Текст
                    И. Л. КАЛИХМАН
ПО
математическому
программированию
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов
экономических специальностей вузов
Москва
«ВЫСШАЯ ШКОЛА»
19 7 5

517.8 К17 УДК 512+517+518(076) Рецензент: кафедра прикладной математики Ml “Я Калихман И. Л. К17 Сборник задач по математическому про- граммированию. Изд. 2-е, доп. и перераб. М., «Высш, школа», 1975. 270 с. с ил. Настоящий сборник содержит примеры и задачи по курсу математического программирования. Примеры пред- назначены для освоения вычислительных методов, задачи, преимущественно экономического содержания, — для уп- ражнений в приложении этих методов к экономическим ис- следованиям. Большинство параграфов содержит справочный теорети- ческий материал и подробный разбор типовых примеров. Предназначается в качестве учебного пособия для сту- дентов экономических специальностей вузов, 20203-015 лп „ К ------------ 83—75 001 (01)-75 517.8 © Издательство «Высшая школа», 1975 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий задачник предназначен в качестве учебного пособия при прохождении курса «Математическое программирование» сту- де|п,ми финансовых и экономических специальностей вузов, изу- ч' 'их этот курс по общей программе в объеме примерно 100 учеб- н <асов. отличие от первого издания задачник существенно перерабо- тан и дополнен, главным образом, за счет введения глав IX—XII, содержащих элементы теории игр и нелинейное программирование, соответствии с утвержденной МВ и ССО СССР в 1970 г. программой ica «Математическое программирование». В изложении первых эМи глав автор придерживало' последовательности и характера южения^ддтериала, соответствующего учебному пособию «Ли- ^,на.а'мгебра и "программирование», опубликованного автором •<9'69 г. В связи с этим здесь отсутствуют теоретические справки фиводится лишь значительное число подробно разобранных ре- •ний типовых примеров’ и задач. В последних четырех главах отсутствие подходящего и доступ- ного студентам единого учебного пособия, существенно не выходя- щего за пределы программы, вынудило автора включить в начале аждого параграфа минимум справочного теоретического материала. пот материал так же, как и в предыдущих главах, дополнен под- робным решением типовых примеров и задач, что создает необхо- димую базу для самостоятельного решения задач. Основным вычислительным инструментом, который в различ- ных модификациях используется в настоящем задачнике при реше- нии задач как линейного, так и нелинейного программирования, является симплексный метод. Именно этим и диктуется отбор задач и применяемых методов их решения. Так за бортом оказались мно- гие весьма эффективные при решении задач дискретного программи- рования комбинаторные методы, приближенные итерационные ме- тоды решения игровых задач, методы, использующие так называе- мые «штрафные функции», и т. д. В силу этого в некоторых задачах Пришлось ограничить задание составлением модели, а не получе- нием решения (например, § 3 гл. X). В то же время автор сознательно шел на упрощение многих примеров и задач, стремясь сделать их решение доступным «ручному» счету. При отборе задач использовалась весьма обширная литература по линейному и нелинейному программированию. 1« 3
ГЛАВА I Метод последовательных исключений § 1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ (i 1. Решить с помощью таблиц Гаусса следующук стему уравнений: 2лх — х2 + х3 = 3 Хх + Зх2 2ха =1 • х2 + 2х3 = 8 , Решение. Расчеты проводим в таблице Гаусса согласно ал горитму метода последовательных исключений. В исходном часть таблицы записываем расширенную матрицу системы и дополняем ее последним контрольным столбцом, элементы которого п/ полу- чаем путем суммирования по строкам таблицы. № итерации/ *1 К Исходная, -x’J 1 3 5 система ш 3 —2 1 3 0 1 2 8 11 I 0 —7 5 . 1 —1 1 3 —2 ' 1 3 1 -3° ill 2 8 11 11 :И 0 0 57 76 1 0 —8 —23 —30 0 1 2 8 11 ш' ‘У 0 0 1 3 4 1 0 0 1 2 0 I 0 2 3 Каждая последовательная итерация метода начинается с выбора разрешающего элемента в предыдущей части таблицы. Для упро-
щения вычислений удобно в качестве разрешающего выбирать эле- мент, равный 1. Если же такой выбор окажется невозможным, то для уменьшения погрешностей при округлениях лучше в качестве разрешающего принимать элемент, наибольший по абсолютной ве- личине. Хотя при выполнении практических расчетов принято нули в таблице не поме- щать, мы из методических соображений будем все же их указывать. 1 итерацию начинаем юра элемента a2i = 1 > ый выделяем рамкой. ?е рассчитываем, эле- -'.I разрешающей (2-й) ' i по формуле к-й Р-й аЧР ,е k = 0; 1, 2,..., т. е. /тем деления их всех на азрешающий элемент. По- польку в данном приме- рис. 1 •е адр =п21 = 1, все эле- менты разрешающей строки переписываются без изменения. Нако- нец, вычисляются элементы остальных строк по формуле ’ П-ь<7>п (i — 1, 2, ... , 1 П,.„- —где^ , „ ' ^QP \_К — и, 1, • •• tj Так, например, , 1^-2 2-(—2) _ а;,=—1-------j- = —7; at3 = I------~—- — 5; , о 21 . с 2-3 а|0 = 3---|-=1; 01 = 5 ——j- =—1 н т. д. Расчет по последней формуле практически удобно производить, пользуясь мнемоническим «правилом прямоугольника», наглядно ;показанным иа рис. 1. При этом сначала отмечаются единичные "столбцы (в том числе и «новый» единичный столбец на месте раз- решающего), а затем вычисляются элементы по строкам. После определения последнего контрольного элемента строки производится сравнение его с суммой всех предшествующих элементов. Так, на- пример, для 1-й строки получаем —7 +5 + 1 = —1 и а',= —1, следовательно, расчет произведен правильно и можно перейти к вычислениям элементов следующей (3-н) строки. , На II итерации за разрешающий выбран элемент а’,., — 1 и на III итерации —элемент = 19. После III итерации все три строки стали разрешающими. Си- стема оказалась определенной, имеющей решение х। — 1 *, х2 — 2; Хд — 3. 5
Исследовать и решить следующую систему у нений: *14- 2х2 4- Зх3 4- х4 = 1 3x14-1 Зл-24- 13х3 + 5х4 = 3 •*! 4- бх2 4- Зх3 4- х4 = 7 Зх44- 7х24- 7х34-2х4=19 Решение. № итерации “io Исходная LU 2 3 1 | 8 37 система з 13 13 5 3 1 5 3 1 7 17 з 7 7 9 12 31 4 5 6 T 19 * 35 I 1 2 3 1 1 8 0 7 4 2 0 13 0 3 0 0 6 p 0 14 9 -1 9 7 0 —3 —6 —3 15 3 II 1 0 7 3 —17 s 0 0 18 9 —63 —36 0 0 6 3 —21 —12 0 1 2 —1 9 7 0 0 1-12| —6 42 24 III 1 0 0 -1/2 15/2 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 9 3 0 0 г 1/2 -7/2 2 " / После III итерации два уравнения (2-е н 3-е) обратились . ждественные равенства 0= 0. Оставшиеся три строки все оказала разрешающими, поэтому расчет закончен. Так как всего оказалс три единичных столбца при четырех неизвестных, то система ур неннй неопределенная. Ее общее решение, полученное после III итерации, тако г 15 । 1 о 7 1 xi=3-4-9-ад *2=2; *з=—9--оад £i а 6
3. Исследовать систему уравнений 5*! + 12х2 + 19х3 + 25х4 = 25 10xx + 22х2 + 16ха + 39х4 = 25 5*! + 12х2 + 9х3 + 25х4 = 30 20хх 4- 46х2 4- З4х3 4- 89х4 = 70 Решение. чтерации *1 ха Хз aio а- Исходная ш 12 19 25 25 86 система 10 22 . 16 ' 39 25 112 5 12 9 25 30 81 20 46 34 89 70 259 I 1 12/5 19/5 5 5 86/5 0 —2 —22 — II —25 —60 0 0 Ro| 0 5 —5 0 —2 —42 -11 —30 —85 II 1 12/5 0 5 69/10 153/10 0 ED 0 —11 —36 —49 0 0 1 0 -1/2 1/2 0 —2 0 — 11 —51 —64 После II итерации получили два уравнения (2-я и 4-я строки) одинаковыми левыми частями и различными свободными членами: —2х2— 11л'4=—36 и —2х2—11*4 = —51. ; ювидио, что они не могут одновременно удовлетворяться ни при ких значениях х2 и х4, т. е. система уравнений несовместная. Если бы мы, не обратив внимания на этот факт, выполнили ттерацию с разрешающим элементов а"., — —2, то в 4-й строке -гчили бы противоречивое равенство 0 = —15. 4. Исследовать и решить (в случае совместности) следующие системы уравнений, пользуясь таблицами Гаусса: 1) х1 — 2х2— х34~Зх4 — 5 2хг — 4х2 — 2х3 4- 6х4 = 10 : 4" х2 4" ^>4 — 20 , 7
2) 2%i + Зх2 + 4х3 + х4 = 2 *1 + х2 + 7х3 + Х4 = 6 ; 3*1 + 2*2 + *з + 5*4 = 8 3) 2*1+3*2+11*з + 5*4 = 5 *1+ *2 + 5х3 + 2х4 = 3 3*1 + 2*2 + 8х3 + 4х4 = 5 3*i + 4х2 + 14*3 + 9х4 = 4 4) 2X1 — 5*а + 3*з + х4= 5 3*1 — 7 х2 "4" 3*з — х4 = — 1 5*1 — 9х2 + 6х3 + 2х4 = 7 ’ 4X1 —6х2 + Зх3+ *4= 8 5) xt+ х2+ 4х3+ 4х4+ 9хб=10 2xi +2*2+17х3 + 1 7х4 + 82хв = 84 2*1 + Зх3 — *4+ 4х5= 6 ; *2 + 4х3 + 1 2х4 + 27х5 = 27 Xi + 2x2+ 2х3+10х4 =Н . 6) 2*1 + 7х2 + Зх3 + *4 = 6 5xj + 12х2 + 5х3 + 3*4 = 10 ; 6*1 — х2,г- ’ЙХ;, + 5х4 = —2 7)3X1+ 5х2+10х3+14х4+18х5= 14 *1+ *2+ 4х3+ 6х4+ 8х5= 8 5*1 — 4х2 + 19х3 + 25х4 + 26х5 = 74 2*1 — 7х2 + 7х3 + 7*4 + 2х5 = 57 *1 — 11х2 + 2х3 + 4х4 — 8х5 = 50 8) 2*1+ Зх2 — 5х3 --= 7 6*1 + 8х2 — 14х3 = 17 2*1— 2х2— *з = 1 (’ 5xj + 11х2 — 16х3 = 21 9) 3*1 — х2 + 2х3 + 5*4 = — 1 3*1 — Зх2 + 6х3 + 15*4 = —3 ; ЗХ| — х2 + Зх3 + 14*4 = —8 , 8
10; — 4x2 4-Зх3 + 6х4-f- 8х5 = 5 10^ — 5л'24-5л'з +9лг44- 15х5 = 10 4х4 — 2х2 + х34-2х44- 2х5= 1 2х1— х2 + 8х34-5х44-11х5= 3 5. Показать, что элементы контрольного столбца, преобразуемые по общим формулам последовательных исключений, будут на каждой итерации равны сумме всех элементов, расположенных в той же строке слева. 6. Доказать эквивалентность преобразований систе- мы уравнений по методу Гаусса. § 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ 7. Найти матрицу, обратную к следующей: /—3 2 4\ А= 2 1 0 . \ 1 0 1/ Решение № итерации Матрица А Матрица Е Исходные матрицы —3 2 4 2’ |1| 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 4 3 1 —7 0 4 2 1 0 1 о ГП 1 —2 0 0 1 0 0 0 1 —4 4 3 II i~~ni 0 0 2 1 0 I 0 1 1 —2 —4 0 1 0 0 0 1 — 16 4 3 III 1 0 0 0 1 0 0 0 1 — 1/11'2/11 4/11 2/11 7/11—8/11 1/11—2/11 7/11 16/11 12/11 17/11 Записываем в левой части таблицы Гаусса заданную матрицу, рава — единичную матрицу того же порядка. Последовательные 9'
преобразования строк таблицы производим так же, как и при реше- нии уравнений, добиваясь в левой части таблицы образования еди- ничных столбцов. Если исходная матрица не вырожденная [т. е. D (Я) =/= 0], то после проведения п итераций (где п — порядок матрицы) получим п единичных столбцов. Если исходная матрица вырожденная, то после некоторой итерации в левой части таблицы появится ненулевая строка. Это будет говорить о том, что обратная матрица не существует. Если в образовавшихся нд последней ите- рации п единичных столбцах единицы располагаются по главной диа- гонали, то в правой части таблицы получаем обратную матрицу. Так, в данном случае имеем: /— i 2 4х Л-’= 11 2 7 —8]. \ I —2 7/ Если бы единичные столбцы располагались неупорядоченно, то необходимо было бы путем перестановки строк добиться образова- ния в левой части таблицы единичной матрицы. 8. Для следующих матриц найти обратные: 1) /2 5 ,7\ 2) / 4 - -8 —5\ 3) /2 7 3\ 1 6 3 4 ; -4 7 -1 ; 3 9 4 ; \5 ~ -2 - -3/ -3 5 1/ \1 5 3/ 4) /2 1 5) /3 1 2\ 6) / 1 —2 3\ 3 0 5 ; 5 3 2 ; ( 0 4 - -1 ; V 6 4? \0 - •1 1 / - \-3 10 - ю/ 7) / Ч 2 з\ 8) /2 3 11 5\ 9) / 3 —5 3 5\ 0 1 2 ; '1 1 5 21 3 -7 3- -I 1 Д 0 1? 3 2 8 4 / 5 —9 6 7 / ^3 4 14 9/ \10 —22 9 0/ Ю) /2 2 1 1\ И) / 1 3 2\ 12) /4 7 0 0\ 3 - -1 2 6 1 0 1 0 12 0 ° 1 0 3 1 —2 / э 0 0 1/ 00 7 —4 / U 2 0 — 1/ \0 0 -5 3/ 9. Вычислить с помощью метода последовательных исключений определитель 4 12 5 6 3 4 2 Решение. Определители можно вычислять с помощью того же метода последовательных исключений. Конечная цель этих пре- 10
образований — приведение определителя к треугольному виду, после чего его вычисление сводится к перемножению элементов, стоящих по диагонали. Действительно, D = а11 а12 ••• а1п О £?22 . • • о О ... апп — аца22 ••• апп- Для того чтобы привести определитель к треугольному виду, применяют те же два вида эквивалентных преобразований: 1) ум- ножение строки на отличный от нуля множитель и 2) прибавление к строке другой строки. Прн этом, в отличие от предыдущего, сле- дует учитывать, что если второй внд преобразований не меняет ве- личины определителя, то умножение строки на некоторый множи- тель k приводит к умножению величины определителя на тот же множитель. Кроме того, в отличие от преобразований матрицы удобнее выбирать разрешающие элементы только по главной диагонали. Если же на какой-то итерации соответствующий диагональный эле- мент окажется равным нулю, то это осложнение устраняется путем перестановки строк или столбцов. Очевидно, каждая такая пере- становка вызовет изменение знака определителя на противополож- ный, что следует учитывать в окончательном результате. ш 3 5 и 8 6 3 7 4 2 1 1 3/4 5/4 — D 0 0 —7 4 0 -5/4 —27/4 1 3/4 5/4 -4 D 0 -5/4 —27/4 4 0. 0 —7 Наконец, поскольку нас интересует приведение определителя к треугольному виду, на каждой итерации обращаем в нуль только элементы, лежащие ниже разрешающего. После I итерации очеред- ной диагональный элемент а'22 = 0. Поэтому переставляем 2-ю и 3-ю строки. Полученный после итерации определитель вычисляется просто: D1 = 1 3/4 5/4 0 —5/4 —27/4 0 0—7 Для нахождения определителя D необходимо компенсировать деление на разрешающий элемент аи = 4 и изменение знака на II итерации. Следовательно, D = —4 — —35. 11
10. Вычислить с помощью метода последовательных исключений следующие определители: §3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОДНОКРАТНОГО ЗАМЕЩЕНИЯ 11. Выполнить одно преобразование однократного замещения в следующей системе уравнений: 2лу -р х*2 — "Тз “ ху -) 2х(л'4 =—2 3%! — 2х3 +*й= 1 Решение. Система приведена к единичному базису, состоя- щему из единичных векторов-коэффициентов а2 — (1, 0, 0), й4 = = (0, I, 0) и «(, = (0, 0, 1). Базисные неизвестные, соответствующие этому базису, в урав- нениях подчеркнуты. Для выполнения одного преобразования одно- кратного замещения нужно выбрать среди не единичных столбцов коэффициентов отличный от нуля разрешающий элемент арр и про- вести одно преобразование схемы последовательных исключений. Тогда разрешающий (р-й) столбец коэффициентов превратится в еди- ничный и, наоборот, единичный столбец, имеющий координату I, в разрешающем р-м уравнении станет не единичным. Это соответствует переходу неизвестного хр в число базисных н, наоборот, выводу из числа базисных того неизвестного, относи- тельно которого было разрешено д-е уравнение. Практически удобно указанные расчеты располагать, как н в предыдущих параграфах, в таблицах Гаусса. Для преобразования выбираем разрешающий элемент а2Я = 2 (р = 2 и q — 3). После преобразования единичный базис составят векторы а2, аь и й3 (вместо й4). Новыми базисными неизвестными, относительно которых раз- решена преобразованная система, являются х2, хь н х3 (вместо х4). 12
№ итерации *1 Х2 ХЯ ХЛ aio “i Исходная 2 1 —1 0 0 3 5 система 1 0 |2| 1 0 —2 2 3 0 —2 0 1 1 3 I 5/2 1 0 1/2 0 2 6 1/2 0 1 1/2 0 —1 1 4 0 0 1 1 — 1 5 12. Выполнить одну итерацию преобразования одно- кратного замещения в следующих системах уравнений: 1) 2хх + ха = —5' — Х1 4“ -^2 3 ' • Зхх — х4 = 1 2) Х1 +2х4-2хя= 4 — х3 — Зх44- х5= 5 х2 4- Зхй = —2 3) 3xj 4~ х4 = 1 Xi +2х3 +х6 = 3 ^2 4~ х3 =5 — х4 — х3 +хв = 4 4) х4 4-Зх4 — Зхв = 4 х2 4- 2xe = 1 х3~ х4 4- *в = 3 2х44-х5 =6 13. Найти все базисные решения следующей системы уравнений: Л'14_-^2 — Зх5 = 2 3xi 4-*4 4- хБ==1 ?. ха — 2х5 = 3 . Решение. Базисные решения, т. е. решения, получаемые при приравнивании свободных неизвестных нулю, проще находить, если система приведена к единичному базису. Так, например, исход- 13
ному заданию системы соответствует базисное решение Л'о = (0, 2, 3, 1, 0), получаемое непосредственно из системы, если в ней положить свободные неизвестные х4 н х6 равными нулю. Поэтому отыскание всех базисных решений сводится к последовательному преобразо- ванию системы к всевозможным единичным базисам, а этого, в свою очередь, можно достигнуть рядом последовательных преобразований однократного замещения. При этом нужно лишь следить за тем, чтобы в процессе преобразований не повторялся ранее встречавшийся базнс. Для этого выпишем всевозможные пары свободных перемен- ных. Так как свободных неизвестных я — г = 5 — 3=2, то всевоз- можные пары неизвестных (всего их будет С| — 10), которые могут оказаться свободными, таковы: (х4, х2); (х„ х3); (х„ х}); (х4, х5); (х2, х3); (х2, х4); (х.2, х5); (ха, х4); (ха, х6); (х4, xj. Будем строить последовательность преобразований так, чтобы в определенном порядке перебрать все эти группы неизвестных. В исходной таблице свободными неизвестными являются х4 и х5 (им соответствуют не единичные столбцы коэффициентов с4 и а8). Этой системе, как уже указывалось, соответствует базисное решение Хо = (0, 2, 3, 1, 0). Выбрав за разрешающий элемент ou = 1 и пе- реходя к следующей матрице, получаем новую пару свободных не- известных х2, х6 и соответствующее базисное решение = (2, 0, 3, —5, 0) и т. д. Всего таким образом можно будет выполнить 8 преобразований однократного замещения, в результате которых будет найдено 9 (включая исходное) базисных решений. Единственная не использованная пара свободных неизвестных х3 н х6 не определяет базисного решения, так кай при этом базисными оказались бы неизвестные х4, х2, х4, столбцы коэффициентов при ко- торых линейно зависимы (а, — а3 — За4 — 0). 14. Найти с помощью преобразований однократного замещения все базисные решения следующих систем уравнений: 1) 2xt — х3 — х4 — 4 ) 2) Зх^Хг —9х3 = 4 х2 + Зх3 + 2х4 = 3 J’ х4 — Зх3 + х4 = 2 3) Xi + 2х2 . = 1 — Х2 + Х4 + Х5 = 4 ; Зх2 — х3 — 2х4 = 2 4) 2х4 +Зх3 + х4 =6 х2 х3 4 , —Зх4 х'з х6 = 2 14
§ 4. СИМПЛЕКСНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПОРНЫЕ РЕШЕНИЯ 15. Найти все опорные решения системы уравнений —2х, + Зх2 + х3 =9 *1+ х2 4-=8 . 3*! — 2х2 +*5 = 9 Решение. Рассматриваемая система может иметь С? — 10 базисных решений, однако только некоторые из них имеют все неот- рицательные значения неизвестных, т. е. являются опорными. Конечно, их можно выделить, если найдены все базисные решения, но такой путь ведет к чрезвычайно сложным расчетам. Если же выбирать разрешающий элемент из дополнительных условий, то те же преобразования однократного замещения обеспечат переход не просто к базисным, а к опорным решениям. Эти дополнительные условия заключаются в следующем: 1) разрешающий столбец (номер р) выбирается так, чтобы в нем оказался хотя бы один положительный элемент: 2) разрешающая строка (номер q) выбирается из условия, чтобы ада _ aio отношение --было наименьшим из значении — для тех i, при ко- Ggp ®ip торых aip > О. После выбора разрешающего элемента дальнейшие вычисления ведутся согласно обычным правилам преобразований однократного замещения (см. задачи предыдущего параграфа). Как и при определении базисных решений, здесь также необ- ходимо следить за тем, чтобы на какой-либо итерации не вернуться к ранее найденному опорному решению. Это условие дополнительно ограничивает выбор разрешающего элемента. После сделанных предварительных замечаний перейдем к решению заданного при- мера. ' На исходном этапе выбираем за разрешающий 1^й столбец (р — = 1), имеющий два положительных элемента. Для выбора разре- шающей строки вычисляем во 2-й и 3-й строках (где а1р = а^ > 0) отношения —=8 и - = -=-= 3. Наименьшим оказалось отноше- °21 «34 3 ние в 3-й строке, которую и выбираем как разрешающую. После выполнения I итерации с выбранным разрешающим элементом a'sl = = 3 получаем опорное решение Хг. Теперь выбираем 2-й разрешающий столбец, имеющий поло- жительные элементы а12 = Б/3 и а,а = s/3, и 2-ю разрешающую строку (min= min (9, 3} = 3). \ \Gip J J После выполнения II итерации с выбранным таким образом раз- решающим элементом а"р= а"? = Б/3 получаем новое опорное реше- ние Х2. Аналогично после III итерации приходим к опорному реше- нию Х3. Казалось бы, что на этом этапе можно было бы выбрать в каче- стве разрешающего 3-й столбец, как имеющий положительные эле- 15
менты, и соответствующую ему разрешающую строку. Однако не- трудно видеть, что дальнейшее преобразование в таком случае при- ведет к найденному выше опорному решению. № ите- рации Баз. перем. Х\ Х2 Хз Xi Xi aio °io aip Спорные решения Ис- —2 3 1 0 0 9 xo = (0. 0, ход- 1 1 0 1 0 8 8 ная систе- Х5 |3| —2 0 0 1 9 9. 8, 9) ма I х3 х4 0 0 5/3 |5/3| 1 0 0 1 2/3 — 1/3 15 5 9 3 xt = (3, 0, 15, 5, 0) xt 1 -2/3 0 0 1/3 3 — 11 *3 Л2 0 0 0 1 1 0 —1 3/5 1 — 1/5 10 3 10 X2 — (5, 3, 10, 0, 0) *1 1 0 0 2/5 1/5 5 25 III х2 0 0 0 1 1 1/5 —1 2/5 1 0 10 5 25/2 X3 = (3, 5, 0, 0, 10) Х1 1 0 -1/5 3/5 0 3 5 IV Xf, 5/3 0 2/3 0 1 15 Ул —(0 3 *2 —2/3 1 1/3 0 0 3 0, 5, 15) х4 5/3 0 -1/3 1 0 5 Действительно, если выбрать р = 3, то разрешающей окажется . Но преобразование с разрешающим 1-я строка элементом alV — 1 приведет к замене базисного неизвестного х5 на х3, что соответствует опорному решению Х2. Если же выбрать р — 4, то</ — так как min т. е. = а.'У= а/ь- В этом случае произойдет замещение базисного неизвестного xt на что соответствует новому опорному решению Л\, найденному па IV (и последней) итерации. Больше опорных решений система не имеет, так как возможный выбор разрешающего элемента в 1-м (aV — 6/3)'или в 3-м (aV = i/3j столбцах после IV итерации приведет, соответственно, к ранее най- денным опорным решениям Хя или Ло. 16. Выполнить одну итерацию симплексных преобра- зований и найти таким путем новое опорное решение 16
для Следующих Систем уравнений: 1) 2*! 4-Зх34-х4 =6 3xi — 2х3 4- *э = 4 *1 + *2 + 4х3 =2 с£) CM Tf 1Л II II 11 II ч1 + £ £ £ СО 04 + + 1 5Г 3) — Xi 4~ *2 + 4х3 = 2 2xi — х3 + х4 =3 2xi + х5 — 4 • —3X1 + 2х3 + хв = 1 4) 3xt4- х2 +х5 =2 х, — Зх2 + х3 = 3 3xi4-2x2 4-х4 =6 • —2xi4-3xa + х6 = 4 17. Найти с помощью симплексных преобразований все опорные решения следующих систем уравнений; 1) —2xj 4- Зх2 + л'з = 9 2х, 4- 5х2 4- х4 =31 3%!— х2 4-х5 = 21 2) —2*14~ х24-х3 = 2 1 3xj 4- 5ха 4- -Ч = 36 ?. •*14- *2 +-*5=5) 3) Xj — х3 4- 2*4 = 4 1 4) — Xj 4- х2 4- 4х3 = 12 1 х2 4~ 2х3 4- х4 = 12 J • 2х4 Ч~ хз "Ь -*4 = 12 J 5) х2 + *з = 6 3xj 4- 2х2 4- х4 =33 Xi- х2 4-*5 = 6 : *i-4x2 +*в= 3 6) *i — хв + *в = 3 х2 — xs + 4xe = 21 • *з +4*5 хе = 21 *4 4- *5 — *в = 3
18. Найти исходное опорное решение следующей си- стемы уравнений, приведя ее к единичному базису при неотрицательных свободных членах: -*i Н- Л2 ——|—4ха —|— х6 =—6 Xl — Х2 + х3 4- 5х4 — 4х5 + 6хв =8 x-г — х'з — 6х4 + 5хв — 4хв =—12 • Xj + х4 + 3х8 + хв-|-х7=—3 Решение. Система не приведена к единичному базису. Поэтому начинаем с преобразования системы методом последователь- ных исключений. № итерации *1 Х2 хз *4 xs х6 Х7 "<0 5. Исход- ная система II 1 0 1 1 -1 1 0 0 1 -1 0 -3 5 —6 1 4 —4 5 3 1 6 —4 1 0 0 0 1 -6 8 -12 —3 -2 16 -17 4 I 1 0 0 0 1 1~2| 1 -1 0 1 -1 0 —3 8 —6 4 4 —8 5 -1 1 5 —4 0 0 0 0 1 -6 14 -12 3 —2 18 — 17 6 II 1 0 О’ 0 0 1 0 0 1/2 -1/2 1 —4 —2 0 0 4 1 3 7/2 -5/2 -3/2 -5/2 0 0 0 1 1 -7 —5 —4 7 -9 -8 —3 1-1/21 -1/2 III 1 0 0 —1 1 2 0 —2 1 |0 1 0 —2 3 —1 0 —4 -з| 0 0 0 0 1 0 4 2 —2 2 3 —1 0 1 10 -1 16 3 После III итерации система оказалась приведенной к единичному базису (съ а2, а3 и й7), однако свободные члены в трех уравнениях из четырех оказались отрицательными. Поэтому данной системе соответствует исходное базисное, но не опорное решение X = (—2, —4, 10, 0, 0, 0, —1). Среди отрицательных свободных членов выбираем наибольший по абсолютной величине = —4) и вычтем почленно выделенное таким образом 2-е уравнение из 1-го и 4-го (с отрицательными сво- бодными членами). Само же выделенное уравнение (2-ю строку) перепишем, умно- жив все коэффициенты на —1 (3-е уравнение остается без измене- ний). Эти и все дальнейшие расчеты будем выполнять в той же таб- 18
лице, как бы продолжая последовательные итерации. После вы- полнения указанных действий получим следующую таблицу: № Х1 *2 хз Х4 х.ч Х7 “io 2i ai0 °ip IV 1 —1 0 1 —2 3 0 2 4 2 |0 -1 0 2 —3 1 0 4 3 2| 0 0 1 4 —2 3 0 10 16 5/2 0 -1 0 |4| — 1 0 1 3 6 3/4 В полученной системе уравнений все свободные члены оказа- лись положительными, 1, 3, 4-е уравнения разрешены относительно прежних базисных неизвестных х3 и х7. Лишь 2-е (выделенное) уравнение оказалось не разрешенным относительно базисного неиз- вестного. Дальнейшие преобразования системы будем проводить согласно правилам симплексных преобразований, выбирая разрешающий столбец из того условия, чтобы он имел в выделенной (2-й) строке положительный элемент. Этому условию удовлетворяют 4-й и 6-й столбцы. Выберем в качестве разрешающего 4-й столбец (так как 024= 2 >0). Для выбора разрешающей строки вычисляем отно- шения — .Наименьшееотношение оказалось в 4-й строке (— = ~ . о/р г \о44 4/' которую и берем в качестве разрешающей. Выполнив преобразова- ние однократного замещения с выбранным разрешающим элементом а' = а' = 4, переходим к следующей таблице (V итерация): № Х1 *2 Х4 *6 *6 Х7 а- aio aiP V 1 -3/4 0 0 -7/4 пл -1/4 5/4 5/2 5/12 5/2 7/3 |0 -1/2 0 0 -5/2 1 -1/2 5/2 0| 0 0 1 -1/4 1 0 0 1 -1 -1/4 3 0 — 1 1/4 7 3/4 10 3/2 VI 1/3 -1/4 0 0 —7/12 1 — 1/12 5/12 5/6 1-1/3 -1/4 0 0 —23/12 0 -5/12 25/12 =5/61 —1 0 7/4 -1/4 1 0 0 1 3/4 -1/4 0 0 -3/4 -1/4 23/4 3/4 15/2 3/2 В полученной после V итерации системе выделенное 2-е уравне- ние снова оказалось не разрешенным относительно базисного неиз- вестного (1, 3 и 4-е уравнения разрешены относительно xlt х3 и х4), но свободный член в этом уравнении уменьшился (стал s/2 вместо 4). Поэтому выполним еще одну, VI итерацию. На VI итерации разре- шающим столбцом может служить только 6-й — единственный, имею- 19
щий положительный элемент а2в = 1 > 6 в Выделенной 2-й строке. Разрешающей строкой является 1-я. После VI итерации приходим к таблице, в которой выделенная 2-я строка не имеет ни одного положительного элемента, кроме свободного члена. Очевидно, что процесс последовательных преоб- разований на этом обрывается, так как становится невозможным выбор разрешающего столбца по указанному выше принципу. Не- трудно прийти к выводу, что в. этом случае исходная система уравне- ний не имеет ни одного решения с неотрицательными значениями неизвестных, в том числе и опорного решения, или, как говорят, • несовместна в области неотрицательных (допустимых) решений. Действительно, 2-е уравнение, приведенное на VI итерации к виду — *4*1——6/12х7 = 26/12, не может удовлетворяться при неотрицательных значениях неизвестных хг, х2, хв и х7. В случае, если исходная система имела хотя бы одно опорное решение, оно было бы получено после конечного числа описанных ' выше итераций. 19. Найти с помощью приведения к единичному ба- зису {alt ад, ad, й7} опорное решение следующей системы уравнений: *i — *,+ *в + 2*а = —I 1 *2 — 4*4 + 3*5 — хв =— 4 I *з + 4*т - 2л5 + 3*а =10 I- 2х4 + 2х5— Х(1 + х7 = — 1 ] 20. Найти исходное опорное решение в следующих системах уравнений: l)*i —л-2 + 2*3 = 2 1 2) Х1 + *,+ *в = 2 *2 — 3*3 =6 ; *3 -*1-|-2*-, = —3 : *1 + *з+-^4 —*2 4- 1/2*4 — *5 =-----------3 3) *1— *2 + Хз- *'(+*5=+ 2*2— *3 — 3*4 =4 ; 3*1 4- 2*з + *4 = 2 4) 5*!— *2+ 2*3 — *5— *0 = 6 ' *! + 2*2 + *5 = 5 ; Х1 + Х2 + *3-*, =4 . 5) *1 + *5 + *в = 4 *2 + 2*5 + 3*0 = 0 — *3 — *5 4-2*0 = 8 *4 +'2*5— *0=4
ГЛАВА П Применение матричной алгебры в экономических расчетах. Балансовые модели 21. Химическое предприятие состоит из двух основ- ных цехов и одного вспомогательного, каждый из кото- рых выпускает один вид продукции. В следующей таб- лице указаны расходные коэффициенты («прямые» за- траты) aik единиц продукции «-го цеха, используемые как «сырье» («промежуточный продукт») для выпуска единицы продукции k-ro цеха, а также количество еди- ниц «/, продукции i-ro цеха, предназначенных для реа- лизации (конечный продукт). Цеха Прямые затраты Конечный продукт *4 I II III I 0 0,2 0 200 и 0,2 0 0,1 100 III 0 0,1 0,2 300 Определить: 1) коэффициенты полных.затрат; 2) валовой выпуск (план) для каждого цеха; 3) производственную программу цехов; 4) коэффициенты косвенных затрат. Решение. Обозначим производственную программу завода через X = (Xj.Xj.Xj), где хг есть валовой выпуск продукции «-го цеха, а план выпуска товарной продукции — через Y = (У1,У2<Уз)- Кроме того, введем матрицу А — || aik || расходных коэффициентов, ука- занных в таблице. Тогда производственные взаимосвязи завода мо- гут быть представлены следующей системой трех уравнений: *« —(“ii*t + “«2*a-f-a<3*3)=J/« (гДе »‘=1. 2, 3), внутрипроизводствен- ное потребление 21
или, в матричной форме, X —ДХ = Г. Записав последнее уравнение в виде (Е — /1) Х~ V, где Е — единичная матрица третьего порядка, представим его решение через обратную матрицу: Х = (Е-ДГ1Г. (*) 1) Элементы обратной матрицы (Е — Д)-1 = предста- вляют собой искомые коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат. Выполнив расчеты, указанные в предыдущей главе (см. § 2), получим * /1,04 0,21 0,03\ (Е — Д)"1 = 1о,21 1,06 0,13). \0,03 0,13 1,27/ Таким образом, например, для выпуска единицы продукции I, II и III цехов необходимо затратить продукции 1-го цеха соответст- венно 1,04; 0,21 и 0,03 единиц. 2) Для определения валового выпуска продукции цехов восполь- зуемся равенством (*): /1,04 0,21 0,03> /200\ Х = (Е — Д)-1У = 10,21 1,06 0,13 ] I 100 ) \0,03 0,13 1,27/ \300/ •238\ 187) 400/ Следовательно, -tj — 238, = 187 и хя = 400. 3) Производственную программу каждого из цехов можно определить из соотношения xik = aikxk (k= 1, 2, 3; i — 1, 2, 3). В результате получим следующую таблицу: Цеха Внутрипроизводственное потребление Итого Коиеч ный Продукт Vi Валовой выпуск xi 1 111 I 0 37 0 37 200 238 11 •48 0 40 88 100 187 III 0 19 80 99 300 400 4) Коэффициенты косвенных затрат найдем как разность между sik и aik или в матричной форме /1,04 0,01 0,03) (Е-А)~1-А = 0,01 1,06 0,03 \о,оз 0,03 1,07- Все расчеты с округлением до 0,01. 22
22. Дополнительно к данным предыдущей задачи в следующей таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответ- ствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко- часах на единицу продукции, стоимость единицы соот- ветствующего материала и оплата за 1 чел.-ч. Нормы расхода Обозна- чения Стои- мость I п HI Сырье а 1,4 2,4 0,8 1,6 5 Сырье б — 0,6 Os 12 Топливо 2,0 1,8 2,2 Ов 2 Трудоемкость 10 20 20 1,2 Определить:« 1) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы; 2) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха; 3) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам; 4) производственные затраты в рублях по цехам и на всю производственную программу завода; 5) производственные затраты на единицу конечной продукции. Решение. 1) Суммарный расход сырья а можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку таблицы на вектор X, т. е. /238ч а4Х = (1,4; 2,4; 0,8) 1187 ]= 1102. , \400/ Аналогично можно получить расход сырья б и т. д. Все это удобно записать в виде произведении , 1,4 2,4 0,8 \ ,238ч /1102\ сырье а 0 0,6 1,6 752 \ сырье б 2,0 1,8 2,2 11 I I 1692 I топливо 10 20 20 / '400/ \i4i2/ человеко-часов. 2) Расход сырья а на единицу конечной продукции I цеха (yt = 1) найдем из выражения l,4slt -f- 2,4s21 -f- 0,8s31. Следова- тельно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, то- плива и труда на каждую единицу конечного продукта получим 23
из произведения матриц / 1,4 2,4 0,8\ /1,04 0,21 0,03ч ' 0 0,6 1,6 ] (0,21 1,06 0,13] = 2,0 1,8 2,2 1 \0,03 0,13 1,27/ ^10 20 20 / I П ill / 1,98 2,94 1,37\ сырье а 0,17 0,84 2,11 1 сырье б 2,52 2,61 3,09 1 топливо ^15,20 24,80 28,30/ труд. Таким образом, например, для изготовления = _ 1 необходимо затратить 1,98 ед. сырья а, 0,17 ед. сырья б, 2,52 ед. топлива и 15,2 чел.-ч. 3) Расход сырья, топлива и т. д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые вы- пуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов: I II Ш сырье а /333 449 320’ сырье б 1 ° 112 649 топливо 476 337 880 труд \2380 3740 8000, 4) Производственные расходы 4) Производственные расходы по цехам можно получить путем умножения слева строки стоимостей (5; 12; 2; 1,2) на последнюю матрицу: (5; 12; 2; 1,2) - / 333 449 320 1 0 112 640 476 337 880 У2380 3740 8000 = (5473, 8751, 20640). 5) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, най- денной в п. 2, на строку цен: (5; 12; 2; 1,2) 1,98 2,94 1,37' 0,17 0,84 2,11 2,52 2,61 3,09 15,2 24,8 28,3 , 1 п ill = (35,2; 59,6; 72,3). Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35,2 руб., 59,6 руб. и 72,3 руб. 23. Предприятие выпускает три вида продукции в количестве, характеризующемся вектор-планом 24
X — (10, 7, 4). Для его изготовления используются 5 видов сырья. Известна матрица виды сырья | /5 10 3 9 2х Л = ||^Н=И(4 8 5 6 8 , “ | \6 12 4 3 10/ где aik характеризует расход k-ro вида сырья на 1 ед. i-ro вида продукции. Наконец, вектор С = (7, 4, 5, 10, 2) задает стоимость 1 ед. каждого вида сырья. Определить необходимое количество единиц сырья каждого вида для обеспечения плана, стоимость сырья для единицы каждого вида продукции и общую стоимость всего сырья для всей продукции. 24. В предыдущем примере задана дополнительно стоимость перевозки 1 ед. каждого вида сырья Т = = (3, 2, 3, 6, 3). Тогда матрица /7 4 5 10 2\ 1 \3 2 3 6 3/ характеризует стоимость сырья и стоимость его тран- спортировки. Найти AC'lt X (ЛС1) и истолковать их эко- номически. Найти суммарную стоимость сырья и транспорти- ровки в виде X (АСгУё, где ё = 25. Имеются 4 предприятия (1, 2, 3, 4), выпускающие 3 вида изделий (а, 0 и у) и использующие при их произ- водстве 2 вида сырьевых материалов (I и II). Данные о дневной производительности предприятий по каждому изделию (число изделий в день) и о затратах сырья на 1 ед. изделия (кг/шт.), а также число дней работы каждого предприятия и стоимость в рублях 1 кг сырья каждого вида помещены в следующей таблице: Изделия Производительность, шт./ди. Затраты, кг/шт. 1 2 3 4 1 ' 11 ! С6 7 10 3 5 12 ₽ 5 7 2 -— 10 4 V — 4- 8 4 6 8 Время работы и цены 100 120 50 200 30 20 25
Требуется определить (записав с помощью операций над матрицами): 1) суммарную производительность (за весь рабочий период) каждого предприятия по каждому из изделий; 2) количество каждого вида сырья, необходимого на каждом предприятии и для всех четырех предприятий; 3) размеры кредитов, которые необходимо предо- ставить каждому предприятию на закупку сырья. Решение. Прежде всего обозначим через А матрицу произ- В — матрицу затрат сырья и через С — вектор водительности, через цен; тогда изделия = / 7 5 0\ . В / 10 7 4 \ Л- 11 3 2 8 ’ Ц 0 0 4/ сырье « f 5 12\ В=5 Ю 4]. С=(30, 20). £\4 в) 1) Для расчета суммарной производительности используем запись времени работы каждого из предприятий в виде диагональ- ной матрицы; (100 0 0 0\ 0 120 0 0] 0 0 50 О' 0 0 0 200/ Тогда суммарная производительность (за рабочий период) вы- разится так: изделия (100 0 0 0\ / 7 5 0\ « / ТОО 500 0\ 0 120 0 0 ]/ 10 7 4 | В / 1200 840 480 I И I=°-1 I О 0 50 0 13 2 8 g 150 100 400 г 0 0 0 200/ \ 0 0 4/ g- \ 0 0 800/ Суммарное количество I и II вида сырья по всем предприятиям можно получить, умножив последнюю матрицу слева иа вектор ё = = (1, I, 1, 1): 26
(8500 10400\ 17280 21600 | ялаг. = <34730- 4380°)' 4150 5400 1 4800 6400/ 3) Размеры кредитов определяются стоимостью сырья, исполь- зуемого каждым предприятием, т. е. путем умножения матрицы (ТА)В на вектор цен, записанный в виде столбца: (ТА)ВС = 8500 10400Х « /463000 17280 21600 | /30\ | / 950400 4150 5400 / \20/ ~ g 232500 4800 6400/ & \272000 26. Дан следующий межотраслевой баланс трех- отраслевой модели хозяйства. Отрасли п отреблен и я Отрасли производства 1 2 3 Итого Конеч- ный про- дукт Валовой выпуск 1 10 5 40 55 45 100 2 30 — 30 60 40 100 3 20 40 — 60 140 200 Итого 60 45 70 175 Затраты труда 20 30 30 80 Построить структурную матрицу и рассчитать коэф- фициенты полных затрат, валовой выпуск и полные за- траты труда на новый ассортимент конечного продукта У = (100, 50, 80). Решение. Элементы структурной матрицы aik (коэффициенты прямых затрат) найдем путем деления соответствующих данных таблицы на величины валового выпуска х,: а" = Т00=0’,: “12 = 100 = °'05; 0,3 = 200 = °’2’ 30 _ „ 0 . 30 — 100 —°'3’ °22^Т00-0: Й23 —200 — °’13’ 20 . о 40 а . 0 . °31-100—°’2’ “32~ 1бб — 0,4 И азз-2бб-°- 27
Отсюда получим структурную матрицу /0,1 0,05 0,2 \ Л = (0,3 0 0,15] \0,2 0,4 0 /’ Коэффициенты полных затрат находим как элементы обратной матрицы S || s,* || = (Е — Л)-1. Воспользовавшись способом вы- числения обратной матрицы (см. задачу 7), получим /1,23 0,17 0,26 > S = l0,43 1,25 0,255 \0,42 0,48 1,16 . Валовой выпуск, необходимый для обеспечения заданного ко- нечиого продукта, получим из соотношения /1,23 0,17 0,26 к /100ч /152ч X = SK = l0,43 1,25 0,255 ] 1 501 1 126] \0,42 0,48 1,16 / \ 80/ \159/ Коэффициенты прямых затрат труда найдем путем деления чисел последней строки таблицы на соответствующие значения валовых выпусков: 20 30 30 а“= 100 = °’2’ Й42== 1бб=0,3’ й1в = 2бб=°’151 или с4 = (0,% 0,3; 0,15). Коэффициенты полных затрат труда получим путем умножения строки коэффициентов прямых затрат на матрицу S, т. е. /1,23 0,17 0,26 \ (0,2; 0,3; 0,15) • 10,43 1,25 0,255] = (0,438; 0.481; 0.302). \0,42 0,48 1,16 / Полные затраты труда по всем отраслям составят с4Х=0,2 - 1524-0,3- 1264-0,15-159 = 92. 27. Дана следующая трехотраслевая линейная мо- дель: Потребление П ро И 3 ВОДСТВО Сельское хозяйство Промыш- ленность Прочие отрасли Конечный продукт 1. Сельское хозяйство 10 60 15 15 2. Промышленность 60 120 10 ПО 3. Прочие отрасли 10 30 5 5 Определить коэффициенты полных затрат. 28
28. Дана следующая структурная матрица: /0,2 0 0,2\ А= 0,6 0,4 0,1 I. \0,1 0,5 0 / Построить баланс затрат выпуска продукции и рас- считать коэффициенты полных внутрипроизводственных затрат и валовой выпуск для вектора конечного про- дукта Y = (100, 500, 200). 29. Рассчитать в условиях задачи 27 полные затраты труда, если коэффициенты прямых затрат труда харак- теризуются вектор-строкой ai =- (0,3; 0,2; 0,15). 30. Рассчитать матрицу коэффициентов косвенных затрат по следующей структурной матрице: - /0,4 0,1 0,2\ ' 0,3 0,2 0,1 У \б,1 0,4 0 / 31. Пусть структурная матрица имеет вид /0,2 0,5'\ \0,7 0,1/- Найти ассортиментный вектор Y при X = [ | 32. Определить структурную матрицу А по следую- щей матрице коэффициентов полных затрат; /1,7 0,9\ \1,2 1,7/* 33. Рассчитать по данным предыдущей задачи изме- нение валового выпуска продукции, необходимого для обеспечения изменения конечного продукта АУ = Решение. Имеем /10- \20/- ' - /1.7 ДХ = 5Д/ = \1,2 0,9'\ / 1О’\ /35\ 1,7/ \20/== \4б/ * 34. Определить на планируемый период производ- ственную программу трех групп взаимосвязанных пред- приятий: группа № 1 выпускает станки, группа № 2 — 29
электромоторы и группа № 3 — металлопрокат. Из- вестно, что данные предприятия должны дать народному хозяйству 15 000 шт. станков, 77 000 шт. электромоторов и 46 000 т проката. Нормы расхода этих изделий для взаимного и собственного воспроизводства приведены в следующей таблице: Группы предприятий Производствениое потребление I (на I шт.) 2 (на 1 шт.) 3 (на 1 т) 1 (в шт.) 0,03 0,05 0,06 2 (в шт.) 0,02 0,03 0,01 3 (в т) 0,01 0,04 0,02 '0,8 0,7 \ 0,6 0,9/ 35. Может ли матрица А = быть структур- ной матрицей линейной балансовой модели? Решение. Составив балансовые уравнения, получим (Е — А)Х = Y, или в развернутой форме 0,2*х—0,7xj=0Х 1 —0,6*!-|-0, = ' Сложив почленно этн два уравнения, придем к уравнению —0,4*! — 0,6х2 = уг 4- уг, которое не может удовлетворяться ни при каких неотрицательных значениях xL и *2. Следовательно, матрица А не может служить структурной матрицей линейной балансовой модели *. 36. По заданной структурной матрице трехотрас- левой модели /0,3 0,1 0 А =( 0,2 0,3 0,2 \0,1 0 0,1 определить изменение валового выпуска для следующего изменения конечного продукта: = 20, Дг/2 = 10 и Д«/3 = 50. * Можно показать, что необходимым и достаточным условием существования неотрицательного решения балансовых уравнений (продуктивности матрицы Д) является положительность определи- теля D (Е — 4). 30
Вычислить соответствующие изменения затрат труда, если коэффициенты прямых затрат труда задаются стро- кой ai = (1,2; 1,0; 0,5). 37. Имеется трехотраслевая модель, характеризую- щаяся следующей структурной матрицей: / 0 0 0 \ Л = 1 0,1 0,6 0,25 \0,3 0,2 0 ) В данном случае первая нулевая строка показывает, что продукция I отрасли идет только на образование конечного продукта. При изготовлении продукции каждой из отрасли ис- пользуются три вида сырья (а, б и в), нормативы затрат которого на 1 ед., продукции соответствующей отрасли определяются матрицей п in а /0,2 0,1 0 \ С=б( 0 1,0 0,2 1. В \ о 0 3,0/ Определить полные затраты сырья каждого вида на еди- ницу конечного продукта и необходимое количество сырья для изготовления конечной продукции в количестве уг = = 10, t/2 = 15 и уа = 5. 38. Решить ту же задачу для структурной матрицы из задачи 36. 39. По данным отчетного периода получен следующий баланс трехотраслевой экономической системы: № отраслей Потребители Конечная продук- ция (тыс. шт.) Валовая продукция (тыс. шт.) I 2 3 Производи- (1 ‘ * тельность | з * * * 20 30 10 40 16 24 30 60 16 но 54 150 200 160 200 Трудоемкость (в тыс. ч/тыс. шт.) 25 50 30 Фондоемкость (в тыс. руб./тыс. шт.) 200 300 400 31
Определить следующие экономические показатели на планируемый период: 1) коэффициенты прямых затрат; 2) коэффициенты полных затрат; 3) валовый выпуск отраслей, обеспечивающий но- вый конечный продукт Y — (130, 60, 160); 4) коэффициенты прямых (/*.) и полных (7\) трудо- вых затрат и необходимый объем трудовых ресурсов Q*; 5) коэффициенты прямой (fh) и полной (Fh) фондо- емкостей и суммарную потребность в фондах (ФА) каждой отрасли; 6) систему цен пропорциональных полным затра- там общественного труда, исходя из денежного эквива- лента единицы рабочего времени Р = 10 тыс. руб./тыс. ч. 40. Дополнительно к данным предыдущей задачи известны размеры фондов по трем группам: Группы фондов Отрасли 1 2 3 Здания и сооружения._. '. 20 16 30 Производственное оборудование 120 160 160 Оборотные средства 60 124 210 Итого .... 200 300 400 Определить коэффициенты прямых и полных фондо- емкостей по каждой группе фондов и суммарную по- требность в фондах по каждой группе. . 41. Двухотраслевая экономическая система харак- теризуется матрицей коэффициентов прямых затрат /0,1 0,4\ \0,2 0,3/- Рассчитать коэффициенты полных затрат непосред- ственным способом (путем последовательного приближе- ния) и с помощью разложения обратной матрицы в ряд, сравнив эти два метода расчета с результатом вычисле- ния обратной матрицы. Решение. Пусть выпускается единица конечного продукта I отрасли. Для этого необходимо затратить 0,1 ед. продукции той же I отрасли и 0,2 ед. продукции II отрасли. Это будут коэффициенты прямых затрат. Но в свою очередь это потребует, согласно коэффи- 32
циентам косвенных затрат, продукции I отрасли в количестве 0,1 -0,1-| 4- 0.4-0,2 и II отрасли в количестве 0,2-0,1 + 0,3-0,2. Это будут косвенные затраты первого порядка. Таким же путем получаем РИС. 2 косвенные затраты второго порядка в количестве 0,1(0,1-0,14- + 0,4-0,2) 4~ 0,4 (0,2-0,1 4- 0,3-0,2) для I отрасли и 0,2 (0,1-0,1 4- 4- 0,4-0,2) 4~ 0,3 (0,2-0,1 + 0,3-0,2) для II отрасли и. т. д. Последовательный расчет этих затрат показан на рис. 2. Согласно рисунку, получаем sn — 1 4- 0,1 + 0,09 + 0,041 + ... » 1,231 н % = 0,2 4- 0,08 4- 0,042 4- ... «0,322. Эти же последовательные слагаемые мы получим из разложения ' (£ —Л)-1=£4-44-4а4-Л34-...= _/1 0\ /0,1 0,4\ /О',09 0,16\ -\0 1/~^\0,2 0,3/“^\0,08 0,17/ + /0,041 0,084\ Z1-231 0,644\ + \0,042 0,083/+ \0,322 1,553/’ 2 И, Л, Калихмаи 33
Точное вычисление обратной матрицы дает (£-ЛГ = '1,27.3 0,726\ 0,364 1,63й)- 42. По данным задачи 41 вычислить с помощью пря- мого расчета и разложения в ряд косвенные затраты третьего порядка, а также затраты на единицу продук- ции II отрасли. 43. Трехотраслевая экономическая система харак- теризуется следующей треугольной матрицей коэффи- циентов полных затрат: I /0,1 0,2 0,4\ Л = П IO 0,2 0,3]. III \0 0 0,1/ Показать, что в этом случае расчет коэффициентов полных затрат можно произвести арифметически; при этом получаются точно такие же результаты, как и при вычислении коэффициентов с помощью обратной мат- рицы.
