно, что внутрен-
няя логика развития физики как науки требует максимального рас-
ширения принципа относительности. Этого можно достигнуть тогда,
когда все физические поля и взаимодействия будут описываться от-
носительными величинами. Именно этому требованию удовлетворя-
ет программа геометризация физики, основанная на всеобщем прин-
ципе относительности, который формулируется следующим образом.
Всеобщий принцип относительности:
в уравнениях физики все поля должны
иметь относительный характер.
Это означает, что «правильные» уравнения физики должны быть
сформулированы так, чтобы для любого физического поля, входяще-
го в эти уравнения, всегда нашлись бы некоторые преобразования
(или отображения) координат, имеющие физический смысл, которые
бы обращали физическое поле в нуль локально или в некоторой обла-
сти.
Последовательное развитие программы всеобщей относительно-
сти, как это будет показано ниже, приводит нас к решению двух свя-
занных между собой проблем:
1) геометризации физических взаимодействий;
2) построения теории физического вакуума
Решающим экспериментом, на котором основаны теоретические
построения, будет сам факт существования различных по своим свой-
ствам физических систем отсчета, возникающих в процессе физиче-
ских взаимодействий.
74
2.3. Геометрия инерциальных систем отсчета
Прежде всего рассмотрим геометрические свойства простран-
ства событий, которое образует множество относительных коорди-
нат инерциальных систем отсчета. Как мы знаем, такие системы ли-
бо покоятся, либо движутся относительно друг друга с постоянной
скоростью.
2.3.1. Пространство событий галилеевых систем
Обычно считается, что в основе механики Ньютона лежит трехмер-
ная геометрия Евклида, при этом предполагается, что инерциальные
системы отсчета, используемые в механике, оставляют интервал гео-
метрии Евклида инвариантным. Сопоставляя с геометрией Евклида
пространство событий относительных координат инерциальных си-
стем отсчета, связанных преобразованиями Галилея-Ньютона, мож-
но доказать следующее.
Утверждение 2.1. Относительные координаты покоящихся систем
отсчета образуют множество с геометрией Евклида.
Доказательство. Запишем линейный элемент евклидова простран-
ства в декартовых координатах в виде
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = T)ndxi2 + r^dx?2 + 7733 dz3 2 = T)apdxadxp, (2.16)
где
T)op = diag(l,l, 1)
- метрический тензор евклидова пространства в декартовых коорди-
натах. Из преобразований Галилея-Ньютона (2.3) следует
dx'2 = dx2 — 2vdt2 + v2dt2, dy'2 — dy2, dz'2 — dz2, dt'2 = dt2.
Подставляя эти соотношения в интервал ds'2, находим
ds'o2 = dx'2+dy'2+dz'2 = dx2+dy2+dz2 — 2vdt+v2dt2 — dso2—2vdt+v2dt2.
Отсюда видно, что преобразования Галилея-Ньютона оставляют
инвариантным интервал
dsj) = dso = inv
только при условии
v — О,
т.е. когда системы отсчета покоятся друг относительно друга, что и
доказывает утверждение
75
Если же скорость инерциальных систем отсчета отлична от ну
ля, то евклидов интервал пространства событий перестает быть ин-
вариантным, что указывает на необходимость обобщения геометрии
пространства.
2.3.2. Геометрия Евклида в произвольных координатах
Переход от декартовых координат к произвольным криволиней-
ным координатам (или от одних криволинейных координат к другим)
задается обычно в неявном виде с помощью соотношений
dxa=—rdxp, а, /3. = 1,2,3 (2.17)
ох»
При этом линейный элемент пространства записывается как
=gQp dx°dx(3,
о
где дор - метрический тензор евклидова пространства в произволь-
ных координатах.
В декартовых координатах переход из одной покоящейся систе-
мы отсчета в другую задается уравнениями параллельного переноса
вектора хо
Эти уравнения представляют собой уравнения геодезических ли-
ний геометрии Евклида (т.е. прямых) в декартовых координатах. В
произвольных координатах уравнения параллельного переноса запи-
шутся в виде уравнений (2.1), которые можно представить как
Du° „ а dx°
-— = 0, -и =
dso clsq
(2Л8)
где D - абсолютный дифференциал [12].
Подставляя символы Кристоффеля (2.2) в определение тензора
кривизны, получаем
о о оо
R Рух = 2 Г 0[х.т] + 2 Г ф Г ₽|/э|х] — 0>
т.е. риманова кривизна евклидова пространства равна нулю.
По определению [12], геометрическое пространство, тензор кри-
визны которого равен нулю, называется пространством абсолютно-
го параллелизма. Поэтому геометрия Евклида представляет собой
простейший вариант геометрии абсолютного параллелизма
76
2.3.3. Пространство событий лоренцовых систем
Естественно поставить вопрос: какова геометрия пространства со-
бытий относительных координат систем отсчета, которые движутся
относительно друг друга с постоянной скоростью? Ответ однозна-
чен - пространство Минковского.
Утверждение 2.2. Относительные координаты систем отсчета, свя-
занных преобразованиями Лоренца образуют геометрическое множе-
ство, наделенное геометрией Минковского.
Доказательство. Запишем линейный элемент пространства Мин-
ковского в виде
ds02 = c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2 =
= T)oodxo2 - rjudxi2 + r]22dx22 + %з^з2 = n.kdx'dxk, (2.19)
где
r]ik = diag(l - 1 - 1 - 1)
- метрический тензор пространства Минковского.
Используя преобразования Лоренца (2.5), имеем
dx' = (dx — vdt)(3, dy' = dy, dz' = dz, dt' = (dt-—)/?.
Подставляя эти соотношения в интервал ds'o2 = с2 dt'2 — dx'2 — dy'2 —
dz'2, находим
ds'o2 = dso2 = inv.
Следовательно, относительные координаты инерциальных систем
отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоро-
стью и (неважно релятивистской или нерелятивистской), образуют
координатное множество с геометрией Минковского, при этом они
связаны преобразованиями Лоренца.
2.3.4. Геометрия Минковского в произвольных
координатах
Переход от псевдо декартовых координат
х0 = ct, Х\ - х, х2 — у, х3 = z
к произвольным криволинейным координатам производится с помо-
щью преобразований вида
Зх*
dx'=d^dxJ, i',j... = 0,1,2,3. (2 20)
77
В произвольных криволинейных координатах интервал простран-
ства Минковского запишется как
ds0 =9ik dx'dx.
(221)
У равнения движения тел отсчета инерциальных систем отсчета в
псевдодекартовых координатах записываются в виде четырехмерных
уравнений свободного движения
d2x'
При переходе к произвольным криволинейным координатам эти
уравнения принимают вид уравнений геодезических
d2x' о , dx1 dxk
+ т г jfc j J = °>
GSO GSq GSq
(2.22)
где
о’ loo о о
Г jk —- 2 ® №зт,* 9jk,m)
- четырехмерные символы Кристоффеля, определяемые через метри-
о
ческий тензор 9,к Как и в трехмерном случае, соотношение
о , dx1 dxk
171 Г ik й У
USq USq
в уравнениях (2.22) имитирует некую фиктивную «координатную си-
лу», которую благодаря нетензорному закону преобразования сим-
волов Кристоффеля
о к1 _ д2хк дхк дх' дх1 дхк‘ о t
31 дх*’ дх1' дхк дх1' дх1' дхк 3'
можно вводить в уравнения свободного движения (или убирать из
уравнений) с помощью пассивных преобразований координат типа
(2.20). Уравнения (2.22) могут быть переписаны в виде
Du1 dx' •
-7— ~ °’ T~ = u ’
usq dso
где D - абсолютный дифференциал пространства Минковского с про-
извольными криволинейными координатами. Эти уравнения описы-
вают геодезические линии пространства Минковского в произволь-
ных координатах. Одновременно они являются уравнениями свобод-
ного движения тел в пространстве Минковского. Образуя из сим
волов Кристоффеля пространства Минковского тензор кривизны по
78
обычному правилу
О . О . 0 0
Д jkm = 2 Г + 2 Г j[t Г |j|m] = 0>
находим, что он равен нулю. Это означает, что пространство Мин-
ковского представляет собой четырехмерную геометрию абсолютно-
го параллелизма.
2.4. Локально инерциальные системы отсчета
первого рода
Инерциальные системы отсчета представляют собой некоторую
идеализацию, поскольку все реальные системы движутся ускорен-
ной (возможно, с пренебрежимо малым ускорением) из-за взаимодей-
ствия тел отсчета между собой. Наиболее простой, но действитель-
но реальной системой является ускоренная локально инерциальная си-
стема отсчета первого рода. Подобные системы были использованы
А.Эйнштейном при построении релятивистской теории гравитации.
2.4.1. Свободно падающие лифты Эйнштейна
Ускоренной локально инерциальной системой первого рода мы бу-
дем называть такую ускоренную систему отсчета, в которой внешние
силы, действующие на тело отсчета, скомпенсированы локальными
силами инерции (рис.2.1). Множество относительных координат та-
ких систем отсчета включает не только преобразования Лоренца, но
и преобразования координат, связывающие между собой ускоренные
системы отсчета.
Утверждение 2.3. Относительные координаты ускоренных локаль-
но инерциальных систем отсчета первого рода, связанных преобра-
зованиями Д’Аламбера, образуют геометрическое множество, наде-
ленное римановой геометрией.
Доказательство. Для простоты, рассмотрим падение лифта Эйн-
штейна в однородном гравитационном поле с ускорением g вблизи по-
верхности Земли Если свободное падение лифта происходит вдоль
оси х, то преобразования Д’Аламбера, связывающие инерциальную
систему отсчета с локально инерциальной, имеют вид
Wt2
х' = х--> У — У> z' — 2i t' — (2 23)
где MG MG
ip = ——— = const, /?з
79
Рис. 2.1. В ускоренной локально инерциальной системе отсчета пер-
вого рода гравитационная сила скомпенсирована силой инерции
М- масса Земли и R3- радиус Земли.
Поскольку в нерелятивистском приближении в локально инерци-
альной системе отсчета пространственный интервал совпадает с ин-
тервалом евклидова пространства, то мы можем записать
ds'2 = dx'2 + dy'2 + dz'2. (2.24)
Дифференцируя соотношения (2.23) и подставляя полученные ре-
зультаты в интервал (2 24), имеем
ds'2 = ds20 + 2-^-tdxdt + (-£-t)2dt2, (2.25)
лз лз
где ds2 - интервал трехмерного евклидова пространства. Из структу-
ры интервала (2.25) видно, что геометрия пространства неевклидова
и зависит от потенциала гравитационного поля.
Более строгие рассуждения требуют четырехмерного подхода.
Действительно, будем исходить из релятивистского интервала
ds2o = c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2 = c2dt2 — dr2
Тогда нерелятивистскую энергию частицы массы т, падающей вме-
сте с лифтом, можно представить как
„ , mv2 mMG
Е — тс2 Ч-—----------
2 г
(2 26)
80
где Е — тс2 - энергия покоя Лагранжиан, соответствующий этой
энергии, имеет вид
г 2 n,v2
L — —тс + —----mt6'
где <р = —MG/r - ньютоновский потенциал.
Записывая интеграл действия
S = У Ldt,
имеем
/V2 о? Г
(1 — т—х + — —тс I ds,
2с2 с2 J
где
2
ds=(1-^ + ?)cdz =
= (1 + ?)с<«-—.
Здесь было использовано соотношение vdt — dr Возводя интервал
ds в квадрат и опуская в нем члены, обращающиеся в нуль при с —» оо,
находим приближенную риманову метрику пространства в виде
ds2 = (l + ^)c2dt2-dr2.
с1
Известно, что при построении релятивистской теории гравитации
А.Эйнштейн исходил из слабого (равенство гравитационной и инер-
ционной масс) и сильного (эквивалентность однородного поля инер-
ции IV однородному гравитационному полю д) принципов эквива-
лентности. Однако эти принципы оказываются нерелятивистскими,
и при построении теории они сыграли только эвристическую роль.
На самом же деле А Эйнштейн предположил, что четырехмерное про-
странство событий ускоренных локально лоренцовых систем отсчета
искривлено и в общем случае наделено римановой метрикой вида
ds2 = gucdx'dx*, i,k = O, 1,2,3 (2.27)
2.4.2. Локально лоренцовы системы отсчета
первого рода
Релятивистские ускоренные локально инерциальные системы от
счета мы будем называть локально лоренцовыми системами, посколь-
ку их локальные уравнения движения
d2x*
ты=°
81
совпадают с уравнениям движения лоренцовых систем отсчета. Ак-
тивные координатные преобразования, связывающие такие системы
отсчета, имеют вид
f
dx' — q к dxk, к, i'... = 0,1,2,3 (2.28)
и внешне ничем не отличаются от пассивных преобразований (2.20).
Использование интервала (2.27) в вариационной задаче приводит
к уравнениям движения теории гравитации Эйнштейна
d2x' • dx3 dxk
m~TT + тГ ik~T~~ °’
ds2 3 ds ds
которые внешне напоминают уравнения геодезических (2.22) про-
странства Минковского в произвольных координатах. Однако в дан-
ном случае величина
; dx3 dxk
F = тГ jk — ——
3 ds ds
представляет собой реальную физическую силу - четырехмерную
гравитационную силу. Действительно, для задачи свободного па-
дения массы в лифте Эйнштейна в приближении слабых гравитаци-
онных полей и при нерелятивистских скоростях уравнения движения
теории Эйнштейна переходят в уравнения движения (2.9). Эти урав-
нения по внешнему виду напоминают уравнения движения механики
Ньютона, однако в последней пространство плоское и на его фоне су-
ществует гравитационное поле. В теории Эйнштейна геометрия про-
странства «искривляется» потенциалом гравитационного поля (со-
гласно интервалу (2.25)) даже в нерелятивистском случае. В этом
смысле точного соответствия между уравнениями (2.13) и (2.9) не су-
ществует.
Символы Кристоффеля
Г jt — ^9jm,K 4" 9km,j 9jh,m)i
построенные с помощью метрического тензора дц,; риманова про-
странства, образуют тензор Римана
R'jkm ~ 2r'j[m,t] + 2Г’4*Г'|,|т],
(2.29)
отличный от нуля. Свертывая этот тензор по индексам i и к, получим
тензор Риччи
Rfm — R jim — 2Г jfm,,] + 2Г ,[,Т |j|m]
(2.30)
82
римановой геометрии. Свертывая тензор Риччи с метрическим тен-
зором, получим скалярную кривизну
R = gjmRjm = ?т2Г + 2Г4,-Г |>|m]. (2.31)
Использовав эти соотношения римановой геометрии, А.Эйнштейн
получил уравнения гравитационного поля следующего вида
Rim - \gimR = ^-Tjm, (2.32)
где Tjm = pgc2UjUm- тензор энергии-импульса источников гравита-
ционного поля. В приближении слабых гравитационных полей и при
нерелятивистских скоростях уравнения поля (2.32) теории Эйнштей-
на переходят в уравнение поля
Ду? = 4тгрг, (2.33)
подобное уравнению теории гравитации Ньютона. Существенное от-
личие уравнения (2.33) от уравнения ньютоновской теории состоит в
том, что левая часть уравнения (2.33) порождена римановой кривиз-
ной пространства. Если пространство становится плоским, то левая
часть (2.33) тождественно равна нулю.
2.5. Поступательное движение по инерции
Большинство исследователей придерживаются мнения, что суще-
ствует единственный принцип инерции - это принцип Галилея-Нью-
тона, который утверждает, что по инерции можно двигаться только
прямолинейно и равномерно, без вращения.
2.5.1. Равномерное движение по инерции
Инерциальное движение в механике Ньютона аналитически опи-
сывается уравнениями вида
^(mv) = 0, (2.34)
аг
откуда следует
v = const,
при этом кинетическая энергия тела отсчета сохраняется. Системы
отсчета, тела отсчета которых движутся согласно уравнениям (2.34),
являются инерциальными (т.е. движущимися по инерции).
83
Движение по инерции в специальной теории относительности ни
чего не меняет по сути, давая четырехмерную релятивистскую фор-
мулировку уравнениям (2.34). Переход из одной инерциальной си-
стемы отсчета в другую совершается с помощью преобразований
трансляционных координат Галилея Ньютона или Лоренца в реля-
тивистском случае Координаты лоренцовых систем отсчета образу-
ют координатное многообразие, наделенное геометрией Минковско-
го, в которой прямая линия является кратчайшим расстоянием между
двумя точками многообразия. Расстояние между двумя бесконечно
близкими точками в геометрии Минковского определяется интерва-
лом (2.21), а решение вариационной задачи с использованием интер-
вала (2.21) приводит к уравнениям геодезических (т е.кратчайших)
линий вида
d2x' о dx] dxk
rnl~2'>rmV =0
uSqz aso uSg
Теперь мы можем сформулировать признаки, которые определяют
движение тела по инерции в механике Ньютона или в специальной
теории относительности:
а) тело покоится или движется прямолинейно и равномерно;
б) кинетическая энергия тела является величиной относительной
при допустимых преобразованиях координат;
в) уравнения движения тела совпадают с уравнениями геодезиче-
ских геометрии Минковского.
В механике Ньютона и специальной теории относительности пере-
численные выше условия выполняются глобально, т е во всех точках
координатного многообразия. Расширим теперь класс допустимых
систем отсчета, дополнив инерциальные системы ускоренными ло-
кально инерциальными системами отсчета, для которых справедли-
вы уравнения движения (2.11). Этот шаг означает, что мы обобщили
механику Ньютона до механики Д’Аламбера, в которой силы и уско-
рения являются величинами относительными при преобразованиях
координат вида (2 10).
2.5.2. Движение по инерции локально инерциальных
систем остчета
В механике Д’Аламбера геометрия пространства «искривляется»
потенциалом гравитационного поля (согласно интервалу (2.25)) даже
в нерелятивистском случае.
Учитывая вышесказанное, мы можем сформулировать признаки,
которые определяют движение тела по инерции в механике Д’Алам-
бера:
84
а) локально тело покоится или движется прямолинейно и равно-
мерно;
б) кинетическая и потенциальная энергия тела является величи-
ной относительной при допустимых преобразованиях координат;
в) уравнения движения совпадают с уравнениями геодезических
римановой геометрии.
Поскольку при ускоренном движении по инерции тело локально
покоится или движется прямолинейно и равномерно в каждой точке
траектории, то можно говорить о глобальном, ускоренном движении
по инерции в механике Д’Аламбера Подобное утверждение в пол-
ной мере относится к теории гравитации Эйнштейна. Для этого до-
статочно, чтобы тело двигалось согласно уравнениям геодезических
римановой геометрии (2.13)
Ранее было отмечено, что принцип относительности Галилея уста-
навливает физическое равноправие всех инерциальных систем отсче-
та. Точно так же принцип относительности Д’Аламбера устанавли-
вает (локально) равноправие всех ускоренных локально инерциаль-
ных систем отсчета. Его можно сформулировать следующим обра-
зом.
Принцип относительности Д’Аламбера: в
ускоренных системах отсчета, которые локально
покоятся или движутся прямолинейно и равно-
мерно с различными скоростями, все физические
процессы протекают одинаково
Действительно, если проводить физические эксперименты внутри
космического корабля, движущегося по стационарной орбите вокруг
Земли, или в кабине свободно падающего лифта, то, несмотря на воз-
можную разницу их скоростей и ускорений, мы получим одинаковые
результаты Основной вывод этого раздела таков: по инерции мож-
но двигаться не только прямолинейно и равномерно, но и ускоренно
2.6. Общерелятивистская электродинамика
Сознавая, что по инерции можно двигаться ускоренно, распро-
страним принцип относительности Д’Аламбера на электромагнит-
ные процессы. Этот шаг приводит к принципиальному обобщению
электродинамики Максвелла-Лоренца Дирака, поскольку современ-
ная электродинамика базируется на галилеевском принципе относи-
тельности
85
2.6.1. Локально инерциальные системы отсчета
в электродинамике
Развивая дальше эйнштейновскую программу геометризации фи-
зических полей, введем в электродинамику следующие допущения:
а) существуют ускоренные локально инерциальные системы от-
счета, связанные с зарядами;
б) многообразие относительных координат ускоренных локаль-
но инерциальных систем отсчета имеет структуру римановой геоме-
трии.
Из этих принципов вытекают три очень важных для теоретиче-
ской физики следствия, а именно:
1) благодаря принципу инерции Д’Аламбера в новой электроди-
намике заряженные частицы могут двигаться ускоренно, но без из-
лучения;
2) электромагнитное поле искривляет пространство событий, по-
добно гравитационному полю в общей теории относительности;
3) электромагнитное поле имеет относительную природу.
Первое из этих следствий было обнаружено на опыте при изуче-
нии спектров излучения атома водорода. Опыты показали, что в не-
которых случаях электрон в атоме движется по эллиптической орби-
те (т.е. ускоренно), но при этом некоторое время не излучает элек-
тромагнитных волн. Подобные орбиты были названы квазистаци-
онарными Правда, непонятно было, почему электрон не излучает
постоянно, как того требует электродинамика, построенная на базе
принципа инерции Галилея, и почему в таком случае стабилен атом.
В результате долгих раздумий над этой проблемой, Н. Бор вы-
двинул постулат, согласно которому электрон в атоме мог двигать-
ся по стационарным орбитам с ускорением, но без излучения. Как
известно, это принцип был затем положен в основу квантовой меха-
ники. Теперь в этом нет необходимости, поскольку существование
стационарных траекторий для ускоренно движущегося заряда есть
следствие принципа инерции Д’Аламбера в обобщенной электроди-
намике.
Простое доказательство того, что в новой электродинамике про-
странство событий искривлено и имеет риманову метрику, можно
осуществить следующим образом. С учетом энергии покоя Е — тс2
нерелятивистская энергия заряда —е, движущегося в центрально-
симметричном статическом поле заряда Ze, запишется как
, rnv2 Ze2
Е = тс2 -| ----—. (2 35)
Рассуждал тем же образом, что и относительно энергии (2.26),
86
мы получим в данном случае для интервала пространства событий
следующее выражение:
ds2 = (1--)c2dt2 — dr2, (2 36)
г
где величина ге определяется как
2Ze2
г' “---2
пк‘
Очевидно, что интервал (2.36) отличается от интервала простран-
ства Минковского d«o = c2dt2 — dr2 обычной электродинамики и пе-
реходит в него в случае, когда заряд Ze (или е) равен нулю.
Ускоренное, но безызлучательное движение заряда связано с по-
нятием движения по инерции в обобщенном смысле, которое имеет
место при ускоренном движении заряда в механике Д’Аламбера, а
именно:
а) при ускоренном движении заряд локально покоится или дви-
жется прямолинейно и равномерно;
б) полная энергия заряда в электромагнитном поле является вели-
чиной относительной при допустимых преобразованиях координат;
в) уравнения движения заряда совпадают с уравнениями геодези-
ческих римановой геометрии.
2.6.2. Геометризация электродинамики
Введение ускоренных локально инерциальных систем отсчета в
электродинамику позволило решить проблему геометризации элек-
тромагнитного поля, рассматриваемую А.Эйнштейном как часть про-
граммы построения единой теории поля. Вместо уравнений Максвел-
ла
4тг
ОА* = —л, (2 37)
С
k, — 0,1,2,3,
описывающих электромагнитные поля на фоне плоского псевдоевкли-
дова пространства Минковского, в общерелятивистской электроди-
намике появляются геометризированные уравнения электромагнит-
ного поля
Я.-4-ккЯ=-Цт«, (2 38)
2 тс4
подобные уравнениям эйнштейновской теории гравитации. Однако
в отличие от уравнений Эйнштейна в уравнения (2.38) входит заряд
источника электромагнитного поля Ze (через тензор источника 7)* =
87
— Ze6(r)u,v.k, Ui = dxi/ds) и удельный заряд е/т пробной частицы
(е - заряд и т -масса пробной частицы).
В уравнениях (2.38) кривизна пространства событий общереляти-
вистской электродинамики представлена тензором Риччи Лцс- Этот
тензор образуется из напряженности сильного электромагнитного
поля
с2
Е jk = ^9 (ат],к 4" &тк,j O.jk,m)> (2 39)
где
е
9ik - Va 4---a.fc (2 40)
т
метрический тензор пространства событий общерелятивистской
электродинамики, т),*, - метрический тензор пространства Минков-
ского, а,к - тензорный потенциал сильного электромагнитного поля,
по следующему правилу
2е 2е2
Rkm = R'.km = fc] 4- ^4 (2.41)
Для слабых электромагнитных полей, определяемых неравенством
Е,Н « 1016 ед. СГСЭ, (2.42)
и при не слишком больших скоростях движения зарядов простран-
ство событий общерелятивистской электродинамики становится по-
чти плоским,поскольку
-Ы«1-
т
Это условие позволяет ввести векторный потенциал общерелятивист-
ской электродинамики:
1 ,</х°
До = т;аоос ——, (2-43)
z as
п dx° с? dx&
Аа = ааОс —---1- —аор——, а,/3= 1,2,3, (2-44)
(1Sq 2 asQ
используя который, уравнения поля (2.38) общерелятивистской элек-
тродинамики можно записать в виде уравнений Максвелла (2.37). Од
нако полученные таким образом уравнения электродинамики (2.37)
оказываются геометризированными, и их левая часть обрашается в
нуль, если пространство плоское.
88
2.7. Вращательное движение
До сих пор мы рассматривали явления, в которых измеряемые
величины были функциями трансляционных координат. В нереляти-
вистской физике в качестве трансляционных координат выступают
произвольные трехмерные пространственные координаты Xi, Х2> хз,
зависящие от времени t. В релятивистской физике время (помножен-
ное на скорость света с) рассматривается как трансляционная ко-
ордината хо = ct наравне с пространственными координатами. Пе-
реход из одной системы наблюдения в другую мы описывали с по-
мощью преобразований трансляционных координат Действительно,
преобразования Галилея, Д’Аламбера, Лоренца и Эйнштейна свя-
зывают между собой трансляционные координаты инерциальных и
локально инерциальных систем отсчета. Поэтому современную тео-
рию относительности можно назвать теорией «поступательной отно-
сительности».
2.7.1. Вращательные координаты
Теория может быть существенно расширена, если дополнить ее
вращательной относительностью, которая допускает преобразова-
ния «вращательных (угловых) координат» и относительность физи-
ческих величин, зависящих от угловых переменных.
Необходимость такого шага диктуется следующими простыми
рассуждениями В общем случае трехмерная система отсчета зада-
ется шестью независимыми координатами: тремя трансляционными
(например, х, у, х), которые определяют ее начало О, и тремя угло-
выми (например, углами Эйлера , <р2, у?з), которые определяют ори-
ентацию ее координатных осей Для полного описания четырехмер-
ной системы отсчета нам необходимо задать 10 координат: четыре
трансляционные xlt х?, хз, xq = ct и шесть угловых - три простран-
ственных угла и три псевдоевклидовых 0;, 62,63, определен-
ных в пространственно-временных плоскостях.
В механике Ньютона и в специальной теории относительности в
качестве систем отсчета используются инерциальные, которые дви-
жутся прямолинейно и равномерно без вращения (т е не меняя ори-
ентации осей с течением времени). Поэтому относительные угловые
координаты инерциальных систем являются константами, и нет смы-
сла вводить преобразования вращательных координат. Можно про-
сто задавать различные инерциальные системы отсчета путем пово-
рота координатных осей на постоянные углы.
Иное дело, когда система отсчета является ускоренной, т е. когда
угловые координаты фз становятся динамическими переменны-
89
ми, определяемыми внешними физическими условиями. В этом слу-
чае появляются величины, такие как угловая скорость ш и угловое
ускорение б, закон преобразования которых при переходе из одной
ускоренной системы отсчета в другую должен зависеть от преобра-
зования угловых координат, описывающих эти переходы
Исторически сложилось так, что ни в механике Д’Аламбера, ни
в общей теории относительности Эйнштейна, в которых в качестве
систем отсчета используются ускоренные системы, вопрос о введе-
нии преобразований угловых координат (дополнительно к преобра-
зованиям трансляционных) не ставился. Это, возможно, связано с
необходимостью ввести в рассмотрение в механике Д’Аламбера ше-
стимерного пространства событий (в релятивистском случае десяти-
мерного), что сразу же влечет за собой пересмотр многих положений
классической механики. В настоящее время возникла необходимость
такого пересмотра, который в конечном итоге приводит к объедине-
нию вращательной и поступательной относительности.
2.7.2. Вращение по инерции
Существенный шаг в развитии классической механики был сделан
Л Эйлером, когда он ввел в механику три новые координаты - углы
Эйлера y>i, <Рз и соответственно три дополнительных уравнения
для угловых координат:
du
= М, (2.45)
at
описывающих собственное вращение твердого тела. В этих уравне-
ниях J - момент инерции тела, и - угловая скорость и М - момент
внешних сил. Не будучи физиком, Л Эйлер формально вывел урав-
нения (2.45), используя при выводе уравнения Ньютона Ama = AF
для каждой бесконечно малой массы Лт. При этом он ушел от обсу-
ждения нескольких важных вопросов, касающихся понимания физики
вращательного движения твердого тела Кратко обсудим эти вопро-
сы
Представим себе вращающийся гироскоп, на который не действу-
ют никакие внешние силы По определению, такой гироскоп должен
двигаться по инерции, и шесть его уравнений движения запишутся
как
dv
= 0, (2.46)
at
du
J-j7=0, (2.47)
at
где in - масса гироскопа, J- момент инерции.
90
Первое из этих уравнений представляет собой аналитическое вы-
ражение принципа инерции механики Ньютона. Для твердого тела
этот принцип читается следующим образом.
Поступательный закон инерции: центр масс
твердого тела движется прямолинейно и равно-
мерно, если на него не действуют внешние силы.
Решение уравнений (2.46) показывает, что импульс центра масс
р = rnv = const сохраняется, поэтому центр масс гироскопа либо
покоится, либо движется прямолинейно и равномерно относительно
инерциальной системы отсчета.
Уравнения (2.47) являются аналитическим выражением враща-
тельного принципа инерции. Ни в одном учебнике механики нет фор-
мулировки этого принципа. И это не случайно! Дело в том, что
вращение представляет собой ускоренное движение, и Л.Эйлер при
формулировке уравнений вращательного движения ограничился их
формальной записью, не вдаваясь в физический смысл и возможные
принципиальные изменения механики, связанные с введением враща-
тельного принципа инерции. Поэтому бытует мнение, что механи-
ка Ньютона-Эйлера является следствием механики Ньютона, хотя в
действительности все наоборот. Это видно из того, что в механике
Ньютона-Эйлера имеются шесть координат и две скорости (угловая
и линейная), которые преобразуются не только в группе Галилея-
Ньютона, но и в группе вращений 0(3). Поэтому последовательное
обоснование уравнений механики Ньютона-Эйлера требует расши-
рения поступательного принципа относительности и соответственно
принципа инерции Галилея-Ньютона.
Это расширение предусматривает введение дополнительного вра-
щательного принципа инерции.
Вращательный закон инерции: вращающееся
твердое тело будет вращаться сколь угодно долго
по инерции, если на него не действуют моменты
внешних сил.
Отметим, что вращение по инерции представляет собой разновид-
ность ускоренного движения. Следовательно, в механике Ньютона-
Эйлера, так же как в механике Д’Аламбера, существует возможность
ускоренного движения по инерции. Действительно, уравнения (2 47)
представляют собой уравнения свободного движения, при этом вра-
91
Евр — ——- = const.
щательная энергия Евр тела сохраняется
(2.48)
Используя преобразования угловых координат, можно перейти во
вращающуюся систему отсчета, жестко связанную с самим вращаю-
щимся телом. В этой системе отсчета угловая скорость вращения
ш равна нулю и, следовательно, в нуль обращается вращательная
энергия (2.47).
Теперь мы можем сформулировать признаки, которые определяют
вращение тела по инерции в механике Ньютона-Эйлера:
а) тело вращается с постоянной угловой скоростью;
б) вращательная энергия тела является величиной относительной;
в) уравнения движения вращающегося тела совпадают с уравне-
ниями геодезических пространства абсолютного параллелизма.
Последнее утверждение требует достаточно подробных доказа-
тельств, поэтому их изложение будет дано ниже в виде специального
подраздела.
2.8. Геометрия вращательного движения
Проведенные выше рассуждения наводят на мысль, что геометрия
пространства событий вращательного движения должна отличаться
от геометрии Евклида, лежащей в основе ньютоновской механики.
Впервые это было отмечено А.Эйнштейном, который показал, что
при вращении диска отношение длины окружности I к ее радиусу R
меньше 2тг
— < 2тг.
R
Это неравенство возникает из-за лоренцовых сокращений длины
окружности при вращении диска, тогда как радиус остается неизмен-
ным.
Из неравенства следует, что внутренняя геометрия вращающе-
гося диска не является геометрией Евклида (в геометрии Евклида
выполняется равенство 1/R = 2тг ), а соответствует геометрии Лоба-
чевского отрицательной кривизны.
Подход А.Эйнштейна к геометрии пространства событий враща-
тельного движения не может быть принят, с точки зрения автора,
из-за отсутствия в его модели двух основополагающих фактов Во-
первых, в теории Эйнштейна при описании вращения не используют-
ся угловые координаты (напомним, что в четырехмерном псевдоев-
клидовом пространстве их должно быть шесть). Во-вторых, лорен-
92
цовы сокращения представляют собой релятивистский эффект, в го
время как изменение геометрии наблюдается при малых скоростях
вращения. Действительно, представим себе резиновый диск, на ко-
торый нанесена декартова координатная сетка. Пусть теперь диск
вращается вокруг оси, проходящей через его центр В результате
вращения диска мы увидим искажения координатной сетки, причем
эти искажения будут тем сильнее, чем дальше мы находимся от оси
вращения. Вопрос состоит в том, чтобы описать свойства внутрен-
ней геометрии диска, которая порождена его вращением и которая
учитывает угловые координаты (в данном случае их должно быть
три)
2.8.1. Трехмерная ориентируемая точка
Геометрия Евклида, лежащая в основе классической механики,
представляет собой трехмерное точечное многообразие. Ранее было
показано, что, для того чтобы учесть вращательные степени свободы
произвольно ускоренной трехмерной системы отсчета, нам необходи-
мо использовать шестимерное или трехмерное многообразие ориен
тируемых точек
Под трехмерной ориентируемой точкой подразумевается точка,
снабженная ортогональным репером. Такой объект можно наделить
массой и моментом инерции, рассматривая его как вращающееся
твердое тело бесконечно малых размеров.
Для описания пространства событий динамики ориентируемой
точки рассмотрим шестимерное многообразие координат xj, 12, ^з, >
у?2>¥’з- Его удобно представить как векторное расслоение1 с базой,
образованной транеляционими координатами ii,i2,x3 и слоем, за-
данным в каждой точке ха (а = 1,2,3) ортонормированиями реперами
ед, Д= 1,2,3, (2.49)
где А означает номер вектора репера Фактически любой из реперов
ед является математическим представлением трехмерной произволь-
но ускоренной системы отсчета.
Согласно теореме Эйлера, бесконечно малые повороты вокруг
трех осей репера (2.49) можно заменить одним поворотом на угол dx
вокруг определенной оси, проходящей через начало репера О. Бес-
конечно малый поворот (в отличие от конечного поворота) можно
задать вектором
dx = dxex,
^Термин «векторное расслоение» принят в математике.
93
где вектор ех направлен вдоль мгновенной оси вращения системы
отсчета. Это направление выбирается так, что если смотреть с конца
вектора ех на неподвижную точку О, то поворот совершается против
часовой стрелки (правая система отсчета).
Бесконечно малое изменение векторов репера ех при повороте dx
имеет вид
deA = [dxe^]. (2.50)
Если разделить (2.50) на dt, то мы получим
^ = [^ел]=[и>ел], (2.51)
at at
где w — dx/dt - трехмерная угловая скорость вращения системы от-
счета относительно мгновенной оси. Выбирая ортогональный репер
«) <Л,е°в = ЬАВ = { J , (2-52)
б) еА ер — 6 р 1 » = /?
еаел-°а-|0 а//?’
А,В... = 1,2,3, а, 6,0 = 1,2,3,
где а, 6, /?... - векторные индексы, а А, В... - номер вектора, можно
записать соотношения (2.50) и (2.51) как
deAa = dxpoeAp, (2.53)
Умножая равенство (2.53) на ерА и используя условия ортогонально-
сти (2.52), получим
dXPa=^AdeAo. (2.55)
Дифференцируя условия ортогональности (2.52), получим
еАа&РА + epAdeAa = 0,
откуда
<ЬСа0 + dxpa = 0.
Следовательно,
dxop = ~dxpa- (2 56)
Величины (2.56) описывают бесконечно малый поворот трехмер-
ной системы отсчета и определяют трехмерную метрику Киллинга-
Картана
dp2 = dXopdxap, (2.57)
94
заданную на группе трехмерных вращений 0(3), действующей на
множестве координат фз
Умножая (2.54) на е@А и используя условия ортогональности (2.52),
находим
dt А dt
причем тензор угловой скорости вращения системы отсчета
UQp — —Шро
связан с компонентами вектора ш = dx/dt = (ш1,ш21^з) следующим
образом:
(О — ШЗ
шз 0 —wj
—U2 о), О
2.8.2. Геометрия абсолютного параллелизма Аз
Запишем равенство (2.55) в виде
dxpa = epAdeAa
деА„
= ‘А°8^
и введем обозначение
Л“ — ₽“₽л
Р7 — еАе Р,7'
8
дх'1
(2.58)
В результате мы получим локальную связь между дифференциа-
лами координат базового пространства dxa и дифференциалами ко-
ординат касательного аффинного пространства dXpo в виде
dxap = Д%^,
(2.59)
где величины Д“д7 представляют собой локальную связность аффин-
ного пространства. Как и всякая связность, она имеет нетензорный
закон преобразования относительно трансляционных координатных
преобразований
ДУ0-а<
д2х'1 дх^'
дх°‘дхР' 8x1
дха дх& дх1
дха> дх13' дх"1
&pa.
Если теперь мы образуем с помощью связности (2 58) тензор кри-
визны, то он оказывается равным нулю
^ч = 2Д%,7) + 2Д%ьД[р|п] = 0.
95
По определению, пространство с нулевым тензором кривизны на-
зывается пространством абсолютного параллелизма, а соотношение
(2.58) определяет связность абсолютного параллелизма.
Частным случаем пространства абсолютного параллелизма явля-
ется плоское евклидово пространство. Действительно, из формулы
(2.59) видно, что когда вращение отсутствует (dxap = О, dx1 ф 0),
связность обращается в нуль, при этом пространство абсолют-
ного параллелизма переходит в евклидово.
В рассматриваемом нами примере локальный метрический тен-
зор базы задан на множестве трансляционных декартовых координат
х°. В общем случае произвольных криволинейных трансляционных
координат его можно представить как
9ор= ПлвеАаеЬр, Чав = уАВ = diag(l, 1,1),
а трансляционный интервал в виде
dl2 =дар dxadx0 = г]АвеАаеьpdxadx13 . (2.60)
В произвольных трансляционных координатах связность (2.58) за-
пишется как
Да т~а , гт^а а „А
07 ~ * Р-Ч + * Рч ~ еАе Р,-г>
где
loo о о
Г“/37 = - 9 + 91Г),р — 9ру,т)) (2 61)
- символы Кристоффеля,
оо о
Т°Рч = 9 а\9рР 9.р П„') (2.62)
- коэффициенты вращения Риччи,
^Рч = -Д“^7] = -|^(е^,7 - еАър) (2.63)
- объект неголономности.
Этот объект отличен от нуля именно тогда, когда при описании
динамики вращательного движения возникают угловые неголоном-
ные координаты уц, у>2, <Рз
Таким образом, пространство событий классической механики,
описывающее поступательные и вращательные степени свободы про-
извольно ускоренной трехмерной системы отсчета, наделено трех
мерной геометрией абсолютного параллелизма (геометрией Д3). В
отличие от привычной нам поступательной теории относительности
96
новая теория имеет две метрики: вращательную Киллинга-Картана
(2.57) и трансляционную (2.60). Эти метрики отражают существова-
ние соответственно вращательной и поступательной относительно-
сти для уравнений движения Ньютона и Эйлера.
2.9. Относительность вращения
Геометрия Евклида представляет собой разновидность геометрии
абсолютного параллелизма, поскольку ее кривизна равна нулю. Гео-
метрия пространства событий со связностью (2.58) также имеет ну-
левую кривизну, но в отличие от геометрии Евклида обладает не
нулевым кручением. Кручение пространства (англ, torsion) со связ-
ностью (2 58) порождается объектом неголономности (2.63), т е свя-
зано с геометрическим описанием вращательного движения, с вра-
щательной относительностью. Когда кручение (2.63) равно нулю, не-
голономные вращательные координаты как динамические
переменные отсутствуют, и мы получим евклидово пространство со
связностью
Дог ра «а «А
0-f — 1 Pl — еАе p,f
и трансляционной метрикой (2 60). Вращательная метрика (2 57), ко-
торая в произвольных криволинейных координатах записывается в
виде
dv2 = dXpadXap = epADeAae°ADeAp = ТАВаТвApdxadx^, (2.64)
где D абсолютный дифференциал относительно символов Кристоф-
феля (2.61), вырождается в нуль
2.9.1. Локально инерциальные системы отсчета
второго рода
В дальнейшем мы будем называть торсионным полем коэффициен-
ты вращения Риччи (2 62), поскольку именно они определяют враща-
тельные (торсионные) взаимодействия физических объектов. Отно-
сительно произвольных трансляционных преобразований координат
вида dxa — (дха/дха )dxa торсионное поле ведет себя как тензор
< _ дх° дх? дх1'
“ дха' дхР' дх1 130
Запишем теперь торсионное поле Тар^ в «координатах слоя» с по-
мощью преобразования
ТАВу=еАаТ^еРв. (2 65)
4 Г.И.Шипов
97
По индексам слоя А, В... величины (2.65) имеют нетензорный за-
кон преобразования
= АааТав^Авв, + АааАав,'У, (2.66)
где матрицы Ааа образуют группу вращений 0(3)
лл; е 0(3).
Используя правило перехода (2.65), запишем равенство (2.59) в
локальных индексах А, В ..
d*AB = TABydXT.
Разделив это соотношение на dt, получим трехмерную угловую
скорость вращения системы отсчеташАв, записанную в «координатах
слоя»
_ <ЬсАв _ та dx*
ш B-~dr~TB-*~dC- (2-67)
Поскольку в этом соотношении торсионное поле можно обра-
тить в нуль с помощью преобразований в группе 0(3), то и угловая
скорость ыАв является величиной относительной.
Заметим, что соотношение (2.67) устанавливает связь межд}’ по-
ступательной скоростью о1 = dx*/dt начала О и угловой скоростью
ыАв произвольно ускоренной системы отсчета. Эту связь обеспечи-
вает величина ТАВу-
Утверждение 2.4. Геометрия абсолютного параллелизма описыва-
ет вращательное движение ускоренных локально инерциальных си-
стем отсчета второго рода.
Доказательство. Перепишем теперь уравнения (2.54) в локальных
индексах. Для этого необходимо использовать преобразования ви-
да (2.65) и условия ортогональности (2.52). Окончательно получим
следующие уравнения:
А „А
— вео_ТВуеа — . (2.68)
Они представляют собой вращательные уравнения движения в ло-
кальных индексах. Используя угловые координатные преобразова-
ния в группе 0(3), можно обратить величины ТАВа в нуль в силу не-
тензорного закона преобразования (2.66). В результате вращатель-
ные уравнения (2.68) принимают вид
deA
-±=иАвево=0, (2 69)
at
4
98
Рис. 2.2. В ускоренной локально инерциальной системе отсчета вто-
рого рода силы инерции компенсируют друг друга
который соответствует инерциальному движению системы отсчета
Действительно, выберем вектора триады ева так, чтобы вектор ei
был касательным в произвольной точке М на некоторой физической
траектории
с/х
е1=л-
тогда из (2.69) следуют уравнения инерциального движения:
(2.70)
с/2х „
Л2 “°'
что и доказывает утверждение.
Обращение в нуль угловой скорости вращения физически озна-
чает, что мы перешли с помощью преобразования углов к системе
отсчета, жестко связанной с вращающимся телом отсчета Но если
мы при этом находимся не в начале координат (связанным с центром
масс тела), а на некотором расстоянии от него, то мы обнаружим дей-
ствие сил инерции. Поэтому локально инерциальная система отсчета
второго рода реализуется тогда, когда силы инерции, вызванные ее
вращением, компенсируют друг друга.
Примером ускоренной локально инерциальной системы отсчета
второго рода может служить система, связанная с вращающимся мас-
сивным диском, при этом ее начало совпадает с центром масс диска
(рис.2.2). В силу симметрии диска все силы инерции, действующие
99
на. его центр масс, компенсируют друг друга, поэтому начало вра-
щающейся вместе с диском системы отсчета покоится или движется
прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы от-
счета, хотя (по определению) и является ускоренной.
2.9.2. Торсионные поля в уравнениях Френе
После того как вектор ei выбран в виде (2 70), уравнения (2.68)
могут быть расписаны как
= <0е2, (2.71)
^ = -<Z)ei +х(/)е3, (2.72)
= -х(/)е2, (2.73)
где к(/) - кривизна кривой, у(/) - кручение кривой, а I - длина кривой.
Эти уравнения были получены французским математиком Ж.Френе в
середине прошлого века. Сравнивая уравнения Френе с вращатель-
ными уравнениями (2.68), получим связь между торсионным полем
кривизной и кручением
к(/) = Ы(1) (2) =7(1) (2)7-Jp
х(0 = ы(2) (3) - Т™ (3)7
Кроме того,
dx1
1Г =е (1)
e7(i)C7(1) = 1
С помощью этих соотношений метрика Киллинга Картана (2.57)
для пространства, в котором кривые обладают кривизной и кручени-
ем, принимает вид
dv2 = —(к2 4- x2)(dx2 -(- dy2 + dz2). (2.74)
Из этих уравнений видно, что кривизна и кручение в уравнени-
ях Френе выражаются через торсионные поля (2.65) и определяют
метрику Киллинга-Картана геометрии абсолютного параллелизма
Отметим, что кривизна и кручение кривой Френе (правильнее бы-
ло бы их назвать первым и вторым кручением, поскольку они выража-
ются через компоненты торсионного поля) являются инвариантами
100
относительно произвольных преобразований трансляционных коорди-
нат ха, но ведут себя как относительные величины при преобразова-
ниях в группе трехмерных вращений S0(3)
2.10. Поступательно-вращательная
относительность
В общем случае ускоренная система отсчета может быть локально
неинерциальной. Это происходит, когда:
а) внешние силы, действующие на тело отсчета, не скомпенсиро-
ваны силами инерции;
б) силы инерции, действующие на центр масс вращающегося тела
отсчета, не компенсируют друг друга
Причины, вызывающие локальную неинерциальность, могут иметь
различную природу. Например, вращение свободно падающих лиф-
тов Эйнштейна приводит к локальной неинерциальности, вызванной
вращением лифта2. Геометрическое описание систем отсчета, нача-
ло которых движется ускоренно, а сами еще и вращаются, требу-
ет объединения эйнштейновской поступательной относительности с
вращательной относительностью.
2.10.1. Произвольно ускоренные системы
Простым доказательством того факта, что теория Эйнштейна и
общерелятивистская электродинамика описывают только поступа-
тельные движения ускоренных систем отсчета, является четырехмер-
ность (по количеству поступательных координат х<, i = (0,1,2,2))
координатного многообразия, с которым работают эти теории. На
самом же деле четырехмерная произвольно ускоренная система от-
счета имеет 10 степеней свободы и требует для полного описания
ускоренных четырехмерных систем отсчета введения десятимерного
многообразия [102]. Рассмотрим в качестве пространства событий
четырехмерное дифференцируемое многообразие с координатами х1
(i = 0,1,2, 3), причем в каждой точке этого многообразия заданы век-
"ор е“ (i = 0,1,2,3) и ковектор eJt (b = 0,1,2,3) с условиями норми-
овки
е°е}а=%, ea,e't — 6b. (2.75)
2В системе отсчета., жестко связанной с вращающимся лифтом, на тело массы
т, отстоящее на некотором расстоянии от центра вращения, будет действовать
центробежная сила инерции. Таким образом, внутри лифта локально можно
создать искусственное «поле притяжения».
101
При таком задании четыре координаты х' описывают положение
начала О четырехмерной системы отсчета, а шесть независимых (в
силу условий (2.75)) компонент тетрады еа, - ее пространственную
ориентацию, играя роль угловых переменных.
Рассматриваемое десятимерное многообразие относительных ко-
ординат произвольно ускоренных четырехмерных систем отсчета на-
делено структурой геометрии абсолютного параллелизма (см. ч. 2).
Обозначим кратко основные свойства этой геометрии.
Тетрада е“ определяет метрический тензор пространства абсо-
лютного параллелизма
дне = f]abeaiе*, т)аЬ - rfb = diag(l - 1 - 1 - 1) (2.76)
и риманову метрику
ds2 = gikdx'dxk. (2.77)
Кроме того, ее производная по координатам г, определяет связ-
ность абсолютного параллелизма
— П* — е*оеа*,Р
(2.78)
где Г* к- символы Кристоффеля и - торсионное поле, определяемое
через кручение геометрии А4
Д‘[Ж = -^i.= = ^е’а(е М - Л,>) (2 79)
по следующему правилу
Тук = “(2.80)
Торсионное поле Т^к определяет вращательную метрику (метрику
КиллингаКартана)
dr2 =T']kT’ndxkdxn, (2.81)
которая описывает вращательные свойства произвольно ускоренных
четырехмерных систем отсчета.
Трансляционной метрике (2 77) соответствуют четыре трансляци-
онных уравнения движения системы отсчета (уравнения движения ее
начала)
d2x' _ dx3 dxk . dx1 dxk
, 2--1- Г .k —-—--1- T jk ---- = 0.
ds2 3 ds ds 3 ds ds
Вращательной метрике (2.81) соответствуют шесть вращательных
уравнения движения;
(2.82)
de'dxk dxk
^ + Г‘^а-+Г,*<- = 0. (283)
102
Соотношение (2.79) может быть переписано в виде первых струк-
турных уравнений геометрии А4:
=°> (2-84)
где V* - ковариантная производная относительно символов Кристоф-
феля. Вторые структурные уравнения геометрии Л4 совпадают с
определением тензора кривизны S']km
S'jkm = 2Д}[тЛ] 4- = 0, (2.85)
который может быть представлен в виде суммы
= R']km + 2V[tT]* |m] + 27^7£ |m] = 0, (2.86)
где R']krn ~ тензор Римана. Уравнения (2.84) и (2.85) полностью опи-
сывают структуру геометрии абсолютного параллелизма, т.е. вра-
щательные и поступательные движения произвольно ускоренных че-
тырехмерных систем отсчета.
2.10.2. Геометризация полей материи
Сколь плодотворным оказалось введение пространства событий,
объединяющего поступательную и вращательную относительность,
видно из решения второй фундаментальной проблемы, выдвинутой
А.Эйнштейном для построения единой теории поля. Эта проблема
была направлена на поиск уравнений Эйнштейна (2.32) геометри-
зированной правой частью. Действительно, свертывая уравнения
(2.86) по индексам i и k, получим
Rim = - ^Т^т]. (2.87)
Свертывая далее уравнения (2.86) метрическим тензором gjrn, име-
ем
R = -2?m(V[iT|.lm) + 27^7^). (2.88)
Образуя с помощью (2.87) и (2.88) тензор Эйнштейна
получим уравнения:
Rjm - T^gjmR - I'Tjm, (2.89)
103
подобные уравнениям Эйнштейна, но с геометризированной правой
частью, определяемой как
(2.90)
-2»>"’0РП(^Т|р|п] +
Тензор (2 90) может быть представлен в виде суммы симметрич-
ной и антисимметричной по индексам j и т частей
Tjm = ^(jm) + 7[ym],
причем Rjm - ^gjmR = (2 91) 2[jm] = - ^A, - A,Q^) = 0, (2 92)
где Aj = T'ji (2 93)
Соотношение (2.92) можно понимать как уравнения, которым удо-
влетворяют поля кручения (торсионные поля), образующие тен-
зор энергии-импульса (2.90).
Таким образом, геометризация полей материи получает свое ре-
шение в десятимерном пространстве событий произвольно ускорен-
ных систем отсчета.
2.11. Конформная система отсчета
Уравнения (2.84) и (2.85) представляют собой обобщение ваку-
умных уравнений Эйнштейна Rjm = 0 на случай, когда существует
геометризированный источник римановой кривизны в виде торсион-
ных полей. Эти уравнения были объявлены автором как уравнения
физического вакуума - пятого (потенциального) состояния материи.
В произвольно ускоренной системе отсчета, базис которой образуют
вектора (2.75), они допускают матричную запись вида
= 0, (Л)
Rabkm + 2V(tT°|Mm] + 2T»(tr|i|m] = 0. (В)
3В первом издании книги был выписан тензор метерии, описывающий эйн-
штейновский вакуум и первичные торсионные поля.
104
Используя активные координатные преобразования в группе транс-
ляций Т4
дх'
dx' =-^—rdxk, k,i'. — 0,1,2,3, (2 94)
охк
можно обратить величины Г*;ч, входящие в уравнения (Л) и (В), ло-
кально в нуль. С другой стороны, используя активные координатные
преобразования в группе вращений 0(3.1) для матриц торсионного
поля
= А’^А1., + Ла>%,л, (2.95)
где матрицы Л“о образуют группу вращений 0(3.1) (цифры 3 и 1 озна-
чают выбранную сигнатуру (------1-))
л< е 0(3.1),
можно обратить (опять же локально) торсионное поле Таь,к в нуль.
Относительно групп Т4 и 0(3.1) риманова кривизна Rabkm преобра-
зуется как тензор
дхк дхт дхк
е Т4, (2.96)
ОХК Охт ОХК
Ra‘b‘km = Aa>°dimAbb„ е 0(3.1). (2.97)
Согласно всеобщему принципу относительности, величина Rabkm
тоже должна носить относительный характер, поэтому необходимо
ввести такие преобразования, имеющие физический смысл, относи-
тельно которых риманова кривизна Rabkm имеет нетензорный закон
преобразования.
Известно, что уравнения физики в плоском пространстве, со-
держащие постоянную массу частицы, не конформно инвариантные.
Конформную инвариантность уравнений удается восстановить, если
ввести переменную массу частицы следующим образом.
Пусть мы имеем псевдоевклидово пространство с метрикой
ds20 — t]ikdx'dxk, (2.98)
4ik = ч'к - diag(l - 1 - 1 - 1). (2.99)
Разделив обе части равенства (2.98) на ds2 и умножив полученное
2 2
выражение на ттгс , получим
VikP'p* = т2с2, (2 100)
где р' = dx'/dso - импульс частицы с постоянной массой т = const.
105
2.11.1. Относительность массы и тензора Римана
Пусть теперь масса частицы переменна, тогда ее можно предста-
вить в виде
тп(х') = (2.101)
Для частицы с переменной массой соотношение (2 100) запишется
как
T]ikP'pk = т2(х")с2,
или
£>2(x")T]ikP'pk = 9ikP'pk = т2с2. (2.102)
Отсюда следует, что
ds2 = g,kdx’dxk = О? (x")r]ikdx'dxk, (2.103)
где х' и х' связаны специальными конформными координатными пре-
образованиями [103] следующего вида:
£* = - _ . С , с* = const, (2.104)
S2(a?1) ' '
П(Р) = 1 - 2с'Xi + с2х2. (2.105)
Специальные конформные преобразования координат подразуме-
вают наличие у пространства упругих свойств (своеобразные сжа-
тия и растяжения пространства) Они могут быть записаны в виде
композиции
С = ITI,
где
а) инверсии /
_ к2х'
X = —:----1
Х*Х{
(2.106)
(2.107)
(2.108)
в) повторные инверсии I
к2х"'
Х ~ xiiixii
Добавляя к группе Пуанкаре преобразования (2 104) и конформ-
ные дилатации (растяжения)
х'=рх*, (2.109)
106
получаем 15-параметрическую конформную группу преобразований
Предположим теперь, что
П(х') = ехр 2^>(х1) (2.110)
Тогда динамические переменные в уравнениях физического вакуума
преобразуются как:
а) компоненты тетрады
expy>(sc’), ё’а = е‘а ехр —(2.111)
б) компоненты коэффициентов вращения Риччи
T'jk=T'jk-K']k + 6']^k, (2.112)
R'jk = <Р,з6*к + V.kS'j ~ <P''9jk\ (2.113)
в) компоненты тензора Римана
R jkm = R jkm + к ~ Ккт& j + 9]тК к — 9ткК j, (2.114)
Kjm = ^j(^P,m) ‘Р jf.m ~ ~9]тР.кР' (2.115)
Соотношения (2.111) показывают, что мы ввели систему отсчета,
вектора которой имеют переменную длину. Системы отсчета, у кото-
рых базисные вектора имеют переменную длину, мы будем называть
конформными системами отсчета.
Теперь возникновение геометрии А4 с Rijkm 0 из геометрии Мин-
о
ковского, у которой тензор Римана Rijkm равен нулю, можно описать
конформно инвариантными уравнениями.
^^]-ё‘[*7’аИ|т] = 0, (Л)
R°bkm + + 2^’°c[t^’C|t|m]> (^)
в которых тензор Ratkrn определяется как
R jkm = Kjmfi к ~ Rkm& j + 9]mR к — 9mkR j (2.116)
Эта кривизна определяет уклонение конформной метрики (2.103)
от плоской (2.98), вызванное конформной деформацией плоского про-
странства. Применяя обратные преобразования, мы можем обратить
кривизну (2.116) в нуль, что и доказывает относительность римано-
вой кривизны в рамках всеобщего принципа относительности
107
2.12. Спинорные системы отсчета
До сих пор мы рассматривали геометрию пространства собы-
тий различных систем отсчета, базис которых составляли вектора
еа{. При этом предполагалось, что тело отсчета имеет массу покоя,
отличную от нуля. Подобные системы отсчета движутся со скоро-
стями меньше скорости света. Выбирая, например, четырехвектор
скорости и, тела отсчета в виде
и. =
из условий ортогональности (2.75) имеем
utu‘ = 1,
т.е. вектор скорости времениподобен и описывает движение с досве-
товыми скоростями.
2.12.1. Световая система отсчета
Уравнения вакуума (Л) и (В) представляют собой чисто полевые
уравнения, в которых тензор энергии-импульса материи (2.91) обра-
зован торсионными полями T'jk- Массы, заряды и другие характери-
стики физических объектов оказываются интегральными полевыми
величинами, вычисляемыми через торсионные поля. Для изучения
полевых структур удобно использовать системы отсчета, у которых
в качестве тела отсчета выбрано безмассовое поле (например, све-
товая волна), характеризуемое изотропными векторами. Выберем в
качестве системы отсчета комплексную световую тетраду z°,-, обра-
зованную из компонент обычной тетрады eat:
Z а — Z с (^а , Bq , ТПа , ТПа ),
(2.117)
а = 0,1,2,3, 1 = 0,1,2,3,
причем
I, =1 ', п, =п *, т — т'
108
Рис. 2.3. Четырехмерный импульс массивной частицы образуется из
импульсов двух безмассовых частиц
Для световой системы отсчета вместо условий ортогональности
(2.75) имеем
_ i _ _ . _
/"/, = n*n, = тп'тщ =т т{= l'ml = Г mt— n'ml — п' тг— О,
Гп, = —т' гп{= 1.
Введение комплексной световой системы отсчета связано с идеей,
что все массивные частицы имеют чисто полевую природу и образо-
ваны безмассовыми полями Наглядно это можно представить себе
так. Пусть мы имеем безмассовые поля с импульсами р1, = ЛА:1,- и
p2i = hk2i, направленными навстречу друг другу (рис.2.3). Их вол-
новые вектора А:\ и А:2, изотропны и направлены по образующим све-
тового конуса. Из рис 2.3 видно, что геометрическая сумма векторов
р\ и р2, уже не является изотропным вектором, а представляет собой
времениподобный вектор р3,, который описывает энергию и импульс
массивной частицы. В нашем случае подобная ситуация представле-
на суммой е*0 = (2)-1/2(Г + п') в соотношениях (2.117). Ниже будет
приведено доказательство теоремы (о неаддитивности масс), из ко-
торой следует, что все массивные частицы могут быть построены из
безмассовых полей.
109
Выбор системы отсчета, связанной с безмассовыми полями, не ме-
няет общего вида уравнений вакуума Меняются только некоторые
частные выражения Например, метрический тензор в трансля-
ционном интервале записывается как
9kj = 4abZakZbj,
где локальный метрический тензор т)аь имеет вид
/01 о о \
„ _„аЬ_ 10 0 0
Vab ~ ; 0 0 0 -1
< 0 О -1 0 )
2.12.2. Спинорные координаты
Пространство событий относительных координат систем отсче-
та, связанных безмассовыми полями, обладает изотропной римано-
вой метрикой
ds2 = gikdx'dxk — 0. (2.118)
Сравнивая вто соотношение с конформно инвариантной метрикой
(2 103), можно заметить, что изотропная метрика автоматически кон-
формно инвариантна. Одновременно оказываются конформно инва-
риантными уравнения, описывающие динамику безмассовых полей.
Конформная инвариантность безмассовых полей позволяет пред-
положить, что из вакуума первыми материальными объектами, не-
сущими энергию, появляются безмассовые поля, из которых затем
образуются массивные частицы
Конформные координатные преобразования (2.104) интересны тем,
что они включают в себя бесконечно удаленную точку наравне с обыч-
ными точками пространства событий. Это свойство пространства со-
бытий может быть автоматически учтено, если мы введем спинорные
координаты, образующие пространство со спинорной структурой
Рассмотрим пространство событий наблюдателя, который дви-
жется со скоростью света. Его всевозможные траектории находятся
на поверхности светового конуса4.
Изотропные направления будущего образуют на световом конусе-
некое пространство, сечение которого гиперплоскостью Т = 1 пред-
4Более подробные сведения о построении геометрии пространства со спинор-
ной структурой можно найти в книге (86]
110
Рис. 2.4.. S+ - сечение светового конуса, будущего гиперплоскостью
ставляет собой сферу S+ (рис.2.4), описываемую уравнением5
х2 + j/2 + z2 = 1. (2.119)
Эту сферу можно рассматривать как риманову сферу аграндовой
плоскости (плоскости Агранда Бесселя-Гаусса). Известно, что ри-
манова сфера является представлением комплексных чисел, вклю-
чающим бесконечность. Аграндова плоскость позволяет заменить
пространственные координаты х, у, z одним комплексным числом на
сфере S+ путем стереографического соответствия между сферой и
плоскостью. Возьмем плоскость Е сечения сферы S+ с уравнени-
ем z = 0 и отобразим точки сферы S+ единичного радиуса на эту
плоскость, проектируя их из северного полюса 7V(1,0,0,1) (рис. 2.5).
Пусть точке Р(1, х, у, г) на сфере S+ соответствует точка P(l, X', Y', 0)
на плоскости Е. Точки А и В представляют собой конечные точки
перпендикуляров, опущенных из точки Р на СР' и CN. Вводя для
точек плоскости Е один комплексный параметр
C = X' + Y', (2.120)
находим из рис. 2 5
х + гу = Л<,
где
_ СА _ NP _ NB
Z~ СР> ~ NP' ~ NC
6Это же уравнение описывает сферу S , возникающую при сечении светового
конуса прошлого гиперплоскостью Т = —1.
111
Рис. 2.5. Стереографическая проекция сферы S+ на аграндову плос-
кость
Используя последние два соотношения, находим связь между па-
раметром £ и координатами точки Р :
x + iy
1 — z
(2.121)
Умножая это соотношение на комплексно сопряженную величину
и учитывая (2 119), имеем
х2 + у2 _ 1 + z
(1-z)2 “ 1-z'
(2.122)
Решая это уравнение относительно z и подставляя полученное вы-
ражение в (2.121), получаем
С+С С<-1
—-—, у = —z-------, z = ——
< < +1 i(C С +1) < < +1
(2.123)
Соотношения (2 121) и (2 123) устанавливают стереографическое
соответствие между аграндовой плоскостью Е и единичной сферой
S+ в x,y,z - пространстве с центром сферы в точке (0,0,0).
По мере приближения точки Р к точке N точка Р' стремится к
бесконечности. Чтобы включить точку N сферы в рассмотрение, не-
обходимо добавить к аграндовой плоскости одну «точку» С = оо; при
этом между сферой и аграндовой плоскостью устанавливается одно-
однозначное соответствие, а сама аграндова плоскость превращает-
ся в риманову сферу Е.
112
Введем теперь пару комплексных чисел (£, tj) (не равных нулю од-
новременно), связанных с £ соотношением
Ч
(2 124)
Пара представляет собой проективные (однородные) ком-
плексные координаты. В новых координатах дополнительная точка
на бесконечности £ = оо задается конечной меткой, например (1,0).
Переписывая соотношения (2.123) в комплексных однородных коор-
динатах, имеем
tv+rit е»? -г) е ее-»?’?
I = —-----, у = -------—, Z — —--------
е е +»? ч *«<+»?’?) е е +»? ч
(2.125)
Из этих соотношений видно, что при произвольном, отличном от
нуля комплексном числе А пары (£, rj) и (А£, Ат?) изображают одну и
ту же точку на S+.
Напомним, что точка Р(1, х, у, z) представляет собой некоторое
изотропное направление, исходящее из начала О. Умножая коор-
динаты точки Р (с учетом соотношений (2.125) ) на (£ £ +т? »?)/v^,
имеем
т=^ё+’?’О-
у = J_(^_^),
гу2
х = Т5(е +•? ё),
z = ^=(е ё -ч ч).
(2.126)
При желании можно выбрать любую другую точку X на ОР
Возьмем теперь тетраду е°, и разложим по ней произвольный век-
тор Xi
Xi = Хое^°\ + + X2e^i + Х3е(3\, (2.127)
где Хо, Xi, Х2, Хз - локальные координаты вектора. Для этих коор-
динат мы также имеем
Хо - £ +•? ’?)>
х2 =
а'1 = ч +г) ё),
Аз = ~^(С С -т) Ч).
(2.128)
Таким образом, пара спиноров (£, ту) выступает как спинорные ко-
ординаты, определяюшие обычные координаты по правилу (2.126).
113
2.12.3. Спинорная система отсчета
Введение спинорных координат фактически означает, что мы пе-
решли к пространству событий со спинорной структурой. Это про-
странство обладает целым рядом преимуществ перед обычным ко-
ординатным пространством. Во-первых, если мы вводим спинорное
пространство событий, то четырехмерность трансляционных коорди-
нат становится следствием такого введения. Во-вторых, автоматиче-
ски появляется «нужная» сигнатура (-1---) пространства-времени.
Особым преимуществом спинорной структуры пространства со-
бытий оказывается возможность введения в этом пространстве спи-
норного базиса (или спинорной системы отсчета [86]), построенного с
использованием спинорной диады oa,ia, а = 1,0. Спиновая система
отсчета получается из векторов тетрады е°,- или из векторов световой
тетрады z°, по следующему правилу:
4 = (2)-1/2(Г + n‘) = (г)"1^+ ^), (2.129)
ei = (2)-1/2(m* + m*) = (2)-1/V ^(o"^ 4- i°o₽),
e*2 = -m,) = (2)~1/2a'Q-(oa^ - iao^),
4 = (2)-1/2(Г - n*) = (2)-V2^-(оаоё -
где <t'q^ - спинорный Г-базис ’или символы Инфельда-Ван-дер-Варде-
на (см. ч. 2). Отсюда видно, что любой времениподобный, простран-
ственноподобный или изотропный вектор может быть представлен
через пару спин-векторов о", ia. Р.Пенроуз [86] дает геометрическую
интерпретацию спин-векторам оа и i“ в виде флагов. Спин-вектор о"
представляется флагом (рис.2.6), флагшток которого равен изотроп-
ному вектору
/“ =
ар
а полотнище флага отходит от этой линии в направлении х. Флаг-
шток спин-вектора ia равен
п° =
ар '
а полотнище флага отходит от этой линии в направлении — х.
Всякий изотропный вектор №, направленный в будущее, может
быть представлен парой спин-векторов
Ка =
114
Рис. 2.6. Связь между спиновой системой отсчета и обычной
тетрадой
причем этот вектор можно ассоциировать с флагштоком спин-вектора
. Полотнище флага, определяющее спин-вектор к^, задается дей-
ствительным изотропным бивектором
РаЬ = аа аркак^<ть ^1^,
или в спинорной форме (см. ч.2),
Ра^ =
где
с — саР — с — с-Т£ — ( 0 1
£«/3 — £ — £7« — £ — I о
- фундаментальный спинор в Г-базисе.
Флагшток и полотнище флага образуют'вместе изотропный флаг,
который описывает спинор к£ с точностью до знака. При умножении
на ге'в (г ив действительные величины) протяженность флагштока
увеличивается в г2 раз, а полотнище флага поворачивается на угол
20. Существенное отличие спин-вектора от вектора заключается в
том, что вектор совпадает сам с собой при повороте на угол 2тг, в то
время как спин-вектор - на угол 4тг.
115
2.13. Уравнения вакуума в спинорной системе
отсчета
Перечисленные выше фундаментальные свойства пространства
событий со спинорной структурой наиболее полно удовлетворяют
требованию всеобщего принципа относительности. Поэтому спинор-
ная запись уравнений вакуума (Л) и (В) оказывается самым общим
представлением этих уравнений.
Возможны различные формы записи уравнений вакуума (Л) и (В)
в спинорном виде. Это связано с тем, что существуют три вида спи-
норных базисов:
Г-базис, образованный символами Инфельда-Ван-дер-Вардена
<т^, а,7... = 0,1, р,к... = 0,1, удовлетворяющими уравнениям (7.1)
(см. ч. 2);
Д-базис, образованный символами Ньюмена-Пенроуза сг^, А,
С... = 0,1, В, D... = 0,1, удовлетворяющими уравнениям (7.2);
диадный базис £°д, образованный спин-векторами оа и i° и удо-
влетворяющий уравнениям (7.3).
2.13.1. Спинорное представление уравнений (Л)
Записывая, например, уравнения (А) в спинорном Д-базисе, нахо-
дим
^АВ^сЬ ^СЬ°'аВ £^(ТРАСО^В ~TpCABaQD) _
-ея^(7’дддС - <r'AS - ТHDBAalcs) = 0,
(2.130)
где
£АВ — £ — £CD — £ — I о
- фундаментальный спинор в спинорном Д-базисе, аТрлСр - спинор-
ная запись торсионного поля T'jk-
Можно переписать уравнения (А) в бесследовых 2x2 матрицах
Кармели
(2.131)
Компоненты матриц Кармели составляют спиновые коэффициенты
Ньюмена Пенроуза [14]. В матрицах Кармели [89-92] уравнения (2.131)
116
запишутся как
®CDffAB ^ABffCD ~ ^CD^a аРВ + °АН^Ьс^ в
-(TAB)cPc'pD-^CR{TlA)RDy (2.132)
причем
Cab)cD =
CD
АВ 00 01 10 11
00 Е — К 7Г -Е
01 Р —а р -Р
16 а -р А —а
ii 7 —т 1/ -7
(2.133)
где (Tab)cD является CD элементом матрицы TAR. В диадном базисе
с матрицами Кармели связаны комплексные спинорные матрицы вида
(см. ч. 2)
ТАСк = £аСЧк& = ТАСк, (2-134)
(2.135)
Здесь знак «плюс» означает эрмитово сопряжение. Используя эти
матрицы, можно записать уравнения (Л) в матричном виде как
I1' - = °. Р 136)
или, опуская матричные индексы,
- Т(*д*Ч - <^Т+ = 0. (2.137)
Наконец, с помощью двухкомпонентных спиноров о°, 1° уравнения
(Л) могут быть записаны в виде расширенной геометризированной
системы нелинейных (с нелинейностью типа Ф3) уравнений Гайзен-
берга
VрхOqi — ОаОрОх 01 Р Оа^рО-у, 4” Е Oa^pl'X Т I'aOpO'x'^'
4" Р к^Орк-^ 4" СГ Ьд/ЬрО^ В
Рх^а ~ ОаОрОх A OQOplx р OalpO^ 4“ 7Г Оа^р^х (2.138)
—X ‘аОр&х + laOplx + Р 1а10Ох — Е 1а1Р^Х1
а,/3,Т- =0,1, Х,Р,в =0,1.
117
2.13.2. Спинорное представление уравнений (В)
Уравнения (В) в спинорном Д-базисе расщепляются на две системы
матричных уравнений:
1) спинорные матричные уравнения, спинорные матрицы римано-
вой кривизны которых преобразуются в спинорной группе S'£+(2.C)
Илскп + 2V[jt7|ACln] + 2TAE[fcT|c|n] = 0; (2.139)
2) спинорные матричные уравнения, спинорные матрицы римано-
вой кривизну которых преобразуются в спинорной группе SZ_(2.C)
Rli>t„ + + = ° <2 14°)
Уравнения (2.139) и (2.140) можно записать через спинорные 2x2
матрицы Кармели. Например, уравнения (2.139) в матрицах Кармели
имеют вид
^ABCD — ^сЬ^АВ ~ ^AB^CD ~ ~ B^AF +
+(TaB)cFTfd + (Т+АГ DTCF + [TAB,TcZ)],(2.141)
где компоненты матриц тензора Римана определяются через спиноры
формализма Ньюмена-Пенроуза [14] как
_ ( Фл -Фо \ _ ( Фло
оюо “ ( Ф2 + 2Л -Ф1 1 ’ П1°оо “ I Ф20
_ / Фз -Ф2 - 2Л \ _ ( Ф12
1110 - ф4 _ф3 J - «1101 - ф22
_ / Ф2 + Фц — Л — Фл — Фол
л1100 - ( фз + ф21 _ф2_ф11 + л
_ ( -Фг + Фи + Л Фл -Ф01
юо1 " V -Ф3 + Ф21 Ф2 — Флл — Л
Используя теперь введенные в формализме Ньюмена-Пенроуза
обозначения для компонент спинорной производной
В
—Фоо
—Фло
—Ф02
—Ф12
(2.142)
(2 143)
1 6 Д
и компонент спинорного Д-базиса
_________________________________В___________________
, _ А 6 _______ i___________
аАВ~ о /* = (У0, V, У2,У3) тп' = (£°,ш,42,С)
1 тп* = (^°,w J2,^®) п4 = (Х°,1/,Х2,Х3)
(2 144)
118
а также матрицы Кармели (2.131), можно расписать уравнения (Л)
покомпонентно
6V - Du = (а + /3 - тг)У + kU - аи - (р + е — е)и, (Л 1)
6Ya -D£Q = (а+ Р- *)Y° + *Х° - «тГ - (р + £ ~ ё)С, М-2)
ДУ° - DXa = (7 + 7)У° + (е + ё)Х° - (г + тг)Г - (т + тг)ы, (Л.З)
ДУ - DV = (7 + 7)^ + (с + £)U — (т + тг)ы - (г + tt)w, (Л.4)
6U — Дш = —ГУ + (т — а — (3)U + Aw + (р — 7 + y)w, (Л.5)
6Х° - Д£“ = -ГУ“ + (т - а - (3)Х° + + (р - 7 + тХ°, Мб)
би — би — (р — р) V + (р — p)U — (а — /3)й — (J3 — a)w, (Л.7)
6Г - бГ = & - р)У“ + (р - р)Ха - (5 - £)Г - (0 - «)Г. М-8)
а = 0,2,3.
С помощью матриц (2.142) можно записать уравнения (В) поком-
понентно. Например, такая запись уравнений (2.139) имеет вид
(D - р — е - е}р — (6 - За — /3 + тг)к—
—аа + тк — Фоо = 0, (Bs+ .1)
(£> — р — р — Зе + Ё)а — (6 — т + тг—а — 3j0)k—
-Фо = 0, (В’+.2)
(О — р — € + б)т — (Д — З7 — 7)к — pit — ат — та—
-Ф1-Ф10 = 0, (В<3)
(D - р - Ё + 2б)а — (6 - (3 + тг)е - /За + кХ + ку-
-тгр-Ф1О = О, (В>+4)
(D + 6 + 6)7 — (Д — 7 — 7)е — (т + тг)а — (тг + т)(3—
—тт + ик + Л — Фг — Фц =0, (В’+ .5)
(Z) — р + Зе - Ё)А - (6 + тг + а - /?)% - ра + ик. - Ф2о = 0, (В’+ .6)
(О - р + ё)/3 - (6 - а 4- тг)е - (а + тг)а + (р + у)к,-
-Ф1=0, (В’+7)
(О - ~р + £ + Ё)р - (6 + тг - а + /3)тг — аХ + i/к-
-2Л-Ф2=0, (Вз+8)
119
(£> + Зе + е)р - (Д 4- р + 7 - 7)^ - рт - (тг 4- т)А-
—Фз — Ф21 — О, (В<9)
(Д 4- р 4- р 4- З7 — 7) А — (6 4- За 4- /3 4- тг — т)р 4- Ф4 = О, (Вл+ .10)
(6 - а - (3 - т)р - (6 - За 4- 4- тр - (р - р)«4-
4-ф1-ф01=0, (Вз+ 11)
(6 - а 4- 2/3)а - (б 4- /3)(3 - рр 4- сгХ - (р - р)у-
—(р — р)е — Л 4-Ф2 — Фц = О, (Вз+.12)
(6 - а 4- 3/3)А - (6 4- тг 4- а 4- /3)р — (р - р)«/4-
4-Я714-Ф3-Ф21 = о, (В,+ .13)
(6 - т 4- а 4- /3)7 — (Д - 7 4- 7 + p)Z? - рт 4- ат'4-
4-ср - аА - Ф12 = 0, (Вз+ .14)
(6 — т 4- 3/3 4- а)р - (Д 4- р 4- 7 + ?)Р - ЛА4-
4-тгр - Ф22 = О, (В’+.15)
(6 — т — /3 4- а)г - (Д 4- р - З7 4- у)<т — Хр+
-\-kv - Ф02 — О, (В,+ .16)
(Д 4- р - 7 - 7)р - (6 4- /3 - а — т)т 4- <тА-
-рк4-2Л4-Ф2 = О, (В’+.17)
(Д - 7 4- р)а -(6 4-/3- т)7 - (р 4- £>4-
4-(т 4-/3)А 4-Фз = 0. (В<18)
Здесь индекс s+ означает, что уравнения преобразуются по не-
приводимым представлениям группы SL+(2.С). Интегрирование этих
уравнений позволяет получить те или иные конкретные решения
уравнений (Л) и (В).
