А.П.РОТШТЕЙН
С.Д.ШТОВБА
надежность
алгоритмических
процессов

УДК 681.3
Рецензенты
Герасимов Б.М., д.т.н., проф., Заслуженный деятель науки и техники Украины
(Киевский военный институт управления и связи)
Кузьмин И.В., д.т.н., проф., Заслуженный деятель науки и техники Украины
(Винницкий государственный технический университет)
Ротштейн А.П., Штовба С.Д.
Нечеткая надежность алгоритмических процессов.— Винница: Континент— ПРИМ,
1997г.— 142 с.
ISBN 966-516-034-6
Книга посвящена применению теории нечетких множеств для оценки и оптимизации надежности так
называемых алгоритмических процессов: алгоритмов функционирования человеко-машинных систем, техно-
логических процессов производства продукции, процессов преобразования информации в компьютерных систе-
мах и др. Основные результаты: 1.Принципы применения теории нечетких множеств в задачах надежности
2.Способы представления неопределенных исходных данных в виде нечетких чисел
З.Учет влияющих факторов с помощью нечеткого логического вывода, 4,Методика обобщения вероятностных
моделей на нечеткий случай. 5.Укрупнение вероятностных графов с нечеткими весами дуг. 6.Нечеткие модели
надежности типовых алгоритмических структур. 7.Оптимальный выбор способов реализации операторных и
логических элементов. 8.Примеры нечеткой оценки и оптимизации надежности информационного и произ-
водственного процессов.
Предназначена для научных работников и специалистов, занятых проектированием сложных систем. Мс»
использоваться студентами и аспирантами вузов.
ОБ АВТОРАХ
РОТШТЕЙН Александр Петрович - доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой компьютерных систем управления Винницкого
государственного технического университета. Член Международного общества
“Человеческий фактор и эргономика”, Член международной ассоциации нечетких
систем, Действительный член Нью-Йоркской академии наук. Автор монографий
“Проектирование бездефектных человеко-машинных технологий” (1992),
“Медицинская диагностика на нечеткой логике” (1996).
ШТОВБА Сергей Дмитриевич - кандидат технических наук, младший
научный сотрудник кафедры компьютерных систем управления Винницкого
государственного технического университета. Автор ряда статьей по нечеткой
надежности сложных систем.
Alexander Р. Rotshtein and Sergei D. Shtovba
Fuzzy Reliability of Algorithmical Processes. Vinnitsa: Continent-PRIM; 1997,— 142 p.
ABOUT AUTHORS
This book is devoted to the fuzzy theory application for reliability analysis and optimization of the so-called
algonthmical processes: algorithms of man-machine systems functioning, technological processes in industrial plant:
information processes in computer-based systems and so on. Main results: 1.Principles of fuzzy set theory applicatk
to the reliability tasks. 2.Methods of undefined source data representation using fuzzy numbers. 3.Account of infiuen
ced factors using fuzzy logic evidence. 4.Methodology of probabilistic models fuzzy extension. 5.Reduction of proba
bilistic graphs with fuzzy weighted arcs. 6. Fuzzy reliability models of typical algorithmic structures. 7.Optimal select,
of operator and logical elements. 8.Examples of fuzzy reliability analysis and optimization of information and industry
processes.
For researchers and engineers engaged in complex systems design. It can used by students and postgra-
duates.
Спонсор издания: фирма “Агробизнес”
Alexander Р. ROTSHTEIN - Doctor of Science, Professor, Head of Computer-
Based Information and Management Systems Department in Vinnitsa State Technical
University. Member of International Society of Human Factors and Ergonomics,
Member of International Fuzzy Systems Association, Active Member of New York
Academy of Sciences. He is the author of two other books “Design of Zero-Defect Man-
Machine Technologies” (1992) and “Fuzzy Logic Based Medical Diagnostics” (1996).
ISBN 966-516-034-6
© А. Ротштейн, 1997
© С. Штовба, 1997
Sergei D. SHTOVBA - Ph.D., Researcher of Computer-Based Information and
Management Systems Department in Vinnitsa State Technical University. He is the
author of several papers devoted to the fuzzy reliability theory of complex systems.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение	8
1.	Проблема надежности алгоритмических процессов	11
1.1.	Алгоритмические процессы как объект проектирования	11
1.2.	Необходимые сведения из теории нечетких множеств	15
1.3.	Принципы нечеткого анализа надежности	18
2.	Метод нечеткого обобщения моделей надежности	22
2.1.	Нечеткое представление неопределенных исходных данных	22
2.2.	Учет факторов, влияющих на исходные данные	33
2.3.	Принципы нечеткого обобщения моделей надежности	47
2.3.1.	Принцип обобщения Заде	47
2.3.2.	а-уровневый принцип обобщения	50
2.3.3.	Модифицированный принцип обобщения	53
2.4.	Методика нечеткого обобщения моделей надежности	56
3.	Нечеткий анализ надежности нерегулярных алгоритмических процессов 60
3.1.	Нечеткий вероятностный граф	60
3.2.	Правила укрупнения нечеткого вероятностного графа	65
3.2.1.	Объединение последовательных дуг	65
3.2.2.	Объединение параллельных дуг	67
3.2.3.	Удаление дуги-петли	69
3.3.	Алгоритм укрупнения нечеткого вероятностного графа	70
3.3.1.	Матричное представление нечеткого вероятностного графа 70
3.3.2.	Удаление вершины без петли	72
З.З.З.	Объединение параллельных дуг	73
3.3.4.	Удаление дуги-петли	74
3.3.5.	Обобщенный алгоритм укрупнения	75
З.З.б.	Пример укрупнения нечеткого вероятностного графа	75
3.4.	Сравнение трудоемкости методов укрупнения	78
4
4.	Нечеткий анализ и оптимизация надежности регулярных алгоритмических
процессов	84
4.1.	Модели	надежности операторов	84
4.2.	Модели	надежности логических условий	86
4.3.	Модели	надежности алгоритмических структур	88
4.3.1.	Последовательная структура	90
4.3.2.	Структура “а-дизъюнкция”	90
4.3.3.	Структура “обратная а-итерация”	92
4.3.4.	Структура “работа-контроль-доработка”	92
4.3.5.	Структура “работа с выборочным контролем’’	94
4.3.6.	Структура “многократная работа”	95
4.4.	Нечеткие модели надежности алгоритмических структур	95
4.5.	Алгоритм нечеткой оценки надежности	101
4.6.	Оптимизация надежности при нечетких исходных данных	102
4.6.1.	Сравнение нечетких чисел	102
4.6.2.	Оптимальная выбор операторов и условий	104
5.	Экспертно-моедлирумицая система для надежностного проектирования
алгоритмических процесов	108
5.1.	Архитектура экспертно-моделирующей	системы	108
5.2.	Формирование структуры алгоритмического процесса	111
5.3.	Формирование исходных данных	112
6.	Примеры нечеткого анализа и оптимизации надежности	115
6.1.	Оценка надежности системы продажи автобусных билетов	115
6.2.	Оптимизация технологического процесса производства печатных
плат	121
Заключение	132
Литература	133
Приложение. Пошаговая оценка надежности системы продажи автобусных
билетов	136
5
CONTENTS
Introduction
1.	Problem of Algorithmic»! Processes Reliability
1.1.	Algorithmical processes as an object of design
1.2.	Brief introduction in fuzzy set theory
1.3.	Principles of fuzzy reliability analysis
2.	Method of Reliability Models Fuzzy Extension
2.1.	Fuzzy representation of indefinite source data
2.2.	Account the influenced factors
2.3.	Fuzzy Extension Principles of Reliability Models
2.3.1.	Zadeh’s Extension Principle
2.3.2.	а-level Extension Principle
2.3.3.	Modified Extension Principle
2.4.	Methodology of Reliability Models Fuzzy Extension
3.	Fuzzy Reliability Analysis of Irregular Algorithmical Processes
3.1.	Fuzzy Probabilistic Graph
3.2.	Rules of Fuzzy Probabilistic Graph Reduction
3.2.1.	Reduction of Subsequent Arcs
3.2.2.	Reduction of Parallel Arcs
3.2.3.	Reduction of Feedback
3.3.	Algorithm of Fuzzy Probabilistic Graph Reduction
3.3.1.	Matrix Representation of Fuzzy Probabilistic Graph
3.3.2.	Reduction of knot without feedback
3.3.3.	Reduction of Parallel Arcs
3.3.4.	Reduction of Feedback
3.3.5.	Generalized Algorithm of Reduction
3.3.6.	Example of Fuzzy Probabilistic Graph Reduction
3.4.	Comparison of Reduction Methods
6
8
И
11
15
18
22
22
33
47
47
50
53
56
60
60
65
65
67
69
70
70
72
73
74
75
75
78
4.	Fuzzy Reliability Analysis and Optimization of Regular Algorithmical Processes 84
4.1.	Reliability Models of Operators	84
4.2.	Reliability Models of Logic Conditions	86
4.3.	Reliability Models of Algorithmical Structures	88
4.3.1.	Linear Structure	90
4.3.2.	Branching Structure	90
4.3.3.	Iterative Structure	92
4.3.4.	Structure of «Work-Control-Retrofit»	92
4.3.5.	Structure of «Work with Selective Control»	94
4.3.6.	Structure of «Multiple Operation»	95
4.4.	Fuzzy Models of Algorithmical Structures Reliability	95
4.5.	Algorithm of Fuzzy Assessment of Reliability	101
4.6.	Reliability Optimization under Fuzzy Source Data	102
4.6.1.	Comparison of Fuzzy Number	102
4.6.2.	Optimal Choose of Operators and Conditions	104
5.	Expert-Modeling System for Reliability Design of Algotithmical Processes 108
5.1.	Architecture of Expert-Modeling System	108
5.2.	Input of Algorithmical Processes Structure	111
5.2.	Input of Source Data	112
6.	Examples of Fuzzy Reliability Analysis and Optimization	115
6.1.	Reliability Analysis of Bus Tickets Sale System	115
6.2.	Reliability Optimization of PCB-production Process	121
Conclusion	132
References	133
Appendix. Step-by-Step Reliability Analysis of Bus Tickets Sale System	136
7
ВВЕДЕНИЕ
представить базу данных о надежности операций (или элементов системы) с учетом
всех возможных условий их эксплуатации. Таким образом, в строгие и достаточно
Процессы функционирования многих систем с дискретным характеро| СЛОЖНые модели вероятностной теории надежности подставляются "не очень
поведения можно рассматривать с единых позиций, если их объединить в класс та> КОрректные" исходные данные.
называемых алгоритмических процессов (АП). Типичными представителям AI Известно, что разработчики сложных систем достаточно часто принимают
являются процессы преобразования информации в компьютерных система» решения на основе экспертной информации типа: "вероятность правильного
процессы выполнения научно-исследовательских и конструкторских работ выполнения операции находиться в диапазоне 0.9-0.99", или "если техника
технологические процессы производства продукции, учебные процессы и л; обслуживается правильно и условия ее эксплуатации хорошие, то надежность
Каждый из этих процессов представляет собой развернутую во времен высокая", или "если человек утомлен, то количество ошибок при выполнении
последовательность операций (действий, работ), выполнение которых приводит операций увеличивается приблизительно вдвое” и т.д., т.е. на базе естественно-
достижению цели, т.е. к получению выходного продукта: информацит языковых высказываний.
документации, знаний и т.д.	Вероятностная теория надежности не приспособлена к использованию
При проектировании конкретного АП возникает необходимость оценки таки исходных данных, представленных в виде высказываний экспертов на естественном
показателей надежности и качества функционирования как:	языке. Поэтому в последние годы возник интерес к построению так называемой
Р - вероятность правильного выполнения процесса, которая может быт “нечеткой теории надежности”, которая кроме традиционного вероятностного
интерпретирована как достоверность информации, бездефектность продукции аппарата использует теорию нечетких множеств, хорошо приспособленную к учету
надежность функционирования системы и др.	лингвистической экспертной информации.
Т - затраты (времени или других ресурсов) на выполнении процесса, которы Первой специализированной монографией в этой области является сборник
могут использоваться для оценки производительности системы или своевременное'! “Reliability and Safety Analysis under Fuzzyness” / T.Onisawa, J.Kacprzyk, ed. -
достижения цели.	Heidelberg: Phiysica-Verlag, 1995, (Studies in Fuzziness, Vol.4), 376р. В этом сборнике
Взаимосвязь показателей Р и Т обусловлена наличием в алгоритмически помещена статья А.П.Ротштейна “Fuzzy Reliability Analysis of Labour (Man-Machine)
процессе так называемых контрольно-доработочных процедур, которые повышаю Systems” (стр. 245-275), в которой намечен подход к обобщению существующей
вероятность правильного выполнения алгоритма, но требуют дополнительны теории надежности человеко-машинных алгоритмов на нечеткий случай.
затрат.	Предложенный подход развивается в настоящей книге, которая является
Модели надежности и качества функционирования различных алгоритмичеспервой отечественной монографией, целиком посвященной оценке и оптимизации
ких процессов получили наибольшее распространение в работах А.И.Губинскогмадежности алгоритмических процессов при нечетких исходных данных. В
(человеко-машинные системы), Г.В.Дружинина (технологические процессы монографии использованы результаты кандидатской диссертации С.Д.Штовбы,
И.В.Сафонова (структурно-алгоритмические системы), А.П.Ротштейна (трудовывыполненой на кафедре компьютерных систем управления Винницкого государствен-
процессы). В этих работах моделирование осуществляется на основе теориного технического университета под руководством д.т.н., проф. А.П.Ротштейна.
марковских и полумарковских процессов, состояния которых отождествяются Книга состоит из шести глав.
операторами и логическими условиями алгоритмов.	В первой главе рассматривается проблема надежности алгоритмических
Успешное использование теории надежности алгоритмических процессов (кадроцессов, приводятся необходимые сведения из теории нечетких множеств и форму-
впрочем, и классической теории надежности) предусматривает возможносПируются принципы моделирования надежности при нечетких исходных данных,
построения баз данных о надежностных характеристиках элементарных операцш Определяющее влияние на взгяды авторов в этой области оказали работы
образующих процесс. А где брать исходные данные о новых операциях, для которычокойного А.И.Губииского, который был руководителем научного направления
нет достаточной статистики и опыта эксплуатации в реальных условиях?	Эффективность, качество и надежность человеко-машинных систем” и учителем
Классическая, т.е. вероятностная теория надежности предлагает проводит>ДНого из авторов этой книги.
эксперименты, которые, к сожалению, очень трудоемки и не всегда возможны. Нс Во второй главе разрабатывается метод обобщения моделей надежности на
даже, если такие эксперименты и удается провести, то их результаты получаются пр;лУчай нечетких исходных данных. Этот метод предусматривает представление
одних условиях, а система функционирует в совсем других условиях. Трудно себ1еопределеной исходной информации в виде нечетких чисел, учет влиящих факторов
' помощью нечеткого логического вывода и обобщение известных вероятностных
х
9
моделей на случай нечетких аргументов. Предла! аемый метод может использовался
не только в моделях надежности алгоритмических процессов, но и в традиционных
моделях структурной надежности.
В третьей главе рассматриваются теория нечеткого анализа надежности
процессов, представляемых поглощающими вероятностными графами. К таким
графам сводятся так называемые нерегулярные алгоритмические процессы с произ-
вольными обратными связями. Для построения моделей надежности предлагаются
правила укрупнения вероятностных графов с нечеткими весами дуг. Показывается,
что представление неопределенной информации в виде нечетких чисел позволяет
снизить вычислительную трудоемкость процедуры укрупнения вероятностного
графа по сравнению с известными методами, использующими свертку функций
распределения.
В четвертой главе рассматриваются математические модели оценки и оптими-
зации надежности регулярных алгоритмических процессов при нечетких исходных
данных. Для описания регулярных алгоритмов используется язык алгоритмических
алгебр В.М.Глушкова. Оценка надежности осуществляется на основе моделей
типовых алгоритмических структур, позволяющих преобразовать исходный алго-
ритм к единственному оператору с эквивалентными нечеткими вероятностно-времен-
ными характеристиками. Оптимизация надежности осуществляется за счет выбора
способов реализации операторных и логических элементов, входящих в процесс.
В пятой главе описывается экспертно-моделирующая система, автоматизи-
рующая наиболее трудоемкие вычислительные процедуры нечеткой оценки и
оптимизации надежности проектируемых алгоритмических процессов. Термин
“экспертно-моделирующая система” подчеркивает наличие двух составляющей:
экспертной и моделирующей. Моделирующая часть системы является традиционной
для автоматизированного проектирования. Экспертная часть предназначена для
сбора и преобразования неопределенной исходной информации в нечеткие
множества, используемые при моделировании.
В шестой главе приводятся реальные примеры оценки и оптимизации
надежности алгоритмических процессов при нечетких исходных данных. Задача
оценки надежности рассматривается на примере автоматизированной системы
продажи автобусных билетов, задача оптимизации надежности рассматривается на
примере технологического процесса производства печатных плат.
Книга может использоватся студентами, изучающих теорию надежности,
исследование операций, искусственый интеллект и компьютерные науки. Кроме того
она будет полезна инженерам-практикам для оценки и оптимизации надежности
сложных систем.
Авторы благодарят руководство Винницкого государственного технического
университета за предоставленную возможность выполнения исследований,
положенных в основу этой книги, в рамках госбюджетной тематики.
1.	ПРОБЛЕМА НАДЕЖНОСТИ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
1.1.	Алгоритмические процессы как объект проектирования
Под алгоритмическим процессом (АП) будем понимать дискретный
процесс функционирования сложной системы, который формально можно
представить в виде некоторого алгоритма. Предполагается, что этот
алгоритм обладает свойствами: дискретности, детерминированности,
элементарности и конечности шагов, направленности и массовости
[18].
Типичными представителями АП является алгоритмы деятельности
человека-оператора, алгоритмы функционирования ЭВМ и АСУ,
технологические процессы производства и контроля продукции,
алгоритмы функционирования человеко-машинных систем, процессы
создания сложных систем и др.
Перечисленные процессы, независимо от конкретного содержания
входящих в них операций, имеют общие алгоритмические свойства:
каждый из них имеет начало и конец, причем переход процесса из
начального состояния в конечное осуществляется за конечное число
шагов.
При оценке надежности и качества выполнения АП используются
следующие показатели:
Р - вероятность правильного выполнения АП;
Т - время выполнения АП;
С - стоимость выполнения АП.
В зависимости от типа АП эти показатели могут
интерпретироваться в терминах:
-вероятность достижения цели, достоверность преобразования и
передачи информации, уровень бездефектности продукта труда,
вероятность выполнения задачи (показатель Р);
-трудоемкость технологического процесса, время преобразования
информации, время выполнения задачи (показатель Т);
-себестоимость производимой продукции, затраты на преоб-
разование информации, стоимость выполнения задачи (показатель С).
Заметим, что показатели Т и С характеризуют АП со стороны
затрат, что указывает на их общую аддитивную природу. Из этого
11
10
„ „	„	задачи анализа и синтеза АП рассматриваются в литературе с
следует, что модели оценки показателей Т и С будут имещ
„	,	гоияпя шестидесятых годов. В первых работах по моделированию АП
одинаковый вид. В дальнейшем изложении будем рассматривать липд1ачал°- ш
ч 311 решалась задача оценки времени выполнения процесса,
один аддитивным показатель, характеризующий время (Г) выполнений’ J
дп	сложенные в этих публикациях идеи типовости расчетных структур и
„„	«	.т/пиналентных преобразований, а также идеи алгоритмизации трудовой
При проектировании АП возникает необходимость решения зада1,квивал
„	вятельности [5, 29] были развиты в работах по надежностному
анализа и синтеза. Задача анализа состоит в прогнозировани?еятел
показателей Р и Т на основе информации о структуре АП проектированию АП [9,10,13,14,17,23,25,28].
вероятностно-временных характеристиках, входящих в	него элементов. ®	отличие от методов °«енки	структурной надежности	сложных
„ „ „„	«гт	< систем [6,15,30,32], надежность	АП прогнозируется с	учетом
Задача синтеза состоит в генерации такого варианта	АП, который б»-ио
г, m	-	озможности системы обнаруживать и исправлять ошибки при
обеспечивал требуемые уровни Р- и Т-показателеи оптимальны»'03”0™	н
образом	мполнении операций. В теории надежности человеко-машинных систем
о „ «гт	„	п. 9 13] предложено описывать АП путем композиции основных и
В идеале АП должен удовлетворять условию: Р—>мах и Т—>Min	J 1	у	4
„	.спомогательных операций. Основными (рабочими) являются операции,
Однако, в реальных условиях этого достичь невозможно из-за взаимо-	и	4
„__	„	_ ,,	евыполнение или неправильное выполнение которых приводит к
связи между показателями Р и Т. Увеличение вероятности правильное
„„„„„	.еправильному выполнению задачи. Вспомогательными (контрольными)
выполнения АП за счет введения в процесс контрольных операции р
вляются операции, которые вводятся в алгоритм функционирования
обязательно приводит к увеличению времени выполнения процесса.
~ итАп^г „„ „ „	 	-	истемы с целью повышения ее надежности. Часто встречающиеся
Во многих случаях исходный, т.е. нулевой вариант АП не	4
омбинации рабочих и контрольных операций выделены в так
удовлетворяет требованиям технического задания, в первую очередь, ч е	н	нем
„„ гггггггг^»	гг	.„азываемые типовые структуры. Для таких структур получены
из-за низкой надежности. Поэтому возникает задача: улучшить АН
а ...... „ «т	,	атематические модели, позволяющие заменять их единственными
таким образом, чтобы достичь требуемого уровня надежности (Р) при
„плаитт™,™ .....	, ею гт	«о	абочими операциями с эквивалентными вероятностно-временными
ограничениях на затраты (Т) При повышении надежности АП возможна
„„„	, арактеристиками. Укрупненная классификация математических моделей
два пути: структурный (S-подход) и функциональный (F-подход)	*
„ч	адежности АП показана на рис .1.1.
Структурный подход предполагает улучшение надежностных
..	Регулярные АП могут описыватся на языке алгоритмических
свойств технических и эргатических средств, на которых реализуется J	J
процесс . Функциональный подход предусматривает управлениеЛГебр [8] пУтем суперпозиции последовательных, параллельных,
надежности за счет изменения структуры АП.	етвящихся и циклических структур. Нерегулярные АП моделируются
....	в	.„.ероятностными графами, которые могут содержать перекрещивающиеся
Поскольку показатели безошибочности (Р) и времени СТ)	w	J
„	иклы. Согласно теореме о регуляризации [8],	произвольный
являются взаимосвязанными, то задачи надежностного проектирования,	*	у
„„„„„„„	ерегулярный алгоритм за конечное число	шагов	может быть
как правило, формулируются в одной из следующих постановок:
„реобразован к регулярному виду. Иногда процесс регуляризации
• прямая постановка - наити такой вариант АП, который
обеспечивает	ывает очень трудоемким и приводит к громоздким формам АП. Поэтому
_	_	_	еобходимы модели надежности как регулярных, так и нерегулярных
1 —> Mill И г г ,
доп	П.
где РдОП_ минимально допустимая вероятность
АП;
• обратная постановка - найти такой
обеспечивает
Р —> шах и Т < Т
ДОП'
правильного выполнения Известные методы построения моделей надежности АП опираются
а аппарат теории вероятностей и требуют исходных данных о
вариант АП, кот°Ры11ероятностно-временных характеристиках операций, входящих в
РОЦесс. Получение таких исходных данных, как правило, сопряжено с
поведением достаточно трудоемких экспериментальных исследований,
где Тдоп- максимально допустимое время выполнения АП.	°т°РЫе не всегда возможны. В ряде случаев проектировщики систем
13
12
удачно используют экспертную информацию, которая учитывает ± 2 необходимые сведения из теории нечетких множеств
различные факторы, оказывающие влияние на функционирование системы
[2,19,22]. Возможным формальным аппаратом для работы е
неопределенной исходной информацией может служить теория нечетких Следуя основополагающей работе Заде [12], а также
множеств, предложенная Заде [12] и развитая в дальнейшем в работах последующим работам [11,21], приведем основные понятия теории
,	,	вагоиипптп нечетких множеств, необходимые для дальнейшего изложения.
[7,16,20,24,38]. Применение этого аппарата в теории надежности
„ с	„„„„	ия пггччяй кегля	Пусть и универсальное множество, т.е. полное множество,
позволяет обобщить известные вероятностные модели на случаи, когда
ю-7	Wnn„„ охватывающее всю проблемную область.
исходные данные задаются в виде нечетких чисел 127,33 3t>j. кроме
того использование процедур нечеткого логического вывода Нечеткое (под) множество F множества U определяется через
обеспечивает возможность использования экспертных баз знаний ДлЯфункцию принадлежности ц~(и), где и- элемент множества (и 6 и),
учета зависимостей нечетких (неопределенных) исходных данных от	F
Функция принадлежности отображает элементы из множества U на
влияющих факторов.	.
множество чисел в интервале [О,	1], которые указывают степень
соответствия каждого элемента u е U нечеткому множеству F с U.
Если множество U состоит из конечного числа элементов
u^,Ug,..., u^, то нечеткое множество F представляется в виде:
п
F - и~(и1уи1 + ц (u2)/u2+. .+ ц,(ил)/ип= £ MuJ/ur
г	г	F	, F
Нерегулярные
Последовательные
В случае непрерывного множества U используется следующее
обозначение:
(Знаки £ и J в этих формулах обозначают совокупность пар ц(и)/и).
Например, лингвистические термы "среднее время выполнения
________________задачи” и
Параллельные шожестве
- ______________!е четкими
’’высокое время выполнения задачи” на
U=[10,20,30,40,50,60,70} могут быть
множествами А и Н, соответственно:
универсальном
представлены
А= 0/10 +0.4/20 + 1/30 + 1/40 + 0.5/50 + 0.1/60 + 0/70;
_____________—-1	Н= 0/10 +0.1/20 + 0.3/30 + 0.6/40 + 0.8/50 + 0.9/60 + 1/70.
-	~ I
С дугои-петлеи^ Операции дополнения, объединения и пересечения нечетких
—--------- -Множеств определяются так :
1- Дополнение множества
Рис.1.1. Модели оценки надежности алгоритмических процессов
14
15
п
F = Z f1 - Mui)]/ur
i=l	F
Ц (u) = 1 - M~(u) .
F	F
Например лингвистический терм ’’невысокое время выполнения
задачи” соответствует нечеткому множеству Н:
Н= 1/10 4-0.9/20 4- 0.7/30 4- 0.4/40 + 0.2/50 4- 0.1/60 4- 0/70.
2. Объединение множеств
п
И- _ (и) = ц~(и) V М~(и),
F и G	F G
где v - знак операции взятия максимума.
Например лингвистический терм ’’среднее или высокое время
выполнения задачи” соответствует следующему нечеткому множеству.
A U Н = 0/10 4-0.4/20 4- 1/30 4- 1/40 4- 0.8/50 4- 0.9/60 4- 1/70.
3. Пересечение множеств
F n G = £ (Mui) Л U-fuj]/ ur
i=l F	G
Ц~ - (u) =	(u) Л Ц- (u) ,
F fl G	F	G
где Л - знак операции взятия минимума.
Например лингвистический терм "среднее и невысокое время
выполнения задачи” соответствует следующему нечеткому множеству:
A f| Н = 0/10 4-0.4/20 4- 0.7/30 4- 0.4/40 4- 0.2/50 4- 0.1/60 4- 0/70.
Носителем нечеткого множество F называется совокупность всех
элементов u е U, для которых ц„(и)>0. Носитель нечеткого множества
F
F будем обозначать supp F.
Ядром нечеткого множества F называется совокупность всех
элементов u е U, для которых ц~(и)=1.
F
Множеством a-уровня нечеткого множества F в и называется
такое множество элементов и е U, степени принадлежности которых
нечеткому множеств F не меньше числа а, т.е. если F -множество
a-уровня нечеткого множества F , то = j u е U | ц.(и)м 1.
V	р	)
Нечетким числом х называется нечеткое множество,
универсальным для которого является множество действительных
чисел. Нечеткое число удобно представлять в виде разложения по
ct-уровневым множествам:
х= U [ V xj’	(1-2)
ае[0,1]
где х lx I- нижняя (верхняя)
Для перехода от моделей
граница нечеткого числа х на а-уровне.
традиционной математики к их нечетким
аналогам существует принцип обобщения, который состоит в
следующем. Если задана функция от п переменных y=f(x^,x^,,..,х )
и аргументы х^,х^....,хп представлены нечеткими числами х^,
х2'''',хц’ соответственно, то нечеткое число y=f(х^.х^,...,х )
определяется функцией принадлежности
ц~(у )= sup
у > .	.
f(XpX2,...,xn>y
minL- (X*), (xj,.
1 Х1	х2
ц- (х‘)
х п
supp х^ ,
2=1 , л
При выполнении нечетких выводов необходимо знать нечеткие
отношения. Допустим, что существует знание-правило типа ’’если F,
, использующее нечеткие множества F с U и G с V, заданные на
Универсальных множествах U = {и,,и„,...,и,} и V = {v1,vo,...,v }.
J- &	J.	J.	П1
т°гда нечеткое отношение между множествами F с U и G с V
определяется матрицей вида
16
.17
1
oi
помощью системы алгоритмических алгебр Глушкова [8]:
R = F х G -	2.
1=1

