Оглавление
Вместо введения — диалог авторов 3
Теоремы, аксиомы, определения 7
Множества * , ♦ „ 2Э
Отображения 53
Отношения 84
Последовательности, ряды 113
Функции 137
Свойства функций 176
Дифференциальное и интегральное исчисление • > 205
Функции многих переменных 237
Функциональные ряды 251
Линейное пространство 270
Метрическое пространство 314
Аффинные преобразования 356
Труппы преобразований 384
Исчисление высказываний 421
Исчисление предикатов 464
Вместо заключения — диалог авторов 502

ВМЕСТО ВВЕДЕНИЯ —
ДИАЛОГ АВТОРОВ
— Математика без формул? Не перехватили ли мы?
Ведь это что-то вроде географии без карт или оперы
без музыки!
— Что ж, опера без музыки в самом деле ничто. А что
касается карт,,. Разве в них соль географии? Когда ты
смотришь в адовой фильм, слушаешь бывалого
путешественника или путешествуешь сам — разве ты не
пополняешь свои географические познания? К тому же все это
гораздо глубже воспринимается и гораздо интереснее,
чем карты. Хотя, конечно, те подают информацию в
предельно отчетливом, концентрированном виде. Так
же и формулы. При всей их четкости и емкости — не в
них душа математики,
— Ну-ка, ну-ка, в чем же она, эта загадочная душа
математики?
— Не знаю, убедят ли тебя мои собственные слова —
как говорится, нет пророка в отечестве своем. Поэтому
позволь спрятаться за авторитеты. «В математических
работах... главное — содержание, идеи, понятия, а
затем для их выражения у математиков существует свой
язык— это формулы». Заметь:Первично — содержание,
идеи, понятия, а форма, формулы — вторично.
— Кто это сказал?
— Софья Ковалевская.
— Ну, хорошо. Формулы — не душа математики. Но
все-таки язык! Родной язык! Тебе приходилось когда-
нибудь читать японские стихи?
— В переводе.
— Вот-вот! В переводе, где короткие слова оригинала
приходится заменять многосложными. И —улетучилось
своеобразное очарование японской поэзии? Ощутить
его можно, лишь изучив японский язык и читая стихи в
подлиннике.
— Да, но все мы живем в условиях постоянного
цейтнота. Прежде чем начинать какое-то дело, нужно знать

ради чего оно предпринимается, видеть конечную цель.
Я возьмусь за изучение японского языка лишь после
того, как мне расскажут р неповторимых прелестях
японской поэзии на моем родном языке. Но если вместо
этого мне дадут свиток с иероглифами.;.
Математические формулы для непосвященного — те же иероглифы.
Да и доказательства для него не понятнее иероглифов.
Этот жаргон, эти бесконечные «если... то,,, для любого.,
существует.*, вообще говоря... по крайней мере...»
— Ну, уж тут позволь с тобой не согласиться. Есть
хороший анекдот на эту тему — не возражаешь?
— Давай,
— Рихард Дедекинд, как ты знаешь, умер глубоким
стариком, через много лет после того, как написал свои
классические труды. А о классиках принято думать, что
жили они в давно прошедшие времена. Короче говоря.
где-то в начале нашего века Деде к и нд раскрыл какой-то
календарь и прочел там: «Рихард Дедекинд. Умер в
Брауншвейге 4 сентября 1899 года*, Дедекинд написал
тогда издателю календаря: «Глубокоуважаемый
коллега!.. Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в
дате моей смерти неверен по крайней мере год». Так и
чувствуется рука математика! А в этом самом «по
крайней мере»» заключено все остроумие ответа. Так что
строгость и занимательность — вещи вполне
совместимые, можешь меня не разубеждать!
— Не приведи господи! Ведь именно об этом я тебе и
толкую! Анекдоты и приметы, пословицы и детские
считалки, картины великих художников и отрывки из
классических произведений, факты истории и нашей
повседневной жизни — вот где нужно искать иллюстрации к
математическим понятиям! И они не могут не найтись.
Разве древо математики поднялось бы до таких высот,
естл бы не уходило корнями в глубины
общечеловеческой практики?
— Ив таком духе ты намереваешься изложить всю
математику, и притом совершенно строго?
— Зачем всю? И зачем совершенно строго? Наша
книга не должна быть учебником. Важны основные идеи
и понятия. И если читатель войдет во вкус, — он потом
возьмется и за учебники, за формулы и строгие
доказательства. «Подобно тому, как рою бесчисленных пчел,

поражающему наперебой своими жалами, не удается
отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного
вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет,
разумеется, никого, кто, хоть краем губ постигнув
сладость математических доказательств {какая бы масса
величайших трудностей, ни отталкивала его, точно
частыми уколами жал), не стремился бы всеми силами
освоить их вполне, до, полного насыщения»». Это сказал
Бонавентура Кавальери в своем трактате «Геометрия*.
— Ну и что же за книга у нас получится? Если не
учебник — то что? Что-то вроде «Кабаре математики»*
Графа? «Математической смеси» Литтлвуда?
Развлекательное чтиво?
— Не учебник и не чтиво. Я попытался бы определить
ее дух иносказательно. Представь себе поток, на одном
берегу которого стоит жаждущий, но не сведущий, а на
другом раскинулись райские сады математики. Книги о
математике — словно камни в потоке, по которым можно
переправиться на ту сторону. К берегу незнания
примыкает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся
глыбы учебников. А в промежутке — не так уж много для
уверенной переправы. Трехтомник «Математика, ее
содержание, методы и значение» А. Д. Александрова,
А. Н. Колмогорова, М. А. Лаврентьева и других. «Что
такое математика?» F5. Куранта и Г Роббинса. «Что такое
математика?» Л* Геффтера. «Прелюдия к математике» и
«Путь в современную магематику» У. У. Сойера.., Где-то
здесь мы и должны положить свой камешек.
— Книгу полусерьезную-полушутливую, как я понял.
Этакий гибрид теоремы и побасенки. А форма книги?
— Есть стиль, на мой взгляд, отлично
соответствующий ее содержанию. Фрагменты, связанные друге
другом не словесными переходами, но одною лишь логикой
предмета.
— Догадываюсь: «Опыты» Монтеня, «Записки у
изголовья» Сэй-Сенагон,.,
— Высокие примеры! В вольном разбеге пера одна за
другой появляются зарисовки лаконичные и в то же
время детальные, поэтичные и в то же время
глубокомысленные, часто проникнутые усмешкой... Вот бы и
нам показать в таких картинах важнейшие области
математики!

— Итак, нечто вроде путеводителя по
математике?
— А почему бы и нет? Когда ты едешь е незнакомый
тебе город и предвкушаешь его красоты, ты берешься
не за фолианты по его архитектуре. В таких томах ты
рискуешь споткнуться о фразы типа: «Рустованный
периптер фланкируется лучковыми сандриками». От
такого чтения первое свидание с городом наверняка будет
испорчено. А интересный путеводитель, хороший гид
расскажут тебе то же самое понятным тебе языком, да
еще приведут старинную легенду или отрывок из поэмы,
навеянной образом этого города. И если все
услышанное тобою заронит в твою душу чувство любви к
замечательному городу, это заставит тебя взяться потом и
за серьезные книги о нем, перечитать все те скучные
фолианты, которые иначе только отвратили бы тебя от
него.
— Решено. Так в путь же — и пригласим с собою
читателя!

ТЕОРЕМЫ,
АКСИОМЫ,
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Что такое математика?
Задайте этот вопрос своим приятелям, спросите у
знакомых, и в ответ вы скорее всего услышите
что-нибудь вроде: «Это наука о числах и фигурах».
В самом деле, возьмем наугад любой раздел
математики. Арифметика занимается числами. Они же
подразумеваются под буквами в формулах алгебры. В
геометрии речь идет о плоских фигурах и пространственных
телах.
Между тем существуют такие отрасли математики, где
ни числа, ни фигуры никакой видной роли не играют
Вот книга по математической логике. Заглянем в нее.
Формулы, которые встретятся нам тут, напоминают
алгебраические. Однако буквы в них обозначают не числа,
а фразы, чаще всего математического содержания* Их
в логике именуют высказываниями. Фигуры же
появляются здесь исключительно для иллюстрации.
А вот книга по теории групп. В ее формулах буквы
истолковываются как математические операции. После
таких примеров трудно утверждать, будто в числах и
фигурах заключено нечто самое существенное для
математики.
Так что же такое математика? Что в ней самое
главное? Что презеде всего "характерно для любого из ее
разделов, любой ее теории?
Если вообразить математику в виде огромного дома,
то ученых, чьими трудами возведен этот дом,
естественно сравнить с каменщиками. И такое сравнение
небезосновательно* Когда каменщик возводит стену, то
каждый кирпич прочно укладывается на уложенные ранее и
скрепляется с ними раствором. Точно так же в
рассуждении математика каждое утверждение опирается на
уже доказанные. Оно сцементировано с ними законами
логики.

Каждый такой «кирпич» в математической «кладке»,
каждое утверждение математической теории,
полученное из ранее доказанных на основании правил
логического вывода, именуется теоремой. Конечно, математики
в своих рассуждениях далеко не каждое умозаключение
отмечают званием теоремы —всть у них и другие
названия. Говорят, например, про признаки делимости чисел,
про правила разложения полиномов на множители. Но
если быть строгим в терминологии, каждое такое
правило, каждый признак — одним словом, каждое
математическое утверждение, получаемое путем логического
доказательства, есть теорема*
Любая теорема или несколько теорем, в свою
очередь, могут послужить обоснованием для какой-то
новой теоремы. И подобно тому как здание
складывается из кирпичей, любая математическая теория
представляет собой совокупность теорем.
Логически последовательная стройность
утверждений — вот самое существенное и характерное свойство
математики. Оно ярко проявилось уже в древнейших ее
разделах — арифметике и геометрии. В числах и
фигурах впервые воплотилось это отличительное свойство
точной науки.
Со временем появились в
математике и формулы, этот
особый язык для записи
выкладок и теорем, язык удобный,
точный и емкий. Скажем,
небезызвестную теорему
Пифагора можно высказать словами:
«Квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов»>• Но математик предпочтет
этой длинной фразе короткое равенство а2 + Ь2 = А
В любом здании, спускаясь с верхних этажей все ниже
и ниже, мы в конце концов добираемся до фундамента.
Так можно перебирать и теоремы. Занявшись этим, мы
рано или поздно доберемся до утверждений, истин-

ность которых принимается без доказательства. Это
аксиомы или постулаты.
Раскроем знаменитые «Начала» Эвклида. В течение
многих веков эта книга служила для школьников
учебником геометрии, для ученых — образцом
математической строгости.
Уже на первых страницах своего трактата Эвклид
перечисляет постулаты, на которые опирается в
дальнейшем, выводя геометрические теоремы: «1. От всякой
точки можно провести прямую линию. 2. Ограниченную
прямую можно непрерывно продолжать по прямой. 3. Из
всякого центра и всяким раствором может быть описан
круп 4. Все прямые углы равны между собой, 5. Если
прямая, падающая на две прямые, образует внутренние
и nq одну сторону углы, то эти две прямые!
продолженные неограниченно, встретятся с той стороны, где углы
меньше двух прямых» (то есть е сумме составляют
меньше 180 градусов).
Посмотрим, как на таком Ai
фундаменте возводится
здание эвклидовой геометрии.
С помощью своего пятого
постулата Эвклид
доказывает, например, теорему о pa- (
венстве накрест лежащих
углов при параллельных
прямых *- р и р', а также 8 и S1 на
нашем чертеже. В самом
деле, сложим параллели так,
как показано на рисунке
ниже!* Если бы накрест
лежащие углы были не равны друг
другу, то какие-то два углаг,
лежащих по одну сторону от
АВ, тогда оказались бы в
сумме меньше двух прямых и
параллели встретились бы.
Но это невозможно.
Параллели на то и параллели, Что
не пересекаются нигде. Зна-
/в

чит, накрест лежащие углы р и Ц\ а также 5 и &' равны.
Следующий чертеж подсказывает нам, что углы а, р1
и у в сумме равны двум прямым. Если заменить в этой
сумме Р' и у равными им углами треугольника ABC, то
есть углами 0 и у, то тем самым будет доказана
известная теорема О том, что сумма углов любого треугольника
равна двум прямым, то есть 180 градусам.
Так и получается одна теорема за друго.й-
Перед вами — малярная кисть, плакатное перо,
фломастер и тонко очинённый карандаш. Каким из этих
инструментов вы бы воспользовались, чтобы
нарисовать прямую линию на бумаге?
По-видимому, вы сразу потянетесь за карандашом. И
это понятно: малярная кисть рисует широкую полосу с
неровными краями, с кляксами по сторонам, с
торчащими в разные стороны усами, то есть с теми деталями,
которые не имеют никакого отношения к прямой линии.
Не свободны от подобных недостатков и плакатное
перо, и фломастер. А у следа, оставленного на бумаге
тонко очинённым карандашом, таких «довесков» нет. По
крайней мере они не заметны невооружённым глазом*
Но посмотрите на след карандаша через
увеличительное стекло. Он ничем не лучше следа, оставленного
малярной кистью! Та же непостоянная ширина, те же
неровные края.
Карандаш нужно заменить инструментом более
совершенным. Но где же тот инструмент, который позво-.
лит свести на нет все -несущественные подробности?
Хорошенько поразмыслив, мы наверняка придем к
выводу: такого инструмента не найдешь ни в одной
готовальне.
Может быть, мы сплоховали из-за свйей
неопытности? Не посоветоваться ли нам в этом щекотливом
вопросе с признанными авторитетами? Как, например,
определял прямую линию отец геометрии Эвклид?
Раскроем вновь его «Начала»:
to

«Точка есть то, что не имеет частей. Линия же—длина
без ширины. Концы же линии — точки. Прямая линия
есть та, которая равно расположена по отношению к
точкам на «ей...»
Ну как—все ясно? Нет, пожалуй. Недоуменные
вопросы напрашиваются и после этих слов. Разве только про
прямую линию можно сказать, что она равно
расположена по отношению к своим точкам? Ведь таким же
свойством обладает и окружность. И потом — что такое
длина? Что такое ширина? Не нуждаются ли эти понятия,
в свою очередь, в строгом определении?
Подобные вопросы могут показаться кощунством:
придираться к самому Эвклиду! Что же, мы далеко не
первые, кто упрекает его в не рогости, Особрнно
участились такие придирки на рубеже XIX и XX веков; когда
математики стали задумываться: а такое ли уж стройное
здание геометрии? Начали они. естественно, с
фундамента. Вот тут-то и были замечены некоторые
погрешности, допущенные отцом геометрии. Началась
кропотливая работа по их устранению.
Как же выглядят начала геометрии в современном
изложении? Возьмем книгу немецкого математика
Давида Гильберта «Основания геометрии»:
«Мы мыслим три различные системы вещей: вещи
первой системы мы называем точками, вещи второй
системы мы называем прямыми, вещи третьей системы
мы называем плоскостями. Мы мыслим точки, прямые и
плоскости в определенных соотношениях и,обозначаем
эти соотношения различными словами, как-то: лежать,
между, конгруэнтный (то есть совмещаемый
наложением.— Лиг.), параллельный, непрерывный».
Как видно, Гильберт и не собирается определять
основные объекты геометрии — точку, прямую,
плоскость.
«Нельзя быть математиком! не будучи в то же время
и поэтом в душе», — говорил немецкий математик Карл
Вейерштрэсс.
11

Если геометрия упорно отказывается выдавать истоки
своих понятий и представлений, если нам никак не
удается определить их в строгих математических
терминах, то, может быть, нам в наших затруднениях помогут
поэтические образы.
«Звезды на небе — как искорки»*, «Луч света — как
тетива лука». «Равнина — как гладь озера».
Поэтический дар, которым человек наделен от
природы, побуждал его подмечать сходство в различном.
Многократно отмечая то или иное свойство у различных
предметов, человек осознавал это свойство и давал ему
имя.
Тетива лука и луч света прямы. В этом обобщающем
суждении уже явно выражено понятие прямой.
Напоминая о тетиве лука и о луче света, оно в то же время уже
отделено от них, существует само по себе в Нашем
сознании.
В нашем сознании... Вот почему мы так и не нашли
подходящего инструмента для проведения прямой на
бумаге. Штрих карандаша, мазок кисти — все это были
реальные образы. Они не способны точно выразить
идеальный образ прямой.
Так появлялись абстрактные геометрические понятия.
И чем настойчивее искал человек простые, но
характерные, немногие, но существенные свойства
предметов, чем смелее отбрасывал при обобщении черты
второстепенные и случайные, чем шире был круг
предметов, тем более содержательным и вместе с тем более
отчетливым становилось соответствующее абстрактное
понятие, будь то плоскость или прямая, точка или
окружность.
Так складывался набор элементарных геометрически*
образов.
Но человек — не только созерцатель и поэт.
Человек — прежде всего труженик.
В своей практической деятельности, постигая
свойства реальных предметов и их взаимосвязи, человек уста*
навливал свойства созданных им геометрических
образов и отношения между ними.
Старинная легенда рассказывает, как зародилась
наука геометрия. Было это в Древнем Египте. Огромная
река течет через всю эту местность — Нил, Разливаясь
12

с каждой весной, Нил затоплял поля и уничтожал межи,
разделявшие земельные участки. Межи приходилось
восстанавливать каждый раз заново. Из года в год, иэ
века в век совершенствовались приемы землемерия.
Если произнести это слово на древнегреческом языке,
мы узнаем в нем название науки, о которой рассуждаем:
геометрия.
Натягивая межевую веревку между двумя колышками,
древние землемеры не раз имели возможность
убедиться, что эта несложная операция всегда приводит к
одному и тому же результату. Многократно повторенный
опыт внушал вывод: через две точки можно провести
прямую, и притом только одну.
Так рождались аксиомы общие для всех, кто трудится
на земле.
И чем настойчивее вскрывал человек устойчивые и
закономерные связи между предметами реального
мира, чем глубже осмыслял их логику, чем чаще узнавал
при самцх различных обстоятельствах то или иное
соотношение, чем успешнее использовал его в своих
рассуждениях и действиях, тем надежнее подтверждала
свое звание соответствующая аксиома: через любые
две точки можно провести прямую; существуют три
точки, не лежащие на одной прямой, и так далее.
Аксиом-становилось все больше. Они складывались в
единую систему. Математики заботились о том, чтобы
такая систем а.была полной, то есть чтобы иэ нее можно
было вывести любую из известных геометрических
теорем. И еще о том, чтобы она была непротиворечивой,
то есть чтобы из нее нельзя было вывести
взаимоисключающие утверждения.
Взятые вместе, эти аксиомы описывают все свойства
основных геометрических объектов, все досггношения
между ними, используемые при выводе геометрических
теорем. Потому и не нуждаются в определении
основные геометрические понятия — точка, прямая,
плоскость. Их определения содержатся в аксиомах
геометрии.
13

Если вы знаете азбуку Морзе, то вам не составит
труда прочесть написанное здесь ее знаками слово
«математика».
Но если вы даже совсем не понимаете языка
радистов, для вас, видимо, не секрет, что из этих точек и тире
складываются буквы, из букв — слова, из слое — фразы,
из фраз — тексты, посылаемые в эфир.
Так же и в геометрии: из основных геометрических
объектов, таких, как точка и прямая, конструируются
объекты все более слогкные.
Что есть каадрат? Определение гласит: это
прямоугольник, у которого все стороны равны между собой.
Понятие квадрата, как видим, выводится из более
общего понятия прямоугольника, А что такое
прямоугольник? Это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Еще один шаг к понятию более элементарному. А
параллелограмм9 Это четырехугольник, у которого
противоположные стороны параллельны. Понятие
четырехугольника, в свою очередь, основывается на понятии
отрезка, а тот определяется как часть прямой,
заключенной между двумя лежащими на ней точками, включая
их самих.
Так по ходу своего анализа мы добрались до
первичных геометрических понятий, о которых идет речь в
аксиомах геометрии; «точка» и «прямая»*, «лежать» и
«между».
Такой способ построения математических понятий
изложил еще Аристотель. Великий древнегреческий
философ назвал его так; определение через род и видовое
отличие.
Скажем, прямоугольник относится к роду
параллелограммов, а его видовое отличие состоит в том, что все
его углы прямые. Параллелограмм относится к роду
четырехугольников, а видовое отличие заключается
здесь в параллельности противоположных сторон.
14

Когда математик вводит в свое рассуждение новый
объект и называет его видовое отличие, то он тем самым
формулирует некоторое утверждение, используемое
при выводе новых теорем.
Например, построив некоторый
параллелограмм A BCD, он получает
для дальнейших умозаключений
сразу два утверждения: *АВ
параллельно CD» и ««ВС
параллельно AD» — два новых «кирпичика*»
для математической «кладки». А с
точки зрения умелого |<аменщи-
ка, это не так уж мало!
Судите сами: начиная изучать геометрию на
плоскости и познакомившись с фигурирующими в ее аксиомах
основными понятиями — точкой и прямой, школьник
добавляет к ним совсем немного новых — угол,
треугольник, параллелограмм, окружность.♦ Но какое
богатое сооружение вырастает на этой основе на
протяжении школьного курса математики!
Блеэ Паскаль, французский математик и философ,
получил не школьное, а домашнее образование. Его
учителем был отец, Этьен Паскаль, один из
просвещеннейших людей своего времени.
Согласно учебному плану Паскаля-старшего
математику предполагалось проходить с
пятнадцати-шестнадцати лет. Но ребенок поломал псе планы всего учителя.
Услышав от отца про геометрию, узнав от него
несколько аксиом из «Начал» Эвклидэ, Блсз стал
интересоваться дальнейшим.
Отец, считай, что время для этого еще не настало, от
разговоров О геометрии уклонялся. Каково же было его
удивление, когда однажды, зайдя в детскую, он застал
двенадцати летнего сына за доказательством теоремы о
сумме углов треугольника.
Удивительно рано проявилась математическая
одаренность будущего проплавленного ученого. Однако в
этой истории не менее удивительно другое а
15

Дело в том. что свои геометрические построения Блез
проводил с помощью «палочек** и «колечек»» — так он
называл прямые и окружности. По всей вероятности, он
представлял их себе имеющими вполне ощутимую
толщину. Точками ему, вероятно, служили этакие бусинки,
шарики Определенного и постоянного радиуса.
То, что столь необычные средства не помешали
Паскалю прийти к успеху в его геометрических
доказательствах, объяснимо лишь одним: для бусинок и палочек
справедливы все те аксиомы, что и для точек без частей
и прямых без ширины, как их определял Эвклид.
Через две точки можно провести прямую, и притом
только одну, говорим мы. Две бусинки можно соединить
палочкой, и притом только одной — так, вероятно, это
утверждение представлял себе маленький Блез.
Он представлял это так потому, что так ему было
удобнее, понятнее. Он, как сказали бы ученые,
моделировал своими палочками абстрактное понятие прямой.
Точно так же моделируем его мы, проводя карандашом
на бумаге ровные тонкие линии. Так же моделировал его
древний землемер, натягивая веревку между
колышками, так же- моделирует его сегодня геодезист лучом
лазера.
Подобных моделей может быть сколько угодно. И если
в них воплощены одни и те же геометрические аксиомы,
все они подчиняются следствиям из аксиом.
Нечто похожее мы наблюдаем во всех точных науках.
Одно и то же уравнение описывает распространение
тепла, просачивание нефти через земные слои,
проникновение электромагнитного поля в плазму. Одно и то же
уравнение описывает течение жидкости, прогиб
мембраны, напряжения в брусе, подвергнутом кручению.
Само уравнение служит, как говорят, математической
моделью явления или процесса. Одна и та же модель
бывает пригодна для нескольких процессов и явлений,
совсем непохожих друг на друга внешне, но
подчиняющихся одним и тем же математическим
закономерностям. Если общее для них уравнение оказывается
слишком сложным и пока не поддается решению, можно,
следя за одним процессом, безошибочно судить о его
математичецком двойнике.
16

Не заглянешь в толщу стального бруса, не увидишь
картину напряжений внутри него. И тогда
экспериментатор натягивает гибкую мембрану на жесткий контур,
повторяющий своей формой профиль бруса. Под
равномерной нагрузкой мембрана вспучивается. Ее изгибы
точь-втточь соответствуют распределению напряжений
по сечению бруса. Почему это так? Потому что матема*
тическая задача формулируется одинаково и там и тут.
Мембрану и брус породнила математика*
В каждом таком примере выразительно проявляется
мощь математики. Она умеет разбираться в
разнообразнейших вопросах, исходя из немногих
взаимосвязанных основных понятий и утверждений.
Наблюдая различные процессы и явления, ученый
старается разглядеть самые существенные их черты,
самые глубокие их закономерности. Часто они
оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых
событий. Общей оказывается и математическая модель,
построенная на основе этих закономерностей.
. Впрочем, когда мы хвалим математику, мы должны
соблюдать осторожность.
Математические понятия — понятия отвлеченные,
абстрактные- Это лишь слепок с реального мира» лишь его
бледный силуэт. И поэтому та же приближенность
свойственна результатам любой математической теории,
какими бы строгими и логичными путями они ни были
получены: выводы не могут быть точнее предпосылок.
Выделяя абстрактные понятия в чистом виде, отсекая
второстепенные детали, математик всегда обедняет
жизнь. В математических рассуждениях, логичных и
последовательных, нет места ни шутке, ни неожиданному
сравнению. Математическая мысль не исчерпывает всех
проявлений человеческого разума
17

Прекрасная вещь — спелый арбуз..Но как убедиться в
его спелости? Одни стучат по арбузу костяшками
согнутых пальцев другие сжимают его с боков,
прислушиваясь к внутренним звукам, третьи внимательно изучают
хвостик. Однако самый надежный способ — вырезать
уголок, вынуть и посмотреть на него. Вы ведь помните,
какую форму он имеет?
ct+p+Y-2700
Конечно, арбуз появился на этой странице не как
лакомство. К вырезанному кусочку, напоминающему
пирамиду, мы хотим привлечь ваше внимание совсем не с
той стороны, которая интересна при выборе арбуза, —
не к красной вершине этой пирамиды, а к зеленому
треугольнику в ее основании.
Вероятно, вам никогда не приходило в голову
измерять его углы. А зря. Ведь если бы вы измерили их м
сложили, то пришли бы к любопытному результату;
сумма углов этого треугольника превышает 180
градусов!
Еще более любопытный результат получился бы, если
бы пробный кусочек увеличился до восьмушки арбуза*
У треугольного основания этой пирамиды каждый из
углов составляет по 90 градусов, а значит, их с\мма в
полтора раза больше нормы, которую предписывают
законы школьной геометрии.
18

Непорядок у арбузных треугольников не толька с
углами. Возьмем последний из треугольников,
рассмотренных нами, —тот, у которого все углы прямые.
Попробуем применить к нему теорему Пифагора. Она гласит,
что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов. Но наш треугольник, как
нетрудно заметить, еще и равносторонний. Гипотенуза
и оба катета у него равны друг другу. Стало быть, их
нельзя подставить в пифагорово равенство, не нарушив
его: сумма не может равняться каждому из двух
слагаемых!
Разумеется, мы несколько преувеличиваем, когда го-
верим про свое изумление. Противоречия с эвклидовой
геометрией, которые обнаружились при выборе арбуза,
понятны. Ведь поверхность, на которой нарисозаны
странные треугольники, искривлена. А 1 ВО-градусная
норма установлена для суммы углов плоских
треугольников, которые только и изучаются в школьном курсе
геометрии. Для них же выведена и теорема Пифагора.
Однако,, на дело можно взглянуть и по-иному. Можно
изучить геометрические закономерности, лежащие в
основе удивительных фактов, с которыми мы только что
столкнулись. Затем можно свести эти закономерности
в систему аксиом. Исходя из этих аксиом, можно строить
некую новую геометрию, отличную от эвклидовой.
Русский математик Николай Иванович Лобачевский,
известен как создатель первой неэвклидовой
геометрии. Не менее известен немецкий математик Бернгард
Риман. Его именем называют другую неэвклидову
геометрию, которой подчиняются прямые на сфере — будь
то поверхность арбуза или Земли. Прямыми здесь
считаются дуги больших окружностей. Так называются
окружности, центры которых совладают с центром сферы.
Это, например, экватор или мерцдианы на глобусе.
И в геометрии Лобачевского, и в геометрии Римана
многие утверждения противоречат представлениям
эвклидовой геометрии, которую излагают школьные
учебники*
Например, в геометрии Эвклида через каждую точку,
не принадлежащую некоторой данной прямой, можно
провести прямую, параллельную данной, и притом
только одну. Геометрия Римана не знает параллельных, в
t9

й любые две прямые имеют общую точку. В самом
деле; на глобусе любые два меридиана пересекаются в
пСлюсах. А вот в геометрии Лобачевского через данную
точку можно провести сколько угодно прямых,
параллельных данной прямой.
В геометрии Эвклида сумма углов всякого
треугольника равна 180 градусам, отношение длины окружности
к радиусу всегда равно двум «пи» Bя = 6,2831852.,.)- В
геометрии Лобачевского сумма углов треугольника
всегда меньше, чем 180 градусов. Отношение длины
окружности к радиусу здесь всегда больше, чем два
*пи», В геометрии Римана — все наоборот. В этом
можно убедиться с помощью все той же сферы. О сумме
углов любого треугольника на ней мы уже говорили. Ока
всегда больше 180 градусов. По поводу окружностей
можно привести не менее ошеломляющий пример.
Самая большая окружность на сферической
поверхности земного шара, экватор, только
лишь в четыре раза длиннее своего
радиуса, половины меридиана.
Однако, не надо думать, что у
Лобачевского и Римана все не так,
как у Эвклида. Например, в каждой
из трех геометрий справедливы
неравенства треугольника: сумма
любых двух сторон больше третьей,
а разность — меньше.
Для геометрии Римана мы могли
бы доказать это, проведя
соответствующие построения на сфере.
Есть наглядное пособие и для
геометрии Лобачевского. Оно
показано на рисунке рядом. Эта
диковинная поверхность, состоящая как бы
n+R+v<l 80° из двух °аНОК. сомкнутых растру-
п бами, называется псевдосферой.
20

Мы подозреваем, что у читателя уже зародился
прос: какая из геометрий самая правильная? Геометрия
Эвклида? Лобачевского? Римана? Чьи аксиомы самые
точные?
Увы, этот вопрос не имеет смысла. Спрашивать так
может лишь тот, кто считает, что аксиомы — это истины
очевидные, незыблемые, единственно мыслимые,
устанавливаемые раз и навсегда и т.п. Это неверно- Напо*
мним: аксиомы — это положения, без доказательств
принимаемые в качестве исходных при рассуждениях.
Дело здесь исключительно в том, какая система
аксиом (разумеется, непротиворечивая!), какая геометрия
более соответствует результатам опыта, более удобна
для практических нужд.
Смешон был бь тот, кто планировал бы садовый
участок или теннисный корт по геометрии Римана на том
лишь основании, что земная поверхность есть сфера. В
садово-теннисных масштабах отклонения земной
сферы от плоскости невелики — не более десятой доли
миллиметра. Здесь вполне приемлемы простые и
привычные нормы эвкли^вой планиметрии.
Нет смысла отказываться от старых испытанных
аксиом, если они согласуются с опытом в пределах
допустимых погрешностей. Но если выводы, диктуемые
какой-либо из этих аксиом, противоречат данным опыта,
от нее следует отказаться, даже если она кажется
совершенно очевидной, единственно мыслимой.
Лобачевский, усомнившись в эвклидовой аксиоме о
параллельных, доказал, что без нее сумма углов
треугольника уже неравна 180 градусам. И тогда он
обратился к результатам астрономических измерений. С
достигнутой к тому времени точностью (порядка
миллионных долей угловой секунды) выяснилось, что
треугольники, своими размерами достигающие масштабов
Солнечной системы, придерживаются 180-градусной
нормы. Результаты проверки говорили за то, что
эвклидовой геометрией можно пользоваться даже на столь
широких просторах космоса.
21

Но мысль человека преодолевает любые пределы,
устремляется к далеким галактикам. Какой геометрии
будут подчиняться результаты наших измерений в
пространствах столь колоссальных масштабов?
Наука еедет человека по шкале расстояний и к другой
крайности, в микромир. Где гарантия, что эвклидовы
аксиомы не будут противоречить измерениям
пространства столь малых масштабов?
Эти умозаключения принадлежат не нам. Мы всего
лишь повторяем предположение самого Лобачевского о
том, что отклонения от эвклидовой геометрии могут
встретиться «либо за лредел&ми видимого мира, либо в
тесной сфере молекулярных притяжений»».
Реальный мир бесконечно разнообразен. Все
расширяются наши знания о нем. Мы должны быть готовы к
неожиданностям, когда будет необходимо заменить те
или иные аксиомы традиционной эвклидовой
геометрии, вполне приемлемой в прежних узких масштабах
практической деятельности.
И мысль геометров загодя испытывает возможные
замены: какие логические следствия повлекут они? Так
создаются различные неэвклидовы геометрии.
Мыслимые неожиданности будут встречены во всеоружии.
Рассказывая про то, откуда в математике берутся
аксиомы, теоремы, определения, мы ради наглядности
обращались за примерами к геометрии* Наш рассказ
нетрудно перефразировать йа любую математическую
теорию. В ее основе — некоторый свод аксиом. Они
содержат определения основных объектов теории.
Новые объекты определяются через род и видовое
отличие. Из аксиом по правилам логического вывода
получаются теоремы. Из них складывается
математическая теория.

МНОЖЕСТВА
— Буренка! Зорька! Пеструшка! —покрикивает пастух,
выгсжяя коров из леса на опушку. Неровен час
потеряются. Особенно зта Зорька: чуть зазеваешься — ищи-
свищи! Пеструшка — та ничего: пока кнутом не
хлопнешь, с места не сдвинется. С Буренкой — своя беда:
уж больно бодлива, не подцепила бы кого на рога...
Дли пастуха каждая корова — на особицу: у каждой
свой характер, свои привычка. Это вон для дачника все
коровы на опушке — просто стадо и только.
Вот ведь что значит точка зрении! Для одного —
неповторимые индивидуальности. Для другого —
совокупность, мыслимая как единое целое.
Вообще человеческому мышлению свойственно
трактовать то или иное собрание предметов, родственных
по какому-либо признаку, как самостоятельный объект.
Первая скрипка, вторая скрипка, альт, виолончель,
контрабас, флейта, гобой, фагот, валторна, труба,
литавры. Про все, взятое вместе, мы говорим; оркестр.
Кофейник, молочник, сахарница, несколько чашек,
столько же блюдец. А все вместе — сервиз.
А, Б, В, Г, Д... Все вместе же — алфавит.
1, 2, 3,4, 5... А вместе —так называемый натуральный
ряд чисел.
Не случайно каждую из этих совокупностей мы
называем существительным в единственном числе: оркестр,
сервиз, алфавит, ряд — идея объединения
проглядывает даже в такой мелочи.
Подобное объединение необходимо, когда
приходится сравнивать какие-либо совокупности между собой.
Представьте: вы — новосел. Вы приходите в
мебельный магазин, чтобы выбрать мебель для своей новой
квартиры — и убеждаетесь, что сделать это не так-то
просто. Какому гарнитуру отдать предпочтение? То ли
этому—светлому, неполированному? Или тому, что под
карельскую березу? А может быть, вон тому — с
плюшевой обивкой в полосочку?
23

Каждый гарнитур, оставаясь набором отдельных
предметов, в вашем воображении фигурирует как
единое целое*
Так оно происходит и на выставке филателистических
коллекций, и на конкурсе эстрадных ансамблей... Всякая
процедура сравнения тех или иных совокупностей
заставляет осмысливать их как одно целое.
Так дело обстояло и тогда, когда в семидесятые годы
прошлого века немецкий математик Георг Кантор,
исследуя тригонометрические ряды и числовые
последовательности, встал перед необходимостью сравнивать
между собой бесконечные совокупности чисел.
Для решения возникших при этом проблем Кантор и
выдвинул понятие множества, суть которого вполне
передается словами «совокупность», «собрание»,
-«набор», «ансамбль» и т. д.
Это понятие, введенное в довольно узкой области
математики для довольно специальных целей, вскоре
стало с успехом применяться в других ее областях.
Посвященные ему исследования приобрели
самостоятельный интерес и выделились в особый раздел
математики — теорию множеств,
В современной математике понятие множества
считается одним из основных. Так или иначе с него
начинается изложение традиционных математических
дисциплин и построение новых математических теорий,
возникающих по мере того» как расширяется сфера
применений математики.
Универсальность этого понятия в том, что под него
можно подвести любую совокупность предметов. Здесь
годится все: марки, числа, люди, точки, заезды,
векторы, коровы, функции... Даже сами множества могут
объединяться во множества: например, математики
говорят про множество фигур на плоскости, про
множество тел в пространстве, но каждую фигуру, каждое тело
они мыслят как множество точек.
Плодотворность теоретико-множественной
концепции в том, что она породила весьма богатый и мощный
арсенал широких понятий и универсальных методов.
Оттого теория множеств и служит прочным
фундаментом математизации разнообразнейших наук:
экономики, биологии, лингвистики.,.
24

Предметы, составляющие некоторое множество,
называются его элементами. Про них говорят, что они
принадлежат этому множеству. Помните, как Пушкин в
романе «Евгений Онегин» писал о своем герое, который,,
разочаровавшись в суетной жизни света, попробовал
было писать?
., Ничего
не вышло из пера его,
и не попал он я цех задорный
Людей, о коих не сужу
Затэм, что к ним принадлежу
«Цех задорный» —это множество поэтов. Пушкин
принадлежит этому множеству, является его элементом.
Онегин — не принадлежит, то есть элементом этого
множества не является.
Что же такое множество? Что это за термин, в
котором, как в ящике фокусника, скрываются и марки, и
числа, и звезды? Как в математике определяется это
понятие?
Если честно — то никак. Здесь мы не можем
употребить столь привычный для математиков способ
определения через род и видовое отличие. Согласно такому
способу всякое новое понятие вводится как
разновидность некоторого более общего, определенного ранее
понятия (скажем, параллелограмм есть разновидность
четырехугольника, прямоугольник есть разновидность
параллелограмма и т. п.). Но для понятия «множество*
не известно ничего более общего по отношению к нему.
Его удел такой же, как у всех основополагающих понятий
математики, которые выступают в аксиомах, не
оговоренные никакими предварительными определениями.
Когда мы говорили, что слово «множество» имеет тот
же смысл, что слова «совокупность», «собрание»,
«набор», «ансамбль», мы лишь сопоставляли с ним его
25

синонимы, которые, быть может, помогали сделать
новый термин более ясным, но отнюдь не составляли
его строгого определении.
Нам кажется, что после сказанного у читателя
появилось некоторое недоумение: как же так — множество
определить нельзя, но выше мы говорили и про
множество натуральных чисел, и про множество букв русского
алфавита, и про множество фигур на плоскости.**
Неувязка?
Никак нет. Как абстрактное математическое понятие
множество действительно неопределимо. Но
определить какое-либо конкретное множество"— задача не из
трудных. Например, можно с полной определенностью
элемент i множество
множества Знак
принадлежности
говорить о множестве архитектурных памятников Санкт-
Петербурга: чтобы его задать, достаточно пройти по
улицам города и указать дома, на которых висят
чугунные доски с надписью: «Охраняется государством*.
Так и со всяким множеством. Определить его —
значит относительно любого предмета уметь ответить на
вопрос: принадлежит он данному множеству или не
принадлежит?
Поэтому и говорят* что всякое множество однозначно
и полностью определяется его элементами.
Так что пусть читатель не сетует, что термин
«множество*» остался неопределенным. В свете сказанного
основное понятие теории множеств видится не за этим
термином, а скорее за словом «принадлежать»».
Для него введен особый символ, приведенный (на
рисунке выше. Там показано, как в символической
записи обозначается, что некоторый элемент а
принадлежит некоторому множеству А.
26

Говорят, что над входом в сад «Академия», где Платон
любил беседовать со своими учениками, было
написано: «Да не войдет сюда тот, кто не знает геометрии».
Беседуя со своими читателями о математике, мы не
гонимся за академизмом и не требуем от.них особых
предварительных познаний. Тем не менее нам хочется
верить| что нашему читателю известны простейшие
геометрические фигуры — треугольник и окружность,
параллелограмм и прямоугольник, квадрат и ромб, а
возможно, и некоторые свойства этих фигур (например,
пропорциональность соответственных сторон у
подобных треугольников). Все это пригодится нам в
дальнейших разговорах.
Мы также предполагаем в читателе некоторые
начальные познания из арифметики, надеемся, в частности,
что он имеет понятие о десятичных дробях, знает о
существовании бесконечных десятичных дробей —
например, -представляет, что если попытаться выразить
дробь 3/22 в десятичной записи, деля уголком 3 на 22»
то в результате получится 0,1363636... а дальше будет
периодически повторяться без конца одна и та же группа
цифр C6).
Числа, которые выражаются конечными или
бесконечными десятичными дробями, называются вещественны*
ми (также действительными). К их множеству мы не раз
будем обращаться за примерами. Не удивительно: ведь
среди них содержатся все натуральные (то есть целые
положительные) числа, все целые числа вообще (и
положительные, и отрицательные, а также и нуль; любое
из них можно трактовать как конечную десятичную
дробь, не имеющую ни одного знака после запятой). Во
множестве вещественных чисел заключаются также все
рациональные числа, или, другими словами, дроби,
отношения целых чисел — оказывается, всякое такое
отношение можно представить конечной или бесконечной
периодической десятичной дробью (как мы только что
сделали это с отношением 3/22), Если же бесконечная
десятичная дробь непермодична, то такое вещественное
число называется иррациональным.
27

Математика знает также мнимые чис/ia, комплексные
числа, но мы в нашей книге касаться их не будем.
Русское слово «множество» способно ввести в
заблуждение: оно неявно подразумевает некоторое
изобилие. Тем более что наши примеры множеств давали
тому повод. Однако математический термин
«множество»» этого оттенка совсем не имеет.
Множество может состоять всего из двух элементов
(таково, например, множество естественных спутников
Марса — Фобос и Деймос). Может состоять из одного
(тогда его называют единичным множеством; пример —
множество естественных спутников Земли, в котором
единственный элемент — Луна). Наконец, математики
говорят про так называемое пустое множество, не
содержащее ни одного элемента. Это, например,
множество естественных спутников Венеры или, если угодно
что-нибудь повеселее, множество владельцев
действующих вечных двигателей, множество квадратных колес,
множество острых шаров, множество кривых прямых.„
Понятие пустого множества в математике не
расценивается как нечто маловажное. Для него даже
придуман специальный символ: 0.
Это может показаться мнительностью, но мы. право,
не без основания опасаемся, что некоторые типичные
примеры множеств могут подтолкнуть читателя к
неверному толкованию этого понятия.
Мы говорим, например, о множестве букв русского
алфавита (А, Б, В, Г...), о множестве натуральных чисел
A, 2, 3t 4...). Элементы того и другого принято
располагать в определенном порядке. Но никакого
определяющего значения тот или ной порядок не имеет ни для этих
двух, ни для какого угодно множества. Как ни тасуй
колоду,j3to будет одно и то же множество карт, И точно
так же алфавит можно привести в любом порядке —

например, в том, который принят для клавиатуры
пишущих машинок. А натуральный ряд можно записать,
скажем, так, как показано на этой странице (в дальнейшем
нам еще пригодится такая его запись).
Здесь стоит отметить (позже
мы поговорим об этом подроб- 1 2 6 7 15
нее), что существуют бесконеч- / / / /
-ные множества» элементы кото- 3- $ g y£
рых принципиально невозмож- j / / /
но расположить в виде какой- ^ ^ ^/
либо последовательности, как / /
числа натурального ряда. Та ко- ' У
во, например, множество всех *? /!г
вещественных чисел между Д/
нулём и единицей
(включительно).
Напоследок еще одно замечание ло поводу тех мне*
жеств, которые поддаются перечислению. Если, скажем,
перечисляя русский алфавит, мы повторим какую-то
букву два раза, множество останется тем же самым —
русским алфавитом. Чтобы в таких случаях исключить
возможные недоразумения, говорят, что ни один
элемент множества не может содержаться в нем несколько
раз.
Адам и Ева. Таково, согласно библейской легенде,
множество первых людей на Земле,
Меркурий, Венера, Земля, Mapct Юпитер, Сатурн,
Уран, НелтуНр Плутон. Это множество планет Солнечной
системы.
И то и другое множество ш + * *t
конечно, так что каждое \0.ОР,С?,^,12?О,О?
можно определить, указав
все его элементы. И если
желательно подчеркнуть, что указанные элементы
рассматриваются в совокупности как некоторое множество,
их перечисляют через запятую и ограждают эту строчку
с обеих сторон фигурными скобками.
29

J
Андрей Болконский, Пьер Безухое, Наташа Ростова,
Нмколай Ростов, Анатоль Курагин и так далее —
множество персонажей романа Толстого «Война и мир».
Один, два, три, четыре,
пять, шесть и так далее —
Уже знакомый нам нату-
ральный ряд, множество
положительных целых
чисел.
Способы задания множеств е последних двух
примерах уже другие, нежели в первых.
Что касается множества персонажей романа < Война
и мир», та его в принципе можно было бы определить и
прежним приемом — перечислением. Для этого, правда,
потребовалось бы несколько страниц нашей книги. А вот
для натуральных чисел такой прием не годится даже в
принципе, поскольку их множество бесконечно.
Как быть? В некоторых подобных случаях из
затруднительного положения удается выйти, назвав лишь
несколько элементов множества. Троеточие или оборот «и
так далее*», которыми принято обрывать такой список,
подчеркивают, что названное не исчерпывает всего
множества. Однако если из этого незавершенного пере»
чня становится понятно, как далее его продолжать,
какие предметы можно поставить в один ряд с
названными, — это значит, что есть критерий проверки,
принадлежит тот или иной предмет данному множеству или
не принадлежит. Мы уже знаем: если такой критерий
есть, то множество задано совершенно определенно.
Впрочем, на способы задания множеств можно взпт-
нуть с другой стороны, с которой становится
незаметным различие между конечными и бесконечными
совокупностями.
Присмотримся к описаниям упомянутых множеств:
«первые люди на Земле», «планеты Солнечной
системы »>, ««натуральные числа», «персонажи романа «Война и
мир».
Такого описания вполне достаточно для того, чтобы
определить каждое из этих множеств. В подобных
случаях говорят, что множество задано с помошью
характеристического (или определяющего) свойства, такого,
что им обладает каждый элемент этого множества и не
30

обладает ни один предмет, который этому множеству не
принадлежит. Принадлежность предмета данному
множеству тогда можно выразить, сказав, что он обладает
данным свойством.
Поистине незаменим этот способ, когда элементы
множества просто невозможно перечислить каким-либо
списком, лаже оборванным словами «и так далее».
Взять хотя бы уже упоминавшееся по этому поводу
множество всех вещественных чисел между нулем и
единицей (включительно). Написав эту фразу, мы,
собственно, и указали характеристическое свойство
элементов этого числового множества: каждое
принадлежащее ему число неотрицательно и в то же время •не
превосходит единицы. Можно было бы заменить
словесное описание формульным <0 < х < 1), но суть дела
осталась бы прежней.
Другой пример — окружность. Про нее говорят так:
множество точек, удаленных от центра на расстояние,
равное радиусу..И в этом выражается определяющее
свойство элементов этого точечного множества.
Делу время — потехе час.
Дел у нас с вами, читатель, еще много, а вот для
развлечений может не выкроиться ни минутку. Поэтому
отведем забавам хотя бы эту страничку.
Давайте сыграем в слова. Правила игры предельно
просты: берется какое-то слово, и из его букв
образуются новые слова.
Не будем лазить за исходным словом в карман: нам
вполне подойдет заголовок этой главы.
МНОЖЕСТВА
нож
нос
сон
стон
жена
манеж
жетон
монета
34

жеманство
А теперь, читатель, забавы в сторону — займемся
делом.
Каждое из выписанных в столбик слов будем
рассматривать как множество букв. По правилам игры буквы
каждого новообразованного слова в этом столбике
черпались из исходного слова. Иначе говоря* любой
элемент каждого нового множества букв принадлежит
исходному буквенному множеству.
Говорят, что некоторое множество включается в
другое, если каждый элемент первого множества является
также элементом другого. При этом первое множество
называется подмножеством (или частью) второго.
Согласно сказанному, множество букв слова «жетон»
является подмножеством (или частью) множества букв
слова «множества», множество букв слова «нож»»
включается во множество букв слова «жетон* и т. п.
{Н, О Ж) с {М. Н О, Ж, Е. С, Т, В, А}
/
символ включения
(Ж, Е, Т, О. Н} с (М. Н, О, Ж, Е, С, Т, В, А}
{Н, О, Ж}с{Ж, Е.Т.О, Н}
Нетрудно подобрать и математические примеры
включения множеств. Совсем недавно мы говорили, что
всякое натуральное число есть число вещественное,
принадлежит их множеству. А это vi означает, что
множество натуральных чисел включено во множество
вещественных. С другой стороны, множество натуральных
чисел включает в себя множество нечетных чисел, а оно
включает в себя множество простых (если не считать
двойку; напомним, что натуральное число называется
простым, если делится лишь на себя и на единицу,
иными словами, не разложимо на множители).
Множество прямоугольников включается во множество
параллелограммов, а оно, в свою очередь, является частью
множества четырехугольников.
То,- что одно какое-то множество является частью
другого, иногда совершенно очевидно. Такг например,
дело обстоит в случае с прямоугольниками и
параллелограммами. Определяющее свойство параллелограм-
32

ма — параллельность противоположных сторон. Всякий
прямоугольник обладает таким свойством и, стало быть,
принадлежит множеству параллелограммов.
Но иногда включение одного множества в другое
приходится доказывать. Не всякому, быть может, оче-
видно.что любое простое число (кроме двойки) нечетна,
А между тем обосновать это просто. Ведь если бы оно
было четным, то оно делилось бы на два, то есть на
число, не равное ни ему самому, ни единице, и, стало
быть, не было бы простым.
Просмотрим теперь еще раз список слов,
извлеченных нами из слова «множества». Наша самая большая
удача — это, несомненно, слово «жеманство». Будучи
образовано по всем правилам нашей игры, оно как
множество букв включается в исходное слово
«множества». Горд и мед же мы им потому, что оно также и
включает в себя исходное слово. Действительно, каждая
буква слова «множества»» принадлежит множеству букш
слова «жеманство».
{Ж, Е, Мр А. Н. С. Т. В, О} с (М, Н. О. ж, Е, С, Т, В. А}
{М, Н, О, Ж, Е, С. Т, В, А} с {Ж, Е, М, А. Н. С, Т, В. О}
(Ж, Е, М, At Ht С, Т, В, О} = {М« Н, О, Жр Е, С, Т\ В, А}
Иными словами, каждое из этих двух множеств
является подмножеством другого. Причина такой взаимное*
ти понятна: оба буквенных множества состоят из одних
и тех же элементов. Про такие множества говорят, что
они равны друг другу А выражаясь строго, два
множества называются равными, если одно включается в
другое, и наоборот, то есть если оба состоягиз одних и тех
же элементов.
Попробуем и на этот счет подобрать пример из
математики. Давайте рассмотрим два множества
геометрических фигур: множество равносторонних
треугольников и множество равноугольных треугольников. Есть
такая теорема: в треугольнике против равных сторон
лежат равные углы. Следовательно, каждый равносто-
11-480 33

ронний треугольник является равноугольным, то есть
наше первое множество фигур (равносторонние
треугольники) включается во второе (равноугольные
треугольники). Но есть и такая теорема: в треугольнике
против равных углов лежат равные стороны.
Следовательно, каждый равноугольный
треугольник—равносторонний, то есть и второе множество фигур включается
е первое. Итак, оба множества равны друг другу.
Общеизвестно: всякая селедка — рыба, но не всякая
рыба — селедка.
Ясно, что в этой поговорке речь идет о двух
множествах — множестве рыб вообще и множестве селедок в
частности.
Поскольку всякай селедка — рыба, множество
селедок включено во множество рыб.
Символ строгого включения
Но не всякая рыба — селедка. Иными словами, во
множестве рыб существует хотя бы один элемент, не
принадлежащий множеству селедок, ну, скажем» лещ
или щука* В подобных случаях говорят не просто о
включении, а о строгом включении.
Точно так же множество пешек строго включено во
множество шахматных фигур, множество простых
чисел — во множество натуральных чисел, множество
квадратов — во множество прямоугольников.
Некоторое множество, строго включенное в другое,
называется его истинным, или собственным,
подмножеством (а не просто подмножеством, как говорили мы в
случае нестрогого включения).
Итак, множество селедок есть истинное
подмножество множества рыб, множество простых чисел —
истинное подмножество натурального ряда и т. д.
34

Помните загадку-шутку: два отца и два сына, а всего
трое — как такое может быть?
По-видимому, вы знаете ответ: это мальчик, его отец
и его дед. Но даже если это известно, остается
поразмышлять вот над чем: в чем, собственно,
парадоксальность загадки?
Да в том, что речь тут идет совсем не о числах (иначе
загадка не имела бы решения: два плюс два никак не
равно трем). Суть дела относится к теории множеств.
Два множества
фигурируют здесь: множество
отцов (отец и дед
мальчика) и множество сыновей
(мальчик и его отец,
доводящийся сыном деду).
Решить загадку — значит
составить из них третье
множество, которое
насчитывало бы три элемента.
Определяющий признак
этого третьего множества
в том, что состоит оно из
всех тех и только тех
элементов, которые принад*
лежат либо первому, либо второму множеству, то есть
хотя бы одному из них — множеству отцов или
множеству сыновей.
Когда новое множество строится из исходных по
такому правилу, то оно называется объединением
исходных множеств.
Итак, множество, состоящее из мальчика, его отца и
его деда, есть объединение множества отцов и
множества сыновей.
Отец мальчика принадлежит обоим. Но в их
объединение он входит только один раз, иначе это
противоречило бы понятию «множества»: ни один элемент не
может содержаться в нем несколько раз. Так и
объясняется парадокс, которым озадачивает шутка про двух
отцов и двух сыновей.
Отцы
Сыновья

Чтобы получше рассмотреть смысл нового понятия —
объединения множеств, — возьмем бинокль.
Поглядите в левый окуляр и запомните все, что видно
в него. Потом в правый окуляр. А теперь глядите в оба —
что видите вы на этот раз? Все то, что попадает в поле
зрения либо левого, либо правого окуляра.
Применяя уже знакомый нам термин, можно сказать.
что множество точек характерной фигуры,
напоминающей поваленную на бок восьмерку, есть объединение
двух точечных множеств —* двух накладывающихся друг
на друга кругов.
Идею объединения множеств можно усмотреть во
многих математических формулировках. Новый пример
будет связан с понятием абсолютной величины
действительного числа. Как она определяется? Если число
неотрицательное, то его абсолютная величина
совпадает с ним самим. Скажем, абсолютная величина десяти
равна десяти. Абсолютная величина нуля равна нулю. А
чтобы получить абсолютную величину отрицательного
числа, надо взять его с обратным знаком. Скажем,
абсолютная величина минус семи равна семи. (Заметим
попутно, что абсолютная величина любого числа в силу
данного определения не может быть отрицательной).
Знай это, разберемся теперь,.что означает
выражение: «Множество чисел, по абсолютной величине
больших единицы». Очевидно, все элементы этого числового
множества — это либо положительные числа, большие
единицы, либо отрицательные числа, меньшие минус
единицы. Налицо объединение двух числовых множеств.
Поглядите еще раз в наш бинокль, читатель, да
повнимательней.
Замечаете ли вы, что отнюдь не все предметы,
которые видны в него, выглядят выпуклыми, объемными?
Дело в том, что объемность появляется у них лишь
тогда, когда человек глядит на них обоими глазами
Недаром физиологи называют объемное зрение
бинокулярным (так сказать, «зрением в два глаза»)

А В читается объединение
множества А и множества В

В поле зрения бинокля попробуем очертить тот
участок, где предметы смотрятся выпуклыми. Очевидно, это
будет та луночка, по которой перекрываются круговые
поля зрения левого и правого окуляра.
u^iftsHtf
А">£? читается, пересечение множества А
к множества В
Придадим нашему выводу теоретико-множественное
звучание. Мы взяли два множества (поля зрения двух
окуляров) и образовали из них третье. Определяющий
признак этого третьего множества в том, что состоит
оно из всех тех и только тех элементов (в данном случае
точек), которые принадлежат и первому и второму
множеству.
Когда новое множество строится из исходных по
такому правилу, то оно называется пересечением
исходных множеств.
После этого интересно вновь рассмотреть
поставленную в предыдущем разделе проблему отцов и детей. Мы
уже отмечали, что отец мальчика принадлежит и
множеству отцовт и множеству сыновей. Теперь мы можем
выразиться более научно: единичное множество «отец
ребенка» есть пересечение множества отцов и
множества сыновей.
О множестве вещественных чисел, больших нуля и
меньших единицы, можно сказать, что это пересечение
множества вещественных чисел, больших нуля, и мно«-
жества вещественных чисел, меньших единицы. О
множестве квадратов — что это пересечение множества
прямоугольников и множества ромбов (если читателю
38

это не кажется очевидным, пусть он попытается
доказать это строго).
Рассерженный М1лыш, адресуясь к коллегам по
песочнице, делает гневное заявление: «Отдайте мне мои
игрушки — я с вами больше не играю».
Нет сомнения: через несколько минут дети помирятся
и будут по-прежнему лепить куличики. И если мы
привлекаем внимание читателя к мимолетному конфликту,
то лишь для того, чтобы назвать вещи своими
теоретико-множественными именами.
Речь здесь идет о двух множествах: множестве всех
игрушек в песочнице и множестве игрушек, которые
принадлежат обидевшемуся малышу. Очевидно, он
вынес на улицу не все свое игрушечное хозяйство —
часть осталась дома. Говоря «мои и грушки», он
подразумевает пересечение первого множества (все игрушки
;В песочнице) и второго (его игрушки в целом).
Есть свое имя и для множества всех остальных
игрушек в песочнице. Это разность первого и второго
множеств.
А\В
А\В читается:разность множества А
и множества В
Если же говорить более общо, имея в виду два
произвольных множества, то определение их разности та-
39

ково: она состоит из всех тех и только тех элементов
первого Множества, которое не принадлежит второму.
Сейчас чрезвычайно популярны тесты — от
серьезных, научно обоснованных, с помощью которых
определяют пригодность к той или иной профессии, до
простеньких, шуточных, наполняющих развлекательные
отделы популярных журналов. Не отстанем от века и мы
Дано:
(А
с
Требуется дополнить каждую картинку непрерывной
линией так, чтобы получились изображения хорошо
известных предметов.
Отгадки, которые мы имели в виду, выгладят так: гриб,
гаечный ключ, кость домино «один — пусто**.
с
о
Если вновь обратиться к теории множеств ('для
разъяснения ее понятий м подбираем мь| иллюстрации), то
каждую линию следует
трактовать как множество точек.
Возьмем какой-нибудь из
рисунков-отгадок (скажем,
гриб) и сопоставим его с
соответствующим рисунком-
загадкой. По условию
нашего теста все, что было в
загадочном наброске, сохра-
40

нилось и в завершенном контуре предмета. Иными
словами, множества точек линии-отгадки и линии-загадки
пересекаются. Дополняющая линия, очевидно, является
их разностью, поскольку все ее точки принадлежат
первому множеству (полному контуру предмета) и ни одна
не принадлежит второму (фигуре-загадке).
Кстати, глагол «дополнить», который мы употребили
по адресу этой линии, тоже имеет вполне научный
смысл. Дело в том, что множество точек линии-загадки
не просто пересекается со множеством точек
линии-отгадки, но и целиком содержится в нем, является его
подмножеством. Во всех тех случаях, когда множество-
уменьшЗемое включает в себя множество-вычитаемое,
их разность называется дополнением второго
множества до первого.
Так заплаты на штанах Чиполлино — это дополнение
прорванных штанов до штанов, которые имеют
приличный вид.
Так множество неравнобедренных треугольников
дополняет множество равнобедренных до множества всех
треугольников вообще.
А
А чнтаатся- допапнанио мнажаства А
до универсального множества или просто"
дополнение множества А
Читатель, вероятно, уже догадался, что термин
«дополнение» самостоятельного смысла не имеет: говоря
о дополнении некоторого множества, всегда
необходимо указывать, до чего же именно оно дополняется.
Например, множество равнобедренных треугольников
41

можно дополнить не только до множества всех
треугольников, но и до множества всех многоугольников или до
множества всех фигур на плоскости.
Бывают, однако, случаи, когда уточняющих справок не
требуется* Мы говорим, например, о множестве
нечетных чисел. Очевидно, оно служит дополнением для
множества четных чисел. Но дополнением до чего? Ясно: до
множества целых положительных чисел, до
натурального ряда. И если мы говорим, что множество простых
чисел дополняется множеством составных (то есть раз-.
ложимых на множители), то и в этом случае понятно, что
речь идет о дополнении до натурального ряда.
Как видим, множество натуральных чисел здесь (да и
во всей теории чисел, кстати сказать) играет особую
роль: все упомянутые нами числовьре множества
являются его подмножествами.
Если в каком-либо рассуждении, подразумевается
подобное «всеобъемлющее» множество, его называют
универсальным (для данного рассуждения, тейрии и
гл.). И если в таких случаях говорят о дополнении
какого-то множества, не указывая, до чего же именно
оно дополняется, следует понимать, что дополняется
оно до универсального множества.
Разумеется, в каждом конкретном рассуждении
универсальное множество — свое*
Когда, например, мы говорим о какой-либо линии или
фигуре на плоскости как о множестве точек, в роли
универсального выступает множество всех точек
плоскости.
Руководитель школьного хора составляет расписание
репетиций.
«Так— Четвертые классы... Их три: А, Б, В. Из
четвертого А восемь человек. Не густо, но зато два солиста.
Четвертый Б- Ну, эти все певуны — всем классом
записались. Четвертый В* Ни одного человека! Чем они там
занимаются? Ах да, все они в кукольном театре, только
из них он и состоит».
42

Руководителю хора еще предстоит согласовывать и
уеязыеать сроки спевок и репетиций, а для наших целей
наговоренного им вполне достаточно Он описал все
возможные отношения, какие могут существовать между
двумя множествами.
На помещенном здесь
рисунке прямоугольник
символически обозначает
множество всех учеников
школы. Заштрихованный
овал в центре,
помеченный буквой X, — это
множество учеников, поющих
в хоре. Ну а теперь схема- Бгх в-к к^в в к в х о
тически изобразим здесь
же четвертые классы.
Будем отмечать соответствующие овалы теми же
буквами, которыми эти классы обозначены в школьном
расписании, — А, Б, В. Кстати и во вполне строгих
математических рассуждениях множества тоже обозначаются
прописными'буквами, правда, латинскими.
Итак, четвертый А. Восемь его учеников поют в хоре.
У множества А и X есть общие элементы, эти множества
пересекаются, что и показано на рисунке»
Четвертый Б- Это множество тоже пересекается со
множеством X. Но ситуация здесь иная, нежели с
пересечением множеств А и X. Там множество А содержала
элементы, не входящие в X (всего лишь восемь
учеников — хористы). Там можно было говорить только о
пересечении. А здесь наблюдается нечто большее:
каждый элемент множества Б есть элемент множества X,
Иными словами, множество Б включено во множество X.
Это включение строгое: ведь в хоре поют не только
ученики четвертого Б.
Четвертый В. Хористов тут нет. Множества В и X.
непересекающиеся. (Говорят еще так: их пересечение
пусто), А еще известно, что множество В и множество К
(кукольный театр) состоят из одних и тех же элементов.
Иначе говори, множества В и К равны.
Вот мы и перебрали все отношения, какие могут
существовать между двумя множествами. Два
множества могут не пересекаться (как множества В и X из нашего
43

примера), а могут и пересекаться (как А и X, Б и X. В
и К). В последнем случае возможны три варианта.
Множества могут быть равны (как В и К). Могут строго
включаться одно в другое (как Б включается в X; о
включении мохно говорить и в случае двух равных
множеств: любое из них включено в другое, но тут уж
речь идет о нестрогом включении). Наконец, два
множества могут пересекаться так, что каждое имеет
элементы, не принадлежащие другому (как А и X). Тогда
говорят, что два множества находятся в общем
положении.
Круги и овалы, которые мы начади рисовать,
экспериментируя с биноклем, сослужили нам неплохую службу.
С их помощью потом оказалось возможным
проиллюстрировать все отношения меэаду множествами и
операции над ними.
Подобные незамысловатые картинки называют
диаграммами Венна, хотя еще раньше их применял
швейцарский математик Леонард Эйлер в своих знаменитых
«Письмах к немецкой принцессе",
Мы еще раз убедимся в пользе этих диаграмм,
знакомясь с закондмерностями, которым подчиняются
операции над множествами.
Вот два примера — и совсем не рядовых: они носят
громкое название законов де Моргана (по имени
исследовавшего их шотландского математика).
Первый: дополнение объединения двух множеств
равно пересечению дополнений этих множеств.
Второй: дополнение пересечения двух множеств
равно объединению дополнений этих множеств
Звучит сложновато, как трудно произносимая
скороговорка, — в переменчивых сочетаниях повторяющихся
терминов путается язык
А теперь то же самое на диаграммах Венна. Двумя
перекрывающимися кругами обозначим на них два
пересекающихся множества. Внешность каждого круга
представит собой дополнение соответствующего мно-
44

жества до универсального, обозначенного
традиционным прямоугольником.
Верхняя картинка: внешность этой лежащей на боку
восьмерки из двух кругов можно было бы получить,
образуй пересечение внешностей того и другого круга.
Это первый закон де Моргана е наглядном
представлении.
Нижняя картинка: внешность луночки, по которой
перекрываются круги, можно представить как результат
объединения внешностей того и другого круга. Таков в
наглядном представлении второй закон де Моргана.
45

Читатель, подробно разбиравший нарисованные на
предыдущих страницах диаграммы Вен на, конечно,
обратил внимание на строчки символов, которыми
сопровождался каждый рисунок.
Большие латинские буквы повторяют в этих строчках
обозначения множеств, изображенных на картинках, а
значки, соединяющие буквы, обозначают операции над
множествами, проиллюстрированные картинками.
Эти цепочки символов навевают воспоминания о
формулах школьной алгебры, где маленькие латинские
буквы, обозначавшие вещественные числа,
соединялись знаками арифметических операций.
Такая аналогия совершенно справедлива.
Ведь что собой представляют законы алгебры?
Высказывания типа: от перемены мест слагаемых сумма не
меняется (переместительный закон); умножить сумму на
число — это все равно, что умножить на число каздое
слагаемое в отдельности и результаты сложить
(распределительный закон умножения относительно сложения).
з+Ь=Ь+а
a{b + c) = ab + ас
Здесь нет никаких оговорок относительно чисел, к
которым можно применять эти высказывания.
Следовательно, выражаемые ими равенства выполняются рсег-
да» какие конкретные числа в них ни подставишь.
(Заметим, что равенство двух алгебраических выражений,
выполняющееся при подстановке в него любых
элементов некоторого числового множества, называется
тождеством, определенным на этом множестве.)
Освоив свод таких законов, можно с успехом
заниматься тем, что называется алгебраическими
преобразованиями: упрощать громоздкие выражения,
придавать им вид, удобный для тех или иных вычислений, и
Подобный свод законов — алгебра множеств —
существует и для операций, при помощи которых из одних
множеств образуются другие,—для объединения,
пересечения, дополнения,
46

Таблица f

Коммутативность
объединения

Коммутативность
пересечения

Ассоциативность
объединения

Ассоциативность Пересе*
чения
Дистрибутив-
ность
пересечения отн.
объединения

Дистрибутивность
объединения отн.
пересечения
Свойства пус-
тог о
множества
Свойства
универсального
множества
Законы де
Моргана
АиВ=ВиА
АпВ=ВпА
Аи(ВиС)*
= (А и В) и С
Ап(ВпС) =
=-<А п 8) п С
Ап(ВиС) =
= (А п В) u (A n С)
А о (В п С) =
= (AuB)n(AuC)
Au(AnB)=A
Ап(АиВ) = А
АиА*А
АпА=»А
Аи0*А
А п0 = 0
AnU = A
AuU = U
АгГБ = ЯиВ
АТГ^^АпВ
AuS«U
Апй=10
Д = А
U = 0
0 = U
а+Ь=Ь+а
а Ь = Ь а
а(Ь с) =
= (а . Ь) с
а{Ь + с) =
= а b + а с
а + О = е
а-а=о

Коммутативность
с ложен иы*

Коммутативность
умножения

Ассоциативность сложения

Ассоциативность
умножения

Дистрибутивность
умножения отн.
сложения
Свойства нуля
* Вместо «коммутативность- иногда говорят «перемесгительныьг
закон*, или «переместительное свойство», вместо
«ассоциативность»*— «сочетательный закон», «сочетательное свойство»,
вместо «дистрибутивность- — «распределительный закон*.
«<распределительное свойство».
В чем-то оба этих свода законов, эти две алгебры
(чисел и множеств) похожи. Иными словами, все эти
47

формулы носят характер тождеств. Подобно формулам
школьной алгебры, они используются для того, чтобы
преобразовывать выражения, содержащие
символические обозначения множеств, — упрощать их, придавать
им определенный вид и т д.
Взгляните на левый рисунок на этой странице.
Такая позиция сложилась на 26-ходу в 21-й партии
титанического матча между Капабланкой и Алехиным,
состоявшегося осенью 1927 года.
8
7
6
5
4
3
2
1
X *^
i. i.
1 ill
i *
_ _ 1 1
и ■ .
abcdefgh
a4
abcdefgh
Далее последовало:
26
27. Лс1—е1
27. a4 : Ь5
29. h2 —h3
30. Ле1 — Ы
31. Kf3 —d4
32.ЛЫ—d1
Белые сдались.
Cf6 — Ь2!
Лс8 — d8
а6:Ь5
еб — е5
СО ^^ С"т
СЬ2: d4
Кс4: еЗ!
Мы надеемся, что любитель шахмат получил
некоторое удовольствие, разбирая фрагмент знаменитой
партии. Но, право, мы были бы бестактны, если бы привели
пример, понятный лишь шахматистам. Есть в нем нечто.
46

что имеет непосредственное отношение к теме нашего
разговора о теории множеств.
Присмотритесь к записи, не вникая в ее смысл. Всюду
в ней встречаются характерные пары, образованные из
строчной латинской буквы и натурального числа: f6, Ь2,
с1„.
На прописные латинские буквы обращать внимание
не будем — это сокращенные обозначения фигур. Чтобы
они не составили нам помехи, уберем фигуры с доски.
Что останется на ней тогда? Только лишь разметочные
знаки.
Внизу — горизонтальный ряд букв, от а до Л, Слева —
вертикальный столбик чисел, от 1 до 8.
Каждая буквен но-числовая пара, о которой
говорилось выше, образуется так: сначала берется элемент из
первого, буквенного множества*и за ним ставится
элемент, выбранный из второго, числового множества.
Кстати, само слово «пара» — термин теории
множеств. Так называются два элемента, расположенных в
определенном порядке (поэтому часто говорят не
«пара», а «упорядоченная пара»).
Не довольствуясь несколькими вышеприведенными
примерами, образуем всевозможные пары описанного
вида. Их множество мы назовем декартовом
произведением двух исходных множеств — буквенного и
числового (читатель, вероятно, уже заметил про себя, что
новообразованное множество насчитывает 64
элемента, ровно по числу клеток шахматной доски — ведь
каждой клетке соответствует своя пара, и, наоборот,
каждая пара кодирует свою клетку)*
Понятие, с которым мы только что познакомились,
настолько важно, что мы приведем особо его строгое
определение: декартовым (или прямым) про изведен и*
ем одного множества на другое называется множество
всевозможных пар, первые элементы которых
принадлежат одному множеству, а вторые — другому.

Теперь давайте разберем еще одну партию.
1. 2е — 4е 7е —бе
2. 2d — 4d 7d — 5d
3. 4e — 5e 7c — 5c
4. 4d : 5c KBb — 6c
Читатель, даже не очень сведущий в шахматах,
вероятно, сразу заметил: здесь что-то не так. Действительно,
мы сделали некоторую перестановку: в наших буквенно-
числовых парах Bе, 4d, 7c) на сей раз сначала идут
цифры, а потом уже буквы.. А ведь в данном выше
определении пары подчеркивалось, что порядок
элементов в ней существен. И потому мы не можем назвать
равными, скажем, две такие пары: е2 и 2е. Стало быть,
множество буквенно-числовых пар, о крторых
говорилось в предыдущем разделе (f6, е2, d, d4 и т.п.), не
равно множеству пар, появившихся в нашем рассказе
Сейчас <2е, 6fp 4d, 1с и т.п.), — ведь эти множества
состоят не из одних и тех же элементов.
Вывод? Он очевиден: произведение двух различных
множеств меняется от перемены мест сомножителей —
в противоположность произведению чисел, для
которого справедлив переместительный закон. Для множеств
такого закона нет.
Перестановка сомножителей ничего не изменит лишь
в том случае, когда перемножаемые множества равны.
Впрочем, и здесь все не так просто.
Возьмем только что применявшееся нами множество
целых чисел от 1 до 8. Умножим его на себя. В
произведении получится множество всевозможных пар вида:
A,1), A,2), A,3), B,1), B,3), C,4)...
Не кажется ли вам повторением наличие в этой
строчке пар A,2) и B,1)?
Мы сочтем свой рассказ не напрасным, если выютве-
тите: нет, эти пары не равны, хотя и образованы
одинаковыми элементами, потому что расположены эти
элементы в разном порядке.

Совокупность упорядоченных пар, на первом месте е
которых стоит элемент одного множества, а на втором—
элемент другого, мы назвали декартовым
произведением первого множества на второе.
Можно говорить не только о парах, но и, скажем, о
тройках — разумеется, тоже упорядоченных- Например,
все обеды из трех блюд — это .тройки, первый элемент
которых принадлежит множеству первых блюд,
второй — множеству вторых, третий — множеству третьих.
(Упорядоченность таких троек подчеркивается
названиями блюд: первое, второе, третье.) Такие обеды,
составленные во всевозможных сочетаниях по
естественному порядку блюд, очевидно, образуют декартово
произведение трех множеств, где первый
сомножитель— это множество первых блюд, второй и третий —
множества вторых и третьих блюд соответственно.
Три блюда, конечно, не предел для тренированного
едока. Помните те обеды, которыми турецкий султан
угощал достославного барона Мюнхаузена? Согласно
уверениям барона, о честности которого ходят легенды,
число блюд в этих обедах было умопомрачительно
большим, так что для математического описания тех
знаменитых трапез потребовалось бы понятие упорядоченной
л-ки.
(Читатель, вероятно, знает, что в математике буква я
применяется для обозначения натуральных чисел и
преимущественно в тех случаях, когда под нею можно
подразумевать произвольное натуральное число.)
Таким понятием располагает теория множеств.
Упорядоченной п-кой называется набор из л элементов, где
на первом месте стоит элемент первого множества, на
втором — второго и так далее — до л-ного.
Всевозможные такие л-ки образуют декартово произведение тех л
множеств, из которых берутся элементы для
образования упорядоченных л-ок.
Сомножители в произведениях множеств могут быть
и одинаковыми. Попробуйте-ка представить, например,
что получится, если множество букв русского алфавита
трижды умножить на себя. Очевидно, в результате по*
61

лучится множество упорядоченных троек букв, иными
словами, множество всех трехбуквенных слов русского
языка, осмысленных и не имеющих смысла: бал, лоб,
мул, дыр, бул. щыл...
Заметим, что упорядоченные л-ки из элементов
некоторого множества называют еще п-мерными векторами,
определенными на этом множестве. (Наряду с термином
«вектор» иногда в таких случаях употребляется
равнозначный ему термин «кортеж»*.)
Элементы, составляющие ту или иную л-ку,
называются ее компонентами, или координатами, и
различаются по порядку: первая компонента, вторая и так далее.

ОТОБРАЖЕНИЯ
Медпункт
Без знания языка в чужой стране трудно.
Представьте; в каком-то чужедальнем аэропорту вы
спустились с трала самолета, прошли таможенный
досмотр и решили, скажем, известить домашних о
благополучном прибытии. Надо бы спросить у кого-то, где
здесь можно телеграммку отбить, а вы по-ихнему, как
говорится, ни бум-бум. Как быть?
Вот для таких безъязыких и придуманы средства
визуальной информации: красный крест — медпункт,
ножницы и расческа — парикмахерская, чемодан — камера
хранения, конверт — о! это как раз то. что вам нужно, —
почта.
Основное достоинство этих легко узнаваемых
картинок в том, что каждая строго соответствует
определенному виду услуг.
Итак, с одной стороны,
множество разновидностей
сервиса, с другой
—множество транспарантов.
Соответствие между элементами этих
двух множеств помогает
ориентироваться в незнакомой
обстановке.
Вот еще один пример
соответствия. «Если плотву ловить
собираешься — бери мотыля,
а на язя бери кузнечика. Для
окуня выползок хорош или
ручейник; кстати, на ручейника
и плотва неплохо идет. Ну, а
для леща ничего лучше
пшенной каши не придумаешь.
Стерлядь, говоришь? Нет, она
на вде наши наживки — нуль
внимания, ее только неводом
и возьмешь. С щукой —та же история; ее либо неводом
t ■ >
L ш я tJ
г Г Ч
К
Парикмахерская
Камера
хранения
Почта
53

брать надо, либо блеснить». Так поучает опытный рыбак
начинающего, объясняя отточенное многолетним
опытом соответствие между множеством рыб и множеством
наживок, для этих рыб рекомендуемых.
В холле гостиницы за спиной портье рядами висят
ключи. Каждый из них открывает дверь того номера,
которому он соответствует.
Идет экзамен, и каждому экзаменующемуся ставится
соответствующая оценка — элемент множества
{двойка, тройка* четверка, пятерка}.
Заселяется новый дом* Опять соответствие: между
жильцами и номерами квартир.
Если в каждой из описанных ситуаций отвлечься от
конкретных деталей, то сухой остаток будет таков; есть
некоторое множество А, и каждому его элементу
ставится в соответствие определенный элемент некоторого
множества В: трафарету — услуга, гостиничному
номеру — ключ, сдающему экзамен — оценка, жильцу —
номер квартиры. Причем с каждым элементом первого
множества сопоставляется в точности один элемент
второго.
Всякое такое соответствие в теории множеств
называется отображением множества А во множество В или
функцией с областью' определения А, принимающей
значения из S.
В каждой паре из элемента множества А и
соответствующего ему в данном отображении элемента
множества В первый называется прообразом (или значением
аргумента), второй — образом (или значением
функции).
Все элементы множества В, выступающие в данном
отображении в роли образов, в совокупности
называются образом множества А в этом отображении. (Ясно, что
при этом образ множества А включен во множество В»
читатель легко докажет это.)
— Алло! Это справочная вокзала? Скажите, сколько
стоит билет до Амвросиеоки?
— Докуда? До Аросевки?
54

— До Амвросиевки!
— До Абросимовки? Вас очень плохо слышно.
Пожалуйста, по буквам.
— Анна, Михаил. Владимир, Родион, Ольга...
Итак, еще одно отображение. Множество букв
русского алфавита отображается во множество русских имен.
И прежде невнятное сообщение становится отчетливым
и понятным.
Отображения и в науке часто применяются благодаря
именно этому своему достоинству: они позволяют заме*
нить предмет исследования некоторым его образом, по
которому изучать предмет становится проще.
Возьмите схему любого прибора — хотя бы того же
телефона. Не правда ли, гораздо удобнее изучать не
реальный прибор, а его схему, где каждой детали по*
ставлен в соответствие определенный значок?
впрочем, понятие «отображение» важно не только
ЭТИМ.
Возьмите любую деталь какого-либо прибора и заду* ■
майтесь над принципом ее действия. Как, например,
работает катушка индуктивности, изображенная на
схеме телефона в виде двух почти соприкасающихся
спиралей? По закону самоиндукции: если текущий по
ней ток непостоянен, то в ней возникает
электродвижущая сила, пропорциональная скорости изменения тока.
Опять отображение! Каждому значению скорости
изменения тока ставится в соответствие значение
электродвижущей силы.
Возьмите другие законы естествознания, владение
которыми дало человеку столь уверенную власть над
55

природой. Очень многие из них носят характер
отображения, функции. Каждому значению силы, действующей
на тело* ставится в соответствие значение ускорения,
приобретаемого телом (второй закон Ньютона).
Каждому значению давления в газе при постоянной
температуре ставится в соответствие значение плотности газа
(закон Бойля — Мариотта), Каждому-значению
расстояния между двумя электрическими зарядами ставится в
соответствие значение силы взаимодействия зарядов
(закон Кулона) и так далее.
Мы надеемся, что после сказаннсЗго читателю стала
ясна важность этого понятия — отображение, функция.
Если читатель проглядит еще раз примеры, через
которые мы подводили его к понятию отображения-, то
он, конечно, заметит что-то неладное в примере с
рыбаком.
Во-первых, для некоторых рыб рекомендуется сразу
несколько наживок (окуню ставится в соответствие
выползок и ручейник, плотве — ручейник и мотыль), А
определение отображения требует, чтобы каждому
элементу множества прообразов соответствовал точно
один образ.
Во-вторых, некоторым рыбам (стерлядь, щука) не
соответствует никакая наживка. А определение
отображения требует, чтобы образ был у каждого элемента
множества прообразов.
Стало быть, сопоставление наживок с рыбами,
изложенное устами старого рыбака, — не отображение.
Призванный к бдительности примером с рыбаком
читатель, вероятно, повнимательнее приглядится к
другим примерам и остановит критический взор на
описании экзамена, трактуемого как отображение множества
экзаменующихся во множество оценок (двойка, тройка,
четверка, пятерка). В этом числовом множестве— всего
четыре элемента. И если экзаменующихся больше, то
просто невозможно, чтобы у всех были различные
оценки.
56

Допустимо ли, может спросить читатель, чтобы при
каком-то отображении нескольким прообразом
соответствовал один и тот же образ?
Да, допустимо, поскольку в определении
отображения нет никаких оговорок на этот счет.
А как смотреть на то, возможно, не оставит своих
сомнений читатель, если на экзамене никто не получит
пягерку?. Или на такой счастливый случай, когда никто
не получил двойку? Допустимо ли, чтобы при каком-то
отображении какой-то элемент множества, из которого
берутся образы, не был to поста в лен ни с одним
элементом из множества прообразов?
Да. допустимо, следует ответить и на сей раз, потому
что и на это мы не накладывали никаких запретов, когда
определяли отображение множества А во множество В.
Выделенный нами предлог в. словно подчеркивает» что
некоторые элементы множеству 6 вправе уклониться от
участия в отображении.
Если же роль образа падает на каждый элемент этого
множества, то про такой поголовный охват говорят, что
множество А отображается на множество В.
Знаете ли вы, откуда в нашей речи взялось присловье
«жив курилка^? Оно пошло от старинной народной игры.
Ее участники становятся в круг, а по нему пускается

зажженная лучинка. Каждый играющий передает ее
соседу со словами: «Жив, жив курилка!» У кого в руках
лучинка погаснет, тот должен исполнить какое-то
желание играющих.
Передача лучинки от одного участника игры к соседу
ставит в соответствие каждому элементу множества
играющих элемент, принадлежащий тому же множеству.
Про такое соответствие говорят, что оно отображает
множество в себя.
В каждом из наших прежних примеров,
иллюстрировавших понятие отображения, прообразы и образы при-»
надлежали различным множествам. Однако
определение отображения на таком различии вовсе не
настаивает. Стало быть» допустимы случаи, аналогичные игре с
лучинкой, — отображения множеств в себя.
Нетрудно придумать и чисто математический пример
подобного отображения. Пусть каждому вещественному
числу х ставится в соответствие его квадрат- х2- "И
прообразы и образы принадлежат здесь одному и тому
же множеству вещественных чисел. Оно отображается
в себя описанным соответствием.
Вот еще один математический пример такого рода, на
сей раз не алгебраического, а геометрического толка.
Каждой точке плоскости ставится в соответствие другая
точка той же плоскости, причем так, что направленные
отрезки, проводимые из какой-либо точки*прообраза в
соответствующую ей точку-образ, одинаковы по длине
и направлению. Описанным соответствием множество
всех точек плоскости отображается в себя.
Наши последние примеры — с числами, с точками
плоскости — вновь отличаются особенностью, которой
58

не было у прежних примеров. До сих пор участниками
каждого отображения были конечные множества. Но
ведь этого вовсе не требует определение отображения.
В нем вообще нет никаких ограничений на природу
множеств, которые могут участвовать в отображениях*
Стало быть, эти множества могут быть и бесконечными.
Разберем еще один пример такого сорта. Это
отображение замечательно тем, что в нем математика черпает
львиную долю средств для наглядного изображения
своих понятий.
Начертим прямую, одну из ее точек отметим числом
0. Другую, лежащую правее, — числом 1. Отрезок между
этими точками назовем единичным, а всю прямую —
числовой осью. Будем теперь последовательно откла-
* г.?
\ i I I 1 1 1 ^H ' H
^3-2-101234
дыеать на ней единичный отрезок вправо от точки 1 и
обозначать получающиеся засечки числами 2, 3, 4 и так
далее. Откладывая единичный отрезок влево от точки 0,
будем отмечать новые последовательные засечки
числами — 1, — 2, — 3 и так далее. На числовой оси можно
изображать и нецелые числа. Например, число Ъ
представится на ней серединой отрезка между точками 0 и
1, а чтобы изобразить на числовой оси, скажем, число
2,7, нужно отложить семь раз вправо от точки 2 десятую
долю единичного отрезка* Подобным образом на
числовой оси отмечается любое вещественное число, иными
словами, так строится отображение множества
вещественных чисел на множество точек числовой оси.
А теперь скрестим на плоскости две числовые оси.
Возьмем какую-нибудь пару чисел, например B,4).
Первое число пары отложим на горизонтальной оси,
второе— на вертикальной. Через полученные засечки
проведем прямые, параллельные осям. Их пересечение
обозначит некоторую точку плоскости. Так каждой паре
вещественных чисел можно поставить в соответствие
определенную точку.
Сведущий читатель, конечно, распознал в этом
построении идею декартовых координат. Рассказ о ней
нам остается лишь дополнить терминологическими по-
59

яснениями: скрещенные числовые оси называются
осями координат, обозначаются они латинскими
буквами х (горизонтальная) и у (вертикальная), точка их
пересечения называется началом координат и обозначается
буквой О (от латинского «origo» — «начало»), а пара
чисел, определяющая положение той или иной точки,
называете* координатами этой точки: первое число,
откладываемое по горизонтальной оси, — абсциссой,
второе, откладываемое по вертикальной, — ординатой.
■
i
7
b
*
4
t-I.S J.25I J
• 2
1
-Э -7 -» •
-i
7
3
i 13
f
[0^0 7
Г
51
-
13 9J
41
3 *
Ради примера на нашем рисунке в декартовой
системе координат отмечены точки плоскости,
соответствующие парам A;1)р ( — 2; Л), C; 9); @,5; 0,25), (-1,5; 2,25).
Поскольку декартова система координат на плоскости
задается пересечением лишь двух числовых осей и
положение точки в ней отмечается лишь двумя числами,
ее называют двумерной. Помещенный здесь же рисунок
трехмерной системы координат позволяет понять, как
множество всевозможных троек вещественных чисел
отображается на множество точек пространства.
Необходимая для этого дополнительная ось отмечается бук-
. вой z, а откладываемая по ней координата точки
пространства называется аппликатой.
60

Есть города, основатели которых словно отдавали
дань точным наукам. Математическая строгость с
самого начала вносилась в планы таких городов.
Вот карта одного из старейших районов Петербурга —
Васильевского острова. Его линии и проспекты,
пересекаясь под прямым углом, образуют геометрически
правильную сетку.
ш
По такому же принципу^застроен остров Манхеттен —
центральная часть Нью-Йорка, Математическая
строгость застройки подчеркнута-тем, что улицам Манхетте-
на — продольным авеню и поперечным стрит — при-
61

своены не названия, а номера, В такой сетке улиц не
запутаешься: два числа — номер стрит и номер авеню —
однозначно указывают положение каждого перекрестка,
а добравшись до него, уже нетрудно отыскать нужный
дом.
Впрочем, прямоугольная сетка стрит и авеню, если
внимательней приглядеться к карте Манхеттена, не
столь уж математически безукоризненна- По самому
краю острова, почти вплотную к берегу, проходит первая
авеню. Но капризная природа сотворила берег не иде-
ЛШПШШШ
ттгптат
ально ровным на всем его протяжении. В одном месте,
уклоняясь от направления первой авеню, он выдается
значительным мысом. Мыс застроен, причем
градостроители выдержали строгий принцип планировки: авеню
62

здесь проложены параллельно остальным. Однако
градостроители не выдержали принцип в обозначении
улиц: вместо цифр в хо'д пошли буквы — авеню А, авеню
В, авеню С и D.
А если сохранить верность номерным обозначениям?
Приближаясь к мысу и перебирая номера авеню —
третья» вторая, первая, какой номер естественно увидеть
на следующей авеню? Очевидно, нулевой. А дальше,
разумеется, должны идти минус первая, минус вторая».
Теперь переведите взгляд е район четвертой и пятой
авеню. Между ними пролегает Мэдисон-авеню — не
нумерованная, как все, а именованная. Что если и ее
переименовать на числовой
манер? Какой номер
получила бы она тогда? Четыре
с половиной, не так ли?
Если проводить такой
подход последовательно, то
любую точку карты можно
определить как перекресток
двух «улиц» — двух прямых,
идущих в направлении стрит
и авеню. Номер каждой
«улицы»» определяется тем,
какой отрезок отсекает она на нулевой стрит или на
нулевой авеню. В ходе рассуждений план города с
прямоугольной сеткой улиц превратился в
прямоугольную декартоеу систему координат.
-4
•3
-2
У
S*
-1
-2
-3
3-
1
о
>«■••
1
М
■••?
2 J.
3
х,абсцисса
X
Не сразу Москва строилась и — в отличие от
Петербурга — не по единому плану. Вначале, как гласит
легенда, князь Юрий Долгорукий «повеле соделати град
мал, древян» в месте слияния Москвы-реки и речки
Неглинной. Вокруг деревянной крепости кольцом
расположился посад. Лучами из крепости, как из центра, на
все стороны расходились торговые пути: во Владимир
и Суздаль, Новгород и Смоленск. Росло население, и
новостройки все новыми кольцами опоясывали
центральную часть города»

Так складывалась радиально-кольцевая структура
нашей древней столицы.
Конечно, прихотливое течение Москвы-реки,
пересеченный рельеф местности нарушали строгость
структуры. Лучи шли отнюдь не по линейке, кольца*— не по
циркулю. Если же употребить эти геометрические
инструменты, то схематической карте города нетрудно
придать геометрическую стройность. Для этого нужно
спрямить радиальные'улицы и превратить в четкие
окружности кольцевые.
И тогда, как на плане Петербурга или Нью-Йорка,
положение любой точки на плане Москвы будет
определяться как пересечение двух «улиц» — радиальной и
кольцевой.
Номер кольцевой улицы будет равен радиусу
соответствующей окружности, измеренному в принятых
единицах масштаба, иными словами! расстоянию точки до
центра, до начала координат.
С номерами радиальных1 улиц дело сложнее. Прежде
всего — откуда их отсчитывать? Какое-то направление
нужно принять за основу» уже привычным нам приемом
64

присвоить ему нулевой номер, и каждую радиальную
улицу определять углом, который она составляет с
кулевой.
Поправка за поправкой план Москвы с его радиально-
кольцевой структурой превращается в этакую
симпатичную координатную систему. Ее называют полярной
системой координат.
Как и в декартовой
системе здесь есть начало
координат, обозначаемое
буквой О. Из этой точки
исходит полярная ось, которую
мы в нашем предыдущем
рассказе называли улицей
номер нуль. Как в и
декартовой системе здесь у
каждой точки две координаты.
Первая из них — длийа
отрезка, проведенного в точку
из начала. Его называют
радиус-вектором, а его длину
обозначают греческой буквой р. Вторая координата —
угол, образованный этим отрезком с полярной осью. Он
считается положительным, если отсчитывается от
полярной оси к радиус-вектору против часовой стрелки, и
отрицательным, если отсчитывается по часовой
стрелке. Его называют полярным углом, а его величину
обозначают греческой буквой <р.
Примеры двумерных координатных систем мы
подыскивали, изучая планировку Петербурга. Нью-Йорка,
Москвы.
За примерами трехмерных координатных систем,
пожалуй, нужно отправиться в пространство, подняться
над землей.
Но почему подняться? В третье измерение можно
выйти и в противоположном направлении. Человек
сделал это задолго до эры авиации и космонавтики — копая
шахты, добираясь до угольных пластов и рудных жил.
3-480
65

Взгляните на чертеж, изображающий горную
выработку. ЧУобы добраться до своего рабочего места,
шахтер должен спуститься до нужного квершлага, затем
проехать до нужного штрека» а затем до нужного
участка. Номер квершлага,
номер штрека, номер
участка — вот три числа,
которые записаны в наряде
у шахтера, когда он отправ-
ляется под землю, три
числа, определяющих
пункт его назначения в
подземном пространстве.
I В строгой структуре гор-
лороды ^ ной выработки четко про-
^ сматривается образ
трехмерной декартовой
системы координат.
Отображение и функция.
В своих рассуждениях
мы употребляли эти слова
вперемежку, и читатель
мог посчитать их
синонимами.
Это не совсем так. Чтобы
показать тонкую разницу
между ними, обратимся к
нашим испытанным
примерам отображений.
Пример с гостиницей.
Каждому номеру ставится в
соответствие ключ, В роли прообразов здесь выступают
числа (номера). Всякое такое отображение называется
функцией числового аргумента.
Примеры с экзаменом и с новосельем. Здесь числа
выступают в роли образов (каждому экзаменующемуся
ставится в соответствии оценка, каждому новоселу —
I
66