120
2.14. Интерпретация торсионных полей
Уравнения движения точечного объекта во всеобщей теории отно-
сительности совпадают с уравнениями геодезических пространства
абсолютного параллелизма6
d2x' . dx3 dxk _ dx3 dxk
ds2 Jk ds ds 3 ds ds
(2.145)
которые отличаются от уравнений движения (2.13) теории гравита-
ции Эйнштейна дополнительным слагаемым Т'jkdx3/dsdxk/ds. В это
слагаемое входит поле инерции Т‘,к, поэтому четырехмерная сила
инерции, действующая на массу тп, описывается выражением
тГ]к
dx3 dxk
ds ds
(2.146)
Очевидно, что уравнения (2.145) обобщают уравнения движения
теории гравитации Эйнштейна. Это обобщение имеет ясное физиче-
ское толкование.
2.14.1. Торсионное поле как поле инерции
Проще всего интерпретировать торсионные поля с помощью урав-
нений механики, записанных в ускоренных системах отсчета.
Утверждение 2.5. Торсионные поля Т£к описывают в механике поля
инерции, порождающие силы инерции.
Доказательство. Пусть в гравитационном поле свободно падает
диск, вращающийся с постоянной угловой скоростью ы = const во-
круг оси, проходящей через его центр масс (диск рассматривается
достаточно тонким). И пусть по поверхности диска движется масса
тп с постоянной (для простоты) скоростью v = const относительно
центра диска. В тот момент, когда масса тп проходит через центр
диска, ее нерелятивистские уравнения движения относительно инер-
циальной системы отсчета совпадают с уравнениями Ньютона (2 8).
Перейдем теперь в ускоренную систему отсчета, связанную со
свободно падающим вращающимся диском. Такой переход можно
совершить с помощью координатных преобразований вида
Wt2
(2.147)
6 Для упрощения записи знак конформной инвариантности мы будем опускать
в тех случаях, когда об отом нет необходимости говорить.
121
Подставляя х из (2 147) в (2 9), получим уравнения движения мас-
сы т:
d2x'
т—— = ’ng — mW + 2m[vw], (2.148)
dt2
записанные относительно ускоренной системы отсчета, связанной с
вращающимся диском. Сила инерции Fc = 2m[vw] в (2.148) предста-
вляет собой силу Кориолиса.
Покажем, что уравнения (2 145) - это релятивистское обобщение
уравнений (2.148). В самом деле, поскольку частица проходит че-
рез центр диска, то для нее выполняется равенство g = W, поэтому
уравнения (2.148) для рассматриваемого нами случая запишутся как
d2x^
(2.149)
Совершая в уравнениях (2.145) переход к «нормальным» коорди-
натам, в которых r’jt — 0, получим
d2x’ _ dx7 dxk
2 + T ik~J----J— — 0-
ds2 1 ds ds
(2.150)
Уравнения (2.149) показывают, что вращающаяся свободно пада-
ющая система отсчета локально не галилеева. С другой стороны, из
уравнений (2.150) следует, что релятивистская вращающаяся систе-
ма не локально лоренцова. И в том, и в другом случае на частицу
локально действуют силы инерции, вызванные вращением системы
отсчета. В случае, когда вращение диска отсутствует, уравнения
(2.149) и (2.150) переходят соответственно в уравнения:
d2x'
m—- = mg - mW
at2
и
d2x’
ds2
= 0.
Уже само название величин
T'jk = е'а^ке^
(2.151)
- «коэффициенты вращения Риччи» - говорит о том, что они описы-
вают вращение. Из формулы (2 151) видно, что величины Т1 к опи-
сывают изменение ориентации векторов тетрады е“? при смещении
ее на бесконечно малое расстояние dx' (ковариантная производная
V* берется относительно связности поэтому в «нормальных»
координатах Vк — дк)- С помощью коэффициентов вращения Риччи
122
можно образовать четырехмерную угловую скорость вращения век-
торов тетрады
dxk
= (2.152)
со свойствами симметрии
(2.153)
Пусть теперь тетрада отождествлена с четырехмерной произ-
вольно ускоренной системой отсчета, тогда, согласно соотношению
(2.152), вращение системы отсчета полностью определяется полем
инерции Т']к. Поскольку полеТ'у* имеет тензорный закон преобразо-
вания относительно координатных преобразований (2.28), то и вра-
щение систем отсчета относительно координатных преобразований
(2 28) является абсолютным. Как было показано выше, нетензорный
закон преобразования величин Т'^к имеет место относительно пре-
образований в угловых координатах y?i, </>?, <Рз, > #2> ^з, поэтому вра-
щение относительно лишь в группе вращений 0(3.1).
В 1986 г. М. Кармели [104] предпринял попытку создать «специ-
альную теорию вращательной относительности» в дополнение к спе-
циальной теории поступательной относительности Эйнштейна Од-
нако чисто формальный подход без учета физических идей, связан-
ных с полями и силами инерции, не позволил ему провести програм-
му вращательной относительности до окончательной завершенности.
По мнению автора, программа вращательной относительности полу-
чила свою окончательную формулировку в рамках всеобщей отно-
сительности, в которой вращение тесно связано с полями и силами
инерции
2.14.2. Матрица четырехмерных вращений
Запишем теперь нерелятивистские уравнения движения массы m
под действием только сил инерции, предполагая, что она в данный
момент проходит через начало ускоренной системы
^(mv) = m(-W + 2[vw]). (2.154)
Эти уравнения могут быть записаны в виде
d dx@
r(mva) = m(-Wao + 2wO(0——), a,/? =1,2,3, (2.155)
at at
123
i де W = (Wi, W2, W3) = (Wio, W20, И/30),^ = (wi,w2,u>3),
Wap — —WpQ — —
0
Ul3
—UI2
—W3
0
W1
w2
-W1
0
(2.156)
С другой стороны, уравнения (2.150)
могут быть представлены как
с учетом соотношения (2.152)
d2x' dx1
------к П------
ds2 + 1 ds
= 0.
(2.157)
Умножая эти уравнения на массу т, запишем нерелятивистскую
трехмерную часть этих уравнений в виде [26]
dua dx° dx13
т-— = -mS2o0--------2milap-—.
dso usq dso
Поскольку в нерелятивистском приближении
dso = cdt, ua — —, dxo = cdt,
c
то уравнения (2.158) запишутся как
(2.158)
dva 7^ „ 2„ 1 dx13
т—^~ = -тс Siа0 - 2тс \1ар-—г~.
с dt
и (2.155), получим
О _^2
“20 -
О - Ыз
*42 —------,
С
О -
*‘23 — ----
С
dt
Сравнивая уравнения (2.159)
о
Пзо = ^,
с2
П13 = —,
с
(2.159)
Следовательно, матрица четырехмерной угловой скорости враще-
ния произвольно ускоренной системы отсчета (матрица четырехмер-
ного «классического спина») имеет вид
/ 0 -Wi -w2 -w3 \
Wi 0 -cw3 cw2
w2 cw3 0 —CW1
\ w3 -cw2 CW! 0 /
(2.160)
Из этой матрицы видно, что четырехмерное вращение системы
отсчета, вызываемое полями инерции Т^]к связано с кручением [31]
~ -T*bk]
(2.161)
124
пространства событий всеобщей теории относительности. Поля,
определяемые кручением пространства, получили название торсион-
ных полей. Таким образом, поле инерции Т'-к представляет собой
торсионное поле, порождаемое кручением пространства абсолютно-
го параллелизма.
2.15. Поле инерции в инерциальной
системе отсчета
Большинство современных физических теорий сформулировано
в инерциальных системах отсчета. Система отсчета инерциальна,
если она движется прямолинейно и равномерно (без вращения) от-
носительно другой, ей подобной. Фактически здесь фигурируют две
инерциальные системы, заданные одна через другую.
Можно определить инерциальную систему отсчета и иначе - опи-
раясь на понятия полей и сил инерции. Тогда это будет звучать так:
система отсчета инерциальна, если в ней не действуют силы инерции.
Поскольку силы инерции порождаются полем инерции, то кажет-
ся, что поля инерции в инерциальных системах отсчета также должны
обращаться в нуль Однако во всеобщей теории относительности это
не так - поля инерции (или торсионные поля) отличны от нуля даже
в инерциальных системах отсчета Действительно, в инерциальных
системах отсчета сила инерции (2.146) обращается в нуль
F^mr^d~^=° <2162)
В этом уравнении поле инерции Т']к определяется через кручение
Q;Jt* = —Я*/ пространства абсолютного параллелизма
^jk = ё аеа[к п = a(e°kj - е\к) (2.163)
следующим образом [20]:
T'jk = -Sljk' + /"*(»>,nJ + fl*,nJ). (2.164)
Подставляя это соотношение в уравнения (2.162), получим (при
тп / 0) уравнения:
- £++ =° <2165>
125
Поскольку соотношение
dx1 dxk
ds ds
симметрично по индексам j и к, а кручение П * антисимметрично по
этим индексам, то первое слагаемое в уравнениях (2 165) обращается
в нуль. В результате из уравнений (2 165) следует
9im(9i^mk + 9k,Vm’) = 0, (2.166)
ИЛИ = (2.167)
откуда = —^rnjk- (2.168)
Так как величина Qmkj антисимметрична по индексам тп и к, то из
соотношения (2.168) следует, что в инерциальных системах отсчета
кручение пространства абсолютного параллелизма антисимметрич-
но по всем трем индексам.
Подставляя равенство (2.167) в соотношение (2.164), получим
Tijk = -Tjik = -Tikg = -aijk. (2.169)
Из этих равенств следует, что в инерциальных системах отсче-
та поле инерции Tijk отлично от нуля. Оно оказывается антисимме-
тричным по всем трем индексам и совпадает (с точностью до знака)
с кручением flij* Тензор энергии-импульса
2 1
Tim = + Т'«ЬГЬ|т]) - 2fl>m»P"(V['r,|p|n] + Г'4»Г’|р|п])}
(2.170)
в уравнениях физического вакуума определяется полем инерции Т1]к,
при этом тензор (2.170) по индексам j и тп имеет как симметричную,
так и антисимметричную части, т.е.
Tjm = + 7[;m| (2.171)
Этот тензор стоит в правой части полностью геометризированных
уравнений поля
(2.172)
где и - произвольная константа (или даже функция)
126
Левая часть уравнений (2 172) всегда симметрична по индексам j
и тп, потому эти уравнения можно записать как
Rjm ~ (2.173)
T[,m] = = °- (2174)
где
А3=Т'^ (2.175)
Соотношение (2.174) можно понимать как уравнения, которым
удовлетворяют поля кручения образующие тензор энергии-
импульса (2.170).
Тензор кручения Qjit‘ пространства имеет 24 независимые ком-
поненты и разлагается на сумму трех неприводимых частей следую-
щим образом [26]:
Я'зк = + Iе" bfi*' + Wjk, (2 176)
О о
где
Cl'jk = д,т gksQm’, (2.177)
а вектор Clj, псевдовектор и бесследовая часть кручения Q опре-
деляются как
(2.178)
Ъ = (2-179)
— 0, fitjj + Qjsi + ^sij — 0, (2.180)
где _ полностью антисимметричный символ Леви-Чивита
2.15.1 . Структура тензора материи в инерциальных
системах отсчета
Поскольку в инерциальных системах отсчета кручение анти-
симметрично по всем трем индексам, то из неприводимых частей кру-
чения (2.178 2.180) в инерциальных системах отличен от нуля только
псевдовектор (2.179). Поэтому в инерциальных системах вид уравне-
ния (2.174) упрощается
VrfW = 0, (2 181)
при этом тензор энергии-импульса (2.43) симметричен по индексам j,
т и оказывается равным
Т]т = ^,„4, ’ - ’) (2 182)
127
Через поле (2.179) можно определить вспомогательный псевдовек-
тор hm следующим образом:
= Q..k = £ijkrnhm (2.183)
и записать тензор (2.182) как
Tjm = -^-(hjhm (2.184)
Подставляя соотношения (2.183) в уравнения (2.181)) получим
/imj - ftj.m = 0. (2.185)
Эти уравнения имеют два решения: тривиальное = 0 и
hm = Ф.т, (2.186)
где Ф - псевдоскаляр.
Записывая тензор энергии-импульса (2.184) через этот псевдоска-
ляр, получим
Tjm = ^(ФЛ.т - ^тФ’Ч<)- (2-187)
В квантовой теории поля тензор (2.187) представляет собой тен-
зор энергии-импульса безмассового псевдоскалярного поля [54], при
этом Ф выступает в роли волновой функции в квантовых уравнениях
движения.
Если псевдовектор hm светоподобен, то его можно записать так
hm=Mm, lmlm=0, Ф = Ф(^). (2.188)
В этом случае тензор материи (2.184) принимает вид
Tjm = ^Ф2(х%1т, (2.189)
откуда плотность материи
р=^Ф2(я:’). (2 190)
Если же псевдовектор hm времениподобен, то его удобно предста-
вить в виде
hm=V.m=<P(x')Um, (2.191)
где
итит = 1 (2.192)
128
и ^(а:1) - скалярная функция.
Подстановка выражения (2.191) в тензор (2.184) приводит к тензо-
ру энергии-импульса вида
Tjm = ^-ip2(UjUm - (2.193)
Тензор (2.189) напоминает тензор энергии-импульса изотропного
излучения, а тензор (2.193) по своей структуре более всего похож на
тензор энергии-импульса идеальной жидкости.
2.15.2 . Относительность материи
Покажем, что материя, описываемая в инерциальных системах
отсчета тензорами энергии-импульса вида (2.189) и (2.193), носит от-
носительный характер, т.е. удовлетворяет принципу всеобщей отно-
сительности.
Определяя плотность материи как
р = Т/с2, (2.194)
где
T = g>mTjm, (2-195)
находим из соотношений (2.169), (2.182) и (2.184)
р = Т/с2 = -~^h?hj =----- ‘ =-------(2.196)
2рс2 3 vc2 3 vc2 3
Предположим теперь, что плотность (2.196) описывает массу ва-
куумной чисто полевой частицы с тензором энергии-импульса (2.182).
Тогда эта масса может быть записана в виде интеграла
тп = у p(-ff)1/2dV, (2.197)
где
д = det<7jm, dV = dx1dx2dx3,
а плотность р определяется согласно (2.196).
Плотность (2 196) и, следовательно, масса (2.197) ведут себя как
абсолютные величины относительно координатных преобразований
(2.28), поскольку поле инерции Tjk является тензором относительно
этих преобразований. С помощью тетрады е“ можно переходить от
индексов базы i, j, к... к индексам слоя а,Ь,с... [105], например
Т°ьк = е°<Т^ь.
5 Г.И.Шипов
129
Используя это свойство и условия ортогональности е'аеак = 6'к,
можно записать плотность (2.196) в виде
Р = --^ТаЬкТьак. (2.198)
Применяя теперь к величинам ТаЬк преобразования (2.95), дей-
ствующие в группе вращений 0(3.1), можно обратить эти величи-
ны в нуль. Следовательно, плотность (2.198) и соответственно масса
(2.197) носят относительный характер, как того и требует принцип
всеобщей относительности.
Относительность массы экспериментально была обнаружена в те-
ории физического вакуума, предложенной П. Дираком при созда-
нии квантовой электродинамики. В самом деле, из квантовой элек-
тродинамики в результате экспериментов по рождению электронно-
позитронных пар из вакуума при поглощении вакуумом 7-квантов с
энергией Е > 2тос2 , где то - масса покоя электрона, было показано,
что масса покоя то является величиной относительной. До момен-
та рождения пары масса покоя системы была равна нулю, поскольку
существовали только 7-кванты с нулевой массой покоя. После ро-
ждения пары возникает электрон и позитрон, причем оба они имеют
отличную от нуля массу покоя то, так что в системе появляется мас-
са покоя, равная 2тпо.
2.16. Основные свойства уравнений вакуума
Поле инерции Т'^к (или торсионное поле) представляет собой новый
объект исследования для теоретической физики, поэтому уместен во-
прос: каким уравнениям удовлетворяет это поле? Ответ на него был
обозначен в работе автора [20] и окончательно дан при формулировке
программы всеобщей относительности и теории физического вакуу-
ма в работах [30, 31, 106]. Оказалось, что уравнения единого поля, в
качестве которого выступает поле инерции совпадают с урав-
нениями физического вакуума
V(tem] “ еЬ[*Г“||>|т) — °> И)
R°bkm + 2V[tT“|b|m] + 2T°e[fcTe|Mm] = О (В)
В этих уравнениях Таь1с - торсионное поле, е“ - тетрада, являю-
щаяся аналитическим представлением произвольно ускоренной четы-
рехмерной системы отсчета, Rabkm - тензор Римана, обозначающий
«внешние» физические поля («внутренним» является только торсион-
ное поле Т jfc), переносящие энергию в ее традиционном понимании
5
130
С математической точки зрения уравнения (Л) и (В) оказываются
структурными уравнениями Картана геометрии абсолютного парал-
лелизма, которая представляет собой пространство событий всеоб-
щей теории относительности.
Уравнения вакуума (Л) и (В) описывают сплошную среду, в ка-
честве которой выступает десятимерное многообразие, образован-
ное четырьмя трансляционными координатами хо, xi, х?, хз и шестью
угловыми координатами у’ьу^У’З! #1, $2> #з, связанными с 10 степеня-
ми свободы произвольно ускоренной четырехмерной системы отсче-
та.
2. 16.1. Три основных состояния вакуума
Из уравнений (Л) и (В) следуют два важных частных случая:
1) геометрия абсолютного параллелизма с тензором Римана Я°цьт>
равным нулю («внешние» поля отсутствуют)
V(fce“m] - e‘[tT°|t|m] = 0, (2.199)
V[tTo|l|mj + 7“c[trii|m] = 0; (2.200)
2) геометрия абсолютного параллелизма с тензором Римана Rabkrn
и кручением равным нулю (отсутствуют как внешние поля, так
и поля инерции)
оо оо
V[*T a|b|m]+ Т ° c[t Т С|Ь|т] = 0. (2.201)
о о О К °
V[team]-ek[tT“|b|m] = 0. (2.202)
В последнем случае геометрия абсолютного параллелизма пред-
ставляет собой псевдоевклидову геометрию Минковского (индекс о
над величинами, входящими в уравнения (2.201) и (2.202), означает,
что они описывают псевдоевклидову геометрию).
Трем возможным геометриям абсолютного параллелизма соответ-
ствуют три различных состояния физического вакуума
абсолютный, описываемый уравнениями (2.201), (2.202) и предста-
вляющий собой безграничное (пустое) однородное и изотропное псев-
доевклидово пространство;
первично возбужденный, описываемый уравнениями (2.199), (2.200)
и представляющий собой первичную торсионную поляризацию ваку-
ума (первичные гголя инерции);
возбужденный, описываемый уравнениями (Л), (В) и представля-
ющий собой материальные объекты, находящиеся в потенциальном
(возможном) состоянии.
131
2. 16.2. Вакуум в потенциальном состоянии
Вакуумные уравнения (Л), (В) можно рассматривать как «матрицу
возможного в природе». Являясь структурными уравнениями Кар-
тана геометрии абсолютного параллелизма, описывают бесконечный
набор всевозможных конкретных геометрий. Эти геометрии спонтан-
но реализуются в природе в виде различных конкретных решений
вакуумных уравнений (Л), (В).
Уравнения (А) и (В) представляют собой систему, состоящую в
общем случае из 44 нелинейных дифференциальных уравнений (24
(А) и 20 (В)) в частных производных первого порядка, в которую в
качестве неизвестных функций входят:
а) 6 компонент неголономной тетрады
< = e'aeaj = сг< = { J * 3. \
6) 24 компоненты коэффициентов вращения Риччи
T\k = elb^keaj, Tabk = —Tbak',
(2.203)
(2.204)
в) 20 компонент тензора Римана
Л bkm> Rabkm — Bbakm
(2.205)
Таким образом, в общем случае у нас есть 44 уравнения для 50
неизвестных функций Это дает свободу выбора системы координат
х‘, тетрады е'а, а также величин Tait и Rabtm Поэтому поиск кон-
кретных решений системы уравнений (А) и (В) правильнее было бы
назвать «конструирование решений» (см. ч. 2). Оно проводится на
основе физических соображений, свойств симметрии, принципа соот-
ветствия или других приемов, позволяющих дать физическую интер-
претацию полученного конкретного решения Например, если бы нам
пришлось «конструировать» решение, которое привело бы к реше-
нию вакуумных уравнений Эйнштейна = 0, то число неизвестных
компонент у тензора (2.205) сократилось бы с 20 до 10.
2. 16.3. Вакуум в виртуальном состоянии
Процесс «конструирования решения» включает в себя процеду-
ру интегрирования дифференциальных уравнений [100]. В результате
этого интегрирования получается конкретный набор величин (2.203)-
(2.205), содержащих константу или функцию интегрирования и ха-
рактеризующих некоторое вакуумное возбуждение с произвольными
характеристиками.
132
С помощью полученых в результате интегрирования уравнений
(Л), (В) величин е‘а и Таьк находят метрику Римана
ds2 — giicdx'dx* = r)ai>eaiebkdx'dxk, (2.206)
i)ab = т)аЬ = diag(l - 1 - 1 - 1) (2.207)
I
и метрику Киллинга- Картана
dr2 = TabkTb andxk dxn. (2.208)
Все найденные величины описывают некоторое вакуумное возбу-
ждение. Под вакуумным возбуждением мы понимаем область про-
странства событий, в которой значения (2.203)-(2.205) отличны ет
соответствующих величин, характеризующих абсолютный вакуум
(плоское псевдоевклидово пространство), т.е. от решений уравнений
(2.201) и (2.202).
Поскольку источником кривизны в уравнениях (В) является кру-
чение (поле инерции), то было предложено называть виртуальные
вакуумные возбуждения инерционами [20].
2. 16.4. Реальная материя, рожденная из вакуума
Переход материи из виртуального состояния в реальное происхо-
дит после того, как константы или функции интегрирования в том
или ином конкретном решении (геометрическом образе) приобрета-
ют физические значения. В этом случае возбужденное вакуумное
образование - инерцион - проявляет себя как реальная частица или
поле. Иными словами, происходит рождение реальной материи из
вакуума.
В качестве примера приведем решение (см. ч. 2) вакуумных
уравнений (Л) и (В), которое описывает сферически-симметричное
виртуальное вакуумное возбуждение, обладающее потенциалом вза-
имодействия ньютоновского или кулоновского типа [22]. Решение
записано в обозначениях, принятых в известной работе Э.Ньюмена
и Р Пенроуза [14], и имеет следующие, отличные от нуля величины
(2.203)—(2.205).
Решение с кулон-нъютоновским потенциалом
(2.209)
1. Координаты: х° = и, х1 = г, х2, х3.
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
<4 = (0,1,0,0), сг*п = (1, [7,0,0), <7<=р(0,0,Р,гР),
133
О-?6 = (1,0,0,0), <г,Й =(-17,1,0,0), of1 = _^_(0,0,1,»),
17 =-1/2+ Ф°/г, Р = (2)-1/2(1 + СС/4), С = 12 + «3,
Ф° = const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = — 1/г, а ~ —р = —а°/г, -у - Ф°/2г2,
р =-1/2г + Ф°/г2, а°=</4.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
Ф2 = Ф = -Ф°/г3.
Метрика Римана решения (2.209) имеет вид
„ ( 2Ф0
ds2 = (i _ _
\ г
du2 — 2dudr — r2(d02 + sin2 0d<p2)
(2 210)
Если перейти к сферическим координатам с помощью преобразо-
ваний координат вида
п f dr
ct — х° — I —,
J 2U’
r — x ,
х3
tg Р .
X2
„ (CO1/2
sin 6 = ---——.
(1 + 1/4CC)’
то в этих координатах метрика Римана запишется как
ldr2 — r\dO2 + sin2 6dip2).
(2.211)
(2.212)
Кроме того, в этих же координатах метрика Киллинга Картана
(2 208) для решения (2.209) имеет вид
j2 (ф0)2 2jj2 2(Ф°-г). 2(Ф° — г) sin2 0 ,
dr2 = f-c2dt2 - --------'-d62 - —---------dtp2. (2.213)
2r4 r r '
Переход вакуумного возбуждения из виртуального состояния в
реальное произойдет тогда, когда константа Ф°, характеризующая
взаимодействие, будет выражена через физические константы В
частности, вакуумное возбуждение описывает гравитирующий инер-
цион, если
Ф° = (2 214)
где с - скорость света, М - масса инерциона, G - гравитационная
постоянная
134
2.17. Сценарий рождения материи из
Абсолютного «ничто»
В научно-технической литературе отражается в основном достиг-
нутый на сегодняшний день уровень знаний о четырех фазовых состо-
яниях вещества. Все физические теории, начиная с механики Ньюто-
на и кончая современными теориями фундаментальных физических
взаимодействий, рассматривают поведение твердых тел, жидкостей,
газов, различных полей и элементарных частиц.
Всеобщий принцип относительности и уравнения физического ва-
куума расширяют представления об окружающем нас мире и позво-
ляют выделить семь уровней реальности (рис.2.7).
2.17.1 Самоорганизация Абсолютного «ничто»
Первый уровень реальности - Абсолютное «ничто» - имеет два
различных состояния, одно из которых соответствует упорядоченно-
му состоянию абсолютного вакуума, а другое - неупорядоченному,
когда невозможно сказать ничего конкретного. Неупорядоченное со-
стояние аналитически может быть записано в виде системы тождеств:
0 = 0, (2.215)
0 = 0 (2.216)
На этом уровне нет ничего конкретного: ни наблюдателя (созна-
ния), ни вещества (материи) Идет процесс самоорганизации Абсо-
лютного «ничто», который заключается в нумерации точек простран-
ства. Элементы некоторых конкретных понятий на первом уровне по
являются в момент представления Абсолютного «ничто» как безгра-
ничного упорядоченного многообразия (точки такого многообразия
пронумерованы) с заданной геометрией, соответствующей геометрии
абсолютного параллелизма, при этом тождества (2.215), (2.216) при-
нимают вид уравнений (2.201) и (2.202). Эти уравнения описывают
безграничное четырехмерное пустое пространство с псевдоевклидо-
вой геометрией (частный случай геометрии абсолютного паралле-
лизма), кручение и кривизна R'jkm которого равны нулю.
Пустое, но пронумерованное пространство предполагает суще-
ствование «первичного сверхсознания», способного осознать Абсо-
лютное «ничто» и сделать его упорядоченным. На этом уровне ре-
альности решающую роль играет «сверхсознание», выступающее в
135
Рис 2.7 Семь уровней реальности
роли активного начала идеального, действующего в рамках всеобще-
го принципа относительности Роль этого принципа на первом уров-
не реальности можно проследить на следующем примере.
Пусть в качестве упорядоченного множества мы имеем бесконеч-
ный набор декартовых координат х° = ct, х1 = х, х2 = у, х3 = г. И
пусть это множество имеет структуру псевдоевклидовой геометрии.
Структурные уравнения (2 201) и (2.202) такой геометрии обращают-
ся в тождества (2.215) и (2 216).
Если теперь перейти к сферическим координатам
х° — ct, х1 = Г, X2 — 6, X3 = <р,
то мы получим решение уравнений (2.201) и (2.202), в которые входят:
136
а) компоненты «координатной» тетрады
0(0)_0(1)_, 0(2)_ О(3)_
с q —с । — 1, С 2 — *> з — » ЫПР,
° о О 1 _ , J 2 _ 1 ° 3 _ 1
е(0)-е(1)_1, е(2)_-, е (3) _ —-
б) компоненты «координатного кручения»
О , О 10 1
fi 21 —fi 31 — ~2r' ^32 —
в) компоненты коэффициентов вращения Риччи
0 1 0 1 1 0 >
Т 22 = r> Т зз = г sin 6, Т зз = sin в cos в,
0 , 0 1 о
т 12 —Т 13 — — Т 23— — ctg^
Используя формулы (2.206), находим компоненты метрического
тензора
0 0 0 9 0 9.9
9оо—Эи— 1, З22— —г , 9зз= ~r sin 3,
псевдоевклидову метрику
dso =9ij dx'dx1 — c2dt2 — dr2 — r2(d62 + sin2 в dtp2)
и компоненты символов Кристоффеля
° 1 • 2 „ 0 1 О 9 ° о 1
Г ’зз = -Г Sin2 6, Г Х22 = -Г, Г 212 =Г 313 = -,
г
° 9 0 -
Г зз = — sin 6 cos в, Г 2з =
Таким образом, в псевдоевклидовом пространстве теории физи-
ческого вакуума при уклонении от декартовых координат вместо то-
ждеств (2.215) и (2.216) появляются «координатные вакуумные урав-
нения» (2.201) и (2 202)
Переход с первого уровня реальности на второй (уровень первич-
ного поля кручения) осуществляется спонтанно либо под действием
внешнего торсионного поля, которое, как показывают эксперименты
[29], является, по-видимому, носителем «поля сознания» [107]. Этот
уровень реальности выходит за рамки привычных нам методов ис-
следования физической ситуации и требует отдельного обсуждения.
137
2.17.2. Первичные торсионные поля
Эксперименты по созданию искусственной торсионной поляриза-
ции вакуума путем внесения в некоторую его область материальных
предметов с различной геометрией поверхности показывают [29], что
возникают одновременно как правые, так и левые первичные торси-
онные поля. Именно этому процессу соответствуют вакуумные урав-
нения (2.199) и (2.200), описывающие динамику первичного поля кру-
чения Цк].
На этом уровне поле кручения представляет собой элементарные
пространственно-временные вихри, не переносящие энергию (в обыч-
ном ее понимании), но переносящие информацию. В самом деле, энер-
гия вакуумного возбуждения определяется из торсионного тензора
энергии-импульса (2.170), стоящего в правой части чисто полевых
уравнений (ВЛ). Однако из уравнений (2.200), описывающих пер-
вичные торсионные поля, следует, что для первичных полей тензор
(2.170) обращается в нуль тождественно, что эквивалентно соотноше-
нию
= 0 (2.217)
В результате мы получаем нулевое значение энергии для первичного
торсионного поля
£ = У T3mgjm(-g)?dV = 0 (2.218)
Мы здесь имеем случай, когда поле T'jk несет информацию, по-
скольку траектория пробной частицы в первичном торсионном поле
будет изменяться под действием поля в соответствии с уравнениями
движения
d2x' 4 dx3 dxk dx3 dxk
ds2 3 ds ds 3 ds ds
но при этом взаимодействии энергия частицы останется неизменной
(безэнергетическое взаимодействие).
Геометрия пространства на этом уровне представляет собой деся-
тимерное многообразие (4 трансляционные координаты и 6 угловых),
причем кривизна R' -кгп его оказывается равной нулю, а кручение от-
лично от нуля и удовлетворяет уравнениям (2.199) и (2 200) .
В результате рождения поля кручения возникают первичные вих-
ри - носители информации. До их рождения полная информация бы-
ла равна нулю (отсутствовали первичные торсионные поля). Поэто-
му необходимо выполнение закона сохранения информации Этот за-
+ —
кон выполняется, если число правых Q Д и левых Q Д вихрей при ро-
ждении первичных полей кручения оказывается равным. Глобальный
138
закон сохранения, выражаемый равенствами (2.215) и (2.216) (закон
сохранения информации), в этом случае принимает вид
П^+ПД=0 (2.219)
Первичная поляризация абсолютного вакуума и возникновение
правых и левых торсионных полей аналитически описывается рас-
щеплением уравнений (2.199) и (2.200) на правые (искомые величины
обозначены знаком «плюс») и левые ( знак «минус») уравнения [26]:
7[*е“л+Т^]е‘=0, (2 220)
R 'jkm = -2V[t T *b|m] - 2 T 'с[к T cb|m] = 0, (2 221)
v[Jt ё^+т^] < = o, <1 2 222>
R '}km = "2V[t T ,’b|m] - 2 T \[k T eb|m] = 0, (2 223)
где e ° e at - правые и левые тетрады (системы отсчета, в которых
производятся наблюдения), а Т 'jk и Т 'jk ~ правые и левые торсион-
ные поля (поля инерции).
Примером решения уравнений (2.220) и (2.221) является чисто тор-
сионное решение (см. ч. 2).
Торсионное решение
(2 224)
1. Координаты: х° = и, х1 = г, х2, х3.
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза.
o-qo = (0,1,0,0), o-’jj = рр(Я, —У, 0, a),
a': = —^=(iasinfl,0, l,i cosec 6), - <r* ,
ui / 2' *
(7°° = (1,0,0, —asin2 0),
a-1 — pp (У, (pp)-1,O,—asm2 0Y) ,
<7°* = — (iasinfl.O,— pp)-1, — iQsinfl) , ст1® =
П = г2+а2, y = (r2+a2)/2,
a = const.
139
3 Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р — —(г — га cos 0)-1, Р = — ctg 0р/(2)3^2,
тг = iasin0p2/(2)1^2, а — тг — Р, р.= Ур2р,
у — р + грр/2, т = га sin 0рр/(2)1^2.
Метрика Римана этого решения в координатах (2.211) имеет вид
, , , , , г2 + a2 cos2 0 , , 9 , , ч , ,
ds2 = c2dt2--------------dr — (г2 + a2 cos2 0)d02 —
г2 + az
—(г2 + a2) sin2 Odtp2. (2.225)
С помощью координатных преобразований [43]
х = (г2 4- a2)5 sin в cos <р>,
у = (г2 + a2)3 sin 0 sin <р,
z = г cos 6
метрика (2.225) может быть преобразована в псевдоевклидову метри-
ку
ds2 = c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2.
Доказательством того, что решение (2.224) описывает «чистое
вращение» служит отличный от нуля оптический параметр враще-
ния
i= -asin6 рр, (2.226)
который характеризует вращение плоскости поляризации света при
прохождении его в пространстве с решением (2.224). Если предполо-
жить, что оптический параметр (2.226) соответствует правому вра-
щению, то для решения левых уравнений (2.222), (2.223) мы имеем
w= +asin0 рр, (2.227)
т.е. соотношение
ы + ш= 0. (2.228)
Равенство (2.228) выполняется, если заменить в решении (2.224)
параметр вращения а = const на —а
Интересно отметить, что с помощью координатных преобразова-
ний в группах трансляций Т4 и вращений 0(3.1) уравнения (2 220)-
(2.223) могут быть приведены к виду (2.201), (2 202), и наоборот С
140
одной стороны, это является доказательством того, что они удовле-
творяют всеобщему принципу относительности, а с другой - подтвер-
ждают философские высказывания древних об иллюзорности матери-
ального мира.
Поскольку до и после рождения первичных торсионных полей из
Абсолютного «ничто» общее количество информации не меняется, то
тождества (2.215), (2.216) можно рассматривать как аналитическую
запись глобального закона сохранения в теории физического вакуу-
ма.
Заметим, что уравнения (2 220)-(2.223) не содержат никаких физи-
ческих констант, поэтому они представляют собой своеобразный код
природы, определяющий матрицу возможных первичных торсионных
полей.
2.17.3. Потенциальная материя
На третьем уровне реальности уравнения (А) и (В) представляют
собой матрицу возможной материи различной природы, способную
при взаимодействии передавать энергию. Поскольку полные «воз-
можная энергия» и «возможный угловой момент» должны быть рав-
ны нулю, то система вакуумных уравнений должна описывать как
правую, так и левую материю
= <2 229)
R 'jkm + 2V[t Т ‘Шт] + 2 Т \[к Т сШт] = о, (2.230)
=0, (2.231)
R 'jkm + 2V[fc т {|Лт] + 2 т \[к Т сЬ|т] = о (2.232)
Уравнения (2 229)-(2.232) также не содержат никаких физических
констант. Их точные решения, содержащие константы или функции
интегрирования, описывают виртуальные состояния правой и левой
материи, которая выступает в данном случае в виде некоторых (ори-
ентируемых) геометрических образов
Переход материи из виртуального состояния в реальное проис-
ходит после того, как константы или функции интегрирования в том
или ином конкретном решении (геометрическом образе) приобрета-
ют физические значения. В этом случае возбужденное вакуумное
образование - инерцион проявляет себя как реальная частица или
поле Иными словами, происходит рождение реальной материи из
вакуума, т е. переход на четвертый уровень реальности. При этом
141
рожденная материя описывается расширенной системой уравнений
Эйнштейна-Янга-Миллса (см. гл. 3) для правой материи
V[* $ “m]- е \к } |b|m] 0, (2.233)
+ 1 + Rak ^Sak R— "Так, (2.234)
С °ькт + 2V[Jc и для левой материк гтт a 1 О rri G 1 IM™] + 2 2 c[kT I |t|m] — —V t a J bkm (2.235)
ё “m]- ё *[Jk T |t|m] — o, (2.236)
1 Rak ^ffak R— V Так, (2.237)
С at>km + 2V[fc rri a i О rr~' Q 1 |t|m] + 2 1 c[k 1 |t|m] — —I/ J °bkm (2.238)
Так, например, рожденный из вакуума инерцион с положительной
массой описывается системой уравнений (2.233)-(2.235). В следую-
щем разделе будет показано, что для решения с метриками (2.212)
и (2.213) константа взаимодействия v в уравнениях (2.234) и (2.235)
определяется соотношением
h = = —, (2*239)
если константа Ф° задана соотношением (2.214).
Уравнения (2.234) в этом случае совпадают с уравнениями Эйн-
штейна. Если же из вакуума рождается инерцион с положительной
массой покоя т и отрицательным зарядом е, то он описывается систе-
мой уравнений (2.233)^(2.235) с константой взаимодействия и, опре-
деляемой в виде
8тге
"' = ‘'• = ^7 (2 240)
При этом константа Ф° в решении (2 85) определяется как [31]
е2
Ф°= —у
тс‘
После того как константы интегрирования определены через фи-
зические константы, решения вакуумных уравнений описывают поля
(элементарные частицы), рожденные из вакуума. Это соответству-
ет четвертому уровню реальности (см.рис.2.3), на котором как раз
и устанавливается соответствие уравнений физического вакуума су-
ществующим фундаментальным уравнениями физики [102]
(2 241)
142
2.18. Рождение квадриг Торлецкого
Исходя из законов симметрии, Я П Терлепкий выдвинул предполо-
жение [108], что у каждого физического поля с положительной плот-
ностью энергии р+ > 0 существует «двойник» поля с отрицательной
плотностью р~ < 0. Из этого предположения следует, что при ро-
ждении частиц из вакуума с нулевой средней энергией и нулевым
средним моментом, должны рождаться частицы как положительной,
так и отрицательной массы [109] В теории физического вакуума ро-
ждению частиц положительной и отрицательной масс соответствует
расщепление уравнений (А) и (В) на уравнения правого мира (2.229),
(2.230) и левого (2.231), (2.232).
2.18.1. Торсионная поляризация вакуума
Действительно, предположим что исходное псевдоевклидово про-
странство А4, соответствующее упорядоченному Абсолютному «ни-
что», деформируется непрерывным образом (например, с помощью
конформных преобразований) в пространство А4 с отличным от ну-
ля динамическим торсионным полем и полем кривизны, обладающим
структурными уравнениями (2 229), (2.230). Закон сохранения (2.219)
требует, чтобы одновременно с правыми торсионными полями
п >1 = ’•>“(*,>] = |г*а(г“Л1> - r“. t) (2.242)
возникли левые торсионные поля
О Л = - '“ ,*) (2.243)
В этих равенствах через г*а и /*а обозначены соответственно правые
и левые тетрады.
Под правой тетрадой г'а мы будем подразумевать такую тетраду
е’а, у которой при вращении трехмерной пространственной части от
оси х к оси у вектор угловой скорости вращения направлен вдоль
оси г; при этом вращение происходит против часовой стрелки, если
смотреть с той стороны, куда направлен вектор z. Так, например,
матрица четырехмерных вращений (2 160) для правой четырехмерной
системы отсчета имеет вид
1 0 Wi -Wi 0 -W2 ~СШ3 -w3 \ СШ2
с2 w2 СШ3 0 —CUJi
\ w3 -сш2 CW1 0 /
(2 244)
143
Используя закон сохранения (2.219), запишем матрицу левых вра-
щений как
( 0 Wi W2 w3 А
р1 II 1 1 NJ »- 0 —сиз сш3 0 -СШ2 СШ1 (2.245)
-w3 СШ2 —OJ1 0 J
Поскольку метрический тензор д& определяется как правой, так
и левой тетрадами одинаковым образом [ПО]
9ik = ЧоЬг°гьк - г)аь1а,1Ьк, (2.246)
то из определения
+ 9{т^^тк + 9^тГ) (2 247)
следует, что компоненты правых и левых полей инерции Т*,к разли-
чаются знаком
Т*)к = -Т*;к. (2.248)
Именно это обстоятельство (ну и, конечно, смена знака у ком-
понент матрицы (2.245)) говорит о том, что левый мир порождает
отрицательную инерцию и, следовательно, отрицательную массу.
Правый и левый тензоры энергии-импульса
Tjm= - — (Pjm -^9jm9P Ррп) Pjm — (V[, Т ‘|,|m])+ ? *»[« Т *|J|m])>
(2.249)
2-1
Tjm= --(Pjm -^9jm9pn Ppn), (2.250)
стоящие соответственно в правой части уравнений (2.234) и (2.237),
позволяют определить положительную и отрицательную плотности
материи [106]
р+ = Т ‘4. ? ' blmj) > 0, (2.251)
р~ = < 0 (2 252)
2.18.2. Положительные и отрицательные массы
Соотношения (2.251) и (2.252) определяют положительную и отри-
цательную массы вакуумных возбуждений
ш+ = / р+(—g)x!2dV > 0,
(2.253)
144
Рис. 2.8. классы частиц, рождаемых из физического вакуума
т~ = Jp~(-gy,2dV < 0. (2.254)
Если в некоторой области вакуума произошло рождение положи-
тельной и отрицательной масс, то из закона сохранения полной массы
мы имеем
т+ + пГ=0. (2.255)
После рождения положительные массы взаимно притягиваются,
образуя наблюдаемые во Вселенной галактики. Отрицательные же
массы взаимно отталкиваются, образуя равномерный фон плотно-
стью [109]
р~ и —10-зог/см3 (2.256)
Такой же порядок величины имеет средняя положительная плот-
ность р+, поэтому полная средняя плотноигь вещества в вакууме до
и после рождения всегда равна нулю.
Если исходить из релятивистского соотношения
/Г2
т2с2 = — - р2 (2 257)
С2
и применить это соотношение ко всем областям пространства, то воз-
можно рождение из вакуума полей-частиц шести различных классов
(наглядно это можно представить на плоскости (р,Е/с) (рис.2.8)), а
именно:
145
1) частицы с положительной массой и положительной энергией
(правая материя)
тп+ > О, Е > 0;
2) частицы с отрицательной массой и отрицательной энергией (ле-
вая материя)
тп~ < 0, Е < 0;
3) поля с нулевой массой и положительной энергией (правая ма-
терия)
гп+° = 0, Е > 0;
4) поля с нулевой массой и отрицательной энергией (левая мате-
рия)
т~° =0, Е < 0;
5) частицы с мнимой массой и мнимой энергией, имеющие поло-
жительный знак перед мнимой единицей (правая материя)
ш+ = ip+, Е — ie,
6) частицы с мнимой массой и мнимой энергией, имеющие отри-
цательный знак перед мнимой единицей (левая материя)
т~ - —гц~, Е — —ie.
В работе [109] Я.П. Терлецким были установлены теоремы, со-
гласно которым частицы-поля положительной, нулевой, отрицатель-
ной и мнимой масс тесно связаны между собой. Так, например, до-
статочно предположить существование отрицательных масс, как из
этого будет следовать существование мнимых масс и сверхсветовых
скоростей.
2.18.3. Полевая природа массивных частиц
Несколько лет назад Р.Пенроуз выдвинул твисторную программу
[86], предполагающую описание всех частиц и полей с помощью ма-
тематического аппарата твисторов. По определению, твистор - это
конформно-инвариантный спинор. Р.Пенроуз дал твистору изящную
геометрическую интерпретацию, представив его в виде флага, древко
которого есть изотропный вектор, а полотнище флага - изотропная
плоскость, касательная к изотропному конусу.
146
Твисторный подход позволяет строить поля-частицы шести клас-
сов из безмассовых полей с положительной и отрицательной энерги-
ей (по предложенной выше классификации), при этом сами безмассо-
вые поля описываются на языке твисторов. Вакуумные уравнения и
их решения описывают рождение из вакуума именно шести классов
частиц. Возможность построения массивных частиц из безмассовых
полей следует из неаддитивности собственных масс, образующих ре-
лятивистскую систему [109]. В самом деле, пусть
е* - энергия к-й поля-частицы,
Pk ~ ее импульс,
тогда полная масса системы т запишется как
(2.258)
Соответственно собственные массы отдельных частиц равны
(2.259)
Релятивистская энергия определяется соотношением
9
Е = тС:-=,
v/1 — v2/c2
а компоненты четырехмерного импульса в виде
Р \/1 - г2/с2 с2 с
где
тс Е
? у/1 — V2/с2 с
Используя эти соотношения, запишем массу (2.258) как
т =
(2.260)
Из полученной формулы видно, что равенство
т = У^тк
к
147
выполняется при условии, что все скорости частиц, составляющих
систему, одинаковы, т.е.
0к=0- (2.261)
В случае, когда скорости частиц не удовлетворяют этому соотно-
шению, находим в системе центра масс
где штрихованные величины отнесены к системе центра масс.
Особенно наглядно подтверждается справедливость теоремы о не-
аддитивности релятивистских масс для полей-частиц, движущихся
со скоростью света. В этом случае = 1. После подстановки это-
го соотношения в формулу (2.260) собственная масса системы будет
равна нулю. Однако равенство нулю полной массы системы имеет
место только тогда, когда все поля-частицы движутся в одном напра-
влении. Если же направления не совпадают, то
поскольку
Е^2<^2 = 1-
к
и, как следует из (2.260),
т > 0.
Из проведенного анализа следуют важные выводы:
а) масса покоя частиц может быть построена из безмассовых по-
лей;
б) у реального светового потока масса покоя отлична от нуля (воз-
можно, очень малая), хотя у отдельного фотона она равна нулю;
в) корпускулярно-волновые свойства материи имеют, по-видимому,
чисто полевую классическую природу
2.18.4. Положительные и отрицательные заряды
Рассмотрим теперь ситуацию, когда из вакуума рождаются за-
ряженные частицы с отрицательными и положительными зарядами,
имеющие положительные и отрицательные массы.
В традиционной квантовой теории поля обычно рассматривают
рождение пар частиц (например, электронно-позитронной пары) из
вакуума, причем обе частицы имеют положительную массу. В нашем
148
случае частицы будут рождаться квадригами [34] (т.е. четверками),
при этом они будут описываться уравнениями, которые получаются
в результате расщепления уравнений правого и левого мира (2.229-
2.232) на уравнения материи и антиматерии
Расщепление уравнений физического вакуума на уравнения мате-
рии и антиматерии напоминает метод расщепления уравнений Клей-
на-Гордона на уравнения Дирака для электрона и позитрона. Про-
изводя такое расщепление уравнений правого мира (2.229), (2.230),
получим следующую систему матричных спинорных уравнений [97]
для материи:
V[Jka*l - T[Jk^ - а^Т+к] =0, (Л л) (2-262)
Rtn + 2V[tTn] - [ТкТп] = 0
(В' )
и антиматерии
- 7]^ - = 0, (Л ’) (2.263)
Rtn + - [Т+Т+] = 0, (Вг)
где величины Rkn, и <7,- представляют собой спинорные
матрицы [97], преобразующиеся по спинорным индексам (в уравне-
ниях (2.262) и (2.263) эти индексы опущены) в группах S£+(2.C) и
SL-(2.C). Знак «плюс» у матриц Rkn и Тк означает эрмитово со-
пряжение. Записывая уравнения (2.262) в спинорных индексах, мы
приходим к уравнениям (1.76 а) и (1.76 б).
Если теперь мы условимся, что уравнения (2.262) описывают ча-
стицу с положительной массой и отрицательным зарядом (скажем,
электрон), то окажется, что уравнения (2.263) будут описывать ан-
тичастицу с положительными массой и зарядом (т.е. позитрон)
[111, 112]. Плотности заряженной материи р~ и антиматерии р+, кото-
рые следуют из уравнений (2.262) и (2.263), будут теперь определять
рожденные из вакуума положительные и отрицательные заряды
j pi(-gy,2dV>0,
е = ре (~g)l,2dV < 0,
(2.264)
(2.265)
удовлетворяющие условию
е 4- е+ — 0.
(2.266)
149
Соответственно расщепление уравнений левого мира (2.231),
(2.232) на уравнения материи и антиматерии мы запишем в виде
V[t^ - 7]*^ - = 0, И’) (2.267)
Rkn + 2V[tTn] - [Tfc,Tn] = 0, (B’+)
- Tpto’*1 - <7C*T+t] = 0, Й’) (2.268)
^+n + 2V[i7^-[T+T+] = 0. (B’’)
Спинорные уравнения (2.262), (2.263) и (2.267),(2.268) различают-
ся тем, что спиноры в уравнениях (2.262) и (2.263) преобразуются в
спинорных группах SL+(2.C) и SL~ (2.С), полученных в результате
«спинорного расщепления» группы О+(3.1), тогда как в уравнениях
(2.267) и (2.268) - в результате «спинорного расщепления» группы
О-(3.1).
Общая схема расщепления уравнений физического вакуума пред-
ставлена на рис.2.9. Теория вакуума исходит из того, что первона-
чальная энергия, импульс, момент импульса, масса, заряд и другие
физические характеристики Абсолютного «ничто» равны нулю. По-
этому рождение из вакуума частиц с положительной массой (ЯП.
Терлецкий предложил называть их позитпонами [34]) должно сопро-
вождаться рождением частиц с отрицательной массой (негатонами).
Например, при рождении из вакуума таких основных частиц, как
протоны и электроны, одновременно должны рождаться негатонные
протон-электронные пары. Реакция рождения таких квадриг в обо-
значениях, принятых в работе [34], запишется как
О — +1Р+ + ё + -1Р- + ёц.. (2.269)
Здесь знак обозначает частицу с положительной массой (4-ш), а
знак - - с отрицательной (—т). Знак заряда («плюс» или «минус»)
у частиц е положительной массой пишется справа вверху, а у частиц
с отрицательной - внизу. Наконец слева внизу пишется барионное
число В — ±1. Лептонное число в формуле (2.269) не обозначено.
В принятых обозначениях реакция рождения антипротона и пози-
трона и соответствующей пары негатонов запишется как
0 = _!р~+ё+++1р++ё_. (2.270)
Под действием гравитационных сил частицы положительной мас-
сы притягиваются, образуя звезды и галактики. Образования из ча-
стиц негатонов (например, негаводород), наоборот, отталкиваются,
150
Рис. 2.9. Различные состояния физического вакуума и рождение ква-
дриг из вакуума
равномерно заполняя пространство со средней плотностью, равной
средней плотности вещества положительной массы.
Модель рождения материи в теории вакуума имеет преимущества
перед моделью Большого взрыва, а именно; •
а) нет необходимости спасать закон сохранения массы за счет
введения отрицательной энергии гравитационного поля (или других
предположений);
б) не надо предполагать первоначального существования поло-
жительного барионного числа, поскольку в реакциях (2.269) и (2.270)
суммарные барионные и лептонные заряды сохраняются, при этом
частицы и античастицы могут рождаться независимо.
151
Расщепление уравнений вакуума на две системы, описывающие
правый и левый мир, приводит к появлению физических объектов по-
ложительной и отрицательной масс. Одновременное рождение поло-
жительных и отрицательных масс позволяет построить модель Все-
ленной с нулевой средней массой до и после рождения вещества. В
этом случае необходимо ответить на ряд вопросов, таких, например,
как:
а) где находятся в настоящий момент отрицательные массы;
б) какие последствия их присутствия можно наблюдать;
в) как отрицательные массы взаимодействуют с положительными
и между собой и т.д.
Много лет поисками ответов на эти вопросы занимался Я П Тер-
лецкий [34, 109]. Отрицательные массы в отличие от положительных
равномерно распределяются во Вселенной. Из-за этого их плотность
в окружающем пространстве бесконечно мала. Поэтому в малых мас-
штабах присутствие отрицательных масс слабо влияет на ход физи-
ческих процессов, что и объясняет их ненаблюдаемость в экспери
ментах. Другое дело, когда речь идет о больших масштабах (порядка
галактических). В этом случае, благодаря коллективному эффекту,
отрицательные массы начинают играть существенную роль, которая
проявляется не только в том, что они компенсируют положительные
массы в среднем по большому объему, но и в различного рода астро-
физических эффектах. К таким эффектам можно отнести наблюдае-
мую спиральную структуру галактик, которая убедительно объяс-
няется присутствием отрицательных масс во Вселенной [109]
Существование системы частиц с отрицательными и положитель-
ными массами неизбежно приводит к выводу, что должны наблюдать-
ся также частицы с мнимой массой - тахионы [109]. Поиску этих
частиц посвящено большое количество теоретических и эксперимен-
тальных работ. В настоящее время частицы, движущиеся со скоро-
стями больше скорости света, обнаружены экспериментально (см гл
4). Это является косвенным доказательством существования частиц
отрицательной массы и их взаимодействия с объектами, обладаю-
щими положительной массой, в малых масштабах. Более подроб-
ные сведения о физических следствиях рождения положительных и
отрицательных масс и квадриг из вакуума можно найти в работах
Я П.Терлецкого [34, 109].
Г лава 3
Теоретические следствия вакуумных
уравнений
3.1. Новые представления о структуре
пространства-времени
Развитие физики напоминает рост дерева, ствол которого составля-
ют стратегические работы. Для того чтобы плодотворно заниматься
стратегической наукой, необходимо знание не только существующей
физики, но и ощущение внутренней логики науки. Этому невозможно
научиться. В результате стратегические работы в большей степе-
ни напоминают искусство, чем науку, и к их оценке нужен особый
подход.
Тем не Meiee существуют критерии, по которым очень легко оце-
нить, является ли та или иная стратегическая работа новым шагом
в науке. К таковым относятся следующие критерии:
1) стратегическая работа никогда не отвергает установленные на-
укой законы, а всегда обобщает их,
2) стратегическая работа обобщает не только фундаментальные
уравнения1 существующей теории, но и физические принципы, на ко-
торых они основаны;
3) необходимо выполнение принципа соответствия, устанавлива-
ющего условия, при которых уравнения и принципы новой теории
переходят в уравнения и принципы существующей теории;
4) новая теория должна снять трудности старой;
5) теория должна предсказывать новые явления, проверяемые на
опыте;
’Определение фундаментальных уравнений было дано в гл. 1.
153
6) представления об окружающем мире должны претерпеть ради
кальные изменения, а сознание подняться на более высокую ступень.
Из огромного количества теоретических работ, выполненных по-
сле открытия П.Дираком его знаменитого уравнения, ни одна не удо-
влетворяет перечисленным выше критериям.
3.1.1. Классификация теоретических исследований
Все работы в теоретической физике можно разделить на три
основных класса: стратегические, тактические и оперативные.
Стратегические работы определяют развитие физики не только
на сегодняшний день, но и на много (иногда на сотни, как в случае
механики Ньютона) лет вперед. Физики-стратеги занимаются созда-
нием фундаментальных теорий, в основе которых лежат принципы,
имеющие всеобщую приложимость. Новые фундаментальные физи-
ческие уравнения, предлагаемые стратегами, обладают абсолютной
предсказуемостью в тех областях, где справедливы принципы тео-
рии.
Основным методом работы стратегов является интуиция, которая
позволяет им постоянно следовать внутренней логике развития фи-
зической науки. Как правило, такое состояние достигается на основе
глубокого анализа трудов предшественников, их критического осмы-
сления и последующего конструктивного обобщения.
Стратеги являются создателями новой картины мира, поднимая
общественное сознание еще на одну более высокую ступень, что счи-
тается весьма сложной работой. Судьба стратегических работ, как
правило, драматична. По этому поводу И. Ньютон заметил. «Либо
не надо сообщать ничего нового, либо всю жизнь надо затратить на
защиту своего открытия». На стратегические работы у исследова-
телей уходят десятки лет.
Тактические работы - это уже более детальная разработка раз-
личных фрагментов стратегической работы. Физики-тактики зани-
маются поиском принципиальных следствий, вытекающих из фунда-
ментальных уравнений, организуют крупные научные школы и на-
правления.
Особым разделом тактической работы является создание феноме-
нологических и полуфеноменологических теорий, представляющих
собой первый шаг на пути поиска фундаментальной теории. Так-
тические работы выполняются в течение нескольких лет.
Наконец большинство физиков-теоретиков занимается оператив-
ной работой, т.е. решением уравнений, найденных стратегами и так-
тиками, с тем чтобы внедрить результаты фундаментальных и фено-
менологических исследований в практику.
154
Оперативные работы делаются в течение нескольких дней или ме-
сяцев. Если стратегические и некоторые тактические работы с само-
го начала обычно встречаются научной общественностью в штыки,
то работы оперативные кажутся бесспорными. Оперативные рабо-
ты требуют энциклопедических знаний и прекрасного владения ма-
тематическим аппаратом. Во времена застоя стратегической мысли
физики-теоретики, занимающиеся оперативной работой, быстро де-
лают научную карьеру и задают тон исследованиям других физиков.
Происходит развитие и совершенствование формальных методов ис-
следования, которые, кстати, активно используются стратегами и
тактиками следующего периода развития физики.
Исходя из приведенной выше классификации теоретических ра-
бот, рассмотрим некоторые стратегические и тактические следствия
теории физического вакуума.
3.1.2. Десятимерное пространство-время
Каждый раз при создании новой фундаментальной теории меня-
ются наши представления о геометрических свойствах физическо-
го пространства событий. Например, пространство событий отно-
сительных координат х,у, z инерциальных систем отсчета механики
Ньютона образует трехмерное многообразие, наделенное геометрией
Евклида.
Именно на фоне этой геометрии записаны все уравнения механики
Ньютона, потому мы говорим, что пространство механики Ньютона
трехмерно и обладает евклидовой геометрией.
Создание специальной теории относительности изменило наши
представления о пространстве и времени. Действительно, простран-
ство событий относительных координат х, уу z, ct четырехмерных инер-
циальных систем отсчета образует четырехмерное многообразие,
обладающее псевдоевклидовой геометрией. Предельной скоростью
распространения сигнала в специальной теории относительности
является скорость света: с = 3 х 108см/с. В результате все простран-
ство-время поделилось на область, доступную наблюдению (рис.
3.1), ограниченную внутренностью светового конуса, и области, где
наблюдения невозможны.
Следующее изменение наших представлений о структуре прост-
ранства-времени произошло после создания общей теории относи-
тельности. В этой теории пространство событий образует множе-
ство относительных координат х,у, zyct четырехмерных ускоренных
локально инерциальных систем отсчета
В отличие от пространства событий инерциальных систем отсче-
та пространство событий ускоренных систем оказалось искривлен-
155
Рис. 3.1. Различные области пространства-времени новой теории
I - пространство-время специальной и общей теорий относитель-
ности; I + II - то же, квантовой теории поля; I + II + III - теории
физического вакуума
ным пространством, описываемым метрикой Римана
ds2 = gikdx'dxk (3.1)
В общем случае скорость распространения света в искривленном
пространстве не совпадает со скоростью с = 3 х 108см/с. Однако, как
и в случае специальной теории относительности, доступная область
наблюдения находится внутри конуса будущего (см. рис. 31).
При создании модели электрон-позитронного вакуума в кванто-
вой теории поля П. Дирак предложил рассматривать позитрон, как
электрон, который движется вспять по времени, т.е. в прошлое. Это
означает, что в квантовой теории поля, допускающей положительные
и отрицательные энергии (частицы и античастицы), события проис-
ходят в конусе как будущего, так и прошлого. Правда, только на
микроуровне.
В теории физического вакуума вновь происходит изменение на-
ших представлений о структуре пространства событий. Дело в том,
что для полного описания произвольно ускоренной системы отсче-
156
та одних только трансляционных координат x,y,z,ct недостаточно,
поскольку четырехмерная система отсчета имеет в общем случае 10
степеней свободы: четыре трансляционные и шесть вращательных.
Вращательные степени свободы описываются шестью угловыми пе-
ременными: тремя пространственными углами <Р1,<р>2,1Рз (например,
Эйлера) и тремя пространственно-временными углами 61,62,63 (ме-
жду временной и пространственными осями системы отсчета).
Множество угловых координат #1,02,03 образует шести-
мерное пространство дополнительно к четырехмерному простран-
ству трансляционных координат x,y,z,ct, поэтому пространство со-
бытий произвольно ускоренной системы отсчета оказывается, вообще
говоря, десятимерным. Использование множества угловых коорди-
нат </>2,^3,61,62,63 позволяет ввести в теорию физического вакуу-
ма угловую метрику
dr2 = dx.jdx'3, dxij = -dxji, (3.2)
определяющую квадрат бесконечно малого поворота dr2 четырех-
мерной системы отсчета.
.Десятимерное многообразие относительных координат x,y,z,ct,
951 । У’г, <Рз, 01,62, 63 произвольно ускоренных систем отсчета образует
расслоенное пространство абсолютного параллелизма [26, 97, 100] с
координатами базы х,у, z,ct и координатами слоя y’i,y>2IV’31 01,62,63.
В общем случае геометрия абсолютного параллелизма обладает от-
личной от нуля римановой кривизной и кручением [26], поэтому про-
странство событий теории физического вакуума не только искривле-
но, но и закручено.
В ч. 2 показано, что все возможные конкретные пространства гео-
метрии абсолютного параллелизма, полученные как решения уравне-
ний физического вакуума, могут быть классифицированы по группам
изометрий согласно табл. 81. Эта таблица устанавливает изомор-
физм между любым конкретным решением уравнений вакуума и по-
верхностью, вложенной в плоское пространство Ep(r, s) размерности
р = 4 + D (D = 1,..., 6).
Заметим, что максимальная размерность плоского пространства
вложения равна 10, что соответствует максимальному числу степеней
свободы произвольно ускоренной четырехмерной системы отсчета.
Еще одним необычным свойством пространства событий теории
физического вакуума является то, что оно охватывает все простран-
ство, включая сверхсветовые области. Действительно, рассмотрим,
например, решение (2.85) уравнений вакуума (Л) и (В) с римановой
метрикой типа метрики Шварцшильда. Это решение включает в себя
157
триплет метрик (см. ч. 2)
—r2(d62 4- sin2 edtp2),
(3.3)
ds2
-r2(de2 + e2d<p2),
(3.4)
/ 2Ф°\ „ „ / 2Ф°\ 1
ds2 - ( — 1-------) c2dt2 — | —1-------) dr2 — (3.5)
\ r / \ r /
-r\d62 -Psinh2^2),
из которых метрика (3.3) описывает вакуумное возбуждение, движу-
щееся со скоростью, меньшей скорости света, метрика (3.4) описыва-
ет вакуумное возбуждение, движущееся со скоростью света и наконец
метрика (3 5) описывает вакуумное возбуждение, которое движется
со скоростью, превышающую скорость света.
Известно, что частицы, движущиеся со сверхсветовыми скоростя-
ми, имеют мнимые массы [109]
т — ip.
(3.6)
С другой стороны, системы, состоящие из совокупности положи-
тельных и мнимых масс, могут иметь отрицательную массу [109], по-
этому теория физического вакуума описывает все возможные обла-
сти пространства, изображенного на рис. 3.1
Отрицательные массы возникают в теории непосредственно при
рождении из вакуума правой и левой материи, причем правая поро-
ждает вещество (как было показано ранее) с положительной массой,
а левая - с отрицательной.
3.1.3. Спинорная структура пространства событий
Основная идея всеобщей относительности состоит в том, чтобы
смотреть на мир глазами наблюдателя, который имеет наибольшее
число степеней свободы Эти степени свободы определяются систе-
мой отсчета, используемой наблюдателем для описания происходя-
щих событий Сравнивая с этих позиций векторный и спинорный
158
базисы, мы приходим к выводу, что спинорная система отсчета обла-
дает большим количеством степеней свободы, поскольку энергия фи-
зических систем зависит от ориентации спина элементарных частиц
(например, в аномальном эффекте Зеемана). Наблюдатель, описы-
вающий атом водорода без учета спиновых явлений, не в состоянии
объяснить расщепление энергетических уровней атома, помещенно-
го в магнитное поле Ему надо ввести понятие спинора и связать
его с электроном. Выбирая в качестве тела отсчета спинирующий
электрон, наблюдатель тем самым вводит комплексные спинорные
координаты связанные с обычными векторными координатами
Т, X, Y, Z соотношением
T=^=(U+^), X=^V+T)l),
гу/ z у z
а,Р — 0,1, 7i = 0,1,
и комплексную спинорную систему отсчета oa,i°, связанную с обыч-
ной векторной системой отсчета как
е*0 = (2)-1/2<(3(о“^ + ^),
4 = (2)-x/V - ^),
е* =(2)-‘/2a<(O“^-t^)
В результате такого шага пространство-время стало обладать
спинорной структурой, а наблюдатель получил возможность описы-
вать тонкую структуру атомных систем, связанную со спином
Спинорная система отсчета связана с изотропными векторами
(см. (2.129)), поэтому введение спинорной структуры пространства
событий приводит (как следствие) к двум фундаментальным физиче-
ским идеям:
1) все элементарные частицы могут быть построены из частиц спи-
на 1/2 (идея единой теории поля В.Гайзенберга),
2) все массивные частицы могут быть построены из безмассовых
полей.
Объединение этих двух идей приводит к выводу, что основой лю-
бой материи, обладающей энергией, должно быть безмассовое поле
спина 1/2, т.е. поле нейтрино.
159
3.2. Вакуумное возбуждение
с кулон-ньютоновским потенциалом
В условиях глубокого кризиса современной физики, порожденного
целым рядом нерешенных теоретических проблем, новая фундамен-
тальная теория, способная, с одной стороны, разрешить трудности
современных фундаментальных теорий, а с другой - заменить собой
многочисленные феноменологические и полуфеноменологические те-
ории, имеет беспрецедентную ценность.
В предыдущей главе кратко было показано, что такие фундамен-
тальные проблемы, сформулированные А.Эйнштейном, как геометри-
зация электромагнитного поля и полей материи, находят свое реше-
ние путем введения в электродинамику и теорию гравитации Эйн-
штейна более широкого класса систем отсчета.
В настоящем разделе будет показано, что из уравнений физиче-
ского вакуума (А) и (В) следуют фундаментальные физические тео-
рии, свободные от трудностей, перечисленных в гл. 1, и способные
заменить собой феноменологические и полуфеноменологические тео-
рии в области микромира. Эта задача слишком грандиозна, чтобы
ее можно было детально разработать в одной публикации. Поэтому
попытаемся наметить лишь основные подходы к рассмотрению поста-
вленной задачи.
Для ориентации используем схему семиуровневой структуры ре-
альности, приведенную в гл. 1. На этой схеме физический вакуум
соответствует третьему (сверху) уровню реальности, ниже которого
лежит уровень элементарных частиц и полей, рожденных из ваку-
ума. Поэтому логично искать соответствия вакуумных уравнений
(А) и (В) фундаментальным уравнениям современной теории поля
(классической и квантовой), основанным на физических принципах
общего характера. К таким уравнениям в современной физике от-
носятся уравнения Ньютона, Максвелла, Эйнштейна, Янга-Миллса,
Шредингера, Дирака и т.д.
Все фундаментальные уравнения можно разделить на два боль-
ших класса - уравнения поля и уравнения движения материи. Ре-
шения уравнений поля позволяют найти фундаментальные потен-
циалы взаимодействия между частицами. Так, например, решения
уравнений Эйнштейна и Максвелла приводят к потенциалу Ньютона
<рд = —MG/r и потенциалу Кулона <ре = е/r соответственно, ко-
торые являются единственными фундаментальными потенциалами
современной физики. Поэтому разумно начать исследование физиче-
ских свойств уравнений вакуума с решения, приводящего к взаимо-
действию кулон-ньютоновского типа.
160
3.2.1. Полевая модель точечной частицы
Исследуем решение вакуумной системы уравнений (А) и (В), опи-
сывающее сферически-симметричное образование, рожденное из ва-
куума. Это необходимо для того, чтобы установить соответствие
уравнений физического вакуума фундаментальным уравнениям тео-
рии поля, приводящим к точечной, сферически-симметричной моде-
ли частицы. Действительно, единственная модель частицы, которая
следует из фундаментальных уравнений современной теории поля,
является модель точечной частицы с плотностью материи, пропор-
циональной 6-функции Дирака
р~6(г). (3.7)
Решение (2.209) уравнений (А) и (В) с кулон-ньютоновским потен-
циалом взаимодействия обращает в нуль тензор энергии-импульса
материи (2.91) в уравнениях Шипова-Эйнштейна (ВЛ). Поэтому
мы рассмотрим сферически-симметричное решение вакуумных урав-
нений (А) и (В), которое описывает вакуумное возбуждение с пе-
ременным кулон-ньютоновским потенциалом и для которого тензор
энергии-импульса (2.91) отличен от нуля. Это решение имеет следу-
ющие характеристики (см. ч. 2).
Решение с переменным кулон-ньютоновским потенциалом
(3-8)
1. Координаты: х° — и,хх = г, х2 = 0,х3 — <р.
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
а<=(0,1,0,0), а< = (1,17,0,0), a*j = р(0,0, Р, iP),
а?6 = (1,0,0,0), ар = (—17,1,0,0), «т?4 = — ^-^(0,0, i,»)»
U(u) = -1/2+ Ф°(в)/г, Р= (2)-1/2(1+СС/4), С = х2 + ix3,
Ф° = Ф°(и).
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = — 1/г, а — —/3 - —а°/г, 7 = Ф°(и)/2г2,
р = —1/2г + Ф°(в)/г2, а° = С/4.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
ЯфО 1
Ф2 = Ф = -Ф°(в)/г3, Ф22 = Ф - -Ф°(в)/г2 = —5----
ди г2
6 Г. И.Шипов
161
Метрика Римана решения (3.8) в квазисферических координатах
имеет вид
\ г / \ г /
—r2(d02 4- sin2 f)dtp2). (3-9)
Используя решение (3.8), можно определить явный вид тензора
энергии-импульса (2.91)
— рС > (3.10)
где р - плотность материи вакуумного возбуждения, определяемая
как
ф»м<0, (3.11)
= 0 - светоподобный вектор, составляющий спинорный базис
решения (3.8).
Рассмотрим теперь предельный переход Ф°(и) —+ Ф° = const плот-
ности материи решения (3.8). Введем вспомогательный параметр £
размерности длины
_ 7г|Ф°|г2 “ 2Ф° (3-12)
Через параметр £ модуль плотности (3.11) можно представить в
виде
8тгФ° 1 е 8тгФ° 1 £ ( f2\ о - р+ - — 1 1 + — 1 PC2 2тГГ2 Г2 PC2 2тгг2 (г2 4- £2) \ Г2) ’ (3.13)
где знак «плюс» означает, что плотность р+ определяет правую ма-
терию с положительными плотностью и массой. Вычисляя предел
соотношения (3.13) при £ —» О, т.е. при Ф°(и) —» Ф° = const, и исполь-
зуя известную формулу
—lim —=•) = 77—5^(г) = 6(г),
2?ГГ2 7Г Х-.0 \z2 4- г2 / 2тгг2
где 6(г) - трехмерная функция Дирака, находим
+ 8тгФ° 1 8тгФ° Р = 2 0 26(Г'= 2 6(Г)’ 1/С2 27ГГ2 I/C2 (3-14)
Из этого соотношения видно, что при переходе вакуумного возбу-
ждения в стационарное состояние распределенная по пространству
6’
162
плотность материи совпадает с плотностью материи точечной ча-
стицы (6-функция Дирака описывает распределение точечного ис-
точника) .
Полученный нами результат подтверждает предположение А Эйн-
штейна о том, что в чисто полевой теории точечная частица должна
появляться в виде некоторого предельного случая, а не вводиться
в теорию искусственно, поскольку «комбинация идеи непрерывно-
го поля с представлением о материальных точках, расположенных
дискретно в пространстве, оказывается противоречивой. Последова-
тельная теория поля требует непрерывности всех элементов не толь-
ко во времени, но и в пространстве, причем во всех его точках. Сле-
довательно, материальной точке нет места в полевой теории» [52].
То, что материальная точка появляется в чисто полевой теории в
виде предельного стационарного случая - один из наиболее важных
результатов теории физического вакуума.
3.2.2. Геометризированные уравнения Гайзенберга
точечной частицы
Обратимся теперь к нелинейным спинорным уравнениям (2.138), об-
общающим уравнения Гайзенберга-Иваненко в теории физического
вакуума. Подставляя в эти уравнения спинорные компоненты коэф-
фициентов вращения Риччи из решения (2.209) с кулон-ньютоновским
потенциалом, имеем
_ Ф° _ d°
РхОа — "л ОаОрОу
LT Г
а0 _ 1
(3.15)
ф°\
—у 1 Оа1рОх —
^Рх1'
.о
I
2г
Ф° _ а°
2г Г Т
а,Р... = 0,1 , 7,х ... = б, i.
Здесь произвольная константа интегрирования Ф° играет роль
фундаментальной длины. Ее конкретное значение может быть уста-
новлено после того, как константа Ф° будет выражена через фун-
даментальные физические константы с помощью принципа соответ-
ствия.
163
3.3. Соответствие уравнениям Эйнштейна
Рассмотрим соответствие уравнений физического вакуума (Л) и
(В) тем фундаментальным уравнениям современной физики, в кото-
рых частицы являются точечными и стабильными. С учетом полу-
ченных выше результатов уравнения (2.89) для точечного стационар-
ного источника могут быть записаны в виде
где
Rjтп — L'Tjrn i
(3.16)
'Г М I
Т]т = ~рс2 Г 3 т
(3.17)
Сравним теперь уравнения (3.16) с уравнениями Эйнштейна, опи-
сывающими точечный источник. Можно заметить, что эти уравнения
совпадают тогда, когда в соотношении (317) перед 6-функцией стоит
масса точечного источника, т.е.
„ 8я-Ф°
М =------=—.
ис*
(3.18)
С другой стороны, при переходе источника в стационарное состоя-
ние метрика (3 9) переходит в метрику Шварцшильда (т е. в решение
уравнений Эйнштейна для точечного источника) при условии, что
_0 MG
Фи — _____
С*
(3.19)
Подставляя соотношение (3 19) в равенство (3.18) получим значе-
ние первоначально неопределенного множителя р в вакуумных урав-
нениях (3 16)
8тгС
с4
(3.20)
В этом случае уравнения (3.16) полностью совпадают с уравне-
ниями Эйнштейна, описывающими гравитационное поле точечного
источника с постоянной массой Соответственно, метрика (3 9) пере-
ходит в метрику Шварцшильда
i 2 /i 2MG. о о
ds2 — (1--------— )c2dt2
rcz
2MG , 2
" С1 " dr -
—r2(d02 + sin2 Od<p2).
(321)
164
3.3.1. Соответствие уравнений движения
Уравнения движения пробной частицы в теории физического ваку-
ума совпадают с уравнениями геодезических пространства абсолют-
ного параллелизма
d2x' dx1 dxk dx1 dxk
—I" Г j it -j----Ь T ,, к --j— — 0
ds2 3 ds ds 3 ds ds
(3.22)
Кроме четырех уравнений движения (3 22), имеются также шесть
уравнений движения пробного спина [26]
- Д‘рДЬп) dfj dg е’а = °. (3 23)
где
jk ~ + T‘jk — е'аеа3 к,
(3.24)
- связность геометрии абсолютного параллелизма, интерпретируе-
мая как величина, представляющая собой сумму внешних физических
полей r*jfc и полей инерции Т'^к .