ГЛАВА Ilf Теоретические основы методов линейного программирования § 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИСХОДНОЙ МОДЕЛИ Модель задачи линейного программирования может быть за- дана в одной из следующих форм: Каноническая Стандартная Общая 1) Ограничения Уравнения Неравенства Уравнения и нера- венства п п n 2 aikxk=aiO А=1 У aikxk ai0 А = 1 1 aikxk \ = ? aio k=i UsJ (t = 1, , т) (« = 1, .... m) (/ = 1, ..., m) 2) Условия неотрицательности Все переменные Все переменные Часть переменных 5= 0 (k— 1 «) xk S- 0 (k = 1 s, s г£п) п \ 3) Цель задачи z = _ 1 k * J ckxk 1 = 1 / max z max z илн min г max z или min z 44. Привести к канонической форме следующую за- дачу линейного программирования: найти минимум линейной функции z = — 2хх — *2 + Зх3 — 2х4 (1) 2* 35
при условиях 2xi~ х2 + Зх3+ х4 = 4 хг + 2х2 + Зх3 + 2х4 = 6 Зх±— х2 —2х3 + х4>=2 5xi4~3x24~ х3 =s=.6 —2X4+ х2 — Зх3 — 2х4 С 4 Xi 3= О, х2 5= О. (2) (3) Решение. Каноническая форма задачи характеризуется следующими тремя признаками: 1) однородная система ограничений в виде системы уравнений; 2) однородные условия неотрицательности, распространяющиеся на все переменные, участвующие в задаче, и 3) максимизация линейной функции. В данной задаче нарушены все эти три признака. Начнем с преобразования смешанной системы ограничений в систему уравнений. Это преобразование выполняется путем вве- дения неотрицательных «балансовых» переменных (х6, х6, х7) в левые части неравенств со знаками «плюс» или «минус» в зависимости от знака неравенства. В результате система условий (2) и (3) запишется в следующем виде: 2xt~ ха4-3ха4- х4 =4 | Xi + 2x2 + 3x3 + 2x4 =6 I 3Xi — Х2 — ^Х3 Х4 — ХВ = 2 У б*] 4- Зх2 4- х3 4- хв — 6 I —2xi 4” Х2 — Зх3 — 2x4 4” xi ~ 4 ) Xi 5 0, х2 5:0, хг, 5 0, ха 5 0, х, 5 0. (2') (з-) Перейдем к преобразованию условий неотрицательности. Нера- венствами (3') не охвачены только две переменные хэ и х4, которые будем называть «произвольными». Для приведения задачи к одно- родным условиям неотрицательности можно воспользоваться двумя приемами. Первый прием технически выполняется без всяких до- полнительных вычислений, но зато приводит к увеличению числа переменных в задаче и поэтому к более сложным вычислениям в даль- нейшем. Суть его заключается в том, что вместо каждой произволь- ной переменной (х3 и х4) вводятся две неотрицательные переменные из равенств x3=x's — х3 и x,=xj —х", где х' 5 0, х'з^ 0, х\ 0, х" 2s 0. В результате получим задачу, содержащую не 7, а 9 переменных. Второй прием, более сложный на начальном этапе, наоборот упрощает дальнейшие расчеты, так как он связан с умень- шением как числа переменных, так и числа уравнений. Сущность его заключается в следующем. Найдем из каких-либо двух уравне- ний системы (2') «произвольные» переменные х3 и х4, выразив их через остальные переменные, и исключим с помощью найденных 36
выражений эти переменные из остальных уравнений системы и из данной линейной функции (1). Практически это можно сделать с помощью все тех же таблиц Гаусса, если в них соответственно выбрать в качестве разрешающих столбцы при переменных х3 и х4. № итерации 2 *1 *2 хз хъ *7 aio Исход- 0 2 -1 3 1 0 0 0 4 9 ная си- 0 1 2 3 2 0 0 0 6 14 стема 0 3 -I —2 I —1 0 0 2 2 0 5 3 1 1 1 0 0 1 0 6 16 0 —2 1 -3 -2 0 0 1 4 -1 1 2 1 —3 2 0 0 0 0 3 I 0 —13 -10 0 Ш 0 —3 0 -14 -39 0 -14 —7 0 2 0 —3 0 — 12 -34 0 13 5 0 I —1 2 0 14 34 0 5 3 1 0 0 1 0 6 16 0 13 10 0 —9 0 3 1 22 .47 1 17 10 0 2 0 3 0 18 51 II 0 — 13 -10 0 1 0 —3 0 -14 —39 0 12 13 0 0 0 3 0 16 44 0 26 15 0 0 -1 5 0 28 73 0 5 3 1 0 0 1 0 6 16 0 — 13 -10 0 0 0 —3 1 —6 —31 1 43 30 0 0 0 9 0 46 129 В таблицу внесена, кроме коэффициентов и свободных членов всех пяти уравнений, еще строка, соответствующая линейной функ- ции (1), рассматриваемой как 6-е уравнение, z + 2х4 + х2 4- Зх3 — — 2х4 — 0, разрешенное относительно базисной переменной 2. Таким образом, можно одновременно вести исключение х3 и х4 из уравнений системы и из линейной функции 2. После II итерации получили два уравнения (4-е и 1-е), разрешенные относительно про- извольных переменных х3 и х4: х3= 6— 5х4— Зх2— хв ) х4 = —1413х4 lOx'g-j- Зх4 J а остальные уравнения и функция г не зависят от этих переменных: 12х44- 13х2-|-Зх5 = 16 26х± 1 5х2 — хъ 5хв =28 —13X1—10ха — Зхв-)-х7 = —6 г = —43х4 — 30х2 — 9х6 + 46. (2») (1') 37
Все переменные, входящие в выражения (2") и (Г), подчинены условиям неотрицательности: хх2;0, ха2г0, хв>=0, x7JsO. (3”) В результате пришли к следующей задаче линейного програм- мирования с ограничениями в виде системы уравнений и однород- ными условиями неотрицательности: минимизировать линейную функцию (Г) при условиях (2") и (3"). Наконец, переход к задаче максимизации линейной функции осуществляется путем введения новой функции zx из равенства гх =—z = 43xx-J-30x2+9xe —46. (1") В результате задача оказалась проще, чем та, которая задана условиями (1), (2) и (3), так как она содержит только три уравнения и всего пять переменных. После решения этой задачи, т. е. после отыскания значений х*, xj, xf, х* и х*, удовлетворяющих условиям (2") и (3'') и макси- мизирующих функцию гх, необходимо по соотношениям (4) опреде- лить значения х* и х% и таким образом найти оптимальное решение исходной задачи Хопт = (xf, xf, х*, х*. xf, xj, xf). При этом зна- чения балансовых переменных х*, х*е и xf показывают, насколько при данном оптимальном решении (на пределе или с запасом) выпол- няется соответствующее исходное неравенство. В заключение заметим, что примененный выше прием после- довательного исключения х3 и х4 из всех условий задачи с помощью равенств (4) был возможен только потому, что эти переменные не были связаны условиями неотрицательности. Действительно, если бы х3 и х4 были связаны неравенствами х3 >0 и х4 > 0, то нам пришлось бы после их исключения из всех остальных условий задачи добавить к неравенствам (3) еще два огра- ничения, вытекающие из равенства (4): 6 — 5хх — Зх2 — хв О I — 14 1 ЗХ| 10х2 Зхя Of* которые, после введения балансовых переменных привели бы нас окончательно к исходной модели задачи. 45. Привести следующую каноническую форму за- дачи линейного программирования к задаче с однород- ными ограничениями в виде системы неравенств: макси- мизировать z = 2хх — х2 4~ Зх4 -]- 2х5 -f- 4 при условиях хх — 2х3 + 2х4 — Зх8 = 2 2хх + х24~4хэ + х8 = 6 — хх 2х.2 4- Зх4 = 4 , Х( 0 для i = 1,..., 5. Решение. Прежде всего приведем систему ограничений за- дачи к единичному базису. При этом будем одновременно проводить 38
преобразования и над выражением для линейной функции, рас- сматриваемым как уравнение z—2х, + х2—Зх4—2х3=4, разрешенное относительно базисной переменной г. Выполняя пре- образования метода последовательных исключений, не следует вы- бирать в качестве разрешающей строку, соответствующую послед- нему уравнению. Таким Образом, оно все время будет оставаться разрешенным относительно базисной переменной г. № итерации 2 Л1 *2 Л3 *4 *6 ° io ai 0 ш 0 —2 2 —3 2 2 0 2 1 4 0 I 6 15 0 —1 2 0 3 0 4 8 1 —2 1 0 —3 —2 4 —1 I 0 1 0 —2 2 —3 2 0 0 0 Ш 8 — 4 7 2 14 0 0 2 —2 5 —3 6 8 1 0 1 —4 1 —8 8 —1 11 0 1 0 —2 2 —3 2 0 0 0 1 8 —4 7 2 14 0 0 0 1-181 13 17 2 —20 1 0 0 — 12 5 — 15 6 —15 III 0 1 0 0 5/9 —10/9 16/9 10/3 0 0 1 0 16/9 —5/9 26/9 46/9 0 0 0 1 —13/18 17/18 -1/9 10/9 1 0 0 0 — 11/3 — 11/3 14/3 —5/3 После III итерации система уравнений оказалась разрешен- ной относительно переменных х1э х2 и х3. Одновременно эти перемен- ные исключены из линейной функции г. Теперь, используя условия неотрицательности указанных переменных, можно каждое из полу- ченных уравнений заменить соответствующим ему неравенством. Так, вместо 1-го уравнения Xi-1-5/9 х4—10/9 х6=16/9 после отбрасывания неотрицательной переменной Xj Э: 0 получим неравенство 5/9 х4 — 10/9 х5 •< 16/9. Аналогично преобразуются и все остальные уравнения. В результате приходим к искомой форме задачи линейного программирования: найти максимум z= 11/3 х4-|- 11/3 х5+14/3 39
при условиях: 5х4—10х6 16 л 16х4— 5х5г£26 1 x43s0, х6Э=0. — 13х4-|-17хБ^—2 J В данной модели фигурируют только две переменные х4 и х5, которые после приведения исходной системы к единичному базису оказались в ней свободными. Следовательно, решив задачу в послед- ней ее формулировке и найдя оптимальные значения xj и х*, мы этим самым однозначно определим значения остальных переменных (х% х^, х^), т. е. найдем оптимальное решение задачи Хопт = (х*, х*, х*. х*, х*). В этом смысле и говорят, что последняя модель эк- вивалентна исходной. Заметим, что до приведения к единичному базису нельзя было провести аналогичные преобразования системы, так как, отбрасывая, например, в исходной системе переменную х4, мы по-разному меняем левые части 1, 2 и 3-го уравнений (1-е умень- шаем на х, 2-е — на 2х4 и 3-е увеличиваем на х4), что не могло быть отражено в соответствующих неравенствах. Примечание. Изложенный способ перехода от ограниче- ний в форме уравнений к эквивалентной системе неравенств оказы- вается рациональным, так как уменьшает число переменных («раз- мерность») задачи. Однако он требует дополнительных расчетов, связанных с приведением системы уравнений к единичному базису. Существует и другой способ, не требующий дополнительных расче- тов, хотя и сохраняющий размерность задачи, но увеличивающий число ограничений. Он основан на том, что всякое уравнение вида п 2 Okxk = b равносильно двум неравенствам У а^х^ b и А=1 ^ahxk^b. 46. Следующие системы ограничений привести к эк- вивалентной системе уравнений: 1) 2хх — х2 ' — Зх4 4- х5 = 5 хх4-2х2 — х3 — Зх5<4 Зх2 4" 2х3 4- х^ 2 2) хх4-3х2- х34- х5^3 — 2хх 4- Зх3 4- х4 — 2л3 1 Зх, — 4х2 4- -^з 4- 2х4 4" Зх3 = 5 3) хх — 2х2 4- Зх3 4- х5 = 5 2хх4- х2 — х34-4х4 ===6 ; Зх2 4- 2х3 4" л4 4~ Х5 8 . 4) — 4хх 4~ Зх2 — 2х3 4" х4 8 х4 — 2х2 4- Зх3 — 4х4 2г 1 3Xj 4~ х2 — 2х3 4~ х5 — 3 40
47. Привести к канонической форме следующие за- дачи линейного программирования: 1) z = хг — х2 + Зх3 (min), 2х,— x24-3x3«s5 *1 4~ 2х3 = 8 , — х4 — 2х, 2- 1 . хг 2s 0, х2 2s О, х3 2s 0; 2) г = 2хг -f- х2 — х3 (шах), лу — 2х2 4- х32= 4 xi + х-2 ~ Зхя =2 9 , хг Зх, 4- 2х3 = 10 . х42=0, х32*0; 3) 2 = 2хх— х24~Зх34~ хл — 2х5 (min), Xj 4- 2х2 — х3 — 2х4 4~ хв = 5 | — 2х24~4ха4- xt 4 ) х22&0, x32s0, x52s0; 4) 2— х14-2х24~Зх34~2х44~*5 (max), — 3xj 4~ х2 4~ 4х3 — 2х4 2s 6 I х4 — 2х2 4-Зх3 4- х44-х5 = 2 I Xj SsO, x32s0, х42=0, X6 2s0. 48. Привести к системе неравенств следующие огра- ничительные условия: 1) хх — 2х24-х3 = 5 1 2х14~Зх2 4~х4= '0 J x42s0, x22s0, х32а0, x42s0; 2) х4 —2х24- х34-х4= 5 1 2х4 4~ 4“ Зх3 — х4 =10) Xi^O, х2^0, xa2s0, х42а0. 49. Привести к стандартной модели следующие за- дачи линейного программирования: 1) z = xx4- х2 — 2х84-*4 (max), *1+ *2+ х3 —х4 = 6 1 2хг —Зх24-2х3 =4 J хх2=0, ..., x42s0; 41
2) 2 = хг- х2 +3*1+ х5 (min), 2%i — х2 — Зха + х4 — х5 = 4 х4 4* 2х2 Зх3 4~ Зх4 х5 — 15 , 2x'j — 2х2 — х3 4- 2х5 = 8 . Xj S=s 0, .... х8 2= О; 3) z = x1-2x24-2x34- х4 + 2х5 (max), — х2 4- 2х3 — Зх4 4- х5 = — 2 — х4 4~ 2ха — х3 4~ 2х4 = 3 , 2х14~Зх2 4-^4 — х5 — 6 х4 2= О, ..., х5 2s О; 4) 2 = 3xj4-x2 4-х4—х5 (min), 2х4 —х2 4-х4 —х5 = 9 4х2 —х2 —х3 —х5 = 4 , Xj—х2 —х3 —х5 = 6. Xi >= О, ..., х5 2s О. 50. Задачи 49 (1—4) привести к стандартной модели, используя второй способ преобразования. § 2 ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ 51. Построить область решений системы неравенств — х4 4- 2ха С 6 9х4 4- 4х2 С 56 . Зх4 4“ 5х2 2-- 4 . Решение. Областью решения линейного неравенства с двумя переменными является полуплоскость, лежащая по одну сторону от граничной прямой; уравнение этой прямой получается, если заме- нить знак неравенства на знак равенства. Таким образом, для дан- ной системы неравенств получим уравнения трех граничных прямых (1), (2) и (3) (рис. 3). Для того чтобы определить расположение соот- ветствующей полуплоскости относительно граничной прямой, под- ставляем координаты какой-либо точки (в качестве ее проще всего взять начало координат) в левую часть неравенства. Так, например, при подстановке значений xt = 0 и х2 = 0 в первое неравенство по- лучаем 0 6; следовательно, область решений этого неравенства включает начало координат. Аналогично обстоит дело и со вторым неравенством. Третьему же неравенству координаты начала не удо- 42
влетворяют (0 < 4), следовательно, соответствующая полуплоскость располагается по отношению к граничной прямой рону, нежели начало координат. Расположение плоскостей показано на рис. 3 штри- хами. Очевидно, областью решения системы трех неравенств служит тре- угольник, ограниченный данными тремя граничными прямыми, с вер- шинами, являющимися точками пе- ресечения этих прямых. Для нахо- ждения их координат нужно решить совместно соответствующие па уравнений. В результате пай три вершины: F (—2: 2); С (4; 5) и Q (8; -4). Замечание. Если гранич- ная прямая проходит через начало координат, то вместо точки О (0; 0) необходимо испытать какую-либо другую точку. (3) по другую сто- указанных полу- х1, РИС. 3 О м 52. Построить область допустимых решений системы неравенств, указанных в задаче 51. Решение. Допустимыми называются решения, в которых значения всех переменных не отрицательны, иными словами, кото- рые кроме указанных неравенств, удовлетворяют дополнительно условиям X! 2:0 и /2 > 0. Для определения области допустимых решений необходимо, кроме упомянутых выше трех граничных прямых, учесть еще две гра- ничные прямые Х) = 0и х2 = 0. Соответствующие им полуплоскости лежат с п р а в а от оси ординат и н а д осью абсцисс. Иными сло- вами, из предыдущей области (треугольника) выделяется ее часть, расположенная в I квадранте (рис. 3). Ее полностью определяют пять вершин: А (0; 4/5;, В (0; 3), С (4; 5), D (56/9; 0), £ (4,3; 0). 53. Построить область допустимых решений системы уравнений — 2х1 + х2 + *з+ **+ *5— хв = 9 ^Х1 + хз + =3 3xj 4-2х4 — Зх5— х6= 5 Xi + *2 +3х5 —2х6 = —1 где X] 0, ..., х6 0. Решение. В данной системе 6 переменных. Поэтому, оче- видно, речь может идти о построении области допустимых значений свободных переменных (которых здесь оказывается две), опреде- ляющих допустимые (т. е. неотрицательные) решения системы. Поэтому начинаем прежде всего с приведения системы к единичному базису. После трех итераций метода последовательного исключения получим систему уравнений 43
*1 +•*«—2х6 =4 —3*i + *з 4- xt = 3 — *i — *в 4~ *e = 3 — *х+хг 4* xs ~ 5 разрешенную относительно неотрицательных базисных переменных *4, *з> *в- *2- Отбрасывая нх, придем к эквивалентной системе нера- венств относительно двух сво- бодных переменных хх и xs: *i—2xss£4, —*i—*5^3, —3*t+*s==j3, —*i+*a^5, *12г О, х5 2= 0. Область допустимых решений этой системы неравенств, по- строенная в плоскости х1О*5 (рис. 4), служит одновременно областью допустимых значе- нии свободных переменных исходной системы уравнений. Так как любая пара сво- бодных переменных однознач- но определяет решение си- рИв. 4 стемы.топостроеннуюобласть называют также областью допустимых решений системы уравнений. Построенная на рис. 4 область с вершинами А (1; 6), В (0; 3), О (0; 0) и С (4; 0) оказалась неограниченной. 54. Построить области решений следующих систем неравенств: 2) — хх 4~ 2х2 '5 4 1) -Х1+ х2==г 2| 5xi4-2x2S==10 5х! + 2х2^10 ; 4Х1_зХа<12 : 5xi - 2х2 10 J 7Х1 _|_ 4Хг 28 3) хх + 2х2^— 1 5xi 4* 2*2 Ю. 4хх — Зх2==< 12 . Xi >=0, х2^=0. 55. Построить области допустимых решений следую- щих систем уравнений (все х,-2г0): 1) хх 4~ 2х2 И- Зхз — Х4 = 20 Хх 4“ *з 4" 4*4 = 8 ; Xi 4-*5= 2 44
2) 2xx — 3x2+ x3 —2x4 = 2 1. X4 A2 — 2x3 — 3x4 — 3 j 3) Xi — 2x3 + x4 = 4 1. 4) Xi + x3 = 8 1 *2+ a-3 + x4 = 5 J x2 + 2x3 = 4 J 56. Построить области допустимых решений следую- 2) — Xi + 2x2«S 4 2xj— х2 =g 6 , Зх! + 8х2 = 24 . Xj^O, x2SsO; 3) 2хх — x2-J-x3 = 6 хх 2х2-(-х3=3 , х, + х2 = ; 8 . X]2s0, Х25'0, Хз^гО. щих смешанных систем: 1) хх — а 2 3--'— 3 I 6хх + 7х2 42 I 2хх — Зх2 6 Х1+ х2 = 4 х25э0; 57. Записать систему неравенств по области ее до- пустимых решений, изображенной на рис. 5. Решение. Задача является в какой-то мере обратной преды- дущим. Запишем сначала уравнения граничных прямых, как прямых, проходящих через две точки. Так, например, для прямой АВ х>—2 х,— 1 получим -е—и'='Н—г. или, после о — Z Z — 1 РИС. 5 упрощений, Зхх — х2 = I. Аналогич- но получим уравнения остальных прямых. Полуплоскость, определяе- мая граничной прямой А В, должна включать весь четырехугольник A BCD, следовательно, и точки С и D. Подставив в уравнение прямой АВ координаты одной из них, на- пример С,получим3-8—7= 17 >1. Следовательно, неравенство, которое определяет полуплоскость, включающую точку С, имеет вид Зхх — х2 ;> I. Аналогичным образом найдем остальные три неравенства. Окончательно получим следующую систему неравенств: Зхх — х2 1 -— х х -|- Зх2 s'; 13 2X1 — х2 s': 9 Xi+4x2^ 9 45
58. Записать с помощью неравенств области, пред- ставляющие собой в плоскости x/)x2 многоугольники со следующими вершинами: 1) А (1; 8), В (5; 2), С (6; 6); 2) И (1; 4), В (4; 1), С (8; 2), D (6; 9), Е (1; 8); 3) А (2; 6), В (6; 9), С (9; 3), D (5; —3); 4) А (0; 4), В (4; 4), С (3; 0), D (1; 0), Е (0; 2). 59. Решить графически следующую задачу линей- ного программирования: z=-4x1 + 2xi (max) при условиях 2^4-3x2^18, — Ху + Зх2 ==£ 9, 2xt— х2-С10, х, 3s 0, х2 0. Решение. Прежде всего построим область допустимых ре- шений системы неравенств так, как это было сделано в задаче 51. В да ином случае пол учаем выпуклый пятиугольник (рис. 6). Далее в той же системе коорди- нат построим вектор С = (4, 2), нормальный к линиям уровня 4xj 4- + 2х, = г. Прямая, проходящая через на- чало координат перпендикулярно вектору С, представляет собой ли- нию уровня, соответствующую зна- чению 2 = 0. Перемещая эту прямую параллельно самой себе в направ- лении вектора С до тех пор, пока она будет сохранять общие точки с об- ластью допустимых решений, най- дем, что в крайнем возможном положении линия уровня пройдет через точку Хопт. Этому положению линии уровня и соответствует г=2тах. Для нахождения координат точки X0I1T необходимо совме- стно решить систему уравнений граничных прямых 2х1+3х» = 18 1 2xi— х2 = 10 J В результате получим искомое оптимальное решение *опт = (6, 2). Подставляя значения х* =6 и xf = 2 в функцию г, найдем zmax= 28. 60. Решить графически следующую задачу линей- ного программирования: z = 2x1 + 4x2 (max) при условиях Зх14-2х2«С 11, —2х1+х2^2, хг — Зх2с0, Xi 0, х2 0. РИС. 6 46
Решение. Первый этап — построение области допустимых решений — выполняется как и в предыдущей задаче. В результате получаем неограниченную многоугольную область, показанную на рис. 7. На втором этапе реше- ния при параллельном переме- щении линии уровня устанавли- ваем, что такое перемещение мож- но производить неограниченно. Следовательно, функция z нео- граничена сверху, т. е. zmax->-oo. В таком случае говорят, что за- дача линейного программирова- ния не имеет решения из-за неограниченности целевой функ- ции. Заметим, что если при тех же исходных данных задачи требова- лось бы функцию z минимизиро- вать, то получили быоптимальиое решение задачи в точке D (3; 1). РИС. 7 61. Решить графически задачу линейного программи- рования, заданную в канонической форме: 2 = х4 — Зх2 — х3 — х4 — хв + 88 (шах) при условиях — 2xj ~Ь хз — 2 — х4 -J- 5хо "р х4 - 87 5xi-Р х2 -Рх6 =49 3X1 —4х2 +*в =Н 3xi-P4x2 — х7=19 Xi^sO, х2Э=0, ..., х7^0. Решение. В отличие от предыдущих задач система огра- ничений задана не в форме неравенств, а в виде системы пяти урав- нений. Поэтому нужно прежде всего перейти от канонической к стандартной модели. Такое преобразование уже выполнялось в задаче 45. Отбрасывая в уравнениях базисные переменные х3, х4, х5, хв и х,, перейдем таким путем к системе пяти неравенств, ко- торым должны удовлетворять свободные переменные исходной за- дачи (Xj и х2). Воспользовавшись теми же пятью равенствами, исклю- чим базисные переменные также из выражения для функции г. В результате этих несложных преобразований придем к следующей 47
задаче, содержащей только две переменные х, и X»: 2 = 3х1 4-4л2 (max), 2Xj -J- -^2 —— х l —j— 5х2 ' 37 5xj + х2 49 Зх, — 4х2 S 11 Зхх-|-4х2Э= 19 х( 5= О, х2 0. прямых ВХот и ПА'О1|Т. ствующее неравенство обращается в На рис. 8 показано графическое решение этой задачи. Опти- мальное решение совпадает с точкой А^т, лежащей на пересечении Вдоль каждой граничной прямой соответ- равенство, поэтому отброшен- ная при образовании этого неравенства базисная пере- менная равна нулю. Таким образом, в каждой из вершин области по крайней мере две переменные исходной задачи принимают нулевыезначения. Так, в точке А'опт имеем х* = = 0 и x*J = 0. Подставляя эти значения во 2-е и 3-е исход- ные уравнения и решая сов- местно полученную систему двух уравнений (уравнений граничных прямых ВА'ОПТ и ОА^пт). получим х|- = 8 и xf = 9. Наконец, подставляя найденные значения х:\ и xf в 1, 4 и 5-е исходные урав- нения, определим значения остальных трех переменных задачи: xf = 9, х| = 23 и xt = 41. Таким образом, оптимальное решение задачи А'опт = (8, 9, 9, 0, 23, 41). Соответствующее значение функции г есть zmax = 62. В условиях задачи 61 найти минимум г. Решение. Очевидно, что весь ход рассуждений, приведший к рис. 8, сохранится. При параллельном перемещении линии уровня в направлении, противоположном вектору С, придем к выводу, что в крайнем положении (при котором z= zmjr)) она проходит через сторону многоугольника АЕ. Поэтому в отличие от рассмотренной выше задачи, здесь оптимальное решение будет достигаться в любой точке отрезка АЕ, в том числе и в его крайних точках А и Е. Такой случай получил название альтернативного оптимума. Так как весь отрезок однозначно определяется заданием своих крайних точек, то для полного описания всего множества оптималь- ных решений достаточно определить решения А'' и X", соответствую- 48
Щие вершинам А и Е. Для решения X' имеем х* = 0 и xf = О (см. рис. 8). Решая совместно 1-е и 5-е уравнения, найдем xf = I и х$ = 4. Наконец, из 2, 3 и 4-го уравнений находим: х* = 18, х% = 40 и х% = 24. Аналогично определяется второе оптимальное решение, соответствующее точке Е: X" = (5, 1, И, 37, 23, О, 0). Пользуясь уравнением отрезка, соединяющего точки X' и X", в виде X = tX' + (1 — f)X", где 0 t sg 1, и подставив в это уравнение найденные два оптимальные решения, получим формулу для определения любого оптимального решения задачи (общее реше- ние) Х = /(1, 4, 0, 18, 40, 24, 0)+(1 - 0(5, 1, 11, 37, 23, 0, 0) или после выполнения указанных действий над векторами Хопт = (5—4/, 1+30 11-11/, 37—19/, 23+17/, 24/, 0), 0==C/sgl. Придавая параметру / любые числовые значения от 0 до 1, будем получать различные оптимальные решения задачи, при любом из которых Общие указания к графическому решению задач линейного программирования а) Графически могут решаться: 1) задачи, заданные в стандарт- ной форме, содержащие не более двух переменных; 2) задачи, заданные в канонической форме с числом свободных переменных п.— г =g 2; 3) задачи общего вида, которые после приведения к канонической форме будут содержать не более двух свободных пере- менных. б) Основной формой для графического решения является 1-й тип задач. Поэтому, если встречается 2-й или 3-й тип задач, то предварительно их модель должна быть приведена к 1-му типу. в) Решение задачи 1-го типа выполняется в два этапа: построе- ние области допустимых решений и нахождение в этой области опти- мального решения. г) При построении области допустимых решений может встре- титься один из следующих трех случаев: I — пустая область, II — выпуклый многоугольник и III—неограниченная выпуклая мно- гоугольная область. В I случае задача не имеет решения из-за несовместности си- стемы ограничений в области допустимых решений; во II случае задача всегда имеет оптимальное решение; в III случае, в зависи- мости от направления вектора С (от коэффициентов функции г), задача может иметь или не иметь решения. Последнее связано с не- ограниченным возрастанием (zmax->o°) или убыванием (zmin -> оо) функции z в области допустимых решений. д) Задача может иметь единственное оптимальное решение, совпадающее с одной из вершин области, и бесчисленное множество решений (альтернативный оптимум). 49
е) В случае альтернативного оптимума и ограниченной области оптимальные решения соответствуют всем точкам отрезка, соеди- няющего две вершины области. В таком случае следует найти общее оптимальное решение, как это было сделано в конце задачи 62. В случае неограниченной области может оказаться, что среди множе- ства оптимальных решений только одно совпадает с вершиной области (точка Х'пт на рис. 9). Тогда на РИС. 9 «оптимальной» граничной прямой находят еще одно оптимальное ре- шение Х"пт и далее общее опти- мальное решение представляют фор- мулой, аналогичной формуле отрез- ка, но с параметром t, меняющимся от 0 до оо; хопт = (1 — 0 ^опт + ^опт. где 0 sg / sg оо. 63. Решить графически следующие задачи линейного прогр аммирования: ,1) z = лу —2а2 (min), Xl—x2=sgl *14~ *2 2 , X] — 2х2 '' О ATSsO, x2S^0; 2) z = 5x14-3x2 (max), Злу + 5х2 sg 15 1 5х1 + 2х2 <; 10 J луЭгО, a23=0; 3) z = x1 + 3x2 (max), Xi — x2< 1 2x14-x2sg2 , Xi — x^O Xi Ss 0; x2 Sa 0; 4) z = 2xt + 3x2 (max) Злу 4- 2x2 -C 6 1 JrX2S= 1 J xyS^O, x23s0; 5) 2 = 2x1 + 3x2(min), Зх1 + 2л-2Э=6 1 Xi -|- 4x2 зз 4 J x15s0, x2S&0; 6) z = x14-x2 (max), Xi 4- 2x2 «g 10 Xi + 2x2 2 2xj + x2 10 XjgaO, x25s0; 7) z = 4x1 — 2x2 + xa — xi (max), Xi — x2 4- 4x3 — 2x4 = 2 3x4 4- 2x2 — xa 4- 4x4 = 3 Xi^0 (i=l, .... 4); 50
8) z = x1-f-2x2 +x3 — x4 — 6 (min), — x1 + 5r24--r3 +*4 + *5 = 10 2x4 — x2 + x3 — 3x4 = 6 10x24- *3 4- 2x4 4~ 3xg = 25 Xi^0 (i = 1, 5); 9) z = — 4x1 + 3x2 + xi — x5 (max), 2x4 — x2 — x3 - 1 x4 — 3x2 — x4 =—13 4х! + х2 +*5 = 26 x4 3x2 “|“ x4 — 0 Xi^O (i=l, ..., 6); 10) z = — 3x1 + 2x2 — 3x4 — xs (max), Злу — 2x2 x3 4— x4 == 2 4x4 — x2 x4 4- =21 4x! — x2 —x4 + x6 =13 x4-}-x2 Xg = 3 x.^0 (i=l, 2, ..., 6); 11) z = x1 — x2 (max), 4x1 — 3x2 — x3 + x4 + x5 =6 *i4-4x2 + -r3 4-xs=15 , 2x4 — 4x2 — x3 4- x4 = — 3 Xi^O (i= 1, .... 5); 12) z = 4-3x2 (max), 2*i— x2 4-*б4-*в= 1° 2x4 4~ 2x2 4- -V4 4- = 25 2*! — 3x2 — x3 4-x5 =— 9 ’ 6x2 4~ x3 4“ -^*4 == 36 x.SsO (i= 1, .... 6). 64. В следующих задачах целевая функция содержит параметр X. Определить промежутки значений X, при которых оптимальное решение будет совпадать с одной и той же угловой точкой области допустимых решений. В каких промежутках задача не имеет решения? При 51
каких значениях 1 будет бесчисленное множество ре- шений? 1) 2 = 2х1Н-1х2 (max), — === з Хх 4- 2х2 ==£ 12 , Зх4 х2 15 XjSsO, x2SsO; 2) 2 = 2х14-х2 + ^х3 (max), — + 2х2 х3 =3 3Xi-|-2x2 +х4 =27 , -Ч-Х2 +*6 = 4 XjSsO, .... х6^0; 3) 2 = — + (шах), — Xi+ x2s=£2 | х4 — 2х2 ’ 3 J a^SsO, х22э0. 65. Привести графическую интерпретацию и составить на основании чертежей стандартную модель задач, обла- дающих следующими свойствами: 1) имеется единственное оптимальное решение для Zmax И 2т,п; 2) 2тах достигается в бесчисленном множестве точек, Zmin — в единственной точке; 3) 2max -> со, zmin достигается в единственной точке; 4) 2тах -* 00 И 2min -* —ОО; 5) решения нет из-за пустой области допустимых ре- шений; 6) zmin достигается в бесчисленном множестве точек, из которых только одна соответствует опорному ре- шению. Указание. Во всех задачах 1—6 необходимо предусмотреть не менее трех ограничений. 66. В следующих задачах ограничения включают параметр 1. Определить, при каких значениях этого параметра задачи будут разрешимыми и неразреши- мыми. 52
1) z = 2xx + x2 (max), 2) z = Xi+2x2 (max), хг — 2x2 sg 4 Xl- 1X1 + Xx^O, X2S<6 x2' 3 x2SsO; 2xi Ч- Ч’а 2^ 9 Xi — Зх2 -С 1 Xxi— x2<: —2 Xi^O, x2 Sa-0; 3) z = Xi + 2x2 —3x3 (min), *i+ x2 —x3= Г | 2xi + ^хз + хз — 2 / * x3SsO. § 3. ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ. ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ «-МЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА 67. Определить и изобразить графически области, заданные следующими условиями: 1) х! + х!^1) (Х1 - 1 )2 + х! 1 Г 3) ХхХ2 2^ 1 | x'l + Х2 «С 16 J ’ 2) Xf + Зх^б) XjSsO, х2Э?0 J’ 4) х? + хЬс16 1 xt + xlSsl J’ 68. Определить, являются ли ограниченными области решений следующих систем неравенств, и установить характер ограниченности: 1) — 3xi + бх2 -С 10 ) 2) — хх + х2 < 2 ) 5xi + 2x2=c35 /’ 5хх —x2scl0j’ Xi^sO, х2ЭгО; 3) 3xi — x2s<4 ) — Xi + 3x22s4 J’ Решение. Области решений данных трех систем показаны на рис. 10. Как видно из рисунка, область решений системы 1) огра- ничена. Этот вывод можно сделать и на основании самой системы. Действительно, из 2, 3 и 4-го неравенств системы следует, что каждая из переменных хх и х2 снизу ограничена числом 0, а сверху по край- ней мере числом 35. Область решений системы 2) ограничена сверху. Это можно было бы заключить из самой системы неравенств после их неслож- 53
ных преобразований. Сложив оба неравенства, получим 4jq sg 12, откуда следует ограниченность переменной Xj. Так как из 1-го не- равенства х2 g; 2 + Xi, то отсюда следует, что и вторая переменная рис. ю ограничена. Как видно из рисунка, рассматриваемая область не ог- раничена снизу. Наконец, область решений системы 3) ограничена снизу, но не ограничена сверху. Действительно, умножив 2-е неравенство на 3 и сложив оба неравенства, получим 8х2 16, откуда следует х2 2. Но из 1-го неравенства 3Xj >- 4 + х2, откуда хг 2. Таким обра- зом, обе переменные ограничены снизу. 69. Определить, какие из точек А, В, С, D, Е, пока- занных на рис. 10, внутренние, какие граничные и какие угловые? 70. Как изменить исходные неравенства в задаче 68, чтобы изображенные на рис. 10 области их решения ока- зались: открытыми? ограниченными? Указание. Область называется открытой, если она со- держит только внутренние точки. 71. Используя теорему о представлении., выразить точку X = (6, 3) через вершины области решений сле- дующей системы неравенств: — + 7х2-С 13 Gxj — х.2 - 47 х2 -|- Зх2 Sal 1 Решение. Область решений этой системы представляет собой треугольник с вершинами А', =(2, 3), Л'2 = (9, 7), А'Г|=-(8, 1). Согласно теореме о представлении выпуклого многогранника, можно записать _ _ _ А =/1Х1-|-/2А2-|-/аАз, где 4 + t2 + i3 = 1 и все 4 0. Подставляя в это равенство выражения для векторов, выполнив указанные действия и переходя к соответствующим равенствам между координатами векторов, получим два уравнения для опре- 54
деления неизвестных коэффициентов: 24+9/2 + 8/3 = 6 I 36. -ф 7/2 -ф £3 = 3 / Добавив к ним уравнение ti 4~ ^2 4“ — 1 • получим систему трех уравнений с тремя неизвестными. Решив эту систему, получим 6=7/19, /2 = 4/19, ta — 8/19. Все эти коэффициенты удовлетворяют второму условию выпуклости (6 0)- Поэтому искомое представление запишется в виде Х=1/19(7Хг4-4Ха4-8^3). 72. Определить, какие из следующих областей яв- ляются ограниченными, установить характер ограни- ченности и, используя теорему о представлении, записать формулу для любой точки X ограниченной области и для данной точки Х4 = (6, 5). 1) — 6хх 4~ 7х2 -С 26 2) — Xj 4- 2х2 -С 6 3xj + 4х2 47 5л4 — 2х2 26 хг — х2 -С 4 j ’ хг 4- 2х2 4s Ю Xi 4- х2 0 j 3) 5Х] — 2х2 5г 7 4) 5*! — Зх2 5s 4 | 5л4 — 2х2 -4 36 ; х2152 J ’ 2-5 х^7 . 5) -Зх14-4х2^61 6) -Зх14-4х2<12 Xj 6 J Зх^ Х2 — 6 3xj 4- 2х2 -4 — 1 73. Найти уравнение гиперплоскости, нормальной к вектору С = (2, 5, —3, 4) и проходящей через точку а = (0, 3, 1, 2). Решение. Уравнение гиперплоскости имеет вид СХ — а^. Поскольку гиперплоскость проходит через точку а, вектор а дол- жен удовлетворять уравнению гиперплоскости, т. е. Сй = аа. Вычи- тая почленно данное равенство из предыдущего, получим С(Х—а) = 0. Это и есть искомое уравнение гиперплоскости. Раскрывая скаляр- ное произведение векторов, получим уравнение в координатной форме 2 (Xi-0) 4-5 (х2-3)-3 (х3- 1)4-4 (х4 - 2)=0. 65
74. Найтиуравнения гиперплоскостей, проходящих через точки Хг = (2, 1, 0, 5), Х2 = (0, 4, 1,2), Х3 = = (3, 0, 2, 0) и перпендикулярных вектору С = (2, О, 5, 1). 75. Найти угловые точки области допустимых реше- ний следующих систем уравнений и записать в общем виде любое допустимое их решение: 1) х14-2х24-х34-Зх44-*6 = 5 | 2хг 4-х3 — 2х, =3 J' X/ Ss 0 (i = 1, ... 5); 2) Xi + *2— х3 = Ю 1 х4 — х% 7х3 = 7 ) x^s-О, х, ДйО, ха Э=0; 3) 4хг + 5х2 + *з + х4 = 29 1 6х4 — х2 — х3 + х4 = 11 ) х,>0 (i = l, ..., 4); 4) х1-|-2х2+ xs = i | 2хг + 2х2 4- 5х3 = 5 у Xi^O, x25s0, ха йа-0. Указание. Первая часть задачи решается на основании теоремы о соответствии угловых точек опорным решениям. При решении второй части задачи используется теорема о представле- нии ограниченной области допустимых решений, для чего необ- ходимо предварительно убедиться в ограниченности области. 76. Доказать, что для системы уравнений — 5хх + 6х2 4- х3 — х4 = 6 1 Xi — Зх2 4-х4 = б/’ x13s0, x22s0, х3ДйО, x4js=0 область допустимых решений является неограниченной. Превратить ее в ограниченную область путем введения дополнительного ограничения и определить угловые точки образованного таким путем многогранника. Решение. Для доказательства неограниченности области до- пустимых решений систему необходимо последовательно приводить к опорным решениям, пока на какой-то итерации не окажется столбец с неположительными элементами. Это и будет свидетель- ствовать о неограниченности области. Если при переборе всех опор- ных решений системы такого столбца не окажется, то область огра- ниченная. Так, разрешив данную систему относительно xs и х4, 56
получим - 4xj -j- Зх2 —12 1 x^ — 3x2 —1“ X^ ==:= 6 j (A) и опорное решение Xo = (0, 0, 12, 6). Здесь не оказалось столбца с неположительными элементами. Поэтому продолжим симплексные преобразования системы (см. § 4 гл. I). Вводя в базис вместо х4, получим — 9х2 4- х3 + 4х4 = 36 1 Х4 — Зх2 -|“ я4 — 6 J (Б) и опорное решение = (6, 0, 36, 0). В этой системе 2-й столбец состоит только из отрицательных элементов. Следовательно, область допустимых решений неограни- ченная. Действительно, придавая свободной переменной х2 в си- стеме (Б) сколь угодно большие значения (х2 -> оо), мы будем полу- чать неотрицательные значения хг и х3. О неограниченности области допустимых решений можно судить и из рис. 11, на котором изображена область допустимых значений свободных переменных xt и х2 для системы (А). Для образования ограниченной области необходимо ввести допол- нительное ограничение вида xt + -|- ха + х3 + хг -g; М в исходную систему илн аналогичное ограниче- ние на свободные переменные в си- стемах (А) или (Б). Так, добавив к системе (А) ограничение л1 + х2^ А1 илих1+х2+^5 = А1, (В) получим систему трех уравнений с пятью переменными. Дополнитель- рис. п ное ограничение (В) как бы отсекает от неограниченной области (см. рис. 11) пятиугольник ABCDO с дополнительными двумя угло- выми точками С и В, которым отвечают опорные решения М— 6 90-J-9A4 . ---;-, ——л-----’> °. 0 « 4 ’ 4 / 12+4А4 90+9М Л 77. Доказать неограниченность области допустимых решений следующих систем уравнений, превратить эти области в многогранники и определить их угловые точки: 1) 2хг — х.,— Зх34-х4 = 8 1 -2х2 + х3 = 2 J’ xzSsO (i= 1, .... 4); 57
2) лу + х3 — 2х4 + х5 — 6 | х2 — 2х3 — х4 — 2х5 = О /' x;5sO (t = l, ..., 5); 3) — 2х24- х3 +Зх5 = 24| Xi— х2 + 2х3 + х4 = 5 /’ X/ О (i = 1, .... 5); 4) 4х4 — х-2 х3 =8 2х4 4“ Зх2 —х4 = 13 хг —2х2 4~х5=3. xz=sO (i=l, .... 5). 78. В следующих задачах линейного программирова- ния с ограниченной областью допустимых решений найти оптимальное решение, опираясь только на фундамен- тальную теорему: 1) z = х4 — 2х2 4- х3 -j- Зх5 (max), х4 4- 2х2 4- х3 4- Зх4 4- х5 = 5 2хх 4- х3 — 2х4 =3 Xi 0 (t=l, ..., 5); 2) 2 = 4X1— х24-2х34-х5 (min), 3X1— х2 4~ 2х3 4~ х4 4~ х5 = 12 Xi — 5х2 — х4 4- Хг. = — 4 х^О (z = l, .... 5); 3) z = Xj — 2х2 4-4х4 —х5 (max), 5xi 4-2х2 — х3 4- х44-х5 = 42 4X1 —4х24-х34- xi =16 * 4xi Ч" х44-х5 = 32. xz-=sO (/ = 1, ..., 5); 4) 2 = Х1 —2х24-х3 — х5(тах), хг — Зх2 4- х3 4- 2х5 = 8 | 4х2 4~Зх4— х5 = 3 J’ xz2s0 (z = 1, ..., 5).
ГЛАВА IV Симплексный метод 79- На некотором этапе расчетов симплексным мето- дом получена следующая таблица: ci Баз. перем. -1 —2 2 3 aio Xi Х2 Ха х4 *6 хе Xi Хй Xq *10 *1 *з Хц 12 5 20 10 24 1 1 1 1 1 2 1 2 1 —2 —1 2 —1 2 1 1 9 1 в —2 —2 —2 1 2 4 2 2 —3 1. Проверить правильность расчетов с помощью од- ного из методов контроля. 2. Записать условия задачи аналитически. 3. Определить особенность следующего опорного ре- шения при указанном выборе разрешающего столбца, не проводя очередной итерации. 4. Выполнить очередную итерацию, выбрав разре- шающий столбец из условия наибольшего увеличения функции z. Решение. 1. Контроль правильности расчетов произво- дится с помощью сравнения элементов индексной строки с резуль- татом расчетов по формуле У ciaik ck~ i В данном случае имеем сг = 0 (при i = 1, ..., 5), поэтому У ciaik ck~ ck‘ i Б9
. При k = 6, 7, 9 и 10 получаем — с6 = —(—4) = 4, —с, = = — (—2) = 2, —св = —2 и —с10 = —3, что совпадает с соответст- вующими элементами индексной строки. 2. 1-я строка таблицы соответствует уравнению *i + 2xe — *? + *8= 12. Аналогично записываются остальные уравнения. Из индексной строки получаем выражение для целевой функции z=— 4jc8—2х, + 2х6 + Зх10 (max). Так как в таблице выделенный разрешающий столбец имеет отрицательный элемент в индексной строке (ам = —2), то функция 2 максимизировалась. 3. В данной таблице а20 : а2в = 5 и а40 : а49 = 5, следовательно, в следующей таблице окажется вырожденное опорное решение. При этом нулевое значение примет базисная переменная, нахо- дящаяся в строке, которой соответствует отношение такое же, как в разрешающей строке (т. е. х% = 0). 4. Из формулы Дг =—аор— заключаем, что большее изме- а9Р нение функции г произойдет, если выбрать в качестве разрешающего 10-й столбец [Да = — (—3) 24/1 = 72 вместо Да = — (—2) 10/2 = , = 10]. 80. По нижеприведенной симплексной таблице опре- делить: 1) оптимальное решение и zmax‘, 2) на сколько изменится функция z при увеличении на 5 единиц? • 3) исходное выражение для целевой функции; 4) является ли область допустимых решений огра- ниченной? 5) существует ли минимум функции z? Баз. перем. 30 -2 -3 2 3 а/о *2 *3 Xi ХЪ хе х1 Хч X; Хю 2 3 12 5 124 140 58 1 3 6 2 1 4 2 2 1 1 2 2 1 2 1 8 11 4 —1 —3 —3 1 1 1 Z 154 6 8 3 16 3 2 3 60
81. Дана следующая симплексная таблица: с- Баз. перем. I 2 2 1 “io *1 *2 *3 1 2 2 3 2 2 1 1 1 — Ю 1 Z 8 5 —6 1. Построить математическую модель задачи. 2. Решить задачу минимизации функции z и сопоста- вить это решение с графическим решением. 3. Объяснить алгебраически свойство неограничен- ности области допустимых решений и неограниченность функции z сверху. 82. Симплексная таблица для задачи максимиза- ции функции имеет следующий вид: Сг Баз. перем. 5 2 -1 3 aio Xi Х2 ха х4 Х6 2 2 1 4 1 —1 8 16 1 —2 3 5 1 —9 —8 1 Решить задачу симплексным методом и графически и объяснить особенности данной задачи. 83. Заполнить недостающие элементы следующей сим- плексной таблицы и закончить решение задачи на макси- мум функции z. Дать геометрическую интерпретацию решения задачи и объяснить ее особенности. 61
С‘ xi aio 1 -3 е 2 Xt Х2 Х3 Xf. ХЪ 1 12 2 4 1 1 1 —2 3 —1 1 1 2 84. Задача максимизации г решалась с помощью ме- тода искусственного базиса. После некоторой итерации получилась следующая таблица: С1 Баз. перем. 10 3 -м - м “/0 Xi Xi Хз Л-4 Лб хв —М 9 2 4 —1 1 —м 3 —3 2 3 1 3 *3 4 1 IEI 1 2 2 2 3 15 6 м 2 — 12 1 —6 —2 1. Проверить правильность заполнения индексных строк. 2. Записать в аналитической форме исходную и ЛГзадачу. 3. Провести решение задачи до конца. Решение. 1. Правильность заполнения индексных строк проверяем с помощью контрольной формулы а0/. = — ck. В данном случае эта формула применяется отдельно для 1-й и 2-й индексных строк. При контроле 1-й индексной строки коэффициенты с, из 1-го столбца и ск из 1-й строки нужно выбирать не зависящими от М, а при контроле 2-й индексной строки — соответственно рав- ные — М. Так, для 1-й строки получаем: Ооо ” сдОдо = 3*4 — 10 — 2, ciqi — c3a3j — — 3*1 —0 = - 3 и т. д. 62
Для 2-й индексной строки, вынося за скобки и опуская мно- житель М, аналогично получаем: о^0 = (—1)-9 + (—1) • 3—0 =—12, о^ = (- 1) • 2 + (—I) • (—3) —0= 1, аа., = (—1)-4+(— 1)-2—0=— 6 и т. д. 2. Аналитическую запись М-задачи получаем непосредственно из таблицы: 2Xi+4x2 — х4 + хв=9 — Зх2 + 2х2 -}-Зхд-j-Xg = 3 , х^ -j-5x2 -j-Xg -f-2X4 =4 . x;>:0 (i=l,...,6), 2=—3xj— 15x2—6x4+2—M (x2 —6x2 —2x4 —12) (max). Таким образом, приходим к следующей модели исходной задачи: 2xj+4x2 — х4 = 9 • — Зх± +2х2 + Зх4 = 3 •, Х2 + 5х2 + Хд + 2X4 = 4 . х2 0, ... , х4 О, 2 = 3ха— 10 (max). 3. Для решения задачи выполняем очередную итерацию. Начи- наем с выбора разрешающего столбца по отрицательной оценке во 2-й индексной строке. Так как в исходной таблице а('2 = —6 и а'4 — —2, то выбираем разрешающий столбец по наибольшей по абсолютной величине оценке а'о2 = —6. Далее расчет ведется как и в обычном симплексном методе. Разрешающей строкой будет 3-я (так как min {4/5, 3/2, 9/4} = 4/5). При переходе к новой таб- лице сначала преобразуем элементы разрешающей строки путем деления соответствующих старых элементов на разрешающий эле- мент а32 = 5. Остальные элементы преобразуем по правилу «прямо- угольника». Так, для 1-го столбца получаем: п 4 4 29 п 2 • 4 7 aio-9-----5--у. а2о-3--------5- -у. о 4-15 , (—6). 4 «по — = — — 10, — 12 - — О и 36 5 ’ После расчета элементов столбца производим контроль расчетов по указанной выше формуле: “оо = S ciaio—со=с2Од0—с0 = 0 4/5 —10 =—10, i а’йй = (—1) 29/5 + (—1) 7/5 — 0 = —36/5, что совпадает с вычисленными выше значениями ам и а£0. Анало- гично вычисляются элементы остальных столбцов. 63
После указанных действии переходим к следующей таблице: В данной таблице изменился состав базисных переменных (вместо ха базисной стала х2) и в соответствии с этим в 1-м столбце коэффициент с3 = 3 заменился на с2 = 0. Как видно из данной таблицы, дальнейшее улучшение решения невозможно, так как во 2-й индексной строке не оказалось отри- цательных элементов. Следовательно, достигнуто оптимальное ре- шение Л1-задачи. Но искусственные переменные хь и хв не выведены из базиса, следовательно, исходная задача не имеет решения, так как ее система ограничений несовместна в области допустимых решений. Заметим, что этот вывод можно было сделать из исходной си- стемы уравнений после несложных преобразований. Действительно, вычитая из 1-го уравнения удвоенное 3-е, получим уравнение — 6х2—2х3— 5х4= 1, которое не может удовлетворяться при неотрицательных значениях xlt ха и х4. 85. Решить задачу 84, заменив значение а32 = 5 на число —12. 86. Методом искусственного базиса привести следую- щую систему к единичному базису с неотрицательным вектором й0: 2xj — Зх2+х3 — х4 +х5 =— 1 + 2х2 — 2х3 + 2х4 — 2х6 = — 1 . —Зл*4 —|— х2 -|- 4х3 —j— 5л*4 — Xg = 11 Указание. Умножить 1-е и 2-е уравнения на —1 и ввести в уравнения системы искусственные переменные хй, х7, ля. После этого решить задачу минимизации функции z = хе + х7 + хя. 87. Привести с помощью искусственного базиса сле- ,/ю. *че системы уравнений к исходному опорному ре- 64
шёнию и исследовать графически область их допустимых решений: 1) 7х4 — 6х24-ха — х4 — хГ) = 21 Х| — Хг, + Х4 — Х5 = 1 1 ; Зх4 — х.2-\-ха — хл =6 2) —Xi + 6x2 —х3'+х4 = 9 Зх4 -|- ха — х4 = — 3 88. Следующие задачи линейного программирования решить симплексным методом и, где возможно, дать геометрическую интерпретацию процесса решения. Во всех примерах х, 0. 1) 2Х1 + Зх2 «£б 2хх+ х2==5 4 Х2 1 }, Xi- x22s—1 2xx + X2 S== 1 2) Xi — 2x2 0 x4 — x2 Sa — 1 < x2 X2 J 2 = Xj (max); z = x1-\-2x2 (max); 3) Xj — x2 — 2 5xj 4~ 3x2 15 x2<2,5 , x4 — 2x2 2 2x4 — x2 — 2 z = 4xj + 3x2 (max); 4) — x14-x24-x3 Xj — x2 Xl + x2 г = 2хг — x2 + 3x3 — 2x44-x3 (max); 5) x4 — x4 — 2xe = 5 x2 -)-2x4 — Sxg-f- xa 3 x3 4- 2x4 — 5x5 6xfi = 5 z = x14-xa4-x3 (min); 3 И. Л. Калихман 65
6) Xi 4-x44-6x5 = 9 3xi 4~ x2 — 4хз 4~ 2x6 = 2 , Xi 4* 2xa 4~ 2xs = 6 z = Xi — x24-x34-x4 — xr (min); 7) Xj 4~ 2xa — xs 4~ x4 = 0 2x4 — 2x2 4- 3x3 4- 3x4 = 9 , xi~ x24-2x3— x4 = 6 z =— 3x14-x24-3x3 34x4 (min); 8) —2xi 4-2x3 —x44-x5SsO 2x2 — x3 — х44-х6ЭгО x4 — 2x2 — x4 4- x5 3= 0 Xi 4~ x2 4- x3 = 1 z = x4 —x5 (max); 9) Xi4-x24-2x3 —x4 = 2 ' 2xi4-x2 — 3x34-x4 = 6 , Xi4-x24- x34~x4 = 7 z — 2x4 4-x2 — x3 — x4 (min); 10) 2xi— x24- *3 =sS12 Xi 4- x4 -C 5 2xi4-2x24- x3 -2x5<20 xx — x2 — 2x3 4- 2x4 — 2xB - 10 — 2xi 4" 2x2 — 2x3 — 2x4 4- x5 - 24 z = — 2x2— 3x2 4-2x44-3x3 (max); 11) —2X14- x24~3x8 = 2 1 2xi 4- 3x2 4- 4x3 = 1 J z = Xi — 2x2 4- 3x3 (min); 12) 3xi4“ x24~2x3 =gz 10 2xi 4" 5x4 10 2xi4- x24- x3 —2x5^20 Xi4- x2 — 3x34-2x4 — 4x52& 15 — 3xx 4- 2x2 — 2x3 — 2x4 4- x5 25 2 — — Xi — 2x2 4-x4 4-2x6 (max); 66
13) Xj — 2x2 +*4 = —3 x3 — 2x4 =2 3x2 — xt + x&^5 x2 z = x1 + x2 — xs — 2xs (min). 89. Составить последнюю симплексную таблицу и за- писать модель задачи, состоящей из четырех ограничений и шести переменных и обладающей следующими особен- ностями: 1) единственное решение для 2тах и неразрешимость ДЛЯ Zmin > 2) альтернативный оптимум; 3) вырожденное решение с двумя базисными нулями; 4) неразрешимость задачи из-за пустой области допу- стимых решений. Все задачи проиллюстрировать графически. 3*
Глава v Теория двойственности § 1. СОСТАВЛЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ I. Общая форма модели Исходная задача 1 Двойственная задача L' п 1- У, aikxk ^aiu, 4=1,..., /; А = I п 2ai*x*=£,i«’ k= । 3. хпЭ=0, k= I,... , s, ss;~n; 4. хк — произвольные, k = s -f- 1,..., ri; n 5. 2= У ckxk (max) *. = 1 У, ;;0, 4 = 1,..., Z; у i — произвольные, i = /.+ 1, ..., tn\ У aikVi -fc. *=l 4 2 3...s; £ = l У ait.yi = ck, fe=s+l, ..., n, i =1 T — У aiayt (min). i = i Общее правило построения двойственной пары 1. Каждому 4-му ограничению исходной задачи соответствует пе- ременная t/i двойственной задачи и, наоборот, каждому fe-му ограниче- нию двойствен ной задачи соответствует переменная хк исходной задачи. 2. Матрицы А ограничений 1—2 н А' ограничений 3' — Г взаимно транспонированы. Следовательно, строка коэффициен- тов aik в /е-м ограничение двойственной задачи есть столбец коэф- фициентов при xk в ограничениях 1—2 исходной задачи и наоборот. 3. Свободные члены ограничений одной из задач являются коэффициентами при соответствующих переменных в целевой функ- ции другой задачи. Прн этом максимизация меняется на миними- зацию, и наоборот. 68
4. В исходной задачу ограничения-неравенства следует запи- сывать со знаком «г=> при максимизации и со знаком «>.» при минимизации. 5. Каждому t-му ограничению-неравенству исходной задачи соответствует в двойственной задаче условие неотрицательности (1/;2зб), а равенству — переменная yt без ограничений на знак («произвольная»). Наоборот, неотрицательной переменной соответствует в двойственной задаче /г-е ограничение-неравенство, а произвольной переменной — равенство. Замечание. Соотношение двойствен!юсги взаимное, т. е. задача, двойственная по отношению к двойственной, совпадает с исходной. В случаях, когда исходная задача задана в форме стандартной или канонической модели, получаем частные виды сопряженных пар задач. II. Симметричные двойственные задачи Исходная (стандартная форма) Двойственная п I- X aikxk^ai0, i-l, ..., /и; 2. xk > 0, k = 1, .... n; n 3. z= У chxk (max). *=l !Ji 2s 0, i = 1, , m\ n У £=Ь•••. и; tn 7’= X (nl'n). / = I III. Исходная задача в канонической форме Исходная Двойственная ii 1- У aikxk = ai<}, t —1 in; yt — произвольные; A=1 2. xk > 0, k — \, ..., n; m У aiktji = ..., n; n 3- 2= У ckxk (max). k=\ k=l aiM (min). i =1 да
90. Построить двойственную задачу к следующей, заданной в форме общей модели: (У1) xi — 2х2ф- х3-\-ЗХ1 — 2х5 — 6 (z/2) 2xjф-Зх2 — 2х3 — х4ф- х5==£4 . (Уз) xi ф-Зх3 -4x5Sa8. Xj5s0, x3=s0, х5ФэО, 2 = Xj — 2х2ф-х3 — х4 + х5 (min). Решение. Прежде чем приступить к построению двойствен- ной задачи, необходимо упорядочить запись исходной задачи. Так как целевая функция минимизируется, то неравенства должны быть записаны с помощью знака О». Для этого второе неравенство умно- жим на —1, после чего оно запишется в виде — 2х2 — Зх2 4- 2ха ф- х4 — — 4. Теперь введя три переменные ylt у2 и у3, запишем в соответст- вии с указанным правилом двойственную задачу: «Л —2«/2ф- — 2«/!—3//2 =— 2 4/1 + 2</2 ф- 31/э sSl 3//iф- 4/2 = —1 — 24/!— 4/2 —44/3sgl 4/2 Ss 0, 4/3 =г0, Т = 64/1—4z/2 ф- 84/3 (шах). Второе и четвертое ограничения выражены в виде равенств, так как соответствующие им переменные х2 и хг не подчинены усло- виям неотрицательности. Условия неотрицательности в двойствен- ной задаче наложены только на переменные уг и у3, так как им соот- ветствуют в исходной задаче ограничения в виде неравенств. 91. Показать, что двойственная задача по отношению к полученной в задаче 90 будет совпадать с исходной. 92. Построить двойственную задачу к следующей, заданной в канонической форме: Хх — 2х3 ф- Зл-4 ф- х5 = 8 *г + *з+ х4 — 2х3 = 6 лу 0, ..., 0, z = — 2х2ф-Xiф-Зхъ (max). Решение. Двойственную задачу можно построить двумя способами. 70
I способ. Следуя общему правилу, введем две переменные yt и //аи запишем двойственную задачу: У1 Ss О —+ Уз — 2 У г 0 • tyi + У г 1 У1 — 2</a=s3 Т = 8уг+6у2 (min), У1 — произвольные. II способ. Отбрасывая в первом и втором уравнениях базис- ные переменные xL и лга, перейдем к стандартной форме модели: — 2ха 4- 3x4 х5 8 | ха4- х4 — 2х5<6 J ’ х2 0, х4 =s 0, хъ :> О, г=— 2ха 4- 4- Зхъ (max). Записав для нее симметричную двойственную задачу, получим тот же результат, что и при использовании I способа. 93. Составить двойственные задачи к следующим исходным и показать взаимосопряженность соответ- ствующих пар задач: 1) 2х4— х24-2х3 — Зх45 Xi4-2x2— х3+ х4сЗ ..., х4^0, г — хх — 2х24-Зх3 — х4 (шах); 2) Xi — 2х2 4- х4 = 8 х2 -j- х3 — Зх4 = 6 Xi 0, ..., х4 О, 2 = 3x2 — х4 (max); 3) 2xi— хг 4- х3 — Зх4 — х5 = 10 х44-2х2- х34-2у44- x5s== 8 > 2х4— х24-Зх3— х44-2х5=С 4 х4^>0, х3^>0, х42з0, z=2xi — x2 + x3 — 3x4+x5 (min); 4) Xi — Зх2 4- х34~2х4 = 5 2хх4- х2 —2х84- х4 = 2 • х4 4- Зх3 — Зх4 = 8 Xi ' . - 0, .... х4 ' . - 0, 2 = 2xj — х2 4-5х4 (min); 71
5) х1 — 3x2 -|- x3 4 j 2x, ф x2 — 2x3 5s 1 | xL5sO, x25s0, x35sO, z= —Xj + ХаЧ-Хз (max); 6) Xi — 2x2 фх3«с4 I 2x, + 3x2 - x3 Ss 2 J x, -S= 0, x3 5s 0, г = 2х!ф4х2фх3 (min). § 2. ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ДВОЙСТВЕННОСТИ Основная теорема двойственности. 1) Если одна из сопряженных задач имеет оптимальное решение X*, то и вторая имеет опти- мальное решение И*; при этом z (X*) = 2max — Т (Й*) = ^lnjn. 2) Если одна из задач неразрешима из-за неограниченности целевой функции (zmax 00' или ^min —°°)’ то область допу- стимых решений второй задачи пустая. Из этой теоремы вытекают необходимые и достаточные условия: а) разрешимости задач — существование хотя бы одного допустимого плана у каждой задачи; б) оптимальности допустимых планов X и Y — выпол- нение равенства. z(X) = T(Y). (1) 94. На основании графического анализа двойствен- ной задачи исследовать разрешимость следующих задач, и в случае разрешимости целевой функции: I) — Xj ф 2х2 ф х3э= 2 1 Зх, ф х2 — х3 5s 1 J х, 5s 0, x2ss 0, х3 5s 0, z = бху ф 9х2 ф Зх3 (min); найти экстремальное значение 2) 2Xi ф 2х2 — х3 — х4 =1 | — х4 ф х2 Ф Зх3 ф х4 = 1 J xt 5s 0, ..., х4 0, г = 2х1 —2х2фх3фЗх4 (min); 3) — х, ф х2 ф х3 = 2 | Xj — Зх2 — 2х3 = 1 J хф-эО, x./5s0, x35s0, г = 2х1фх2ф2х3 (min); 4) Xj — Зх., ф х4 sC — 2 ) х, х2 2х3 ф Зх4 2 ) z — 2xi + 4х2ф23х3ф 4х4 (min); 5) Xi ф Зх2 ф х3 «С — 2 | X, — 4х2ф4х35э 1 J xlv> 0, xa5sO, г = Зх, — 12х2 ф 4х3 (min); 6) xt— 13х2фЗх3Ф—1 | 2хтф 17х2 —7x32s2 J X!>s0, x25sC), х3=э--0, z = 6xtф223хг — 42x3 (min). 72