номер его квартиры). Всякое такое отображение
называется числовой функцией.
А теперь представьте, что в новом доме, куда недавно
вселились жильцы, устанавливают телефоны. Номеру
каждой квартиры ставится в соответствие номер
телефона. Как назвать такое отображение? Числовая
функция числового аргумента! не правда ли?
Наш недавний пример, где каждому вещественному
числу ставился в соответствие его квадрат, — тоже
числовая функция числового аргумента.
На подобные примеры, когда и образы и прообразы—
числа, стоит обратить особое внимание. Именно в таких
случаях обычно говорят не «отображение*, а «функция»,
не «прообраз», а «значение аргумента», не «образ», а
«область определения функции» (ее составляют
вещественные числа, как правило, из некоторого
ограниченного или неограниченного промежутка). Часто в таких
случаях употребляют термин "«область значений
функции» — это тот самый образ множества прообразов, о
котором говорилось в конце раздела, где определялось
понятие отображения.
Свои особенные наименования есть у многих
отображений специального вида.
Отображая какое-либо пространство на себя, говорят
о преобразовании этого пространства. (Скажем, когда
недавно каждой точке плоскости мы ставили в
соответствие другую точку, отнесенную от первой на отрезок
определенной длины и направления, это было так
называемое преобразование параллельного переноса.)
Отображения, сопоставляющие числовые функции
числового аргумента друг с другом, именуются операторами,
функции с числами — функционалами.
Взгляните на такое выражение: 1+3 = 4, Примером
чего оно служит? Математик сказал бы, что оно
иллюстрирует операцию сложения. А про выражение
2 - 5 = 10 он сказал бы, что здесь произведена операция
умножения.
Но ведь про первый пример можно сказать и так: двум
числам, 1 и 3, поставлено в соответствие число 4,
называемое их суммой. А про второе так: двум числам,
2 и 5, поставлено в соответствие число 10, называемое
их произведением.
3' 67

И там и тут парам чисел ставятся в соответствие
числа* Стало быть, мы опять имеем дело с
отображением (или, как можно еще сказать, с числовой функцией
двух числовых переменных).
Можно вообразить наиболее общий случай такого
рода, когда упорядоченным парам, составленным из
элементов некоторых двух множеств, ставится в
соответствие элемент третьего множества. Всякое такое
отображение в математике принято именовать
бинарной, или двуместной, операцией («brnarus» по-латыни
♦двойной»), определенной на произведении первого
множества на второе (напомним, что совокупность
упорядоченных пар из элементов двух множеств
называется произведением этих множеств) со значениями из
третьего множества.
Значит, и сложение и умножение чисел — это деист*
вительно отображения, но того специфического вида,
которые именуются бинарными операциями.
Определены обе эти операции на произведении множества
вещественных чисел на себя, и значения принимают опять-
таки из множества вещественных чисел.
Можно говорить вообще об л-местных операциях,
когда л-кам элементов ставятся в соответствие
элементы еще какого-то множества. (Правда, в таких случаях
обычно говорят о функциях л переменных.)
«Обыкновенные» отображения, когда с элементами одного
множества сопоставляются элементы другого (или того же
самого), тоже иногда трактуются как операции — их
называют унарными, или одноместными («unarius» no-»
латыни «единичный»). Когда, например, положительным
числам ставятся в соответствие их квадратные корни,
говорят об операции извлечения квадратного корня.
Как все-таки многолико это понятие «отображение»!
Как широко оно применяется! Недаром во многих курсах
математики о нем говорится как об одном из основных
понятий этой науки, не менее фундаментальном, чем
понятие множества.
68

Когда мы знакомились с пересечением и
объединением множеств, с включением одного множества в
другое, на память о каждой операции над множествами или
отношении между ними нам оставалась выразительная
символическая картинка — диаграмма Вен на.
Вероятно, читателю хочется получить подобный
сувенир, который давал бы наглядное представление о
понятии отображения.
Характерная картинка, приводимая для этой цели во
многих учебных пособиях по теории множеств,
воспроизведена на этой странице. Овалы — это множества,
точки — их элементы, стрелки — соответствия. Из
каждой точки левого овала,
символизирующего
множество прообразов,
исходит одна и только одна
стрелка. В некоторые точки
правого овала (он
изображает множество, элементы
которого в данном
отображении играют роль образов) упирается несколько
стрелок, в некоторые — ни одной. Все вполне соответствует
определению отображения. Но выразительные
возможности таких картинок явно не настолько широки, чтобы
показать существенные черты того или иного
конкретного отображения.
Более богатые изобразительные средства стоят за
термином «график отображения», который встречается
в работах по теории множеств. Поинтересуемся, что он
означает. Оказывается, так именуется множество пар,
построенных из элементов двух множеств, участвующих
в отображении, причем первые элементы всех таких пар
в совокупности представляют собой все множество
прообразов* а второй элемент каждой пары является
образом первого в Данном отображении.
Скажем, если рассматривать экзамен как
отображение, то его графиком будет экзаменационная
ведомость, полный перечень пар «фамилия — оценка»
69

Опять не очень живописно. И не очень понятно:
почему это называется графиком? Это слово обычно
ассоциируется с кривой, вычерченной в координатных осях.
Дело в том, что такие кривые тоже представляют
собой графики отображений, но весьма частного вида.
Это графики числовых функций числового аргумента.
Ведь в таких отображениях каждая пара «прообраз —
образ» — это пара чисел. (Напомним, что в подобных
случаях принято говорить не «прообраз», а «значение
аргумента», не «образ», а «значение функции».)
Всякую пару чисел можно изобразить точкой на
координатной плоскости. Перебрав все значения аргумента
из области определения функции и изобразив каждую
такую пару точкой плоскости, мы и получим график
функции.
Когда, знакомясь с декартовой системой координат,
мы отметили на координатной плоскости несколько
точек (см. стр. 60), соответствующих приведенным в
тексте числовым парам, внимательный читатель
наверняка подметил характерное cbohcjbo этих пар: второй
элемент каждой из них есть квадрат первого. Иными
словами, эта россыпь точек не что иное, как фрагмент
графика отображения, которое каждому вещественному
числу ставит в соответствие его квадрат.
Изобразим на координатной плоскости все пары
такого рода. Они сольются в привычную параболу.
У
Рядом — график другого отображения, которое
каждому вещественному числу х ставит в соответствие
число х2 + х + 1, Глядя на формулу, не так-то легко
70

ответить на вопрос: какова область значений этой
функции, создаваемый ею образ множества всех
вещественных чисел? Но когда перед нами ее график, ответ почти
очевиден: это множество тех вещественных чисел,
которые больше или равны 3/4.
Как видим, графикам числовых функций числового
аргумента присуща та наглядность, которая помогает
быстро и несложно исследовать свойства этих функций.
«Занимайте места согласно купленным билетам» —
это неписанное правило коротко и ясно определяет
отображение множества зрителей на множество кресел.
Зрители — прообразы, кресла — образы.
Быть можеТр этот пример вызывает у нас неприятные
воспоминания. Вероятно, с вами случались такие
казусы, когда, придя в кинотеатр, вы обнаруживали, что
ваше место уже занято: растяпа-кассир продал на него
два билета. Вам ничего не остается, как искать
свободное кресло, билет на которое остался непроданным.
Какие же требования следует наложить на
отображение, чтобы исключить подобные вещи — и накладки, и
пропуски? Этих требований два, и они совершенно
очевидны.
Во-первых, разным прообразам должны
соответствовать разные образы {тогда не будет накладок: каждый
зритель получит свое кресло).
Во-вторых, каждый элемент множества, которому
принадлежат образы, должен иметь прообраз (тогда не
71

будет пропусков: каждое кресло получит своего
зрителя).
Всякое такое отображение называется взаимно одно*
значным соответствием.
Смысл этого термина станет совершенно понятным,
если два требования, которым должно удовлетворять
любое отображение без накладок и пропусков, мы
попытаемся сформулировать одной фразой. Тогда
определяющее свойство такого отображения выразится так:
каждый элемент множества, которому принадлежат
образы, имеет прообраз, и притом только один.
«Постойте! —вероятно, уже напрягает память
читатель. — Где-то раньше мне уже встречалась очень
похожая фраза!»
Спешим с подсказкой — давая определения понятию
отображения, мы подчеркивали: каждый элемент
множества прообразов имеет образ, и притом только один.
(Если не выполнено хотя бы одно из этих двух условий,
соответствие не получит звание отображения —
вспомните пример с рыбаком!)
Сравним теперь две фразы, обращающие на себя
внимание своим сходством:
каждый элемент множества, которому принадлежат
образы, имеет прообраз, и притом только один;
каждый элемент множества прообразов имеет образ,
и притом только один.
Эти фразы взаимозаменяемы, не правда ли? Стоит
лишь поменять местами слова «прообраз» и «образ».
Отсюда и термин «взаимно однозначное соответствие».
Такое переименование можно произвести с любой
парой «прообраз — образ». И тогда множество образов
взаимно отобразится на множество прообразов.
В нашем кинопримере для этого достаточно каждому
креслу поставить в соответствие сидящего в нем
зрителя. Это отображение называется обратным по
отношению к тому, которое каждому зрителю ставило в
соответствие его кресло.
72

Два множества, между которыми можно установить
взаимнооднозначное соответствие, называются
эквивалентными.
Множество месяцев в году, например, эквивалентного
множеству зодиакальных созвездий. Оттого-то древний
астролог, состзвлйя гороскоп для очередного клиента,
не указывал, в каком месяце тот родился,-а витиевато
писал: «Появился на свет под таким-то знаком зодиака*
Вцрргн* ВДы Овен Ълец Snmapi Ргн Лея Дева Весы Сиоргит Ст^лец Hooqxr
«Рмрагъ Март Апрвъ Р» 1*м» Vkn. Август Са^^вь С*т*рь Нэйбрь Дскэбрь
Множество цветов в спектре эквивалентно множеству
нот в гамме. (Недаром иные незатейливые проекты
цветомузыки предполагают, что на экране вспыхивают
цвета, соответствующие нотам мелодии.)
т
Если, прочтя наши примеры, вы начали подыскивать
свой собственный, а дело не клеится, не отчаивайтесь.
У вас всегда в запасе предельно простой вариант:
возьмите любое множество и с каждым его элементом
сопоставьте тот же самый элемент. Такое отображение
множества не себя называется тождественным.
Не смущайтесь незатейливостью дтого примера. У
него есть свои достоинства. Он иллюстрирует одно из
трех свойств, которыми обладает эквивалентность
множеств. Именуется это свойство рефлексивностью, и
заключается оно в том, что любое множество
эквивалентно самому себе*
А остальные свойства?
Довольно очевидно, что если мы подыскали для
некоторого множества другое, ему эквивалентное, то второе
множество будет эквивалентно первому. В этом выра-
73

жается второе свойство эквивалентности множеств,
именуемое симметричностью.
Доказать его просто. Ведь эквивалентность множеств
заключается в том, что между ними можно установить
некоторое взаимно однозначное соответствие. А оно,
как мы видели в предыдущем разделе, работает в обе
стороны, С его помощью можно отобразить первое
множество, на второе, но также можно, взяв обратное к
этому отображению, отобразить второе множество на
первое.
Еще пример, где множество месяцев в году
отображается на множество знаков зодиака. Вспомним
циферблат больших часов Казанского вокзала в Москве: знаки
зодиака сопоставлены там с
цифрами, обозначающими
часы дня. Опустив
промежуточные звенья, можно
сопоставить напрямую месяцы
и часы. В самом деле, если
январь соответствует
Водолею, а Водолей на часовом
циферблате ставится рядом
с цифрой 1, то это означает,
что январь соответствует
первому часу дня. Аналогич-
мым образом февралю
можно поставить в
соответствие второй час, марту—третий и так далее до
декабря, который окажется сопоставленным с двенадцатым
часом.
Отображение множества месяцев на множество часов
возникает при этом как результат определенной
комбинации трех отображений, первое из которых
сопоставляет месяцы со знаками зодиака, второе — знаки
зодиака с цифрами от 1 до 12, третье — цифры с часами дня.
Такая комбинация называется произведением, или
суперпозицией, отображений.
Итак, мы видим: если в цепочке множеств любые два
соседа эквивалентны друг другу, то эквивалентны и
множества, стоящие по краям цепочки. В этом
выражается третье свойство эквивалентности множеств,
именуемое транзитивностью.
74

У Марины Цветаевой в очерке «Мать и музыка* есть
такие строки:
«До явно белое, пустое, до — всего, ре — голубое
ми — желто* (может быть — mrdi?), фа — коричневое
(мйжет быть, фаевое выходное платье матери, а ре —
голубое — река?)».
Можно удивляться продемонстрированному здесь
богатству поэтической фантазии. Можно не соглашаться с
этими цветомузыкальными соответствиями
(написавшая процитированные строки и сама говорит далее, что
у каждого свои резоны на звуки и краски). Но бесспорно
одно: есть нечто общее между семью нотами гаммы и
семью цветами радуги. Это «нечто» роднит оба
названных множества и с семью днями недели, и с семью
струнами гитары, и с семью чудесами света, и с семью
холмами, на которых стоит Рим, и с семью гномами из
сказки о Белоснежке.,.
Это нечто общее выражается словом «семь». Все
перечисленные множества попарно эквивалентны, и в
каждом из них — по семь элементов.
Обратите внимание: именно так в математике и
возникает понятие натурального числа.
Натуральное число — это об^цее свойство попарно
эквивалентных конечных множеств.
Так, число пять — это выражение той общности,
которая связывает попарно эквивалентные множества Пяти
олимпийских колец, пяти материков, пяти лучей морской
звезды, пяти пальцев на руке.
У читателя, прочитавшего предыдущий отрывок,
могло.создаться впечатление: чтобы установить
эквивалентность двух множеств, сначала надо пересчитать
одно, потом другое и затем, сравнив их численности,
убедиться, одинаково ли количество элементов в них.
Но ведь, говоря так, мы оказываемся в порочном
кругу. В самом деле§ понятие натурального числа мы
75

строили на основе понятия эквивалентности множеств,
а теперь пытаемся устанавливать эту эквивалентность,
основываясь на понятии натурального числа.
Порочного круга избежать можно. Эквивалентность
множеств можно устанавливать без всякого пересчета,
В партии перчаток, поступивших в магазин,
множество левых перчаток эквивалентно множеству правых —
утверждать это можно, не заглядывая в накладную.
«На каждый прилив — по отливу»», — сказал поэт,
провозгласив тем самым, что множество приливов
эквивалентно множеству отливов, хотя их никто не считал и
вообще не может пересчитать: приливные волны набе- •
гали на берега материков, когда на них и не пахло
жизнью. И будут набегать еще века и века.*.
Этот образ навевает мысль о бесконечности. В нашем
рассказе об эквивалентности множеств она не
представляется чужеродной. Примеры с перчатками и
приливами явно подсказывают, что можно установить
эквивалентность не только конечных, но и бесконечных
множеств.
Но стоп! Бесконечность — вещь непростая, и-прежде
чем рассуждать об эквивалентности бесконечных
множеств, разберем несколько наводящих примеров.
«Мест нет».
Туристам и командированным, вероятно, хорошо
знакомо это традиционное «приветствие»\ которым их
встречала не одна гостиница.
А вот немецкий математик Давид Гильберт
спроектировал такую гостиницу, в которой не возникает никаких
проблем с размещением гостей.
Администратор такой гостиницы спокоен даже тогда,
когда все номера заполнены. Даже в такой ситуации он
никогда не откажет вновь прибывшему.
— Вы желаете одноместный номер? Милости просим.
Только придется немного подождать. Сейчас мы
переселим жильца из первого номера во второй, жильца из
второго — в третий, жильца из третьего — в четвертый
76

и так далее. И пожалуйста — номер первый к вашим
услугам.
Разумеется, то, что проделал администратор
гостиницы Гильберта, невыполнимо ни в одной реальной
гостинице. Будь в ней даже миллион номеров, жилец
последнего номера в результате вышеописанного переселения
окажется выселенным. Такого не случится лишь в
гостинице, где за каждым номером, к какому ни подойди,
есть дверь следующего.
Очевидно, количество номеров в этой гостинице
бесконечно. Мы произносим это слово уже вполне
сознательно и без всякой опаски, ибо рассказ о гостинице
Гильберта позволяет строго определить понятие
бесконечного множества.
Но превде чем формулировать это определение,
поговорим еще о достоинствах замечательной гостиницы
Оказывается, она способа принять даже такую
туристскую группу, число участников которой бесконечно. Что
в таком случае делает администратор? Например,
переселяет жильцов из лервогр номера во второй, из
второго — в четвертый, из третьего — в шестой... Короче
говоря, у каждого жильца в ордере на поселение
прежний номер заменяется номером вдвое большим. Таким
образом, заселяются лишь четные номера, а первый»
третий, пятый и все остальные нечетные оказываются
свободными. В них и поселяют одного за другим
туристов из бесконечно большой группы.
Обратимся к схемам переселения, которое провел
администратор гостиницы Гильберта в первый и во
второй раз. Первая строка каждой таблицы показывает
размещение жильцов до переселения, вторая — после
Жирные щ/|фры обозначают занятые номера, светлые —
свободные. Стрелки указывают порядок переселения
Одновременно они позволяют установить взаимно
однозначное соответствие между множествами номе*
ров, занятых до и после переселения.
77

Но ведь до переселения (и первого, и второго) были
заняты все номера гостиницы, все их множество, а
после —лишь часть этого множества, лишь его истинное
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ID
11
12
13
14
\
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ID
11
а
13
14
1
2
3
4
5
в
7
8
9
10
11
12
13
14
подмножество (то есть включенное во множество, но не
равное ему, вспомните поговорку: «Всякая селедка
рыба, но не всякая рыба — селедка»).
Итак, оба раза мы установили взаимно однозначное
соответствие между всем множеством и его истинным
подмножеством.
Часть множества эквивалентна целому. Ну не
диковинка ли?
Для конечных множеств — диковинка. Для
бесконечных—естественное явление, фундаментальное
свойство, которое можно принять за их определение.
Бесконечным называется множество, из которого
можно выделить эквивалентное ему истинное
подмножество.
Диковинный мир, в котором Гильберт построил свою
гостиницу, — это, конечно, математическая фантазия.
Сейчас мы продемонстрируем еще одно явление того
же рода, вполне реальное» но еще более удивительное
78

Займемся геометрическими построениями. Начертим
на листе бумаги отрезок, а над ним параллельно ему
проведем другой, вдвое меньший по длине. Серией
параллельных прямых соединим точки малого отрезка с
точками одной из половинок большого. Так между
множествами точек малого отрезка и половины большого
устанавливается взаимно однозначное соответствие
Иными словами, два эти множества эквивалентны.
А теперь возьмем те же самые отрезки, но построения
сделаем несколько иначе. Лучи, проведенные ив этот
раз, устанавливают взаимно однозначное соответствие
меэеду точками малого и большого отрезков. Стало быть,
оба множества точек эквивалентны.
Сопоставим два полученных нами вывода. Множество
точек половины большого отрезка эквивалентно
множеству точек малого, а оно, в свою очередь, эквивалентно
множеству точек всего большого отрезка. Но ведь по
свойству транзитивности, которым обладает
эквивалентность множеств (это свойство было объяснено
тремя разделами прежде), сказанное означает, что
множество точек половины большого отрезка эквивалентно
множеству точек всего отрезка в целом.
Разумеется, так оно получилось потому, что
множество точек нашего (да и любого) отрезка бесконечно.
Этим примером мы еще раз продемонстрировали
теоретико-множественную истину: из бесконечного
множества можно выделить эквивалентное ему
истинное подмножество.
79

Если читателю понравился фокус с отрезками, то мы
готовы предложить ему нечто еще более диковинное.
В чем заключается новый трюк, поясняет рисунок.
Ну не поразительно ли — множество точек отрезка
эквивалентно множеству точек полупрямой! Грубо
говоря, в отрезке столько же трчек, сколько их в луче.
Числовая разметка рисунка показывает, что оба эти
точечные множества эквивалентны множеству всех
вещественных чисел между нулем и единицей
включительно.
У последнего множества есть особое название,
которое стоит запомнить на дальнейшее: континуум. Всякое
эквивалентное ему множество называется
континуальным (а иногда и точно так же — континуум).
Тот же рисунок показывает, что множество всех
положительных вещественных чисел континуально.
Небольшим усложнением схемы нетрудно обосновать, что
таково же и множество всех вещественных чисел вообще
-2 -f Q t 2 .
Можно доказать, что континуальным является и
множество всех точек квадрата, и множество всех окружностей
на плоскости...
Кстати, свое название есть и у множеств, подобных
множеству номеров в гостинице Гильберта.
Отличительное их свойство о том, что их элементы можно
пронумеровать, поставить во взаимно однозначное соответст-
80

вне с числами натурального ряда. Всякое такое
множество называется счетным.
Нетрудно показать, что счетным является, например,
множество всех дробей. Для этого их достаточно
расположить в таблицу так, чтобы числитель каждой дроби
совпадал с номером ряда, в котором она находится, а
11111
знаменатель — с номером столбца, А потом остается
пронумеровать все дроби по схеме, приведенной на
стр. 29.
Континуум (множество всех вещественных чисел
между нулем и единицей включительно) и натуральный
ряд (множество всех положительных целых чисел) в
подобных сопоставлениях играют роль эталонов.
У дотошного читателя может возникнуть вопрос, а как
эти два эталона соотносятся между собой?
Оказывается, хотя оба множества и бесконечны, но
бесконечности эти разные. Множества эти
неэквивалентны.
На числовой оси нетрудно показать, как из множества
положительных вещественных чисел, не превосходящих
единицы, можно выдел*ггь подмножество,
эквивалентное натуральному ряду; пусть единице соответствует
единица, двойке — одна вторая, тройке —однатретья и
так далее.
61

Но перенумеровать все точки единичного отрезка
невозможно.
1111 1
Соотношение между этими бесконечными
множествами — натуральным рядом и континуумом — примерно
такое же, как между двумя конечными множествами,
например с пятью и десятью элементами. Из десятка
всегда можно выделить пяток, из пятка десяток —
никогда.
Когда некоторому конечному множеству можно
поставить во взаимно однозначное соответствие часть
другого конечного множества (или, выражаясь строго,
истинное подмножество другого конечного множества),
говорят, что численность первого множества меньше
численности второго. Скажем, если в первом пять, а во
втором десять элементов, то на языке чисел сказанное
выразится так: 5<10 (пять меньше десяти).
Когда же два конечных множества эквивалентны, то
есть мезду ними можно установить взаимно
однозначное соответствие, говорит, что они равночисленны.
Скажем, если в каждом по пять элементов, то факт их
равночисленности выражается равенством: 5 = 5 (пять
равно пяти).
В мире бесконечных множеств при подобных
сравнениях применяется иная терминология. Здесь не говорят
численность, а говорят мощность.
Если два бесконечных множества эквивалентны, то
есть между их элементами можно установить взаимно
однозначное соответствие, то их называют равномощ-
ными, или имеющими одинаковую мощность. Если же
одно бесконечное множество эквивалентно истинному
подмножеству другого, а в обратную сторону такой
эквивалентности установить уже нельзя, говорят, что
мощность первого множества меньше мощности второго.
Таким образом «понятие мощности бесконечного
множества представляет собой обобщение понятия
численности, применимого лишь к конечным множествам.
82

Используя новое понятие, мы можем теперь придать
строгую форму сказанному прежде о натуральных
числах и вещественных числах между нулем и единицей:
мощность счетного множества меньше мощности
континуального.

ОТНОШЕНИЯ
Брат моей жены — кто он мне? Деверь? Шурин? А кто
такая золовка? А свояченица?
Непросто разобраться в тонкостях родственных
отношений. Хорошо бы подвергнуть их математическому
анализу, но таких исследований, насколько нам
известно, еще никто не предпринимал. Поэтому мы изложим
здесь самые простые соображения на этот счет.
Большую семью, представленную замысловатой
схемой, будем рассматривать как некоторое множество.
Исследуем для начала какое-то одно отношение,
способное связать лишь два элемента нашего множества
(такое отношение называется бинарным). Например,
такое: «х есть брат у».
Прослеживая горизонтальные линии схемы, отберем
все те пары представителей исследуемой нами семьи,
для которых употребимо слово «брат». Например, Иван
Петрович есть брат Петра Петровича, Владимир
Васильевич — брат Зинаиды Васильевны, Миша — брат
Маши.
Очевидно, подобные высказывания могут утратить
смысл от перестановки имен. Миша — брат "Маши, но
неверно, что Маша— брат Миши.
Итак, речь идет о парах упорядоченных.
Разговор о таких парах у нас заходит уже не в первый
раз. Множество всевозможных упорядоченных пар,
составленных из элементов некоторого множества, мы
привыкли называть произведением этого множества на
себя. В данном случае на себя умножается множество
родственников.
Отбирая среди всех возможных пар лишь те, для
которых употребимо слово «брат»*, мы тем самым
выделили из произведения множества родственников на
себя некоторое его подмножество. Перечень
отобранных пар составил исчерпывающий рассказ об
отношении «х есть брат у» среди членов исследуемой нами
семьи.
84

Оказывается, таким образом можно полностью
охарактеризовать любое бинарное отношение,
определенное на любом множестве: надо лишь перечислить все
такие пары элементов множества, в каждой из которых
первый элемент находится в данном отношении ко
второму. Поэтому и говорят: всякое бинарное отношение,
определенное на том или ином множестве, есть
некоторое подмножество произведения этого множества на
себя.
Среди всевозможных отношений, которыми можно
связать элементы того или иного множества, могут быть
и такие, которые охватывают не два, а больше
элементов. Скажем, три — их называют тернарными. Это,
например, отношение между родителями и ребенком. В
большой семье, представленной нашей схемой, это
отношение связывает Ивана Петровича» Ольгу
Николаевну и Машу, Мишу, Люсю и Андрейку. Чтобы описать
отношение между свояками, мы уже должны упоминать
сразу по четыре элемента множества родственников
(сами свояки и их жены, доводящиеся друг другу
сестрами).
Ясно! что бинарные отношения проще тернарных и
прочих. Ими и занимаются больше. Их, как правило, и
имеют в виду, используя термин «отношение». Для
некоторых наиболее употребительных а математике
бинарных отношений введены специальные обозначения:
*< у (х меньшеу),х = у (хравно у),х£у(хменьше или
равно у), х^у (х эквивалентно у) и т.д.
Любой, даже малосведущий в медицине читатель
знает: кровь каждого человека относится к одной из
четырех групп.
Это существенно осложняет переливание крови от
одного человека другому: надо быть уверенным, что
кровь первого подойдет второму.
Отношения совместимости между группами крови
непросты. Кровь первой группы можно переливать
любому. Люди с кровью второй группы могут быть донорами
лишь для обладателей такой же крови и для людей с
86

кровью четвертой группы. То же можно сказать и про
кровь третьей группы: она совместима лишь с собой и
с кровью четвертой группы. Наконец, обладатели крови
четвертой группы могут давать свою кровь лишь таким
же, как они.
Перед нами — еще один пример бинарного
отношения. Оно определено на множестве, элементы
которого — группы крови.
Если сказанное словами перевести на язык чисел, то
получится, что число 1 находится в описанном
отношении к числам 1, 2, 3, 4; число 2 — к числам 2 и А; число
3—к числам 3 и 4; число 4—лишь к самому себе. Можно
выразиться еще короче: описанное отношение
полностью характеризуется числовыми парами A,1), A,2),
A,3), A.4), B,2), B,4), C,3), C,4), D,4).
Но, пожалуй, наиболее лаконичное выражение
сказанному выше дает приведенная рядом картинка, где в
числовой сетке жирными точками отмечены все только
4
3
2
1
1 Г
1
1
9
12 3 4
что перечисленные пары чисел. (Первое число каждой
пары откладывается по нижнему горизонтальному
обрезу сетки, второе — по левому вертикальному).
Кстати, перечень всех пар элементов множества, на-'
ходящихся мезду собой в некотором отношении,
называется графиком этого отношения. Мы намеренно
приберегли этот термин до разговора об отношениях между
числами, поскольку именно в этом случае графики
отношений выражаются сообразными этому слову
наглядными картинками.
87

В той сетке, на которой мы изобразили отношение
совместимости между группами крови, нетрудно
разглядеть фрагмент двумерной системы координат.
Возьмем ее целиком. Пары чисел, находящихся в каком-либо
отношении, будем изображать точками плоскости.
Первое число пары будем откладывать по оси х (обозначая
той же буквой), второе — по оси у (обозначая
соответственно).
Для примера рассмотрим на множестве
вещественных чисел бинарное отношение «х равно у». Его
график — прямая линия, биссектриса угла между
координатными осями.
Теперь рассмотрим на множестве всех вещественных
чисел бинарное отношение «х меньше у». Графиком для
него служит часть координатной плоскости, лежащая
кверху от только что построенной биссектрисы.
Собственно говоря, на координатной плоскости таким
способом можно изобразить любое бинарное
отношение между числами. Возникший при этом график будет
представлять собой некоторую фигуру, бблее или менее
замысловатую. И наоборот, всякую фигуру на
координатной плоскости можно трактовать как график
некоторого бинарного отношения между числами. Если точка
плоскости принадлежит этой фигуре, то первый элемент
пары чисел, выражающей координаты точки, находится
в данном отношении ко второму элементу.
Так перекидывается своеобразный мост между
алгеброй и геометрией: числовые отношения становятся
геометрическими фигурами, фигуры же можно описывать
на языке чисел. Желающих поупражняться в этом мы
88

отсылаем к рисункам, где графиками числовых
отношений выступают круг и квадрат,
У к У
Х+у£1
Сходство между словосочетаниями «график
отношения» и «график функции»» довольно глубокое, как
выяснилось в предыдущем разделе. Но есть между ними и
различия.
Иллюстрируя понятие функции, обычно рисуют
кривую в координатных осях. Причем такую, что любая
пересекающая ее вертикаль имеет с ней лишь одну
общую точку*
Графиком отношения между числами может быть
любая фигура на плоскости.
Различие понять нетрудно. Вспомним определение
функции: каждому значению аргумента ставится в
соответствие только одно ее
значение. Поэтому среди пар
«значение аргумента —
значение функции» (полный
набор которых и есть график
функции) нет таких, у которых
одинаковы первые элементы
и различны вторые.
Для графиков отношений
таких ограничений нет.
Потому и говорят: функция
есть частный случай
бинарного отношения.
89

Вспоминая понятия отображения, операции и т.п.,
родственные понятию функции, можно сказать, что и
они включаются как частности в понятие отношении.
Взять хотя бы операцию сложения. На уроках
арифметики нам давали такое ее определение: сложить два
числа х и у означает поставить им в соответствие третье
число z, называемое их суммой.
Исходя из этого определения, бинарную операцию
сложения нетрудно представить как тернарное
отношение: «х, будучи сложено с у, дает в сумме z»%
Среди математических символов, кажется, нет более
понятного и бесхитростного, чем знак равенства.
Однако эта простота обманчива, У бинарного отношения
равенства есть свои свойства, и о них стоит поговорить.
С отношением равенства мы чаще всего сталкиваемся
в мире чисел. Возьмем число 6. Вряд ли кому придет в
голову отрицать, что 6 = 6. Да и вообще каждое число
равно самому себе. Какой бы банальностью ни казалось
это свойство равенства, мы все-таки отметим его
специальным термином: рефлексивность.
Другие свойства равенства нам будет легче
объяснить, напомнив, что одно и то же число можно
представить по разному. Например, 6 — это и 3 + 3, и 4 + 2, и
5+1, Так вот, если 3 + 3 = 4+2, то 4 + 2 = 3 + 3.
Подобную перестановку допускает равенство любых
двух чисел. Называется это свойство равенства
симметричностью.
Если 3 + 3-4 + 2, а4 + 2 = 5 + 1, то, очевидно, 3 +
+ 3 = 5 + 1. И какую бы тройку чисел ни взять, если
крайние порознь равны среднему, то они равны и между
собой. В этом выражается еще одно свойство
равенства — транзитивность.
Итак, рефлексивность, симметричность,
транзитивность. Три эти свойства составляют самую суть
равенства. Но, оказывается, они присущи не одному ему.
Вспомним: эти же три сакраментальных слова мы
произносили, говоря про эквивалентность множеств.
Бинарное отношение эквивалентности методу мнажест-
90

вами -г- ближайший родственник отношения равенства
между числами. (У этого родства глубокие корни: ведь
понятие натурального числа основано как раз на
эквивалентности множеств.)
Возьмем отношение
подобия фигур на плоскости.
Очевидно, каждая фигура
подобна самой себе. Если
одна фигура подобна
другой , то вторая подобна
первой. Если же одна фигура
подобна второй, а вторая —
Третьей, то первая и третья также связаны отношением
подобия. Этими очевидными утверждениями мы
выразили тот факт, что отношение подобия фигур отличается
свойствами рефлексивности, симметричности,
транзитивности.
Но отвлечемся от сугубо математических объектов —
чисел, фигур. Закроем книгу по математике и раскроем,
например, книгу телефонную.
Сколько здесь фамилий — множество! В прямом и
математическом смысле слова. Есть здесь и уникальные
экземпляры: Амемошкин, Балухатый, Винтайкин, Голо-
хвостиков... А есть и такие фамилии, которые
встречаются часто: Кузнецов, Петров, Смирнов.
ртношение «быть однофамильцем* мы и рассмотрим
на множестве! перечень которого дан в телефонном
справочнике.
Нетрудно проверить, что и это отношение подчинено
триумвирату все тех же трех свойств: рефлексивности,
симметричности, транзитивности.
Количество примеров можно было бы приумножить —
в этом нам помогла бы и живая жизнь, и абстрактная
математика: отношение «быть на одному курсе* среди
студентов вуза, отношение «иметь одинаковый остаток
при делении на три» (или любое другое целое число)
среди натуральных чисел, отношение параллельности
среди прямых линий на плоскости...
Несмотря на глубокое несходство этих бинарных
отношений, каждому из них присущи все те,же три
свойства: рефлексивность, симметричность,
транзитивность.
91

Всякое обладающее этими трема свойствами
бинарное отношение принято называть отношением
эквивалентности.
Говоря о важности этих отношений, достаточно
сказать: на том или ином из них основана любая
классификация, любая систематика, любой каталог.
В театре — паника. До начала спектакля — два часа, а
исполнитель главной партии, любимец публики тенор
Самоцветов, откушавши чего-то прохладительного,
внезапно потерял голос. Надо заменить его, но кем?!
Проблема, неожиданно вставшая перед
администрацией театра, поддается математическому толкованию*
Относится она к теории множеств. Ведь вся оперная
труппа — это множество людей. Возможность замены
одного исполнителя другим — это отношение между
элементами рассматриваемого множества, причем
бинарное. Любитель математической четкости без труда
придаст ему строгую форму: «х может заменить у*
Свойства этого отношения легко выяснить,
прислушавшись к разговору в дирекции театра, где лихорадочно
подыскивается выход из создавшегося
катастрофического положения.
«Отоларинголога вызывали? Нет? Так вызывайте
немедленно! Чем черт не шутит: укол, массаж — и
Самоцветов, возможно, заменит сам себя. (В этой шутке есть
доля истины: отношение заменяемости рефлексивно,)
Потом надо срочно выяснить,кого в последнее время
заменял Самоцветов. Аркадина? Прекрасно! Значит,
Аркадии сможет заменить Самоцветова! (Заметим по
поводу только что сказанного: отношение заменяемости
симметрично.) Что?! Аркадии в гастрольной поездке?
Тогда скорее наведите справки, кто когда-нибудь
заменял Аркадина. Не Петров ли?..» (Логика подавшего эту
мысль ясна: если Самоцветова может заменить Арка-
дин, а Аркадина — Петров, то Петров может заменить и
Самоцветова. Иными словами, отношение
заменяемости транзитивно.)
92

Итак, рефлексивность, симметричность,
транзитивность. Бинарное отношение заменяемости певцов
представляет собой отношение эквивалентности.
Следя за дальнейшим разговором в дирекции, мы бы
познакомились со всеми тенорами труппы. В других
случаях, если бы речь шла о замене баса или сопрано,
перед нами предстали бы все обладатели этих голосов.
Так через отношение заменяемости мы пришли к
существующему в любой оперной труппе разбиению
певцов по диапазонам голосов.
Случаен ли такой подход? Нет, глубоко закономерен.
Оказывается, всякое отношение эквивалентности,
определенное на любом множестве, задает некоторое
разбиение этого множества на подмножества. Причем эти
подмножества попарно не пересекаются. Иными
словами, ни один элемент множества не принадлежит сразу
двум подмножествам. В то же время каждый элемент
принадлежит хотя бы одному подмножеству. Эти два
положения и составляют суть термина «разбиение»,
просторечивыми синонимами которого служат слова
«классификация», «каталог» и т.д.
Появившееся в нашем рассказе понятие разбиения
нетрудно пояснить новыми примерами.
Отношение «иметь одинаковый остаток при делении
на три» разбивает все множество натуральных чисел на
три подмножества: 3,6,9, 12. ..{они делятся на три без
остатка); 1, 4, 7, 10... (при делении на три они дают в
остатке единицу); 2, 5, 8, 11... (эти при делении на три
дают в остатке двойку). Отношение параллельности раэ-
биваеУ все множество прямых на плоскости на
бесконечное число подмножеств, каждому из которых
принадлежит совокупность всех попарно параллельных
прямых.
Для подмножеств, на которые некоторое множество
разбивается тем или иным отношением
эквивалентности, есть особое название: классы эквивалентности.
Звучит оно, быть может, мудрено, но для его пояснения
нетрудно подыскать и более наглядные слова.
93

Что такое, например, та или иная форма
геометрических фигур? Один из классов эквивалентности, на
которые множество фигур на плоскости разбивается
отношением подобия, не правда ли? Другой пример: направ-
ление. Это. если
разобраться,— один из классов
эквивалентности, на
которые множество прямых на
плоскости разбивается
отношением параллельное
ти.
В этом рассуждении
перед нами предстает еще
одно практическое
достоинство отношений
эквивалентности. Рассматривая
различные классы, на
которые какое-то множество
разбито отношением эквивалентности, можно задаться
вопросом: а чем же именно эквивалентны друг другу
предметы одного класса? Путь обобщения, начатый с
такого вопроса, в итоге приводит к абстрактному
понятию свойства, общего для всех предметов класса. В
подобных случаях говорят, что понятию дано
определение через абстракцию. Именно таким образом
возникают понятия направления, формы и т.д.
Эквивалентность — весьма обобщенная форма
равенства. Когда говорят об эквивалентности предметов,
подразумевают их сходство лишь в каком-то одном
отношении (именно в том, которое дало повод
«доставлять предметы между собой). А поскольку сопоставле*
ние предметов некоторого множества можно провести
по различным признакам, то различным получится в
результате и разбиение множества на классы
эквивалентности.
Ярый болельщик «Спартака» делит все человечество
на приверженцев своей любимой команды и на тех, кто
не разделяет его симпатий.
94

Регулировщик уличного движения подразделяет всех
людей на тех, кто соблюдает, и на тех, кто нарушает.
И разумеется, каждое из этих разбиений
человечества не совпадает с другими, поскольку предметы,
сведенные в классы эквивалентности по какому-то одному
признаку, отнюдь не должны совпадать всеми другими
свойствами. (Полное совпадение всех свойств — это'
весьма частное отношение эквивалентности. Оно
называется тождеством и задает предельно мелкое
разбиение всякого множества: каждый класс эквивалентности
при этом состоит из одного-единственного элемента.)
Однако, коль скоро предметы какого-то множества в
каком-то отношении объединены в один класс
эквивалентности, с точки зрения этого отношения они
неразличимы, и каждый из них может быть заменен другим
там, где речь идет об этом отношении, выступая
полноправным представителем своего класса
эквивалентности.
Когда в вычислениях нам встречаются дроби вида %
или 4/12 мы, не задумываясь, сокращаем их — заменяем
% на l^ *i2 на И и т.п. На каком же основании мы делаем
это? На том, что результат любого арифметического
вычисления не изменится, если всякую входящую в него
дробь заменить пропорциональной (умножив или
разделив ее числитель и знаменатель на одно и то же
число). Нетрудно показать, что отношение
пропорциональности среди дробей — это отношение
эквивалентности. А поскольку, как только что говорилось, такая
эквивалентность равнозначна заменяемости в
арифметических вычислениях» то это и позволяет упрощать их,
&еря вместо любой сократимой дроби наиболее
простого и удобного представителя того класса дробей, к
которому она принадлежит: вместо %, %9 V10 брать 1ь,
вместо 4/t2,7/ги *°Лы брать Ъ и так далее.
Но повторим, подобное отождествление возможно
лишь с точки зрения арифметических действий. Не прав
будет тот, кто вместо адреса «Новослободская %2»
запишет «Новослободская V&». На множестве адресных
дробей нет других отношений эквивалентности, кроме
тождества.
95

Мы так долго говорили об отношениях эквивалентное*
ти, что читатель, вероятно, станет искать их свойства в
любом бинарном отношении.
Разумеется, такой поиск не всегда будет удачен*
Возьмем, к примеру, отношение перпендикулярных
прямых. Ему несвойственна рефлексивность: ни одна
прямая не перпендикулярна самой себе. Правда, с
симметричностью здесь все в порядке: если одна прямая
перпендикулярна другой, то и вторая перпендикулярна
первой. А вот с транзитивностью опять нелады: две
прямые, порознь перпендикулярные третьей, между
собой не перпендикулярны, а параллельны.
Еще пример: отношение делимости между числами.
Оно рефлексивно (всякое число делится на себя), но не
симметрично (поделив без остатка большее число на
меньшее, мы не сможем сделать это поменяв их
местами).
Подобные примеры подтверждают очевидное
суждение: отнюдь не всякое бинарное отношение —
эквивалентность.
Однако проницательному читателю два последних
примера подскажут нечто большее. Несимметричность
рассмотренного там и тут отношения весьма строга:
если один элемент находится в данном отношении к
другому, не одинаковому с ним элементу, то отсюда
следует, что второй к первому в данном отношении
отнюдь не находится.
Подобное свойство называется
антисимметричностью.
Звучание у термина замысловатое, а смысл простой-
этим свойством обладает всякое отношение, с помощью
которого в том или ином множестве устанавливается
некоторый порядок.
Младенец, впервые увидевший матрешек, быстро
понимает: если одну из них можно вложить в другую, то
96

вторая в первую никак не войдет* Так выясняется тот
порядок, в котором составляются матрешки.
Ребенок, даже еще не обученный правилам вежливое*
ти, но внимательный к происходящему вокруг,
подмечает: вот из этих двух человек один при встрече с другим
всегда здоровается первым; точно так же поступают и
эти двое, и вот эти тоже... (Правда, замечает
внимательный ребенок, есть люди, которые здороваются то так,
то сяк, не обращая внимания, кто должен делать это
первым.)
Школьник, изучающий правила вычитания на счетных
палочках, видиг: если из одного их копичества можно
вычесть другое, не получая в остатке пустое место, то
наоборот вычитание уже не произведешь. Так
постигается порядок, в котором целые положительные числа
выстраиваются в так называемый натуральный ряд:
один, два, три, четыре, пять...
Итак, все перечисленные отношения, каждое из
которых наводит порядок в своем множестве, обладают
антисимметричностью: и отношение «х входит в у*
между матрешками, и отношение «х здоровается
первым с у» между людьми, и отношение «х меньше у»
{х < у) между числами.
Но продолжим их рассмотрение далее. Если в одну
матрешку входит другая, а в эту другую — третья, то
третья войдет и в первую. Если одно число меньше
другого, а это другое уступает по величине третьему,то
первое также меньше третьего. То же самое можно
сказать про любое отношение старшинства, которое
устанавливается между людьми.
Go всем этом мы узнаем хорошо знакомое нам свой*
ство транзитивности. Оно также весьма закономерно
связывается с представлением о каком бы то ни было
порядке, старшинстве, подчинении, иерархии. Что полу*
чится, если при установлении порядка забыть про
транзитивность, легко вообразить, вспомнив принцип
средневековых феодалов: «Вассал моего вассала — не мой
вассал». Эта нетранэитивная формула так и отдает
беспорядками и распрями, которыми знамениты средние
века.
97

После сказанного естественно поинтересоваться: ну
а рефлексивность? Обладают ли ею анализируемые
нами отношения?
Взяв две одинаковые матрешки, мы не сможем
вложить одну в другую. Ни про одно число нельзя сказать,
что оно меньше самого себя. Стало быть, ни отношение
«jx входи г в у» между матрешками» ни отношение «ос
меньше у» между числами рефлексивностью не
обладают.
А вот в отношениях между людьми бывает и по-иному.
Глазами вышеописанного ребенка мы уже подметили:
есть люди, которые при встрече не следит за тем, кто
должен здороваться первым: порой тот опережает
этого, порой наоборот. Причина подобного безразличия
понятна: такие люди в каком-то смысле равны — по
возрасту, по должности и т.п. Значит, отношение *х
первым здоровается с у» рефлексивно.
Кстати, в мире чисел тоже есть подобное отношение.
Выражается оно словами «меньше или равно». Это
отношение рефлексивно. Например» шесть меньше или
равно шести (а формульной записи: 6 < 6). И так можно
сказать про всякое число.
Мы приходим к выводу, что отношения, при помощи
которых устанавливается порядок в том или ином
множестве, бывают двух видов.
Если бинарное отношение нерефлексивно,
антисимметрично, транзитивно, то оно называется отношением
строгого порядка. Его типичный пример — отношение
«х< у».
Если бинарное отношение рефлексивно,
антисимметрично, транзитивно, то оно называется отношением
нестрогого порядка. Его типичный пример — отношение
« < у».
И вот какую еще деталь хотелось бы отметить: в
каздом из двух отношений порядка, строгого и
нестрогого, свойства антисимметричности проявляются по-
своему.
При строгом порядке так: если один элемент
находится в упорядочивающем отношении к другому, то отсюда
вытекает, что второй к первому в этом отношении не
находится. Скажем, если пять меньше семи, то отсюда
следует, что семь не меньше пяти.
98

При нестрогом же порядке могут найтись два
элемента, каждый из которых находится в упорядочивающем
отношении к другому. Но отсюда уже следует, что эти
два элемента эквивалентны (в частности, равны) друг
другу.
Так было, как мы уже видели, с отношение «х первым
здоровается с у» между людьми: равенство по возрасту
или по должности, как легко доказать, представляет
собой отношение эквивалентности.
Еще отчетливее проявляется это в мире
вещественных чисел, если рассмотреть в нем отношение «х
меньше или равно у». Всегда можно подыскать два таких
числа, что х < у и у й х. Вдумчивый читатель, конечно,
догадывается, что такие два числа обязательно равны
друг другу-
«Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидят Фазаны».
Эту фразу, вероятно, помнит всякий, кто когда-нибудь
имел дело с красками и цветными карандашами. Она
позволяет запомнить последовательность цветов в
спектре. Их названия зашифрованы первыми буквами
слов мнемонической фразы: К —красный, О —«фанже-
вый, Ж — желтый и так далее.
ОД 05 06 0,7 мкм
фиолетовый - синий - голубой - зеленый - желтый - оранжевый - краоьй
За словом «последовательность» нетрудно разглядеть
отношение строгого порядка. Действительно,
отношение предшествования цветов в их спектральной
последовательности нерефлексивно {ни один цвет не
предшествует самому себе), антисимметрично (если один
цает предшествует другому, то второй не предшествует
первому), транзитивно (если один цвет предшествует
другому, а тот — третьему, то первый предшествует
третьему).
Читатель, знакомый с оптикой, понимает, что в основе
упорядоченности цветов лежит глубокая физическая
закономерность. Дело в том, что природа света волновая.
*• 99

Свет каждого цвета имеет определенную длину волны:
красный — наиболее длинную для всех спектральных
цветов, фиолетовый — наиболее короткую.
Длину световой волны можно выразить числом. Так от
оптики, от отношения «х предшествует у» на множестве
спектральных цветов можно перейти к математике, к
отношению «х меньше у» на множестве вещественных
чисел, выражающих длины световых волн.
Разговор о цветах и числах мы завели отнюдь не
затем, чтобы пояснить понятие порядка новыми
иллюстрациями. Есть у этих примеров особенность, которую
встретишь не каждый раз, когда на каком-то множестве
устанавливается отношение порядка, строгого или
нестрогого.
Какие бы два различных спектральных цвета мы ни
взяли, относительно них мы всегда можем сказать, что
один предшествует другому. Какие бы два различных
числа нам ни встретились, относительно них мы всегда
можем утверэдать, что одно обязательно меньше
другого.
Говорят, что некоторое множество упорядочено
некоторым отношением порядка, если любые два различных
элемента этого множества обязательно находятся в
данном отношении друг к другу: либо первый ко второму,
либо второй к первому.
Итак, множество спектральных цветов упорядочено
отношением «х предшествует^. Множество
вещественных чисел упорядочено отношением «* меньше у»; это
же отношение упорядочивает и множество
рациональных, и множество целых, и множество натуральных
чисел.
Начиная разговор про упорядоченность множеств, мы
отмечали, что ее встретишь не каждый раз, когда на том
или ином множестве устанавливается отношение
порядка. Читателю могло показаться, что это зависит от
природы множеств: какому-то из них никак не придашь
упорядоченности, а иному она свойственна в силу
самого его характера; например, «упорядоченным от
природы» в представлении многих выглядит множество чисел.
Подобное мнение неверно. Когда какое-то множество
упорядочено, то дело тут прежде всего в характере
отношения порядка, которое на нем устанавливается. На
100

одном и том же множестве можно ввести и такой
порядок, которым оно будет упорядочено, и такой, который
его не упорядочивает.
Возьмем хотя бы множество натуральных чисел. Как
уже говорилось, его упорядочивает отношение *х
меньше у*. Рассмотрим теперь на нем другое знакомое нам
отношение порядка: «х делит у», или, что то же самое,
«у делится на х». Результат рассмотрения может
показаться странным: новым отношением порядка
множество натуральных чисел отнюдь не упорядочено —
нетрудно найти е нем такие два числа, что ни одно из них не
делится на другое E и 7, 9 и 13 и т.д.).
Может быть, такая странность наблюдается только в
мире чисел?
Что ж, обратимся к миру фигур. Рассмотрим на нем
отношение вложения (такого, что контур вложенной
фигуры нигде не касается контура объемлющей). Это
отношение нерефлексивно (ни одну фигуру не вложишь в
себя), антисимметрично (если одна фигура
вкладывается в другую, то обратное невозможно — ситуация такая
же, как с матрешками), транзитивно (здесь дело обстоит
опять-таки как с матрешками).
Как видим, все свойства строгого порядка присущи
отношению вложения. Но оно не упорядочивает
множество фигур на плоскости: две различные фигуры, как
показано на правом рисунке, могут оказаться такими,
что первая не входит во вторую, а вторая не входит в
первую,
А теперь станем сравнивать фигуры по площади. Мы
обнаружим, что этим отношением их множество
упорядочено: про любые две фигуры, не равные по площади,
можно сказать, что площадь одной из них больше
площади другой. В частности, из двух фигур на нашем
рисунке, которые мы никак не смогли связать отноше-
101

нием вложения, правая явно уступает по площади левой
(это можно и доказать: из всех ромбов с одинаковыми
сторонами наибольшая площадь у квадрата).
Итак, если на каком-то множестве введено некоторое
отношение порядка, это еще не гарантирует, что
множество упорядочено этим отношением.
Если подобное наблюдается в строгой математике, то
тем более это вероятно в тех жизненных ситуациях,
когда речь заходит о каком-либо отношении типа
порядка. Например, говоря о картинах и спектаклях,
литературных и музыкальных произведениях, употребляют
слова «лучше», «талантливее» и т.п. Если даже
отношениям, выраженным этими словами, свойственны все
признаки отношения порядка, остается открытым
вопрос: упорядочивают ли они упомянутые множества
произведений искусства? Всегда ли о любых двух
постановках и книгах можно сказать, что одна лучше или
талантливее другой — подобно тому, как о двух цветах на
картине мы с уверенностью можем утверждать, что один
предшествует другому в спектре?
Бинарные отношения, которым мы посвятили немало
примеров, — это всего лишь частная разновидность
отношений, которые могут связывать элементы некото*
рого множества.
Мы уже говорили, что существуют также отношения,
охватывающие сразу три, четыре, пять и вообще л
элементов (л-арные отношения, как говорят
математики).
Мы остановимся здесь на "тернарных. Поясняя их, мы
приводили в качестве примера отношение между
родителями и ребенком. Нетрудно подыскать пример
тернарного отношения и в элементарной математике.
Рассмотрим множество всех отрезков. .Возьмем
какие-либо три из них и спросим: можно ли составить
из них треугольник? Определяющее правило на этот
счет формулируется так: сумма любых двух отрезков из
всякой троицы должна превосходить третий. Все тройки
102

отрезков, находящихся в таком тернарном отношении,
пригодны для того, чтобы строить из них треугольники.
Когда исследуется какое-либо бинарное отношение,
заданное на множестве вещественных чисел, то при
этом очень помогает его график—фигура на плоскости.
Очевидно, чтобы описать графиком некоторое
тернарное отношение между вещественными числами, нам
потребуется уже трехмерное пространство с системой
координат в нем: каждую точку этого пространства
можно трактовать как тройку вещественных чисел.
Пусть элементы всякой такой тройки выражают собой
длины трех отрезков, из которых мы хотим составить
треугольник. Как мы уже установили, для желаемого
построения годится не всякая тройка, а лишь такая,
элементы которой
находятся в вышеописанном
тернарном отношении.
Отберем все подходя*
щие тройки и посмотрим:
что за точки соответствуют
им в трехмерном
пространстве? В какую область
пространства сложатся эти
точки?
У нас получится
пирамида, упершаяся вершиной в
начало координат,
касающаяся ребрами
координатных плоскостей и не
имеющая основания, — она простирается неограниченно. Это
и будет график того тернарного отношения, о котором
мы завели разговор.
Он был титулярный советник,
Ома — генеральская дочь.
Он робко в любви ей лриэнался —
Она прогнала его прочь.
103

По всей вероятности, причиной трагедии послужило
какое то несоответствие чинов и званий. Сейчас нам
трудно это понятЬ, но когда-то табель о рангах многое
значила во взаимоотношениях людей (Табл. 2).
Таблица 2
Классы
1
2
Э
4
5
е
7
в
9
10
11
12
13
14
Табель о
Чины армейские
Генерал-фельдмаршал
Генерал от инфантерии,
генерал от кавалерии,
генерал от артиллерии
Генерал-лейтенант
Генерал-майор
(Бригадир*)
Полковник
Подполковник
Майор
Капитан (ротмистр**)
Штабс-капитан
(шта бс - ротм истр* •)
Поручик
Подпоручик .
Прапорщик (корнет**)
(Фендрик*)
рангах
Чины гражданские
Канцлер
Действительный тайный
советник
Тайный советник
Д е йств и те л ьны й
статский советник
Статский советник
Коллежский советник
Надворный советник
Коллежский асессор
Титулярный советник
Коллежский секретарь
Корабельный секретарь
Губернский секретарь
Провинциальный .
секретарь
Коллежский регистратор
* Чин существовал а XVIII аеке, потом был упразднен,
** Кавалерийский чин.
Здесь приведены армейская и гражданская колонки
табели о рангах — в том ее варианте, который относится
ко времени создания процитированного романса.
Составленная Петром Первым, она впоследствии
претерпела некоторые изменения.
Прослеживая взаимно однозначное соответствие
между множествами гражданских и военных чинов, мы
видим: титулярный советник действительно не ровня
генералу, поскольку в пересчете на военные чины
соответствует всего лишь капитану. Не улыбается бедняге и
сравнение по гражданской шкале: здесь даже самому
незнатному из генералов, генерал-майору,
соответствует действительный статский советник, что опять-таки
гораздо выше титулярного советника.
104

Итак, несчастный уступает своему несостоявшемуся
тестю и по военной» и по гражданской линии. Потому что
взаимно однозначное соответствие, связывающее
военную и гражданскую колонки табели о рангах,
сохраняет отношение старшинства, которое установлено в
том и другом множестве чинов.
Подобные случаи взаимно однозначного
соответствия, когда элементам одного множества, находящимся
е некотором отношении, соответствуют элементы
другого множества, находящиеся в том же отношении,
называются изоморфизмом.
Изоморфизмом было, например, взаимно
однозначное соответствие между множеством спектральных
цветов и множеством слов фразы: «Каждый охотник желает
знать, где сидят фазаны». Это соответствие сохраняло
отношение предшествования, которое можно ввести в
обоих множествах.
Следует сразу же отметить, что наши примеры со
сватовством титулярного советника и с фразой про
охотника и фазанов дают еще не совсем полное, а
сказать вернее — предельно узкое представление об
изоморфизме. Когда он устанавливается между двумя
множествами, то не обязательно, чтобы элементы того
и другого подчинялись одному и тому же отношению,
как было в наших примерах.
Об изоморфизме говорят и тогда, когда б каждом из
эквивалентных множеств действует свое отношение
Важно лишь вот что: если несколько элементов из
одного множества связаны некоторым действующим там
отношением, то соответствующие им элементы другого
множества связаны господствующим там отношением.
В таких случаях говорят, что изоморфизм,
установленный между этими множествами, переводит одно
отношение в другое.
Из этого примечания, которое подчеркивает широту
понятия изоморфизма, нетрудно понять, что им можно
связывать не только упорядоченные множества — в них
могут рассматриваться отношения весьма
разнообразные, как станет ясно из дальнейших примеров.
Ради эффекта возьмем для начала такой, где
изоморфизм устанавливается между множествами чисел и
точек, причем отношение, существующее в одном, на
105

первый взгляд не имеет ничего общего с отношением,
действующим в другом множестве.
Множество чисел здесь
составлено из всех
делителей числа тридцать: 1,2,3,
5, 6, 10. 15, 30. Множество
точек — это вершины куба,
расположенного так, как
показано на рисунке.
Введем в нашем
числовом множестве бинарное
отношение кратности: «х
делит у» (Мы уже
рассматривали его когда-то на
множестве всех
натуральных чисел и отметили, что
оно этого множества не
упорядочивает. Несложно
. проверить, что не
упорядочивает оно и наше числовое множество: в нем без труда
можно подыскать такие пары чисел, что ни одно из двух
не делится на другое — 2 и 3, 5 и 6t 10 и 15.)
Во множестве вершин куба введем бинарное
отношение следования: две вершины считаются связанными
этим отношением, если из одной в другую можно пройти
по ребрам куба снизу вверх.
Взаимно однозначное соответствие между обоими
множествами установлено самым простым образом:
каждой вершине приписан один из делителей тридцатки
(см. рисунок). Легко видеть, что это изоморфизм: если
в нашем множестве чисел какое-то одно делится на
другое» то соответствующие им вершины куба связаны
восходящим путем по ребрам куба. Например, путь из
точки 30 через точку 10 в точку 5 — это путь наверх.
Остальные пути читатель может проследить
самостоятельно.
В примерах изоморфизма, подобранных нами,
простоты ради фигурировали такие множества, в которых
вводилось лишь одно-единственное отношение. Можно
рассмотреть случаи, когда в том и другом множестве,
между которыми устанавливается взаимно однозначное
соответствие, введено несколько отношений и каждое
106

из них, действующее в одном множестве, переводится
в свое, действующее в другом множестве. Таково
наиболее общее понятие изоморфизма.
Перед вами фрагмент таблицы десятичных
логарифмов. Слева — положительные числа, справа от каждого
из них в той же строчке.поставлен его логарифм. Так
-установлено взаимно однозначное соответствие между
множествами чисел левой и правой колонки.
Возьмем в левой колонке
три числа, связанных тем
отношением, что
произведение первых двух равно
третьему. (Напомним, что
это отношение тернарное,
поскольку связывает три
числа.)
Возьмем теперь в
правой колонке числа,
соответствующие тем трем, что
выбраны нами в левой
колонке, иными словами,
возьмем логарифмы чисел
левой колонки. Сложим два
первых логарифма — у нас
получится третий.
И так будет всегда, какую
бы тройку вещественных
чисел мы ни взяли, лишь бы
первые два в
произведении давали третье.
Итак, множество чисел правой колонки с тернарным
отношением «сумма» между ними связано
изоморфизмом со множеством чисел левой колонки, где действует
тернарное отношение «произведение».
Операция сложения гораздо проще и выполняется
лепне, чем операция умножения. Таблица логарифмов
для того и существует, чтобы заменять умножение
сложением, а деление — вычитанием. Чтобы перемножить
ч
т.о
1-1
1.2
1.4
1.3
i.e
1.7
i.e
1,9
2.0
fgN
0.0000
0.0414
0,0792
0.1139
0.1461
0.1761 "
0,2041
0.2304
0.255Э
0,27В8
0.3010
107

два числа, следует отыскать в таблице их логарифмы,
затем сложить оба логарифма и таким образом получить
в результате логарифм произведения, а напоследок по
нему найти все в той же таблице само искомое
произведение. Деля одно число на другое, из логарифма
первого следует вычесть логарифм второго, а затем по
полученной разности найти в таблице искомое частное.
Особенно эффективна эта процедура, когда
требуется перемножать и делить многозначные числа. С такими
числами, например, приходится иметь дело в
астрономии — оттого*их и называют астрономическими.
Недаром французский естествоиспытатель Пьер
Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов
удлинило жизнь астрономов.
Тот, кто бывал в Москве, конечно, провел немало
времени в московском метро и видел схемы его линий.
вывешенные в каждом вагоне подземных поездов.
Когда-то эти схемы выполнялись в реалистической
манере, извилистые линии были тесно привязаны к плану
города. Но впоследствии географическая точность была
принесена в жертву геометрической четкости:
радиальные линии стали прямыми, кольцевая превратилась в
строгую окружность.
При всей своей географической недостоверности
второй план не менее удобен, чем первый. Оба
изоморфны друг другу. Взаимно однозначное соответствие
между точками-станциями на них очевидно: и там и тут
они отмечены одинаковыми названиями. Это
соответствие сохраняет отношение следования: и там и тут путь
от «Курской-радиальной» ведет нас через «Бауманскую»
к «Электрозаводской», а пройдя от «Красносельской!» к
«Сокольникам», мы оказываемся далее на
«Преображенской площади». И там и тут путь от «Беляева» до
«Новых Черемушек» проходит через «Калужскую*, а
чтобы проехать от «Юго-Западной» до «Университета»»,
согласно тому и другому плану, надо проследовать
через «Проспект Вернадского*,
10В

Если же судить с тонки зрения ориентации, то второй
план даже предпочтительнее первого: он проще,
нагляднее.
Эта незатейливая иллюстрация вновь напоминает нам
о достоинствах изоморфизма. Он позволяет спрямлять
пути науки, заменяя один объест исследования другим,
более простым, но сохранившим (быть может, в
преобразованном виде) все связи между своими элементами,
существенные для исследования, свою струетуру
(кстати, 9 дословном переводе слово «изоморфизм» и
означает «одинаковая структура*).
Примеров тому немало: от моделирования
физических процессов до наблюдавшихся порой попыток пере*
фразировать целые науки, перевести одну на язык
другой.
Раскройте вторую книгу «Начал» Эвклида и прочтите
первое предложение:
«Если одна из двух линий разделена на произвольное
число частей, то прямоугольник между этими двумя
линиями равен вместе взятым прямоугольникам,
содержащимся между неразделенной линией и отдельными
частями другой*.
Разобравшись в
чертеже, вы, конечно,
догадаетесь, что Эвклид
излагает на геометрическом
языке
распределительный закон умножения
относительно сложения. И,
возможно, вас удивит эта
нарочитая наглядность;
не проще ли было
написать алгебраическую
формулу?
Все дело в том, что древнегреческие математики не
владели понятием вещественного числа в той мере, в
какой оно известно нам. Греки пользовались целыми и
рациональными числами, но не знали иррациональных.
В этом смысле и нужно понимать, например, их вывод
о том, что диагональ квадрата не соизмерима с его
стороной: отношение этих двух отрезков выражается
числом VsF, числом иррациональным, неизвестным
a (b+c+d)=ab+ac+ad
110

древним грекам и, стало быть, несуществующим для
них.
Не имея, с их точки зрения, общей меры, эти два
отрезка тем не менее существовали для греков как
геометрические объекты. И это подсказывало выход из
затруднительного положения: заменить исследование
чисел исследованием фигур.
Основой такой замены, как догадывается читатель,
послужил изоморфизм между множеством
положительных вещественных чисел и множеством отрезков.
Отношение равенства чисел он переводит в отношение
конгруэнтности отрезков (это мудреное слово означает
попросту совпадение при наложении), числовое
отношение «меньше» — в линейное отношение «короче»,
операция сложения чисел заменяется при этом
составлением отрезков, операция умножения — построением
прямоугольников итд.
Так и возникла «геометрическая алгебра», излагаемая
во второй книге «Начал». Чтобы придать ей
общепринятый вид, требуется лишь перевести ее предложения с
геометрического языка на буквенный. (Кстати, многие
термины «геометрической» алгебры внедрились в
«буквенную» в непереведенном виде: мы говорим о квадрате
числа, о среднем геометрическом двух чисел.)
Вспомните, читатель, как на одной из предыдущих
страниц мы показали вам схему телефона. Мы
иллюстрировали ею важность понятия отображения. Мы
говорили, что реальный прибор удобно изучать по его
схеме, где каждой детали поставлен в соответствие
определенный значок.
Но ведь телефон — это не просто скопление деталей:
трубка, диск, звонок... Лишь соединенные системой
проводов они образуют телефон.
Так и схема телефона немыслима без соединительных
линий, показывающих, как связаны между собой
отдельные детали этого устройства.
Так и отображение одного какого-либо множества в
другое особенно ценно тогда, когда оно так или иначе
111

передает отношения, существующие между элементами
отображаемого множества, переводит их в отношения,
установленные между элементами множества-образа.
Всякое такое отображение называется
изоморфизмом.
Надеемся, что после сказанного читатель убедился а
огромной важности и проистекающей отсюда широкой
применимости этого понятия.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
РЯДЫ
Мы а тире. С огневого рубежа стрелки посылают пулю
за пулей — каждый в свою мишень.
Следя за тем, как мишени покрываются пробоинами,
нетрудно отличить меткого стрелка от неопытного.
Мастера заметишь сразу, даже если ему досталась непри-
стрелянная винтовка. Пусть несколько первых
выстрелов будут неудачными. Начиная с некоторой, пробоины
уже не выйдут за границы белого круга мишени. Следите
дальше, и вы дождетесь выстрела, после которого
пробоины не выйдут и за границы яблочка. Вот уже все без
исключения они ложатся внутрь шестерки.,, внутрь
семерки... восьмерки... девятки,., (рис, слева).
А как успехи у соседнего стрелка? Там все наоборот.
Сколько ни наблюдай, он то и дело посылает пули в
молоко (рис. справа). Ясно —оружие в неопытных руках.
Если бы соревнования по стрельбе комментировал
математик, то он, пожалуй, нашел бы здесь удачные
образы для разговора о последовательностях,
пределах, сходимости.
Каждую пробоину он, разумеется, мыслил бы не как
рваное пятно, а как точку. Сужающиеся круги мишени в
его представлении не закончились бы на десятке: изучая
113

ход соревнований, он располагал бы внутри нее еще
меньшие, неограниченно сужающиеся круги. Математик
поаел бы строгий счет выстрелам, и каждую пробоину
отмечал бы своим номером. Перенумерованные эле-*
менты множества пробоин математик назвал бы
членами последовательности. Впрочем, этот термин
математик употребил бы лишь после того, как убедился, что
соревнования будут продолжаться неограниченно
долго. Последовательностью, подчеркнул бы
математик, называется бесконечное множество
перенумерованных элементов. Последовательность считается
заданной, если известен закон ее образования, то есть
правило, согласно которому по любому названному
номеру можно указать член последовательности с таким
номером.
Удовлетворив таким образом профессиональную тягу
к строгости, математик приступил бы к наблюдениям за
ходом соревнований.
Наблюдая за опытным стрелком, математик отметил
бы: какой малый круг ни возьми, начиная с некоторого
выстрела, все последующие пробоины ложатся внутрь
этого круга. Это значит, сказал бы математик, что
последовательность пробоин стремится, или сходится, к
центру мишени, что центр мишени есть предел
последовательности пробоин.
Наблюдая за неопытным стрелком, математик
очертил бы вокруг центра мишени круг некоторого радиуса»
такой, что какой номер ни загадай, найдется пробоина
с большим номером, лежащая за пределами этого
рокового круга* Это значит, сказал бы математик, что
последовательность пробоин не стремится, не сходится
к центру круга.
Снова тар.
Мишени сняты со щитов и положены на стол. Но
положены обратной стороною вверх. Каждая пробоина
аккуратно отмечена своим номером. Можно ли теперь
отличить мишень опытного стрелка от мишени
неопытного? Можно ли определить, сходится ли последова-
114

тельность пробоин к некоторому пределу или, напротив,
не сходится ни к какому^ иначе говоря, расходится?
Существует ли безошибочный критерий сходимости?
Да, существует. Он называется критерием Кош и, по
имени математика, указавшего его впервые. И это
действительно безошибочный критерий. Он выполняется,
если последовательность сходится. Он не выполняется,
если последовательность расходится.
Критерий Коши прост. Загадайте любое расстояние.
Теперь постарайтесь подыскать такой номер, чтобы
расстояние между любыми двумя пробоинами с большими
номерами было бы меньше загаданного. Если вам это
будет удаваться всегда, какое малое расстояние вы ни
загадаете» это и означает, что последовательность
удовлетворяет критерию Коши. А раз удовлетворяет, то»
ехало быть, сходится к некоторому пределу.
Но каков же он, этот предел? Спрашивать так—значит
требовать от критерия Коши больше, чем он может дать.
Он безошибочно подтверждает существование
предела—и только- Что это за предел, надо еще поискать.
Однако уверенность, что искомое существует, часто
облегчает поиск.
Заметим, что последовательность, удовлетворяющая
критерию Коши, называется фундаментальной.
А можно ли с помощью замечательного критерия
опознать расходящуюся последовательность?
Да, можно.
Внимательный читатель наверняка уже заметил
сходство между формулировкой критерия Коши и определе-
115

нием предела. По сходству, по аналогии с отрицанием
сходимости можно построить предписание, которое
позволило бы безошибочно уличить 8 расходимости
расходящуюся последовательность.
Здесь тоже нужно подыскать некоторое контрольное
расстояние, такое, что какой номер ни загадывай,
всегда найдутся две пробоины с большими номерами,
удаленные друг от друга на расстояние больше
контрольного. Такая последовательность не фундаментальна»
стало быть, она не сходится ни к какому пределу, иначе
говоря, расходится.
Заряд электрона, постоянная Планка, число Авогад-
ро... Есть несколько физических величин, за которыми
наука закрепила звание мировых констант. Это
коэффициенты, входящие в формулы важнейших физических
законов.
Постоянная Планка, например, служит
коэффициентом пропорциональности между энергией кванта
излучения и частотой соответствующей ему волны- Число
Авогадро необходимо, чтобы количественно выразить
связь между температурой, давлением и объемом
идеального газа.
Чтобы пользоваться физическими законами, чтобы
рассчитывать описываемые ими явления, нужно
поточнее знать мировые константы. А определить их можно
только из опыта, путем измерения.
Одна из таких мировых
констант — скорость света.
Впервые ее попытался
измерить в 1675 году датский
астроном Оле Ремер,
Наблюдая затмения самого
яркого из спутников
Юпитера, Ио, он заметил, что
когда Земля и Юпитер
находятся по разные стороны от
Солнца, затмение
наступает позже по сравнению с
/////A .-' ~
116

тем случаем, когда Земля и Юпитер находятся по одну
сторону от светила. Опоздание, решил Ремер,
обусловлено большим расстоянием, которое в первом случае
свет проходит от Юпитера до Земли. Несложный расчет
дал первую в истории науки оценку для скорости света:
226 000 км/с.
Последующие исследователи уточняли оценку. В 1849
году Физо, пропуская луч меаду зубцами быстро
вращающейся шестерни, получил цифру 313 274,304 км/с.
Спустя четверть века Корню, используя тот же метод,
дал новую цифру: 298 400 ± 1000 км/с.
Напрашивается недоуменный вопрос: метод тот же, а
результат грубев — стоит ли упоминать о нем?
В результате Корню внимания заслуживают не цифры,
а знак «плюс-минус». Он напоминает, что каждый
измерительный метод имеет свою погрешность^ (Физо явно
не учитывал этого, выписывая один знак своего
результата за другим.) Истинное значение измеряемой
величины лежит в пределах этой погрешности. Истинное
значение скорости света отличается от результата
Корню не более чем на 1000 км/с. А сказать'вернее —
результат Корню отклоняется от истины не более чем на
1000 км/с.
■н
К,
«
J
S
> I
§
1 •■
299796 • 1 км/гск
■ НУ .ср* 299792.5^0,1 км/сек
296400-М 000 KW-te*
Последующие исследователи старались
гарантировать все меньшее отклонение. Добавка «плюс-минус»*
сократилась до сотен, десятков, до нескольких
километров в секундур а там счет пошел уже на метры в секунду,,.
117

Попутно выяснилось, что Корню, правильно поставив
вопрос об ошибках измерений, переоценил
возможности использованного им метода и в своем результате
указал погрешность, примерно в 1,5 раза меньшую
истиной;
Перефразируя эту физическую историю на математи*
ческий лад, можно сказать, что для любой малой
погрешности находился исследователь, начиная с
которого все последующие результаты отклонялись от
истинного значения скорости света не более чем на эту
погрешность.
Исследования продолжаются, растет точность
измерений. Последовательность результатов стремится,
сходится к истинной величине скорости света.
Как по-честному разделить конфету между приятеля-
ми-мальчишками? Конечно, как в песне: тебе полови*
на — и мне половина.
И обладатель конфеты делит ее ровно на две части,
чтобы поделиться с товарищем. Полученную долю тот
тоже делит ровно пополам, чтобы поделиться со своим
приятелем. Тот — со своим. Тот — со своим... Все по-
честному: тебе половина — и мне половина.
Без кропотливых измерений и расчетов таким
способом можно разделить конфету на сколько угодно частей.
Нехорошо только, что доли получаются неравные.
Величина очередной порции при таком делении неуклонно
уменьшается до нуля: полконфеты, четверть конфеты,
восьмая часть, шестнадцатая... И какую величину ни
загадай, начиная с некоторой порции, все последующие
будут меньше загаданной величины.
Одна восьмая, одна шестнадцатая, одна тридцать
вторая, одна шестьдесят четвертая... От долей конфеты
мы незаметно перешли к числам. Это нам на руку.
Последовательное деление конфеты пополам
неизбежно поставило бы нас когда-нибудь (и очень даже скоро,
где-то на сороковом шагу) перед проблемой
расщепления атомного ядра. А число можно делить без конца,
благо принцип известен: начиная с первого числа, рав-
118

ного половине, каждое последующее получается из
предыдущего делением на два. Сказанное -дает нам
право назвать образующуюся при этом цепочку чисел
последовательностью.
Ценитель наглядности, вероятно, посетует, что с
переходом от конфет к абстрактным числам наши
построения перестали быть осязаемыми. Что ж, их легко
сделать зримыми. Для этого надо взять числовую
прямую и отложить на ней члены нашей последовательное*
ти: одну вторую, одну четвертую и так далее.
! о !
1 ' ' %';, а '
И тогда воочию станет ясно, что, подобно своему
кондитерскому прообразу, наша последовательность
сходится к нулю, имеет нуль своим пределом.
Любитель строгости, пожалуй, потребует выразить
этот факт в математической формулировке. Мы сделаем
это, не порывая с графическим образом нашей после*
довательности.
Ее стремление к нулю означает (следите за числовой
прямой!), что для любой сколь угодно узкой окрестности
нуля (ее полуширина обозначена традиционной в таких
случаях греческой буквой е— «эпсилон») найдется такой
номер, что все члены последовательности с большими
номерами будут находиться в этой окрестности.
Нетрудно сообразить, что там всегда будет
оказываться бесконечное множество членов
последовательности, как бы ни .была узка окрестность.
Аналогично определяется стремление всякой
сходящейся последовательности к своему пределу. Лишь бы
в любой его окрестности всегда лежало бесконечное
множество членов последовательности, а вне
окрестности — конечное или вовсе нисколько. В каком порядке
располагаются члены, очутившиеся внутри окрестности,
существенной роли не играет. Все они могут лежать по
одну сторону от предельной точки (в нашем примере^
от нуля), могут не совпадать с нею (как в нашем приме-
119

ре). Могут и совпадать. Могут лежать и справа и слева
от предельной точки. Иногда какой-то член
последовательности может оказаться дальше от предельной точки,
нежели предыдущий. Определение сходимости
оставляет без внимания эти детали. Ни одна из них сама по
себе не угрожает сходимости и недостаточна для того,
чтобы обвинять последовательность в расходимости.
По подозрению в том, что последовательность не
сходится к какой-то точке, лучше всего обращаться к
строгой формулировке этого факта. Вот она:
последовательность не сходится к данной точке, если
существует некоторая ее окрестность, такая, что для любого
нрмера найдется член последовательности с большим
номером, находящийся вне этой окрестности.
Существует ли предел спортивных возможностей
человека?
Оспаривать их ограниченность не станет никто. Но
вместе с тем мы знаем, что вечных рекордов не бывает.
Еще недавно мечтой спринтеров было пробежать сто
метров за десять секунд — и вот заветный рубеж уже
преодолен. И в то же время нельзя всерьез утверждать,
что какой-нибудь будущий рекордсмен пробежит
стометровку за время, меньшее двух или одной секунды...
Разобраться в этом запутанном вопросе на первый
взгляд нелегко. А между тем, ставя его, мы употребили
несколько слов, которые помогут нам внести в
каверзную проблему поистине математическую ясность.
Это прежде всего слово «предел». Надежным
основанием наших дальнейших рассуждений послужит теория
последовательностей. Мы будем рассматривать ре*
кордные результаты в беге на сто метров как члены
некоторой последовательности.
Это, во-вторых, слово «меньше». Члены нашей
последовательности — числа, их можно сравнивать по
величине.
Это, в-третьих, слово «ограниченность». Утверждая,
что никто не сможет пробежать стометровку быстрее,
чем, скажем, за две секунды, мы заявили, что члены
120

нашей числовой последовательности ограничены снизу
что существует число, меньшее любого члена нашей
последовательности.
Это, в-четвертых, слово «рекорд». Рекорд считается
таковым лишь в том случае, когда он превосходит
предыдущее достижение. Очередной рекордный
результат в беге на сто метров должен быть меньше
прежнего. В этом выражается существенная
особенность нашей последовательности: математик назвал бы
ее монотонно убывающей, имея под этим в виду, что
каждый последующий ее член меньше предыдущего.
Вот теперь все готово для решающего утверждения.
В теории последовательностей есть теорема: всякая
монотонно убывающая и ограниченная снизу числовая
последовательность имеет предел.
Это значит, что на шкале результатов в беге на сто
метров есть отметка, к которой стремится
последовательность рекордных достижений. Какую малую
окрестность этой отметки ни взять, все члены
последовательности, начинай с некоторого, будут лежать в этой
окрестности. Заметим, что это вовсе не противоречит
утверждению о том, что вечных рекордов не бывает
Ведь последовательность рекордов может стремиться к
своему пределу, не достигая его, наподобие
«конфетной» последовательности из предыдущего раздела.
Если нынешний рекорд отличается от предела на
десятую долю секунды, то следующий может^ отличаться на
пять сотых, следующий за ним — на одну сотую,
следующий —.на пять тысячных.,, и каждый очередной
результат будет рекордом, поскольку он меньше предыдущего.
Нужно только замерять время с точностью до все более
мелких долей секунды.
В заключение напомним, что в своих рассуждениях мы
основывались на теореме о существовании предела для
всякой монотонно убывающей и ограниченной снизу
числовой последовательности. Есть также теорема о
том, что предел имеет всякая монотонно возрастающая
и ограниченная сверху последовательность. Эту
теорему мы применили бы, если бы подвергли
математическому разбору, например, рекорды штангистов.
12t

Когда расшифровывались древневавилонские
тексты, ученые отметили любопытный факт: терминология и
обозначения тогдашних математиков изобиловали
словами шумерского языка, к тому времени давно уже
умершего. Подобное наблюдается и сегодня. Раскройте
любой труд по математике и вы увидите, как насыщен
современный математический лексикон
заимствованиями из мертвых языков — латинского,
древнегреческого. Такие термины хороши тем, что содержат лишь
заложенное в них определениями и не вызывают
нежелательных ассоциаций, чего можно было бы опасаться,
будь они взяты из разговорной речи.
Символ предела Член последовательности
м / ^Предел
Индекс последовательности
(номер члена
последовательности)
Произнося слово «постоянная», математик напишет
«const», да и прочтет это сокращение, возможно, тоже по
латыни: «константа», что значит в переводе «постоянная».
Показательную функцию (скоро мы будем говорить о ней)
он назовет экспонентой и в ряде случаев обозначит ехр —
начальными буквами латинского слова «ехролеге», то есть
«выставлять напоказ*, а обозначая предел, сократит до
трех букв его латинское название «tones».
«Теперь сходитесь». Хладнокровно,
Еще не целя, двв врага
Походкой твердой, тихо, ровно
Четыре перешли шага,
Четыре смертные ступени.
Свой пистолет тогда Евгений,
Не преставая наступать.
Стал первый тихо подымать.
Вот пять шагов еще ступили.
122

И Ленский, жмуря левый глаз.
Стал тоже целить...
Не пугайтесь, ради бога, не пугайтесь, читатель!
Роковой выстрел, сразивший Ленского, не прозвучит на
этой странице. Эти пушкинские строки, этот отрывок из
•Евгения Онегина» мы привели исключительно как повод
для разговора о том, какое важное значение для
математики имеет понятие предела.
Перед вами несколько окружностей. Ка* граненый
ствол старинного дуэльного пистолета охватывает
черный кружок дула, так каждую из этих окружностей
охватывает описанный правильный многоугольник. Внутри
каждой окружности — правильный вписанный
многоугольник с тем же числом сторон.
Прослеживая этот ряд слева направо, вы видите, что
число сторон у многоугольников растет: три, четыре,
пять, шесть.,.
Посмотрим, что происходи! при этом с периметрами
вписанных и описанных фигур. Если отложить их на
числовой прямой, засечки будут сходиться, как
дуэлянты
Ъв 6в 1Н
Р -пер*#*"р аписаннгуо л угольника
9Я 10Я И*
О ^лсрмметр пгг>*г1ииеге » уголь****-
Но можно ли понимать эту сходимость в том же
строгом смысле, в каком мы говорим о сходимости
последовательностей? Существует ли предел, к
которому стремится последовательность периметров, скажем,
вписанных многоугольников? А описанных?
123

Оказывается, и тот и другой предел существует.
Возьмем периметры описанных фигур. Их
Последовательность монотонно убывает, К тому же она ограничена
снизу — например, периметром любого из вписанных
многоугольников, хотя бы квадрата. Значит, эта
последовательность имеет предел. Сходится и
последовательность вписанных фигур: ведь она монотонно
возрастает и ограничена сверху — хотя бы периметром
описанного квадрата.
Но что это? Последовательности, разговор о которых
мы начали с описания дуэли на пистолетах, сходятся,
словно противники, решившие схватиться
врукопашную. Похоже, что они сходятся к одному пределу.
"в
W 2пЙ 7Я
Мельчась в изломах своих сторон, описанные
многоугольники все плотнее облегают окружность, все теснее
прижимаются к ней вписанные. Периметры тех и других
можно рассматривать как все более точные
приближения длины окружности, а общий предел периметров —
как точное значение этой длины.
Замечательно, что с помощью той же процедуры
определяется длина других кривых: с этой целью
исследуется, как ведут себя длины ломаных, вписанных в
кривую, звенья которых укорачиваются неограниченно,
стремятся к нулю.
Уже этот пример показывает, какое важное значение
для математики имеет понятие предела.
Когда требуется определить некоторую величину,
сначала можно оценить ее приближенно, затем
рассмотреть еще ряд приближений все более точных, а
потом, исследуя уже сам процесс приближения, найти
искомую величину как предел последовательности ее
приближенных, все более уточняющихся оценок.
Определить искомую величину другим из известных
способов часто оказывается делом значительно более
трудным или попросту невозможным. Например, не из-
124

вестей другой способ определить длину кривой линии,
кроме только что изложенного.
Во многих семьях есть обычай, своего рода ритуал: в
день рождения сына отец подводит ребенка к дверному
косяку и торжественно отмечает на нем рост
именинника.
Ребенок растет, и на косяке с годами возникает целая
лесенка отметок.
Отец и сын с любопытством рассматривают ее. *В
этом году я вырос всего на два сантиметра»», — вздыхает
сын, «Мало каши ел! Ну, ничего, зато в прошлом году —
на пять, — утешает его отец. — Да и в позапрошлом
ничего — целых три прибавил».
Три, пять, два... Такова последовательность
приростов от года к году. Но есть и другая последовательность,
и именно ее члены аккуратно выписываются рядом с
засечками. Это — последовательность значений роста.
Л.-V'i' "н
*♦ -Vi + "б
Две последовательности связаны друг с другом.
Вторая получается из первой сложением. Рост — это сумма
приростов за все предыдущие годы.
Чтобы отличить вторую последовательность от
первой, необходимо ввести новые термины. Когда члены
последовательности предполагается суммировать, их
называют членами ряда. Сумма нескольких первых
членов ряда называется его частичной суммой. Кстати, все
125

члены нашего ряда — числа (три, пять, два.,.). Такие
ряды называются числовыми,
С годами мальчик становится юношей, юноша —
мужчиной. Отметки на дверном косяке сближаются, и с
некоторого времени их перестают ставить. Не потому,
что обычай забыт, а потому, что пропадает интерес:
отметки сливаются, ложась во все более тесную окрест-
ность предельного роста.
Математик сказал бы, что последовательность значе-
ний роста, отмеченных.на дверном косяке, имеет
предел. Или сказал бы так: ряд сходится* А поскольку
значения роста представляют собой частичные суммы
ряда, математик мог бы попутно высказать такое
определение: ряд называется сходящимся, если
последовательность его частичных1 сумм имеет предел; этот
предел и называется суммой ряда. Если же у
последовательности частичных сумм нет предела, то ряд
называется расходящимся.
Итак, последовательность значений роста сходится. А
что можно сказать про последовательность приростов
от года к году?
Понятно, что члены этой последовательности
убывают, стремясь к нулю. Будь иначе, человек рос бы
неограниченно. Убывание членов ряда необходимо для его
сходимости. Необходимо, но недостаточно.
Как вы думаете, что было бы, если бы ребенок за
первый год вырос на дециметр, за второй — на
полдециметра, за третий — на треть, за четвертый — на
четверть и так далее? До какого роста вырос бы сын?
.- Опираясь на утверждения соответствующего раздела
математики, мы со всей ответственностью заявляем, что
такой ребенок, живи он вечно, со временем перерос бы
любую наперед заданную гору.
Убывания слагаемых еще недостаточно для
сходимости ряда. Они должны убывать достаточно быстро
Насколько быстро — об этом говорят признаки
сходимости рядов.
126

Свои незаурядные математические способности
немецкий математик и физик Карл Фридрих Гаусс
обнаружил в раннем детстве.
Ученикам класса, в котором он учился, учитель
однажды задал вопрос: «Сколько будет, если сложить все
целые числа от одного до двадцати?»
Не прошло и несколько минут, как Гаусс крикнул:
«Нашел — двести десять!»
«Как тебе это удалось?» — спросил изумленный учи-
Гель. И Гаусс рассказал о своей догадке: если сложить
первый член заданного ряда чисел с последним,
получится столько же, если сложить второй с предпоследним
или третий с третьим от конца... Иными словами, члены
ряда, равноотстоящие от его концов, 8 сумме всегда
дают одно и то же число — двадцать один. Всего таких
сумм — десять. Ответ на поставленную задачу теперь
получается перемножением двух этих чисел.
Мы поведали эту историю исключительно для того,
чтобы сказать, что ни о чем Подобном мы больше
говорить не будем.
8 школьной математике изучаются арифметические
прогрессии (то есть такие последовательности чисел, в
которых разность двух соседних равна постоянному
числу) и прогрессии геометрические (то есть такие
последовательности чисел, в которых отношение двух
соседних равно постоянному числу). Даются формулы,
позволяющие вычислить сумму конечного числа членов
той и другой прогрессии.
Ничем подобным мы заниматься не будем, В нашем
рассказе не встретятся больше слова «последний член»р
«конец ряда». Нас будут интересовать бесконечные
РЯДЫ.
Нельзя сказать, что наш рассказ прм этом целиком
будет лежать за пределами школьной математики. Ведь
в ней тоже однажды встречается бесконечный ряд. Мы
имеем в виду бесконечно убывающую геометрическую
прогрессию.
127

О ней-то мы и поговорим сейчас. Как повелось,
объясняться мы будем не на языке формул» а на языке
рисунков.
В равнобедренный треугольник вписан круг. В
пространство над ним — второй круг, касающийся первого
и боковых сторон треугольника. В пространство над
вторым кругом — третий. Так весь угол при вершине
треугольника заполняется последовательностью
кружков все меньшего радиуса. Их число не ограничено*
Если провести горизонталь
между первыми двумя
кругами, она отсечет от
треугольника ему подобный. Законы
подобия подсказывают:
диаметр второго кружка так
относится к диаметру первого,
как диаметр третьего к
диаметру второго 'и так далее.
Это постоянное отношение
меньше единицы. Диаметры кружков образуют беско^
нечно убывающую геометрическую прогрессию,
А теперь вопрос: что Будет, если последовательно
складывать диаметры кругов? Чему равна сумма такого
бесконечного ряда?
Если вы забыли школьную формулу для суммы
бесконечно убывающей геометрической прогрессии, не
огорчайтесь. В этом примере можно обойтись без формул.
Нужно лишь повернуть все круги так, чтобы их диаметры
стали вертикальными. Бесконечная сумма оказывается
равной вполне конечной величине — высоте
треугольника.
И вы снова убедитесь в том, что бесконечная сумма
членов некоторой последовательности может
составлять вполне конечную величину.
Нам показалось необходимым подчеркнуть это после
разговора о предельном росте человека. Тогда у
читателя, чего доброго, могло сложиться впечатление, будто
предел роста существует лишь потому, что с некоторого
возраста рост прекращается, приросты становятся
равными нулю. Теперь в истории со вписанными кругами
ни один из суммируемых диаметров не равен нулю, и
тем не менее частичные суммы их ряда стремятся к
12В

пределу. Все дол о в том, что члены ряда стремятся к
нулю достаточно быстро.
Ряды, рассматриваемые в математике, — это не
просто наборы наудачу взятых чисел. Члены ряда строятся
по определенному закону.
Вот так называемый гармонический ряд, описанный
нами на словах в истории с мальчиком-великаном.
Мы уже знаем, что суммирование этого ряда не ведет
к конечному результату. Гармонический ряд расходится,
его частичные суммы нарастают безгранично.
А вот другой ряд, уже сходящийся. Его суммирование
дает знаменитое число е, столь же популярное в
математике, как и число тс:
1 + 1 + + ++ + +
В той и другой строчке чисел обратите внимание на
слагаемое, огражденное отточиями. Это так
называемый общий член ряда. Он-то и служит выражением
закономерности, по которой строится ряд. Подставив
вместо л конкретное число, мы получим величину
слагаемого с таким номером. В первом случае для этого
нужно разделить единицу на номер слагаемого, во
втором единица делится на произведение всех целых чисел
от единицы до л (такое произведение и обозначается
символом л!).
Закономерность, по которой строится ряд, — залог
лаконичной его записи. Вместо длинной цепочки чисел
математик пишет выражение для общего члена ряда и
перед ним ставит заглавную греческую букву «сигма»,
обозначающую суммирование.
Если сверху и снизу к этой красивой букве приписаны
числа, это значит, что речь идет о частичной сумме ряда.
Приписки — это номера первого и последнего слагав-
5-480 129

Члеиряда
\
Символ суммирования
\
5л
л-ная частичная
сумма ряда
k=1 i
мога частичной суммы р так называемые пределы сум-
мирования — нижний и верхний.
Но если над знаком суммирования аы увидите
значок «о, не принимайте его за поваленную набок
восьмерку. Бесконечность — вот
как читается этот условный
знак. Это не цифра, а
символ, подразумевающий
предельный переход.
Заменяя им верхний предел
суммирования,
обозначают предел частичных сумм,
к которому они стремятся
при неограниченном
возрастании числа слагаемых.
Этот предел частичных
сумм, как мы уже знаем, и
называют суммой ряда.
Наблюдательный читатель, конечно, припоминает, что
знак бесконечности уже встречался ему на предыдущих
страницах — а обозначении предела
последовательности. Там этот знак выражал неограниченное возрастание
индекса.
Это воспоминание дает нам повод еще раз
подчеркнуть: бесконечность — не число, ее знак — не цифра, а
символ, подразумевающий предельный переход. Об
этом следует помнить ввиду многочисленных
злоупотреблений словечком «бесконечность», чем нередко
грешат люди, знакомые с математикой лишь понаслышке.
Сумма бесконечного
ряда
Видали ли вы, как молодой неопытный продавец
взвешивает — ну, например, полкилограмма сахарного
песку?
Два взмаха совком — и пакет с песком на весах.
Перебор. Стрелка ушла за семьсот граммов.
Приходится отсыпать. Совок вычерпывает из пакета добрую
половину содержимого, и пакет вновь на весах. На сей раз
меньше, чем нужно. Еще одно движение совком. Изли~
130