Уравнений движения вида (3.23) в теории Эйнштейна (и в других
фундаментальных физических теориях) вообще не существует, поэто-
му для дальнейшего уточнения соответствия уравнений физического
вакуума теории Эйнштейна мы используем уравнения (3.22), которые
совпадают с уравнениями движения теории гравитации Эйнштейна
при условии, что
dx3 dxk..<
ds ds
(3.25)
т.е. при условии равенства нулю сил инерции. Это означает, что
уравнения движения теории Эйнштейна
d2x' dx3 dxk
—I" I ?к ----j— =
ds2 3 ds ds
(3.26)
записаны либо в инерциальных, либо в локально инерциальных си-
стемах отсчета.
Действительно, запишем для простоты решение (2.209) с постоян-
ной функцией источника Ф° = MG/c2 = const в привычных нам квази-
декартовых координатах. В этих координатах тетрада е°, принимает
вид
= = (3.27)
где в скобках обозначены тетрадные индексы и у? — —MG/r.
165
Риманова метрика для тетрады (3.27) может быть получена с по-
мощью соотношений
ffnt = t)abeaiebk, T]ab = ЛаЬ = diag(l -1-1-1)
и записывается в виде
о /, 2MG. о.? i, 2MG., I 2 >2 >2
ds2 = (1----=-)c2dt2 — (14--тг-)(dx2 4- dy2 4- dz2
тс1 rc2
(3 28)
Рассматривая нерелятивистское приближение и считая гравита-
ционные поля слабыми, т.е. полагая, что
« 1, д,к ~ тук, ds ~ ds0 = сЛ(1 - ^-)1/2, (3.29)
о
R jkm-R' ]ктп = ®< ^2 « !. ds~dsc~cdt,
находим из уравнений (3.26) следующие уравнения движения массы
т:
т~^Г = -гпс2г“оо = (3 30)
Легко видеть, что полученные уравнения представляют собой
уравнения движения ньютоновской теории гравитации, которые, как
известно, записаны в инерциальных системах отсчета. Заметим, что
при переходе от уравнений движения теории Эйнштейна (3.26) к урав-
нениям движения теории Ньютона (3.30) мы нигде не использовали
преобразования координат х'. Поэтому ни о каком переходе из уско-
ренной системы отсчета в инерциальную не может быть и речи. От-
сюда следует вывод, что уравнения как (3.30), так и (3 26) записаны
в инерциальных системах отсчета, хотя и допускают координатные
преобразования, соответствующие переходу в локально инерциаль-
ную систему отсчета. При переходе в ускоренную локально лорен-
цову систему отсчета уравнения (3.26) принимают вид: d2x/ds2 — 0.
Это уравнения свободного движения.
Покажем, что последовательное описание перехода в локально
лоренцову систему отсчета возможно только с помощью уравнений
(3 22). Действительно, при переходе в ускоренную систему в урав-
нениях Ньютона (3-30) должна появиться сила инерции. Именно эту
ситуацию описывают уравнения (3.22). При условиях (3.29) уравне-
ния движения (3.22) для массы т запишутся как
d2xa MG о MG ,
т—-^- = т—x-х - т—
at2 ra rd
= о,
(3.31)
166
где F“ = —тс2Та00 = — mMGxa/г3 - сила инерции, компенсирующая
локально гравитационную силу FaG = mMGxa/г3. Именно благода-
ря этой компенсации создается локальное состояние невесомости в
ускоренной локально лоренцовой системе отсчета.
Подводя итоги, можно сказать, что уравнения физического ваку-
ума описывают стабильные, точечные гравитирующие частицы, ро-
жденные из вакуума и подчиняющиеся уравнениям теории гравита
ции Эйнштейна при условиях, что:
а) масса рожденных из вакуума частиц постоянна;
б) описание рожденных из вакуума частиц производится в инер-
циальных или локально инерциальных системах отсчета.
3.3.2. Соответствие тензора энергии-импульса
В гл. 2 было показано, что в локально инерциальных системах
отсчета поле инерции Т^к антисимметрично по всем трем индексам
Tijk = -Tjik = -Tlk] = -Q,3k, (3.32)
а тензор энергии-импульса может быть представлен в виде (см фор-
мулы (2.189) и (2 193))
Т]ГП = ^Ф2(х')1]1тп, (3 33)
или как
Tjm = ~'F2(.x ~ (3.34)
где
/J* = О
и
«,«’ = 1. (3.35)
Из соотношения (3.33) следует плотность материи изотропного из-
лучения
рт = 1ф2(?). (3.36)
Если материя обладает массой покоя, отличной от нуля, то из
определения
, д1тп
р = Т/с2 = Tjmy—
и соотношения (3.34) находим плотность материи в инерциальной си-
стеме отсчета
p = -^V) (33П
167
Учитывая, что g]rngirri = 4, можно переписать тензор (3.34) как
(х }(.^9jmS3 uium ~^gjm) — (3.38)
= ^2(^*)(|ffjm - jffjm) = ~<p2(x')gjrn,
или
Tjm = Hx^gjm, (3.39)
где
А(Й = ~^2(Й = i
При переходе сферически-симметричной массивной материи в
стационарное состояние уравнения поля (В.1) и тензор энергии-им-
пульса (3 34) в инерциальной системе отсчета принимают вид
R3m - ^gjmR = (3 40)
где .
Tjm = -Afc26(r)(ujUm - -g,m)- (3.41)
Уравнения (3.40) с тензором материи (3.41) можно переписать как
где Rjm -о R+Xa - 87rGTW ^g}mR+ Xgjm — Ijm > iff = Mc26(r)ujum (3.42) (3.43)
- тензор «пыли» и 1 47г6'^</ x A = c2 6(r) (3.44)
- своеобразный А-член.
Уравнения (3.42) интересны тем, что позволяют моделировать
«точечную» частицу микроскопической «черной дырой» и искать
приближенные решения вакуумных уравнений в рамках теории Эйн-
штейна вне источника (когда 2MG/rc2 « 1), вблизи горизонта «чер-
ной дыры» (когда 2MG/rc2 и 1) и внутри источника (2MG/rc2 > 1).
Этим трем случаям соответствуют следующие уравнения:
R]m = 0, 2MG/rc 2«1, (3.45)
Rjm _L. R-J^^ ^91тП— c4 -l]m, 2MG/rc2» 1, (3.46)
Rjm ” 2^j’ R A. \n _ mH, + Agjrn — ^4 ^jm у 2MG/rc2 > 1. (3 47)
168
Уравнения (3.46) в теории Эйнштейна описывают точечный источ-
ник и являются фундаментальными Однако в теории физического
вакуума они оказываются приближенными, справедливыми вблизи
гравитационного радиуса. Точное соответствие уравнений физиче-
ского вакуума уравнениям поля теории гравитации Эйнштейна имеет
место лишь для уравнений (3.45).
3.4. Вакуумная электродинамика
Геометрия абсолютного параллелизма представляет собой про-
странство событий теории физического вакуума, при этом под тер-
мином «событие» подразумевается взаимодействие целого и части,
образующих некоторую физическую ситуацию. Например, движение
пробной массы т (части) с центральным телом массы М (целое) бы-
ло описано в различной степени приближения в предыдущем разделе
(различные физические ситуации). Представление о пространстве
событий в этом конкретном примере предстает перед нами в зависи-
мости от степени приближения, оставаясь в своей основе геометрией
абсолютного параллелизма.
Рассмотрим теперь пространство событий для физической ситу-
ации, в которой происходит взаимодействие пробного заряда —е с
массой т в поле заряда е с массой т (взаимодействие рожденной
из вакуума пары электрон-позитрон). Понятно, что в данном случае
имеют место гравитационные и электромагнитные взаимодействуя
одновременно Однако нас будут интересовать только электромаг-
нитные взаимодействия в предположении, что гравитационными вза-
имодействиями можно пренебречь.
Решение (2.209) уравнений физического вакуума описывает элек-
тромагнитные взаимодействия кулоновского типа в рассмотренной
выше физической ситуации. Действительно, покажем, что уравнения
(3.16) переходят в уравнения общерелятивистской электродинамики
[5]
d2x’ е . dx] dxk
, , I----yE --------— = 0,
as2 me2 2 ds ds
1 8тге
(3 48)
(3.49)
где тензор энергии-импульса заряженной материи записывается в ви-
де
Т}т = pec2UjUk , и'щ = 1 (3.50)
169
с плотностью заряженной материи ре, представленной через 6-функ-
цию Дирака
ре = е<5(г). (3.51)
3.4.1. Сильные электромагнитные поля
В уравнениях (3.48) симметричные по нижним индексам величины
Е']к = E'kj, определяемые через метрический тензор общереляти-
вистской электродинамики [5]
в,к = 4ik + — а>к (3.52)
т
как
с2 •
Е jk ~ ~^9 (ат? к + amk,j ~ ajk,m)i (3.53)
образуют риманову кривизну
2е 2е2
R jkm - ~^2Е + т2с.Е !^кЕ W"*] (3.54)
пространства событий общерелятивистской электродинамики и ин-
терпретируются как напряженности сильных электромагнитных по-
лей. В общем случае сильные электромагнитные поля E'jk преобра-
зуются относительно произвольных трансляционных координатных
преобразований не как тензор
е к> д2хк дхк дх' дх1 дхк е к
--2Е j'i' — а j1 Я к + ~Я~Е Я О ~Я~к----2Е ]•’ (3.55)
mr 1 Ох' ох^ охК ох' ох1 дхк то }
т.е. выбором координат х' могут быть обращены (локально) в нуль,
что удовлетворяет требованию всеобщей относительности.
Вместо метрики (3.21) в общерелятивистской электродинамике
для пространства событий физической ситуации, в которой проис-
ходит взаимодействие пробного заряда е с массой т в поле заряда
Ze с массой М, мы получим метрику
ds2 - (1 - у) с2 dt2 - (1 “ у) 1 dr2 ~ (3.56)
—r2(d62 + sin2 6d<p2),
где
2p2
2Ф° = re = — (3.57)
me2
- электромагнитный радиус. Легко видеть, что для взаимодей-
ствия пары электрон позитрон электромагнитный радиус (3 57) ра-
вен двойному классическому радиусу электрона.
170
Для доказательства соответствия уравнений физического вакуу-
ма (Л) и (В) уравнениям общерелятивистской электродинамики (3.48)
и (3.49) мы опять воспользуемся решением (3.8) в пределе, когда ис-
точник переходит в стационарное состояние. Однако в случае элек-
тродинамики плотность (3.14) для точечного заряда е запишется как
8тгФ° 1 .. .
Из этого равенства следует
8тгФ° > х/ ч
—5-*(r) = е*(г)-
(3.58)
Кроме того, из метрики (3.56)
8тгФ°
PC2
и равенств (3.57), (3.59) находим
(3.59)
е =
8тгФ° _ 8тге
ес2 тс4 ’
(3.60)
что совпадает с множителем в уравнениях поля (3.49).
Из соотношений (3.52) и (3.53) видно, что сильное электромагнит-
ное поле определяется через величину а,к, которую можно рассма-
тривать как тензорный потенциал сильного электромагнитного по-
ля. Если же поля являются слабыми, то из уравнений (3.48) и (3.49)
следует вакуумная электродинамика Максвелла-Лоренца.
3.5. Электродинамика слабых полей
С помощью соотношения (3.52) риманову метрику
ds2 = gikdx'dxk (3.61)
вакуумной электродинамики можно представить в виде
ds2 = (пцс + — anc}dx'dxk = ijikdx'dxk + —aikdx'dxk = (3.62)
т т
, е i t ( е dx' dxk \ ,
. ds^ -| aikdx dx = Ц aik—~ -— ds0,
m \ m ds0 ds0)
где
ds2 = rjikdx'dxk (3.63)
- интервал плоского пространства.
Второй член в скобках соотношения (3.62) можно расписать как
е f /dx°\2 dxa dx° dxa dx& 1
— 1 aoo I 3— ) + 2aQo —— —-----F aap — 3— / ,
m I \ dsoJ dso aso “So “so I
a,/? =1,2,3. (3.64)
171
Введем теперь четырехмерный потенциал вакуумного электромаг-
нитного поля А, с компонентами
1 odx0
•Ao = 2a°°c2~ds^’ (3.65)
, dx° с2 dx@
Аа = ааос —— + -г-о.ар——, а,/3= 1,2,3. (3 66)
ds0 2 ds0
Используя компоненты (3.65) и (3.66), запишем соотношение (3.64)
в виде
2е [ dx° dx° ) 2е t dx'
2 I ''^0 "j "3 I ~ J ‘
me2 aso dso J me2 as0
Следовательно, через векторный потенциал (3.65),(3.66) квадрат
интервала (3.62) можно представить как
ds2
ds2.
(3.67)
3.5.1. Уравнения движения заряда
Если поля являются слабыми, то выполняется условие
2е dx1
тс2 ’ dso
« 1
(3.68)
Извлекая квадратный корень из левой и правой частей равенства
(3.67) и используя условие (3.68), находим приближенно
ds —
, е л dx' \
1 Ч----—— ) dso
тс* dsn J
(3.69)
с точностью до первых двух членов разложения.
Если умножить это выражение на —тс, то мы получим дифферен-
циал действия
/•i
S = —тс I ds,
J а
подобный тому, который выписывается в классической электроди-
намике для вывода с помощью вариационного принципа уравнений
движения заряда. Используя соотношение (3.69), мы получим в ре-
зультате обычной вариационной процедуры уравнения:
d2x' _ е ikdxk
ds% тс2 dso ’
(3 70)
172
Еи^А^-А^,
(3.71)
подобные уравнениям движения электродинамики Максвелла-Ло-
ренца, но в которых тензор электромагнитного поля (3.71) имеет гео-
метрическую природу. Поскольку выбором трансляционных коор-
динат х' тензорный потенциал ад в метрике (3.62), а также в соот-
ношениях (3.65), (3.66) может быть обращен в нуль, то обращается
(локально) в нуль и «тензор» вакуумного электромагнитного поля
(3.71). Эта величина становится действительным тензором при ко-
ординатных преобразованиях только в том случае, когда мы ограни-
чимся группой линейных ортогональных преобразований, например
преобразованиями Лоренца. В этом случае сильное электромагнит-
ное поле (3.55) также имеет тензорный закон преобразования.
Из неравенства (3.68) видно, что условие слабости электромаг-
нитного поля нарушается в двух случаях: а) когда поля становятся
сильными, б) когда скорости ультрарелятивистские. Из (3 68) следу-
ет, что для нерелятивистской частицы с зарядом и массой электрона
поле считается сильным, если нарушается неравенство
2е2
тс2 г
(3.72)
Электромагнитные поля, для которых неравенство (3.72) наруша-
ется, имеют величину Е и Н порядка 1016 ед.СГСЭ. Такие поля со-
ответствуют расстояниям порядка 10-13 см от центра заряда е, т.е.
проявляют себя в областях, где обнаружено действие феноменологи-
ческих ядерных сил и электромагнитных формфакторов.
3.5.2. Геометризированные уравнения Максвелла
Простое доказательство соответствия уравнений поля (3.49) урав-
нениям Максвелла можно провести следующим образом.
Запишем уравнения (3 49) в виде
1 8тге 2
2 тг
(3.73)
Свертывая эти уравнения с uJum и учитывая, что и}и} = 1, нахо-
дим
R}m^um~^R= ^рес2. (3.74)
2 тс
С другой стороны, свертывая (3.73) с метрическим тензором
находим „ 8тге „ 8тге , Я — ~Т — ^РеС 1 (3.75) тс тс
173
где Т = gjmTjm-
Подставляя (3.75) в (3.74), запишем (3.74) в виде
„ , „ 4тге ,
RjmU}U - ----^РеС2,
или
Я00и°и0 + 2RaOu°u° + Rapu°up = ^рес2, (3.76)
тс*
а,(3= 1,2,3. (3.77)
В случае слабых электромагнитных полей тензор Риччи Rjm мож-
но представить как
Rjm — Q □Gjm, (3-78)
£тп
где □ - оператор Д’Аламбера
Используя это соотношение, запишем (3.76) для слабых полей в
виде
□(^aoo)u°u° + □(aQ0)u“u° + □(iaa/3)uai?5 = ~^Ре (3 79)
Пусть теперь для четырехвектора скорости заряда выполняется
условие гармоничности
□и* = 0, (3.80)
которое всегда выполняется для заряда, движущегося прямолинейно
и равномерно. Приближенно это условие выполняется и для заря-
дов, которые движутся с малым ускорением. При условии (3.80) и с
использованием векторного потенциала (3.65), (3.66) имеем из (3.79)
и°ПЛ0 + u“nAa - — кпре.
Умножая это соотношение слева и справа на гц, и учитывая соот-
ношение = 1, получим уравнения, подобные уравнениям Макс-
велла [111]
4тг
□Ль = —jk, (3.81)
с
где четырехмерный ток jk определен в виде
jk = PeCUk- (3.82)
Если пространство становится плоским (абсолютный вакуум), то
левая и правая части уравнений (3.81) обращаются в нуль одновре-
менно.
174
3.6. Новые потенциалы
В современной физике существует всего лишь один тип по-
тенциала, описывающий взаимодействия фундаментально - кулон-
ньютоновский
а
Этот потенциал находят как точное решение фундаментальных
физических уравнений, таких, как уравнение Пуассона теории гра-
витации Ньютона, уравнения электродинамики Максвелла, уравне-
ния теории гравитации Эйнштейна. Все остальные многочисленные
потенциалы взаимодействия, используемые для описания различных
феноменологических явлений, вводятся в физику, что называется
«руками», и, следовательно, не имеют фундаментального описания.
Этот их недостаток приводит к неоднозначности выбора вида фено-
менологического потенциала и к ограничению его предсказательной
возможности.
Точные решения уравнений физического вакуума (Л) и (В) приво-
дят к целому классу фундаментальных взаимодействий уже извест-
ного и пока еще неизвестного типов. Чтобы показать это, воспользу-
емся решениями уравнений (Л) и (В).
Любое точное решение вакуумных уравнений (Л) и (В) приводит
к метрике Римана (3.1), в которую входит метрический тензор про-
странства gik Используя метрику (3.1), можно записать действие S
в виде
где
S - —тс
dx' dxk\1/2
~тс 9'k~dTdr
Ldt,
(3.83)
( dx' dxk\1t2
- Т-и
(3.84)
- лагранжиан системы Этот лагранжиан описывает движение части-
цы массы т в поле вакуумного возбуждения Если поле вакуумного
возбуждения на бесконечности исчезает, то потенциальная энергия
взаимодействия между частицей и вакуумным возбуждением обра-
щается в нуль Uoo — 0. Следовательно, на бесконечности имеем
/ dx' dxk
1/2
(3 85)
где г/ik - метрический тензор пространства Минковского Из соотно-
175
шений (3.84) и (3.85) имеем для потенциальной энергии выражение
U — Т — L — —тс
( dx'dxk\ 1,2
9ik
dx' dxk\
dt dt )
(3.86)
Другой способ позволяет определить потенциальную энергию че-
рез полную энергию (гамильтониан) частицы
Е = Н = T+U.
Для этого надо представить гамильтониан как
Н = Pix' - L,
где
dL
Pi ~ дх'
(3.87)
(3.88)
(3.89)
- обобщенный импульс.
Используя соотношения (3.85) и (3.87)-(3.89), получим для потен-
циальной энергии
U = '-L-Loo, (3.90)
дх'
где L и Loo определяются согласно (3.84) и (3 85). Ясно, что для
решений, не имеющих плоской асимптотики, такое представление не-
возможно.
Для качественного исследования потенциальной энергии удобно
пользоваться приближенной нерелятивистской формулой, которую
можно получить из соотношения
goo — 14—2,
с2
где goo является 00-компонентой метрического тензора д,ь Полагая
в этом соотношении U = пир, находим
тс2
U = -j-fooo - 1). (3 91)
Как правило, эта простая формула позволяет определить основ-
ную тенденцию исследуемого взаимодействия.
3.6.1. Обобщения кулон-ньютоновского потенциала
В ч 2 приведены некоторые точные решения уравнений физиче-
ского вакуума, описывающие следующие виды взаимодействий:
176
Рис. 3.2 Потенциальная энергия взаимодействия заряженных и ней-
тральных частиц с ядром при ге/г^ = —2,8
1) с кулон-ньютоновским взаимодействием и потенциальной энер-
гией вида
фО
U ——тс1 2 3 4—, Ф° = const; (3.92)
г
2) с переменной функцией источника Ф° и потенциальной энергией
вида
U ——тс2—, Ф° = Ф°(/); (3.93)
Г
3) с «кварковым» (возрастающим по абсолютной величине с рас-
стоянием) взаимодействием и потенциальной энергией вида
U = —6тс2Л.г2, Л = const; (3.94)
4) с короткодействующим взаимодействием (рис. 3 2) и потенци-
177
альной энергией вида
г2
U = —тс2 _ W , гм -- const;
г2 + rfa
(3.95)
5) с электроядерным
V* у»
альной энергией вида .
взаимодействием (см.
рис. 3.2) и потенци-
U = -
тс2 гге 4- "lr2N
2 г2 + rjf
Гм = const,
re = const;
(3.96)
6) с электроядерно-кварковым взаимодействием и потенциальной
энергией вида
U = -
тс2
гге 4- 2г^ — 96Аг^
г2 + r2N
+ 12А(г2 + 5г^)
(3.97)
г
те = const, гм = const, А — const;
7) с кулон-ньютоновским взаимодействием, трехмерным вращени-
ем источника и потенциальной энергией вида
ф°
г. 7 ’’ Ф° = const,
[/ = — me —------------,
г2 + a2 cos2 0 а = const;
(3.98)
8) с электроядерным взаимодействием и трехмерным вращением
источника и потенциальной энергией вида
_ тс2 /г2 — гсг — + a2 cos2 О
2 \ т2 4- (гм — a cos б)2
(3.99)
Все перечисленные виды потенциальной энергии описывают как
взаимодействие, так и самодействие вакуумных возбуждений. Чтобы
показать реальную природу этих взаимодействий, необходимо найти
физические явления, где эти взаимодействия наблюдаются. Ориен-
тиром при этом могут служить эксперименты, в которых обнаружи-
ваются отклонения от фундаментального кулоновского или ньюто-
новского взаимодействия. В частности, решение вакуумных уравне-
ний общерелятивистской электродинамики также приводит к потен-
циалам (3.95) и (3.96), описывающим наблюдаемое упругое рассеяние
нейтральных и заряженных частиц на ядрах (см. гл. 4). Поскольку
все константы интегрирования в потенциальной энергии (3.98) имеют
размерность длины, то ради унификации в последующих формулах
керровский параметр вращения а будет заменен на т3.
2В следующей главе этот потенциал используется для описания ядерных
взаимодействий.
178
3.7. Суперобъединение взаимодействий
Теория вакуума позволяет на новом уровне и совершенно есте-
ственно объединить известные нам фундаментальные взаимодействия:
гравитационные, электромагнитные, сильные и слабые.
3.7.1. Объединение гравитационных и
электромагнитных взаимодействий
Рассмотрим решение (3.31) уравнений вакуума с переменной функ-
цией источника Ф°(<), представленной в виде суммы
*D(t) = rg(t) + re(t), (3.100)
где гД/) = 2m(t)G/c2 и ге(<) — ±2е2(t)/тс2 - переменные гравитаци-
онный и электромагнитный радиусы соответственно.
Нерелятивистская потенциальная энергия взаимодействия ваку-
умного возбуждения в этом случае имеет вид
г 2г
и решение вакуумных уравнений (А) и (В) описывает рожденную из
вакуума частицу с переменной массой и зарядом.
При переходе вакуумного возбуждения в стационарное состояние
плотность материи в полностью геометризированных уравнениях по-
ля (В.1) определяется согласно (3.37). Нетрудно показать, что при
условии
гд ге (3.102)
уравнения поля (В.1) переходят в уравнения Эйнштейна для точеч-
ной массы т. В другом случае, когда
re»rs, (3.103)
из уравнений (В.1) следуют уравнения общерелятивистской электро-
динамики (3.98) для точечного заряда е.
Для всех известных заряженных элементарных частиц выполня-
ется неравенство (3.103). Однако уравнения вакуума допускают опи-
сание ситуации, когда
rs~re. (3.104)
В этом случае уравнения (А) и (В) оказываются уравнениями не-
линейной электрогравидинамики, в которой существует взаимодей-
ствие между электромагнитными и гравитационными полями.
179
3.7.2. Кварковые взаимодействия
В гл. 3 было показано, что в инерциальной системе отсчета ва-
куумные возбуждения описываются уравнениями (3.39). Эти урав-
нения позволяют моделировать «точечную» частицу, рожденную из
вакуума, в виде своеобразной «черной дыры» с учетом ее внутренней
структуры. Уравнения (3.39) принимают вид уравнений (3.71) — (3.73)
в зависимости от того, в какой области пространства происходит на-
блюдение. В частности, в области пространства за электромагнит-
ным (или гравитационным) радиусом
(3.105)
уравнения вакуумной электродинамики могут быть представлены в
виде 1 8тге (3.106)
т ~ ~^9jm“Ь ^9jт — jmi 2 тг
где Tjm ~ , (3.107)
и л— 2
А(г) = т^(г) = -2тгге(5(г). ТПС* (3.108)
Уравнения (3.106) можно переписать как
Rjm ~ = 0, (3.109)
Л = -те5(г). (3.110)
Эти уравнения подобны уравнениям эйнштейновской теории гра-
витации с Л-членом, однако в отличие от последних описывают «то-
чечную» заряженную частицу в виде «микровселенной» де Ситтера
бесконечно малого радиуса. С другой стороны, решение уравнений
(3.109) в области г ге приводит к метрике (3.81), в которой электро-
магнитный радиус ге определяет трехмерную сферу, ограниченную
горизонтом событий. Объем этой сферы
v _ 47Г7-3
е 3
Предполагая, что для бесконечно удаленного наблюдателя рас-
пределение материи внутри этой сферы является однородным, можно
записать вместо равенства (3.110) соотношение
Л -- 3
Ve 4тгг^
(3 111)
180
Рис. 3.3. График потенциала для различных случаев
Потенциалы: а - кулоновский; б - кварковый с Л < 0; в - кулон-
кварковый с |ге/Л| = 1,55г1/2
Решение уравнений (3.109) с константой (3.111) совпадает с реше-
нием уравнений вакуума типа де Ситтера. Это решение приводит к
кварковой потенциальной энергии взаимодействия следующего вида
U(r) = /Зг2,
(3.112)
где константа /? определяется как
_ 9тс2
Р = 2^У
(3.113)
Радиус «микровселенной», внутри которой действует потенциаль-
181
ная энергия (3.112), имеет размеры
R =
(3.114)
Полное решение уравнений (3.109), объединяющее внутреннее
(г < ге) и внешнее (г ге) решения, приводит к потенциальной энер-
гии вида
9
= _тс_
2
(3.115)
На рис. 3.3 показан качественный график потенциала созда-
ющего потенциальную энергию (3.115) в интервале г от 0 до ге. Для
сравнения приведены кулоновский и чисто кварковый потенциалы
Вычисление по формуле
2Ze2
Ге = ----2
трс2
электромагнитного радиуса ге дает следующее его значение для про-
цесса упругого рассеяния протонов на ядрах меди
г(Си-р) _ 0_ 89 х 10-14 см (3.116)
Подставляя это значение в формулу (3.114), получим радиус «ми-
кровселенной»
R = 0,32 х 10-13 см, (3.117)
что соответствует наблюдаемым радиусам элементарных частиц и
ядер.
3.7.3. Слабые взаимодействия
Под слабыми взаимодействиями обычно подразумеваются процес-
сы с участием нейтрино. Простейшим из таких процессов является
«чистый» /3-распад нейтрона по схеме
п
12мин
р + е +1/,
(3.118)
где р - протон, е~ - электрон и и - антинейтрино.
Из опытов по рассеянию электронов на ядрах и протонах извест-
но, что электрон не обладает ядерным взаимодействием, поэтому бы-
ло непонятно, каким образом электрон удерживается протоном на
расстоянии ~ 10“13 см, образуя нейтрон. Кроме того, при распа-
де системы, состоящей из заряженных частиц, должны излучаться
7-кванты, а не гипотетический антинейтрино.
182
Рис. 3.4. Потенциальная энергия поляризованных протонов
а - потенциальная энергия взаимодействия электрона с протоном
при |ге|/г, = 3,0 ; 6- то же, с позитроном
Новый подход к изучению слабых взаимодействий возможен на
основе точных решений уравнений вакуума, содержащих спиновый
параметр г,. В самом деле, если в потенциальной энергии (4.23) ядер-
ный радиус r/v равен нулю, то потенциальная энергия электрослабых
взаимодействий в теории вакуума запишется как
9
и = —
2
г2 — гег 4- г] cos2 в
г2 + (га cos ву2.
(3.119)
Качественные графики потенциальной энергии (3.119) для взаимо-
действия протона с электроном и позитроном показаны на рис. 3.4.
Потенциальную энергию, связанную с вращательным радиусом г3,
будем называть торсионной.
183
Из графика видно, что на расстоянии порядка
1г I 2
г, = - г™ = 1,9 х 10“13 см (3.120)
О о
от центра протона существует торсионная яма, в которой находится
электрон, когда он совместно с протоном образует нейтрон. Глуби-
на этой ямы очень сильно зависит от ориентации трехмерного спи-
на протона (яма исчезает при cos# = 0), и поэтому из-за вакуумных
флуктуаций связь электрона с протоном оказывается неустойчивой.
Видимо, этим обстоятельством объясняется неустойчивость свобод-
ного нейтрона, а также непрерывный спектр энергий электрона при
его распаде.
Предлагаемая модель нейтрона рассматривает нейтрино как из-
лучение безмассового торсионного поля большой энергии, которое
возникает при выходе электрона из то-рснонной ямы. Особо важно
отметить, что торсионная потенциальная энергия (3.119) обращается
в нуль, когда ге — 0. Это означает, что свободное торсионное излуче-
ние проходит через материальные среды без взаимодействия. Таким
образом, нейтрино представляет собой разновидность материально-
го торсионного поля, переносящего энергию, но не взаимодейству-
ющего (или слабо взаимодействующего) с обычной материей. Вы-
сокую проникающую способность нейтрино можно теперь объяснить
равенством нулю потенциальной энергии чисто торсионного излуче-
ния.
3.7.4. Суперпотенциал
Для совместного описания электроядерных и слабых взаимодей-
ствий необходимо воспользоваться потенциальной энергией (3.119).
Суперобъединение взаимодействий (объединение гравитации, элек-
тромагнетизма, сильных и слабых взаимодействий) мы получим, за-
менив в соотношении (3.119) те на сумму tq = ге + гд. Это приводит
к суперпотенциалу, включающему в себя константы всех четырех из-
вестных современной науке взаимодействий. Дальнейшее усложне-
ние суперпотенциала возможно путем «конструирования» решения
уравнений (Л) и (В), включающего в себя константу кварковых вза-
имодействий (3.113).
3.8. Торсионные взаимодействия
Для описания различных взаимодействий современная теория поля
(в основном) использует уравнения, представляющие собой обобще-
184
ние уравнений Ньютона
та = F, (3.121)
где под F подразумевается некоторая полевая сила, приложенная
к пробному заряду д массы т. Это утверждение в полной мере
относится и к квантовому описанию взаимодействий, поскольку в
квазиклассическом приближении (благодаря теореме Эренфеста [50])
уравнение Шредингера для взаимодействующей частицы может быть
сведено к уравнениям Ньютона (3.121).
Геометризация физических взаимодействий, например в теории
гравитации Эйнштейна, привела к замене уравнений (3.121) уравне-
ниями геодезических (3.26). Общим для уравнений Ньютона (3.121)
и уравнений эйнштейновской теории гравитации (3.26) является то,
что входящие в них ускорения (неважно, трех- или четырехмер-
ные) являются полярными векторами. Такие вектора образуются
как вторые производные от голономных (трансляционных) координат
аг, у, г, и ct.
Определение 1. Взаимодействие называется поляр-
ным, если оно вызывает ускорение, описываемое поляр-
ным вектором.
Отсюда, а также из сказанного выше следует, что современная
теория поля изучает полярные взаимодействия.
В физике, однако, кроме полярных, существуют взаимодействия,
в которых ускорение является аксиальным вектором. В классической
механике такие взаимодействия описываются вращательными урав-
нениями движения твердого тела
Jc = M, (3.122)
где е = du/dt - угловое ускорение, J - момент инерции, М - внеш-
ний момент. Как известно [35], угловая скорость и угловое уско-
рение являются аксиальными векторами и (в общем случае) их за-
коны преобразования отличны от законов преобразования полярных
векторов. Аксиальные вектора заданы на множестве неголономных
(вращательных) координат, которых в четырехмерном пространстве
трансляционных координат х, у, z, ct оказывается шесть: три угла Эй-
лера y>i, ^2,^3 и три псевдоевклидовых угла 01,02,03
Если для уравнений (3.121) в теории поля существует достаточно
много обобщений, то фундаментального обобщения уравнений (3122)
в теории поля не существует вообще3.
3Уравнения движения классического спина, предложенные М. Матиссоном и
А. Папапетру [113, 114], введены феноменологически.
185
Можно задаться вопросом, а существуют ли какие-либо экспери-
ментальные факты, указывающие на новый неполярный тип взаимо-
действия в полевых экспериментах. Положительный ответ на этот
вопрос дают многочисленные наблюдения, связанные с торсионны-
ми полями [115, 116] и долгое время определяемые как «аномальные
явления». В настоящее время становится все яснее, что в природе
существуют явления, которые через полевые взаимодействия вызы-
вают ускорения аксиального типа.
Во всеобщей теории относительности дифференциалы угловых ко-
ординат
dXab - Tabkdxk = -dxba, (3.123)
a,b,c... = 0,1,2,3, i,j,k ... = 0,1,2,3
и их производные (угловые скорости и ускорения) определяются тор-
сионными полями: полями кручения геометрии абсолютного парал-
лелизма [26, 97]
= e’oeftj] = |е’а(е\; - е“ Л) (3.124)
через торсионные поля
rjk = —Пд’ + gim(gjtiimi + дк,ат’). (3.125)
Дадим следующее определение торсионных взаимодействий.
Определение 2. Взаимодействие называется торсион-
ным, если оно приводит к ускорению аксиального типа.
Если полярные взаимодействия характеризует трансляционная
метрика Римана пространства абсолютного параллелизма
ds2 = r]abea,ebkdx'dxk, (3.126)
то торсионные взаимодействия связаны с вращательной метрикой
Киллинга Картана
dT2 = TabkTba,dxkdx'. (3.127)
Торсионная метрика (3.127) (так же, как поле инерции Tabk) при-
суща любому материальному образованию. Например, вакуумное
возбуждение с римановой метрикой (3126), совпадающей с метрикой
Шварцшильда, имеет торсионную метрику (3.127) вида
dr2_ (^.2 2(Ф°-г) 2(Ф°-г)ыП20
2г г
18F
где
Ф° = (3.129)
с2
В теории физического вакуума полярные взаимодействия проб-
ных точечных частиц описываются уравнениями геодезических (3.22)
пространства абсолютного параллелизма.
Торсионные взаимодействия описываются шестью уравнениями
[26]
d^e* drk
—Ji+ £• <, = О, (3.130)
asz 3 as
переходящими в уравнения (2.83) после представления в виде
суммы
&'jk = + Т'jk-
Из определения [26]
Т']к = e^k^j = ~еа},Vke'a
следует
T']kdxk = e'aDeaj = -еа^е\ (3.131)
Разделим это соотношение на ds = {gikdx'dx^l"1. В результате
получим следующее выражение:
= Т\к^- = e’a= -eaj (3.132)
3 ]к ds ° ds 3 ds ’
Если в формуле (3.123) перейти к индексам базы i,j,k ... и разде-
лить обе части равенства на ds, то получим
Qij =T'3k^b = ~^3i <3133>
Сравнивая формулы (3.132) и (3.133), находим
(3134)
ds 3 ds
Шесть независимых компонент антисимметричного тензора (3.134)
образуют тензор угловой скорости вращения (2 160) (классический
спин) четырехмерной ориентируемой точки [25] Из структуры ма-
трицы (2.160) видно, что четырехмерный классический спин связан с
полями инерции (торсионными полями).
187
3.8.1. Торсионные взаимодействия в классической
механике
Полярные взаимодействия в классической механике описывают-
ся уравнениями Ньютона (3.121). Примером такого взаимодействия
является упругое столкновение двух тел массы тщ и т? со скоростя-
ми Vi и V2 Упругие силы, действующие в момент столкновения,
удовлетворяют третьему закону Ньютона
Fj — — F2.
(3.135)
При упругом столкновении этот закон может быть представлен в
виде ^(TTllVj) = -^(77l2V2), at- at
или -^(ttiiVi + 7712V2) = 0, at
т.е.
miVi + tti2V2 = niiVj + m2V^ = const, (3.136)
где V'j и V2 - скорости тел после столкновения.
Соотношение (3 136) представляет собой закон сохранения им-
пульса системы тел при их упругом столкновении Покажем, что тор-
сионные взаимодействия в классической механике приводят к обоб-
щению закона (3.136). В классической механике эти взаимодействия
описываются уравнениями Эйлера (3.122). При упругом столкнове-
нии (без проскальзывания) вращающихся тел можно записать аналог
третьего закона Ньютона, утверждающий равенство момента дей-
ствия Mi и противодействия М2
М] = —М2
(3.137)
Момент импульса, как известно, является аксиальным вектором.
В общем случае сложение аксиальных векторов отлично от сложе-
ния векторов полярных, поскольку для аксиальных векторов правило
параллелограмма в общем случае уже не действует
Рассмотрим упругое столкновение (без проскальзывания) двух
шарообразных вращающихся тел с радиусами ri и тг, массами ттц
и m2, моментами инерции Ji и J?. Пусть вектора угловых скоро-
стей вращения тел u>i и и>2 параллельны (для простоты) между собой.
Предположим также, что линейные скорости центров масс V] и V2
лежат в плоскости, перпендикулярной векторам угловых скоростей и
проходящей через их центры масс (рис. 3 5)
188
У
Рис. 3.5. Косой упругий удар без проскальзывания двух шарооб-
разных тел
Векторы угловых скоростей вращения тел перпендикулярны плос-
кости чертежа
Пусть линейные скорости тел Vi и V2 направлены не по линии
0102, соединяющей центры масс тел (косой удар). В описанной физи-
ческой ситуации происходит движение как в трансляционных коор-
динатах x,y,z, так и в угловых #i, #2, #з-
В момент удара в такой системе происходит обмен не только ли-
нейными, но и угловыми импульсами. Действительно, рассматривае-
мая система имеет две оси вращения, проходящие через центры масс
вращающихся тел, перпендикулярные плоскости чертежа. Угловой
импульс Li первого тела складывается из углового импульса Jiu>i
относительно собственной оси вращения и «орбитального» импуль-
са mifViR.]] относительно оси вращения второго тела
L] = Ды, + mifViRj (3 138)
189
Здесь радиус-вектор R] проведен из точки СЬ в точку 01 и его модуль
равен
|Ri| = П+г2. (3.139)
Подобным же образом определяется угловой импульс второго тела
L2 = ^2ы2 4-m2[V2R2], (3 140)
где вектор R2 = —Ri направлен из точки 01 в точку 02.
Считая, что в момент удара справедлив закон (3.137), имеем
-jr(Li) = - —(L2),
at at
или
^(Lx + L2) = 0. (3.141)
at
Отсюда следует закон сохранения следующего вида
JiWi -|- mjJViRi] 4- J2w2 4- ’7l2[V2R2] = (3142)
= Jiw'j 4- mjV'iRi] 4- J2w2 4- m2[V'2R2] = const,
где V'j, V'2 - угловые и линейные скорости тел после столкно-
вения.
Разложим теперь вектор скорости Vj по оси х и вспомогательш
оси J/1 (см.рис. 3.5), а вектор скорости V2 по оси х и вспомогательной
оси У2 Тогда закон сохранения (3142) распадается на два закона:
сохранения линейного импульса для z-компонент линейной скорости
mjV' 4- ni2V2 = гщ 17.1 4- *п2Ух2 = const (3143)
и сохранения вращательного импульса
Ji«i 4- mifViRj] 4- J2w2 4- m2[V^R2] = (3.144)
= Jiw'j 4- mjVjRi] 4- J2w2 4- m2[Vy2R2] = const.
Орбитальные угловые скорости [V'Ri] и [V2R2] так же, как и соб-
ственные угловые скорости u>j и ы2, перпендикулярны плоскости рис.
3-5. В этом случае все угловые скорости можно спроектировать на
одну общую ось, перпендикулярную плоскости рисунка, и сложить,
как обычные полярные вектора.
Если удар является центральным, то
V‘=V2 = 0 (3.145)
190
и из соотношения (3.144) следует
JjWi 4- J2W2 = JiWj + J2W2 = const. (3.146)
Если же равенства (3.145) не выполняются, то в законе сохранения
вращательного импульса (3.144) в результате упругого столкновения
без проскальзывания может произойти торсионное взаимодействие,
приводящее к перераспределению собственных угловых и орбитальных
импульсов.
Из строения орбитальных импульсов тел видно, что их измене-
ние приводит к изменению векторов V* и V^, что, в свою очередь,
изменит вектора линейных скоростей Vi и V2 тел.
Таким образом, закон сохранения вращательного импульса (3.144)
устанавливает связь между поступательными и вращательными фор-
мами движения и позволяет трансформировать поступательный им-
пульс во вращательный, и наоборот. Это означает, что закон сохра-
нения импульса ньютоновской механики (3136) ограничен и может
быть обобщен в случае торсионных взаимодействий сталкивающих
тел.
Практический вывод из торсионного закона сохранения (3.144) со-
стоит в том, что за счет обмена между поступательным и вращатель-
ным импульсами можно изменить импульс центра масс изолирован-
ной механической системы.
Ранее было отмечено, что теорема ньютоновской механики о не-
возможности изменить импульс центра масс изолированной механи-
ческой системы нарушается для сил инерции, которые не удовлетво-
ряют условиям теоремы, поскольку для сил инерции не выполняется
третий закон Ньютона и силы инерции оказываются одновременно
внутренними и внешними по отношению к изолированной системе.
Силы инерции, возникающие при вращении, порождают поля инер-
ции (торсионные поля), связанные с кручением геометрии абсолют-
ного параллелизма. Поэтому закон сохранения (3144), в конечном
счете, сводится (в момент удара) к взаимодействию сил инерции раз-
личного характера, связанных с поступательными и вращательными
ускорениями.
В наиболее общей форме связь между поступательными и враща-
тельными движениями отображена формулой (3.123), в которой поля
инерции T"jk связывают между собой бесконечно малые изменения
вращательных dxij и поступательных dii координат.
191
3.9. Электроторсионное излучение
В последнее время в нашей стране широкое применение в физике,
технике и в различных технологиях получили качественно новые фи-
зические приборы - генераторы торсионного излучения [29]. Основу
такого генератора составляет поляризованная по спину (как правило,
электрона) среда, управляемая электромагнитными полями. Поэто-
му в физике возникла проблема создания теории торсионного излу-
чения в электродинамике как часть физики торсионных взаимодей-
ствий.
Используя соотношения (3.132), представим уравнения (3.130), опи-
сывающие торсионные взаимодействия, в следующем виде
^ + Т'^^ = °- <3147)
Эти уравнения представляют собой обобщение уравнений Френе
(2.71)-(2.73) в четырехмерном случае.
Если выбрать единичный вектор ej касательным к кривой в про-
извольной точке М
dx
то из уравнений Френе (2.71)-(2.73) и условий ортогональности век-
торов триады следует
d2x
= "(')<*. (3148)
S = ^е2 " к2(/)е1 + KWxWe3 (3149)
Умножая уравнения (3.148) на массу т и выбирая в качестве па-
раметра время t, можно представить это уравнение в виде уравнений
Ньютона
= m(^ei + = F/’ (3 150)
где
K^dl/dt)2 = kv2 и d2l/dt2 = а (3.151)
- нормальное и тангенциальное ускорения соответсвтвенно.
Например, при движении массы т в гравитационном поле Земли
сила (3.151) запишется как
F; = m(aei + «и2в2) = mG, (3.152)
192
G = (3X53)
- напряженность гравитационного поля Земли, Л/з - масса Земли, 7
- гравитационная постоянная и г2 — |х|2
В простейшем случае равномерного движения (а = 0) по круговой
орбите = е2 и кривизна гравитационного взаимодействия траек-
тории запишется как
= v4, = |G| = (3.154)
Если бы траектория описывала движение электрона по круговой
орбите вокруг ядра с зарядом Ze, то ее кривизна электромагнитного
взаимодействия имела бы вид
7-2
= ^2Ке = |Е| = —. (3.155)
тпт*
Из этих двух простых примеров видно, что кривизна траекторий
пробной частицы в классической теории поля порождается источни-
ком внешнего поля любой физической природы.
Из уравнений (3.149) видно, что кручение связано с третьей про-
изводной координаты по времени. В электродинамике третья про-
изводная входит в уравнения движения (1.40), включающие силу ра-
диационного трения Выбирая в качестве параметра в уравнениях
(3.149) время t и подставляя полученное выражение для х в силу ра-
диационного трения, имеем
Frad = “ *2ei +кХез)^3 + 3(-«ei +хез)^а 4- ^ei}. (3.156)
ос vdt dt
Из этих уравнений видно, что сила радиационного трения имеет
сложную структуру, при этом она содержит члены, порождаемые
не только полярными, но и торсионными взаимодействиями. Дей-
ствительно, третий и пятый члены в правой части уравнений (3.156)
содержит кручение х> поэтому ускоренная частица, обладающая спи-
ном, излучает одновременно как электромагнитные, так и торсион-
ные поля Этот теоретический вывод блестяще подтверждается мно-
гочисленными экспериментальными фактами (см. гл. 4, 5).
Надо отметить, что до сих пор не были проведены специальные
эксперименты для исследования структуры силы радиационного тре-
ния. Известны только удивительные устройства Н.Тесла, позволяю-
щие передавать электромагнитную энергию не объяснимым тради-
ционной электродинамикой способом.
7 Г.И.Шипов
193
3.9.1. Теоретическая оценка электроторсионного
излучения
Основываясь на соотношении (3.156), можно произвести прибли-
женную оценку величины силы электроторсионного взаимодействия
и сравнить ее с силами электромагнитного и гравитационного взаи-
модействия [28]. Для этого будем рассматривать электрон как шар,
имеющий радиус, равный комптоновскому радиусу электрона
А= — = 3,6 х 10-11см. (3.157)
тс
Все вычисления проведем в системе СГСЕ. Представим спин элек-
трона в виде
s= = Jxint = (3.158)
где момент инерции J электрона вычисляется как момент инерции
шара радиуса (3.157)
2 ,
J — -mA2,
5
a x'nt = VX ~ «кручение взаимодействия». Из соотношения (3.158)
находим эту величину для электрона
Xint « 1021рад/с. (3.159)
Предположим теперь, что электрон излучает при переходе с од-
ного стационарного уровня на другой в атоме водорода. Пусть при
этом он находится приблизительно на расстоянии первой боровской
орбиты (Е » 108 В/см). Тогда легко подсчитать силу электромагнит-
ного Fe и гравитационного Fs взаимодействия электрона с ядром:
е2
|Fe| = еЕ — тк'ем = гт2ке — ~ 4,8 х 10 2 дин,
го
IF,I = mG = тк|П| = mv2nq = ~Q,6 х 10-42 дин.
г0
Из равенства (3.156) для силы электроторсионного взаимодей-
ствия находим
lF«xl= з^,П‘х,п‘- (3.160)
С помощью формулы (3.154) получим it'nt « 1025 см/с2.
Подставляя эту величину в (3.160) и учитывая (3.159), находим
значение силы электроторсионного взаимодействия
FKX й 2,9 х IO'4 дин.
7'
194
Таким образом, сила электроторсионного излучения электрона в
ядре оказывается слабее силы электростатического и сильнее силы
гравитационного взаимодействия, что также наблюдается в экспери-
менте [29].
3.10. Силы инерции и торсионные поля
В механике Ньютона силы инерции проявляются при ускорен-
ном движении относительно гипотетического «абсолютного прост-
ранства», которое недоступно нашим чувствам. Что оно собой пред-
ставляет, никто из современников И. Ньютона (да и позже) не мог
однозначно определить [117]. С другой стороны, Л. Эйлер отмечал,
что «всякий, кто склонен отрицать существование абсолютного про-
странства, придет в величайшее смущение» [118]. Действительно, с
понятием абсолютного пространства связано понятие инерциальной
системы отсчета [18], поэтому отказ от абсолютного пространства в
механике Ньютона влечет за собой пересмотр многих ее основопола-
гающих понятий.
Пытаясь обойти указанную трудность, Э. Мах связывает абсо-
лютную систему отсчета с «центром масс Вселенной» [117]. Соглас-
но этому принципу, названному именем ученого, силы инерции обна-
руживаются при ускоренном движении тел относительно некоторой
гипотетической точки (или области) - центра масс Вселенной. Одна-
ко подобное суждение имеет свои слабые стороны. Во-первых, оно не
привело к каким-либо новым уравнениям для описания полей и сил
инерции; во-вторых, источник сил инерции связывается с бесконеч-
но удаленной точкой (или областью) - центром масс Вселенной, а
силы инерции проявляются мгновенно, как только началось ускорен-
ное движение; в-третьих, принцип Маха предполагает анизотропию в
проявлении сил инерции относительно пространственного положения
центра масс Вселенной, а на опыте эта анизотропия не наблюдается.
3.10.1. Новое представление о силах инерции
Всего этого нет в теории физического вакуума, которая дает сле-
дующие представления о силах инерции:
1) они порождаются полем инерции T'jk и входят как в поступа-
тельные
пи'
—+ r,-tu*uJ =0, (3.161)
ns J
195
Рис. 3-6. Одинаковое действие сил инерции внутри и вне изолиро-
ванной механической системы при ее ускоренном движении
а - ящик покоится или движется прямолинейно; 6- движется с по-
стоянным ускорением W
так и во вращательные
ГЭе* dxk
-^.+T'jk—e\ = 0 (3.162)
as J as
уравнения движения;
2) поля инерции T'jk определяются кручением геометрии абсо-
лютного параллелизма
tyfc = -Д*[М] = -|са(е“м -
которое характеризует упругие свойства пространства и имеет ло-
кальную природу;
3) вследствие своей вакуумной природы силы инерции не могут
считаться ни внутренними, ни внешними по отношению к любой изо-
лированной системе.
Последнее из свойств сил инерции проверяется эксперименталь-
но Схематически это изображено на рис. 3.6. Суть эксперимента
заключается в том, что на внутренней и внешней стенках ящика укре-
плены два вертикальных отвеса. Когда ящик находится в состоянии
покоя или движется прямолинейно и равномерно, отвесы направлены
196
вертикально вниз (рис. 3.6, а). Если же ящик движется с постоян
ним ускорением IV вдоль оси х (рис. 3.6, 6), отвесы, закрепленные
на внешней и внутренней стенках ящика, отклонятся на одинаковый
угол а под действием силы инерции Fj = — mlV.
Следовательно, сила инерции Ft = -mW действует одинаково
на все части стенки. Она является одновременно как внутренней,
так и внешней силой по отношению к рассмотренной изолированной
механической системе.
Под изолированной механической системой мы здесь понимаем
ограниченный объем пространства, границы которого образуют его
стенки (см ящик на рис. 3.6). При этом внутренними являются те си-
лы, которые действуют на внутреннюю часть стенки ограниченного
объема, а внешними - на внешнюю. Поэтому в теории физического
вакуума изолированных систем в обычном понимании не существу-
ет из-за всепроникающих свойств физического вакуума, связанных с
необычной природой полей и сил инерции.
3.11. Четырехмерный гироскоп
Новые представления о полях и силах инерции позволяют выйти
за рамки некоторых теорем, сформулированных ранее в классической
механике.
Возьмем, например, теорему о сохранении импульса центра масс
изолированной механической системы. Согласно этой теореме, вну-
тренние силы изолированной системы не могут изменить импульса
ее центра масс, причем при доказательстве теоремы использованы
следующие условия [35]:
1) внутренние силы удовлетворяют третьему закону Ньютона;
2) внутренними силами являются все те силы, которые действуют
во внутреннем объеме, ограниченном стенками изолированной систе-
мы.
Большинство сил классической механики удовлетворяют первому
условию и могут быть разделены на внешние и внутренние соглас-
но второму. Однако в механике существуют силы, которые не удо-
влетворяют третьему закону Ньютона. Таковыми, как известно [35],
являются силы инерции, поскольку в рамках классической механики
нельзя сказать, со стороны каких тел приложены эти силы.
Более того, силы инерции не попадают под второе условие, по-
скольку, как было показано выше, они являются одновременно как
внутренними, так и внешними для изолированной (в определенном
выше смысле) механической системы.
197
У
Рис. 3.7. Малые массы т вращаются синхронно вокруг оси Oi, за-
крепленной на М
При отсутствии внешних полей уравнения (3.161) принимают вид
(3.163)
и показывают, что центр масс изолированной системы может дви-
гаться под действием локальных полей инерции, созданных вращаю-
щимися элементами внутри изолированной (в механическом смысле)
системы. Этот вывод не противоречит теореме сохранения импульса
центра масс изолированной системы механики Ньютона, поскольку
силы инерции не удовлетворяют условиям, при которых доказана те-
орема.
В качестве примера такой механической системы предлагается
устройство, которое можно назвать четырехмерным гироскопом [119].
Оно состоит из центральной массы М и двух масс т, вращающих-
ся синхронно навстречу друг другу вокруг оси, перпендикулярной
плоскости (рис. 3.7) и закрепленной на центральной массе М.
Предположим, что стержни длиной г, соединяющие массы т с цен-
тром вращения О\, невесомы и нерастяжимы и силы трения внутри
системы пренебрежимо малы. Если в некоторый момент времени со-
общить этой системе энергию, то она придет в движение, при этом
198
ее лагранжиан4 запишется в виде
L — —Mi2 + ш(г2<^2 — 2ri^sin ф + ®2)> (3164)
где х - скорость массы М, ф - угол поворота стержней; ф = и -
угловая скорость вращения стержней.
Лагранжиан (3.164) данной системы задан на множестве трансля-
ционных координат х и угловых координат ф со структурой (как мы
предполагаем) геометрии абсолютного параллелизма. В силу сим-
метрии рассматриваемой задачи уравнения (3.163) в нашем случае
запишутся в виде одного уравнения
(М + 2т)хс = (М + 2т)х — 2mrw sin ф — 2mru>2 cos ф = 0, (3.165)
где
(М + 2т)х
- поступательная сила инерции,
—2mrw2 совф
- проекция центробежной силы инерции на ось х,
—2mrw sin ф
- проекция силы инерции, связанной с неравномерностью вращения
масс т на ось х,
(М + 2т)хс
- сила, действующая на центр масс.
Уравнение (3165) записано в системе отсчета, связанной с цен-
тром масс системы Поскольку в этой системе действуют силы инер-
ции, то она по определению является ускоренной.
Аналог уравнений Эйлера - уравнения (3.162) - для данной систе-
мы запишутся в виде одного уравнения вращательного движения
sin ф cos ф ..
w------------s—и — О,
1/к2 — sin2 ф
(3.166)
где ф - угол поворота стержней,
Из решения уравнений (3.165)
центра масс системы постоянна
w = ф и к2 = 2т/(М + 2т).
и (3.166) следует [119], что скорость
Vc = Vo — гк2и>о81пфо = const,
(3.167)
4 Лагранжев формализм имеет универсальную природу и может быть исполь-
зован для вывода уравнений с разным физическими содержанием.
199
где константы Vo,u>o и фо определяются из начальных условий По-
стоянство скорости Vc объясняется тем, что силы инерции, действу-
ющие на центр масс в уравнении (3.165), компенсируют друг друга.
Поэтому здесь мы имеем еще один пример ускоренной локально систе-
мы инерциальной системы отсчета второго рода, которая покоится
или движется прямолинейно и равномерно. Как было показано выше,
пространство событий таких систем наделено геометрией абсолют-
ного параллелизма (см. гл. 2)
Полный внутренний импульс механической системы, описываемой
уравнениями (3.165) и (3166), совпадает с импульсом центра масс
этой системы. В самом деле, импульс центра масс системы запишет-
ся как
Рс = (М 4- 2m)Kc = const. (3.168)
Используя определение для полного внутреннего импульса систе-
МЫ dL
(3.169)
находим после подстановки (3.164) в (3.169)
С — Р 4-1 = (М 4- 2m) И — 2mrw sin ф — const, (3.170)
где
P = (M + 2m)V (3.171)
- внутренний поступательный импульс системы,
I — —2тпгш$1пф (3.172)
- внутренний вращательный импульс
Подставляя в формулу (3.170) соотношение
V = Ис 4-Bu> sin </>(<), (3.173)
где
В — 2тг/(М 4- 2m) = k2r,
находим
С — (М 4- 2т)Ис 4- 2mrw sin^ — 2mrw sin ф = (3.174)
= (A/4-2m)K= Ре.
Отсюда видно, что импульс центра масс системы может быть
изменен путем изменения внутреннего вращательного импульса си-
стемы (3.172) или внутреннего поступательного импульса системы
200
Энергия
Рис. 3.8. Графики внутренних энергий четырехмерного гироскопа
W - полная; Е - поступательного движения; J - вращательная; Н
взаимодействия между Е и J; Ес - центра масс
(3.171). Кроме того, система, описываемая формулами (3165) и
(3.166), имеет четыре типа внутренней энергии [119]
1) поступательного движения
е=!Е±^.., (31ге)
2) вращательного движения
J = mr2u2; (3.176)
3) взаимодействия между поступательным и вращательным дви-
жениями
Н = — 2mrVu> sin ф; (3.177)
201
4) полная внутренняя энергия
W = E+ J + H = const, (3.178)
а также энергию центра масс системы (или внешнюю энергию)
(М + 2т) И2 Р2
Е-~ - 2 (31га>
Г рафики энергий приведены на рис. 3.8. Поскольку силы инер-
ции не подчиняются теореме сохранения импульса центра масс изо-
лированной системы, то равновесие сил инерции в уравнении (3.165)
может быть нарушено искусственным путем за счет увеличения (или
уменьшения) угловой скорости вращения грузов т внутри самой си-
стемы. В результате изменения ш происходит изменение внутреннего
вращательного импульса системы (3 172) и соответственно импульса
центра масс (3.174), при этом в уравнении (3.165) появляется допол-
нительная сила инерции, под действием которой центр масс системы
изменяет свою скорость [119].
3.12. Четырехмерный гироскоп
с само действием
Из уравнения движения центра масс четырехмерного гироскопа
(3.165) видно, что можно изменить скорость центра масс двумя спо-
собами:
а) воздействуя на него внешней силой Fe (задача взаимодействия)
согласно уравнению
(М + 2т)хс = (М + 2т)х —
—2mrw sin ф — 2тги2 cos ф — Fe;
(3.180)
б) воздействуя внутренним моментом Mo — FqTq на ось вращения
грузов радиуса г0 (задача самодействия) согласно уравнению
„, 9 sin ф cos ф , „ ,
Ju - Jk2---- .-7-ш2 — — ^ого, (3.181)
1 - к2 sin2 ф
где Fq - некоторая внутренняя сила
Рассмотрим каждую из этих возможностей более подробно.
202
3.12.1 . Задача взаимодействия
Представим внешнюю силу Fe в уравнении (3.180) в виде
Fe = (Л/ + 2т)а,
где а - некоторое ускорение. В этом случае поступательное уско-
рение W четырехмерного гироскопа изменится и, как это следует из
уравнения (3.180), запишется как
W = х = Ви sin ф + Ви2 cos ф + а; (3.182)
Это уравнение можно интерпретировать таким образом. Внеш-
нее воздействие увеличило поступательное ускорение х на величину
а, что привело к нарушению баланса сил инерции в поступательном
уравнении движения (3.165). В результате центр масс гироскопа по-
лучил ускорение а; при этом система отсчета, связанная с центром
масс, перестала быть локально лоренцовой.
Подставляя ускорение (3.182) во вращательное уравнение (3.166),
находим
sin ф cos ф 2
U " 1/fc2 - sin2 фШ
_ D ^пф
1 /к2 — sin2 ф ’
(3.183)
где а = Drk2. В пределе М —» оо параметр к —» 0, поэтому в поступа-
тельном и вращательном уравнениях движения одновременно а —► 0
и D —> 0. Сравнивая уравнение (3.183) с невозмущенным уравнением
вращательного движения, мы видим, что внешнее воздействие приво-
дит к изменению угловой скорости вращения грузов.
3.12.2 . Задача само действия
Из формулы (3.174) для импульса центра масс четырехмерного
гироскопа видно, что изменить его можно путем изменения угловой
скорости вращения грузов. Для этого достаточно воздействовать
на ось вращения грузов внутренним моментом Mq. Вращательное
уравнение в этом случае принимает вид уравнения (3.183). Выберем
внутренний момент таким образом, чтобы он был равен
Мо = Foro = JD (3-184)
1/к2 — sin ф
При таком выборе возмущенное вращательное уравнение совпа-
дает с уравнением (3.183), которое, как легко показать, приводит к
203
изменению вращательных сил инерции в поступательном уравнении
(3.165). Это, в свою очередь, нарушает равновесие сил инерции, дей-
ствующих на центр масс, в результате чего он изменяет импульс
(обратная задача). В самом деле, уравнение (3.183) можно перепи-
сать в виде
Jw — 2mrx' sin ф = О,
где х' определяется как
х' = х + а. (3.185)
При этом дополнительное ускорение а указывает на то, что в дан-
ном случае в уравнениях движения (3.165) проекции вращательных
сил инерции превосходят (по абсолютной величине) поступатель-
ную силу инерции. Подставляя соотношение (3184) в поступательное
уравнение (3.165) и учитывая равенство (3.183), получим после пре-
образований
(М + 2т)хс = (М + 2т){°Г° ~ . (3.186)
2mr sin</>
Это уравнение показывает, что для четырехмерного гироскопа
возможно самодействие, которое проявляется как ускоренное движе-
ние его центра масс под действием внутренней силы Fq.
Общее аналитическое решение уравнений движения четырехмер-
ного гироскопа в режиме самодействия пока не найдено, однако в
случае, когда ускорение самодействия постоянно, решение уравне-
ния (3.183) имеет вид (решение Панова [120])
U = Шо 1 +
2Dk2 (cos фо — cos^(t))' ^2
Ы2 (1 — A:2 sin2 ф(1)) .
(3.187)
}(ф(1),к,а) = [ш%(к 2 - sin2 фо) + (3.188)
+2£)cos^o]1^2< + J(4>o, к, а),
где
гФ
}(ф,к,а)= I (к~2 — sin2 ф)(1 + a cos ф)~*<1ф, (3.189)
Jo
(w0)2(fc-2 — sin2 фо) + 2D cos фо ’
а константы фо и uio определяются из начальных условий.
Решение поступательных уравнений (3.186) при а = const запишет-
ся как
х = А + vot — В cos^>(f) + 4°Г°12, (3.191)
204
хс = А + vot + ^^-t2, Amr (3.192)
v = Vo + Вш sin + 0 °t, 2mr (3.193)
r> • , , f'oro. Vc — Buo Sin фо + 1, zmr (3.194)
A — x0 + В cos фо (3.195)
Легко видеть, что при Fo = 0 это решение переходит в решение
без самодействия.
3.13. Принцип эквивалентности
Ранее было показано, что в общем случае чисто полевой тензор
энергии-импульса материи Т]т в уравнениях физического вакуума
определяется через поля инерции Т'ц. как
9 1
_ {(V(<rb|m] + Т’,[,.Г|Лт]) - -<zjmffpn(v[lr|p)n] + ra[tT’lp|n])}
(3.196)
Плотность поля инерции pi, вытекающая из тензора (3.196) в виде
соотношения pi = Т/с2 = (gjmTjm)c-2, позволяет вычислить инерци-
онную массу Mj системы островного типа через интеграл
И/ = J(-S),/2 R" (v|(^M + Л|.Чн)} ‘‘К (з 197)
Это соотношение показывает, что инерционная масса вакуумного
возбуждения является мерой поля инерции, образующего плотность
материи.
Подстановка величин из решения с метрикой Шварцшильда
(3.28) в тензор энергии-импульса (3.196) показывает, что для это-
го решения он равен нулю (случай эйнштейновского вакуума, когда
Rjm = Я = 0).
Чтобы вычислить инерционную массу для сферически-симмет-
ричного вакуумного возбуждения островного типа, используем ре-
шение (3.8). Риманова метрика этого решения совпадает с метрикой
Вайдя [121], если Ф(1) = М(t)G/c2. Метрика Вайдя отличается от ме-
трики Шварцшильда (3.28) тем, что в ней масса М является функцией
времени t. В этом случае тензор (3.196) оказывается отличным от ну-
ля и в предельном случае M(t) —^М — const образует плотность pi
вида pi = М6(г) (см. гл 2), где 6(г) - трехмерная 6-функция Дирака.
Подставляя pi в соотношение (3.197), получим
205
Mi = M — const. (3.198)
Найдем теперь гравитационную массу Mg, используя уравнения
поля (В.1). Поскольку в пределе фф) —> М = const множитель I/ в
уравнениях (В.1) оказывается равным (8ttG)/c4 = vg, то
no _ ^G
К о -
(т°0 - ^°ог)
4?rG
(3.199)
Определим теперь гравитационную массу Mg через гравитацион-
ное поле r’jt, используя соотношение
MG= k-gy/2pGdV,
(3.200)
где плотность гравитационного поля pg находят из уравнения (3.199)
в виде
с2 о
Рс = -4^GR °’ (3 201)
причем для нашего решения
поэтому
с2 Г
Mg = ~^gJ ^9)1/290nra0r,dSo. (3.202)
Рассмотрим этот интеграл в виде асимптотического предела, за-
менив его интегралом по сфере бесконечно большого радиуса
г2
Mg = lim 9°O9oo,a(-9)1/2dS'
4ttG r-*oo
q2 1 ( 2^900^
= ' 2(5Л"Ц’ ;>Л
c2 / d '
= llm (r2— (1 -rg/r)
r—*oo \ or .
(3.203)
c2
= ^r9 = M.
Сравнивая (3198) и (3.203) получим равенство гравитационной и
инерционной масс
MG = Mj. (3.204)
Таким образом, в теории физического вакуума принцип эквива-
лентности гравитационной и инерционной масс является следствием
ее уравнений, а не постулатом, как это имеет место в теории грави-
тации Эйнштейна.
206
3.14. Стационарные состояния
Стационарные состояния квантовых систем были обнаружены при
изучении атомных спектров различных элементов, и первые попытки
создать квантовую теорию атома вынудили Н. Бора ввести принцип
квантовой стационарности электронных орбит в атоме Согласно
этому принципу, электрон, двигаясь ускоренно в кулоновском поле
ядра, не излучает электромагнитных волн. При дальнейшем разви-
тии квантовой теории «под давлением экспериментальных фактов»
были установлены другие квантовые принципы.
Ниже будет показано, что такие основные принципы вакуумной
квантовой теории, как:
1) существование стационарных квантовых состояний,
2) корпускулярно-волновой дуализм,
3) оптико-механическая аналогия,
4) гильбертово пространство состояний,
5) интерпретация Ф как реального физического поля - поля инер-
ции,
вытекают из всеобщего принципа относительности.
Действительно, из уравнений движения (3.48) в электромагнитном
поле, описываемом метрикой (3.56), следуют соотношения:
dx°
Е — тс2(1 — 2е2/гтс2)—г— = const, (3.205)
as
L = тг2-у- = const, (3.206)
as
где E - полная энергия частицы массы тп и заряда —е, движущейся
в центрально-симметричном поле заряда е с массой М т, a L -
орбитальный момент частицы.
Соотношения (3.205) и (3-206) показывают, что хотя заряд —е и
движется ускоренно относительно инерциальных систем отсчета, со-
гласно уравнениям геодезических пространства абсолютного парал-
лелизма (3.22), его момент и энергия сохраняются, причем в каждой
точке траектории. При таком движении ускоренная система отсчета,
связанная с самим зарядом, является локально лоренцовой с локаль-
ными уравнениями движения с?х'/ds2 = 0. Эти уравнения показыва-
ют, что заряд движется локально прямолинейно и равномерно (или
покоится), подобно космонавту в кабине спутника, и, следователь-
но, не излучает. Такое состояние заряда имеет место вдоль всей
криволинейной траектории, поэтому мы вправе утверждать, что за-
ряд не излучает вдоль всей криволинейной траектории. Теперь при
построении квантовой модели атома нам не надо вводить постулат
207
Н. Бора о существовании безызлучательных траекторий у электро-
на, движущегося в центральном поле ядра. Этот принцип, как было
показано выше, уже заложен в уравнениях вакуумной электродинами-
ки. Поскольку в основе вакуумной электродинамики лежит принцип
всеобщей относительности, то мы можем утверждать, что принцип
стационарных состояний квантовой теории есть следствие всеобще-
го принципа относительности.
Фундаментальную роль в образовании стационарных состояний
квантовой теории играют поля и силы инерции. Это видно из следу-
ющих рассуждений. Движение электрона в атоме (например, водо-
рода) происходит с нерелятивистскими скоростями. Учитывая это,
запишем для простоты решение (2.209) с постоянной функцией источ-
ника Ф° = e2/mc2 = const в квазидекартовых координатах. В них
тетрада е“ принимает вид
е(0}0 = (1 - 2е2/гшс2)1/2, (3.207)
e^i = е^2 — — (1 + 2е2/гтс2)1^2,
где в скобках обозначены тетрадные индексы. Риманова метрика
может быть получена с помощью соотношений
9ik = >)«»е‘е‘ьад = т)аЬ = diag(l - 1 - 1 - 1)
и записывается в виде
/ \ / о 2 \
ds2 = ( 1------2 ) c2dt2 - I И--2 ) + ^У2 + ^z2) (3.208)
\ rmc2 у \ rmc2)
Рассматривая нерелятивистское приближение и считая электро-
магнитные поля слабым^ т е. полагая, что
2е2
^2 « 1- 9ik - Шк, (3.209)
ds ~ ds0 = сА(1 - v2/c2)1/2, R'jtm ~R 'jkm = 0,
v2/c2 < 1, ds ~ dso — cdt,
находим из уравнений (3.48) следующие трехмерные уравнения дви-
жения заряда е с массой т в поле заряда е с массой М т
d2xa , е2 „
т —2 = -гпс2Г°00 = , а = 1,2,3. (3.210)
Легко видеть, что полученные уравнения представляют собой
уравнения движения электродинамики Максвелла-Лоренца, запи-
санные в инерциальных системах отсчета. Перейдем теперь к уско-
ренной системе отсчета, связанной с ускоренно движущимся зарядом
208
Рис 3.9. Стационарные состояния (У и 2) возникают, когда сила
электромагнитной инерции F[ и кулоновская сила Fe уравновешива-
ют друг друга
е. В этом случае должны использоваться уравнения (3 22). Действи-
тельно, при условиях (3.209) трехмерная часть уравнений движения
(3.22) для заряда е массы т принимает вид
d2xa е2
rn~dt2~ ~ Тз®
е2
-,г° = 0,
(3 211)
где F“ = — тс2Та00 = —е2г“/г3 - электромагнитная сила инерции,
компенсирующая кулоновскую силу е2г“/г3, создавая локально для
заряда состояние невесомости в ускоренной системе отсчета
Таким образом, силы инерции играют стабилизирующую роль при
образовании стационарных состояний квантовой теории. Можно го-
ворить, что при ускоренном движении заряд не излучает в том слу-
чае, когда внешняя электромагнитная сила, действующая на заряд,
полностью скомпенсирована электромагнитной силой инерции (рис
3.9). Если же эти силы не компенсируют друг друга, то происхо-
дит переход из одного стационарного состояния в другое, сопрово-
ждаемое излучением заряда. Заряд будет излучать до тех пор, пока
электромагнитная сила не будет скомпенсирована электромагнитной
силой инерции.
209
3.15. Монопольное излучение заряда
Рассмотрим решение (3.8) уравнений физического вакуума с пере-
менной функцией источника Ф°. В этом случае метрика (3.208) ваку-
умной электродинамики обобщается до метрики
ds2 —
е 2e(t)
тп гс2
c2dt2
+ ш Тег) + dy2 +dz^- (3 212)
1 -
Эта метрика описывает взаимодействие меняющегося со временем
центрального заряда e(t) с пробным зарядом е массы тп. Заметим, что
подобной ситуации в электродинамике Максвелла-Лоренца-Дирака
не существует, поскольку она рассматривает только стабильные за-
ряды. Здесь же мы имеем дело с монопольным излучением заря-
да, физические свойства которого отличаются от свойств обычного
дипольного излучения. Действительно, при условиях (3.209) трех-
мерная нерелятивистская часть уравнений движения (3.22) в метрике
(3 212) запишется как
^х° 2га 2га 1 dx° 2™
rn-^2~ = ~тс Г оо - тс г -тсТо0.
(3.213)
В этих уравнениях сила
Г“ = -тс2Г°00 = е^-х'
(3.214)
представляет собой обобщенную (на случай переменного заряда ис-
точника) кулоновскую силу, действующую на заряд е массы m со
стороны переменного заряда e(t). Сила
ра __„_2га 1 _ е ge(Q dx1
к Г“°С dt rc dt dt
(3.215)
является силой реакции монопольного излучения центрального тела
с зарядом е(<), действующим на заряд е Наконец сила
ipa _ „ 2<ро __ „ ^(t) „о
г i — —тс 1 оо — —е х
О
(3.216)
есть не что иное, как сила электромагнитной инерции, действующая
на заряд е в ускоренной системе отсчета, в которой записаны урав-
нения (3.213). Если центральный заряд постоянен (е = const), то сила
(3 215) обращается в нуль, и из уравнений (3.213) мы получим урав-
нения (3.211).
210
Электромагнитное поле Еа монопольного излучения определяет-
ся из равенства (3.215) в виде
Е» - 1 де(<) dxa
rc dt dt
(3.217)
Как мы видим, это поле действует только на движущиеся заря-
ды, а его направление совпадает с вектором скорости dxa/dt Да-
лее монопольное излучение спадает с расстоянием медленнее, чем
кулоновское поле и, вероятно, обладает высокой проникающей спо-
собностью. Величина монопольного излучения зависит от скорости
изменения заряда de(t)/dt, а знак - от увеличения или уменьшения
заряда
Предположим теперь, что центральный заряд образует стацио-
нарные состояния (см. рис. 3.9). Пробный заряд в этом случае дви-
жется во внешнем поле согласно уравнениям (3.211), а система ис-
точник поля - пробный заряд не излучает электромагнитного поля.
При переходе из состояния 2 в 1 пробный заряд движется согласно
уравнениям (3.213), или
d2xa eft) e(t) e deft) dx°
at2 rd rA rc ot dt
e de(t) dx°
rc dt dt
(3 218)
Из этого уравнения видно, что электромагнитная сила инерции
уже не компенсирует электромагнитные силы (обобщенную кулонов-
скую силу и силу реакции электромагнитного излучения). Поэтому
ускоренная система отсчета, связанная с пробным зарядом, в данном
случае не является локально инерциальной и система, образованная
источником поля и пробным зарядом, излучает электромагнитное по-
ле (см. рис. 3.9). Подобная картина имеет место и при дипольном
излучении этой системы
3.15.1. Принцип эквивалентности для заряда
В вакуумной электродинамике существует принцип эквивалентно-
сти для заряда, показывающий эквивалентность электромагнитного
и инерционного зарядов вакуумного возбуждения. Инерционный за-
ряд в вакуумной электродинамике определяется через поле инерции
Т'^к с помощью соотношения
I (-S)1'2 {«’” w + ГДИ) } dV- (3.219)
211
Используем решение (3.8) вакуумных уравнений с метрикой, в ко-
торой функция источника Ф° определяется как Ф° = ee(t)/mc2. В пре-
дельном случае e(t) —» е = const у источника поля образуется плот-
ность заряженной материи pej вида ре[ — еб(г), где 6(г) - трехмерная
6-функция Дирака. Тогда соотношение (3.219) можно записать как
е/ = У (-</)1/2e6(r)dV — е. (3.220)
Найдем теперь электромагнитный заряд ев с помощью уравнений
поля (3.49). Поскольку в пределе e(t) —♦ е = const множитель в этом
случае равен 8ire/mc4 = ие, то из (3.49) следует
„п 8тге / - 1 _п \ 4тге
- 4 ( Т 0 — -6 DT ) — -pei. (3.221)
mr \ L } mcJ
Входящая сюда риманова кривизна определяется через сильное
электромагнитное поле Е'^к следующим образом [5]:
2е 2е2
jkm = ~ 2& И™.к] + 2С4 4* & Ь|т]’ (3.222)
где
с2
& jk ~ r?9 (amj,k 4" amk,j ~ ajk,m)t (3.223)
Л
е
gik = T)ik 4-Oik-
771
Электромагнитный заряд определим через сильное электро-
магнитное поле с помощью соотношения
еЕ = j(-g)i/2PedV, (3.224)
где плотность сильного электромагнитного поля ре определяется как
2
ГПС
Р' = ~ 4^R 01 (3 225)
причем для стационарного решения Я°о = дОпГаОп = дОпЕаОпе/тс2,
поэтому
2 л
ея = J = е. (3.226)
Сравнивая (3.220) и (3.226), получим равенство электромагнитно-
го и инерционного зарядов
се = е/
(3.227)
212
3.16. Квантовая структура вакуума
Соответствие уравнений физического вакуума фундаментальным
уравнениям квантовой теории поля необходимо проводить с исполь-
зованием нелинейных спинорных уравнений (1.107), в которых спи-
норные компоненты полей инерции определяются как (см. ч. 2)
— к - o“o<3o'l'VQ/Jo7,
-p = t“<A^VQ^7,
-<Т = OalPd14 арОу,
-Т = ^О^арОу,
-и = t“^PV^i7,
а,/3...