у которой элемент, стоящий
столбца определяется так:
F'
G'
1 ’
Ц-(н ) 
G J
Нечеткий логический вывод записывается следующим образом.
MR (U1 ’	=	Л
К 1 J F 1
принято
буквами с индексами или без них;
порождающие логические условия
из
Это означает, что если факт G следует из факта F, то факт
следует из факта F', где F, G, F', G' - нечеткие множества.
Для получения вывода G' используется формула:
&' = F' о R = F' о (F X G),
где о - операция
max-min композиции, в соответствии с которой
т
G'
>1

F, F' с U; G,
F'
i’ J
J ’
G' с V.
1.3. Принципы нечеткого анализа надежности
Опираясь на опыт применения теории нечетких множеств
порождающие операторы из множества
множества IM
U.
в
д = < И, В, Q;, П2 >,
где и={А,В,С,..•множество операторов, которые принято обозна-
• а ™пт<и И 7-го чать большимми латинскими буквами с индексами или без них;
на пересечении i-и строки и j ю чаи=
В={а,/3,у,  множество логических условий, которые
обозначать малыми греческими
множество операций,
множества В;
множество операций,
Оператор А - это отображение информационного
себя, т.е. преобразование вида N'=A(IM), где N и М'~ состояние
системы до и после выполнения оператора А.
Условие а - это отображение текущего состояния системы в
G' двухэлементное множество [1, О], где 1-истина; 0-ложь.
операциям из множества Q , порождающим условия,
операции дизъюнкции (а1уа2), конъюнкции (а^-о:0) и
К
булевы
(а).
К
относятся
отрицания
операциям из множества порождающим операторы,
композиция	бинарная операция на множестве П,., порож-
оператор B=A.jAg, который
применении операторов и A^eU
° операция а-дизъюякции (
а
дающая
заключается
в
над условием аеВ и операторами A^sU
эператор С=( А^уА^), что С=
а
оценке надежности человеко-машинных систем [36] и алгоритмических
процессов [26,37], сформулируем ряд методологических
которые будут использоваться в дальнейшем.
1.Принцип описания АП на языке алгоритмических
соответствии с этим принципом структуру любого
логико-временную последовательность действий, можно
относятся.
последовательном
порядке записи, причем BeQJ,