шек всего пятьдесят граммов* Снова песок сыплется из
пакета в ящик...
Порции песка, которые продавец досыпает и
отсыпает перед очередным взвешиванием, образуют
последовательность. Члены этой последовательности как
положительны (когда продавец добавляет песок), так и
отрицательны (когда отсыпает). Своими действиями
продавец суммирует члены этой последовательности, и
потому они заслуживают звания членов ряда. А поскольку
постоянством знака они не отличаются, ряд называется
знакопеременным. Частичные суммы этого ряда
находятся 8 пакете. Мало-помалу они стремятся к пределу,
названному покупателем.-
Всегда ли существует такой предел? Ясно, что нет.
Смотрите, как продавец, свесив песок, принялся
отвешивать пряники. Стрелка весов зашла за нужную
отметку. Один пряник долой. Стрелка весов останови*
лась, не доходя до нужной отметки. Пряник добавлен.
Снова перебор. Пряник снова снят. Опять недобор...
Взвешивание зашло в тупик. Пряник добавить, пряник
убавить... Поскольку члены ряда одинаковы по
абсолютной величине, частичные суммы колеблются от одного
постоянного значения к Другому и ни к какому пределу
не стремятся.
Ряд не сойдется никогда, если не принять
специальных мер — не начать уменьшать его члены, не ломать
пряники на части.
Можно ломать, например, так: добавить половину
пряника, убавить одну треть, прибавить четверть, отнять
одну пятую...
Вы думаете, что произойдет та же история, что с
мальчиком-великаном? Нет, такой рад будет сходиться.
На этот счет есть даже особая теорема. Но прежде чем
ее формулировать, отметим две важные особенности
нашего ряда.
Во-первых, обратите внимание, как меняются знаки
его членов: плюс — минус — плюс — минус». Такие ряды
называются знакочередующимися.
Во-вторых, заметьте, что по абсолютной величине
члены ряда монотонно убывают: половина, треть,
четверть...
131

После сказанного можно сформулировать теорему,
подходящую к случаю: знакочередующийся ряд, члены
которого монотонно убывают по абсолютной величине,
всегда сходится.
Конечно, не всякий знакопеременный ряд обладает
теми особенностями, которыми отличается описанное
нами взвешивание пряников. Сходимость
знакопеременных рядов — вопрос посложнее, нежели сходимость
знакоп остоянных.
Один на три делится?
Первоклассник ответит на этот вопрос растерянным
«нет». Десятиклассник с важностью заявит, что делится
и частное представляет бесконечную десятичную
дробь — ноль целых и три в периоде. Если же с этим
вопросом вы обратитесь к человеку, который привык
смотреть на числа не с теоретической, а с практической
стороны, то он, пожалуй, поинтересуется: с какой
точностью нужен ответ? Если достаточно двух знаков после
запятой, ответом будет 0,33. Если нужны три знака —
0,333. Четыре — 0,3333. И так далее.
Видно, что с увеличением точности на один знак к
ответу приписывается очередная тройка. Эти приписки
в сущности представляют собой слагаемые ряда:
0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + „•
Кстати, какую бесконечную периодическую
десятичную дробь ни взять — любая из них будет представлять*
ся отношением двух целых чисел, числом
рациональным, как называют такие отношения математики.
Сходится ли ряд? Приглядитесь к его членам, и вы
признаете в них бесконечно убывающую
геометрическую прогрессию. А она принадлежит к категории
сходящихся числовых рядов.
Но даже и без этого замечания поставленные вопросы
имеют чисто риторический (а точнее,
учебно-методический) характер. Ибо хорошо известно, что результат
деления единицы на три есть одна треть: V&.
132

К рациональным числам относятся и конечные
десятичные дроби. Назовите любую из них, и вы тем самым
уже представите ее в виде отношения целых чисел: три
десятых — это ^0, двадцать пять сотых — это
^одну а как быть с бесконечными непериодическими
десятичными дробями? Такой дробью выражается,
например, отношение диагонали квадрата к его стороне.
Еще Пифагору было известно, что выразить его
рациональным числом, отношением двух целых чисел
невозможно.
Это открытие, сильно огорчившее Пифагора, дало
первый в истории математики пример иррационального
числа, то есть числа, не выразимого отношением двух
целых. О том, что всякое иррациональное число можно
представить бесконечной непериодической десятичной
дробью, Пифагор не знал.
Впрочем, тому же Пифагору было известно, что
гипотенуза прямоугольного треугольника равна корню
квадратному из суммы квадратов его катетов. На два
равнобедренных прямоугольных треугольника разрезается
квадрат своей диагональю, и для каждого она служит
гипотенузой, И если принять сторону квадрата за
единицу, длина гипотенузы выразится квадратным корнем
из двойки. Извлечь его можно с точностью до любого
знака после запятой — соответствующий метод
несложен и излагается даже в школьном курсе алгебры.
Каждый новый знак после запятой, который возникает
при все более точном извлечении корня, можно
рассматривать как очередной член ряда, а все
удлиняющиеся десятичные дроби — как частичные суммы этого ряда.
Несложными рассуждениями можно доказать, что
всякий такой ряд, образованный добавлением все новых
знаков после запятой, сходится, что
последовательность его частичных сумм всегда имеет предел
(во-первых, эта последовательность возрастает, во-вторых, она
ограничена сверху — например, числом, которое
получается, если заменить хотя бы первую из уже
выписанных цифр большей).
Но коль скоро предел существует, почему бы не
назвать его искомым корнем квадратным из двух, тем
числом, которое выражает отношение диагонали
квадрата к его стороне? Пусть мы не можем выразить его
133

отношением двух целых чисел. Зато мы можем назвать
его с любой тр^бурмой точностью. Почему бы подобный
процесс последовательных приближений не счесть
определением любого иррационального числа?
Математики так и поступили. Считается, что
иррациональное число определено, если его с любой
точностью можно приблизить последовательностью конечных
десятичных дробей.
Трисекция угла, удвоение куба, квадратура круга —
вот три каверзные задачи, выдвинутые античными
математиками и впоследствии ставшие синонимом
неразрешимости.
Но так ли уж они неразрешимы? Вот, скажем,
квадратура круга: мы выполним ее сейчас с помощью довольно
несложного приема.
Итак, пусть дан круг радиуса R. Требуется, пользуясь
лишь циркулем и линейкой, построить равновеликий
ему квадрат или прямоугольник.
Площадь круга радиуса R дается выражением пЯ2.
Если бы нам удалось построить прямоугольник со
сторонами R и лЯ, квадратура круга была бы выполнена.
Но вот загвоздка — как построить отрезок длиной nR?
Как увеличить в л раз данный нам условиями задачи
радиус круга?
эгЯ
Я
Если бы число к было рациональным, если бы
выражалось отношением двух целых чисел, то все было бы
просто. Радиус круга мы увеличили бы во столько раз,
каков числитель, а затем уменьшили бы результат во
134

столько раз. каков знаменатель, — и получили бы
искомое. Школьная геометрия знает, как увеличить или
уменьшить отрезок в любое число раз.
Увы! Число п иррационально...
И гут на помощь приходит числовой ряд, похожий на
тот, с которым мы познакомились за взвешиванием
пряников.
*.< JL1 11 JL*
4 3*5 7 + 9 11+"
Воспримем эту стррчку чисел как руководство к
действию. Из отрезка, равного радиусу нашего круга,
вычтем его третью часть, к результату прибавим пятую, из
полученного вычтем седьмую и так далее. Работы много,
но рано или поздно мы с любой заранее выбранной
точностью построим отрезок длиной У4лЯ. Увеличим его
в 4 раза, затем построим на нем как на основании
прямоугольник с высотой Я—его площадь и будет равна
площади нашего круга.
Квадратура круга выполнена!
Так что же, проблема, о которой так долго говорили
математики, все-таки разрешима, и притом так просто?
Сознаемся, мы допустили небольшой подлог.
Классическая формулировка задачи о квадратуре круга
подразумевает, что задача должна быть решена с помощью
циркуля и линейки за конечное число операций, и
притом точно. Наш же способ приближенный. Но он
позволяет приблизиться к поставленной цели с любой зара-
135

нее установленной точностью путем несложных
действий.
В этом и Заключается основное достоинство рядов.
Недаром их теория занимает столь важное место в
математике. Недаром обозначение ряда — заглавная
греческая буква «сигма» — как символ математики
имеет столь же широкое хождение, что и интеграл.
«Московское время четыреста девяносто пять минут».
Если бы с некоторых пор время по радио стали
объявлять таким образом, то радиослушатели вскоре,
вероятно, разучились бы ориентироваться во времени.
То ли дело:
«Московское время восемь часов пятнадцать минут».
В тех случаях, когда требуются более точные данные
о времени, после минут указываются секунды. Можно
указать и доли секунды: десятые, сотые, тысячные,
сколь угодно малые — какие требуются заранее
выбранной точностью.
В этом проявляется все та же особенность
человеческого сознания, которая лежит и в основе приближений
с помощью последовательностей и рядов: всякое
измерение начинается с грубой оценки, а затем продолжа--
ется все более мелкими уточнениями,

ФУНКЦИИ
Почему не бывает животных какой угодно величины?
Почему, например, нет слонов в три раза большего
роста, чем существуют, но тех же пропорций?
Не правда ли, любопытными вопросами задавались
персонажи знаменитого трактата Галилео Галилея
«Беседы и математические доказательства, касающиеся
двух новых отраслей науки».
Ответ, к которому пришли собеседники, таков: стань
слон в три раза больше, объем и вес его тогда
увеличились бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь
сечения костей и, следовательно, их прочность—только
в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже
не хватило бы, чтобы вы*
держать непомерно
увеличившийся вес. Такой слон
был бы раздавлен
собственной тяжестью.
Рассуждение вполне
четкое и ясное. Что же
придало ему такую
наглядность и убедительность?
То, что в основу вывода
положены две строгие
математические зависимости.
Первая устанавливает
соответствие между
размерами подобных тел и их
объемами: объем
изменяется, как куб размера
(скажем, если ребро куба удлинилось вдвое, то его объем —
проверьте! — увеличился в восемь раз: 23 = 8). Вторая
связывает размеры подобных фигур и их площади:
площадь изменяется, как квадрат размера (если вдвое
увеличивается сторона квадрата, площадь его
возрастает вчетверо: 22 = 4).
137

Не знай этого собеседники, сколько пришлось бы
доискиваться до истины?
Этим выразительным примером мы хотим начать
обещанный в одной из предыдущих глав обстоятельный
разговор о числовых функциях числового аргумента
Функции, о которых шла речь до сих пор, как правило,
описывались словами. Словесное описание — один из
способов задания функции, и притом не лучший.
Можно задавать функцию табличным способом.
Выписать в ряд или в столбик несколько значений
аргумента, а ниже или рядом поместить соответствующие
значения функции. Так составляют таблицы логарифмов и
синусов. Шкалы логарифмической линейки,
расположенные одна под другой, тоже представляют собой
разновидность таблицы.
Логарифмами и синусами мы еще успеем заняться.
За первым примером табличного задания функции
обратимся к «Энциклопедии домашнего хозяйства».
Откроем ее на той странице, где указаны максимальные,
длительно допустимые токи для проводов в
зависимости от сечения.
Сечение жилы, мм*
Максимально
допустимым ток, ампер
0.75
13
1
15
1.5
20
2.5
27
По этим данным можно построить график. Пусть $на-
чения аргумента, приведенные в верхней строчке,
послужат абсциссами, а значение функции, приведенные
в нижней, — ординатами тех точек, которые мы станем
наносить на координатную плоскость.
Точки соединим непрерывной плавной кривой.
Графический способ делает информацию о функции
зримой и наглядной. Выразительная картинка вмиг
расскажет о характерных особенностях и поведении функции.
138

Если ваша цель — смонтировать проводку в своей
квартире, то вам достаточно для работы этого графика
или даже одной таблицы. Ведь провода, поступающие в
продажу, согласно ГОСТу имеют лишь определенные
стандартные сечения.
Но если вы
интересуетесь существом дела,
причинами тех ограничений
для тока, которые
обусловлены сечением
применяемых проводов, то вы
наверняка захотите понять:
каковы физические
законы, которые определяют
функциональную зависи-
мость, выраженную табли-
ф
со
.о
, ру
цей и отраженную графи-
ком?
Существо дела состоит здесь в том, что провода
разогреваются, когда по ним течет ток. Нагрев прямо
пропорционален квадрату тока и обратно
пропорционален сечению провода. Предельно допустимый нагрев и
определяет критическое отношение квадрата тока к
сечению провода.
Увеличив ток в цепи, скажем, в два раза! мы должны
е четыре раза увеличить сечение проводов во
избежание их перегрева. Увеличив ток в три раза — в девять
раз увеличить сечение проводов.
Так мы приходим к формульному заданию
интересующей нас функции — ток изменяется как корень
квадратный из сечения проводов: l = lcJs.
Коэффициент пропорциональ- у
кости к в этой формуле равен
16,3, если ток / измеряется в
амперах, а сечение жилы s — в
квадратных миллиметрах.
Вместо таблицы в «Энцикло- f
педии домашнего хозяйства»
можно было бы поместить лишь
эту короткую формулу: она, как о
легко убедиться, неплохо
соответствует табличным данным, а
У-
2 3 4 5 6 X
Корень квадратный
139

незначительные расхождения можно устранить ценой
некоторого ее усложнения.
Мы понимаем, что домашний мастер вряд ли принял
бы такую замену. Таблица дает готовые рекомендации
на все случаи житейской практики, а формула еще
требует вычислений. Да к тому же в ней нет той
наглядности, которая присуща графику. А особая точность
цифр домашнему мастеру не нужна.
Но математик в поисках сути явлений для своей
работы предпочтет, конечно, формулы. В формульном
представлении функции легче поддаются исследованию
математическими методами: формулу можно подвергнуть
различным математическим преобразованиям, чего не
сделаешь ни с таблицей, ни с графиком.
Разумеется, если формула чересчур сложна или
попросту не существует (скажем, когда функциональная
зависимость получена из опыта), математик прибегает
к таблице. А за наглядным представлением о функции
обращается скорее к графику, чем к формуле.
Стоит заметить! что отнюдь не всякую
функциональную зависимость, полученную из опыта, удается выра-
эить краткой формулой. Попробуйте сделать это,
вообразив графиком некоторой функции профиль ключа от
вашей квартиры или абрис горной цепи на журнальной
фотографии, — ивы убедитесь в невыполнимости
задуманного.
В этом месте нам хотелось бы на краткое время
прервать Плавный ход изложения и поразмыслить над
только что построенным графиком.
Почему мы так непринужденно и решительно
соединили непрерывной линией точки, нанесенные на
координатную плоскость по данным таблицы? Почему не
оставили их редкой россыпью?
140

В этом, как нам кажется, проявилось представление,
давно и глубоко укоренившееся в нашем
миропонимании. По созвучию с крылатым «природа не терпит
пустоты» его можно выразить так: «природа не терпит
разрывов».
Нельзя всерьез говорить о том, что поезд, идущий,
скажем, из Москвы во Владивосток, после остановки в
Омске незамедлительно очутился в Новосибирске» не
побывав при этом ни на одной промежуточной станции.
Непрерывность времени и пространства — один из
краеугольных тезисов механики. Непрерывным
представляется нам чуть ли не всякое изменение, происходящее
в природе: все значения высоты от начального до
конечного принимает уровень воды в наполняемой ванне, все
значения размера — длина горящей свечи и ширина
ножа, стирающегося от частой заточки. В рамках
механических моделей непрерывными считается не только
пространство, ной любая среда: металл, жидкость, даже
газ — недаром и аэродинамика, и гидродинамика, и
теория упругости объединяются названием «механика
сплошных сред».
А ведь согласно современным представлениям мате*
рия состоит из отдельных частиц — атомов, молекулр
между которыми пустота, и все физические величины
изменяются порциями — квантами. Но квантовая
природа материи проявляется в масштабах столь малых, столь
труднодоступных непосредственному восприятию, что
мы пренебрегаем ею, отнюдь не считая это изменой
общепризнанной демокритовой концепции .о
зернистости всего существа.
Строя график в координатах «сечение провода—ток»,
проводя непрерывную линию над всеми без исключения
точками некоторого промежутка оси абсцисс, мы
заявляем тем самым, что сечение провода может равняться
любой величине из этого промежутка.
Что же говорить о тех временах, когда квантовая
теория еще не была создана, а концепция Демокрита не
была признана основой научных представлений о
материи? Непрерывность математических образов была
естественным и непременным требованием
употребительных систем мира — от Аристотеля («В отношении
сущего при отвлечении математик сохраняет только
141

количественную определенность и непрерывность*) до
Ньютона {«Я рассматриваю... математические
количества не как состоящие из очень малых постоянных частей,
а как производимые непрерывным движением»).
Отвечая этому требованию, математика разработала
систему вещественных чисел (под таким названием
объединяются числа целые, дробные и иррациональные).
Вещественные числа — совокупность непрерывная, и
потому оказалось возможным изображать их точками
прямой линии. С легкой руки Декарта функциональные
зависимости стали изображать графиками на
координатной плоскости. Так математика привыкла дополнять
понятие функции неявным предположением о
непрерывности аргумента.
А между тем математическое определение функции
вовсе не требует этого. И потому оно общезначимо для
всей математики, потому им пользуются и в дискретной
математике, бурно развивающейся в последнее время,
находящей все больший спрос у экономистов, биологов,
лингвистов.
Собственно говоря, в определении функциональной
зависимости не требуется и того, что ею должны
связываться только количества. Но традиция сильна и тут:
если соответствие устанавливается не между числами,
математик предпочитает слову «функция» слово
«отображение-.
У этой традиции тоже есть свои корни. Математика
исстари обслуживает науки, которые выражают свои
результаты в числах: механику, физику, химию.
«Измерить все измеримое и сделать измеримым все, что пока
не поддается измерению», — эти слова Галилея сделало
своим девизом все точное естествознание.
Не удивительно, что учение о функциях развивалось
по преимуществу как учение о функциях непрерывной
числовой переменной. Именно на этом пути оно пришло
к одному из наиболее значительных своих
достижений — дифференциальному и интегральному
исчислению.
Не удивительно и то, что все наши дальнейшие
примеры будут приводить лишь к функциям подобного рода
и на них будут поясняться существенные особенности
понятия функциональной зависимости.
142

График, построенный по данным «Энциклопедии
домашнего хозяйства», побуждает нас обратиться к
читателю еще с одним призывом к бдительности. В
разговоре о проводах и протекающих по ним токам отчетливо
ощущается то, что философы зовут
причинно-следственной связью. Ток, величина которого
рассматривалась нами как аргумент, есть причина нагрева проводов,
степень которого рассматривалась как функция.
Подобное характерно для большинства расхожих примеров
функциональной зависимости: функция является
выражением некоторого следствия, причину которого
выражает аргумент, И тем не менее не следовало бы
возводить такое представление в абсолют. Такая трактовка
сужает понятие функции. Функциональная
зависимость — не обязательно зависимость
причинно-следственная.
В большом многоквартирном доме номеру каждой
квартиры можно поставить в соответствие число людей,
в ней проживающих. И это будет функциональная
зависимость, вполне отвечающая ее каноническому
определению, хотя ни о каких причинах и следствиях здесь
говорить не приходится. Номер квартиры никоим
образом не определяет численность проживающей в ней
семьи.
Карл-Филипп-Теодор, курфюрст Пфалыдский, был не
чужд математики. Однажды, вспоминая прожитое, он
сказал: «Мне было X лет в году XV
Жозеф-Луи Лагранж, французский математик,
однажды беседовал с Симоном Пуассоном, только
начинавшим свой путь в науке, и, менаду прочим, сказал: *Я стар;
во время бессонных ночей я развлекаюсь числовыми
сравнениями. Гюйгенс был тринадцатью годами старше
Ньютона, я тринадцатью годами старше Лапласа. А
Лаплас тридцатью годами старше
143

В какой из этих исторических зарисовок больше
математического колорита?
По-видимому, ответ не вызывает сомнений: в первой.
Хотя курфюрст и не задал вопроса, его высказывание
воспринимается как формулировка задачи. Учтя, что
родился он в 1722 году, можно составить квадратное
уравнение для X и определить из него неизвестное: речь
идет о 1764 годе, когда курфюрсту было 42. В самом
деле, 422 = 1764.
Ну, а второе высказывание? Хотя это и слова
математика, никакого математического содержания в них не
видится.
Действительно, что из того, что Гюйгенс тринадцатью
годами старше Ньютона? Возраст человека — величина
переменная. Если второе высказывание рассматривать
на манер первого, как уравнение, то у этого уравнения
будет не одно решение, а много: 33 и 20, 34 и 21, 40 и
27, 55 и 42...
И все-таки на слова Лагранжа можно взглянуть с такой
точки зрения, с которой они покажутся гораздо
выигрышнее.
Свяжем функциональной зависимостью возраст
Ньютона и возраст Гюйгенса, обозначив их соответственно
через X и V, и запишем эту связь в привычном для
математиков виде: У = Х+ 13,
И тогда задавшись произвольным числом Хиз
множества лет, прожитых Ньютоном в одно время с
Гюйгенсом, мы тотчас сможем выяснить, как велико
соответствующее V, то есть сколько лет в тот момент было
Гюйгенсу.
Уже этот нехитрый пример демонстрирует важн; з
достоинство понятия функциональной зависимости: на
языке функций можно формулировать утверждения,
охватывающие собой целые множества, а не только
относящиеся к отдельным элементам этих множеств.
Математики в своих построениях пользуются
функциями весьма многочисленными и разнообразными. В
этой книге мы упомянем, естественно, лишь немногие
из них, наиболее употребительные.
144

С функцией «корень квадратный* мы познакомились
благодаря электротехнике. Но свести знакомство с нею
мы могли бы, например, в часовом ателье,
приглядываясь к тому, как мастер выверяет ход маятниковых часов.
Оказывается, их ходом управляет все та же функция
«корень квадратный»: именно такова зависимость
периода колебаний маятника от его длины.
Не откладывая на дальнейшее, поясним графиками те
функциональные зависимости, которые в своих
рассуждениях о размерах животных использовал Галилей, —
квадратичную и кубичную.
График, соответствующий первой из них, называется
параболой второй степени, или просто параболой.
Соответствующий другой — параболой третьей степени.
Указание степени считается обязательным, если она не
равна двум, —так о линиях, приведенных на следующих
графиках, говорят, что это параболы четвертой и пятой
степени.
О I 2
\|
2 *
от
Э степени
-1 О 1 2 *
4[
1
ъ
4
2
■if
* I
ч
I
0 12-
p
Бет
Заметим, что функции такого рода называются
степенными: каждому числу из области определения
функции ставится в соответствие некоторая его степень —
вторая, третья, четвертая и т.д.
145

Когда в Москве Кремлевские куранты отбивают шесть
часов утра, в Якутске уже полдень. Расположенный по
долготе восточнее столицы, город раньше встречает
солнце. Приезжие
москвичи в Якутске
переставляют свои часы на
шесть часов вперед.
Перенесемся теперь
на три века вспять.
Парусник в открытом море.
Как определить долготу
места, в кьтором он
находится? Очень просто,
если на корабле есть
часы, поставленные в
порту отправления.
Нужно измерить местное
время по солнцу и
сравнить с показаниями
часов. Расхождение
пропорционально разнице
по долготе между тем пунктом, где находится корабль,
и тем, в котором были поставлены часы.
Точный закон этой пропорциональности позволяет
вывести простое соотношение: тремстам шестидесяти
градусам земной
окружности соответствуют
двадцать четыре часа, за
которые Земля совершает
полный оборот вокруг своей
оси. Поэтому если часы
отстают по сравнению с
местным временем на
шесть часов, корабль
находится на 9Q* восточнее того
места, где были
поставлены часы. Спешат на четыре
часа — на 60* западнее.
ISO0
120°
90°
Ч«сы otcf «юг
f 1го°-
у*£.4„,й 150°
Сам 4>р«ииис*ю
4 6 8
10 n
146

Разумеется, для подобного определения долготы
нужны очень точные часы. А как можно требовать
точное™ от маятниковых часов, которыми снабжен
парусник? Их ход зависит от длины маятника, а она то и дело
меняется: теплый день сменяется прохладной ночью, и
во время плавания парусник приближается то к голубым
полярным льдам, то к пальмам тропиков. Тепло удлиняет
маятник, холод укорачивает. Такова неумолимая
реальность.
И все-таки нашелся
способ избежать неизбежного
зла. Чудо совершил в 1726
году английский часовой
мастер Джон Гаррисон.
Это удалось ему потому,
что он знал
функциональную зависимость длины
металлического стержня от
температуры, до которой
стержень нагрет.
Эту функцию (см.
график) описывает прямая
линия. Такая зависимость
называется линейной. Суть ее в том, что одинаковым
приращениям аргумента всегда соответствует одно и то
же приращение функции. Иначе говоря, функция
изменяется равномерно при равномерном
росте аргумента.
В нашем примере равномерному
нарастанию температуры соответствует
равномерное удлинение стержня.
Полное его удлинение пропорционально
начальной длине. Но что особенно важно —
стержни из разных металлов удлиняются
по-разному от одного и того же прироста
температуры. Скажем, цинк расширяется
примерно в три раза сильнее, чем сталь.
Этим и воспользовался Гаррисон: он
собрал маятник из цинковых и стальных
стержней так, как показано на рисунке.
Общая длина стальных стержней в три
раза превышала длину цинкоеых. Расши-
t
I Сталь
^и^Цинк
147

ряясь при нагревании и сокращаясь при охлаждении,
стержни взаимно компенсировали изменения своей
длины, и груз маятника оставался на одном и том же
расстоянии от точки подвеса.
Так что же, собственно, изобрел Гаррисон? Какова
математическая формула его изобретения? Как об этом
сказать в двух математических словах?
Читатель, видимо, заметил, что левый график внизу
отличается от предыдущего дополнительной линией.
Она показывает, как ведет себя при нагревании
изобретенный Гаррисоном маятник с компенсацией. Его длина
не зависит от температуры. Рассматриваемая как
функция температуры, она постоянна при всех значениях
аргумента. Такая функция называется постоянной, или
константой (вот откуда на графике появилось латинское
сокращенное const). Она тоже относится к классу линей-
0
V
ных — изображается все той же прямой линией.
Подобная независимость от значения аргумента —
простейший случай линейной зависимости. Здесь значение
функции можно назвать, не спрашивая об аргументе.
Мг непостоянных линейных функций простейшая,
пожалуй, та, значение которой всегда равно значению
аргумента. График этой функции — биссектриса
прямого угла, стороны которого — оси координат.
Любая другая прямая, исходящая из начала
координат, иллюстрирует случай, когда функция прямо
пропорциональна аргументу. Чтобы вычислить значение такой
функции, аргумент умножают на коэффициент пропор-
148

циональности. Эту величину называют еще константой
пропорциональности, или угловым коэффициентом: он
может служить мерой наклона соответствующей прямой
на графике. Чем больше угловой коэффициент, тем
круче нарастает функция по мерс роста аргумента. А
если угловой коэффициент меньше нуля—функция
спадает.
Линейной функцией такого вида пользуются, когда
определяют стоимость товара по весу или путь,
пройденный в равномерном движении! по времени:
коэффициентом пропорциональности в первом случае служит
цена, во втором — скорость.
На одной из предыдущих страниц, отметив, что не
всякую функциональную зависимость удается выразить
краткой формулой, мы не случайно в качестве примера
представили вам, читатель, ключ от дверного замка:
сейчас он в буквальном смысле послужит ключом к
X
V
■ i
к
V
1 1
t 1
1 1
щ
149

небольшой математической проблеме, к которой нас
подводит беседа о функциях.
Знаете ли вы, как таким ключом открывается дверной
замок? Что происходит внутри этого слесарно-механи-
ческого устройства, когда вы вставляете ключ в
замочную скважину и делаете положенное число оборотов?
Чтобы замок открылся, нужно провернуть барабан, в
котором сделана скважина. Но этому препятствует
штифты, стоящие тесным строем внутри скважины,
скользящие вверх*вниз. Каждый из штифтов нужно
поднять на такую высоту, чтобы их верхние торцы оказались
вровень с поверхностью барабана. Если они выступят за
нее, то войдут в прорезь обоймы, расположенную точно
над замочной скважиной; если не достигнут
поверхности барабана, то из прорези обоймы находящиеся там
штифты вдвинутся в замочную скважину. И в том и в
другом случае вращение барабана будет застопорено.
Штифты в замочной скважине поднимает ключ,
вдвигаемый в нее. При этом высота каждого штифта, будучи
сложена с высотой профиля ключа в соответствующей
точке, должна дать в сумме диаметр барабана. Только
тогда он провернется.
Ну а причем здесь функции? Да притом, что, С точки
зрения математика, вся эта механика есть не что иное,
как операция сложения двух функций. Одна из них — это
профиль ключа. Другая —линия, очерчивающая верхние
торцы штифтов, когда замок заперт. Операция
сложения функций состоит в том, что в каждой точке из общей
области их определения к значению одной функции
прибавляется значение другой. Тем самым
определяется, какое значение в данной точке имеет функция,
называемая суммой двух исходных.
Секрет дверного замка в том, что в результате
сложения двух функций, выраженных профилем ключа и
строем штифтов, получается функция-константа, постоянное
значение которой равно диаметру барабана.
Функции можно не только складывать, но и вычитать.
При этом в каждой точке области их определения из
значения одной функции вычитается значение другой.
Таким же образом происходит и перемножение
функций: в каждой точке значение одной умножается на
значение другой. Заметим: если одна из перемножае-
150

мых функций представляет собой постоянную, то про
другую в таком случае говорят, что ее умножили на
постоянный коэффициент. Например, про функцию,
выражающую прямую пропорциональность, можно ска*
затър что они получается в результате перемножения
двух простейших линейных функций — той, которая
равна своему аргументу, и постоянной, равной
коэффициенту пропорциональности.
I1'
2
/
■/.
1 *
¥
2
/
■/.
1 м
у,
J
—
4
к
1 A
7
1 К
А
2
(
1
i «
У1
Ц
м
V
у
д
Наконец, подобным образом можно определить
частное двух функций. Заметим: функция-делитель не дол ж*
на обращаться в нуль ни при одном значении аргумента
из ее области определения.
Итак» мы умеем теперь применять к функциям все
четыре арифметических действия. В этом и состояла
проблема, решить которую нам было необходимо для
продолжения разговора о функциях.
151

Пора опробовать в деле только что освоенные нами
действия над функциями. Возьмем линейную функцию,
выражающую прямую пропорциональность, и прибавим
к ней функцию-константу, В итоге получится линейная
функция самого общего вида, примеры которой нам
дали измерения длины нагреваемого металлического
стержня и определение долготы по часам. Постоянной
прибавкой в первом случае служила длина стержня при
начальной температуре, во втором — долгота того
места, в котором были поставлены часы.
Если линейную функцию самого общего вида
умножить на постоянную, она сохранит свой линейный вид.
Если сложить две произвольные линейные функции,
получится опять-таки линейная функция.
А если к произвольной линейной функции прибавить
параболу второй степени, умноженную на некоторый
произвольный коэффициент? В итоге возникнет опять-
таки парабола второй степени; правда, ее вершина при
этом сместится, если первое из слагаемых, линейная
функция, не константа. Формулой для такой
«смещенной » параболы служит квадратный трехчлен самого
общего вида.
у=Ьх+С
X
у
X
+а
Если складывгть постоянную и линейную функции,
параболы второй и более высоких степеней, то будут
получаться функции! называемые полиномами.
В разговоре о конкретном полиноме принято
указывать его степень. Она равна наивысшей из степеней
парабол, которые были слагаемыми при образовании
данного полинома. Поэтому, например, о квадратном
трехчлене говорят как о полиноме второй степени, о
152

линейной функции — как о полиноме первой, о
постоянной — как о полиноме нулевой степени.
Такая терминология не случайна. На предыдущих
примерах мы могли убедиться, что график полинома своей
формой обязан параболе наивысшей степени,
участвовавшей в его образовании. Так наклон графика
линейной функции, полинома первой степени сохраняется,
если к ней прибавить постоянную, полином нулевой
степени, А если к ней прибавить полином второй
степени, график станет параболой.
Вся богатейшая семья механизмов» окружающих
современного человека, начиналась когда-то с семи
простых машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот,
винт, наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти
нехитрые по теперешним представлениям устройства
умножали силу человека.
Но... во сколько раз выиграешь в силе — во столько
же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое
правило механики, заключающее в себе теорию семи
простых машин.
График, приведенный на этой странице, есть
наглядное выражение знаменитого правила. По
горизонтальной оси отложена сила, с которой, например, нужно
давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз
на заданную высоту, по вертикальной — расстояние,
которое пройдет при этом точка приложения силы.
Хотите обойтись силой, например, вдвое меньшей,
чем вес груза, — будьте готовы к тому, что эта точка
опустится на вдвое большее расстояние, чем высота
подъема груза. Троекратный выигрыш в силе влечет за
собой троекратный проигрыш е расстоянии и так далее.
153

Линияр выражающая такую функциональную
зависимость, называется гиперболой.
Если отвлечься от механической сущности графика,
то в чистом виде останется выражение обратной
пропорциональности. Именно в соответствии с ней хозяйка
делит пирог между гостями. Чем больше гостей — тем
меньше порции.
Закон обратной пропорциональности глядит на нас и
со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки,
и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда
чисел — метры и мегагерцы, длина волн и их частота.
Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь:
при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась
длина волны, во столько же раз упала частота.
График гиперболы можно увидеть в школьном
кабинете физики, на лабораторном столе» где
демонстрируются явления капиллярности. В штативе несколько
тонких стеклянных трубочек, расположенных в порядке
возрастания диаметров. Известно, что в тонком канале
смачивающая жидкость поднимается тем выше, чем
меньше его диаметр. Поэтому в самом узком канале
жидкость поднялась выше всего, в другом, диаметр
которого в два раза больше t — в два раза ниже, в
третьем, что толще первого в три раза, — в три раза
ниже и так далее.
А теперь опустим в эту же жидкость &такий клин,
образованный двумя стеклянными пластинками,
сомкнутыми по вертикальному ребру. В узкую щель между
- стеклами жидкость устремится, как в
капилляр. Высота ее подъема определится шири-
■ ной зазора. А он увеличивается равномерно
по мере удаления от острия клина. Поэтому
' свободная поверхность жидкости четко
вырисовывает гиперболу — график обратной
; пропорциональности.
Так как же все-таки возникла гипербола в стеклянном
клине?
154

В учебнике физики можно отыскать формулу И — k/d\
высота поднятия жидкости Н получается делением
некоторого коэффициента к на ширину капиллярного
зазора d. Зазор в стеклянном клине пропорционален
расстоянию от острия клина, иными словами, выражается
линейной функцией от этого расстояния, а коэффициент
определяется свойствами жидкости (поверхностным
натяжением, удельным весом) и с расстоянием от острия
клина не изменяется, остается постоянным. Итак, наша
гипербола получилась в результате деления
простейшей линейной функции, константы, на чуть более
сложную линейную функцию, выражающую прямую
пропорциональную зависимость.
Обе эти функции, как мы знаем, простираются и в
область отрицательных значений аргумента. Учтя это,
достроим график гиперболы до полного вида. На нуль,
правда, делить нельзя, так что в нуле гипербола не
определена, в ее область определения эта точка не
входит.
3
2
1
1 i ■
•0-1-10
¥
Г**
1 2 -
•
»
3
2
1
-з -1 -\s
У
0 13*
—
J
7
-7-1*
о i г *
—1
Факт обратной пропорциональной зависимости
можно выразить и иначе, сказав, что связанные ею
величины в произведении дают постоянную.
Вспомним примеры из предыдущего раздела —
скажем, пример с тортом. Когда число гостей росло, вес
порции уменьшался; произведение же этих двух
величин оставалось равным постоянному весу торта. А
пример с радиоприемником? Произведение длины
радиоволны на ее частоту всегда равно скорости света.
Заметим: объединяя в произведении зависимую и
независимую переменные, мы получаем примеры так
называемого неявного задания функции. Этот термин
употребляют во всех тех случаях, когда зависимая
переменная не выражена через независимую, а вперемешку
155

с ней, в различных сочетаниях входит в некоторое
математическое выражение, приравненное постоянной, а
чаще — нулю. Подставив в такое равенство значение
независимой переменной, соответствующее значение
зависимой подыскивают так, чтобы равенство
удовлетворилось. В этом и состоит закон соответствия, кото
рый определяет функцию, заданную неявным образом.
Сейчас много говорят об информационном буме.
Поток информации захлестывает: утверждают, что ее
количество удваивается каждые десять лет.
Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика
некоторой функции.
Примем объем информации в некоторый год за
единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом
дальнейших построений, отложим ее над началом
координат, в которых будет строиться график, по
вертикальной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над
единичной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта
отметка соответствует первому десятку лет. Еще вдвое
больший отрезок восставим над точкой «два*,
соответствующей второму десятку, еще вдвое больший — над
точкой «три»... Декада за декадой — избранные нами
значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси
в порядке равномерного нарастания, по закону
арифметической прогрессии: один, два, три, четыре... Значения
функции отложатся над ними, возрастая каждый раз
вдвое, — по закону геометрической прогрессии: два,
четыре, восемь, шестнадцать- (Нетруднозаметить, что
эти числа представляют собой последовательные
степени двойки — первую, вторую, третью, четвертую и так
далее.)
А что если посмотреть, как нарастал поток
информации до того года, который принят за начальный? Столь
же равномерно, откладывая единицу за единицей,
пройдемся по оси абсцисс влево от начала координат и над
отложенными значениями аргумента будем наносить на
график значения функции уже в порядке убывания —
вдвое с каждым шагом.
156

oi
Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной
гладкой линией — ведь количество информации
нарастает от десятилетия к десятилетию плавно, а не
скачками.
Перед нами график так называемой показательной
функции.
Как же определяется эта
функциональная зависимость,
обрисованная покуда лишь
легким росчерком пера?
По пути к строгой ее
формулировке мы предлагаем вам,
читатель, поразмышлять над
вопросом: во сколько раз
нарастает объем информации за
пятнадцать лет, если за декаду он
увеличивается вдвое?
Пятнадцать лет — это полторы декады.
Стало быть, ответ на поставлен*
ный вопрос дает высота
построенной нами кривой в точке с
абсциссой «полтора»: примерно в 2,83 раза. А теперь»
обратите внимание: абсциссе «один» на графике
соответствует первая степень двойки, абсциссе «два»
—вторая степень, абсциссе «три» —третья,.. Логично
заключить отсюда, что число 2,83 есть двойка в степени
полтора.
Точно таким же образом график укажет нам любую
другую степень двойки — целую или дробную,
положительную или отрицательную. Для этого стоит лишь
отложить показатель степени на оси абсцисс и измерить
в этой точке высоту кривой.
Итак, каждое значение нашей функции есть двойка в
степени, равной соответствующему значению
аргумента. Так и определяется показательная функция, описан-
ьая нами. Число, возводимое в степень (в нашем
примере им служила двойка), называется ее основанием.
И еще один термин: график показательной функции
именуется показательной кривой. Иногда эту линию
называют экспонентой (от латинского
«ехропеге»—«выставлять напоказ»)- Многим этот термин знаком по
расхожему словосочетанию «экспоненциальный рост*, вы*
157

ражающему наиболее броскую черту показательной
кривой, — ее безудержно крутой взлет.
Примеры подобного роста подыскать нетрудно.
Показательная функция непременно встречается при
математическом описаний таких процессов, в которых
скорость изменения некоторого количества в каждый
момент пропорциональна самому количеству.
По такому правилу размножается все живое: приплод
пропорционален достигнутой численности. По закону
все более крутого, экспоненциального роста
увеличивается колония микробов в чашке Петри. По такому же
закону плодились кролики, за короткий срок
заполнившие Австралию.
Природа знает и примеры экспоненциального спада,
когда скорость убывания некоторого количества в
каждый момент пропорциональна остатку (а стало быть,
уменьшается вместе с ним; в этом — характерная черта
экспоненциального спада).
Скорость химической реакции сохраняет
пропорциональность количеству реагирующих веществ по мере
того, как они расходуются с течением времени. (В этой
пропорциональности заключается один из важнейших
законов химии — так называемый закон действующих
масс.) Скорость радиоактивного распада точно так же
соразмерна с количеством еще не распавшихся атомов.
И термин «период
полураспада» прекрасно отражает
экспоненциальный характер
процесса: по прошествии этого
периода число нераспавших-
ся атомов сокращается
вдвое, еще период спустя —
вчетверо и так далее. Если
процесс изобразить графиком, то ординату любых двух
точек кривой всегда будут отличаться ровно в два раза,
если их абсциссы разнятся на величину периода
полураспада. Иными словами, когда аргумент изменяется по
закону арифметической прогрессии, функция
изменяется по закону геометрической прогрессии (на сей раз
убывающей). А в этом — определяющая особенность
показательной функции.
158
т
ч
"о
О
Г-н
*^
1
Г
■риСЦ
гт
i Полураспаде
ЭГ |

Проницательный читатель отметил некоторую
неполноту, узость нашего описания показательной функции.
Строя ее график за разговором об информационном
буме или радиоактивном распаде, мы каждый раз
разбивали горизонтальную ось координат на отрезки
равной длины и над засечками расставляли точки так, чтобы
каждая последующая располагалась вдвое выше или
вдвое ниже предыдущей.
Ну а если бы количество информации возрастало с
каждым десятилетием не в два, а, скажем, в два с
половиной раза? И соответственно по такому же закону
изменялась бы высота точек, наносимых на
координатную плоскость. Что, в результате получился бы график
уже не показательной функции?
Показательной. Но только с другим основанием»
равным двум с половиной. Новый график, в общих чертах
напоминая прежний, устремлялся бы ввысь уже с не*
сколько большей скоростью.
7
е
4
3
2
l
-а -1
У f
11
?
/
0 1 2
1
6
%
4
3
J
Г
1
* I
»|
/
Всмотритесь в него: высота кривой над делениями
горизонтальной оси равна последовательным степеням
числа два с половиной: минус первая его степень равна
четырем десятым, нулевая—-единице, первая — двум с
половиной, вторая — шести с четвертью и т.д.
Беря в качестве основания все новые положительные
числа, мы получали бы все новые показательные
функции. Не стоило бы только назначать на роль основания
159

единицу — ведь она остается собой при возведении в
любую степень, так что показательная кривая
выродилась бы в горизонтальную прямую. Но есть среди всех
чисел такое, которое чаще всех прочих служит
основанием показательной функции. О нем как-то раз у нас уже
заходила речь: это — число е, равное 2,71828.,. Выбор
пал на него о силу важных его достоинств,
распространяться о которых мы пока не имеем возможности.
. Так что если в разговоре о показательной функции ее
основание не указывается, знайте, что им служит
число е.
Сколько звезд на небе?
Одним из первых, кто попытался точно ответить, на
этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх.
При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая
звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как
люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие
исследователи могли следить за возникновением и угасанием
звезд» Гиппарх составил свой звездный каталог. Он
насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому
блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал
звездами первой величины, заметно менее 'яркие —
второй, еще столь же менее яркие—третьей и так далее
в порядке равномерного убывания видимого блеска —
до звезд, едва видимых невооруженным глазом,
которым была присвоена шестая величина.
Когда ученые получили в свое распоряжение
чувствительные приборы для световых измерений, стало
возможным точно определять блеск звезд. Стало
возможным сравнить, насколько соответствует данным таких
измерений традиционное распределение звезд по
видимому блеску, произведенное на глаз.
Оценки того и другого рода сведем на одном графике
От каждой из шести групп, на которые звезды
распределил Гиппарх, возьмем по одному типичному
представителю. По вертикальной оси, будем откладывать блеск
звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную
величину, по горизонтальной — показания приборов. За мае-
160

штабную единицу горизонтальной оси примем блеск
звезды «В Тельца-», стоящей посредине в ряду
представителей звездного сонма.
I ¥
-1
-г
7
12345
7 6 9 10 «
Сразу же бросается в глаза: отметки на
горизонтальной оси располагаются неравномерно. Объективные
(прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска
не пропорциональны Друг другу.
С каждым шагом по шкале звездных величин прибор
регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же
величину, как могло бы показаться, а примерно в два с
половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает
источники света по блеску, задаваясь вопросом «во
сколько раз?», а не вопросом «на сколько?». Мы отмечаем не
абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда
нам кажется, что он возрастает или убывает
равномерно, в действительности мы шагаем по его шкале все
более размашистыми шагами, покрывая при этом
поистине гигантский диапазон: в миллион миллионов раз
различаются по блеску источники света, самый слабый
и самый мощный, воспринимаемые человеческим
глазом.
По тому же закону мудрая природа проградуироеала
и наш слуховой аппарат. И оттого диапазон звуков,
внятных человеческому уху — от шелеста листвы до
раскатов грома над головой, — почти столь же широк.
Кстати сказать, именно в силу описанной
физиологической особенности звезды, ярко горящие на ночном
небе, не видны днем, тонут в ослепительном блеске
солнца, рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние
звезд дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в
первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению
с мерцанием неба, во втором же (днем) составляет
6-460
161

весьма незначительную долю от солнечного блеска
(менее чем миллиардную даже для самых ярких звезд}.
Оттого и гаснут звезды в лунах утренней зари.
Оттого же и голос солиста, когда его пение подхваты-
вает хор, тонет в многоголосом звучании.
Суть функциональной зависимости, описанной нами
на примере зрения и слуха, в том, что возрастанию
аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует
одно и го же приращение функции. Когда аргумент
меняется по закону геометрической прогрессии,
функция меняется по закону арифметической.
Как же называется функция, с которой мы
познакомились по звездному графику?
Прежде чем отвечать на этот вопрос» мы предложим
вам, читатель, несколько других. Вы без труда ответите
на них, обратившись к первому из графиков,
приведенных на стр. 159.
В какую степень нужно возвысить два с половиной,
чтобы получить шесть с четвертью? Во вторую, отвечает
упомянутый график. А в какую степень нужно возвысить
два с половиной, чтобы получить четыре десятых? В
минус первую. А чтобы получить два с половиной? В
первую. А единицу? В нулевую.
Число, которое нужно употребить показателем
степени при указанном основании для того, чтобы получить
заданное число, называется логарифмом заданного
числа по указанному основанию.
Минус один, нуль, один, два — это логарифмы по
основанию 2,5 для чисел 0,4; 1; 2,5; 6,25.
А теперь, не выпуская из памяти всю эту информацию,
вернемся к нашему звездному графику. Вот точка с
пометкой «v Дракона А»: абсцисса — около четурех
десятых, ордината — примерно минус один. Вот точка «5
Тельца»: абсцисса — один, ордината — нуль. Точка «у
Персея»: абсцисса — два с половиной, ордината —
один. Точка «Кастор»: абсцисса — шесть с четвертью,
ордината — два.
162

Итак, ординаты выделенных точек графика являются
логарифмами абсцисс, взятыми по основанию два с
половиной. Выраженная графиком функциональная
зависимость заключается в том, что положительным
числам ставятся в соответствие их логарифмы. Такую
функцию естественно назвать логарифмической. А ее график
именуют логарифмикой.
В роли основания логарифмов встречаются
различные положительные числа. На практике весьма
употребительны десятичные логарифмы, основание которых
равно десяти. В теоретических исследованиях
популярнее так называемые натуральные логарифмы,
основанием которых служит уже знакомое нам число е.
Теперь становится понятным общепринятое и, быть
может, уже слышанное вами название этого числа:
«основание натуральных логарифмов*.
Кривая натурального логарифма, так называемая на-
гуральная логарифмика, приведена на стр. 159 рядом
со звездным графиком.
Почему летом теплее, чем зимой?
Иногда в ответ на этот вопрос слышишь: потому что
Земля, двигаясь по своей орбите, зимой находится от
Солнца дальше, чем летом.
Но это совершенно неверно! Ведь орбита Земли —
это почти круг, в центре которого находится Солнце,
Расстояние нашей планеты от светила меняется
слишком незначительно от месяца к месяцу, чтобы это было
причиной смены времен года.
Все дело в наклоне земной оси по отношению к
плоскости земной орбиты.
Взгляните на рисунок: зимой в умеренных широтах
солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи
лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего
подъема над горизонтом солнце приближается к зениту,
его лучи падают почти отвесно на те же участки земного
шара.
Поток энергии, идущей от Солнца, одинаков во все
времена года- Но в зависимости от наклона солнечных
tf 163

лучей она по-разному распределяется по земной
поверхности. Больше всего ее приходится на заданный
участок поверхности при отвесном падении света. Чем
меньше угол, который образуют лучи с поверхностью,
тем меньше их приходится на тот же участок.
Перпендикуляр к плоскости
^- Эй mj
ш северном
полуширин
OtTD
■ ЧмнОМ
полушарии
Попытаемся определить точно: какая доля солнечной
энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости
при отвесном падении лучей, приходится на него при
наклонном падении лучей под тем или иным углом?
На поставленный вопрос можно ответить, проследив
эволюцию жирно очерченного прямоугольного
треугольника на приведенных рисунках (средний из них
^<эо° Л*Г Ьв
БС стал равным BD
и слился с АВ
брать во внимание пока не будем). Гипотенуза АВ, на
которую падают солнечные лучи, всюду одна и та же, А
164

вот катет ВС, через который в треугольник входят
освещающие гипотенузу лучи, составляет лишь часть
отрезка BD, обозначающего на всех рисунках ширину
светового потока. Доля потока, приходящегося на гипотенузу,
очевидно, равна отношению BC/BD.
Вот теперь настало время обратиться к среднему
рисунку. Судя по нему, ширина светового потока BD
равна длине гипотенузы ЛВ. Стало быть, интересующая
нас доля солнечной энергии равна отношению
вышеуказанного катета к гипотенузе: ВС/АВ.
Это отношение равно 0.5, когда угол падения лучей
составляет 30*, приблизительно равно 0.7, когда этот
угол увеличивается до 45', а при угле 90", то есть при
отвесном падении лучей, оно, как и следовало ожидать,
в точности равно 1 — в этом случае катет ВС сливается
с гипотенузой АВ*
Как меняется это отношение в зависимости от угла
падения, удобнее судить, если все жирно очерченные
прямоугольные треугольники собрать в одну связку, где
их катеты расположены параллельно друг другу, а
гипотенуза стала радиусом некоторой окружности. И если
задан угол, под которым солнечные лучи встречаются с
освещаемой поверхностью, нужно отложить его на этой
круговой диаграмме, из точки пересечения его наклон-
ной стороны с окружностью опустить перпендикуляр на
горизонтальный диаметр и взять отношение этого
перпендикуляра к радиусу окружности. Иными словами, в
16&

прямоугольном треугольнике с заданным углом нужно
езягь отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Полученное число и укажет интересующую нас долю
солнечной энергии.
Число, определенное таким образом и* поставленное
в соответствие углу, для которого оно определялось,
называется синусом этого угла. Выше приведен график
описанной функциональной зависимости.
Читателе конечно, узнает не раз виденную синусоиду.
Если что-то и кажется здесь непривычным, так это
неестественно малая протяженность кривой. Обычно ее
рисуют безгранично разбегающейся вдоль оси абсцисс,
волна за волной*
Продолжим синусоиду, переведя разговор о ней на
темы электротехники.
Почему трамвай работает на постоянном токе?
Студенческий фольклор отвечает на этот вопрос так: если
бы он работал на переменном, рельсы пришлось бы
укладывать по синусоиде.
Шутка напоминает о том,
что переменный ток
изменяется во времени по
закону синуса.
Откуда же здесь берется
синусоида? Обратимся к
упрощенной схеме дина-
момашины — источника
переменного тока. Ток
возникает в рамкер которая равномерно вращается в
однородном магнитном поле. Величина тока определяется
скоростью изменения магнитного потока,
пронизывающего рамку.
Следующие рисунки показывают последовательные
стадии этого изменения. Величина магнитного потока,
пронизывающего рамку, обозначена фигурной скобкой.
Эта величина максимальна, когда рамка
перпендикулярна потоку (третий рисунок). Когда рамка наклоняется,
доля пронизывающего ее потока уменьшается и
обращается в нуль, когда рамка располагается вдоль потока
(шестой рисунок). Как же в точности определить
зависимость этой доли от угла поворота рамки?
166

Чтобы облегчить решение поставленной задачи, мы
достроили последний рисунок так, что рамка стала
гипотенузой прямоугольного треугольника ABC и
фигурная скобка отметила длину его катета ВС. Теперь уже,
надеемся, ясно, что интересующая нас доля магнитного
потока равна отношению катета ВС к гипотенузе АВ, то
есть синусу угла поворота рамки (этот угол помечен
дужкой на последнем рисунке). За подтверждением
такого вывода можно обратиться к рисункам на стр. 165 и
сравнить любой из нарисованных там треугольников
ABC с нарисованным здесь.
Поскольку рамка вращается равномерно, угол её
поворота может служить мерой времени. Все сказанное
позволяет заключить: магнитный поток,
пронизывающий рамку, меняется во времени по закону синуса.
По мере вращения рамки магнитный поток
пронизывает ее то с одной, то с другой стороны, и это
выражается в сменах его знака — в полном соответствии с
течением синусоиды. Оборот за оборотом — нарастания
и спады потока в точное™ повторяются снова и снова.
Так вдоль оси абсцисс одна за другой выстраиваются
волны синусоиды, похожие друг на друга, как две капли
воды.
Но это лишь график магнитного потока. Теперь нужно
оценить, какова в каждый момент времени скорость его
изменения — она-то и определяет ток в рамке.
О том, как это делается, мы поговорим позже, когда
речь пойдет о дифференциальном исчислении. А пока
приведем без пояснений соответствующий график.
Он имеет вид синусоиды, сдвинутой на четверть
волны влево. Точное название этой кривой — косину-
167

соида. Однако очень часто из-за сходства с синусоидой
ее ошибочно называют так же. В этом нет ошибки лишь
в том случае, если начало отсчета аргумента не указано.
Б40а
Стоит отметить, что косинусоида, если рассматривать
ее как функцию угла, имеет столь же тесное отношение
к прямоугольным треугольникам, что и синусоида. Если
построить прямоугольный треугольник с заданным
углом и измерить отношение катета, прилежащего к
этому углу, к гипотенузе, то получится величина,
называемая косинусом. Ее зависимость от угла и описывает
косинусоида.
168

Наконец, для каздого значения угла, при котором
строится прямоугольный треугольник, можно измерить
отношение катетов —скажем, противолежащего к
прилежащему. Эту величину называют тангенсом.
Любитель математических выкладок без труда убедится в
том, что тангенс угла равен отношению синуса этого
угла к косинусу.
Определенные формулы связывают описанные
функции и попарно: синус с косинусом, синус с тангенсом
тангенс с косинусом. Эти связи проистекают из того» что
все три функции породнены прямоугольным
треугольником, через который они определяются. От греческого
имени треугольника — «тригонон» — произошло
собирательное название «тригонометрические функции». К
ним, кроме синуса, косинуса и тангенса, относятся еще
косеканс, секанс и котангенс, соответственно
получаемые из перечисленных по правилу обратной
пропорциональности.
В коллекции математических шуток есть такой вопрос:
каким по величине покажется угол в пять градусов, если
его разглядывать в лупу с десятикратным увеличением?
Угол, конечно же, не изменится. Ответ как будто
очевиден. И все-таки давайте обсудим этот
оптико-геометрический феномен пообстоятельнее.
На рисунках — одна и та же фигура, но выполненная
е разных масштабах, словно рассматриваемая через
лупы со все большим увеличением. Все сильнее
удлиняются стороны треугольников, радиус окружности. Но
присмотритесь: они увеличиваются всегда в одно и то
же число раз. Отношения их длин не изменяются.
Эта неизменность естественным образом связана с
постоянством углов на наших разномасштабных
рисунках: ведь рисунки подобны друг другу. Такая связь
некогда и подсказала математикам мысль: мерить углы не
традиционными градусами, а числами — отношениями
линейных элементов тех фигур, которым принадлежат
углы.
169

Элементы, которые наиболее удобно использовать
для этой цели, мы вычертили пожирнее. Они образуют
сектор. Можно разделить длину дуги сектора на его
радиус и частное назвать величиной секториального
угла (на рисунках он сггмечен дужкой).
Хороша ли такая мера? Однозначна ли? Не приведет
ли к недоразумениям? Давайте разберемся.
Представьте, что на каждом рисунке исчезло все,
кроме сторон угла, о котором идет речь. Проведем дугу
с центром в вершине этого угла, от одной его стороны
до другой. Каким бы ни был радиус дуги, огромным ли,
крохотным ли, возникший сектор будет подобен тем
секторам, что выделены на прежних рисунках. Точно
таким же будет отношение длины дуги, стягивающей
угол, к ее радиусу. А это значит, что предложенный
метод определяет величину угла совершенно
однозначно.
Описанный способ измерять углы называется радиан-
ной мерой»
Освоить ее нетрудно. Известно, что длина окружности
радиуса R равна 2лЛ. Следовательно, полный угол,
который она охватывает, будет равен 2л, если его
измерять только что описанным способом. Прямой угол,
вчетверо меньший полного» тогда выразится числом л/2,
угол в 45* — числом л/4, в 30" — числом л/6 и так далее.
170

Если радианную меру вам захочется обратить в
градусную и наоборот, учтите, что они пропорциональны
друг другу и закон пропорциональности таков: угол в Г
выражается в радиан ной мере числом 0,017453... а
угол, равный единице в радианной мере, в градусной
составляет 57*1744,8"... (дуга окружности, стягивающая
такой угол, по длине равна своему радиусу).
И пусть вас не удивляет, если в дальнейшем мы будем
говорить «синус двойки», «тангенс половины». Зная, как
соразмерены градусная и радианная меры, вы можете
прикинуть в уме: двойка — это примерно сто
четырнадцать градусов, половина — чуть меньше двадцати
девяти.
Такой пересчет удобен на первых порах знакомства с
радианной мерой. Надеемся, что впоследствии вы
убедитесь, что она гораздо удобнее градусной.
Вы увидите, например, что тригонометрические
функции встречаются не только в задачах, связанных с
углами, поворотами, вращением. Если аккуратно снять
шкурку с пластика колбасы, порезанной наискосок, то
эта гибкая полоска, расправленная на столе, лревратит-
ся в волну синусоиды. А вот пример посерьезнее. По
синусоиде изгибается линейка, сжатая с концов, упругая
балка под непомерной нагрузкой.
£ 2
2
Как поточнее перенести форму прогнувшейся линей'
ки на график? Какие единицы откладывать по ооризон*
171

тальной его оси? Аргумент синуса мы привыкли
выражать в градусах. Но как измерить в них расстояние
между концами прогнувшейся линейки?
Вот тут и обнаруживает свои преимущества радиан-
ная мера. Выберем единицу измерения так, чтобы
расстояние между концами линейки выражалось числом к.
Отрезок такой длины отложим на оси абсцисс и
построим на нем график синуса.
Несколько характерных точек можно нанести на
график сразу. Синус прямого угла, как известно, равен
единице, а радиан ная мера прямого угла — тс/2. Это
число соответствует середине отрезка, отложенного на
оси абсцисс, — значит над ней следует поставить точку
с ординатой, равной единице. Синус 30" равен полови-
не, а радианная мера этого угла — тс/6. На графике
появляется еще одна точка с координатами п/6 и 1/2.
Так, точка за точкой на координатной плоскости
возникает аккуратная синусоида.
« ...А за окном то сверх взлетали, то вниз ныряли
провода*»$ — вот непременный штрих картины, которую
видит из вагонного окошка пассажир поезда дальнего
следования.
Впрочем, чтобы увидеть эти красивые взлеты и спады,
не нужно отправляться в дальнюю дорогу. Ведь точно по
такому же закону провисает и цепочка ходиков, и верев-
jca, на которую хозяйка собирается вешать белье.
Оказывается, этот изящный прогиб математически
описывается полусуммой двух экспонент — одна с
плюсом, другая с минусом перед аргументом. Называется
такая функция цепной линией.
Есть у нее и другое название — гиперболический
косинус. Оно связано с чисто математическими
свойствами функции и, казалось бы, затеняет- ее связи с
физической реальностью. Это не так: абстрактность
второго названия при желании можно понять как
указание на то, что цепная линия пригодна не только для
математического описания провисающих проводов и
веревок.
172

Эта красивая функция задает, например, форму
мыльной пленки, натянутой между двумя проволочными
кольцами: если посмотреть на эту прозрачную трубку сбоку,
ее абрис будет представлять собой цепную линию.
О 1
Гиперболический
косинус
е +е
Гиперболический
синус
shx=*
Коль скоро речь пошла о гиперболическом косинусе,
нельзя не упомянуть о гиперболическом синусе —
полуразности экспонент, одна с плюсом, другая с минусом
перед аргументом.
Существует в математике и гиперболический тангенс,
который, как и в тригонометрии, конструируется в виде
отношения синуса и косинуса, разумеется,
гиперболических.
Определение тангенса — не единственная аналогия
между функциями гиперболическими и
тригонометрическими. Формулы, связывающие между собой
гиперболические функции, весьма похожи на формулы для
тригонометрических функций.
Функции, о которых мы рассказывали до сих пор,
называют элементарными. То же звание носят их
всевозможные комбинации с помощью знаков сложения,
вычитания, умножения, деления, извлечения корня.
Употребляя понятия, речь о которых еще впереди,
скажем ради полноты, что обратные и сложные функции
173

полученные из перечисленных, также называются
элементарными.
Не нужно думать, что в математике есть принцип
отбора, по которому функции зачисляются в разряд
элементарных. Так распорядилась история. Функции,
названные элементарными, раньше, чем прочие,
появились в математике и сыграли важную роль в ее развитии
и ее приложениях. Опыт их использования богат, их
символы привычны.
2 it
Если быть строгим, то надо признать, что функций,
изображенная на рисунке (ее называют «абсолютная
величина X», или «модуль X»), столь же элементарна, как
и линейная функция.
А функция Хевисайда, изображение которой
приведено следующим? Состоящая из двух горизонталей, она-
то уж совсем элементарна. Но появившаяся в
математике на рубеже прошлого и
нашего веков, она уже не получи*
лэ звание элементарной.
...«Бросая в воду камешки,
смотри на круги, ими
образуемые, иначе такое бросание
будет пустою забавою».
Последуем совету мудрого Козьмы
Пруткова и понаблюдаем за
кругами на воде. Вот что мы
увидим, если остановим
мгновение и рассечем пополам
водную толщу.
* Просматривая атлас функций — не найдется ли там
чего похожего? — мы бы крикнули «эврика!» на
странице, где изображены так называемые функции Бесселя.
174

Функции Бесселя рождены для того, чтобы описывать
процессы в цилиндрических структурах. Колебания
жидкости в топливном баке взлетающей ракеты, поведение
-»•
плазменного шнура в магнитном поле, распространение
тепла вокруг тепловыделяющего стержня в ядерном
реакторе *— в любом из этих случаев найдется
применение функциям Бесселя.
Для этих функций введен особый символ, для них, как
для синусов и логарифмов, составляются таблицы,
однако в разряд элементарных они не занесены.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
Современная математика знает множество функций,
и у каждой свой неповторимый облик» как неповторим
облик каждого из миллиардов людей, живущих ва
Земле.
Однако при всей непохожести одного человека на
другого у каждого есть руки и голова, уши и рот.
Точно так же облик каждой функции можно
представить сложенным из набора характерных деталей. В них
проявляются основные свойства функций.
Функции — это математические портреты устойчивых
закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы
проиллюстрировать характерные свойства функций, нам
показалось естественным
@
8.
О
£
О
ш
1
Продвижение в лес
Количество масла
обратиться к пословицам.
Ведь пословицы — это тоже
отражение устойчивых
закономерностей, выверенное
многовековым опытом
народа.
«Чем дальше в лес, тем
больше дров», — гласит
пословица. Изобразим
графиком, как нарастает
количество дров по мере
продвижения в глубь леса — от опушек,
где все давным-давно
собрано, до чащоб, куда еще не
ступала нога заготовителя.
Горизонтальная ось
графика — это лесная дорога. По
вертикали будем отклады*
176

аать (допустим, в кубометрах) количество топлива на
данном километре дороги.
График представит количество дров как функцию
пути.
Согласно пословице эта функция неизменно
возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более
дальней (чем дальше в лес.) значение функции будет
больше (... тем больше дров). Такое свойство функции
называется монотонным возрастанием.
Сходное свойство иллюстрирует и пословица «Каши
маслом не испортишь»*. Качество каши можно
рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно
пословице эта функция не уменьшится с добавкой
масла. Она, возможно, увеличится, но может оставаться
и на прежнем уровне. Подобного рода функции
называются монотонно неубывающими*
Чувствуете ли вы, читатель, разницу между дровами
и кашей? То бишь между монотонным возрастанием и
монотонным неубыванием?
Возрастание — это только вверх. Неубывание — это
либо вверх, либо ни вверх, ни вниз. Возрастание —
частный случай неубывания. Например, всюду
постоянная функция (константа) принадлежит к числу
неубывающих, хотя она ни на одном участке своей области
определения не возрастает.
«Дальше кумы — меньше греха».
Функция, которая показывает, как изменяется мера
греха по мере удаления от ffl,
кумы, монотонно убывающая. й I
p-L
я
CL
О)
«Выше меры конь не ска*
чет*. Если изобразить
траекторию скачущего коня, то
высота скачков в полном
соответствии с пословицей будет
Расстояние до кумы
1Т7

ограничена сверху некоторой «мерой».
Вот знакомый график синуса. И здесь есть своя мера,
выше которой не вздымаются волны синусоиды. Такой
мерой, такой непреступаемой верхней гранью может
послужить и десятка, и семерка, и тройка, и единица.
уа1вп* Единица среди всех
перечисленных величин
Тонная версия» грань ' Н* ОСОбОМ ПОЛОЖенИИТ
-у*~ \ это точная верхняя грань
О80" 2™а х для значений синуса.
-1
9ов >^~Ужг В каком же смысле
Точная нижняя грань
она точна? В том, оче-
1 видно, что понизить ее
уже нельзя. Для любого
. уровня, что ниже точной
верхней грани, найдутся значения функции, его
превосходящие. В этоКл одно из двух отличительных свойств
точной верхней грани. А другое и совсем очевидно: ее
не превосходит ни одно значение функции.
Обратите внимание на это выражение: «не
превосходит». Это значит «меньше или равно». Синус и в самом
деле кое-где равен единице — в точках, соответствую*
щих макушкам волн* Во всех остальных он меньше
единицы.
Есть у значений синуса и точная нижняя грань—минус
единица.
Есть точная нижняя грань и у значений показательной
функции — нуль. Правда, в отличие от минуса, который
в некоторых точках равен по величине своей точной
нижней грани, у показательной функции нет ни одной
точки, где она обратилась бы в нуль. Как говорят,
показательная функция своей точной нижней грани не
достигает.
Это, разумеется, не мешает нулю служить точной
нижней гранью для показательной функции. Во-первых,
для любого уровня, даже чуть-чуть выше нуля, найдутся
точки кривой, лежащие под этим уровнем. Во-вторых,
ни одна точка кривой не лежит ниже нуля. Нуль
обладает, таким образом, обоими отличительными свойствами
точной нижней грани.
Сверху же никаких ограничений для показательной
функции не существует. Назначьте любой уровень—как
178

бы ни был он высок, найдется значение функции еще
большее. (Отметьте про себя эту фразу: в ней —
определение функции» неограниченной сверху.)
Однако показательная функция способна и на
большее: превзойти любой назначенный уровень не только
в одной, но сразу во всех лежащих правее, более
далеких от нуля, точках. А это уже не простая
неограниченность. Про такую функцию говорят, что она стремится к
бесконечности при бесконечном возрастании
аргумента.
Чувствуете ли вы, читатель, тонкую разницу между
неограниченностью и стремлением к бесконечности?
Если нет, то специально для вас мы выведем на эту
страницу, как на цирковую арену, своего
математического коня, который способен скакать выше любой меры.
Мы заставим его допрыгивать до все больших значений
показательной функции.
Если представить траекторию коня как график
некоторой функции, то это будет функция неограниченная:
любую высоту наш конь возьмет в каком-то из прыжков.
Но выше превзойденного уровня он не останется
навсегда. Такую функцию, хотя она и неограниченная,
нельзя назвать стремящейся к бесконечности.
Просматривая графики функций, о которых
говорилось раньше, мы не раз найдем приложения только что
сформулированным понятиям.
Вот, например, логарифм. Он неограничен снизу:
какой уровень ни назначь — каждый раз, как бы ни был
низок этот уровень, найдется значение логарифма еще
ниже.
179

Нельзя не заметить: рекорды глубины логарифм бьет
один за другим при значениях аргумента, все более
близких к кулю. Говорят, что логарифм неограничен
снизу в окрестности нуля.
Про логарифм можно сказать и больше: его кривая
способна опуститься ниже любого назначенного уровня
не только в одной какой-то точке, близкой к нулю, но
сразу во всех точках некоторой окрестности нуля
(ширина окрестности, разумеется, зависит от того, какова
назначенная глубина). Это означает, что логарифм
стремится к минус бесконечности при стремлении аргумента
к нулю.
«При стремлении аргумента к нулю справа»,—уточнит
нас, пожалуй, дотошный читатель. И тем самым даст нам
повод к рассказу о том, как и зачем математики иногда
не обращают внимания на знаки чисел.
Плюс десять и минус десять — это, конечно, числа
разные. Но математик скажет, что они одинаковы по
абсолютной величине. Этот обобщающий термин
позволяет математику говорить, что гипербола стремится
к бесконечности при стремлении аргумента к нулю, что
парабола и линейная функция бесконечно возрастают
при бесконечном возрастании аргумента. Без у помина*
ния знаков плюс и минус бесконечное возрастание
понимается как возрастание по абсолютной величине. А
когда говорят о стремлении аргумента к какой-то точке,
не упоминая о знаках «плюс» и «минус», о левой и правой
ее окрестностях, считается, что он может стремиться к
ней с любой стороны.
«Пересев хуже недосева», — издавна говорили земле*
дельцы. Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь
до некоторой поры растет вместе с плотностью посева,
дальше он снижается, потому что при чрезмерной
густоте ростки начинают глушить друг друга.
160

f(a)- Максимум
Точка
, максимума
а1/ к
Плотность посева
Эта закономерность станет особенно наглядной, если
изобразить ее графиком, где урожай представлен как
функция плотности посева. Урожай максимален, когда
поле засеяно в меру.
Максимум — это наибольшее зна- *|
чение функции по сравне- о
нию с ее значениями во всех £
соседних точках. Это как бы
вершина горы, с которой *-
все дороги ведут только
вниэг куда ни шагни.
В примере с урожаем
дело обстоит точно так же,
как в той застольной
ситуации, которую описывает по-
словищ «Недосол на столе — пересол на спине».
Качество пищи зависит, является функцией от количества
соли в ней. Мало соли — невкусна, много — тоже в рот
не возьмешь. А где-то в промежутке, в золотой
середине, когда соли в самый раз, кушанье становится
особенно лакомым. В этой точке кулинарная функция достигает
максимума. Малейшей щепотью соли больше или
меньше—и дегустатор с утонченным вкусом скажет, что
качество пищи снизилось.
Есть у максимума антипод — минимум. Минимум —
это как бы дно впадины, из которой, куда ни шагни, все
дороги ведут только вверх.
Правда, если шагать
все
дальше,хвозрастание где-то может
смениться и спадом. Про
минимум говорят тогда,
что он локальный.
Звание абсолютного
минимум получает лишь
тогда, когда это
наименьшее значение
функции для всей
области определения.
Если ла всем ее
протяжении локальных минимумов несколько, то абсолютный
нужно еще поискать. Может, кстати, оказаться, что функ-
Наиболъшве значение на отрезке [a,fcj
Локальные максимумы
Наименьшее значение

ция принимает наименьшее значение в граничной точке
области определения. (Все сказанное легко
перефразируется по отношению к наибольшему значению,
абсолютному и локальным максимумам.)
В семье элементарных функций, которая поставляла
примеры для наших предыдущих рассуждений,
большинство составляют функции,, л ибо всюду
возрастающие, либо всюду убывающие. Такое преобладание
отнюдь не характерно Для всего огромного мира
функциональных зависимостей. На практике гораздо чаще
приходится иметь' дело с такими представителями этого
мира, которые наделены обоими качествами: местами
они возрастают, местами убывают. Участки убывания и
возрастания стыкуются в точках максимумов и
минимумов. Подобное можно увидеть у параболы или
синусоиды. Проследите эти графики слева направол от меньших
аргументов к большим: в точке минимума спад
сменяется ростом, в точке максимума — наоборот. Общая
стыкующая роль максимумов и минимумов
подчеркивается их обобщающим названием «экстремум». Как под
словом «ребенок» подразумевается либо мальчик, либо
девочка, так понятие «экстремум» распадается на
«максимум* и «минимум».
«Не круто начинай, круто кончай». Эта пословица
заслуживает того, чтобы быть включенной в правила
научной организации труда. Тем более что за ней так и
видится графическое выражение.
Повелительное звучание пословицы явно рассчитано
на борьбу с противоположной, весьма
распространенной манерой работы. На нее тоже есть свои пословица:
«Горяч на почине, да скоро остыл». ~
Обе функции, представленные на графиках
зависящими от времени, возрастающие. Но» как свидетельствуют
кривые, расти можно по-разному.
Наклон одной кривой постоянно увеличивается: Рост
функции усиливается с ростом аргумента. Такое
свойство функции называется вогнутостью.
162

Наклон другой кривой неизменно уменьшается. Рост
функции слабеет с ростом аргумента. Такое свойство
функции называется выпуклостью.
Если вам хочется получше
уяснить различие между
выпуклостью и вогнутостью, б
сравните график роста чело- *g
века с графиком роста насе- Q.
ления Земли. Здесь опять-
таки и та и другая функция
возрастающие. Но рост
человека со временем
замедляется: достигнув зрелого
возраста, человек уже не растет.
Население земного шара,
напротив, с течением времени
растет все быстрее и
быстрее. В первом случае мы
говорим о выпуклости, во вто- £
ром — о вогнутости, «§
Нетрудно найти иллюстра- Q-
ции этим понятиям и среди
элементарных функций.
Показательная функция —
вогнутая. Логарифм, корень
квадратный — выпуклые.
Выпуклую параболу выписывает
и снаряд, выпущенный из
пушки под углом к горизонту.
Но присмотритесь подольше
к его полету: достигнув мак-
Время
Время
сималычой высоты, он начинает падать; однако
искривление его траектории сохраняет прежний характер, и
это подсказывает, как распространить понятие
вогнутости и выпуклости на случай убывающих функций. Все
усиливающийся спад — это выпуклость, все
замедляющийся — вогнутость.
Парабола вершиной вниз представляет собой
вогнутую функцию: сначала она спадает все
замедляющимися темпами, потом нарастает все ускоряющимися.
Вогнутой функцией является и гипербола, построенная для
183

положительных значений аргумента. Другая ветвь
гиперболы выпуклая.
Напоследок стоит отметить, что одна и та же функция
может иметь. как участки выпуклости, так и участки
вогнутости — погладите на ту же синусоиду. Точки, в
которых выпуклость сменяется вогнутостью или
наоборот, называются точками перегиба.
«Это сказка про белого бычка». Так говорят, когда
какое-то дело безнадежно затягивается, когда раз за
разом попытки уладить его приводят к пустому или
бессмысленному результату.
Поговорку знают все, но не каждый знает, как
рассказывается сказка. Важная деталь рассказа — реакция
слушателя. Сказка представляет собой диалог:
— Рассказать тебе сказку про белого бычка?
— Расскажи.
— Ты расскажи, я расскажи. Рассказать тебе сказку
про белого бычка?
— Так давай же!
— Ты так давай же, я так давай же. Рассказать тебе
сказку про белого бычка?
— Ну хватит!
— Ты ну хватит... и так далее.
Ссылку на сказку про белого бычка часто заменяют
цитированием первых слов песни «У попа была собака».
Ради полноты приведем и ее.
«У попа была собака. Сн ее любил. Она съела кусок
мяса. Он ее убил. И в землю закопал. И надпись написал:
«У попа была собака. Он ее любил...» и так далее.
Белый бычок и поповская собака нужны нам для
разговора о периодических функциях, для уйснения
математического понятия периода и тех искажений, которые
привносятся в него обыденной речью.
Периодичностью в обыденной речи называют чуть ли
не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть
более или менее строгой. Достаточно сравнить ме>цду
собой приведенные тексты: во втором, какую букву ни
164

возьми, она обязательно повторится через 89 букв. Про
первый текст такого не скажешь.
В обыденной речи утвердилось выражение «период
солнечной активности». Если бы все явления на Солнце
подчинялись строгой периодичности, их можно было бы
предсказывать ил сколь угодно долгий срок. Стала бы
не нужна всемирная служба Солнца с ее
круглосуточными наблюдениями за дневным светилом, потеряли бы
свой хлеб астрономы, пытающиеся определить, как в
ближайшее время изменится количество солнечных
пятен, интенсивность солнечных вспышек и т.п.
\
с
§'
I 120
| 80
I 40
* ° lfiSO 1860 167Q i860 1Б90 19О0 1910 1920 1S3D 1940 1950 Год
Все они могут быть спокойны за свое будущее.
Максимумы и минимумы солнечной активности сменяют
друг друга через неодинаковые промежутки времени и
не совпадают по величине. Можно говорить об их
чередовании, о периодичности же в строгом смысле не
может быть и речи.
Большей строгостью проникнуто выражение «перио-
дическая^печать». Газеты выходят день за днем, а если
понедельник и пропускается, то можно говорить о
недельном периоде. Журналы печатаются из месяца в
месяц или из декады в декаду, из недели в неделю.
Однако абсолютной строгости понятие периода не
достигает и тут. Она была бы здесь, если бы время выхода
соблюдалось с абсолютной точностью, а тексты
полностью совпадали.
По-видимому, безупречные примеры периодичности
способна дать только математика. Здесь периодической
называется всякая такая функция, любое значение
которой в точности повторяется каждый раз, когда
аргумент увеличивается на определеннук* величину,
называемую периодом.
165

(Стоит заметить, что для периодической функции нет
меньшей по сравнению с периодом величины того же
свойства. Большие могут быть: значение функции буду?
повторяться и через два периода, и через три, и так
далее. Вот почему иногда говорят о наименьшем
периоде периодической функции.)
Прекрасные примеры периодических функций дает
тригонометрия: синус, косинус, тангенс... Вспомните
наш рассказ про динам ом а шину, вспомните, как
вращающаяся рамка размеренно и точно раз за разом
занимала каждое из своих положений, вспомните
пояснявшие рассказ чертежи: цикличность процесса
естественным образом обусловливает периодичность
описывающих его функций в их зависимости от угла и
времени.
Для синуса и косинуса период составляет 360\ для
тангенса— 180'.
Психологи советуют: если вам нужно запомнить
большой объем информации (скажем, большой текст),
вообразите себя прогуливающимся по хорошо знакомой
улице и мысленно привязывайте отдельные куски текста
к подъездам домов, афишным тумбам, киоскам... Когда
потребуется воспроизвести заложенное в память, нужно
вновь мысленно отправиться на прогулку по той хе
улице и считывать фразу за фразой с подъездов,
заборов, киосков...
Немало информации о свойствах функции бы/io
предложено вашему вниманию на предыдущих страницах.
Чтобы понадежнее уложить в память эту информацию,
давайте воспользуемся советом психологов.
Отправимся в путь на автомобиле по шоссе ив пункта
А в пункт Б. Будем внимательно приглядываться к
рельефу дороги, связывая с его особенностями
математические термины. Мысленно представим высоту в каждой
точке пути над некоторым воображаемым
горизонтальным уровнем как функцию расстояния, пройденного
вдоль этой горизонтали. Промежуток от А до Б —
область определения описанной функции.
186

Ровный участок дороги, естественно, ассоциируется
с термином «константа». Дорога идёт под уклон — это
монотонное убывание. Кончился спуск — и водитель
включает газ, отмечая тем самым точку минимума. До-
Миииыум
Перегиб Прогиб
рожный знак указывает подъем, а у математика наготове
свой термин — монотонное возрастание. Перевалили за
гребень холма — пройдена точка максимума. И снова
качалось монотонное убывание, то есть спуск. На
холмах дорога выпукла, в ложбинах вогнута. Не отмеченные
дорожными знаками стыки таких участков математик
отметит про себя как точки перегиба.
Математические категории, о которых шла речь в этом
описании, естественным образом делятся на две
группы. Одни описывают поведение функции в окрестности
некоторых характерных точек (максимум, минимум,
перегиб), другие — в некоторых промежутках
(выпуклость» вогнутость, убывание, возрастание).
Чтобы в общих чертах воспроизвести профиль
дороги, на графике достаточно наметить его сначала в
окрестностях характерных точек, а затем, воспроизводя
его поведение в промежутках, заполнить пробелы.
По таким правилам можно восстановить облик любой
функции. Так удобнее рисовать даже те функции,
которые выражены формулами — как говорят, заданы
аналитически.
Но как по формуле функции определить ее
характерные точки?
Об этом мы еще поговорим, когда речь пойдет о
дифференциальном исчислении.
187

Обкатанные в 'автомобильных прогулках, отточенные
на оселке народной мудрости, наши навыки обращения
с функциями мы применим сейчас во вполне серьезном
деле.
Физикам важно знать, как ведут себя газы при
различных температурах и давлениях. Поведение газа
определяется взаимодействием между его молекулами.
Предположим для простоты, как зто часто делается в
физике, что молекулы — это маленькие упругие шарики.
Рассмотрим две такие молекулы и будем изучать,
какому закону подчиняется сила их взаимодействия.
Известно, что на больших расстояниях молекулы
взаимно притягиваются, причем с ростом расстояния сила
притяжения убывает, стремясь к нулю. При сближении
молекул она, напротив, возрастает. Когда шарики
сближаются до соприкосновения, в игру вступает еще одна,
противоположно направленная сила — сила упругого
отталкивания. Она тем больше, чем сильнее прижаты
шарики друг к другу, чем меньше расстояние между их
центрами. Гипотетически можно представить центры
молекул сближающимися на сколь угодно малое
расстояние, отчего сила их взаимного отталкивания
возрастала бы неограниченно.
Располагая такой не слишком обширной
информацией, можно приступать к графику. График должен
изобразить силу взаимодействия между молекулами как
функцию расстояния между их центрами.
Расстояние меэеду центрами не может выражаться
отрицательным числом, не может и обратиться в нуль.
График рисуется над положительной полуосью абсцисс.
Это — область определения исследуемой функции.
Над дальним концом положительной полуоси абсцисс
проведем прилегающий к ней вогнутый штришок. Своей
близостью к горизонтальной оси он покажет, что с
удалением молекул друг от друга сила их
взаимодействия убывает до нуля, а вогнутой формой — что при
сближении молекул сила их взаимного притяжения
возрастает все круче. В точке с абсциссой, равной
удвоенному радиусу молекулы, на условной высоте отметим
168

точку перегиба; в этой точке силы упругого
отталкивания, вступив в игру, заставляют кривую графика сменить
свое прежнее, все более крутое возрастание на
возрастание все более замедляющееся. В точке с абсциссой,
еще меньшей, на чуть большей высоте проведем дужку
! Ч
*-2*—>Л
выпуклостью кверху. Она означает, что сила
взаимодействия достигла максимума: с дальнейшим уменьшением
аргумента силы упругого отталкивания преобладают над
силами притяжения, кривая устремляется вниз.
Выпуклый отвесный штрих проведем у нижнего конца оси
ординат, чуть правее от него. Эта деталь показывает,
что сила отталкивания между молекулами
неограниченно возрастает, когда их центры неограниченно
сближаются.
Поскольку сила взаимодействия между молекулами
определена для любого расстояния между их центрами,
график должен быть непрерывной линией. Соединим
намеченные штрихи гладкой кривой.
Такую картину часто можно увидеть а книгах по
физике! правда, в перевернутом виде; у физиков сложилась
традиция трактовать силы притяжения как
отрицательные величины, силы отталкивания — как
положительные.
Кривые такого сорта позволяют объяснить много
важных деталей в поведении жидких и газообразных-
веществ.
Оси координат играют для ветвей нашего графика
особую роль. Бесконечно удаляясь от начала координат,
ветви графика как бы притягиваются к этим
своеобразным прямолинейным направляющим, неограниченно
сближаются с ними. Такие прямые называются
асимптотами*
Так случилось, что в нашем примере асимптотами
служат горизонтальная и вертикальные прямые. Более
189

характерно употребление этого термина по отношению
к наклонным прямым, когда к ним неограниченно
приближаются ветви графика, уходящие в бесконечность.
Что нынче в моде? Этот вопрос встает перед каждым,
кто задумал шить костюм или хотя бы брюки. Что
заказывать — клеш или дудочки? Какую ширину
предписывают брюкам модные журналы в этом сезоне?
Ревностный поклонник моды тем и отличается, что он
всегда знает ответ на такой вопрос. Ему известна
зависимость ширины брюк от сезона. Известна мода как
функция времени, будь то ширина брюк, высота
каблуков или длина юбок.
ИЗО
1930
1940 IM51W 1Й5 i960
Ну а если клиент — невежда в вопросах моды? Что
Ответить закройщику на его роковой вопрос: «Брючки
понизу сколько сантиметров делаем?»
Клиент в замешательстве. И не дай ему бог ляпнуть
наугад первую пришедшую на ум цифру. В ответ он
рискует услышать презрительное: «Э, батенька! Такое
носили лет пять назад, да перед самой войной, да еще
при царе Горохе.,,»
Оставим на этом вконец сконфуженного заказчика.
Проанализируем слова закройщика, ибо в них нам
видится подлинно математическое содержание.
Что же он сказал? По ширине брюк он указал годы,
когда носили такие брюки. По значению функции моды
он установил значение аргумента. То есть значение
функции закройщик рассматривает как аргумент, а
прежний аргумент стал при этом функцией.
190

Ясно, чго тем самым закройщик сконструировал
некую функциональную зависимость, тесно связанную с
первой. Говорят, -что по отношению к первой такая
зависимость является обратной.
Из ателье перенесемся в поликлинику. Врач вел от
пациенту измерить температуру. В стеклянной трубочку
которую пациент сует под мышку, заключен столЬик
ртути. Он удлиняется от тепла человеческого тела.
Вспоминается часовая мастерская Гаррисона и опыты, в
которых мастер определял длину металлических
стержней как функцию их температуры. Здесь врач
проделывает нечто обратное: по длине жидкого ртутного
«стерженька*» он определяет температуру пациента. Он
строит обратную функцию по отношению к той, которую
изучал Гаррисон.
Разумеется, к вопросу можно подойти с другой
стороны и назвать прямой функцию, с которой имеет дело
врач, и обратной ту, знание которой прославило
Гаррисона. А если быть справедливым до конца, то обе
функции нужно назвать взаимно обратными.
Противопоставлять их имеет не больше смысла/чем решать, кто
из двух близнецов старше.
Правда, порой одна из двух взаимно обратных
функций более употребительна, более привычна, ее символ
примелькался больше, и подобная неравноценность
играет свою роль при распределении званий «прямая» и
•обратная». Арксинус, арктангенс называют обратными
тригонометрическими функциями, молчаливо отдавая
звание прямых синусу и тангенсу.
Из поликлиники — на космодром. Ракета, летящая в
космическом пространстве, наращивает скорость по
закону логарифма: именно эта функция позволяет по
массе израсходованного топлива указать скорость
ракеты. Скорость — функция, масса топлива — аргумент.
Но часто возникает обратная задача, когда исходным
пунктом расчета является скорость ракеты. Чтобы
вывести спутник на орбиту, ракета должна развить первую
космическую скорость. Какое количество топлива
потребуется ракете, чтобы достичь назначенной скорости?
Масса топлива в этом вопросе уже мыслится как
функция, скорость — как аргумент. Задачу решает функция,
обратная к логарифмической, — показательная,
191

Функция логарифмическая и функция показательная.
Сведем их на одном графике. Бросается в глаза: они
расположены симметрично относительно биссектрисы
угла, стороны которого —
оси координат. Это не
удивительно — ведь переход
от прямой функции к
обратной заключается в
переименовании: функция
становится аргументом,
аргумент — функцией.
Заметим, что функция,
обратная линейной, — это
опять-таки линейная
функция. Простейшая из
линейных функций — та, что
равна аргументу, — обрат-
на по отношению к самой
себе, что, впрочем, очевидно: ее график совпадает с
биссектрисой угла между координатными осями.
-3 -2 -I / /\ 2 3 *
/ \
/ Л
Корень квадратный и парабола тоже являются
взаимно обратными функциями, и графики их тоже
симметричны относительно той же биссектрисы.
А теперь — снова в ателье. Анализируя слова
закройщика с математической точки зрения, мы поначалу не
обратили внимания на то, что он назвал сразу несколько
значений функций, обратной к функции моды (*•-. пять
лет назад, да перед самой войной, да еще при царе
Горохе»). Задумаемся над этим сейчас.
192

у - arcяп я
540е
360° -
Мода повторяется, и это делает неоднозначной
функцию, значения которой называет закройщик. Та же
причина делает неоднозначной и арксинус — функцию,
обратную синусу (присмотритесь к ее графику).
В математике, как мы уже
отмечали, принято рассматривать
лишь однозначные функции,
когда каждому значению
аргумента ставится в соответствие
лишь одно значение функции.
Именно поэтому математик,
отразив относительно
биссектрисы координатного угла график
синуса, оставляет от него лишь
небольшой участок и называет
его главной ветвью арксинуса
(см. график).
Резонно полюбопытствовать:
какие же свойства функции
гарантируют то, что обратная к ней
окажется однозначной? Эти
свойства — непрерывность и
монотонность.
О первом из двух понятий речь
впереди, а второе нам уже
знакомо.
Беря в качестве примера
взаимно обратных функций
параболу и корень квадратный, мы не
случайно взяли от параболы
лишь одну половину. Если
параболу не урезать до монотонного
вида, то в результате ее
отражения относительно биссектрисы
координатного угла получится
такой график, с которого значения корня квадратного
можно брать и со знаком плюс, и со знаком минус. А это
тот самый случай, по поводу которого му говорили
когда-то о нежелательности многозначных функций в
математике.
180и
1
7-4В0
193

Не было геоздя —
Подчова пропала.
Не было подковы —-
Лошадь захромала
Ограничимся пока этим> ибо дальше в стихотворении
идут совсем уж страшные вещи — гибель командира,
разгром армии и так далее, и тому подобное.
Итак, лошадь. С чего начались ее неприятности? С
того, что непрочно державшаяся подкова отвалилась. А
отчего подкова держалась непрочно? Оттого* что
кузница не обеспечила штатного количества гвоздей.
Боевое состояние лошади зависит от прочности
крепления подковы. Состояние лошади — функция,
прочность крепления — аргумент. Но эта прочность, в свою
очередь, обусловлена количеством гвоздей.
Прочность — функция, количество гвоздей — аргумент.
Так что же получается? Прочность крепления
подковы — это одновременно и функция и аргумент. Нет ли
здесь противоречия? Не ведет ли это к путанице?
Напротив! Описанная конструкция из функциональных
зависимостей ведет к прояснению многих важных
вопросов.
Бывает, что изучить зависимость какого-то явления от
первопричины оказывается делом сложным.
Чувствуется, что взаимообусловленность между ними есть, но
перекинуть прочный мост четкой функциональной
зависимости от одной к другой не удается. Дело
облегчается, если между чрезмерно далекими берегами
посчастливится отыскать остров — некоторый фактор, который
является следствием первопричины и причиной
окончательного, исследуемого следствия. Иными словами,
когда удается построить некоторую промежуточную
функцию, для которой независимая переменная служит
аргументом, в то время как сама промежуточная
функция служит аргументом для исследуемой функции, И
безнадежно разобщенные прежде берега оказываются
связанными этаким двухарочным мостом.
194

И неясная прежде связь между комплектностью
кузнечного оборудований и боеспособностью конницы
проясняется введением промежуточного звена —
прочностью крепления подков на копытах лошадей.
Подобная конструкций из двух функций называетсй их
суперпозицией, или сложной функцией.
В ходе пристального анализа цепочка
функциональных зависимостей может удлиниться: былая
первопричина обнаруживает обусловленность более глубокими
факторами, а от явления, на котором прежде
останавливался взгляд исследователя, тянется вереница далеко
идущих следствий. Двухарочный мост становится
подобным акведуку.
Взять хотя бы наше стихотворение:
Лои*адь захромала —
Командир убит
Конница разбита —
Армия бежит
Враг вступает в город,
Пленных we щадя
Оттого, что в кузнице
Не было гвоздя
Поэт видит корень зла в гвозде и умалчивает о
причинах нехватки. Расследование можно продолжить.
Может быть, администрация кузницы халатно относится
к своим обязанностям? А может быть, ее подвели
снабженцы? А может быть, завод-изготовитель не выполнил
своих обязательств? Или подкачали смежники?
Шутки шутками, а между тем подобные цепочки
функциональных зависимостей возникают при анализе
многих серьезнейших проблем нашего времени и среди них
такой — «Человек и окружающая среда*.
Ученые утверждают, что в наше время ледники тают
быстрее, чем, скажем, векадоа назад. И одну из причин
этого явления усматривают в развитии
промышленности.
В чем дело? Может быть, в томт что топки заводов и
фабрик греют атмосферу и эта вызывает таяние льдов?
Нет, на столь непосредственное воздействие вряд ли
хватит тепловой энергии, выделяемой заводами и
фабриками. Дело здесь в другом,
7* 195