-А = iad^i^Qpiy,
—тг = оад^ ар1^,
-{=o0^Ve^,
-р = о“ А^о7,
-7 =
—О — aply,
= 0,1, 7.Х-- = б, 1.
(3 228)
Из решения (3.8) видно, что часть этих величин для сферически-
симметричного вакуумного возбуждения обращается в нуль. Более
того, в статическом пределе, когда источник можно с большой степе-
нью точности рассматривать как точечный, в уравнения (3.15) мож-
но ввести постоянную Планка h, используя представление константы
источника Ф° в виде
„2 h
Ф° = Ф° = е21тс2 = ----, (3.229)
he тс
В этом случае вакуумное возбуждение будет соответствовать
квантовой частице с зарядом е и массой т. Подставляя (3.229) в
решение (2.209) и учитывая уравнения (3.15), можно провести «мас-
штабирование» этих уравнений по безразмерной константе а = e2/hc
и получить таким образом «квантовые» нелинейные спинорные урав-
нения, в которых роль волновых функций играют двухкомпонентные
спиноры о„ и ip. Введем обозначения
Оа = °^hc, 1а = ^Лс,
е2 е2
(3.230)
тогда с учетом соотношений (3 229) уравнения (3.15) запишутся как
15 а0 а0
V/3^OQ — 2^~^.Оа°0о* ~°а°01х ~°а1Р°х ~
--1аОр1^,
Г
(3.231)
213
Г7Г / _ 1ft
V 0х*° — ( ТГ-? Ь ? )^а^в°х *Г 1аО0Ох —
2е2г тег* р л 2г тс
а° - а° Т
Л-аОр^х Т 1<х10@х >
или
a3 ft _ а°а2 - а°а2
~ ОаОрОх -р ‘ у Оа^/ЗОу
2.Г тс г г
а2
— —1а°р1х,
v-r г з, hc Л _ а3 ft
V/jx7a - -а (~2?7 + тсг2’0"1^0^ ~ 2ттс1а°Р°х ~
a°a2 - o?a2 -
* ct ®p “b * a ^p
(3.232)
где
е2 1
" “ ftc ~ 137
Если мы описываем частицу с массой и зарядом электрона, то
можно ввести «фундаментальную длину»
(3.233)
а3Л 1Й
/ = ---» 3 • 10 18см.
me
(3.234)
Теперь уравнения (3.232) запишутся в виде
1 _ а°а2 _
^0х^° — 2 ^а^рох Т оаор!х оа1рох
(3.235)
а°а2 а°а2 -
^0 *х *х-
Эти нелинейные спинорные уравнения с фундаментальной длиной,
определяемой согласно (3.234), представляют собой аналог уравне-
ний Гайзенберга-Иваненко (1.103) в теории физического вакуума
Поскольку волновые функции оа и ip связаны с компонентами те-
трады е‘а известным образом [86]
(3 236)
ЛО^2
214
е\ = -4=ff‘ + l°o>3),
1 v2
e’2 = 4=^ До“^ - *“</),
* -\/2 *
e*'3 = 4=^ Л°а^ ~ l°^)<
o -»/2 K r '
a,/? = 0,1,0, i,
где a' & - символы Инфельда-Ван-дер-Вардена [122], совпадающие
с матрицами Паули в псевдоевклидовом пространстве, то, учитывая
соотношение
Л*=е<а^е“1> (3.237)
можно интерпретировать волновые функции оа и ip как потенциалы
поля инерции T'jk.
Здесь мы дадим простое доказательство соответствия уравнений
вакуумной электродинамики и электродинамики Максвелла-Дирака.
Для этого выберем времениподобный вектор тетрады е°,- так, чтобы
он совпадал с вектором скорости и* в соотношении (3.82). Учитывая
первую из формул (3.236), имеем
и, = е0{ = -^=<та^(оаОр + ьа1р), (3.238)
где двухкомпонентные спиноры оа и iQ в общем случае удовлетво-
ряют нелинейным спинорным уравнениям (2.138), а матрицы о* ар в
слабом поле мало отличаются от матриц Паули, образуя метриче-
ский тензор «плоского» пространства
9ik « тцк = <т^<гкар = diag(l - 1 - 1 - 1). (3.239)
Подставляя (3.238) в (3.82), представим плотность тока в виде
Л - Ре^о-“1(ОаОд + - (3.240)
= е-^о-“^(^^а + ХрХ°) = -е9*ук9,
где двухкомпонентные спиноры tpa и Ха ~ «нормированные» волновые
функции, удовлетворяющие спинорным уравнениям Дирака
^ра<ра = ™Хр, (3.241)
а,/?... = 1,0, d, !>... = б, i, (3.242)
h
215
a. 7k ~ гамма матрицы, удовлетворяющие условию
^rjik - + 7кЪ-
Кроме того,
Ф’ = (Ш>), « - ( Y
\ Л<7 /
Простой вывод уравнений (3 241) и (3 242) может быть получен из
закона сохранения [43]
V(Rjm - \gimR) = ^^Tim = 0 (3.243)
для уравнений поля (3.49). Правая часть соотношения (3.243) при-
водит к уравнениям движения (3.48) бесконечно малого элемента и к
уравнениям неразрывности для плотности тока (3.82)
V„j" = 0. (3.244)
Для слабых полей и при подстановке (3.240) в (3.244) имеем
4 = ^3^ = + Vrfx*') = (3-245)
= е + (V^xV + X^V^X")) =
= e + ^(V^^) + (V^x*)x" + Xi,(y^Xv)-
~~K' №xn - 4>vXv - Ч^Х» +9’*'x^)} = 0
Легко видеть, что равенство (3.245) распадается на четыре урав-
нения Дирака, из которых два совпадают с уравнениями (3.241) и
(3 242), а два других являются комплексно сопряженными с этими
уравнениями.
В соотношении (3 240) полный заряд е является интегральной ве-
личиной и определяется как
е = У Pe(-ff)1/2dV, (3 246)
где д = det д^ , dV = dxdydz.
Используя (3.246), мы можем теперь ввести плотность вероятно-
сти lV(r,) и найти полный заряд е в данной точке пространства
(3 247)
\ Р' 3° еФ*70Ф ,Т1
IV (z,) = — = — =----- Ф 70Ф,
ее е
о _ ( 1 0 \
7 к 0 1 )
216
В нерелятивистском приближении плотность вероятности (3 247)
принимает обычный в квантовой теории вид
W = ^v. (3.248)
Таким образом, мы показали, что уравнения вакуумной электро-
динамики совпадают с уравнениями Максвелла-Лоренца-Дирака в
приближении специальной теории относительности, когда электро-
магнитные поля удовлетворяют неравенству
Е,Н « 1016 ед.СГСЭ. (3 249)
При сильных полях (на малых расстояниях) и при больших скоро-
стях (см. неравенство (3 68)) специальный принцип относительности
в электродинамике нарушается, и мы вынуждены использовать все-
общий принцип относительности и вакуумные уравнения (Л), (В), а
также нелинейные спинорные уравнения (2.138). В этом случае сказы-
вается тензорная природа потенциала сильного электромагнитного
поля, которая проявляется в виде отклонения от кулоновского потен-
циала взаимодействия.
3.17. Оптико-механическая аналогия
Динамику полей инерции, определяющих структуру источников
в уравнениях поля (В.1) в инерциальных системах отсчета, можно
исследовать (приближенно, конечно), используя тензоры энергии-
импульса для изотропного излучения (3.33) и «идеальной» жидкости
(3.34).
Закон сохранения (3.243) для тензора (3 33) примет вид уравнений
движения
= i[V,®2(ii)F]rn + ^-Ф2(?)Р = 0. (3 250)
Покажем, что в инерциальных системах отсчета
= 0. (3.251)
Представим светоподобный ковектор Р в виде
dx1
11 = 1х <3-252)
где А - параметр, меняющийся вдоль дуги, по которой движется све-
топодобный ковектор Р'. Подставляя ковектор Р в уравнения (3.251),
имеем
dxm dx3 D / dxm \
dA Vj~dT = ~dX dTj \”dT) ’
217
откуда следует
d^ х* dx^ dxm
"^'“ = ^ + г,/^^Г = о <3 253)
Эти уравнения представляют собой уравнения изотропного из-
лучения в приближении геометрической оптики, записанные относи-
тельно инерциальных систем отсчета
В силу равенства (3.251) из уравнений (3.250) следует уравнение
неразрывности для плотности материи (3.37)
Vj (Ф2(х*)Р) =0, (3.254)
или (при постоянном множителе р)
V/pP) = (pQ, + Г%.(рР) = 0 . (3.255)
Закон сохранения (3.243) для тензора энергии-импульса (3 34) дает
V, (y>2(?)1?um) - Iv, (^(x,)?m) = 0, (3.256)
ИЛИ
(^>2(i’)i?) + ^>2(г*)г? VjUm — (3.257)
-^mV,(^2(x<)) - i^2(?)Vjff>m = 0.
Умножал это равенство на — 1/пс2 и используя соотношение (3.37),
получим уравнения для первого, второго и третьего членов равен-
ства (3 257) соответственно:
Vj(pt?) = 0, (3.258)
du' —+ r‘jmu^m=0, as J (3.259)
Vip = 0, (3.260)
где ds2 = gikdx'dxk, и' = dx1 /ds - единичный вектор четырехмерной
скорости, удовлетворяющий условию u’u,- = 1.
Воспользуемся спинорным представлением плотности материи в
инерциальных системах отсчета (см. ч. 2)
Р = -^ав^АВ (3 261)
218
С другой стороны, в статическом пределе плотность вакуумного
возбуждения выражается через 6-функцию Дирака согласно соотно-
шению (3.58).
При Ф° = MG/c2 соотношения (3.261) и (3.58) аналогичны выраже-
ниям для плотности материи массивной частицы в квантовой меха-
нике. Они отражают корпускулярно-волновой дуализм «точечного»
вакуумного возбуждения, полученного как точное решение чисто по-
левых вакуумных уравнений (Л), (В).
Покажем, что для «точечного» инерциона (вакуумное возбужде-
ние, плотность р которого определяется полем инерции) существует
также оптико-механическая аналогия. В самом деле, введем эйконал
/ - —к{Х* (3.262)
и действие
где S = -Fix', (3.263)
- волновой вектор, а ki = ~f,i (3.264)
Pi = S.i (3.265)
- импульс бесконечно лой массой малого элемента инерциона с бесконечно ма-
Am = р(-р)1/2Д V. (3.266)
Волновой вектор /’ и импульс р* для бесконечно малого элемента
инерциона определяются как
dx* dx*
I* - р = Arn—. (3.267)
ал as
Запишем уравнения движения геометрической оптики (3.253) и
уравнения движения пробной частицы (3.259) в виде уравнений Га-
мильтона-Якоби
gimlilm = 0, (3.268)
g‘mp.pm = (Amc)2. (3.269)
При условии Am = 0 уравнение (3.269) переходит в уравнение
(3.268). Предположим теперь, что существует предел отношения
уравнений (3.268) и (3.269) при Ат —+ 0, т.е.
lim ——= с72 = const, (3.270)
Am—*0 g]nSjSn
219
где Ci - произвольная константа, имеющая размерность момента им-
пульса. Для предельных значений Suf соотношение (3.270) можно
записать как
откуда
dS = crdf
или
S = Ci/4-c2, (3.272)
где с2 - константа интегрирования. Подставляя (3.272) в равенства
(3.264) и (3.265), получим соотношение типа соотношения де Бройля
p* = cifc* (3.273)
с произвольной «квантовой постоянной» q.
Формулы (3-262)-(3.273) показывают, что инерцион представляет
собой ансамбль элементарных квантов с бесконечно малой массой,
движущихся в инерциальных системах отсчета, согласно уравнениям
геодезических пространства А$, со скоростями, близкими к скорости
света.
Из соотношения (3.261) видно, что в рассматриваемом нами при-
ближении в инерциальной системе отсчета плотность материи инер-
циона выражается через квадрат поля инерции (или поля кручения).
Опуская (для простоты) спинорные индексы, введем комплексные по-
ля инерции в виде
/ с2 \ 1/2
MsgmJ " <3 274>
, 2 ч 1/2
^(йй?) * <3 276>
где v определено согласно (3.20), т.е. когда плотность инерциона в
стационарном состоянии описывается соотношением
р = М6(г). (3.276)
Используя поля (3.274) и (3 275), представим плотность материи
инерциона (3.261) как
р = М^*^ (3.277)
Комплексификацию полей инерции для незаряженной материи мож-
но объяснить тем, что в теории вакуума допустимо существование
220
как положительных, так и отрицательных масс (положительных и от-
рицательных энергий). В современной квантовой теории поля это со-
ответствует разбиению на положительные и отрицательные частот-
ные части волновой функции, описывающей нейтральные частицы.
В силу соотношений (3.276) и (3.277) для полей (3.274) и (3.275)
выполняется условие нормировки
У Ф*Ф(-д)Ч^У = 1, (3.278)
где
д — det gjm-, dV — dxrdx2dx3.
Полученные перед этим для вакуумных возбуждений корпуску-
лярно-волновой дуализм и оптико-механическая аналогия позволя-
ют описывать движение инерциона с помощью уравнений, подобных
уравнениям квантовой механики. Отличие квантовой механики инер-
ционов от существующей квантовой теории будет заключаться в том,
что:
а) волновая функция ф в уравнениях квантовой механики инерци-
онов оказывается реальным физическим полем - полем инерции5;
б) квантовая постоянная (аналог постоянной Планка Л) является
произвольной константой, значение которой определяется геометри-
ческими параметрами изучаемой системы;
в) новая теория носит детерминистический, причинный характер
в соответствии с предположениями Эйнштейна и Дирака [1] о физи-
ческой сущности «завершенной» квантовой теории.
3.18. Уравнение Шредингера для поля инерции
Рассмотрим теперь инерцион как квантовый ансамбль, для которо-
го справедливы формулы (3.142)-(3.153). Для слабых полей эти фор-
мулы позволяют записать нормированные на единицу поля инерции
(3 274), (3.275) в виде волн де Бройля [123]
ф = V’o ехр(-г/пх") = фо ехр
(3.279)
ф* - фоехр(Ипхп) = V’oexp
(3.280)
53аметим, что один из создателей квантовой механики - Э. Шредингер — до
конца своей жизни считал, что волновая функция ф в его уравнении является
реальным физическим полем, которое он называл полем материи.
221
поскольку для квантов поля фаза а плоских волн (3.159) и (3.160) при-
нимает вид
а = 1пхп,
где 1п - волновой вектор плоской волны.
Строго говоря, применять понятие плоской волны к полям в ис-
кривленном пространстве можно только в приближении слабого по-
ля, когда кривизна пространства незначительна. Именно в этом при
ближении мы будем вести дальнейшие выкладки.
Через плоские волны (3.279), (3 280) можно выразить f,S,ln и рп
следующим образом
Поскольку в приближении слабого поля
9ik — ГЦк,
(3 281)
(3.282)
(3.283)
(3.284)
(3.285)
то уравнения неразрывности для световой и досветовой материи при-
нимают вид
(p/J)j= 0, (3.286)
«m(pu3),j= 0. (3.287)
В стационарном состоянии, когда истечение массы источника от-
сутствует, уравнение непрерывности (3.287) запишется как
(puJ),, = 0. (3.288)
Это уравнение после подстановки в него соотношения (3.261) пред-
ставляет собой нелинейное уравнение относительно квантовых полей
фиф*.
Вместо плотности материи (3.261) можно ввести плотность веро-
ятности
= (3.289)
222
которая определяется через плотность вероятности Лиувилля
ГУ(аг*) = / W(x',p')dp',
(3.290)
заданную в фазовом пространстве инерциона.
Это пространство образует квантовый ансамбль бесконечно ма-
лых элементов, из которых состоит инерцион. Таким образом, «то-
чечный» инерцион представляет собой протяженный объект, плот-
ность материи которого удовлетворяет уравнению (3.288). Такой
объект обладает бесконечным набором координат и импульсов, обра-
зующих конфигурационное фазовое пространство. Если мы теперь
хотим определить физические параметры инерциона - координату,
импульс и т.д., характеризующие его динамику как единого целого, то
мы должны использовать плотность вероятности (3.289), дающую нам
распределение этих параметров. Координата инерциона в этом слу-
чае связывается с координатой его центра масс
Ф" ipx'dV,
(3.291)
а импульс инерциона - с импульсом центра масс
V'P* d V.
(3.292)
Через плотность вероятности (3.289) уравнение движения (3.288)
представляется в виде
8W .
— + divj = 0. (3.293)
Плотность тока j = рп в этом уравнении мы определим с помо-
щью соотношений (3.284) и (3.289), а также используя выражение для
средней скорости центра масс инерциона
следующим образом:
j = - ^*Vtf>).
(3.294)
Соотношения (3.289)-(3.294) приводят к вероятностной трактовке
динамики инерциона, которая возможна, но не обязательна Кроме
того, природа вероятностного описания связана с тем, что мы пыта-
емся описать протяженный объект, представляющий собой ансамбль
223
точечных частиц, с помощью одной выделенной его точки - центра
масс. С подобной ситуацией мы уже сталкивались в классической ме-
ханике при описании динамики статистического ансамбля кик единого
целого с помощью уравнения Лиувилля. Уравнение (3.293) предста-
вляет собой фактически уравнение Лиувилля с той лишь разницей,
что оно описывает «квантовую» частицу, имеющую изначально чи-
сто полевую природу. Поэтому в нашем случае возникает не только
конфигурационное пространство бесконечно малых элементов инер-
циона, но и гильбертово пространство бесконечного набора плоских
волн, образующих волновой пакет полей инерции, из которых состо-
ит инерцион.
Подставляя (3.289) и (3.294) в уравнение (3.293), запишем его в
виде
д ic
= “div(^’V^ - фЧф*),
UI Л1V1
или
, , а, dф dф'’ , 2С? , „ , 1 .
1С1^ + + 777^ Ъ2ф-ф\72ф ) = 0.
С/I С/1 Ла 1V1
Разделив теперь (3.295) на ф*ф, получим
(3 295)
откуда
. (1 dф 1 дф'
гс1 + Т.
\ф dt ф
dt
с? ( 1 ~ 1 Д
^7 - —vv = о,
2М \Д ф* )
ici
- id
1 дф*
ф* dt
ф dt 2М ф )
(3.296)
Это уравнение распадается на два линейных относительно ф и ф*
уравнения следующего вида:
^._2£Lvv) =«<)«-
dt 2М v J 94
С помощью подстановок
id
(3.297)
(3 298)
Ф(х,/) = ^(x,i)exp
Ф*(х,/) = ^*(яД)ехр
224
соотношения (3.297) и (3 298) сводятся к уравнениям Шредингера [124]
ic‘7f+M7VI*=°' (3299>
9Ф* с2
“‘•аГ+ш’2*^ 0 (3 30<|)
для свободной частицы. При этом волновая функция Ф в этих урав-
нениях представляет собой нормированное на единицу поле инерции.
Произвольность константы Cj отражает универсальность квантовых
уравнений (3.299), (3.300), описывающих движение материи через ди-
намику полей инерции. Кроме того, произвольность константы Ci
указывает на возможность использовать квантовые уравнения (3.299),
(3.300) для описания движения объектов как микромира (в этом слу-
чае ci = Л), так и макромира.
Резюмируя, можно отметить, что вакуумные уравнения (Л), (В),
базирующиеся на всеобщем принципе относительности, позволяют
(после соответствующих упрощений) получить уравнения движения,
аналогичные уравнениям движения современной квантовой теории,
но с той разницей, что в теории вакуума:
1) квантовые поля имеют геометрическую природу, связанную с
кручением пространства А$\
2) с помощью калибровочных преобразований во внутреннем про-
странстве угловых координат квантовые поля могут быть обращены
в нуль в группе 0(3.1), т.е. носят относительный характер;
3) волновые функции квантовой теории выражаются через напря-
женность (или потенциалы) реального физического поля - поля инер-
ции (или поля материи, порожденного кручением пространства), ко-
торое ведет себя как единое универсальное поле, связанное со всеми
физическими процессами;
4) основные принципы квантовой теории, такие как стационар-
ность квантовых состояний, корпускулярно-волновой дуализм, оп-
тико-механическая аналогия, разбиение волновых функций на поло-
жительно- и отрицательно-частотные части, вероятностное описание
динамики квантовых частиц, есть следствие всеобщего принципа от-
носительности и аналитически реализуются в вакуумных уравнениях
И), (В)
Полученные результаты подтверждают догадки А. Эйнштейна о
неполноте современной квантовой теории, а также его предположе-
ния о том, что «более совершенная квантовая теория» может быть
найдена на пути расширения общего принципа относительности.
я Г.И.Шипов
225
Завершая эту главу, можно отметить, что теория физического ва-
куума приводит к целому ряду следствий как теоретического, так и
практического характера.
К теоретическим следствиям относится:
1) построение эйнштейновской единой теории поля как теории фи-
зического вакуума;
2) соответствие уравнений физического вакуума со всеми фунда-
ментальными уравнениями современной физики;
3) построение детерминированной квантовой теории, удовлетво-
ряющей требованиям Эйнштейна;
4) открытие новых типов фундаментальных взаимодействий, осно-
ванных на точных решениях уравнений физического вакуума;
5) теоретическое описание торсионных взаимодействий;
6) фундаментальное описание монопольного излучения в электро-
динамике;
7) обобщение некоторых теорем и законов классической механики.
К практическим следствиям можно отнести:
1) принципиальную возможность создания движителя нового типа,
использующего поля и силы инерции;
2) возможность создания излучателей и приемников монопольного
электромагнитного излучения,
3) создание приборов, использующих новые типы фундаменталь-
ных взаимодействий (например, торсионных)
Г лава 4
Экспериментальные подтверждения
теоретических предсказаний
При обсуждении вопроса об экспериментальном подтверждении
той или иной теории обычно речь заходит о «решающем» экспери-
менте. Однако эксперимент либо подтверждает (с какой-либо сте-
пенью точности), либо опровергает теорию, поскольку любой экс-
перимент является для теории решающим. Для автора основопо-
лагающим экспериментом теории является факт существования того
класса систем отсчета, на котором базируется теория. Все другие
эксперименты отражают лишь различные частные проявления этого
основополагающего факта.
В настоящей главе будут исследованы некоторые наблюдаемые
явления с позиций теории физического вакуума. Это будет предста-
влено в виде примеров того, как работают принципы и уравнения
теории для описания экспериментальных фактов, известных и совер-
шенно новых для современной физики. Автор понимает, что объем
оперативной работы в этом направлении огромен и одному человеку
или даже целому коллективу невозможно за короткий период реали-
зовать существующие возможности. Поэтому все, что будет изло-
жено ниже, необходимо рассматривать как приглашение к последо-
вательному и глубокому исследованию теоретических предсказаний
теории физического вакуума.
4.1. Фундаментальный подход к описанию
ядерных взаимодействий
Нагляднее всего эффективность выводов новой теории прослежи-
вается при исследовании взаимодействий, которые обобщают кулон-
227
ньютоновские потенциалы. В гл 3 было показано, что точные рейс
ния уравнений вакуума (Л) и (В) описывают вакуумные возбуждения
с короткодействующими потенциалами взаимодействия (см. (3.95)
(3.96)), которые в нерелятивистском пределе могут быть представле-
ны в виде
г2
U = -тс2—-- 2 , гдг — const; (4 1)
r + rN
тс2 гге 4- 2г^
2 г2 + г2,
Гдг = const,
ге = const.
(4.2)
4.1.1. Опыты Э. Резерфорда и новые потенциалы
Впервые отклонение от фундаментального кулоновского рассеяния
заряженных частиц было обнаружено Э. Резерфордом [6] при иссле-
довании упругого рассеяния а-частиц на ядрах тяжелых элементов
Основной результат этих опытов состоит в том, что при движении а-
частиц на больших расстояниях от ядра взаимодействие происходит
по законам электродинамики Максвелла. Когда же частицы прохо-
дят на малых расстояниях от ядра, наблюдается отклонение от ку-
лоновского рассеяния, что впоследствии было объяснено действием
феноменологических ядерных сил.
Типичный график зависимости отношения экспериментального
дифференциального сечения к дифференциальному сечению Резер-
форда от угла рассеяния в показан на рис. 4.1.
Обратим внимание, что отношение сечений несколько возрастает,
а потом падает. Такое возрастание выходит за рамки ошибки экспе-
римента и наблюдается регулярно при рассеянии не только а-частиц,
но и протонов. Теоретическое объяснение возрастания сечения рас-
сеяния в опытах Резерфорда дает график, построенный с использова-
нием формул (4.1) и (4.2). Из графика, описывающего упругое рассе-
яние заряженной частицы (ге 0) на источнике поля с потенциалом
(4.2), видно, что новое взаимодействие на квазиядерных расстояниях
(10-114-10~12см) приводит к отталкиванию, превышающему кулонов-
ское, что экспериментально должно проявиться в возрастании сече-
ния рассеяния по сравнению с кулоновским Именно это наблюдают
в эксперименте (см. рис. 4 1)
В 1972 г. я предпринял попытку объяснить ядерные взаимодей
ствия за счет общерелятивистских поправок к кулоновскому потенци-
алу. Для этого использовалось сферически-симметричное решение
с метрикой (3.56) уравнений общерелятивистской электродинамики
[5], приводящее к потенциальной энергии взаимодействия вида (3.92)
228
dcr/daD
К
Au-a
22 Мэв
0,0
- 1 I 1 I I Т '1 ~ I I I' I ' I I T I I Г I'T'I 'Г I I I I I I I I | I I
0 50 100 150 в
Рис. 4.1. Экспериментальный график упругого рассеяния а-частиц
на ядрах золота
Эта попытка оказалась неудачной, поскольку ядерные силы действу-
ют между нейтральной и заряженной частицами (между нейтроном
и протоном) и даже между нейтральными частицами (нейтронами),
а кулоновская потенциальная энергия общерелятивистской электро-
динамики описывала взаимодействие только заряженных частиц. В
самом деле, при взаимодействии заряженного центра с нейтральной
частицей электромагнитный радиус
±2Zze2
тс2
(43)
определяемый через заряд Ze центрального тела и через заряд ±ze
взаимодействующей с центром частицы, обращается в нуль. Поэто-
му метрика (3.56) не в состоянии описывать ядерные взаимодействия
между заряженной и нейтральной частицами и тем более между ней-
тральными, даже с учетом общерелятивистских поправок.
229
4.1.2. Электроядерное рассеяние
Для описания ядерных взаимодействий на основе точных решений
вакуумных уравнений (А) и (В) А.Н.Сидоров и Е.А.Губарев [125, 126]
предложили использовать статическое решение вакуумных уравне-
ний с потенциальной энергией (4.2). Эта энергия может быть пред-
ставлена в виде двух слагаемых, где первый член убывает с рас-
стоянием как 1/г, а второй как 1/г2. Этот короткодействующий член
существует при ге = 0, и по аналогии с гравитационным гя и электро-
магнитным ге радиусами было предложено [127] называть константу
rjv ядерным радиусом.
Рассмотрим задачу упругого рассеяния заряженной частицы на
центре, взаимодействие с которым описывается потенциальной энер-
гией (4 2) Пусть в поле заряда Ze с массой М т происходит
упругое рассеяние заряда ±ze с массой т, тогда ге этого процес-
са определяется формулой (4.3). Явный вид формулы (4.3) был най-
ден на основе принципа соответствия вакуумной электродинамики
уравнениям электродинамики Максвелла-Лоренца-Дирака (см. гл.
3). Что касается короткодействующего параметра rjv, отвечающе-
го, по нашим представлениям, за ядерные взаимодействия, то его яв-
ный вид невозможно определить, поскольку фундаментальной теории
ядерных сил до сих пор не существовало.
Из структуры потенциальной энергии (4.2) видно, что эта энер-
гия отлична от нуля даже при ге = 0. Следовательно, потенциальная
энергия (4.2) обладает двумя основными свойствами ядерной потен-
циальной энергии, наблюдаемыми в опытах, - короткодействием и
зарядовой независимостью.
Для окончательного решения вопроса о возможности использо-
вать решение с потенциальной энергией вида (4.2) для описания элек-
троядерного взаимодействия А.Н.Сидоровым и Е.А.Губаревым бы-
ло проведено сравнение теоретических расчетов по упругому рассе-
янию нейтронов и протонов на ядрах различных элементов. Были
проведены расчеты как классического, так и квантового рассеяния
незаряженных частиц в римановой метрике этого решения
Эффективный потенциал взаимодействия следует из уравнений
движения рассеиваемой частицы, записанных в виде уравнений Га-
мильтона-Якоби
ik dS 9S
& дх1 дхк
— т2с2 = 0.
(44)
Радиальная часть уравнений (4.4) при движении классической ча-
стицы в римановой метрике имеет следующий вид
г г
m2c2(dr/ds)2 = ----vr + m2c2U Ч—(4.5)
(г2Ч-г^) с2
230
Рис. 4.2. Относительная энергия lVn(r)/mc2 для протонов (а) и ней-
тронов (6)
где М2 — Ь2(у2 — 1)т2с2 - квадрат момента импульса частицы, b - при-
цельное расстояние, у = Е/тс2, Е - полная энергия. Потенциальная
энергия частицы lVn(r) при условии, что Е > И'п(’'), определяется из
соотношения (4.5)
(4.6)
Полагая в этом соотношении М = 0, получим потенциальную
энергию электроядерного взаимодействия. На рис. 4.2 представлен
график зависимости отношения Wn{r)/mc2 от т/г^ для двух случаев:
a) G = ге/гм = —2 (электроядерное взаимодействие, одноименные
заряды),
б) G = Ге/тц — 0 (чисто ядерное взаимодействие).
Кривая а ведет себя как кулон-ядерная потенциальная энергия,
используемая в ядерной физике. Из графика видно, что за кулонов-
ским барьером начинается область действия ядерных сил. С другой
231
Log(b/sr)
Рис. 4.3. Классическое рассеяние нерелятивистских нейтронов с
энергией 3,7 Мэв на ядрах железа
стороны, кривая 6 описывает чисто ядерную потенциальную энер-
гию, порождаемую ядерным потенциалом типа Вудса-Саксона [66].
Исследование классического рассеяния частиц, движущихся соглас-
но уравнениям (4.4) [125], дало более точную информацию о потен-
циальной энергии (4.2).
Сравнивая теоретическую кривую дифференциального сечения
рассеяния на малые углы, вычисленную для незаряженных частиц,
с экспериментальными данными по рассеянию нейтронов на ядрах
различных элементов, можно определить величину ядерного радиу-
са г]у. Оказалась, что rjv = 5,6 х 10-15см.
На рис. 4.3 представлены экспериментальные точки дифференци-
ального сечения рассеяния нейтронов с кинетической энергией 3,7
Мэв на ядрах железа [128] и теоретическая кривая с ге = 0, rjv =
= 5,6 х 10~15см.
232
Острый пик на кривой объясняется сечением рассеяния частиц,
совершивших более одного оборота вокруг рассеиваемого центра.
Из полученного значения ядерного радиуса г™, определяющего
«горизонт событий» при ге = 0, радиус действия ядерных сил гя
можно оценить как
г„ ~ (10 — 20)rjv ~ 10-13см, (4.7)
что соответствует общепринятым оценкам
На рис.4.3 видно, что теоретическое значение упругого сечения
рассеяния классических частиц совпадает с экспериментальным се-
чением только на малых углах рассеяния, для которых классическое
и квантовое описания рассеяния дают одинаковые результаты.
Для описания рассеяния на большие углы была построена кван-
товая теория рассеяния частиц [127, 129]. Путем разделения перемен-
ных для волновой функции
Е
г, 0, <р) = exp (-i—t)—z=- Pim(6) exp(im<p), (4.8)
+ r*N
в уравнении Клейна-Гордона
1 д ( .— ik д \ т2с21
^d^V99 + (4'9)
на фоне метрики
dr2
ds2 = —Ф[с<Й + 4rjvsin2(0/2)d9j]2 4- ——{г2 + r2N)(d02 4-sin2 Odtp), (4.10)
Ф= -1 +
rre +
r2 + r2N
где l,m - азимутальное и магнитное квантовые числа, были получе-
ны уравнения для радиальной у/(г) и угловой Р/т(в) функций. После
определения псевдосферических гармоник Pim(0) и точного разложе-
ния по ним плоской волны expfikr cos0) была выведена формула для
амплитуды рассеяния
1 “ /г о \
/(<?) = 2^ik + 2С + ( ВТ " 1 Р,°^’ (411>
1=0 \ < /
где С = 276, 6 = гмтпс/Ъ.
В соотношение (4.11), помимо коэффициентов разложения Е)0 плос-
кой волны по псевдосферическим гармоникам, вошли значения фазо-
вой функции на бесконечности В/. Вычисление В/ проводилось путем
численного решения фазового уравнения.
233
Рис. 4.4. Упругое рассеяние протонов с энергией 17 Мэв на ядрах
меди
Из сравнения квантового сечения рассеяния не заряженных ча-
стиц с экспериментальными данными были определены значения
для различных элементов [127]. Было установлено, что соблюдается
эмпирический закон ядерной физики
(4.12)
где А - массовое число ядра, при этом ядерный радиус гм не зависит
от энергии рассеиваемых частиц.
Определенное из решения квантовой задачи значение r/v (уточнен-
ное после выхода работы [127]) было использовано затем в задаче по
расчету сечения рассеяния квантовой частицы, взаимодействующей
с источником поля электроядерным образом (ге О, гм 0 ). Зна-
чения ге определялись из формулы для электромагнитного радиуса,
которая для рассеиваемых протонов принимает вид
re = —2Za----,
ТПр с
(4.13)
234
где а - параметр тонкой структуры; Z - зарядовое число ядра.
На рис. 4.4 теоретическая кривая представляет собой [130] диф-
ференциальное сечение рассеяния заряженой квантовой частицы с
энергией покоя 938,5 Мэв, кинетической энергией 17 Мэв. Параметр
6 = r^mc/h — 0,15, что соответствует ryv = 3,15 х 10-15 см, параметр
G = ге/гн = —2,8, что соответствует |ге| = 8,9 х 10~15 см. Экспери-
ментальные точки - дифференциальное сечение упругого рассеяния
протонов энергии 17 Мэв на ядрах меди [66].
Таким образом, исследования показали хорошее соответствие экс-
периментальных и теоретических данных в квантовой картине рассе-
яния частиц, обладающих ядерным взаимодействием [131, 132]. Кро-
ме того, теория позволяет обосновать наблюдаемую на опыте зави-
симость (4.12). Это дает нам право утверждать, что потенциальная
энергия (4.6), полученная из решения вакуумных уравнений (Л) и (В),
описывает ядерные и электроядерные взаимодействия.
Еще более перспективным для описания ядерных взаимодействий
представляется решение с потенциальной энергией взаимодействия
(3.99). Это решение содержит дополнительную константу интегриро-
вания г,, интерпретируемую как параметр, ответственный за трех-
мерное вращение источника (вращательный радиус). Такие фунда-
ментальные свойства ядерных взаимодействий, как зависимость от
спина и тензорный характер взаимодействия, описываются (пока ка-
чественно) потенциальной энергией (3.99). На рис. 4.5 показаны гра-
фики зависимости потенциальной энергии (3.99) от г, и от направле-
ния трехмерного спина источника поля.
Потенциальная энергия (3.99) предоставляет широкие возмож-
ности для фундаментального описания взаимодействий в области
микромира и позволяет предположить, что некоторые эксперимен-
тальные эффекты, кажущиеся аномальными даже для общеприня-
тых феноменологических теорий, могут быть проинтерпретированы
в рамках теории физического вакуума [133]. Например, это - опыты
А. Криша [134], показывающие значительную левую и правую асим-
метрии в рассеянии протонного пучка высокой энергии на поляризо-
ванной протонной мишени. Эти опыты противоречат выводам кван-
товой хромодинамики и подвергают сомнению некоторые ее выводы.
В рамках вакуумной модели эффект Криша может быть объяснен на
основе решения с римановой метрикой типа Керра-НУТ [135] с тре-
мя независимыми параметрами re, ryv, а также с параметром Керра
а = г,. Наличие у источника поля параметра Керра rs ф 0 созда-
ет так называемый эффект увлечения частиц, который и выражается
в лево-правой асимметрии сечения рассеяния как нерелятивистских,
так и ультрарелятивистских частиц.
235
a
б
Рис. 4.5. Графики зависимости потенциальной энергии от спина
а - потенциальная энергия рассеяния протонов на поляризован-
ной мишени при ге/г/у = —2, г^/г, = 1,5, 6 - то же, для нейтронов при
r<JrN = 0,rN/r3 = 1,5
4.2. Квантование в Солнечной системе
В научной литературе [136, 137] приводятся данные о «квантовой»
структуре Солнечной системы, при этом авторы используют урав-
нение Шредингера для обоснования наблюдаемых данных [137]. На
вопрос, почему это правомерно, ответа обычно не дается.
До создания теории физического вакуума считалось, что при-
годность уравнений квантовой механики ограничивается описанием
явлений микромира. Однако решение в теории вакуума проблемы
геометризации тензора энергии-импульса материи (2.91), стоящего в
правой части уравнений Шипова-Эйнштейна (2.89), показывает, что
уравнение Шредингера может описывать и макроскопические явле-
ния, например масштаба Солнечной системы и более.
В предыдущем разделе было показано, что уравнение Шрединге-
ра (3.298) описывает движение протяженных объектов, классическая
236
механика при описании движения массы во внешнем гравитационном
поле использует понятие пробной (не имеющей собственного поля)
точечной частицы. В квантовой механике, которая следует из те-
ории физического вакуума, мы отказываемся от понятия пробной
частицы, поскольку новая квантовая механика описывает движение
частицы с учетом ее собственного поля. При этом используется уни-
версальная характеристика любой материи - поле инерции, высту-
пающее в виде волновой функции в детерминированном уравнении
Шредингера (3.298).
4.2.1. Анал огия между гр авитацией
и электромагнетизмом
В современной физике теории гравитации Эйнштейна и электро-
магнетизма Максвелла Дирака относятся к классу фундаменталь-
ных. Решения уравнений этих теорий приводят к потенциалам вза-
имодействия (потенциалам Ньютона и Кулона), которые имеют оди-
наковую зависимость от расстояния. Более того, уравнения вакуу-
ма позволяют показать, что аналогия между гравитацией и электро-
магнетизмом прослеживается на более глубоких уровнях, вплоть до
квантового описания движения источников этих полей. Проследить
данную аналогию легче всего начиная с уравнений поля Шипова-
Эйнштейна (ВЛ). Опираясь на решение уравнений (ВЛ), которое
приводит к плотности материи источника (3 289), и требуя для этого
решения выполнения ряда условий (источник поля стационарен, на-
блюдатель находится в инерциальной системе отсчета, выполняется
соответствие уравнений вакуума (Л) и (В) уравнениям Эйнштейна и
общерелятивистской электродинамики (2.38)), получим систему ана-
логий при аналитическом описании гравитации и электромагнетиз-
ма.
Гравитация
Электромагнетизм
У равнения поля
р. — 1л Р — . р -1л R — 'jrte')
X C ТПС
i,j,k... - 0,1,2,3
Плотность материи точечного источника
с*
Рд ~ 8^G9’2^*^ =
2/ t\ с/ \
Ре = ^—‘Р (Х ) = еЙ(Г)
237
Слабые поля и слаборелятивистские скорости
1. У равнения поля
-it 4ttG .Z-v
Ф = —rs)
Fik,k =
С
2. У равнения движения (классические)
<РХ' = 1 ф* dxk
c/sq с2 dso ’
_ е Fikdxk
</sq me2 ds0 ’
®ik = ©jt.i — ©i.t,
Fit = At,» — A,*,
где 0jt и Ak, - векторные потенциалы соответственно гравитационно-
го и электромагнитного полей, определяемые как
о 1 2 dx°
00 = 2W
А 1 2dx°
A = о“00С J -
2 as
2dx° с2 dx13 2dx° с2 dxe
©а — УаОс Ь 1 Аа — ао0С Ь ~daP~j ,
dso 2 ds0 dso 2 ds0
a,ft= 1,2,3.
Здесь yij и аг} - добавки к метрическому тензору rfy плоского про-
странства.
3. Уравнения движения (квантовые)
1С1 5? + ^2Ф + 1/0)(г)Ф = 0, + £-V2® + [/<е)(г)Ф = О,
at 2т dt 2т ' ’
где ci - произвольная константа.
Описание движения гравитирующих объектов (например, планет
Солнечной системы ) с помощью первого из этих уравнений (уравне-
ния типа Шредингера), в которое в качестве волновой функции вхо-
дит нормированное поле инерции Ф, можно объяснить тем, что по-
ле инерции характеризует любую материю универсальным образом.
Поскольку планету образует не только вещество, из которого состо-
ит масса планеты, но и ее гравитационное поле, то именно благодаря
универсальности поля инерции появляется возможность описывать
движение планеты как целостного протяженного объекта, включая
собственное поле планеты.
238
4.2.2. Дискретные расстояния в Солнечной системе
Исторически сложилось так, что при развитии теорий гравита-
ционных и электромагнитных полей на разных этапах их становле-
ния использовались аналогии между строением Солнечной системы и
атомных систем. Теория вакуума позволяет продолжить эту тенден-
цию и построить квантовую модель Солнечной системы наподобие
атомной. Этот шаг стимулируется не только новыми представлени-
ями о полях и силах инерции при описании движения планет, но и
хорошо известными опытными данными о дискретной структуре Сол-
нечной системы [136, 137]. Например, среднее расстояние от Солнца
до планет и астероидных поясов «квантуется» по формуле
г = го(п4-1/2) (4 14)
п = 1,2,3...,
где «планетарная» константа го оказывается равной 0,2851 а.е
Средние расстояния, рассчитанные по формуле (4.14), приведены
в табл. 4.1. Как видим, формула (4 14) достаточно хорошо описывает
дискретное распределение материи в Солнечной системе. Теорети-
ческое объяснение этому факту можно дать, опираясь на уравнение
1С15+^-72Ф + (/“(г)Ф = 0, (4.15)
dt
из которого следует известная полуклассическая формула (формула
Бора) квантования углового импульса
р = mvr = ci(n 4- 1/2), п= 1,2.3..., (416)
где т - масса планеты, v - ее скорость и г - среднее расстояние до
Солнца. Сравнивая равенства (4 14) и (4.16), находим аналог длинны
волны де Бройля для Солнечной системы
го = -----
mv
(4.17)
Отличие квантования в Солнечной системе от квантования атом-
ных систем состоит в том, что в атоме электроны имеют одинаковые
массы и заряды, в то время как планеты обладают различными мае
сами. Кроме того, из формулы (4.17) следует, что квантовая «кон-
станта» Ci для планет принимает различные значения. Это очевид-
ное отсутствие универсальности, присущее атомной физике, требует
дальнейших исследований, которые, вероятно, приведут к тому, что
массы планет будут проквантованы и, скорее всего, будут выражать-
ся через массу наиболее легкой планеты.
239
Таблица 4.1
Планета п гт Дг
Меркурий 1 0,43 0,39 -0,04
Венера 2 0,71 0,72 +0,01
Земля 3 1,00 1,00 0,00
1А 4 1,28 1,28 0,00
Марс 5 1,56 1,52 -0,04
1Б 6 1,85 1,89 +0,04
1 8 2,42 2,40 -0,02
2 9 2,71 2,68 -0,03
3 10 2,99 3,02 +0,03
Юпитер 18 5,27 5,20 -0,07
Гидальго 20 5,84 5,82 -0,02
Сатурн 33 9,55 9,54 -0,01
Уран 67 19,24 19,19 -0,05
Нептун 105 30,08 30,07 -0,01
Плутон 138 39,49 39,52 +0,03
Таблица 4 2
Планета а cos а Д cos а
Меркурий 89°45' 0 0,04
Венера 93°51' 0 -0,02
Земля 59° 18' 1/2 0,004
Марс 59°48' 1/2 0,001
Юпитер 81°56' 0 0,15
Сатурн 58°29' 1/2 0,02
У ран -0°01' 1 -0,0001
Нептун 56°28' 1/2 0,02
Плутон ? 0,1/2,1
240
Квантование средних расстояний от Солнца до планет не являет
ся случайным фактом, поскольку этот закон действует в Солнечной
системе и для средних расстояний от планет до их спутников. Но
еще более ярким примером квантовой структуры Солнечной системы
является квантование угла наклона оси вращения планет к плоскости
экватора Солнца.
В табл. (4.2) приведены наблюдаемые данные для угла наклона
а. Данные по Плутону отсутствуют. Можно только предположить,
что этот угол должен быть близок к 0,60 или 90°. Аналитическое
описание этого явления требует дальнейших исследований.
4.2.3. Уравнение для расчета плотности планет
Распространяя квантовую аналогию на внутреннее строение пла-
нет, можно получить уравнение, которое описывает распределение
плотности внутри планеты Для этого достаточно использовать не-
линейное уравнение типа Иваненко-Гайзенберга, которое в свое вре-
мя было предложено для изучения структуры элементарных частиц
В нерелятивистском приближении и при учете самодействия материи
вместо уравнения Шредингера из уравнений вакуума получается не-
линейное уравнение
- радиус планеты, М - масса планеты, v - вторая космическая ско-
рость для данной планеты Когда радиус планеты совпадет с грави-
тационным радиусом, вторая космическая скорость становится рав-
ной скорости света с.
Уравнение (4 18) описывает динамику полей инерции, связанных с
материей, образующей планету, при этом комплексное поле чр опре-
деляет плотность материи планеты согласно соотношению
р = Mip*ip,
где поле ip нормировано на единицу. Вместо ip можно ввести поле
инерции Ф, нормированное на массу планеты Рассматривая стацио-
нарный случай, представим уравнение (4.18) в виде
АФ 4- 4тгЯ0Ф*Ф2 = 0, р - Ф‘Ф. (4.19)
241
Считая, что плотность материи зависит только от радиальной ча-
сти, находим из (4.18) радиальное уравнение Сидорова-Эмдена [138]
d2R 2dR „ о Л /z х
, , Ч--j—F RoR — 0, (4.20)
dr1 г dr
где
Я(г) = \/|Фя|2 = \/р(г)
- радиальная часть волновой функции Ф.
Для расчета распределения плотности Земли с помощью уравне-
ния (4.20) необходимо подставить вместо Ro радиус Земли
Ro — R3 = 6370 км
и задать граничные условия для плотности на поверхности Земли
Л2(Яо) = р(Яо) = 2,7г/см3.
Сравнение полученной теоретической кривой р — р(г) с данными
Буллена [139] показывает, что уравнение (4.20) достаточно хорошо
описывает распределение средней плотности вещества внутри Земли
(рис. 4 6).
Поскольку момент инерции планеты наиболее точно характеризу-
ет распределение ее плотности, то теоретически был рассчитан мо-
мент инерции Земли. Теоретический момент инерции JT сравнивался
с моментом JB, полученным на основе опытных данных Буллена. Они
совпадают с точностью до 3%
^—100% = ^100% = 3%.
Отсюда видно, что волновое уравнение с кубичной нелинейностью
хорошо описывает внутреннюю структуру планет. Дальнейшее раз-
витие теории требует использования уравнения (4 18), решение кото-
рого позволит описать наблюдаемое на опыте квантование плотности
материи внутри Земли.
Постэйнштейновское развитие теории гравитационного поля про-
ходило в направлении квантования уравнений Эйнштейна или раз-
личных их модификаций. Причем основной подход заключался в
применении формально разработанных методов квантования к об-
щерелятивистским уравнениям гравитационного поля. В результате
многолетних поисков уравнений квантовой теории гравитации до сих
пор не удалось построить общепризнанную теорию. Причина неудач
242
Рис. 4.6. Распределение плотности Земли
заключалась, по-видимому, в том, что при построении квантовой тео-
рии гравитации не были использованы эмпирические факты, связан-
ные с дискретной структурой центрально-симметричных гравитиру-
ющих систем Хотя эти факты известны науке давно, до сих пор не
существовало теории движения материи, которая бы естественным
образом приводила к волновым уравнениям (4.15).
Новый подход, который предложен в настоящей работе, опирает-
ся как на наблюдаемые данные по дискретной структуре Солнечной
системы, так и на развитие идей Эйнштейна, теоретическое решение
которых привело к геометризации полей материи и, следовательно,
к геометризации квантовых полей. Конечно, сделан только первый
шаг, позволяющий связать новые квантовые уравнения гравитацион-
ного поля и их теоретические следствия с экспериментально наблю-
даемыми явлениями, однако у автора существует глубокая уверен-
ность в правильности найденного подхода ввиду его фундаменталь-
ности [140].
243
4.3. Сверхсветовые сигналы в экспериментах
Козырева-Лаврентьева--Пугача
Отличительная особенность теории физического вакуума заклю-
чается в том, что решения ее уравнений носят триплетный характер,
описывая «тройной портрет» любого материального объекта. На-
пример, гравитирующая звезда с массой М характеризуется трипле-
том метрик (3.3)-(3.5), если мы полагаем в этих метриках Ф° =
= MG/c2. Решение (3.3) соответствует брадионному портрету звез-
ды, т.е. звезде, которая движется со скоростями меньше скорости
света с. Решение (3.4) описывает люксонный портрет звезды, кото-
рый движется со скоростью света. Наконец решение (3.5) описывает
тахионный портрет, движущийся со сверхсветовой скоростью.
Этот теоретический результат схематично изображен на рис. 4.7.
Понятно, что для находящегося в начале системы отсчета О иссле-
дователя люксонный и тахионный портреты будут «наблюдаться» в
разных точках пространства. Здесь слово «наблюдаться» специаль-
но поставлено в кавычки, поскольку регистрация сверхсветовых объ-
ектов требует существования переносчиков сверхсветовых сигналов-
тахионов. Более того, можно предположить, что в общем случае в
пространстве должны быть разнесены все три портрета: брадион-
ный, люксонный и тахионный. То, что мы видим обычно один объект,
связано с малым расстоянием до него. Действительно, брадионные,
люксонные и тахионные поля, переносящие информацию об объекте,
скорее всего, удовлетворяют волновым уравнениям и описываются
запаздывающими решениями и — u(r — ct). Когда расстояния малы,
разница во времени между приходом тахионного и люксонного сигна-
лов мала; при этом истинное положение объекта совпадает с наблю-
даемым. При больших расстояниях они, естественно, не совпадают,
и это несовпадение можно «наблюдать», если существует тахионный
портрет, передаваемый со сверхсветовой скоростью.
Эксперименты по регистрации тахионного портрета звезд были
впервые проделаны российским астрономом Н.А. Козыревым [141—
144] Используя астрономические данные, Н.А.Козырев рассчитывал
местоположение видимой звезды на небесной сфере на текущий мо-
мент и направлял на это место телескоп (рис.4.8). Ясно, что в опти-
ческом диапазоне звезда в этом месте не видна из-за запаздывания,
связанного с конечностью скорости распространения света. Вход-
ной зрачок телескопа был закрыт оптически непроницаемым матери-
алом - черной бумагой или тонкой металлической фольгой, поэтому
аппаратура оказывалась «слепой» по отношению к оптическому и
ближнему ИК-излучению. На оптической оси в фокальной плоско-
244
Рис. 4.7. Триплетный характер решений уравнений вакуума
Скорости решений: t?j - брадионного; с - люксонного; г2 - та-
хионного
сти телескопа устанавливалось регистрирующее устройство, пред-
ставляющее собой резистор, включенный в сбалансированный мо-
стик Уинстона. Н.А.Козырев заметил, что при наведении телескопа
на предполагаемое к навтоящему моменту место расположения звез-
ды в электрической цепи, образующей мостик Уинстона, появлялся
ток. Какое-то излучение, идущее от звезды со скоростью, превышаю-
щей скорость света, проходило сквозь оптически непроницаемые пре-
пятствия и вызывало изменение сопротивления резистора. Послед-
нее обстоятельство указывает на то, что наблюдаемое неизвестное
науке излучение обладает достаточной мощностью или не ослабля-
ется по мере распространения, хотя им пройдено огромное расстоя-
ние.
Совершенно неожиданной для общепринятой теории оказалась ги-
потеза Н.А.Козырева, предполагающая существование сигнала от
будущего положения звезды (на рис.4.8 этой гипотезе соответствует
фантом звезды), причем будущее местоположение источника «фан-
томного» сигнала определяется на звездной траектории перед ис-
тинным положением на расстоянии равном примерно расстоянию от
245
Рис. 4.8. Эксперимент Н. А.Козырева по наблюдению сверхсветовых
сигналов (тахионов) от звезды
оптического до истинного положения звезды. Однако Н. А.Козырев не
анализирует физическую природу носителя фантомного сигнала. Те-
ория физического вакуума дает возможность для научного исследо-
вания этого, казалось бы, совершенно невероятного суждения. Дей-
ствительно, ни тахионные, ни тем более люксонные сигналы не в со-
стоянии переносить наблюдателю информацию о будущих событиях.
Единственными претендентами на эту роль в теории вакуума явля-
ются первичные торсионные поля, обладающие двумя необходимыми
свойствами:
а) для них не существует понятия скорости, поскольку они есть
(если это так) всегда и в любой точке пространства;
б) они не обладают энергией, но переносят информацию.
Оба этих свойства делают первичные торсионные поля наиболее
вероятным претендентом на роль переносчика сигналов из будущего1,
правда с одной оговоркой: сигналы первичного торсионного по-
1 Первичные торсионные поля несут информацию обо всей истории звезды,
включая ее состояние в прошлом
246
ля идут из всех точек траектории, а не из одной, как предполагал
НА.Козырев.
Эксперименты Н.А. Козырева по регистрации тахионных сигна-
лов от звезд были проведены в Пулково под Ленинградом в конце
50-х годов и не вызвали в то время должной реакции научной обще-
ственности Относительно недавно они были независимо подтвер-
ждены наблюдениями академика М.М Лаврентьева с сотрудниками
[145, 146] в Новосибирске и А.Ф.Пугачем [147] на Кавказе.
Понятно, что эксперименты Козырева Лаврентьева-Пугача не
могут быть объяснены в рамках общепринятых представлений о про-
странстве-времени, не допускающих (по крайней мере, официально)
существования сверхсветовых сигналов, переносимых частицами с
мнимой массой. С другой стороны, в современной теории элемен-
тарных частиц и космологии широко используется модель спонтан-
ного нарушения симметрии вакуума. В основе этой модели лежит
нелинейное уравнение скалярного поля вида
□у> — р2у> + /3<р3 = 0
с мнимой массой. Это означает, что современная теоретическая фи-
зика в своих моделях уже давно вышла за рамки обычной теории
относительности.
Что касается фантома звезды, то, по предположению Н.А. Козы-
рева, от видимого изображения он находится на таком же расстоя-
нии, как и тахионный портрет, но в направлении будущего положения
звезды. Таким образом, тахионное изображение делит расстояние
между фантомным и люксонным портретами пополам2.
4.4. Экспериментальные проявления
электроторсионного излучения
Основная цель написания данного раздела состоит в том, что-
бы, опираясь на целый ряда экспериментов, доказать сам факт су-
ществования нового физического поля, а именно торсионного излу-
чения. Детальная разработка обсуждаемых явлений и их строгое те-
оретическое описание еще впереди. Однако уже сейчас совершенно
ясно, что теоретическую базу торсионных экспериментов составляет
теория физического вакуума.
2В научной печати отсутствуют сообщения о том, что Н.А.Козырев наблю-
дал фантом звезды, однако в своих выступлениях на научных семинарах ученый
неоднократно заявлял об атом
247
Из формулы (3.156) следует, что любой заряд, обладающий спи-
ном, излучает (наряду с электромагнитным полем) электроторсион-
ную компоненту, порожденную спином. Точное решение уравнений
вакуума для спинирующей заряженной частицы приводит к потенци-
альной энергии (3119). Из аналитического вида этой энергии следу-
ет весьма важный теоретический вывод: свободное торсионное поле
обладает нулевой потенциальной энергией взаимодействия. Действи-
тельно, устремляя в энергии (3.119) электромагнитный- радиус те к
нулю, мы получаем для отличного от нуля «спинового» радиуса г,
нулевое значение энергии взаимодействия. Этот результат означа-
ет, что свободное торсионное излучение должно обладать высокой
проникающей способностью и легко может быть отделено от элек-
тромагнитного с помощью, например, клетки Фарадея.
4.4.1. Торсионные генераторы Акимова
Руководствуясь этими выводами, можно предложить следующую
схему простейшего генератора торсионного излучения (рис. 4.9), ре-
ализованную А.Е.Акимовым [29]. Внутри заземленного металличе-
ского корпуса 1 находится генератор электромагнитных колебаний
Г с перестраиваемой частотой собственных колебаний3. Выходной
контур 3 имеет конденсатор С и индуктивность L. В конденсаторе С
вместо диэлектрика используется ферромагнетик 4 Меняя поляр-
ность на обкладках конденсатора, мы заставляем электроны ферро-
магнетика менять ориентацию спинов, что порождает электроторси-
онное излучение. При работе генератора за пределами заземленного
металлического корпуса имеет место только электроторсионная ком-
понента, поскольку электромагнитная часть излучения отсекается за
счет экранировки. Торсионное излучение формируется конусом 5
Понятно, что частота излученного торсионного сигнала совпадает
с частотой задающего генератора. Изменение частоты электромаг-
нитных колебаний задающего генератора 2 приводит к изменению
частоты выходного торсионного сигнала, поэтому управление тор-
сионным генератором осуществляется с помощью электромагнитных
полей.
На рис. 4.10 показан один из генераторов Акимова, широко ис-
пользуемый в торсионных экспериментах.
В настоящее время в России разработаны и производятся тор-
сионные генераторы с широким набором регулируемых параметров.
Такие генераторы допускают плавную перестройку торсионных ча-
3Для некоторых экспериментов используются статические генераторы тор-
сионного поля
248
3
1
5
Рис. 4.9. Принципиальная схема торсионного генератора Акимова
1 - заземленный цельнометаллический корпус; 2 - генератор; 3
выходной контур; ~ ферромагнетик; 5- конус, формирующий диа
грамму направленности торсионного поля
Рис. 4.10. Внешний вид генератора Акимова со средними функци
ональными возможностями и широкой диаграммой направленности.
Генератор допускает генерацию статического торсионного поля и
торсионного излучения на частотах до 100 МГц в режимах Sr и Rl
стот, введение модуляций различых типов, возможность генерации
правых (Sr) и левых (5д) торсионных полей, осуществляют плав-
ную регулировку «интенсивности» выходного торсионного сигнала
и т.д. В генераторах используются всевозможные рабочие среды как
источники торсионного сигнала; потоки электронов, плазма, ферро-
магнетики и т.д.
Особый класс торсионных генераторов составляют устройства,
использующие геометрические поверхности с той или иной тополо-
гией. На опыте было установлено, что геометрические поверхности,
сделанные из различных материалов, поляризуют вакуум по торси-
онному полю, создавая правые и левые торсионные поля одновремен-
но. Этот процесс можно объяснить расщеплением вакуума на правые
249
Рис. 4.11. Торсионная поляризация вакуума, создаваемая конусом
Точки а и 6 обозначают максимумы левого торсионного поля St
и левые вакуумные торсионные поляризации, причем правые Т^к и
левые Т']к торсионные поля связаны соотношением
+ Т'к= 0. (4.21)
Эксперименты показывают [115], что торсионную поляризацию ва-
куума можно вызвать искусственным образом, поместив в вакуум
какой-либо материальный объект. Например, полый конус, изгото-
вленный из любого материала, вызывает торсионную поляризацию
[148], изображенную на рис. 4.11. Диаграмма направленности, точ-
ки максимумов и киральность статического торсионного поля были
определены по воздействию торсионной поляризации на объекты, в
которых шли процессы со спиновой поляризацией, например кристал-
лизация мицеллярных структур [148]. Этот эффект, получивший на-
звание «эффект форм», описан многими исследователями [149, 150] и
даже запатентован [151, 152].
4.4.2. Воздействие торсионного излучения
на кристаллические структуры
Хотя торсионное излучение и обладает высокой проникающей спо-
собностью, оно оказывает воздействие на материальные среды, вза-
имодействуя с их спиновой структурой. На рис. 4.12 представлены
результаты по облучению КС1 в момент кристаллизации
250
a
б
Рис. 4.12. Воздействие торсионного поля на кристаллы КО
Образцы, а -контрольный; 6 - облученный торсионным полем
Первоначально в растворе спины атомов соли имеют хаотиче-
скую направленность. Предполагалось, что в процессе облучения
раствора статическим торсионным полем спины атомов выстраива-
ются в соответствии с направлением поля. В результате образовав-
шаяся кристаллическая решетка искажается, что приводит к измене-
нию величины и формы образовавшихся кристаллов соли. Эти пред-
положения подтвердились экспериментально.
На рис. 4.12 мы видим кристаллы в чашке Петри без облучения
и облученные статическим торсионным полем. Торсионный генера-
тор стоял снизу чашки Петри, и его диаграмма направленности за-
хватывала среднюю часть чашки. На контрольном образце можно
заметить, что в отсутствие облучения кристаллы формируются раз-
розненно и имеют различную форму На рис. 4.12, 6 видно, что в
том месте, куда попало торсионное излучение, кристаллы соли обра-
зуют сплошную зону, более однородны по форме и более мелки по
сравнению с контрольным образцом.
Еще более впечатляющими оказались эксперименты по воздей-
ствию торсионного излучения на расплавы металлов в печи Таммана
(рис.4.13). Она представляет собой вертикально установленный ци-
линдр 1, изготовленный из малоуглеродистой ферромагнитной ста-
ли. Торцы цилиндра закрыты водоохлаждаемыми крышками, и весь
251
Рис. 4.13 Облучение расплава металла в печи Таммана торсионным
полем
корпус заземлен. Таким образом, оболочка печи служит прекрасным
экраном от внешних электростатических и электромагнитных полей.
Торсионный генератор 2 с потребляемой мощностью 30 мВт уста-
навливался на расстоянии 400 мм от оси цилиндра печи на уровне
расположения тигля 3 с металлом 4 (на уровне центра высоты печи).
Для получения слитков лист меди разрезался на куски, которые
погружались в алундовый тигель. Тигель с содержимым устанавли-
вался в печь, нагревательным элементом которой служит проводя-
щая графитовая трубка 5. В качестве защитной атмосферы исполь-
зовался аргон.
Переплав контрольного образца меди осуществлялся с выдержкой
30 мин. Охлаждение металла до 800°С происходило сначала в печи,
а затем на воздухе Слиток разрезался в вертикальной плоскости,
поверхность разреза полировалась и травилась раствором азотной
кислоты
Структура полученной меди представлена на рис. 4.14,а. Она
отличается крупными зернами с характерной внутренней фрагмен
тацией. В процессе выплавки другого слитка такой же массы при
температуре расплава меди 1400°С был включен торсионный гене-
ратор с правой поляризацией поля, облучавший расплав в течение
20 мин. После общей выдержки расплава в течение 30 мин металл
охлаждался до 800°С в печи, а затем на воздухе. Шлиф для исследо
ваний изготавливался, как и в предыдущем опыте. Структура меди,
обработанной торсионным полем по указанной выше методике, пред-
252
a
б
Рис. 4.14. Воздействие торсионного поля на расплав меди (увел. 130)
Образцы: а -контрольный, 6 - облученный торсионным полем
ставлена на рис 4.14,6.
Исследования механических свойств облученной торсионным по-
лем меди показали, что по сравнению с контрольным образцом проч-
ность и пластичность облученной меди увеличилась [153].
4.5. Воздействие торсионных полей
на растения
В 1984-1985 гг. в России были выполнены работы по эксперимен-
тальному исследованию реакции растений на воздействие торсион-
ных излучений [154]. В основу экспериментов были положены следу-
ющие предпосылки.
Во-первых, было высказано предположение, что внутриклеточная
и межклеточная жидкость, представляющая собой сложный раствор
органических и неорганических веществ, должна проявлять себя не
только как зарядовая, но и как спиновая система. При этом допуска-
лась возможность изменения этой зарядовой системы при изменении
ее спинового состояния. В этом случае можно было ожидать, что
в результате спинового воздействия торсионным излучением изме-
нение спинового состояния метаболита может воздействовать на его
253
электрохимические параметры, например pH
Во-вторых, высказывалось предположение о возможной чувстви-
тельности клеточных мембран к воздействию торсионных излучений.
Это предположение исходило из того, что вследствие структурной
упорядоченности молекул мембран должна наблюдаться их спиновая
упорядоченность, т.е. мембраны клеток будут вести себя как спино-
вые системы. Изменение состояния мембран клеток могло приводить
к изменению транспорта ионов и белков через мембраны, что должно
было изменить электрофизические параметры проводимости тканей.
Ввиду ожидаемых изменений электрофизических параметров ра-
стений было решено зафиксировать воздействие торсионных излу-
чений на растения именно по электрофизическим параметрам. По-
скольку в период планирования экспериментов было трудно постро-
ить достаточно подробную модель воздействия торсионных излуче-
ний на растения из-за недостатка теоретических данных и отсутствия
опыта экспериментальных работ в этой области, выбор измеряемых
параметров и технических средств для их регистрации представлял
собой сложную задачу.
В результате проведенного анализа было признано целесообраз-
ным для оценки состояния растений, подвергающихся воздействию
торсионных излучений, использовать достаточно общий метод - ре-
гистрации проводимости тканей растений. Он заключался в следу-
ющем. В растение вводятся два игольчатых электрода, на которые
подается гармонический сигнал. На фиксированных частотах изме-
ряется импеданс в электрической цепи между электродами. Затем
вычисляется дисперсия импеданса. Для практической оценки состо-
яния клеточных мембран клеток и самих клеток используется вели-
чина обратная дисперсии импеданса.
Процедура эксперимента предусматривала проведение контроль-
ных измерений на фиксированных частотах fi, fa, fn в отсутствие
воздействия торсионных излучений. При этом получили соответ-
ствующий ряд измеренных величин обратной дисперсии импеданса
Aj, Д2,..., Ап- Затем после торсионного воздействия на растение вы-
полнялись замеры на тех же частотах, через последовательные ин-
тервалы времени 1,2,..., г,..., к. Ряды полученных величин в каждом
замере калибровали относительно контрольного замера. Так, если
в i-м замере (i G [1,М) получали ряд величин Ац, Аг,-,..., Апц то для
оценки состояния ткани растения использовали разности Ац — Aj, Аг,-
— Аг, Ani — Ап Указанная процедура была названа методом отно-
сительной дисперсии проводимости (ОДП).
Предполагалось, что процедура калибровки позволит различать
воздействие на растения «правого» и «левого» торсионного излуче-
254
ния по изменению знака разностей. Не исключалась возможность
воздействия разного знака на разные части растения.
В экспериментах использовался ВНОСИМ - регистрационный
прибор, разработанный А.В.Милюковым. Этот прибор позволял из-
мерять обратную величину дисперсии импеданса на 10 частотах в
диапазоне 1 — 512 кГц (1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128,256; 512). Сигнал, подава-
емый на электроды, составлял менее 1В.
Используемые генераторы торсионных излучений (ГТИ) устана-
вливались на расстоянии 5 м от испытуемого растения и ориентиро-
вались излучающей частью на это растение. Диаграмма направлен-
ности при выбранном расстоянии от генератора до растения обеспе-
чивала воздействие торсионным излучением на растения в целом - и
корней и стеблей.
Эксперимент строился следующим образом. При включенном
генераторе торсионных излучений прибором БИОСИ М измерялась
контрольная ОЛП. Затем на 10 мин включался генератор торсион-
ных излучений. Через 1 мин после выключения производились изме-
рения ОДП4 Серии замеров на 10 частотах осуществлялись через
каждые 2 мин. Общее число серий выбиралось до 10. В эксперимен-
тах оценивалось воздействие торсионных излучений на растения по
изменению ОЛП либо в листьях, либо в корнях растений, в листьях
и в корнях при измерениях сразу двумя приборами ВНОСИМ Про-
цедура калибровки обеспечивала равенство нулю величин Ап, — Ап,
если воздействие торсионных излучений не приводило к изменению
состояния растений.
Объектами исследований были растения: хлопчатник, люпин, пе-
рец, щавель, лимон, пшеница, а также клубни картофеля, огурццы.
Результаты исследований приведены на графиках, на которых по оси
абсцисс отложено значение lnfn, где /п- соответствующие частоты,
на которых производится измерение, а по оси ординат отложены зна-
чения ОДП. Во всех экспериментах, результаты которых приведены
ниже, использовалось воздействие торсионным полем правой поля-
ризации.
Первая фаза эксперимента ставила своей целью установить соот-
ветствующие доказательства наличия воздействия торсионных излу-
4Выбор измерений после выключения торсионного генератора был связан
с опасениями, что при включенном генераторе изменение измеряемых вели-
чин могло быть связано не с реакцией растения на торсионное излучение, а
с воздействием торсионных излученнй на сам измерительный прибор. В пери-
од проведения рассматриваемых экспериментов еще не были созданы устрой
ства управления диаграммой направленности излучений торсионных генерато-
ров, а также широко используемые сейчас средства экранировки от торсионных
излучений.
255
ОДП
Рис. 4.15. Сравнительный анализ изменения относительной диспе-
рсии проводимости стебля (положительные значения ) и корня хлоп-
чатника (отрицательные значения) после воздействия торсионного
излучения
чений на растения. Поэтому воздействие осуществлялось, когда ра-
стения находились в нормальных условиях для их роста. Последова-
тельные значения серий замеров ОДП стебля и корня хлопчатника
приведены на рис. 4.15 (цифрой в кружках обозначен номер серии
замера). На графике видно, что через первые 2 мин после 10 мин воз-
действия торсионным излучением наблюдается устойчивое измене-
ние ОДП. На последующих сериях замеров специфический характер
значений ОДП на этих четырех частотах сохраняется. На интерва-
ле серий измерений 0-20 мин после снятия воздействия торсионных
излучений значения ОДП в сериях сглаживаются, приобретая доста-
точно гладкий монотонный характер
Реакции стеблей и корней на воздействие торсионного излучения
показаны на рис. 4.15. На следующем этапе работ была исследована
возможность дальнего воздействия торсионного излучения на расте-
ния (на рсстоянии 20 км). Необходимым условием дальнего торси-
256
ОДП
Рис. 4.16. Результаты дальнего (20 км) дистанционного воздействия
торсионного излучения на стебель (а) и на корень (6)
онного воздействия является использование адресного режима, кото-
рый может быть осуществлен многими различными способами. Од-
ним из примеров адресного режима воздействия является метод аме-
риканского исследователя Д.Абрамса, примененный им еще до вто-
рой мировой войны. Д Абрамс ошибочно трактовал эффект адрес-
ного воздействия через специфические электромагнитные эффекты,
так как других теорий в те годы не существовало.
С современных позиций адресный режим можно достаточно точ-
но охарактеризовать как торсионный аналог широкополосных систем
радиосвязи с псевдошумовыми сигналами с аномально большой ба-
зой (WT 1), которая реализуется за счет чрезвычайно широкого
спектра частот.
В экспериментах по дальнему воздействию торсионных излучений
объектом воздействия был выбран хлопчатник. Результаты дальнего
торсионного воздействия на стебель и на корневую систему приведе-
ны на рис. 4.16. Уменьшение ОДП в стебле при воздействии с 20 км
против воздействия с 5 м (см. рис 4.15) составляет 20 — 30% Умень-
шение ОДП в корнях составило более 7 раз В ряде экспериментов
было установлено, что уменьшение ОДП очень мало по сравнению с
ростом расстояния (5 х 103), что не соответствует воздействию элек-
тромагнитным полем.
9 Г И.Шипов
257
ОДП
Рис. 4.17. Результаты воздействия модулированным торсионным из-
лучением на стебель (а) и корень (6) хлопчатника
Учитывая специфику распространения торсионных излучений, мо-
жно предположить, что уменьшение реакции на торсионное воздей-
ствие растений было связано не с ростом расстояния между источ-
ником торсионного излучения и объектом воздействия, а с потерей
эффективности воздействия при использовании недостаточно совер-
шенного метода адресного режима. Полезно отметить, что в экспе-
риментах 1986 г по передаче двоичной информации по торсионному
каналу, также на расстоянии порядка 20 км, использовались более со-
вершенные средства. Это позволило осуществить дальнюю передачу
торсионного воздействия вообще без уменьшения эффективности по
сравнению с передачей на расстоянии 3 м.
Последующую фазу исследований составили эксперименты по из-
учению воздействия на растения информационным торсионным сиг-
налом, а не простой несущей или даже статическим полем. С уче-
том того, что в то время еще не были разработаны пространствен-
но-частотные модуляторы, в процессе экспериментов использовался
достаточно примитивный прием.
Мелко измельченный лист хлопка помещался в область торсион-
ного излучения генератора. Предполагалось, что при этом торси-
онное излучение, проходя через измельченный лист, будет хотя бы
частично промодулировано собственным торсионным излучением из-
мельченного листа.
Результаты торсионного воздействия на стебель и корень хлоп-
чатника представлены на рис. 4.17. В отличие от данных экспери-
9
258
мента на рис. 4 15, серии замеров «информационного торсионного
воздействия» образуют прыгающие относительно друг друга кри-
вые. Кроме того, в низкочастотной части спектра для ряда кривых
наблюдается относительный рост ОДП, а в высокочастотной части
спектра достаточно интенсивное падение ОДП. В отличие от рис.
4.15, где все спектры ОДП стебля лежат в положительной области,
на графике реакции стебля на информационное торсионное воздей-
ствие часть спектров полностью или частично лежит в отрицатель-
ной области.
Изложенные результаты экспериментов носят предварительный
характер, так как не во всех случаях условия экспериментов и их ме-
трологическое обеспечение отвечали требованиям максимальной ме-
тодической строгости Однако успешное дальнее торсионное воздей-
ствие (20 км) при использовании излучателя с потреблением электро-
энергии питания менее 50 мВт дает возможность говорить об уста-
новлении факта воздействия на растения, которое, видимо, не может
быть идентифицировано с известными дальнодействиями, - электро-
магнетизмом и гравитацией. В то же время конструктивные особен-
ности ряда использовавшихся приборов дают основание идентифици-
ровать воздействие со спиновой поперечной поляризацией, которая
отождествляется с торсионными полями.
В лабораторных экспериментах был выявлен характер торсион-
ных воздействий на растения, а также специфичность реакции корне-
вой системы и стеблевой части растений на торсионные излучения.
Удалось показать принципиальную возможность реализации адрес-
ного торсионного воздействия.
Полученные результаты существенно превзошли те, что ожида-
лись в самом начале исследований. Это тем более отрадно, если
учесть, что прогнозы были самые пессимистические. Не было ника-
ких оснований предполагать, что диапазон 1 — 512 кГц может оказать-
ся эффективным для торсионных воздействий на растения.
В то же время, как и следовало ожидать, прорыв в новую область
выявил много вопросов, решение которых потребовало в дальнейшем
значительных усилий Ряд из них отметим особо.
1. Какие молекулярно-клеточные или другие механизмы опреде-
ляют изменение импеданса при воздействии торсионных излучений
на растения?
2. Какие процессы определяют вид конкретных спектров ОДП
(например, провалы на тех или иных частотах) и их эволюцию во
времени?
3. Как меняется последействие, если воздействие будет более 10
мин?
259
4. Какова динамика спектров ОДП на интервале до возврата к
исходному состоянию (Т 20 мин)?
5. Какова динамика ОДП (спектров ОДП) не после воздействия,
как это имело место в данном исследовании, а в процессе воздей-
ствия?
6. Как изменится реакция растений на торсионное воздействие,
если использовать существенно меньшее или существенно большее
воздействие, чем то, которое использовалось?
7. Почему реакция растения при воздействии торсионных излуче-
ний оказывается ярко выраженной при изменении импеданса и почти
отсутствует или слабо выражена при изменениях по постоянному то-
ку?
Перечень подобных вопросов можно было бы существенно расши-
рить. Эти вопросы в значительной мере и определили программу
дальнейших исследований.
4.6. Торсионные эксперименты в механике
Теоретический вывод из торсионного закона сохранения (3142)
состоит в том, что за счет обмена между поступательным и враща-
тельным импульсами можно изменить импульс центра масс изолиро-
ванной механической системы.
4.6.1. Эксперименты Н.В. Филатова по столкновению
гироскопов
Предварительные эксперименты, показывающие справедливость
высказанных утверждений, были проведены в конце 60-х годов доцен-
том кафедры теоретической механики Тверского политехнического
института Н.В.Филатовым [155].
В эксперименте Н.В.Филатова исследовалось столкновение двух
массивных тел, установленных на тележках (рис 4.18). Одно из тел
представляло собой вращающиеся гироскопы. Вращение гироско-
пов происходило в разные стороны с одинаковой угловой скоростью,
обеспечивая тем самым равенство нулю полного момента системы.