и

тернарная операция
порождающая такой
А , если
А2, если
а=1
ct—О;
« операция а-итерации {а}- бинарная операция над условием аеВ
а
1 оператором АеВ, порождающая оператор D={a},
а
при,ИКЛИЧеском применении оператора А (при ложном
Условие ct не станет
принципов, Для описания
!~итерации можно
который состоит в
а) до тех
пор, пока
истинным.
циклически повторяющихся
использовать
алгебр. Вызываемую обратная
АП, т • е соотношением: {а} =а{а} .
описать с	а а
2.Принцип перехода от
а-итерация
а
участков
АП кроме
вспомогательную
операцию,
связана с а-итерацией
алгоритмического
вероятностному
1 8
19
описанию. Согласно этому принципу, на основе алгоритмического
описания строятся вероятностные модели, позволяющие оценивать
Если х,= 1 и х„= 1 и
л	zj ^2
и хд= 1х , то У=1,
(1.3)
надежность АП по известным характеристикам надежности операторов ь
логический условий. Формальность перехода от алгоритма к его где
х^- влияющие факторы;
верорятностному аналогу обеспечивает возможность решения задач
надежностного проектирования АП на уровне преобразования исходногс
1х - лингвистическая оценка фактора х^ (i=TJn);
алгоритмического описания.
3.Принцип типовых алгоритмических структур.
позволяет реализовать процедуру оценки надежности АП
методике:
у - характеристика надежности элемента АП;
Этот принциг 1- лингвистическая оценка характеристики У.
по следующее Особенностью нечеткого логического вывода является то,
общее количество правил-знаний типа (1.3), необходимых
что
Для
о выделение часто встречающихся комбинаций операторов ,адекватного прогнозирования, значительно меньше полного перебора,
логических условий в так называемые типовые структуры;	6.Принцип обобщения вероятностно-алгоритмических моделей на
о получение математических моделей, заменяющих типову^У1 * * 4^ нечетких исходных данных. Согласно этому принципу
структуру единственным рабочим
характеристиками;
° укрупнение исходного АП до
последовательного применения типовых структур.
„	.„вероятностно-алгоритмические модели надежности могут быть обобщены
оператором с	эквивалент, нымь
таким образом, чтобы в качестве исходных данных использовались
„„„ „о „„„.нечеткие числа. Это позволяет, с одной
единственного оператора за сче.
разработанные вероятностные модели.
стороны, применять ранее
другой,- использовать
4.Принцип представления неопределенных
нечетких чисел. Согласно этому принципу
параметре q представляются в виде
сходных данных в видеисходных Данные 3 виде экспертных оценок. Принцип обобщения
сходные данные ^вляется своего рода ’’мостиком”, объединяющим традиционные модели
надежности с экспертными оценками и естественно-языковыми
высказываниями.
q = <q, q, 1>
,	ч	(онтрольные вопросы и упражнения
где q (q)- нижняя (верхняя) граница параметра q,	мук
1 - лингвистическая экспертная оценка параметра q в диапазон;
1 Приведите примеры алгоритмических процессов.
fq, q], определяемая с помощью термов "низкий”, "средний”. „ „	=	„„„„„
г с,	дакие показатели надежности используются при проектировании
"высокий” и др.	алгоритмических процессов?
5.Принцип учета влияющих факторов	с помощью нечетка	3.	Как повысить надежность алгоритмического процесса?
высказываний. Согласно этому принципу,	влияние факторов н<	4.	Чем обусловлена неопределенность исходных данных?
характеристики элементов АП учитывается с	использованием процедур	5.	Представте в виде разложения по a-уровням (а = 0.1,	0.3,
нечеткого логического вывода. Нечеткий логический вывод,-5, 0.7, 1) следующие нечеткие числа:
опирающийся на экспертную базу знаний, позволяет прогнозировать Z (	•'•А
В s * * В 1X, Ц ~ ( X ) —-	L 
характеристики надежности в любой точке факторного пространства,	( ’	~	1+(х-5)^ /'
координаты которой могут задаваться на естественном языке. Баз< ~ f	1
знаний представляет собой совокупность нечетких логически С = -|х, ц_(х)=-------------------- I.
С 1+(х-7)^ J
высказывании типа:
Найдите объединение и пересечение нечетких чисел В и С из
пРажнения 5.
21
20
2. МЕТОД НЕЧЕТКОГО ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
2.1. Нечеткое представление неопределенных исходных данных
Рассмотрим некоторый неопределенный параметр q, который может
соответствовать вероятности, стоимости, времени или другому
показателю. Для работы с параметром q с помощью теории нечетких
множеств этот параметр необходимо преобразовать к нечеткому числу
	 0,	если	q	< qo	
	о ст 1 ст	если			
	1 £> 1 Ji О		2°	- q <	21
M~(q)= 	1,	если		s q <	
q		если		q *	
	*				
	в?				
	0,	если	q	V	
(2.2)
о, т.е. задать функцию принадлежности.	R
В этом случае носителем нечеткого числа q будет интервал
В настоящем разделе предлагается два способа формирования г _ q	Г — Т
о	м	- п	Чл, Q./-11 ? ядром — I Q Q I
функции принадлежности:	трапециевидный и треугольный.	Они[ _0’ О]	[ £1	'
позволяют использовать	следующую экспертную информацию о
параметре:
« название параметра q;
° диапазон [q, q ] изменения параметра q;
» количество лингвистических термов, с помощью которых
оценивается параметр q;
о название каждого лингвистического терма.
Определение 2.1. Трапециевидной формой нечеткого числа с
(неопределенного параметра q) будем называть четверку:
q = %, q0, qr	(2.1
Зис.
где Qo q0 - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа q на
1. Нечеткое число q с трапециевидной функцией принадлежности
нулевом а-уровне;
~	Предложение 2.1. Если нечеткое число q задано в трапецие-
q, q, - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа q на .	-	_
- <	Форме q = <q0, q0, q^, q^ то переход к а-уровневому
единичном a-уровне.	писа ~	~	.—
г _ q	_	нию 4 = U (Qa. Qa) осуществляется по формулам:
Интервал q^, qJ будем называть оптимистической оценкой па-	ае[о,1] ~
да ~
раметра q, а интервал qQ, qQ
пессимистической оценкой пара-
(2.3)
метра Q'	*	q = q
Такое представление соответствует функции принадлежности, “ О q0 “	(2.4)
показанной на рис.2.1, которая имеет следующий вид:	Доказательство. Для перехода к a-уровневому описанию
22
23
необходимо определить значение нечеткого числа q на любе
а-уровне, т.е. найти такие q^ и qa, что
gJq ]=U_(q )=а и q * q
ql_ J q< J
где ц-lq и ц~ q - степени принадлежности элементов q^ и
ql_“J q\ 01J
нечеткому множеству q, соответственно.
Учитывая аналитический вид трапециевидной функцц
принадлежности (2.2), и подставляя u~(q)=a, получаем:
Q
а	_	Рис.2.2. К примеру 2.1.
51 - Ч) ’	ч
Отсюда следует, что	Определение 2.2. Треугольной формой описания нечеткого числа
7Г - п _ (Р -п н асГп 1)4 (неопределенного параметра q) будем называть тройку вида:
qa - qQ +	q0)-a,	qa ~ q0 lq0qr“’ “eLU’L|
Пример 2.1. Пусть вероятность (р) безошибочного выполнен» q = <q, q, q >,	(2.5)
операции равна "около 0.9”. Требуется задать эту информацию
виде нечеткого числа р с трапециевидной функцией принадлежности, где q(q) - нижняя (верхняя) граница нечеткого числа q на
Решение. Согласно определению 2.1,
следующем виде:
р = <0.8, 1, 0.85, 0.95>,
число р представим нулевом а-уровне;
q - значение нечеткого числа q на единичном а-уровне.
Такое описание соответствует функции принадлежности,
показанной на рис.2.3, которая имеет следующе аналитический вид:
где [0.8,	1] - пессимистическая оценка параметра р;
[0.85, 0.95] - оптимистическая оценка параметра р.
Разложение нечеткого числа р по а-уровневым множествам имее
вид:
р = (0.8, 1)ли (0.825, 0.975),, Д) (0.85,0.95),.
•	(J	U. b	-1
Пример 2.1 иллюстрируется рис.2.2.
	0,	если	q	< q
	q -q			
		если		< q < q
	л	'		Q	
	q -q			
U~(q)= 	—			
Q	q —q	если	л		
			Q	- Q - q
	q -q			
	o,	если	q	> q 
(2.6)
Носителем нечеткого числа q в этом случае
является интервал
24
25
[q, q], а ядром,- число q. Интервал [q,q] будем называть пессимис
тической оценкой, а число q - оптимистической оценкой параметра q
представим в следующем виде:
Т = <1.6, 2, 2.2>,
где [1-6, 2.2] и 2 — пессимистическая и оптимистическая оценки
соответственно, которые предполагаются известными.
Разложение числа Т по а—уровневым множествам имеет вид:
Т = (1.6, 2.2)ои (1.8, 2.1)0 5и (2, 2)2.
Пример 2.2 иллюстрируется рис.2.4.
Рис.2.3. Нечеткое число q с треугольной функцией принадлежности
Предложение 2.2. Если нечеткое число q задано в треугольно
форме q ~ <q, q, q >, то переход к а-уровневому описанию
q = U (q , q ) осуществляется по формулам:
«<=[0,1]	“
ча = q +(q -q )•«;	qa = q -(q -q )•“•
Рис.2.4. К примеру 2.2.
Рис.2.5. Пример функций при-
надлежностей для ш термов
Доказательство. Треугольная форма неопределенного параметра' Определение 2.3. 1-формой неопределенного	параметра q
является частным случаем трапециевидной формы при ^=^=4 (нечеткого числа q) будем называть тройку вида:
Подставляя q„=q,	q,=q, q,=q в формулы (2.3) и (2.4)	~	_
- - и -	1	4=<q,q,l>,	(2.7)
получаем:	~
.	.	-	r^e q(q)~ Нижняя (верхняя) граница изменения параметра q;
qa = q +(q -q )•«;	4a = Q -(q ~q )*«•
~	~	~	лингвистическая оценка параметра q в диапазоне [q, q],
Пример 2.2. Пусть время (Т) выполнения операции составляе^р^^ 1 6 l I	1	-
’’около 2 сек.”. Требуется представить эту информацию в ви4	~	1’ 2’' ' ' ’ пн'
11 линейно-упорядоченное по принципу от ’’меньшего” к
нечеткого числа Т с треугольной формой функции принадлежности. "большему” множество лингвистических термов для качественной
Решение. Согласно определению 2.2, нечеткое число НКи ПаРЭметра q (рис.2.5).
26
27
Допущение 2.1. При переходе от 1-формы нечеткого числа	(1dj)j нижняя (верхняя) граница ядра нечеткого числа
(2.7) к трапециевидной форме (2.1) будем предполагать, следующее: _
оцениваемого лингвистическим термом .
(1)носителем нечеткого числа q является интервал [q, q];	Доказательство. Из допущения 2.1(1) следует, что для любого
/ лингвистического терма 1 eL:
(2)размер ядра Л нечеткого числа q зависит от мощности (tn)	_	_
терм-множества L, носителя [q, q] и не зависит от лингвистической	~ 2. И	— q'
переменной;
(З)для любых соседних термов 1 . и	:
q,(lj)=q;jd^)+2-A,
где q^(l .) и	- нижние границы ядра
выраженного лингвистическими оценками 1  и 1^,
(4)для первого терма (1^): q^d^^ q;
(5)для последнего терма (lffl) :	Q;
Предложение 2.3. Если неопределенный
1-формой нечеткого числа q=<q , q, 1^>, где 1^<=L={ 1 , 1g,  . • , 1Ш) , те
переход от 1-формы к трапециевидной форме (2.1) осуществляется П(
формулам:
qod.p = q;	(2-8'
q0(ip=q;	(2.9
2(i-l)(q-q)
q,(l.) = q+ --------—;	(2.10
-	- 2m-l
нечеткого числа
соответственно;
параметр q зада!
Учитывая, что размер ядра нечеткого числа определяется по формуле
д=д (l^-q^Cip , и опираясь на допущения 2.1 (2)-2.1 (5) , получаем,
что в интервал [q, q] попадает ровно (2га-1) отрезков длиной Д.
q-q
сОтсюда, Д — ----
2m-1
С учетом этого получаем:
для первого терма 1^:
2(1-1)(q-q)
q.(l,)= q = q+ ----------— \
-	1	2m-l
q-q (2.1-1) (q-q).
qf(l„)= q+ —— = q+ — . .———
- 2m-l	- 2m-l
для второго терма 1^:
2(q—q)	2(2-l)(q-q)
q;(i2)= q+--------= q+-------------->
-	- 2m-l - 2m-l
3(q-q)	(2-2-1)(q-q)
q+ ------- = q+ ------------“>
- 2m-l - 2m-l
(2i-l)(q-q)
q,(l.) = q+ ----------(2
1	- 2m-l
для последнего терма 1
Л7
где	" нижняя (верхняя) граница носителя нечетко!
2(m-l)(q-q)
q/lffl)= q+ --- ...
—	2т-1
числа q, оцениваемого лингвистическим термом 1^;
29
28
(2m-l)(q-q)
Отсюда, для любого терма l^sL:
2(i~l)(q-q)
q-(!,.)= q+ ------—
-	1	-	2m-1
(2i-l)(q-q)
a ,(1 •)= q+ --------— -
1 1	- 2m-l
Предложение 2.3 иллюстрируется рис.2.6.
Рис.2.6. Переход от 1-формы нечеткого числа к трапециевидной
форме в случае 4-х термов
множестве L имеет порядковый номер 1=4. Применяя формулы (2.8)-
(2.11) из предложение 2.3, получаем:
Р0=0.3;
Р0=0.8;
2(4-1)•(О.8—О.3)
р1=0.3+---------------- « 0.63,
~	2-5-1
(2-4-1)-(О.8-0.3)
Р1=0.3+ ----------------- « 0.69.
2-5-1
Поэтому в трапециевидной форме:
р = <0.3, 0.8, 0.63, 0.69>,
или в виде разложения по a-уровневым множествам
р = (0.3, 0.8)0U(0.63, 0.69)
Графическое изображение нечеткого числа р представлено на
рис.2.7.
Рис.2.7. К примеру 2.3
Пример 2.3. Пусть вероятность обнаружения ошибок п;
визуальном контроле задана в виде р = <0.3, 0.8, ’’выше средней”:	ДопуЩение 2.2 При переходе от 1-формы нечеткого числа q
При этом используется множество лингвистических оценок:	(2.7) к треугольной форме (2.5) будем предполагать следующее:
L = {низкая, ниже средней, средняя, выше средней, высокая,
носителем нечеткого числа q является интервал [q, q];
Необходимо представить число р в трапециевидной форме.	я	—
Решение. Количество лингвистических термов (мощное' ° Для первого терма 1^:	q^(lj)= q;
множества L) равно пи=5. Лингвистическая оценка ’’выше средней”
30
31
для последнего терма 1 : Ч}(1Ш)= Ч;
для соседних термов 1 . и (j=i+l) расстояние между ядрам)
(2.14), получаем:
t = 10;
4=q(lj)-q(li) является постоянной величиной,
Г» 19;
где q(l^), qdffl), q(lp.	"
соответствующие термам Ц, lffl, Ip 1 j 
ядра
нечеткого числа q,
t = 10 + (3-1)•(19-10)/(4-1) = 16.
Окончательно находим:
Предложение 2.4. Если неопределенный
1-формой нечеткого числа q=<q , q , где
параметр q
нечеткого числа t показана на рис.2.9.
то переход от 1-формы нечеткого числа к треугольной форме
осуществляется по формулам:
qU-j) = q;
(i-D(q-q)
q(li)= q+
(m-1)
зада:
t = <10, 19, 16>.
Функция принадлежности
Рис.2.8.Переход от 1-формы к
треугольной в случае пяти термов
Рис.2.9. К примеру 2.4
где q(lp q(lj) - нижняя (верхняя) граница носителя нечетко!'
q(l-j) = Q,
числа q, выраженного лингвистической оценкой 1^;
а(1р- ядро нечеткого числа q, выраженного лингвистическо.
оценкой 1^.
Доказательство этого предложения аналогично тому, которо
использовалось в предложении 2.3. Предложение 2.4 иллюстрируете
рис.2.8.
Пример 2.4. Пусть информация о времени выполнения контрольно
операции задана 1-формой нечеткого числа:
t = <10,	19, ”высокое”>.
2.2. Учет факторов, влияющих на исходные данные
В настоящем разделе излагается способ учета качественных и
количественный факторов, влияющих на исходные данные, которые
используются в расчетах надежности. Классификация таких факторов,
как правило, определяется структурой системы и условиями
ее Функционирования.
Множество лингвистических оценок имеет вид:
L = {низкое, среднее, высокое, очень высокое}.
г,	2	РеДеление 2.4. Базой знаний о влиянии
Требуется представить число t в треугольной форме.
Решение. Количество лингвистических термов (мощное^, ..., на значение параметра q будем
множества L) равно четырем. Лингвистическая оценка ’’высокое” систам,, „
,	„	. „ _	,	го 1?)	Логических высказываний:
множестве L	имеет порядковый	номер 1=3. Применяя	формулы	(2.1^'
факторов X = 1х_р
называть следующую
32
33
,	11 1	(	11 1	(	11 )
ЕСЛИ х2=а2 И х2=а2 1 И ... И [хп=ап J ИЛИ
,	12 \	I	12 1	Г	12\
[*Г&1 ) И |ХЛ ] И ... И [xn=an j ИЛИ ...
, 1к,у /	Г 1к1Л
(х,=а I И (х„=а„ I И ... И х =а , ТО q - L, ИНАЧЕ
1x2.1 I	<£j	\	\, ^	^	)
о диапазон изменения параметра qe[q, qj;
о терм-множество лингвистических оценок параметра q:
^{-4’ 12’ ' ’ • ’1и};
о множество факторов X'jx^Xg, . . . ,х I, влияющих на значение
,	21 )	(	21 )
ЕСЛИ х^=а^ И х^^а^ И
,	22 х	,	22 у
(	2ко\	(	2к?Л
x.^a.j	И	|х2=а2	И	И
(	ml х	j-	ml ,
ЕСЛИ	х^=а1	И	1х2=а2	И
,	m2 х	,	m2 х
Х7=а1	И	1Х2=а2	И
,	тк „л	,	тку
(	Ш| .. I _ Ш|тг
Х1=а1 И 1х2=а2 И
И
И
И
и
и
и
21 х
хп=ап ) ИЛИ
22
хп=ап ИЛИ
2k „х
х =а Z , ТО q =
и л J ’
ml х
хп=ал ИЛИ
параметра q в диапазоне [q, q] ;
о терм-множества для лингвистической факторов х^ :
, 1	2	т. х
Lxf{4’
1 ИНАЧЕ . .
о универсальные множества для нечеткой оценки факторов х^:
Х-. е tb ( i=l ,п) ;
о функции принадлежности ц ^(х^) факторов х. лингвистическим
1 i
термам (i=l,п, Ъ=1, ни) ;
®	« база знаний (2.15) о влиянии факторов X=lx.1,x2,.. ,х 1 на
где 1 .(j=1,di) - лингвистическая оценка параметра q, определяемаязначение параметра q;
терм-множества	____1J;	° вектор текущих значений влияющих факторов
jp	Х = 1х7’х2’ ,хпГ’ где Х1 6 ui (i=T7n)
а. - лингвистическая оценка фактора Х-, выбираемая 11
1	Наличие этой информации позволяет реализовать следующий
,12	т-у	г ____
терм-множества Lx =] 1 f ,1^ , ...,1 в j-ой дизъюнкции ^=1 ,цалгоритм.
j=l,m, p=l,kJJ;
k .- количество правил, определяющих значение параметра Q=lj
Используя операции U (ИЛИ) и [q (И), систему логически
высказываний из определения 2.4 можно переписать в боле
Алгоритм преобразования 1(х)-формы к 1-форме
Шаг 1. Обозначить:
jp^p ~ Функции принадлежности термов а^р
ai	*
компактном виде:
J г п !	in) 1	___
и П х,= ai₽	—» Ч = 1ц
р=1 Li=il 1 J
Определение 2.5. 1(х)-формой неопределенного
будем называть следующим информацию:
U; (q) - функции принадлежности термов 1 .	(j=T~m,	1=1,п,
J	J
р=Пг)
.с J '
(2.16
Шаг 2. в базе знаний (2.15) заменить нечеткие значения
факторов х^4-хд и	параметра q	соответствующими функциями
параметра принадлежности. Операции U и п заменить операциями v и А:
34
35
kJ п	ч _
u, (q) = V л w 7D(xi)’
•	p=l i=l ai
Шаг 3. Вычислить степени принадлежности значения параметра q
к лингвистическим термам ( j=l,m,):
kj П
Uj (q) = v Л SUP
j p=l i=l IT
• ai	xi
где операции v и л
отождествляются с операциями min и maj
соответственно.
L^= {очень низкий (оН), низкий (Н), ниже среднего (нС),
средний (С), выше среднего (вС), высокий (В), очень высокий (оВ)}.
База знаний о влиянии факторов х^Ху на вероятность
бездефектного выполнения операции "гальваническое меднение
печатной платы” приведена в табл.2.1. Все функции принадлежности
имеют форму трапеций.
Требуется определить значение вероятности р для следующих
значений влияющих факторов: Х,=62, х„=40, хо=235, х.=18 х^-21 х,г
т	s о	4	5	6
= "выше среднего”, х? = 9.
Таблица 2.1
База знаний о влиянии факторов х^+Ху на вероятность
бездефектного выполнения операции
Шаг 4. Выбрать терм 1 , для которого
ц ,(q) = max ц7 (q), ц7 (q),-., U7 (q) •
1	V 11	^2	ш 1
Пример 2.5. Вероятность (р) бездефектного выполнения операщ
"гальваническое меднение печатной платы” зависит от следующи
факторов [ 1 ] :
x.j -- время металлизации, сек;
х„ - сила тока в ванне, А;
2	3
х„ - концентрация борфтористоводородной меди, моль/м ;
з	ч
х^ - концентрация борной кислоты, моль/м ;
х5 - концентрация борфтористоводородной кислоты, моль/м ;
х., - свежесть раствора;
Ху - кислотность раствора, pH.
Влияющие факторы и выходной параметр р находятся в диапазона
х^е [51, 70];	х^е [31, 43];	х3е [216, 240];
Х.€ [16.9, 19.9];	х^е [18.1, 23.3];	хе [5.8, 11];
ре [0.94, 1].
Для оценки факторов х^,	х^,	х^,	х^, х^ и параметра
используется терм-множество
Ь^={низкий (Н), ниже среднего (нС), средний (С), ваа
среднего (вС), высокий (В)}.
Для оценки факторов х^ и Ху используется терм-множество
Х1	х2	х3	Х4	х5	х6	Х7	р
н	вС	нС	С	вС	с	вС	н
н	Н	С	В	Н	нС	вС	н
с	оН	С	вС	С	нС	С	нС
нС	нС	нС	нС	вС	С	вС	нС
нС	нС	н	нС	нС	нС	вС	нС
В	С	н	Н	С	нС	оН	С
В	С	н	нС	С	нС	оН	С
С	в	с	Н	вС	вС	вС	вС
вС	с	вС	нС	вС	вС	вС	вС
ВС	с	нС	С	С	С	НС	вС
С	оВ	нС	С	нС	Н	С	вС
С	оВ	В	вС	нС	В	НС	В
НС	вС	вС	нС	В	В	оВ	В
ВС	В	вС	вС	В	В	С	В
С	В	В	нС	с	В	н	В
36
37
Решение.
Применяя формулы (2.8) — C2.ll) и (2.2),
принадлежности термов из множеств Ц и .
фактора х6 функции принадлежностей зададим
множестве U,=[0,9].
6
Фактор х^:
построим функцц;
Для качественное
на универсально.
1 ,
515x^553,1
WH (Х1
-0,059x^+4.14, 53.Кх^О;
мнС Х1
0,232x^-12,08, 51.5X^555,2
1	55,2<Х1<57,3
-0,079x^+5.52,	57,35X^570;
Mxi
0,118x^-6,04,	515X^559,4
1,	59,4<х1<61,6;
-0,118x^+8.29,	61,65X^570
0,079x^-4,03,	515x^563,7
1,	63,7<xJ<65,8
-0,237x^+16,58, 65,85x^570;
WB(X1) =
0,О59х^-3,02,	515x^567,9
1,	67,9<х^570;
Фактор х^:
38
%н(хг]	' 1, -0,09х2+3,88,	31^х2^31,9 31,9<х2^43;
	' 0,542х2-16,8,	31^xJs32,9
	1,	32,9<х2<33,8
	-0,108х2+4,66,	33,8+х2^43,
цнс(х2)~
0,271х2~8,4,
1,
31-sx2'34,7
34,7<х2<35,6
-0,135х2+5,82,	35,6<x^43;
	0,181х2~5,6,	31зх2*36,5
мс(Х2]~ ‘	1,	36,5<Хд<37,5
	-0,181х2+7,76,	37,5^х2^43,
	0,135х2-4,12,	31sx2s38,4
Мвс(х2)=-	1,	38,4<х2<39,3
	-0,271х2+11,65,	39,3<х2^43;
цв(хг]~
0,108х2-3,36,
1 ,
-0,542x^+23,29.
315x^40,2
40,2<х2<41,2
41,25x^43;
39
мов хг]
О,091x^-2,8,	315x^542,1
1,	42,1<х2*43.
Фактор :
216^x^s218,7
ЦН1Х3
0,047х £11,25, 218,7<х35240;
0,188x^-40,5,
2165x^5221,3
ЦнС Х3 = 11	221,3<х3<224
(-0,063х3+15,	2245X^240;
Г 0,094х3-20,25 , 2165X^226,7
Мх3
1,	226,7<х3<229,3
-О,094х„+22,5,	229,35X5240,
МвС хз
0,063хд-13,5
1,
-0,187Хд+45,
21б5х35232
232<х3<234,6
234,65XgS240;
цв[хз
0,047Xg-10,13,
1,
2165x3s237,3
237,3<х35240.
Фактор х^:
40
Мн(Х4)
' 1 ,
-0,375х4+7,46,
1,бх^-25,35,
-О,5x^+9,95,
0,75x^-12,67,
-0,75x^+14,93,
О,5х4-8,45,
-1,5х4+29,85,
Цв(х4) =
Фактор х,
5
цн[х5)=
0,375х4~6,34,
1,
1,
-0,216х5+5,04,
16,9sx4s17,2
17,2<х4^19,9;
6,9±х4<17,6
17,6<х4<17,9
17,95X^19,9;
16,9<х4^18,2
18,2<х4<18,6
18,65X^19,9;
16,95X^18,9
18,9<х4<19,2
19,2sx4£19,9;
16,95X^'19,6
19,6<x4^19,9.
18,laxcsl8.7
о
18,7<x5s23,3;
41
0,865x^-15,66, 18,lsxc-19,3
О	D
мнС(x5) ' 1 ’
19,3<x5<19,S
-0,288xc+6,72,	19,83x^23,3;
0,434xc-7,86,	18,1.зх,-±20,4
о	Э
20,4<xc<21
i>
-0,434x^+10,11, 21зхсз23,3;
5	5
0,288x^-5,22,	18,lsxcs21,6
o’
цвс(Х5)='
21,6<x^<22,1
—0,865x^+20,16, 22,1зх^-23,3;
mb[xs]
Фактор x6 ;
цн(хб]=
0,216x5-3.9,
1 ,
' 1 ,
-0.125U,+1,125,
\	о
18,l=sx^22,7
э
22,7<x5*23,3.
Oiu.rsl
о
1<и6з9;
0,511^,
6
-0,167u,+l,5,
6	’ ’
O^u.^2
6
2<u.,<3
6
6
42
0,25u,,
О
0<u,^4
о
цс(Хб) ' 11
-О,25ц,+2,25,	5^и,<9;
О	6	’
цвс(Хб)
0<и,<6
6
6<u,<7
6
?-u6'9;
0,125u^,
1,
O^u ,58
О
8<u	.
b
Фактор x?:
1,
-0,208x^+2,29,
<
5,85x^56,2
6,2<x?<ll;
	' l,25x7-7,25,	5,85X756,6
Цн(х?]~ 	1,	6,6<x?<7
	-0,25X7+2,75,	75Х75Ц;
	О.бЗбх^—З.бЗ,	5,85X757,4
мнС[xz]=	1,	7,4<x?<7,8
	-О.ЗХЗХу+З.ДД,	7,85x7511;
43
	0,417x^-2,42,	5,8^х7^8,2
цс(х?)	1,	8,2<х7<8,6
	-0,417х7+4,58,	8,6sx7sll;
	’ 0,313х7-1,81,	5,8^х?^9
Рвс(х7)='	1,	9<х7<9,4
	-0,625х?+6,88,	9,4ix?sll;
	0,25х7-1,45,	5,8^х7^9,8
цв(х?]=	1,	9,8<х7<10,2
	-1,25х7+13,75,	10,2sx sll;
	0,208х -1,21,	5,8<х_^10,6
Цов(Х7]='	Г	Г
	1,	10,6<х7<11.
Из базы знаний (табл.2.1) получаем следующую систему нечетки
логических уравнений:
“н(₽) = ^Н(х1)ЛцвС(х2)Л,1нС(хЗ)ЛрС(х4)ЛрвС(х5)ЛцС(х6)ЛцвС(х7)У
V »1Н(х1)ЛцН(х2)ЛцС(хЗ)ЛцВ(х4)ЛцН(х5)ЛунС(х6)ЛмвС(Х7);
РнС(р)“ рС(х1)ЛиоН(х2)ЛрС(хЗ)Л»1ВС(х4)Л>1С(х5)ЛцнС(хб)Л(ХС(х7^
V <1нС(хРЛцнС(х2)ЛцнС(хЗ)ЛцнС(х4)ЛмвС(х5)Л,1С(х6)ЛмвС(х7^
V (1нС(хрЛрнС(х2)Л,ЛН(хЗ)Л(1нС(х4)ЛцнС(х5)ЛцНС(х6)ЛцвС(х7) ;
ДС(Р) = цв(Хрлцс(Х2)лМн(Хз)Лцн(Х4)лцс(Х5)лМнС(Хб)л(ЛоН(Х7)у
V »1в(хРЛ,1С(х2)А,1Н(хЗ)А,1нС(х4)ЛцС(х5)Л»1НС(х6)А,1оН(х7) ’
Двс(р)= цс(х1)Лцв(Х2)л(1с(Хз)лЦн(Х4)лЦвС(Х5)лЦвС(Хб)ЛцвС(Х7)у
V ^С(хРАРс(х2)АцвС(хЗ)АмнС(х4)АцвССх5)АцвС(х6)ЛцвС(х7^
V МвС)ЛЦС(V4c(Х3 )Л«С (Х4 )Л«С (Х5)AfiC(Х6 )Л«нС (х7 }V
V Дс<хрЛМоВ(х2)ЛцнС(Хз)Лцс(Х4)ЛцнС(Х5)Лцн(Хб)Лцс(Х7);
ЦВ(Р) = ^С(хРЛМоВ(х2)ЛцВ(хЗ)Л%С(х4)ЛрнС(х5)ЛрВ(хб)ЛунС(х7^
V MHC(XPAHBC(X2)AWBC(X3)AWHC(X4)%(X5)A'JB(X6)A%B<X7)V
V ^вС(ХРЛцВ(х2)АцВС(хЗ)А,;вС(х4)АцВ(х5)АуВ(х6)АцС(х7^
V ^с(Х?ЛцВ(х2)АмВ(хЗ)АуНС(х4)АуС(х5)АмВ(х6)АцН(х7)'
Вычислим степени принадлежности значения параметра р
определяемого вектором факторов х2=62, х2=40, х3=235, х4~18
х5=21, х6=’’выше среднего”, х7=9, термам ’’низкий”, ’’ниже среднего”
"средний”, "выше среднего", ’’высокий”:
дн(р) = »Лн{62) А мвС(40) А цнС(235) А РС(18) А цвС(21) А
А 8!‘Р(*'вС(хб} Л	А ^вС(9) V
и6
v дн(62) л дн(40) л дс(235) Л дв(18) л дн(21) Л
л 8J4>[»WX6) л »1нс(хб)) л %с(9);
и6
цнС(р)= цс(62) А моН(40) А М235) Л UbC(18) Л цс(21) Л
Л 8“₽("вС(хб) А	А WC(9)V
иб
V рнс(62) л	л цнС(235) Л "нС(18) Л wbC(21) л
Л ^Р(%С(хб) А	А "bC(9)V
иб
V Рнс(62) А цнС(40) А <-1н<:235) А мнС(18) А мнС(21) А
Л 8“р(%с<х6) А «нс<хб)) А «вс(9)-
ЦС(Р> = ДВ(62) Л цс(40) Л Мн(235) Л Дн.(18) Л дс(21) Л
Л S“P(%C<X6) А Рнс/М А *W9)V
и6
V Мв(62) Л ц (40) Л д (235) Л д (18) л д (21) л
и	п	ни	и
44
45
Л S“P[WBC(X6) Л	Л %Н(9);
6
ДоГ(р) = Д„(62) Л д (40) л д (235) Л д (18) Л Д „(21) Л
BU	U	D	Ь	П	BL,
Л 8“Р(%С(Х6) Л “вС^б5) Л рвС(9^
иб
V ЦвС(62) л дс(40) л двС(235) Л ЦнС(18) Л двС(21) Л
л ^(“вс^б5 л %c(x6;'j Л PbC(9)V
U6
V ц„гСб2) л ц (40) Л д (235) л и (18) л ц (21) л
Л 8Рр(мвС(х6) Л “с^бИ Л унС(9)У
б
V дР(62) л д (40) Л д (235) л Ц (18) л ц (21) л
L?	OD	HU	riVj
Л ^(РвсЧ5 Л Рн^б5] Л М9);
б
цв(р) = цс(62) л иоВ(40) л дв(235) л двС(18) л «нС<21) л
л s”p(pbc(x6) л мв(хб}) л %c(9)v
иб
V ^нсСб2) л %с(40) л ^сС235) л ^НС(18) л рв(21) л
л spp(%c(x6) л ^В(Х6)] л уов(9^
6
v ЦвС(62) л цв(40) л двС(235) Л ДвС(18) Л дв(21) Л
Л ^(“всЧ5 Л Рв^бП Л WC(9)V
б
V цг(62) л д (40) Л д (235) Л д „(18) л д (21) л
V и	О	.D	Н L	и
Л s“p[wbC(x6) Л	Л wH(9)-
6
После подстановки численных значений получаем:
Дн(р)= 0,47Л0,81Л0,31Л0,82Л0,В4Л0,9Л1 v
v 0,47Л0,32л0,47л0,41л0,5Л0,75Л1 = 0,31 v 0,32 = 0,32;
ДнС(р)=0,95Л0,27Л0,47л0,55A1AQ,75Л0,83 v
v 0,63Л0,41Л0,31Л0,95Л0,84Л0,9Л1 v
46
v о,63Л0,41л0,23лО,95Л0,66AQ,75Л1 = 0,27 v 0,31 v 0,23 = 0,31,
МС(Р>
О,65Л0,54Л0,23Л0,71л1л0,75Л0,42 v
v о,65Л0,54л0,23Л0,95Л1Л0,75AQ,42 = 0,23 v 0,23 = 0,23;
Ц (р)=0,95Л0,97Л0,47Л0,71Л0,84Л1Л1 у
вС
v О,87л0,54Л0,94А0,95л0,84Л1Л1 у
v О,87Л0,54Л0,31Л0,82Л1Л0,9Л0,63 v
v О,95Л0,81Л0,31А0,82ЛО,66Л0,64Л0,83=
= 0,47 v 0,54 v 0,31 v 0,31 = 0,54;
(р)= О,95Л0,81л0,89л0,55Л0,66Л0,9Л0,63 v
8
v О,63л0,81л0,94Ао,95л0,63А0,9Л0,67 v
v О,87л0,97л0,94л0,55Л0,63л0,9л0,83 v
v 0,95ЛО,97ЛО,89ЛО,95Л1.ЛО,9ЛО,5 = 0,55v0,63vO, 55v0,5 = 0,63.
Степень принадлежности значения параметра р терму ’’высокий”
наибольшая (0.63), поэтому 1-форма параметра р имеет вид:
р = <0.94, 1 , высокая>.
Заметим, что результат нечеткого логического вывода совпадает
с результатом, полученным с помощью регрессионных моделей [1].
2.3.Принципы нечеткого обобщения моделей надежности
В этом разделе вводится принцип обобщения, который позволяет
преобразовать известные математические модели надежности таким об-
разом, чтобы в качестве исходных данных использовать нечеткие числа.
2 -3.1.Принцип обобщения Заде
Определение 2.6. Если задана функция от п переменных
У~^[х;рх2, . . . ,xj и аргументы х, - суть нечеткие числа с
Носителями supp х^=Г х • , х^1, 1=1,п, то нечеткое число
у=и; ~	-)
,Х2’ ''’хп определяется следующим образом [4,12]:
47
д~(у )= sup	minL~ (х,),д~ (х,,),...,ц~ (x )|. (2.161
У	I X1 x2	xn )
fCxvx2,. . .,xn)=y
x^e supp x^, i-l,n
Реализация этого принципа осуществляется по следующее
алгоритму.
Шаг 1.Зафиксировать значение у=у .
Шаг 2.Найти все n-ки /х, ., хо .	, ...,х удовлетворяюще
‘-‘J	J
условиям:
у* = f(х;.rx2.,...fи x*j6[х., х.], г=т^,.
Шаг 3.Степень принадлежности элемента у нечеткому числу 
определить по формуле:
Таблица 2.2
К примеру 2.6
с*=а «Ъ	2	3	4		6		8			9	12		16		24	32
а	1	1	1	2	2	3	1	2	4	3	3	4	2	4	3	4
ь*	2	3	4	2	3	2	8	4	2	3	4	3	8	4	8	8
ц~(а ) а	0	0	0	1	1	1	0	1	°	1	1	0	1	0	1	0
Mb’) b	0	1	-1 X	Q	1	0	0	<1	0	1	1	1	0	1	о	0
minfp~(a ),ц~(Ь )| 1 a	b J	0	0	0	0	1	0	0	1	0	1	1	0	0	0	0	0
ц~(с ) с	0	0	0		1		1			1	1		0		0	0
ц~(у*)= max minL_ (х,.),ц~ (х9.),..., ц, (х )].
У ,]=Т7к	1	2	П
Шаг 4. Проверить условие ’’Взяты все элементы у ?”. Если ”да”
то перейти к шагу 5, иначе зафиксировать нодое значение у
перейти к шагу 2.
Шаг 5. Конец.
Пример 2.6. Пусть заданы нечеткие числа
а=0/1+1/2+1/3+0/4 и Ъ=0/2+1/3+1/4+0/8.
Требуется найти нечеткое число с=а-Ь с использований
принципа обобщения.
Решение. Процесс решения сведен в табл.2.2. Из этой табли#
видно, что нечеткое число с определяется так:
с=0/2+ 0/3 + 0/4 + 1/6 + 1/8 +1/9 + 1/12 + 0/16 + 0/24 +0/32
Переходя к разложениям по а-уровневым множествам, получаем:
с = (2, 32)О U (6, 12)г
В этом примере применение принципа обобщения Заде потребовав
перебора 16 вариантов.
Предложение 2.6. Если y=f jx^ ,х^, . . • ,x^J - функция от п
нечетких аргументов Хр каждый из которых задается функцией
принадлежности в к точках универсального множества
к
х. = У u~ (X. .)/х.. (i=T7n),
j=l xi
то для определения нечеткого числа у по принципу обобщения
Заде необходимо перебрать N=kn вариантов.
Доказательство этого предложения следует из элементарных
комбинаторных рассуждений.
Из предложения 2.6 становится ясно, что применение известного
принципа обобщения Заде [12,4] связано с большими вычислительными
трудностями. Например, для нахождения только одного значения
Функции от семи аргументов (п = 7), каждый из которых задан на
у
трех «-уровнях (к=3-2=6), необходимо перебрать N= 6	= 279 936
вариантов
Для решения задач надежности ниже будет предложен
модифицированный принцип обобщения, не требующий трудоемких
вычислительных процедур. Для доказательства его корректности
Рассмотрим сначала а-уровневый принцип обобщения.
48
49
2.3.2.	а-уровневый принцип обобщения
Определение 2.7. Если задана функция от нечетких аргументов
y=f,х2,•••,xnj, в которой нечеткие числа представлены в вид,
разложения по а-уровневым множествам:
У= U [ у у 1,	х.= U [х. ,х, 1	(i=17n),
ае[0,1Г ~	ае[0,1]~ а “
то для любого a-уровня значение функции вычисляется по формулам:
Уа= sup
fix, ,х„ ,
' л
где Xj s| xj • xi 1
a L _ а се-1
Эквивалентность а~уровневого принципа обобщения и классичес-
кого принципа обобщения Заде доказывается в следующем предложении
а = ц~(у ) =	sup	min L- lx
у ( *	* ] i=T7n^ xf
f X ,x ,...,хп -y
k a a	aJ
x • e x . , x.	,1=1,n
L -1 а,
(2.17)
Докажем, что применение значений аргументов на других
я_уровнях не добавляет новых значений у со степенью принадлежности
а Доказательство выполним от противного. Рассмотрим аргумент х..
и
Новое значение аргумента обозначим через х^. Предположим, что
изменение аргумента х. добавит новое значение у со степенью
принадлежности а. Возможны следующие три случая:
Случай 1. х^ е Г х^ ,х- 1 и ц_ lx j =а.
L - а. 'он х А '
В связи с тем, что нечеткие числа представлены в виде
разложения по а-уровневым множествам, то из выполнения условия
|Хт] = а. следует, что xWel х. , х- . Последнее означает, что
х А ’	1 L - a «J
Предложение 2.7. Если задана функция от нечетких аргументоваргумент х. не изменяется Поэтому новые значения у со степенью
y=f’хп] и нечеткие числа представлены в виде
по а-уровневым множествам:
разложения принадлежности а не
Случай 2:	е
появляются.
У= и [
ае[0,1]
а.’
Г U Х1 -Х!
ае[0,1]““	“
(1=1,п),
'1
а
а-
Д-
(х1) *
i
Первое условие
то результаты нечеткого обобщения по определениям
совпадают.
Доказательство. Достаточно доказать, что
определение
N
диапазон изменения шире, чем
. В СВЯЗИ С ЭТИМ и~	°	---------- -----------
а-1	х
Диапазона изменения аргумента х^ может появиться новое значение у.
2 'Однако это новое значение у не может иметь степень принадлежности
означает, что
результате расширения
следует из определения 2.6. Вначале покажем, что для вычисления	\
Р А *	“У» а, т.к. по формуле (2.16) ПИП (х ) < а.
значения функции у=у на конкретном «-уровне достаточно знать	п Х1
значения аргументов только на этом «-уровне. В этом случае формула Таким образом, изменение аргумента не приводит к появлению
(2.16) преобразуется к виду:	н°5ах значений у со степенью принадлежности а.
2.^Л
Случай 3: xJJ е х- , х- 1 и ц. |х j * а.
I--a a-i хЛ 1>
Первое условие означает, что диапазон изменения аргумента не
Мирился. Учитывая второе условие,
( N'
получаем х.
хД А
> а.
Отсюда
50
51
следует, что диапазон изменения аргумента сузился, что означав-
невозможность появления новых значений у.
Таким образом, любое изменение аргумента не приводит к по
явлению новых значений у со степенью принадлежности равной а. Ана-
логичные выкладки можно проделать для всех остальных аргументов
Это означает, что в случае представления нечетких чисел в виц
разложения по а-уровневым множествам формула (2.17) справедлива.
Заметим, что
Ц~ lx, I = д_ |х„ I =	. = и- |х = а
~а'	а'
Поэтому результат применения операций min и sup в (2.17) всегд;
равен а. Формула (2.17) дает ряд значений у^,	у^,•,yw о
степенью принадлежности, равной а. Для перехода к а-уровневои
представлению необходимо найти минимальное и максимальное значенг:
Уа = minfyj, у;,. ., у*] и
= max У1, у2,-.., уго
Зх.
моделям надежности, удается упростить решение оптимизационной
задачи и получить достаточно простой алгоритм.
2,3.3.	Модифицированный принцип обобщения
Допущения 2.3. Будем предполагать, что функция
y=f^x^,Xg,...<xnj удовлетворяет следующим ограничениям:
о Область изменения любого аргумента непрерывна.
о На области определения функция дифференцируема.
о Множество аргументов X—/х^.х^,...ixnl можно представить
объединением не более, чем трех подмножеств Х=Х^11 X^.U Х^, причем:
Х1 пх2
Х3 Г) Х2 Х_/ Л хз
и;
ау
Окончательно получаем:
хв
У = inf
•’а
fix, ,х„ ,
' 1а а
Уа= sup
f х. ,х
v а а
ау
: ---sO
Эхл
1 
sign
ау
ах^
s
’З’ Р1+Р2+Р^
где х.. в[ х,- , х^ 1 (i=l ,п) ; ае[О, 1].
"‘а 1 —Ja '‘а-1
Применение а-уровневого принципа обобщения	сопряжено
необходимости решения задачи оптимизации, которая	формулируете
следующим образом.
Дано: функция от п переменных y=f^х.,х^,...,x^j, в которой
аргументы х^е£  х^ > i=l, п 
Требуется: найти такие значения аргументов Xj,, х^, . . . ,х{
которые обеспечивают максимальное (у) и минимальное (у) значеи»
г	1	Г ’ — 1
функции y=f |ху ’х2’ ' ' ' ,хд1 на области определения х;е1_ х2 >
i=T, n.
В общем случае решение этой задачи является достаточ®
сложным. Однако, вводя ряд ограничений, свойственным реаль®’
Обратим
внимание,
что
ау
— =g7
ах^
х.
s
знакопеременная функция
и
для всех х,еХ„ знак
1 J
производной
sign
ау
дх1