Замечали ли вы, как быстро тает весной грязный снег
при дорогах и как долго лежит он чистый на полях?
Пыль, копоть и прочие им подобные плоды
цивилизации загрязняют атмосферу, переносятся ветрами на
огромные расстояния, оседают на ледниках, и
загрязненный лед интенсивнее поглощает солнечные лучи,
тает быстрее.
Налицо сложная функция, или суперпозиция.
Количеству топлива, потребляемому заводами и фабриками
планеты, соответствует определенное количество пыли
и копоти, выбрасываемое в атмосферуt а этому
количеству соответствует определенное количество солнечной
энергии, поглощенное ледниками
Зная эту сложную функцию, можно приступать к
анализу загадочного преэаде таяния ледников.
Эта кривая, напоминающая головной убор времен
Наполеона, — своеобразный фирменный знак теории
вероятностей. Там она называется кривой нормального
закона распределения ошибок, или кривой Гаусса.
Казалось бы, этой функции, как и функции Бесселя,
можно посочувствовать: такая известная, такая
распространенная, а звания элементарной не удостоена
Не надо спешить с
соболезнованиями. Ведь
элементарными функциями,
как мы уже говорили,
считаются не только полиномы
и корни, логарифмическая
и показательная,
тригонометрические и
гиперболические функции, не только
все те, что получаются из
них с помощью сложения и
вычитания, умножения и
деления, но также
обратные к ним (например,
арксинус или арктангенс) и их
суперпозиции.
196

Функция нормального распределения ошибок как раз
и представляет собой суперпозицию двух элементарных
функций, показательной и параболы, взятой со знаком
минус перед ней, а потому по праву принадлежит к числу
элементарных.
Беря различные функции, можно создавать разнооб^
разнейшие их суперпозиции. Но будьте осторожны!
Помните определение суперпозиции двух функций: одна
служит аргументом для другой. Значит, область
значений первой функции должна попадать в область
определения второй. Забвение этой важной детали может
привести к курьезам. За примерами ходить недалеко.
Мы только что говорили про суперпозицию
показательной функции и параболы со знаком минус перед
ней. Замените в этом сочетании показательную
функцию функцией «корень квадратный», и вы увидите, что
получившаяся при этом сложная функция имеет смысл
лишь при нулевом значении независимой переменной.
Ведь корень квадратный нельзя извлекать из
отрицательных чисел!
Смешная картинка, не правда ли? А почему она
смешна? Потому что в ней есть подвох. Ваш взгляд скользит
по ногам человечка, затем, как вы думаете, вдоль
туловища, скрытого газетой, затем подходит к краю газеты,
ожидая встретить там голову.,, ан нет! Голова оказыва-
197

ется совсем в другом месте. Фигура нарисованного
человечка оказывается разорванной.
Сравните теперь эти графики — какая из двух функций
более похожа на человека с газетой?
Конечно, вторая! Прослеживая взглядом ход линии,
при подходе к значению аргумента а мы обнаруживаем,
что значение функции в этой точке, указанное жирным
кружком, совсем не там, что ожидалось, — как на
приведенном рисунке.
Первая из функций, представленных графиками,
называется непрерывной в точке а, вторая — разрывной в
этой точке.
Непрерывность и разрывность — одни из важнейших
понятий, применяемых для анализа функций.
Судя по элементарным функциям, непрерывность —
явление весьма распространенное в мире
функциональных зависимостей, разрывность же, напротив,
экзотическое, так что наглядные примеры разрывных функций
подберешь не вдруг. Но мы все-таки попробуем их
поискать.
Замечали ли вы, читатель, как гасят свет в
кинотеатрах перед началом сеанса? Осветитель медленно
передвигает рычажок реостата, и свет едва заметно и
непрерывно гаснет, превращаясь в тьму.
Яркость
Угол f
196

Попробуйте воспроизвести это медленное и
непрерывное угасание дома, попытайтесь так же загасить
люстру, поворачивая рычажок тумблера. У вас ничего не
получится, даже если вы крепко будете держать
рычажок, не давая ему срываться. По мере его поворота свет
до поры до времени ничуть не убудет в яркости — и
вдруг мгновенно погаснет, так что тьма останется
неизменной при дальнейшем движении рычажка. Подобный
переход от света к тьме описывается разрывной
функцией.
Конечно, не следует придавать чрезмерного значения
тому, что тумблеры чаще служат выключателями, чем
реостаты. И все-таки приведенный пример позволяет
утверждать, что разрывные функции необходимы для
списания совсем не таких уж редкостных явлений и
устройств.
Как же определить понятия непрерывности и
разрыва?
Не мудрствуя лукаво, можно сказать, что непрерывная
функция —это такая, график которой можно нарисовать,
не отрывая карандаша от.бумаги. А разрывная — такая,
которую так не нарисуешь.
К сожалению, математиков такое определение не
удовлетворит, ибо фигурирующие в нем карандаш и
бумага — понятия не математические. В строгом
математическом определении должны содержаться лишь
логические и количественные понятия.
Однако, поставив вне закона карандаш и бумагу, мы
вовсе +te отказываемся от наглядности. Определение
непрерывности мы дадим с помощью картинки — той
самой, с которой начинался этот отрывок, а точнее, с
помощью газеты, которую держит в руках человек.
Возьмем у человечка его газету и наложим ее на
первый из вышеприведенных графиков, причем так,
чтобы ее центр совпал с той точкой на линий графика,
где функция исследуется на непрерывность.
(Собственно, от слова «газета» уже можно отказаться и говорить
о прямоугольнике с центром в интересующей нас точке.)
. Мы можем так обрезать газету с краев, что график
функции на всей ширине газеты не вылезет за ее
верхний и нижний края. Суть определения непрерывности
заключается в том, что такое можно сделать с газетой
199

любого размера, с тетрадным листом, с почтовой
открыткой, с трамвайным билетом, с прямоугольником
любой высоты: задавшись этой высотой, прямоугольник
можно затем так сузить с боков, что в столь узком
'ID!
У \
1
I M
' 1 1
1 1 1
0
-6
111
I
1 l 1 1
JH i i
и
ii
1
m
s
*^
|||| 1 1 _X
•
9
промежутке отклонения функции от ее значения в
исследуемой точке будут меньше, чем высота
прямоугольника. Такая функция и называется непрерывной в
данной точке.
Функция называется разрывной в данной точке, если
описанная процедура оказывается невыполнимой.
Говоря точнее, если найдется прямоугольник такой
высоты, что, как ни сужай его с боков, на любом зауженном
промежутке найдется точка, по крайней мере одна» в
которой значение функции будет выступать либо за
верхний, либо за нижний край прямоугольника.
Если предыдущий раздел начинался со смешной
картинки, то этот начнется с загадочной.
Часть графика функции,
расположенная правее некоторой точки а,
закрыта. Не видно также, какое значение
функция принимает в самой точке а.
Чтобы подчеркнуть это
обстоятельство, видимая часть графика закончена
стрелочкой в той точке, в которой
обрывается кривая.
200

Попробуйте угадать — каков дальнейший ход
графика? Как ведет себя та его ветвь, что скрыта от глаз?
Возможны варианты.
Читатель, конечно, догадывается, что стрелка справа
песет ту же смысловую нагрузку, что и стрелка слева.
Как и раньше, значение функции в исследуемой точке
отмечено жирным кружком. Функция может оказаться и
не определенной в точке а, тогда жирного кружка на
графике нет.
Если стрелка упирается в жирный кружок, то она
становится излишней, и ее можно убрать. Если
поступить так с первым графиком, то после исправления мы
узнаем в нем обычную непрерывную функцию Функцию
представленную вторым графиком, естественна назвать
непрерывной справа, представленную третьим —
непрерывной слева. Но непрерывной в точке а —
повторяем! — можно назвать лишь функцию, изображённую на
первом графике. Все остальные, как принято говорить
испытывают разрыв в точке а.
Теперь приглядимся внимательнее к неисправленным
вариантам и подумаем: что у них общего, несмотря на
все их различия? Нет, не только левая ветвь, но и
ордината точки, в которую указывает стрелка левой
ветви (на графике она отмечена буквой А), Это число
именуют особым названием — левым пределом
функции (или пределом слева) в точке а. По симметрии число
В называют правым пределом функции (или пределом
справа) в течке а.
Функцию естественно назвать непрерывной в точке а
если у нее в этой точке предел слева совпадает с
пределом справа и оба предела совпадают со
значением функции в этой точке.
201

Как же определить понятие предела функции?
В строгом определении, очевидно, не грдятся
описания типа: «Ордината точки, к которой подходит взгляд,
следя за ходом графика». «Следить взглядом» —
понятие не математическое. Однако из него нетрудно
извлечь вполне математическую идею: ведь в нем
слышится отзвук "уже знакомого нам термина
«последовательность».
Что будет, если к значению а устремить слева
некоторую последовательность аргументов, не
совпадающих с а? (Говорим <чне совпадающих», потому что
функция может быть и не определена в точке а). К какой
величине устремится последовательность значений
функции? К значению А—подсказывает график. Так вот,
если такое будет происходить при любом выборе
последовательности аргументов, сходящейся к а слева, то
число А называется леаым пределом функции (или
пределом слева) в точке а. Точно так же определяется и
предел справа.
Годится для определения и «метод газеты».
Разместим ^газету» так, чтобы ее центр очутился а точка
графика, соответствующей предполагаемому пределу —
скажем1 пределу слеаа. Если при любой высоте ««газеты»
ее левую половину удается обрезать сбоку настолько,
что левая ветвь графика на урезанном промежутке не
выступает ни за верхний, ни за нижний край газеты, то
предполагаемый предел действительно является леаым
пределом функции в точке э. {Напомним, что значение
функции в самой точке а в рассуждениях о пределе не
принимается во внимание). Точно так же по «методу
газеты» определяется и предел справа.
В обоих определениях можно рассматривать сразу
обе половинки окрестности точки аГТак, в первом
определении можно строить такие сходящиеся к а
последовательности, члены которых могут быть как меньше, так
и больше э {но не совпадать с а). И если полученные
при этом последовательности значений функции всегда
будут сходиться к некоторому пределу, то он будет
называться просто пределом функции в точке а. Во
202

втором определении можно рассматривать значения
функции на всем протяжении «газеты» как вправо, так и
влево от точки а. И если знакомая нам процедура
урезания каждый раз позволяет заключать линию графика
в рамки «газеты», то се центр бурет называться
пределом функции в точке а.
Напоследок — одно замечание. На картинке, с
которой начался предыдущий раздел, можно было закрыть
не правую, а левую половину. Домысливание графика,
согласно уже перечисленным вариантам, не даст нам
ничего принципиально нового, разве что в последнем
случае. Здесь в результате дополнения может
получиться нечто вот такое:
Оба графика
соответствуют разрывным
функциям: ведь ни та, ни другая не
имеют конечного предела в
точке а. Иногда в таких
случаях говорят, что функция в
этой точке стремится к бесконечному пределу, обраща
ется в бесконечность, имеет бесконечный разрыв и т.п
Линейная и показательная функции, парабола и
корень квадратный — каждая из них непрерывна в любой
точке своей области существования. Непрерывна
всюду, как говорят в таких случаях.
Прекрасные примеры всюду непрерывных функций
дают процессы движения. Причина в том, что
пространство и время непрерывны.
Недаром мы так охотно прибегали к образам
движения, начиная рассказ о непрерывности. Но заметим:
когда дело дошло до строг их определений, мы перешли
к статическим изображениям прямоугольников,
обрезаемых то с боков, то сверху и снизу.
Если угодно, в этом переходе отразился
знаменательный перелом в развитии математики.
Создавая учение о функциях, математики поначалу
охотно доверялись наглядным кинематическим
аналогиям, памятью о которых в математической терминологии
203

до сих пор остались слова «стремится», «возрастает»
и т.п. Аналогии часто были весьма плодотворными, но
нередко заводили в тупики парадоксов. Решение
парадоксов стало возможным лишь после того, как
французский-математик Огюстен Коши выбросил из уже
созданного учения о функциях ненужные остатки динамических
образов и заменил их статическими.
Так возник тот «язык эпсилон-дельта», на котором
ныне трактуются понятия непрерывности и разрывов,
предела и производной (название языку дали
применяемые в нем обозначения для разброса функции и
аргумента — греческие буквы е и 8 соответственно; читатель
наверняка обратил на них внимание, разглядывая
картинки на предыдущих страницах).
И любопытно: нарочито статичный язык позволил
объяснить многие запутанные феномены движения вроде
пресловутых парадоксов Зенона, позволил подвести
логическую базу под те представления о движении, на
почве которых развивались первые идеи учения о
функциях.
Что ж, это нередкое явление в развитии науки; ученый
охотно доверяется подсказывающей силе наглядных
образов, но затем логическим анализом проверяет
подсказки и все достигнутое благодаря им.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
И ИНТЕГРАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ
Знаете ли вы, что такое ралли?
Это автомобильные гонки, успех в которых
определяется соблюдением программы соревнований. Скажем
соблюдением сроков, отведенных на отдельные этапы
маршрута: штрафные очки назначаются и за опоздание,
и за опережение.
, Двое сидящих за столом завтра займут свои места
в автомобиле. Водитель и штурман, сегодня они
обсуждают тактику движения на предстоящем этапе ралли.
Лучший вариант, казалось бы, прост- по известному
расстоянию до пункта назначения и отведенному
времени рассчитать среднюю скорость движения и
стараться придерживаться ее на всем лути На графике
зависимости пройденного пути от времени такой идеальный
режим изобразится прямой с угловым коэффициентом,
равным скорости.
Длина предстоящего этапа — 300 км, отпущенное на
него время -Зч. Средняя скорость движения
получается отсюда простым делением: 100 км/ч
205

Однако постоянная скорость — идеал едва ли
достижимый. Выдерживать ее во все время пути
затруднительно. Да и неразумно: трудные участки лучше
проследовать помедленнее, а на ровных и прямых, напротив,
поднажать. Вот и рекомендуемый график движения,
розданный участникам ралли, заметно уклоняется от
идеальной прямой: судя по графику, стартовать
предлагается не спеша и наверстать упущенное к концу этапа.
Но как определить поточнее режим скорости,
верность которому обеспечит рекомендуемую зависимость
пути от времени? Иными словами, как, зная зависимость
пути от времени, вычислить скорость в каждый момент,
мгновенную скорость? Чему, судя по приведенному
графику, она равна, например, через час с момента старта?
Средняя скорость на всем этапе в целом способна
дать лишь грубый оценочный ответ на такие вопросы:
отклонения от нее за все время пути могли быть весьма
велики.
А если ограничиться отрезком времени покороче? Не
станет ли от этого средняя скорость более точной
оценкой скорости мгновенной?
Измерим среднюю скорость автомобиля за час,
начиная с интересующего нас момента. Как свидетельствует
график, на этом отрезке времени она составляет
95 км/ч.
Повторим измерения на получасовом интервале от
выбранного мгновения. Средняя скорость упала до
86 км/ч.
Можно надеяться, что эта цифра уже точнее
оценивает мгновенную скорость в интересующий нас момент
206'

дуга графика, которой мы ограничились на сей раз, едва
заметно отклоняется от отрезка прямой, стягивающего
ее концы.
Это побуждает брать для измерений средней
скорости все меньшие промежутки времени: пятнадцать минут
десять, пять, три, две, одну, половину, четверть...
Вот результаты этих последовательных замеров: 83;
82; 81; 80,6; 80,2; 80,1; 80,05 км/ч...
Полученная последовательность явно обнаруживает
стремление к пределу. Избранный нами путь ведет к
какой-то цели.
Сделаем решающий шаг к ней: устремим к нулю
продолжительность интервала, на котором измеряется
средняя скорость..
Измерения при этом будут становиться все труднее
В самом деле, как вести их на протяжении десяти* или
стотысячных долей секунды» за которые автомобиль
проходит лишь доли миллиметра? На пути к пределу мы
где-то перейдем грань между автомобильным спортом
и чистой математикой. Но это не должно нас пугать, к
этому мы и стремились и автомобилем воспользовались
лишь для того, чтобы удобнее и быстрее добраться до
мели.
Предел, к которому стремится средняя скорость на
уменьшающихся до куля, стягивающихся к данному
моменту отрезках времени (если этот предел существует!),
и называется мгновенной скоростью 8 данный момент.
Посмотрим еще раз на построенные графики. Мы
видим на них последовательность секущих. Каждая
проходит через две точки кривой* Одна из этих точек —
общая для всех секущих и неподвижна. Другая
стремится к ней, так что расстояние между ними
последовательно уменьшается до нуля, до слияния обеих точек в одну.
Предельное положение секущих есть касательная —
таково определение этой прямой.
Итак, исследуя вопрос о мгновенной скорости, мы
нашли способ построения касательной. Мы видим, что
она проходит через заданную точку графика пути с
207

угловым коэффициентом, равным мгновенной скорости
в соответствующий момент времени.
200
150
ИХ)
50
км/час
е«срость
^
S й
| s
34)
Так камень, сорвавшийся
с пращи, свободно летит по
касательной к прежней
траектории, указывая
направление своей скорости
в момент отрыва.
Касательная к графику
пути меняет наклон от
точки к точке. Каждому моменту времени соответствует
свое значение мгновенной скорости. И для каждого
момента рассчитать ее можно с помощью такой же
■ процедуры, с которой мы только что познакомились.
Вот итог таких расчетов. Точно придерживаясь такого
графика скорости, наши автомобилисты в своем
движении в точности воспроизведут рекомендуемый график
пути.
У водителя и штурмана, которые на предыдущих
страницах так тщательно готовились к ралли, неприятности.
Расчеты мгновенной скорости, точный ее график — все
насмарку. Стало иэпестно, что сильные дожди размыли
дорогу на последних километрах предстоящего этапа.
Финишировать придется на пониженной скорости, а
20В

грозящее отставание компенсировать прибавкой темпа
на среднем участке. Во всяком случае график скорости
придется перестроить —
например, вот так.
Но вот вопрос: удастся
ли уложиться в заданный
срок, двигаясь в
соответствии с новым графиком
скорости? Не сулит ли он в
итоге штрафных очков за
опоздание или
опережение? Как рассчитать
пройденный путь по графику
скорости, которая столь
резко изменяется за время
движения?
Если бы скорость была неизменна, расчет не
представлял бы трудностей: пройденный путь был бы равен
произведению скорости на время. Та же формула
позволила бы довольно точно оценить пройденный путь,
если бы скорость за время движения менялась ие
слишком сильно. Время в пути следовало бы умножить на
некоторое среднее значение скорости, лежащее где-то
между максимальным и минимальным, — подобно тому,
как на прежнем графике скорости тонкая
горизонтальная прямая лежала между наивысшей и наинизшеи
точками жирной кривой.
С новым графиком скорости, казалось бы, так уже не
поступишь. Слишком резко колеблется кривая. Лишь на
среднем участке ее можно без большой ошибки
заменить горизонтальной прямой, то есть счесть движение
равномерным, скорость — постоянной и путь,
пройденный за это время, рассчитать по той самой формуле:
«скорость на время». График движения на этом
промежутке времени изобразится прямолинейным отрезком.
На крайних участках скорость меняется сильнее, и
если применить такой же прием, погрешность будет
побольше. Но все-таки это лучше, чем ничего.
Так получается первый приближенный вариант
графика движения — трехзвенная ломаная. Наклон каждого
звена равен прикинутой нами средней скорости
движения иэ каждом из интервалов разбиения%
209

Кажется, этап будет пройден не в срок, а с
опережением е добрую четверть часа. Но с уверенностью это
утверждать еще нельзя — больно уж неточен расчет.
Большие сомнения вызывает выбор средней скорости,
в особенности на крайних интервалах разбиения.
График скорости там слишком сильно отклоняется от
идеализированного среднего»
Зч
Зч
Зч
§
i 2 зч 1 г Зч 1 г зч
Будь интервалы поуже, эти отклонения были бы на*
верняка поменьше, а результаты расчета — поточнее.
И действительно, разделив интервалы пополам и
повторив на каждом из шести новых интервалов ту же
процедуру, мы вычертим ломаную менее угловатую.
Еще раз измельчим интервалы. Новый график
отличается от предыдущего уже слабее.
Проведем такие построения еще и еще раз, разбивая
отрезок времени на все более мелкие части. Можно
заметить, что новые графики все меньше отличаются
друг от друга. Сам собой напрашивается предельный
переход: устремить к нулю длину интервалов разбиения.
Ломаная превратится в гладкую кривую. Это и будет
график движения, для которого задана зависимость
пути от времени.
График оказался удачным: придерживаясь
намеченного режима скорости, наши автомобилисты пройдут
предстоящий этап в назначенный срок.
210

Посмотрим еще раз на графики скорости, по которым
готовились к ралли знакомые нам водитель и штурман.
Расчет показал, что пути, пройденные в согласии с
тем и другим графиком, одинаковы
Можно ли было заранее по какому-то внешнему
признаку предсказать столь замечательное совпадение?
Такой признак на рисунках отмечен штриховкой. Это
площадь под той и другой кривой, точнее, площадь той
и другой заштрихованной фигуры, называембй
криволинейной трапецией.
Чтобы убедиться в справедливости признака,
посмотрим еще раз, как мы строили график пути по графику
скорости. Возьмем один из первых приближенных
вариантов графика — ломаную.
Каждое из ее звеньев мыслилось нами как график
некоторого равномерного движения. Путь, пройденный
е таком движении —подъем звена, — равен
произведению времени на скорость.
От маленького звенышка на графике пути перейдем
взглядом к соответствующему интервалу времени на
графике скорости. Только что вычисленное
произведение приобретает здесь смысл площади — площади
прямоугольного столбика, имеющего этот интервал
времени основанием, а отмеченную горизонтальной
ступенькой среднюю скорость — высотой.
Звено за эвеном — столбик к столбику.
Последовательное их сложение дает величину, с одной стороны,
почти равную пройденному пути, с другой —почти
равную площади под кривой скорости. Говорим «почти»,
211

потому что замена графика скорости лесенкой
горизонтальных ступенек чревата погрешностями.
В результате предел ь-
ного перехода это
«почти» пропадает, и ос-
тается тонный вывод:
площадь под кривой
Скорости на некотором
отрезке времени
численно равна пути,
пройденному за это время в
таком режиме скорости
Заметим: если
скорость отрицательна,
отрицателен и путь,
поскольку он пройден
вспять. Иными словами,
если кривая скорости
проходит под осью
абсцисс, очерченная ею
площадь получается
отрицательной. По этому
поводу говорят, что
описанным способом
площадь определяется в
алгебраическом смысле.
И вот что еще стоило бы заметить напоследок.
Понятие площади кажется весьма простым и не
нуждающимся в комментариях. А между тем если разобраться, мы
умеем определять площадь лишь для прямоугольников
(как произведение сторон) да для тех простых фигур,
которые удается перекроить в прямоугольник, например
для треугольников.
Читатель, вероятно, захочет добавить сюда и круг,
площадь которого выражается общеизвестной
формулой п/?2. Но мы воздержимся от добавки: ведь эта
формула получается отнюдь не перекройкой круга в
прямоугольник (иначе квадратура круга не была бы
проблемой), а с помощью процедуры, весьма похожей
на описанную выше: сначала круг разрезается на
сектора, затем сектора заменяются треугольниками,
треугольники неограниченно утоньшаются,„Суть приема та
212

же: криволинейная фигура заменяется мозаикой из
кусочков с прямыми краями, площади которых
определяются по классической формуле, затем в процессе
предельного перехода мозаика дробится так, чтобы
площадь отдельного кусочка стремилась к нулю.
Так через предельный переход классическая формула
прямоугольника обобщается на криволинейные фигуры.
Настало время назвать своими именами вещи, о
которых только что шла речь. Тем более что имена эти
громкие, широко распространенные, пользующиеся
заслуженным уважением и почетом.
Процедура, позволяющая находить мгновенную
скорость движения, используя зависимость пути от
времени, называется дифференцированием, а число, которое
получается в результате дифференцирования, —
производной. Итак, мгновенная скорость тела в данный
момент есть производная пути по времени в данный
момент.
Каждому моменту времени соответствует свое
значение производной. Определенная таким образом
функция называется производной по отношению к исходной,
описывающей зависимость пути от времени.
Обратная процедура, позволяющая определять
пройденный путь, используя зависимость скорости от
времени, называется интегрированием^ а число, которое
получается в результате интегрирования, —определен*
ным интегралом. Итак, путь пройденный телом от одного
заданного момента времени до другого, есть
определенный интеграл от скорости по времени, взятый от
начального момента (он именуется нижним пределом
интегрирования) до конечного (верхнего предела
интегрирования).
За верхний предел интегрирования можно принимать
различные моменты времени, и каждому будет
соответствовать свое значение пройденного пути, свое
значение определенного интеграла. Заданная таким образом
функция называется первообразной по отношению к
213

исходной* описывающей зависимость скорости от
мени.
•..«Вы знаете, Зося, — убеждал Остап Беидер Зосю
Синицкую1 — на каждого человека, даже партийного,
давит атмосферный столб весом 214 кило»».
Остап с его незнанием точных наук слишком занизил
цифру — примерно в Четыре раза. Названная им
величина была бы справедлива для весьма большой высоты
над уровнем моря. Ведь атмосферное давление спадает
с подъемом вверх, притом со все убывающей
скоростью. Любопытно, что этот спад связан с другим
характерным признаком больших высот, разреженностью
воздуха» и связан самым непосредственным образом:
скорость, с которой на той или иной высоте
атмосферное давление убывает по мере подъема, в точности
равна удельному весу воздуха на этой высоте. И если
бы вам захотелось определить удельный вес атмосфер*
ного воздуха, зная зависимость давления от высоты, к
вашим услугам операция дифференцирования.
К дифференцированию прибегают всякий раз, когда
встает вопрос о скорости изменения какой-либо
функции по мере изменения аргумента, когда эта скорость
оказывается непостоянной, а определять ее требуется
точно для любого значения аргумента.
Заряд батареи, питающий электрическую цепь,
убывает со временем. Скорость убывания есть ток. Он
может оказаться различным в разные моменты и потому
должен определяться как производная заряда по
времени.
Тепло, содержащееся в нагреваемом теле, нарастает
с ростом температуры. Интенсивность нарастания есть
теплоемкость — свой для каждой температуры. И здесь
не обойдешься без дифференцирования —
теплоемкость есть производная количества тепла по
температуре.
Не забудем, что дифференцирование служит еще и
средством для проведения касательных к кривой.
Угловой коэффициент касательной — это производная функ-
214

ции, графиком которой служит кривая; производная
берется при том значении аргумента, который
соответствует точке касания.
Подобно тому как дифференцирование оказывается
полезным не только при определении мгновенной
скорости движения» так и интегрирование применяется не
только тогда, когда требуется рассчитывать пройденный
путь по времени \л скорости.
Операция, обратная дифференцированию,
интегрирование, позволяет определять, как зависит от времени
заряд, если в каждый момент известно значение тока,
как растет с температурой количество тепла втеле, если
для каздой температуры известна его теплоемкость-
Короче говоря, интегрирование позволяет
рассчитывать суммарный итог непостоянного изменения.
Не забудем,1 что интегрирование служит еще и
средством для вычисления площадей. Площадь под
кривой — это определенный интеграл от функции,
графиком которой служит кривая, взятый в пределах, между
которыми задана функция.
Несколькими страницами ранее, когда мы
развешивали ярлычки в витрине математических операций и
называли представленные в ней вещи своими именами,
мы сделали вынужденный перерыв, И по-видимому,
кое-кто из читателей это почувствовал.
В самом деле, зачем говорить «определенный
интеграл», если не существовал бы термин «неопределенный
интеграл?*
Если такой вопрос возник у читателя, наш ответ не
заставит себя ждать.
Возьмем два графика, на одном из которых как
функция времени изображена скорость движения некоторого
тела, а на другом — путь, пройденный телом.
2t5

Мы уже знаем, как оо всеоружии терминологии
описать родственные отношения между обеими функциями
По отношению к скорости путь есть первообразная по
времени. По отношению к пути скорость есть
производная по времени. Угловой коэффициент касательной,
построенной в любой точке графика пути, равен высоте
кривой скорости над той же точкой оси абсцисс.
А теперь возьмем график
пути и аккуратно, строго по
вертикали, без искажений
сдвинем нарисованную на
нем кривую вверх или вниз.
В любой точке кривой
угловой коэффициент
касательной при этом останется
прежним. «Сдвинутая»
функция по-прежнему
останется первообразной по от*
ношению к скорости.
Сдвинуть функцию вверх
или вниз — это значит
прибавить к ней или отнять от
нее функцию-константу.
Итак, первообразная плюс
любая константа есть снова
первообразная.
Первообразных для
одной и той же функции
оказывается бесконечно
много. Все их семейство
называется
неопределенным интегралом.
Это кажущееся излишество — не роскошь, а
отражение природы вещей.
Когда вы отправляетесь в дальний путь на
автомобиле, на счетчике километров может стоять любая строчка
цифр. От этого, разумеется, не зависит пройденный
путь. Чтобы определить его, нужно из показаний
счетчика в момент финиша вычесть то, что показывал он в
момент старта*
Когда вы направляетесь в магазин за сметаной, вы
можете взять банку любого веса. От этого не зависит
216

стоимость покупки. Вес отпущенной вам сметаны
продавец определяет как разность весов банки
наполненной и банки порожней.
В физике подобные примеры встречаются на каждом
шагу. Взять хотя бы выражение «разность потенциалрв».
Ток в электрической цепи определяется именно ею, но
отнюдь не абсолютным значением потенциала на том
или другом конце цепи. Сходную особенность можно
подметить, когда речь идет об энергии или энтропии.
Говорят, например, что в термодинамически замкнутой
системе энтропия при любом реальном процессе либо
возрастает, либо {если процесс обратимый) остается
неизменной. Здесь опять-таки нет речи об абсолютном
значении энтропии, а говорится лишь о ее приращениях.
Попытавшись разобраться в причинах таких
особенностей, вы обнаружите, что все упомянутые физические
величины определяются с помощью интегрирования.
Начало отсчета каждой из них можно «сдвигать» по
произволу.
Все будет происходить при этом точно так же, как при
расчетах пути по скорости. Путь — первообразная для
скорости. Его можно отсчитывать от любой начальной
точки. Но приращение пути от одного момента времени
к другому при этом всегда будет оставаться равным
одному и тому же числу — определенному интегралу от
скорости, взятому от одного из указанных моментов
времени до другого.
И это общий принцип: определенный интеграл,
взятый от некоторой функции в указанных пределах, есть
разность между значениями первообразной в указанных
предельных точках, на какой высоте над осью абсцисс
ни пролегал бы график первообразной.
Последнее замечание содержит в себе важный ре*
цепт для вычисления определенных интегралов. Он
носит название формулы Ньютона — Лейбница.
Формула Ньютона — Лейбница.. Люди, чьи имена
пишутся через черточку в названии открытия, невольно
кажутся сотрудниками. Однако с Ньютоном и Лейбницем
217

дело обстоит как раз наоборот. В свое время между
ними шли яростные споры о приоритете в создании
дифференциального и интегрального исчисления.
Сейчас их конфликту -не придают большого значения:
считается, что к своим открытиям они пришли
независимо друг от друга и честь первооткрывателей делят
поровну. Оттого и пишутся через примирительную
черточку их фймилии в названии знаменитой формулы.
Д
- лрирещ*нив •ртутит*
верк ний предел
митщ грмдоаани!»
Определенный ммтегрм!
Впрочем^ в чем Лейбницу повезло больше, так это в
йистеме обозначений. Здесь время решительно встало
на его сторону. Кто помнит сейчас о прямоугольной
рамке вокруг символа функции, с помощью которой
Ньютон предлагал обозначать интеграл? А точка над
218

символом функции, у Ньютона обозначавшая
производную, ныне применяется лишь е механике — видимо, из
уважения К тому, кто впервые сформулировал ее
законы.
Обозначрния Лейбница между тем завоевали
всеобщее признание. Вот они на рисунке выше
Общих слов о дифференцировании и интегрировании
было сказано довольно. Настало время примеров.
Что будет, если продифференцировать логарифм?
Что станет с косинусом после интегрирования?
На эти вопросы отвечают графики. Их оси не
размечены масштабными засечками — это не так уж важно.
Важно лишь отметить, что аргумент тригонометрических
функций {синуса и косинуса) в приведенных
соотношениях выражается в'радиан ной мере.
Тому, кто желает поглубже вникнуть в закономерности
приведенных соотношений, мы предлагаем
повнимательнее разобрать какую-либо строчку этих таблиц —
скажем, последнюю.
Производная синуса есть косинус, гласит пара
графиков, соединенных равенством. Выражаясь графическим
языком, высота косинусоиды в каждой точке равна
угловому коэффициенту касательной к синусоиде в той же
точке.
По мере отхода от начала координат косинусоида
идет на убыль, и в соответствии с этим угловой
коэффициент касательной, построенной к синусоиде,
становится все меньше. В той точке, где косинус обратился в
нуль, касательная к синусоиде горизонтальна, ее
угловой коэффициент тоже нуль. В дальнейших точках ее
угловой.коэффициент отрицателен, и в соответствии с
этим косинусоида ушла под ось абсцисс.
Поскольку косинус по отношению к синусу есть
производная, синус по отношению к косинусу служит
первообразной. Геометрический образ первообразной —
это площадь. По последней строчке второго столбика
равенств проследим за тем, как изменяется площадь
под графиком косинуса, если ее вычислять интегриро-
219

<f*
dx
a
di
a
At
d
ак
rf
Оя
d
dU
tf
Or
f 1
С
>
\
/:
/^
f
C7
=
-
\k
1
1
/
7<
Ш
s
1 2 ?V * S
1
-1
220

ванием от начала координат до некоторого подвижного
верхнего предела. Эти изменения сравним с
поворотами синусоиды.
Покуда косинусоида проходит над осью абсцисс,
площадь под ней положительна и нарастает, и в
соответствии с этим синусоида, выйдя из начала координат, идет
вверх. Высота косинусоиды уменьшается, все меньшие
добавки"к площади дает увеличение верхнего предела
интегрирования, и рост синусоиды замедляется.
Косинусоида ушла под ось абсцисс, добавки к площади стали
отрицательными, и синусоида пошла на спад.
И вот в некоторой точке она обратилась в нуль.
Присмотритесь теперь к граф|дку косинусоиды: вертикаль,
соответствующая верхнему пределу интегрирования,
ограничивает справа фигуру, распадающуюся на две
части: они равны друг другу, но лежат по разные
стороны от оси абсцисс, так что их площади имеют разные
знаки, поэтому суммарная площадь этой двухлепестко-
вой фигуры в алгебраическом смысле равна нулю.
Читателю, который чувствует себя вполне
освоившимся с приведенными таблицами, мы хотели бы
предложить несложную задачу: из функций, встречающихся
в первой таблице, выбрать
такие три, чтобы первая
была производной от
второй, а вторая —
производной от третьей.
Готово? Убедитесь в
правильности своего выбора.
А теперь смотрите
внимательнее: мы превратим
эту тройку в пару»
Понятен ли вам смысл
этой записи? Не правда ли,
ее расшифровка очевидна:
операция
дифференцирования, дважды применен-
>
221

ная к параболе, дает в результате константу.
В подобной очевидности — огромное достоинство
символического языка, который Лейбниц разработал
для дифференциального и интегрального исчисления.
Итог этого небольшого раздела подведем
определением: результат двукратного дифференцирования
функции называется второй производной. Сходным образом
определяются третья производная, четвертая и т.д.
Воспользуемся еще раз автомобилем, на котором мы
так стремительно ворвались в область
дифференциального и интегрального исчисления. По графику
зависимости пройденного пути от времени мы построили тогда
другой график, который показывал, как зависит от
времени мгновенная скорость движения. Он получался из
первого дифференцированием — скорость есть
производная пути по времени.
Взяв этот график,
произведем над ним те же
операции: определим скорость
изменения скорости,
найдем производную от
производной, вторую
производную пути по времени.
Короче говоря, найдем
ускорение. Вот он — результат
*Vo ! 3 3^1 дифференцирования ско-*
j ^,, рости.
■ - - -*■ Ускорение,.. Честь
введения этого понятия в
механику принадлежит Галилею,
Великому физику
посчастливилось — он шел к
своим выводам от изучения
движений, которые ускоряются простейшим образом.
Он исследовал падение тел и нашел, что все они под
воздействием силы тяжести падают на Землю с одним
и тем же ускорением, неизменным по ходу падения.
222

Факт замечательный! Располагая им, мы сможем
почти автоматически повторить открытия Галилея —
установить законы падения тел, то есть определить, по
какому графику нарастает со временем путь,
пройденный падающим телом, — пусть это будет, к примеру,
камень.
Сконструируем формулировку задачи из уже
применявшихся картинок и символов Искомый график
заменим картинкой со знаком вопроса, приписав к нему
слева знак второй производной. Отметим, что речь идет
об ускорении; поставив справа знак равенства и график
функции-константы, покажем, что это ускорение
известно нам — оно постоянно, не зависит от времени {рис*
ниже).
Такая комбинация уже попадалась нам на одной из
предыдущих страниц. Там она не содержала
неясностей: на месте вопроса была вычерчена парабола. Стало
быть, путь, пройденный падающим камнем, растет со
временем по закону параболы.
Касательная, проведенная к нашей параболе в начале
координат, горизонтальна, ее угловой коэффициент
равен нулю. Это значит, что камень начинает падать с
нулевой начальной скоростью, без толчка. Именно
такому случаю соответствует найденное нами решение.
Найденному решению можно подыскать наглядное
подтверждение. Падающий камень нужно толкнуть вбок.
Приданное ему горизонтальное движение сохранится —
смещение камня по горизонтали будет нарастать
пропорционально времени. А вертикальное, как мы уже
знаем, пропорционально квадрату времени. Траектория
камня будет параболой.
223

Особенность только что решенного нами уравнения
заключалась в том, что неизвестная функция стояла под
знаком производной. Уравнения подобного сорта
называются дифференциальными. Порядок наивысшей
производной, входящей в дифференциальное уравнение,
называется его порядком* Например» уравнение, pl-
шенное нами, — второго порядка.
Найти неизвестную функцию из дифференциального
уравнения — значит, как принято говорить,
проинтегрировать его. Если искомая функция найдена, ее называют
решением дифференциального уравнения, а ее
график — интегральной кривой.
Наконец, еще один термин. Для его пояснения
вернемся вновь к задаче Галилея. Она решена нами не
полностью. Пока что мы умеем рассчитывать лишь такое
падение камня, когда оно начинается без начальной
скорости, говоря попросту, когда камень выпущен из
рук. А если его подбросить вверх или толкнуть вниз?
В поисках ответа вспомним, как когда-то, найдя
первообразную для заданной функции, мы сдвигали по*
строенную кривую вверх и вниз. От таких сдвигов
первообразная не переставала быть первообразной все для
той же исходной функции. И еще подумаем о том, что
мыслимы также сдвиги первообразной вправо и
влево — это все равно, что изменить начало отсчета
аргумента (в нашей задаче — времени падения).
0
t
h
?
0
f
1
/
'V
о \
После этого возьмем интегральную кривую,
построенную нами для падения камня без начальной скорости,
возьмем эту параболу и, не поворачивая, передвинем
ее по координатной плоскости так, чтобы она проходила
224

через начальную точку с должным угловым
коэффициентом, равным начальной скорости, которая придана
камню толчком вниз или броском вверх. Оказывается,
это и будет решением поставленной задачи.
Сохраняя свою форму, парабола свидетельствует, что
законы движения остаются прежними: это все то же
равноускоренное падение. Сдвигаясь по координатной
плоскости, парабола указывает, что начальные условия
движения были иными.
Такое можно сказать про любой процесс: не изменяя
ни на миг законам своего течения, он будет все же течь
каждый раз по-особому в зависимости от того, каково
состояние 8 начальный момент.
Стало быть, решая дифференциальное уравнение,
описывающее процесс, необходимо учитывать
начальные условия.
Изменение начальных условий, как правило, приводит
к перестройке интегральной кривой. В задаче Галилея
все обошлось простым сдвигом параболы, но это скорее
редкое исключение, объясняемое простотой
дифференциального уравнения.
Если вы думаете, что дифференциальные
уравнения—это вещи, встреча с которыми в обыденной жизни
исключена, то отложите на время эту книгу в сторону,
возьмите свой транзистор, вюночите его и настройтесь
на волну, разносящую по эфиру звуки легкой музыки
А пока вы вращаете рычажок настройки, разрешите
коротко, в двух словах, прокомментировать ваши
действия на языке радиотехники и математики.
Если бы вы заглянули во внутренности своего
радиоящика, то обнаружили бы, что рычажок настройки
соединен с конденсатором, а тот в свою очередь связан в
замкнутую цепь с катушкой и другими деталями,
важными сейчас для нас лишь тем сопротивлением, которое
они оказывают электрическому току.
Конденсатор, катушка, сопротивление — вот
радиотехническая троица, образующая сердце каждого
приемника, колебательный контур. Частоту биений этого
225

сердца, частоту пульсаций заряда на конденсаторе
регулирует настроечный рычажок; когда она совпадает с
частотой передающей станции, приемник по законам
резонанса воспроизводит звуки, рассылаемые по эфиру
антеннами передатчика.
Как же рассчитать частоту пульсаций заряда?
Всякая замкнутая электрическая цепь живет и
работает по закону Кирхгофа: если в цепи нет источников
тока, сумма падений напряжения на всех ее участках
равна нулю. В нашем контуре таких участков три —
конденсатор, сопротивление! катушка. Напряжение на
конденсаторе пропорционально заряду, на
сопротивлении — току, производной заряда по времени, на
катушке — производной тока по времени, то есть второй
производной заряда. Коэффициентами
пропорциональности между членами перечисленных пар служат
соответственно емкость конденсатора, величина
сопротивления, индуктивность катушки.
Определив падение напряжения на каждом из
участков цепи, просуммируем их и приравняем к нулю — и вот
оно, уравнение, определяющее пульсации заряда!
Заряд входит в него под знаком первой и второй
производной. Уравнение получилось
дифференциальное
226

Вот так нежданно-негаданно на волнах легкой музыки
выплыло нечто, что в обыденной жизни, казалось бы
встречаться не может — дифференциальное уравнение
Мы не хотим утомлять вас перечнем других приборов
и явлений. Можете поверить нам на слово, там, где
требуется рассчитывать не только некоторые состояния,
но и изменения состояний, процессы, движения в самом
широком смысле слова, — там всюду математик
приходит к дифференциальным уравнениям
«Лишь дифференциальное исчисление дает
естествознанию возможность изображать математически не
только состояния, но и промессы: движение», — писал
Энгельс.
Картина мира, которую нарисовала классическая
физика, выполнена в технике дифференциальных
уравнений
Завоевывая для математики есе более широкие
сферы приложения, дифференциальное и интегральное
исчисление одновременно наводило порядок и в тылах
этой древней науки. Оно давало универсальные и
эффективные методы для решения многих задач* которые
по своей статической сути принадлежат к прежней,
элементарной математике, но с которыми та не могла
совладать.
Элементарная математика знает формулы для объема
пирамиды, конуса, шара. Каждая из этих формул далась
первооткрывателям приемом оригинальным и
неповторимым. Это скорее драгоценные камни, нежели
строительный материал, из которого можно «смонтировать»
общую формулу для объема любого тела.
Как, например, вычислить объем лимона? Задача
кажется неразрешимой.
А между тем каждый из нас делает первый шаг к ее
решению, готовя лимон к употреблению, нарезая его на
дольки, С того же начал бы и знаток интегрального
исчисления, готовясь вычислить объем этого
эллипсоида вращения из рода цитрусовых. Объем лимона равен
сумме объемов долек; для каждого из них он прибли-
В' 227

женно выражается произведением высоты на площадь
основания — либо верхнего, либо нижнего, а можно
взять и любую промежуточную величину.
В этом нетрудно усмотреть ту же схему
интегрирования, по которой мы вычисляли площади криволинейных
фигур. Под таким углом зрения теперь видна вся дорога
до поставленной цели: сначала определить функцию, по
которой площадь сечения лимона меняется вдоль его
оси, для этой функции найти первообразную и наконец
воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница.
Так, в чисто статические на первый взгляд задачи
входят движение, переменные величины, а вместе с
ними — методы дифференциального и интегрального
исчисления. И задачи, не разрешимые б рамках
элементарной математики, элементарно решаются благодаря
новому подходу, суть которого составляют переменные
величины.
Недаром вся созданная на их основе математика,
обеспечившая становление и развитие классической
физики, называется высшей в отличие от прежней,
элементарной.
В популярной книге английского математика Джона
Литлвуда «Математическая смесь» есть страничка, где
приведена забавная классификация углов из' старого
справочника по альпинизму.
перпендикулярно — 60";
абсолютно перпендикулярно — 65\
нависающе — 70".
228

Смешно? Смешно. Но этот гример мы привели не
тйлько ради смеха. Тут есть над чем поразмышлять со
ваей серьезностью.
65*. 70*... Градусами измеряются углы» А углы
образуются двумя прямыми. Но скажите, читатель: видели ли
вы когда-нибудь горы с прямыми склонами, словно у
египетских пирамид? Нет? Так что же тогда имеют в
виду, когда говорят о наклоне непрямой поверхности
или линии?
Оставим пока поверхности в стороне, ограничимся
для начала линиями. На какой-нибудь гладкой линии
отметим точку и спросим: каков в этой точке наклон
линии?
Држе если вы не альпинист, ответ у вас, надеемся,
готов. Его подсказывает интуиция и содержание
предыдущих страниц. В отмеченной точке нужно
построить касательную к кривой. И вот они — две прямые:
касательная и горизонталь. Теперь уже можно говорить
про угол. А к углу можно приложить транспортир.
Но лучше в качестве меры угла использовать угловой
коэффициент касательной, то есть производную. И
говорить: наклон кривой в точке А равен плюс двум, наклон
в точке В — минус половине.
Мы описали этими словами изображенное на
графике. Заметим попутно, что для опытного математика
ссылка на график после таких слов становится
излишней. Он и без картинок представляет, что минус
половина — это пологий спуск, а плюс два — крутой подъем
кривой, если прослеживать ее слева направо.
В таких случаях математик часто обращает внимание
не столько на величину чисел, сколько на их знаки. Знак
без числа — это, конечно, потеря точности. Но зато
229

прибыль в общности. Ведь если наклон меняется
плавно, Td рост остается ростом на некотором промежутке,
а не только в той его точке, где положительная
производная зарегистрировала рост. Положительный знак
производной в промежутке -^ свидетельство
возрастания функции в этом промежутке, отрицательный —
свидетельство спада. Производная сменила знак: в
некоторой точке — значит в этой точке соседствуют участки
роста и спада. Значит, это точка экстремума —
максимума или минимума. Спад сменился ростом — минимум.
Рост сменился спадрм — максимум. (Заметим: если
производная существует в точке экстремума * то там она
обязательно равна нулю. Это облегчает поиск
экстремумов). '
Но расти и снижаться можно по-разному. Рост может
становиться все быстрее, а может, наоборот,
замедляться и даже смениться спадом- Спад тоже может либо
усиливаться, либо тормозиться и даже перейти в рост*
Особенности такого рода мы характеризовали словами
«выпуклость» и «вогнутостью
Выпуклость — это замедляющийся рост и
нарастающий спад. Проследите взглядом ход нашей выпуклой
кривой слева направо, в направлении, указанном
стрелкой оси абсцисс: наклон кривой уменьшается,
уменьшается производная.
А теперь немножко поиграем словами. Выпуклость —
это уменьшение производной. Уменьшение — это
отрицательная производная. Уменьшение производной —
это отрицательная производная производной. Это
отрицательная вторая производная. Итак, выпуклость — это
отрицательная вторая производная.
Вдумчивый читатель, конечно, разглядит точный
смысл за этой,слооесной игрой и согласится с ее
результатом: отрицательный знак второй производной —
свидетельство выпуклости. Точно так же положительный
знак второй производной — свидетельство вогнутости.
Естественно предположить далее, что абсолютная
величина второй производной может служить мерой
кривизны —той скорости, с которой вращается касательная
по мере роста аргумента. Предположение верное,
однако точная формула кривизны содержит, кроме второй,
230

еще и первую производную и слишком сложна, чтобы
выводить ее здесь.
Точки, в которых выпуклость сменяется вогнутостью
или наоборот, — это точки перегиба, В них вторая
производная меняет знак, обращается в нуль. Касательная
в таких точках пересекает кривую.
Наконец, еще об одной роли второй производной. Она
позволяет рассортировать экстремумы на максимумы и
минимумы. Ведь когда их ищут по нулям первой
производной, они становятся неразличимы — первая
производная обращается в нуль и там и тут. Вторая
производная все ставит на свои места. Вот, скажем, максимум-
Это макушка выпуклой кривой, а выпуклость — это
отрицательный знак второй производной. Стало быть»
нуль первой производной в сочетании с отрицательным
значением второй — безошибочное свидетельство
максимума. Точно так же нуль первой производной в
сочетании с положительным значением второй —
свидетельство минимума.
И скова в путь! В путь по той дороге, которую мы
освоили незадолго до знакомства с производными.
Мы ехали по ней из пункта А в пункт Б и отмечали:
рост... максимум... спад,,, минимум... опять рост...
выпуклость», перегиб-, вогнутость... После разговора о
дифференцировании мы можем разметить знакомый
путь дорожными знаками. Ими послужат первая и вторая
производные.
И тогда рассказ о рельефе дороги сократится до
компактной таблицы из четырех строк чисел и символов
231

X
У
Y*
Y~
0
3
0
0
0
0
4
3
0
0
—
—
7
2
-ОР5
0
—
+
11
1
0
+
+
14
1.5
0.4
0
—
17
2
0
0
+
20
3
0Р4
+
23
4
0
—
27
3
•0.5
Вас озадачивает эта шифровка? Мы поможем вам
прочесть ее и восстановить по ней картину рельефа.
Числа первых двух строк таблицы — это координаты
характерных точек — экстремумов и перегибов,
отмеченных нулями в третьей и четвертой строке
соответственно. Их определяют, отыскивая нули первой и второй
производных.
м
14
27
Нанесем эти точки на гдафик. В точках перегиба
отметим наклон, указанный в соответствующих клетках
третьей строки, в точках экстремумов расставим
дужки — выпуклые е точках максимума и вогнутые в
точках минимума; отличать их друг от друга можно по
данным все той же таблицы — либо по знаку второй
производной, либо по тому, с какого на какой меняет в
этих точках свой знак первая производная.
Теперь остается соединить все эти элементы плавной
кривой — и схематический набросок рельефа дороги
готов.
Стоит присмотреться к той точке, где нуль первой
производной совпал с нулем второй. Это не экстремум,
а горизонтальная точка перегиба, В точках экстремума
232

нуль первой производной сочетается с ненулевым
значением второй
Всякий раз, когда мы вели разговор о
дифференцировании какой-либо функции, на ее графике неизменно
присутствовала касательная — наглядный
образ-производной.
Прослеживая график
функции на подходе к точке
касания, мы видим, что он
все тес нее сближается с
касательной, а на некотором
промежутке совсем не
отличим от нее, хотя общая
точка у обеих линий лишь
одна: точка касания,
И мы понимаем, что дело
здесь не просто в грубости
наших чертежных
инструментов. Ведь стоит
провести через ту же точку другую
прямую, с другим угловым
коэффициентом — и
ощущение слитности пропадает, хотя и на этот раз
расхождение между кривой и прямой в окрестности их общей
точки уменьшается, стремясь к нулю, когда к нулю
стремится ширина окрестности,
В чем же здесь дело? Как выразить его суть строгим
математическим определением? Чем выделяется
касательная среди всех прямых, проходящих через одну и ту
же точку кривой?
Тем, что расхождение между ней и кривой в
окрестности точки касания стремится к нулю быстрее, чем
ширина окрестности, когда та сужается. С другой
прямой—иначе: расхождение между ней и кривой
стремится к нулю почти пропорционально ширине окрестности
Подойдем к делу с другой стороны. Возьмем график
какой-нибудь функции, выберем на нем какую-нибудь
точку, оградим ее некоторой окрестностью и попытаем-
233

ся провести через эту точку такую прямую, чтобы рас-
хожд ние между ней и графиком функции по мере
сужения окрестности стремилось к нулю быстрее, чем
ширина окрестности. Если это удается сделать, функция
называется дифференцируемой в данной точке. При
этом прямая наилучшего приближения неизбежно
оказывается касательной: ее угловой коэффициент равен
производной от функции в выбранной точке.
К сожалению, нет правил без
исключений. За любую наугад
взятую функцию нельзя
поручиться в том, что она будет
дифференцируемой во всякой
точке из своей области
определения.
Вот несколько экспонатов из
музея исключений.
- Как ни прикладывай прямую
к уголку, изображенному на
первом графике, расхождение
между ней и линией графика в
окрестности острия не будет
вести себя так, как это требует
определение дифференцируе-
мости. Стало быть,
изображенная здесь функция не
дифференцируема в точке излома.
Неудача обязательно
постигнет нас и в той точке, где
функция терпит разрыв (второй
график). Обратите внимание на
этот пример: чтобы быть
дифференцируемой в некоторой
точке, функции необходимо
быть непрерывной в этой
точке.
Необходимо, но
недостаточно — об этом свидетельствует
третий график.
К снастью, элементарные
функции, которые служили нам
примерами ранее, не доставят
234

нам подобных разочарований. Каждая из них
дифференцируема в каждой точке своей области определения»
Стоит отметить, что производная любой
элементарной функции есть функция элементарная: производная
логарифма — это гипербола, производная синуса —
косинус и так далее.
После разговора о дифференцируем ости
естественно поговорить об интегрируемости.
С интегрированием мы познакомились при расчете
пройденного пути по переменной скорости. Мы
оставили тогда неосвещенной одну неясность- Разделив на
несколько промежутков отрезок времени, на котором
был задан график мгновенной скорости, мы затем
заменили кривую лесенкой горизонтальных ступенек.
Каждая ступенька^эасполагалась где-то между
максимальным и минимальным для своего промежутка значением
мгновенной скорости*
Но где именно? Как выбирать ее высоту?
Этот вопрос решаетсп так: если независимо от
выбора (как высоты ступенек, так и точек, которыми интервал
делится на промежутки) описанная процедура
интегрирования всегда приводит к результату и притом к одному
и тому же, то такая функция называется интегрируемой.
Интегрирование — операция, гораздо менее
прихотливая, нежели дифференцирование. Она применима ко
всем непрерывным функциям и даже к тем разрывным,
которые испытывают конечный разрыв в конечном числе
точек.
Однако если дифференцирование элементарных
функций всегда приводит опять-таки к элементарным,
то для операции, обратной к дифференцированию, то
есть для отыскания первообразной функции — такой
результат редкость.
Можно составить из элементарных функций совсем
нехитрое произведение! частное или суперпозицию,
первообразную для которых не выразишь через
элементарные функции, как ни бейся.
235

Здесь можно привести аналогию из алгебры, возводя
е квадрат целое число, мы есегда получаем целое
однако про обратную операцию — извлечение
квадратного корня — такое скажешь не всегда

ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Есть такой студенческий анекдот — об экзаменах, о
профессоре и студенте. Профессор спрашивает: как
измерить высоту небоскреба с помощью барометра?
Правильный ответ предполагает, что давление воздуха
уменьшается по мере подъема и потому может служить
мерой высоты.
Но студент есть студент. Он не знает правильного
ответа и пускается в импровизации: «Можно столкнуть
барометр с крыши и одновременно включить
секундомер; выключить его нужно, услышав удар барометра об
асфальт. Искомая высота Н будет определяться по
времени падения t из формулы Н - 3^t где д — ускорение
силы тяжести- Можно привязать барометр к концу бе*
чевки и заставить его колебаться, как маятник. Периоды
колебаний будут разные на земле и на крыше
небоскреба, потому что ускорение силы тяжести убывает с
подъемом над землей» так что высоту небоскреба можно
оценить по ррзности значений д. Можно привязать
барометр к длинной веревке и опустить его с крыши, а
потом измерить длину веревки. Но самый лучший
способ — взять барометр и зайти с ним к коменданту здания
со словами: «Господин комендант, посмотрите, какой у
меня прекрасный барометр. Если вы назовете мне
высоту небоскреба, я подарю вам эту красивую вещь»*.
Не будем гадать, как отреагирует профессор на этот
каскад изобретений. Подумаем о другом: если каждый
из методов — как профессорский, так и студенческий —
в принципе решает поставленную задачу, то какой из
них предпочтительнее?
Начнем с первого из методов, предложенных
студентом.
Известно, что путь, пройденный падающим телом,
пропорционален квадрату времени падения. Итак,
определяемая высота есть функция, время падения — аргу-
237

мент, константа пропорциональности — половина
ускорения силы тяжести. Кстати, чему оно равно? Раскроем
справочник.., и увидим, что точного ответа на вопрос не
существует! Ускорение силы тяжести различно в
различных точках земной поверхности. (Свою роль здесь
играет и сплюснутость земного шара с полюсов, и
неравномерное распределение его массы, но выяснять это не
входит в наши планы.) Более того, оно меняется с
высотой — на этом основан второй способ студента.
Итак, что же получается? С совершенно одинаковых,
построенных по типовому проекту небоскребов
барометры падают по-разному. И все оттого, что ускорение
силы тяжести оказывается величиной переменной.
Оказывается, что рядом с переменным временем падения
в формуле высоты стоит не константа, не постоянный
множитель, а тоже переменная величина. Измеряемая
высота оказывается функцией двух переменных.
Но двух яи? Ведь барометр падает не в безвоздушном
пространстве, а воздух подтормаживает падение. Так
формула пополняется новыми величинами — плотное*
тъю воздуха, аэродинамическими характеристиками
барометра... Пополняется новыми аргументами, ибо
каждая из названных величин — величина переменная.
Может быть, к таким сложностям не приводит метод
профессора? Здесь расчеты ведутся по так называемой
барометрической формуле, которая связывает
давление атмосферного воздуха с высотой точки наблюдения,
температурой воздуха, ускорением силы тяжести..
Стол, стоп! Здесь, как видим, та же история.
Трудности, с которыми мы столкнулись, раздумывая
над ответом студента, возникают при исследовании
любой проблемы естествознания. Любое явление, если
стремиться ко все более полному, все более точному
его познанию, оказывается зависящим от множества
факторов, а функции, которые возникают при попытке
описать явление математически, оказываются
функциями многих переменных
233

К счастью, влияние того или иного из этого множества
факторов, как правило, бывает неравноценным. Без
ущерба для выбранной точности расчета многими из них
можно пренебречь, некоторые из оставшихся
изменяются столь незначительно, что в рамках той же точности
их можно положить постоянными Так от множества
факторов остается ограниченное число главных,
определяющих, и не все они оказываются переменными.
Взять хотя бы задачу о небоскребе и падающем с него
барометре. Чем меньше высота небоскреба, тем слабее
за время падения успеет сказаться подтормаживаю»цее
действие воздуха, так что его сопротивлением, возм ж-
но, удастся и вовсе пренебречь после надежной оценки.
Возможно, что избранная точность расчетов меньше тех
долей процента, в пределах которых ускорение силы
тяжести меняется от точки к точке земной поверхности
или при подъеме на крыши небоскребов, так что его
все-таки можно рассматривать как постоянный
множитель, а высоту небоскреба — как функцию одного лишь
времени падения.
Искусство исследователя, когда он схематизирует
явление и строит его математическую модель, в том и
состоит, чтобы сократить до разумного минимума число
существенных черт" явлена, учитываемых в модели,
сократить число переменных в возникающих при этом
функциях — лучше всего до одной-единственной. Тогда
математический аппарат исследования исчерпывается
функциями одной переменной,
Однако такое бывает не всегда, и возникает
потребность в понятии функции многих переменных.
Сформулируем же его.
Если каждой заданной совокупности значений
нескольких независимых переменных величин,
называемых аргументами, ставится в соответствие
определенное значение некоторой другой переменной величины,
то она называется функцией вышеуказанных
аргументов.
Заметим, что независимость аргументов свойственна
и их взаимоотношениям: значение одного не
обусловливает однозначно значения других.
239

С увеличением числа аргументов понятие функции
сильно усложняется Функции многих переменных —
вещи непростые. И в этом можно убедиться на самом
простом примере этих непростых функций, когда
аргументов всего лишь два*
Обратимся еще раз к знакомой нам задаче о
небоскребе и барометре, к той простой формуле, с которой
начал студент. Посмотрим» как меняется результат
измерения высоты в зависимости от времени падения и
ускорения силы тяжести.
Слово «посмотрим», естественно вышедшее из-под
пера, сразу ставит перед нами проблему: как сделать
наглядной функциональную зависимость от деух
аргументов?
Когда функция зависела только от одной переменной,
все было просто. На листе бумаги — две координатные
оси. Каждая пара чисел «аргумент — функция»
определяет точку на плоскости. Эти точки сливаются в линию —
график функции одной переменной.
Когда функция зависит от двух переменных, то
плоскость требуется уже для того, чтобы изображать
возможные сочетания двух аргументов. Добавив к каждой
такой паре чисел третье — значение функции, —
получаем точку трехмерного пространства. Эти точки
сливаются, образуя уже не линию, а поверхность.
Как изобразить ее на листе бумаги? Попытаемся
сделать это. Но преаде проанализируем, каковы возмож*
ные сочетания аргументов.
Когда функция зависела от одного аргумента, его
допустимые значения, как правило, располагались в
некотором интервале — конечном или безграничном с
одной или обеих сторон. Когда функция зависит от двух
переменных, сочетания которых представляются
точками координатной плоскости, допустимые лары
аргументов образуют на ней область определения функции,
В задаче о небоскребе и барометре обе
переменные — и время и ускорение — могут быть лишь
положительными. Область определения функции — высоты
небоскреба — лежит мезду положительными полуосями
240

шпангоут
ватерлиния
плоскости аргументов* Над этим сектором и будет
простираться поверхность, к построению которой мы
приступаем.
Ее удобно строить так
же, как строят корабль.
Составляя теоретический
чертеж корабля,
конструктор представляет
поверхность корпуса натянутой
на линии трех семейств —
шпангоуты, батоксы,
ватерлинии. Первые
располагаются равномерным
строем вдоль корпуса,
вторые — вправо и влево от
продольной плоскости
симметрии, третьи — по
высоте.
Устанавливая «шпангоуты*» для нашей поверхности,
вообразим на время постоянной одну из независимых
переменных — скажем, ускорение силы тяжести. Наша
функция обратится тогда в функцию одной переменной,
времени, и представится привычной параболой,
описывающей равноускоренное движение.
Теперь положим ускорение силы тяжести равным
другой постоянной величине, скажем, большей. Парабола
получится покруче и расположится подальше от начала
координат. Так построим еще несколько «шпангоутов»
последовательно, придавая ускорению силы тяжести
одно и то же приращение (рис. слева на стр. 242).
Для установки «батоксов» положим постоянным
другой аргумент нашей функции — время падения. Тогда
она вновь станет функцией одной переменной и притом
весьма простой: ведь путь, пройденный падающим
телом за фиксированное время, прямо пропорционален
ускорению. Фиксируя время падения равномерно
прирастающими значениями, будем получать все более
крутые графики прямой пропорциональности.
Соответствующие прямые будут располагаться осе дальше от
начала координат.
Для проведения «ватерлиний» положим постоянным
уже значение функции и обусловленную этим взаимо-
241

связь двух аргументов станем рассматривать как
неявную функциональную зависимость одного от другого.
Соответствующую линию поместим на высоте, равной
выбранному постоянному значению функции. Придавая
функции все новые равномерно прирастающие
значения, построим еще несколько «ватерлиний».
На столь частый скелет уже нетрудно натянуть
поверхность. После того, как это сделано, становится особенно
заметным, что наши «шпангоуты», «батоксы» и
«ватерлинии»» — это линии, по которым поверхность функции
рассекают равностоящие плоскости, параллельные
координатным плоскостям. (Собственно говоря, именно
так тезки наших линий определяются и в судостроении,
когда речь идет о поверхности корпуса конструируемого
корабля.) По таким сечениям можно изучать функцию,
даже и не строя ее поверхность.
Если кому-то подобное построение покажется
громоздким, то можно ограничиться его заключительной
стадией. Да и ту взять в упрощенном варианте, который
особенно понятен на языке картографов, а не
корабелов.
Проекции пиний, которые мы именовали
«ватерлиниями», на плоскость аргументов а математике называются
линиями уровня. Они вполне родственны по смыслу тем
линиям уровня, которые о географических координатах
12 3 4 5 6 7В
проводит картограф: точки земного рельефа,
расположенные над этими линиями, лежат на одинаковой высо-
242

те над уровнем моря. Точки математических
поверхностей, расположенные над и под линиями уровня, лежат
на одном и том же расстоянии от плоскости аргументов
(либо выше, если соответствующее значение функции
положительно, либо ниже» если отрицательно. Попутно
заметим еще раз, что соседние уровни, по которым
рассекают исследуемые поверхности и картограф, и
математик, отстоят друг от друга на одну и ту же
величину).
Картограф раскрашивает промежутки между линиями
уровня в разные цвета. Зеленый означает низменности,
желтый — возвышенности, коричневый — горы* Немного
воображения — и переливы расцветки предстают перед
глазами изгибами рельефа. Однако опытный математик
способен представить их себе и без подобной
декоративности* О характере поверхности он умеет судить
лишь по рисунку линий уровня. Скажем, там, где они
гуще, поверхность более крута.
Как выглядит в таком изображении исследованная
нами поверхность, показывает правый рисунок на
стр. 242. Сравните его с левым, и вы убедитесь, что
сгущения и разрежения линий уровня хорошо передают
крутизну и попогость математических «рельефов*.
По заснеженному склону горы взбирается лыжник. По
следу, который оставляет он, шагая лесенкой все выше
и выше, сразу узнается опытный спортсмен
Каждый раз лыжа ставится строго горизонтально, и
каждый шаг направлен перпендикулярно к исходному
положению лыжи
Разумность такой тактики можно подкрепить
математикой.
Поставить лыжу строго горизонтально, исключая риск
покатиться вниз, — это значит построить касательную к
линии уровня. Шагнуть перпендикулярно к исходному
положению лыжи — это значит обеспечить наибольшее
продвижение вверх по склону. Почему?
Если отвлечься от спорта и рассматривать склон горы
как поверхность некоторой функции двух переменных
243

(достаточно «гладкую» поверхность; разъяснение этого
эпитета увело бы" нас далеко), то можно доказать, что
функция в каждой точке своей области определения
-
растет наиболее быстро в направлении,
перпендикулярном линии уровня, то есть в направлении,
перпендикулярном касательной к линии уровня в данной точке.
Вектор, указывающий направление наибольшего
роста функции в данной точке, называется градиентом
функции в данной точке. Длина этого вектора выражает
скорость возрастания функции в том направлении,
которое он указывает.
К завтраку вы решили сварить себе яйцо. Сколько
времени вам потребуется на это?
244

Каждый ответит на этот вопрос по-разному. Один
бросит яйцо в кипящую воду надолго, чтобы сварить его
вкрутую. Другой с часами в руках аккуратно отмерит пить
или шесть минут, чтобы получить яйцо в мешочек.
Третий спешит вынуть яйцо, едва погрузив его в кипяток, —
он любитель яиц всмятку.
Говорят, о вкусах не спорят. Но тут и без спора ясно,
что степень готовности яйца есть функция времени.
Примерный вид этой зависимости каждый постиг на
опыте.
О
сп
О
f
о
О)
—I
О)
8
вкрутую
в мешочек
^^
всмятку
в
12
16 мин
время, t
Но этот опыт может подвести вас, если вы задумаете
сварить яйцо в альлинистком походе, высоко в горах* В
горах, где атмосферное давление меньше, вода
закипает при пониженной температуре, там кипяток холоднее,
и яйца в нем будут вариться дольше. В соответствии с
этим изменится график.
Если бы вы задумали воспользоваться скороваркой,
то все сроки сократились бы: ведь в скороварке
поддерживается повышенное давление, а вода в таких условиях
245

кипит npfi более высокой температуре. График опять
изменит свой вид.
Итак, степень готовности яйца оказывается функцией
двух переменных — времени и давления. И чтобы не
загромождать возникающую у нас картину сетью все
новых и новых линий, лучше представить график нашей
функции поверхностью над Плоскостью обоих ее
аргументов.
-И все-таки не будем спешить с заменой серии
функций одной переменной на функцию двух переменных.
Вдумаемся и согласимся, что роль обоих аргументов
различна. В продолжении каждого опыта один из них —
давление — остается неизменным, так что в
математическом описании процесса его можно считать
постоянным коэффициентом, хотя от опыта к опыту он может
меняться.
Переменные величины такого рода называются
параметрами.
В теории функций одной переменной важную роль
играет понятие дифференцируемое™.
Существует ли что-нибудь подобное в мире функций
многих переменных? Скажем, двух?
Когда речь шла только об одной переменной, диффе-
ренцируемость функций в некоторой точке, при
некотором значении аргумента означала возможность заме*
нить крийолинейный участок графика простейшей из
линий — прямой, совпадающей в данной течке с
графиком функции. И заменить не просто, а с выполнением
некоторого требования к расхождению между графиком
и приближающей прямой в окрестных точках: с
уменьшением ширины окрестности до нуля это расхождение
должно стремиться к нулю быстрее, чем ширина
окрестности.
Такой приближающей прямой служит касательная —
прямая, угловой коэффициент которой равен
производной от функции в данной точке, Дифферейцируемость и
существование производной — одно и то же, если речь
идет о функции одной переменной.
246

Функция двух переменных — это уже не линия, а
поверхность. Простейшая из поверхностей—плоскость.
Рассуждая по аналогии, мы должны назвать дифферен-
цируемостью функций даух переменных в некоторой
точке возможность приблизить искривленную
поверхность плоскостью, в данной точке совпадающей с
поверхностью. Приблизить с тем же, что и а случае одной
переменной, требованием к расхождению мезду
поверхностью и плоскостью в окрестных точках: с
уменьшением размера окрестности это расхождение
уменьшается и стремится к нулю быстрее, чем размер
окрестности. Если такая возможность существует, то функция
называется дифференцируемой в данной точке, а
приближающая плоскость называется касательной
плоскостью.
Если функция дифференцируема в данной точке, то
можно дать простой рецепт гостроения касательной
плоскости. Рассечем поверхность двумя вертикальными
плоскостями, проходящими через данную точку и
параллельными осям аргументов — У и у. В сечении
получается две линии, две функции одной переменной: в одной
плоскости — функция переменной х (переменная у при
этом фиксирована, играет роль параметра), в другой —
функция переменной у (роль параметра теперь
играет х). К линиям мы умеем проводить касательные.
Проведем их в исследуемой точке поверхности. Получим
две пересекающиеся прямые. Через дае такие прямые
мы умеем проводить плоскость. Проведем ее. Это и
будет касательная плоскость (рис, на стр. 248 слева).
Угловые коэффициенты касательных, на которые мы
словно натянули плоскость, — это производные
соответствующих функций одной переменной: либо х,
либо у. По отношению к функции двух переменных эти
производные называются частными: частная
производная функции по х и частная производная по у.
Алгоритм построения касательной плоскости весьма
четок и неприменим» казалось бы, лишь к немногим,
скажем, к разрывным функциям — то есть к таким, по*
верхи ости которых состоят из разрозненных нестыкую-
щихся кусков. Это не так. Касательную плоскость иногда
не удается построить даже к таким поверхностям, е
сечениях которых вертикальными плоскостями вознйка-
247

ют гладкие» дифференцируемые функции, иными
словами, у которых существуют обе частные производные.
По-видимому, не случайно их называют частными. Они
несут весьма частную информацию о функции,
рассказывая лишь о ее поведении в вертикальных секущих
плоскостях. Между тем в секторах между секущими
плоскостями функция может оказаться капризной. Там
расхождения между нею и плоскостью, построенной по
вышеописанному алгоритму, могут не- удовлетворять
тем условиям, которые позволяют назвать построенную
плоскость касательной.
z = f(x,y)
И это нииуть не удивительно. Ведь за построенную
нами плоскость по самой сути ее построения можно
поручиться лишь в том, что она тесно прилегает к
кривым в сечениях поверхности двумя вертикальными
плоскостями. А это отнюдь не может гарантировать тесного
прилегания построенной плоскости к данной
поверхности в секторах между секущими плоскостями.
Дифференцируемость и существование частных
производных — отнюдь не одно и то же, если речь идет о
функциях многих переменных.
Функция многих переменных, дифференцируемая в
некоторой точке, имеет там все частные производные.
К ее поверхности можно провести касательную
плоскость, применяя вышеописанную процедуру.
Обратное, вообще говоря, неверно. Функция многих
переменных, имеющая в некоторой точке все частные
248

производные, может оказаться недифференцируемой в
этой точке (рис. на стр. 248 справа).
На рисунке — проект нового кафе с четырьмя залами.
Посетители кафе вряд ли догадываются, что эти своды
представляют собой поверхность функции, не
дифференцируемой в центральной точке. Но это так. Если
направить оси аргументов по гребням сводов, как
показано на рисунке, и попытаться построить касательную
плоскость к поверхности в начале координат, то
известный нам алгоритм даст горизонтальную плоскость.
Именно она наиболее тесно прилегает к поверхности в
направлении осей аргументов. Но в промежуточных
секторах о прилегании не может быть и речи: направляясь
внутри них к центральной точке (скажем, от опор), мы
видим, что расхождение между поверхностью и
плоскостью стремится к нулю пропорционально расстоянию
до центра, а отнюдь не быстрее.
Снимок с метеоспутника. Как непрост узор облаков!
Как сложны процессы, формирующие погоду на земле!
Атмосфера неоднородна: в каждой точке — свое
давление, своя температура, свое направление ветра. И все
это ежечасно меняется. Синоптики имеют дело с
функциями многих переменных: время, широта, долгота,
высота — вот аргументы тех функциональных
зависимостей, которые определяют состояние атмосферы.
Процессы в ней описываются дифференциальными
уравнениями! содержащими производные по всем
аргументам — частные производные. Это так называемые
дифференциальные уравнения в частных производных.
Их решение — дело трудное и не всегда осуществимое
в полной мере даже на современных ЭВМ. Вот отчего
точньрй долговременный прогноз погоды все еще
остается серьезной проблемой.
Это лишь один пример, показывающий, сколь важную
отрасль математики образуют дифференциальные
уравнения в частных производных, (В отличие от них
дифференциальные уравнения для функций одной
переменной называют обыкновенными.)
249

Мы хотели бы рассказать о функциях трех, четырех и
большего числа переменных, но наглядное
представление таких функций — дело весьма сложное.
Пришлось ограничиться рассказом о функциях двух
переменных.
Заметим, однако, что опыт, нажитый в работе с этими
функциями, дает известную уверенность при
обращении с функциями большего числа переменных.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Встречи с математикой порой бывают неожиданными
Как-то раз нам довелось листать старинный
ботанический атлас, где рядом с контурами листьев
разнообразнейших растений были аккуратно выписаны
тригонометрические формулы.
кислица
j= I +2/3cos3v>-1 /3cos6p
настурция
>- \ + 9/16c
Эти примечания озадачивали. Что общего, например,
между кувшинкой и косинусом, точнее, между формой
листка кувшинки и этой функцией, содержащей
косинус?
1 + cos q>.
251

Греческие буквы р и <р, вероятно, напомнили вам о
полярных координатах, о которых мы говорили в самом
начале книги (см. стр. 63 — 65). Тогда мы ограничились
лишь их определением. Теперь уместно сказать кое-что
об их употреблении. Например, задав зависимость
радиус-вектора р от полярного угла р, можно построить
график этой зависимости в полярных координатах. Если
вы воспользуетесь таким приемом ш нарисуете график
приведенной тригонометрической функции из
странного ботанического атласа, то ответ на поставленный
вопрос станет очевидным. Построенная кривая
обрисует лист кувшинки.
Вот еще два примера из того же атласа: кислица и
настурция.
Удивившись такому сходству, вы, наверное,
расцените его не более как случайное совпадение.
По-видимому, форма этих листьев слишком проста, и к ним
нетрудно подобрать простые функции. А если что-нибудь
посложнее?
Можно и посложнее — вот, скажем, стрелолист.
Усложнилась форма листа — усложнилась и функция.
В ней стало больше слагаемых, и, глядя на нее, уже
можно понять тот принцип, по которому удлиняются
формулы для листьев все более причудливых
очертаний: новые слагаеМУе —это так называемые косинусы
кратных дуг. Термин говорит о том, что независимая
переменная ф под знаком косинуса умножается на
двойку, тройку и дальнейшие целые числа.
Возможно, вы скажете, что и на сей раз все
объясняется удачным совпадением, и попытаетесь подыскать
лист подиковеннее —такой, описать форму которого не
под силу никакой тригонометрической функции. Но
лучше не трудитесь. Математика позволяет утверждать:
форму любого достаточно гладкого Л1лста всегда можно
достаточно точно описать функцией, составленной
наподобие вышеприведенных из синусов и косинусов
кратных дуг.
Достаточно гладкого — это значит,, что на оси листа
можно найти такую точку, что любой проведенный из нее
луч пересечет контур листа только один раз. Достаточно
точно — это значит, что в любом месте график функции
252

отойдет от контура листа в направлении луча не более
чем на заранее заданную величину.
Конечно, если вам захочется, чтобы подобные суммы
синусов и косинусов воспроизводили природу со сколь
угодно высокой точностью, вы должны быть готовы к
тому, что число слагаемых придется увеличивать
неограниченно.
Как же назвать такие безгранично удлиняющиеся
суммы? Когда подобным образом мы суммировали
числа, мы говорили о числовых рядах. На сей раз
слагаемыми являются функции. Бесконечные суммы такого
рода называются функциональными рядами.
Когда по радио разучивают песню, ее мелодию
повторяют несколько раз — сначала в исполнении певца,
потом проигрывают ее на различных музыкальных
инструментах — скажем, на рояле, скрипке или флейте.
Один из тех графиков, которые мы прежде строили в
полярных координатах, приближая формы листьев, мы
перерисуем сейчас в декартовых.
Значения функции
станем откладывать, как
обычно, по вертикальной оси,
значения аргумента — по
горизонтальной, причем
выражать его будем в ради-
анной мере. На это
указываем буква л, с помощью
которой размечена горизонтальная ось. О радианной мере
углов мы рассказывали на стр. 170. Надо сказать, что в
математике она гораздо популярнее градусной.
В полярных координатах аргументом служил угол,
значения которого можно исчерпать за один оборот —
от 0' до 360" в градусной мере или от 0 до 2л в радиан -
ной. С дальнейшими оборотами график будет проходить
раз за разом все по той же кривой. А это значит, что в
декартовых координатах, когда аргумент превысит 2тс
(то есть 360'), график функции повтори/ту же линию,
что вычертил на промежутке от 0 до 2тс. Иными словами
253
ton/:

функция» описывающая в полярных координатах
некоторый замкнутый контур, — периодическая. Убедитесь в
этом, взглянув на график.
Что напоминает вам эти кривая? Осциллограмму
человеческого голоса? Звука скрипки или флейты? Кривую
нервного импульса или сигнала, бегущего по
электрической цепи? Кардиограмму или энцефалограмму?
В подобные кривые всматриваются врач и физик,
биолог и химик, стараясь постигнуть загадки
человеческого мозга и законы турбулентных течений,
таинственную власть музыки и коварную силу землетрясений.
Так на довольно случайном стыке ботаники и
математики перед нами предстал широкий круг важных
проблем . Здесь же нам встретился и тот прием, который
способствует их решению. Этот прием — разложение
исследуемых функций в функциональные ряды, в
бесконечные суммы функций более простых, нежели
исследуемые, но замечательных не столько своей простотой,
сколько тем, что выстраиваются в некую стройную
систему.
Математика знает немало таких систем. Скажем, если
функция разлагается по синусам и косинусам кратных
дуг, то возникающий бесконечный ряд называется
гармоническим, или рядом Фурье, а его слагаемые —
гармониками. Ряды Фурье — эффективный инструмент для
исследования периодических функций.
Каждое слагаемое, каждый представитель той
системы функций, по которым разлагается данная, входит в
образующийся ряд с определенным коэффициентом.
Найти эти коэффициенты, собственно, и означает
разложить данную функцию в ряд по функциям некоторой
заранее выбранной системы.
Теория функциональных рядов предполагает их
содержащими сколь угодно большое число слагаемых.
Недаром в символическом обозначении ряда над
заглавной греческой буквой «сигма» пишется значок
бесконечности (снизу указывается номер того члена, с
которого начинается суммирование).
На практике же всегда используются лишь частичные
суммы функционального ряда — суммы нескольких
первых его слагаемых. Каждая из них представляет собой
254

функцию, более или ьлеиее отличающуюся от той, при
разложении которой возник функциональный ряд.
Как будет изменяться это отличие, если пополнять
частичные суммы все новыми слагаемыми? Если оно
будет стремиться к нулю
при любом значении аргу-
сумма otieHHOTD частичная сумма
функци ого ряда функфммалтого РЯОД
мента из некоторого
интервала, то говорит, что
функционал ьныЯ ряд на этом
интервале сходится к
данной функции.
В теории функциональных рядов известно несколько
критериев, с помощью которых по тем или иным
особенностям слагаемых ряда можно решать вопрос о его
сходимости.
♦Мазок — по форме», — наставлял своих учеников
Репин: Поговорка мастера раскрывает секрет того
искусства, с которым сам он умел лепить объемы на холсте
несколькими ударами кисти.
Когда целое составляется из деталей, то каждая из
них, а стало быть, и весь их ассортимент должны
соответствовать целому.
Об этом думает и математик, когда намеревается
разлагать функцию в ряд, в бесконечную сумму функций
более простых. В математике, как мы уже говорили, для
подобных целей используется несколько традиционных
ассортиментов — синусы и косинусы кратных дуг (про
этот набор мы уже рассказывали), функции Бесселя и
Матье, полиномы Эрмита и Лэггора... 14 для каждого из
перечисленных наборов хорошо известно, в задачах
какого рода он наиболее удобен.
Перед вами две цепочки рисунков: Одна начинается
изображением аквариума, другая — мыльного пузыря.
Следующие рисунки в той и другой цепи: профиль
волны, искривившей поверхность воды в аквариуме и
силуэт колеблющегося мыльного пузыря.
Следующие рисунки: очертание волны, как бы снятое
на кальку, и контур пузыря, перерисованный из поляр-
255

ной системы координат в декартову (такой переход из
одной системы в другую мы освоили анализируя форму
листьев).
у 1
-" t
ft*)
ГгП*)
Сравните эти два рисунка. Сходство полное — не
правда ли? На обоих графиках изображена одна и та же
функция.
Начатые здесь цепочки рисунков продолжаются на
стр, 257. Там представленная графиками функция
разложена в функциональные ряды. Для этого взяты два
различных семейства функции. В одних мы узнаем уже
хорошо знакомые нам косинусы кратных дуг. Другие
именуются полиномами Лежандра,
Представители обоих семейств тоже обнаруживают
определенное сходство. И это не удивительно:
полиномы Лежандра образуются из степеней косинуса —
взгляните на формулы под графиками.
Удивляет другое: по какому признаку к волнам на воде
отнесены косинусы, а к мыльному пузырю — полиномы
Лежандра? Чем продиктован выбор того или иного
семейства функций?
На этот вопрос не ответить, глядя на статичные
снимки. Надо оживить движением oj6e картинки. Надо
описать эти движения дифференциальными уравнениями.
Надо попытаться решить эти уравнения. И тогда окажет-
256

63 , 35 , 15
-g- COS X * -J-COfi X + -g- COSX
63 e 35
728 °°s5x +
35
35
Г5
5
3
_
-к cos3* - ^
5 3
-=z со&Зх + -g cosx
3 1
P2(cosx)= -g casx - -g
г
1
COSX
U
/
\
ч
а.
№
/
\
9-480

ся( что решения одного из них (описывающего волны в
аквариуме) выражаются через косинусы, решения
другого (описывающего осесимметричные колебания
пузыря)—через полиномы Лежандра. (Заметим, что
дифференциальные уравнения для того и другого случая
оказываются довольно сходными — потому похожи друг на
друга и функции, через которые выражаются их
решения.)
Итак, выбор подходящего ассортимента функций и
там и тут диктуется сущностью задачи — точно так же,
как сама натура диктует художнику движения кисти.
Фотография схватывает лишь отдельный миг в
развитии процесса. Чтобы проследить его течение, нужно
обратиться к киносъемке.
Вот несколько последовательных кинокадров, снятых
через прозрачную стенку лотка с водой (левая колонка
рисунков). На поверхности воды гуляют волны. На
первый взгляд их игра не подчинена никаким правилам. Но
это только кажется.
Разложим в ряд каждую из функций, описывающих
форму водной поверхности в последовательные
моменты времени. Как мы уже знаем, слагаемые этого ряда —
косинусы кратных дуг. Один за другим выстраиваются
они, строчка за строчкой.
А теперь проследим сверху вниз за коэффициентом
при каком-либо слагаемом ряда — скажем, за самым
первым — аи Посмотрим, какие значения принимает он
в последовательные моменты времени, и по этим
данным построим график его зависимости от времени.
Смотрите — образуется смнусоида!
Проследим за коэффициентом при втором слагаемом
осг, представим и его функцией времени — та же исто*
рия! Только гребни у синусоиды в два раза чаще.
Третье слагаемое — опять синусоеда и опять с еще
большей частотой, на этот раз в три раза.
В этом уже нетрудно усмотреть закономерность:
номер гармоники показывает, во сколько раз ее
колебания чаще по сравнению с первой гармоникой.
258

После этого мы можем предсказать значение
коэффициента при каждом косинусе для любого момента
времени и, суммируя ряд из косинусов с такими
коэффициентами, определить, какую форму будет иметь в
этот момент поверхность воды в лотке А это значит что
0,79
о»
к. л
V
У ^^^
40
*Ч У*
Ч-У'
♦ /JO
I /V,
\/ \
1 .«
91»
^ /V-

по нескольким начальным кадрам мы определили закон
ее колебаний.
Итак, к чему же привел- нас путь, начавшийся со
сравнения кувшинки с косинусоидой? К методу,
которым решаются разнообразные физические задачи — о
течениях жидкости и волнах на ее поверхности, об
электромагнитных волнах и колебаниях упругих тел, о
диффузии и распространении тепла.
Закон развития каждого из перечисленных процессов
выражается некоторым дифференциальным
уравнением в частных производных, а конкретная форма
протекания — начальным состоянием и режимом на границе
области, где протекает процесс. Дифференциальное
уравнение в частных производных, начальные условия,
граничные условия — все вместе это называется
краевой задачей.
Метод исследования краевых задач, к которому мы
пришли, заключается в том, что решение задачи ищут в
виде бесконечного ряда. Каждое слагаемое ряда
представляет собою произведение функции, зависящей
только от времени, на функцию, зависяющую только от
пространственных координат. Эти самые функции,
зависящие лишь от точки пространства, называются
собственными функциями данной краевой задачи. Их
подбор заранее определяется требованием: они должны
удовлетворять заданным граничным условиям.
Всмотритесь еще раз в кинокадры, снятые через
боковую прозрачную стенку лотка. Поверхность
колеблющейся жидкости всегда образует прямой угол со
стенками, ограничивающими лоток с торцов. Косинусы,
рядами которых мы представляли форму водной
поверхности, как раз и отличаются такой особенностью."Это,
стало быть, и есть собственные функции задачи о
колебаниях воды е лотке*
Собственными функциями для задачи об осесиммет-
ричных колебаниях мыльного пузыря оказываются
полиномы Лежандра, для задачи о волнах на воде от
брошенного в нее камня—функции Бесселя... И каждый раз
система собственных функций позволяет представить
сложный процесс е виде обозримой суммы простых
деталей, из которых можно воссоздать цельный облик
сложного явления с любой желаемой точностью*
260

Метод, о котором мы рассказали, был предложен
Леонардом Эйлером, а подробно его разработал
французский математик и физик Жан Батист Фурье, чьим
именем и принято сейчас называть замечательный
метод-
Читатель, вероятно, припоминает, что речь о
приближении функций уже шла на страницах этой книги —
именно в том месте, где говорилось о производной. Не
встретив ничего похожего сейчас, читатель, пожалуй,
испытывает недоумение.
Объяснимся. Дело в том, что существует несколько
подходов к вопросу о приближении функций. Поэтому
не удивительно, что прежде, за разговором о
производной, мы подошли к нему по одному из возможных путей,
а здесь пошли по другому»
Попытаемся теперь пояснить, в чем различие двух уже
знакомых нам подходов.
\У \У
Как очутились рядом графики столь разнородных
функций?
На первом — константа. На втором — синусоида* На
третьем — синусоида, так сказать, перекроенная: ее
отрицательные полуволны заменены симметричными
им относительно оси абсцисс и, стало быть,
положительными. Иными словами, значения функции синуса на
третьем графике даны по абсолютной величине*
Чтобы понять родство этих функций, обратите
внимание, какими буквами отмечена вертикальная ось
каждого из трех графиков. Прописная латинская буква / —
традиционное для электротехники обозначение тока.
Две основные его разновидности и представлены на
первых двух графиках — ток постоянный и ток
переменный.
261

Знак тока, как известно, соответствует его
направлению. Перекройка синусоиды, понятная из сравнения
второго и третьего графиков, на языке электротехники
называется выпрямлением тока. Прежде переменный,
он приобретает от этого постоянное направление.
Теперь им можно питать электроприборы, работающие на
постоянном токе.
Ещо неясно, правда, какому постоянному току он
будет равносилен, каким синусоидальным биениям
равноценны его периодические изменения.
Казалось бы, на эти вопросы ответить нетрудно,
рассмотрев кривую выпрямленного тока на протяжении
одного лишь периода, взяв лишь одну дужку
перекроенной синусоиды. Надо
провести горизонталь,
площадь под которой равна
площади под ^жкой, — ее
высота и укажет величину
постоянного тока»
которому равносилен
выпрямленный. Ведь заряд, перенесенный током, на языке
графиков выражается площадью под кривой зависимости тока
от времени. А чтобы оценить величину биений
относительно среднего значения, вызванных непостоянством
выпрямленного тока, следует построить на проведенной
горизонтали, как на оси абсцисс, такую косинусоиду,
которая как можно теснее прилегала бы к нашей кривой
и имела бы тот же период.
Такой подход к делу верен. И все-таки не будем
спешить с окончательными выводами. Ведь
комбинацией горизонтали и косинусоиды наша кривая
приближена еще весьма неточно.
Чем же нужно дополнить эту комбинацию, чтобы
уменьшить оставшуюся невязку? И, кстати, какова она,
эта невязка? Чтобы получить ее в чистом виде, вычтем
из нашей кривой уже построенные горизонталь и
косинусоиду.
Не любопытно ли? В результате получилась двугорбая
кривая. Исчерпать такое расхождение, очевидно,
поможет косинусоида с периодом, вдвое меньшим по
сравнению с периодом выпрямленного тока.
262

Теперь поглядите, что получится дальше, когда мы
вычтем и эту косинусоиду, — на протяжении периода
выпрямленного тока кривая оставшейся невязки имеет
уже три волны и требует для своего исчерпывания
косинусоиду с периодом, втрое меньшим по сравнению
с периодом выпрямленного тока.
Подобные уточнения можно проводить еще и и еще
пока невязка не окажется меньше желательной
точности, то есть столь малой, что ею уже можно будет
пренебречь. И тогда исходная кривая выпрямленного тока
представится суммой всех вычтенных косинусоид.
9
ft
1
Вот оно искомое разложение, частичная сумма ряда
Фурье для выпрямленного тока. Мы привели фрагмент
этого разложения с точными значениями
коэффициентов, какими vix позволяет вычислить теория рядов
Фурье, Формулам, их выражающим, конечно, не место
в нашем беглом рассказе. Скажем лишь, что вычисля-
263

ются эти коэффициенты посредством интегрирования.
Иными словами, для их определения важно знать
поведение функции на всем отрезке, на котором мы ее
поиближаем частичными суммами функционального
ряда.
Кстати сказать, эта определяющая особенность
проявлялась и в наших построениях: мы добивались, чУобы
исходная и приближающая кривая были бы близки на
всем периоде выпрямленного тока, а не в какой-либо
избранной точке. Точно так же поступали мы, когда
описывали функциональными рядами формы листьев,
профили волн о лотке, очертания мыльных пузырей.
Приближение функции на отрезке — вот суть
описанного подхода
Видели ль вы безмен, одно из стариннейших
приспособлений для взвешивания? Если видели, то обращали
ли внимание на то, как выглядит его шкала?
Бросается в глаза, что ее деления располагаются
неравномерно — не то, что на пружинных или на
рычажных весах.
Если приложить безмен к горизонтальной оси
прямоугольной системы координат так. чтобы груз совпал с
началом, а середина стержня — с единичной отметкой.
i
3.
2.
1.
3,
-А
У I
^2*/
0 1 2
-^
X
если затем над каждым делением шкалы безмена
отложить по вертикальной оси соответствующее значение
264