Чтобы в момент столкновения гироскопов с другой массой про-
скальзывание отсутствовало, по ободу гироскопов были укреплены
выступающие короткие штыри. Кроме того, гироскопы были закре-
плены в кардановых подвесах и могли прецессировать.
Процесс столкновения вращающихся гироскопов с обычной мас-
сой снимался на кинопленку со скоростью 2000 кадров в секунду и
260
Рис. 4.18. Столкновение двух гироскопов тг с массой тТ
а - вид сбоку; 6 - вид сверху
затем подвергался обработке с целью определить скорость центра
масс системы до и после столкновения.
В результате большого числа экспериментов было установлено,
что в случае, когда после удара гироскопы начинали прецессиро-
вать, центр масс системы изменял свою скорость Результаты неко-
торых экспериментов представлены в табл 4.3. В этой таблице vc и
Гц - скорость центра масс системы и число оборотов гироскопов до
удара. Их значения после удара обозначены соответственно как v'c и
«2- Из приведенных данных видно, что после столкновения скорость
центра масс системы меняла свое значение.
Н В.Филатов приводит в работе [155] следующую формулу для
изменения скорости центра масс системы
. Ju>u>'rmT
vc = vc + -r~i-;--v? >
h(mT 4- mry
261
Таблица 4.3
Буфер Массы тпт, тпг !7С П1 «2 vc
Метал гпт — тпг -0,196 1093 272 -0,326
» » -0,31 1000 231 -0,16
Метал 2тт — тпг -0,0208 1253 263 -0,167
Резина » 0,23 1078 253 0,154
Метал пт,. - 2тпг 0,233 1153 82 0,0532
» м 0,402 922 87 0,181
Резина 0,446 840 50 0,196
где г' и vc - скорости центра масс после и до удара; А - плечо удара,
вызывающего прецессию; ш' -угловая скорость прецессии; ш - угло-
вая скорость вращения роторов; тг - масса тележки с гироскопами;
тт - масса тележки с буфером; J - момент инерции гироскопов; т -
время удара.
Из формулы Филатова видно, что обычный закон сохранения им-
пульса для данной изолированной механической системы выполняет-
ся только в частном случае, когда прецессия гироскопов отсутствует
Ранее было отмечено, что теорема ньютоновской механики о не-
возможности изменить импульс центра масс изолированной механи-
ческой системы нарушается для сил инерции, которые не удовлетво-
ряют условиям теоремы, поскольку для сил инерции не выполняется
третий закон Ньютона и силы инерции оказываются одновременно
внутренними и внешними по отношению к изолированной механиче-
ской системе. Силы инерции, возникающие при вращении, порожда-
ют поля инерции (торсионные поля), связанные с кручением геоме-
трии абсолютного параллелизма. Поэтому закон сохранения (3.142)
в конечном счете сводится (в момент удара) к взаимодействию сил
инерции различного характера, связанных с поступательными и вра-
щательными ускорениями
4.6.2. Эксперименты с инерциоидом Толчина
Четырехмерный гироскоп с самодействием впервые, по-видимому,
был изобретен российским инженером В.Н.Толчиным [156] и был на-
зван им инерциоидом. В.Н.Толчин в начале 30-х годов занимался ди-
намическим гашением вибраций токарных станков на заводе в Перми.
Для этого он разработал и изготовил вибратор (четырехмерный ги-
роскоп), который устанавливался в районе резцовой головки токар-
262
ного станка. После одного из испытаний В Н Толчин снял вибратор
со станка и, держа его в руках, наблюдал за процессом остановки
вращающихся масс. Неожиданно, по образному выражению самого
автора, вибратор прыгнул у него из рук без ощутимой отдачи На по-
вторение и выделение этого эффекта было потрачено несколько лет.
Дальнейшая работа привела к созданию инерциоида - четырехмер-
ного гироскопа с самодействием.
Работая главным конструктором Пермского машиностроительно-
го завода, В.Н.Толчин изготовил инерциоиды различных типов, ряд
характеристик которых приведены в его книге «Инерциоид, силы
инерции как источник движения» [156]. Конструктивно инерциоид
Толчина выполнен так, что для управления скоростью его центра
масс имеется устройство - мотор-тормоз Назначение этого устрой-
ства состоит в том, чтобы осуществлять само действие инерциоида в
секторах 330 — 360° и 160 — 180°, при этом в секторе 330 — 360° проис-
ходило увеличение скорости центра масс от 0 до величины порядка
10 см/с, а в секторе 160 — 180° уменьшение скорости центра масс с
10 см/с до 0.
4.6.3. Расчет нескомпенсированной силы инерции
Сектора управления были выбраны В.Н.Толчиным на основании
большого числа экспериментов. Однако достаточно обратиться к
уравнению (3.183), чтобы увидеть, что максимальное ускорение цен-
тра масс достигается при углах, близких к 0 и 180°. Это ускорение
появляется за счет действия на ценрт масс инерциоида Толчина не-
скомпенсированной силы инерции.
Приближенный расчет нескомпенсированной силы инерции, гра-
фик которой приведен на рис. 4.19, производится следующим обра-
зом. Предположим, что решение (3.187)—(3.194) вращательного урав-
нения в режиме самодействия можно представить в виде [119]
У(ф, k, а) = к) + AJ(ф, k, а),
(4 22)
Ф = Ф° + Аф,
о , А 0 , Dk? СОЁФ° - совф(^)
о/ = ц; 4- Аы — U 4----------«--——
+ (ы°) 1-Рып2ф(1) ’
где ф°, а>° и J - невозмущенные значения, а Дф, До» и AJ - их малые
приращения за счет самодействия четырехмерного гироскопа
Эти соотношения возможны, если выполняются следующие нера-
венства
a cos ф 1,
263
Рис. 4.19. График нескомпенсированной силы инерции, действующей
на центр масс четырехмерного гироскопа
2Dk2 cos фо
(w°)2 (1 — к2 sin2 Фо)
2Dk2 (cos ф° — cos ф(/)) 1
(wo)2 (1 — к2 sin2 ф(/))
(4.23)
Подставляя (4.22) в поступательное уравнение движения, имеем
(М + 2т)хс = (Л1 + 2т)х° — 2m.ru sin ф — 2тгш2 cos ф «
« (Л/ + 2m)x° — 2mru)° sin ф° — 2тгДо> sin ф° — 2mr(w° + Дш)2 cos ф°,
где х° - поступательное ускорение без самодействия. Учитывая не-
равенства (4.23), запишем поступательное уравнение в виде
(М + 2m)zc = О — 2тгДи>8тф° — 2тг[2ш°Дш + (Ди)2] cos ф°, (4 24)
где
= wo(fc~2 - sin2 фо)*^2(Л-2 — sin2 ф°(<))-1^2,
264
см
Рис. 4.20. Экспериментальная кривая движения центра масс инер-
циоида Толчина
д _ Dk2 (соафо — cos $°(t))
(w°) (1 - fc2sin20o(/)) '
а символ 0 в правой части (4.24) означает компенсацию всех невоз-
мущенных сил инерции.
Если менять величины о>°, Деи и Ды вблизи углов 0 и 180°, то
основную роль играет второй член в правой части уравнения (4.24),
который при малых Дш запишется как
Fc = cos </>°(Z) и 2jF°r° (cos ф0 _ cos ^>0(<))C°S^0^. (4.25)
Г Sill ф°(1) ’
Из графика на рис. 4.19 видно, что от 0 до 180° на центр масс
действует сила инерции, вызывающая замедление центра масс. На
углах от 180 до 360° эта сила ускоряет центр масс системы.
Можно выбрать сектора самодействия четырехмерного гироскопа
таким образом, что средняя скорость его центра масс будет отлична
от нуля. Такое устройство было предложено В.Н.Толчиным в книге
[156]. Выбирая сектор разгона 340 — 360° (косинус положителен и бли-
зок к +1), мы получаем ускорение центра масс под действием силы
Fq- При выборе сектора торможения 160— 180° (косинус отрицателен
и близок к -1) мы получаем замедление центра масс под действием
силы Ео; при этом, как легко вычислить, средняя скорость центра
масс отлична от нуля.
В 1983 г. А.П.Гладченко были проведены эксперименты (см. рис.
4 20), в которых производилась съемка с помощью кинокамеры дина-
265
мики инерциоида Толчина, изготовленного по чертежам, опублико-
ванным в книге [156]. После обработки кинопленки с нее снимались
следующие динамические переменные:
а) угол поворота стержней ф(/);
б) смещение массы М, укрепленной на тележке с колесами, вдоль
оси х.
По этим данным с помощью формулы (98) вычислялась коорди-
ната центра масс [156]. На рис. 4.20 приведен типичный экспери-
ментальный график, показывающий изменение скорости центра масс
инерциоида в моменты работы мотора-тормоза.
Конечно, эти результаты следует рассматривать всего лишь как
предварительные, но, как следует из экспериментального графика,
они носят обнадеживающий характер. Дальнейшие работы в этом
направлении требуют больших капиталовложений. В случае успе-
ха открывающиеся перспективы создания новых видов транспорта
трудно переоценить.
Глава 5
Торсионные технологии и
технологические эксперименты
Экспериментальное проявление торсионных полей привело к раз-
витию научных направлений, которые в настоящее время трансфор-
мировались в одном случае в создание коммерческих технологий, а в
другом породили эксперименты, составляющие основу будущих тех-
нологий [158-160]. Поскольку часть информации в этой главе соста-
вляет ноу-хау, то мы ограничимся лишь общим описанием методов и
результатов исследований, ведущихся во многих научных коллекти-
вах под общим руководством Межотраслевого научно-технического
центра венчурных и нетрадиционных технологий (МНТП ВЕНТ) и
Международным институтом теоретической и прикладной физики
Российской Академии естественных наук (МИТПФ РАЕН).
Основные технологии, которые либо развиваются, либо уже явля-
ются коммерческим продуктом, следующие: торсионные средства
коммуникации и передачи информации; торсионные технологии про-
изводства материалов; вакуумно-торсионные источники энергии; тор-
сионные движители.
5.1. Торсионные методы передачи информации
Существующие сети и комплексы радио- и электросвязи являются
одним из базисных факторов современной, как ее часто называют, ин-
формационной цивилизации. Сейчас широко развиты средства связи
космические и радиорелейные, коротковолновая и проводная связь
и т.д.
Однако при развитии радио- и электросвязи возникли ограниче-
ния физического характера. Многие диапазоны радиосвязи перегру-
жены или близки к насыщению. Ряд систем радиосвязи уже реа-
267
лизует шенноновский предел пропускной способности радиоканалов.
Большое поглощение электромагнитных излучений природными сре-
дами требует громадных энергетических затрат для реализации свя-
зи. Многие виды радиосвязи принципиально нереализуемы, как, на-
пример, подводная связь. Несмотря на большую величину скорости
распространения электромагнитных волн, большие трудности возни-
кают из-за задержки сигнала в спутниковых системах связи и в еще
большей мере в системах связи с объектами в дальнем космосе. Су-
ществует множество других ограничений.
Реализация средств торсионной связи позволяет преодолеть эти
трудности в силу уникальности свойств торсионных полей. Наибо-
лее важными для задач связи свойствами торсионных полей (торси-
онных волн) являются следующие [29].
1. Прохождение через некоторые физические среды без взаимо-
действий с ними, т.е. без потерь (или с малыми потерями). Это
свойство торсионных полей следует из теоретического анализа урав-
нений вакуума. Надо отметить, что без связи с торсионными поля-
ми отечественными физиками более 10 лет назад было показано, что
спиновые возмущения в спиновой среде распространяются так, что
их нельзя экранировать [160, 161]. В этом случае появляется возмож-
ность создания подводной и подземной связи, а также связи через
любые другие среды.
2. Скорость торсионных волн может меняться, по-видимому, в
пределах от с до оо. Это не является чем-то неожиданным. В физи-
ке давно рассматриваются теоретические объекты со сверхсветовы-
ми скоростями - тахионы. В одной из публикаций было указано на
большое число астрофизических объектов, движущихся со скоростя-
ми больше скорости света.
В работах Н А.Козырева, И.А.Егаповой и А.Ф.Пугача [141-147]
приведены результаты измерений сигналов от звезд в их настоящем
положении, что возможно лишь при сверхсветовой скорости этих сиг-
налов, которые могут быть отождествлены с торсионными волнами.
Высокая групповая скорость торсионных волн снимает проблему за-
паздывания сигналов не только в пределах нашей Галактики, но и в
масштабах Вселенной.
3. У торсионных полей зависимость их интенсивности от рассто-
яния в настоящее время строго не определена, однако эксперименты
показывают, что эта зависимость отсутствует. В системах радио-
связи требуются чрезвычайно большие мощности для компенсации
потерь, связанных с ослаблением электромагнитных волн по закону
обратных квадратов, а также компенсации потерь при прохождении
радиосигналов через поглощающие среды. Так как в торсионной свя-
268
зи указанные факторы отсутствуют, то в первом приближении мож-
но сказать, что передачу информации по торсионному каналу связи
можно реализовать на любые расстояния и через любые среды сколь
угодно слабыми торсионными сигналами.
Однако в любой реальной системе передачи сообщений необхо-
димо обеспечить передачу требуемого количества информации, ко-
торое дается известным выражением К.Шеннона
1
Таким образом, для торсионных каналов передачи информации
единственными факторами, определяющими мощность излучаемого
сигнала, являются шумы в торсионном канале и достоверность пере-
дачи информации.
Впервые в мире передача двоичных сигналов по торсионному ка-
налу передачи информации была осуществлена в г. Москве в апреле
1986 г. [161]. Этим работам предшествовали успешные эксперимен-
ты в начале 60-х годов, выполненные К.Н.Перебейносом [162]. Бога-
тый опыт развития средств радиосвязи позволял достаточно точно
определить круг параметров торсионного канала передачи инфор-
мации, который был бы исчерпывающим для специалистов. Однако
было очевидно, что все эти параметры невозможно определить сра-
зу. Поэтому в первых экспериментальных исследованиях в реальных
условиях была поставлена задача получить ответы на два главных
вопроса:
1) реализуем ли сам факт передачи сигналов по торсионному ка-
налу связи;
2) подтверждается ли экспериментально высокая проникающая
способность торсионных волн.
5.1.1. Первые эксперименты по торсионной связи
Чтобы ответить на поставленные выше вопросы, была выбрана
следующая схема эксперимента. Передатчик торсионного излучения
был размещен на первом этаже здания около кольцевой автомобиль-
ной дороги г Москвы. Торсионный приемник находился в централь-
ной части столицы. Расстояние между этими пунктами по прямой со-
ставляло около 20 км. Торсионные передатчик и приемник не имели
устройств, которые могли бы выполнить функции антенн, вынесение
которых, например, на крыши домов, позволило бы обойти здание и
рельеф местности. В силу неэлектромагнитной природы торсионных
волн эффект отражения по аналогии с отражением коротких волн от
ионосферы был исключен. Таким образом, торсионный сигнал от
269
передатчика к приемнику мог распространяться только по прямой
через рельеф местности и железобетонные стены всех зданий, нахо-
дящиеся на пути торсионного сигнала.
С учетом плотности застройки в Москве толщина стен домов на
пути торсионного сигнала при выбранной схеме эксперимента была
эквивалентна железобетонному экрану толщиной свыше 50 м. Для
обычно используемых радиотехнических систем связь через такие
экранирующие препятствия практически невозможна.
На передающем конце торсионного канала связи применяли тор-
сионный передатчик конструкции А.А.Деева, а в качестве торси-
онного приемника - биоэлектронную систему. Ее работа основы-
валась на свойстве клеток тканей изменять проводимость мембра-
ны под действием торсионного поля. Это свойство было в неяв-
ном виде установлено В.А.Соколовой в 1982 г. [154], а в 1990 г.
исследовано В.В.Алабовским, Ю.Ф.Перовым и др. [163]. Возмож-
ность дальних дистанционных влияний торсионного поля на прово-
димость тканей вслед за В.А.Соколовой, но на другой аппаратур-
ной базе была подтверждена в начале 1986 г. исследованими, вы-
полненными М.Е.Варгановым и др. [164], под руководством проф.
И.В.Мещерякова. Впервые в явном виде экспериментально показано,
что при изменении знака торсионного поля Sr —> Sl или Sl —♦ Sr ме-
няется знак электрической проводимости тканей относительно сред-
него уровня. Это указывало на возможность использования биоси-
стемы для приема двоичных сигналов; с одним двоичным сигналом
(одним знаком поля) можно соотнести уровень проводимости биоси-
стемы, лежащий выше среднего, с другим (другой знак поля) - уро-
вень проводимости, лежащий ниже среднего.
В самом общем виде схема эксперимента по передаче информа-
ции по торсионному каналу связи приведена на рис. 5.1. В первом
цикле экспериментальных сеансов связи передача сигналов осуще-
ствлялась в адресном режиме на систему из пяти приемников. В
месте приема торсионного сигнала на интервале времени ожидания
передачи (6 ч) не были известны время начала передачи, структура
передаваемого сигнала, а также номер приемника, на который будет
осуществлена передача.
Переданный и принятый торсионный сигнал во время одного из се-
ансов торсионной связи показан на рис. 51, о, 6. Сигнал был принят
именно тем приемником, адресный признак которого был использо-
ван при передаче.
Во второй серии экспериментальных сеансов передачи торсион-
ных сигналов торсионный передатчик был размещен на пункте прие-
ма. Это соответствовало нулевой длине трассы связи и отсутствию
270
Рис. 5.1. Иллюстрация передачи двоичных торсионных сигналов
а - схема трассы, б - вид передаваемых сигналов; в — вид приня-
тых сигналов
поглощающих сред. Фрагменты принятых торсионных сигналов на
нулевых дистанциях без поглощающих сред приведены на рис. 5.1,
в. Нетрудно видеть, что принятые торсионные сигналы, изобра-
женные на рис. 5.1, 6, в, не отличаются по интенсивности. Полу-
ченный результат оказался первым экспериментальным доказатель-
ством отсутствия поглощения торсионных сигналов различными сре-
дами Это и предсказывалось теорией.
Сам факт передачи и приема торсионного сигнала имел такое же
значение, как и первые эксперименты А.С.Попова и Г.Маркони для
всего дальнейшего развития радиосвязи. Успешно выполненные экс-
перименты означали революцию, начало новой эпохи в решении за-
дач по передачи информации Была впервые продемонстрирована
дистанционная передача информации по торсионному каналу, а так-
же передача торсионных сигналов через поглощающие среды без осла-
бления при малых мощностях передатчика
Из анализа экспериментов невозможно было сделать вывод об
271
отсутствии зависимости интенсивности торсионного излучения от
расстояния, так как для работы была выбрана низкая скорость пе-
редачи торсионных сигналов. Это ограничение было связано с
большой инерционностью биоэлектронных торсионных приемников.
Для выбранной скорости передачи торсионных сигналов можно было
предположить, что длина трассы связи лежала в ближней зоне. Бо-
лее тщательная проверка независимости интенсивности торсионного
сигнала от расстояния требует другой схемы и методики выполнения
экспериментов.
5.1.2. Приемники и передатчики торсионного
излучения
В дальнейшем техника приема торсионных сигналов получила
интенсивное развитие. Первые, чисто технические приемники торси-
онных волн независимо друг от друга были созданы А.В.Бобровым,
Ф.А. и А.Ф.Охатриными, Г.Н.Дульневым и Е.Г.Бондаренко. В каче-
стве преобразователей торсионных волн в приемниках Г.Н.Дульнева
в электрические или электромагнитные сигналы использовались пе-
реходы металл - металл и оптоволоконные системы.
Исследованиями Г.Н.Дульнева впервые был экспериментально
установлен предсказанный теоретически эффект спинового насыще-
ния неравновесных сред при действии на эти среды торсионных из-
лучений. Насыщение приводит к тому, что сигнал на выходе торси-
онного приемника постепенно падает до нуля. Однако оказалось, что
этот отрицательный эффект можно преодолеть довольно простыми
техническими приемами.
В торсионных приемниках Боброва [165] преобразование торсион-
ных волн в электрические сигналы осуществлялось на двойных элек-
трических слоях. В качестве двойных электрических слоев использо-
вались системы жидкость-металл или полупроводниковые переходы.
Пример сигнала с выхода торсионного приемника при действии на
него источника торсионных излучений показан на рис. 5.2.
В работах А.В.Боброва впервые использовалась корреляционная
обработка принимаемого сигнала в скользящем статистическом окне
[166]. Вид исходных сигналов по четырем каналам приема и сигнала
после корреляционной обработки изображен на рис. 5.3. По выходу
коррелятора отношение S/N > 50.
В приемниках Бондаренко для преобразования торсионных волн
в электрический сигнал впервые использовались переходы на плен-
ках, а также устройства такого преобразования с внешним физиче-
ским возбуждением. Несколько ранее принцип внешнего возбужде-
272
Рис. 5.2. Торсионные сигналы, принятые приемниками Боброва
Стрелки, направленные вниз и вверх, соответствуют началу и кон-
цу торсионного воздействия на приемник
Рис. 5.3. Приемник 1 принял торсионный сигнал с большим отноше-
нием сигнала к шуму, чем приемник 2
ния использовался в системах регистрации торсионных излучений
Ф. А. Охат риным.
Все последующие работы выполнялись с использованием унифи-
цированных торсионных передатчиков. Внутреннее устройство од-
ного из таких передатчиков показано на рис 5 4. Этот передатчик
допускает возможность внешним электронным управлением плавно
перестраивать несущую, плавно регулировать интенсивность выход-
ного сигнала, работать с любым видом модуляции. Технически это
реализуется следующим образом. Стандартной радиотехнической
аппаратурой формируется несущая с требуемой модуляцией. Этот
сигнал поступает на торсионный передатчик, в котором радиосиг-
нал преобразуется в торсионный сигнал. Аналогичным образом осу-
273
Рис. 5.4. Внутреннее устройство передатчика торсионных излучений
ществляется переход от электрических к торсионным сигналам при
проводной связи. Такой подход позволяет обеспечить совместимость
радио- и проводной электросвязи с торсионной связью, что отвечает,
по крайней мере, идеологии семиуровневого протокола в средствах и
комплексах связи. Тем самым заложен важный технический принцип
гибкого перехода от радио- и электросвязи к торсионной связи.
5.1.3. Исследование зависимости торсионного
излучения от экранировки
После создания генераторов торсионного излучения были прове-
дены эксперименты по воздействию торсионного поля на различные
материалы. В ходе экспериментов были обнаружены высокая прони-
кающая способность полей и слабая их зависимость от расстояния.
Чтобы быть уверенными в приеме торсионными приемниками
именно торсионного излучения, в МНТП ВЕНТ была разработа-
на специальная экранирующая пленка. Результаты экспериментов
с применением экранирующей пленки приведены на рис. 5.5 [165].
Как видим, экранирование приемников и передатчиков торсион-
274
Рис. 5.5. Влияние экрана на прием и передачу торсионного поля
а-в - экранирующей пленкой обернут генератор торсионного излу-
чения; г,д - экранирование пленкой не производилось; е-з - экрани-
рующей пленкой обернут приемник
ного излучения привело к значительному уменьшению сигнала лево-
го торсионного поля (Z) и слабо изменило сигнал правого (Я) поля.
Эффективность экранирования зависела от того, был ли экраниро-
ван генератор или приемник. В случае экранирования приемника
величина его реакции была сравнима с уровнем фоновых флуктуа-
ций межэлектродного тока (на кривых е-з отношение сигнал/шум
не превышает 1).
При воздействии правым торсионным полем экранирующий эф-
фект почти не наблюдался. Этот результат объясняется свойства-
ми самой экранирующей пленки, которая, как оказалось, экранирует
вредные для человека левые торсионные поля.
В экспериментах с экранированием генератора начало и оконча-
275
ние воздействия полем с левой поляризацией отмечены характерны-
ми скачками межэлектродного тока (кривая в). Эти скачки тока об-
условлены, возможно, некой перестройкой структуры, происходящей
в экранирующей пленке при сильном воздействии на нее, когда эта
пленка расположена непосредственно у выхода генератора. При бо-
лее слабом воздействии на пленку она находилась в 3 м от генератора
и ею был обернут приемник. Перестройки в пленке либо не проис-
ходили, либо были настолько слабы, что не вызывали в приемнике
скачков межэлектродного тока.
Скачки межэлектродного тока в приемнике и, по-видимому, пе-
рестройки в экранирующей пленке не возникают при воздействии
правым торсионным полем, даже если пленка расположена непосред-
ственно вблизи генератора (кривые а,6).
Экспериментально установленные свойства торсионных полей и
успешные эксперименты по передаче информации через торсионный
канал связи позволяют не умозрительно, а на вполне реальной осно-
ве прогнозировать развитие торсионных методов и средств передачи
информации как основы коммуникаций в начале следующего тысяче-
летия [167].
5.2. Торсионные методы в металлургии
Целесообразность поиска торсионных методов в металлургии
диктовалась достаточно простыми исходными соображениями. При
естественном остывании расплава металла для формирования кри-
сталлической решетки необходимо выполнение двух известных усло-
вий. Во-первых, ионы атомов расплава должны занять потенциаль-
ные ямы, соответствующие узлам кристаллической решетки. Во-
-вторых, атомы, находясь в этих пространственных позициях, долж-
ны ориентировать свои спины по ребрам кристаллической решетки,
причем ориентировать так, как это соответствует данному типу кри-
сталлической решетки. Последний фактор особенно важен, так как
внешнее торсионное поле может изменять спиновые состояния несвя-
занных в расплаве атомов.
Рассмотрим сначала предельный случай. Допустим, что внеш-
ним изотропным торсионным полем все атомы в расплаве спиново
поляризованы. Это означает, что все спины атомов расплава будут
иметь одинаковую ориентацию, т.е. они образуют систему одноимен-
ных «торсионных зарядов» - спинов в их классическом понимании.
Но одноименные торсионные заряды (однонаправленные спины) вза-
имно притягиваются1.
'Этот результат получен на основе анализа большого числа експерименталь-
276
За счет взаимного притяжения спиновая система (спиново поля-
ризованный расплав) будет представлять собой устойчивое образо-
вание. Любой атом в такой системе за счет торсионного притяжения
соседними атомами не сможет изменить своего спинового состояния.
В силу этого при естественном остывании расплава спины атомов,
будучи связанными в единый спиновый коллектив, не смогут ори-
ентировать свои спины по ребрам кристаллической решетки. В ре-
зультате нарушения этого условия, хотя ионы атбмов и займут свое
пространственное положение (потенциальные ямы), кристаллическая
структура не образуется. Металл при медленном остывании перей-
дет в аморфное состояние. Описанная ситуация наблюдалась во мно-
гих экспериментах. Если удельная поляризация по спинам будет ме-
нее 100% на единицу объема расплава, то реализуется иная степень
диспергирования.
Возможна другая ситуация. Внешнее торсионное поле будет зада-
но с такой пространственной структурой, которая будет соответство-
вать не тому типу кристаллической решетки, которая характерна для
данного металла. Заданная таким внешним торсионным полем про-
странственная спиновая структура определит тип кристаллической
решетки в процессе остывания металла. У этого металла будет «чер-
ная» кристаллическая решетка. В выполненных экспериментальных
работах наблюдался эффект изменения типа кристаллических реше-
ток. При этом, правда, остается открытым для будущих исследова-
ний вопрос о «границах возможного».
Наконец, укажем на еще одно важное обстоятельство. Из кванто-
вой теории известно, что условием образования гомеополярных мо-
лекул служит взаимная спиновая компенсация валентных электронов
взаимодействующих атомов. Очевидно, подобные взаимодействия
ответственны и за возникновение жидкой или твердой фазы одноком-
понентных веществ при конденсации из парогазовой среды [168]. По-
этому, если в природе существуют поля, которые приводят к спино-
вой поляризации частиц, имеющих ненулевой спин [29], то это должно
существенным образом сказаться на структуре и свойствах агрегат-
ных состояний веществ.
Проникая в материю, торсионные поля приводят к спиновой по-
ляризации вещества и во многом предопределяют условия существо-
вания химической связи между атомами. Присутствие правого и ле-
вого торсионного полей играет значительную роль при взаимодей-
ствии излучения с частицами вещества. Очевидно, ассимметрия тех
или иных свойств молекул (ассоциатов) при изменении знака поля-
ризации может представлять собой самый убедительный аргумент в
ных данных.
277
a 6
Рис. 5.6. Конденсированная пленка олова толщиной 320 А на графи-
товой подложке (а) (увел. 18000) и ее электронограмма (6)
пользу как существования самих полей, так и их влияния на вещество.
5.2.1. Влияние торсионных полей на расплав олова
В ходе экспериментов [169] было исследовано влияние торсион-
ных излучений на характер упорядочения атомных микрогруппиро-
вок в перегретом до 450 — 600°С расплаве олова непосредственно в
колонне электронного микроскопа ЭВМ-100 Л, снабженного пристав-
кой ПРОН-ЗУЧ, в вакууме 2 х 10~3 Па. Пленка - конденсат для ис-
следований - получена путем препарирования олова чистоты 99,999
мае % на графитовую пленку, расположенную на медной сетке.
Источником полей служил торсионный генератор. Генератор
устанавливался на внешней стороне металлической водоохлаждае-
мой части колонны микроскопа (в области объективной линзы), что
экранировало образец как от электромагнитных, так и от звуковых
воздействий. Следует также отметить, что электромагнитные линзы
электронного просвечивающего микроскопа создают мощные элек-
тромагнитные поля, которые, однако, не приводят к каким-либо из-
менениям фаз плавления.
Исходная структура олова приведена на рис. 5 6, а. Пленка явля-
ется квазинепрерывной, отдельные островки имеют пластинчатую
фрагментацию. Параметры межплоскостных расстояний (рис. 5.6, 6)
составляют 2,91; 2,79; 2,05; 2,01; 1,65; 1,48; 1,45 А и т.д. и относятся к
тетрагональной решетке Т1 олова (/?-фаза). При ускоренном нагреве
образца до 450° С (температура плавления олова 232° С) происходит
коалесценция отдельных островков в капли (рис.5.7, а). При этом те-
трагональная решетка Т1 превращается в тетрагональную решетку
278
б
Рис. 5.7. Изображение пленки олова при температуре 450° С (а)
(увел. 18000) и ее электронограмма (б)
б
Рис. 5.8. Электронограмма от капельной фазы олова при 450° С
после воздействия торсионным излучением в течение 18 мин с право-
сторонней поляризацией (а) и левосторонней (б)
ТЗ (см.рис.5.7, б) с межплоскостными расстояниями 2,99; 2,69; 1,95;
О
1,85 А и т.д. Наличие кристаллической фазы в каплях расплавов ин-
дия [168] и олова [170] наблюдалось ранее. Было показано [171], что
они не принадлежат оксидам, а структура расплава соответствует
модели доменного строения жидкостей.
При температуре образца 450°С последний был облучен в тече-
ние 18 мин правым торсионным полем. В результате этой обработки
морфология фаз плавления оставалась прежней (см. рис. 5.7, а);
однако характер упаковки атомов в кластерах (блоках когерентного
рассеяния) изменялся (рис.5.8, а) и соответствовал плотной гране-
центрированной кристалической (ГНК) решетке с параметрами меж-
О
плоскостных расстояний 2,76; 2,35; 1,66; 1,42, 1,35, 1,16 А, которым
соответствуют индексы (111), (200),(220), (311), (222), (400) с разме-
279
а б
Рис. 5.9. Фазы плавления олова при нагреве до 650° С (а) (увел.18000);
электронограмма олова при 650° С после воздействия торсионным
излучением с правой поляризацией (6)
ром куба 4,707 А- При повторном включении поля с левосторонней
поляризацией наблюдалось восстановление типа решетки ТЗ (рис
5.8, 6), который сохранялся при последующем перегреве расплава до
температуры 600° С [170].
В процессе нагрева и выдержки до этой температуры происходи-
ла коалесценция металла, морфология и дисперсность капель изме-
нялись (рис. 5.9, а), а после включения правого торсионного поля
также наблюдалось превращение решетки из тетрагональной ТЗ в
ГПК (рис 5.9, 6) На этой электронограмме наряду с кольцевыми ли-
ниями, принадлежащими кристаллической фазе, заметны два кольца
в виде гало (см. рис. 5.9, 6), которые в соответствии с данными ра-
бот [168, 170] относятся к слоистой фазе, наблюдаемой в виде тонких
прозрачных пленок (см. рис. 5.7, а).
При охлаждении образца до комнатной температуры морфология
фаз и электронограмма не меняются (см рис. 5.9, а,б) На рис. 5.10
в качестве эталона приведена электронограмма алюминия, имеюще-
го ГПК-решетку К2 Сравнительный анализ типов решеток, изобра-
женных на рис. 5 9, 6 и 5.10, однозначно свидетельствует о том, что
образовавшаяся под воздействием торсионного излучения фаза в пе-
регретом до 650° С олове имеет ГПК-решетку К2 с параметром а =
О
= 4,707 А Объем, приходящийся на один атом, в исходной решетке
Т-1 составляет ~ 27 А (26,996 А ), а в новой фазе К2 ~ 26 А (25,956
О
А), т.е. происходит повышение плотности упаковки атомов Этот
результат является закономерным, поскольку ГПК-решетка является
наиболее плотно упакованной Какого-либо химического соединения
О
олова, имеющего решетку К2 с параметром 4,707 А, не известно
280
Рис. 5.10. Электронограмма алюминевой пленки (эталон)
Повторный нагрев образца в электронном микроскопе до 800°С не
привел к изменению ГЦК-решетки Выдержка образца при комнат-
ной температуре, которая соответствует температуре рекристалли-
зации в течение одного месяца, также не привела к изменению ти-
па решетки Возможной причиной полиморфного превращения кла-
стерной фазы жидкого олова из тетрагональной сингонии в наиболее
плотную гранецентрированную кубическую сингонию может быть
связано с повышением плотности доли коллективных электронов (S-
состояний) в валентной зоне Это равносильно повышению давления
на ионную подсистему.
Перераспределение электронов в валентной полосе под воздей-
ствием излучения может происходить в результате их спиновой по-
ляризации. На каждом А'-уровне энергетической зоны в кристалле в
соответствии с принципом Паули и распределением Ферми Дирака,
находятся по два электрона с антипараллельными спинами Если
торсионное излучение приводит к спиновой инверсии части электро-
нов валентной полосы, то на тех A-уровнях, электроны которых после
воздействия приобрели параллельную спиновую ориентацию, один
из электронов в соответствии с принципом Паули должен перейти на
свободный A-уровень. Это равносильно изменению тонкой структу-
281
a
б
Рис. 5.11. Изменение структуры олова (увел. 6000)
Образцы: а - контрольный; 6- после обработки расплава торсион-
ным излучением
ры валентной полосы и ее уширению. Изменение энергетических ха-
рактеристик электронной подсистемы приводит к изменению многих
свойств исследуемых металлов, и поэтому высказанное предположе-
ние относительно электронной подсистемы нуждается в дальнейших
исследованиях.
Из полученных данных следует, что для олова изменение напра-
вления спиральности торсионного излучения при сохранении всех
прочих условий приводит к изменению типа кристаллической решет-
ки кластеров, существующих в перегретом расплаве олова. На ди-
фракционную картину и морфологию фазы расплава, существующей
в виде слоистой решетки [168-171] и имеющей электронограмму в ви-
де гало, торсионное излучение не влияет при температурах 450 и
650° С.
Особенно хорошо заметно воздействие торсионного излучения на
расплав олова на шлифах, приведенных на рис. 5.11. Контрольный
шлиф олова представлен на рис. 5.11, а, на котором видны большой
разброс зерен и большая нёоднородность структуры. После обра-
282
ботки расплава олова торсионным излучением был получен шлиф,
представленный на рис. 5.11, 6. При одном и том же увеличении
(6000 раз) на рис. 5.11, 6 видны однородность структуры и одинако-
вая величина зерен большего размера.
Исследование воздействий торсионных излучений на олово пока-
зало, что любые частицы или их ассоциаты (молекулы, имеющие нес-
компенсированные спины) подвержены спиновой поляризации при об-
работке металлов торсионным полем. А так как расплавы металлов,
обладающие доменным строением [172-175], содержат на границах
структурных элементов большое число оборванных связей, имеющих
спиновую нескомпенсированность, то они должны взаимодействовать
с торсионным полем В связи с этим можно предположить, что неко-
торое спиновое упорядочение частиц или их ассоциатов приведет к
возникновению соответствующего структурирования металлической
жидкости, что может быть унаследовано при затвердевании.
5.2.2. Изменение структуры меди под действием
торсионного поля
Процессы структурообразования в металлах имеют первосте-
пенное значение для достижения тех или иных свойств. Вторым на-
правлением исследований было изучение влияния торсионного излу-
чения на расплав меди [153]. Это влияние оценивалось по изменению
структуры и механических свойств литой и катаной меди при срав-
нительных испытаниях контрольных образцов и образцов, затвердев-
ших после обработки полем Слитки получены путем переплава меди
класса ВЗ чистоты 99,996 мае.% в печи Таммана в атмосфере арго-
на. Свойства литого металла исследовались на слитках, полученных
пу^ем разливки расплава в графитовые тигли. С целью уменьшения
Насыщения кислородом катаный металл получен деформацией слит-
ка, который при выплавке не переливался в тигель, а затвердевал и
охлаждался в печи в среде аргона. Медь, полученная по последней
технологии, служила основой для структурных исследований
Печь Таммана представляет собой вертикально установленный
цилиндр диаметром 350 мм и высотой 600 мм, изготовленный из ма-
лоуглеродистой ферромагнитной стали (см.рис. 4.13 ). Источником
торсионных излучений служил тот же генератор, что и при работе с
расплавом олова.
Генератор устанавливался на расстоянии 400 мм от оси цилиндра
печи на уровне расположения тигля с металлом (на уровне центра
высоты печи) и облучал расплав в течение 20 мин.
Структура меди контрольного образца и обработанного торсион-
283
a
б
Рис. 5.12. Микроструктура литой меди (увел 100)
Образцы: а - до облучения; 6 - после облучения торсионным
излучением
ным полем, представлена на рис. 5 12. Центральный стык трех зерен
(рис. 512, 6) выглядит рыхлым, однако при микрозондовом анализе
скопления примесных элементов в зоне стыка не обнаружено. Внутри
зерен, так же как и в исходном образце, наблюдается пластинчатая
фрагментация, но гораздо более мелкодисперсная (рис. 5.12, 6) и ви-
димая лишь при увеличении в 1000 раз.
Сравнительное исследование субструктурных особенностей образ-
цов проведено с помощью просвечивающей электронной микроско-
пии. Структура исходной меди содержит обычные для такого рода
состояний дислокационные скопления (рис. 5 13) [173]; отличительной
особенностью субструктуры облученной меди (рис. 5.13, а) служит
наличие клубковых дислокационных скоплений и двойников. Послед-
ние приводят к возникновению на электронограммах вдоль диффуз-
ных линий двойников и экстрарефлексов (рис. 5.13, 6) в плоскости
(ПО). Темнопольное изображение двойника (рис. 5.13, в) получено
в двойниковом рефлексе (ИЗ), показанном стрелкой на рис. 5.13, 6.
О
Размер областей когерентного рассеяния составляет 100 200 А, что
свидетельствует о чрезвычайно дисперсном состоянии облученной
284
a
б
в
Рис. 513. Субструктура облученной меди (а) (увел 19000), ее элек-
тронограмма (6) и темнопольное изображение двойника в рефлексе,
указанном стрелкой на электронограмме (в)
меди.
В соответствии с уравнением Хола-Петчи диспергирование струк-
туры [174] вызывает повышение прочности, а увеличение плотности
внутренних границ, источников дислокаций [175], приводит к возра-
станию пластичности. Для выяснения этих положений были прове-
дены сравнительные исследования механических свойств обычной и
облученной меди. Слитки для изготовления образцов на разрыв по-
лучали путем перелива расплава из тигля в графитовую форму. За-
твердевший слиток разрезался вдоль вертикали на четыре сектора
(доли), из которых вытачивали цилиндрический стандартный обра-
зец с диаметром рабочей части 3 мм. Испытания на разрыв произ-
водились на установке НИКИМП.
Воздействие торсионного поля на расплав меди повышает проч-
285
Таблица 5.1
Характеристика состояния металла Прочность (Пр.), кг/мм2 АПр 100% Пластичность (Пл), кг/мм2 АПл 100%
Пр. Пл
Контрольная плавка 7,17,3 12-14 13,2-13,4 21-22
Обработка расплава полем 6,6-7,4 21 24 15,6-16,7 27-31
Обработка расплава сенситивом 6,6-7,6 26-28 16,4-18,0 32-36
ность и пластичность металла (табл. 5 1). Сопоставление получен-
ных данных указывает на то, что сенситивные воздействия дают наи-
лучшие результаты
Таким образом, медь, обработанная торсионным полем, обладает
высокой технологической пластичностью, что позволяет катать ме-
талл без промежуточных отжигов с суммарным обжатием 95% Су-
жение при разрыве катаной и отпущенной при 400°С меди составляет
95%, что превышает известные стандартные значения
Возможность структурных изменений в металлах при торсионной
обработке расплавов, помимо В П Майбороды, на фундаментальных
экспериментах была позже независимо показана ГН Фурсеем
В выполненном цикле исследований с оловом и медью были полу-
чены предварительные результаты зависимости изменения характе-
ристик металлов при торсионном воздействии на расплав от спектров
торсионных излучений В частности, было установлено уменьшение
пор в меди, возникающих при торсионной обработке расплава меди
с ростом частоты торсионного излучения при отсутствии продувки
металла газом. Чрезвычайно важным фактором, также вытекающим
из предсказаний теории вакуума, было изменение структуры метал-
ла в объеме, что было следствием предсказываемой высокой прони-
кающей способности торсионных излучений Результаты тем более
впечатляющи, если учесть, что торсионное излучение проникало че-
рез стенки печи Таммана, которые в силу замкнутости и заземления
образовывали камеру Фарадея.
Не менее важным фактором было то, что изменения структуры ме-
талла и в печи Таммана, и в заводских печах происходили при дей-
ствии торсионного генератора, потребляющего менее 60 мВт энер-
286
ГИИ
Указанные исследования были выполнены в 1989-1991 гг Позже
они были перенесены на заводскую базу, где было показано, что на за-
водских электропечах с теми же маломощными торсионными генера-
торами, которые использовались в лабораторных условиях, получа-
ются те же самые структурные изменения металлов при действии на
их расплав торсионным излучением Работы в заводских условиях
решают задачу обработки торсионных технологий в металлургии
5.3. Вакуумно-торсионная энергетика
В квантовой теории поля все частицы рассматриваются как кван-
товые поля, представленные в виде набора так называемых кванто-
вых осцилляторов. Например, электромагнитное поле без зарядов
рассматривается как возбужденное состояние вакуума, состоящее из
бесконечного набора фотонов с энергией
Ek = hwk, (5 1)
где к - трехмерный импульс отдельного фотона. Энергия отдельно-
го вакуумного возбуждения (квантового осциллятора), соответству-
ющая фотону с энергией (5-1), определяется как
£k = hwk(nk + |).
В этом соотношении добавочная энергия 1/2Лсмк, являясь энерги-
ей нулевых колебаний вакуума, отлична от нуля даже в том случае,
когда фотона вообще не существует Поскольку число фотонов, ро-
жденных из вакуума, может быть бесконечно большим, то энергия
вакуума оказывается бесконечной
1 °°
Ео = - 5wk = оо (5.2)
2 к
Подобное соотношение получается при описании рождения из ва-
куума всех физических частиц Ясно, что если в некоторой области
вакуума рождается конечное число частиц, то и энергия (5 2) в этой
области будет конечной
Далее в книге будут приведены результаты теоретического иссле-
дования возможности практического использования энергии вакуума
(5 2), при этом мы будем придерживаться научной концепции, изло-
женной автором в [102]
В кваитоиой теории поля при расчетах бесконечная анергия отбрасывается,
причем ©то не оказывает влияния на результаты расчетов.
287
5.3.1. Положительные, отрицательные и мнимые
энергии
Классическая физика рассматривает системы, у которых анер-
гия есть положительно определенная величина. Со знаком энергии
связывают направление стрелы времени (всегда в будущее), после-
довательность во времени причинно-следственных связей (сначала
причина, а затем следствие), выбор решений волновых уравнений
(только запаздывающие), направление переноса тепла (от нагрето-
го тела к холодному) и т.д
С развитием квантовой электродинамики сформировалось пред-
ставление об отрицательной энергии. Согласно электронно-позит-
ронной теории вакуума, предложенной П Дираком, энергия частицы
(электрона) положительна
Ее — + \/т2с4 + р2с2, (5.3)
а энергия античастицы (позитрона) отрицательна
Ер = — \/т2с4 +р2с2. (5.4)
Из формулы
Е = тс2
следует, что отрицательные энергии предполагают существование
отрицательных масс
р
т~ = - —, Е > 0.
с2
Отрицательными энергиями и отрицательными массами облада-
ют частицы, которые движутся «в прошлое» внутри и на поверхно-
сти (если масса покоя = 0) светового конуса прошлого. Поэто-
му в квантовой электродинамике позитрон можно рассматривать
как электрон, который движется вспять во времени3. Таким обра-
зом, на микроуровне квантовал теория допускает направление стре-
лы времени в прошлое и существование отрицательных энергий и
масс.
В работе [109] Я П. Терлецким были установлены теоремы, со-
гласно которым поля-частицы положительной, нулевой, отрицатель-
ной и мнимой масс тесно связаны между собой Так, например, до-
статочно предположить существование отрицательных масс, как из
этого следуют мнимые массы и сверхсветовые скорости, и наоборот.
3После усреднения по большому числу частиц квантовая симметрия по вре-
мени нарушается и ось времени направлена только в будущее.
288
5.3.2. Что должен представлять собой вечный
двигатель второго рода
В основе второго начала термодинамики лежит постулат
Р.Клаузиуса, который утверждает, что тепло не может само по се-
бе перейти от менее нагретого тела к более нагретому.
Одним из выводов второго начала является возрастание энтропии
S, или
^>0.
dt ~
где I - время.
Имеется и другая трактовка второго начала термодинамики в ви-
де постулата Томсона, согласно которому невозможно построить
венный двигатель второго рода, т.е. двигатель способный черпать
энергию из резервуара с температурой ниже, чем самая низкая тем-
пература окружающей среды.
Как известно, самой низкой температурой в современной термо-
динамике является абсолютный нуль температуры (или —273° С), по-
этому выход за рамки второго начала термодинамики возможен, если
в природе существуют системы с «отрицательными температурами»
или отрицательными массами. Рассмотрим обе возможности более
подробно.
1. «Отрицательные температуры»
Система с «отрицательной температурой», приведенная в тепло-
вой контакт с каким-либо телом, будет далее понижать свою темпера-
туру, нагревая данное тело. Это дает возможность построить тепло-
вой двигатель второго рода вопреки постулату Р.Клаузиуса. Однако
на практике системы с «отрицательной температурой» имеют огра-
ниченный запас энергии Е, которую они могут отдать, поскольку для
них справедливо неравенство
Emin < 2? < £тах>
где Етп - конечная величина «отрицательной энергии» системы,
Етлх - конечная величина положительной энергии системы.
Примером реальной системы с «отрицательной температурой»
может служить лазер в возбужденном состоянии, у которого боль-
шое количество электронов находится на верхнем метастабильном
уровне. Излучая фотон (спонтанно или под действием внешнего ис-
точника) на частоте перехода на нижний стабильный уровень, лазер
будет отдавать энергию в окружающее пространство до тех пор, пока
все электроны не перейдут на нижний стабильный уровень и энергия
его оптически активной среды не станет минимальной.
10 Г.И.Шипов
289
2. Отрицательные массы и энергии
Теория вакуума предсказывает отрицательные массы и отрица-
тельно энергии, причем вакуум имеет практически неограниченную
минимальную энергию, т.е.
-оо < Е < Етт.
Это означает, что любая система, состоящая из положительных
масс, при соприкосновении ее с вакуумом способна постоянно полу-
чать энергию из практически неограниченного источника. Техниче-
ская реализация подобной системы привела бы к созданию вечного
двигателя второго рода.
Ранее было показано (см формулы (5 3), (5 4)), что современная
квантовая теория допускает существование в микромире отрицатель-
ных масс и отрицательных энергий Для макромира эти процессы
запрещены вторым началом термодинамики, которое можно тракто-
вать как направленность стрелы времени в будущее. Спрашивается,
существуют ли отрицательные массы и отрицательные энергии в ма-
кропроцессах7
Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо исследовать меха-
низм взаимодействия частиц отрицательной массы с прибором, пред-
назначенным для регистрации частиц положительной массы Погло-
щение таким прибором частиц отрицательной массы должно приво-
дить к уменьшению его энергии, а испускание - к ее увеличению. Со-
временные регистрирующие приборы увеличивают свою энергию,
когда частицы положительной массы тормозятся в нем, отдавал ему
энергию. Поэтому обычные приборы могли бы регистрировать про-
цессы испускания частиц отрицательной массы, однако все они скон-
струированы для улавливания частиц, а не для их генерирования
Это означает, что вечный двигатель второго рода должен предста-
влять собой своего рода генератор частиц отрицательной массы (или
энергии), который увеличивает свою энергию за счет излучения ча-
стиц отрицательной массы.
Понятно, что практическое изготовление такого прибора из обыч-
ных материалов неминуемо приведет к потере положительной энер-
гии (из-за трения, теплового излучения, внешних потребителей и
т.д.). Поэтому возможен стационарный режим работы вечного двига-
теля второго рода, когда потери положительной энергии сдерживают
ее дальнейший рост за счет излучения частиц отрицательной массы
(энергии).
10'
290
5.3.3. Ваку умно-энергетические установки
Итак, энергетическая установка, представляющая собой вечный
двигатель второго рода, допускается теорией физического вакуума
из-за существования в ней отрицательных энергий как на микро- так
и на макроуровнях Кроме того, существование отрицательных энер-
гий во флуктуационных процессах у физиков не вызывает сомнений.
Действительно, современная теоретическая физика признает на-
личие большой энергии флуктуаций физического вакуума Оценки
этой энергии, произведенные Д.Уилером, имеют относительно боль-
шую величину Например, термоядерная энергия оценивается плот-
ностью ядерного вещества - 1014 г/см3. Плотность планковской
энергии флуктуаций физического вакуума, по оценке Д.Уиллера, со-
ставляет величину порядка 1095 г/см3, т.е. энергия вакуумных флук-
туаций в 1081 раз больше термоядерной энергии [176].
Фактически ситуация аналогична той, как если бы в безбрежном
океане топлива (физическом вакууме) плыла лодка (наша Земля) с
двигателем, работающим на этом топливе. Тогда не было бы необ-
ходимости запасать топливо на самой лодке, если бы сидящие в ней
люди научились использовать окружающий их океан энергии.
С точки зрения потребителя, устройство, использующее энергию
вакуума, должно выглядеть как энергетическая установка, имеющая
коэффициент полезного действия (КПД) более 100% Действитель-
но, понятие КПД сформулировано для закрытых систем, для кото-
рых всегда выполняется условие КПД < 100%. С учетом энергети-
ческих свойств физического вакуума любая энергетическая система,
помещенная в физический вакуум, является (в той или иной степени)
открытой. Простым примером этого утверждения является атом во-
дорода, представляющий собой открытую систему, взаимодейству-
ющую с виртуальными вакуумными фотонами. Как известно [42], это
взаимодействие приводит к сдвигу 2s и 2р уровней, теоретический
расчет которого (в единицах частоты) составляет
Ai/(2s1/2) — Д*/(2р1/2) — Ю57,19 Мгц,
в то время как экспериментальное значение этой величины равно
1057,77 ±0,1 Мгц. Достаточно научиться постоянно отбирать эту
энергию у атома водорода (создав, например, водородный мазер на
этой частоте), как мы получим неисчерпаемый источник вакуумной
энергии.
В настоящее время уже существует достаточное число отечествен-
ных и зарубежных установок [177], «демонстрирующих КПД более
100%» (300 — 3000%). Эти установки (Ю.Потапова, К.Шоулдерса,
П Баумана, Г.Нипера, Р Авраменко, Д Келли и др.) представляют
291
3
Рис. 5.14. Энергетическая установка Шоулдерса с «КПД 3000%»
собой пример открытых систем, взаимодействующих с внешней сре-
дой - физическим вакуумом. Общим для всех реально действующих
установок является наличие в них вращающихся элементов, что ука-
зывает на их связь с торсионными полями и вращательной относи-
тельностью.
Из большого разнообразия взаимодействующих с вакуумом си-
стем остановлюсь на одной зарубежной и одной отечественной.
1. Установка. Шоулдерса
Одной из наиболее интересных запатентованных систем, демон-
стрирующих отбор энергии из физического вакуума, является уста-
новка Шоулдерса (Kenneth R. Shoulders), названная «Преобразова-
ние энергии с использованием разряда большой плотности» (А.с. N
5018180 (США) от 09.12 1991 г.).
Установка Шоулдерса представлена на рис. 5.14.
Основу установки составляет стеклянная трубка 1 и помещен-
ный в нее заостренный катод 2, на котором создается электронное
облако 3 большой плотности. Удивительным оказался тот факт,
что такое плотное скопление электронов оказалось устойчивым в
течение относительно длительного промежутка времени Согласно
К.Р.Шоулдерсу, электронный сгусток имеет форму тороида с внеш-
ним диаметром порядка 20 мкм, при этом электроны движутся по
поверхности тороида хотя и ускоренно, но без излучения.
В теории физического вакуума это явление может быть объяснено
двумя причинами:
а) электронный тороид образован самосогласованным электро-
магнитным полем электронов, при этом системы отсчета, связанные
с электронами, оказываются ускоренными локально инерциальными
системами отсчета первого рода и поэтому тороид стабилен;
292
б) на малых расстояниях кулоновское расталкивание электронов
может смениться электроторсионным притяжением.
Как было отмечено выше, явление б) наблюдается при воздей-
ствии торсионного поля на расплавы металлов. В этом случае спины
частиц в расплаве выстраивались по направлению поля и создавали
устойчивое образование, преодолевая кулоновские силы отталкива-
ния. Действительно, если использовать решение уравнений вакуума
с потенциалом взаимодействия (3.119), то, как видно из рис. 3.4, 6,
кулоновский барьер отталкивания между одноименно заряженными
частицами преодолевается и сменяется притяжением при однонапра-
вленной ориентации спина частиц [178]. В установке Шоулдерса ку-
лоновский барьер преодолевается за счет высокой скорости относи-
тельного движения электронов (порядка v/c = 0,1) и срабатывают
сразу оба фактора: а) и б).
Под действием положительного напряжения на аноде 4 устойчи-
вый электронный сгусток 3 движется в стеклянной трубке 1, на часть
которой намотан проводник 5. По мере того, как электронный сгусток
пересекает область трубки с проводником 5, в последнем возникает
импульс тока. Эксперименты Шоулдерса показывают, что энергия
возникшего в проводнике электрического импульса в 30 раз превыша-
ет энергию, которая была затрачена на формирование электронного
сгустка.
Летальное описание процесса отбора вакуумной энергии плотным
электронным облаком в установке Шоулдерса пока отсутствует. Как
и вся проблема вакуумной энергетики, установка Шоулдерса требу-
ет тщательного научного исследования
2. Установка. Потапова
В России Ю. Потаповым разработана гидродинамическая те-
пловая установка с КПД, превышающим 400%. Ее блок-схема пред-
ставлена на рис. 5.15 Электродвигатель (ЭД) приводит в движе-
ние насос (НС), заставляющий циркулировать воду по контуру (на
рис. 515 показано стрелками). Контур содержит цилиндрическую
колноку (ОК) и батарею отопления (БТ). Окончание трубы 3 можно
подключать к колонке (ОК) двумя способами:
1) к центру колонки;
2) по касательной к окружности, образующей стенку цилиндриче-
ской колонки.
Колометрические эксперименты с установкой Потапова, проведен-
ные в НПО «Энергия», показали, что при подключении по способу
1 количество тепла, отдаваемое воде, равно (с учетом потерь) коли-
честву тепла, излучаемому батареей (БТ) в окружающее простран-
ство. Но как только происходит подключение трубы по способу 2,
293
1
2
3
Рис. 5.15. Тепловая установка Потапова с «КПД 400%»
количество излучаемого батареей (БТ) тепла увеличивается в 4 ра-
за! Скрупулезные измерения, проведенные нашими и зарубежными
специалистами, показали, что при подводе 1 кВт к электродвигате-
лю (ЭД) батарея (БТ) дает столько тепла, сколько получается при
затрате 4 кВт.
При подключении трубы по способу 2 вода в колонке (ОК) получет
вращательное движение, и именно этот процесс приводит к увеличе-
нию количества отдаваемого батареей (БТ) тепла. Остается толь-
ко удивляться простоте и неожиданности решения проблемы получе-
ния избыточной положительной энергии из резервуара отрицатель-
ной энергии, существование которой предсказано теорией физическо-
го вакуума. Как и установка Шоулдерса, энергетическая установка
Потапова не имеет детального теоретического описания принципа по-
лучения избыточной энергии из вакуума Однако реально действу-
ющие установки Потапова вселяют надежду на более внимательный
подход к проблемам вакуумной энергетики с целью быстрейшего их
изучения, развития и внедрения в повседневную практику. Тем бо-
лее что потребность в новых эффективных и экологически чистых
источниках энергии год от года стремительно растет
294
5.4. Торсионные движители
Смена научной парадигмы неизбежно влечет за собой не только но-
вые способы передачи информации, создание материалов с необыч-
ными свойствами, эффективную энергетику и методы поиска полез-
ных ископаемых, но и новые средства передвижения, использующие
управляемые поля и силы инерции.
Действительно, все существующие модели торсионных движите-
лей конструктивно выполнены так, что их основой служит вращение
каких-либо сред: твердых тел, жидкостей, газов и т.д. Вращение
сред является источником управляемых сил инерции, действующих
на центр масс транспортного средства. Изменяя параметры враще-
ния «рабочего тела», мы меняем скорость и направление движения
центра масс всей системы.
Впервые устройства, которые подтверждают возможность созда-
ния транспортных средств, использующих торсионные движители,
были предложены В Н Толчиным 30 лет назад и были названы им
инерциоидами [156]. В.Н. Толчин создал полтора десятка устройств
подобного типа, которые демонстировали новый принцип движения в
разных ситуациях.
По чертежам, опубликованным в книге В.Н.Толчина «Инерциоид,
силы инерции как источник движения», в НПО «Энергия» была по-
строена демонстрационная модель торсионного движителя. С этой
моделью были проведены эксперименты на крутильных весах, кото-
рые показали существование тяги, созданной силами инерции.
Примерно пять лет спустя после выступлений В.Н.Толчина в пе-
чати и по телевидению в 1969 г. американский изобретатель Р.Кук
предложил свой тип торсионного движителя, который в настоящее
время существует в пяти вариантах. Один из вариантов, которым
заинтересовалась НАСА, представлен на рис. 5.16.
Движение механизма Кука принципиально новым способом у НА-
СА не вызывает сомнений [179], однако теоретического обснования
Р Куку, впрочем, так же, как и В.Н.Толчину, дать не удалось Тео-
ретическое обоснование новый принцип движения получает только в
теории физического вакуума (см. гл. 4).
5.4.1. Преимущества новых транспортных средств
Отличительной особенностью транспорта с торсионным движи-
телем является отсутствие внешней опоры или реакции отбрасыва-
емой массы, присущих современным транспортным средствам Как
следствие этого новый транспорт с торсионным движителем не будет
иметь колес, крыльев, пропеллеров, ракетных двигателей, винтов
295
Рис. 5.16. Торсионный движитель Кука
или каких-либо других приспособлений. В результате возникает уни-
кальная возможность для передвижения по твердой поверхности, по
воде, в воздухе, под водой, в космическом пространстве без вредно-
го воздействия на окружающую природную среду. Наиболее эконо-
мично торсионный движитель проявит себя при движении в космосе.
Эффективность использования горючего в этом случае составит
80 — 90% в отличие от ракетных двигателей (2%).
Транспортное средство с торсионным движителем будет способно
зависать над Землей на любой высоте, свободно парить, почти мгно-
венно менять направления движения. Подобные транспортные сред-
ства не нуждаются в запускающих устройствах, посадочных полосах,
аэропортах. Они с легкостью будут достигать скоростей, близких к
скорости света Более того, уже сейчас теоретические разработки
указывают на возможность преодолевать как расстояния, так и вре-
мя путем изменения топологических свойств постранства- времени
Внедрение нового способа движения приведет не только к измене-
нию традиционных средств передвижения, но и окажет сильное влия-
ние на общественное развитие и экономику (резко снизится стоимость
транспортировки пассажиров и грузов на средние и дальние рассто-
яния на Земле и в космическом пространстве). Появятся новые пред-
приятия с рабочими местами Сократятся масштабы использование
энергий, загрязняющих среду обитания человека.
Развитие торсионных транспортных средств и источников энер-
гии дает возможность понять физические принципы межзвездных пе-
релетов и устройство тех НЛО, которые являются, скорее всего, по-
сланниками других звездных систем
Литература
1. Дирак П.А.М. Пути физики. М.: Энергатомиздат, 1983.
2. Feynman R. // Phys. Today. 1966. Vol. 19. P.31.
3. Эйнштейн A. // Собр. науч. тр. М.; Наука, 1966. Т.2. С. 63.
4. Эйнштейн А. // Там же. С.171.
5. Шипов Г.И. II Изв. вузов. Физика. 1972. №10. С. 98-104.
6. Rutherford Е. // Philos. Mag. 1919. Vol. 37. Р.537.
7. Kinzinger Е. // Ztschr. Naturforsch. A. 1949. Bd.4. S.88.
8. Hofstadter R. // Rev. Mod. Phys. 1956. Vol. 28, №3. P.814.
9. Bohr N. // Philos. Mag. Ser.6. 1913. Vol. 26. P.476.
10. Эйнштейн A. // Собр. науч. тр. M.: Наука, 1966, Т.2. С. 243,
450, 674, 722.
11. Эйнштейн А. // Там же. Т.З. С. 626.
12} Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.:
Наука, 1964.
13. Шипов Г.И. II Изв. вузов. Физика. 1976. №6. С. 132.
14. Newman Е., Penrose R. // J. Math. Phys. 1962. Vol. 3, №3. P.566 -
587.
15. Debney G., Kerr R., Schield А. Ц Ibid. 1969. Vol. 10, №10. P. 1842.
16. Vaidya P. 11 Tensor. 1972. Vol. 24. P. 1.
17. Шипов Г.И. I/ Изв. вузов. Физика. 1977. №6. С. 142.
18. Нъютон И. Математические начала натуральной философии.
СПб., 1915-1916. Изв. Николаев. Мор. акад.; Вып. 4, 5.
19. Пайс А. Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна.
М.: Наука, 1989. 280 с.
297
20. Шипов Г.И. Проблемы физики элементарных взаимодействий.
М.: Изд-во МГУ, 1979 146 с.
21. Шипов Г.И. // Концептуальные проблемы квантовой теории из-
мерений. М., 1992. С. 134 143.
22. Шипов Г.И. // Изв. вузов. Физика. 1977. №3. С. 121.
23. Шипов Г.И. // Gen. Relat. and Gravit. 1983. Vol. 15, №1. P. 98.
24. Клиффорд В. /j Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М :
Мир, 1979. С.36-46.
25. Шипов Г.И. // Изв. вузов. Физика. 1985. №3. С. 74.
26. Шипов Г.И. Геометрия абсолютного параллелизма. Ч. 1. М.,
1992. 62 с. Препр. МНТП ВЕНТ; №14.
27. Шипов Г.И. Математические основы калибровочной модели фи-
зического Вакуума. М., 1987. Деп. в ВИНИТИ, №5326-В87.
28. Шипов Г. И. Теоретическая оценка электроторсионного излуче-
ния. М., 1996. 20 с. Препр. МИТПФ АЕН; №1.
29. Акимов А.Е. Эвристическое обсуждение проблемы поиска даль-
нодействий: EGS - концепция. М., 1991. 63 с. Препр. МНТП
ВЕНТ; №7А.
30. Шипов Г.И. // Материалы VII Всесоюзн. конф. «Современные
теоретические и экспериментальные проблемы теории относи-
тельности и гравитации». Ереван, 1988. С. 233-235.
31. Шипов Г.И. Программа всеобщей относительности и теория ва-
куума. М., 1988. Деп. в ВИНИТИ, N 6947- В88.
32. Шипов Г.И. Теория физического вакуума. 4.1. Физические
принципы и уравнения теории физического вакуума. М., 1992.
65 с. Препр. МНТП ВЕНТ; №30.
33. Skalsky V. // Astrophys. and Space Sci. 1990 Vol 166. P. 159.
34. Терлецкий ЯП. I/ Материалы VII Всесоюз конф «Современные
теоретические и экспериментальные проблемы теории относи-
тельности и гравитации». Ереван, 1988. С. 457.
35. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. М :
Наука, 1970.
36. Ишлинский Ю.А. Механика относительного движения и силы
инерции. М.: Наука, 1983.
37. Седов Л. И. Очерки, связанные с основаниями механики и физи-
ки. М.: Знание, 1983
298
38. Шипов Г.И. Проблемы современной физики и теория вакуума.
М., 1987. Деп. в ВИНИТИ, №5325 В87.
39. Эйнштейн А. // Собр. науч. тр. М. Наука, 1965. Т. 1. С. 571.
40. Паули В. Теория относительности М.;Л.: Гостехтеоретиздат,
1947 149 с.
41. Einstein А. // Ann. Phys. 1905. Vol. 17. Р.891.
42. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика
М.: Наука, 1969.
43. Ландау Л.Л.,Лифшиц Е.М. Теория поля М.: Наука, 1973.
44. Эйнштейн А. // Собр. науч. тр. М : Наука, 1966. Т. 2. С. 366.
45. Гелл-Манн М. // Фундаментальная структура материи. М
Мир, 1984. С.266.
46. De Broglie L. // С.г.Acad. sci. 1923. Vol 77. P. 507.
47. Schrodinger E. // Naturwissenschaften 1926. Jg.14, №28 S 666.
48. Schrodinger E. Abhandlungen zur Wellenmechanic. Leipzig, 1927.
49. Born M. Ij Zetsch. Phys. B. 1926. Bd. 38. S. 803.
50. Блохинцев ЛИ Основы квантовой механики. М.: Высш, шк.,
1963.
51. Ланжевен П. // Избр. произведения. М.: Изд-во иностр, лит.,
1949 С. 332.
52. Эйнштейн А. // Собр. науч. тр. М.: Наука, 1966. Т. 2. С 63, 243,
450, 674, 722.
53. Эйлер Л. Теория движения твердых тел. М ;Л.: ОНТИ,
ГРФМЛ, 1938.
54. Боголюбов Н.Н., Ширков Л В. // Введение в теорию квантовых
полей. М.: Наука, 1976. С.29.
55. De Broglie L. // С. г. Acad. sci. 1926. Vol. 183 P. 447.
56. De Broglie L. // Ibid. 1927. Vol. 184. P. 273.
57. Madelung B. // Zetschr Phys. 1926 Bd. 40. S 332.
58 Bohm D // Phys.Rev. 1953. Vol. 84. P. 1458.
59. Takalayasi T. // Progr. Theor. Phys. 1952. Vol. 8. P.143; 1953. Vol. 9.
P. 187
60. Алексеев Б.В., Абакумов A M. // ДАН СССР. 1982. T 262, №5
С. 1100.
61 Френкель ЛИЦ УфН. 1950. Т.42, выл. №2 С. 69.
299
62. Блохинцев Д.И. // Там же. С. 76.
63. Блохинцев Д.И. // Философские вопросы современной физики.
М.: Мир, 1952. С. 395.
64. Маляров В.В. Основы теории атомного ядра. М.: Физматгиз,
1958.
65. Бете Г. Теория ядерной материи. М.: Мир, 1974.
66. Валантэн Л. Субатомная физика: Ядра и частицы: В 2 т. М.:
Мир, 1986.
67. Chambers Е., Hofstadter R. // Bull. Amer. Phys. Soc. Ser. 2. 1957.
Vol.2;Bimiller F., Hofstadter R. // Phys. Rev. 1956. Vol. 103. P. 1454.
68. Mott N. // Proc. Roy. Soc. London A. 1929. Vol. 124. P. 425.
69. Федянин В. Электромагнитная структура ядер и нуклонов. М.:
Высш, шк., 1968.
70. Glashow S.L. // Nucl. Phys. 1961. Vol. 22. P. 579.
71. Weinberg S. // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 19. P. 1264.
72. Salam A. // Elementary particle theory. Ed. N.Svartholm. Stockholm:
Almquist and Wiksell, 1968.
73. Глэшоу Ш., Салам A. // УФН. 1980. T. 132, №2. C. 34.
74. Эйнштейн A. // Собр. науч. тр. M.: Наука, 1967. Т. 4. С. 573.
75. Эйнштейн А. // Там же. С. 286.
76. The Taittiriya Upanishad with commentaries. Mysore, 1903.
77. Patrizzi F. Nova de Universis Philosophia. Pt 4. Pancosmia, libro 1. De
Spacio Physio Meiettus. Venice, 1593.
78. Лобачевский Н.И. // Поли. собр. соч. М.;Л.: Гостехиздат, 1946,
Т. 1. С. 185-261.
79. Риман Б. Сочинения. М.;Л., 1948. 279 с.
80. Schwarzschild К. // Sitzungsber. Akad. Wiss. Berlin. 1916. Bd. 189. S,
195.
81. Эйнштейн A. // Собр. науч. тр. M.: Наука, 1966. Т. 2. С. 789.
82. Rainich G. // Trans. Amer. Math. Soc. 1925. Vol. 27. P. 106.
83. Уилер Дж. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М.: Изд-во
иностр, лит. 1962. 153 с.
84. Эйнштейн А. // Собр. науч. тр. М.: Наука, 1966. Т. 2. С. 431.
85. Penrose R. // Ann. Phys. 1960. Vol. 10. P. 171-201.
300
86. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Т. 1. М.:
Мир, 1987
87. Newman Е., Tamburino L., Unti Т. // J Math. Phys. 1963. Vol. 4,
N 7. P 915.
88. Kinnersley W. 11 Ibid. №7. P. 1195-1203
89. Carmeli M. // Ibid. 1970. Vol. 11, №10. P 2728 2732.
90. Carmeli M. // Lett, nuovo cim. 1970. Vol 4. P 40 46.
91. Carmeli M. // Phys. Rev.D. 1972. Vol. 5. P. 5-8.
92. Carmeli M., Malin S. // Ann. Phys. 1977. Vol. 103. P. 208-232.
93. Иваненко Д. // Phys. Ztschr. Sowjetunion. 1938. Bd. 13. S. 141.
94 Иваненко Д. // Nuovo cim. Suppl. 1957 Vol 6. P. 349
95. Heisenberg W. // Rev. Mod. Phys. 1957. Vol. 29. P. 269.
96. Duerr H P., Heisenberg W., Mitter H., et al. // Ztschr. Naturforsch.
A. 1959. Bd. 14. S. 441.
97. Шипов Г.И. Геометрия абсолютного параллелизма. Ч. 2. М.,
1992 67 с. Препр МНТП ВЕНТ; №15
98. Geroch R., Held A., Penrose R. // J. Math Phys. 1973. Vol. 14. P.
874.
99. Jogia S., Griffiths J. // Gen. Relat. and Gravit. 1980. Vol. 12, №8. P.
597-617.
100. Шипов Г.И. Геометрия абсолютного параллелизма. Ч. 3. М.,
1992 76 с. Препр МНТП ВЕНТ, №16
101. Николай Коперник: Сб. ст. к четырехсотлетию со дня смерти.
Изд-во АН СССР. М.; Л.: 1947. С. 185.
102. Шипов Г.И. Теория физического вакуума. Новая парадигма. М.:
НТ Центр. 1993 362 с
103. Barut A., Haugen R // Ann. Phys. 1972. Vol. 71. P. 519
104. Carmelt M. // Intern. J. Theor. Phys. 1986. Vol. 25, №1. P. 89.
105? Схоутен Я. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965.
81 с.
106 Shipov G., Skalsky V. // Proc, of the Intern, conf on differential
geometry and its applications. Brno, 1989 P.422-431.
107 Hagehn J.S. // Mod. Sci and Vedic Sci 1989. Vol. 3, №1 P 3 72.
108 . Terletsky J.P. // J. Phys. Radiat. 1962. Vol. 23 P. 910.
301
109 . Терлецкий Я.П. Парадоксы теории относительности. М.: Наука,
1966.
ПО. Hsin-Yang Yeh. // J. Math. Phys. 1974. Vol. 15, №7. P.1085-1095.
111. Шипов Г.И. Теория физического вакуума. 4.2. М., 1992. 65 с.
Препр. МНТП ВЕНТ; №31.
112. Шипов Г.И. Теория физического вакуума. Ч 3. М., 1992. 72 с.
Препр МНТП ВЕНТ; №32.
113. Maihisson М. // Acta. phys. pol. 1937. Vol. 4. P. 163.
114. Papapetrou A. // Proc. Roy. Soc. London A. 1951 Vol. 209 P 248.
115. Акимов A.E. //Тез. докл. VIII Рос. гравитац. конф. «Теорети-
ческие и экспериментальные проблемы теории гравитации» М
Рос. гравитац. ассоц.,1993. С. 247.
116. Акимов А.Е. // Тез. докл. XXVIII науч. конф. фак. физ.-мат. и
естеств. наук Ун-та дружбы народов. М., 1992 Ч. 1 С. 51.
117 Мат Э. Механика: Историко-критический очерк ее развития. 6-е
изд., СПб., 1909.
118. Эйлер Л. Основы динамики точки. М.;Л., 1938 С. 276.
119. Шипов Г.И. Теоретические основы новых принципов движения.
М., 1992. 68 с. Препр МНТП ВЕНТ, №60.
120. Панов В Ф., Шипов Г.И. // Проблемы механики управляемого
движения. Пермь. 1992. С. 96.
121. Vaidya Р. // Nature. 1953. Vol 171. Р. 260-265.
122. Infeld L., В. der Werden // Akad. Wiss. Phys.-math. KI. 1933. Bd S.
380 395.
123. Шипов Г.И. Квантовая механика, о которой мечтал Эйнштейн, »
следует из теории физического вакуума. М., 1992. 64 с. Препр
МНТП ВЕНТ; №20.
124. Татарский В.И. // УФН. 1983 Т. 139, №4. С. 587-619.
125 Губарев Е.А.,Сидоров АН. // Гравитация и фундаментальные
взаимодействия. М.: Изд-во Ун-та дружбы народов, 1988. С. 92.
126. Губарев Е.А., Сидоров АН., Шипов Г И // Актуальные пробле-
мы фундаментальных наук. М : Изд-во МГТУ, 1991 Т. 3, С.
102105
127. Губарев Е.А., Сидоров АН., Шипов Г И Фундаментальные мо-
дели элементарных взаимодействий и теория физического ваку-
ума М ; МНТП ВЕНТ, 1992 68 с.
302
128 Machine M.K., Kent P W., Snowdon S.C // Phys. Rev. 1959. Vol. 114,
№6. P. 1563.
129. Губарев E.A., Сидоров А Н. // Тез. докл. XXVIII науч. конф. фак.
физ.-мат. и естеств. наук Ун-та дружбы народов. М., 1992. Доп.
вып. С. 3.
130. Губарев Е.А., Сидоров АН. // Тез. докл VIII Рос. гравитац.
конф. «Теоретические и экспериментальные проблемы гравита-
ции». М.: Рос. гравитац. ассоц., 1993. С. 251.
131. Губарев Е.А., Сидоров А Н, Шипов Г.И. // Тр. V семинара
«Гравитационная энергия и гравитационные волны». Дубна.
1993.С. 232 238.
132. Шипов Г.И // Тр VI семинара «Гравитационная энергия и гра-
витационные волны». Дубна 1994. С- 141-145.
133 Губарев Е А , Сидоров А Н // Тр. VI семинара «Гравитационная
энергия и гравитационные волны». Дубна. 1994. С. 146-152.
134. Крит А.Д. // В мире науки. 1987. №10. С.12.
135 Фролов В.П. // ТМФ. 1974 Т.21, №2 С.213-223.
136. Гулак Ю.К // Изв. вузов. Физика. 1971. №10. С. 46,52; 1973. №4,
С.51.
137. Чечельницкий А.М. Экстремальность, устойчивость, резонанс-
ность в астродинамике и космонавтике. М.. Машиностроение,
1980
138. Шипов Г.И. // Гравитация и фундаментальные взаимодействия
М., 1988. С. 93.
139. Буллен К.Е. // Плотность Земли М.: Мир, 1978. С. 437.
140 Шипов Г. И О дискретной структуре Солнечной системы М.,
1992 12 с Препр МНТП ВЕНТ; №62.
141 Козырев Н.А. Причинная или несимметричная механика в ли-
нейном приближении Пулково, 1958. 232 с.
142. Козырев Н.А. // Астрономические наблюдения посредством фи-
зических свойств времени. Вспыхивающие звезды Ереван: Изд
во АН АрмССР, 1977 С. 168 179.
143 Козырев НА., Насонов В В // Проб, исслед. Вселенной 1980
Вып. 9 С. 76-84.
144. Козырев Н.А., Насонов В.В. // Там же. 1980. Вып 7. С. 168-179.