Перечисленные ограничения
ау
— не
дх-^
введены
зависит от х^, т.е.:
на основе анализа
аналитических моделей, которые используются в расчетах надежности.
Определение 2.8. Модифицированный принцип обобщения.
Пусть y=f (х^х^,  • . ,xj - функция от п переменных,
Удовлетворяющая допущениям 2.3. Аргументы функции х^ - суть
Дечеткие числа в виде
xi= U fXi ,х1 ],	1=Т^1.
ае [ 0,1 ] - а а
52
53
Нечетким обобщением y=flx^,X2,   >хл1 назовем число:
у= U (ff х
ae[O,lJ k “
f
X
а
sa
II
1а
хг
а
х
га
s
а

Х1 =
а

Х1
— а
Это
при
при
g-2
^0
где х] =
а
х. , при g, х
— а	' —
х? , при gJ хг
а	' —
xs)~°
xs]<0;
пределах
обусловлено тем, что
заданой
Минимальное
любое
области не увеличивает
значение
функции
приращение
аргументов в
значение функции.
достигается
при таких значениях
аргументов:
X, , при gj х xs -О
а	1	- }
х2 , при g J xr, xj <0.
— а	1	— '
хг
а
Это
х.„
—’ а
-1 ’
 а
при
'8
а
а
а.

при
81

Эквивалентность результатов применения модифицированного и
известных принципов обобщения доказывается в следующем предложении
Предложение 2.8. Если нечеткие числа представлены в виде
разложения по а уровневым множествам и функция y=f^Xj,xo,. . . ,xj
подчиняется допущениям 2.3, то результаты нечеткого обобщения по
обусловлено тем,
заданой области не
пределах
Учитывая это, получаем
ае[О,1]
a Scc
что
любое
уменьшает значение
приращение
функции.
аргументов в
следующую нечеткую
модель:
)’ f
а
 ’xs
а — а
а
определениям 2.6 и 2.8 совпадают.
Доказательство. Если нечеткие числа задаются в виде
а-уровневого разложения, то принцип обобщения Заде эквивалентен
определению 2.7. Поэтому достаточно показать, что при допущениях
где =
а
’ X, , при g, х х ЬО
— а	! к _ ь)
Х-, , при g f X х 1 <0;
а	-1 k SJ
2.3 результаты применения определений 2.7 и 2.8 совпадают.
В предложении 2.7 доказано, что для любого «-уровня
Уа= sup
Х1 ,Х2
а а
х7 , при g х X 40
г.Г_ а 1 к г -s)
1 ~ '
х; , при gJ xr, xs <0.
где х- е х. , х-
a L	а-*
Теперь необходимо найти максимальное и минимальное значений
функции для каждого ct-уровня с учетом допущений 2.3.
Максимальное значение функции достигается при таких значения*
аргументов:
Совпадение полученных результатов с определением 2.8,
свидетельствует о справедливости предложения 2.8.
Целесообразность использования модифицированного принципа
обобщения вытекает из следующего предложения.
Предложение 2.9. Модифицированный принцип обобщения обладает
МеНьшей вычислительной трудоемкости по сравнению с классическим
Принципом обобщения Заде .
Доказательство. Пусть п - количество аргументов функций, а ш-
к°личество a-уровней, на которых задан каждый аргумент. Рассмотрим
трудоемкость применения каждого принципа.
54
55
Принцип обобщения Заде. Поскольку в форме (1.1) нечетко^
число задается в к = 2п точках, то, в соответствии с предложение^
2.6, для применения принципа обобщения Заде необходимо перебрав
Nj.=(2m)n вариантов.
Модифицированный принцип обобщения. В этом случае
максимальное и минимальное значение функции находится аналитически
для каждого из га а-уровней. Поэтому число вариантов Ы^гт. Отсюд8
следует существено меньшая вычислительная трудоемкость (табл.2.3)
Таблица 2.3
Трудоемкость применения различных принципов обобщения
Принцип обобщения	Количество вариантов перебора			
	N=N(п,т)	N(2,2)	N(2,5)	N(4,4)
По Заде	(2т)л	16	100	4 096
Модифицированный	2т	4	10	8
2.4. Методика нечеткого обобщения моделей надежности
В этом разделе излагается пошаговая методика обобщения моде-
лей надежности на случай нечетких исходных данных. Эта методик
разработана на базе модифицированного принципа обобщения ш
определение 2.8.
Пошаговая методика состоит в следующем.
Шаг 1. Представить исходную математическую модель в виде
функции y=f , х2, . . . , xj .
Шаг 2. Определить границы изменения аргументов: х^е£ х^, xj
(i=T7n).
ay _
Шаг 3. Найти частные производные ----- (1=1,п).
ах.
Шаг 4. Обозначить:
ау
х - аргументы, для которых ----гО на всей области определения;
эхг
аУ
х - аргументы, для которых --------s0 на всей области
ахз
определения;
аУ
х,- аргументы, для которых — является знакопеременной
ах2
функцией и ее знак зависит только от значений аргументов х^ и х„
ЗУ	(	л
т.е. — =g; х х .
ах?	>	'
Шаг 5. Записать нечеткую математическую модель
y=f - х2 - ' ' ' ' хи] в виде :
где xj =
а
при ч v xsh
х, , при g I X х ]<0;
а	( — s)
f Xj , при g7 х х ко
а	z _.и)
х2
а	( _	1
х, , при g х х <0.
- a 1 ( r _s)
Пример 2.7. Пусть исходная модель у = t+(0.5-x) определена на
области: хе[0,1], ре[0,10], te[0,5].
Требуется получить нечеткий аналог этой модели и определить
У при t = (О, 5)0 U (3, 3) ^,
х = (0.2, 0.6)0 U (0.2, 0.3)1~
р -= (О, 10)0 U (2.5, 3)^ .
Решение. Применение пошаговой методики обобщения на нечеткий
слУЧай состоит в следующем:
Шаг 1. у = t+(0.5-x)p
57
56
ау
— >0 на всей области определения;
at
ау
— sO на всей области определения;
ах
„ 'г О, если 0.5-х О
ау
Зр <0, если 0.5-х < О.
Шаг 5. Нечеткая модель имеет вид
Шаг 2. te[0,5j, хИ0,1], pelO.lOj.
Шаг 3. Находим частные производные	контрольные упражнения
ау	ау	ау
___ =	1 •	—	=	О . 5-х.;	—	= -р •
at	’	ар	йх	1- Представить лингвистическую информацию ’’около 0.9”,
Шаг 4. Определяем знак частных производных:	«низкая вероятность в диапазоне от 0.3' до 0.5” нечеткими числами.
2.	Разработать экспертные системы для прогнозирования
качества выполнения следующих технологических операций процесса
производства печатных плат: ’’травление меди с пробельных мест”;
"сверление отверстий” ; ’’металлизация” ; ’’обработка по контуру” .
3.	На основе принципа обобщения Заде программно реализовать
следующие функции от нечетких аргументов:
а) у = a+b-с;	б) у = a-b-с;	в) у = аЬ+с;
г) у = (а+Ь)-с;	д) У = (a+b)/c;	е) у = (а-Ь)-с.
r=t+ (0.5-х) с
4.	С помощью методики из раздела 2.4 разработать правила
Нечеткие значение функции вычисляется следующим образом	выполнения арифметических операций над нечеткими числами.
U [ta Хо.б^р1, +(0.5-ха)р12],
ае [ 0,1 ]
I
где р =
р„, если 0.5-х г О
а	а
Ра, если О.5-х^ < О,
р , если 0.5-х., * О
р , если 0.5-х < О.
'а ’	а
заданных в условии задачи, значенк1
При значениях аргументов,
функции у = t+(0,5-x)p равно:
У	о= 0+(0.5-0.6)•10 = -1;
у;= 3+(0.5-0.3)-2.5= 3.5;
У	о= 5+(0.5—О.2)•10= 8;
У	7= 3+(0.5-0.2)>3 =3.9.
Окончательно получаем у =(-1,
8)„ U (3.5, 3.9),.
и	х
59
58
3.	НЕЧЕТКИЙ АНАЛИЗ НАДЕЖНОСТИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ
АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
3.1.	Нечеткий вероятностный граф
Вероятностным графом [25] называется конечный ориентировании;
граф G(X,D со взвешенными дугами, отождествляемый с поглощающц,
случайным процессом, к которому сводится вероятностная модель ди
Специфика объекта моделирования позволяет определить основнцЕ
свойства вероятностного графа следующим образом:
(1)	вершины графа (X ~ множество вершин) соответствуют собц
тиям, отождествляемым с началом и окончаниями выполнения операций
входящих в АП;
(2)	дуги графа (Г - множество дуг) отождествляются
выполняемыми операциями процесса;
(3)	веса дуг соответствуют характеристикам надежности >
времени выполнением операций АП с различными исходами (правильным
и неправильными);
(4)	веса дуг предполагаются независимыми;
(5)	вершины графа имеют выход типа "исключающие ИЛИ”;
(6)	множество вершин X представляется в виде
X = U п U А,
где х^-входная вершина, соответствующая принятию решения о начал
выполнения процесса (если граф имеет несколько входных вершин,
вершина х0 является фиктивной);
А- множество поглощающих (выходных) вершин, каждая из которв1
характеризует завершение АП с различными исходами;
п- множество промежуточных (переходных) вершин, которь
находятся между входной и поглощающими вершинами;
(7)	граф может иметь петли и замкнутые контур11
соответствующие циклически повторяющимся совокупностям операций,
(8)	для любой j-ой вершины вероятностного графа выполняет-’
условие стохастичности:
Ьл’1-	(зЛ
1=1
ГДе Pji ~ вероятность перехода из j-ой вершины в i-ую;
п - количество дуг, выходящих из j-ой вершины.
Задача анализа АП, моделируемого вероятностным графом G(X,D,
сводится к укрупнению этого графа, т. е. к преобразованию типа
G^X, rj —> G^X* , F*j ,
где G^x ’ Г j - укрупненный граф, в котором промежуточные вершины
отсутствуют, т.е. X = xQ U А, п=и, а веса дуг, направленных из
вершины х0 в вершины Множества А, представляются в виде
функциональных зависимостей от весов дуг исходного графа G^X,rj
что позволяет вычислить вероятности и времена, связанные с
переходами из xfl в А.
При укрупнении вероятностных графов применяется правила
эквивалетных преобразований [25] для:
1)	последовательных дуг;
2)	параллельных дуг;
3)	дуги-петли.
Определение 3.1 Вероятностным графом с последовательными
дугами называется граф, изображенный на рис.3.1.а.
Определение 3.2 Вероятностным графом с параллельными дугами
называется граф, изображенный на рис . 3.1. б .
Определение 3.3 Вероятностным графом с дугой-петлей назывется
граф, изображенный на рис. 3.1. в.
Вероятности переходов из j-ой вершины в j-ую обозначены через
₽jj» а времена через
Правила эквивалентных преобразований вероятностных графов
состоят в следующем.
Предложение 3.1. Правило объединения последовательных дуг.
Фрагмент вероятностного графа, состоящий из двух последовательных
ДУГ (рис.3.1.а), может быть заменен одной эквивалентной дугой,
Seoa которой пересчитываются по формулам:
Pij “ Plk%'-	<3’2)
61
60
а) последовательные дуги б) параллельные дуги
в) дуга - петля
Рис. 3. 1. Соединение дуг в вероятностных графах
Рис. 3. 2. Пример вершины НВГ
62
Предложение 3.2. Правило объединения параллельных дуг.
фрагмент вероятностного графа, состоящий из двух параллельных дуг
(рис.3.1.б), может быть заменен одной эквивалентной дугой, веса
которой пересчитываются по формулам:
р . . = р'. +р" .;
1J
(3.4)
t . .
1J
rj 1J ij iJ
p' +P" -
‘ij
(3.5)
Предложение 3.3. Правило удаления дуги-петли. Фрагмент
вероятностного графа, изображенный на рис.3.1.в, может быть
заменен одной эквивалентной дугой, веса которой пересчитываются
по формулам:
Pij
Р^-= -------;	(3.6)
Доказательство предложений 3.1-3.3 приведено в [25].
Обобщим понятие вероятностного графа на случай нечетких весов
дуг.
Определение 3.4. Нечетким вероятностным графом (НВГ) будем
называть конечный ориентированный граф G^X,fj, дуги которого
взвешены нечеткими вероятностно-временными характеристиками
переходов между вершинами.
К НВГ сводится вероятностная модель надежности алгоритмичес-
кого процесса в случае нечетких исходных данных. НВГ наследует
свойства (1), (2), (4)-(7) вероятностного графа, введенные в
Качале этого раздела. Веса дуг в этом случае соответствуют
Кечетким вероятностным характеристикам надежности и затрат,
СЕЯз анных с выполнением операций процесса с различными исходами.
Поскольку для каждой вершины вероятностного графа выполняется
пРа.вило стохастичности (3.1), то в случае нечетких весов дуг
Л°ГиЧно предположить, что для любой j-ой вершины НВГ (рис.3.2)
ТаКже справедливо нечеткое правило стохастичности:
63
где
n
I
i=l
pji~
нечеткая
вероятность перехода
вершинами;
n - количество дуг, выходящих из j ой
между j-ой
вершины;
и i-ой
1 - нечеткая (размытая) единица.
Простым примером, иллюстрирующим появление нечеткой единицы,
является сложение нечетких вероятностей двух несовместных событий
А и В, таких что Р(А)=0,7 и Р(В)=0.3: 0.7 + 0.3 = 1.
Пусть 0.7 е [0.6, 0.81 и 0.3 е [0.2, 0.4].
Тогда 0.7 + 0.3 = 1 е [0.8, 1.2].
Естественно, что при интерпретации вероятности в практических
расчетах необходимо отсекать ту часть интервала, которая больше
где G (X, г|- укрупненный НВГ, в котором промежуточные вершины
отсутствуют (я=и), а веса дуг, направленных из вершины х0 в
вершины множества А, представляются в виде функциональных
зависимостей от нечетких весов дуг исходного графа G^X,rj.
Наличие укрупненного графа позволяет вычислить нечеткие
вероятности и времена переходов из х^ в А.
Для укрупнения НВГ необходимо разработать правила
эквивалентных преобразований для:
1)	последовательных дуг;
2)	параллельных дуг;
3)	дуги - петли.
Нечеткие вероятность и время перехода между i-ой
вершинами будем обозначать р^.^ и ., соответственно.
3.2. Правила укрупнения нечеткого вероятностного графа
и j-ой
единицы.
Определение 3.4.Нечетким правилом стохастичности для J ои
вершины вероятностного графа назовем соотношения.
Для получения правил укрупнения воспользуемся пошаговой
методикой обобщения, предложенной в разделе 2.4.
3.2.1. Объединение
последовательных дуг
где ае [ 0, 1];
и - количество дуг, выходящих из j-ой вершины;
р   (р•• )- нижнее (верхнее) значение вероятности перехода
a J a
между j-ой и i-ой вершинами на а-уровне.
Предложение 3.4. Если правило стохастичности для вершины НВГ,
введенное в определение 3.4, выполняется на единичном а-уровне
(а=1), то оно выполняется и для всех остальных а-уровней.
Доказательство. Справедливость ' предложения следует из
выпуклости функций принадлежности, которые представляются в виде
разложения по а-уровням.
Задача укрупнения НВГ сводится к преобразованию типа
Предложение 3.5. Фрагмент НВГ, состоящий из двух
последовательных дуг (рис.3.3), может быть заменен одной
эквивалентной дугой, веса которой пересчитываются по формулам:
Р, U ( Р • , р •  1; 3 Г	Л -1Ja 13о) ае[0,1]	“	“		(3.9)
4-7= U f t . . , t . . 1, ае[0,1]	-		(3.10)
ГЙ6 ₽ij =Pik ' ₽kj  а	a	Ja	Pj 7 Pi Jr * P/r 7 ’ -1Ja —lka -kJa	
4 -=t., + t, . - 1Ja lka kja'	t . . =t + t, . . -^a	^ja	
G X, Г
—» G*(х, Г
Доказательство.
Шаг 1. Исходную модель задаем в виде (3.2) и (3.3):
65
64
Рис. 3. 3.
Объединение последовательных
дуг
Рис. 3. 4.
Объединение параллельных
дуг
Рис. 3. 5. Удаление бесконечной дуги-петли
66
a)	PirPzk Pfer
6)	t . -=t., +t, .
ij 1k kj
Шаг 2. Определяем диапазоны изменения аргументов:
р(•)е [0, 1] ;
t(-)e [О, «>) .
Шаг 3. Находим частные производные:
1
Шаг 4. Фиксируем, что все частные производные неотрицательные.
Шаг 5. Получаем правила укрупнения (3.9) и (3,10).
3.2.2.Объединение параллельных дуг
Предложения 3.6. Фрагмент НВГ, состоящий из двух параллельных
дуг (рис.3.4), может быть заменен одной эквивалентной дугой, веса
которой пересчитываются по формулам:
р1Г и
ае[0,1]
(3.11)
ае[0,1]
t . ,
-IJa
(3.12)

где р = р< + р'!	;
— 'a — '’a — Ja
p . = min (1, P<  + P".
Ja '	<x
, p'. , ,	t'. . st".
-1Ja ^Ja
pr. _
p'. . ,	t*. 	< t'!  ,
2-V -1Ja -1Ja
67