веса и провести через полученные точки плавную
кривую, получится график гиперболической функции,
стремящейся к бесконечности, когда аргумент стремится к
правому краю ее области определения.
Впрочем, если приглядеться к шкале безмена
внимательнее, то выяснится, что неравномерность делений
проявляется у нее лишь где-то посредине, а в начале
она почти равномерна, В соответствии с этим и
построенный нами график выходит из начала координат почти
прямолинейно. Стало быть, в окрестности начала
координат его можно приблизить прямой.
Как мы уже знаем, прямая наилучшего приближения
наиболее тесно прилегающая к кривой, — это
касательная, проведенная к кривой в той точке, е окрестности
которой и строится приближение
С отходом от точки касания расхождение между
кривой и приближающей прямой становится все заметнее.
Как уточнить приближение? Какой простой формулой
можно описать невязку? И, кстати, какова она? Чтобы
получить ее в чистом виде, вычтем из нашей кривой
касательную.
Получилось нечто похожее на параболу. Параболой с
надлежащим коэффициентом мы и попытаемся
исчерпать невязку. Она, конечно, исчерпается не полностью.
Для дальнейших уточнений используем параболы
третьей, четвертой, более высоких степеней...
i
4.
г.
У
0 1 2

Сложная гиперболическая функция оказывается
разложенной в ряд, слагаемые которого —
последовательные целые степени аргумента с некоторыми
коэффициентами. Такой ряд называют степенным; другое его
название — ряд Тейлора.
Найти эти коэффициенты, собственно, и означает
разложить функцию в степенной ряд. Выражаются они
через последовательные производные приближаемой
функции, вычисленные в той точке, в окрестности
которой строится приближение, — первую, вторую, третью и
дальнейшие.
в
-2-1*
1
и.
01 2 X
f 2л
+ 0.25
+0.13
6
*
2
-f,
■ */
Л
+D.SS
-2-t
¥
7.
0 f 2 Ж
Приближение функции в окрестности некоторой
точки — вот суть описанного подхода.
Сколь же широка такая окрестность? Прежде чем
отвечать на эгот вопрос, подставим в наш степенной ряд
какое-либо конкретное значение аргумента. Ряд станет
числовым, и мы исследуем его на сходимость.
Все значения аргумента, при которых сходится
степенной ряд, образуют так называемый интервал
сходимости.
266

Чему равен синус тридцати градусов? Половине — так
учили нас на уроках тригонометрии. А синус, скажем,
тридцати двух градусов?
Столкнувшись с таким вопросом, вы наверняка
воспользуетесь таблицами. Пробежав глазами колонку
чисел, вы остановитесь на нужном: 0,5299.
Ну, а если бы таблиц не оказалось под руками?
Смогли бы вы сами вычислить эту величину? И притом с той
же точностью — до четвертого знака после запятой?
Задача не составит для вас труда, если вы умеете
разлагать функции е ряды Тейлора. Ведь что такое
разложить функцию в ряд Тейлора? Это значит заменить
ее суммой целых степеней аргумента — каждая со своим
коэффициентом. А возведение в целую степень,
умножение на соответствующий коэффициент, сложение и
вычитание — действия простые, выполнимые с
помощью одной лишь авторучки.
*Но ряды Тейлора бесконечны, — может заметить
читатель. — Не будут ли бесконечно долгими
вычисления по ним?«
Отнюдь нет! Ряды, предлагаемые математикой для
практических расчетов, таковыг что все более далекие
их слагаемые служат для все более тонких уточнений.
Если точность расчетов задана, ряд Тейлора можно
оборвать на некотором слагаемом. От этого он
превратится в полином (его называют полиномом Тейлора).
Чтобы вычислить значение полинома дли заданного
значения аргумента, нужно произвести конечное число
умножений, сложений, вычитаний,
Ряд Тейлора для синуса1 каким он приводится в
справочниках по математике, несложен для запоминания.
Закономерность, по которой образуются слагаемые
ряда, проста. Первое слагаемое — это линейная
функция, равная своему аргументу. Дальнейшие
слагаемые — это последовательные Нечетные степени
аргумента. Каждая делится на произведение всех целых
чисел от единицы до равного показателю степени.
Знаки слагаемых чередуются меняясь с плюса на минус
и с минуса на плюс.
267

Что же дает добавление к ряду каждого очередного
слагаемого? Об этом мы расскажем, обратившись к
графику.
Сначала изобразим на нем синусоиду. Затем возьмем
ряд Тейлора для синуса и оставим в нем пока лишь
первое слагаемое —линейную функцию, равную своему
аргументу. На графике она изобразится биссектрисой
угла между осями. Обе линии — синусоида и прямая —
касаются в начале координат.
Вспомнив то, что когда-то говорилось о касательных,
мы можем заключить: в некоторой окрестности начала
координат синус можно заменить линейной функцией,
равной своему аргументу. Точность этой замены будет
тем выше, чем уже окрестность. Более того, при
сужении окрестности погрешность, вызванная заменой,
будет стремиться к нулю быстрее, чем ширина
окрестности.
Это и имеют в виду, когда говорят, что синус
эквивалентен своему аргументу в окрестности нуля.
Но что нам проку от этой эквивалентности? Аргумент,
для которого мы должны вычислить значение синуса, —
тридцать два градуса. Попадает ли эта точка в ту узкую
окрестность нуля, где замена синуса линейной
функцией гарантирует сохранение- четвертого знака после
запятой, как того требует точность вычислений, за
которые мы взялись? Судя по графику, вряд ли.
268

Что ж, припишем к первому члену разложения еще
один. На график ляжет изогнутая кривая. По сравнению
с прежней прямой она прилегает к синусоиде на боль*
шем протяжении, отходя от нее лишь под самым сводом
первой полуволны.
Еще один член разложения. Еще дальше
сопровождает синусоиду новая кривая на графике.
Возникает уверенность, что какой аргумент ни укажи
и какую точность ни назначь — тейлоровский полином
достаточно высокой степени будет в указанной точке
отличаться от синуса на величину, меньшую
назначенной.
Мы ограничимся полиномом из трех слагаемых.
Остается подставить в него значение аргумента — и
искомое число найдено.
Разумеется, чтобы получить искомое число, в
полином нужно подставить также число. Иными словами,
величину угла, для которого мы вычисляем синус, нужно
выразить числом, то есть в радианной мере. Переведем
в нее наши тридцать два градуса. С точностью до
четырех знаков после запятой это будет 0,5585.
Подставив это число в заготовленный полином, мы
получим ту же величину, что и в таблице: 0,5299.
Все получилось быстро и просто — не правда ли?
В этих удобствах — лишь малая толика тех выгод,
которые сулит возможность разлагать функции в ряды
Тейлора,

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
Наш еек — век математизации Она охватывает все
новые области знания поднимая их на все более
высокие ступени развития
Однако многие сферы повседневной практической
деятельности почему-то все еще остаются
обойденными математикой Например, кулинария
Попробуем хотя бы отчасти заполнить этот досадный
пробел
Множество чашек кофе готовится по утрам к завтраку
Эти чашки разного размера, и содержимое их весьма
различно Есть любители черного кофе Другие
предпочитают основательно разбавить кофе молоком
Объектом математизации мы выберем это множество
чашек кофе.
Как принято писать в математических статьях, введем
над элементами нашего множества —сиречь над
чашками кофе — операции сложения и умножения на число
Если к приготовленной порции кофе вы прильете,
скажем, еще две точно такие же, отчего содержимое
сосуда увеличится втрое, то будем говорить, что мы
умножили порцию кофе на три Если к чашке прилито
полчашечки — на полтора. Если от порции осталось
полпорции — на половину И так далее
А теперь возьмем две разные чашочки кофе,
приготовленные по разным рецептам, и сольем их вместе —
да простят нам кофеманы этот конщунственный акт!
Будем говорить, что мы произвели сложение двух
элементов нашего множества.
И что характерно: в результате сложения двух порций
кофе мы получим снова кофе, а не кисель и не компот
То есть элемент того же множества. Заметим также, что
в предыдущих примерах результатом умножения порций
кофе на число были опять-таки некоторые порции кофе.
Итог наших рассуждений представим диаграммой
Построена она в уже знакомой нам декартовой системе
координат. Каждая точка диаграммы изображает неко-
270

торуга порцию кофе: абсцисса показывает, скопько в
порции молока, ордината — сколько чистого черного
кофе.
Точки вертикальной оси на нашей диаграмме — это
порции черного кофе без всякой примеси молока. Точки
горизонтальной — порции молока без примеси кофе-
Точки лучей, исходящих из начала координат, — это
порции кофе одного и того же состава, хотя и
различного объема. Получаются они одна из другой
пропорциональным увеличением молочной и кофейной
компоненты.
Три
подом кофе
г*э варшавски
В таком увеличении нетрудно углядеть одну из двух
операций, которые мы ввели на множестве порций
кофе» — операцию умножения на число,
А как отразить на диаграмме операцию сложения
порций кофе? Соответствующий метод, называемый
правилом параллелограмма^ несложен и понятен из
чертежа. Из начала координат проводятся стрелки до
тех точек диаграммы, которые соответствуют той и
другой из складываемых порций. Этот уголок
достраивается до параллелограмма. Возникшая при этой недоста-
вавшая вершина параллелограмма представит собой
результат слияния двух складываемых порций в одну.
Читатель, знакомый с наукой механикой, наверняка
подметил в описании наших действий сходство с
приемом, который применяется для сложения сил и
скоростей.
В чем причина столь неожиданного сходства между
кулинарией и механикой? Этих причин две, и они до*
вольно просты.
Во-первых, подобно тому, как мы могли увеличивать
и уменьшать объем порций кофе, не меняя его состава.
271

мы можем увеличивать силы и скорости, не меняя их
направлении.
Во-вторых, подобно тому, как мы могли сливать две
порции кофе в одну, мы можем складывать силы и
скорости. Иными словами, когда на тело действуют две
независимые силы, мы можем заменить их одной,
равнодействующей, Когда тело участвует в двух
независимых движениях, мы можем рассчитывать его суммарную
скорость.
Применение подобных приемов, как мы увидим
вскоре, не ограничивается механикой и кулинарией. Их
можно применять к элементам любого множества, для
которых определены операции сложения и умножения
на число
Обе операции можно определить каким угодно
образом — вычерчивая ли диаграммы на бумаге, сливая ли
растворы- Важно лишь, чтобы в результате той и
другой операции получались элементы того же множества.
Важно еще и то, чтобы выполнение этих операций
подчинялось определенным аксиомам, о которых речь
пойдет ниже
Такое множество называется линейным
пространством.
Элементы этого множества могут иметь какую угодно
природу. Термин «линейное пространство» своим
геометрическим звучанием обязан не их форме или
расположению, но лишь характерным особенностям их
отношений и действий, над ними совершаемых, а также
возможности иллюстрировать эти отношения и
действия с помощью наглядных образов. Уже наша кофейная
диаграмма была убедительным тому примером.
Состав порций кофе мы указывали точками в
декартовой системе координат. Поясняя их сложение,
проводили стрелки из начала координат в соответствующие
точки Такими же стрелками, такими же направленными
отрезками в физике изображаются силы, скорости и
другие величины, именуемые векторами. По аналогии
элементы любого линейного пространства тоже
называют векторами (реже точками), а вместо термина
«линейное пространство»» употребляют также термин
«векторное пространство». Буквы латинского алфавита, которы-
272

ми обозначаются элементы линейного пространства
часто отмечают стрелочками или черточками над ними
Вглядитесь еще раз в чертеж, которым мы пояснили
правило параллелограмма А теперь поглядите на
следующий рисунок. Вариация на ту же тему, однако здесь
несколько больше деталей Теперь ясно видно, что в
суммарной порции столько же черного кофе и молока,
сколько их было в складываемых порциях
1 "Л Логчим
ЧРП..МЙ РОфП
1 Ли ппрции
А еще из нового черт'ежа видно, что правило
параллелограмма можно переиначить Проведя первый -век-
тор-слагаемое из начала координат, второй можно
провести из конца первого; замкнув начало первого вектора
и конец второго, мы получим искомую сумму.
Этот метод предпочтительней, когда приходится
складывать много векторов Их удобно выстраивать
цепочкой, стыкуя конец каждого из суммируемых векторов
с началом следующего, а затем замкнуть начало первого1
и конец последнего вектора
Рисунок, подсказавший нам удобную замену для
правила параллелограмма, демонстрирует еще и
наглядный геометрический способ вычитания векторов чтобы
получить разность векторов, нужно провести
направленный отрезок из конца вектора-вычитаемого в конец
вектора-уменьшаемого
Систематизируя опыт механики и других областей
физики, применяющих понятие вектора, математика вы-
273

работала так называемые аксиомы линейного
пространства.
Вот одна из них: векторы можно складывать в любом
порядке — результат будет один и тот же. Например,
сливая две порции кофе, можно прилить вторую к
первой, а можно и первую ко второй. Это —так называемый
переместительный закон сложения.
Вот другая аксиома: при сложении векторы можно
объединять в любые группы. Например, сливая три
порции кофе, можно сначала слить первую со Ётпрой и
затем влить туда третью, а можно сначала слить йторую
с третьей и затем влить туда первую. Результат опять-
таки будет одинаковый. Это — так называемый
сочетательный закон сложения.
Не нужно думать, что тот и другой закон сами собой
разумеются для элементов всякого множества, q
котором определена операция сложения.
Переместимся из кухни е химическую лабораторию и
заменим кофе и молоко на воду и концентрированную
серную кислоту. Казалось бы, чтобы получить
разбавленный раствор кислоты, можно прилить ее к вЬде, а
можно поступить и наоборот — прилить к ней воду.
Однако техника безопасности предписывает именно
первый способ и категорически запрещает второй. Дело
в том, что при смешивании концентрированной серной
кислоты и воды выделяется много тепла, кислоту
вскипает, когда к ней приливают воду, разбрызгивается и
грозит обжечь того, кто наивно полагает, что
переместительный закон выполняется при всяком сложении,
НгО + H2SO4, - раствор серной кис/юты
H2SO4 + НгО - опасно И!
274

Итак в химической лаборатории при смешивании
реактивов ив всегда выполняется первая из названных
нами аксиом сложения
Не всегда выполняется здесь и вторая аксиома
Химики знают как готовить водный раствор
кристаллического йода йод сначала нужно растворить в спирте, а
затем полученный раствор разбавить водой.
Изменив порядок сложения, мы не придем к тому же
результату с водой йод образует взвесь, которая уже
не превратится в раствор от добавкиспирта
{НтО + J2) ♦ С2Н5ОН * взвесь
ИгО + (Jj + C2H5OH) = раствор
Мы видим, что аксиомам линейного пространства
подчиняется не все, что складывается и умножается на
числа — например химические реактивы
Аксиом линейного пространства всего восемь.
Две из них мы уже назвали.
Третья требует, чтобы среди векторов был нулевой,
то есть такой, от прибавлении которого к любому дру*
гому вектору тот оставался бы неизменным В нашем
примере линейного пространства, во множестве чашек
кофе нулевой вектор указать нетруда о — это пустая
чашка. Нетрудно указать его и на кофейной
диаграмме— это начало координат. (Кстати, из третьей,
четвертой и пятой аксиом линейного пространства можно
вывести — попробуйте! —что умножение любого
вектора на нуль дает нулевой вектор. Этот вывод пригодится
нам в дальнейшем.)
Четвертая аксиома: от умножения вектора на единицу
он не изменяется. Пятая: умножить вектор на сумму
чисел — это все равно, что умножит*» вектор порознь на
каждое из этих чисел, а результаты сложить. Шестая
умножить число на сумму векторов —это все равно, что
умножить его на каждый вектор по отдельности, а затем
сложить результаты. Седьмая: последовательное умно*
жение вектора на два числа можно заменить однократ-
275

ным умножением на произведение этих чисел.
Восьмая...
Впрочем, прервем на минутку этот монотонный
перечень.
Рассказывают, что английскому физику Полю Дираку
однажды предложили шуточную задачу на смекалку.
Вот она, эта задача. Три рыбака ловили рыбу. Ловля
закончилась затемно, и рыбаки ^решили разделить
добычу утром при свете дня. Один рыбак проснулся
раньше других и решил, не будя остальных, взять
причитающуюся ему треть и уйти. Число рыб на три не делилось,
и чтобы это сделать, пришлось выбросить одну. Рыбак
ушел, взяв свою долю, А потом проснулся другой и,
ничего не подозревая, t теми же намерениями, что и
первый, принялся вновь делить добычу на три части. Для
этого ему, как и первому, снова пришлось выбросить
одну рыбу. Забрав свою треть, ушел и он. Последний
поступил так же, как и предыдущий. Спрашивается,
сколько рыб поймали рыбаки? Из всех возможных
ответов указать наименьший.
Ответ задачи — двадцать пять рыб. Можете
проверить*
Однако ответ Дирака был другим и, как ни странно,
правильным. Дирак ответил: рыбаки поймали минус две
рыбы. Нет, нет, не торопитесь с возражениями. С точки
зрения математики Дирак прав, во-первых, в том, что
указал меньшее число (минус два действительно
меньше чем двадцать пять), а во-вторых, его ответ
действительно удовлетворяет условию задачи. Первый рыбак из
общего числа рыб, указанного Дираком, выбросил, то
есть вычел, одну и их стало минус три. Рыбак забрал
свою минус одну рыбу и осталось минус две. Второй и
третий повторили эту операцию.
Конечно, ответ Дирака, как говорится, не имеет
физического смысла. Но нам, с нашими разговорами о
линейных пространствах, ценнее тот факт, что Дирак 8
своих рассуждениях не делает принципиального
различия между положительными и отрицательными числами.
276

Кафе
по варшавски
Г1
Молоко, ст
Не делают между ними различия все те, кто имеет
дело с линейными пространствами. Говоря об
умножении вектора на число, год числом подразумевают любое
из положительных и отрицательных.
Умножить вектор на отрицательное число,-
Например, умножить чашку кофе иа минус единицу- Что это
такое? Сразу не сообразишь.
Но мы не зря сформулировали аксиомы линейного
пространства. Возьмем ту, которая идет у нас пятой по
счету: «умножить вектор на. сумму чисел — это все
равно, что умножить вектор порознь на каждое из этик
чисел, а результаты сложить»
Умножим чашку кофе на
сумму единицы и минус
единицы. Умножение
можно произвести порознь
и получить сумму чашечки,
умноженной на единицу
(при этом она останется
собой) и чашечки, умно-
жен ной на минус единицу
(что это такое, мы сейчас и
попытаемся понять). А
теперь, следуя названной ак-
сиоме, просуммируем
числа до умножения.
Единица, сложенная с минус единицей, дает нуль. Нуль,
умноженный на любую чашечку кофе, дает пустую
чашечку, нулевой злемент нашего множества.
Итак мы приходим к выводу, что если к любой чашечке
кофе прибавить точно такую же, умноженную на минус
единицу, то в результате получится нулевая, пустая'
чашечка.
Для кулинара это, быть может, удивительный факт,
для механика — само собой разумеющийся,
наблюдаемый, скажем, при сложении сил. Умножение любой силы
на минус единицу в механике трактуется как смена
направления силы на противоположное. Две взаимно
противоположные силы при сложении дают нулевую:
приложенные к телу, они действуют на него так, будто
никакая сила к нему не приложена. Для всякой силы
можно подобрать ей противоположную.
277

Придавая подобным фактам строгое математическое
оформление, скажем так: для любого элемента
линейного пространства должен существовать
противоположный элемент, такой, что оба элемента в сумме дают
нулевой.
В этом и состоит восьмая аксиома линейного
пространства.
Подчиняясь ей, давайте и мы наряду с
обыкновенными «положительными» чашечками кофе рассматривать
и «отрицательные». Сложение чашечки кофе с
противоположной будет давать в результате нулевую, пустую
чашечку. Умножение чашечки кофе на минус единицу
будет давать противоположную чашечку, минус одну
чашечку кофе.
Кофе по-дираковски — так мы будем его называть.
После утомительного разбирательства с умножением
чашечек кофе на отрицательные числа позвольте,
читатель, развлечь вас небольшим фокусом.
Задумайте три различных рецепта кофе. Приготовьте
по ним три порции кофе любого объема. Готово? А
теперь — внимание! Мы отливаем от порции,
приготовленной вами по первому рецепту, некоторую часть в
отдельную чашечку, в следующую чашечку отливаем
немного от второй порции, еще в одну — чуть-чуть от
третьей. Затем сливаем в первую чашечку содержимое
второй и начинаем медленно подливать туда же кофе из
третьей. Смотрите внимательнее! Свет на арену,
барабаны — дробь! Струя кофе льется в чашку, но чашка
пустеет! Вот упала последняя капля, и в чашке
обнажилось дно! Чашка пуста!
Вы изумлены? А между тем фокус несложен. Мы
откроем вам секрет, и тогда вы сможете с неизменным
успехом демонстрировать его знакомым и
родственникам.
Правда, для большей наглядности нам придется
обратиться к геометрической интерпретации, к той
кофейной диаграмме, которую мы строили уже не раз.
278

Три порции кофе, приготовленные вами по
задуманным рецептам, отложим на диаграмме в виде векторов.
Эти порции, как видноt совершенно различны по объему
и составу, о чем свидетельствуют разная длина и разный
наклон векторов. Нужные
нам для фокуса доли
каждой порции на следующем
рисунке показаны
жирными стрелками.
Пусть вас не удивляет,
что одна из предложенных
вами порций кофе
превратилась в кофе подираков-
ски. Она составлена в той же пропорции.
Соответствующая ей точка лежит на том же луче, проходящем через
начало координат, точнее, на его продолжении за
начало координат.
Теперь начнем складывать эти стрелки-векторы.
Будем делать зто последовательно, как сливали чашки
кофе, — приставляя к концу первой стрелки начало
второй, а к ее концу — начало третьей.
Смотрите: конец третьей стрелки совместился с
началом первой! Мы действительно получаем в сумме
нулевой вектор, пустую чашку.
Вы разочарованы? Слишком просто? Что ж любой
фокус теряет свою загадочность после объяснения.
Однако наш фокус, уфатив после объяснения долю
таинственности, приобрел математическую
содержательность.
Мы сложили три вектора, предварительно изменив их
длину, то есть умножив каждый на. некоторый коэффи-
279

циент. Сумма такого вида называется линейной
комбинацией векторов.
Один из коэффициентов, употребленных нами, был
числом отрицательным, но это не должно нас смущать—
ведь мы отменили знаковую дискриминацию чисел, на
которые умножаем векторы
Нам удалось составить такую линейную комбинацию
наших векторов, которая оказалась равной нулю.
Векторы, из которых можно составить нулевую линейную
комбинацию, именуют линейно зависимыми. В
противном случае, если сделать это удается лишь тривиальным
образом, лишь взяв в качестве коэффициентов одни
нули, векторы называются линейно независимыми.
Своим фокусом мы доказали, что любые три вектора
нашего абстрактного кофейного пространства являются
линейно зависимыми.
В то же время в нашем кофейном пространстве всегда
можно найти два линейно независимых вектора.
Возьмем порцию кофе по-варшавски, обильно сдобренного
молоком, и порцию кофе по-турецки без всякой
примеси молока. В каких количествах ни подливай второй
кофе к первому, положительных или отрицательных,
чашка не будет пустой: молочная составляющая
останется неизменной по величине и в нуль не обратится,
так что на диаграмме вектор, изображающий сумму
отдельных порций, не упрется в качало координат;
сделать это можно, лишь взяв оба кофе в нулевых
количествах.
Если в линейном пространстве существует N линейно
независимых векторов, а любые (ЛН-1) зависимы,
говорят, что пространство N — мерно.
Итак, наше кофейное линейное пространство
двумерно. Как говорят его размерность равна двум.
Сейчас мы дадим еще одно истолкование фокусу,
проделанному в предыдущем разделе.
Согласитесь: он доказывает, что из трех различных
порций кофе две всегда можно слить в таких количедт-
eaxt что сумма будет тождественна третьей порции
280

Несложная перестройка предыдущих чертежей дает
наглядную геометрическую интерпретацию этого вывода
и
т о
Порция кофе
по-варшавски-
^ ст черного кофе+
3 ст молока
4
1 молоко, ст
Напрашивается вопрос, можно ли раз и навсегда
взять дне стандартные порции кофе, чтобы, сливая их в
нужных количествах, получать любую задуманную?
Тогда любой рецепт кофе можно будет записывать в
предельно простом виде — парой чисел, указывающих
зти самые количества.
«Помилуйте! — изумится любой кофеман. — А разве
не так составляются рецепты кофе? Возьмем любой из
них — ну, скажем, такой: для приготовления кофе по-
варшавски берется четверть стакана черного кофе и три
четверти стакана молока. За стандартную основу, как
видно, приняты стакан черного кофе и стакан молока.
Первый умножается на три четверти, второй — на одну
четверть и результаты умножения складываются, то
бишь сливаются**.
«А разве не так записывается любой кулинарный
рецепт? — подхватит р&зговор хозяйка. — Вот рецепт
омлета, который в русской кухне называется драченой: три
яйца, три столовые ложки молока» одна столовая ложка
муки. Тут можно обойтись одними числами: 3,3,1. Надо
только условиться, что первое число — это количество
яиц, второе — столовые ложки молока, третье —
столовые ложки муки. Классический омлет готовится без
муки, а ради густоты берут поменьше молока — всего
одну ложку. Стало быть, здесь тройка чисел уже другая:
3,1,0. Впрочем, некоторые считают, что омлет такого
состава жестковат, и предпочитают брать молока
побольше, ложки две. Тройка чисел дли такого «нежного»
омлета будет выглядеть так. 3,2,0. Надо только не забы-
281

вать, чему какие числа соответствуют. Ведь если нуль
отнести за счет яиц, это будет уже не омлет*.
«Забавно, забавно! — оценит эти кулинарные
рассуждения физик. — Но если говорить всерьез, то с силами
в механике поступают точно так же, когда представляют
их разложенными по осям координат. И записывают
тоже строчками чисел, например: E,3,2). Конечно, при
этом должно быть ус лов лен о, в каких единицах это
выражено — скажем в килограммах. А порядок осей —
традиционный: X, Y, Z. Так что, если пишется E,3,2), то
подразумевается, что речь идет о силе, которая
складывается по законам векторного сложения из
пятикилограммовой, направленной по осиХ, трехкилограммовой,
направленной по оси У, и двухкилограммовой,
направленной по оси Z. Разложенными по осям координат
представляются в механике и скорости, и ускорения».
Как видим, подобный подход применим в любом
линейном пространстве. Его следовало бы описать построже.
Если в линейном пространстве существует такой
набор линейно независимых векторов, что в виде их
линейкой комбинации может быть представлен любой
вектор пространства, то такой набор называется
базисом. Коэффициенты линейной комбинации, с помощью
которого некоторый вектор выражается через
базисные, называются компонентами данного вектора в
данном базисе. В таком случае еще говорят о разложении
данного вектора по данному базису.
Коль скоро базис выбран и порядок базисных
векторов указан, то любой вектор пространства однозначно
представляется набором своих компонент. Вот почему
часто говорят: вектор есть упорядоченный набор чисел.
Такие наборы принято записывать в строчку или
столбик. Действия над векторами тогда становятся
выкладками со строчками или столбиками их компонент.
Складывая два вектора, складывают по отдельности
соответственные компоненты -г- полученный набор чисел
представит собой компоненты суммы векторов. Вычитая из
одного вектора другой, вычитают их соответственные
компоненты. Умножая вектор на число, умножают на зто
число все его компоненты по отдельности — в резуль*
тате получатся компоненты вектора, умноженного на
число.
282

Количество базисных векторов равно размерности
пространства. Разложение любого вектора
пространства по данному базису единственно.
Что удобнее — метровая линейка или складной метр?
Судя по тому, что предпочитают столяры и плотники, —
второе. А еще удобнее рулетка — линейка, каждый раз
выдвигаемая на нужную длину.
Сходное понимание удобства заставляет и
математиков, рисуя векторные диаграммы, не разграфлять лист
бумаги осями координат, а лишь вычерчивать с краю
набор базисных векторов.
Согласовать новый графический прием со старым
несложно. Если применяются оба, базисные векторы
должны упираться своими концами в единичные отметки
на координатных осях.
е„ е2 - базисные вектора
Компоненты вектора х
в базисе {ё, в^}
на приведенном чертеже
Возьмем теперь какой-нибудь вектор линейного про
странства, заданный набором своих координат. Эти
компоненты нужно умножить на соответствующие 6а*
зисные векторы и результаты умножения сложить. В
этом и выразится представление вектора в виде
линейной комбинации базисных векторов.
После такого умножения каждый базисный вектор,
прежде упиравшийся концом в единичную отметку
своей оси, дотянется до отметки, равной
соответствующей компоненте вектора. И если результат
последующего сложения отобразить стрелкой, исходящей из на-
283

чала координат, ее конец окажется в точке с
координатами, равными компонентам вектора
Художник смешивает краски на палитре. Театральный
осветитель скрещивает цветные луни прожекторов на
персонаже сценического действия. Ребенок
раскручивает ярко раскрашенную юлу, и пестрый рисунок
сливается в одно цветное пятно,
И тот, и другой, и третий, с точки зрения математика,
выполняют одну и ту же операцию — операцию
сложения цветов. '
Цвета можно не только вкладывать, но и умножать на
числа. Глядя на картину старого мастера и видя, как она
потускнела, можно сказать, что время умножило
первоначальные цвета картины На числа, меньшие единицы.
Похоже, что набор всевозможных цветов можно
рассматривать как линейное пространство. Просмотр
аксиом линейного пространства показывает, что они
выполняются при сложении цветов и их умножении на.число.
В ложе осветителя — десяток цветных прожекторов*
Под рукой у художника — с полсотни различных красок*
Но каким минимальным числом можно обойтись, чтобы*
составить все возможные цвета? Где те базисные
краски, линейной комбинацией которых можно предЬтавить
любую, а их друг через друга представить уже
невозможно? Какова размерность линейного пространства
цветов? Как построить его базис?
Закономерности цветовых сочетаний изучали такие
умы, как Ньютон, Грасман, Гельмгольц, Максвелл, Шре-
дингер. Характерно, что все они — физики и
математики. Например, Герман Грасман, немецкий математик,—
один из основоположников векторного исчисления. Он
же установил первые законы сложения цветов.
Вот один из открытых им законов: существуют тройки
линейно независимы^ цветов, и в то же время любая
четверка цветов линейно зависима.
Что это значит? Прежде всего то, что можно
подобрать три таких цвета, что ни один из них нельзя будет
представить смесью двух других. В самом деле, возь-
284

мем красный, фиолетовый и зеленый цвета* Смесь
первых двух дает пурпурные цвета различных оттенков, и
ни один из них, конечно, не тождествен зеленому. Точно
так же смесью красного и зеленого никак не удается
создать фиолетовый цвет, смесью фиолетового и
зеленого — красный.
Доказывая линейную зависимость любой четверки
цветов, Грасман выбрал тройку базисных оттенков,
линейной комбинацией которых можно представить почти
любой из предложенных цветов. Слово «почти»
употреблено здесь с умыслом. В силу физиологических
особенностей человеческого глаза, некоторые цвета требуют
более сложного представления. Их приходится
смешивать с одним из базисных, добиваясь того, чтобы сумма
равнялась некоторой линейной комбинации двух других
базисных цветов. Возникает цветовое уравнение, из
которого цвет выражается опять-таки линейной
комбинацией базисных, однако среди коэффициентов
комбинации на сей раз есть и отрицательные числа.
Все эти исследования и привели Грасмана в выводу:
линейное пространство цветов трехмерно.
Каковы же те три цвета, которые способны послужить
базисом этого пространства? Однозначен ли их выбор?
Конечно, нет, отвечает богатый опыт работы с цветом,
накопленный к сегодняшнему дню. В полиграфии для
цветной печати используют желтую, красную и синюю
краски. Цветное телевидение избрало в качестве
базисных зеленый, красный и синий цвета. Как видим наборы
базисных цветов различны, но их число и тут и там равно
трем — размерности цветового пространства.
Всмотритесь в его схематическое изображение, в
* цветовой фунтик», как шутливо называл эту
пространственную диаграмму Шредингер. Известно, что-цвета
спектра в сумме дают белый. Прямая линия, проходящая
по оси фунтика, как раз соответствует бел о-се рым
цветам. Чем ближе к этой линии, тем меньше насыщенность
цвета. Насыщенности —это тот признак, которым
отличаются друг от друга бордовый и малиновый, или алый
и розовый цвета: они одинаковы по тону, но различны
по насыщенности* Кстати, о малиновом и прочих
пурпурных цветах: их нет в солнечном спектре, и получают
их, смешивая два крайних спектральных цвета — крас-
265

ный и фиолетовый. Вот почему пурпурные цвета на
нашей диаграмме образуют плоскость, дпумерное
подпространство трехмерного пространства цветов. Начало
координат — это чернота, полное отсутствие цвета.
Us
I
Близ этой точки находятся коричневые тона, которые,
как доказано, отличаются от красного, оранжевого и
желтого цветов лишь интенсивностью. Заметим, что
точки нашего «фунтика*, соответствующие цветам
одинаковой интенсивности, образуют плоскости, рассекаю-
286

щие «фунтик» поперек. (По одной из них цветовой фун->
тик и срезан на нашем рисунке.)
. .«Взгляните на солнце — оно трезвучие!» —
восклицает герой новеллы Гофмана «Кавалер Глюк», Не
ручаясь за верность цветомузыкальной аналогии, содержа*
щейся в этой фразе, мы еще раз со всей
решительностью подтвердим иносказательно выраженную здесь
математическую суть; абстрактное линейное пространство
всех цветов| заключенных в солнечном спектре,
—трехмерна, его размерность равна трем.
«2, 1, 1», — перечисляет телеоператор компоненты
некоторого цвета. «2, 2, 1,» — говорит про тот же самый
цвет полиграфист. И оба правы- Потому что первый
называет те количества, в которых он станет смешивать
красный, синий и зеленый цвета, добиваясь нужного
оттенка, а второй будет подбирать тот же оттенок,
смешивая красную, синюю и желтую краски. Если же
базисные краски не указаны, называть составляющие того или
иного цвета бессмысленно.
Так дело обстоит в любом линейном пространстве, а
не только а пространстве цветов. Говорить о
компонентах вектора и не указать базис, е котором представлен
этот вектор, — все равно, что назвать температуру и не
отметить по какой шкале она измерена — шкале
Цельсия или Кельвина, Фаренгейта или Реомюра.
Компоненты одного и того же вектора различны в различных
базисах. А если базис не назван — говорить о
компонентах вектора бессмысленно.
Как и многое другое, связанное с линейными
пространствами, это положение лучше один раз увидеть,
чем сто раз услышать.
Разберем по этому поводу небольшой шахматно-гео-
метрический этюд. На шахматной доске^всего две
фигуры: белый ферзь и черный король. От первой фигуры
ко второй проведена стрелка* Спрашивается: чему
равны компонеты этого вектора?
Вы затрудняетесь с ответом? Что ж, тогда мы зададим
вопрос в другой, равнозначной формулировке; чему
267

у"
\
\
\
N
2
/к
f
/1
/
1 ъ
\'\
\
\
\ .
/
/
у
к'
X
N«Hfb> ректора эс Компоненть вектора к
Матрица пирс хода
\
'1 -1
Компинонты
первого
нового
базисной и
старом-
Базисе
aawce (б fl.l в -новом- Сдэисгв (в, в
1ё,4Ь
гер ого
-нонагп- базисного
акта рэ о1 в *сгаром-
Компонент ы пг&рога
нонпгп- базисного
век гора в2 в
Вторая
и вокгора к
старом- taavce tSJS,} перепала

равны координаты черного короля в "системе, за начало
ко горой принят белый ферзь?
«Но где же эта система? — удивленно переспросите
вы —Указать ее начало мало, надо еще показать
направления осей и на каждой из них задать единицу
масштаба».
Претензия справедливая, и нам остается лишь ее
удовлетворить. Поскольку ферзь может ходить и по
горизонталям, *и по вертикалям, в таких направлениях
мы и проведем оси системы координат. А за единицу
масштаба естественным образом примем кратчайший
ход ферзя по этим направлениям. Координаты черного
короля в построенной системе +1 и +7: именно за деа
таких хода в положительных направлениях осей X и К до
него может добраться белый ферзь.
Но ведь ферзь может ходить и по диагоналям! Строя
систему координат, мы могли бы провести оси и в этих
направлениях и соответственно выбрать новые единицы
масштаба. В такой системе координаты черного короля
+4 и +3: именно такие ходы должен сделать ферзь вдоль
осей X' и Y' новой системы, чтобы вступить на
королевское поле.
Точка одна и та же, а координаты у нее там и тут
разные. Ибо различны системы координат, в которых
указывается положение-точки.
Эта точка — конец вектора, давшего повод к нашей"
шахматной беседе. Координаты точки — компоненты
вектора в базису.векторы которого изображены
единичными отрезками координатных осей. Итог всего
сказанного можно подвести уже знакомым нам
утверждением: компоненты одного и того же вектора различны е
различных базисах.
Иногда бывает нужно заменить один базис другим.
Тогда приходится выяснять, как компоненты того или
иного вектора в старом базисе связаны с компонентами
вектора в новом базисе. Все, очевидно, зависит от того,
как новые базисные векторы сориентированы по
отношению к старому базису— точнее, каковы их
компоненты в старом базисе. Эти компонеты вписывают в
столбцы, а из столбцов составляют таблицу, называемую
матрицей перехода. Так вот, оказывается, что «старые»»
компоненты любого вектора (первая, вторая и т.д.)
Ю-^80 289

представляют собой линейные комбинации «новых»
компонент и коэффициентами таких комбинаций служат
числа строчек матрицы перехода (первой строчки,
второй и т.д.).
Есть в языке слова, которые с течением времени
наполняются все более богатым содержанием.
Пример тому — слово «машина». В каких только
сочетаниях не встречается оно сегодня! Автомашина и
пишущая машинка, швейная машина и машина времени,
паровая машина и машинка парикмахера».
Термины математики, этого универсального языка
естествознания, тоже подвержены подобному
обобщению. По мере ее развития они приобретают все более
широкий смысл.
Пример тому — термин «пространство».
Даже житейский смысл этого слова богат оттенками.
Какие только ассоциации не вызывает это слово!
Интерьер большого зала. Простор полей. Глубины космоса.
Все это, впрочем, одно и то же реальное физическое
пространство, лишь взятое в разных масштабах. Именно
в этом пространстве, именно ради описания его
свойств, пространственных форм реальных предметов,
пространственных отношений между нами и была
создана наука геометрия.
Но оказалось, что понятие этой науки способны
вобрать в себя более глубокое содержание. Цзета спектра
и состояния вещества, комплексные числа и решения
алгебраических систем — некоторые отношения между
ними напоминают пространственные отношения между
предметами реального мира. Когда принимают во
внимания лишь эти отношения и отвлекаются от всех прочих
качественных особенностей, тогда становится
уместным термин «пространство»t становятся применимыми
геометрические методы исследования.
Круг подобных исследований ширится, термин
«пространство» становится все употребительнее. Какими
только прилагательными не оснащают его.ныне матема*
290

тики! Гильбертово, многомерное, риманово, фазовое,
конфигурационное, финслерово пространство,,.
Геометрические аналоги делают предмет
исследования нагляднее, на помощь приходит геометрическая
интуиция, пространственное воображение.
Заметим, однако: геометрические аналогии, зачастую
весьма полезные, иногда могут вводить в
заблуждение — именно в тех случаях, когда решающими
оказываются те качественные особенности, отвлечение от
которых делает возможным геометрический подход.
Поэтому все, что такой подход позволяет достичь в
абстрактных пространствах современной математики,
должно затем подкрепляться строгими
доказательствами*
«Пифагоровы штаны на все стороны равны»
Помните это шутливое присловье? Речь в нем идет о
картинке, которой обычно иллюстрируется
доказательство знаменитой теоремы Пифагора: квадрат
гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов
катетов.
Картинку, похожую на штаны, придумали
древнегреческие математики. Рисуется она просто: на гипотенузе
и на катетах прямоугольного треугольника ABC строятся
квадраты. (Длины их сторон
мы обозначим через a, b и
с.) А затем «штаны*
разрезаются так, что в каком-то
смысле оказываются *рав-
ными на обе стороны». Из
вершины прямого угла на
гипотенузу опускается
перпендикуляр и продолжается
далее так, что делит на два
прямоугольника квадрат, <
построенный на гипотенузе
Из подобия
треугольников ABC и ADC выводится
пропорция AD: АС = АС. АВй
10*
291

а из нее определяется длина отрезка AD — она вырэжа-
2 2
ется дробью -дВ - "с Теперь нетрудно вычислить
площадь прямоугольника AEFD Она равна произведению
его сторон- AD АЕ = — с = Ь2.
Площадь прямоугольника AEFD совпала, как видим, с
площадью квадрата, построенного на катете АС. Точно
так же площадь прямоугольника DFGB оказывается
равной площади квадрата, построенного на катете СВ9 то
есть величине а2.
Но оба прямоугольника в сумме составляют квадрат,
построенный на гипотенузе AS. Аналогичное равенство
связывает площади прямоугольников с площадью этого
квадрата: а2 + Ь2 = с2.
Что и требовалось доказать. Причем заметьте: мы
достигли цели средствами одной лишь геометрии —
через подобие треугольников, определение площади
прямоугольника...
Вторая картинка пришла
к нам из древней Индии
Тема ее та же:
доказательство теоремы Пифагора
(индийские математики от-,
крыли ее независимо от
греческих). Четыре
одинаковых прямоугольных
треугольника складываются в
квадрат. Это оказывается
возможным благодаря
удачному свойству всякого
прямоугольного
треугольника: сумма двух его острых
углов равна третьему,
прямому — ведь все вместе они должны равняться двум
прямым, как это справедливо для всякого треугольника
вообще. Вот почему возникают прямые углы в вершинах
нашей конструкции из четырех прямоугольных
треугольников. Четыре равные стороны, четыре прямых угла при
вершинах — определяющие признаки квадрата. Именно
такую фигуру, стало быть, представляет собой наша
конструкция.
292

Отметив это, поведем дальнейшее рассуждение на
языке формул. И хотя заголовком своей книги мы
отвергли их с самого начала, здесь мы просто не можем
отказать себе в удовольствии привести две строчки
изящных алгебраических выкладок.
Площадь большого квадрата складывается из
площадей четырех треугольников и площади маленького
квадрата в середине. Его сторона равна разности катетов:
а — Ь. Площадь прямоугольного треугольника проще
всего выразить половиной произведен и я катетов: 4р.
Взяв эту величину четыре раза (по числу треугольников)
и добавив площадь маленького квадрата, подсчитываем
площадь большого квадрата: 4^ + (а — Ь)г - 2а b + а2 —
— 2аЬ + ь2 = а2 + Ь2. Но с другой стороны площадь
большого квадрата равна квадрату его стороны, то есть
квадрату гипотенузы любого из четырех треугольников:
с2. Итак, а2 + Ь2 = с2.
Такое доказательство больше придется по душе
любителю алгебры. Все здесь покоится на ее законах» на
правилах алгебраических преобразований.
Впрочем, выпячивай в одном случае геометричность,
а в другом алгебраичность доказательства, мы
несколько грешим против истины. Если быть точным, в каждом
из двух рассуждений переплетались элементы алгебры
и геометрии. Одна ветвь математики помогала другой.
Пусть это уточнение послужит нам присказкой к
дальнейшему рассказу.
Быть может, первый, кто отчетливо понял
плодотворность взаимодействия алгебры и геометрии, был
французский'математик и философ Рене Декарт,
опубликовавший 8 1637 году свой трактат «Рассуждение о
методе». Изложенный там подход дал начало новой науке —
аналитической геометрии. Под методом же, о котором
рассуждал Декарт, имелся в виду метод координат.
У нас уже были поводы убедиться, что его применение
может существенно облегчить нашу работу. До
упоминания о кем, в самом начале книги, в главе «Теоремы,
293

аксиомы, определения» мы мучились с определением
прямой линии. Мы усомнились в словах Эвклида «линия
есть длина без ширикы» — ведь понятия длины и
ширины сами нуждаются в определении. А несколькими
страницами позже, в главе «Отношения» построение прямой
линии никаких мучений нам не доставило. Мы
нарисовали декартову систему координат и стали наносить
точки, координаты которых удовлетворяют уравнению
х = у. Подходящих значений х и у оказалось бесконечно
много. (Подобные уравнения, содержащие более
одного неизвестного и потому имеющие, как правило,
бесконечно много решений, называются
неопределенными.) Точки с такими координатами сливались в прямую
линию.
Еще позже, в главе «Функции»*, встретившись с более
сложными неопределенными уравнениями у = 2х, у =
= х + 6, у = Ьх + с, ми уже вполне уверенно изображали
их прямыми линиями, соответственно сдвинутыми и
наклоненными по отношению к осям координат.
В любом неопределенном уравнении Декарт видел
линию на координатной плоскости. И не только прямую.
Сумма квадратов абсциссы и ординаты, приравненная
положительной постоянной, давала окружность с
центром в начале координат. Произведение абсциссы на
ординату, соединенное знаком равенства с
постоянной, — гиперболу. Равенство ординаты и квадрата
абсциссы — параболу с вершиной в начале координат,
симметричную относительно оси ординат. Заменяя в
этом равенстве квадрат абсциссы тем или иным
квадратным трехчленом, можно передвигать параболу по
координатной плоскости...
Декарт увидел, что его метод дает замечательные
результаты, будучи применен и в обратном
направлении. Любая из тех кривых, которыми занимались
тогдашние математики, под взглядом Декарта
превращалась е уравнение. Например» эллипс, геометрическое
место точек, у которых сумма расстояний до двух
заданных точек постоянна. Или гипербола, определявшаяся
на подобный манер как геометрическое место точек, у
которых постоянна разность расстояний до двух
заданных. I-сли расположить заданные точки на оси абсцисс,
симметрично по обе стороны от начала, то уравнением
294

25

эллипса будет приравненная единице сумма квадратов
координат, взятых с определенными (неравными)
коэффициентами. Уравнением гиперболы — приравненная
единице разность квадратов координат, тоже взятых с
некоторыми коэффициентами. О том. как выразить
уравнениями окружность и параболу, мы уже говорили.
Задачи на построение заменялись теперь
вычислениями, геометрические теоремы доказывались
средствами алгебры. А поскольку алгебра в ту пору достигла
немалого совершенства, то схановится вполне
объяснимой уверенность, с которой изобретатель метода
координат заявлял; «Я решил все задачи»».
Каждая из обеих ветвей математики — и алгебра, и
геометрия — выиграла от завязавшихся тогда связей.
Геометрия получила возможность заменять свои
исследования выкладками. Сведенные в систему, эти
приемы образовали новую науку — аналитическую
геометрию. Зачастую преобразования формул вели к цели
более простым и коротким путем, нежели построения.
Алгебру в свою очередь обогатила геометрическая
наглядность. Появились графики, и нередкого, что было
непонятным в аналитической формулировке,
становилось очевидным в геометрическом представлении*
Из пункта А в пункт В ходят поезда, останавливаясь
на каждой промежуточной станции. Навстречу им из
пункта В в пункт А поезда тоже ходят и тоже с
остановками на всех промежуточных станциях. Нужно составить
расписание их движения. Трудность заключается в том,
что дорога, соединяющая пункты А и В, — одноколейная,
и разойтись поезда могут только на станциях.
■ На первый взгляд, эта задача — крепкий
математический орешек. Особенно, если расстояние между А и В
велико, промежуточных станций много и одновременно
на линии находится много поездов.
И действительно, задачу такого рода рискованно
было бы помещать в задачнике по алгебре.
Но средствами геометрии она решается без особого
труда,
296

Если взять декартову прямоугольную систему
координат и на одной оси, скажем, вертикальной, указывать
положение поезда между пунктами Л и В, а на другой,
горизонтальной — время, то на координатной плоскости
часы
Александров 6
30
30
6
'возникнет непрерывная линия. Эта линия оказывается
ломаной: ее наклонные звенья соответствуют
движению, горизонтальные — остановкам на станциях.
Ломаная линия другого наклона изобразит движение
встречного поезда. Очевидно, провести ее нужно так,
чтобы с уже построенной ломаной они пересекались по
одному из своих горизонтальных участков. А потом —
одна ломаная за другой.
И вот построение закончено. Остается превратить
сетку линий на координатной плоскости в сетку
расписания — в столбик цифр, указывающих отправление и
прибытие.
Вот что значит геометрическая наглядность!
На стене тикают ходики. Как работает это несложное
механическое устройство?
297

При всей его несложности не так-то просто ответить
на поставленный вопрос. Но геометрия поможет нам и
тут.
Давайте присмотримся к движению маятника.
Отклоненный в крайнее положение, он устремляется
к точке равновесия, но, разогнавшись, пролетает
дальше и замирает на миг в другом крайнем положении.
Сходным образом маятник возвращается в начальную
точку своего пути, затем все повторяется снопа и снова.
Нетрудно изобразить, как с течением времени
меняется отклонение маятника от положения равновесия и
его скорость. Получатся две синусоидальные кривые:
одна сдвинута вдоль оси времени на полпериода по
сравнению с другой. Читателю придется поверить нам
на слово, что движение маятника описывается
тригонометрическими функциями. Строгое доказательство
этого факта относится к физике и потому не совсем
уместно здесь.
\/ Ч/время t
Время t
«Все верно, но чуточку громоздко», — сказал бы
механик, взглянув на зти два графика. Механик умеет
совмещать их в один.
Как это делается? Следите за нашими построениями.
Снова нарисуем на листе бумаги две координатные
оси. Только теперь разметим их по-другому. По
вертикальной будем откладывать отклонение маятника от
положения равновесия, по горизоктальной — его
скорость в тот же момент.
29В

Такую систему, координат механики называют
фазовой плоскостью.
Если удачно выбрать масштаб осей, то движение
маятника изобразится на ней окружностью. Можете
убедиться в этом, прослеживая ход крыв ой и сверяя ее с
предыдущими синусоидальными графиками.
Макушка окружности соответствует исходному
отклонению маятника. Сдвинувшись по кривой в левый конец
ее горизонтального диаметра, мы воспроизводим
начало движения, когда маятник приходит в точку
равновесия, достигая при этом максимума скорости. Сдвиг в
наинизшую точку окружности — это приход маятника в
другое крайнее положение... и так далее.
Справедливости ради надо сказать, что наш график
несколько идеализирован. Окружность — кривая
замкнутая. Отправившись в путь по такой кривой из любой
точки, мы вновь вернемся туда же, и путь повторится
еще и еще раз в том же неизменном порядке. А это
значит, что неизменный циклический порядок присущ и
движению, портретом которого служит замкнутая
кривая на фазовой плоскости: размах колебаний ничуть не
уменьшается со временем, не замедляется скорость
движения.
В действительности дело обстоит совсем иначе.
Колебания маятника, представленного самому себе, зату-
299

хают со временем из-за трения, и он замирает в полск_
жении равновесия.
Исправим наш график с учетом реальности.
Окружность превратится в спираль, навитую на начало
координат, на ту точку, которая соответствует равновесию
маятника — нулевому отклонению и нулевой скорости.
Часы с таким маятником не ходили бы. Их
приходилось бы подталкивать, чтобы они не остановились после
нескольких качаний.
Но если уж подталкивать, то в какие моменты? В какой
точке спирали удобнее перебрасывать маятник с
внутреннего витка на внешний?
Разумное предложение на этот счет
мы выразим опять-таки языком
графика. Зубчик на кривой — это легкий
удар, которым анкерный механизм
ходиков, приводимый в движение тяжес-
« тью гири, придает маятнику
мгновенный скачок скорости в том момент,
когда маятник минует точку равнове-
сия,
И все возвращается на круги своя. График становится
замкнутой линией, колебания — незатухающими, и
стрелки ходиков исправно описывают круг за кругом.
Метод фазовой плоскости, который мы
продемонстрировали на примере ходиков, весьма популярен в
механике, позволяя представить в наглядных
геометрических образах течение процессов, свойства уравнений.
Если вам хочется научиться рисованию на фазовой
плоскости, попробуйте изобразить на ней движение
мячика, который падает на пол с некоторой высоты и
начинает подпрыгивать.
Готово? Сверьте свою картину с нашей. В полном
соответствии с реальностью линия и тут имеет вид
стягивающейся спирали; прыжки мячика становятся все
более невысокими, и, наконец, мячик замирает на полу.
Рядом — график, дополненный деталью, которую
вносит в зто затухающее движение баскетболист во время
дриблинга, когда он ведет мяч. Подгоняя мяч рукой,
когда тот устремляется вниз, баскетболист заставляет
его наращивать скорость быстрее, чем в свободном
падении. Получается так же, как с маятником ходиков,
300

подгоняемым толчками анкерного механизма:
закороченные витки спирали, замкнутая кривая, незатухающие
колебания.
О Скорость мяча
Вновь все наглядно, просто, понятно.
Недаром Платон говорил, «Геометрия приближает
разум к истине».
Где-то на предыдущих страницах мы поставили
жариться омлет. Теперь он уже готов, и мы приглашаем
вас его отведать.
Что, недосолили? Естественно: пространство, в
котором мы готовили омлет, было трехмерным — ийца,
молоко, мука. Для соли не хватило измерений.
Похоже, что высококачественные омлеты можно
готовить только по четырехмерным рецептам.
До сих пор наши абстрактные пространства не
отличались большим числом измерений. Кофейная
диаграмма была двумерной, цветовой фунтик — трехмерным
Мы подбирали столь простые примеры исключительно
ради наглядности.
Реальная жизнь сложна, И не всегда ее удается
втиснуть в рамки двух или трех измерений, не теряя соль
исследуемых проблем.
Кулинарные рецепты в абстрактных пространствах —
это, конечно, шутка. Но вот, например состав сплава.
301

оптимальное сочетание его компонент — это уже
проблема серьезная* Решая ее, металловеды обращаются
к многомерным пространствам.
На фотографии — шлифы трех сплавов. Образованы
они одними и теми же металлами — свинцом и сурьмой.
Но процентное соотношение компонент — различно.
Это и обусловило заметные различия в структуре
сплавов. Различия в структуре определяют существенные
различия в свойствах, будь то твердость,
электропроводность или что-либо иное.
Зависимость этих свойств от состава сплавов
помогают проследить так называемые диаграммы состояния.
Если компонент сплава всего две, то всю информацию
о его составе можно разместить на одной оси
координат — скажем, оси абсцисс. На ней нужно откладывать
процентное содержание одной из компонент.
Дополнение до 100 процентов укажет содержание другой.
Структуру сштавов различного процентного состава
диаграмма описывает, рассказывая о том, что
происходит при затвердевании жидкого сплава. Именно поэтому
по ее вертикальной оси откладывается температура.
Вот
диаграмма состояния
для сплава
свинца и сурьмы
Одна из линий
диаграммы
горизонтальная,
другая
раскинула над ней свои
ветви подобно
крыльям
диковинной птицы
Солидус — так
400
350
зоо
g 250
2
И 200
ч
V
жшкий ел лав
/
f солидус
точка эвтектики
твердый сплаа
10 20 30
Содержание сурьмы %
называется
первая линия. Ликвидус — вторая. Их общая точка — точка
эвтектики. На нее-то мы и обратим внимание в первую
302

очередь. Заметим ее координаты: температуру и
процент сурьмы в сплаве.
Если начать охлаждать жидкий сплав такого состава,
то при достижении отмеченной температуры начнут
одновременно образовываться кристаллы сурьмы и
свинца. В результате возникает та
мелкокристаллическая структура, которая видна на среднем снимке, — ее
называют эвтектикой.
Иное дело, если процент сурьмы окажется большим.
Тогда затвердевание сплава будет изображаться на
диаграмме нисходящей вертикалью, лежащей справа от
точки эвтектики и пересекающей сверху вниз обе
линии — ликвидус и сояидус. Достигнута первая —
начали выпадать кристаллы сурьмы. Опустились до
второй — между кристаллами сурьмы стали одновременно
образовываться кристаллы обоих металлов. В итоге
возникает структура, показанная на правом снимке.
Нечто подобное (но, как говорится, с точностью до
наоборот) будет происходить, если бйльшим по
сравнению с эвтектическим окажется процент свинца. Тогда в
начале станут выпадать его кристаллы, а затем
одновременно — кристаллы сурьмы и свинца. Возникает
структура, представленная левым снимком.
Даже беглый рассказ обо все этом занял немало
места. А ведь мы обратились к предельно простому,
если угодно, хрестоматийному примеру, который при*
водится обычно в пособиях по металловедению.
Сплавам, применяемым в технике! свойственны более
сложные диаграммы состояния* Однако сложность не
скрадывает их основного достоинства: специалисту
достаточно лишь взгляда, чтобы по хитроумному рисунку
линий на диаграмме узнать о структуре и свойствах
сплава того или иного состава. Небольшая картинка
делает ненужными многие страницы словесных
пояснений.
Говоря о рисунке линий, мы разумеется, по-прежнему
имеем в виду двумерные диаграммы состояния,
пригодные для описания лишь двухкомпонентных сплавов. Но
ведь сплавы, которые используются в современной
технике, насчитывают и три, и четыре, и больше компонент.
Их свойства тоже желательно представлять наглядными
графическими образами. В случае трехкомпонентных
ЭОЭ

сплавов еще помогают
трехмерные графики,
подобные приведенному на
этой странице с их
сложными поверхностями А
если компонент больше?
Диаграммы неизбежно
оказываются
четырехмерными, пятимерными и т.д.
К подобным
многомерным построениям
подходит и химик, и биолог, и
представители других
наук, когда им приходится
изучать
многокомпонентные системы.
Нет, не математический
снобизм, не жажда изыс-
В канной игры ума, а
запросы самой жизни, наука и
практика сегодняшнего
дня заставляют осваивать
целину многомерных
пространств — пространств N
измерений.
Высь, ширь глубь Лишь три координаты
Мимо них где путь? Засов закрыт
С Пифагором слушай сфер сонаты
Атомам дли счет, как Демокрит
Путь по числам? — Приведет нас з Рим он
(Все пути ума ведут туда!)
То же в новом — Лобачевский, Римэн,
Та же в зубы узкая узда1
Но живут, живут в N измерепьях
Вихри воль, циклоны мыслей, те.
Кем смешны мы с нашим детским зреньем,
С нашим шагом по одной черте!.
В Брюсов, «Мир N измерений»

Вам никогда не приходилось бывать в N-мерном
пространстве?
Не спешите отвечать «нет» Ведь если N равно трем,
загадочное N-мерное пространство приобретает вполне
привычные очертания. В таком трехмерном
пространстве мы живем и работаем. Двумерное пространство тоже
хорошо знакомо нам — это чертеж, картина, диаграмма
Одномерное пространство — это луч солнца, натянутая
нить, прямая на листе бумаги. Мы уже говорили об этом
рассказывая про различные системы координат. Здесь
же добавим, что в математике употребителен также
термин «нульмерное пространство»»: так говорят про
точку, «не имеющую частей», как ее определял Эвклид.
Ну, а если N больше трех? Что можно сказать о
свойствах такого пространства? Какую форму имеют
многомерные тела? Можно ли их изобразить, измерить?
Оказывается, можно. Каким бы числом измерений ни
обладало пространство, есть в нем что-то такое, что
роднит его с другими пространствами, в частности — с
хорошо известными нам одномерным, двумерным,
трехмерным. Если знать эти общие свойства, эти аналогии,
можно многое порассказать о пространстве любого
числа измерений.
Ради краткости рассуждений и наглядности выводов
будем рассматривать в каждом из них самые простые
фигуры и тела.
Начнем с одномерного пространства, с прямой.
Сколько ни думай, фигуры проще, чем отрезок, здесь не
придумаешь. На двумерной плоскости простейшая
фигура, сложенная из одномерных отрезков» — это
треугольник, В трехмерном пространстве простейшее тело,
составленное из треугольников (простейших фигур
двумерного пространства), — это тетраэдр, треугольная
пирамида.
Тут уж можно сказать и о первой аналогии. И отрезок,
и треугольник, и тетраэдр можно получить, в сущности,
одним и тем же ^способом: в пространстве вводится
декартова система координат, и начало ее отсекается♦
305

Возьмем за начало координат некоторую точку на
плоскости, проведем из нее луч, и отступив от нее на
некоторое расстояние, отделим ее булавкой — у нас
получится отрезок. Если перед нами плоскость, от
одного из ее секторов, ограниченного осями координат,
острием ножа отрежем кусочек, содержащий начало, —
получится треуг ольник. Если теперь у нас часть
трехмерного пространства, лежащая между осями Хш Y, Z —
отпилим ножовкой уголок, и тетраэдр готов.
V *
о
А
Читатель уже заметил, вероятно, что размерность
наших инструментов1, а значит, и наших сечений, на
единицу меньше размерности пространства. Кончик бу*
лавки — нульмерная точка, острие ножа — одномерная
прямая, полотно ножовки — двумерная плоскость. Так
что, собираясь в путешествие по N-мерному
пространству, не забудьте захватить с собой {N—1)-мерную
«ножовку. И если на глаза вам попадется кусочек N-
мерного пространства, заключенный между N осями
координат, не упустите случая обзавестись сувениром,
отпилите начало координат. В руках у вас окажется
простейшее из тел /V-мерного пространства. /V-мерный
симплекс, как говорят математики.
Его сходство с меньшими братьями, треугольником и
тетраэдром, чувствуется сразу: он тоже ограничен,
состоит из одного куска, у него тоже есть угловые точки.
Кстати, сколько их? Давайте займемся подсчетами.
Пользуясь методом аналогии, пересчитаем вершины,
ребра и гр^ни Л/-мерного симплекса.
Как повелось, сначала изучим отрезок* У него две
«вершины» и одна сторона. У треугольника три вершины,
три стороны и одна грань — ограниченная сторонами
часть плоскости. У тетраэдра таких граней четыре, а
ребер и вершин — соответственно шесть и четыре, к
тгоаду же у него есть и трехмерный элемент — объем.
306

Ряды чисеп, упомянутых нами для каждой фигуры,
выпишем построчно. К каждой строке добавим по
единице слева
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Как видим, добавка единицы была умышленной: наша
табличка приобрела вид так называемого треугольника
Паскаля, Конструкция этого треугольника весьма
проста: выписываем в строчку 12 1, под каждой парой
чисел записываем их сумму и с боков приписываем по
единичке, затем точно также составляем следующую
строку и т.д. Именно по этому правилу а нашей табличке
и возникла четвертая строка* Она. как нетрудно
догадаться, описывает четырехмерный симплекс. Пропуская
добавленную единицу, читаем: у него пять вершин,
десять ребер, десять двумерных граней (треугольников),
пять трехмерных граней (тетраэдров) и один
четырехмерный элемент (его объем).
Быть может, вас озадачивает, что гранями
четырехмерного симплекса служат тетраэдры? Это можно
понять, развивая аналогию: сторонами двумерного
симплекса, треугольника, служат простейшие одномерные
фигуры, отрезки, гранями трехмерного симплекса,
тетраэдра — треугольники... Так что ничего
неправдоподобного в нашем сообщении о трехмерных гранях
четырехмерного симплекса нет.
Выписывая одну за другой строки треугольника
Паскаля, можно добраться до любой Л/-ной, числа которой
расскажут про форму интересующего нас симплекса,
Метод аналогий \позволит вычислить и его объем.
Вспомним, как вычисляется площадь треугольника!
объем тетраэдра По очень простой формуле:
«основание на высоту, деленное на „.» На что же именно? У
двумерного треугольника — на два, у трехмерного тет-
раэда — на три... Так и хочется сказать: у
четырехмерного симплекса— на четыре. А почему бы и нет?
Аналогия подсказывает недвусмысленно: чтобы вычислить
307

четырехмерный объем четырехмерного симплекса,
надо умножить его высоту на объем тетраэдра,
лежащего в основании, и результат разделить на четыре.
Отсюда уже недалеко-до формулы, по которой отыскивается
объем любого Л/-мерного симпле;кса:«основание на
высоту, деленное нэ№,
Конечно, аналогия не принадлежит к числу строгих
методов исследования. Это, скорее, один из творческих
приемов, которые наряду с логикой составляют
неотъемлемую черту математической деятельности.
Слепо доверяться аналогиям нельзя. Например, они
вряд ли дадут верные указания в вопросе о числе
правильных фигур и тел в пространстве той или иной
размерности. На двумерной плоскости их бесконечно
много — равносторонний треугольник, квадрат,
правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т.д.
В техмерном пространстве — всего-навсего пять:
тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. В
четырехмерном — уже шесть. А во всех пространствах с большим
числом измерений — по три штуки в каждом.
Закономерности в этом не видно никакой.
Заметим, однако, что все приведенные до этого
разул ътаты верны: их можно подкрепить безупречными
доказательствами.
— Послушайте, сосед! Вы не могли бы мне помочь?
— Пожалуйста. А в чем дело?
Так начался разговор двух садоводов-любителей.
— Я тут принялся удобрять сад и запутался в
расчетах — сколько какого удобрения взять для смеси. А вы,
я знаю, математик. Так не помогли бы вы мне?
— Попробую. Но в чем, собственно, задача?
— В справочнике написано, что на сотку нужно
вносить калия, азота и фосфора по 600 граммов, не меньше.
А у меня — аммофос и нитрофоска. Как бы их
скомбинировать поудобней?
— Такие задачи мне знакомы. Но скажите — сколько
в каждом удобрении калия, азота и фосфора?
— Вот вам табличка — все в процентах:
зов

аммофос
нитрофоска
калий азот фосфор
О ' 12 _ 50
17 12 10
— Прекрасно! Это будут наши исходные данные.
Теперь если вы не возражаете, давайте немного
порисуем. Вот оси координат. Любая Точка с координатами
х и у в этом уголке соответствует смеси из х
килограммов нитрофоски и у килограммов аммофоса. Теперь
взгляните-на первый столбец таблички: в аммофосе нет
калия.
— Значит все 600 граммов калия придется набирать
за счет нитрофоски.
— Но в ней всего 17 процентов калия. Значит,
нитрофоски нужно взять по крайне мере... ноль шесть
разделить на ноль семнадцать... Это будет примерно три с
половиной килограмма. В них при семнадцатипроцент-
ном содержании калия его будет примерно 600 граммов,
Я привожу на графике вертикальную прямую через точку
5.
12 3 4 5 6 7
горизонтальной оси х. = 3,5. Все, что левее этой
прямой, — это недостаток калия. Нас будет интересовать
лишь область правее прямой. Я заштрихую ее.
309

— А как быть с азотом? Его в каждом удобрении
поровну, по 12 процентов. Значить, можно брать либо
то, либо это?
— Верно. Либо пять килограммов аммофоса, либо
столько же нитрофоски. При двенадцатипроцентном
содержании азота и там и тут его будет ровно по 600
граммов.
— А, может быть, взять поровну? По два с половиной
кило?
— Пожалуйста. И если какого-то удобрения вы
захотите взять долей меньше, для восполнения азота нужно
будет добавить в смесь такую же долю другого
удобрения. Согласны?
— Еще бы!
— Тогда поглядите на чертеж, В результате таких
вариаций на нем возникнет прямая. Точки на ней и
выше — это смесь с нужным и избыточным количеством
азота. Я заштрихую эту область. Честна говоря, мне
было бы проще выразить эту прямую уравнением:
0t12x + 0,12y = 0,6. Понять это совсем нетрудно: 12
процентов азота, которые содержатся в х килограммах
нитрофоски, плюс 12 процентов азота, которые
содержатся в у килограммах аммофоса, должны составлять
вместе необходимые нам 600 граммов, то есть шесть
десятых килограмма. Обратите внимание: всякий раз,
когда координаты х и у умножаются на постоянные
коэффициенты, складываются и приравниваются
постоянному числу, получившееся уравнение соответствует
прямой на координатной плоскости*
— Если я вас правильно понял, то из третьего столбца
таблицы тоже получается прямая?
— Вы ловите мою мысль на лету.
-*- И снова нас будет интересовать область над
прямой?
— Верно. А теперь совместим все три рисунка.
Очертим область, в которой все три штриховки
перекрываются. Ее называют областью допустимых значений.
Какую точку на этой области вы ни возьмете, в смеси
такого состава можно гарантировать не менее чем по
600 граммов калия, азота и фосфора. Вот вам мой ответ.
310

— Большое вам спасибо. Но не помогли бы вы мне
выбрать из всех ответов самый дешевый? Я чувствую,
что они все стоят по-разному.
— Что же, вы практичный человек. Выражаясь научно,
вы хотите минимизировать целевую функцию, то бишь
цену допустимой смеси. Но тогда скажите, почем вы
покупали свои удобрения?
— Что-то копеек пятьдесят за кило аммофоса и
копеек двадцать пять за кило нитрофоски,
— Стало быть, на рубль идет два килограмма
аммофоса — смотрите, я отмечаю эту точку на вертикальной
оси! — или четыре килограмма нитрофоски — точка на
горизонтальной оси! — или смесь, соответствующая
любой точке прямой, которая соединяет две отмеченные
точки,
— Но эта прямая не пересекает очерченную область!
— Да, за такие деньги нужной смеси не составишь,
— Не удвоить ли ставку?
— Давайте. У новой прямой будет'уже не одна общая
точка с областью допустимых значений.
— То есть можно обойтись и меньшими затратами?
—Да, если опустить прямую параллельно самой себе.
Лучше всего так, чтобы она имела одну-единственную
общую точку с областью допустимых значений. Эта
точка — одна из вершин ломанной, которой очерчена
область. В смеси такого состава азота и фосфора
столько, сколько нужно, а калия даже чуть больше. Но
дешевле уже ничего не придумаешь. Ну вот, позвольте вручить
вам оптимальное решение: 250 граммов аммофоса и 4
килограмма 750 граммов нитрофоски. И все — за один
рубль тридцать ДЕе копейки.
— Лихо! Видать, такие смеси вам составлять не
впервой.
— Нет, что вы — по части удобрений это мой первый
опыт. Просто я долго занимался линейным
программированием...
...Еще через несколько фраз разговор соседей вновь
вернулся к аммофосу и нитрофоске, яблоням и сливам,
окулировке и приживлению. Нам же хотелось бы
продолжить фразу, на которой мы оборвали речь
математика.
311

Составлением смесей не исчерпывается круг задач
линейного программирования, В него-входят и
транспортные задачи, когда перевозки необходимо вести с
наименьшими затратами, и задачи об оптимальном
расходовании ресурсов, планирования производства,
составлении диеты...
Переменных, для которых нужно отыскать
оптимальные значения, в таких задачах бывают не две, как у нас,
а много больше. Вместо чертежа на плоскости тогда
возникает область в многомерном пространстве. Но
если условия задачи выражаются уравнениями, в
которых переменные лишь умножаются на постоянные
коэффициенты и складываются, на границе области
допустимых значений есть угловые точки, совсем как в
знакомой нам задаче о смешивании удобрений. Аналогия
подсказывает, что одна из таких точек и соответствует
искомому оптимальному решению. Это действительно
так. А уж перебрать такие точки обычно не составляет
труда.
Кому не приходилось приводить подобные члены,
решая задачки по алгебре?
...На бумаге длинной цепочкой, соединенные
плюсами и минусами, стоят иксы в разных степенях, с разными
коэффициентами. Такие цепочки называются
полиномами. Приводить подобные члены приходится тогда, когда
полиномы, например, складываются. Одна и та же
степень икса в образовавшейся сумме может встречаться
несколько раз. Коэффициенты всех таких слагаемых в
этих случаях складываются — особо для каждой
степени. Это и называется приведением подобных членов.
Попробуем взглянуть на описанное с высоты своих
знаний о линейных пространствах. Не напоминает ли
приведение подобных членов сложение векторов?
Конечно, напоминает: коэффициенты при одинаковых
степенях икса складываются так же по отдельности, как
соответствующие компоненты векторов при их
сложении.
312

- 5х + 3) + D*2 + Зх - 1) = B + 4)х2 + (-5 + 3)х +
А умножение полинома на число? Оно, как известно,
сводится к умножению на число коэффициента при
каждой степени по отдельности — стало быть, делается
по тем же правилам, по которым на число умножается
вектор.
3B^ + 4х + 5) = C 2)х2 + C 4)х + C 5) =
= 6х2+12х+15
Итак, линейное пространство полиномов? Да.
Размерность? В каждом конкретном случае она,
очевидно равна максимально возможному числу слагаемых
в полиномах, о которых идет речь. Например, все
линейные функции (включая функцию-константу)
образуют двумерное пространство, а если добавить к ним
квадратные трехчлены, получится трехмерное
пространство, а если добавить к ним еще и кубические
полиномы — четырехмерное... Приплюсовали к
полиному новую, на единицу более высокую степень—
размерность пространства увеличилась на единицу, добавили
еще одну степень — размерность опять повысилась...
Но ведь так ее можно увеличивать неограниченно!
Какова же размерность пространства всех мыслимых
полиномов?
Так мы приходим к представлению о
бесконечномерном пространстве, играющем важную роль в
математической физике, квантовой механике и других
дисциплинах

МЕТРИЧЕСКОЕ
ПРОСТРАНСТВО
— Невдалеке от города Боголюбове среди заливных
лугов, стоит всемирно прославленный храм Покрова на
Нерли — шедевр древнерусского зодчества.
— Картины Пикассо «голубого периода* близки друг
другу своим колоритом.
— Мясо морского гребешка по вкусу отдаленно
напоминает крабы.
«Близкий», «далекий* — эти понятия носят отчетливый
пространственный характер- Между тем только первая
из приведенных фраз имеет прямой геометрический
смысл. Правда, построенные нами раньше кофейная
диаграмма и цветовой фунтик напоминают, что
пространственные представления уместны и в учении о
цветах, и в кулинарной рецептуре. Но знают ли об этом
те, кто произносят фразы, приведенные нами в начале
отрывка, столь естественные по своему звучанию? Вред
ли.
Это наводит на мысль, что понятие расстояния можно
вводить в таких множествах, о которых неизвестно,
представляют ли они собой линейные пространства.
Дальний родственник. Близкий друг, Близкое по
звучанию. Близок по форме, но далек по содержанию.
Такие выражения встречаются в нашей речи сплошь да
рядом.
Как понимать близость в этих случаях? Как измеряют
расстояние между друзьями, родственниками,
звучаниями, формами? Кто ближе — деверь или племянник?
Какую меру близости здесь можно предложить?
А вот фразы, за которыми стоят вещи посерьезней»
— Химический реактор работает в режиме, близком
к оптимальному.
— Спутник выведен на орбиту, близкую к круговой.
Здесь успех дела решает расчет и потому здесь
настоятельно необходимы четкие количественные крите-
314

рии близости. Но близость в этих случаях не измеришь
штангенциркулем.
Похожа ли эта фигура на
окружность? Можете ли вы
представить в виде такой
линии орбиту спутника*,
близкую к круговой? Конечно
нет! Отклонения от
окружности достигают здесь почти
половины радиуса. А с
другой стороны, разрежьте
пополам яблоко, и вы увидите
на срезе как раз ту фигуру,
которая здесь изображена.
Но ведь яблоко — это почти
шар, а следовательно, каждое его сечение — почти круг,
Итак, далеко от окружности, но близко к кругу.
Парадокс? Отнюдь нет. Просто две разные меры близости.
Если мерить близость этих двух линий их максимальным
расхождением, то они действительно весьма несходны.
Если же сравнивать площади, ими ограниченные, то они
весьма близки друг другу.
Вот уже поистине «далекое — близкое»!
— Да это недалеко — десять минут ходу.
— Совсем близко — полторы остановки на трамвае*
— Почти рядом — пятьдесят копеек на такси.
Всюду здесь речь идет о расстоянии в самом прямом
смысле слова. Как видим, мы часто измеряем его не
только километрами. Способов измерения расстояния
много — вплоть до «холодно —теплее — горячо»» в
детской игре, где нужно найти спрятанный предмет.
Как же смотрит математика на такое разнообразие?
Наука предельно строгая, неужели она соглашается с
тем, что каждый волен придумывать свою меру
расстояния? Да, пожалуйста. Рассматривая некоторое
множество элементов, можно {и даже нужно!) так определить
расстояние между элементами, чтобы это наиболее
соответствовало существу дела.
315

Множество, для каадой пары элементов которого
определено число, называемое расстоянием, именуется
метрическим пространством. Элементы метрического
пространства называют его точками. Определение
расстояния — метрикой. Как только что говорилось, оно
может быть каким угодно.
Однако полную свободу в выборе меры близости и
дальности математика все же ограничивает с трех
сторон. Существуют три аксиомы расстояния, три
метрические аксиомы, как их еще называют.
Расстояние мегеду любыми несовпадающими точками
метрического пространства есть число положительное,
а между совпадающими — равно нулю.
Для любой пары точек метрического пространства
расстояние от одной до второй равно расстоянию от
второй до первой.
Для\зюбой тройки точек метрического пространства
расстояние от первой до второй плюс расстояние от
второй до третьей всегда больше или равно расстоянию
от первой до третьей. Это — так называемое
неравенство треугольника. Оно становится особенно наглед-
ным, если мыслить точки метрического пространства
точками плоскости: сумма двух сторон треугольника
больше третьей. Правда, если треугольник сжать в
отрезок так, чтобы одна из его вершин легла на
противоположную сторону, то сумма двух сторон будет в
точности равна третьей. Но ведь мы не зря употребили
выражение «больше или равно», объединяющее все
мыслимые случаи!
Ничего надуманного в этих трех аксиомах нет. Они
естественным образом возникли из повседневной
практики измерения расстояний.
Первая аксиома означает, что, переходя от точки к
точке, вы всегда удлиняете свой путь. А пока вы еще не
тронулись с места, пройденный путь остается прежним.
Вторая устанавливает равенство путей туда и
обратно. Шел ли Счастливцев из Вологды в Керчь, пришел ли
Несчастливцев из Керчи в Вологду, расстояние они
преодолели одинаковое.
А последняя значит, что окольный путь всегда длиннее
прямого.
316

Введем попутно важный термин. Совокупность точек
метрического пространства, расстояние которых от
данной меньше некоторого указанного числа, называется
окрестностью данной точки, а указанное число — разме*
ром окрестности.
В рамках таких представлений фраза «химический
реактор работает в режиме, близком к оптимальному»
приобретает вполне точный смысл, если определена
мера близости режимов, расстояние между ними.
Множество режимов работы реактора тогда становится
метрическим пространством. Точка этого пространства,
соответствующая установившемуся режиму, лежит в
некоторой окрестности точки, соответствующей
оптимальному, — вот что означает закавыченная фраза.
Если телеграмма, которая сообщает вам о чьем-то
прилете, начинается со слова «выметаю» или
«вылезаю*, то вы лишь посмеетесь опечатке или слегка
ругнете телеграфистов за небрежность, но в тупик отнюдь
не встанете. Ошибка в одной букве легко исправима по
смыслу фразы: «вылетаю».
Но ведь опечатка могла вкрасться и в дату вылета и в
номер рейса! Ошибка в одной лишь цифре способна
сделать смысл сообщения невосстановимым.
Ну, а если подобный сбой произошел при передаче
сигналов, управляющих сложным станком,
экспериментальной установкой, космическим кораблем?
Можно ли придумать такой способ кодирования
информации, чтобы не слишком частые ошибки не
искажали ее смысл, не приводили к неразрешимым
задачам?
Казалось бы, вряд ли. А между тем специалисты по
кибернетике не только ставят такую проблему, но и
предлагают пути ее решения.
Один из таких путей мы проследим, конструируя
устойчивый к ошибкам код для передачи обыкновенных
буквенных текстов — скажем, тех же телеграфных
сообщений.
317

В кибернетике при передаче информации широко
используются своеобразная морзянка, состоящая из
нулей и единиц Представьте, что букаы русского
алфавита шифруются нулями и единицами, объединяемыми
в комбинации определенной длины. Представьте далее.
что при передаче каждой такой «бук вы * один из нулей
может превратиться в единицу или наоборот Что нужно
предпринять, чтобы при. этом каждая буква оставалась
узнаваемой?
Пусть каждая буква передается комбинацией из трех
знаков Разбор столь простого случая позволит нам
наметить удачное решение поставленной проблемы,
хотя алфавит пока получается небогатый — всего из
восьми *<букв»:
000 001 010 011 100 101 110 111
А теперь строчку,
составленную формальным
перебором возможностей,
изобразим в виде пространственной
фигуры. Возьмем трехмерную
систему координат (по числу
знаков в «'букве») и отметим в
ней восемь точек, абсциссы
которых совпадают с
первыми значениями наших «букв",
ординаты — со вторыми,
аппликаты — с третьими. Эти
точки расположатся по
вершинам куба.
Построенный нами куб позволяет наглядно
представить те ошибки, которые могут случиться при передаче
каждой «буквы»». Вот, скажем, «буква» 000, образом
которой у нас служит начало координат. Замена любого
нуля единицей — это сдвиг в одну из трех соседних
вершин. Очевидно, от употребления букв,
расположенных в этих вершинах, следует отказаться: ведь их можно
принять за искаженные облика «буквы» 000.
Поищем теперь такую «букву», искаженные образы
которой не совпадали бы с разновидностями "буквы*
000. Очевидно, это 111 и никакие варианты туг кевоз*
можны
110
318

Все возможности .исчерпаны. Алфавит из восьми
трехзначных «букв» с учетом разового сбоя при
передаче каждой сокращается всего до двух: 000 и 111.
Но в русском алфавите не две, а тридцать две буквы!
И если мы хотим применить тот же прием кодирования,
гарантирующий от однократной ошибки, мы должны
изображать буквы в вцде более длинных комбинаций
нулей и единиц.
Искать среди них такие, спутать которые не заставил
бы разовый сбой, будет сложнее, чем среди
трехзначных. И все-таки нельзя сказать, что поиск придется
вести совершенно вслепую. Как и при разборе
трехзначного алфавита, мы будем представлять все мыслимые
комбинации нулей и единиц вершинами многомерного
куба. А для них критерий отбора уже сложился по ходу
предыдущих рассуждений: пригодные для дела
вершины многомерного куба должны располагаться друг от
друга достаточно далеко.
Если определять расстояние между ними числом
ребер, образующих кратчайшую дорогу от одной
вершины до другой, то это расстояние, очевидно, дрлжно
составлять по меньшей мере три. Так оно, кстати, и было
для трехзначных «букв» 000 и 111 — посмотрите еще раз
на рисунок, убедитесь.
Нетрудно проверить, что такое определение
расстояния согласуется с метрическими аксиомами—и первой,
и второй... Что же касается третьей, аксиомы
треугольника, та удовлетворяется и она. Действительно,
расположим вершины треугольника по каким угодно верши*
нам нашего многомерного куба. Сумма двух сторон
треугольника — это длина дороги от одной вершины до
другой с заходом в третью. А такая дорога не может быть
короче третьей стороны треугольника, поскольку та
согласно определению представляет собой самый
короткий путь от одной вершины до другой по ребрам
многомерного куба.
Принятое нами определение расстояния оказывается
удачным. Оно позволяет достаточно быстро
осматривать кубы все большего числа измерений и, наконец,
остановиться на десятимерном. Теория утверждает:
пользуясь десятизначными комбинациями нулей и еди-
319

ниц, можно передавать алфавит русских букв, "не боясь
однократных опечаток в каждой.
Таня дружит с Потей и Ваней еще со школьной скамьи.
И Петя и Ваня неравнодушны к Тане и связывают с ней
свои мечты о семейном счастье. Поэтому отношения
между Петей и Ваней более чем прохладные.
Любопытно, что этот вариант классического
треугольника парадоксален с точки зрения геометрических
канонов. Действительно, в плане дружеских отношений
Петя и Таня достаточно близки; столь же близки Таня и
Ваня. Иными словами, две названные стороны
треугольника невелики. Третья же сторона, учитывая антагонизм
интересов Пети и Вани, огромна и заведомо превышает
сумму двух других сторон.
Итак, в классическом треугольнике не выполнена одна
из метрических аксиом — аксиома треугольника.
Вот и получается, что в плане человеческих
взаимоотношений расстояния между Таней, Петей и Ваней не
удается определить, не нарушая при этом аксиомы
расстояния. А поскольку они должны соблюдаться для
любых элементов метрического пространства,
разобранное нами пространства не является метрическим.
Этот гример носит предостерегающий характер.
Выше му уже ^говорили, что расстояние в одном и том
же абстрактном пространстве можно определять
различными способами. Сама возможность определить
расстояние при этом не подвергалась никакому
сомнению. И вот мы столкнулись со случаем, когда способ
измерения близости и дальности вступил в
противоречие с одной из метрических аксиом — неравенством
треугольника.
Возможны и другие конфликты с метрическими
аксиомами: например, по улицам с односторонним
движением дорога «туда» может оказаться неодинаковой по
длине с дорогой «обратно».
Все это учит нас, определяя расстояние в
абстрактном пространстве, тщательно проверять, насколько
320

принятое определение согласуется с метрическими
аксиомами.
Пространство метрическое. Здесь введено понятие
расстояния.
Пространство линейное. Здесь определено сложение
элементов и их умножение на число.
Пространство линейное метрическое. Возможно и
такое — оно соединяет ц себе качества обоих
пространств, по имени которых названо.
Коль скоро оно линейное, в нем можно ввести базис
и координаты. Для наглядного представления этого прОг-
странства удобно использовать прямоугольную декар-
тову систему координат. Скажем, если пространство
двумерное, начертить оси этой системы на листе
бумаги. И уж тут-то определить расстояние между точками —
не проблема. Для этого можно воспользоваться
обычной линейкой.
С такой точки зрения фраза «химический реактор
работает в режиме, близком к оптимальному»
приобретает весьма наглядный смысл. Режим работы реактора
определяется температурой и давлением внутри него
Отведем этим параметрам оси прямоугольной
декартовой системы координат. Близость установившегося в
реакторе режима к оптимальному тогда выразится в
том, что расстояние между соответствующими точками
координатной плоскости достаточно мало, что одна
попадает в достаточно малую круговую окрестность
другой.
Заметим, что подобные графики, построенные в
координатах «температура —давление и называются
фазовыми диаграммами. Ради примера представлена
фазовая диаграмма воды — рисованный свод
общеизвестных сведений о таянии льда и кипении чайника, о
перегретом паре в котлах высокого давления и холодном
кипении воды в горах, где атмосферное давление
понижено, об инее и высыхающем на морозе
обледеневшем Белье.
321

Расстояние, согласно определению, — это число.
Координаты точек линейного пространства — это тоже
числа. Разумно попытаться выразить расстояние через
координаты.
Если давление повышено,
вода сипит при Более
высокой температуре
Гели давление понижено,
вода кипит лрй более
низкой температуре
О 100 2D0
Абсолютный нуль
температуры
{400
1СХГС
C7Э-К)
500 600 К
Температура,
(абсолютная шкала)
Это позволяет сделать самая известная теорема
математики — теорема Пифагора: «квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов».
Отложите в сторону линейку, которую вы только что
прикладывали к точкам диаграммы, чтобы измерить
расстояние между ними. Соедините обе точки отрезком
прямой. Вероятнее всего, этот отрезок наклонен к осям
системы координат, в которой вычерчена диаграмма.
Теперь соедините точки двухзвенной ломаной линией,
состоящей из вертикального и горизонтального
отрезка. Получится прямоугольный треугольник. Его
гипотенуза — искомое расстояние {на чертеже оно обозначено
греческой буквой р). Длина его горизонтального
катета — разность абсцисс обеих точек, вертикального —
разность ординат. Квадрат гипотенузы равен сумме
322

квадратов катетов. Вычислим эту сумму квадратов,
извлечем из нее квадратный корень — вот вам и искомое
расстояние1
У
У.
у.
1
!
] 1
'в
Б трехмерном
пространстве
Расстояние между
точками А и В
эдинаты точекЬиВ
координаты
О к,
Казалось бы, пифагоров рецепт годится только для
плоскости. А ведь мы живем в трехмерном мире. И нам
приходится не только чертить графики на бумаге, но и
например, входить в кабину лифта с длинными лыжами
И тут приходится решать задачу: войдут ли лыжи в лифт?
Не придется ли взбираться по лестнице пешком?
Наибольшее расстояние в кабине лифта —из нижнего
угла в противоположный верхний угол. Чему же оно
равно? Оказывается, рецепт для определения этого
расстояния аналогичен тому, что Пифагор рекомендует
для плоскости. Нужно измерить ширину, длину и высоту
лифта, возвести все три числа в квадрат, сложить и
извлечь из суммы квадратный корень. Это и будет длина
диагонали лифта.
Так обобщается теорема Пифагора на случай
трехмерной прямоугольной декартовой системы координат
Чтобы измерить расстояние между двумя точками в ней,
нужно определить разности меэкду соответственными
координатами обеих точек — абсциссами, ординатами,
аппликатами — а затем поступить с ними точно так же,
как с шириной, длиной и высотой лифта.
По-видимому, теперь вы не растеряетесь, входя с
лыжами в Л/-мерный лифт. В Л/-мерном мире
естественно определить расстояние между двумя точками как
корень квадратный из суммы квадратов разностей
мевду всеми соответствующими координатами обеих
точек.
и* 323

Элементы линейного пространства мы называем
векторами. Элемент метрического — точками. Как же нам
назвать элементы линейного метрического
пространства?
Оно объединяет в себе свойства обоих пространств,
именами которых названо, так что здесь пригоден
любой термин — и «вектор», и «точка»... Но какой
предпочтительнее?
В прямоугольной декартовой системе координат, ко*
торую мы приспособили для наглядного изображения
линейного метрического пространства, представим оба
термина привычными зрительными образами.
Крохотная точка — и стрелка, проведенная в нее из начала
координат. Что выразитель-
~2л i a i - Vx* w' нее? Конечно, второе! Итак,
, f\ ' ■ решено: заимствуем от ли-
у \ нейного пространства его
/ | термин — «вектор».
f \ Ну а метрическое
пространство? Чем обогатит наш
лексикон оно?
>х В нем можно определять
— . 2 о 2 расстояния между элемента-
I а I — *YX a+v о ■ Z a ми, Используем эту
возможность. Определим
расстояние между элементом,
который соответствует заострен-
ному концу стрелки, и
нулевым элементом — началом координат. Полученное
число назовем длиной вектора. Обозначая его, обычно
заключают в прямые скобки обозначение вектора.
Новый термин позволяет ввести порядок среди
векторов линейного метрического пространства. Теперь их
можно сравнивать мезду собою по длине.
Нам могут поставить в упрек, что к мысли сравнивать
векторы по длине мы могли бы придти и раньше, еще
беседуя о линейном пространстве, где определено
умножение векторов на число. Число, умножением на
которое один какой-то вектор получается из другого, оче-
*а В трехмерном х
пространстве
Длина вектора а
компоненты
вектора а
324

видно и соразмеряет их длины. Но такому сравнению,
как нетрудно сообразить, поддаются лишь векторы,
которые можно получить один из другого умножением на
число, то есть векторы одного направлении, лежащие на
рдной прямой, коллинеарные, как их еще называют.
Сравнивать по длине не коля и не арные векторы
линейного пространства можно лишь тогда, когда определено
понятие длины вектора.
Как же вычислить длину вектора? Скажем, двухмерно*
го — обратимся для начала к чему-то простому.
Воспользуемся привычным Пифагоровым рецептом.
Ответом будет: длина вектора эвклидова пространства
есть корень квадратный из суммы квадратов qro
компонент. Нетрудно проверить, что точно так же длину
вектора можно вычислить в пространстве любого числа
измерений.
После сказанного мы можем
по-новому взглянуть на
формулу расстояния, принятую в эвк-
лидовОм пространстве. Под
знаком квадратного корня в
ней стоят возведенные в
квадрат разности координат тех
точек, между которыми
измеряется расстояние. Вспомним
теперь, что компоненты
разности двух векторов
определяются как разности их
соответственных компонент. Отсюда и *
недалеко до вывода:
расстояние между двумя точками эвклидова пространства есть
длина разности векторов, соответствующих этим
точкам.
р (Ав) = I а - Б г
Стрелки, в зримом образе которых передками
предстают векторы линейного метрического пространства,
подсказывают: длина — не единственный критерий, по
которому можно сравнивать два вектора. Можно еще
325

судить о том, насколько два вектора разнятся по
направлению, говорить об угле между ними.
Спектр возможных вариантов здесь широк: от полной
слиянности, когда оба вектора глядят в одну и ту же
сторону, вдоль одной прямой, — до полной
противоположности, когда векторы отвернулись друг от друга,
располагаясь опять-таки вдоль одной прямой. Между
двумя этими крайностями находится случай полного, так
сказать, безразличия векторов друг к другу, когда они
взаимно перпендикулярны.
Критерием близости в сравнении векторов по
направлению математикам служит некоторое число. Оно
вычисляется по несложному правилу: берутся длины
векторов, берется косинус угла между ними, и все это
перемножается.
Если в разговоре о векторах появляется число, его
называют скаляром. Скаляром является, например,
длина вектора, поскольку она выражается числом. То же
самое можно сказать
Скалярное произведение и 0 произведен ИИ, КО-
«екторов аи Ъ Торое ПОЯВИЛОСЬ В
( а, Б > = I а) I Ь i cos <р нашем разговоре как
\ / \ мера близости двух
длины векторов \ векторов по направ-
угол между ними лению. Потому эта
величина и называется
скалярным произведением векторов. (Обозначая его,
обычно пишут через запятую обозначений обоих
векторов и по бокам ставят круглые скобки.)
Когда угол меняется от нуля до 180 градусов, косинус
угла принимает все значения от плюс единицы до минус
единицы, обращаясь в нуль для прямого угла. Это
отражается на скалярном произведении векторов. Если два
вектора глядят в одну и ту же сторону вдоль одной
прямой, их скалярное произведение равно
произведению длин векторов (ведь косинус угла между ними в
этом случае равен единице). Чуть раздвинув векторы,
мы уменьшим скалярное произведение (поскольку коси*
нус ненулевого угла меньше единицы), но оно еще
останется положительным. Когда векторы, расходясь
все сильнее, станут взаимно перпендикулярными, их
скалярное произведение обратится в нуль. Для векто-
326