95. В следующих задачах дать геометрическую интер- претацию исходной и двойственной задач и найти опти- мальные решения для разрешимых задач: 1) — xx + 3x2=c6| 2) — 2Х1 + х2^2 Зхх — х2 6 J лу — х2 2 Х^йО, X22s0, Лу^О, х22=0, 2 = х1-|-х2 (max); z = 2X1-]~x2 (max); 3) Злу— x2 ; 1 | 4) —лу 2x2 xa = 4 — х^ “В 3x2 : 5 J лу — x2 -| - x4 = 3 2 = 2x1-)-x2 (min); >y2=0, xyjsO, 2 = Злу-)-x2 (max); 5) Злу -j- 5x2 -|- xa -p x4 — 32 | лу 3x 2 — x3 -|- лу — — 8 j x4 2s 0, ..., x4 2= 0, z = Злу — x2 — X3 + X4 (max); 6) xx — x2 ==S 1 1 лу — x2 2s 1 / лу 2s 0, x2 2s 0, 2 = лу —x2 (max). 96. Для каждой из пары двойственных задач воз- можны три альтернативы: задача разрешима (Р), функ- ция неограниченная (Н), область пустая (П). Это по- зволяет, вообще говоря, составить 9 сочетаний: РР (обе задачи разрешимы), PH (первая разрешима, во второй функция не ограничена) и т. д. Указать, какие сочетания альтернатив возможны. 97. Привести примеры двойственных пер, обладаю- щих следующими свойствами: 1) обе задачи имеют оптимальные решения; 2) одна задача имеет неограниченную область допу- стимых решений, вторая — пустую область; 3) области допустимых решений обеих задач пустые; 4) области допустимых решений обеих задач неогра- ниченные. 98. Определить, являются ли данные векторы X и V оптимальными решениями данной задачи и двойственной к ней: 1) 2 = лу + 10х2 + 8ха (max), Xi + 4x2 + x3 = 2 лу + 2х2 — х3 = 0 Xj^O, лу-О, x32s0, Х = (1, 0, 1), У = (|, -1); 73
2) z = xt 4- 4*2 + *з (max), 5*x 4-12x2 4- 2x3 = 9 j Злу 4-10x2 4- 4*3 = 11 J *j У- 0, *2 5= 0> хз 0> X = (l, 0, 2), У = (А i). Указание. Составить двойственную задачу и проверить, удовлетворяет ли ее ограничениям вектор Y. Если да, то сравнить значения z (X) и Т (Y). Пусть исходная задача задана в канонической форме: АХ = а0, ХЭгО, z = CX (max). (1) Введем обозначения: X* — ее оптимальные решения: — вектор- строка коэффициентов ck при базисных переменных в оптимальном решении; В — матрица коэффициентов в исходной системе уравне- ний, при базисных переменных xk в решении X*. Тогда оптимальное решение Y* двойственной задачи может быть получено из равенства У* = СбВ“‘. (2) 99. Используя соотношение (2), найти решение двой- ственной задачи к следующей: максимизировать 2 = — Злу 4- 5*2 4- *3 — Х4 при условиях Злу 4- 8л2 4" Х3 4" Х4 == 50 5*т — 4*2 — *з4-*4= 14 *х 5=0, Л'2 5= о, *3 >= 0, *4 Л- 0. Решение. Двойственная задача запишется в виде: + 5i/2 7* — 3, 8</i —4{/25э5, У1 — У-1 1. У1+Уз^~ 1> Т=50^+14^2 (min). Исходная задача может быть решена одним из известных методов, в том числе графически. Ее решение есть X* = (6, 4, 0, 0), при этом zmax= 2. В этом решении базисными переменными оказались - - - Р 8\ м - = -Найдем \5 — 4/ 8\ . . со. т \ (см. гл. I, §2). Тогда наосно- х1 = 6 и х2 = 4. Поэтому = (—3, 5) и В = обратную матрицу В *= .f 52 \ 5 вании равенства (2) имеем 54G -‘Hi-’ 1_/4 I). 74
откуда Т = 4 = 7 mm max- 100. Используя соотношение (2), решить двойствен- ные задачи к задачам 94 (1), 94 (2), 94 (4) и 95 (6). Если исходная задача (1) решается симплексным методом, то Матрица В-1 оказывается расположенной в последней таблице против первоначальных единичных столбцов. Пусть в исходной таблице имеется единичный столбец с едини- цей на i-м месте. Этот столбец соответствует базисной переменной хк. и коэффициенту ck. в заданной функции г. В конечной таблице этот столбец преобразуется в столбец матрицы В-1, которому отвечает оценка aok_. Тогда на основании равенства (2) и формулы для вычисления оценок в симплексной таблице получаем следующие соотношения для вычисления оптимальных значений двойственных переменных: yt = aGk.+ck.. (3) Это соотношение сохраняет силу и в том случае, когда исходная задача решается методом искусственного базиса. Наконец, если имеется симметричная двойственная пара, то единичный базис исходной задачи образован совокупностью балан- совых переменных, не входящих в целевую функцию. Поэтому фор- мула (3) преобразуется в следующую: ^“ = а0*/ (4) 101. Определить оптимальное решение двойственной задачи к задаче 99, используя решение исходной симпле- ксным методом. Решение. Ниже приведена исходная и полученная после II итерации последняя симплексная таблица. Исходная таблица сб Баз. перем. flo —3 5 1 -1 — м — м А х2 х, Xi хъ Хд —М Х5 50 3 8 1 1 1 0 —М Хв 14 QI —4 —1 1 0 1 2 0 3 —5 — 1 1 0 0 MS —64 -8 —4 0 —2 0 0 75
Окончательная таблица 5 X2 4 0 1 2/13 1/26 5/32 —3/52 —3 X1 6 1 0 — 1/13 3/13 1/13 2/13 2 2 0 0 0 1/2 1/4 -3/4 MS. 0 0 0 0 0 1 1 В исходной таблице единичные столбцы отвечают переменным х,. = хь и xk2 = хв (искусственные переменные). Им отвечают коэффициенты с., — с6 = 0, так как эти переменные в функцию г не входят. По формуле (3) получаем 1 3 (/? = Ооб + сь = -^ и 4/? = 0<м4-Св = — 102. Решить двойственные задачи, используя реше- ние исходных задач с помощью симплексных таблиц: 1) — Xi ф- 2х3 -С 6 Xj 4~ х2 ~ 9 ’ Зх*х — х2 15 XySa-O, Х22а0, 2 = 4х14~2х2 (шах); 2) — Зхх + 2х2 sg 6 х4 — 4х2 2 • х4 — х2 5 хх^0, х„2э0, z = 2xx4-3x2 (max); 3) — Зхх 4~ 2х2 - 6 хх — 4x2=s'. 2 • Xi — х2 - 5 xiZsO, х2>=0, z = xx —2x2 (max); 4) —X!-px2-px3 = I Xx — x2 -px4 =1 X1 “P X2 4~ X5 = 2 xx^s0, .... x3 S&0, z = 2xx — x2 4- 3x3 — 2x4 4- x5 (max); 5) xx 4- 2x2 — x3 4~ xa — 0 2xx — 2x2 4~ 3x3 4- 3x4 = 9 xx — x2 4- 2x3 — x4 = 0 xx 0, ..., x4 0, z = — 3xx 4- x2 4- 3Xg — 34x4 (min); 6) — 2xj 4- 3x2 sC 6 ) Xi 4- x2 3 f Xj 0, z = 2x! 4-*4 (min); 76
7) — 4Xj + Зх2 =С: 12 Xi — 4х2 • 4 4~ 5х2 30 х2 г 0, 2 = 2л1-| х2 (max); 8) — 4xi Ц- Зх2 12 хг — 4х2 -С'4 > 6%1 + 5х2 5^ 30 Х22г0, а = 2х1+х2 (min). 103. Решить следующие задачи, используя данные симплексных таблиц при решении двойственных задач: 1) 3xi — 2х2 4“ ха 2а 5 Xi 4- х2 4- 2х3 1а 10 * — 2xi 4- Зх2 — х3а- 2 X] 0, х2:а0, х3а=-0, z — Xi 4-Зх24-2х3 (min); 2) Xi х2 2х3 4~ х& 2а 6 —xi + ха 2 ’ 2х2 — Зх3 4- 2х4 8 X] а 0, ..., х41а О, г = Xi 4~ х2 4- х3 4- х4 (niin); 3) xi 10 — 2х4 Н~ х'2'2 8 X] — 2х„ a 12 х21а 2 г = х\ — 2х2 (min); 4) 2xi - х2 4- х3 = 6 | Xi 4- 2х2 — х3 — 4 ) Xi 2г О, ..., х3 -а О, а = ЗХ] 4-х2 4~ х3 (шах); 5) Xi — Зх2 4~ 6х3 4^ х4 4' 10х5 4~ х3 ~ 29 Х14-5х2 — 5х3 — х44- 2х5 = —5 а 2х24~ х3-Ьх4— 8х5 — х6 = 2 хг 2s 0, ..., х6 2г О, г = — 2х2 — 4х3 4-2х3 (max); 6) 2xi 4-х2 — Зх3 =10 Xi + х3 4- х4 = 7 > — Зх4 — 2х3 4" х3 = 4 Xi 0, . . . , Х5 5г О, 2 = 2x4 — х2 4- Зх3 4- х.4 (тах); 7) X! 4- 2х2 — х3 4- Зх4 = 6 х2 4- 2х3 — х4 = 4 » 2xi + ха 4- xj = 6 . Xi 0, ..., X] 2~- О, z = —Xi4-xa —х34-х4 (max). 77
§ 3. ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ Вторая теорема двойственности (теорема о дополни- тельной нежесткост и). Для того чтобы два допустимых решения X* и Y* пары двойственных задач были их оптимальными решениями, необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли системе уравнений xk(^aik!/i—ck)=O (fe=l, 2, ..., п), (А) aikxk~aio)=O (1 = 1, 2, ... , т). (Б) Эта теорема позволяет: а) установить оптимальность решения одной задачи по свой- ствам решения двойственной; б) найти оптимальное решение одной задачи по решению двой- ственной. Теорема верпа для симметричной двойственной пары. Для задач в канонической н общей форме соотношения (А) н (Б) верны только для ограничений в виде неравенств и для неотрицательных переменных. 104. Найти решение следующей задачи путем графи- ческого анализа двойственной задачи: (У1) +х3 + х4= 16 1 (z/2) 6x1-4x2 — x3+xi = 4 j’ %! 3=0, ..., х4;>0, г = 5Х1Н-хг-|-х3+х1— 16 (max). Решение. Двойственная задача запишется в виде 4{/1 + 6{/2>г5, {/j—{/2>:1, — 4у, Эг 1, у, м, Sa 1, 7=16^ + 41/2-16 (min). Графический анализ этой задачи показан на рис. 12, а. В дан- ном случае область оказалась неограниченной и расположенной во II квадранте (так как условия неотрицательности на i/i и у2 не налагаются). Оптимальное решение =#_/13 , 1 \ =9. min Этим решением 3-е и 4-е неравенства удовлетворяются как строгие неравенства [13 ( 1 \ 15 . 8" "Г = 8>1Н , следовательно, соответствующие нм пере- *8 ‘ \ 4 8 менные х3 и х4 исходной задачи должны обращаться в нуль. Тогда из исходной системы получаем 4хг — 16, откуда х* = 4, и 6xf — — 4х* = 4, откуда = 5. Следовательно, оптимальное решение ис- 78
ходной задачи (рис. 12, 6) X* = (4, 5, 0, 0). При этом 2тах= = 5-4 + 5— 16 = 9 = 7min, чем подтверждается правильность вы- числений. 105. Найти оптимальные решения задач 94 (1—6) с помощью графического решения двойственных задач. 106. Дан вектор X = (3, 0, 1, 3). Определить, яв- ляется ли он оптимальным решением следующих задач: 1) хх — х2 + 2х3 —х4 = 2 2лу -|- х2 — Зл'з х4 = 6 > x4 Зх2 2х3 х4 = — 2 XjSsO (i= 1, .... 4), z = — 2хг — х2 + х3 + х4 (max); 2) 2хг — х3 + 2х4 = 11 хх + х2 — х4 = 0 • 2х4 —2х3 + Зх4=13. X/SsO (f = 1, ..., 4), z = 2xi — х2 + 4х3 — 6х4 (max); 3) Xj Ц- х2 — Зх3 — х4 = — 3 Xj + Зх4 = 12 Х2 + ха =1 х,=?0 (t= 1.....4), z = Xj + 8х2 + Зх3 — х4 (max); 4) Зх( — х2 + 2х4 15 Xi + 2х2 — х3 — 2х4 — 4 х2 + Зхя — х4 0 х.-^-О (i= 1, .... 4), г = 2xt — х2 + 4х3 — 6х4 (max), У Казани е. Построить двойственную задачу и с помощью теоремы 2 определить ее решение. Затем проверить выполнение достаточного условия оптимальности г (А') = 7 (У). Третья теорема двойственности (теорема об оценках). Значения переменных у* в оптимальном решении двойственной задачи ^zmax численно равны частным производным — для исходной вадачи. Из этой теоремы, при малых изменениях Да10, вытекает прибли- женное равенство __ Да «= У *Да0 = ^у* Да,-о. При более значительных изменениях свободных членов можно лишь констатировать следующее оценочное неравенство: У*Да0^Дгтах [о> 79
где Ff — оптимальное решение двойственной задачи при изменён- ных значениях о0 I' До0. В случае, когда Y*t = Y*, получаем точное равенство А2п1ах=Г*А°о- 107. Для следующей задачи линейного программи- рования — 2xj 4-х2-рх3 1 1 ЗХ[-(-х2 х3 5^ 2 ) Xi 0, х2 i0, х3 0. z = 9хх 4- 8х2 + 4х3 (rnin) определить пределы возможных изменений свободного члена п10 = 1, при которых изменение zirin может быть определено по точной формуле Azniin = ДмАй10- Указ а и п е. Использовать графическую интерпретацию двой- ственной задачи. 108. Оценить изменение экстремального значения целевой функции при новом значении вектора ограниче- ний а{;. 1) в задаче 103 (1) при а'л = (4, 12, 2); 2) то же в задаче 103 (4) при а{} = (6, 5; 3, 5); 3) то же в задаче 103 (7) при а'в = (5, 5, 7). § 4. ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ 109. Для изготовления четырех видов продукции (А, Б, В и Г) используются три вида сырья (I, II и III). Ресурсы сырья, нормы его расхода на единицу продукции и получаемая прибыль от единицы продукции заданы в следующей таблице:'1 Сырье Нормы расхода Ресурсы А Б В Г I 2 1 0,5 4 2400 II 1 5 3 0 1200 III 3 0 6 1 3000 Прибыль 7,5 3 6 12 i 80
1. Определить оптимальный план выпуска продукции из условия максимизации прибыли. 2. Сформулировать экономически, записать и решить двойственную задачу. 3. Определить изменение максимальной прибыли при изменении ресурсов: I на +40, II на —30, III на +50. Оценить раздельное влияние этих изменений и суммар- ное влияние. 4. Определить нормы заменяемости ресурсов. 5. Сопоставить оценку затрат и прибыли по опти- мальному плану и каждому виду продукции в отдель- ности. 6. Оценить целесообразность введения в план пятого вида продукции Д, нормы затрат на единицу которого соответственно равны 2, 4, 2 и прибыль равна 15. 110. Предприятие должно выпустить три вида про- дукций (А, Б и В) в соотношении 1:2:3. При этом используются трудовые ресурсы, имеющиеся в наличии в количестве 200 ед., и часть произведенной продукции как внутрипроизводственное потребление. В следующей таблице приведены данные о коэффи- циентах внутрипроизводственных затрат и затрат труда (см. гл. II) на производство единицы соответствующей продукции: Ресурсы Нормы затрат А Б в А — 0,5 0,2 Б — — 0,2 Труд 2 3 1 I. Определить оптимальный план предприятия из условия максимизации конечной продукции. 2. Составить и истолковать экономически двойствен- ную задачу. 3. Вычислить и сопоставить оценки единиц каждого из видов продукции и единицы трудовых ресурсов. Оце- нить с их помощью весь выпуск продукции предприятия по оптимальному плану. 4. Определить, на сколько изменится выпуск продук- 81
ции при увеличении трудовых ресурсов на 10 единиц; уменьшении на 5 единиц. 111. В следующей таблице указано количество изде- лий А и Б, которое может быть изготовлено из каждой единицы сырья одним из четырех технологических спо- собов: Изделия Выход на единицу сырья 1 И Ш IV А 2 1 7 4 Б 6 12 2 3 1. Определить минимальное количество сырья, по- зволяющее изготовить 574 шт. изделий А и 328 шт. Б, и используемые при этом технологические способы. 2. Построить и сформулировать экономически двой- ственную задачу. 3. Определить оценки каждого вида изделий и еди- ницы используемого сырья и оценить с их помощью каждый из четырех технологических способов. 4. Как изменились бы оценки изделий А и Б, если бы их необходимо было изготовить в количествах 600 и 394 шт. соответственно? Как изменилось бы при этом минимальное количество сырья? 5. Определить, как распределяются затраты сырья между изделиями А и Б. 6. В каком соотношении изменится количество изде- лий А и Б, если сохраняя общее минимальное количе- ство сырья, изменить по сравнению с оптимальным пла- ном количество сырья, обрабатываемого по II и III спо- собам? 7. Целесообразна ли с точки зрения предприятия замена двух изделий А на три изделия Б? Как при этом изменится общее количество обрабатываемого сырья? 112. Каждое из двух предприятий (А и Б) может про- изводить три вида изделий (I, II и III). В следующей таб- лице приведены данные о годовой производительности в тыс. шт. и затратах на единицу изделия в руб. при изготовлении только одного изделия (см. табл, на стр. 83). 1. Определить оптимальное распределение изделий по предприятиям (т. е. время работы каждого пред- 82
приятия по каждому из изделий) из условия максимиза- ции числа комплектов, в каждый из которых изделия I, II и III входят в соотношении 1:2:2. Предприятия Производительность Затраты 1 11 111 1 п 111 А 500 200 400 10 15 20 Б 250 300 150 12 16 8 2. Составить двойственную задачу и определить оцен- ки каждого изделия и единицы рабочего времени ка- ждого предприятия. 3. Определить, какую цену следует установить на каждое изделие, если цена комплекта равна 50 руб. 4. Показать, каким образом, руководствуясь этими ценами, можно определить оптимальное распределение производства. 113. В каждвй из указанных ниже задач требуется: а) составить двойственную задачу; б) проверить взаимность двойственной пары; в) решив исходную задачу симплексным методом, найти из таблицы решение двойственной задачи; г) проверить справедливость равенства ВВ~1 = Е, где матрица В включает столбцы коэффициентов ис- ходной системы, вошедших в окончательный базис; д) найти решение двойственной задачи, используя соотношение У* — CqB-1; е) найти решение исходной задачи по найденному в пункте в) решению двойственной с помощью второй тео- ремы двойственности; ж) привести графическую интерпретацию решений пары двойственных задач; з) определить изменение экстремального значения целевой функции при увеличении п1й на 10%. 1) — 2лу4- х2-с4 л-, — 2х2 <4 Xt + x2iC 10 Х25й0, z = 3xx-}-2x2 (max); 2) хх —2x2«s4 2хх — х2 — 4 • хх Н х2< 10 . х22з0, 2 = 2ххЦ-Зх2 (min); 83
3) — 2х,4- х2-2 4 xt — 2х2 -с 4 > х^ 4~ х2 = 10 х42=О, z = 3xl-\-2x2 (max); 5) — 2хг 4~ Х2 2= 4 | Xi4-X2sS;0 J Х12зО, г — х2 (min); 4) 2х4— х2 -(- х34~х4—-14 хх —2х24-х3 = 4 2xi — х2 2= — 4 x32s0, х4 2* О, z = xt4-x2 (min); 6) -Xi- х2 + х3+х( = 8 3xi — Зх2 — х3 -f- х4 ~ О х22=0, х32=0, х42-О, z = —Х14-Х2 (min); 7) —Xi4- х2 — 2х3 = — 1 ) — 2х( — 2х2 2s — 3 J Xi =s^ 0, х2 2= О, 2 = — Xi 4- 2х2 4- Зх3 (min). 114. В каждой из указанных ниже задач требуется: а) составить двойственную задачу и проверить взаим- ность двойственной пары; б) решив исходную задачу симплексным методом, сделать вывод о разрешимости двойственной задачи, подтвердив его графическим анализом обеих задач. 1) — Xi4-2x22=6 1 2) — Xi4-2x2s£:6 | Зх4 4~ 5х2 - 15 J 3X14- 5х2 s 15) Xi 2s 0, х2 2= О, z = x1 — x2 (min); z = x1\-2xi (max); 3) — 2xi “Ь 2х2 2х 3 | 4) — Xi — 4х2 4~ х3 4~ х4 = 23 Xi — х2 1 J 7xi — 6х2 — х3 4- х4 = 7 z = х4 — Зх2 (min); х2 2s 0, х3 2= 0, х4 2& О, г = — Xi4-2x2 (max); 5) — 3xi 4- 2хг 6 | 6) хг — 2х2 4- 2х3 4- х4 = — 1 Xi — Зх2 3 J 2%1 — 4х2 4~ х3 — х4 = 4 х2 2= 0, хг 2 0, х2 2s О, Х3 2s 0, х4 2= О, z = Xi4-2x2 (max); z = xi4~3x2 — х3 —х4 (max).
ГЛАВА VI Транспортные задачи § 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ 115. Для транспортной задачи, исходные данные которой указаны в таблице ai 20 40 30 70 3 5 8 80 6 3 2 1) составить математическую модель; 2) записать двойственную задачу, приняв п, в каче- стве переменных, оценивающих ресурсы, и —vk в каче- стве переменных, оценивающих потребности. Решение. 1) Вводим шесть переменных xik 0, обозначаю- щих количество единиц груза, доставляемых из i-го пункта отправ- ления (i = 1, 2) в й-й пункт назначения (k = 1, 2, 3). Получим следующую математическую модель: ограничения по ресурсам: *1 1 + *12 + *13 === 70, Xjj -р х224- *аз 80, ограничения по потребностям: *11 4” *21 — 20, X, 2 4~ *22 40, *13 4" *23 =z 30, условия неотрицательности: (1 = 1, 2; fe=l, 2, 3), целевая функция 2 = Зх, 1 4- 5х, 2 + 8х13 4- 6х21 4" 3*22 "Ь 2*23 (П1ЙХ)- Замечание. Ограничения по ресурсам записаны в форме неравенств, так как Sa, = 150 > — 90 и, следовательно, 60 из- быточных единиц груза останутся в пунктах отправления. 85
2) Для составления двойственной задачи необходимо в исход- ной заменить z на —z, с целью приведения к задаче максимизации (см. гл. V, § 1). После этого, следуя правилу составления двойст- венной задачи и указанным в условии обозначениям двойственных переменных, получим двойственную задачу: Ю — Vi — 3, и i — v2 2--’ — 5, Hi — г'з — 8, ю—^’1 — 6, U2 — V2 Й—3, U2 — О3Э: — 2, tZj^O, и 7 = 70uj-|-80u2 — 20c>i — 40o2 — ЗОс'з (min). 116. Для транспортных задач, исходные данные ко- торых указаны ниже, составить математическую модель и записать двойственную задачу: ai 80 140 НО 100 4 3 5 150 10 1 2 80 3 8 6 ai 80 60 30 90 70 3 7 5 2 130 5 3 4 7 а. 40 30 70 50 ПО 5 2 3 8 50 3 4 7 2 80 6 5 3 4 117. По указанным ниже данным о ресурсах ait по- требностях bk и матрице коэффициентов затрат С = = || clk || решить соответствующие транспортные за- дачи графически. Определить для каждой из задач допу- стимое решение, не прибегая к решению системы, и пока- зать соответствующую ему точку на графике. 1) ас. 40, 60, bk\ 20, 50, 30, 2) ас. 30, 70, Ьк: 20, 40, 40, 9 6\. \5 4 4Д 3) ас 80, 70, bk- 60, 40, 50, /10 6 8\ \5 4 7j 86
4) ар 40, 70 , 5) ар 25, 15, 60, 6) ap 7, 3, 15, bk: 30, 60, 20, bk: 70, 30, bkt 12, 13, /10 6 8\ r_/3 7 5\ J7 4 8\ \5 4 7/ 'x6 4 8/ \5 9 6f Указание. Во всех задачах ранг системы ограничений г = р + q — 1 = 2+ 3 — 1 = 4, число переменных п = p-q = = 2-3 = 6, следовательно, число свободных переменных п — г — 2, что позволяет осуществлять графический анализ задач в плоскости двух свободных переменных. Допустимое решение может быть определено по формуле («=1. 2 и 4=1, 2, 3). Zjai Так, например, для задачи 1) получаем _а1Ь1 _.аА ...on- г _Oi&3<9 v _19 11 100 ь’ 12 100 2’ 13 100 А 21 100 ~ 2 и т. д. 118. Составить матрицу системы ограничений для закрытой модели транспортной задачи с тремя отпра- вителями и тремя пунктами назначения. Проверить пу- тем непосредственного определения ранга справедли- вость формулы г = р + q — 1. § 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИСХОДНОГО ОПОРНОГО РЕШЕНИЯ 119. Определить исходное опорное решение для сле- дующей транспортной задачи, пользуясь правилами «севе- ро-западного угла» и «минимального элемента», и сравнить значения линейной функции для найденных решений. ai 30 70 20 60 40 30 100 7 3 8 4 5 2 60 5 7 3 8 4 6 40 3 8 4 2 6 9 50 1 6 7 5 3 4 87
Решение. I. «Правило северо-западного угла». Таблица заполняется, начиная с левого верхнего угла, куда помещаем хп = min {100, 30} — 30. В результате приходим как бы к новой таблице, в которой весь 1-й столбец исключен (ибо Ь' — Ьг — хи = 0), а ресурсы, соответствующие 1-й строке, умень- шены на 30 ед. (а' = at — хи = 70). Далее процесс повторяется, начиная с клетки (1, 2), куда помещаем х12 = min{70, 70}= = 70. Теперь возникает осложнение, так как указанное число 70 за- ставляет исключить из дальнейшего одновременно и 1-ю строку (а" = а\ — х12 = 0), и 2-й столбец (Ь’2 = b2 — х12 = 0). В этом слу- чае число нулевых элементов в матрице X = || xik || окажется на единицу больше, чем число свободных переменных п — г, т. е. будет получено вырожденное решение. Чтобы последующие этапы реше- ния транспортной задачи не нарушились, необходимо в таблицу внести число 0, соответствующее значению базисной переменной. Это число заносится в соседнюю с последней занятой по строке или столбцу клетку, причем в ту из них, которой соответствует наи- меньшее значение коэффициента затрат. В рассмотренном примере клетке (1, 3) соответствует с13 = 8, а клетке (2, 2)—значение с22 — 7. Поэтому заносим в клетку (2, 2) число х22 = 0. После этого шага получаем а' = а2 — х22 = 60 и Ь”. = Ь', — х22= = 0. Следовательно, подлежит заполнению клетка (2, 3), куда вносится х23 = min \а'2, £>3} = min {60, 20} = 20. На этом шаге исключается 3-й столбец (b’s — b3 — х23 = 0), но остается 2-я строка (а", = а'. — 20 = 60 — 20 = 40), поэтому заполняется следующая по этой строке клетка (2, 4) и т. д. После выполнения г — р + q —1 = = 4 + 6 — 1=9 шагов приходим к следующему исходному опор- ному решению: / 30 70 . . . . \ / . 0 20 40 . . \ А°”_( . . . 20 20 . * \ . .20 30/ которому соответствует значение линейной функции z' =30 7+70 3+20 -3 + 40 -8+20 -2 + 20-6 + 20 - 3 + 30 • 4= 1140. Замечание. При выполнении расчетов целесообразно после каждого шага записывать справа и внизу таблицы соответствующие остатки ресурсов Пр а/, ... и потребностей b'k, b&, ... . II. П р авило «минимального элемента». Про- сматривая элементы матрицы затрат, находим наименьший элемент с„ = 1. Поэтому принимаем х41 = min {50, 30} = 30 и исключаем из дальнейшего рассмотрения 1-й столбец, так как b't = bt — 30 = 0. После этого шага получим матрицу Съ отличающуюся от С отсутст- вием элементов исключенного столбца: '3 8 4 5 2' 7 3 8 4 6 8 4 Й 6 9 ,6 7 5 3 4' 88
Снова находим в матрице Сг наименьший элемент с31 = 2. Следовательно, x3i — min {40, 60} = 40. Теперь исключается из дальнейшего рассмотрения 3-я строка, а в оставшейся матрице /3 8 4 5 |2|\ с2= 7 3 8 4 6 \6 7 5 3 4 / находим минимальный элемент с1в = 2. Поэтому принимаем х16 = == min {100, 30} = 30 и исключаем 6-й столбец. Новый минималь- ный элемент с12 = 3, следовательно, xI2 = min {70, 70} = 70 (так как в 1-й строке остались нераспределенными а{ = at—xte = = 100 — 30 = 70). Поскольку на этом шаге сразу исключается 1-я строка и 2-й стол- бец, необходимо ввести х]4 = 0 (вырожденное решение). Сле- дующий минимальный элемент с23 = 3, откуда х^ = min {60, 20} = 20. После исключения 3-го столбца в матрице || clh || остались только 4-й и 5-й столбцы без элементов, находящихся в 1-й и 3-й строках. В этой матрице минимальным оказался элемент = 3, откуда х43 = min {20, 40} = 20. На следующем шаге выбираем минимальный элемент с2В = 4, откуда х2В = min {40, 20} = 20. Наконец, на последнем шаге зано- сим в единственную невычеркнутую клетку х24 = 20. Итак, получили новое исходное опорное решение / . -70 . 0 . 30\ / . . 20 20 20 . \ I . . . 40 . . I \ 30 . . . 20 . / и соответствующее значение функции z" = 740. Как видим, в найденных решениях ровно девять переменных являются базисными (соответствуют занятым клеткам). Это отве- чает рангу матрицы г = р q — 1 = 4+ 6 — 1 = 9. При этом менее выгодным оказалось исходное опорное решение Х(', построен- ное по правилу «северо-западного угла» (z' = 1140 оказалось больше, чем г',, = 740). Как правило, так будет всегда, поскольку при построении Х’а мы совершенно не учитываем коэффициентов cik. Естественно, что при этом для достижения минимума в процессе дальнейшего решения задачи потребуется больше итераций. Однако при некотором виде матрицы затрат || || опорное решение, построенное по первому правилу, может оказаться «лучше» (т. е. ему будет отвечать мень- шее значение функции z). 120. Определить по указанным в предыдущей задаче правилам исходные опорные решения и соответствующие им значения функции для транспортных задач, условия которых представлены в следующих таблицах: 89
1) ai 10 11 8 6 12 10 3 5 8 5 5 7 6 4 18 1 4 3 7 2) ai \ 30 90 80 20 30 120 2 8 4 6 3 30 3 2 5 2 6 40 6 5 8 7 4 60 3 4 4 2 1 4) a i НО 50 30 80 100 90 130 2 3 6 8 2 10 90 8 1 2 3 5 6 100 7 4 4 1 4 8 140 2 8 5 1 3 6 § 3. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД 121. Построить для исходного опорного решения Х'„ полученного в задаче 120 (4), цикл, начинающийся в сво- бодной клетке (4, 1). 122. Для исходного опорного решения /20 40 0 . \ Хй= . . 10 20 1 \ . . .50/ транспортной задачи образовать цикл, начинающийся в клетке (3, 1). Показать, что совокупность векторов pik, соответствующих клеткам этого цикла, является линейно зависимой. 123. Для заданных опорных решений выполнить преобразование однократного замещения с введением в базис переменной х21, используя для этого перемещение по циклу и алгоритм симплексных преобразований: 1) Х = '25 35 0\ ,0 10 20/"’ /25 15 0\ 2) X = 0 35 25 I. \ 0 0 20/ 90
124. Решить транспортную задачу со следующим исходным опорным решением и матрицей затрат: /15 45 0\ Х°Д10 0 20/ /6 8 2\ \3 5 10/’ •пользуясь распределительным и общим симплексным ме- тодами. Сравнить оценки свободных клеток, полученные в ходе решения задачи указанными двумя методами. Решение. I. Распределительный метод. По- строим для двух свободных клеток (1, 3) и (2, 2) в решении Хо циклы и вычислим с их помощью оценки Д13 и Д22 по формуле Д5/ = = У cik 2 cik’> Д13=(2+3)-(6+10)=-11, Д22-=(5+6)-(8 + 3) = 0. Поскольку первая оценка оказалась отрицательной, то производим перемещение по циклу (1, 3), (1, 1,), (2, 1), (2, 3) числа 1 = = min {15, 20} = 15. В результате приходим к следующему решению: В новом решении следует оценить лишь клетку (2, 2). Получим Д'3=(5+2)-(8+10) = -11. Поэтому производим по указанному в таблице циклу перемещение числа X = min {5, 45} = 5. Получим ai 25 45 20 60 • 1 6 40 |з 20 |2 30 25 1 з 5 |б 1 ю 91
Наконец, в этой таблице оценка клетки (1, 1) составляет Д;, = (6 + 5)-(34-8) =0. Следовательно, последнее решение является оптимальным. II. Симплексный метод. В исходную симплексную таблицу внесем систему, приведенную к опорному решению Хп. Для этого систему уравнений задачи решим относительно базисных переменных хи, х12, х21 и х23. cik Баз. перем. 6 8 2 3 5 10 °io а,р °>0 *и *12 *13 *21 *22 *23 3 *21 10 0 0 -1 1 1 0 6 *и 15 1 0 гп 0 — 1 0 15 8 *12 45 0 1 0 0 1 0 10 *23 20 0 0 1 0 0 1 20 2 680 0 0 п 0 0 0 3 *21 25 1, 0 0 1 0 0 2 *13 15 1 0 1 0 -1 0 8 *12 45 0 1 0 0 1 0 45 10 *23 5 —1 0 0 0 гп 1 5 Z 515 —11 0 0 0 н 0 3 *21 25 1 0 0 1 0 0 2 *13 20 0 0 1 0 0 1 8 *12 40 1 1 0 0 0 —1 5 %22 5 -1 0 0 0 1 1 Z 435 0 0 0 0 0 -11 После II итерации в индексной строке получили неположитель- ные оценки а0] = 0 и аоь = —11. Так как задача заключалась в ми- нимизации функции z, то, следовательно, достигнуто оптимальное решение хопт = (0, 40, 20, 25, 5, 0) и zmirl = 435, которое представляет собой лишь иную (векторную) форму записи найденного выше оптимального решения. 92
Заметим, что оба метода приводят также к одному и тому же промежуточному опорному решению Х2 = (0, 45, 15, 25, 0, 5). При сравнении оценок свободных переменных (свободных кле- ток) необходимо учесть, что они входят в соответствующие формулы для расчета изменения функции г с противоположными знаками. Так, в симплексном методе мы исходили из формулы Да = —а^, CLgk где X =------значение, принимаемое переменной xk при переходе agp в базис. Аналогичная формула в распределительном методе записы- валась в виде Да = Д4/Х. Таким образом, если индекс k в симплексных таблицах соответ- ствует переменной xst, фигурирующей в распределительном методе, ТО Так, после I итерации распределительного метода имеем Д1Я = = —11 и Д22 = 0, соответственно в 1-й симплексной таблице нахо- дим аю = 11 и а05 = 0; после II итерации имеем Д^ = (6 + 10) — — (3 + 2) = 11 и Д„» = —11, что соответствует оценкам во 2-й сим- плексной таблице a't = —11 и а'- = 11; наконец, для оптималь- ного решения в том и другом методе имеем Д,, = (6+5) — (8 + + 3) = 0, Д"3 =(10 +8) — (2 + 5) =11 н, соответственно, a"t = = 0, -11. 125. Решить следующие транспортные задачи распре- делительным и симплексным методами и провести сопо- 126. Решить следующие транспортные задачи рас- пределительным методом: 1) 116 (1); 2) 117 (1); 3) 117 (3); 4) 120 (1); 5) 120 (2); 6) 120 (3); 7) 120 (4). 127. Доказать, что число клеток, образующих цикл, всегда четно. § 4. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ 128. Найти систему потенциалов щ и vk, где i= 1, ..., р и k = 1, 2, ..., q для опорного решения, указанного в следующей таблице: 93
Решение. Согласно определению, числа ut- и vk должны удовлетворять г = р + q — 1 равенствам: Ол+ гДе cik — коэффициенты затрат, соответствующие занятым данным решением клеткам, т. е. базисным переменным Xjk в данном опор- ном решении. Применительно к рассматриваемому примеру полу- чим следующие шесть уравнений для определения неизвестных щ 11 vk- 7 -]— i/j — = 0; 3 ~ Од -О. 3-f-tZj — 0; " V4 — 0- 5|- — 0j 3 -|- —у з ” 0. Поскольку число уравнений на единицу меньше числа неизвест- ных, одно неизвестное всегда оказывается свободным и ему можно приписать любое числовое значение. Положим ut = 0, тогда из 1-го уравнения получаем = 7 и из 2-го ц, = 3. Из 3-го уравне- ния, подставляя v2 = 3, находим и2 = —2 и, далее, из 4-го и 5-го уравнений па В 1 и о4 = 7. Наконец, из последнего уравнения полу- чаем и3 = 4. Найденные значении потенциалов указаны в послед- нем столбце и последней строке таблицы. 129. Доказать, что при заданном значении одного из потенциалов (например, и4) все остальные и, и vk опре- деляются из уравнений Cik + tii- t’fe = 0 (*) однозначно, причем разности vk — м, для любых i и k не зависят от выбранного значения и4. 130. Проверить справедливость утверждения преды- дущей задачи, определив систему потенциалов по данным задачи 128, задаваясь значениями и4 — 5; = —1; v4 = 0 и = 3. Определить с помощью найденной системы потенциа- лов оценки Д4/ свободных клеток в исходной таблице. 94
131. Определить систему потенциалов щ и vk и рас- считать оценки AsZ всех свободных клеток для указанного в таблице опорного решения. bk ai 10 40 20 60 20 30 10 2 А 0 А 6 20 А 70 А 40 4 20 5 10 7 3 50 5 А _6_ 50 А А Ьк a. 25 15 40 10 20 40 20 |э к к |б к 1 1 20 90 к 25 к 15 |8 20 |з 10 |5 20 |э 40 |б |б 1 з 20 |в к к 20 132. Построить опорное решение по заданным в таб- 95
133. С помощью метода потенциалов решить тран- спортную задачу, данные которой приведены в предыду- щей таблице. Решение. Начинаем с подготовительного этапа — построе- ния исходного опорного решения Хо и вычисления для этого реше- ния оценочной матрицы С° = |. Сц. и, — vk И. При построении Ха воспользуемся правилом минимального элемента. Для построения исходной системы потенциалов прежде всего подчеркнем элементы матрицы затрат, соответствующие ба- зисным переменным (занятым клеткам) в решении Х°: /5.... 20 . х Х° = (2Ь..15 . 20]. С = \20 . . . / 9 5 3 10\ О 6 3 8 2 I 3 3847 / 6 9 6 3 5 / ' U; Теперь, прибавляя к строкам и вычитая из столбцов таблицы ве- личины и,- и Vfj, добьемся того, чтобы все подчеркнутые элементы обратились в нуль *. Положим щ = 0 и соответственно с, = 9, тогда сД = 9 + 0 — 9 = 0. Далее, прибавляя ко 2-й строке и2 — 3, получим = 6 + 3—9=0. Так как подчеркнутый элемент с31 = 3 оказался теперь равным 3 — 9 = —6, то добавим к 3-й строке и3 = 6, чтобы получить <?:[, = 3 — 9-|-6=0. Далее, вычитая из 2-го столбца v2 = 6, из 3-го столбца v3 = 3 и из 4-го столбца г»4 = 5, превратим в нули элементы с^, с'}.., С!.,. Таким образом, мы определили систему потенциалов щ = 0, и2 = 3, иэ=6, v1 = 9, t,'2 = 6, г>3 = 3 и щ = 5. В результате выполнения указанных эквивалентных преобра- зований получим оценочную матрицу I _J_ I \ О |—1, 0 5\-(-1 О 0 8 0 ) \0 8 7 9/ 1 На этом заканчивается предварительный этап. Переходим к вы- полнению последовательных итераций метода потенциалов, свя- занных с преобразованием двух видов матриц X и С. I ш а г. В оценочной матрице С° находим отрицательный элемент —1 (если бы отрицательного элемента не оказалось, то ре- шение Х° было бы оптимальным). Свободная клетка, соответствую- щая этому элементу, подлежит замещению. II ш а г. В решении Х° строим цикл, начинающийся с клетки * Нетрудно видеть, что для найденного исходного опорного решения могла бы быть использована система потенциалов, ука- занная в задаче 132. Эта система отличается от найденной ниже на постоянное слагаемое 9. 96
(1, 2), и производим перемещение числа \ == min {5, 15} = 5. В ре- зультате получаем новое решение / . 5 20 . Х' = 1 25 10 . 20 \20 . . . III шаг. Подчеркиваем в матрице С° элементы, соответствую- щие занятым в решении X' клеткам. При этом всегда подчерки- ваются нули и один ненулевой элемент с'(, выделенный на I шаге. Соединим этот ненулевой элемент цепочкой с подчеркнутыми нулями в той же строке, а затем последние с подчеркнутыми нулями по столб- цам и т. д. В данном случае соединяемся = —1 только с элементом = 0. Строки и столбцы, подчеркнутые нули которых вошли в со- став цепочки, назовем выделенными. Прибавив ко всем выделенным строкам и вычитая из выделенных столбцов число (с^], получим новую матрицу С, у которой на всех подчеркнутых местах окажутся нулевые элементы. Следовательно, эта матрица будет оценочной для решения X'. Так, в рассматриваемом примере с^=с^=—1. Прибавляя к 1-й строке и вычитая нз 3-го столбца |cs<|= 1, получим новую матрицу /1 0 0 6\ С' = 10 0 7 0]. \0 8 6 9/ На этом заканчивается одна итерация-, а в данном случае и весь процесс расчета, так как в матрице С' не оказалось отрицатель- ных элементов. Следовательно, опорное решение X', найденное на II шаге, есть оптимальное решение задачи. Ему соответствует гтш = 365- 134. При решении транспортной задачи получено следующее оптимальное решение Хопт и соответствующая ему оценочная матрица С': /0 0 8 2\ /1 3 0 0\ Хопт = 15 10 0 0), С= 0 0 5 0 У \0 5 0 3/ \7 0 0 о/ Определить общее оптимальное решение. Решение. В оценочной матрице оказались нулевые оценки для некоторых из свободных переменных. Так, подчеркнув в мат- рице С элементы, соответствующие занятым клеткам, устанавли- ваем наличие двух неподчеркнутых нулей cj4 = 0, с'3 = 0. Это гово- рит о том, что задача имеет альтернативный оптимум. Для отыска- ния общего оптимального решения прежде всего необходимо по этим неподчеркнутым нулям, как по отрицательным оценкам, перейти к следующему новому оптимальному решению. Так, выделив элемент с'ч = 0 (1 шаг), производим в решении Хопт перемещение по циклу с замещением клетки (2, 4). Получим 4 И. Л. Калихман 97
31 = min {3, 10} = 3, откуда находим второе оптимальное решение /0 0 8 2\ *опт= 5 7 0 3 . \0 8 0 0/ Выделив элемент с33 — 0 и перемещая по циклу число к — ==min{3,8} = 3, придем к третьему опорному оптимальному решению /0 0 5 5\ *опт = 5 10 0 0 \0 5 3 0/ Теперь, пользуясь теоремой об альтернативном оптимуме, запишем общее оптимальное решение в виде ~ ^]Аопт ^2^ опт "Ь ^з-^опт* где 4 + /2-|-/3=1 и 4^0, /2ЭгО, /э>0. Подставляя найденные выше решения и выполнив действия над мат- рицами, получим /0 0 8/1 + 8/, + 5/3 2/1 + 2/2 + 5/Л 5 10/i + 7/2+ 10/3 0 3/2 ]. \0 5/1 + 8/2+5/а 3t3 3/1 / Задаваясь любыми значениями /х, /2, /3, при сохранении условий /; ^ 0 и /j + /2 + /3 = 1 будем получать различные оптимальные решения, а среди них и указанные выше опорные оптимальные решения. 135. Решить методом потенциалов следующие тран- спортные задачи: 1) 114 (1); 2) 117 (4); 3) 117 (5); 4) 117 (6); 5) 120 (1); 6) 120 (2); 7) 120 (3); 8) 120 (4). 136. Определить, на сколько изменятся затраты на перевозки по сравнению с затратами по оптимальному плану задачи 133, если ресурсы 3-го поставщика и пот- ребности 3-го потребителя увеличатся на 2 ед. Решение. Изменение величины гт(п, вызванное изменением ресурсов (Дах) и потребностей (Дйд,), можно определить по формуле ^min=-vlf^bk->-u.&al, где щ и vk — соответственно потенциалы i-ro поставщика и k-vo потребителя относительно оптимального решения. Если модель-задачи после указанных изменений остаетси за- крытой, то ЬЬ,=Ьа.=Ь и Azroin = (pfe-u;)A. Так как при решении задачи 133 мы не находили непосредст- венно значений потенциалов для оптимального решения, то вос- пользуемся элементами c'ik последней оценочной матрицы. Из равенства cik=cik+ui~vk получаем откуда ^2min = (с/л ^ik) А' 98
Подставляя в последнюю формулу сэз = 4, с33 = 6 и А = 2, полу- чим 4nin = -4- Результат несколько неожиданный, так как увеличение объема перевозок оказалось приводит не к увеличению, а даже к умень- шению затрат. Это связано с тем, что указанные изменения а3 и Ь3 вызывают перераспределение перевозок. Действительно, измененным данным соответствует следующее оптимальное решение: ai 45 15 22 20 25 А 3 5 22 А 1 10 55 23 А 12 А А 20 А 22 22 3 А А А ;*min^36i. Как видим, сухарные "Затраты'уменьшились с 365 до 361. 137. Определить, на сколько изменятся минималь- ные затраты в транспортной задаче 120 (4), если в исход- ные данные ввести следующие изменения: 1) увеличить <я2 и Ь2 на 1; 2) увеличить а3 на 2, Ь± и Ь2 на 1; 3) аа и Ь3 умень- шить на 3; 4) увеличить а2 на 5, Ь3 на 2 и Ь4 на 3. 138. В следующей таблице приведены: объем произ- водства каждого из трех заводов (аг), потребности четы- рех потребителей (bk) и затраты cik на транспортировку 1 ед. продукции в тыс. руб. ьк а- 30 95 25 60 70 5 3 8 4 90 ' 6 6 3 2 50 3 4 6 9 Определить: 1) на сколько вырастут суммарные затраты на пере- возку, если потребности 3-го потребителя и объем про- изводства 3-го завода возрастут на 5 ед.; 2) изменение затрат, если аг и bt увеличатся на 5 ед; 4* 99
3) на каком из заводов выгоднее увеличить объем производства, если потребности 4-го потребителя возра- стут на 20 ед., а затраты, связанные с расширением про- изводства, на всех заводах останутся теми же. 139. Как изменится оптимальное решение, найден- ное в предыдущей задаче, если величина аг увеличится на 1, ила сколько при этом изменятся суммарные за- траты? У какого поставщика выгоднее оставить избыточ- ную единицу ресурсов? 140. По исходным данным задачи 138 установить, на каком из трех заводов следует расширить производство для удовлетворения возросших на 10 ед. потребностей 1-го потребителя, если дополнительные затраты, вызван- ные расширением производства, для всех заводов раз- личны и составляют соответственно 10, 6 и 7 ед. на 1 ед. продукции. 141. Установить, является ли оптимальным план X при данной матрице затрат С: /17 15 0\ / 7 5 9\ Х = 1 0 10 6 ; С = ( 10 8 6 1. \ 0 0 10/ \15 12 10/ 142. Доказать, что если система потенциалов удов- летворяет условиям: 1) для всех xik >0 vk — ut = cik; 2) для всех xik — Q Vk — Ut^Cu,, то соответствующий план оптимальный. § 5. ОТКРЫТЫЕ МОДЕЛИ ТРАНСПОРТНЫХ ЗАДАЧ 143. Решить транспортную задачу, исходные данные которой приведены в следующей таблице: а1 \ 20 45 30 55 74 7 з А А 40 ± А А А 36 А А А А 100
Решение. Объем ресурсов 74 + 40 + 36 = 150 превышает объем потребностей 20 + 45 + 30 = 95 на 55 ед., следовательно, модель задачи открытая. Вводя дополнительный (балансовый) пункт назначения с объемом потребностей ft4 = 55 и значениями затрат ем = с24 ~ са< = 0, получаем закрытую модель задачи, которая исследуется ранее указанными методами. В результате приходим к оптимальному решению / . 45 . 30\ Х= . . 30 10 , \20 . . 15/ согласно которому избыток ресурсов в количестве 55 ед., условно доставляемый «балансовому» потребителю, в действительности оста- вляется у 1-го поставщика в количестве 30 ед., у 2-го — 15 ед., и у 3-го — 15 ед. Затраты на перевозки составят zmjn — 215. 144. Найти оптимальный план перевозок по данным задачи 143 при дополнительном условии обязательного вывоза всех ресурсов,, имеющихся у 2-го поставщика. Составить математическую модель задачи и решить ту же задачу симплексным методом. Решение. Для решения задачи методом блокирования вво- дим в клетку (2, 4) балансового столбца произвольно большие за- траты с24 = М. Дальнейшее решение задачи проводится обычным образом. Предварительный этап, а) Строим исходное опор- ное решение: / . 20.55 Х'°=1 . 16"; 30 \ 20 15.. б) Находим для него оценочную матрицу: —1 3 6 8 2 5 9 3 —3 9\ 0 М I -5 О / —2 о vk\ut <8 0 9 0 \ ООО Л4 —5 | 0 0 10 / + 2 .1 I / 2 I ш а г. Выделяем отрицательный элемент = —2. II шаг. Производим в решении Х° перемещение по циклу X' = min {15, 55} = 15, в результате чего получаем новое реше- ние X': / • 20...55\Х'=15 / з5.......40\ Х°= . По 30 - ] ->Х'=1 *10 30 ] \20 15-----*/ \20 ....1'5/ 101
Ill шаг. Вычисляем новую оценочную матрицу С': '6 0 9 0 \ i~~2j О 0 М— 5 |2 ______т / О 2 12 0 / 2 Следующую итерацию снова начинаем с I шага — выделения отрицательного элемента с'21 = —2. Перемещение по циклу, пост- роенному для решения X', числа Х2 = т>п {10, 40, 20} = 10 приво- дит к решению X": / . 45 . 30\ /6 0 7 0 \ Х"=1 10 . 30 . ]; С"= 0 2 0 М-31 \ 10 . . 25/ \0 2 10 0 / Соответствующая ему оценочная матрица С" не имеет отри- цательных элементов, следовательно, решение X" является оп- тимальным. Оно удовлетворяет дополнительному условию *24 = 0. Для решения той же задачи симплексным методом составим прежде всего ее математическую модель: хи 4- *124**1з 75 *21 4- *22 4* *23 = 40 *31 4-*32 4- *33 35 *114“ *214- *31 — 20 *12 4“ *22 = 45 *13 + *23 + *33 = 30 *ife=sO (1 = 1, 2, 3; й=1, 2, 3). 2-е ограничение записано в виде уравнения, на основании дополнительного условия, а 1-е и 3-е — в виде неравенств, так как имеется избыток ресурсов над потребностями. Введем в 1-е и 3-е неравенства балансовые переменные х14 и х34 и приведем систему ограничений к единичному базису. После четы- рех итераций метода последовательных исключений придем к сле- дующей системе ограничений: ^*14 — *31 — *32 — *33 = 20 — *11' 4* *22 4- *23 — *31 = 20 *314- *32 4" *33 4- *34 = 35 *11 4~ *21 4- *31 = 20 *11 4“ *12 — *23 4“ *31 4" *32 = 25 *13 4- *23 4" *33 = 30 2 = 7хц 4- Зх12 Охи -|- 4х24 4- 8х22 -}- 2х?3 4- *si 4“ 5х32 9х33 (m i п). 102
Теперь можно перейти к заполнению исходной симплексной таблицы и выполнению последовательных итераций симплексного метода. ci Баз. перем. 7 3 6 *13 4 8 2 1 5 9 aio *11 *12 *14 *21 Х22 *23 *31 *32 *33 *34 *14 20 1 -1 -1 -1 8 *за 1 1 | 20 -1 1 1 1 -1 1 *34 35 1 1 1 4 *21 20 1 1 1 з *12 25 1 1 -1 1 1 - 6 *13 30 1 1 1 2 495 -8 9 -2 —2 -3 *14 20 1 -1 -1 -1 2 *23 20 -1 1 1 -1 *34 35 1 1 1 1 4 *21 20 1 1 1 3 *12 45 1 1 1 6 *13 1 >о 1 1 1 1 -1 1 11 2 315 1 -9 7 —2 -3 2 245 -6 —2 —2 -10 После II итерации получаем оптимальное решение: xlt = 30; х28 = 30; х34 = 25; х21 = 10; х12 = 45; х31 = 10 (остальные xih = 0), совпадающее с ранее найденным решением X". Для упрощения рас- четов на II итерации производился расчет только элементов стол- бца свободных членов и индексной строки. Все оценки этой строки после умножения на —1 совпадают с ранее найденными в мат- рице С". 103
145. Решить следующие транспортные задачи: 146. Решить задачи 145 (1—4) при следующих допол- нительных условиях: 1) 145 (1) — 1-й пункт потребления должен быть удовлетворен полностью; 2) 145 (2) — из 3-го пункта назначения груз должен быть вывезен полностью; 3) 145 (3) — 1-й и 4-й пункты отправления должны быть полностью разгружены; 4) 145 (4) — 4-й и 6-й потребители должны быть удовлетворены полностью. 147. Найти оптимальный план перевозки неоднород- ного груза двух взаимозаменяемых сортов из двух пунк- тов отправления А1 и Л2 в два пункта назначения Вг и В2. Ресурсы составляют: в п. Аг — 200 ед. I с., 300 ед. II с. н в п. А2 — 120 ед. I с. и 80 ед. II с. Потребности составляют: в п. Вг — 150 ед. I с., 100 ед. II с. и в п. В2 — 120 ед. I с., 200 ед. II с. Затраты на перевозку единицы груза заданы в таблице: Bi Вг ^1 6 10 А 8 4 104
При расчете исходить из коэффициента взаимозаме- няемости I с. на II с., равным 2 (т. е. 2 ед. Ц с. заме- няют 1 ед. I с.). Решение. Прежде всего пересчитываем все данные таблицы в единицы II с.; получим аи=200 lea = 200 • 2 = 400 Ис.; ^=120 1с. =240 Ис. Аналогично bu = 150 Ic. = 150 - 2 = 300 Ис.; Ь21 = 120 1с. =240 Ис. В связи с пересчетом ресурсов и потребностей, относящихся к грузу I с., в условные единицы груза И с. необходимо изменить в обрат- ном отношении коэффициенты затрат на перевозки этого груза. В результате приходим к следующей таблице, все данные которой выражены в единицах груза II с.: bk 300 100 240 200 180 400 3 м 5 м 0 300 м б М 10 0 240 4 м 2 м 0 80 М 8 М 4 0 В связи с тем, что в 1-м и 3-м столбцах указаны потребности только на груз I с., они не могут быть удовлетворены из ресурсов «12 = 300 и 022 — 80 груза II с. Поэтому клетки (2, I), (2, 3), (4, 1) и (4, 3) блокируются с помощью произвольно больших затрат М. Аналогично блокируются клетки, через которые ресурсы I с. не могут удовлетворить потребности в грузе II с., т. е. клетки (I, 2), (1,4), (3, 2) и (3, 4). Наконец, так как суммарные ресурсы составляют 1020 ед., что превышает суммарные потребности на 180 ед., вводим балансовый столбец. Дальнейшее решение задачи выполняется обычными методами. В результате получаем оптимальное решение: .300 0 0 0 100. 0 100 0 120 80 0 0 240 0 0 ' 0 0 0 80 0. Осталось вернуться к исходным единицам, пересчитав данные 1-й и 3-й строк путем деления их на 2: (150 0 0 0 50. 0 100 0 120 80 \ 0 0 120 О О Г Q 0 0 80 О' 105
Согласно этому решению остаток в 50 ед. I с. и 80 ед. II с. остается неиспользованным у поставщика Av 148. Найти оптимальный план перевозок по исходным данным задачи 146 и коэффициенту взаимозаменяемости а = 3. 149. Решить задачу 147 при условии, что п21 = 200 и потребности потребителя В2 должны быть удовлетворены полностью. 150. 1-й склад (Xj) имеет сталь двух марок: 3000 т марки «а» и 4000 т марки «б». 2-й склад (Л2) также имеет сталь двух марок; 5000 т марки «а» и 2000 т марки «б». Сталь должна быть вывезена в два пункта потребления: в пункт fij необходимо поставить 2000 т стали марки «а», 3000 т марки «б» и остальные 2000 т стали любой марки. Аналогично, второй пункт потребления В2 должен получить 8250 т стали, из них 1000 т марки «а» и 1500 т марки «б». Известно, что 2 т стали марки «а» могут заменить 1,6 т стали марки «б». Стоимости перевозок в рублях за тонну составляют: из пункта в пункты В} и В2 1 руб. и 1,5 руб. и из пункта Л2 в Вг и В2, соответственно, 2 руб. и 1 руб. Составить оптимальный план перевозок. 151. Определить оптимальный план перевозок тех же грузов при коэффициенте взаимозаменяемости а = 2 и сле- дующих данных о трех поставщиках и двух потребителях. Постав- щики Xi х2 х3 400 «а» 250 «б» 300 «а» 200 «б» 200 «а» 150 «б» Потре- бители Bi Й2 350 «а» 200 «б» 450 «а» 250 «б» 100 «а» или «б» Св Св м Xi х2 Х3 2 4 5 3 1 6 106
152. Определить оптимальный план перевозок из условия доставки груза в кратчайший срок. Известны ресурсы а,: 30, 35, 40; потребности bk: 20, 34, 16, 10, 25 и матрица /2 6 3 4 8\ 7 = ||М = 1 5 6 9 7 , \3 4 1 6 10' где ttk — время, затрачиваемое на перевозку груза из t-го пункта отправления в k-й пункт назначения. Решение. Прежде всего заметим, что если определить план перевозок из условия минимизации функции 2 = (суммар- ного времени пробега), то по этому плану, как правило, груз не будет доставлен в кратчайший срок. Решение задачи начинаем, как обычно, с построения исходного опорного решения, осуществляемого по одному из выше рассмотрен- ных правил. Будем исходить из опорного решения, построенного по правилу «северо-западного угла». Дальнейшие расчеты можно вести двумя способами: 1) мини- мизировать функцию 2/, но при дополнительных условиях, вводи- мых последовательно в процессе решения, и 2) производить после- довательные преобразования решения путем построения так назы- ваемых «разгрузочных циклов». Первый способ. I шаг. Подчеркиваем в матрице Т — |] |, все элементы, соответствующие запятым клеткам в дан- ном решении, и находим среди них наибольший, который обозна- чим через t‘. Таким образом, f — шах{/г-д,}. Это число, очеви- дно, определяет срок, в течение которого осуществляются пе- ревозки согласно данному решению. В данном примере t' = ~ 'з5 = Ю. II шаг. Все клетки, которым соответствует titi > Г, блокируем . (т. е. заменяем реальные значения tik на произвольно большое число). В рассматриваемом примере блокированию подлежит единственная клетка (3, 5), куда и заносим вместо /35 = 10 число М. III шаг. Для измененной на II шаге матрицы Т ищем опти- мальное решение, минимизирующее функцию 2/ — tikxik- Это можно сделать, в частности, применяя метод потенциалов. Так, например, в рассматриваемой задаче на предварительном этапе строим для решения Х° оценочную матрицу Т° с помощью эквивалентных преобразований: ( 2 6 .3 4 8x0 ______ i i 6 9 7| I /0 0-4-8Ь«+У, - - 0 0 О — 2 — М 4-2 1 3 4 1 6 М 6 Ч - - - - — / \7 7 0 0 0 / —2 —6 —7 —12 — М/ —6 - - - / Выделив в матрице отрицательный элемент = — М + 2, про- изводим перемещение по циклу числа = mtn {10, 11, 25} = 10 107
и переходим к «лучшему» решению /20 . . . 10, Х'=1 . 34 1 . . V \ . . 15 10 15/ Снова преобразовываем матрицу Т° и т. д., пока не будет най- дено оптимальное решение Х'пт. В рассматриваемом примере после V итерации найдем / . 30 . . .к Хопт —I 10 . . . 25 j. \ 10 4 16 10 . / Теперь возвращаемся к I шагу, продолжая расчет в той же последовательности. I ш а г. В решении Х'пт клетка (3,5) оказалась освобожденной. Среди элементов занятых клеток наибольшим оказался f — /25 = 7. Поэтому на II шаге записываем новую матрицу Т2, в которой эле- менты /15 = 8, /24 =9, Z2B = 7 и /35 = 10 заменены числом М: /2 6 3 4 Л1\ 73=11 5 6 М ЛЛ. \3 4 1 6 М/ II in а г. Для измененной матрицы Г!! находим, используя метод потенциалов, новое оптимальное решение 10 20, Хопт=( 20 10 . \ . 24 16 Если бы в этом решении все блокированные клетки освободились, то расчет следовало бы продолжить опять, начиная с I шага. Однако, так как в решении Х"пт блокированные клетки оказа- лись занятыми [клетки (1, 5) и (2, 5)], то найденное на предыдущем этапе решение Х'пт является искомым оптимальным решением по критерию времени. Ему соответствует Zmin = 7 ч. Второй способ. Запишем в виде обычной распредели- тельной таблицы исходное опорное решение Х° и матрицу Т: 20 А 10 А А А А А 24 А I А А А з 4 1 6 10 5 10'- •25 108
I ш аг. Определяем наибольший элемент f из всех tilt, соот- ветствующих занятым клеткам, и все клетки с элементами > t’ (это могут быть лишь свободные клетки) перечеркиваем. В данном примере t' = Z35 = 10, а клеток с элементами ilk > Ю нет. II ш а г. Начиная с клетки (3, 5) (т. е. клетки, которой соответ- ствует /'), строим «разгрузочный» цикл так, чтобы клетки с нечет- ными номерами [считая первой разгружаемую клетку (3, 5)1 были занятыми. В данном случае в цикл входят клетки (3, 5), (2, 5), (2, 3) и (3, 3). Перемещая по этому циклу число = min {11, 25}= 11, получим новую таблицу 20 10 й 11 * : 16: : 10 : 14 Поскольку клетка (3, 5) оказалась не полностью разгруженной, продолжаем дальше построение для нее нового разгрузочного цикла. Таковым будет цикл (3, 5), (2, 5), (2, 2), (1, 2), (1, 1), (3, 1). Перемещая по этому циклу 12 = min {14, 20, 24} = 14, получим новое решение. Теперь клетка (3, 5) освобождена полностью и расчет возобновляется с I шага. I in а г. Наибольшим элементом в занятых клетках является /= /26 = 7, поэтому клетки (1, 5), (2, 4) и (3, 5) перечеркиваются. II шаг. На этом шаге необходимо было бы «разгрузить» клетку (2, 5). ОДнако построение для нее «разгрузочного» цикла невозможно. Действительно, если .снять какое-то число в клетке (2, 5), то для сохранения баланса в 5-м столбце необходимо добавить такое же число в другую клетку этого столбца. Но в 5-м столбце нет непере- черкнутых клеток. Следовательно, «разгрузить» клетку (2, 5) не- 109