РЧ-


> f". .
< f" . ;
Чх
Р4=
Р" ,
р" ,
- Ja
t" .
Г'. 
iJa
at. . ij	' а 0,	t'. .st". 1J	at. . ij	o,	t" • a t< . iJ	1J
8pij	< о,	t'. . < t" .  1J	1J’	ap" .	< 0,	t" . < t< . 2 J	1J
Шаг 5. Получаем правила укрупнения (3.11) и (3.12)
Доказательство.
Шаг 1. Исходную модель задаем
в виде (3.4),
(3.5) :
3.2.3.Удаление дуги-петли
а> ’и-ЧДЧГ
Чу ij viJ
6) t • = —--------------"~
Pij+Pij
Шаг 2. Определяем диапазоны изменения аргументов:
р(-) <= [0, 1] ;	t(-) в [0. « ).
Шаг 3. Определяем частные производные:
Предложение 3.7. Фрагмент НВГ,
(рис.3.5), может быть заменен одной
которой пересчитываются по формулам:
состоящий из дуги-петли
эквивалентной дугой, веса
(3.13)
ap . . 	 = 1 ; apb	8pij 	 = 1; apb
ЭЧу	Pij	atlJ	p"j
atij	pij + Pij	Stiy PiJ "
(3.14)
atu Ч/РЬ +	рг? - Ср1/Ь+	- 6j>
3pij	(pij + pi/	(ph+ pi/
	P1-> -	p-/ij>	P^J - M
8pij	(ръ-+ pby	(pb +
Шаг 4. Фиксируем знаки частных производных:
а) для расчета вероятностей,- все частные производные
положительные;
б) для расчета времени
t'. . = t . . +
1Ja ’Ч 1 _ ,
Доказательство.
Шаг 1. Исходную модель задаем в виде (3.6) и (3.7):
P1J
а) р(-.= ------
J 1-р . .
Шаг 2. Определяем диапазоны изменения аргументов:
р(-)б [0, 1];	t(-)e [0, »).
Шаг 3. Находим частные производные:

68
* 0;
dp'.  .) . 1	3p'iJ	1
'4/ 1 - ’1/	apn (1 - P2p2
69
at2i 1 - ₽ii
Stij (1 ~	1
__	a-P11)2 Г1 - Pip2
Шаг 4 Фиксируем, что все частные производные неотрицательна
Шаг 5. Получаем правила укрупнения (3.13) и (3.14).
Полученные правила используются в дальнейшем для укрупнена;
вероятностного графа с нечеткими весами дуг.
3.3. Алгоритм укрупнения нечеткого вероятностного графа
Формальный алгоритм укрупнения, рассматриваемый ниже
базируется на представлении графа в виде так называемой ленточнк
(L-) матрицы [25].
3.3.1.Матричное представление нечеткого вероятностного графа
Определение 3.5. L-матрицей назовем матрицу размером 4xN> '
которой каждая i-ая строка отождествляется с дугой графа и им®
следующий вид:	|
Ч= {xr yi’ Pi’ ЪД’
где номер вершины, из которой выходит i-ая дуга;
у, - номер вершины, в которую входит i-ая дуга;
p^(t^)- нечеткая вероятность (время) перехода из вершины X.
вершину у;;
N - количество дуг вероятностного графа (1=Т7Ю-
Пример 3.1. Вероятностный граф изображен на рис-3'
Требуется представить его в виде L-матрицы.
Решение. По определению 3.5 записываем:
70
3
Рис. 3. 7. К примеру 3. 2
Рис. 3. 8. Укрупненный НВГ
	3	4	Р34	134
	3	5	Р35	^35
	4	1	Р41	^41
L =	4	2	Р42	^42
	5	5	р55	Ь55
	5	2	р52	^52
Идея, лежащая в основе алгоритма укрупнения графа, состоит в
последовательном применении правил объединения параллельных дуг,
удаления дуги-петли и удаления вершины без петли, При этом правила
распознавания укрупняемых фрагментов графа с нечеткими весами дуг,
являются обобщением аналогичных правил для обычного вероятностного
графа [25].
Рассмотрит правила преобразования ленточной (L-) матрицы в
ходе укрупнения нечеткого вероятностного графа.
3.3.2.Удаление вершины без петли
Обозначим удаляемую вершину через j. Тогда дугам, входящим в
эту вершину соответствуют строки L-матрицы, второй элемент которых
равен j. Обозначим эти строки через а^, a2,...,affl, где т-
количество дуг, входящих в вершину j. Дугам, выходящим из вершины
j соответствуют строки L-матрицы, первый элемент которых равен J.
Обозначим эти строки через b^ , bg, . . . , Ь^, где d- количество дуг,
выходящих из вершины j.
Учитывая формулы (3.9) и (3.10), получаем следующий алгоритм
удаления вершины без петли.
Правило 3.1.Удаление вершины без петли
Шаг 1. Выделить множество А = ^а^а^, . . . , affij- дуг, входящих в
вершину j, где аг“|хг- Уг. Pr. - строка L-матрицы, yr=j; г=Т"Л
Шаг 2. Выделить множество B=^b^,bg, ..., Ь^| дуг, выходящих из
вершины j, где Ъ =<х , у , р , t 1 - строка L-матрицы, х ==j ; 2=1,^
z \ z z z z \	z
Шаг 3. Вычеркнуть из L-матрицы строки, входящие в множество А
Шли В
| Шаг 4. Образовать множество С = АхВ, каждый элемент которого
дредставляет собой строку L-матрицы:
I crz {хгг:’ rz’ ®rz’	’
xrz= Kr;
”rz~ ^z'
Prz = Pr -p - определяется по формуле (3.9);
t r, = t +t - определяется по формуле (3.10).
I Z I Z
Шаг 5. Добавить в L-матрицу строки, входящие в множество С.
|.3.3. Объединение параллельных дуг
Признаком параллельных дуг является наличие на L-матрице
строк, у которых первые два элемента попарно равны.
Учитывая формулы (3.11), (3.12) получаем следующий алгоритм
для объединения параллельных дуг.
Правило 3.2.Объединение параллельных дуг
Шаг 1. Найти на L-матрице две строки
lx . , у., р., t . I ,
У 1 ’ J 1 ’	’ 1) ’
Jx ., у., р., t . > ,
\ J VJ’ J)
Щкие, что: xi=x^ и У-^У-j-
Шаг 2. Заменить две строки, найденные на шаге 1, одной
эквивалентной строкой
|х, у, р, t},
гДе х = xi;
У = У-,;
р = р.^ + р • - определяется по формуле (3.11);
72
73
p . t +р .t .
1 1 J J
- определяется по формуле
(3.12).
3.3.4. Удаление дуги-петли
Признаком дуги-петли при вершине j есть строка L-матрицы, у
которой первый и второй элементы равны j. Дугам, выходящим из
вершины j, соответствуют строки, у которых первый элемент равен j.
Учитывая формулы (3.13) и (3.14), получаем следующий алгоритм
удаления дуги-петли при вершине j.
Правило 3.3.Удаление дуги-петли
Шаг 1. Определить строку s = |х. у, р, t|, для которой х=у=j.
Шаг 2. Выделить множество А -= ^а^.а^, ..., affl| дуг, выходящих
из вершины j, где а^ = |xr> yr, Pr, - строка L-матрицы, xr=j;
г=1, т, причем зйА.
Шаг 3. Вычеркнуть из L-матрицы строку s и строки, входящие в
множество А.
Шаг 4. Каждую строку а^ найденную на шаге 2, заменить строкой
= |хр, у;, рД,
где хД = х^;
ур = уг;
рг
p,'„ = --- - определяется по формуле (3.13);
1 - р
t-p
V =	+ ----- - определяется по формуле (3.14);
1 - Р
г = 1,т.
Шаг 5. Добавить в L-матрицу строки, найденные на шаге 4.
Алгоритм укрупнения нечеткого вероятностного графа, исполь-
зующий правила 3.1 - 3.3, состоит в следующем.
ф. 5.Обобщенный алгоритм укрупнения
Шаг 1. Построить граф G(X, Г) с нечеткими весами дуг.
Шаг 2. Если есть параллельные дуги, то объединить их по
давилу 3.2.
Шаг 3. Если тг*0, то взять промежуточную вершину из множества
Л иначе перейти к шагу 8.
’ Шаг 4. Если промежуточная вершина с петлей, то перейти к шагу
5t(иначе,- к шагу 6.
' Шаг 5. Удалить петлю по правилу 3.3.
Шаг 6. Удалить промежуточную вершину по правилу 3.1.
Шаг 7. Перейти к шагу 2.
Шаг 8. Записать результат в виде нечетких весов дуг
укрупненного графа G (X, Г).
3,3.6.Пример укрупнения нечеткого вероятностного графа
Пример 3.2. Требуется укрупнить вероятностный граф,
изображенный на рис.3.7, веса дуг которого приведены в табл.3.1.
Таблица 3.1
Нечеткие веса дуг вероятностного графа
i	J		
3	4	(0.6, 1)0 U (0.7, 0.8)1	(2, 4)„ U (2, 3). С/	-L
3	5	(0, 0.4)0 U (0.2, 0.3)2	(3, 5)0 и (3, 4)2
4	1	(0.1, 0.4)0 U (0.2, 0.2)^	(4, 6)0 U (5, 5)2
4	2	(0.1, 0.3)0 U (0.1, 0.2)2	(0, 4)0 U (2, 3),
4	5	(0.3, 0.8)„ U (0.6, 0.7). О	4-	(1, 5)„ U (2, 3), О	-1
5	2	(0.6, 1)0 и (0.7, 0.8)1	(0, 4)0 и (1, 2)2
5	4	(0, 0.4)0 U (0.2, 0.2)1	(1, 5)0 U (2, 3)^
Решение.
*- Шаг О. Представим исходный граф следующей L-матрицой:
74
75
3	4	(0.6,	1)ои	(0.7,	°'8)1	(я,	4)0	и	(2,	3)1
3	5	(0, 0	,4)0 U	(0.2,	о.з) 1	(3,	5)0	и	(3,	
4	1	(0.1 ,	0.4)0	U (0.	2, 0.2)1	(4,	6)0	и	(5,	
4	2	(0.1,	о.з)0	и (0.	1, 0.2)2	(0,	4)0	и	(2,	3),
4	5	(0.3,	0.8)0	и (0.	6, О.7)2	(1,	5-’о	и	(2,	3)1
5	2	(0.6,	i)ou	(0.7,	0.8)2	(0,	4)0	и	(1,	2)1
5	4	(0, 0	,4)0 U	(0.2,	0.2)^	(1,	5)0	и	(2,	3)1
3 4	(0.6, 1)0 U (0.7, 0.8)^
4 1	(0.1, 0.4)0 U (0.2, 0.2)^
32	(0, 0.4)0 U (0.14, 0.24)1
3	4	(О, 0.1б)ои	(0.04,	0.06)1
4	4	(О, 0.32)0 U	(0.12,	0.14)^
4	2	(0.28, 1)0 U	(0.52,	0.76)^
(2,	4)0	и	(2,	3)1
(4,	6)0	и	(5,	5Ь.
(3,	9->о	и	(4,	6),
(4, 10)0 II (5, 7)2
(2, 10)0 U (4, 6)1
(0.38, 8.44)0U(2.68, 4.7)
Шаг 1. Удаляем промежуточную вершину 5. Для этого заменяем
строки 2, 5, 6, 7 матрицы следующими строками:
3	2	(0,	0.4)0 U	(0.14, 0.24)^	(3,	9)Q U (4, 6)2
3	4	(0,	0.16)0 U	(0.04, 0.06)J	(4,	10)0 U (5, 7),
4	2	(0.18, 0.8)0	U (0.42, 0.56)	(1,	9)Q U (3, 5)2
4	4	(О,	O.32)O U	(0.12, 0.14)1	(2,	10)0 U (4, 6)^
В результате получаем:
3	4	(0.6,	1)0 (J	(0.7, 0.8)j,	(Я,	4)0	U	(2,	3);
4	1	(0.1,	0.4)0	U (0.2, 0.2)1	(4,	6)Q	U	(5,	5)
4	2	(0.1,	0.3)0	U (0.1, 0.2)2	(0,	4)0	U	(2,	3^
3 2 (0, 0.4)0 U (0.14, 0.24);	(3, 9)Q U (4, 6)2
3 4 (О, 0.16)0U (0.04, 0.06)2	(4, 10)0U (5, 7^
4 2 (0.18, 0.8)0 U (0.42, 0.56)^ (1, 9)Q U (3, 5)^
4 4 (О, 0.32)0 U (0.12, 0.14)	(2, 10)0 U (4, 6)2
Шаг 2. Объединяем параллельные дуги путем замены строк 3 и 6
в матрице Lj, следующей строкой:
4 2 (0.28, 1)0 U (0.52, 0.7б);	(0.38, 8.44)0U(2.68, 4.7)1
В результате получаем:
Шаг 3. Объединяем параллельные дуги путем замены строк 1 и 4
^Матрице следующей строкой:
3 4	(0.6, 1)0 U (0.74, О.86)2	(2, 5.26)Q U (2.14, 3.32)^.
В результате получаем:
4	1	(0.1, 0.4)0	U (0.2, О.2)2	(4,	6)Q U (5, 5^
3	2	(О, 0.4)0 U	(0.14, 0.24)1	(3,	9)Q U (4, 6^
4	4	(0, 0.32)0 U	(0.12, 0.14)1	(2,	10)Q U (4, 6)^
4	2	(0.28, 1)„ U	(0.52, 0.76),	(0.38, 8.44)Д)(2.68, 4.7),
О	2	U	J.
3 4	(0.6, 1)0 и (0.74, О.86)2	(2, 5.26)Q U (2.14, 3.32)J
Шаг 4. Удаляем дугу-петлю путем замены строк 1,	3 и 4 в
матрице следующими строками:
4 1 (0.1, 0.59)0 U (0.23, 0.23); (4, 10.71)0U (5.55, 5.98);;
4 2 (0.28, 1)0 U (0.59, 0.88)1 (0.38, 13.13)0U(3.23, 5.68);.
В результате получаем:
3	2	(О, 0.4)	U	(0.14, 0.24)J	(3,	9) U (4, 6);
3	4	(0.6, 1)0	U	(0.74, 0.86).	(2,	5.26)Q U (2.14, 3.32)1
4	1	(0.1, 0.59)	11(0.23, 0.23)^	(4,	10.71)0U 5.55, 5.98)2
4	2	(0.28, 1)	U (0.59, 0.88)J,	(0.38, 13.13 )0U( 3.23 , 5.68^
Шаг 5. Удаляем промежуточную вершину без петли путем
35мены строк 2, 3 и 4 в матрице следующими строками:
77
76
3	1	(0.06, 0.59)0 U (0.17, О.2)2	(6, 15.97 )f)U(7.69 , 9.32)
3 2	(0.17, 1)0 U (0.44, 0.76)1	(2.38, 18.39)qU(5.37, 9);
В результате получаем:
Lc= 3	1
b
(О, 0.4)0 U (0.14, 0.24);
(0.06, 0.59)0U(0.17, О.2)2
(0.17, 1)0 U (0.44, О.76);
(3, 9)0 U (4, 6);
(6, 15.97)0U(769, 9.32)1
(2.38, 18.39)0U( 5.37 , 9^
3 2
3 2
Шаг 6. Объединяем параллельные дуги путем замены строк 1 и ч
в матрице Ь5 следующей строкой:
	3 2 (0.17, 1)0 и (0.58, 1)2 Окончательно получаем:	(2.38, 18.39)0U(4.89,	8-53)
L,-	3	1	(0.06, 0.59 ) „(J(0.17 , 0.2), О	-L	(6, 15.97)^(7(7.69, 9.	32).
6	3 2 (0.17, 1)_ и (0.58, 1), О	1	(2.38, 18.39)0U(4.89,	8.53)
Таким образом, исходный граф (рис.3.7) преобразован
укрупненому виду (рис.3.8) е эквивалентными нечеткими вероят-
ностно-временными весами дуг:
Р31= (0.06, O.59)OU(O.17, 0.2)2;
Р32= (0.17, 1)0 U (0.58, l)j;
7 = (6, 15.97) JJ(7.69, 9.32),;
Z31	и	1
~ = (2.38, 18.39)0U(4.89, 8.53)г
3.4. Сравнение методов укрупнения
Предложенный выше метод, является альтернативой известной
методу моделирования надежности с помощью аппарата полумарковО^
процессов [25], в котором неопределенность исходных дапИ’0
описывался произвольными законами распределений времени переход0’
между вершинами.
В этом разделе показывается, что вычислительная трудоемко0,1
78
Предлагаемого нами подхода значительно ниже, чем в случае при-
менения теории полумарковских процессов и решетчатых функций [25].
[ Рассмотрим необходимые модели укрупнения вероятностного графа
и весами дуг в виде законов распределений.
* Пусть tij.
к вершину j с плотностью распределения	.
25], заменим непрерывную функцию
| виде решетки:
- случайная величина времени перехода из вершины i
Согласно методике
fjj(t) дискретным распределением
t. .(1) 2 J				
d . .(1) 1J				d^.Cm)
Где d . -<r)=Bep[t. . = t. .(г)], V d. .(г) = 1,
'ft1. -L J	\ ‘J -L J )	*-* J
r=1
m ~ число точек, в которых задана функция f . -(t).
I	«
Если x^,	x^,...	, x - дискретные случайные величины с
'распределениями
xi	xi(l)		X , ( r )		(m)
Вер^ч=х^(г) j	P/1)		Р-^г)		P-fCm)
то дискретное распределение функции y=f(х^,x^, .•.х^) вычисляется
по следующему алгоритму.
Шаг 1. Вычислить границы функции y=f(x^,x2, • • 	> максимум
обозначим через у, а минимум через у.
Шаг 2.Разбить интервал [у, у] на ш одинаковых частей длиной h.
Шаг 3. Вычислить вероятность s(l) попадания случайной
Величины у в интервал = у +(l-l)-h, у +l*h по формуле
в(1) = Вер(уевр =
Р^()’Р2(• • • ‘Pz/j/Р ’ (ЗЛ5'1
v2'r j2-----Jn:	' ’WH
79