ров, разошедшихся еще сильнее, оно будет
отрицательным. Наконец, когда векторы развернутся до угла 180
градусов и будут глядеть в противоположные стороны,
их скалярное произведение снова будет равно
произведению их длин, но уже со знаком минус.
f = SO* СОвФ=0
(a, b)*lallblcosv«0
V
•U
ф = 180" cosjp ^-1
(аРЬ)з£1а11Ь1со$ф«-|1||Б
b a
-■■ m m m
Но остановимся на минуту. Не показалось ли читате»
лю, что наше повествование содержит элементарную
логическую ошибку, называемую порочным кругом?
Скалярное произведение предложено нами как мера
угла между векторами — определяется же и
вычисляется оно через косинус того же самого угла, как будто он
уже известен.
На самом деле порочного круга тут нет. Скалярное
произведение двух векторов действительно определя*
ется через косинус угла межу нами, но вычисляется оно
обычно по другому правилу. Дело в том, что векторы;
как уже успел заметить читатель, задаются не стрелками
на чертеже (чертеж — всего лишь иллюстрация), а ряда-
327

ми чисел, наборам своих компонент. Как туг измеришь
угол между ними? В таких случаях в дело идет другая
формула, по которой скалярное произведение двух
векторов выражается через их компоненты.
Особенно она проста в пространстве, где длина
векторов вычисляется по Пифагорову рецепту. Нужно
попарно дере множить соответственные компоненты обоих
векторов и все эти произведения сложить. Чуть позже
мы выясним причину такой простоты.
Каким получилось
скалярное произведение? По-
Скаля рноепроиэ в едены е
векторов а и Б
/ компоненты вектора
ложительным? Значит, угол
между векторами меньше
*,ь)-!,-* *-?D 'то 1 прямого, они смотрят при-
компонеиты вектора b
мерно в одну сторону.
Отрицательным? Тогда в
разные. Скалярное
произведение равно нулю? Значит,
векторы взаимно
перпендикулярны.
Если же надо знать точно, какой угол образуют два
вектора, следует поделить их скалярное произведение
на длины обоих. Частное есть косинус угла между
векторами. Сам угол можно определить, заглянув в
тригонометрические таблицы.
И что замечательно: формула, выражающая
скалярное произведение двух векторов через их компоненты,
годится для пространства с любым числом измерений.
Бери у вектора одну компоненту за другой, умножай на
соответствующую компоненту второго вектора и
складывай одно произведение за другим, покуда не
переберешь все компоненты.
Поистине, скалярное произведение — это
универсальный транспортир для измерения углов, в каком бы
пространстве их ни приходилось измерять»
Если бы скалярное произведение годилось только для
того, чтобы сравнивать веТаоры по направлению, цена
ему была бы невелика.
328

■..На движущееся тело действует сила. Как подсчитать
мощность, развиваемую силой? Учебники физики
рекомендуют на сей счет правило: перемножить абсолютные
величины силы и-скорости друг на друга, а потом — на
косинус угла между ними.
Только что освоенная нами терминология позволяет
выразить сказанное в более строгой математической
форме: мощность есть скалярное произведение вектора
силы на вектор скорости.
В физике часто встречаются векторные величины
Поэтому в ней весьма употребительно и понятие
скалярного произведения векторов.
В определении скалярного произведения (длина
одного вектора на длину другого и на косинус угла
между ними) можно усмотреть идею любопытного
эксперимента: что получится, если вектор скалярно
умножить на себя?
Поскольку сомножители в этом случае одинаковы,
угол между ними равен нулю, а косинус угла — единице.
Искомое произведение представится квадратом длины
вектора.
Выразим то же самое иначе; длина вектора есть
корень квадратный из его скалярного произведения на
себя.
Это маленькое открытие позволит нам понять новый
подход к измерению расстояний в линейных
метрических пространствах. Он несколько длиннее, но зато и
ллодотворее, нежели известный нам, когда формула
расстояния между точками пространства вводится с
самого начала,
Если о пространстве уже известно, что оно линейное,
е нем прежде вводят скалярное произведение. При этом
говорит так: пусть любым двум векторам линейного
пространства по определенному закону поставлено в
соответствие число, называемое их скалярным
произведением. А дальше формулируется закон этого
соответствия. Он может быть каким угодно, лишь бы
выполнялись четыре аксиомы скалярного умножения. Боль-
329

шинство из них напоминают правила, по которым нас
еще в школе учили обращаться с произведениями
чисел — переставлять сомножители, раскрывать
скобки:.. Короче, эти аксиомы таковы:
От перемены мест сомножителей скалярное
произведение не меняется.
Если один из сомножителей увеличить в несколько
раз, то во столько же раз увеличится и скалярное
произведение.
Скалярно умножая какой-то вектор на сумму двух
других, мы можем умножить его на каждое слагаемое
отдельно, а результаты сложить.
Четвертая аксиома не имеет аналогий с
произведениями чисел. Состоит она в том, что скалярное
произведение любого вектора на себя всегда положительно
или равно нулю, причем последнее бывает в том и
только втом случае, если вектор нулевой.
Зачем нужна четвертая аксиома, понять нетрудно. Из
положительного числа можно извлекать квадратный
корень. Это позволит, пользуясь скалярным
произведением* определить и длину любого вектора — как корень
квадратный из его скалярного произведения на себя.
Умен определять длины векторов, можно ввести и
метрику в пространстве, то есть определять расстояния
между его точками — как длину разности векторов с
концами в этих точках.
Смысл сказанного можно подытожить фразой: было
бы скалярное произведение, а уж метрика будет!
Линейное пространство, в котором определено
скалярное произведение векторов, называют эвклидовым.
Таков наиболее общий смысл этого термина —
«эвклидово пространство».
В более узком смысле его применяют для обозначу
ния пространства, где длины векторов и расстояния
330

между точками вычисляются по Пифагорову рецепту, а
скалярное произведение векторов выражается суммой
попарных произведений их соответственных компонент;
Раздел математики, в котором исследуются свойства
такого пространства, называется эвклидовой
геометрией. Именно ее изучают в школе
Это самая простая разновидность эвклидова
пространства. Наиболее существенная его особенность, из
которой проистекают другие характерные свойства,
заключается в том, что каждая пара его различных
базисных векторов в скалярном произведении дает нуль: если
же скалярно умножить любой базисный вектор на себя,
получится единица.
Такой базис называется ортонормированным. Как в
Нем возникает знакомая нам простая формула
скалярного произведения векторов (сумма попарных
произведений соответственных компонент), без труда докажет
любитель магематических выкладок. Нужно лишь пред-
ставить каждый из обоих векторов его разложением по
базису, а затем почленно перемножить слагаемые обоих
разложений. Таким же путем, скалярно умножая какой-
либо вектор на себя, можно вывести Пифагорову
формулу для его длины, а затем и для расстояния между
точками эвклидова пространства.
Но это, повторяем, простейший случай. Если же
говорить вообще, линейное пространство по-разному можно
превратить в эвклидово — смотря, как определить
скалярное произведение. Нечто подббное мы наблюдали,
едва начав разговор о метрическом пространстве. Так
мы называли пространство, где в соответствии с
метрическими аксиомами определено расстояние между
точками. Мы сразу отметили тогда, что способы определять
расстояние могут быть различными.
331

Бравый солдат Швейк на своем замысловатом
жизненном пути не избежал и сумасшедшего дома. Там от
одного из своих новых знакомцев он услышал, что
«внутри земного шара имеется другой шар, значительно
больше наружного»*.
Несуразно? Смешно? Ну, а если бы тот мыслитель из
дома скорби заявил, что через куб можно протащить куб
большего размера? Как отреагировали бы вы на это,
читатель? Смеялись бы? Или увидели бы te
полусумасшедшем утверждении формулировку математической
задачи?
Желая внести ясность в непростое дело,
воспользуемся понятием скалярного произведения векторов»
Пользоваться им особенно удобно, если вектора заданы
в ортонометрированном базисе. В нашей ситуации он
напрашивается сам: за базисные вектора можно
принять ребра куба, исходящие из одной вершины, —
например, OMt ON и OR Направим вдоль них оси абсцисс,
ординат и аппликат соответственно.
Отметим попутно, что своим выбором базисных
векторов мы приняли за единицу масштаба длину ребер
куба.
На ребрах куба пометим четыре точки Д В, С и D,
отстоящие от вершин на расстоянии W, как показано на
332

рисунке. От точки^ кjroMKe последовательно проведем
четыре вектора АВ, ВС, CD и DA. На рисунке они
изображены стрелками.
Чтобы нарисованная нами фигура ABCD приняла
окончательную математическую отчетливость, остается
определить компоненты слагающих ее векторов.
Начнем с АВ, Заметим ср&у: он протянулся вдоль ребра,
по которому пролегает ось абсцисс, во всю его длину,
Значит, первая компонента вектора равна единице:
хав = 1. Но вектор АВ не параллелен оси абсцисс. Его
конец несколько смещен вдоль оси ординат в
положительном направлении и вдоль оси аппликат— в
отрицательном. Величина смещения и тут и там
одинакова: 1/4. Короче говоря, уав = 4» zab = - ^ Так выясняется
полный набор компонентов вектора Лб: 1, V*t - V4.
Нам думается, что набор компонент следующего
вектора ВС читатель составит уже сам: 0, э/4, - э/4
Теперь все готово для подсчета скалярного
произведения векторов АВ и ВС* Поскольку они заданы в орто-
нормированном базисе, искомый результат выражается
суммой попарных произведений соответственных
компонент. Она выписана рядом с рисунком,
В итоге суммирования у нас получился нуль. А это
однозначный признак того, что вектора АВ и ВС взаимно
перпендикулярны. Так же можно, проверить взаимную
перпендикулярность векторов ВС и CD, CD и DAt DA и
АВ. Выходит, что фигура ABCD — прямоугольник.
Определим длины его сторон. На нас опять работает
скалярное произведение. Мы знаем: если скэлярно
помножить вектор на себя, получается квадрат его длины.
Взгляните еще раз на выкладки рядом с рисунком и
убедитесь, что длины векторов АВ и ВС одинаковы.
Продолжив вычисления, приходим к выводу: у прямо-
угсльмика ABCD все стороны равны другу другу. Это
квадрат.
Но равенство сторон — не самый главный сюрприз
наших вычислений. Самое удивительное, что эти
стороны по длине превышают единицу. Роль единичного
отрезка у нас играет ребро куба. Следовательно, стороны
квадрата ABCD длиннее ребер куба! Всего на несколько
сотых^но длиннее.
333

Вы уже чувствуете, что сулит такое превышение?
Пилите по этому квадратному контуру туннель и
таскайте по нему через свой куб туда-сюда куб большего
размеоа
Невероятно, но факт! И убедить вас в этом на
протяжении всего лишь полутора страниц помогло скалярное
произведение.
Нелегкий путь прошли мы с вами, читатель, по
разнообразным пространствам. За красивой спиралью, кото-
334

рую мы нарисовали е фазовом пространстве, возникал
стремительный баскетболист, ведущий мяч, В линейном
пространстве, развернув цветовой фунтик, мы
обнаружили все краски солнечного спектра. В метрическом
пространстве мы научились правильно понимать
телеграмму, переданную с ошибками.
И вот теперь — пространство линейное метрическое
С первых шагов по нему мы чувствуем себя, как
странник, вернувшийся в родные края. Сквозь туман
новых понятий проглядывают знакомые образы,
слышатся знакомые слова — расстояние, длина, угол...
Все это привычно нам еще со времен
школьной.геометрии.
В таком сходстве нет случайных совпадений.
Эвклидово пространство школьной геометрии — это линейное
метрическое пространство двух или трех измерений,
смотря по тому, идет речь о планиметрии или стерео*
метрии. Так что предмет нашего рассказа, по существу,
тот же, что и в школе. Только теперь у нас к нему другой
подход: вместо треугольников и окружностей — иные
образы, вместо циркуля и линейки —другие
инструменты. И тому и другому на смену приходят числа.
С этих новых позиций содержание древней науки
геометрии впервые было пересказано в книгах
немецкого математика Германа Вейля * Пространство, время,
материя» A91В г.) и американского математика Джона
фон Неймана «Математические основы квантовой
механики» A927 г.)- Как свидетельствуют хотя бы названия
обеих книг, их авторы отнюдь не ставили своей целью
объяснить старое по-новому. Нет, они стремились
создать новые математические методы для решения
насущных проблем естествознания. Но то, что их подход
позволил с новых позиций систематизировать старое
богатство геометрии, свидетельствует, что новое
знание не порывает с прошлым, а стоит на прочном
фундаменте его завоеваний.
335

Рассказ об эвклидовом пространстве влечет за собой
естественный вопрос: а что такое неэвклидово
пространство? И почему его называют искривленным?
Презде чем отвечать на такие вопросы,
порассуждаем о том, какая бывает миллиметровка.
Канал Москва — Волга строился в сложных
гидрогеологических условиях: его трасса пересекает высокую
Клинско-Дмитровскую гряду.
На диаграмме — рельеф канала. Выемки, насыпи,
водохранилища, шлюзы*.. Однако с
географическо-математической точки зрения это прежде всего фигура на
координатной плоскости. В рисунке линий, которыми
расчерчена диаграмма, нетрудно опознать
координатную сетку, в цифрах, расставленных по краям
разграфленного прямоугольника, — масштабную разметку
координатных осей.
Водорг эаблы j ыи
, , . . . участок и — -* -- j ^
" _ : 1 i i : Московский скп<
лмсиии склон - * —♦—•— , » —
О 50 100 150
Расстояние километры
Используя эту разметку, простым вычитанием можно
определить, насколько каждый шлюз удален от
соседнего, какой перепад высот приходится преодолевать,
перекачивая воду с одного уровня на другой.
А как быть, если потребуется измерить расстояние
между точками, не лежащими на одной горизонтали или
одной вертикали?
Измеряя расстояние между точками на координатной
плоскости, мы до сих пор использовали два стандартных
336

приема — либо прикладывали к этим точкам мерную
линейку,, либо применяли теорему Пифагора,
предварительно определив, насколько разнятся абсциссы и ор*
динаты обеих точек. Искомое расстояние получались как
корень квадратный из суммы квадратов этих разностей
Первый прием на сей раз, очевидно, неприменим
Ведь единицы, отложенные по осям графика, различны
по горизонтали — километры, по вертикали — метры. А
вот второй прием использовать можно. Нужно только
слегка усовершенствовать пифагорову формулу.
Прежде чем возводить в квадрат и складывать разности
абсцисс и ординат, их нужно выразить в единой мере
Скажем, в метрах. Для этого разность абсцисс следует
умножить на тысячу. А в пифагоровом выражении, где
она возводится во вторую степень, перед ней следует
поставить множителем миллион, вторую степень
тысячи.
Подобные множители, стоящие перед однотипными
слагаемыми какой-либо суммы, называются весовыми
коэффициентами.
Итак, усложнив пифагорову формулу весовыми
коэффициентами, мы сможем принять ее для измерения
расстояний на разграфленной бумаге с какими угодно
пусть даже неравными масштабами по осям.
Впрочем, разграфленная бумага бывает и более
сложных фасонов. Вот образец так называемой
логарифмической миллиметровки. Здесь оси проградуиро-
ваны неравномерно. Одному и тому.же сдвигу в различ*
ных участках сетки соответствуют различные
приращения координат (йбозначенные на чертеже через tix и dy)
Это придает еще большую сложность пифагоровой
формуле, выражающей расстояние между точками через их
координаты: весовые коэффициенты зависит от того
места на координатной плоскости, где определяется
расстояние-
А ниже образец разграфленной бумаги для приборов-
самописцев со стрелкой на оси. В силу самой
конструкции прибора линии сетки искривлены. Соединив две
какие-либо точки на бумаге сначала напрямую, а потом
по линиям сетки, мы получим уже не прямоугольный
треугольник, как в прежних случаях, а косоугольной.
Здесь уже не воспользуешься теоремой Пифагора*
337

здесь квадрат расстояния между точками не равен
сумме квадратов смещений по линиям сетки.
Но оказывается, что
Пифагорову формулу можно
усовершенствовать и для
такого случая ценой еще
одного усложнения:
следует лишь приплюсовать лсд
знаком корня к квадратам
смещений их произведение
с некоторым коэффициентом. Он равен удвоенному
косинусу угла между направлениями смещений, взятому
с противоположным знаком (вот почему описанное
соотношение, обобщающее теорему Пифагора на случай
косоугольных треугольников, называется теоремой
косинусов). Поскольку в разных участках сетки ее линии
пересекаются под разными углами, весовой
коэффициент при новом слагаемом также будет зависеть от того
места на координатной плоскости, где определяется
расстояние.
Следует подчеркнуть, что переменность весовых
коэффициентов усложненной пифагоровой формулы
весьма ограничивает ее применимость: с ее помощью
можно мерить расстояния лишь мезду достаточно
близкими точками. Иначе не избавиться от логического
изъяна, который заметен во фразе «весовые коэффициенты
зависят от места, где определяется расстояние». Место
на координатной плоскости мы привыкли указывать
парой координат. От какой же из двух точек, между
которыми измеряется расстояние, позаимствовать эту
пару? Возьмем от одной — получим один результат,
возьмем от второй — получим другой. Разница между
обоими результатами будет пренебрежительно малой
лишь в том случае, если точки будут достаточно близки.
Ну, а если потребуется определить расстояние мезду
двумя не такими уж близкими точками? Путь от одной
до другой придется тогда промерить достаточно
малыми шажками, величина которых определяется
допустимой погрешностью измерений. Если же требуется
точный результат, то шажки нужно выбирать все мельче и
мельче и за искомое расстояние взять предел, к
которому стремятся получаемые раз за разом величины.
338

dx = 0,51
ш
Bfci
US
ds = J A(x v)(dx) + C(x.v)(dvl
^ 1
10
flfc;
10"
3 4 5 G 7 И
e: 7 6 9 T011
40

(Сведущий читатель, конечно, узнает в этом процессе
процедуру интегрирования).
Тут, правда, есть один нюанс: расстояние,
определяемое таким способом, зависит от пути, вдоль которого
оно измеряется. Какой же из всех возможных
результатов принять эа искомое расстояние между точками?
Наименьший — так принято считать А кратчайший путь
между точками принято называть геодезической
линией. Стоит заметить, что по линиям координатной
сетки она может пройти отнюдь не прямолинейно. .
Расстояние между близкими точками называют эле*
ментом расстояния и обозначают ds. Здесь s —
традиционное обозначение пути, a d— традиционный символ
малости, — напоминает, чтоидти по этому пути следует
мелкими шажками.
Опыт работы с разграфленной бумагой поможет нам
углубить наши знания о метрических пространствах.
Обратимся еще раз к фазовой диаграмме, точками
которой мы изображали режимы работы химического
реактора. Мы говорили: близость одного режима к
другому соответствует тому, что одна точка на диаграмме
попадает в достаточно малую круговую окрестность
другой.
Не насторожило ли тогда вас, читатель, слово
«круговая*? Образ круга естествен, когда говорят о точках,
которые по любому направлению удалены от
центральной на расстояние, не превышающего заданного. Но
такое представление естественно лишь в тех случаях,
когда все направления в пространстве равноправны.
Справедливо ли это для нашей фазовой диаграммы?
Разве прирост температуры в реакторе на один градус
равнозначен приросту даЕзленин в нем на одну
атмосферу? Скорее всего, нет. Допустимое отклонение от
оптимальной точки диаграммы по горизонтальной оси может
оказаться иным, чем по вертикальной. И тогда
Допустимая окрестность оптимальной точки, которая прежде
представлялась нам круговой, теперь примет вид
эллипса. Если же мы захотим определить расстояние между
340

точками фазовой диаграммы через их координаты, нам,
очевидно, придется воспользоваться не простой
пифагоровой формулой, а усложненной — с весовыми
коэффициентами, которые, сообразуясь с сутью
происходящего в реакторе, соразмеряли бы приросты
температуры и давления.
Казалось бы, такого усложнения можно избежать,
выбрав новые, соразмерные единицы температуры и
давления. Другими словами, разметив ось диаграммы
новыми масштабными единицами, мы вновь превратили
бы в круг допустимую окрестность оптимальной точки.
Граничные точки этой окрестности стали бы тогда
равноудаленными от ее центра не только по существу дела,
ко и по форме изображения.
Да не всегда все бывает так просто. Один и тот же
прирост температуры в реакторе может означать далеко
не одинаковые изменения режима, если в одном случае
начальная температура низка^ а в другом высока. То же
самое можно сказать и о давлении. Весовые
коэффициенты в пифагоровой формуле расстояния для нашей
диаграммы в силу этого могут оказаться переменными.
Равновеликие по физическому смыслу окрестности
различных точек диаграммы станут тогда изображаться
неодинаковыми кругами. Чтобы уравнять их и тем самым
привести в соответствие со смыслом отображаемых
явлений, можно растянуть координатную сетку в тех
местах диаграммы, где круги получились малыми.
Не очевидно ли, что сетка при этом станет
искривленной? Пифагорова формула получит тогда еще одно
усложнение: под знаком корня в ней наряду с
квадратами смещений по координатным направлениям появится
произведение смещений с некоторым коэффициентом,
вообще говоря, переменным.
Расстояние между двумя близкими точками Романова пространства
ds=VA(x,y)(dxJ+2B(x,y)dxdy+C(x,y)(dyJ
Весовые коэффициенты
Разность абсцисс Разность ординат
>.обеих точек oticux точек

Метрическое пространство, где расстояние между
точками определяется столь усложненной пифагоровой
формулой — с произведениями смещений по
координатным направлениям, с переменными весовыми
коэффициентами, — называется римановым пространством.
Желая подчеркнуть отличие применяемой в нем
метрики от простой и наиболее часто употребляемой
Пифагоровой формулы расстояния (корень квадратный из
суммы квадратов смещений по координатным направ-
лениям), о таком пространстве говорят как о
неэвклидовом. Изучением его метрических свойств занимается
неэвклидова геометрия, для каждого неэвклидова
пространства своя — судя по тому, какова у него метрика.
Желая отметить переменность весовых
коэффициентов, о пространстве говорят как о неоднородном.
(Впрочем, весовые коэффициенты могут оказаться
постоянными — тогда пространство называется однородным.)
Желая обратить внимание на произведения
смещений по координатным направлениям, входящие в
формулу расстояния, о пространстве говорят как об
искривленном.
Вспомним: в наших рассуждениях о разграфленной
бумаге необходимость в таком произведении появилась
именно тогда, когда мы перешли от прямолинейных
сеток к искривленным. Можно, конечно пользоваться и
равномерными прямоугольными сетками и свыкнуться с
некруглыми окружностями, с непрямыми кратчайшими
путями и прочим. Но все-таки естественнее ценою
искривления сетки изображать окружностью множество
точек, равноудаленных от данной, и прямолинейным
отрезком — кратчайший путь между двумя точками. ■
Именно по этой причине не очень популярны
географические карты с равномерной прямоугольной сеткой
меридианов и параллелей: города, равноудаленные на
сферической поверхности земли, на плоской карте с
такой сеткой могут оказаться на различных расстояниях.
Уменьшить степень такого несовершенства помогают
различные картографические проекции с нарочито
искривленными линиями меридианов и параллелей.
342

Здесь самое время вспомнить, как когда-то мы
выбирали арбуз и обнаружили при этом, что углы
треугольников на сферической поверхности арбуза «р сумме не
дают привычные 180 градусов. Вскоре после этого нас
ждал еще один сюрприз: на сфере отказывает теорема
Пифагора — испытанное средство дли измерения
расстояний. Иными словами, здесь неприменима
эвклидова метрика, выражаемая простой пифагоровой
формулой.
Но, быть может, положение удастся спасти, усложнив
пифагорову формулу произведениями смещений по
координатным линиям и весовыми коэффициентами?
Действительно, так оно и есть. Мы приходим к выводу:
двумерное пространство, которое представляет собой
поверхность арбуза, — это не эвклидово, а риманово
пространство.
Как вспоминает читатель, арбуз послужил нам
гарниром к рассказу о геометриях Лобачевского и Римана и
о том. в чем они расходятся с геометрией Эвклида. Мы
понимаем теперь, что эти расхождения имеют
метрическую природу: на поверхности арбуза непригодна
простая Пифагорова формула. Однако если усложнить
ее на описанный выше манер, то мы придем как раз к
тем положениям, которые составляют либо геометрию
Лобачевского, либо геометрию Римана— в зависимости
от выбора весовых коэффициентов.
Попутно предостережем читателя от возможной
путаницы, Риманово пространство и неэвклидово
пространство Римана (то есть такое, которое описывается
геометрией Римана) — вещи разные, хотя и
взаимосвязанные. Первый термин употребляют, когда хотят сказать,
что в пространстве принята описанная выше
усложненная формула расстояния. Второй — когда хотят
отметить, что в пространстве нет парралельных линий, сумма
углов треугольника превышает 180 градусов, отношение
длины окружности к ее радиусу меньше двух «пи* и т.д.
343

Римановы пространства, о которых мы говорили до
сих пор — будь то сферическая поверхность арбуза или
плоскость фазовой диаграммы, — были двумерными.
Нетрудно сообразить, что такое риманово пространство
трех измерений, по какой формуле определяются
расстояния в нем. Это все тот же корень квадратный, год
ним — возведенные в квадрат смещения по
координатным осями их попарные произведения,
просуммированные с весовыми коэффициентами. Аналогично выглядят
формулы расстояния для римановых пространств
любого числа измерений.
Слово «искривленное пространство» часто
встречается в рассказах о теории тяготения, созданной Альбертом
Эйнштейном, —так называемой общей теории
относительности. Эти слова служат собирательным
обозначением для тех парадоксальных геометрических выводов,
которые следуют из теории Эйнштейна.
Вот один из таких выводов: если измерить длину
окружности, проведенной вблизи тела большой массы,
то отношение ее длины к радиусу окажется заметно
отличающимся от двух «пи»>Ф Как видно, эвклидова
метрика здесь не годится.
Обстоятельный рассказ о теории относительности не
входит в наши планы. Ведь помимо математических
аспектов, которые и составляют содержание нашего
разговора, здесь потребовалось бы основательное
знакомство с физическим существом дела, чего мы не в
праве требовать от читателя.
Поэтому, если читателю хочется поговорить об
искривленных пространствах и неэвклидовой метрике, мы
344

обратимся за новым примером, к абстрактному
пространству цветов.
Проведем в цветовом фунтике плоскость,
соответствующую цветам одинаковой яркости. На этой плоскости
проведем линию, соответствующую цветам какой-то
определенной насыщенности. Казалось бы, все ее точки
должны одинаково отстоять от точки нулевой
насыщенности — точки белого цвета, а потому образовывать
окружность с центром в точке белизны.
Так нет же! Проведенная нами линия вовсе не
окружность, и чем больше ее размер, тем больше она похожа
на криволинейный треугольник.
Возникает подозрение:
ПрИВЫЧНЫе НОРМЫ ЭВКЛИ- У^Л одинаковой
дова пространства не со- /-^ \ насыщенности
блюдаются в
пространстве цветов.
Но пойдем дальше* На
нашей неудавшейся
«окружности» выберем
несколько точек так, чтобы
зрительное ощущение сходства было одинаковым для
каждой пары цветов, соответствующих соседним
точкам. Ноеая неожиданность: дужки, на которые делят
нашу «окружность»» намеченные точки, оказываются
неравными по длине.
Подозрение переходит е уверенность: пространство
цветов — неэвклидово.
Это — урок для каждого» кто, построив абстрактное
линейное пространство, пытается ввести в нем метрику.
Здесь может оказаться непригодным привычный и
простой эвклидов рецепт (расстояние есть корень
квадратный из суммы квадратов смещений по координатным
направлениям), и, возможно, потребуются те же
усложнения, с которыми мы связываем понятие риманова
пространства.
Впрочем, и риманов рецепт не исчерпывает все
возможные' способы измерения расстояний. 1/1 если
формула расстояния построена го какому-либо иному
правилу, пространство называют фи не л еров ым.
345

Ув-1
В
1
Как называется 5та фигура с центром в начале
координат?
«Конечно, квадрат*, -
слышим мы ответ
читателя. А хотите пари? Мы до*
кажем, что это...
окружность.
Будем рассуждать
совершенно строго. Что
есть окружность? Геомеь
рическое место точек,
удаленных на одинаковое
расстояние от точки,
называемой центром.
Таково определение.
А что такое
расстояние? Некоторое число,
поставленное в соответствие двум точкам пространен
ва. Закон соответствия может быть каким угодно, лишь
бы выполнялись три метрические аксиомы (см с. 316),
Мы воспользуемся этой свободой, чтобы
сконструировать такую формулу расстояния, которая позволит
нам выиграть пари.
Пусть расстояние от какой-либо точки на
координатной плоскости до начала координат будет равно
наибольшей из координат точки, взятых по абсолютной
величине. Для любителей математической строгости
отметим, что все метрические аксиомы удовлетворяют*
ся при таком способе измерения расстояний.
Посмотрите теперь на правую сторону нашего
квадрата: абсцисса любой точки этого отрезка равна
единице, а абсолютная величина ординаты выражается
числом, меньшим единицы. Согласно нашей формуле рас*
стояния все точки правой стороны квадрата удалены от
начала координат на одинаковое расстояние, равное
единице. Посмотрите теперь на верхнюю сторону квад*
рата; в сравнении по абсолютной величине здесь выиг*
рывает ордината, равная единице для всех точек этой
стороны. Стало быть, согласно нашей формуле рассто-
346

яния и у этого отрезка все точки удалены от начала
координат на одинаковое расстояние, равное опять-
таки единице. Левая и нижняя сторона квадрата
подсказывают тот же вы йод.
Получилось, что все точки сторон квадрата
равноудалены от начала координат. Ваш квадрат, читатель, по-
нашему оказался окружностью.
Осознать этот факт помогут
шахматы. Поставьте на шахмат- ^^= ~ — ^=
ную доску короля и рассмотрите
все поля, на которые он может
переместиться за один ход. Эти
поля, равноудаленные (с точки
зрения шахматиста) от
начального положения короля,
образуют квадрат.
Вот ведь какие диковинки таят
в себе формулы расстояния,
построенные не на риманов манер!
Как мы уже знаем, метрические пространства, где
приняты такие формулы расстояния, называются фин-
слеровыми. Их пример и представляет собой
пространство шахматного короля, где окружности имеют вид
квадратов.
Чрезмерная подозрительность не является
достоинством даже в такой предельно строгой науке, как мате*
матика-
Подметив кривизну у линий координатной сетки,
введенной в пространстве, не нужно поспешно навешивать
на пространство ярлык «кривого».
Кривизна пространства -^ это свойство самого
пространства. Она проявляется, например, в том, что в
таком пространстве отношение длины окружности к ее
радиусу не равно двум «ли», сумма углов треугольника
отличается от 180 градусов. Все подобные отклонения
можно обнаружить, не прибегая ни к какой
координатной системе. Они органически связаны с самим
пространством и не зависит от того» какую координатную
347

сетку мы на него набросили. Когда же мы строим такую
сетку, она представляет собой продукт нашего
творчества и может быть какой угодно. Ее искривленность еще
не позволяет утверадать, что пространство, в котором
она введена, искривлено.
Даже в нашем реальном земном пространство, где
применимость эвклидовой метрики в свое время с
высокой точностью гарантировал сам Лобачевский, часго
оказывается удобным пользоваться криволинейными
системами координат.
С одной из двумерных систем такого рода мы уже
знакомы: «исправляй» план Москвы, мы пришли к
понятию полярных координат.
Идею еще одной любопытной системы координат
подсказывает план Парижа. Ни к прямоугольному, ни к
полярному типу его нп отнесешь. Здесь, похоже, не один
полюс, как в Москве. Структура, близкая к радиально*
кольцевой, складывается, например, вокруг площади
Нации и вокруг площади Де Го л ля. Улицы, по которым
лежит кратчайший путь от одной из названных площадей
до другой, идут почти по прямой. Устраним это
«почти*' — протянем прямую между площадями. А псе
окольные улицы» идущие от одной площади к другой,
заменим окружностями, проходящими через оба
полюса. Кольцевые улицы, охватывающие ту и другую пло
щадь, также заменим окружностями, причем такими, что
пересекались бы с окружностями первого семейеттзз
под прямым углом.
Исправленная и дополненная сетка улиц Парижа
приобретает математически завершенный вид. Такая
система координат называется биполярной, двухполюсной
С точки зрения ориентировки на местности она ничем
не хуже декартовой и полярной. Окружности обоих
семейств удается перенумеровать, и положение точки на
плоскости, как и в упомянутых системах, определяется
опять-таки числами — «номерами» улиц разных
семейств, пересекающихся в этой точке.
346

Чтобы познакомиться с каким-либо примером
трехмерной системы криволинейных координат, нужно лишь
немного внимания, когда случится заказывать лекарство
в аптеке. Если лекарство готово, оно находится во
вращающейся стойке. Положение приготовленного снадо
бья здесь задается тремя числами — номером полки,
номером сектора и глубиной, на которую аптекарь
должен засунуть руку внутрь, к оси стойки.
Вращающаяся стойка поможет нам представить
цилиндрическую систему координат, строгое изображение
которой приведено рнцом. Аппликата zt полярный угол
«р и радиус-вектор р — вот три числа, определяющие
положение точки в такой системе координат. Последние
две величины — это полярные координаты проекции
точки на горизонтальную плоскость. В ней проведены
оси х и у, так что рисунок помогает понять связь
цилиндрических координат с декартовыми.
Фотография военных лет дает повод поговорить еще
об одной пространственной системе координат —
сферической.
350

Наводя свое орудие на вражеский самолет, зенитчики
поворачивают его на определенный угол вокруг
вертикальной оси и под определенным углом к ней устанав-
2
шеают ствол. Теперь для того, чтобы точно задать
положение самолета в пространстве, нужно еще указать
расстояние до него.
Эти величины, задающие положение точки в
сферической системе координат, отмечены на графике
буквами <р (долгота), 8 (полярное расстояние) и г (радиус-
вектор) Направление, от которого отсчитывается
долгота, отмечено буквой х, вертикальная ось — буквой z;
наконец, введя ось у. мы сделали наглядной связь между
сферическими и декартовыми координатами.
На предыдущих страницах мы демонстрировали
разнообразные системы координат.
Человек рационального склада спросит: зачем все это
разнообразие? Кому нужны все эти математические
диковинки, кроме их создателей — жрецов чистой
науки?
Что ж, пройдем из храма чистой науки в картинную
галерею. И да простят нас искусствоведы — мы будем
приглядываться не только к тому, что изображено на
холсте| но и к его форме
351

Форма неплохо соответствует содержанию. Вот
картина Георгия Нисского «Перед Москвой. Февраль».
Вертикальные края холста параллельны стволам елей и
стенам домика, видного меж елями. Горизонтальные-
нижним обводам облаков и полоске дальнего леса...
А вот потолок собора св. Иоанна (Парма, Италия),
расписанный Антонио Корреджо. Округлая форма го-
толка определила композицию росписи: фигуры людей
располагаются по кругу. Рассматриваемые снизу, их
тела закономерно оказываются направленными к центру
круга. Их радиальную ориентацию диктует и содержание
картины: стоящие по кругу устремлены к центральному
персонажу. Мысленно можно прослеживать радиусы и о
противоположных направлениях, по которым свидетели
чудес разойдутся во все концы земли с вестью о
виденном.
Форма и содержание должны соответствовать друг
другу — творцам прекрасного это понятно давно,
Осмысленно и целенаправленно этот принцип
проводится и в точных науках. Форма (то есть способ
описания изучаемого явления), выбор системы координат
должна соответствовать характеру явления.
Пронести полные ведра воды, не облившись, —для
этого нужна сноровка. Нужно так соразмерять свои
шаги, чтобы от толчков вода не плескала через край.
Сценка у деревенского колодца, с точки зрений
физика, повторяется при взлете ракеты. По существу,
топливный бак ракеты, заполненный горючим, — это
огромное ведро. И если не соразмерять вибрации,
возникающие при работе двигателя, с колебаниями жидкости е
баке, может произойти несчастье, гораздо более
серьезное по сравнению с мокрой одеждой.
Прежде чем запускать ракету, нужно рассчитать
частоты колебаний жидкости. А прежде чем их
рассчитывать, нужно выбраУь удобную систему координат.
Разумно прибегнуть к цилиндрической системе: ее структура
соответствует и форме топливного бака, и характеру
протекающих в нем процессов.
352

Астрофизики изучают процессы, происходящие на
поверхности Солнца и в его глубине. Понимание этих
процессов немаловажно: ведь с деятельностью нашего
дневного светила связано многое из того, что
происходит за Земле, — от магнитных бурь до инфарктов.
Но Солнце — это лишь одна из мириадов звезд,
рассеянных по просторам Вселенной. И характер его
деятельности яснее всего может быть понят как проявление
глубоких законов, управляющих рождением, жизнью и
гибелью звезд.
Ясное понимание требует точных расчетов. А точный
расчет требует удобной системы координат. Какой же
системой координат разумнее всего пользоваться при
исследованиях звезд? Ответ подсказывает их
сферическая поверхность: сферической.
«В год 6453. В этот год сказала дружина Игорю:
■Отроки Свенельда из оделись оружием и одеждой, а мы
наги. Пойдем, князь, с нами за данью, да и ты добудешь
и мы". И послушал их Игорь — пошел к древлянам за
данью и прибавил к прежней дани.новую...
В приведенном отрывке повествуется о делах давно
минувших дней, а дата события явно сдвинута в далекое
будущее* Но это вряд ли выглядит загадочным: в ту пору,
когда писалась «Повесть временных лет» (отрывок из
нее мы и процитировали), годы отсчитывались «от со*
творения мира»»
Петр Первый, великий реформатор России, сдвинул
точку отсчета: на Руси, как и в Европе, годы стали
отсчитываться «от рождества Христова*, по церковной
легенде произошедшего через 5508 лет пос/Те
«сотворения мира». Эту цифру и следует вычитать из дат
древних летописей при переводе их в современное
летосчисление.
Дата события, о котором нам рассказала «Повесть
временных лет», — 945 год.
Две системы летосчисления с точки зрения
математики — это две одномерные системы координат,
позволяющих ориентироваться во времени. Пересчет дат —
2 353

это переход из одной системы в другую. В вычитании
числа 5508 заключается формула такого перехода.
в
J
У
L у
>/
к
X=pCOSq>
X
u>=arctd у/к
Переходы из
одной системы ко*
ординат в другую
часто приходится
совершать и
физику, когда он ищет
форму описания
явлений, наиболее
соответствующую
содержа нию.
Иногда случается
переходить из ци-
линдрической в
354

сферическую систему, иногда — из полярной в декарто-
ву... Всмотритесь в план Москвы: поверх рисунка улиц—
тонкая прямоугольная сетка. Радиусы и кольца улиц —
это полярная система координат, горизонтали и
вертикали дополнительной разметки — декартова.
Координаты любой точки на плане можно указать как в одной, так
и в другой системе. Но можно указывать координаты
точки лишь е какой-то одной системе и по формулам
перехода выводить координаты в другой.
Правда, формулы перехода для двумерных и
трехмерных систем координат гораздо сложнее, чем для
одномерных.
12е

АФФИННЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Эти рисунки взяты из
руководства для начинающего фо
тографа.
Как, право, не выразителен
исходный снимок — и сколько
экспрессии в окончательном
варианте! Сдвинули да
повернули изображение в кадре—и
снимок буквально
преобразился.
Слово «преобразился»
здесь поставлено не
случайно. Эти рисунки мы выбрали
для того, чтобы начать с них
обстоятельный разговор о
геометрических
преобразованиях.
На взгляд непосвященного,
не совсем правомерно назы*
вать преобразованием то, что
мы сделали с рисунком. Все
фигуры на нем сохранили
свою форму.
Но все-таки они изменили
свое расположение. И потому
мы заносим в перечень
геометрических преобразований
обе операции, которые мы
совершили над рисунком, и при*
сваиваем им строгие математические обозначения:
первую операцию назовем параллельным переносом,
вторую — поворотом.
356

Про ходжу Насреддина
рассказывают, как однажды он
водил по Бухаре некоего
любознательного чужестранца и
как тот, остановись перед
знаменитым бухарским
минаретом Каляном, изумленно
воскликнул:
— Как вы строите такие
высокие минареты?
— Очень просто, — отвечал
ходжа. — Сначала выкапываем
глубокий колодец, а потом
выворачиваем его наизнанку.
Преобразование колодца в
минарет, показанное на этой
странице, математик назвал бы
зеркальным отражением или
осевой симметрией. Суть
термина хорошо поясняется
картинкой: верх и низ на ней поме*
нялись местами, зеркально
отразились относительно
горизонтальной прямой,
отделяющей небо от земли. Назовем
своим именем и эту прямую;
ось симметрии.
Рисунок убеждает нас в том; что зеркальная
симметрия полностью сохраняет формы фигур, подобно
параллельному переносу и повороту. Есть, однако, один
нюанс, который отличает от лих отражение.
Представьте себе, что минареты строятся именно так,
как описал ходжа, — выворачиванием колодцев.
Представьте теперь, что строители хотят украсить стены
сооружаемого минарета надписями. Как наносить их на
стенки колодца? Конечно, вниз головой, — наверняка
ответите вы. И только? А в остальном — как обычно?
Тогда, вывернувшись наизнанку вместе с колодцем,
надписи окажутся написанными наоборот.
357

Суть такого сюрприза легче всего понять, рассмотреэ,
что делает преобразование отражения с какой-нибудь
простой геометрической фигурой, например, с тре-
угольником, которым на нашем рисунке очерчена вер*
хушка минарета.
Обратимся сначала к нижней половине рисунка и
обойдем вершины треугольника, скажем, по часовой
стрелке. В той же последовательности обойдем теперь
соответствующие вершины отраженного треугольника
на верхней половине рисунка. Мы обнаружим, что на сей
раз идти приходится против часовой стрелки. Говорят,
что зеркальное отражение меняет ориентацию фигур. В
противоположность ему параллельный перенос и
поворот ориентацию фигур не меняют.
Выигрыш приятен в любой игре, даже в самой
незатейливой. Секрет же победы может оказаться порой
совсем простым.
Играют двое. Каждый по очереди выкладывает на стол
круглые фишки — один черные, другой белые. Фишки
постепенно покрывают поверхность стола (для
определенности будем считать ее прямоугольной). Выигрывает
тот, кто положит фишку последним—так что противнику
не останется места, куда положить свою.
Ключом к победе в этой игре владеет тот, кто
начинает. И если ваш ход первый, не мешкая, ставьте свою
фишку в центр стола. Теперь, куда бы ни поставил свою
фишку противник, выставляйте свою симметрично ей
относительно центра стола — на таком же расстоянии
от центральной фишки, но в противоположном
направлении от нее.
Ход за ходом на столе возникает узор из черных и
белых фишек. Причем скопление черных центрально-
симметрично скоплению белых* Центром симметрии
для фишек служит центр стола.
Центр симметрии — ваш надежный союзник в этой
игре. Если противник нашел место на столе для своей
фишки, у вас всегда в распоряжении место центрально*
358

симметричное. Так что последний ход, а вместе с ним и
победа, наверняка за вами.
Конечно, читатель, вы думаете, что игра в фишки, с
которой мы вас познакомили, — это типичный
завлекательный приемчик, повод для того, чтобы погоЬорить о
центральной симметрии.
И ошибаетесь. Ради одной лишь центральной
симметрии мы не стали бы играть с вами в эти игры.
Наша цель — глубже. Мы хотим поговорить о
некоторых фундаментальных представлениях, которые лежат в
основе и центральной, и прочих видов симметрии, и
вообще всех геометрических преобразований — уже
представленных нами^ или составляющих тему нашего
дальнейшего рассказа".
Приглядимся
повнимательнее к процессу
игры в фишки, как она
только что была описана.
Вот на поверхности
стола появилась
очередная черная фишка, и
ответным ходом по
определенному закону
ставится белая. А теперь —
чуточку математической
абстракции. Заменим
слово «фишка» словом «точка». Каждой черной точке
ставится в соответствие белая. Впрочем, какой цвет у
точки? Она ведь не имеет размеров, ее не покрасишь.
Просто есть закон, согласно которому одной точке
плоскости ставится в соответствие другая точка той же
плоскости. А поскольку правила игры позволяют ставить
фишки куда угодно, закон такого соответствия должен
охватывать все точки плоскости.
При этом точка, для которой подбирается
соответствующая, называется прообразом, а точка, которая
ставится в соответствие точке-прообразу, — ее Образом.
359

(Может случиться, что образ какой-то точки совг1Ьдет
со своим прообразом. Так при центральной симметрии
центральной точке ставится е соответствие она же
Именно на этом, кстати сказать» и основана беспроиг*
рышная стратегия описанной выше игры в фишки.)
Правило, по которому совершается всякое такое
действие, будь то параллельный перенос или поворот,
осевая или центральная симметрия, называется
геометрическим преобразованием плоскости.
Представление о соответствии точек лежит в основе
понятия геометрического преобразования. Иногда,
слыша этот термин, думают о замысловатых
деформациях каких-нибудь фигур. Не спорим, эффектными
деформациями хорошо иллюстрировать рассказ о
геометрических преобразованиях, когда ои только начинается.
Очень скоро выясняется, однако, что основные черты
того или иного преобразования не зависят от того, какие
фигуры ему подвергаются. Тогда становится
естественным говорить о «деформации», то бишь с
преобразовании всей плоскости в целом, и преобразуемые фигуры
представлять как бы нанесенными на этот
деформируемый фон/
Чтобы уследить за изменениями любой мельчайшей
детали преобразуемых фигур» нужно, очевидно, знать,
как в ходе преобразования плоскости перемещается
каждая ее точка. Процесс перемещения здесь, конечно,
вряд ли представляет интерес — важно знать лишь
начальное и конечное положение каждой точки.
Так естественным и логичным путем мы приходим к
представлению о геометрическом преобразовании
плоскости как о законе соответствия ее точек.
Деформации же и перемещения фигур — это нечто вторичное,
это результаты преобразования. Ведь любая фигура
состоит из точек, и каждой из них ставится е
соответствие новая точка. Из этих новых точек образуется какая-
то новая фигура. Говорят, что она получается из
исходной в результате проведенного преобразования,
(При этом исходную фигуру естественно назвать про-
образом, а полученную — образом.)
360

Здесь может возникнуть закономерный вопрос: при
всяком ли преобразовании точки-образы соберутся в
столь же цельную фигуру, что и исходная? При каком
условии преобразованная фигура не распадется на
части, не рассыпется на точки?
Математики отвечают на этот вопрос так: если
преобразование непрерывно.
Какой смысл вкладывается в этот термин? В поисках
ответа на вопрос давайте немножко позкспериментиру-
ем. В качестве исходного пункта выберем из
точек-прообразов какую-то одну, А затем по соседству с ней
будем брать все новые точки, неограниченно к ней
приближающиеся.
Что будет происходить с образами этих точек? Если
их последовательность стремится к образу исходной
точки, то о преобразовании говорит, что оно в этой точке
непрерывно. Если же оно непрерывно в любой точке
плоскости, то о нем говорят еще короче: непрерывное
преобразование.
Если несколько поступиться строгостью, которая
весьма утяжелила приведенное определение, можно
сказать, что непрерывное преобразование — это такое,
которое близкие точки переводит в близкие.
Таковы, например, все преобразования, с которыми
мы уже познакомились. Взять хотя бы центральную
симметрию. Ее непрерывность вы можете проверить на
деле — за знакомой вам игрой в фишки, ведя ее по
предложенной нами стратегии. Если противник станет
сгущать свои фишки вокруг какой-то одной, то и ваши
ответные фишки, очевидно, будут ложиться все ближе к
образу точки сгущения, выбранной противником, где бы
он ее ни выбрал. А это и означает, что центральная
симметрия — преобразование непрерывное.
Напоследок перечтем еще раз формулировку, которая
ложится в основу всех наших дальнейших рассуждений:
«Геометрическое преобразование плоскости есть
закон, согласно которому каждой точке плЪскости
ставится в соответствие определенная тонка той же
плоскости».
361

После всего сказанного каждое слово этого
определения выявило для нас свой смысл, кроме, пожалуй,
слов «той же». Почему, взяв какую-то точку плоскости,
мы должны брать соответствующую ей обязательно на
той же плоскости? Разве нельзя рассматривать
соответствия точек двух разных плоскостей?
Луч кинопроектора ставит в соответствие каждой
точке кинокадра определенную точку экрана. Как это
описать на математическом языке?
«Отображение** — вот то слово, которое употреб<ил бы
здесь математик вместо слова «преобразование».
Математик сказал бы, что луч проектора отображает
плоскость кадра на плоскость экрана.
Умудренные знанием того, что всякое геометрическое
преобразование есть закон соответствия точек, бросим
ретроспективный взгляд на фотографию с трактором и
картинку с минаретом, которыми мы поясняли преобра*
зования параллельного переноса, поворота и
зеркальной симметрии.
Разберемся, исходя из «точечной» концепции, какие
соответствия устанавливаются при каждом из этих
преобразований меаду точками-прообразам и и точками-
образами.
Итак, параллельный перенос. Какую бы точку
плоскости мы ни соединили с ее образом, мы всегда будем
получать отрезок одной и той же длины и направления
(заметим, что он считается направленным от
точки-прообраза к точке-образу), Вектор параллельного
переноса — вот как называется этот направленный отрезок.
Теперь поворот. Точка, вокруг которой он
совершается, называется центром поворота. При этом отрезки,
соединяющие с центром поворота любую
точку-прообраз и соответствующую ей точку-образ, равны друг
другу по длине и образуют один и тот же по величине и
направлению угол, называемый углом поворота
(заметим, что он отсчитывается от направления на точку-про*
образ до направления на точку-образ; он считается
362

положительным, если огсчитывается против часовой
стрелки, и отрицательным — если наоборот).
Паралельньй перенос
Md вектор г
О АА" BS' CC-DD'- г
Поворот
вокруг центра О
. во=ео
Зеркальное
отражение
или
осевая р
A"C-CA. BO-OB
ДА 1 MN. ВВ 1 MN
N
Центральная симметрия
относитнлъно центра О
А'О=ОА В О-ОВ
Зеркальная симметрия. Отрезок, соединяющий
любую точку-прообраз с соответствующей ей точкой-
образом, перпендикулярен оси симметрии и делится
этой осью пополам.
Наконец, центральная симметрия. Отрезок,
соединяющий любую точку-прообраз с соответствующей ей
точкой-образом, проходит через центр симметрии и
делится им пополам.
Не утомились ли вы, читатель, от осех этих
преобразований и отображений, переносов и поворотов? Не
363

передохнуть ли нам? Не уделить ли пару минут
физкультуре?
... На зеленом ковре стадиона — спортсмены в ярких
костюмах, участники массового представления* Вот они
собрались в круг в самом центре поля, вот круг
превратился в звезду, бот звезда распалась на буквы, протя*
нувшиеся по зеленому фону словами лозунга*..
Наш наметанный глаз сразу усматривает в подобных
перестроениях зримые образы теории геометрических
преобразований. Каждый спортсмен, замерев на месте
точкой некоторой фигуры, знает, в какую точку зеленой
плоскости поля он должен переместиться, чтобы обра*
зовалась нввая фигура. А правило соответствия точек—
это и есть геометрическое преобразование.
Но вот, окончив выступление и построившись в
колонну, спортсмены уходят.«Четкии прямоугольник плывет по
полю. Как теперь описать происходящее
математическим языком? Как выразить самую существенную
геометрическую черту этого прямоугольника — его
неизменность?
Спортсмены держат равнение. Интервалы между
шеренгами, промежутки между спортсменами в каждой
шеренге остаются постоянными. Сохраняется
расстояние между любыми двумя спортсменами, шагают ли они
бок о бок или находятся в разных концах
прямоугольника.
Вспомним, как в самом начале разговора о
геометрических преобразованиях; передвигая и поворачивая
фотографию с трактором, мы отметили, что изображение
трактора не изменяло ни размеров, ни формы,
оставалось равным самому себе. Теперь мы понимаем, в чем
тут дало: параллельные переносы и позе роты плоскости
оставляют неизменными расстояния между ее точками.
Так «точечная»» концепция привела нас к простому и
исчерпывающему определению равенства фигур: две
фигуры равны друг другу, если одну из них можно
перевести в другую некоторым преобразованием,
сохраняющим расстояние между точками.
Такие преобразования называются ортогональными
К ним принадлежит параллельный перенос и поворот,
осевая и центральная симметрия. Никаких других
ортогональных преобразований плоскости не существует
364

Между пунктами А и В прокладывается дорога.
Естественно желание сделать ее покороче. Однако го
прямой, соединяющей А и В, дорогу прокладывать нельзя:
на пути — широкая река. Через реку придется
перекидывать мост — разумеется, перпендикулярно ее
берегам.
Где же построить мост, чтобы дорога получилась
кратчайшей из возможных?
- Мы не зря привели эту задачку вслед за разговором
о геометрических преобразованиях! ибо ее изящное
решение опирается на преобразование переноса.
Решение ясно из чертежа. А
Если вы любитель
геометрических головоломок, раз-
беритесь в нем, и вы пойме-
те, что путь АСС'В короче
любого другого пути ,из / в
Б — скажем, dDD'S.
Сравнение становится особенна
убедительным, если участки
АС и AD заменить равными
им участками А'С и A'D\ ко-
торые получаются из
предыдущих переносом на вектор, равный ширине реки
и перпендикулярно направленный к ней от точки А. Тогда
остается доказать, что прямолинейный отрезок,
соединяющий точки A' vi В, короче ломаной A'D'B, а это уже
очевидно.
Не правда ли, как упростилась задача благодаря
простому преобразованию переноса! А преобразование
симметрии? Оно тоже нередко служит ключом к
решению трудных геометрических задач.
Мы надеемся, что читагель уже готов согласиться с
нами: геометрические преобразования — важный
инструмент математических исследований.
365

Традиционные русские матрешки. Традиционный
вопрос на сообразительность, которым сопровождаются
наборы схожих картинок в развлекательных отделах
популярных журналов.
Какие различия вы видите здесь? Чем отличаются
друг от друга эти матрешки е верхнем ряду?
Выражения лиц — одинаковые. Узоры на платках —
одинаковые. Кроме роста, как-будто бы различий нет.
Ошибаетесь, читатель. Если бы дело было только в
росте, ряд матрешек был бы другим (см. ниже).
Дело здесь не только в росте, но и в ширине. Если не
в меру раздавшихся матрешек из второго ряда сжать с
боков, получится тот привычный их набор, который
приведен в первом ряду.
Теперь давайте разберемся пообстоятельнее, какие
генетические связи существуют между всеми
матрешками. Как, например, совершается переход слева
направо в том и другом ряду? И там и тут сосредоточим
свое внимание на матрешках, различающихся по росту
в два раза (см. стр. 368).
366

Уже привычный нам «точечный» подход к делу
позволит и сейчас внести полную ясность в поставленную
проблему. Возьмем произвольную точку на левом
изображении в нижнем радует опустим ее перпендикулярно
линии пола так, чтобы ее расстояние до этой линии
сократилось ровно в два раза.
То же самое проделаем со всеми другими точками
плоскости. И тогда изображение станет таким, как
показывает прерывистая линия.
Вот так описывается преобразование сжатия в
терминах соответствия точек. Линия пола, к-которой в нашем
примере придвигались точки плоскости, называется
осью сжатия.
И еще один термин: коэффициент сжатия. Это число,
указывающее, в каком отношении находятся новое и
старое расстояния точки до оси сжатия. В нашем
примере коэффициент сжатия равен половине, но мог бы
равняться любому другому ненулевому числу.
Например, трети. Тогда матрешка уменьшила бы свой рост 8
три раза. В качестве коэффициента сжатия можно взять
и число большее единицы. Тогда это будет уже не
сжатие, а растяжение.
Генетические связи между четырьмя матрешками на
нашем рисунке начинают понемногу проясняться. Чтобы
совершить переход слева направо в нижнем ряду, нужно
сначала совершить сжатие к горизонтальной оси, а
затем параллельным переносом поставить сжатую
матрешку на свое место. Чтобы превратить ее в стоящую
над нею в верхнем ряду, нужно сжать ее к вертикальной
оси и совершить еще один параллельный перенос —
снизу вверх.
Ну, а как совершается переход слева направо в
верхнем ряду? Задумавшись над этим вопросом, мы поймем,
как опрометчиво называть матрешек из верхнего ряда
различающимися лишь ростом. У них различаются все
размеры и притом в одно и то же число раз. Чтобы
выразить эту мысль предельно четко (на «точечном*
языке, как догадывается читатель), будем мыслить
правую матрешку в верхнем ряду полученной из левой в
результате некоторого геометрического
преобразования. Определяющее свойство этого преобразования в
том, что расстояние между любыми двумя точками оно
367

изменяет в одно и то же число раз. Такое
преобразование называется подобием, а присущая ему мера
изменения расстояний — коэффициентом подобия.
Гомотетия
с центром О
и коэффициентом к=1/2
ОА"-1/2 ОА
ОВ"=^1/2 ОВ
Подобие
с коэффициентом @=1/2
СГА"=1/2 ОА
СГВ"=1/2 ОВ
А"В"= 1/2 АВ
Сжатие
к оси * *
с коэффициентом к=1/2
АХ=1/2 АС
с коэффициентом к-1/2
А" 0=1/2 AD

Стоит отметить, что, изменяя расстояний, длины
отрезков, подобие сохраняет углы между отрезками и,
стало быть, формы фигур.
Какова же, так сказать, техника преобразования
подобия? В чем состоит закон соответствия точек,
задающий подобие?
Эти вопросы подводят нас еще к одному
геометрическому преобразованию. Называется оно гомотетией,
или сжатием к точке, или центрально-подобным
преобразованием. Первый из этих трех терминов звучит
мудрено, но он вполне разъясняется картинками,
помещенными на предыдущей странице.
Точка, к которой сжимается плоскость, называется
центром гомотетии. (Его роль на картинке играет
середина основания матрешки.) Эта точка остается
неподвижной, совпадает со своим образом. Образ любой
другой точки берется на луче, соединяющем ее с
центром гомотетии, с таким расчетом, чтобы отношение
расстояний от центра до точки-образа и
точки-прообраза равнялось определенному числу, называемому
коэффициентом гомотетии. (В нашем примере он равен
половине.)
Сжатая к точке, наша матрешка превратится в свой
центрально*подобный образ, очерченный прерывистым
контуром. Теперь, передвигая по плоскости и
поворачивая центрально-подобный образ матрешки, мы всегда
будем получать ее подобный образ, например, тот/что
находится справа в верхнем ряду.
Заметим, что центром гомотетии может служить
любая точка плоскости, даже не принадлежащая
преобразуемой фигуре. Например, если бы мм была точка,
отмеченная на нашем рисунке крестиком, мы получили
бы правую матрешку верхнего ряда из левой в один
прием, не прибегая к дальнейшим перемещениям, лишь
совершив гомотетию с тем же коэффициентом.
Вглядимся еще раз в квартет матрешек, служивший
нам иллюстрацией в предыдущем разделе. Матрешка в
правом верхнем углу дважды была итогом лоследова-
369

тельных преобразований, но эти преобразования были
различными.
Сначала их последовательность была такой: сжатие к
горизонтальной оси — параллельный перенос — сжатие
к вертикальной оси — параллельный перенос. Потом
такой: гомотетия — параллельный перенос.
При решении геометрических задач нередко
приходится совершать несколько следующих друг за другом
преобразований. И если их результат можно получить
путем одного преобразования, то оно называется
произведением тех нескольких, которые в совокупности
дают тот же результат.
Введя в оборот новый термин, мы можем сказать, что
превращение левой нижней матрешки в правую
верхнюю есть произведение:
{сжатие к горизонтальной оси) х (параллельный
перенос) х (сжатие к вертикальной оси) х (параллельный
перенос).
А превращение левой верхней матрешки в правую
верхнюю есть произведение такого вида:
(гомотетия) х (параллельный перенос).
А что, если в обоих-произведениях опустить
параллельные переносы? И логика, и чертеж подсказывают
очевидный ответ: произведение двух сжатий ко взаимно
перпендикулярным прямым есть гомотетия. Двух сжатий
с одинаковыми коэффициентами.
Ну, а если два сжатия ко взаимно перпендикулярным
прямым выполнить с разными коэффициентами?
Пример такого произведения можно наблюдать в картинах
Эль Греко. Изображая натуру на холсте, художник,
очевидно, сжимал ее по горизонтали гораздо сильнее, чем
по вертикали, добиваясь тем самым большей
выразительности,
А вот другой пример — из древнерусской живописи.
Известна икона, на которой изображен Кирилл
Белозерский, основатель древнего монастыря, названного его
именем. Икона написана знаменитым Дионисием в те
времена, когда Кирилл уже был причислен к лику святых.
Желая придать его облику возвышенные черты,
живописец прибегает к тому же приему, что Эль Греко.
Особенно явно этот прием обнаруживается при сравнении
370

иконы с прижизненным изображением Кирилла,
написанным в весьма реалистической манере.
Эль Грека и Дионисий, матрешки и минареты...
Рассказ о них познакомил нас с преобразованиями
параллельного переноса и поворота, зеркального отражения
и сжатия.
Все это — представители обширного семейства так
называемых аффинных преобразований.
Принадлежность к этому семейству определяется простым
условием: аффинное преобразование любую прямую
превращает в прямую.
Эту определяющую черту аффинных преобразований
наглядно и убедительно демонстрирует каждый из
четырех представителей замечательного семейства,
упомянутых в начале этого раздела. Про параллельный
перенос, поворот и зеркальное отражение мы уже
знаем, что они сохраняют формы фигур, стало быть, они
сохранят и прямолинейность любой прямой линии. Что
же касается сжатия, то и при нем, как несложно
показать, любая прямая перемещается с сохранением своей
прямолинейности, образуя с осью сжатия подобие нож*
ниц (если пересекает эту ось) или тисков (если
параллельна ей).
Очевидно, что прямая останется прямой и после
нескольких преобразований, если каждое из них не
нарушит ее прямолинейности. Именно это и имеют в виду
математики, когда говорят, что любое произведение
аффинных преобразований есть
аффинное'преобразование. Это означает, например, что прямая сохранит
свой стройный вид при гомотетии — ведь ее можно
выполнить за счет двух сжатий, и при подобии — ведь
оно представимо произведением гомотетии,
параллельного переноса и поворота.
Итак, и гомотетия, и подобие — это аффинные
преобразования. Почему же их не'было среди jex примеров,
которыми начиналась эта глава? Почему мы назвали
тогда лишь параллельный перенос и поворот,
зеркальное отражение и сжатие?
371

Потому, что в мире аффинных преобразований эта
четверка играет основную, фундаментальную роль, по*
рождая собой весь этот мир — подобно тому, как всю
нашу Вселенную античные мудрецы представляли
порождением четырех стихий (земли, воды, воздуха и
огня). А говоря точнее, любое аффинное
преобразование можно представить произведением таких
«сомножителей»*:
параллельный перенос,
поворот,
зеркальное отражение,
два сжатия ко взаимно перпендикулярным осям.
Предвидим недоумение читателя: как может эта
четверка порождать собой все аффинные преобразования,
разнообразие которых неисчислимо? Попытаемся
разъяснить суть дела аналогией.
... Затихли зрители, зазвучала музыка, и очередная
пара конькобежцев-фигуристов начала свою
обязательную программу. Всего лишь шесть канонических фигур
должны исполнить спортсмены: парное вращение,
параллельное вращение, параллельный прыжок, тодес,
поддержка, дорожка шагов. Но как не похожи друг на
друга выступления различных пар! Это вполнеобъясни-
мо: каждая из обязательных фигур допускает широкие
вариации в пластике движений, которая определяется
замыслом'всего выступления, сопровождающей его
музыкой.
л Примерно так же дело обстоит и с аффинными
преобразованиями. Их неисчислимое разнообразие
сводимо к четверке основных, потому что каждое из этих
четырех преобразований допускает широкие вариации
своих черт. По-разному можно выбирать оси сжатия и
отражения, различными могут быть коэффициенты
сжатия, поворот можно совершать вокруг любого центра и
на любой угол, перенос — на любой вектор.
Быть может, только что сказанное не убедило кое-кого
из наших читателей. Быть может, кто-то упорно
подыскивает пример аффинного преобразования, которое не-
372

возможно представить произведением четырех
основных.
Вот, скажем, сдвиг. На- в в^
глядное выражение этого
преобразования — квадрат,
превращающийся в
параллелограмм с тем же
основанием и той же высотой.
Или, если нужны образы по-
материальнее, кусочек сти-
рательной резинки,
сдвинутый легким нажатием
пальца. Какую прямую ни
провести на резинке, она останется прямой, лишь слегка*
изменит свой наклон. А это и означает, что данное
преобразование — аффинное.
Но представимо ли оно произведением четырех
основных?
ДаР представимо. Это становится особенно ясным,
если в квадрат, подвергаемый сдвигу, вписать
окружность. Эксперимент с резинкой подтвердит: при сдвиге
эта окружность превращается в эллипс, причем взаимно
перпендикулярные диаметры эллипса получаются из
взаимна перпендикулярных диаметров окружности.
Отметим эти диаметры на исходном круге, сожмем
его к этим осям до эллипса нужной формы, а затем
параллельным переносом и поворотом совместим этот
эллипс с тем, что получится из окружности при сдвиге.
Вот мы и представили преобразование сдвига
произведением трех из четырех основных аффинных
преобразований.
Как видим, в представлении того или иного
аффинного преобразования отнюдь не должны участвовать все
четыре основных. Кстати, преобразуя друг в друга
матрешек, мы тоже обходились лишь сжатиями и
переносами, без отражений и поворотов. Наконец, «чистое»
отражение или сжатие представляется произведением,
состоящим из одного-единственного «сомножителя».
J73

Эксперименты с резинкой могли бы познакомить нас
еще с одной интересной особенностью аффинных
преобразований
Сеткой параллельных линий рассечем резинку на па*
раллелограммы. Сжимэя резинку так, чтобы прямые на
ной сохраняли свою прямолинейность и только
изменяли бы свой наклон, мы увидим, что любые две
параллельные прямые поворачиваются на один и тот же угол
и( стала быть^ остаются параллельными* Поэтому все
параллелограммы сетки будут оставаться
параллелограммами и после сжатия. Правда, их стороны будут
пересекаться уже под другими углами.
Итак, любой параллелограмм остается
параллелограммом при сжатии. Переправив точку в конце этой
фразы на запятую, мы могли бы продолжить; «а также
при параллельном переносе, повороте и зеркальном
отражении" — ведь все три эти операции не
деформируют фигуры.
- Распространив свое утверждение на .все четыре
основных аффинных преобразования, заключаем; любой
параллелограмм останется параллелограммом при
всяком аффинном преобразовании.
Эту характерную особенность можно расценивать как
надежный опознавательный признак аффинных
преобразований.
У читателя мог возникнуть вопрос: почему в рассказе
об аффинных преобразованиях мы обходим молчанием
центральную симметрию? Она превращает прямые
линии опять-таки в прямые и, стало быть, принадлежит
к аффинному семейству. Почему же мы забываем о ней?
Упрек в забывчивости не обоснован. Центральная
симметрия упомянута в перечне основных аффинных
преобразований. Ведь она представляет собой поворот
на 180 градусов вокруг центра симметрии, убедитесь в
этом.
374

Впрочем, ее можно истолковать как гомотетию, если
в качестве коэффициентов гомотетии признавать также
и отрицательные числа. Нужно только учесть, что при
гомотетии с отрицательным коэффициентом точка-
образ и точка-прообраз берутся по разные стороны от
центра гомотетии, разумеется, на одной с ним прямой,
И когда отношение их расстояний до центра
приравнивается коэффициенту гомотетии, одно из этих
расстояний берется со знаком «минус»». Учтя это, легко понять:
центральная симметрия есть гомотетия с
коэффициентом минус единица.
Даже не прислушиваясь к словам, ро одной лишь
интонации говорящего можно понять, 4to его речь
близится к концу.
Проницательный читатель, вероятно, уже догадался,
что наш рассказ об аффинных преобразованиях
заканчивается. Да так оно и есть по существу: окинув беглым
взглядом все семейство этих преобразований, мы
научились представлять каждое из них произведением
четверки основных. Чего же боле?
Но чудится нам, будто именно эти завершающие
нотки будят в проницательном читателе ощущение
незавершенности.
Все аффинные преобразования, о которых
говорилось до сих пор, совершались на плоскости. В
трехмерном пространстве, вероятно, тоже можно рассматривать
аффинные преобразования, определив их как
превращающие любую прямую опять-таки в прямую. С
практической же точки зрения ознакомиться с ними было бы
намного полезнее — ведь мы живем в трехмерном мире,
а не на плоскости.
Полезнее — с этим нельзя не согласиться. Но все
существенные черты аффинных преобразований
пространства присущи и аффинным преобразованиям
плоркости. Вести же объяснения на плоскости гораздо
проще И если объяснения понятны — выводы легко
перенести на пространственные объекты.
375

Поняв, как плоские фигуры сжимаются к прямой
(помните картинки с матрешками?), легко сообразить, как
пространственные тела сжимаются к плоскости
(представьте матрешек объемными!).
Разобравшись, как двумерные фигуры
поворачиваются вокруг точки (помните фотографии с трактором?),
легко уяснить, как трехмерные тела вращаются вокруг
прямой (вообразите реальный трактор, с которого
сделаны снимки!).
Но нам знакомы пространства и большего числа
измерений. Аффинные преобразования пригодились бы и
там при решении задач, допускающих геометрическую
трактовку. Как перенести туда опыт, накопленный нами
при аффинных преобразованиях двумерной плоскости?
Вспомним: об N-мерном пространстве мы
заговорили, уже владея методом координат. Этот метод поможет
нам и сейчас.
Возьмем любое из преобразований плоскости, уже
освоенных нами. Но теперь дополним плоскость
прямоугольной системой координат.
Что есть преобразование плоскости? Закон, по
которому каждой ее точке, называемой прообразом,
ставится в соответствие точка, называемая образом.
С позиции метода координат каждая точка плоское*
ти — это пара чисел, пара ее координат.
Перефразируй предыдущий абзац в согласии столько
что сказанным, будем говорить, что преобразование
плоскости по определенному закону ставит в
соответствие некоторой паре чисел (абсциссе и ординате точки-
прообраза) опять-таки пару чисел (абсциссу и ординату
точки-об раза.)
Соответствия чисел мы привыкли называть
функциями. Итак, каждая из координат точки-образа есть
функция двух переменных, каковыми являются координаты
точки-прообраза.
Это важный вывод, его следует запомнить. И хорошо
бы ради этого разобрать какой-либо пример.
Ну, скажем, функциями какого вища описываются
аффинные преобразования?
Возьмем для начала самое простое из них —
параллельный перенос. Нес/южный чертеж подсказывает, как,
зная вектор переноса, описать в координатной форме
376

соответствие между точкой-прообразом и
точкой-образом: к абсциссе точки-прообраза следует прибавить
абсциссу вектора переноса, то же самое сделать с
ординатами, и получатся координаты точки-образа.
Возьмем сжатие. Прямую, к которой сжимается
плоскость, примем за ось абсцисс. Тогда ордината любой
точки при сжат и изменится во столько раз, каков
коэффициент сжатия. Иначе говоря, она умножится на этот
коэффициент. Абсцисса же любой точки останется
неизменной. (Это можно истолковать как умножение на
единицу — вскоре мы увидим, что такое толкование не
случайно.)
Теперь рассмотрим сдвиг/Ось абсцисс сориентируем
по направлению сдвига. И тогда мы заметим, что
ордината любой точки остается неизменной при сдвиге
(умножается на единицу).
А вот с абсциссой дело обстоит сложнее.
Чтобы вычислить ее для некоторой точки-образа,
нужно взять абсциссу соответствующей
точки-прообраза и прибавить к ней ординату точки-прообраза,
умноженную на некоторый коэффициент (если быть
точным — на тангенс угла, на который при сдвиге
поворачиваются вертикальные прямые).
Напрашивается вывод: при всяком аффинном
преобразовании плоскости каждая координата любой точки-
образа выражается через координаты соответствующей
точки-прообраза с помощью умножения их на
некоторые Постоянные коэффициенты и последующего
сложения.
Так оно и есть на самом деле.
Набор коэффициентов, на которые умножаются
координаты точки-прообраза, — свой для каждого
преобразования. Этот набор невелик — всего четыре числа. В
самом деле, два числа умножаются на абсциссу и
ординату точки-прообраза при вычислении абсциссы точки-
образа (выпишем в строчку эту пару чисел), два — при
вычислении ординаты точки-образа (эту пару чисел
припишем снизу к выписанным преэеде).
Квадратная табличка из четырех чисел, которая
образовалась у нас, называется матрицей преобразования.
Читатель, понаторевший в математической
терминологии, так перефразирует сказанное на случай любого
377

Vj
0
Одвиг:
¥'=V
/V
/
/
X
Поворот-
У
П^
* 0
1
ь
Перенос

числа измерений: каждая координата любой
точки-образа (первая, вторая и т.д.) выражается линейной
комбинацией координат соответствующей
точки-прообраза, причем коэффициентами этих линейных комбинаций
служат числа из строчек матрицы преобразования (из
первой, второй и т.д.)*
В том случае, когда в ходе аффинного
преобразования совершается еще и параллельный перенос, к
каждой такой линейной комбинации прибавляется
соответственная компонента вектора переноса. Эти
дополнительные слагаемые не представляют большого
интереса — ведь стоящий за ними перенос не деформирует
фигур и даже не наклоняет их. Всеми подобными
деформациями правят числа в строчках матрицы
преобразования.
Вот почему эта компактная числовая табличка служит
одной из важнейших характеристик аффинного
Преобразования.
Аффинное преобразование, представленное этими
рисунками, выполнил немецкий художник Альбрехт
Дюрер в своем трактате «Наставление изменять все
меры», (Наряду с рисунком мастера здесь приведена
его нарочито «уточненная» копия.)
Что же произошло с физиономией (рисунок слева) в
результате преобразования (рисунок справа)? Лоб из
нависающего сделался скошенным, подбородок
выдался вперед, а затылок — назад...
Чем детальнее мы станем описывать результаты
происшедшего, тем яснее будем ощущать, как помогает
такому описанию разметочная сетка. В сущности, все
описание можно свести к показу того, что произошло с
379

сеткой: ведь все детали изображения остались в своих
клетках.
Подобным приемом пользуются не слишком опытные
рисовальщики, когда делают копии иного масштаба,
нежели оригинал. Прибегая к уже освоенной
терминологии, можно сказать, что копиист совершает при этом
преобразование подобия. Рисунок Дюрера позволяет
обобщить этот прием на произвольное аффинное
преобразование.
Итак, вместо рассказа о том, что произошло с
изображением, проще рассказать о том,.что произошло с
сеткой. Но сетка состоит из совершенно одинаковых
параллелограммов, и каждый" из них преобразился
совершенна одинаковым манером; Так что проще всеУо
рассказать только о том, что произошло с одним каким-
то параллелограммом, например, с левым нижним.
Но пойдем еще дальше по пути упрощений. Всякий
параллелограмм образован четырьмя попарно равными
и параллельными сторонами. Поэтому весь рассказ о
преобразовании можно ограничить справкой о том, что
произошло с какими-либо двумя смежными сторонами
краеугольного параллелограмма, — например, какими
стали его нижнее основание и левая боковая сторона.
Вычертим их в преобразованном виде. Достроим этот
уголок до параллелограмма. Пристраивая к нему другие,
вычертим всю преобразованную сетку. Остается
расставить по ее клеточкам детали преображенного рисунка,
благо канву можно сделать сколь угодной густой.
Все получилось легко и просто. А е чем секрет
простоты?
На этот вопрос мы дадим два ответа.
Прежде всего заметим, что уголок, на кодером мы
выстроили всю преобразованную сетку, можно задать
лишь тремя точками — вершиной уголка и концами его
сторон. Существенно, что эти точки не лежат на одной
прямой, иначе уголок не был бы уголком и никакую сетку
на нем мы построить не смогли бы. Перефразируя
говорившееся ранее, можно сказать: все происшедшее
с изображением полностью определяется тем, что
произошло с тремя точками сетки.
Но ведь сетка могла быть какой угодно. Это значит,
что все происшедшее с изображением полностью опре^
380

деляется тем, что произошло с какими-то тремя точками
плоскости, не лежащими на одной прямой. Потому
математики и говорят, что любое аффинное
преобразование плоскости полностью задается попарным соответ-
-.111111111111111 f I i f
///////
*1МТГЫ 11 /
О е, 2 3 4 5 6 7 в 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X
Образ первого Компоненты образа
базисного первого базисного _
вектора V вектора в базисе {% ё2)
Т 1 i + 1/З ё
Базисные векторы
Пример- данное преобразование
тонки М С координатами C.2)
ставит в соответствие тонну М1
с координатами {12А)
Числа первой
Образ второго Компоненты образа
базисного второго базисного _
вектора вектора в базисе [ ij I3 \
Матрица преобразования
A3
Компон еты обра за Компоненты обра за
лерпогп баАиг.нпгп птпрого Базисного
вектора вЪазисе вектсра вбазисе
\
Координаты \
точки-прообраза Ml
/\ \
4=1/3 3+12+1 \
4fric;ia второй
CTDOHIA
преобразования
Компоненты
вектора переноса
а. ■" координаты
точки О1, образа
начала координат
ствием между двумя тройками точек, если каждые три —
и точки-прообразы и точки-образы — неколлинеарны
(то есть не лежат на одной прямой).
Теперь подойдем к делу с другой стороны.
Разметочная сетка, накинутая на исходное, левое
изображение. — это система координат. Левый нижний
уголок сетки — это пара базисных векторов. Информа-
381

ции о том, что произошло с базисными векторами,
вполне хватило для того, чтобы описать результаты
всего преобразования в целом. А эту информацию
можно передать всего четырьмя числами, четырьмя
компонентами преобразованных базисных векторов в
«Сходном базисе — по две компоненты от каждого
вектора.
Компоненты преобразованных базисных векторов
выпишем в столбцы, столбцы составим в таблицу.
Оказывается, у нас получится не что иное, как матрица
преобразования.
Подчеркнем: компоненты преобразованных базисных
векторов указываются все в том же исходном базисе.
Но базис пространства можяо выбрать по-разному. Это
значит, что в разных базисах матрица преобразования
будет иметь не один и тот же вид, будет состоять из
различных чисел/
Теперь становится понятным, как в матричном виде
описать любое аффинное преобразование и в
трехмерном, и в четырехмерном пространстве, и в пространстве
любого числа измерений. Введем в пространстве
некоторый базис и к каждому базисному вектору подойдем
с вопросом: в какой вектор он превращается в
результате преобразования? Координаты преобразованных
базисных векторов в исходном базисе выстроим в
столбцы, из столбцов образуем квадратную таблицу.
Это и будет матрица данного преобразования,
описывающая его действие в данном базисе. Строки матрицы
дадут коэффициенты линейных комбинаций, которыми
при данном преобразовании координаты любой точки-
образа в данном базисе выражаются через координаты
соответствующей точки-прообраза.
Если в ходе аффинного преобразования совершается
параллельный перенос, к каждой из этих линейных
комбинаций нужно будет приписать дополнительное
слагаемое — соответственную компоненту вектора
переноса Как же найти эти слагаемые? Проще всего
посмотреть, какая точка в ходе преобразования ставится в
соответствие началу координат. Очевидно, координаты
этой точки и будут представлять собой компоненты
вектора переноса, искомые слагаемые. Их не потребу-
382

ется (точнее, они будут равны нулю), если при данном
преобразовании начало координат остается на месте.
К сожалению, в матричном виде, простой таблицей
чисел представимо не всякое геометрической
преобразование.
Матрица преобразован и я —это, так сказать, протокол
о происшествии с базисными векторами. Базис же
можно ввести лишь в линейном пространстве.
Судя по рисунку Дюрера, в происшествии с
базисными векторами лишь тогда полностью отразится
произошедшее со всей плоскостью, если преобразование
превращает параллелограммы в параллелограммы, прямые
в прямые. Это свойственно лишь аффинным
преобразованиям.
Итак, матричное представление возможна лишь для
аффинных преобразований линейных пространств.

ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Чем кончится это столкновение? Миром? Жестокой
схваткой? Или чьим-то позорным бегством?
«Позвольте, о каком столкновении вы говорите?—мог
бы сказать математик, поглядев на эту картинку.— Ведь
здесь два раза изображена одна и та же рыба. Одна
рыба равна другой с точностью до преобразования».
Заметившему это не откажешь в прайоте. Стоило бы
только сделать ее более явной, разъяснив
замысловатое выражение «с точностью до преобразования»».
Как в цирке при исполнении рискованного номера над
манежем натягивают предохранительную сетку, так и мы
ради надежности выводов прибегнем к сетке —
разметочной. Нанесем ее на изображения наших рыб.
Теперь начнем преобразовывать правую рыбу (см.
рис.).
Сжатие по вертикали и
горизонтали. Поворот.
Параллельный перенос.
Отражение.
Действительно, две рыбы
совместились в одну.
Итог проделанных
действий и выражается словами:
изображения равны с
точностью до преобразования.
«До аффинно'го
преобразования*, — вставил бы
уточняющих реплику
математик. Определяющий
признак аффинных преобразований (прямые переходят в
прямые) наглядно проявился в той стройности, которую
сохранил узор рыбьих чешуек. Оно и понятно — все»
чему подвергалось изображение рыбы, представляло
собой аффинные преобразования.
Потому и параллелограмм, нкоторый было заключено
изображение правой рыбы, превратился опять-таки в
364

параллелограмм, правда,
весьма специального вида —
в прямоугольник. В этой
прямоугольное™, конечно, нет
ничего фатального — мы
нарочно вели преобразование
так, чтобы параллелограмм
принял ту же форму, что и
рамка левого изображения.
Будь эта рамка другой, мы
выбрали бы другие оси и
коэффициенты сжатия, другой
угол поворота и вектор
переноса, но в конце концов
обязательно привели бы
исходный параллелограмм к
нужной конфигурации. В уже
знакомых нам терминах эта
уверенность выражается так:
все параллелограммы равны
с точностью до аффинного
преобразования.
Эту уверенность нетрудно
обосновать. Ведь каждый из
двух параллелограммов,
которые мы хотели бы
«приравнять» друг другу
аффинным преобразованием,
можно задать тремя
вершинами. Две эти тройки точек
своим попарным
соответствием и определит нужное
нам аффинное
преобразование.
Если забыть о
параллелограммах и представить обе
эти тройки точек вершинами
треугольников, наш вывод
примет такой вид: с
точностью до аффинного
преобразования равны все
треугольники.
Сжатие
4-
**-
-
в 2 раза
Поворот
У
с
Z
l!
>
*
. Параллельный перенос.
Отражение
Изображения совместились —
13-480
385

С точностью до аффинного преобразования равны
все окружности и эллипсы, поскольку вторые можно
получить из первых сжатием. И подобно тому, как
прямоугольник есть разновидность параллелограмма, так
окружность есть разновидность эллипса — эллипс с
равными осями
Равны с точностью до преобразования
Это магическое словосочетание — девиз одного из
важнейших математических методов
Восхищения и уважения заслуживает тот
исследователь» который создает новые методы для решения новых
задач Но не меньшего заслуживает тот, кто в хаосе
неизведанного сумел разглядеть черты изученного.
Увидел, что новую задачу можно свести к старой, уже
решенной. Заметил, что к новЪй задаче применимы
старые испытанные методы. Сумел найти такое
преобразование, после которого сложная задача становится
элементарной.
«Интеллект есть способность находить разницу в
, сходном и сходство в различном», — говорил
французский философ Шарль Монтескье,
Суметь увидеть сходство в различном, обнаружить,
что два предмета равны с точностью до некоторого
преобразования, найти это преобразование — великое
умение исследователя
Если вы попытаетесь нарисовать профиль птичьего
крыла, то у вас, вероятно, получится нечто этакое:
Когда воздух обтекает крыло
парящей птицы, то по верхней по*
верхности крыла он совершает
более длинный путь, чем по
нижней, а стало быть, поверху
движется быстрее, чем понизу.
Известный закон гидроаэромехани-
386

ки гласит: чем выше скорость потока, тем ниже давление
в нем. Вот почему давление обтекающего воздуха на
нижнюю поверхность крыла превышает давление на
верхнюю. Так создается подъемная сила» которая
поддерживает парящую птицу.
U
Линии тона
Преобразован ие
Жуковского
а
1—
х+у

Закономерности этого явления скрыты в картине
обтекания, в рисунке так называемых линий тока, по
которым движутся частицы воздуха, обтекающего крыло. Как
вычертить этот рисунок? Конечно, для этого можно
составить необходимые уравнения и приступить к их
решению. Однако нужные результаты можно получить и
по-другому, идя в обход многих трудностей
геометрическим путем, сначала преобразовав картину реального
явления.
На профиль птичьего крыла ложится координатная
сетка. Каждая точка плоскости теперь представляется
парой, чисел. От этой пары переменных берутся две
функции. Их значения полагаются парой координат той
же плоскости Так каждой точке ставится в соответствие
новая, совершается некоторое преобразование
плоскости. В результате точки, из которых состоял профиль
птичьего крыла, образуют. другую фигуру. Какую же
именно?
Смотрите: причудливый профиль птичьего крыла
превратился в круг, в профиль цилиндра, простого
геометрического тела!
Две эти картинки весьма не похожи друг на друга. Но
есть у них нечто общее. Оказывается, образы точек, из
которых состоит любая линия тока на первой картинке,
образуют на второй опять-таки некоторую линию тока.
Это вытекает из математических свойств тех функций,
с помощью которых проводится описанное
преобразование. Математики говорят, что оно сохраняет линии
тока.
Сказанное нам хотелось бы немедля отметить точным
математическим термином. Свойство геометрических
объектов, которое сохраняется после того или много
преобразования, называется инвариантом этого
преобразования. Свойство «быть линией тока» — инвариант
рассмотренного нами преобразования «крыло —
цилиндр».
По рисунку линий тока, огибающих цилиндр, теперь
можно построить картину обтекания крыла. По данным
несложно решаемой задачи об обтекании цилиндра
можно определить и подъемную силу крыла.
Что же это за преобразование, которое позволило так
удачно заменить исследование птичьего крыла задачей
368

об обтекании^ цилиндра? Его называют
преобразованием Жуковского. В свое время эта замечательная находка
русского ученого сыграла важную роль в
математическом обосновании созданного им учения о. подъемной
силе.
«Зимой и летом — одним цветом«, — говорят про елку
Используя эффектное словечко «инвариант», с которым
мы только что познакомились, мы могли бы сказать, что
зеленый цвет елки инвариантен относительно смены
времен года.
Однако наша цель не е том, чтобы уснащать свою речь
новыми эффектными выражениями, а в том, чтобы на
конкретных примерах выяснять точный смысл понятий,
появляющихся в нашем рассказе. Жаждущий точности
читатель ждет от нас новых иллюстраций, которые
разъясняли бы понятие инвариантности.
Мы готовы предложить читателю такие иллюстрации,
только не на следующих, а на предыдущих страницах
нашей книги. Загляните туда, и вы увидите, что мы уже
хорошо знакомы с понятием инвариантности, хотя по
имени узнали его совсем недавно.
Помните про переносы и повороты трактора? Про
выворачивание колодца наизнанку? Назвав подобные
действия ортогональными преобразованиями, мы
подчеркнули, что они сохраняют расстояние между точками.
Итак, расстояние между любыми двумя точками —
инвариант ортогональных преобразований. Когда мы искали,
где соединить мостом берега реки, разделяющей
пункты А и В, нам помогло то, что длина любого отрезка
прямой инвариантна относительно параллельных
переносов. -
Определяя аффинные преобразования самого
общего вида, мы говорили, что они переводят прямые линии
в прямые. Итак, свойство линии быть прямой
—инвариант аффинных преобразований.
Взявшись за это основное звено, усилием строгих
доказательств можно вытянуть'целую цепочку других
инвариантов. Любое аффинное преобразование пре-
369

вращает параллельные прямые в параллельные, а
пересекающиеся — в пересекающиеся, причем точка
пересечения преобразованных прямых есть образ точки
пересечения прямых исходных. Любое аффинное
преобразование переводит отрезок прямой опять-таки в
отрезок, и если какая-то точка делит исходный отрезок
в некотором отношении, то ее образ будет делить в том
же самом отношении преобразованный отрезок.
Наконец, любое аффинное преобразование сохраняет
отношение^ между площадями преобразуемых фигур»
Скажем, если до преобразования одна из них вдвое
превышала другую по площади, то так оно останется и после
преобразования.
Располагая столь небольшим запасом инвариантов!
можно решить немало трудных задач, доказать немало
важных теорем.
Любителям доказательств мы предложили бы строго
обосновать вывод, полученный нами когда-то
экспериментальным путем в опытах со стирательной
резинкой, — что любой параллелограмм остается
параллелограммом при всяком аффинном преобразовании.
А вот проблема для любителей геометрических
построений: в данный параллелограмм вписать эллипс
наибольшей площади. Задача перестает быть задачей
и становится пустяком, если надлежащим аффиннцм
преобразованием превратить данный параллелограмм
в квадрат. (Это возможно — ведь любые два
параллелограмма равны с точностью до аффинного
преобразования, а квадрат — разновидность параллелограмма.)
Среди всех эллипсов, которые можно вписать в квадрат,
наибольшую площадь очерчивает, очевидно, окруж-
390

ность — эллипс с равными осями. У этой окружности
есть замечательная особенность: сторон квадрата она
касается 8 их серединах.
Квадрат со вписанной в него окружностью превратим
теперь соответствующим аффинным преобразованием
в данный параллелограмм. Что станет при этом с окруж-'
ностью? Она превратится в эллипс, и этот эллипс будет
наибольшим по площади среди всех, которые можно
вписать в данный параллелограмм, — ведь отношения
площадей сохраняются при аффинных
преобразованиях. Точки, в которых он касается сторон
параллелограмма, будут серединами сторон — ведь отношение, в
котором тонка делит отрезок, тоже сохраняется при
аффинных преобразованиях Вот вам и решение
поставленной задачи: если требуется вписать в
параллелограмм эллипс наибольшей площади, впишите его так,
чтобы он коснулся каждой стороны параллелограмма
точно в ее середине.
Напоследок — короткое примечание.
Бывает, что образ некоторой фигуры, возникший в
результате преобразования, совпадает со своим
прообразом. Такую фигуру называют инвариантной
относительно данного преобразования или говорят, что она
переходит в себя. Например! при осевой симметрии в
себя переходит ось симметрии и все прямые, ей
перпендикулярные. (Правда, у оси симметрии в себя
переходит каждая точка, и оттого эту прямую называют
точечно-инвариантной относительно осевой
симметрии, а про прямые, перпендикулярные оси, такого не
скажешь — их называют инвариантными в целом.) Про
фигуры, переходящие в себя при некотором
преобразовании, говорят также, что они неподвижны относительно
этого преобразования.
Возникновение науки геометрии древние греки
связывали с именем полулегендарного мудреца Фалеса
Милетского. Он первый стал доказывать
геометрические выводы строгим логическим путем
391

Приемы его доказательств не отличались
сложностью. Например, равенство фигур Фал ее устанавливал
наложением.
Что же это за операция — наложение? Какой
математический смысл у этого действия, к которому из-за его
наглядности до сих пор прибегают на уроках геометрии?
Постарайтесь воскресить в свой памяти
воспоминания школьной поры, и вы согласитесь с нами: когда одну
фигуру мысленно накладывают на другую, то
представляют, что она перемещается как одно жесткое целое.
Жесткость, интуитивно приписываемая перемещаемой
фигуре, имеет четкое математическое истолкование:
это значит, что расстояние между любыми двумя точка*
ми фигуры остается неизменным в ходе перемещения.
Такая неизменность расстояний — определяющее
свойство ортогонального преобразования. Итак,
наложение — это ортогональное преобразование. Точнее,
целая совокупность ортогональных преобразований:
взаимное расположение фигур, одна из которых
накладывается на другую, может быть различным; сколько
вариантов расположения, столько и ортогональных
преобразований, переводящих одну фигуру в другую, ей
равную.
Раз уж мы зашли в своих воспоминаниях в школьный
класс, задержимся здесь еще на некоторое время и
прислушаемся к тому, что говори? учитель.
Он собирается доказывать теорему: «Каждая медиана
равностороннего треугольника совпадает с высотой ,
опущенной на ту же сторону». Учитель рисует на доске -
чертеж и просит учеников поточнее перерисовать его в
свои тетради.
Поточнее? Значит ли это, что треугольники в тетрадях
учеников должны быть равны нарисованному на доске в
том смысле, что их можно совместить наложением? Но
ведь это невозможно, тетрадь — не доска!
Впрочем, судя по тому спокойствию» с которым
ученики выполняют просьбу учителя, никто из них не
находит ее невозможной. Значит, они как-то по-иному
понимают слово «поточнее»», руководствуются каким-то
особым критерием равенства.
Если мы заглянем в чью-нибудь тетрадь, мы увидим
там уменьшенную копию чертежа на доске. Выражаясь
392

математически, рисунок учителя и рисунок в тетради
подобны друг другу-
- Подобие — вот тот критерий равенства, которым
руководствуются ученики. И это понятно. Ведь какие
геометрические свойства фигурируют в доказываемой
теореме и должны быть переданы при перерисовке с
доски? Только те, что определяют форму фигур:
отношения длин отрезков (равенство сторон треугольника и
тех частей, на которые они делятся медианами) и
величины углов (высоты пересекаются со сторонами под
прямым углом).
Но отношения длин отрезков и величины углов — это
инварианты преобразований подобия. Абсолютные
величины отрезков не принадлежат к этим инвариантам —
но ведь о них и речи нет в теореме! Поэтому
треугольники учеников и учителя не должны совпадать при
наложении» и гем не менее они равны — с точностью до
преобразования подобия.
Атеперьлройдем по рядам и заглянем во все тетради.
Мы увидим треугольники одной и той же формы, но
весьма различных размеров. Ученики, не сговариваясь,
совершили целую совокупности преобразований
подобия. И все нарисованные треугольники — на доске, в
тетрадях — одинаковы, если иметь в виду равенство с
точностью до преобразования подобия.
Между тем учитель взялся за доказательство новой
теоремы: «Все медианы треугольника пересекаются в
одной точке, которая делит их в отношении 1:2». И снова
ученики перерисовывают с доски поясняющий чертеж
учителя.
Если теперь мы соберем тетради, нас поразит еще
большая свобода в копировании чертежа с доски,
совсем не стесненная верностью форме треугольника,
каким его изобразил учитель. Поразит, но не удивит.
Ведь какие геометрические свойства фигурируют на
сей раз в условии задачи? Только соотношения частей
отрезков (медианы определяются тем, что делят сторо*
ны треугольника пополам, то есть в отношении 1:1, а
доказать нужно, что сами они, пересекаясь, делятся в
отношении 1:2).
Соотношение частей отрезка сохраняется при любом
аффинном преобразовании, это инвариант всей сово-
393

купности аффинных преобразований. А поскольку
любые два треугольника можно «приравнять» друг другу
надлежащим аффинным преобразованием, то каждый
ученик волен рисовать в своей тетради какой угодно
треугольник, лишь бы его медианы были медианами, то
есть упирались в середины сторон треугольника»
Но если для доказательства теоремы пригоден любой
треугольник, то и вывод ее справедлив дли любого
треугольника: медианы всегда пересекаются в одной
точке и всегда делятся при этом в отношении 1.2.
Действительно, это так, какой треугольник ни возьми.
Но всякой ли совокупности преобразований можно
доверить установление равенства между фигурами?
Вопрос не из простых, и к отеету мы пойдем путем
извилистым. Прослушайте для начала три небольших
отступления
Человек преобразует природу. Он орошает
засушливые земли и сажает сады в пустынях, осушает болота и
создает моря.
Но вырубленные леса? Обмелевшие реки?
Загрязненная атмосфера? Это тоже вольный или невольный ре*
зультат преобразовательной деятельности человека*
Защита окружающей среды — вот одна из острейших
проблем века. Ее решение требует громадных средств
и титанических усилий. Если угодно, сохранение
ценнейших уголков природы — это тоже некоторое
преобразование, сущность которого — оставить все как было.
Тождественное преобразование — так назвал бы его
математик.
Команда «смирно»», на взгляд армейского старшины,
ничем не хуже команды «кругом» или «шагом марш»,
хотя и не понуждает ни к каким перемещениям. «Покой
есть частный случай движения», — говорят физики.
Умножение на единицу — это тоже умножение, считают
394

математики, хотя умножаемое на единицу число и
остается после этого собою, ничуть не умножившимся.
Этими рассуждениями мы хотим подвести читателя к
выводу: говоря о геометрических преобразованиях,
нельзя не упомянуть о самом простом из них,
тождественном, которое оставляет неподвижной любую фигуру,
сохраняет неизменной всякое ее свойство.
Нетрудно понять, какой ценой это достигается»
Тождественное преобразование как бы говорит «замри!»
каждой точке и ставит ей в соответствие ее же.
Прутом! Шагом марш! Смирней
поворот
параллельный перенос
Тождественное
Преобразование
Тождественное преобразование называют также
единичным. Это говорится по явной аналогии с
арифметикой. Если в произведении чисел участвует
сомножителем единица, ее можно опустить без боязни, что
произведение окажется иным. Если в цепи последовательных
преобразований встречается тождественное, его можно
и не выполнять—без опаски, что окончательный
результат получится другим.
Именно эти забавные фигурки привели в ужас
героиню рассказа Конан Дойля «Пляшущие человечки».
Похожие на невинную детскую шалость, они содержали
угрозу: «Илей, готовься к смерти»»-
X** X X X X X X JM * X* * Л % X X

Разумеется, Илей осталась жива. Знаменитый
Шерлок Холмс расшифровал надпись и, как всегда»
обезвредил злоумышленника.
Конан Дойль увлекательно рассказывает, как Холмс и
в этом деле блеснул находчивостью. Он разгадал код
всего лишь по нескольким фразам!
Но математик вправе упрекнуть писателя в том, что в
рассказе не подчеркнута самая важная особенность
шифра, которая позволила Холмсу разгадать тайну.
В самом деле, почему в группе и? четырех человечков,
с которой начиналось несколько записок преступника,
Холмс опознал имя «Илей», состоящее также из четырех
букв? Знаменитый сыщик определенно был уверен в
том, что ни один пляшущий человечек не нарисован
просто так, что за каждым значком шифра стоит буква
и притом единственная, то есть, что каждый образ в
этом изображении имеет прообраз и притом только
один (последнее можно выразить еще так: что разным
прообразам соответствуют разные образы).
Такие отображения называются
взаимно-однозначными. Только для такого отображения имеет смысл
искать обратное.
В самом деле, что было бы, если бы преступник
шифровал каждую букву одним и тем же значком? Его
надписи превратились бы в бессодержательный
орнамент. Столь экономный шифр расшифровке не
поддается. Если отображение не является
взаимно-однозначным f обратного'для него не существует. Если же оно
взаимно-однозначное, то обратить его можно и притом
единственным путем, не допускающим кривотолков.
Больного готовят к операции. Предстоит удалить
осколок, застрявший где-то в груди. Но где именно? Перед
врачом — рентгеновский снимок. Белое пятнышко на
нем — осколок. Но по снимку его местонахождение
установить невозможно — и вот почему.
Снимок — это образ. Грудная клетка с осколком в
ней — прообраз. Отображение — съемка в
рентгеновских лучах. Она дает проекцию объемного объекта на
плоскость снимка, И при этом все точки, лежащие вдоль
рентгеновского луча, проецируются на снимок в одну.
Одной точке-образу соответствует не одна
точка-прообраз, а бесчисленное множество точек, которые нанизал
396

на себя проецирующий луч. Взаимной однозначности
точек нет. Обратное отображение не выполнимо
Хирургу необходим еще один снимок, сделанный в ином
ракурсе.
Но довольно вводных слов. Читатель и так уж,
вероятно, упрекает нас в том, что мы отступаем от своей
привычки — объяснять новое, опираясь на уже
известное. Зачем этот мудреный пример с шифрами, когда
наша тема — геометрические преобразования?
Неужели те из них, что мы уже знаем, не имеют обратных?
Имеют — и притом все без исключения. Но именно
отсутствие исключений мешает понять правило, и
потому мы обратились сначала к криминалистике и
медицине, чтобы пояснить столь важный для поиска обратных
преобразований принцип взаимной однозначности.
Все известные нам аффинные преобразования
обладают ею — и параллельный перенос, и поворот, и
зеркальное отражение, и центральная симметрия, и сжатие
и гомотетия, и подобие. Раскройте соответствующие
страницы нашей книги, перечитайте их, и вы убедитесь
в этом. Так что для каждого из них обратное
преобразование существует.
Скажем, вы произвели параллельный перенос на
заданный вектор. Совершите теперь перенос на противо-?
положный вектор, и все точки плоскости займут
первоначальные места.
Или вы проделали поворот вокруг некоторого центра
на некоторый угол. Теперь поверните плоскость вокруг
того же центра на тот же по величине, но на
противоположный по направлению угол — и все вернется в
исходное положение.
Интересны с этой точки зрения обе- известные нам
разновидности симметрии — зеркальная и центральная
Каждое из двух этих преобразований является
обратным по отношению к самому себе. Именно поэтому
человек, желающий узнать, каким ei о -видят другие,
смотрится в два зеркала, составленные углом: облик,
отраженный дважды, обретает прежний вид.
Заключительные слова трех последних абзацев — о
первоначальных местах, об исходном положении, о
прежнем виде — подсказывают нам довольно очевидное
суждение: произведение любого преобразования на об*
397

ратное к нему (если оно существует) есть
тождественное преобразование (причем сомножители такого
произведения можно брать в любом порядке).
Проницательный читатель, вероятно, догадался об
этом и раньше, когда мы знакомили его с понятием
тождественного преобразования. Мы говорили тогда,
что сохранение природы требует больших усилий. Эти
усилия направлены на компенсацию вреда, который
наносится природе. Произведение вредного
воздействия на обратное, компенсирующее и дает в итоге
тождественное преобразование.
... Дрожащей рукой вы нащупали кнопку выключателя,
и свет погас. Бы взволнованы. Еще бы — ведь это
впервые в жизни. В первый раз вы выносите на суд
аудитории — пусть маленькой, доброжелательной,
семейной — свои слайды, свои первые опыты в этом
непростом жанре фотоискусства.
Но что за смешки среди зрителей? Люди на экране
стоят вниз головой. Сконфуженный, вы выдергиваете
слайд и суете его в проектор другим боком. Опять не
то — буквы надписей идут справа налево,..
Знакомая каргина, не правда ли? Чтобы избежать
подобного конфуза, нужно знать немногое. Луч
проектора в соответствии с законами оптики меняет в
изображении верх и низ, левое и правое. И потому, взяв
слайд так, как вы хотели бы видеть его на экране, вы
должны, прежде чем вставлять его в проектор,
повернуть его на 180 градусов вокруг горизонтальной оси, а
потом — на те же 180 градусов вокруг вертикальной.
Иными словами, вы должны подвергнуть слайд
преобразованиям, обратным по отношению к тем, которые
совершает луч..
Эти два вращения можно заменить одним: достаточно
<можете проверить!) повернуть слайд на 180 градусов
вокруг оси, перпендикулярной его плоскости, и он
окажется в нужном для просмотра положении.
Итак, поворот^ слайда на 180 градусов вокруг оси,
перпендикулярной его плоскости, есть произведение
396

двух поворотов на тот же угол вокруг горизонтальной и
вертикальной его осей.
К этим трем поворотам присоединим тождественное
преобразование. И тогда обнаружится замечательный
факт: какие бы два из четырех этих преобразований мы
ни «перемножили», произведением будет одно из
преобразований той же четверки.