возможно. На основании этого заключаем, что решение, показанное в последней таблице, является искомым оптимальным решением, обеспечивающим перевозки за время /min = 7 ч. Заметим, что мы получили отличное от предыдущего оптималь- ное решение, но с тем же значением /min = 7 ч (альтернативный оптимум). Как обычно, можно построить общее оптимальное решение в виде выпуклой линейной комбинации найденных решений с тем же минимальным сроком доставки /т;п=7 ч: / 6—6а 24+ 6а О О (К Хопт = 1 10а 10—10а 0 0 251, где Osga^l. \ 14—14а 4а 16 10 0/ Если бы в задаче была дана, кроме матрицы Т = || ||, еще и матрица затрат С = || ||. то последнее решение можно было бы использовать для относительной минимизации затрат при том же минимальном сроке доставки груза <min = 7 ч. Так, например, пусть дополнительно задана матрица С = •70 30 60 95 60) 20 80 40 67 30 *50 20 70 40 90. Тогда суммарные затраты на перевозки по плану Хопт будут равны гс = 70 (6—6a) = 30 (24 + 6a) = 20- 10a + ... + 40-10 = 4910— —1460a. Из этого выражения видно, что меньшие затраты будут при a = 1, т. е. при решении Хопт, найденном первым способом. 153. В следующих транспортных задачах с заданными ресурсами а„ потребностями bk, матрицей затрат С = = || cik || и матрицей времени перевозок Т = || tik || найти оптимальные планы перевозок по критерию затрат (min XXcikXik), по критерию времени (наименьший срок перевозок /т;п) и критерию минимального суммарного времени пробега min (S2J tikCm) и сравнить их: /70 100 40 80 50\ » Й:20, 60, ГО, 50, 40: С- 90. 50 120 60 70 ; \40 80 30 90 60/ /2 4 3 4 8\ 7=1569 71; \3 4 1 6 10/ НО
о. а, : 60, 40, 100, 50; 2> bk : 30, 80, 65, 35, 40; -8 12 4 9 10ч 7 5 15 3 6] 9 4 6 12 7 I’ ,5 3 2 6 4/ 70 20 40 90 30 60 40 120 70 80 20 50 40 30 70 .90 80 50 60 40' fl,: 40, 25, 35; bk: 15, 40, 30, 15; /10 5 7 4\ C= 7 4 9 10 I; \ 6 14 8 7/ /80 50 40 40\ T = 50 40 60 100 ] \40 140 50 70/ 154. Известен выпуск продукции на трех заводах: а4 = 460, а2 = 340, а3 — 300; требования на эту про- дукцию четырех потребителей: Ьг = 350, й2 = 200, Ь3 = 450, й4 = 100; затраты на производство 1-ед. про- дукции на каждом заводе: d1 = 9, d2 = 8, d3 = 2 и матрица С транспортных расходов на доставку 1 ед. продукции из i-го завода А-му потребителю: /3 4 6 1\ С = ( 5 12 3 1. \4 5 8 1/ Определить оптимальный план прикрепления потре- бителей к заводам из условия минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку. Сравнить с оптимальным планом, построенным из условия мини- мизации только транспортных расходов. Указание. Решать как обычную транспортную задачу, предварительно преобразовав матрицу транспортных расходов в матрицу суммарных затрат || c'ik ||, где c'ik + 155. Решить аналогичную задачу при следующих данных: = 500, а.л = 700, а3 = 600, bt = 400, Ь2 = = 800, Ь3 = 200, й4 = 300, d, = 10, d2 = 3, d3 = 6 и матрице С из задачи 154. 111
156. В задаче 153 выбрать один из следующих трех вариантов расширения недостающих ресурсов: I — рас- ширение мощности 1-го завода с дополнительными затра- тами на 1 ед. продукции Ad4 = 3; II — расширение мощ- ности 2-го завода Ad2 = 2 и III — строительство нового завода с затратами на производство <14 = 5 и на тран- спортировку 1 ед. изделия с41 = 7, с42 = 6, с48 = 5, с44 = 9. Указание. Ввести три дополнительных строки для каждого из вариантов пополнения ресурсов, положив а4 = 400, а5 = 400, ав — 400. Для приведения к закрытой модели соответственно ввести балансовый столбец с потребностями ЬГ1 = 800 и нулевыми затра- тами, после чего задача решается обычным способом. 157. Строительный песок добывается в трех карьерах и доставляется на четыре строительные площадки. Дан- ные о производительности карьеров за день (о, в т), потребностях в песке строительных площадок (bk в т), затратах на добычу песка (di в руб./т) и транспортных расходах (cIfc) приведены в следующей таблице: а‘ 40 35 30 45 ai 46 4 3 2 5 2 34 1 1 6 4 3 40 3 5 9 4 1 Недостающее количество песка — 30 т в день можно обеспечить следующими тремя путями: I — увеличение производительности l-ro карьера, что повлечет за собой дополнительные затраты в 3 руб. на добычу 1 т. II — увеличение производительности 2-го карьера с дополнительными затратами в 2 руб./т. III — эксплуатация нового карьера с затратами на добычу 5 руб./т и на транспортировку к указанным строи- тельным площадкам с41 = 2, с42 — 3 й с43 = 1 (руб./т).. Определить оптимальный план закрепления строи- тельных площадок за карьерами и оптимальный вариант расширения поставок песка. 112
§ 6. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА С ОГРАНИЧЕНИЯМИ ПО ПРОПУСКНОЙ СПОСОБНОСТИ По каждому из маршрутов, дополнительно к закрытой модели транспортной задачи заданы ограничения по пропускной способ- ности xik^dlk (i=l.......р; k=l, .... q). (1) К решению таких задач может быть приспособлен любой из вычислительных алгоритмов решения обычной транспортной задачи (например, метод потенциалов). При этом меняются условие разрешимости задачи, построение исходного опорного решения и оценка оптимальности решения. 1. Разрешимость задачи. В отличие от обычной задачи, где равенство bk является необходимым и достаточным усло- i k вием разрешимости задачи, здесь оно оказывается лишь необхо- димым условием. Например, если ^ldik<ai, при каком-то i, то задача решения k не имеет. Поэтому достаточным условием разрешимости задачи служит существование хотя бы одного допустимого решения. 2. Построение исходного решения. В отличие от обычной задачи, приходится применять итерационный процесс, состоящий из двух этапов. I. Строится исходное решение по правилу минимального эле- мента с учетом ограничений (1). При этом, если на данном шаге заносимая в клетку величина X/* определяется размерами ресурсов (а/) или потребностей (6А), то, как обычно, в матрице || clk || вычерки- вается строка или столбец и находится новый минимальный элемент в «укороченной» матрице. Если же на данном шаге величина Х/д. определяется только ограничением то в матрице || cj* || вычерки- вается только данный элемент С;р. После заполнения всей таблицы может оказаться, что все ресурсы и потребности исчерпаны, т. е. У xfft = сг и У X/fe = 6fe. Тогда полученное решение и является k i исходным опорным решением. Если же в какой-либо строке (а сле- довательно, и в столбце) оказался нераспределенный остаток ^т. е. У xffe < и J^x/fe<6fey то переходят ко II этапу. II. Обозначим У, (щ — S xik) = S и введем дополнительные (р + 1)-ю строку'с ресурсами ар+1 = 6 и (9 + 1)-й столбец с потребностями Ьд+1=о (подобно открытой модели), приняв cii9+1=cp+1<ft = М и ср+1,9+i=0. Новую расширенную задачу решаем методом потенциалов, пока не освободятся все блоки- рованные клетки. Если этого удается добиться, то получим опор- ное решение исходной задачи. Если же освободить блокированные клетки, не удается, то исходная задача не имеет допустимого решения. 3. Оценка оптимальности решения. Для оптимальности решения X — || х1к || необходимо и достаточно существование потенциалов 113
» «i> ••• » «р, vlt ••• . vk> ••• » vq таких, что: c'ik=cik + ui-vk^°’ если xik=°’ (2) c« = ci* + u,-^^-O, если xjk = dik- (3) <* = cife + “;-a* = 0’ если 0 < xlk < dik- (4) Условия (2) и (4) совпадают с аналогичными условиями обычной транс- портной задачи, условие (3) является дополнительным, указывающим, что маршруты с отрицательными приведенными затратами следует загружать максимально допустимой величиной перевозки (х^, — d^). Замечание. При построении исходного опорного решения, а также при дальнейшем его улучшении следует иметь в виду, что базисными переменными являются лишь те xik, которые удовлет- воряют строгим неравенствам xitt < dlk. Однако если их число ока- жется меньше ранга г = р + q — 1, тсгк базисным можно присоеди- нить необходимое число клеток, для которых =- d^ (или xik = 0), но так, чтобы занятые клетки не образовывали замкнутого цикла. 158. Решить транспортную задачу по следующим исходным данным: = 25, а2 = 55, а3 = 20, Ьг = 45, 62 = 15, Ь3 = 20, = 20, /953 10\ /оо оо 15 оо\ С= 6 3 3 2 1, ||d№|| = ( 15 оо оо 10 ). \3 8 4 8/ \оо оо оо оо/ Символ оо в матрице ||dZfc|| указывает, что для данной ком- муникации нет ограничений по пропускной способности. Решение. Построение исходного решения удобно проводить в обычной распределительной таблице транспортной задачи, в верх- нем правом углу которой указаны элементы clk, а в левом нижнем углу — элементы dik. 114
Пунктиром указаны дополнительные (q + 1)-й столбец и (р + 1)-я строка, в которые поместим нераспределенные остатки. Будем выделять «базисные» перевозки (xik < dlk) подчеркиванием снизу. Начинаем заполнение таблицы с клетки (2,4), которой отве- чает минимальный элемент с24 = 2. Для этой клетки х24 = = min {02 64. d24} = min {55, 20, 10} = 10 == d24. Следовательно, эта перевозка является не базисной (определяется пропускной способностью). В матрице С вычеркивается элемент с24 и далее нахо- дятся следующие по величине минимальные элементы с1Э = с22 = = сэ1 == 3. Соответствующие им перевозки х13 = min {25, 20, 15} = = 15 = d13 (не базисная), х22 = min (45, 15, 00) = 15 (базисная) и х31 = min {20, 45, 00} = 20 (базисная) В остальных клетках 2-го столбца и 3-й строки точками отмечено, что эти столбец и строка «закрываются». Далее находим новый мини- мальный элемент матрицы С, среди оставшихся (с21 = 6) и в соот- ветствующую ему клетку заносим х21 = min {30, 25, 15} = 15 = d21 (не базисная). Далее заполняем клетки (2,3) перевозкой х23 = = min {15, 5, 00} = 5 (базисная), и (1, 1) — перевозкой = = min {10, 10, 00} = 10 (базисная). Клетки основной части таблицы оказались все закрытыми, но при этом имеются нераспределенные остатки во 2-й строке и 3-м столбце, которые заносятся в дополни- тельные (пунктирные) клетки: х25 = 10 (базисная) и х44 = 10 (ба- зисная). Мы получили решение расширенной задачи, в котором оказалось 6 базисных переменных вместо г = р + q — 1 = 8. Поэтому включаем в базисные две нулевые перевозки х33 = 0 и х4Б = 0. Теперь перейдем к выполнению итераций метода потенциалов. (9 5 3 10 М v 0 6 3 8 2 М \ 2 3 8 4 8 М j 6 М М М М О / Л44-2 9 5 10 2М4-2 М + 2 /0 0—7 |8 —2Л4| — 2\ 2М — 8 —1 0 0 2—2М 0] 0 9 0 12— 2М 4I2M—8 \2M-7 2М-3 2М-8 0 0/ 2М — 8 В матрице С{ всем базисным переменным соответствуют нулевые оценки, не базисным переменным х13 = 15, х21 = 15 и х24 = 10 — отрицательные оценки. При этом свободным клеткам (1,4) и (3,4) соответствуют отрицательные оценки, свидетельствующие о возмож- ности дальнейшего улучшения решения. Выбрав для замещения клетку (1, 4) строим для нее цикл и пере- улучшенному решению: ходим к новому / 10 . *0 = 15 15 , 20 . 15......* 5 ..=..,10.... 10 V- = ю 0 = 7’ : I . 16............6! /10 . 5 10 / 15 15 15 10 Xi = 20 . . . 115
В решении Хт освобождены все дополнительные клетки, кроме клетки (4, 5), в которой помещено х45 = 10. Следовательно, решение Хт без последней строки и последнего столбца является исходным опорным решением первоначальной задачи. Базисными перемен- ными в нем являются подчеркнутые 6 элементов, что соответствует значению г = 3+ 4—1 = 6. Вычисляем для него оценочную матрицу: /9 5 3 10\ О / 0 7 0 0\ Со= 6 3 8 2 ) —5— С’= —8 0 0 -13 . \3 8 4 8/ 6 \ 007 4/ 9 —2 3 10 В матрице С всем базисным клеткам решения Хг соответствуют нулевые оценки; свободным клеткам (1, 2), (3, 2), (3, 3) и (3. 4) — не- отрицательные оценки; двум не базисным переменным х21 = 15 и х21 = 10 соответствуют отрицательные оценки. Следовательно, условия оптимальности (2) — (4) выполнены и решение Хх является оптимальным решением задачи. 159. Решить следующие транспортные задачи с огра- ничениями по пропускным способностям: 1) = 30, = 25, а3 = 45, Ьх = 20, Ь2 = 15, Ь3 = 25, Ь4 = 40; /3 5 2 6\ /12 9 15 23\ С= 4 7 5 3 ), [|dzft||= 20 10 9 12); \8 6 4 9/ \ 8 15 20 10/ 2) аг = 45, а2 = 65, а3 — 40, Ьг = 70, Ь2 = 30, Ь3 = 50; /5 2 3\ /30 25 25\ С= 7 9 61, ||dZft||= 40 15 20 ; \4 7 5/ \25 20 15/ 3) аг = 35, а2 = 70, Ьх = 30, Ь2 = 15, Ь3 = 35, Ь4 = 10; /3 6 5 7\ /15 10 18 12\ \6 4 8 2/ 'I \22 14 30 15/’ 4) аг = 75, а2 = 65, Ьх = 50, Ъ2 = 20, Ъ3 = 40, Ь4 = 30; /2 8 3 6\ /40 25 20 15\ С \7 4 5 8f “ '7i|' \Ю 30 30 20/’ 5) = 40, а2 = 20, а3 = 40, а4 = 20, Ьх = 30, Ь2 = 60, Ъ3 = 30; /2 1 3\ /10 30 20х 1 4 2] Ю 10 10] "I 4 2 1 1 И 10 20 10 ‘ \1 5 3/ \20 10 IO'
ГЛАВА VII Распределительные задачи § 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ Задачи оптимального распределения взаимозаменяемых ресурсов получили название распределительных задач. 160. (Постановка задачи.) Найти оптималь- ное распределение р различных взаимозаменяемых ре- сурсов, имеющихся в количестве а1, ... , щ, ..., ар, для удовлетворения q различных потребностей в количествах blt ... , bk, ... , bq при заданных матрицах ||c/fe||H ||A/Zfe||, где cik — оценки использования единицы i-ro ресурса на удовлетворение k-x потребностей и hik — количество единиц k-x потребностей, которые удовлетворяются единицей i-ro ресурса. Решение. Введем переменные xik — количество единиц i-x ресурсов, используемых для удовлетворения k-x потребностей. Задача состоит в определении п= pq величин х^, удовлетворяющих ограничительным условиям: (i=l........................р, fe=l.....q), (1) (i=l....p), (2) ^ikXik^bk (fe=l-------q) (3) и максимизирующих (или минимизирующих) функцию (4) В зависимости от конкретного характера задачи может варьиро- ваться конкретное содержание, а также размерность исходных величин ait bk, cih и что в свою очередь приведет к некоторой модификации модели (1) — (4). Так, например, может выражать число единиц i-x ресурсов, затрачиваемых на единицу k-x потребностей. Тогда ограничения (2) и (3) заменятся на и £ xik^lk bk- Если при этом ср, означают оценки единицы /его изделия в руб/шт., то изме- нится и выражение для целевой функции г = ЕЁ cik^ikXik и т- Д- Функция г может максимизироваться, если cife означают при- быль, стоимость и т. д., или минимизироваться, если эти оценки измеряют затраты, себестоимость и т. Д. 117
Форма модели будет также зависеть от выбора переменных хи,. Вне зависимости от этих конкретных модификаций модели (1) — (4), она имеет некоторое сходство с транспортной. Однако наличие в одной из групп ограничений множителей (из-за чего возникло название «Х-модель») приводят и к извест- ным осложнениям при анализе этихмоделей. Распределительные зада- чи решаются с помощью специальных вычислительных методов, пред- ставляющих собой модификацию методов решения транспортных задач. Прн некоторых специальных свойствах матрицы || || возни- кают частные виды распределительных задач, которые могут быть приведены к моделям обычных транспортных задач. Такими частными видами задач являются: 1) простые распределительные задачи (все XIfc=const при любых i и /г); 2) задачи с однородными ресурсами (все строки матрицы ||Х/А, [| одинаковы, т. е. X(-fe = Хц, при различных i); 3) задачи с пропорциональными ресурсами ().ik = a£Xift прн различных i). 161. Составить модели распределительных задач при следующих данных: 1) at — ресурсы i-ro вида оборудования в станко- часах, bk — плановое задание на изготовление k-x изде- лий в штуках, kik — производительность i-ro оборудо- вания по /г-му изделию в шт./ч, cik — себестоимость единицы k-ro изделия при его изготовлении на i-м обо- рудовании в руб./шт.; 2) ait bk, kik те же, с,* — прибыль в руб./шт.; 3) ah bk, kik те же> Cik — затраты в руб./ч; 4) at, bk те же, kik — нормы затрат времени в ч/шт., ctk — прибыль в руб./шт.; 5) aL, bk те же, kik — нормы затрат времени в ч/шт., ctk — себестоимость в руб./шт.; 6) ait bk, kik те же, что и в (5), cik — затраты в руб./ч; 7) a,, bk, kikre же, что и в (5), условие — минимиза- ция времени загрузки оборудования; 8) аг, bk те же, kik — производительность в шт./ч, условие — минимизация загрузки оборудования. 162. В задачах 161 (1—8) дать развернутую словес- ную формулировку приняв р = 2 и q = 3. 163. Составить матрицу условий распределительной задачи, приняв ограничения (2) и (3) в форме уравнений и определить ее ранг. § 2. ПРОСТЫЕ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 164. Найти оптимальное распределение трех видов механизмов, имеющихся в количествах а± = 45, а2 = = 20 и а3 = 35 между четырьмя участками работ, по- 118
требности которых соответственно равны Ъг — 10, Ь2 = == 20, Ьа = 30, 64 = 40, при следующей матрице про- изводительности каждого из механизмов на соответст- вующем участке работы: /5 4 0 5\ С = 1 3 5 3 0]. \О 6 7 6/ Нулевые элементы означают, что данный механизм на данном участке работы не может быть использован. 165. Составить оптимальное распределение специа- листов четырех профилей, имеющихся в количествах 60, 30, 45, 25 между пятью видами работ; потребности в специалистах для каждого вида работы соответственно равны 20, 40, 25, 45, и 30; матрица /7 5 2 0 4\ J4 0 8 6 3] С~1 5 7 0 9 8] \б 4 5 7 б/ характеризует эффективность использования специа- листа на данной работе. 166. Распределить 4 сорта топлива в количестве 70, 40, 50 и 40 т между четырьмя агрегатами, потребности которых соответственно равны 30, 50, 30, 80 т; изве- стна матрица /8 3 5 9\ 4 7 2 6 | 6 5 8 6 Г \4 2 7 4/ элементы cik которой характеризуют теплотворную спо- собность i-ro сорта топлива при использовании его в /г-м агрегате. 167. Четыре различных предприятия могут выпускать любой из четырех видов продукции. Производственные мощности предприятий позволяют обеспечить выпуск продукции каждого вида в количествах 50, 70, 100 и 30 тыс. шт., а плановое задание составляет соответственно П9
30, 80, 20 и 100 тыс. шт. Матрица 9 5 4 8\ 5 7 9 4 | 6 4 8 6 8 6 7 5/ С = Ы1 = характеризует себестоимость единицы k-ro вида продук- ции при производстве его на i-м предприятии. Найти оптимальное распределение планового задания между предприятиями. 168. Четыре ремонтные мастерские могут за год отре- монтировать соответственно 700, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной машины в 50 , 70, 65 и 60 руб. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 350, 350, 300, 300 и 200 машин. Избыточные мощности 1-й и 2-й мастерских могут быть использованы для обслуживания других видов работ, а 3-й и 4-й мастерских — только на указанный вид работ. Матрица /40 10 70 501 20 80 30 10 с=1Ы1= 60 30 30 40 10 40 50 50 \20 30 10 40/ характеризует транспортные расходы на доставку ма- шины с i-й автобазы в k-ю ремонтную мастерскую. Опре- делить миндальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного объема ремонтных работ по всем автобазам. § 3. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ОДНОРОДНЫМИ РЕСУРСАМИ Ресурсы аи .... cq, ар однородные и полностью взаимозаме- няемые, потребности blt .... Ьк, ..., Ьд — разнородные (измеряемые в различных единицах). Числа \lk = А/г (k = 1, ..., q} указывают количество единиц /г-х потребностей, которые могут быть удовле- творены единицей любого ресурса. Числа cik по-прежнему характе- ризуют эффективность единицы i-ro ресурса при удовлетворении им k-x потребностей. 120
Если, как и в § I ввести переменные х^, обозначающие коли- чество единиц t-x ресурсов, направляемых на удовлетворение k-x потребностей, то придем к той же модели (1) — (4), в которой лишь упростятся ограничения (3), принимающие в данном случае вид У, ^kxik L Разделив эти неравенства почленно на А и обозначив = получим модель обычной транспортной задачи: (< = 1. ••• Р)> (k=l,... , q). (min) с ресурсами ait потребностями b'k и коэффициентами затрат cik (или — clk, если величины характеризуют эффективность в положитель- ном смысле). К подобным же моделям приводятся задачи с разнородными, но взаимозаменяемыми ресурсами, и однородными потребностями. В этом случае задаются величины характеризующие количество единиц потребностей, которые могут быть удовлетворены единицей i-ro ресурса (см. задачу 160). 169. На трех участках посевных площадей размером в 300, 500 и 400 га могут быть посажены 4 вида с.-х. культур, которые необходимо вырастить в количестве, соответственно 600, 1500, 225 и 1250 т. Матрица С = '20 25 30' 50 40 15 24 10 20 40 20 15' характеризует себестоимость 1 т при выращивании i-й культуры на k-ы участке. Составить оптимальный план посева, если урожайность по различным культурам не зависит от участка посева и составляет 20, 30, 15 и 50 ц/га. 170. Ресурсы угля трех сортов составляют 300, 800 и 400 т, а их теплотворная способность соответственно 1800, 2500, 3000 кал/кг. Уголь сжигается в четырех печах, потребности которых составляют 750, 920, 1100 и 800 млн. кал. Суммарные затраты на производство и доставку каждого сорта угля до каждой печи (в руб. /т) задаются следующей матрицей: /27 36 18 18\ С= 30 25 15 20 I. \36 30 24 21/ 121
Составить оптимальный план распределения ресурсов угля по печам. 171. Найти оптимальное распределение трех взаимо- заменяемых механизмов по четырем видам земляных работ при заданных ресурсах времени каждого меха- низма 240, 160 и 150 ч, производительности механизмов 30, 55, 18 м3/ч, объеме подлежащих выполнению работ 5, 2, 3 и 8 тыс. м3 и матрице С себестоимости работ в руб/м3: /2 1 0,5 1,2\ С = 0,8 1,2 0,9 0,8 . \0,5 1,0 0,6 0,9/ 172. На четырех ткацких станках с объемом рабочего времени 200, 300, 250 и 400 станко-часов может изго- товляться ткань трех артикулов в количествах 260, 200, 340 и 500 м за 1 ч. Составить программу загрузки стан- ков, если прибыль (в руб.) от реализации 1 м ткани i-ro артикула при ее изготовлении на k-м станке харак- теризуется элементами матрицы /2,5 2,2 2,0 2,8\ С= 1,6 1,0 1,9 1,2 I, \0,8 1,0 0,6 0,9/ а суммарная потребность в ткани каждого из артикулов равна 200, 100 и 150 тыс. м. 173. Имеется три сорта бумаги в количествах 10, 8 и 5 т, которую можно использовать на издание четырех книг тиражом в 8 000, 6000, 15 000 и 10 000 экз. Расход бумаги на одну книгу составляет 0,6; 0,8; 0,4 и 0,5 кг, а себестоимость (в коп.) печатания книги при использовании i-ro сорта бумаги задается матрицей /24 15 32 25\ С = 18 24 24 20 I. \30 24 16 20/ Определить оптимальное распределение бумажных ре- сурсов. § 4. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ РЕСУРСАМИ Ресурсы av .... Oj, ... ар и потребности Ьг, ..., bk, ..., Ь9 неодно- ' родные, но в матрице || ||, элементы которой устанавливают связь между единицами ресурсов и потребностей, строки пропорциональны, т. е. (k — I, .... 7), где числа otj называются индексами i-x ресурсов. 122
Если в модель (1) — (4) подставить выражения для и обо- значить = = Cal=:c'lk’ х1ьаГ=Уиг, <5) то вновь получим модель транспортной задачи: при условиях (»=1, ••• , р, k= 1, .... q). (1') ^Уи^ k (i=l, . P), (2') i (k=i, ... . 9). (3') минимизировать (или максимизировать) функцию <4') Замечание. При иной, чем в начале § 1 интерпретации чисел clk и (см. задачу 160) изменится форма модели (1) — (4), а, следовательно, переход к модели (Г) — (4') потребует введения иных обозначений (5). Поэтому, при решении конкретных задач, сначала составляется исходная модель, а затем путем введения обозна- чений вида (5) она приводится к транспортной модели. 174. Составить оптимальную производственную про- грамму по обработке четырех видов изделий А, Б, В и Г на трех взаимозаменяемых станках по следующим исходным данным: Станки Ресурсы времени, ч Себестоимость, руб./шт. Производительность, шт./ч А Б В Г А Б В Г I II III 240 150 150 2,0 0,8 0,5 1,0 1,2 1,0 0,5 0,9 0,6 1,2 0,8 0,9 30 60 18 50 100 30 30 60 18 20 40 12 Плановое зада- ние, тыс. шт. 3 15 4,5 1,5 175. Найти оптимальный план выпуска пяти изделий (А, Б, В, Г и Д) на четырех предприятиях по 123
исходным данным: Пред- приятия Ресурсы времени, ч П рои зводс твен ные издержки, руб./шт. П ро изводи тель н ость, шт./ч А Б В Г д А Б в Г д I 100 4 5 4 8 — 21 9 15 18 II 60 2,4 5 — 4 6 30 42 — 30 36 III 120 — 3 9 3 7 — 14 6 10 12 IV 60 3,6 4 8 — 6 45 63 27 — 54 Плановое зада- ние, тыс. шт. 1,5 2,1 0,36 0,6 3,6 Решить задачу по следующим критериям оптималь- ности: 1) минимизация производственных издержек; 2) минимизация времени загрузки оборудования; 3) максимизация прибыли, при заданных отпускных ценах на изделия 10, 7, 12, 8 и 10 руб./шт. 176. Составить оптимальный план посева четырех культур на трех участках посевной площади по следую- щим исходным данным: Указание. Если строгой пропорциональности между стро- ками матрицы || Klk || (в данном случае матрицы урожайности) нет, Л,7, но отношения . — незначительно варьируют вдоль строки, то можно воспользоваться тем же методом перехода к транспортной модели, вычисляя индексы приближенно по формуле средней арифмети- 124
ческой взвешенной: k k После нахождения приближенного оптимального решения можно снова пересчитать уточненные индексы по формуле где x*k берутся из найденного в первом приближении оптимального решения. 177. Решить задачу 176 при матрице урожайности /100 60 80 35\ А = 80 40 60 25 \125 80 90 40/ 178. Четыре различных вида изделий (А, Б, В и Г) могут изготовляться из трех видов сырья (I, II и III). В связи с различными отпускными ценами на единицу изделия в зависимости от используемого сырья, различ- ными производственными затратами при использовании различного сырья, прибыль, получаемая от реализации единицы изделия, зависит от вида продукта и исполь- зуемого при его изготовлении вида сырья. В таблице приведены исходные данные задачи: Сырье Нормы расхода, к г/шт. Прибыль, руб./шт. За- пасы сырья, кг А в В г А В В Г I 12 8 16 6 72 56 32 54 300 II 6 4 8 3 60 24 80 42 200 III 9 6 12 4,5 36 96 64 24 450 Плановое задание, ШТ. 20 30 40 25 Составить оптимальный план использования сырья по следующим критериям: 125
1) максимизация суммарной прибыли; 2) минимизация использования сырья; 3) решить задачу (2) при условии, что нормы расхода характеризуются матрицей /12 8 16 6\ Х = ||Х«|| = 6 5 93. \ 8 7 10 4/ § 5. ОБЩИЕ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Общая модель таких задач (1) — (4), называемая Х-моделью, получается при произвольном характере матрицы X = || X/fr ||. Для решения используется либо специальный метод, представ- ляющий собой видоизменение метода потенциалов, либо общие методы (например, симплексный). В последнем случае это приводит к некоторому усложнению вычислений. 179. В следующих задачах составить модель и найти оптимальную программу обработки трех изделий (А, Б, В) на двух взаимозаменяемых станках (I, II) при следую- щих исходных данных: Станки Нормы времени, ч/шт. Рабочее время, ч Себестоимость, руб./ч А В В А Б В I 2 5 3 200 3 2 4 II 4 7 5 350 2,5 2 3 План, шт. 80 30 10 Прибыль, руб./шт. 20 40 30 В качестве критерия оптимальности выбрать: 1) минимум себестоимости; 2) минимум затрат времени работы станков; 3) максимум прибыли. 180. Имеется три сорта взаимозаменяемого сырья в количествах 200, 100, 300 кг, которое используется при производстве четырех продуктов в количестве 25, 45, 30, 70 единиц. В матрицах указаны соответственно 126-
расход сырья (в кг) и производственные затраты на единицу продукта (в руб.): / 3 2 4 2\ А = 12 4 2,4 3 1; \3,5 2 2 4/ /40 30 20 35' С= 30 25 45 40 \20 45 30 35, Составить математическую модель задачи определения оптимального плана использования сырья. 181, Имеются три предприятия (1, 2, 3), располагаю- щие для выпуска продукции А, Б, В двумя видами ре- сурсов (I, II), объемы которых составляют для 1-го предприятия 250 и 150 ед., для 2-го 100 и 200 еД. и для 3-го соответственно 240 и 300 ед. Заданы нормы затрат каждого ресурса на i-м предприятии для производства единицы £-й продукции (k = 1, 2, 3), себестоимость производства единицы k-й продукции на i-м предприятии и объем производства k-й продукции, предусмотренный производственной программой. Все указанные числовые данные помещены в следующей таблице: Пред- приятия Нормы затрат Себестоимость А В В А Б В I И I II I II 1 2 3 2 1,5 2,2 4 5 3 1,1 1,6 1,2 2 3 2,4 2,5 2,2 2,4 3 2,5 4,2 2 3 2,5 8 7 9 5 6 7 Производственная программа 300 170 250 1) Составить математическую модель для определения оптимальной специализации производства пз условия минимизации суммарной себестоимости. 2) Решить ту же задачу из предположения, что I вид ресурсов жестко закреплен за предприятием, а II вид можно передавать из одного предприятия дру- гому. 182. Плановое задание по изготовлению четырех моделей костюмов необходимо распределить между тремя швейными фабриками. Производственные мощности i-й фабрики (i = 1, 2, 3) позволяют за рассматриваемый 127
отрезок времени выпустить костюмов k-й модели (k — 1, 2, 3, 4). Заданы цены ck на костюм Л-й модели и себестоимости .%* изготовления k-й модели костюма на i-й фабрике. Числовые данные указаны в таблице. План 180 150 100 100 X. Костюмы Фабрики\ I 2 3 4 I \^120 40\ X. 240 4оХ^ X. 300 5оХ^ X. 150 20 \ 11 \ 240 25Х^ X. 300 зоХ^ X. 200 25Х^ X. 300 4оХ^ III \150 4оХ. 'Х 240 5оХ^ X. 300 4оХ^ \ 200 зоХ^ Цена 50 65 80 50 Решить, опираясь на эти данные, следующие задачи: 1. Может ли быть выполнено плановое задание? 2. Составить оптимальный план загрузки фабрик из условия минимизации себестоимости плановой про- дукции. 3. Составить оптимальный план загрузки из условия максимизации прибыли при точном выполнении планового задания. 4. То же, при допустимости перевыполнения плана. 5. Составить оптимальный план загрузки фабрик, обеспечивающий максимальное количество комплектов костюмов, если числа планового задания рассматривать как ассортиментные отношения. Оценить при этом ре- сурсы мощностей каждой из фабрик. В задачах 3—5 составить математическую модель. 183. На трех участках колхозного поля могут выра- щиваться три культуры: рожь, пшеница и ячмень. В следующей таблице указаны размеры участков в гек- тарах, урожайность lik (в ц/га) на каждом из участков по каждой культуре (правый верхний угол клетки), затраты cik в чел.-ч на 1 ц (левый нижний угол клетки) и плановое задание по сбору этих культур (в ц): 128
Решить следующие задачи: 1. Определить оптимальную структуру посевов, ми- нимизирующую суммарные затраты. 2. Определить оптимальную структуру посевов, обес- печивающую максимальное перевыполнение плана при сохранении планового ассортимента (5:2:4). 3. Известно дополнительно, что колхоз располагает парком тракторов, который может выделить для обра- ботки данных участков 12000 тракторо-часов, затрачивая на обработку 1 га на соответствующих участках 160, 140 и 120 ч.. Составить оптимальную структуру посевов, макси- мизирующую суммарный сбор урожая при плановом ассортиментном соотношении 5:2:4. 4. При дополнительных данных задачи 3 определить оптимальную структуру посевов, обеспечивающую вы- полнение планового задания с минимальными затра- тами. 184. Авиакомпания для организации пассажирских перевозок между центром и четырьмя городами распола- гает тремя группами самолетов: I группа из 10 четырех- моторных самолетов, II — из 25 двухмоторных и III группа — из 40 двухмоторных старого образца. Количество пассажиров в тыс. человек, перевозимых одним самолетом данного типа по каждому маршруту за 1 месяц, и связанные с этим эксплуатационные рас- ходы на 1 самолет в тыс. руб. указаны соответственно в правых верхних и левых нижних углах каждой клетки таблицы. Там же в двух последних строках приведены б И. Л. Калнхмап 129
количество пассажиров, которое нужно перевезти по данному маршруту в месяц, и стоимость одного билета. Маршрут Самолет Г орода 1 2 3 4 I \1,6 16 'X. 2,2 20 X. 1,3 — II \2,8 зс \з,о 25\ \ 2,4 20\ 2 25^ III \0,8 'Х 1,0 12\ X. 1,5 16Х^ Количество пассажи- ров, тыс. чел. 20 50 40 30 Стоимость билета 25 15 20 15 Распределить самолеты по маршрутам из условия достижения максимальной прибыли авиакомпаний. Часто распределительные задачи могут возникать в измененной формулировке, когда объемы потребностей не указываются точно, bi bk а задается лишь их ассортиментное соотношение: о- = ,...,= = Pi Pft = ,...,= ъ9 . Сохраняя принятые в начале § 1 обозначения, получим Р? в данном случае модель, отличную от (1) — (4): при условиях (i=l..........................р, k=\, ..., q), (1=1, ...,p), ^Xifext* = pfcz (A=l, .... q), k i максимизировать общее число комплектов z=i2w<i- Однако полученная модель уже не является распределительной задачей в прежнем смысле, так как речь идет об определении не только оптимального распределения, но и определении максималь- ного выпуска. 185. Три предприятия (I, II, III) могут обеспечить на каждом выпуск трех видов изделий (А, Б, В). Основ- ные производственно-экономические данные приведены в следующей таблице. Составить оптимальный годовой план загрузки предприятий из условия получения мак- 130
спмального числа комплектов, в каждый из которых изделия входят в отношении 1:2:3. Пред- прия- тия Месячная производитель- ность, шт. Себестоимость, руб./шт. А Б В А Б В I 3000 4000 6000 15 20 25 II 5000 4000 0000 16 18 20 III 4000 2000 6000 12 15 16 § 6. ЗАДАЧИ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ НАЗНАЧЕНИИ 186. (Постановка задачи.) Найти опти- мальное распределение q работ между р исполнителями при заданной матрице эффективности С = || cih ||, где cik характеризует в количественной форме эффектив- ность выполнения t-й работы (г = 1, 2, .... р) k-м испол- нителем (/г = 1, 2, q) при следующих дополнитель- ных условиях: а) каждый исполнитель может выполнять только одну работу, б) каждая работа может выполняться только одним исполнителем. Указанные задачи могут решаться как общими методами, при- меняемыми для любых транспортных задач (распределительным, методом потенциалов и т. д.), так и специальными методами, ис- пользующими упрощающие особенности данной модели (a; = 6ft= 1). Однако применение общих методов при решении задач об опти- мальных назначениях приводит к техническим осложнениям, вызванным тем, что любое опорное решение задачи будет вырож- денным, содержащим р — 1 «базисных» нулей. 187. Составить оптимальный план назначения при следующей матрице эффективности: /3 7 8 9\ /4 4 3 10 | 5 3 9 11 \7 5 4 8/ Решение. Первый способ. Будем исходить из мат- рицы «затрат» Ст = — С. Однако для того чтобы не оперировать отрицательными числами, воспользуемся эквивалентным преобра- зованием матрицы затрат, заключающимся в прибавлении ко всем ее элементам одного и того же числа 10 (наибольшего из всех чисел б* 131
cik). В результате получим следующую матрицу с неотрицательными элементами: С 7 3 2 1\ — 3 6 6 7 О I —2 5 7 18—2 3 5 6 2/ _5 2 0 12 Теперь строим исходное опорное решение по одному из извест- ных правил (например, правилу «минимального элемента»). При этом после занесения очередной единицы в соседнюю по столбцу или строке клетку, которой соответствуют меньшие затраты, поме- щаем «базисный» нуль, так как каждая единица одновременно закрывает столбец и строку. В результате получим исходное решение Хй и соответствующую ему оценочную матрицу С“: '6 0 0 6 4 6 5 5 0 0 0 2 Единственный отрицательный элемент с"4 = — 1 указывает на возможность «улучшения» решения Х°. В действительности улуч- шения не произойдет, так как по соответствующему клетке (4, 4) циклу перемещается X = 0. Этот нуль, помещенный в клетку (4, 4), снимается в клетке (4, 2), которой соответствуют большие затраты (с42 > с14). Новая оценочная матрица оказывается состоящей из одних неотрицательных элементов; отсюда делаем вывод, что Х° есть оптимальное решение. Согласно этому решению 1-я работа закрепляется за 2-м исполнителем, 2-я — за 4-м, 3-я — за 3-м и, наконец, 4-я работа за 1-м исполнителем. Суммарная эффектив- ность при этом достигнет максимума и составит 2тах= 33 ед. Второй с п о с о б. Приведенный выше метод решения оказался случайно не очень трудоемким, но, вообще говоря, он часто бывает сопряжен с большим числом итераций. Способ, который сейчас будет указан, основан на последова- тельном решении двойственной задачи, модель которой запишется следующим образом: максимизировать функцию > л при условиях ui-\-vk^cik для всех 1 и k. (**) I ш а г. В приведенной ниже таблице записана матрица эффек- тивностей || clk ||. В каждой строке находим наибольший элемент cik и определяем начальные значения ц(- и и*'из условия — 0 и U[ = max {Сцг} по строке. II шаг. Все элементы cik, для которых выполняется равенство uit/ — vk cik< подчеркиваем. 132
Определить оптимальное число скорых и пассажир- ских поездов, при которых число перевозимых пасса- жиров достигает максимума. 198. Решить предыдущую задачу, если пропускная способность дороги не позволяет в день пройти более чем шести пассажирским поездам. 199. Оборудование фабрики позволяет выпускать фруктовые компоты в трех видах тары: стеклянной в ко- личестве 10 ц, жестяной в количестве 8 ц и полиэтиле- новой в количестве 5 ц. Найти производственную программу предприятия, максимизирующую прибыль, если себестоимость 1 ц компота составляет: в стеклянной таре—16 руб., в жестяной — 10 руб. и в полиэтиленовой — 16 руб. Отпускная цена независимо от тары составляет 40 руб. за 1 ц. 200. При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать свежее сено (не более 50 кг) и силос (не более 85 кг). Рацион должен обладать опре- деленной питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок (не менее 1 кг), кальций (не менее 100 г) и фосфор (не менее 80 г). В следующей таблице приведены данные о содержа- нии указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и себестоимости (коп./кг) этих продуктов: Определить оптимальный рацион из условия мини- мума себестоимости. 201. В цехе три токарных станка и один автомат. Необходимо организовать производство двух деталей в комплекте: на каждую деталь № 1 три детали № 2 и две № 3. Составить, используя графическое решение, программу работы станков, при которой будет произ- 139
ведено максимальное число комплектов, если дневная производительность каждого станка по каждой из деталей задана в следующей таблице: Станки Детали № 1 № 2 № 3 Токарный . 50 40 80 Автомат. . . 120 90 60 202. Для изготовления двух видов изделий А и В фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. На изготовлении указанных двух изделий заняты токарные и фрезерные станки. В следующей таблице приведены исходные данные задачи: Виды ресурсов Объем ресурсов Нормы расхода на 1 изделие изделие А изделие Сталь (кг) Цветные металлы (кг) 570 420 5600 3400 10 20 300 200 70 50 400 100 Токарные станки (станко-ч) . . . Фрезерные станки (станко-ч) . . Прибыль (тыс. руб.) 3 8 Определить план выпуска продукции, при котором будет достигнута максимальная прибыль. § 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО АССОРТИМЕНТА 203. (Постановка задачи.) Имеется р видов ресурсов в количествах а1г ..., ait ар, которые могут быть использованы при производстве q видов изделий. Задана матрица А — |l aik ||, где aik характеризует нормы 140
расхода k-ro ресурса на единицу Л-го изделия (k = 1, 2, .... q). Эффективность выпуска единицы Л-го изделия харак- теризуется показателем ск, удовлетворяющим условию «линейности», согласно которому суммарная эффектив- ность выпуска cq изделий с показателем q и сеа изделий с показателем с2 равна qa с2а2. Определить план выпуска изделий (оптимальный ассортимент), при кото- ром суммарный показатель эффективности принимает наибольшее значение. Решение. Обозначив количество единиц k-x изделий, вы- пускаемых предприятием, через х/^0 (где k = 1,2, ..., q), получим математическую модель задачи: максимизировать при условиях 4 г= У, Л = 1 4 S aikxk^ai (i=l, 2, .... р). А>=1 О) (2) Дальнейшее решение задачи можно получить, используя симп- лексный метод. Замечание. Кроме указанных ограничений по ресурсам (2), в условие задачи, а Следовательно, и в ее математическую модель могут вводиться дополнительные ограничения на планируемый выпуск продукции (ограничения по ассортименту, условия комплект- ности и т. д.). 204. Предприятие располагает ресурсами сырья, ра- бочей силой и оборудованием, необходимыми для произ- водства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице: Вид ресурса Вид товара I 2 3 4 Объем ресур- сов Сырье, кг. . . 3 5 2 4 60 Рабочая сила, Оборудование, ч 22 14 18 30 400 станко-ч . . . 10 14 8 16 128 Прибыль на единицу товара, руб 30 25 56 48 141
По этим исходным Данным решить следующие задачи. 1. Какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной? 2. Определить оптимальный ассортимент при допол- нительном условии: 1-го товара выпустить не более 5 ед., 2-го — не менее 8 ед., а 3-го и 4-го — в отношении 1 : 2. 3. Дополнительно к задаче 1 заданы производствен- ные издержки в рублях на 1 ед. каждого изделия: 6, 9, 12, 3. Найти оптимальный ассортимент, максимизирую- щий прибыль, при условии, что суммарные производ- ственные издержки не должны превышать 96 руб. 4. В задаче 1 определить, как повлияет на максималь- ную прибыль увеличение каждого из видов ресурсов на единицу. 5. Определить изменение в оптимальном ассорти- менте, найденном в задаче 1, если ресурсы сырья увели- чены на 50%, а ресурсы рабочей силы и оборудования на 30%. 6. Определить оптимал'ьный ассортимент, максими- зирующий нормативную стоимость обработки, если нор- мативные стоимости обработки единицы каждого вида товаров заданы числами 17, 35, 20, 15. 205. Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, бюро и книжные шкафы. При изготовлении этих товаров используются два различных типа досок, причем фабрика имеет в наличии 1500 м досок I типа и 1000 м досок II типа. Кроме того, заданы трудовые ресурсы в количе- стве 800 чел.-ч. В/таблице приведены нормативы затрат каждого из ви- дов ресурсов на изготовление 1 ед. изделия и прибыль на 1 ед. изделия: Изделия Ресурсы Затраты на 1 ед. изделия столы стулья бюро книжные шкафы Доски I типа, м . . . . 5 1 9 12 Доски 11 типа, м . . . 2 3 4 1 Трудовые ресурсы, чел.-ч 3 2 5 10 Прибыль, руб./шт. . . . 12 5 15 10 142
По этим исходным данным решить следующие задачи. 1. Определить оптимальный ассортимент, максими- зирующий прибыль. 2. Решить ту же задачу при дополнительных усло- виях, налагаемых на ассортимент: столов — не менее 40, стульев — не менее 130, бюро — не менее 30 и книжных шкафов — не более 10. 3. Решить задачу 1 при условии комплектности: коли- чество столов относится к количеству стульев, как 1 : 6. 4. Заданы дополнительно цены: стол — 32 руб., стул — 15 руб., бюро —12 руб. и книжный шкаф — 80 руб. Определить оптимальный ассортимент, макси- мизирующий товарную продукцию, при единственном ограничении на ассортимент — условии комплектности столов и стульев 1 : 6. 5. Фабрика может дополнительно приобрести доски I типа по 12 коп./м и II типа по 8 коп./м. Кроме того, можно увеличить трудовые ресурсы за счет сверхурочной работы, производя дополнительную оплату каждого часа в сумме 80 коп. Определить в условиях задачи 1, увеличение какого из видов ресурсов более целесообразно. Указание. Использовать оценки индексной строки, отно- сящиеся к балансовым переменным. 206. Ткань трех артикулов производится на ткацких станках двух типов с различной производительностью. Для изготовления ткани используется пряжа и краси- тели. В следующей таблице указаны мощности станков (в тыс. станко-ч), ресурсы пряжи и красителей (в тыс. кг), производительности станков по каждому виду пряжи (в м/ч), нормы расхода пряжи и краски (в кг на 1000 м) и цена (в руб.) 1 м ткани. Виды ресурсов Объем ресурсов Производительность и нормы расхода I 2 3 Станки I типа 30 20 10 25 Станки II типа 45 8 20 10 Пряжа 30 120 180 210 Красители 1 10 5 8 Цена 15 15 20 143
По этим исходным Данным решить следующие задачи. 1. Определить оптимальный ассортимент, максими- зирующий товарную продукцию фабрики. 2. Приняв условие, что количество тканей трех арти- кулов должно находиться в отношении 2:1:3, опреде- лить, какое максимальное количество комплектов ткани может выпустить фабрика. 3. Определить оптимальный ассортимент, максимизи- рующий прибыль, если себестоимость 1 м ткани соста- вляет соответственно 8, 5 и 15 руб. 4. Решить задачу 1 при условии, что станки I типа ткань 1-го артикула не производят. 5. Определить оценки всех четырех видов ресурсов относительно оптимального ассортимента, найденного в задаче 1. § 3. ЗАДАЧИ О «СМЕСЯХ» 207. (Постановка задачи.) Имеется р ком- понентов (i = 1, 2, ..., р), при сочетании которых в раз- личных пропорциях образуются различные смеси. В состав каждого компонента входят q веществ. Через aik и ак обозначено количество Л-го вещества (k = 1, 2, ..., q), которое входит в состав единицы i-ro компонента и, соответственно, в единицу смеси. Предпо- лагается, что ak зависит от aik линейно, т. е. если смесь состоит из х± единиц 1-го компонента, х2 единиц 2-го компонента и т. д., то ak = 2 aikX,. (3) /= I Заданы p чисел ch характеризующих цену, вес, калорийность и т. д. единицы t-ro компонента, и q чисел bh, указывающих минимально необходимое содержание k-vo вещества в смеси. Требуется определить состав смеси (т. е. числа х±, х2, ..., х,-, ..., хр), для которой сум- марная характеристика (цена, вес и т. д.) окажется наи- лучшей. Решение. Из равенства (3) и условия обязательного ми- нимального содержания каждого из веществ в смеси получим си- стему неравенств S aikxi bk (А= 1, 2, ..., q). (4) i = l 144
Кроме того, очевидно, X/SsO (i=1.2.....р). (5) Наконец, суммарная характеристика смеси выразится равен- ством р 2= J] cpQ. (6) 1 = 1 Задача заключается в том, чтобы минимизировать функцию (6) при условиях (4) и (5). Для дальнейшего решения задачи можно использовать симплексный метод. Замечания. 1. Кроме ограничений (4), по содержанию от- дельных веществ в смеси, в задаче могут фигурировать ограничения по имеющимся запасам отдельных компонентов или по предельным нормам их включения в смесь. Могут задаваться также пропорции, в которых некоторые из компонентов должны входить в состав смеси. 2. Если известны условия изготовления компонентов с уче- том имеющихся для этой цели ресурсов, то возникает более слож- ная объединенная задача составления оптимальной смеси, для которой будут с наибольшим эффектом использованы ресурсы в про- изводстве компонентов. Так, например, при составлении рациона кормления можно определить оптимальную структуру посевов, обес- печивающих кормление имеющегося поголовья скота наилучшим образом. Ресурсами в данном случае служат участки земли, на которых выращиваются различные компоненты, включаемые в рацион. 3. В случае когда, согласно п. 1, в систему ограничений вклю- чаются простейшие неравенства вида х, di, можно использовать специальный вычислительный метод (симплексный метод с учетом двусторонних ограничений), в котором простейшие неравенства в основную систему ограничений не вводятся. Однако можно эти же задачи решать и обычным симплексным методом. 208. Нефтеперерабатывающий завод получает 4 по- луфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг- бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиацион- ного бензина: бензин А — 2 : 3 : 5 : 2, бензин В — 3 : 1 : 2 : 1 и бензин С — 2:2: 1 : 3. Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина харак- теризуется числами: 120 руб., 100 руб. и 150 руб. 1. Определить план смешения компонентов, при ко- тором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции. 2. Определить оптимальный план смешения из усло- вия максимального использования компонентов. 145
209. В состав рациона кормления входят три продукта: сено, силос и концентраты, содержащие питательные ве- щества: белок, кальций и витамины. Содержание пита- тельных веществ (в г на 1 кг) соответствующего продукта питания и минимально необходимые нормы их потребле- ния заданы следующей таблицей: Используя эти исходные данные, решить следующие задачи. 1. Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена 1 кг про- дукта питания соответственно составляет: сена — 3 коп., силоса — 2 коп. и концентратов — 5 коп. 2. Решить задачу 1, если заданы дополнительно пре- дельные нормы суточной выдачи: сена — не более 12 кг, силоса — не более 20 кг и концентратов не бо- лее 16 кг. 3. Включить в задачу 2 условие ограниченности ре- сурсов продуктов на один рацион: сена — не более 10 кг, силоса — не более 15 кг и концентратов — не более 20 кг. 4. Определить влияние на минимальную стоимость рациона увеличения ресурсов сена и силоса на 1 кг и концентратов на 3 кг. 5. В найденном (в задаче 2) оптимальном рационе заменить 1 кг сена на силос или концентраты. Опреде- лить, при какой замене минимальная стоимость изменится наименьшим образом. 210. Животноводческая ферма составляет рацион кормления коров на зиму. Имеются два научно разрабо- танных рациона А и В и произвольный рацион С сле- дующих составов: 146
Рацион А Не менее 40% кукурузного силоса, не более 40% кормовых трав Рацион В Не менее 30% кукурузного силоса, не более 50% кормовых трав Рацион С Корм без ограничения Заданы следующие предельные нормы расхода каж- дого продукта, исходя из произведенных заготовок кор- мов: кукурузного силоса — 200 ц, кормовых трав — 300 ц. Какое количество каждого из рационов должна соста- вить ферма, чтобы получить максимальную прибыль, если при рационе А она составляет 10 руб./ц, при ра- ционе В — 12 руб./ц, при произвольном рационе — 5 руб./ц? 211. Для кормления подопытного животного ему необ- ходимо давать ежедневно не менее 15 ед. химического вещества Aj (витамина или некоторой соли) и 15 ед. хими- ческого вещества Д2. Не имея возможности давать веще- ство Аг или Л2 в чистом виде, можно приобретать веще- ство В, по 1 коп. или В2 по 3 коп. за 1 кг, причем каждый килограмм Вг содержит 1 ед. А± и 5 ед. Д2, а килограмм В2 — 5 ед. Аг и 1 ед. Д2. Определить оптимальное содержание веществ и В2 в ежедневном рационе. 212. Из четырех видов основных материалов (медь, цинк, свинец, никель) составляют три вида сплавов ла- туни: обычный, специальный и для художественных изделий. Цены единицы веса меди, цинка, свинца и никеля составляют 0,8 руб., 0,6 руб., 0,4 руб. и 1,0 руб., а единицы веса сплава, соответственно, 2 руб., 3 руб., 4 руб. Сплав для художественных изделий должен содержать не менее 6% никеля, не менее 50% меди и не более 30% свинца; специальный — не менее 4% никеля, не менее 70% меди, не менее 10% цинка и не более 20% свинца. В обычный сплав компоненты могут входить без ограни- чений. 147
Производственная мощность предприятия позволяет выпускать (за определенный срок) не более 400 ед. веса обычного сплава, не более 700 ед. веса специального сплава и не более 100 ед. веса декоративного сплава. Найти производственный план, обеспечивающий мак- симальную прибыль. § 4. ЗАДАЧИ О «РАСКРОЕ» 213. (Постановка задач и.) На раскрой (рас- пил, обработку) поступает $ различных материалов. Требуется изготовить из них q различных изделий в коли- честве, пропорциональном числам blt b2, bk, .... Ьд. Каждая единица /-го материала (/ = 1,2, ..., s) может быть раскроена р различными способами, причем исполь- зование i-го способа (i = 1, р) дает aJik единиц k-x из- делий. Найти план распила, обеспечивающий максимальное число комплектов, если материалов /-го вида поступает а1 единиц. Решение. Обозначим через х[ количество единиц /-го мате- риала, раскраиваемых по Z-му способу (всего таких переменных будет p-s). Переменные х', очевидно, должны удовлетворять огра- ничениям: (1 = 1,2..р и / = 1, 2, ..., s), (7) р £ x5=«4/=l,2t...,s). (8) i = 1 s р /=1 f=l где x — число комплектов изготавливаемых изделий. Задача заключается в максимизации 2 = х при условиях (7), (8) и (9). Дальнейшее решение задачи проводится симплексным методом. В частном случае, когда на обработку поступает материал только одного образца (т. е. s = 1), в количестве а ед., модель принимает более простой вид: максимизировать г = х при условиях: (i = l, 2, ... , р), i ^aikX^bkX (6=1, 2, ..., q). (7') (8') (9') 148