где l=TTm.
Шаг 4. Вычислить середину интервала у(1) = у + (1 - 0.5)ц
Шаг 5. Сформировать распределение случайной величины у в виде
даой h.
Шаг 3. Вычислить вероятности s(l) попадания случайной величины
L в интервал 0^
14+(l-l)*h, t13 +l-h по формуле
у(1)		у(г)		у(ш)
s(l)		s(r)		s(m)
= BepCt^eep =
p(r)-q(j),	(1=1,m).
(3.16)
Трудоемкость вычислительных процедур укрупнения вероятност-
ного графа с весами дуг, задаваемых произвольными законами
распределений и нечеткими числами, сравним на примере объединения
Vr, j:
'23
ев1
Шаг
4. Вычислить середину интервала вt^Q )=t 13+( 1-0.5)h.
последовательных дуг.
Задача объединения двух последовательных дуг, взвешенных
Шаг
5. Сформировать распределение случайной величины tв
(де
произвольными законами распределения,сводится к вычислению свертки
двух дискретных
из вершины 1
соответственно.
распределениями
распределений.
Пусть
Ь12
и времена
переходов
в вершину 2 и из вершины 2 в вершину 3,
Пусть tи Ъ2з - дискретные случайные величины с
i
*13	*13(1)		*13(r)		tJ 3(m)
Вер(Чз=*13Сг))	s(l)		s(r)		s (m)
*12	t^U)		t12<-r'1		t12(m)
Bep^t12=t12(r)j	p(l)		p(r)		р(ш)
Предложение 3.8, Для реализации формулы (3.16) необходимо
2	2
выполнить не менее (2m -ш) операций сложения и ш операции
гснкения.
*23	*23 5		t23(r)		*23(m)
Вер[*23=*23(г)]	q(l)		q(r)		q(m)
Доказательство. Дискретное распределение величин tи
задано на m точках. Поэтому количество операций сложения в
Значения t^Cr) и t^Cr) (г=1,ш) упорядочены по возрастанию.
Алгоритм вычисления дискретного распределения случайной
величины	^2з состоит в следующем:
Шаг 1. Вычислить границы величины	:
^13 = t12('1) + *23<'1^;	^13 =	+ ^(ш).
Шаг 2. Разбить интервал	t^3, на и одинаковых частей
___	____ о
выражении 1+ ^23^	=1’m’	равно ш , а количество
ОДераций умножения в выражении p(r)-q(j) (r=l,m, j=T7in) также
2
PftBHO m . Если элементы распределены равномерно, то чтобы
<	2
Просуммировать ряд из ш чисел, разбитый на ш частей, необходимо
Выполнить (m-l)-m операций. Если же все элементы сосредоточены в
2
°Дной группе, то необходимо выполнить m -1 операций. Поэтому общее
2	2
Количество операций сложения составляет от 2m -ш до 2m -1, а
Количество операций умножения равно tn'*'.
1 Объединения двух последовательных дуг, взвешенных нечеткими
Семенами, сводится к вычислению суммы двух нечетких чисел.
80
81
Пусть	U I t12 ,
ае[О,1 ]	~ а
»?
ае[О,1]
’23 Л
а.1
нечеткие времена переходов между
вершинами 1-2 и 2--3,
соответственно. Тогда нечеткое время
перехода из вершины 1 а
вершину 3 равно
Ь13
С12 + Ь23’
(3.17
и
где для каждого а-уровня
X Х+Х’
Х= ^2а+ ^23а
Предложение 3.9. Если нечеткие числа и представлены
на m точках, то для реализации формулы (3.17) необходимо выполнить
ш операций сложения.
Доказательство. Для нахождения tнеобходимо вычислить
нижнюю и верхнюю границу нечеткого числа для каждого а-уровня
Количество таких a-уровней равно ш/2, поэтому общее количество
операций сложения равно ш.
В табл.3.2 приведены данные о количестве арифметических
операций, необходимых для нахождения временной характеристики
эквивалентной дуги в зависимости от числа точек дискретизации (т).
Таблица 3.2
Трудоемкость объединения последовательных дуг
ш	Произвольные законы распределения			Нечеткие числа		
	Количество операций			Количество операций		
	сложения	умножения	общее	сложения	умножения	общее
8	г 120	64	г 184	8	0	8
12	г 276	144	г 420	12	0	12
16	> 496	256	г 752	16	0	16
20	г 780	400	21180	20	0	20
82
 Из табл.3.2 видно, что трудоемкость укрупнения вероятностных
графов с нечеткими весами дуг, намного меньше, чем в случае, когда
иуги графа взвешены произвольными законами распределений. Заметим,
»что формулы (3.9) - (3.14) позволяют учитывать нечеткие вероят-
ности переходов, в отличие от полумарковсих процессов, в которых
вероятности переходов являются четкими числами.
4
контрольные упражнения
ц
1.	Разработайте программу укрупнения произвольного вероят-
ностного графа с помощью L-матрицы.
2.	Разработайте программу укрупнения произвольного нечеткого
вероятностного графа.
j 3. Разработайте программу укрупнения вероятностного графа с
произвольными законами распределения времени переходов между
^ершинами.
th 4. Задайте алгоритмический процесс и постройте модель его
надежности с помощью вероятностного графа. Решите задачу оценки
Надежности двумя способами: с помощью нечетких весов дуг и с
Йэмощью решетчатых функций произвольных законов распределений,
фавните результаты моделирования.
83
4.	НЕЧЕТКИЙ АНАЛИЗ И ОТПИМИЗАЦИЯ НАДЕЖНОСТИ РЕГУЛЯРНЫХ
АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ГРОЦЕССОВ
4.1.	Модели надежности операторов
При надежностном моделировании АП наиболее часто
используются следующие интерпретации операторов [25]: рабочий,
доработка, тождественный.
Определение 4.1. Рабочим оператором (А) называется оператор,
при выполнении которого ошибки лишь вносятся в процесс, но не
обнаруживаются и не устраняются. Граф-схема рабочего оператора
изображена на рис.4.1.а
При выполнении рабочего оператора возможны два исхода
(рис.4.1.6): 1- правильное выполнение оператора и О - неправильное
выполнение оператора.
Для оценки рабочего оператора используются:
1 о
Рд(Рд)~ вероятность правильного (неправильного) выполнения
оператора А, причем рд+рд=1;
бд- время выполнения оператора А.
В случае неопределенных исходных данных эти показатели
-1 ("ОУ
являются нечеткими числами и обозначаются рд Рд] и ^д, причем
РА+Рд=1;
Определение 4.2. Оператором доработки (V) называется оператор,
предназначений для устранения ранее внесенных ошибок. В общем
случае при выполнении оператора V могут вносится дополнительные
ошибки. Граф-схема оператора доработки и возможные исходы при его
выполнении изображены на рис.4.2.
Для оценки оператора доработки используются:
v^Cv®)- вероятность правильного (неправильного) выполнения
1 О
доработки , причем v +v =1;
ty - время выполнения доработки.
В случае неопределенных исходных данных эти показатели
84
Рис. 4. 1. Рабочий оператор
а) граф - схема б) исходы при выполнении
Рис. 4. 2. Оператор доработки
а) граф - схема б) исходы при выполнении
1е
1
i
1
Т°
1
о
а)	б)
Рис. 4. 3. Тождественный оператор
а) граф - схема б) исходы при выполнении
85
являются нечеткими числами и обознс
v, причем
~ 1 ~0
Определение 4.3. Тождественным оператором (Е) называется
оператор Е, не изменяющий состояние процесса и не требующий затрат
времени. Граф-схема тождественного оператора и возможные исходы
при его выполнении приведены на рис.4.3.
4.2. Модели надежности логических
условии
используются
контроль и выборка.
Определение 4.4. Контролем (ы) называется логическое условие,
которое вводиться в процесс для обнаружения допущенных ошибок
Граф-схема контроля и исходы при его выполнении изображены на
рис.4.4.
Для оценки контроля используются:
_ априорная вероятность того, что условие
истинным (ложным), т.е. ы=1 (w=0), причем p^+pf^l;
ш и)
11	10
к (к )- вероятность отсутствия (наличия)
0)	0)
11	10
рода при контроле, причем к' +к =1;
(О со
00, 01х	/	ч
к (к, )- вероятность отсутствия (наличия)
СО (0
рода при контроле , причем k^+k01=1 ;
СО со
t - время выполнения контроля.
В случае неопределенных исходных данных
при анализе надежности
интерпретации логических условий:
АН
ошибок
ошибок
эти
являются нечеткими числами и обозначаются р р
<4> 1 СО I
~00(~01]	~	~1 ~О ~ ~11 ~10 ~
к к,, и ,, причем р +р =1, к +к =1,
Ш I W I	W "WO W
K00+i014.
следующие
является
первого
второго
показатели
J
кш
Определение 4.5. Выборкой назовем
устанавливающее вероятность
Граф-схема выборки и возможные
на рис.4.5.
условие
последующий контроль•
логическое
перехода на
< исходы при ее выполнении приведена
Выборка ф характеризуется
ветвь 1 (0) алгоритма, причем
10
вероятностью р,,,(р.) перехода н'-
V v
Ар^О.
86
Рис. 4. 4. Контроль
а) граф - схема
б) исходы при выполнении
а)	б)
Рис. 4. 5. Выборка
а) граф - схема б) исходы при выполнении
87
В случае неопределенных исходлых данных эти показатели,
~ 1 СО)	~1 ~0 ~
являются нечеткими числами и обозначаются pJp^l> причем Р^+Р^-1.
4.3.	Модели надежности алгоритмических структур
Определение 4.6. Алгоритмической структурой называется част0
встречающаяся комбинация операторов и логических условий, ддч
которой получены математические модели, заменяющие эту структуру
единственным оператором с эквивалентными характеристиками.
Для анализа надежности регулярных АП используются следующие
алгоритмические структуры:
•	последовательная структура (композиция);
•	ветвящиеся структура (а-дизъюнкция);
•	итеративная структура (обратная а-итерация).
Кроме того при анализе надежности технологических процессов и
человеко-машинных систем возникает необходимость дополнительного
применения таких структур:
•	"работа-контроль-доработка";
•	’’работа с выборочным контролем и доработкой” ;
•	"многократная работа”.
Для построения математических моделей перечисленных выше
структур обозначим события, связанные с выполнением операторов и
условий:
1 о
А (А )- правильное (неправильное) выполнение оператора А;
1 о
а (а )- априорная истинность (ложность) условия а;
77, 10. а (.а	)~ отсутствие	(наличие)	ошибки	первого	рода	при
выделении условия а\ 00f 01. а {а )- отсутствие	(наличие)	ошибки	второго	рода	при
выполнении условия а,					
С учетом этих обозначений, в табл.4.1 определены логически8
функции правильного выполнения типовых алгоритмических структур
Эти функции позволяют получить вероятностно-временные модел0
надежности.
Таблица 4.1
Определение алгоритмических структур
1 Наименование	Обозначение	Граф-схема		Логика безошибочного выполнения
цТоследова- кельиая j 1		5=4 4	л 4 1 4 ф		5’=4'-4
, а - дизъюнкция if	С- (At vA2) а			С' = «' а" -A] v va°-a°° -А2
^Обратная -итерация 1	г = М а	□Ь Ж		F' =A'a"v '^А'а,° vA°amj' A1ar‘v(AlamvA°a00)-
Многократная работа	М=АЫ	ф		М'^-А',.^ Мраз
работа- контроль- ноработка ! г-—-			К=А (EvK) со	сЬ о ( G) JV |		К' = А'-со" v у(А!-сою v А0-сом)~ Г1
работа с выбо- рочным (Контролем и Доработкой	Р=А (Ev(EvF)) цс а>	j А | оА 1J Жо ।		 —*| V 1 ——1		Р1 =А‘-i/vA1 V- со00-Г
88
89
4.3.1.Последовательная структура
Предложение 4.1. Последовательная структура B=AjA^ заменяется
единственным оператором с эквивалентными характеристиками:
рв=р{/р12-	(4Л)
v v	(4^
Доказательство. Эти формулы следуют из вероятностного графа
(рис.4.6), вершины которого соответствуют событиям:
1(2)- окончание выполнения структуры с положительным
(отрицательным) исходом;
3-	начало выполнения структуры;
4(5)- окончание выполнения оператора А^ с положительным
(отрицательным) исходом и переход к выполнению оператора А^.
4.3.2.	Структура "а-дизъюнкция”
Предложение 4.2. Структура ’’a-дизъюнкция” С= (А^ v А^) заме-
са
няется единственным оператором с эквивалентными характеристиками:
₽с =	(4-3)
С4 4)
Доказательство. Вероятностный граф структуры ’’«-дизъюнкция"
изображен на рис.4.7. Вершины графа соответствуют событиям;
1(2)	- окончание выполнения структуры с положительным
(отрицательным) исходом;
3 - фиктивная вершина, соответствующая принятию решения о
начале выполнения структуры;
4(5)	- начало выполнения структуры в случае априорной
истинности (ложности) условия ы.
6(7) - окончание выполнения условия ш без ошибок (с ошибками)
первого рода и переход к оператору А_.;
8(9) - окончание выполнения условия ш без ошибок (с ошибками)
второго рода и переход к оператору А^.
90
Рис.4.6. Вероятностный граф структуры “последовательная”
Рис.4.7. Вероятностный граф структуры “а-дизъюнкция”
91
Применяя правила укрупнения вероятностных графов получаем
формулы (4.3) и (4.4).
4.3.3.	Структура "обратная а-итерация”
Предложение 4.3. Структура ’’обратная а-итерация” F = { А }
ш
("работа-контроль”) заменяется единственным оператором с
эквивалентными характеристиками:
1-Рд()-(I-Рд)к00
А ш 'Aw
tF
t ,+t
A co
(4.6)
l-p^l^-Wi-pX0
Доказательство. Вероятностный граф этой структуры показан на
рис.4.8. Вершины графа соответствуют событиям:
1(2) - окончания выполнения структуры с положительным
(отрицательным) исходом;
3 - начало выполнения структуры;
4(5) - окончание выполнения оператора А с положительным
(отрицательным) исходом и переход к условию со.
Применяя правила укрупнения вероятностных графов, получаем
формулы (4.5) и (4.6).
4.3.4.	Структура "работа-контроль-доработка”
Предложение 4.4. Структура "работа - контроль - доработка”
К = А (Е v V) замененяется единственным оператором с эквива-
ы
лентными характеристиками:
4 “ рК1+(рА(1'к^)+(1^)кЛ^;	(4 7)
ч =		(4-8)
92
Рис.4.8.Вероятностный граф структуры “обратная а-итерация”
Рис.4,9. Вероятностный граф структуры “работа-контроль-доработка
Рис.4.10. Вероятностный граф структуры “работа с выборочным
контролем и доработкой”
Доказательство Вероятностный ; -к. этой структуры изобр-пкец
на рис.4.9. Вершины графа соответствуют событиям:
1(2) - окончание выполнения структуры с положительным
(отрицательным) исходом;
3 - начало выполнения структуры;
4(5) - окончание выполнения оператора А с положительным
(отрицательным) исходом и переход к выполнению условия ш.
6 - начало выполнения оператора V.
Применяя правила укрупнения вероятностных графов, получаем
формулы (4.7) и (4.8).
4.3.5.Структуру ’’работа с выборочным контролем и доработкой”
.. 3.6 . Структура "многократная работа”
Предложение 4.6. Структура "многократная работа" М = дП
^меняется единственным оператором с эквивалентными хара-
ктеристики :
Г pm=(pa)N;	<4. и)
ЪМ=1*'ЪА'	(4'12)
Доказательство. Справедливость этих соотношений следует из
моделей последовательной структуры.
Предложение 4.5. Структура ’’работа с выборочным контролем и
доработкой” Р— A j Е v (Е v V
заменяется единственным оператором
с эквивалентным характеристиками:
Применение методики нечеткого обобщения, предложенной в
разделе 2.4, позволяет получить нечеткие аналоги рассмотренных
выше вероятностно-временных моделей надежности типовых
алгоритмических структур.
pr(i^)pl+pJ- (р{ к<?+[р1(1л11)+(1Ч)к£ПН;	(4 9)
tP=tA+p^’(t“ +t'v(PA<'1-k<<) '> + <'1_pA^kw )]'	(4.10)
Доказательство. Вероятностный граф этой структуры приведенен
на рис.4.10. Вершины графа соответствуют событиям:
1(2)	- окончанием выполнения структуры с положительным
(отрицательным) исходом;
3 - начало выполнения структуры;
4(5) - окончание выполнения оператора А с положительным
(отрицательным) исходом;
6(7)	- начало выполнения условия ы при положительном
(отрицательном) исходе выполнения оператора А.
8 - начало выполнения оператора V.
Применяя правила укрупнения вероятностных графов, получаем
формулы (4.9) и (4.10).
4. Нечеткие модели надежности алгоритмических структур
J (1) последовательная структура
.у
Рв= и I рв , рв I,
«е[0,1 ] ~	“

-1 -1
РМ'РА2 ’
a a
(4.13)
где
is ’
а
±11 +±L
а а
ЪВ ЪА1 +tA2
а a a
94
95
где
(2) а~дизъюнкция С = (A^VA2):
~1	и	[ 1
Рр =	U Рр
ае[0,1] - “
а
с -	+^-₽?CpL 
а — а— а	— а— а
рс = P2K“pai +(1-Рг^°Р^
а ~
а
а
'и РА2 ;
а а
(4.15)
?г
р2-
fcc

а
к
а
4
— а
и
ае[0,1]
11 1 _ к00 1 ;
ш РА1 и РА2
— а— а - а— а
.111	.00 1
kw РА1	ка> РА2 °’
— а— а — а— а
а а а а
^“51, - №
а а а а
—С ’ tC
а а
(4.16)
где
ic
:/ \+S.Aia(Piki+(1-PiK
, рЛ1-ир + (1-ррк5 ;
а'	'
tc “
а
Др2к2+(1-р2Ш-к4)
 +t л ,
ы А1
а
РА2	^2'
а '
к1
£
~а
—Al -А2 '
а а
:11
'ы
а
-Al ~ 2А2 <0;
а а
96
р ,	(1 к; кз)(^А2 — а	а ₽i = ' -1 Ры ,	(1 к^ k3)(_t а	а кы ’	ТА1 ~ “А2 ~° — а	а	а к2 = 44	41 "42 <0’ (.а	а	а ’	42 ~ 41 а	а	а 4 =  4 ’	42 ~ Til <0; а	а	а Р ,	(l-k^-k^Ct	- 7 а	а &2 ~ ' Pw ’	(1-к2~к4)(^А2 - 1 — а	а (3) обратная a-итерация F = { А рр “	( Рр - Рр ] • а6[0,1]	“ о1 41 РА w 1 = 	~-а ~ а	 ~F“ !-₽! — а -а	— а — а	ч1'0' :А1 )2° а :А1 )<0 a }: G) (4.17)
97
____________a a_____________
PF“ - ;
a a	a a
tp U ( tp , j,
ae[O,lj “ a)
t
где tF
- a
. + 4
ft
1-P1
a
\ / 4	\ 1 00’
M1-P1 )kgj
— a
где
^F
a
fcA
a
w
_________a
l-p„ (l-k^)-(l-p9 )k^
Zj	u>	z; u>
— a
»r
— a
l-k11^00 *0
“a -Wa
Pl
PA ’
a
1-ЕП-к00 <0;
G> GJ
a — a
(4) работа-контроль-доработка К = A (E v V):
£J
~1	II	( 1
₽K =	u Pk-
ae[O,l] “
it
ft
t -
—a - a- a
p{
— a
— a — a — a7 —
98
(4.18)
^*K(Xwi4
V1
a
(4.20)
rae V
tK X
a a
+t
v
Ct
[pX'wi-p^);
v — a	ot'
w (j)
a — a
l-E11-^00 <0;
“a —ua.
l-k1/1-^00 гО
a> co
— a a
l-k^-E00 <0;
~Wa Wa
(5) работа с выборочным контролем и доработкой Р=А| Ev(EvV
Рр= U [ Рр , Рр
ае[0,1] 1 “ “	'
(4.21)
(4.x где pV (1^)₽VP4 pV^+(

99
pia 4	ЧЧ ->о
-а — а — а -	- а — а-
Pl =
₽v 4 (i-O(v«-iwi-pi КЧ <0'
а — а — а—	— а — а—
pj >	)1W ,0
ос ос а	а а
Р2
PJ ’ РА (1-O(va-1) + (1-pA ЧЧ <0;
— а а а	а. а
kp' U I tp , tp
ае[О,1] “ а '
(4.22)
где
>сГ k+_i
t +t
W V
— Ct - <
a	—a
+P.
a