145. Лаврентьев М.М., Еганова И.А., Луцет М.К. и др. // ДАН
СССР 1990. Т. 314, N 2 С 352-354
303
146. Лаврентьев М.М., Гусев В.А., Еганова И.А- и др. // Там же. С.
368-370.
147. Лки-мов А.Е. Пугач А.Ф. К вопросу о возможности обнаружения
торсионных волн астрономическими методами. М., 1992. 19 с.
Препр МНТП ВЕНТ; №17.
148. Акимов А.Е., Курик М.В., Тарасенко В.Я. // Биотехнология.
1991. №3 С. 69.
149. Pagot J. Radiesthesie et emission de forme. P.: Malonie, 1978. 277 p.
150. Winter D. /I The Seed and the EGG. A Galacti context. Cristal hill
farm. Eden, N Y., 1988 P. 219.
151. Schweitzer P. Pat. P3320518.3. (Bundesrepublic Deuschland). Publ.
13.12.84
152. Fantuzzi G. Pat. 250943.9. (Bundesrepublic Deuschland). Publ.
18.09.75
153. Майборода В.П, Акимов А.Е, Тарасенко В.Я, и др. Структура и
свойства меди, унаследованные из расплава после воздействия
на него торсионным излучением. М.: МНТП ВЕНТ, 1995. 9 с.
154. Соколова В.А. Исследование реакции растений на воздействие
торсионных излучений, М.: МНТП ВЕНТ, 1994 32 с.
155. Филатов Н.В. Исследование удара тел с большими кинетически-
ми моментами: Письмо Н.В. Филатова к Чичерину В.Г. 08.07.
1969.
156. Толчин В.Н. Инерциоид, силы инерции как источник движения,
Пермь, 1977.
157. Финогеев В.П. // Системный подход к теории и практике кон-
цепции торсионных полей. Возможные пути реализации. МТЦ
«Информтехника». 1993. 18 с
vl_58. Акимов А.Е., Финогеев В.П. Торсионные поля и их технологиче-
ские проявления, «Вопросы оборонной техники». 1995. Сер. 9.
28 с.
^159. Акимов А.Е., Финогеев В.П. Экспериментальное проявление
торсионных полей и торсионные технологии. МТЦ «Информ-
техника». 1966. 35 с.
160. Окунь Л Б // Физика элементарных частиц. М : Наука, 1988,
С.272.
161. Протокол экспериментальной проверки возможности организа-
ции канала связи, 22-29 апреля 1986 г. Утвержден И.В.Мещеря-
ковым 15 мая 1986 г.
304
162. Перебейнос К.Н. Предложения по организации исследований в
области гравитационных взаимодействий и поиска наличия гра-
витационных волн для оценки возможности их использования
в целях передачи информации и связи. Пояснительная записка
№1. 1974.
163. Исследование возможностей биоиндикации торсионных полей и
апробация средств защиты. Результаты исследований В.В. Ала-
бовского, Ю.Ф.Перова, Воронеж НТП «Бриз», 1990 19 с.
164. Протокол экспериментальной проверки возможностей перено-
са информационного действия, 1-4 апреля 1986 г. Утвержден
Н.В.Мещеряковым 07 04.1986 г
165. Бобров А В. Сенсорные свойства двойных электрических слоев
в биологии и технике регистрации слабых и сверхслабых излу-
чений. М., 1994 14 с. Препр. МНТП ВЕНТ; №54.
166. Бобров А.В. Инструментальное исследование природы и
свойств высокопроникающего нетеплового компонента излуче-
ния человека. М., 1994. 46 с. Препр. МНТП ВЕНТ; №55.
167. Ахилюв А.Е., Терехов Ю.Ф., Тарасенко В.Я. // Междунар. конф
' «Современные телекоммуникационные технологии и услуги свя-
зи в России», М., 1995.
168. Maiboroda V.P. // Thin Solid Films, 1990. Vol. 195. P. 1-10.
169 Майборода В.П., Акимов А.Е, Максимова Г.А, Тарасенко В.Я
Влияние торсионных полей на расплав олова. М , 1994. 13 с
Препр. МНТП ВЕНТ; №49.
170. Майборода В.П. // УФЖ. 1991. Т. 36, №6.
171 Richter V Н., Breitling G. // Ztschr. Metallkunde, 1979 Bd 61, №9
S. 628-636
172. Майборода В.П. Исследование закономерности переохлаждения
жидкого железа от температуры перегрева. Киев, 1987. Препр.
Ин-та пробл. материаловедения АН УССР; №11.
173 Майборода В.П. // Изв. АН СССР. Металлы. 1990. №4. С. 49-52
174. Хирт Дж., Лоте И. // Теория дислокаций. М.: Атомиздат,
1972. С.530-531.
175. Майборода В.П., Копанъ В.С. // Изв.АН СССР. Металлы. 1973
№3, С. 132-136
176. Уилер Дж. Предвидение Эйнштейна. М.: Мир, 1970. 122 с.
305
177. Фокс X. Холодный ядерный синтез. М.: ПГ «СВИТЭКС», 1993.
183 с.
178. Шипов Г.И. Преодоление кулоновского барьера за счет торси-
онных эффектов, М., 1992. 12 с. Препр. МНТП ВЕНТ; К’61.
179. Herbert L. // Calif. Sun. Vol. 11, 1996. May.
Часть 2
ГЕОМЕТРИЯ
АБСОЛЮТНОГО
ПАРАЛЛЕЛИЗМА
Введение
Геометрия абсолютного параллелизма впервые была рассмотре-
на в 1923-1924 гг. в работах Р. Вайценбека [1, 2] и Д. Витали [3, 4].
Р Вайценбек указал на возможность существования на n-мерном диф-
ференцируемом многообразии М с координатами а:1,..., а:" римано-
вых пространств с тензором Римана-Кристоффеля равным нулю
S'jkm = 2ДЯтЛ] + 2Д«[*ДЬ|т] ~ 0 (° 1)
Соотношение (0.1) рассматривалось как условие параллельного
переноса произвольного вектора в данном пространстве в абсолют-
ном (не зависящем от выбора пути) смысле. В 1924 г. Д. Витали
вводит связность пространства абсолютного параллелизма [3]
Дч=е*<А;, (0.2)
i,у, *... = 0,1,2,3,
а,Ь,с.. . = 0,1,2,3,
где ека и еа, - базисные вектора, заданные в каждой точке простран-
ства и переносимые параллельно в абсолютном смысле в любую точ-
ку пространства по любому направлению. Р. Вайценбек показал [5],
что связность (0.2) может быть представлена в виде суммы
д’* = г** + т^, (оз)
где
= 2® (9jm,k + 9kmj ~ 9jk,m) (0-4)
- символы Кристоффеля, а
Т']к = ~^к + 9im(9i^k + 9к^) (0.5)
- коэффициенты вращения Риччи [6] для базиса е\.
Тензор SlyJ, определяемый как
«Л = е‘о^,я = ^'a(eakj- - е\к), (0.6)
309
получил название объекта неголономности [7], поэтому возникнове-
ние геометрии абсолютного параллелизма продолжило развитие не-
голономной дифференциальной геометрии [8].
Э. Картан и Я. Схоутен [9, 10], исходя из групповых свойств про-
странства постоянной кривизны, ввели связность (0.3), в которой ком-
поненты коэффициентов вращения Риччи (0.5) являются константами.
Суть подхода Э. Картана и Я. Схоутена состоит в следующем
Пусть на n-мерном дифференцируемом многообразии М с координа-
тами х1,..., хп задано поле п контрвариантных векторов
£=£(**), (0.7)
где
а, Ь,с . = 1 .. .п
являются векторными индексами, а
г, j, к . .. = 1 . . п
- координатными.
Предположим, что
det(?o) / 0
и что функции удовлетворяют уравнениям
в которых константы Са/ имеют следующие свойства:
Са/ = -Сь/, (0.8)
CjbCj + C/c“Cd/ + = 0. (0.9)
Тогда мы можем сказать, что имеем n-параметрическую простую
транзитивную группу (группу Тп), действующую на многообразии,
причем Са/ являются структурными константами этой группы, удо-
влетворяющими тождеству Якоби (0.9). Векторное поле называет-
ся инфинитезимальными генераторами этой группы.
Пусть теперь базис е£, задаваемый в каждой точке многообразия
М, удовлетворяет усёловию
det(eJa) / 0.
Если предположить, что
зю
где Iq являются координатами некоторой произвольной точки Р, то
мы имеем для функций eJa(^o) уравнения
е*Л;-е\е^ = -Са!екг (0.10)
В силу условий нормировки базиса
еаЛ = б{, <^ = 6? (0.11)
из равенства (0.10) следует
Ц; = = е\Съасе'е'к. (0.12)
Сравнивая соотношение (0.12) с (0.6), мы видим, что
aii =
т.е. все компоненты объекта неголономности однородного простран-
ства абсолютного параллелизма постоянны.
Легко видеть, что связность (0.3) обладает кручением, причем в
нашем частном случае
4л - = 4л = -&i.
Именно таким образом Э. Картан и Я. Схоутен ввели связность
с кручением [9, 10]. Поэтому геометрия Римана-Картана со связно-
Ду* = r.jt + 1(Су t - Cjki - Ckij), (0.13)
где Sijk = ~^Cijk - кручение пространства, обязано развитию геоме-
трии абсолютного параллелизма.
Дальнейшее развитие геометрии абсолютного параллелизма на п-
мерном дифференцируемом многообразии М с координатами х1,...,
хп (геометрии Дп) нашло отображение в работах Е. Бортолотти [11-
14], Г. Грисса [15], Я. Схоутена [16, 17], Л. Эйзенхарта [18] и других
авторов [19-25]. В частности, Е. Бортолотти [12] первым указал, что
связности Картана-Схоутена и Вайценбека-Витали (0.2) - одно и то
же. Кроме того, Е. Бортолотти показал, что тензор (0.1) можно пред-
ставить в виде суммы
^кт = Itjkm + 2Vlt7]< |m] + 2Т^7|}1т] = 0, (0.14)
где
R1 jkm = 2Гдт + 2Г*^Г[лт] (0.15)
311
- тензор Римана, а величины Т]к определяются согласно (0 4).
В 1937 г. в работах Т. Томаса [20, 21] абсолютный параллелизм
рассматривается как параллельный перенос векторов в «большом»,
поскольку связность пространства А4 (так же, как и связность плоско-
го пространства Еп) является интегрируемой Поэтому в простран-
стве Ап вектор, заданный в какой-либо точке пространства, может
быть определен в любой другой точке пространства. Наконец, в ра-
ботах [23-25] дается классификация пространств с абсолютным па-
раллелизмом.
Геометрия А4 впервые была использована А. Эйнштейном [26] в
приложениях к проблемам теоретической физики. Ученый пытался
объединить уравнения своей теории с уравнениями электродинамики
Максвелла-Лоренца [27] Попутно отметим, что в рамках геометрии
абсолютного параллелизма А. Эйнштейном было написано наиболь-
шее (всего 13) число работ.
Развивая программу А. Эйнштейна по построению единой тео-
рии поля, автор пришел к выводу о необходимости использовать гео-
метрию А4 как геометрию пространства событий всеобщей теории
относительности и теории физического вакуума [28]. В отличие от
А. Эйнштейна и его последователей автор использовал структурные
уравнения Картана геометрии абсолютного параллелизма, которые
являются обобщением вакуумных уравнений Эйнштейна 7?^ = 0 для
случая, когда тензор энергии-импульса в правой части уравнений
Эйнштейна имеет геометрическую природу.
Программа единой теории поля, выдвинутая А. Эйнштейном, пред-
полагает решение двух стратегических проблем современной теоре-
тической физики:
а) программа-минимум ставит свой целью геометризацию уравне-
ний электромагнитного поля и объединение их с уравнениями теории
гравитации Эйнштейна;
б) программа-максимум направлена на поиски полностью геоме-
тризированных уравнений гравитационного и электромагнитного по-
лей (включая источники), т.е. на геометризацию полей, образующих
материю.
Несмотря на длительные поиски (около 30 лет), решить эту гран-
диозную задачу А. Эйнштейну не удалось. Совместно со многими
выдающимися учеными того времени он написал большое количество
работ, в которых использовались различные геометрии. Однако все
они не удовлетворяли требованиям а) и б) Кроме того, не было ясно,
каким образом геометризировать спинорные поля (например, поле
Дирака), образующие источники электромагнитного поля. Л. Уилер
добавил к программе единой теории поля еще один пункт, который
312
требует спинорной формулировки уравнений единого поля Послед-
нее условие может быть выполнено в том случае, если основные гео-
метрические величины теории являются не тензорами, а спинорами.
Спинорное представление классических геометрий, изложенное в ра-
ботах Р. Пенроуза [29-31], очень помогло мне при построении теории,
физического вакуума, в которую переросла в настоящий момент эйн-
штейновская программа единой теории поля.
Математическая часть книги состоит из трех глав. В гл. 6 излага-
ются основы геометрии А4 в векторном базисе. Вводятся связность
и кривизна геометрии абсолютного параллелизма. Даются вывод
структурных уравнений Картана геометрии А4
V[fce°Tn]-e\tT“|b|m] = 0, (А)
R°bkm + 2V[JtT<|t)mj + = О, (В)
= 0,1,2,3, а,Ь,с... = 0,1,2,3,
а также различные варианты их записи, включая запись во внешних
дифференциальных формах. Исследуется групповая структура гео-
метрии А4. Устанавливается связь структурных уравнений группы
трансляций Т4 и группы вращений 0(3.1) геометрии А4 со структур-
ными уравнениями Картана. Проведено расщепление структурных
уравнений Картана на правые и левые, соответствующие правой и
левой геометриям. Дано представление структурных уравнений Кар-
тана в виде расширенной полностью геометризированной системы
уравений Эйнштейна Янга- Миллса. Получены 10 уравнений движе-
ния тетрады: четыре поступательных и шесть вращательных. Вве-
дена метрика Киллинга Картана, действующая на группе вращений
0(3.1).
В гл. 7 основные соотношения геометрии абсолютного паралле-
лизма записаны относительно спинорного базиса. Дано спинорное
представление структурных уравнений Картана и тождеств Бианки
геометрии А4. Введены матрицы Кармели и доказана связь между
структурными уравнениями Картана геометрии А4 и уравнениями
формализма Ньюмена-Пенроуза Рассмотрен вариационный прин-
цип для вывода структурных уравнений Картана и вторых тождеств
Бианки. Дано разложение спинорных полей геометрии абсолютно-
го параллелизма на неприводимые части, позволяющее представить
структурные уравнения Картана в виде расширенной геометризиро-
ванной системы уравнений Эйнштейна Янга- Миллса с калибровоч-
ными группами Т4 и SL(2.C). Введен формализм двухкомпонентных
спиноров Герока Пенроуза и дана классификация взвешенных спино-
ров
313
В гл. 8 рассмотрен метод конструирования решений струк-
турных уравнений Картана геометрии абсолютного параллелизма
на примере геометрий «островного» типа. Дан подробный расчет
основных геометрических характеристик геометрии А4 с римано-
вой метрикой типа метрики Шварцшильда. Выписаны решения с
римановыми метриками типа метрики Вайдя [32], Ньюмена-Унти-
Тамбурино [33], Керра [34], де Ситтера [35] и др. Приведена класси-
фикация решений структурных уравнений Картана геометрии А4 по
группам изометрий.
Глава 6
Геометрия абсолютного параллелизма
в векторном базисе
6.1. Объект неголономности. Связность
абсолютного параллелизма
Рассмотрим четырехмерное дифференцируемое многообразие с
координатами х' (i = 0,1,2,3), причем в каждой точке этого много-
образия заданы вектор е“ (» = 0,1,2,3) и ковектор е1 ъ (Ь = 0,1,2,3) с
условиями нормировки
= (6.1)
При произвольных преобразованиях координат
ях>‘
dx' = -x-rdxk (6.2)
Ox* ’
по координатному индексу i тетрада е“- преобразуется как вектор
при этом по тетрадному индексу а относительно преобразований (6.2)
она ведет себя как скаляр.
Тетрада е“, определяет метрический тензор пространства абсо-
лютного параллелизма
9ik - Чаьеа{еьк,т)аь = rfb = diag(l - 1 - 1 - 1) (6.4)
и риманову метрику
ds2 = gikdx'dxk. (6.5)
315
Используя тензор (6.4), можно по обычному правилу [36] постро-
ить символы Кристоффеля
Г>4 — {в]т,к + 9km,j 9]к,т)>
(6.6)
имеющие нетензорный закон преобразования
д2хк дхк дх' дх3 дхк‘ .
дх’' дх3' дхк 3'
относительно координатных преобразований (6.2). В соотношении
(6.7) и далее обычную производную по координатам х’ мы будем обо-
значать как
Г*,', = —:-----:------
3 * дх’‘дх3' дхк
(6.7)
OXk
Дифференцируя произвольный вектор е“ , имеем
(6.8)
еа- •
*J дх3 х'3
(6.9)
Применяя операцию дифференцирования к соотношению (6.3), на-
ходим
е«., = с° д2х' са
1 J дх’' дх3' *’’ дх’'дх3' ’
Альтернируя индексы i' и j' и вычитая из (6.10) полученное выра-
жение, имеем
(6.10)
е i, - е
Учитывая (6.3), можно переписать это соотношение в виде
-e“,,,) = e‘o(e“.J
, дх’ дх3 дхк'
3,1 дх1' дх3' дхк
1 . дх’ дх3
’’* дх’’ дх3'
По определению дифференциал
dsa = eaidxi (6.11)
является полным, если выполняется соотношение
e“i.j ~ е“ = °- (6 !2)
В противном случае, когда е“ ; — еа}, 0, дифференциал (6 11) не
является интегрируемым, поскольку равенство (6.12) представляет
собой условие интегрируемости для соотношения (6.11).
316
Введем следующий геометрический объект [2]
Ц* = c’oe(tj] = -е“ Л)
(6.13)
с тензорным законом преобразования относительно координатных
преобразований (6.2)
О *' — о * ^х3 д1* &х'
J * зк дх3‘ дхк' дх1
(6.14)
Очевидно, что при условии (6.12) этот объект обращается в нуль.
В этом случае тетрада е“ является голономной и метрика (6.5) ха-
рактеризует голономную дифференциальную геометрию. Если же
объект (6.14) отличен от нуля, то мы имеем дело с неголономной
дифференциальной геометрией, причем сам объект (6 14) называет-
ся объектом неголономности.
Перепишем соотношение (6.10)
а чх «ь- a ,
ei''3‘ ~ дх*‘дх3'е * +
дх' дх3 а
дх1' дх3' ,J
/ д2хк дх' дх3 д* \ о
\дх*'дх3' + д^д^7^’ J е к
(6.15)
Здесь мы ввели обозначение
Д?, = е*ое“, (6.16)
и воспользовались условием ортогональности (6.1).
Из соотношения (6.15 ) видно, что объект Ajj- ведет себя при пре-
образованиях (6 2) как связность
д2хк дхк‘ дх' дх3 дхк' лк ,
•'>' “ дх*'дх3' дхк + дх*' дх3' дхк (617)
Связность пространства, определяемая согласно (6.16), называет-
ся связностью абсолютного параллелизма [3].
Переставляя в (6.17) индексы г и j, имеем
к> _ д2хк дхк' дх1 дх3 дхк' к
^зЧ' ~ дхз'дх*' дхк + ~д^д^ дхк ^3i (618)
Вычитая (6 18) из (6.17), находим
к- дх' дх3 дхк ,к ,
— я я I1 я к Д[йГ (6.19)
1 3 J дх3 дх дхк 1'
317
Из соотношений (6.19) и (6.13) следует, что связность абсолютного
параллелизма обладает кручением
А[0] = (6.20)
определяемым объектом неголономности.
6.2. Ковариантное дифференцирование в
геометрии Ад. Коэффициенты вращения
Риччи
Определение ковариантной производной относительно связно-
сти геометрии абсолютного параллелизма (геометрии А4) Д)4 от тен-
зора произвольной валентности U^;pn имеет вид
v* и^рп = U'm-pnjc + д^.;Л +... + д'да„- (6.21)
Это определение позволяет доказать некоторые весьма полезные
соотношения в геометрии А4.
Предложение 6.1. Параллельный перенос тетрады е°, относительно
связности тождественно равен нулю.
Доказательство. Из определения (6.21) имеем следующие равен-
ства
Чке‘а = а\к + Ь'ке’а, (6.22)
Г^ = е°м-Д>°.. (6-23)
Поскольку связность определяется как
Д‘ь = С’ое°м, (6.24)
ТО
е*аеа},к ~ = О-
Умножая это равенство на е°,- и учитывая условия ортогонально-
сти (6.1), находим
V* = е\к - Д’= 0. (6 25)
Для доказательства равенства нулю соотношения (6 22) возьмем
производную от свертки еа-е'а = 6’
(^).t = (е°е'а),к - e'aeaJik + еа}е'а к = 0,
318
откуда с учетом соотношения (6.24) следует
Д}1 = (6.26)
или
е°;е*а,* + Д>* = О
Умножая это соотношение на е]а и используя условия еа^е‘а = 6],
получим
V* е'а = 4iJt + Д<Х = 0. (6.27)
Предложение 6.2. Связность Д)4 может быть представлена в виде
суммы
Д]к = Г}к + Т'к, (6.28)
где - символы Кристоффеля, определяемые согласно соотноше-
нию (6.6), а
т'к = -%;++ st.n^) (6.29)
- коэффициенты вращения Риччи [37].
Доказательство. Представим связность (6.28) в виде суммы симме-
тричной и антисимметричной по индексам j, к частей
Д}* ~ + Ди*]' (6.30)
где
Д(1*) — 2^]к + Д4>)> Д[>М — ~ ^jk)-
Прибавим и вычтем из правой части (6.30) одно и то же выражение
Д}* = Д(>*) + ДЬЧ + + 9*»ДЬт])“ (6.31)
+/?к«Д5т])’
Сгруппируем члены в правой части (6.31) следующим образом:
Д>ь = Д(;Ь) - 9,m(.9j> Д[ы) + 9к, Дут])+ (6.32)
+Д[>*] + 0,т(#*Д[*т] + 5*»ДЬ’т])'
Поскольку
Д0*] = ~Qjk>
то из (6.32) и (6.29) следует
ДЛ = ДЬ*) - 9,т(9]> Д[кт] + Sb^m]) + Tjk (6.33)
319
Покажем теперь, что
Г}* = - (6.34)
Действительно, имеют место соотношения
A(jt) — е ae(j,t) — 2® °(е i,k + е *j)>
ЛЬ*] = е‘аеЬ>] = ^С'о(С“ .* ~ C“*j)>
9j> - T)abeajebs, (6.35)
поэтому (6.34) принимает вид
П* ~ e*ae(j,t) + 9,rn(j}abeajebm к] + Wetc[’m,j]) ~
= ^Т1с,1Т1аье^(еьтеа^к + ebmeckJ)+
+Ут (Vab^eh^ - е^еьк1ГП) + T)ab(eakebmj - e°kebj rn))
Перегруппировывая члены, имеем
= 2® ((^abe ie т),к + (^abetem)j ~ (Tlabe je<>Jt),m) ,
откуда, учитывая соотношение (6.35), получим
Г*4 = + ffkmj ~ gjk.m), (6.36)
ИЛИ
2® (ffjm.t + 9km,j ~ 9jk,m) — (6.37)
= ДЬ*) “ = rjt.
Подставляя (6.37) в (6.33), получим (6.28).
Предложение 6.3. Коэффициенты вращения Риччи Т'-к могут быть
представлены в виде
Т]к = е\^ке^, (6.38)
T;t = -<Vte*a, (6.39)
где через V* обозначена ковариантная производная относительно
символов Кристоффеля Г)4.
320
Доказательство. Представим в соотношениях (6.25) и (6.27) связ-
ность в виде суммы (6.28)
V* eaj = eajjc - - T'ke°, = 0, (6.40)
V* е'а = e'a k + r)teJa + T-ke’a = 0 (6.41)
Поскольку по определению [36]
= е\к - Г}ке\,
Чье'a = e’a.t +r}te-'a,
то (6.40) и (6.41) можно записать как
57^-7^“= 0, (6.42)
Ъке\+Т;ке*а = 0. (6.43)
Умножая (6.42) на е*а и (6.43) - соответственно на е“р, получим
(после использования условия ортогональности (6.1)) из (6.42), (6.43)
соотношения (6.38), (6.39).
Вычислим ковариантную производную Vt от метрического тензо-
ра зная, что <рт = Т)аЬе’ае™
Vt g}rn =Vk ЧаЬе?ае? e\ema =
= ema Ъке>а+е\ .
Учитывая (6.25) и (6.27), получим
V = 0. (6.44)
С другой стороны, применяя формулу (6.21) к соотношению (6.44),
находим
V* = д£ + Д^рга + Д£?р = 0. (6.45)
Представляя связность A)t в виде суммы (6.28), запишем соотно-
шение (6.45) как
V* gim = Vkgjm + Т’кд’™ + Т™кд” = 0. (6.46)
Поскольку имеет место равенство
W" = + = 0, (6.47)
11 Г.И.Шипов
321
то из (6.46) следует
Т3ркдрт + Т£д” = Т3кт + = 0.
Это равенство устанавливает следующие свойства симметрии у
коэффициентов вращения Риччи
Tjmk — -Tmjk, (6.48)
поэтому в геометрии А4 коэффициенты вращения Риччи имеют 24
независимые компоненты.
6.3. Тензор кривизны пространства А4
Тензор кривизны пространства абсолютного параллелизма S'jktn
определяется через связность Д)к по обычному правилу [18]
^]кт = 2Д’[тЛ] + 2Д‘(*Д5|т1 = 0, (6.49)
где квадратные скобки означают альтернацию по соответствующим
индексам, а индекс, заключенный в вертикальные линии, не подлежит
альтернации.
Предложение 6.4. Тензор Римана Кристоффеля пространства со
связностью (6.26) тождественно равен нулю.
Доказательство Из соотношения (6.26) имеем
eajk = ^ке\. (6.50)
Дифференцируя соотношение (6.50) по т, находим
= Д)г,те“ + е“тД‘* =
= Щк.т + е\е“тД^)е“ = (Д*4>т + Д^Д’^е" .
Альтернируя это соотношение по индексам кит, получим
- = 2(Д*[т>ч + 2A‘(fcAf>|m]) = 5\*те“ . (6.51)
Поскольку операция дифференцирования по индексам к и т сим-
метрична, то
= 0.
Учитывая это равенство и произвольность еа{ в соотношении (6 51),
получим
5*>tm = 0. (6 52)
11
322
Предложение 6.5. Тензор S'jkm может быть представлен в виде
+ 2VItT‘lm] + 2T’(fc7fj|m] = 0, (6.53)
где
R'jktn = 2r>[m,t] + 2П[*Г[)|т] (6.54)
- тензор Римана пространства А4.
Доказательство. Подставив сумму = Г)4 + Tjk в соотношение
(6.49), имеем
S'jkm — 2rj[m,t] + 2Г»[*Г|>|т] + 27>[m,*] + 2Г3*[*7|>|т] + (6.55)
+274krij|mJ + 2Г1[кТЫт) = °-
Используя соотношение (6.54), запишем (6.55) в виде
S’jtrn = R'jlnn + 2^}[т.Ч + 2^C(t7b|m|+ (6 56)
+2Г;(,2|,н + 2Г',[,Т|-,т1 = 0.
Если теперь прибавить к правой части этого соотношения выра-
жение
-2rf*ml^ = О
и учесть, что, согласно [36],
^kU^n = U'm\k + Г'ки^п + .. + rp]kU'm:Jn- (6.57)
получим из (6.56) равенство (6.53).
Перепишем соотношение (6.53) в виде
R'jkm = ~2^j[m,k] ~ 277[Jt7]>|mJ- (6.58)
Подставляя сюда равенства (6.38) и (6.39)
7jk = е'а^кеа}, Т]к = -е“ Vte’o,
имеем
-27j[m,t] = -2e,aV[tVm]e“ - 2V[Jteja|Vm]e“ ,
- 2-^j[t-^ij|m] = 2e a|^m]e j = 2V(te|0| Vm]C j,
поэтому из соотношения (6.58) следует
R'}km = -2e*0V(tVm]e“ = 2e*aV[m Vt]e“ (6.59)
323
Предложение 6.6. Поле кручения ОД пространства удовлетво-
ряет уравнениям
^ОД^О^О^, =0. (6.60)
Доказательство. Альтернируя выражение (6.49) по индексам j, k, m
и учитывая соотношение ЛД| = — ОД, имеем
Sb^ = 2ОД, t] + 2ДДОД] = 0. (6.61)
Прибавляя и вычитая из этого выражения величину
2А^Ц,'|т] + 2Др.тОД,
получим
20[Д,*] + 2Д'»[*Ц™] “ 2Д[Л|т] ~ 2A[*mfij]» +
+2A[jtjOjs*|m] + 2А[*тОД = 0.
Используя формулу (6.21), это соотношение можно переписать как
2 V(t ОД] - 2О£ Oj^ - 2ОД.ОД = (6.62)
= 2 V[t ОД] + 4О^ОД, = 0,
откуда следует (6.60).
Предложение 6 7. Тензор Римана пространства А4 удовле-
творяет равенству
= 0. (6.63)
Доказательство. Альтернируя соотношение (6.54) по индексам
j, k,m и используя равенство
ТД] =
имеем
= 2^[*0Д] + 2ТДОД].
Прибавляя и вычитая из правой части этого равенства величину
ЗТ^О^ + гТ^ОД,
получим
= 2V[ftO;^] + 2ТДО;Д - 27foOjjm] - 2Т(ДОД +
+2T[].jnjJ,|m] + 2Т£тОД = 2 V[t ОД] - 20^0 /|т]-
~2Цк’тОД = 2 V[jt ОД] + 40^’ОД, = О,
что и доказывает справедливость сотношения (6 63).
324
6.4. Формализм внешних форм и матричная
форма структурных уравнений Картана
геометрии абсолютного параллелизма
Рассмотрим дифференциалы
dx'=eae'a, (6.64)
de'b = ^abe'a, (6.65)
где
ea = efdxi, (6.66)
Д^ = ea,de'b = &abkdxk (6.67)
- дифференциальные 1-формы тетрады ев,- и связности абсолютного
параллелизма &аьк- Дифференцируя соотношения (6 64), (6.65) внеш-
ним образом [38], имеем соответственно
d(dxl) = (de° — ес Л Ьас)ёа = -8аёа, (6.68)
d(dela) = (dA‘e - Дсо Л ДЬс)е\ = -Sbae'b. (6.69)
Здесь через Sa обозначена 2-форма картановского кручения [4],
а через Sba - 2-форма тензора кривизны Знак Л означает внешнее
произведение, например
еа Леь = еаеь -еьеа. (6.70)
По определению пространство обладает геометрией абсолютного
параллелизма, если 2-форма картановского кручения Sa и 2-форма
кривизны Римана-Кристоффеля Sba этого пространства обращается
в нуль
Sa = 0, (6.71)
Sba = 0 (6.72)
Одновременно эти равенства являются условиями интегрируемо-
сти дифференциалов (6.64), (6.65).
У равнения
dea - ес Л Дас = -Sa, (6.73)
<1Д‘а-ДсаЛД1с = -5ьа, (6.74)
следующие из соотношений (6.68), (6 69), представляют собой струк-
турные уравнения Картана соответствующей геометрии. Для геоме-
трии абсолютного параллелизма справедливы условия (6.71), (6.72),
325
поэтому структурные уравнения Картана геометрии А4 имеют сле-
дующий вид
dea — ес Л Д“с = 0, (6.75)
- Дса Л Д\ = 0. (6.76)
Учитывая соотношение (6.28), представим 1-форму Д“ь в виде сум-
мы
Да4 = Га4+Л. (6.77)
Подставляя это соотношение в (6.75) и замечая, что
ес Л Д“с = ес Л Т°,
получаем первое структурное уравнение Картана пространства А4.
dea — ес Л Тас = 0. (Л)
После подстановки равенства (6.77) в (6.76), получаем второе
структурное уравнение Картана пространства А4.
+ dTab - Тсь Л Тас = 0, (В)
где Rab - 2-форма тензора Римана
Rab = drat - rct Л Гас. (6.78)
По определению [38] всегда имеют место соотношения
dd(dx*') = 0, (6.79)
dd(de'a) = 0. (6.80)
В геометрии абсолютного параллелизма эти равенства запишутся
как
d(dea — ес Л Т°) = Racfdec Л е' Л ed = 0, (6.81)
d(Rab + dTab - Тсь Л Tac) = dRab + Rfb Tfb Л Raj = 0. (6.82)
Здесь
pa ________________________ ОТ"43
K cfd - c[d,/] - 27 |c|<fl
Равенства (6.81), (6.82) представляют собой соответственно пер-
вое и второе тождества Бианки пространства А4. Опуская индексы,
структурные уравнения Картана и тождества Бианки геометрии А4
можно записать как
de — е Л Т — 0, (Л)
R+dT-T ЛТ -0, (В)
326
7?ЛеЛеЛе = 0, (С)
dR + R Л Т - Т Л R = 0. (О)
Предложение 6.8. Матричная запись первых структурных уравне-
ний Картана (Л) геометрии А4 имеет вид
- 4Т^|т] = 0. (6.83)
Доказательство. Запишем уравнения (Л) как
dea — ес Л Тас = 0. (6.84)
Далее, учитывая (6.66), имеем
dea = d(eamdxm) = Vkeamdxk Л dxm = ^keam - Vmeak)dxk Л dxm
и, кроме того,
eb Л П = ebkT°bmdxk Л dxm = ±(ebkTabm - ebmT°bk)dxk Л dxm.
Подставляя эти соотношения в уравнения (6.84), получим матрич-
ные уравнения в виде
V[te°m] - е‘[4Г}»|т] = 0, (Л)
где матрицы еат и по мировым индексам i,j, т,... преобразуют-
ся как вектора
дхт
е°-' = (685)
8хт
Т^' = (686)
а по матричным индексам а,Ь, с,... имеют следующие законы пре-
образования:
ea'm = Ааа'еат, (6.87)
. = Aaa'TabkAbbl + Аа'аАаь,к. (6.88)
В соотношениях (6.85), (6.86) матрицы дхт /дхт образуют группу
трансляций Т4, действующую на многообразии мировых координат
х'. С другой стороны, матрицы Л“а образуют группу четырехмерных
вращений 0(3.1)
л°' е 0(3.1),
действующую на многообразии «угловых координат» еа{. Действи-
тельно, тетрада eai является фактически математическим образом
327
произвольно ускоренной четырехмерной системы отсчета. Такая си-
стема отсчета имеет 10 степеней свободы: четыре трансляционные,
связанные с движением ее начала, и шесть угловых, описывающих
изменение ее ориентации. Шесть независимых компонент тетрады
eai представляют собой шесть направляющих косинусов шести неза-
висимых углов, определяющих ориентацию тетрады в пространстве.
Предложение 6.9. Матричная запись вторых структурных уравне- .
ний Картана (В) геометрии А4 имеет вид
Rabkm + 2V[t7fMm] + 2T“[JtTc|i|m] = 0. (6.89)
Доказательство. Распишем 2-форму Rad в виде
Rat = ^Ratc^c Ле“= Л dxm. (6.90)
Далее имеем
dn = d(nmdxm) = Л dxm = (6.91)
= ^kTabm-VmT“bk)dxkAdxm,
а также
Тас Л Tcb = T%kTcbmdxk A dxm = (6.92)
= l(TackTcbm - TcbrnTack)dxkAdx^
Подставим соотношения (6.92)-(6.94) в уравнения
Rab + dTab—Tcb ЛТас = 0.
После простых преобразований получим
l(Raikm + vkTabrn - + TackTcbm - TcbmTack)dxk Л dxm = 0.
Поскольку в этом соотношении сомножитель dxkf\dxrn произволен,
то
па . г? гГа V7 'Та । гГа ГГС ГГС гГа _______ П
К bkm + Ьтп~ bk + 1 ск1 Ьтп “ 1 bm1 ск ~~ и«
что эквивалентно уравнениям (6.89).
Предложение 6.10. Матричная запись тождества Бианки (Л) гео-
метрии А4 имеет вид
+ RCb[km^cln] ~ Т 4[п Л“|Ср:т] = 0- (6.93)
328
Доказательство. Внешний дифференциал dRab в тождествах (£>)
образует 2-форму
dRab = ^VnRabkmdxn Л dxk Л dxm = (6.94)
= ^nRattm + + VkRabrnn)dxn Л dxk Л dxm.
Кроме того, мы имеем
Rfb Л Taf = ^RfbkrnTa}ndxk A dx™ Л dxn = (6.95)
= + R/bnkTaJm + RJbmnT°jk)dxk A dxm A dx",
T{ A Raj = X-TsbnRafkmdxn A dxk A dxm = (6.96)
= ^tnRajkm + TfbmRa/nk + TJbkR°Jmn)dx" A dxk A dx™.
Подставляя соотношения (694)-(6.96) в тождество
dRab + R!b A Taj - Tfb A Raf = 0
и учитывая произвольность dxn Adk A dxm, получим
^nRabkm + ^mRabkn +^^^7, + R^km^fn + +
i p/ rja rrJ r>a rrtf no ___
+ K bmn1 Jk ~ 1 inK Jkm ~ 1 bmK Jnk ~ 1 bkK jmn ~ U>
что эквивалентно тождеству (6.93).
Первое тождество Бианки (G) геометрии А4 в индексах группы
0(3.1) записывается в виде
Яа[М = 0, (6.97)
или, что эквивалентно, как
V[»^ + 2ni/en<i]“ =0- (698)
6.5. Геометрия А4 как групповое многообразие.
Метрика Киллинга-Картана
Матричное представление структурных уравнений Картана гео-
метрии абсолютного параллелизма показывает, что на самом де-
ле это пространство проявляет себя как многообразие, на котором
329
действуют группа трансляций Т4 и группа вращений 0(3.1). Бу-
дем рассматривать геометрию А4 как групповое десятимерное мно-
гообразие, образованное четырьмя поступательными координатами
Xi (г = 0,1,2,3) и шестью (в силу соотношения е‘\е-’а = 6/) «угло-
выми координатами» еа, (а = 0,1,2,3). Пусть на этом многообразии
действуют группы четырехмерных трансляций Т4 и вращений 0(3.1).
Введем инвариантную производную Хаяши [39]
Vt = e‘A, (6.99)
компоненты которой представляют собой генераторы группы транс-'
ляций Т4, действующей на многообразии трансляционных координат
Xj.
Если представить тетраду в виде суммы
екь = 6къ + акь, (6.100)
i, j, к... — 0,1,2,3, а,6,с, .. = 0,1,2,3,
то поле акь можно рассматривать как потенциал калибровочного поля
группы трансляций Т4 [39]. В том случае, когда акь = 0, генераторы
(6.99) совпадают с генераторами группы трансляций псевдоевклидо-
ва пространства Е4.
Мы уже знаем, что по координатному индексу к неголономная те-
трада ека преобразуется как вектор
к' 9хк' к
е — ----е
а дхк а’
откуда с учетом (6.100) следует закон преобразования поля ака отно-
сительно трансляций
„к1 _ дхк‘ п , дхк' к>
аь-а^ь+а^ьь' (6101)
Определим тетраду е’а в виде
ёа = Vaxl (6.102)
и запишем коммутационные соотношения для генераторов (6.99) как
V[avb] = -fiabcVc, (6.103)
где — Qa£ - структурные функции группы трансляций пространства
Л4, тогда, действуя оператором (6.103) на многообразие х‘, получим
структурные уравнения группы Т4 пространства А4 в виде
V[aVt]x‘ = (6.104)
330
или
(6.105)
В этом соотношении структурные функции определяются
как
- = ес^[ае*ч. (6.106)
Из этого равенства видно, что когда потенциалы калибровочно-
го поля группы трансляций акь в соотношении (6.100) обращаются в
нуль, то в нуль обращаются и структурные функции (6.106). Поэтому
поле мы будем называть калибровочным полем группы трансля-
ций.
Учитывая, что перепишем структурные уравнения
(6 106) в виде
V[^am] - т |Ь1т] = 0. (6 107)
Легко видеть, что уравнения (6.107) могут быть получены путем
альтернации уравнений (6 42) Кроме того, они совпадают с первы-
ми структурными уравнениями Картана (Л) геометрии абсолютного
параллелизма.
Структурные уравнения группы Та, записанные в виде уравне-
ний (6.106) можно рассматривать как определение для кручения про-
странства Аа Таким образом, кручение пространства Аа совпадает
со структурными функциями группы трансляций этого пространства,
при этом структурные функции удовлетворяют обобщенному тожде-
ству Якоби
= о, (6.Ю8)
где Vi - ковариантная производная берется относительно связности
абсолютного параллелизма Д£с. Сравнивая (6.108) с тождеством Би-
анки геометрии А4 (6-98), мы видим, что это есть одно и то же. Следо-
вательно, тождество Якоби (6.108), которому удовлетворяют струк-
турные функции группы трансляций геометрии Аа, совпадает с пер-
вым тождеством Бианки геометрии абсолютного параллелизма
Вектора
e*a = Vaz*, (6109)
образующие векторное расслоение [38] геометрии Аа, расположены в
касательной к каждой точке многообразия х' псевдо евклидов ой плос-
кости с метрическим тензором
т)аь = T)al = diag(l, -1, -1, -1). (6.110)
Поэтому десятимерное многообразие (четыре трансляционные коор-
динаты х' и шесть «вращательных координат» е‘а) геометрии абсо-
лютного параллелизма мы можем рассматривать как расслоение с
331
координатами базы х' и неголономными «координатами» слоя е*с.
Если в базе х' действует группа трансляций Т4, то в слое е‘с - группа
вращений 0(3.1). Из формулы (6.109) бесконечно малые трансляции
в базе х' в направлении а определяются вектором
dsa=ea,dxi. (6.111)
Образуя из (6.111) и ковариантного вектора dsa = e’adx, инвари-
антную свертку ds2, получим метрику Римана пространства А4
ds2 = gikdx'dxk (6.112)
с метрическим тензором
fftt = Ччьеа,еьк,
поэтому риманову метрику (6.112) можно рассматривать как метри-
ку, заданную на группе трансляций Т4
Поскольку в слое мы имеем «угловые координаты» е'а, на много-
образии которых действует группа 0(3 1), то естественно определить
структурные уравнения этой группы, а также метрику, заданную на
группе 0(3.1).
Перепишем соотношения (6.38), (6.39) в матричной форме
Таьк = еа,Т]к<?ь = ^кеа,е\, (6 113)
Таьк = еа,Г^е3ь = -еауке'ъ. (6114)
Эти соотношения позволяют установить зависимость между бес-
конечно малым поворотом </yaj = — dxba вектора е“, при бесконечно
малых трансляциях dsa- Действительно, из соотношений (6.113) и
(6.114) следует
dx°b = T°bkdxk = Dea^b, (6 115)
dXab=Tatkdxk = -eaiDeit. (6 116)
где D - абсолютный дифференциал [36] относительно символов Кри-
стоффеля Г’-4. Образуя с помощью (6 115) инвариантную квадратич-
ную форму dr2 = dXabdXba. получим метрику Киллинга-Картана
dr2 = dXabdXba = TabkTbandxk dxn = -Ы\Ое\ (6.117)
с метрическим тензором
Нкп = ТаЬкТьап. (6 118)
332
В отличие от метрики (6-112) метрика (6.117) задана на группе
вращений 0(3.1), действующей на многообразии «вращательных ко-
ординат» е\.
Введем теперь ковариантную производную
Vm=Vm + Tm, (6.119)
где Тт - матрица ТаЬт, у которой опущены матричные индексы, и
будем рассматривать компоненты этой производной как генераторы
группы вращений 0(3.1). Действуя этим оператором на тетраду е*,
образующую многообразие «угловых координат» геометрии А$, име-
ем
Vme^V^ + ^e^O, (6.120)
откуда
Тт=-е^тё. (6.121)
Интересно отметить, что подобно тому как в соотношении (6.109)
мы определили шесть «угловых координат» е‘а через четыре транс-
ляционные координаты х’, так и в соотношении (6.121) можно опре-
делить 24 «суперкоординаты» Т“6т через шесть координат е'а.
Из равенства (6.120) следует
Vme’ = -Ттё. (6.122)
Напомним, что в соотношениях (6.120)—(6.122) через Vm обозначе-
на ковариантная производная относительно Г‘-д., и возьмем ковари-
антную производную Vk от соотношения (6.122)
vtvme* = -\7к(ттё) = -(укттё +Тт\7кё) =
= — (укТтег + Tme’eiVte1).
Используя соотношение (6.121), перепишем это выражение как
VtVme* = — (\7кТт — ТтТк)е'.
Альтернируя это выражение по индексам кит, имеем
V^e*' = ^Я*те‘, (6.123)
где
Rkm = W[mTk] + [Tm, Л]. (6.124)
Вводя в уравнениях (6.124) матричные индексы (индексы слоя),
получим структурное уравнение группы 0(3.1)
ITtkm = 2V[mrji|Jt] + 2Т“[т7%и]. (В)
333
Легко видеть, что структурные уравнения группы вращений (В)
совпадают со вторыми структурными уравнениями Картана (6.124)
геометрии А4.
В данном случае величины Таьк и Ratkm преобразуются в группе
вращений 0(3.1) по закону
Tai,k = (6.125)
и выступают как потенциалы калибровочного поля Rai,km группы вра-
щений 0(3.1). При этом само калибровочное поле группы 0(3.1) пре-
образуется как
Я°;кт = Лоо'я°ИтЛ\,. (6.126)
Заметим, что структурными функциями группы вращений геоме-
трии А4 являются компоненты тензора кривизны Rakkm- Можно по-
казать, что структурные функции Rabkm группы вращений 0(3.1) удо-
влетворяют тождествам Якоби
^[Пяа|Ь|*т] + flcb[Jfcmrjc|n] - = О, (О)
которые, как было показано в предыдущем разделе, являются одно-
временно вторыми тождествами Бианки пространства А4.
Введем дуальный тензор Римана
Rijkm— PkmRijsp, (6.127)
где t'pkm - полностью антисимметричный тензор Леви-Чивита. То-
гда уравнения (О) могут быть записаны в следующем виде
Vn R аъкп+ R ськпТасп - ТсЪп R акп = 0, (6.128)
или, опуская матричные индексы, как
Vn Rkn+ RknTn -Тп Rkn = 0. (6.129)
6.6. Структурные уравнения геометрии Ад в
виде расширенной, полностью
геометризированной системы уравнений
Эйнштейна-Янга-Миллса
А. Эйнштейн считал, что одной из основных проблем еди-
ной теории поля является проблема геометризации тензора энергии-
импульса материи, стоящего в правой части его уравнений. Эту про-
блему удается решить, если использовать в качестве пространства
334
событий геометрию абсолютного параллелизма и структурные урав-
нения Картана этой геометрии.
Действительно, свертывая уравнения (В), записанные в виде
R'jkm + 2V[JkTj* |m] + 277[jfe7j’lm] = 0 (6.130)
по индексам i и к, получим
Rjm = -2V[iT1*.|m] - (6.131)
Свертывая далее уравнения (6.131) с метрическим тензором
имеем
R = -2^m(V(i7j’ |fn] + ЭД|m]). (6.132)
Образуя с помощью (6.131) и (6.132) тензор Эйнштейна
Gjm — Rjm 2^m^’
получим уравнения
Rjm ~ ^SjmR = I'Tjm, (6.133)
подобные уравнениям Эйнштейна, но с геометризированной правой
частью, определяемой как
2
-jW’Wh.j + ЛЛы)) <6134>
Введем следующее обозначение
Pjm = (Х7рГЬ|т] + 7”j(iT’b|m]),
тогда из равенства (6.134) следует
2 1
Tjm = -~(Pjm ~ ^9jmgPnPpn). (6135)
Тензор (6.135) разлагается на симметричную и антисимметрич-
ную по индексам j и тп части, т.е.
Tjm = T(jm) + (6.136)
Левая часть уравнений (6.133) всегда симметрична по индексам j
и тп, поэтому их можно записать как
Rjm - jgjmR = vTfjn}, (6.137)
335
- VmA; - Л,п--) = 0, (6.138)
где
А]=Т^. (6.139)
Соотношение (6.138) можно понимать как уравнения, которым
удовлетворяют поля кручения ОД,, образующие тензор энергии-
импульса (6.135).
В случае, когда поле Т]к антисимметрично по всем трем индексам,
имеем
Tijk = -Tjik = Tjkl = -Vijk. (6.140)
Для таких полей уравнения (6.138) принимают простой вид, а
именно
= о, (6.141)
при этом тензор энергии-импульса (6.135) симметричен по индексам
j, m и оказывается равным
~ ^7» )' (6.142)
В самом деле, из уравнений (6.137) имеем
Tjm — ~(Rjm ~ yUimR)- (6.143)
Используя равенства (6.131), (6.140) и (6.142), находим
Rjm = (6.144)
R = = П/’’П-f (6.145)
Подставляя соотношения (6 144) и (6.145) в равенство (6.143), по-
лучим тензор энергии-импульса (6.142).
Через поле (6.140) можно определить псевдовектор hm следующим
образом
= (6.146)
где €ijkm - полностью антисимметричный символ Леви Чивита.
Через псевдовектор hm тензор (6.142) запишется как
Подставляя соотношения (6.146) в уравнения (6.141), получим
hm,j - hjiTn = 0. (6.148)
336
Эти уравнения имеют два решения: тривиальное, когда hm — 0, и
hm = “Ф,т, (6.149)
где Ф - псевдоскаляр.
Записывая тензор энергии-импульса (6.147) через этот псевдоска-
ляр, получим
Tjm = ^(V’.jV’.m - ^9jm^''^,i)- (6.150)
Тензор (6.150) представляет собой тензор энергии-импульса псев-
доскалярного поля.
Разложим тензор Римана Rijkm на неприводимые части
Rijkm = Cijkm 4" 4" 9j[kRm]i 4" ^Rgi[m9k]j > (6.151)
О
где CtJkm ~ тензор Вейля, второй и третий члены - бесследовая часть
тензора Риччи Rjm w R - его след. Используя уравнения (6 133),
записанные в виде
Rjm = V \Tjm - ^9jmTj , (6.152)
перепишем соотношение (6.151) в виде
Rijkm = Cijkm “4* 9i[m9 k]j j (6.153)
<5
где T - след тензора (6.135).
Введем теперь тензорный ток
Jijkm = 2p[fc(,Tj)m] - (6.154)
и представим тензор (6.153) в виде суммы
Rijkm — Cijkm 4" vJijkm- (6.155)
Подставляя это соотношение в уравнения (6.130), получим
Cijkm 4- 2V[fc7|y|m) 4- 2Tis[jt7j’|mj = —vJijkm- (6.156)
Уравнения (6.156) представляют собой уравнения Янга-Миллса
с геометризированным источником, определяемым согласно соотно-
шению (6.154) В уравнениях (6.156) в качестве поля Янга-Миллса
выступает тензор Вейля Cijkm, а- потенциалами этого поля являются
коэффициенты вращения Риччи T'k.
337
Подставим теперь соотношение (6 155) во вторые тождества Би
анки (£>)
^[пЛ|уЦт] + «Htm7|..|n] — 7)-[пЯ|1ац;т] = 0. (6.157)
В результате имеем уравнения движения
+ Су^т7|;,|п] — T)[nC'|iJ|A:rn] = ~V Jnijkm (6.158)
для поля Янга-Миллса При этом источник Jnijkm в этих урав-
нениях определяется через ток (6.154) следующим образом:
Jnijkm = V[n — (6.159)
Используя уравнения (6.133) и (6.156), можно представить струк-
турные уравнения Картана (Л) и (В) в виде расширенной геометри-
зированной системы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса [28]
WW-0- И) (6160)
Rjm - \gjmR = vTjm, (B.l)
C'jkm + 2Vlt7j-|m] + 2T^m] = -vJ'jkm, (B.2)
в которых источники Tjm и Jijicm определяются согласно соотноше-
ниям (6.135) и (6154).
Для случая эйнштейновского вакуума уравнения (6 160) значи-
тельно упрощаются и принимают вид
Rjm = 0, (И)
C'jkm + + 2ВД‘|т] = 0. (ill)
Уравнения движения (6.158) поля Янга-Миллса Cijkm в этом слу-
чае запишутся как
^[nQijlttn] + — ^j[nA”lfcrn] = (6.162)
Уравнения (Л) и (В.2) могут быть записаны в матричном виде
V[Ae°m] - е‘[кГ}ь|т] = 0, (Л)
С°Ькт + 2^Т«}ь|гп] + 2TaJ[kT\b]m] = -vJabkm, (B.2)
J°bkm = - -^Tga[mgk]b (6 163)
О
338
определяется соотношением
Тат = ~(R°m - ^gamR), (B.l)
m = 0,1,2,3, а = 0,1,2,3
Записывая уравнения (6.158) в матричном виде, имеем
VlnC“|4|Am] + С^тт%|п] - n[nC°|alfcm] = -vJanbkm, (6.164)
Janbkm — ^[п ^°Ц|*т] + “ Г<Ь[п J°|c|itm]- (6.165)
Опуская матричные индексы в матричных уравнениях, имеем
^[*ет] - e[tTm] = О, (Л)
Скт + 2V[jfeTm] - [Тк, Tm] = -vJkm, (В.2)
VnCfcn + [Ctn,7n] = -»/}*, (В)
где дуальные матрицы С кп и J к определяются как
С кП = E^Cij,
*jnk =£nkimJimt (6166)
j‘ = {Vn Jfcn + [jAn,Tn]}. (6.167)
В случае эйнштейновского вакуума справедливы соотношения
Rijkm = С{]кт =Rijkm = Cijkm, (6.168)
поэтому уравнения (В.2) и (В) упрощаются и принимают вид
Скт + 2V[jfeTm] - [Тк, Тт] = О, (В.2)
VnCfcn + [C*n,T„] = 0 (В)
Используя формализм внешних дифференциальных форм, можно
записать структурные уравнения (Л) и (В.2) как
dea -еь А Таь = О, (Л)
Cab + dTab - Тас /\ Tcb = -vJab, (В.2)
а уравнения (В) как
dCab + Са} A Tsb - Т!ь А Са, = ~vNab, (В)
339
где
Nab = djab + Jaj A T]b - T]b A Ja}
(6.169)
Таким образом, структурные уравнения геометрии А4, записан-
ные в виде (6.160), представляют собой расширенную систему урав-
нений Эйнштейна-Янга-Миллса с калибровочной группой трансля-
ций Т4, действующей в базе х' и имеющей структурные уравнения
(Л), и с калибровочной группой вращений 0(3.1), действующей в слое
е*а и имеющей структурные уравнения в виде геометризированных
уравнений (В.1) и (В.2).
6.7. Уравнения геодезических пространства А4
Уравнения геодезических геометрии абсолютного параллелизма
могут быть получены из условия параллельного переноса вектора
и'
dx'
ds
(6.170)
по связности геометрии А4
- Г’ + Т}к — е‘ое“ fc.
(6.171)
Действительно, специализируем тетраду е*о таким образом, что-
бы вектор е*0 совпадал с касательной к мировой линии, т.е.
• . dx'
e°~U
-з соотношения (6.27) для вектора (6.172) имеем
Vt u* = «‘fc + = О,
(6.172)
(6.173)
или
ди'
+ (6.174)
Умножая это соотношение на ик = dxk/ds, получим
<^- + Г'ки3ик + Т]ки3ик =0, (6.175)
или, учитывая равенство (6.170),
d?x' < dx3 dxk dx3 dxk
, 2 + jk ~1—— + ^jk “7—3— = 0.
as2 3 ds ds 3 ds ds
(6.176)
340
Эти четыре уравнения (i = 0,1,2,3) представляют собой уравне-
ния геодезических пространства А4. Они также являются уравнени-
ями движения начала О тетрады е*а. Поскольку в уравнениях (6.176)
коэффициенты вращения Риччи Т']к имеют как симметричную, так и
антисимметричную части по индексам j и к
Tjk ~ T(jk') + ^*1 =
= -ПД + gim(g3,^k + дк,С1^. (6.177)
= ?т(<?рПт\ + 9*,^), (6.178)
Чм = (6179>
то уравнения (6.176) можно записать как
d2x' dx3 dxk : dx3 dxk
j 2 + Tjjfj—3 I" j — (6.180)
ds2 3 ds ds '3 3 ds ds
Учитывая структуру равенства (6.178), запишем его в виде
7(5*) = (6.181)
Следовательно, уравнения геодезических пространства А4 можно
представить как
d^x* dx^ dxk dx^ dxk
Ут + Г]кЧ-4- + ^9,,п^т{]к)-Г-Г = 0- (6 182)
ds2 3 ds ds J 1 ds ds
Для слагаемых в равенстве (6.181) можно ввести следующие обо-
значения:
= 9'm9t^,
fij* = 9,тпдк^
Тогда тензор конторсии Т-к пространства запишется как
T'k = -Q3l-Qi3+^3k, (6 183)
причем
~ ^k.j = &'jk<
поэтому
Т]к = -аз1 + 2^зк. (6.184)
ковариантный дифференциал от произвольного вектора и* отно-
сительно связности (6.171) при параллельном переносе из точки х' в
точку х' + dx1 запишется как
6v' = dv‘ + A'3kdx3 = 0. (6.185)
341
Если в произвольной точке х' пространства А4 мы имеем два ли-
нейных элемента х' и dx' и производим параллельное смещение бх'
вдоль элемента dx', то для конечной точки смещения получим [37]
х' 4- dx' + бх' — A'jk6xkdxi = х' + dx' 4- бх' 4- d6x'. (6.186)
С другой стороны, параллельное смещение вектора dx' вдоль век-
тора бх' дает
х' 4- бх' 4- dx' — Д* kdxk6x3 — х' 4- бх' 4- dx' 4- 6dx'. (6 187)
Вычитая из соотношения (6.186) равенство (6 187), имеем
d6x' — 6dx' = — (A'jkf>xkdx3 4- A'jkdxk бх3) =
= -(Д}4 - A'kj)6xkdx3 = -2A'Uk]6xkdx3 =
= 2Q^6xkdx3 = -2^sk6x3dxk. (6.188)
Рассмотрим теперь вариацию интеграла
/ L{x',u')ds, (6.189)
J a
где и' определено согласно соотношению (6.170). Запишем равенство
(6.188) в виде
6dx' = d6x' 4- 2Qjk6x3dxk. (6.190)
Тогда в каждой точке экстремали имеем
dx1 d - dxk
би'= б——=—бх'+ 2£1-'кбх3—— (6.191)
ds ds }k ds ' ’
Используя обычную вариационную процедуру для интеграла
(6.189), находим
I 6L(x',u')ds =
Ja
fb
= I (Цх'+ бх',u'+ би") — L(x',u")} ds =
Гь fdL r , dL Л ,
= / I -x-^6x +——6u I ds = 0 (6192)
Ja \ax' du' J
Подставляя сюда соотношение (6.191), получим
С (~{дх' 4- ^Ydx' + ds = 0
Ja \ох' ди' ds ди' 3 )
342
Производя интегрирование второго члена в этом соотношении по
частям, находим
b
— ^+ 2П,/ dx1 = 0
ds du1 ** ди] J
или ввиду произвольности дх' получим [37]
d dL dL , dL к n
-------г - 77— + 2Q2 -г— ик = 0.
ds du' dx* к diil
(6.193)
Пусть теперь
L = (giku'u'
(6.194)
причем вдоль экстремали L — 1 в силу соотношения
Pifcu’u* = и'и, = 1.
Подставляя лагранжиан (6.194) в уравнения (6.193), получим
д™-т~ + Lm]ku3uk + 2П^'.д,кики3 =0. (6.195)
as
Умножая это соотношение на д1ГП. находим
+ rijt? ик + 2gimgktQ^ и3ик = 0,
as J
или
+ Vkju3uk +2ff,mQmOifc)«>u* = 0. (6.196)
Таким образом, мы получили уравнения геодезических из вари-
ационного принципа, записанные в виде уравнений (6 182). Рассмо-
трим теперь уравнения, которые описывают изменение ориентации
тетрады е*а при движении ее согласно уравнениям геодезических
(6.196). Для этого перепишем уравнения (6.43) в виде
dke а + Л.'ке3а = 0,
или как
de'a + &]ke3adxk = 0. (6.197)
Поделив эти уравнения на ds, получим
de' dxk
—^+д-^а—=0. (6.198)
as J as
343
Далее, вычисляя вторую производную d2e'a/ds2, имеем
d /de'a\ _ d /de‘adxk
ds \ ds J ds \ dxk ds
d2e' a dxk dxm
-----5----------|_
dxmdxk ds ds
de' a d2xk
+ dxk ds2
(6.199)
Поскольку
дхтдхк dx™( &ak^
+ ^’jrr.K
И
= д£ Д5 dxk dxm j
dxk ds2 ds ds
TO
dx^ dx*™
-T-r + - Д*з*А;т - Д’,Ди)-7--7-^а = 0. (6.200)
nd as us
Подставляя сюда сумму (6.171), получим
+ (г;*,т + - Г* fcr;m - г,кт;т -
__Т* pj <pt rps pi pa rpi pa
1skljm 1sk1jm 1 j a1 km ^js^km
dxk dxm
-Г}.Т£т - Т',Т£т)—- — e’a = 0. (6.201)
ds as
Шесть независимых уравнений (6.201) (для трех углов Эйлера и
трех псевдоевклидовых углов) описывают изменение ориентации те-
трады е'а при движении ее начала О согласно уравнениям геодези-
ческих (6.196).
В пространствах Д4, в которых метрика является плоской
9ik = T]ik = diag(l -1-1-1),
(6.202)
символы Кристоффеля Г’,, обращаются в нуль, и уравнения (6.201)
принимают вид
d2e'
ds2 + ^к
- т;кт;т -
dxk dxm
-------е1 — 0
ds ds а ’
(6.203)
344
а уравнения геодезических (6.175) запишутся как
d2x* . dx3 dxk
, ~—h Tjic —-------— — 0.
ds2 3 ds ds
(6.204)
Введем теперь тензор четырехмерной угловой скорости вращения
тетрады е’а [40]
О — Т — ^е*а „а — ^еЗа „д (р. 9flR\
- ~~dTe 3 - • (6 205)
со свойствами симметрии
Ло = -Qjit (6.206)
определяемыми симметрией (6.48), которой удовлетворяют коэффи-
циенты вращения Риччи.
Используя соотношение (6.205), запишем уравнения (6.203) и
(6.204) в виде
d2!1 - dx3
—- + —_ = 0, 6.207)
ds2 J ds
dff, dxm
----3- - Л’----------Л’ Л’
ds 3'm ds ’ 3 3
dxk
ds
dxm dxk
---r~ = 0.
ds ds
(6.208)
Кососимметрическая матрица (6.206) может быть представлена в
виде
0 Лщ S1q2 Лоз
Ло = Лю 0 Л12 Л1з Л 20 Л21 0 Л23 (6.209)
Лзо Л31 Л32 0 !
Дадим физическую интерпретацию компонентам матрицы (6.209)
Для этого умножим уравнения (6.207) на массу тп и перепишем их в
виде
d?n dx3
m—— 4- mtlij —— = 0. (6.210)
ds* ds
При условии (6.202) эти уравнения можно записать как
duj dx3
m—— + milij-—
dso dso
= 0,
где
dso = (r}ikdxtdxk)1^2
- псевдоевклидова метрика и ц,- — dxi/dsB.
(6.211)
(6.212)
345
Перепишем уравнения (6.211) в виде
diii dxi dxk
mdTo = ~mTiWdTod^’
(6.213)
где симметричная по индексам j к к часть Т определяется согласно
(6.178).
Считая, что движение, согласно уравнениям (6.213), является не-
релятивистским (у/с < 1), запишем трехмерную часть этих уравне-
ний как
</uo ~ dx° dxk dx? dxk
- -mTa^ok) — -----2тТа(0кут—-^—, (6.214)
dso dso dso dsо ds0
или, учитывая соотношение (6.205), в виде
dua dx° dxp /до1га
тп—— — -тп\1ао—----2m\la0——. (o.zlo)
dso dso dso
Поскольку в нерелятивистском приближении
dso - cdt = xo, ua = ——,
c
то уравнения (6.215) запишутся как
dv 1 dx13
m—-^- = —mc2£2QO — 2mc2f2aa——. (6.216)
dt c dt
Из классической механики известно, что нерелятивистские урав-
нения движения начала О трехмерной ускоренной системы отсчета
под действием одних только сил инерции имеют вид [41]
— (mv) - m (—W + 2[vw]), (6.217)
dt
где W - вектор поступательного ускорения, aw- вектор трехмерной
угловой скорости вращения ускоренной системы отчета.
Записывая эти уравнения в виде
d ( dx@ \
—(mvQ) = тп —Wao + 2wa/3——- ,
at \ at J
где
W — (IVio, IV20, Изо),
(0 — W3 W2
W3 0 —wi
—W2 wj 0
(6.218)
(6.219)
346
W — (wi, W21 ^з),
и, сравнивая их с уравнениями (6.217), получим
£210 — —2~| С2 О “30 — —5-, с2 П1з = —, с £22О - о _ “12 — . с
Поэтому матрица (6.209) в нашем случае примет вид
( 0 -Wk -W2 -W3 \
1 £2ij - Wi w2 0 CW3 —сш3 сш2 0 — СОЦ I
w3 —сш2 СОЦ 0 /
(6.220)
Судя по этой матрице, четырехмерное вращение тетрады е‘а, вы-
зываемое кручением пространства А4, порождает в физике поля инер-
ции, связанные с поступательными и вращательными ускорениями.
6.8. Структурные уравнения правой и левой
геометрий А4
Можно рассмотреть три варианта геометрии абсолютного парал-
лелизма.
1. Геометрия А4, у которой отличны от нуля тензор Римана R'jkrn
и кручение £2у£. Структурные уравнения Картана в этом случае име-
ют вид
^ел + Лм]с“ =0- (6.221)
Kjkm + 2V[fcT*|m] + 237[Jfc^.|m] = 0. (6.222)
2. Геометрия Л4, у которой тензор Римана R'jkm равен нулю, а
кручение Qjk отлично от нуля. В этом случае структурные уравнения
Картана запишутся как
V[*e“] + W“- = °> (6.223)
-0. (6.224)
347
3. Геометрия Л4, у которой тензор Римана R'jkm и некоординат-
ное кручение Qj* равны нулю. При этом структурные уравнения
Картана геометрии совпадают со структурными уравнениями псев-
доевклидова пространства Е4, принимая вид
(6.225)
V[tT t|m]+ Т i[t Т f,|m] = о, (6.226)
о
где тетрада е “ определяет «координатное кручение»
П А =? ’< ‘ [*.Л = ‘ Xi- ? aiA (6.227)
Поскольку в псевдоевклидовом пространстве группы Т4 и 0(3.1)
действуют глобально и ее внутренняя геометрия тривиальна, то, на-
пример, в декартовых координатах х° = ct, х1 = х, х2 = у, х3 = z
структурные уравнения (6.225) и (6.226) обращаются в тождества
0 = 0, (6.228)
0 = 0. (6.229)
Если перейти теперь к сферическим координатам
х° = ct, х1 — г, х2 - 0, х3 — ip,
то мы получим уравнения (6.225)-(6.227), в которые входят компонен-
ты:
а) «координатной» тетрады
“ (0) ° (1) _ 1 ’ (2) _ _ ° (3) _ в
с Q —с j — 1 j с 2 — », с з — » ош и,
« (О) =е С1!) = 1. ‘(V? = (6 23°)
б) «координатного кручения»
П 21 31 = —(2Г) 1> О 32 ~ — (6.231)
в) коэффициентов вращения Риччи
T22 — ri Т 33= г sin2 б, Г зз = sin 0 cos 0,
T2i2=T3l3 = --, Tl3 = -ctg 0. (6.232)
Г
348
О _ ° «
Р 2 —р 3 1
1 12-1 13 - г. (6.233)
I -- Ctg 0.
Используя формулы
ffik- T)ab е ? е ьк, т)аЬ = т)аЬ = diag(l - 1 - 1 - 1),
находим компоненты метрического тензора
о о о о _ _
9оо=9ц= 1, 922- -г, 933=-г sinzfl,
метрику
ds2 =9ij dx'dx* — c2dt2 — dr2 — r2(de2 + sin2 0dp2)
и компоненты символов Кристоффеля
г 33 = ~r sin2 Г 22 = -Л
Г зз = —sin 0 cos 0, Г 2:
Таким образом, в псевдоевклидовой геометрии при уклонении
от декартовых координат вместо тождеств (6.228) и (6.229) появляют-
ся «координатные структурные уравнения» (6.225) и (6.226).
Предположим теперь, что исходное псевдоевклидово простран-
ство деформируется непрерывным образом (например, с помощью
конформных преобразований) в пространство Л4 с отличным от нуля
динамическим полем кручения и обладающим структурными урав-
нениями (6.223) и (6.224). При этом можно различать правые
Q jl = r'ara[k,j] = ~ га,.к) (6.234)
и левые
й Д = = ^Га(1ак,1 - 1\к) (6.235)
поля кручения. В этих уравнениях через т'а и 1'а обозначены правые
и левые тетрады соответственно.
Под правой тетрадой г'а мы будем подразумевать такую тетраду
е *о, у которой при вращении трехмерной пространственной части
от оси х к оси у вектор угловой скорости вращения направлен вдоль
оси z, при этом вращение происходит против часовой стрелки, если
смотреть с той стороны, куда направлен вектор z. Так, например,
матрица четырехмерных вращений (6.220) для правой тетрады имеет
вид
/ 0 -Wi -W2 -w3 \
Qij - с2 W| 0 — сшз сш2 W2 сшз 0 —cwj , (6.236)
W3 —cw2 cwi 0 j
349
в то время как для левой
( 0 wx W2 1Уз
fiij - ^2 1 1 0 -cw3 cw3 0 -cw2 СШ] (6.237)
V -w3 СШ2 — CU>1 0 J
Отсюда видно, что имеет место соотношение
(6.238)
Учитывая равенство (6.205) и соотношение (6.238), получим
Т}к = ~Т'к- (6.239)
Поскольку метрический тензор gik определяется как правой, так
и левой тетрадой одинаковым образом [42]
д,к = Чаьга{ГЬк = T)atlailbk, (6.240)
то из определения
Т]к = + д,тп(д3,^к + д^) (6.241)
следует, что компоненты (6.234) и (6.235) правых и левых полей кру-
чения различаются знаком
= (6.242)
Разделяя поля кручения на левые и правые, мы тем самым расще-
+ —
пляем группу трансляции Д на группу правых Тл и левых Тл транс-
ляций, а группу вращений 0(3.1) - на группу правых SO+(3.1) и левых
SO-(3.1) вращений
Структурные уравнения Картана геометрии А4, которые преобра-
зуются с использованием непрерывных преобразований в группах Т4
и SO+(3.1), мы будем обозначать как
^1* ^°«=0>
^1* Г |j|m]+ Т Т |j|m] — 0.
Соответственно уравнения
- °-
(6.243)
(6.244)
(6.245)
350
+ = ° (6.246)
преобразуются непрерывным образом в группах Тц и SO(3.1).
Понятно, что преобразование инверсии позволяет переводить пра-
вые уравнения (6.243) и (6.244) в левые (6.245) и (6.246), и наоборот.
Свойство (6.242) геометрии Л4 позволяет производить «расщепле-
ние» псевдоевклидовой геометрии на правую и левую геометрии
= (6.247)
кручение которых отлично от нуля. Это свойство оказалось очень
полезным при описании рождения материи из «ничего» в теории фи-
зического вакуума [43].
Расщепляя теперь структурные уравнения Картана (6.221) и (6.222)
на правые и левые, имеем
^Лол+Т[*Ле“1 = 0, (6.248)
R *jkm + 2V[t Т }Лт] + 2 Т4*Т|Лт]= 0, (6.249)
^*ё°л+Т’[*л ё°, =0, (6.250)
R *jkm + 2VIt Т {Лт] + 2 Т ’It Т ;Лт] = 0. (6.251)
Записывая структурные уравнения Картана в виде расширенных
правых и левых систем уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса, полу-
чим
Vpt е °л+ Т [*л е \ = О, (А)
Rjm R= Tjrnt (В -1)
С <кт + 2V(* т ;Лт] + 2 Т iIt Т fj|m] = -и J\кт, (В .2)
(6.252)
е“л+Л*Л е “ =°’
Rjm R~ Tjmi
(А)
(В-1)
(6 253)
с ijkm + 2V[t т ;Лт] + 2 т *(jt Т [Лт] = -р J 'jkm. (В .2)
351
В теории физического вакуума, основанной на всеобщем принципе
относительности [44], уравнения (6.252) и (6.253) описывают правую
и левую материи, рожденные из вакуума
Глава 7
Геометрия абсолютного параллелизма
в спинорном базисе
7.1. Три основных спинорных базиса
геометрии А4
В гл. 6 структурые уравнения геометрия абсолютного паралле-
лизма записаны в векторном базисе. Как было показано, их можно
представить в виде правых (Л+), (В+) (инвариантных относитель-
но групп Т/ и SO+(3.1)) и левых (Л-), (В-) (инвариантных относи-
тельно групп Т* и SO~ (3 1)) уравнений. В свою очередь, уравнения
(Л+), (В+) (или (Л-), (В-)) могут быть расщеплены путем перехода
к спинорному базису на группу уравнений, в которых составляющие
их поля имеют противоположные спины. Для этого нам необходи-
мо использовать спинорный базис и некоторые элементы спинорного
анализа.
Будем рассматривать спинорную геометрию Л4 как дифференци-
руемое многообразие Х4, в каждой точке М которого с трансляцион-
ными координатами х (г = 0,1,2,3) введено двумерное комплексное
спинорное пространство С2 [29]. Имеются три возможности для вве-
дения спинорного базиса в спинорном пространстве С2:
а) спинорный Г-базис, образованный символами Инфельда-Ван-
дер-Вардена [45], удовлетворяющими равенству
Vn<^ = 0; (7.1)
б) спинорный Д-базис, образованный символами Ньюмена-Пен-
роуза [30], удовлетворяющими равенству
<т'АЁ = 0; (7.2)
12 Г.И.Шипов
353
в) спинорный диадный базис £g, удовлетворяющий равенству [46]
eBD^QDVkCB = 0. (7.3)
В соотношениях (7.1)—(7.3) индексы а,/3,... и А, В,... являются
спинорными индексами, пробегающими значения 0,1 и 0,1. Всякий
локальный вектор А’, принадлежащий С2, может быть представлен в
виде спин-тензора второго ранга в спинорном Г-базисе [47]
^ = А^а'ар, (7.4)
либо в спинорном Д-базисе
А' = аАВ<в- (75)
Таким образом, все спин-тензоры, отнесенные к Г-базису, будут
иметь спинорные индексы а,/?,..., а спин-тензоры, отнесенные к Д-
базису, - спинорные индексы А,В,.... Что же касается диадного ба-
зиса £,д, то он является связующим между Г и Д-базисами [48]
аАВ ~ аар^А^В>
(7.6)
где
а черта в правой части равенства означает комплексное сопряжение.
Спинорный Д-базис связан с векторным базисом eat посредством
следующих соотношений:
~ 6 ааАВ’ (7.7)
<тАВ = е\<тАВ, (7.8) где а{АВ - комплексные эрмитовы (PiAB = <\АВ} матрицы, а матрицы
<та „ а и оАВ имеют вид Av “ / 1 0 0 1 >
= (2)-'/= 0 110 0 i — i 0 \ 1 0 0 -1 ) (7.9)
( 1 0 0 1 \
аАВ = (2)-V2 0 1 —i 0 0 110 ( 1 о о -1 У (7Ю)
12
354
причем
det«B) = ’>
det(^a Ъ =
Из условий ортогональности тетрады е‘а
е°Л = 6>, е\е'ь = 6аь (7.11)
и соотношений (7.7)-(7.10) следуют условия ортогональности для
спинорного Д-базиса
= (7 12)
atBa'CE = 6ас6Ве. (713)
Для спинорного Г-базиса имеются следующие условия ортого-
нальности [31]
= <714)
(7-15)
Отсюда с учетом соотношений (7.6), (712), (7.13) следуют условия
ортогональности для спинорной диады
те = -те’ = о, (7.16)
те=о.
Кроме того, имеют место соотношения [31]
£ае = £°Р = £..=£И = ( Д J) (7 18)
- фундаментальный спинор [30], удовлетворяющий следующим соот-
ношениям:
= (7.19)
= (7.20)
£°=2, (7.21)
355
Са[рЕк6] = 0>
(7.22)
Л _ ( 1 о
° - \ О 1
(7 23)
Фундаментальный спинор Еа0 поднимает и опускает индексы у
спин-тензоров, отнесенных к Г-базису, подобно метрическому тензо-
ру 9ik в векторном базисе. В спинорном Д-базисе он имеет вид
(7 24)
причем
-АВ - г „ - сСО - г . — ( 0 1
£ - £дв — £ — еСр ~ I о
(7 25)
Фундаментальный спинор Едв поднимает и опускает индексы у
спин-тензоров, отнесенных к Д-базису. Так, например, мы имеем
XА £дв =X в > £АВХ в = X 4 ,
V А -Сдв = Ч> в • сАВ^ ё = А'
Если спинор антисимметричен по двум индексам
0...А...В... = -0. В А
(7.26)
(7.27)
то с помощью фундаментального спинора Едв его можно представить
как [30]
6 а в = -£дв0 СС (7.28)
Эти же свойства имеют место в спинорном Г-базисе для фунда-
ментального спинора Еа/з.