214. Для изготовления брусьев трех размеров: 0,6 м, 1,5 м и 2,5 м в соотношении 2 : 1 : 3 на распил поступают бревна длиной в 3 м. Определить план распила, обеспе- чивающий максимальное число комплектов. Решение. Прежде всего определим всевозможные способы распила бревен, указав сколько соответствующих брусьев при этом получается. Способы распила (t) Получаемые брусья Количество бре- вен, распилен- ных по t-му способу 0.6 1.5 2,5 1 5 — — х4 2 2 1 — х2 3 — 2 — х3 4 — — 1 х4 Теперь составляем математическую модель, приняв, что всего поступает на распил а бревен: максимизировать число комплектов г = х при условиях, что все бревна должны быть распилены (х4 + + х2 + х3 -|- х4 = а) и что число брусьев каждого размера должно удовлетворять условию комплектности 5х'1 + 2х2 = 2х; х2 + 2xa = 1 • х; х4 — Зх. 1 последнего равенства, определив х=-„ О Из Х4 И ИСКЛЮЧИВ X из остальных выражений, придем окончательно к следующей задаче: 2=^- (max), О *1+ -*2 + хз -F х^ = а 2 -|- 2х2 ----~ Х4 — 0 о х2 + 2х3 —х4 — 0 *Т S- 9. х2 0, х3 5 0, х4 - 0. После решения ее симплексным методом получим оптимальное решение задачи Хопт = (4/39 , 5/39 , 0, 10/13) и Zmax = 10/39. Таким образом, 10,2% общего числа поступающих бревен сле- дует распиливать по 1-му способу, 12,8% — по 2-му способу и 77% — по 3-му способу; 4-й способ распила применять не следует. 215. Определить по данным задачи 214 оптимальный план распила, если на обработку поступают также 2-мет- ровые бревна, причем соотношение между 3- и 2-метро- выми бревнами составляет 1 : 3. 149
216. Произвести распил 5-метровых бревен на брусья размерами 1,5; 2,4 и 3,2 м в отношении 2:3:5 так, чтобы минимизировать общую величину отходов. 217. Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая — 250 листов фанеры. Из поступающих листов фанеры не- обходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали 1-го типа, 3 детали 2-го типа и 2 детали 3-го типа. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различ- ными способами. Количество деталей каждого типа, которое полу- чается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в сле- дующей таблице. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов. § 5. ОБЩАЯ ПЛАНОВО-ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ЗАДАЧА. ВЫБОР ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СПОСОБОВ ПРОИЗВОДСТВА Многие из ранее приведенных задач, а также ряд других планово- производственных задач укладываются в следующую общую задачу линейного программирования. 218. (Постановка задачи.) Некоторый про- изводственный процесс может вестись в р различных технологических режимах (способах организации про- изводства, способах обработки, раскроя и т. д.). В рас- сматриваемом процессе участвуют q производственных факторов (изделий, ресурсов и т. д.). Пусть aifi означает 150
объем производства k-ro фактора (k = 1, 2, .... q), при применении г-го технологического режима (i = 1, 2, ..., р) с единичной интенсивностью. При этом если aik ~> 0, то i-й фактор производится (например, изделия, продукты и т. д.), а если aik > 0, то соответствующий фактор расходуется (например, ресурсы, сырье и т. д.). Обозначим через bk > 0 потребность в k-ы факторе, если он производится, и через bk < 0 — ресурсы k-ro фактора, если он расходуется. Таким образом, с помощью введения чисел aik ц bk со знаками «+» или «—» уста- навливается как бы формальное равноправие между ресурсами и потребностями. Обозначим, наконец, через с, оценку результата при- менения i-ro технологического режима единичной ин- тенсивностью. Определить производственный план, зада- ваемый величинами интенсивностей всех технологиче- ских способов, суммарная оценка которого будет наилуч- шей. Решение. Обозначим через xt интенсивность, с которой при- меняется £-й технологический режим. Тогда переменные x-t должны удовлетворять следующим двум видам ограничений: xt SsO (£=1, 2, ..., р), (10) ^atkXi^bk (fe=l,2, .... q). (11) i В случае когда /г-й фактор есть производимый продукт, выра- жение (11) представляет собой ограничение по потребностям. Если же /г-й фактор есть расходуемый вид ресурсов, то в соответствии с при- нятым условием ац, 0 и < 0, и поэтому неравенство (11) 'перепишется в виде £ | | xt | bk |, что соответствует по харак- теру обычным ограничениям по ресурсам. Суммарная оценка всего производственного процесса может быть получена с помощью формулы 2 = ]£с;х(-, (12) i запись которой предполагает, что оценки каждого технологического способа пропорциональны интенсивности его применения, а при использовании нескольких способов суммируются. Задача заключается в том, чтобы максимизировать (или мини- мизировать) функцию (12), при условиях (10) н (11). Указанная модель задачи, очевидно, в общем случае должна исследоваться об- щими вычислительными методами. Нетрудно видеть, что некоторые из ранее рассмотренных задач являются частными случаями данной, если соответственно истол- ковать такие понятия, как «факторы производства» и «технологиче- ские способы» в конкретных терминах данной задачи. В то же время указанная задача может непосредственно фигури- ровать как задача нахождения оптимального сочетания интенсивно- стей различных технологических режимов (способов производства). 151
219. Имеются три технологических процесса (I, II и III), связанных с производством некоторого продукта и потреблением при этом четырех видов сырья. Пусть Ci означает цену продукта, полученного в ре- зультате применения i-ro процесса с единичной интенсив- ностью, bk — ресурсы k-ro вида сырья и aik — расход k-ro вида сырья при i-м процессе с единичной интенсив- ностью. Определить интенсивности использования каждого процесса из условия обеспечения максимума товарной продукции. 220. Предприятие может выпускать продукцию по трем технологически отработанным способам производ- ства. При этом за 1 ч по 1-му способу производства оно выпускает 20 ед. продукции, по 2-му — 25 ед. и по 3-му — 30 ед. продукции. Количество производственных факторов, расходуемых за час при различных способах производства, и распо- лагаемые ресурсы этих факторов представлены в следую- щей таблице: ^х. Факторы Способ ^х. произ- ^Х. водства Сырье Ста- ноч- ный парк Рабо- чая сила Энер- гия Транс- порт Про- чие рас- ходы 1 2. 3 7 2 1 4 2 1 4 3 1 0 2 3 3 о 4 3 1 1 Располагаемые ресур- сы факторов .... 60 80 70 50 40 50 152
Спланировать работу предприятия из условия получения максимума продукции, если известно, что общее время работы предприятия составляет 30 ч. 221. Предприятие может работать по пяти технологи- ческим процессам, причем количество единиц выпускае- мой продукции по разным технологическим процессам за 1 ед. времени соответственно равно 300, 260, 320, 400 и 450 шт. В процессе производства учитываются сле- дующие производственные факторы: сырье, апектроэнер- гия, зарплата и накладные расходы. Затраты соответствующих факторов в рублях при работе по разным технологическим процессам в течение 1 ед. времени указаны в следующей таблице: В последней графе таблицы указаны ресурсы, кото- рыми располагает предприятие по каждому из производ- ственных факторов. Найти программу максимального выпуска про- дукции. 222. Механический завод при изготовлении трех раз- ных типов деталей использует токарные, фрезерные п строгальные станки. При этом обработку каждой детали можно вести тремя различными технологическими спо- собами. В следующей таблице указаны ресурсы (в станко-ч) каждой группы станков, нормы расхода времени при об- работке детали на соответствующем станке по данному технологическому способу и прибыль от выпуска еди- ницы детали каждого вида. 153
Детали I П III Ре- сурсы вре- мени Технологические способы 1 2 1 2 3 1 2 ' 3 Станки Токарный Фрезерный Строгальный 0,4 0,5 0,3 0,9 0,5 0,5 0,6 0,4 0,3 0,2 1,5 0,5 0,3 0,7 0,3 1,4 1,0 0,9 0,5 250 450 600 Прибыль 12 18 30 1. Составить оптимальный план загрузки производ- ственных мощностей, обеспечивающий максимальную прибыль. 2. Считая, что между количеством выпускаемых де- талей должно выполняться соотношение комплектности 1 : 2 : 1, определить производственную программу, обес- печивающую изготовление максимального числа ком- плектов. 3. Решить задачу 1, если число деталей II типа должно не превышать 100 ед. 4. Сформулировать данную задачу на языке общей пла ново - произ водственной зада чи. 223. Нефтеперерабатывающий завод располагает 10 ед. нефти сорта А и 15 ед. сорта В. При переработке нефти получаются бензин и мазут. При этом известны следующие три способа переработки: Способы переработки Результат Мазут Бензин 1/1+2В 2 3 2Л+1В 5 1 2Д+2В 2 1 Цена за единицу 2 10 Найти наиболее выгодный план переработки, дающий максимум товарной продукции. 154
§ 6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ ВО ВРЕМЕНИ. ОПТИМАЛЬНОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ЗАПАСОВ 224. (Постановка задачи.) Планируется производство однородного продукта для удовлетворения потребностей, меняющихся во времени. Весь годичный период разбит на п периодов. Потребности на продукт в i-м периоде составляют Ьг. Известны также затраты на выпуск дополнительной единицы продукта (а руб.) и на хранение той же единицы в течение одного периода (с руб.). Составить оптимальный график производства по периодам, минимизирующий суммарные затраты. Решение. Обозначим через X; 0 выпуск продукции за i-й период, а через и(- запасы, которые образуются в конце i-ro пе- риода за счет превышения накопленного выпуска продукции, начи- ная с 1-го периода до данного, над накопленным расходом. Пусть к началу планируемого периода выпуск продукции со- ставляет х0 единиц. Средний размер запасов, хранящихся в течение i-го периода, составит 1/2 (и^ + нг). Поэтому расходы на хранение за весь пла- нируемый период будут составлять п гхр = ~2" 1 = 1 Введем две новые неотрицательные переменные уг и zt- из соотно- шений *i—(i = 2, 3, , п). При этом в оптимальном графике производства можно уг трактовать как величину, на которую произошло расширение производства в i-м периоде, а гг — соответственно как свертывание производства. Исходя из этого, суммарные дополнительные затраты на расшире- ние производства запишутся в виде п грасш —а У Hi- 1 = 1 Таким образом, приходим окончательно к следующей модели задачи линейного программирования: минимизировать функцию п г~ 9- (ui-l + ui)4~a V Hi (13) 1 = 1 1=2 при условиях: Й^О, zf2s0 (1 = 1,2.........и), (14) Xi -л = yi—zi (i = 2, 3.....n), (15) 1 1 «1 = «о + S *1~£ (i=l, 2, ..., n)t (16) f == 1 i = I U/S?O (i=l, 2, ... , n). (17) 155
Модель можно упростить, исключив из нее переменные х;. Для этого вычтем из уравнения (16) аналогичное уравнение для i — 1. Получим = .S-Ч- S *i-Sbi+S bi^Xi-bi. Аналогично, очевидно, — z//_2 = *7-1 — ^i-i> откуда по- членным вычитанием из предыдущего равенства получаем xi — xi-l — Hi — 2n£-_j 4“ tli-2 + b[ — b;_^. Подставляя это выражение в левую часть равенств (15), запи- шем их в виде iii—2ui_i+ui_2+bi—bi_i=yi—zi, (г = 1....л). (15') Дальнейшее решение задачи, описанной выражениями (13), (14), (15'), (17), ведется как обычно. 225. Планируется поквартальный выпуск продукции для удовлетворения переменного спроса (6Х = 50, Ь2 = = 30, Ь3 = 40, Ь4 = 20). Составить оптимальный график работы предприятия, если затраты на дополнительный выпуск 1 ед. продукции составляют 30 руб., а затраты на хранение той же еди- ницы в запасах в течение одного периода — 3 руб. При этом задано и0 = 5. Решение. Согласно рассмотренной выше общей модели, обозначим соответственно выпуски продукции в I, II, III и IV квар- талах через х,, хг, х3 и х4, запасы продукции через и4, и2, и3, и4, объем роста производстве в r-м квартале через yt и объем свертыва- ния через Zi- Тогда выражения (13) — (17) приобретут следующий конкрет- ный вид: минимизировать функцию z = 2 (5 -j-Stzj l-2и2-{-2i(;i-J-и4)-|-30 (t^-j-J/a + l/i) (13') при условиях u2 —2Uj-|-5 — 20=у2 — г2 Пз—2гм-|-Л1-р 10=//з—z3 tii—2u3-\-u2—20—.yi — zi • uf=?0 (i=l, 2, 3, 4). (15'1 (17') Решение этой задачи с помощью симплексных таблиц дает следующий результат: ^2 = 5, Н4=15, Z2 = 10, U4 = ll3 = У2~Уз = = и гпнп = 45 РУ6- С помощью равенств (15) н (16) определяем значения х£: —|— —z/q — 45; х2—х2 —— z2 — 35, х2—х2 — о5; х1£ = х3 — 35. 156
226. Решить ту же задачу, приняв дополнительно усло- вие, что к концу планируемого периода запасов не остается. 227. Решить задачу 225, если сокращение производ- ства также сопряжено с затратами, составляющими 20 руб. на единицу продукции. 228. Найти оптимальный график производства по двухмесячным периодам для удовлетворения переменного спроса Ь± = 50, Ь2 = 30, bs = 40, Ь4 = 35, Ьъ = 60, Ь6 = 30, если затраты на хранение 1 ед. продукции в те- чение двух месяцев составляют 5 руб., а затраты на рас- ширение производства — 16 руб. на 1 ед. продукции. Принять и0 = 0 и ив = 0. 229. Решить ту же задачу, если и0 = 15 и ив — про- извольное. 230. Склад вместимостью в 100 ед. сезонного продукта содержит к началу планируемого периода 30 ед. Опре- делить, сколько требуется покупать и продавать в тече- ние каждого из рассматриваемых четырех кварталов для получения максимума прибыли, если цена приобретен- ной единицы к концу квартала составляет 5, 7, 4, 9, а цена проданной единицы в течение квартала соответст- венно равна 10, 8, 5, 10. 231. Для удовлетворения поквартального переменного спроса в некоторых изделиях Ь} = 30, b2 = 70, Ь3 = 40, й4 = 20, предприятие располагает двумя возможностями; применять три дневные смены, во время каждой из кото- рых предприятие может выпускать 20 ед. изделий в квар- тал, и две ночные с производительностью 15 ед. в квартал каждая. Затраты на 1 ед. продукции в дневную смену соста- вляют 150 руб. а в ночную смену — 200 руб. Определить оптимальный график работы предприятия, минимизи- рующий себестоимость продукции, если запасы продук- ции к началу и концу планируемого периода равны нулю, а расходы по хранению в течение квартала состав- ляют 100 руб. на 1 ед. продукции. § 7. ОПТИМАЛЬНЫЕ БАЛАНСОВЫЕ МОДЕЛИ 232. (Постановка задачи.) Рассматривается «-отраслевая балансовая модель в стоимостном выраже- нии с постоянными «технологическими» коэффициентами, задаваемыми матрицей затрат А — || aik |], где aik — 157
затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции /г-й отрасли. Определить оптимальный вало- вой выпуск каждой отрасли, при котором будет достиг- нут максимальный суммарный выпуск конечного про- дукта в стоимостном выражении, если производственные возможности i-й отрасти ограничивают ее валовой вы- пуск величиной di (где i = 1,2, и цены на конеч- ный продукт задаются вектором С = (q, с2, .... Q,... Сп). Решение. Обозначим через X = (хп х2, ..., Х[, .... хп) и Y = (У1,1/2, --чУь .... уп) векторы, характеризующие соответственно валовой выпуск продукции всех отраслей И конечный продукт. Тогда между векторами X и Y существует следующее соотношение (см. гл. II): Х = £-У, где S = (£ —Л) J. Поэтому математическая модель задачи может быть сформули- рована так: максимизировать функцию 2 = С- Y (18) при условиях SFsgD, (19) У S> О, (20) где D — (dv d2....d{, .... dfr) и векторные неравенства означают, что каждая составляющая соответствующих векторов удовлетворяет аналогичному неравенству. Дальнейшее решение задачи ведется обычными приемами. Замечание. В задаче могут быть дополнительно указаны ограничения, налагаемые на конечный продукт в виде ассортимент- ного ограничения (уг : у2 : ... = : Ь2 : ...) и ограничений сверху ИЛИ снизу (yi sg Ь, ИЛИ yt 5= 6,)- 233. Имеется трехотраслевая матрицей коэффициентов затрат /0,1 0,05 А = 0,3 0 \0,2 0,4 балансовая модель с 0,2 \ 0,15 0 ) Производственные мощности отраслей ограничивают возможности ее валового выпуска числами 300, 200, 500. Определить оптимальный валовой выпуск всех отраслей, максимизирующий стоимость суммарного конечного про- дукта, если задан вектор цен на конечный продукт: С = (2, 5, 1). 234. Решить ту же задачу, если на конечный про- дукт накладываются следующие ограничения: уг : у3 = = 2:1 и (/2 < 100. 158 /
235. Дополнительно к данным задачи 233 заданы коэф- фициенты прямых затрат труда на выпуск 1 ед. продук- ции каждой отрасли: 0,2; 0,3; 0,15. Определить макси- мально возможный выпуск конечного продукта в стои- мостном выражении, если суммарные затраты труда не должны превышать 70 ед. 236. Трехотраслевая балансовая модель в стоимост- ном выражении характеризуется матрицей коэффициен- тов прямых затрат: /0,2 0 0,1\ Л = |0,1 0,4 0,1 \0,1 0,2 О J- Известно, что для увеличения в будущем году валового выпуска 1, 2, 3-й отраслей на 1 ед. необходимо затратить капиталовложений: в 1-ю отрасль — 0,6; во 2-ю от- расль— 0,2 и в 3-ю отрасль — 0,1. Определить оптималь- ное распределение капиталовложений, обеспечивающее максимальный прирост конечного продукта в следующем году, если размеры капиталовложений в соответствую- щие отрасли ограничены числами 100, 50 и 60, а стои- мости единицы конечного продукта соответственно равны 1, 5 и 4. 237. Решить ту же задачу, если задано ассортимент- ное ограничение на прирост конечного продукта: At/r : : At/2 : А//3 = 5 : 1 : 2. 238. Рассматривается трехотраслевая балансовая мо- дель в стоимостном выражении с матрицей коэффициен- тов прямых затрат ' /0,4 0,1 0,2\ Л = ;0,3 0,2 0,1 \0,1 0,4 0 /• Для расширенного воспроизводства в будущем году в каждой из отраслей созданы дополнительно орудия труда в сумме соответственно 120, 50 и 80 ед. Эти вели- чины могут быть использованы как капиталовложения Для расширенного воспроизводства отраслей на следую- щий год. При этом известна матрица коэффициентов капитальных затрат /0,3 0,1 0,1\ /( = 11^11= 0,2 0,05 0,1 j \0,1 0,2 0,2/ • 159
где kik означает необходимые затраты орудий труда, созданных i-й отраслью для дополнительного выпуска продукции А’-й отрасли на 1 ед. (все данные указаны в денежных единицах). Определить оптимальное рас- пределение капиталовложений, обеспечивающее макси- мальный суммарный прирост конечного продукта при следующих ценах на него: 2, 3, 1. 239. Решить предыдущую задачу при следующем ас- сортиментном ограничении на прирост конечного про- дукта: Дг/Г : Д4/3 = 2 : 1. § 8. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 240. Для изготовления определенного сплава из свин- ца, цинка и олова используется сырье в виде следующих пяти сплавов из тех же металлов, отличающихся соста- вом и стоимостью 1 кг. Сплав Содержание в % Компоненты I II 1П IV V Свинец 10 10 40 60 30 Цинк 10 30 50 30 20 Олово 80 60 10 10 50 Стоимость 4 4,5 5,8 6,0 7,5 1. Определить, сколько нужно взять сплава каждого вида, чтобы изготовить с минимальной себестоимостью сплав, содержащий 20% свинца, 30% цинка и 50%, олова. 2. Решить ту же задачу, если для нового сплава за- даются следующие ограничения: олова от 40 до 60% и цинка от 20 до 30%. 3. Решить ту же задачу при следующих ограниче- ниях на состав сплава: олова — не более 40% и цинка — не менее 20%. Решение найти, используя переход к двой- ственной задаче. 241. Для строительства домов на 100 строительных площадках выбраны 5 типовых проектов. По каждому из проектов известны: длительность закладки фундамен- 160
тов и Строительства остальной части здания в Днях, а также жилая площадь дома и стоимость 1 кв. м жилой площади. Тип дома I II Ш IV V Фундамент 20 30 35 30 40 Остальные работы 40 20 60 35 25 Жилая площадь 3000 2000 5000 4000 6000 Стоимость 1 кв. м 200 150 220 180 200 Параллельно можно вести закладку 10 фундаментов и строительство 15 зданий. 1. Определить план строительства, обеспечивающий ввод максимальной жилой площади в течение года (300 рабочих дней). 2. Решить ту же задачу при дополнительном ограни- чении: число домов каждого типа должно оказаться не менее чем 10. 3. Определить годовой план строительства, максими- зирующий суммарную жилую площадь при дополнитель- ном условии, что средняя себестоимость 1 кв. м не пре- вышает 180 руб. 242. Обработка деталей А, В и С может производиться на трех станках (I, II, III). В следующей таблице ука- заны нормы затраты времени на обработку станком соот- ветствующей детали, продажная цена единицы детали (в руб.), оплата 1 ч работы станка и предельное время работы станка. Станки Детали Нормы времени Оплата Время работы станка А В с I 0,2 0,1 0,05 30 40 II 0,6 0,3 0,2 10 60 III 0,2 0,1 0,4 20 30 Цена 10 16 12 6 И. Л. Калихман 161
На основании следующих дополнительных указаний составить математическую модель по определению опти- мальной производственной программы, предполагая в за- дачах 1) — 10), что любая деталь может производиться на любом из станков, а в задачах И) - 17), что каж- дая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков: 1) максимум товарной продукции (Т); 2) максимум суммарной прибыли (П); 3) минимум суммарных затрат на обработку (S) при плане А — 300, В — 500, С — 100 шт.; 4) максимум числа комплектов, включающих 3 детали А, 2 детали В и 1 деталь С; 5) максимум П при заданном ассортименте 3:2: 1; 6) максимум П при заданном количестве деталей А (200), В (400), С (600); 7) максимальная загрузка станков при заданном ас- сортименте 3:2: 1; 8) максимальное число деталей А, В и С при одина- ковом времени работы всех станков; 9) максимум П при дополнительных условиях, что каждый станок загружен производством только одной детали и что план предусматривает производство всех трех деталей; 10) максимум суммарной производительности при дополнительных условиях задачи 9) и равном времени работы всех станков. 11) максимум П; 12) максимум Т; 13) максимум П при дополнительных условиях: деталей А не менее 300 ед., деталей В не более 200 ед.; 14) максимум Т при заданном ассортименте 3:2: 1; 15) минимум S при заданном ассортименте 1 : 2 : 3; 16) оценить в задаче 11) влияние на Птах увеличения ресурсов времени по каждому станку; 17) то же в задаче 12). 243. Для контроля за работой космической ракеты используются 4 вида датчиков, которые помещены на ракете и результаты измерений которых регистрируются тремя типами наземных регистраторов-самописцев. Ка- ждый датчик определяет одну из характеристик (темпера- туру, давление и т. д.) и передает результаты по отдель- 162
ному каналу связи на любой самописец. В следующей таблице указаны численности датчиков и самописцев, а также время, затрачиваемое на включение соответствую- щего канала связи: Определить оптимальное закрепление датчиков к ре- гистрирующим устройствам, при котором достигается минимум суммарных затрат времени на переключение каналов. 244. Из пункта А в пункт В и обратно отправ- ляются 4 поезда согласно следующему расписанию; из А в В: 900, 1200, 1600 и 2000; из В в Л: 1000, 1500, 1800 и 2200. Время в пути для всех поездов одинаково и равно 5 ч. Локомотивы, ведущие поезда, совершают в сутки два рейса: один из пункта, к которому локомотив при- креплен, и второй обратно с ближайшим очередным рейсом. Найти оптимальное закрепление локомотивов за пунктами А и В, при котором достигается минимум сум- марного времени простоя локомотивов (Т). 245. Расход газа в городе характеризуется двумя величинами: суммарный расход за год (Л) и среднемесяч- ный расход за зимний период (В). Для удовлетворения потребностей в газе могут быть построены газохранилища трех типов (I, II, III), для каждого из которых известны те же две характеристики (а, и faj. Известны также капи- тальные затраты на строительство каждого газохрани- лища и суммарный объем капиталовложений на органи- зацию газоснабжения. Определить оптимальный план строительства газохранилищ, обеспечивающий удовлет- ворение потребностей в газе при минимальной его себе- стоимости, по конкретным данным, приведенным в сле- дующей таблице: 6* 163
Тины газохранилищ 1 II III Всего Годовая потребность (производи- тельность) 50 100 50 2500 Среднемесячная потребность (про- изводительность) 20 30 10 500 Себестоимость 1 м3 1 0,8 0,8 Капиталовложения 120 90 180 3600 Решить задачу путем перехода к двойственной задаче и дать экономическое толкование полученным значениям двойственных переменных. 246. Для удовлетворения переменного спроса по кварталам применяется, кроме нормального режима ра- боты, сверхурочная работа в количестве, не превышаю- щем 25% времени основной работы и выпуска продукции на дополнительном оборудовании в количестве не более чем 20% от основной продукции. Кроме того, излишек продукции в данном квартале может храниться в виде запасов. Исходные данные задачи приведены в следую- щих таблицах: Кварталы I II ш IV Затраты на единицу продукции Норм, работы Сверхур. работы До- поли. обо- РУД- Хра- нение Спрос Выпуск при норм, ре- жиме работы 140 100 120 80 200 120 140 100 5 8 10 3 Определить оптимальный режим работы предприя- тия, удовлетворяющий спрос с минимальными затратами при следующих условиях: 1) начальный и конечный запасы равны; 2) начальный запас равен 20 ед., а конечный равен нулю; 3) начальный запас равен 20 ед., а конечный не задан; 4) начальный и конечный запасы произвольные. 164
247. Предприятие выпускает два-продукта (k = 1,2) для удовлетворения спроса Ь'ь, меняющегося по полуго- диям (j = 1, 2). Изготовление продуктов может произ- водиться на трех машинах (t = 1, 2, 3), для которых известно время tik, затрачиваемое /-й машиной на произ- водство единицы /г-го продукта н суммарный резерв вре- мени а{, которым располагает i-я машина в /-м полуго- дии. Известны также затраты ck на хранение единицы /<-го продукта в течение полугодия. Все указанные вели- чины приведены в следующей таблице: ‘и, 4 4 ck I II I 11 I II 1 2 1 1 70 80 1 20 30 3 2 2 3 2 100 60 2 30 40 5 3 4 2 3 120 100 Определить оптимальную производственную про- грамму из условия минимизации затрат на хранение. 248. (Задача о поставщике.) Для обслужи- вания автоперевозок в j-й день недели требуется а}- авто- машин. Машины после поездки должны пройти профи- лактический ремонт. Обычный ремонт длится 4 дня при затратах 20 руб. на машину, срочный ремонт длится 2 дня при затратах 30 руб. на машину. Кроме того, можно использовать для перевозок машины, сняв их с другого участка, что приведет к потерям в 50 руб. на машину. Определить оптимальную недельную программу подготовки машин, минимизирующую суммарные за- траты автобазы, если потребности в машинах характери- зуются следующими данными: Дни недели I 2 3 4 5 6 7 ai 50 40 70 60 80 40 50 165
249. (Задача о складе.) Склад емкостью в 200 ед. товара используется для хранения продукции и отпуска товаров в торговую сеть. Предполагается, что поступление товаров на склад производится в конце ка- ждого квартала, а продажа — в течение всего квартала. Затраты на изготовление и хранение, а также отпускная цена 1 ед. товара по кварталам указаны в следующей таблице: Кварталы Затраты Отпускная цена Изготовление Хранение 1 8 5 20 II 12 4 16 III 10 7 15 IV 15 6 18 Предполагая спрос неограниченным, определить оп- тимальную ежеквартальную программу изготовления, хранения и продажи товаров, максимизирующую сум- марную прибыль за год, при следующих условиях: 1) начальные запасы равны нулю; 2) начальные и конечные запасы равны нулю; 3) начальные и конечные запасы равны 250 ед.; 4) решить задачу 1) при дополнительном ограничении: ежеквартально можно изготовить не более чем 500 ед. 250. Колхоз может продать часть своего урожая пше- ницы и посеять остаток. При этом урожай составляет 20 ц с га на каждые посеянные 10 кг. Кроме того, известны цены, по которым он может продать центнер пшеницы за 4 последовательных года (7, 8, 10 и 6 руб.). Опреде- лить оптимальную стратегию для колхоза на указанные 4 года, при которой будет достигнута максимальная прибыль. 251. (Транспортная задача с проме- жуточными пунктам и.) Имеются всего 5 пунк- тов (i = 1, ..., 5), включенных в общую транспорт- ную сеть. Для каждого из пунктов указаны объем произ- водства at и объем потреблений Ьк. Заданы также коэф- фициенты с,ft затрат на перевозки из i-ro пункта в k-й. Все указанные данные приведены в следующей таблице: 166
1 2 3 4 5 ai bk 1 7 3 9 4 40 15 2 7 8 4 5 60 100 3 4 2 6 4 20 20 4 5 1 9 7 70 20 5 5 2 9 э 40 30 Составить оптимальный план перевозок, минимизи- рующий суммарные затраты. 252. Для обслуживания четырех авиалиний имеются три типа самолетов. В следующей таблице указано число самолетов i-го типа («,), количество пассажиров, которые отправляются по k-й линии (йЛ), эксплуатационные расходы на один самолет i-ro типа на k-й линии (cik) и общее число пассажиров, которое может перевезти за данный период i-й тип самолета на k-й линии (\fc): Определить оптимальное распределение самолетов по авиалиниям, минимизирующее суммарные расходы. 167
253. В угольном бассейне добывается уголь трех сор- тов в относительных долях 20%, 60%, 15%. Добытый уголь доставляется четырем энергетическим установкам. Заданы теплотворные способности каждого из сортов топлива (в ккал/кг): 2800, 3000, 3500; потребности уста- новок (в млн. ккал): 10, 25, 15, 30 и затраты по добыче 1 т каждого сорта (в руб.): 8, 10, 15. Определить требуемый объем добычи и распределение разных сортов угля между энергетическими установками из условия минимизации суммарных затрат.
ГЛАВА IX Элементы теории игр § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ Рассматриваются конечные парные игры с нулевой суммой. Игрок Д располагает р чистыми стратегиями Аъ .... .... Ар, а игрок В — соответственно^ чистыми стратегиями Въ ...» Вь, ...» Вд. Первый игрок может выбрать любую стратегию Ait в ответ на которую второй игрок может выбрать любую стратегию Bk. Сочетание этих стратегий (Ait Bti) приведет к некоторому числовому результату («платежу»), который обозначим через aik и будем назы- вать его «выигрышем» игрока А. Игра с «нулевой суммой» означает, что при этом «выигрыш» игрока В составит — aik (числа aik могут быть и отрицательными, поэтому слово «выигрыш» взято в кавычки). Матрица П = || aik || порядка р X q называется платежной матри- цей, или матрицей игры: Al Стратегии игрока В a. = tiling К Вг Bk B4 Стратегии игрока А Аг an “Ik alq «1 • At ail aik alq af- Ар apl ... apk apg «Р P* = maxaift i Pt ... pfe ... Pg p \ Числа cQ = minaife и pfe = max aik указывают минимально гаранти- k i рованный выигрыш для игрока Д, применяющего стратегию Дг, и минимально гарантированный проигрыш игроком В при использо- вании им стратегии В^. 169
Величина a = max англах (пйпод) (1) i i k называется нижней ценой игры, максиминным выигрышем Л, или коротко максимином, а соответствующая ему стратегия (строка) —• максиминной. Аналогично P = min pA = min (max aik) (2) k k i называется верхней ценой игры, минимаксным проигрышем В, или минимаксом, а соответствующая стратегия игрока В — минимакс- ной. Всегда « Принцип, согласно которому игроки выбирают эти стратегии, называется принципом максимина (для А) или минимакса (для В). Если игрок А выбирает свою максиминную стратегию, то при любой стратегии, выбираемой игроком В, ему обеспечивается вы- игрыш не менее чем а. Аналогично для игрока В, при выборе им стратегии, при которой достигается (5 = min Рд,, обеспечивается k проигрыш (или выигрыш игрока А) не более чем р. Если т-р, то игра называется с седловой точкой, а общее значение а и Р, которое будем обозначать ~чёрез “о — ценой игры. В этом случае оптимальным решением игры для обоих игроков является выбор максиминной (для А) и минимаксной (для В) стра- тегий. Любое отклонение для каждого игрока от этих стратегий не может оказаться выгодным. 254. Игра заключается в том, что игрок А записывает числа 1 (стратегия XJ, или 2 (Д2), или 3 (Л3). Игрок В, в свою очередь, может записать числа 1 (Bi), 2 (В^), 3 (В3), или 4 (В4). Если оба числа окажутся равной четности, то А вы- игрывает сумму этих чисел, если — разной четности, то В выигрывает сумму этих чисел. Составить платежную матрицу, определить верхнюю и нижнюю цену игры и минимаксные стратегии. Решение. Согласно условию, платежная матрица игры имеет следующий вид: А1 Вг S2 в8 В4 а£ 41 2 -3 4 —5 Rj А -3 4 —5 б П •4.1 4 —5 6 —7 —7 гл ш 6 б — 5 4 170
Нижняя цена игры: a = maxeq = —5; i верхняя цена игры: р = т1п[5* = 4. k Следовательно, для игрока А макспминпыми стратегиями яв- ляются At или А2, при которых ему обеспечен «выигрыш» не менее —5 (т. е. проигрыш не более 5). Для игрока В соответственно минимаксными стратегиями яв- ляются Bt или В2, которые обеспечивают ему проигрыш не более 4. Игра не имеет седловой точки (а < Р). 255. Для следующих платежных матриц определить нижнюю и верхнюю цены игры, минимаксные стратегии и наличие седловых точек. В последнем случае определить оптимальное решение игры. /0,3 0,6 0,8\.А ^4 5 3\ 1)10,9 0,4 0,2); 2) (6 7 4 1; ко,7 0,5 0,4/Л: \5 2 зУ 3) Если игра не имеет седловой точки, то применение чистых стратегий не дает оптимального решения игры. В этом случае при- меняют смешанные стратегии. Смешанной стратегией игрока А называется применение им своих чистых стратегий At, .... А(, .... Ар с частостями хп .... хг, ..., хр (причем £хг=1). Ее записывают в виде /Д|, ... , Al, ... , -<4n\ . или Х = (хр ...! х;, ..., хр}. , X/, ... , Хр/ Аналогично вектором У (У(. •••, yk, , Уд} (Еу*=1) определяется смешанная стратегия игрока В, где yk есть частость использования стратегии Вк. Чистые стратегии являются частным случаем смешанной стратегии, задаваемой единичным вектором. Функцией выигрыша, или платежной функцией f (X, У) игры с матрицей П || ak || при применении игроком А смешанной стра- тегии X, а игроком В — смешанной стратегии Y, называется сред- 171
няя величина выигрыша игрока А (проигрыша игрока В), подсчи- тываемая по формуле / (X, У)=2 U Wik = ХПУ. (3) i k Стратегии X* и V* называются оптимальными, если выполняются неравенства /(X, Y*)^f(x*, Y), (4) т. е. если их применение обеспечивает игроку А средний выигрыш, не меньший, чем при применении им любой другой стратегии X, и игроку В средний проигрыш, не больший, чем при применении нм любой другой стратегии У. Совокупность оптимальных стратегий (X*, У*) называется оптимальным решением, пли просто решением игры, а значение платежной функции при этом — ценой игры и: =Кх*, у*)- (5) Фундаментальная теорема Неймана утверждает, что каждая конечная матричная игра с нулевой суммой имеет решение в смешан- ных стратегиях. 256. Доказать, что цена игры v удовлетворяет соотно- шениям а Си-Ср. 257. Записать платежную функцию для игры, задавае- л /2 1 3\ мой матрицей Л = 2 5/ ОпРеДелить иену игры и проверить справедливость неравенств (4). 258. Рассчитать величину платежа для игр, заданных (2 I 1 \ у, у, у) И F = (о, |, у). 259. Доказать, что решение игры не изменится, если ко всем элементам aik платежной матрицы прибавить некоторое постоянное число. Как при этом изменится цена игры? Исследование игры обычно начинается с исключения в платеж- ной матрице заведомо невыгодных и дублирующих стратегий. После этого упрощенную матрицу проверяют на наличие в ней седловой точки, что позволяет сразу же определить решение и цену игры. Если седловой точки иет, то переходят к определению опти- мальных смешанных стратегий. 260, Исследовать игры, заданные следующими матри- цами: 172
/8 6 4 7 7\ /2—13 —2\ /543461 2 4 15—11 } 4 3 2 3 4 ’ Ч 3 —2 4 —3 ’ \7 2 6 5 9/ \3 -1 5 2/ /8 4 3 7\ о .7 6 8 9 1 > 8 2 4 6 Г \б 3 2 5/ и е. 1) 1-я строка доминирует над 2-й и 3-й, так как Решен все ее элементы соответственно не меньше элементов 2-й и 3-й строк. Поэтому стратегии Д2 и А3 заведомо менее выгодны, чем A2, и могут /8 б 4 7 7\ быть исключены. В результате получаем матрицу! 2 6 5 9/ В этой матрице 1, 4 и 5-й столбцы доминируют над 2-м. Поскольку столбцы характеризуют стратегии игрока В, стремящегося умень- шить выигрыш игрока А, то эти стратегии заведомо невыгодны, г, /6 4\ После их исключения получаем матрицу )»в коТоР°й нет Доми- нирующих стратегий. Определив нижнюю и верхнюю цены игры, получим «! = min {6, 4} — 4, 0^= min {2, 6} = 2, откуда а = = max {4, 2} = 4. Аналогично, Р4 = max {6,2} = 6, р2 = max {4, 6} = 6, откуда Р = min {6, 6} = 6. Так как а Р, то игра не имеет седловой точки и ее решением будет смешанная стратегия. 2) Стратегия А2 доминирует над Aj и А3. Следовательно, исклю- /4 15 чив последние, получим матрицу I можно исключить Sj и В3, доминирующие над В2- Окончательно / 1 -6 получим I Перейдем к исследованию седловой точки, располагая а/ и рй справа и снизу матрицы: -1\ о - I В этой матрице числа 1 —1 ' 11 Получим а = —1 и р = 1, следовательно, седловой точки нет. 3) Стратегия Д4 заведомо невыгодна по сравнению с А, и может быть исключена. В оставшейся матрице 8 4 3 7 7 6 8 9 8 2 4 6 173
можно исключить доминирующие стратегии н В4. После их исключения получаем матрицу /4 3\ 6 8 !’ V 4/ в которой вновь оказались заведомо невыгодными стратегии А, и А3. Их исключение дает матрицу (6 8). Теперь для игрока А оста- лась одна стратегия А2 (в первоначальной нумерации) и для игрока В, очевидно, выгодной является стратегия fi2, обеспечивающая ему проигрыш 6, вместо 8 при В3. Окончательно получили решение игры в виде чистых стратегий А2 и В2 и цеиу игры v = 6. Полученное решение в виде чистых стратегий говорит о том, что исходная матрица имела седловую точку а22 — 6, что можно было бы установить прямым исследова- нием: (8 4 3 7 3\ 3 7 |б| 8 9 |б| j |б| 8 2 4 6 2 2' 63252/2 8 |б| 8 9 |б| Следовательно, а = max а(- = 6, 0 = min 0fc = 6, и а = 0 = 6 = v. 261. Провести возможные упрощения платежной мат- рицы в следующих задачах: /2 4 7 6 5, /0,2 0,6 0,1 0,9 z3 —2 5 —Ц п / 3 8 4 9 7 \ 0, / 0,5 0,5 0,7 0,4 \ - I 4 0 6 1 \ * I I « / I I « ' I I • 1 3 4 5 6 2 / 1 0,4 0,7 0,3 1,0 у 12—13 2 у 4 9 5 9 6 / 4,3 0,4 0,2 0,8' Ч 3 7 4' § 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРИЕМЫ РЕШЕНИЯ ИГР 2x2 И 2х« В дальнейших приемах решения игр будет использоваться следующая важная теорема: Если один из игроков применяет свою оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры v вне зависимости от того, с какими частотами будет применять второй игрок страте- гии, вошедшие в оптимальную (в том числе и чистые стратегии). 262. Исследовать и решить игру, заданную матри- „ /-1 2\ цеи ( 3 1/ Решение. Прежде всего проверяем наличие седловой точки. Имеем at = —1, а2 = Ь откуда а= 1; 0} = 3, 02 = 2, откуда 0=2. Следовательно, а -А 0 и седловой точки нет. Перейдем к оты- сканию оптимальной смешанной стратегии. Пусть для игрока А стратегия задается вектором X = (xL, х2) и цена игры есть о. 174
Тогда, на основании указанной теоремы, при применении игро- ком В чистой стратегии Bt или В2 игрок А получит средний выиг- рыш, равный цене игры, т. е. — 1-х? 4-Зх? = о (при стратегии В,), 2xf-j-xl = v (при стратегии В2). Кроме этих двух уравнений, имеем еще уравнение для частостей: х? 4-4 = 1. Из этой системы трех уравнений с тремя неизвестными найдем * 2 * 3 7 4=5-, 4 = у и ц = т. Аналогичным образом найдем оптимальную стратегию для иг- 1 4 рока В: у*——- и //?=>-. Следовательно, решением игры яв- О о ляются смешанные стратегии X* = 7 а цена игры о=-^-. 263. Доказать теорему, приведенную в начале пара- графа для игры, оптимальная стратегия которой задается векторами Х* = (х1*, л£, 4) и У*—(yt, yt). 264. Найти решение игры с матрицей I и дать \а21 <з22/ геометрическую интерпретацию этому решению. Решение. Первая часть задачи выполняется так же, как и в задаче 262. В результате приходим к системе трех уравнений апх*4-дях*=о а12Х 1 + а22Х* = v >, Х*4- Xf=l решение которой g22—fl21 & ____________аП — а12 1 flll + a22— °12— °21 ’ ' flu+a22— fl12 — °21 ’ _ апп22 — °21°|2 ^11+^22 — а12 — аг1 Аналогично находится и смешанная стратегия для игрока В. Для геометрического анализа задачи воспользуемся следующим построением. В системе координат хОу отложим на оси Ох отре- зок А,Л2 единичной длины, каждой точке X которого будет отве- чать некоторая смешанная стратегия X — (хг, х2) = (хц 1 — хг) (рис. 13). Так, точке Alt для которой х2 = 0, хх = 1, отвечает страте- гия Alt точке Л2, для которой хх = 0, х2 = 1,—стратегия А2 и т. д. По оси ординат будем откладывать выигрыши игрока А. При применении стратегии Аг выигрыш равен аи, если 2-й игрок применяет В4, и о12, если 2-й игрок применяет В2. Следовательно, 175
Получим две точки В, и li,. Соответственно, При применении стра- тегии А2, выигрыши могут быть 021 (ПРИ ^1) или а22 (при В2): они показаны двумя точками (В( и В2) на перпендикуляре, восставлен- ном в точке А2. Средний выигрыш vx при любом сочетании страте- гий Ai и А2 (с частостями х, и х2) и стратегии Ву 2-го игрока равен = XjOn + *2^21 и геометрически определяется ординатой, вос- ставленной в точке X до пересечения с отрезком В1В1. Аналогично, средний выигрыш при применении стратегии В2 будет определяться ординатами точек, лежащих на отрезке В2В2. Ординаты точек, лежащих на ломаной В1МВ2 (показанной жир- ной линией), характеризуют минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии X (на участке BtM против стратегии Bt и на участке МВ2 — против стратегии В2). Следуя принципу максимина, получим, что оптимальное реше- ние игры определяет точка AI, в которой этот минимальный выигрыш достигает максимума. Ей отвечает на оси абсцисс оптимальная стра- тегия X* = (х‘[, х%), а ее ордината равна цене игры о. По цене игры сразу находится оптимальная стратегия для игрока В из двух уравнений y*au+y*a21 = v 4 У* +{/*== 1 J На том же чертеже (рис. 13) можно показать нижнюю и верх- нюю цену игры. Если матрица игры имеет седловую точку, то получим следую- щие разновидности графического изображения игры. 1) Решением игры для игрока А является чистая стратегия А2 (для игрока В — стратегия В2), т. е. X* — (О, 1) и Y* — (О, 1). Игра имеет седловую точку а22 = v, равную цене игры (рис. 14). 2) Решение игры соответствует точке BY и задается векторами X* — (О, 1) и У* = (1, 0). Игра имеет седловую точку = v. Стратегия В2 доминирующая и явно невыгодная для игрока В (рис. 15). 265. Решить и привести графическую иллюстрацию игр, заданных следующими матрицами: 176
/0,4 О,2\ 5) \О,1 0,5/ 6) /! 0\ \2 —1/ Указание. Для графической иллюстрации удобно предва- рительно привести все элементы платежной матрицы к положитель- ным числам, добавив ко всем элементам положительное число (см. задачу 259). Графическая интерпретация позволяет решать игры с матрицей 2 X q или р X 2. 266. Найти решение и цену игры с матрицей /2 1 5 3 \ \1 3 4 0,5/ Решение. Строим графическое изображение игры, подобно предыдущему (рис. 16). Здесь имеем 4 прямые, характеризующие средний выигрыш при применении четырех чистых стратегий иг- рока В. Как и ранее, ломаная BiMNBi дает нижнюю границу выиг- рыша. Наибольшая ордината, равная цене игры v, соответствует точке М, в которой пересекаются прямые ВгВг и BtBi- Это означает, что оптимальная стратегия игрока В включает чистые стратегии В2 и Bj. Координаты точки Л1 находим, как координаты точки пере- 177
сечения прямых В^В, и В2В2. Соответствующие три уравнения имеют вид 2х*+ х*2 х^ Зх* = v и Решая эти уравнения, находим 2 1 5 xi — 3 • ха— з 11 я— з Аналогично находится оптимальная стратегия для В из уравнений 2^ 4-^=4 !/?+!/?= 1 2 1 откуда з и у* = у. Таким образом, решением игры являются смешанные стратегии 5 ; при этом цена игры Zf = Q . о и У* 267. Найти решение следующих игр: /2 4 0 3 5 2Цб 3 8 4 2 /4 7 1 4) \0 —3 4 2 8\ 4 3 0 6 3 4 \5 2/ 5) -2 7 3 .4 3> ' 5\ ’1 I I 7 ’ б/ /5 3 6 1 8 6) 4 /7 5 1 3 \2 5\ 2Л —1\ 4 5 —2 1/ 7) 9) Задачи —2\ 2/’ 8) /6 4\ 5 3 3 6 8. 5/ —1\ 1 О —3 2/ аналогично преды- Указание., дущим, но относительно игрока В. Соответственно этому строится ломаная, которая характеризует верхнюю границу выигрыша и на которой находится точка с минимальной ординатой. 178 (5) — (9) решаются 4 9 О —1 2
§ 3. СВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ИГРЫ К ЗАДАЧЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Оптимальные стратегии X* — (xf, ...,хТ, ..., Хр) и У* — — , ..., у^, ..., у*) игры с платежной матрицей || alk ||рХ могут быть определены путем решения симметричной пары двойственных задач линейного программирования: минимизировать 7=*i+xs+•.•+*< хр при условиях а11х1 +-• -4-OilXi + 4- ... 4- apiXp >s 1 ClfcXi 4"-•• 4-aifeXi4- 4" • • 4- OpkXp I- 1 alljx'i-\-...^at<jx'i^- -}-...-}-apgXp 1 *1 2s0, ..., x'i > 0, ..., xp 0 максимизировать 2=у i +• • 4'J/k 4~ • 4~!/e при условиях 4- • 4" ouyk 4- 4-..-4-ai^s£ 1 any'i+..- + aikyk + -i--]-atqyq 1 api*/i 4- • - A~apkyk 4- + • 1 у'уг^О, ...,y'k^0, .... y'q^O. Решив эти задачи, найдем xf, у£ и v из соотношений: п = -=Д- =——xf — vx'i и yl =vy’lt * min Zmax где i = 1, ..., р; k~\,..., q. 268. Найти решение и цену игры, заданной матрицей 6 2 5\ г 4 3 7)? 5 56/? Решение. Данная матрица имеет седловую точку ом = 5, поэтому ее решением являются чистые стратегии Ла и В2, т. е. X* = (0, 0, 1) и У* = (0, 1, 0) при о= 5. Однако мы найдем ре- шение этой игры указанным выше общим методом. Пара двойствен- ных задач будет в данном случае выглядеть следующим образом: минимизировать 7=х14-^4-^з при условиях 6х{ 4- 4*2+5х! > 1 1х{ 4- 3xi 4- 1 5Xj 4“ 7xJ 4- 6x3 1 максимизировать г = г/1'4-«/з4-г/з при условиях 6i/;4-2p'4-5p'sSl 4^1 4- ЗРа 4- Ту'ъ 1 5f/l4-5f/54-6f/;sjl 0. 179
Из этих Двух задач удобнее Симплексным методом решать вто- рую, одновременно получая из индексной строки решение первой. сб Баз. перем. aio 1 1 1 Балансовые пере- менные “io aip »» Р4 рб Ув Vt 1 6 2 5 1 1/2 Ул 1 4 3 7 1 1/3 Ув 1 5 Й 6 1 1/5 2 —1 —1 —1 У1 3/5 4 13/5 —2/5 Ул 2/5 1 17/5 —3/5 1 У-1 1/5 1 1 6/5 1/5 1/5 1/5 1/5 После I итерации симплексного метода получили оптимальное решение Hi =0, у2 = g-, уг =0 и zmax = ^т|П= -g-. Отсюда получаем V ——-—=5 и у^=0, у*=0, у$ = 1 и у% = 0. Zmax / Таким образом, оптимальная стратегия для игрока В есть F* = (0, 1, 0). Из индексной строки против переменных </4, </5 и уъ получаем оптимальное решение первой задачи х(*=0, х2*=0, Xa* = -g-, откуда X* = (0, 0, 1). 269. Решить с помощью построения двойственной па- ры задач игры, платежные матрицы которых приведены в следующих задачах: 1) 255 (1); 2) 255 (2); 3) 255 (3); 4) 255 (5); 5) 255 (6). 270. Решить игру, определяемую платежной матри- цей задачи 261 (3), предварительно упростив ее. Заданной паре симметричных двойственных задач линейного программирования АХ^В, Х^0, г=СХ(тах) и YA>C, PSsO, T=BY (min) 180
эквивалентна игра, платежная матрица которой / ° /7=1 — Д' \ В' А -В\ 0 С' , —С 0 / где штрихом обозначена операция транспонирования. 271. Построить игру, эквивалентную двойственной паре задач, одна из которых имеет следующий вид: мак- симизировать z = xy + 2x24-x3 при условиях лу+х>—x3==s 1 1 о п 'и -ОО, х35=--0. 2х1-Зх2+х3^2 f 1 ’ 2 3 Решение. В данной задаче , /1 1 —1\ _ /1\ Л-(2-3 >)• В-у « С-(1. 2. 1). Следовательно, / 1 2х /К Л'=1 1—3], 5'=(1, 2) и С'= 2[ 1 1/ \1/ откуда О 0 1 1—1 —П О 0 2—3 1—2 _ —1 —2 0 0 0 1 ~ —1 3 0 0 0 2 ' 1 —1 0 0 0 1 , 1 2 —1 —2 —1 0 272. Построить платежные матрицы игр, эквивалент- ных следующим задачам линейного программирования (приведена одна из пары двойственных задач): 1) xy + 3x2sg6 | 2) —2х2 -С 1 /’ xtys0, x22s0, Ху Х2 11 3) 2ху Л"2 6 2л']х24 )’ ху —х2 = 3 Xi 0, х2 ;s= 0, лу 0; х2 0; z = 2ху — х:2 (max); z =— xy4-x2 (niax); z = ху + 2х2 (max). 273. Предприятие может выпускать три вида продук- ции (А, Б и В), получая при этом прибыль, зависящую от спроса. Спрос в свою очередь может принимать одно из четырех состояний (1, II, III и IV). В следующей матрице 181
элементы aik характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции и k-ы. состоянии спроса: I П III IV А '8 3 6 2а Б 4 5 6 5^ В\1 7 4 7/ Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, считая состояние спроса полностью неопре- деленным, гарантируя при этом среднюю величину при- были при любом состоянии спроса. Указание. Оптимальные пропорции можно определить, как оптимальную смешанную стратегию для «игрока», играющего против «природы» (спроса). Подобный принцип выбора оптимальной стратегии получил название «максиминного критерия». 274. Предприятие выпускает скоропортящуюся про- дукцию, которую оно может сразу отправить потреби- телю (стратегия Д), отправить на склад для хранения (стратегия Б), или подвергнуть дополнительной обра- ботке (стратегия В) для длительного хранения. В свою очередь потребитель может немедленно приобрести эту продукцию (стратегия I), приобрести ее в течение небольшого отрезка времени (II) или затре- бовать ее после длительного периода времени (III). Если предприятие выберет стратегию А, то дополни- тельные затраты на хранение и обработку продукции не потребуются. Однако, если при этом потребитель применит стра- тегию II или тем более III, то предприятие потерпит убытки из-за порчи части продукции. Наоборот, если предприятие выберет стратегию В, а потребитель — стра- тегию I, то возникнут неоправданные расходы на кон- сервацию продукции. Определить оптимальное соотно- шение между продукцией, отправляемой потребителю на склад и на дополнительную обработку, руководствуясь «минимаксным критерием» (гарантированный средний уровень убытка), при следующей матрице затрат: I II III А / 2 5 8 \ Б( 7 6 101. В \12 10 8 / 182
275. Для отопления помещения необходимо при- обрести топливо. Однако расход топлива и цены на него зависят от погоды в зимнее время (мягкая, нормальная и суровая зима; см. таблицу): Погода Мягкая Нормаль- ная Суровая Расход, т 5 10 18 Цена, руб./т 10 16 20 В настоящее время уголь может быть приобретен по минимальной цене (10 руб/т) и излишек неиспользован- ного угля можно реализовать весной по цене 5 руб/т. Можно избрать одну из трех стратегий в закупке угля: /Ij — 5 т, Л2 — Ют и Аа — 18 т. Предполагая, что подобных помещений имеется 100, определить оптимальную стратегию в образовании запа- сов, руководствуясь «минимаксным критерием». 276. Магазин может завести в различных пропорциях вары трех типов (А, Б и В). Их реализация, а следова- тельно, и получаемая магазином прибыль (aik) зависят от вида товара и состояния спроса. Предполагая, что последний может характеризоваться тремя состояниями (I, II, III) и учитывая, что спрос связан с изменением моды и . прогнозирование его невозможно, определить оптимальные пропорции в закупке товаров из условия средней гарантированной прибыли при следующей мат- рице прибылей: I II III А /20 15 10 \ Б| 16 12 14 |. в\13 18 15 / 277. Для игры 2 X 2, не имеющей седловой точки, может быть предложен следующий упрощенный прием определения оптимальной смешанной стратегии. Вычтем из элементов 1-го столбца элементы 2-го столбца. Получим столбец Г*11 элементы кото- 183
рого по абсолютной величине пропорциональны частотам лу и х2 оптимальной стратегии первого игрока. Аналогично определяется смешанная стратегия для второго игрока. Доказать справедливость этого пра- вила. 278. Аналогично предыдущей задаче можно указать простое правило для решения игры 2 X т, также не имеющей седловой точки. Сущность его состоит в том, что выбираются произвольные две стратегии для второго игрока (имеющего т стратегий) и решается игра 2 х 2. Полученное решение для первого игрока оценивается против любой из оставшихся стратегий второго игрока. Если полученный «выигрыш» не меньше найденной цены игры 2x2, то это и будет решением перво- начальной игры. Если же будет получен меньший «вы- игрыш», то испытывается таким образом другая игра 2 X 2. 279. Пользуясь указанным в задаче 278 правилом, решить игры: /О 5 7 10 13 10 13\ /5 8 2\ \13 4 12 9 4 1 1з)’ 2) \2 5 9/’ /—2 0 5 6\ /4 7 4 2\ 3) \ 8 7 2 з/’ 4) \9 0 7 8/ 280. Рассмотрим игру 3 X 3 с тремя активными стра- тегиями для каждого из игроков (т. е. все х{ > 0 и yk> 0). Если при этом игра не имеет седловой точки и доминирующих стратегий (последнее вытекает из усло- вий Xi > 0 и ук > 0), то может быть указано упрощенное правило решения игры, аналогичное указанному в за- даче 277. Вычитаем почленно 3-ю строку из 1-й и 2-й. В образовавшейся матрице частоты стратегий для второго игрока пропорциональны абсолютным величинам ми- норов 3-й строки. Аналогично находится опти- мальная стратегия для первого игрока. Доказать это правило и решить с его помощью следующие игры 3X3: /2 8 8\ / 29 30 32\ 1) ( 0 10 2 ); 2) I 180 60 —20 ); \8 6 1) \ 20 70 120/ 184
/О I 6\ /10 —1\ 3) ( 7 1 3 ]; 4) [ 0 2 1 ). \1 2 О/ \1 —1 3/ 281. Доказать следующие два взаимно обратные утверждения: 1) если игра имеет седловую точку, то найдется элемент aioka платежной матрицы, который будет наибольшим в столбце и наименьшим в строке, т. е. выполняются неравенства aikn при всех i = 1, р и k = 1, q\ 2) если найдется элемент а^в, удовлетворяющий ука- занным выше неравенствам, то игра имеет седловую точку.