t +t
w v
a a


1^г1-к00
“a -wa
^0
V1
-i 
— а
l-En-tO°
wa ~wa
<0;
-1
PA '
a
a
-V“
w
:	а
i’
l-kn-E°0
(0 w
— a a
<0.
(6) многократная работа M=AN:
/	fi __i '
PM = U I ₽M ’ PM
«е[0,1Г-“ a
(4.23).
100
рм
а
Ч	I	I Т
м	I М м I ’
а«=[0,1] а а
(4.24)
rpe tM^ ytv
Ъ,. = U • t
м ~
а
а ^а
Полученные модели являются основой методики нечеткой оценки
г
вероятностно-временных показателей надежности алгоритмических
процессов, которая излагается в виде формального алгоритма.
$.5. Алгоритм нечеткой оценки надежности
i Шаг 1 . Представить АП в виде суперпозиции алгоритмических
Втруктур.
Шаг 2. Задать нечеткие вероятностно-временные характеристики
[ераторов и логических условий.
j Шаг 3.	Установить счетчик алгоритмических структур в	единицу
|:=1.		
4 Шаг 4. £	Найти i-ую алгоритмическую структуру.	
fflar 5.	Если i-ая структура - "последовательная”, то	заменить
fe оператором по формулам (4.13), (4.14) и перейти к шагу		11.
Шаг 6. Если i-ая структура - ’’a-дизъюнкция”, то заменить ее
оператором по формулам (4.15), (4.16) и перейти к шагу 11.
Шаг 7. Если i-ая структура - ’’обратная a-итерация", то
Заменить ее оператором по формулам (4.17), (4.18) и перейти к шагу
И.
Шаг 8. Если i-ая структура - "работа-контроль-доработка”, то
Заменить ее оператором по формулам (4.19), (4.20) и перейти к шагу
11.
У
., Шаг 9 Если i-ая структура - ’’работа с выборочным контролем и
^работкой”, то заменить ее оператором по формулам (4.21),	(4.22)
101
и перейти к шагу 11.
Шаг 10. Если i-ая структура - ’’многократная работа”, то заме-
нить ее оператором по формулам (4.23), (4.24).
Шаг 11. Проверить условие ’’есть алгоритмические структуры?”
Если ”да”, то увеличить счетчик на единицу (i:=i+l) и перейти к
шагу 4, иначе к шагу 12.
Шаг 12. Конец.
4.6. Оптимизация надежности при нечетких исходных данных
Идея, лежащая в основе оптимизации АП, состоит в генерации
различных вариантов выполнения процесса с последующим отбором
оптимального варианта по вероятностно-временным критериям. Предпо-
лагается, что критерии оптимизации сформулированы в техническом
задании на надежностное проектирование АП.
Оптимальный выбор способов реализации операторов и логических
условий, входящих в состав АП, приводит к необходимости сравнения
нечетких чисел.
По определению 4.7, получаем: а <
 Для сравнения нечетких чисел Ь и с в этом примере
специальные правила. Ниже предлагается правило
Основанное на понятии ’’центра тяжести” нечеткого числа
*
а < Ь.
необходимы
сравнения,
4.6.1. Сравнение нечетких чисел
Определение
4.8. Правило сравнения нечетких
чисел. Если
Нечеткое число а
Определение 4.7. Правило сравнения нечетких чисел. Если
заданы нечеткие числа а - U а , а и b = U Ь b ,
I	ОС I	I (X	О. I
ае[О,1]	ае[0,1]
то условия равенства и неравенства этих чисел определим так:
а = Ь, если Vae[O,l]: а
—а
а < Ь, если
Vae[O,l]: а < b и а s b
—а	—а	а	а
Зае[0,1]: а < b или а < b .
—а	—а	а	а
Пример 4.1. Сравним нечеткие числа а, b и с
изображенные на
рис.4.11.
= U
ae[O,1]
а
laj задано на ка a-уровнях, а
нечеткое число b = U ( ь Ь
( —a ’ a
ae[0,1]
а < Ь,
на ку a-уровнях, то:
ае[0,1 ]
Пример 4.2. Сравним нечеткие числа
а-(0,8) U (1,6) U (1.5,5.5) U
с? . . J	у $
(2,5)^	(3,4)^ и
10:
103
b=(0,7) U (0.5,6.5)„ QC:U (1.5,6), ,U (2.5,5.5)„ „,U (2.6,5)
Lz	(у . О	. I J
Решение. По определения 4.8, получаем:
1
а = —-----(0+8+1+6+1.5+5.5+2+5+3+45=3.6;
2-5
1
b --------(0+7+0.5+6.5+1.5+6+2.5+5.5+2.6+5>3.71.
2-5
Поскольку а < Ь, то а < Ь.
4.6.2.Оптимальный выбор операторов и условий
В данном разделе рассматривается алгоритм оптимального выбора
способа реализации операторов и логических условий АП по критериям
времени и вероятности правильного выполнения. Особенностью
оптимизационой задачи является представление исходных данных в
виде нечетких чисел.
Пусть известен нулевой (исходный) вариант АП, в котором
каждый 1-ый оператор (А^) может быть реализован п, различными
способами, а каждое j-oe логическое условие (у.),- п. способами.
У •=< У  , У . , . . . , у .
J v J1 J2 Jrij
Наличие различных способов выполнения операторов и логических
условий можно рассматривать в общем случае как следствие имеющейся
у проектировщика возможности управления структурой и параметрами
процесса. Например, выбор более качественных комплектующих
деталей, более надежного оборудования, более квалифицированого
персонала и др.
Предполагается, что параметры надежности операторов и условий
заданы нечеткими числами.
Пусть X = ^х^,Х2,...'хи| ~ Вектор управляемых переменных,
которыми являются номера способов реализации операторов и
логических условий;
104
Р(Х) и Т(Х) - нечеткие вероятность правильного выполнения v.
>емя выполнения АП, в случае когда управляемые переменные заданы
«тором X;
РдОП~ наименьшее допустимое значение величины PCX);
тДоп~ наибольшее допустимое значение величины Т(Х).
Задача оптимизации АП состоит в выборе
такого вектора X,
'обы:
(а) Т(Х)—>ш!п и Р(Х) г Рдоп -
прямая постановка задачи;
(б) р(х)—ипах и Т(Х) * Т
доп
обратная постановка задачи.
Алгоритм оптимизации состоит в отсечении неперспективных
i'-
вариантов реализации операторов и логических условий, получаемых
! каждом шаге укрупнения АП. При этом используются следующие
евидные свойства.
Свойство 1. Последовательное применение правил укрупнения за
нечное число шагов преобразует исходный АП к эквивалентному
ератору.
Свойство 2. Вероятность правильного выполнения АП возрастает
мере возрастания вероятностей правильного выполнения элементов
оцесса.
Свойство 3. Время выполнения АП возрастает по мере
)зрастания времени выполнения элементов процесса.
Пусть p^ и бд-нечеткие вероятность правильного выполнения
юратора А и время его выполнения;
~ 11 (~00'\
к , к и t - нечеткие вероятность отсутствия ошибок первого
w I ш } Ci)
(торого) рода при выполнении условия и и время его выполнения.
( Предложение 4.7. Если А^ и А^ - два варианта реализации
1ератора А, причем р„ > Р« и t. < t , то вариант Ао не может
а2 1	2
|одить в оптимальный АП.
Доказательство. Пусть АП, содержащий вариант А^ является
тимальным. Согласно свойствам 2 и 3, заменив оператор
ератором А^, получаем новый АП с улучшеными вероятностно-
емеными характеристиками. Следовательно, вариант Ар не может
одить в оптимальный АП.
105
Предложение 4.8. Если ы, и	два варианта выполнения
~ii	~00 ~00
логического условия ь>, причем к > к , к >к и t <t , т0
“1	“1	w2	Ы1 ы2
вариант ы2 не может входить в оптимальный АП.
Доказательство этого предложения аналогично предыдущему.
При доказательстве предложений 4.6 и 4.7, предполагалось
использование правила сравнения нечетких чисел по определению 4.7.
Применение предложений 4.7 и 4.8 позволяет получить алгоритма
надежностной оптимизации АП.
Алгоритм оптимизации в прямой постановке
Шаг 1. Установить счетчик алгоритмических структур в единицу.
пг.=1.
Шаг 2. Найти алгоритмическую структуру с номером ш.
Шаг 3. Отбросить неперспективные варианты выполнения опера-
торов, входящих в ш-ую структуру, пользуясь предложением 4.7.
Шаг 4. Отбросить неперспективные варианты выполнения логи-
ческих условий, входящих в ш-ую структуру, пользуясь предложением
4.8.
Шаг 5. Вычислить характеристики всех вариантов выполнения
m-ой структуры, пользуясь формулами (4.13)- (4.24).
Шаг 6. Отбросить неперспективные варианты выполнения ш-ой
структуры, пользуясь предложением 4.7.
Шаг 7. Проверить условие: ’’исходный процесс укрупнен до
эквивалентного оператора?”. Если ”да”, то перейти к шагу 8, иначе
установить ш:~ш+1 и перейти к шагу 2.
Шаг 8. Отбросить варианты реализации процесса, для которых
Р(Х)<Рдоп- Из оставшихся выбрать тот, у которого Т(Х)—Mnin.
Развернуть выбранный вариант до уровня операторов и логических
условий и записать оптимальный АП.
Алгоритм оптимизации в обратной постановке
Для построения этого алгоритма введем понятие
неальтернативных элементов АП.
Определение 4.8. Неальтернативными элементами назовем та^
операторы и условие, которые при реализации АП выполняются с
вероятностью единица.
Алгоритм оптимизации состоит в следующем.
106
	Шаг 1. Установить счетчик алгоритмических структур в единицу,
ш:=1
	Шаг 2. Найти структуру с номером го.
К Шаг 3. Отбросить неперспективные варианты выполнения
операторов, входящих в m-ую структуру, пользуясь предложением
"4-7. Из оставшихся неальтернативных операторов отбросить те,
I которые превышают ограничение по времени.
| Шаг 4. Отбросить неперспективные варианты выполнения логичес-
*'ких условий, входящих в tn-ую структуру, пользуясь предложением
'4.8. Из оставшихся неальтеряативных логических условий отбросить
те, которые превышают ограничение по времени.
Шаг 5. Вычислить характеристики всех вариантов выполнения
I m-ой структуры, пользуясь формулами (4.13)- (4.24).
i Шаг б. Отбросить неперспективные варианты выполнения гп-ой
структуры, пользуясь предложением 4.7.
j Шаг 7. Проверить условие: ’’исходный АП укрупнен до
^эквивалентного оператора?’’. Если ”да”, то перейти к шагу 8, иначе
Остановить ш:=ш+1 и перейти к шагу 2.
К Шаг 8.Отбросить варианты процесса, для которых Т(Х)>Тдоп. Из
•ставшихся выбрать вариант, у которого Р(Х)—>тах. Развернуть
выбранный вариант до уровня операторов и логических условий и
аписать оптимальный АП.
к Примеры применения этих алгоритмов рассмотрены в главе 6.
контрольные вопросы и упражнения
В 1.Как интерпретируются операторы и логические условия в
Выдачах надежностного проектирования алгоритмических процессов?
г 2.Что такое ошибки первого и второго рода при контроле?
приведите примеры ошибок первого и второго рода.
I	3.Что такое типовая структура? Какие типовые структуры
спользуются для оценки надежности алгоритмических процессов?
	4.Докажите справедливость формул (4.13)-(4.24).
1	5.Как ставится задача оптимизации алгоритмических процессов?
•	6.Как сравнить два нечетких числа? Каким требования должно
удовлетворять строгое и нестрогое отношение порядка?
107
5. ЖСХЕРТНО-^&ДЕЖРУОДАЯ Ж-i'tMA ДЛЯ НАДЕЖНОСТНОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ГРОЦЕССОВ
Экспертно-моделирующая система (ЭМС) предназначена для
автоматизации наиболее трудоемких процедур оценки и оптимизации АП
при нечетких исходных данных. Термином экспертно-моделирующая
система подчеркивается, что в этой системе сочетается традиционное
моделирование с использованием экспертной информации, которая
формализуется на базе нечетких чисел и нечеткой логики.
Теоретической основой экспертно-моделирующей системы являются
результаты глав 2-:-4. Программное обеспечение ЭМС выполнено на
языке С и предназначено для IBM совместимых персональных
компьютеров, работающих под управлением операционной системы
MS-DOS. ЭМС позволяет проводить оценку надежности регулярных и
нерегулярных АП, а также выбирать оптимальные варианты реализации
операторов и логических условий.
Для моделирования необходимо задать структуру АП и
вероятностно-временные характеристики его элементов. В случае
регулярных АП структура задается в виде последовательности
укрупняющих подстановок [25], а в случае нерегулярных алгоритмов,-
в виде ленточной (L-) матрицы вероятностного графа. Исходные
данные по вероятностно-временным характеристикам задаются в виде
1-формы, 1(х)-формы нечеткого числа или в виде разложения
нечеткого числа по а-уровневым множествам.
5.1,Архитектура экспертно-моделирующей системы
Архитектура ЭМС изображена на рис.5.1. Она содержит 10
программных блоков, которые выполняют следующие функции.
» Блок общения с пользователем обеспечивает обмен информацией
между пользователем и ЭВМ. Блок реализован в меню-ориентированном
стиле.
108
Т j '
Блок
общения с
пользователем
....	-Д-
а—библиотека
нерегулярных АП
регулярных АП
|Оптимизация
регулярных АП
ТУ
структуры вероят
ностного графа
Р"Н>
структуры АП
--------------
Библиотека ве-
Библиотека
роятностных графов
товки исходных
данных
ТИПОВЫХ АП
£
Рис.5.1. Архитектура экспертно-моделирующей системы
г о a-библиотека обеспечивает хранение и дальнейшее исполь-
вание результатов моделирования. Укрупненный АП в а-библиотеке
.писывается как рабочий оператор с эквивалентными вероятностно-
'еменными характеристиками. Последние представляются в виде
Четких чисел в а-уровневом разложении, a-библиотека обеспечивает
йможность задания проектируемого АП как суперпозиции раздельно
(рупняемых регулярных и нерегулярных фрагментов.
о Анализ нерегулярных АП обеспечивает оценку надежности
регулярных АП. Входными данными этого блока служат структура
109
вероятностного графа и исходные дащ.ьые по вероятностно-временна^
характеристикам в виде а-уровневых нечетких чисел. Выходными
данными является протокол работы блока, который содержит:
(1)	структуру АП;
(2)	исходные данные по вероятностно-временным характеристикам.
(3)	пошаговое укрупнение АП;
(4)	эквивалентные характеристики АП.
Пункт (3) протокола заполняется по указанию пользователя.
« Анализ регулярных АП обеспечивает оценку надежности
регулярных АП при нечеткой исходной информации. Входными данными
для этого блока служат структура АП, представляющая собой
последовательность укрупняющих подстановок, и исходные данные по
вероятностно-временным характеристикам в виде а-уровневых нечетких
чисел. Выходными данными является протокол работы, который
содержит:
(.	1) структуру АП;
(2)	исходные данные по вероятностно-временным характеристикам;
(3)	пошаговое укрупнение АП;
(4)	эквивалентные характерисики АП.
Пункт (3) протокола заполняется по указанию пользователя.
° Оптимизация регулярных АП обеспечивает выбор способов
реализаций операторов и логических условий, входящих в состав
регулярного АП. Этот блок позволяет проводить оптимизацию
регулярных АП при неопределенных исходных данных в прямой и
обратной постановках. Входными данными для блока являются
структура АП, представляющая собой последовательность укрупняющих
подстановок, и исходные данные по вероятностно-временным
характеристикам каждого варианта реализации оператора и условия
Исходные данные представляют собой нечеткие числа в а-уровневом
разложении. Выходными данными является протокол работы блока,
который содержит:
(1)	постановку задачи оптимизации;
(2)	структуру АП;
(3)	исходные данные по вероятностно-временным характеристикам
вариантов реализации операторов и логических условий;
(4)	пошаговую оптимизацию АП;
(5)	оптимальный вариант АП;
110
_	(.6) эквивалентные характеристики оптимального АП.
Пункт (4) протокола заполняется по указанию пользователя.
I » Редактор структуры вероятностного графа обеспечивает
построение и редактирование структуры нерегулярного АП в формате,
необходимом для анализа. При этом может использоватся библиотека
Е стандартных фрагментов вероятностных графов.
К > Редактор структуры АП обеспечивает задание структуры регу-
 лярного АП в формате, необходимом для анализа и оптимизации. Этот
к; блок позволяет формировать и использовать библиотеку типовых АП.
! Структура регулярного АП задается списком укрупняющих подстановок.
' о Библиотека вероятностных графов содержит типовые фрагменты
l нерегулярных- АП.
t о Библиотека типовых АЛ содержит типовые фрагменты регулярных
F АП.
К о Блок подготовки исходных данных обеспечивает задание
В исходных данных по вероятностно-временным характеристикам
элементов АП и преобразование их в необходимый формат. Блок
обеспечивает формирование и использования а-библиотеки. Входными
данными для блока 10 являются нечеткие числа, представленные в
виде 1~, 1Сх)-форм и в виде а-уровневого разложения’. Выходными
данными являются нечеткие числа, представленные в виде разложения
по а-уровневым множествам.
5.2. Формирование структуры алгоритмического процесса
Структура нерегулярного АП задается списком дуг соответству-
ющего вероятностного графа. Каждая строка этого списка имеет вид:
IN OUT,
тде IN - идентификатор вершины, из которой выходит дуга;
» OUT- идентификатор вершины, в которую входит дуга.
Например, структура нерегулярного АП, изображенного на рис.3.6
может быть задана следующим списком
3	4
3	5
4	1
111
4	2
5	5
5	2.
Структура регулярного АП задается списком укрупняющих
подстановок. Каждая строка этого списка имеет вид:
Т YX1 Х2 ХЗ Х4,
где Т- тип алгоритмической структуры: 1- ’’композиция”; 2 ’’много-
кратная работа”; 3- ’’обратная а-итерация”; 4- "работа-контроль-
доработка”; 5- ’’работа с выборочным контролем и доработкой”; 6-
’a-дизъюнкция’’;
Y - идентификатор алгоритмической структуры;
XI, Х2, ХЗ, Х4 - идентификаторы операторов и логических
условий, входящих в состав алгоритмической структуры.
Количество операторов и логических условий (XI, Х2, ХЗ, Х4),
а также порядок их записи зависит от типа структуры. Например,
структура АП вида
может быть задана следующим списком:
1	Ад	А^	А^
4	А4	Аз	V1
3	Y	А4	“2
5.3.Формирование исходных данных
Исходные данные, необходимые для моделирования, задаются в
блоке 10 (рис.5.1). Его структура, состоящая из 11 программных
блоков, изображена на рис.5.2. Рассмотрим функциональное
назначение блоков, которые не описаны в разделе 5.1.
° Базы знаний. Блок предназначен для хранения баз знаний о
влиянии различных факторов на значения лингвистических оценок
исходных данных.
11
Экспертная система
Рис.5.2. Структура блока подготовки исходных данных
Редактор баз знаний предназначен для создания и
ювания баз знаний.
о 1(х)~редактор предназначен для задания значений факторов,
шияющих на исходные данные. Тип данных (количественные, качест-
венные) определен в соответствующей базе знаний.
Функции принадлежности. Блок предназначен для хранения
:ческих моделей функций принадлежности.
1—конвертор представляет собой машину нечеткого логического
Блок предназначен для прогнозирования лингвистической
113
оценки вероятностно -временной характеристики в зависимости от
влияющих факторов. Входными данными для блока 10.5 являются
значения влияющих факторов, база знаний и функции принадлежности
лингвистических термов. Выходными данными являются лингвистические
оценки и терм-множества вероятностно-временных характеристик.
> 1-редактор предназначен для формирования 1-формы нечеткого
числа. Исходные данные, представленные в виде 1-формы могут быть
заданы одним из способов:
путем набора 1-формы на клавиатуре;
с использованием 1-библиотеки;
в результате работы 1-конвертора.
Выходными данными 2-редактора являются вероятностно-временные
характеристики элементов АП в виде 1-формы нечеткого числа. Эти
данные могут записыватся в 2-библиотеку.
» 1-библиотека предназначена для хранения исходных данных,
представленных в виде 2-формы нечеткого числа.
о a-конвертор предназначен для преобразования данных, за-
данных в виде 2-формы нечеткого числа. Выходными данными
а-конвертора являются нечеткие вероятностно-временные харак-
теристики в а-уровневом разложении.
о a-редактор предназначен для формирования нечетких чисел в
а-уровневом разложении. Исходные данные задаются:
путем набора на клавиатуре;
с использованием а-библиотеки;
в результате работы а-конвертора.
Контрольные вопросы
1	.Назовите основные блоки, из которых состоит ЭМС.
2	.Назовите функции блоков ’’редактор структуры АП", ” 1-конвертор
и ”а-конвертор”.
3	.Назовите способы задания исходные данные в ЭМС.
4	.Как представляется структура алгоритмического процесса в
ЭМС?
5	.Как осуществляется учет зависимостей исходных данных от
влияющих факторов?
114
6	.ПРИМЕРЫ НЕЧЕТКОГО АНАЛИЗА И ОПТИМИЗАЦИИ НАДЕЖНОСТИ
В этой главе рассматриваются примеры оценки и оптимизации
надежности АП при нечетких исходных данных. В первом примере
Уценивается надежность автоматизированной системы продажи
Автобусных билетов; во втором,- оптимизируется структура
Технологического процесса производства печатных плат. В каждом из
рассмотренных примеров моделируемый процесс описывается на языке
Алгоритмических алгебр.
1б,1.Оценка надежности системы продажи автобусных билетов
!
Алгоритм функционирования системы продажи автобусных билетов
’Автовокзал” представляется в виде:
Y = {{А1} Аз [Evvs] {а6} {{а?} } aJ2{{413} } а14} а16, (6.1)
ы7	w 10“ 11	^10^11 U15
де Y - процесс функционирования системы ’’Автовокзал";
А^- запрос клиента;
и?- контроль корректности запроса оператором;
'	А^- набора запроса на клавиатуре оператором;
контроль правильности набора запроса;
Vкоррекция набора;
А^- установление связи с автовокзалом "Центральный”;
и>7~ проверка готовности канала связи;
Ag- передача одного бита по телефонному каналу;
Ng- длина запроса, в битах;
N^^-длина ответа, в битах;
ь>.^-контроль ошибок при передаче, основанный на использовании
яклических кодов;
-контроль ошибок, основанный на проверке контрольной суммы;
А^-обработка запроса компьютером автовокзала ’’Центральный” ,
А^-вывод ответа на абонентский пульт;
ы^-контроль ответа оператором;
115
A,,-печать билета.
1 о
Исходные данные по вероятностно-временным характеристикам
элементов, входящих в (6.1), приведены в табл.6.1.
Таблица 6.1
Параметры элементов процесса (6.1)
Элемент	Параметр	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
А1	₽А1	0.93	0.99	Выше средней
	А1	12	30	Ниже среднего
W1	и1	0.92	1	Ниже средней
	-00 Ы1	0.3	0.7	Средняя
	t и, 1	з	6	Ниже среднего
А3	РА А3	0.92	1	Выше средней
	Ч А3	8	15	Ниже среднего
	Р1 Ы4	0.97	1	Высокая
	£°° Ы4	0.3	0.8	Выше средней
	t U4	4	7	Среднее
V5		0.99	1	Выше средней
	ч	3	15	Среднее
А6	РА Аб	0.35	0.9	?
	Ц А6	12	16	Среднее
^7		0.999	1	Выше средней
	U7	0.9999	1	Средняя
	h u7	2	4	i	Среднее
116
Продолжение табл.6.1
Элемент	Параметр	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
А8	р!	0.999	0.9999	?
	'8			
	\	0.00006	0.0004	Среднее
N9	й9	200	300	Средняя
	к11	1	1	
10	“10			
		0.9995	1	Выше средней
	“10			
	t “10	0.0005	0.001	Среднее
“11	i11 “11	0.997	1	Ниже средней
	-00 "n	0.999994	0.999998	Низкая
	4i	0.0005	0.001	Низкая
А12	^2	0.999999	1	Выше средней
	12	0.5	1	Низкое
N13	*13	600	800	Средняя
д А14	~1 РА14	0.9999	1	Высокая
	~А14	0.3	0.5	Выше среднего
Ш15	~П “15	0.995	1	Высокая
	к00 .“15	0.4	0.8	Выше средней
	t “15	3	8	Среднее
А16	~1 ₽А16	0.9999	1	Ниже среднего
	\б	8	30	Низкая
117
Знак ”?” в графе "Лингвисткчьгкея оценка” означает, чТо
лингвистическая оценка параметра зависит от влияющих факторов.
Для определения лингвистических оценок вероятностей
правильного выполнения операторов А^ и А^ потребовались следующие
знания.
1) Рд - нечеткая вероятность установления связи с
6
автовокзалом "Центральный”.
Терм-множество выходного параметра;
{низкая (И), ниже средней (нС) , средняя (С), выше средней
(вС) , высокая (В)}.
Влияющие факторы: х^~ тип канала связи; х^~ погодные условия;
Х3~ время суток.
Терм-множества влияющих факторов;
х^- {коммутируемый (К), выделенный (В)};
х2~~ {сухо > малая влажность (М), умеренная влажность (У),
туман СТ), дождь (Д)};
х3- {утро (у), до обеда (Д), обед (О), после обеда (П), вечер
(В)}, х3е [6,21].
База знаний представлена в табл.6.2.
Таблица 6.2
-1
База знаний для параметра Р.
л6
Х1	Х2	хз	pi А6
к	д	0	
к	д	и	н
к	т	0	
к к	У т	п У	нС
в	Д	д			
к	с	в	
к	м	У	с
в	У	0		
к	с	У	
в	У	У	вС
в	с	п		•
в	м	в	
в	с	в	Б
в	с	У				
2) нечеткая вероятность правильной передачи одного бита
по телефонному каналу.
Терм-множество выходного параметра:
{низкая (Н), ниже средней СнС), средняя (С), выше средней
( ВС), высокая (В)} .
Влияющие факторы; х^- тип канала связи; х^~ погодные условия;
хч- время суток; х,- время передачи одного бита.
°	4
Терм-множества влияющих факторов:
х^~ {коммутируемый (К), выделенный (В)};
{сухо (с), малая влажность (М), умеренная влажность (У),
туман СТ), дождь (Д)};
Хд- {утро (У), до обеда (Д), обед (О), после обеда СП), вечер
(В)}, х3е [6,21].
х4-{низкая (Н), ниже средней (нС) , средняя СО, выше среднего
(вС), высокая (В)}.
База знаний представлена в табл.6.3.
Таблица 6.3
- 1
База знаний для параметра Р.
8
Х1	Х2	хз	Х4	Ч
i 5	д	0	н	
к	т	п	н	и
1 к	д	д	нС	
! к	У	д	С	
к	т	У	вС	нС
в	Д	0	нС	
к	с	Б	ВС	
к	с	У	в	С
в	т	д	нС	
в	У	п	ВС	
в	м	д	с	вС
в	т	У	вС	
в	У	д	в	
в	У	в	вС	В
в	с	У	в	
118
119
Задача анализа надежности формулировалась так: найти
вероятность безошибочного выполнения алгоритма (6.1) и время его
выполнения при рассмотренных выше исходных данных и следующих
значениях влияющих факторов:
тип канала связи (х^) - "выделенный”;
погодные условия (х^) - "дождь”;
время суток (xg) - 12 часов;
время передачи одного бита (х^) - "среднее”.
Решение задачи.
С помощью 1(х)- конвертора находим, что при заданых
значениях влияющих факторов вероятности правильного выполнения
операторов Ag и Ag определяются так:
Рд =< 0.35, 0.9, "ниже средней”>;
А6
Рд =<0,999, 0,9999, ’’средняя")».
А8
С учетом этих вероятностей, а также исходных данных из
табл.6.1. получаем нечеткие характеристики вероятности правильного
выполнения (Ру) и времени выполнения (Ту)алгоритма (6.1):
Р„ =(0,932, 0,999)„U (0,954, 0,999)„ „U (0,97, 0,998) U
I	U	0,213	0,0
и (0,982. 0,996 К, „с и (0,991, 0,995),;
О , < J	1
Tv =(55,1?4)„U (60,151)- ,,U (66,131)- JJ (73,112)- --U
I	С/	О, zlu	и, о	0,(0
и (82,96)г
Полученные оценки могут интерпретироваться следующим образом
(рис.6.1):
вероятность правильного обслуживания клиента
Ру =<0,932, 0,999, ”высокая”)»;
время обслуживания клиента
Ту =<54, 174, "ниже среднего")*.
Пошаговый расчет этих характеристик приведен в приложении.
120
Рис.6.1. Результаты оценки надежности процесса функционирования
системы ’’Автовокзал”
[6.2. Оптимизация технологического процесса производства
печатных плат
Рассматривается процесс производства печатных плат (ПП)
^негативным методом. Известен исходный вариант процесса в виде
^алгоритма:
<	N7
А ( Ev ( EvV ))-(A5-A6f)( EvV9).(AJC?.AjrA^-AJ3)
1	*2 w3	“в
( EvV15)-(A -A )( EvV19). A2o( EvV22) A2f4( Ev ( EvV27))-
“14	* “18	“21	'	*25 U26
’A28 EV <‘EVV3p‘A32,’A3.3 *A55A35)( EVV3s\	(6-2)
^29 u30	Ы37
, котором операторы и логические условия могут иметь различные
варианты реализации (табл.6.4).
121
Таблица 6.4
Варианты реализаций элементов процесса (6.2)
Элемент	Реализация	Описание реализации
А1	А1.1	Текстолит	-
*2	^2.1	Доля выборочного контроля операции А
и3	”з.1	Контроль ОТК
V4	V4.1	Доработка
А5	А5.1	Формирование контура ПП штамповкой на эксцентриковых прессах
	А5.2	Формирование контура ПП резкой роли- ковыми ножницами
А6	А6.1	Сверление базового отверстия
N7	^7.1	Количество базовых отверстий
U8	и8.1	Контроль операций А^,А^
V9	V9.1	Доработка
А10	А10.1	Подготовка поверхности ПП
А11	А11.1	Нанесение сухого пленочного фоторе- зиста
	А11.2	Нанесение жидкого фоторезиста
А12	А12.1	Экспонирование
А13	А13.1	Проявление
”14	“14.1	Контроль операций А^+А.^ контролером III разряда
	”14.2	Контроль операций ^2О^А13 контРолеРом IV разряда
V15	V 15.1	Ретуширование рабочим III разряда
	415.2	Ретуширование рабочим IV разряда
А16	А16.1	Травление на линии КМ-101
	А16.2	Травление на линии ГГМ 1.240
122
Продолжение табл.6.4
Элемент	Реализация	Описание реализации
А17	А17.1	Удаление защитного слоя
“18	“18.1	Контроль операций А-^.А^ контролером
		III разряда
	“18.2	Контроль операций	контролером
		IV разряда
V19	V19.1	Доработка
А20	д 20.1	Нанесение лака
и21	и21.1	Самоконтроль операции А^
	Ш21 .2	Контроль операций А^р контролером
		III разряда
V22	V22.1	Доработка
А23	А23.1	Сверление отверстия на станке 0Ф-72Б
	д. 23.2	Сверление отверстия на станке СФ-4
	д 23.3	Сверление отверстия на станке 0Ф-101
	А23.4	Сверление отверстия на станке КД-36
	А23.5	Сверление отверстия на станке АРБ1.139
	А23.6	Сверление отверстия на станке ABL-24
®24	^24.1	Количество металлизируемых отверстий
Ф25	Ф25.1	Доля выборочного контроля операции А^3
и26	Ш26.1	Контроль сверления
V27	V27.1	Доработка
А28	А28.1	Металлизация одного отверстия
ф29	Ф29.1	Доля выборочного контроля операции A^g
изо	“30.1	Контроль металлизации
'<31	4 31. .1	Доработка
123
Продолжение табл,6.4
Элемент	Реализация	Описание реализации
А32	А32.1	Нанесение сплава Розе
А33	А33.1	Сверление одного монтажного отверстия
^34	®34.1	Количество монтажных отверстий
А35	А35.1	Обработка по контуру штамповкой
	А35.2	Обработка по контуру фрезерованием на
		станке Paul Dosier 4.2
	А35.3	Обработка по контуру фрезерованием на
		станке AKF-24
А36	А36.1	Маркировка
37	U37.1	Выходной контроль ПП
V 38	V38.1	Ремонт платы
Исходные данные, необходимые для оптимизации Процесса (6.2)
приведены в табл.6.5.
Таблица 6.5
Характеристики элементов, входящих в АП (6.2)
Элемент	Характе- ристика	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
А1. 1	~1 рА	0.999	1	Низкая
	Ц	0	0			 —
*2.1	'1	0.2	0.8	Низкая
Ы3.1	кП 0)	0.999	1	Высокая
	к00 и	0.3	0.6	Низкая
	t и	0.5	1	Ниже средней
124
Продолжение табл.6.5
Элемент	Характе- ристика	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
V4.1	V1	0.9	1	Средняя
	ч	1	5	Средняя
А5.1		0.999	1	Ниже средней
	ч	1	2	Низкая
А5.2		0.999	1	Высокая
		1	2	Ниже средней
Аб.1		0.9998	1	Выше средней
		0.01	0.015	Ниже средней
N	N	5	5	
7. 1				
U8.1	~п и	0.998	1	Выше средней
	i00 и	0.3	0.8	Выше средней
	t 0)	1	2	Средняя
V9.1		0.95	0.99	Средняя
	ч	5	12	Выше средней
А10.1	р!	0.998	1	Выше средней
		1	2	Ниже средней
Л Д11 . 1		0.999	1	Выше средней
	гА	1	2	Средняя
д 11,2	₽А	0.999	1	Средняя
	‘л	2	5	Низкая
125
Продолжение табл . 6
Элемент	Характе- ристика	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
А12.1	ч	0.998	0.999	Низкая
	ч	2	3	Средняя
к13.1	Ч	0.985	0.995	Ниже средней
	Ч	6	8	Ниже средней
“14.1	0)	0.999	1	Ниже средней
	~00	0.3	0.6	Низкая
				