7.2. Спинорное представление структурных
уравнений Картана геометрии А4
Соотношение (7 28) позволяет сводить спиноры, несимметрич-
ные по штрихованным и нештрихованным индексам, к спинорам, пол-
ностью (или частично) симметричным по штрихованным и нештри-
хованным индексам. В пространстве спиноров данного типа реализу-
ются неприводимые представления группы SL(2.C) [30], заменяющей
SO(3.1) при переходе к спинорному базису.
356
Определение. Мы будем говорить, что ком-
поненты спинора с г симметричными нижними
штрихованными индексами и с s симметричными
нижними штрихованными индексами преобразу-
ются по D(r/2,s/2) неприводимому представле-
нию группы SL(2.C).
Например, спинор
Fab = Fba
преобразуется по 0(1.0), а спинор
Feb = ^DC
- по 0(0 1) неприводимому представлению группы SL(2.C).
Запишем основные соотношения геометрии А4 в спинорном Д-
базисе. Это можно сделать, используя спинорное представление про-
извольного тензора T ' j в Д-базисе
т лв _ ffABT i (7.29)
...* ..J ••• С'
или просто заменяя матричные индексы на два спинорных по прави-
лу:
e“ ' -<г^,
fj-ia •* bm rrtAB 1 Cbm'
Ra bkm * dAB * П CDkm
T)ab VaBCD — £АС£вЬ
(7.30)
(7.31)
(7 32)
(7 33)
И Т.д.
Предложение 7.1. В спинорном Д-базисе метрический тензор gt]
геометрии Л4 имеет вид
__ с _ АВ CD ( гч
<70 — £AC^BDai (' 34)
Доказательство. Подставляя в равенство
а Ь
— ^]ab^ j
соотношения (7.7), (7.8), записанные в виде
а -Ъ ^CD _Ь />7 пг\
е 1i — ° АВ' с j — ff j(T CD, (7.35)
357
имеем
л _ ~АВ a --CD Ь /7
9ij — tyab&i & ДВ&j ^CD‘ (i-OOJ
Учитывая соотношения (7.9), (7.10), (7.25) и определение
т]аъ - т]аЬ = diag(l - 1 - 1 - 1),
находим следующее равенство
^a^ffABffcb ~ ^АС^вЬ'
Подставляя это соотношение в равенство (7.36), получим формулу
(7 34).
Запишем структурные уравнения Картана в матричном виде
V[te^ - e^|m) = 0, (А)
Rabkm + 2Vpt7|“|m] + 2T“[Jk7fi|m] = 0. (В)
Используя правила (7.30)-(7.32), запишем эти уравнения в спинор-
ном Д-базисе
= (7.37)
RA*cbkm + 2V[tT^|Cp|m] + 2TABEF[kTEF]CD]m] = 0. (7.38)
Соответственно второе тождество Бианки геометрии
^[пЯрЦЬп] + Яфт7|с|п] “ 7цп7?“сцт] = 0 (£>)
и спинорном Д-базисе принимает вид
+ ЯЕС£)р1т-^Л|С£>|п] ~ Г CD[n^ |EF|Jtm] = (7-39)
Предложение 7.2. Если Fij = —Fji - вещественный антисимметрич-
ный тензор, то соответствующий ему спинор
ГдвсЬ — Г'з^'ав^сЬ (7-40)
может быть представлен в виде
Fabcd = €acFво), (7.41)
где спинор
Fac = Fca (742)
преобразуется по D(1.0) неприводимому представлению группы
SL(2.C), а спинор
= Fgb = Fbi} (IAS)
358
- no D(O.l) неприводимому представлению этой же группы.
Доказательство. Из антисимметрии тензора Fij и равенства (7.40)
имеем
FABcd = ~ГсЬав (7-44)
Перепишем это соотношение в виде
Fabcd — у^АвсЬ ~ Febав ~ y(FABCB — FCdab + ~
—Fcdab)- (7-45)
Используя фундаментальный спинор (7.25), можно записать (7.45)
следующим образом
FaBCD = y(£AcFFBFQ + (^-46)
Обозначая Fac — (1/2)FАВСЕ и учитывая (7.44), имеем
Fac = 2^аес^ = ~yFAEсе ~ Fca- (7-47)
Далее, вводя обозначение Fвв = \Ffbf в и учитывая веществен-
ность Fij, находим
FBd = yFFBFв - -FBBFо = FBB. (7 48)
Подставляя соотношения (7.47) и (7.48) в равенство (7.46), полу-
чим соотношение (7.41). По определению спинор FAc — Fca при-
надлежит к £)(1.0) неприводимому представлению группы SL(2.C), а
спинор F вв = F DB - к D(O.l) неприводимому представлению этой
группы.
Поскольку величины TABCF}m и RABCbkn в уравнениях (7.37) и
(7.38) антисимметричны по паре спинорных матричных индексов АВ
и CD, то, используя формулы (7.27) и (7.28), их можно представить в
виде
ТАВсЬк ~ у(£вЬ^АСк + £АсТ^вк), (7.49)
R-ABCDkn = 2^£вЬ^АСкп + £AcR^Bkn), (7.50)
где
'^'АСк = 2£^^FABCbk> F^Bk — 2£AC^ABcbk> (7-51)
Клскп = RABcbkn< Fabien = 2£A°FABcbkn (7-52)
359
В этих соотношениях знак «плюс» у спинорных матриц означает
эрмитово сопряжение.
7.3. Расщепление структурных уравнений
Картана по неприводимым
представлениям группы SL(2.C)
По спинорным индексам матрицы (7-51) и (7.52) имеют следую-
щие законы преобразования:
TAc-k = S*TAc1eS?c. + SA' SAc,ik, (7.53)
Т+^ = Sf'T+^Sb‘ + <7-54)
RA'скп = SA'RAcknS£„ (7.55)
Я^'ьч^^'^Ь^- (7-56)
Матрицы и S+B образуют группу SL(2.C), причем матрицы
(7-57)
принадлежат подгруппе
SZ+(2.C) (7.58)
группы SL(2.C). По (7.58) преобразуются спиноры, принадлежащие
неприводимому представлению £)(г/2,0).
С другой стороны, матрицы
St®' (759)
принадлежат подгруппе
SL~(2.C) (7.60)
группы SZ(2.C). По (7.60) преобразуются спиноры, принадлежащие
неприводимому представлению £)(0,s/2). Эти свойства спиноров по-
зволяют расщепить структурные уравнения Картана на уравнения, в
которые входят спиноры, преобразующиеся по D(r/2,0) или £)(0,s/2)
неприводимым представлениям группы SZ(2.C).
Предложение 7.3. Вторые структурные уравнения Картана (В) в
спинорном Д-базисе расщепляются на уравнения вида
RACkn + 2V[tT|xc|n] + 2ТЛЯ[*Т^|п] = 0, (7 61)
360
+ 2W'+№i = 0 17621
Доказательство Запишем вторые структурные уравнения Картана
(7.38) в виде
BABCDkn — ^ABCDkm + 2^[*^|ABCD|m] + = (7-^3)
Используя свойство, антисимметрии спинора BAgCpkn по паре
спинорных индексов АВ и CD, представим его как
&ABCbkn ~ 2^£BD^ACkn + £АсВ^Ёкп) — 0. (7-64)
где
ВлСкп = 2£Й ВлВсЬкп — 0> (7 65)
ВЁЬкп ~ 2£АСBABCDkn - ° (7.66)
Подставляя в уравнения (7.65) и (7.66) соотношение (7.63) и ис-
пользуя матрицы (7.51) и (7.52), получим структурные уравнения
(7.61) и (7.62) в расщепленном виде. При выводе нами были исполь-
зованы свойства (7 19)—(7 23) фундаментального спинора £дд
Предложение 7.4. Матрицы ТАск и в диадном базисе£оС име-
ют следующий вид-
ТАСк = £о,сД7 ДА = ТАСк, (7.67)
^BDk ~ ^ab^k^B — ^BDk (7.68)
Доказательство. Запишем матрицы
'I'abk — Е b^keai
в спинорном базисе, используя правила (7.30) и (7.31)
TABCDk = (ГсЬ'^к<ТАВг (7 69)
Подставляя это выражение в первое из соотношений (7.51), получим
ТАСк — (rcb'^k<TABi (7.70)
Используя формулу (7.6), запишем crA]gi как
ffABi = ^aPi^A^B- (7-71)
361
Подставляя соотношение (7.71) в равенство (7.70), находим
ТАСк = ^(аи/^Й) =
поскольку Vjt(<Ta^,) - 0.
Далее, учитывая, что
aCDaapi = a‘/i'^C^D<rapi =
запишем равенство (7.72) как
ТАСк = УВОСса1ор^^л + ^Vt^). (7.73)
В диадном базисе справедливы равенства
£вЬ = ^bp^B' £^D^bp^k^B ~ 0>
сопряженные соотношениям (7.3) и (7.24). Используя эти равенства,
легко получить соотношение (7.67). Действуя подобным образом для
сопряженной матрицы Т+ дрк, получим равенство (7.68).
Предложение 7.5. В спинорном Д-базисе первые структурные урав-
нения Картана (А) геометрии А4 имеют вид
= 0 (7.74)
или, опуская матричные индексы,
V[Jt<7*4 - ^<7*4 - <И*Т+ = 0. (7.75)
Доказательство. Вычислим производную ^k^'CD
= V*(<<-£gg>) = +^Vt^)-
Используя формулы (7.67) и (7.68), запишем это соотношение как
= <р{ТсЕк(.аЕ1Рп + Тпвк^У (776)
Здесь были использованы условия нормировки
362
Перемножая члены в правой части (7.76) и учитывая соотношение
(7.71), имеем
- TCEkrf - aiE= 0, (7.77)
ИЛИ
- TkcEaf - . (7.78)
Альтернируя это соотношение по индексам к и г, получим урав-
нения (7.74).
Предложение 7.6. Вторые тождества Бианки (D) геометрии Ац в
спинорном Д-базисе расщепляются на следующие уравнения:
Vn RACkn — Reckn ТЕАп+ REAkn ТЕ сп — 0, (7.79)
Vn R + — ff + Т+
BDkn FDkn В
FBkn D
(7.80)
Доказательство. Поднимая и опуская с помощью метрических тен-
зоров т)аъ и дгк тензорные индексы в тождествах (6.128), запишем их в
Vn Rabkn - Rcbkn тсап+ Rackn Tcbn = 0. (7.81)
Переходя в этом равенстве к спинорным индексам с помощью со-
отношений (7.31) и (7.32), имеем
КлВСЬкп ~ ^EFCDkn АВ + ^EFABkn T&FCD ~ (7.82)
Запишем это соотношение в виде
DABCEkn = G’ М
где через ВддС[}кп обозначено все, что стоит в левой части равен-
ства (7.82). Используя антисимметрию соотношения (7.83) по паре
индексов АВ и CD, запишем его в виде
DnABcbkn = ^вЬ^лскп + £AcD+n ёЕкп) = о, (7.84)
где
Г)п — -рйп пп . — л
^АСкп 2Е UABCDkn U’
£)tn. = -£ас Dn - 0
BDkn 2 ABCDkn u
363
Подставляя сюда соотношение (7 82), получим равенства (7 79) и
(7.80).
С физической точки зрения спинорное расщепление структурных
уравнений Картана (Л) и (В) означает расщепление на уравнения
«материи» и «антиматерии», подобно тому как это было сделано
П.Дираком при выводе уравнений для электрона и позитрона. Те-
перь мы можем записать уравнения, которые преобразуются по груп-
пе SL+(2.C) в виде
= 0, (Л3)
R-ACkn + 2V[tTj^C|n] + 27де[«;Г|с|п] = 0, (Bs+)
а по группе SL~(2.C) - как
Н — — °> И’)
4м.+^1*^)+^%= °-
В буквенных обозначениях этих формул индекс s указывает на
преобразование по спинорной группе. Опуская матричные индексы,
запишем эти соотношения в виде
= 0, (Л3)
flfcn+2V[itTn]-[7jt,Tn] = 0, (Вз+)
- <r[,T+ - 0, (Л3)
Rtn + 2VIfcT^ - [Т+,Т+] = 0. (В3')
Соответственно опуская матричные индексы в уравнениях (7.79)
и (7.80), находим
Vn Rkn -Hfltn.T"] = О,
(D3+)
V”A+n + [fl+n,T+"] = 0.
(В3-)
364
7.4. Матрицы Кармели. Запись структурных
уравнений Картана геометрии А4 в
матрицах Кармели
Равенства (7.67) и (7.68) могут быть записаны в матричной форме
тк =
(7.85)
T7=^+V^+, (7.86)
где Тк и £ являются 2x2 комплексными матрицами с элементами ТАв к
и соответственно. Путем умножения 7]ь на <ткАв можно ввести
бесследовые 2x2 матрицы Кармели [49-51]
ТАВ = <вТк, (7-87)
А,С =0,1, В, D .. = 0,1
с компонентами
, _ (0
01 ~ \ р
-0
(7.88)
С помощью матриц (7.87) можно определить матричные элементы
(Tab)cd =
CD
АВ 00 01 10 11
00 Е — К 7Г —€
oi 0 —ст р -0
io а -р X —а
ii 7 —т V
(7.89)
где (Tab)cd является CD - элементом матрицы ТАВ. Соответственно
для комплексно сопряженных матриц Т+ Ав имеем
CD
бб 6i 10 ii
ё -к тг -Ё (7 эд)
0 -а р -0
а —р А —а
7 — т v —у
АВ
rrp+ \D ____ 00
( с ~ 01
io
ii
365
Предложение 7.7. В матрицах Кармели первые структурные урав
нения Картана (Л) геометрии А4 имеют вид
^CbaAB - ^АВасЬ = (ТСо)АР^рд + aAR^TbC^B ~
-ЫсРа'рЬ-^ск(Т^ь. (7.91)
Доказательство. Запишем уравнения (7.75) в виде
^kaCD ~ к<ТАВ ~ k<TDE ^CF^D к ~
-ТлС^св-ЛеТ11 (7-92)
Легко заметить, что уравнения (7 92) представляют собой раз-
ность двух соотношений:
V‘<n = tcE^'de + (7-93)
v*<b = тАС^св + °'аеТв Ек- (7-94)
Умножая (7.93) на акАЁ, а соотношение (7.94) на сгкСЁ, имеем
kaCDaAB ~ kaDEaAB aCF^b к<ТАВ’ 95)
к<ТАВасЬ ~ к<ТРВасЬ + САЕ ^В kaCD (7.96)
Вводя обозначения
(ТАВ)сЕ = ТсЕк°кАЁ (7.97)
длв = Лв^к> (798)
перепишем соотношения (7 95) и (7.96) в виде
дсЬаАВ ~ (ТСв)л <ГрЁ + aAR^DC^Rв< (7 99)
Sab^cd = (tab)cp<t'pd + ^«(Т±л)«с (7 100)
Вычитая из (7.99) равенство (7.100), получим первые структурные
уравнения Картана (7.91) геометрии Л4, записанные в матрицах Кар-
мели.
Рассмотрим теперь вторые структурные уравнения Картана
(В’+), записанные в матричном виде
fltn+2V[JtTn]-[^,Tn] = 0. (7.101)
366
Умножая величину Rkn на <тк АВ и anCD, введем бесследовую ма
трицу Кармели
R-abcd ~ К*пО*ав°сЬ (7.102)
с компонентами [44-46]:
{Ф1 —Фо \ р _ / $10 —$оо \
Ф2 + 2А -$! J ’ £1()0° - I Ф20 -ф10 1 ’
Фз —Фг — 2Л \ _ Z Ф12 —Фог \
ф4 -Фз / ’ 1101 “ $22 -$12 J ’
„ _/ Ф2 + $11 — Л — Ф1 - $01 \
1100 - V Фз + $21 -Ф2-$11 + л)’
р _7-Ф2 + $11 + Л Ф1 - $01 \
1001 -Фз + Ф21 ф2-фп-Л )
(7.103)
Предложение 7.8 В спинорных матрицах Кармели (7.87) и (7 102)
вторые структурные уравнения Картана (В’+) геометрии Л4 запи-
шутся как
R-ABCD — ^CI)'^AB ^AB^CD (ТсЁ))АГТрВ —
~^Ьс^ В^ЛЕ + (^яв)с ^FD +
+(T+J%TCF + ‘[Глв, тсп] (7 104)
Доказательство. Запишем уравнения (7.101) в виде
Rkn = 2V[nTfc] + [Tjt,Tn], (7.105)
Rkn = VnTk - VkTn + TitTn - TnTk. (7.106)
Умножая это равенство на crkAB<^ncD’ получим
^ABCD = ^Cb^k<TAB ~ ^AB^n<TCb ^^AB^CD ~ ^CD^AB =
= ^CD^AB — ^АвТсв — (^С£)аЛВ* — ^ABaCDt')^t +
+[Тлв,Тср]. (7.107)
Здесь мы использовали условие
= (7.108)
и обозначение
дАВ = <В^к- (7 109>
367
Если теперь учестьв равенстве (7.107) соотношения (7.99) и (7.100),
то мы получим уравнения (7.103).
Запишем вторые тождества Бианки (Ds+) геометрии Ац в матрич-
ном виде
V" Аы+[^п,П = 0. (7.110)
Умножая эти уравнения на EF, получим их запись через матри-
цы Кармели в следующем виде:
dCD Refcd +a’EF^C^><TnB) Rabcd +
+(Vtcrtc^) Refcd —[Tc^ , Refcd] = 0- (^-lll)
Используя соотношение (7.99), можно переписать тождества
(7.111) как
dCD Refcd —{Тсв}ае Rafcd ~
_^rp+DC^B REBCi) +(ТрЁ)ср REFCE) +
+(TJC)^ Refcd +[Tcd,Refcd\ = 0. (7.112)
7.5. Покомпонентная запись структурных
уравнений Картана геометрии А4
Распишем теперь уравнения (7.91) покомпонентно. Для удоб-
ства введем следующее обозначение:
ACDAB ~ ®CDffAB ®ABffCD ^CD^A ffpB
+<д(^с)Лв -
Кроме того, компоненты спинорной производной обозначим как
В
0___1_
D 6
8 А
(7.113)
а . — А
dAB~ 0
1
(7.114)
а компоненты спинорного А-базиса в виде
. _ A
AB~ 0
1
_________6 i__________
/• = (У°, И,У2,У3) m' = (£°,w,£2,£3)
ml = (^.wj2,?3) n‘= (№,[/, Х2,Х3)
(7.115)
368
Для спинорной компоненты Д'ОоО1 из равенства (7.113) следует
Ajooi = ^ooaoi ~ аоо — (^оо)о ар[ + с’од(^Ьо) i —
-(^)оР«т^-^(^о)й. (7.116)
или
-^oooi ~ ^o6°oi ~ ^oi^oo ~ ((^об)о aoi + (^об)о гц) +
+ (^оо^о)0! + ‘'oiCGtfi) - ((ГоОоЧо + (^i)o^io) -
-(^(^o + ^oiC^o) (7.117)
Используя обозначения (7.89), (7.90), (7.114) и (7 115) для компо-
нент (Tcd)aP,^A)Rn^AB и а'АВ> получим из уравнений (7.117)
Dm' — 6 Г = (ет‘ + (—к)п') + (Гтг + т*(— Ё)) —
- (/?/" + (-cr)m') - (l'a + т'(-р)) =
= —(а + 0 — п)1' — кп' + ат' + (р + £ — ё)т’ (7.118)
Поскольку вектора т' и Г имеют следующие компоненты:
/’ =(У°, У,У2,У3), т' = (^°,ы,^2,^3),
то из уравнений (7.118) вытекает
6V-Dw = (а + 0 - ir)V + kU - aw - (р + е - e)w, (7.119)
6Ya-D£a =(а + /3-7г)У° + кХ“-аГ-(р + Е-Ё)Г. (7.120)
а = 0,2,3
Действуя подобным образом, находим следующую покомпонент-
ную запись первых структурных уравнений Картана геометрии
6V — Dw = (а + /3 — тг)У + kU — aw — (р + € — e)w, (-^1)
6Ya-DC = (а + /3-тг)У“ + кХ“ -аё“-(р + Е-Ё)Г, (А2)
ДУ“ - DXa = (7 + 7)У° + (е + ё)Ха - (т + - (г + n)w, (Л.3)
AV - DV = (7 + 7)V + (е + €)U - (т + 5r)w - (г + ir)w, (Д.4)
6U — Aw = —vV + (г — а — (3)U + Аш + (р — 7 + 7)ы, (-^-5)
6Ха - АС = -РУ“ + (т - а - ?)Ха + АГ + (д - 7 + 7)С, (Л.6)
369
— Ьш = (р — p)V 4- (р — p}U — (а — — (/? — а)ш, (Л.7)
«4° - «Г = (Д - р)У° + (р - р)Ха - (а - Д)Г - Ср - «)Г. (Л-8)
а = 0,2,3,
плюс комплексно сопряженные уравнения (Л.1) —(А8) (всего 24 неза-
висимых уравнения).
Обратимся теперь к уравнениям (7.107) и запишем их покомпо-
нентно. Вычислим, например, 7?0100 компоненту этих уравнений
^oioo ~ ^oo^oi ^oi-^oo (^оо)о ^oi — (^об)о1-^Г11 +
+(r0+0)°ir00 - (т+)11то1 + (Т01)0°Т00 + (То^о^ю +
+(7'+)%^ + (Т^)\Т01 + Т01700 - ад0. (7.121)
Используя матрицы (7.89), (7.90), (7.103) и спинорную производ-
ную (7.114), можно представить (7 121) в виде
Эти матричные уравнения распадаются на следующие три неза-
висимых уравнения:
(D — р + е)/3 — (6 — а 4- тг)е — (а 4- тг)сг 4- (р 4- у)к — Ф! = 0,
(D — р — р — Зе 4- е)д — (6 — г 4- тг — а — 3/3) к — Фо - 0,
(£) — р 4- € 4- ё)р — (6 4- тг — а 4- /?)тг — а А 4- ик. — 2Л — Ф2 = 0
Действуя подобным образом, получим следующие независимые
уравнения (В’+)
(D — р — г — Ё)р — (6 — За — /? 4- тг)/с—
-аа + тк,- ФОо — 0,
(В’+ 1)
(£> — р — р — Зе 4- е}а — (6 — т-Ьтг — а — 3/3)к—
370
-Фо = о,
(Вл .2)
(D — р — е + е)т — (Д — З7 — 7)к — ртг — сгт — тг<т—
-Ф1-Фю = 0, (В,+ .3)
(D — р — е 4- 2е)а — (6 — р 4- тг)е — per 4- кА 4- «7—
-тгр- Ф10 = О, (В’+.4)
(D 4- € + Ё)7 — (Д - 7 - 7)е — (т 4- тг)а — (тг 4- г)/?—
—тгт 4- ^к + Л — Ф2 - Фц = О, (В’+ .5)
(D — р 4- Зе — ё) А — (6 4- тг 4- q — /?)тг — ра + ик — Ф2о = О, (В’+ .6)
(D — р 4- ё)р — (6 — а 4- тг)е — (а 4- тг)<т 4- (р 4- 7)к—
-Ф1=О, (В’+ .7)
(О — р 4- е 4- ё)р — (6 4- тг — а 4- /?)тг — <тА 4- ик.—
—2Л — Ф2 = О, (В’+.8)
(D 4- Зе 4- ё)1/ — (Д 4- р + 7 — 7)тг — рт — (тг 4- т)А—
-Ф3-Ф21=О, (В’+ .9)
(Д 4- р + р + З7 - 7) А — (6 4- За 4- /3 4- тг — т)и 4- Ф4 = О, (В’+.1О)
(6 - а — р — т)р — (6 - За 4- /?)<г 4- тр — (р — р)к4-
4-Ф1 - Ф01 = О, (В,+ .П)
(6 - а 4- 2/?)а - (6 4- Р)Р - рр + стХ- (р- р)у-
-(р — р)е - Л 4-Ф2 - Фц = О, (В’+ .12)
(6 - а 4- 3(?)А - (6 4- тг 4- а 4- /?)р - (р - р)^4-
4-тгр 4- Фз - Ф21 = О, (Вл+ Д3)
(6 - т 4- а 4- /?)7 - (Д - 7 4- 7 + р)/? - рт 4- <тр4-
4-ei7 - аА - Ф12 = О, (В’+14)
(S - т 4- 3/? 4- а)*/ - (Д 4- р + 7 4- 7)р — -^+
4-тгГ-Ф22 = 0, (В’+.15)
(^ - т — Р 4- а)т - (Д 4- р - З7 4- - Ар4-
4-к^-Фо2 = 0, (В’+.16)
(Д 4- р — 7 — 7)р — (6 4- Р — а — т)т 4- <гА —
371
-ик + 2Л + Ф2 = 0, (Вз+ .17)
(Д - 7 + р)а - (6 + /3 - т)7 - (р + е)р+
+(т +/?)А + Ф3 = 0. (Вл+.18)
Кроме этих уравнений, вторые структурные уравнения Картана
(В) включают в себя комплексно сопряженные уравнения
+ 2VItT+ - [Т+, т+] = О (В'“)
Покомпонентную запись этих уравнений можно получить путем
замены уравнений (В’ .1)-(В3 .18) на комплексно сопряженные урав-
нения.
7.6. Связь структурных уравнений Картана
геометрии А4 с формализмом
Ньюмена-Пенроуза
В 1962 г. Э. Ньюмен и Р. Пенроуз [30] предложили систему
нелинейных спинорных уравнений, которая оказалась очень удобной
для поиска новых решений уравнений Эйнштейна. В работе автора
[52] было показано, что уравнения формализма Ньюмена-Пенроуза
совпадают со структурными уравнениями Картана геометрии абсо-
лютного параллелизма. Действительно, со спинорными матрицами
Кармели TCD можно связать спин-тензор TFACD с помощью соотно-
шения
(^cd)a —Та k<r cb ~^РасЬ ~ ~cPFTfacd- (7.123)
Используя матричные элементы (7.162) матриц Кармели и фунда-
ментальный спинор
сав _ с
Е — ЕаВ
о
-1
1
о
получим следующие обозначения для компонент спин-тензора ТАВС£)
CD
АВ об 01 16 ii
ТавсЬ = 00 К 0 р т
(01) Е 0 а 7
11 7Г р А V
(7.124)
372
Предложение 7.9. Первые структурные уравнения Картана геоме-
трии Ад совпадают с «координатными уравнениями» [30]
^ABacb ~ ^CDC\b = £PQ(TPACDaQB ~ PCAB0Qo) +
+E^S(TRBj)Cff'Ag - TR^BAa'Cg) (7.125)
в формализме Ньюмена-Пенроуза.
Доказательство. Запишем структурные уравнения Картана (Л)
геометрии абсолютного параллелизма в виде
дсЬ^'дв ~ ^abc'cd = (TCd)aF0 рв + ffAR^bc^ в ~
-(ТАВ)СР 0'PD ~ 0iCR^RD (7 126)
Используя соотношение (7 123), представим уравнения (7.126) в
виде
дсЬ0АВ ~ &АВ0'сЬ ~ ~ (.£PQ(TpACb0,QB ~ TPCab0Qd)+
+ £^(TRBBCa'AS - TRDBAa'cs)^ .
Легко заметить, что эти уравнения эквивалентны уравнениям
(7.125).
Запишем известное разложение тензора Римана Rijtm на непри-
водимые представления
Rijkm — Cijkm j j ] — R9i[m9h]j > (7.127)
где Cijkm - тензор Вейля (10 независимых компонент), Rij - тен-
зор Риччи (девять независимых компонент), R - скалярная кривизна.
Спинорное представление этих величин имеет вид [53]
Cijkm **+ ЧавсвЕдв£сЬ + £ab£cd^АвсЬ’ (7.128)
Л;) <-* 2ФЛВдд + 6елд£дд, (7.129)
Я=24Л, (7.130)
где спиноры Флвсо и ФАВАВ удовлетворяют следующим свойствам
симметрии:
*ABCD = *(ABCD). ФдВАВ = Ф(АВ)АВ (7.131)
По определению спиноры Фдвсс и $АВАВ преобразуются соот-
ветственно по £>(2 0) и 0(1.1) неприводимому представлению группы
SL+(2.C).
373
(7.132)
индексов
(7 133)
(7.134)
(7.135)
Если теперь сопоставить с тензором Римана Rijkm спин-тензор по
правилу
Rijkm RaABBCCDD’
то через спиноры (7.128)—(7.130) его можно записать как
K-AABBCCDD — У ABCDEaB£CD + ^ABCcD^aBCD +
+®ABCbecD£AB + ®CDABeABEci) +
+^R(£AC^BD^AD£Cb +
+^ав^со^аЬсвсУ
Используя антисимметрию этого спин-тензора по паре
А А и ВВ, запишем его в виде
RaECBDPFQ = 2^CEB^ACDPFQ + £acRebdpfq)>
где
р __ 'СЁВр
^ACDPFQ ~ llAECBDPFQ’
~Б . . _ ' сАС р
I'~EBDPFQ ~ 2Ь ^AECBDPFQ
Подставляя в эти соотношения равенство (7.132), получим
RaCDPFQ = ACDF^bQ^^ACQPCED +&£ pQ^CDtAF+ tADtC f) , (7.136)
ReBDBPQ = tDpV ebpq + ® BEPDCQP^^Cdp(CBP£:EQ'^e:EP£Bq) (7.137)
Предложение 7.10. Вторые структурные уравнения Картана
(В’+) эквивалентны уравнениям [30]
VaCDFEeB + ФАСВЁСрЕ + ЛС£в(есоЕлГ +
+EADECF) — ^DB^ACFE + ^FE^ACDB +
+Е Q(TaPDB^QCFE + TacpbTqdFE ~ TapfeTqcDB ~
-TacpeTqfdb) +
+^RS(ТАС[)^Т^д^р - TACFRTi,EBD) = 0 (7 138)
формализма Ньюмена- Пенроуза
Доказательство Запишем уравнения (В’+) в матрицах Кармели
Rfedb = ^db^fe ~ дрЁ^ов ~ (TDb)fSTsb —
— (-^р) B^FF + (Tfe)cS^SB +
+(^ef) b^df + Pfe> TdbJ- (7.139)
374
Используя соотношение (7 123), представим уравнения (7.139) в
виде
RaCFEDB &DB^ ACEF + ^EF^ACDB + FDB^ACSE
EBD^ACFF DFE^ACSB * BEF^ACDF +
+сР<5(^ЛРОВ^ОСТЯ — tApfetqcdb) — 0 >
или как
R-ACFEDB ^DB^ACEF + ^EF^ACDB + ^^APDB^QCFE
^ACPB^QDFE ~ TapfeTqcDB ~ '^ACPE^QFDB^
+£RS{TACDRTSBEF - TACFRTseed) = 0>
(7.140)
где мы ввели спинорные индексы у матриц RAbcd и ТАд
по
правилу
^ABCD ~* ^EFABCD ~ ^EFkn<JABaCD’
Tab ~* TCDAB — TcDk<rkAB
(7.141)
получим
Подставляя в равенство (7.140) соотношение (7 136),
уравнения (7.138).
Спин-тензоры Фивсе и ФЛВ(?Ё имеют следующие обозначения для
своих компонент [29]
ФдВСЕ =
AB CE
00 01 11
00 Фо Ф1 ф2
01 — — Фз
11 — — ф4
(7.142)
СЁ
&АВСЁ—
АВ об 61 ii
00 $00 $01 $02
01 $10 $11 $12
11 $20 $21 $22
Л - А.
(7.143)
(7.144)
Используя соотношения (7.114), (7.115), (7.124), можно расписать
уравнения (7.126) формализма Ньюмена Пенроуза покомпонентно,
при этом мы получим уравнения (Al) — (Л.8) плюс комплексно со-
пряженные им уравнения. С помощью соотношений (7.142)— (7.144),
(7.114) можно также расписать покомпонентно уравнения (7.138) фор-
мализма Ньюмена Пенроуза. В результате получаются уравнения
(В’+.1)-(В’+.18).
375
Спинорный аналог дуального тензора Римана
Rijkm— "zEkm ^Rijsp (7.145)
запишется как
^AABBCCDD~ ’ (£ABECD&ABCD ~ ABCD^AB£Cb~
~^CDAB£AB£cd + ^ABCb£CD£AB +
+2Л(едсЕвгЕлв££>с + £abEcdEAc£bd)) (7.146)
Из этого соотношения следует
RaBCDEF= 2£PQ RaBCDEPFQ — —1 (~£BD^ ACEF+
+£ef^Acbd + A£bd(£aeEcf + eceEaf)) i (7.147)
а также
RaBCDPQ= 2£EF^ABCDEPFQ = * (^AC^ BDPQ~
—£pq^acbd + ^-£ac(.E[)P£bq + £bp£dq)) (7.148)
*
Дуальному тензору Вейля Cijkm соответствует спин-тензор вида
Cijkm^CAABBCCDD = *(£ABEcD^ aBCD ~ ABCDEАВ£сЬ)
Для самодуального спин-тензора Rabcdef справедливо соотно-
шение
RaBCDEF = 1 R-ABCDEF= ®ACEFEgi), (7.149)
в то время как для антисамодуального имеем
RaBCDPQ ~ ’ ^-ABCDPQ~ £AC^gBpQ (7.150)
Предложение 7 11 Вторые тождества Бианки (D’+) геометрии А4
в спинорном Д-базисе можно представить как
1 .FEGНRXД о _ ф фН F
2,еСО °PXKABGHFE *ABCr1 F d~
-WIrpb(aTc)RP D + ФрвЬхТАКС* +
+®АВХёТ* D c + ^ABDxT E^c = 0, (7.151)
376
где
CDFEGHRX _ -tcCG RF ЬЁ ИХ cCFcGR ЁН ЁХ\ ,7 <
£ = — i(E E EE —SEE E ). (7.13Z)
Доказательство. Запишем уравнения (7.79) в виде
V” Rxckn — REAkn TcEn— RAEkn TcEn = 0. (7.153)
Умножая эти уравнения на crk -, имеем
С D
R-BACDFE + R-BACDFE ^n°nFE +
। d _fc qFE_ RS
*" Rearsfe ffcb° ak
~ Rbpcdfe Тл Rracdfe ^b FE — 0- (7.154)
Здесь были использованы соотношения (7.94) и (7.133). Подста-
вляя в уравнения (7.154) соотношение (7.148), получим
И->АВсЬ *" AfEPR {^iCD^BA F — 2<Ti КвАСЁ^') = 0,
где через AFBPB обозначены уравнения (7.125), переписанные в виде
^ABCD = ^ABff'cb ~ &сЬа'АВ ~
-ePQ {rpACDa'QB — ТрСАда'дО^ -
(TflBDC(TlAS — TflppAff,c^) = 0, (7.155)
а величина DABCB = 0 определяет уравнения (7.151)
П — FEGHRX Л p
^ABCD — 21 CB uRXnABGHFE
~'&ABCRTfiFFb - №rPB(A Tc)RPd + +
ABXeT* c + ^ABDxT Ё&С —
что и доказывает выдвинутое предложение.
Предложение 7 12. Вторые тождества Бианки (7.151) геометрии А4
совпадают с тождествами Бианки
дилере - дХ(с<ЬАв)Ьх ~ Зфpr(abTC)PR ь ~
~^авсрТрrhd + 2ТР(авХФС')РхЬ ~
—Тxdv(a®bc)XV -TxVv^BC)XD = 0, (7.156)
377
АРВХ (®АР* wTBXVP +
~‘t'^APB^TXWVP') + <bpRB*TAPR X +
+*apb*TPRRx = 0 (7.157)
из работы Ньюмена-Пенроуза [30].
Доказательство Используя соотношение (7.147) и равенство
р их _ 1 FEGHRXр
nABCD — 2 CD nABGHFE’
в уравнениях (7.151) получаем
J, FEGHRX яр _ я р RX _
CD uPXnABGHFE ~ UPXn'ABCD ~
= дрх ^АВСП — £AB^CR£)X — &£рХ (£ca£bR + £ba£cR})
Подставляя это соотношение в уравнения (7.151), имеем
дРаврс — дсхФabdx + 2£с(л^В)рЛ — УabcrTrfFр -
— RP B(a'Tc)RP р + ®RBDxTaRCX + ^аВХёТ DE с +
+*abdxTXeEc = о (7.158)
Симметричная по индексам С и В часть равенства (7.158) запи-
сывается в виде уравнений (7.156), а антисимметричная часть имеет
вид уравнений (7.157).
Записывая вторые тождества Бианки (£>л+) геометрии А4 поком-
понентно, имеем [30]
(D-4p- 2с)Ф! - (6 - 4а + тг)Ф0 4- ЗкФ2 4- (6 - 20 - 2а 4- 7г)Ф00-
—{D — 2р — 2с)Ф01 — 2кФц + 2<гФ10 — кФо2 = 0,
(Г>’+.1)
(Z? Зр)Ф2 (6 4~ 2тг — 2а)Ф1 4- 2кФз 4- АФо 4- (^ — 2а 4" ^)Фю —
-(£) - 2р)Фп - «Ф21 - кФ12 - рФ00 4- тгФо1 4- <тФ2о - DA = 0, (£>’+ .2)
(£> — 2р 4-2е)Фз -(«4-Зтг)Ф24-2АФ1 4-кф44-(6- 2а 4-20 4-5г)Ф20-
-(£) - 2р 4- 2е)Ф21 - 2рФю 4- 2тгФц - кФ22 - 26Л = 0, (Г>’+ .3)
378
(й _4т _ 2£)ф! - (Д - 4? + р)Фо + ЗсгФ2 + (6-20 + 2?г)Ф01 - (£> - 2s + 2е-
—р)Фог — 2кФ;г 4- 2<тФц — АФоо = О, (D‘ .4)
(6 - Зт)Ф2 - (А 4- 2р - 2?)Ф1 + 2сгФ3 + пФ0 + (6 + 2тг)Фп - (D + 21-
-р)Ф12 - кФгг - РФО1 + ’’’Фог + f Ф21 - АФю - 6Л = 0, (£)’+ .5)
(6 4-2/?- 2т)Ф3 — (А + Зр)Ф2 + 2^! + сгф4 + (6 + 20 + 2тг)Ф21 —
—(D 4- 2е 4- 2е — р)Фгг — 2рФц 4- 2тгФ12 — АФго — 2АЛ — 0, (D3 .6)
(D + 4s - р)Ф4 - (6 4- 4гт 4- 2а)Ф3 4- ЗАФ2 4- (А 4- 27 - 2? 4- /7)Ф2о-
-(6 + 2а- 2т)Ф21 - 21/Фю 4- 2АФц - аФ22 = О, (£>*+ .7)
(6 4- 4/? - т)Ф4 - (А 4- 27 4- 4р)Ф3 4- ЗрФ2 4 (Д + 27+ 2/7)Ф21 - (6 4- 2а-Ь
4-2/? — т)Ф22 — 2рФ1 j 4- 2АФ12 — 1/Ф2о — О, (D3 .8)
(D — 2р— 2р)Фц — (6 — 2а — 2т 4- тг)Фю — (6 — 2т — 2а + гг)Ф014-
4-(Д4-27—274-р4-Д)Фоо4-кФ12 + к:Ф21-^Фог-^Фго + З-ОА = О, (D,+ .9)
(D - 2р-|- 2е - р)Ф12 - (5 4- 2тг — 2т-)Фц -(6 + 20- 2а - т4- ”)Фо2 4- (А 4- 2/7-
—27 4- /х)Фо1 4- кФгг — ^Фоо — АФщ — <тФ21 4- 36Л — О, (D’ .10)
(О+2е+2£-р-р)Ф22-(6+2^+20-т)Ф21-(6+20+21г-т)Ф12+(^+2р+
4-2д)Фц — рФю — ^Фо! + АФ2о 4- АФо2 4- ЗАЛ = 0. (D3 .11)
Чтобы получить полную систему вторых тождеств Бианки (D)
геометрии А4, необходимо добавить к этим уравнениям комплексно
сопряженные уравнения (D‘ ).
379
7.7. Вариационный принцип для вывода
структурных уравнений Картана и
вторых тождеств Бианки геометрии А4
Рассмотрим сначала вывод структурных уравнений (В) и вто-
рых тождеств Бианки (D) для самодуальных и антисамодуальных по-
лей римановой кривизны, матрицы Кармели которых удовлетворяют
условиям:
Rkn — i* Rknt
Rkn — Rkn,
где
«tn + 2V[tTn]-[7i,Tn] = 0,
^n + 2V[tT^-[T+,T+] = 0
Rkn= ^knpaRps,
Rtn = ^‘R+
Выберем функцию Лагранжа в виде
М =-|(-9)1/2Тг(Я*п7?*п) + к. с. часть (7.159)
Варьируя это выражение по Tt и Т/, получим уравнения (D)
Rkn+[Rkn,Tn] = 0, (7.160)
Rtn + [Rkn>T+n] = 0. (7.161)
Для произвольных полей римановой кривизны функция Лагранжа
имеет следующий вид:
^2 = —-^(-д)1,2Тг (я *”(—~ 2V[jtTnj + [Tfc,T„])^ + к.с. часть.
(7.162)
Вариация этого лагранжиана по Rkn и R+ кп приводит к вторым
тождествам Бианки (D)
Vn Rkn +[Atn,T"] = 0,
(В' + )
380
Vn/?+tn+[/?^n,'r+n] = O (£>*')
С другой стороны, вариация лагранжиана (7.162) по 7), и Т+* дает
вторые структурные уравнения Картана (В) геометрии А4
Rkn + 2V[JtTn) - [7*, Tn] = О, (Bs+)
Rin + 2V[tr+ - [T+.T+] = О (В*’)
Rkn =
Rtn = ^knp’Rt>-
Лагранжиан (7.162) содержит в качестве независимых переменных
величины Rkn, Rkn’ и Чтобы получить из них с помощью
вариационного принципа первые структурные уравнения Картана (Л)
геометрии А4
- Tjjto-*1 - = О, (А')
необходимо ввести в лагранжиан (7.162) в качестве независимых пе-
ременных матрицы <т’. Сделать это можно путем модификации ла-
гранжиана (7.162) таким образом, как это сделано в работе [54].
Запишем уравнения (А), (В) и (В) в спинорной форме следующим
образом:
(-^) А авсЬ ~ 0> (7.163)
(В) BFEACDB - 0 + к с уравнения, (7.164)
(О) DABCi) =0 + к.с. уравнения, (7.165)
где
АлвсЬ = ^ABffcb ~ dcb^AB ~ е Q(TpAcbaQB ~
~^PCABaQD) - £RS (ТRBbe^AS ~
-TRDBA^cS) = 0, (7.166)
RaCFEDB ~ RaCFEDB ~ ^DB^ACEF + ^EF^ACDB +
+eP<2(^APDB^QCFE +
+TaCPBTqdFE ~TapfeTqcdB ~^ACPE^QFDB^ +
+е (TacBRTsBEF ^ACFbTseBd) — О'
(7.167)
381
n - г FEGHRXb p
UABCD — 2j CD uRXnABGHFE ~
-Ф abcrTr ff d — ^b.pb(aTc)RP i> +
+*rbdxta Rc* + ФАВхеТХвЁс + *АВвхТХеЁс = 0, (7.168)
и рассмотрим лагранжиан
Ьз =R в -А®кп ((24 пТАвк +2ТрАпТвРк) — д11вРАРпк \ + к с. часть.
\ 4 /
(7 169)
Здесь R BqAQkn = enkirnRBqAQjm и Enfcjm - полностью антисимме-
тричный символ Леви Чивита.
Рассматривая RBдА®кп и ТрАп как независимые переменные и
применяя обычную вариационную процедуру, получим следующие
уравнения:
(В’ ) ^вРАЁкп - 2V[fcT|AB|n] + 2TpA[J:TP|B|nj = 0, (7.170)
(В’ ) к.с. уравнения, (7.171)
(^ ) V RbqA ~ Rpq(A = 0, (7.172)
(О’ ) к.с. уравнения. (7.173)
Умножая уравнения (7.170) на Vcd^Fe", получим
OFEkABCD °CbkABFE+1PAFE^BAD ~1PACD1BFE ~
~2^в^аРfecd +ТАвп(дСв<ГрЁП ~ дрЁасЬП) — 0- (7.174)
Используя обозначения (7.166) и (7.167), запишем равенство (7.174)
^АСЕЕВЕ CDFE^ABn = 0- (7.175)
Умножим теперь уравнения (7.172) на <гСрк В результате полу-
чаем соотношение
aFE р Q . . р Q . . Fb ,
и п BQA. CDEF^ nBQA CDEFV
-L *р . Q . flFB(TRS —
+ nBQA RSEF° CDU ° п
_ о . Q T.PFB_ р Q .'Г PFЁ _ q
KBQP CDEF±a *4>QA cdef1b — и,
(7.176)
382
или, учитывая равенства (7-166) и (7.167),
iD 4- А n I R QPREF _ PR р . Q Ef\
^ABCD ^FEPR [y^nCOKBQA on П-BQA CD 1 — U.
(7.177)
Здесь было использовано также соотношение
RbQA QCDEF — * BACF^BE ~ ^£CF^ABDE + 2ЛеВд(евР£ас +
+Ebc£afY)
Очевидно, что из лагранжиана (7.169) невозможно получить пер-
вые структурные уравнения Картана (Л) геометрии А4, поскольку он
не содержит переменных аСдП
Добавим к лагранжиану (7.169) член
4BCD А1 • • ,
> ABCD
(7.178)
в котором величины \ABCD играют роль множителей Лагранжа
= + - . +к.с. часть. (7.179)
J A tj Is 1А
Величины X^BCD, так же как и являются эрмитовыми ма-
трицами, антисимметричными по паре индексов АВ и CD- Вариа-
ционная процедура с плотностью Лагранжа (7 179) при вариации по
переменным <rCDn дает уравнения [54]
А1 -
ABCD
= О
(7.180)
и
DABCD - ak^anB^AXPR ~ ^AXPR.)acb ~ °' (7.181)
Поскольку X^xpr ~ эрмитовы матрицы, то из равенства (7.181)
следуют уравнения (Р’+)
Dabcd — 0-
(7.182)
Соответственно при варьировании комплексно сопряженной части
лагранжиана (7.179) имеем
Dabcd = 0- (7 183)
Вариация лагранжиана (7.179) по RBQAQkn дает
&ACFEDB + CDFE^1ABn=0, (7.184)
383
или, учитывая соотношение (7.180),
Bacfedb — (7.185)
При варьировании комплексно сопряженной части по RB QA®kr\
получим
Bacfedb = 0- (7 1^6)
Таким образом, было показано, что из лагранжиана (7.179) следу-
ют первые и вторые структурные уравнения Картана геометрии А4
(7 180), (7.185) и (7.186), а также вторые тождества Бианки (7.182) и
(7.183).
7.8. Разложение спинорных полей геометрии А4
на неприводимые части
Тензор кручения flyj пространства Л4 имеет 24 независимых компо-
ненты и разлагается на сумму трех неприводимых частей следующим
образом
2 1 - —,
jk> (7.187)
где
(7.188)
а вектор (1,, псевдовектор 11, и бесследовая часть кручения Q опре-
деляются как
Q, = fl<, (7.189)
«j = ^.п,П’пз, (7.190)
Па,, = 0, + + = 0. (7.191)
При переходе к спинорному базису спинорное представление ко-
эффициентов вращения Риччи ТАВС^. имеет вид [30]
Тавсс ~ 2 (^авсс + 2^£лсавс + £всадс)^ > (7.192)
где спинор ЛАВсс полностью симметричен по нештрихованным ин-
дексам
Аавсс = А(авс)с< (7.193)
а спинор авс определяется как
^АС = ЛАВВс. (7.194)
384
В свою очередь, спинор ал(ч может быть разложен на эрмитову и
антиэрмитову части:
аАС = КАС ~ гРлС' (7.195)
где *
кас ~ + аАс)’ Рас ~ 2*(алс ~ °лс) (7.196)
и
кас ~ кас = кса< Рас ~ Рас = Рса (7 197)
Между неприводимыми частями кручения (7.189)—(7.191) и спино-
рами (7.193)-(7.197) имеет место следующее соответствие:
«лс (7.198)
Рас> (7 199)
flj, < * Алвее- (7.200)
Поскольку
=д,кП-;, (7.20Г
то имеют место соотношения
&ААВВСС * * &ijk, (7.202)
^ААВВСС = 2^ЛВСС£АВ +аЛвсс£Ав), (7.203)
^авсс = Ac(ab)c + qc(a£b)c (7.204)
По определению спинор ЛАВСс преобразуется по £>(3/2 1/2) не-
приводимому представлению группы SL(2.C). Соответственно, спи-
норы к.АС и цА^ преобразуются по 79(1/2.1/2) неприводимым пред-
ставлениям группы S£(2.C). Используя соотношение (7.124), можно
определить компоненты спиноров кА^. и цАС [55]:
кас — 1/2
(Р + Р) - (е + £)
(т ~ Р) + (о - *)
(т + /3) + (а - тг) \
(7 + 1) - (р + р) ) ’
(7.205)
Рас — ’/2
(Р - Р) - (е - £)
-(г - 0) + (а - тг)
(т - Р) - (а - тг) \
(7 - т) - (р - р) )
(7 206)
Разложение тензора Римана на неприводимые части имеет вид
Hl] km — Cijkm + 9i[kHm]j + 9з[кКт]г + ^H9i[m9k]j -
О
(7.207)
13 Г.И.Шипов
385
В спинорном базисе это разложение запишется как [30]
^AABBCCDD — Ф ABCD£aB£CD +
_ +£AB£CD^ABCD + *ABCD£CI>eAB +
+®cdab£ab£cd + 2Л(£асЕво£дв£сЬ +
+£ab£cd£Ad£bc')
При этом имеет место соответствие
Ctlkm <—* ^abcd£Ab£cd + £ab£cd^Abcd<
Rij < * 2ФЛВСр +
R ♦—> 24Л,
(7.208)
(7.209)
где спиноры ®авсЬ и удовлетворяют следующим свой-
ствам симметрии:
VaBCD = ^(ABCD), $ABCD = Ф(ДВ)(С£>)> Л =
и принадлежат к £>(2.0), D(l.l) и 0(0 0) неприводимым представлени-
ям группы В£(2.С) соответственно.
7.9. Спинорное представление уравнений
Эйнштейн аЯнга-Миллс а
В первой части работы было показано, что структурные урав-
нения Картана геометрии абсолютного параллелизма (Л) и (В) могут
быть представлены в виде расширенной геометризированной систе-
мы уравнений Эйнштейна-Янга-Миллса
+ Т^}е\ = О, (Л)
Rjm vTjmi (В. 1)
c jkm + 2V[J.T |j|m] + = (В
(7.210)
Запишем эту систему уравнений в спинорном базисе Для этого
мы используем матрицы Кармели и спинорный формализм Ньюмена-
Пенроуза. Пусть мы имеем правую спиновую геометрию Л41 тогда
ее уравнения (Л) и (В) запишутся как
dcbaAB ^ABffcb ~ ^Тсц)Аа'рв
-^ав)Рс^-^^а)^, (Л’)
13*
386
RABCD — ^сЛв ^ABRCD (7cI))aRFB (^bC^B^AF^
+(TA^TFt) + (t^tcf + [T^,TCD], (B‘+)
где компоненты матриц &'AB, TAB и РАВСВ определяются согласно
соотношениям (7.115), (7.88) и (7.103) соответственно
Предложение 7 13. Уравнения (В.1) в спинорном базисе имеют вид
^авсЬ + ^ЕавЕсЬ ~ vTacbd- (7.211)
Доказательство. Через неприводимые спиноры (7.209) Р — Q ком-
поненты спинорной матрицы РАВСВ выражаются как [56]
(rabcd)pQ = еЬв (vcapQ - A(efc^a +^pa^c)) +
+€слФр<Э£)В1 (7.212)
где
(Савсь)р^ = ^Ьв^сар^ (7.213)
- Р — Q компоненты спинорных матрица тензора Вейля с компонен-
тами:
Оиоо —•
^lioo ~
Ф1
Ф2
Ф2
Фз
-Фо А
-Ф1 )
-Ф1 А
— ф2 J
_ ( Фз -Ф2
Чио - ф4 _ф3
_ / -Ф2 Фх
°1001 - I _ф3 ф2
(7.214)
а со спинорами A.sbB(€pc6AQ + Ерл^с^) и eca^p® Ьв связаны следи
бесследовая части тензора Риччи
ЛедвЕрр — AFcr BDRgkn,
®abcd ~ А<^а BD \ кп ’
(7.215)
(7.216)
Подставляя соотношения (7.215) и (7.216) в уравнения (7.211) и
умножая полученное выражение на <тАСkCBDn, получим уравнения
(5 1)
Представим матрицу RABcd в виДе суммы
RABCD — ^ABCD + ^АВСЬ’
(7.217)
387
где матричный ток JAbcd имеет следующие компоненты [57]:
О 0 \
Т/6 0 J ’
г .
оюо — 2
_ 1 ( О -Т/6
Лио ~ 2 I О О
Лбоб — 2
1000
1616
0111
1111
—Т \
-10000 ]
—^1000 / ’
—ГОЮ1 \
—^oiii / ’
(7.218;
-Л106
^i6i i
^oioo
“^1100
О
-Т/6
1 / T-
' _____1 I 2 * *1100
1001 ~ n I rT
2 \ J1011
0100
1100
О
Т/6
, _ 1
lioo — 2
, _ 1
1101 “ 2
1
2
Здесь
ABCD — ffk АСаП BDTb
T=g]mT]m,
(7.219)
(7.220)
а тензор энергии-импульса Tfcn определяется через коэффициенты
вращения Риччи согласно соотношению
2
-2®>m5P"(^7[«7'|p|n] + ^[i^’lpln])}
(7221)
В частном случае, когда поле Т'3к антисимметрично по всем трем
индексам, тензор (7.219) [40]
— ^9jm^ &i j
(7.222)
Умножая это соотношение на tr1 Ас°'гп во и используя соответствие
(7.199), имеем
Tabcd — v
1 ро
^AB^CD ~ 2£ac£BDP-PQ^
(7.223)
Кроме того, находим
Т = gjrnT]m = = -^PqZQ, (7 224)
388
откуда следует «плотность спинорной материи» следующего вида:
р— (7.225)
Подставив равенство (7 217) в спинорные уравнения (Вз+), запи-
шем их в виде
‘^ABCD + h-eAB£c£> = ^ТдсвЬ' (В* О
GaBCD ~ ^CD^AB + ^AB^CD + (^Cp)a^FB + (Tne^b^AF~
~(Tab)c^FD — ^BA^b^CF ~ PaB’^CdI = ~У^АВСЬ 2)
Подводя итоги, запишем расширенную спинорную систему урав-
нений Эйнштейна- Янга-Миллса в виде
^CD^AB ~ ®ABacb ~ ^СЬ^А^рв + аАВ^ЬС^В~
-(Тав^-^Т^, (Д’)
^АВСЬ + ^FAB^cD = ^ACBD > (В3 .1)
СаВСЬ ~ ^сЬ^АВ + ^АВ^сЬ + (^Cp)a^FB + AF~
~(TaB^cTfd — (^BA^b'BcF ~ l^AB’^Cp] = ~VJabcd (Bs 2)
Здесь спинорные индексы пробегают значения А, В, D ... = 0,1,
а, в, Ь... = б, i.
7.10. Формализм двухкомпонентных спиноров
Введем двухкомпонентные спиноры о° и i° [58], связанные с ком-
понентами спинорной диады следующим образом:
са с° .а 7° -^а
чо - ° । si — 1 1 Со — ° 1
^1=Г, (7.226)
а,/?... = 0,1, а,/? .. = 6,1.
Из условий ортогональности спинорной диады
с°ег = 1,
= -€°<о = 0, (7 227)
= 0
389
soC0 SaSO — °a>
eO C1 eO _ c
QaQp ^aQp Eap>
(7.228)
где
1 \
0 ) ’
c _____ ca@ __ c . ___ c-f6 _
£ap — £ — — £ —
0
-1
(7.229)
следует условие нормировки для двухкомпонентных спиноров:
0^4 — 1,
OQOa = —ОаОа = 0, LaLa = О,
(7.230)
а также соотношения
£а^ = oaip — i°o0, еар = oQip — opiQ, = oatP — iQo&.
Спиноры оа и определяют компоненты символов Ньюмена-
Пенроуза (7.6)
<в = (7.231)
следующим образом:
<т‘п = <т* -о“о^ = Г, а\ • = <т' Aaifi — п',
00 ар ' 11 ар ’
О’*,- = <7* iO“i^ =771*. <7* • = <7* = т* .
01 ар ’ 10 аР
(7.232)
Вектора Z*, п*, тп‘ и rff образуют изотропную тетраду. Обычная
тетрада е'а может быть получена из векторов изотропной тетрады
посредством соотношений:
е‘о = + n*) = (2)->/^^(о“^ + t^),
?i = (2)-1/2(т- 4- пГ) = (2)-1/2<7^(о“?^ + tQo^),
е*2 = (2)-1/2i(m< - тй*) = (2)"1/2<7<(о^ -
е’з = (2)-х/2(Г - п') = (2)-1/2<7^(о°о^ - ^). (7.233)
Используя соотношения
ТАСк = ^£BD<T'CDVk(7ABt, (7.234)
(7-235)
390
находим следующие выражения для компонент матриц Кармели [31]
—к = о“о^о7 Vq^o7,
-р= t“^o7VQ/Jo7,
-а = оаТ0о^^ароу,
-т = »“?07^ад07,
-У = 1°т0^ар1у,
-Р = o°l0SVopiy,
-А = t“6^t7Vo/j4,
-7Г = О°ОР1^ар1у,
-£ = O°O0SVapOy,
-р = 0а^^арОу,
-у = lal0O<Vaply,
-a = iaoPo^^apcy,
(7.236)
Фо = 'J!apxioQo0oxo6, Ф} = ’Фарх1оао0ох16,
Ф2 = ^арх6о°о^1х16, Ф3 = Фа/3хдо0Лх?,
(7.237)
Ф-4 = tyQpxfia I? 1Х11,
Фоо = Фоо = ^ср^О^О^О6, Ф01 = Ф10 = ^Qpx6OaO0Oxil‘,
Ф02 = Ф2 = Фар^оао01х^, Фц = Ф„ = (7.238)
Ф12 = Ф21 = арх 'ь°а’ Ф22 = Ф22 — Фарх^а
Из соотношений (7.236) следует
Рх°а = уоаорох — aoaopix — fioaipox + eoaipix
—Tiaopox 4- piaop~ix 4- aiaipox — Kiai,p1x,
(7.239)
^PXla = VOaOpOx — XoaOplx — pOalpOx + TTOalplx —
У^a^P^X СХ^аОр^х P^ot^P^x £l.a^pt.x-
(7.240)
Компоненты спинорной производной (7.114) через двухкомпонент-
ные спиноры представляются как
D = -оао0^ар, Д = -са-^ор.
6 = -о^ар< 6 = -с°о^ар
(7.241)
В формализме двухкомпонентных спиноров существует так на-
зываемый модифицированный формализм [58], который учитывает
«штрихованную» симметрию спинорных величин. Эта симметрия
позволяет производить замену
1° -> io°,
1 —► —го
(7.242)
391
при которой нештрихованные величины заменяются на штрихован-
ные по правилу
(/*)' = n*, (mt)/ = m‘, (и?)' = т‘, (п*)' - Г, (7.243)
v = —к', Л = —о', р = — р',
it = —т', а — —0', 7 = — е' .
(7.244)
Благодаря указанному свойству симметрии можно заменить в со-
отношениях (7.236) нештрихованные величины на штрихованные
-к = '6aoPo1V QpO^,
-p = laO^O'1'7QpO^,
—а = o“t/’o'l'Va^o7,
-т = i“i^Vrj(jo7,
к' = ial0 a^t7,
р' =
а' = ~саоРС^арЧ,
т' = оаоР^арЧ,
-Е = OacP^QpO^
-р = o^PV^o7,
е' =
Р' = iao^Va(j4,
(7.245)
рассматривая вместо 12 спинорных коэффициентов только 6.
Наиболее общее преобразование, сохраняющее спиноры о°, ia и
условия (7.230), задается в виде
oQ Соа, ty-tC-1'0
(7.246)
где С - комплексное, образующее подгруппу бустов и трехмерных
вращений. Компоненты изотропной тетрады (7.232) изменяются при
этих преобразованиях так:
ii —» Л-1/,, п,- —* Лп,-, mi —* е,вт,,
А = СС, е,в = СС~' (7.247)
Определим скалярную величину со следующими свойствами пре-
образования:
т) - СрС~Чт]. (7.248)
Эту величину называют спиновым и бустовым весовым скаля-
ром типа (р, д) [58]. Из соотношений (7.246) следует, что компоненты
спиноров о° и г° являются скалярами соответственно типов (1,0) и
(—1,0). Для компонент изотропной тетрады имеем
/’ : (1,1), п*: (-1,-1),гл’: (1,-1), пГ: (-1,1). (7.249)
Относительно преобразований (7.247) все спиновые коэффициенты
(7 236) разбиваются на два класса:
392
а) величины, имеющие однородные законы преобразования, на-
пример
и - (Co°)(C-1Z6)(Co/3)V00(Co/3) = С3С-1<т; (7.250)
б) величины с неоднородным законом преобразования, содержа-
щим производные от С, например
Р - (C0°)(C“1Z<i)(C-1t/3)VQO(C0z3) =
= СС-1/? + С~10°^оаС. (7.251)
Учитывая «штрихованную» симметрию, а также спиновые и бу-
стовые веса, имеем для основных спинорных величин
к. (3,1), ст: (3,-1), р:(1,1), т:(1,—1),
к':(-3,-1), <т' : (—3, 1), р' :(—!,—!), т':(-1,1),
Фо = Ф4 : (4, 0), Ф1 = Ф'3 : (2, 0),
$2 = $^ (0,0), Фз = Ф; : (-2,0),
Ф4 = Ф'о : (-4,0), (7.252)
$оо = $оо = Ф'22 • (2,2), Ф01 = Фю = Ф'21 : (2,0),
$02 = $20 = Ф'2О : (2, -2), Фю =_Ф01 = Ф'12 : (0, 2),
Фн = Фи = Ф'п (0,0), Фю = Ф21 = Ф'1О : (0, —2),
$20 = $02 = $02 ; (-2, +2), Ф21 = Ф12 = $01 ' ( — 2, 0),
$22 = $22 — $00 : (—2, —2),
Л = Л = Л'- Я/24 : (0,0).
Для взвешенных величин вводятся новые дифференциальные опе-
раторы, действие которых на скаляр Г) типа {р, д} определяется как
Р-П = (D - ре - qPfr, Р'т) = (Д + ре' + дГ)??,
дт] = (6 -рР + qP')7J, д'т) = (6 + рР - qP)r).
Операторы (7.253) имеют следующие спиновые веса:
Р' :(-!,-!), д' - (-1,1). ( й )
393
q
Рис. 7.1. Бустовые и спиновые веса основных спиноров, входящих в
уравнения физического вакуума
Спинорные уравнения (Л’) и (В’+) можно записать в более про-
стом виде [31], если использовать величины (7.252) и дифференциаль-
ные операторы (7.253). На рис.7.1 схематически показаны бустовые
и спиновые веса основных спиноров геометрии Ац.
Глава 8
Конструирование решений
структурных уравнений Картана
геометрии абсолютного параллелизма
8.1. Выбор системы координат и
специализация символов
Ньюмена-Пенроуза
Структурные уравнения Картана любой геометрии описывают
общую связь между основными геометрическими характеристиками
данной геометрии. Частное решение структурных уравнений опре-
деляет конкретные геометрические величины, такие, как кривизна,
связность, метрика и т.д., характерные для данного конкретного ре-
шения [59]. Для простоты исследуем структурные уравнения Картана
геометрии
V[jteom] - ei'[jt7,o|il|rn] = О, (Л)
Ra Ъкт + 2 + 27“ сукТ* |(,|m] = О, (В)
записанные в векторном базисе, на предмет совместности. Эти урав-
нения представляют собой систему, состоящую в общем случае из
44 нелинейных дифференциальных уравнений (24 (А) и 20 (В)) в част-
ных производных первого порядка, в которую в качестве неизвестных
функций входят:
а) 6 компонент неголономной тетрады
е'а - Vax*; (8.1)
б) 24 компоненты коэффициентов вращения Риччи
Tabk = ejb^keaj-, (8.2)
395
в) 20 компонент тензора Римана
Rabkm-
(8.3)
Таким образом, в общем случае у нас имеется 44 уравнения для
50 неизвестных функций. Это обеспечивает свободу выбора системы
координат х‘, тетрады е*о, а также величин Таьк и Rabkm Поэтому
поиск конкретных решений системы уравнений (Л) и (В) правильнее
было бы назвать «конструированием решений».
Для конструирования решений удобно представить структурные
уравнения Картана геометрии абсолютного параллелизма в спинор-
ном Д-базисе через матрицы Кармели:
дсЬа\в dABacb ~ (tcd)aP<t'pb + ^'ав^Ьс^в-
(ТаВ^С apb аСВ^^А^НО’
(Д’)
RpEDB — ^DB^FE ^FE^DB (ToB^^Tgg — (7^D)F B^FF^
+(TFE)D TSg + (T+f) b^DF + Pf£i (^’ + )
где компоненты бесследовых 2x2 матриц RFEDB и TFE определя-
ются согласно соотношениям (7.88) и (7.103). Определим теперь сим-
волы Ньюмена-Пенроуза через спинорное представление инвариант-
ной производной Хаяши [39]
° ав — авх' — &abx' >
(8-4)
где компоненты спинорной производной дАВ обозначены как
(8-5)
Учитывая соотношения (8.4), (8.5) и
__________________В_________________
А _________0__________________1________
о /•'= (у°,у,у2,у3) тп' = (e°,w,e2,e3)
1 П? =(^°,ы,ё2,?3) п* = (Х°,и,Х2,Х3)
(8.6)
находим
/’ = Dx', п* = Дх‘, т'=6х', тп1 = 6х‘, (8.7)
396
а также
У° = Dx°,X° = Ax°,e° = 8x°,f ~ 8х°,
V — Dx1 ,U = = 8х1 = бх1,
У2 = Dx2,X2 = Дх2,е2 = бх2,^2 = 6х2,
У3 = Dx3, X3 = Дх3, е3 = бх3, ё3 = бх3.
Из равенства
(8.8)
&лв —аАВ
и соотношений (8.5), (8.6) следует
(8 9)
ИЛИ
D = /‘V,,
6 = m‘V,, =
(8Ю)
д
' = V —
дх1
= V±
дх1
х- д
W дх1 4 дха'
Т _ д -ад
6=ww+< д^'
дха'
д
дха'
д
(8 11)
а = 0,2,3.
Используя эти соотношения, запишем вектора, составляющие ма-
трицу (86), в виде
Г = V6{ +У-Х
n* = U6\ + Х°о .
т' = а>6\ +
пГ =
(8-12)
Из условий ортогональности для символов Ньюмена-Пенроуза
(8.13)
i с А с В
ffi аСЁ СО Е
следуют условия ортогональности для векторов (8 12):
(8-14)
/,/* = 771,771* — 7П,'7П* = п,п‘ = 0,
/,П* = — ТП{Гп‘ - 1,
1,т' -- /,гп* = п,т' - п^гп1 — 0,
(8.15)
397
причем из формул
_ _ ~ с . -ABCD fq 1 £?\
9ij — £аС&&j ’ (о.16)
too — £11 — 0, eoi — —li do — 1
находим
д'3 = l'n3 + l3n* — m'm3 — m3m‘
(817)
Вектора, удовлетворяющие условиям ортогональности (8.15), яв-
ляются нулевыми векторами и в физике обычно связываются с рас-
пространением излучения (с материей, не имеющей массы покоя), ко-
гда возникают понятия волновых фронтов, волн, лучей и т.д. При
этом в пространстве вводятся семейства нулевых гиперповерхностей
ti(ar*) = const.
Выберем вектор /, ортогональным к этим гиперповерхностям
(8.18)
Далее выберем координаты так, чтобы [60]
х° = и,
х1 = г, где г — аффинный параметр вдоль нулевых
геодезических,
г2,
х3, причем зс2,3 нумеруют лучи на каждой
гиперповерхности и постоянны вдоль лучей.
При таком выборе координат вектора /* и Ц имеют следующий
вид:
/,=«,= х°- = 6?, 1* ,» » ’ (8 20)
- _ ^х' _ ^х' _ • dx* dr 1 ’ (8.21)
или
Г =(0,1,0,0), /,=(1,0,0,0) (8.22)
Из условий ортогональности
/,п‘ = 1, Цт' = 0
следует
n* = (l,t/,X2,X3),
т' — (0, w,£2,£3),
(8.23)
398
и соотношения (8.11) принимают вид
дх1 дг’
д = [/— + А + А =А + А + хр— дх1 дх° дхР ди дг дхР' , 9 _в д b ~ W к — LU к . дх1 дхР дг дхР Л ~ 9 J-fP д -д _LfP д дх1 дх Р дг дх Р (8 24)
/3 = 2,3.
Кроме того, для векторов (8.12) получим соотношения:
п* = Йо* + U6\ + fi'p,
т.' = шй1* +
т' = + ^бр, (8.25)
/3 = 2,3.
Поскольку = gikh = gik6°k = g'° = 6j,
то метрический тензор имеет следующую структуру [61]:
gik = / 0 1 0 1 0 0 \ ff11 ?2 ff13 <712 д22 д23 s13 д23 д33 J (8 26)
Используя соотношения (8.17) и (8 25), находим
<722 = 2(С7 - ыы),
д2р =Х0 -tfPu + fw), (8.27)
gyf = -(et +ге\
7,6,/3 = 2,3.
Как видно из предыдущих рассуждений, выбранные координаты
(819) и специализация символов Ньюмена-Пенроуза с помощью со-
отношения (8 18) позволили нам определить зависимость (8.27) и об-
щий вид (8.26) метрического тензора д,к геометрии А4.
399
8.2. Специализация спинорных компонент
коэффициентов вращения Риччи
Спинорные структурные уравнения Картана (Л5) и {В3) геоме-
трии А4 можно рассматривать как матрицу возможных геометрий аб-
солютного параллелизма, различающихся конкретным набором спи-
норных геометрических характеристик. Поэтому под решением спи-
норных структурных уравнений (Л3) и (В5) (в данной системе коор-
динат) мы будем понимать набор переменных, состоящий в общем
случае из:
а) 6 независимых компонент символов Ньюмена-Пенроуза
<в; (8.28)
б) 24 независимых спинорных компонент коэффициентов вращения
Риччи
Лю Т+А, (8.29)
в) 20 независимых спинорных компонент тензора Римана
К-авсЬ’ rIadc- (830)
превращающих уравнения (Д3) и (В3) в тождества после подстановки
их в эти уравнения.
При поиске тех или иных решений структурных уравнений (Л3)
и (В3) мы будем руководствоваться условиями симметрии, а также
соображениями физического характера, например налагая на тензор
Римана условия эйнштейновского вакуума
Rij = 0, (8.31)
которое в матрицах Кармели (7.103), (7.214) и (7.217) запишется как
^авсЬ = СавсЬ ~ 0
Рассмотрим теперь ограничения, которые можно наложить на
компоненты матриц (7.88), используя физические представления. Для
этого обратимся к соотношению
^к(ТсЬ ~ {^авУс^ро + (8.32)
или
(Тав)с° рй + = ^касЬалв (8.33)
С помощью соотношений (8.6) и матриц (7.88) находим из (8.33)
(8.34)
400
lkVkl' = (e 4- ё)/* — кт, — кгп', (а)
nfcV*/* = (? + 7)’ ~ ттп, — ™*, (б)
т1?*/1 = (а + /?)/* — рт, — erm?, (в)
rn^Vjt/1 = (а 4- Р)Г — рт, — ат'\ (г)
(8.35)
lk^kn' — — (е + ё)п* 4- кт, + тгт‘, (а)
Пк Vfcn" — —(у + 7)п* + 1/771, 4- izm1, (б)
тк\7кп* = — (а + /3)п' 4- рт, 4- Хтп*, (в)
тпкЪкп' = —(а 4- Р)п' + рт, 4- Am*; (г)
(8.36)
/fcVjt77i* = (е — ё)т71‘ 4- тг/, - кп', (а)
7i*Vtm* = (7 — 7)771* 4- 77/, — тп', (б)
mk Vjtт' =. (J3 — а)т* 4- ХЦ — ап1, (в)
= (а — Р)т' 4- p/j — рп'; (г)
(8.37)
/fcVjt?n* = (ё — e)rn* 4-тг/j — 7сп*, (а)
nkVkm‘ = (7 — 7)гп* 4- ь'/. — тп', б)
77ifcVjtnT* = (а — /?)ти* 4- р/, — рп', (в)
тп*Х7*тп* = (/? — а)тп* 4- ХЦ — ап*. (г)
Отсюда, используя условия ортогональности (8 15), имеем
к = Vfc/,771*/*, 1/= Vjt7i1rn*ni, р = Vjt li т'тк,
р = —V kn,m' тк, а — \7кЦт'тк, X =—\7 кщтп'тпк,
г — VкЦтп' пк, тг — ~'^кп,гп'1к,
о = -^{УкЦп'тпк — VfcTn,ni*7nfc), (8.38)
Р = кЦп'тк — ^kmirn'mk),
7 = 2^к^п'пк ~ ^,kmiTn'nk),
£ - 1:(УкЦп*пк - ’Vkmirn,lk).
401
С другой стороны, соотношения (8.32) можно записать как
(8.39)
Vk/j = (? + 7)/tZj-
— rllcTTlj — г1кТП} + (e + t)nklj — KTl^mj —
-кпкгп, - (a + P)mklj +amkmj + (a)
+pmkrn] - (a + P)mklj +
+pfnkmj + arnkfrij,
^kni= -(7+ у)1кП] + ^lkmj +
+l/lkrrij - (e + e)nknj + irnkmj +
+тпктп, + (a + /3)mknj- (6)
-Хткт, - prnkrnj + (a + P)rnknj-
—/j.rnkmj — Xmkrnj,
^ктп, = (7 -у)1кГП] +vlklj-
-rlkTij + (e - ё)пкт, + япк1, -
-кпкп} + (a - pyfnkmj - (в)
~pmklj + рткп, + (P - a)mkmj-
—Jimklj + urnknj,
Vtmj - (7 -уУкГП] + vlklj - rlknj +
+(E-e)nkrnj -jrnklj-
-кпкП] + (a - 0)ткт,- (r)
-p-rriklj + pmknj + (P - a)rnkrnj -
-Xmklj +amkrij,
Альтернируя эти соотношения по индексам к и j, имеем
(8.40)
Vl*G] - -2Эг(е)/[*п>] - (т - a - P)l[km}j- (а)
-(г - а - /?)/[кп1,] - Knptni,] - кп[*.гп;] + 2гЗ(р)гп[кrfij],
V[knj] = -25R(7)z[*nj] - (* - а-Р)п[ктп- (б)
-(тг - а - Р)п[кт,] + vl[kTn}] - + 2iQ(p')m[kTnJ],
= -(* + Т)/[*’Ъ] + (2’э(7) + Д) Z[t»7i>]+ (B)
+AZ[£rnJj + (2i3(s) - p) - ап[кт,] - (a - /?)гп[кп1;],
V[trnj] = -(тг + т)/[Д:пл + (-2i3(7) + p) Z[tmJj+ (r)
402
+Ц*"Ь] + (-2i9(e) - p) nfjtrn,] - an[tmj] - (a - /3)тп[кт,].
Свертка уравнений (8.39) приводит к следующим соотношениям.
(8 41)
Vt»4 =-(р + р) + е + ё, (а)
Vjtn* =-(?+ ?) + р + р, (б)
Х7ктк = — а + тг — г + Д (в)
Vjtrn* = —a + тг + г + Д (г)
Соотношения (8.34)-(8.41) оказываются весьма полезными при спе-
циализации спинорных компонент коэффициентов вращения Риччи.
Действительно, потребуем, например, чтобы изотропный вектор I'
удовлетворял уравнениям геодезических эйнштейновской теории гра-
витации
1к\?кГ = 0. (8.42)
Тогда из равенства (8.34а) следует
(е + е)Г — кт, — Krff = 0. (8.43)
Очевидно, что соотношение (8.43) выполняется, если на спинорные
компоненты тензора Риччи накладываются следующие ограничения
(е+е) = 0, к = к = 0. (8.44)
Условия параллельного переноса векторов т', т' и п* в направле-
нии 1к теории гравитации Эйнштейна запишутся как
1к^кт' = 0, = 0, 1к^к^ = 0.