ГЛАВА X Целом исленное программи рование Рассматриваются задачи линейного программирования (3. Л. П.) при дополнительном условии, налагаемом на все переменные (пол- ностью целочисленные задачи) или на часть переменных (частично целочисленные задачи). Решение таких задач сводится к решению конечной последова- тельности специально построенных 3. Л. П.: Рс, Ръ .... Pt, .... РNt каждая нз которых получается из предыдущей путем добавления к се условиям дополнительного линейного ограничения (неравен- ства), называемого «сечением». При этом /-м сечением называется линейное ограничение, вво- димое в задачу Р[_г для образования задачи Рг и удовлетворяющее двум условиям: I) любое целочисленное решение задачи Pt_t ему удовлетворяет; 2) любое нецелочисленное решение задачи Р/_г ему не удовлетво- ряет («отсекает ся»). Методы целочисленного программирования различаются в зави- симости от способа формирования сечения. Пусть задача Рр г решена симплексным методом и ее решение Xр не удовлетворяет условиям целочисленности. Введем обозначения (а} —дробная часть числа а, k — индекс свободных переменных в последней симплексной таблице, s — номер строки в этой таблице с наибольшим значением {as0}. Тогда I сечение Гомори для решения полностью целочисленно задачи запишется в виде {см} — ^{aSk} II сечение Гомори, применяемое для решения частично цело- численной задачи (его можно использовать и для полностью целочис- ленных задач), запишется в виде {°50} S askxk 0, (2) где OLSk— коэффициенты, определяемые из следующих соотношений: 1) для xk, не подчиненных требованиям целочисленности, Iash, если asn О, . . ] ask 1. если ask < 0; 1 — I “so I 2) для xkt подчиненных требованиям целочисленности, [{Cs*}. если SS {а40}, ^Sk~ { /1 ( г 1 Г 1 (*0 I <„ (l-{a5fe}). если {<zsft}> V 1 i“SOI 186
Решение полностью или частично целочисленных задач выпол- няется в виде последовательных итераций, каждая из которых вклю- чает следующие пункты: _ 1) решается задача Рг_4 и находится ее оптимальное решение 2) если решение X(_t удовлетворяет условиям целочисленности, то процесс заканчивается, если же эти условия не удовлетворяются, то переходят к п. 3; 3) на основании последней симплексной таблицы, полученной при решении задачи Pi-t, записывается сечение Гомори (I или II); 4) добавление ограничения, найденного в предыдущем пункте, к условиям задачи Pj_t дает задачу Р/, после чего вновь возвра- щаются к п. 1. Примечание: п. 4 практически осуществляется путем дописывания строки, соответствующей сечению Гомори к последней симплексной таблице, полученной при выполнении п. 1. § 1. ПОЛНОСТЬЮ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ 282. Решить полностью целочисленную задачу: мак- симизировать z = хг + 4х2 при условиях — + 2х2 + х3 = 2 1 -VjSsO, ,r2SsO, х3^0, все Злу + 2х2 + -Ч = 6 J ’ xk (k — 1, 2, 3, 4) — целочисленные. Решение. Отбрасывая условие целочисленности, решаем симплексным методом задачу Ро. еб Баэ. перем. ° io 1 4 aio °iP *3 Xj *4 А3 2 6 —1 3 2 1 1 1 3 2 —1 —4 4 х2 х4 I 4 -1/2 HI 1 1/2 — 1 I 2 4 —3 2 4 1 *2 *1 3/2 1 1 1 3/8 -1/4 1/8 1/4 2 7 5/4 3/4 187
После П итерации получаем в последней симплексной таблице оптимальное решение Ао = (1, 3/2, 0 0). Это решение не целочис- ленное. Поэтому переходим к построению задачи Рх (п. 3 и 4). Единственная строка с нецелочисленным значением аго 1-я (s = 1). Записываем I сечение Гомори Ш - ({!} *з+{И *4) или, после упрощения, 1 /3 г 1 \ 2 \ 8 *3 ’•"в Xi) Перенося члены с переменными в правую часть и введя неотрицательную балансовую переменную ult получим сечение в форме 3-го дополнительного уравнения 3 1 1 2- (*) < 0. Присоединяя его к предыдущим двум, получим задачу Рг. Решение этой задачи можно начинать с окончательной симплекс- ной таблицы для Ро, добавив полученное 3-е уравнение. Решение задачи Рг сб Баз перем. 1 4 cio ° 13 aio aii ° io хз *1 4 1 *2 Ч Uj 3/2 1 1 1 3/8 — 1/4 1/8 1/4 4 4/3 12 4 | 1/2 13/81 1/8 -ч г 7 5/4 3/4 4 1 Х1 х3 1 4/3 4/3 1 1 1 1/3 1/3 1 -2/3 —8/3 2 16/3 1/3 10/3 В уравнении (*) переменная uL может служить базисной, однако коэффициент при ней равен —1, поэтому в исходной для задачи Р1 таблице базисное решение не является опорным = — 1/2). Целью дальнейших преобразовании является получение исходного опорного решения (см. гл. I, § 4). Выделяем 3-ю дополнительную строку и для столбцов, имеющих в этой строке положительные элементы (в данном случае 3-го и 4-го) вычисляем отношения а{0 к а^р. Если найдется столбец, для которого min {a;0/aiP} соответствует выделенной строке, то такой столбец и выделенную строку выбираем в качестве разрешающих, после чего переменная Uj сразу же выводится из базиса и новое решение окажется опорным. Если такого столбца нет, то в качестве разре- шающего выбирается столбец с наибольшим элементом в выделен- 188
ной строке й разрешающая строка, как обычно, по min {aiQlaip}. После выполнения преобразований процесс расчетов начинается сначала. В данном случае для обоих столбцов min [atolaip} соответствует выделенной строке, поэтому выбрав за разрешающие 3-й столбец и 3-ю строку, получим сразу же исходное опорное решение. Так как это решение, оказавшееся одновременно и оптималь- ным, вновь не целочисленное, то переходим к построению задачи Р2. Соответствующее сечение будет хз з~| «о- т» - Ш-1» — 2 , ,, 1 == —----(— 1)=-=-, то получаем новое, 4-е уравнение, которое 3 з добавляем в качестве 4-й строки исходной таблицы для задачи ..1,1 1 Р2: “з х»+-з “i-£Z2= з • После выполнения одной итерации получаем исходное опорное решение Х2 = (1, 1, 1, 1), которое оказалось одновременно и опти- мальным, и целочисленным. Таким образом, получили А'опт = (1,1, 1, 1) и 2шах — 5. Решение задачи Р2 С6 Баз. пе- рем. ° io °/0 ai3 “io X, Х2 Ха Ml М2 х2 *1 Хз 42 1 4/3 4/3 1 1 1 1/3 1/3 / —2/3 —8/3 4 4 1 1 11/3 1/3 | 1/3 -1| 2 16/3 1/3 10/3 ха X! Хз Л'4 2 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 —1 —3 1 3 1 1 —3 1 Замечания. 1. Может оказаться, что переход от базисного к опорному решению приведет к появлению отрицательных оценок в индексной строке. Тогда потребуются дополнительные итерации последовательного улучшения решения. 2. При выборе строки для построения сечения могло оказаться несколько равных максимальных значений {а,-0} (например, в задаче Рх мы имели а2о = азо= Тогда для образования сечения выби- рается первая из этих строк. | 1&
3. Значения zmax при переходе от задачи Ро к Pi от Рг к Р2 и т. д., как правило, уменьшаются, так как «отсекаются» ранее найденные оптимальные решения. 283. Дать графическую интерпретацию решения за- дачи 282. находим новое оптимальное решение Решение. На рис. 17 построена область допустимых реше- ний задачи Ра и показано определение ее оптимального решения. При решении задачи Рх г 3 введено I сечение -=- х3 + О , 1 _ 1 f. + o' *4 Исключая из о 2 него переменные х3 и х4 с помощью исходных урав- нений, получаем x2scl. Этому неравенству соот- ветствует граничная пря- мая х2= 1, отсекающая от области найденное не- целочисленное оптималь- ное решение Хо, но сохра- няющее все целочисленные решения [их в данном слу- чае только четыре: (0, 1), (1, 1), (1, 0) и (2,0)]. Для новой области задачи Рг Хг = (4/3, 1, 0, 4/3). При „ и 11.1 переходе к задаче Р2 вводится II сечение х4 — их 2г—, кото- ООО переменных х4 и щ принимает вид оптимальное решение оказывается рое после исключения базисных 4= х2 2. В новой области искомым целочисленным. 284. Найти полностью целочисленное решение сле- дующих задач, сопровождая (где это возможно) решение графической иллюстрацией (предполагается, что все xk 0): 1) z = 3*1 + 3*2(max), *4 + 3*2 2г 6 3xi + 2*2 36 *2=С 13 2) z = 3*4 + 4*2 (max), 3*4 + 2*2 -2 8 *1+ 4х2 10 3) г = х1+ *2 (max), 3*i + 2х25 *2^2 4) z = x1(max), *4 + Зх2 + *3= 12 1 3*j — 8*2+ *4 = 24 J’ 190
5) г = х{ (max) Л'1+ л-2+х3 = 9 — 4х4 + 7х2 -|- х4 = 4 ; — 6х2 И- х3 — 6 6) г = 2ху — 2х2 + Зх3 — Зх4 (max), Ху — 2х2 4" Xjy = 3 *2 + *з — 2х4 =5 ; Зх2 -|-х4х5 = 4 7) 2 = Ху — х2 + х3 — Ху (max), Ху + 2хг — х3 + Зх4 = 6 х2 + Х3 — Ху = 4 ; 2ху + х3 +*4 = 8. 8) z = x1 + 2x2 + x5(min), •Vi + х.2 + х3 4- хв + х3 = 5 *2+*з + *4— Х3 = 2 Х3-Ху+Х&^\ . 9) 2 = 2Ху-\-2ха-\-10(max), 10) z = x1 + х2(max), 2ху+ ха + х3 =5) 2ху+ х2 + х3 =6 1 2ху + Зх2 + Ху = 9 J ’ 2ху + Зх2 + Ху = 9 J ’ 11) z = Xy— х2+ х3 + ху + х6- xe(min), Ху -|- Ху 4" 6хе = 9 Зх4 4- х2 — 4х3 4- 2хд - 2 j Xi4-2x2 4-х3 + 2хв = б] 12) z = 3x14-4x2(max), Зх4 “Ь 2х2 -]- ха = 8 | Ху 4- 4х2 4- Ху = 10 J 285. Доказать, что дополнительное ограничение вида £хд.^1, где суммирование распространяется на все свободные переменные в оптимальном нецелочисленном решении задачи Ph-y, является «сечением» для построения задачи Pk. 191
§ 2. ЧАСТИЧНО ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ 286. Решить следующую частично целочисленную задачу: максимизировать z = лу + 8х2 при условиях Зх14-х2г^9 | лу и x2 —неотрицательные и цело- 0,1 блу + л21,9 ]’ численные. Решение. Задача является не полностью, а частично цело- численной, так как после приведения к канонической форме получим вместо второго неравенства уравнение 0,16*! -р х2 -р х4 = 1,9, в котором переменная х4 даже при целочисленных значениях лу и х2 может принимать не целочисленные значения. Решение задачи Ро сб Баз. перем. 1 8 с.о aip °,0 *1 *2 *4 х-1 х4 9 1,9 3 0,16 1 ш 1 1 9 1,9 Z —1 —8 7,1 1,9 2,84 0,16 1 1 —1 1 2 15,2 0,28 8 После I итерации получили оптимальное решение А'о = (0; 1, 9; 7,1; 0), в котором условие целочисленности нарушено для х^. Для перехода к задаче Рг строим сечение (2) по 2-й строке (s= 2). Из таблицы получаем: {о20} — (а2Л + а24х4) 0. (*) Так как ху — целочисленная переменная и {a2i}<{fl2o}. то из пер- вого соотношения (4) находим o^i = {«21} = 0,16. Коэффициент а,24 находим из первого соотношения (3), поскольку на х4 не наложено требование целочисленности и а24 > 0. Получим су.4 = 1, откуда сечение (*) запишется в виде 0,16ху -р х4 — ut = 0,9. Включив в окончательную таблицу задачи Ро дополнительную строку, соответствующую этому уравнению, получим исходную таблицу для задачи Рг. После II итерации приходим к оптимальному, но не целочислен- (8 71 \ у, 1, 0, Строим новое сечение по 1-й строке {"з} “(а1Л+“15“^ °’ 192
Решение задачи Pt с6 Баэ. перем. 1 aio aiP aio *3 *4 «1 8 Х3 «1 7,1 1,9 0,9 2,84 0,16 0,16 1 1 —1 1 ш —1 1,9 0,16 2 15,2 0,28 8 8 *3 х2 8 1 0,9 Й 0,16 1 1 1 -1 1 —1 8/3 90/16 2 8 —1 8 1 8 *1 л2 х4 8/3 1 71/150 1 1 1/3 —4/75 1 -1/3 1 71/75 2 32/3 1/3 23/3 Решение задачи Р2 сб Баз. перем. % aip °ю *1 *я *3 «1 «а 1 8 *1 х2 Ч «2 8/3 1 71/150 2 1 1 1/3 —4/75 ш 1 71/75 2 —1 8 2 2 32/3 1/3 23/3 1 8 Х1 х2 *Я 2 1 0,58 2 1 1 । 1 — 1 1 0,84 2 1/3 —4/75 2 10 7 1/3 7 И. Л. Калихман 193
При этом «13 = 013=у и а, 6 | 015 | = „- , откуда полу- О чим уравнение для построения задачи Р2-. х3 2их — и2 - 2. После I итерации получаем оптимальное решение Х2 = => (2, 1,2,0,58), которое и является окончательным решением задачи. Замечание. Хотя вначале и было указано, что возможные нецелочисленные значения переменной х4 приводят к задаче частично целочисленной, но путем несложных преобразований исходной системы неравенств можно свести задачу к полностью целочислен- ной. Действительно, умножив второе неравенство на 100 и введя после этого балансовую переменную, получим уравнение 16х4 + + 100х2 + х4 = 190, из которого видно, что переменная х4 при целых значениях xt и х2 может принимать только целые значения. 287. Решить задачи 284 (1—3), используя второй вид сечения. Дать геометрическую интерпретацию решения. 288. Решить следующие частично целочисленные за- дачи (предполагается, что все xk 0): 1) — 2,9*! + 6х2 17,4 1 2) XjЗх2 sS 12 1 3xj — x2'Cl ]’ Зх4 — 8х2 + 24 J’ xlt х2 — целочнсл., х± — целочпсл., 2 = 6хх + х2 (max); z = x4 (max); 3) О.блу + х2=С 1,75 ) 4) 2xj+ x2^4 | Xj + 0,3x2 ^1,5 J ’ Xi + 2x2 4 j ’ Xi, x2 — целочнсл., x2 — целоч исл., 2 = 0,25xi + x2 (max); 2 = Xi + x2(max); 5) Xi + x2 + 7x3 + 2x4 = 3,5 — 2Xi — x2 + 3x3 + 3x4 == 1,5 t 2xi + 2x2 + 8x3 + x4 = 4 x2 — целочнсл., 2 = — 5xi+l 0x2 — 7x3 + 3x4 (max); 6) 3xi + 5x2 + xs = 11 ) 4xi + x2 + x4 = 8 J Xi — целочнсл., г = 8xi + 0x2 (max). 289. Преобразовать задачи 288 (1) и (3) в полностью целочисленные и сравнить их решения с предыдущим. 194
§ 3. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО П РОГР АММИРОВ АН И Я В зависимости от причин, диктующих условия целочислен- ности, налагаемые на переменные, различают следующие две разно- видности моделей задач целочисленного программирования: задачи с неделимостью и задачи с альтернативными переменными. К первым относятся модели задач, в которых переменные выражают недели- мые величины, как например, число распределяемых машин, число предприятий, количество единиц неделимого груза, число изготов- ляемых изделий и т. д. Модели этих задач по существу дела не отли< чаются от обычных моделей задач линейного программирования, рассмотренных в главах VII и VIII. Условие целочисленности уста- навливается на основании тщательного анализа содержания задачи. Особую разновидность задач с неделимостью составляют целочис- ленные транспортные задачи, в которых целочисленность решения автоматически обеспечивается при целочисленности исходных дан- ных (см. гл. VI, § 1). Модели с альтернативными переменными охватывают весьма разнообразные оптимальные задачи комбинаторного характера, задачи нелинейного программирования, задачи с дополнительными логическими условиями (например, типа «или-или», «если-то» и т. д.), которые с помощью искусственно вводимых альтернативных переменных (т. е. переменных, принимающих два значения «О» или «I») приводятся к линейным моделям задач целочисленного про- граммирования. I. Задачи с неделимостью 290. Составить модель задачи по определению опти- мального плана производства п типов машин при задан- ных объемах alt ..., at ..., ат ресурсов, норм расхода aik (i — 1» .... tri', k = 1, ..., п) i-го ресурса на произ- водство одной k-й машины и величинах ск (k = 1, ...,/;) прибыли при реализации одной машины k-ro типа. Предполагается, что к концу планируемого периода не должно быть незавершенного производства. 291. Имеется т типов машин (i = 1, ..., tn) и п видов работ (k = 1, ..., /г), подлежащих выполнению в объемах blt ..., bh, ..., bn. Задана матрица ЦА^Ц, где \к — про- изводительность i-й машины на k-'ii работе, матрица || cik ||, где cih — себестоимость выполнения единицы й-й работы машиной t-ro типа, и стоимость ег одной ма- шины i-ro типа. Составить математическую модель задачи по опре- делению оптимального машинного парка (т. е. коли- чество машин каждого типа) и оптимального его распре- деления по указанным работам из условия минимизации 7* 195
суммарной стоимости (машинного парка и производимых работ). У казани е. Ввести два вида переменных: y-t — общее число машин i-ro типа и xik — количество машин i-ro типа, используемых на k-й работе; последние могут и не быть целочисленными, если производительность машины не кратна объему работы bk. 292. Имеются суда т типов в количествах qlt .... q!t .... qm, на каждом из которых имеются п грузовых емкостей (k = 1, 2, .... п) с грузоподъемностью d,-ft (некоторые dib могут быть равны нулю). Подлежат перевозке р видов грузов в количествах bt, bJt .... bp. Составить математическую модель задачи по выбору оптимального состава судов, если затраты по эксплуа- тации одного судна i-ro типа равны с;. 293. Имеется п маршрутов, по каждому из которых' необходимо совершить Ьк рейсов (А = 1, ..., п) и т типов автомашин, каждая из которых может быть исполь- зована в течение а, ч (i — 1, ..., т). На выполнение i-й машиной рейса по /г-му маршруту требуется ч при затратах cit! руб. Составить модель задачи оптимального распределения машин по маршрутам. 294. Требуется распилить а бревен, длиной каждое в 10 м, на брусья трех размеров: 3,5; 4,5 и 5 м, которые должны быть изготовлены в ассортименте 2:1:1. Составить модель для определения оптимального плана распила из условия максимального использования каж- дого бревна. II. Задачи с альтернативными переменными В" отличие от предыдущих моделей, где вводимые переменные выражали непосредственно искомые величины, здесь вводятся искус- ственно альтернативные переменные, призванные отражать некото- рые логические условия задачи. 295. (Задача об оптимальном назна- чен и и.) Имеется п работ (k — 1, 2, .... п) и т меха- низмов (i = 1, ..., tn), способных выполнять эти работы. Задана матрица элементы которой cik характери- зуют эффективность выполнения i-м механизмом k-й работы. При этом в качестве дополнительного условия принимается, что каждый механизм может быть исполь- зован только на одной работе и каждая работа может 196
выполняться только одним механизмом. Составить модель задачи оптимального распределения механизмов. 296. (Задача «к ом и вояжер а».) Имеются п -I- 1 пунктов (t = О, 1, ..., п) с заданными расстоя- ниями dik между i-м и /г-м пунктами. Составить оптималь- ный маршрут из условия минимизации суммарного про- бега для машины, выходящей из «нулевого» пункта, которая должна побывать в каждом пункте по одному и только одному разу и вернуться в «нулевой» пункт. Решение. Введем п2 альтернативных переменных при- нимающих значение 0, если переезд из i-ro пункта в k-н не входит в маршрут, и 1 в противоположном случае. Условия прибытия машины в каждый пункт и выезда из каждого пункта только по одному разу могут быть выражены равенствами п п У х»*=1 (k=\, , п) и х/д=1 (i=l, n). (5) i=0 Л=0 Однако необходимо обеспечить «непрерывность» маршрута, т. е. чтобы набор «звеньев» (i, k), для которых хц, = 1 (т. е. звеньев, входящих в маршрут) образовал единую цепочку [например, при п = 7 цепочка (0, 1) — (1, 5) — (5, 3) — (3, 7) — (7, 4) — (4, 2) — (2, 6) — (6, 0)], а не состоял бы из отдельных не связанных цепочек [например, (0, 1) — (1,5) — (5, 0) и (2, 7) — (7, 6) — (6, 4) — (4, 3) — (3, 2)]. Это условие можно обеспечить введением дополнительных п переменных щ 2? О (I — 0, ..., л) и дополнительных л2 ограничений nxik + “i- uk^n— 1. (6) Действительно, пусть маршрут включает несколько цепочек. Тогда существует цепочка, начинающаяся и заканчивающаяся в «нулевом» пункте, но охватывающая щ звеньев, где л, < п. Просуммировав эти неравенства вдоль такой цепочки (т. е. при xik = 1), получим бессмысленное неравенство лщ л, (л — 1) (все и, и ик при сумми- ровании взаимно уничтожаются). Суммарная длина пробега машины г, которую необходимо мини- мизировать, запишется в виде Z = У У dikxik. (7) В результате приходим к следующей модели частично целочис- ленной задачи: минимизировать (7) при условиях (5), (6), условиях неотрицательности (1 = 0, ... , л; /г = 0, .... л) и и^О (i = 0, .... п) и целочисленности всех переменных xik. 297. Составить математическую модель и решить задачу комивояжера при следующих числовых данных: п = 3, d01 = 25, d02 = 40, do3 = 30, dia = 50, d13 = 20, d23 — 60. Сопоставить полученное решение с результа- 197
тами непосредственного перебора возможных вариантов маршрутов. 298. (Задача теории расписания, или календарного планирования.) Для обработки п (k = 1, .... л) деталей имеется т (I = 1, ..., m) станков. Каждая деталь должна пройти обработку в некоторой последовательности на всех станках. Задано время //А. обработки /г-й детали на i-м станке (некоторые tik = 0, если й-я деталь не обрабатывается на i-м станке). При этом необходимо выполнить следующие условия: 1) на одном станке единовременно может обрабаты- ваться только одна деталь; 2) для каждой детали указан определенный порядок обработки; 3) производственные операции неделимые, т. е. на- чавшаяся на определенном станке обработка детали должна быть закончена не прерываясь. Составить модель задачи по определению оптималь- ного порядка обработки деталей, минимизирующего общее время выполнения всех работ. Решение. Пусть время измеряется в некоторых условных единицах, при которых все являются целыми числами. Введем неотрицательные переменные xitl, указывающие в этих условных единицах «дату» начала обработки /г-й детали на i-м станке. Условие 1) означает, что для любых двух деталей, k-й и j-й, каждая может поступить на обработку в i-м станке только после того, как обработка детали, поступившей первой, будет закончена. Это условие можно выразить соотношениями xik^xlj + ti]> или xij^xik + t^. (8) Условие 2), согласно которому некоторая /г-я деталь должна сначала обрабатываться на i-м станке, а затем на s-м, можно выра- зить соотношением xsk Х/д + tiff. (9) Целевая функция г = t, которую необходимо минимизировать, будет выражать собой общее время завершения всех работ. Величина Z связана с переменными задачи соотношениями xik~\~hh- (Ю) Модель, заданная соотношениями (8) — (10), отличается от задачи линейного программирования альтернативным характером условий (8) («или» — «или»). Условия (8) можно свести к обычным ограничениям с помощью введения альтернативных переменных у;;к, принимающих значения 0 или 1. Введем некоторую постоянную Т, заведомо большую общей даты выполнения всех работ. 198
Тогда альтернативные условия (8) равносильны следующей системе неравенств (Тyyk-^xy~S: xik-\-tik< (11') (Т+ta) (1 —yijk>~Vxlk '^xij~\-tij- (11”) Действительно, если бы xik = ху (что противоречило бы усло- вию 1), то из (1Г) получили бы (Т + tik) уук :> tik, что возможно лишь при уук = 1, но тогда из (11") получили бы противоречивое неравенство 0 fy. При уць = 0 получаем из (11') ху xlk + tik, т. е. второе из неравенств (8), а из (И") неравенство Т Js ху— xik, которое вы- полняется всегда исходя из определения Т. Аналогично при yyk — 1 получаем из (11") Js Ху + ty [первое из неравенств (8)|, а из (1Г) — тривиальное неравенство Т xif/ — Ху. Таким образом, если j-я деталь поступает на обработку на i-й станок после k-й, то уук = 0, а если до k-й, то уук = 1. Следова- тельно для каждого i н любых двух деталей (у и k) необходимо, чтобы нз двух переменных уук и yity одна равнялась нулю и другая — единице. Этого можно добиться, введя дополнительные ограничения yijk + yikj= 1. (12) которые вместе с условиями неотрицательности и целочисленности обеспечат выполнение указанного требования. Теперь можем сформулировать окончательно следующую модель целочисленного программирования: минимизировать 2 = Z при условиях (9), (11'), (1Г), (12), условиях неотрицательности и цело- численности переменных xik, уук н t. Хотя полученная модель и может принципиально служить для решения задачи методами целочисленного программирования, но практически расчеты оказываются чрезвычайно громоздкими. По- этому для решения задач календарного планирования используются иные, так называемые комбинаторные методы. 299. Составить модель задачи по определению опти- мального порядка обработки шести деталей (k = 1, ..., 6) на двух станках (i = 1, 2) при условии, что каждая деталь сначала обрабатывается на 1-м, затем на 2-м станке со следующими данными о времени обработки tik на каждом станке: • 300. Решить задачу 299, используя алгоритм Джонсона. Решение. Алгоритм Джонсона для составления оптималь- ного плана обработки на двух станках сводится к следующему простому правилу: 199
1) располагают данные tih в двух строках таблицы; 2) находят среди всех наименьшее; 3) если min = tlko, то k0-to деталь помещают на первое место; если же min = <2fe0> ка-ю деталь помещают на по- следнее место; 4) если оказываются несколько равных минимальных чисел, то выбирают деталь с меньшим номером. Если min {4*} = 1^ = ^2fe0, то Ь0-ю деталь помещают первой; 5) после выполнения п. 2—4 вычеркивают k0-u столбец и про- должают ту же процедуру с оставшимися 2п—2 величинами tik, начиная с п. 2. Так, на начальном этапе наименьшим в таблице оказалось число 4, соответствующее 3-й детали (min 4з = 4), поэтому 3-ю деталь следует поместить первой. Для этого мы заранее подго- тавливаем такую же таблицу с пустыми клетками, в первую колонку которой записываем данные для 3-й детали. Вычеркнув в исходной таблице 3-й столбец, находим вновь min = /2в ~ 5. 3 1 2 5 4 6 1 4 5 12 18 20 14 2 15 9 12 12 6 5 Согласно п. 4 помещаем 1-ю деталь на первое место (за 3-й). Теперь после вычеркивания 1-го столбца получили min {/,/,} — t2e = 5, следовательно, 6-ю деталь помещаем на последнее место. Вычеркнув н этот 2-й столбец, получаем min {tlk} = t2l = 6. Поэтому 4-ю деталь помещаем перед 6-й. Теперь в таблице осталось только 2 столбца для 2-й и 5-й деталей. Имеем min = /25 = /12 = /22 = = 12. Согласно п. 4 выбираем деталь с меньшим номером, т. е. t-й станок 20 , /4 2.-й станок РИС. 18 2-ю, а для нее ориентируемся на /12, следовательно, помещаем ее первой (точнее, первой из оставшихся). В результате получили оптимальную последовательность (3, 1, 2, 5, 4, 6). Общее время обработки и время простоя 2-го станка можно получить с помощью линейной диаграммы (рис, 18), 200
На линии, соответствующей 1-му станку, отложены в масштабе времена обработки согласно найденной оптимальной последователь- ности. Внизу указаны римскими цифрами номера деталей. На 2-м станке неизбежны простои (указаны тонкой линией), так как деталь можно начать обрабатывать только после того, как закон- чится ее обработка на 1-м станке (например, III) и как закончится обработка предыдущей детали. Минимальное время обработки оказалось /min = 78 и время простоя 2-го станка 19. При произволь- ном порядке обработки (например, в обратном найденному порядку) получили бы Т — 100 и время простоя 41. 301. Найти оптимальный план обработки 10 деталей на двух станках при следующей матрице || tik ||: 302. (Транспортная задача с фикси- рованными доплатами.) В обычной транс- портной задаче с ресурсами af-(i = 1....... р), потреб- ностями Ьк (k = 1, q) и матрицей затрат || cik || вво- дится условие, согласно которому устанавливается до- полнительная оплата за эксплуатацию каждого мар- шрута (i — k) в размере постоянной величины dik, если xik > 0, и равной нулю, если xik = 0. Составить оптимальный план перевозки, минимизи- рующий суммарные затраты. Решение. Модель задачи будет отличаться от обычной модели транспортной задачи только особым видом целевой функции: минимизировать q р 2= 2 2 (rikXik + dikyik) (13) А=11=1 при условиях р ^xik = bk (fe=l, ..., <7), (14) l = i (i = l, ...,p), (15) fe-=l (i=l, ...,p; fe=l,...,<7), (16) (0, если xlk = 0; У1Ь=\ . О7) 1 1, если xik > 0. Отличие этой модели от обычной транспортной в том, что функция содержит альтернативные переменные Для того чтобы прийти 201
к модели целочисленной задачи, введем для yik следующие условия: а) 0 1, б) уц, — целочисленные в) xlk^ min {ab bk}yik. Первые два условия обеспечивают, что у;* будут принимать только два значения: 0 или I. Условие в) связывает значения, при- нимаемые уц;, со значениями в соответствии с условием (17). Действительно, если yitt = 0, то из в) следует, что и хц/ = 0, если у и, = 1, то условие в) никаких ограничений на xik не налагает, так как всегда xtk min {п(-, 6*}. Наоборот, если в оптимальном решении xjk = 0, то и yik = 0, поскольку при yik = 1 величина 2 может быть уменьшена при замене у^ нулем; если ху, > 0, то из в) следует, что t/(* = 1. Таким образом, приходим к следующей модели частично, а при целых а; и Ьк полностью целочисленной задачи: минимизировать (13) при условиях (14), (15), (16), а), б) и в). 303. Составить модель задачи целочисленного про- граммирования по следующим числовым данным, соот- ветствующим обозначениям предыдущей задачи: аг = = 50, а, = 30, а, = 120, Ьк = 60, Ь2 = 40, bs = 100, / 7 5 12\ /2 3 3\ Ы1 = ( 4 6 8 ; ||d<ft||= 4 0 5. \10 9 6/ \0 1 4/ 304. (Задача оптимального разме- щения.) Имеются q пунктов потребления, потребности которых в некотором продукте измеряются величинами 4, ..., Ьк, .... bq. Для удовлетворения этих потребностей могут быть использованы р пунктов (i — 1, ..., р) воз- можного производства продукта. Задана матрица || с1к || затрат на перевозки единицы продукта из i-го пункта производства в k-й пункт потребления. В отличие от обычной транспортной задачи предполагается, что в каждом i-м пункте возможны и, взаимоисключающих вариантов производства с объемами а(1, ... а^, .... а/П(., Определить оптимальный план размещения произ- водства из условия минимизации затрат на транспор- тировку продукта. Решение. Введем, как и в обычной транспортной задаче, переменные xife, означающие количество единиц продукта, перевози- мых из i-ro пункта производства в k-й пункт потребления. Тогда часть условий запишется в обычной форме транспортной модели: минимизировать 2 = (18) k i 202
при условиях = (*=1, (19) */ft=s0 (i=l, .... р; fe=l, ..., <?). (20) Однако ограничения по ресурсам уже не могут быть выражены в форме У] xik «5У] ац (*), так как при этом не учтено, что в плане k 3 для данного I может фигурировать только один вариант производ- ства. Поэтому введем альтернативные переменные у у, равные нулю, если вариант Оу не включается в план, и единице, если этот вариант в план входит. Тогда ограничения (*) по ресурсам могут быть запи- саны в виде (1=1, ...,р). (21) k Для того чтобы уу принимали для каждого 1 только два значения 0 или 1, введем следующие условия: 2й/=1 (1=1, ..., р), (22) / Уц — неотрицательные и целочисленные. (23) Выражения (18) — (23) описывают частично или (при целочис- ленных а/ н bk) полностью целочисленную задачу. 305. Составить модель задачи оптимального размеще- ния по следующим конкретным данным: q = 3, р = 2, «х = 2, л2 = 3, а1± = 120, а12 = 150, п21 = 90, а22 = = 80, п23 = 100, Ьг = 90, Ь2 = 40, Ь3 = 70, /7 5 10. 11М-(4 9 6). 306. Для удовлетворения спроса q потребителей, в количестве Ьи bk, ..., bq единиц продукции могут быть частично использованы имеющиеся предприятия- поставщики, а частично предприятия, реконструируемые или вновь строящиеся. Реальные или проектируемые производственные мощности этих предприятий состав- ляют аг, ..., а;, ..., ар. Задана матрица || cik || транспорт- ных затрат на доставку продукции и вектор С = (clt .... Ci, ..., ср), где Ci — производственные затраты на еди- ницу продукции. Кроме того имеются еще «фиксирован- ные» затраты dh связанные с реконструкцией или строи- тельством новых предприятий (доля общих капиталовло- жений, рассчитанная на планируемый период, исходя из общего срока окупаемости). Эти фиксированные за- траты dt = 0, если cq = 0, т. е. если г-й поставщик в плане не предусматривается, и d, > 0, если й, > 0. 203
Для имеющихся предприятий соответствующее dt — О, вне зависимости от щ. Составить модель задачи по определению оптималь- ного плана размещения производства и транспортировки продукции из условия минимизации суммарных затрат. У к а з а н и е. Ввести альтернативные переменные ( 0, если at = 0; й 11, если а, > 0, которые войдут в ограничения по строкам (подобно задаче 304) и в целевую функцию (как в транспортной задаче с фиксированными доплатами). 307. Общую сумму капиталовложений К необходимо распределить между q объектами (k = 1,..., q), потребности которых измеряются суммами Ь1( .... bk, bq, а ожи- даемые прибыли с1, ..., с,, .... cq. На каждый объект капиталовложения либо выделяются в необходимой сумме, либо совсем не выделяются. Составить модель задачи целочисленного программи- рования, заключающейся в оптимальном распределении капиталовложений. 308. Решить предыдущую задачу при следующих конкретных данных: q = 5, К = 1200, Ьг = 420, = = 180, b3 = 240, = 560, Ьъ = 300, q = 80, с2 = 65, с3 = 90, = 210, с5 = 150. 309. (Задача с логическим условием «либо — л и б о».) Фабрика может производить п различных продуктов (k = 1, ..., п), располагая для этого s видами ресурсов в количестве alt ah ..., as. Для производства продуктов могут быть использованы т технологических способов (/ = Г, ..., т). Заданы вели- чины aik, характеризующие нормы расхода i-ro ресурса на единицу k-ro продукта при изготовлении его j-м спо- собом, и цены pk единицы k-ro продукта. Составить модель задачи по определению оптималь- ного набора продуктов и способов их производства из условия максимизации товарной продукции при допол- нительном условии, согласно которому любой k-й про- дукт либо должен производиться в количестве не меньшем dk, либо совсем не производиться. Решение. Без дополнительного альтернативного условия задача относится к числу общих планово-производственных задач (см. гл. VIII, §5). Введя переменные xkj, означающие количество 204
единиц /?-го продукта, изготовляемых у-м Способом, составим мо- дель такой задачи: максимизировать п ! т \ *= 1] Pal S **/). (24) ь = \ i=i / при условиях п т У У a'ikxkj^ai («-1, (25) k - j /== i xvS0 (fe=l, ... , л; /=1, ...,m). (26) Теперь для включения дополнительного условия введем п альтернативных переменных: ( 0, если k-й продукт не производится; Уь — \ . (*) ( 1, если k-н продукт производится в количестве >«<.. Для того чтобы ук принимали лишь два значения 0 или 1, введем два условия: Oz~-yk 1 и ук —целочисленные. (27) Теперь необходимо обеспечить, чтобы ук принимали значения в соответствии с условиями (*). Обозначим через Mk величину, заведомо большую, чем коли- чество /г то продукта, которое может быть произведено при данных ресурсах. Так например, эта величина может быть определена по одному из ресурсов (пусть первому) в предположении, что он исполь- зуется только на изготовление /г-го продукта. Тогда можно принять, что Мк= max J °'Д. Введем для каж- / \akj I дого k два дополнительных ограничения т т У xkf s^ yii^k (**) и У xkf (***) /=1 /=1 Теперь, если 1/^=0, то из второго неравенства следует У х*/^0, • / откуда получаем хк = V хк/ = 0. Если же yk — 1, то неравенство (**•), благодаря выбору величины Мк становится тривиальным хуь^Л/у/ра нз (**) получаем хк dk, что соответствует \ i i исходным условиям. Наоборот, если хк — 0, то из неравенства (**) следует, что ук =- 0, и если л;, dk,TO неравенство (**) удовлетво- ряется при любом ук (0 или I), а нз (*♦*) следует ук == 1. 310. Составить математическую модель и решить предыдущую зачачу при следующих конкретных дан- ных: п =- 3, s — 2, р, = 12, р2 = 25, р3 — 8, dt — 30, 1-й продукт либо производится в количестве не менее 30 ед., либо совсем не производится. 205
Значения о, и alik Ресурсы 1 способ II способ = I k = 2 k = 3 k = I k — 2 k = 3 1200 15 6 9 12 8 10 800 10 10 12 16 8 6 Указание. Составить модель задачи целочисленного про- граммирования. Решение получить с помощью двух обычных задач линейного программирования: задачи с дополнительным ограниче- нием хп + х12 2: 30 и задачи с ограничением хп + х12 = 0. 311. (Задача с невыпуклыми обла- стями.) Привести к целочисленной задачу максими- зации г = Xj + х2 в области, изображенной на рис. 19. Решение. Область допустимых решении задачи, показанная на рис. 19, состоит из двух несвязанных треугольников и может быть описана альтернативными усло- виями: или область I Зх, + 2х2 «5 24, х, :> 5, х2 0, или область II х, 2ху -2 16, Xj 0, ху 5;- 6. Для описания этой области введем две альтернативные пере- менные th и у2 согласно следую- щим условиям: 0, если точка принад- лежит области I, 1, если — области 11; 0, если точка принад- лежит области II, 1, если — области 1. Тогда указанную область можно записать следующим образом: ху —5 2s —5й 1 3xj-|-2x2— 24-'24i/j J (A) X2 — 6 2: — 6l/2 1 Xj + 2x2—16^16t/2 J (Б) X12-0, x2 3:0, yl+y2 = \, t/i. целые. (В) Действительно, если уг — 0, то из yt Д у2 — 1 получаем у2 ~ 1. Тогда неравенства (А) принимают вид х, 5, Зх, Д 2х2 24, т. е. задают область I. При этом из (Б) получаем неравенства х2:~0 и х, -| 2х2 32, которые выполняются автоматически (так как max Xj = 8, max х2 = 8 и, следовательно, max (х, Д 2х2} = 24). Наоборот, при уу = 1 и у2 = 0 получаем из (А) тривиальные усло- 206
ВИЯ Xj 0 н 3xj -f- 2*2 -gi 48 (в то время, как max {Зх, 4- 2х2} = 40). В это же время условия (Б) дают x2 Ji 6 и Xj + 2х2 16, т. е. точку, лежащую в области II. Таким образом, получаем окончательно следующую задачу частично целочисленного программирования: максимизировать г = х, + х2 при условиях (А), (Б), (В). Графическое решение задачи дает X* = (4, 6) и zmax= 10. 312. Привести к задаче целочисленного программиро- вания следующую задачу: максимизировать г = хг + 4- 2х2 при условиях: •Vi + x2sC8, XxJsO, %2JsO и либо x1Js5, либо x2Js4. 313. То же, при условиях 0 6, 0 7 и либо хг «£ 2, либо х2 sg 3.
ГЛАВА XI Нелинейное программирование. Общие положения § 1. СОСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ Общий вид модели задачи нелинейного программирования: максимизировать (минимизировать) целевую функцию 2=f(x1,...,xk,...,xtl) = f(X), (1) при условиях <Р;(А. . xk, (' = 1. т). (2) Здесь функции f и <р; могут быть любыми, а знак означает, что при различных i ограничения (2) могут выражаться неравен- ствами (со знаком или >) или уравнениями. Условия неотрица- тельности переменных не выделены отдельно, а включаются в огра- ничения (2). На языке математического анализа такие задачи полу- чили название задач на условный экстремум (см. § 5). Если / и ф(- — линейные функции, то получаем модель задачи линейного программирования. Процесс составления модели в конкретной задаче принципиально не отличается от составления модели задачи линейного программиро- вания. В задачах 314—323 составить математическую модель. 314. Четыре предприятия могут производить продук- цию в урочное время в количествах 160, 250, 390, 200 ед. и дополнительно, используя сверхурочное время, в ко- личествах 40, 50, ПО, 50 ед. При этом затраты на произ- водство единицы продукции по предприятиям составляют 30, 50, 40, 35 — при работе в урочное время и соответ- ственно на 50% выше при работе в неурочное время. Продукция должна быть доставлена четырем потреби- телям в количествах 380, 250, 400 и 200 ед. Транспортные расходы cik на перевозку единицы продукции от i-ro предприятия (i = 1, 2, 3, 4) £-му 208
потребителю (k = 1, 2, 3, 4) заданы матрицей ,25 30. 40 35\ / 30 40 30 20] С= 25 45 30 40 \42 36 28 34/. Определить оптимальную производственную про- грамму предприятий и оптимальный план перевозок. Указание. Кроме обычных переменных xik для обозначения перевозок от 1-го предприятия й-му потребителю, ввести дополни- тельные переменные x-t, выражающие суммарный выпуск продукции i-го предприятия. 315. Найти оптимальное распределение общей суммы капиталовложений в 120 млн. руб. на строительство трех предприятий. При этом величина отдачи (в млн. руб.) к концу года на каждый млн. руб. капиталовложений зависит не только от предприятия, но и от величины отпущенных ему средств, убывая с ростом последних (в связи с затруднениями по их освоению). Эти зависимости представлены в следующей таблице: Пред- приятия Размер кап. вл. Отдача Размер кап. ел. Отдача Размер кап. вл. Отдача. I ДО 15 1,5 15—30 0,5 выше 30 0 II до 20 1,0 20—40 0,4 40—50 0,2 III До 10 1,2 10-15 1,0 15—30 0,5 316. Определить место строительства завода между двумя пунктами сбыта, расстояние между которыми 100 км, и размер поставок в каждый из пунктов, если валовый выпуск продукции завода составляет 150 ед., а зависимость продажной цены единицы продукции от количества поставляемой продукции х, (i = 1, 2) в ка- ждый из пунктов сбыта и затрат на перевозки единицы продукции от расстояния //, между заводом и пунктом сбыта задаются следующей таблицей: Пункты сбыта Продажная цена, руб-/ед. Затраты, руб./ед. 1 15-0,1*! 1,5 + 0,1//! 2 12 —0,08х2 1,5 0,05^2 8 И. Л. Калнхман 209
317. Предприятие может выпускать три вида про- дукции А, Б и В, располагая для этого ресурсами сырья в 1000 ед, которое расходуется в количестве 5, 2,5 и 2 ед. соответственно на каждую единицу продукции А, Б и В. Прибыль, получаемая предприятием на каждую единицу продукции, зависит от вида продукции и от общей вели- чины расходуемых на него ресурсов согласно следующим данным: Расход ресурсов А Б В до 100 100-200 до 200 200—400 до 300 300-600 Прибыль 5 3 10 6 4 2 Определить оптимальный план выпуска продукции. 318. Выпуск продукции может производиться двумя технологическими режимами, затраты при каждом из которых соответственно равны 21х/3 и 4х-у2, где xt и х2 — объем продукции, обрабатываемой соответственно по 1-му и 2-му технологическим режимам. При этом второй технологический режим предполагает использование при- возного сырья и связан с дополнительными затратами на транспортировку в сумме 400х[/2. Определить оптималь- ное использование обоих технологических режимов, обеспечивающих общий выпуск продукции в количестве 100 ед. 319. Определить оптимальный размер партии заку- паемого через разные промежутки времени сырья, если годовая потребность в нем составляет Q ед., расходы сырья равномерные, годовые затраты на хранение еди- ницы сырья а и затраты по закупке новой партии 0. Указание. Если партия размером х расходуется равно- U х мерно в течение года, то среднегодовой запас сырья равен . 320. Решить предыдущую задачу, если вместимость склада для хранения запасов не превышает D. 321. Определить оптимальную программу выпуска двух видов продукции с учетом ограниченных ресурсов сырья (120 кг), оборудования (300 станко-ч) и электро- энергии (280 квтч) при следующих нормах расхода на единицу продукции: сырья 3 и 2 кг/ед., электроэнер- гии 4 и 7 квтч. и оборудования 50—5хх и 20 — 4 х2, 210
где Xj и х2 — искомое число производимых единиц 1-го и 2-го вида. 322. Рассматривается трехотраслевая модель народ- ного хозяйства с технологической матрицей || Ц (i = 1, 2, 3 и k = 1,2, 3), где aik — коэффициенты пря- мых затрат. Заданы коэффициенты прямых затрат труда (tk) и капиталовложений (ct), общий объем трудовых ре- сурсов Т, потребности в конечном продукте (й;), цены на импортируемые продукты (а,) и на экспортируемые продукты Pi = у, — 8/уь где yL — размер экспорта i-ro продукта и максимально допустимый дефицит внеш- ней торговли D (т. е. разность между суммарной стои- мостью импорта и экспорта). Составить математическую модель по определению валового выпуска продукции, объема экспорта и импорта, при которых требуется минимум капиталовложений. § 2. ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ 323. В области, определенной неравенствами x4-2z/^12, х найти точки, в которых достигаются глобальные экст- ремумы следующих нелинейных целевых функций: 1) z = (х — 2)2 4-(4/— З)2; 2) z = 2(x-5)2 + (i/-7)2; 3) z = (x-7)(f/-l). Решение. Область допустимых решений, общая для всех трех задач, построена на рис. 20. 1) Линии уровня представляют собой окружности с центром А (2; 3) и радиусом г = |'g. Из рисунка ясно, что zmj = 0 достигается в точке А (2; 3), a znlax— в точке В (9; 0). Таким образом, получаем zmjn = 0 и 2lIlax = (9-2)2 + (0-3)2=58. 8* 211
2) Линии уровня представляют собой эллипсы, заданные урав- (х-5)а . (у-7) нением + ^ф~' 1, т. е. с полуосями а = j/ z/2 и b = = V г. Центр эллипса — точка (5; 7). На рис. 21 показан эллипс при z= 11. Из графика видно, что zmin соответствует эллипсу, касающему границы области в точке С (4,2; 3,9). Дальней- шее уменьшение z приводит к линиям уровня, не имеющим общих точек с областью. Таким образом, точка С касания эллипса с пря- мой х -|- 2у = 12 соответствует оптимальному решению. Для опре- деления координат этой точки воспользуемся равенством углового коэффициента прямой /гп= — 1/2 угловому коэффициенту каса- тельной к эллипсу (т. е. производной) в данной точке. Дифферен- цируя почленно уравнение эллипса и рассматривая у как неявную функцию от х, получим 4 (х — 5) ф 2 (у — 7) у' = 0, откуда , 2(х—5) У~ У-7 ' Приравняв эту производную значению kn = — 1/2, получим одно уравнение между для определения координат точки касания С. Присоединив к нему уравнение прямой, на которой лежит точка С, получим систему двух уравнений 4(х— 5) = у—7 х+2у=12 J, 38 л „ 35 . п 98 ., откуда хс=д-«= 4,2; рс= (J^3,9 и zm|n=—-д-«= 11. Максимум z, как видно из рис. 21, может достигаться в точках О (0; 0) или В (9; 0). Для уточнения сравним значения г в этих точ- ках. Непосредственной подста- новкой находим г (О) = 99 и z (В) = 81, откуда zmax= 99 в точ- ке О (0; 0). 3) Линиями уровня являют- ся равносторонние гиперболы, асимптотами которых служат прямые х = 7 и у= 1 (рис. 22). С ростом параметра г гипер- болы отдаляются от точки пере- сечения асимптот (пунктирные линии). Наибольшее значение z соответствует гиперболе (ниж- ней ветви), проходящей через точку О (0; 0), а наименьшее — гиперболе, вырождающейся в точку (7; 1). Таким образом, получаем zmax= 7 в точке О (0; 0) и zrnjn = 0 в точке (7; 1). 324. В области решений системы неравенств 2х + Ъу 30, 2х ф- у 14, х фз 0 у 5= О 212
определить глобальные экстремумы функций: 1) г=(х-4)2 + 0/-8)2; 2) г = (х-2)2 + (£-4)2; 3) г=(х-7)2 + (//-7)2; 4) z = (х - 6)2 + (у - 2)*. 325. В области решений системы неравенств х24/2 36, х^О, y^Q определить глобальные экстремумы функций: 1) z = 2x-[-r/; 2) г = — х-г2у\ 3) г = (х-3)2 + (г/-2)2; 4) г = (х - 4)2 + (у - 6)2. 326. В области решений системы неравенств (х — 2) (у+ 1)гС 16, х^О, г/ЭгО определить глобальные экстремумы функций: 1) ? = х + у, 2) г = (х- 1)2 + (4/-I)2; 3) г = (х-4)2 + 0/-3)2; 4) г = -х + 3у. 327. В области решений системы неравенств (x-5)2 + G/-3)2=s9, (х-5)24-(у-3)2^36, x-|-z/Ss8, хэО, у^О определить глобальные экстремумы функций: 1) г = х-\-Зу, 2) г = х-\-у, 3) z = x2 + ^/2; 4) z = xy. 328. В области решений неравенств 0<х<3, хгаЗ, 5х+Зг/=£:24, или Зх + 5^=с24, у^О у'^0 . определить глобальные экстремумы функций: 1) г = х + у, 2) z = (х — 4)2 + (г/— 4)2, 3) z = (X-3)2 + 4Q/-6)2; 4) г = |х_5|+^ 329. В области решений системы неравенств у — |х — 4 |^3, 2<х<6, г/2э0 определить глобальные экстремумы функций: 1) z = x + y, 2) г = (х^7)2 + (^-7)2; 3) z = (x-4)2 + Q/-2)2; 4) г = у-1 х - 4 |. 213
330. Построить области, заданные следующими си- стемами неравенств, определив, какая из них ограни- ченная или неограниченная, открытая или замкнутая; указать границу области: 1) х-2у^8, \ 2) х2+у2^ 16 | х 4- 8у < 6 ; х2 4- у2 > 4 J ’ х = 0, «/SsO 3) хг/ = 4 8x-£/SsO 4) 4x2 + 9z/2^ 36 1 x2-'r4z/23&4 }• 331. Найти и построить графически область опреде- ления следующих функций, указав свойства этой области (ограниченная или неограниченная, открытая или замк- нутая): 1) г = 1 + ^; 2) г = -^; 3) z = -U; х х2 +у2 V ху 4) z =—!—; 5) г = ; 6) z = - ’ х--у2 х—2у ]/х*—у2 332. Определить, какие из функций, указанных в пре- дыдущей задаче, будут ограниченными, а какие — неог- раниченными в области, заданной неравенством х2 + (у - 2)2 1. § 3. ВЫПУКЛЫЕ ОБЛАСТИ И ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ Отрезком, соединяющим две точки Хг и Х2, называется мно- жество точек X, удовлетворяющих уравнению X = /Х1+(1-/)Х2, (3) где 0 =< t 1. _ Множество точек X называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точками ему принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки. Теорема 1. Пересечение (общая часть) выпуклых множеств есть выпуклое множество. 333. Доказать, что следующие области будут выпук- лыми: 1) х2+у2^ 16; 2) 4х24-9г/2<36; 3) х2^у\ 4) (х-2)2 + (//-4)2^9 | ' (х-5)2 + (</-6)2^4 J. 214
Функция 2 =f (X), заданная в выпуклой области Q, называется выпуклой или вогнутой в этой области, если для любых двух точек А\ и А'2 е Q и любого числа 0 sg 1sg 1 выполняются неравенства: f ItX, + (1 -1) A'2] S= tf (A\) + (1 - Z) f (Xa) для выпуклой функции, (4) f [ZXt + (l —Z) X2] ==g tf (X,)+(l -Z) /(X2) для вогнутой функции. (4') Различают еще строго выпуклые (вогнутые) функции, для которых указанные неравенства выполняются как строгие. 334. Доказать, что линейная функция многих пере- менных является нестрого выпуклой и нестрого вогнутой одновременно. Указание. Записать функцию в виде г = СХ. 335. Исследовать свойства выпуклости функции у = ах2. Решение. Здесь f (X) = ах2 — функция одной переменной, заданная на всей действительной оси. Имеем HZx1 + (l-Z)x2] = o[Zx1 + (l-Z)x2]2=Q[Z2x2+(l-Z)x2 + + 2Z (1 — Z) XjXj ] = a (Z2x2 + x'i — 2Zx] + t2x] -f- + 2Zxtx2 — 2t2x1x2) = a [t2 (xj — x2)2 + x] -f-2Zxz (x, — x2)]. Ho 0 -g t sg 1, следовательно, Z2 ;:g Z, t. e. Z2 (xt — x2)2 - g Z (x, — x2)2, или Z2 (x, — xa)2 + x?, + 2/x2 (x, — x2) sg Z (xt — x2)2 + x§+ 2Zx2 (Xj — x2) = Zx; + (1 — Z) x?,. Умножая обе части последнего неравенстве на а, получим: при а > О a [Zx, -J-(1 —Z) х2]2 rg taxj -|-(1 —Z) ах-,— функция вогнутая; при a <g О a [Zxt + (1 — Z) х2]2 gs tax'2 ф- (1 — Z) ах'\ — функция выпуклая. Теорема 2. Линейная комбинация с положительными коэффициен- тами выпуклых (вогнутых) функций также будет функцией выпук- лой (вогнутой). 336. Доказать, что если f (X) — выпуклая (вогнутая), то — f (X) будет вогнутой (выпуклой) функцией. Исследование свойств выпуклости производится непосредст- венно по определению с помощью неравенств (4) — (4') (как в при- мере 335), с использованием указанных теорем, либо комбинирова- нием того и другого приема. 337. Исследовать свойства выпуклости следующих функций: 1) г = (х — 2)2 4-у2; 2) г = х2 + Чху ф-у2\ 3) г= — Чх — х2 — у2\ 4) z = 4 — Зх2 — Чу2 ф- х; 5) г = Х]ф-х|ф- ф-Зх3ф-1; 6) 2 = при ххДгО, х2^0; 7) г=х\ + 215
4-xi-^xl + 2x1x2; 8) z = \x\; 9) z = 4xx — xf+x^-j-Зх2; 10) z = x2 — |Xj — 2 |; 11) z =—— при x2ys0. X1 x2 338. Доказать, что если f (X) — выпуклая (вогнутая) функция2 то выпуклыми (вогнутыми^ будут: 1) f(X) + a; 2) f(X + a); 3) af (X) при а > 0. Теорема 3. Область решений неравенства <р (X) >- 0, где <р (X) —выпуклая функция, является выпуклой. 339. Доказать выпуклость областей, заданных следую- щими неравенствами, и построить их графически: 1)х2 + //2^16; 2) (х-1)2 + 3(«/-2)2^18; 3) х2 — 2х / 14) у — х2 0; 5) (x-5)2 + (j/-5)2=^9 1 6) (x-5)2 + (r/-5)2<9 1 — Зх -ф 4у 12 J’ хг/2г 20 /’ 7) 4х2 + 9z/2 ^2 36 1 8) х2 + </«=4 1 х2 — у^0 J ’ х2 — y s^4 J ' § 4. КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ Квадратичной функцией (формой) от п переменных называется функция вида п п f(X)= 2 Ti cikxixk- k = I i = l (5) С каждой такой функцией связана симметрическая матрица п-го порядка С = || с,/, ||. Диагональные элементы Сц этой матрицы являются коэффициентами при x'j, а недиагональные элементы cik => = Chi равны половине коэффициента при х^х^. Так, например, квадратичной функции x-L + 2xlx2 + x‘i соответ- функции — 3xtx2 + xtx3 — / 1 —3/2 1/2 к — 2х3х3 + х| соответствует матрица С=1—3/2 0 —1 | \ 1/2 —1 1 / ствует матрица С = и т. д. _ _ Если при любом Л', кроме X = 0, выполняется неравенство f (X) > 0 [или f (X) < 0], то функция называется положительно (соответственно отрицательно) определенной. Если при этом для некоторых X ф 0 возможно и равенство [f (X) = 0], то функция называется неотрицательной (неположи- тельной). 216
Если f (X) > 0 при одних Хи/ (X) < 0 при других X, то функ- ция называется неопределенной. Примеры: 1) z = —положительно определенная функция; 2) г=х^ —2х1х3-|-х^ = (х1—х2)2—неотрицательная (так как г>0 при х1=£х2 и г = 0 при х2 = х2); 3) г = —• я? + 2xtxa — х% = — (хг — х2)2 — неположительная; 4) z=Xj —— неопределенная, так как г>0 при и г < 0 при х'1 < х|. Указанные свойства квадратичной функции можно установить в общем случае по знакам корней Хг характеристического уравнения матрицы С, имеющего вид Сц —X ... сц, ... с1п СН ••• ••• cin (6) cni cnk ••• cnn — Теорема 1. Для того чтобы квадратичная функция (5) была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и доста- точно, чтобы все корни уравнения (6) были положительными (отри- цательными ). Если среди этих корней есть хотя бы один равный нулю — квад- ратичная функция неотрицательная (неположительная). Наконец, если имеются корни разного знака — квадратичная функция неопре- деленная. Определение указанных свойств квадратичной функции важно в связи со следующей теоремой. Теорема 2. Неотрицательная квадратичная функция является вогнутой, а неположительная — выпуклой. 340. Построить матрицы, соответствующие следую- щим квадратичным функциям: 1) г — х[ — 2х^х2 4-xf, 2) г — xj — xl; 3) г = х] 4- 2хгх2 4- х2, 4) г = Х1 — Зх,л'2 — 5) г = 2х|х2; 6) 2 = х\ 4-х]4-*з; 7) 2=х\ — 2xiX2 4-ад,—^з4-^2 — 4; 8) г = *1х24-х1ха4-х2^з- 341. Определить свойства в задачах 340, 1) и 2). Решение. 1) Имеем С = ское уравнение запишется в виде квадратичных функций откуда характеристиче- —1 1 1-Х —1 —1 1-Х = (1-Х)2-1=Х2—2Х=0. Корни этого уравнения Xt = 2 и Х2 = 0. Следовательно, на осно- вании теоремы 1 заключаем, что данная функция неотрицательная. 217
2) Имеем С = [ ), откуда уравнение (6) запишется в виде Корни уравнения \ = 1 и К.2 = — 1 имеют разные знаки. Следо- вательно, на основании теоремы 1 заключаем, что функция неопре- деленная. 342. Определить свойства квадратичных функций в задачах 340 (3—8). 343. Определить, используя теорему 2, свойства вы- пуклости следующих квадратичных функций: 1) z = x‘i—x1x2, 2) г — хгх2 — XiX3; 3) г = х\ — 4х1х.1-\-4х2, 4) z = х[ 4- х2 + х\ + 2xjX2 - 2xjX3 - 2хах3; 5) z = x1x3 — xj — xl — xj. § 5. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ И СТАЦИОНАРНЫЕ ТОЧКИ Функция 2 = f (X) имеет в точке Хо локальный максимум или минимум, если найдется такая окрестность этой точки, что для всех X из этой окрестности будет выполняться неравенство /(Х)С/(Х0) [соответственно для минимума f (X) ’>/ (Хо)]. (7) Если неравенства (7) выполняются как строгие, то экстремум называется сильным, если как нестрогие, то слабым. Из определения вытекает, что точки локального экстремума обязательно должны быть внутренними точками области. Функция z f (X) имеет в заданной области Q глобальный максимум [zmax = / (Х„)| или минимум [zrain = f (Xn)J, если нера- венства (7) выполняются для любой точки области (X е Q). Глобальный экстремум может достигаться как во внутренней точке (совпадая в этом случае с одним из локальных), так и на гра- нице области. Теоремы об экстремумах Теорема 1. Функция z = f (X), заданная в залжнутой ограничен- ной области, достигает в ней глобального максимума и глобального минимума. Теорема 2. Любой локальный максимум выпуклой или локальный минимум вогнутой функции является одновременно глобальным. Теорема 3. Сильный глобальный минимум выпуклой или макси- мум вогнутой функции, заданных в выпуклой области, может дости- гаться (а в замкнутой ограниченной области — достигается) только на границе области. Теорема 4. Необходимым условием локального экстремума диф- ференцируемой функции г — f (xt... .... хп) в точке Хо => - (xQt, .... >б. является равенство нулю всех частных произ- водных первого порядка в этой точке; 218
...(81 Точки, в которых выполняются равенства (8), называются ста- ционарными точками. Стационарные точки должны быть подвергнуты дополнительным исследованиям с помощью достаточных условий, для того чтобы установить, действительно ли в них достигается локальный экстре- мум и какой именно (максимум или минимум). Еще сложнее обстоит дело с нахождением глобального экстре- мума, который может достигаться на границе области и в этом слу- чае не совпадать с локальным экстремумом. Однако в некоторых случаях могут помочь косвенные приемы, опирающиеся на теоремы 1—3. I. Если заранее известно существование глобального экстре- мума у данной функции (например, на основании теоремы 1), то доста- точно найти все стационарные точки и сравнить значения функции в этих точках с экстремальными значениями на границе области. Наибольшее значение соответствует глобальному максимуму, а наи- меньшее — глобальному минимуму. Определение экстремумов на гра- нице области сводится к решению задачи, аналогичной исходной, но размерности на единицу меньшей. II. Если функция выпуклая (вогнутая) и из уравнений (8) получена стационарная точка, то в ней достигается глобальный максимум (минимум). III. Для отыскания глобального минимума выпуклой или гло- бального максимума вогнутой функции достаточно исследование экстремумов функции только на границе области. 344. Найти глобальные экстремумы функций в сле- дующих задачах: 1) z==2x'i4-x]4-x1x2—Нхх —8ха — 3xj-L 4х2 в области Зх14-х2^15 ; AjSsO, x2^sO . Xi 4* Зх2 15 2) z = (xt — 1 )2 + (х2 — 2)2 в области х2 4~х2 7 х1гэ=0, X2 ---O 3) z = 16х2 — 4xj 4- 72ха — 9х.] — 10 в области х^О, x23s0. Решение. Функция г — квадратичная, заданная в замкну- той ограниченной области (рис. 23), поэтому, на основании теоремы 1, она достигает в этой области глобальных экстремумов (случай 1). Находим стационарные точки путем решения системы уравне- ний (8): да . % , откуда лу = 2 и Xj = 3. д— = 4х1+Хо—11=0 dz ^-- = 2x24-xl-8 = 0 2IS ‘J
Таким образом, получена единственная стационарная точка D (2;3), в которой zo = — 23. Теперь исследуем эту функцию вдоль границ области. Граница АВ задается уравнением 3х1 -ф 4х2 = 24, 3 откуда х2 = 6— j- хг. Под- ставляя найденное значение хг вфункциюг, получим глв = 29 = —; хт — 8х, — 12. Ее стацио- 16 парная точка Е найдется, как для функции одной пере- dz... менной из уравнения —А = 29 1 = 8 *1 — 8 = 0, откуда хг = 64 „3-64 126 ~29’X2-0 29 4~ 29 и2£~ =«- 20,8. Но граница А В, в свою очередь, имеет «грани- цы»—точки A (СТ; 6) и б (4;3), значения функции в которых будут гА= — 12 и гп = — 15. Граница ВС задается уравнением Зх, + х2 = 15, откуда х2 = = 15—Зхг Подставляя в заданную функцию, получим 2;JC = dz.jC = 8х2 — 62xj -|- 105. Аналогично предыдущему, из —= 16хх — dx^ 31 27 — 62 = 0 найдем хг = и х2= которые не удовлетворяют пер- О о вому неравенству. Следовательно, данная стационарная точка F лежит вне области ОАВС (рис. 23). Значения z/j(, на «границах», т. е. в точках С (5;0) и В (4;3), равны гс = —5 и z;j = —15. Вдоль границы ОА имеем х, = 0х откуда гол = xi — 8X3. Из dzf). уравнения ——- = 2х2 — 8 = 0 находим х^ = 4. Таким образом, получаем еще одну стационарную точку G (0; 4) и zQ = —16. Значе- ние в точке О (0;0) будет г0 = 0. Вдоль границы ОС имеем х2 = 0, откуда zoc = 2х)—11хх. dznr 11 Из уравнения = 4хх — 11 =0 получаем хх=—. Итак, найдена иХ^ 4 и / 11 п\ 121 последняя стационарная точка И I---0 1 и гн =-------g-. Для сравнения сведем данные об исследованных точках в таб- лицу. Точки D Е А в С G О н Значения функции -23 -20,8 -12 -15 -5 —16 0 _121 8 220
Следовательно, глобальный максимум достигается в точке О (0; 0) и равен 2тах = 0, а глобальный минимум zmin = —23 — в точке D (2; 3) (см. рис. 23). 2) Функция z, как сумма двух вогнутых функций (хх — I)2 и (Xj — 2)2, также является вогнутой. Сле- довательно, если существует стационарная точка, то в ней достигается глобальный минимум. Глобальный же максимум будет достигаться (область замкнутая, ограни- ченная) на границе (рис. 24). Записав уравнения (8), получим ^=2(^-1) = ° |Z- = 2(x2-2) = 0 ох2 откуда х1=1, х3 = 2 и zmin=0. Для отыскания глобального максимума исследуем функцию вдоль границы, как это делалось в предыдущем примере. dzn. ОЛ:х1 = 0, откуда 20Л = (х2 —2)+1; = 2 (х2 — 2) = 0; х2 = 2 и ?д=1. Далее, ?0 = 5 и 2^=10. АВ: Xj-|-3x2=15, откуда хх=15 — Зх2 и z^B=10x|—88xj + dz... 22 9 32 -1-200; —7^ = 20x0 — 88 = 0; х2= г , х,=-.-и2р=—. ' rfx2 " 5 5 с 5 ВС : Х!-|-х2 = 7, откуда х2 = 7—х1 и гйс = 2х; — 12х1 + 26; dz,,r —2— = 4х, — 12 = 0; х. =3, х, = 4 и гв=8. Данная точка совпала rfXj я с вершиной области В. ОС: х2 = 0, откуда гос = (*1 — О2+4 ; = 2 (xt —1) = 0; х2 = 1 н 2Г=4. Наконец, в точке С (7; 0) имеем гс = 40. Сопоставляя найденные значения г вдоль точек на границе области, устанавливаем, что 2тах = 40 достигается в точке С (7; 0). Полученный результат легко подтвердить графическим реше- нием (см. рис. 24). 3) Функцию 2 после выделения полных квадратов можно пред- ставить в виде 2 = —4 (х, — 2)2 — 9 (х2 — 4)2 + 60. Так как — (Xj — 2)2 и — (х2 — 4)2 являются выпуклыми функциями, то функция г является выпуклой. Следовательно, если будет найдена стационарная точка, то в ней будет достигаться глобальный максимум функции. Имеем = 16 — 8х, = 0 дхг -f^ = 72—18х» = 0 ох2 откуда х1=2, х2 = 4 и zmax=60. 221
Что касается исследования глобального минимума, то в данном случае дело,обстоит сложнее. Область задания функции — первый квадрант — является неограничен- ной (рис. 25) и поэтому заранее неизвестно, будет ли существовать глобальный минимум. Но в случае, если он существует, его следует искать на границе области, каковой являются положительные полуоси 0xL и Ох2. Однако уже для одной из полуосей (например, Oxj) имеем х2 = 0 и функция г = 16xt — — — 100 неограниченно убывает с ростом Xj. Таким образом, заклю- чаем, что глобального минимума функция не имеет (гт!псо). 345. Исследовать глобальные экстремумы функций, заданных в замкнутой ограниченной области: 1) г = х3 — 4х2 + 2ху — у2 в области | х | 5, | у | 1; 2) z = Зх2 4-31/2 — 2х — 21/4-2 в области х4-1/<;4, х^О, t/SsO; 3) z = х3-|-у3 — 3x1/ в области 0<;х<;2, —1^у^2; 4) z = x2 — у2 в области х2 4- У2 16; 5) г = х2у — х3у — х2у2 в области x4~i/=c8, xSsO, 1/SsO; 6) 2 = х3 4- Sy3 — вху 4-1 в области 0=Cx?s:2, O^t/^ 1; 7) 2 = 2x34-xi/24-5x24-£/2 в области |х4~*/|^4, |x-f/|^4; 8) 2 = xi/2 4-х2у — Зх2 — 3i/2 в области x4~//Ssl> х + у^ 16. 346. Исследовать глобальные экстремумы, исполь- зуя свойства выпуклости функций: 1) г = 4xj 4- 6х2 — 2Xj — — х| 4- 11 (max); 2) z = 4х( 4- Зх2 4-*з — 16х± — 4х3 (min); 3) г = 4 (х, - 3) - 2 (х2 - 1 )2 - (х3 - 2)2 (max); 4) 2 = X] 4- 2х; 4- (х2 - З)2 4- 2x5 4~ 8х3 (m in). 347. Исследовать глобальные экстремумы выпуклых или вогнутых функций в заданной области: 1) 2 = 2хх4-Зх2 — 2х; в области X!4-2х2sg4, х14-х2=^ *С2, х1=5=0, х2:>0; 222
2) z = 4(х1-1)2 + 3(х2-3)2 + (х3-2)2 в области хх -|- х2 15, х4 О, л^-71'0, л'3- - Oj 3) z = x4x2 в области xj + xi-С 16, XjJsO, x2SsO; 4) z = 2хк + Зл'2 — Хз — (х4 — 2)2 — xl — Зх2 в области Л1;:: 0, х22г0, х32г0, x4SsO. § 6. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Точка Хо, в которой функция z =-f (X) достигает локального или глобального экстремума, при дополнительном условии, что X удов- летворяет уравнениям Ф,(Х) = 6< (i=l, (9) называется точкой условного локального или соответственно услов- ного глобального экстремума, а уравнения (9) называются уравне- ниями связи. Это означает, что в неравенствах (7) проводится срав- нение значения f (Хо) со значениями f (X) не во всех точках е-окрест- ности Хо или области Q, а лишь в тех из них, которые удовлетворяют уравнениям связи (9). Соответственно экстремумы функции z = f (Хо) без дополнитель- ных условий (9) называются безусловными экстремумами. Безусловный экстремум, достигаемый в точке Хо, удовлетворяю- щей уравнениям связи, одновременно будет и условным экстремумом, но условный экстремум, вообще говоря, не будет безусловным. Исследование условного экстремума (который будет обозначаться через zmax или zmin) можно проводить двумя методами: 1. Метод непосредственного исключения. Из уравнений (9) определяется некоторое число s переменных (максимально s = т, если все уравнения связи независимые) через остальные п — s переменных, которые подставляются в функцию z = f (хх, ..., хк, .... хп). В результате получается функция от п — s переменных, кото- рая исследуется на безусловный экстремум. И. Метод множителей Лагранжа. Составляется функция Лаг- ранжа L (хх, ... хл, Хх, ... Х,п) — =/(хп ...хт)+2Ф»(Х1. ••*«)]. (10) зависящая от п переменных хк и т множителей Лагранжа Хг, и иссле- дуются безусловные экстремумы этой функции. Если f и <р( являются дифференцируемыми функциями, то необхо- димые условия экстремума функции L дают систему к ) т уравнений ^= ^_у?Л_«=0 (^=1, ...„), дхк дхк дхк (П) = —<р, (хь ..., х„) = 0 (i = l, ...,т), (11') 223
каждое решение которых определяет стационарную точку Хо~ = (х“, х^, х“), в которой может достигаться условный экстре- мум функции z = f (хъ хк......хя) при условиях (9). Дальнейшее исследование этих точек ведется, как и в случае безусловного экстремума. 348. Исследовать условные экстремумы функции z — = (х — 2)2 ф- (у — З)2, заданной в области 0 sg xsg 5, О sg у 10 при условии х + у = 7. Решение. Область определения — замкнутая ограниченная (прямоугольник ОАВС), поэтому глобальные экстремумы, в том числе и условные, существуют. Уравнение связи есть прямая, отрезок которой DE (рис. 26) располагается внутри области. Следовательно, значения функции должны сравниваться не во всей области ОАВС, а только вдоль этого отрезка DE. На рисунке показаны линии уровня, пред- ставляющие собой концентрические ок- ружности с центром в точке F (2; 3). Как видно из рисунка, безусловные эк- стремумы достигаются в точках F (где 2min = °) И В He2tnax = 58)i ПР” ЭТ0М - _23._первый является одновременно локальным 0_________________С X и глобальным минимумом, а второй — р1[с 26 только глобальным максимумом. Если же рассматривать только точки, лежащие на отрезке DE, то из того же рисунка видно, что условный глобальный максимум достигается в точке Е (0; 7), где zmax = 20, а условный глобальный минимум (он же и локальный) достигается в точке G, в которой окружность касается отрезка DE. Определив координаты этой точки из равенства угловых коэффициентов (см. § 1), получим xQ — 3, уа = 4 и 2q = zmin = 2. Теперь решим задачу аналити- чески. Первый способ (метод исключения). Из урав- нения связи имеем у = 7 — х, откуда г = (х — 2)2 + (4 — х)2 = — 2х2 — 12х + 20. Получили функцию от одной переменной х, dz для которон стационарная точка найдется из уравнения — = 4х— — 12 = 0, откуда х = 3, у — 2 и zQ = 2. На границах отрезка, т. е. в точках D (5; 2) и Е (0; 7), получим zfJ = 10 и г£ = 20. Сравни- вая найденные три значения функции, устанавливаем, что zmin = 2 и zmax= 20, что совпадает с результатами графического решения. Второй способ (метод Лагранжа). Составляем функцию Цх, у, x) = (x-2)2 + (z/-3)2-A(7-x-i/). 224
Уравнения (11) и (11') в данном случае принимают вид ^ = 2(х-2)-1=0, дх ' |J=2(j/-3)-l=0, а-7-'-’-0- Перенося X в правые части первых двух уравнений и приравнивая левые части, получим 2 (х — 2) = 2 (у — 3). Решая это уравнение совместно с третьим, получим х = 3 и у — 2, что совпадает с ранее найденной точкой G. Значение г в этой точке будет zQ== 2. Таким образом, найдена стационарная точка G. Дальнейшее исследование проводится, как и в предыдущем способе, т. е. путем сравнения зна- чений го в стационарной точке со значениями на границах области — точках D и Е. Заметим, что при решении системы уравнений (11) и (11') пере- менная X численно не определялась, а выполняла лишь вспомога- тельную роль. 349. Определить условные глобальные экстремумы функций в следующих задачах с помощью метода непо- средственного исключения и метода Лагранжа, сопрово- див решение графической иллюстрацией: 1) г = х2 + £/2 при х + у — 1; 2) z = Зх2 + 2г/2 — Зх + 1 при х2 + г/2 = 4; 3) г = 2 (х — I)2 + 3 (у — З)2 в области х + у 10, х >0, у 0 при х + у = 6; 4) г = х2 — г/2 в области х2 + у2 =< 16, при х •— у = = 4; 5) г = х 4- у в области 0 -С х 6, 0 ==£ у sg 4, при (х - 4)2 + (у - З)2 = 4; 6) г = (х — З)2 + (у — 5)2 в области х2 + у2 ==£ 10 при у — 2х = 5. К исследованию условных экстремумов приводит задача опре- деления глобальных экстремумов в заданной области при изучении поведения функции на ее границе. 350. Использовать метод Лагранжа при решении задач: 1) 349 (2); 2) 349(4); 3) 349(5). 351. Определить с помощью метода Лагранжа стацио- нарные точки при исследовании условного экстремума функций: 1) 2^х1 + х2-фх3 при + г + Xj Х2 Хд 2) z=x1x2x3 при х1+х2-|-х3=6 и х1х24-х1х3+х2х3=12; 225
ox 1 , 1 1,1 1 3) Z = T + - при - + - = 1; *** 1 -**^2 i J* 2 4) z — x1x2x3x4 при >, 4- x2 + x3 + x4 = 4 и Xj Ss 0, x2 2s 0, x3 5? 0, x4 5= 0. 5) 2 = 2.Vj + 3.r» + xl при Xj + x2 + x3 = 8 и ^>0, X2 2-0, X32' 0. Метод Лагранжа может применяться и в том случае, когда допол- нительное условие задается в форме неравенства. Так, еслидребустся найти экстремумы функции z= f (X) при условии <f (X)=g:ft, то поступают следующим образом: 1) находят стационарные точки безусловного экстремума функ- ции z = f (X) из уравнений 4L = o (k=\, ...,п) и отбирают из них те, которые удовлетворяют неравенству ч> Й) <6; 2) находят стационарные точки условного экстремума функции г = f (X) при уравнении связи <р (Х)= Ь, т. е. из уравнений ---X = 0 (k=\, ..., п), OXfe ф(х)=ь; 3) найденные в п. 1) и 2) точки исследуются в дальнейшем, как это делалось и для безусловного экстремума. 352. Найти глобальные условные экстремумы функ- ции 2 = (х — 2)2 +• (у — З)2 при условии х2 + у2 52. Решение. Область замкнутая ограниченная (рис. 27), сле- довательно, в ней достига- ются глобальные экстрему- мы. 1) Ищем стационарные точки для безусловного эк- стремума из уравнений: ^ = 2(х-2) = 0 дх ' g = 2(</-3) = 0 ’ откуда х=2, у — 3 и гА = 0. Так как 22 + З2 = 13 < 52, то найденная точка лежит внутри области. 2) Строим функцию Лаг- ранжа, заменив неравенство на уравнение х2 + у2 = 52. Получим L = (х — 2)2 + (у — 3)'ф- + А. (52 — х2 — у2). Далее, 226
д'= 2 (х— 2) — 2Лх=0, I ДГ II ^=2({/-3)-2М = 0, } =52-х2-«/2 = 0. д). J ) Из первых двух уравнений, умножив 1 -е на у 0 и 2-е на х О, получим у (х — 2) = Хх</ и х (у — 3) — У.ху, откуда у (х — 2) = = х (у — 3), или, после раскрытия скобок, 2у — Зх. Подставляя 3 9 у-=-^х в уравнение связи, получим х2 + ^-х2 = 52, откуда х= = ± 4 и у = ±6. Итак, получили новые две стационарные точки: В (4; 6), в которой 2Д = 13, и С (—4; —6), в которой zc = 117. Срав- нивая значения во всех трех стационарных точках, находим, что zmin = О и zmax = zc= 117. В точке же В достигается условный локальный минимум. 353. Используя метод Лагранжа, определить стацио- нарные точки в следующих задачах на условный эстре- мум: 1) 2 = xl + Х2 + х| При Хг + Х2 + Х3 sS 12, XL Ss О, х2 2s О, х3 2= 0; 2) z = ххх2х3 при %! + х2 + х3 < 6, хгх2 + хгх3 + + х2х3 <8; 3) г = хх — 2х3 + 2х3 при xj + xl + х3 =2 9; 4) г = х‘{ + 4хг — 4хгх2 — 2ххх3 — 2х2х3 при 2х| + + 3xj + 6х| 1; 5) г = ххх2 4- XjX3 + х.2х3 при хг + х2 + х3 4; 6) Z = XjX2 + XjX, + XjX2X3 + х| при Хх + х2 + х3 =+ s2 15, хх 5= 0, х2 0, х3 0. Множители Лагранжа могут быть использованы для оценки влияния вариации свободных членов уравнений связи на величину dz* экстремального значения функции: точная формула = ПРИ- ближенная формула Аг* »?.,• Ай,-. 354. Определить изменение гтах и zmin в задаче 349(1) при замене уравнения связи на х + У = М- 355. То же в задаче 349(2) при увеличении радиуса окружности на 0,2 и уменьшении на 0,3. 356. Определить минимум функции z = x'i — 2ххх2 + + х3 при хх + 2х2 + х3 = 1, 2хх — х2 + х3 = 5, хх 2s 0, х2 ^=0, х3 2г 0. На сколько изменится величина миниму- мума при изменении свободных членов уравнений связи: первого на +0,1 и второго на —0,5?