	ч	1	2	Средняя
“14.2	kn Ко	1	1	—
	700 К	0.3	0.7	Выше средней
				
	Ч	1	2	Выше средней
V15.1	V	0.98	1	Средняя
	ч	3	12	Средняя
V15.2	ч	0.99	1	Высокая
	ч	2	9	Выше средней
д 16.1	~1 ₽А	0.99	1	Средняя
	ч	5	10	Ниже средней
д 16.2	~1 РА	0.994	1	Ниже средней
	ч	5	10	Низкая
К17. 1	~1 рА	0.99	1	Средняя
	ч	2	4	Ниже средней
126
Продолжение табл. 5
Элемент	Характе-	Нижняя	Верхняя	Лингвистическая
	ристика	граница	граница	оценка
“18.1	0)	0.999	1	Выше средней
	£00 Ц>	0.3	0.5	Средняя
		1.5	3	Средняя
Ы18.2	£п 0)	0.999	1	Высокая
	~00 и	0.4	0.8	Выше средней
	t О)	1.5	2.5	Выше средней
19.1	V	0.99	1	Средняя
	ч	6	9	Выше средней
л 20.1		0.995	1	Средняя
	ч	1	1.5	Средняя
	к11	1	1	
21.1	и			
	£00 U	0.5	0.8	Ниже средней
	ч>	0.5	1	Низкая
	кп	1	1	
21.2	0)			
	к00 и	0.3	0.8	Средняя
		0.5	1	Низкая
V22.1		0.9991	1	Высокая
	ч	1	2	Ниже средней
k23.1		0.9995	1	Ниже средней
	ЪА	0.03	0.04	Ниже средней
127
Продолжение табл.6.5
Элемент	Характе- ристика	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
А23.2		0.9998 0.007	1 0.009	Средняя Высокая
к23.3	Рд t. А	0.9998 0.008	1 0.01	Ниже средней Ниже, средней
к23.4	fl ЪА	0.9997 0.008	1 0.0095	Ниже средней Ниже средней
д *23.5	Г 	'1 Рд ч	0.9997 0.006	1 0.008	Ниже средней Средняя
к23.6	t (л)	0.99985 0.007	1 0.01	Высокая Выше средней
®24.1	N	310	310	—
*25.1		0.2	0.4	Высокая
Ш26.1	** к00 Кы t и	0.998 0.3 4	1 0.8 8	Выше среднего Средняя Выше средней
27.1	V ч	0.85 5	0.95 15	Низкая Высокая
Л 28.1	Ч	0.9995 0.04	0.05	Выше средней Ниже средней
*29.1	"1 Ч	0.3	0.4	Выше средней
128
Продолжение табл.6.5
Элемент	Характе- ристика	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
“30.1	к11	0.999	1	Средняя
	7 00			
		0.3	0.8	Ниже среднего
	ч>	7	10	Ниже среднего
V31.1		0.9	0.95	Ниже средней
	Ч	4	10	Средняя
А32. 1	~1 РА	0.999	1	Выше средней
	ЪА	4	5	Средняя
А33.1	Р1	0.9999	1	Высокая
	ЪА	0.1	0.2	Средняя
N34.1	N	4	4	—
А35.1	~1 рА	0.999	1	Средняя
	^А	0.5	0.7	Ниже средней
А35.2	РА	0.999	1	Высокая
	ЪА	0.5	0.6	Ниже средней
^35.3	~1 РА	0.999	1	Ниже средней
	fcA	0.4	0.8	Высокая
д 36.1	₽А	0.9999	1	Высокая
	^А	0.2	0.4	Средняя
129
Продолжение табл.6.5
Элемент	Характе- ристика	Нижняя граница	Верхняя граница	Лингвистическая оценка
“37.1	О) (J t (J	0.998 0.2 0.5	1 0.6 1.5	Средняя Ниже среднего Ниже среднего
V '38.1	V1 fcV	0.98 5	1 15	Низкая Выше среднего
Задача оптимального проектирования ставится следующим обра-
зом: найти такие варианты реализаций операторов и условий (основ-
ных и контрольных технологических операций), которые обеспечивают:
Т —>min и Р г0.93.
тп	тп
В результате применения алгоритма оптимизации из раздела
4.6 2, синтезирован следующий вариант технологического процесса:
¥ор1г[А1.1 ( EV EVV4.. 7А6.1	EVV9.i^A1O.1A11.1A12.1’
1	*2.1 Ы3.1	Ы8.1
EV V15.2^ ^16,2А17 . I"* EV V19.1)A20.1 bv V22.1
“14.1	“18.2	“21.I
'А23.6	( Е V EV V27 . l^h284.1 ) Е V EV .1^А32.)‘
*25.1 “26.1	*29.1 “30.1
'к33.1 A35.2A36.1]	EVV38.1^'	(6.j)
“37.1
Синтезированный процесс обеспечивает такие показатели:
130
Ртп=(0.848, 0.999) J) (0.876, 0.995)„ „JJ (0.903, 0.989)„ JJ
и (0.929, 0.981)0 75U (0 .954, 0.972)1;
Ттп=(48, 77.8)ои (49.9, 72.7)0 25U (51.8, 67.9)0
U (53.6, 63.2)„ „CU (55.5, 58.7),,
и . г b	2
которые интерпретируются следующим образом:
Ртп = <0.848, 0.999,’’выше средней”?;
Ттп = <48, 77.7,’’ниже средней”?.
Контрольные упражнения
1.Запишите процесс функционирования системы передачи данных
на языке алгоритмических алгебр.
2.Запишите технологический процесс производства печатных плат
позитивным методом на языке алгоритмических алгебр.
3.Сравните процесс производства печатных плат негативным
и позитивным методоми.
4.Поставте и решите задачу оптимального выбора оборудования
для систем передачи информации.
131
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современная теория надежности сложных систем располагает
широким арсеналом моделей, построенных на базе теории вероятностей. Основная
трудность применения этих моделей состоит в отсутствии исходных данных,
учитывающих реальные условия функционирования системы.
Подход, предложенный в этой книге - это один из формальных путей
решения "проблемы исходных данных" на основе лингвистической экспертной
информации и принципа нечеткого обобщения вероятностных моделей надежности.
В отличие от марковских и полумарковских процессов, которые
используются в теории надежности, предложенный подход свободен от сложных
математических процедур, связанных со сверткой функций распределения времени
нахождения системы в данном состоянии.
Возможными областями применения предложенного подхода является не
только теория надежности, но и другие задачи моделирования, в которых исходные
данные зависят от многих факторов и единственным источником информации об
этих данных являются экспертные оценки.
>
ЛИТЕРАТУРА
1Автоматизация производства печатных плат / В.Г.Воронов,
Т.Г.Мащенко и др,- К.: Тэхника, 1988.-128с.
2.Алиев Р.А., Церковный А.З., Мамедова Г.А. Управление произ-
водством при нечеткой исходной информации. М.: Энергоатомиздат,
1991,- 240с.
З.Вайцер Б. Микроанализ производительности вычислительных
систем: Пер.с англ.~М.: Радио и связь, 1983.-360с.
4.Борисов А.Н., Крумберг О.А.,Федоров И.П. Принятие решений
на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига: Зинатне,
1990,- 184с.
5.Введение в эргономику / Г.М.Зараковский, Б.А.Королев,
В.И.Медведев, П.Я.Шлаен,- М.: Сов. радио, 1974.-352с.
6.Вопросы	математической	теории надежности.	/	Под.ред.
Гнеденко Б.В,- М.: Радио и связь, 1983,- 376с.
7.Вощинин	А.П., Сотиров	Г.Р.	Оптимизация	в	условиях
неопределенности,- Изд-во МЭП (СССР), ’’Техника” (НРБ), 1989.-224с.
8	.Глушков В.М.,Цейтлин Г.Е.,Ющенко Е.Л. Алгебра. Языки,
ррограммирование.. Киев: Наук, думка, 1978,- 328с.
9	.Губинский А.И Надежность и качество функционирования
эрратических систем.-Л.:Наука, 1982.- 270с.
10	.Дружинин Г.В. Анализ эрготехнических систем.-М.:
Энергоатомиздат, 1984.-160с.
11	.Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей. Приложения к
тредставлению знаний в информатике/ Пер. с фр.- М.: Радио и связь,
.990,- 288с.
12	.Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение
принятию приближенных решений. М.:Мир, 1976,- 167с.
13	.Информационно-управляющие человеко-машинные системы:
сследования, Проектирования, Испытания: Справочник./ Губинский
.И., Евграфов В.Г., Ротштейн А.П. и др. Машиностроение, 1993.-
28с.
14	.Карповский Е.Я., Чижов С.А. Надежность программной
эодукции,- К.: Тэхника, 1990.-160с.
15	.Козлов Б.А.,Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности
шаратуры радиоэлектроники и автоматики. М.: Советское радио,
?75,— 472с.
133
16	.Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.:Радио и
связь, 1982,- 432с.
17	.Кузьмин И.В. и др. Синтез вычислительных алгоритмов
управления и контроля.- К.: Техника, 1975.
18	.Логика. Автоматы. Алгоритмы. / Айзерман М.А., Гусев Л.И. и
др.- М.: Физматгиз, 1963." 556с.
19	.Нечеткие множества в моделях управления и исскуственного
интелекта / Под ред.Д.А.Поспелова.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.
лит., 1986.- 312с.
20	.Нечеткие множества и теория возможностей. Последние
достижения: Пер. с англ. / Под ред. Р.Р. Ягера. - М.: Радио и
связь,1986. - 408 с.
21	.Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой
исходной информации. М.. Наука, 1981,- 286с.
22	.Поспелов Д.А. Ситуационное управление: теория и
практика.-М.: Наука.-Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-288с.
23	.Ротштейн А.П. Алгебраическое проектирование бездефектных
трудовых систем // Управляющие системы и машины.-1990.-N 6.
С.92-102.
24	.Ротштейн А.П. Медицинская диагностика на нечеткой логике.-
Винница: Континент-ПРИМ, 1996,- 132с.
25	.Ротштейн А.П., Кузнецов П.Д. Проектирование бездефектных
человеко-машинных технологий. К.:, Техника, 1992.-180с.
26	.Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Оценка надежности алгори,
мических процессов при нечетких исходных данных // Вестник В
1996.N 2,- С.30-37 (на укр. языке).
27	.Ротштейн А.П., Штовба С.Д., Иупанова М.А. Оптимизация
алгоритмических процессов при нечетких исходных данных. //
докладов 2-ой НТК стран СНГ ’’Контроль и управление в технических
системах”, г.Винница, 1993, С.74-75.
28	.Сафонов И.В. Надежностное проектирование структурно
алгоритмических систем.-К.: КДНТП, 1975,-37с.
29	.Суходольский Г.В. Структурно-алгоритмический анализ и
синтез деятельности.-Л.:ЛГУ,1976.- 150с.
30	.Ушаков И.А. Методы решения простейших задач надежности пр
наличии ограничений.-М.:Сов.радио,1969.- 162с.	-
31	.Филлипс Д., Гарсиа-Диас А. Методы анализа сетей. Пер.
англ.-М.: Мир, 1984.-496с.
32	.Яншин А.А. Теоретические основы конструирования, техноЛ
гии и надежности ЭВА: Учеб, пособие для вузов.-М..Радио и
1983 - 312с.
Rel' в3'"1 K'Y'’ Wen C,Y-’ zhanS M-L- Coherent Systems in Profust
p .	Theory. In Reliability and Safety Analysis under
yzziness”. Studies in Fuzzines, Vol 4, Phisica-Verlag, A
Pringer-Verlag Company, 1995, pp.81-94.
34	.0nisawa T. System reliability from the viewpoint of
evalution and fuzzy sets theory approach. In ’’Reliability and
Safety Analysis under Fyzziness”. Studies in Fuzzines, Vol 4,
Phisica-Verlag, A Springer-Verlag Company, 1995, pp.43-60.
35	.Rotshtein A. Fuzzy Models of Labour Systems Functioning
Reliability and Quality // Ergonomics of Hybrid Automated Systems,
Elsevier, 1992, pp.139-145.
36	.Rotshtein A. Fuzzy Reliability Analysis Of Man-Machine
Systems. In ’’Reliability and Safety Analysis under Fyzziness”
Studies in Fuzzines, Vol 4, Phisica-Verlag, A Springer-Verlag
Company, 1995, pp.245-270.
37	.Rotshtein A., Shtovba S. Fuzzy Logic-Algorithmic Fault
Tree Analysis. in the Proceeding of the Fourth European Congress
on Intelligent Techniques and Soft Computing, Vol.3, Aachen,
Germany, 1996, pp.1565-1569.
38	.Zimmermann H. Fuzzy Set Theory - and its Applications.
Third Edition.- Kluwer Academic Publishers, 1996,- 435p.
134
135
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пошаговая оценка надежности системы продажи автобусных билетов
***************** Структура процесса ********************
1) А20 = { Al } w2
2) A2I = АЗ - w4 - V5
3) А22 = { А6 } w7
4)	А23 = А8 л N9
5)	А24 = { А23 } wlO
6)	А25 = { A24}wll
7)	А26 = А8 л N13
8)	А27 = { А26 } wlO
9) А28 = { А27 } wll
10) А29 = А20 & А21
И) АЗО — А29 & А22
12) А31 = АЗО & A2S
13) А32 = А31 & А12
14) АЗЗ = А32 & А28
15) А34 = АЗЗ & А14
16) А35 = { А34 } W15
17) А36 = А35 & А16
- обратная альфа-итерация
- работа-контроль-доработка
- обратная альфа-итерация
- многократная работа
-	обратная альфа-итерация
-	обратная альфа-итерация
-	многократная работа
-	обратная альфа-итерация
-	обратная альфа-итерация
-	композиция
-	композиция
-	композиция
-	композиция
-	композиция
-	композиция
-	обратная альфа-итерация
-	композиция
***************** Исходные данные ********************
Шкала лингвистических оценок: {низкая, ниже средней, средняя, выше
средней, высокая)
Элемент А1.
Характеристики:
1)рА=<0.930000, 0.990000, выше средней>
2)1А=< 12.000000, 30.000000, ниже средней>
Элемент w2.
Характеристики:
l)kl 1=<0.920000, 1.000000, ниже средней»
2)к00=<0.300000, 0.700000, средняя»
3)tw=<4.000000, 7.000000, ниже средней»
Элемент АЗ.
Характеристики:
1)рА=<0.920000, 1.000000, выше средней»
2)tA=<8.000000, 15.000000, ниже средней»
Элемент w4.
136
Характеристики:
l)kll=<0.970000, 1.000000, высокая»
2)k00=<0.300000, 0.800000, выше средней>
3)tw=<3.000000, 5.000000, средняя>
Элемент V5.
Характеристики;
l)vl=<0.990000, 1.000000, выше средней>
2)tV=<3.000000, 15.000000, средняя>
Элемент А6.
Характеристики:
1)рА=<0.350000, 0.900000, ниже средней>
2)tA=< 12.000000, 16.000000, средняя>
Элемент w7.
Характеристики:
l)kll=<0.999000, 1.000000, выше средней>
2)к00=<0.999900, 1.000000, средняя>
3)tw=<2.000000, 4.000000, средняя»
Элемент А8.
Характеристики:
1)рА=<0.999000, 0.999900, средняя»
2)tA=<0.000060, 0.000400, средняя>
Элемент N9.
Характеристики:
l)N=<200.000000, 300.000000, средняя»
Элемент wlO.
Характеристики;
l)kl 1=1.000000
2)k00=<0.999500, 1.000000, выше средней>
3)tw=<0.000500, 0.001000, средняя»
Элемент wll.
Характеристики;
l)kl 1=<0.997000, 1.000000, ниже средней»
2)к00=<0.999994, 0.999998, низкая»
3)tw=<O.OOO5OO, 0.001000, низкая»
Элемент А12.
Характеристики:
1)рА=<0.999999, 1.000000, выше средней»
2)tA=<0.500000, 1.000000, низкая»
137
Элемент N13.
Характеристики:
1)N=<600.000000, 800.000000, средняя>
Элемент А14.
Характеристики:
1)рА=<0.999900, 1.000000, высокая>
2)tA=<0.300000, 0.500000, выше средней>
Элемент W15.
Характеристики:
1)kll=<0.995000, 1.000000, высокая>
2)к00=<0.400000, 0.800000, выше средней>
3)tw=<3.000000, 8.000000, средияя>
Элемент А16.
Характеристики:
1)рА=<0.999900, 1.000000, ниже средаей>
2)tA--<8.1)00000, 30.000000, низкая>
******* Пошаговый анализ алгоритмического процесса *******
Шаг укрупнения 1				
Оператор А20:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.983069	0.988086	22.061787	24.892372
0.750000	0.975327	0.990872	20.480324	29.014597
0.500000	0.966533	0.993274	18.953171	33.263519
0.250000	0.956696	0.995305	17.476849	37.655495
0.000000	0.945832	0.996979	16.048145	42.208530
Шаг укрупнения 2				
Оператор А21:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.990155	0.994442	13.538271	14.653387
0.750000	0.981842	0.996206	12.884665	16.254267
0.500000	0.971284	0.997721	12.245728	17.906492
0.250000	0.958494	0.998986	11.618494	19.612320
0.000000	0.943484	1.000000	11.000000	21.373999
Шаг укрупнения 3				
Оператор А22:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.999938	0.999961	31.255428	36.716297
0.750000	0.999916	0.999980	25.603243	40.773384
0.500000	0.999889	0.999991	21.397070	45.434246
138
0.250000 0.000000	0.999855 0.999814	0.999997 1.000000	18.144957 15.555383	50.844372 57.200058
Шаг укрупнения 4				
Оператор А23:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.857809	0.884932	0.051605	0.063605
0.750000	0.829667	0.910884	0.040444	0.076444
0.500000	0.800663	0.935500	0.030123	0.090123
0.250000	0.770968	0.958646	0.020642	0.104642
0.000000	0.740710	0.980194	0.012000	0.120000
Шаг укрупнения 5				
Оператор А24:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.999972	0.999986	0.059130	0.075053
0.750000	0.999949	0.999992	0.045132	0.093142
0.500000	0.999917	0.999996	0.032853	0.113670
0.250000	0.999876	0.999999	0.022112	0.136952
0.000000	0.999825	1.000000	0.012752	0.163357
Шаг укрупнения 6				
Оператор А25:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	1.000000	1.000000	0.059750	0.075788
0.750000	1.000000	1.000000	0.045701	0.094048
0.500000	1.000000	1.000000	0.033386	0.114763
0.250000	1.000000	1.000000	0.022623	0.138250
0.000000	1.000000	1.000000	0.013252	0.164880
Шаг укрупнения 7
Оператор А26;
Альфа-уровень Безошибочность Время выполнения
1.000000	0.652607	0.708571	0.145432	0.176988
0.750000	0.598391	0.765914	0.115556	0.210222
0.500000	0.546240	0.824189	0.087358	0.245136
0.250000	0.496440	0.882958	0.060840	0.281728
0.000000	0.449154	0.941752	0.036000	0.320000
Шаг укрупнения 8
Оператор А27:
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.999911	0.999954	0.206252	0.272377
0.750000	0.999832	0.999975	0.151732	0.352685
0.500000	0.999723	0.999988	0.106727	0.450376
0.250000	0.999578	0.999996	0.069530	0.569384
0.000000	0.999387	1.000000	0.038756	0.714677
139
Шаг укрупнения 9
Оператор А28:
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	1.000000	1.000000	0.207176	0.273595
0.750000	1.000000	1.000000	0.152464	0.354297
0.500000	1.000000	1.000000	0.107335	0.452485
0.250000	1.000000	1.000000	0.070065	0.572134
0.000000	1.000000	1.000000	0.039256	0.718271
Шаг укрупнения 10
Оператор А29:
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.973391	0.982594	35.600060	39.545761
0.750000	0.957617	0.987113	33.364990	45.268864
0.500000	0.938778	0.991010	31.198898	51.170013
0.250000	0.916988	0.994295	29.095343	57.267815
0.000000	0.892378	0.996979	27.048145	63.582527
Шаг укрупнения 11				
Оператор АЗО:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.973330	0.982556	66.855484	76.262054
0.750000	0.957536	0.987093	58.968231	86.042252
0.500000	0.938674	0.991001	52.595970	96.604263
0.250000	0.916855	0.994292	47.240299	108.112183
0.000000	0.892212	0.996979	42.603527	120.782585
Шаг укрупнения 12
Оператор АЗ Г.
Альфа-уровень	Безошибочность	
1.000000	0.973330	0.982556
0.750000	0.957536	0.987093
0.500000	0.938674	0.991001
0.250000	0.916855	0.994292
0.000000	0.892212	0.996979
Шаг укрупнения 13
Оператор А32:
Альфа-уровень	Безошибочность	
1.000000	0.973330	0.982556
0.750000	0.957535	0.987093
0.500000	0.938673	0.991001
0.250000	0.916854	0.994292
0.000000	0.892211	0.996979
Шаг укрупнения 14
Время выполнения
66.915237 76.337845
59.013931 86.136299
52.629356 96.719025
47.262920 108.250435
42.616779 120.947464
Время выполнения
67.415237 76.893402
59.513931 86.802963
53.129356 97.496803
47.762920 109.139320
43.116779 121.947464
140
Оператор АЗЗ: Альфа-уровень 1.000000 0.750000 0.500000 0.250000 0.000000	Безошибочность		Время выполнения	
	0.973330 0.957535 0.938673 0.916854 0.892211	0.982556 0.987093 0.991001 0.994292 0.996979	67.622414 59.666397 53.236691 47.832985 43.156036	77.167000 87.157257 97.949287 109.711456 122.665733
Шаг укрупнения 15				
Оператор А34:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.973319	0.982556	68.055748	77.622559
0.750000	0.957504	0.987093	60.066399	87.623924
0.500000	0.938621	0.991001	53.603355	98.427063
0.250000	0.916783	0.994292	48.166317	110.200348
0.000000	0.892122	0.996979	43.456036	123.165733
Шаг укрупнения 16				
Оператор АЗ 5:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.990940	0.994897	74.140182	85.060196
0.750000	0.982528	0.996525	65.238281	97.139542
0.500000	0.970307	0.997785	57.992794	110.740311
0.250000	0.953653	0.998726	51.860004	126.267540
0.000000	0.932037	0.999394	46.512241	144.259155
Шаг укрупнения 17				
Оператор А36:				
Альфа-уровень	Безошибочность		Время выполнения	
1.000000	0.990863	0.994831	82.140182	95.504639
0.750000	0.982446	0.996475	73.238281	112.472878
0.500000	0.970221	0.997752	65.992798	130.962524
0.250000	0.953562	0.998709	59.860004	151.378647
0.000000	0.931944	0.999394	54.512241	174.259155
******* Результаты анализа алгоритмического процесса ********
Альфа-уровень Безошибочность Время выполнения
1.000000	0.990863	0.994831	82.140182	95.504639
0.750000	0.982446	0.996475	73.238281	112.472878
0.500000	0.970221	0.997752	65.992798	130.962524
0.250000	. 0.953562	0.998709	59.860004	151.378647
0.000000	0.931944	0.999394	54.512241	174.259155
141
Научное издание
Ротштейн Александр Петрович,
Штовба Сергей Дмитриевич
НЕЧЕТКАЯ НАДЕЖНОСТЬ
АЛГОРИТМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Сдано в набор 25,07.96. Подписано к печати 10.08.97.
Формат 60x84/16. Бумага офсетная.
Гарнитура TIMES. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 8,4. Заказ № 97/32. Тираж 300 экз.
Печать с готовых диапозитивов —
РИП "Континент-ПРИМ".
287100, г. Винница, ул. Козицкого, 13.
Для писем: 286050, Винница-50, а/я 8199,
тел/факс: (0432) 520-320