И еще одна замечательная деталь: «сомножители»
любого такого произведения можно переставлять — оно
от этого не изменится.
Вам это кажется естественным и не заслуживающим
того, чтобы над этим задуматься? Что ж, причину такого
безразличия понять нетрудно. Говоря о произведениях
преобразований, мы не можем отрешиться от
ассоциаций с перемножением чисел. А для них всегда
справедлив закон, называемый переместительным или
коммутативным: от перемены мест сомножителей произведе-
ние не меняется. И еще: произведение любых двух
чисел всегда представляет собой некоторое число.
Арифметика не знает равенств типа «дважды два -
стеариновая свечка».
В мире преобразований эти строгие законы, к
сожалению, не имеют абсолютного могущества и иногда
нарушаются.
400

Чтобы убедиться в этом, приступим к новой серии
поворотов — теперь уже не на 180 градусов, а на 90, как
показано на рисунках.
Поставив слайд в исходное положение, повернем его
на 90 градусов сначала вокруг вертикальной, а затем —
вокруг горизонтальной оси. Слайд встал ребром.
Повторим повороты в другой последовательности —
сначала вокруг горизонтальной, потом вокруг
вертикальной оси* Слайд лег плашмя.
Произведение преобразований оказалось зависящим
от порядка сомножителей!
И обратите внимание: ни то, ни другое окончательное
положение слайда не достичь из исходного ни одним из
трех описанных поворотов.
Произведение двух преобразований из нашей
совокупности не представимо ни одним преобразованием из
той же совокупности!
Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный
тремя разделами выше: какой должна быть
совокупность преобразований, чтобы с их помощью можно было
устанавливать равенство фигур, понимая его в
обобщенном смысле — с точностью до преобразования?
Очевидно, это своеобразное равенство в главных
своих чертах должно походить на равенство в
привычном смысле слова. А оно связано в нашем сознании с
тремя незыблемыми аксиомами.
Во-первых, каждая фигура всегда равна самой себе.
Это можно выразить простым и неоспоримым образом:
Л=Л
Во-вторых, если одна фигура равна другой, то и
вторая не отличается от первой. Иными словами, если
А = В, то и В -А.
В-третьих, если одна фигура равна другой, а та —
третьей, то первая равна третьей (если А = В и В = С,
тоД = С).
Каждую из трех аксиом легко перефразировать для
равенств с точностью до преобразования.
401

Если какая-то фигура равна самой себе с точностью
до некоторого преобразования, то ясно, о каком
преобразовании идет здесь речь — о тождественном. Вывод:
тождественное преобразование должно принадлежать
той совокупности преобразований, с помощью которой
мы надеемся ввести равенство нового типа.
Если некоторым преобразованием мы приравняли
одну фигуру другой, то приравнять вторую первой
можно лишь обратным преобразованием. Вывод: для
каждого преобразования из нашей совокупности в ней
должно быть и обратное.
Если, употребив равенство с точностью до
преобразования, мы превратили одну фигуру в другую, а ее в
третью, то дважды преобразованная фигура должна
получаться из исходной и в один прием. Вывод:
произведение любых двух преобразований из Via шей
совокупности должно принадлежать той же совокупности.
Итак, три условия. Если всем трем удовлетворяет
некоторая совокупность преобразований, то ее
называют группой преобразований или говорят, что она
обладает групповыми свойствами.
Преобразования, образующие группу, как бы
отмечены «знаком качества»; их с уверенностью можно
применять при доказательстве теорем и решении задач, —
проводимым рассуждениям будет свойственна
логическая стройность и теоретическая законность.
Когда мы говорили, что большинство теорем
школьной геометрии можно доказывать на чертеже любого
масштаба, мы ссылались на то, что в этих теоремах
говорится лишь о соотношениях длин и углах, то есть о
величинах, инвариантных относительно
преобразований подобия. Теперь мы видим, что этой ссылки мало.
Для полной уверенности нужно еще знать, что
преобразования подобия образуют группу.
Это, к счастью, действительно так. В этом нетрудно
убедиться, перебрав три условия, которым должна
удовлетворять всякая группа преобразований.
Нам будет удобно перебирать их в обратном порядке.
402

Если из всех подобий выбрать какие-то два, то
произведение двух этих преобразований, очевидно, будет
опять-таки подобием, и его коэффициент будет равен
произведению коэффициентов тех двух подобий. {Итак,
третье условие выполняется.)
Взяв любое подобие, можно подобрать затем такое,
чтобы их коэффициенты в произведении дали единицу.
Примененные последовательно к любой фигуре, два
таких подобия в итоге вернут ее в исходное состояние.
Значит, два таких подобия — взаимно обратные. Стало
быть, для любого подобия можно подобрать обратное
ему. (Итак, выполняется и второе условие),
Наконец, среди преобразований подобия есть
тождественное — его коэффициент равен единице. (Итак,
первое условие удовлетворяется тоже.)
Столь же быстро и легко проверку групповых свойств
проходят и все аффинные преобразования в целом, и
простейшие из них, ортогональные...
Эта легкость вызывает подозрение: а можно ли
придумать такую совокупность преобразований, которая не
была бы группой?
Да, можно. Взгляните на свою обуеь, сравните правый
и левый ботинки и подумайте о преобразованиях
зеркального отражения. Посмотрим: как у них с групповыми
свойствами? Например, с третьим? Всегда ли два пос*
ледовательных зеркальных отражения можно заменить
одним?
Зеркальное отражение превращает левый боГинок в
правый, а тот — снова в левый.
Итак, левый ботинок получается из левого же за два
зеркальных отражения. Но можно ли превратить левый
ботинок снова в левый одним-единственным
отражением? Нет, никогда. Итак, о третьем групповом свойстве
не может быть и речи.
Поистине, мы договорились до абсурда; ботинок не
равен самому себе! Это, как легко заметить,
равносильно заключению: среди зеркальных отражений нет
тождественного преобразования. Стало быть, нечего
говорить и о первом групповом свойстве.
Окончательно: совокупность зеркальных отражений
не является группой.
403

Восток славится легендами... Рассказывают, что в
давние-давние времена жили в некем городе два
знаменитых резчика по ганчу (так на Востоке называют еще
не застывший алебастр). И было их умение столь
велико, а их орнаменты столь восхитительны, что люди никак
не могли решить, кто же
из них искуснее.
И вот задумали
устроить им состязание.
Комнату только что
выстроенного дома, которую
предстояло отделать
резьбой, перегородили
пополам занавесом, и
мастера начали работать
каждый в своей
половине.
Когда же работа была
закончена и занавес
убрали, изумлению
зрителей не было предела:
узоры в обеих половинах
комнаты совпадали до
мельчайшего завитка!
Лишь приглядевшись,
люди обнаружили, что
один мастер
добросовестно выполнил свое
дело, а второй решил
взять смекалкой: он до
зеркального блеска
отшлифовал стены своей
половины, так что они
отразили узор на стенах
другой.
Легенда гласит, что
победу присудили второму
мастеру. И мы» как
математики, без сомнений
404

присоединились бы к такому решению. Ведь превратив
стены а зеркало, он проявил не только мастерство (о
котором все знали и раньше), но и глубокое понимание
самой сути орнамента, которая заключается именно е
повторяемости элементов узора.
Такая повторяемость хорошо заметная на орнаментах
простейшего вида — бордюрах. Взгляните на рисунки,
где представлено несколько типов
бордюров.-Повторяющийся элемент везде обведен прямоугольной рамкой.
Его называют раппортом.
Выделив раппорт какого-либо бордюра, мы сможем
неограниченно продолжать узорчатую ленту.
Простейший способ таков: изготовить трафарет с рисунком
раппорта и переносить его шаг за шагом вдоль прямой,
го которой вытянулся бордюр.
Но почему только переносить? Внимательно
вглядевшись в приведенные рисунки, мы обнаружим, что на
некоторых из них трафарет перед переносом
поворачивается вокруг горизонтальной оси; на некоторых других
ничего не изменилось бы, если бы перед переносом мы
стали бы поворачивать его вокруг центра, то есть
подвергать его таким преобразованиям, при которых
прямоугольная рамка раппорта совмещалась бы с собою.
Таких преобразований немного, всего четыре — три
перечисленных да еще тождественное, когда трафарет
переносится без всяких поворотов. Однако их,
по-видимому, можно сочетать в различных последовательностях
да к тому же включать в такие сочетания обратные
повороты... Подвергая трафарет перед каждым
переносом той или иной комбинации преобразований, мы
могли бы, кажется, получить бесконечное разнообразие
узорчатых лент.
Но это только кажется. Легко убедиться, что любые
два из четырех преобразований, которым мы
собираемся подвергать трафарет, в произведении дают одно из
четверки. Два последовательных поворота вокруг одной
какой-либо оси раппорта, вертикальной или
горизонтальной, возвращают его в исходное положение, то
есть, равносильны тождественному преобразованию.
Два поворота вокруг обеих этих осей равносильны
повороту вокруг центра на 180 градусов,., (закончить
проверку читатель может и без нашей помощи). Итак, к
405

каждому переносу мы можем подготовить трафарет
лишь четырьмя различными способами.
В рассуждении, приведшем нас к такому выводу,
читатель, вероятно, отметил слова «обратно»,
«тождественное», «произведение». Они напоминают о групповых
свойствах. Все эти свойства, как легко проверить, есть
у совокупности преобразований, которыми мы
собираемся готовить трафарет к переносу. Иными словами, эти
преобразования образуют группу. Именно это, как
понимает вдумчивый читатель, и позволило исчислить все
приемы рисования бордюров.
Попробуем теперь исчислить все варианты
раппортов. Судя по приведенному иллюстративному
материалу, среди них возможны вовсе не симметричные;
бывают симметричные относительно вертикальной или
горизонтальной осей или относительно центра; наконец,
встречаются такие, которые обладают всеми тремя
перечисленными видами симметрии. Итого пять
вариантов.
Кстати, сказанное позволяет дать строгое
математическое определение понятию симметрии:
симметричной кажется нам фигура, которая переводится в себя
одним или несколькими преобразованиями. Чем больше
таких преобразований найдется, тем более симметрии*
ной выглядит фигура..Весьма симметрична, например,
буква Ж; ее можно совместить с собою отражением
/
V
/
/
V
А
Несимметричен Симметричен
относительно
вертикальной
оси
Симметричен
относительно
горизонтальной
оси
Центрально-
симметричен
Обладает
всеми трем^
ранее
названными
видами симметрии
относительно вертикальной или горизонтальной оси или
поворотом вокруг центра на 1 ВО градусов. Менее
симметричны буквы А, С, И — каждую можно превратить в
себя лишь одним из трех только что названных преоб-
«6

разований. Совсем не симметрична буква Ы: ее
оставляет собою лишь тождественное преобразование.
Итак, пять раппортов и четыре способа их
перенесения. Все 20 возможностей нарисовать бордюр
схематически представлены таблицей (см. первую колонку
рисунков на этой странице). Впрочем, эти возможности
часто приводят к одинаковым узорам, каждый из
которых в нашей таблице мы оставим в одном экземпляре
407

(вторая колонка). Теперь приглядимся к сдвоенным
раппортам, обведенным прерывистой рамкой: каждый из
них по типу симметрии не отличается от какого-то
одного из тех пяти раппортов, с которых начинались наши
построения. Стало быть, сложенные из них бордюры
можно отождествить с другими, что и показано
обоюдоострыми стрелками. Это позволяет произвести еще
одно сокращение таблицы (третья колонка). Подсчитав
оставшиеся рисунки, заключаем: все разнообразие
бордюров охватывается семью типами их симметрии.
Бордюр — орнамент одномерный, вытянутый вдоль
прямой. А каким богатством возможностей располагают
мастера, покрывающие орнаментами двумерные стены?
Сходный расчет приводит к числу 17. Надежное
подтверждение вывода дает дворец Альгамбра в Испании —
великое произведение -мавританских зодчих. Здесь
можно обнаружить орнаменты любого из семнадцати
возможных типов симметрии.
Ну а если перейти к трехмерным орнаментам? Не
спешите возражать, что таких никто не делает. Их
создает самый искусный умелец — природа. Мы имеем в
виду кристаллы, точнее, их пространственные
структуры, так называемые кристаллические решетки.
Разнообразие этих трехмерных орнаментов громадно! it вряд
ли оно поддалось бы надежному пересчету, если бы не
теория групп. Именно она составляет основу-работ
русского ученого Евграфа Степановича Федорова, которые
позволили установить, что существует всего 230 типов
кристаллических решеток. Для всех, кто исследует
строение кристаллов, свод этих трехмерных орнаментов
значит то же, что для химика таблица Менделеева.
В университетах Германии долгое время существовал
такой порядок: претендент на профессорскую
должность выступал перед ученым советом с лекцией на
свободную тему. Прослушав лекцию, совет решал,
достоин ли соискатель кафедры.
В 1872 году в Эрлангенском университете с подобной
лекцией выступил немецкий математик Феликс Клейн.
408

Ставшее известным под названием «Эрлангенская
программа», это выступление надолго определило многие
пути развития геометрии.
Вводную часть знаменитой лекции мы изложим
сейчас в кратком и дозольно свободном пересказе.
Что такое геометрия? Наука о геометрических
свойствах фигур» Какие же свойства следует называть
геометрическими? Те, что не зависят от положения,
занимаемого фигурой в пространстве, от ее абсолютных
размеров и, наконец, от ориентации (под этим
понимается то свойство расположения, которое является ис-
гочииком различий между данной фигурой и ее
зеркальным изображением). Отсюда вытекает, что
геометрические свойства фигуры не изменяются от
параллельных переносов и поворотов, от преобразований
подобия, от зеркального отражения и от всех
преобразований, которые могут быть составлены из перечисленных.
[Отметим, что все они в совокупности образуют группу»)
Можно сказать, геометрические свойства — это те,
которые не изменяются в результате любого
преобразования из группы перечисленных выше.
Будем говорить теперь о произвольной группе
преобразований. Как обобщение геометрии тогда получится
следующая задача.
Дано пространство и в нем группа преобразований.
Нужно исследовать те свойства фигур, которые не
изменяются от преобразований этой группы. Иными
словами, требуется развить теорию инвариантов этой
группы.
Это — общая задача, заключающая в себя не только
обыкновенную геометрию, но и новейшие
геометрические теории.
Так говорил Клейн.
С тех пор каждую геометрию, порождаемую
некоторой группой преобразований (в том смысле, какой имел
е виду немецкий математик), называют клейновской
геометрией.
Так, например, наша обычная школьная эвклидова
геометрия, как отметил сам Клейн, порождена группой
преобразований подобий. Как одну из других
клейновских геометрий было бы любопытно изложить неэвкли-
дову геометрию Лобачевского или Римана, Такая цель
409

выполнима, однако не соответствует возможностям
нашей популярной книги. Мы расскажем ради примера
о более простой, так называемой аффинной геометрии.
По ее названию нетрудно догадаться, что она
порождается группой аффинных преобразований.
Уже само определение аффинных преобразований
(они переводят прямые в прямые) указывает на один из
инвариантов этой группы — свойство линии быть
прямой. К инвариантам той же группы принадлежит и
отношение, в котором отрезок делится его какой-либо
внутренней точкой, и наличие у двух прямых одной общей
точки. Зная хотя бы это, мы уже можем назвать
некоторые понятия аффинной геометрии. Это, например,
треугольник, медиана — в основе обоих понятий лежат
только что названные инварианты группы аффинных
преобразований. Мы можем даже сформулировать и
доказать какую-нибудь теорему аффинной геометрии,
например, теорему о том, что медианы треугольника
пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении
1:2.
А вот, скажем, теорема о том, что высоты равносто
роннего треугольника совпадают с медианами, к
аффинной геометрии не принадлежит. Некоторые слова,
употребленные в формулировке этой теоремы, в
аффинной геометрии не имеют смысла. Что такое,
например, равносторонний треугольник? Тот, у которого
стороны равны по длине? Но ведь отношение длин
непараллельных отрезков не принадлежит к инвариантам
аффинной геометрии. С ее точки зрения все отрезки
равны между собой, поскольку любой из них можно
совместить с любым другим при помощи надлежащего
аффинного преобразоеания — повернуть до нужного
направления, сжать до нужной длины и перенести куда
надо. А величина угла? И такого инварианта не знает
аффинная геометрия, поскольку теми же поворотами и
сжатиями можно «приравнять» друг другу любые два
угла, А раз так — в аффинной геометрии не имеет
смысла говорить ни о прямом угле, ни о высоте
треугольника.
Прямой угол, равносторонний треугольник — это
понятия эвклидовой геометрии, которая, по Клейну,
порождается группой преобразования подобия.
410

Как видим, круг теорем у аффинной геометрии
гораздо уже, чем у эвклидовой. Причина понятна: слишком
узок круг ее инвариантов, круг свойств, которые
остаются неизменными при аффинных преобразованиях.
Казалось бы, какой прок от такой геометрии?
Прок есть— и немалый. Она выявляет геометрические
свойства, которые сохраняются при весьма
неделикатных преобразованиях. Она помогает понять, какие из
этих свойств наиболее глубоки и существенны.
В редакцию известного научно-популярного журнала
пришла рукопись or некого
естествоиспытателя-самоучки. Нам довелось ознакомиться с его сочинением.
Ниже мы предлагаем читателю выдержки из этого
оригинального трактата.
«Последние годы наука о природе все более впадает
в крайности. С одной стороны, она устремляет свой взор
в бездонные просторы Вселенной, с другой — вперяет
его в не менее неисчерпаемые глубины микромира.
При этом само собой разумеется, что где-то
посередине» в мире житейских масштабов, все установлено
давно и навсегда. Какой безумец рискнет ныне
опровергать представление о шарообразности и выпуклости
Земли или гелиоцентрическом строении Солнечной
системы?
И все-таки я утверждаю: человечество ошибается?
Вселенная устроена совсем не так» как нас учат в школе,
как об этом написано в учебниках и энциклопедиях.
Вот мои постулаты. Их тоже три (как у Эйнштейна).
1. Да, Земля действительно есть сфера с радиусом
около 6400 км, но сфера полая, и мы живем не на
внешней, а на внутренней ее поверхности.
2. Все многообразие объектов и явлений природы,
весь видимый мир заключен внутри этой сферы.
3. Лучи света распространяются в этом мире по
окружностям, проходящим через центр сферы — «центр
мира».
Каждая теория должна опираться на строгие
доказательства. С чего обычно начинают убеждать школьника
411

в том, что Земля выпукла? С общеизвестной истории с
кораблем, отправляющимся в плавание. Вот корабль
достиг горизонта и начинает медленно скрываться за
ним. Вот провожающие видят с берега лишь палубу и
мачты, вот одни только мачты, вот из-за горизонта
виднеется лишь вымпел, и, наконец, корабль исчезает
из виду.
Все верно в этой картине. Но разве для объяснения
этого факта так уж необходимо предположение о
выпуклости Земли?
Обратимся к моей системе мира (см. рисунок). Дуги
окружностей DO1 — это световые лучи, которые приходят
к наблюдателю. Заштрихованная область, в которую
уходит корабль, наблюдению не доступна.
Последовательные положения корабля позволяют легко
проследить процесс его исчезновения за горизонтом.
Ну, да бог с ним, с кораблем. Займемся более
фундаментальными проблемами.
День и ночь. Их принято объяснять вращением Земли
вокруг своей оси. Но такое объяснение — отнюдь не
единственно возможное. В моей системе мира смена
дня и ночи происходит в результате движения Солнца
вокруг центра мира.
Солнце в моей системе — не гигантский раскаленный
шар, каким мы считаем его по традиции. Я, скорее,
уподоблю его узко направлен ному прожектору, лучи
которого расходятся веерообразно по искривленным
траекториям. Лучи, идущие по направлениям, близким к
радиальному, падают на земную поверхность почти
отвесно—там день в разгаре. А к другим участкам земной
поверхности лучи Солнца приходят под углом — там
утро или вечер. Легко заметить, что при этом за
Солнцем в направлении центра мира пролегает шлейф мрака
и темноты. Когда Луна в своем блуждании по орбите
заходит в эту мрачную зону, на Земле случается лунное
затмение (см. рисунок). Когда же она входит в область
света и загораживает собою часть солнечных лучей,
идущих к земной поверхности, случается затмение
солнечное.
В центре мира располагается сгусток материи,
усеянный светлыми точками — звездами. Можно усомниться:
как огромный небосвод, усеянный мириадами звезд и
412

«Центр мира» ""*
Солнечное
затмение

обнимающий Землю со всех сторон, может быть
представлен каким-то малым сгустком со светящимися
точками на нем? А между тем здесь все просто (см.
рисунок). Лучи света приходят к наблюдателю от нижней
части этого сгустка по круговым траекториям, причем
под всеми углами к земной поверхности — от нуля до 90
градусов. Потому-то наблюдателю и кажется, что над
ним, подобно куполу, нависает искрящийся звездами
небесный свод.
... Земля древних была плоской. Потом ученые
загнули края диска, превратили его в сферу, предоставив
всему живому ее выпуклую поверхность. Я полагаю, что
они загнули не туда».
Гипотеза полой Земли, с которой мы познакомили
читателя, вероятно, встречается ему не впервые. Ее
использовал, например, в своем
научно-фантастическом романе «Плутония» советский геолог Владимир
Обручев. Автор цитированного трактата развивает
гипотезу, пытается увязать ее с повседневными наблюдениями
и при этом, как кажется на первый взгляд, приходит к
полнейшему абсурду.
Но позвольте, а что, собственно, абсурдного в этом
трактате? Мысль о том, что свет распространяется не
по прямым, а по окружностям? А почему бы и нет? Ведь
и современная физика допускает искривления его
лучей — например, вблизи массивных тел.
Противоречия 8 странной теории есть, но они лежат
не так уж близко к поверхности, как может показаться
на первый взгляд. Более того, с чисто геометрической
точки зрения оба мира — описанный в трактате и наш
реальный мир — по отношению друг к другу являются
своеобразными взаимными отражениями. Пользуясь
уже привычным для нас термином, можно сказать, что
оба мира равны друг другу с точностью до
преобразования.
Что же это за преобразование?
Вообразим полую сферу. Возьмем какую-нибудь
точку пространства (допустим, точку А на соседнем
414

Реаъньм
рисунке) и проведем через нее луч, исходящий из
центра сферы. На луче отметим еще одну точку — выберем
ее так, чтобы
произведение расстояний обеих ■^Ш£- Солнце
точек до центра сферы
было равно квадрату ее
радиуса (точка В на том
же рисунке). При этом
обе точки будут
располагаться по разные
стороны от сферической
поверхности, служа
друг для друга
своеобразны м отражением.
Любая точка
сферической поверхности при
этом сольется со своим
отражением.
Такая процедура
позволяет поставить в
соответствие каждой
точке пространства
(кроме центра сферы)
вполне определенную
новую точку. Речь, стало
быть, идет о некотором
преобразовании. Его
называют инверсией.
Как зеркальное отражение пространства задается
некоторой плоскостью зеркальной симметрии, так, говоря
об инверсии, необходимо указать ту сферу»
относительна которой она производится. Примем за такую сферу
поверхность земного шара. В результате инверсии
внутрь сферы переместится все внешнее пространство.
Прямые при этом примут вид окружностей,
упирающихся в центр Земли. (Исключение роставят лишь прямые,
проходящие через центр, — они перейдут в себя.) Если
мы считаем лучи света прямолинейными, то, перейдя во
внутренний мир, мы должны будем согласиться с
автором диковинного трактата: лучи света
распространяются здесь по окружностям, проходящим через «центр
мира».
в сфере
415

Вместе с лучами света из необозримого пространства
Вселенной в окрестность центра нового мира переходят
звезды, планеты.*. Причем орбиты планет по-прежнему
близки к круговым: окружности при инверсии переходят
в окружности. (Обобщая, можно сказать, что инверсия
переводит прямые и окружности в прямые и окружности
По этому поводу еще говорят, что прямая есть частный
случай окружности — окружность бесконечно большого
радиуса.)
Казалось бы, геометрические расхождения между
«внутренним» и «внешним» миром должны быть весьма
явными от того, что инверсия превращает отрезки
прямых в дуги окружности. Однако чем короче отрезок, тем,
очевидно, менее заметна его искривленность. Поэтому
с достаточно малыми фигурами инверсия поступает
почти так же, как преобразование подобия, так что
искажение форм остается неприметным. В тонком же
слое, прилежащем к сфере, относительно которой со-'
вершается инверсия, это преобразование почти
тождественно зеркальному отражению, а уж оно и вовсе
сохраняет все размеры фигур.
Получается, что для опровержения странной теория
недостаточно одной лишь геометрии. Необходимо
привлекать на помощь физику. Тогда несостоятельность
учения о полной Земле доказывается просто и легко -
например, в его рамках невозможно объяснить
тяготение.
Но физические рассуждения выходят за рамки нашей
математической книги. Да и цель наша в том, чтобы
познакомить читателя не со сногсшибательной
гипотезой, а с преобразованиями инверсии.
Любопытно сравнить их с аффинными. Те сохраняют
прямые линии, но, вообще говоря, искажают углы.
Инверсия, напротив, сохраняет углы, но, как правило, не
оставляет прямые линии прямыми, превращая их в еж*
ружности.
Казалось бы, противоположность полная. Но можно
подметить и сходство между сравниваемыми
преобразованиями. Мы говорили, что с достаточно малыми
фигурами инверсия поступает так же, как подобие, одно
из аффинных преобразований. Потому-то и говорят, что
преобразование инверсии в малом аффинно.
416

Мы совершали инверсию пространства относительно
сферической земной поверхности. Однако то, что
изображено на рисунках, можно рассматривать как
инверсию плоскости относительно окружности,
соответствующей земной сфере. Такое преобразование принадлежит
к классу так называемых конформных преобразований
плоскости. Их общая отличительная особенность в том,
что они сохраняют углы между линиями. Именно это
важное свойство и обусловливает ту популярность,
которой конформные преобразования пользуются в
гидроаэромеханике, в теории упругости, в других отраслях
физики, К конформным, кстати сказать, относится и
преобразование Жуковского, с помощью которого мы
так эффектно приравняли друг к другу цилиндр и крыло
птицы.
Позвольте пригласить вас, читатель, к чайному столу.
Он, правда, не такой уж чайный, скорее
демонстрационный, и не чайку мы предлагаем вам попить за этим
столом, а продолжить наше знакомство с
геометрическими преобразованиями.
Вот ложка в стакане. Как вы
отнесетесь к нашему
утверждению, что с точностью до не-
которого преобразования
ложка и стакан—одно и то же?
Вам это кажетсй
неправдоподобным? А между тем такое
преобразование существует.
Вот рисунки, на которых
показаны его последовательные
стадии. Приглядитесь: как
будто руки гончара формуют
податливую массу, превращая
одно тело в другое, стакан в
ложку (левая колонка
рисунков).
А вот бублик и чашка. Мы
утверждаем, что и они родст-
К-480
417

венники. Роднящее их преобразование показано на
рисунках правой колонки.
Разглядывая эти рисунки, заметьте, каким вниманием
в ходе преобразования окружена дужка. Мы заботливо
сохраняли ее в моменты самых сильных деформаций*
Мы тщательно следили, чтобы это ушко не разорвалось
и не заплыло. В этом проявилась определяющая
особенность всех тех преобразований, о которых мы сейчас
ведем речь. При всей своей смелости они не так уж
произвольны* Они не могут перевести .все, что
попадется, во все, что пожелается. Будь у нас полная свобода
действий, мы гораздо проще превратили бы бублик в
чашку. Сначала мы смяли бы его в один ком, затем
вылепили бы из него чашку с округлым выступом для
дужки и напоследок прокололи бы этот выступ. Но как
раз такое и запрещает определяющая особенность тех
преобразований, о которых мы говорим. Эта
особенность заключается в простом требовании: ни одного
разрыва и ни одной склейки. Преобразования,
удовлетворяющие этому условию, называются
топологическими.
Сформулировав это условие, мы без труда разобьем
на семейства, на топологические типы все предметы на
нашем столе. Скажем, стакан отнюдь не родня чашке,
поскольку для превращения в чашку его необходимо
проколоть. Не родня бублик ложке, поскольку ради
превращения в ложку дырка у бублика должна затянуться.
Судя по той роли, которую играют дырки в таком
разбиении, предметам разных семейств можно было бы
присвоить звания двухдырочных (чайник, сахарница),
однодырочных (чашка, бублик), нульдырочных (стакан,
блюдце)* Впрочем, в математике давно уже сложилась
система названий для разбиения тел на топологические
типы: тела без дырок называют односвязными, с одной
дыркой — двусвязными и т.д.
Снова вглядимся в рисунки, на которых совершается
преображение стакана в ложку или бублика в чашку. Как
резки искажения на каждой стадии этих преображений!
416

Это не аффинные преобразования с их заботой о
прямолинейности отрезков: прямые ребра граненого
стакана изгибаются, искривляются его плоские грани. Это
не инверсия, гарантирующая сохранность углов и
окружностей: углы между гранями стакана расправляются,
округлая дырка бублика превращается в каплевидный
вырез между стенкой чашки и ее ручкой.
Это преобразование наиболее общего характера
среди всех, с которыми мы знакомились до сих гор.
Однако какими бы жестокими ни казались нам эти
преобразования, каким бы чудовищным деформациям
ни подвергали они преобразуемые тела и фигуры, все-
таки и здесь можно обнаружить такие геометрические
свойства, которые остаются неизменными.
Как ни расплющивай, ни раскатывай ком глины, он не
превратится е двумерную плоскость, толщины не
имеющую. Иначе говоря, он сохранит свою размерность. А
запрет на разрывы и склейки гарантирует, что
преобразуемые тела и фигуры сохранят свою связность (одно-
связные останутся односвязными, двусвязные — дву-
связными...).
Игак, размерность и связность — инварианты
топологических преобразований. А поскольку эти
преобразования — самые произвольные из всех известных нам,
следует признать, что размерность и. связность — одни
из наиболее фундаментальных свойств геометрических
объектов.
Но вглядимся в преобразуемые тела еще глубже, в
самую их толщу. Мыс удивлением увидим тогда нечто,
что роднит столь бесцеремонные топологические
преобразования с самыми бережными из известных нам —
с аффинными.
Представьте себе, что к нашему столу мы взялись
испечь булочки с маком. Формуя куски теста, мы
подвергаем их топологическим преобразования.
Давайте проследим за теми перемещениями, которые
испытывают маковые зерна в процессе всех кулинарных
приготовлений. Мы увидим: какие бы эволюции ни
претерпевала будущая булочка, внутри нее близкие
маковые зерна остаются близкими*
Мы знаем: преобразования, отличающиеся-этим
признаком, называются непрерывными. Итак, всякое топо-
14-
419

логическое преобразование непрерывно. Более того,
топологические преобразования обычно и
определяются как взаимно-однозначные и взаимно-непрерывные.
Так переводится на математический язык требование:
«ни одного разрыва и ни одной склейки».
Отметим еще одну важную деталь. Если бы маковые
зерна поначалу располагались в тесте прямолинейными
цепочками» образуя маленькие параллелепипеды, то
каждый из них остался бы близким к параллелепипеду
и в готовой булочке. Прямолинейность цепочек,
конечно, нарушилась бы, но малые их участки остались бы
близкими к отрезкам прямых — тем более близкими,
чем они короче.
Мы видим, что в малых масштабах всякое
топологическое преобразование сходно с аффинным, в ходе
которого прямые линии остаются прямыми.

ИСЧИСЛЕНИЕ
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В книге о математике без задач не обойтись. Но если
уж они так необходимы, лучше все-таки подыскивать их
не в скучных задачниках, а в книгах позанимательнее.
Ярослав Гашек «Похождения бравого солдата
Швейка»». Швейк —перед комиссией судебных врачей. «Радий
тяжелее олова? Могли бы вы вычислить диаметр
земного шара? Не знаете ли вы, какова наибольшая глубина
в Тихом океане?* — с такими вопросами наступают они
на свою жертву, надеясь по ответам испытуемого
заключить, все ли ладно у него с головой.
И бравый солдат решается на контратаку:
«Однако мне тоже хочется, господа, задать вам одну
загадку. Стоит четырехэтажный дом, в каэедом этаже по
восьми окон, на крыше два слуховых окна и две трубы,
в каждом этаже по два квартиранта. А теперь скажите,
господа, в каком году умерла у швейцара его бабушка?»
Швейк верен своему неистребимому чувству юмора,
и его загадка вызывает у нас невольную улыбку. Кстати,
почему? Пока вы размышляете над ответом, мы рискнем
предложить вам еще одну головоломку:
Если в огороде бузина, то в Киеве дядька. В огороде
бузина или лошади кушают овес. Если лошади кушают
овес, то Волга впадает в Каспийское море. Волга не
впадает в Каспийское море. Так проживает ли в Киеве
дядька?
Мы так и видим, читатель, как вы перечитываете это
условие еще раз и в недоумении морщите лоб.
Несуразиц тут еще больше, чем в загадке Швейка. «В
огороде бузина, а в Киеве дядька» — куда уж дальше?
«Волга не впадает в Каспийское море*» — как это пони-
мать?
И тем не менее головоломка вызывает в памяти то, в
чем мы привыкли видеть воплощенные каноны логики
421

Согласитесь, разве не похожа она на логические
гостроения математиков? Вот, пожалуйста, отрывок из
учебника геометрии:
Одна из сторон треугольника ABC равна диаметру
описанной окружности тогда и только тогда, когда
треугольник прямоугольный. Если все стороны
треугольника ABC не равны диаметру описанной окружности, то
треугольник остроугольный или тупоугольный. Если
треугольник ABC тупоугольный или прямоугольный, то его
ортоцентр не лежит внутри него. Ортоцентр
треугольника ABC лежит внутри него,.,
А разве не так же выглядят другие общепризнанные
образцы логического метода, например, те, которыми
запоминаются лучшие произведения детективного
жанра?
В рассказе Герберта Честертона «Странные шаги*
неизменный герой этого писателя патер Браун
раскрывает тайну похищения серебряных ножей и вилок,
обратив внимание на загадочные шаги в коридоре отеля —
то быстрые и мелкие, то медленные и мерные. Кем бы
мог быть, задумался патер Браун, обладатель такой
необычной походки?
Вот он идет неторопливо и вразвалку. Если это хозяин
отеля, то тот ходит вразвалку и торопливо или не
трогается с места.
Если это лакей или посыльный, то те ходят вразвалку,
когда бывают навеселе, или стоят на одном месте,
особенно если окружающая обстановка столь
великолепна...
Что же общего между доказательством
геометрической теоремы, разбором обстоятельств преступления и
условием головоломки о бузине и овсе? Уж конечно не
содержание, а форма.
Сложные фразы каждого из трех наших показательных
отрывков содержат повторяющиеся части, соединенные
связками и, или, если.„ то, тогда и только тогда, а
иногда видоизмененные частицей не. Повторения
составных частей побуждают нас сопоставлять такие
сложные фразы, а характер связок, при помощи которых
они образованы, позволяет выводить из уже имеющихся
предложений новые, в чем, очевидно, и состоит всякое
рассуждение.
422

Так первые две фразы размышлений патера Брауна,
пересказанных нами, подсказывают, что обладатель
загадочной походки — не хозяин отеля.
Так последние две фразы математического отрывка
приводят к заключению, что треугольник ABC — не тупо*
угольный и непрямоугольный. За верность этого вывода
можно поручиться, не строя никаких чертежей и даже не
зная, что такое ортоцентр. Для этого достаточно знать
смысл связующих слов не, и, или, если.,, то.
Наша бессмысленная головоломка с бузиной в
огороде и не менее бессмысленный для непосвященных
математический пример и многие другие примеры,
подобные приведенным, говорят о том, что эти связки
образуют как бы каркас рассуждения, определяют его
структуру. Обнаружив эту структуру, мы склонны исследовать
ее саму по себе, не вдаваясь в содержание
предложений, нанизанных на этот каркас.
Наука, позволяющая анализировать рассуждения, от;
влекаясь от их содержания, обращая внимание лишь на
форму, выделяя их структуру,, называется формальной
логикой.
Быть может, кому-то из наших читателей в словах
«формальная логика» чудится пренебрежительное
звучание. Формальное мышление в представлении
многих — это нечто безжизненное, сухое, скучное.
Напротив, содержательное мышление — это нечто живое,
яркое, увлекательное.
Такое представление было бы верным лишь при
одном условии: если воображать обе стороны
человеческого мышления — содержательную и формальную —
разъединенными и противопоставленными друг другу.
Но еедь такое разделение противоестественно и
неразумно.
Не лучше ли мыслить их едиными, как есть от
природы? В плодотворном сотрудничестве каждая из обеих
сторон человеческого рассудка обнаруживает свои
достоинства.
423

Содержательное мышление —залог творчества.
Формальная же логика указывает творческой мысли прямые
пути к цели. Она помогает строить правильные
рассуждения и позволяет проверять правильность уже
построенных.
Современная формальная логика умеет проводить
такую проверку с поистине математической строгостью.
Содержательные части фраз, из которых состоит
испытуемое рассуждение, заменяются буквами (как в
алгебре, оперирующей буквами вместо цифр), а логические
связки, участвующие е построении фраз, обозначаются
специальными символами. Так последовательность
предложений (и тех, что передают исходную
информацию, и тех, что получены в процессе рассуждения)
превращается в цепочку формул. Затем относительно
каждой из формул, обозначающих фразы, возникшие в
ходе рассуждения, решается, является ли она
логическим следствием каких-либо предыдущих формул
анализируемой цепочки. Проверка проводится на основе так
называемых правил вывода, также выражаемых при
помощи формул.
Расплывчатость и многозначность, свойственные
фразам живого языка, устраняются при их переводе на
язык символов. Опасаться приходится лишь того, что
перевод не сохранит каких-то смысловых нюансов
отдельных фраз или что перечень правил вывода не
отражает всех логических средств, используемых в людских
рассуждениях. Что же касается проверки логического
следования, то она заключается в простом сравнении
предложений анализируемого текста, переведенных на
формульный язык, с правилами вывода и потому ее
можно выполнить совершенно механически.
Использующая язык символов и математические
методы, современная формальная логика потому и
называется символической, или математической, а
отдельные ее разделы — исчислениями (исчисление
высказываний, исчисление предикатов).
424

«Когда поймают рыбу, про сеть забывают. Когда
поймают птицу, про силок забьюают. Когда поймают зверя,
про калкан забывают. Когда поймают мысль, про слова
забывают. Вот бы мне найти человека, который забь^л
слова! Я бы с ним побеседовал».
Так написано в древнекитайском трактате «Чжуан-
цзы».
Приведенный из него отрывок, вероятно, придется по
душе всякому, кто понимает, что правильность
логического рассуждения обеспечивается в первую очередь его
структурой, а не содержанием составляющих его фраз.
Однако здесь следует сразу отметить, что в
логическом рассуждении допустима отнюдь не всякая фраза.
Присмотримся к предложениям тех отрывков, с
которых мы начали знакомство с формальной логикой.
Лошади кушают овес. Волга не впадает в Каспийское
море. Треугольник ABC остроугольный.' Хозяин отеля
ходит вразвалку.
А теперь для сравнения — Гоголь «Майская ночь»:
«Знаете ли вы украинскую ночь? О, вы не знаете
украинской ночи! Всмотритесь в нее. С середины неба
глядит месяц. Необъятный небесный свод раздался,
раздвинулся еще необъятнее. Горит и дышит он. Земля
вся в серебряном свете; и чудный воздух и прохладно-
душен, и полон неги, и движет океан благоуханий.
Божественная ночь! Очаровательная ночь!»
Великолепно, вдохновенно» поэтично сказано, И тем
не менее многие фразы этого отрывка в логическом
рассуждении казались бы чужеродными.
Сравнение подсказывает ясно: фразы
вопросительные и восклицательные, повелительное и
сослагательное наклонение неупотребительны в логических
рассуждениях. В них уместны лишь повествовательные
предложения.
Но это еще не все. Существеннейшую для дела
особенность мы поймем, если возьмем одну лишь фразу:
«Дядька проживает в Киеве»», и вдумаемся в нее с точки
зрения нашей головоломки про бузину и овес. Ответ на
425

головоломку, в сущности, заключается в том, чтобы
решить, истинна эта фраза или ложна.
Но ведь истинность вывода обеспечивается
истинностью предложений, приводимых в его обоснование.
Стало быть, проверке на истинность или ложность
должна поддаваться каждая фраза, которая участвует в
логическом рассуждении.
В логике всякое повествовательное предложение,
которое может быть определено либо как истинное, либо
как ложное (но не как то и другое одновременно!),
называется высказыванием
Лошади кушают овес — высказывание, и притом
истинное. Дважды два четыре — тоже высказывание и
тоже истинное. Дважды два пять — высказывание, но
ложное. Чудный воздух прохладнодушен — не
высказывание, поскольку слово «прохладнодушен» строгого
смысла не имеет, так что относительно этой фразы
Гоголя невозможно' решить, истинна она или ложна.
Средняя плотность вещества во Вселенной меньше
109 г/см3 —тоже высказывание. Правда, относительно
него никто еще точно не знает, истинно оно или ложно.
А между тем от этого зависит ни больше ни меньше, как
дальнейшая судьба Вселенной: истинность последнего
высказывания означает то, что она будет всегда
расширяться, ложность обещает то, что в один прекрасный
момент она начнет сжиматься. Можно исследовать обе
возможности, сначала посчитав вышеприведенное
высказывание о средней плотности вещества во
Вселенной истинным, а потом — ложным.
Истинность или ложность, приписываемая
высказыванию, называется его значением истинности.
Значение истинности того или иного высказывания
обозначают прописными буквами: И (истина), если
высказывание истинно, и Л (ложь), если оно ложно.
Теперь мы можем уточнить, в каком смысле и каким
образом формальная логика отвлекается от содержания
высказываний, составляющих логическое рассуждение.
Тема каждого высказывания для нее действительно
безразлична. Однако она строго учитывает, какое значение
истинности приписывается каждому высказыванию, и на
основе этого проводит анализ всего рассуждения.
426

Когда мы знакомились с понятием высказывания,
примерами нам служили короткие простые фразы: «Лошади
кушают овес», «Хозяин отеля ходит вразвалку» и т.д. Мы
понимали, что это лишь фрагменты тех сложных
предложений, которые фигурировали в самом начале нашего
разговора о логике; «В огороде бузина или лошади
кушают овес»» «Хозяин отеля ходит вразвалку и
торопливо или не трогается с места»*.
Мы уже знали к тому времени, какое,важное значение
для логического анализа таких фраз и состоящих из них
текстов имеют слова и словосочетания не, и, или, если...
то, тогда и только тогда. Недаром им присвоено особое
название: пропозициональные связки.
Исходя из обычного разговорного смысла этих
связок, математическая логика выработала понятие так
называемых логических операций. С их помощью из
одних высказываний образуются другие, более
сложные. И наоборот: сложные высказывания, содержащие
пропозициональные связки, можно разлагать на
элементарные (то есть не содержащие связок или
рассматриваемые как неразложимые).
Поскольку, соединяя элементарные высказывания,
логические операции порождают опять-таки
высказывания, относительно полученных таким образом
предложений приходится выяснять, истинны они или ложны.
Задача, казалось бы, не из простых. Однако
формальная логика решает ее без труда.
Для этого, во-первых, всякий раз нужно знать
значения истинности тех простых высказываний, из которых
состоит сложное, подвергаемое анализу на истинность.
Во-вторых, нужно знать точные определения логических
операций, выражаемых пропозициональными связками.
В одном переулке
Стояли дома.
В одном из домов
427

Жил упрямый Фома
Ни дома, ни в школе,
Нигде никому —
Не верил
Упрямый Фома
Ничему
Так начинается поучительное стихотворение Сергея
Михалкова «Фома»». Фома был, что называется,
мастером критического анализа и все подвергал сомнению.
«На улице дождь»*, — говорили ему. Но Фома на это
резонное высказывание по своему обыкновению
отвечал: «Неправда, на улице нет дождя». «Смотрите, —
говорили ему в зоопарке, — это слон». Но Фома и тут
был верен себе, он тотчас же формулировал
отрицательное высказывание: «Это не слон».
С точки зрения логики Фома к любому высказыванию
своих собеседников применял логическую операцию'
отрицания и делал это просто: пользуясь частицей «не»
или любым равнозначным ей выражением типа
«неверно, что.,,»
Если ему говорили правду, то Фома таким путем
превращал истинное высказывание в ложное. И
наоборот; каждое ложное высказывание после такой добавки
становилось истинным.
Результат описанной
лингвистической обработки называется
отрицанием исходного высказывания. Если же
говорить более строго, то отрицанием
какого-либо высказывания
называется такое утверждение, которое ложно,
когда исходное высказывание
истинно, и которое истинно, когда исходное
высказывание ложно.
Сказанным мы уже определили логическую операцию
отрицания. В логике, однако, для определения
логических операций принят не только словесный, но и
табличный способ. Для каждой операции строится так
называемая таблица истинности, равносильная ее
определению.
Выше приведена такая таблица для операции «не».
В левой колонке таблицы перечислены возможные
значения истинности исходного высказывания. Возмож-
И
Л
Л
и
420

ностей — всего две: каждое высказывание может быть
либо истинным либо ложным.
В правой колонке, как бы заполненной рукой Фомы,
показано, какое значение истинности примет в
зависимости от исходного высказывания его отрицание.
«Завтра по области пройдут дожди и температура
понизится до 10 градусов,,.»
Эту сводку погоды услышали сотни, тысячи, если не
миллионы людей. И они строят свои планы в
зависимости от этих двух высказываний, соединенных союзом и.
Но сбудется ли предсказание? Истинно оно или
ложно?
Мы назовем эту сводку верной, если истинными
окажутся обе ее половины: то есть и дождь пройдет и
температура понизится до указанной отметки. Во всех
остальных случаях мы посчитаем прогноз неверным.
Таких случаев всего три. Первый: дождь прошел, но
температура до 10 градусов не опустилась. Второй:
дождь не прошел, хотя температура понизилась, как
была предсказано. Третий: не было ни дождя, ни
предсказанного понижения температуры. Иными словами,
мы сочтем ложным весь вышеприведенный прогноз в
целом, если ложно хотя бы одно из составляющих его
высказываний.
Логическая олерация
*и»>, с которой нас
познакомил этот
метеорологический npHMept носит
название конъюнкции. С ее по*
мощью из двух
высказываний получают третье,
которое истинно тогда и только
тогда, когда истинны оба
исходных высказывания.
Таково определение конъюнкции* Новое высказывание,
полученное применением этой операции из исходных,
называется их конъюнкцией.
и
и
л
л
II)
и
л
и
л
и
1]
и
л
л
л
429

Вслед за словесным определением вновь дадим
табличное. В таблице истинности для конъюнкции двух
высказываний —три столбца. В первых двух
проставлены значения истинности исходных высказываний, в
третьем — значение их конъюнкции. Разбор метеосводки
показал, что среди комбинаций исходных высказываний
возможны три таких, при которых их конъюнкция ложна,
и лишь одна комбинация такова, что их конъюнкция
истинна. Итого, четыре возможности. Столько же и
стро^ в таблице.
Логическая операция конъюнкции позволяет
связывать не только два, но и любое конечное число
высказываний. Их конъюнкция истинна тогда и только тогда,
когда истинно каждое из них, Ложла же она тогда, когда
ложно хотя бы одно из них.
Непонятно, хоть убей,
Снег ли это или сокол
Гонит бейых голубей
Мимо звезд...
Поэтический образ — не научное предсказание.
В подлинно научном утверждении каждое положение
должно быть однозначным и верным. А подлинная
поэзия всегда допускает многозначность прочтения,
увлекая читателя возможностью сотворчества.
Казалось бы, эта возможность делает
равновероятным как верное, так и превратное прочтение
поэтических высказываний. Ведь каждое утверждение может
быть либо истинным, либо ложным.
Однако, как мы уже говорили, это относится лишь к
элементарным высказываниям. Сложное высказывание
можно построить так, что оно окажется верным даже
тогда, когда однэ из его элементарных компонент
ложна.
Приглядимся внимательнее к поэтической картине,
нарисованной в процитированном отрывке из
стихотворения Георгия Леонидзе «Песня первого снега*»•
Снегопад и полет голубиной стаи настолько (хоть убей!)не-
430

различимы для поэта, что для создания описанного им
впечатления достаточно чего-то одного — снега или
голубей. То и другое вместе, разумеется, произведут тот
же эффект. Впечатления не будет лишь тогда, когда нет
ни того, ни другого.
Нашим рассуждениям нетрудно придать логическую
отчетливость. С этой иелью перепишем строчки
стихотворения в нарочито строгой форме.
«Идет снег или сокол гонит белых голубей»».
Перед нами — два элементарных высказывания,
соединенных союзом «или». Если истинно и первое (идет
снег) и второе (сокол гонит белых голубей)» то истинным
будет и все сложенное из них высказывание в целом.
Но пусть истинно хотя бы первое из них. Если даже
второе и ложно, все сложное высказывание в целом все
равно окажется истинным. Таким же будет оно и тогда,
когда истинно второе высказывание, а первое ложно. И
только в том случае, когда ложны оба, ложным будет и
высказывание, образованное из них посредством союза
«или».
Логическая операция
«или»», с которой мы только
что познакомились,
называется дизъюнкцией, с ее
помощью из двух
высказываний образуется третье,
которое истинно» когда ис-
тинни хотя бы одно из двух
исходных высказываний, и
которое ложно, когда ложны оба. Таково определение
дизъюнкции. Таблица истинности для дизъюнкции двух
высказываний содержит три столбца и четыре строчки,
как и таблица, приведенная е предыдущем разделе.
Только на сей раз, в соответствии с определением
дизъюнкции, е третьем столбце таблицы преобладают
буквы И — символы истины.
Логическая операция дизъюнкции позволяет
связывать не только два, но и любое конечное число
высказываний- Их дизъюнкция истинна тогда и только тогда»
когда истинно хотя бы одно из них. Ложна же она тогда,
когда ложны они все.
и
и
л
л
у»
и
л
и
л
**
1**.
или
и
и
и
л
431

Одна из глав «Всеобщей истории, обработанной
«Сатириконом», посвящена древней стране Спарте (или
Лаконии) — царившим е ней порядкам, обычаям ее
жителей и, конечно, их своеобразной манере выражаться:
«Они с детства приучались говорить лаконически, то
есть коротко и сильно... Так, одна спартанка, отдавая
щит сыну, сказала лаконически: «С ним или на нем». А
другая, отдавая кухарке петуха для жареньк сказала
лаконически: «Пережаришь — вздую».
Этот отрывок привлек наше внимание потому, что
содержит два сложных высказывания, структуры
которых стоит проанализировать,
О первом из них («со щитом или на щите») мы
поговорим после. Пока займемся вторым.
«Пережаришь— вздую». Фраза звучит чересчур
лаконически даже для такой немногословной науки, как
математика. Дли понятности придадим ей более
развернутый вид: «Если петух будет пережарен, го кухарка будет
наказана».
Сложное высказывание такой структуры называют
импликацией тех двух элементарных высказываний, из
которых оно образовано. Из них первое, снабжаемое
словом «если», называется посылкой, или основанием,
второе, начинающееся со слова «то», — следствием, или
заключением.
Строго определить
соответствующую логическую
операцию, также
называемую импликацией, нам
вновь поможет таблица
истинности.
Чтобы построить ее,
нужно проанализировать
все возможные исходы
истории с петухом и кухаркой.
Петух пережарен, кухарка наказана. То есть и посылка
и следствие истинны. Тогда в соответствии с
обещанием хозяйки (а суровые лаконские женщины умели
держать слово!) истинно все сложное высказывание
и
и
л
л
и
л
и
л
если
го
И
Л
и
и
432

Петух пережарен» но кухарка избежала наказание. То
есть посылка истинна, а следствие *— нет. При тех
порядках, которые царили на лаконских кухнях, такое
абсолютно исключено, это явная ложь.
Петух не пережарен, кухарка не наказана. Истина-
Петух не пережарен, но кухарка наказана. Тоже
истина: чего не бывает под горячую руку в доме, где
верховодит суровая лаконская женщина!
Не спешите упрекать ее в несправедливости и
нелогичности. В математической логике дело обстоит точно
так же.
Вот убедительный тому пример* «Если из двух
слагаемых каждое делится натри, то и сумма делится на три»».
Все высказывание в целом не оставляет сомнений в
своей истинности» А теперь посмотрим, какие значения
истинности могут принимать основание и следствие.
Возможно, что оба они истинны. Слагаемые 6 и 9
делятся на три, и такова же их сумма — 15.
Возможно, что оба ложны. Слагаемые 2 и 5 не делятся
на три, и то же самое мсжно сказать про их сумму — 7,
Возможно, что основание ложно, а заключение
истинно. Слагаемые 4 и 8 не делятся иэ Tpji, а их сумма —
12 —делится.
Но нам не удастся найти пример» когда оба слагаемых
делятся на три, а их сумма — нет.
В ходе этих рассуждений мы словно заново заполнили
таблицу истинности для операции «если../го*. И таблица
продиктовала* нам прежнее определение этой
логической операции: импликация двух высказываний ложна
тогда и только тогда, когда основание истинно, а
следствие ложно.
Попробуем взглянуть на дело, так сказать, с обратной
стороны. Попытаемся разобраться, что обычно мы
имеем в виду, говоря, что из некоторого высказывания
А не следует другое высказывание В? Подыщем
математический пример и к этому случаю.
Древние вавилоняне полагали, что площадь всякого
четырехугольника равна произведению полусумм
противоположных сторон. Отсюда нетрудно вывести такое
утверждение: если периметры двух четырехугольников
равны, то равны и их площади.
433

Верна ли эта импликация? Похоже, что нет. Вот,
скажем, две фигуры: с одной стороны — квадрат, с
другой — ромб с теми же сторонами, с углами между ними
30 и 150 градусов. Периметры этих четырехугольников
равны (основание высказанного утверждения истинно),
а площади разнятся в два раза (следствие ложно). Стало
быть, анализируемая нами импликация ложна.
Итак, что же получается? Отрицать импликацию двух
высказываний А и В (неверно, что из А следует В) —То
же самое, что утверждать: А и не В.
Эта конструкция из двух высказываний построена с
помощью хорошо знакомых нам логических операций —
конъюнкции и отрицания, и потому нетрудно установить,
какие значения истинности принимает это сложное
высказывание в зависимости от того, истины или /южны
его элементарные компоненты. Подстроим
соответствующую таблицу истинности, и это будет, согласно
сказанному выше, таблица для отрицания импликации.
Переменив вычисленные значения истинности на обрат-
ные, дополним таблицу
новым столбцом—
глядите — у нас получилось
знакомое определение
импликации? Все тут, как прежде:
импликация двух
высказываний ложка в том и только
в том случае, если посылка
истинна, а заключение
ложно.
Мы не случайно уделяем
так много внимания
импликации. На свойствах этой
логической операции основаны все умозаключения,
позволяющие выводить одни утверждения из других и
составляющие существо всякого логического
рассуждения.
А
И
И
Л
Л
В
И
Л
И
Л
не В
Л
И
л
и
Айне В
Л
и
л
л
ие(АинеВ)
И
Л
и
и
«Если дважды два пять, то существуют ведьмы», —
говорил немецкий математик Феликс Хаусдорф.
434

При всей своей бессмысленности, этот афоризм
весьма поучителен. Приглядимся к нему. Это
импликация. Ее основание ложно. А теперь обратимся к таблице
истинности для этой логической операции. При ложном
основании импликация всегда истинна, каким бы ни
было заключение — истинным или ложным. Недаром
говорят, что из ложных посылок можно вывести все, что
угодно.
Слегка переиначим афоризм Хауедорфэ: «Если
существуют ведьмы, та дважды два четыре*». Опять
импликация, притом ее заключение истин но • Снова обратимся к
таблице истинности для операции «если,,, то»*. При
истинном заключении импликация всегда истинна, каким
бы ни было основание — истинным или ложным.
Недаром говорят, что к истинным выводам можно прийти из
каких угодно посылок.
Выражения «все, что угодно», «какие угодно», конечно,
преувеличение, если смотреть на дело с точки зрения
здравого смысла. В импликациях, употребляемых в
осмысленных рассуждениях, основание и следствие
всегда связаны по содержанию или предмету. Это же можно
сказать и про любое сложное высказывание, если
подыскивать их реальные примеры.
Однако с точки зрения формальной логики никакого
преувеличения мы не допустили. Ведь математическая
логика анализирует рассуждения, отвлекаясь от их
содержания. Поэтому требовать от нее, чтобы она как-то
отсеивала вздорные высказывания, подобные
вышеприведенным, было бы чрезмерным. Да и как в конце
концов формализовать это понятие — вздор?
Остается лишь надеяться, что в разумных
рассуждениях бессмысленные сочетания элементарных
высказываний не встретятся.
Некоторые логические операции в разговорном языке
(да и в математической терминологии) выражаются раз*
личными оборотами, и это может затруднять анализ
сложных высказываний
435

Скажем, в математических рассуждениях часто
употребляются слова «необходимо», «достаточно»». Что стоит
за ними? Оказывается, не что иное, как логическая
операция «если... то», импликация.
Что значит, например: «Для того, чтобы фигура была
квадратом, необходимо, чтобы она была ромбом»? Это
значит: если данная фигура — квадрат, то она — ромб.
Или — что значат: «Достаточным условием нечетности
числа, не равного двум, является то, что число —
простое»? Это значит: если число, не равное двум, простое,-
то оно нечетное.
Из всех логических операций импликация, быть
может, наиболее богата способами для своего
выражения: «если А, то В», «из А следует В», «А влечет В», «А
имплицирует В», «В при условии, что А», «А достаточное
условие для В», «В необходимое следствие из А», «<В
необходимое условие для А», «В тогда, когда А», «А
только тогда, когда В» и т.п.
В житейском языке слово «если» часто заменяется
словом «когда» (хотя давно известна латинская
поговорка: «После — не значит вследствие»»). Иногда союз
«если»» и вовсе опускается (как во фразе:
«Пережаришь — вздую»»).
И, как правило, логика в живой речи густо окутана
эмоциями.
Вот почему, сопровождая свой рассказ о логике
примерами из литературы, мы часто пересказываем их,
чтобы вскрыть их логическое строение — то
разворачивая короткую фразу, то упрощая замысловатую, жертвуя
языковыми красотами оригинала ради ясности смысла.
Математические высказывания такой обработку
разумеется, не требуют, поскольку их смысл точен и
недвусмыслен»
Мы так обстоятельно говорили о логической операции
«если... то»», что читатель сможет, вероятно, и без нашей
помощи уяснить смысл сходной с ней по названию
логической операции «тогда и только тогда, когда» (ва-
436

рианты: «необходимо и достаточно**, «если и только
если»)-
Сложное высказывание, образованное из двух
исходных с помощью этой операции, называется их эквива-
ленцией; так же называется и сама эта операция.
Определить ее нам поможет пример-
Говорят, что число делится на три тогда и только
тогда, когда на три делится сумма его цифр. Это,
очевидно, означает следующее:
если число делится на три, го и сумма его цифр
делится на три
и
если на три делится сумма цифр числа, го и само
число делится на три.
Так можно развернуть эквиваленцию двух каких
угодно высказываний. Надо сначала образовать из них
импликацию, приняв первое высказывание за посылку, а
второе за следствие. Потом надо образовать еще одну
импликацию, приняв на сей раз за посылку второе
высказывание, а за следствие — первое. Наконец, обе
полученные импликации надо соединить операцией
конъюнкции.
После такой расшифровки нам уже будет нетрудно
определить логическую операцию эквиваленции. По
опыту предыдущих разделов мы знаем, что для этого
нужно установить, какое значение истинности
принимает эквиваленция двух высказываний в зависимости от
того, каковы они сами — истинны или ложны. И еще мы
знаем, что таблица истинности для логической
операции равносильна ее определению.
если
I то
То. да
и только тогда J
И
И
л
л
И
л
И
л
И
л
И
И
л
И
л
И
И
л
л
И
Начертим два первых столбца таблицы и проставим в
них значения истинности двух высказываний, об разу ю-
437

щих зквиваленцию, во всех четырех сочетаниях,
которые возможны, В третьем столбце укажем, какое
значение истинности примет при этом импликация первого и
второго высказываний, В четвертом сделаем то же
самое для импликации второго и первого, А пятый
заполним, беря исходные данные из третьего и
четвертого столбцов и ставя им в соответствие такое значение
истинности, которое предписывается операцией
конъюнкции.
В согласии с приведенным выше развернутым
пониманием экеиеаленции пятый столбец таблицы и
определит собой эту логическую операцию.
Посмотрите его, Эквиваленция двух высказываний
истинна тогда и только тогда, когда оба они истинны или
оба-ложны, то есть значения истинности того и другого
совпадают
В поисках иллюстраций для положений
математической логики мы перелистали с вами, читатель, страницы
Гашека и Честертона, «Сатирикона» и Леонидзе.
Цитатами из них мы поясняли логические операции
отрицания, конъюнкции, дизъюнкции* импликации эквивалент
ции.
Подбор первоисточников для этой цели в
значительной мере обусловлен симпатиями авторов. Вы можете
взять любую другую книгу, извлечь из нее любое
сложное высказывание и проанализировать, какие значения
истинности принимает оно в зависимости от того,
каковы входящие в него элементарные высказывания —
истинны или ложны. Мы уверены: чтобы описать
результаты такого анализа, вам вполне хватит асе той же
пятерки — отрицание, конъюнкция, дизъюнкция,
импликация, эквиваленция.
Кстати, можно и не лазить на полку за новыми
книгами. Помните лак он скую женщину, которая провожала
сына на войну со словами: «Со щитом или на щите»?
На первый взгляд ее напутствие.представляет собой
обыкновенную дизъюнкцию. Однако, если разобраться,

союз «или» понимается тут несколько не так, как мы
воспринимали его, разбирая строки Леонидзе *"
«Идет снег или сокол гонит белых голубей». Мы
допускаем, что сокол вылетел поохотиться на голубей во
время снегопада, иными словами, что в этом сложном
высказывании истинными могут быть оба
элементарных.
Иначе употребляла эту связку лаконская- женщина,
изрекая свой знаменитый афоризм. Ее сложное
высказывание истинно лишь в двух случаях-
тогда, когда истинно первое из входящих в него
элементарных высказываний («со щитом «У и ложно второе
(«на щите»»),
или
тогда, когда ложно первое высказывание и истинно
второе.
В подобных случаях говорят, что союз «или» имеет
разделительный смысл и выражает так называемую
строгую дизъюнкцию,
В разговоре, когда хотят подчеркнуть, что речь идет
именно о ней, союз «или» повторяют, иногда заменяя
его союзом «либо»; «Или пан, или пропал»; «или то, или
другое», «либо р стремя ногой, либо в пень головой»
и т.п.
Чтобы выяснить точный
смысл новой для нас
логической, операции, следует
дать ей строгое
определение.
Тот, кто разобрался с
афоризмом"лаконской
матери, сделает это без
труда: строгая дизъюнкция
двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда
значения истинности того и другого не совпадают.
Сравните это определение с определением эквива-
ленции и вы согласитесь: строгая дизъюнкция двух
высказываний равносильна отрицанию их эквиеаленции.
Как видите, этот наугад взятый пример подтверждает
наше предсказание* для описания любой применяемой
нами в рассуждениях логической операции достаточно
N
-и
и
л
л
М
и
л
и
л
мбо
МО
л^бо
л
и
и
j
п
439

пяти основных (отрицание! конъюнкция, дизъюнкция!
импликация, эквиваленция).
До сих пор мы занимались самыми простыми из
сложных высказываний, в состав каждого из которых
входило лишь два элементарных.
Попробуем теперь под>мяться на следующую ступеньку
сложности. Попытаемся проанализировать какое-либо
высказывание, состоящее из трех простых компонент.
Помните Безенчука, гробовщика-философа из
романа Ильфа и Петрова «Двенадцать стульев»? Классифи*
пируя своих клиентов, он, в частности, говорил: «Но
самые могучие когда помирают, железнодорожные
кондукторы или из начальства кто, то считается, что дуба
дают. Так про них и говорят: «А наш-то, слышали, дуба
дал».
Чтобы логическая структура этого суждения стала
яснее, перепишем его попроще и почетче:
Если умер железнодорожный кондуктор или умер
начальник, то люди говорят: дуба дал.
Теперь ясно видно, что это сложное высказывание
образовано из трех элементарных: «умер
железнодорожный кондуктор»; «умер начальник»; «люди говорят:
дуба дал».
Логическая структура сложного высказывания — это
совокупность и порядок логических операций, при
помощи которых оно образовано из элементарных.
Про структуру высказывания Безенчука можно
сказать, что это — импликация. Следствием в ней служит
последнее из трех перечисленных элементарных
высказываний, место посылки занимает дизъюнкция первых
двух.
Длинноватое описание, не правда ли? А ведь в да/itr
нейшем нас ждут высказывания еще более сложные.
Чем они сложнее, тем труднее описывать словами их
структуру.
Потому и возникли логические формулы. И когда
сложные высказывания переводятся на формульный
язык, их элементарные составляющие заменяются прс-
440

писными латинскими буквами. А вместо
пропозициональных связок ставятся символы соответствующих
логических операций: 1 для операции «не»| л для операции
«и», v для операции «или», -* для операции «если.,, то»,
<-» для операции «тогда и только тогда».
Надо сказать, что существуют и другие обозначения
для логических операций. Отрицание порой
обозначается волнистой чертой перед отрицаемым выражением,
импликация — символом гэ. Мы предпочли наиболее
наглядные, как нам кажетсяt обозначения.
Ради примера переведем на формульный язык
упрощенный вариант рассуждения Безенчука* Три входящих
в него элементарных высказывания закодируем буквами
А, В, С соответственно. Используя символ
дизъюнкции v, свяжем им первые две буквы: A v В; затем,
оградив для ясности эту комбинацию скобками,
образуем из нее и третьей буквы импликацию: (A v В) -> С,
«Ага! — готов схватить нас за руку ехидный
читатель. — Опять формулы! Не удается обойтись без них
авторам, как бы они ни старались!»
В ответ на справедливое замечание мы открыто
заявляем, что намерены и далее изредка употреблять
элементарные логические формулы и что на это есть свои
причины.
Что побуждало нас ранее говорить «бесформульным»
слогом? Желание сделать доступными для
непосвященных те премудрости, которые в учебниках по математике
излагаются строчками выкладок, а поясняются сухим
жаргоном с его бесконечными «если... то— тогда и
только тогда.,, для любого... существует.,.»
Но ведь сейчас речь идет именно об этих самых
«если.., то.., тогда и только тогда...» Как говорить обо
всем этом? На манер популярных книг по логике с их
кропотливым разбором всяческих парадоксов, апорий,
головоломок и дедуктивных построений в духе Шерлока
Холмса? Нам кажется, что они лишь затуманивают суть
441

дела. Гораздо яснее она становится, если в нужный
момент привести простую логическую формулу.
Несогласные с таким мнением могут на этом месте
прервать чтение книги и перейти к ее заключительной
главе.
Если вы читаете эти строки, читатель, значит, вы
соглашаетесь с только что изложенной позицией
авторов, и логические формулы вас не страшат.
В таком случае позвольте вам их и предложить.
AvC
C->D
ID
1С
А
В
Сам вид этого отрывка говорит, что он позаимствован
из книги по математической логике.
Мы привели его» вспомнив хороший прием опытных
преподавателей иностранных языков. Наставляя своих
учеников в искусстве перевода, они просят переводить
тексты дважды: сначала с чужого языка на родной, а
потом — обратно. Сопоставляя результат с оригиналом
и видя расхождения, лучше понимаешь свои промахи.
Некоторый опыт перевода с житейского языка на
формально-логический, родной язык математики, мы
уже приобрели в предыдущих разделах. Займемся
теперь обратной процедурой.
Попробуем перевести с языка символов на русский
язык хотя бы первую строчку текста, с которого
начинается этот раздел. Прописные латинские буквы — это,
очевидно, высказывания. Стрелка — знакомый нам
символ импликации.
Мы уверены, что после этого напоминания читателю
уже слышится голос строгой лаконской домохозяйки:
«Пережаришь — вздую». Но не будет никакой ошибки,
442

если перевод получится, например, таким: «Если
треугольник остроугольный, то его ортоцентр лежит внутри
него». Или даже таким: «Если лошади кушают овес, то
Волга впадает в Каспийское море»,
"Не будет ничего страшного, если разночтения
вкрадутся и в перевод второй строчки с символического
языка на русский. У одних, возможно, получится: «Идет
снег или сокол гонит белых голубей». У других:
«Треугольник ABC — остроугольный или тупоугольный*. У
третьих: «в огороде бузина или лошади кушают овес».
Пусть, читатель, вас не озадачивает такая
многозначность. Это вовсе не порок, а великое достоинство.
Записав в таком кратком ц четком виде структуру
какого-то одного логического рассуждения, мы тем самым
получаем возможность анализировать не только его, но
и все другие рассуждения той же структуры.
Это как в алгебре. Когда мы пишем а + to ~ b + а
(переместительный закон сложения), то за этим мы
видим не какое-то одно числовое равенство (скажем,
1+2 = 2 + 1), а всевозможные равенства такого же
типа (например, 5 + 7 = 7 + 5). Изучив по
алгебраической формуле эту закономерность сложения чисел, мы
можем складывать, не заботясь о порядке слагаемых,
любые реальные объекты — станки, пуговицы, столы,
карандаши..
Продолжим аналогию. В алгебре буквы, входящие в
формулы, называются переменными. Буквы, входящие
в формулы исчисления высказываний, называются еы-
сказывательными переменными.
До сих пор, когда в наших рассуждениях появлялись
логические формулы, нам было удобно понимать под
такими буквами конкретные высказывания. Под буквами
алгебраических формул тоже можно подразумева1 ь
конкретные предметы. Но так никто не делает. Изучая и
обсуждая формулы алгебры, мы вместо букв
подставляем числа. Так намного проще и удобнее.
Значит, аналогия хромает? Нет, просто нам еще не
хватает опыта. Мы еще не успели убедиться, что при
изучении и обсуждении формул исчисления
высказываний проще и удобнее подставлять в них вместо букв не
высказывания, а значения истинности, И и Л.
443

Действительно, анализируя логические формулы,
математик не представляет за ними ни Безенчука с его
глубоком ысл и ем, ни лаконскую домохозяйку с ее
самодурством. Исследуя логическую структуру
высказывания, отвлекаются от его конкретного содержания и
интересуются лишь тем, какое значение истинности
приобретает оно, когда вместо букв в его формулу будут
подставлены те или иные значения истинности —
И или Л.
Кстати, в некоторых формулах исчисления
высказываний встречаются и сами эти буквы, И и Л. Поскольку
их толкование однозначно, их называют высказыватель-
ными постоянными.
В разговорном языке связки, выражающие
логическую структуру того или иного предложения, тонут меж
его слов.
В формульной записи символы логических операций
столь же заметны, как буквы, символизирующие
элементарные высказывания. Логическая структура
сложного высказывания при эюм видна отчетливо, а
возможные двусмысленности устраняются применением
скобок.
Собственно, всякую такую конечную
последовательность букв, знаков операций и скобок,
удовлетворяющую некоторым простым правилам (типа: левых скобок
должно быть столько же, сколько правых), можно
назвать логической формулой.
Строгое же ее определение таково: всякая высказы-
вательная переменная и постоянная есть формула;
всякое отрицание формулы и всякое объединение двух
формул с помощью знаков конъюнкции и дизъюнкции,
импликации и эквиваленции есть формула; никаких
других способов образования логических формул из выска-
эывательных переменных и постоянных нет.
Не правда ли, за этим определением видятся смутные
образы разрастания, укрупнения? Вот на листе бумаги
появились две буквы, сцепленные символом логической
операции, вот символом-сцепкой к образовавшейся

формуле, огражденной для ясности скобками,
присоединена еще одна буква или другая формула... Это
напоминает химический синтез, когда посредством
химических связе'й молекулы образуются из атомов или
молекул поменьше,
И наоборот: видя логическую формулу, мысленно
начинаешь анализировать ее, разнимать на составные
части, сообразуясь с расстановкой скобок.
Истина и ложь — вот все множество значений,
которые может принимать высказывательная переменная.
Сложностей, вроде бы, никаких.
Сложности возникают, когда в логической формуле не
одна, а много переменных — л переменных, скажем мы,
чтобы подчеркнуть их многочисленность. Придавая им
конкретные значения истинности, надо всякий раз
отдавать себе отчет, какое значение получила первая из
переменных, какое — вторая... какое — л-ная.
Речь, стало быть, идет об упорядоченных наборах из
элементов множества {истина, ложь}. Речь идет об л-ках
этих элементов — вспомним термины теории множеств,
они сейчас нам понадобятся для преодоления
кажущихся сложностей.
Придавая всем л высказывательным переменным
какой-либо логической формулы всевозможные
значения истинности, будем каждый раз смотреть, какое
значение истинности приобретает при этом вся
формула в целом.
Речь, стало быть, идет об отображении множества
л-ок из элементов множества {истина,.ложь} в то же
самое множество.
Такое отображение называется л-местной функцией
исчисления высказываний, или высказывательной
функцией л высказывательных аргументов.
Вам хотелось бы разобрать по этому поводу какой-то
пример? И для начала попроще?
Что ж, напишите на бумаге любую букву и понимайте
ее как логическую фор мулу, "состоящую из одной
высказывательной переменной. Какое значение вы придадите
445

переменной, такое же примет и формула. Это будет
простейшая одноместная функция исчисления
высказываний. Каздому элементу множества {истина, ложь} она
ставит в соответствие тот, же элемент.
Поставьте теперь перед этой буквой символ
отрицания. Получится опять-таки одноместная функция
исчисления высказываний. Каждому элементу множества
{истина, ложь} она ставит в соответствие другой элемент
того же множества. Характер этой функции уже знаком
нам из таблицы истинности, которую мы составляли для
логической операции отрицания.
Если две буквы, соединенные знаками конъюнкции
или дизъюнкции, импликации или эквивапенции,
рассматривать как высказывательные переменные, каждая
такая пара определит собой двухместную функцию
исчисления высказываний'. М опять в их исследовании
помогут уже знакомые нам таблицы истинности,
составленные нами раньше для этих операций. (Вспоминая
терминологию теории множеств, можно сказать, что
каждая такая таблица есть график соответствующей
высказывательной функции.)
Пример трехместной функции исчисления
высказываний нам поможет построить Безенчук. Помните, как мы
зашифровали его сентенцию о кондукторах и
начальниках? (A v В) -» С. Будем понимать участвующие в этой
формуле буквы как высказьшательные переменные,
построим для нее таблицу истинности и тем самым
определим нашу трехместную функцию исчисления
высказываний.
Кстати, не могли бы вы
И
И
И
и
л
л
л
лш
в
(AvB)
(AvB)->C сказать» сколько строк
— будет в таблице на сей
раз? Таблица для
одноместной функции
насчитывает две строки, для
двухместной — четыре, то есть
добавление новой
переменной удваивает
количество строк. И это понятно:
все комбинации прежних
переменных следует
рассматривать сначала вместе
и
и
и
и
и
и
л
л
и
л
и
л
и
л
и
и
446

с истинным значением новой, а потом — вместе с
ложным. Стало быть, трехместная формула имеет восьми-
строчечную таблицу истинности, четырехместная
—таблицу из шестнадцати строк... А говоря в общем, таблица
для л-местной функции исчисления высказываний
насчитывает 2Л строк.
Формулы, таблицы, функции.,, В своих рассуждениях
о них мы определяли каждое следующее понятие в этом
ряду через предыдущее. Говорят, что таблица,
определяемая формулой, соответствует этой формуле, а
функция, определяемая формулой или таблицей,
соответствует той и другой.
Разумеется, функцию можно определить и без
формулы, одной таблицей, указывая для каждого набора
значений истинности, которые приданы вы сказы
нательным аргументам, значение функции. (Вспомним: ведь и
в мире числовых функций не всякая задается
алгебраической формулой!)
Чаще всего, однако, формула для высказывательной
функции бывает известна. И потому эти два термина в
математической логике зачастую употребляются на
равных. Говорят, например, не «значение функции», а «знэ-
чение формулы» и т.д.
До сих пор, беседуя об исчислении высказываний, мы
говорили, собственно, лишь о том, как оно определяет
истинностное значение того или иного сложного
высказывания, исходя из значений его элементарных
компонент и его логической структуры.
Мы переходим сейчас к другой, существеннейшей
стороне исчисления высказываний. Руководствуясь так
называемыми правилами вывода, оно исследует
взаимосвязи между истинностными значениями сложных
высказываний, имеющих некоторые общие элементарные
компоненты, и на этом основании позволяет
анализировать логические рассуждения* доказывая или
опровергая, что последнее утверждение в некоторой цепи вы*
скаэываний есть логическое следствие исходных. При
помощи тех же правил исчисление высказываний пезво
447

ляет также и строить логические рассуждения, выводя
одни высказывания из других.
(Кстати, если при анализе какого-то рассуждения,
разлагая его фразы на элементарные составляющие, мы
видим, что все эти составные части различны, мы ни
одну из этих фраз не сможем вывести как логическое
следствие из других. Потому у нас и вызвала улыбку
загадка Швейка, с которой начинался наш разговор о
логике: ясно, что из информации о слуховых окнах и
квартирантах некоего дома нельзя сделать никаких
достоверных выводов о дате смерти бабушки швейцара.)
Во всех языках есть слова, звучащие по-разному, но
означающие одно и то же: «сильный» и «мощный»!
«большой»» и «крупный», «быстро»» и «скоро* и т.д. Такие
слова называются синонимами.
Сопоставление синонимов иногда позволяет лучше
уяснить смысл стоящих за ними понятий. Вспомните, как
с этой целью мы перебирали синонимы слова
«множество»: «совокупность», «набор», «ансамбль» и т.д.
Синонимичными бывают не только слова, но и целые
выражения. Возьмем для примера одно из тех, которые
содержат частицу «ни»: «ни рыба, ни мясо».
Верные принципу формальной логики не вдаваться в
содержание анализируемых фраз, не будем углубляться
в образные оттенки этого выражения. Мы и без этого
можем безоговорочно угверадать, что фраза: «Это не
рыба и не мясо» совершенно синонимична, то есть
тождественна по смыслу предложению: «Неверно, что
это рыба или мясо».
Здесь явно пахнет какой-то логической
закономерностью!
Но будем последовательны в своем безразличии к
содержанию исследуемых предложений. Уже
отработанным приемом заменим буквами входящие в них
элементарные высказывания, превратим их в формулы,
применимые не только к продовольственным товарам.
У нас получится, что высказывание со структурой
«неверно, что А или В» означает то же самое, что высказы-
44в

ванне со структурой «не А и не В». А если выражаться
еще более общо и совсем уж научно, отрицание
дизъюнкции нескольких высказываний равносильно
конъюнкции их отрицаний.
Если читателю эта логическая находка показалась
небезынтересной, он может продолжить поиски Ьамо-
стоятельно, например, доказать, что отрицание
конъюнкции нескольких высказываний равносильно
дизъюнкции их отрицаний. В частности, сложное
высказывание со структурой «неверно, что А и В» означает то
же, что высказывание со структурой «не АилинеВ».
Найденные закономерности называются законами де
Моргана. Позже мы увидим, что они отнюдь не случайно
носят имя того же математика, что и два известных
закона теории множеств.
Обнаруженные нами совпадения смысла у различных
по логической структуре сложных предложений — не
такая уж редкость для исчисления высказываний
Вспомнмте-ка одну из фраз, с которых мы начали
знакомство с этим исчислением: «Если лошади кушают
овес, то Волга впадает в Каспийское море». Сравните
ее с таким предложением: «Если Волга не впадает в
Каспийское море, то лошади не кушают овес».
Опять: высказывания разные, но означают они, по
существу, одно и то же.
Вам это не очевидно? Что ж, давайте перейдем от этих
высказываний к их формульной записи: С -> D (для
первого) и ID -> 1С (для второго).
Формулы получились разные, но если построить для
той и другой таблицу истинности, то обе таблицы
совпадут. Стало быть, эти две формулы определяют одну и ту
же высказывательную функцию.
Две формулы исчисления высказываний,
определяющие одну и ту же бы сказы вательную функцию, и
называются равносильными.
О существовании таких формул проницательный
читатель наверняка догадывался раньше — еще когда мы
с помощью таблиц истинности доказали- высказывание
15 - 410 449

•неверно, что если А, то В» означает то же самое, что
высказывание «А и не В». Беря отрицание обоих
высказываний, заключаем, что формула импликации А -> В
равносильна формуле 1(А л IB).
Здесь опять напрашивается аналогиям алгеброй. Там
тоже встречаются формулы, обозначающие одно и то
жэ. Например, а{Ь + с) и ab + ас. (Их равенством
выражается распределительный закон умножения
относительно сложения.) Какие числа ни подставляй в ту и
другую формулу, результаты там и здесь всегда будут
одинаковые. Подобное равенство называется
тождеством и записывается с помощью особого знака: а(Ь +
+ c}=ab + ас.
В алгебраическим выкладках одну иэ таких формул
всегда можно заменить другой. Это позволяет
преобразовывать алгебраические выражения, упрощая их и
приводя к определенному удобному виду.
Точно так же и в логических выкладках всегда можно
заменить одну формулу другой, ей равносильной. Таким
путем можно преобразовывать логические формулы в
тех же целях простоты и удобства» что и в алгебре.
Несколькими строчками выше мы заменили формулу
импликации А -> В другой, содержащей иные логические
операции: ~[(А а ~|В). Замена выглядит громоздкой,
однако ее можно упростить, пользуясь законами де Моргана,
с которыми мы недавно познакомились. Возьмем
второй: отрицание конъюнкции нескольких высказываний
равносильно дизъюнкции их отрицаний. С его помощью
замена для формулы импликации становится более
простой: ТА v В.
Замена позволяет выразить все логические операции
через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (в этом
заключается приведение логических формул к так
называемой нормальной форме, удобной со многих точек
зрения).
Алгебраические тождества (вроде приводившегося
выше) выражают свойства арифметических операций.
Равносильность тех или иных логических формул
выражает свойства логических операций
По явной аналогии с алгеброй равносильность
логических формул обозначают тем же символом, что и
45а

тождественное равенство, тремя горизонтальными
черточками.
Наиболее важные «равенства» такого рода приведены
на этой странице
Таблица 3
Равносильные формулы исчисления высказываний
Ал В = В аА
A v В = В v A
А л (В л С) з {А л В) л С
A v (В v С) = (A v В) v С
А л (В v С) s (А л В) v (А л С)
Av(BaC)s(AvB)a(AvC)
А л А е А
A v A a A
АлИеА
АуИеИ
Ал Л s Л
Av/lsA
TlAsA
1(АлВ) = 1А vlB-
1(А v в) = Та л Тв
а -> в з Тв -> Та
(А л В) -> С е (А л ТС) -> ТВ
l
«Быть или не быть?» — вопрошал Гамлет, принц
датский, герой одноименной трагедии Шекспира.
В нашей беседе о логике высказываний этот возглас
звучит диссонансом: ведь вопросительные
предложения высказываниями не являются.
Подредактируем Шекспира. Опустим в гамлетовской
фразе вопросительный знак, превратим ее в формулу,
заменяя слово «быть» высказывательной переменной А,
а союз или и частицу не — их символами: A v ТА.
Что будет, если придавать переменной А то и другое
из ее возможных значений: истину и ложь?
15* 451