ГЛАВА XII Численные методы решения задач нелинейного программирования § 1. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДРОБНО-ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Рассматривается задача: максимизировать п 2 ОЛ+со Л=1 при условиях (1=\, ... , т), (Ч) X*J:O (^=1> , Я)- (3) Очевидно, что в области решении (2) — (3) выражение п 2 (в противном случае zraax —► сс), т. е. сохраняет k=\ постоянный знак. Будем считать его положительным*. Обозначим 2 + = - (4) Уо и введем новые переменные Уь=У^к (*=1. . «) (5) В новых переменных модель (1) — (3) примет вид: максими- зировать 2 — У сьУк + еоУо (’’) k при условиях а,-01/0 = 0 (t = l, ...,т), (7) k У ^kUk + ^оУо = 1. (8) /г №^0 (*=1. ,«) и уи^0. (9) * Это условие не снижает общности задачи, так как в случае, когда знаменатель отрицательный, знак минус можно относить к чис- лителю. 228
Получили модель задачи линейного программирования, которая может быть решена обычным симплексным методом. Из оптимального решения У* = (</*, </*, у*) задачи (6) — (9) при t/J > 0 получаем, с помощью соотношений (5), опти- мальное решение исходной задачи. В случае, когда </* = 0, имеем £(/*х|4- d0 -> оо, откуда следует неограниченность области. В этом случае максимум г (конечный или бесконечный) достигается в беско- нечно удаленных точках. 357. Решить следующую задачу дробно-линейного программирования: максимизировать при условиях Xi 4- х2 - х3 = 5 1 — ху 4~ Зх2 + *4 = 7 1, ху 5s 0, ..., хв 5s 0. 3%!— х2 -'гх5=11 j Решение. Обозначим Х14-Ха= У1 = УоХЪ у2 = уох2......Уз=Уох5- Уо Тогда придем к линейной модели (6) — (9), которая в данном случае запишется в виде: максимизировать z = 3t/r — уг при усло- виях J/1+ У2 — Уз + 5«fo=0 — yi 4~ 3t/2 4-t/4 — i Уп — 0 3&— у2 4-у3— П{/о = ° У14- У2 — 1 У1^0, ... , У&>:0, уо^:0. Здесь 1-е (после умножения на —1), 2-е н 3-е уравнения разре- шены относительно базисных переменных у3, yi н j/3. Следовательно, для образования исходного опорного решения введем лишь одну искусственную переменную и в последнее уравнение. После этого заполняем исходную симплексную таблицу и приступаем к выполне- нию итерации. После двух итераций получаем оптимальное решение 26 32 3 = у% = 0, У?=и, Й = п, У* =° и £/J=rr В соответствие с формулами (5) находим оптимальное реше- ние исходной задачи xf = ^ = =-, xf=O, х* = --| = ~б, Уо Уо /у* 32 4 = ts = -3-, И zmax=3. Уо ° 229
358. Решить следующие задачи программирования: дробно-линейного 1) 3) z = — Kl1r) х* , (max), Xj — 2х2 4 х3 == 2 2хг 4 х2 -| - л'1 = 6 xt 5s О, .... х4 5s О 2л\ — Зл"о , . (тах)’ 2xt — х2 4~ х3 =4 Xi 2x2 — -^з 4* ^*4 ~ 6 л*1 > 0, ...» х4 О 5) лт + 2х2—х3 2) * = х1~ х2 + Зх3 = 8 — х1 + 2х2~ х3 = 4 ; хх 5s О, .... х3 5s О 4) 2 = ^+^_ (min), ' 2+Х]_+х2 v хх Зх2 — х3 =4 Зх( х2 —р х4 —- б *1 4~ Х2 4*^5 = 3 Хх 5S 0, . . . , Х5 5“ О 2 —--------;------------- Зл^£ ~ 5Хд (max), Зх4 4г 6л*2 4~ -^з :^= 12 — хх 4- 7х2 + 2х3 .<£ 12 2х, — 4х., - х, ’ -О, х25 6> 2=-Е-Эз*- 4х4 -|~ 2х2 х3 х4 3xj — х2 - х4 2xj Зх2 4~ х3 2х4 4~ Зх2 4" хв Xi 5s 0, ..., xe 5s О 8> 2 = зЙ-^Н2 (min>’ 3x'i 4- х2 7 — Xj + 4х2 < 5 . 4Xj ~ Зх2 <117 Х15ь0 -, х2^0 -^3 s S 1 О, x35-s0 20 j — 2xi4-3x2^ 9 10 I Х14~ х2<£ 6 11}; 2xi — х3 I о 35 Xi5s0, x25s0 9) Z= х1 + 2 (ШаХ)’ Xi 4* х2 5 2xi — х2 1 Л'1 — Зх2 sg 1 Xi 5® 0, х2 5 0 § 2. МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КВАДРАТИЧНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Рассматривается модель задачи квадратичного программирова- ния: максимизировать п п 2 = 2ЛН'. + S X c<!:x‘xk< (10) к^л /^1 230
при условиях L<2i/A = a/o (i = l, т), (11) (k=l, , n), где LL CjhXjXh— отрицательно определенная квадратичная функция. Так как при этом z является выпуклой функцией (см. гл. XI, § 4), то соотношения (10) — (11) характеризуют модель задачи выпук- лого программирования, в которой любой локальный максимум является глобальным. Последний может достигаться как внутри области, так и на ее границе. Оптимальное решение X* = (xf, ...х%, ...х~) задачи (10) — (11) может быть найдено как опорное решение системы уравнений Y,aikxk = aia (Z = l, ...,m), т ^-2 ^+«й=° (л=1- п)’ <12) 1=1 удовлетворяющее условиям xk>0, (Л=1, .... и) (13) и xk“k = G (k=l, ..., n), (14) где Xj — множители Лагранжа и — дополнительные переменные. При этом, если система (11) имеет допустимое решение (т. е. решение X > 0), то существует искомое оптимальное решение задачи (Ю)-(H)- Опорное решение системы уравнений (11) — (12) можно найти с помощью алгоритма симплексного метода, примененного к задаче максимизации Т= — У vit где vt — искусственные переменные, « введенные в уравнения (11)-(12). При использовании симплексного алгоритма необходимо лишь дополнительно учитывать условие (14), запрещающее одновременное нахождение в базисе переменных хине одинаковым индексом. 359. Решить следующую задачу квадратичного про- граммирования: максимизировать z = 32хх + 1 20х2 — 4х[ — 15x1, при условиях 2ху -р 5х*2 -р Хд — 20 2л\ — х.> + х^, = 8 Хх>=0, X25s0, X35s0, Х4>-0. Решение. Функция г представляет собой сумму линейной функции 32.V, + 120х, (которую можно рассматривать как выпук- лую) и квадратичной функции [ (X) =— 4xj — 15хз. Последняя является отрицательно определенной, следовательно, также выпук- лой. Искомое оптимальное решение найдется как опорное решение системы (11) — (12) при условиях (13) и (14); для данной задачи 231
имеем =20 ) 2хх — х2 + %4 = 8 ) ’ 32— вху —2Zj—2Х3 + «1 = 0 1 120 — 30х2 — 5ki+ X24-u2 = 0 I — Х4 + «з=О I — ^2 + U4 — 0 ) Xt Ээ 0, X2 T?- 0, «4^0, ... , u4 ' О x1zz1 = O, x2u2 = 0, x3u3 = 0, x1ui = 0. (11') (12') (13') (14') Поскольку переменные X, и 12 не имеют ограничений на знак (т. е. являются произвольными), исключим их из системы (12'). Для этого из последних двух уравнений найдем Хх = иа и Х2 = ц4 и подставим в предыдущие два уравнения. После очевидных упро- щений придем к системе 2ху -]- 5л2 —р х3 = 20 1 2х\— х2 -|-х4 = 8 8а*4 —иг Ч- 2 -J- 2п4 Oj = 32 30х2 —tz2 —<jt/3 —п4 + а2=120 f где ту Зз О, гх. О — искусственные переменные, которые мы ввели только в последние два уравнения, так как первые два разрешены относительно базисных переменных х3 и х4. В системе (А) все переменны^ неотрицательные. Для отыскания искомого опорного решения этой системы будем решать симплекс- ным методом задачу максимизации Т = — v± — v2 при условиях (А) и дополнительном ограничении (14') на выбор базиса. После III итерации получили оптимальное решение, удовлетво- ряющее условиям (14'), которое, таким образом, является оптималь- ным решением задачи квадратичного программирования: X = (-J, 3, 0, б) и zmax=230. Замечание. Разрешающий столбец на каждой итерации выбирается по отрицательной оценке с одновременным учетом условий (14). Так, например, на I итерации при выборе разрешающего столбца по,оценке —7 пришлось бы ввести в базис и3 (вместо v1 или о2), что невозможно, так как в базисе уже есть х3. Аналогично нельзя выбрать столбец с оценкой —1 и т. д. 360. Решить граммирования: 1) следующие задачи квадратичного про- г = — — 2х2 + xl (min), Зл'4-Р 2х2-С 6 1 х14-2х2^4 J х2^0; 232
Б аз. перем. —1 -1 aio Xt X. Л'з Х4 U, U. V2 -1 —I *3 хг fl 20 8 32 120 2 2 8 5 — 1 в 1 1 —1 —1 2 5 2 —1 1 1 4 4 Г -152 —8 —30 1 + 1 —7 — 1 —1 х3 *4 *4 0 12 32 4 1 2 8 1 1 1 -1 1/6 —1/30 -1/30 —5/6 1/6 2 1/6 1/6 — 1/30 2 -1/30 1 0 6 4 Т —32 -8 -2 -2 -1 хх *4 t»i Ха 0 12 32 4 1 1 1/2 —1 —4 1 -1 1/12 -1/5 —2/3 -1/30 —5/12 1 16/3 1/6 1/12 -1/5 4/3 —1/30 1 — — 12 6 24 Г —32 4 2/3 — 16/3 —4/3 Х1 *4 из ха 5/2 6 6 3 1 1 3/16 -1/4 -3/4 1/8 1 —5/64 3/16 —3/16 1/8 1/32 —3/40 -1/8 -1/80 1 3/16 —9/20 1/4 —3/40 — — — — Т 0
2) z — xl + xl — 8xi— 10x2 (min), 3xi ”1“ 2x2 4~ -^*3= 6, xt > 0, x2 ; 0, x3 >= 0; 3) z = 2xi — 3x2 — x] — 3x1 (max), 3X1 4~ X2 -j- Xg X4 — 1 6 I — Xi 4* 3x2 — x3 4~ x4 = 4 J Xi 0, x, 2s 0, x3 2s 0, Xi 0; 4) z = 2xjX2 — Xj — x2 (max), 2xj — x2 6 I Xi~|-2x2:C 10 J’ XiSsO, x2SsO. 361; В пятиугольнике с вершинами 0(0; 0), А (0; 6), В (5; 8), D (10; 4) п Е (8; 0) найти экстремумы следующих квадратичных функций: 1) z = x;4-xl — 6X1 — 4х2 (min); 2) z = 18х4 + 16х2 — Зх; — xtx2 — 5x1 (max); 3) z = 20xi + 16х2—Xf — xl (max); 4) z = x4x2 (max); 5) z = 2х; + 3x1 — 40xi — 48x2 (min); 6) z = 2xf —2xtx2 + xl (min). 362. Решить следующие задачи квадратичного про- граммирования: 1) г = х;+х14-х1 — 2xiх2 (min), Xi -|- 2х2 4- Зх3 S2 12 | 2xi 4~-’<'2 4-Л’з 5 / Xi5=0, ха2==0, х3^0; 2) z = Xi — хЗ — 2xrx3 (max), 3) 2 = (xt 4-х2 4-ха)2 (min), Xi2s0, х2Э=0, x32s0; 4) z = Xi — Xj 4- 2x2 — x| (max), Xi4-2x2 — x3--6 Xi 0, x2 2^ 0, x3 0, 234
§ 3. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ Градиентные методы относятся к приближенным методам реше- ния задач нелинейного программирования. В общем случае они обеспечивают получение оптимального решения с помощью бесконеч- ного процесса последовательных приближений. Однако в некоторых случаях процесс может закончиться и через конечное число итераций. Градиентные методы могут применяться к любой задаче нелиней- ного программирования, приводя лишь к локальному, а не глобаль- ному экстремуму. Поэтому они оказываются более эффективными при решении задач выпуклого программирования, где всякий локаль- ный экстремум есть одновременно и глобальный. Начинать расчет можно с любого допустимого решения. Пусть дана функция г = f (X), где X — (xlt .... xk,..., х„). Градиентом V/ (Х°) этой функции в точке Хо называется вектор, коор- динатами которого служат значения в этой точке частных производ- ных первого порядка по соответствующей переменной, т. е. Мй-(®.....................9^1.........O-llp). (16> \ ''Xk ®Хп ] Антиградиентом называется вектор —V/ (Л>0). Дифференциал функции, приближенно равный ее полному при- ращению, находится из скалярного произведения = АХд= Аг, (16) где КХ = (Кх1, .... Дх,,, ..., Дх„). Градиент функции задает в данной точке направление наиско- рейшего роста функции, антиградиент, соответственно, — наискорей- шего убывания функции. Перемещение из точки Хй вдоль градиента означает перемещение на величину ДА = X.V/o. (17) 363. Вычислить градиент следующих функций в за- данных точках: 1) 2 = х-у — 2ху-\- хА° = (1, 2); 2) г = ~хя1 — 2х1х2, А° = (0, 1); 3) z = xl + xl, А°=Д2, 1); 4) z = Х° = (1’ °)- Л J “j- Л2 364. Построить линии уровня, вычислить и построить градиент следующих функций в данных точках: 1) г = = (xt - 2)2 + (х2 - I)2, А0 = (4, 5); 2) г = (Х1 - 2)2 - — (х2 — З)2, А°= (6, 4); 3) 2 = 2 (хх — I)2 -| - 3 (х2 — 2)2, А0 = (3, 3); 4) 2 = 2хх — х; — х2, А°= (1, 2). 365. Доказать, что градиент перпендикулярен линии уровня, проведенной через данную точку. 366. Доказать, что перемещение вдоль градиента на достаточно малое удаление от заданной точки соответ- ствует максимальному изменению функции. 235
367. Определить градиент для линейной функции п г= 2 ckxk и объяснить графически полученный резуль- k= i тат. 368. Построить линии наискорейшего спуска и наи- скорейшего подъема из звеньев с шагом X = 0,2 в зада- чах 364 (1 — 4). При нахождении безусловного экстремума функции г = f (X) (т. е. при отсутствии ограничений) необходимо на каждой итерации выбирать шаг перемещения (множитель 1), обеспечивающий наиболь- шее возрастание функции Az. Перемещение из точки Xй в точку X' приводит к изменениюфунк- ции дг=/(Х')-Нхо)=/(х;......<)-/(*; ..... 4), (18) где /Ио ЛГо = —, ... = д'— ... *,',=-<,4-1 1 1 1 дх± ’ dxk ’ 11 " дхп Величина, 1, при которой на данной итерации достигается наи- большее изменение Az, может быть определена из условий экстре- мума (18). Необходимое условие экстремума дает уравнение «£-ШШ + - + (ж-)'(Й-)-№ <‘°> где значки «'» и «°» означают значения частных производных и гра- диента в новой точке X' = Х°-[ 7Xf'J и исходной Х°. Если определение 1 по уравнению (19) связано со сложными вычислениями, то шаг X, наоборот, выбирают достаточно малым, что- бы не перейти в область убывания функции. 369. Определить градиентным методом максимум функции г = 4л5 + 2х2 — xl — x'i + 5, начав итерацион- ный процесс с точки X = (4,5). Сопроводиткрещение гра- фической интерпретацией. Решение. В данном случае -f—=4 — 2х, и к—= 2—2х,. ОХ2 “ I итерация. Имеем V/o=(4—2-4, 2—2-5) = (—4, —8), Х' = (4, 5)4-lVfo= = (4—41, 5-81) и Vf'=[4 —2 (4 —41), 2-2(5-81)] = = (-44-81. —84-161). Подставляя в (19), получим ~=V/' - Vfo=(_4 4.8Х) (-4) 4- (—8 4-161) (—8)=80 -1601 = О, откуда 1°=0,5. Так как —160<0, то найденное значе- яХ2 ние X является точкой максимума Да, 236
С помощью величины Х° получаем новую точку Х'= [4 + + 0,5 (-4), 5 + 0,5 (-8)] = (2, 1). II итерация. Начальная точка X’ = (2, 1); V/' = = (4 — 2-2, 2 — 2J) = (0, 0). Следовательно, X' = (2, 1) является стационарной точкой и дальнейшее пе- ремещение вдоль градиента невозмож- но (рис. 28). Так как функция г выпуклая, то в найденной точке достигается глобаль- ный максимум 2тах = 4-2 + 2-1 — — 22 — I2 + 5 = 10 (в начальной точ- ке 20 = — 10). 370, В следующих задачах найти экстремум функций с по- мощью градиентного метода, начиная итерационный процесс с точки Х° и сопровождая решение графическим изображением линий уровня и линии наискорейшего спуска (подъема): 1) z = 9л'1 + 1 б*! — 90xi — 1 28х2 (min), Х = (0, 0); 2) г = х; + 2х2 — 4xj + 2х2 (min), Х° = (1, 0); 3) z = x2 + 2x'i—12xi (min), А° = (5, 3), х^О, х,._г0; 4) г = 4xi + 8х2 — 2xj — 2х| (max), А'° = (5, 10). 371. Найти максимум функции 2 = 6х, + 32х2 — — х, — 4x2, начиная итерационный процесс с точек: 1) Х° = (0, 0); 2) Х° = (7, 4); 3) Х° = (3, 10); 4) Х° = = (6, 6). В задачах математического программирования наличие ограни- чений в форме уравнений или неравенств налагает дополнительное условие на выбор X, при котором новая точка не выйдет за пределы области допустимых значений. Рассмотрим задачу выпуклого программирования, в которой ограничения заданы в форме линейных неравенств *: максимизировать выпуклую функцию при условиях 2=/(Х1, ... , хк, ..., х„), (20) ]£aikxk^ai0 (i-=l, ..., т), хА=г0 (Л=1, .... п). (21) (22) Пусть на данной итерации перемещение осуществляется из точки Хо = (х}> ..., x°k.х°) в направлении вектора ё= (ех.....ед) (который не обязательно должен совпадать с градиентом V/) в новую точку X' =Хй+ Хё. Изменение функции составит Аг = V/ (А°)ё. Обозначим номерами i = i' и k = k' те из неравенств (21) и (22), которые в точке Х° выполняются как строгие неравенства. * Если среди ограничений имеются уравнения, то указанными ранее методами (см. гл. Ill, § 1) можно их привести к неравенствам. 237
Определим величины а, 0 и е из соотношений ai'0~ Hai-kxk min---—— ---------по тем i', для которых £ a/rflck > О, Ziai-kek k (23) со, если при всех Г будет xk' min-------- k’ ek' по тем k', для которых ek, < О, (24) со, если при всех k' будет ek, 0; e=min{a, 0}. (25) Величина е является максимально допустимым значением для к, при котором перемещение не_выйдет из области допустимых значений. Если начальная точка Х° лежит внутри области (т. е. при всех i ограничения (21) выполняются как строгие неравенства), то направ- ление перемещения ё выгодно выбирать по градиенту (т. е. ё = Если же начальная точка Х°для данной итерации лежит на границе области (т. е. для некоторых i неравенства (21) выполняются как равенства), то вектор ё может быть определен из решения следующей задачи линейного программирования: максимизировать п <2в) k=l при условиях (27) L где i распространяется на те неравенства (21), которые в точке Х° вы- полняются как равенства, + (28) k kr ek^C, ^,=э0, ^S=0, (29) e’k^, = 0, (30) где (31) Порядок выполнения очередной итерации следующий. 1) Определяется направление перемещения ё из решения задачи (26) - (30). 2) Максимально возможная величина перемещения е определяется из соотношений (23) — (25). 3) Из условия максимизации находится величина А,*. Для этого либо решается уравнение (19), когда перемещение осуществ- ляется вдоль градиента, либо аналогичное уравнение dAz когда перемещение происходит по направлению ё ф tfa. (19') 238
4) Находится величина перемещения Л~ min {е, X*}. _ 5) Вычисляется новая точка Х'=Л'п+1ё (или X'= Х° + + ?у/°). которая принимается начальной на следующей итерации. 6) Расчет прекращается либо по достижении стационарной точки (\>f = 0), либо когда Аг в результате последней итерации ока- залось в пределах заданной точности вычислений. 372. Решить градиентным методом следующую задачу выпуклого программирования: максимизировать 2 = IO*! + 16х2 — х'[ — х2, при условиях - Х! + 2х2^16 5хх + 2х2 40 , %! 2= 0, х2Э=0. Решение. Для данной функции имеем у/ = (10 — 2хь 16 — 2х2). Пусть итерационный процесс начинается с точки Xй — = (1, 2), являющейся допустимым решением системы неравенств (рис. 29). I итерация. 1) Составляем задачу (26) — (30). Здесь \/f°= (8, 12). Для начальной точки Х° оба неравенства выполняются как строгие неравенства (1 + 2-2 < 16 и 5-1 4- 2-2 40). Поэтому имеем i = 1 и 2. Далее, в этой же точке xt= 1 > 0 и х2 = 2>0, поэтому k' = 1 и 2. В соответствии с (31) будем иметь е, = — e"t и е2 = е’2 — е“. Теперь можем записать модель (26) — (30): мак- симизировать Т = 8е1+12е2 = 8е[ — 8ef + + 12е'—12е:, (26') при условиях e[+e"+e'2+e'^i, (28') eJ'SsO, ei>0, с" >•(), (29') еИ'=0, е'е:=0. (30') Условия (27) в данном слу- чае отсутствуют, так как нера- венства (21) в начальной точке Х° выполняются как строгие не- равенства. Задачу (26') — (30') можно было бы решить и общим симплексным методом, однако наличие только одного ограничения (28') позволяет сразу же опре- делить оптимальное решение е'2 -- 1 и ej =0, е" = 0,е" = 0 или, на основании (31), ег = 0 и ег = 1. Следовательно, направление перемещения задается вектором ё = (0, 1). Как видно из рис. 29, найденное направление не является наилучшим, которое совпадает с градиентом. 2) Определяем максимально возможную величину перемещения. Вычисляем У aikek для i' = 1 и I' = 2. Имеем ац^ + <ir2e2 = 1 -0 + k 239
+ 2 • 1 = 2 > 0 и a21Cj + О22е2 = 5-0+2-1 = 2>0. Поэтому . (16 —(1 1+2-2) а = min !-—!-------, 40 — (5-1—2 -2)1 11 2 J“‘2> (23') Р = со, (24') • (И 1 7 * * * 11 откуда e = min J , оо) = . 3) Вычисляем к* из условия максимизации Дг. Имеем X' = = Хо+ Хё = (1, 2) + к (0, 1) =(1,2 + К). Теперь находим ¥/' = [10-2-1, 16-2 (2 + к)] = (8, 12 —2к). Тогда уравнение (19') запишется в виде ~=(8, 12-27.) (0, 1)=12 — 2Х=0, откуда 1*=6. а/. Так как — 2 -< 0, то при найденном значениик* = 6 дости- <+2 г гается максимум Дг. 4) Величина перемещения к определяется из выражения 1 , - (11 J И A=mm(e, l‘)min|-g , 6|=Т‘ 5) Новая точка X' = X0 + 2ie = (l, 2)+^-(0, l)=fl, Eha точка оказалась лежащей на граничной прямой, соответствую- щей 1-му неравенству, т. е. тому, которому соответствует найденное значение а (см. рис. 29). Приступаем к выполнению II итерации. — / 15\ II итерация. Принимаем № = (!, -^-l. 1) V/°=(10-2-l, 16 —2-^J = (8, 1). Подставляя коорди- — 15 наты точки Ха в заданные неравенства, получаем 1+2- ^ = 16 15 и 5 - 1+2 • =20 < 40. Следовательно, 1-е неравенство выпол- няется как равенство (1=1), а 2-е — как строгое неравенство (г' = 2). Далее, хх=1>0 и х2='|*>0, поэтому fe' = l и 2 и ei=cJ —с2 = е2—е'-2- Составляем модель (26) — (30): максимизировать 7 = &1+е2 = 8е(-&"+е1'-е'', (26') при условиях 1 • ег + 2 е2 — е{ — е" + 2е', — 2е" 0, (27') el + er + e^+eJsSl, (28') eJ+=O, ef^O, e's3:0, e2SsO, (29') efe"=O, e2e'' = 0. (30') Данную задачу будем решать симплексным методом. 240
Баз. перем. 8 -8 1 "in atp а.о е' 1 е” 1 е' 2 е" 2 W1 «2 “1 Щ. 0 1 1 1 —I I 2 I —2 1 1 1 0 1 т —8 8 —1 1 • 8 0 1 1 — I 2 2 —1 СМ ГС 1 1 —1 1 т • 15 — 15 8 8 —1 2/3 1/3 1 I/3 2/3 4/3 —1/3 1 + 1/3 -1/3 2/3 1/3 т 15 • 10 10 3 5 После II итерации получили e't = -^, е2 = - и еа=е'=0. О О 2 1 Следовательно, е1 = е[—е'[ = ^ и е2 = е', — е2= — . О «5 Таким образом, направление дальнейшего перемещения --аа- _ / 2 1 \ дается вектором е— „ , — . \ О о у Как показано на рис. 29, этот вектор направлен вдоль гра- ницы области. 2) Определяем в. Так как в новой начальной точке только 2-е неравенство выполняется как строгое неравенство н для него У aikeh = = 5 |- + 2 = у > 0, то k ' l5 8/3 ~ 2 • н 2 а 1а « —15/2 45 Далее, >0 и еа=—— <0, откуда 0 = —775-= „ . о о — 1 /о Z „ . (15 451 15 Следовательно, E=irun 1 g , 2|==1Г‘ 3) Вычисляем X*. Имеем для II итерации X’ — = А 15\ , т /2 1 \ , 2Х 15 Х\ п V* 2У + ^\3’ 3/1 3’2 ~з]-Далее- V/’ = [ 10 -2 (1 + , 16-2 - 4) I = [8 - у, 1 + у ) • | \ О / у Z J j | \ О ] r dЬг / 4Х\ 2 / 2Х Следовательно, —— = V/'e = 8 — т - у 1 + — ДА \ О у О \ о, ЮА d2 Az 10 ------. и ----- --- 9 dXi 9 • 9 И. Л. Калихман 241
Из уравнения (19') находим 4) Величина перемещения л на II итерации будет равна , . (15 9] 9 А=тш|2 , 2|= 2. 5) Новая точка _ _ / 1 ч\ о / 9 1\ Х'=Х<Ч-^= 1, +4 4. -4- =(4.6). \ j х \ о о у Найденная точка, как видно из рис. 29, совпадает с точкой X*, в которой одна из линий уровня (концентрических окружностей) касается границы области, т. е. оказывается оптимальным решением задачи. Точка X*, хотя и не является стационарной [V(* = (2, 4) ф: 7^ 0|, но дальнейшее увеличение функции г в заданной области невоз- можно. Это можно было бы формально установить при выполнении III итерации. В п. 1 при решении задачи (26) — (30) получили бы ё = 0. 373. Решить градиентным методом следующие задачи математического программирования, начиная итерацион- ный процесс с указанных точек Х° и сопровождая в зада- чах 1) — 9) решение графической иллюстрацией: 1) z = 20х4 ф-16х2 — 2х; — x'i (max), Х° = (2, 3), хг ф- 2х2 16 1 5х, ф- 2х2 «S 40 j ’ xxSsO, х2ЭгО; 2) г= 18х4ф-6х2 — х] — х:г (max), 3) г = 2х|ф-4х| (max), X° = (2, 4), + 2x2 ф- x3 = 16 1 5х4ф-2х2ф-х4 = 40 J’ x4 фэ 0, ..., x4 0; A'° = (5, 2), 6х1ф-4х2ф-хэф-х4=56' 4a'i — x3+x4=24 хт 0, ..., x4 0; 4) 2 = x[ ф-х2 — 8хг — 4x2 (min), X° = (2, 7), 3xt — 2x2 — 2x3 ф- x4= 8 1 llxt4-6x24- x3 ф-2x4 = 96 j ’ x13s0, .... x4Ss0; 5) 2 = х‘|+2х1—x2 (min), X° = (2, 2), х1ф-Зх2ф-х3 =30 x4 -f- x2 15, 5x4 ф- Зх2 ф- x4 = 60 X4^:0, x43s0; 242
6) z = 32xi4-24x2 —2xJ —4x2 (max), X° = (3, 10), 4- 7x2 + x3 4- -j- x5 = 105 2x1 + 4x24-x3 + x6 = 45 3xj т 4~ х^ — 2x5 = 30 , xL gs 0, .... xa 5s 0; 7) 2 = 20xj 4- 1 8x2 — Xi — xi (m ax), X° = (2, 3), Xi4~3x2c30 Xi 4* x2 =sg 15 5xx 4- 2xa sg 60 XjgsO, x.25>0; 8) z = —4 (x± — 5)2 — (x2 — 11)2 (max), X° = (3, 5), Xi 4- 3x2 =sg 30 Xi4- x2sg 15 5Xi 4- 2x2 60 Xi5s0, x25s0; 9) z = 2x"i 4-x’i — 32xi — 6x2 (min), X° = (2, 6), xi 4- 3x2 4* x3 =30 *14- *2 4- x4 = 15 5%! 4- 2x2 4- *S = 60 xx 5s 0, , xs 5s 0. 10) 2 = xi 4- 2х‘, 4- x:, (min), Л° = (4, 2, 1) Xi 4- 3x2 4* xa sg 15, XjSsO, x25=0, x35=0; 11) z= 10 —2xi4-x2 —xj —x| —xl (max), X° = (0, 1, 2), 2X14- Х24-Зх3гС 18 ) ,1 + 2x,+ ^20 12) 2 — Xi4~2xj 4~2x24-4x3 (min), X0 = (l, 2, 3). Xj -f- 2x2 Ч- 15 3X14* x24~ x3sg; 12 , xx 5s 0, x2 5s 0, x3 0. 9* 243
374. Решить следующие задачи линейного програм- мирования градиентным методом:- 1) z = 2x1 —Зх2 (max), х4 -р- 2х2 *5 16 | 5xj + 2x2sS40 J’ ху I'"-- 0, х2 У-- О, 3) z = 2x1 — х2 (min), ^-{-ЗхгйСЗО х4 -ф- х2 15 , 5х1 + 2х2^60 2) z = X] + 2x2 (max), xx-|-3x2^30 ) Xj -J- x2 15 J Xj 5=0, x2 5= 0; 4) z = X!-2x2 + x3 (max), Xj —2x24-x3= 10 1 2xr -f- x2 — x3 = 12 J xr2;0, x2 $= 0, x3^0; x15=0, х25=0; 5) z = xL + 2x2 — x3 — x4 (min), 2х^ — x2 -|- x3 — 3x4 =: 8 1 Xi + x2 —2x34- x4=,12 )’ xx5=0, x25=0, x35s0, x45s0. Примечание 1. Основное преимущество градиентного мето- да в сравнении с обычным симплексным методом заключается в том, что итерационный процесс можно начать с любого допустимого, а не обязательно с опорного решения. 2. В ранее указанной последовательности вычислений существен- ное упрощение для линейных задач заключается в том, что у/ = С и потому определение 1* в п. 3 не требуется. § 4. МЕТОД КУСОЧНО-ЛИНЕЙНОЙ АППРОКСИМАЦИИ Метод является приближенным и в принципе применим к любой задаче математического программирования, однако практически он более эффективен при решении задач выпуклого программирования с сепарабельной целевой функцией. Этот метод основан на аппрокси- мации заданной функции кусочно-линейной, благодаря чему нелиней- ная задача приближенно сводится к линейной задаче. Функция f (хх, .... .... хп) называется сепарабельной, если ее можно представить в виде суммы п функций, зависящих каждая от одной переменной, т. е. f (xi...xk, •••• xn)—fi (Xi)+-..+fft (xk)~i~---~bfn (xnl- (32) Очевидно, что если функции (хк) выпуклые (вогнутые), то и п функция f (х,....хп) = 2 fk (хй) — выпуклая (вогнутая). Л=1 Пусть функция f (х) задана на отрезке [«, й] (рис. 30). Разобьем отрезок s + 1 точками х° = а < х1 ... <^xs = fe наs частей и обо- 244
значим * f(x0) = f°, f (x') = f,..., f (xs) = fs. Тогда кусочно-линейная аппроксимация f (x) функции f (x), представленная на рис. 30 лома- ной линией, может быть выражена в виде /(*) = 2 Vf, (33) i=o где s х= У }Jx>, (34) i=o S Х'=1, (35) i=o все 'к1 0, (36) при дополнительном условии: только одно V, или два соседних (XX1, V или ХА Х>+1) могут быть положительными; это условие можно записать в виде • Х'* = 0, если | / — h | #= 1. (37) 375. Записать аналитически кусочно-линейную ап- проксимацию функции f(x) = х2 на отрезке [0,4], разбив его на три интервала. Решение. Выбрав четыре точки х° = 0, х1 = 1, х2 = 3 и х3 = 4, вычислим соответствующие значения функции f (0) — fo = = 0. f (•) = f1 = -4 , f (3) = f2 = 4-, / (4) = f3 = 4. Тогда получим - 1 9 Дх) = 0 • X«+ т К» + X2 + 4X3, (33') где X» -j- X1 + X2 -f- X3 = 1, все X' =3 0 и x = О-Х» 4- 1 -X1 ф- ЗХ2 + 4-4Х3. * Здесь и далее в настоящем параграфе в обозначениях х1, U, f числа / обозначают не показатели степеней, а индексы точек подраз- деления интервалов. 245
376. По данным предыдущей задачи найти точные и приближенные значения функции в середине интерва- - 3 лов разбиения и в точке х=-5-. Решение. Для определения значений X по заданному значе- нию х, лежащему в интервале (/, / + 1), можно воспользоваться фор- мулой v/+l — г ----— . (38) Для середины 1-го интервала имеем ^ = А-° = 0, xJ^=xl = l, №0.5, V=X° = -^y- = 0,5 и Z/+1 —X* = 1 — 1°=0,5. Остальные V=0. По найденным значениям К' из формулы (33) получаем соответ- ствующее приближенное значение функции / (0,5) = 0- 0,5+1- 0,5 == J-. Аналогично вычисляются значения .V и f (х) для других задан- ных точек. Результаты расчетов приведены в следующей таблице: X 0,5 2 3,5 1,5 Интервалы (0, 1) (1. 3) (3, 4) (1, 3) / 0 1 1 2 2 3 1 2 V 0,5 0,5 0,5 0,5 ОД 0,5 0,75 0,25 Ях) 0,125 1,250 3,125 0,750 /(х) 0,062 1,000 3,062 0,562 377. Выполнить кусочно-линейную аппроксимацию следующих функций, используя разбиение отрезка на три равных интервала: 1) z = Xs на отрезке [0, 3]; 2) г = х2 — 2z/2, где О С х ' 4, 1 -.С у 3; 3) г = 2х + у2, где 0 < х 5, 0 < у < 2; 4) z = ху, где 1 х 2, 1 с у 3. Рассмотрим задачу выпуклого программирования, целевая функция которой представлена в форме (32): максимизировать г= £ /* М (39) А = 1 246
при условиях п 2 alkxk = aia (i=l, .... tn), (40) А=1 (Л=1, .... м). (41) Используя кусочно-линейную аппроксимацию (33) для каждого из слагаемых выражений (39) и подставляя в равенство (40) значение sk хк = У 44 из формулы (34), получим окончательно следующую 1 = 0 модель приближенной задачи линейного программирования: макси- мизировать " / sk \ г= S 2 Wk (42) *=1 \/=0 / при условиях ” / sk д У aik\ S 44 =°й> (Г = 1, ...,т), (43) k == I ' / = I / 5/г 2 4=1 (fe=l, ...,п), (44) i = o 4>0 (fe=l, .... п; /=0, .... s*). (15) Условие (37) в случае, когда все fk (хк) выпуклые функции, будет выполняться автоматически и может не учитываться в ходе решения. Поэтому задачу (42) — (45) можно решать обычным сим- плексным методом. Однако если целевая функция не выпуклая, то это условие накладывает дополнительные ограничения на базис, которые необходимо учитывать при использовании, например, алго- ритма симплексного метода. Решение приближенной задачи для выпуклой функции (39) дает приближение к глобальному экстремуму исходной задачи. Для оценки степени близости приближенного решения к точ- ному можно провести дополнительное дробление на более мелкие интервалы в районе достигнутого приближенного решения. Если при этом будут достигаться достаточно близкие решения, то новое решение можно принять как приближенное решение исход- ной задачи. 378. Минимизировать z = ~ (х± — З)2 + (х2 — 2)2 при условиях Xi 4* 4х2 16 3%! + х2:15 , лу Д 0, х2 ' 0- Решение. Графическое решение задачи показано на рис. 31. Область допустимых решений есть выпуклый четырехугольник OBCD. Линии уровня — эллипсы с центром в точке А (3; 2). В этой точке и достигается глобальный минимум z,nin = 0. 247
Теперь рассмотрим решение этой же задачи с помощью кусочно- линейной аппроксимации. Прежде всего запишем данную задачу в форме (39) — (41): максимизировать z4 = — г = г— (х4 — З)2 —. — 2 (х2 — 2)2 при условиях ху & 0, x3S=0, о. 0. х2 х4 х1 + 4х2+х3 = 16 Зх^ —|— Хо х_|== 15 Имеем в данном случае h (xj — = — (*L — З)2 и 4 (х2) = — 2 (х2 — 2)2. Из графического анализа задачи (рис. 31) видно, что достаточно рассматривать х4 в интервале (0, 5) и х2 в интервале (0, 4) (рис. 32 и 33). Разбив первый интервал на 5 частей точками х] = 0, х{ = 1, х‘; = 2, х2 = 3, х{ = 4, х; — 5 и второй на 4 части точками х“ = 0, xi= 1, х| = 2, х| = 3 и х| = 4, введем соответственно 6 переменных /.{ (j = 0, 1, ..., 5) и 5 пе- ременных к( (j = 0, 1, ..., 4). Значения функций ft (xt) и f2 (х2) в указанных точках приведены в таблице. Xi 0 1 2 3 4 5 —4,5 —2 —0,5 0 —0,5 —2 *2 0 ' 1 2 3 4 /2 (*2) —1 —0,25 0 —0,25 —1 В соответствии с формулами (33) и (34) имеем f, (xi) = 4,5k» - 2k] - 0,5k2 - 0 • k’—0,5k] -2k»l h (*2) =—1 kS—0,25k’ — 0 - k2 —0,25k,2 — 1 kJ * A'i-O-kJ+l • k[-|-2k2 +3k24-4kJ-j-5k'> T x2 —0-k2+ 1 kl-|-2kH-3k]-|-4ki Г 248
Подставляя найденные выражения для /(xL), f2(x2), Xj и х2 в исходную модель задачи и умножая выражение для целевой функции на 4 приведем ее к следующему виду: 4 гг = — 18А» — 8ZJ — 2X7 ~2А| — 8М — 4W — А1 — 4AI (max), (42') AJ + 2А( -И ЗА’ + 4X1+ 5^+4X'+8,V-|-12W+16AM-x3-=16| за;+6А’ + 9Л? + 12X1 + 15Х» + А' 4 2XJ+ ЗА"+ 4X1 +Х= 15 /’(43#) А°+А;+А’ + А’+А}+А; = 1 | Xg + XS + X:; + XJ + Xl= 1 /. (44) Л; 3=0 (/=0, 1, , 5) и А/3:0 (/ —О, 1, ..., 4). (45') В полученной задаче первые два уравнения решены относительно базисных переменных х3 и x4, вторые два относительно перемен- ных А1.1 и Ау. Поэтому можем непосредственно перейти к решению задачи в симплексной таблице (стр. 250). После II итерации получили оптимальное решение приближен- ной задачи х3 = 5, л4 = 4, А’ = 1, А’ = 1 и остальные А^ = 0. Этому решению соответствует zrain = 0, откуда zraax = 0. По найденным значениям А^, используя соотношения (34'), находим х% — 3 и xj = 2. В данном случае приближенное решение оказалось случайно совпадающим с точным решением. Заметим, что если бы мы в окрестности найденного решения раздробили интервалы по xL от 2 до 4 и по х2 от 1 до 3 на более мелкие части и при этом точки раздробления не совпали бы с найден- ными xt — 3 и х2 --- 2, то вместо улучшения получили бы менее точное решение. 379. С помощью кусочно-линейной аппроксимации решить следующую задачу математического программи- рования: минимизировать z = 4Х]Х2 при условиях 2Х] + Зх., + 24 I о 1 ” 1с (.*1 + 0, х, + 0. 2*'1+ х2^16 J 1 2 Решение. Заданная функция не является выпуклой, поэтому необходимо будет в дальнейшем учитывать условия (38) при выборе базиса. Кроме того функция не сепарабельная. Введем новые пере- менные у, и у2 из соотношений 1/1 —l/з 11л —t/2 У1-=х1+х2 и y2=Xi— х2, откуда x-t=al и = Очевидно, что z = 4л'!Л'2 будет уже сепарабельной функцией. Переходя к переменным yv и у2, вводя балансовые переменные х3 и лу и заменяя z на zt — — г, придем окончательно к задаче сле- дующего вида: максимизировать zt — — У\ -\- yi при условиях 5(/i - Уъ < 48 5//1 + Уг 32 2*1=й+й>0 2*a = (/i—Кз + О 249
р с" 1? со о COlQ —1 СО оо *— т—< ’—' * ' • ’—' • • 1 СО ' со М- • »-' 00 01 . —• 7 <400 —' 7 <4 О0 _ —' р ei -1 СО <4 ' 7 СО о . 1—1 . . . ^ - 7 Tf Tt —< — со 1 7 1 • — 7 о,” ’—« • . V—< СО <4 —' 1 1 • хг СО 1 1Л -1 ЮЮ — 7 <4 СО —' со О] со —> СО СМ 1 т*С4 — СО 7 —< ст ° ^СО—' <4 «< ~“|=| со 7 —< . см 1 см -< «*! С4СО —> 7 С4 С4 СО 1 •—1 —« —«со --< о 7 с 1 СО •—' 1 • СО СО со 7 с -I • со с 1 »—• • со ООО 1 1 ОО р сГ СО Ю —< 9 < »“< ?! 1 coco — < 0^ — — О Баз. перем. h Iy *Х £х YtT* п «^м-1 ч << Izt V н ч<<<< О\» со 7 1
Для аппроксимации функций f (у4) = — yj и f2 (у2) = у% необ- ходимо определить промежутки изменения переменных у4 и у2. Так как для xt и х2 имеем 0 - х4 - 8 и 0 - • : х2 8, то соответствую- щие области для у4 и у2 будут 0 у4 16 и — 8 -< z/2 8. Разобьем каждый из этих промежутков на 4 интервала точками у? = 0, у\ = 4, У1 8. У1 = 12. 1/1 = 16 и </2 = — 8, уЬ = — 4, yl = 0, у} = 4, Й =8. - Соответствующие значения функции А (у) = — у-4 и f2 (у2) = — yl приведены в следующей таблице: й 0 4 8 12 16 • А (й) 0 — 16 —64 — 144 —256 й —8 —4 0 4 8 ^2 (У 2) 64 16 0 16 64 В соответствии с формулой (33) имеем Л (й) = 0 • Ц- 16X1-64X7 - 144Х? -256Х’, ) рз А (й) = 64X2+16X1 + 0X2+ 16X3+ 64X1 Г " Далее, из формул (34) получаем й = 0 Х'1 + 4Х; + 8X1 + 12Х; + 16ХП 3 У2 = _8Х° — 4X1 + 0-Х1+ 4Х’+ 8X1 Г ( ’ Подставляя найденные выражения для А ((/,), f2 (у2), ух, у2 в задачу (*), умножая последние два неравенства на — 1 и вводя балансовые переменные х3, х4, х5 и х6, получим окончательно следую- щую линейную модель: z!=—16XJ — 64X1 — 144XJ - 256X1 + 64X2 + 16Х| + 16Х§ + 64X1 (max) (42<) 20Х[ + 40X1 + 60X1+80X1 + 8X2 + 4X1 - 4X2 - 8Х< + хэ = 48 | 12Х1 + 24X1 + 36X1 + 48X1 - 8X2 — 4X1 + 4X2 + 8Х + х4 = 34 J ’ (43 > —4Х1 — 8X1 — 12Xf — 16XJ + 8X2 + 4X1 — 4X3 — 8Х’ + х5 = 0 1 —4Х‘ — 8Х? — 12X1 — 16X1 — 8X2 — 4X1 + 4Xs + 8X1 +%6 = 0 J ’ х«+х>+х1+х»+х;=1 ) (44х) Х" + Х1 + Х§ + Х2 + Х3=1 J ' ’ Исходный базис включает х3, х4, хг„ xt!, X1; и Xj. Дальнейшие расчеты проводим в симплексных таблицах. При этом условия (37) заставляют выбирать разрешающий столбец не только по отрицательной оценке, но и по тому, какую переменную можно вводить в базис. 251
сГ ,<Г СО о о * « г—4 4—' 1 1/41 1 1 . • - * 4—< н • — • • • • « 4 * * * * ч ’—' • тг из СО 1 О0 СО ОО • —64 • • • 04 7 О1 <£ 7 1 СО 7 • Cl 11 - • - • - £ S' -т 1 т - со 1 • • • 7 • 04 —32 3 S' 00 со оо 00 1 —64 04 СО • • • 1 • СО СП 1 S С4 1 S о оо со Tt со 1 со 7 • 256 S S -32 1 Tt4 192 — 144 «— о со 36 0-1 1 О1 1 г—. • 144 оо ОО Th О1 1 со 1 т—4 СО СО <х 3 1 S"1 40 04 00 1 ОО 1 т-4 64 04 со 04 СО со 7 О1 1 О1 04 СО 7 —1—1 О 0-1 О-1 1 1 ’ СО со со оо 1 7 — • о— ° • • — □ • г—4 о G 48 О1 СО о а — О 48 | 04 СО о а *—4 о Заз. ?рем. СО * >7 1й * со * < ьГ СО И И •о * ««1 а— < С СО
После I итерации дальнейшее улучшение решения без наруше- ния условий (37) невозможно. Действительно, выбирая, например, за разрешающий столбец при А§, мы вынуждены были бы ввести в базис AS вместо А|. Тогда в базисе одновременно оказались бы Af иА§, что"противоречит условию (37). Аналогичная ситуация сложи- лась бы при введении в базис AJ, (с оценкой —32) или А* (с оценкой —32). Такое положение, которое часто возникает при решении задач невыпуклого программирования, свидетельствует о достижении локального максимума приближенной задачи. Итак, получили А'/ = А| = 1, все остальные = 0 и zniax = 0. Из соотношений (34) находим у\ = 0 и = 0, откуда xf = xf = 0 11 zmin zimax Геометрический анализ задачи подтверждает, что найденное решение является точкой глобального минимума исходной задачи. 380. Решить следующие задачи-выпуклого програм- мирования, используя метод кусочно-линейной аппрокси- мации. 1) 2 = 2xi — Зха — xi (max), 2) z = x1-[-2x2 + x.] (min), 4х1 + 5ха;С80 1 4xx + 5xa + x3 = 80 ) 2xi + x2 34 J 2x,-|- x2+x4 = 34 j Xj 0, x2 3s 0; Xj 0,..., x4 3s 0; 3) 2 = xi+ 2x1 (min), — 3xj + 2x2 8 7xi+10x2^84 5xi + x2 <7 60 Xx^O, xz2s0; 4) 2 = 2xi + *2 ~ Зх? (max) —3xi+ 2x2 + x3= 8 7xi + 10x2 — x4 = 84 •, 5Xx+ x2+x5 = 60 Xi 2s 0,... ,x5 2s 0; 5) 2 = 2 (Xj— I)2+ 9 (x2 — 3)2 (min), х1 + х2=^2, XjiSsO, x22s0; 6) 2 = 4 — (xi — 3)2 — 2 (x2 — 4)2 (max), Xi + x2 + 3, X12-0, x22s0. 381. В области решений системы неравенств 2xi + 3*2 60 1 8xi + 5x2sgI20 / XjlSsO, x22s0 найти экстремумы следующих функций: 1) 2 = Xi + f(X2), где / (* 2) = 0,6х2 — 0,6, если 1 =+ х2 6; 1 ,5х2 — 6, если х2 3- 6; 253
2) 2 = f (Xi) + 3x2, где f(Xi) = 0,4хп если 0?cxi^5; —3, если 5<х '9; 3,5xi — 25,5, если Xi>9; 3)2=15-1*1-51; 4) 2 = |х1-2| + |х2-5|; 5) z = 2x1-x24-36, где ( О, если х,=О; g _ I * А ( 1, если Xj>0; 6) 2 = 2xj + *2 + 361.4- 262, где ( О, если Xi = O; | О, если х2 = О; I 1, если Xi > О И — ( 1, если х2 > О.