Из равенств (8.35а), (8.36а) и (8.37а) следует, что эти соотношения
выполняются, если
к — к = ‘1г = тг = е = ё— 0. (8 45)
С изотропным вектором 1‘ связаны три оптических параметра [30]:
а) растяжение
0 = (p + p)l = O,5V/; (8 46)
б) вращение
/1 \1/2
ы = (р - р)(2)-!/2 = ((8 47)
403
в) сдвиг
/1 \ 1/2
Н = (|аа|)1/2 = [-Ъ(к1^кГ - (8.48)
Поскольку мы выбрали Z* градиентным вектором (/,- = и,,-), то из
соотношения (8.47) следует, что
и = 0, р — р (8.49)
Кроме того, в этом случае выполняется следующее равенство [53]:
т = а + /3. (8.50)
8.3. Специализация спинорных компонент
тензора Римана
Для поиска конкретных решений структурных уравнений Кар-
тана геометрии ТЦ, имеющих физический смысл, полезно воспользо-
ваться полностью геометризированными уравнениями Эйнштейна
^ABCD + ^еЛВ£СР ~ V^ACBD (8-51)
В гл. 6 было показано, что
°- ja + KeaB^cd) ~ Rjm — ^9jmR, (8.52)
f mVTAcBD ~ UTjm, (8.53)
где геометризированный тензор энергии-импульса материи Tjm опре-
деляется согласно соотношению (7.221). Рассматривая различные
типы геометризированных тензоров (7.221), такие, например, как:
а) тензор энергии-импульса однородного пространства
Tjm = -Rgjm, А = const; (8.54)
б) вакуумный тензор Эйнштейна
Т% = 0; (8.55)
в) тензор энергии-импульса изотропного излучения
T% = pl,im, ГЦ = О (8 56)
404
и т.д., мы получаем различные ограничения на спинорные компонен-
ты матрицы RAbcd- Из соотношений (8.51)-(8.53) для тензоров ти-
па (8.54) получаем следующие ограничения на компоненты матриц
(7.103):
ФоО = Ф22 Фо2 — Ф20 - Фц — Фо1 = Фю = Ф12 = Ф21 — о,
Фо / о, Ф1 / 0, Ф2 # 0, Ф3 / о, Ф4 / о, (8.57)
Л = = 6Л. (8.58)
Одновременно условие (8.54) через соотношение (7.221) наклады-
вает ограничения на компоненты матриц (7.88).
В случае эйнштейновского вакуума условие (8.55) необходимо
рассматривать как уравнения, накладываемые на компоненты матриц
(7.88). При этом в дополнение к равенствам (8.57) мы получаем соот-
ношение
Л = 0. (8.59)
Для тензоров типа (8.56) имеем
Фоо = Ф02 = Ф20 = Фи 7 Фо1 — Фщ = Ф12 — Ф21 — Л = 0,
Ф = Ф22 = у, (8-60)
Фо / о, Ф1 / 0, Ф2 / о, Фз # о, Ф4 / 0.
Чтобы понять физическое значение каждой из спинорных компо-
нент тензора Вейля Фо, Ф1, Ф2, Фз и Ф4, рассмотрим эти пять случаев
(остальные компоненты равны нулю). В каждом из них имеются сле-
дующие алгебраические свойства для компонент тензора Вейля по
классификации Петрова с соответствующим вектором распростра-
нения (п,- или Ц):
а) тип N (или {4}) [62, 63] - тц;
б) тип III (или {31}) - тц;
в) тип D (или {22}) - Ц и п,-;
г) тип III (или {31}) -
д) тип N (или {4}) - li.
Под вектором распространения подразумевается главное свето-
вое направление [30]. Если в пространстве А4 выполняется условие
эйнштейновского вакуума Rjm = 0 и вектор Ц удовлетворяет уравне-
нию
№]кт[п1,]1к1т = 0, (8.61)
405
то вектор Ц соответствует одному из четырех главных световых на-
правлений тензора Римана; при этом выполняется условие
Фо = 0. (8.62)
Если два или более главных световых направления совпадают с
вектором распространения /,, то выполняется соотношение
= 0, (8.63)
или
фо = ф1=0 (8.64)
Согласно теореме Гольдберга-Сакса [64], из условия (8.64) следу-
ет
<г = к = 0. (8.65)
Простое доказательство этой теоремы дано в работе [30] с исполь-
зованием вторых тождеств Банки (D‘ ).
Аналогично можно показать, что из условия [53]
Ф3 = ф4 = 0 (8.66)
следует
I/ = А = 0. (8.67)
8.4. Конструирование асимптотического
поведения геометрии островного типа
Геометрию А4 будем называть геометрией островного типа, если
на бесконечности ее основные характеристики (метрика, связность,
кривизна) совпадают с характеристиками плоского пространства.
Будем предполагать также, что выполняется условие эйнштейнов-
ского вакуума (8.31) и соотношения (8.45), (8.49), (8.50). При этих
предположениях структурные уравнения Картана геометрии (Ал),
(Ва ) и вторые тождества Бианки (£>’ ) удобно разбить на три груп-
пы уравнений.
406
8.4.1. Радиальные уравнения, содержащие производные
по г
(8.68)
= + (а)
Du = ри + аи — (а + Р), (б)
£>X“=(a + /?)f+(а + Д)Г, (в)
DU = (а + /7)а> + (а + Р)и - (7 + 7); (г)
(8.69)
Dp = р2 + аа, (а)
Da = 2ра + Фо, (б)
Dt = тр 4- та + Ф j, (в)
Da — ар + ра, (г)
Dp = Рр + аа + Ф1, (д)
Dy = та + тр+ Ф2, (е)
DX = Хр + ра, (ж)
Dp = рр + Ха + Ф2, (з)
Dv = тХ + тр + Ф3; (и)
(8 70)
£>Ф1 - 6Ф0 = 4рФ) - 4аФ0, (а)
£>ф2 - £ф = Зрф2 - 2аФ1 - АФ0, (б)
£>Ф3 _£ф2 = 2рФ3 - 2аФ1, (в)
ОФ4 - 6Ф3 = рф4 + 2аФ3 - ЗАФ2. (г)
8.4.2. Нерадиальные уравнения
(871)
6Ха -_Ь£° + 7 - 7Х“ + АГ, (а)
«Г -_/Г =_(/? - а)Г + (а -£Х“, _ (б)
би — би = (/3 — а)и + (а — /3)а> + (р — ~р), (в)
6U — Да> = (р + 7 — у)и + Хи — 1/, (г)
407
(8.72)
Д А — 6v — 2а</ + (7 — З7 — р — р)А — Ф4, 6р — ба = (/? + а)р + (/? — За)о — Ф j, ба — 6(3 — рр — А<т — 2а/? + аа + /3(3 — Ф2, 6Х — 6р = (а + (3)р + (а — 3/?)А — Фз, би — Др = р7 + 7р + р2 — 2v(3 4- АА, 67 - Д/? = тр + (р - 7 -р 7)/3 — <71/ + Ха, 6т — fXa = 2т/? + (7 + р — 37)<т + Ар, Др — 6т = (7 + 7 — р)р — 2ат — Ха — Ф2, Да — 67 = (7 — 7 — р)а + ри — тА — Xf3 — Ф3. («) (б) (в) (г) (д) (е) (ж) (з) (и)
8.4.3. {/-производные уравнения
(8.73)
ДФ0 - ЙФ1 = (47 - р)Ф0 - (4т + 20)Ф! + 3<тФ2, (а)
ДФ1 - 6Ф2 = 1/Ф0 + (27 - 2р)Ф1 + 2<тФ3 - ЗтФ2, (б)
ДФ2 - 6Ф3 = 21/Фi - ЗрФ2 + (-2т + 2/?)Ф3 + аФ4, (в)
дф3 _ £ф4 = 31/ф2 - (27 + 4р)Ф3 + (—т + 4/?)Ф4. (г)
Предположим теперь, что структурные уравнения Картана гео-
метрии Л4 описывают островную излучающую систему, при этом
величина Фо ведет себя на асимптотике по координате г как
Ф0 = о(г-5), (8.74)
причем
ОФ0 = о(г"6). (8.75)
Условие (8.74) выбрано из чисто физических соображений таким
образом, чтобы выполнялось соответствие асимптотике квадруполь-
ного излучения в линейном приближении теории гравитации Эйн-
штейна. Понятно, что мы могли бы задать другой тип асимптотики и
получить другие асимптотические свойства островной геометрии Л4.
В этом и состоит смысл выражения «конструирование геометрии».
Пусть теперь однородные возмущения по координатам х2 и т3 не
меняют характера асимптотики (8.74) и (8.75), т е.
</аФо = о(г-5), , dodpdydl4!0 = o(r-s),
daDV0 = ... ^odpdydtDVo = о(т~6),
где д
da=dX°' а'^'У = 2,3
408
Используя соотношения (8 74) (8 76), можно определить асимпто-
тическое поведение всех других спинорных величин, входящих в
уравнения (8.68)-(8.73). Например, покажем, как определяются асим-
птотические свойства величин р и а Введем матрицы [30]
0-1-9 Ф°1
I ? Р J ’ 4 1 Фо О J
Тогда уравнения (8.69а), (8.696) и комплексно сопряженные урав-
нения
Dp - р2 4- (та, Dp = р2 + <тё.
Da = 2р<т + Фо, Da = 2р<т + Фо ' '
запишутся как
DP = Р2 + Q. (8.78)
Это уравнение имеет решение в виде
P=-(DY)~\ (8.79)
где
Y=( У2 (8.80)
\ У1 У? J к
есть несингулярное решение (для данного Р) уравнения
DY = -PY. (8.81)
Из соотношений (8.79) и (8.81) видно, что матрица (8.80) удовле-
творяет уравнению
D2Y = -QY. (8.82)
Асимптотическое поведение решений уравнения (8.82) в том слу-
чае, если
г|Ф0 |dr = о(1),
имеет вид [30]
DY = F 4- о( 1), (8.83)
У = гТ + о(г), (8.84)
где F - постоянная матрица. Поскольку в нашем случае Q = о(т~5),
то из соотношений (8.82) и (8.84) мы получим
D2Y = -rQF + o(r-4) = о(г4). (8.85)
Интегрируя это соотношение дважды, имеем
DY = F 4- о(г-3), (8.86)
409
У = rF+ E + o(r'2), (8.87)
где E - постоянная матрица. Решение (8.79) теперь может быть за
писано в виде
Р = —г-1/4-г-2Е,Е-1 4-о(г-3). (8.88)
Здесь Е - несингулярная матрица, а I - единичная Если F = 0, то
из соотношения (8.88) мы имеем
р - — г-1 + а = о(г-2). (8 89)
Используя другие уравнения системы (8.68)~(8.73) и действуя по-
добным образом, можно найти следующие асимптотические свойства
для величин, входящих в эти уравнения [30]:
£0 = о(г-1), а, (3, А, р, т = о(г-1),
— о(1), р, 7 = о(1),
U = о(г), Фу = о(г-4),
(8.90)
Ф2 = о(г 3), Ф3 = о(т 2), Ф4 = o(r J).
Дальнейшее уточнение асимптотических свойств величин (8.89) и
(8 90) производится так [60] Запишем соотношения (8.89) в виде
р - -г 1 4- д(г),
<т = h(r),
(8 91)
где g,h = о(г 2).
Подставляя соотношения (8.91) в уравнения (8.69а) и (8.696), име-
Dg + 2r~lg = д2 + hh. = о(г~4),
Dh. + 2r~1h = 2gh, + = o(r~4). ( '
Решение этих уравнений будем искать сперва с точностью до чле-
нов порядка о(г-3). Интегрируя уравнения, имеем для д(т) [60]
9 = e~f2dr,r {J ef2dr/ro(r~4)dr 4- р0} =
= г-2 {J o(r~4)dr 4- р0} = р°г-2 4- о(г-3)
и подобное же решение для h(r). В равенстве (8.93) индекс 0 у кон-
станты интегрирования р означает независимость ее от г Следова-
тельно,
Р =-г-1+р°т-2 + о(г-3), р° = р°(и,ха),
а = <т°г 2 4-о(г-3), <т° = сг°(ц, ха), ' ' '
а = 2,3.
410
С помощью координатных преобразований г' = т — г°(ц,х") член
р°/г'2 может быть исключен, поэтому
Р — -г’ + о(г-3),
<т = сг°г-2 + о(г-3).
Снова полагая
р = —г-1 + д(г), а - <т°г-2 + А(г),
где
р(г), Л(г) = о(г~3), (8.95)
и группируя все члены в уравнениях (8.69а) и (8.696) вплоть до вели-
чин порядка о(г-5), имеем
Dg + 2г 1д — о(г 4) = а°а°г 4 + о(г 5),
Dh + 2r-lh = o(r~5).
Интегрируя уравнения (8.95), находим
(8.96)
или
д = С\г~2 — а°а°г~3 + о(г-4),
h = С2г~2 + о(г“4).
Из условий (8.95) следует
Ci=C2 = О,
поэтому
р — —г 1 — 3 + о(г 4),
а — а°г~2 + о(г-4).
(8.97)
Повторяя эту процедуру, можно найти
р = — г 1 — а°а°г 3 4-о(г 5),
ст = а°г~2 + (cr°<f° — 0,5Ф°)г-4 + о(г-5).
(8.98)
Этим же методом может быть определена асимптотическая зави-
симость от г всех других переменных. Приведем результаты вычи-
слений, полученные в работе [60]:
411
а) для спинорных компонент тензора Римана
(8 99)
Фо = Ф§г~5 4- о(г-6), (а)
Ф1 = ф°г-4 4- (4а°Ф° - ё°“ф^)г-5 4- о(г-6), (б)
Ф2 = Ф°г"3 + (2а°Ф° - ё°“ф°о)г-4 4- о(г"5), (в)
Фз = Фзг'2 - £°“Ф2,а»--3 4- о(г-4), (г)
Ф4 = Ф$г"3 4- (2а°Фз 4- ^“Фз.аК2 4- о(г"3), (д)
а = 2,3;
б) для спинорных компонент коэффициентов вращения Риччи
(8.100)
р = — г-1 — <т0ст°г_3 4- о(г-5), (а)
(г = (Г°Г~2 4- (стоа° - 0,5Фо)г-4 4- о(г-5), (б)
а = а°г-1 4- а°а°г~2 4- <т°<т0г-3а0 4- о(г~4), (в)
0 = —аог-1 4- <т°а°г-2 - (о^а0 4- 0,5Ф?)г-3 4- о(г“4), (г)
т = -0,5г~3Ф° 4- £г-4(2ё°“ф°,а - 8а°Фо 4- а°Ф?) 4- о(г~5), (д)
А = А°г-1 - ст°р°г2 4- (0,5Ф$ 4- <т0о^й0)г-3 4- о(г~4), (е)
р = р°г~1 - (<т°А° 4- Ф2)г-2 4- (troff°po - а°Ф°4-
4-0,5£°“фо,Q)r-3 4- о(г-4), (ж)
7 = 7° — 0,5Ф°г~2 4- (^ о - |а°Ф° - 0,5а°Ф°) 4- «(г’4), (з)
О О
р = р° - фОг"1 4- о, 5ё°“ф21Ог~2 4- о(г-3), (и)
а = 2,3;
в) для компонент символов Ньюмена-Пенроуза
(8 101)
U = -(7° + 7°)г + U° - 0,5(Ф°2 4- Ф^г-1 4- |г-2(£°“ф? о4-
О
+^°“Ка)-2(а°Ф?4-а?)4-О(г-4), (а)
412
(6)
(в)
(г)
следу ю-
(8.102)
(8.103)
(8.104)
Х“ = ^-3(Ф°^“ 4- Ф^°“) 4- о(г-4),
£“ = ГОг-1 _ ff0?°r-2 + ff0?0C0r-3 + о(г-4)(
ш = w°r-1 — r~2(<r°w° 4- 0,5Ф?) 4- о(г~3),
а = 2,3.
Для упрощения оставшихся вычислений используются
щие координатные преобразования:
г' — г 4- Я(0,2,3) трансляция начала г,
и' = и,х^ = х@, /3=2,3;
г' = г/-/, и' = 1(и), переобозначение
х@ = х& гиперповерхностей;
г' = г, и' = и, переобозначение
х& =х^(0,2,3) геодезических.
Из уравнений (8.27а) и (8.276) имеем
д°р = -({“^ 4- Г^) = -((Oaffi + £°“{0/>-2 4- - - -,
а,/3 = 2,3.
С помощью координатных преобразований (8.102)-(8.104) метрика
(8.105) может быть сведена к конформно-плоской метрике [33, 65], при
этом с точностью до членов порядка о(г-3) выполняются равенства
<722 = <733> <723 = <732 = 0. (8.106)
Поскольку
ff22 = _^02^г-2 + о(г-3)
ff23 = _^02^>3 + f 2£°3)г-2 + о(г-3)_
ff33 = _2^3r-2 4.0(r-3)j
то из условий (8.106) следует
£02 = _if03 _ Р(и хау (8.107)
Оставшиеся координатные преобразования для переменных х2 и
х3 имеют вид [33]
х2 4- гх3 = /(х2 4- ix3, и). (8.108)
413
Следующий шаг состоит в решении системы нерадиальных урав-
нений (8.71)-(8.72) и имеет своей целью выразить «константы» инте-
грирования, полученные при решении радиальных уравнений, всего
лишь через две функции <т° и Р.
В качестве примера рассмотрим нерадиальное уравнение (8.72з)
Др — 6т = (у + 7 — р)р — 2ат — Аг — Ф2.
Учитывая определения (8.24) для спинорных производных, запи-
шем это уравнение в виде
р,о + Up.! + Х° pjQ — wr j —
г,а - (7 + 7 - р)р +
+2ат + \а + Ф2 = 0. (8.109)
Подставляя сюда необходимые выражения из решений (8.99)-(8101)
и произведя дифференцирование по г, приравняем коэффициенты при
разных степенях 1/г к нулю1. В результате из уравнения (8.101) по-
лучим значения коэффициентов:
1) перед 1/г тождественно равен нулю;
2) перед 1/г2 равен (U° — /7°), откуда
3) перед 1/г3 имеем
(<г°<7°),0 + 2а0а°(7° + 7°) - (<г°А° + <т°А°) = 0,
причем это соотношение определяет 7° и А0, если остальные извест-
ны,
4) перед 1/г4 тождественно равен нулю.
Введем обозначение
тогда окончательные выражения для «констант» tt0,70,i/°,
две основные функции Р и <т примут вид:
1 Например, если дано асимптотическое выражение Лг-1 + Вт~2 4- Ст~3 +
+<’(’’~4) = О (А, В,С не зависят от г), то, умножая ото выражение на г и полагая
г —* оо, получим А = О. Далее, умножая на г2 и устремляя т —» оо, получим
В = О и т.д.
414
(8.111)
7° = -0,5(1пР),о, ~ (а)
а0 = 0,5РУ(1пР).о, (б)
р° = -0,_5РУ(1п РР).О, (в)
ы° = Р (уа° - 2<т°У(1п Р)) , (г)
А° = а° [1п(сг°Р1/2^~3/2)] , (д)
= U° = -0,5РРУУ 1п(РР), (е)
Ф“ - фо = (PVw° + 2а°й° + F°A°) - (РУа>° + 2a°a>° + <т0А°), (ж)
Ф£ = РУр° - Р V А ° + 4а° А°, (з)
Ф^ = РУр° + 2a°v° - А°о - 47°А0. (и)
Функции Ф2 + Ф2, Фо и Ф° вместе с <т° и Р являются базовыми для
систем островного типа.
Распространение функций Ф2,Ф° и Ф° в u-направлении определя-
ется группой уравнений (8.73). Например, уравнение (8.73а) с точно-
стью до членов порядка о(г-6) принимает вид
Ф?,0г-5 + 5(70 + 7°)Ф^-5-
—РУФ°г“5 — 7°Ф°г~5 —
-2а°Ф?г-5 - Зо,0Ф2г-5 + о(г“6) = 0,
откуда
Ф°,о + 5(7О + 7°)ФЗ-
-РУФ° -47оФЗ -
-2а°Ф? - За°Ф° = 0. (8 112)
Следующие два уравнения группы (8.73)-(8.73 б,в) дают
ф?,о + 2(7° + 2т°)Ф? - РУФ° - 2<т°Фз = 0, (8.113)
ф2,о + 3(7° + 7°)ф° ~ Р^фз - 2о°Фз - 2а°Ф° = 0. (8.114)
Последнее уравнение группы (8.73) удовлетворяется тождествен-
но. Функцию Р можно выбрать так, чтобы
Р.о = 0,
т.е.
Р = Р(х2,х3), /? = 2,3 (8115)
415
При этом условии уравнения (8.111) значительно упрощаются,
принимая вид
7° = 0, а° = 0,5VP, р = 0,
= P3V(a0/P2), A°=5f0,
= -P2VVlnP;
(Ф°-Ф°) =
= Р2 [V(w°/P) - V(w°/P)] +
4-<7°<7°о - <7°<7%
ф£ = -PV(P2VVlnP)-
-Р3(<т?0/Р2),
*4 = -^00-
(8.116)
(8.117)
У равнения группы (8.73) после преобразований запишутся как
Ф° о - ^(РФ°) - 3<7°Ф° = О,
Ф^ о - РХ7Ф? - 2<т0Ф2 = 0, ,
ф2,о - P2V^/P)- (8.118)
Теперь мы можем записать окончательный вид римя«'"г>''й метри-
ки системы островного типа:
9ik = 1 0 1 0 0 1 ff11 912 913 0 ff12 922 923 0 \ я13 923 933 ) (8.119)
где
ff12 = -т-2Э?(/) + г-3Э?(Л) + о(г-4),
Р13 = -г'29(/) + г-3ЭД + о(т-4),
Р = Р(х2,х3),
/ = 2P4V(o°/P2),
h = 4Р [1ф° + P3a°V(r°/P2)] ,
(8 120)
416
д22 = -2P2r“2 + 2Р(<Т° + &")г“3 -
—6о°ст°Р2г'4 + о(г-5),
д23 = -2iP2(a° - а°)т~3 + о(г-5),
д33 = —2Р2г~2 - 2Р(а° -№)г~3 -
-6авг°Р2г“4 + o(r"5).
В матрице (8.119) компонента д11 может быть рассчитана с точно-
стью до членов порядка о(г~4), а члены да13 (а,р =2,3) с точностью
до о(г~5)
Если теперь задать начальные значения Ф2 + Ф2, ®о> ^1> <т° и ? на
бесконечности, то проблема с ними будет полностью решена
Нулевая поверхность начальных значений и0 определяется усло-
вием
Ф° = lim (Ф0г5) < оо.
Г—»СЮ
Начальное значение сг° определено на мировой трубке на про-
странственной бесконечности. На этой трубке выбирается
<т° — lim (от2)
Г—»СЮ
как независимая функция переменных и, х2 и х3. Остальные началь-
ные данные взяты на двумерной поверхности на бесконечности, опре-
деляемой пересечением нулевой поверхности Uq и мировой трубки.
На этой двумерной поверхности задаются
Ф? = lim (Ф1Г4), Ф° + ф° = lim г3(Ф2 + Ф2)
г—» сю г—»сю
и
Р26О0 = lim (да0г2)
Г—»сю
как функции х2 и х3.
8.5. Классификация решений структурных
уравнений Картана геометрии А4 по
группам изометрий
В гл. 6 было показано, что структурные уравнения Картана
геометрии Л4 можно рассматривать как калибровочные уравнения с
калибровочными группами Т4 и 0(3.1). Знание этого факта недоста-
точно для того, чтобы иметь возможность отличать друг от друга
различные конкретные решения структурных уравнений Картана по
14 Г И.Шипов
417
групповым свойствам. Это позволяет техника вложения геометрий
Л4 в плоское пространство Ер большего числа измерений (р > 4).
Сделаем следующие предположения:
1) будем рассматривать пространство А4 как непрерывную дефор-
мацию пространства Минковского Е4(3.1);
2) допустим, что у А4 существует минимальное плоское простран-
ство вложения Ep(r, s) размерности р = г+ s, где сигнатура г 4-s озна-
чает г положительных и s отрицательных диагональных элементов у
метрического тензора (р, и = 1,2,... ,р) пространства Ep(r, s).
Пусть Xй - декартовы координаты плоского пространства Ep(r, s),
а х— — гауссовы координаты, основывающиеся на А4, вложенном в
£p(r,s)2.
Во вложении имеет место преобразование координат
Х"=Х"(х£), (8.121)
причем преобразование тензоров между двумя этими системами ко-
ординат осуществляется с помощью матриц
° _ Эта- р _
xt‘~dX>‘’ ах,.’ гйюол
ум _ эх* у° _ (8.122;
Ло_ — — Эг„
Таким образом, если r]pv - декартовы компоненты метрического
тензора пространства Ep(r, s), то его гауссовы компоненты суть
д^Р = x^x^v, д^ = Х^Х^. (8.123)
Обратные соотношения запишутся как
< = Х^Х^т]^ = х^д^р. (8.124)
Если пространство А4 имеет группу изометрий, то эта группа со-
стоит из псевдовращений и отражений O(r, s) пространства Ep(r,s).
Пусть мы имеем преобразование в декартовых координатах
X»' = Х^ + ир, и^Е^Х1', (8.125)
представляющее собой одно инфинитезимальное преобразование
группы O(r, s), причем р(р—1)/2 бесконечно малых величин е*„ посто-
янны и удовлетворяют условию = 0. Изометрический характер
2В этом разделе обозначенные греческими буквами индексы пробегают зна-
чения 1,...,р. Координаты точки в пространстве А4 обозначим через х-, коор-
динаты в направлениях, ортогональных к Д4, как хХ Индексы, обозначенные
латинскими буквами i,j, k,..., пробегают значения 1,2,3,4, а прописные
А, В,С ...- значения 5 р
14
418
преобразования (8.125) выражается в том, что производная Ли по Uv
от rfv обращается в нуль
C,rfv = = 0. (8.126)
С другой стороны, гауссовы координаты преобразуются как
(8.127)
(8.128)
где = x^U» - генераторы группы.
Соотношение (8.127) можно разбить на две части
х- = х- + х~ = х— + С—>
i = l,2,3,4, А = 5...р.
Вложенное пространство А4 в гауссовой системе координат те-
перь определяется условием
а4=о. (8.129)
Если /(х—) - любая действительная функция, определенная в
Ep(r,s), то ее пространственно-временная часть есть
/(х-) -- Дх^|а4 при х— -*0.
Функцию, определенную только на вложенной поверхности А4, мы
будем обозначать как /(УЦ). Например,
д'^- |а4 = = »^|а4
У равнения Киллинга для вектора £а имеют вид
£д*£ =v (^s) = о, (8.130)
причем
v = 0, v (-fD = 0, V (^-} = о (8.131)
Координатным преобразованиям (8.128) во вложенном А4 соответ-
ствуют преобразования:
xi'=х< + ё|д4 =0, х^' = х^-+^|Л4 = о, (8.132)
на которые налагаются условия
V(4i)|A4=0, V(^|a4=0, V(^A)|a4=0 (8.133)
419
Таблица 8.1
р Ep(r,s) Lp(r.s) Спинорные группы Важнейшие подгруппы
4 E4(3.1) SO(3.1) S£(2.C)
4 Е4(2.2) 0(3.1) SU(1 l)x 5(7(1.1)
5 Е5(4.1) SO(4 1) S£(4.C) S(/(2) x S(/(2)
5 Е5(3.2) SO(3.2) SC7(1.1.1.1) 5(7(11) x 5(7(11)
6 Е6(5.1) 0(5.1) S£(4.C)
6 Я6(4.2) 0(4.2) St/(2.2) 5(7(2) x SC/(2)
6 Еб(ЗЗ) 0(3.3) SL(4.C) 5(7(11) x S(7(l.l)
7 Е7(6.1) SO(6.1) SL(8.C) SL/(4)
7 Е7(5.2) SO(5.2) Sl/(2 2.2 2) St/(2.2)
7 Е7(4.3) SO(4.3) SL(8.C) SC/(2) x S(7(2)
8 Е8(7.1) 0(7.1) SL(8.C) S(/(4)
8 Е8(6.2) 0(6.2) St/(1.1) x SC/(4.4) SC/(4)
8 Е8(5.3) 0(5.3) S£(16.C) S(/(2) x S(/(2)
8 Е8(4.4) 0(4.4) St7(l.l) x S(7(2.2.2.2) SC/(2) x 5(7(2)
9 F9(8.1) SO(8.1) S£(16.C) S(/(4)
9 Е9(7.2) SO(7.2) St/(4 4.4 4) SC/(4 4)
9 • Еэ(6.3) SO(6.3) S£(16.C) S(/(4)
9 Е9(5.4) SO(5.4) SL/(2.2.2.2.2.2.22) 5(7(2) x SL/(2)
10 £?ю(9 1) 0(9.1) S£(16.C)
10 Ь'1о(8.2) 0(8.2) SC/(8.8) S(7(8)
10 £ао(73) 0(7.3) S£(16.C)
10 Я1о(6.4) 0(6.4) S(7(4.4.4.4) St/(4)
10 Е1О(5.5) 0(5.5) S£(16.C)
420
Таблица 8.2
Ер(г а) Метрика погруженного пространства
Е5 (4.1) де Ситтера-Эйнштейна
Е6 (5.1) Крускала
Ее (4 2) Шварцшильда
Е7 (5 2) Петрова Т2/С4/4 [63]
Е7 (4.3) Петрова Tj/СА/Ь,Ъ
Е9 (6.3) Робинсона-Траутмана С < 0
Е9 (5 4) Робинсона Траутмана С > 0
Ею (6 4) аксиально-симметричное Вейля
(5.5) Г еделя
Ковариантная производная вектора в гауссовой системе коор
динат относительно связности Д имеет вид
V/J G = G,£+ Д =0. (8.134)
Отсюда видно, что выражение для V не совпадает с выражением
для ковариантной производной в пространстве А4, если только не
выполняется условие
з4|л4 = 0. (8.135)
Смысл условия (8.135) состоит в том, что преобразования (8.127)
не меняют определения А4. Условие (8.135) выделяет подгруппу
группы O(r, s), которая и определяет симметрию вложенного про-
странства А4. Добавляя к группе О(г, s) отражения и условие (8.135),
мы получаем группу изометрий пространства А4. Поскольку мак-
симальная размерность пространства вложения для римановых про-
странств размерности 4 равна 10, то перечисление по сигнатурам
пространств вложения дает возможность установить 22 изометриче-
ские группы [66].
В табл. 8.1 приведены изометрические группы Ли различных кон-
кретных пространств А4, а также представлены важнейшие спинор-
ные подгруппы. Достаточно задать одну из групп для того, чтобы
изометрически определить соответствующую геометрию А4. С дру-
гой стороны, каждому решению структурных уравнений Картана гео-
метрии А4 соответствует свое пространство вложения.
В табл.8.2 перечислены некоторые минимальные пространства
вложения для ряда пространств А4, обладающих различными рима-
новыми метриками [66] Все эти пространства могут быть получены
421
как решения структурных уравнений Картана геометрии Л4 (напри-
мер, риманова метрика пространства Геделя получена Осватом [55] с
помощью метода Ньюмена-Пенроуза, т.е. как решение структурных
уравнений.
8.6. Геометрия А4 с метрикой типа метрики
Шварцшильда
Чтобы сконструировать геометрию Л4, обладающую трансляцион-
ной метрикой Шварцшильда, необходимо выполнение условий (8.45),
(8.49), (8.50), (8.55), (8.59), (8.65), (8.66) и (8.67). Физический смысл
этих ограничений рассматривался ранее. В результате структурные
уравнения Картана (8.69)-(8.73) принимают вид:
1) радиальные уравнения, содержащие производную по г
(8.136)
Г>£“ = р{°,
Dai - ра) — (а 4- /3),
Г>Х“ = (а + /3)Г + (а + £)Г,
DU = (а + Р)а> + (а + /3)ы — (7 + 7);
(а)
(б)
(в)
(г)
(8.137)
Dp = р2,
0 = 0,
Dt = тр,
Da — ао,
DP = Рр,
D-y = та + тР + Ф2
0 = 0,
Dp = рр + Ф2,
0 = 0;
(а)
(б)
(в)
(е)
(ж)
0 = 0,
£>Ф2 = ЗрФ2,
6Ф2 = о,
0 = 0,
(8.138)
(«)
(б)
2) нерадиальные уравнения
(8 139)
422
бХа - де = (р + 7-7)Г, бГ -_6Г =_(/? - а)Г + (а - /?)Г, бы — бы = (/? — а)ш 4- (а — р)ш + (р — р), 6U — Дш = (р + 7 —р)ш; (а) (б) (в) (г) (8.140)
0 = 0, 6Р = (Р + а)р, ба — 6Р = рр — 2аР 4- аа 4- рр — Ф21 бр - -(а 4- ^)р, Др = -р7 - ур - р2, бу - Хр = тр + {р-у + у)(3, бт = 2тр, Др - 6т = (7 4- у - р)р - 2ат - Ф2, Да — бу = (7 — у — р)а; 3) 17-производные уравнения (а) (б) (в) (г) (д) (е) (ж) (з) (и) (8 141)
0 = 0, 6Ф2 = ЗтФ2, Дф2 = -ЗрФ2, 0 = 0. (а) (б) (в) (г)
Поскольку в выбранной нами системе координат производные в
структурных уравнениях имеют вид
6 = WA+^_L
5г с дхР'
Д = — + U— +ХР-^—
ди дг + дхР’
у- _ 5 -0 д
6=ид~г+<
р = 2,ъ,
а коммутационные соотношения
^[а Vj] = -Па£Х7с
запишутся как
— £>Д = (1 + 7)Л - (г + тг)6 — (г 4- тг)6,
6D — D6 = (а 4- р — %)£) — рб,
6Д — Д6 = (т — а — /3)Д + (р — 7 + V )5,
(8.142)
(8.143)
(а)
(б)
(в)
423
66 - 66 = (р 4- p)D 4- (p - р)Д - (/? — a)6 - (a — 0)6 , (r)
можно приступить к интегрированию уравнений. Интегрирование
начинается с радиальных уравнений, содержащих производную D.
Например, решение уравнения (8 137а) при условии р = ~р имеет вид
р = ~г-1 (8.144)
Дифференцируя (8.137а) по 6, находим
6Dp = 2p6p. (8.145)
Применяя комплексно сопряженный оператор (8.1436) к р, получим
(тг = 0)
(6D - D6)p - (a 4- 0)Dp - рбр, (8.146)
откуда с учетом (8.145)
D6p - 3>р6р = -р2(а 4- /?) (8.147)
Используя уравнения (8.137а,г,д), находим общее решение (8 147)
6р = р(а 4- /?) - 2т°р3, (8.148)
где т° - постоянная интегрирования. Вычисление ( Д £> — РД)Ф, (6 Д —
Д6)Ф и (66 — 66)^ (здесь и далее будем обозначать Ф2 = Ф, Ф2 = Ф°) с
помощью соотношений (8 1386,в), (8.1416,в) и (8.143) приводит к трем
новым равенствам
Др 4- Dp = р(7 4- 7) - тт, (8.149)
6р = р(а + 0), (8.150)
6р + Дт=-р(й4-/?)4-т(7-7). (8.151)
Подставляя соотношение (8.148) в равенство (8.150) и производя
интегрирование, получим г°р2 = 0, откуда т° = т° = 0.
Интегрируя остальные радиальные уравнения, имеем, согласно
[35]
Р = Р/3°,
а = ра 4- р т,
г = рт?°,
7 = 7° 4- рт]°&° 4- prf^ 4- р21/2Ф°,
Ф = Р3Ф°, (8 152)
424
и = U°- г(7° +7°) + p{uOw° - 1/2Ф0} - 1/2Ф°} ,
и — рш° 4-5° + /3°,
С = рС°,
Х° = ХОа + рт?£Оа + ptff0, а = 0,2,3.
Применяя оператор (8.143а) к р и используя уравнение (8.137а),
получим
2рДр — D&p = р2(7 + 7) — тбр — тбр (8 153)
Решая это уравнение с помощью соотношений (8.1406), (8 148),
(8.152) и учитывая, что т° = 0, находим
Др = -М°р2 + т?°(а0 + /3°)р2 + (7° + 7°)р +
+ [v°(a° + /3°) - t?V] Р2 ~ 1/2р3(Ф° + Ф°). (8.154)
Подставляя это соотношение в равенство (8.149) и интегрируя,
получим
р = р° + рМ° + 1/2р2(Ф° + Ф°). (8.155)
Следующий этап интегрирования состоит в подстановке получен
ных решений радиальных уравнений (8.144), (8.152) и (8.153) в остав-
шиеся неиспользованными уравнения. После дифференцирования по
г, мы будем приравнивать к нулю коэффициенты при одинаковых сте-
пенях 1/г. В результате возникает система уравнений для величин,
не зависящих от г.
Применяя операторы 6, 6 и Д к р = —1/г, имеем
6р — шр2, 6p = wp2, Ap—Up2. (8.156)
Сравнивая эти равенства с (8.1406), (8 148) и (8 154), получаем
М°=М°, (8.157)
w° = 0, (8.158)
U° = 7]°(а° + 0°) + rf(a° + /3°) - rfrf - М° (8 159)
Из уравнения (8.140в) имеем
р° = 0, (8.160)
f°T0o = —т°(а° + 30° - т?0) + 1/2(Ф° - Ф°), (8 161)
ГЧ = 2^7,°. (8.162)
425
Соответственно из уравнений (8.140в,г,ж) получим
е°т°а = —т°(3а° + 0°),
= -7)^0° - т/>),
^°“а°о - ?°(3°а = 20°(j? - а0) + М°,
^°М°а = - 2М°(а° + 0°),
т)° = 0.
(8.163)
(8.164)
Подстановка последнего из этих соотношений в равенство (8.159)
дает
U° = -M°. (8.165)
Из уравнений (8.140д,е,з,и) и (8.151) получаем
Х°“т°о = -т°(7° + 37°),
С°М°О = -2М°(о° + /3°),
^0а<а-^°70а = -70(«0-А
Х°О0°О _ ^0«70о = ^^0 + _ ^0,
ХОаМ°а = —2Л1°(а° + 7°).
Уравнения (8.139) позволяют записать
£ОаХ00 - Х°а£00 = 27°<0₽ - (а0 + /3°)Х00,
°; - t°°C=-2^”'’+
а, /3= 0,2,3.
Подставляя Ф = р3ф° в уравнения (8.138в) и (8.1416,в), имеем
£0оф0о = -3ф0(а° +/J0-??0), (8.166)
£°“ф°а = —ЗФ°(а° + 0°), (8.167)
ХОаФ°а = -ЗФ°(7° + т° + р°). (8.168)
Рассмотрим случай
Ф° = Ф°, Ф° = const, (8 169)
тогда из уравнений (8.164) и (8.165) (с учетом (8.158) и (8 162)) следует
7° + т° = 0, а° + 0° = О. (8170)
426
Ограничиваясь случаем т° = 0, и учитывая т/0 = 0, получим г = О,
при этом уравнения (8.139) запишутся в виде
(8.171)
Х0оМ°о = 0, (а)
(0аМ°о = 0, (б)
Х0оа°о - £0о7,0а = -27°»°. (в)
с0о„0 с°аро _ Лл,0—0 , «гО С а,а ~ < р и = 4а а + , (г)
- ХОа£°0 - 27°^°^, (д)
(е)
Выполнив преобразования
х° = ха\ха),
добьемся того, чтобы ХОа = 6“q. После этого оставшийся произвол
в выборе координат состоит теперь в преобразованиях
(8 172)
х° — х° + f(x2, X3), (а)
х2 = д(х2,х3). (б)
х3 — h.(x2, х3). (в)
Интегрирование уравнений (8.171) дает
М° = const.
Воспользовавшись преобразованиями
Г = Г, п' = п', гп* = m' exp[j₽°(ar“)], (8173)
можно добиться
7° = 0. (8.174)
С учетом этого обстоятельства из уравнений (8171д) следует, что
(°“ не зависит от х°.
Введем обозначения
£02 = Р(х2, х3), £03 = iP(x2, х3) (8.175)
427
и с помощью (8.173) сделаем Р действительной функцией. После это-
го остается произвол, заданный преобразованием координат и ком-
понент световой тетрады вида
/* = (Л°(ха)] Ч’, п' = Л°(х“)п*, тп' = тп',
г' - А°(ха)г
с постоянной А° в (8.172а), а также
< = р«).
(8.176)
где
С = х2 + »х3. (8.177)
Используя обозначение (8.110), запишем уравнения (8.171г,е) в ви-
де
«• = 1/2VP, ?[£]=?[£],
£° = М° = 2P2VVln(x/2P)|.
Использование оставшейся свободы в выборе координат и компо-
нент световой тетрады позволяет записать решения этих уравнений:
V2P = 1 + 1/2e°CG еоо = 0, а0 = 1/2е°£,
е° = ±1/2,0. (8179>
В результате для компонент символов Ньюмена-Пенроуза имеем
= (0,1,0,0), <7*=(1,77,0,0), = P(0,0,P,iP),
<7°° = (1,0,0,0), <7?* = (-77,1,0,0), <7,01 = - Jp(0,0,l,t). (
С помощью соотношения
„ _ c , . . „АВ„CD
9tj — ЕЛСЕ-врЯ i <7 j
можно теперь определить метрический тензор р,*
(-277 10 0 \
10 0 0
0 0 —(2р2Р2)-1 0
0 0 0 (Ър^Р2)-1 >
где
U = -е° ± Ф°/г.
Пусть е° = 1/2, тогда удобно перейти к координатам:
(8.181)
(8 182)
ct = х° — / dr/2U, г = х1,
428
sin в =
(<X)1/2_
(1 + 1/4CC)'
X
tg¥’ = 72-
X
(8.183)
В результате получается метрика Римана
ds2 =
c2dt2
(8.184)
—r2(d02 + sin2 Odifi2),
совпадающая с метрикой пространства Шварцшильда при
Ф° = MG/c2.
(8.185)
Обратим внимание читателя на то, что метрика (8.184) в отли-
чие от метрики Шварцшильда теории Эйнштейна задана на группе
трансляций Т4 геометрии абсолютного параллелизма.
При е° - 0 и е° = —1/2 получаются еще два решения, описываю-
щие сферически-симметричные объекты с массой М (не обязательно
покоя), движущиеся со световой и сверхсветовой скоростями:
-r2(M2 + О2 dp2),
(8.186)
-r2(d62 + sh20 V2).
(8.187)
Обобщив все результаты, запишем основные характеристики гео-
метрии А4 с римановой метрикой типа метрики Шварцшильда.
(8.188)
1. Координаты: и, г, х2 и х3 определяются согласно (8.19).
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
<т*00 = (0,1,0,0), а<=(1,С7,0,0), = р(0,0, Р, iP),
<7°° = (1,0,0,0), <7?* = (-17,1,0,0), <7?* =-^(0,0,1, i),
[7 =-1/2 + Ф°/г, Р = (2)"1/2(1 + СС/4), С = г2 + г®3,
Ф° = const.
429
3 Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = —1/г, а = —(3 = —а°/г, 7 = Ф°/2г,
р = -е°/г + 2Ф°/г2, а = (/4.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
ф = -ф°/г3.
Подставляя компоненты коэффициентов вращения Риччи решения
(8.190) во вращательную метрику Киллинга-Картана, находим
2гч г
2(Ф° — r)sin2 б , 2
--------------dip 2. (8.189)
8.7. Некоторые физически значимые решения
структурных уравнений Картана
геометрии А4
Опуская подробные вычисления, приведем ряд точных решений
структурных уравнений Картана геометрии А4, которые получают
физическую интерпретацию в теории физического вакуума [67-73].
8.7.1. Решение с переменной функцией источника
(8.190)
1. Координаты: х° = и, х1 = г, х2 = 0, х3 = <р.
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
< = (0,1,0,0), <=(1,17,0,0), < =р(0,0,Р,»Р),
< = (1,0,0,0), а;й = (-17,1,0,0), < = ——L—(0, 0,1, i),
17(h) = -1/2 + Ф°(и)/г, Р=(2)-1/2(1+СС/4), C = I2+li3,
Ф° = Ф°(н).
3. Спинорные компоненты коэффициетов вращения Риччи:
р = — 1/г, а — —(3 = —а°/г, 7 = Ф°(н)/2г2,
430
р = -1/2г + Ф°(н)/г2, а°=</4.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
ЛфО 1
Ф2 = Ф = -Ф°(ц)/г3, ф22 = Ф = -Ф°(н)/г2 = —------
ои г*
Метрика Римана решения (8.190) в координатах (8.183) имеет вид
^=(1-
\ г / \ г /
—r2(dfl2 + sin2 Odtfi2). (8.191)
8.7.2. Решение с кварковым взаимодействием
(8.192)
1. Координаты х° — и, х1 = г, х2 = 6, х3 = <р
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
<4 = (о, 1,0.0), 4 = (1,гло,о), 4 = р(о,о,р,.р),
<7,00 = (1,0,0,0), ег/1 = (—17,1,0,0), сг?1 = — —А—(о, о, 1, i),
и = -1/2 +Кг2, P = (2)-‘/2(l+C</4), C = i2 + £i3,
Л = const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = —1/г, а = — в = —а°/г, 7 = Аг,
р = —\/2г — Крг2, а0 = £/4.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
Л = Л/6 = Я/24 = const
Метрика Римана решения (8.192) в координатах (8 183) имеет вид
ds2 = (1 - Лг2/3) c2dt2 - (1 - Лг2/3)-1 dr2 -
—r2(df)2 + sin2 9d<p2) (8.193)
431
8.7.3. Решение с короткодействующим (ядерным)
взаимодействием
(8 194)
1. Координаты: х° = и, х1 = г, х2 = 0, х3 = <р.
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
а’о = (0,1,0,0), < = (1,17,0,0),
aoi = p(-irjvC/v^,O, P,iP),
<7°° = (1,0- rNx3/y/2 Р, rNx2/V2P),
= (-{/, 1, UrNx3/V2 P, -UrNx2/y/2P),
a.oi = -^(0,0,l,i), =
U = ~\+ppr2N, P = (2)-1/2(l+CC/4), ( = x2 + ix3,
Гц — const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = -(г + ir/v)-1, а — ра°, (3 =—а, а°=£/4,
7=р2Ф°/2, р = р/2 + р2Ф°/2 + рр^°/2, V° = irN.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
ф2 = Ф = Ф°р3.
Метрика Римана решения (8.194) в координатах (8 183) имеет вид
ds2 = Ф[сЛ + 4гдг sin2(0/2)<fv?]2 + dr2/Ф —
-{У2 + rw)(^2 +sin20«ty>), (8.195)
где
2г2
(8 196)
8.7.4. Решение с электроядерным взаимодействием
(8 197)
1. Координаты: х° = и, х1 = г, х2 = 0, х3 = <р.
432
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
= (G.1,0,0), = (1, (7,0,0),
°oi “ P(-irwC/^. О, Л *Р), о-*10 = aoi ’
а°° = (1,0- rNx3/V2 Р, rNx2/y/2P),
= (-U, 1, UrNx3/j2 Р, -UrNx2/V2P),
^-^(O.O.U), а-0 = ^Г-
= Ц + PP{rre/2 + г2,), Р = (2)-172(1 + СС/4),
Q — х2 + ix3, = const, re = const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = -(г + 1Гдг)-1, а = ра°, /3 =—a,
у = рЧ°/2, р = р/2 + р2Ф°/2 + ррФ°/2, 9° = re/2 + irN
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
Ф2 = Ф = Ф°р3
Метрика Римана решения (8.197) в координатах (8.183) имеет вид
ds2 = Ф[с«Л + 4r/v sin2 {6/2)dip\2 + с/г2/Ф —
—(г2 4- Гдг)(с/Р2 + sin2 Qdip),
где
8.7.5. Решение с электроядерно-кварковым
взаимодействием
(8.198)
(8.199)
(8.200)
1. Координаты: т° = и, х1 - г, х2 = в, х3 = р.
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза
д*о = (0,1,0,0), а*11 = (1,7/,0,0),
433
°oi = P(-»rw</>/2,0,P,iP), <t*16 =
<t,06 = (1,O- rNx3/j2 P, rNx2/V2P),
a}1 = (-U, 1, UrNx3/Ji P, -UrNx2/y/2P),
c,01 =-^(0,0,1, г), <7^=^,
P = -| + pp(rcr/2 + r2N- 8Ar^) + A(r2 + 5r^),
C = x2 + ii3, P = (2)-1/2(l + <C/4),
r/v = const, re = const, A — const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = -(г + irw)-1, а — ра°, /3 = -а, а° = £/4,
7 = 7° + р2Ф°/2 - Аг, д = р/2 + р2Ф°/2 + Р^Ф°/2 - Лг2р,
Ф° = re/2 + irN = const, 7° = -гЛг/у.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
Ф2 = Ф = Ф°Р3, Л = Л/6 = Я/24 = const.
Метрика Римана решения (8.200) в координатах (8.183) имеет вид
ds2 = Ф[сЛ + 4гдт sin 2(6/‘2)d<p]2 + dr2/$ —
-(г2 + г^)(</02 + 81п20^), (8.201)
где
* = 1 - ГГ-+^-16Аг« - 2Л(г! + 5rJ,). (8.202)
г +rN
8.7.6. Решение с кулон-ньютоновским взаимодействием
и трехмерным вращением источника
(8.203)
1. Координаты: х° = и, х1 = г, х2 = в, х3 = <р
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза;
<7’о6 = (0,1,0,0), <7< = pp(Q, -У, 0, а),
• р ——
<701 = ——^(га sin 0,0,1,г cosec 0), <7*^ = <7*-,
434
<т°° = (1,0,0, —asin2 0),
с-i = РР {У\ (РР)~1,0, — a sin2 0Y) ,
О’®1 — ~~^= (iasinfl, 0, —(рр)-1,—iJlsinfl) , = <т^,
Q = r2 + a2, У = (г2 4-а2 - 2Ф°г)/2,
а = const, Ф° = re/2 = const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
р = —(г — tacos#)-1,/? = -ctg #р/(2)3/2,
тг = га sin вр2/(2)1 2, а = тг — /?, р = У р2р,
7 = р + (г + Ф°)рр/2, т — га sin ОррКУ)1!2
4. Спинорные компоненты тензора Римана
Ф2 = Ф = Ф°р3
Метрика Римана решения (8.203) в координатах (8.183) имеет вид
j 2 А 2Ф°г \ 2 2 4Ф°га ,
ds — I 1-----5——2-Га ) —5---------77 811,2 6d<pcdt -
\ г2 4- a2 cos2 0 J г2 + a2 cos2 0
-4* cos^ 3
ОШ0 I 2dr2 - (r2 + °2 co®2 W02 -
r2 — 2Ф°г 4- a2 4 7
(2Ф°га2 \
7,2 + a2 + -7-—5-тг sin2 0 ) sin2 0d<p2. (8.204)
r2 4- a2 cos2 0 ) ' '
8.7.7. Чисто торсионное решение
(8.205)
1. Координаты: х° = iz, а:1 = г, х2 — 0, х3 = <р.
2 Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
а’о = (0,1,0,0), = рр(П,-У,0,а),
= ~^(iasinfl,0,1,х cosec 0), <т‘6 =
а,00 = (1,0,0,-a sin2 6),
o’}1 = рр (У, (рр)-1,0, —asm2 6У) ,
435
f,01 = — (iasin0,O, — (pp) 11— ill sin 0) , = <r°\
Q = r2 + a2, y = (r2 + a2)/2,
a - const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи
р = —(г — ia cos б)-1, Р - — ctg 0р/(2)3^2,
тг = »asin0p2/(2)1^2, а = тг - р, p=Yp2p,
7 = р + трр/2, т — ia sin 0рр/(2)’/2.
Метрика Римана решения (8.205) в координатах (8 183) имеет вид
= Л(’ - - (^ + «И -
г2 + а2
-(г2 + a2) sin2 edp2. (8.206)
8.7.8. Решение с переменным кулон-ньютоновским
взаимодействием и трехмерным вращением
источника
(8.207)
1. Координаты х° = и, х1 = г, х2 — 0, х3 — р
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза.
<4 = (0,1,0,0), <7<=рр(П,-У,0,а),
aoi = ~^=(«a sin 0,0,1,» cosec 0), a*0 = <r<,
of0 = (1,0,0,-a sin2 0),
o’,11 = PP 0'S (PP)1 > 0, —a sin2 0Y) ,
°’?1 = ~(»asin0,0, — (pp)-1, — iQsintf) , cr|° = cr°\
fi = r2 + a2, Y = (r2 + a2 - 2Ф°г)/2,
a = const, Ф° — Ф°(п).
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи
436
р - —(г — га cos 0) *, [i = — ctg 0p/(2)3^2,
it = iasinOp2a — тг - /?, р = Ур2р,
7 = p + (r + Ф°(и))рр/2, т = iasin 0pp/(2)1^2,
_ — №°(и)га sin 0p2p
V“ 2V2 '
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
Ф2 = Ф = Ф°(и)р3,
ф2 = —гФ°(и)а81П0р2р/(2)3^2 — 2гФС)(г/)ги sin 0р3р/(2)1^2,
Ф4 = Ф°(и)га2 sin2 0р3р/2 + Ф°(и)га2 sin2 0p4jo,
Ф12 = — i^°(u)asin0p2p/(2)3^2,
Ф22 = —Ф°(и)га28Й12 0р2р2/2 — Ф°(и)г2р2р2.
Метрика Римана решения (8.207) в координатах (8.183) имеет вид
ds2 =
2Ф°(*)т \ 2j2 4Ф°(^)га . 2/>J J
г2 + a2 cos2 e)Cdt + г2 + a2 cos2 6 ЯП
--2-^7? 2^2-(r2 + «2cos2g)dg2 -
г2 — 2Фи(/)г + а2
( 2 2 2Ф°(*)га2 . . \ ,
- г + я2 + -=------5---— sin2 0 ) sin2 0d<p2.
\ г2 4- a2 cos2 6 )
(8.208)
8.7.9. Решение с электроядерным взаимодействием и
трехмерным вращением источника
(8.209)
1. Координаты: х° = и, х1 = г, х2 = 0, х3 = <р.
2. Компоненты символов Ньюмена-Пенроуза:
<о = (0, i.0,0), = рр(Е,~П,0,а),
<Toi = —-^(ia sin 0 + 2irN ctg 0, 0,1, i cosec 0), <rj^ = <t*
£ = r2 + r2N + а2, П = (r2 - t2n + a2 - rer)/2,
437
гр/ = const, а ~ const, re = const.
3. Спинорные компоненты коэффициентов вращения Риччи:
Р = -(г + irp/ - га cos fl)-1, /3 = р/3°, тг = р2т°,
d = ра° + р2т°, т = рртй,
Р — Р/^ + рФ°/2 + ррФ°/2 + р2~рт°т,
7 = р2Ф° + рр(т°а° + т°/?°) + р2рт°т°,
Ф° =re/2+irN,
= /3° = -i(2)V2ctg в, т° = —^ia(2)l,2sinfl.
4. Спинорные компоненты тензора Римана:
Ф2 = Ф = Ф°р3
Отличные от нуля компоненты метрического тензора g/j имеют
вид
9ии = Pp(r2r - + a2 cos2 fl),
ffur = 1,
9иф = ~2pprN cos АП + 2ppa sin2 A(rer/2 + t2n), (8.210)
gTV = —a sin2 fl — 2rjy cos fl,
9ee = — r2 — (rjv — a cos fl)2,
gvv> = ppn(asin2 в + 2rp/ cos fl)2 — ppsin2flE2.
Литература
1. Weitzenbock R. Invariantentheorie. Groningen: Noordhoff, 1923. 320 S.
2. Weitzenbock R. // Sitzungsber. preuss Akad. Wiss. Phys.-math. KI.
1924. Bd. S. 466-501.
3. Vitali G. // Atti Soc. ligust. sei. Lett. 1924. Vol. 11. P.248-254.
4 Vitali G. 11 Ibid. 1925. Vol. 14. P 287-291.
5. Weitzenbock R. // Proc Knkl. nederl akad 1926 Vol. 28 P 400-411.
6. Levi-Civita R. et. al. // Math. Ann. 1900. Vol. 54. P. 125-130.
7. Schouten J. Ricci-Calculus. B.; Heidelberg: Springer, 1954.
8. Синцов Д M Работы по неголономной геометрии. Киев Вита
шк., 1972.
9. Cartan Е., Schouten J. // Proc. Knkl. nederl. akad. 1926. Vol. 29. P.
803-810.
10. Cartan E., Schouten J. // Ibid P 933-938.
11. Bortolotti E. jI Atti Veneto. 1927. Vol. 2. P. 455-462.
12. Bortolotti E. // Proc. Knkl. nederl. akad. 1927. Vol. 30. P. 216-311.
13 Bortolotti E // Mem. acad. Bologna. 1927. Vol 30 P. 45-54
14 Bortolotti E // Rend Lincei. 1929. Vol. 9. P. 530
15. Griss G. Differatianarianten von Systemen von Vektoren: Diss.
Groningen, 1925. 61 S.
16. Schouten J. Vorlensugen iiber die Theorie der Halbeinfachen Gruppen.
Leiden, 1927. 285 S
17. Schouten J // Math. Ann. 1929. Vol. 102. P. 244-248
18 Eisenhart L. Riemannian geometry Princeton (N J.): Univ, press, 1960.
19 Cartan E. // Math Ann 1930 Vol 102 P. 698-701
20. Thomas T. // Composite math. 1937. Vol. 3. P. 453-463.
439
21. Mayer W., Thomas T. // Ibid. Vol. 5. P. 198-205
22. Haimovici A. // Ann. Sci. Univ. Jasay. 1943. Vol. 29. P. 90-96.
23. D’Atri J., Nickerson N. // J. Differ. Geometry. 1968. Vol. 2. P. 393-451.
24. Wolf J. 11 Ibid. 1972 Vol. 6. P. 317
25. Wolf J. jI Ibid. Vol. 7. P. 19-26.
26. Einstein A. // Sitzunsber. preuss. Akad. Wiss. Phys.-math. KI. 1928.
Bd S 217.
27. Einstein A. // Ibid. S. 224.
28. Шипов Г.И. Математические основы калибровочной модели фи-
зического вакуума. М., 1987. Леп. в ВИНИТИ, N 5326-В87.
29. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. М.: Мир, 1972.
30. Newmen Е., Penrose R. // J. Math. Phys. 1962. Vol. 3, №3. P. 566-587.
31. Пенроуз P., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Т. 1. М.:
Мир, 1987.
32. Vaidya Р. // Tensor. 1972. Vol. 24. Р. 1.
33. Newman Е., Tambunno L., Unti Т. // J.Math. Phys. 1963. Vol. 4, №7.
Р. 915-923.
34. Debney G., Kerr R., Schield A. // Ibid. 1969. Vol. 10. №10, P. 1842.
35. Фролов В.П. // ТМФ. 1974. T 21, №2. C. 213-223.
36. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: На-
ука, 1964.
37. Схоутпен Я. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. 81 с.
38. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. М.:
Изд-во иностр, лит., 1960.
39. Hayashi К. // Phys. Lett. В. 1977. Vol. 69, №4 Р. 441-443.
40. Шипов Г.И. Геометрия абсолютного параллелизма. Ч. 1. М.,
1992. Препр. 62 с. MHTU ВЕНТ; №14.
41. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М.: Наука, 1958.
42. Hstn-Yang Yeh. // J. Math. Phys. 1974. Vol. 15, №7. P. 1085-1095.
43. Shipov G., Skalsky V. // Proc, of the Intern, conf. on differential
geometry and its applications. Brno, 1989
44. Шипов Г.П. Программа всеобщей относительности и теория ва-
куума. М., 1988. Леп. в ВИНИТИ, №6947-В88.
45. Infeld L., В der Werden // Akad Wiss. Phys.-math. KI. 1933. Bd. S.
380-395
440
46. Ptrani F. Lee. on gen. Relativity 1964, Vol. 1
47. Witten L. 11 Phys. Rev 1959. Vol ИЗ P 357-362.
48. Corson E. An introduction to tensors, spinors and relativistic wave
equations. L : Blakie, 1953
49. Carmeh M. 11 J. Math. Phys. 1970 Vol 2 P. 27-28.
50. Carmeh M. // Lett, nuovo cim. 1970. Vol. 4. P. 40-46.
51. Carmeh M. // Phys. Rev. D. 1972. Vol. 5. P. 5-8.
52. Шипов Г.И. Геометрия абсолютного параллелизма. 4.2. М., 1992.
67 с. Препр. МНТП ВЕНТ; №15
53. Фролов В. // Тр. ФИАН. 1977. Т. 96. С. 72-180.
54. Herrera L. // Lett nuovo cim. 1978. Vol. 21. P. 11-14.
55. Ozsvath J. // J. Math. Phys. 1964. Vol. 6, №4. P. 590-611.
56. Carmeh M., Malin S. // Ann. Phys. 1977. Vol. 103. P. 208-232.
57. Carmeh M. 11 Phys. Rev. D. 1976. Vol. 14, №6. P. 1727-1728.
58. Geroch R., Held A., Penrose R. // J. Math. Phys. 1973. Vol. 14. P. 874.
59. Шипов Г.И. Геометрия абсолютного параллелизма. Ч.З. М., 1992.
76 с. Препр. МНТП ВЕНТ; №16.
60. Newman Е., Unti Т. // J. Math. Phys. 1962. Vol. 3, №3. Р. 891-901.
61. Robinson J., Trautman A. // Phys. Rev. Lett. 1960. Vol. 4. P. 431.
62. Петров A.3. // Учен. зап. Казан, ун-та. 1954. Т. 114. С. 55.
63. Петров А.З. Новые методы в общей теории относительности. М.:
Наука, 1966.
64. Goldber J., Sachs R. // Acta phys. pol. Suppl. 1962. Vol. 22. P.13-18.
65. Newman E., Penrose R. // Ibid 1963 Vol. 4, №7. P. 998-1005.
66. Maia D. 11 Ibid. 1973. Vol. 14. №7. P. 882-887.
67. Губарев E. А,Сидоров A.H. // Гравитация и фундаментальные
взаимодействия, М.. Изд-во Ун-та дружбы народов, 1988. С. 92.
68. Губарев Е.А., Сидоров А.Н., Шипов Г.И. // Актуальные проблемы
фундаментальных наук. М.: Изд-во МГТУ, 1991. Т. 3. С. 102-105.
69. Губарев Е.А., Сидоров А.Н., Шипов Г.И. Фундаментальные моде-
ли элементарных взаимодействий и теория физического вакуума.
М , 1992. 68 с. Препринт МНТП ВЕНТ; №17
441
70. Губарев Е.А., Сидоров А.Н., Шипов Г.И. // Тр. V семинара «Гра-
витационная энергия и гравитационные волны». Дубна. 1993. С.
232-238.
71. Шипов Г.Д.// Тр. VI семинара «Гравитационная энергия и гра-
витационные волны». Дубна. 1994. С. 141-145.
72. Губарев Е.А., Сидоров А.Н. // Там же С. 146-152.
73. Шипов Г.Д.// Преодоление кулоновского барьера за счет торси-
онных эффектов М , 1995 12 с. Препринт МНТП ВЕНТ; №61
Оглавление
Предисловие к второму изданию 3
Предисловие к первому изданию.......................... 4
Принятые обозначения ................................... 5
Часть 1. Всеобщая относительность
и теория физического вакуума
Введение ............................................ 11
Глава 1. Нерешенные проблемы современной теоретической
физики........................................... 27
1.1. Проблема сил инерции......................... 27
1.1.1. Четыре типа сил инерции ................. 28
1 1.2. Силы инерции и вращательня относительность 29
1.2. Неголономные координаты . 30
1.3. Ограниченность специального принципа относительно-
сти в электродинамике .............................. 33
1.3.1. Теорема Эйнштейна-Пуанкаре............... 33
1.3.2. Четырехмерная запись уравнений движения . . 37
1 4 Пределы применимости специального принципа относи-
тельности в электродинамике...................... 38
1.5. Некоторые следствия нарушения специального принци-
па относительности в электродинамике................ 39
1.5.1 Бесконечная собственная энергия заряда . 39
1.5.2. Проблема излучения заряда 40
1.5.3. Мнение авторитетных физиков .... 42
1.6 Завершенность квантовой механики .............. 43
1.7. Попытки возврата к детерминизму . . 47
1.8. Феноменология микромира........................ 51
443
1 8.1 Фундаментальные теории......................... 52
1.8.2. Феноменологические теории ..................... 52
1.8.3. Полуфеноменологические теории.................. 55
1.9. Проблема вакуума..................................... 56
1.9.1. Геометрическое описание спинорных полей ... 58
19 2. S’L(2.C) калибровочная теория гравитации ... 60
1.9.3. Геометризированные уравнения физического ва-
куума .......................................... 62
Глава 2. Физические принципы и уравнения теории физического
вакуума ............................................ 65
2 1. Основные понятия..................................... 65
2.1.1. Системы отсчета ............................... 65
2.12 Системы координат....................... 66
2.1.3. Пространство событий.................... 67
2.1.4. Классификация систем отсчета............ 67
2.2. Физика как теория относительности.................... 68
2.2.1. Относительность равномерного движения .... 68
2.2 2. Относительность времени................. 69
2 2 3 Относительность сил в механике Д’Аламбера . 71
2.2.4. Относительность гравитационного поля в теории
гравитации Эйнштейна............................. 72
2.3 Геометрия инерциальных систем отсчета ............... 75
2.3.1. Пространство событий галилеевых систем .... 75
2 3 2 Геометрия Евклида в произвольных координатах 76
2.3.3. Пространство событий лоренцовых систем .... 77
2.3.4. Геометрия Минковского в произвольных коорди-
натах ........................................... 77
2.4. Локально инерциальные системы отсчета первого рода 79
2 4 1 Свободно падающие лифты Эйнштейна............... 79
2 4.2. Локально лоренцовы системы отсчета первого рода 81
2.5. Поступательное движение по инерции .................. 83
2 5.1 Равномерное движение по инерции ................ 83
2.5 2 Движение по инерции локально инерциальных си-
стем отсчета..................................... 84
2.6 Общерелятивистская электродинамика.................... 85
2.6.1. Локально инерциальные системы отсчета в элек-
тродинамике ..................................... 86
2.6 2 Геометризация электродинамики................... 87
2.7. Вращательное движение................................ 89
2 7 1 Вращательные координаты ........................ 89
2 7 2 Вращение по инерции 90
444
2,8. Геометрия вращательного движения ............... 92
2.8.1. Трехмерная ориентируемая точка............ 93
2.8.2. Геометрия абсолютного параллелизма Лз .... 95
2.9. Относительность вращения ...................... 97
2.9.1. Локально инерциальные системы отсчета второ-
го рода.......................................... 97
2.9.2. Торсионные поля в уравнениях Френе...... 100
2.10. Поступательно-вращательная относительность..... 101
2.10.1. Произвольно ускоренные системы.......... 101
2.10.2. Геометризация полей материи............. 103
2.11. Конформная система отсчета ................... 104
2.11 1. Относительность массы и тензора Римана .... 106
2.12. Спинорные системы отсчета..................... 108
2.12 1. Световая система отсчета................ 108
2.12.2. Спинорные координаты..................... ПО
2.12.3. Спинорная система отсчета............... 114
2.13. Уравнения вакуума в спинорной системе отсчета . . . 116
2.13.1. Спинорное представление уравнений (Л)... 116
2.13.2. Спинорное представление уравнений (В)....118
2.14. Интерпретация торсионных полей................ 121
2.14.1. Торсионное поле как поле инерции........ 121
2.14.2. Матрица четырехмерных вращений.......... 123
2.15. Поле инерции в инерциальной системе отсчета ... 125
2.151 . Структура тензора материи в инерциальных си-
стемах отсчета . ....................... 127
2.15 2. Относительность материи................. 129
2.16. Основные свойства уравнений вакуума........... 130
2.16 1. Три основных состояния вакуума...........131
2.16.2. Вакуум в потенциальном состоянии.........131
2.16 3 Вакуум в виртуальном состоянии........... 132
2.16.4. Реальная материя, рожденная из вакуума .... 133
2.17. Сценарий рождения материи из Абсолютного «ничто» 134
2.17.1. Самоорганизация Абсолютного «ничто»...... 135
2.17.2. Первичные торсионные поля . .............137
2.17.3. Потенциальная материя .................. 141
2.18. Рождение квадриг Терлецкого................... 142
2.18.1. Торсионная поляризация вакуума.......... 143
2.18.2. Положительные и отрицательные массы...... 144
2.18.3. Полевая природа массивных частиц........ 146
2.18 4. Положительные и отрицательные заряды.... 148
445
Глава 3. Теоретические следствия вакуумных уравнений . . . 153
3.1. Новые представления о структуре пространства-време-
ни ................................................. 153
3.1.1. Классификация теоретических исследований . . . 154
3.1.2. Десятимерное пространство-время ......... 155
3.1.3. Спинорная структура пространства событий . . 158
3.2. Вакуумное возбуждение с кулон-ньютоновским потенци-
алом ............................................... 160
3.2.1. Полевая модель точечной частицы.......... 161
3.2.2. Геометризированные уравнения Гайзенберга то-
чечной частицы.................................. 163
3.3. Соответствие уравнениям Эйнштейна.............. 164
3.3.1. Соответствие уравнений движения.......... 165
3.3.2. Соответствие тензора энергии-импульса.... 167
3.4. Вакуумная электродинамика...................... 169
3.4.1. Сильные электромагнитные поля............ 170
3.5. Электродинамика слабых полей................... 171
3.5.1. У равнения движения заряда............... 172
3.5.2. Геометризированные уравнения Максвелла . . . 173
3.6. Новые потенциалы............................... 175
3.6.1. Обобщения кулон-ньютоновского потенциала . . 176
3.7. Суперобъединение взаимодействий................ 179
3.7.1. Объединение гравитационных и электромагнит-
ных взаимодействий.............................. 179
3.7.2. Кварковые взаимодействия ................ 180
3.7.3. Слабые взаимодействия ................... 182
3.7.4. Суперпотенциал........................... 184
3.8. Торсионные взаимодействия...................... 184
3.8.1. Торсионные взаимодействия в классической ме-
ханике ......................................... 188
3.9. Электроторсионное излучение ................... 192
3.9.1. Теоретическая оценка электроторсионного излу-
чения .......................................... 194
3.10. Силы инерции и торсионные поля ............... 195
3.10.1. Новое представление о силах инерции .... 195
3.11. Четырехмерный гироскоп ....................... 197
3.12. Четырехмерный гироскоп с самодействием ........202
3.12.1. Задача взаимодействия ...................203
3.12.2. Задача самодействия......................203
3.13. Принцип эквивалентности..... ................ . 205
3-14. Стационарные состояния ....................... 207
3.15. Монопольное излучение заряда ..................209
446
3.15.1. Принцип эквивалентности для заряда......212
3.16. Квантовая структура вакуума...................213
3.17. Оптико-механическая аналогия ................ 217
3.18. Уравнение Шредингера для поля инерции.........221
Глава 4. Экспериментальные подтверждения теоретических
предсказаний......................................... 227
4.1. Фундаментальный подход к описанию ядерных взаимо-
действий ...........................................227
4.1.1. Опыты Э. Резерфорда и новые потенциалы . . . 228
4.1.2. Электроядерное рассеяние................ 230
4.2. Квантование в Солнечной системе................236
4.2 1 Аналогия между гравитацией и электромагне-
тизмом .........................................237
4.2.2. Дискретные расстояния в Солнечной системе 239
4.2.3. Уравнение для расчета плотности планет .... 241
4.3. Сверхсветовые сигналы в экспериментах Козырева-Л ав-
рентьева-Пугача.................................... 244
4.4. Экспериментальные проявления электроторсионного из-
лучения ............................................247
4.4.1. Торсионные генераторы Акимова ...........248
4.4.2. Воздействие торсионного излучения на кристал-
лические структуры .............................250
4.5. Воздействие торсионных полей на растения...... 253
4.6. Торсионные эксперименты в механике............ 260
4.6.1. Эксперименты Н.В. Филатова по столкновению
гироскопов......................................260
4.6.2. Эксперименты с инерциоидом Толчина.......262
4.6.3. Расчет нескомпенсированной силы инерции . . . 263
Глава 5. Торсионные технологии и технологические
эксперименты...........................................267
5.1. Торсионные методы передачи информации..........267
5.1.1. Первые эксперименты по торсионной связи . . . 269
5.1.2. Приемники и передатчики торсионного излуче-
ния ........................................... 272
5.1.3. Исследование зависимости торсионного излуче-
ния от экранировки .............................274
5.2. Торсионные методы в металлургии .............. 276
5.2.1. Влияние торсионных полей на расплав олова . 278
5.2.2. Изменение структуры меди под действием торси-
онного поля.................................... 283
447
5.3. Вакуумно-торсионная энергетика.................287
5.3.1. Положительные, отрицательные и мнимые энер-
гии .............................................288
5.3.2. Что должен представлять собой вечный двига-
тель второго рода................................289
5.3.3. Вакуумно-энергетические установки....... 291
5.4. Торсионные движители...........................295
5.4.1. Преимущества новых транспортных средств . . . 295
Литература .......................................... 297
Часть 2. Геометрия абсолютного параллелизма
Введение.............................................. 309
Глава 6. Геометрия абсолютного параллелизма в векторном
базисе ................................................315
6.1. Объект неголономности. Связность абсолютного па-
раллелизма .........................................315
6.2. Ковариантное дифференцирование в геометрии А4. Ко-
эффициенты вращения Риччи...........................318
6 3. Тензор кривизны пространства А4..............322
6.4. Формализм внешних форм и матричная форма струк-
турных уравнений Картана геометрии абсолютного па-
раллелизма ........................................ 325
6.5. Геометрия А4 как групповое многообразие. Метрика
Киллинга-Картана....................................329
6.6. Структурные уравнения геометрии Л4 в виде расши-
ренной, полностью геометризированной системы урав-
нений Эйнштейна-Янга Миллса ....................... 334
6.7. Уравнения геодезических пространства А4........340
6.8. Структурные уравнения правой и левой геометрий А4 347
Глава 7. Геометрия абсолютного параллелизма в спинорном
базисе ................................................353
7.1. Три основных спинорных базиса геометрии А4 ....353
7.2. Спинорное представление структурных уравнений Кар-
тана геометрии Л4.................................. 356
448
7.3 Расщепление структурных уравнений Картана по не-
приводимым представлениям группы S£(2.C) 360
7.4. Матрицы Кармели. Запись структурных уравнений Кар-
тана геометрии А4 в матрицах Кармели.................365
7.5 Покомпонентная запись структурных уравнений Карта-
на геометрии А4 .................................... 368
7.6. Связь структурных уравнений Картана геометрии А4 с
формализмом Ньюмена-Пенроуза ....................... 372
7.7. Вариационный принцип для вывода структурных урав-
нений Картана и вторых тождеств Бианки геометрии А4 380
7.8. Разложение спинорных полей геометрии А4 на неприво-
димые части..........................................384
7.9. Спинорное представление уравнений Эйнштейна-Янга-
-Миллса............................................. 386
7.10. Формализм двухкомпонентных спиноров ......... 389
Глава 8. Конструирование решений структурных уравнений
Картана геометрии абсолютного параллелизма . . . 395
8.1. Выбор системы координат и специализация символов
Ньюмена-Пенроуза.....................................395
8.2. Специализация спинорных компонент коэффициентов вра-
щения Риччи ........................................ 400
8.3. Специализация спинорных компонент тензора Римана . 404
8 4. Конструирование асимптотического поведения геоме-
трии островного типа................................ 406
8.4.1. Радиальные уравнения, содержащие производные
по г.............................................407
8.4.2. Нерадиальные уравнения.................. 407
8.4.3. 17-производные уравнения.................408
8.5. Классификация решений структурных уравнений Кар-
тана геометрии А4 по группам изометрий.............. 417
8 6 Геометрия А4 с метрикой типа метрики Шварцшильда 422
8 7 Некоторые физически значимые решения структурных
уравнений Картана геометрии А4.......................430
8 7.1. Решение с переменной функцией источника . , . . 430
8 7.2. Решение с кварковым взаимодействием......431
8.7.3. Решение с короткодействующим (ядерным) взаи-
модействием ................................... 432
8 7.4. Решение с электроядерным взаимодействием . . 432
8.7.5. Решение с электроядерно-кварковым взаимодей-
ствием ........................................ 433
15 Г И.Шипов
449
8.7.6. Решение с кулон-ньютоновским взаимодействием
и трехмерным вращением источника................ 434
8.7.7. Чисто торсионное решение .................435
8.7.8. Решение с переменным кулон-ньютоновским вза-
имодействием и трехмерным вращением источни-
ка ..............................................436
8.7.9. Решение с электроядерным взаимодействием и
трехмерным вращением источника.............437
Литература............................................. 439
Научное издание
ШИПОВ Геннадий Иванович
ТЕОРИЯ ФИЗИЧЕСКОГО ВАКУУМА
Теория, эксперименты и технологии
Утверждено к печати
Научно-техническим советом
Международного института теоретической и
прикладной физики РАЕН
Заведующая редакцией ’’Наука-биосфера,
экология,геология” А. А.Фролова
Редактор Л.И. Приходько
Набор и верстка выполнены Г.И.Шиповым
на компьютерной технике в пакете ZaTeX
ЛР К» 020297 от 27.11.1991
Подписано к печати 27.12.96 Формат бОхЭО1^16
Печать офсетная
Усл. печ л. 32,5. Печ. л. 28,5.
Тираж 5000 экз.
Отпечатано в типографии НИИ «Геодезия»
г Красноармейск Московской обл.
ул. Центральная д. 16 зак. 487 т.