Если А есть истина, истинной будет левая половинка
нашей дизъюнкции. Если же А есть ложь, истинной будет
ее правая половинка. Истинности одного из двух
высказываний достаточно, чтобы их дизъюнкция была
истинной.
Итак, наша формула истинна всегда,, какие значения
истинности ни придавать переменной, от которой зта
формула зависит.
Подобное бывает и с формулами, содержащими не
одну, а две, три и большее количество переменных.
Формула, значение которой есть истина, каковы бы
ни были значения входящих в нее высказывательных
переменных, называется тождественно-истинной (или
тавтологией, или общезначимой).
Таблица 4
Тождественно-истинные формулы начисления высказываний
«А->В)лА)->В
11
(Ал В)-» А
A^(AvB)
((А -» В) л {В -> С)) -> (А -» С)
«1-»1а
В))
{А _> В)-» {(А л С)-» (В л С))
(А -» В) -» ({В -» С) -»{А -> С))
((А «-» В) л {В «-» С)) -» (А «-» С)
(А<-> В) -> (В«->А)
((А л В) -» С) -»(А -» (В -> С))
((А -» В) л (С -> В)) «-> ((A v С) -> В)
{(А -» В) л (А -> С)) <-» (А -> (В л С))
Если читателю подборка таких формул, помещенная
здесь, покажется слишком немногочисленной, он
сможет без особого труда понаделать из приведенных
формул сколько угодно новых, опять-таки
тождественно-истинных. Рецепт таков: взять любую тождествен
но-истинную формулу и вместо какой-то входящей в нее выска-
зыеательной переменной (всюду, где эта переменная
452

встречается!) подставить произвольную формулу
(всюду одну и ту же!). У вставленной формулы может
быть много аргументов, но значений — только два:
истина или ложь, то есть такие же, как у высказывательной
переменной, место которой заняла вставка Так что если
исходная формула была тождественно-истинной, то она
и после подстановки не лишится своей тождественной
истинности
Есть еще один способ получения
тождественно-истинных формул. Оказывается, если взять две
равносильные формулы и соединить их символом эквиваленции,
то полученная формула будет тождественно-истинной.
Ведь в силу своей равносильности обе исходные
формулы при любых значениях входящих в них высказыва-
тельных переменных будут одновременно либо
истинными, либо ложными» И в том и в другом случае их
эквиваленция будет истинной.
Тождественно-истинные формулы замечательны тем,
что ими выражаются законы логики, по которым мы
строим свои рассуждения. В этом читатель убедится
несколькими страницами позже.
Можно поинтересоваться: а бывают ли юждественно-
ложные формулы, то есть такие, которые обращаются в
ложь при любых значениях входящих в них высказыва-
тельных переменных? Да, бывают. Возьмите
«гамлетовскую»» формулу и замените символ операции «или» на
символ операции «и»: А л 1а. Какое значение ни придать
переменной А, одна из половинок этой конъюнкции
будет истинной, а другая — ложной, А ведь если ложно
хотя бы одно из высказываний, образующих
конъюнкцию, ложна и вся она в целом.
Заметим, что у тождественно-ложных формул естъ
еще одно обобщающее название: противоречие.
Однако как раз в этот момент мы вынуждены
попросить у читателя извинения: на наших часах — время
обеда.
На сей раз мы приготовим его сами, прямо у вас на
глазам
4БЗ

На первое, пожалуй, пойдет щавелевый суп: 400
граммов щавеля, 500 граммов мяса, 200 граммов лука, 2
столовые ложки масла и Э литра воды. Такие исходные
компоненты рекомендует «Книга о вкусной и здоровой
пище*. По ней мы перескажем и рецепт приготовления
блюда:
«Сварить мясной бульон. Лук очистить, нарезать
мелкими кубиками и слегка поджарить на масле. Щавель
потушить, протереть сквозь сито и смешать с
поджаренным луком. Смесь залить мясным бульоном, добавить
соль, размешать и варить 15 — 20 минут»,
вода Мясо Щааепь Лу* - Масло ПрИСТрЭСТНЫе К МЗТеМЗ-
- - - т и чес ким методам; мы
мыслим этот рецепт на графи-
ческий манер. Линии нари-
сованного здесь графика —
ЭТО ПУТЬ ОТ И СХОДНЫХ ПрО-
ДукТОВ ЧбрбЗ ПрОМСЖуТОЧ-
ные к готовому блюду.
6люда Подкрепившись,
продолжим изыскания в области
математической логики. Переведем взгляд на
следующую страницу... Ба, знакомый узор линий?
Что» опять рецепт? Пожалуй, но не кулинарный. Это
графическая запись тех рассуждений, которые
начинаются бузиной в огороде и кончаются точным ответом на
вопрос, проживает ли в Киеве дидька.
Но можно сказать и большее по поводу этого графика:
по такой древовидной схеме ведется логическое
рассуждение, когда из нескольких высказываний,
называемых посылками, выводится новое, называемое
заключением, которое и является целью всего рассуждения —
это. как правило, ответ на логическую задачу, сфсфму^
лированную посылками.
При этом все происходит примерно так же, как при
варке супа: из числа посылок берут какие-то две w из
них, как следствие, получают новое высказывание. Из
расширившегося таким образом множества
высказываний — посылки плюс выведенное из них следствие —
опять берут какие-то два и получают, как следствие, еще
одно высказывание. Иногда очередной шаг заключается
в том, что какое-то сложное высказывание заменяется
454

равносильным, которое состоит из тех же элементарных
компонент, но имеет другую логическую структуру,
более удобную для дальнейших шагов. Так
продолжается до тех пор, пока не получится высказывание, которое
можно рассматривать как ответ на поставленную
логическую задачу. Последовательность образовавшихся по
ходу описанной процедуры высказываний называется
доказательством, или выводом данного заключения из
данных посылок.
Искусство логического рассуждения, в частности,
заключается в том, чтобы угадывать кратчайшие пути от
посылок к заключению и верно по-
дьюкивать среди уже имеющихся
высказываний те, которые дадут новое.
Но даже и при столь искусном под-
ходе мало-мальски серьезные
рассуждения имеют весьма сложные
схемы, которым вполне подходит
придуманное для них название:
дерево логического вывода. Картинка,
приведенная тут, — всего лишь
веточка. Но мы намеренно взяли для иллюстрации именно
ее: ведь за развесистыми деревьями можно не
разглядеть леса. А незатейливую веточку нетрудно расчленить
на составные части. И читатель, вероятно, уже "начал
делать это сам, не дожидаясь призыва авторов.
Вот одна из деталей схемы: точка под номером 5. В
нее упираются стрелки, исходящие из точек 3 и 4
Сверяясь с условиями головоломки, надписанные над
ними формулы следует расшифровать так: «Если
лошади кушают овес, тс Волга впадает в Каспийское море»
(формула С -» D) и «Волга не впадает в Каспийское
море» (формула ID). Тогда высказывание 1С, написанное
рядом с точкой 5, надо понимать так: «Лошади не кушают
овес». Это вполне логичное следствие из предыдущих
двух высказываний, что, очевидно, и указывается
стрелками, ведущими из точек 3 и 4 в точку 5
Точно так же из фраз «В огороде бузина или лошади
кушают овес» (A v С) и «Лошади не кушают овес» (]С)
заключаем: «В огороде бузина» (А). А из фраз «Если в
огороде бузина, то в Киеве дядька» (А -> В) и «В огороде
455

бузина» (А) получаем ответ на головоломку: «В Киеве
дядька» (В),
Теперь мы имеем возможность вкусить плодов с
дерева вывода, вычерченного в предыдущем разделе.
Дядька проживает-таки в Киеве. Решение головоломки
получилось коротким и убедительным.
Нетерпеливый читатель, пожалуй, даже досадует:
стоило ли тянуть с ее решением, если оно оказалось таким
простым? Внимательный читатель, возможно, добавит к
этому, что формульная запись только что проведенного
нами рассуждения была помещена еще на стр. 442
(загляните-ка туда!). Разве мы не могли бы разобрать
еще тогда столь немудрящую, как выяснилось!
логическую цепочку?
Для ответа на эти вопросы очень кстати упоминание
о логических формулах.
Действительно, из высказываний «В огороде бузина
или лошади кушают овес» и «Лошади не кушают овес*
нетрудно вывести: «В огорбде бузина». Но не подсказан
ли этот вывод содержанием посылок? Всегда ли из двух
высказываний со структурой A v С и "|С будет следовать
высказывание А? В конце концов нас интересует не
овес, не бузина и не киевский дядька, а общие законы
логических рассуждений, те принцицы, по которым из
одних высказываний выводятся другие.
Попытаемся разобраться, каковы должны быть эти
принципы. Всякое рассуждение, как мы уже знаем, на-
чинается с высказываний, называемых посылками.
Естественно, все они полагаются истинными. Иначе из них
можно вывести все, что угодно, как мы подчеркивали за
разговором о логической операции «если... то»- А тогда
логическое рассуждение теряет всякий смысл: ведь нас
интересуют только истинные заключения, выведенные
из посылок.
Сказанное и определяет естественное требование к
правилам, используемым на каждом шагу логических
рассуждений: эти правила должны быть такими, чтобы
из истинных высказываний получались опять-таки лишь
456

истинные. Иными словами, чтобы из истинных
высказываний нельзя было получить ложное. Тогда и последнее
высказывание, именуемое заключением и
представляющее собой цель рассуждения, будет истинным.
Попробуем присмотреться с такой точки зрения к
только что подвернувшемуся нам примеру: верно ли, что
из любых двух высказываний со структурой A v С и "]С
следует высказывание А?
Чтобы придать ответу наибольшую общность,
переведем вопрос на чисто формульный язык. Заменим союз
и символом конъюнкции л, слово «следует» — символом
импликации -к И тогда ответ на поставленный вопрос
сведется к исследованию формулы ((A v С) л 1С) -» А.
А теперь, внимательный читатель, напрягите свою
память! Встречалась ли вам эта формула в нашей книге?
На 452-й странице она стоит третьей в списке
тождественно-истинных формул. Это означает, что она
истинна всегда, какие бы истинностные значения ни
придавались высказываниям А и С.
Впрочем, согласно сказанному выше, они могут, быть
лишь такими, что образованные из них сложные
высказывания A v С и 1С истинны: ведь оба входят в число
посылок. Если истинны они, то истинна и их конъюнкция
(A v С) л 1С. Итак, все, что стоит в исследуемой нами
формуле по левую сторону от стрелки, — истина*
Тождественно-истинна и вся формула в целом. А при таких
условиях то, что стоит ло правую сторону от стрелки, не
может быть ложью. Действительно, загляните в таблицу
истинности для логической операции «если... то»,
символизируемой стрелкой: при истинном основании
импликация истинна лишь тогда, когда истинно следствие
(в данном случае — высказывание А).
Стало быть, мы можем утверждать наверняка: всякий
раз, когда истинны высказывания со структурой A v С и
1С, истинно и высказывание А. В нашем понимании это
и означает, что из высказываний со структурой A v С и
1С следует высказывание А,
В списке тождественно-истинных формул мы видим и
формулу ((А -» В) л IB) -» ТА. Она подтверждает, что из
высказываний «Если лошади кушают овес, то Волга
впадает в Каспийское море* и «Волга не впадает в
457

Каспийское море» следует высказывание «Лошади не
кушают овес». А формула ({А -* В) л А) -» В, стоящая в
списке самой первой,обосновывает завершающее
высказывание всего нашего рассуждения о бузине и
дядьке.
Вообще, всякое правило вида: «Мз высказываний со
структурой, выраженной такими-то формулами, следует
высказывание, выражаемое такой-то формулой»,
называется правилом вывода.
Знакомство с правилами вывода, применяемыми в
исчислении высказываний, мы начнем с так
называемого правила заключения. В словесной формулировке его
можно выразить так: из высказывания А и высказывания
со структурой «еоли А, то В* следует высказывание В.
В списке правил вывода, наиболее употребительных
в исчислении высказываний (табл. 5), правило
заключения стоит на первом месте. И не случайно: следующие
сводимы к нему
Таблица 5
Правила вывода исчисления высказываний
правило заключения
В
правило силлогизма
введение дизъюнкции
удаление дизъюнкции
введение конъюнкции
удаление конъюнкции
45В

^г- вг- правило контралозиции
ТВ-» \А
(АлВ)->С
=, — =г' правило расширенной контрапоэиции
(А а \О -* В -
Все приведенные правила даны в формульной записи
При этом формулы-посыпки выписываются через
запятую в строчку, подчеркиваются чертой, а под ней
пишется формула-заключение.
Сверяясь со стр. 452, читатель обнаружит, что
заготовками для перечисленных правил вывода послужили
тождествен но-истинные формулы исчисления
высказываний, имеющие вид импликаций и эквиваленций.
Мы надеемся» что теперь читатель понял, какую
важную роль в обосновании логического следования игранэт
тождественно-истинные формулы и почему лишь после
знакомства с ними мы смогли дать убедительное реше*
ние головоломки о бузине и дядьке.
Мы надеемся также, что по ходу ее решения читатель
получил представление о принципах логических
рассуждений. В их основе лежит уже высказывавшееся нами
неявно определение логического следования:
некоторая формула есть логическое следствие из некоторых
других формул, принимаемых и качестве посылок, если
она истинна по крайней мере при всех тех значениях
входящих во все эти формулы высказывательных
переменных, которые обращают в истину все посылки.
Принципы логического следования, с которыми мы
ознакомились, позволяют не только строить правильные
логические рассуждения, но и анализировать уже
построенные (если они основаны на тех законах логики, с
которыми мы имели дело до сих пор).
Анализ рассуждения начинают с того, что выделяют
его схему. Сложные высказывания, из которых оно
состоит, разлагают на элементарные и заменяют их
буквами. Пропозициональные связки не, и, или, если... го,
тогда и только тогда заменяют символами
соответствующих логических операций. В получившейся при этом
459

цепочке формул выделяются посылки (если запись
вывода ведется в столбик, как на стр. 442, то они
отделяются от дальнейших формул горизонтальной чертой).
Затем относительно каэкдой из формул, следующих за
посылками, решается, можно ли получить ее из каких-
либо предыдущих на основании того или иного правила
вывода. Если для каздой удается получить
утвердительное решение, то вся цепь рассуждений признается
правильной — в том смысле, что последнее высказывание
в цепи не ложно, если истинны посылки.
Впрочем, это можно проверить и сразу. Способ
проверки естественным образом вытекает из определения
логического следования, данного нами в конце
предыдущего раздела.
Нужно образовать импликацию, где роль основания
играет конъюнкция всех посылок (она будет истинной
лишь тогда, когда истинна, каждая посылка), а роль
следствия — заключение всего рассуждения. Затем
нужно составить для полученной формулы таблицу
истинности, придавая высказывательным переменным
всевозможные значения, при которых посылки истинны.
Если вся полученная формула в целом при этом будет
принимать лишь одно значение — истина, то данное
заключение действительно есть логическое следствие
из данных посылок.
Этот способ довольно громоздок, но зато надежен,
С его помощью относительно всякой промежуточной
формулы рассуждения, построенного по знакомым нам
принципам, можно решить, является ли она логическим
следствием из посылок.
Заметим, что в число посылок всегда можно включить
любую тоадественно-истинную формулу: ведь
требованию истинности, которое предъявляется к посылкам,
она удовлетворит при любых истинностных значениях
входящих в нее высказывательных переменных.
Проверку логического следования, описанную в
предыдущем разделе, часто проводят по несколько ви-
460

доизмененной схеме, известной под названием
«доказательство от противного»».
В чем его суть? К формулам-посылкам добавляют
отрицание предполагаемого заключения. Из
расширенного таким образом набора формул пытаются вывести
противоречие, то есть какую-нибудь тождествен но*
ложную формулу (как правило, имеющую вид «А и не А»)
Если это удается, то говорят, что предполагаемое
заключение следует из данных посылок.
Оправданна ли такая схема доказательства?
Попробуем разобраться.
Предположим, что мы придали высказывательным
переменным такие истинностные значения, что все
посылки обратились в истину. Выведенная тождественно-
ложная формула в согласии со своим названием при
таких значениях вы сказы в а тельных переменных,
естественно, обратится в ложь.
Но ведь ложь логически следует только из лжи
(загляните в таблицу истинности для операции «если.,, то»
при ложном заключении импликация истинна лишь в том
случае, если ложно основание). Стало быть, среди
использованных при выводе противоречия формул
(включая добавленную) есть такая, которая ложна при
выбранных истинностных значениях выскаэывательных
переменных.
Ни одну из посылок в этом заподозрить нельзя: ведь
мы придавали выскаэывательным переменным именно
такие значения, чтобы все посылки были истинными
Очевидно, все дело портит, обращаясь в ложь,
использованное при выводе отрицание предполагаемого
заключения. Стало быть, само предполагаемое
заключение истинно при выбранных значениях вы сказы ватель-
ных переменных.
Нетрудно сообразить, что проведенное рассуждение
останется точно таким же при любых значениях выска-
зывательных переменных, при которых посылки
обращаются в истину. Всегда при этом в истину обратится и
предполагаемое заключение. А это и означает, что
данное заключение следует из данных посылок.
Так и оправдывается схема доказательства от
противного.
461

Проводя по этой схеме доказательство какой-либо
конкретной теоремы на языке конкретных
высказываний, поступают так* к ёысказываниям-посылкам
добавляют отрицание доказываемого высказывания и из них
выродят высказывание со структурой «А и не А». Оно,
согласно только что сказанному, и обосновывает
доказываемое высказывание.
Ради иллюстрации здесь
можно доказать от
противного какую-нибудь
несложную теорему. Возьмем, на-
— пример, за исходное
положение эвклидову аксиому о
параллельных: через точку, не принадлежащую данной
прямой, можно провести не более одной прямой,
параллельной данной. Выведем отсюда такое утверждение:
две различные прямые, параллельные третьей и не
совпадающие с ней, параллельны друг другу (то есть не
имеют общей точки).
Предположим противное: две наши прямые имеют
общую точку (обозначим ее М), Это равнозначно тому,
что через точку М мы провели две различные прямые,
параллельные третьей прямой (обозначим ее С). Но
согласно эвклидовой аксиоме о параллельных через
точку М проходит не более одной прямой, параллельной
прямой С. Объединим два последних высказывания в
одно со структурой тождественно-ложной формулы «А
и не А»:
через точку М проходит более одной прямой,
параллельной прямой Cf
и
через точку М прохбдит не более одной прямой,
параллельной прямой С.
Полученное противоречие и доказывает теорему о
параллельности любых двух прямых, порознь
параллельных третьей.
Уяснив, как проверяется правильность рассуждений,
проведенных по правилам исчисления высказываний,

читатель, естественно, захочет узнать, как по правилам
этого исчисления опровергаются неправильные
рассуждения.
Делается это так: для высказывательных переменных,
участвующих в формульной записи рассуждения,
подбираются такие истинностные значения, чтобы осе
посылки обратились в истину, а заключение — в ложь.
Это и означает, что анализируемое рассуждение
неверно по своей структуре. Ведь правильной
(напоминаем!) его структура считается лишь тогда, когда по
выражающей ее цепочке формул от истинных посылок нельзя
прийти к ложному заключению.

ИСЧИСЛЕНИЕ
ПРЕДИКАТОВ
Точка» которую мы поставили в конце предыдущей
страницы, завершает не только ее, но и весь наш
рассказ об исчислении высказываний.
Не будучи знакомым с ним, вряд ли можно сделать
хоть один осознанный шаг в логических рассуждениях.
Но это вовсе не значит, что оно дает все средства для
анализа любой логической задачи. Для характеристики
такой ситуации можно употребить уместное в нашей
математической книге словосочетание: необходимо, но
не достаточно.
Проиллюстрировать эту недостаточность можно с по*
мощью кпассического силлогизма, который наверняка
знаком хотя бы понаслышке многим нашим читателям.:
«Все люди смертны. Сократ —человек.
Следовательно, Сократ смертен»».
Логично? Да. Но попробуем ответить на вопрос: а в
чем, собственно, логичность этого умозаключения?
Вопрос поставит нас в тупик, поскольку мы пока владеем
лишь средствами исчисления высказываний, а оно такие
умозаключения не способно ни строить, ни разбирать.
В самом деле, с чего начинается в нем и построение
и разбор всякого логического рассуждения? С анализа
посылок. В них выделяются простейшие компоненты^
называемые элементарными высказываниями и
соединенные связками не9 и, или, если... то, тогда и только
тогда. Каждое новое высказывание в логической цепи
рассуждения строится из уже имеющихся по тому или
иному правилу вывода.
В нашем примере посылок две: «Все люди смертны»
И «Сократ — человек*. Здесь нет ни одной
пропозициональной связки. Оба высказывания неразложимы» так
что каждое из них приходится рассматривать как
элементарное. То же самое можно сказать и о заключении:
«Сократ смертен». И все эти три высказывания
различны, так что из первых двух третьего не получишь fin по
464

какому правилу вывода, известному вам из исчисления
высказываний.
Словом, все как в загадке Швейка: с одной стороны —
слуховые окна и квартиранты, с другой — бабушка
швейцара.
Конечно,, нельзя сказать» что у этих высказываний
совсем нет общих элементов. В первом идет речь о всех
людях, в том числе и о Сократе. О нем же говорится и
во втором, и в третьем высказываниях. Сократ— вот то
общее звено, которое связывает заключение с
посылками. Но исчисление высказываний не способно
выделить это зеено ни в одном из трех предложений,
поскольку с ее точки зрения все три неразложимы.
Вот и получается, что при всей очевидной логичности
заключения мы не можем вывести его из посылок,
владея одним лишь исчислением высказываний.
Добро бы если эта беспомощность помещала нам
рассуждать лишь о судьбе Сократа. Нет, дело здесь в
гораздо большем: обороты логической выкладки, с
которой мы только что познакомились, типичны для
рассуждений из самых различных областей математики.
Все квадраты — прямоугольники. Фигура ABCD —
квадрат. Следовательно, фигура ABCD —
прямоугольник.
Существуют положительные целые числа. Все целые
числа — рациональны. Следовательно, существуют
положительные рациональные числа.
Исчисление высказываний не способно разлагать
столь простые и очевидные рассуждения на достаточно
тонкие компоненты, чтобы доказать их правильность.
Для анализа и построения таких рассуждений нам
требуются новые логические средства, выходящие за
рамки исчисления высказываний.
Кто бы вы ни были, наш уважаемый читатель, но хотя
бы раз в жизни вам приходилось получать Б каком-либо
учреждении какую-либо справку. И вы имели возмож-
нодть убедиться, на какую высоту поставил эту
процедуру наш рациональный век

В канцелярском шкафу аккуратными стопками лежат
бланки для справок на все случаи жизни. В ответ на ваш
запрос достается нужный бланк и после заполнения
всех пробелов печатного текста невзрачный лрезде
листок бумаги превращается в официальный документ.
А до этого он назывался формой: форма № 1 (для
справок с места жительства), форма № 3 (для справок
о научных трудах и изобретениях), форма № 286 (для
справок о состоянии здоровья}.
Примерно такая же ситуация сплошь и рядом
наблюдается в математических дисциплинах, в их логических
рассуждениях. Когда математик читает: «х — целое
число», для него х все равно. ч=го для канцеляриста
пробел'в бланке.
Подобно тому как бланк после заполнения пробелов
превращается в документ, так закавыченная фраза
после замены символа х конкретным числом
превратится в высказывание. Например: пять — целое число'.
И если канцелярский бланк называется формой, то
фразы, подобные закавыченной, именуются выскээыва-
тельными формами.
Встречаются они не только там,, где речь идет о
числах. «S — выпуклая фигура», «L — ломаная линия», —
все это типичные высказывательные формы.
Каждая математическая дисциплина применяет в
подобных случаях свои буквы. Но логик предпочтет им
всем букву х и, не считаясь с устоявшимися
обозначениями, напишет:.*х — острый угол», «х — замкнутая
кривая*, если по смыслу рассуждения приходится
рассматривать не какой-то определенный, а произвольный угол,
не какую-то конкретную, а какую угодно линию. В таких
случаях наиболее уместна, конечно же, буква х, недаром
ее называют переменной. (Иногда в роли переменных
выступают и другие буквы из второй половины
латинского алфавита: у или z, и или t и т,д.)
В дальнейшем мы увидим, что фразы с иксами очень
помогают при логическом анализе не только математи-
ческих* но и самых разнообразных рассуждений. Нам
еще встретятся выражения «х — овощ», «х — моряк». И
чтобы подчеркнуть, что традиционному иксу приходится
обозначать не только математические объекты, его на-
466

зьшают предметной переменной (числовая
переменная — лишь частный случай предметной).
Названия же конкретных предметов, подставляемые
вместо икса в содержащие его выражения (типа 1олько
что приводившихся), называются предметными
постоянными.
Вот несколько результатов подобной подстановки;
«Окружность — замкнутая кривая*, «Помидор — ооощ»,
«Магеллан — моряк». Слова «окружность», «помидор»,
«Магеллан» играют здесь роль предметных постоянных,
Из предыдущих разделов мы знаем, что каждое
высказывание может быть либо истинным, либо ложным
(но не тем и другим одновременно). Из выскаэыватель-
ных форм могут получаться и те и другие, если вместо
предметной переменной подставить ту или иную
предметную постоянную.
«Пять — целое число» — высказывание истинное*
«Пи — целое число» — высказывание ложное.
«Помидор — овощ» — высказывание истинное- «Яблоко —
овощ» — высказывание ложное.
Поглядим теперь на дело с новой стороны.
Но сначала вспомним, что такое отображение. Это
соответствие, которое с каждым элементом некоторого
множества сопоставляет определенный элемент
другого (иногда того же самого) множества.
Предметы, названия которых мы подставляем вместо
предметной переменной в ту или иную высказыватель-
ную форму, образуют некоторое множество, конечное
или бесконечное. Для вьгсказывательной формы «х —
целое число»—это множество вещественных чисел, для
формы «х — моряк» — это множесто людей.
То, что после подобной подстановки высказыватель-
ная форма обращается а истинное или ложное
высказывание, можно трактовать так: каждому элементу
некоторого множества посредством данной
высказывате ль ной формы ставится е соответствии один из
элементов множества {истина, ложь}
467

Такое специфическое отображение называют
логической функцией, или предикатом.
Как для всякой функции указывается ее область
определения, так говорят об области определения
предиката (или об области значений его предметной
переменной). Для предиката «х — целое число» — это множество
чисел, для предиката «х— моряк» — множество людей.
Внимательный читатель, конечно, заметил, что мы
только что повторили фразу, встречавшуюся ранее,
однако вместо термина «высказывательная форма» на сей
раз употребили термин «предикат*. И это могло вызвать
недоумение: что же. представляют собой выражения
«х — целое число», «х — моряк»? Высказывательные
формы или предикаты?
Точный ответ на вопрос таков: это высказывательные
формы, определяющие некоторые предикаты, если для
предметной переменной х указана область ее значений.
Однако в логике часто называют предикатом не только
ту или иную логическую функцию предметной перемен*
ной, но и высказывательную форму, посредством
которой выражается та или иная логическая функция.
Поэтому в дальнейшем мы будем называть
предикатом всякую фразу с иксом, в которую вместо икса можно
подставлять названия предметов из некоторого
множества (области определения данного предиката).
Кстати, еще одна справка о справках. Формы их могут
быть весьма разнообразны.
Справка с места жительства заполняется на одно
лицо. Свидетельство о браке — на два: мужа и жену.
Свидетельство о рождении — на три: ребенок, отец,
мать. Соответственно они отличаются и количеством
пробелов.
В исчислении предикатов дело обстоит точно так же.
Логическая функция (то бишь предикат) может зависеть
от нескольких предметных переменных.
Например, «х — отрицательно» — это одноместный
предикат; <*х меньше у» —двухместный; «х плюс у равно
468

z» — трехместный. (Все переменные здесь, естествен*
но, числовые.)
Если в многоместном предикате одну из входящих в
него предметных переменных заменить предметной
постоянной, то количество мест в предикате понизится на
единицу, и это отразится на его названии.
Возьмем двухместный предикат *х меньше у»> и
придадим переменной у конкретное значение — нуль.
Получится: «х меньше нуля». Иными словами: «х
отрицательно»». А это уже известный нам пример одноместного
предиката»
Точно так же трехместный предикат после
подстановки предметной постоянной на место какой-то
предметной переменной превратится в двухместный.
Интересно, а как назвать то, что в подобном случае
получится из одноместного предиката? Нульместный
предикат — не правда ли?
Но еще раньше мы говорили, что результат такой
замены есть высказывание.
Стало быть, высказыванием нульместный предикат-
одно и то же.
Высказывательнэя форма, предметная переменная,
предметная постоянная, одноместный предикат,
многоместный предикат... Не слишком ли много мудрёных
терминов, новых понятий для пяти страничек текста?
Этак недолго распугать всех читателей, даже самых
преданных математике.
Но, как часто бывает, за диковинными
математическими абстракциями удается разглядеть нечто
привычное и понятное. Так и тут.
Скажем, выражения «х меньше нуля», «х любит
Есенина»» — это одноместные предикаты (первый определен
на множестве вещественных чисел, второй — на
множестве людей). Однако человек, не Знакомый с
предикатами, мог бы сказать, что в том и другом выражении речь
идет о некотором свойстве: в первом случае об
отрицательности числа, во втором — о литературных вкусах
человека.
460

И с этим нельзя не согласиться. Понятие свойства и
понятие одноместного предиката — по существу, одно
и то же. Не будет ошибкой сказать, что произвольный
одноместный предикат можно задать выражением: *х
обладает некоторым свойством».
Одноместный предикат мы определяли как
соответствие, при котором с каждым элементом некоторого
множества, называемого областью определения
предиката, сопоставляется одно из двух значений истинности:
* истина» или «ложь». Отберем в этом множестве те
элементы, которые придают предикату значение
«истина». "Это будет так называемая область истинности
данного предиката.
Но ведь такая процедура равнозначна испытанию,
обладает лм элемент некоторым свойством или не
обладает. Вспомним: в самом начале разговора о
множествах мы говорили, что именно так можно определить
то или иное конкретное множество с помощью
некоторого характеристического свойства
Область истинности предиката «х меньше нуля» —это
множество отрицательных чисел. Область истинности
предиката *х любит Есенина» — это множество
поклонников поэта.
Возьмем теперь двухместные предикаты, скажем,
такие: *х меньше у», *х любит у» (определенные на тех
же множествах» что и рассмотренные только что). Про
оба примера опять-таки можно выразиться на
общепонятном языке: и там и тут говорится о некотором
отношении* Поскольку и то 14 другое отношение связывает
по два элемента из области своего определения, каждое
называется двухместным, или бинарным.
Стало быть, двухместный предикат и бинарное
отношение — в сущности одно и то же. Не будет ошибкой
сказать» что произвольный двухместный предикат
можно задать выражением: «х находится в некотором
отношении к у».
Рассмотрим поближе какой-нибудь конкретный
двухместный предикат — хотя бы «ос меньше у» или «х любит
у». Посмотрим, какие пары элементов из области его
определения придают ему значение «истина».
Переберем с этой целью все возможные пары элементов этого
множества. Совокупность таких пар называется произ-
470

ведением множества на себя. Напомним, что порядок
элементов в каждой такой паре существен: скажем, если
Ваня любит Таню, то Таня может и не любить Ваню; если
два меньше трех, то три никак не меньше двух. Это
напоминание говорит также о том, что, возможно, не
каждая пара обратит взятый нами предикат с истину. Так
или иначе, область истинности любого двухместного
предиката — это некоторое подмножество
произведения его области определения на себя.
Вспомним: за беседой о множествах именно так мы и
определяли всякое бинарное отношение, определенное
на некотором множестве.
Опять мы видим, что бинарное отношение и
двухместный предикат — одно и то же.
Что же касается многоместного предиката, то его
можно понимать как некоторое многоместное
отношение.
Маленькое отступление о маленькой букве х.
Мы условились называть ее предметной переменной*
Читателю она наверняка знакома и в другой роли — в
роли неизвестного, в которой она выступает в
уравнениях.
Вот, например, квадратное уравнение*2 — к— 2 = О,
Требуется найти такие х, которые ему удовлетворяют»
Попробуем действовать наугад. Подставим в наше
уравнение вместо х единицу. Получится: минус два
рйвно нулю. Это неверно. Или, говоря на языке лотки,
это высказывание ложно
Возьмем в качестве следующего кандидата двойку.
Подставив ее в уравнение, получим: нуль равен нулю
Это высказывание истинно.
А если подставить тройку? Снова ложное
высказывание: четыре равно нулю. А если половину? Опять неуда- -
ча: минус два с четвертью равно нулю. А если минус
единицу? На сей раз удача; нуль равен нулю.
Теперь давайте разберемся: что же представляет
собой формула, о которой идет речь? Как называется
выражение, которое становится либо истинным, либо
471

ложным высказыванием в зависимости от того, какое
значение мы придаем иксу?
Высказывательная форма — прочтите еще раз
определение этого понятия.1
С помощью нашей высказывательной формы*2 — х—
— 2 = 0 элементам множества вещественных чисел
(например, единице, двойке, тройке, половине, минус
единице) мы ставили в соответствие один из двух
элементов множества {истина, ложь}.
Но именно в таком соответствии заключается
сущность логической функции, говоря иначе, предиката.
Так что, читатель, с высказывательными формами и
предикатами ыы были непосредственно знакомы еще до
чтения этой книги. Оказывается, всякое уравнение —
это, в сущности, предикат.
Более того, фактически вы уже не раз сталкивались
даже с такими тонкими понятиями, как область
определения предиката, область его истинности или ложности.
Вспомните те далекие времена, когда вы
только-только постигали искусство счета и за словом «число»» еще
не видели ничего, кроме чисел целых положительных,
иначе говоря, натуральных: один, два, три и т.д.
Вспомните, как в ту пору вас ставили в тупик вопросы
типа: сколько будет, если из двух вычесть пять? Решить
задачу значило найти такое число, которое, будучи
сложено с пятеркой, давало бы в сумме двойку. Обозначив
по привычке неизвестное число буквой х, мы можем
переформулировать вопрос в виде уравнения: х+ 5 = 2,
Ваше детское недоумение перед поставленной задачей
объяснялось тем, что из-за ограниченности вашего
математического образования вам приходилось
рассматривать этот предикат на множестве натуральных чисел,
где он не обращается в истину. Действительно, пять
плюс один не равно двум, пять плюс два — тем более, а
уж за большие числа нечего и браться. И вы растерянно
говорили, что из двух вычесть пять нельзя.
Позже, освоившись со множеством вещественных
чисел, вы уже без труда могли отыскать в нем решение
«неразрешимого» уравнения, область истинности
предиката х + 5 = 2: она состоит из единственного числа
минус три.
472

Вспомните, читатель, о саоих былых математических
затруднениях и учтите на будущее: говоря о том или
ином предикате, необходимо всегда отдавать себе
отчет в том, на каком множестве он рассматривается,
И тогда многие сложные вопросы становятся
простыми.
Мы просим прощения у читателя, но мы опять о
справках.
Нет, поверьте, мы вовсе не ^сторонники бюрократии.
Но есть в канцелярском арсенале кое-что такое, что грех
не использовать в разговоре об исчислении предикатов.
Из правил приема в высшие учебные заведения:
«Заявление о приеме подается поступающим на имя
ректора высшего учебного заведения по единой форме.
К заявлению прилагаются:
документ о среднем образовании (в подлиннике),
характеристика для поступления в вуз,
медицинская справка.,*»
И вот в приемную комиссию нуза приходит абитуриент
и подает секретарю стопку бумаг. Секретарь
просматривает их одну за другой.
«Аттестат.., Петров А.А. окончил среднюю школу
номер-* Характеристика— Петров АА. морально
устойчив, активно участвовал... Справка медицинская..,
Петров А.А. практически здоров,..»
И убедившись в правильности всех бумаг, секретарь
выдает новоявленному абитуриенту экзаменационный
лист и справку: «От Петрова А.А. получены документы 8
количестве,..»
Любая заполненная справка, как мы уже говорили, —
это высказывание. Поэтому все, что представил в
комиссию наш абитуриент, — это сложное высказывание:
«Петров А.А. окончил среднюю школу и морально
устойчив и практически здоров».
Секретарь приемной комиссии ответил на
высказывание высказыванием: «От Петрова А.А, Получены все
документы и Петрову А.А. выдан экзаменационный
лист»»,
473

Описать эту сценку нам не составило труда. Она
полностью регламентирована правилами приема в вузы,
процитированными выше. В этих правилах, конечно, нет
фамилии Петрова А.А. — мы ее придумали сами. В
правилах фигурирует абстрактный абитуриент — так
сказать, абитуриент х. Так что с точки зрения
математической логики инструкция о порядке приема
документов,' воплощенная в нашей сценке, — это не
высказывание, а предикат:
Если ж представляет заявление о приеме в вуз и
документ о среднем образовании и характеристику для
поступления в вуз и медицинскую справку, то ж получает
экзаменационный лист.
Всмотритесь в эту словесную конструкцию. Она
состоит из нескольких предикатов: «х представляет
заявление о приеме*. *х представляет документ о среднем
образовании*, *х представляет медицинскую справку*,
«х получает экзаменационный лист». Предикаты соеди*
йены теми же пропозициональными связками, которыми
прежде мы соединяли высказывания. И это естественно,
поскольку, подставляя вместо предметной переменной
х ту или иную фамилию, мы превращаем предикаты в^
высказывания.
Кстати, о подстановке предметных постоянных.
Секретарь приемной комиссии не подошьет в одно дело
справки, заполненные не на одно и то же лицо.
Подобные неурядицы недопустимы и в математической
логике: связав несколько предикатов пропозициональными
связками, мы обязаны заменять в них предметные
переменные, обозначенные одной и той же буквой, каждый
раз одной и той же для всех предикатов предметной
постоянной.
Все предикаты, которые фигурировали в нашем
примере, — одноместные. Логические операции
применимы и к многоместным предикатам.
Ключик, который мы подобрали к предикатам в
предыдущем разделе, позволит нам сейчас открыть
сразу две двери. Возможность применять к предикатам
474

логические операции поможет нам проложить
связующие пути из исчисления предикатов в исчисление
высказываний и в теорию множеств.
Как всегда, дороги, которые мы выбираем, будут
пролегать по хорошо знакомым местностям.
Областью определения предикатов,
рассматриваемых ниже, послужит множество персонажей романов
Жюля Верна. На помещенных ниже рисунках мы
обозначаем его так же, как в теории множеств обозначали
универсальное множество того или иного
рассуждения, — прямоугольником.
Многие из героев знаменитого писателя были
моряками* Для проверки их по этому признаку введем в
рассмотрение предикат «х — моряк».
х-меря к
х-не моряк
1М(х)=И
По методу диаграмм Венна внутри начерченного
прямоугольника обведем кружком область истинности
этого предиката, обозначив ее буквой М. Точки круга —
это и Джон Гаттерас, и Роберт Грант, и Нед Ленд».
Нетрудно описать на «-предикатном» языке и
внешность очерченного круга. Это будет, очевидно, область
истинности предиката <ое— не моряк», образованного из
предиката «х — моряк» применением логической
операции отрицания. Точки этой области — это, например,
Сайрус Смит, Гектор Сервадак, Филеас Фогг...
В своих книгах писатель вывел немало своих
соотечественников. Это дает повод рассмотреть еще один
предикат: «х — француз» и очертить область его
истинности Ф. Точки нового круга — это и Жак Паганель, и
Пьер Аронакс, и тот же Гектор Сервадак...
К предикатам, как мы уже говорили, применимы все
логические операции исчисления высказываний. Можно
раселлотреть предикат «х*— моряк или х — француз»,
образованный из прежних предикатов с помощью one-
475

рации дизъюнкции. Что представляет собой область его
истинности? Это, очевидно, объединение множеств М и
Ф: Джон Гаттерас и Жак Паганель, Роберт Грант и Пьер
Аронакс — каждый из них либо моряк либо француз.
х-француз
х-моряк или француз
С помощью операции конъюнкции читатель может
построить предикат «х —моряк и х — француз» и
доказать, что область его истинности — это пересечение
множеств М и Ф, а затем проверить, не пуста ли эта
область.
Рассматривая внешность двух последних фигур,
символизирующих объединение и пересечение множеств М
и Ф, вдумчивый читатель поймет, почему о законах де
Моргана говорят и в теории множеств и в логике
высказываний (см. правый из следующих рисунков),
х-моряк и француз к- не моряк и не француз
М{х)лФ(х}=И
МиФ=МпФ
Пусть тонка С на нашей диаграмме — это Сайрус
Смит, предводитель обитателей таинственного острова,
которому посвящен одноименный роман Жюля Верна.
Нельзя сказать, что Смит был моряком или
французом. И эго равнозначно утверждению: Смит был не
моряк и не француз. Заключив это, мы установили для
одной и той же пары высказываний равенство меаду
отрицанием их дизъюнкции [«Неверно, что Смит моряк
или Смит француз») и конъюнкцией их отрицаний («Смит
476

не моряк и Смит не француз»). В таком равенстве
выразился один из законов де Моргана, известных нам
из исчисления высказываний.
Но, с другой стороны, первой фразой предыдущего
абзаца выражен факт, что точка С принадлежит
дополнению объединения множеств М и Ф, а второй фразой —
что точка С принадлежит пересечению дополнений
множеств МиФ.
Так можно сказать про любую точку, лежащую за
пределами обоих кругов. Стало быть, дополнение
объединения двух множеств равно пересечению их
дополнений. А это — один из законов де Моргана, известных
нам из теории множеств.
Аналогично на наших диаграммах мы могли бы
убедиться, что столь же тесно связаны между собой и два
остальных закона де Моргана — один из исчисления
высказываний (отрицание конъюнкции двух
высказываний равносильно дизъюнкции их отрицаний), а другой —
из теории множеств (дополнение пересечения двух
множеств равно объединению их дополнений):
На диаграммах, которые мы научились строить и
анализировать, хотелось бы теперь рассмотреть
импликацию каких-нибудь двух предикатов.
Но поскольку эта логическая операция, пожалуй,
самая сложная из известных нам, то для ее пояснения
стоит подобрать произведение попроще, чем романы
Хюля Верна, — например, известное каждому ребенку
стихотворение Владимира Маяковского «Что такое
хорошо и что такое плохо».
Там, в частности, говорится: «Если мальчик любит
мыло, этот мальчик очень милый». И говорится это, как
нетрудно понять, не о каком-то конкретном, а о
произвольном мальчике — так сказать, мальчике хш
Если определить на множестве мальчиков предикаты
«х любит мыло» и <*х очень милый», то процитированная
фраза будет их импликацией, в которой предикат <х
любит мыло» играет роль основания, предикат «х очень
милый» — роль следствия.
477

х-любит мыло
и
х-оченъ милый
На диаграмме кругами очерчены области истинности
этих предикатов. Круги перекрываются. Попробуем
выделить множество тех иксов, тех мальчиков, которые
обращают наш предикат-импликацию в истинное
высказывание.
Это множество включает в себя
область ложности
предиката-посылки «х любит мыло» (иначе
говоря, область истинности предиката
«х не любит мыло»): ведь при
ложной посылке импликация всегда
верна (загляните в таблицу
истинности для операции «если... то»).
Принадлежит этому множеству (как
показывает та же таблица) и
область истинности предиката-след*
ствия «х очень милый».
Напрашивается вывод: искомая
область истинности предиката
«если х любит мыло, то х очень
милый» есть объединение областей
истинности предиката.«х не любит
мыло» и предиката «х очень милый».
Чтобы убедиться в этом
окончательно, остается доказать, что
искомая область состоит только из тех
мальчиков, которые обращают в
истину хотя бы один из двух
последних предикатов. Действительно,
для всех остальных мальчиков
верен предикат-посылка «х любит
мыло» и ложен предикат-следствие
«х очень милый». Но тогда ложен и
весь предикат-импликации в целом.
Из предыдущего раздела мы знаем: объединить
области истинности двух предикатов — это все равно, что
связать сами предикаты логической операцией «или»
Итак, область истинности предиката «если х любит
мыло, то х очень милый» — не что иное! как область
истинности предиката «х не любит мыло или х очень
милый».
О(х}-И
если х любит мыло
то х очень милый
Р(хН«х)=И
47В

В этом утверждении, при всей его странности, мы
видим уже знакомую нам равносильность двух
логических формул: «Если А, то В» и «не А или В»,
До сих пор, чтобы повести разговор о каком-либо
математическом явлении, мы частенько начинали с
далекой от математики занимательной истории, шутки»
стихотворения.
Но ведь точные науки при всей их строгости и
логичности тоже могут дать повод для улыбки.
Американский математик Дьёрдь Пойа в своей книге
«Математика и правдоподобные рассуждения»
рассказывает байку про одного исследователя, который
пытался экспериментально доказать, что все нечетные
числа простые, то есть делятся лишь на себя и на
единицу.
Как рассуждал этот экспериментатор? «Единицу
можно рассматривать как простое число. Затем идут 3,
5 и 7, все,, несомненно, простые. Затем идет
9—досадный случай; 9, по*видимому, не является простым
числом — оно делится не только на себя и на единицу, но
и на три. Но 11 и 13t конечно, простые. Возвратимся к
9: это, должно быть, ошибка эксперимента».
' В этом рассуждении нашла отражение характерная
особенность человеческого мышления: делать
глобальные обобщения на основании ограниченного числа
фактов.
Конечно, логика нашего экспериментатора не
выдерживает никакой критики. Но отголоски подобных при-»
емов можно почувствовать и в строгих логических
построениях.
Проанализируем чуть подробнее вероятный ход
мыслей нашего экспериментатора. Конечно, все началось с
открытия: существуют нечетные числа, являющиеся
простыми. И тут же скоропалительный вывод: любое
нечетное число — простое.
Разумеется, посылка и следствие в этом
умозаключении не имеют строгой логической связи. Но отвлечемся
479

от содержания и обратимся к форме. Подобные
конструкции сплошь и рядом встречаются в математике.
Например: «Существуют х такие, что | х
положительно» (речь идет о вещественных числах). «Для любого
х | х удалено от центра на заданное расстояние» (речь
идет о точках окружности).
Мы не без умысла разрубили эти фразы вертикальной
черточкой. Присмотритесь ко второму обрубку той и
другой. Это предикаты, не так ли? Один определен на
множестве вещественных чисел, другой—на множестве
точек окружности.
Однако сами фразы не являются предикатами. Это
высказывания. Про кавдую фразу можно сказать,
истинна она или ложна. (Во избежание недоразумений для
начала мы подобрали только истинные.)
Присмотритесь теперь к первому обрубку каждой из
фраз, разрубленных вертикальной чертой. Что это за
словосочетания «существуетхтакое, что.,.» «для любого
х...»9 которые превращают предикаты в высказывания?
Их называют кванторами.
Выражение «для любого х...» (синонимы: «для всякого
X,..*, «для всех х...») называется квантором общности.
Выражение «существует х такое, что...» (варианты
«найдетсяхтакое, что.,.*«для некоторыхх верно, что..,»)
называется квантором существования.
Vx Зх
квантор квантор
о бщности существования
Когда к предикату приписывается тот или иной
квантор, то это называется навешиванием квантора.
Говорят, что переменная, к которой относится квантор,
связывается квантором, и после этого она именуется
связанной переменной. Не связанная переменная
называется свободной.
Квантор общности обозначается символом Vx (V —
перевернутая начальная буква немецкого слова
«АМе» — «все»). Квантор существования — символом Зх
C — перевернутая начальная буква немецкого слова
«Existieren» — «существуют»).
460

Есть такая поговорка: «Каждому овощу — свое
время* — высказывание мудрое и употребительное во
многих жизненных ситуациях.
Термин «высказывание» мы применяем здесь в
строгом логическом смысле, а называя его мудрым,
подчеркиваем, что оно истинно.
Интересно
разобраться в структуре этой
фразы Слово «каж- f
дый» — прямой намек на х£\ О
то, что здесь употреблен \ (
квантор общности.
Осознав это, нетрудно
перевести поговорку на язык
исчисления предикатов.
Для этой цели, как
полагается, введем
предметные переменные: буквой х будем обозначать элементы
множества овощей, буквой у—то или иное время года
Ну, а теперь можно читать, как по писанному: «Для
любого х существует у такой, что х созревает в у».
УхЭу (х созревает в у)
Предикат «х созревает в у» —двухместный. И потому
чтобы превратить его в высказывание, связав в нем обе
переменные, понадобилось два квантора,
А теперь попробуем немного поэкспериментировать
С этими кванторами. Поменяем их местами. Перед
нами — новое высказывание: «Существует у такой, что
для любого х х созревает в у». Или более понятно
«Существует время, в которое созревают все овощи»
3yVx (x созревает в у)
Не надо быть агрономом, чтобы сразу сказать: Это
неверно!
Стало быть, от такой малости, как перестановка
кванторов, высказывание превращается из истинного в
ложное.
16-480 481

Следует заметить, что подобные казусы случаются
лишь с разноименными кванторами. Одноименные
можно переставлять без боязни. Отчетливее есего нам
докажут это математические примеры.
Будем обозначать буквами х и у прямые на плоскости.
Возьмем такое высказывание: «Для любого х и для
любого у х пересекает у», Высказыоание явно ложное
(ведь существуют и непересекающиеся, параллельные
прямые)! и никакая перестановка кванторов не
превратит его в истинное.
Употребим в той же фразе кванторы существования:
«Существует х такая и у такая, что х пересекает у».
Теперь высказывание верно, и ему не страшна
перестановка кванторов: оно от этого не станет ложным.
Станем теперь обозначать буквами х и у
вещественные числа. На сей раз начнем с истинного утверждения:
«Для любого х существует у такое, что х меньше у».
Переставим кванторы: «Существует у такое, что любого
х х меньше у». Высказывание получилось явно ложное:
ведь оно утверждает, что среди действительных чисел
есть наибольшее!
Итак, читатель, будьте осторожны с перестановкой
разноименных кванторов!
Предикаты и кванторы, свободные и связанные
переменные,.. Мы полагаем, читатель, что вы уже настолько
освоились с этими понятиями, что сможете решить с их
помощью несложную задачу, которую мы приготовили
для вас.
Дано: предикат «х меньше у», определенный на
множестве вещественных чисел.
Требуется: построить на его основе высказывание
(безразлично какое — истинное или ложное).
Как вы догадываетесь, решений у задачи —
неисчерпаемое количедтво: -три меньше пяти», «семь меньше
десяти», «существует х такой, что х меньше семи», «для
любого х х меньше нуля», «для любого х существует у
такой, что х меньше у...»» (Из перечисленных
высказываний четвертое ложное, остальные истинны.)
482

Решений много, но способов решить поставленную
задачу — всего двэ: каждую из предметных переменных
предиката нужно либо заменить предметной
постоянной, либо связать квантором.
Предикат (а точнее, выражающая его выскаэыватель-
ная форма) становится высказыванием, когда в нем не
остается свободных предметных переменных.
Связывая любую из них тем или иным квантором или
заменяя ее предметной постоянной, мы снижаем число
мест в предикате на единицу
Для нас уже стало привычным, знакомясь с
очередным понятием мудреного исчисления предикатов,
обращаться за пояснениями к хорошо освоенным
положениям исчисления высказываний и теории множеств.
Так было, когда мы беседовали об одноместных и
многоместных предикатах, о логических операциях над
ними Подыщем подобные аналогии и для кванторов,
С ними нас познакомил экспериментатор',
пытавшийся доказать опытным путем, что все нечетные числа
простые. С точки зрения логики он размышлял над
вопросом: что будет получаться1 если навешивать
кванторы существования и общности на предикат «х простое
число», определенный на множестве нечетных чисел?
Беря пример с нашего исследователя, не пошедшего в
своих опытах дальше тринадцати, сузим это множество
вообще до четырех нечетных чисел первой десятки: 3,
5, 7, 9.
Первый вывод экспериментатора заключался в
следующем: «Существует х такое, что х простое число»».
Относительно отобранных нами чисел это значит, что или
тройка, или пятерка, или семерка, или девятка —
простое число. Вывод верный и весьма плодотворный для
нас: мы видим, что квантор существования, по сути, не
что иное, как логическая операция «или»».
Второй вывод экспериментатора был таким: «Для
любого х х простое число*. Относительно тех же чисел
первой десятки это означает, что и тройка, и пятерка, и
семерка, и девятка — простые числа. Вывод, несомнен-
"• 483

но, ложный (все дело портит девятка), но не менее
плодотворный, чем первый: мы видим, что квантор
общности, в сущности, то же самое, что логическая one-
рация «и».
Поправим нашего экспериментатора: «Неверно, что и
тройка, и пятерка, и семерка, и девятка — простые
числа». Это высказывание, очевидно, равнозначно
такому: «Или тройка, или пятерка, или семерка, или
девятка — не простое число». (Устанавливая такую
равнозначность, мы основываемся на одном из уже известных нам
законов де Моргана: отрицание конъюнкции нескольких
высказываний равносильно дизъюнкции их отрицаний.)
Перескажем последнее высказывание на
«предикатном» языке: «Существует ж такой, что х не простое
число» (ведь операция «или» — не что иное, как квантор
существования).
По образцу только проведенного рассуждения можно
рассмотреть ложное высказывание: «Неверно, что
существует х такое, что х простое число», и доказать, что
оно равнозначно такому: «Для любого х х не простое
число».
Что же получается? Когда строится отрицание
высказывания, содержащего квантор общности, он
заменяется на квантор существования, а операция отрицания
переносится на предикат, к которому привешен квантор.
Аналогично строится отрицание высказывания,
содержащего квантор существования: он, соответственно,
меняется на квантор общности.
Но позвольте, заметит недоверчивый читатель, все
это, по-видимому, так лишь постольку, поскольку
область определения предиката, рассмотренного нами —,
множество конечное: в нем всего четыре элемента,
четыре нечетных числа первой десятки, так что
обобщающие высказывания обо всем этом множестве («для
любого,,, существует...») мы могли заменить
конъюнкциями и дизъюнкциями высказываний о каждом
элементе в отдельности. А если перейти к предикатам,
определенным на бесконечных множествах? Так ЖQ ли будут
строиться отрицания высказываний, содержащих
кванторы?
Да, точно так же. Действительно, не нужно никаких
предположений о конечности и бесконечности множе-
464

ства, элементы которого подразумеваются под
переменной х, чтобы согласиться с равнозначностью таких
фраз:
* Не вер но, нто для любого^х х обладает данным
свойством»» и «Существуетхтакой, что х не обладает данным
свойством»;
«Неверно» что существует х такой, что х обладает
данным свойством» и «Для любого х х не обладает
данным свойством».
Если это понятно, можно смело строить отрицания
высказываний, содержащих даже не один, а сколько
угодно кванторов.
Вернемся к вопросу о сроках созревания овощей.
Несколькими страницами ранее мы решили:
«Неверно, что существует такое время, в которое созревает
любой овощ». Или в переводе на «предикатный» язык:
«Неверно, что существует у такой, что для любого х х
созревает в у» (х — овощ, у— время).
неверно, что 3yVx (x созревает в у)
С учетом только что сказанного заменим это
высказывание таким, равнозначным: «Для любого у неверно,
•что для любого х х созревает в у».
vy неверно, что Vx (x созревает в у)
И еще одно преобразование по только что
описанному методу: «Для любого у существует х такой, что х не
созревает в у». Или в переводе на житейский язык: «В
любое время какой-то овощ не созревает».
VyHx (x не созревает в у)
Не правда ни — эта фраза означает то же, что
исходная?
Итак, мы видим, что строить отрицание высказывания,
содержащего кванторы, — это играть в своеобразную
чехарду: выражение «неверно, что» перепрыгивает
слева направо через кванторы, меняя квантор
существования на квантор общности, а квантор общности — на
квантор существования, пока не доберется до
предиката, к которому привешены эти кванторы.
485

Однако не слишком ли мы увлеклись мудреными
рассуждениями? Вот уж которую страницу в нашей беседе
не встречается ни шуток, ни занимательных историй. Не
заскучали ли наши читатели?
Хороший способ развлечь заскучавшую компанию —
карточные фокусы. Одному из них мы вас сейчас научим.
Существуют карты симметричные и несимметричные,
у которых можно различать верх и низ. Скажем,
бубновый туз симметричен, а у туза пикового есть выделенное
направление, на которое указывает острие пики. Точно
так же можно различать верх и низ у всех семерок, а вот
шестерки такому различению поддаются все, кроме
бубновой.
Сложите теперь все несимметричные карты, чтобы
верх у всех был ориентирован в одну сторону. Теперь
предложите кому-нибудь вытащить из этой облегченной
колоды какую-то карту и запомнить ее. Незаметно
переверните колоду, поменяв местами верх и низ, и
попросите вложить вынутую карту обратно — в любое место
колоды. После этого можете на глазах у всех
перетасовать ее — вы все равно угадаете, какая карта была
вынута: она обнаружит себя ориентацией, отличающей
ее от всех остальных карт.
Первый показ этого фокуса обычно проходит на «ура».
Однако если он разгадан и перестал вызывать интерес,
вы можете поправить дело, обратив внимание на его
логическую сторону.
Описание этого фокуса так и кишит кванторами:
«Существуют несимметричные карты» (квантор
существования); «существует симметричная шестерка» (тот же
квантор); «любая семерка несимметрична» (квантор
общности)...
Во всех этих высказываниях фигурирует одноместный
предикат, равнозначный свойству «быть
симметричным» и определенный на множестве 36 листав
карточной колоды. Во втором высказывании употребляется
другой предикат, определенный на том же множестве и
формулирующий свойство «быть шестеркой*, в
третьем — «быть семеркой»
486

Чтобы сделать присутствие этих предикатов более
явным, перепишем эти высказывания в несколько более
пространном виде.
«Существуют такие х, что х несимметрично*
«Существуют такие х. что х симметрично и х
шестерка».
«Для любых х, если х семерка, то х несимметрично*
(Кстати, эти фразы намечают еще одну параллель
между исчислением предикатов и теорией множеств
Первая означает, что множество несимметричных карт
непусто. Вторая — что непусто пересечение множества
несимметричных карт и множества шестерок. Третья —
что множество семерок включено в множество
несимметричных карт. Подобным образом на «предикатном»
языке можно выразить любое утверждение о непустоте
или пересечении каких-либо множеств, о включении
одного множества в другое.)
Какие же выводы следуют из нашего
кратковременного развлечения? Например, такой: если уж мы
разобрались в секрете эффектного карточного фокуса, то до
секретов исчисления предикатов докопаемся
обязательно
Так продолжим же наши игры, читатель!
Не напомнил ли вам, читатель, наш карточный фокус
о Сократе, про судьбу которого мы так и не смогли
сказать ничего определенного, оставаясь в рамках
исчисления высказывания? Не показалось ли вам, что дело
знаменитого философа подлежит рассмотрению в свете
исчисления предикатов?
В самом деле, первая посылка злополучного
силлогизма выглядит совсем гак фраза: «Все семерки
несимметричны», которая на языке исчисления предикатов
зазвучала так. «Для любого х, если х семерка, то х
несимметрично*
Если поступить также с первой посылкой силлогизма
о Сократе, то весь он перепишется следующим образом
Для любого х. если х человек, то х смертен.
Сократ человек.
487

Следовательно, Сократ смертен.
Теперь остается показать, как третье высказывание
следует из первых двух.
Во всякой доброй старой сказке, столкнувшись с
трудностями или замыслив великое дело, главный герой
незамедлительно отправлялся в дальнюю дорогу.
В странствиях по белу свету он набирался опыта,
мудрости, а от различных доброжелателей получал в
подарок разные чудесные штуковины, как то:
меч-кладенец, сапоги-скороходы, скатерть-самобранка и т.п.
Вернувшись домой во всеоружии, он без труда решал
все свои проблемы.
Читатель, по-видимому, уже обратил внимание на то,
что авторы частенько следуют примеру сказочных
героев. Так оно было и совсем недавно: обнаружив, что
исчисление высказываний недостаточно для анализа
силлогизма о Сократе и многих других важных
рассуждений, авторы взяли читателя под белы руки и повели
его по всяким учреждениям, где выдают и требуют
справки, затаскивали в компании, где показывают
карточные фокусы и рассказывают анекдоты о простых
числах, и даже забрели в огород, где интересовались
сроками созревания овощей.
От взглядов внимательного читателя не утаилось, что
во время этих визитов авторы прихватывали с собой
разные полезные вещи, как то: предикаты, предметные
переменные и постоянные, кванторы.
Оказывается, достаточно присовокупить эти понятия
к основным понятиям исчисления высказываний (мы
имеем е виду высказывания и логические операции),
чтобы на новой, расширенной основе стал возможным
анализ математических и не только математических
рассуждений.
Но вот какал заковыка: если выгоды от приобретения
сапогов -скороходов и скатерти-самобранки ясны
каждому Иванушке-дурачку, то по поводу предикатов и
кванторов у чртателя могли появиться серьезные
сомнения.
468

В самом деле, кому они нужны, если нормальные
человеческие фразы вида «Все люди смертны» с их
помощью превращаются в каких-то монстров: «Для
любого х( если х человек, то х смертен»?
Конечно, простота — великое достоинство. Но
неверно думать, что усложнения всегда нерациональны.
«Кто там?» — отзываетесь вы на стук в дверь. Фраза
понятна и вам и стучащему, а между тем она явно
уклоняется от норм грамматики. Попробуйте-ка
разобрать ее по членам предложения — и вы убедитесь, что
ради зтогс*ее необходимо усложнить, добавив
недостающее (но подразумеваемое) сказуемое: «Кто есть там?»
Точно так же мы не могли вскрыть логическую связь
между фразами «Все люди смертны» и «Сократ —
человек»* , покуда не усложнили первую из них, сделав
разложимой на звенья, одно из которых («х—человек»)
оказалось обобщенным вариантом второй фразы.
Правда, мы еще не знаем, как использовать эту связь,
чтобы вывести из этих двух фраз третью: «Сократ
смертен». Мы еще не до конца прошли дорогу, в которую
отправились, столкнувшись с недостаточностью
исчисления высказываний.
Так что — снова в путь, читатель!
Можем вас обнадежить, что до цели осталось
немного. Да и идти придется знакомой местностью, через
пункты с названиями которых мы знакомы по
исчислению высказываний: логическая формула, равносильные
формулы, общезначимая формула, правило вывода.
Итак, пункт первый: логическая формула.
В исчислении высказываний это была любая выска-
зывательная переменная или постоянная, а также любая
их комбинация, образованная по определенным
правилам с помощью символов логических операций и
скобок.
В исчислении предикатов, которое по отношению к
исчислению высказываний является расширением и
обобщением, шире толкуется и термин «формула».
469

Во-первых, это всякая высказывательная переменная
или постоянная.
Во-вторых, это любой символ для обозначения
произвольного предиката. Кстати сказать, если
традиционное обозначение выскаэывательной переменной —
прописные начальные буквы латинского алфавита, то
традиционное обозначение произвольного одноместного
предиката — Р {*), двухместного — Р {хр у) и так далее.
В формулах исчисления предикатов первый из этих
символов можно понимать и как «х— овощ», и как *х—
моряк», и вообще как «х обладает некоторым
свойством», второй — и как «х меньше у», и как «х любт1 у*ь и
вообще как «х находится в некотором отношении к у*.
В-третьих, это все то, что получается из формул
исчисления предикатов после навешивания на них
кванторов существования и общности.
В-четвертых, это любая комбинация формул
исчисления предикатов, образованная с помощью символов
логических операций и скобок по тем же правилам, что
и в исчислении высказываний. Надо лишь следить,
чтобы в каждой такой комбинации предметные
переменные, свободные в одной формуле, были свободны и
в других. Тогда они будут свободны и во всей
комбинации.
Обратите внимание на первое и последнее
положение: из них-то и следует, что исчисление предикатов
включает в себя все формулы исчисления
высказываний, являясь в этом смысле его расширением и
обобщением
Как мы видим, в формулах исчисления предикатов
встречаются переменные трех сортов
Прежде всего это высказывательные переменные.
Далее, это предметные переменные предикатов.
Наконец, поскольку символы для обозначения предикатов
могут иметь в этих формулах произвольный смысл, их
называют предикатными переменными
Всем таким переменным, входящим в некоторую
формулу исчисления предикатов, придают определенные
значения: каждая предикатная переменная
истолковывается как какой-то конкретный предикат, вместо
каждой свободной предметной переменной подставляется
название какого-то элемента из ее области значений,
490

каждой высказывательной переменной придается
истинное или лажное значение. И тогда вся формула
обращается в истину или ложь.
Предположим, написано: А -*ЗхР(х). Буква А,
прописная начальная буква латинского алфавита, — это,
несомненно, какое-то высказывание. Например, такое:
«Дважды два пять», Р (х) — какой-то предикат. Скажем*
«х ведьма» {под х, естественно, подразумевается какая-
то женщина). Стало быть, един из возможных переводов
нашей символической фразы на общепонятный язык —
это известный нам афоризм Хаусдорфа: «Если дважды
два пять, то существуют ведьмы»,
У этой импликации ложная посылка. Согласно
определению логической операции «если... то» этого уже
достаточно, чтобы вся импликация в целом была
истинна.
Пункт второй: равносильные формулы.
6 исчислении высказываний так назывались любые
две логические формулы, принимающие одни и те же
истинностные значения, какие бы значения ни
придавались входящим в них высказывательным переменным.
В исчислении предикатов определение равносильной
формулы — точно такое же, кроме двух последних слов
Вместо них следует поставить: «... предикатным,
предметным и высказывательным переменным».
Аналогия, как видим, весьма тесная. Она позволяет
без труда заключить, например, что любые две равно*
сильные формулы исчисления высказываний
обращаются в равносильные формулы исчисления предикатов,
если вместо одинаковых высказывательных переменных
в них подставить какие угодно (но одинаковые же)
формулы исчисления предикатов.
Конечно, такой способ не позволяет получить все
пары равносильных формул исчисления предикатов-
ведь исчисление высказываний на знает кванторов. А с
их помощью можно образовать не одну пару
равносильных формул исчисления предикатов.
451

Кстати, с такими парами мы уже неявно встречались,
разбирая поговорку: «Каждому овощу свое время». По
существу, мы доказали тогда, что отрицание
произвольной формулы исчисления предикатов! содержащей-
кванторы, равносильно такой формуле, где каждый
квантор существования заменен на квантор общности и
обратно, а знак отрицания перенесен на предикат,
стоящий за ними.
Пункт третий: общезначимая формула.
В исчислении высказываний этому термину
соответствует понятие тождественно-истин ной формулы.
Соответствие четко подсказывает, в чем определяющее
свойство общезначимой формулы исчисления
предикатов: она обращается в истину всегда, какие конкретные
предикаты ни подставить в нее вместо предикатных
переменных, какие значения из области определения
этих предикатов ни назначить входящим в них
свободным предметным переменным и какие значения
истинности ни1 придать высказывательным переменным,
встречающимся в формуле.
Опыт предыдущего раздела подсказывает нам
безотказный способ, которым можно получать общезначимые
формулы исчисления предикатов: взять любую
тождественно-истинную формулу исчисления высказываний и
каждую высказывательную переменную заменить
произвольной формулой исчисления предикатов.
Поскольку такая аналогия весьма очевидна, не имеет
смысла помещать здесь получаемые с ее помощью
общезначимые формулы исчисления предикатов. В
таблице приведены лишь формулы, выходящие за рамки
аналогии: они содержат кванторы.
В некоторых из них встречается символ эквивален-
ции. Так же, как и в исчислении высказываний, его
можно заменить знакам тождественного равенства: обе
половинки каждого такого равенства будут представлять
собой равносильные формулы.
492

Таблица 6
Общезначимые формулы исчисления предикатов
(I()) -> <3xiP(x))
A3хР(х)) « <VxiP(x))
(VxP(x) л VxG(x)) <-> (Vx(P(x) л Q(x)J)
(ЗхР(х) v 3xQ(x)) <-> (Зх(Р(х) v Q(x)))
(VxVyP^y)) ^ (VyVxP(x,y))
(ЗхЗуР(хру)) <н> <ЗуЭхР(х1У))
(VxP(x) v VxQ(x)) -» (Vx(P(x) v Q{x)))
(Зх(Р{х) л Q(x))) ^ (ЗхР(х) л 3xQ(x))
<Vx(P(x) -> Q(x))) ^ (VxP{x) -> VxQ(x))
CxVyP(x,y)) -» (Vy3xP(xiy))
P(y) -> CxP(x))
(VxP(x)) -> P(y)
Из формул, содержащих символ импликации, особого
интереса для дальнейшего заслуживают две последние.
Возьмем, например, самую последнюю, В переводе на
предметный язык ее можно прочесть так: «Если ночью
все кошки серы, то сера ночью и наша Мурка»*
Общезначимость этой формулы доказать нетрудно,
особенно если продолжать ее разбор в «кошачьей»
интерпретации. Действительно, здесь возможны два
варианта. Первый, неблагоприятный: ночью не все
кошки серы. Это означает, что основание импликации
ложно. Но тогда вся импликация истинна, каким бы ни
было следствие, истинным или ложным (загляните-ка
еще раз в таблицу истинности для операции «если..-
то»). Второй, благоприятный рариант: ночью все кошки
серы* Но тогда сера и Мурка, как одна из этих кошек.
Тогда и основание, и следствие истинны, а значит,
истинная и вся импликация. Других вариантов нет
Стало быть, анализируемая нами формула
общезначима. Читатель может доказать общезначимость всех
остальных формул.
Он сразу обнаружит, что это не такое простое дело,
как в исчислении высказываний. Там для решения
подобного вопроса было достаточно построить таблицу
истинности. В исчислении предикатов такой способ
неприменим, если хотя бы у одной свободной предметной
переменнойг входящей в формулу, область значений
493

представляет собой бесконечное множество.
Механическое заполнение таблиц здесь уступает место
рассуждениям, не менее сложным, чем вышепроведенный
разбор вопроса о ночной расцветке кошек.
Зато уж доказать, что какая-то формула не
общезначима, часто оказывается делом простым.
Помните, как нас позабавил незадачливый
экспериментатор, который верил, будто все нечетные числа
простые? К такому предположению он пришел,
обнаружив несколько нечетных чисел, которые действительно
просты. А далее он повторил заблуждение многих,
которое, дабы не причинить никому обид, мы выразим в
абстрактной форме: «Если в некотором множестве
существует элемент, обладающий некоторым признаком,
то этим признаком обладают все элементы данного
множества».
Но такая импликация еоесе не общезначима. Доказать
это можно на примере все того же экспериментатора.
Под элементами множества, о которых говорится в
нашей импликации, будем подразумевать нечетные
числа — пусть их будет всего два: семерка и девятка. А
признак, о котором идет речь, пусть заключается в том,
что число — простое. Тогда основание разбираемой
импликации верно: среди наших нечетных чисел
существует простое, например, семерка. А вот следствие
импликации ложно: не все из наших нечетных чисел
просты, скажем, девятка не такова. Но если основание
импликации истинно, а следствие ложно» то вся
импликация ложна.
«Единожды солгавши, кто тебе поверит?» —
говаривал мудрый Козьма Прутков- Чтобы доказать, что
некоторая формула исчисления предикатов не
общезначима, достаточно подставить в нее лишь раз подходящие
для этого конкретные предикаты с конкретными
областями определения и убедиться, что вся формула при
атом-обращается в ложь.
Пункт четвертый: правила вывода
494

Но прежде — несколько слов о логическом
следовании.
В исчислении высказываний, говоря, что из данных
формул-посылок следует некоторая фор мул
а-заключение, мы имели в виду, что заключение истинно по
крайней мере при всех таких значениях входящих во все
эти формулы выскаэывательных переменных» при
которых обращаются в истину все посылки.
В исчислении предикатов логическое следование
определяется почти так же, но с небольшой обобщающей
поправкой; формула-заключение истинна по крайней
мере при всех таких значениях предикатных, предмет*
ных и высказывательных переменных, при которых
обращаются 8 истину все формулы-посылки.
Заметим, что сказанное позволяет добавить к
посылкам любую общезначимую формулу: она обращается в
истину всегда, каковы бы ни были входящие в нее
Нетрудно перефразировать для исчисления
предикатов понятие вывода или доказательства, освоенное
нами в исчислении высказываний. Это некоторая пос*
ледовательность формул исчисления предикатов,
каждая из которых есть либо одна из посылок, либо
получается из предшествующих ей формул по какому-либо
правилу вывода исчисления предикатов, а последняя
формула есть заключение.
Как и в исчислении высказываний, употребляемые
при этом правила вывода основаны на общезначимых
формулах. Эти формулы выражают собой законы
логики, и недаром их незримое присутствие можно выявить
во всяком рассуждении, которое укладывается в рамки
исчисления предикатов.
Например, вслед за посылкой: «Ночью все кошки
серы* естественно написать: *Ночыо наша Мурка сера».
Логично ли это заключение? Вполне. Для обоснования
достаточно к имеющейся посылке добавить другую —
высказывание: «Если ночью все кошки Серы, то ночью
сера и наша Мурка», основанное на известной нам из -
таблицы 6 общезначимой формуле (а такие формулы!
как мы уже говорили, можно вводить в любое
рассуждение). К двум этим посылкам остается применить
правило заключения, знакомое нам еще по исчислению вы-
495

оказываний и основанное на одной из ее тождественно-
истинных формул,
В чем же суть перехода от высказывания «Ночью все
кошки серы» к высказыванию «Ночью наша Мурка сера»?
Оба получены из одного и того же предикта «ночью х
сера», определенного на множестве кошек. Только в
одном случае («ночью асе кошки серы») этот предикат
превращен в высказывание навешиванием квантора
общности, а в другом («ночью наша Мурка сера») —
подстановкой предметной постоянной «наша Мурка*,
Подобный переход логично делать с произвольным
предикатом и вслед за утверждением о том, что каким-
то свойством обладают все элементы какого-то
множества, утверждать, что данным свойством обладает
некоторый конкретный элемент данного множества. Это
правило вывода в исчислении предикатов называется
правилом универсальной конкретизации.
Формула, стоящая предпоследней в
вышеприведенном списке общезначимых формул исчисления
предикатов, подсказывает еще одно правило вывода: от
утверждения, что некоторый элемент какого-то множества
обладает каким-то свойством, логично переходить к
утверждению, что существует элемент данного
множества, обладающий данным свойством. Например, вслед
за высказыванием: «Треугольник ABC равносторонний»
можно писать: «Существуют равносторонние
треугольники». Это так называемое правило экзистенциального
обобщения.
Иногда в математических рассуждениях встречаются
переходы типа: «Существуют равносторонние
треугольники. Пусть треугольник ABC равносторонний». Говорят,
что здесь применено правило экзистенциальной
конкретизации.
Наконец, в математических рассуждениях
применяется так называемое правило универсального обобщения.
Скажем, берется произвольный треугольник и
доказывается, что его медианы пересекаются в одной точке.
Далее говорится: поскольку треугольник произвольный,
то у любого треугольника медианы пересекаются в
одной точке.
496

Таковы некоторые часто употребляемые в исчислении
предикатов правила вывода, содержащие кванторы и
потому выходящие за рамки исчисления высказываний.
Позвольте поздравить вас, читатель: мы с вами
прошли до конца весь намеченный нами путь. Продвигаясь
по нему, мы познакомились с понятиями исчисления
предикатов, вполне достаточными для анализа
математических (и не только математических) рассуждений.
На заключительном этапе пути нам крепко помогли
аналогии с исчислением высказываний. Читатель
заметил, что эти аналогии всегда носили характер
обобщения. Уже из определения формул исчисления
предикатов следовало, что в их число входит всякая формула
исчисления высказываний.
Среди формул исчисления предикатов мы особо
выделили общезначимые, подчеркнув, что они выражают
законы логики. В них, согласно сказанному, включаются
и все тождественно-истинные формулы исчисления
высказываний, также носящие высокое звание законов.
Однако это включение — строгое: законы исчисления
высказываний представляют собой лишь часть законов
исчисления предикатов. Отсюда и следует, что
исчисление предикатов позволяет анализировать такие
рассуждения, которые не под силу исчислению высказываний.
Догадливый читатель, вероятно, уже понял, что после
этих слов мы примемся за Сократа. Да, сейчас мы уже
готовы разобрать каверзный силлогизм.
Как и положено в науке, прежде чем браться за людей,
мы обстоятельно поэкспериментировали с животными.
Поговорка «Ночью все кошки серы» познакомила нас с
важным для исчисления предикатов правилом вывода —
правилом универсальной конкретизации. Его-то мы и
применим к первой фразе силлогизма о Сократе
(записанной на «предикатном»» языке): «Для любого х, если х
человек, та х смертен». На основании сказанного по
поводу кощек логично, опустив в этом высказывании
квантор общности, подставить вместох имя конкретного
Сократа: «Если Сократ человек, то Сократ смертен»*.
497

Поставим рядом с полученным высказыванием вторую
посылку силлогизма: «Сократ человек*. Наконец, к двум
последним фразам применим правило заключения,
знакомое, нам по исчислению высказываний, и получим;
«Сократ смертен»
Торжественность, с которой мы поздравили читателя
с решением головоломки о Сократе, вполне
оправданна: решив каверзную загадку, мы познакомились с
исчислением предикатов, на котором держатся очень
многие математические теории: и арифметика натуральных
чисел, и элементарная планиметрия — врата
математической учености всякого школьника, и математический
анализ, и аналитическая геометрия, и теория функций
комплексного переменного...
Пытаясь е самых общих словах охарактеризовать ту
или иную из нихт мы тотчас почувствуем, что говорим на
«предикатном» языке.
В самом деле, каждая математическая теория имеет
дело со своим множеством математических объектов:
скажем, элементарная планиметрия — со множеством
точек и прямых на плоскости.
Множество объектов, описываемых математической
теорией, должно быть точно определено. Как,
например, определить множество точек, множество прямых?
Перечисление Здесь, очевидно, не годится, и следует
прибегнуть к определению через характеристическое
свойство: «быть точкой», ««быть прямой». Но любое свой*
ство. как мы уже знаем; — это одноместный предикат.
Объекты, изучаемые той или иной математической
теорией, мыслятся с определенными свойствами и в
определенных отношениях друг с другом. Так,
элементарная планиметрия говорит о непрерывности прямых
линий, о принадлежности точек прямым, "о
параллельности прямых, о конгруэнтности фигур (то есть о
возможности совместить их наложением), о том, что из
любых трех точек, лежащих на одной прямой, одна
обязательно находится между двумя другими...
498

А теперь вспомним: всякое отношение между
элементами каких-либо множеств — это не что иное, как
многоместный предикат. Бинарные отношения, выражаемые
фразами с иксами и игреками «х принадлежит у*, «х
параллельно у», «х конгруэнтно у», — это двухместные
предикаты. Тернарное отношение между точками
прямой, выражаемое фразой «у лежит между х и z»t —
трехместный предикат.
Свойства объектов, изучаемых той или иной
математической теорией, и отношения между ними точно и
полно фиксируются в высказываниях, называемых
аксиомами. Вот, например, аксиомы элементарной
планиметрии:
Для любых двух точек существует одна и только одна
такая прямая, что эти точки принадлежат ей.
Для любой прямой существуют по крайней мере две
точки, принадлежащие ей.
Существуют по крайней мере три точки, не
принадлежащие одной прямой.
Для любых трех точек, принадлежащих одной прямой,
существует одна и только одна, лежащая между двумя
другими, и т.д.
Ни фразы без кванторов! Чистый «предикатный»* язык!
, Обратимся к аксиомам арифметики натуральных
чисел — та же история: «Для любых двух чисел хиу
выполняется одно из трех соотношений: х меньше у или
у меньше л или х равно у». «Для любых двух чисел х и у
существует число z такое, что х плюс у равно z.,.»
Полистаем первые страницы учебника
математического анализа. Мы и на его страницах обнаружим
«предикатный» язык. Вот, скажем, как выражается тот факт,
что число а является пределом последовательности х„:
«Для любого продолжительного числа с существует
натуральное число N такое, что для любого номера л, если
л больше N, то абсолютная величина разности Хп — а
меньше е«-
Листая любой учебник (вернемся ради простоты к
учебнику элементарной планиметрии), мы увидим, что
на основе объектов и отношений, описываемых
аксиомами, определяются новые объекты и отношения. Взяв
две точки на плоскости и прямую, которой они обе
499

принадлежат, определяют отрезок — совокупность
точек прямой, лежащих между двумя данными. Взяв три
точки и построив три соответствующих отрезка,
определяют треугольник. Введя понятие угла, а затем
прямого угла, определяют отношение перпендикулярности
прямых и т.д.
На дальнейших страницах учебника мы вскоре увидим
особо выделенные высказывания, называемые
теоремами. Каждая теор(ема сопровождается
доказательством — конечной последовательностью высказываний,
каждое из которых есть либо аксиома, либо получается
из других высказываний, предшествующих ему в
доказательстве, по одному из правил вывода исчисления
предикатов. Последняя фраза в этой цепочке
высказываний есть доказываемая теорема (ее часто отмечают
словами: «Что и требовалось доказать»)-
Совокупность теорем (то есть высказываний,
логически следующих из аксиом) и представляет собой
математическую теорию, основанную на данных аксиомах.
При таком подаоде каждую аксиому можно
рассматривать как теорему: все ее доказательство состоит из
единственного высказывания — ее самой.
Быть может, кое-кого из наших читателей удивит
доказуемость аксиом. Удивятся скорее всего те, кто
считает аксиомы очевидными истинами, не требующими
доказательств. Весь наш разговор о логике внушает,
однако, совсем другое представление об аксиомах: это
исходные высказывания некоторой теории, из которых
выводятся все остальные составляющие ее
высказывания — теоремы. В таком определении не утверждается
недоказуемость аксиом — стало быть, допускается
доказуемость. Вот математики и доказывают их — так, как
только что было сказано.
Впрочем, в учебниках, излагающих ту или иную
математическую теорию, лишь самые первые теоремы
выводятся непосредтвенно из аксиом. Видимо, учитывая
предостережение Вольтера: «Верное средство быть
скучным — объяснять все», авторы учебников
сокращают доказательства, начиная их не с аксиом, а с ранее
доказанных теорем, опуская очевидные положения и т.д.
500

Вот, например, как доказывается теорема о том, что
у любого четырехугольника, вписанного в окружность,
сумма противоположных углов равна 180".
Рассмотрим произвольный
вписанный четырехугольник
ABCD. Известно, что любой
угол, вписанный в окружность,
равен половине дуги, на
которую он опирается.
Следовательно, угол ZABC равен
половине-дуги uADC. Аналогично,
угол ^ADC равен половине
дуги иАВС. Сумма дуг uADC и у
иАВС равна 360". Следова- "
тельно, сумма углов ZABC и
ZADC равна 180", Поскольку
четырехугольник ABCD
произвольный, доказанное справедливо для любого
четырехугольника, вписанного в окружность.
Вторая фраза приведенного доказательства — это
ранее доказанная теорема (об этом напоминают слова
«известно, что»). Из нее по правилу универсальной
конкретизации естественно заключить (хотя это явно и не
сделано в приведенном доказательстве): *Если угол
ZABC вписан в окружность, то он равен половине дуги
uADC, на которую он опирается». Из формулировки
теоремы вытекает и такое высказывание (хотя его тоже
нет в доказательстве): «Угол ZABC вписан в
окружность». После сказанного становится 3aMeTHbiMt что
третья фраза приведенного доказательства следует из
только что написанных по правилу заключения,
известному нам еще по исчислению высказываний. А
последняя фраза основана на правиле универсального
обобщения.

ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ -
ДИАЛОГ АВТОРОВ
— Ну вот и окончилось наше путешествие по
некоторым интересным разделам математики.
— И поскольку мы исполняли обязанности гидов,
уместно поинтересоваться: не осталось ли у кого-то
каких-либо вопросов?
— Позволь мне спросить первому: как ты думаешь, кто
вместе с нами дошел до конца? Кому оказалось
полезным знакомство с математикой, лишенной формул и
строгих доказательств, место коих заняли шутк* и
побасенки? Кто заинтересован в подобных книгах?
— Во-первых, мне кажется, преподаватели. Элементы
высшей математики сейчас проникают даже в школьный
курс. Школьникам надо излагать ее иначе, чем
студентам. Как говорил Паскаль, «предмет математики
настолько серьезен, что полезно не упускать случая
сделать его немного занимательным».
—А можно воздействовать такими книгами
непосредственно и на самих учеников, особенно если математика
подавалась им в изрядно пересушенном виде и потому
казалась скучноватой. Привлеченные яркой оболочкой
занимательности, эти читатели попутно станут
усваивать и математическое содержание, которое до сих пор
казалось им горьким.
— Я вспомнил бы еще про тех, которым математика
сейчас нужна в гораздо большем объеме, чем
излагалось в школе и вузах, где они учились. Это биологи,
лингвисты, социологи — короче, все те, кто пытается
перевести свою специальность на математические
рельсы. Где брать этим людям первые уроки
математики? Из серьезных учебников? Не слишком ли высока эта
ступенька для первого шага? Должны существовать
книги, играющие роль промежуточной ступеньки,
— И их должно быть тем больше, чем интенсивнее
происходит математизация знания. А ведь она ширится
и ускоряется на наших глазах. Уже давно замечено, что
502

из всех наук наиболее быстро развиваются точные Вот
почему прочие науки стремятся перейти в разряд
точных.
— Мне вспомнилось по этому поводу высказывание
Дарвина: «У людей, усвоивших великие принципы
математики, одним органом чувств больше, чем у простых
смертных»
— А я хотел бы привести слова другого биолога, хотя
и менее известного, чем Дарвин. Это Фабр, автор книг
о жизни насекомых Про математику он говорил, что это
«удивительная учительницу в искусстве направлять
мысли, приводить в порядок неупорядоченное,
выкорчевывать глупости, фильтровать грязное и давать
ясность. Но она, — продолжал далее ученый, — тот
деликатный цветок, который произрастает не на всякой
почве и распускается так. что никто не знает как»
— Имеется в виду, что никто не знает, каким образом
некоторая область знания становится точной? К
сожалению, исчерпывающих рекомендаций на этот счет,
действительно, не существует. И если мы с тобой про*
должим разговор на эту темуь мы сможем повторить
лишь самые общие соображения.
— Согласен. Но если мы не сумеем порекомендовать
представителю любой специальности* что именно
следует делать ради математизации его науки, давай хотя
бы предостережем его от того, чего не следует делать.
— По крайней мере разберем некоторые хронические
заблуждения, касающиеся математики. Ну, например,
многим кажется, будто развитие каждой
математической дисциплины начинается с провозглашения аксиом,
невесть откуда взявшихся. А потом на них
выстраивается все дальнейшее. Напротив! Четкая формулировка
аксиом той или иной математической дисциплины
завершает целый этап ее развития, оформляет
достигнутые результаты. Как говорил Энгельс, «принципы — не
исходный пункт исследования, а его конечный
результат».
— Некоторые считают, что вся геометрия началась с
«Начал» Эвклида, А ведь до этой книги были открытия
Фалеса, Пифагора, Гиппократа, систематизированные
Эвхлидом. Причем его систематизация была кое в чем
несовершенной, как выяснилось в прошлом веке. К
503

исходу девятнадцатого столетия и была создана
аксиоматика геометрии, в основном приемлемая пб
тогдашним канонам строгости. Она завершила, таким образом,
двадцати пяти вековой этап в развитии элементарной
геометрии.
— Но логично спросить: если точная наука начинается
не с аксиом, то с чего же?
— Об этом могла бы рассказать история таких
классических точных наук, как механика, термодинамика,
оптика, электродинамика. Все начинается с накопления
экспериментальных фактов, установления устойчивых
связей между явлениями, обычно называемых
законами. Возьми хотя бы ту же электродинамику. Закон
Ампера, закон Фарадея, закон Био-Савара — сколько их
было открыто» покуда не появились уравнения
Максвелла, своеобразные аксиомы электродинамики, из
которых вытекали открытые до тех пор законы
электромагнитного поля.
— Но» очевидно, ценность уравнений Максвелла этим
не исчерпывается. В самом деле, хороша ли та теория,
которая лишь по-новому излагает уже известное?
— Разумеется, нет! Теория и строится и развивается
ради получения новых знаний о природе. Аксиомы
ценны» тем, что из них логическим путем выводятся
утверждения, предсказывающие неизвестные ранее
явления. Так было и в электродинамике: тот же Максвелл,
анализируя свои знаменитые уравнения, пришел к
заключению, что существуют электромагнитные волны,
что свет имеет электромагнитную природу... Его
гипотезы потом блестяще подтвердились экспериментами.
Великий принцип математики, заключенный в ее
дедуктивном методе, в способности вывести все свои
утверждения из немногих аксиом, поистине вооружил физиков
как бы новым органом чувств, который позволяет им
предвидеть и постигать то, что они не могут увидеть и
вообразить.
— Да, по-видимому, это хороший образец для любой
науки, желающей стать точной. Хотелось бы выделить
принципиальные моменты этого становления. По мере
того как экспериментаторы накапливают опытные
факты, теоретики вырабатывают элементарные
основополагающие понятия, немногочисленные, но очень
504'

емкие в том смысле, что наблюдаемые факты могут быть
интерпретированы как конкретные проявления этих
понятий. В механике к их числу принадлежит понятие
материальной точки, в электродинамике — понятие
напряженности электрического и магнитного поля..,
— И еще один принципиальный момент: анализ
способов рассуждения, которые применяются в данной .
науке. Из них вырабатываются те принципы вывода, по
которым из аксиом будут получаться следствия.
— Здесь, по-моему, дело обстоит намного легче.
Логика во всех науках одна. Очень хорошо, если найденные
в той или иной науке законы допускают количественную
формулировку. Тогда для их выражения нужно лишь
выбрать подходящий математический аппарат, а все
дальнейшее идет по соответствующим правилам
преобразования формул*
— Я не согласен со словом «выбрать». Это значит —
взять готовое. Такой путь, конечно, возможен и разумен.
Математика создала богатый арсенал методов,
доказавших свою эффективность и в механике, и в
термодинамике, и в оптике...
— И часто случается, что одно и то же уравнение
позволяет описать очень далекие по своему
физическому смыслу Явления. Одна и та же формула, например,
выражает и закон взаимодействия двух электрических
зарядов, и закон притяжения двух масс. Я не удивлюсь,
если математический аппарат термодинамики
пригодится, например, в какой-то лингвистической теории.
— Но может случиться и так, что готового аппарата для
. новой развивающейся науки на математических складах
не найдется. Тогда его придется строить с нуля. Кстати,
это пойдет на пользу самой математике, пополнит ее
арсенал. Необходимость творчества может выявиться в
самых непредвиденных местах. Вот, скажем, ты уверен,
что во всех науках логика одна и та же — с ее извечным
«да — нет», «истина — ложь». Но вспомни, как ты
голосуешь на собраниях. У тебя не две, а три возможности:
«за», «против», «воздержался», И недаром
разрабатываются многозначная логика и еще более диковинные
логические теории. Вполне возможно, что какая-то
наука, становясь точной, примет на вооружение такую
логическую систему, которая до сих пор еще не находи-
505

ла применения в точных науках. Ведь закономерности 8
каждой области знания свои.
— Иными словами, превращение той или иной науки
в точную — это процесс, идущий из самой ее глубины,
а не бездумное заимствование уже известного
математического аппарата и отработанной терминологии.
— Такое, к сожалению, встречается нередко. В иных
книгах, написанных под девизом математизации науки,
по существу, нет ничего, кроме нагромождения формул
да жонглирования эффектными словечками: инвариант
многомерность, изоморфизм,.,
— Искривленное пространство, векторное поле и
прочая и прочая.
— Математизация не в этом. Не боясь повториться, я
бы вновь попытался подчеркнуть два существеннейших
ее положения. Первое — это обобщение уже достигну*
того той или иной наукой и выделение нескольких
основных утверждений, если угодно, аксиом содержащих
точное и полное описание взаимосвязей между
элементарными понятиями данной науки и одновременно
служащих определениями этих понятий Второе — это
закрепление принципов вывода, согласно которым всякое
утверждение данной науки логически вытекало бы из ее
аксиом.
— Все это, конечно, очень просто порекомендовать,
но очень трудно выполнить. Проблем тут возникает
немало. Располагает ли данная наука необходимыми
для описанной процедуры основополагающими
понятиями? Если располагает и на их основе удалось
сформулировать некоторую систему аксиом, то полна ли эта
система, то есть можно ли, исходя из нее, вывести
любое утверждение данной науки, хотя бы любое из уже
известных? Если же система неполна, то как ее
пополнить? Такое пополнение рано или поздно окажется
неизбежным с открытием новых фактов... Вот что должно
заботить специалиста, желающего видеть свою
дисциплину в ряду точных наук.
— А что касается формул, это уж как получится.
— Вот на этой фразе, оправдывающей название
нашей книги, давай и закончим.
506

ББК22.1
П90
Пухначев Ю., Попов Ю.
П 90 Математика без формул. — М.: АО «СТОЛЕТИЕ»,
1995- 512 с.
Математически® формулы — лишь
удобный язык для изложения идей и
методов математики. Сами же эти
идеи можно хуписать используя
привычные и наглядные образы из
окружающей, жизни.
— 4809000000 - 005
11 41А@3)-95-
ISBN 5-7459-0026И
© Пухначев РСПопое Ю. Текст. Составление. 1995 г
© АО «СТОЛЕТИЕ». Составление, оформление, 1995 г