ОТВЕТЫ ГЛАВА I 4. 1) х2 = 20—2х1—х4, х3 = — 454~5.г14~5х;; 2) х4 = 44 —77х3, х2 = —24 + 40х3, х4 =— 14-|-ЗОх3; 3) Xi=l, х2 = —1, х3 = 1, х4 =—1; 4) х4=0, х2 =—3, х3=—16/3, х4 = 6; 5) х4 = 1, х.2 = х3= =л1 = 0, х6 = 1; 6) х4 = 8—9л’2, -«3 = 0, х4 =—10-|- 11х2; 7) несовм; 8) несовм; 9) х4=0, х2 =—13—13х4, х3 = —7 — 9х4; 10) несовм. /1—1 1\ /—12 17 —43 8. 1) 1—38 41 —34); 2) I —7 11 —24 \ 27 —29 24/ \ —1 —4 4 /—7 6 —h / 30 0 —5\ 3) J-I 5 —3 —1]; 4) ^1—35 0 101; 5) не существ.; \—6 3 3/ \—18 5 3/ z—2 —8 10 —2, 1 / 23 —20 4 —5 \ 14 | — 1 10 —2 —1 Г 8 —4 —2 & 1 —3 —2 существ.; 10) не существ.; 11) |0 1 0 \0 0 1 /1 —2 1\ существ.; 7)10 1 —2|; 8) \0 0 1/ 6) не 9) не ,—1 4 0 0. / 2 —7 0 0\ 12) I ; 10. 1) 160; 2) —12; 3) —23; 4) —252; 'О 0 5 7' 5) 120;6)100.14.1) (2,3,0,0); (0,15,-4,0), (0,11,0, —4), (11/4,0,0,3/2), (5/2, 0,1,0), (О, 0, 11,-15); 2) (0, 4,0, 2), (2, —2, 0, 0), (0, —2, —2/3, 0), (4/3, О, 0, 2/3), (О, 0, —4/9, 2/3), (Зй4 + о3=0); 3) (1, О, —2, 0, 4), (1, 0, —10, 4, 0), (9, —4, —14, 0, 0), (—19, 10, О, 14, 0), (1,0, О, —1, 5), (—1/3, 2/3, О, 0, 14/3), (0, 1/2, —1/2, 0, 9/2), (О, 1/2, 0, —1/4, 19/4), (0, 1/2, —19/2, 9/2, 0), (2о3 + о4—а6 = 0); 4) (0, 4, 0, 6, —2), (0, 2, —2, 12, 0), (О, 0, —4, 18, 2), (9, 6, 2, О, —4), (9, 0,-4, 0, —25), (2/3, 0, —4, 50/3, 0), (—12/7, 50/7, 22/7, 0, 0), (—2/3, 4, 0, 22/3, 0), (3, 4, О, 0, —11), (о4 —2с4 — — За6=0). 17. 1) (О, 0, 9, 31, 21), (7, 0, 23, 17, 0), (8, 3, 16, О, 0), (3, 5, О, 0, 17), (О, 3, 0, 16, 24); 2) (О, 0, 2, 36, 5), (0, 2, О, 26, 3), (1, 4, 0, 13, 0), (5, 0, 12, 21, 0); 3) (4, 12, О, 0), (О, 10, 0, 2), (О, 0, 4, 4), (10, 0, 6, 0); 4) (0, 12, 0, 12), (О, О, 3, 9), (4, 0, 4, 0), (6, 18, 0, 0); 5) (О, 0, 6, 33, 6, 3), (0, 6, 0 , 21, 12, 27), (7, 6, О, 0, 5, 20), (9, 3, 3, О, 0, 6), (7, 1, 5, 10, О, 0), (3, 0, 6, 24, 3, 0); 6) (3, 21, 21, 3, 0, 0), (0, 9, 24, 6, О, 3), (О, 0, 15, 6, 3, 6), (3, О, О, 3, 7, 7), (6, 15, О, 0, 6, 3), (6, 24, 9, О, 3, 0). ГЛАВА II Л84\ 23. ХЛ = (102, 204, 81, 144, 116); ДС' = 1 161 ] \160/ ХАО = 3607. 255
/184 104» 24. ЛС[ = 1161 103] \160 102/ ХЛС; = (3607, 2161), хлс;ё = 5768. 27 - ‘ 32 30. 37. <52 56 >Г2 <0,40 0,22 <1,87 '0,25 0,58 >1,20 6,7ч 21 78 11 1,41 0,45 0,07 0,29 2,97 1,71 39. 22ч 36 “Тй 42/ 0,1 К 1,07). ; 0,44/ 0,07ч 0,94 |; 3,42/ /0,10 1) 4 0,15 \0,05 /275 310 480 0,25 0,10 0,15 50 390 100). 29. (171, 5; 123; 74). 200 60, 240. 0,4 0,2\ г . 32. 34. 80 135 ; 112. , 6/ \0,1 0,3/ 1 \ <50 230 1 ' 7,2ч /0,35 0,19 0,04ч 55,1 |. 38. 0,51 1,50 0,561; <54,7/ <0,50 0,07 3,26/ 0,250 1,240 0,220 0,140ч 0,400]: 1,160/ /1,175 2) 10,228 \0,101 0,15ч 0,30); 0,08/ /190,5\ 3) I 168,0 ]; 4) <212,0/ Q = (30,3; 27; 50,5); 5) /= (1; 1,875; /=(0,125; 0,3015: 0,15), Т = (0,233; 0,450; 0,316), Ф = (235; 181; 515); 6) (2,33; 4,50; 3,16). 40. '0,155 1,014 >0,635 0,182 1,566 1,265 0,228ч \ /0,021 0,042\ 1,412 . 42. I / \ 0,021 0,042/ 1,572/ х ' 2), F = (l,81; 3,02; 3,21) 0,151 0,8 ), 1,05/ 0,1 0,6 >0,3 0,1 1,0 0,775 ГЛАВА Ill 63. 1) (0,2); 2) (20/19, 45/19); 3) (2/3, 2/3); 4) (0,3); 5) (8/5, 3/5;; 6) (10/3, 10/3); 7) (0, 2, 1, 0); 8) (10/3, 7/3, 5/3, 0, 0); 9) (5, 6, 5, 0, 0, 13); 10) (1, 2, О, 3, 14, 0); 11) (4, 1, 7, 0, 0); 12) (3, 6, О,' О, 3, 7). 64. 1) — со<А^—2/3, X = (5,0); -2/3^<4, X = = (6,3); 4sgXs£cn, X = (2,5); бесчисл. множ, решении при 7. = —2/3 и 7. = 4; 2) — сс</<—1/8, X = (G; 4,5); — 1/8^ sgZsc3, X = (7, 3); 3 < 2. < co , X=-(4, 0); бесчисл. множ, решений при Z = —1/8 и Х = 3; 3) —со<7. <0, Х = (0, 0); OsgXsg 1, X = (О, 2); 1 < X < оо, решения пет (z->-oo); бесчисл. множ, решений при Х=1. 66. 1) Разрешима при — 1<Х<со и неразрешима при —со<Х-=;—1; 2) разрешима при — 1/4< 7. < < 1/3 и неразрешима при 1/3'7.:; со (z со) и при — со < 7.< <— 1/4 (область пустая); 3) разрешима при 1/2 < X < 2 и нераз- решима при 7. <1/2 и Х>2. 72. 1) Х1=21/49 (5, 8)4-19/49 X X (9,5)4-9/49(2, -2); 2) .V, 1. 1 (2, 4) к 1/2 (8, 7) 4- 1/4 (6, 2); 3) Xj = 14/70(2 , 2)4-27/70(7, 14)4-33/70(7, 0); 4) неограиичеи- 256
пая; 5) неограниченная; 6) А\ вне области. 74. 2 (х, —2)-f-5x3-|- -) (х4— 5) = 0, 2л'((л'.|—1)4” *т—2=0, 2 (х4— 3)4-5 (х3— 2)4“ 4=0. 75. 1) (0; 0; 3;.О; 2), (1,5; 0; 0; 0; 3,5), (1,5; 1,75; 0; 0; 0), область неограниченная; 2) ,¥ = /(8,5; 1,5;0)-|-(1—/),(0; 12,83); 3) Л’ = '(0, 0, 9, 20) + /а (4, 0, 13, 0)/3 (2,47; 3,82; 0; 0) 4~ 4 / , (О, 3, 0, 14), где /, 4- М 4- t3 4- 1 и 6’^0; 4) А’=/(1; 1,5; 0)4-О— 0(0; 1,875; 0,25). 77. Ниже приведены; дополни- тельное ограничение и угловые точки новой области. 1) х4 4- 4- х24-х.=М, (0, 0,2, 14, М), (0, М, 24-2Л4, 14|-7М, 0), (Н44-7Л4)/9, (2М—14)/9, (4Л4-10)/9, 0, 0), (7, 0, 2, 0, М-7); 2) х.,4-х,4-х64-х6 = М, (6, 0, 0, 3, О, М),(64-2М, М, О, М, 0, 0), (О, 12, 6, О, О, М—0), (0, 12, 0, 0, 6, М-6), (О, (6 4-5М)/3, (64- 4- 2М)/3, (М-6)/3, 0, 0), (О, (64-5М)/3, О, (М-6)/3, (6-|-2Л4)/3, 0); 3) х2 -|-xri4-x4 -(-xe — М, (5, О, О, 0, 8, М), (0, 0, 0, 5, 8, М—5), (5 4-М. М, 0, 0, (24 4-2М)/3, 0), (0, 0, 5/2, 0, 43/3, (244—5)/2), (О, (2М-5)/3,(54-М)/3,0. (94-М)/3,0), (О, (М-5)/2,0, (54-М)/2, (194-М)/3, 0); 4) х, 4- х2 4- х„ = М, (37/14, 18/7, О, 0, 11/2, (М —73)'14), (М4-8)/5, (4Л4—8)/5, О, (14М-731/5, (7М — 9)/5, 0). /2М 4-3)/3, (М — 3)/3, (7М—9)/3, (7М-42)/3, 0, 0), (5, 1, О, О, О, М-6). 78. 1) (3/2, О, О, 0, 7/2), zmax = 12; 2) (О, О, О, 8' 4), 2mit]=4; 3) (2, 4, 0, 8, 0), zmax = 2G;' 4) (41/4, 3/4, О, О, 0). zmax = 35/4. ГЛАВА IV бО. 1) (О, 0, 124, 140, О, О, 0, 12, 5, 58), гтах = 154; 2) Azmax=—15; 3) г=—2х, —Зх8 4-2х94-Зх,0 —30; 4) нет; 5) нет. 81.' 2) (1, 1, 0, 0),. zmi[l = 3. 82. (О, 1/2, О, 0, 1/2), гтах = -5. 83. (6, 9, 0, 4, 0), zmax = 33. 85. (0,375; 2,06; 28,4; 0), гтах= х3 = 75. 8'э. 7/12 х, 4-х4 — 5/9х5 = 7/12, — 5/4*] 4" *2 = 3/4, — 7/6 xt -|- х3 4- 4-4/9x5=17/9. 87. 1) — 1/12 хя 4- х4 — 3/4 х5 = 85/12, х2 4-1/2х3 = = 2/3, х, 4-5/12 х3-1/4x5 = 55/12; 2) Xj/3-|-х2= 1, -Зх,— -х24-х4 = 3. 88. 1) (0,6; 1,6), гтах = 3,8; гтях->;о; 3) (1,5; 2,5), гтах=13,5; 4) (1, 0, 2, 0, 0), гтах = 8; 5) (5, 0, 10, О, 1, 0), гтН,= 15; 6) (0; 1, 5; 0,625; 0; 1,5), zmh) =-2,375; 7) (1, 1, 3, 0), zmin = 7; 8) гтях^оо; 9) (3, О, 1, 3), zmin = 2; 10) (О, 0, 12, 5, 58); гто,= 148; 11) система несовместна; 12) г -> аз; 13) (0, 2, 8, 1, 0,- 1/2), zmin=-3. ГЛАВА V 94. l)zmin = 9; 2)zmill=—1; 3)неразр.;4)гп11п=46/3;5)неразр.; 6) zmin = 22. 95. 1) Х* = (3, 3), /* = (1/2, 1/2), ^ = 7^^6; 2) zmax->co; 3) А'* = (1, 2), У* = (7/8, 5/8), zmin = 7'тах =4; 4) Х*=(10, 7, О, 0), Г* = (4, 7), гтах = Тт^=37; 5)Л* = =(4,4,0,0)iy* = (4/7,9/7),zraax = 7’min = 8; 6) Л* = (1, 0), Р = =(l,0),zmax = 7nliu = l. 96. РР, МП, ПН, ПП. 100. Х* = (0, 1, 0); 2) X* = (0, 4/7, i /7, 0); 4) X* = (О, 0, 2/3, 0); 6) X'* = (9/43,4/43.0). 257
102. 1) У* = (О, 5/2, 1/2), Тт1п — 30; 2) область пустая; 3) Y* = = (0, 1/3, 2/3), Tmin = 4; 4) У* = (3, 4, 1), 7min=l; 5) Г->-со; 6) У* =(1/5, 8/5), 7'max = 34/5; 7) область пустая; 8) У* = (5/19, О, 2/19), 7mIn=—126/19. 103. 1) Х* = (4,55; 9,22; 0,92), zmin = = 17,9; 2) Х*=(6, 0, 0, 0), zmln = 6; 3) Х* = (12, 0), zmin = 12; 4) Х*=(0, 9, 15), zmax = 24;5) X* = (4,5; 9; 0; 12J.25; 0), zmax = = 2,5; 6) Х* = (0, 31, 7, 0, 18), zmax=38; 7) Х* = (0; 0,4; 3,2; 2,8), zmax = 0; 106. 1) да; 2) да; 3) нет; 4) да. 107. — 4/3 sg sg До01 ^ 2. 108. 1) Дс0 = (—1,2; 0), У* =(0,3; 1,5; 0,7), откуда Azmjn = y* До0 = 2,7; 2) Д^О.б; 0,5), У*=(3, 2), Дгтах = = 2,5; 3) До0 = (—1, -1, 1), У* = (0,5; 0; -0,5), Дгтах = -1. 109. 1) Х* = (0, 0, 400, 550), х* = х*=0 и 4 = 50, или Х* = (92, 0, 369, 507), х*=х*=4=0; гтах = 9000, 2) У* = = (3; 1,5; 0), 3) Дг1=3-40=120, Дг2 = 1,5 • (—30) = —45, Дг3=0-50 = = 0, Дгтах=7,5; 4) для 1 ед. III рес. —0,25 I рес. и —1,96 II рес.; 5) затраты составят: 2 • 3-J-4 • 1,5-|-2 • 0= 12, прибыль 18, следовательно, выгодно. ПО. 1) Х* = (70, 31, 36); 3) с01 = о02 = = поз = О, ао4 = О,3; 4) Дг = 3,6. 111. 1) 94, х2= 14 и х3 = 8; 3) оценки изделий 5/41 и 3/41, сырья 1; 4) не изменились бы, 102; 5) в отношении 5:3; 6) в отношении 5:3; 7) целесообразна (2 5/41 > 3 3/41). 112. Ответы на задачи (1) и (2) (над диагона- лью доли времени, под ней — число изделий): \ Изделия Пред приятия I II Ш Оценки раб. времени А 0,274хх'х s'137 ° s' 0 0,726 ^ s' '.290 0,97 Б 0,032/^ 8 0,968 ^ 290 ° s^ s' 0 0,48 Всего 145 290 290 Оценки изделий 19- 10“] 16- 10“' 25- 10-4 3) пропорционально оценкам: 9,4; 7,9; 12,4. ГЛАВА VI В записи решений транспортных задач указываются только положительные перевозки. 117. 1) хи = 20, х13=20, х22 = 50, хаз= 10, zmin = 390; допустимое решение: хи = 8, х12 = 20, х23 = = 12, хи=12, ха2 = 30, х2з — 18; 2) хи=20, х13= 10, хаа=40, 258
*22 = 30, zmin = 380, доп. реш.: *ц = 6, *i2=*13 = 12, *2i = 14, *22=*23 = 28; 3) *12 = 30, *13=50, *21 = 60, *22 = 10, zml-n = 920, доп. реш.: *п = 32, *12 = 64/3, *1з = 80/3, *21 = 84/3, *22=56/3, *23=70/3; 4) *i2 = 40, х13 = 20, *21 = 30ч *^ = 20, zmin = 630, доп. реш.: *и = 120/11, х12 = 240/11, *^ = 80/11, х21 = 210/11, *22 = = 420/11, к*2;.^140/11. 120. 1) *4=10, *i2=2,_ *22 = 5, *32 = 4, *зз = 8, *34 = 6, Z] = 143; *]2=11, *1з=1, *24 = 5, *3i=10, *33 — = 7, *34==iJ> 22=96; *i2=ll, *11=1, *24 = 5, *3i = 10, *33 = 8, гз = г4=101; 2) *ii = 20, *?д = 50, *22 = 40, *33 = 20, *33 = 10, *34 = = 60, *з6 = 50, Zi = 1130; *12 = 20, *23 = ЗО, *^4 = 60, *25 = 20, *31=70, *32 = 20, *з5 = 30, z2=690; *J5=20, *23 = ЗО, *24 = 50, *25 = 30, *31 = 70, *32 = 40, *34= 10, z3 = 780; *15=20, *2з = 60,*24 = = 60, *25 = 20,*3] =70,*з2 = 40, *35= 10, г4 = 750; 3) *п = 30. *12 = 90, *2з = 30, *зз = 40, *43=Ю, *44 = 20, *45 = 30, Zi = 1360: *]] =30, *33=120, *ц = 80, *13 = 60, *15 = 30, *42=30, *32=40, *42 = *43 = *44 = 20, z2 = 850; *ц=30, *i3 = 80, *H=10J *22 = 30, *з4=10, *ЗГ1=30, *42=60, z3 = 850; *п=30, *]2=Ю, *13^80, *,2 = 30, *32 = 40, *42= 10, *44= 10, *45=30, г4 = 830; 4) *n=110, *i3 = 20, *22 ~ *2.4 == *24 — 30, *34 — *35 — 50, *4з — о0, *45 —: 90, Zj —-1 400; *11=110, *15 = 20, *22 = 50, *23 = 30, *24= 10, *34 = 70, *35 = 30, *45 = 50, *46 = 90, z2=1280, *ц=110, *]6 = 20, *22 = 50, *23 = 30, *2б=10, *34 = 80, *зв = 20, *45 = 80, *46 = 60, г3 = ?4 = 1240. 125- 1) *12=“35, *1з = 5, *21^10, *2д^ 15, zmil) = 255; 2) *i 2 " ~70, *.ц = 25, *22 = 20, *з1=15, zrnjn = 255; 3) *i2 = 30, *,3=10, *2i = 20, *22 = 40, zmir]=400. 126. 1) *12=100, *22 = 40, *23=110, *3] = 80, zmin==800; 2) *ii=*j3 = £0, *22 = 50, *2з=10, zm|n = 390; 3) *Ja = = 30, *13=50, *2i=60, *22= 10, гП]|.1] = 920; 4) *12= 11, *14= 1, *24 — 5; *3i 10, *33=8, zkkk = 9o, о) *i2==20, *2з — 30, *24=:60, *25=20, *3i = 70, *з2 = 20, *35=30, zmi-n = 690; 6) *ц = *22 = 30, *13 = 80, *15=10, *32 = 40, *42 = *44 = *45=20, zmin = 810; 7) *„ = = *23 = 30, *,5=100, *2'2= 50, *26'= 10, *34 = *4i = 80, *36 = 20, *46 = 60, zmin = 1190. 131. l)ui = 0,u2 = —2,u3 = 3, t)j = 2, t)2=2, ^3 = = 3, o4 = 5, 1’5 = 2; 2) Ui = 0, n2 = 0, u3 = 5, ox = 2, t>2 = 7, o3 = 8, o,. — 3, v5 — 5, с'з — 7. 132. *i , — 5, *, з — *21 — *24 == *31 — 20, *22 — 15. 135. См. ответы к задаче 126. 137. 1) Дгтк1=1; 2) Azmin = 7; 3) Дгт1п = —9; 3 4) Дгт,-п= L 138- и Дг™п = 5; 2) 4,in = 5; 3) на 1-м. 139.У 2-го; Дгт(п = —3. 140. На 3-м. 141. Да. 145. 1)*J2=16, *и=30, *2i= 15, *22=19, *34 = 40, *41 = 25, *44 = 5, zmin=302; 2)*и=10, *14 = 50, *21 = 30, *25 = 40, *32=30, *з5 = 20, zmin = 290; 3)*п = 16, *15 = 4, *24= 15, *25= 1, *32 = 2, *33= 12, *42= 16, *45=6, zmjn= 153; 4) *11 — 10, *1з — 15, *15 — 5, *2б==5, *35 — 4о, *42 — 35, *45 — 5, *54 = 25, *66 = 5, zmin = 220. 146. 1)*п=16, *13 = ЗО, *2Г= 10, *22— 19, *24 — 5, *34 — 40, *41 =30; 2) *14=^50, *|5== 10, *2, ==40, *25 = 30, *32 = ЗО, *зз = 20; 3) *п = 16, *1г = 4, *22 = 5, *26= 11, *за = 2, *33= 12, *42 = 7, *44 = 15; 4) *13=*ц=15, *2о = 5, *34 = = 10, *35 = *12 = 35, *45 = 5. 148. *Ц=15О, *22= 100, *24= 120, *25 = 80, *33=120, *44=80. 149. *21= 150, ' *и = 50, *22 = 80, *24=120, 150. Из склада Аг отправляется I потребителю 2000 т марки «а» и 4000 т марки «б»; потребности II потребителя удов- 259
летворяются из склада А2. По 1000 т марки «а» оставляется на складах Д и Д2. 151. хп = 350«а» и 100 «б», х12 = 50«а» и 150 «б», х22 = 300«а» и 100 «б», х31= 100 «б», х12 = 100 «а», х33= 100 «а» и . / . . . 30 40 \ / . 20 . 50 . \ 50«б». 153. 1) Хс= . 60 . 20 . 1, 20 20 . . 40), \ 20 . 70 . . / \ . 20 70 . . / / . . . 50 20\ ( • • 60 • • \ Хт= 20 40 . . 20; 2) Хс = ; ; 35 JU, Xt = \ . 20 70 . . / \ 30 . 35 . . / / • 40 20 • ’ \ / . 15 10 15\ = *7 = 30 ' 35 35 ‘ 3) *С=*/ = ХГ= • 25 • J- 1 . а) 4) . / \ 15 . 20 . / \ . . 10 . 40/ 154. хп = 50, хм=200, х13=110, х16= 100, х23 = 340, x3J = 100, хм=100; 155. хп=100, х12=х31=х34 = 300, х22 = 500, х23=200, zmin=13 600. 156. Расширить мощность 2-го завода иа 100 ед и построить новый завод с производит. а4 = 300 ед., при этом х]2 = 500, *21 = 400, х23 = х24 = 200, х34 = 600, х42=300. 157. Увеличить про- изводит. 2-го карьера; при этом х12= 11, х13 = ЗО, х14 = 5, х21 = 40, х22 — 24, х34 — 40, 159. 1) х44 — 7, х43 — 5, х44 — 18, х24 == 13, х24 — — 12, х32 — 15, х33 — 20, х34 — 10, 2) х4 4 — 5, х42 — х5, х43 — 15, *21 — 40, х22 5, х23 20, х31 25, х32 = 0, х33 15; 3)" х4^ == 15, Xj2 — 1, х43 9, х44 10, х24 15, х22 == 14, х23 26, х24 '=^ 15; 4) неразрешима; 5) х12 = 30, х22 = х23 = х31 = х33= 10, х32 = х41 = = 20, х14=х24 = х42 = х43 = 0. ГЛАВА VII 164. хп = 10, х14 = 35, х22=20, х33 = ЗО, х34 = 5, zmax =565. 165. xu = 20, х12 = 40, х23 = 25, х2й = 5, х34 = 45, х45 = 25. 166. х14 = = 70, х22=40, х31 = ЗО, х32=х84=10, х43 = ЗО, излишек 4-го сорта Ют. 167. х12=10, х13 = 20, х24 = 70, х31 = ЗО, х32 = 70, х44 = 30, мощность 1-го предприятия используется только в количестве 30 тыс. шт. 168. х12 = 350, х24 = 350, х33 = 250, х34 = 50, х41=150, х44=150, хй3 = 200, избыточная мощность 1-й мастерской 550 шт., а 2-й —150 шт.; zmin = 2750 руб. 169. х13 = 50 га, х14 = 250 га, х21 = = 300 га, х22=х23= 100 га, х32 = 400 га. 170. хи = 206 т, х21 = 152'т, х22=208 т, х23=440 т, х32=133 т, х34 = 267 т и излишек 1-го сор- та х1й = 94 т. 171. х12=67 .ч, х13=100 ч, х14 = 50 ч, ха=42 ч, х24 = 118 ч, х31=150 ч, излишек х1й = 23 ч. 172. х12 = 57,7 ч. х13 = = 142,3 ч, х23 = ЗОО ч, х32 = 250 ч, х41 = 400 ч; не хватает произв. мощности для изготовления ткани 3-го артикула в количестве 53 тыс. м. 173. хп=х12 = 4,8 т, х14=0,4 т, х23=1 т, х24 = 4,6т, х33 = 5 т и излишек х26 = 2,4 т. 174. х12=4250 шт., х13 = 4500 шт., х21 = 3000 шт., х22=6250’ шт., х14=1500 шт., х32=4500 шт. и из- быток времени иа I станке 5 станко-часов. 175. 1) х]2 = 420 шт., х]3 = 360 шт., х14 = 600 шт., х21 = 1500 шт., Х25 = 360 шт., х32= = 1680 шт., х45 = 3240 шт.; 2) любой план, в том числе найден- 260
ный в п. 1); 3) %]2=420 шт., *13=36О шт., *14=600 шт., х.а — = 1500 шт., *25 = 360 шт., *32= 1630 шт., *45=3240 шт. 176. *п = — 300 га, *22 —— 37а га, *23==2<j га, *33—--233 гл, *314 —167 га, изли- шек 100 га на II-участке. 178. 1) *ц=150 кг, *14=150кг, *21 = = 45 кг, *23=155 кг, *32 = 180 кг, *33 = 247,5 кг, остаток *36 = = 22,5 кг; 2) х13 = 270 кг, х21 = 5 кг, *22=120 кг, *24 = 75 кг, *3J = 172,5 кг, х33 — 277,5 кг, остаток *45=30 кг; 3) *п = 151 кг, *14=138 кг, *23 = 200 ч, *ai = 49 кг, *3„= 193 кг, *33=206; излишек Х]6=11кг. 179. I) *ц=160ч, xJ2=150 ч, х13 = ЗО ч, х2Э = 233 ч, остаток времени на II станке 97 ч; 2) *п =-160 ч, *12=10 ч, х13=ЗО ч, *22=196 ч, остаток времени на II станке 154 ч; 3) совпадает с решением в и. 2). 182. 1) Да, имеется изли- шек мощности; 2) х12= 1/3 (80 кост.), *J4 = 2/3 (100 кош.), *2] =3/4 (180 кост.), Х22 = 7/30 (70 кост.), *23 = 1/60 (== 3 кост.), х33 = 29/90 (97 кост.), излишек *3S = 6I/90 («=8кост.) 183. 1) *12 = 5 га, *]3 = = 25 га, х21 = 50 га, *32 = 7,5 излишек *34 = 12,5 га; 2) *п = 12,4 га, х12=17,6 га, х21 = 45,8 га, *23 = 4,2 га, *33 = 20 га, 3) *г1 = 16,3 га, *„,=0,6 га, *22 = 24,0 га, *23=25,4 га, х33 = 20 га, излишки *14 = = 13,7 га и *34=1,7 га. 184. *п = 10, *г]-=0, *22= 16,75, *23 = «=8,25, *33 = 20, *34 = 20, не хватает самолетов для перевозки 3860 пассажиров. 185. *и=1, *2) =3/20, *23= 17/20, *3] =9/20, *3,,= 11/20, zmax = 2550 комплектов (xik—доля месяца, в течение которой i-e предприятие производит k-e изделие). 188. *п = = *23 = *32= 1, т. е. 1 предприятие производит 1-е изделие, 11 — 3-е и III — 2-е. 189. *n = *23=*4„= 1; 111 предприятие не исполь- зуется. 190. *43 —- *22 — *31 *43 = *54 == 1. 191. *13 = *„2 = *31 = *4з = — Х31= 1. 192. *12 =*23=*Э1 =*44= 1. ГЛАВА V»! 193. 1)Т=(30,8; 15,4); 2) У=(13,4; 4,8); 3) И = (35, 10). 194. 1)*л = 0, *в = 600; 2) *л = 200 — 200/, *д = 600/, где Osg/sgl; 3) *л = 200, *в = 0. 195. 1) *j=300, *2 = 600; 2) *, = 1500, *2 = = 600; 3) *1 = 600, *2=1000. 196. 1) *л = 60, *в = 50; 2) *л = = 60 — 20/, *в= 50-}-10/, где 0^/^1; 3) *л = 50, *в=60; 4) *л = 50, *в=55. 197. 5 скорых и 7 пассажирских. 198. 6 ско- рых и 6 пассажирских. 199. В стеклянной 10/ и в жестяной 8 — 8/, где 0s£/=gl. 200. Сена 20 кг и силоса 40 кг. 201. *,2= 12/19, *13 = 7/19, *2i = 7/19, *22=12/19, где xik—ррля времени работы i-ro станка (1=1,2) по выпуску k-й детали. 202. *л=1, *в = 8, zmax = = 67 тыс. руб. 204. 1) *з=16, zmax = 910; 2) *3 = 8, *3 = 0,45, *4=0,9, zinax = 268; 3) *3 = 6,82, *4=4,71, zmax=608; 4) Д3г = = 7, Д12 = Д2г = 0; 5) *3 = 21, zmax = 2520; 6) тот же, что в задаче 1). 205. 1)*1=167, zmax = 3200; 2) *4=130, *а= 130, *3 = ЗО, гтах = 2660; 3)*3=160,гтах = 2400; 4) *j=50, *j = 300, *4=5, 7’тах = 6500; 5) целесообразно увеличение трудовых ресурсов; Дг[]лах = 4 руб. на 1 чел.-ч. 206. 1) *2 = 76923, *3 = 76923, Гтах=2 692 305 руб.; 2) 20 408 компл. 3) *t=2 500, *2= 150 000; 261
4) то же, что и в задаче 1); 5) по1=аоБ=0, п06=1,54, ао7=1,15. 208. 1) Бензин А в кол-ве 600 л н неиспользованные полуфабри- каты «1=400, и2 = 250 л, «3=100 л; 2) бензин В в кол-ве 700 л., остаются неиспользованными иг= 100 л, «2=150 л н и3 = 250 л, 209. 1) *1=16,7, х3 = 6,45; 2) Xj = 12, ха=9,25, х3 = 6,75; 3) xj = = 10, х2= 13,1, х3 = 6,87; 4) Стоимость уменьшается на 1,19 коп/кг; 5) 1 кг сена заменяется на 0,63 кг силоса или на 1,94 кг кон- центратов. 210. Рацион В: 200 ц силоса и 200 ц трав и рацион С: 100 ц трав, zmax = 5300. 211. *i=xa = 2,5 кг. 212. 400 ед. обыкновенного сплава, 700 ед. — специального и 200 ед. декора" тивного. 215. Не имеет решения. 210. хг = 0,445, х2 = 0,3325, х3 = =0,2225. 217. хп = 153, х13 = 243, х31 = 28, хаз = 222, где xik обозна- чают число листов i-й партии, раскраиваемых по fe-му способу. 219. Х! = 5,2, х2 = 0,16. 220. ха = 18, х3 = 4. 221. *j = 64, *1 = 30,8, х5 = 92,4. 222. 1) 1-й и 2-н способы для изготовления деталей III типа в кол-ве 357 и 245 шт., соответственно; 2) 238 шт. I типа по 1-му способу, 476 шт. II типа — по 3-му, 220 шт. III типа — по 2-му; 3) 153 шт. I типа по 2-му способу, 75 шт. II типа — по 2-му, 870 шт. II типа—по 3-му и 100 шт. III типа — по 3-му. 223. 1-й способ: 6,6771 и 13,33В, 2-й способ: 3,33/1 и 1,67В. 226. *4 = 45, *2 = 35, *3 = 35, *4 = 20. 227. Совпадает с решением задачи 225. 228. *1 = 50, х2 = 41,25, *3 = 41,25, *5 = 41,25, хв = 30. 229. *г = = *2 = *3 = *] =*5 = х6 = 4. 230. Xj=70, х2=100, *3=100, *4 = 0, — 100, у2 = 100, z/3 = 0, yi--= 100, где х£ и//;— соответственно раз- меры покупок и продаж в i-м квартале. 231. х1 = 30, *2 = 60, *3 = = 40, *4 = 20, у1 = у3—у1=0, //2=10, где хг и у, — соответственно, объемы производства в дневные и ночные смены в t-м квартале. 233. *j =215, *., = 200, *3=123. 234. *! = 85, *,= 142, *3 = 98. 235. *j = 27, *2= 179, *з = 77. 236. ^ = 45, fe2 = 50, /гэ = 60. 237. fej = 100, k2 = 16, fea = 8. 238. *13= 120, х,3 = 40, х33 = 80, где xih обозначает стоимость орудий труда, созданных t-ft отраслью и направляемых в k-ю отрасль. 239. х1а = 71, х23 = 50, хаз = 80. 240. 1) Первые три сплава в равном кол-ве; 2) только II сплав; 3) х4 = 0,25 и *5 = 0,75. 241. 1) 1 и II проекты — по 50 домов; 2) I проект — 37 домов, V—33 дома, II, III и IV — по 10 домов; 3) IV проект— 100 домов. 243. xu = *i2 = *22 = 20, *14 = 30, х33 = 5() и х34=10, где Хцг обозначает число k-x датчиков, закрепленных за i-м самописцем. 244. Закрепленные за А — в 120D, за В — в 1000, 15м и 2200; Т'П1|1] = 8ч. 245. 20 газохранилищ II типа и 10—III типа. 246. ио=160, иа=5, х4 = 25, ^ = 20, где ц£ — запасы, */— выпуск при сверхурочной работе и (/; — выпуск с помощью допол- нительного ‘оборудования в /-м квартале. глава IX 255. 1) а = аз = 0,4, 0= р2=0,6; 2) а = р = а = 4, (А2, В3); 3) а=р = а = 5, (Д2, Ва); 4) а=р = а = 6, (Д3, В2); 5) а = р = = о = 6, (А2, В3); 6) а = а, = 4, Р = 61 = Р3 = 6~. 257. 2х1У1+Х1Уз + + 3x1j/a-|-4*2i/1-f-2х2у2 5хаг/а, а = р = о = 22_ (А2, В2); Х* = (0,1), У* = (0, 1, 0), /(X*, У*) = 2 = а, /(X, У*)=*1+2*г=2-*1, f(X*, Ю = 4(/1 + 2^2 + 51/3=2 + 21/1 + 31/3. 258. -А-, А. 262
259. Если a('A = aift+d, то f'(X, Y) = f(X, Y)-\-d. 261. 1) Исклю- чаются последовательно В2, Ва, В4, Aj, Л3, fir> и А.,; получаем о = 4 и Х* = (0, 0, 0, 1), У* = (1, 0, 0, 0); 2) исключаются В,, А4 и А,, остается 77 = 0,5 0,7 0,4\ „ „ - 3) исключаются А., й„, В-, и Ач, .0,4 0,3 1,0/ ’ ' 1 3 остается П о =0; 2) X* = (1, 0). У* = (1, 0), о = 2; . F.=(±. J-l. 3) X* Y* " = 4- 5) У* = (0, 1), 39 3) Х*=(1, 0), 6) х*=(о, о = 0. 267. 1) X* о = 0,3; 6) Х*=(1,0), у* 4 ’ 4 У* = (0, 1, 0, 0, 0), 0 = 3; 4) . о.о' 7 _9\ ’ 14 /’ /4 5' \ 9 ’ 9? 21 о = -=- У*=(0, 11 v~ з ; 7'1 Х* = »4») У»=(А JA о = 4. 269.Х* = (0,4; 0; 0,6), У* = (0,2; 0,8; 0), \ 6 6} 6 0 = 0,54. 2) Х* = (0, 1, 0), У* = (0, 0, 1), о = 4; 3) Х* = (0, 1,0), У* = (0, [, 0), о = 5; 4) Х* = (0, 0, 1, 0), У* = (0, 1. О, 0, 0), о = 6; 5) Х* = (0, 1, 0, 0), У* = (0, 0, 1,0), о = 6. 273. Выпускать 50% продукции А и 50% продукции В. При этом 0 = 5. 274. На склад отправляется 1/3 и на дополнительную обработку 2/3 всей продукции. Стратегия А не применяется. 275. Следует применять стратегию Л3, т. е. закупать 18 т. угля. 276. 17% товара А и 83% товара В. У* 44 O--g- о = 4; 8) Х* = ( д- , 0. *=(о, о, о, -14, \ 6 6/ ГЛАВА х 284. 1) (3, 13), zmax=48; 2) (1, 2), z„]ax=ll; 3) (0, 2) или (1.1). zmax = 2; 4) (9,1), zmax=9; 5) (5, 3), zmax = 5; 6) (0, 0, 11, 3, 1), Zmax = 24; 7) (2, 2, 3, 1), zmax = 2; 8) (1, 3, 0, 0, 1), zniil) = 2; 9) (0, 3, 2, 0) или (1, 2, 1, 1), или (2, 1, 0, 2), г|11ах = 16; 10) (0, 3, 3, 0), пли (1, 2, 2, 1), или (2, 1, 1,2), или (3, 0, 0, 3), zmax = 3; (1, 1, 1, 2, 1, 1), zmiu = 3; 12) (1, 2, 1, 1), Zinax = ll« 288. 1) (0, 2), Zmax = 2; 2) *1=9, -g 263
3)(|, 1), о. '.«>. 3»-4+м,’-+71”у OXj— Л о ~Г~^4= 1 > 50х3 -f 100л-., Ч- х3 = 175 л Хп х2, *3, х4 —нсотр. и целочисл.; х4, х2, х3, х4 —пестр. и цслсчисл. 297. 0, 2, 1, 3, 0; zm;t]=140. 301. 6, 10. 7, 2, 1, 9, 4, 3, 5, 8; 7’min= 175. ЗС8. HI—240, IV—560, V—300; zraax = 450. 310. 2-й продукт следует изгото- влять II способом (х™ = 100); z,„_„ = 2500. ' ' 111С1Л ГЛАВАХ! 324‘ о 2min=bf~g при Х=2- , ^=4gg. и zmax=80 при -х=0, //=-0; 2) zm,n=0 при х = 2, // = 4 и гтя;. = 41 при х = 7, 4/=0; 3) zmin= 13 при х = 5, //=4 и z„13X=98 при х=0, //=0; 4) 2min = 0- ПРИ * = 6> И==2 11 Zmax = 52 nP“ х = 0> У = 6- 325‘ О ZmIn==0 ПРИ х==0> У=° и Zmax^6^5 ПРИ х = = 2,4-#5, //=1,2 ./5; 2)zmin=— 6прих=6, //=0 и zmax= 12 при х = 0, у=--£г, 3) zlnj|1=0 при х = 3,// = 2 п гтах =49—12# 13 при х = 18/# 13, у =-12,# 13; 4) zmil, = 88 - 24J-' 13 при х = 12/#13, //=18/#13 и гтах=--52 ПРИ л'=7=0- y-~=Q- 326- 0 2miu=° ПРИ x=°- I/—0 “ 2max 2) zmi» = ° ПРИ х=1’ и гт.-:.х > ' 3) гт!п = ° при х = 4, у = 3 и zrnax—хсс; 4) znijn-^-co и 2max 327‘ 0 2min”8 ПРИ х = 8> У = о и гтах=,4 + 6#10 ПРИ х=5 + 6#0,1, // = 3+181/б,1; 2) zmjn = 8 при х = 8, у = 0 или х=5 + #4,5 , у = 3— #4,5 , или х = 5 — #4,5, ?/ = 3 + #4,5, или х = 5 —3#2, // = 3-[-3#2 и гтах=8 + 6#2 при х = 5-[-3#2, //--3-|-3|'2 ; 3) zrnjn = 43—' 12['0,5 при х = 5 — 3#и,5, у = 3-\- + 3#6J и гтах = 40 + 12#34 при х = 5 4 30/#34, у = 3 + + 18/#34; 4) zn]in=6#2-3 при х=5-3#2~, //=-34-3#2~ и гтах=33 + 8ГГ’7 ПРИ * = «/=4 + #17- 328. 1) zraill = 0 при х = = у = 0 и гтах=8 при х=8, //=0, или х=0, у = 8; 2) гт1п=2 при х = у = 3 и гтах =32 при х = 0, у = 0, или х = 0, у = 8, или х = 8, у=0-, 3) zmax=3,48 при х=1,35, //=5,56 и zmax = 169 при х=8, у=0-, 4) zmin = 0 при х = 5, // = 0 и гт.1Х= 13 при х = 0, //=8. 329. 1) zniiH = 2 при х=2, р=0, и zm<JX = 11 при х=6, у = 5; 2) znliH = 5 ири х = 6, //=5 и znlax = 74 при х = 2. 264
у=0; 3) zmin=0 при х=4, у=2 и zmax=13 при *=2, (/=5 или *=6, //=5; 4) zmin =—2 при * = 2, //=0 или *=6, у=0 и 2тах=3 при г/=3 или *=6; у=5. 337. 1) вогн. ; 2) вогн. ; 3) вып. ; 4) вып. ; 5) вып. ; 6) вогн. ; 7) вогн. ; 8) вогн. ; 9) ни вып,; ни вогн. ; 10) вып. ; 11) вогн. ; 340. 1) 1 1 \—1 1/ ’ /1 0 Ov 6) 10 1 0|; \0 О 1/ / 1 —1 0,5\ /0 0,5 0,5 7) —1 1 —0,5 ]; 8) 0,5 0 0,5 . 342. 3) неотриц. ; \ 0,5 —0,5 —1 / '0,5 0,5 0 / 4) неопр. ; 5) неопр. ; 6) полож. ; 7) неопр. ; 8) неопр. ; 343. 1) ни вып. , ни вогн. , 2) ни вып. ; ни вогн. ; 3) вогн. ; 4) вогн. ; 5) вып. 345. 1) zrnin=—236 при х=—5, //=1; zmax = 34, *=5, 4 1 Р=1; 2) zmin=-g при х=у = -^; zmax = 42 при *=0, // = 4 или * = 4, // = 0; 3) zmin = —3 при *=1, у = — 1; zmax = 8 при *==0, //=2; 4) zlnin=—16 при *=0, у=4 или *=0, // =—4; zmax =16 ПРИ х=4' У=° или х= — 4 у = 0-, 5) Zmin =—531 при *=5,33, // = 2,66; ггпах =0,016, * = 0,5, // = 0,25; 6) zmin = 0 при *=1, //=0,5; zmax=9 при *=2, у=0, или * = 0, //=1; 7)ztnin = ~48 ири *=—4. у=0; zmax=208 при *=4, //=0; 8) zmill = —768 при *=0, //=16 или *=16, //=0; гтах=640 при *=8, j/ = 8. 346. 1) гтах=22 при *х=1, *2 = 3, *3 = 0; 2) zmin = —20 ПРИ *1=°> *2=0; 3) zmax=0 при *, = 3, *2 = 1, *э=2; 4) zmj11=—3,55, *2 = 0, *2 = 3, *3 = 1,33. 347. 1) zmjn = = —4 при *,=2, *2 = 0; zmax = 6 при *1 = 0, *2 = 2; 2) zmIn = 0 при *1=1, *2=3, жэ=2; гтах=440 при *t=0, *2 = 15, *3=0; 3) zmin=0 при *,=0, *2=0; гтах=8 при *1 = 2|/2’, *г = 2/Т; 4) zmax=,>75 при */ = 1, х2 = 0,5, *3 = 0; *4 = 2. 349. 1) zmin = = 0,25 при *1 = 0,5, t/ = 0,5; zmaX.= l при *=0, у=1 или *=1, //=0; 2) zmin = 6,75 при *=1,5, //=±0,5/7; гтах=19 при *=—2, //=0; 3) zmIn = 4,8 при * = 2,2, //=3,8; гтах = 77 при * = 6, у—0; 4) zmin = —16 при*=0, //=—4; гтах=15 при х = 4, //=0;5) zmax =6,5 — 0,5/10 при *=3,5—0,ЗУ 10,// = 3 — —0,2/10; zmax=8+/3 при *=4+1'3, (/=3; 6) zI)]in = 20 при * = —1, // = 3; гтах=72 при * = — 3, у=—1. 351. 1) (3, 3, 3), (1, 1, — 1), (1г-1, О., (-1, 1, 1), 2) (2, 2, 2), 3) (/2, Уа2), (— /2 , — /2 ); 4) (0, 0, 0, 4), (0, 0, 4, 0), (0, 4, 0, 0), (4, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1); 5) (2,18; 1,45; 4,36), 1=8,73. 353. 1) (0, 0, 0) (4, 4, 4); 2) *|=:*2—— 0, *3 ~—6, *^==*3 = 0, *2 '-5: 6, *2 — *3-0, *£ '6, 265
*i=*2=x3=0,66/K; *1 = *2=*з=—0,66 //; *i = *2 = 2-|- + 0,66/T, *3=2- l,33/3;*i = *2 = 2-0,66/3, *3= 2+ 1,33/3; 3) (1, —2. 2), (—1, 2, —2); 4) (0, 0, 0), 5) (0, 0, 0), (1,33; 1,33; 1,33); 6) (0, 0, 0), (1,5; 1,5; 11,8). 354. Azmin =s= 1 • 0,1 =0,1 (точное значение 0,105); Azmax =2 • 0,1 =0,2 (точное значение 0,21). 355. 1) Azmin«= ^2-0,2 = 0,4; AzmaK«= (15/4) 0,2 = 0,75; 2) Azmitl —0,6, Azmax — 1,125. 356. Azmax =«7,72 при *i = 2,09, *2 = 0,28, *3 = = 1,47; Az«=—0,68. ГЛАВА XII 358‘ П zmax=4/3 п₽и *1 = 2> *2 = *з = 0, *4 = 2; 2) zmax = 9 = 8/29 при хг=14, x2 = 6, *3 = 0; 3) zmax=-A при *j = 2, *2 = = *3 = 0, *4 = 4; 4) zmjn = 5/6 при *i = 2,2, *. = 0,6, *3 = *4=0, x5 = 0,2; 5) zmax = 21/38 при x1 = 5,5, *. = 2,5, *3 = 0; 6) zmin = = — 4/13 при Xj = x2 = 5, x3= 10, *4 = 0, *5=16, *G = 0; 7) zmax = = 3 при *] = xa=0; 8) zmin = —1/91 при *1 = 4,6, *a = 2,4; 9) Zmaxco. 360. 1) 2mjn = — 22/9 при *1 = 14/9, *2 = 2/3; 2) zmin = —273/13 при *4 = 4/13, *2=33/13, 3) zmax = l,75 при *i = = 1, *2 = 0,5, *3 = 4,5, *4 = 8; 4) zmax=0, при *i=x2, 0sg*i sc s- 10/3. 361. 1) zmjn = —13 при *i = 3, x2 = 2; 2) zmax = 35 прн *i = 3, *2=1,6; 3) zt|lax= 154,8 прн *4 = 8, x2=5,6; 4) zmax = 45 при *i = 7,5, *2 = 6; 5) zmin = —344 при *i=10, x2 = 4; 6) zmin = = 0 при *j = x2 = 0. 362. l)Zmin = —1 при *j= 1, *2 = *3 = 0; 2) 2max=— 12 nP“ *i = *2 = 4, X3 = 0; 3) Zmi|]=0 при *i = *2 = = *3=0; zmax=6 при *i=*3=0, *2=3. 363. 1) (0,5;—1,25); 2) (-2, 0); 3) (4, 2); 4) (1,-1). 364. 1) (4,8); 2) (8,-2); 3) (8,6); 4) (0,—.1). 367. Vz = (Cj, ..., ck, ..., cn). 370. 1) zmin = —481 при *4-5, *2 = 4; 2) zmin = —4,5 при *i=2, *.=—0,5; 3) zI1|hl = = —18 при Xj = 3, *2 = 0; 4) z|]lax=10 при Xi=l, *2 = 2. 371. г1пах=73при*4 = 3, *2 = 4. 373. 1) zmax = 118,45 при *4 = 4,4, x2 = 5,8; 2) zmax = 85,8 при *i=7,l, *»=7,1; 3) zmax = 256 при *i = 0, *2 = 8; 4) zmin = —20 при *4 = 4, *2=2, *3 = 8, *4=16; 5) zmin = — 10 nPH *i = 0, *2=10, *a = 0, *4 = 30; 6) zmax=164 при *4 = 8, *2 = 3, *з=13, *4=11, *3 = 4; 7) zmax = 173 при *4 = 8, *2 = 7; 8) zmax = 173,3 при *i = 5,2, x2 = 8,3; 9) zmin = — 137 при *i = 8, *2 = 3, *3=13, *4 = 4, *5=14; 10) zmjn = 0 при*1=*2 = =*3 = 0; 11) zmax = ll,25 при *] = 1, *2 = 0,5, *3 = 0; 12) zmin=0 при Xi = *2 = *3 = 0. 374. 1) гг1ах = 16 при *4 = 8, *a = 0; 2) Zmax = = 22,5 при *i=x2 = 7,5; 3) zm!n=—10 при *i = 0, *2=10; 4) zmax = 10 при *г 0, *3 = | + ^ *2, *1 = у + у5) Zmin -00. 380- zmax = 1 при *1=1, *2 = 0,; 2) zmin = 0 при *4=*2 = 0, 266
х3==80, х4 = 34; 3) zmin = 71,3 при *4 = 6, x2 = 4,25; 4) zmax = — 1 при *i = 2, «2=7, л-э=0, *4=0, xs = 43; 5) zmin=ll при х(=0, x2==2; 6) z|nax =— 50 при x1==2, x2=l. 381. 1) zmin = 0 при *4=0, x2=l и zmax = 16 при *4= 10, x2 = 8; 2) zmi|1 = 0 при Xj = ==.r2 = 0 и zmax = 33,5 при Xi=10, x2 = 8; 3) zmin = 5 npHXj = 15, *2 = 0и zmax=15 при *4 = 5, x2=10: 4) zmill=0 при xt =2, x2 = = 5 и zmax = 18 при xt= 15, x2 = 0; 5) zmill = 0 при %4 = x2 = 0 11 zmax = 33 ПРИ *1=15- *2 = 0; 6) zmin = 0 nP“ *i = *2=0 И гшах 33 ПРИ *1 ?= и *2 0-
Оглавление Номера Стр. задач Предисловие .............................................. 3 Глава I. Метод последовательных исключений 4 § 1. Решение систем уравнений .......... 1—6 4 § 2. Вычисление обратной матрицы. Вычи- сление определителя ..................... 7—10 9 § 3. Преобразования однократного замеще- ния ..................................... 11—14 12 § 4. Симплексные преобразования н опорные решения.................................. 15—20 15 Глава II. Применение матричной алгебры в эко- номических расчетах. Балансовые мо- дели .......................................... 21—43 21 Глава III. Теоретические основы методов линей- ного программирования ................................... 35 § 1. Преобразование исходной модели . . . 44—50 35 § 2. Графическое решение........... 51—66 42 § 3. Выпуклые фигуры. Элементы геометрии n-мерного пространства............. 67—78 53 Глава IV. Симплексный метод.............. 79—89 59 Глава V. Теория двойственности........................... 68 § 1. Составление двойственных задач .... 90—93 68 § 2. Первая теорема двойственности .... 94—103 72 § 3. Вторая и третья теоремы двойственно- сти ...................................... 104—108 78 § 4. Экономическая интерпретация двойст- венных задач............................. 109—114 80 Глава VI. Транспортные задачи............................ 85 § 1. Общие свойства модели.............115—118 85 § 2. Определение исходного опорного ре- шения ............................. 119—120 87 § 3. Распределительный метод............ 121—127 90 § 4. Метод потенциалов.................. 128—142 93- § 5. Открытые модели транспортных задач 143—157 100 268
Номера Стр. задач § 6. Транспортная задача с ограничениями по пропускной способности............... 158—159 ИЗ Глава VII. Распределительные задачи..................... 117 § 1. Общие свойства модели.............. 160—163 117 § 2. Простые распределительные задачи . . . 164—168 118 § 3. Распределительные задачи с однород- ными ресурсами.................. 169—173 120 § 4. Распределительные задачи с пропор- циональнь!ми ресурсами.......... 174—178 122 § 5. Общие распределительные задачи . . . 179—185 126 § 6. Задачи об оптимальном назначении 186—192 131 Глава VIII. Общие задачи линейного програм- мирования ............................................. 136 § 1. Задачи, решаемые графически........ 192—202 136 § 2. Определение оптимального ассорти- мента .................................. 203—206 140 § 3. Задачи о «смесях».................. 207—212 144 § 4. Задачи о «раскрое».................213—217 148 §'5. Общая планово-производственная за- дача. Выбор интенсивностей использо- вания различных технологических спо- собов производства ..................... 218—223 150 § 6. Распределение ресурсов во времени. Оптимальное регулирование запасов 224—231 155 § 7. Оптимальные балансовые модели .... 232—239 157 § 8. Разные задачи...................... 240—253 160 Глава IX. Элементы теории игр........................... 169 § 1. Основные понятия................... 254—261 169 § 2. Элементарные приемы решения игр 2 X 2 и 2 X п....................... 262—267 174 § 3. Сведение решения игры к задаче линей- ного программирования................... 268—281 179 Глава X. Целочисленное программирование . . 186 § 1. Полностью целочисленные задачи . . . 282—285 186 § 2. Частично целочисленные задачи .... 286—289 192 § 3. Примеры задач, целочисленного про- граммирования .......................... 290—313 195 Глава XI. Нелинейное программирование. Общие положения ........................................ 208 § 1. Составление моделей нелинейных за- дач .................................... 314—322 208 § 2. Графическая интерпретация нелиней- ных задач .............................. 323—332 211 § 3. Выпуклые области и выпуклые функции 333—339 214 269
Номера Стр. задан § 4. Квадратичные функции............... 340—343 216 § 5. Экстремумы функции и стационарные точки............................... 344—347 218 § G. Условный экстремум. Метод множите- лей Лагранжа............................ 348—ЗБ6 223 Глава XII. Численные методы решения задач нелинейного программирования . . . 228 § 1. Метод решения задач дробно-линейно- го программирования.....................ЗБ7—ЗБ8 228 § 2. Метод решения задач квадратичного программирования....................ЗБ9—362 230 § 3. Градиентные методы................. 363—374 235 § 4. Метод кусочно-линейной аппроксима- ции ....................................37Б—381 244 Ответы ................................................ 255
Калихман Исаак Липович Сборник задач по математическому программированию Редактор А. М. Суходский Художественный редактор В. И. Пономаренко Обложка художника А. И. Демко Технический редактор Л. А. Муравьева Корректор Т. А. Гринькова
Сдано в набор 8/1V 1974 г. Подп. к печати 2/IX 1974 г. Формат 84Х108’/з2. Бум. тип. № 3. Объем 8,5 печ. л. Уел. п л. 14,28. Уч.-изд. л. 12.80. Изд. № ФМ-552. Тираж 50.000 экз. Цена 44 коп. План выпуска литературы издательства «Высшая школа» (для вузов и техникумов) на 1975 г. Позиция № 83. Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, издательство «Высшая школа» Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-тех- ническое объединение «Печатный Двор» имени А. М. Горького Союзполи- графнрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197J36, Ленинград, П-1-36, Гатчинская ул., 26, Заказ № 1383.